I M N C W 3 M H I G 1 i 1 U N U E T A T S N A [Hill/1H!!!” 2 9 3 0 1 I V E 5 6 R A R B I L Y T I S llllllllmllllll 8 0 0 6 3 L A c U I h n B g v i I R a e A s n r R S I t t Y a y t e P h - D - d e g r e e i n T e a c h e r E d u c a t i o n T H E S I S I r x ‘ H L ' ) D l \ l l W T h i s i s t o c e r t i f y t h a t t h e d i s s e r t a t i o n e n t i t l e d C h a n g i n g T e x t s , T e a c h e r s , a n d T e a c h i n g : T h e R o l e o f C u r r i c u l u m M a t e r i a l s i n M a t h e m a t i c s E d u c a t i o n R e f o r m p r e s e n t e d b y J a n i n e T . R e m i l l a r d h a s b e e n a c c e p t e d t o w a r d s f u l fi l l m e n t o f t h e r e q u i r e m e n t s f o r W W M a j o r p r o f e s s o r V D a t e D e c . 1 6 , 1 9 9 6 M S U i s a n A f f i r m a t i w A c t i o n / E q u a l O p p o r t u n i t y I n s t i t u t i o n 0 - 1 2 7 7 1 P T l l L O C A A D V A E O I I t D R F E I T E T N D U E R S U m N E B u O m X t o n o D o r r A e b o f e m T v o E W e r e e a d D t U o u t c e h d e u c o k . E h D u A M S U I . A n N fl m c t i v c A c t i o n / E q u a l O p p o m h I t m y y o T E I n u c r r e c o r d . D U E t l t w o n L _ _ I : _ _ J I — T T — T — j C H A N G I N G T E X T S , T E A C H E R S , A N D T E A C H I N G : T H E R O L E O F C U R R I C U L U M M A T E R I A L S I N M A T H E M A T I C S E D U C A T I O N R E F O R M V O L U M E I B y J a n i n e T . R e m i l l a r d A D I S S E R T A T I O N S u b m i t t e d t o M i c h i g a n S t a t e U n i v e r s i t y i n p a r t i a l f u l l f i l l m e n t o f t h e r e q u i r e m e n t s f o r t h e d e g r e e o f D O C T O R O F P H I L O S O P H Y D e p a r t m e n t o f T e a c h e r E d u c a t i o n 1 9 9 6 A B S T R A C T C H A N G I N G T E X T S , T E A C H E R S , A N D T E A C H I N G : T H E R O L E O F C U R R I C U L U M M A T E R I A L S I N M A T H E M A T I C S E D U C A T I O N R E F O R M B y J a n i n e T . R e m i l l a r d T h e a i m o f t h e s t u d y w a s t o e x a m i n e t e a c h e r s ' i n t e r a c t i o n s w i t h a n e w t e x t b o o k i n o r d e r t o g a i n i n s i g h t i n t o t h e p o t e n t i a l f o r c u r r i c u l u m m a t e r i a l s t o c o n t r i b u t e t o r e f o r m i n m a t h e m a t i c s t e a c h i n g . I t w a s m o t i v a t e d b y t h e t e n d e n c y o f e d u c a t i o n a l p o l i c y m a k e r s t o u s e c u r r i c u l u m m a t e r i a l s t o i m p l e m e n t c u r r i c u l a r a n d p e d a g o g i c a l c h a n g e i n m a t h e m a t i c s t e a c h i n g a n d b y d i s c r e p a n c i e s i n r e s e a r c h f i n d i n g s r e g a r d i n g t h e i r i m p a c t o n t e a c h i n g . W h i l e s t u d i e s r e v e a l a c l o s e m a t c h b e t w e e n m a t h e m a t i c a l t o p i c s m o s t f r e q u e n t l y t a u g h t a n d t h e c o r e t o p i c s , s k i l l s , a n d c o n t e n t i n t e x t s ( F r e e m a n 8 : P o r t e r , 1 9 8 9 ; S t o d o l s k y , 1 9 8 9 ) , r e s e a r c h e r s h a v e a l s o n o t e d v a r i a t i o n s b e t w e e n c l a s s r o o m i n s t r u c t i o n a n d w h a t i s s u g g e s t e d i n t e x t b o o k s , p a r t i c u l a r l y w h e n t h e t e x t s a r e b a s e d o n n o n c o n v e n t i o n a l v i e w s o f m a t h e m a t i c s . ( P u t n a m , 1 9 9 2 ; S t e p h e n s , 1 9 8 2 ; S o s n i a k 8 : S t o d o l s k y , 1 9 9 3 ) . M a n y r e s e a r c h e r s h a v e f o u n d t h a t t e a c h e r s a r e i n fl u e n c e d b y t h e i r b e l i e f s a n d k n o w l e d g e a b o u t t e a c h i n g , l e a r n i n g , a n d t h e s u b j e c t m a t t e r m o r e t h a n b y w h a t i s p r e s e n t e d i n t e x t s ( B a l l , 1 9 8 8 ; D o n o v a n , 1 9 8 3 ) . T h e i n t e n t o f t h i s s t u d y w a s t o c o n s i d e r w h e t h e r a n d h o w r e f o r m - o r i e n t e d c u r r i c u l u m m a t e r i a l s m i g h t c o n t r i b u t e t o c h a n g e i n m a t h e m a t i c s i n s t r u c t i o n . U s i n g c a s e - s t u d y m e t h o d o l o g y , t h e a u t h o r a n a l y z e d t h e i n t e r a c t i v e r e l a t i o n s h i p s b e t w e e n a n e w m a t h e m a t i c s t e x t b o o k a n d t w o f o u r t h - g r a d e t e a c h e r s ' t h i n k i n g a b o u t , a n d t e a c h i n g o f , m a t h e m a t i c s d u r i n g o n e s c h o o l y e a r . I n a d d i t i o n t o o b s e r v i n g a n d i n t e r v i e w i n g t h e t e a c h e r s r e g u l a r l y , s h e a n a l y z e d t h e c o n t e n t s o f t h e t e x t b o o k f o r i t s d e p i c t i o n o f m a t h e m a t i c s t e a c h i n g a n d l e a r n i n g . T h r o u g h a c r o s s - c a s e a n a l y s i s , t h e a u t h o r d e v e l o p e d a m o d e l o f t e a c h e r s ' c u r r i c u l u m d e v e l o p m e n t a c t i v i t i e s , t h a t i s t h e i r c o n s t r u c t i o n o f m a t h e m a t i c s c u r r i c u l u m i n t h e c l a s s r o o m . T h e m o d e l , w h i c h i n c l u d e s b u t i s n o t l i m i t e d t o t e a c h e r s ' t e x t b o o k u s e , c o n s i s t s o f t h r e e a r e n a s i n w h i c h t e a c h e r s e n g a g e i n c u r r i c u l u m d e v e l o p m e n t : d e s i g n , c o n s t r u c t i o n , a n d c u r r i c u l u m m a p p i n g . E a c h a r e n a d e f i n e s a p a r t i c u l a r r e a l m o f t h e c u r r i c u l u m d e v e l o p m e n t p r o c e s s a b o u t w h i c h t e a c h e r s e x p l i c i t l y o r i m p l i c i t l y m a k e d e c i s i o n s . T h r o u g h a r t i c u l a t i n g e a c h p i e c e o f t h e m o d e l , t h e a u t h o r h i g h l i g h t s t h e c o m p l e x a n d m u l t i d i m e n s i o n a l n a t u r e o f t e a c h e r s ' c u r r i c u l u m p r o c e s s e s , i d e n t i f i e s s i g n i f i c a n t c h a r a c t e r i s t i c s o f e a c h a r e n a t h a t h a v e i m p l i c a t i o n s f o r t e x t b o o k u s e a n d i n s t r u c t i o n a l c h a n g e , a n d i n d i c a t e s a r e a s t h a t c a l l f o r f u r t h e r r e s e a r c h . C o p y r i g h t b y J A N I N E T . R E M I L L A R D 1 9 9 6 D e d i c a t e d t o D a v e a n d m y f a t h e r a n d t h e m e m o r y o f m y m o t h e r N a n c y L o u S i e g e ] R e m i l l a r d A C K N O W L E D G M E N T S A s I p r e p a r e t h i s d i s s e r t a t i o n t o b e b o u n d , I a m s u r p r i s e d t o c o n f r o n t a m i x t u r e o f e m o t i o n s . O n t h e o n e h a n d , I f e e l n o t h i n g s h o r t o f p l e a s u r e a n d a c c o m p l i s h m e n t t h a t a f t e r m a n y m o n t h s o f b e i n g " s o c l o s e " t o f i n i s h e d , t h e d a y h a s fi n a l l y a r r i v e d . O n t h e o t h e r h a n d , I m u s t a d m i t t o f e e l i n g a t o u c h o f r e g r e t . T h i s p i e c e o f w o r k t h a t h a s s o c o n s u m e d m e f o r t h e l a s t f e w y e a r s r e p r e s e n t s a s i g n i f i c a n t c h a p t e r o f m y s c h o l a r l y a n d p e r s o n a l g r o w t h . A n d w h i l e m y w o r k c o n t i n u e s i n o t h e r f o r m s , t h i s p a r t i c u l a r j o u r n e y h a s c o m e t o a c l o s e . L o o k i n g b a c k o n m y t r a v e l s f r o m m y c u r r e n t v a n t a g e p o i n t , I r e a l i z e t h a t t h e p r i z e i s n o t i n t h e f i n i s h e d p a g e s , b u t i n t h e j o u r n e y i t s e l f ; f o r i t h a s c h a n g e d m e i n w a y s I d i d n o t a n t i c i p a t e . L i k e m o s t j o u r n e y s , i t w a s e n r i c h e d , e n d u r e d , a n d e v e n m a d e p o s s i b l e t h r o u g h t h e g i f t s o f a n u m b e r o f f e l l o w t r a v e l e r s a l o n g t h e w a y . I t i s t o t h e s e p e o p l e t h a t I n o w t u r n k n o w i n g t h a t m y w o r d s c a n n o t a p t l y c a p t u r e t h e i r g i f t s o r m y g r a t i t u d e . I b e g i n w i t h t h e t w o t e a c h e r s w h o m a d e t h e s t u d y p o s s i b l e . T h e s e t w o w o m e n a l l o w e d m e t o v i s i t t h e i r c l a s s r o o m s r e g u l a r l y a n d g a v e o f t h e i r t i m e t o a n s w e r m y p r o b i n g q u e s t i o n s . I a m g r a t e f u l f o r t h e i r w i l l i n g n e s s t o s h a r e s o m u c h o f t h e m s e l v e s w i t h m e a n d t o d o s o w i t h r e m a r k a b l e i n t e r e s t . I a m a l s o g r a t e f u l t o t h e m a n y t e a c h e r s w h o h a v e g u i d e d m e i n m y t r a v e l s . M o s t p r o m i n e n t a m o n g t h e m a r e t h e m e m b e r s o f m y c o m m i t t e e w h o h a v e u n s e l f i s h l y g i v e n o f t h e i r w i s d o m a n d t i m e . D e b o r a h B a l l , t h e c h a i r o f m y c o m m i t t e e a n d d i s s e r t a t i o n d i r e c t o r , S u z a n n e W i l s o n , R a l p h P u t n a m , a n d G l e n d a L a p p a n h a v e c o n t r i b u t e d t o m y g r o w t h i n t h e i r o w n d i s t i n c t w a y s . S i n c e e a r l y i n m y g r a d u a t e - s c h o o l c a r e e r , D e b o r a h B a l l h a s b e e n a n i r r e p l a c e a b l e t e a c h e r , m e n t o r , a n d f r i e n d . S h e h a d a w a y o f s e e i n g m o r e i n m e t h a n I k n e w w a s t h e r e , e x p e c t i n g m o r e o f m e t h a n I b e l i e v e d I c o u l d a c c o m p l i s h , w h i l e s t a n d i n g b e s i d e m e a n d v i r e l i s h i n g i n m y p r o g r e s s e a c h s t e p o f t h e w a y . T h r o u g h o u t t h e w o r k o n t h i s d i s s e r t a t i o n D e b o r a h h a s , a t o n c e , n u r t u r e d m y d e v e l o p i n g i d e a s a n d p r o d d e d t h e m f u r t h e r . S h e d e v o t e d h o u r s o f t i m e t o r e a d i n g d r a f t s a n d p a r t i a l d r a f t s a n d t h i n k i n g h a r d w i t h m e a b o u t t h e m . S h e a l w a y s m a d e t i m e t o m e e t w i t h m e e v e n w h e n t h e o n l y o p e n i n g o n h e r c a l e n d a r w a s h e r 5 a m . r u n . F r o m h e r I h a v e l e a r n e d t o a l w a y s e x p e c t m o r e o f m y s e l f , t o a l w a y s p u s h a l i t t l e h a r d e r , y e t a t t h e s a m e t i m e t o t a k e p l e a s u r e i n t h e g r o w t h I h a v e a l r e a d y e x p e r i e n c e d . I a m f o r t u n a t e t o h a v e h a d t h e o p p o r t u n i t y t o w o r k w i t h h e r . I a m t h a n k f u l t o S u z a n n e W i l s o n f o r h e r a b i l i t y t o f o c u s o n t h e fi n e d e t a i l s o f a n a l y s i s w h i l e n e v e r l e t t i n g g o o f t h e b i g p i c t u r e . S h e h e l p e d m e u n d e r s t a n d t h e k i n d o f w o r k a d i s s e r t a t i o n i s a n d s e e m e d t o k n o w j u s t w h i c h t a s k t o s u g g e s t w h e n I w a s s t u c k . I h a v e f o n d m e m o r i e s o f o u r e s p r e s s o - p o w e r e d m e e t i n g s a t C a f f é V e n e z i a d u r i n g w h i c h S u z a n n e h e l p e d m e f i g u r e o u t e x a c t l y w h a t I w a s t r y i n g t o s a y a n d t h e c l e a r e s t w a y t o s a y i t . A l t h o u g h I s t i l l h a v e m u c h t o l e a r n i n t h i s d e p a r t m e n t , I o w e m u c h o f t h e g r o w t h I h a v e m a d e i n m y w r i t i n g t o S u z a n n e . R a l p h P u t n a m h a s b e e n a f r i e n d a n d r u n n i n g a n d c y c l i n g c o m p a n i o n s i n c e e a r l y i n m y g r a d u a t e - s c h o o l d a y s . A s a t e a c h e r h e e n g a g e d m y w o r k w i t h m e t i c u l o u s d e t a i l a n d g e n u i n e i n t e r e s t . H e p u s h e d m e t o o f f e r s o u n d a n d c o n v i n c i n g e v i d e n c e f o r e a c h c l a i m I m a d e . H e a l s o a t t e n d e d t o t h e m e c h a n i c s o f m y w r i t i n g , p o i n t i n g o u t e a c h u n n e c e s s a r y c o m m a . I a m t h a n k f u l f o r h i s c a r e f u l r e a d i n g a n d t h i n k i n g . I a m a l s o g r a t e f u l t o G l e n d a L a p p a n w h o r e a d m y w o r k f r o m t h e p e r s p e c t i v e o f a c u r r i c u l u m d e v e l o p e r . H e r e n t h u s i a s m f o r t h e t o p i c o f m y s t u d y a n d h e r k n o w l e d g e o f m a t h e m a t i c s a n d t e a c h i n g c o n t r i b u t e d i m m e n s e l y t o m y t h i n k i n g . K n o w i n g t h a t G l e n d a r e p r e s e n t e d t h e c u r r i c u l u m - d e v e l o p e r c o n t i n g e n t o f m y a u d i e n c e c h a l l e n g e d m e t o s e r i o u s l y a n d r e s p e c t f u l l y e n g a g e t h i s g r o u p a s r e a d e r s . I w o u l d a l s o l i k e t o t h a n k t w o f a c u l t y m e m b e r s w h o w e r e n o t o n m y c o m m i t t e e , b u t w h o h a v e c o n t r i b u t e d s u b s t a n t i v e l y t o m y w o r k . P e n e l o p e P e t e r s o n a n d D a v i d C o h e n , w h o a l o n g w i t h D e b o r a h B a l l a n d S u z a n n e W i l s o n , w e r e p r i n c i p a l i n v e s t i g a t o r s v i i o f t h e E d u c a t i o n a l P o l i c y a n d P r a c t i c e S t u d y ( E P P S ) , f u n d e d b y t h e N a t i o n a l S c i e n c e F o u n d a t i o n s , P E W C h a r i t a b l e T r u s t s , a n d t h e C o n s o r t i u m f o r P o l i c y R e s e a r c h i n E d u c a t i o n . I h a v e w o r k e d w i t h D a v i d a n d P e n e l o p e o n p o l i c y - p r a c t i c e r e s e a r c h s i n c e I a r r i v e d a t M i c h i g a n S t a t e . T h e y h a v e s u p p o r t e d m y w o r k a n d g r o w t h i n m o r e w a y s t h a n t h e y k n o w . I a m p a r t i c u l a r l y g r a t e f u l t h a t t h e y a g r e e d t o s u p p o r t m y r e s e a r c h fi n a n c i a l l y a s a n e x t e n s i o n o f t h e E P P S w o r k . I a m a l s o g r a t e f u l t o t h e r e s e a r c h e r s i n v o l v e d i n t h i s s t u d y o v e r t h e y e a r s . M a n y o f m y c u r r e n t i d e a s a b o u t t e a c h e r s ' e n c o u n t e r s w i t h e d u c a t i o n a l r e f o r m h a v e b e e n i n fl u e n c e d b y t h e c o n v e r s a t i o n s t h a t t o o k p l a c e i n t h i s g r o u p . I a m i n d e b t e d t o m y p a r e n t s , N a n c y a n d B r u c e R e m i l l a r d , f o r b e l i e v i n g i n m e a n d t e a c h i n g m e t o b e l i e v e i n m y s e l f . A s a n a d u l t , I a m n o w a b l e t o l o o k b a c k o n t h e g r a c e w i t h w h i c h t h e y r a i s e d f o u r d a u g h t e r s . S e l f l e s s l y , t h e y e n c o u r a g e d e a c h o f u s t o p u r s u e o u r o w n p a t h s , r e g a r d l e s s o f h o w f o r e i g n o u r c h o i c e s m a y h a v e b e e n t o t h e m o r h o w f a r a w a y t h e y t o o k u s . W i t h g e n u i n e i n t e r e s t , t h e y e m b r a c e d e a c h o f o u r p e r s o n a l e n d e a v o r s . A l t h o u g h I a m s t i l l s a d d e n e d b y t h e l o s s o f m y m o t h e r , i t i s w i t h h u m i l i t y t h a t I n o w r e c o g n i z e t h e e x t e n t t o w h i c h I h a v e b e e n s u s t a i n e d b y t h e p r i d e t h a t s h e a n d m y f a t h e r h a d i n m e . I a m a l s o g r a t e f u l t o m y t h r e e s i s t e r s , L i s a , J u d i , a n d S u z a n n e , w h o h a v e b e e n m y c o m p a n i o n s t h r o u g h o u t m y l i f e . I n r e c e n t y e a r s , t h e c l o s e n e s s I h a v e f e l t t o t h e m h a s p r o v i d e d m u c h n e e d e d b a l a n c e a n d f o c u s w h e n m y d a y - t o - d a y l i f e s e e m e d a n y t h i n g b u t . D u r i n g t h e t i m e I s p e n t a t M i c h i g a n S t a t e , I w a s f o r t u n a t e t o i n t e r a c t w i t h a n u m b e r o f f e l l o w g r a d u a t e s t u d e n t s w h o u n k n o w i n g l y c o n t r i b u t e d t o m y g r o w t h . I a m p a r t i c u l a r l y g r a t e f u l f o r t h e s u p p o r t o f t w o f e l l o w s t u d e n t s , P a m e l a G e i s t a n d S t e v e S m i t h , w i t h w h o m I h a v e f o r m e d a l o n g - d i s t a n c e s t u d y g r o u p . O v e r t h e l a s t 1 8 m o n t h s t h e y h a v e g i v e n m y w o r k c a r e f u l a n d t h o u g h t f u l s c r u t i n y , h a v e p u s h e d m e t o c o n s i d e r d i f f e r e n t p o i n t s o f v i e w , a n d h a v e c e l e b r a t e d a c c o m p l i s h m e n t s w i t h m e . I o n l y h o p e I v i i i h a v e o f f e r e d a s m u c h t o t h e m a s t h e y h a v e g i v e n m e . I a m a l s o t h a n k f u l f o r t h e f r i e n d s h i p o f J e n n i f e r B a r m a n . O u r 6 a . m . s w i m s f o l l o w e d b y b o t h i n t i m a t e a n d i n t e l l e c t u a l c o n v e r s a t i o n i n t h e s a u n a n o u r i s h e d m e t h r o u g h m y l a s t y e a r a t M i c h i g a n S t a t e . I a m t h a n k f u l f o r t h e s u p p o r t I h a v e r e c e i v e d f r o m m a n y c o l l e a g u e s a t t h e U n i v e r s i t y o f U t a h w h o s e e n c o u r a g e m e n t a n d a p p r e c i a t i o n o f t h e w o r k I w a s d o i n g m a d e m y f i r s t y e a r h e r e b e a r a b l e . T h e s e f r i e n d s u n d e r s t o o d t h a t o f t e n t h e m o s t w e l c o m e h e l p t h e y c o u l d g i v e w a s t o n o _ t a s k , " S o , h o w ' s y o u r d i s s e r t a t i o n g o i n g ? " I a m g r a t e f u l f o r t h e i n t e l l e c t u a l a n d p e r s o n a l s t r e n g t h I c o n t i n u e t o r e c e i v e f r o m m y c o l l e a g u e s E l i z a b e t h M o j e a n d S h e r r y S o u t h e r l a n d . O u r f r i e n d s h i p h a s h e l p e d m e k e e p m y w o r k a n d l i f e i n p e r s p e c t i v e . F i n a l l y , I a m i n d e b t e d t o m y h u s b a n d a n d p a r t n e r D a v i d T r i s t a n o w h o s e p a t i e n c e , e n c o u r a g e m e n t , a n d s u p p o r t w e r e u n t i r i n g t h r o u g h o u t t h e w r i t i n g o f t h i s d i s s e r t a t i o n . D a v e h a s g i v e n m e s p a c e a n d t i m e t o w o r k , t a k i n g o n m o r e t h a n h i s s h a r e o f t h e h o u s e h o l d t a s k s , a n d a t t h e s a m e t i m e h a s p r o v i d e d m a n y h o u r s o f s u b s t a n t i v e a s s i s t a n c e w h e n n e e d e d . H e l i s t e n e d a s I t a l k e d t h r o u g h p a r t i a l l y f o r m e d a r g u m e n t s , r e a d a n d e d i t e d a l m o s t e v e r y p a g e o f t h e t e x t , h u n t e d d o w n a r t i c l e s i n t h e l i b r a r y , a n d c h e c k e d t o b e s u r e m y r e f e r e n c e l i s t w a s c o m p l e t e . M o s t i m p o r t a n t l y , h o w e v e r , h e b e l i e v e d i n m e w h e n I f o u n d i t d i f f i c u l t t o b e l i e v e i n m y s e l f . H e u n d e r s t o o d m y c o m m i t m e n t t o m y w o r k a n d n e v e r d o u b t e d t h a t I w o u l d g e t t h i s t h i n g fi n i s h e d . H e h a s b r i g h t e n e d m y l i f e i n w a y s I c a n n o t d e s c r i b e . I a m d e e p l y g r a t e f u l f o r h i s c o m p a n i o n s h i p a n d l o v e . T A B L E O F C O N T E N T S L I S T O F T A B L E S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x v i i L I S T O F F I G U R E S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x i x C H A P T E R O N E T H E T E A C H E R , T E X T B O O K , C U R R I C U L U M R E L A T I O N S H I P - 1 I n t r o d u c t i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 A T e a c h e r a n d a T e x t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 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. . . 2 7 T h e T e a c h e r a n d C u r r i c u l u m R e l a t i o n s h i p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 8 A S t u d y o f T e a c h e r s , T e x t b o o k s , a n d C u r r i c u l u m i n t h e C o n t e x t o f R e f o r m . . . . . . . . . . . . 3 0 S e n s e - M a k i n g a n d t h e F a c t o r s t h a t I n fl u e n c e I t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1 T e x t b o o k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 2 C o n t e x t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 2 T e a c h e r . . . . . . . . . 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r v i e w . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 6 P r o c e d u r e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 7 S a m p l e S e l e c t i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 7 S i t e S e l e c t i o n \ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 7 T e a c h e r S e l e c t i o n \ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 8 D a t a C o l l e c t i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . 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c h o o l s : A n H i s t o r i c a l C o n t e x t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 8 T e x t b o o k S t a b i l i t y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 9 C a s e s o f C h a n g e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 0 T o W h a t E x t e n t D o e s t h e H B ] T e x t R e fl e c t t h e C u r r e n t R e f o r m s ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2 W h a t t h e T e x t b o o k O f f e r s : G e n e r a l D e s c r i p t i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 3 T h e T e a c h e r ' s G u i d e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 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p r e s e n t a t i o n o f T e a c h i n g . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1 T h e R o l e o f t h e T e x t i n T e a c h e r C h a n g e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 4 x i C H A P T E R F O U R L E A R N I N G T O T E A C H M A T H E M A T I C S F O R U N D E R S T A N D I N G : T H E C A S E O F J A C K I E Y A R N E l . 1 . 8 5 I n t r o d u c t i o n t o J a c k i e 8 6 J a c k i e ' s E x p e r i e n c e s w i t h M a t h e m a t i c s 8 6 J a c k i e ' s E x p e r i e n c e a s a T e a c h e r o f M a t h e m a t i c s 8 6 J a c k i e ' s E x p e r i e n c e a s a S t u d e n t o f M a t h e m a t i c s - 8 9 J a c k i e ' s S c h o o l C o n t e x t - . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 0 W h a t J a c k i e B r o u g h t t o H e r U s e o f t h e T e x t b o o k . . . . . 9 1 J a c k i e ' s I d e a s a b o u t M a t h e m a t i c s . . . . . 9 1 J a c k i e ' s I d e a s a b o u t S t u d e n t s ' L e a m i n g o f M a t h e m a t i c s 9 2 J a c k i e ' s I d e a s a b o u t T e a c h i n g M a t h e m a t i c s 9 3 J a c k i e ' s I d e a s a b o u t R e f o r m s i n M a t h e m a t i c s E d u c a t i o n a n d t h e H 8 ] T e x t b o o k . . . . . . . . . 9 4 J a c k i e a n d t h e H E ] T e x t b o o k : D a s h e d H o p e s 9 5 J a c k i e ' s V i s i o n o f G o o d M a t h e m a t i c s T e a c h i n g 9 6 F o l l o w i n g I d e a s , I n v e n t i n g T a s k s 9 9 L e s s o n S t r u c t u r e 9 9 S t u d e n t ' s R o l e 1 0 0 F o l l o w i n g t h e T e x t o r F o l l o w i n g S t u d e n t s 1 0 5 F o l l o w i n g t h e T e x t - - 1 0 5 F o l l o w i n g t h e M a t h e m a t i c s . . . . . . . 1 0 6 F o l l o w i n g t h e S t u d e n t s 1 0 7 F r a c t i o n s : M o v i n g A w a y f r o m t h e T e x t , A g a i n 1 1 2 M a n a g i n g t h e T e n s i o n B e t w e e n F o l l o w i n g S t u d e n t s a n d F o l l o w i n g t h e T e x t 1 1 6 J a c k i e ' s O r i e n t a t i o n t o T e a c h i n g a n d T e x t b o o k U s e : C u r r i c u l u m I m p r o v i s a t i o n . . . . . . 1 1 6 J a c k i e ' s S t a r t i n g P l a c e : U n d e r l y i n g I d e a s 1 1 7 C u r r i c u l u m I n t e r p r e t a t i o n a n d C o n s t r u c t i o n . . . . . . 1 1 8 C u r r i c u l u m A d a p t a t i o n . . . . . . 1 1 9 J a c k i e ' s O r i e n t a t i o n t o T e x t b o o k U s e a n d O p p o r t u n i t i e s t o L e a r n . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2 3 E s t i m a t i o n : M i s s e d O p p o r t u n i t y t o L e a r n f r o m t h e T e x t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2 4 p o r t u n i t i e s t o L e a r n f r o m T e a c h i n g 1 2 5 O r i e n t a t i o n o f t h e T e x t a n d O p p o r t u n i t i e s f o r J a c k i e t o L e a r n . . . . . . . . . . . 1 3 3 O t h e r I n fl u e n t i a l F a c t o r s : A C o n t e x t o f S u p p o r t . . . . . . - . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 3 3 C o l l e g i a l S u p p o r t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 3 4 C u r r i c u l a r F l e x i b i l i t y . - - . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 3 4 L e a r n i n g t o I m p r o v i s e a n d t h e R o l e o f t h e T e x t b o o k : I s s u e s R a i s e d b y J a c k i e ' s C a s e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 3 5 x i i C H A P T E R F I V E H E L P I N G S T U D E N T S B E S U C C E S S F U L : T H E C A S E O F C A T H E R I N E M C K E E N - . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 3 7 I n t r o d u c t i o n t o C a t h e r i n e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 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. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 4 1 W h a t C a t h e r i n e B r o u g h t t o h e r T e a c h i n g o f M a t h e m a t i c s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 4 2 C a t h e r i n e ' s I d e a s a b o u t M a t h e m a t i c s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 4 2 C a t h e r i n e ' s I d e a s a b o u t S t u d e n t s ' L e a r n i n g o f M a t h . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 4 4 C a t h e r i n e ' s I d e a s a b o u t T e a c h i n g . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 4 5 C a t h e r i n e ' s V i e w s o f t h e R e f o r m s i n M a t h e m a t i c s E d u c a t i o n a n d T h e H B J T e x t b o o k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 4 6 C a t h e r i n e a n d t h e H B J T e x t b o o k : A G r a d u a l J o u r n e y t h r o u g h N e w T e r r a i n 1 4 9 E m b r a c i n g N e w I d e a s W h i l e M a i n t a i n i n g O l d . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 4 9 T e a c h i n g C o m p u t a t i o n a n d N o n c o m p u t a t i o n a l S k i l l s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 5 0 P r o b l e m o f t h e D a y : T r y i n g S o m e t h i n g N e w . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 5 7 F o l l o w i n g t h e T e x t t o T e a c h N o n c o m p u t a t i o n a l T o p i c s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 6 3 M i x i n g t h e O l d a n d t h e N e w a n d T e a c h e r C h a n g e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 7 4 C a t h e r i n e ' s O r i e n t a t i o n t o M a t h e m a t i c s T e a c h i n g a n d U s i n g t h e H B J T e x t b o o k : C a t h e r i n e ' s L a r g e r A g e n d a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 7 5 T h e T e a c h e r ' s R o l e a s A d v o c a t e o f S t u d e n t s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 7 6 C a t h e r i n e ' s R o l e a s I m p l e m e n t o r o f t h e T e x t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 7 7 C o m p e t i n g A g e n d a s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 7 7 E f f e c t s o f C o m p e t i n g O r i e n t a t i o n s o n C a t h e r i n e ' s P r a c t i c e : S i t e s f o r L e a r n i n g . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 7 8 P r o b l e m S o l v i n g . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 7 9 D e v e 1 0 p i n g S t u d e n t U n d e r s t a n d i n g . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 8 6 C o m p u t a t i o n a l P r o c e s s e s : A D o m a i n U n t o u c h e d . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 0 3 C o n t e x t u a l S u p p o r t : O p p o r t u n i t i e s f o r E x p e r i m e n t a t i o n , R e fl e c t i o n , a n d C o n v e r s a t i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 0 4 O p p o r t u n i t i e s f o r E x p e r i m e n t a t i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 0 5 O p p o r t u n i t i e s f o r C o n v e r s a t i o n a n d R e fl e c t i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 0 7 T e x t b o o k s a s T o o l s f o r T e a c h e r s L e a r n i n g : I s s u e s R a i s e d b y C a t h e r i n e ' s C a s e . . . . . . . . . 2 0 8 x i i i C H A P T E R S D ( C U R R I C U L U M D E V E L O P M E N T , T E A C H E R D E V E L O P M E N T , A N D T H E T E X T B O O K : A C R O S S - C A S E A N A L Y S I S 2 1 0 T h e T e a c h e r ' s R o l e i n C u r r i c u l u m D e v e l o p m e n t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1 3 T a s k S e l e c t i o n i n t h e D e s i g n A r e n a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1 6 T w o A p p r o a c h e s t o T a s k S e l e c t i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1 6 D i f f e r e n t A p p r o a c h e s t o T a s k S e l e c t i o n : D i f f e r e n t R e a d i n g s o f t h e T e x t b o o k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2 0 F a c t o r s T h a t S h a p e d t h e T e a c h e r s ' R e a d i n g s o f t h e T e x t b o o k . . . . . . . . . . . . 2 2 2 T h e T e a c h i n g C o n t e x t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2 6 T a s k S e l e c t i o n a n d t h e R o l e o f t h e T e x t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2 7 T a s k E n a c t m e n t a n d A d a p t a t i o n i n t h e C o n s t r u c t i o n A r e n a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2 9 T a s k A d a p t a t i o n a n d t h e R e f o r m C o n t e x t . . . . . . . . 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. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 4 8 T h e R o l e o f t h e C u r r i c u l u m i n T e a c h e r D e v e l o p m e n t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 5 0 T e a c h e r D e v e l o p m e n t i n t h e D e s i g n A r e n a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 5 2 A p p r o p r i a t i o n a n d I n v e n t i o n a s S i t e s f o r L e a r n i n g . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 5 2 L e a r n i n g f r o m T a s k S e l e c t i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 5 4 L e a r n i n g i n t h e C o n s t r u c t i o n A r e n a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 5 9 T a s k A d a p t a t i o n a s a S i t e f o r L e a r n i n g . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 5 9 L e a r n i n g f r o m T a s k A d a p t a t i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 6 3 T e a c h e r D e v e l o p m e n t i n t h e M a p p i n g A r e n a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 6 3 T e a c h e r D e v e l o p m e n t a n d t h e T e x t b o o k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 6 5 T h e R o l e o f t h e T e x t b o o k i n D e v e l o p i n g C u r r i c u l u m a n d T e a c h e r s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 6 6 x i v C H A P T E R S E V E N C O N C L U S I O N : A N E W R O L E F O R T E X T B O O K S 2 6 8 C u r r i c u l u m D e v e l o p m e n t , T e a c h e r D e v e l o p m e n t , a n d t h e T e x t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 6 9 P e r s p e c t i v e s o n T e a c h e r s ' C u r r i c u l u m D e v e l o p m e n t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 7 0 A S h a r p e r V i e w o f T e x t b o o k U s e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 7 0 T h e N a t u r e o f t h e C o n s t r u c t i o n A r e n a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 7 3 T h e I m p o r t a n c e o f R e a d i n g . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 7 4 T h e P o t e n t i a l a n d L i m i t s o f T e x t b o o k s i n C u r r i c u l u m D e v e l o p m e n t . . . . . . . . . . . . 2 7 5 W h a t T e x t b o o k s H a v e t h e P o t e n t i a l t o D o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 7 6 L i m i t s o f t h e P o w e r o f T e x t b o o k s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 7 8 T h e P o t e n t i a l f o r C h a n g e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 8 4 I m p l i c a t i o n s f o r W r i t e r s a n d U s e r s o f R e f o r m - O r i e n t e d T e x t b o o k s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 8 5 T e x t b o o k s t h a t F o s t e r T e a c h e r s ' C u r r i c u l u m D e v e l o p m e n t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 8 6 W h o T e x t b o o k s A r e F o r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 8 8 W h a t T e x t b o o k s O f f e r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 8 9 H o w T e x t b o o k W r i t e r s C o m m u n i c a t e w i t h T e a c h e r s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 9 5 W e i g h i n g t h e P o s s i b i l i t i e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 9 6 I m p l i c a t i o n s f o r R e f o r m - O r i e n t e d T e x t b o o k s a n d T e x t b o o k W r i t e r s . . . . . . . . . 2 9 6 I m p l i c a t i o n s f o r W r i t e r s o f T e x t b o o k s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 9 7 R e t h i n k i n g t h e M e d i u m o f R e f o r m - O r i e n t e d C u r r i c u l u m M a t e r i a l s 2 9 9 L i m i t s o f C h a n g e d T e x t b o o k s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 0 0 I m p l i c a t i o n s f o r T e a c h e r E d u c a t i o n a n d P r o f e s s i o n a l D e v e l o p m e n t . . . . . . . . . . . . . . 3 0 1 C u l t i v a t i n g R e a d i n g a n d D e c i s i o n M a k i n g . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 0 2 D e e p e n i n g a n d B r o a d e n i n g M a t h e m a t i c a l K n o w l e d g e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 0 7 L e a r n i n g A b o u t t h e C u r r i c u l u m D e v e l o p m e n t I n d u s t r y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 0 8 I m p l i c a t i o n s f o r t h e C o n t e x t o f T e a c h i n g . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1 1 T h e T e x t b o o k I n d u s t r y a n d t h e C h a l l e n g e o f C h a n g e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1 2 T h e T e x t b o o k a s a n I n s t i t u t i o n i n A m e r i c a n C u l t u r e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1 2 T e x t s a s M a r k e t I t e m s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1 3 C o n c e p t i o n s o f T h e R o l e o f T e x t b o o k s i n T e a c h i n g . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1 4 F a c i n g t h e C h a l l e n g e o f C h a n g e : P u s h i n g t h e M a r k e t F o r w a r d . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1 5 X V A P P E N D I X A S A M P L E I N T E R V I E W S A P P E N D D ‘ B O B S E R V A T I O N I N S T R U M E N T A P P E N D D ( C H B J T E X T S A M P L E C H A P T E R A P P E N D I X D E X A M P L E P A G E F R O M P R O B L E M O F T H E D A Y S E C T I O N , H B J T E X T . . . . . . . . . . . L I S T O F R E F E R E N C E S x v i 3 1 8 3 3 0 3 3 3 3 5 7 3 5 8 L I S T O F T A B L E S T a b l e 3 . 1 N u m b e r o f L e s s o n s D e v o t e d t o E x p l o r a t i o n i n e a c h C h a p t e r - - - - 6 2 T a b l e 3 . 2 O v e r v i e w o f C o n t e n t s o f E a c h C h a p t e r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 3 T a b l e 4 . 1 S u m m a r y o f O b s e r v e d L e s s o n s T a u g h t b y J a c k i e Y a m e l l . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 0 2 T a b l e 4 . 2 J a c k i e ' s U s e o f t h e T e x t b o o k : F a l l 1 9 9 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - - - - . 1 1 0 T a b l e 4 . 3 J a c k i e ' s U s e o f t h e T e x t b o o k : S p r i n g 1 9 9 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 3 T a b l e 5 . 1 S u m m a r y o f O b s e r v e d L e s s o n s T a u g h t b y C a t h e r i n e M c K e e n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 5 8 T a b l e 5 . 2 S u m m a r y o f T o o l s a n d R e s o u r c e s u s e d i n C a t h e r i n e ' s F a l l a n d W i n t e r L e s s o n s - - - . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 6 7 T a b l e 5 . 3 S u m m a r y o f S t r u c t u r e a n d F o r m a t o f C a t h e r i n e ' s F a l l L e s s o n s - . . . . . 1 6 8 T a b l e 5 . 4 S u m m a r y o f S t r u c t u r e a n d F o r m a t o f C a t h e r i n e ' s W i n t e r L e s s o n s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 6 9 T a b l e 5 . 5 G e n e r a l P a t t e r n s i n S t r u c t u r e a n d F o r m a t o f C a t h e r i n e ' s F a l l a n d W i n t e r L e s s o n s . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 7 0 T a b l e 5 . 6 S u m m a r y o f T o o l s a n d R e s o u r c e s u s e d i n C a t h e r i n e ' s S p r i n g L e s s o n s . . . . . . . . . . . . . . . . 1 9 4 T a b l e 5 . 7 S u m m a r y o f S t r u c t u r e a n d F o r m a t o f C a t h e r i n e ' s S p r i n g L e s s o n s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 9 7 T a b l e 5 . 8 G e n e r a l P a t t e r n s i n S t r u c t u r e a n d F o r m a t o f C a t h e r i n e ' s S p r i n g L e s s o n s . . . . . . . . . . . . 1 9 9 T a b l e 5 . 9 P a t t e r n s i n I n s t r u c t i o n a n d F o r m a t o f C a t h e r i n e ' s L e s s o n s O b s e r v e d A c r o s s t h e Y e a r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 9 6 T a b l e 6 . 1 I n s t a n c e s o f A d a p t a t i o n i n J a c k i e ' s O b s e r v e d L e s s o n s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 3 7 T a b l e 6 . 2 I n s t a n c e s o f A d a p t a t i o n i n C a t h e r i n e ' s O b s e r v e d L e s s o n s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 3 8 T a b l e 6 . 3 C a t h e r i n e ' s a n d J a c k i e ' s L e a r n i n g i n t h e T a s k S e l e c t i o n A r e n a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 5 3 T a b l e 6 . 4 C a t h e r i n e ' s a n d J a c k i e ' s L e a r n i n g i n t h e T a s k E n a c t m e n t A r e n a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 6 0 x v i i i L I S T O F F I G U R E S F i g u r e 1 . 1 . T e a c h e r , t e x t b o o k s , c u r r i c u l u m r e l a t i o n s h i p . . . . . . . 4 F i g u r e 1 . 2 I n s t r u c t i o n a l p r a c t i c e s r e c o m m e n d e d f o r i n c r e a s e d a n d d e c r e a s e d e m p h a s i s . . . 8 F i g u r e 2 . 1 S u m m a r y o f R o u n d s o f D a t a C o l l e c t i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1 F i g u r e 3 . 1 S t e p s o f t h e p r o b l e m s o l v i n g p l a n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 7 F i g u r e 3 . 2 P r o b l e m - s o l v i n g s t r a t e g i e s a n d s k i l l s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 8 F i g u r e 3 . 3 E x a m p l e s t o r y p r o b l e m s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 9 F i g u r e 4 . 1 J a r e d ' s r e p r e s e n t a t i o n o f 1 , 4 0 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 8 F i g u r e 4 . 2 P l a c e - v a l u e m a t s h o w i n g o n e o f R a n d y ' s r e p r e s e n t a t i o n s o f 2 4 , 0 0 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 0 8 F i g u r e 4 . 3 T h e O c t o b e r 1 5 t h p r o b l e m o f t h e d a y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2 0 F i g u r e 5 . 1 H B J t e a c h e r s g u i d e , l e s s o n 4 . 6 , p p . 1 2 0 - 1 2 1 . . . . . . . . . . . . . . - - 1 5 5 F i g u r e 5 . 2 M a n i p u l a t i v e - b a s e d d i v i s i o n a c t i v i t y u s e d b y C a t h e r i n e i n F e b r u a r y ; H B J t e a c h e r s g u i d e , l e s s o n 8 . 3 , p p . 2 4 6 . . . . . . . . . . . . . . . . 1 8 8 F i g u r e 5 . 3 Q u e s t i o n s f r o m Q u i c k C h e c k , H B J t e a c h e r s g u i d e , p . 3 2 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 9 0 F i g u r e 6 . 1 . C a t h e r i n e ' s A p p r o a c h t o T a s k S e l e c t i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1 8 F i g u r e 6 . 2 J a c k i e ' s a p p r o a c h t o t a s k s e l e c t i o n . . . . . . . - - - . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2 0 F i g u r e 6 . 3 T a s k s e l e c t i o n p r o c e s s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2 3 x i x F i g u r e 6 . 4 T a s k e n a c t m e n t p r o c e s s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 3 2 F i g u r e 6 . 5 . I n t e r a c t i o n b e t w e e n t h e d e s i g n a n d c o n s t r u c t i o n a r e n a s . . . . . . 2 4 1 F i g u r e 6 . 6 . T h e i n t e r r e l a t i o n s h i p s a m o n g t h e t h r e e a r e n a s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 4 4 F i g u r e 6 . 7 . T o p i c d e t e r m i n a t i o n i n c u r r i c u l u m m a p p i n g - . . - 2 4 5 F i g u r e 6 . 8 . C a t h e r i n e ' s c o n t e n t m a p p i n g . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 4 7 F i g u r e 6 . 9 . J a c k i e ' s c o n t e n t m a p p i n g . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 4 8 X X C H A P T E R O N E T H E T E A C H E R , T E X T B O O K , C U R R I C U L U M R E L A T I O N S H I P I n t r o d u c t i o n A T e a c h e r a n d a T e x t L i k e m a n y y o u n g t e a c h e r s e m e r g i n g f r o m c o l l e g e s o f e d u c a t i o n , I b e g a n m y c a r e e r b e l i e v i n g t h a t t e x t b o o k s w e r e a n a r t i f a c t o f t r a d i t i o n . E n t r e n c h e d a n d u n c r e a t i v e , t h e y w e r e e v e r y t h i n g I d i d n o t w a n t m y t e a c h i n g t o b e . T h e 2 2 - y e a r - o l d e n t h u s i a s m t h a t I b r o u g h t t o m y f i r s t t e a c h i n g j o b e n a b l e d m e t o c r e a t e e d u c a t i v e a n d e n g a g i n g e x p e r i e n c e s f o r m y s t u d e n t s w i t h o u t s u c h t e x t s i n a l l s u b j e c t s e x c e p t m a t h e m a t i c s . M a t h s t u m p e d m e . E v e n t h o u g h I w a s w e l l - p r e p a r e d m a t h e m a t i c a l l y , I h a d n e v e r e x p e r i e n c e d m a t h e m a t i c s t e a c h i n g t h a t w a s i n t e l l e c t u a l l y e n g a g i n g . A s a t e a c h e r , I k n e w t h a t t h e r e w e r e i m p o r t a n t i d e a s t o b e l e a r n e d , b u t I d i d n o t k n o w h o w t o s o r t t h e g e n u i n e l y s i g n i fi c a n t f r o m t h o s e t h a t w e r e s i m p l y f a m i l i a r . E v e n t u a l l y , I f o u n d m y w a y t o a n i n n o v a t i v e m a t h e m a t i c s p r o g r a m c a l l e d C o m p r e h e n s i v e S c h o o l M a t h e m a t i c s P r o g r a m ( C S M P ) . E v e n t h o u g h i t w a s a p u b l i s h e d c u r r i c u l u m , i t w a s u n l i k e a n y t e x t b o o k I h a d e v e r s e e n . U s i n g i t h e l p e d m e e n g a g e m y s t u d e n t s i n t h i n k i n g a b o u t c o n c e p t s a n d i d e a s t h a t s e e m e d i m p o r t a n t . I f o l l o w e d t h e s c r i p t e d l e s s o n p l a n s a s c l o s e l y a s I c o u l d a n d w a s p l e a s e d w i t h t h e w a y t h e y h e l p e d m e e s t a b l i s h c o n v e r s a t i o n s a b o u t m a t h p r o b l e m s w i t h m y s t u d e n t s . I l i k e d t h e w a y t h e q u e s t i o n s i t s u g g e s t e d r e q u i r e d t h e m t o t h i n k a b o u t m a t h e m a t i c a l i d e a s , n o t o n l y fi n d a n s w e r s . F r e q u e n t l y , i t s u g g e s t e d t h a t I a s k s t u d e n t s t o e x p l a i n h o w t h e y h a d c o m e t o a p a r t i c u l a r a n s w e r , e v e n i f t h e p r o b l e m h a d b e e n s t r a i g h t f o r w a r d . T h e s e s u g g e s t i o n s s e e m e d i r r e l e v a n t , s o I d i s c a r d e d t h e m . 2 C S M P a l s o r e q u i r e d m e t o t h i n k a b o u t m a t h e m a t i c a l i d e a s . T h e v i s u a l r e p r e s e n t a t i o n s w r i t e r s u s e d t o i l l u s t r a t e v a r i o u s m a t h e m a t i c a l r e l a t i o n s h i p s h e l p e d m e s e e t h e s e i d e a s d i f f e r e n t l y . T h r o u g h u s i n g t h e m , I b e g a n t o t h i n k a b o u t n u m b e r s , f u n c t i o n s , a n d o p e r a t i o n s m o r e c o n c e p t u a l l y , t h a t i s , a s b i g i d e a s t h a t h e l d a l o t o f p r o c e d u r e s t o g e t h e r . I w a n t e d m y s t u d e n t s t o s e e t h e s a m e t h i n g s . W i t h t h e h e l p o f a s u p p o r t i v e p r i n c i p a l , I m a n a g e d t o c o n v i n c e m y c o l l e a g u e s t o a d o p t C S M P a s t h e s c h o o l ' s m a t h e m a t i c s c u r r i c u l u m . E v e n t h o u g h t h e y w e r e w i l l i n g , I w a s p u z z l e d b y t h e l u k e - w a r m r e c e p t i o n t h e y g a v e i t . T h e y w e r e h e s i t a n t t o w h o l e - h e a r t e d l y e m b r a c e t h i s c a r e f u l l y d e s i g n e d p r o g r a m t h a t m e s h e d p e r f e c t l y w i t h t h e s c h o o l ' s p h i l o s o p h y . T h e y w e r e r e l u c t a n t t o e n g a g e t h e m a t h e m a t i c a l i d e a s , a n d i t s e e m e d t h a t t h e y w e r e t o o q u i c k t o i m p o s e s u b s t a n t i a l r e v i s i o n s o n i t s o f f e r i n g s . T e x t s a n d T e a c h i n g : A B r o a d e r P e r s p e c t i v e I l e f t t h e s e c o n c e r n s b e h i n d w h e n I b e g a n d o c t o r a l s t u d i e s a t M i c h i g a n S t a t e U n i v e r s i t y . I t w a s n o t l o n g b e f o r e t h e y r e a p p e a r e d , a l b e i t i n d i f f e r e n t c l o t h e s . M y w o r k o n t w o r e s e a r c h p r o j e c t s m a d e m e b e l i e v e t h a t m y e x p e r i e n c e s w i t h C S M P w e r e n o t i d i o s y n c r a t i c b u t e x a m p l e s o f s i g n i f i c a n t i s s u e s r e l a t e d t o t e a c h i n g a n d e d u c a t i o n a l r e f o r m . T h e fi r s t p r o j e c t e n t a i l e d a n a l y z i n g t h r e e a l t e r n a t i v e e l e m e n t a r y m a t h e m a t i c s t e a c h e r ' s g u i d e s ( o n e o f w h i c h w a s C S M P ) l o o k i n g a t t h e i r p o t e n t i a l f o r f o s t e r i n g c r i t i c a l t h i n k i n g ; I f o u n d t h e y h a d q u i t e a b i t . I n v e r y d i f f e r e n t w a y s , e a c h o f t h e t h r e e p r o g r a m s w a s d e s i g n e d t o e n g a g e s t u d e n t s i n e x p l o r i n g a n d t h i n k i n g a b o u t i m p o r t a n t m a t h e m a t i c a l i d e a s ( s e e R e m i l l a r d , 1 9 9 1 a , 1 9 9 1 b ) . H o w e v e r , w h a t I w a s l e a r n i n g f r o m t h e s e c o n d p r o j e c t r a i s e d d o u b t s a b o u t t h e i r l i k e l y i m p a c t . T h e p r o j e c t i n v o l v e d o b s e r v i n g a n d i n t e r v i e w i n g t e a c h e r s i n a s t u d y o f t h e r e l a t i o n s h i p b e t w e e n a s t a t e - l e v e l p o l i c y a n d c l a s s r o o m p r a c t i c e . O u r fi n d i n g s s u g g e s t e d t h a t t h e r e l a t i o n s h i p w a s l e s s t h a n s t r a i g h t f o r w a r d . T e a c h e r s m a d e s e n s e o f t h e p o l i c y a n d t h e i r n e w t e x t b o o k s d i f f e r e n t l y a s a r e s u l t o f t h e i r v i e w s o n t e a c h i n g a n d l e a r n i n g m a t h ( s e e C o h e n e t a l . , 3 1 9 9 0 ) . A s a r e s u l t , t h e y s o m e t i m e s o m i t t e d o r a l t e r e d w h a t s e e m e d t o b e t h e b e s t p a r t s o f t h e i r t e x t s . M y g r a d u a t e s t u d i e s a l s o p u t m a t h e m a t i c s a n d m y f o r m e r c o l l e a g u e s ' d i s c o m f o r t w i t h i t i n a d i f f e r e n t l i g h t . E v e n t h o u g h m y v i e w o f i t w a s e x p a n d i n g , I b e c a m e m o r e c o g n i z a n t t h a t m o s t p e o p l e v i e w m a t h a s a d r y s u b j e c t , d r i v e n b y r u l e s r a t h e r t h a n r e a s o n . T h i s v i e w w a s p e r p e t u a t e d b y s c h o o l p r a c t i c e s t h a t f o c u s o n r o t e m e m o r i z a t i o n a n d d r i l l . F o r m a n y , t h e s e r u l e s a r e d a u n t i n g . T e a c h e r s w h o h a v e l e a r n e d t h i s v e r s i o n o f m a t h o f t e n fi n d i t i n t i m i d a t i n g a n d g e n e r a l l y a r e n o t i n t e r e s t e d i n g i v i n g i t a s e c o n d l o o k . T h e s e n e w p e r s p e c t i v e s h e l p e d m e t o u n d e r s t a n d m y e a r l i e r e x p e r i e n c e i n a b r o a d e r c o n t e x t , b u t t h e y a l s o p r o m p t e d a s m a n y q u e s t i o n s a s a n s w e r s . T e x t b o o k s c a n b e a n i n fl u e n t i a l f a c t o r i n t e a c h e r s ' l e a r n i n g a n d t e a c h i n g , b u t n o t i n e v e r y s i t u a t i o n , n o t w i t h e v e r y t e x t b o o k , n o r w i t h e v e r y t e a c h e r . I n w h a t w a y s a n d u n d e r w h a t c i r c u m s t a n c e s c a n t e x t b o o k s h e l p t e a c h e r s l e a r n t o t e a c h d i f f e r e n t l y ? T h i s q u e s t i o n i s p a r t i c u l a r l y r e l e v a n t g i v e n t h e c u r r e n t r e f o r m e f f o r t s i n m a t h e m a t i c s e d u c a t i o n . T e a c h e r s a r e a s k e d t o t e a c h m a t h e m a t i c s i n n e w w a y s - i n w a y s t h e y h a v e n e v e r e x p e r i e n c e d a s s t u d e n t s o r t e a c h e r s ( C o h e n , 1 9 8 9 ) . A s i n p r e v i o u s p e r i o d s o f e d u c a t i o n a l r e f o r m , p o l i c y m a k e r s , r e f o r m e r s , a n d t e a c h e r s v i e w c h a n g e d t e x t b o o k s a s p r i m a r y v e h i c l e s t o g u i d e t h e i r e f f o r t s ( T y s o n - B e r n s t e i n & W o o d w a r d , 1 9 9 1 ) . U n d e r l y i n g t h i s f a i t h i n t e x t b o o k s i s a n a s s u m p t i o n a b o u t t h e r e l a t i o n s h i p b e t w e e n t e x t s a n d t e a c h i n g t h a t I e x p l o r e d i n t h i s s t u d y . A s a t e a c h e r w h o s e t e a c h i n g a n d l e a r n i n g w e r e i n fl u e n c e d b y a n a l t e r n a t i v e t e x t b o o k a n d h a v i n g a s e n s e o f t h e r i c h n e s s s u c h t e x t s c o u l d o f f e r , I b e l i e v e d t h a t c h a n g e d t e x t b o o k s m i g h t h a v e a r o l e i n r e f o r m i n m a t h e m a t i c s e d u c a t i o n . H o w e v e r , s e e i n g t h a t t e a c h e r s ' u s e s o f t e x t s w e r e s h a p e d b y m y r i a d f a c t o r s , I r e a l i z e d t h a t d e t e r m i n i n g w h a t t h a t r o l e m i g h t b e w o u l d r e q u i r e a b e t t e r u n d e r s t a n d i n g o f t h e r e l a t i o n s h i p b e t w e e n t e x t s , t e a c h e r s , a n d t h e i r t e a c h i n g . I e x a m i n e d t h i s r e l a t i o n s h i p b y s t u d y i n g h o w t w o t e a c h e r s i n t e r a c t e d w i t h a c h a n g e d t e x t b o o k i n t h e p r o c e s s o f t e a c h i n g m a t h e m a t i c s . T h e t e a c h e r s , J a c k i e Y a r n e l l 4 a n d C a t h e r i n e M c K e e n , t a u g h t f o u r t h g r a d e i n a s c h o o l d i s t r i c t i n M i c h i g a n t h a t h a d j u s t a d o p t e d a n e w m a t h e m a t i c s t e x t b o o k , M a t h e m a t i c s P l u s . p u b l i s h e d b y H a r c o u r t B r a c e J o v a n o v i c h ( H B J ) i n 1 9 9 2 . T e a c h e r s , T e x t s , a n d C u r r i c u l u m : F r a m i n g t h e S t u d y C o n s i d e r i n g t h e r o l e t h a t c h a n g e d t e x t b o o k s m i g h t p l a y i n e d u c a t i o n a l r e f o r m r e q u i r e s m o r e t h a n s t u d y i n g t h e t e a c h e r - t e x t r e l a t i o n s h i p . H o w t e a c h e r s u s e t e x t b o o k s i s o n l y o n e f a c t o r t h a t i n fl u e n c e s p r a c t i c e ( S o s n i a k 8 : S t o d o l s k y , 1 9 9 3 ) . T h u s , i n t h i s s t u d y , I f o c u s e d o n t h e t h r e e - w a y r e l a t i o n s h i p a m o n g t h e t e a c h e r , t h e t e x t b o o k , a n d t h e c u r r i c u l u m , i n w h i c h t h e c u r r i c u l u m r e f e r s t o t h e e v e n t s t e a c h e r s a n d s t u d e n t s e x p e r i e n c e i n t h e c l a s s r o o m ( C l a n d i n i n 8 : C o n n e l l y , 1 9 9 2 ) . F i g u r e 1 . 1 i l l u s t r a t e s t h i s r e l a t i o n s h i p a n d p l a c e s i t i n t w o i n fl u e n t i a l c o n t e x t s . T h e fi r s t c o n t e x t i s t h e t e a c h e r ' s i m m e d i a t e t e a c h i n g a n d s c h o o l s e t t i n g , a n d t h e s e c o n d i s t h e c o n t e x t o f r e f o r m i n m a t h e m a t i c s e d u c a t i o n . B o t h c o n t r i b u t e t o t h e i n t e r a c t i o n s a m o n g t h e t e a c h e r , t h e t e x t , a n d t h e c u r r i c u l u m b e i n g c r e a t e d . f V T e a c h e r ‘ — — — > T e x t b o o k \ / ' C u r r i c u l u m H T e a c h i n g a n d S c h o o l C o n t e x t | — J L ' t N a t i o n a l R e f o r m s i n M a t h e m a t i c s E d u c a t i o n | — ) F i g u r e 1 . 1 . T e a c h e r , t e x t b o o k s , c u r r i c u l u m r e l a t i o n s h i p 5 E m b e d d e d i n t h i s t h r e e - w a y r e l a t i o n s h i p a r e s e v e r a l s e t s o f i n t e r a c t i o n s t h a t h a v e b e e n s u b j e c t s o f p r e v i o u s r e s e a r c h . T h e s e fi n d i n g s h a v e i n f o r m e d m y s t u d y . O n e b o d y o f r e s e a r c h , f o r e x a m p l e , f o c u s e s o n t h e t e a c h e r - t e x t r e l a t i o n s h i p , e x p l o r i n g h o w t e a c h e r s i n t e r a c t w i t h a n d u s e t e x t b o o k s . A n o t h e r e x a m i n e s h o w t e a c h e r s c o n s t r u c t c u r r i c u l u m i n t h e i r c l a s s r o o m s , a n d a t h i r d ( r e p r e s e n t e d b y b o t h a r r o w s t h a t p o i n t t o t h e t e a c h e r ) i s o f t e a c h e r l e a r n i n g a n d c h a n g e . R e s e a r c h i n t h i s a r e a i s p a r t i c u l a r l y r e l e v a n t t o t h e r e f o r m c o n t e x t . T h i s r e s e a r c h e x a m i n e s f a c t o r s t h a t c o n t r i b u t e t o c h a n g e i n t e a c h e r s a n d t h e i r - t e a c h i n g , p r o v i d i n g t h e l a r g e r c o n t e x t i n w h i c h t h i s s t u d y r e s i d e d . I n t h i s s t u d y o f t h e r o l e o f a r e f o r m - o r i e n t e d t e x t b o o k i n t e a c h e r s ' p r o c e s s e s o f c u r r i c u l u m c o n s t r u c t i o n i n t h e c o n t e x t o f r e f o r m , I d r e w o n a l l t h r e e a r e a s o f r e s e a r c h . E a c h o n e i s r e v i e w e d b e l o w . F i r s t , h o w e v e r , I d i s c u s s a c r u c i a l e l e m e n t o f t h e c o n t e x t i n w h i c h b o t h t e a c h e r s w e r e w o r k i n g a n d o f t h i s s t u d y : t h e n a t i o n a l r e f o r m s i n m a t h e m a t i c s e d u c a t i o n . T h e R e f o r m C o n t e x t T h e r e f o r m c o n t e x t w a s c r u c i a l t o t h i s s t u d y b e c a u s e i t w a s m o r e t h a n t h e b a c k g r o u n d i n w h i c h t h e s e t e a c h e r s w e r e t e a c h i n g . I t i n fl u e n c e d t h e r e l a t i o n s h i p s a t e v e r y l e v e l , a n d w a s e v i d e n t i n t h e m e s s a g e s t e a c h e r s r e c e i v e d f r o m t h e d i s t r i c t a n d w i t h i n t h e i r s c h o o l a b o u t w h a t w a s i m p o r t a n t i n m a t h . T h e t e x t b o o k t h e t e a c h e r s w e r e u s i n g h a d b e e n r e d e s i g n e d i n r e s p o n s e t o t h e s e c a l l s f o r c h a n g e , a n d a l s o f r a m e d m y c o n c e p t u a l i z a t i o n o f t h i s s t u d y . M y c h o i c e t o e x a m i n e t e a c h e r s ' i n t e r a c t i o n s w i t h a r e f o r m - o r i e n t e d t e x t b o o k i n t h e p r o c e s s o f t e a c h i n g m a t h e m a t i c s w a s m o t i v a t e d b y m y i n t e r e s t i n l e a r n i n g m o r e a b o u t t h e r o l e t e x t b o o k s m i g h t p l a y i n h e l p i n g t e a c h e r s r e s p o n d t o t h e r e f o r m s . T h u s , w h a t t h e s e r e f o r m s r e p r e s e n t p h i l o s o p h i c a l l y , a n d w h a t t h e y s u g g e s t m a t h e m a t i c a l l y a n d p e d a g o g i c a l l y w e r e o f c e n t r a l i n t e r e s t i n t h i s s t u d y . T h r o u g h o u t m y t h e s i s I u s e t h e t e r m s " r e f o r m s " o r " r e f o r m a g e n d a " r e f e r r i n g t o a r a n g e o f e n d e a v o r s t o s t i m u l a t e c h a n g e i n m a t h e m a t i c s c o n t e n t a n d i n s t r u c t i o n . T h e s e e f f o r t s a r e w i d e s p r e a d b u t d o n o t c o m e f r o m o n e s o u r c e , n o r d o t h e y r e fl e c t a s i n g l e 6 p e r s p e c t i v e o n t h e g o a l s o f m a t h e m a t i c s i n s t r u c t i o n o r w h a t i t s h o u l d l o o k l i k e . F u r t h e r m o r e , m o s t n a t i o n a l o r l o c a l d o c u m e n t s o u t l i n i n g n e w c u r r i c u l a r g o a l s a n d p e d a g o g i c a l i d e a l s p r e s e n t a m b i t i o u s v i s i o n s f o r i m p r o v i n g m a t h e m a t i c s e d u c a t i o n , n o t r e c i p e s ( B a l l , 1 9 9 4 ) . T h e C u r r i c u l u m a n d E v a l u a t i o n S t a n d a r d s ( N a t i o n a l C o u n c i l o f T e a c h e r s o f M a t h e m a t i c s ( N C T M ) , 1 9 8 9 ) , t h e m o s t v i s i b l e o f t h e s e , o u t l i n e s a n d d e s c r i b e s a s e t o f t o p i c s t h a t s h o u l d c o m p r i s e t h e m a t h e m a t i c s c u r r i c u l u m a n d a l i s t o f t h e c h a n g e s i n e m p h a s i s t h a t t h e s e n e w g o a l s i m p l y . B e c a u s e o f i t s f o c u s o n t e a c h i n g , t h e P r o f e s s i o n a l S t a n d a r d s f o r T e a c h i n g M a t h e m a t i c s ( N C T M , 1 9 9 1 ) p r o v i d e s a m o r e d e t a i l e d i m a g e o f w h a t c h a n g e d t e a c h i n g m i g h t l o o k l i k e . S t i l l , t h e s e d o c u m e n t s a r e v i s i o n a r y r a t h e r t h a n p r e s c r i p t i v e . T h u s t h e y a r e u n d e r d e t e r m i n e d , a n d b y t h e i r v e r y n a t u r e a r e o p e n t o m u l t i p l e i n t e r p r e t a t i o n s . T e a c h e r s , t e a c h e r e d u c a t o r s , t e x t b o o k p u b l i s h e r s , s c h o o l a d m i n i s t r a t o r s a n d e d u c a t i o n a l r e s e a r c h e r s i n t e r p r e t t h e m e s s a g e s o f s u c h d o c u m e n t s i n t h e p r o c e s s o f d r a w i n g i m p l i c a t i o n s f o r t e a c h i n g f r o m t h e s e v i s i o n s . E v e n t h o u g h t h e m e s s a g e s o f t h e r e f o r m s c a n n o t b e r e d u c e d t o a s i m p l e s e t o f g o a l s o r p h i l o s o p h i e s , i t i s p o s s i b l e t o a r t i c u l a t e g e n e r a l t h e m e s t h a t p e r v a d e m u c h o f t h e r e f o r m r h e t o r i c . I d o s o h e r e i n o r d e r t o p r o v i d e s o m e s e n s e o f t h e r e f o r m c o n t e x t o f t h e s t u d y a n d t o c l a r i f y w h a t I m e a n w h e n r e f e r r i n g t o t h e " r e f o r m s . " I b e g i n w i t h s o m e b a c k g r o u n d . I n 1 9 8 0 , t h e N a t i o n a l C o u n c i l o f T e a c h e r s o f M a t h e m a t i c s p u b l i s h e d A n A g e n d a f o r A c t i o n , c a l l i n g f o r a c h a n g e i n m a t h e m a t i c s e d u c a t i o n t o f o c u s g r e a t e r a t t e n t i o n o n p r o b l e m s o l v i n g a n d l e a r n i n g t o r e a s o n . D u r i n g t h e d e c a d e t o f o l l o w , m y r i a d s t a t e a n d n a t i o n a l r e f o r m e f f o r t s e m e r g e d . A i m e d a t c r e a t i n g a v i s i o n f o r m a t h e m a t i c s i n s t r u c t i o n t h a t e n h a n c e s s t u d e n t s ' u n d e r s t a n d i n g s o f u n d e r l y i n g m a t h e m a t i c a l c o n c e p t s a n d d e v e l o p s t h e i r p r o b l e m s o l v i n g , r e a s o n i n g , a n d c o m m u n i c a t i o n a b i l i t i e s , t h e s e e f f o r t s t a r g e t e d t h e c o n t e n t a n d p e d a g o g y o f m a t h e m a t i c s i n s t r u c t i o n . T h e s t a t e o f C a l i f o r n i a , f o r e x a m p l e , l a u n c h e d a m a j o r e f f o r t i n t h e m i d 1 9 8 0 5 t o r e s h a p e h o w a n d w h a t m a t h e m a t i c s w e r e t a u g h t ( C a l i f o r n i a S t a t e B o a r d o f E d u c a t i o n , 1 9 8 5 ) . T h e e f f o r t s i n 7 M i c h i g a n h a v e b e e n d e c i d e d l y l e s s c o m p r e h e n s i v e o r c e n t r a l l y c o n t r o l l e d . S t i l l , i n t h e l a t e 1 9 8 0 5 , t h e s t a t e p r o d u c e d n e w g o a l s a n d o b j e c t i v e s , r e w r i t i n g t h e m a t h e m a t i c s s t a t e a s s e s s m e n t t e s t t o b e m o r e i n l i n e w i t h t h e s e g o a l s . A l m o s t 1 0 y e a r s l a t e r , t h e N C T M p u b l i s h e d t h e C u r r i c u l u m a n d E v a l u a t i o n S t a n d a r d s ( i n 1 9 8 9 ) , t h u s p r o v i d i n g t h e s p a r k t h a t b o o s t e d t h e s e e f f o r t s i n t o p u b l i c a t t e n t i o n . T h e s e d o c u m e n t s , p a r t i c u l a r l y t h e C u r r i c u l u m S t a n d a r d s p l a y e d p i v o t a l r o l e s i n t h e r e f o r m s . T h e S t a n d a r d s h a v e h a d a s i g n i fi c a n t i n fl u e n c e o n m a t h e m a t i c s e d u c a t i o n . T h e y a r e t h e m o s t v i s i b l e a n d f r e q u e n t l y c i t e d r e p r e s e n t a t i v e s o f t h e c a l l s f o r c h a n g e ; f o r m a n y , t h e y r e p r e s e n t t h e r e f o r m a g e n d a . T h e a i m o f t h e C u r r i c u l u m S t a n d a r d s ( N C T M , 1 9 8 9 ) w a s t o e s t a b l i s h s t a n d a r d s f o r t h e r e v i s i o n o f t h e m a t h e m a t i c s c u r r i c u l u m , t h u s f o c u s i n g o n d e v e l o p i n g s t u d e n t s w h o a r e " m a t h e m a t i c a l l y l i t e r a t e " ( p . 1 ) a n d w h o h a v e " m a t h e m a t i c a l p o w e r " ( p . 5 ) . T h i s f o c u s i n c l u d e s b e i n g a b l e t o e s t a b l i s h , r e a s o n a b o u t , a n d s o l v e p r o b l e m s , a s w e l l a s t o e x p l o r e , c o n j e c t u r e , a n d r e a s o n l o g i c a l l y . I n o r d e r t o a c c o m p l i s h t h e s e g o a l s , t h e a u t h o r s c a l l f o r s h i f t s i n t h e t r a d i t i o n a l e m p h a s e s o f t h e m a t h e m a t i c s c u r r i c u l u m . T h e s e g o a l s i n c l u d e i n c r e a s e d e m p h a s i s o n c o n c e p t u a l u n d e r s t a n d i n g a n d m e a n i n g o f t o p i c s r e l a t e d t o n u m b e r , o p e r a t i o n s , a n d c o m p u t a t i o n a s w e l l a s d e c r e a s e d e m p h a s i s o n e a r l y a t t e n t i o n t o s y m b o l i c r e p r e s e n t a t i o n s , i s o l a t e d t r e a t m e n t o f f a c t s a n d p a p e r - a n d - p e n c i l c o m p u t a t i o n , a n d l o n g d i v i s i o n . T h e y a l s o i n c l u d e i n c r e a s e d e m p h a s i s o n t o p i c s t h a t t r a d i t i o n a l l y h a v e p l a y e d a b a c k g r o u n d r o l e i n t h e e l e m e n t a r y c u r r i c u l u m s u c h a s g e o m e t r y a n d m e a s u r e m e n t , p r o b a b i l i t y a n d s t a t i s t i c s , p a t t e r n s a n d r e l a t i o n s , a n d p r o b l e m s o l v i n g ( i n c l u d i n g s h i f t s i n i n s t r u c t i o n a l p r a c t i c e s ) . R e c o m m e n d e d g o a l s f o r k i n d e r g a r t e n t h r o u g h f o u r t h g r a d e a r e l i s t e d i n F i g u r e 1 . 2 . O v e r a r e l a t i v e l y s h o r t p e r i o d o f t i m e , t h e S t a n d a r d s b e c a m e k n o w n i n s c h o o l s t h r o u g h o u t t h e c o u n t r y . A s m o r e s t a t e s a n d d i s t r i c t s a d o p t e d s o m e f o r m o f t h i s v i s i o n , t h e i m p a c t o f t h e S t a n d a r d s i n c r e a s e d . B y t h e e a r l y 1 9 9 0 5 , t h e s e r e f o r m i d e a s b e g a n t o h a v e a n i m p a c t o n t h e c o m m e r c i a l t e x t b o o k m a r k e t . P r i o r t o t h i s t i m e , n o n c o n v e n t i o n a l I n c r e a s e d A t t e n t i o n D e c r e a s e d A t t e n t i o n U s e o f m a n i p u l a t i v e m a t e r i a l s R o t e p r a c t i c e C o o p e r a t i v e w o r k R o t e m e m o r i z a t i o n o f r u l e s D i s c u s s i o n o f m a t h e m a t i c s O n e a n s w e r a n d o n e m e t h o d Q u e s t i o n i n g U s e o f w o r k s h e e t s J u s t i fi c a t i o n o f t h i n k i n g W r i t t e n p r a c t i c e W r i t i n g a b o u t m a t h e m a t i c s T e a c h i n g b y t e l l i n g P r o b l e m - s o l v i n g a p p r o a c h t o i n s t r u c t i o n C o n t e n t i n t e g r a t i o n U s e o f c a l c u l a t o r s a n d c o m p u t e r s ( N C I ‘ M , 1 9 8 9 , p p . 2 3 , 2 1 ) F i g u r e 1 . 2 I n s t r u c t i o n a l p r a c t i c e s r e c o m m e n d e d F o r i n c r e a s e d a n d d e c r e a s e d e m p h a s i s a p p r o a c h e s t o m a t h e m a t i c s i n s t r u c t i o n w e r e s e l d o m f o u n d i n m a i n s t r e a m , c o m m e r c i a l t e x t b o o k s ; c u r r i c u l u m r e s o u r c e s t h a t o f f e r e d i n n o v a t i v e m a t e r i a l s s u c h a s C S M P r e m a i n e d i n t h e s m a l l e r , l e s s p r o fi t a b l e , a l t e r n a t i v e m a r k e t . A s t h e i n fl u e n c e o f t h e r e f o r m a g e n d a i n c r e a s e d , t h o s e s e l e c t i n g t e x t b o o k s b e g a n t o l o o k f o r t r a c e s o f t h e s e n e w g o a l s . I n r e s p o n s e t o t h e s e m a r k e t d e m a n d s , t h e fi v e m a j o r t e x t b o o k p u b l i s h e r s p r o d u c e d r e v i s e d m a t h e m a t i c s t e x t s , w h i c h r e p r e s e n t e d a s m a l l s t e p a w a y f r o m t r a d i t i o n a l a p p r o a c h e s t o t e a c h i n g m a t h e m a t i c s . A l l c l a i m e d t o d r a w u p o n t h e N C T M C u r r i c u l u m a n d E v a l u a t i o n S t a n d a r d s . E v e n t h o u g h t h e e x t e n t t o w h i c h t h e y a r e r e s p o n s i v e t o t h e r e f o r m s i s o p e n f o r d e b a t e , a t t h e v e r y l e a s t t h e y a l l r e fl e c t a t t e m p t s t o t a k e m a t h e m a t i c s b e y o n d t h e m e m o r i z a t i o n o f i s o l a t e d r u l e s . I n a d d i t i o n t o c o n c e p t u a l d e v e l o p m e n t , t h e y d e v o t e a s u b s t a n t i a l a m o u n t o f s p a c e t o p r o b l e m s o l v i n g , m a t h e m a t i c a l t h i n k i n g , g r o u p w o r k , t h e u s e o f m a n i p u l a t i v e s , a n d a l t e r n a t i v e f o r m s o f a s s e s s m e n t . I n r e s p o n s e , d i s t r i c t s h a v e b e e n q u i c k t o s e l e c t n e w t e x t b o o k s f r o m t h e s e t o h e l p t e a c h e r s i n s t a l l n e w i d e a s i n t o t h e i r t e a c h i n g . I n C h a p t e r 3 , I d e s c r i b e t h e t e x t b o o k t h a t C a t h e r i n e a n d J a c k i e u s e d a n d c r i t i q u e i t s r e s p o n s e t o t h e r e f o r m a g e n d a . 9 T h e R e l a t i o n s h i p B e t w e e n P o l i c y a n d P r a c t i c e a n d I s s u e s o f T e a c h e r C h a n g e M y s t u d y e x i s t s w i t h i n a n d i s a n e x t e n s i o n o f a l a r g e r , l o n g i t u d i n a l s t u d y o n t h e r e l a t i o n s b e t w e e n s t a t e - a n d d i s t r i c t - l e v e l i n s t r u c t i o n a l p o l i c y a n d c l a s s r o o m p r a c t i c e i n C a l i f o r n i a , M i c h i g a n , a n d S o u t h C a r o l i n a . T h e p r o j e c t , E d u c a t i o n a l P o l i c y a n d P r a c t i c e S t u d y ( E P P S ) , w a s c o n c e i v e d i n r e s p o n s e t o t h e a p p e a r a n c e o f a s e r i e s o f n a t i o n a l a n d l o c a l e f f o r t s t o e f f e c t c u r r i c u l a r a n d i n s t r u c t i o n a l c h a n g e i n K — 1 2 c l a s s r o o m s . O u r r e s e a r c h f o c u s e d o n t e a c h e r s ' a n d d i s t r i c t - a n d s t a t e - l e v e l p o l i c y m a k e r s ' e x p e r i e n c e s w i t h , a n d t h i n k i n g a b o u t , s t a t e m a t h e m a t i c s a n d l i t e r a c y p o l i c i e s a n d t h e i r i m p a c t o n p r a c t i c e . A c e n t r a l a s s u m p t i o n o f t h e w o r k w a s t h a t t e a c h e r s ' e n c o u n t e r s w i t h , a n d r e s p o n s e s t o , v a r i o u s m a n i f e s t a t i o n s o f i n s t r u c t i o n a l p o l i c y fi g u r e s i g n i f i c a n t l y i n t h e p o l i c y p r a c t i c e r e l a t i o n s h i p . T h u s , w e e x a m i n e d a w i d e r a n g e o f f a c t o r s r e l e v a n t t o h o w t e a c h e r s i n t e r p r e t a n d r e s p o n d t o p o l i c y , i n c l u d i n g t h e w a y s t h e y e n c o u n t e r i t a n d t h e p e r s o n a l r e s o u r c e s t h e y b r i n g t o i t ( s e e G e i s t , i n p r e p a r a t i o n ; G r a n t , 1 9 9 4 ; J e n n i n g s , 1 9 9 2 ; C o h e n e t a l . , 1 9 9 0 ) . I n M i c h i g a n a n d C a l i f o r n i a , r e v i s e d m a t h e m a t i c s t e x t b o o k s a n d o t h e r c u r r i c u l u m m a t e r i a l s fi g u r e d s i g n i fi c a n t l y i n l o c a l e f f o r t s t o p r o m o t e c h a n g e . E v e n t h o u g h w e c o l l e c t e d g e n e r a l d a t a o n t h e v a r i o u s w a y s t e a c h e r s u s e d t h e m , w e d i d n o t e x a m i n e t e a c h e r s ' r e l a t i o n s h i p s w i t h t h e i r t e x t b o o k s i n d e t a i l . M y s t u d y , t h e n , p l a c e s a m a g n i f y i n g g l a s s i n f r o n t o f o n e a s p e c t o f t h e E P P S w o r k w i t h a n e y e t o w a r d p r o v i d i n g s o m e e x p l a n a t i o n f o r o u r fi n d i n g s w i t h r e s p e c t t o t e a c h e r s ' u s e o f c h a n g e d t e x t s . T h e E P P S w o r k i s s i t u a t e d w i t h i n a l a r g e r b o d y o f w o r k a s w e l l . F o r s o m e t i m e , r e s e a r c h e r s h a v e s t u d i e d a n d w r i t t e n a b o u t t h e r e s i s t a n c e o f s c h o o l s a n d t e a c h e r s t o c h a n g e . N o t i n g p a t t e r n s , t r e n d s , o r c o m m o n a l t i e s a m o n g t e a c h e r s , a s w e l l a s t e a c h i n g p r a c t i c e s a n d s c h o o l o r g a n i z a t i o n s a n d s t r u c t u r e s , t h e y h a v e d e s c r i b e d e s t a b l i s h e d c u l t u r e s t h a t p r e d o m i n a t e i n s c h o o l s a n d i n t o w h i c h n e w p r a c t i c e s m u s t fi t ( C o h e n , 1 9 8 9 ; C u b a n , 1 9 8 4 ; J a c k s o n , 1 9 6 8 ; L o r t i e , 1 9 7 5 ; S a r a s o n , 1 9 8 2 ; W a l l e r , 1 9 3 2 ) . T h e s e c u l t u r e s , o r r e g u l a r i t i e s ( S a r a s o n , 1 9 8 2 ) , f o r m a t y p e o f " i n t e r n a l m o m e n t u m " t h a t b u f f e r s s c h o o l s f r o m e x t e r n a l a t t e m p t s t o a c c o m p l i s h c h a n g e . B y l o o k i n g m o r e d i r e c t l y 1 0 . a t t e a c h e r s a n d t h e n a t u r e o f t h e i r w o r k , t h e s e s c h o l a r s h a v e p o s i t e d t h a t t h e d e m a n d s o f t h e w o r k o f t e a c h e r s s u c h a s i t s i m m e d i a c y , u n c e r t a i n t y , d e p e n d e n c e o n s t u d e n t s , a n d i t s i s o l a t i o n h a v e p e r p e t u a t e d c e r t a i n c h a r a c t e r i s t i c s f o r t h e p u r p o s e s o f s u r v i v a l . T h e s e d e m a n d s h a v e r e s u l t e d i n r e l u c t a n c e t o w a r d t r y i n g n e w p r a c t i c e s . E P P S r e s e a r c h e s h a v e o b s e r v e d m a n y s u c h e l e m e n t s o f s c h o o l s t r u c t u r e s a n d t e a c h e r s ' w o r k t h a t s t i fl e t h e p o s s i b i l i t y o f c h a n g e . W e a l s o f o u n d t h e l a c k o f c h a n g e t o b e a m a t t e r o f o p p o r t u n i t y a n d l e a r n i n g . A s I m e n t i o n e d a b o v e , p o l i c y d o c u m e n t s a r e u n d e r d e t e r m i n e d . T e a c h e r s r e c e i v e m e s s a g e s o f c h a n g e t h r o u g h v a r y i n g m e a n s , a n d t h e m e s s a g e s t h e m s e l v e s m a y v a r y . T h e y a l s o c a n i n t e r p r e t t h e m t h r o u g h t h e i r i d e a s a b o u t t e a c h i n g a n d l e a r n i n g . W e o b s e r v e d m a n y t e a c h e r s w h o h a v e e m b r a c e d c a l l s f o r c h a n g e a n d h a v e c o n t i n u e d t o c r e a t e p r a c t i c e s t h a t l o o k o n l y m i l d l y d i f f e r e n t f r o m w h a t i s s t a n d a r d ( B a l l , 1 9 9 0 ; C o h e n , 1 9 9 0 ) o r m a t h e m a t i c a l l y s h a l l o w ( G e i s t , i n p r e p a r a t i o n ) . W e o b s e r v e d t e a c h e r s e n t h u s i a s t i c a l l y t r y i n g n e w a c t i v i t i e s o n l y t o fi n d t h e m s e l v e s c o n f u s e d b y t h e m a t h e m a t i c s ( H e a t o n , 1 9 9 2 ) o r c o n f r o n t e d w i t h n e w m a n a g e m e n t p r o b l e m s ( P o p p i n k , 1 9 9 4 ) . W e s a w m a n y t e a c h e r s o v e r w h e l m e d b y t h e p r o s p e c t o f a d d i n g n e w t o p i c s a n d a c t i v i t i e s t o t h e i r a l r e a d y f u l l c u r r i c u l a ( G r a n t , 1 9 9 4 ; P e t e r s o n , 1 9 9 0 ) . F i n d i n g s s u g g e s t t h a t , a s i n a c h i e v i n g a n y n e w p u r p o s e , a c c o m p l i s h i n g i n s t r u c t i o n a l c h a n g e w i l l r e q u i r e l e a r n i n g o n t h e p a r t o f e d u c a t o r s ( B a l l , 1 9 9 4 ; C o h e n & B a r n e s , 1 9 9 3 ; S a r a s o n , 1 9 8 2 ) . 1 T h e n e e d f o r n e w l e a r n i n g i s p a r t i c u l a r l y p o i g n a n t i n t h e c a s e o f t h e r e f o r m i n m a t h e m a t i c s e d u c a t i o n b e c a u s e m a n y o f t h e i d e a s o f t h e r e f o r m s a r e f o r e i g n t o t e a c h e r s , a s w e l l a s t h e b u l k o f t h e A m e r i c a n p o p u l a t i o n . T h e r e f o r m s c a l l f o r s h i f t s a w a y f r o m s k i l l s t h a t h a v e b e e n t h e f o u n d a t i o n o f t h e e l e m e n t a r y c u r r i c u l u m a n d g r e a t e r f o c u s o n c o n c e p t u a l u n d e r s t a n d i n g , r e a s o n i n g , p r o b l e m s o l v i n g , a n d c o m m u n i c a t i n g . H a v i n g 1 A c t u a l l y , t e a c h e r s a r e n o t t h e o n l y p a r t i c i p a n t s i n t h e e d u c a t i o n a l p r o c e s s w h o r e q u i r e l e a r n i n g i f t h e c u r r e n t r e f o r m a g e n d a i s t o b e s u c c e s s f u l a n d l o n g - l a s t i n g . T h e l e a r n i n g o f p o l i c y m a k e r s , a d m i n i s t r a t o r s , p a r e n t s , a n d s t u d e n t s c a n p l a y a c r u c i a l r o l e i n m a k i n g o r b r e a k i n g t e a c h e r s ' e f f o r t s t o c h a n g e . 1 1 g r o w n u p i n t h e s a m e e d u c a t i o n a l s y s t e m t h e y a r e n o w b e i n g a s k e d t o c h a n g e , f e w e l e m e n t a r y t e a c h e r s p o s s e s t h e m a t h e m a t i c a l t o o l s o r i m a g e s t o a c c o m p l i s h s u c h s h i f t s i n t h e i r t e a c h i n g ( B a l l , 1 9 9 4 ; C o h e n , 1 9 8 9 ; H e a t o n , 1 9 9 4 ) . Y e t , w e o b s e r v e d l i m i t e d o p p o r t u n i t i e s f o r t e a c h e r s t o l e a r n m a t h e m a t i c s i n t h e w a y e n v i s i o n e d b y t h e N C T M S t a n d a r d s . A s i s t y p i c a l i n e d u c a t i o n , m o s t o f t h e " l e a r n i n g " o p p o r t u n i t i e s a v a i l a b l e t o t e a c h e r s a r e i n t h e f o r m o f w o r k s h o p s t h a t s u p p l y t h e m w i t h a n a r m f u l o f a c t i v i t i e s t o t a k e t o t h e i r c l a s s r o o m s a n d i m p l e m e n t . E v e n t h o u g h t h e s e i n s t a n c e s h a v e n o t h e l p e d t e a c h e r s c o n f r o n t t h e c o n fl i c t s d e s c r i b e d a b o v e , i t i s u n c l e a r w h a t w o u l d a s s i s t t h e m . I n o t h e r w o r d s , t h e r e i s s t i l l a l o t t h a t w e d o n o t k n o w a b o u t t h e t y p e s o f l e a r n i n g a p t t o l e a d t o f u n d a m e n t a l c h a n g e ( B a l l , 1 9 9 4 ) . M y s t u d y g r e w o u t o f t h e s e fi n d i n g s a n d c o n c e r n s . I n c u r r e n t e f f o r t s t o c h a n g e m a t h e m a t i c s i n s t r u c t i o n , a s i n p r e v i o u s o n e s , r e v i s e d t e x t b o o k s a r e e x p e c t e d t o p l a y a c e n t r a l r o l e . I f t h e y a r e t o o f f e r s o m e t h i n g t o e d u c a t i o n a l c h a n g e , t h e s e t e x t s m u s t c o n t r i b u t e t o t e a c h e r s ' l e a r n i n g a n d d e v e l o p m e n t . B r u n e r ( 1 9 7 7 ) s a i d : " I f i t [ n e w c u r r i c u l u m ] c a n n o t c h a n g e , m o v e , p e r t u r b , i n f o r m t e a c h e r s , i t w i l l h a v e n o e f f e c t o n t h o s e w h o m t h e y t e a c h . I t m u s t b e fi r s t a n d f o r e m o s t a c u r r i c u l u m f o r t e a c h e r s . I f i t h a s a n y e f f e c t o n p u p i l s , i t w i l l h a v e i t b y v i r t u e o f h a v i n g h a d a n e f f e c t o n t e a c h e r s " ( p . x v ) . A n i m p o r t a n t q u e s t i o n a b o u t t h e r o l e o f t e x t b o o k s i n m a t h e m a t i c s e d u c a t i o n r e f o r m , t h e n , i s i n w h a t w a y s m i g h t t h e y c o n t r i b u t e t o t e a c h e r s ' l e a r n i n g ? T h e a n s w e r t o t h i s q u e s t i o n d e p e n d s o n l e a r n i n g m o r e a b o u t t e a c h e r s ' l e a r n i n g a n d o n l e a r n i n g m o r e a b o u t h o w t e a c h e r s u s e a n d i n t e r a c t w i t h t e x t b o o k s . T h u s , t h e w o r k o n t e a c h e r s a n d t e x t b o o k s i s a s e c o n d b o d y o f r e s e a r c h t h a t i n f o r m e d m y s t u d y . T h e T e a c h e r - T e x t R e l a t i o n s h i p T h e q u e s t i o n o f 1 1 2 1 ! t e a c h e r s i n t e r a c t w i t h a n d u s e t e x t b o o k s i s r e l a t i v e l y n e w . U n t i l r e c e n t l y , t e x t b o o k s w e r e v i e w e d a s a c c u r a t e r e p r e s e n t a t i o n s o f c l a s s r o o m c u r r i c u l u m . I n f a c t , h i s t o r i c a l s t u d i e s o f s c h o o l c u r r i c u l a h a v e r e l i e d h e a v i l y o n t e x t b o o k s o f t h e p e r i o d t o r e c o n s t r u c t t h e c o n t e n t o f c l a s s r o o m p r a c t i c e ( W a l k e r , 1 9 7 6 ) . I m p l i c i t i n 1 2 t h i s p e r s p e c t i v e i s a v i e w o f t h e t e a c h e r a s a c o n d u i t f o r c u r r i c u l u m , n o t a u s e r o r s h a p e r o f i t . T h i s v i e w i s s t r i k i n g l y e v i d e n t i n t h e c u r r i c u l u m r e f o r m e f f o r t s o f t h e l a t e 1 9 5 0 5 a n d 1 9 6 0 5 t h a t d e v e l o p e d i n r e s p o n s e t o C o l d W a r c o m p e t i t i o n w i t h t h e S o v i e t U n i o n . M a t h e m a t i c i a n s a n d m a t h e m a t i c s e d u c a t o r s w a n t e d t o d e t e r m i n e t h e c h i l d ' s i n s t r u c t i o n a l e x p e r i e n c e s t h r o u g h c o n s t r u c t i o n o f t e x t b o o k s t h a t t h e t e a c h e r w o u l d i m p l e m e n t . T h e a s s u m e d f o c u s o f i n t e r a c t i o n w a s b e t w e e n t h e s t u d e n t a n d t h e m a t e r i a l s . A n a l y s e s o f t e a c h e r s ' e n c o u n t e r s w i t h t h e s e m a t e r i a l s h a v e r a i s e d q u e s t i o n s a b o u t t e a c h e r s ' r o l e s i n m e d i a t i n g t h e i m p a c t t h e s e t e x t b o o k s h a v e o n t h e c u r r i c u l u m . O n l y s i n c e t h e s e c u r r i c u l u m r e f o r m s a n d t h e i r g r o s s o v e r s i g h t r e g a r d i n g t h e r o l e o f t h e t e a c h e r i n e n a c t i n g c u r r i c u l u m h a s t h e t e a c h e r ' s m e d i a t i n g p o w e r b e e n r e c o g n i z e d a n d s t u d i e d . T h e u n d e r l y i n g a s s u m p t i o n s a b o u t t e a c h e r s a n d t h e c a p a c i t y o f t e x t b o o k s t o r e v o l u t i o n i z e c l a s s r o o m i n s t r u c t i o n a n d t h e i r c o n s e q u e n t f a i l u r e t o d o s o h a v e p r o m p t e d c o m m e n t a t o r s s u c h a s S a r a s o n ( 1 9 8 2 ) t o q u e s t i o n t h e p o s s i b i l i t y o f " t e a c h e r - p r o o f " c u r r i c u l u m m a t e r i a l s . S a r a s o n o b s e r v e d t e a c h e r s i n t r a i n i n g w o r k s h o p s a s s t u d e n t s a n d a s t e a c h e r s u s i n g t h e " N e w M a t h " 2 m a t e r i a l s i n t h e i r c l a s s r o o m s . H e f o u n d s t r u g g l e s , t h a t i s , s t u d e n t s a n d t e a c h e r s s t r u g g l i n g t o m a k e s e n s e o f m a t h f o r e i g n t o t h e m . H e p o s i t e d a c l a s h b e t w e e n i d e a l s o f t h e n e w m a t e r i a l s a n d p r o g r a m m a t i c r e g u l a r i t i e s a b o u t w h a t m a t h e m a t i c s i s a n d h o w s t u d e n t s l e a r n i t . H i s a r t i c u l a t i o n o f t h i s c l a s h b r o u g h t t h e r o l e o f t h e t e a c h e r i n t e x t b o o k u s e a n d c u r r i c u l u m r e f o r m t o t h e f o r e . S t a k e a n d E a s l e y ( 1 9 7 8 ) , e x a m i n i n g t h e s t a t e o f s c i e n c e e d u c a t i o n i n t h e 1 9 7 0 5 , p r o d u c e d d e t a i l e d c a s e s t u d i e s o f m a t h e m a t i c s a n d s c i e n c e c l a s s e s u s i n g n e w c u n i c u l u m m a t e r i a l s w i t h s i m i l a r i n s i g h t s . T h e c a s e s t u d i e s d e p i c t t e a c h e r s m a k i n g s i m i l a r a d a p t a t i o n s t o t h e w r i t t e n t e a c h e r ' s g u i d e s t h a t fi t t r a d i t i o n a l n o t i o n s a b o u t t h e t a s k s o f t e a c h i n g a n d t h e n a t u r e o f t h e s u b j e c t m a t t e r . I n t h e i r o b s e r v a t i o n s , S t a k e a n d E a s l e y n e v e r o b s e r v e d m a t h e m a t i c s o r s c i e n c e b e i n g t a u g h t t h r o u g h i n q u i r y w h i c h w a s t h e 2 N e w M a t h i s t h e t e r m m o s t f r e q u e n t l y u s e d i n r e f e r e n c e t o t h e c u r r i c u l u m m a t e r i a l s d e v e l o p e d b y t h e S c h o o l M a t h e m a t i c s S t u d y G r o u p ( S M S G ) . 1 3 c u r r i c u l u m d e v e l o p e r s ' i n t e n t . T h e t e a c h e r s t h e y o b s e r v e d s e e m e d i n t e n t o n " c o v e r i n g t h e t e x t , " b y m a r c h i n g t h e s t u d e n t s r a p i d l y t h r o u g h t h e " i n q u i r y " p r o c e s s a n d p r e s e n t i n g t h e s u b j e c t m a t t e r a s f a c t s t h a t e x p e r t s f o u n d t o b e t r u e . T h e s e s t u d i e s o p e n e d t h e e y e s o f m a n y t o t h e r o l e t h a t t e a c h e r s p l a y i n s h a p i n g t h e c u r r i c u l u m e x p e r i e n c e d b y s t u d e n t s . F o r t h e m o s t p a r t , c l a s s r o o m s a r e n o l o n g e r s e e n a s p l a c e s i n w h i c h t e a c h e r s s i m p l y p a s s c o n t e n t t o s t u d e n t s w h o r e c e i v e i t . O t h e r r e s e a r c h e r s h a v e s i n c e e x a m i n e d t e a c h i n g a n d t e x t b o o k u s e , p r o v i d i n g i n s i g h t i n t o t h e t e a c h e r - t e x t r e l a t i o n s h i p . T h i s r e s e a r c h , h o w e v e r , h a s n o t b e e n e x t e n s i v e . M o r e o v e r , c o n s i d e r a b l e v a r i a t i o n e x i s t s i n t h e p e r s p e c t i v e s a n d f o c i r e s e a r c h e r s h a v e t a k e n , r e s u l t i n g i n i n c o m m e n s u r a b l e fi n d i n g s . I w i l l d i s c u s s t h r e e f o c i t a k e n b y r e s e a r c h e r s i n s t u d i e s o f t e a c h e r s ' u s e o f t e x t s : f a c t o r s t h a t i n fl u e n c e t e x t b o o k u s e , t h e n a t u r e o f t e x t b o o k u s e , a n d t h e c h a r a c t e r i s t i c s o f t e x t s t e a c h e r s u s e . W h a t I n fl u e n c e s T e a c h e r s ' U s e o f T e x t b o o k _ s _ ? O n e f o c u s o f r e s e a r c h o n t e x t b o o k s i s o n f a c t o r s t h a t i n fl u e n c e h o w t e a c h e r s u s e t h e m . R e s e a r c h e r s e x a m i n e t h e p e r c e p t i o n s h e l d b y t e a c h e r s t h a t f i g u r e i n t h e c h o i c e s t h e y m a k e , i n c l u d i n g c o n c e p t i o n s o f k n o w l e d g e , m a t h e m a t i c s , l e a r n i n g , t e a c h i n g , c o n t e x t u a l p r e s s u r e s , a n d t h e t e x t i t s e l f . P e r c e p t i o n s o f e x t e r n a l p r e s s u r e s . T h e C o n t e n t D e t e r m i n a n t s S t u d y , c o n d u c t e d a t t h e I n s t i t u t e f o r R e s e a r c h o n T e a c h i n g ( F l o d e n , P o r t e r , S c h m i d t , F r e e m a n , 8 : S c h w i l l e , 1 9 8 0 ; K u h s & F r e e m a n , 1 9 7 9 ) s u r v e y e d m o r e t h a n 6 0 t e a c h e r s a n d o b s e r v e d a n d i n t e r v i e w e d s e v e n u p p e r e l e m e n t a r y t e a c h e r s o v e r t h e p e r i o d o f a y e a r i n o r d e r t o t r a c e f a c t o r s t h a t i n fl u e n c e d s u b s t a n t i v e e l e m e n t s o f t h e c o n t e n t o f t h e i r m a t h e m a t i c s c u r r i c u l u m , t h a t i s , t h e t o p i c s a n d s k i l l s t a u g h t . T h e y f o u n d t h a t t e a c h e r s ' d e c i s i o n s u l t i m a t e l y d e t e r m i n e d c o n t e n t a n d w e r e s h a p e d b y t h e i r p e r c e p t i o n s o f p r e s s u r e s a n d e x p e c t a t i o n s b r o u g h t o n b y t e s t i n g , p a r e n t s , o r d i s t r i c t p o l i c y , a s w e l l a s b y t h e i r p e r s o n a l i n t e r e s t s , c o m m i t m e n t s , a n d e x p e r t i s e . T h e C o n t e n t D e t e r m i n a n t s S t u d y d i d 1 4 n o t a d d r e s s h o w m a t h e m a t i c s w a s r e p r e s e n t e d o r t h e n a t u r e o f t h e l e a r n i n g e x p e r i e n c e s p r o v i d e d f o r s t u d e n t s . I d e a s a b o u t t h e p u _ r p o s e o f s c h o o l s a n d t h e n a t u r e o f l e a r n i n g . S t e p h e n s ( 1 9 8 2 ) a n d D o n o v a n ( 1 9 8 3 ) a n a l y z e d t e a c h e r s u s i n g i n n o v a t i v e c u r r i c u l u m m a t e r i a l s g r o u n d e d i n n o n m a i n s t r e a m c o n c e p t i o n s o f m a t h e m a t i c s . T h e y f o c u s e d o n h o w t e a c h e r s p r e s e n t e d t h e n a t u r e o f m a t h e m a t i c a l k n o w l e d g e . S t e p h e n s f o u n d t h a t t e a c h e r s i n t e r p r e t e d a n d t r a n s f o r m e d t h e i n t e n d e d c u r r i c u l u m , i m p o s i n g a r i g i d a n d n a r r o w p o r t r a i t o f m a t h e m a t i c s . M o s t t e a c h e r s ' i n s t r u c t i o n a l p a t t e r n s f o c u s e d o n g r o u p m a n a g e m e n t r a t h e r t h a n m a t h e m a t i c s . D o n o v a n d e s c r i b e d t e a c h e r s s u b v e r t i n g t h e a u t h o r i t y o f e x p l o r a t i o n - b a s e d m a t e r i a l s b y r e l e g a t i n g e x p l o r a t o r y a c t i v i t i e s t o a n a i d e a n d t h e n g i v i n g t h e m n o e m p h a s i s i n a s s e s s m e n t . B o t h r e s e a r c h e r s d r e w o n s o c i o l o g y o f k n o w l e d g e a n d p o l i t i c a l t h e o r y t o e x p l a i n t h e i r fi n d i n g s b y p o i n t i n g t o e m b e d d e d c u l t u r a l a s s u m p t i o n s a b o u t t h e r o l e a n d p u r p o s e s o f s c h o o l a n d t h e n a t u r e o f l e a r n i n g . I n h i s a n a l y s i s , S t e p h e n s p o s i t e d t h a t t h e a u t h o r s o f t h e m a t e r i a l s f a i l e d t o c h a l l e n g e t h e t r a d i t i o n s o f e x i s t i n g s c h o o l i n g , o r e v e n t o u n d e r s t a n d w h a t t h e y w e r e . T h e c o n c e p t i o n s o f w o r k a n d k n o w l e d g e w h i c h m o s t t e a c h e r s b r o u g h t t o t h e i m p l e m e n t a t i o n o f [ t h e c u r r i c u l u m m a t e r i a l s ] w e r e e m b e d d e d i n a m a n a g e m e n t p e r s p e c t i v e o f i n s t r u c t i o n w h e r e t h e f o c u s o f i n s t r u c t i o n w a s o n t h e e f fi c i e n t t r a n s m i s s i o n o f a fi x e d b o d y o f s u b j e c t m a t t e r t o t h e c h i l d r e n w h o c o m p r i s e d t h e c l a s s r o o m g r o u p . ( p . 2 2 0 ) T h e c a s e s t u d i e s w r i t t e n b y S t a k e a n d E a s l e y ( 1 9 7 8 ) d e p i c t t e a c h e r s m a k i n g s i m i l a r a d a p t a t i o n s t o t h e w r i t t e n t e a c h e r ' s g u i d e s t h a t fi t t h e i r n o t i o n s a b o u t t h e t a s k s o f t e a c h i n g a n d t h e n a t u r e o f t h e s u b j e c t m a t t e r . S t a k e a n d E a s l e y a s c r i b e d t h e d e p a r t u r e s t h a t t e a c h e r s m a d e f r o m t e x t s t o c o n c e r n f o r c l a s s r o o m c o n t r o l . L i k e S t e p h e n s ( 1 9 8 2 ) a n d D o n o v a n ( 1 9 8 3 ) , S t a k e a n d E a s l e y p o i n t e d t o t e a c h e r s ' n e e d s t o m a i n t a i n c l a s s r o o m c o n t r o l a s a p o w e r f u l i n fl u e n c e i n t e a c h e r a c t i o n . T h e y r a i s e d f u r t h e r q u e s t i o n s a b o u t t h e r e l a t i o n s h i p b e t w e e n t e a c h e r a u t h o r i t y a n d c o n t r o l i n t h e c l a s s r o o m a n d t h e n a t u r e o f k n o w l e d g e s u c h l e v e l s o f c o n t r o l r e p r e s e n t . T h e s e q u e s t i o n s h a v e i m p l i c a t i o n s f o r t h e c u r r e n t r e f o r m s t h a t e m p h a s i z e t h e n e e d f o r s t u d e n t s t o h a v e m o r e a u t h o r i t y o v e r t h e i r k n o w l e d g e a n d l e a r n i n g . 1 5 K n o w l e d g e o f a n d v i e w s a b o u t m a t h e m a t i c s . B a l l ( 1 9 8 8 ) a n d T h o m p s o n ( 1 9 8 4 ) e x a m i n e d t e a c h e r s ' k n o w l e d g e a n d b e l i e f s a b o u t m a t h e m a t i c s a n d t h e y c o n s i d e r e d h o w t h e s e b e l i e f s c o n t r i b u t e t o c l a s s r o o m p r a c t i c e . E v e n t h o u g h n e i t h e r r e s e a r c h e r f o c u s e d s p e c i fi c a l l y o n t e x t b o o k s , t h e i r s t u d i e s i l l u s t r a t e h o w s u b j e c t - m a t t e r k n o w l e d g e i m p a c t s t e a c h e r s ' p l a n n i n g d e c i s i o n s . T h e i r w o r k s t a n d s a p a r t f r o m p r e v i o u s s t u d i e s b e c a u s e m a t h e m a t i c s , r a t h e r t h a n k n o w l e d g e i n g e n e r a l , p l a y e d a c e n t r a l r o l e i n t h e i r a n a l y s e s . B e l i e v i n g t h a t t e a c h e r s ' c o n c e p t i o n s o f k n o w l e d g e a r e s u b j e c t - m a t t e r s p e c i fi c , b o t h c o n s i d e r e d t e a c h e r s ' b e l i e f s a b o u t t h e s u b s t a n c e a n d n a t u r e o f m a t h e m a t i c s , l i n k i n g t h e m t o t h e i r i d e a s a b o u t t e a c h i n g m a t h e m a t i c s . B a l l l o o k e d a t t h e k n o w l e d g e a n d b e l i e f s p r o s p e c t i v e t e a c h e r s b r o u g h t t o t h e i r p r e s e r v i c e e d u c a t i o n e x p e r i e n c e s w i t h i n f o u r c a t e g o r i e s : ( a ) m a t h e m a t i c s , ( b ) l e a r n e r s , ( c ) l e a r n i n g , a n d ( d ) t e a c h i n g . S h e f o u n d t h a t t h e s e p r o s p e c t i v e t e a c h e r s l a c k e d c o n c e p t u a l k n o w l e d g e o f m a t h e m a t i c a l i d e a s , v i e w i n g m a t h e m a t i c s a 5 a c o l l e c t i o n o f i s o l a t e d r u l e s a n d p r o c e d u r e s . W h e n p l a n n i n g a l e s s o n t o t e a c h c o n c e p t s s u c h a s t w o - d i g i t s u b t r a c t i o n , t h e y g e n e r a l l y s e l e c t e d r e p r e s e n t a t i o n s f o r t h e i r i n t e r e s t - g r a b b i n g a p p e a l r a t h e r t h a n t h e i r fi t w i t h t h e c o n c e p t u a l u n d e r p i n n i n g s o f t h e t o p i c . S h e a l s o f o u n d t h a t t h e s e t e a c h e r s t h o u g h t l i t t l e a b o u t w h a t s t u d e n t s m i g h t t h i n k , u n d e r s t a n d , m i s u n d e r s t a n d , o r fi n d i n t e r e s t i n g . T h e i m p l i c a t i o n i s t h a t o n e c a n l e a r n a s m u c h a b o u t t h e e n a c t e d c u r r i c u l u m f r o m a t t e n d i n g t o w h a t t e a c h e r s t e n d n o t t o b e l i e v e a s w e l l a s w h a t t h e y d o b e h a v e . T h o m p s o n ( 1 9 8 4 ) e x a m i n e d t e a c h e r s ' c o n c e p t i o n s o f m a t h e m a t i c s w i t h r e s p e c t t o t h e i r i n s t r u c t i o n a l p r a c t i c e s . F r o m o b s e r v a t i o n s s h e w r o t e c a s e s t u d i e s o f j u n i o r h i g h s c h o o l g e o m e t r y t e a c h e r s , f o c u s i n g o n h o w t h e y r e p r e s e n t e d m a t h e m a t i c s . T h e n s h e c o m p a r e d t h e s e o b s e r v a t i o n s w i t h e a c h t e a c h e r ' s b e l i e f s , v i e w s a n d p r e f e r e n c e s a b o u t m a t h e m a t i c s , a s d e t e r m i n e d b y a t e a c h e r — b e l i e f i n s t r u m e n t . H e r fi n d i n g s s u g g e s t c o n s i s t e n c y b e t w e e n t h e t e a c h e r s ' " p r o f e s s e d c o n c e p t i o n s " a n d t h e c o n c e p t i o n s o f m a t h e m a t i c s p o r t r a y e d i n t h e c l a s s r o o m t h r o u g h i n s t r u c t i o n a l p r a c t i c e s . T e a c h e r s , f o r e x a m p l e , w h o v i e w e d m a t h e m a t i c s a s a s t a t i c b o d y o f k n o w l e d g e p r e s e n t e d t h e c o n t e n t 1 6 a s a fi n i s h e d p r o d u c t o f r u l e s a n d p r o c e d u r e s t o b e m e m o r i z e d . N e v e r t h e l e s s , t h e i r a p p r o a c h e s v a r i e d a c c o r d i n g t o t h e i r v i e w s o n t h e i n t e r r e l a t i o n s h i p b e t w e e n t o p i c s a n d h o w s t u d e n t s l e a r n . T h e t e a c h e r w h o h e l d a d y n a m i c v i e w o f m a t h e m a t i c s e n g a g e d h e r s t u d e n t s i n a " c r e a t i v e g e n e r a t i v e p r o c e s s " ( p . 1 1 9 ) . I n t h e i r o b s e r v a t i o n s o f t e a c h e r s u s i n g c o m m o n l y u s e d t e x t b o o k s i n m a t h e m a t i c s a n d s o c i a l s t u d i e s , G r a y b e a l a n d S t o d o l s k y ( 1 9 8 7 ) f o u n d t h a t t h e a l t e r a t i o n s t e a c h e r s m a d e t o m a t h e m a t i c s t e x t b o o k s t e n d e d t o l e a n t o w a r d t r a d i t i o n a l c o n c e p t i o n s o f m a t h e m a t i c s , f o c u s i n g o n r o t e m e m o r i z a t i o n o f i s o l a t e d f a c t s r a t h e r t h a n o n u n d e r s t a n d i n g c o n c e p t s a n d a p p l i c a t i o n . E v e n t h o u g h t h e t e x t b o o k s u s e d i n t h e s e c l a s s r o o m s t e n d e d t o r e fl e c t m a n y a s p e c t s o f t r a d i t i o n a l m a t h e m a t i c s , t h e y a l l c o n t a i n e d o p p o r t u n i t i e s f o r a p p l i c a t i o n a n d c o n c e p t u a l d e v e l o p m e n t t h a t t e a c h e r s o f t e n o m i t t e d o r r e s t r u c t u r e d w h e n u s i n g t h e m . G r a y b e a l a n d S t o d o l s k y ' s ( 1 9 8 7 ) fi n d i n g s c o n fi r m B a l l ' s ( 1 9 8 8 ) a n d ' I ' h o m p s o n ' s ( 1 9 8 4 ) s u s p i c i o n t h a t t h e s u b j e c t m a t t e r i n q u e s t i o n b e a r s c o n s i d e r a b l y o n h o w t e a c h e r s u s e t e x t b o o k s . T h e y f o u n d t h a t t h e m a j o r d i f f e r e n c e a m o n g s u b j e c t s w a s " t h e e x t e n t t o w h i c h t h e t e x t b o o k c o n t e n t r e p r e s e n t s t h e m a x i m a l c o n t e n t c o v e r a g e " ( G r a y b e a l a n d S t o d o l s k y , 1 9 8 7 , p . 1 8 1 ) . I n g e n e r a l , t e a c h e r s t e n d e d t o s u p p l e m e n t a n d c o m p l e m e n t c o n t e n t i n t h e s o c i a l s t u d i e s t e x t s w i t h o t h e r m a t e r i a l a n d a c t i v i t i e s , w h e r e a s t h e m a t h e m a t i c s t e x t s r a r e l y w e r e s u p p l e m e n t e d , a n d , i f t h e y w e r e , i t w a s m o s t o f t e n w i t h a d d i t i o n a l p r a c t i c e . I n a m o r e r e c e n t s t u d y o f t e a c h e r s ' u s e o f t e x t b o o k m a t e r i a l s i n f o u r s u b j e c t s , S o s n i a k a n d S t o d o l s k y ( 1 9 9 3 ) f o u n d t h a t t h e s a m e t e a c h e r s w h o t e n d e d t o e n r i c h t h e t e x t b o o k s ' s u g g e s t i o n s i n r e a d i n g a n d l a n g u a g e a r t s t e n d e d t o s t i c k t o t h e s t u d e n t e x e r c i s e s i n m a t h e m a t i c s . R e s e a r c h e r s h a v e f o u n d t h a t t e a c h e r s ' s u b j e c t - m a t t e r k n o w l e d g e a n d b e l i e f s i m p a c t t h e i r t e x t b o o k u s e i n o t h e r s u b j e c t s a s w e l l . F o r e x a m p l e , t h e t e a c h e r ' s v i e w o f t h e s u b j e c t a n d h o w i t i s l e a r n e d i n fl u e n c e d t e x t b o o k u s e i n r e a d i n g a n d s c i e n c e . S m i t h a n d A n d e r s o n ( 1 9 8 4 ) a n d R o t h a n d A n d e r s o n ( 1 9 8 7 ) s t u d i e d t e a c h e r s u s i n g t e x t b o o k s 1 7 g r o u n d e d i n c o n c e p t u a l c h a n g e t h e o r i e s o f l e a r n i n g s c i e n c e . T h e i r c a s e s t u d i e s o f t e a c h e r s u s i n g c u r r i c u l u m m a t e r i a l s r e v e a l e d t h a t t h e v i e w s t e a c h e r s h o l d a b o u t l e a r n i n g a n d t h e n a t u r e o f s c i e n c e i n fl u e n c e d h o w t h e y g u i d e d t h e i r s t u d e n t s t h r o u g h m a t e r i a l i n s c i e n c e t e x t b o o k s . T h e y f o u n d t h a t t e a c h e r s ' b e l i e f s a b o u t l e a r n i n g i m p e d e d t h e i r a b i l i t i e s t o h e l p s t u d e n t s r e p l a c e m i s c o n c e p t i o n s w i t h s c i e n t i fi c c o n c e p t i o n s p r e s e n t e d i n t h e t e x t s . D u r k i n ( 1 9 8 3 ) l i n k e d t e a c h e r s ' v i e w s o f r e a d i n g w i t h t h e i r u n d e r t r e a t m e n t o f c o m p r e h e n s i o n a n d o v e r t r e a t m e n t o f s k i l l d e v e l o p m e n t , w h i c h i s c o n t r a r y t o s u g g e s t i o n s m a d e i n t e a c h e r ' s g u i d e s o f b a s a l r e a d e r s . S i m i l a r t o S t e p h e n s ( 1 9 8 2 ) a n d S t a k e a n d E a s l e y ( 1 9 7 8 ) , D u r k i n f o u n d t h a t c l a s s r o o m m a n a g e m e n t a n d c o n t r o l w e r e p o w e r f u l d e t e r m i n a n t s o f i n s t r u c t i o n a l a c t i v i t i e s s e l e c t e d b y t h e t e a c h e r . T h e a b o v e s t u d i e s l o o k e d a t h o w t e a c h e r s ' p e r c e p t i o n s o f k n o w l e d g e , t h e s u b j e c t , l e a r n i n g , s t u d e n t s , o r e x t e r n a l d e m a n d s s h a p e h o w t e a c h e r s u s e t e x t s . T h e y f o c u s e d o n t h e r o l e t e a c h e r s ' p e r c e p t i o n s p l a y i n t h e t r a n s l a t i o n p r o c e s s o f w r i t t e n m a t e r i a l s t o c l a s s r o o m p r a c t i c e . T h e f o l l o w i n g s t u d i e s a l s o e x a m i n e d t h e i m p a c t o f t e a c h e r s ' p e r c e p t i o n s o n t e x t b o o k u s e , b u t f o c u s e d l e s s o n t h e c u r r i c u l u m a s i t i s e n a c t e d a n d m o r e o n t h e n a t u r e o f t h e r e l a t i o n s h i p s t h e t e a c h e r s f o r m w i t h t h e t e x t s . T e a c h e r s ' p e r c e p t i o n s o f t e x t s . S e v e r a l s t u d i e s h a v e s o u g h t t o u n d e r s t a n d h o w t e a c h e r s u s e t e x t s b y c o n s i d e r i n g h o w t h e y t h i n k a b o u t t h e i r t e x t b o o k s . U n l i k e s t u d i e s t h a t p o r t r a y t e a c h e r s a s m e d i a t i n g o r fi l t e r i n g a g e n t s f o r h o w w r i t t e n c u r r i c u l u m m a t e r i a l s b e c o m e e n a c t e d , t h e s e i m p l y t h a t t e a c h e r s h o l d b e l i e f s a b o u t t e x t b o o k u s e a n d a u t h o r i t y t h a t s h a p e h o w t h e y u s e o r i g n o r e i t s o f f e r i n g s . A s i n p r e v i o u s s t u d i e s , t h i s r e l a t i o n s h i p i s v i e w e d a s a f u n c t i o n o f t e a c h e r s ' b e l i e f s a n d p e r c e p t i o n s . B y f o c u s i n g s p e c i fi c a l l y o n t h i s r e l a t i o n s h i p , t h e s e r e s e a r c h e r s h a v e p r o v i d e d i n s i g h t i n t o t h e r o l e o f t e a c h e r s ' t h i n k i n g a b o u t t e x t s i n i n fl u e n c i n g t e x t b o o k u s e . S e v e r a l r e s e a r c h e r s ' h a v e o b s e r v e d t h a t t e a c h e r s t e n d t o r e l a t e t o t e x t s a s a u t h o r i t i e s ( D u f f y , R o e h l e r , 8 : P u t n a m , 1 9 8 7 ; R e m i l l a r d , 1 9 9 1 c ; S t a k e 8 : E a s l e y , 1 9 7 8 ; W o o d w a r d 8 : E l l i o t , 1 9 9 0 ) . D u f f y e t . a l . , h y p o t h e s i z i n g t h a t t e a c h e r d e c i s i o n m a k i n g 1 8 w a s i m p e d e d b y p r e s c r i p t i v e t e x t b o o k f o l l o w i n g , i n s t r u c t e d t e a c h e r s t o m a k e d e c i s i o n s a b o u t r e a d i n g w h i l e u s i n g a m a n d a t e d r e a d i n g t e x t . D u r i n g t h e o n e - y e a r p r o g r a m i n w h i c h t h e y g u i d e d t e a c h e r s i n m a k i n g i n t e n t i o n a l d e c i s i o n s a b o u t t h e i r t e x t b o o k u s e , s t u d e n t a c h i e v e m e n t i n c r e a s e d . I n s p i t e o f t h i s e v i d e n c e , t e a c h e r s r e t u r n e d t o p r e s c r i p t i v e u s e o f t h e b a s a l s t h e f o l l o w i n g y e a r . D u f f y e t a 1 . c o n c l u d e d t h a t t h e t e a c h e r s d i d n o t b e l i e v e t h e y w e r e " e m p o w e r e d t o b e i n c o g n i t i v e c o n t r o l o f t h e i r i n s t r u c t i o n " ( p . 3 6 1 ) . T e a c h e r s t e n d e d t o l o o k t o t h e t e a c h e r s ' g u i d e s a s a u t h o r i t i e s , b e l i e v i n g t h a t t h e a u t h o r s " k n o w m o r e a b o u t i t t h a n I d o " ( p . 3 6 2 ) . I n a s t u d y o f a t e a c h e r u s i n g C S M P , I ( R e m i l l a r d , 1 9 9 1 c ) o b s e r v e d a s i m i l a r e n t r u s t i n g o f a u t h o r i t y t o t h e t e x t ' s a u t h o r s t h a t l e d t o p r e s c r i p t i v e f o l l o w i n g o f t h e t e a c h e r ' s g u i d e . T h e t e a c h e r , t r u s t i n g t h a t t h e t e x t w a s d e s i g n e d t o d e v e l o p s t u d e n t u n d e r s t a n d i n g , a t t e m p t e d t o f o l l o w t h e s c r i p t i n t h e t e a c h e r ' s g u i d e p r e c i s e l y . I n d o i n g s o , s h e s e a r c h e d f o r c o r r e c t a n s w e r s a n d p a r t i c u l a r r e s p o n s e s i t s u g g e s t e d . E v e n t h o u g h t h e p r o g r a m w a s d e s i g n e d t o s t i m u l a t e i n t e r a c t i o n b e t w e e n t h e t e a c h e r a n d s t u d e n t s , r e l y i n g h e a v i l y o n s t u d e n t i d e a s a n d s o l u t i o n s , t h i s t e a c h e r ' s s t r i c t f o c u s o n f o l l o w i n g t h e s c r i p t i n t h e t e x t r e s t r i c t e d h e r f r o m h e a r i n g a n d r e s p o n d i n g t o t h e v a r i e d c o n t e n t o f s t u d e n t r e s p o n s e s . A n i n t e r e s t i n g p a t t e r n i n t h e fi n d i n g s o f s t u d i e s o f t e a c h e r s w h o v i e w t e x t s a s a u t h o r i t i e s i s t h a t t h e i r p r e s c r i p t i v e a p p r o a c h e s t o f o l l o w i n g t h e t e a c h e r ' s g u i d e t e n d e d t o l e a d t h e m t o t r e a t i d e a s , s u g g e s t i o n s , a n d g u i d a n c e a s s t e p s t o " g e t t h r o u g . " F u r t h e r m o r e , t h e c o n v i c t i o n t h a t t h e y n e e d e d t o " c o v e r t h e c o n t e n t " a n d t h e i r v i e w s o f w h a t t h i s m e a n t l i m i t e d t h e o p t i o n s t h e y h a d a v a i l a b l e i n p r a c t i c e , w h i c h i s p a r t i c u l a r l y e v i d e n t i n t h e , s t u d i e s b y S t a k e a n d E a s l e y ( 1 9 7 8 ) a n d R e m i l l a r d ( 1 9 9 1 c ) . B o t h s t u d i e s d e s c r i b e d t e a c h e r s m o v i n g s t u d e n t s q u i c k l y t h r o u g h a c t i v i t i e s a n d p r o b l e m s d e s i g n e d t o f a c i l i t a t e i n q u i r y a n d d i s c o v e r y . I n o t h e r w o r d s , w h e n a t t e m p t i n g t o f o l l o w t h e t e x t , t h e s e t e a c h e r s c o n s t r u c t e d t h e i r o w n p r a c t i c e s t h a t c o u l d b e v i e w e d a s a n t i t h e t i c a l t o t h e a u t h o r s ' i n t e n t i o n s . 1 9 A t t h e o p p o s i t e e x t r e m e o f t e a c h e r s w h o t e n d e d t o r e l y h e a v i l y o n t e x t b o o k s , s e e i n g t h e m a s s u b j e c t - m a t t e r a u t h o r i t i e s a r e t h o s e w h o r e j e c t t e x t s i n d i s c r i m i n a t e l y . I n a l o n g i t u d i n a l s t u d y o f t w o t e a c h e r p r e p a r a t i o n p r o g r a m s , B a l l a n d F e i m a n — N e m s e r ( 1 9 8 8 ) f o u n d t h a t p r o s p e c t i v e t e a c h e r s d e v e l o p e d n e g a t i v e i m p r e s s i o n s o f t e x t b o o k s a n d t e a c h e r ' s g u i d e s . B o t h p r o g r a m s a i m e d t o e n c o u r a g e n o v i c e t e a c h e r s t o m a i n t a i n c o n t r o l o v e r t h e i r i n s t r u c t i o n , l e a d i n g t h e m t o r e j e c t a n y a u t h o r i t y o f t h e t e x t . T h e i m p l i c i t m e s s a g e r e c e i v e d f r o m i n s t r u c t o r s w a s t h a t g o o d t e a c h e r s d i d n o t f o l l o w t h e t e x t b o o k s b u t c r e a t e d t h e i r o w n l e s s o n s a n d m a t e r i a l s . D o i n g s o p r e s e n t e d p r o b l e m s f o r s t u d e n t t e a c h e r s w h e n t e a c h i n g i n c l a s s r o o m s i n w h i c h t e x t b o o k s w e r e c e n t r a l t o i n s t r u c t i o n . T h e p r o s p e c t i v e t e a c h e r s , l a c k i n g t h e k n o w l e d g e a n d e x p e r i e n c e n e e d e d t o d e v e l o p t h e i r o w n c u r r i c u l u m , r e l i e d p r e s c r i p t i v e l y o n a c t i v i t i e s i n t r o d u c e d i n t h e i r m e t h o d s c o u r s e s a s t e a c h e r s i n p r e v i o u s s t u d i e s r e l i e d o n t e x t s . B a l l a n d F e i m a n - N e m s e r d e s c r i b e d p o o r l y c o n s t r u c t e d l e s s o n s b a s e d o n s h a l l o w u n d e r s t a n d i n g s o f t h e s u b j e c t m a t t e r . T h e y a l s o d e s c r i b e d h o w o n e s t u d e n t t e a c h e r ' s u n d e r s t a n d i n g o f p l a c e v a l u e w a s e n r i c h e d t h r o u g h c a r e f u l f o l l o w i n g o f a t e a c h e r ' s g u i d e . F o r t h i s s t u d e n t , t h e t e a c h e r ' s g u i d e h a d b e e n a l a s t r e s o r t . S h e t u r n e d t o i t a f t e r t h e l e s s o n s h e d e s i g n e d h a d f a i l e d . T h e a u t h o r s h a v e c a l l e d f o r g r e a t e r e m p h a s i s i n t e a c h e r e d u c a t i o n o n h e l p i n g s t u d e n t s t o u s e t e x t s d i s c r i m i n a t e l y , r a t h e r t h a n t o r e j e c t t h e m i n d i s c r i m i n a t e l y . I n a s t u d y o f p r e s e r v i c e t e a c h e r s i n s e c o n d a r y m a t h e m a t i c s , B u s h ( 1 9 8 6 ) m a d e s i m i l a r r e c o m m e n d a t i o n s : " A b e t t e r u n d e r s t a n d i n g o f t e x t s a n d t h e i r r o l e s , c a p a b i l i t i e s , a n d l i m i t a t i o n s m i g h t e n a b l e p r e s e r v i c e t e a c h e r s t o m a k e b e t t e r d e c i s i o n s " ( p . 2 8 ) . W h e n e x a m i n e d s i d e - b y - s i d e , t h e s e s t u d i e s p r o v i d e i m p o r t a n t i n s i g h t s i n t o t e a c h e r s ' p e r c e p t i o n s o f t h e m s e l v e s i n r e l a t i o n t o t h e t e x t b o o k s t h e y u s e . T h e s e p e r c e p t i o n s a r e l i k e l y t o fi g u r e s i g n i fi c a n t l y i n u n d e r s t a n d i n g t h e w a y s t h a t t e a c h e r s u s e t e x t b o o k s . M i s s i n g p i e c e s . T h e s e s t u d i e s f o c u s e d o n h o w t e a c h e r s m e d i a t e t h e i r t e x t b o o k u s e . T h e y h a d s u g g e s t e d t h a t t e a c h e r s s h a p e t h e w r i t t e n t e x t a n d i n t e r p r e t t h e a u t h o r s ' 2 0 i n t e n t i o n s t h r o u g h t h e i r b e l i e f s a b o u t k n o w l e d g e , t h e s u b j e c t m a t t e r , l e a r n i n g , a n d t h e t e x t s t h e m s e l v e s . O n e i m p l i c a t i o n i s t h a t m u c h o f t h e s h a p i n g r e s u l t s f r o m g u s j n t e r p r e t a t i o n o r r e v i s i o n . T w o i m p o r t a n t f a c t o r s a r e o f t e n l e f t o u t w h e n s t u d i e s t a k e t h i s p e r s p e c t i v e . E v e n t h o u g h e a c h i s m e n t i o n e d o n c e , t h e f o c u s o n t e a c h e r s a s " s h a p e r s " l i m i t s e x a m i n a t i o n o f h o w t e a c h e r s m i g h t b e s h a p e d b y t h e i r t e x t s o r o f f a c t o r s o t h e r t h a n t e a c h e r s t h a t i n fl u e n c e h o w c u r r i c u l u m i s e n a c t e d . F i r s t o f t h e s e i s t h e r o l e o f t h e s t u d e n t i n s h a p i n g t h e e n a c t e d c u r r i c u l u m . I n m y s t u d y o f a t e a c h e r u s i n g C S M P ( R e m i l l a r d . 1 9 9 1 c ) , I f o u n d t h a t s t u d e n t s s i g n i fi c a n t l y s h a p e d t h e d i s c o u r s e a n d i n fl u e n c e d h o w t h e t e a c h e r r e s p o n d e d . T h e e n a c t e d c u r r i c u l u m w a s c o n s t r u c t e d b y s t u d e n t - a n d - t e a c h e r i n t e r a c t i o n s a r o u n d p a r t i c u l a r p r o b l e m s o r t a s k s . T h e t e a c h e r i n t h e s t u d y w a s u s i n g a s c r i p t e d l e s s o n f o r m a t t h a t p l a c e d s t u d e n t i d e a s a n d s o l u t i o n s c e n t r a l t o e a c h l e s s o n . S t u d e n t i d e a s t h a t d i d n o t f o l l o w s u g g e s t i o n s i n t h e l e s s o n l e d t h e t e a c h e r t o c a l l u p o n h e r u n d e r s t a n d i n g o f t h e t a s k i n o r d e r t o b r i n g t h e c l a s s b a c k t o t h e s c r i p t . A l s o u n d e r t r e a t e d i n t h e s e s t u d i e s a r e t h e w a y s i n w h i c h t e a c h e r s m i g h t l e a r n f r o m , o r b e t r a n s f o r m e d b y , t h e t e x t b o o k s o r t e a c h e r ' s g u i d e s . B a l l a n d F e i m a n — N e m s e r ( 1 9 8 8 ) d e s c r i b e d a s t u d e n t t e a c h e r b r o a d e n i n g h e r c o n c e p t u a l u n d e r s t a n d i n g o f p l a c e v a l u e b y r e l y i n g h e a v i l y o n t h e c l a s s t e x t b o o k . R e s e a r c h e r s e x a m i n i n g t h e r e l a t i o n s h i p b e t w e e n a s t a t e - l e v e l m a t h e m a t i c s p o l i c y a n d p r a c t i c e i n e l e m e n t a r y c l a s s r o o m i n C a l i f o r n i a a l s o f o u n d i n s t a n c e s i n w h i c h t e x t b o o k c h a n g e s h a d a l t e r i n g e f f e c t s o n t e a c h e r s ' p r a c t i c e s a n d b e l i e f s a b o u t m a t h e m a t i c s t e a c h i n g a n d l e a r n i n g . W i e m e r s - J e n n i n g s ( 1 9 9 0 ) r e l a t e d a n a c c o u n t o f a t e a c h e r d i s c o v e r i n g t h e v a l u e o f h a v i n g s t u d e n t s d r a w f r a c t i o n s , a n d R e m i l l a r d ( 1 9 9 2 ) t o l d o f a t e a c h e r w h o f o u n d t h a t h i s s t u d e n t s w e r e a p p l y i n g e s t i m a t i o n s t r a t e g i e s t o a s s e s s t h e r e a s o n a b l e n e s s o f t h e i r a n s w e r s . T h e s e t e a c h e r s h a d r e l u c t a n t l y f o l l o w e d t e x t b o o k s u g g e s t i o n s w h e n h a v i n g s t u d e n t s 2 1 d r a w f r a c t i o n s o r u s e e s t i m a t i o n . S u c h a c c o u n t s o f t e a c h e r s l e a r n i n g n e w p r a c t i c e s f r o m t e x t s o c c u r i n f r e q u e n t l y i n t h e l i t e r a t u r e . T h e s t u d i e s d e s c r i b e d a b o v e f o c u s o n f a c t o r s t h a t i n fl u e n c e t e a c h e r s ' m e d i a t i o n o f t e x t b o o k u s e . H o w e v e r , t h e y d o n o t c l a r i f y w h a t i t m e a n s t o " u s e " a t e x t b o o k . I n t h e f o l l o w i n g s e c t i o n , I e x a m i n e t h e r a n g e o f p e r s p e c t i v e s o n t e x t b o o k u s e t h a t i s i m p l i c i t i n t h e l i t e r a t u r e . C h a r a c t e r i z i n g " U s e " . F r o m t h e s t u d i e s a l r e a d y d e s c r i b e d , i t i s e v i d e n t t h a t w h a t i t m e a n s t o " u s e " o r " f o l l o w " a t e x t b o o k i s t h o u g h t a b o u t d i f f e r e n t l y . F l o d e n e t a l . ( 1 9 8 0 ) a n d B u s h ( 1 9 8 6 ) , f o c u s i n g o n t o p i c s a n d s k i l l s , a t t e n d e d t o t h e c o n t e n t o f t h e c u r r i c u l u m i n c h a r a c t e r i z i n g t e x t b o o k u s e . B u s h , f o r e x a m p l e , d e s c r i b e d p r e s e r v i c e t e a c h e r s f o l l o w i n g t h e t e x t c l o s e l y , b u t t h e t r a n s c r i p t s h e p r o v i d e d r e f e r r e d t o t o p i c s e l e c t i o n o n l y . T h e s e s t u d e n t t e a c h e r s c l a i m t o " p i c k o u t t h e t o p i c s t h e y [ t h e t e x t ] w a n t t o t a l k a b o u t , t h e n I e x p l a i n i t f r e e h a n d o n t h e b o a r d " ( p . 2 5 ) . S o m e r e s e a r c h e r s h a v e e x a m i n e d s t u d e n t a c t i v i t i e s a n d c l a s s r o o m f o r m a t s i n t h e i r d i s c u s s i o n o f t e x t b o o k u s e ( D u r k i n , 1 9 8 3 ; G r a y b e a l 8 : S t o d o l s k y , 1 9 8 7 ) . O t h e r s h a v e c o n s i d e r e d h o w t h e s u b j e c t i s p r e s e n t e d a n d r e p r e s e n t e d , a s w e l l a s t h e p e d a g o g i c a l a n d e p i s t e m o l o g i c a l a s s u m p t i o n s t h a t u n d e r l i e i t s p r e s e n t a t i o n ( B a l l , 1 9 8 8 ; S t e p h e n s , 1 9 8 2 ; T h o m p s o n , 1 9 8 4 ) . T h e s e d i f f e r e n c e s i n w h a t r e s e a r c h e r s l o o k e d a t r e fl e c t d i f f e r e n t c o n c e p t i o n s o f c l a s s r o o m p r a c t i c e a n d t h e s u b j e c t m a t t e r . T h e y a l s o l i m i t c o m p a r i s o n s a c r o s s fi n d i n g s . A n o t h e r r e l a t e d d i m e n s i o n t h a t r e s e a r c h e r s d i s c u s s i s t h e d e g r e e o f fi d e l i t y b e t w e e n w r i t t e n a n d e n a c t e d c u r r i c u l u m . I g r o u p e d t h e f o l l o w i n g s t u d i e s a c c o r d i n g t o t h e r e s e a r c h e r s ' s t a n c e s o n p o s s i b l e r e l a t i o n s h i p s b e t w e e n w r i t t e n t e x t s a n d e n a c t e d c u r r i c u l u m . T h e s t u d i e s w e r e s e l e c t e d a s e x a m p l e s o f e a c h p e r s p e c t i v e r a t h e r t h a n a s a n e x h a u s t i v e l i s t . T h e fi r s t g r o u p o f s t u d i e s w e r e b a s e d o n t h e a s s u m p t i o n t h a t t e x t b o o k s a r e fi x e d , e m b o d y i n g d i s c e r n i b l e a n d c o m p l e t e i m a g e s o f p r a c t i c e . A s e c o n d g r o u p t a k e s c l a s s r o o m p r a c t i c e , r a t h e r t h a n t h e t e x t , a s t h e s t a r t i n g p o i n t f o r a n a l y s i s 2 2 a n d v i e w s t e x t b o o k s a s i n fl u e n c i n g t h e c o n s t r u c t i o n o f p r a c t i c e . R e s e a r c h e r s i n t h i s g r o u p d o n o t a s s u m e t h a t fi d e l i t y b e t w e e n t e x t s a n d p r a c t i c e i s p o s s i b l e . A t h i r d g r o u p f o c u s e s o n t h e t e a c h e r a n d a s k s h o w t h e t e a c h e r i s m a k i n g s e n s e o f t h e t e x t . A s t h e f o l l o w i n g d i s c u s s i o n i l l u s t r a t e s , r e s e a r c h e r s ' i n i t i a l p e r s p e c t i v e s i n fl u e n c e t h e i r fi n d i n g s . U s e a s f o l l o w i n g o r s u b v e r t i n g . M a n y s t u d i e s o f t e x t b o o k u s e t a k e t h e t e x t a s t h e s t a r t i n g p o i n t a n d c o n s i d e r t h e d e g r e e t o w h i c h t e a c h e r s f o l l o w e d o r s u b v e r t e d i t . A n u n d e r l y i n g a s s u m p t i o n o f m a n y o f t h e s e s t u d i e s i s t h a t c o m p l e t e u n i f o r m i t y b e t w e e n t h e w r i t t e n a n d e n a c t e d c u r r i c u l u m m i g h t b e p o s s i b l e u n d e r i d e a l c o n d i t i o n s . T h u s , t h e s e r e s e a r c h e r s h a v e c o n c e r n e d t h e m s e l v e s w i t h h o w t o b r i n g a b o u t g r e a t e r c l a r i t y o n t h e p a r t o f t h e w r i t t e n c u r r i c u l u m a n d c l o s e r g u i d a n c e f o r t h e t e a c h e r i n u s i n g i t . T h e s e c o n c e r n s a r e r e l e v a n t b e c a u s e o f t h e u b i q u i t o u s n e s s o f t e x t b o o k u s e a n d t h e t e n d e n c y t o s e e t h e m a s p o t e n t i a l v e h i c l e s f o r c h a n g e . T h e s e s t u d i e s c o u l d h e l p o n e u n d e r s t a n d h o w t e a c h e r s m i g h t l e a r n t o f o l l o w a n d l e a r n f r o m w r i t t e n c u r r i c u l u m . F r e e m a n a n d P o r t e r ( 1 9 8 9 ) f o u n d t h a t t e a c h e r s ' u s e o f t e x t b o o k s v a r i e d a c c o r d i n g t o s u b j e c t m a t t e r , a n d i t w a s i n fl u e n c e d b y t h e t e a c h e r s ' v i e w s o f t h e t e x t a s a c o n t e n t a u t h o r i t y , t h e i r c o n v i c t i o n s a b o u t w h a t s h o u l d b e t a u g h t , a n d t h e i r k n o w l e d g e o f t h e s u b j e c t m a t t e r . T h e y a r g u e d t h a t t h e c o n v i c t i o n t h a t t e x t b o o k s d e t e r m i n e t h e c u r r i c u l u m i s g r o u n d e d i n " a n a r r o w v i e w o f t e a c h e r d e c i s i o n m a k i n g " ( p . 4 0 4 ) b e c a u s e i t a s s u m e s t h a t a t e a c h e r ' s g u i d e c a n a d d r e s s a l l f a c e t s o f t h e d e c i s i o n s t e a c h e r s m a k e . I f t e x t b o o k s a r e t o h a v e g r e a t e r i n fl u e n c e o n c l a s s r o o m c o n t e n t , F r e e m a n a n d P o r t e r s u g g e s t e d t h a t t e a c h e r s b e g i v e n s t r o n g i n c e n t i v e s o r s a n c t i o n s t o f o l l o w t h e i r t e x t s , a s w e l l a s s p e c i f i c g u i d a n c e r e g a r d i n g h o w t h e y a r e t o b e u s e d . F r e e m a n a n d P o r t e r c l a i m e d t h a t t e x t b o o k s a r e r e l a t i v e l y s i l e n t o n c o n t e n t d e c i s i o n s s u c h a s t i m e a l l o t t e d t o m a t h e m a t i c s o r e a c h t o p i c t a u g h t , h o w s t u d e n t s s h o u l d b e g r o u p e d f o r i n s t r u c t i o n , w h a t a n d i n w h a t w a y s t o p i c s s h o u l d b e p r e s e n t e d , a n d s t a n d a r d s o f a c h i e v e m e n t . T h e r e f o r e , i n o r d e r f o r t e x t b o o k s t o d i c t a t e c o n t e n t , t h e y m u s t a d d r e s s t h e s e c o n c e r n s 2 3 u n a m b i g u o u s l y . T h i s fi n a l p o i n t s e e m s r e a s o n a b l e , b u t i t i g n o r e s t h e p o w e r o f t h e i r o w n fi n d i n g s r e g a r d i n g v a r i a t i o n i n t e x t b o o k u s e . H o w a d d r e s s i n g t h e a b o v e d e c i s i o n w i l l c o n t r i b u t e t o t h e u n i f o r m i t y o f t e a c h e r s ' v i e w s , c o n v i c t i o n s , a n d k n o w l e d g e i s l e f t u n c l e a r . F u r t h e r m o r e , t h e i r c l a i m s a b o u t t h e a r e a s i n w h i c h t e x t s a r e s i l e n t s e e m u n s u b s t a n t i a t e d b y r e c e n t t e x t b o o k a n a l y s e s ( G r a y b e a l 8 : S t o d o l s k y , 1 9 8 7 ; R e m i l l a r d , 1 9 9 1 a , 1 9 9 1 b ) . S t e p h e n s ' ( 1 9 8 2 ) s t u d y a l s o d e p i c t e d t h e t e a c h e r ' s u s e o f a w r i t t e n c u r r i c u l u m a s t r a n s l a t i o n o r t r a n s f o r m a t i o n . H i s s t u d y o f t e a c h e r s u s i n g a d e v e l o p m e n t a l l y f o c u s e d m a t h e m a t i c s p r o g r a m d e s i g n e d t o l i n k p e d a g o g i c a l , p s y c h o l o g i c a l , a n d m a t h e m a t i c a l p e r s p e c t i v e s o f a p p r o p r i a t e m a t h e m a t i c a l k n o w l e d g e , d e s c r i b e s a m i s m a t c h b e t w e e n a u t h o r i n t e n t i o n s a n d t e a c h e r e n a c t i o n . S i m i l a r t o S a r a s o n ' s ( 1 9 8 2 ) c o n c l u s i o n s , h e a s c r i b e d t h i s i n c o n g r u e n c e b e t w e e n t h e e p i s t e m o l o g i c a l a s s u m p t i o n s u n d e r l y i n g p r o g r a m g o a l s a n d h o w t e a c h e r s t e n d e d t o c a r r y t h e m o u t t o t h e a u t h o r s ' f a i l u r e t o b e a w a r e o f , o r t o c h a l l e n g e , t h e t r a d i t i o n s i n h e r e n t i n s c h o o l s . T h e p r o g r a m w a s i n t e n d e d t o " t r a n s f o r m t h e t e a c h i n g a n d l e a r n i n g o f m a t h e m a t i c s i n t h e e l e m e n t a r y s c h o o l " ( p . 2 2 0 ) . I n o r d e r t o d o s o , S t e p h e n s c l a i m e d t h a t t h e a u t h o r s n e e d e d t o a d d r e s s t h i s f u n d a m e n t a l c o n fl i c t . K o m o s k i ( 1 9 7 7 ) l o o k e d t o s c h o o l o f fi c i a l s , r a t h e r t h a n t e x t a u t h o r s , t o g u i d e t e a c h e r s i n t h e i r u s e o f t e x t s . H e c l a i m e d t h a t u n l e s s s c h o o l s a r e c o m m i t t e d t o a s s i s t i n g t e a c h e r s t o u s e n e w l y s e l e c t e d t e x t b o o k s t h a t w h a t i s " u l t i m a t e l y p r a c t i c e d i n t h e c l a s s r o o m w i l l e n d u p q u i t e d i f f e r e n t f r o m t h e c u r r i c u l u m d e s c r i b e d b y t h e c u r r i c u l u m o f fi c e " ( p . 4 6 ) . I n o t h e r w o r d s , f o l l o w i n g t h e t e x t a n d m a k i n g t h e c u r r i c u l u m e x p e r i e n c e d i n t h e c l a s s r o o m a s c l o s e t o t h e w r i t t e n c u r r i c u l u m a s p o s s i b l e c a n b e a c h i e v e d t h r o u g h c a r e f u l a t t e n t i o n a n d g u i d a n c e . U g a s i n c o r p o r a t i n g . B y l o o k i n g fi r s t a t t h e c l a s s r o o m , r a t h e r t h a n t h e t e x t , s o m e r e s e a r c h e r s h a v e d e s c r i b e d u s e a s w a y s i n w h i c h t e a c h e r s d r a w u p o n a n d i n c o r p o r a t e t e x t s i n t o t h e i r i n s t r u c t i o n . T h e y v i e w t e x t s a s o n e o f t h e m a n y r e s o u r c e s 2 4 t h a t t e a c h e r s u s e i n c o n s t r u c t i n g p r a c t i c e s . R e s e a r c h e r s w h o t a k e t h i s p e r s p e c t i v e a i m t o u n d e r s t a n d w h a t i n fl u e n c e s t h e c h o i c e s t e a c h e r s m a k e a n d h o w t h e y a r e p l a y e d o u t i n t h e c l a s s r o o m . M a n y t e a c h e r s c o n s i d e r t h e m s e l v e s " t e x t b o o k d e p e n d e n t " a n d d e s c r i b e t h e m s e l v e s a s r e l y i n g h e a v i l y o n t h e i r t e x t b o o k s i n p l a n n i n g a n d t e a c h i n g . O n e m i g h t b e l i e v e t h a t t h i s w o u l d i m p l y a c l o s e m a t c h b e t w e e n t h e t e x t a n d i n s t r u c t i o n . W o o d w a r d a n d E l l i o t ( 1 9 9 0 ) , h o w e v e r , r e m i n d e d u s t h a t t h e t e r m " d e p e n d e n c e " i s m i s l e a d i n g . W e s h o u l d n o t i n t e r p r e t i t t o i n d i c a t e t h a t t h e t e a c h e r f o l l o w s t h e p l a n s i n t h e b o o k w o r d - f o r - w o r d . I n e a r l i e r s t u d i e s t h a t t e n d e d t o f o c u s m o r e h e a v i l y o n m a t h e m a t i c a l t o p i c s a n d s k i l l s t h a n o n p e d a g o g y a n d s t u d e n t a c t i v i t i e s , r e l y i n g o n t h e t e x t t o d e t e r m i n e t o p i c s , w h i l e d e s i g n i n g o n e ' s o w n i n s t r u c t i o n , w a s s e e n a s f o l l o w i n g t h e b o o k . A s r e s e a r c h e r s ' v i e w s o f t e a c h i n g h a v e b e c o m e m o r e c o m p l e x , r e c o g n i z i n g t h e c o n n e c t i o n s b e t w e e n w h a t i s b e i n g t a u g h t a n d h o w i t i s t a u g h t , t h e y h a v e g i v e n g r e a t e r a t t e n t i o n t o o t h e r a s p e c t s o f t e a c h i n g t h a n a c t u a l t o p i c s . N e v e r t h e l e s s , m a n y o f t h e s e s t u d i e s h a v e f o c u s e d o n t h e t e x t a s u n a m b i g u o u s a n d h a v e a s k e d i f i t i s b e i n g f o l l o w e d . T h e r e a r e s t i l l r e l a t i v e l y f e w s t u d i e s t h a t l o o k c a r e f u l l y a t h o w t e a c h e r s u s e t e x t b o o k s a s r e s o u r c e s i n t h e i r p r a c t i c e . M c C u t c h e o n ' s ( 1 9 8 1 ) e t h n o g r a p h i c s t u d y o f t e a c h e r p l a n n i n g e x a m i n e d , a m o n g o t h e r f a c t o r s , h o w t e x t b o o k s i n fl u e n c e d t h e i r p l a n n i n g d e c i s i o n s . B y f o l l o w i n g t o p i c s f o u n d i n t e x t s , t e a c h e r s a l l o w e d a n u m b e r o f p e d a g o g i c a l a n d l o g i s t i c a l c o n c e r n s t o s h a p e h o w t h e y w o u l d t e a c h t h e m . T h e s e c o n c e r n s v a r i e d f r o m c l a s s r o o m c o n t r o l , t o a v a i l a b l e m a t e r i a l s , t o s t u d e n t s ' p r i o r e x p e r i e n c e s . K n o w l e d g e , a t t i t u d e s , a n d p e r c e p t i o n s o f t h e c o n t e x t a l s o w e i g h e d h e a v i l y i n t h e s e t e a c h e r s ' r e a s o n i n g . M c C u t c h e o n c l a i m e d t h a t t e a c h e r s t e n d e d t o t r a n s f o r m p r o g r a m r e c o m m e n d a t i o n s i n t o l e s s o n s t h a t t h e y b e l i e v e d t h e y c o u l d e n g i n e e r i n t h e c l a s s r o o m . O t h e r e x a m p l e s o f s u c h a d h e r e n c e t o t e x t b o o k t o p i c s , b u t t r a n s f o r m a t i o n o f p e d a g o g i c a l r e c o m m e n d a t i o n s , c a n 2 5 b e f o u n d i n G r a y b e a l a n d S t o d o l s k y ' s ( 1 9 8 7 ) s t u d y o f m a t h e m a t i c s a n d s o c i a l s t u d i e s a n d B u s h ' s ( 1 9 8 6 ) s t u d y o f p r e s e r v i c e t e a c h e r s . U s e a s i n t e r p r e t a t i o n . A fi n a l s t a n c e t h a t r e s e a r c h e r s o c c a s i o n a l l y t a k e i s t o f o c u s o n t h e t e a c h e r a s i n t e r p r e t e r o f t h e w r i t t e n c u r r i c u l u m . T h i s p e r s p e c t i v e a s s u m e s t h a t fi d e l i t y b e t w e e n w r i t t e n w o r d s i n a t e a c h e r ' s g u i d e a n d c l a s s r o o m a c t i o n i s i m p o s s i b l e . S i m i l a r t o t h e o t h e r p e r s p e c t i v e s d i s c u s s e d , t h i s v i e w a s s u m e s t h a t t e a c h e r s ' b e l i e f s a n d p e r c e p t i o n s s h a p e t h e w a y t h e y i n t e r p r e t t h e i r t e x t b o o k s . T h i s p e r s p e c t i v e , h o w e v e r , d o e s n o t a s s u m e t h a t t h e w r i t t e n t e x t h a s o n e m e a n i n g . T h r o u g h u s i n g t h e m , t e a c h e r s i n t e r p r e t t h e i n t e n t i o n s o f t h e a u t h o r s . T h e E P P S s t u d y t o o k t h i s p e r s p e c t i v e w i t h r e s p e c t t o t e x t b o o k s , a s w e l l a s p o l i c y d o c u m e n t s . T h e d o c u m e n t s w e r e w r i t t e n i n g e n e r a l , v i s i o n a r y l a n g u a g e a n d a r e i n c o m p l e t e r e g a r d i n g s p e c i fi c i n t e n t f o r c l a s s r o o m p r a c t i c e . M a n y o f t h e t e a c h e r s i n v o l v e d i n t h i s s t u d y w e r e u s i n g n e w l y a d o p t e d t e x t b o o k s t h a t p r e s e n t e d t h e i r i n t e r p r e t a t i o n o f t h e p o l i c y . T h e t e a c h e r s a l s o l e a r n e d o f t h e s t a t e ' s e f f o r t s t h r o u g h a v a r i e t y o f c h a n n e l s , e a c h p r o v i d i n g a n i m a g e o f t h e s t a t e - l e v e l p o l i c y a n d e x p e c t a t i o n s f o r i n s t r u c t i o n f r o m a s l i g h t l y d i f f e r e n t a n g l e . T e a c h e r s b r o u g h t t o t h e i r t e x t b o o k s a v a r i e t y o f p e r c e p t i o n s a b o u t t h e p o l i c y , m a t h e m a t i c s , a n d t e a c h i n g a n d l e a r n i n g i n t h e i r p a r t i c u l a r c l a s s r o o m . T h e s e p e r c e p t i o n s s h a p e d h o w t h e t o p i c s , r e c o m m e n d a t i o n s , s k i l l s , a n d e x a m p l e s i n t h e t e a c h e r ' s g u i d e t r a n s l a t e d f r o m w r i t t e n w o r d s i n t o c l a s s r o o m p r a c t i c e . A n o t h e r a r e a c a l l i n g f o r m o r e c l a r i t y i n t h e d i s c u s s i o n o f t e x t b o o k u s e i n v o l v e s t h e n a t u r e a n d c h a r a c t e r i s t i c s o f t e x t b o o k s . U p t o t h i s p o i n t , I h a v e f o c u s e d o n u n d e r s t a n d i n g t h e p e r c e p t i o n s t h a t t e a c h e r s b r i n g t o t h e i r t e x t b o o k u s e b u t h a v e n o t f o c u s e d o n t h e r o l e o f t h e t e x t b o o k i n t h i s p r o c e s s . T u r n i n g t o t h i s q u e s t i o n c a n b r o a d e n o n e ' s p e r s p e c t i v e o f t h e r e l a t i o n s h i p b e t w e e n w r i t t e n a n d e n a c t e d c u r r i c u l u m . 2 6 C h a r a c t e r i s t i c s o f T e x t s T e a c h e r s U s e T e x t b o o k s a r e t a l k e d a b o u t g e n e r i c a l l y ; h o w e v e r , a n a l y s e s o f t r a d i t i o n a l a n d i n n o v a t i v e t e x t b o o k s r e v e a l v a r i a t i o n a m o n g t h e m ( G r a y b e a l a n d S t o d o l s k y , 1 9 8 7 ; R e m i l l a r d , 1 9 9 1 b ) . C o n s e q u e n t l y , t o s a y t h a t a t e a c h e r f o l l o w s , t r a n s f o r m s , d r a w s u p o n , o r i n t e r p r e t s a t e x t , w i t h o u t s o m e i m a g e o f w h i c h p a r t o f t h e t e x t , p r o v i d e s o n l y p a r t i a l i n f o r m a t i o n a b o u t t h e n a t u r e o f t h e t e a c h e r ' s t e x t b o o k u s e . T h u s , t h e q u e s t i o n o f h o w r e s e a r c h e r s c h a r a c t e r i z e t e x t s , t h a t i s , w h a t t h e y c o n s i s t o f , n e e d s t o b e e x p l o r e d . D o i n g s o I w i l l d e v e l o p a c l e a r e r u n d e r s t a n d i n g o f w h a t t e a c h e r s c o n f r o n t i n t h e i r i n t e r a c t i o n s w i t h t e x t s a n d w i l l c r e a t e a c o n t e x t f o r t a l k i n g a b o u t t h e d i f f e r e n c e s a m o n g t e x t b o o k o f f e r i n g s a t a l l l e v e l s , n o t j u s t b e t w e e n t r a d i t i o n a l a n d i n n o v a t i v e . S e v e r a l r e s e a r c h e r s , w h o s e w o r k I h a v e d i s c u s s e d , h a v e l o o k e d s p e c i fi c a l l y a t t h e d i f f e r e n t c o m p o n e n t s o f t e x t b o o k o f f e r i n g s a n d h a v e c h a r a c t e r i z e d h o w t e a c h e r s t r e a t e a c h . I n t h i s s e c t i o n , I c o n s i d e r f r a m e w o r k s u s e d b y F r e e m a n a n d P o r t e r ( 1 9 8 9 ) a n d S t o d o l s k y ( 1 9 8 9 ) . S t o d o l s k y ( 1 9 8 9 ) u s e d t h r e e b r o a d c a t e g o r i e s t o d e s c r i b e m a j o r c h u n k s o f t h e f o u r t e x t b o o k s s h e a n d h e r c o l l e a g u e o b s e r v e d t e a c h e r s u s e : ( a ) t o p i c s , ( b ) s t u d e n t p a g e s , a n d ( c ) t e a c h e r s u g g e s t i o n s . E v e n t h o u g h t h e s i x t e a c h e r s t h e y s t u d i e d v a r i e d c o n s i d e r a b l y i n t h e i r o v e r a l l u s e , t h e y f o u n d s e v e r a l p o i n t s o f a g r e e m e n t i n r e l a t i o n t o t h e s e c a t e g o r i e s . T h e g r e a t e s t a m o u n t o f a g r e e m e n t w a s i n t h e i r a d h e r e n c e t o t h e t o p i c s i n t h e t e x t b o o k , a l t h o u g h t h e s e q u e n c i n g o f t h e s e t o p i c s w a s n o t c o n s i s t e n t . T h e r e w a s l i t t l e c o n s i s t e n c y b e t w e e n t h e s u g g e s t e d a c t i v i t i e s i n t h e t e a c h e r ' s g u i d e a n d t h e a c t u a l c l a s s r o o m p r a c t i c e ; m o s t t e a c h e r s m a d e s i g n i fi c a n t d e p a r t u r e s f r o m t h e s u g g e s t i o n s i n t h e i r g u i d e s . I n g e n e r a l , t e a c h e r s r e a d i l y d i s p e n s e d w i t h m a n i p u l a t i v e a c t i v i t i e s a n d s u g g e s t i o n s f o r e n r i c h m e n t . I n r e g a r d s t o t h e s t u d e n t p a g e s , f o u r o f t h e s i x t e a c h e r s u s e d t h e m r e g u l a r l y b u t s u p p l e m e n t e d t h e m w i t h p r o b l e m s a n d a c t i v i t i e s f r o m o t h e r s o u r c e s . I n s u m m a r y , i t s e e m s t h a t t e a c h e r s w e r e m o s t l i k e l y t o u s e t h e t o p i c s a n d e x e r c i s e s t h a t a p p e a r e d o n t h e s t u d e n t s ' p a g e s a n d f e l t f r e e r t o o m i t o r r e v i s e 2 7 s u g g e s t i o n s i n t h e i r g u i d e s . T h e s e c a t e g o r i e s a r e h e l p f u l i n r e v e a l i n g p a t t e r n s i n t e a c h e r s ' u s e o f s p e c i f i c p a r t s o f t e x t b o o k s . N e v e r t h e l e s s , t h e y f o c u s o n s t r u c t u r a l f e a t u r e s o f t h e t e x t s , i . e . , w h e r e t h i n g s a r e l o c a t e d , r a t h e r t h a n s u b s t a n t i v e e l e m e n t s , t h u s o f f e r i n g l i m i t e d i n s i g h t i n t o h o w d i f f e r e n t t y p e s o f s t u d e n t e x e r c i s e s o r t o p i c s a r e t r e a t e d . F r e e m a n a n d P o r t e r ( 1 9 8 9 ) u s e d fi v e c a t e g o r i e s , t h u s p r o v i d i n g a d d i t i o n a l d e t a i l s a b o u t t h e n a t u r e o f t h e i t e m s i n e a c h . T h e i r fi n d i n g s a r e s i m i l a r t o S t o d o l s k y ' s ( 1 9 8 9 ) . T h e m o s t c o m m o n l y u s e d p o r t i o n o f t h e t e x t b o o k s w a s t h e s t u d e n t e x e r c i s e s ( 9 2 % ) . E i g h t y - s i x p e r c e n t o f t h e r e v i e w s e c t i o n s , 7 3 % o f t h e t e a c h e r d i r e c t i v e s , a n d 5 6 % o f t h e e n r i c h m e n t s e c t i o n s w e r e u s e d . T h e s e c t i o n s i n t h e t e x t b o o k s u s e d t h e l e a s t w e r e t h o s e t h a t p r o v i d e d a d d i t i o n a l p r a c t i c e ( 2 3 % ) . W h a t w e d o n o t g a t h e r f r o m t h e s e s t a t i s t i c s i s w h e t h e r s i m i l a r i t i e s e x i s t i n t h e n a t u r e o f t h e 8 % o f s t u d e n t e x e r c i s e s a n d 1 4 % o f r e v i e w s e c t i o n s n o t u s e d . I n b o t h c a s e s , a t t e m p t s t o p r o v i d e g r e a t e r d e t a i l a b o u t t h e n a t u r e o f t e a c h e r s ' t e x t b o o k u s e b y f o c u s i n g o n p a r t i c u l a r c h a r a c t e r i s t i c s o f t e x t s h e l p t o m a k e t h e p i c t u r e m o r e c o m p l e x . V a r i o u s c h a r a c t e r i s t i c s o f t h e t e x t a c t u a l l y s h a p e w h e t h e r t h e t e a c h e r s u s e t h e m . A c o m p o n e n t t h a t t h e s e s t u d i e s a r e m i s s i n g , h o w e v e r , i s t h e t e a c h e r ' s p e r s p e c t i v e . M u c h c a n b e l e a r n e d f r o m t e a c h e r s a b o u t w h y t h e y m a d e t h e s e l e c t i o n s t h e y d i d . I n a d d i t i o n , t h e s e s t u d i e s d o n o t c o n t r i b u t e t o o n e ' s u n d e r s t a n d i n g 0 f h o w t h e t e a c h e r u s e d t h e s e c o m p o n e n t s . T e x t b o o k s a s R e f o r m L e v e r s I n t h e f a c e o f t h e e v i d e n c e w e h a v e a b o u t v a r i a t i o n s i n t e a c h e r s ' t e x t b o o k u s e , i t i s i r o n i c t h a t t h e y c o n t i n u e t o b e t h e p r i m a r y m e a n s t o g u i d e a n d l e v e r a g e i n s t r u c t i o n a l r e f o r m . D i s t r i c t s t h r o u g h o u t t h e n a t i o n a r e t u r n i n g t o t h e n e w l y r e v i s e d t e x t b o o k s i n t h e c o m m e r c i a l m a r k e t . W i t h t h e h e l p o f m a n y f e d e r a l a n d p r i v a t e d o l l a r s , a n u m b e r o f m a t h e m a t i c s e d u c a t o r s a r e i n t h e p r o c e s s o f d e v e l o p i n g a l t e r n a t i v e c u r r i c u l u m m a t e r i a l s . G i v e n t h e p r e s e n c e o f t e x t b o o k s i n A m e r i c a n c l a s s r o o m s ( K o m o s k i , 1 9 7 7 ) , t h i s i s n o t a s u r p r i s i n g a p p r o a c h . N e v e r t h e l e s s , s o m e o f t h e fi n d i n g s t h a t I j u s t d i s c u s s e d s u g g e s t 2 8 t h a t m e r e l y g i v i n g t e a c h e r s a p a r t i c u l a r t e x t d o e s n o t e n s u r e t h e t y p e o f c l a s s r o o m p r a c t i c e t h a t w i l l r e s u l t . T h i s s e e m s t o b e t h e c a s e p a r t i c u l a r l y w h e n t e a c h e r s a r e u s i n g t e x t s d e s i g n e d t o p r e s e n t a n o n c o n v e n t i o n a l v i e w o f m a t h e m a t i c s . S e v e n o f t h e s t u d i e s d e s c r i b e d e a r l i e r ( D o n o v a n , 1 9 8 3 ; R e m i l l a r d , 1 9 9 1 c , 1 9 9 2 ; S a r a s o n , 1 9 8 2 ; S t a k e 8 : E a s l e y , 1 9 7 8 ; S t e p h e n s , 1 9 8 2 ; W i e m e r s - J e n n i n g s , 1 9 9 0 ) w e r e o f t e a c h e r s u s i n g t e x t s r e v i s e d i n r e s p o n s e t o a r e f o r m o r , b y d e s i g n , n o n c o n v e n t i o n a l . I n a l l b u t t w o o f t h e s e c a s e s , t h e r e s e a r c h e r s r e p o r t e d i n s t a n c e s i n w h i c h t e a c h e r s h a d d i f fi c u l t y w i t h , o r s i g n i f i c a n t l y a l t e r e d , s u g g e s t i o n s i n t h e t e x t . I n t h e o t h e r t w o c a s e s ( R e m i l l a r d , 1 9 9 2 ; W i e m e r s - J e n n i n g s , 1 9 9 0 ) , t h e t e a c h e r s t r i e d n e w s u g g e s t i o n s a n d c a m e a w a y w i t h n e w p e d a g o g i c a l i n s i g h t s . T h e s e t w o c a s e s o f c h a n g e i n v o l v e d t e x t b o o k s p u b l i s h e d b y c o m m e r c i a l p u b l i s h e r s , w h i c h w e r e n o t s u b s t a n t i a l l y d i f f e r e n t f r o m t h e m a i n s t r e a m . I t i s p o s s i b l e t h a t t h e f a m i l i a r i t y o f t h e t e x t p l a y s a r o l e i n t e a c h e r s ' w i l l i n g n e s s t o u s e i t , a l t h o u g h t h i s i s a q u e s t i o n r e q u i r i n g f u r t h e r e x p l o r a t i o n . S o m e r e s e a r c h e r s m i g h t a r g u e t h a t m a k i n g t h e t e a c h e r - t e x t r e l a t i o n s h i p t h e c e n t r a l f a c t o r i n a n a l y s i s o v e r s i m p l i fi e s t h e p i c t u r e o f t e x t b o o k s i n t e a c h i n g . S o s n i a k a n d S t o d o l s k y ( 1 9 9 3 ) s t u d i e d e l e m e n t a r y t e a c h e r s ' u s e o f t e x t b o o k s i n f o u r s u b j e c t s . T h e p a t t e r n s o f t e x t b o o k u s e o b s e r v e d w e r e i n c o n s i s t e n t a c r o s s t e a c h e r s a n d s c h o o l s u b j e c t s . T e a c h e r s d i d n o t s e e t h e m a s " b l u e p r i n t s " o r " d r i v i n g f o r c e s . " R a t h e r , t h e y v i e w e d t h e m a s " p r o p s i n t h e s e r v i c e o f m a n a g i n g l a r g e r a g e n d a s " ( p . 2 7 1 ) . T h i s fi n d i n g s u g g e s t s t h a t w e n e e d t o u n d e r s t a n d t e a c h e r s ' l a r g e r a g e n d a s a n d t h e r o l e t h e t e x t b o o k p l a y s i n t h e m . T h i s p e r s p e c t i v e m a k e s t h e t e a c h e r s ' r e l a t i o n s h i p w i t h t h e c u r r i c u l u m c e n t r a l a n d v i e w s t h e t e x t b o o k a s o n e o f m a n y t o o l s . T h e s e fi n d i n g s s u g g e s t a n e e d f o r u n d e r s t a n d i n g t e a c h e r s ' l a r g e r c u r r i c u l a r a g e n d a s a n d t h e r o l e t h e t e x t b o o k p l a y s i n t h e m . T h e T e a c h e r a n d C u r r i c u l u m R e l a t i o n s h i p T h e s t u d i e s d e s c r i b e d a b o v e h a v e f o c u s e d o n t h e r e l a t i o n s h i p b e t w e e n t e a c h e r s a n d t e x t b o o k s , p l a c i n g t h e c u r r i c u l u m i n t h e b a c k g r o u n d . O t h e r r e s e a r c h e r s h a v e 2 9 s t u d i e d c l a s s r o o m p r a c t i c e b y e x a m i n i n g h o w t e a c h e r s c o n s t r u c t o r e n a c t c u r r i c u l u m i n t h e i r c l a s s r o o m s . T h i s r e s e a r c h i n c l u d e s h o w t h e y d r a w o n v a r i o u s r e s o u r c e s , i n c l u d i n g t e x t b o o k s , a n d a s s u m e s t h a t t h e p r o c e s s n e c e s s a r i l y i n v o l v e s i n t e r p r e t i n g t h e m e a n i n g s a n d i n t e n t s o f t h e s e r e s o u r c e s ( D o y l e , 1 9 9 3 ) . I m p l i c i t i n s t u d i e s o f t e a c h e r s ' c u r r i c u l u m p r o c e s s e s i s a v i e w t h a t t h e c u r r i c u l u m i s m o r e t h a n w h a t i s c a p t u r e d i n o f fi c i a l p o l i c y d o c u m e n t s o r t e x t b o o k s . I n o r d e r t o d i s t i n g u i s h a m o n g t h e v a r i o u s r e p r e s e n t a t i o n s o f c u r r i c u l u m , t h e o r i s t s h a v e d e l i n e a t e d c a t e g o r i e s t o d e s c r i b e t h e m . F o r m a l ( D o y l e , 1 9 9 2 ) o r p l a n n e d c u r r i c u l u m ( G e h r k e , K n a p p , 8 : S i r o t n i k , 1 9 9 2 ) , f o r e x a m p l e , r e f e r s t o t h e g o a l s a n d a c t i v i t i e s o u t l i n e d b y s c h o o l p o l i c i e s o r d e s i g n e d i n t e x t b o o k s . T h e i n t e n d e d c u r r i c u l u m r e f e r s t o t e a c h e r s ' a i m s , w h e r e a s t h e e n a c t e d o r e x p e r i e n c e d c u n i c u l u m r e f e r s t o w h a t a c t u a l l y t a k e s p l a c e i n t h e c l a s s r o o m ( G e h r k e e t a l . , 1 9 9 2 ) . T h e s e m e a n i n g s a r e r e l e v a n t t o m y r e s e a r c h b e c a u s e e x a m i n i n g t h e r o l e t h a t a t e x t b o o k p l a y e d i n c l a s s r o o m p r a c t i c e i n v o l v e d l o o k i n g a t t h e r e l a t i o n s h i p b e t w e e n t h e p l a n n e d c u r r i c u l u m a n d t h a t e n a c t e d b y t h e t e a c h e r . T h e e n a c t e d c u r r i c u l u m h a s b e e n o f r e c e n t i n t e r e s t t o r e s e a r c h e r s b e c a u s e i t a c k n o w l e d g e s t h e r o l e o f t e a c h e r s i n c r e a t i n g c u r r i c u l u m ( C o n n e l l y 8 : C l a n d i n i n , 1 9 8 6 ; C o m b l e t h , 1 9 8 8 ; P o s n e r 1 9 8 8 ; S n y d e r , B o l i n , 8 : Z u m w a l t , 1 9 9 2 ) . I t a l s o c h a n g e s t h e f o c u s o f r e s e a r c h f r o m t h e " r e m o t e c o n t r o l " o f t e a c h i n g t o t e a c h e r s ' c u n i c u l u m p r o c e s s e s ( D o y l e , 1 9 9 3 ) . F r o m t h i s p e r s p e c t i v e , s t u d y i n g t h e r o l e o f t e x t b o o k s i n t e a c h e r s ' m a t h e m a t i c s t e a c h i n g i n v o l v e s s t u d y i n g t e a c h e r ' s p r o c e s s e s o f c o n s t r u c t i n g t h e e n a c t e d c u r r i c u l u m a n d t h e r o l e t h a t r e s o u r c e s , l i k e t h e t e x t , p l a y i n i t . T h i s v i e w o f t h e p r o c e s s o f c u r r i c u l u m c o n s t r u c t i o n t h r o u g h t h e i n - a c t i o n t h o u g h t s a n d a c t i v i t i e s o f t e a c h e r s i s b a s e d o n t w o r e l a t e d a s s u m p t i o n s a b o u t t h e m e a n i n g o f c u r r i c u l u m a n d i t s r e l a t i o n s h i p t o t e a c h i n g . F i r s t , i t a s s u m e s a n i n t e g r a t i o n o f t w o a s p e c t s o f t e a c h i n g c o n v e n t i o n a l l y t r e a t e d a s d i s t i n c t : c u r r i c u l u m a n d i n s t r u c t i o n ( C l a n d i n i n 8 : C o n n e l l y , 1 9 9 2 ) . R a t h e r t h a n d e fi n i n g c u r r i c u l u m a s t h e e d u c a t i o n a l o b j e c t i v e s o r t h e w h a t o f t e a c h i n g , a n d i n s t r u c t i o n a s t h e h o w , t h i s v i e w a s s u m e s t h a t 3 0 t h e h o w a n d t h e w h a t , t h e m e a n s a n d t h e e n d s , a r e i n e x t r i c a b l y l i n k e d . S e c o n d , t h i s v i e w o f c u r r i c u l u m a n d c u r r i c u l u m d e v e l o p m e n t a s s u m e s t h a t t h e t e a c h e r i s a n a c t i v e c r e a t o r o f c u r r i c u l u m , r a t h e r t h a n a t r a n s m i t t e r o r i m p l e m e n t o r o f i t . S o m e v i e w t e a c h e r s a s d e l i v e r e r s o f c u r r i c u l u m ( V e n e n z k e y , 1 9 9 2 ) , t h a t i s , c o n d u i t s b e t w e e n i n t e n d e d l e a r n i n g g o a l s a n d s t u d e n t s . M y v i e w i s t h a t t e a c h e r s , t h r o u g h t h e i r w o r k , c o n t r i b u t e s u b s t a n t i a l l y t o t h e c o n s t r u c t i o n o f c u r r i c u l u m ( C l a n d i n i n 8 : C o n n e l l y , 1 9 9 2 ) . R e s e a r c h o n p o l i c y a n d p r a c t i c e a n d t e a c h e r s ' r e l a t i o n s h i p s w i t h t e x t b o o k s m o t i v a t e d t h e d e s i g n a n d i n i t i a l q u e s t i o n o f m y s t u d y . R e s e a r c h o n t e a c h e r s ' c u r r i c u l u m p r o c e s s e s b e c a m e c r u c i a l d u r i n g m y a n a l y s i s a s i t b e c a m e i n c r e a s i n g l y e v i d e n t t h a t s t u d y i n g h o w t e a c h e r s m a k e s e n s e o f a n d u s e a r e f o r m - o r i e n t e d m a t h e m a t i c s t e x t b o o k i n v o l v e d s t u d y i n g t e a c h e r s ' c u r r i c u l u m c o n s t r u c t i o n . T h i s d o m a i n o f r e s e a r c h b r o a d e n e d m y p e r s p e c t i v e o n w h a t I w a s s t u d y i n g b y b r i n g i n g t h e e n a c t e d c u r r i c u l u m t o t h e f o r e . I n t h e r e m a i n d e r o f t h i s c h a p t e r , I d e s c r i b e m y s t u d y a n d i t s r e l e v a n c e t o m a t h e m a t i c s a n d t e a c h e r e d u c a t i o n . A S t u d y o f T e a c h e r s , T e x t b o o k s , a n d C u r r i c u l u m i n t h e C o n t e x t o f R e f o r m I n t h i s s t u d y I e x a m i n e d t w o t e a c h e r s u s i n g a n e w t e x t b o o k f o r t h e fi r s t t i m e . T h e o v e r a r c h i n g r e s e a r c h q u e s t i o n w a s : W h a t f a c t o r s i n fl u e n c e h o w e l e m e n t a r y t e a c h e r s m a k e s s e n s e o f a r e f o r m - o r i e n t e d m a t h e m a t i c s t e x t b o o k d u r i n g i t s fi r s t y e a r o f u s e ? M y a i m w a s t o e x p l o r e i s s u e s i n t e a c h e r s ' t e x t b o o k u s e b y e x a m i n i n g t h e r e l a t i o n s h i p s t w o t e a c h e r s d e v e l o p w i t h t h e i r t e x t s , f a c t o r s t h a t c o n t r i b u t e t o t h e r e l a t i o n s h i p s , a n d h o w t h e y a r e e n a c t e d i n c l a s s r o o m p r a c t i c e . T h i s s t u d y b u i l d s o n t h e r e s e a r c h d i s c u s s e d a b o v e o n t e a c h e r s ' u s e o f t e x t b o o k s . T h e s e s t u d i e s c o n fi r m t h e v a r i a t i o n i n t e x t b o o k u s e , s u g g e s t i n g t h a t f a c t o r s s u c h a s t h e t e a c h e r s ' o r i e n t a t i o n s a n d b e l i e f s , i d e a s e m b r a c e d i n t h e i r t e x t b o o k s , a n d c o n t e x t s i n w h i c h t h e y t e a c h s i g n i fi c a n t l y i n fl u e n c e t h e i r i n t e r a c t i o n s w i t h t h e t e x t . Y e t , t h e y p r o v i d e l i t t l e d e t a i l a b o u t t h e n a t u r e o f t h e s e i n t e r a c t i o n s a n d h o w t h e y fi g u r e i n t h e c u r r i c u l u m c o n s t r u c t i o n p r o c e s s . T h e s e d e t a i l s , h o w e v e r , a r e 3 1 c r u c i a l t o u n d e r s t a n d i n g w h e t h e r a n d h o w t e x t b o o k s c a n c o n t r i b u t e t o c h a n g e i n m a t h e m a t i c s t e a c h i n g . T h u s , I u s e d c a s e s t u d y m e t h o d o l o g y t o i n v e s t i g a t e t h e i n t e r a c t i v e r e l a t i o n s h i p s b e t w e e n a n e w m a t h e m a t i c s t e x t b o o k a n d t e a c h e r s ' t h i n k i n g a b o u t , a n d t e a c h i n g o f , m a t h e m a t i c s . B e c a u s e t h e t e x t b o o k p r o p o s e d n o n t r a d i t i o n a l a p p r o a c h e s t o t e a c h i n g a n d l e a r n i n g m a t h e m a t i c s , I w a s p a r t i c u l a r l y i n t e r e s t e d i n t h e p o t e n t i a l f o r t h i s r e l a t i o n s h i p t o p r o m o t e l e a r n i n g a n d c h a n g e i n t h e t e a c h e r s . I n t h e f o l l o w i n g s e c t i o n s I d i s c u s s k e y a s s u m p t i o n s u n d e r l y i n g t h e s t u d y ' s d e s i g n . S e n s e - M a k i n g a n d t h e F a c t o r s T h a t I n fl u e n c e I t I r e f e r t o t h e p r o c e s s t h r o u g h w h i c h t e a c h e r s b e c a m e f a m i l i a r w i t h , r e l a t e d t o , a n d c a m e t o u s e t h e i r t e x t b o o k s a s m a k i n g s e n s e . E m b e d d e d i n m y u s e o f t h i s t e r m a r e t h e a s s u m p t i o n s t h a t s e n s e - m a k i n g i s a n e c e s s a r y p a r t o f u s i n g a t e x t b o o k a n d t h a t t h e r e a r e m u l t i p l e w a y s t o m a k e s e n s e o f a s i n g l e t e x t b o o k . S e n s e - m a k i n g t a k e s t h e f o r m o f c o g n i t i v e a c t s o f c o n s t r u c t i n g m e a n i n g a n d a c t u a l a c t i o n s t a k e n i n p r a c t i c e w i t h r e s p e c t t o t h e t e x t o r s t u d e n t s . F o r e x a m p l e , h o w t e a c h e r s i n t e r p r e t t h e p u r p o s e o f t h e c o n t e n t s o f t h e i r t e x t b o o k s a n d h o w t h e c o n t e n t s o f t h e t e x t i n fl u e n c e t h e i r i d e a s a b o u t m a t h a r e t w o c o g n i t i v e f e a t u r e s o f s e n s e - m a k i n g . C l o s e l y r e l a t e d a r e o t h e r f e a t u r e s t h a t a r e m o r e d i r e c t l y o b s e r v a b l e i n t h e i r p r a c t i c e o r a c t i o n s s u c h a s w h a t p a r t s o f t h e t e x t t h e y r e a d a n d h o w t h e y r e a d t h e m , a s w e l l a s h o w t h e y t r a n s l a t e t h e m i n t o t a s k s t o p o s e t o s t u d e n t s . U n d e r s t a n d i n g s e n s e m a k i n g i s c r u c i a l t o u n d e r s t a n d i n g t h e r e l a t i o n s h i p s b e t w e e n t e x t b o o k s a n d p r a c t i c e b e c a u s e i t i s t h e s e n s e t h a t a t e a c h e r m a k e s o f t h e t e x t t h a t m e d i a t e s i t s r o l e i n t h i n k i n g a n d p r a c t i c e . T h i s s t u d y w a s d e s i g n e d t o i n q u i r e a b o u t t h e n a t u r e a n d p r o c e s s o f s e n s e - m a k i n g ; t o r e v e a l h o w i t i s i m p a c t e d b y v a r i o u s c h a r a c t e r i s t i c s o f t h e t e x t , t e a c h e r s , a n d c o n t e x t ; a n d t o u n d e r s t a n d h o w t h e s e n s e t e a c h e r s m a k e s i s r e fl e c t e d i n t h e i r t e a c h i n g p r a c t i c e s . I n o r d e r t o d e v e l o p a m o r e e l a b o r a t e u n d e r s t a n d i n g o f t h e p r o c e s s o f s e n s e - m a k i n g i n t h e c o n t e x t o f u s i n g a n e w 3 2 m a t h e m a t i c s t e x t b o o k , I e x a m i n e d h o w v a r i o u s c h a r a c t e r i s t i c s o f t h e t e x t , c o n t e x t , a n d i n d i v i d u a l t e a c h e r s i n fl u e n c e d t h i s p r o c e s s . T e x t b o o k F r e e m a n a n d P o r t e r ' s ( 1 9 8 9 ) a n d S t o d o l s k y ' s ( 1 9 8 9 ) r e s e a r c h s u g g e s t e d t h a t t e a c h e r s d r e w d i f f e r e n t l y f r o m v a r i o u s p a r t s o f t h e i r m a t h e m a t i c s t e x t s . M y a i m w a s t o e x t e n d t h i s w o r k b y p r o v i d i n g a d e t a i l e d p i c t u r e o f t h e t e x t i n u s e a n d h o w t h e t e a c h e r s i n t e r a c t e d w i t h i t . T h i s p i e c e o f t h e s t u d y w a s p a r t i c u l a r l y i m p o r t a n t f o r t w o r e l a t e d r e a s o n s . F i r s t , i t d i d n o t t r e a t t h e t e x t a s g e n e r i c o r i n t e r n a l l y c o n s i s t e n t . T e a c h e r s m i g h t r e s p o n d d i f f e r e n t l y t o d i f f e r e n t a s p e c t s o f t h e t e x t . F u r t h e r m o r e , b e c a u s e i t h a d b e e n r e v i s e d t o r e fl e c t r e f o r m - r e l a t e d i d e a s , t e a c h e r s w e r e l i k e l y t o e n c o u n t e r u n f a m i l i a r a s p e c t s o f t h e t e x t . U n d e r s t a n d i n g h o w t e a c h e r s m a k e s e n s e o f u n f a m i l i a r c h a r a c t e r i s t i c s i n a t e x t i s c r u c i a l t o s p e c u l a t i n g o n t h e r o l e t h a t c h a n g e d t e x t s m i g h t p l a y i n m a t h e m a t i c s e d u c a t i o n r e f o r m . S e c o n d , t h e a b o v e u n d e r s t a n d i n g a l s o c a n c o n t r i b u t e t o t h e w o r k o f t h o s e d e v e l o p i n g r e f o r m - o r i e n t e d c u r r i c u l u m m a t e r i a l s . C h a r a c t e r i s t i c s l i k e l y t o b e r e l e v a n t i n c l u d e f o r m a t , c o n t e n t s e l e c t i o n , s e q u e n c i n g , a n d p r e s e n t a t i o n , a s w e l l a s t h e w a y s i n w h i c h t h e s e a r e m a d e a c c e s s i b l e t o t h e t e a c h e r . ( I o — M e x ; T h e c o n t e x t i n w h i c h t e a c h e r s u s e d t h e s e n e w m a t e r i a l s w a s c o m p l e x , i n c l u d i n g t h e e t h o s , e x p e c t a t i o n s , o p p o r t u n i t i e s , a n d r e l a t i o n s h i p s i n t h e d i s t r i c t a n d p a r t i c u l a r s c h o o l s . I t a l s o i n c l u d e d c h a r a c t e r i s t i c s o f t h e t e a c h e r s ' p a r t i c u l a r c i r c u m s t a n c e s s u c h a s o p p o r t u n i t i e s t h e y h a d t o i n t e r a c t w i t h o t h e r s r e g a r d i n g m a t h e m a t i c s t e a c h i n g , t h e t y p e o f s u p p o r t a n d / o r p r e s s u r e s t h e y e x p e r i e n c e d f r o m c o l l e a g u e s , s u p e r i o r s , o r p a r e n t s , a n d t h e i r o n g o i n g e x p e r i e n c e s w i t h t h e t e x t , a s w e l l a s s t u d e n t s . T h e c o n t e x t a l s o i n c l u d e d t h e n a t i o n a l r e f o r m m o v e m e n t . m C h a r a c t e r i s t i c s t h a t i n d i v i d u a l t e a c h e r s b r o u g h t t o t h e i r u s e o f t h e t e x t b o o k s i g n i fi c a n t l y i n fl u e n c e d t h e s e n s e - m a k i n g p r o c e s s . D r a w i n g o n p r e v i o u s r e s e a r c h o n 3 3 t e a c h i n g , I e x a m i n e d t h e b e l i e f s a n d i d e a s t h a t t e a c h e r s b r o u g h t t o t h e i r t e a c h i n g a b o u t m a t h e m a t i c s , t e a c h i n g , l e a r n i n g , s t u d e n t s , p u r p o s e s o f s c h o o l , a n d t h e m s e l v e s a s t e a c h e r s a n d u s e r s o f t e x t b o o k s . T e a c h e r s a s C u r r i c u l u m D e v e l o p e r s A s e x p l a i n e d e a r l i e r , m y a n a l y s e s o f t h e t e a c h e r s ' i n t e r a c t i o n s w i t h t h e t e x t f o c u s e d o n t h e r o l e i t p l a y e d i n t h e i r c u r r i c u l u m e n a c t m e n t a c t i v i t i e s . I n C h a p t e r S i x , I r e f e r t o t h i s a s t h e t e a c h e r ' s r o l e i n c u r r i c u l u m d e v e l o p m e n t . T h i s t e r m g e n e r a l l y i s u s e d t o r e f e r t o t h o s e w h o w r i t e t e x t b o o k s o r m a t e r i a l s d e s i g n e d t o g u i d e t e a c h e r s i n t e a c h i n g , b u t I a l s o u s e i t t o r e f e r t o t e a c h e r s i n t h e p r o c e s s o f d e v e l o p i n g t h e e n a c t e d c u r r i c u l u m . M y a i m w a s t o e m p h a s i z e t h a t t h e c u r r i c u l u m d e v e l o p m e n t p r o c e s s d o e s n o t s t o p w h e n t e x t b o o k s a r e p r i n t e d ; r a t h e r , i t c o n t i n u e s w i t h t h e t e a c h e r i n t h e c l a s s r o o m . M y c h o i c e o f t h i s t e r m a l s o w a s i n fl u e n c e d b y B e n - P e r e t z ( 1 9 9 0 ) , w h o l a b e l e d t h e a l t e r a t i o n s , i n t e r p r e t a t i o n s , a n d a d a p t a t i o n s t h a t t e a c h e r s i m p o s e o n t e x t b o o k o f f e r i n g s a s t h e t e a c h e r ' s r o l e i n c u r r i c u l u m d e v e l o p m e n t . T h e I m p o r t a n c e o f C a s e s I n t h i s s t u d y I r e l i e d o n c a s e - s t u d y m e t h o d o l o g y t o a n a l y z e a n d p r e s e n t d a t a . T h i s c h o i c e w a s m o r e t h a n m e t h o d o l o g i c a l ; i t w a s r e l a t e d t o t h e o b j e c t o f s t u d y ( S t a k e , 1 9 7 8 ) . C a s e s t u d i e s a l l o w r e s e a r c h e r s a n d r e a d e r s t o e x a m i n e a " b o u n d e d s y s t e m " ( S m i t h , 1 9 7 8 ) i n i t s r i c h d e t a i l a n d c o m p l e x i t y . M y a i m w a s t o c a p t u r e a n d s t u d y t h e c o m p l e x i t y a n d d e t a i l o f t e a c h e r s ' e n c o u n t e r s w i t h a n e w t e x t b o o k . T h u s , t h e c a s e s t u d i e s I d e v e l o p e d p r e s e n t i n t e r p r e t i v e s t o r i e s o f t e a c h e r s ' e x p e r i e n c e s . R e s e a r c h e r s h a v e u s e d c a s e s t u d i e s e f f e c t i v e l y t o i l l u s t r a t e h o w t e a c h e r s m a k e s e n s e o f r e f o r m i n i t i a t i v e s b e c a u s e t h e y o f f e r r i c h p o r t r a i t s o f c l a s s r o o m p r a c t i c e t h a t i l l u s t r a t e i m p o r t a n t i s s u e s ( C o h e n 8 : B a l l , 1 9 9 0 ; P r a w a t , R e m i l l a r d , P u t n a m , 8 : H e a t o n , 1 9 9 2 ; S t a k e 8 : E a s l e y , 1 9 7 8 ) . E v e n t h o u g h c a s e s d o n o t o f f e r g r a n d g e n e r a l i z a t i o n s a c r o s s s i t u a t i o n s o r t e a c h e r s , t h e y s u g g e s t t h e m e s , a r e a s o f s i g n i fi c a n c e , o r p r o b l e m a t i c c i r c u m s t a n c e s t o r e s e a r c h e r s a n d r e a d e r s . O f t e n a s i n g l e c a s e c a n e s t a b l i s h l i m i t s t o 3 4 g e n e r a l i z a t i o n o r s u g g e s t a l t e r n a t i v e i n t e r p r e t a t i o n s . F u r t h e r m o r e , c o m p a r a t i v e a n a l y s e s o f c a s e s c a n s u g g e s t n e w i s s u e s o r p o s e p r o b l e m s n o t e v i d e n t i n a s i n g l e c a s e . T h e c a s e s a n d c r o s s - c a s e a n a l y s i s i n t h e c h a p t e r s t h a t f o l l o w r e p r e s e n t m u c h o f t h e p r o c e s s o f m y a n a l y s i s a s w e l l a s t h e p r o d u c t . T h e a c t o f d e v e l o p i n g c a s e s w a s a c r u c i a l a n a l y t i c a l t o o l . I n C h a p t e r 2 I d e l i n e a t e t h i s m e t h o d o l o g i c a l p r o c e s s i n g r e a t e r d e t a i l . I n C h a p t e r 3 I p r e s e n t a d e s c r i p t i o n a n d a n a l y s i s o f t h e t e x t b o o k u s e d b y b o t h t e a c h e r s i n t h e s t u d y . C h a p t e r s 4 a n d 5 p r e s e n t c a s e s t u d i e s o f t h e t e a c h e r s ' e n c o u n t e r s w i t h t h e t e x t . I n C h a p t e r 6 , I o f f e r a c o m p a r a t i v e a n a l y s i s o f t h e t w o c a s e s . F i n a l l y , c h a p t e r 7 p r e s e n t s c o n c l u s i o n s a n d i m p l i c a t i o n s o f t h e fi n d i n g s . E d u c a t i o n a l S i g p i fi c a n c e T h e fi n d i n g s o f t h i s s t u d y h a v e t h e p o t e n t i a l t o i n f o r m t h e w o r k o f t h r e e g r o u p s : ( a ) t e x t b o o k a u t h o r s , ( b ) p o l i c y m a k e r s a n d i m p l e m e n t o r s , a n d ( c ) t e a c h e r e d u c a t o r s . M y h o p e i s t h a t i t s p e a k s t o t e x t b o o k a u t h o r s w h o a i m t o c o m m u n i c a t e w i t h t e a c h e r s t h r o u g h t h e i r t e x t s . M y fi n d i n g s c o n t r i b u t e t o a d e e p e r u n d e r s t a n d i n g o f h o w a n d w h y t e a c h e r s r e s p o n d t o s p e c i fi c c h a r a c t e r i s t i c s o f a r e f o r m - o r i e n t e d t e x t a n d w h a t t h i s i m p l i e s f o r t h e i r t e a c h i n g . T h e y a l s o p r o v i d e d e t a i l s o n w h i c h a s p e c t s o f t h e t e x t a c t u a l l y c o n t r i b u t e d t o t e a c h e r s ' c u r r i c u l u m d e v e l o p m e n t . U n d e r s t a n d i n g t h e r e l a t i o n s h i p s b e t w e e n t e a c h e r s , t h e t e x t , a n d t h e c u r r i c u l u m i s o n l y a p i e c e o f t h e p u z z l e . E v e n t h o u g h c a r e f u l l y d e s i g n e d t e x t b o o k s m a y c o n t r i b u t e t o c h a n g e s i n t e a c h e r t h i n k i n g a n d p r a c t i c e s , a t e a c h e r ' s u s e o f a n y t e x t b o o k a l s o i s i n fl u e n c e d b y o t h e r f a c t o r s . M y fi n d i n g s p o i n t t o p a r t i c u l a r f a c t o r s s i g n i fi c a n t i n h o w t e a c h e r s u s e t e x t s . T h u s , t h e y s p e a k t o s c h o o l — , d i s t r i c t - , a n d s t a t e - l e v e l p o l i c y m a k e r s i n t e r e s t e d i n f o s t e r i n g c h a n g e s i n t h e w a y m a t h e m a t i c s i s t a u g h t . F i n a l l y , t h i s s t u d y s p e a k s t o t e a c h e r e d u c a t o r s a n d s t a f f d e v e l o p e r s . M y i n t e r e s t i n h o w t e a c h e r s l e a r n f r o m u s i n g t e x t s g r o w s o u t o f m y b e l i e f t h a t t e x t b o o k s c a n b e t o o l s f o r l e a r n i n g a b o u t t e a c h i n g a n d m a t h e m a t i c s - n o t j u s t t e a c h i n g g u i d e s . N e v e r t h e l e s s , t e a c h e r s m a y s e l d o m t h i n k o f t h e i r t e x t s a s t h i s t y p e o f r e s o u r c e . I n s o m e c a s e s , g o o d 3 5 t e a c h i n g i s d e fi n e d , i n p a r t , b y t h e d e g r e e t o w h i c h a t e a c h e r m o v e s a w a y f r o m h e r t e x t b o o k ( B a l l 8 : F e i m a n - N e m s e r , 1 9 8 8 ) . B a l l a n d F e i m a n - N e m s e r s u g g e s t t h a t t e a c h e r e d u c a t o r s s h o u l d p l a y a s i g n i fi c a n t r o l e i n h e l p i n g p r o s p e c t i v e t e a c h e r s l e a r n t o u s e t e x t b o o k s a s f o u n d a t i o n s f o r f u r t h e r l e a r n i n g : " B e g i n n i n g t e a c h e r s m u s t b e o r i e n t e d t o w a r d l e a r n i n g f r o m t e a c h e r ' s g u i d e s a n d o t h e r c u r r i c u l u m m a t e r i a l s , s o t h a t t h e y c a n m o v e t o w a r d b e i n g a b l e t o b u i l d t h e i r o w n u n i t s o f s t u d y t h a t a r e r e s p o n s i b l e t o s u b j e c t m a t t e r g o a l s a n d r e s p o n s i v e t o t h e i r s t u d e n t s " ( p . 3 3 8 ) . A s a t e a c h e r e d u c a t o r , a r t i c u l a t i n g w a y s t h a t p r o s p e c t i v e a n d p r a c t i c i n g t e a c h e r s c a n l e a r n f r o m r e f o r m - o r i e n t e d t e x t b o o k s h a s b e e n a n i m p o r t a n t p a r t o f m y w o r k . C H A P T E R T W O D E S C R I P T I O N O F M E T H O D O L O G Y A N D R E S E A R C H P R O C E D U R E S M e t h o d o l o g i c a l O v e r v i e w I n t h i s s t u d y , I e x a m i n e d t w o c o n t r a s t i n g c a s e s o f t e a c h e r s d u r i n g t h e i r fi r s t y e a r o f u s i n g a n e w t e x t b o o k . F o c u s i n g o n t w o t e a c h e r s e n a b l e d m e t o u n d e r t a k e i n - d e p t h i n v e s t i g a t i o n s o f e a c h t e a c h e r ' s p r o c e s s o f m a k i n g s e n s e o f t h e t e x t b o o k , w h i l e a l s o a l l o w i n g f o r c o n t r a s t s t o e m e r g e . E m p i r i c a l w o r k f o r t h i s s t u d y w a s b a s e d o n o b s e r v a t i o n s a n d i n t e r v i e w s o f t h e t w o t e a c h e r s t h r o u g h o u t t h e y e a r , c o n t e n t o f t h e H B J t e x t b o o k , a n d o t h e r c l a s s r o o m a r t i f a c t s . M y i n t e r e s t i n u n d e r s t a n d i n g a n d a r t i c u l a t i n g t h e r e l a t i o n s h i p s t h a t e m e r g e d a m o n g t h e t e a c h e r , t h e t e x t b o o k , a n d t h e c u r r i c u l u m l e d m e t o e m p l o y a p h e n o m e n o l o g i c a l a p p r o a c h t o i n q u i r y i n w h i c h i n t e r p r e t a t i o n w a s c e n t r a l ( P a t t o n , 1 9 9 0 ) . T h i s p e r s p e c t i v e e x a m i n e s t h e e s s e n c e o f p e o p l e ' s e x p e r i e n c e s a n d h o w t h e y m a k e s e n s e o f t h e m . M y a i m w a s t o d e s c r i b e , e x p l a i n , a n d c o m p a r e t h e t e a c h e r s ' e x p e r i e n c e s t e a c h i n g m a t h e m a t i c s a n d u s i n g t h e t e x t b o o k . T h u s , I d e s i g n e d t h e i n t e r v i e w s t o p r o b e t h e i r t e a c h i n g d e c i s i o n s a n d e x p e r i e n c e s w i t h t h e t e x t b o o k , a s w e l l a s t h e f a c t o r s t h a t i n fl u e n c e d t h e m . T h e o b s e r v a t i o n s p r o v i d e d i m a g e s o f t h e i r t e a c h i n g a n d i n t e r a c t i o n s w i t h t h e t e x t t h a t I l a t e r e x p l o r e d t h r o u g h i n t e r v i e w s . M y e x a m i n a t i o n o f t h e t e x t b o o k p r o v i d e d a n o t h e r l e n s t h r o u g h w h i c h t o o b s e r v e a n d i n t e r v i e w t h e t e a c h e r s . I n t h i s w a y , t h e s e t h r e e s o u r c e s o f d a t a c o l l e c t i o n s e r v e d t o i n f o r m o n e a n o t h e r a n d a l l o w e d m e t o c r o s s - c h e c k a n d v a l i d a t e m y fi n d i n g s ( P a t t o n , 1 9 9 0 ) . B e c a u s e I w a s i n t e r e s t e d i n w h a t t h e t e a c h e r s b r o u g h t t o t h e i r i n t e r a c t i o n s w i t h t h e t e x t b o o k , t h e fi r s t i n t e r v i e w a l s o f o c u s e d o n t h e i r p e r s o n a l h i s t o r i e s r e l a t e d t o t e a c h i n g a n d l e a r n i n g m a t h e m a t i c s a n d t h e i r b e l i e f s , c o n c e p t i o n s , v i e w s , a n d k n o w l e d g e a b o u t t h e s e a r e a s . 3 6 3 7 I n o r d e r t o l o o k a t t h e t w o t e a c h e r s c o m p a r a t i v e l y , I u s e d c a s e s t u d i e s t o a n a l y z e , i n t e r p r e t , a n d d i s p l a y m y fi n d i n g s f o r e a c h t e a c h e r a n d t h e n t o m a k e c o m p a r i s o n s a c r o s s t h e m . C a s e s t u d i e s a i m t o d e s c r i b e t h e u n i t o f a n a l y s i s i n d e p t h , w i t h d e t a i l , a n d i n c o n t e x t ( S t a k e , 1 9 7 8 ) . I n t h i s s t u d y , t h e u n i t o f a n a l y s i s w a s t h e t e a c h e r ' s c u r r i c u l u m c o n s t r u c t i o n a n d t h e t e x t ' s r o l e i n i t . P a t t o n ( 1 9 9 0 ) a r g u e d t h a t c a s e s t u d i e s a r e p a r t i c u l a r l y v a l u a b l e w h e n t r y i n g t o c a p t u r e " i n d i v i d u a l d i f f e r e n c e s o r u n i q u e v a r i a t i o n s f r o m o n e p r o g r a m s e t t i n g t o a n o t h e r , o r f r o m o n e p r o g r a m e x p e r i e n c e t o a n o t h e r " ( p . 5 4 ) . W i t h t h i s i n m i n d , I f o l l o w e d t h e w r i t i n g o f t h e t w o c a s e s w i t h a c r o s s - c a s e a n a l y s i s i n w h i c h I e x a m i n e d t h e m e s t h a t c u t a c r o s s b o t h a n d t h e n u s e d t h e i n d i v i d u a l c a s e s t o e x p l a i n d i f f e r e n c e s w i t h i n t h e s e t h e m e s . I n t h i s c h a p t e r I d e s c r i b e m y r e s e a r c h p r o c e d u r e s . I e x p l a i n m y s a m p l e s e l e c t i o n a n d m e t h o d s o f d a t a c o l l e c t i o n a n d a n a l y s i s . I a l s o d e s c r i b e t h e p r o c e s s o f a n a l y z i n g a c r o s s t h e t w o c a s e s f r o m w h i c h m y c e n t r a l fi n d i n g s e m e r g e d . M e t h o d o l o g i c a l P r o c e d u r e s S a m p l e S e l e c t i o n S i t e S e l e c t i o n T h i s s t u d y w a s p a r t o f a l o n g i t u d i n a l i n v e s t i g a t i o n o f t h e r e l a t i o n s h i p b e t w e e n p o l i c y a n d p r a c t i c e i n m a t h e m a t i c s a n d r e a d i n g i n s t r u c t i o n i n t h r e e s t a t e s . P r o j e c t r e s e a r c h e r s s e l e c t e d s e v e r a l d i s t r i c t s i n e a c h s t a t e f r o m w h i c h t o d r a w s c h o o l s . T h e M a p l e t o n S c h o o l D i s t r i c t w a s o n e o f M i c h i g a n ' s d i s t r i c t s p a r t i c i p a t i n g i n t h i s s t u d y a n d o n e o f t h e 1 0 l a r g e s t i n t h e s t a t e ; i t i n c l u d e d 3 7 e l e m e n t a r y s c h o o l s . L i k e m a n y d i s t r i c t s , M a p l e t o n w a s s t r u g g l i n g fi n a n c i a l l y . P r i o r t o t h e b e g i n n i n g o f t h i s s t u d y , t h e d i s t r i c t w a s f a c e d w i t h c u t t i n g $ 7 m i l l i o n f r o m i t s b u d g e t i n o r d e r t o c o m p l y w i t h t h e s t a t e m a n d a t e t h a t a l l s c h o o l d i s t r i c t s o p e r a t e w i t h i n a b a l a n c e d b u d g e t . T h e d i s t r i c t w a s s i t u a t e d i n a r n i d s i z e , u r b a n c i t y o f a p p r o x i m a t e l y o n e q u a r t e r m i l l i o n p e o p l e . T h e c i t y ' s r e s i d e n t s w e r e p r i m a r i l y w o r k i n g c l a s s b u t a l s o i n c l u d e d a l o w - i n c o m e p o p u l a t i o n . O n e t h i r d o f t h e f a m i l i e s i n t h e d i s t r i c t l i v e d i n p o v e r t y . 3 8 A p p r o x i m a t e l y o n e t h i r d o f t h e s t u d e n t s w e r e A f r i c a n A m e r i c a n , o n e t e n t h w e r e H i s p a n i c A m e r i c a n , a p p r o x i m a t e l y o n e h a l f w e r e A n g l o A m e r i c a n , a n d a s m a l l p e r c e n t a g e w e r e A s i a n A m e r i c a n . I n 1 9 7 0 , t h e d i s t r i c t i n t r o d u c e d a b u s s i n g p r o g r a m i n r e s p o n s e t o a c o u r t - o r d e r e d d e s e g r e g a t i o n m a n d a t e . I s e l e c t e d t h e M a p l e t o n D i s t r i c t b e c a u s e i t r e c e n t l y h a d a d o p t e d a n e w m a t h e m a t i c s t e x t b o o k w i t h t h e i n t e n t o f a l i g n i n g m a t h e m a t i c s i n s t r u c t i o n i n t h e d i s t r i c t m o r e c l o s e l y t o c u r r e n t n a t i o n a l a n d s t a t e w i d e r e f o r m s . D u r i n g t h e 1 9 9 1 - 9 2 s c h o o l y e a r , f o u r n e w l y p u b l i s h e d t e x t s w e r e p i l o t e d b y s e v e r a l e l e m e n t a r y t e a c h e r s a t e a c h g r a d e l e v e l t h r o u g h o u t t h e d i s t r i c t . A f t e r m u c h d e l i b e r a t i o n , M a t h e m a t i c s P l u s w a s s e l e c t e d . T h e d i s t r i c t a l s o m a d e t h e c o m m i t m e n t t o p u r c h a s e t h e m a n i p u l a t i v e s c a l l e d f o r i n t h e t e x t . T h e s e i n c l u d e d c l a s s r o o m s e t s o f m a t e r i a l s s u c h a s b a s e — t e n b l o c k s , p a t t e r n b l o c k s , a n d c o u n t e r s . T h e d i s t r i c t m a t h c o o r d i n a t o r w a s c o m m i t t e d n o t o n l y t o a d o p t a t e x t b o o k t h a t c o u l d m o v e m a t h i n s t r u c t i o n t o w a r d c h a n g e b u t a l s o t o m a k e t h e n e e d e d s u p p l i e s r e a d i l y a c c e s s i b l e . I t a l s o i s w o r t h n o t i n g t h a t d u r i n g t h e d e l i b e r a t i o n s o v e r h o w t o r e d u c e t h e d i s t r i c t b u d g e t t h a t t h e t e a c h e r s ' u n i o n l o b b i e d v i g o r o u s l y t o d r o p t h e p u r c h a s e o f n e w t e x t s . L e d b y t h e m a t h c o o r d i n a t o r , t h e d i s t r i c t m a t h c o m m i t t e e p u s h e d t h e s e l e c t i o n a n d p u r c h a s e f o r w a r d . T h i s r e s i s t a n c e a n d t h e f a c t t h a t t h e d i s t r i c t w a s n o t d e t e r r e d f r o m p r o c e e d i n g w i t h t h e a d o p t i o n r e v e a l g e n e r a l t e n s i o n s i n t h e d i s t r a c t s u r r o u n d i n g t h e i s s u e o f c h a n g e i n m a t h e m a t i c s i n s t r u c t i o n . T h e u n i o n ' s e f f o r t s t o s t o p t h e p u r c h a s e o f t h e t e x t m a y n o t h a v e b e e n a n i n s t a n c e o f e x p l i c i t r e s i s t a n c e . I n t h e w a k e o f h a r s h b u d g e t c u t s , i t a p p e a r e d j u s t a s l i k e l y t h a t t h e y d i d n o t s e e t h e n e w m a t h t e x t a s a p r i o r i t y . T e a c h e r S e l e c t i o n I s e l e c t e d o n e f o u r t h - g r a d e t e a c h e r f r o m e a c h o f t w o s c h o o l s i n t h e M a p l e t o n S c h o o l D i s t r i c t . E v e n t h o u g h i t w a s n o t p a r t o f t h e d e s i g n , b o t h w e r e A n g l o A m e r i c a n w o m e n a n d v e t e r a n t e a c h e r s o f a p p r o x i m a t e l y 3 0 y e a r s ; b o t h h a d s p e n t m o s t o f t h o s e 3 9 y e a r s i n t h e M a p l e t o n S c h o o l D i s t r i c t . O t h e r t h a n t h e s e f a c t o r s , t h e t w o t e a c h e r s w e r e m a r k e d l y d i f f e r e n t . J a c k i e Y a r n e l l t a u g h t a t K i p l i n g E l e m e n t a r y S c h o o l . T h e s c h o o l w a s l o c a t e d i n a p r e d o m i n a n t l y A n g l o A m e r i c a n , w o r k i n g - c l a s s n e i g h b o r h o o d , y e t s e r v e d a n e c o n o m i c a l l y a n d s o c i a l l y d i v e r s e r a n g e o f s t u d e n t s . T h e s e s t u d e n t s c a m e f r o m t h r e e d i s t i n c t c o m m u n i t i e s . T w o t h i r d s o f t h e c h i l d r e n w e r e b u s s e d t o K i p l i n g f r o m t h e i n n e r c i t y o r a n e a r b y t r a i l e r p a r k , a n d t h e o t h e r t h i r d c a m e f r o m t h e s u r r o u n d i n g n e i g h b o r h o o d s . K i p l i n g w a s u n i q u e i n t h a t i t h a d r e c e n t l y b e c o m e a P r o f e s s i o n a l D e v e l o p m e n t S c h o o l ( P D S ) , a s s o c i a t e d w i t h a n e a r b y s c h o o l o f e d u c a t i o n . T h i s a s s o c i a t i o n h a d i n i t i a t e d a r a n g e o f c o n t a c t s w i t h u n i v e r s i t y e d u c a t o r s , m a k i n g p r o f e s s i o n a l g r o w t h o p p o r t u n i t i e s a c e n t r a l f o c u s o f t h e s c h o o l . T h u s , t h e r e w e r e e x p l i c i t a t t e m p t s t o f o s t e r a n e n v i r o n m e n t i n t h e s c h o o l t h a t s u p p o r t e d t e a c h e r s ' o n g o i n g p r o f e s s i o n a l d e v e l o p m e n t . J a c k i e w a s a n a c t i v e p a r t i c i p a n t i n s e v e r a l P D S a c t i v i t i e s , o n e o f w h i c h r e l a t e d t o m a t h . C a t h e r i n e M c K e e n t a u g h t a t M c K i n l e y E l e m e n t a r y S c h o o l , o n e o f t h e s c h o o l s p a r t i c i p a t i n g i n t h e E d u c a t i o n a l P o l i c y a n d P r a c t i c e S t u d y . T h e s c h o o l w a s l o c a t e d i n a m i d d l e - c l a s s , p r e d o m i n a n t l y A n g l o A m e r i c a n n e i g h b o r h o o d , b u s s i n g o n e t h i r d o f i t s s t u d e n t s f r o m a l o w - i n c o m e a r e a n o t f a r f r o m t h e s c h o o l . U n l i k e K i p l i n g , M c K i n l e y d i d n o t h a v e a n e x p l i c i t f o c u s o n p r o f e s s i o n a l d e v e l o p m e n t . T h e s c h o o l p r o v i d e d f e w f o r m a l o p p o r t u n i t i e s f o r t e a c h e r s t o i n t e r a c t a r o u n d t e a c h i n g i s s u e s . C a t h e r i n e p a r t i c i p a t e d i n f e w p r o f e s s i o n a l d e v e l o p m e n t a c t i v i t i e s . T h e d i f f e r e n c e s b e t w e e n t h e t e a c h e r s a n d t h e i r s c h o o l s e t t i n g s a l l o w e d m e t o e x a m i n e h o w t h e s e c h a r a c t e r i s t i c s p l a y e d o u t i n t h e t e a c h e r ' s u s e o f h e r n e w t e x t b o o k . B y h o l d i n g t h e d i s t r i c t , g r a d e l e v e l , a m o u n t o f t e a c h i n g e x p e r i e n c e , a n d t e x t b o o k c o n s t a n t , I w a s a b l e t o f o c u s o n t h e d i f f e r i n g w a y s t h e t e a c h e r s ' p e r s o n a l c h a r a c t e r i s t i c s 4 0 s u c h a s b e l i e f s a n d k n o w l e d g e o f t h e s u b j e c t m a t t e r , t e a c h i n g a n d l e a r n i n g , a n d s t u d e n t s , a n d t h e d i f f e r i n g s c h o o l c o n t e x t s c o n t r i b u t e d t o t h e i r u s e o f t h e t e x t b o o k . Q a t L C o l l e c t i o n C l a s s r o o m o b s e r v a t i o n s a n d i n t e r v i e w s f o r m e d t h e c o r p u s o f d a t a f o r t h i s s t u d y . D u r i n g t h r e e r o u n d s o f d a t a c o l l e c t i o n d i s t r i b u t e d t h r o u g h o u t t h e s c h o o l y e a r , I o b s e r v e d , t o o k fi e l d n o t e s , c o l l e c t e d d o c u m e n t s , a n d i n t e r v i e w e d t h e t e a c h e r s a b o u t t h e i r m a t h e m a t i c s t e a c h i n g a n d h o w t h e y u s e d t h e t e x t b o o k . I n a d d i t i o n , I c o l l e c t e d d a t a a b o u t d i s t r i c t a n d s c h o o l p o l i c i e s a s w e l l a s a c t i v i t i e s r e l a t e d t o t h e t e x t b o o k a n d i t s a d o p t i o n . I a l s o c o n d u c t e d a d o c u m e n t a n a l y s i s o f t h e H B J t e x t b o o k . B e l o w I d e s c r i b e m y s c h e d u l e f o r d a t a c o l l e c t i o n a n d t h e i n s t r u m e n t s u s e d t o c o l l e c t d a t a . _ S c h _ e _ d l _ 1 i e I c o l l e c t e d d a t a i n t h r e e r o u n d s t h a t s p a n n e d t h e 1 9 9 2 - 9 3 s c h o o l y e a r . T h e s e r o u n d s v a r i e d f o r e a c h t e a c h e r a c c o r d i n g t o c i r c u m s t a n c e s i n h e r w o r k . T h e fi r s t r o u n d i n t h e f a l l i n c l u d e d f o u r w e e k l y o b s e r v a t i o n s ; e a c h w a s f o l l o w e d b y a n i n t e r v i e w . P r i o r t o t h e fi r s t o b s e r v a t i o n , I c a r r i e d o u t a s t r u c t u r e d b a s e l i n e i n t e r v i e w a i m e d a t p r o b i n g e a c h t e a c h e r ' s p e r s o n a l m a t h e m a t i c a l h i s t o r y , b e l i e f s , a n d k n o w l e d g e . T h e p o s t - o b s e r v a t i o n i n t e r v i e w s w e r e s e m i s t r u c t u r e d ; t h a t i s , t h e y w e r e fl e x i b l e a n d r e s p o n s i v e t o t h e l e s s o n s I o b s e r v e d . I a s k e d q u e s t i o n s s u c h a s , " H o w d o y o u t h i n k t h e l e s s o n w e n t ? " a n d " W h a t d i d y o u w a n t t h e s t u d e n t s t o l e a r n w i t h t h a t a c t i v i t y ? " I a l s o a s k e d t h e m t o t a l k a b o u t t h e r o l e t h e t e x t b o o k p l a y e d i n t h e i r l e s s o n s a n d p l a n n i n g . T h e l e s s o n s I o b s e r v e d s e r v e d a s i n s t a n c e s a r o u n d w h i c h t h e t e a c h e r a n d I h a d c o n v e r s a t i o n s a b o u t h e r u s e o f t h e n e w t e x t b o o k . T h e s e c o n d r o u n d o f d a t a c o l l e c t i o n i n t h e w i n t e r w a s m u c h s h o r t e r . I o b s e r v e d C a t h e r i n e t h r e e t i m e s a n d J a c k i e o n c e . 1 A g a i n , I f o l l o w e d e a c h o b s e r v a t i o n w i t h a s e r n i s t r u c t u r e d i n t e r v i e w . 1 J a c k i e h a d a s t u d e n t t e a c h e r d u r i n g t h e w i n t e r w h o t a u g h t m a t h e m a t i c s a l m o s t d a i l y . 4 1 T h e fi n a l r o u n d o f d a t a c o l l e c t i o n o c c u r r e d i n m i d s p r i n g . I o b s e r v e d e a c h t e a c h e r d a i l y d u r i n g t h e fi r s t t w o w e e k s o f a u n i t o n f r a c t i o n s . T h e p u r p o s e o f t h i s r o u n d o f d a t a c o l l e c t i o n w a s t o e x a m i n e h o w e a c h t e a c h e r d e v e l o p e d a m a t h e m a t i c a l t o p i c o v e r a p e r i o d o f t i m e . I w a s i n t e r e s t e d i n h e r u n d e r s t a n d i n g o f , a n d i d e a s a b o u t , t h e m a t h e m a t i c a l t o p i c , w h e t h e r t h e s e c h a n g e d , a n d t h e t e x t ' s r o l e i n b o t h . I s e l e c t e d f r a c t i o n s a s t h e t o p i c t o o b s e r v e b e c a u s e i t h a s a b r o a d c o n c e p t u a l b a s e b u t i s t a u g h t p r o c e d u r a l l y i n s c h o o l s ( B e h r , H a r e l , P o s t , 8 : L e s h , 1 9 9 2 ) . G i v e n t h e c u r r e n t e m p h a s i s o n c o n c e p t u a l l y b a s e d i n s t r u c t i o n , I b e l i e v e d i t w a s l i k e l y t h a t t h e a p p r o a c h t o t e a c h i n g f r a c t i o n s i n t h e t e x t w o u l d b e u n f a m i l i a r . I a l s o e x p e c t e d t h a t i t w o u l d p r o v i d e a n o p p o r t u n i t y t o g a t h e r d a t a i n f o r m a l l y o n t h e t e a c h e r s ' s u b j e c t m a t t e r u n d e r s t a n d i n g s . I i n t e r v i e w e d e a c h t e a c h e r o n c e e a c h w e e k d u r i n g t h i s p e r i o d . M y g o a l w a s t o l e a r n w h e t h e r h e r t h i n k i n g a b o u t f r a c t i o n s h a d c h a n g e d f r o m t h e p r e v i o u s y e a r a n d h o w h e r t e a c h i n g o f i t h a d t a k e n s h a p e . I a l s o i n t e r v i e w e d e a c h t e a c h e r a t l e n g t h a f t e r t h e s c h o o l y e a r w a s o v e r , u s i n g a m o r e s t r u c t u r e d i n t e r v i e w . M y p r i m a r y f o c u s w a s o n e a c h t e a c h e r ' s p e r s p e c t i v e o n u s i n g t h e t e x t b o o k a f t e r a y e a r . F i g u r e 2 . 1 s u m m a r i z e s t h e t i m e s a n d p u r p o s e s o f t h e r o u n d s o f d a t a c o l l e c t i o n . D a t a c o l l e c t i o n D a t e s P u r p o s e o f c o l l e c t i o n E x t e n t r o u n d r o u n d R o u n d I J a c k i e - S e p t e m b e r T o c o l l e c t I n i t i a l b a s e l i n e a n d O c t o b e r b a c k g r o u n d a n d i n t e r v i e w ; f o u r b a s e l i n e d a t a a n d c l a s s r o o m C a t h e r i n e - O c t o b e r , d a t a o n i n i t i a l o b s e r v a t i o n s a n d N o v e m b e r , D e c e m b e r t e x t b o o k u s e f o l l o w - u p i n t e r v i e w s . 1 9 9 2 R o u n d 1 1 F e b r u a r y a n d M a r c h , T o c o l l e c t d a t a o n C - l a g r o o m 1 9 9 3 t e a c h i n g m i d - y e a r o b s e r v a t i o n s a n d f o l l o w - u p i n t e r v i e w s R o u n d I I I A p r i l a n d J u n e , 1 9 9 3 T o c o l l e c t d a t a o n t h e D a i l y o b s e r v a t i o n s i n s t r u c t i o n o f o n e a n d w e e k l y c o m p l e t e t o p i c ; i n t e r v i e w s ; e n d - o f - f o l l o w - u p a t e n d o f y e a r i n t e r v i e w y e a r F i g u r e 2 . 1 S u m m a r y o f r o u n d s o f d a t a c o l l e c t i o n 4 2 D e s c r i p t i o n o f I n s t r u m e n t s T h e i n s t r u m e n t s c o n s i s t e d o f i n t e r v i e w s a n d o b s e r v a t i o n g u i d e s t h a t d e v e l o p e d r e c u r s i v e l y a s t h e s t u d y p r o c e e d e d . I b e g a n w i t h i n t e r v i e w p r o t o c o l s a d a p t e d f r o m t h e E P P S s t u d y . T h e s e p r o t o c o l s h a d b e e n d e v e l o p e d a n d r e v i s e d d u r i n g t h e f o u r y e a r s o f t h e p r o j e c t . E a c h r o u n d o f d a t a c o l l e c t i o n a n d s u b s e q u e n t a n a l y s i s l e d m e t o a d j u s t a n d f u r t h e r r e fi n e t h e i n s t r u m e n t s . T h e s e c h a n g e s c o n s i s t e d p r i m a r i l y o f a d d i n g q u e s t i o n s i n o r d e r t o o b t a i n i n f o r m a t i o n o n i s s u e s o r p a t t e r n s t h a t e m e r g e d i n t h e t e a c h e r ' s t a l k o r t e a c h i n g . S a m p l e s o f t h e f o l l o w i n g i n t e r v i e w s c a n b e f o u n d i n A p p e n d i x A . A l l i n t e r v i e w s w e r e a u d i o t a p e d a n d l a t e r t r a n s c r i b e d . B a s e l i n e i n t e r v i e w . T h i s s t r u c t u r e d i n t e r v i e w c o n s i s t e d o f t w o p a r t s . P a r t I w a s d e s i g n e d t o e x p l o r e t h e t e a c h e r ' s p e r s o n a l h i s t o r y w i t h r e s p e c t t o m a t h e m a t i c s , i n c l u d i n g h e r m e m o r i e s o f h e r e x p e r i e n c e s a s a s t u d e n t , a s w e l l a s w h a t s h e r e c a l l e d a b o u t t e a c h i n g m a t h . P a r t I I w a s d e s i g n e d t o g a t h e r b a c k g r o u n d i n f o r m a t i o n a b o u t t h e t e a c h e r ' s i n i t i a l t h i n k i n g a b o u t a n d e x p e r i e n c e w i t h t e x t b o o k s a n d t e a c h i n g m a t h e m a t i c s . M a n y o f t h e q u e s t i o n s o n t h i s i n t e r v i e w s w e r e a d a p t e d f r o m a n d i n s t r u m e n t u s e d b y B a l l ( 1 9 8 8 ) i n a s t u d y o f p r o s p e c t i v e t e a c h e r s ' k n o w l e d g e a n d b e l i e f s . E n d - o f - y e a r i n t e r v i e w . T h i s s t r u c t u r e d i n t e r v i e w w a s d e s i g n e d t o c o l l e c t d a t a o n t h e t e a c h e r ' s r e fl e c t i o n s o n t h e t e x t b o o k a n d h e r fi r s t y e a r o f u s i n g i t a f t e r t h e s c h o o l y e a r c o n c l u d e d . D u r i n g t h i s i n t e r v i e w , I a s k e d t h e t e a c h e r s t o a s s e s s t h e H B J t e x t b o o k a n d t h e i r u s e o f i t . I a l s o a s k e d t h e m t o t a l k a b o u t w a y s t h e y m a y h a v e c h a n g e d o v e r t h e y e a r . P o s t o b s e r v a t i o n i n t e r v i e w s . T h e s e s e r n i s t r u c t u r e d i n t e r v i e w s c o n s i s t e d o f t h e s k e l e t a l p r o t o c o l u s e d t o g u i d e t h e l e s s o n f o l l o w - u p c o n v e r s a t i o n s . D u r i n g t h e s e i n t e r v i e w s . I f o c u s e d o n t h e l e s s o n o b s e r v e d a n d t h e t e a c h e r ' s v i e w s a b o u t h o w i t w e n t a n d h o w s h e p l a n n e d t o p r o c e e d . A n i m p o r t a n t c o m p o n e n t o f t h i s i n t e r v i e w w a s t h e q u e s t i o n s a b o u t t h e t e a c h e r ' s u s e o f t h e t e x t b o o k . D e p e n d i n g o n t h e e x t e n t t o w h i c h t h e 4 3 l e s s o n w a s r e l a t e d t o t h e t e x t , I w o u l d h a v e h e r t a l k a b o u t h o w s h e v i e w e d t h e t e x t a n d . h o w s h e m a d e t h e s e l e c t i o n s s h e d i d . O b s e r v a t i o n i n s t r u m e n t . I c o l l e c t e d c l a s s r o o m o b s e r v a t i o n d a t a b y a u d i o t a p i n g e a c h l e s s o n o b s e r v e d a n d t a k i n g e x t e n s i v e n o t e s t h r o u g h o u t . D u r i n g m y o b s e r v a t i o n s , I f o c u s e d o n t h e t e a c h e r ' s a c t i v i t i e s , w h a t t h e s t u d e n t s w e r e d o i n g , a n d t h e r o l e t h e t e x t b o o k s e e m e d t o p l a y . A f t e r e a c h o b s e r v a t i o n , I u s e d n o t e s a n d t h e t a p e t o " w r i t e u p " t h e l e s s o n . T h e w r i t e - u p s i n c l u d e d a n a r r a t i v e s u m m a r y o f t h e l e s s o n a n d r e s p o n s e s t o t h e s e t o f a n a l y t i c q u e s t i o n s t a k e n f r o m t h e o b s e r v a t i o n i n s t r u m e n t . T h e s e w r i t e - u p s r e p r e s e n t e d t h e o b s e r v a t i o n d a t a f o r t h e s t u d y . T h e o b s e r v a t i o n i n s t r u m e n t w a s a d a p t e d f r o m t h e E P P S p r o j e c t i n s t r u m e n t ( s e e A p p e n d i x B ) . D a t a A n a l y s i s T h e c o m p l e t e d a t a s e t w a s c o m p r i s e d o f 2 5 o b s e r v a t i o n w r i t e - u p s a n d 1 8 i n t e r v i e w t r a n s c r i p t i o n s . T h u s , t h e fi r s t s t e p s i n a n a l y s i s w e r e p r i m a r i l y m a n a g e r i a l , b u t a l l o w e d m e t o b e c o m e c l o s e r t o , a n d m o r e f a m i l i a r w i t h , t h e d a t a . T h e n e x t s t e p s i n v o l v e d d e e p e r a n d m o r e d e l i b e r a t e a n a l y s e s p r i o r t o t h e t h i r d s t e p o f w r i t i n g c a s e s . T h e fi n a l s t e p i n v o l v e d a n a l y s i s a c r o s s t h e t w o c a s e s . T h i s s t e p w a s t h e fi r s t i n w h i c h I f o r m a l l y b r o u g h t t h e t w o c a s e s t o g e t h e r a n d l o o k e d a t t h e m s i d e - b y - s i d e . M y a n a l y s i s p r i o r t o t h i s f o c u s e d o n t h e i n d i v i d u a l t e a c h e r a c r o s s o n e y e a r . A n a l y s i s o f O b s e r v a t i o n D a t a A n a l y s i s o f t h e o b s e r v a t i o n d a t a i n v o l v e d t w o s t e p s p r i o r t o w r i t i n g t h e c a s e s . F i r s t I w r o t e u p t h e o b s e r v a t i o n s , a n d t h e n I w r o t e a c h a r a c t e r i z a t i o n o f e a c h t e a c h e r ' s t e a c h i n g t h r o u g h o u t t h e y e a r . O b s e r v a t i o n w r i t e - u p s . E v e n t h o u g h t h e o b s e r v a t i o n w r i t e — u p s c o n s t i t u t e d t h e o b s e r v a t i o n d a t a a n a l y z e d , w r i t i n g t h e m w a s a l s o a n a n a l y t i c p r o c e s s . U s i n g n o t e s a n d t h e a u d i o t a p e , I r e s p o n d e d t o t h e q u e s t i o n s o n t h e i n s t r u m e n t . A n s w e r i n g t h e s e q u e s t i o n s r e q u i r e d a n a l y z i n g v a r i o u s a s p e c t s o f t h e l e s s o n s u c h a s t h e t e a c h e r ' s r o l e , t h e r o l e o f t h e t e x t , a n d t h e e x t e n t t o w h i c h s t u d e n t s a r e e n c o u r a g e d t o i n t e r a c t w i t h o n e 4 4 a n o t h e r , p r o b l e m s o l v e , a n d e n g a g e i n m a t h e m a t i c s d i s c o u r s e . I s u p p o r t e d e a c h r e s p o n s e w i t h e x a m p l e s f r o m t h e l e s s o n . T h e s e a n a l y t i c q u e s t i o n s s e r v e d t o s t r e t c h m y e y e s a n d m i n d a s a n o b s e r v e r . R e s p o n d i n g t o q u e s t i o n s f o r c e d m e t o r e v i e w m y n o t e s a n d t o r e c o n s i d e r g e n e r a l i z a t i o n s m a d e a b o u t t h e l e s s o n . S u p p o r t i n g t h e m w i t h e x a m p l e s f r o m t h e l e s s o n a l s o p u s h e d m e t o g r o u n d t h e c l a i m s a n d q u e s t i o n s t a k e n f r o m t h e l e s s o n i n t h e d a t a . C h a r a c t e r i z i n g t e a c h i n g t h r o u g h o u t t h e y e a r . T h e n e x t s t e p i n v o l v e d l o o k i n g f o r a n d d e s c r i b i n g p a t t e r n s a n d c h a n g e s i n t h e i r t e a c h i n g a n d t e x t b o o k u s e t h r o u g h o u t t h e y e a r . I t i n v o l v e d a r e c u r s i v e p r o c e s s o f w r i t i n g i n w h i c h I m a d e c l a i m s a n d s u p p o r t e d t h e m w i t h d a t a f r o m t h e o b s e r v a t i o n s . I t h e n d e v e l o p e d m a t r i c e s t h a t a l l o w e d m e t o c h e c k t h e v a l i d i t y o f t h e s e c l a i m s t h r o u g h o u t t h e y e a r , l o o k i n g f o r d i s c o n fi r m i n g e v i d e n c e a n d d i s c o v e r i n g w a y s t h a t t h e c l a i m s m i g h t n e e d t o b e a d j u s t e d o r r e fi n e d . F o r e x a m p l e , i n c h a r a c t e r i z i n g C a t h e r i n e ' s t e a c h i n g , I n o t e d a p a t t e r n i n h e r d a i l y l e s s o n s t h r o u g h o u t t h e f a l l . S h e s t a r t e d w i t h i n s t r u c t i o n , f o l l o w e d w i t h a s i g n i fi c a n t a m o u n t o f p r a c t i c e , a n d t h e n a q u i c k r e v i e w . I v e r i fi e d t h i s p r o c e s s b y u s i n g a m a t r i x i n w h i c h I c h a r t e d t h e a m o u n t o f t i m e s h e s p e n t i n e a c h . I n w r i t i n g u p t h e s p r i n g l e s s o n s , I b e g a n t o n o t i c e t h a t t h i s p a t t e r n w a s n o t t h e s a m e . G o i n g b a c k t o a m a t r i x , I c o m p a r e d c h a n g e s i n t h e a m o u n t o f t i m e s h e s p e n t i n e a c h t y p e o f a c t i v i t y . R e fi n e d e x a m p l e s o f t h e s e p a r t i c u l a r m a t r i c e s c a n b e f o u n d i n C h a p t e r 5 . T h e m a t r i x a l l o w e d m e t o s e e d e t a i l s t h a t I w o u l d h a v e m i s s e d o t h e r w i s e . I n o r d e r t o c h a r a c t e r i z e t h e d i f f e r e n t w a y s t h a t J a c k i e i m p r o v i s e d i n h e r t e a c h i n g , I o r g a n i z e d t h e m i n t o a m a t r i x a c c o r d i n g t o c a t e g o r y . I n t h i s p r o c e s s , I n o t i c e d s e v e r a l s u b c a t e g o r i e s t h a t I h a d n o t c o n s i d e r e d . A t t h e e n d o f t h i s s t a g e I h a d a p i c t u r e o f t h e t e a c h e r s ' t e a c h i n g t h r o u g h o u t t h e y e a r , t h e r o l e t h e t e x t p l a y e d i n i t , a n d t h e w a y s i n w h i c h i t h a d o r h a d n o t c h a n g e d . I r e v i e w e d e a c h , a d d i n g q u o t e s f r o m t h e i n t e r v i e w a n a l y s e s ( d e s c r i b e d b e l o w ) . 4 5 A n a l y s i s o f I n t e r v i e w D a t e T h e fi r s t s t e p i n a n a l y z i n g t h e i n t e r v i e w d a t a a l l o w e d m e t o b e c o m e f a m i l i a r w i t h t h e d a t a , w h i c h w a s s i m i l a r t o t h e a n a l y s i s o f t h e o b s e r v a t i o n d a t a . T h e s e c o n d s t e p i n v o l v e d d r a w i n g o u t r e l e v a n t q u o t e s a n d o r g a n i z i n g t h e m a c c o r d i n g t o t h e m e . T h e fi n a l s t a g e i n v o l v e d u s i n g t h i s o r g a n i z a t i o n t o w r i t e a n a l y t i c m e m o s a b o u t e a c h t e a c h e r . V e r i f y ' n g a n d c o d i n g . T h e fi r s t t w o s t e p s i n a n a l y z i n g t h e i n t e r v i e w s w e r e p r i m a r i l y o r g a n i z a t i o n a l , b u t t h e y p r o v i d e d u s e f u l o p p o r t u n i t i e s t o b e c o m e f a m i l i a r w i t h t h e d a t a . F i r s t , a f t e r e a c h i n t e r v i e w w a s t r a n s c r i b e d , I v e r i fi e d i t a s s o o n a s p o s s i b l e . T h i s p r o c e d u r e a l l o w e d m e t o i d e n t i f y t h e m e s a n d i s s u e s t h a t w e r e e m e r g i n g a n d s u g g e s t e d q u e s t i o n s o r i d e a s I w a n t e d t o p u r s u e i n u p c o m i n g i n t e r v i e w s . S e c o n d , I g e n e r a t e d a l i s t o f q u e s t i o n s t o c o d e a n d o r g a n i z e t h e d a t a f o r e a c h r o u n d o f d a t a c o l l e c t i o n . S o m e o f t h e s e q u e s t i o n s w e r e t h e f o l l o w i n g : 1 . H o w d i d t h e t e a c h e r t a l k a b o u t t h e l e s s o n I o b s e r v e d ? H o w d i d t e a c h e r t a l k a b o u t h e r u s e o f t h e t e x t d u r i n g t h e l e s s o n I o b s e r v e d ? H o w d i d s h e t a l k a b o u t h e r u s e o f t h e t e x t i n g e n e r a l ? H o w d i d t a l k a b o u t t h e t e x t ? H o w d i d s h e t a l k a b o u t s t u d e n t s ? H o w d i d s h e t a l k a b o u t c o n t e x t u a l i n fl u e n c e s ? N F ‘ S ’ I P P ’ N H o w d i d s h e t a l k a b o u t h e r o w n m a t h e m a t i c a l k n o w l e d g e ? B y c u t t i n g a n d p a s t i n g , I m o v e d e x c e r p t s f r o m t h e i n t e r v i e w s t o t h e q u e s t i o n s t h e y h e l p e d t o a n s w e r . T h e s e i n t e r v i e w a n a l y s e s b e c a m e t h e d a t a I u s e d i n t h e n e x t s t e p . A n a l y t i c , t h e m a t i c m e m o s . T h i s p r o c e s s w a s s i m i l a r t o w r i t i n g c h a r a c t e r i z a t i o n s o f t h e t e a c h e r s ' t e a c h i n g d e s c r i b e d a b o v e , b u t I u s e d f e w e r m a t r i c e s . I w r o t e a s e r i e s o f a n a l y t i c m e m o s i n w h i c h I m a d e c l a i m s a b o u t t h e t e a c h e r , h e r e x p e r i e n c e s , a n d t h o u g h t s a b o u t t h e t e x t , a s w e l l a s s u p p o r t i n g t h e m w i t h i n t e r v i e w d a t a . I n s o m e c a s e s , I a l s o d r e w o n t h e o b s e r v a t i o n d a t a t o s u p p o r t d e v e l o p i n g c l a i m s . T h e fi r s t m e m o w a s e n t i t l e d , " W h a t s h e b r o u g h t t o t h e t e x t . " T h i s m e m o p r o v i d e d m e t h e o p p o r t u n i t y t o 4 6 e x a m i n e t h e b a s e l i n e i n t e r v i e w , a s w e l l a s o t h e r i n t e r v i e w s f r o m t h e e a r l y f a l l , a n d t o d e v e l o p c l a i m s a b o u t t h e t e a c h e r s ' i d e a s c o n c e r n i n g m a t h e m a t i c s , t e a c h i n g , l e a r n i n g , t h e r e f o r m s , a n d t h e t e x t b o o k . I a l s o w r o t e r e l a t e d m e m o s a b o u t t h e t e a c h e r s ' p a s t e x p e r i e n c e s . I w r o t e a s i m i l a r m e m o f o r e a c h t e a c h e r a t t h e e n d o f t h e y e a r , u s i n g d a t a t o s u p p o r t c l a i m s a b o u t c h a n g e s i n h e r t h i n k i n g . D e v e l o p i n g C a s e s I b e g a n t o d e v e l o p a s e n s e o f e a c h t e a c h e r ' s s t o r y r e g a r d i n g t e a c h i n g , t h e t e x t , a n d c h a n g e t h r o u g h t h e p r o c e s s e s d e s c r i b e d a b o v e . A t t h i s p o i n t [ b e g a n t o w r i t e t h e c a s e s , h o w e v e r t h i s i n v o l v e d f u r t h e r a n a l y s i s . A s I w r o t e , n e w p o i n t s b e c a m e e v i d e n t w h e r e a s o l d p o i n t s l o s t t h e i r p o t e n c y . B e c a u s e t h i s p r o c e s s a l s o i n v o l v e d p u t t i n g t o g e t h e r t h e o b s e r v a t i o n a n d i n t e r v i e w d a t a , I b e g a n t o d e v e l o p a h o l i s t i c p o r t r a i t o f e a c h t e a c h e r . A t t h i s p o i n t I b e g a n t o f o r m u l a t e e x p l a n a t i o n s f r o m t h e d a t a . U p t o t h i s p o i n t m y w r i t i n g h a d b e e n d e s c r i p t i v e . T h e s e c t i o n i n e a c h c a s e i n w h i c h I d i s c u s s t h e t e a c h e r ' s o r i e n t a t i o n t o w a r d t e x t b o o k u s e i s t h e m o s t p r o m i n e n t e x a m p l e o f m o r e e x p l a n a t o r y w r i t i n g . I n t h e s e s e c t i o n s , I d r a w o n t h e d a t a t o c h a r a c t e r i z e t h e t e a c h e r ' s o r i e n t a t i o n t o w a r d t e x t b o o k u s e a n d t h e n u s e t h a t c h a r a c t e r i z a t i o n t o e x p l a i n t h e i r i n t e r a c t i o n s w i t h t h e t e x t a n d h o w t h o s e i n t e r a c t i o n s i m p a c t e d t h e i r t h i n k i n g a n d t e a c h i n g . T e x t b o o k A n a l y s i s T h e a n a l y s i s o f t h e H B J t e x t b o o k h a d t h r e e p u r p o s e s . F i r s t , i t w a s t o p r o v i d e t h e r e a d e r a p i c t u r e o f w h a t t h e t e a c h e r s w e r e w o r k i n g w i t h a n d t a l k i n g a b o u t . T h e s e c o n d p u r p o s e w a s t o e x a m i n e i t w i t h r e s p e c t t o t h e c u r r e n t r e f o r m s i n m a t h e m a t i c s e d u c a t i o n . A g a i n , m y i n t e n t w a s t o o f f e r a n a s s e s s m e n t f o r r e a d e r s o f t h e c a s e s r e g a r d i n g r e s p o n s e t o t h e r e f o r m s . l a s t , b e c a u s e o n e o f m y a i m s w a s t o e x a m i n e h o w t e a c h e r s m a d e s e n s e o f p a r t i c u l a r e l e m e n t s i n t h e t e x t , i t w a s n e c e s s a r y t o h a v e a t h o r o u g h p i c t u r e o f i t s c o n t e n t s . 4 7 A n a l y s i s o f t h e t e x t b e g a n p r i o r t o t h e b e g i n n i n g o f t h i s s t u d y a n d c o n t i n u e d a s I o b s e r v e d t h e t e a c h e r s a n d w r o t e u p t h e o b s e r v a t i o n s . F o r m a l a n a l y s i s b e g a n b y w r i t i n g a d e t a i l e d d e s c r i p t i o n o f t h e t e x t ' s c o n t e n t s , i t s m e a n s o f c o m m u n i c a t i n g w i t h t e a c h e r s , a n d w h a t i t c o m m u n i c a t e d a b o u t . E x a m i n a t i o n o f t h e t e x t s u g g e s t e d s e v e r a l t h e m e s i n t h e a r e a s o f c o n t e n t a n d p e d a g o g y . C o n t e n t t h e m e s i n c l u d e d i n c r e a s e d e m p h a s i s o n p r o b l e m s o l v i n g , t o p i c s t r a d i t i o n a l l y m a r g i n a l i z e d i n t h e e l e m e n t a r y c u r r i c u l u m , a n d u n d e r l y i n g c o n c e p t s . P e d a g o g y t h e m e s i n c l u d e d t h e u s e o f r e p r e s e n t a t i o n a l t o o l s , a c t i v e l e a r n i n g a p p r o a c h e s , a n d l e a r n i n g t h r o u g h e x p l o r a t i o n . F o r e a c h o f t h e s e s i x t o p i c s , I i n t e r r o g a t e d t h e t e x t t o a s s e s s i t s l e v e l o f c o m m i t m e n t . I c o n s i d e r e d h o w t h o r o u g h l y t h e y w e r e i n c o r p o r a t e d i n t o t h e t e x t a n d t h e d e p t h w i t h w h i c h t h e y w e r e t r e a t e d . I a l s o c o n s i d e r e d t h e d e g r e e t o w h i c h t h e s e a s p e c t s w e r e a c c e s s i b l e t o t h e t e a c h e r a n d u s a b l e w i t h i n t h e c o n t e x t o f t h e e n t i r e p r o g r a m . L a s t , I t r i e d t o d e s c r i b e h o w t h e t e x t r e p r e s e n t e d m a t h e m a t i c s , t e a c h i n g , a n d l e a r n i n g . C r o s s - C a s e A n a l y s i s : E m e r g e n c e o f a F r a m e w o r k T h e c r o s s - c a s e a n a l y s i s i n v o l v e d i t e r a t i o n s o f c o m p a r a t i v e a n a l y s i s o f t h e c a s e s , e x p l o r i n g t h e m e s , a n d t h e n r e t u r n i n g t o t h e c a s e s t o c h e c k t h e i r v a l i d i t y . I n a c c o r d a n c e w i t h t h e q u e s t i o n o f t e a c h e r l e a r n i n g u n d e r l y i n g t h e s t u d y , I b e g a n b y c o m p a r i n g t h e n a t u r e a n d c o n t e x t s o f t h e i r l e a r n i n g . T h i s a n a l y s i s r e v e a l e d p a t t e r n s i n t h e t y p e s o f l e a r n i n g t h a t o c c u r r e d t h r o u g h p a r t i c u l a r a c t i v i t i e s b o t h t e a c h e r s e n g a g e d i n . I n o r d e r t o s i t u a t e t h e s e p a t t e r n s w i t h i n t h e t e a c h e r s ' g e n e r a l t e x t b o o k u s e , I d r e w o n t h e c a s e s t o d e v e l o p a m o d e l o f t h e i r a c t i v i t i e s i n v o l v e d i n c u r r i c u l u m d e v e l o p m e n t . T h i s t h e o r e t i c a l f r a m e i n c l u d e s , b u t i s n o t l i m i t e d t o , t e a c h e r s ' t e x t b o o k u s e . I t a l l o w e d m e t o e x a m i n e t h e w o r k o f t w o e x t r e m e l y d i f f e r e n t t e a c h e r s s i d e b y s i d e a n d t o s p e c u l a t e o n t e a c h e r s ' c u r r i c u l u m d e v e l o p m e n t m o r e g e n e r a l l y . C H A P T E R T H R E E D E S C R I P T I O N A N D A N A L Y S I S O F T H E M A T H E M A T I C S P L U S T E X T B O O K T h e " r e f o r m - o r i e n t e d " t e x t b o o k t h a t t h e M a p l e t o n S c h o o l D i s t r i c t M a t h e m a t i c s C o m m i t t e e s e l e c t e d w a s M a t h e r r g t i c s P l u s . w h i c h w a s p u b l i s h e d i n 1 9 9 2 b y H a r c o u r t - B r a c e J o v a n o v i c h ( H B J ) . A c c o r d i n g t o C a t h e r i n e a n d J a c k i e , t h e H B J t e x t w a s a p p e a l i n g b e c a u s e o f i t s e m p h a s i s o n p r o b l e m s o l v i n g . I c a l l e d i t a r e f o r m - o r i e n t e d t e x t b o o k b e c a u s e i t w a s p u b l i s h e d a n d s e l e c t e d u n d e r s u c h p r e t e n s e s , a n d w a s o n e o f t h e f o u r t e x t s t h e d i s t r i c t c o n s i d e r e d — a l l o f w h i c h w e r e p u b l i s h e d b y c o m p a n i e s c l a i m i n g t h a t t h e i r t e x t r e fl e c t e d t h e c h a n g e s c a l l e d f o r b y t h e N C T M S t a n d a r d s . T h e i n t e n t o f t h i s c h a p t e r i s t o p r o v i d e a d e s c r i p t i o n o f t h e o f f e r i n g s o f t h e H E ] t e x t a n d t o d i s c u s s t h e e x t e n t t o w h i c h i t w a s r e s p o n s i v e t o t h e r e f o r m s . M y p u r p o s e i s t w o - f o l d . F i r s t , I a i m t o p r o v i d e t h e r e a d e r w i t h a p i c t u r e o f w h a t J a c k i e a n d C a t h e r i n e h a d a v a i l a b l e i n t h e t e x t . S e c o n d , I h o p e t o p r o v i d e a c r i t i q u e o f t h e t e x t ' s o f f e r i n g s , v i s - a - v i s t h e e m p h a s e s o f t h e r e f o r m s , t h a t I w i l l d r a w o n l a t e r w h e n I c o n s i d e r w a y s t h a t t h e n a t u r e a n d f o r m a t o f t h e t e x t b o o k c o n t r i b u t e d t o t h e t e a c h e r s ' c u r r i c u l u m d e v e l o p m e n t . B e f o r e d e s c r i b i n g t h e t e x t , I p r o v i d e a b r i e f h i s t o r i c a l a c c o u n t o f t e x t b o o k s i n A m e r i c a n s c h o o l s a n d t h e p u b l i s h i n g i n d u s t r y . M a t h e m a t i c s T e x t b o o k s i n E l e m e n t a r y S c h o o l s : A n H i s t o r i c a l C o n t e x t L i k e c h a l k b o a r d s a n d d e s k s , t e x t b o o k s a r e p a r t o f a l m o s t e v e r y A m e r i c a n c l a s s r o o m ( T y s o n - B e r n s t e i n 8 : W o o d w a r d , 1 9 9 1 ) . F o r d e c a d e s , c o m m o n l y u s e d m a t h e m a t i c s t e x t b o o k s ( t h o s e p u b l i s h e d b y l a r g e , c o m m e r c i a l p u b l i s h e r s ) h a v e c h a n g e d l i t t l e . T h e l a r g e , s h i n y s t u d e n t t e x t s c o n t a i n i n g c u d d l y a n i m a l s a n d c o l o r f u l 4 8 4 9 p h o t o g r a p h s o f r e a l c h i l d r e n d o i n g m a t h m a y b e a l i t t l e l a r g e r , s h i n i e r , a n d m o r e c o l o r f u l t h a n 2 5 y e a r s a g o ( E l l i o t , 1 9 9 0 ) , b u t t h e r e i s l i t t l e n e w a b o u t t h e g e n e r a l c o n t e n t , f o r m a t , o r i m p l i e d i n s t r u c t i o n a l d e s i g n ( B o w l e r , 1 9 7 8 ; B r o u d y , 1 9 7 5 , T y s o n - B e r n s t e i n 8 : W o o d w a r d , 1 9 9 1 ) . D i v i d e d i n t o 1 2 o r 1 3 c h a p t e r s , t h e c o n t e n t f o c u s e d o n c o m p u t a t i o n a l p r o c e s s e s s u c h a s a d d i t i o n , s u b t r a c t i o n o r t w o - d i g i t m u l t i p l i c a t i o n , a s w e l l a s o t h e r m a t h e m a t i c a l t o p i c s , l i k e f r a c t i o n s a n d g e o m e t r y . T h e c h a p t e r s w e r e o r g a n i z e d i n t o t w o - p a g e m o d u l e s , e a c h o n a d i f f e r e n t t o p i c o r s k i l l , a r o u n d w h i c h e a c h d a y ' s l e s s o n w a s s h a p e d . T h e r e m i g h t b e a n e x a m p l e o f t h e p a r t i c u l a r s k i l l a t t h e t o p o f t h e fi r s t p a g e , f o l l o w e d b y a s e r i e s o f s i m i l a r c o m p u t a t i o n s . O v e r t h e l a s t 2 0 y e a r s , o n e l i k e l y w o u l d fi n d s o m e s t o r y p r o b l e m s a t t h e b o t t o m o f t h e s e c o n d p a g e . T h e l a r g e , s p i r a l - b o u n d t e a c h e r ' s g u i d e c o n t a i n e d p i c t u r e s o f t h e s t u d e n t p a g e s s u r r o u n d e d b y w i d e m a r g i n s t h a t p r o v i d e d i n s t r u c t i o n a l s u g g e s t i o n s a n d a n s w e r s t o a l l t h e p r o b l e m s . T e x t b o o k S t a b i l i t y N o t o n l y h a v e m a t h e m a t i c s t e x t b o o k s s e e n l i t t l e f u n d a m e n t a l c h a n g e o v e r 3 0 o r m o r e y e a r s , 1 b u t t h e r e h a s b e e n r e m a r k a b l e s i m i l a r i t y a m o n g d i f f e r e n t p u b l i s h e r s ' t e x t s . T h i s u n i f o r m i t y i s a n a r t i f a c t o f t h e n a t u r e o f t h e t e x t b o o k m a r k e t i t s e l f , w h i c h i s h i g h l y c o m p e t i t i v e . P u b l i s h e r s r e s p o n d t o t h e d e m a n d s o f a l a r g e m a r k e t t h a t , i n g e n e r a l , l e a n s t o w a r d c o n s e r v a t i s m a n d r e s i s t s f u n d a m e n t a l c h a n g e ( A p p l e , 1 9 8 6 ; B o w l e r , 1 9 7 8 ; F i t z G e r a l d , 1 9 7 9 ) , p a r t i c u l a r l y i n m a t h e m a t i c s . W h e n a c h a n g e m a k e s i t s w a y i n t o a t e x t b o o k , i t u s u a l l y m a k e s i t s w a y i n t o a l l . F u r t h e r m o r e , c o n s o l i d a t i o n o f t h e t e x t b o o k m a r k e t b e g i n n i n g i n t h e e a r l y 1 9 8 0 5 f r o m 1 2 o r m o r e i n d e p e n d e n t p u b l i s h e r s t o fi v e l a r g e c o m p a n i e s h a s i n c r e a s e d t h e m o v e t o w a r d " p r o d u c t s a m e n e s s " ( R o t h m a n , 1 9 8 9 ; S e w a l l 8 : C a n n o n , 1 9 9 1 ) . F e w e r , m o r e p o w e r f u l c o m p a n i e s c o m p e t i n g f o r l a r g e s h a r e s o f t h e m a r k e t h a v e m a d e b e i n g d i f f e r e n t a n u n f a t h o m a b l e r i s k S m a l l , i n d e p e n d e n t p u b l i s h e r s a n d t h o s e p r o d u c i n g i n v e n t i v e t e x t s h a v e f a c e d e x c l u s i o n . 1 T h e f e d e r a l l y f u n d e d c u r r i c u l u m d e v e l o p m e n t p r o j e c t s t h a t b e g a n i n t h e l a t e 1 9 5 0 5 h a d a b r i e f a n d s l i g h t i m p a c t o n t h e c o m m e r c i a l t e x t b o o k m a r k e t i n t h e l a t e 1 9 6 0 5 . S o m e m a j o r p u b l i s h e r s m a r k e t e d n e w c u n i c u l u m m a t e r i a l s . T h i s p e r i o d w a s s h o r t - l i v e d . W i t h i n a d e c a d e , c o m m e r c i a l t e x t s r e fl e c t e d l i t t l e d i f f e r e n c e f r o m t h o s e p u b l i s h e d i n t h e 1 9 5 0 5 ( E l l i o t , 1 9 9 0 ) 5 0 M a t h e m a t i c s t e x t b o o k s h a v e s e e n g r a d u a l c h a n g e s o v e r t h e l a s t 2 0 y e a r s . T h e s e c h a n g e s h a v e b e e n " m o r e e v o l u t i o n a r y t h a n r e v o l u t i o n a r y ; " t h a t i s , t h e y r e fl e c t s l o w , s t e a d y m o v e m e n t s i n e d u c a t i o n ( E l l i o t , 1 9 9 0 ) . M o s t c h a n g e s h a v e b e e n i n s u r f a c e f e a t u r e s s u c h a s i l l u s t r a t i o n s a n d t i t l e s ( T y s o n - B e r n s t e i n 8 : W o o d w a r d , 1 9 9 1 ) . I l l u s t r a t i o n s , f o r e x a m p l e , h a v e b e c o m e m o r e c o l o r f u l a n d r e p r e s e n t a t i v e o f s t u d e n t d i v e r s i t y . S o m e o f t h e m o r e s u b s t a n t i v e c h a n g e s h a v e c o m e f r o m i n i t i a t i v e s b y t h e m a t h e m a t i c s e d u c a t i o n c o m m u n i t y t h a t g a i n e d s u f fi c i e n t v i s i b i l i t y a n d i n fl u e n c e a m o n g p o l i c y m a k e r s a n d t e x t b o o k a d o p t i o n c o m m i t t e e s t o a l t e r t h e m a r k e t d e m a n d s . I d i s c u s s s o m e o f t h e s e b e l o w . C a s e s o f C h a n g e T h e fi r s t o f t h e s e c h a n g e s c a m e a f t e r t h e p u b l i c a t i o n o f A n A g e n d a f o r A c t i o n ( N C T M , 1 9 8 0 ) , c a l l i n g o n m a t h t e a c h e r s t o i n c o r p o r a t e p r o b l e m s o l v i n g i n t h e c u r r i c u l u m . I n t h i s d o c u m e n t , i t s a u t h o r s a r g u e d t h a t p r o b l e m s o l v i n g i n v o l v e d m o r e t h a n w o r d p r o b l e m s ; i t w a s a w a y o f t h i n k i n g t h a t i n c l u d e d d e v e l o p i n g a n d a p p l y i n g s o l u t i o n s t r a t e g i e s t o n o n r o u t i n e p r o b l e m s . W i t h i n a f e w y e a r s a n d i n r e s p o n s e t o m a r k e t p r e s s u r e , t h e m a i n s t r e a m t e x t s b e g a n t o i n c l u d e i n s t r u c t i o n i n p r o b l e m s o l v i n g . I n m o s t c a s e s , t h i s t o o k t h e f o r m o f l e s s o n s t h a t i n s t r u c t s t u d e n t s o n s p e c i fi c p r o b l e m - s o l v i n g s t r a t e g i e s i n s e r t e d p e r i o d i c a l l y i n t o t h e c h a p t e r s . T h e s u r r o u n d i n g l e s s o n s w e r e u n a l t e r e d e x c e p t t o h a v e o n e o r t w o m o r e s t o r y p r o b l e m s a d d e d a t t h e e n d . S t i l l , t h e s e s t o r y p r o b l e m s w e r e s i n g l e - s t e p , s i n g l e - o p e r a t i o n , a r i t h m e t i c e x e r c i s e s ( R e m i l l a r d , 1 9 9 1 a ) . T h e f o r m a t , o r g a n i z a t i o n , i n s t r u c t i o n a l d e s i g n , a n d e m p h a s i s o n c o m p u t a t i o n a l p r o c e d u r e s r e m a i n e d t h e s a m e . T h e s e t e x t b o o k s w e r e n o t e n t i r e l y d e v o i d o f a t t e n t i o n t o u n d e r l y i n g c o n c e p t s a n d a p p l i c a t i o n o f b a s i c s k i l l s , b u t t h e s e i t e m s r a r e l y f o u n d t h e i r w a y i n t o t h e s t u d e n t s ' t e x t . A s G r a y b e a l a n d S t o d o l s k y ( 1 9 8 7 ) f o u n d i n t h e i r e x a m i n a t i o n o f m a t h e m a t i c s t e x t s p u b l i s h e d i n t h e l a t e 1 9 7 0 5 a n d e a r l y 1 9 8 0 5 , a c t i v i t i e s d e s i g n e d t o d e v e l o p c o n c e p t u a l u n d e r s t a n d i n g o f t h e p r o c e d u r e s w e r e i n c l u d e d b u t g e n e r a l l y w e r e s u g g e s t e d i n t h e 5 1 m a r g i n s o f t h e t e a c h e r ' s g u i d e o n l y . R a r e l y w e r e t h e y o n t h e s t u d e n t s ' p a g e s , a n d r a r e l y , i t s e e m e d , w e r e t h e s e s u g g e s t i o n s h e e d e d ( S t o d o l s k y , 1 9 8 9 ) . A n o t h e r i n s t a n c e o f c h a n g e i n m a t h e m a t i c s t e x t b o o k s t h a t o c c u r r e d l a t e r i n t h e 1 9 8 0 5 i n C a l i f o r n i a p r o v i d e s a n e x a m p l e o f h o w t h e t e x t b o o k m a r k e t o p e r a t e s . I n t h e i r e f f o r t s t o e f f e c t c h a n g e i n t h e s t a t e , e d u c a t i o n o f fi c i a l s e s t a b l i s h e d r i g i d c r i t e r i a f o r p l a c e m e n t o n t h e s t a t e l i s t o f a u t h o r i z e d t e x t b o o k s . A s s u m i n g t h a t w h a t m a d e i t o n t o t h e s t u d e n t p a g e h a d a b e t t e r c h a n c e o f m a k i n g i t i n t o c l a s s r o o m i n s t r u c t i o n , r e f o r m e r s a d v i s e d p u b l i s h e r s t h a t n o l e s s t h a n 2 0 % o f t h e s t u d e n t t e x t m u s t r e fl e c t c h a n g e s i n c o n t e n t a n d i n s t r u c t i o n a l a c t i v i t i e s p r o p o s e d i n t h e 1 9 8 5 S t a t e M a t h e m a t i c s F r a m e w o r k 2 W h e n t h e s t a t e r e j e c t e d a l l 1 4 o f t h e K - 8 t e x t b o o k s t h a t h a d b e e n s u b m i t t e d f o r a d o p t i o n ( H o n i g , 1 9 9 1 ) , e d i t o r s s c u r r i e d t o m a k e t h e a p p r o p r i a t e a l t e r a t i o n s . T h e c h a l l e n g e f o r t h e s e c o m p a n i e s w a s t o m a i n t a i n t h e C a l i f o r n i a m a r k e t w i t h o u t l o s i n g o t h e r s t a t e s t h a t w e r e n o t m a k i n g t h e s a m e d e m a n d s . T h e i r s o l u t i o n i l l u s t r a t e s t h e m a r k e t i n f l u e n c e o n t h e d e s i g n o f t e x t b o o k s . T h o s e c o m p a n i e s t h a t m a d e i t o n t o C a l i f o r n i a ' s l i s t p r o d u c e d s p e c i a l e d i t i o n s o f t h e i r t e x t s f o r t h i s m a r k e t , s e l l i n g t h e i r u n c h a n g e d e d i t i o n s i n o t h e r s t a t e s . I r o n i c a l l y , t h e s e C a l i f o r n i a e d i t i o n s d i d n o t l o o k s i g n i fi c a n t l y d i f f e r e n t f r o m t h e o t h e r s . E d i t o r s m e t t h e c r i t e r i a b y c h a n g i n g a f e w l e s s o n s p e r c h a p t e r t o m e e t t h e 2 0 % m i n i m u m . T h e n e w l e s s o n s i n c l u d e d c o n c e p t u a l l y o r i e n t e d i n t r o d u c t i o n s t o t o p i c s , f r e q u e n t l y i n c o r p o r a t i n g t h e u s e o f m a n i p u l a t i v e s a n d g r o u p w o r k . P u b l i s h e r s a l s o a d d e d c o o p e r a t i v e e n r i c h m e n t a c t i v i t i e s a t t h e e n d o f c h a p t e r s ( P u t n a m , J e n n i n g s , 8 : R e m i l l a r d , 1 9 9 0 ) . B e c a u s e p u b l i s h e r s p r o d u c e d s e p a r a t e e d i t i o n s f o r t h e C a l i f o r n i a m a r k e t , t h i s m o v e d i d n o t h a v e t h e i m p a c t o n t e x t s n a t i o n w i d e t h a t o b s e r v e r s h a d a n t i c i p a t e d . 2 T h e M a t h e m a t i c s F r a m e w o r k i s t h e s t a t e ' s d o c u m e n t o u t l i n i n g c u r r i c u l a r a n d p e d a g o g i c a l g o a l s . W i t h a n e y e t o w a r d s u b s t a n t i a l c h a n g e , t h i s d o c u m e n t w a s o v e r h a u l e d i n t h e m i d 1 9 8 0 5 a n d , f o r t h e fi r s t t i m e , e s t a b l i s h e d t h e c r i t e r i a f o r t e x t b o o k a p p r o v a l ( H o n i g , 1 9 9 1 ) . 5 2 C h a n g e s i n t h e n o n - C a l i f o r n i a m a r k e t , h o w e v e r , w e r e s o o n t o f o l l o w i n r e s p o n s e t o t h e p u b l i c a t i o n o f t h e N C T M S t a n d a r d s i n 1 9 8 9 a n d i t s s u b s e q u e n t a c c e p t a n c e . I m p l i c i t i n t h e S t a n d a r d s ' c a l l f o r c h a n g e a r e c r i t i c i s m s o f t h e w a y t h e m a t h e m a t i c s c o n t e n t h a s b e e n b r o k e n i n t o d i s c r e t e p i e c e s , i t s e m p h a s i s o n c o m p u t a t i o n a l s k i l l s , a n d t h e c o r r e s p o n d i n g l a c k o f a t t e n t i o n t o c o n c e p t u a l u n d e r s t a n d i n g . T h e S t a n d a r d s a n d o t h e r r e f o r m d o c u m e n t s e x p r e s s e d e q u a l c o n c e r n a b o u t i n s t r u c t i o n a l p r a c t i c e s , f o c u s i n g o n r e p e a t e d d r i l l , p r a c t i c e o f c o m p u t a t i o n a l p r o c e d u r e s , a n d i n d e p e n d e n t w o r k r a t h e r t h a n c o l l a b o r a t i v e a n d m e a n i n g f u l a p p l i c a t i o n s i n w h i c h s k i l l s c o u l d b e e m p l o y e d . M o s t p r o m i n e n t a m o n g c u r r e n t p r a c t i c e s t a r g e t e d f o r c r i t i c i s m w a s t h e i n a u t h e n t i c , " c o o k b o o k " a p p r o a c h t o p r o b l e m s o l v i n g . E v e n t h o u g h p u b l i s h e r s h a d b e g u n t o i n c l u d e m o r e p r o b l e m s o l v i n g i n t h e i r t e x t s , c r i t i c s c l a i m e d t h a t t h e s e i n s t a n c e s w e r e c o n t r i v e d , r o u t i n e , i n a u t h e n t i c , a n d r e a d i l y s o l v e d w i t h s i m p l e s t r a t e g i e s . T h e y n e i t h e r r e q u i r e d s t u d e n t s t o t h i n k n o r e n c o u r a g e d t h e m t o a s s e s s t h e s e n s i b l e n e s s o f t h e i r r e s u l t s . A s v e r s i o n s o f t h e g o a l s o f f e r e d i n t h e S t a n d a r d s w e r e a d d e d t o a d o p t i o n c r i t e r i a i n d i s t r i c t s t h r o u g h o u t t h e c o u n t r y , p u b l i s h e r s w e r e f o r c e d t o r e s p o n d . I n t h e e a r l y 1 9 9 0 5 , e a c h m a j o r p u b l i s h e r p r o d u c e d a n e w e d i t i o n o f i t s m a t h e m a t i c s t e x t , a d v e r t i s e d a s c o n g r u e n t w i t h t h e N C T M S t a n d a r d s . M g t h e m a t i c s P l u _ s w a s o n e o f t h e s e t e x t b o o k s . H o w v a l i d w e r e t h e s e c l a i m s ? I e x a m i n e t h i s q u e s t i o n i n t h e r e m a i n d e r o f t h i s c h a p t e r . T o W h a t E x t e n t D o e s t h e H B J T e x t R e fl e c t C u r r e n t R e f o r m s ? I n t h e s e c t i o n s t h a t f o l l o w , I c o n s i d e r t h i s q u e s t i o n b y l o o k i n g a t w h a t t h e t e x t o f f e r s t e a c h e r s a n d w h a t i t i m p l i e s a b o u t t e a c h i n g i n t o d a y ' s r e f o r m c o n t e x t . F i r s t , I d e s c r i b e t h e t e a c h e r ' s g u i d e a n d s t u d e n t t e x t . T h e n , I a n a l y z e t h e i m p l i c a t i o n s o f t h e s e o f f e r i n g s w i t h r e s p e c t t o k e y a s p e c t s o f t h e r e f o r m s a n d h o w t h e y r e p r e s e n t m a t h e m a t i c s , t e a c h i n g , a n d l e a r n i n g . M y o v e r a l l a s s e s s m e n t o f t h e H B J t e x t i s t h a t i t i s r e s p o n s i v e t o t h e r e f o r m s b u t i n a f r a g m e n t e d a n d s u p e r fi c i a l w a y . A s t h e d e s c r i p t i o n b e l o w r e v e a l s , p u b l i s h e r s h a v e a d d e d s u b s t a n t i a l a m o u n t s o f n e w m a t e r i a l t o t h e t e x t ' s 5 3 t r a d i t i o n a l o f f e r i n g s . H o w e v e r , i t l o o k s a n d f e e l s f a m i l i a r i n i t s r e p r e s e n t a t i o n o f w h a t a n d h o w t e a c h e r s a n d s t u d e n t s s h o u l d l e a r n . W h a t t h e T e x t b o o k O f f e r s : G e n e r a l D e s c r i p t i o n T h e H B J b l a t h e m g t i c s P l u s s e r i e s i n c l u d e s a l a r g e s e l e c t i o n o f r e s o u r c e s i n a d d i t i o n t o t h e f a m i l i a r t e a c h e r ' s g u i d e a n d s t u d e n t t e x t b o o k . A v a s t s e l e c t i o n o f s u p p l e m e n t a r y m a t e r i a l s a c c o m p a n i e s a n d i s r e f e r r e d t o i n t h e b a s i c t e x t . T h e y c o n t a i n a d d i t i o n a l s t u d e n t w o r k p a g e s a n d t e s t i n g a c t i v i t i e s ( f r o m s t a n d a r d i z e d t e s t f o r m a t s t o a l t e r n a t i v e a s s e s s m e n t s u g g e s t i o n s a n d g u i d e l i n e s ) . M a n i p u l a t i v e k i t s , c a l c u l a t o r s e t s , c o m p u t e r s o f t w a r e , a n d b o o k s c o n t a i n i n g s u g g e s t i o n s f o r u s i n g m a n i p u l a t i v e s a n d o t h e r f o r m s o f " i n t e r a c t i v e " t e a c h i n g a l s o a r e a v a i l a b l e . S t i l l , t h e c o r e p r o g r a m i s f o u n d i n t h e t e a c h e r ' s g u i d e a n d s t u d e n t ' s t e x t b o o k . F o r t h i s r e a s o n , I f o c u s t h i s a n a l y s i s o n t h e t e a c h e r ' s g u i d e , w h i c h i n c l u d e s a r e p r o d u c t i o n o f t h e s t u d e n t t e x t b o o k I n c i t i n g s p e c i fi c e x a m p l e s o r d i s c u s s i n g t h e c o n t e n t o f f e r i n g , I d r a w f r o m t h e f o u r t h - g r a d e t e x t b o o k . T h e g e n e r a l o r g a n i z a t i o n a n d f o r m a t o f t h e t e x t b o o k a r e t h e s a m e a t e a c h g r a d e l e v e l ; c o n s e q u e n t l y , m u c h o f t h e o v e r a l l a n a l y s i s a p p l i e s t o t h e H B J s e r i e s a s a w h o l e . T h e T g c h e r ' s G u i d e A s i s t y p i c a l o f t e x t b o o k s e r i e s , t h e H B J t e a c h e r ' s g u i d e c o n t a i n s t h e k e y t o t h e e n t i r e p r o g r a m . A l l o t h e r m a t e r i a l s a s s o c i a t e d w i t h t h e s e r i e s , i n c l u d i n g t h e s t u d e n t t e x t b o o k , a r e p i c t u r e d o r r e f e r r e d t o i n t h e a p p r o p r i a t e p l a c e s i n t h i s g u i d e . I n a d d i t i o n t o o u t l i n i n g t h e d a i l y l e s s o n s , t h i s h e f t y v o l u m e c o n t a i n s g e n e r a l i n f o r m a t i o n a b o u t t h e s e r i e s a n d a d d i t i o n a l p r o b l e m s a n d a c t i v i t i e s n o t f o u n d i n t h e s t u d e n t ' s t e x t . T h e p u b l i s h e r s h a v e g o n e t o g r e a t l e n g t h s t o s h o w t h a t t h e i r t e x t i s i n k e e p i n g w i t h t h e i d e a s o f t h e r e f o r m a g e n d a . Q u o t e s f r o m t h e S t a n d a r d s a r e w o v e n t h r o u g h o u t t h e t e x t a l o n g s i d e - r e l a t e d a c t i v i t i e s . T h e f o u r t h - g r a d e t e a c h e r ' s g u i d e c o n t a i n s t h e f o l l o w i n g s e c t i o n s : 1 . I n t r o d u c t i o n . T h e fi r s t 2 7 p a g e s i n t h e t e a c h e r ' s g u i d e a r e a m i x t u r e o f a d v e r t i s e m e n t s f o r t h e H B J t e x t a n d a n o r i e n t a t i o n t o t h e r a n g e o f o f f e r i n g s i n t h e 5 4 s e r i e s . I t i n c l u d e s i n f o r m a t i o n a b o u t w h o t h e a u t h o r s a r e a n d w h a t t h e y b e l i e v e a b o u t t e a c h i n g a n d l e a r n i n g a s w e l l a s s e v e r a l p a g e s o f c h a r t s t h a t p r o v i d e d i f f e r e n t o v e r v i e w s o f t h e c o n t e n t o f t h e c h a p t e r s . O n e c h a r t l i s t s o b j e c t i v e s f o r e a c h c h a p t e r , i n d i c a t i n g w h i c h c o m m o n l y u s e d s t a n d a r d i z e d t e s t s a s s e s s e a c h . A n o t h e r c h a r t o f f e r s a p a c i n g s c h e d u l e . A t h i r d p r o v i d e s a s c o p e a n d s e q u e n c e c h a r t , s h o w i n g w h e n d i f f e r e n t s k i l l s a n d c o n c e p t s a p p e a r a c r o s s t h e e n t i r e K - 8 s e r i e s . A n o t h e r c h a r t o v e r v i e w s a l l t e a c h i n g c o m p o n e n t s a v a i l a b l e f o r e a c h g r a d e l e v e l . T h e l a s t t h r e e c h a r t s s u m m a r i z e h o w m a n i p u l a t i v e s a r e i n t e g r a t e d i n t o t h e p r o g r a m . T h e e m p h a s i s i n t h i s s e c t i o n i s o n e x p l a i n i n g h o w t h i s t e x t i s a l i g n e d w i t h n a t i o n a l r e f o r m e f f o r t s , i n c l u d i n g a l i s t o f 1 4 p h i l o s o p h i c a l s t a t e m e n t s t h a t b e g i n w i t h , " W e b e l i e v e t h a t . . . . " T h i s s e c t i o n a l s o s p e a k s t o t h o s e r e v i e w e r s c o n c e r n e d w i t h s t u d e n t a c h i e v e m e n t o n s t a n d a r d i z e d t e s t s . 2 . P u p i l ' s e d i t i o n . T h i s s e c t i o n i s t h e l a r g e s t p o r t i o n o f t h e t e a c h e r ' s g u i d e . I t g u i d e s t h e t e a c h e r i n u s i n g t h e s t u d e n t ' s t e x t , a s w e l l a s p r e s e n t i n g s t u d e n t s w i t h i n s t r u c t i o n a l a c t i v i t i e s a n d t a s k s . F o r t h e m o s t p a r t , t h e g u i d e i s d i v i d e d i n t o t w o - p a g e s p r e a d s , e a c h o f w h i c h d e fi n e s a l e s s o n . E a c h s p r e a d c o n s i s t s o f p i c t u r e s o f t h e t w o c o r r e s p o n d i n g p a g e s f r o m t h e s t u d e n t t e x t s u r r o u n d e d i n t h e m a r g i n s w i t h s u g g e s t i o n s f o r t h e t e a c h e r . 3 . M i n u t e m a t h . T h i s s e c t i o n i s a c o l l e c t i o n o f o p e n - e n d e d a c t i v i t i e s d e s i g n e d t o b e u s e d a s fi l l e r s w h e n t e a c h e r s fi n d t h e m s e l v e s w i t h e x t r a t i m e . T h e y v a r y f r o m b e i n g o r i e n t e d t o w a r d q u i c k p r a c t i c e o f c o m p u t a t i o n a l s k i l l s t o m o r e o p e n e n d e d e x p l o r a t i o n s s u c h a s fi n d i n g t i m e s o f t h e d a y t h a t a r e p a l i n d r o m e s . 4 . P r o b l e m o f t h e d a y . T h i s s e c t i o n c o n t a i n s a c o l l e c t i o n o f p r o b l e m s , o n e f o r e a c h n u m b e r e d l e s s o n i n t h e b o o k . T h e s e p r o b l e m s g e n e r a l l y r e q u i r e m o r e t h a n a s i n g l e o p e r a t i o n o r s t e p t o b e s o l v e d a n d d o n o t h a v e s t r a i g h t f o r w a r d s o l u t i o n p a t h s . M a n y p r o b l e m s r e q u i r e l o g i c a l t h i n k i n g , a n d s o m e h a v e m o r e t h a n o n e s o l u t i o n . 5 . A l t e r n a t i v e t e a c h i n g s t r a t e g i e s . T h i s s e c t i o n i s a c o l l e c t i o n o f i n s t r u c t i o n a l a c t i v i t i e s t h a t c a n b e u s e d t o t e a c h v a r i o u s c o n c e p t s i n t h e s e r i e s . T h e r e a r e t w o t o f o u r a c t i v i t i e s p e r c h a p t e r . M o s t a c t i v i t i e s i n v o l v e w h o l e c l a s s o r p a r t n e r w o r k a n d a l m o s t a l l i n v o l v e m a n i p u l a t i v e o r v i s u a l m a t e r i a l s . A f e w r e v i e w s k i l l s i n a f o r m a t o t h e r t h a n t r a d i t i o n a l p r a c t i c e s u c h a s g a m e s a n d o t h e r i n t e r a c t i v e a c t i v i t i e s . 5 5 6 . N C T M i s s u e s a n d a n s w e r s . T h r o u g h o u t t h e t e a c h e r ' s g u i d e , t h e a u t h o r s m a k e r e f e r e n c e t o N C T ' M , f r e q u e n t l y q u o t i n g f r o m t h e N C T M S t a n d a r d s . T h i s s e c t i o n c o n t a i n s s e v e r a l i d e a s f r e q u e n t l y a s s o c i a t e d w i t h t h e r e f o r m s s u c h a s p r o b l e m s o l v i n g , c o m m u n i c a t i o n , m a t h e m a t i c a l r e a s o n i n g , c o n n e c t i o n s , m a n i p u l a t i v e s , a n d c o o p e r a t i v e l e a r n i n g . E a c h i d e a i s l a b e l e d a s i f i t w e r e w r i t t e n b y o n e o f t h e t e x t a u t h o r s p i c t u r e d a t t h e b e g i n n i n g o f t h e b o o k . 3 E a c h p a g e p r o v i d e s a b r i e f d e s c r i p t i o n o f o n e t o p i c a n d a r a t i o n a l e f o r i t s i m p o r t a n c e t o s t u d e n t s ' l e a r n i n g o f m a t h e m a t i c s . I t a l s o l i s t s w a y s t h a t t h e H B J s e r i e s i s d e s i g n e d t o a t t e n d t o t h e i d e a s , s t a r t i n g w i t h t h e p h r a s e , " I n M a t h e m a t i c s P l u s . . . . " I n a f e w c a s e s , i t g i v e s s u g g e s t i o n s f o r t e a c h e r s t o n u r t u r e t h e m i n s t u d e n t s . T h e s t u d e n t t e x t . T h e s t u d e n t t e x t b o o k c o n s i s t s o f 1 3 c h a p t e r s . E v e n t h o u g h t h e c o n t e n t o f e a c h r e fl e c t s l i t t l e c h a n g e f r o m t h o s e o f t h e p a s t ( e . g . , p l a c e v a l u e , a d d i t i o n a n d s u b t r a c t i o n , m u l t i p l i c a t i o n , d i v i s i o n , f r a c t i o n s , a n d m e a s u r e m e n t ) , s o m e o f t h e t i t l e s s u g g e s t g r e a t e r e m p h a s i s o n d e v e l o p i n g u n d e r s t a n d i n g o f t h e t o p i c . T h e fi r s t c h a p t e r , f o r e x a m p l e , i s g i v e n t h e t i t l e , " P l a c e V a l u e : D e v e l o p i n g N u m b e r S e n s e . " E a c h c h a p t e r a l s o h a s a n o n m a t h e m a t i c a l t h e m e , s u c h a s p r o t e c t i n g t h e e n v i r o n m e n t , w h i c h i s t h e n u s e d t o p r o v i d e a c o n t e x t f o r t h e p r o b l e m s i n t h e l e s s o n s . T h e s e t h e m e s s e e m t o r e p r e s e n t a n a t t e m p t t o i n t e g r a t e n o n m a t h e m a t i c a l t o p i c s i n t o m a t h e m a t i c s , t h u s s h o w i n g i t s r e l e v a n c e t o a c t u a l s i t u a t i o n s . T h e c h a p t e r s a r e i d e n t i c a l i n f o r m a t a n d o r g a n i z a t i o n . E a c h c h a p t e r c o n t a i n s 1 0 t o 1 5 n u m b e r e d l e s s o n s p r e s e n t e d o n a t w o - p a g e s p r e a d i n t h e t e a c h e r ' s g u i d e . ( A p p e n d i x C c o n t a i n s c o p i e s o f e x a m p l e p a g e s f r o m t h e t e a c h e r ' s g u i d e i n C h a p t e r 1 0 . [ n r e f e r r i n g t o t h e s e t h r o u g h o u t m y d e s c r i p t i o n , I u s e t h e p a g e n u m b e r i n t h e t e x t b o o k . ) T w o o f t h e l e s s o n s i n e a c h c h a p t e r a r e d e v o t e d t o i n s t r u c t i o n o n p r o b l e m - s o l v i n g s k i l l s a n d s t r a t e g i e s ( s e e p a g e s 3 2 6 a n d 3 3 4 , A p p e n d i x C ) . I n a d d i t i o n t o t h e n u m b e r e d l e s s o n s d e s c r i b e d a b o v e , e a c h c h a p t e r c o n t a i n s e i g h t e x t r a a c t i v i t i e s . T h e fi r s t a c t i v i t y i s t h e " C h a p t e r O p e n e r , " w h i c h i n t r o d u c e s t h e n o n m a t h e m a t i c a l t h e m e a n d t h e m a t h e m a t i c a l t o p i c . F o r e x a m p l e , t h e t h e m e f o r 3 A c c o r d i n g t o K e i t h ( 1 9 9 1 ) t h e a c t u a l w r i t e r s o f t e x t b o o k s a r e g e n e r a l l y i n - h o u s e e d i t o r s , n o t t h o s e p i c t u r e d o n t h e b o o k s t i t l e p a g e . 5 6 C h a p t e r 1 0 ( U n d e r s t a n d i n g F r a c t i o n s a n d M i x e d N u m b e r s ) i s h e a l t h a n d fi t n e s s ; i t c o n t a i n s a l a r g e c o l o r p h o t o g r a p h o f y o u n g p e o p l e p a r t i c i p a t i n g i n t h e S p e c i a l O l y m p i c s a n d a s t o r y p r o b l e m a b o u t o n e o f t h e a t h l e t e s . T h e m a r g i n s t h a t s u r r o u n d t h e s e t w o p a g e s i n t h e t e a c h e r ' s g u i d e c o n t a i n a c o l l e c t i o n o f a c t i v i t i e s t o i n t r o d u c e t h e t o p i c o f f r a c t i o n s a n d t h e c h a p t e r t h e m e t o t h e c l a s s . A l l a c t i v i t i e s s u g g e s t w h o l e - c l a s s f o r m a t s , w i t h m a n y d r a w i n g o n s t u d e n t s ' p e r s o n a l e x p e r i e n c e s . ( s e e p . 3 1 6 , A p p e n d i x C ) . T h e n e x t n o n n u m b e r e d l e s s o n i n e a c h c h a p t e r i s a " R e v i e w a n d M a i n t e n a n c e T e s t , " w h i c h i s f o u n d m i d w a y t h r o u g h . O n t h e o p p o s i t e p a g e i s a p r o b l e m - s o l v i n g a c t i v i t y , w h i c h f o c u s e s o n d e v e l o p i n g a p a r t i c u l a r p r o b l e m - s o l v i n g s t r a t e g y . A t t h e e n d o f e a c h c h a p t e r a r e e i g h t a d d i t i o n a l p a g e s : a t w o - p a g e c h a p t e r r e v i e w , a t w o - p a g e c h a p t e r t e s t , a t e a m w o r k p r o j e c t , a p a g e o f e x t e n s i o n a c t i v i t i e s , a n d a t w o — p a g e c u m u l a t i v e r e v i e w t e s t ( s e e p p . 3 4 0 - 3 4 5 , A p p e n d i x C ) . T h e s e i t e m s a r e l i s t e d i n t h e c h a p t e r l e s s o n g u i d e b u t a r e n o t a c t u a l l e s s o n s . E v e n t h o u g h a s u b s t a n t i a l p o r t i o n o f t h e t e x t s r e f o r m - o r i e n t e d " o f f e r i n g s a r e f o u n d i n t h e s e n o n n u m b e r e d l e s s o n s , t h e y a r e n o t a c c o u n t e d f o r i n t h e y e a r l y p a c i n g p l a n . T h e p l a n r e c o m m e n d s t h a t t e a c h e r s s p e n d o n e m o r e d a y p e r c h a p t e r t h a n t h e r e a r e n u m b e r e d l e s s o n s . C h a p t e r 1 0 , f o r e x a m p l e , c o n t a i n s 1 1 n u m b e r e d l e s s o n s a n d t h e s t a n d a r d 8 a d d i t i o n a l a c t i v i t i e s . T h e y e a r l y p a c i n g p l a n s u g g e s t s t h a t 1 2 d a y s s h o u l d b e s p e n t o n t h i s c h a p t e r . T h u s , t h e s e e x t r a a c t i v i t i e s a r e a l l o t t e d l i t t l e t i m e i n t h e y e a r ' s s c h e d u l e . A d d i t i o n a l t o t h e s t u d e n t t e x t . I n a d d i t i o n t o c o p i e s o f t h e s t u d e n t t e x t , t h e t e a c h e r ' s g u i d e c o n t a i n s t h r e e p a g e s p e r c h a p t e r o f r e l a t e d a c t i v i t i e s n o t f o u n d i n t h e s t u d e n t e d i t i o n . C a l l e d " l i n k s , " t h e s e a c t i v i t i e s a r e p r e s e n t e d o n t w o - p a g e s p r e a d s b e t w e e n l e s s o n s . T h e y s u g g e s t n o n r o u t i n e p r o b l e m s , w o r k w i t h m a n i p u l a t i v e s , o r t a s k s t h a t r e l a t e m a t h t o o t h e r s c h o o l s u b j e c t s ( s e e p p . 3 1 8 A 8 : B , 3 2 6 A 8 : B , a n d 3 3 8 A 8 : B , A p p e n d i x C ) . L i k e t h e n o n n u m b e r e d l e s s o n s i n t h e s t u d e n t t e x t , e x t r a t i m e i s n o t a l l o t t e d f o r t h e s e a c t i v i t i e s i n t h e c h a p t e r o r y e a r l y s c h e d u l e s ; t h e y a r e r e f e r e n c e d o n t h e r e g u l a r l e s s o n s a s o p t i o n a l r e s o u r c e s . 5 7 P r o b l e m S o l v i n g i n t h e C u r r i c u l u m T h e t e x t b o o k d e v e l o p e r s c l a i m t h a t p r o b l e m s o l v i n g i s a c e n t r a l f o c u s o f t h e H B J p r o g r a m . T h e y a r g u e t h a t i t " m u s t b e c o m e t h e f o c u s o f m a t h e m a t i c s i n s t r u c t i o n t o p r e p a r e s t u d e n t s f o r l i f e i n t h e t w e n t y - fi r s t c e n t u r y " ( H B J , 1 9 9 2 , p . D 2 ) . T h e p u b l i s h e r s h a v e a t t e m p t e d t o i n c r e a s e t h e a m o u n t o f p r o b l e m s o l v i n g i n t h e t e x t w i t h o u t s h i f t i n g t h e e m p h a s i s f r o m s k i l l d e v e l o p m e n t . E v e n t h o u g h t h e y h a v e a t t e n d e d t o m a n y a s p e c t s o f p r o b l e m s o l v i n g s u c h a s t h e u s e o f s t r a t e g i e s , p r o b l e m s w i t h n o n s t r a i g h t f o r w a r d s o l u t i o n p a t h s , o r t h o s e r e q u i r i n g m u l t i p l e s t e p s , i n m o s t c a s e s t h e i r e f f o r t s a p p e a r c o n t r i v e d a n d i n a u t h e n t i c . T h e p r o b l e m - s o l v i n g f o c u s t a k e s t h e f o r m o f i n s t r u c t i o n a l a c t i v i t i e s d e s i g n e d t o t e a c h s t u d e n t s h o w t o s o l v e p r o b l e m s , a s w e l l a s a r a n g e o f d i f f e r e n t p r o b l e m s t o s o l v e . D e s p i t e c l a i m s o f i m p o r t a n c e , t h e s e a c t i v i t i e s c o u l d b e d e s c r i b e d b e t t e r a s b e i n g a d d e d t o , r a t h e r t h a n i n t e g r a t e d i n t o , o t h e r l e s s o n s i n t h e t e x t . I n s t r u c t i o n i n p r o b l e m s o l v i n g . A c c o r d i n g t o t h e w r i t e r s ' c l a i m s , t h e t e x t e m p l o y s a " h e u r i s t i c " a p p r o a c h t o t e a c h i n g p r o b l e m s o l v i n g . T h e h e u r i s t i c i n c l u d e s a s e t o f s t e p s t o f o l l o w a n d a l i s t o f p r o b l e m - s o l v i n g s t r a t e g i e s t o u s e . T h e f o u r s t e p s a p p e a r i n e a c h p r o b l e m - s o l v i n g l e s s o n w i t h q u e s t i o n s s i m i l a r t o t h o s e s h o w n i n F i g u r e 3 . 1 : 0 U n d e r s t a n d t h e p r o b l e m - W h a t a r e y o u a s k e d t o fi n d ? - W h a t i n f o r m a t i o n i s g i v e n ? 0 P 1 a n a s o l u t i o n - W h a t p r o b l e m - s o l v i n g s t r a t e g i e s c a n y o u u s e ? - A b o u t w h a t d o y o u t h i n k y o u r a n s w e r w i l l b e ? O S o l v e t h e p r o b l e m - H o w w i l l y o u s o l v e t h e p r o b l e m ? - W h a t a r e t h e s o l u t i o n s ? 0 L o o k b a c k - H o w d o y o u k n o w y o u r a n s w e r i s r e a s o n a b l e ? - W h a t o t h e r s t r a t e g i e s c a n y o u u s e t o s o l v e t h e p r o b l e m ? F i g u r e 3 . 1 S t e p s o f t h e p r o b l e m s o l v i n g p l a n T h e q u e s t i o n s a r e u s e d i n t h e s t u d e n t ' s t e x t t o g u i d e t h e m t h r o u g h t h e p r o b l e m s o l v i n g p r o c e s s . O n e o f t h e n o n n u m b e r e d p a g e s i n e a c h c h a p t e r , " S p o t l i g h t o n P r o b l e m 5 8 S o l v i n g , " a l s o f o c u s e s o n t h i s h e u r i s t i c b y p r o v i d i n g p r a c t i c e w i t h o n e o f t h e f o u r s t e p s . t h e l e s s o n o n p a g e 3 3 1 i n C h a p t e r 1 0 , A p p e n d i x C , i s t i t l e d " C h e c k t h e S o l u t i o n f o r R e a s o n a b l e n e s s " a n d f o c u s e s o n t h e " L o o k B a c k " s t e p . E a c h p r o b l e m - s o l v i n g l e s s o n i s d e v o t e d t o o n e o f t h e 1 0 s t r a t e g i e s o r 1 3 s k i l l s a s s o c i a t e d w i t h t h e s t e p s . T h e s k i l l s a n d s t r a t e g i e s i n t h e f o u r t h - g r a d e p r o b l e m - s o l v i n g l e s s o n s a r e s h o w n i n F i g u r e 3 . 2 : P r o b l e m - s e w i n g s t r a t e g i e s W M M a k e a n d u s e t a b l e s , c h a r t s , a n d g r a p h s C h o o s e t h e o p e r a t i o n M a k e a l i s t U s e e s t i m a t i o n G u e s s a n d c h e c k S o l v e m u l t i s t e p p r o b l e m s F i n d a p a t t e r n I n t e r p r e t r e m a i n d e r s D r a w a n d u s e p i c t u r e s A n a l y z e r e l a t i o n s h i p s M a k e a n d u s e m o d e l s I d e n t i f y t o o m u c h o r t o o l i t t l e i n f o r m a t i o n W r i t e a n u m b e r s e n t e n c e / e q u a t i o n A n a l y z e / c o m p a r e d a t a W o r k b a c k w a r d C h e c k r e a s o n a b l e n e s s o f s o l u t i o n A c t o u t t h e p r o b l e m D r a w c o n c l u s i o n s U s e l o g i c a l r e a s o n i n g M a k e a n o r g a n i z e d l i s t M a k e p r e d i c t i o n s F i n d h i d d e n q u e s t i o n I n t e r p r e t a n s w e r F i g u r e 3 . 2 P r o b l e m - s o l v i n g s t r a t e g i e s a n d s k i l l s T h e f o c u s o f t h e s e l e s s o n s i s o n p r a c t i c e u s i n g s t r a t e g i e s a n d s k i l l s , n o t d e t e r m i n i n g w h i c h t o u s e . E v e n t h o u g h t h e q u e s t i o n s u n d e r t h e s t e p " P l a n a S o l u t i o n " i n v o l v e s e l e c t i n g a s t r a t e g y , t h e e x p e c t e d m e t h o d i s o b v i o u s , s i n c e i t i s o f t e n t h e t i t l e o f t h e l e s s o n . F u r t h e r m o r e , t h e p r o b l e m i s p o s e d i n s u c h a w a y t h a t t h e m e t h o d b e i n g t a u g h t i s t h e m o s t n a t u r a l c h o i c e . F o r e x a m p l e , t h e fi r s t p r o b l e m - s o l v i n g l e s s o n i n t h e t e x t i s t i t l e d " U s e a T a b l e . " A t a b l e l i s t s c h i l d r e n ' s n a m e s a n d t a l l y m a r k s t o i n d i c a t e t h e n u m b e r o f p a t c h e s e a c h c o l l e c t e d . S t u d e n t s r e a d t h e t a b l e r a t h e r t h a n m a k i n g o n e t h e m s e l v e s . T h e f e a s i b i l i t y o f o t h e r s t r a t e g i e s a l s o i s c o n s i d e r e d . M o r e o f t e n , t h e q u e s t i o n u n d e r t h e l a s t s t e p , " L o o k B a c k , " a s k s w h e t h e r a d i f f e r e n t s t r a t e g y i s p o s s i b l e . T h e a n s w e r i n t h e t e a c h e r ' s g u i d e i s a n o t h e r o f t h e 1 0 p r o b l e m - s o l v i n g s t r a t e g i e s . 5 9 P r o b l e m - s o l v i n g a p p l i c a t i o n s . I n a d d i t i o n t o p r o v i d i n g i n s t r u c t i o n o n t h e s t r a t e g i e s a n d s t e p s i n t h e p r o b l e m - s o l v i n g p r o c e s s , t h e t e x t c o n t a i n s a r a n g e o f d i f f e r e n t " a p p l i c a t i o n s . " M o s t o f t h e s e a p p l i c a t i o n s a r e r o u t i n e 4 s t o r y p r o b l e m s a n d a r e f o u n d o n t h e p a g e s o f t h e s t u d e n t t e x t u n d e r t h e h e a d i n g " M i x e d A p p l i c a t i o n . " U n l i k e t h e p r o b l e m - s o l v i n g i n s t r u c t i o n ( d e s c r i b e d a b o v e ) , t h e s e p r o b l e m s r e q u i r e s t u d e n t s t o s e l e c t t h e s t r a t e g y o r a p p r o a c h . S o m e o f t h e s e p r o b l e m s d r a w o n s p e c i fi c m a t h e m a t i c a l s k i l l s o r c o n c e p t s t a u g h t i n t h e l e s s o n . M o s t r e q u i r e a r a n g e o f m a t h e m a t i c a l s k i l l s . F o r e x a m p l e , t h e p r o b l e m - s o l v i n g l e s s o n o n p a g e 3 2 6 i n C h a p t e r 1 0 ( A p p e n d i x C ) f o l l o w s i n s t r u c t i o n o n u s i n g t h e " a c t i t o u t " s t r a t e g y w i t h e i g h t s t o r y p r o b l e m s t h a t r e q u i r e d i f f e r e n t o p e r a t i o n s a n d l e n d t h e m s e l v e s t o v a r i o u s s t r a t e g i e s . M o s t o t h e r l e s s o n s i n c l u d e a f e w s t o r y p r o b l e m s ; n o t a l l o f t h e s e r e q u i r e m a t h e m a t i c a l s k i l l s t a u g h t o n t h e p a g e . T h i s r e fl e c t s a c o n s i s t e n t a t t e m p t t o a v o i d p r e s e n t i n g p r o b l e m s t h a t r e q u i r e t h e s a m e o p e r a t i o n a n d a p p r o a c h . F o u r s t o r y p r o b l e m s a r e i l l u s t r a t e d i n F i g u r e 3 . 3 . E v e n t h o u g h t h e s e s t o r y p r o b l e m s a r e s o m e w h a t r o u t i n e , t h e s o l u t i o n p r o c e s s v a r i e s f r o m p r o b l e m t o p r o b l e m , t h u s r e q u i r i n g s t u d e n t s t o i d e n t i f y a p p r o p r i a t e s t r a t e g i e s a n d t o a p p l y t h e m . T h i s i s t y p i c a l o f m a n y s t o r y p r o b l e m s i n t h e t e x t . I n 0 E a c h m e d a l f o r t h e fi e l d - d a y O M r . T i m s h a s 2 5 8 p a c k a g e s o f e v e n t s w e i g h s 2 o z . T h e r e a r e 7 2 r a i s i n s . E a c h p a c k a g e w e i g h s 5 o z . m e d a l s i n a b o x . T h e e m p t y b o x W h a t i s t h e t o t a l w e i g h t o f t h e w e i g h s 1 2 o z . H o w m u c h d o t h e r a i s i n s ? W r i t e y o u r a n s w e r u s i n g m e d a l s a n d t h e b o x w e i g h ? l b . a n d o z . 0 E s t i m a t i o n I f e v e r y s t u d e n t i n 0 W h i c h c o n t a i n e r o f j u i c e i s t h e y o u r c l a s s c l i m b e d o n t o a b i g s c a l e , b e t t e r b u y ? a b o u t h o w m u c h w o u l d t h e y [ P i c t u r e s h o w s a 6 o z . c a n f o r $ 0 . 5 6 w e i g h ? a n d a 1 4 o z . c a n f o r $ 1 . 2 6 . ] ( H B J , p a g e 2 3 1 ) F i g u r e 3 . 3 E x a m p l e s t o r y p r o b l e m s c o n t r a s t t o r o u t i n e s t o r y p r o b l e m s t r a d i t i o n a l l y f o u n d i n t e x t b o o k s , w h i c h m a k e t h e a p p r o p r i a t e o p e r a t i o n o b v i o u s ( R e m i l l a r d , 1 9 9 1 b ) , t h e s e s t o r y p r o b l e m s a v o i d g i v i n g 4 " R o u t i n e " i s g e n e r a l l y u s e d t o c h a r a c t e r i z e s t o r y p r o b l e m s t h a t a r e s t r a i g h t f o r w a r d i n n a t u r e a n d c a n b e r e d u c e d e a s i l y t o a n a r i t h m e t i c e x p r e s s i o n a n d s o l v e d w i t h a s i n g l e o p e r a t i o n . 6 0 s u c h c l u e s . I n m o s t c a s e s , a s t u d e n t w o u l d n e e d t o c o m p r e h e n d t h e s i t u a t i o n i n o r d e r t o d e t e r m i n e h o w t o t r e a t t h e i n f o r m a t i o n i n t h e p r o b l e m . I n t h e fi r s t e x a m p l e a b o v e , t h e s t u d e n t w o u l d n e e d t o d e t e r m i n e h o w t o a c c o u n t f o r t h e w e i g h t o f t h e b o x a s w e l l a s t h e w e i g h t o f t h e m e d a l s . E v e n t h o u g h f o u n d l e s s f r e q u e n t l y , p r o b l e m s l i k e t h e l a s t o n e r e q u i r e m o r e t h a n a n u n d e r s t a n d i n g o f t h e s i t u a t i o n . U n l i k e t h e fi r s t t w o e x a m p l e s , i t c a n n o t b e r e w r i t t e n e a s i l y i n a n u m b e r s e n t e n c e a n d s o l v e d . I n s t e a d , s t u d e n t s m u s t d e t e r m i n e h o w t o c o m p a r e p r i c e s o f t h e t w o d i f f e r e n t w e i g h t s . D e s p i t e t h e t e x t ' s e m p h a s i s o n p r o b l e m - s o l v i n g s t r a t e g i e s , t h e y a r e s e l d o m m e n t i o n e d w i t h t h e s e a p p l i c a t i o n p r o b l e m s , w h i c h i s a n e x a m p l e o f t h e t e x t ' s f r a g m e n t e d c o m m i t m e n t t o t h e r e f o r m s . T h e t e x t m i g h t i n s t r u c t s t u d e n t s t o s e l e c t a s o l u t i o n s t r a t e g y , b u t t h e t e a c h e r ' s g u i d e c o n t a i n s o n l y t h e s o l u t i o n . T h e t e a c h e r ' s g u i d e o f f e r s n o s u g g e s t i o n s f o r f o c u s i n g a t t e n t i o n o n t h e s t r a t e g y o r t h e r a t i o n a l e f o r s e l e c t i o n ; i t m e r e l y p r o v i d e s t h e c o r r e c t a n s w e r . O t h e r p r o b l e m - s o l v i n g t a s k s a r e f o u n d o n t h e " P r o b l e m - S o l v i n g L i n k " p a g e s a n d t h e " P r o b l e m o f t h e D a y " s e c t i o n i n t h e t e a c h e r ' s g u i d e . T h e s e p r o b l e m s r a n g e f r o m s t r a i g h t f o r w a r d s t o r y p r o b l e m s t o m u l t i p l e - s t e p , n o n r o u t i n e p r o b l e m s ; m o s t a r e t h e l a t t e r . T h e f o l l o w i n g p r o b l e m i s p r e s e n t e d i n t h e fi r s t " P r o b l e m - S o l v i n g L i n k : " Y o u e a r n 1 c f o r c l e a n i n g y o u r r o o m o n M o n d a y a n d 2 c o n T u e s d a y . E a c h d a y y o u e a r n t w i c e a s m u c h a s t h e d a y b e f o r e . H o w m u c h w i l l y o u e a r n o n t h e n e x t S u n d a y ? ( H B J , p . 8 A ) T h e t e x t r e c o m m e n d s t h a t s t u d e n t s w o r k t o g e t h e r u s i n g a " t h i n k - a l o n g " s h e e t t o s o l v e t h i s p r o b l e m . T h i s s h e e t p o s e s q u e s t i o n s t h a t g u i d e s t u d e n t s t h r o u g h t h e f o u r s t e p s o f t h e p r o b l e m - s o l v i n g p l a n . P r o b l e m s i n t h e P r o b l e m - o f - t h e - D a y s e c t i o n a l s o r e q u i r e i n t e r p r e t a t i o n a n d r e a s o n i n g i n o r d e r t o d e v e l o p a s o l u t i o n s t r a t e g y . M o s t c a n n o t b e r e d u c e d t o a n e q u a t i o n t o b e s o l v e d . T h e fi r s t p r o b l e m o f t h e d a y , f o r e x a m p l e , a s k s : H o w m a n y o n e s w i l l y o u w r i t e i f y o u w r i t e t h e n u m b e r s f r o m 0 t o 9 9 ? H o w m a n y t w o s w i l l y o u w r i t e ? F o r a n e x a m p l e p a g e f r o m t h e P r o b l e m - o f - t h e — D a y s e c t i o n , s e e A p p e n d i x D . T h e t e a c h e r ' s g u i d e o f f e r s n o a s s i s t a n c e i n u s i n g t h e P r o b l e m - o f - t h e - D a y s e c t i o n . 6 1 D a i l y L e s s o n s D a i l y l e s s o n s c o m p r i s e t h e m o s t s u b s t a n t i a l p o r t i o n o f t h e p r o g r a m . T h e e n t i r e c u r r i c u l u m i s b u i l t a r o u n d t h e s e l e s s o n s , w h i c h i s a n o t h e r w a y i n w h i c h t h e H B J t e x t i s n o t s u b s t a n t i a l l y d i f f e r e n t f r o m i t s p r e d e c e s s o r s . E a c h l e s s o n i n c l u d e s a s e t o f p a g e s i n t h e s t u d e n t t e x t b o o k , a s w e l l a s a s e l e c t i o n o f i n s t r u c t i o n a l , c o m p l e m e n t a r y , a n d s u p p l e m e n t a r y a c t i v i t i e s . C o m p l e t i n g a l l a c t i v i t i e s w o u l d t a k e s e v e r a l d a y s . T y w o f l e s s o n s . T h e t e x t c o n t a i n s t h r e e t y p e s o f l e s s o n s : ( a ) i n s t r u c t i o n a l , ( b ) e x p l o r a t i o n , ( c ) p r o b l e m s o l v i n g . O n l y t h e e x p l o r a t i o n a n d p r o b l e m s o l v i n g l e s s o n s a r e c l e a r l y l a b e l e d w i t h t h e s e h e a d i n g s . E v e n t h o u g h s i m i l a r c h a r a c t e r i s t i c s a p p e a r i n a l l l e s s o n s , e a c h t y p e o f l e s s o n s v a r i e s i n p u r p o s e a n d s t r u c t u r e . I d e s c r i b e t h e s e b e l o w . S i x t y p e r c e n t o f a l l l e s s o n s i n t h e t e x t a r e i n s t r u c t i o n a l a n d d e s i g n e d t o p r o v i d e d i r e c t i n s t r u c t i o n f o l l o w e d b y p r a c t i c e ( s e e , f o r e x a m p l e , l e s s o n 1 0 . 2 , p . 3 2 0 , A p p e n d i x C ) . T h e fi r s t t w o s t u d e n t p a g e s i n t r o d u c e s t u d e n t s t o t h e t o p i c u s i n g e x a m p l e s , e x p l a n a t i o n s , a n d q u e s t i o n s . A s e c t i o n e n t i t l e d " C h e c k f o r U n d e r s t a n d i n g " f o l l o w s w i t h s e v e r a l r e l a t e d q u e s t i o n s , d r a w i n g o n m a t e r i a l i n t r o d u c e d . T h e s e c o n d p a g e o f t h e s t u d e n t t e x t i s d e v o t e d t o p r a c t i c e a n d i s l a b e l e d a s s u c h . A p p r o x i m a t e l y t w o t h i r d s c o n t a i n a s e r i e s o f s h o r t - a n s w e r q u e s t i o n s s i m i l a r t o t h o s e u n d e r t h e h e a d i n g " C h e c k f o r U n d e r s t a n d i n g . " T h e fi n a l t h i r d p r e s e n t s t w o t o f o u r s t o r y p r o b l e m s u n d e r t h e h e a d i n g " M i x e d A p p l i c a t i o n " ( s e e a b o v e d i s c u s s i o n o f P r o b l e m S o l v i n g A p p l i c a t i o n s ) . T h e e x p l o r a t i o n a n d p r o b l e m - s o l v i n g l e s s o n s f o l l o w a s i m i l a r f o r m a t . T h e y b e g i n w i t h a n i n t r o d u c t i o n , f o l l o w e d b y p r a c t i c e a n d a p p l i c a t i o n p r o b l e m s . T h e m a i n d i f f e r e n c e i n t h e t y p e s o f l e s s o n s i s w h a t i s i n t r o d u c e d a n d h o w . T h e e x p l o r a t i o n l e s s o n s , a l l e n t i t l e d " E x p l o r i n g _ " , b e g i n w i t h a p a r t n e r o r g r o u p a c t i v i t y t h a t u s e s v i s u a l m o d e l s . T h e f o c u s i s o n d e v e l o p i n g s t u d e n t s ' u n d e r s t a n d i n g o f s p e c i fi c c o n c e p t s o r r e l a t i o n s h i p s t h r o u g h e x p l o r a t i o n w i t h c o n c r e t e o r v i s u a l m o d e l s . L e s s o n 1 0 . 1 , p . 3 1 8 ( A p p e n d i x C ) , i n s t r u c t s s t u d e n t s t o r e p r e s e n t o n e f o u r t h b y f o l d i n g a p a p e r i n t o f o u r t h s a n d t h e n t e a r i n g i t i n t o f o u r t h s . A s e r i e s o f " t a l k - a b o u t - i t " q u e s t i o n s e n c o u r a g e s s t u d e n t s 6 2 t o d i s c u s s t h e s i m i l a r i t i e s a n d d i f f e r e n c e s b e t w e e n p a r t s o f a w h o l e a n d p a r t s o f a g r o u p . T h e s e c o n d s t u d e n t p a g e f o l l o w s t h i s e x p l o r a t i o n w i t h q u e s t i o n s r e l a t e d t o t h e c o n c e p t . T h e s t r u c t u r e a n d p u r p o s e o f p r o b l e m — s o l v i n g l e s s o n s a r e d e s c r i b e d a b o v e i n t h e d i s c u s s i o n o n i n s t r u c t i o n i n p r o b l e m s o l v i n g . T a b l e 3 . 1 N u m b e r o f L e s s o n s D e v o t e d t o E x p l o r a t i o n i n e e c h C h a p t e r N u m b e r o f C h a p t e r e & l a n a t o r y l e s s o n s 1 . P l a c e V a l u e : D e v e l o p i n g N u m b e r S e n s e 1 o u t o f 1 1 2 . A d d i n g a n d S u b t r a c t i n g W h o l e N u m b e r s 1 o u t o f 1 3 3 . M u l t i p l i c a t i o n a n d D i v i s i o n : U s i n g F a c t s 1 o u t o f 1 5 4 . T i m e , G r a p h i n g , a n d D a t a 3 o u t o f 1 4 5 . M u l t i p l y i n g b y 1 - D i g i t N u m b e r s 2 o u t o f 1 0 6 . M u l t i p l y i g b y 2 - D i g i t N u m b e r s 1 o u t o f 1 0 7 . M e a s u r e m e n t 3 o u t o f 1 1 8 . D i v i d i n g b y 1 - D i g i t N u m b e r s 3 o u t o f 1 2 9 . G e o m e t r y 8 o u t o f 1 4 1 0 . U n d e r s t a n d i n g F r a c t i o n s a n d M i x e d N u m b e r s 4 o u t o f 1 0 1 1 . U s i n g F r a c t i o n s a n d E x p l o r i n g P r o b a b i l i t y 5 o u t o f 1 1 1 2 . U n d e r s t a n d i g g D e c i m a l s 2 o u t o f 1 1 1 3 . D i v i d i n g b y 2 - D i g i t N u m b e r s 2 o u t o f 9 T h e p r o b l e m - s o l v i n g l e s s o n s , d e s c r i b e d i n t h e p r e v i o u s s e c t i o n , a p p e a r r e g u l a r l y t h r o u g h o u t t h e t e x t b o o k ( t w o p e r c h a p t e r . ) T h e y c o n s t i t u t e a p p r o x i m a t e l y 1 5 % o f a l l l e s s o n s i n t h e t e x t . E x p l o r a t i o n l e s s o n s o c c u r l e s s c o n s i s t e n t l y . O v e r a l l , t h e y m a k e u p o n e f o u r t h o f t h e l e s s o n s i n t h e t e x t , b u t t h e p r o p o r t i o n o f t h e s e l e s s o n s p e r c h a p t e r v a r i e s . M o s t c h a p t e r s c o n t a i n s i g n i f i c a n t l y m o r e i n s t r u c t i o n a l l e s s o n s t h a n e x p l o r a t i o n l e s s o n s . A s T a b l e 3 . 1 i n d i c a t e s , s e v e r a l o f t h e c o m p u t a t i o n c h a p t e r s i n c l u d e o n l y o n e o r t w o e x p l o r a t i o n l e s s o n s . H o w e v e r , a f e w n o n c o m p u t a t i o n a l c h a p t e r s s u c h a s G e o m e t r y , U n d e r s t a n d i n g F r a c t i o n s , a n d U s i n g F r a c t i o n s a n d E x p l o r i n g P r o b a b i l i t y d e v o t e o n e t h i r d t o o n e h a l f o f t h e i r l e s s o n s t o e x p l o r a t i o n . T a b l e 3 . 2 l i s t s c h a p t e r t i t l e s a n d t h e m e s , s h o w s t h e d i s t r i b u t i o n o f i n s t r u c t i o n a l a n d e x p l o r a t i o n l e s s o n s p e r c h a p t e r , a n d l i s t s p r o b l e m - s o l v i n g s k i l l s t a u g h t i n e a c h . 6 3 T a b l e 3 . 2 O v e r v i e w o f C o n t e n t s o f E e c h C h a p t e r N u m b e r o f l e s s o n s i n e a c h c a t e g o r y 3 C h a p t e r T o t a l P l a n B x p l o I n s t r u P r o b . P r o b l e m - s o l v i n g C h a p t e r t h e m e d a y s r a t i o n c t i o n s o l v e s t r a t e g i e s t a u g h t 1 . P l a c e V a l u e : o U s e a t a b l e U n d e r s t a n d i n g 1 1 1 2 l 8 2 o F i n d a p a t t e r n S p a c e C a m p 2 . A d d i n g a n d o m e a p i c t u r e S u b t r a c t i n g I 3 1 4 1 1 0 2 o M a k e a t a b l e C o u n t y F a i r W h o l e N u m b e r s 3 . M u l t i p l i c a t i o n o T o o m u c h / t o o l i t t l e C h i l d r e n ' s a n d D i v i s i o n : 1 5 1 6 1 1 2 2 i n f o r m a t i o n S p o r t s a n d U s i n g F a c t s o W r i t e a n u m b e r s e n t e n c e H o b b i e s 4 . T i m e , G r a p h i n g , o U s e t a b l e o r s c h e d u l e S h o p p i n g a t a n d D a t a 1 4 1 5 3 9 2 o A n a l y z e d a t a t o m a k e t h e M a l l d e c i s i o n s 5 . M u l t i p l y i n g b y o W o r k b a c k w a r d A f t e r - S c h o o l l - D i g i t N u m b e r s 1 0 l l 2 6 2 C h o o s e a m e t h o d o f A c t i v i t i e s c o m p u t a t i o n 6 . M u l t i p l y i n g b y o M a k e a g r a p h P r o t e c t O u r 2 - D i g i t N u m b e r s 1 0 l l 1 7 2 - G u e s s a n d c h e c k E n v i r o n m e n t 7 . M e a s u r e m e n t o m e a p i c t u r e T h i n g s i n O u r 1 1 1 2 3 6 2 o M u l t i - s t e p p r o b l e m s E v e r y d a y W o r l d 8 . D i v i d i n g b y 1 - C h o o s e a s t r a t e g y C o m m u n i - D i g i t N u m b e r s 1 2 1 3 3 7 2 C h o o s e a m e t h o d o f c a t i o n a n d c o m p u t a t i o n M e d i a ~ M u l t i - s t e p p r o b l e m s I m a g i n a t i o n 9 . G e o m e t r y 1 4 1 5 8 4 2 « M a k e a m o d e l 1 0 . U n d e r s t a n d i n g - A c t i t o u t H e a l t h a n d F r a c t i o n s a n d 1 0 1 1 4 4 2 C h o o s e a s t r a t e g y F i t n e s s M i x e d N u m b e r s 1 1 . U s i n g F r a c t i o n s o M a k e a m o d e l G a m e s a n d E x p l o r i n g 1 1 1 2 5 4 2 ~ M a k e a n o r g a n i z e d l i s t P r o b a b i l i t y 1 2 . U n d e r s t a n d i n g ~ W o r k b a c k w a r d S p o r t s S t a r s D e c i m a l s l l 1 2 2 7 2 o U s e e s t i m a t i o n 1 3 . D i v i d i n g b y 2 - « F i n d t h e h i d d e n q u e s t i o n C a r e e r s D i g i t N u m b e r s 9 1 0 2 5 2 o I n t e r p r e t t h e r e m a i n d e r a T o t a l r e f e r s t o t h e n u m b e r o f r e g u l a r n u m b e r e d l e s s o n s i n t h e c h a p t e r . P l a n d a y s r e f e r s t o t h e n u m b e r o f d a y s a l l o t t e d t o t h e c h a p t e r i n t h e y e a r l y p a c i n g c h a r t . E x p l o r a t i o n r e f e r s t o t h e n u m b e r o f e x p l o r a t i o n l e s s o n s p e r c h a p t e r . I n s t r u c t i o n r e f e r s t o t h e n u m b e r o f i n s t r u c t i o n l e s s o n s p e r c h a p t e r . P r o b l e m s o l v i n g r e f e r s t o t h e n u m b e r o f p r o b l e m - s o l v i n g l e s s o n s p e r c h a p t e r . 6 4 S u g g e s t i o n s f o r t e a c h e r s . R e g a r d l e s s o f t h e s e d i s t i n c t i o n s , t h e l e s s o n s a r e m o r e s i m i l a r t h a n d i f f e r e n t , p a r t i c u l a r l y w h e n e x a m i n i n g t h e i r p r e s e n t a t i o n i n t h e t e a c h e r ' s g u i d e . E a c h t w o - p a g e s p r e a d i s i d e n t i c a l a n d f o l l o w s a s i n g l e p a t t e r n o f i n s t r u c t i o n a n d g u i d a n c e f o r t h e t e a c h e r . A p i c t u r e o f t h e t w o s t u d e n t p a g e s l i e s a t t h e c e n t e r a n d i s s u r r o u n d e d b y w i d e m a r g i n s c o n t a i n i n g i n s t r u c t i o n a l s u g g e s t i o n s . T h e s e s u g g e s t i o n s a r e p r e s e n t e d u n d e r t h e s a m e m a j o r h e a d i n g s i n e a c h l e s s o n : M o t i v a t e , T e a c h , W r a p U p . T h e M o t i v a t e s e c t i o n s u g g e s t s a p r e t e x t b o o k - l e s s o n a c t i v i t y t h a t d o e s n o t i n c l u d e w o r k i n t h e s t u d e n t t e x t . M o s t o f t e n , t h i s a c t i v i t y c a l l s f o r a c t i v e p a r t i c i p a t i o n f r o m t h e s t u d e n t s a n d u s u a l l y i s d e s i g n e d t o o c c u r i n a w h o l e c l a s s s e t t i n g . F o r e x a m p l e , t h e M o t i v a t e s u g g e s t i o n i n L e s s o n 1 0 . 1 o n e x p l o r i n g f r a c t i o n s r e c o m m e n d s t h a t s t u d e n t s f o l d p a p e r i n t o e q u a l p a r t s , t h a t i s , fi r s t o n e p a r t , t h e n t w o , t h r e e , a n d f o u r . E a c h t i m e s t u d e n t s s h a d e o n e p a r t a n d r e c o r d t h e f r a c t i o n o f t h e p a p e r t h a t t h e s h a d e d p a r t r e p r e s e n t s i n a c h a r t . O t h e r M o t i v a t e s u g g e s t i o n s a r e s i m i l a r ; t h a t i s , t h e y a c t a s a p r e l u d e t o t h e s u b j e c t o f t h e l e s s o n a n d i n v o l v e a c t i v e p a r t i c i p a t i o n . T h e T e a c h s e c t i o n i s c o n c e r n e d w i t h s u g g e s t i o n s o n h o w t o g u i d e s t u d e n t s t h r o u g h t h e t e x t b o o k p a g e . I t p o s e s a d d i t i o n a l q u e s t i o n s t h a t t h e t e a c h e r m i g h t a s k w h e n i n t r o d u c i n g t h e i n f o r m a t i o n o n t h e s t u d e n t p a g e . T h e T e a c h s e c t i o n a l s o l i s t s c o m m o n e r r o r s s t u d e n t s m a k e a n d s u g g e s t s s t r a t e g i e s f o r c o r r e c t i n g t h e m . T h e s u g g e s t i o n u n d e r t h e t h i r d h e a d i n g , W r a p U p , i s a l w a y s b r i e f a n d o r i e n t e d t o w a r d b r i n g i n g t h e l e s s o n t o a c l o s e . M o s t o f t e n i t d e s c r i b e s h o w t h e t e a c h e r m i g h t s u m m a r i z e t h e l e s s o n b y a s k i n g s t u d e n t s a s p e c i fi c q u e s t i o n . T h e W r a p U p i n l e s s o n 1 0 . 1 s u g g e s t s t h a t s t u d e n t s e x p l a i n t h e d i f f e r e n c e b e t w e e n f r a c t i o n s r e p r e s e n t i n g p a r t o f a w h o l e a n d p a r t o f a g r o u p . A l s o i n c l u d e d w i t h e a c h d a i l y l e s s o n a r e t w o m i n o r h e a d i n g s : Q u i c k C h e c k a n d D o u b l e C h e c k . E a c h s e c t i o n p o s e s a s e t o f t h r e e o r f o u r q u e s t i o n s o n t h e t o p i c a t h a n d t h a t c a n b e a n s w e r e d q u i c k l y . T h e t e a c h e r ' s g u i d e d o e s n o t o f f e r s u g g e s t i o n s f o r u s i n g t h e s e s e t s o f q u e s t i o n s . 6 5 T h e m a r g i n s o f t h e t e a c h e r ' s g u i d e a l s o c o n t a i n o t h e r a c t i v i t i e s r e l a t e d t o t h e l e s s o n . T h e s e a c t i v i t i e s i n c l u d e ( a ) t h r e e s u p p l e m e n t a r y p a g e s , p r o v i d i n g r e t e a c h i n g , p r a c t i c e , o r e n r i c h m e n t ; ( b ) t a s k s e n t i t l e d " M e e t i n g I n d i v i d u a l N e e d s " f o r s t u d e n t s t o d o i n d i v i d u a l l y ; a n d ( c ) a b o x i n t h e t o p , l e f t - h a n d c o r n e r o f t h e p a g e l i s t i n g o t h e r o p t i o n a l r e s o u r c e s . A s s i s t a n c e f o r T e a c h e r s A s i s e v i d e n t f r o m t h e p r e p o n d e r a n c e o f a c t i v i t i e s f r o m w h i c h t e a c h e r s m a y c h o o s e , t h e H B J p r o g r a m i s n o t s h o r t o n t a s k s u g g e s t i o n s — a c t i v i t i e s t o g i v e s t u d e n t s t o d o o r q u e s t i o n s t o a s k t h e m i n o r d e r t o g u i d e t h e i r w o r k . I n a d d i t i o n t o t h e s u g g e s t i o n s o n e a c h t w o - p a g e s p r e a d , t h e t e a c h e r ' s g u i d e a l s o p r o v i d e s o r g a n i z a t i o n a l a s s i s t a n c e a t t h e b e g i n n i n g o f e a c h c h a p t e r i n t h e f o r m o f a s i x - p a g e o v e r v i e w . T h e s e p a g e s s u m m a r i z e t h e t o p i c s a n d f e a t u r e s o f t h e c h a p t e r , l i s t t h e o b j e c t i v e s a n d m a t e r i a l s t h e t e a c h e r w i l l n e e d , a n d p r o v i d e s u g g e s t i o n s a n d i n f o r m a t i o n o n t o p i c s s u c h a s m a n i p u l a t i v e s , a b u l l e t i n b o a r d g a m e , m e e t i n g i n d i v i d u a l n e e d s , a n d w a y s t o a s s e s s s t u d e n t s o t h e r t h a n t h e c h a p t e r t e s t . T h e t e x t b o o k i s , h o w e v e r , s h o r t o n a c t u a l p e d a g o g i c a l s u g g e s t i o n s a n d i n f o r m a t i o n . I t s a y s l i t t l e a b o u t w a y s t e a c h e r s m i g h t h e l p s t u d e n t s d e v e l o p t h e a b i l i t y t o c o m p l e t e v a r i o u s t a s k s a n d s a y s l i t t l e a b o u t t h e m a t h e m a t i c a l i d e a s a n d g o a l s u n d e r l y i n g t h e m . N e i t h e r d o e s i t o f f e r s u g g e s t i o n s f o r t h e a p p r o p r i a t e u s e o f s u p p l e m e n t a r y m a t e r i a l s a c c o m p a n y i n g e a c h l e s s o n . T h e l a c k o f i n s t r u c t i o n a l g u i d a n c e i s p r o m i n e n t i n s e c t i o n s o f t h e t e x t b o o k t h a t a r e a t y p i c a l . T h e P r o b l e m - o f - t h e - D a y s e c t i o n , f o r e x a m p l e , c o n t a i n s o n l y a c o l l e c t i o n o f p r o b l e m s a n d t h e i r a n s w e r s . N o a d d i t i o n a l s u g g e s t i o n s c a n b e f o u n d f o r h e l p i n g s t u d e n t s a p p r o a c h t h e s e n o n r o u t i n e p r o b l e m s . O t h e r p l a c e s i n t h e t e a c h e r ' s g u i d e t h a t i n c l u d e i n f o r m a t i o n f o r t h e t e a c h e r a r e t h e i n t r o d u c t o r y p o r t i o n a n d t h e s e c t i o n e n t i t l e d N C T M I s s u e s a n d A n s w e r s . A s d e s c r i b e d e a r l i e r , t h e s e s e c t i o n s c o n t a i n l i t t l e i n f o r m a t i o n r e g a r d i n g i d e a s a b o u t 6 6 m a t h e m a t i c s , t e a c h i n g , o r l e a r n i n g t h a t h a v e i n f o r m e d t h e d e v e l o p m e n t o f t h e t e x t b o o k . R a t h e r , e x a m p l e s a r e u s e d f r o m t h e p r o g r a m t o d e m o n s t r a t e t h e e x t e n t t o w h i c h t h e i d e a s e m p h a s i z e d i n t h e N C T M S t a n d a r d s h a v e b e e n i n c o r p o r a t e d i n t o t h e t e x t b o o k N e w [ d e e m F a m i l i a r C l o t h i n g T h e H B J t e x t i n c o r p o r a t e d s e v e r a l n e w i d e a s a s s o c i a t e d w i t h t h e r e f o r m s s u c h a s m o r e p r o b l e m s o l v i n g , e x p l o r a t i o n w i t h m a n i p u l a t i v e s , e m p h a s i s o n s t u d e n t t a l k a n d e x p l a n a t i o n , a n d n o n c o m p u t a t i o n a l t o p i c s . H o w e v e r , t h e y a l s o l e f t m a n y o f t h e m o r e c o n v e n t i o n a l a s p e c t s o f t h e t e x t i n t a c t . T h e y c o n t i n u e t o o r g a n i z e t h e c o n t e n t i n t o m a n y s m a l l p i e c e s , f o c u s i n g o n p r o c e d u r e s r a t h e r t h a n c o n c e p t u a l r e l a t i o n s h i p s . T e a c h e r s m a y u s e t h e s t a n d a r d e n d - o f - c h a p t e r t e s t s f o u n d i n t h e t e x t o r t h e a l t e r n a t i v e a s s e s s m e n t a c t i v i t i e s o f f e r e d i n o n e o f t h e s u p p l e m e n t s . A n o v e r a l l l o o k a t t h e c o n t e n t s o f t h e t e x t r a i s e s q u e s t i o n s a b o u t t h e p u b l i s h e r s ' c o m m i t m e n t t o t h e r e f o r m a g e n d a . T h e y s e e m t o b e o f f e r i n g s o m e t h i n g f o r e v e r y o n e i n a p a c k a g e a n d f o r m a t t h a t l o o k s a n d f e e l s f a m i l i a r . A L o o l g e n w t h t h e L a b e l s E v e n t h o u g h t h e s i n c e r i t y o f t h e p u b l i s h e r s ' c o m m i t m e n t t o t h e c u r r e n t r e f o r m w a r r a n t s s k e p t i c i s m , t h e t e x t c o n t a i n s s e v e r a l n e w c o m p o n e n t s a s s o c i a t e d w i t h t h e s e c a l l s f o r c h a n g e . I n t h i s s e c t i o n , I e x a m i n e a s p e c t s o f t h e c o n t e n t a n d p e d a g o g y i n t h e H B J t e x t t h a t s t a n d o u t a s b e i n g r e s p o n s i v e t o t h e c u r r e n t r e f o r m a g e n d a . I c o n s i d e r t h e l e v e l o f c o m m i t m e n t t o t h e s e i d e a s b y e x a m i n i n g h o w t h o r o u g h l y t h e y a r e i n c o r p o r a t e d i n t o t h e t e x t a n d t h e d e p t h w i t h w h i c h t h e y a r e t r e a t e d . I a l s o c o n s i d e r t h e d e g r e e t o w h i c h t h e s e a s p e c t s a r e a c c e s s i b l e t o t h e t e a c h e r a n d u s a b l e w i t h i n t h e c o n t e x t o f t h e e n t i r e p r o g r a m . M a t h e m a t i c a l C o n t e n t T h e c a l l s f o r c h a n g e i n m a t h e m a t i c s t a r g e t t h e s u b s t a n c e a n d n a t u r e o f t h e c o n t e n t , t h a t i s , w h a t m a t h e m a t i c s i n c l u d e s a n d w h a t i t i s l i k e . R a t h e r t h a n p l a c i n g t h e m a s t e r y o f c o m p u t a t i o n a l s k i l l s c e n t r a l i n t h e c u r r i c u l u m , t h e r e f o r m c a l l s f o r b r o a d e n i n g t h e c o n t e n t o f s c h o o l m a t h e m a t i c s t o e n c o m p a s s , a t a l l l e v e l s , u n d e r t r e a t e d 6 7 a n d o f t e n o m i t t e d t o p i c s s u c h a s g e o m e t r y a n d s p a t i a l s e n s e , p r o b a b i l i t y , s t a t i s t i c s , d a t a a n a l y s i s a n d r e p r e s e n t a t i o n , a n d a l g e b r a ( N C T M , 1 9 8 9 ) . I n a d d i t i o n , r e f o r m e r s a r g u e t h a t a c h a n g e i n t h e w a y o n e v i e w s t h e n a t u r e o f m a t h e m a t i c s c o n t e n t a l s o i s i n o r d e r . R a t h e r t h a n e n c o u n t e r i n g i t a s a s e t o f i s o l a t e d s k i l l s , s t u d e n t s s h o u l d s e e a n d e x p e r i e n c e m a t h a s a w a y o f t h i n k i n g , r e a s o n i n g , a n d p r o b l e m s o l v i n g t h a t o c c u r s i n d a i l y s i t u a t i o n s ( M a t h e m a t i c a l S c i e n c e E d u c a t i o n B o a r d , 1 9 8 9 ; N C T M , 1 9 8 9 ) . T h e y " s h o u l d b e m a k i n g c o n j e c t u r e s , a b s t r a c t i n g m a t h e m a t i c a l p r o p e r t i e s , e x p l a i n i n g t h e i r r e a s o n i n g , v a l i d a t i n g t h e i r a s s e r t i o n s a n d d i s c u s s i n g a n d q u e s t i o n i n g t h e i r o w n t h i n k i n g a n d t h e t h i n k i n g o f o t h e r s " ( L a m p e r t , 1 9 9 0 , p . 3 3 ) . T h e N C T ' M S t a n d a r d s m a k e s p r o b l e m s o l v i n g a n d r e a s o n i n g c e n t r a l i n t h e c u r r i c u l u m a n d c a l l s f o r a s h i f t i n e m p h a s i s f r o m r o t e , s k i l l m a s t e r y t o t h e m e a n i n g a n d u n d e r s t a n d i n g o f t h e c o n c e p t s u n d e r l y i n g t h e s e s k i l l s . A t t e n t i o n t o t h e s e i d e a s i s e v i d e n t i n t h e H B J p r o g r a m i n t h e e m p h a s i s o n p r o b l e m s o l v i n g , a t t e m p t s t o m a k e m a r g i n a l i z e d t o p i c s m o r e v i s i b l e , a n d e f f o r t s t o f o c u s o n u n d e r l y i n g c o n c e p t s . B e l o w I d e s c r i b e a n d a n a l y z e t h e H B J t e x t ' s t r e a t m e n t o f e a c h . P r o b l e m s o l v i n g . T h e m o s t p r o m i n e n t f e a t u r e o f t h e H B J t e x t b o o k a s s o c i a t e d w i t h c u r r e n t r e f o r m e f f o r t s i s t h e a t t e m p t t o m a k e p r o b l e m s o l v i n g c e n t r a l t o t h e t o t a l c u r r i c u l u m . T h i s e f f o r t i s e v i d e n t i n t h e n u m b e r o f p r o b l e m - s o l v i n g a c t i v i t i e s a v a i l a b l e a n d i n t h e f r e q u e n c y w i t h w h i c h p r o b l e m - s o l v i n g t a s k s a r e i n c o r p o r a t e d i n t o r e g u l a r l e s s o n s . F u r t h e r m o r e , t h e t r e a t m e n t o f p r o b l e m s o l v i n g i n t h e t e x t , t h a t i s , t h e e m p h a s i s o n d e v e l o p i n g s o l u t i o n s t r a t e g i e s a n d t h e i n c l u s i o n o f n o n r o u t i n e p r o b l e m s a n d m i x e d p r o b l e m s e t s , r e fl e c t s a n a t t e m p t t o s t i m u l a t e t h i n k i n g a n d r e a s o n i n g b e y o n d t h e a p p l i c a t i o n o f c o m p u t a t i o n a l s k i l l s i n s t o r y c o n t e x t s . N e v e r t h e l e s s , t h i s c o m m i t m e n t i s n o t c o n s i s t e n t l y r e fl e c t e d t h r o u g h o u t t h e e n t i r e p r o g r a m . T h e m o s t a u t h e n t i c a n d n o n r o u t i n e p r o b l e m s a r e n o t f o u n d i n d a i l y l e s s o n s b u t i n s p e c i a l s e c t i o n s i n t h e t e a c h e r ' s g u i d e . M a n y o f t h e p r o b l e m s i n t h e s t u d e n t l e s s o n s a r e r o u t i n e s t o r y p r o b l e m s . T h e i n c r e a s e d f r e q u e n c y o f p r o b l e m - s o l v i n g o p p o r t u n i t i e s s u g g e s t s a s t r o n g c o m m i t m e n t o n t h e p a r t o f p u b l i s h e r s t o i n c o r p o r a t e p r o b l e m s o l v i n g t h r o u g h o u t t h e 6 8 t e x t , b u t t h e i n c r e a s e i n v a r i e t y d o e s n o t n e c e s s a r i l y m a k e p r o b l e m s o l v i n g c e n t r a l t o t h e c u r r i c u l u m . T h e c u r r i c u l u m i s o r g a n i z e d a r o u n d c h a p t e r t o p i c s t h a t f o r m t h e c e n t r a l c o r e o f t h e p r o g r a m . P r o b l e m s o l v i n g h a s b e e n i n s e r t e d i n a n d a r o u n d t h i s c o r e . D e s p i t e i t s h i g h v i s i b i l i t y , p r o b l e m s o l v i n g i n t h e H B J t e x t g i v e s t h e i m p r e s s i o n t h a t e v e n t h o u g h i t h a s b e e n a d d e d , i t c a n j u s t a s r e a d i l y b e o m i t t e d . E v e n t h o u g h t h e q u a n t i t y o f p r o b l e m - s o l v i n g o p p o r t u n i t i e s i n c r e a s e s t h e c h a n c e s t h a t a t l e a s t s o m e w i l l b e u s e d , t h e r e i s l i t t l e a b o u t i t s t r e a t m e n t t h a t s u g g e s t s i t i s c e n t r a l t o t h e c u r r i c u l u m . A t b e s t , p r o b l e m s o l v i n g i s a n i m p o r t a n t p i e c e t h a t h a s b e e n a d d e d t o , r a t h e r t h a n i n t e g g t e d w i t h , t h e c e n t r a l a n d p r i m a r y e m p h a s i s o n c o m p u t a t i o n a l m a s t e r y . A n o t h e r c h a r a c t e r i s t i c t h a t c o n t r i b u t e s t o t h e s u p e r fi c i a l t r e a t m e n t o f p r o b l e m s o l v i n g i s t h e l a r g e n u m b e r o f i n a u t h e n t i c p r o b l e m s i n t h e s t u d e n t t e x t . E v e n t h o u g h t h e p u b l i s h e r s h a v e m a d e a t t e m p t s t o i n c l u d e p r o b l e m s t h a t d o n o t h a v e s t r a i g h t f o r w a r d s o l u t i o n p a t h s t h a t i n v o l v e m u l t i p l e s t e p s a n d r e q u i r e r e a s o n i n g , t h e s e a r e p r i m a r i l y f o u n d i n t h e t e a c h e r ' s g u i d e o n l y . M a n y o f t h e s t o r y p r o b l e m s o n t h e s t u d e n t p a g e s a r e t y p i c a l a n d r o u t i n e t h a t c a n b e r e w r i t t e n a s a a r i t h m e t i c s e n t e n c e a n d s o l v e d c o m p u t a t i o n a l l y . B e c a u s e t h e p r o b l e m s t h a t a r e m o r e c o n s i s t e n t l y a n d a u t h e n t i c a l l y p r o b l e m a t i c a r e n o t i n t h e s t u d e n t ' s t e x t , t h e t e a c h e r m u s t i n t r o d u c e t h e m . G i v e n t h e l a r g e s e l e c t i o n o f t a s k s f r o m w h i c h t e a c h e r s m u s t c h o o s e , i t i s l i k e l y t h a t t h e y m u s t s k i p s o m e o f t h e s e o p t i o n a l p r o b l e m - s o l v i n g a c t i v i t i e s . U n m a r g i p a l i z i n g t o p i c s . I n r e s p o n s e t o c a l l s f o r i n c r e a s e d e m p h a s i s o n t o p i c s t h a t t r a d i t i o n a l l y h a v e b e e n m a r g i n a l i z e d i n t h e m a t h e m a t i c s c u r r i c u l u m , t h e p u b l i s h e r s o f H B J h a v e t a k e n n o t i c e a b l e s t e p s t o i n c l u d e t o p i c s s u c h a s g r a p h i n g , w o r k w i t h d a t a , a n d p r o b a b i l i t y . I n t h e p a s t , t h e s e t o p i c s w e r e f o u n d o n l y o n e n r i c h m e n t p a g e s t u c k e d a t t h e e n d o f c h a p t e r s ( R e m i l l a r d , 1 9 9 1 a ) . T h e s e p a g e s h a v e a m o r e p r o m i n e n t p l a c e i n t h e H B J t e x t , b u t t h i s p l a c e i s s t i l l l e s s p r o m i n e n t t h a n c o n v e n t i o n a l t o p i c s s u c h a s b a s i c c o m p u t a t i o n . 6 9 C h a p t e r F o u r i n t h e f o u r t h - g r a d e t e x t e n t i t l e d T i m e , G r a p h i n g , a n d D a t a p r o v i d e s a n e x a m p l e o f t h e b e s t t r e a t m e n t g i v e n a n e w t o p i c . I t s c o n t e n t s a d d r e s s c o l l e c t i n g a n d r e c o r d i n g d a t a i n d i f f e r e n t f o r m s a n d g a t h e r i n g i n f o r m a t i o n f r o m c h a r t s , g r a p h s , a n d t a b l e s . I t s e a r l y p l a c e m e n t i n t h e t e x t b o o k m a y i n c r e a s e t h e l i k e l i h o o d t h a t t e a c h e r s w i l l u s e i t . F u r t h e r m o r e , c h a r t s a n d t a b l e s a r e u s e d f a i r l y c o n s i s t e n t l y t h r o u g h o u t t h e t e x t a s a w a y t o p r e s e n t i n f o r m a t i o n o r t o s o l v e p r o b l e m s . T h e m o s t n o t i c e a b l e w e a k n e s s i n t h e t r e a t m e n t o f d a t a c o l l e c t i o n a n d r e p r e s e n t a t i o n i s t h a t f e w t a s k s c a n b e f o u n d i n w h i c h s t u d e n t s a c t u a l l y c o l l e c t t h e i r o w n d a t a a n d r e c o r d i t i n a t a b l e o r c h a r t . M o s t o f t e n , t h e y a r e a s k e d t o g a t h e r i n f o r m a t i o n f r o m e x i s t i n g c h a r t s i n t h e t e x t . T h i s p r o c e s s r a i s e s q u e s t i o n s a b o u t t h e e x t e n t t o w h i c h s t u d e n t s m i g h t l e a r n t o u s e s u c h m e t h o d s t o r e p r e s e n t i n f o r m a t i o n o r t o s o l v e p r o b l e m s . C h a p t e r E l e v e n , U s i n g F r a c t i o n s a n d E x p l o r i n g P r o b a b i l i t y , p r o v i d e s a m o r e f e e b l e a t t e m p t t o b r o a d e n t h e c u r r i c u l u m . E v e n t h o u g h t h e t i t l e i m p l i e s t h a t t h e c h a p t e r i n v o l v e s u s i n g f r a c t i o n s t o e x p l o r e p r o b a b i l i t y , i t i s t h e fi r s t n i n e l e s s o n s t h a t f o c u s o n s k i l l s i n v o l v e d i n O p e r a t i n g w i t h f r a c t i o n s a n d t h e l a s t t w o i n t r o d u c e c o n c e p t s r e l a t e d t o p r o b a b i l i t y , t h a t i s , e x p r e s s i n g p r o b a b i l i t i e s a s f r a c t i o n s a n d l i s t i n g a l l p o s s i b l e o u t c o m e s . I n a d d i t i o n , t h e t w o p r o b l e m - s o l v i n g l e s s o n s f o c u s o n d e t e r m i n i n g o r e x a m i n i n g p o s s i b l e c o m b i n a t i o n s , w h i c h m a y b e s e e n a s a p r e c u r s o r t o p r o b a b i l i t y . T h i s l e v e l o f t r e a t m e n t r e p r e s e n t s a n i n c r e a s e w h e n c o m p a r e d t o t e x t b o o k s o f t h e r e c e n t p a s t , b u t t h e i n c r e a s e i s s m a l l a n d s u p e r fi c i a l . D e s p i t e t h e c h a n g e d r h e t o r i c a n d a h a n d f u l o f e x t r a l e s s o n s , p r o b a b i l i t y r e m a i n s a m a r g i n a l i z e d t o p i c . U n d e r l j g ‘ p g c o n c e p t s . R e f o r m e r s a l s o a r e c a l l i n g f o r c h a n g e i n t e a c h i n g m o r e t r a d i t i o n a l t o p i c s . L e s s e m p h a s i s s h o u l d b e g i v e n t o d e v e l o p i n g r o t e k n o w l e d g e a n d m o r e t o d e v e l o p i n g s t u d e n t s ' u n d e r s t a n d i n g o f t h e c o n c e p t s t h a t u n d e r l i e t h e p r o c e d u r e s . T h u s , c h a n g e s i n a t e x t b o o k r e s p o n s i v e t o t h i s a s p e c t o f r e f o r m a r e m o r e l i k e l y t o b e i n t e g r a t e d t h r o u g h o u t i t s c o n t e n t s a n d e v i d e n t i n e m p h a s i s o n m a t h e m a t i c a l c o n c e p t s a n d i d e a s . M a n y o f t h e t a s k s a n d q u e s t i o n s i n t h e H B J t e x t b o o k s u g g e s t t h a t 7 0 t h e p u b l i s h e r s h a v e a t t e m p t e d t o i n c r e a s e e m p h a s i s o n c o n c e p t u a l d e v e l o p m e n t a n d m e a n i n g , a n d d e c r e a s e e m p h a s i s o n r o t e r u l e s a n d p r o c e d u r e s . I n s p i t e o f t h i s c h a n g e , d e v e l o p i n g c o m p u t a t i o n a l s k i l l s a n d p r o c e d u r e s r e m a i n s c e n t r a l t o t h e c u r r i c u l u m , a n d e x p l o r i n g t h e m e a n i n g s u n d e r l y i n g t h e s e s k i l l s h a s b e e n a d d e d . T h e p u b l i s h e r s ' a t t e m p t s t o p l a c e g r e a t e r e m p h a s i s o n c o n c e p t u a l u n d e r s t a n d i n g a r e m o s t e v i d e n t i n t h e i r c o n s i s t e n t i n c l u s i o n o f q u e s t i o n s a n d t a s k s t h a t r e q u i r e e x p l a n a t i o n s . A l m o s t a l l o f t h e l e s s o n s i n c l u d e q u e s t i o n s t h a t a s k s t u d e n t s t o e x p l a i n s o m e a s p e c t o f a n u n d e r l y i n g c o n c e p t . M a n y o f t h e l e s s o n s h a v e s e c t i o n s e n t i t l e d , " T a l k A b o u t I t , " w h i c h i n c l u d e q u e s t i o n s t h a t e x p l a i n w h y a p a r t i c u l a r s t e p m a k e s s e n s e o r i s n e c e s s a r y . O n e o f t h e q u e s t i o n s o n t h e s t u d e n t p a g e i n l e s s o n 1 0 . 2 a s k s : " H o w c a n y o u e x p l a i n t h a t % i s 1 d i v i d e d b y 3 ? " I n a d d i t i o n , s u g g e s t i o n s i n t h e m a r g i n s o f t h e t e a c h e r ' s g u i d e c o n s i s t e n t l y s t a t e t h a t s t u d e n t s s h o u l d b e a s k e d t o e x p l a i n t h e i r a n s w e r s o r k n o w l e d g e . Q u e s t i o n s s u c h a s t h e a b o v e a r e p a r t i c u l a r l y c o m m o n i n e x p l o r a t i o n l e s s o n s , d e s c r i b e d e a r l i e r . T h e s e l e s s o n s g e n e r a l l y b e g i n w i t h a n a c t i v i t y d e s i g n e d t o i l l u s t r a t e a p a r t i c u l a r c o n c e p t o r r e l a t i o n s h i p . Q u e s t i o n s t h a t f o l l o w o f t e n a r e o r i e n t e d t o w a r d e x t e n d i n g s t u d e n t s ' u n d e r s t a n d i n g o f t h e s e i d e a s i n o t h e r c o n t e x t s . L e s s o n 1 0 . 1 , f o r e x a m p l e , f o c u s e s o n t h e m e a n i n g o f f r a c t i o n s a s p a r t o f a w h o l e o r p a r t o f a g r o u p . T h e e x p l o r a t i o n p o r t i o n i n v o l v e s n a m i n g f r a c t i o n s b a s e d o n t h i s p a r t - w h o l e r e l a t i o n s h i p ( i . e . , o n e o f f o u r p i e c e s i s i ) . T h e f o l l o w - u p q u e s t i o n s o n t h e n e x t p a g e c o n t i n u e t o p u r s u e t h i s r e l a t i o n s h i p b y a s k i n g q u e s t i o n s t h a t c o m p a r e t h e s a m e f r a c t i o n o f d i f f e r e n t - s i z e d i t e m s . T h e fi r s t q u e s t i o n s h o w s t w o s t u d e n t - d r a w n p o s t e r s , o n e t w i c e a s l a r g e a s t h e o t h e r , b o t h o f w h i c h a r e h a l f g r e e n . T h e q u e s t i o n p o i n t s o u t t h a t e a c h s t u d e n t c o l o r e d h a l f o f t h e p a p e r g r e e n a n d t h e n a s k s i f t h e y h a d c o l o r e d t h e s a m e a m o u n t o f p a p e r . T h i s q u e s t i o n i s f o l l o w e d w i t h t h e q u e s t i o n s : " W h y o r w h y n o t ? " S i m i l a r l y , t w o q u e s t i o n s a t t h e b o t t o m o f t h e p a g e a s k s t u d e n t s t o e x p l a i n t h e i r a n s w e r s . 7 1 A n e m p h a s i s o n u n d e r s t a n d i n g a l s o i s a p p a r e n t i n t h e w o r d i n g a n d s e l e c t i o n o f s t o r y p r o b l e m s w h i c h r e q u i r e s t u d e n t s t o u n d e r s t a n d t h e s o l u t i o n p r o c e s s . A s d e s c r i b e d i n t h e s e c t i o n o n p r o b l e m s o l v i n g i n t h e t e x t , t h e s e t s o f s t o r y p r o b l e m s a r e m i x e d ; t h a t i s , t h e y r e q u i r e d i f f e r e n t s o l u t i o n s t r a t e g i e s a n d d i f f e r e n t m a t h e m a t i c a l o p e r a t i o n s . F u r t h e r m o r e , t h e w o r d i n g i s s u c h t h a t s t u d e n t s w o u l d n e e d t o h a v e s o m e u n d e r s t a n d i n g o f t h e s i t u a t i o n i n o r d e r t o s o l v e i t . C o m m i t m e n t i n t h e t e x t t o d e v e l o p i n g u n d e r s t a n d i n g i s e v i d e n t i n t h e e x t e n t t o w h i c h e x p l a n a t i o n q u e s t i o n s a n d m i x e d s e t s o f s t o r y p r o b l e m s a r e f o u n d t h r o u g h o u t t h e l e s s o n s . H o w e v e r , l i k e t h e t r e a t m e n t o f p r o b l e m s o l v i n g o r t h e i n c l u s i o n o f m a r g i n a l i z e d t o p i c s , t h e e m p h a s i s o n u n d e r l y i n g c o n c e p t s d o e s n o t c o n s t i t u t e a s i g n i fi c a n t c h a n g e i n t h e m a i n e m p h a s i s o n t h e t e x t . T h e t e x t c o n t a i n s m a n y m o r e l e s s o n s d e v o t e d t o i n s t r u c t i o n o n p r o c e d u r e s t h a n l e s s o n s d e v o t e d t o e x p l o r a t i o n . M o r e o v e r , t h e r e a r e m a n y m o r e q u e s t i o n s f o r w h i c h s t u d e n t s m u s t p r o d u c e a c o r r e c t a n s w e r t h a n t h o s e r e q u i r i n g e x p l a n a t i o n . T h e e d i t o r s h a v e f o u n d w a y s t o b u i l d c o n c e p t u a l l y o r i e n t e d t a s k s a n d q u e s t i o n s i n t o t h e e x i s t i n g c o n t e n t r a t h e r t h a n s u b j e c t i n g t h e c o n t e n t t o r e v i s i o n . D e s p i t e t h e s e c r i t i c i s m s , t h e c o n s i s t e n t i n t e g r a t i o n o f c o n c e p t u a l l y o r i e n t e d q u e s t i o n s a n d t a s k s i n t o t h e r e g u l a r c o n t e n t o f t h e t e x t , p l a c i n g t h e m o n t h e s t u d e n t ' s p a g e s r a t h e r t h a n i n t h e m a r g i n s o f t h e t e a c h e r ' s g u i d e , i s a s i g n i fi c a n t c h a n g e f r o m c o n v e n t i o n a l t e x t s ( G r a y b e a l 8 : S t o d o l s k y , 1 9 8 7 ; R e m i l l a r d , 1 9 9 1 a ) . T h i s c h a n g e h a s t h e p o t e n t i a l t o p r o m p t t e a c h e r s t o u s e t h e m o r t a k e e x t r a c a r e t o a v o i d t h e m . P e d a g o g y T h e c a l l s f o r c h a n g e i n m a t h e m a t i c s i n s t r u c t i o n d o n o t s t o p a t c o n t e n t . T h e y a l s o t a r g e t h o w s t u d e n t s l e a r n a n d h o w t h e y a r e t a u g h t . T h e c h a n g e s i n c o n t e n t i m p l y c o m p l e m e n t a r y p e d a g o g i c a l r e v i s i o n s . F o r e x a m p l e , w h e n t h e f o c u s o f m a t h e m a t i c s w a s o n l e a r n i n g r o t e p r o c e d u r e s , i n s t r u c t i o n o n t h e s t e p s o f t h o s e p r o c e d u r e s f o l l o w e d b y r e p e a t e d p r a c t i c e w a s a l o g i c a l a p p r o a c h t o s t u d e n t m a s t e r y . T h e s h i f t i n e m p h a s i s t o 7 2 p r o b l e m - s o l v i n g a n d r e a s o n i n g a b i l i t i e s , b a s e d o n c o n c e p t u a l u n d e r s t a n d i n g , c a l l s f o r a d i f f e r e n t t y p e o f l e a r n i n g e x p e r i e n c e . S t u d e n t s r e q u i r e o p p o r t u n i t i e s t o d e v e l o p u n d e r s t a n d i n g a n d t o e n g a g e i n r e a s o n i n g a n d p r o b l e m s o l v i n g . T h u s , t h e r e f o r m s c a l l f o r p e d a g o g i c a l c h a n g e s t h a t i n c l u d e l e s s t e a c h e r t e l l i n g a n d m o r e s t u d e n t e x p l o r a t i o n i n t e n d e d t o p r o m o t e u n d e r s t a n d i n g . T h e y a l s o s u g g e s t t h e u s e o f t o o l s s u c h a s v i s u a l m o d e l s , c o m p u t e r s , a n d c a l c u l a t o r s t o f o c u s s t u d e n t s ' a t t e n t i o n o n u n d e r l y i n g m e a n i n g s a n d a w a y f r o m b l i n d l y f o l l o w i n g r u l e s ( N C T M , 1 9 9 1 ) . I n a d d i t i o n , r e f o r m e r s h a v e s u g g e s t e d t h a t " d o i n g m a t h e m a t i c s " d o e s n o t n e c e s s a r i l y m e a n d o i n g a p a g e o f p r o b l e m s . R a t h e r , d o i n g m a t h e m a t i c s m e a n s a p p l y i n g m a t h e m a t i c a l k n o w l e d g e a n d s o l v i n g p r o b l e m s i n r e a l i s t i c c o n t e x t s ( L a m p e r t , 1 9 9 0 ; N C T M , 1 9 8 9 , 1 9 9 1 ) . T h e s e p a r t i c u l a r p e d a g o g i c a l e m p h a s e s a r e t r e a t e d i n t h e n e w H B J t e x t b o o k i n t h e f o l l o w i n g w a y s . I n s t r u c t i o n a l t o o l s . T h e u s e o f i n s t r u c t i o n a l t o o l s s u c h a s c o n c r e t e a n d v i s u a l m o d e l s , c a l c u l a t o r s , a n d c o m p u t e r s p l a y s a m a j o r r o l e i n t h e r e f o r m a g e n d a , e v e n t h o u g h p o s i t i o n s o n t h e p e d a g o g i c a l p u r p o s e s o f t h e s e t o o l s v a r y . T h e g e n e r a l c o n s e n s u s i s t h a t c o n c r e t e o r p i c t o r i a l t o o l s c a n e n h a n c e a s t u d e n t ' s u n d e r s t a n d i n g o f m a t h e m a t i c a l i d e a s b y r e p r e s e n t i n g , m o d e l i n g , o r c o n c r e t i z i n g a b s t r a c t c o n c e p t s a n d r e l a t i o n s h i p s . T h u s , t h e y c a n p r o v i d e s t u d e n t s a c c e s s t o i d e a s t h a t u n d e r l i e m a t h e m a t i c a l r u l e s a n d n o t a t i o n s . S o m e r e f o r m d o c u m e n t s , s u c h a s t h e P r o f e s s i o n a l T e a c h i n g S t a n d a r d e ( N C T M , 1 9 9 1 ) , h a v e s u g g e s t e d t h a t s u c h t o o l s c a n p r o v i d e c o n t e x t s i n w h i c h s t u d e n t s c a n e x p l o r e i d e a s a n d r e l a t i o n s h i p s a n d s h o u l d n o t b e l i m i t e d t o m o d e l i n g a l g o r i t h m s ( B a l l , 1 9 9 2 ) . R e f o r m e r s a l s o h a v e v i e w e d c o m p u t e r s a n d c a l c u l a t o r s a s t o o l s t h a t f a c i l i t a t e t h i n k i n g b e c a u s e t h e y a l l o w s t u d e n t s t o f o c u s o n p r o b l e m s o l v i n g w i t h o u t b e i n g e n c u m b e r e d b y c o m p u t a t i o n ( K a p u t , 1 9 9 2 ) . T h r o u g h t e c h n o l o g i c a l t o o l s , s t u d e n t s c a n s e e a n d f o c u s o n p a t t e r n s a n d r e l a t i o n s h i p s r a t h e r t h a n o n m e c h a n i c s . 7 3 R e g a r d l e s s o f t h e i r p h i l o s o p h i c a l m o t i v a t i o n , t h e p u b l i s h e r s o f t h e H B J t e x t b o o k h a v e p l a c e d m a j o r e m p h a s i s o n i n c o r p o r a t i n g t h e s e t o o l s i n t o i n s t r u c t i o n . I n p a r t i c u l a r , t h e y h a v e i n t e g r a t e d v i s u a l o r c o n c r e t e m o d e l s i n t o t h e c u r r i c u l u m . T h e s t u d e n t p a g e s c o n t a i n p i c t u r e s t o i l l u s t r a t e m a t h e m a t i c a l c o n c e p t s . E v e n t h o u g h t h e f r e q u e n c y v a r i e s f r o m c h a p t e r t o c h a p t e r , t h e t e a c h e r ' s g u i d e c o n s i s t e n t l y r e c o m m e n d s m a n i p u l a t i v e s o r c a l c u l a t o r s d u r i n g p a r t s o f m a n y l e s s o n s . A l s o , m o s t o f t h e e x p l o r a t i o n l e s s o n s i n v o l v e w o r k w i t h m a n i p u l a t i v e s o r a n o t h e r v i s u a l m o d e l . T h e p u b l i s h e r s a l s o r e c o m m e n d a d d i t i o n a l m a n i p u l a t i v e - b a s e d a c t i v i t i e s e l s e w h e r e i n t h e t e a c h e r ' s g u i d e . O n e o f t h e t h r e e L i n k p a g e s i s d e v o t e d t o m a n i p u l a t i v e a c t i v i t i e s , a s i s t h e s e c t i o n c a l l e d A l t e r n a t i v e T e a c h i n g S t r a t e g i e s . C o m p a r e d t o t e x t s o f t h e r e c e n t p a s t , t h i s e d i t i o n o f t h e H B J t e x t i n c l u d e s g r e a t e r e m p h a s i s o n i n s t r u c t i o n a l t o o l s . S t i l l , a l o o k a t h o w t h e s e t o o l s a r e u s e d r a i s e s q u e s t i o n s a b o u t t h e e x t e n t t o w h i c h t h e y a r e i n t e n d e d t o e n h a n c e u n d e r s t a n d i n g . M o s t f r e q u e n t l y , m a n i p u l a t i v e s a r e u s e d t o i n t r o d u c e , t h r o u g h a v i s u a l m o d e l , a n u n d e r l y i n g c o n c e p t t h a t i s l a t e r r e p l a c e d b y a n a l g o r i t h m i c p r o c e d u r e . T h e e m p h a s i s s e e m s t o b e o n d e v e l o p i n g c o n c e p t u a l g r o u n d w o r k o n w h i c h t h e p r o c e d u r e c a n b e b u i l t r a t h e r t h a n o n e x p l o r i n g t h e m e a n i n g o f t h e c o n c e p t . F o r e x a m p l e , L e s s o n 1 0 . 4 b e g i n s b y u s i n g c o u n t e r s t o a s s i s t s t u d e n t s i n r e p r e s e n t i n g a f r a c t i o n o f a n u m b e r . I n s t r u c t i o n s i n t h e t e x t g u i d e s t u d e n t s t h r o u g h s p e c i fi c a l l y o r d e r e d s t e p s t h a t fi t t h e p a t t e r n u s e d o n t h e n e x t p a g e i n o r d e r t o i n t r o d u c e t h e c o m p u t a t i o n a l p r o c e d u r e . I n t h i s c a s e , t h e o n l y p u r p o s e o f t h e m a n i p u l a t i v e s i s t o l e a d s t u d e n t s t h r o u g h t h e p r o c e d u r a l a l g o r i t h m . T h e r e a r e n o a p p a r e n t i n s t a n c e s i n t h e t e x t i n w h i c h s t u d e n t s u s e m a n i p u l a t i v e s t o e x p l o r e i d e a s a n d t o d r a w t h e i r o w n c o n c l u s i o n s . M o d e l i n g c o n c e p t u a l u n d e r p i n n i n g s o f m a t h e m a t i c a l p r o c e d u r e s i s a u s e f u l r o l e f o r m a n i p u l a t i v e s , b u t i t s e e m s l i m i t i n g t o t h e i r p o t e n t i a l . C a l c u l a t o r s a r e i n t e g r a t e d i n t o t h e r e g u l a r c u r r i c u l u m i n t h e t e x t l e s s f r e q u e n t l y t h a n m a n i p u l a t i v e s , b u t t h e y s t i l l m a k e a s t r o n g a p p e a r a n c e . O n e t h i r d o f t h e r e g u l a r l e s s o n s i n c l u d e s u g g e s t i o n s t o u s e a c a l c u l a t o r t o a s s i s t i n c o m p u t a t i o n , a n a l y z e d a t a , 7 4 s o l v e a p r o b l e m o r d e m o n s t r a t e p a r t i c u l a r n u m b e r r e l a t i o n s h i p s . I n a d d i t i o n , s e v e r a l p r o b l e m - s o l v i n g a c t i v i t i e s t h a t a r e n o t r e g u l a r l e s s o n s r e c o m m e n d c a l c u l a t o r s . C o m p u t e r - r e l a t e d t a s k s a r e n o t i n t e g r a t e d i n t o t h e r e g u l a r c u r r i c u l u m , b u t a r e s u g g e s t e d i n a s p e c i a l s e c t i o n a t t h e e n d o f t h e s t u d e n t t e x t e n t i t l e d " C o m p u t e r C o n n e c t i o n . " T h i s s e c t i o n d e v o t e s 1 5 p a g e s t o i n s t r u c t i o n i n t h e u s e o f L O G O , w o r d p r o c e s s i n g , s p r e a d s h e e t s , a n d d a t a b a s e s . T h e e x t e n t t o w h i c h t h e u s e o f m a n i p u l a t i v e s i s a c c e s s i b l e t o t e a c h e r s v a r i e s c o n s i d e r a b l y . T h e t e x t p r o v i d e s g u i d a n c e f o r t e a c h e r s i n u s i n g m a n i p u l a t i v e s t o m o d e l p r o c e d u r e s i n t h e m a n n e r d e s c r i b e d a b o v e . T h u s , i t a s s u m e s a l e v e l o f f a m i l i a r i t y t h a t m i g h t n o t e x i s t . T h e i m p l i c a t i o n s e e m s t o b e t h a t s t u d e n t s w i l l h a v e h a d p r i o r e x p e r i e n c e w i t h m a n i p u l a t i v e s a n d t h a t t h e t e a c h e r i s c o m f o r t a b l e u s i n g t h e m . T h e t e x t d o e s n o t o f f e r s u g g e s t i o n s t o a s s i s t t h e t e a c h e r i n m a n a g i n g t h e m i n a c l a s s r o o m o f 3 0 s t u d e n t s . F a c i l i t a t i n g fi r s t - t i m e u s e o f s u c h i n s t r u c t i o n a l t o o l s d o e s n o t s e e m t o b e a g o a l o f t h e e d i t o r s . N e v e r t h e l e s s , b e c a u s e o f t h e w a y t h e y a r e b u i l t i n t o t h e l e s s o n s , i t i s l e s s l i k e l y t h a t t h e y w i l l b e o m i t t e d t h a n i f t h e y w e r e s u g g e s t e d o n l y i n t h e t e a c h e r ' s g u i d e . I n f a c t , g i v e n t h e w a y m a n i p u l a t i v e s a r e u s e d t o r e p r e s e n t a b s t r a c t p r o c e d u r e s t h r o u g h o u t t h e t e x t , i t i s l i k e l y t h a t t h e s e t o o l s m a y e n h a n c e t h e t e a c h e r ' s u n d e r s t a n d i n g o f m a t h e m a t i c a l c o n c e p t s . T h e s a m e a s s u m p t i o n i s m a d e a b o u t t e a c h e r s ' f a m i l i a r i t y w i t h c a l c u l a t o r s . E v e n t h o u g h t h e y a r e o f t e n c a l l e d f o r , t h e t e x t f a i l s t o p r o v i d e m u c h i n f o r m a t i o n t o t h e t e a c h e r a b o u t u s i n g t h e m . T h e p h r a s e " u s e y o u r c a l c u l a t o r " i s p l a c e d f r e q u e n t l y a n d p r o m i n e n t l y o n p r o b l e m - s o l v i n g p a g e s . Y e t , n o s u g g e s t i o n s a r e a v a i l a b l e i n t h e m a r g i n s o f t h e t e x t r e g a r d i n g h o w t o g u i d e s t u d e n t s i n u s i n g t h e m . L e a r n i n g t h r o u g h d o i n g . O t h e r p e d a g o g i c a l s h i f t s e m p h a s i z e d b y t h e r e f o r m a g e n d a i n v o l v e c h a n g e s i n w h a t s t u d e n t s s h o u l d d o i n o r d e r t o l e a r n m a t h e m a t i c s . R a t h e r t h a n i n d e p e n d e n t l y c o m p l e t i n g 3 0 p r o b l e m s o n a t e x t b o o k p a g e , r e f o r m e r s h a v e a r g u e d t h a t s t u d e n t s s h o u l d e x p l o r e m a t h e m a t i c a l i d e a s a n d s o l v e p r o b l e m s i n g r o u p 7 5 c o n t e x t s . T h e H B J p u b l i s h e r s h a v e a t t e m p t e d t o i n c o r p o r a t e t h i s i m a g e o f " l e a r n i n g - b y - d o i n g " i n t o t h e d e s i g n b y s u g g e s t i n g a c t i v i t i e s i n w h i c h s t u d e n t s w o r k c o o p e r a t i v e l y o n t a s k s t h a t i n v o l v e m a n i p u l a t i v e s , r e c o r d i n g a n d a n a l y z i n g d a t a , p r o b l e m s o l v i n g , o r g e n e r a l e x p l o r a t i o n . T h e l a c k o f g e n u i n e c o m m i t m e n t t o t h i s p e d a g o g i c a l a l t e r n a t i v e , h o w e v e r , i s e v i d e n t i n t h e w a y s u c h a c t i v i t i e s a r e fi t i n t o a n d a r o u n d t h e m o r e t r a d i t i o n a l l e s s o n f o r m a t t h a t m a k e s e x e r c i s e s o n t h e t e x t b o o k p a g e c e n t r a l . T h e l e a r n i n g - b y - d o i n g s u g g e s t i o n s r a r e l y a r e i n t e g r a t e d i n t o t h e r e g u l a r l e s s o n s o r f o u n d i n t h e s t u d e n t ' s t e x t ; t h e y u s u a l l y a r e l o c a t e d i n t h e L i n k p a g e s o r t h e P r o b l e m - o f - t h e - D a y s e c t i o n i n t h e t e a c h e r ' s g u i d e . T h e s e a c t i v i t i e s a l s o a r e i n c l u d e d w i t h t h e r e g u l a r l e s s o n s i n t h e t e a c h e r ' s g u i d e b u t , a g a i n , o n l y m a r g i n a l l y . T h e y d o n o t r e p l a c e t h e t r a d i t i o n a l t e x t b o o k p a g e b u t , r a t h e r , p r e c e d e i t . F o r e x a m p l e , a c t i v i t i e s u n d e r t h e h e a d i n g " M o t i v a t e " p r o v i d e e x a m p l e s o f i n t e r a c t i v e t a s k s t h a t d o n o t r e v o l v e a r o u n d c o m p l e t i n g a t e x t b o o k p a g e . T h e s e t a s k s a r e i n t e n d e d f o r t h e t e a c h e r t o u s e p r i o r t o i n t r o d u c i n g s t u d e n t s t o t a s k s o n t h e p a g e . S i m i l a r l y , t h e i n i t i a l p a r t o f t h e e x p l o r a t i o n l e s s o n i s d e s i g n e d t o e n g a g e s t u d e n t s i n e x p l o r i n g a c o n c e p t w i t h m a n i p u l a t i v e s , w h i c h i s f o l l o w e d w i t h a p a g e o f p r a c t i c e p r o b l e m s . I n m a k i n g s u c h a c t i v i t i e s p r e c u r s o r s t o m o r e t r a d i t i o n a l t a s k s , i t i s l i k e l y t h a t t h e p u b l i s h e r s h a v e d i m i n i s h e d t h e i r r o l e i n t h e c u r r i c u l u m . T h e p u b l i s h e r s h a v e i n v o l v e d i n s t r u c t i o n a l a p p r o a c h e s s i g n i fi c a n t l y d i f f e r e n t f r o m t h o s e c o m m o n t o m o s t t e a c h e r s , w h e r e a s t h e t e x t p r o v i d e s l i t t l e a s s i s t a n c e d e s i g n e d t o g u i d e t e a c h e r s i n u s i n g t h e s e a l t e r n a t i v e p e d a g o g i c a l a p p r o a c h e s . L e a r n i n g t h r o u g h e x p l o r a t i o n . A n a s p e c t o f a l e a r n i n g - b y - d o i n g a p p r o a c h t o m a t h e m a t i c s i n s t r u c t i o n f a i r l y p r o m i n e n t i n t h e r h e t o r i c o f t h e H B J t e x t b o o k i s e x p l o r a t i o n . A s I d i s c u s s e d i n t h e g e n e r a l d e s c r i p t i o n , o n e f o u r t h o f a l l t h e n u m b e r e d l e s s o n s i n t h e t e x t b e g i n w i t h e x p l o r a t o r y a c t i v i t i e s . T h e s e l e s s o n s a p p e a r t o b e a t t e m p t s t o e n g a g e s t u d e n t s i n d i s c o v e r i n g o r r e a l i z i n g s p e c i fi c m a t h e m a t i c a l i d e a s t h r o u g h w o r k w i t h v i s u a l o r c o n c r e t e r e p r e s e n t a t i o n s r a t h e r t h a n " t e l l i n g " s t u d e n t s t h e s e i d e a s t h r o u g h 7 6 d i r e c t i n s t r u c t i o n . T h e f a c t t h a t o n e f o u r t h o f a l l r e g u l a r l e s s o n s f o c u s o n e x p l o r a t i o n d e m o n s t r a t e s a n o t a b l e c o m m i t m e n t t o s u c h l e a r n i n g o p p o r t u n i t i e s w h i l e m a i n t a i n i n g p r i m a r y e m p h a s i s o n d i r e c t i n s t r u c t i o n . F u r t h e r e x a m i n a t i o n o f t h e d i s t r i b u t i o n o f t h e e x p l o r a t i o n l e s s o n s ( d i s p l a y e d i n T a b l e 3 . 1 ) a n d t h e a c t u a l d e p t h o f e x p l o r a t i o n a c t u a l l y e n c o u r a g e d r e v e a l s t h a t e x p l o r a t i o n i s a v e h i c l e f o r l e a r n i n g o n l y c e r t a i n t o p i c s . T h e l a r g e s t c o n c e n t r a t i o n o f e x p l o r a t i o n l e s s o n s i s f o u n d i n n o n c o m p u t a t i o n a l c h a p t e r s . C o m p u t a t i o n a l t o p i c s s u c h a s a d d i t i o n , s u b t r a c t i o n , a n d m u l t i p l i c a t i o n o n l y c o n t a i n o n e o r t w o e x p l o r a t i o n l e s s o n s . T h e f o c u s o f t h e s e c h a p t e r s i s o n l e a r n i n g a n d p r a c t i c i n g p r o c e d u r e s , n o t e x p l o r i n g i d e a s . D i v i s i o n i s t h e o n l y c o m p u t a t i o n a l t o p i c t h a t i n c l u d e s s i g n i f i c a n t e x p l o r a t i o n . T h e n a t u r e o f t h e e x p l o r a t i o n a c t i v i t i e s a l s o r a i s e s q u e s t i o n s a b o u t t h e e x t e n t t o w h i c h s t u d e n t s a r e a l l o w e d t o e x p l o r e . A s m e n t i o n e d i n t h e a b o v e d i s c u s s i o n o n m a n i p u l a t i v e s , e x p l o r a t i o n i n t h e H B J t e x t m e a n s u s i n g c o n c r e t e m a t e r i a l s a n d s p e c i fi c q u e s t i o n s t o g u i d e s t u d e n t s t o p r e d e t e r m i n e d c o n c l u s i o n s . T h e t e a c h e r ' s g u i d e p r o v i d e s c o r r e c t a n s w e r s , c o m m u n i c a t i n g t h e m e s s a g e t h a t e a c h e x p l o r a t i o n s h o u l d l e a d t o a s i n g l e , c o r r e c t c o n c l u s i o n . T h e t e x t s a y s n o t h i n g a b o u t l i s t e n i n g t o s t u d e n t s ' i d e a s o r d i s c o v e r i e s w h e n t h e y a r e n o t t h e a n s w e r s p r i n t e d i n t h e t e a c h e r ' s g u i d e . I n f a c t , i t d o e s n o t a d d r e s s t h e p o s s i b i l i t y t h a t s t u d e n t s m i g h t p r o d u c e a l t e r n a t i v e a n s w e r s . I n c l u s i o n o f t h e s e l e s s o n s r e p r e s e n t s a s t e p o n t h e p a r t o f t h e p u b l i s h e r s t o w a r d s a c k n o w l e d g i n g t h a t s t u d e n t s c o n s t r u c t m e a n i n g t h r o u g h e x p l o r a t i o n , b u t t h e m e a n i n g t h e y a r e m e a n t t o c o n s t r u c t i s s p e c i fi c . T h e g a p s b e t w e e n c u r r e n t r e f o r m g o a l s a n d t h e d e p t h o f r e s p o n s e s t o t h e m a r e c h a r a c t e r i s t i c o f t h e H B J t e x t b o o k . A s t h e a b o v e a n a l y s i s s u g g e s t s , t h i s t e x t r e p r e s e n t s e v i d e n t a t t e m p t s t o a d d r e f o r m - i n i t i a t e d c h a r a c t e r i s t i c s w i t h o u t t a k i n g o n f u n d a m e n t a l c h a n g e i n c o n t e n t , f o r m a t , o r i n s t r u c t i o n a l d e s i g n . A s a r e f o r m - o r i e n t e d t e x t b o o k , w h a t m e s s a g e d o e s i t c o m m u n i c a t e t o t e a c h e r s ? W h a t d o e s i t s u g g e s t a b o u t m a t h e m a t i c s , t e a c h i n g , a n d l e a r n i n g ? W h a t d o e s i t s d e s i g n e n a b l e a n d s u p p o r t t e a c h e r s t o d o ? T h e s e 7 7 q u e s t i o n s a r e e x a m i n e d i n t h e f o l l o w i n g s e c t i o n b y c o n s i d e r i n g t h e u n d e r l y i n g a s s u m p t i o n s a b o u t m a t h e m a t i c s , t e a c h i n g , a n d l e a r n i n g e m b e d d e d i n t h e t e x t b o o k M a t h e m a t i c a l a n d P e d a g o g i c a l A n a l y s i s I n o r d e r t o c o n s i d e r t h e u n d e r l y i n g a s s u m p t i o n s a b o u t m a t h e m a t i c s t e a c h i n g a n d l e a r n i n g i m p l i c i t i n t h e t e x t , I e x a m i n e d t h e c o n t e n t , o r g a n i z a t i o n , a n d t e a c h i n g s u g g e s t i o n s o f t h e t e x t b o o k . D r a w i n g f r o m e v i d e n c e i n t h e t e x t b o o k , I m a d e c l a i m s a b o u t h o w m a t h e m a t i c s , t e a c h i n g , a n d l e a r n i n g a r e r e p r e s e n t e d , a s w e l l a s t h e p u b l i s h e r s ' o v e r a l l i n t e n t a n d t h e r e l a t i o n s h i p f o r g e d w i t h t h e t e a c h e r . R e p r e s e n t a t i o n o f M a t h e m a t i c s a n d W h _ a t I t M e e n s T o K n o w I t T h e m a t h e m a t i c s c o n t e n t i n t h e H B J t e x t b o o k r e p r e s e n t s t h e s u b s t a n c e a n d n a t u r e o f m a t h e m a t i c s b r o a d l y . I t t o u c h e s , i n o n e w a y o r a n o t h e r , o n a n e x t e n s i v e n u m b e r o f m a t h e m a t i c a l t o p i c s . S o m e t o p i c s , s u c h a s w h o l e n u m b e r c o m p u t a t i o n h a v e b e e n p a r t o f t h e e l e m e n t a r y c u r r i c u l u m f o r y e a r s . O t h e r s , s u c h a s d a t a o r g a n i z a t i o n a n d r e p r e s e n t a t i o n a n d p r o b a b i l i t y a r e m o r e r e c e n t a r r i v a l s . E v e n t h o u g h n u m b e r s k i l l s a n d c o m p u t a t i o n r e c e i v e t h e g r e a t e s t a t t e n t i o n , t o p i c s s u c h a s g r a p h i n g , d a t a , a n d g e o m e t r y _ h o l d p r o m i n e n t p o s i t i o n s . T h e t e x t a l s o r e p r e s e n t s t h e n a t u r e o f m a t h e m a t i c s i n a v a r i e t y o f w a y s . T h e p u b l i s h e r s h a v e p l a c e d p r i m a r y e m p h a s i s o n r u l e s a n d p r o c e d u r e s b u t h a v e w o v e n i n t a s k s t h a t f o c u s o n t h e i r c o n c e p t u a l u n d e r p i n n i n g s . T h e p u b l i s h e r s a l s o h a v e e m p h a s i z e d t h a t t h i n k i n g , r e a s o n i n g , a n d p r o b l e m - s o l v i n g s k i l l s a r e p a r t o f t h e m a t h e m a t i c a l t e r r i t o r y , f r e q u e n t l y i n s e r t i n g p r o b l e m - s o l v i n g l e s s o n s a n d a c t i v i t i e s i n t o t h e t e x t . T h i s b r o a d a n d v a r i e d r e p r e s e n t a t i o n o f m a t h e m a t i c s r e v e a l s a r e s p o n s e t o t h e r e f o r m a g e n d a ' s c a l l f o r i n c r e a s e d e m p h a s i s b e y o n d n u m b e r c o m p u t a t i o n a n d a r e l u c t a n c e t o r e l i n q u i s h l o n g - s t a n d i n g a s p e c t s o f t h e m a t h e m a t i c s c u r r i c u l u m . T h e t e x t b o o k p u b l i s h e r s a p p e a r t o a c c o m m o d a t e t h e i d e a s o f t h e r e f o r m s b y a d d i n g t h e m t o t h e e x t a n t c u r r i c u l u m r a t h e r t h a n m a k i n g a n y s i g n i fi c a n t c h a n g e s . T h i s a p p r o a c h i s p a r t i c u l a r l y e v i d e n t i n t h e w a y t w o c e n t r a l e m p h a s e s o f t h e r e f o r m s a r e t r e a t e d i n t h e 7 8 t e x t : ( a ) m a t h e m a t i c s i s a c o n n e c t e d b o d y o f k n o w l e d g e a n d ( b ) i t h a s r e l e v a n c e i n t h e r e a l w o r l d . C o n n e c t i o n s a m o n g m a t h e m _ a _ t i c a l i d e a s . T h e c o n t e n t s e l e c t i o n a n d o r g a n i z a t i o n o f t h e t e x t b o o k r e p r e s e n t m a t h e m a t i c s a s a l a r g e c o l l e c t i o n o f d i s c r e t e c o n c e p t s , s k i l l s , a n d p r o c e d u r e s t h a t a r e r e l a t e d t o o n e a n o t h e r , b u t s h o u l d b e t h o u g h t a b o u t a n d a d d r e s s e d s e p a r a t e l y . T h e w h o l e o f m a t h e m a t i c s i s l i k e a s t o n e w a l l m a d e u p o f c o u n t l e s s i n d i v i d u a l s t o n e s t h a t t o g e t h e r f o r m a s o l i d s t r u c t u r e . F r o m a d i s t a n c e , o n e m i g h t s e e o n l y a w a l l , b u t a c l o s e r s u r v e y w o u l d r e v e a l t h e c o n g l o m e r a t i o n o f s t o n e s . I n t h e H B J t e x t b o o k , t h e m u l t i t u d i n o u s s t o n e s t h a t f o r m m a t h e m a t i c s a r e i n t r o d u c e d i n d i v i d u a l l y , e a c h i n i t s o w n l e s s o n . T h e m a t h e m a t i c s c o n t e n t i s o r g a n i z e d i n t o 1 3 c h a p t e r s , e a c h o f w h i c h i s d i v i d e d f u r t h e r i n t o s e p a r a t e l e s s o n s . E a c h l e s s o n d e a l s w i t h a s l i g h t l y d i f f e r e n t s k i l l o r t o p i c . M a n y o f t h e d i v i s i o n s b e t w e e n l e s s o n s a n d c h a p t e r s a r e n o t d e t e r m i n e d b y c o n c e p t u a l d i s t i n c t i o n s b u t b y t h e n a t u r e o f t h e p r o c e d u r a l s t e p s i n v o l v e d . F o r e x a m p l e , t h r e e d i f f e r e n t c h a p t e r s a d d r e s s t h e t o p i c o f d i v i s i o n . C h a p t e r T h r e e f o c u s e s o n s i n g l e - d i g i t m u l t i p l i c a t i o n a n d d i v i s i o n f a c t s , C h a p t e r E i g h t f o c u s e s o n d i v i s i o n b y s i n g l e - d i g i t n u m b e r s a n d i n t r o d u c e s t h e d i v i s i o n a l g o r i t h m , a n d C h a p t e r T h i r t e e n d e a l s w i t h d i v i s i o n b y t w o - d i g i t n u m b e r s a n d f u r t h e r d e v e l o p s t h e a l g o r i t h m . S i m i l a r d i s t i n c t i o n s b e t w e e n t o p i c s a p p e a r w i t h i n t h e c h a p t e r s . F o r e x a m p l e , a f t e r a n " e x p l o r e " l e s s o n i n C h a p t e r E i g h t , w h i c h u s e s b a s e - t e n b l o c k s t o m o d e l t h e l o n g — d i v i s i o n a l g o r i t h m , a n o t h e r l e s s o n i n s t r u c t s s t u d e n t s t o e s t i m a t e q u o t i e n t s , a t h i r d i n t r o d u c e s t h e s t e p s o f t h e l o n g - d i v i s i o n a l g o r i t h m w i t h a t w o - d i g i t d i v i d e n d , a f o u r t h i n t r o d u c e s t h e a l g o r i t h m w i t h a t h r e e - d i g i t d i v i d e n d , a n d a fi f t h a d d r e s s e s t h e s a m e a l g o r i t h m w h e n t h e r e i s a z e r o i n t h e q u o t i e n t . T h e e m p h a s i s i n e a c h l e s s o n i s o n t h e p r o c e d u r a l s t e p s a n d h o w t h e y a r e d i f f e r e n t i n e a c h o f t h e a b o v e s i t u a t i o n s . T h e r e a r e n o a p p a r e n t e f f o r t s t o s h o w c o n n e c t i o n s a m o n g t h e m a n y d i f f e r e n t s t e p s . F o r e x a m p l e , t h e c o n c e p t u a l s t e p s o f d i v i d i n g t h e t e n s a n d t h e n t h e o n e s a m o n g t h e n u m b e r o f g r o u p s d e t e r m i n e d b y t h e d i v i s o r , e m p h a s i z e d i n t h e e x p l o r e l e s s o n , a r e 7 9 n o t b r o u g h t i n t o t h o s e t h a t f o l l o w o r a r e s t u d e n t s a s k e d t o e s t i m a t e q u o t i e n t s o u t s i d e o f t h e c o n t e x t o f t h e l e s s o n w i t h t h a t t i t l e . T h e i m p l i c a t i o n i s t h a t s t u d e n t s n e e d t o l e a r n a n d f o l l o w n e w a n d d i f f e r e n t s t e p s w i t h e a c h n e w c a s e . C o n c e p t u a l r e l a t i o n s h i p s b e t w e e n d i f f e r e n t p r o c e d u r e s o r t h e m e a n i n g o f d i v i s i o n t h a t u n d e r l i e s a l l o f t h e m r e c e i v e n o a t t e n t i o n . C e r t a i n u n d e r l y i n g c o n c e p t s a r e , i n f a c t , w o v e n t h r o u g h o u t m a n y o f t h e l e s s o n s o n d i v i s i o n a n d o t h e r c o m p u t a t i o n a l t o p i c s . P l a c e v a l u e i s t h e m o s t p r o m i n e n t . T h e l e s s o n s o n t w o - o r t h r e e - d i g i t c o m p u t a t i o n a l l c a l l o n t h e p l a c e v a l u e c o n c e p t s d e v e l o p e d i n t h e f i r s t c h a p t e r . S i m i l a r l y , t h e r e l a t i o n s h i p b e t w e e n m u l t i p l i c a t i o n a n d d i v i s i o n , d e v e l o p e d i n C h a p t e r T h r e e , i s f r e q u e n t l y b r o u g h t i n t o l a t e r w o r k o n d i v i s i o n . T h u s , i n s o m e c a s e s , t h e p u b l i s h e r s h a v e e m p h a s i z e d t h a t t h e i n d i v i d u a l s t o n e s i n t h e w a l l w o r k t o g e t h e r a n d t h a t m a n y a r e c u t f r o m t h e s a m e r o c k I t i s o f t e n t h e c a s e , t h o u g h , t h a t t h i s c o n n e c t i o n i s o b s c u r e d b y d i f f e r e n c e s i n p r o c e d u r a l s t e p s . C o n n e c t i o n s b e t w e e n m a t h e m a t i c s a n d i t s a p p l i c a t i o n s . I n i t s p r e s e n t a t i o n o f m a t h e m a t i c a l s k i l l s a n d c o n c e p t s , t h e H B J t e x t b o o k p e r s i s t e n t l y s t r e s s e s t h a t m a t h e m a t i c s i s r e l a t e d t o t h e r e a l w o r l d a n d t h a t k n o w i n g m a t h e m a t i c s i n c l u d e s b e i n g a b l e t o a p p l y i t i n d a i l y l i f e . T h e e m p h a s i s o n r e a l i s t i c a p p l i c a t i o n s o f m a t h e m a t i c s i s w o v e n t h r o u g h o u t t h e t e x t a n d i s m o s t e v i d e n t i n t h e v a r i e t y o f l i f e - l i k e s i t u a t i o n s u s e d a s p r o b l e m c o n t e x t s . E a c h l e s s o n i s i n t r o d u c e d t h r o u g h a s i t u a t i o n i n w h i c h t h e p a r t i c u l a r s k i l l b e i n g t a u g h t c a n b e a p p l i e d . T h e u n m i s t a k a b l e m e s s a g e i s t h a t m a t h e m a t i c a l s k i l l s c a n b e u s e d i n a r a n g e o f r e a l - l i f e s i t u a t i o n s . S t i l l , t h e e x t e n t t o w h i c h t h e a p p l i c a t i o n s p r e s e n t e d i n t h e t e x t a r e r e a l i s t i c i s q u e s t i o n a b l e . A s I m e n t i o n e d i n t h e g e n e r a l d e s c r i p t i o n , s e l e c t i o n o f p r o b l e m - s o l v i n g a n d a p p l i c a t i o n o p p o r t u n i t i e s i n t h e H B J t e x t i s d i v e r s e , r a n g i n g f r o m r o u t i n e s t o r y p r o b l e m s t h a t e m p h a s i z e m a t h e m a t i c a l p r o c e d u r e s t o c o m p l e x a n d n o n r o u t i n e s i t u a t i o n s t h a t r e q u i r e r e a s o n i n g , d e v e l o p i n g , a n d u s i n g s t r a t e g i e s . F o r t h e m o s t p a r t , m a t h e m a t i c s e d u c a t o r s a g r e e t h a t t h e l a t t e r m o r e c l o s e l y e m u l a t e s t h e t y p e o f t h i n k i n g m o s t o f t e n 8 0 c a l l e d f o r i n l i f e s i t u a t i o n s . I n o r d e r t o s o l v e t h e m , s t u d e n t s m u s t e x a m i n e t h e p r o b l e m , d e v e l o p a s o l u t i o n s s t r a t e g y , t e s t i t , a n d t h e n a s s e s s i t s r e a s o n a b l e n e s s . T h e y m u s t d i s c e r n t h e p r o b l e m f r o m t h e s i t u a t i o n a n d d e t e r m i n e h o w t o s o l v e i t . R o u t i n e s t o r y p r o b l e m s , o n t h e o t h e r h a n d , a r e l i f e - l i k e s i t u a t i o n s t h a t p r o v i d e c o n t e x t s f o r c o m p u t a t i o n a l p r a c t i c e . S t u d e n t s n e e d t o d e t e r m i n e w h i c h a l g o r i t h m t o u s e a n d t h e n a p p l y i t . T h u s , t h e i m a g e o f m a t h e m a t i c a l a p p l i c a t i o n p o r t r a y e d i n t h e H B J t e x t i s a s b r o a d a s t h e r a n g e o f p r o b l e m s d e s c r i b e d e a r l i e r . N e v e r t h e l e s s , i t i s c l e a r l y w e i g h t e d t o w a r d t h e r o u t i n e , t h a t i s , t h e p r o c e d u r a l a p p l i c a t i o n o f s k i l l s i n l i f e l i k e c o n t e x t s . M o s t o f t h e s t o r y p r o b l e m s i n t e g r a t e d i n t o t h e d a i l y l e s s o n s fi t t h i s c l a s s i fi c a t i o n ; t h e i r o n l y c o n n e c t i o n t o r e a l l i f e i s t h a t t h e y u s e s i t u a t i o n a l c o n t e x t s t h a t a r e s o m e t i m e s r e a l i s t i c , e v e n t h o u g h t h e m a t h e m a t i c a l p r o b l e m m a y n o t fi t t h e s i t u a t i o n . P r o b l e m s t h a t i n v o l v e m o r e a u t h e n t i c a p p l i c a t i o n s o f m a t h e m a t i c a l t h i n k i n g a r e f o u n d i n t h e t e a c h e r ' s g u i d e . o n t h e L i n k p a g e s o r i n t h e P r o b l e m - o f - t h e — D a y s e c t i o n . R e p r e s e n t a t i o n o f S t u d e n t L e a r n i n g T h e " s t o n e - w a l l " a n a l o g y i n t r o d u c e d e a r l i e r a l s o a p p l i e s t o t h e v i e w o f s t u d e n t l e a r n i n g i m p l i c i t i n t h e t e x t b o o k . T h e i m a g e o f m a t h e m a t i c s a s a c o l l e c t i o n o f s e p a r a t e p i e c e s n a t u r a l l y s u p p o r t s t h e v i e w t h a t l e a r n i n g m a t h e m a t i c s i n v o l v e s a c q u i r i n g e a c h p i e c e i n d i v i d u a l l y . A s e a c h s t o n e i s s e p a r a t e l y l a i d i n p l a c e t o f o r m t h e e n t i r e w a l l , e a c h d i s c r e t e c o n c e p t o r s k i l l m u s t b e p l a c e d i n s t u d e n t s ' m a t h e m a t i c a l k n o w l e d g e . T h e p r o c e s s e s u s e d i n t h e t e x t t o p l a c e t h e s e s t o n e s h a v e i m p l i c a t i o n s f o r t h e t h e o r i e s o n l e a r n i n g t h a t u n d e r l i e t h e m . B e l o w I d i s c u s s t w o a s p e c t s o f i n s t r u c t i o n t h a t a r e m o s t p r o m i n e n t i n t h e t e x t b o o k . T h e n I c o n s i d e r t h e a s s u m p t i o n s a b o u t l e a r n i n g e m b e d d e d i n e a c h . T h e fi r s t e m p h a s i z e s i n s t r u c t i o n a n d p r a c t i c e , w h e r e a s s e c o n d a d d r e s s e s c o n c e p t u a l d e v e l o p m e n t t h r o u g h v i s u a l a n d c o n c r e t e m o d e l s . I n s t r u c t i o n a n d p r a c t i c e . T h e d o m i n a n t p a t t e r n o f t e a c h i n g i n t h e H B J t e x t a s s u m e s t h a t s t u d e n t s l e a r n t h r o u g h i n s t r u c t i o n f o l l o w e d b y p r a c t i c e . E a c h l e s s o n b e g i n s w i t h i n s t r u c t i o n o n , o r e x p l o r a t i o n o f , a p a r t i c u l a r s k i l l o r c o n c e p t t h r o u g h w h i c h 8 1 r u l e s , p r o c e d u r e s , o r u n d e r s t a n d i n g s a r e d e v e l o p e d . T h e n t h e s e a r e p r a c t i c e d f o r a l a r g e p a r t o f t h e l e s s o n t h r o u g h q u e s t i o n s o r e x e r c i s e s s i m i l a r t o t h o s e i n t h e i n t r o d u c t i o n . A t t h e e n d o f t h e l e s s o n , s t u d e n t s a p p l y t h e s e s k i l l s i n s t o r y p r o b l e m s . T h i s p a t t e r n i s e v i d e n t i n t h e f o r m a t o f e a c h t y p e o f l e s s o n d e s c r i b e d a b o v e . T h e i m p l i c a t i o n i s t h a t l e a r n i n g o c c u r s t h r o u g h b e i n g t a u g h t , f o l l o w e d b y p r a c t i c e i n i s o l a t e d c o n t e x t s a n d t h e n a p p l i c a t i o n i n m o r e r e a l i s t i c s i t u a t i o n s . V i s u a l a n d c o n c r e t e m o d e l s . T h e u s e o f v i s u a l a n d c o n c r e t e m o d e l s a s i n s t r u c t i o n a l t o o l s t h r o u g h o u t t h e t e x t s u g g e s t s a v i e w t h a t s t u d e n t s ' l e a r n i n g i s e n h a n c e d t h r o u g h u s e o f m a t e r i a l s t h a t m o d e l a b s t r a c t c o n c e p t s . T h r o u g h s e e i n g v i s u a l r e p r e s e n t a t i o n s o f c o n c e p t s , s t u d e n t s a r e m o r e l i k e l y t o u n d e r s t a n d t h e u n d e r p i n n i n g s o f a l g o r i t h m i c p r o c e d u r e s . B a s e - t e n b l o c k s , f o r e x a m p l e , a r e u s e d t o m o d e l t h e m u l t i p l i c a t i o n a n d d i v i s i o n a l g o r i t h m s w h e n t h e y a r e fi r s t i n t r o d u c e d . V i s u a l m o d e l s a r e s e e n a s p a r t i c u l a r l y h e l p f u l w h e n s t u d e n t s h a v e d i f fi c u l t y w o r k i n g w i t h a b s t r a c t s y m b o l s . M a n y o f t h e s u p p l e m e n t a l " R e t e a c h i n g " p a g e s p i c t u r e d i n t h e t e a c h e r ' s g u i d e e m p l o y v i s u a l m o d e l s t o r e t e a c h t h e l e s s o n t o p i c , e v e n i f t h e m o d e l s a r e n o t p a r t o f t h e r e g u l a r l e s s o n . F o r e x a m p l e , L e s s o n s 8 . 6 t h r o u g h 8 . 9 a l l a d d r e s s d i f f e r e n t a s p e c t s o f t h e d i v i s i o n a l g o r i t h m . V i s u a l m o d e l s a r e n o t u s e d o n t h e s e s t u d e n t p a g e s . E a c h o f t h e " r e t e a c h i n g " o p t i o n s , h o w e v e r , r e t u r n s t o v i s u a l m o d e l s i n o r d e r t o r e t e a c h t h e p a r t i c u l a r s k i l l . T h e i m p l i c i t m e s s a g e r e g a r d i n g v i s u a l m o d e l s s e e m s t o b e t h a t t h e y a r e u s e f u l i n s t r u c t i o n a l t o o l s f o r b u i l d i n g u n d e r s t a n d i n g o f a l g o r i t h m i c p r o c e d u r e s b u t s h o u l d b e e l i m i n a t e d a n d r e p l a c e d b y w o r k w i t h t h e s y m b o l i c ; t h e y a r e n o t v i e w e d a s t o o l s t o f a c i l i t a t e t h e e x p l o r a t i o n o f m a t h e m a t i c a l i d e a s . R e p r e s e n t a t i o n o f T e a c h i n g T h e p r e d o m i n a t i n g v i e w o f t e a c h i n g a n d t h e t e a c h e r ' s r o l e e m b e d d e d i n t h e H B J t e x t a r e i m p l i c i t i n t h e s u g g e s t i o n s p r o v i d e d i n t h e m a r g i n s o f t h e t e a c h e r ' s g u i d e . T h e t e a c h e r ' s r o l e s e e m s t o g u i d e a n d f a c i l i t a t e s t u d e n t s ' i n t e r a c t i o n s w i t h t a s k s i n t h e t e x t . 8 2 G u i d i n g , n o t t e l l i n g . T h e t y p e s o f s u g g e s t i o n s t h e t e x t o f f e r s i m p l y t h a t s h o w i n g o r t e l l i n g s t u d e n t s t h e c o r r e c t s t e p s o r h o w t o o b t a i n a n a n s w e r i s n o t p a r t o f t h e t e a c h e r ' s r o l e . R a t h e r , t h e t e x t g u i d e s h e r i n i n t r o d u c i n g p a r t i c u l a r t o p i c s b y o f f e r i n g q u e s t i o n s s h e s h o u l d a s k i n o r d e r t o e n g a g e s t u d e n t s i n e x p l a i n i n g t h e s t e p s o r r e l a t i o n s h i p s s h o w n o n t h e s t u d e n t p a g e . F o r e x a m p l e , t h e i n t r o d u c t i o n t o L e s s o n 1 0 . 2 , F r a c t i o n s a s P a r t o f a W h o l e ( p . 3 2 0 , A p p e n d i x C ) , s h o w s t h r e e c h i l d r e n s h a r i n g a p i z z a . T h e f r a c t i o n a l n u m e r a l % i s w r i t t e n o n t h e s t u d e n t ' s p a g e , w i t h a r r o w s t o t h e n u m e r a t o r a n d d e n o m i n a t o r e x p l a i n i n g w h a t e a c h m e a n s . T h e t e a c h e r i s i n s t r u c t e d t o a s k t h e s t u d e n t s w h a t t h e d e n o m i n a t o r t e l l s t h e m w h i l e t h e y a r e l o o k i n g a t t h e i n f o r m a t i o n o n t h e p a g e . O f t e n t h e t e x t s u g g e s t s a q u e s t i o n t h a t r e q u i r e s a n e x p l a n a t i o n n o t e x p l i c i t l y s h o w n i n t h e s t u d e n t ' s t e x t . I n t h e s e c a s e s , t h e t e a c h e r ' s g u i d e i n d i c a t e s t h a t t h e t e a c h e r s h o u l d " e l i c i t " a p a r t i c u l a r r e s p o n s e f r o m s t u d e n t s . T h e t e x t p r o v i d e s t h e r e s p o n s e s h e s h o u l d e l i c i t b u t d o e s n o t d i s c u s s h o w t o d o s o . F o r e x a m p l e , t h e w a r m - u p q u e s t i o n a t t h e b e g i n n i n g o f L e s s o n 1 0 . 2 a s k s , " H o w c a n % o f a p i z z a b e d i f f e r e n t f r o m 3 1 o f a n o t h e r p i z z a ? " T h e r e c o m m e n d a t i o n i n t h e t e a c h e r ' s g u i d e i s : " E l i c i t f r o m s t u d e n t s t h a t t h e p i z z a s c a n b e d i f f e r e n t s i z e s " ( H B J , 1 9 9 2 , p . 3 2 0 ) . E v e n t h o u g h i t i s n o t s t a t e d , t h e t e x t ' s t e n d e n c y t o a v o i d s u g g e s t i n g t h a t t e a c h e r s t e l l o r s h o w s t u d e n t s i s l i k e l y a r e s p o n s e t o t h e c u r r e n t e m p h a s e s o n c o n s t r u c t i v i s m o f t e n a s s o c i a t e d w i t h t h e r e f o r m s ( C h a z a n 8 : B a l l , 1 9 9 5 ) . I n c r e a s e s i n t h e p o p u l a r i t y o f c o n s t r u c t i v i s t t h e o r i e s o f l e a r n i n g a n d r e f e r e n c e s t o t h e n e e d f o r s t u d e n t s t o " c o n s t r u c t " m e a n i n g s o f c o n c e p t s i n t h e N C T M S t a n d a r d s h a v e a s s o c i a t e d a n t i t e l l i n g v i e w s o f t e a c h i n g w i t h t h e r e f o r m s . T e l l i n g a n d s h o w i n g a r e n o t t o t a l l y a v o i d e d b y t h e H B J t e x t ; r a t h e r t h e y s e e m t o b e t h e r o l e o f t h e t e x t b o o k n o t t h e t e a c h e r . A s t h e f r a c t i o n e x a m p l e a b o v e i l l u s t r a t e s , i n f o r m a t i o n o n t h e s t u d e n t p a g e s h o w s t h e s p e c i fi c s t e p s i n c l u d e d i n t h e p r o c e d u r e b e i n g t a u g h t ; i t n e v e r s u g g e s t s t h a t t h e t e a c h e r t e l l s o r s h o w s s t u d e n t s t h e s e s t e p s . R a t h e r , i t s u g g e s t s t h a t t h e c l a s s o r g r o u p s o f s t u d e n t s d i s c u s s t h e s t e p s , w o r k t h r o u g h t h e m w i t h m a n i p u l a t i v e s , o r o n e s t u d e n t e x p l a i n s t h e m t o t h e c l a s s . 8 3 M o n i t o r i n g p r a c t i c e . O n c e s t u d e n t s s u c c e s s f u l l y p a s s t h e fi r s t f e w e x e r c i s e s a n d b e g i n t h e p r a c t i c e p o r t i o n o f t h e l e s s o n , t h e t e a c h e r ' s r o l e i s t o m o n i t o r a n d c o r r e c t . F e w s u g g e s t i o n s , t h o u g h , a r e g i v e n f o r h o w s h e m i g h t m o n i t o r s t u d e n t s ' w o r k , w i t h t h e e x c e p t i o n o f b e i n g a l e r t t o p a r t i c u l a r c o m m o n e r r o r s . T h e s e e r r o r s a r e d e s c r i b e d i n t h e m a r g i n s o f t h e g u i d e , w i t h s u g g e s t i o n s f o r h o w s h e m i g h t c o r r e c t t h e m . M a n y o f t h e s e s u g g e s t i o n s a v o i d e x p l i c i t l y t e l l i n g s t u d e n t s t h e c o r r e c t a n s w e r o r s t e p s . T h e y t e n d t o c o r r e c t t h e m b y h a v i n g s t u d e n t s r e s p o n d t o q u e s t i o n s o r u s e m a n i p u l a t i v e s ; o t h e r s e m p l o y s t r a t e g i e s t o d e c r e a s e s t u d e n t e r r o r s . W h e n d i v i d i n g a t h r e e d i g i t n u m b e r b y a s i n g l e - d i g i t , f o r e x a m p l e , t h e " C o m m o n E r r o r A l e r t " s t a t e s t h a t s t u d e n t s m a y " b r i n g d o w n t h e o n e s d i g i t i n s t e a d o f t h e t e n s d i g i t , " ( p . 2 5 3 ) . T h i s c a n b e c o r r e c t e d b y " h a v i n g s t u d e n t s d e t e r m i n e t h e n u m b e r o f d i g i t s i n t h e q u o t i e n t b e f o r e d i v i d i n g " ( p . 2 5 3 ) o r b y u s i n g g r a p h p a p e r t o k e e p t h e d i g i t s a l i g n e d . B e y o n d t h e s e c o m m o n e r r o r s , t h e t e x t d o e s n o t d i s c u s s w h a t o r h o w t o m o n i t o r s t u d e n t s ' w o r k . S e l e c t i n g a c t i v i t i e s . A m o r e i m p l i c i t r o l e o f t h e t e a c h e r i s t o m a k e d e c i s i o n s a b o u t w h i c h t e x t b o o k o f f e r i n g s t o u s e a n d w h i c h t o d i s c a r d . U s i n g a l l t h e s u g g e s t i o n s a n d a c t i v i t i e s i n t h e c o m p l e t e p r o g r a m i n a s i n g l e s c h o o l y e a r i s u n m i s t a k a b l y i m p o s s i b l e . A s m e n t i o n e d i n t h e d e s c r i p t i o n , n o t o n l y i s e a c h l e s s o n p a c k e d w i t h a c t i v i t i e s b u t s e v e r a l p a g e s i n e a c h c h a p t e r a r e n o t fi g u r e d i n t o t h e a l l o t t e d t i m e f o r t h e c h a p t e r . F u r t h e r m o r e , t h e r e i s a h o s t o f o p t i o n s f o u n d i n t h e t e a c h e r ' s g u i d e t o i n c o r p o r a t e i n t o v a r i o u s c h a p t e r s ; t h u s , t e a c h e r s m u s t m a k e s e l e c t i o n s a m o n g t h e s e o p t i o n s , e v e n t h o u g h t h e t e x t o f f e r s l i t t l e d i r e c t i o n . I n f a c t , t h e r e i s n o a p p a r e n t a c k n o w l e d g m e n t o r d i s c u s s i o n o f t h i s a s p e c t o f t h e t e a c h e r ' s r o l e o r o f i t s n e c e s s i t y . T h e l a c k o f g u i d a n c e i n m a k i n g s e l e c t i o n s i s o n e e x a m p l e o f t h e t e x t ' s t e n d e n c y t o g i v e t e a c h e r s n e w a c t i v i t i e s w i t h m i n i m a l h e l p i n l e a r n i n g a b o u t t h e i r i n t e n t o r h o w t o u s e t h e m . B e c a u s e o f t h e t e x t ' s r e f o r m - o r i e n t e d n a t u r e , t h e t e a c h e r f r e q u e n t l y i s a s k e d t o f a c i l i t a t e t a s k s o r i n t e r a c t w i t h s t u d e n t s i n w a y s n o t t y p i c a l . T h i s r a i s e s a s l i g h t l y 8 4 d i f f e r e n t q u e s t i o n a b o u t t h e t e x t ' s i m a g e o f t e a c h e r s . H o w d o t e x t p u b l i s h e r s e n v i s i o n t e a c h e r s ' r o l e s i n t h e p r o c e s s o f c h a n g e ? I p u r s u e t h i s q u e s t i o n i n t h e fi n a l s e c t i o n . T h e R o l e o f t h e T e x t i n T e a c h e r C h a n g e A s t h e a b o v e a n a l y s e s s u g g e s t , t h e H B J t e x t i n c l u d e s c h a n g e s i n c o n t e n t a n d p e d a g o g y t h a t r e fl e c t e m p h a s e s o f c u r r e n t r e f o r m s . H o w e v e r , t h e m o d e o f c o m m u n i c a t i n g n e w i d e a s t o t e a c h e r s i s s i m i l a r t o t h o s e u s e d b y t h e t e x t i t r e p l a c e d . E s s e n t i a l l y , i t p r o v i d e s a c o l l e c t i o n o f s e q u e n t i a l l y s t r u c t u r e d t a s k s , a c t i v i t i e s , a n d q u e s t i o n s t h a t t e a c h e r s c a n p r e s e n t t o s t u d e n t s . E v e n t h o u g h i t i s o f t e n r e f e r r e d t o a s a " g u i d e , " t h e e x t e n t t o w h i c h t h e t e a c h e r ' s t e x t a c t u a l l y p r o v i d e s t h e t e a c h e r w i t h g u i d a n c e b e y o n d s u g g e s t i n g a c t i v i t i e s i s l i m i t e d . D e s p i t e i t s m a r k e d l y d i f f e r e n t a p p r o a c h t o t e a c h i n g m a t h e m a t i c s , t h e t e x t b o o k d o e s n o t i n c l u d e c h a n g e s i n h o w i t i n t e r a c t s w i t h t e a c h e r s i n o r d e r t o h e l p t h e m i n c o r p o r a t e t h e s e n e w i d e a s i n t o t h e i r t e a c h i n g ; i t d o e s n o t t a l k t o t e a c h e r s a b o u t t h e s e i d e a s b y e x p l a i n i n g t h e i r i n t e n t o r p r o v i d i n g r a t i o n a l e s f o r t h e i r s e l e c t i o n . T h e i m p l i c a t i o n i s t h a t c h a n g e d t e a c h i n g , t h a t i s , t e a c h i n g i n l i n e w i t h t h e r e f o r m s , w i l l o c c u r s i m p l y b y u s i n g t a s k s o f f e r e d i n t h e t e x t . H o w e v e r , a s m y o b s e r v a t i o n s o f t w o f o u r t h - g r a d e t e a c h e r s u s i n g t h i s t e x t b o o k s u g g e s t , t h e p r o c e s s i s n o t s t r a i g h t f o r w a r d . I n o w t u r n t o t h e s e s t o r i e s o f t w o t e a c h e r s . C H A P T E R F O U R L E A R N I N G T O T E A C H M A T H E M A T I C S F O R U N D E R S T A N D I N G : T H E C A S E O F J A C K I E Y A R N E L L J a c k i e Y a r n e l l w a s u n l i k e m a n y t e a c h e r s w h o m r e f o r m e r s i n t e n d t o r e a c h . W h e n s h e fi r s t e n c o u n t e r e d t h e H B J t e x t b o o k , s h e h a d a l r e a d y m a d e s i g n i fi c a n t c h a n g e s i n h e r m a t h e m a t i c s t e a c h i n g . S h e t a u g h t i n a s c h o o l t h a t h a d f o c u s e d o n t e a c h e r d e v e l o p m e n t f o r s e v e r a l y e a r s . A s a r e s u l t , s h e h a d s e e n n o n c o n v e n t i o n a l t e a c h i n g p r a c t i c e s , e x p e r i m e n t e d i n h e r t e a c h i n g , a n d t a l k e d w i t h o t h e r s a b o u t h e r o b s e r v a t i o n s a n d r e a c t i o n s . O v e r a s h o r t p e r i o d o f t i m e , s h e h a d c o m e f a c e - t o - f a c e w i t h m a n y o f h e r b e l i e f s a b o u t t e a c h i n g , l e a r n i n g , a n d m a t h e m a t i c s a n d h a d b e g u n t o r e e x a m i n e t h e m . S h e a l s o h a d c o n s i d e r e d m u c h o f h e r e x p e r i e n c e a s a s t u d e n t i n a n e w l i g h t a n d b e c a m e d e t e r m i n e d t o p r o v i d e h e r s t u d e n t s w i t h o p p o r t u n i t i e s t h a t s h e h a d n o t h a d . S h e f e l t t h e f r e e d o m t o b e g i n t o d r a w m o r e o n h e r o w n r e s o u r c e s t o d e s i g n l e s s o n s a n d l e s s o n h e r t e x t b o o k T h i s f r e e d o m a n d t h e o p p o r t u n i t i e s t h a t s u p p o r t e d a n d e n c o u r a g e d h e r g r o w t h m a d e J a c k i e a s o m e w h a t u n u s u a l c a s e o f a n e l e m e n t a r y t e a c h e r . J a c k i e r e p r e s e n t s a s m a l l b u t i n c r e a s i n g n u m b e r o f t e a c h e r s w h o h a v e o p e n e d t h e i r c l a s s r o o m s t o n e w i d e a s a b o u t t e a c h i n g m a t h e m a t i c s a n d w h o t e a c h i n s e t t i n g s i n w h i c h s u c h g r o w t h i s e n c o u r a g e d . L i k e m a n y t e a c h e r s , J a c k i e h a d h i g h e x p e c t a t i o n s o f t h e n e w H B J t e x t b o o k . S h e h a d d e v e l o p e d a s t r o n g s e t o f c o m m i t m e n t s a b o u t w h a t s t u d e n t s s h o u l d l e a r n a n d t h e t y p e s o f o p p o r t u n i t i e s a n d i n s t r u c t i o n t h a t m i g h t s u p p o r t t h i s l e a r n i n g , a n d s h e h o p e d t h e t e x t b o o k w o u l d h e l p h e r p r o v i d e t h e m . S h e b e l i e v e d t h a t s h e s t i l l h a d m u c h t o l e a r n a n d n e e d e d m a t h e m a t i c a l a n d p e d a g o g i c a l g u i d a n c e t o c o n t i n u e a l o n g t h e s e l i n e s . S h e e x p e c t e d t h a t a r e c e n t l y r e v i s e d t e x t b o o k w o u l d p r o v i d e s o m e o f t h i s g u i d a n c e . 8 5 8 6 T h e H B J t e x t b o o k f e l l s h o r t o f J a c k i e ' s e x p e c t a t i o n s . A s s h e t r i e d t o fi t t h e t e x t i n t o h e r d e v e l o p i n g v i s i o n o f g o o d m a t h e m a t i c s t e a c h i n g , s h e c o n f r o n t e d a n u m b e r o f c o n fl i c t s b e t w e e n h e r i d e a s a b o u t t e a c h i n g m a t h a n d w h a t w a s i n t h e t e x t . A s s h e d r e w o n h e r o w n r e s o u r c e s t o c o n s t r u c t l e s s o n s , s h e m o v e d a w a y f r o m m u c h o f w h a t t h e t e x t b o o k o f f e r e d . A s a r e s u l t , J a c k i e e n d e d t h e y e a r s t i l l i n n e e d o f a n i n s t r u c t i o n a l r e s o u r c e t h a t c o u l d s u p p o r t h e r g r o w t h . T h e i n t e n t o f t h i s c a s e i s t o u s e J a c k i e ' s t e a c h i n g a n d i n t e r a c t i o n w i t h t h e H B J t e x t b o o k a s a l e n s t o e x p l o r e t h e r o l e a t e x t b o o k m i g h t p l a y i n a t e a c h e r ' s c o n t i n u e d l e a r n i n g t o t e a c h m a t h e m a t i c s f o r u n d e r s t a n d i n g . I n i t , I e x a m i n e J a c k i e ' s d e v e l o p i n g a p p r o a c h t o t e a c h i n g a n d w h a t t h i s m e a n t f o r t h e t e x t b o o k . I a l s o d i s c u s s t h e p e r s o n a l , t e x t u a l , a n d c o n t e x t u a l f a c t o r s t h a t i n fl u e n c e d h e r e n c o u n t e r s w i t h t h e H B J t e x t b o o k a n d t h e i r o u t c o m e s i n h e r t e a c h i n g . F i r s t , t h o u g h , I i n t r o d u c e y o u t o J a c k i e a n d a c q u a i n t y o u w i t h t h e e x p e r i e n c e s a n d p e r s p e c t i v e s s h e b r o u g h t t o t h e t e x t b o o k I n t r o d u c t i o n t o J a c k i e J a c k i e Y a r n e l l h a d b e e n a t K i p l i n g E l e m e n t a r y S c h o o l f o r 6 y e a r s p r i o r t o t h i s s t u d y . S h e w a s i n h e r 3 0 t h y e a r o f t e a c h i n g a n d h e r 2 8 t h y e a r i n t h e M a p l e t o n S c h o o l D i s t r i c t . T h e p r i n c i p a l o f K i p l i n g , W y n n T a y l o r , h a d e n c o u r a g e d h e r t o t r a n s f e r t h e r e . W y n n h a d b e e n t h e p r i n c i p a l o f J a c k i e ' s p r e v i o u s s c h o o l , a n d J a c k i e h a d e n j o y e d h e r s u p p o r t . S h e w a s a n x i o u s t o l e a v e t h e n o n s u p p o r t i v e c o n d i t i o n s t h a t h a d e v o l v e d u n d e r t h e n e w p r i n c i p a l . E v e n t h o u g h s h e h a d t a u g h t a l l t h e u p p e r - e l e m e n t a r y g r a d e s , m o s t o f h e r y e a r s t e a c h i n g h a d b e e n i n t h i r d g r a d e . D u r i n g t h i s s t u d y , J a c k i e t a u g h t f o u r t h g r a d e f o r t h e fi r s t t i m e i n m o r e t h a n 1 0 y e a r s . l a c k i e ' s E x g r i e n c e s w i t h M a t h e m a t i c s l a c k i e ' s E x p e r i e n c e a s a T e a c h e r o f M a t h e m a t i c s J a c k i e ' s f a v o r i t e s u b j e c t t o t e a c h w a s m a t h . " I ' v e a l w a y s f e l t m a t h w a s s o m e p l a c e y o u c o u l d s u c c e e d i n t e a c h i n g . . . a n d i t w a s f u n t o s e e t h e k i d s l e a r n " ( I n t e r v i e w , 9 / 1 1 / 9 2 ) . I n d e e d , d u r i n g m o s t o f h e r y e a r s o f t e a c h i n g , J a c k i e f e l t t h e s u c c e s s o f h e l p i n g 8 7 s t u d e n t s m a k e r a p i d g a i n s i n t h e i r c o m p u t a t i o n a l a b i l i t i e s — g a i n s r e fl e c t e d o n s t a n d a r d i z e d t e s t s . S h e f o c u s e d o n d e v e l o p i n g c o m p u t a t i o n a l m a s t e r y a n d f o l l o w e d t h e c h a p t e r s a n d l e s s o n s i n t h e t e x t b o o k M o r e r e c e n t l y t h o u g h , s h e h a d b e g u n t o r e t h i n k h e r i d e a s a b o u t w h a t i t m e a n t t o s u c c e e d i n m a t h e m a t i c s . R e c o g n i z i n g t h e i m p o r t a n c e o f i n d e p e n d e n t t h i n k i n g a n d r e a s o n i n g , s h e s t a r t e d t o q u e s t i o n w h e t h e r t h e a b i l i t y t o a p p l y c o m p u t a t i o n a l r u l e s c o u l d h e l p h e r s t u d e n t s u n d e r s t a n d w h e n t o u s e t h e m . T h e s t i m u l u s f o r t h e s e q u e s t i o n s w a s a s e r i e s o f t e a c h e r - e n h a n c e m e n t a c t i v i t i e s t h a t o c c u r r e d a t K i p l i n g E l e m e n t a r y S c h o o l . I n f a l l 1 9 8 9 , t h e s c h o o l h a d b e c o m e a P r o f e s s i o n a l D e v e l o p m e n t S c h o o l ( P D S ) a s s o c i a t e d w i t h a l o c a l u n i v e r s i t y ' s s c h o o l o f e d u c a t i o n . T h i s a s s o c i a t i o n i n i t i a t e d a r a n g e o f c o n t a c t s b e t w e e n K i p l i n g t e a c h e r s a n d u n i v e r s i t y e d u c a t o r s a i m e d a t c h a n g i n g e d u c a t i o n a l p r a c t i c e s . J a c k i e w a s i n v o l v e d i n o n e o f t h e fi r s t o f t h e s e a c t i v i t i e s . S h e p e r m i t t e d a u n i v e r s i t y p r o f e s s o r t o t e a c h s o c i a l s t u d i e s t o h e r t h i r d - g r a d e s t u d e n t s s e v e r a l d a y s a w e e k T h i s a c t i v i t y t u r n e d o u t t o b e a n e a r t h - s h a t t e r i n g e x p e r i e n c e . B e c a u s e t h e p r o f e s s o r ' s t e a c h i n g p r a c t i c e s a s s u m e d s u b s t a n t i a l l y d i f f e r e n t w a y s o f t h i n k i n g a b o u t h o w c h i l d r e n l e a r n a n d w h a t i t m e a n t t o l e a r n s o c i a l s t u d i e s , J a c k i e f o u n d h e r s e l f c o n f r o n t i n g a n d e x a m i n i n g h e r o w n b e l i e f s a b o u t a l l s u b j e c t s . " W a t c h i n g [ h e r ] d i d a l o t o f O p e n i n g m y e y e s , a n d t h e r e w e r e t h i n g s I d i d n ' t l i k e a n d q u e s t i o n e d , b u t t h e r e w e r e s o m a n y t h i n g s t h a t I f e l t , y e s , t h a t ' s r e a l l y w h a t I w o u l d l i k e k i d s t o b e a b l e t o d o " ( I n t e r v i e w , 1 0 / 2 2 / 9 2 ) . N a t u r a l l y , t h e s e c h a n g e s d i d n o t h a p p e n o v e r n i g h t o r w i t h o u t s i g n i f i c a n t s t r u g g l e s . B y t h e b e g i n n i n g o f t h e n e x t y e a r , h o w e v e r , J a c k i e h a d e m b a r k e d o n a s e c o n d c o l l a b o r a t i v e p r o j e c t i n t e g r a t i n g s o c i a l s t u d i e s , s c i e n c e , a n d r e a d i n g a n d h a d b e g u n t o e x p e r i m e n t w i t h c h a n g e s i n h e r o w n t e a c h i n g . M y f i r s t c o n t a c t w i t h J a c k i e w a s d u r i n g t h i s s e c o n d y e a r w h e n I b e g a n a c o l l a b o r a t i v e p r o j e c t t h a t i n v o l v e d t e a c h i n g m a t h e m a t i c s w i t h a n o t h e r t e a c h e r i n t h e s c h o o l . J a c k i e a n d I h a d o c c a s i o n a l h a l l w a y c o n v e r s a t i o n s , d u r i n g w h i c h s h e v o l u n t a r i l y r e p o r t e d o n i n s t a n c e s o f h e r m a t h e m a t i c s i n s t r u c t i o n . T h e s e c o n v e r s a t i o n s s u g g e s t e d 8 8 t h a t t h e c h a n g e s s h e w a s e x p e r i e n c i n g i n r e g a r d s t o h e r w o r k w i t h t h e i n t e g r a t e d c u r r i c u l u m p r o j e c t h a d b e e n n a g g i n g a t h e r u n c h a n g e d i d e a s a b o u t t e a c h i n g m a t h e m a t i c s . E v e n t u a l l y , s h e b e g a n t o e x p e r i m e n t i n t h i s d o m a i n a s w e l l . E v e n t h o u g h I h a d n o t s e e n h e r t e a c h a t t h a t t i m e , s h e r e p o r t e d t o b e f o c u s i n g h e r e f f o r t s o n g e t t i n g s t u d e n t s t o e x p l a i n t h e i r s o l u t i o n s t o s t o r y p r o b l e m s . J u s t a s s h e h a d d e s c r i b e d h e r o t h e r P D S w o r k , s h e f o u n d h e r s e l f c o n s i s t e n t l y a s t o n i s h e d b y t h e c o m p l e x i t y o f h e r s t u d e n t s ' t h o u g h t s . W h i l e s h e c o n f e s s e d t o h a v i n g r i g i d v i e w s a b o u t m a t h e m a t i c s , t h i s e x p e r i e n c e s e e m e d t o w h e t h e r a p p e t i t e t o e x a m i n e h e r m a t h e m a t i c s i n s t r u c t i o n m o r e c a r e f u l l y . T h e f o l l o w i n g y e a r ( p r e c e d i n g t h i s s t u d y ) , J a c k i e a n d t w o o f h e r c o l l e a g u e s e x p r e s s e d i n t e r e s t i n r e c e i v i n g s u p p o r t w h i l e m a k i n g c h a n g e s i n t h e i r m a t h e m a t i c s t e a c h i n g . I n r e s p o n s e , t h e f o u r o f u s i n i t i a t e d a m a t h e m a t i c s s t u d y g r o u p . I s e r v e d a s t h e u n i v e r s i t y c o l l a b o r a t o r f a c i l i t a t i n g t h e g r o u p a n d w o r k i n g w i t h t h e i n d i v i d u a l t e a c h e r s . T h e g r o u p m e t r e g u l a r l y t o d i s c u s s i s s u e s r e l a t e d t o t e a c h i n g m a t h e m a t i c s i n w a y s t h a t f o s t e r e d s t u d e n t s ' u n d e r s t a n d i n g s . E a c h t e a c h e r i n d i v i d u a l l y d e c i d e d h o w t o p u r s u e m a k i n g c h a n g e s i n h e r o w n p r a c t i c e a t a c o m f o r t a b l e r a t e . J a c k i e ' s p a c e w a s d e c i d e d l y g r a d u a l a n d n o t w i t h o u t h e s i t a t i o n . S h e d e v e l o p e d a p a r t i c u l a r i n t e r e s t i n a l l o w i n g s t u d e n t s t o c o n s t r u c t t h e i r o w n s t r a t e g i e s f o r s o l v i n g p r o b l e m s a n d t o a r t i c u l a t e t h e i r a p p r o a c h e s t o o t h e r s . T h r o u g h o u t t h e y e a r , s h e o c c a s i o n a l l y e x p e r i m e n t e d w i t h p o s i n g " n o n r o u t i n e " 1 p r o b l e m s t o h e r s t u d e n t s a n d e n g a g i n g t h e m i n w h o l e - c l a s s d i s c u s s i o n s a b o u t t h e i r s o l u t i o n s . A s s h e b e g a n t o p l a c e g r e a t e r e m p h a s i s i n h e r i n s t r u c t i o n o n s t u d e n t u n d e r s t a n d i n g a n d r e a s o n i n g , s h e q u e s t i o n e d h e r f o r m e r d e f i n i t i o n s o f s u c c e s s i n m a t h . S h e a l s o w a s r e a l i z i n g t h a t e v e n w h e n h e r s t u d e n t s c o u l d p r o d u c e c o r r e c t a n s w e r s , t h e y d i d n o t n e c e s s a r i l y u n d e r s t a n d w h y o r h o w t o a p p l y t h e c o n c e p t t o a s l i g h t l y d i f f e r e n t s i t u a t i o n . T h e s e i n s i g h t s p r o m p t e d J a c k i e t o e x a m i n e h e r o w n e x p e r i e n c e s a s a s t u d e n t f r o m a p e r s p e c t i v e t h a t s h e h a d n o t c o n s i d e r e d . 1 N o n r o u t i n e p r o b l e m s a r e s i t u a t i o n a l l y b a s e d a n d a r e g e n e r a l l y m o r e c o m p l e x t h a n s t r a i g h t f o r w a r d s t o r y p r o b l e m s t r a d i t i o n a l l y f o u n d i n t e x t b o o k s . S e e C h a p t e r T h r e e f o r a f u l l e r d e s c r i p t i o n a n d e x a m p l e s o f n o n r o u t i n e p r o b l e m s f o u n d i n t h e H B J t e x t . 8 9 l a c k i e ' s E x p e r i e n c e a s a S t u d e n t o f M a t h e m a t i c s A s a s t u d e n t , J a c k i e n e v e r l i k e d h e r m a t h c l a s s e s , b u t s h e l o v e d s o l v i n g p r o b l e m s . H e r m a t h c l a s s e s f r u s t r a t e d h e r b e c a u s e , a s s h e r e c a l l e d , " T h e y w a n t e d y o u t o s o l v e [ p r o b l e m s ] t h e i r w a y , a n d I l i k e d s o l v i n g t h e m m y o w n w a y " ( I n t e r v i e w , 9 / 1 1 / 9 2 ) . T h i s w a s t h e " b i g t u r n o f f " f o r h e r . I n o r d e r t o i l l u s t r a t e , s h e t o l d m e a b o u t a n e x p e r i e n c e w i t h a l g e b r a — t h e o n l y c l a s s s h e e v e r f a i l e d . A c c o r d i n g t o J a c k i e , i t w a s n o t t h a t s h e w a s u n a b l e t o s o l v e t h e p r o b l e m s . " I h a d e v e r y a n s w e r r i g h t o n t h e t e s t , " s h e r e c a l l e d , " b u t I d i d e v e r y p r o b l e m m y w a y s o I h a d e v e r y o n e o f t h e m m a r k e d w r o n g . " J a c k i e w a s c o n v i n c e d t h a t t h e r e a s o n s h e h a d d i s l i k e d m a t h w a s b e c a u s e s h e h a d b e e n g i v e n f e w o p p o r t u n i t i e s t o t h i n k f o r h e r s e l f . S h e s a w c o n n e c t i o n s b e t w e e n h o w s t i fl e d s h e h a d f e l t b e i n g t o l d w h i c h p r o c e d u r e s t o f o l l o w a n d t h e f e w o p p o r t u n i t i e s s h e a f f o r d e d h e r s t u d e n t s t o s o l v e p r o b l e m s i n t h e i r o w n w a y s . " I t r e a l l y d a w n e d o n m e . . . t h a t t h e r e a s o n I w a s s o t u r n e d o f f t o m a t h w a s t h e n o t b e i n g a b l e t o t h i n k f o r m y s e l f a n d j u s t h a v i n g t o f o l l o w r u l e s a n d p a t t e r n s . " ( I n t e r v i e w , 9 / 1 1 / 9 2 ) . J a c k i e b e c a m e m o r e a n d m o r e c o n v i n c e d t h a t s t u d e n t s s h o u l d l e a r n t o t h i n k f o r t h e m s e l v e s . A t t h e s a m e t i m e , J a c k i e r e a l i z e d t h a t s h e l a c k e d m u c h o f t h e m a t h e m a t i c a l k n o w l e d g e t h a t s h e b e l i e v e d g o o d t e a c h i n g r e q u i r e d . " I ' m n o t a s t r o n g m a t h e m a t i c i a n , " s h e f r e q u e n t l y r e m i n d e d m e . A s i s t y p i c a l o f m a n y e l e m e n t a r y t e a c h e r s ( B a l l , 1 9 8 8 , 1 9 8 9 ; B a l l 8 : M c D i a r m i d , 1 9 9 0 ; R e m i l l a r d , 1 9 9 3 ) , J a c k i e t o o k t h e m i n i m u m n u m b e r o f m a t h c o u r s e s r e q u i r e d . I t w a s t h e a r e a i n w h i c h s h e h a d t h e l e a s t e x p e r i e n c e a n d i n w h i c h s h e f e l t w e a k e s t . " T h e r e a r e s o m a n y t h i n g s I d i d n o t t a k e i n m a t h . I w a s t h e t y p i c a l i f I d i d n ' t h a v e t o t a k e t h a t m a t h c l a s s , I d i d n ' t t a k e i t " ( I n t e r v i e w , 1 0 / 1 5 / 9 2 ) . D e s p i t e t h e l a c k o f f o r m a l e x p e r i e n c e , J a c k i e b e l i e v e d t h a t s h e w a s g o o d a t s o l v i n g p r o b l e m s w h e n s h e w a s g i v e n s u f f i c i e n t t i m e a n d t h e f r e e d o m t o u s e a n y m e t h o d . " I a m v e r y c o n f i d e n t i f I ' m g i v e n a p i e c e o f p a p e r , a p e n c i l , a n d t h e t i m e ; I c a n s o l v e a l m o s t a n y m a t h p r o b l e m i f I ' m l e f t a l o n e t o d o i t " ( I n t e r v i e w , 1 0 / 1 5 / 9 2 ) . S h e w a n t e d h e r s t u d e n t s _ t o d e v e l o p t h i s a b i l i t y . 9 0 l a c k i e ' s S c h o o l C o n t e x t T h e P D S e n v i r o n m e n t a t K i p l i n g p r o v i d e d a l e v e l o f s u p p o r t f o r t e a c h e r s ' p r o f e s s i o n a l d e v e l o p m e n t u n c o m m o n t o m o s t e l e m e n t a r y s c h o o l s . M a n y t e a c h e r s w e r e i n v o l v e d i n c o l l a b o r a t i v e p r o j e c t s w i t h c o l l e a g u e s a n d u n i v e r s i t y p a r t n e r s t h a t i n v o l v e d e x p e r i m e n t i n g w i t h i n n o v a t i v e t e a c h i n g p r a c t i c e s . J a c k i e c o n t i n u e d t o p a r t i c i p a t e i n t h e m a t h s t u d y g r o u p d u r i n g h e r f i r s t y e a r o f u s i n g t h e H B J t e x t b o o k . T h e t h r e e t e a c h e r s a n d I m e t o n c e o r t w i c e a m o n t h , a n d I m e t w i t h i n d i v i d u a l t e a c h e r s a t t h e i r r e q u e s t . I n J a c k i e ' s c a s e , o u r i n t e r a c t i o n s t o o k t h e f o r m o f t h e o b s e r v a t i o n s a n d i n t e r v i e w s f o r t h e p r e s e n t s t u d y . J a c k i e a l s o w a s i n v o l v e d i n a n o t h e r P D S p r o j e c t t h a t s i g n i f i c a n t l y s h a p e d t h e c o n t e x t i n w h i c h s h e t a u g h t ; i t i n v o l v e d t e a c h i n g t h e s a m e s t u d e n t s f o r m o r e t h a n a s i n g l e y e a r . T h i s e x p e r i m e n t a l p r o j e c t , c o n c e i v e d b y J a c k i e a n d t h e o t h e r t h i r d - g r a d e t e a c h e r , e x a m i n e d h o w t e a c h i n g s t u d e n t s o v e r a 3 - y e a r p e r i o d w o u l d i m p a c t t h e c l a s s r o o m c o m m u n i t y a n d t h e l e a r n i n g e x p e r i e n c e s t h e y i n i t i a t e d . T h i s p r o j e c t w a s i n i t s s e c o n d y e a r a t t h e b e g i n n i n g o f t h e s t u d y . T h u s , e v e n t h o u g h J a c k i e w a s t e a c h i n g f o u r t h g r a d e f o r t h e f i r s t t i m e i n m a n y y e a r s , s h e w a s n o t w o r k i n g w i t h a n e w g r o u p o f s t u d e n t s . T h e s e e x p e r i e n c e s a s a t e a c h e r i n a P D S s i g n i f i c a n t l y i n fl u e n c e d t h e p e r s o n a l " r e s o u r c e s " 2 t h a t J a c k i e b r o u g h t t o h e r f i r s t y e a r o f u s i n g t h e t e x t . T h e s e r e s o u r c e s t a k e m a n y f o r m s , i n c l u d i n g m a t h e m a t i c a l a n d p e d a g o g i c a l k n o w l e d g e , a s w e l l a s u n d e r s t a n d i n g s , i d e a s , b e l i e f s , p e r s o n a l t h e o r i e s , a n d c o m m i t m e n t s ( T h o m p s o n , 1 9 9 2 ) . O f t e n t a c i t c o m p o n e n t s o f h e r t h i n k i n g , t h e s e r e s o u r c e s o r i g i n a t e d i n a n d c o n t r i b u t e d t o J a c k i e ' s e x p e r i e n c e s t e a c h i n g a n d l e a r n i n g m a t h . I n t h e p r e s e n t s t u d y , I w a s m o s t i n t e r e s t e d i n r e s o u r c e s t h a t a c t e d a s t o o l s i n h e r e x p l o r a t i o n a n d u s e o f t h e H B J t e x t a n d p r o v i d e d l e n s e s t h r o u g h w h i c h s h e s a w a n d i n t e r a c t e d w i t h i t . I d i s c u s s t h e s e b e l o w . 2 I u s e t h e t e r m " r e s o u r c e s " t o r e f e r t o t h e r a n g e o f t o o l s ( p e r s o n a l , c o l l e g i a l , p u b l i s h e d , s t r u c t u r a l ) t h a t t e a c h e r s b r i n g t o , a n d d r a w o n i n t h e i r t e a c h i n g . H e r e I r e f e r t o p e r s o n a l r e s o u r c e s t h a t J a c k i e b r o u g h t t o h e r t e a c h i n g . L a t e r i n t h e c a s e , I d i s c u s s o t h e r r e s o u r c e s s u c h a s t h e t e x t b o o k a n d t h e c o n t e x t . 9 1 W h a t l a c k i e B r o u g h t T o H e r U s e o f t h e T e x t b o o k T h e c a t e g o r i e s I u s e t o d e s c r i b e t h e p e r s o n a l r e s o u r c e s t h a t J a c k i e b r o u g h t t o h e r t e a c h i n g s u c h a s i d e a s a b o u t m a t h e m a t i c s , s t u d e n t s ' l e a r n i n g , t e a c h i n g , a n d t h e r e f o r m c o n t e x t r e fl e c t S c h w a b ' s ( 1 9 7 8 ) n o t i o n o f c u r r i c u l a r c o m m o n p l a c e s s u c h a s s u b j e c t m a t t e r , l e a r n e r s , t e a c h i n g , a n d c o n t e x t . T h e s e , h e a r g u e d , s h o u l d b e c o n s i d e r e d b y d e v e l o p e r s i n " m a k i n g a d e f e n s i b l e c u r r i c u l u m " ( p . 3 6 8 ) . T h e c a t e g o r i e s I u s e d a l s o r e fl e c t S h u l m a n ' s ( 1 9 8 7 ) c h a r a c t e r i s t i c s o f t e a c h i n g k n o w l e d g e ; t h a t i s , t h e c o n t e n t o f t h e l e a r n i n g a n d t e a c h i n g c a t e g o r i e s i s s p e c i f i c t o t h e s u b j e c t m a t t e r a t h a n d . B e l o w I d e s c r i b e i d e a s a b o u t m a t h e m a t i c s , l e a r n i n g , a n d t e a c h i n g t h a t J a c k i e b r o u g h t t o h e r u s e o f t h e t e x t b o o k . l a c k i e ' s I d e a s A b o u t M a t h e m a t i c s J a c k i e c o n s i d e r e d h e r k n o w l e d g e o f m a t h e m a t i c s t o b e w e a k , b u t s h e h a d s t r o n g b e l i e f s a b o u t i t s n a t u r e a n d p o w e r . S h e b e l i e v e d t h a t m a t h e m a t i c s w a s a c o n n e c t e d , l o g i c a l s e t o f i d e a s t h a t i n v o l v e d p a t t e r n s a n d i n t e r r e l a t i o n s h i p s . E v e n t h o u g h m a t h i n c l u d e d i s o l a t e d s k i l l s s u c h a s m u l t i p l i c a t i o n , s h e b e l i e v e d t h a t t h e r e a l p o w e r o f m a t h e m a t i c s w a s i n s e e i n g t h e s e r e l a t i o n s h i p s a n d p a t t e r n s , " s e e i n g t h e r e a r e t h i n g s t h a t y o u c a n k i n d o f b u i l d u p o n , " a n d a p p l y i n g t h e m t o a n a r r a y o f s i t u a t i o n s o r p r o b l e m s . A s J a c k i e s t a t e d : " W h e n y o u c a n l e a r n t o u n d e r s t a n d o n e t h i n g a n d l e a r n h o w t o p i c k t h i n g s a p a r t , t h e n y o u c a n , w h e n t h e r e ' s s o m e t h i n g y o u d o n ' t u n d e r s t a n d , y o u ' v e g o t s o m e s t r a t e g i e s f o r f i g u r i n g o u t w h a t y o u d o n ' t u n d e r s t a n d " ( I n t e r v i e w , 1 0 / 1 5 / 9 2 ) . S h e b e l i e v e d t h a t a p e r s o n w h o k n e w m a t h w e l l w a s s o m e o n e w h o u n d e r s t o o d m a t h e m a t i c a l c o n c e p t s a n d w a s a b l e t o s o l v e a r a n g e o f d i f f e r e n t p r o b l e m s a n d a r t i c u l a t e w h y t h e s o l u t i o n s m a d e s e n s e . C o n s e q u e n t l y , t h e m a t h e m a t i c a l g o a l s J a c k i e h a d f o r h e r s t u d e n t s w e r e i n t h e d o m a i n o f t h i n k i n g a n d a p p l i c a t i o n . " I t h i n k t h e m o s t i m p o r t a n t t h i n g , " s h e t o l d m e e a r l y i n t h e y e a r , " i s t h a t t h e y c a n s o l v e p r o b l e m s . A n d I d o n ' t m e a n p r o b l e m s l i k e 3 6 5 p l u s 2 9 8 , 0 0 0 . I ' m t a l k i n g a b o u t , u h , I ' v e g o t t o p u t a r u g i n t h i s r o o m , a n d I n e e d t o 9 2 k n o w h o w b i g a p i e c e I n e e d t o g e t " ( I n t e r v i e w , 9 / 1 1 / 9 2 ) . F o r J a c k i e , t h i s p r o b l e m s o l v i n g i n v o l v e d m o r e t h a n p l u g g i n g f o r m u l a s i n t o s i t u a t i o n s t o a r r i v e a t a n s w e r s . S h e h o p e d t h a t s t u d e n t s w o u l d b e c o m e c r i t i c a l a b o u t t h e i r o w n p r o b l e m - s o l v i n g p r o c e s s e s i n o r d e r t o a s s e s s t h e i r a p p l i c a t i o n t o o t h e r , u n a n t i c i p a t e d s i t u a t i o n s : I f t h e y d o n ' t l e a r n h o w t o q u e s t i o n t h e i r o w n l e a r n i n g a n d t h i n k i n g t h e y ' r e n e v e r g o i n g t o k n o w w h e t h e r i t ' s r i g h t o r w r o n g o r w h a t c o u l d t h e y d o w h e n t h e y c a n ' t g e t s o m e t h i n g t h e r i g h t w a y . T h e y n e e d t o h a v e l o t s o f w a y s o f t r y i n g t o fi g u r e o u t s o m e t h i n g b e c a u s e w e d o n ' t e v e n k n o w w h a t k i n d o f p r o b l e m s t h e y ' r e g o n n a h a v e t o s o l v e a s t h e y ' r e g e t t i n g o l d e r . ( I n t e r v i e w , 1 0 / 1 5 / 9 2 ) J a c k i e b e l i e v e d t h a t a n e s s e n t i a l i n g r e d i e n t o f t h i s t y p e o f c r i t i c a l t h i n k i n g w a s u n d e r s t a n d i n g t h e t o o l s o f p r o b l e m s o l v i n g ( m a t h e m a t i c a l c o n c e p t s a n d r e l a t i o n s h i p s ) w e l l e n o u g h t o a p p l y t h e m t o d i f f e r e n t s i t u a t i o n s . F o r e x a m p l e , s h e a r g u e d t h a t s h e w o u l d k n o w i f h e r s t u d e n t s r e a l l y u n d e r s t o o d p l a c e v a l u e i f s h e c o u l d g i v e t h e m a s u b t r a c t i o n p r o b l e m w i t h o u t s h o w i n g t h e m h o w t o r e g r o u p a n d t h e y c o u l d " m a k e t h a t l e a p " t o f i g u r e o u t h o w t o t r a d e 1 h u n d r e d f o r t e n s , o r a t e n f o r o n e s t o s o l v e t h e p r o b l e m . " I f t h e y c a n d o t h a t , t h e n t h a t r e a l l y s h o w s t h e i r u n d e r s t a n d i n g " ( I n t e r v i e w , 1 0 / 1 5 / 9 2 ) . A n o t h e r i n d i c a t o r o f u n d e r s t a n d i n g , J a c k i e b e l i e v e d , w a s t h e a b i l i t y t o e x p l a i n w h y a p a r t i c u l a r a n s w e r o r p r o c e d u r e m a d e s e n s e . " I t h i n k i t i s i m p o r t a n t i n m a t h t h a t t h e y l e a r n t o e x p r e s s t h e m s e l v e s " ( I n t e r v i e w , 9 / 1 1 / 9 2 ) . T h i s b e l i e f w a s e v i d e n t i n h e r t e n d e n c y n o t t o a c c e p t a n s w e r s w i t h o u t a c c o m p a n y i n g e x p l a n a t i o n s . l a c k i e ' s I d e a s A b o u t S t u d e n t s ' L e a r n i n g o f M a t h e m a t i c s T h e i d e a s a b o u t h o w s t u d e n t s l e a r n m a t h t h a t J a c k i e b r o u g h t t o h e r u s e o f t h e t e x t w e r e r e l a t e d t o h e r i d e a s a b o u t i t s s u b s t a n c e a n d n a t u r e . T h i n k i n g a n d p r o b l e m s o l v i n g w e r e m o r e t h a n m a t h e m a t i c a l g o a l s . T h e s e p r o c e s s e s w e r e a l s o t h e a v e n u e s t h r o u g h w h i c h s t u d e n t s d e v e l o p e d t h e m , w h i c h i s o n e r e a s o n s h e l i k e d t h e P r o b l e m s o f t h e D a y f o u n d i n t h e H B J t e x t b o o k . " T h e y [ t h e p r o b l e m s ] d o r e a l l y w e l l a t l e a d i n g t h e k i d s t o d o m o r e t h i n k i n g a n d d i s c u s s i n g " ( I n t e r v i e w , 9 / 2 4 / 9 2 ) . S h e b e l i e v e d t h a t , t h r o u g h e x p l o r i n g i d e a s , t a l k i n g a b o u t t h e m , a n d e x p l a i n i n g t h e m t o o t h e r s , s t u d e n t s w o u l d d e v e l o p u n d e r s t a n d i n g s o f u n d e r l y i n g r e l a t i o n s h i p s a n d c o n c e p t s . " T h e m o r e 9 3 y o u c a n e x p l a i n t o s o m e b o d y e l s e , w h e n y o u c a n t e a c h s o m e t h i n g t o s o m e b o d y e l s e , y o u h a v e t o u n d e r s t a n d i t b e t t e r i n o r d e r t o t e a c h i t " ( I n t e r v i e w , 1 0 / 2 2 / 9 2 ) . J a c k i e a l s o b e l i e v e d t h a t t h e b e s t l e a r n i n g o c c u r r e d w h e n s t u d e n t s f i g u r e d p r o b l e m s o u t f o r t h e m s e l v e s r a t h e r t h a n b e i n g g i v e n t h e e x a c t s t e p s t o f o l l o w . S h e b e l i e v e d t h a t b y s t r u g g l i n g w i t h p r o b l e m s , s t u d e n t s w o u l d f u r t h e r t h e i r u n d e r s t a n d i n g o f t h e m a t h e m a t i c a l c o n c e p t s i n v o l v e d w h i l e d e v e l o p i n g a m o r e g e n e r a l c a p a c i t y t o s o l v e p r o b l e m s . T h u s , s h e p r e f e r r e d t o g i v e s t u d e n t s p r o b l e m s t h a t i n v o l v e d m a t h e m a t i c a l s k i l l s t h a t t h e y h a d n o t b e e n t a u g h t a n d " l e t t h e m p u z z l e " o v e r t h e m a n d i n v e n t t h e i r o w n s t r a t e g i e s . S h e e n c o u r a g e d s t u d e n t s t o u s e d i f f e r e n t a p p r o a c h e s t o s o l v e p r o b l e m s a n d g a v e s i g n i f i c a n t a i r t i m e t o s h a r i n g t h e i r a p p r o a c h e s d u r i n g c l a s s . l a c k i e ' s I d e a s A b o u t T e a c h i n g M a t h e m a t i c s G i v e n h e r i d e a s a b o u t l e a r n i n g , J a c k i e b e l i e v e d t h a t h e r r o l e a s a t e a c h e r i n v o l v e d c h a l l e n g i n g s t u d e n t s t o s o l v e p r o b l e m s a n d t o d i s c u s s s o l u t i o n s w i t h t h e i r c l a s s m a t e s . D u r i n g t h e s e d i s c u s s i o n s , J a c k i e a c t e d a s a g u i d e a n d f a c i l i t a t o r . S h e c a l l e d o n s t u d e n t s t o e x p l a i n a n d j u s t i f y t h e i r s o l u t i o n s a n d t h e n e n c o u r a g e d o t h e r s t o r e s p o n d b y a g r e e i n g , d i s a g r e e i n g , e l a b o r a t i n g , a n d s u g g e s t i n g a l t e r n a t i v e a p p r o a c h e s . S h e b e l i e v e d t h a t a t e a c h e r s h o u l d n o t a c c e p t a s t u d e n t ' s c o r r e c t a n s w e r w i t h o u t p r o b i n g t h e c h i l d ' s t h i n k i n g i n o r d e r t o u n d e r s t a n d h o w h e o r s h e a r r i v e d a t t h e a n s w e r . T h e p u r p o s e o f t h i s b e l i e f w a s t w o f o l d . N o t o n l y w o u l d s t u d e n t s c l a r i f y t h e c o n c e p t f o r t h e m s e l v e s a n d o t h e r s b y a r t i c u l a t i n g t h e i r s o l u t i o n s , b u t h e a r i n g h e r s t u d e n t s ' e x p l a n a t i o n s w o u l d g i v e J a c k i e i n s i g h t i n t o t h e i r d e v e 1 0 p i n g u n d e r s t a n d i n g s a n d m i s u n d e r s t a n d i n g s . T h e i n f o r m a t i o n s h e g l e a n e d f r o m t h e i r e x p l a n a t i o n s g u i d e d t h e n e x t q u e s t i o n a s k e d , t h e t a s k n e x t a s s i g n e d , a n d t h e w a y s h e s h a p e d t h e n e x t l e s s o n . J a c k i e a l l o w e d h e r l e s s o n s t o u n f o l d i n t h i s w a y b e c a u s e s h e b e l i e v e d t h a t g o o d t e a c h i n g r e q u i r e d i m p r o v i s i n g a n d f o l l o w i n g t h e l e a d o f h e r s t u d e n t s . T h i s p r o c e s s i n c l u d e d p u r s u i n g a q u e s t i o n o r i s s u e w h e n i t w a s b r o u g h t u p i n c l a s s b y a s t u d e n t o r 9 4 c h a n g i n g e n t i r e l e s s o n p l a n s i n r e s p o n s e t o s t u d e n t s ' s t r u g g l e s o r i n t e r e s t s ; J a c k i e d i d b o t h r e g u l a r l y . C o n s e q u e n t l y , i t w a s r a r e f o r h e r l e s s o n s t o fi t h e r i n i t i a l p l a n s . E v e n t h o u g h J a c k i e ' s i d e a s a b o u t t e a c h i n g m a t h e m a t i c s s e e m e d w e l l d e v e l o p e d a t t h e b e g i n n i n g o f t h e y e a r , m o s t h a d c o m e a b o u t t h r o u g h r e c e n t c h a n g e s i n h e r t e a c h i n g . F r o m t i m e t o t i m e , s h e c o n f e s s e d d o u b t a b o u t w h e t h e r s h e k n e w w h a t s h e w a s d o i n g . N e v e r t h e l e s s , J a c k i e b e l i e v e d t h a t s h e w a s a g o o d t e a c h e r , p a r t i c u l a r l y i n m a t h . S h e t a l k e d o p e n l y a b o u t h e r s u c c e s s e s a n d t h e a m o u n t o f t i m e s h e d e v o t e d t o h e r s t u d e n t s . T h i s d e v o t i o n a n d h e r " l o g i c a l m i n d " g u i d e d h e r e f f o r t s t o c h a n g e h e r m a t h e m a t i c s t e a c h i n g . l a c k i e ' s I d e a s A b o u t R e f o r m s i n M a t h e m a t i c s E d u c a t i o n a n d t h e H B I T e x t b o o k J a c k i e d i d n o t s e e t h e r e f o r m s a s l i m i t e d t o m a t h e m a t i c s ; t h e y c u t a c r o s s m o s t c u r r i c u l u m a r e a s , e m p h a s i z i n g c r i t i c a l t h i n k i n g , u n d e r s t a n d i n g , a n d t h e a p p l i c a t i o n o f s c h o o l k n o w l e d g e . I n m a t h e m a t i c s , t h e s e g o a l s m e a n t f o c u s i n g o n u n d e r s t a n d i n g c o n c e p t s o v e r l e a r n i n g p r o c e d u r a l r u l e s , d i s c u s s i o n o v e r r a p i d c o m p u t a t i o n , a n d p r o b l e m s o l v i n g o v e r p e r f o r m i n g p r o c e d u r e s o u t o f c o n t e x t . S h e u s e d h e r o w n e x p e r i e n c e t o i l l u s t r a t e t h a t c o m p u t a t i o n a l p r o f i c i e n c y d i d n o t n e c e s s a r i l y h e l p s t u d e n t s u n d e r s t a n d h o w a n d w h e n t o a p p l y i t : " I w a s s u c c e s s f u l i n t e a c h i n g t h e m h o w t o c o m p u t e w o n d e r f u l l y , b u t e v e r y t i m e I ' d h a v e t o t e a c h t h e m e a c h n e w s t e p . T h e y w e r e n ' t a b l e t o f i g u r e o u t t h a t " ( I n t e r v i e w , 9 / 1 1 / 9 2 ) . J a c k i e h o p e d t h a t t h e c h a n g e s i n h e r t e a c h i n g w o u l d h e l p s t u d e n t s t o d e v e l o p t h e u n d e r s t a n d i n g n e e d e d t o a p p l y t h e i r a b i l i t i e s t o n e w s i t u a t i o n s . T o J a c k i e , t h e I - I B J t e x t b o o k d i d n o t n e c e s s a r i l y r e p r e s e n t t h e r e f o r m a g e n d a . I n f a c t , s h e w a s n o t i n c l i n e d t o t h i n k o f a n y t e x t b o o k a s i n n o v a t i v e . I t w a s t h e l o c k - s t e p , o n e - p a g e - p e r - l e s s o n a p p r o a c h t o t e a c h i n g t h a t s h e h o p e d t o m o v e a w a y f r o m t h r o u g h t h e r e c e n t c h a n g e s s h e h a d m a d e . T h i s i s h o w s h e c o m p a r e d h e r f o r m e r a n d c u r r e n t a p p r o a c h e s t o t e a c h i n g : I n s t e a d o f a s s i g n i n g a p a g e i n m a t h , l i k e d o i n g 2 0 o r 3 0 p r o b l e m s , t h e y d o a l o t m o r e t a l k i n g w i t h e a c h o t h e r , s h a r i n g h o w t h e y s o l v e d t h e p r o b l e m s . . . . T o d a y , 9 5 w e m a y n o t e v e n o p e n a m a t h b o o k o r w e m a y s t i c k w i t h o n e p r o b l e m a n d w o r k o n o n e p r o b l e m f o r t h e d a y . T h e r e ' s a l o t m o r e d i s c u s s i n g a n d k i d s s h a r i n g i d e a s a n d h o p e f u l l y l e a r n i n g f r o m e a c h o t h e r . ( I n t e r v i e w , 9 / 1 1 / 9 2 ) J a c k i e w a s h o p e f u l a b o u t t h i s n e w t e x t b o o k a n d i t s p o t e n t i a l t o h e l p h e r c o n t i n u e t o m a k e c h a n g e s i n h e r t e a c h i n g . O f t h o s e s h e h a d l o o k e d a t a n d t r i e d , M a t h e m a t i c s fi n s s e e m e d t o b e a i m e d i n t h e d i r e c t i o n s h e s a w h e r s e l f m o v i n g . S h e h a d s c r u t i n i z e d i t a n d f o u n d t h a t , i n s p i t e o f i t s s h o r t c o m i n g s , i t h a d s o m e p r o m i s i n g f e a t u r e s . S h e b e l i e v e d t h a t i t s e r i o u s l y a t t e n d e d t o p r o b l e m - s o l v i n g a n d t h i n k i n g a c t i v i t i e s t h a t f a c i l i t a t e d d i s c u s s i o n . E v e n t h o u g h s h e h a d b e g u n t o i n c o r p o r a t e t h e s e a c t i v i t i e s i n h e r t e a c h i n g , s h e w a s p l e a s e d t h a t s h e w o u l d n o t h a v e t o s p e n d e x t r a t i m e s e a r c h i n g o t h e r r e s o u r c e s f o r g o o d p r o b l e m s o r i d e a s : " I t ' s n i c e t o h a v e i t r i g h t i n t h e b o o k . . . . I m e a n , I w a s g o i n g o u t a n d h u n t i n g f o r p r o b l e m s t h a t w o u l d m a k e k i d s t h i n k , b e c a u s e m o s t o f t h e p r o b l e m s i n t h e t e x t b o o k I d i d n ' t t h i n k w o u l d d o t h a t " ( I n t e r v i e w 9 / 2 4 / 9 2 ) . A t t h e b e g i n n i n g o f t h e y e a r , s h e b e l i e v e d t h a t t h e t e x t h a d p o t e n t i a l f o r a t e a c h e r l i k e h e r , a n d s h e w a s l o o k i n g f o r w a r d t o t r y i n g i t . S h e p r e d i c t e d t h a t s h e w o u l d u s e i t c l o s e l y t o g u i d e h e r t e a c h i n g . N o t o n l y d i d s h e w a n t t o l e a r n w h a t t h e t e x t b o o k h a d t o o f f e r , b u t s h e f e l t u n e a s y a b o u t w o r k i n g w i t h t h e f o u r t h - g r a d e c u r r i c u l u m : " T h i s y e a r I ' m u s i n g i t m o r e a s a t l e a s t a b a s i s , b e c a u s e I ' m n o t t h a t s u r e o f a l l I n e e d t o d o f o r f o u r t h g r a d e , w h e r e a s t h i r d g r a d e w a s v e r y e a s y . I k n e w t h i r d g r a d e " ( i n t e r v i e w , 9 / 2 4 / 9 2 ) . J a c k i e a n d t h e H B J T e x t b o o k : D a s h e d H o p e s J a c k i e s t a r t e d t h e y e a r u s i n g t h e t e x t b o o k " a s a b a s i s . " S h e b e g a n w i t h t h e f i r s t l e s s o n i n C h a p t e r 1 a n d c o n t i n u e d t o d r a w f r o m i t t h r o u g h o u t t h e y e a r . B u t h e r i n i t i a l e x p e c t a t i o n s g r a d u a l l y t u r n e d i n t o d i s a p p o i n t m e n t a s c o n fl i c t s s u r f a c e d b e t w e e n h e r n o t i o n s o f g o o d m a t h e m a t i c s i n s t r u c t i o n a n d t h o s e s h e s a w u n d e r l y i n g t h e t e x t . T h e f i r s t c o n fl i c t g r e w f r o m J a c k i e ' s d e s i r e t o " t e a c h f o r u n d e r s t a n d i n g . " T h i s c o n fl i c t w a s e v i d e n t i n t h e t e n s i o n s h e f e l t b e t w e e n a l l o w i n g t h e t e x t t o g u i d e h e r p a t h a n d p a c e t h r o u g h t h e t o p i c s i t s u g g e s t e d a n d b e i n g g u i d e d b y h e r s t u d e n t s ' n e e d s a n d i n t e r e s t s . T h e s e c o n d c o n fl i c t w a s a r e s u l t o f h e r t e n d e n c y t o u s e t h e t e x t a s a s o u r c e o f 9 6 m a t h e m a t i c a l t o p i c s , c o n c e p t s , a n d r e p r e s e n t a t i o n s , a s w e l l a s t h e d e v e l o p e r s ' s e e m i n g i n t e n t i o n f o r t h e t e x t t o b e a s o u r c e o f t a s k s . T h e d e s c r i p t i o n s a n d a n a l y s e s t h a t f o l l o w e x a m i n e t h e n a t u r e o f t h e s e c o n fl i c t s , h o w J a c k i e n e g o t i a t e d t h e m , a n d h o w t h e y i m p a c t e d h e r u s e o f t h e t e x t b o o k . A s t h e a n a l y s e s s u g g e s t , t h e s e c o n fl i c t s w e r e i n t e r r e l a t e d a n d s e r v e d t o s t i m u l a t e c h a n g e s i n J a c k i e t h a t f u r t h e r d i s t a n c e d h e r f r o m m a n y a s p e c t s o f t h e t e x t . J a c k i e ' s V i s i o n o f G o o d M a t h e m a t i c s T e a c h i n g J a c k i e b r o u g h t t o h e r u s e o f t h e t e x t b o o k d e v e l o p i n g i d e a s a b o u t w h a t l e a r n i n g m a t h e m a t i c s i n v o l v e d a n d w h a t g o o d t e a c h i n g l o o k e d l i k e . H e r e x p e r i e n c e s o v e r t h e p r e v i o u s y e a r h a d n u r t u r e d i n h e r a c o m m i t m e n t t o h e l p s t u d e n t s u n d e r s t a n d a n d a p p l y m a t h e m a t i c a l c o n c e p t s a n d r e l a t i o n s h i p s a n d a c o n v i c t i o n t h a t t h i s l e a r n i n g r e q u i r e d a t e a c h e r t o b e r e s p o n s i v e t o t h e s t u d e n t s ' i n t e r e s t s , i d e a s , a n d s t r u g g l e s . T h e s e i n t e n t i o n s w e r e e v i d e n t i n t h e f i r s t l e s s o n I o b s e r v e d o n S e p t e m b e r 1 6 t h ; s h e h a d d e s i g n e d t h i s l e s s o n t o d e v e l o p s t u d e n t s ' u n d e r s t a n d i n g s o f p l a c e - v a l u e r e l a t i o n s h i p s . E v e n t h o u g h t h e t e x t d i d n o t p l a y a v i s i b l e r o l e , t h e l e s s o n w a s d r a w n f r o m t h e t w o - p a g e s p r e a d o n p a g e s f o u r a n d f i v e i n t h e t e a c h e r ' s g u i d e . J a c k i e d e v e l o p e d t h e c e n t r a l t a s k o f t h e l e s s o n f r o m o n e o f t h r e e e x a m p l e s o n p a g e f o u r , w h i c h i l l u s t r a t e d h o w t h e s a m e n u m b e r c o u l d b e w r i t t e n i n m u l t i p l e w a y s : 1 , 4 0 0 = 1 t h o u s a n d 4 h u n d r e d s 1 4 h u n d r e d 1 4 t e n s 1 , 4 0 0 o n e s ( H B J , p . 4 ) A l e s s o n o n p l a c e v a l u e . J a c k i e s t a r t e d m a t h f i r s t t h i n g i n t h e m o r n i n g a f t e r t a k i n g r o l l a n d a t t e n d i n g t o o t h e r a d m i n i s t r a t i v e d e t a i l s . S h e c a l l e d f o r t h e s t u d e n t s ' a t t e n t i o n a n d w a i t e d f o r t h e m t o r e t u r n t o t h e i r s e a t s . S h e h a d a r r a n g e d t h e s t u d e n t s ' d e s k s i n c l u s t e r s o f f o u r o r f i v e , e a c h c o m p r i s i n g a " t e a m . " T h e s e c l u s t e r s w e r e s p r e a d a r o u n d t h e p e r i m e t e r o f t h e r o o m . T h e fl o o r s p a c e i n t h e m i d d l e w a s o p e n a n d c o v e r e d w i t h a l a r g e r u g . S t u d e n t s f r e q u e n t l y u s e d t h i s 9 7 s p a c e t o w o r k . A t t h e f r o n t o f t h e m i d d l e s p a c e w a s a n o v e r h e a d p r o j e c t o r t h a t J a c k i e a n d h e r s t u d e n t s o f t e n u s e d t o i l l u s t r a t e p o i n t s d u r i n g c l a s s d i s c u s s i o n s . T h i s l e s s o n b e g a n w i t h a l l s t u d e n t s a t t h e i r s e a t s a n d J a c k i e a t t h e m i d d l e s p a c e i n f r o n t o f t h e c h a l k b o a r d . S h e d i d n o t i m m e d i a t e l y s t a r t w i t h t h e t e x t b o o k . R a t h e r , s h e s p e n t a p p r o x i m a t e l y 1 0 m i n u t e s r e v i e w i n g t h e r e l a t i o n s h i p s a m o n g t h e p i e c e s o f t h e b a s e - 1 0 m a t e r i a l s p r o v i d e d b y H B J . 3 H o l d i n g u p a u n i t c u b e , s h e a s k e d : " H o w m u c h d o e s t h i s r e p r e s e n t ? " T h e s t u d e n t s a l l a g r e e d t h a t i t r e p r e s e n t e d o n e a n d t h a t i t c o u l d b e s h o w n o n t h e b o a r d b y d r a w i n g a s m a l l s q u a r e . J a c k i e r e v i e w e d t h e o t h e r p i e c e s o f t h e b a s e - 1 0 b l o c k s - t h e t e n s t r i p , h u n d r e d fl a t , a n d t h o u s a n d c u b e . S h e h e l d u p e a c h a n d a s k e d t h e s t u d e n t s w h a t q u a n t i t y i t r e p r e s e n t e d , h o w t h e y s h o u l d d r a w i t , a n d h o w m a n y o f t h e p r e v i o u s p i e c e s w o u l d i t t a k e t o e q u a l i t . F o r e x a m p l e , t h e l h u n d r e d p i e c e t h a t c o n t a i n e d 1 0 r o w s o f 1 0 l i t t l e c u b e s w a s r e p r e s e n t e d b y d r a w i n g a l a r g e s q u a r e a n d w a s e q u a l t o 1 0 t e n s a n d 1 0 0 o n e s . J a c k i e e n c o u r a g e d s t u d e n t s t o c o n f i r m t h e s e e q u i v a l e n c i e s b y m o d e l i n g t h e m w i t h t h e b l o c k s a n d c o u n t i n g b y o n e u n i t u p t o t h e n e x t . W h e n C a r l d i d n o t k n o w h o w m a n y t e n s m a d e 1 0 0 , s h e a r m e d h i m w i t h a h a n d f u l o f t e n r o d s a n d a h u n d r e d fl a t a n d h a d h i m l a y t h e r o d s o n t o p o f t h e fl a t u n t i l t h e y m a t c h e d . T h e n s h e h a d h i m c o u n t b y t e n s t o e n s u r e t h a t i t e q u a l e d 1 h u n d r e d b e f o r e c o u n t i n g t h e i n d i v i d u a l r o d s . J a c k i e t h e n t u r n e d t h e s t u d e n t s ' a t t e n t i o n t o t h e t e x t b o o k a n d i n s t r u c t e d t h e m t o o p e n t o p a g e f o u r . J u m p i n g p a s t t h e i n t r o d u c t o r y m a t e r i a l o n t h e s t u d e n t p a g e a n d t h e s u g g e s t i o n s i n t h e t e a c h e r ' s g u i d e o n t e a c h i n g t h e l e s s o n , s h e b e g a n w i t h h e r i n t e r p r e t a t i o n o f e x a m p l e A o n p a g e f o u r : " I t s a y s n a m e s o m e e x a m p l e s o f f o u r t e e n h u n d r e d " s h e s a i d , a s i f r e a d i n g i n v i s i b l e w o r d s f r o m t h e t e x t " T h e y s a i d o n e w a y o f w r i t i n g f o u r t e e n h u n d r e d o r o n e t h o u s a n d f o u r 3 B a s e - 1 0 B l o c k s a r e t h r e e - d i m e n s i o n a l m o d e l s o f t h e q u a n t i t i e s r e p r e s e n t e d b y b a s e - 1 0 n u m e r a l s . T h e s m a l l e s t u n i t i s a 1 c e n t i m e t e r c u b e ; t h e n e x t c o n s i s t s o f a r o w o f 1 0 c u b i c c e n t i m e t e r s c o n n e c t e d t o g e t h e r . T e n r o w s a r e p u t t o g e t h e r i n a 1 0 - b y - 1 0 g r i d t o m a k e t h e n e x t u n i t . T h e l a r g e s t i s a 1 0 - b y - 1 0 b y - 1 0 c u b e . E a c h p i e c e i n t h e s e t , r e g a r d l e s s o f t h e v a l u e i t r e p r e s e n t s , i s s c o r e d t o i n d i c a t e i t s r e l a t i o n s h i p t o t h e s m a l l e s t u n i t ( t h e c u b e ) g i v i n g t h e a p p e a r a n c e o f a c o l l e c t i o n o f i n d i v i d u a l c u b e s . B e c a u s e t h e y h a d u s e d t h e s e b l o c k s f a i r l y f r e q u e n t l y , J a c k i e a n d h e r s t u d e n t s h a d a g r e e d o n c o n v e n t i o n s t o u s e w h e n r e p r e s e n t i n g e a c h p i e c e o f t h e b a s e — 1 0 b l o c k s e t a s f o l l o w s : - I I D | D 1 0 0 0 1 0 0 1 0 1 T h e y u s e d t h e s e r e p r e s e n t a t i o n s o f t h e b l o c k s t o s h a r e t h e i r w o r k w i t h t h e c l a s s . 9 8 h u n d r e d w a s 1 t h o u s a n d , 4 h u n d r e d s . " S h e t h e n r e a d t h e o t h e r e x a m p l e i n t h e b o o k u n d e r e x a m p l e A : 1 4 h u n d r e d s , 1 4 0 t e n s , 1 4 0 0 o n e s . " I d o n ' t k n o w , " J a c k i e c o n t i n u e d , " t h e b o o k s a y s i t , b u t I d o n ' t b e l i e v e e v e r y t h i n g b o o k s t e l l m e . I t h i n k i t i s y o u r j o b r i g h t n o w t o p r o v e t h a t . I w a n t y o u t o f i g u r e o u t i f a t h o u s a n d f o u r h u n d r e d i s t h e s a m e a s a t h o u s a n d a n d 4 h u n d r e d s , i s i t t h e s a m e a s 1 4 h u n d r e d s , i s i t t h e s a m e a s 1 4 0 t e n s , a n d i s i t t h e s a m e a s 1 4 0 0 o n e s . " J a c k i e g a v e e a c h c h i l d a l a r g e p i e c e o f n e w s p r i n t a n d i n s t r u c t e d t h e m t o w o r k i n t e a m s t o " p r o v e " w h e t h e r t h e r e l a t i o n s h i p s i n t h e t e x t w e r e t r u e . E a c h g r o u p , s h e s a i d , h a d t o a g r e e , e v e n t h o u g h t h e s t u d e n t s c o u l d d o t h e i r o w n d r a w i n g s o f t h e b a s e — 1 0 b l o c k s . I m m e d i a t e l y t h e n o i s e l e v e l i n c r e a s e d a s t h e g r o u p s s e t t l e d t h e m s e l v e s o n t h e fl o o r o r a t t h e i r d e s k s a n d b e g a n t o d i s c u s s t h e e q u i v a l e n c i e s t h e y w a n t e d t o d r a w . J a c k i e c i r c u l a t e d a n d i n t e r a c t e d i n d i v i d u a l l y w i t h e a c h g r o u p o f s t u d e n t s . A f t e r 2 5 m i n u t e s , s h e b r o u g h t t h e c l a s s t o g e t h e r a n d a s k e d i f s o m e o n e w a n t e d t o s h a r e a s o l u t i o n . T h e s t u d e n t s w e r e p o i s e d a n d r e a d y f o r t h i s q u e s t i o n . I n s t a n t l y n u m e r o u s a r m s s h o t i n t o t h e a i r , a s s t u d e n t s p l e a d e d t o b e c a l l e d o n . J a c k i e c a l l e d o n J a r e d , a v e r y t i n y , s o f t s p o k e n f o u r t h - g r a d e s t u d e n t w h o w a l k e d t o t h e b o a r d a n d d r e w : - l W | | | | | | | l | | F i g u r e 4 . 1 J a r e d ' s r e p r e s e n t a t i o n o f 1 , 4 0 0 W h e n J a r e d w a s f i n i s h e d , J a c k i e a s k e d h i m a s e r i e s o f q u e s t i o n s a b o u t h i s d r a w i n g . S h e t h e n i n v i t e d o t h e r s t o r e s p o n d . A f e w s t u d e n t s v o l u n t a r i l y c o m m e n t e d o n h i s s o l u t i o n . J a c k i e d r e w o t h e r s t u d e n t s i n t o t h e d i s c u s s i o n b y a s k i n g t h e m w h e t h e r t h e y a g r e e d o r i f t h e y c o u l d e x p l a i n i n t h e i r o w n w o r d s w h a t a n o t h e r s t u d e n t h a d s a i d . S h e d i d n o t g o o n t o a n o t h e r c h i l d ' s s o l u t i o n u n t i l t h e c l a s s h a d d i s c u s s e d J a r e d ' s a n d a g r e e d t h a t i t m a d e s e n s e , e v e n t h o u g h i t w a s n o t q u i t e l i k e t h e e x a m p l e s i n t h e t e x t . T h e c l a s s t h e n d i s c u s s e d o n e m o r e s o l u t i o n . B e f o r e e n d i n g t h e l e s s o n , J a c k i e h a d t h e s t u d e n t s r e s p o n d i n t h e i r n o t e b o o k s t o t h e q u e s t i o n : " W h a t d i d t o d a y ' s c l a s s h e l p y o u u n d e r s t a n d ? " ( O b s e r v a t i o n , 9 / 1 6 / 9 2 ) 9 9 T h e d e s i g n a n d s t r u c t u r e o f t h i s l e s s o n e x e m p l i f y s e v e r a l c h a r a c t e r i s t i c s c o m m o n t o J a c k i e ' s l e s s o n s . T h e s e c h a r a c t e r i s t i c s i l l u s t r a t e h o w h e r i d e a s a b o u t m a t h e m a t i c s , t e a c h i n g , a n d l e a r n i n g p l a y e d i n t o t h e l e s s o n s s h e c o n s t r u c t e d a n d h e r u s e o f t h e t e x t . F o l l o w i n g I d e a s , I n v e n t i n g T a s k s T h e d e s i g n o f t h i s l e s s o n i l l u s t r a t e s h o w J a c k i e u s e d t h e t e x t i n c o n s t r u c t i n g t a s k s t o p r e s e n t t o h e r s t u d e n t s . T h e o v e r a l l l e s s o n f o c u s e d o n t h e c e n t r a l i d e a i n t h e t e x t b o o k l e s s o n , w h i c h w a s t h e r e l a t i o n s h i p b e t w e e n o n e s , t e n s , h u n d r e d s , a n d t h o u s a n d s . J a c k i e d i d n o t u s e a n y o f t h e t a s k s o f f e r e d o n t h e p a g e ; t y p i c a l o f t h e l e s s o n s I o b s e r v e d J a c k i e t e a c h , s h e c r e a t e d h e r o w n t a s k t h a t i n v o l v e d s t u d e n t s m o d e l i n g t h e c e n t r a l c o n c e p t . M o s t l e s s o n s f o c u s e d o n a s i n g l e m a t h e m a t i c a l i d e a o r r e l a t i o n s h i p a n d i n c l u d e d t a s k s t h a t e n g a g e d t h e s t u d e n t s i n e x a m i n i n g o r i l l u s t r a t i n g i t . W h e n s h e d r e w t a s k s f r o m t h e t e x t , s h e g e n e r a l l y f o u n d t h e m i n t h e m a r g i n s o r o t h e r p l a c e s i n t h e t e a c h e r ' s g u i d e r a t h e r t h a n o n t h e s t u d e n t ' s p a g e s . I n e i t h e r c a s e , t h e t a s k s e r v e d a s a " j u m p i n g - o f f " p o i n t f r o m w h i c h t h e l e s s o n e v o l v e d . H e r g o a l w a s n o t t o m e r e l y g e t t h e s t u d e n t s t o s o l v e t h e p r o b l e m b u t t o u s e i t t o g e t t h e m t o e x p l o r e m a t h e m a t i c a l i d e a s . 4 S h e c o n s i s t e n t l y i n c o r p o r a t e d m o d e l s , s i t u a t i o n s , o r p i c t o r i a l r e p r e s e n t a t i o n s i n t o t h e t a s k s t o h e l p s t u d e n t s " v i s u a l i z e " t h e c o n c e p t s . L e s s o n S t r u c t u r e T h e s t r u c t u r e o f t h i s l e s s o n a l s o w a s t y p i c a l o f J a c k i e ' s m a t h e m a t i c s l e s s o n s . S h e c o m m o n l y b e g a n w i t h a p e r i o d o f i n d i v i d u a l o r s m a l l g r o u p w o r k a n d f o l l o w e d i t w i t h a w h o l e - c l a s s d i s c u s s i o n . D u r i n g t h e d i s c u s s i o n s s t u d e n t s s h a r e d a n d e x p l a i n e d t h e i r w o r k a n d r e s p o n d e d t o q u e s t i o n s a n d c o m m e n t s f r o m J a c k i e o r t h e i r c l a s s m a t e s . J a c k i e r a r e l y a c c e p t e d c o r r e c t o r i n c o r r e c t r e s p o n s e s f r o m s t u d e n t s w i t h o u t a c c o m p a n y i n g e x p l a n a t i o n s . S h e r e s p o n d e d t o s t u d e n t s ' e x p l a n a t i o n s w i t h m o r e p r o b i n g q u e s t i o n s t h a t c h a l l e n g e d t h e m t o 4 L a m p e r t ( 1 9 9 0 ) d e s c r i b e d a s i m i l a r a p p r o a c h t o c u l t i v a t i n g m a t h e m a t i c a l d i s c o u r s e a s a c o n t r a s t t o c o n v e n t i o n a l a p p r o a c h e s i n w h i c h t e a c h e r s a s k s t u d e n t s q u e s t i o n s w i t h t h e i n t e n t o f m a k i n g s u r e t h e y c a n a n s w e r t h e m . F r o m h e r p e r s p e c t i v e , " T h e c o n t e n t o f t h e l e s s o n i s t h e a r g u m e n t s t h a t s u p p o r t o r r e j e c t s o l u t i o n s t r a t e g i e s r a t h e r t h a n t h e f i n d i n g o f a n s w e r s t o t e a c h e r s ' q u e s t i o n s . . . . T h e s o l u t i o n i s m o r e t h a n t h e a n s w e r , j u s t a s t h e p r o b l e m i s m o r e t h a n t h e q u e s t i o n " ( p . 4 0 ) . 1 0 0 e l a b o r a t e o r j u s t i f y t h e i r i d e a s . F o r e x a m p l e , w h i l e J a r e d w a s s t i l l d r a w i n g ( i n t h e l e s s o n a b o v e ) , J a c k i e i n s i s t e d : " N o w t e l l u s w h a t y o u a r e d o i n g . " A s h e c o m p l e t e d h i s d r a w i n g , J a r e d e x p l a i n e d t h a t h e t o o k 1 t h o u s a n d , t h e n 3 h u n d r e d s a n d 1 0 t e n s . " A n d t h a t e q u a l s a t h o u s a n d f o u r h u n d r e d ? " J a c k i e c o n t i n u e d q u e s t i o n i n g h i m . " C a n y o u p r o v e t h a t t o m e ? " J a r e d w r o t e : 1 , 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 _ 1 _ O Q 1 , 4 0 0 W h e n h e w r o t e t h e l a s t 1 0 0 , w h i c h r e p r e s e n t e d t h e 1 0 l i n e s i n h i s p i c t u r e , J a c k i e a s k e d : " H o w m a n y t e n s d o y o u h a v e ? " " T e n . " " H o w m a n y d o y o u h a v e w r i t t e n d o w n ? " J a r e d l o o k e d a t h i s l i s t o f n u m b e r s f o r a f e w s e c o n d s a n d t h e n s a i d 1 0 . " S o y o u a r e s a y i n g t h a t 1 0 t e n s i s t h e s a m e a h u n d r e d ? " J a c k i e w a n t e d t o k n o w . H e r v o i c e s e e m e d u n c o n v i n c e d , e v e n c h a l l e n g i n g . " M m m h m m , " J a r e d n o d d e d . " W o u l d y o u s h o w m e h o w y o u k n o w t h a t ? " J a c k i e a s k e d . J a r e d r e t u m e d t o h i s d r a w i n g a n d c o u n t e d e a c h o f t h e 1 0 l i n e s b y 1 0 a n d a r r i v e d 1 0 0 . J a c k i e t u r n e d t o t h e c l a s s a n d a s k e d t h e m i f t h e y a g r e e d w i t h w h a t J a r e d h a d d o n e . J a c k i e a l s o a s k e d T a u r i e , t h e n e x t s t u d e n t t o p r e s e n t a s o l u t i o n , a s e r i e s o f f o l l o w - u p q u e s t i o n s . T a u r i e t i m i d l y r e s p o n d e d t o e a c h a n d a p p e a r e d r e l i e v e d w h e n i t w a s o v e r . W h e n I l a t e r a s k e d J a c k i e a b o u t t h i s i n t e r a c t i o n , s h e e x p l a i n e d : " I w a n t t o g e t h e r t o p u s h h e r s e l f a l i t t l e b i t m o r e t o m a k e s u r e s h e r e a l l y u n d e r s t a n d s w h a t s h e i s d o i n g " ( I n t e r v i e w , 9 / 1 6 / 9 2 ) . S t u d e n t s ' R o l e D u r i n g t h e s e w h o l e - c l a s s d i s c u s s i o n s , J a c k i e u s u a l l y t o o k t h e l e a d i n q u e s t i o n i n g s t u d e n t s a b o u t t h e i r s o l u t i o n s , b u t s h e e n c o u r a g e d s t u d e n t s t o d e v e l o p s i m i l a r s c r u t i n y . 1 0 1 S h e o f t e n a s k e d s t u d e n t s w h e t h e r t h e y a g r e e d o r d i s a g r e e d a n d e x p e c t e d t h e m t o e x p l a i n w h y . S h e a l s o s o l i c i t e d a l t e r n a t i v e a p p r o a c h e s t o s o l v e p r o b l e m s b y a s k i n g : " D i d a n y o n e d o i t a n o t h e r w a y ? " S h e e n c o u r a g e d s t u d e n t s t o a r g u e a b o u t t h e m a t h e m a t i c a l i d e a s , o c c a s i o n a l l y l e t t i n g a d i s a g r e e m e n t r e s u l t i n a c o n t e n t i o u s e x c h a n g e , w h i c h s h e d i d l i t t l e t o c u r t a i l . S h e u s e d d i s a g r e e m e n t t o i n v o l v e s t u d e n t s i n t a l k i n g a b o u t i d e a s a n d e x a m i n i n g o t h e r p e r s p e c t i v e s . W h e n I a s k e d a b o u t t h e d i s a g r e e m e n t s , s h e e x p l a i n e d " I ' m t r y i n g t o g e t t h e m t o v a l u e t h a t e a c h o f t h e m h a s d i f f e r e n t t h i n g s t o c o n t r i b u t e " ( I n t e r v i e w , 1 0 / 1 5 / 9 2 ) . S h e a t t e m p t e d t o i n v o l v e a s m a n y s t u d e n t s a s p o s s i b l e i n t h e s e d i s c u s s i o n s b e c a u s e s h e b e l i e v e d t h a t t h e s e i n t e r a c t i o n s h e l p e d t o d e v e l o p t h e i r u n d e r s t a n d i n g s . A f t e r a l e s s o n t h a t i n v o l v e d a n i m a t e d d e b a t e a b o u t e x c h a n g i n g t e n s f o r h u n d r e d s , J a c k i e s a i d : " I t h i n k t h e y s t a r t e d r e a l i z i n g h o w m u c h t h e y h e l p e a c h o t h e r w i t h e a c h g i v i n g e a c h o t h e r i d e a s . A n d t h e n , a f t e r w e t o o k e v e r y b o d y ' s i d e a s , t h e y c o u l d s e e h o w t h e n t h e w h o l e g r o u p h e l p e d e v e n g e t m o r e i d e a s o n w h a t w e w e r e t r y i n g t o d o . T h a t w a y a l l o f t h e m a r e g e t t i n g m o r e t h a n t h e y w o u l d a l l b y t h e m s e l v e s " ( I n t e r v i e w , 1 0 / 1 5 / 9 2 ) . T h r o u g h o u t e a c h l e s s o n , J a c k i e p a i d c l o s e a t t e n t i o n t o w h a t s t u d e n t s s a i d a n d t h e n t r i e d t o g a t h e r a s m u c h i n f o r m a t i o n a b o u t w h a t t h e y u n d e r s t o o d . S h e u s e d t h e i r j o u r n a l w r i t i n g s s i m i l a r l y . A s o n S e p t e m b e r 1 6 t h , J a c k i e r e g u l a r l y a s s i g n e d j o u r n a l - r e s p o n s e q u e s t i o n s a t t h e e n d o r b e g i n n i n g o f a l e s s o n . T h e s e c h a r a c t e r i s t i c f e a t u r e s c h a n g e d l i t t l e t h r o u g h o u t t h e y e a r a n d w e r e e v i d e n t i n a l l l e s s o n s I o b s e r v e d . T a b l e 4 . 1 p r o v i d e s a s u m m a r y o f a l l l e s s o n s I o b s e r v e d . A n o t h e r p a t t e r n I o b s e r v e d i n h e r t e a c h i n g , w h e n l o o k i n g a c r o s s a s e t o f l e s s o n s o n t h e s a m e t o p i c , w a s a d e c r e a s e i n h e r u s e o f t h e t e x t t o d e t e r m i n e t h e c o n t e n t s a n d p a c i n g o f t o p i c s ; t h i s i s d e s c r i b e d i n t h e f o l l o w i n g s e c t i o n . t u o b a e c a l p : : : : d n n n t n u e o o o u o n o n s s s o s o y r s s s s a b i e e e e t l l l l p e a l l r s e u e e e e e e h h h h h u t q s t t t t o t ? 4 f f f s y e b f 9 k a o o o o o l g n w o e c e e e s o s s s i b s o o o h o e ' n l l l l y t s u n i t c c c k c m a e . o e e e y e d m u N o h h a h h o o 3 t 0 ? t t d t t s d y t t t t d n e t a i a a a a s o o 2 d t d d s b i r g d i n d ? d e e e e t r i t e t k k k k a a a e d u c d a l s s s h s h s h n r a e A u A A v D t A W W W l l e n r a Y e i k , s n e t l n y a T e e r e d e h d , 0 k e s 1 o h n t e - t w s a o e h h t . n n m p e c b w , e o e s x . t n a s x e o e d l n o b h a e s s b h e a , o e n r s s l t s T m w p m l o u k s c e o c . i c t e o a e i n e s o n r o h r l r t a o l J b a i t e h o f b i y y s f i w m p v h s t b t i e b h w a e u s a h c g d o e d u u g d l t n a a t r n n r t s n h o i o i t f a a t d f h e v i d o p h - i o g t g m g t o a w t e i c e i f c n u 4 d h x a a e e - l d e s t o i - r m e i d e a e a l 1 T v e g d e e m p a m e . e u e e a r s r g e s h g 4 s r l s e h l n y i r i n p t u b u a h t t n e o d o r v e f s n n c v c t l o t d o u s i a g - b d d n s e m s y r f p a e f a l f d e m n a b T L u . e l n , k p h r i o p A c e e e i i o o r s s c g s r m h p a t k u o s . d n e o a t f D r s m a e p h e n w x o t J h i i e t c t e v e s s t o o i e w . n t ' o i s r n s t o e . r r e g s t r h n n s o n i d i e n n p s a w a e e e r e s t g u r i s l L q , m p n d s s d a i g l b b t o c n r b a n O l o t i i s i s u r s p g e i i u n u o u s o t i n a f s a d s o a t x h s t i s o o f u r p e i i , t o y u c s i r o k n t r d i s e t a c e p n e g d v o k t e t a l a a s u f o h n r a e d d n e d n b t e n m r t a n o a ( e r d o d 0 i e p l h r s e 1 0 g m u e s a l t m r n d o d s - a n l 0 - m a ' , c d n n u e 4 0 a i w o d e o a s v 1 l s s i a 1 a o u s t t e e h t S o t u h b h f u n f a c . s d s c e o a d n h h o n y d i o l m d o t c i e s u w o e t h f p a s b h t a n t d s n o d e d n t e s m e o o f i e v n t a o e d l r s a t o g c s l e o g w n s e o a o , w n u w g r e a e e t s i n b n v , i s l u n T s n n d p t i k t t l o e n e n s n e u v i n r e e e s r o . l a o d e i t i d r k d o r d a v ) l s t e p u s u t n v g s u t e x n h e n e t t a o u o e h e E t c r r L T h t s i s t n , s e g e n , u s n o i t n c c i p o o t n o g n d s o n i n l a p r a o t i u v f i t o g c e r y e i a a t d g r c d e s e l m r - e t a a a , s p d e e c r b l e u p h s r h i s t d g h d t n a e 2 t 9 a / i e h r . s d s n n d o n u i a 2 2 z 2 g n 9 9 9 i i n n i m / r / / s i e o d t t n f i g w i i o g h i - 5 9 2 a a l l t s t e D 2 , 1 e 2 b h p 6 a u s 1 l o n / / / d d r p o m i e / o e h e d h 0 0 0 o m r 9 R t e t M a T P c 1 1 1 T h r e e d i g i t a d d i t i o n , e m p h a s i z i n g p l a c e v a l u e 2 / 1 / 9 2 T h e f o c u s o f t h e l e s s o n w a s s u b t r a c t i o n w i t h r e g r o u p i n g u s i n g b a s e - 1 0 m a t e r i a l s ( p a p e r v e r s i o n s o f c u b e s , r o d s , fl a t s ) . J a c k i e p r e s e n t e d s t u d e n t s w i t h a t h r e e - d i g i t s u b t r a c t i o n p r o b l e m t h a t t h e s t u d e n t s w e r e t o s o l v e i n g r o u p s . T h e c l a s s t h e n d i s c u s s e d a n d m o d e l e d e a c h p r o b l e m . S t u d e n t c o n f u s i o n a b o u t s u b t r a c t i o n d u r i n g t h e d i s c u s s i o n . P r o b l e m : H a r r y c o l l e c t s r o c k s . H e h a d 1 2 p i e c e s o f g r a n i t e , 1 8 p i e c e s o f fl i n t , a n d 6 p i e c e s o f q u a r t z . l - I e t r a d e d o n e h a l f o f t h e q u a r t z a n d o n e t h i r d o f t h e g r a n i t e f o r 1 p i e c e o f a l a b a s t e r . H o w m a n y r o c k s d o e s h e h a v e n o w ? T h e c l a s s s p e n t a n h o u r d i s c u s s i n g a n d c o m p a r i n g f r a c t i o n s . S t u d e n t s d r e w p i c t u r e s o n t h e b o a r d t o s u p p o r t t h e i r p o s i t i o n s . 1 0 2 ? , % s l l e s t : n o i t ? t e s z e i t n s c a ? a e : n n o o i t o t s e c o r o i ? e t m s n f t % s a r r g e r u r o ? f t l s t i n o a o c f % ? e e t a u i s u o d e i 8 h % t 8 e t t f w p q s 1 b c o r s d 1 t m o a k i f r h a a o a f o ? s l e v ? a o s 0 w % f o n i s p e e s r o 1 r a e n o d l 2 t o e m s , b b o r 1 3 n e s l d t a o r o U m e a r i u n e r . e l t t k r p c a o c o t r a f u n o u i w l u a u s a t e e N o t r r r f y g c e o g n c e h m y n o e i i o a h t o i . d r t s f r . p t t r h t d o S 8 s 1 a . 3 t . o i a l d t i c a a r l d i l h l n d o n n b a t t t f t w c i n e a a a o a a i e a k e t f f e h h h h o r h h r a l e p u s h ’ x W W W A 9 D W a 1 P W W 6 A l T m e 1 f r d d y b s n n e o e s i , e . t a t d a c i r s e n l k a r e i t l i f n e c p r e c e r A t b h a o o a b u w s t a . l s i m p a a e t p J c . n d d y n i t o l t u o n 1 y f t n o d a t f h o e m s o d 5 y g a o f 0 w 1 e , e i o 0 f u f n m i T h s 5 s h s . o l l g t o e c s e o d e n s i a e d i r s l t n h o r e a s o n s t s u a t % f o i p u a a p h ' q M a h e c d e b e o n m p o o i u s s n n v u e n t e t y i l o r r e f o e w h s i e f a e s u n a i . o c s h o s i k o e m h e r i f g n j a r c e m d a w d g w h o s e c o e n t c r r n a h e m f i h a e i e b k m n J s m t i i o t J H o a h h s e t y e t u e p t i t r l a s d o t t u n h . t l h t i s e t e b s e c r c s u . d t u d n t c e t d o n i n o e e o s a e t a n n s n e u ) d e u p r i t d t r d d c o b e o i c n u i r a f d d d a p e n a e i n n h k o s h a n s n c p u l u e t o h S t . s t o p t o n y s f 4 o c t w i e i S e s n b a m o e o a d . n i n r n m i s e e p t o f n t d s o e t e h n 2 t O y l o c t r a l 2 i s t C a u a f c t s n 2 o n ? s A n s h ( r m r e . u n r s w t a a n s u e o o a f e s i t r i c o c c c ) m f w u r m t a d d p e n s e t s s f 1 t h w l u e i i d d n a e i c i . u o k d u r s e d o e S s a e d p m e t 4 u o o c n d r u r h h e i i s b t o u t 2 d c f a s h o t t d h n e t s a i n e t a t h 1 : p e d J l n n e c n t i s m i i t b o e n g l e h a b o n s r i i u n e c h e h s e a s k t m s e s e t h t f o i e s . i a t s e a d e m r s t u t a - n o l n e r c w o e e t n T a r q t f o o f 6 f c s e d e A , t g h p : r o f i a J o L e t e s n d 1 t i t e p r e e a e s d s 3 e t t r u d l e e h u e a e h r . e h T s n n fi q l u t n o h c r h e o y . h t t d . o t t t g q f a i n n t g t u r i t 2 o t ( k n A i u h o s s a a h a r e l m o l c e m f o t w m m m a t p s - w c f f i e e s n y t h 5 t o s w n t w e 0 r r b e u e t e h d o b b e a a e n s d s d n o n n w e s u o o w i s H j d i o u t r r r o w l l l s n o h w r d s d f e o o u t q e k s t a r p x i h e t u e s a s e a t s r t g s u o n n s l p r l l p u e s n r . s u c v o n c o o r e e e a d s d r a a c e j o e b g n w h r m d h s i a i , e e fi e e a s t l l h h h n y s o t i e t h a t k t i a l t i i t s d e e e s c t c h o n d m l x h a o h e h e i t t p d n s e t o , e s d e i d i a t t d s e r w y l m s J u e 2 d e r n t e c . o r e i n w o n i , g k t e i n e l n . h l d 2 e s s e t b a h e t 2 n n a n s a s 1 s S i s l s / r o s o s e a f , k u o g a i n i 2 e d u a c o . 2 s v s c e c r e m o n , d t h p h i r u a s a s p t n s J n d i s e s r r - s d c a i p b i l t u o r i t r o e o d n r e n g o a h n w g i w e o s t b g t n e c s d i e h e n e a e f j n i d o . r i i e l e e i e r r e e t k k i n g v a d e s c c s m d t s t r i d o k d a h c m u e g l c a a a c e u p c f n s s e a r t r a l h h u o i a u o e n s o a t a e p J t s f f s A h c p L e m o t s s s J S J b a c i a p u o r d n p n o t o i t g a f n c o s t r a o a s r f o s e l d n t r t p ) ' a c p n 5 s 1 o 1 a 2 a 1 i t s f e c u r o 0 t a 3 3 3 d e i % " " 9 9 t 9 o t D . 1 n c o i 3 , n i 9 t p u n t " / c / / r p 6 / c u - g 5 7 t a 6 a 8 a o n . ’ / h n / / r e r o / r 4 4 I c 4 F ( 3 1 4 F g n a t i f n o u s g s t n n r o a i i s a p a r m f s o 9 u l v C o m p a r i n g f r a c t i o n s % , 1 0 3 " i w o h s o t s e l 2 g “ n a 0 t 2 c _ e - 1 1 r ' r ° e p a ' 7 p ’ l h 6 p ’ l a r l 5 g ’ e l 4 s ’ U l 3 d d a n h e e e i h k t c a t J A . . . s 2 s l 1 n a o n f i r o t u c o s a n r j o f r i i t t e c i h ) d a n t e n r u u n i t n f t i t n n e r e e s r e e l f g f f n i a o f C ( 1 . y d i t r d c a f r r e e m o a m e n p h 4 u o m t e s l s i o l n s c e o u o b b a s c t l a s s s T i e e d d L l n s a g s n a a e l t u c c l e g a r h r s t t e n i p e w a d p u t h s n o s p s e e h a l t r g e d h e t s a u h n a g s e t h n s e e b d , s e s u t a s l i k c c e a h f J t o h t i w d n a s r s r o n o t o t a i a t n c i a r m f o r e m u n n r g e o f n d o t i t g a n r n n 3 e i 9 a i r / m p e n 3 o m a f f o i 1 n / e e C d 4 M d D a t e a n d l e s s o n t o p i c 4 / 1 2 / 9 3 I n g r o u p s s t u d e n t s u s e d c h i p s t o s h o w d i f f e r e n t f r a c t i o n a l a m o u n t s o f g r o u p s . A s s t u d e n t s e x p l a i n e d t h e i r a n s w e r s , J a c k i e f o c u s e d o n t h e m e a n i n g o f t h e n u m e r a t o r a n d d e n o m i n a t o r . N o t e b o o k q u e s t i o n A s k e d a t t h e c l o s e o f t h e l e s s o n : 1 0 4 1 0 5 F o l l o w i n g t h e T e x t o r F o l l o w i n g S t u d e n t s J a c k i e b e g a n t h e s c h o o l y e a r w i t h t h e i n t e n t o f u s i n g t h e t e x t c l o s e l y . E v e n t h o u g h t h e g e n e r a l m a t h e m a t i c a l t o p i c s o f h e r c u r r i c u l u m m a t c h e d t h e c h a p t e r s i n t h e t e x t , t h e s p e c i f i c c o n t e n t s o f e a c h d i d n o t m a t c h . S h e f o u n d t h a t s h e w a s r e p e a t e d l y p u l l e d a w a y f r o m t h e c o n t e n t a n d t a s k s o f t h e t e x t b o o k l e s s o n s b y h e r s e n s e o f w h a t h e r s t u d e n t s n e e d e d m o s t . S h e w a s p u l l e d a w a y f r o m t h e p l a c e - v a l u e u n i t , a t o p i c s h e h a d t a u g h t f r e q u e n t l y , a n d t h e u n i t o n f r a c t i o n s , a t o p i c w i t h w h i c h s h e w a s l e s s f a m i l i a r . T h e f o l l o w i n g t w o s t o r i e s i l l u s t r a t e h e r t e n d e n c y t o l o o k t o h e r s t u d e n t s a n d h e r s e n s e o f w h a t t h e y n e e d e d t o l e a r n i n o r d e r t o d e t e r m i n e m u c h o f t h e a c t u a l c o n t e n t s s h e f o c u s e d o n w i t h i n e a c h t o p i c . m m ; t h e T e x t J a c k i e s t a r t e d t h e y e a r f o l l o w i n g t h e t e x t . S h e b e g a n w i t h t h e f i r s t c h a p t e r , e n t i t l e d " P l a c e V a l u e : D e v e l o p i n g N u m b e r S e n s e , " t a k i n g o n e p a g e a t a t i m e . A s t h e S e p t e m b e r 1 6 t h l e s s o n i l l u s t r a t e s , c l a s s r o o m d i s c o u r s e a l s o h a d b e c o m e a c e n t r a l e l e m e n t o f e a c h l e s s o n . S h e f o u n d t h a t i t t o o k s e v e r a l d a y s t o c o m p l e t e e a c h p a g e . A f t e r t h e l e s s o n d e s c r i b e d a b o v e , I a s k e d h e r a b o u t h e r c h o i c e t o s t r u c t u r e t h e e n t i r e l e s s o n a r o u n d a s i n g l e e x a m p l e i n t h e t e x t . S h e e x p l a i n e d t h a t s h e h a d p l a n n e d t o c o m p l e t e s e v e r a l m o r e p r o b l e m s b u t f o u n d t h a t i n c o r p o r a t i n g d i s c u s s i o n i n t o h e r i n s t r u c t i o n t o o k m o r e c l a s s t i m e : " W e d o n ' t d o t h a t m a n y p r o b l e m s w h e n y o u ' r e d i s c u s s i n g t h i n g s " ( I n t e r v i e w 9 / 2 4 / 9 2 ) . A t f i r s t J a c k i e d i d n o t s e e m d i s c o u r a g e d b y t h i s s l o w p a c e . E v e n t h o u g h s h e j o k e d a b o u t h o w l o n g i t w a s t a k i n g t h e m t o g e t t h r o u g h e a c h p a g e , s h e w a s p l e a s e d w i t h h o w t h e l e s s o n h a d g o n e . S h e s a i d t h a t s h e l i k e d w h a t s h e w a s s e e i n g , p a r t i c u l a r l y t h e d e g r e e t o w h i c h t h e s t u d e n t s w e r e a b l e t o " v e r b a l i z e e x a c t l y h o w t h e y w e r e t h i n k i n g " ( I n t e r v i e w , 9 / 1 6 / 9 2 ) . A t t h e e n d o f t h e S e p t e m b e r 1 6 t h l e s s o n , J a c k i e l o o k e d a t w h a t s h e h a d p l a n n e d t o d o t h a t d a y a n d a s s e s s e d h o w w e l l t h e s t u d e n t s u n d e r s t o o d t h e c o n c e p t s . T h e p l a n s 1 0 6 s h e h a d m a d e f o r t h e d a y t o u c h e d o n a b o u t h a l f o f t h e t a s k s s u g g e s t e d o n t h e t w o - p a g e s p r e a d t h a t o u t l i n e d t h e l e s s o n . T h e c l a s s h a d c o m p l e t e d l e s s t h a n o n e f o u r t h o f J a c k i e ' s p l a n s . S t i l l , J a c k i e w a s n o t c o n v i n c e d t h a t a l l s t u d e n t s u n d e r s t o o d t h e r e l a t i o n s h i p b e t w e e n t e n s , h u n d r e d s , a n d t h o u s a n d s : " I h a v e a f e e l i n g t h a t e n o u g h k i d s s t i l l n e e d s o m e m o r e t h i n k i n g o n t h i s " ( I n t e r v i e w , 9 / 1 6 / 9 2 ) . T h u s , s h e p l a n n e d t o h a v e s t u d e n t s c o m p l e t e t w o a d d i t i o n a l e x a m p l e s b e f o r e g o i n g o n t o a n e w p a g e . A w e e k l a t e r , J a c k i e r e p o r t e d c o n t i n u e d s l o w p r o g r e s s t h r o u g h t h e t e x t b u t t h i s t i m e w i t h g r e a t e r m i s g i v i n g s . S h e h a d b e g u n t o w o r r y a b o u t t h e p a c e : " S p e n d i n g a s m u c h t i m e a s I a m d o i n g o n o n e t h i n g i s a b i g r i s k . . . . I k n o w t h e r e a r e a l o t o f t h i n g s w e a r e n ' t g o i n g t o c o v e r " ( I n t e r v i e w , 9 / 2 4 / 9 2 ) . B y t h i s t i m e , J a c k i e h a d b e g u n t o c o n s i d e r s e l e c t i n g f e w e r i t e m s f r o m t h e t e x t ; t h i s w a s r i s k y a s w e l l . T h e y h a v e s o m a n y d i f f e r e n t t h i n g s a n d I ' m g o i n g t o h a v e t o p i c k a n d c h o o s e m o r e . I n f a c t , I ' m s t a r t i n g t o . B u t i t ' s r e a l l y h a r d w h e n y o u ' r e f i r s t d o i n g i t b e c a u s e I ' m s a y i n g , " W e l l , I d o n ' t t h i n k t h i s i s v a l u a b l e , " b u t t h e n w h o d o e s n ' t k n o w t h a t l a t e r o n t h a t ' s g o i n g t o r e a l l y h e l p w i t h s o m e t h i n g e l s e . ( I n t e r v i e w , 9 / 2 4 / 9 2 ) A f t e r l e s s t h a n a m o n t h o f u s i n g t h e t e x t , J a c k i e w a s f i n d i n g i t m o r e d i f f i c u l t t o i n t e g r a t e h e r d e s i r e t o f o l l o w t h e t e x t w i t h h e r c o m m i t m e n t t o p u r s u e i d e a s . T h u s , s h e b e g a n t o c o n t e m p l a t e h e r o p t i o n s . F o l l o w i n g t h e M a t h e m a t i g s A n a p p r o a c h t h a t J a c k i e c o n s i d e r e d t a k i n g w a s t o j u m p t e m p o r a r i l y t o a n o t h e r c h a p t e r i n t h e t e x t ( c o l u m n a d d i t i o n a n d s u b t r a c t i o n ) a n d t h e n r e t u r n t o p l a c e - v a l u e . T h i s o p t i o n w a s p r e m i s e d o n h e r d e v e l o p i n g i d e a s a b o u t t h e i m p o r t a n c e o f p l a c e - v a l u e i n c o l u m n a d d i t i o n a n d s u b t r a c t i o n . S h e w a n t e d h e r s t u d e n t s t o c o n n e c t w h a t t h e y w e r e l e a r n i n g i n t h e p l a c e - v a l u e c h a p t e r w i t h i t s a p p l i c a t i o n t o m u l t i p l e — d i g i t a d d i t i o n a n d s u b t r a c t i o n . A m o v e t o a d d i t i o n a n d s u b t r a c t i o n m a d e s e n s e b e c a u s e r e g r o u p i n g r e s t e d h e a v i l y o n t h e c o n c e p t o f p l a c e - v a l u e ; i t c o u l d e x t e n d t h e w o r k t h e y h a d a l r e a d y d o n e . S h e c o n s i d e r e d a m e t h o d o f i n t r o d u c i n g m u l t i p l e - d i g i t a d d i t i o n t h a t w o u l d e m p h a s i z e 1 0 7 t h e r o l e t h a t p l a c e - v a l u e p l a y e d i n r e g r o u p i n g ; t h a t w a y , t h e y c o u l d " s t i l l [ b e ] w o r k i n g o n i t [ p l a c e v a l u e ] b u t w o r k i n g o n i t i n a d i f f e r e n t w a y " ( I n t e r v i e w , 9 / 2 4 / 9 2 ) . T h i s d e c i s i o n m a y h a v e b e e n a t u r n i n g p o i n t i n J a c k i e ' s u s e o f t h e t e x t . N o t o n l y w a s s h e c o n s i d e r i n g a m o v e a w a y f r o m t h e t e x t ' s d e f i n e d c u r r i c u l u m b y l e a p i n g t o a n o t h e r c h a p t e r , b u t t h e l e a p w a s m o t i v a t e d b y a c o n n e c t i o n s h e s a w i n t h e m a t h e m a t i c s n o t m a d e i n t h e t e x t b o o k I n t h e t e x t b o o k , t h e c o n c e p t u a l f o u n d a t i o n f o r p l a c e - v a l u e a n d m u l t i d i g i t a d d i t i o n a n d s u b t r a c t i o n w a s t r e a t e d s e p a r a t e l y ; J a c k i e s a w t h e t w o a s r e l a t e d . J u m p i n g t o t h e s e c o n d c h a p t e r w o u l d h e l p h e r s t u d e n t s s e e t h i s c o n n e c t i o n a n d f u r t h e r d e v e l o p t h e i r u n d e r s t a n d i n g s o f p l a c e - v a l u e . S h e s a i d : I w a s h o p i n g t h e y c o u l d a c t u a l l y s e e w h a t c a r r y i n g n w h a t y o u w e r e d o i n g w h e n w e s a y c a r r y i n g , y o u k n o w r e g r o u p i n g - I w a n t e d t h e m t o a c t u a l l y v i s u a l i z e w h a t t h e y w e r e d o i n g s o t h e y c o u l d a c t u a l l y s e e t h a t w h e n y o u h a v e 1 0 o f t h e s e y o u c a n e x c h a n g e 1 0 o f t h e s e f o r o n e o f t h e s e . ( I n t e r v i e w , 1 0 / 1 5 / 9 2 ) J a c k i e m o v e d t h e c l a s s i n t o a d d i t i o n a n d s u b t r a c t i o n o f m u l t i d i g i t n u m b e r s , u s i n g p a g e s o n e x p a n d e d n o t a t i o n i n t h e p l a c e - v a l u e c h a p t e r a s a b r i d g e . T h r e e w e e k s l a t e r ( O c t o b e r 1 5 t h ) 5 t h e c l a s s c r o s s e d t h i s b r i d g e i n t o a d d i t i o n . I l e a r n e d l a t e r t h a t h e r d e c i s i o n t o c h a n g e t o p i c s w a s m o t i v a t e d b y a c o m m e n t f r o m a s t u d e n t t h e p r e v i o u s d a y . F o l l o w i g t h e S t u d e n t s T h e s t u d e n t i n t h i s c a s e w a s R a n d y . J a c k i e h a d g i v e n e a c h s t u d e n t a p l a c e - v a l u e m a t a n d p l a s t i c c h i p s w i t h w h i c h t h e y w e r e t o r e p r e s e n t v a r i o u s n u m b e r s b y p l a c i n g c h i p s i n t h e a p p r o p r i a t e c o l u m n s . I n s h a r i n g h i s m e t h o d f o r s h o w i n g 2 4 , 0 0 0 , R a n d y d e m o n s t r a t e d t o t h e c l a s s t h a t 2 4 , 0 0 0 c o u l d b e r e p r e s e n t e d a s 2 4 c h i p s i n t h e 1 t h o u s a n d c o l u m n o r t w o c h i p s i n t h e 1 0 t h o u s a n d c o l u m n a n d f o u r c h i p s i n t h e 1 t h o u s a n d c o l u m n : ( s e e F i g u r e 4 . 2 ) . J a c k i e r e a l i z e d t h a t t h i s d e m o n s t r a t i o n n a t u r a l l y m o v e d t h e c l a s s i n t h e d i r e c t i o n . s h e h a d i n t e n d e d : " I t k i n d o f h i t m e t h a t t h a t w a s k i n d o f a l o g i c a l j u m p f r o m t h e r e t o r e g r o u p i n g " ( I n t e r v i e w , 1 0 / 1 5 / 9 2 ) . J a c k i e t o o k a d v a n t a g e o f t h i s 5 E v e n t h o u g h t h i s l e s s o n o c c u r r e d 3 w e e k s a f t e r t h e S e p t e m b e r 2 4 t h i n t e r v i e w , 1 w e e k o f t h a t p e r i o d w a s d e v o t e d t o s t a t e - m a n d a t e d t e s t i n g , a n d a n o t h e r w e e k w a s d e d i c a t e d t o p r e p a r i n g f o r t h e t e s t . J a c k i e d i d n o t t e a c h a n y r e g u l a r m a t h l e s s o n s d u r i n g t h a t t i m e . 1 0 8 1 0 0 t h o u s a n d 1 0 t h o u s a n d 1 t h o u s a n d h u n d r e d t e n o n e o o o o o o F i g u r e 4 . 2 P l a c e — v a l u e m a t s h o w i n g o n e o f r a n d y ' s r e p r e s e n t a t i o n s o f 2 4 , 0 0 0 c o n n e c t i o n a n d c o n s t r u c t e d a t a s k w i t h t h e p l a c e — v a l u e m a t s s h e b e l i e v e d w o u l d l e a d s t u d e n t s t o m a k e t h i s l o g i c a l j u m p . O c t o b e r 1 5 t h : C o n n e c t i n g p l a c e v a l u e a n d r e g g o u p i n g . S h e b e g a n o n O c t o b e r 1 5 t h , b y p u t t i n g a p l a c e v a l u e m a t o n t h e o v e r h e a d a n d p l a c i n g a c h i p i n t h e 1 0 t h o u s a n d c o l u m n . S h e t h e n r e c a l l e d R a n d y ' s o b s e r v a t i o n f r o m t h e p r e v i o u s d a y , r e s t a t i n g t h e r e l a t i o n s h i p b e t w e e n 1 0 c h i p s i n t h e 1 t h o u s a n d c o l u m n a n d o n e i n t h e 1 0 t h o u s a n d c o l u m n h e h a d n o t e d . W h e n s h e a s k e d h i m , R a n d y c o n f i r m e d t h a t t h i s w a s w h a t h e h a d s a i d . J a c k i e i n v i t e d t h e o t h e r s t u d e n t s t o r e s p o n d . W h e n a s t u d e n t a g r e e d a n d a d d e d t h a t t h e t r a d e c o u l d b e r e v e r s e d , t h a t t h e c h i p i n t h e 1 0 t h o u s a n d c o l u m n c o u l d b e e x c h a n g e d f o r 1 0 c h i p s i n t h e 1 t h o u s a n d c o l u m n , J a c k i e s e i z e d t h e o p p o r t u n i t y . " L e t ' s l o o k a t t h i s , " s h e s u g g e s t e d . S h e l e d t h e m i n a d d i n g 1 0 , 0 0 0 a n d 4 , 0 0 0 b y c o u n t i n g t h e 1 0 c h i p s i n t h e 1 t h o u s a n d c o l u m n b y t h o u s a n d s u n t i l t h e y a r r i v e d a t 1 0 , 0 0 0 . W h e n m a n y o f t h e s t u d e n t s a g r e e d t h a t t h e t w o n u m b e r s w e r e t h e s a m e , J a c k i e a s k e d t h e m w h e n t h e y w o u l d u s e t h i s i n m a t h . I m m e d i a t e l y J o r d a n s u g g e s t e d b o r r o w i n g . W i t h s o m e n u d g i n g , H i l l a r y v o l u n t e e r e d " P l u s s i n g . " " R i g h t , a d d i n g , " J a c k i e t o l d h e r . W i t h t h i s r e s p o n s e , J a c k i e t o o k t h e c l a s s i n t o a d d i t i o n . A f t e r s o m e d i s c u s s i o n , s h e g a v e t h e m t w o n u m b e r s ( 4 9 3 a n d 3 6 3 ) t o r e p r e s e n t o n t h e i r p l a c e - v a l u e m a t s a n d a d d t o g e t h e r . A s i g n i f i c a n t p o r t i o n o f t h e c l a s s d i s c u s s i o n c e n t e r e d o n h o w t o d e a l w i t h t h e 1 5 c h i p s t h a t e n d e d u p i n t h e t e n s c o l u m n . E v e n t h o u g h t h e e n t i r e c l a s s a g r e e d t h a t t e n o f t h e c h i p s i n t h e 1 0 c o l u m n e q u a l e d 1 0 0 , t h e y d i d n o t a g r e e o n h o w t o m o v e t h e m t o t h e h u n d r e d s c o l u m n . S o m e b e l i e v e d t h a t a l l 1 0 s h o u l d b e m o v e d . O t h e r s t h o u g h t t h a t t h e 1 0 s h o u l d b e e x c h a n g e d f o r o n e c h i p i n t h e h u n d r e d s c o l u m n , b u t w e r e r e l u c t a n t t o d r o p t h e o t h e r 9 , l e a v i n g t h e m i n t h e t e n s c o l u m n . O n e s t u d e n t d e m o n s t r a t e d h o w s h e e x c h a n g e d 1 0 o f t h e c h i p s i n t h e t e n ' s c o l u m n f o r 1 i n t h e h u n d r e d ' s c o l u m n , p r o d u c i n g t h e n u m b e r 8 5 6 . A n o t h e r s t u d e n t s h o w e d h o w h e a r r i v e d a t t h e s a m e a n s w e r w i t h o u t m a k i n g t h e e x c h a n g e . H e a d d e d t h e q u a n t i t i e s o f e a c h c o l u m n : 1 0 9 4 0 0 + 9 0 + 3 3 0 0 + 6 0 + 3 7 0 0 + 1 5 0 + 6 = 8 5 6 J a c k i e c l o s e d t h e l e s s o n b y a s k i n g t h e m t o g e t t h e i r m a t h n o t e b o o k s a n d w r i t e s o m e t h i n g t h e y ' d l e a r n e d a b o u t t r a d i n g . ( O b s e r v a t i o n , 1 0 / 1 5 / 9 2 ) W h e n I a s k e d J a c k i e i f t h i s l e s s o n w a s d r a w n f r o m a p a r t i c u l a r l e s s o n i n t h e b o o k , s h e a n s w e r e d : " Y e s a n d n o . " E v e n t h o u g h i t g r e w o u t o f t h e p r e v i o u s d a y ' s a c t i v i t y s u g g e s t e d i n t h e t e a c h e r ' s g u i d e , t h e l e s s o n I o b s e r v e d r e p r e s e n t e d a s i g n i f i c a n t s t e p a w a y f r o m t h a t p a r t i c u l a r p a r t o f t h e t e x t a n d i n t o t h e t o p i c o f t h e n e x t c h a p t e r : " O r i g i n a l l y w e w e r e w o r k i n g o n [ p a g e s ] 1 0 a n d 1 1 , " s h e t o l d m e , " a n d t h e n , w i t h w h a t R a n d y s a i d , I w a s k i n d o f j u m p i n g " ( I n t e r v i e w , 1 0 / 1 5 / 9 2 ) . T h e u s e o f p l a c e - v a l u e m a t s w a s n o t s u g g e s t e d o n p a g e s 1 0 o r 1 1 . S h e h a d t a k e n t h a t i d e a f r o m a s u g g e s t i o n o n o n e o f t h e L i n k p a g e s i n t h e t e x t b o o k a n d d e c i d e d t h a t b e i n g a b l e t o p l a c e " t h i n g s " i n t h e c o l u m n s w o u l d m a k e i t e a s i e r f o r s t u d e n t s t o w o r k w i t h t h e i d e a o f e x c h a n g i n g ( I n t e r v i e w , 1 0 / 1 5 / 9 2 ) . I n e s s e n c e , J a c k i e c o n s t r u c t e d t h i s l e s s o n b y c o n n e c t i n g i d e a s a n d r e p r e s e n t a t i o n s i n t h e t e x t . H e r c h o i c e s o f t a s k s w e r e m o t i v a t e d b y a s t u d e n t ' s o b s e r v a t i o n a n d h e r d e s i r e f o r a l l s t u d e n t s t o m a k e s i m i l a r c o n n e c t i o n s . E v e n t h o u g h J a c k i e h a d t a l k e d a b o u t m o v i n g t o t h e n e x t c h a p t e r , s h e d i d n o t u s e i t i n t h e l e s s o n s t h a t f o l l o w e d . F o r s e v e r a l w e e k s J a c k i e c r e a t e d h e r o w n t a s k s o n r e g r o u p i n g t o a d d a n d s u b t r a c t , d r a w i n g o n b a s e - 1 0 m a n i p u l a t i v e s o r m o d e l s t o i l l u s t r a t e t h e r o l e o f p l a c e - v a l u e . T a b l e 4 . 2 d i s p l a y s t h e e x t e n t t o w h i c h J a c k i e d r e w s u g g e s t i o n s f r o m t h e t e x t d u r i n g t h e l e s s o n s i n t h e f a l l ; i t i n d i c a t e s a g r a d u a l m o v e a w a y f r o m t h e l e s s o n s u g g e s t i o n s i n t h e t e x t . S h e c o n t i n u e d t o e m p h a s i z e m a t h e m a t i c a l d i s c o u r s e d u r i n g w h i c h s h e p u s h e d s t u d e n t s t o s e e a n d e x p l a i n t h e s t a n d a r d a d d i t i o n a n d s u b t r a c t i o n a l g o r i t h m s i n t e r m s o f t h e m o d e l s u s e d . D u r i n g t h e l e s s o n o n O c t o b e r g n o s n n n e e e n t t t i e a n t g s s s r l e e e u d d e p m i w n a k r r r p p p t a o r o t t t e n n n x s x o o o r o o o e s s o s o d s e n n n t l f s s s e g d e s s e e s e f n l s n b l l l o i a a t a n n a 4 w w g w g g e e n t n n n l t e t d i i i o u r a g x x g r r t i x r R u e u h t a e e e u S c T d p b T d T d y t n e : k k b s 0 s l o - r 3 e t p i a d 1 e e g a , p ; n g o e - e d n r t t n n m ; o i p r k b i d o h i g s t e u o l o c l s a , - a o s l i e - i t t n r e 3 d o t u m t s i i a t u r a s e r a r t v b f e o s a r i s h b n k t o e r t : e o n n u : : u c o c o e s a t h k e n e t o s c n ; c s n l s q n t i o q k a a o a t l e k g u a a o s a o t b t n i t t k i i m d k i e ; l c s w n n d d e t o o s g 0 m p 0 l ; o o d l r l d o o c a i a a a a s i l a s n 1 e 1 m 0 n b r k t t - d r u a l e 0 a e e t t c s s e t n c b h i r r - b t t e e t 4 d n e n s a s e n o b s o c p t t g I , e u e t l u i a e u a i r x o x o o C e q C d s n q e D m b p b C s b n 1 s t a m o r f d e y A m d a i 2 d e u u , g e e l h a g e s t s ' v a u e r f p e o s m e h c a e t t c k m a n l i P l e l I b m o o : 7 r r . P 2 f t n e d u t s n s o e g d a e p s u s m e t I c i p , g s n d , n o e o i c e r m t a o l d i t g i n g i i z d i - s e a t p e a n d u r s h d n h p d p a g h i n o t n t s s s s h , a i i g z g m e s n , n u e n i i n e o o t s o d i L i h t e , t e - a l i e t a s h u e i l e l r d d p d e n n m a o h d R T o a a e v M e t a D 6 1 / 9 5 2 1 2 / / 0 0 1 1 T a b l e 4 . 2 S u m m a r y o f J a c k i e ' s U s e o f t h e T e x t b o o k : F a l l 1 9 9 2 E x a m p l e A , p a g e 4 ( s h o w i n g d i f f e r e n t w a y s t o r e p r e s e n t 1 , 4 0 0 ) I t e m s u s e d f r o m m a r g i n o f t e a c h e r ' s g u i d e I n t r o d u c t o r y a c t i v i t y s u g g e s t e d u s e o f b a s e - 1 0 b l o c k s s u p p l e m e n t a l p a r t s o f p l a c e v a l u e 1 0 / 2 9 T h r e e - d i g i t s u b t r a c t i o n , e m p h a s i z i n g p l a c e v a l u e 1 1 0 1 1 1 2 2 n d , f o r e x a m p l e , s h e c h a l l e n g e d s t u d e n t s t o s o l v e t h e s a m e a d d i t i o n p r o b l e m s u s i n g t h r e e m e t h o d s : b a s e - 1 0 m o d e l s , e x p a n d e d n o t a t i o n , a n d t h e s t a n d a r d a l g o r i t h m . J a c k i e u s e d h e r s t u d e n t s t o g a u g e w h e t h e r t o r e m a i n w i t h a p a r t i c u l a r i d e a o r g o o n t o s o m e t h i n g n e w . A f t e r t h e l e s s o n o n O c t o b e r 2 2 n d , s h e d e s c r i b e d h o w s h e w o u l d d e c i d e w h e t h e r t o m o v e t o s u b t r a c t i o n : " I t h i n k t o m o r r o w I ' m g o i n g t o h o p e f u l l y g e t a s e n s e . I f t h e m a j o r i t y s e e m t o u n d e r s t a n d i t , w e m a y g o t o h i g h e r n u m b e r s t o m a k e s u r e t h e y r e a l l y u n d e r s t a n d i t , a n d t h e n r i g h t i n t o s u b t r a c t i o n " ( I n t e r v i e w , 1 0 / 2 2 / 9 2 ) . W h e n a s k e d w h e r e s h e w a s i n t h e b o o k , s h e s a i d t h a t s h e w a s n o t s u r e : " I t h i n k w e ' r e i n t h e s e c o n d u n i t . " S h e l a u g h e d w h e n a s k e d i f s h e w a s f o l l o w i n g t h e l e s s o n s i n t h i s c h a p t e r . I n f a c t , i t a p p e a r e d t h a t s h e h a d l o o k e d a t i t o n l y b r i e fl y , i f a t a l l . S h e d i d n o t k n o w w h e t h e r i t a p p r o a c h e d r e g r o u p i n g s i m i l a r l y . S h e l o o k e d t o t h e t e x t t o d e f i n e t h e t o p i c a n d t o s t a r t t h e u n i t , b u t s h e f o l l o w e d h e r o w n i d e a s a n d h e r s t u d e n t s a s t h e t o p i c p r o g r e s s e d : " W h e n I r e a l i z e d t h a t t h a t ' s t h e d i r e c t i o n w e w e r e g o i n g , I d e c i d e d t h a t I w o u l d w o r k a l i t t l e o n w h a t I w a n t e d t o d o " ( I n t e r v i e w , 1 0 / 2 2 / 9 2 ) . J a c k i e ' s r a p i d d e p a r t u r e f r o m t h e t e x t b o o k d u r i n g w o r k o n p l a c e - v a l u e w a s n o t s u r p r i s i n g , b u t n e i t h e r w a s h e r t e n d e n c y t o r e l y o n o b s e r v a t i o n s o f s t u d e n t s a n d h e r o w n i d e a s a b o u t t h e m a t h t o g u i d e h e r i n s t r u c t i o n . F o r a y e a r s h e h a d b e e n w o r k i n g t o f o l l o w s t u d e n t s ' t h i n k i n g i n h e r t e a c h i n g . T h e s e e f f o r t s s u p e r s e d e d h e r e a r l i e r i n t e n t i o n s t o r e m a i n w i t h t h e t e x t b o o k . F u r t h e r m o r e , p l a c e - v a l u e a n d a d d i t i o n a n d s u b t r a c t i o n o f w h o l e n u m b e r s w e r e t o p i c s J a c k i e h a d t a u g h t i n t h i r d g r a d e . S h e w a s c o m f o r t a b l e w i t h t h e m a t h e m a t i c a l i d e a s , a n d s h e h a d a r e p e r t o i r e o f w a y s t o e n g a g e s t u d e n t s i n e x p l o r i n g t h e m . S h e r e l i e d o n t h e s e , r a t h e r t h a n t h e t e x t , t o s h a p e h e r i n s t r u c t i o n . J a c k i e s p e c u l a t e d t h a t s h e w o u l d " r e l y o n t h e t e x t b o o k a l i t t l e b i t m o r e " w h e n t e a c h i n g " t h i n g s I ' m a l i t t l e m o r e s h a k y o n o r f e e l l e s s c o n fi d e n t a b o u t " ( I n t e r v i e w , 1 0 / 2 2 / 9 2 ) . F r a c t i o n s a n d d e c i m a l s w e r e t w o e x a m p l e s s h e g a v e o f s u c h t o p i c s . F o r t h i s r e a s o n , I w a s i n t e r e s t e d i n h o w J a c k i e w o u l d b a l a n c e h e r c o m m i t m e n t t o f o l l o w s t u d e n t s w i t h h e r n e e d t o d e p e n d o n t h e t e x t b o o k a s a m a t h e m a t i c a l g u i d e d u r i n g h e r i n s t r u c t i o n 1 1 2 o n f r a c t i o n s . A s i t t u r n e d o u t , h e r d e p e n d e n c e o n t h e t e x t w a s e v e n m o r e s h o r t - l i v e d . H e r d e s i r e t o c o n s t r u c t l e s s o n s r e s p o n s i v e t o s t u d e n t s d r e w h e r a w a y f r o m t h e t e x t . M m : M o v i n g A w a y F r o m t h e T e x t . A g a i n I n A p r i l , I o b s e r v e d J a c k i e d u r i n g t h e fi r s t 6 d a y s o f t h e u n i t o n f r a c t i o n s . T h e p a t t e r n o f h e r t e x t b o o k u s e w a s s u r p r i s i n g l y s i m i l a r t o t h e p a t t e r n I h a d s e e n i n t h e f a l l . S h e b e g a n b y s e l e c t i n g a n d a l t e r i n g a c t i v i t i e s f r o m t h e m a r g i n s o f t h e t e a c h e r ' s g u i d e , s u p p l e m e n t i n g t h e m w i t h a c t i v i t i e s o f h e r o w n d e s i g n . S h e d e v o t e d a g r e a t d e a l o f c l a s s t i m e t o t h e d i s c u s s i o n t h a t e m e r g e d f r o m e a c h t a s k . C o n s e q u e n t l y , t h e c l a s s m o v e d s l o w l y t h r o u g h t h e b e g i n n i n g o f t h e c h a p t e r , s p e n d i n g t h e fi r s t t h r e e l e s s o n s o n t h e t w o - p a g e s p r e a d d e s i g n e d t o i n t r o d u c e t h e t o p i c . W i t h i n a f e w l e s s o n s , J a c l d e h a d m o v e d f u r t h e r a w a y f r o m t h e s u g g e s t i o n s i n t h e t e x t , f o l l o w i n g h e r s e n s e o f w h e r e t h e s t u d e n t s w e r e g o i n g a n d w h a t t h e y n e e d e d t o u n d e r s t a n d . B y t h e 4 t h d a y o f t h e u n i t , J a c k i e w a s c o n s t r u c t i n g t a s k s e n t i r e l y o n h e r o w n . T a b l e 4 . 3 d i s p l a y s w h a t J a c k i e d r e w f r o m t h e t e x t f o r e a c h o f t h e f r a c t i o n l e s s o n s ; i t s h o w s a r a p i d m o v e a w a y f r o m t h e t e x t ' s s u g g e s t i o n s . T h e o p e n i n g l e s s o n o n A p r i l 5 t h i l l u s t r a t e s h o w s h e u s e d a c t i v i t i e s c o n s t r u c t e d f r o m t h e t e x t ' s s u g g e s t i o n s t o s e r v e a s " j u m p i n g - o f f p o i n t s . " A f t e r d i s c u s s i n g a s e t o f q u e s t i o n s o n t h e m e a n i n g o f f r a c t i o n s t h a t s h e p r e s e n t e d a s a n a s s e s s m e n t , J a c k i e o p e n e d t h e t e x t b o o k a n d p r o c e e d e d w i t h t w o i n t r o d u c t o r y a c t i v i t i e s g i v e n i n t h e m a r g i n . I n t h e fi r s t , s h e i n t r o d u c e d t h e h e a l t h - a n d - fi t n e s s t h e m e o f t h e c h a p t e r . I n t h e s e c o n d , s h e a s k e d s t u d e n t s t o t h i n k o f fi t n e s s e x e r c i s e s t h e y l i k e d t o d o . A s t h e t e a c h e r ' s g u i d e s u g g e s t e d , s h e l i s t e d t h e e x e r c i s e s n a m e d b y s t u d e n t s o n t h e b o a r d a n d t h e n i n d i c a t e d t h e n u m b e r o f s t u d e n t s w h o s a i d t h e y d i d t h e m ( 2 0 s w a m , 1 8 p l a y e d b a s k e t b a l l , 2 2 r o d e b i k e s , 8 j u m p e d r o p e , a n d 1 5 r a n ) . O n c e t h e c l a s s h a d l i s t e d fi v e a c t i v i t i e s , J a c k i e s u g g e s t e d t h a t t h e y r e p r e s e n t t h e a m o u n t s i n f r a c t i o n s . E x p l a i n i n g t h a t " f r a c t i o n s m e a n s o m a n y o u t o f s o m a n y , " J a c k i e i n t r o d u c e d t h e t e r m " d e n o m i n a t o r " a s " t h e n u m b e r o f e h t g f t t t t n o n d n n n i s a e e e e r d ' t e s s s s u e e e e e r r s d o w r r r r m e " n o h t e t o x s e t s e c m I o i r a l p p p p . . . . f e l t g c o o o o o o o o t n o s u s s s d a n n n n k t t t t n n n n f l a f J m i f o . s s s s o s e o b i l s l l l n s s s s s e e e e r a a a a e n . o t a t A e n i i k n w w w w g g g g l e e g n n n i o t n o d n d i i i g t l t t t k s s R s c e r a x x x i u o m r x r i a u a u e t l T e e e i u e u m J m q t d T d a T T T d g S l " y b d e t c s n s o n n i g ; o o t n i s i r s n t i t u o c e e r h u d i a s t r e t n c s a n e q c u f fi a q p r r o t g u f k a c n s m - o b m i e w t o e v y o e b l l r d e l e b t t o l v s I a o n i o r o c n F i d p n C f o m s t e o 3 9 9 1 g n i r d r p S r a i f p u d l g e s a s t ' : u n r e k e h o s m o e m c e a l e b t t p I t p x u s e T 3 . e 4 h t f o e l b a e T s U s ' e i k c a J f o y r a m m 7 " 1 d 3 a e . h p A , y k t n i i v h i t T c " a " 6 t 1 I u 3 S . t u p o b , m A e k l l b a o T r " p n o r i o c i p t c a r f 0 o s n o t a i r t c a e r m o u t t t n n o s s e o i t c L d e u r o t r p t a n h r t f a s n n r e f n g o r i o n e t m i g o f a f n r n n i i a i d e p n d m h o m a t n d o e i e n I c C d M w a 5 / 4 6 / 4 3 1 / 4 D a t e 4 n 4 / 8 4 / 1 2 I t e m s u s e d o n s t u d e n t P 3 8 6 5 F r a c t i o n s a s p a r t o f a g r o u p C o m p a r i n g u n i t f r a c t i o n s F r a c t i o n s a s p a r t o f a g r o u p ( u n i t a n d n o n - u n i t f r a c t i o n s ) I t e m s u s e d f r o m m a r g i n o f t e a c h e r ' s g u i d e I n t r o d u c t i o n t o c h a p t e r t h e m e a n d t o p i c a c t i v i t i e s , p . 3 1 6 N o t e b o o k q u e s t i o n s f r o m " C o n n e c t i o n s " a c t i v i t y , p . 3 1 7 O p e n i n g n o t e b o o k q u e s t i o n s C e n t r a l t a s k : u s i n g c h i p s t o s h o w d i s c r e t e f r a c t i o n s ; n o t e b o o k q u e s t i o n s C e n u a l t a s k : C o m p a r e f r a c t i o n s u s i n g g r a p h - P a p e r r e c t a n g l e s : n o t e b o o k a c t i v i t i e s C e n t r a l t a s k - U s i n g c h i p s t o s h o w d i f f e r e n t f r a c t i o n a l a m o u n t s o f 2 1 0 1 1 1 1 8 1 1 3 1 1 4 t h i n g s i t ' s d i v i d e d i n t o " a n d s u g g e s t e d t h a t b e c a u s e t h e r e w e r e 2 2 p e o p l e i n t h e c l a s s t h e d e n o m i n a t o r w o u l d b e 2 2 . T h e t a s k w e n t s m o o t h l y u n t i l t h e y t r i e d t o s h o w t h a t 2 2 o f t h e 2 2 p e o p l e r o d e b i c y c l e s . S t u d e n t s ' c o n f u s i o n a b o u t h o w t o i n t e r p r e t t h e n u m e r a t o r a n d d e n o m i n a t o r e m e r g e d w h e n s e v e r a l s t u d e n t s d i s a g r e e d w i t h t h e a n s w e r % . J a c k i e a l l o w e d t h e c l a s s t o p u r s u e a t s o m e l e n g t h t h e q u e s t i o n o f w h a t t h i s f r a c t i o n m e a n t . S e v e r a l s t u d e n t s p r o v i d e d i n t e r p r e t a t i o n s a n d , a t J a c k i e ' s i n s i s t e n c e , e x p l a i n e d t h e i r r e a s o n i n g t o t h e c l a s s . E v e n t h o u g h s h e p l a y e d a c e n t r a l r o l e i n q u e s t i o n i n g s t u d e n t s a b o u t t h e i r i d e a s , s h e d i d n o t a c k n o w l e d g e t h e i r s u g g e s t i o n s a s r i g h t o r w r o n g . W i t h o u t r e s o l v i n g t h e i s s u e , s h e d i s t r i b u t e d g r a p h p a p e r a n d a s s i g n e d s t u d e n t s t h e t a s k o f d r a w i n g a p i c t u r e t h a t w o u l d s h o w t h e n u m b e r o f s t u d e n t s w h o j u m p r o p e f o r e x e r c i s e . T h e f o l l o w i n g d a y J a c k i e d r e w f r o m p a g e 3 1 7 o f t h e t e x t b o o k , c o m p a n i o n t o t h e p a g e s h e h a d u s e d t h e p r e v i o u s d a y . A g a i n , s h e b e g a n w i t h a t a s k f r o m t h e m a r g i n o f t h e t e a c h e r ' s g u i d e a n d a l l o w e d t h e r e m a i n d e r o f t h e l e s s o n t o b u i l d o n i t . S h e s t a r t e d w i t h t h e p r o b l e m u n d e r t h e h e a d i n g " T h i n k A h e a d " a n d t h e n p o s e d a s e r i e s o f s i m i l a r p r o b l e m s s h e m a d e u p o n t h e s p o t . E a c h o f h e r f o l l o w - u p q u e s t i o n s i n v o l v e d fi n d i n g a f r a c t i o n o f a g r o u p , s u c h a s 3 1 - o u t o f 1 5 . S h e e n d e d t h e c l a s s b y g i v i n g s t u d e n t s f o u r m o r e p r o b l e m s t o c o m p l e t e i n v o l v i n g fi n d i n g o n e s i x t h , o n e t h i r d , o n e n i n t h , a n d o n e h a l f o f 1 8 . M o s t o f t h e s t u d e n t s a n s w e r e d t h e s e q u e s t i o n s c o r r e c t l y . T h e t h i r d d a y o f t h e f r a c t i o n u n i t w a s s i m i l a r i n t h a t J a c k i e u s e d a s i n g l e i d e a i n t h e t e a c h e r ' s g u i d e t o i n i t i a t e a l e s s o n o f h e r c r e a t i o n . S h e b e g a n t h e l e s s o n b y h a v i n g s t u d e n t s r e s p o n d t o a s e t o f q u e s t i o n s i n t h e i r n o t e b o o k s t h a t s h e h a d d r a w n f r o m t h e m a r g i n o f p a g e 3 1 7 o f t h e t e a c h e r ' s g u i d e : 1 . A r e a l l f r a c t i o n a l p a r t s t h e s a m e s i z e ? 2 . W h a t i s t h e w o r d n a m e f o r 2 / 5 . 3 . D r a w a p i c t u r e t o s h o w 3 / 5 . 1 1 5 4 . W h i c h i s g r e a t e r , 1 / 4 o r 1 / 2 ? 5 . P u t i n o r d e r f r o m l e a s t t o g r e a t e s t : 1 / 2 , 1 / 6 , 1 / 3 . ( H B J , p . 3 1 7 ) T h e c l a s s s p e n t m o s t o f t h e l e s s o n d i s c u s s i n g t h e fi r s t fi v e q u e s t i o n s . T h e i r a n s w e r s r e v e a l e d m a n y a r e a s o f c o n f u s i o n a b o u t f r a c t i o n s , p a r t i c u l a r l y a b o u t t h e m e a n i n g o f t h e d e n o m i n a t o r a n d t h e r e l a t i v e s i z e s o f f r a c t i o n s . O n c e J a c k i e m a n a g e d t o m o v e t h e c l a s s t o t h e fi n a l a c t i v i t y s h e h a d p l a n n e d ( u s i n g a H e r s h e y b a r t o s h o w v a r i o u s f r a c t i o n s ) , e v e n m o r e m i s c o n c e p t i o n s s u r f a c e d . T h e s t u d e n t s h a d t r o u b l e d i f f e r e n t i a t i n g b e t w e e n a t h i r d a n d a f o u r t h , s i n c e % c o n t a i n e d f o u r p i e c e s a n d w a s m o r e t h a n % , w h i c h c o n t a i n e d o n l y t h r e e . O n l y o n e s t u d e n t w a s a b l e t o s h o w w h a t o n e s i x t h o f t h e c a n d y b a r l o o k e d l i k e . M o s t i n s i s t e d t h a t % w a s s i x p i e c e s . J a c k i e s a i d t h a t t h e l e s s o n h a d r e v e a l e d h o w l i t t l e t h e c l a s s u n d e r s t o o d a b o u t f r a c t i o n s : " Y e s t e r d a y , I t h o u g h t t h e y u n d e r s t o o d f r a c t i o n s a n d t h e d e n o m i n a t o r . B u t t h e y h a d j u s t fi g u r e d o u t a p a t t e r n . T h a t ' s a l l . U n t i l t h e y l e a r n w h a t a n u m e r a t o r a n d d e n o m i n a t o r a r e , t h e y w o n ' t u n d e r s t a n d f r a c t i o n s " ( I n t e r v i e w , 4 / 7 / 9 3 ) . T h i s c o n c e r n s e e m e d t o u n d e r l i e J a c k i e ' s c h o i c e s f o r t h e n e x t s e v e r a l l e s s o n s . L e a v i n g t h e t e x t b o o k c o m p l e t e l y , s h e c o n s t r u c t e d l e s s o n s t h a t f o c u s e d a l m o s t e x c l u s i v e l y o n t h e m e a n i n g o f t h e n u m e r a t o r a n d d e n o m i n a t o r i n d i s c r e t e f r a c t i o n s . I n e a c h , s h e i n v o l v e d s t u d e n t s i n m o d e l i n g f r a c t i o n s w i t h c h i p s o r g r a p h p a p e r . W h e n I a s k e d J a c k i e a b o u t t h e s e l e s s o n s , s h e e x p l a i n e d t h a t l i s t e n i n g t o s t u d e n t s w a s m a k i n g h e r a w a r e o f h o w m u c h s h e h a d a s s u m e d t h e y u n d e r s t o o d : " I fi g u r e d a k i d u n d e r s t o o d w h a t a f o u r t h w a s , b u t w h a t t h e y w e r e u n d e r s t a n d i n g w a s a f o u r t h o n l y i f s o m e t h i n g i s d i v i d e d i n t o f o u r e q u a l p i e c e s , w i t h o u t k n o w i n g t h a t t h o s e p i e c e s m i g h t s t i l l h a v e p a r t s o f s o m e t h i n g i n i t " ( I n t e r v i e w , 4 / 1 2 / 9 2 ) . S h e e x p l a i n e d t h a t , b e c a u s e h e r s t u d e n t s h a d p r i m a r i l y l e a r n e d a b o u t f r a c t i o n s a s p i e c e s o f w h o l e t h i n g s t h a t t h e y h a d d i f fi c u l t y e x t e n d i n g t h e i r k n o w l e d g e t o i n c l u d e p a r t s o f g r o u p s . S h e g a v e t h i s r e a s o n f o r c r e a t i n g l e s s o n s o n d i s c r e t e f r a c t i o n s . S h e s a i d t h a t s h e d i d n o t b e l i e v e t h e b o o k c o v e r e d 1 1 6 t h e m i n t h e t y p e o f d e p t h s h e h a d . R a t h e r , s h e t h o u g h t t h a t i t g a v e s t u d e n t s a r u l e t h e y c o u l d a p p l y ; i t d i d n o t h e l p t h e m " u n d e r s t a n " w h y - § - o f 2 4 i s 1 6 ( I n t e r v i e w , 4 / 1 2 / 9 3 ) . M a n a g i p g t h e T e n s i o n B e t w e e n F o l l o w i n g S t u d e n t s a n d F o l l o w i n g t h e T e x t T h e s h i f t t h a t J a c k i e m a d e i n t h e s p r i n g l e s s o n s f r o m d r a w i n g o n s u g g e s t i o n s i n t h e t e x t b o o k t o d r a w i n g o n p e r s o n a l r e s o u r c e s t o c o n s t r u c t l e s s o n s a p p e a r s s i m i l a r t o t h e s h i f t s h e m a d e i n t h e f a l l . I n b o t h c a s e s , s h e r e l i e d o n t h e t e x t b o o k t o d e fi n e t h e m a t h e m a t i c a l t o p i c a n d t o i n i t i a t e t h e i r w o r k , b u t s h e d e t e r m i n e d w h a t s t u d e n t s n e e d e d t o l e a r n w i t h i n e a c h t o p i c a n d t h e n i n v e n t e d h e r o w n t a s k s t h a t r e s p o n d e d t o t h e i r i n t e r e s t s a n d n e e d s . E v e n t h o u g h s h e a n t i c i p a t e d t h a t h e r l i m i t e d k n o w l e d g e o f f r a c t i o n s w o u l d r e q u i r e t h a t s h e r e l y o n t h e t e x t m o r e d u r i n g t h a t u n i t , i t w a s n o t t h e c a s e . J a c k i e ' s t e n d e n c y t o m o v e a w a y f r o m t h e t e x t a s s h e p r o c e e d e d t h r o u g h a t o p i c , e v e n w h e n s h e w a s i n i t i a l l y u n f a m i l i a r w i t h t h e c o n t e n t , i l l u s t r a t e s h o w s h e m a n a g e d t h e t e n s i o n b e t w e e n h e r i d e a s a b o u t t e a c h i n g m a t h a n d t h o s e i n t h e t e x t . S h e c h o s e t o f a s h i o n h e r i n s t r u c t i o n a r o u n d t h e s t u d e n t s ' t h i n k i n g r a t h e r t h a n t h e t e x t . J a c k i e ' s c h o i c e h e l p s t o e x p l a i n w h y t h e H B J t e x t b o o k p r o v i d e d h e r w i t h l i t t l e d a y - t o - d a y s u p p o r t . G i v e n h e r c o m m i t m e n t t o f o l l o w i n g s t u d e n t s , h e r c a s e r a i s e s q u e s t i o n s a b o u t h o w w r i t t e n c u r r i c u l u m m a t e r i a l s c a n c o n t r i b u t e t o t h e c o n t i n u e d l e a r n i n g o f t e a c h e r s i n h e r p o s i t i o n . E x a m i n i n g J a c k i e ' s t e a c h i n g a n d p a t t e r n s o f i n t e r a c t i o n w i t h t h e t e x t c a n s h e d l i g h t o n t h e t y p e o f r e s o u r c e s s h e m i g h t fi n d u s e f u l i n a t e x t b o o k I n t h e f o l l o w i n g s e c t i o n , I c h a r a c t e r i z e J a c k i e ' s o r i e n t a t i o n t o t e a c h i n g a n d t e x t b o o k u s e , a n d I d e s c r i b e h o w a n d w h e n s h e u s e d t h e t e x t a n d t o w h a t e n d s . I t h e n e x a m i n e t h e i m p a c t o f h e r o r i e n t a t i o n t o u s i n g t h e H B J t e x t o n h e r t e a c h i n g a n d l e a r n i n g . l a c k i e ' s O r i e n t a t i o n t o T e a fl n g g d T e x t b o o k U s e : C u r r i c u l u m I m p r o v i s a t i o n T h e p o r t r a i t j u s t p a i n t e d o f J a c k i e ' s t e a c h i n g i l l u s t r a t e s h e r m o v e m e n t a w a y f r o m t h e t e x t . I n t h i s s e c t i o n , I l o o k i n m o r e d e t a i l a t h o w a n d w h e n s h e u s e d t h e t e x t . M y a n a l y s i s h a s b e e n h e l p e d b y B e n - P e r e t z ' s ( 1 9 9 0 ) d i s c u s s i o n o f t e a c h e r o c u r r i c u l u m e n c o u n t e r s . T o a l a r g e e x t e n t , J a c k i e ' s e n c o u n t e r s i l l u s t r a t e B e n - P e r e t z ' s c h a r a c t e r i z a t i o n 1 1 7 o f c u r r i c u l u m i n t e r p r e t a t i o n a n d r e c o n s t r u c t i o n . T h r o u g h t h e s e p r o c e s s e s , s h e a r g u e d , t e a c h e r s " r e a d " 6 t h e " c u r r i c u l u m p o t e n t i a l " i n w r i t t e n m a t e r i a l s a n d t r a n s f o r m t h e m i n t o a c t u a l l e a r n i n g e x p e r i e n c e s f o r s t u d e n t s . T h e e x a m p l e s I u s e i n c h a r a c t e r i z i n g J a c k i e ' s o r i e n t a t i o n t o u s i n g h e r t e x t a r e f r o m l e s s o n s s h e t a u g h t o v e r t h e y e a r . D e s p i t e t h e m i n o r r o l e t h e t e x t b o o k p l a y e d d u r i n g t h e S e p t e m b e r 1 6 t h l e s s o n , i t c o n t r i b u t e d i n t w o w a y s ; i t o r g a n i z e d t h e m a t h c u r r i c u l u m i n t o t o p i c s t h a t J a c k i e c o v e r e d , a n d i t o f f e r e d t h e c o n c e p t u a l i d e a t h a t s h e u s e d t o c r e a t e t h e c e n t r a l t a s k o f t h e l e s s o n . T h i s w a s t y p i c a l o f J a c k i e ' s i n t e r a c t i o n w i t h t h e t e x t . H e r t e n d e n c y t o u s e t h e b o o k , n o t a s a s c r i p t o r s t e p - b y — s t e p g u i d e b u t a s a s o u r c e o f t o p i c s a n d i d e a s , i l l u s t r a t e s h e r o r i e n t a t i o n t o u s i n g s u c h r e s o u r c e s i n m a t h e m a t i c s i n s t r u c t i o n . S h e w a s a n " i m p r o v i s e r ; " t h a t i s , s h e w a s n o t i n c l i n e d t o f o l l o w p r e d e t e r m i n e d o r g e n e r i c p r o t o c o l s f o r l e s s o n s . R a t h e r , s h e c r a f t e d l e s s o n s p a r t i c u l a r t o t h e s i t u a t i o n t h a t s t a r t e d w i t h a m a t h e m a t i c a l i d e a a n d w e r e s h a p e d b y s t u d e n t s ' r e s p o n s e s a n d i n p u t . 7 J a c k i e ' s S W fi a c e : U n d e r l y i n g I d e a s J a c k i e ' s s t a r t i n g p l a c e f o r d e s i g n i n g a l e s s o n w a s a c o n c e p t u a l i d e a t h a t s h e b e l i e v e d w a s i m p o r t a n t f o r h e r s t u d e n t s t o u n d e r s t a n d . S h e t h e n s e l e c t e d o r c r e a t e d t a s k s t h a t f o l l o w e d t h e i d e a . S h e o f t e n d r e w t h e s e i d e a s f r o m t h e t e x t . F o r e x a m p l e , o n S e p t e m b e r 1 6 t h , s h e w a s c o m p e l l e d b y t h e r e l a t i o n s h i p s b e t w e e n t h e v a l u e s o f e a c h p l a c e i n t h e b a s e - 1 0 s y s t e m r e p r e s e n t e d i n t h e t e x t . T h e O c t o b e r 1 5 t h l e s s o n i l l u s t r a t e s a n i n s t a n c e i n w h i c h J a c k i e w a s c o m p e l l e d b y a n i d e a s u g g e s t e d b y a s t u d e n t r a t h e r t h a n t h e t e x t . I n b o t h c a s e s , t h e i n s t r u c t i o n a l t a s k s s h e c r e a t e d w e r e b o r n o f m a t h e m a t i c a l i d e a s s h e b e l i e v e d w e r e i m p o r t a n t f o r h e r s t u d e n t s t o u n d e r s t a n d . T h i s a p p r o a c h i s n o t 6 T ' h e t e r m " r e a d " i s t a k e n f r o m B e n - P e r e t z ( 1 9 9 0 ) w h o t a l k e d o f t h e d i f f e r e n t w a y s t e a c h e r s r e a d a n d i n t e r p r e t t e x t s . I n C h a p t e r 6 , I e x t e n d t h i s n o t i o n o f r e a d i n g t e x t b o o k s t o i n c l u d e h o w t e a c h e r s d e c i d e w h a t s u g g e s t i o n s t o r e a d a n d h o w t o r e a d t h e m , i n a d d i t i o n t o t h e m e a n i n g s . 7 Y i n g e r ( 1 9 8 7 , 1 9 8 8 ) u s e d t h e t e r m " i m p r o v i s a t i o n " t o d e s c r i b e t h e b e s t o f w h a t g o o d t e a c h e r s d o . O t h e r s ( B a l l , 1 9 9 3 ; C l a r k , 1 9 8 8 ; H e a t o n , 1 9 9 4 ; H u b e r m a n , 1 9 9 3 ; 1 a m p e r t , 1 9 9 0 ) d e s c r i b e d t e a c h i n g a s a n a c t i v e p r o c e s s o f l i s t e n i n g t o s t u d e n t s , m a k i n g t h e m o s t o f t h e u n e x p e c t e d , a n d r e i n v e n t i n g o n e ' s c u r r i c u l a r p l a n s t o n a v i g a t e s t u d e n t s ' j o u r n e y s t h r o u g h t h e c o n t e n t . 1 1 8 t y p i c a l o f m a n y t e a c h e r s , w h o t e n d t o f o c u s o n t a s k s o r a c t i v i t i e s i n w h i c h g o a l s o r o b j e c t i v e s a r e e m b e d d e d ( B o r k o 8 : N i l e s , 1 9 8 7 ) . C u r r i c u l u m I n t e r p r e t a t i o g n d C o n s t r u c t i o n J a c k i e ' s t e n d e n c y t o c r e a t e a n d s e l e c t i n s t r u c t i o n a l t a s k s t o f u r t h e r h e r m a t h e m a t i c a l g o a l s i l l u s t r a t e s o n e a s p e c t o f B e n - P e r e t z ' s ( 1 9 9 0 ) v i e w o f c u r r i c u l u m i n t e r p r e t a t i o n t h a t i n v o l v e s " r e a d i n g " m o r e i n t e x t s t h a n t h e e m b o d i m e n t o f t h e d e v e l o p e r s ' i n t e n t i o n s . S h e w a s o f t e n c o m p e l l e d b y a n i d e a u n d e r l y i n g a t a s k i n t h e t e x t b u t n o t b y t h e t a s k i t s e l f ; t h u s s h e c r e a t e d h e r o w n t a s k s . O n S e p t e m b e r 1 6 t h , f o r e x a m p l e , s h e c r e a t e d t h e p l a c e - v a l u e t a s k i n v o l v i n g b a s e 1 0 b l o c k s . S h e w a n t e d s t u d e n t s t o u n d e r s t a n d t h e r e l a t i o n s h i p b e t w e e n 1 ' s , 1 0 ' s , 1 0 0 ' s , a n d 1 0 0 0 ' s b u t s h e d i d n o t b e l i e v e t h e t e x t ' s a p p r o a c h w a s s u f fi c i e n t : [ T h e b o o k ] g a v e s o m e n u m b e r s l i k e a t h o u s a n d n i n e h u n d r e d a n d s a i d s h o w f o u r w a y s o f w r i t i n g i t . B u t I r e a l l y f e l t t h a t i t w a s p a t t e r n i n g , y o u k n o w , t h e y w o u l d j u s t f o l l o w t h e p a t t e r n . I w a s h o p i n g t h a t t h e y w o u l d s t a r t l o o k i n g a t i t a n d t h i n k i n g w h a t a t h o u s a n d i s ( I n t e r v i e w , 9 / 1 6 / 9 2 ) . O n s o m e o c c a s i o n s , J a c k i e d r e w a c t u a l t a s k s f r o m t h e t e x t b u t r a r e l y f r o m s t u d e n t p a g e s . S h e u s u a l l y f o u n d t a s k s i n t h e m a r g i n s o r o t h e r s e c t i o n s i n t h e t e a c h e r ' s g u i d e t h a t p r o v i d e d s u g g e s t i o n s d e s i g n e d t o s u p p l e m e n t o r c o m p l e m e n t t h e d a i l y l e s s o n s . T h e s e t a s k s i n c l u d e d n o n r o u t i n e p r o b l e m s f r o m t h e P r o b l e m - o f - t h e - D a y s e c t i o n a n d t h e c o n c e p t u a l l y o r i e n t e d a c t i v i t i e s o n p a g e s f o u n d o n l y i n t h e t e a c h e r ' s g u i d e . J a c k i e s a i d t h a t s h e l i k e d t h e s e t a s k s b e c a u s e t h e y c h a l l e n g e d s t u d e n t s . T h e y " o f f e r t h e k i d s p r o b l e m s t h a t w e r e n ' t j u s t t h e c o m m o n , e v e r y d a y , w h e r e t h e y [ s t u d e n t s ] c o u l d j u s t l o o k a t i t a n d a u t o m a t i c a l l y fi g u r e o u t t h e a n s w e r " ( I n t e r v i e w , 7 / 1 / 9 3 ) . T a b l e s 4 . 2 a n d 4 . 3 s h o w e d o f f e r i n g s i n t h e t e x t t h a t J a c k i e t e n d e d t o d r a w f r o m , a s w e l l a s t h e f r e q u e n c y w i t h w h i c h s h e c r e a t e d h e r o w n a c t i v i t i e s . T h e t a b l e s r e v e a l e d t h a t , s h e o n l y u s e d s t u d e n t p a g e s d u r i n g t w o o f t h e l e s s o n s I o b s e r v e d . I n e a c h c a s e , t h e s t u d e n t s u s e d t h e t e x t a s a r e f e r e n c e , n o t a s o u r c e o f e x e r c i s e s t o c o m p l e t e . W h e n J a c k i e u s e d t a s k s f r o m t h e t e x t , s h e u s e d t h e m i n w a y s n o t i n t e n d e d b y t h e t e x t ' s d e v e l o p e r s . F o r e x a m p l e , t h e c e n t r a l t a s k s d u r i n g t h e l e s s o n s o n A p r i l 5 t h a n d 7 t h 1 1 9 w e r e f r o m t h e m a r g i n o f t h e t e a c h e r ' s g u i d e ; b o t h w e r e o f f e r e d a s p r e l i m i n a r y a c t i v i t i e s d e s i g n e d t o b e c o m p l e t e d q u i c k l y p r i o r t o t h e m a i n p a r t o f t h e l e s s o n . J a c k i e , h o w e v e r , f a s h i o n e d m o s t o f t h e l e s s o n a r o u n d e a c h , u s i n g t h e m t o e n g a g e s t u d e n t s i n t h i n k i n g a b o u t t h e m e a n i n g o f f r a c t i o n s . S h e d e c i d e d t o u s e t h e t a s k s b e c a u s e s h e b e l i e v e d t h e y w o u l d " m a k e t h e m [ t h e s t u d e n t s ] t h i n k " ( I n t e r v i e w , 4 / 7 / 9 3 ) . J a c k i e a l s o d r e w i d e a s t o v i s u a l l y r e p r e s e n t c o n c e p t s f r o m t h e t e x t . T h e b a s e - 1 0 b l o c k s , p l a c e - v a l u e m a t s , a n d c h i p s t o r e p r e s e n t d i s c r e t e f r a c t i o n s w e r e a l l u s e d i n t h e t e x t b o o k T h e p l a c e - v a l u e m a t s , f o r e x a m p l e , w e r e u s e d i n a n a c t i v i t y o n o n e o f t h e L i n k p a g e s . W h e n s h e s a w t h e m , t h e y s t r u c k h e r a s a u s e f u l w a y t o i l l u s t r a t e r e g r o u p i n g w h i l e a l l o w i n g s t u d e n t s t o m a k e t h e e x c h a n g e s : " I t h o u g h t , i t ' s m u c h e a s i e r t o h a v e i t w h e r e t h e y c a n w o r k o n i t ; t h e y j u s t h a d i t l i k e t h i s a n d I w a n t e d i t w h e r e t h e y d i d n ' t j u s t s a y t h e n u m b e r s ; t h e y c o u l d a c t u a l l y p u t t h i n g s t h e r e " ( I n t e r v i e w , 1 0 / 1 5 / 9 2 ) . I n u s i n g t h e s e m a t s , h o w e v e r , J a c k i e i n v e n t e d h e r o w n t a s k s r a t h e r t h a n u s i n g t h o s e s u g g e s t e d i n t h e t e x t . T h i s e x a m p l e i l l u s t r a t e s h o w J a c k i e r e a d t h e c u r r i c u l u m p o t e n t i a l i n t h e t e x t b o o k ' s o f f e r i n g s a n d c r e a t e d i n s t r u c t i o n a l a c t i v i t i e s t h a t t r a n s f o r m e d t h e w r i t t e n c u r r i c u l u m ( B e n - P e r e t z , 1 9 9 0 ) . C u r r i c u l u m A d a p t a t i o n A n o t h e r f o r m o f c u r r i c u l u m d e v e l o p m e n t c e n t r a l t o J a c k i e ' s t e a c h i n g w a s c u r r i c u l u m a d a p t a t i o n . H e r e , I a m r e f e r r i n g t o t h e c o n t i n u a l r e s h a p i n g o f h e r p l a n s w h i l e i m p l e m e n t i n g t h e m . 3 T h i s t y p e o f i n - a c t i o n c u r r i c u l u m r e v i s i o n i s n o t e x p l i c i t l y d i s c u s s e d b y B e n - P e r e t z ( 1 9 9 0 ) . I t i s , h o w e v e r , c o n s o n a n t w i t h h e r n o t i o n o f t e a c h e r s a s c u r r i c u l u m d e v e l o p e r s w h o " r e fl e c t o n t h e i r c u r r i c u l u m a n d r e c o n s t r u c t i t " ( p . x v ) . T h i s d e s c r i p t i o n c h a r a c t e r i z e s J a c k i e ' s i n t e r a c t i o n w i t h h e r c u r r i c u l a r p l a n s r e g a r d l e s s o f t h e i r s o u r c e . A l l o f t h e t a s k s p r e s e n t e d t o h e r s t u d e n t s , w h e t h e r d r a w n d i r e c t l y f r o m t h e t e x t 8 C u r r i c u l u m a d a p t a t i o n i s n o t u n i q u e t o J a c k i e . B e c a u s e o f i t s i n h e r e n t u n c e r t a i n t y ( J a c k s o n , 1 9 8 6 ; L o r t i e , 1 9 7 5 ) , a l l t e a c h i n g i n v o l v e s s o m e d e g r e e o f fl e x i b l e a d a p t a t i o n o f i n t e n d e d p l a n s w h i l e t h e y a r e b e i n g e n a c t e d i n t h e c l a s s r o o m . T h e a c t o f c u r r i c u l u m a d a p t a t i o n , h o w e v e r , i s c e n t r a l t o J a c k i e ' s i d e a s a b o u t g o o d t e a c h i n g , b e c a u s e t h e y i n c l u d e b e i n g r e s p o n s i v e t o s t u d e n t s . A s H e a t o n ' s ( 1 9 9 4 ) c o n c e p t u a l i z a t i o n o f t e a c h i n g a s i n v e n t i o n s u g g e s t s , s u c h a p e d a g o g i c a l s t a n c e b e c o m e s e s s e n t i a l w h e n t h e t e a c h e r m a k e s r e s p o n d i n g t o s t u d e n t s c e n t r a l t o h e r c u r r i c u l u m . 1 2 0 o r c o n s t r u c t e d b y h e r , u n d e r w e n t s o m e a d a p t a t i o n o r e x t e n s i o n f r o m t h e i r o r i g i n a l d e s i g n . W i t h i n e a c h l e s s o n , s h e f r e q u e n t l y a d d e d q u e s t i o n s o r t a s k s i n r e s p o n s e t o w h a t s h e b e l i e v e d h e r s t u d e n t s u n d e r s t o o d a n d w h e r e t h e y n e e d e d t o g o . T h i s t y p e o f i m p r o v i s i n g w a s m o s t a p p a r e n t i n t h e w a y s h e s t r u c t u r e d d i s c u s s i o n s t o f o c u s o n t h e s t u d e n t s ' i d e a s a n d s o l u t i o n s a n d i n t h e f o l l o w - u p q u e s t i o n s s h e p o s e d t h a t b u i l t o n w h a t h a d a l r e a d y e m e r g e d . J a c k i e ' s t r a n s f o r m a t i o n s i l l u s t r a t e h o w t e a c h i n g t h a t b u i l d s o n s t u d e n t s ' i d e a s a n d r e s p o n s e s i s , i n e s s e n c e , o n g o i n g i n v e n t i o n ( H e a t o n , 1 9 9 4 ) b e c a u s e i t c a l l s f o r i m m e d i a t e c o n s t r u c t i o n a n d a d a p t a t i o n o f c u r r i c u l a r p l a n s i n r e s p o n s e t o s t u d e n t s . F o r e x a m p l e , J a c k i e g e n e r a l l y o p e n e d a c l a s s d i s c u s s i o n b y i n v i t i n g a s t u d e n t t o s h a r e a s o l u t i o n a n d t h e n a s k e d o t h e r s t o r e s p o n d . O f t e n , s h e d i d n o t k n o w w h i c h s o l u t i o n t h e s t u d e n t w o u l d s e l e c t , w h a t t y p e s o f i d e a s w o u l d b e i n t e r j e c t e d i n t o t h e c o n v e r s a t i o n , o r h o w o t h e r s w o u l d r e s p o n d . A s t h e c l a s s p u r s u e d t h e c h i l d ' s s o l u t i o n , J a c k i e e s t a b l i s h e d t h e p a t h t h e c l a s s w o u l d t a k e b y s p o n t a n e o u s l y d e c i d i n g h o w t o r e s p o n d t o t h e s e s t u d e n t - g e n e r a t e d i d e a s . A n e x a m p l e o f o n e o f J a c k i e ' s s p o n t a n e o u s i m p r o v i s a t i o n s , i n s p i r e d b y h e r m a t h e m a t i c a l g o a l s f o r h e r s t u d e n t s , o c c u r r e d w h e n t h e c l a s s w a s d i s c u s s i n g i t s s o l u t i o n s t o o n e o f t h e P r o b l e m s o f t h e D a y . B e f o r e t h e a c t u a l m a t h e m a t i c s l e s s o n b e g a n o n O c t o b e r 1 5 t h , J a c k i e g a v e h e r s t u d e n t s t h e f o l l o w i n g p r o b l e m t o w o r k o n w h i l e s h e t o o k r o l l : S h a u n d r a t h r o w s t h r e e d a r t s a t t h i s t a r g e t . A l l t h r e e d a r t s h i t . W h a t a r e S h a u n d r a ' s p o s s i b l e s c o r e s ? 1 2 C 9 ( H B J , P r o b l e m 2 . 5 , p . B 3 ) F i g u r e 4 . 3 T h e O c t o b e r 1 5 t h p r o b l e m o f t h e d a y 1 2 1 A f t e r a t t e n d i n g t o s e v e r a l m o r n i n g d e t a i l s a n d l o o k i n g o n a s h e r s t u d e n t s w o r k e d , J a c k i e t u r n e d h e r a t t e n t i o n t o m a t h . S h e b e g a n w i t h a d i s c u s s i o n o f t h i s p r o b l e m b u t n o t b y a s k i n g s t u d e n t s f o r t h e i r s o l u t i o n s . I n s t e a d , s h e p o s e d a n e w q u e s t i o n t h a t t o o k t h e m b e y o n d fi n d i n g t h e p o s s i b l e s o l u t i o n s . S h e a s k e d : " H o w d o y o u k n o w w h e n y o u h a v e t h e m a l l ? " I n t h e d i s c u s s i o n t h a t f o l l o w e d , a f e w s t u d e n t s t r i e d t o d e s c r i b e t h e i r s t r a t e g i e s f o r s y s t e m a t i c a l l y s o l v i n g t h e p r o b l e m , b u t f e w c o u l d a r t i c u l a t e t h e i r a p p r o a c h e s . J a c k i e r e p e a t e d l y p e r s i s t e d w i t h h e r q u e s t i o n o f h o w t h e i r a p p r o a c h e s c o u l d h e l p t h e m d e c i d e w h e t h e r t h e y h a d t h e m Q S h e l a t e r t o l d m e t h a t h e r i n t e n t w i t h t h i s q u e s t i o n w a s t o e n c o u r a g e s t u d e n t s t o t h i n k s t r a t e g i c a l l y . H e r o b s e r v a t i o n s o f t h e i r w o r k o n t h e p r o b l e m i n d i c a t e d t h a t m o s t h a d a p p r o a c h e d i t h a p h a z a r d l y , o f t e n c o u n t i n g d i f f e r e n t p e r m u t a t i o n s o f t h e s a m e t h r e e n u m b e r s a s d i f f e r e n t c o m b i n a t i o n s . S h e e x p l a i n e d : " I ' m h o p i n g t h a t t h e y ' l l s t a r t s e e i n g t h e r e a r e t h i n g s t h a t t h e y c a n k i n d o f b u i l d u p o n [ w h e n s o l v i n g s u c h a p r o b l e m ] . . . . S t a r t b y y o u r o w n d e c i d i n g h o w y o u w a n t y o u r p a t t e r n t o w o r k " ( I n t e r v i e w , 1 0 / 1 5 / 9 2 ) . J a c k i e ' s s p o n t a n e o u s i m p r o v i s a t i o n s i n v o l v e d c o m p l e t e l y r e v i s i n g h e r o r i g i n a l i n t e n t i n r e s p o n s e t o w h a t s h e l e a r n e d f r o m l i s t e n i n g t o h e r s t u d e n t s . A s s h e e x p l a i n e d : " W e w e n t o f f o n t a n g e n t s a l l t h e t i m e b e c a u s e o f t h e q u e s t i o n s o r w h a t e v e r t h e k i d s d i d " ( I n t e r v i e w , 7 / 1 / 9 3 ) . S h e f o l l o w e d t h e l e a d o f h e r s t u d e n t s o n F e b r u a r y l s t , w h e n s h e g a v e t h e c l a s s a p r o b l e m o f t h e d a y t h a t i n v o l v e d f r a c t i o n s . J a c k i e a l l o w e d t h e s t u d e n t s t o s t r u g g l e t o g e t h e r w i t h t h e p r o b l e m . I n l e a d i n g t h e d i s c u s s i o n , s h e p u r s u e d i d e a s s u g g e s t e d b y d i f f e r e n t s t u d e n t s , i n t e r j e c t i n g h e r o w n q u e s t i o n s f r o m t i m e - t o - t i m e . T h e d i s c u s s i o n q u i c k l y m o v e d a w a y f r o m d i r e c t l y s o l v i n g t h e p r o b l e m a n d f o c u s e d m o r e g e n e r a l l y o n f r a c t i o n c o n c e p t s ; J a c k i e e n c o u r a g e d t h i s e x p l o r a t i o n . E v e n t u a l l y , t h e d i s c u s s i o n e v o l v e d i n t o a c o m p a r i s o n o f t h i r d s a n d h a l v e s , a s t h e s t u d e n t s t r i e d t o r e c o n c i l e w h e t h e r - $ 7 o f 1 2 w a s m o r e o r l e s s t h a n % o f 6 . J a c k i e f o l l o w e d t h e s t u d e n t s ' l e a d s , p u s h i n g t h e m t o u s e w h a t t h e y a l r e a d y k n e w a b o u t f r a c t i o n s a n d t o m a k e d r a w i n g s t o h e l p t h e m m a k e s e n s e o f n e w i d e a s . 1 2 J a c k i e a l s o i m p r o v i s e d d u r i n g o r a f t e r d i s c u s s i o n s b y s p o n t a n e o u s l y i n v e n t i n g f o l l o w - u p t a s k s t o p r e s e n t t o h e r s t u d e n t s . T h e i n t e n t w a s t o a s s e s s t h e i r u n d e r s t a n d i n g o f a p a r t i c u l a r c o n c e p t o r t o g e t t h e m t o l o o k m o r e c l o s e l y a t i t . S h e d i d t h i s o n A p r i l 8 t h , a t t h e e n d o f a l e s s o n o n f r a c t i o n s f o c u s e d o n t h e m e a n i n g o f t h e d e n o m i n a t o r . T h e l e s s o n h a d p r o d u c e d m o r e e v i d e n c e f o r J a c k i e t h a t s t u d e n t s w e r e s t i l l u n s u r e a b o u t w h a t t h e d e n o m i n a t o r i n d i c a t e d , p a r t i c u l a r l y w h e n t h e w h o l e w a s a g r o u p . S h e , c o n s e q u e n t l y , c l o s e d t h e l e s s o n b y a s k i n g s t u d e n t s t o c o m p l e t e t h e f o l l o w i n g s e n t e n c e i n t h e i r n o t e b o o k s : " T h e b o t t o m n u m b e r o f a f r a c t i o n t e l l s m e _ _ " ; s h e t h e n d r e w a p i c t u r e t o e x p l a i n . J a c k i e ' s c o m m i t m e n t t o c r e a t i n g l e s s o n s r e s p o n s i v e t o h e r s t u d e n t s a n d t h a t h e l p e d t h e m m a k e m a t h e m a t i c a l c o n n e c t i o n s o f t e n l e d h e r a w a y f r o m c u r r i c u l a r p l a n s o u t l i n e d i n t h e t e x t . S h e r e c a l l e d a t t h e e n d o f t h e y e a r : S o m e t i m e s w h e n I w a s d o i n g s o m e t h i n g a n d I j u s t r e a l i z e d t h a t t h e k i d s w e r e n ' t g e t t i n g i t o r t h e y b r o u g h t u p s o m e k i n d o f q u e s t i o n a n d i t , t h e b o o k , w a s n ' t a t t h a t p o i n t . . . . a n d I f e l t t h a t i t w a s a g o o d l e a r n i n g p l a c e . A n d s o w e s p e n t s o m e t i m e w i t h i t " ( I n t e r v i e w , 7 / 1 / 9 3 ) . A s I d e s c r i b e d a b o v e , J a c k i e m a d e s p o n t a n e o u s d e c i s i o n s d u r i n g b o t h s e t s o f l e s s o n s I o b s e r v e d . I n t h e f a l l , s h e c h a n g e d h e r o r i g i n a l p l a n s w h e n a s t u d e n t m a d e a n o b s e r v a t i o n t h a t p r o v i d e d a l o g i c a l c o n n e c t i o n t o t h e t o p i c o f t h e n e x t c h a p t e r . l a t e r i n t h e y e a r , J a c k i e d r o p p e d t h e p l a n s s h e h a d m a d e i n t h e f r a c t i o n c h a p t e r t o a d d r e s s c o n c e p t u a l d i f fi c u l t i e s t h e s t u d e n t s h a d w i t h t h e p r e v i o u s l e s s o n . T h e s e c h a n g e s i n c o u r s e w e r e m o t i v a t e d b y w h a t s h e b e l i e v e d s t u d e n t s n e e d e d t o u n d e r s t a n d a n d w h a t s h e l e a r n e d f r o m l i s t e n i n g t o t h e m d u r i n g c l a s s . A f t e r t h e f r a c t i o n l e s s o n r e v e a l e d s t u d e n t s ' d i f fi c u l t i e s , J a c k i e c o n f e s s e d : " I s u r e l e a r n e d t h a t I h a v e t o g o b a c k a n d d o s o m e t h i n g s a l o t m o r e t h a n I t h o u g h t " ( I n t e r v i e w , 4 / 8 / 9 3 ) . J a c k i e ' s t e n d e n c y t o l o o k t o h e r s t u d e n t s a n d t h e m a t h e m a t i c a l i d e a s i n d e c i d i n g w h e r e t o g o n e x t i s r e m i n i s c e n t o f Y i n g e r ' s ( 1 9 8 8 ) v i e w o f t e a c h i n g a s i m p r o v i s a t i o n : " T h e t e a c h e r i s c a s t a s a n a c t o r i n a t h r e e - w a y c o n v e r s a t i o n b e t w e e n t e a c h e r , s t u d e n t s , a n d p r o b l e m s " ( p . 8 6 ) . T h e t e x t c o n t r i b u t e d p r o b l e m s o r m a t h e m a t i c a l i d e a s t o t h i s 1 2 3 c o n v e r s a t i o n b u t d i d n o t s t e e r o r d o m i n a t e i t . A s J a c k i e s a i d , " I t [ t h e t e x t b o o k ] g a v e m e t h e i d e a s . . . . S o m e t i m e s I c a m e u p w i t h m y o w n i d e a s , b u t a l o t o f t i m e s i t w a s a t l e a s t t h e j u m p i n g - o f f p o i n t a n d i t d i d , a t l e a s t , s t a r t m e t h i n k i n g " ( I n t e r v i e w , 7 / 1 / 9 3 ) . l a c k i e ' s O r i e n t a t i o n T o T e x t b o o k U s e a n d O p p o r t u n i t i e s T o L e a r n T h i s e x a m i n a t i o n o f J a c k i e ' s t e a c h i n g r e v e a l s t w o c o n fl i c t s b e t w e e n w h a t s h e b r o u g h t t o a n d e x p e c t e d f r o m h e r t e x t b o o k a n d w h a t t h e b o o k o f f e r e d . B o t h i n v o l v e c o n t r a s t s b e t w e e n h o w J a c k i e u s e d t h e t e x t a n d h o w t e x t b o o k u s e i s i m a g i n e d b y d e v e l o p e r s a n d p o l i c y m a k e r s , a n d b o t h i n fl u e n c e d t h e e x t e n t t o w h i c h t h e t e x t c o u l d s u p p o r t h e r l e a r n i n g t o t e a c h m a t h e m a t i c s f o r u n d e r s t a n d i n g . T h e fi r s t c o n fl i c t w a s b e t w e e n h e r f o c u s o n i d e a s u n d e r l y i n g t h e t a s k s i n t h e t e x t a n d t h e d e v e l o p e r s ' p r i m a r y v e h i c l e f o r c o m m u n i c a t i n g i t s i n t e n t . A s t h e a n a l y s i s i n C h a p t e r T h r e e s u g g e s t s , t h e t e x t ' s o n l y m e t h o d o f c o m m u n i c a t i n g w i t h t h o s e u s i n g i t w a s t h r o u g h t h e i n s t r u c t i o n a l t a s k s i t s u g g e s t e d . T h e s e c o n d c o n fl i c t e m e r g e d f r o m h e r t e n d e n c y t o f o l l o w t h e l e a d o f t h e s t u d e n t s a n d , c o n s e q u e n t l y , m o v e a w a y f r o m t h e p l a n i n t h e t e x t . I n b o t h i n s t a n c e s , J a c k i e ' s o r i e n t a t i o n t o w a r d s t h e t e x t b o o k a l l o w e d h e r t o u s e t h e t e x t i n w a y s t h a t i g n o r e d t h e d e v e l o p e r s ' o f f e r i n g s . F r o m o n e p e r s p e c t i v e , J a c k i e ' s d i s m i s s a l a n d r e v i s i o n s o f t h e t e x t ' s o f f e r i n g r a i s e l i t t l e c o n c e r n . A s B e n - P e r e t z ( 1 9 9 0 ) d e s c r i b e d i t , J a c k i e i s f u l fi l l i n g h e r r o l e i n t h e c u r r i c u l u m d e v e l o p m e n t p r o c e s s b y t r a n s f o r m i n g t h e w r i t t e n t e x t i n t o s o m e t h i n g b e y o n d t h e d e v e l o p e r s ' i n t e n t i o n s . T h e t a s k s s h e c r e a t e d m a n a g e d t o s t r e t c h t h e o f f e r i n g s o f t h e t e x t b e y o n d t h e i r i n i t i a l c a p a c i t y . T h i s p e r s p e c t i v e , h o w e v e r , d o e s n o t c o n s i d e r t h e t e x t ' s r o l e i n t h i s p r o c e s s N o r d o e s i t a s s u m e t h a t t e x t s m i g h t c o n t r i b u t e t o t e a c h e r s ' l e a r n i n g . T h e l i m i t e d i m p a c t t h e t e x t h a d o n J a c k i e ' s t e a c h i n g i s m o r e d i s c o n c e r t i n g f o r t h o s e l o o k i n g t o r e f o r m - o r i e n t e d c u r r i c u l u m m a t e r i a l s t o s t i m u l a t e c h a n g e . B e c a u s e J a c k i e d r e w o n h e r o w n r e s o u r c e s ( m a t h e m a t i c a l a n d p e d a g o g i c a l k n o w l e d g e ) t o c o n s t r u c t t a s k s , a n y a l t e r n a t i v e u s e d w a s r e s t r i c t e d b y t h e k n o w l e d g e a n d v i s i o n b r o u g h t t o h e r t e a c h i n g o r d e v e l o p e d t h r o u g h i t . T h e c o n t e n t o f t h e t e x t h a d l i t t l e 1 2 4 i n p u t . A s a r e s u l t , t h e r e w e r e m a t h e m a t i c a l a n d p e d a g o g i c a l i d e a s i n t h e H B J t e x t i n s p i r e d b y c u r r e n t r e f o r m s t h a t J a c k i e m i s s e d . F o l l o w i n g i s a d e s c r i p t i o n o f o n e o f t h e s e m i s s e d o p p o r t u n i t i e s . E s t i m a t i o n : M i s s e d o r t u n i t T o L e a r n F r o m t h e T e x t B y n o t u s i n g t h e t a s k s s u g g e s t e d i n t h e t e x t , J a c k i e m i s s e d a n o p p o r t u n i t y t o r e c o n s i d e r t h e r o l e o f e s t i m a t i o n i n l e a r n i n g c o m p u t a t i o n . E s t i m a t i o n h a s b e e n i n c l u d e d i n m a t h e m a t i c s t e x t b o o k s f o r s o m e t i m e , b u t i t s r o l e w a s m i n o r . I n g e n e r a l , i t w a s t a u g h t a f t e r a g i v e n c o m p u t a t i o n a l p r o c e d u r e a s a s e t o f s t e p s t h a t i n v o l v e d r o u n d i n g n u m b e r s t o t h e n e a r e s t 1 0 0 o r 1 , 0 0 0 i n o r d e r t o c o m p u t e w i t h t h e m q u i c k l y . R e f o r m d o c u m e n t s , s u c h a s t h e N C T M S t a n d a r d s , s u g g e s t s a d i f f e r e n t v i e w o f e s t i m a t i o n . C a l l i n g f o r i n c r e a s e d e m p h a s i s o n n u m b e r s e n s e a n d r e a s o n i n g , r e f o r m e r s c l a i m t h a t e s t i m a t i o n r e q u i r e s a n u n d e r s t a n d i n g o f t h e o p e r a t i o n a n d n u m b e r s y s t e m t o a p p r o x i m a t e a r e a s o n a b l e a n s w e r . I n r e s p o n s e , r e f o r m - o r i e n t e d t e x t s h a v e m a d e e s t i m a t i o n m o r e p r o m i n e n t . D e v e l o p i n g a p p r o p r i a t e e s t i m a t i o n s k i l l s i s o n e o f t h e o b j e c t i v e s s t a t e d i n t h e H B J t e x t f o r 8 o f t h e 1 3 c h a p t e r s ; i n e a c h c a s e , a t l e a s t o n e l e s s o n i s d e v o t e d t o i t . A n d , i n m o s t c a s e s , t h e l e s s o n c o m e s b e f o r e t h e a c t u a l a l g o r i t h m i s t a u g h t . F o r e x a m p l e , L e s s o n 2 . 3 i n t h e c h a p t e r o n a d d i t i o n a n d s u b t r a c t i o n i s d e v o t e d t o e s t i m a t i n g 3 - d i g i t s u m s a n d c o m e s b e f o r e t h e l e s s o n o n t h e s t e p s o f r e g r o u p i n g . T h e i m p l i c a t i o n i s t h a t u n d e r s t a n d i n g t h e m e a n i n g o f a d d i t i o n , d e v e l o p e d t h r o u g h e s t i m a t i o n , i s a n a p p r o p r i a t e p r e c u r s o r t o l e a r n i n g t h e a c t u a l a d d i t i o n a l g o r i t h m . T h i s , o r a n y o t h e r r a t i o n a l e f o r t h e i n c r e a s e d e m p h a s i s o n e s t i m a t i o n , i s n o t g i v e n i n t h e t e x t . T h e s e i d e a s w e r e s u g g e s t e d o n l y t h r o u g h t h e t a s k s i t g a v e t e a c h e r s t o u s e . F o l l o w i n g h e r o w n s e n s e o f h o w s t u d e n t s s h o u l d b e i n t r o d u c e d t o 3 - d i g i t a d d i t i o n o r s u b t r a c t i o n , J a c k i e d e v e l o p e d t a s k s t h a t d i d n o t i n c l u d e e s t i m a t i o n . N o r d i d s h e s e e i t a s a u s e f u l p r e c u r s o r t o t h e t o p i c . W h e n I a s k e d h e r a b o u t i t , s h e s a i d t h a t s h e d i d n o t w a n t t o " c o n f u s e t h e m " b y i n t r o d u c i n g e s t i m a t i o n b e f o r e t h e s t u d e n t s l e a r n e d 1 2 5 t h e a c t u a l c o m p u t a t i o n a l s t e p s . S h e s a i d : " I t h o u g h t b e f o r e t h e y ' r e r e a d y t o e s t i m a t e , l e t ' s a c t u a l l y d o s o m e [ a d d i t i o n ] " ( I n t e r v i e w , 1 0 / 2 2 / 9 2 ) . I n t h i s i n s t a n c e , J a c k i e ' s o r i e n t a t i o n t o t e x t b o o k u s e a l l o w e d h e r t o i g n o r e t h e t e x t ' s e f f o r t s t o p r e s e n t e s t i m a t i o n a s s o m e t h i n g o t h e r t h a n a n i s o l a t e d s k i l l u s e d t o c h e c k f o r c o m p u t a t i o n a l a c c u r a c y . H e r v i e w o f e s t i m a t i o n a s s e p a r a t e f r o m c o m p u t a t i o n w a s u n a f f e c t e d b y t h e t e x t : " T h e y ' v e b e e n d o i n g a d d i t i o n p r o b l e m s , a n d t h e r e w a s e n o u g h c o n f u s i o n . A n d I a l m o s t t h i n k t h a t i f I w e r e t h e n t o j u m p o v e r t o e s t i m a t i n g i t w o u l d h a v e j u s t c o n f u s e d t h e m . S o m e t i m e s a d d i n g o n e m o r e t h i n g j u s t c o n f u s e s t h e m " . ( I n t e r v i e w , 1 0 / 2 2 / 9 2 ) . J a c k i e s a w e s t i m a t i o n a s a n a d d i t i o n a l t o p i c , n o t a s a n i n t e g r a l p a r t o f a d d i t i o n a n d s u b t r a c t i o n . T h e H B J t e x t ' s o n l y m e a n s o f c h a l l e n g i n g t h i s v i e w w a s t o p r o v i d e e s t i m a t i o n t a s k s f o r s t u d e n t s t o d o . T h i s , h o w e v e r , w a s n o t t h e i d e a t h a t J a c k i e u n d e r s t o o d . W e c a n n o t a s s u m e t h a t , h a d J a c k i e f o l l o w e d t h e t e x t ' s i n s t r u c t i o n a l s u g g e s t i o n s , s h e w o u l d h a v e s e e n t h e r e l a t i o n s h i p b e t w e e n e s t i m a t i o n a n d c o m p u t a t i o n . H o w e v e r , w e s h o u l d n o t d i s c o u n t i t a s a p o s s i b i l i t y . I n f a c t , t h e f o l l o w i n g a n a l y s i s o f J a c k i e ' s l e a r n i n g s u g g e s t s t h a t t h e e v e n t s t h a t p r o v o k e d h e r t o e x a m i n e i d e a s m o r e d e e p l y a n d t o s e e n e w m a t h e m a t i c a l c o n n e c t i o n s w e r e t h o s e t h a t o c c u r r e d w i t h i n h e r t e a c h i n g . A s s h e a t t e m p t e d t o d e v e l o p s t u d e n t s ' u n d e r s t a n d i n g s o f v a r i o u s t o p i c s , s h e f o u n d h e r s e l f s e e i n g n e w c o n n e c t i o n s . T h u s , i f J a c k i e h a d t r i e d t h e e s t i m a t i o n t a s k s a t t h e b e g i n n i n g o f t h e c h a p t e r , s h e m a y h a v e f o u n d h e r s e l f r e c o n s i d e r i n g t h e r o l e o f e s t i m a t i o n . Q p p g r t u n i t i e s T o L e a r n F r o m T e a c h i n g T h e H B J t e x t d i d n o t h a v e a s i g n i fi c a n t i m p a c t o n J a c k i e ' s t e a c h i n g , b u t s h e d i d n o t e n d t h e s c h o o l y e a r i n t h e s a m e p l a c e t h a t s h e b e g a n . O v e r t h e y e a r , s h e m a d e m a t h e m a t i c a l a n d p e d a g o g i c a l g a i n s t h a t a f f e c t e d h e r t e a c h i n g a n d i n fl u e n c e d h e r r e l a t i o n s h i p t o t h e t e x t . T h e s e i n s t a n c e s o f l e a r n i n g a n d t h e i r i n fl u e n c e s o n h e r t e a c h i n g c a n p r o v i d e i n s i g h t s i n t o t h e t y p e o f r e s o u r c e s t h a t m i g h t s u p p o r t h e r g r o w t h . I n t h e f o l l o w i n g s e c t i o n s , 1 h a v e t r i e d t o c h a r a c t e r i z e t h i s g r o w t h o b s e r v e d t h r o u g h h e r 1 2 6 t e a c h i n g a n d c o n v e r s a t i o n s o v e r t h e y e a r . I u s e t h e w o r d " t r y " b e c a u s e c a p t u r i n g a n d d e s c r i b i n g l e a r n i n g i s a n i n d i s t i n c t t a s k . E v e n t h o u g h J a c k i e s e e m e d m o r e c o n s c i o u s a n d o p e n t o h e r o w n l e a r n i n g t h a n m a n y a d u l t s , s h e f o u n d i t d i f fi c u l t t o a r t i c u l a t e : " S o m e t i m e s i t ' s h a r d t o p u t y o u r fi n g e r o n i t [ w h a t y o u h a v e l e a r n e d ] . . . . o r y o u m a y f e e l t h a t i t i s s o l i t t l e t h a t i t d o e s n ' t c o u n t " ( I n t e r v i e w , 1 0 / 1 5 / 9 2 ) . A s t h e s e d e s c r i p t i o n s s u g g e s t , e v e n s m a l l a n d i l l u s i v e , w h a t J a c k i e l e a r n e d t h r o u g h t e a c h i n g h a d a s u b s t a n t i a l i m p a c t o n h e r . S e e i n g m a t h g r a t i c a l c o n n e c t i o n s . T h e g r o w t h t h a t J a c k i e e x p e r i e n c e d i n h e r m a t h e m a t i c a l k n o w l e d g e d i d n o t i n c l u d e a c q u i r i n g a r a n g e o f n e w c o n c e p t s o r p r o c e d u r e s . R a t h e r , i t i n v o l v e d d e e p e n i n g h e r u n d e r s t a n d i n g o f t h e m a t h e m a t i c a l i d e a s e m b e d d e d i n t o p i c s s h e h a d t a u g h t f o r y e a r s , s e e i n g n e w c o n n e c t i o n s . R u s s e l l e t a l . ( 1 9 9 5 ) a r g u e d t h a t r e c o g n i z i n g t h i s n e w l e a r n i n g a b o u t o l d c o n t e n t i s a n i m p o r t a n t p a r t o f e x t e n d i n g o n e ' s d e fi n i t i o n s o f l e a r n i n g m a t h e m a t i c s i n w a y s l i k e l y t o h a v e p e d a g o g i c a l i m p a c t . T h e i r e x t e n d e d d e fi n i t i o n i n c l u d e s : A n o n g o i n g a n d g r a d u a l p r o c e s s i n w h i c h u n d e r s t a n d i n g o f f a m i l i a r c o n t e n t i s d e e p e n e d a s o n e m a k e s n e w c o n n e c t i o n s a n d d i s t i n c t i o n s . A n e w r e p r e s e n t a t i o n o f m a t h e m a t i c a l r e l a t i o n s h i p s m a y i l l u m i n a t e a n a s p e c t t h a t w a s p r e v i o u s l y i n v i s i b l e e v e n t h o u g h t h a t r e l a t i o n s h i p w a s a l r e a d y k n o w n o r u n d e r s t o o d . ( p . 2 ) I n p l a c e - v a l u e a n d f r a c t i o n s , J a c k i e i n i t i a l l y f e l t u n s u r e a b o u t t h e c e n t r a l i d e a s . H e r k n o w l e d g e w a s n o t a s p r o c e d u r a l a s t h e p r e s e r v i c e t e a c h e r s B a l l ( 1 9 9 0 ) s t u d i e d , b u t w a s j u s t a s f r a g m e n t e d . T h r o u g h t h e p r o c e s s o f c o n s t r u c t i n g a n d a d a p t i n g h e r c u r r i c u l u m , J a c k i e ' s u n d e r s t a n d i n g o f t h e m a t h e m a t i c a l i d e a s d e e p e n e d a n d b e c a m e m o r e c o n n e c t e d . A s s h e s t r u g g l e d t o c r e a t e i n s t r u c t i o n a l t a s k s t h a t e n g a g e d s t u d e n t s i n r e p r e s e n t i n g , e x p l o r i n g , a n d t a l k i n g a b o u t m a t h e m a t i c s , s h e d e v e l o p e d h e r o w n s e n s e o f t h e k e y i d e a s a n d r e l a t i o n s h i p s s t u d e n t s n e e d e d t o u n d e r s t a n d . T h r o u g h t e a c h i n g , J a c k i e d e v e l o p e d a p r i m a r y c o m p o n e n t o f p e d a g o g i c a l c o n t e n t k n o w l e d g e ( S h u l m a n , 1 9 8 6 ) , a n u n d e r s t a n d i n g o f t h e s u b j e c t m a t t e r t h a t i s i n t e g r a l l y c o n n e c t e d t o h o w i t m i g h t b e t a u g h t . 1 2 7 A t t h e b e g i n n i n g o f t h e y e a r , J a c k i e e x p r e s s e d c o n c e r n a b o u t h e r o w n m a t h e m a t i c a l k n o w l e d g e . H e r r e a d i n g s o f d o c u m e n t s s u c h a s t h e N C T M S t a n d a r d s i n d i c a t e d t o h e r t h a t g o o d m a t h e m a t i c s t e a c h i n g c a l l e d f o r s t r o n g m a t h e m a t i c a l k n o w l e d g e . S h e k n e w t h a t s h e d i d n o t fi t t h i s d e s c r i p t i o n . " I a g r e e t h a t y o u r e a l l y d o n e e d a g o o d b a c k g r o u n d , " s h e t o l d m e d u r i n g o u r fi r s t i n t e r v i e w . " I h a v e a p i t i f u l b a c k g r o u n d i n m a t h " ( I n t e r v i e w , 9 / 1 1 / 9 2 ) . S h e f u r t h e r e x p l a i n e d t h a t s h e h a d n o t r e a l i z e d h o w w e a k h e r m a t h e m a t i c a l b a c k g r o u n d w a s u n t i l s h e h a d b e g u n t o r e e x a m i n e h e r t e a c h i n g . S h e w a n t e d h e r s t u d e n t s t o u n d e r s t a n d m a t h e m a t i c a l i d e a s a n d t h e i r i n t e r r e l a t i o n s h i p s a n d t o u s e t h i s k n o w l e d g e t o s o l v e p r o b l e m s . B e c a u s e t h i s i m a g e o f t e a c h i n g w a s f o r e i g n t o h e r e x p e r i e n c e , s h e h a d l i t t l e t o d r a w o n i n a c c o m p l i s h i n g t h i s v i s i o n . A s i t t u r n e d o u t , J a c k i e ' s u n d e r s t a n d i n g o f f a m i l i a r a n d u n f a m i l i a r m a t h e m a t i c a l c o n c e p t s d e e p e n e d t h r o u g h h e r e f f o r t s t o c r e a t e l e a r n i n g o p p o r t u n i t i e s f o r h e r s t u d e n t s t h a t f o c u s e d o n u n d e r l y i n g m e a n i n g s . A n e a r l y e x a m p l e o f J a c k i e ' s l e a r n i n g a b o u t a f a m i l i a r t o p i c o c c u r r e d d u r i n g t h e p l a c e — v a l u e u n i t . S h e b e g a n t h e y e a r b e l i e v i n g t h a t i f s h e u n d e r s t o o d p l a c e - v a l u e a n d i t s r o l e i n c o l u m n a d d i t i o n a n d s u b t r a c t i o n . S h e d e s c r i b e d t h e t i m e s h e d e v o t e d t o i t a s " a g o o d i n v e s t m e n t . " I f t h e y u n d e r s t o o d i t , " o t h e r t h i n g s w o u l d c o m e m o r e e a s i l y " ( I n t e r v i e w , 9 / 2 4 / 9 2 ) . D e s p i t e h e r u n d e r s t a n d i n g o f t h e r e l a t i o n s h i p b e t w e e n t h e m , s h e s e e m e d t o v i e w p l a c e v a l u e a n d c o m p u t a t i o n a s t w o d i s t i n c t t o p i c s , t h e fi r s t a s a p r e c u r s o r t o t h e l a t t e r . W h e n c o n t e m p l a t i n g a j u m p f r o m p l a c e v a l u e t o a d d i t i o n a n d s u b t r a c t i o n , s h e s a i d t h a t s h e n e e d e d t o " g e t o f f t h a t t o p i c f o r a w h i l e . . . b u t , s o m e h o w , c o m e b a c k t o i t l a t e r " ( I n t e r v i e w , 9 / 2 4 / 9 2 ) . T h r o u g h s e l e c t i n g a n d d e s i g n i n g t a s k s a n d l i s t e n i n g t o h e r s t u d e n t s d e s c r i b e t h e i r u n d e r s t a n d i n g s o f t h e n u m b e r s y s t e m , J a c k i e b e g a n t o s e e s t r o n g e r c o n n e c t i o n s b e t w e e n t h e s e t w o t o p i c s . A k e y t u r n i n g p o i n t w a s R a n d y ' s d e s c r i p t i o n o f t h e r e l a t i o n s h i p b e t w e e n 2 4 t h o u s a n d s a n d 2 t e n t h o u s a n d s a n d 4 t h o u s a n d s . S h e r e a l i z e d t h a t t h e c o n n e c t i o n R a n d y w a s s e e i n g w a s m o v i n g t h e m i n t o 1 2 8 r e g r o u p i n g . F r o m t h i s p o i n t , t h e s e t o p i c s b e c a m e l e s s d i s t i n c t . I n e s s e n c e , t h e i r m o v e i n t o t h e n e x t c h a p t e r w a s a w a y t o c o n t i n u e w o r k i n g o n p l a c e v a l u e . J a c k i e b e g a n t o s e e p l a c e v a l u e a s a p o w e r f u l i d e a u n d e r l y i n g a l l c o m p u t a t i o n a l p r o c e s s e s . T h i s u n d e r s t a n d i n g w a s e v i d e n t i n h e r r e s p o n s e t o m y q u e s t i o n a b o u t w h a t s h e i n t e n d e d t o p u r s u e a f t e r c o l u m n a d d i t i o n a n d s u b t r a c t i o n : I ' m h o p i n g t h a t f r o m t h e r e w e c o u l d t r y m a k i n g s e n s e o u t o f m u l t i p l i c a t i o n , w h i c h i s f u n n y b e c a u s e I n e v e r t h o u g h t o f w h a t m u l t i p l i c a t i o n w a s t o o m u c h u n t i l I s t a r t e d d o i n g t h i s . A n d I ' m t r y i n g t o t h i n k , w e l l h o w a m I g o i n g t o m a k e s e n s e o f t h i s . ( I n t e r v i e w , 1 0 / 3 0 / 9 2 ) A s I q u e s t i o n e d h e r f u r t h e r , s h e d e s c r i b e d a n e w r e a l i z a t i o n a b o u t m u l t i p l i c a t i o n p r o b l e m s s u c h a s 4 3 t i m e s 5 1 . S h e h a d a l w a y s t a u g h t h e r s t u d e n t s t o m u l t i p l y 1 t i m e s 3 a n d t h e n 1 t i m e s 4 . N o w , s h e r e a l i z e d t h a t " i t i s r e a l l y 1 t i m e s 4 0 , " a n d s h e w a n t e d h e r s t u d e n t s t o u n d e r s t a n d t h i s a s w e l l . " S o t h e y ' r e a c t u a l l y s e e i n g t h a t i t ' s n o t 1 t i m e s 4 ; i t ' s 1 t i m e s 4 0 " ( I n t e r v i e w , 1 0 / 3 0 / 9 2 ) . S o m e t i m e s o b s e r v i n g w h a t h e r s t u d e n t s d i d n o t d o , r a t h e r t h a n w h a t t h e y d i d d o , p r o m p t e d J a c k i e t o r e c o g n i z e a m a t h e m a t i c a l l y s i g n i f i c a n t i d e a t h a t s h e h a d n o t c o n s i d e r e d ; t h i s o c c u r r e d o n O c t o b e r 1 5 t h a s s h e w a t c h e d h e r s t u d e n t s w o r k o n t h e d a r t - b o a r d p r o b l e m d e s c r i b e d e a r l i e r . E v e n t h e p r o b l e m i n v o l v e d fi n d i n g t h e p o s s i b l e s c o r e s o n e c o u l d g e t w i t h t h r e e d a r t s , J a c k i e s t a r t e d t h e c l a s s d i s c u s s i o n w i t h a n e w q u e s t i o n : " H o w d o y o u k n o w y o u h a v e t h e m a l l ? " S h e l a t e r e x p l a i n e d t h a t s h e h a d a s k e d t h i s q u e s t i o n t o p u s h t h e m t o t h i n k l o g i c a l l y a n d s y s t e m a t i c a l l y a b o u t t h e a c t u a l q u e s t i o n . H o w e v e r , i t w a s n o t u n t i l s h e h a d o b s e r v e d h e r s t u d e n t s ' u n s y s t e m a t i c a n d v a r i e d s o l u t i o n s t h a t s h e r e a l i z e d t h e i m p o r t a n c e o f s u c h a q u e s t i o n . " S o m e o f t h e m w e r e n o t l o o k i n g a t a l l t h e p o s s i b l e s o l u t i o n s , " s h e e x p l a i n e d , " a n d o t h e r s w e r e l o o k i n g a t a l l t h e p o s s i b l e p a t t e r n s . . . . a t a l l t h e p o s s i b l e w a y s o f c o m b i n a t i o n s " ( I n t e r v i e w , 1 0 / 1 5 / 9 2 ) . J a c k i e s h o w e d m e t h a t s e v e r a l s t u d e n t s h a d w r i t t e n d o w n t h e f o l l o w i n g p e r m u t a t i o n s a s t h r e e d i f f e r e n t p o s s i b i l i t i e s : 5 - 5 - 2 , 5 - 2 - 5 , a n d 2 - 5 - 5 . W h e n s h e s a w t h e s e s o l u t i o n s , s h e r e a l i z e d t h a t i t w a s i m p o r t a n t t o c o n s i d e r w h e t h e r t h e s e " w o u l d b e t h e s a m e s o l u t i o n o r w o u l d t h e y b e t h r e e d i f f e r e n t s o l u t i o n s t o t h e s a m e p r o b l e m " 1 2 9 ( I n t e r v i e w , 1 0 / 1 5 / 9 2 ) . T h u s , s h e c o n s t r u c t e d a q u e s t i o n t h a t s h e b e l i e v e d m i g h t h e l p t h e m " s e e t h a t t h e o r d e r d i d n ' t m a k e a d i f f e r e n c e " ( I n t e r v i e w , 1 0 / 1 5 / 9 2 ) . J a c k i e h a d n o t s e l e c t e d t h i s p r o b l e m t o a d d r e s s t h i s i d e a . I t w a s a p r o b l e m o f t h e d a y t h a t h a d c a u g h t h e r e y e b e c a u s e i t h a d m o r e t h a n o n e s o l u t i o n a n d b e c a u s e " t h e y w o u l d h a v e t o t h i n k a l i t t l e b i t m o r e " i n o r d e r t o s o l v e i t ( I n t e r v i e w , 1 0 / 1 5 / 9 2 ) . I n o t h e r w o r d s , i t w a s t h r o u g h h e l p i n g h e r s t u d e n t s m a k e s e n s e o f t h e p r o b l e m t h a t s h e b e g a n t o c o n s i d e r t h e m a t h e m a t i c a l c o m p l e x i t y e m b e d d e d i n i t . J a c k i e a l s o l e a r n e d f r o m t e a c h i n g u n f a m i l i a r t o p i c s . E a r l y i n t h e f r a c t i o n u n i t s h e s h a r e d c o n c e r n a b o u t h e r k n o w l e d g e o f f r a c t i o n s a n d w h e t h e r s h e w a s a d d r e s s i n g t h e i m p o r t a n t i d e a s : " T h i s y e a r i t ' s k i n d o f l i k e I ' m l e a r n i n g r i g h t a l o n g w i t h t h e m w h a t i s i m p o r t a n t . I t h i n k t h e y a r e g e t t i n g s o m e r e a l l y b i g i d e a s h e r e , b u t a m I t o u c h i n g o n a l l t h e b i g i d e a s ? " ( I n t e r v i e w , 4 / 7 / 9 3 ) . E x p l o r i n g t h e t o p i c w i t h h e r s t u d e n t s l e d J a c k i e t o l o o k d e e p e r i n t o t h e c o n c e p t s u n d e r l y i n g t h e r u l e s t h a t s h e b e l i e v e d s h e u n d e r s t o o d . I t w a s a s t h o u g h s h e w a s s e e i n g r e l a t i o n s h i p s i n n e w w a y s : T h i n g s a r e d a w n i n g o n m e . " O h m y g o d , t h a t ' s w h a t t h i s a l l i s ! " . . . . n e v e r t h o u g h t t h a t . . . . o n e h a l f w a s t h e s a m e a s fi v e t e n t h s . I m e a n , I d i d e q u i v a l e n t f r a c t i o n s b e c a u s e I h a d t o , b u t I d o n ' t t h i n k i t r e a l l y d a w n e d o n m y m i n d w h a t t h a t m e a n t . . . . I t ' s a c t u a l l y m a k i n g m o r e s e n s e . I a m s t a r t i n g t o s e e w h y I d i d t h e t h i n g s . . . . I d i d n ' t n e c e s s a r i l y t h i n k i t w a s i m p o r t a n t t o d o a l l t h i s . I f y o u l e a r n e d t h e r u l e s a n d c a n d o i t , t h a t w a s fi n e . . . . L N o w ] I d e fi n i t e l y d i s a g r e e w i t h i t . I t h i n k t h e m o r e t h e y m a k e s e n s e o u t o f i t , ' c a u s e t h e n t h e y c a n g o o n a n d d o t o u g h e r t h i n g s o n t h e i r o w n . ( I n t e r v i e w , 4 / 7 / 9 3 ) S i m i l a r t o t h e o t h e r i n s t a n c e s o f l e a r n i n g , J a c k i e c a m e t o u n d e r s t a n d t h e m e a n i n g o f e q u i v a l e n t f r a c t i o n s t h r o u g h a t t e m p t s t o h e l p s t u d e n t s e x p l o r e t h e m ; t h e o p p o s i t e w a s t r u e a s w e l l . A s J a c k i e ' s u n d e r s t a n d i n g o f t h e m a t h e m a t i c a l i d e a s s h e w a s t e a c h i n g d e e p e n e d , h e r i d e a s a b o u t t e a c h i n g a n d h e r s e n s e o f s e l f a s a t e a c h e r a l s o g r e w . G a i n i n g p e d a g o g i c a l c o n fi d e n c e . J a c k i e ' s i n c r e a s e d u n d e r s t a n d i n g o f t h e s e t o p i c s i n fl u e n c e d h e r i d e a s a b o u t t e a c h i n g a n d t e n d e d t o b o o s t h e r c o n fi d e n c e i n h e r p e d a g o g i c a l a b i l i t i e s . T h e s e c h a n g e s m i t i g a t e d h e r t r u s t i n t h e a u t h o r i t y o f t h e t e x t , 1 3 0 l e a v i n g h e r t o d r a w o n h e r s e l f m o r e a n d t h e t e x t l e s s . T h i s w a s fi r s t e v i d e n t i n t h e f a l l w h e n J a c k i e d r o p p e d a n y d o u b t s s h e h a d a b o u t s k i p p i n g i t e m s i n t h e t e x t . I n i t i a l l y , J a c k i e h o p e d t h a t t h e t e x t b o o k m i g h t e f f e c t c h a n g e i n t h e w a y m a t h e m a t i c s w a s t a u g h t i n t h e d i s t r i c t o r , a t t h e v e r y l e a s t , a s s i s t h e r i n t e a c h i n g m a t h e m a t i c s f o r u n d e r s t a n d i n g ; t h i s d i d n o t h a p p e n . E a r l y o n , s h e r e a l i z e d t h a t s h e c o u l d n o t p u r s u e e a c h t o p i c i n t h e t e x t a t t h e d e p t h s h e b e l i e v e d w a s a p p r o p r i a t e . B y t h e m i d d l e o f O c t o b e r , s h e h a d d e v e l o p e d s k e p t i c i s m a b o u t t h e d e v e l o p e r s c o m m i t m e n t t o t h e g o a l s o f s t u d e n t t h i n k i n g a n d u n d e r s t a n d i n g . T h e s e c o n c e r n s w e r e t r i g g e r e d b y t h e a m o u n t o f c o n t e n t i n t h e t e x t . A s s h e c o n f r o n t e d t h e n e e d t o s k i p m o r e a n d m o r e s u g g e s t i o n s , s h e b e g a n t o q u e s t i o n t h e e x t e n t t o w h i c h r e a l u n d e r s t a n d i n g c o u l d b e a c h i e v e d w h i l e c o v e r i n g t h e m a n y t o p i c s i n t h e t e x t : I f t h e y r e a l l y w a n t u n d e r s t a n d i n g , t h e n t h e y ' r e r e a l l y a s k i n g t o o m u c h . . . . I t ' s a q u e s t i o n o f w e c a n t e a c h a l l t h o s e t h i n g s t h e y w a n t , b u t i f y o u r e a l l y w a n t t h e m t o u n d e r s t a n d i t . . . . I c o u l d n ' t e v e n c o v e r t h e o l d b o o k b a c k w h e n w e d i d i t t h e o l d w a y w h e r e y o u t a u g h t t h e l e s s o n a n d t h e y d i d X a m o u n t o f p r a c t i c e p a g e s a n d t a u g h t t h e n e x t t h i n g . . . . I c e r t a i n l y a m n o t g o n n a g e t t h r o u g h a b o o k i f I ' m t e a c h i n g f o r u n d e r s t a n d i n g . T h e r e ' s n o w a y i f t h e y ' r e r e a l l y g o i n g t o i n t e r a c t w i t h e a c h o t h e r a n d l e a r n f r o m e a c h o t h e r . T h e r e ' s n o w a y w e c o u l d g e t t h r o u g h t h a t m u c h . ( I n t e r v i e w , 1 0 / 1 5 / 9 2 ) J a c k i e ' s i n c r e a s i n g p e d a g o g i c a l c o n fi d e n c e g a v e h e r g r o u n d o n w h i c h t o a s s e s s t h e t e x t . A t t h i s p o i n t , h o w e v e r , s h e s t i l l b e l i e v e d t h a t s k i p p i n g t e x t b o o k s u g g e s t i o n s w a s a r i s k y p a t h . H e r l i m i t e d k n o w l e d g e o f u p p e r - l e v e l m a t h e m a t i c s d i s a d v a n t a g e d h e r i n m a k i n g w i s e d e c i s i o n s a b o u t w h a t w a s e s s e n t i a l a n d w h a t c o u l d b e e l i m i n a t e d : " I n e v e r t o o k t r i g . . . . a n d c a l c u l u s , I m e a n I h a v e n o i d e a a t a l l w h a t c a l c u l u s i s . . . . I ' m n o t a s t r o n g m a t h e m a t i c i a n " ( I n t e r v i e w , 1 0 / 1 5 / 9 2 ) . T h u s , s h e c o n s i d e r e d s k i p p i n g " a b i g r i s k " p r i m a r i l y b e c a u s e s h e b e l i e v e d s h e m i g h t i n a d v e r t e n t l y e l i m i n a t e a " c r i t i c a l p i e c e " o f t h e c u r r i c u l u m , s o m e t h i n g t h a t m i g h t " h e l p t h e m l a t e r w i t h a l g e b r a o r g e o m e t r y " ( I n t e r v i e w , 1 0 / 1 5 / 9 2 ) . 1 3 1 U p t o t h i s p o i n t , J a c k i e h a d e x p r e s s e d t r u s t i n t h o s e r e s p o n s i b l e f o r t h e t e x t t o g u i d e h e r t h r o u g h t h e f o u r t h - g r a d e c u r r i c u l u m . H o w e v e r , a s s h e e x a m i n e d t h e c o n t e n t s o f t h e t e x t t o p a r e t h e o f f e r i n g s d o w n , d o u b t s a b o u t t h e i r i n t e n t i o n s e m e r g e d : H e r e a r e t h e s e p e o p l e w h o r e a l l y k n o w m a t h , " s h e c o m m e n t e d , r e f e r r i n g t o t h e a u t h o r s p i c t u r e d i n t h e t e x t b o o k w i t h P h D s a f t e r t h e i r n a m e s , " a n d h e r e t h e y a r e s a y i n g t h e s e a r e i m p o r t a n t t h i n g s t o k n o w . A n d I ' m s a y i n g , w e l l I r e a l l y d o n ' t t h i n k t h i s i s s o i m p o r t a n t . . . . A l o t o f t i m e s I t h i n k t h e y w r i t e a l o t o f t h i n g s i n h e r e j u s t t o t r y a n d c o v e r a n d p l e a s e e v e r y b o d y , w h e t h e r i t ' s i m p o r t a n t o r n o t " ( I n t e r v i e w , 1 0 / 1 5 / 9 2 ) . J a c k i e ' s d i m i n i s h i n g f a i t h i n t h e t e x t a l s o w a s f u e l e d b y h e r d e v e l o p i n g u n d e r s t a n d i n g o f t h e m a t h e m a t i c a l i d e a s d e s c r i b e d a b o v e . A s s h e b e g a n t o b e l i e v e t h a t t h e t a s k s s h e w a s d e s i g n i n g a c t u a l l y e n g a g e d s t u d e n t s i n p r o d u c t i v e w a y s o f t h i n k i n g , s h e b e g a n t o d e v e l o p m o r e f a i t h i n h e r c h o i c e s . F o r e x a m p l e , w h e n I a s k e d h e r a b o u t h e r d e c i s i o n i n O c t o b e r t o m o v e i n t o c o l u m n a d d i t i o n a n d s u b t r a c t i o n a f t e r l e s s t h a n h a l f o f t h e p l a c e - v a l u e c h a p t e r , J a c k i e e x p l a i n e d t h a t t h e d i r e c t i o n t h e y w e r e h e a d e d m a d e s e n s e t o h e r : " W h e n I r e a l i z e d t h a t t h a t ' s t h e d i r e c t i o n w e w e r e g o i n g , I d e c i d e d t h a t I w o u l d w o r k a l i t t l e o n [ i t ] " ( I n t e r v i e w , 1 0 / 2 2 / 9 2 ) . O n O c t o b e r 3 0 t h , a f t e r o b s e r v i n g t h a t t h e t h i r d l e s s o n i n 3 w e e k s w a s c o n s t r u c t e d e n t i r e l y b y J a c k i e , I a s k e d h e r i f w h a t s h e w a s d o i n g fi t w i t h w h a t w a s i n t h e t e x t b o o k . H e r r e s p o n s e i l l u s t r a t e s t h e c o n fi d e n c e i n t h e c h o i c e s s h e h a d m a d e : " W e l l , i f i t d o e s , I d o n ' t k n o w t h a t . ' C a u s e , I j u s t k i n d o f h a d i n m y m i n d h o w I w a n t e d t o d o t h i s m a t h a n d g o w i t h t h e m a n i p u l a t i v e s . . . . I j u s t h a v e n ' t b o t h e r e d t o l o o k a t i t " ( I n t e r v i e w , 1 0 / 3 0 / 9 2 ) . O v e r a 6 w e e k p e r i o d , t h e u n c e r t a i n t y t h a t J a c k i e f e l t a b o u t h e r c h o i c e s t o o m i t v a r i o u s s u b j e c t s i n t h e t e x t b o o k a n d s e l e c t o t h e r s w a s r e p l a c e d b y c o n fi d e n c e i n h e r c a p a c i t y t o m a k e a p p r o p r i a t e s e l e c t i o n s a n d t o c r e a t e w o r t h w h i l e l e s s o n s . A s J a c k i e b e g a n t h e f r a c t i o n u n i t i n t h e s p r i n g , s o m e o f t h e u n c e r t a i n t y a b o u t m a k i n g a p p r o p r i a t e d e c i s i o n s r e s u r f a c e d , b u t o n l y b r i e fl y . E a r l y i n t h e u n i t s h e t o l d m e t h a t s h e w a s l e a r n i n g r i g h t a l o n g w i t h t h e s t u d e n t s , a n d s h e c o n f e s s e d t h a t s h e w a s n o t s u r e w h a t t h e " b i g i d e a s " f o r f r a c t i o n s w e r e ( I n t e r v i e w , 4 / 7 / 9 3 ) . S h e d r e w t a s k s f r o m t h e m a r g i n s o f t h e t e a c h e r ' s g u i d e t o s h a p e t h e fi r s t f e w l e s s o n s . H o w e v e r , a s s h e 1 3 2 f o c u s e d o n h e l p i n g h e r s t u d e n t s " m a k e s e n s e " o f t h e m e a n i n g o f f r a c t i o n s , h e r s e n s e o f t h e b i g i d e a s b e g a n t o t a k e s h a p e . T h i s f o c u s g u i d e d h e r i n c r e a t i n g t a s k s t o h e l p s t u d e n t s c o n f r o n t t h e m . F o r e x a m p l e , s h e b e l i e v e d t h a t t h e b o o k p r e s e n t e d f r a c t i o n s n a r r o w l y : " ' I h e y l o o k a t a f r a c t i o n i n o n l y o n e w a y . . . . F o r i n s t a n c e , h e r e [ p o i n t i n g t o a d i a g r a m o n p a g e 3 2 1 ] , t h i s i s t w o s i x t h s a n d t h a t ' s a l l t h e y w a n t . I ' m h 0 p i n g t h a t t h e y [ t h e s t u d e n t s ] w i l l a l s o s e e t h a t t h a t c o u l d b e o n e t h i r d . I a m w a n t i n g t h e m t o g e t b e y o n d t h a t f r a c t i o n s a r e n ' t j u s t n e c e s s a r i l y w r i t t e n o n e w a y " ( I n t e r v i e w , 4 / 7 / 9 3 ) . T h i s g o a l , w h i c h J a c k i e w a s u n a b l e t o a r t i c u l a t e b e f o r e s h e b e g a n t e a c h i n g t h e u n i t , s e e m s r e l a t e d t o h e r d e e p e n i n g u n d e r s t a n d i n g o f t h e m e a n i n g o f e q u i v a l e n t f r a c t i o n s . B y t h e s e c o n d w e e k o f w o r k i n g o n f r a c t i o n s a n d a f t e r s e v e r a l l e s s o n s t h a t r e v e a l e d s t u d e n t s ' m i s c o n c e p t i o n s , s h e h a d d e v e l o p e d c l e a r i d e a s a b o u t w h a t t h e y n e e d e d t o u n d e r s t a n d a n d w h a t w a s d i f fi c u l t f o r t h e m . A t t h e t o p o f h e r l i s t w a s u n d e r s t a n d i n g t h e s i g n i fi c a n c e o f t h e n u m e r a t o r a n d d e n o m i n a t o r : " T h e y r e a l l y n e e d t o u n d e r s t a n d w h a t a d e n o m i n a t o r m e a n s a n d t h e n u m e r a t o r " ( I n t e r v i e w , 4 / 1 2 / 9 3 ) . T h e l e s s o n s s h e c o n s t r u c t e d f o c u s e d o n t h i s c o n c e p t a n d w e r e n o t i n s p i r e d b y t h e t e x t . A s J a c k i e w a t c h e d h e r s t u d e n t s " m a k e s e n s e " o f t h e m e a n i n g o f f r a c t i o n s , s h e f o u n d t h a t t h e p e d a g o g i c a l a p p r o a c h e s s u g g e s t e d i n t h e t e x t d i d n o t c o m p l i m e n t h e r g o a l s . F o r e x a m p l e , s h e w a s c r i t i c a l o f t h e b o o k ' s t e n d e n c y t o g i v e t h e s t u d e n t s r u l e s . " O n e o f t h e t h i n g s I ' m t r y i n g t o d o m o r e a n d m o r e . . . . i s h a v e t h e m c o m e u p w i t h t h e r u l e s " ( I n t e r v i e w 4 / 7 / 9 3 ) . T h u s , i n s t e a d o f f o l l o w i n g s u g g e s t i o n s i n t h e t e x t , J a c k i e g a v e s t u d e n t s p r o b l e m s s h e b e l i e v e d w o u l d i l l u s t r a t e t h e s e n r l e s a n d t h e n u s e d w h o l e - c l a s s d i s c u s s i o n s t o e x p l o r e t h e m m o r e f u l l y . B y t h e e n d o f t h e s c h o o l y e a r , J a c k i e n o l o n g e r h a d d o u b t s a b o u t v e e r i n g t o o f a r f r o m t h e t e x t a n d o m i t t i n g i m p o r t a n t i d e a s . R e fl e c t i n g o n h e r u s e o f t h e t e x t b o o k o v e r t h e y e a r , s h e l a u g h i n g l y c o n f e s s e d : " W h e n e v e r I d i d n ' t f e e l t h a t i t w a s d o i n g w h a t I w a n t e d t o d o , I d i d m y o w n t h i n g " ( I n t e r v i e w , 7 / 1 / 9 3 ) . T h e c o n fi d e n c e t h a t s h e h a d d e v e l o p e d p u s h e d t h e t e x t f u r t h e r a w a y f r o m h e r , l i m i t i n g w h a t i t w a s a b l e t o o f f e r . 1 3 3 O r i e n t a t i o n o f t h e T e x t a n d O p p o r t u n i t i e s f o r l a c k i e t o L e a r n E v e n t h o u g h t h e t e x t w a s a l i m i t e d r e s o u r c e i n J a c k i e ' s l e a r n i n g , i t d i d n o t l i m i t w h a t s h e w a s a b l e t o l e a r n f r o m h e r t e a c h i n g . J a c k i e l e a r n e d t h r o u g h t h e p r o c e s s e s o f c o n s t r u c t i n g a n d a d a p t i n g c u r r i c u l u m i d e a s , n o t f r o m f o l l o w i n g t h e m i n t h e t e x t . S h e d r e w o n t h e H B J t e x t t o g u i d e p a r t i c u l a r a s p e c t s o f h e r t e a c h i n g . B y c r e a t i n g o r r e - c r e a t i n g t a s k s f r o m t h e t e x t o r h e r o w n i d e a s , J a c k i e e n g a g e d t h e t e x t i n a l e v e l o f c o n v e r s a t i o n t h a t i t w a s u n a b l e t o r e t u r n . A s d i s c u s s e d i n C h a p t e r T h r e e , t h e H B J t e x t b o o k c o m m u n i c a t e d w i t h t e a c h e r s t h r o u g h t h e t a s k s o f f e r e d . T h e t e x t d i d n o t t a l k t _ o t h e m a b o u t t h e s e t a s k s o r t h e i d e a s u n d e r l y i n g t h e m . J a c k i e ' s a t t e n t i o n t o t h e i d e a s s h e s a w u n d e r l y i n g t h e t a s k s a l l o w e d h e r t o fi e t h e t e x t w h i l e n o t e n g a g i n g i t s c e n t r a l v e h i c l e f o r c o m m u n i c a t i n g w i t h t e a c h e r s . T h i s e x a m i n a t i o n o f J a c k i e ' s t e a c h i n g i l l u s t r a t e s h o w h e r i d e a s a b o u t t e a c h i n g s h a p e d h e r u s e o f t h e H B J t e x t b o o k a n d i t s c o n s e q u e n t i m p a c t . S t i l l t h e r e w e r e o t h e r c o n t r i b u t i n g f a c t o r s . A l o o k a t t h e c o n t e x t i n w h i c h J a c k i e t a u g h t r e v e a l s a n u m b e r o f c i r c u m s t a n c e s t h a t c o n t r i b u t e d t o h e r b e l i e f s a n d a l l o w e d t h e m t o p l a y a p r o m i n e n t r o l e i n h e r t e a c h i n g . T h e f o l l o w i n g s e c t i o n e x a m i n e s t h e i m p a c t o f t w o u n c o m m o n f e a t u r e s o f t h e c o n t e x t i n t h a t s h e t a u g h t w h i c h p r o v i d e d o p p o r t u n i t i e s f o r c o l l e g i a l i n t e r a c t i o n a b o u t h e r t e a c h i n g a n d c u r r i c u l a r fl e x i b i l i t y ; b o t h e n a b l e d h e r t o f o l l o w h e r m a t h e m a t i c a l i d e a s r a t h e r t h a n t h e t e x t . O t h e r I n fl u e n t i a l F a c t o r s : A C o n t e x t o f S u p p o r t W h i l e t y p i c a l i n m a n y w a y s , J a c k i e ' s s c h o o l h a d o n e l e s s - c o m m o n f e a t u r e t h a t s i g n i fi c a n t l y c o n t r i b u t e d t o h e r g r o w t h e v e n b e f o r e s h e b e g a n u s i n g t h e H B J t e x t b o o k A s a P D S , K i p l i n g o f f e r e d t e a c h e r s a r a n g e o f o p p o r t u n i t i e s t o p u r s u e t h e i r o w n d e v e l o p m e n t a n d t o e x p e r i m e n t w i t h i n n o v a t i v e p r a c t i c e s . J a c k i e e n t h u s i a s t i c a l l y t o o k a d v a n t a g e o f s e v e r a l o p p o r t u n i t i e s . T w o P D S a c t i v i t i e s , i n p a r t i c u l a r , i n fl u e n c e d t h e w a y s h e u s e d t h e t e x t b o o k : ( a ) i n v o l v e m e n t i n t h e m a t h s t u d y g r o u p , w h i c h c r e a t e d a s t r u c t u r e f o r c o l l e g i a l s u p p o r t , a n d ( b ) e x p e r i m e n t a t i o n w i t h t e a c h i n g s t u d e n t s f o r 3 1 3 4 y e a r s , w h i c h o f f e r e d g r e a t e r fl e x i b i l i t y i n h o w s h e a d d r e s s e d v a r i o u s p i e c e s o f t h e c u r r i c u l u m . C o l l e g r _ a _ ' l S u p p g r t J a c k i e ' s i n v o l v e m e n t i n t h e b i w e e k l y m a t h s t u d y g r o u p p r o v i d e d h e r w i t h a n o p p o r t u n i t y r a r e i n t h e w o r k l i v e s o f m o s t e l e m e n t a r y t e a c h e r s , t h a t i s , a n o p p o r t u n i t y t o t a l k w i t h o t h e r t e a c h e r s a b o u t t h e i r t e a c h i n g . D u r i n g t h e s e r e g u l a r m e e t i n g s , t h e g r o u p d i s c u s s e d a n d r e fl e c t e d o n s t r u g g l e s a n d s u c c e s s e s t h e y h a d i n t h e i r c l a s s r o o m s , e x c h a n g e d i d e a s , a n d s h a r e d w i t h o n e a n o t h e r s m a l l o r l a r g e i n s t a n c e s o f g r o w t h . F o r J a c k i e , t h e s e m e e t i n g s p r o v i d e d a v i t a l f o r m o f s u p p o r t a l r e a d y i n p l a c e w h e n t h i s s t u d y b e g a n : I t h i n k t h a t h a v i n g m e e t i n g s a n d t h i n s w i t h e a c h o t h e r t o t a l k a b o u t m a t h a n d w h a t w e n e e d i n d i f f e r e n t w a y s [ w e n s v e r y s u p p o r t i v e . I f e e l l i k e t a l k i n g w i t h [ t h e p a r t i c i p a n t s i n t h e s t u d y g r o u p ] w a s v e r y h e l p f u l . I t w a s e n c o u r a g i n g m e a n d r e w a r d i n g m e f o r t r y i n g s o m e t h i n g d i f f e r e n t . A n d I t h i n k t h o s e a r e t h e k i n d s o f t h i n g s t h a t p e o p l e n e e d . T h e y h a v e t o h a v e t h a t . ( I n t e r v i e w , 7 / 1 / 9 3 ) F o r J a c k i e , t h i s c o l l e g i a l i n t e r a c t i o n a n d o p p o r t u n i t y t o w o r k w i t h u n i v e r s i t y e d u c a t o r s c o u n t e r e d t h e i s o l a t i o n a n d l a c k o f s u p p o r t t h a t s h e f e l t w h e n t r y i n g n e w a p p r o a c h e s . C u r r i c u l a r F l e x i b i l i t y A n o t h e r d i f f e r e n c e i n J a c k i e ' s t e a c h i n g s i t u a t i o n t h a t h a d a n u n e x p e c t e d i m p a c t o n h e r m a t h e m a t i c s i n s t r u c t i o n w a s t h a t s h e h a d t h i s p a r t i c u l a r g r o u p o f s t u d e n t s f r o m t h i r d t h r o u g h fi f t h g r a d e . T h e p u r p o s e o f t h e p r o j e c t w a s t o e x p e r i m e n t w i t h c r e a t i n g a l e a r n i n g c o m m u n i t y t h a t l a s t e d o v e r s e v e r a l y e a r s . J a c k i e f o u n d i t t o h a v e o t h e r , u n a n t i c i p a t e d e f f e c t s . I t f r e e d h e r f r o m o n e o f t h e m o s t o v e r w h e l m i n g p r e s s u r e s s h e f e l t a s a t e a c h e r , t h a t i s , t h e p r e s s u r e t o " c o v e r t h e c u r r i c u l u m " i n a s i n g l e s c h o o l y e a r . I n t h e p a s t , J a c k i e f o u n d t h a t s h e w a s a l w a y s c o n s c i o u s o f h e r o b l i g a t i o n t o p r e p a r e s t u d e n t s t o m e e t t h e e x p e c t a t i o n s o f t h e i r n e x t t e a c h e r s : " T h e t e a c h e r t h a t t h e y ' r e g e t t i n g t h e f o l l o w i n g y e a r i s g o i n g t o e x p e c t t h e m t o h a v e c e r t a i n t h i n g s t h a t t h e y ' v e a l r e a d y m a s t e r e d " ( I n t e r v i e w , 7 / 1 / 9 3 ) . T h u s , s h e b e l i e v e d s h e h a d t o a d d r e s s a l l t o p i c s , w h i c h a l l o w e d l i t t l e t i m e t o d i g d e e p l y i n t o a n y . T h i s y e a r , k n o w i n g t h a t s h e 1 3 5 w o u l d h a v e t h e s a m e s t u d e n t s n e x t y e a r , g a v e h e r a l e v e l o f c u r r i c u l a r fl e x i b i l i t y t h a t s h e h a d n o t e x p e r i e n c e d . A s s h e e x p l a i n e d : " K n o w i n g I ' m h a v i n g t h e m f o r a l o n g e r p e r i o d , I c a n s p e n d m o r e t i m e a n d g e t m o r e k i d s t o r e a l l y fi g u r e o u t w h a t t h e y ' r e d o i n g " ( I n t e r v i e w , 7 / 1 / 9 3 ) . I t a l s o a l l o w e d h e r t o o r g a n i z e t h e c u r r i c u l u m o v e r a 3 - y e a r , r a t h e r t h a n a 1 - y e a r , p e r i o d . J a c k i e c i t e d t h e c o n c e n t r a t e d w o r k o n p l a c e v a l u e a n d b a s i c o p e r a t i o n s a s w e l l a s t h e e x t e n s i v e w o r k o n f r a c t i o n s , a s s p e c i fi c e x a m p l e s o f h o w t h i s f r e e d o m i m p a c t e d t h e d e c i s i o n s s h e m a d e . S h e w a s c o m m i t t e d t o d e v e l o p i n g s t u d e n t s ' u n d e r s t a n d i n g s t h e s e t o p i c s , b u t s h e a d m i t t e d t h a t s h e w o u l d h a v e s p e n t l e s s t i m e o n t h e m i f s h e h a d f e l t p r e s s u r e t o p r e p a r e s t u d e n t s t o m e e t e x p e c t a t i o n s o f t h e i r fi f t h - g r a d e t e a c h e r s . " I c o u l d n ' t h a v e , " s h e s p e c u l a t e d . " I w o u l d h a v e h a d t o m a k e s u r e t h a t t h e y h a d h a d m o r e o n d e c i m a l s . I w o u l d h a v e h a d t o m a k e s u r e t h e y h a d m o r e o n g e o m e t r y . Y e a h , I t h i n k t h a t r e a l l y h a s m a d e a b i g d i f f e r e n c e i n b e i n g a b l e t o m a k e s o m e o f t h o s e d e c i s i o n s " ( I n t e r v i e w , 7 / 1 / 9 3 ) . J a c k i e e x p l a i n e d t h a t s h e w a s p l a n n i n g t o c o n c e n t r a t e m o r e h e a v i l y t h e f o l l o w i n g y e a r o n t 0 p i c s t h a t r e c e i v e d l e s s a t t e n t i o n t h i s y e a r . L e a r n i n g T o I m p r o v i s e a n d t h e R o l e o f t h e T e x t b o o k : I s s u e s R a i s e d b y J a c k i e ' s C a s e J a c k i e i s a t e a c h e r w h o s e e f f o r t s t o t e a c h m a t h e m a t i c s f o r u n d e r s t a n d i n g d r e w h e r f r o m t h e H B J t e x t b o o k . H e r c a s e i l l u s t r a t e s a v e r s i o n o f t e a c h i n g a n d c h a n g e t h a t i n v o l v e d a r e c u r s i v e r e l a t i o n s h i p b e t w e e n t h e p r o c e s s e s o f c u r r i c u l u m c o n s t r u c t i o n a n d t h e d e v e l o p m e n t o f k n o w l e d g e f o r t e a c h i n g ( H e a t o n , 1 9 9 5 ) . H e r c o m m i t m e n t t o d e v e l o p i n g s t u d e n t s ' u n d e r s t a n d i n g s l e d h e r t o c o n s t r u c t c l a s s r o o m e v e n t s t h a t f a c i l i t a t e d t h e t y p e o f e x p l o r a t i o n a n d t a l k s h e b e l i e v e d n e c e s s a r y . T h e p r o c e s s o f c o n s t r u c t i n g a n d a d a p t i n g t h e s e e v e n t s l e d h e r t o e x a m i n e m a t h e m a t i c a l i d e a s a n d s t u d e n t s ' u n d e r s t a n d i n g s m o r e c a r e f u l l y , a d d i n g d e p t h t o h e r i d e a s a b o u t t e a c h i n g a n d , i n t u r n , i n fl u e n c i n g h e r p e d a g o g i c a l c h o i c e s . T h e H B J t e x t o f f e r e d r e p r e s e n t a t i o n s a n d s t u d e n t t a s k s t h a t J a c k i e c o u l d d r a w f r o m , b u t i t h a d a m i n i m a l i m p a c t o n h e r t e a c h i n g o r l e a r n i n g . 1 3 6 J a c k i e ' s c a s e r a i s e s t w o q u e s t i o n s a b o u t t h e r o l e o f c u r r i c u l u m m a t e r i a l s i n r e f o r m i n m a t h e m a t i c s e d u c a t i o n . T h e fi r s t q u e s t i o n e x a m i n e s t h e n a t u r e o f t e x t b o o k s , t h a t i s , w h a t t h e y o f f e r a n d t h e w a y t h e y i n t e r a c t w i t h t e a c h e r s a s r e a d e r s . I t a s k s w h a t a t e x t b o o k w o u l d n e e d t o l o o k a n d b e l i k e i n o r d e r t o c o n n e c t w i t h a t e a c h e r s s u c h a s J a c k i e i n o r d e r t o c o n t r i b u t e s u b s t a n t i a l l y t o h e r t e a c h i n g . T h e s e c o n d q u e s t i o n i n v o l v e s t h e n a t u r e o f t h e p e d a g o g y i m p l i c i t i n t h e r e f o r m s a n d t h e e x t e n t t o w h i c h a n y t e x t i s l i k e l y t o p r o v i d e s u p p o r t f o r s u c h t e a c h i n g . I t a s k s w h a t a t e x t i s u n a b l e t o d o . T h e c u r r e n t r e f o r m - r e l a t e d e m p h a s i s o n m a t h e m a t i c s i n s t r u c t i o n t h a t m a k e s s t u d e n t t h i n k i n g c e n t r a l n e c e s s a r i l y a s s u m e s t h e t y p e o f i m p r o v i s i n g a n d a d a p t a t i o n t h a t p e r m e a t e d J a c k i e ' s t e a c h i n g . H o w c a n a t e x t b o o k g u i d e t e a c h e r s i n s u c h i m p r o v i s a t i o n s ? A s J a c k i e w o n d e r e d , " A t e x t b o o k c o u l d n e v e r s i t t h e r e a n d k n o w f o r s u r e w h a t q u e s t i o n s k i d s a r e g o i n g t o a s k . . . T h a t ' s s o m e t h i n g I d o n ' t k n o w t h a t a n y t e x t b o o k c o u l d e v e r d o " ( I n t e r v i e w , 7 / 1 / 9 3 ) . C H A P T E R F I V E H E L P I N G S T U D E N T S B E S U C C E S S F U L : T H E C A S E O F C A T H E R I N E M C K E E N C a t h e r i n e M c K e e n w a s t y p i c a l o f m a n y e l e m e n t a r y t e a c h e r s a n d p o t e n t i a l t e x t b o o k u s e r s t o d a y . A s a n e x p e r i e n c e d t e a c h e r , s h e h a d w e l l - d e v e l o p e d a n d f a i r l y c o n v e n t i o n a l i d e a s a b o u t w h a t l e a r n i n g m a t h i n c l u d e d . C o m p u t a t i o n a l m a s t e r y w a s a t t h e c o r e o f h e r i n s t r u c t i o n a l g o a l s ; c a r e f u l g u i d a n c e a n d r e p e a t e d p r a c t i c e d e fi n e d t h e r o u t e t h r o u g h w h i c h i t w a s t o b e a t t a i n e d . A t t h e s a m e t i m e , C a t h e r i n e h a d r e c e i v e d t h e m e s s a g e t h a t t h e r e w a s m o r e t o l e a r n i n g m a t h t h a n c o m p u t a t i o n . T h a t i s , s t u d e n t s n e e d e d t o l e a r n t o t h i n k a n d t o a p p l y c o m p u t a t i o n a l k n o w l e d g e i n a r a n g e o f d i f f e r e n t . p r o b l e m - s o l v i n g s i t u a t i o n s . S h e f o u n d m a n y o f t h e i d e a s c o m p e l l i n g , a n d s h e w a n t e d t o i n c o r p o r a t e t h e m i n t o h e r t e a c h i n g , b u t n o t a t a n y e x p e n s e . H e r h o p e w a s t o a t t e n d t o t h e r e f o r m a g e n d a w i t h o u t a b a n d o n i n g h e r c o m m i t m e n t t o h e l p i n g s t u d e n t s o b t a i n s u c c e s s t h r o u g h c o m p u t a t i o n a l m a s t e r y . L i k e m a n y t e a c h e r s i n t h i s p o s i t i o n , s h e s a w t h e n e w t e x t b o o k a s a l i k e l y t o o l t o h e l p h e r d o s o . T h i s p r o c e s s o f i m p l e m e n t a t i o n d i d n o t g o a s s m o o t h l y a s C a t h e r i n e h a d a n t i c i p a t e d . A l m o s t i m m e d i a t e l y s h e f o u n d t h a t f o l l o w i n g s u g g e s t i o n s i n t h e t e x t t h r e a t e n e d h e r e f f o r t t o e n s u r e h e r s t u d e n t s ' s u c c e s s , r a i s i n g d o u b t s f o r h e r a b o u t t h e a p p r o p r i a t e n e s s o f s o m e r e f o r m i d e a s . R e s p o n d i n g t o h e r s t u d e n t s ' d i f fi c u l t i e s , h o w e v e r , p r e s e n t e d h e r w i t h a d i f f e r e n t p e r s p e c t i v e o n t h e s e t a s k s a n d h e r s t u d e n t s ' w o r k o n t h e m . H e r e x p e r i e n c e p r o v i d e s a u s e f u l s i t e t o e x p l o r e t h e r o l e o f s t u d e n t s i n a t e a c h e r ' s i n t e r a c t i o n w i t h a r e f o r m - o r i e n t e d t e x t b o o k A f t e r i n t r o d u c i n g C a t h e r i n e a n d w h a t s h e b r o u g h t t o h e r u s e o f t h e t e x t b o o k , I p r o c e e d w i t h t h e s t o r y o f C a t h e r i n e ' s fi r s t y e a r o f u s i n g t h e t e x t . 1 3 7 1 3 8 I n t r o d u c t i o n t o C a t h e r i n e C a t h e r i n e M c K e e n w a s r a i s e d i n t h e M a p l e t o n a r e a a n d b e g a n t e a c h i n g a t t h e a g e o f 2 2 , i m m e d i a t e l y a f t e r g r a d u a t i n g f r o m t h e n e a r b y u n i v e r s i t y . S h e h a d t a u g h t i n t h e M a p l e t o n d i s t r i c t t h r o u g h o u t t h e 3 1 y e a r s o f h e r t e a c h i n g c a r e e r a n d h a d b e e n a t M c K i n l e y E l e m e n t a r y S c h o o l f o r 2 4 y e a r s w h e n t h i s s t u d y b e g a n . S h e h a s t a u g h t t h i r d - , f o u r t h - , a n d fi f t h - g r a d e c l a s s e s . A f t e r s p e n d i n g t h e l a s t s e v e r a l y e a r s w i t h f o u r t h - g r a d e s t u d e n t s , s h e f o u n d i t t o b e a n a g e g r o u p w i t h w h i c h s h e f e l t c o m f o r t a b l e . T h e r e w a s m u c h a b o u t t h e s t u d e n t s t h a t s h e e n j o y e d a n d t h a t c o n fi r m e d w h a t s h e r e m e m b e r e d f r o m h e r o w n e x p e r i e n c e w i t h m a t h e m a t i c s . I d e s c r i b e C a t h e r i n e ' s a c c o u n t s o f t h e s e e x p e r i e n c e s a n d t h e i d e a s t h a t g r e w o u t o f t h e m b e l o w . C a t h e r i n e ' s E x p e r i e n c e s W i t h M a t h e m a t i c s C a t h e r i n e b r o u g h t t o h e r u s e o f t h e H B J t e x t b o o k d e fi n i t e i d e a s a b o u t t h e s u b s t a n c e a n d n a t u r e o f m a t h e m a t i c s , h o w i t i s t a u g h t , a n d h o w i t i s l e a r n e d . T h e s e i d e a s d e v e l o p e d t h r o u g h h e r e x p e r i e n c e s w i t h m a t h e m a t i c s a s a l e a r n e r a n d a s a t e a c h e r . T h e f o l l o w i n g e x p e r i e n c e s h a v e i m p a c t e d h e r a n d h a v e p l a y e d a r o l e i n s h a p i n g h e r i d e a s a b o u t t e a c h i n g a n d l e a r n i n g m a t h e m a t i c s . C a t h e r i n e ' s E x p e r i e n c e s a s a L e a r n e r o f M a t h e m a _ t i c _ s C a t h e r i n e ' s e x p e r i e n c e s a s a s t u d e n t w e r e s i m i l a r t o t h o s e o f m a n y w o m e n w h o a r e e l e m e n t a r y t e a c h e r s ( B a l l , 1 9 8 8 , 1 9 8 9 ; R e m i l l a r d , 1 9 9 3 ) . F o r t h e m o s t p a r t , h e r m a t h e m a t i c s c l a s s e s l e f t h e r f e e l i n g d i s c o u r a g e d a n d i n c o m p e t e n t . H e r i n t e r p r e t a t i o n o f t h e s e e x p e r i e n c e s , h o w e v e r , i s l e s s c o m m o n . S h e a t t r i b u t e d t h e m t o i n a p p r o p r i a t e t e a c h i n g r a t h e r t h a n t o h e r l a c k o f a b i l i t y : " I t a l m o s t s e e m e d , l i k e w h e n l w a s g r o w i n g u p , y o u l e a r n e d t h e m a t h b y y o u r s e l f . I t w a s i n t r o d u c e d a n d y o u l e a r n e d i t " ( I n t e r v i e w , 1 1 / 1 9 / 9 2 ) . L e a r n i n g m a t h b y h e r s e l f m e a n t s t r u g g l i n g t o fi g u r e t h i n g s o u t o n h e r o w n r a t h e r t h a n b e i n g t a u g h t h o w t o d o t h e m . C o n s e q u e n t l y , s h e r e m e m b e r s f r e q u e n t l y f e e l i n g f r u s t r a t e d a n d s e l d o m s u c c e s s f u l . 1 3 9 S h e r e c a l l e d o n e i n s t a n c e t h a t m a d e h e r f e e l s u c c e s s f u l . S h e l e a r n e d h e r m u l t i p l i c a t i o n t a b l e s a n d d i d n o t n e e d t o m a k e m a r k s o n h e r p a p e r i n o r d e r t o p e r f o r m c o m p u t a t i o n a l t a s k s : " I t w a s a r e a l r e l i e f , " s h e r e c a l l e d , " t o b e a b l e t o d o i t w i t h o u t h a v i n g t o m a k e m a r k s " ( I n t e r v i e w , 1 1 / 1 9 / 9 2 ) . O t h e r t h a n t h i s i n s t a n c e , s h e c o u l d n o t r e c a l l f e e l i n g s u c c e s s f u l o r l i k e s h e r e a l l y u n d e r s t o o d w h a t s h e w a s d o i n g . E v e n t h o u g h s h e t o o k m a t h t h r o u g h h i g h s c h o o l a n d m a n a g e d t o l e a r n w h a t s h e n e e d e d t o p a s s e a c h c o u r s e , t h i s w a s a l l s h e f e l t s h e l e a r n e d : " A s f a r a s l e a r n i n g h o w t o d o t h e p r o b l e m , y o u k n o w , I c o u l d d o t h a t . B u t g i v e m e a s t o r y p r o b l e m t h a t i n v o l v e d m o r e t h a n o n e s t e p . . . i t w a s j u s t t h a t I d i d n ' t h a v e t h e s k i l l s t o s o l v e t h e m " ( i n t e r v i e w , 1 1 / 1 9 / 9 2 ) . C a t h e r i n e ' s e x p e r i e n c e s a s a s t u d e n t o f m a t h e m a t i c s i n fl u e n c e d h e r i d e a s a b o u t t e a c h i n g i t . S h e b e l i e v e d t h a t p e o p l e w h o a r e g o o d a t m a t h a r e n o t n e c e s s a r i l y g o o d m a t h t e a c h e r s b e c a u s e t h e y " d o n ' t u n d e r s t a n d t h e c h i l d t h a t n e e d s t o b e t a u g h t " ( I n t e r v i e w , 1 1 / 1 9 / 9 2 ) . A s a n " a v e r a g e m a t h s t u d e n t " h e r s e l f , s h e c l a i m e d t h a t s h e h a d b e e n o n e o f t h o s e c h i l d r e n . C a t h e r i n e ' s E x p e r i e n c e a s a T e a c h e r o f M a t h e m a i c s C a t h e r i n e ' s e x p e r i e n c e t e a c h i n g m a t h e m a t i c s c o n fi r m e d t h i s h u n c h . B e c a u s e s h e w a s a n a v e r a g e s t u d e n t , s h e b e l i e v e d t h a t s h e u n d e r s t o o d t h e n e e d s o f t h e a v e r a g e s t u d e n t . A s a t e a c h e r , s h e c o n c e n t r a t e d o n p r o v i d i n g t h e i n s t r u c t i o n t h a t t h e s e s t u d e n t s n e e d e d i n o r d e r t o b e s u c c e s s f u l . S h e f o u n d t h a t s h e w a s a b l e t o h e l p m a n y o f h e r s t u d e n t s g a i n t h e c o m p u t a t i o n a l p r o fi c i e n c y n e c e s s a r y t o a c h i e v e t h a t f e e l i n g o f s u c c e s s . F o r t h i s r e a s o n , m a t h e m a t i c s w a s h e r f a v o r i t e s u b j e c t t o t e a c h : " I l o v e t o t e a c h i t b e c a u s e . . . i t ' s s o m e t h i n g t h a t t h e y s e e a s c o n c r e t e , a n d t h e r e ' s a r i g h t a n d w r o n g a n s w e r , a n d t h e y f e e l m o r e g r o w t h i n m a t h t h a n t h e y d o i n , s a y , r e a d i n g " ( I n t e r v i e w , 1 1 / 1 9 / 9 2 ) . C a t h e r i n e a l s o f e l t t h a t h e r u n d e r s t a n d i n g o f m a t h e m a t i c s h a d g r o w n t h r o u g h t e a c h i n g i t : " T h e t h i n g s i n m a t h a r e a l o t m o r e c l e a r t o m e t h e l o n g e r I t e a c h t h a n t h e y w e r e w h e n I fi r s t s t a r t e d t e a c h i n g . " S h e b e l i e v e d t h a t , t h r o u g h y e a r s o f t e a c h i n g , s h e h a d m a t u r e d a n d g a i n e d e x p e r i e n c e t h a t b r o a d e n e d h e r u n d e r s t a n d i n g o f m a t h e m a t i c s a n d 1 4 0 s t u d e n t s ' l e a r n i n g . I n p a r t i c u l a r , w o r k i n g w i t h c h i l d r e n h e l p e d h e r t o d e t e r m i n e " w h e r e t h e y a r e g o i n g t o h a v e p r o b l e m s " a n d w h a t t y p e s o f m i s t a k e s t h e y a r e l i k e l y t o m a k e : " I t h i n k i t ' s n o t o n l y t h e c h i l d r e n t h a t a s t h e y m a t u r e t h e y u n d e r s t a n d m o r e ; I t h i n k t h a t i s t r u e f o r t h e t e a c h e r s , t o o " ( I n t e r v i e w , 1 2 / 1 9 / 9 2 ) . C a t h e r i n e ' s E x p e r i e n c e W i t h C u r r e n t R e f o r m s i n M a t h e m a t i c s E d u c a m O v e r t h e l a s t f e w y e a r s , C a t h e r i n e n o t i c e d t h a t p r o b l e m s o l v i n g a n d a p p l i c a t i o n o f c o m p u t a t i o n a l s k i l l s w e r e r e c e i v i n g g r e a t e r a t t e n t i o n i n m a t h e m a t i c s , w h i l e a g e - o l d m a x i m s w e r e b e i n g c h a l l e n g e d . T h e i n c r e a s e d a v a i l a b i l i t y o f c a l c u l a t o r s , f o r e x a m p l e , w a s b r i n g i n g i n t o q u e s t i o n t h e n e e d f o r p r i m a r y e m p h a s i s o n c o m p u t a t i o n a l s k i l l s . C a t h e r i n e l e a r n e d a b o u t t h e s e c h a n g e s t h r o u g h a n u m b e r o f c h a n n e l s a n d , f o r t h e m o s t p a r t , s h e b e l i e v e d t h a t s h e w a s r e s p o n d i n g t o t h e m . T h e i n c r e a s e d e m p h a s i s o n p r o b l e m s o l v i n g , f o r e x a m p l e , w a s b r o u g h t t o h e r a t t e n t i o n s e v e r a l y e a r s e a r l i e r t h r o u g h t h e 1 9 8 3 e d i t i o n o f t h e A d d i s o n - W e s l e y t e x t b o o k , w h i c h w a s u s e d i n t h e d i s t r i c t b e t w e e n t h e m i d 1 9 8 0 3 a n d 1 9 9 2 . T h i s t e x t p l a c e d s o m e e m p h a s i s o n p r o b l e m s o l v i n g , p r o v i d i n g v a r i o u s s t r a t e g i e s t o e m p l o y a n d a c h e c k l i s t o f s t e p s t o f o l l o w w h e n s o l v i n g p r o b l e m s . C a t h e r i n e i n c o r p o r a t e d t h e s e s t r a t e g i e s a n d s t e p s i n t o a b u l l e t i n b o a r d d i s p l a y i n h e r c l a s s r o o m , w h i c h s h e h a s c o n t i n u e d e a c h y e a r . C o m m u n i c a t i o n s w i t h i n t h e d i s t r i c t a n d s t a t e a b o u t p o l i c i e s a n d a s s e s s m e n t a l s o p l a c e d e m p h a s i s o n t h e a p p l i c a t i o n o f m a t h e m a t i c a l s k i l l s . N o t o n l y h a d t h e d i s t r i c t r e c e n t l y p u r c h a s e d a s e t o f c a l c u l a t o r s f o r e a c h c l a s s r o o m , b u t c h a n g e s i n s t a t e - l e v e l c u r r i c u l u m a n d t e s t i n g p l a c e d i n c r e a s e d e m p h a s i s o n t h e a p p l i c a t i o n o f s k i l l s a n d t h e u s e o f c a l c u l a t o r s a s t o o l s . C a t h e r i n e a l s o l e a r n e d a b o u t c h a n g e d e m p h a s e s i n m a t h e m a t i c s e d u c a t i o n t h r o u g h c o n v e r s a t i o n s w i t h c o l l e a g u e s . O n e o f t h e fi f t h - g r a d e t e a c h e r s i n t h e s c h o o l , w h o w a s p r e s i d e n t o f t h e d i s t r i c t m a t h c o m m i t t e e , p l a y e d a r o l e i n c o m m u n i c a t i n g d i s t r i c t - a n d s t a t e - l e v e l c o n c e r n s t o o t h e r t e a c h e r s . A s a r e s u l t , C a t h e r i n e e x p l a i n e d , s h e h e a r d a l o t a b o u t u n d e r t a k i n g s a n d c o n c e r n s i n t h e d i s t r i c t t h r o u g h l u n c h r o o m 1 4 1 c o n v e r s a t i o n s . T h u s , C a t h e r i n e b e l i e v e d t h a t s h e h a d b e e n a w a r e o f s o m e o f t h e w a y s m a t h e m a t i c s w a s c h a n g i n g b e f o r e s h e e n c o u n t e r e d t h e n e w t e x t b o o k W h e n t h e d i s t r i c t p r e p a r e d t o a d o p t a n e w e l e m e n t a r y m a t h e m a t i c s t e x t b o o k , C a t h e r i n e f o u n d h e r s e l f c o n f r o n t i n g m a n y o f t h e i d e a s o f t h e c u r r e n t r e f o r m s i n m a t h e m a t i c s e d u c a t i o n d i r e c t l y . D u r i n g t h e 1 9 9 1 — 9 2 s c h o o l y e a r , s h e a g r e e d t o p i l o t t w o o f t h e f o u r t e x t b o o k s b e i n g c o n s i d e r e d f o r a d o p t i o n b y t h e d i s t r i c t . A s a p i l o t t e a c h e r , s h e a t t e n d e d M a t h C o m m i t t e e m e e t i n g s d u r i n g w h i c h t h e s t r e n g t h s a n d w e a k n e s s e s o f t h e d i f f e r e n t t e x t s a n d t h e g o a l s o f t h e d i s t r i c t w e r e d i s c u s s e d . C a t h e r i n e c o u l d n o t s a y e x a c t l y w h a t t h e g o a l s o f t h e d i s t r i c t w e r e , b u t i t w a s e v i d e n t t h a t o n e e x p e c t a t i o n w a s t h a t t h e t e x t b o o k s e l e c t e d s h o u l d r e fl e c t e m p h a s e s t h a t w e r e p a r t o f n a t i o n a l r e f o r m s . A s C a t h e r i n e d e s c r i b e d i t , t h e y w a n t e d a t e x t t h a t c o u l d " m e e t t h e c r i t e r i a o f t h e n e w m a t h " ( I n t e r v i e w , 1 1 / 9 / 9 2 ) . C a t h e r i n e ' s S c h o o l C o n t e x t M c K i n l e y E l e m e n t a r y S c h o o l w a s a n a v e r a g e t o s m a l l e l e m e n t a r y s c h o o l i n t h e M a p l e t o n S c h o o l D i s t r i c t , w i t h t w o c l a s s e s f o r e a c h g r a d e a t t h e u p p e r e l e m e n t a r y l e v e l . I n t e r a c t i o n s a m o n g t e a c h e r s s e e m e d t o o c c u r b y c h a n c e r a t h e r t h a n b y d e s i g n . A c c o r d i n g t o C a t h e r i n e , m o s t o f t h e s u b s t a n t i a l i n t e r a c t i o n s w i t h h e r c o l l e a g u e s o c c u r r e d d u r i n g l u n c h a n d a t m o n t h l y f a c u l t y m e e t i n g s . T h e u p d a t e s o n t h e d i s t r i c t m a t h c o m m i t t e e ' s w o r k , p a s s e d o n b y h e r c o l l e a g u e , J o y c e , c o m p r i s e d t h e e x t e n t o f h e r i n t e r a c t i o n s a b o u t m a t h . E v e n t h o u g h t h e t w o fi f t h - g r a d e t e a c h e r s i n t h e s c h o o l w o r k e d c l o s e l y , e x c h a n g i n g s t u d e n t s f o r m a t h a n d r e a d i n g a n d s h a r i n g i d e a s , t h i s s e e m e d t o b e t h e e x c e p t i o n r a t h e r t h a n t h e r u l e . C a t h e r i n e r a r e l y s p o k e a b o u t t h e o t h e r f o u r t h - g r a d e t e a c h e r , a n d s h e c l a i m e d t o k n o w l i t t l e a b o u t h e r c o l l e a g u e s ' m a t h e m a t i c s i n s t r u c t i o n . C o n v e r s a t i o n s a b o u t t e a c h i n g d i d n o t s e e m t o b e a p a r t o f t h e M c K i n l e y c u l t u r e . T h e e x p e r i e n c e s d e s c r i b e d a b o v e h e l p e d t o s h a p e t h e p e r s o n a l r e s o u r c e s t h a t C a t h e r i n e b r o u g h t t o h e r u s e o f t h e t e x t . A s w i t h J a c k i e , t h e s e r e s o u r c e s t a k e t h e f o r m o f m a t h e m a t i c a l a n d p e d a g o g i c a l k n o w l e d g e a n d u n d e r s t a n d i n g s , i d e a s , b e l i e f s , p e r s o n a l 1 4 2 t h e o r i e s , a n d c o m m i t m e n t s . T h e f o l l o w i n g d e s c r i p t i o n s c h a r a c t e r i z e r e s o u r c e s t h a t fi g u r e d i n h e r i n t e r a c t i o n s w i t h t h e H B J t e x t . W h a t C a t h e r i n e B r o u g h t t o h e r T e a c h i n g o f M a t h e m a t i c a T h e c a t e g o r i e s u s e d t o o r g a n i z e t h e p e r s o n a l r e s o u r c e s t h a t C a t h e r i n e b r o u g h t t o h e r m a t h t e a c h i n g a r e t a k e n , t o a l a r g e e x t e n t , f r o m S c h w a b ' s ( 1 9 7 8 ) n o t i o n o f c u r r i c u l a r c o m m o n p l a c e s , w h i c h i n c l u d e s u b j e c t m a t t e r , t e a c h i n g , l e a r n e r s , a n d c o n t e x t ( i n w h i c h t h e c o n t e x t c o n s i d e r e d i s t h e r e f o r m c o n t e x t ) . T h e s e , h e a r g u e d , a r e t h e n e c e s s a r y a r e a s t o b e c o n s i d e r e d b y d e v e l o p e r s i n " m a k i n g a d e f e n s i b l e c u r r i c u l u m " ( p . 3 6 8 ) . T h e s e c a t e g o r i e s a l s o r e fl e c t S h u l m a n ' s ( 1 9 8 7 ) c o n c e p t u a l i z a t i o n o f p e d a g o g i c a l c o n t e n t k n o w l e d g e i n t h a t t h e c o n t e n t o f t h e l e a r n i n g a n d t e a c h i n g c a t e g o r i e s i s t i g h t l y i n t e r t w i n e d a n d i s s p e c i fi c t o t h e s u b j e c t m a t t e r . C a t h e r i n e ' s i d e a s a b o u t s t u d e n t l e a r n i n g a n d h e r r o l e a s t e a c h e r a l s o r e fl e c t e d G r i m m e t t a n d M a c K i n n e n ' s ( 1 9 9 2 ) c o n c e p t u a l i z a t i o n o f p e d a g o g i c a l l e a r n e r k n o w l e d g e , b e c a u s e h e r p e d a g o g i c a l p e r s p e c t i v e s w e r e s o c o n n e c t e d t o h e r i d e a s a b o u t l e a r n e r s a n d h o w t o " d e a l r i g o r o u s l y a n d s u p p o r t i v e l y " ( p . 2 8 7 ) w i t h t h e m . A s t h e f o l l o w i n g d e s c r i p t i o n s r e v e a l , C a t h e r i n e ' s i d e a s a b o u t l e a r n e r s a n d l e a r n i n g f r a m e d h e r p e r s p e c t i v e o n t e a c h i n g , a s w e l l a s h e r r e s p o n s e t o t h e H B J t e x t . C a t h e r i n e ' s c e n t r a l g o a l i n t e a c h i n g m a t h e m a t i c s w a s f o r h e r s t u d e n t s t o f e e l a n d b e " s u c c e s s f u l . " S h e w a n t e d t h e m t o m a k e s p e c i fi c a n d m e a s u r a b l e g a i n s i n l e a r n i n g m a t h t h a t t h e y c o u l d b u i l d o n a n d a p p l y . S h e w a n t e d t h e m t o f e e l g o o d a b o u t l e a r n i n g s o t h a t t h e y w o u l d w a n t t o l e a r n m o r e . S h e w a n t e d t h e m t o b e s u c c e s s f u l i n o t h e r d o m a i n s t h a t m i g h t r e q u i r e m a t h e m a t i c a l s k i l l s . T h e s e d e s i r e s , a n d h e r i d e a s a b o u t w h a t s t u d e n t s n e e d e d t o a c h i e v e s u c c e s s i n m a t h e m a t i c s , w e r e p r e d i c a t e d o n t h e f o l l o w i n g i d e a s a n d u n d e r s t a n d i n g s t h a t s h e b r o u g h t t o h e r t e a c h i n g . C a t h e r i n e ' s I d e a s A b o u t M a t h e m a t i c s C a t h e r i n e v i e w e d m a t h e m a t i c s a s c o m p o s e d o f a l i s t o f d i s c r e t e t o p i c s t h a t m a t c h e d t h e t i t l e s o f t h e c h a p t e r s i n t h e t e x t b o o k E a c h t o p i c fi t i n t o o n e o f t w o 1 4 3 c a t e g o r i e s : c o m p u t a t i o n a l a n d o t h e r n o n c o m p u t a t i o n a l t o p i c s . T h e c o m p u t a t i o n a l t o p i c s , w h i c h w e r e e s s e n t i a l l y t h e f o u r b a s i c o p e r a t i o n s , s h e c a l l e d " p r o c e s s e s . " T h e s e p r o c e s s e s , s h e b e l i e v e d , w e r e a t t h e h e a r t o f m a t h e m a t i c s . W h a t s h e r e f e r r e d t o a s " o t h e r s k i l l s " w e r e t h e s u b j e c t s o f t h e n o n c o m p u t a t i o n a l c h a p t e r s i n t h e t e x t b o o k , s u c h a s f r a c t i o n s , t i m e , m e a s u r e m e n t , g e o m e t r y , a n d p l a c e v a l u e . 1 T h e s e s k i l l s , s h e b e l i e v e d , p r o v i d e d c o n t e x t s f o r t h e p r o c e s s e s t o b e a p p l i e d a n d t e n d e d t o b e m o r e i n t e r e s t i n g t o s t u d e n t s . H o w e v e r , t h e y " w e r e a w f u l l y e a s y t o j u s t k i n d o f i g n o r e w h e n y o u w e r e j u s t d o i n g c o m p u t a t i o n k i n d s o f t h i n g s " ( I n t e r v i e w , 1 1 / 1 9 / 9 2 ) . I n f a c t , i t w a s C a t h e r i n e ' s o p i n i o n t h a t , u n t i l r e c e n t l y , t h e s e t o p i c s h a d b e e n i g n o r e d i n e l e m e n t a r y m a t h : " I n t h e p a s t , i t ' s b e e n m o s t l y a c o m p u t a t i o n k i n d o f m a t h w h e r e , y o u k n o w , y o u j u s t w o r k e d o n c o m p u t a t i o n , " s h e e x p l a i n e d . " [ N o w ] , t h e y ' r e s t r e s s i n g s o m u c h p r o b l e m s o l v i n g a n d t h e d i f f e r e n t s k i l l s " ( I n t e r v i e w 1 1 / 9 / 9 2 ) . I n r e s p o n s e , C a t h e r i n e b e g a n t o e m p h a s i z e t h e s e s k i l l s m o r e i n h e r t e a c h i n g . S t i l l , s h e d i f f e r e n t i a t e d b e t w e e n c o m p u t a t i o n a l p r o c e s s e s a n d t h e o t h e r t o p i c s b y t h e e x p e c t a t i o n s s h e h a d f o r h e r s t u d e n t s ' l e a r n i n g o f t h e m . S h e b e h a v e d t h a t s t u d e n t s s h o u l d l e a r n a b o u t e a c h t o p i c i n t h e t e x t b o o k , c o m p u t a t i o n h a d p r i o r i t y . L e a r n i n g t h e s e p r o c e s s e s " s e t s t h e f o u n d a t i o n f o r a n y h i g h e r m a t h " ( I n t e r v i e w , 1 2 / 1 7 / 9 2 ) . T h u s , t h e f o u r p r o c e s s e s n e e d e d t o b e " m a s t e r e d " w h e r e a s t h e o t h e r t o p i c s w e r e " t a l k e d a b o u t e a c h y e a r a n d e v e n t u a l l y t h e y m a y j u s t s i n k i n a s t h e m a t u r i t y l e v e l h i t s " ( I n t e r v i e w , 1 2 / 1 7 / 9 2 ) . C a t h e r i n e a l s o h a d s t r o n g v i e w s a b o u t t h e n a t u r e o f m a t h e m a t i c s . S h e s a w m a t h e m a t i c s a s c o n c r e t e , f a c t u a l , a n d p r o c e d u r a l , c o n s i s t i n g o f c o r r e c t s t e p s a n d h a v i n g u n e q u i v o c a l l y r i g h t a n s w e r s . A s a l e a r n e r , s h e f o u n d i t r e a s s u r i n g w h e n s h e m a d e t a n g i b l e s t e p s i n l e a r n i n g f a c t s o r p r o c e d u r e s b e c a u s e t h i s p r o g r e s s w a s v i s i b l e . T h e s e c h a r a c t e r i s t i c s m a d e t e a c h i n g m a t h e m a t i c s a p p e a l i n g . 1 T h e t e r m s " p r o c e s s e s " a n d " s k i l l s " a r e C a t h e r i n e ' s . S h e c o n s i s t e n t l y u s e d t h e m t o d e s c r i b e t h e w a y s h e c l a s s i fi e d t h e c u r r i c u l u m . H e r u s e o f t h e t e r m " p r o c e s s e s " r e f e r s t o w h a t m a n y w o u l d c a l l c o m p u t a t i o n a l s k i l l s . A t t h e s a m e t i m e , m a n y o f t h e i t e m s u n d e r h e r c a t e g o r y , " s k i l l s " ( t h e n o n c o m p u t a t i o n a l i t e m s i n t h e c u r r i c u l u m ) a r e s o m e t i m e s r e f e r r e d t o a s p r o c e s s e s . 1 4 4 C a t h e r i n e ' s I d e a s A b o u t S t u d e n t s ' L e a r n i n g o f M a t h C a t h e r i n e a l s o b r o u g h t v i e w s a b o u t s t u d e n t s a n d l e a r n i n g t o h e r t e a c h i n g i n t h e f o r m o f a s s u m p t i o n s a b o u t t h e l e a r n i n g p r o c e s s . M a n y o f t h e s e v i e w s w e r e i n t e r w o v e n w i t h h e r i d e a s a b o u t t h e s u b s t a n c e a n d n a t u r e o f m a t h e m a t i c s . F o r i n s t a n c e , b e c a u s e t h e m o s t i m p o r t a n t t h i n g s f o r s t u d e n t s t o l e a r n w e r e c o m p u t a t i o n a l p r o c e s s e s , C a t h e r i n e v i e w e d l e a r n i n g a s a p r o c e s s o f b e i n g s h o w n w h a t t o d o a n d t h e n p r a c t i c i n g s p e c i fi c p r o c e d u r a l s t e p s . C o n s e q u e n t l y , a s m y d e s c r i p t i o n s o f h e r t e a c h i n g i l l u s t r a t e , s h e b u i l t h e a v y d o s e s o f p r a c t i c e i n t o l e s s o n s o n c o m p u t a t i o n ‘ a s w e l l a s n o n c o m p u t a t i o n a l t o p i c s . C a t h e r i n e a l s o h e l d p a r t i c u l a r c o n c e p t i o n s o f s t u d e n t s t h a t i n fl u e n c e d t h e i r l e a r n i n g . S h e b e l i e v e d t h a t s t u d e n t s n e e d e d t o f e e l s u c c e s s f u l i n m a t h i n o r d e r t o b e i n t e r e s t e d i n c o n t i n u i n g t o l e a r n . S h e r e c a l l e d f e e l i n g d i s c o u r a g e d w h e n s h e w a s n o t s u c c e s s f u l i n m a t h . I n h e r t e a c h i n g , s h e n o t i c e d t h a t s t u d e n t s w e r e e n c o u r a g e d w h e n t h e y m a d e v i s i b l e p r o g r e s s i n l e a r n i n g . S h e a l s o o b s e r v e d t h a t b e i n g o v e r l y c h a l l e n g e d w i t h o u t c l e a r e v i d e n c e t h a t t h e y w e r e m a k i n g p r o g r e s s d i s c o u r a g e d t h e m . S h e w o r r i e d , f o r e x a m p l e , a b o u t s t u d e n t s l i k e J u s t i n , w h o s e e m e d u n a b l e t o m e m o r i z e t h e m u l t i p l i c a t i o n t a b l e s : " H e ' s a p o s i t i v e c h i l d , " s h e t o l d m e , " b u t I c o u l d s e e , a s t h e y e a r s w e n t o n , t h a t p r o b a b l y h e w o u l d g e t v e r y , v e r y d i s c o u r a g e d " ( I n t e r v i e w , 1 1 / 1 9 / 9 2 ) . T h i s c o n c e r n l e d h e r t o g i v e h i m a m u l t i p l i c a t i o n g r i d t o k e e p o n h i s d e s k a n d t o u s e a s a r e f e r e n c e : " A t l e a s t h e f e e l s s o m e s u c c e s s i n s t e a d o f z e r o s u c c e s s , " s h e e x p l a i n e d . B e c a u s e s h e b e l i e v e d t h a t s t u d e n t s ' f e e l i n g s o f s u c c e s s i m p a c t e d t h e i r m o t i v a t i o n t o l e a r n m a t h e m a t i c s , C a t h e r i n e p r e f e r r e d t o g i v e t h e m t a s k s t h a t t h e y c o u l d a c c o m p l i s h w i t h o u t b e c o m i n g d i s c o u r a g e d a l o n g t h e w a y . S h e b e l i e v e d t h a t a r i t h m e t i c f a c t s a n d c o m p u t a t i o n a l p r o c e d u r e s w e r e s a f e b e t s b e c a u s e l e a r n i n g t h e m i n v o l v e d a l e v e l o f t h i n k i n g t h e s t u d e n t s h a d a t t h e i r d i s p o s a l . S h e w a s c a u t i o u s a b o u t p r e s e n t i n g s t u d e n t s w i t h t a s k s t h a t t h e y w e r e n o t " r e a d y " t o d o t o a v o i d d i s c o u r a g i n g t h e m . C a t h e r i n e ' s i d e a t h a t w h a t s t u d e n t s a r e a b l e t o l e a r n w a s d e t e r m i n e d , i n p a r t , b y t h e i r r e a d i n e s s w a s a n o t h e r s t a n c e t h a t C a t h e r i n e b r o u g h t t o h e r m a t h e m a t i c s t e a c h i n g . 1 4 5 E v e n t h o u g h s h e n e v e r d e s c r i b e d i t a s s u c h , i t s e e m e d g r o u n d e d i n d e v e l o p m e n t a l t h e o r y . I n o t h e r w o r d s , s h e b e l i e v e d t h a t s t u d e n t s ' d e v e l o p m e n t o r m a t u r i t y p l a y e d a r o l e i n t h e i r a b i l i t i e s t o l e a r n p a r t i c u l a r t h i n g s . T h u s , s h e w a s n o t c o n c e r n e d t h a t s o m e o f h e r s t u d e n t s c o u l d p e r f o r m t h e s t e p s i n m u l t i p l i c a t i o n b u t d i d n o t u n d e r s t a n d t h e m : " I t h i n k , s o m e t i m e s , t h a t c o m e s w i t h m a t u r i t y , y o u k n o w . S o m e o f t h e m a r e n o t g o n n a u n d e r s t a n d i t i n t h e f o u r t h g r a d e " ( I n t e r v i e w , 1 1 / 1 9 / 9 2 ) . C o n s e q u e n t l y , s h e w o r r i e d t h a t t h e n e w e m p h a s e s i n m a t h e m a t i c s w e r e e x p e c t i n g s t u d e n t s t o a c c o m p l i s h t a s k s t h a t t h e y w e r e n o t d e v e l o p m e n t a l l y r e a d y t o d o . T h e c o m p l e x p r o b l e m - s o l v i n g a n d t h i n k i n g q u e s t i o n s w e r e l i k e l y t o c h a l l e n g e s t u d e n t s b e y o n d a c o m f o r t a b l e l e v e l , p l a c i n g t h e i r f e e l i n g s o f s u c c e s s a t r i s k : " I t h i n k i t ' s g o o d t o p r o b l e m s o l v e , b u t I a l s o t h i n k t h a t s o m e t i m e s , a t t h i s l e v e l , t h e y ' r e j u s t , m a t u r i t y - w i s e , t h e y ' r e n o t r e a d y f o r t h a t , a n d t h e y c a n b e c o m e v e r y , v e r y d i s c o u r a g e d i f t h e y d o n ' t a l s o l e a r n t o d o s o m e c o m p u t a t i o n " ( I n t e r v i e w , 1 1 / 9 / 9 2 ) . C a t h e r i n e ' s I d e a s A b o u t T e a c h i n g T h e i d e a s a b o u t t e a c h i n g a n d t h e t e a c h e r ' s r o l e t h a t C a t h e r i n e b r o u g h t t o h e r u s e o f t h e t e x t b o o k w e r e c l o s e l y r e l a t e d t o h e r i d e a s a b o u t s t u d e n t s a n d t h e i r l e a r n i n g . S h e b e l i e v e d t h a t t h e t e a c h e r ' s r o l e w a s t o " t e a c h " r a t h e r t h a n t o l e a v e s t u d e n t s t o fi g u r e p r o b l e m s o u t a l o n e . T h i s c o n v i c t i o n c o r r e s p o n d e d w i t h h e r v i e w t h a t s t u d e n t s l e a r n f r o m b e i n g t o l d o r s h o w n , a n d i t s t e m s f r o m h e r b e l i e f t h a t s h e w a s n e v e r " t a u g h t . " I t a l s o fi t w i t h t h e v a l u e s h e p l a c e d o n l e a r n i n g c o m p u t a t i o n a l p r o c e s s e s , s i n c e t h e y l e n d t h e m s e l v e s t o s h o w i n g p r o c e d u r a l s t e p s . D u r i n g o u r e a r l y c o n v e r s a t i o n s , C a t h e r i n e o f t e n r e c a l l e d h e r e x p e r i e n c e s a s a s t u d e n t o f m a t h e m a t i c s t o s u p p o r t h e r v i e w s o n t e a c h i n g . A f t e r e x p l a i n i n g t h a t s h e n e v e r f e l t a s i f s h e h a d b e e n t a u g h t a n d d e s c r i b i n g t h e f r u s t r a t i o n t h a t a c c o m p a n i e d t h i s f e e l i n g , s h e s a i d , ” I w o u l d l i k e t h e m [ h e r s t u d e n t s ] t o b e a b l e t o f e e l l i k e t h e y h a d b e e n t a u g h t , y o u k n o w , i n s t e a d o f j u s t b e i n g i n t r o d u c e d a n d t h e n y o u j u s t k i n d o f s t r u g g l e t h r o u g h i t o n y o u r o w n ” ( I n t e r v i e w , 1 1 / 1 9 / 9 2 ) . 1 4 6 F o r C a t h e r i n e , t e a c h i n g i n v o l v e d " s h o w i n g t h e m h o w t o d o s o m e t h i n g " a n d c a r e f u l l y e x a m i n i n g t h e i r w o r k t o d e t e r m i n e " e x a c t l y w h a t t h e y ' v e d o n e w r o n g " ( I n t e r v i e w , 1 1 / 1 9 / 9 2 ) . T h i s t y p e o f t e a c h i n g , s h e b e l i e v e d , r e q u i r e d t h e w i l l i n g n e s s t o g o o v e r t h e m a t e r i a l u n t i l t h e s t u d e n t s u n d e r s t o o d . G i v e n a l l t h e t o p i c s t h a t h a d b e e n a d d e d t o t h e m a t h e m a t i c s c u r r i c u l u m i n r e c e n t y e a r s , C a t h e r i n e b e l i e v e d t h a t m a n y t e a c h e r s f e l t p r e s s u r e t o a d v a n c e t o t h e n e x t t o p i c b e f o r e s t u d e n t s w e r e r e a d y . C a t h e r i n e ' s V i e w s o f t h e R e f o r m s i n M a t h e m a t i c s E d u c a t i o n a n d t h e H B I T e x t b o o k C a t h e r i n e s a w t h e r e f o r m s a s a d d i t i v e r a t h e r t h a n t r a n s f o r m a t i v e . T h a t i s , s h e b e l i e v e d t h e y w e r e a t t e m p t s t o a d d t o o l s a n d t o p i c s s u c h a s c a l c u l a t o r s , p r o b l e m s o l v i n g , a n d m a n i p u l a t i v e s t o m a t h e m a t i c s i n s t r u c t i o n a n d t h e c u r r i c u l u m r a t h e r t h a n t o p r o p o s e a f u n d a m e n t a l r e v i s i o n i n h o w m a t h e m a t i c s w a s t a u g h t o r v i e w e d . S h e f r e q u e n t l y u s e d t h e p h r a s e " t h e n e w m a t h " o r " t h e n e w d e fi n i t i o n o f m a t h " t o r e f e r t o n a t i o n a l a n d s t a t e e f f o r t s t o r e f o r m m a t h e m a t i c s i n s t r u c t i o n . T h e m a i n m e s s a g e o f t h e s e e f f o r t s w a s " t h a t c h i l d r e n s h o u l d b e a b l e t o p r o b l e m s o l v e i n m a t h " ( I n t e r v i e w , 1 1 / 9 / 9 2 ) , b u t t h e y a l s o i n c l u d e d i n c r e a s i n g e m p h a s i s o n t h e n o n c o m p u t a t i o n a l t o p i c s i n t h e t e x t b o o k I n g e n e r a l , C a t h e r i n e w a s n o t o p p o s e d t o t h e s e t o p i c s r e c e i v i n g g r e a t e r e m p h a s i s . S h e a c k n o w l e d g e d t h a t s t u d e n t s n e e d e d t o l e a r n h o w t o s o l v e p r o b l e m s , t o a p p l y t h e i r c o m p u t a t i o n a l s k i l l s , a n d t o u s e a r t i f a c t s o f m o d e r n t e c h n o l o g y s u c h a s c a l c u l a t o r s . I n f a c t , s h e f e l t t h e s e i d e a s w e r e r e m i n i s c e n t o f g o a l s t h a t h a d a l w a y s b e e n v a l u e d : I t h i n k t h a t t h e e m p h a s i s o n p r o b l e m s s o l v i n g , w h i c h i n v o l v e s m o r e t h i n k i n g , h a s b e e n w i t h i n t h e l a s t f e w y e a r s . B u t I t h i n k w e a l w a y s h a d t h e f e e l i n g t h a t t h e y s h o u l d b e a b l e t o a p p l y w h a t t h e y k n e w , w h i c h i n v o l v e d m o r e t h i n k i n g . I t h i n k t h a t ' s a l w a y s b e e n o n e o f t h e t h i n g s . . . B u t I t h i n k t h a t s u d d e n l y t h e t e x t b o o k s a n d t h e p e o p l e t h a t a r e w r i t i n g t h e m a t h c u r r i c u l u m , w h o e v e r t h o s e p e o p l e a r e , h a v e s u d d e n l y d e c i d e d t h a t w e r e a l l y n e e d t o w o r k o n t h a t . ( I n t e r v i e w , 1 2 / 1 7 / 9 2 ) S h e s e e m e d t o b e c o n v i n c e d t h a t m a k i n g p r o b l e m - s o l v i n g a n d o t h e r t h i n k i n g - o r i e n t e d t o p i c s p a r t o f t h e e x p l i c i t c u r r i c u l u m c o u l d h e l p c h i l d r e n b y i n c r e a s i n g t h e i r u n d e r s t a n d i n g : " I t h i n k m a t h i s e a s i e r i f y o u r e a l l y u n d e r s t a n d w h a t w e ' r e t a l k i n g a b o u t " ( I n t e r v i e w , 1 1 / 1 9 / 9 2 ) . 1 4 7 C a t h e r i n e a l s o r e c o g n i z e d t h a t t h e u s e o f m a n i p u l a t i v e s i n i n s t r u c t i o n w a s a f u n d a m e n t a l p a r t o f t h e p r o p o s e d c h a n g e s . T h i s w a s o n e a s p e c t o f t h e r e f o r m s s h e a d m i t t e d t h a t s h e h a d n o t e m b r a c e d . W h e n I fi r s t t a l k e d t o h e r , s h e h a d n o t u s e d a n y o f t h e m a n i p u l a t i v e s u g g e s t i o n s i n t h e t e x t : " I ' m n o t u s e d t o w o r k i n g w i t h m a n i p u l a t i v e s , " s h e e x p l a i n e d , " a n d t o b e p e r f e c t l y h o n e s t , I n e e d t o s t o p a n d g o t h r o u g h w h a t I h a v e i n m a n i p u l a t i v e s " ( I n t e r v i e w , 1 1 / 9 / 9 2 ) . C a t h e r i n e a l s o b e l i e v e d t h a t t h e r o l e o f m a n i p u l a t i v e s , l i k e t r a i n i n g w h e e l s , w a s t o s u p p o r t t e m p o r a r i l y s t u d e n t s ' u n d e r s t a n d i n g s d u r i n g t h e l e a r n i n g p r o c e s s . T h u s , s h e o n l y s a w t h e m a s n e c e s s a r y w h e n s t u d e n t s w e r e h a v i n g d i f fi c u l t y g r a s p i n g p a r t i c u l a r i d e a s . O n s e v e r a l o c c a s i o n s , s h e e x p l a i n e d t h a t s h e d i d n o t " n e e d " t o u s e t h e m a n i p u l a t i v e s s u g g e s t e d i n t h e t e x t b e c a u s e " t h e y [ t h e s t u d e n t s ] u n d e r s t o o d i t " w i t h o u t t h e m ( I n t e r v i e w , 1 1 / 9 / 9 2 ) . C a t h e r i n e h a d t w o m a i n c o n c e r n s a b o u t h o w t h e n e w i d e a s i n m a t h e m a t i c s w e r e r e p r e s e n t e d a n d t a u g h t . T h e fi r s t c o n c e r n w a s t h a t t h e i n c r e a s e d e m p h a s i s a n d t i m e a l l o t t e d t o n o n c o m p u t a t i o n a l t o p i c s w a s " a t t h e c o s t o f c o m p u t a t i o n . " S h e b e l i e v e d t h a t m a n y i n t e r p r e t e d t h e c h a n g e s i n m a t h e m a t i c s e d u c a t i o n a s a n a t t e m p t t o e l i m i n a t e c o m p u t a t i o n : " I n t h e n e w d e fi n i t i o n o f m a t h , a l o t o f p e o p l e t h i n k t h e y d o n ' t n e e d t o k n o w t h e i r f a c t s " ( I n t e r v i e w , 1 1 / 9 / 9 2 ) . T h i s v i e w w a s n o t h e r s n o r t h a t o f m a n y o f h e r c o l l e a g u e s a t M c K i n l e y . S h e b e l i e v e d s t u d e n t s a a n e e d t o m e m o r i z e a d d i t i o n a n d m u l t i p l i c a t i o n f a c t s , a n d t h e y d i d n e e d t o l e a r n t o p e r f o r m t h e f o u r b a s i c p r o c e s s e s o r o p e r a t i o n s . S p e a k i n g f o r h e r s e l f a n d h e r c o l l e a g u e s , s h e e x p l a i n e d : " W e ' l l d o m o r e p r o b l e m s o l v i n g a n d e v e r y t h i n g l i k e t h a t , b u t w e f e e l t h e y d o n e e d t o k n o w t h e i r m u l t i p l i c a t i o n t a b l e s " ( I n t e r v i e w , 1 1 / 1 9 / 9 2 ) . C a t h e r i n e w a s a l s o c o n c e r n e d t h a t t h e n e w i d e a s i n m a t h e m a t i c s d i d n o t n e c e s s a r i l y c o n s i d e r w h a t s t u d e n t s w e r e r e a d y t o d o : I j u s t t h i n k t h a t s o m e o n e , s o m e p l a c e , c a m e u p w i t h t h i s n e w d e fi n i t i o n o f m a t h , a n d t h e y ' r e m a k i n g a l l t h e s e d e c i s i o n s a b o u t w h a t c h i l d r e n s h o u l d b e a b l e t o d o . A n d I t h i n k t h e y ' v e a l w a y s d o n e t h a t , y o u k n o w . I m e a n , a n y t e x t b o o k w i l l s a y i n f o u r t h g r a d e y o u s h o u l d b e a b l e t o d o t h i s a n d , a n d s o m e t i m e s t h e c h i l d r e n j u s t a r e n ' t r e a d y . ( I n t e r v i e w , 1 1 / 9 / 9 2 ) 1 4 8 S h e b e l i e v e d t h a t s o m e o f t h e n o n r o u t i n e , m u l t i s t e p p r o b l e m s w e r e e x a m p l e s o f t h e s e , a s w e l l a s o t h e r q u e s t i o n s o n t h e s t u d e n t p a g e s t h a t a s k e d t h e m t o g e n e r a l i z e b e y o n d w h a t t h e y h a d b e e n t a u g h t r a t h e r t h a n t o p r a c t i c e i t . O f t h e f o u r t e x t b o o k s p i l o t e d b y t h e d i s t r i c t , C a t h e r i n e b e l i e v e d t h a t H B J h a d b e e n t h e b e s t c h o i c e . W h i l e n o t b e i n g t o o e x t r e m e ( l i k e o n e t e x t ) , i t r e p r e s e n t e d a n o t a b l e c h a n g e f r o m t h e o l d t e x t . S h e a d m i t t e d t h a t s h e h a d n o t b e e n d i s s a t i s fi e d w i t h t h e o l d A d d i s o n — W e s l e y t e x t b o o k S h e a l s o l i k e d t h e n e w e d i t i o n o f t h e A d d i s o n - W e s l e y t e x t b o o k b u t r e a l i z e d t h a t i t d i d n o t h a v e t h e p o t e n t i a l t o f a c i l i t a t e c h a n g e i n t h e w a y t h e H B J t e x t d i d , w h i c h i s w h y s h e v o t e d f o r H B J : " I l i k e d A d d i s o n - W e s l e y ; I f e l t v e r y c o m f o r t a b l e w i t h A d d i s o n - W e s l e y b e c a u s e i t w a s s o m u c h l i k e t h e o l d o n e . A n d I t h o u g h t t h a t ' s n o t , I g u e s s t h a t w a s n ' t w h a t w e r e a l l y n e e d e d i f w e w e r e t r y i n g t o c h a n g e " ( I n t e r v i e w , 1 1 / 1 9 / 9 2 ) . O t h e r t h a n t h e e m p h a s i s o n m a n i p u l a t i v e s a n d t h e t e n d e n c y t o a s k t o o m u c h o f s t u d e n t s , t h e r e w a s l i t t l e a b o u t t h e H B J t e x t b o o k t h a t C a t h e r i n e f o u n d u n s e t t l i n g ; m u c h o f i t s e e m e d f a m i l i a r : " I t k i n d o f g o e s t h r o u g h t h i n g s j u s t t h e w a y t h e o t h e r b o o k d o e s . I t c o v e r s t h e s a m e t h i n g s " ( I n t e r v i e w , 1 1 / 9 / 9 2 ) . I t a l s o h a d m u c h t o r e c o m m e n d i t . S h e w a s p a r t i c u l a r l y i m p r e s s e d w i t h t h e " P r o b l e m - o f — t h e - D a y " s e c t i o n , a s w e l l a s t h e g e n e r a l e m p h a s i s o n p r o b l e m s o l v i n g w o v e n t h r o u g h o u t t h e l e s s o n s . T h e r e ' s a l o t o f p r o b l e m s o l v i n g i n h e r e . . . . I t h i n k t h e y p r e s e n t i t q u i t e n i c e l y . I t h i n k t h a t t h e y p r e s e n t i t i n a n i n t e r e s t i n g w a y t o t h e c h i l d r e n . L i k e , I d o n ' t r e m e m b e r e v e r s e e i n g a n y t a l l y i n g l i k e , s a y , o n t h i s p a g e i n t h e o t h e r t e x t b o o k s . . . . T h e y h a v e t h e m a n s w e r q u e s t i o n s a b o u t , a b o u t w h a t t h e y s e e , i t i s n ' t j u s t h o w m a n y . . . . T h e y d o n ' t j u s t t e a c h t h e m h o w t o t a l l y , t h e y a s k t h e m q u e s t i o n s w h e r e t h e y h a v e t o u s e s o m e t h i n k i n g , s o m e p r o b l e m s o l v i n g . ( I n t e r v i e w , 1 l / 9 / 9 2 ) A t t h e s a m e t i m e , s h e d i d n o t b e l i e v e t h a t c o m p u t a t i o n w a s b e i n g c o m p r o m i s e d . " T h i s b o o k i s n ' t a s k i n g u s n o t t o t e a c h c o m p u t a t i o n , y o u k n o w . . . I l i k e t h i s b o o k b e c a u s e o f t h a t [ i t t e a c h e s b o t h c o m p u t a t i o n a n d p r o b l e m s o l v i n g ] " ( I n t e r v i e w , 1 1 / 1 9 / 9 2 ) . 1 4 9 C a t h e r i n e a n d t h e H B J T e x t b o o k : A G r a d u a l J o u r n e y T h r o u g h N e w T e r r a i n C a t h e r i n e ' s v i e w t h a t t h e H B J t e x t b o o k v a l u e d t h e i d e a s o f t h e r e f o r m w i t h o u t t h r o w i n g o u t w h a t h a d a l w a y s b e e n c e n t r a l t o m a t h fi g u r e d p o w e r f u l l y i n h o w s h e u s e d i t . F r o m t h e b e g i n n i n g o f t h e y e a r , s h e s t r u c t u r e d h e r p r a c t i c e t o i n c o r p o r a t e n e w i d e a s i n t h e t e x t w i t h o u t s a c r i fi c i n g o t h e r s . T h i s i n v o l v e d a d o p t i n g c e r t a i n e l e m e n t s o f t h e t e x t w h e n s h e b e l i e v e d t h e m t o b e r e f o r m - i n s p i r e d ; i t i n v o l v e d r e l y i n g m o r e h e a v i l y o n h e r o w n r e s o u r c e s i n a r e a s s h e b e l i e v e d t h e r e f o r m s d i d n ' t s p e a k t o . I n i t i a l l y t h i s s t r u c t u r e e n a b l e d h e r t o e m b r a c e t h e t e x t a n d t h e r e f o r m s w i t h o u t s u b s t a n t i a l l y c h a l l e n g i n g h e r i d e a s a b o u t t e a c h i n g o r l e a r n i n g m a t h e m a t i c s . I t w a s n o t l o n g h o w e v e r , b e f o r e C a t h e r i n e e n c o u n t e r e d c o n f l i c t s b e t w e e n t h e i d e a s i n t h e t e x t s h e w a s t r y i n g t o i m p l e m e n t a n d w h a t s h e b e l i e v e d t o b e g o o d p r a c t i c e . E m b r a c i n g t h e N e w W h i l e M a i n t a i n i n g t h e O l d W h e n I fi r s t s p o k e t o C a t h e r i n e , s h e h a d b e e n u s i n g t h e H B J t e x t b o o k f o r a p p r o x i m a t e l y 7 w e e k s . S h e c l a i m e d t h a t s h e l i k e d m o s t a s p e c t s o f t h e b o o k a n d g a v e t h e i m p r e s s i o n t h a t s h e h a d fi t i t c o m f o r t a b l y i n t o h e r t e a c h i n g . S h e t o l d m e t h a t , e v e n t h o u g h s h e h a d n o t a l w a y s r e l i e d h e a v i l y o n a t e x t b o o k , s h e b e l i e v e d t h a t i t w a s i m p o r t a n t t o g i v e t h i s n e w b o o k a t r y . S h e l a t e r e x p l a i n e d : " I w a n t t o d o i t w i t h t h e b o o k m o s t l y t h i s y e a r a n d t h e n , I t h i n k , t h e n I ' l l h a v e a b e t t e r i d e a o f w h a t ' s g o n n a w o r k " ( I n t e r v i e w , 1 1 / 9 / 9 2 ) . D u r i n g t h e s i x - w e e k p e r i o d i n t h e f a l l t h a t I o b s e r v e d a n d i n t e r v i e w e d C a t h e r i n e , I l e a r n e d t h a t w h a t s h e m e a n t b y " d o i t w i t h t h e b o o k " d i f f e r e d a c c o r d i n g t o t h e t o p i c t a u g h t . H e r m a t h e m a t i c s i n s t r u c t i o n h a d t h r e e d i s t i n c t l a y e r s ( c o m p u t a t i o n , n o n - c o m p u t a t i o n a l t o p i c s , a n d p r o b l e m s o l v i n g ) , e a c h o f w h i c h w a s o p e n t o r e v i s i o n t o a d i f f e r e n t d e g r e e . C o n s e q u e n t l y , e a c h l a y e r w a s i n fl u e n c e d b y t h e t e x t d i f f e r e n t l y . I n t h e d e s c r i p t i o n s t h a t f o l l o w , I p r o v i d e a g l i m p s e o f h o w C a t h e r i n e i n t e g r a t e d t h e H B J t e x t i n t o e a c h l a y e r o f h e r t e a c h i n g a n d o f t h e c o n fl i c t s t h a t a r o s e a s a r e s u l t . F i r s t , I d e s c r i b e t h e c o m p o n e n t s o f t h e t e x t s h e u s e d ; t h e n I d i s c u s s , i n g r e a t e r d e t a i l , h o w s h e u s e d t h e m . 1 5 0 T e a c h i n g C o m p u t a t i o n a n d N o n c o m p u t a t i o n a l S k i l l s M y fi r s t o b s e r v a t i o n o f C a t h e r i n e ' s m a t h e m a t i c s t e a c h i n g a n d t h e c o n v e r s a t i o n t h a t f o l l o w e d i l l u m i n a t e d t h e d i s t i n c t i o n s h e m a d e b e t w e e n c o m p u t a t i o n a l p r o c e s s e s a n d n o n c o m p u t a t i o n a l s k i l l s , a s w e l l a s t h e r o l e t h i s d i s t i n c t i o n p l a y e d i n h e r u s e o f t h e t e x t b o o k D u r i n g t h a t N o v e m b e r 5 t h l e s s o n , C a t h e r i n e c l o s e d t h e c l a s s ' w o r k o n t h e fi r s t c h a p t e r o n p l a c e v a l u e b y r e v i e w i n g t h e a n s w e r s t o a t e s t t h e s t u d e n t s h a d t a k e n e a r l i e r t h a t w e e k S h e t h e n s k i p p e d t h e n e x t t w o c h a p t e r s o n a d d i t i o n a n d s u b t r a c t i o n a n d m u l t i p l i c a t i o n a n d a d v a n c e d t o t h e fi r s t l e s s o n i n C h a p t e r 4 o n T i m e , G r a p h i n g , a n d D a t a . C a t h e r i n e l a t e r e x p l a i n e d t h a t t h e j u m p f r o m t h e fi r s t t o f o u r t h c h a p t e r w a s p a r t o f h e r s t r a t e g y f o r g i v i n g t h e o t h e r t o p i c s e m p h a s i z e d i n t h e r e f o r m m o v e m e n t a p p r o p r i a t e a t t e n t i o n . I n t h e p a s t , s h e t e n d e d t o s p e n d m o r e t i m e o n c o m p u t a t i o n , l e a v i n g l i t t l e t i m e t o d e v o t e t o o t h e r s k i l l s . T h i s p a r t i c u l a r y e a r s h e w a s t r y i n g t o d e v o t e m o r e t i m e t o t h e n o n c o m p u t a t i o n a l c h a p t e r s i n t h e t e x t . S h e m a d e t h e t i m e t o d o t h i s b y r e l y i n g o n h e r o w n a p p r o a c h , r a t h e r t h a n t h e t e x t ' s , t o t e a c h c o m p u t a t i o n . I n t h e p a s t i t ' s b e e n m o s t l y a c o m p u t a t i o n k i n d o f m a t h . . . . B e c a u s e t h e y ' r e s t r e s s i n g s o m u c h p r o b l e m s o l v i n g a n d t h e d i f f e r e n t s k i l l s a n d e v e r y t h i n g , I ' v e j u s t d e c i d e d t h a t I w a n t e d t o c o v e r t h e s e k i n d s o f t h i n g s i n t h i s b o o k [ n o n c o m p u t a t i o n a l t o p i c s ] . A n d t h e n w i t h t h e c o m p u t a t i o n t h i n g s , I t h i n k t h a t t h o s e t h i n g s c a n b e t a u g h t q u i t e q u i c k l y . . . a n d t h e n y o u c a n g o o n t o t h i n g s t h a t a r e h a r d e r t o r e m e m b e r a n d s p e n d m o r e t i m e o n t h a t . ( I n t e r v i e w , 1 1 / 9 / 9 2 ) C a t h e r i n e a t t e n d e d t o b o t h g r o u p s o f t o p i c s b y f o c u s i n g o n o n e t o p i c f r o m h e r c o m p u t a t i o n ( " p r o c e s s e s " ) c a t e g o r y a n d o n e c h a p t e r o n " o t h e r s k i l l s " c o n c u r r e n t l y . E v e n t h o u g h s h e s o m e t i m e s d e v o t e d a n e n t i r e l e s s o n t o c o m p u t a t i o n o r a l e s s o n i n t h e t e x t , s h e c l a i m e d t h a t m o r e o f t e n s h e h a d t h e s t u d e n t s s p e n d t i m e o n e a c h i n a s i n g l e l e s s o n . I n t e a c h i n g c o m p u t a t i o n , C a t h e r i n e d i d n o t u s e t h e c h a p t e r s i n t h e H B J t e x t b o o k : " I ' m n o t n e c e s s a r i l y u s i n g t h e t e x t b o o k f o r t e a c h i n g t h e w h o l e n u m b e r c o m p u t a t i o n k i n d s o f t h i n g s , " s h e t o l d m e . R a t h e r , s h e r e l i e d o n h e r o w n r e p e r t o i r e s t o t e a c h b a s i c p r o c e s s e s . T h r o u g h h e r y e a r s o f e x p e r i e n c e , s h e h a d d e v e l o p e d i d e a s a b o u t w h a t s t u d e n t s n e e d e d t o k n o w i n o r d e r t o c o m p u t e a n d h o w t h e y b e s t l e a r n e d i t . T h i s k n o w l e d g e , r a t h e r t h a n t h e t e x t b o o k , g u i d e d h e r i n t e a c h i n g t h e p r o c e s s e s . T h e f o c u s o f 1 5 1 t h i s i n s t r u c t i o n w a s o n t h e m e c h a n i c s o r s t e p s o f t h e p r o c e s s , a n d i t i n v o l v e d a m p l e r e p e a t e d p r a c t i c e . S o m e t i m e s s h e d r e w o n t h e p r a c t i c e p r o b l e m s i n t h e n e w t e x t b o o k o r t h o s e i n t h e o l d t e x t b o o k M o r e o f t e n , t h o u g h , s h e d e s i g n e d h e r o w n p r a c t i c e s h e e t s o r p u t p r o b l e m s o n t h e b o a r d . C a t h e r i n e l o o k e d o n l y m i n i m a l l y , i f a t a l l , a t t h e c h a p t e r s o n t e a c h i n g a d d i t i o n a n d s u b t r a c t i o n o r t w o - p l a c e m u l t i p l i c a t i o n . S h e k n e w f e w d e t a i l s a b o u t h o w t h e s e p r o b l e m s w e r e a d d r e s s e d i n t h e t e x t b o o k . C a t h e r i n e d i d n o t v i e w h e r a p p r o a c h t o t e a c h i n g c o m p u t a t i o n a s a r e j e c t i o n o f t h e t e x t . I n h e r e y e s , t h e c h a n g e s b r o u g h t o n b y t h e r e f o r m s w e r e a d d e d t o c o m p u t a t i o n a n d h a d n o t h i n g t o s a y t o t h a t l a y e r o f h e r i n s t r u c t i o n . S h e a l s o b e l i e v e d t h a t n o t f o l l o w i n g t h e t e x t b o o k t o t e a c h c o m p u t a t i o n f a c i l i t a t e d h e r u s e o f t h e t e x t i n o t h e r w a y s t h a t w e r e r e s p o n s i v e t o t h e r e f o r m s . I t a l l o w e d h e r t o m o v e t h e s t u d e n t s t h r o u g h t h e b a s i c o p e r a t i o n s q u i c k l y , a f f o r d i n g m o r e t i m e f o r t o p i c s e m p h a s i z e d i n t h e " n e w d e fi n i t i o n o f m a t h . " I h a v e b e e n m o r e a p t t o h i t t h i n g s t h a t I h a v e n ' t h i t o t h e r y e a r s b e c a u s e i n t h e p a s t , l i k e I s a i d , t h e e m p h a s i s w a s o n c o m p u t a t i o n , a n d y o u k n o w w e h a v e t o c h a n g e o u r w a y o f t h i n k i n g . A n d s o I t h i n k w i t h i n t h e l a s t t w o o r t h r e e y e a r s i s w h e n I s t a r t e d d o i n g b o t h t h i n g s i n t h e s a m e h o u r . . . . W h a t I f o u n d s i n c e I ' v e b e e n d o i n g i t t h i s w a y i s I ' m s p e n d i n g m o r e t i m e o n t h e s e k i n d s o f c h a p t e r s . . . l i k e t h e m e a s u r e m e n t a n d u m , g e o m e t r y , s o m e o f t h e t h i n g s t h a t w e r e a w f u l l y e a s y t o j u s t k i n d o f i g n o r e w h e n w e w e r e j u s t d o i n g c o m p u t a t i o n k i n d s o f t h i n g s . ( I n t e r v i e w , 1 1 / 9 / 9 2 ) . T h u s , i n o r d e r t o e m b r a c e t h e t 0 p i c s r e c e i v i n g i n c r e a s e d e m p h a s i s , C a t h e r i n e d i s m i s s e d t h e t e x t b o o k ' s g u i d a n c e o n t e a c h i n g t h e c o m p u t a t i o n a l p r o c e s s e s . I n t e a c h i n g t h e o t h e r t a p i c s , C a t h e r i n e r e l i e d o n t h e n e w t e x t b o o k t o p r o v i d e t a s k s a n d s t r u c t u r e f o r t h e l e s s o n s . S h e f e l t f r e e t o o m i t i t e m s f r o m t h e l e s s o n s , s k i p s o m e l e s s o n s a l l t o g e t h e r , a n d r e a r r a n g e t h e s e q u e n c e o f o t h e r s . T h e f o l l o w i n g d e s c r i p t i o n s o f t w o o f C a t h e r i n e ' s l e s s o n s e x e m p l i f y h o w s h e d i s t i n g u i s h e d b e t w e e n c o m p u t a t i o n a l p r o c e s s e s a n d n o n c o m p u t a t i o n a l s k i l l s i n t h e f a l l . T h e l e s s o n I o b s e r v e d o n N o v e m b e r 1 9 t h w a s t y p i c a l o f t h e w a y s h e t a u g h t b o t h p r o c e s s e s a n d o t h e r s k i l l s i n a s i n g l e l e s s o n . I t a l s o i l l u s t r a t e s h e r r e l i a n c e o n h e r o w n s t r a t e g i e s t o t e a c h c o m p u t a t i o n a l p r o c e s s e s i n c o n t r a s t t o h e r u s e o f t h e t e x t t o t e a c h t h e " n e w e r " t o p i c s . T h e s e c o n d l e s s o n 1 5 2 I o b s e r v e d ( D e c e m b e r 3 r d ) i l l u s t r a t e s , i n m o r e d e t a i l , h o w C a t h e r i n e r e l i e d o n t h e t e x t t o s h a p e h e r t e a c h i n g o f n o n c o m p u t a t i o n a l t o p i c s : A l e s s o n c o m b i n i n g m u l t i p l i c a t i o n a n d t i m e . O n N o v e m b e r 1 9 t h , C a t h e r i n e t a u g h t a l e s s o n t h a t c o m b i n e d w o r k o n e s t i m a t i n g t i m e f r o m l e s s o n 4 . 3 , w i t h i n s t r u c t i o n a n d p r a c t i c e o n m u l t i d i g i t m u l t i p l i c a t i o n . I t b e g a n a t 1 : 3 0 , t h e u s u a l t i m e ; s h e s t a r t e d b y g i v i n g t h e s t u d e n t s a 2 - m i n u t e t i m e d t e s t o n m u l t i p l i c a t i o n f a c t s . A f t e r c o l l e c t i n g t h e i r p a p e r s , s h e o p e n e d h e r t e a c h e r ' s g u i d e t o p a g e 1 1 4 a n d p r o c e e d e d w i t h a v e r y b r i e f i n t r o d u c t i o n t o t h e l e s s o n . S h e f o l l o w e d s e v e r a l o f t h e s u g g e s t i o n s f r o m t h e T e a c h s e c t i o n i n t h e t e a c h e r ' s g u i d e , p o s i n g q u e s t i o n s a b o u t t h e r e l a t i o n s h i p s b e t w e e n v a r i o u s u n i t s o f t i m e , l i k e " H o w m a n y m o n t h s i n 2 y e a r s ? " S h e t h e n w e n t r i g h t t o t h e s u g g e s t i o n a t t h e e n d o f t h e l e s s o n t h a t p r e s e n t e d s e n t e n c e s , l i k e " C h r i s t m a s c o m e s o n c e a _ . " I t o n l y t o o k a f e w m i n u t e s f o r C a t h e r i n e t o a s k t h e s e q u e s t i o n s a n d g e t t h e c o r r e c t a n s w e r s f r o m h e r s t u d e n t s . S h e t h e n s k i p p e d t h e i n t r o d u c t o r y t a s k s o n p a g e 1 1 4 o f t h e s t u d e n t t e x t . T h e s e i n t r o d u c e d t h e i d e a o f e s t i m a t i n g t i m e w i t h q u e s t i o n s t h a t f o c u s e d o n s e l e c t i n g t h e u n i t s o f t i m e m o s t a p p r o p r i a t e t o e s t i m a t e t h e t i m e s o f v a r i o u s e v e n t s . I n s t e a d , s h e i n s t r u c t e d t h e s t u d e n t s t o g e t i n t o t h e i r g r o u p s , w h i c h w e r e d e t e r m i n e d b y w h e t h e r t h e y w e r e w o r k i n g o n o n e - o r t w o - p l a c e m u l t i p l i c a t i o n . W h i l e G r o u p T w o w a s g e t t i n g s e t t l e d o n o n e s i d e o f t h e r o o m , C a t h e r i n e d i s t r i b u t e d a p a g e o f m u l t i p l i c a t i o n e x e r c i s e s t h a t s h e h a d p r o d u c e d b y h a n d t o G r o u p O n e a n d i n s t r u c t e d t h e m t o c o m p l e t e i t b e f o r e a n s w e r i n g t h e p r a c t i c e q u e s t i o n s o n p a g e 1 1 5 o f t h e i r t e x t b o o k s . C a t h e r i n e t h e n m o v e d t o G r o u p T w o a n d t o l d t h e m : " W e a r e g o i n g t o p r a c t i c e o u r t w o - p l a c e m u l t i p l i e r m u l t i p l i c a t i o n p r o b l e m s . " S h e w e n t o n t o e x p l a i n t h a t m a n y s t u d e n t s w e r e n o t c o n s i s t e n t i n t h e i r s t e p s . S o m e t i m e s t h e y m u l t i p l i e d r a t h e r t h a n a d d i n g o n t h e l a s t s t e p . S h e w r o t e : 7 5 6 a s . o n t h e b o a r d a n d w a l k e d a m o n g t h e 1 3 s t u d e n t s a s t h e y w o r k e d s i l e n t l y o n t h e m u l t i p l i c a t i o n e x e r c i s e s . S h e t h e n c a r e f u l l y w e n t o v e r e a c h s t e p o f t h e p r o c e d u r e w i t h t h e e n t i r e g r o u p , r e m i n d i n g t h e m t h a t t h e y p u t a z e r o w h e n t h e y w e r e m u l t i p l y i n g b y s i x b e c a u s e : " s i x i s r e a l l y n o t j u s t p l a i n o l d s i x . I t ' s 6 0 . " S h e s t o p p e d f r e q u e n t l y a n d a s k e d t h e s t u d e n t s i f t h e y h a d d o n e p a r t i c u l a r s t e p s c o r r e c t l y . W h e n s t u d e n t s a d m i t t e d m i s t a k e s , s h e a s k e d : " C a n y o u p u t i n t o y o u r o w n w o r d s w h a t y o u d i d ? " S t u d e n t s a n s w e r e d b y e x p l a i n i n g w h a t t h e y h a d 1 5 3 d o n e i n c o r r e c t l y . S h e c o n t i n u e d t h i s s o r t o f p r a c t i c e f o r 1 8 m i n u t e s a n d t h e n d i s t r i b u t e d a p a g e o f s i m i l a r e x e r c i s e s f o r t h e m t o c o m p l e t e b e f o r e t h e y w e n t o n t o p a g e 1 1 5 i n t h e t e x t . S h e m o n i t o r e d t h e i r p r a c t i c e f o r a l m o s t 2 0 m i n u t e s , p o i n t i n g o u t i n c o r r e c t a n s w e r s t h a t t h e y s h o u l d c h e c k l a t e r a n d m a k i n g s u g g e s t i o n s l i k e : " D o n ' t f o r g e t t o d r a w y o u r l i n e u n d e r y o u r p a r t i a l p r o d u c t s . " O n c e t h e s e s t u d e n t s w e r e w e l l i n t o t h e i r p r a c t i c e , C a t h e r i n e m o v e d t o t h e s e v e n s t u d e n t s i n G r o u p O n e a n d m o n i t o r e d t h e i r w o r k o n o n e - p l a c e m u l t i p l i c a t i o n f o r a b o u t 1 0 m i n u t e s . S h e t h e n c a l l e d t h e e n t i r e c l a s s b a c k t o g e t h e r a n d s p e n t t h e l a s t 4 m i n u t e s o f t h e l e s s o n g o i n g o v e r a n s w e r s t o t h e " b o a r d w o r k " p r o b l e m s t h a t t h e s t u d e n t s h a d d o n e e a r l i e r t h a t m o r n i n g . T h e s e i n c l u d e d b o t h m u l t i p l i c a t i o n a n d t e l l i n g t i m e t a s k s . ( O b s e r v a t i o n , 1 1 / 1 9 / 9 2 ) T h e l e s s o n ' s p r i m a r y f o c u s w a s d i r e c t e d p r a c t i c e o f t h e s t e p s o f t h e m u l t i p l i c a t i o n a l g o r i t h m . C a t h e r i n e d r e w o n h e r p e d a g o g i c a l r e p e r t o i r e , a s w e l l a s h e r k n o w l e d g e o f c o m m o n s t u d e n t e r r o r s , t o f o r m t h e q u e s t i o n s a s k e d a n d t h e g u i d a n c e o f f e r e d . A s w a s a l w a y s t h e c a s e , C a t h e r i n e w a s g e n t l e a n d s u p p o r t i v e w i t h h e r s t u d e n t s . S h e w a n t e d t h e m t o " u n d e r s t a n d " e a c h s t e p o f t h e p r o c e s s s o t h e y w o u l d n o t f o r g e t i t . H e r a p p r o a c h s e e m e d t o b e i n fl u e n c e d b y h e r e x p e r i e n c e : W h e n I u s e d t o d o m a t h . . . . I j u s t d i d w h a t I w a s t o l d t o d o , a n d I m e m o r i z e d t h e p r o c e s s w i t h o u t r e a l l y u n d e r s t a n d i n g t h a t t h o s e t w o p a r t i a l p r o d u c t s a r e j u s t p a r t o f t h e a n s w e r a n d w h y t h e y w e r e o n l y p a r t o f t h e a n s w e r . I t h i n k t h e s e c h i l d r e n u n d e r s t a n d t h a t b e t t e r . ( I n t e r v i e w , 1 1 / 1 9 / 9 2 ) E v e n t h o u g h c o m b i n i n g a t e x t b o o k l e s s o n w i t h s o m e a m o u n t o f c o m p u t a t i o n a l i n s t r u c t i o n o r p r a c t i c e w a s t y p i c a l o f C a t h e r i n e ' s i n s t r u c t i o n , s h e d i d n o t a l w a y s d e v o t e a s m u c h t i m e i n a s i n g l e l e s s o n t o c o m p u t a t i o n a s s h e d i d o n N o v e m b e r 1 9 t h . T h e f o l l o w i n g l e s s o n f r o m D e c e m b e r 3 r d , w a s d r a w n a l m o s t c o m p l e t e l y f r o m t h e t e x t b o o k I t i l l u s t r a t e s p a t t e r n s i n t h e w a y s h e s t r u c t u r e d l e s s o n s , r e g a r d l e s s o f w h e t h e r o r n o t t h e y w e r e d r a w n f r o m t h e t e x t . D o i n g i t w i t h t h e b o o k : A l e s s o n o n u s i n g t a b l e s a n d s c h e d u l e s . T h e D e c e m b e r 3 r d l e s s o n o n u s i n g a t a b l e o r s c h e d u l e w a s o n e o f t h e t w o p r o b l e m - s o l v i n g s t r a t e g y l e s s o n s p e r c h a p t e r . L i k e a l l p r o b l e m - s o l v i n g l e s s o n s , t h e fi r s t s t u d e n t p a g e w a s d e v o t e d t o i n s t r u c t i n g s t u d e n t s o n t h e s t e p s o f u s i n g t h e f e a t u r e d s t r a t e g y , i n t h i s c a s e " u s i n g a t a b l e o r s c h e d u l e . " T h e s e c o n d p a g e c o n t a i n e d a s e r i e s o f t a s k s l a b e l e d " A p p l y , " w h i c h d r e w o n t h e s t r a t e g y t a u g h t i n t h e l e s s o n . 1 5 4 T h e e x a m p l e p r o b l e m o n t h e fi r s t p a g e i n v o l v e d u s i n g a s c h e d u l e t o d e t e r m i n e w h i c h m o v i e t w o g i r l s c o u l d s e e , g i v e n p a r t i c u l a r t i m e c o n s t r a i n t s . T h e a p p l y p a g e h a d a t r a i n s c h e d u l e a t t h e t o p a n d w a s f o l l o w e d b y s i x q u e s t i o n s t h a t r e q u i r e d u s i n g t h e i n f o r m a t i o n f r o m t h e s c h e d u l e . T h e n e x t s e c t i o n , e n t i t l e d " M i x e d A p p l i c a t i o n , " c o n t a i n e d f o u r s t o r y p r o b l e m s . T h e s t u d e n t s w e r e t o s e l e c t f r o m a l i s t o f t h r e e p r o b l e m - s o l v i n g s t r a t e g i e s , i n t r o d u c e d e a r l i e r i n t h e t e x t , t o s o l v e t h e p r o b l e m s . C a t h e r i n e b e g a n t h e l e s s o n w i t h t w o p r e i n s t r u c t i o n a l a c t i v i t i e s d r a w n f r o m t h e m a r g i n o f t h e t e a c h e r ' s g u i d e ( s e e F i g u r e 5 . 1 ) . F i r s t , s h e s p e n t a b o u t 4 m i n u t e s o n a s e t o f f o u r q u e s t i o n s u n d e r t h e h e a d i n g " 0 k a C h e c k " E a c h h a d t h e s t u d e n t s i d e n t i f y t h e t i m e t h a t w a s a g i v e n n u m b e r o f m i n u t e s b e f o r e o r a f t e r a s p e c i fi e d t i m e , l i k e 4 5 m i n u t e s a f t e r 7 : 0 0 . S h e t h e n s p e n t a f e w m i n u t e s o n a m o d i fi e d v e r s i o n o f t h e a c t i v i t y u n d e r t h e " M o t i v a t e " s u g g e s t i o n . T h e fi r s t s t e p , w h i c h C a t h e r i n e d i d , w a s t o w r i t e a s c h e d u l e f o r t h e s c h o o l d a y o n t h e b o a r d . S h e b e g a n b y w r i t i n g a t i m e o n t h e b o a r d a n d w a i t e d f o r t h e c l a s s t o c h i m e i n t h e a p p r o p r i a t e e v e n t o r s u b j e c t . T h e s e c o n d p a r t o f t h e " M o t i v a t e " a c t i v i t y s u g g e s t e d t h a t t h e s t u d e n t s w o r k i n g r o u p s t o w r i t e q u e s t i o n s t h a t c o u l d b e a n s w e r e d u s i n g t h e s c h e d u l e . I n s t e a d , C a t h e r i n e d i r e c t e d t h e c l a s s t o t u r n t o p a g e 1 2 0 i n t h e i r b o o k s a n d t o r e a d t h e p r o b l e m a t t h e t o p o f t h e p a g e . C a t h e r i n e r e a d a l o u d : T h e C i n e m a 6 a t t h e m a l l i s h a v i n g a c a r t o o n m o v i e f e s t i v a l . S h e r r y a n d K a t h y w a n t t o s e e T h e L i t t l e M e r m a i d T h e I u n g l e B g o l _ < , o r 5 3 — 3 1 1 2 1 , b u t t h e y m u s t b e h o m e b y 3 : 0 0 . I t i s 1 2 : 3 0 n o w . I t t a k e s 1 5 m i n u t e s t o g e t h o m e . W h i c h m o v i e c a n t h e y s e e ? S h e t h e n f o l l o w e d t h e s u g g e s t i o n s i n t h e " T e a c h " s e c t i o n , w h i c h i n v o l v e d d i s c u s s i n g t h e p r o b l e m , g o i n g o v e r t h e m o v i e s c h e d u l e p r o v i d e d , a n d n o t i n g t h a t e a c h m o v i e l a s t e d a n h o u r a n d a h a l f . C a t h e r i n e t h e n w a l k e d t h e s t u d e n t s t h r o u g h e a c h o f t h e p r o b l e m - s o l v i n g s t e p s d e s c r i b e d i n t h e t e x t b o o k - u n d e r s t a n d t h e p r o b l e m , p l a n , s o l v e , a n d l o o k b a c k b y p o s i n g t h e q u e s t i o n s i n t h e t e a c h e r ' s g u i d e . T h e s t u d e n t s h a d l i t t l e d i f fi c u l t y p r o d u c i n g a n s w e r s t o q u e s t i o n s l i k e , " W h a t a r e y o u a s k e d t o fi n d ? " a n d " H o w c a n y o u s o l v e t h e p r o b l e m ? " T h e y s t u c k t h e i r h a n d s i n t h e a i r a n d w a i t e d t o s e e i f t h e i r t e a c h e r w o u l d c a l l o n t h e m t o . . . u = s _ . g " a i g ~ . 3 0 5 . g . o . s 5 fi 3 8 n g i 5 a 3 1 . § 3 a a , . ~ - 8 3 . . . . . . . . 2 l . g . § . i l s n s a . 9 . . l ' 3 t . g 2 3 u r § g ¢ C n i € x . a fl z u 8 n 1 : : : 9 n . g “ § fi u 5 . § i 9 w - 3 n é l . § s i n s 3 u _ i g l g : . a I . a n g c fi 3 5 : 3 a . n : S § “ § 3 a 5 z 3 h o fl 3 z ¢ 3 s 8 g § fi g n g 3 2 5 . § - 5 . i . i 8 . 3 5 a . . . . a . o § § t 3 . . . g - c ! : . g 2 9 a 8 . n 8 t 5 E g n 5 fl — 3 2 m ! ; . . 3 u a . g 3 5 . m g r a a t 5 i . . 8 g g P . E Q n ) E m . S ! a I S . n i . ! m . . 1 » . : L 2 . E I E — : ! u 7 9 . 2 e 3 . . . . 9 . - : l . s . s g . i . 2 a i a l 3 . l . n s 9 : . 3 . _ s E . fi a . 5 . . 3 . a i « 2 : . 5 . . . w - i . : i E a E - v 3 ” u . u : 4 m r . E . fl 3 _ 8 - . 3 3 = . . ” 3 V . . 2 > 1 8 u : . . : . 1 5 . 5 ’ 1 . 5 3 £ : . 1 0 e : w L E E . 1 y : - : r ? 5 5 5 x 0 l 5 - : . R : : E . _ s ; . — . - e : : . : : K n r 2 r I . n . 5 8 i i . a w . ~ : . E 1 u 5 E fi = « H 4 r 5 2 a “ ® O © ® ® l } k c s i : I a 2 5 : 3 E 5 . 5 _ . . . 9 s . t - . . . 3 . : u E . . r . - . < - . . r , 5 : 3 . E . u r > . 5 > 3 E . 9 : 5 : 5 . . . a e t . . 2 . E S @ ® @ ® E 9 . _ , v } s i _ h § - s l 9 . - i 1 E . : a . i : E . s a . I l I B L o N H . v E . m P n o m . . m l l . ' l l I I 1 - 1 m _ . a I m 1 I . . I . t I i a m a m g a m " E : 1 - 3 : ? 5 9 e ! E S 5 a 1 I r . . 5 - S n ; . 3 E - - - 8 a S s 2 I 3 = g n S . s a 9 i e - g 5 d u : - s l - i i ; » e E n i I x - o m - S r - a i i t g ” 3 l l e ! ! 3 8 E i ‘ . . a » m " m " m u u m . m m M . e 8 a E fi 5 9 B n . t S a 3 ‘ - a a A n ! : — a fi . . . A n l s v : — : . . - S 9 n 9 n . 9 i . i § - 3 s I g . b 3 a 8 . - g 5 . 5 ! . 8 : a 0 K 2 « : n 1 - E 3 7 n I 5 g . - . g 5 3 n 3 : ; u 2 § n 3 = t 5 5 S 5 — l . e l 4 8 ? . 9 r 5 g ” 2 8 3 a . — : 5 g “ v c = a a _ § 3 E 5 3 ° r l n . 5 i . . l . 3 . 2 = r I S i : : i ; 5 2 E a ) p . 8 r i 9 2 : . 5 E . ! 8 s ! . ‘ 1 . 3 ~ 0 v 4 « 5 . c : T s : I g i § 2 9 : a 3 . 3 : 9 r l : : o : n 3 E ’ 5 - 3 - . g 2 . a a : E - s E a z « F fi . 2 5 . I a - l 3 ’ x : r 1 . » I 3 : . : . l 1 : 3 9 l . N a 5 . ! - a u : w 3 B 5 S _ 1 u 4 . b : . : . . . . . E O - . . 3 u 0 n . s i fl . E 9 . i Z p . _ g - n 3 5 s — - 0 y i E 2 » p E - . 3 . ; r : - l C p s p o b l . S . s E r s o u o a - 5 u R 3 2 : : 5 3 9 7 l - m V S 5 E K _ E v n e < . : 2 8 C D . w V S 8 E - a a . : 1 . 3 5 m : 3 ! 5 2 E 3 fl 3 o - 8 E 8 : l ~ w o 5 i l 3 o t i § i t n l . o 5 . fl . d I n u R 5 i . £ . 2 3 . 5 2 0 2 : : n n : _ I - : — u ‘ i s g fi - S E g g s . S g s § U n l i 5 p u n - e a i i 5 § z 5 = i i 8 S l n 3 — fi g . n 9 o u u m 5 5 m : u # ] I t 5 I I s a g 8 | w $ 8 i . 2 a a . g - § s l E ; E l 3 fi S a S u 0 . U « a . . . . a u u - r t I > a s § ; » 5 o w : r . e i n 5 l - g 8 ! . E n l 3 n a § u l g i l E ! ! ! i n 1 8 i t . w : . § § 3 § § 2 - § Q g a l - $ 3 3 3 . 2 6 . ? - = 9 3 5 . 5 3 . 5 3 : 3 3 : . a : 5 1 . : 3 . . . S i g n ; c a n o n - a u n t i e - z i g g g g u g u n r s n g fi s a i a n : 1 5 5 1 5 6 a n s w e r . O n c e a n s w e r e d , C a t h e r i n e g u i d e d t h e m t h r o u g h t h e s t e p s o f a d d i n g a n h o u r a n d a h a l f t o e a c h s t a r t i n g t i m e a n d t o p r o d u c e a l i s t o f e n d i n g t i m e s o n t h e b o a r d b e f o r e a s k i n g : " W h i c h m o v i e c a n t h e y s e e a n d s t i l l g e t h o m e b e f o r e 3 : 0 0 o r a t 3 : 0 0 ? " S e l e c t i n g f r o m s i x h a n d s i n t h e a i r , C a t h e r i n e c a l l e d o n R u s s , w h o s a i d t h a t t h e y c o u l d s e e T h e L i t t l e M e r m a fi . S h e a g r e e d a n d w e n t o n t o t h e fi n a l p r o b l e m - s o l v i n g s t e p , " L o o k B a c k , " w h i c h p o s e d t h e f o l l o w i n g q u e s t i o n : W h a t o t h e r s t r a t e g y c a n y o u u s e t o s o l v e t h e p r o b l e m ? C a t h e r i n e a s k e d : " C a n y o u t h i n k o f a n y o t h e r s t r a t e g i e s , b e s i d e s fi g u r i n g o u t t h e e n d i n g t i m e ? " T h e s t u d e n t s h a d m o r e d i f fi c u l t y w i t h t h i s q u e s t i o n . W i t h t h e h e l p o f s p e c i fi c , g u i d i n g q u e s t i o n s f r o m C a t h e r i n e , o n e s t u d e n t g a v e s o m e t h i n g s i m i l a r t o t h e a n s w e r s u g g e s t e d i n t h e t e a c h e r ' s g u i d e — w o r k b a c k w a r d s f r o m 3 : 0 0 . C a t h e r i n e r e a s s u r e d t h e m t h a t " i f y o u w e r e d o i n g t h i s i n r e a l l i f e , i t w o u l d n ' t c a u s e a s m u c h o f a p r o b l e m . " A f t e r c o m p l e t i n g t h i s i n s t r u c t i o n a l a c t i v i t y , C a t h e r i n e m o v e d t h e c l a s s o n t o t h e t a s k s o n t h e n e x t p a g e . A s t h e t e a c h e r ' s g u i d e s u g g e s t e d , s h e h a d t h e m w o r k i n p a i r s o n t h e p r a c t i c e p r o b l e m s o n p a g e 1 2 1 , w h i l e s h e m o v e d a r o u n d t h e r o o m w a t c h i n g e a c h g r o u p . A f t e r 1 0 m i n u t e s , s h e c a l l e d t h e s t u d e n t s b a c k t o g e t h e r a n d s p e n t a b o u t 1 0 m i n u t e s g o i n g o v e r t h e a n s w e r s t o t h e s i x q u e s t i o n s a b o u t t h e t r a i n s c h e d u l e . M a n y o f t h e p a i r s h a d d i f fi c u l t y w i t h a q u e s t i o n w h i c h a s k e d f o r t h e l e n g t h o f t h e r i d e b e t w e e n t w o c i t i e s . S h e p o i n t e d o u t t h a t t h e y w e r e r e a l l y fi n d i n g " e l a p s e d t i m e , " w h i c h w a s s o m e t h i n g t h e y h a d l e a r n e d t o c a l c u l a t e j u s t a f e w d a y s e a r l i e r . T h e o n l y d i f f e r e n c e w a s , s h e s t r e s s e d , t h a t t h e y h a d t o r e a l i z e t h a t t h e t i m e t h e t r a i n l e a v e s o n e c i t y w a s t h e b e g i n n i n g t i m e a n d t h e t i m e i t a r r i v e d i n t h e n e x t c i t y w a s " l i k e " t h e e n d i n g t i m e . " I f t h e y [ r e f e r r i n g t o t h e t e x t a u t h o r s ] h a d s a i d i t t h a t w a y , " C a t h e r i n e r e a s s u r e d h e r s t u d e n t s , " Y o u w o u l d n ' t h a v e h a d a n y p r o b l e m . " O n c e t h e y h a d g o n e o v e r a l l s i x o f t h e q u e s t i o n s , C a t h e r i n e s e n t t h e m b a c k t o t h e i r p a r t n e r s t o a n s w e r t h e f o u r " M i x e d A p p l i c a t i o n " p r o b l e m s . A f t e r 5 m i n u t e s , s h e p u l l e d t h e c l a s s b a c k t o g e t h e r a n d d i s c u s s e d e a c h a n s w e r , a s s h e h a d d o n e e a r l i e r . A l t h o u g h t h e i n s t r u c t i o n s f o r t h i s s e c t i o n r e a d , " C h o o s e a s t r a t e g y a n d s o l v e , " C a t h e r i n e d i d n o t a s k t h e s t u d e n t s a b o u t t h e s t r a t e g i e s t h e y u s e d . R a t h e r , s h e f o c u s e d o n t h e i r a n s w e r s , w a l k i n g t h e m t h r o u g h t h e s t e p s o f t h e m o r e d i f fi c u l t p r o b l e m s . C a t h e r i n e h a d t h e s t u d e n t s s p e n d t h e l a s t 8 m i n u t e s o f t h e l e s s o n c o m p l e t i n g a s e t o f m u l t i d i g i t m u l t i p l i c a t i o n e x e r c i s e s t h a t t h e y h a d c o p i e d f r o m t h e b o a r d t h a t m o r n i n g . ( O b s e r v a t i o n , 1 2 / 3 / 9 2 ) 1 5 7 C a t h e r i n e r e g u l a r l y u s e d t h e t e x t b o o k l e s s o n s l i k e t h e a b o v e e x a m p l e t o g u i d e h e r t e a c h i n g o f n o n c o m p u t a t i o n a l t o p i c s . T a b l e 5 . 1 p r o v i d e s a s u m m a r y o f a l l t h e l e s s o n s I o b s e r v e d t h r o u g h o u t t h e y e a r . N e v e r t h e l e s s , s h e c o n t i n u e d t o h a v e c o n c e r n s a b o u t h o w s o m e q u e s t i o n s w e r e w o r d e d . S h e f r e q u e n t l y c o n f e s s e d t o m e t h a t t h e H B J t e x t t e n d e d t o e x p e c t t o o m u c h o f f o u r t h - g r a d e s t u d e n t s . P r o b l e m o f t h e D a y : T m ' a g S o m e t h i n g N e w A n o t h e r r e f o r m - i n i t i a t e d a c t i v i t y t h a t C a t h e r i n e u s e d c o n s i s t e n t l y w a s t h e d a i l y p r o b l e m , d r a w n f r o m t h e " P r o b l e m o f t h e D a y " s e c t i o n i n t h e t e x t . C a t h e r i n e w a s m o t i v a t e d t o u s e t h e " P r o b l e m o f t h e D a y " s u g g e s t i o n s b e c a u s e s h e w a s c o n v i n c e d t h a t t h e i n c r e a s e d e m p h a s i s o n p r o b l e m s o l v i n g w a s w e l l j u s t i fi e d . S h e a g r e e d t h a t c h i l d r e n n e e d e d t o l e a r n t o s o l v e p r o b l e m s , a n d s h e b e l i e v e d t h a t a t t e n t i o n t o p r o b l e m s o l v i n g w a s o n e o f t h e s t r e n g t h s o f t h e H B J t e x t . T h u s , s h e l o o k e d t o t h e t e x t b o o k t o h e l p h e r i n c o r p o r a t e m o r e p r o b l e m s o l v i n g i n t o h e r t e a c h i n g . C a t h e r i n e a d d e d p r o b l e m s o l v i n g t o h e r t e a c h i n g w i t h o u t c o m p r o m i s i n g o t h e r p a r t s o f h e r m a t h i n s t r u c t i o n b y b u i l d i n g i t i n t o a d i f f e r e n t p a r t o f t h e s c h o o l d a y . E a c h m o r n i n g s h e c o p i e d a p r o b l e m o n t o a s p e c i a l l y d e s i g n a t e d c h a l k b o a r d . E v e n t h o u g h m a t h w a s a f t e r l u n c h , t h e s t u d e n t s w e r e t o w o r k o n i t w h e n t h e y a r r i v e d i n t h e m o r n i n g . S h e g a v e t h e m a p p r o x i m a t e l y 5 m i n u t e s t o w o r k a l o n e a n d t h e n c o l l e c t e d t h e i r p a p e r s b e f o r e t a l k i n g t h r o u g h t h e s o l u t i o n w i t h t h e c l a s s . T h i s p r o c e s s w a s b r i e f a n d f o c u s e d o n a s i n g l e a p p r o a c h , w h i c h u s u a l l y w a s g e n e r a t e d b y C a t h e r i n e . S h e r e w a r d e d s t u d e n t s w h o h a d t h e c o r r e c t a n s w e r b y p u n c h i n g a h o l e i n t h e i r p u n c h c a r d s . 2 S h e e x p l a i n e d t h a t s h e w a s r e l u c t a n t t o g r a d e t h e i r s o l u t i o n s , b e c a u s e s h e s u s p e c t e d t h a t a t t a c h i n g a g r a d e t o t h i s a c t i v i t y w o u l d o n l y d i s c o u r a g e t h o s e w h o h a d d i f fi c u l t y . T h i s a p p r o a c h r e fl e c t e d t h e m i x e d f e e l i n g s C a t h e r i n e d e v e l o p e d i n t h e f a l l a b o u t t h e i n c r e a s e d e m p h a s i s o n p r o b l e m s o l v i n g a n d , i n p a r t i c u l a r , a b o u t t h e s e l e c t i o n o f 2 C a t h e r i n e u s e d t h e p u n c h c a r d s t o r e w a r d s t u d e n t s f o r v a r i o u s b e h a v i o r s o r a c h i e v e m e n t s . O n c e t h e y a c c u m u l a t e d a c e r t a i n n u m b e r o f p u n c h e s , t h e y w e r e p e r m i t t e d t o e x c h a n g e t h e m f o r d e s i g n a t e d t r e a t s s u c h a s e x t r a c o m p u t e r t i m e o r o t h e r s p e c i a l a c t i v i t i e s . d . e i o a r n s y b . a y t y e y t a d a a l o c o d d s d n r n i A e s i l r t e c s l n u F a + O a d i f O w o t T h A w e W r o W w n e + 0 l y o r : 8 u = a A o s . d r y y o i l s a e o = = r a a l y r v y x A e d a g t s d A - o d a d n A s e n i m d n a e r u i o o o t r ? x x i x Y i A M t o - F T T T F s t s n s e a s d l t u c n t e S d e l u . o t 2 r h S . 2 e 1 . W t s t e . l . l p s a r t e o h m t t c o t a e t r f l a e g e f y n v o t i i i y y r v i t l r l l l a a a t c o t a t g e s n d t r i n a p a o v e g a t i n e l t i k u o c t r M l o r o a f n c s o e s d t e p n s u e o u p r s g d g a p e d s l a l n a a m a a - w m t r s s a e s d h a c n l i d a c e d e t e e c t r e k i l d t l r e n o o s E w c u r o d n f d y e m m i m m y a n s e a e n c e i t f o t y i t t , e i l e n o l i u o l t e a r r q h b z h o t o c e d o e e s r i t f h n g a r a n f d t t g l n p p i n g e n e r l i a u a o a n n u e u o v v d l i e e l a n l e s e h t t , o t t e t l c c e t a a s n c d d b s a i n n a m o g a n n e o i n i e u i i l t r e t m a t c r l n p o o e o i s u r s v e e e s i l l l s r r u s e c e a t b b b e p t a g e a e r a a p e e o o o r T p a T d T m a m t t t : e r m e i b T m u e g l n n t i e l u a d e m e h e c s l U s i - b n t o s s l l e o g r n a r o T P i e : L 1 . 4 l 1 t s 1 ( 1 v e : l l 6 b . a o 4 S t 5 3 1 2 1 - x e e g - — - 1 2 1 1 0 4 0 2 T a 1 P 1 1 2 2 1 1 1 e 5 t a D / 1 1 9 1 / l l 3 / . 2 1 6 1 / 2 T a b l e 5 . 1 T 1 2 / 1 0 2 1 0 - 2 1 2 4 . 3 : E s t i m a t i n g T i m e 4 . 7 : C o l l e c t i n g D a t a 7 . 2 : L e n g t h : M e t r i c U n i t s O b j e c t i v e ( s t a t e d i n t e x t ) T o t e l l t i m e t o n e a r e s t m i n u t e o n a n a l o g a n d d i g i t a l c l o c k s u s i n g n u m b e r s a n d w o r d s T o c h o o s e t h e m o s t L e s s o n s u m m a r y A f t e r r e v i e w i n g a n s w e r s t o t e s t f r o m C h a p t e r O n e , C a t h e r i n e i n t r o d u c e d l e s s o n o n t e l l i n g t i m e t o t h e m i n u t e . I n s t r u c t i o n a l a c t i v i t i e s a n d s t u d e n t p r a c t i c e i n v o l v e d s h o w i n g a n d r e a d i n g t i m e s o n a n a l o g a n d d i g i t a l c l o c k s . A f t e r a 2 - m i n u t e t i m e d t e s t o n m u l t i p l i c a t i o n f a c t s a n d a b r i e f i n t r o d u c t i o n t o e s t i m a t i n g t i m e s , C a t h e r i n e w o r k e d w i t h G r o u p T w o o n 2 - p l a c e m u l t i p l i c a t i o n , w h i l e G r o u p O n e w o r k e d o n 1 - p l a c e m u l t i p l i c a t i o n p r o b l e m s a n d p a g e 1 1 5 , s w i t c h i n g g r o u p s a f t e r 3 7 m i n u t e s . C a t h e r i n e s t a r t e d w i t h q u i c k c h e c k o n p . 1 2 0 , u s i n g c l o c k s r a t h e r t h a n h a v i n g s t u d e n t s w r i t e t i m e . C l a s s m a d e d a i l y s c h e d u l e s i m i l a r t o M o t i v a t e s u g g e s t i o n . S h e w a l k e d c l a s s t h r o u g h p r o b l e m - s o l v i n g l e s s o n o n p . 1 2 0 . S t u d e n t s w o r k e d w i t h p a r t n e r s t o c o m p l e t e p . 1 2 1 . T h e n c l a s s r e v i e w e d i t . C a t h e r i n e t o l d h o w s t a n d a r d i z e d u n i t s e v o l v e d a n d h a d s t u d e n t s l i s t m e t r i c u n i t s o f l i n e a r m e a s u r e m e n t . R e v i e w e d q u e s t i o n s o n p p . 2 1 0 a n d 2 1 1 o r a l l y . C a t h e r i n e a s k e d q u e s t i o n s t h a t s t u d e n t s a n s w e r e d b y h o l d i n g u p c a r d s w i t h c m , k m , o r m o n t h e m . S t u d e n t s d i d p . 2 1 2 i n d i v i d u a m . P r o b l e m o f t h e d a y ( w h e n r e c o r d e d ) W r i t e + o r = f o r e a c h [ ] s o i t i s t r u e . 1 . 7 [ ] 2 [ ] 9 2 . [ 1 . . . H o w m a n y s e c o n d s d o e s i t t a k e f o r t h e m i n u t e h a n d t o m o v e f r o m 1 2 t o l o n t h e c l o c k ? 1 5 8 y a ) d d e e e h t r o d f n a - c 2 h 1 s t s u a y f o p h h r t o f c o e r m e n l e b h o w r ( P n b o o 5 a W i t : c s a t r r f a p a t e 7 u h . D o w e D o t ? o d o f 9 s p r o a U e n u e s a h a n d o e e t d U E i a r h A o c s o i n ' i t u p s 3 c p p y s a u o o p r W d b s S u f . f y o s d e . n l n p e o m l n o t v o a n n i i s r r o s n g t u o o e s t o o e o m b e g s . n r t t h t m , d o n a t e p u e n e i r d e 1 m o s a e t e q d r v t i u t m 9 e a t x l t u f l 3 o t e i a r n w a h i b g r s s r i n . u t t t n c v r g e p n p o o o ? o r b d y i a n o c e o s n t h e e e i d e i p n a m d o t t M t k l e i l u p i i l a o C h , n n n e t s v t o r k d t d r e e o t t c ; w w t s i o e i 8 n f s a . d g f i w b 1 a e r m r d s 2 i n e d 0 o e g r n r d - e r c i t n e i u w d e u o u t t s s 3 o a t n s t s s g s h n d k o e m d g s t h y ! l s s e . e s n u y d s a g h e p e l i r s a n y a C a “ e t s b h d u h c n t i m S a t y n c s e t o s g e n a o e m h t e m u n g t n f t i o h r d m i a n m E n t m k e e l e i f o T p u h e " c a c t d g . h o t n d t u m . d a e s i t o e w a , n g f r i s d . n o s e p s s n i h . e v n d s m n l e e o s d a g 1 d w i w u C m n e d u i a l r l t e 2 o s k i o 3 l h o n m k o c t o s r e i s f l r t t s e n M H v c i s u o f a n b f s c t o o 8 h y . i d r e i l p e r 7 . n t e u l r t e o a c t p t s L 2 e n s a i n i c p a Q e w g e p e r e a o r 2 h a n d i a a g o d D g d u a n f r n o u s e d p fi n s e n f t d n i l o i a . t m t r l ) d e u f n ; d S e o n o d w d k i n a r i h s o e s a 0 e a a e k d e o t r r v e 2 d n m e h f d c c t h r k . i t t u a o d ; s c 6 l 3 s u e n o b t 2 o u t r e n s e s e n d C w . o d e s s o u 2 y h n n v g o i p s h e t C . k i . h i o m e c i n l n t m n t r l d n i o t t n c ( v p s c t g a e h f d a e s o t . s t n t p p l p i 9 r s u t o H d n y 8 i a 1 s t d u l d h u o f S e o u a t . e q l f v o , g n e t r t s o . a o g s r g n r 5 s s a r t n a . n h S e m u t o d s d h a p o y u s u i g u t i t fi e l b a T n i s e v m r n n c i t e i s g , y e i l t e t a 6 g n ' u . r o t i d d t r v s s h d i a u d l t n E t 4 m r e 8 t x l a d r s o u i a l i e a e o l t a a 1 p e r e u u o h l c C s i C m o q G t i r b a 3 S t g e l o h w a o f t a e o s f n o t i t r r o a t w i p r t c s a d p a u a n p r a o t f n r s d n e a e g o s i e s a e e u r r c t l p a d o o o n h e r T r a T f w e h t f o m e : s n o e i l t o c a h r W F f l o b o y r a : 2 t . r 0 a 1 P D P t x e T ) 7 s 2 ( 2 e - g 6 a 2 P 2 1 2 3 - 0 2 3 e 4 t 2 5 2 6 / / / a D 3 / 3 4 4 4 H 3 1 8 - 3 1 9 3 2 2 - 3 2 3 L e s s o n n u m b e r . t i t l e 7 . 8 : C a p a c i t y : M e t r i c U n i t s 1 0 . 1 : E x p l o r i n g F r a c t i o n s 1 0 . 3 : F r a c t i o n s : P a r t o f G r o u p O b j e c t i v e ( s t a t e d i n t e x t ) T o e s t i m a t e , m e a s u r e c a p a c i t y i n m e t r i c u n i t s , a n d c h o o s e a p p r o p r i a t e u n i t f o r m e a s u r i n g c a r g o T o r e a d a n d w r i t e f r a c t i o n a s p a r t o f g r o u p C a t h e r i n e s e l e c t e d o n e o f t h e p r o b l e m s f r o m t h e m u l t i p l i c a t i o n c h a p t e r f o r t h i s p r o b l e m o f t h e d a y : 1 5 9 y e . d y a ) l t s m 4 8 / / 3 6 d d e e d i n c h b d s e d d d o i i i a t m r h e r m r n d d d a t p i o m r o f c o e r m e n l e b h l v w b c 1 e t o o a s s k 4 c r m m o s m a h e e 2 2 i K r S l l e e H N W g e p e b b l b r . e e e . n . o o . . r ? h y i e s r r y y o y g r l w t l v a w m l l p p t t p t o e w t r ( e c e p f e e e c c c r r o K e l b h e h e e e P a e e 7 d o r r r r r t t r r r r h n / i o h r f f o o o o T o c 6 d T p o c o m c c n o d i s n s o i n i o h t t n e c t e s c s a u r c f s s n s a a o l r i u f t r s t t m e e a o n n o g h i , i e e r g t d g s t l l n a f p u a a g d s i i l v v n n k r t e e i i i a s u u s a g r g n t a e q q u y n i e p e l o l r l o l e i g a g a t l t e d g n u , c p a a n n a r t i i d a x p s h i e d r m s c t s y f n r v e o u a n r i l e fi o e a m m l t e d d l b t n d n i s r i o . m e o m U r f e s a r o u l o s 2 h p m e n t e r o s n o s s e L 1 t 9 h s i b p 4 f # e t 2 o t t f n t 3 r k d c d e m a o e s i r s e d . p c d z s e f u u p h i t s u y s t t d e n t d h t q n n C e e e n w e , a e d ) e d e u n i t n e s z u h h l v d t i s T t t a a i u u n r s v g v t e q e d i . e S t R e d u t . e u t r 8 e 2 q 2 n h n w e i g 1 . 3 t . r u s # u o s s f ) e a o l o A e h p r u . c t h l h C t e o o t g ( 1 . 5 v d t i f n a n u a n a r . e o C e m o u r s G a o u e d v h e n r e h c e h . b T . s h t t s n t t s t n a T m u r u o e . , e r n g l b a T o e e n n t e i 9 9 h w d i t s u o l a m a u c e t 3 3 s w t 2 2 . i f n e t d l r i . . w a o i b p p S f ( t f o t r a p l a n o i s s t t n n l l e e e e l l d d a a o o v v m m i i t u u g g c a r q q n n e i e i s s f e e u u r r a o o s s p p d u u l l n n p p o o o o t t fi e e r r c c n i i x x g g a a o o o r r a a T T f T f g n i r o l t p n s x e n E l o a i : t v 6 c i . u a 0 q r 1 E F 5 d 2 t x a 3 - e T e 4 2 H 8 9 2 2 3 3 3 3 1 / 4 4 n 4 D a t e 4 / 8 4 / 1 2 3 2 5 L e s s o n n u m b e r : t i t l e 1 0 . 4 : E x p l o r i n g : F i n d i n g a F r a c t i o n o f a N u m b e r 1 0 . 4 : E x p l o r i n g : F i n d i n g a F r a c t i o n o f a N u m b e r 1 0 . 6 : E x p l o r i n g E q u i v a l e n t F r a c t i o n s ( c o n t i n u e d ) O b j e c t i v e ( s t a t e d i n t e x t ) T o fi n d a f r a c t i o n a l p a r t o f C a t h e r i n e g a v e e a c h s t u d e n t a b a g o f M & M s a n d h a d t h e m w r i t e f r a c t i o n o f e a c h c o l o r . A f t e r c l a s s d i s c u s s i o n , s t u d e n t s u s e d c o u n t e r s t o fi n d v a r i o u s u n i t a n d n o n - u n i t f r a c t i o n s o f 8 . S t u d e n t s h a d d i f fi c u l t y w i t h n o n - u n i t f r a c t i o n s . C a t h e r i n e c o n s t r u c t e d l e s s o n t o a d d r e s s t r o u b l e s t u d e n t s h a d d u r i n g p r e v i o u s l e s s o n . S h e p o s e d a f r a c t i o n s t o s t u d e n t s a n d h a d t h e m i d e n t i f y t h e w h o l e s e t a n d t h e n w h a t t h e f r a c t i o n r e v e a l e d a b o u t t h e n u m b e r o f g r o u p s . A f t e r m u c h p r a c t i c e w i t h c o u n t e r s , s h e i n t r o d u c e d t h e t w o - s t e p p r o c e d u r e f o r fi n d i n g f r a c t i o n o f a n u m b e r o n p . 3 2 5 . S t u d e n t s w o r k e d i n p a i r s o n p . 3 2 5 . B e g a n b y r e v i e w i n g t w o - s t e p p r o c e s s o n p . 3 2 5 u s i n g 6 / 7 o f 2 1 . 9 C r e a t e s e x t r a p r o b l e m s s u c h a s 3 o f 9 = 3 . H a d s t u d e n t s d o 8 - 1 1 1 6 0 1 6 1 p r o b l e m s o f t h e d a y . S h e f o u n d m a n y o f t h e p r o b l e m s i n t r i g u i n g a n d u n s e t t l i n g , b u t s h e l i k e d t h e m b e c a u s e t h e y p r e s e n t e d a v i s i o n o f p r o b l e m s o l v i n g t h a t w e n t b e y o n d t h e s t a n d a r d s t o r y p r o b l e m s f o u n d i n t h e p r e v i o u s t e x t b o o k I n f a c t , a s e a r l y a s m i d N o v e m b e r , s h e d e s c r i b e d h o w u s i n g t h e s e p r o b l e m s h a d b r o a d e n e d h e r v i e w o f p r o b l e m s o l v i n g : " W e u s e d t o t h i n k t h a t s t o r y p r o b l e m s w e r e t h e p r o b l e m - s o l v i n g k i n d s o f p r o b l e m s , " s h e e x p l a i n e d , c o m p a r i n g w h a t A d d i s o n - W e s l e y a n d H B J h a d o f f e r e d i n p r o b l e m s o l v i n g . M a n y o f t h e p r o b l e m s o f t h e d a y i n t h e H B J t e x t , s h e p o i n t e d o u t , i n v o l v e d m u l t i p l e s t e p s a n d r e q u i r e d s e v e r a l d i f f e r e n t o p e r a t i o n s . M a n y p r o b l e m s w e r e n o t s t a t e d i n a w a y t h a t m a d e t h e s o l u t i o n p a t h o b v i o u s , s u c h a s t h e p r o b l e m o f t h e d a y o n N o v e m b e r 1 9 t h : H o w m a n y s e c o n d s d o e s i t t a k e f o r t h e m i n u t e h a n d t o m o v e f r o m 1 2 t o 1 o n a c l o c k ? O t h e r p r o b l e m s h a d m o r e t h a n o n e s o l u t i o n . U n l i k e t h e s t o r y p r o b l e m s s h e h a d b e e n a c c u s t o m e d t o , m a n y c o u l d n o t b e r e d u c e d t o , a n d s o l v e d b y , u s i n g a c o m m o n a l g o r i t h m : " Y o u c a n ' t e v e n p u t a m a t h e m a t i c a l s e n t e n c e t o [ t h e m ] , " s h e e x p l a i n e d ( I n t e r v i e w , 1 1 / 1 9 / 9 2 ) . S o m e p r o b l e m s , s h e n o t e d , d i d n o t e v e n i n v o l v e n u m b e r s b u t p a t t e r n s t h a t r e q u i r e d l o g i c a l t h i n k i n g , s u c h a s t h e p r o b l e m s h e g a v e t h e c l a s s o n D e c e m b e r 3 r d : Y e s t e r d a y w a s n o t F r i d a y o r W e d n e s d a y . T o m o r r o w w i l l n o t b e M o n d a y o r T u e s d a y . T o d a y i s n o t F r i d a y o r T u e s d a y . W h a t d a y i s i t ? A t t h e s a m e t i m e , C a t h e r i n e w a s s k e p t i c a l a b o u t t h e a p p r o p r i a t e n e s s o f m a n y o f t h e s e p r o b l e m s . M o s t p r o b l e m s , s h e b e l i e v e d , r e q u i r e d t o o m u c h o f s t u d e n t s b e f o r e t h e y w e r e r e a d y a n d t e n d e d t o f r u s t r a t e t h e m . S h e f o u n d t h a t s t u d e n t s h a d d i f fi c u l t y a p p r o a c h i n g p r o b l e m s t h a t d i d n o t h a v e e v i d e n t s o l u t i o n p a t h s . T h e y g u e s s e d , p r o d u c e d p a r t i a l a n s w e r s , o r g a v e u p . T h u s , C a t h e r i n e w a s n o t c o n v i n c e d t h a t t h e a u t h o r s u n d e r s t o o d t h e a b i l i t i e s a n d n e e d s o f y o u n g c h i l d r e n i n p o s i n g s u c h c o m p l e x p r o b l e m s : " I t h i n k i t ' s g o o d t o p r o b l e m s o l v e , " s h e t o l d m e , " b u t I a l s o t h i n k t h a t s o m e t i m e s , a t t h i s l e v e l , t h e y ' r e j u s t , m a t u r i t y - w i s e , t h e y ' r e n o t r e a d y f o r t h a t " ( I n t e r v i e w , 1 1 / 9 / 9 2 ) . S h e q u e s t i o n e d w h e t h e r e m p h a s i s o n p r o b l e m s o l v i n g w a s t o o i d e a l i s t i c : " J u s t b e c a u s e s o m e b o d y s a y s t h a t t h e s e k i d s s h o u l d b e a b l e t o d o t h i s s t u f f 1 6 2 d o e s n o t m e a n t h e s e k i d s c a n d o i t " ( I n t e r v i e w , 1 2 / 1 7 / 9 2 ) . B e c a u s e o f t h e i m p o r t a n c e s h e p l a c e d o n h e r s t u d e n t s f e e l i n g s u c c e s s f u l , C a t h e r i n e w o r r i e d t h a t b e i n g a s k e d t o s o l v e p r o b l e m s b e f o r e t h e y w e r e r e a d y w o u l d q u e l l t h e i r i n t e r e s t a n d d i s c o u r a g e t h e m f r o m t r y i n g . C a t h e r i n e s p e c u l a t e d t h a t h e r s t u d e n t s ' s t r u g g l e s w i t h t h e p r o b l e m o f t h e d a y w e r e p a r t i a l l y d u e t o l a c k o f e x p e r i e n c e : " T h e y a r e n o t f a m i l i a r w i t h p r o b l e m s t h a t h a v e t h r e e s t e p s i n t h e m " ( I n t e r v i e w , 1 2 / 1 7 / 9 2 ) , s h e o f f e r e d a s a n e x a m p l e . H o w e v e r , s h e d i d n o t l i k e t h e t e x t ' s a p p r o a c h o f g i v i n g s t u d e n t s e x p e r i e n c e b y p r e s e n t i n g p r o b l e m s t o s o l v e w i t h o u t t e a c h i n g t h e m h o w t o s o l v e t h e m . S h e w a s u n s u r e a b o u t h o w t o g u i d e t h e m i n s o l v i n g s u c h n o n r o u t i n e p r o b l e m s . S h e a l s o s u s p e c t e d t h a t t h e t e x t ' s a u t h o r s w e r e i n t h e s a m e p r e d i c a m e n t s i n c e t h e t e a c h e r ' s g u i d e d i d n o t o f f e r s u g g e s t i o n s r e g a r d i n g h o w t o h e l p t h e s t u d e n t s a p p r o a c h t h e s e p r o b l e m s : " I ' m n o t a l w a y s s u r e t h a t t h e t e x t b o o k s h e l p u s t e a c h c h i l d r e n h o w t o t h i n k I ' m n o t s u r e t h e y k n o w h o w t o t e a c h c h i l d r e n h o w t o t h i n k " ( I n t e r v i e w 1 2 / 1 7 / 9 2 ) . T h u s , C a t h e r i n e f a c e d t h e d i l e m m a o f h o w t o g i v e h e r s t u d e n t s t h e n e c e s s a r y e x p e r i e n c e w i t h s u c h p r o b l e m s w i t h o u t l e a v i n g t h e m f e e l i n g d i s c o u r a g e d . D e s p i t e t h e s e c o n c e r n s , C a t h e r i n e c o n s i s t e n t l y a s s i g n e d h e r s t u d e n t s o n e o f t h e s e p r o b l e m s d a i l y . O n l y a f e w s t u d e n t s w e r e a b l e t o s o l v e t h e m s u c c e s s f u l l y i n t h e f a l l , b u t s h e h o p e d t h a t , t h r o u g h e x p e r i e n c e , t h e y w o u l d g a i n t h e a b i l i t i e s t h e y n e e d e d w i t h o u t f r u s t r a t i o n . O c c a s i o n a l l y , s h e p u t a s i d e o t h e r m o r n i n g a c t i v i t i e s a n d h e l p e d t h e s t u d e n t s fi g u r e o u t e a c h s t e p o f t h e p r o b l e m . D u r i n g t h e s e i n s t a n c e s , m o s t o f t h e s t u d e n t s e v e n t u a l l y a r r i v e d a t t h e c o r r e c t a n s w e r , b u t n o t w i t h o u t c o n s i d e r a b l e g u i d a n c e . O n D e c e m b e r 1 9 t h , s h e d e s c r i b e d h o w s h e h a d c o a c h e d t h e s t u d e n t s t h r o u g h t h a t m o r n i n g ' s p r o b l e m : T o d a y , w h e n w e w e r e w o r k i n g o n t h i s p r o b l e m , a n d t h e y w o u l d c o m e u p w i t h a n a n s w e r , a n d I ' d s a y : " ' I h i s a n s w e r d o e s n ' t m a k e s e n s e . I f y o u h a d o n l y $ 5 0 h o w c o u l d y o u e n d u p w i t h $ 1 , 4 2 0 , d o e s t h a t m a k e s e n s e ? " I g a v e t h e m l o n g e r t o w o r k o n t h i s t h a n I u s u a l l y d o . . . I s a i d : " G e t y o u r c a l c u l a t o r s o u t . " S o , t h e y ' d c o m e u p a n d s h o w m e t h e i r a n s w e r s , a n d I ' d s a y : " T h a t ' s n o t i t . Y o u ' r e i n t h e r i g h t a r e a . . . . " I t h i n k i t w a s m o r e o f a l e s s o n i n t h r e e - s t e p p r o b l e m s . . . . T h i s 1 6 3 m o r n i n g w e h a d t i m e t o d o t h a t , y o u k n o w . W e d o n ' t a l w a y s h a v e t h e t i m e t o a s k t h e m q u e s t i o n s l i k e t h a t , t h a t w o u l d h e l p t h e m s a y : " W e l l , t h a t a n s w e r d o e s n ' t m a k e s e n s e , I n e v e r t h o u g h t a b o u t t h a t . " ( I n t e r v i e w , 1 2 / 1 9 / 9 2 ) E v e n t h o u g h s h e w a s p l e a s e d w i t h t h e r e s u l t s o f t h i s " l e s s o n i n t h r e e - s t e p p r o b l e m s " ( I n t e r v i e w , 1 2 / 1 9 / 9 2 ) b e c a u s e i t h e l p e d m o r e s t u d e n t s h a v e s u c c e s s w i t h t h e p r o b l e m , C a t h e r i n e b e l i e v e d t h a t s h e c o u l d n o t a f f o r d t o d e v o t e t h i s m u c h t i m e t o t h e p r o b l e m o f t h e d a y o n a r e g u l a r b a s i s , a n d , m o s t o f t e n , s h e d i d n o t . F a l l o w i n g t h e T e x t t o T e a c h N o n c o m p u t a g ' o n a l T o p i c s B e c a u s e C a t h e r i n e s a w t h e r e f o r m s a s t a r g e t i n g n o n c o m p u t a t i o n a l t o p i c s a n d p r o b l e m s o l v i n g , i t w a s i n t h e s e t w o a s p e c t s o f h e r t e a c h i n g t h a t s h e d i d f o l l o w t h _ e _ t e x t . O t h e r s h a v e o b s e r v e d , h o w e v e r , t h a t t h e r e a r e m u l t i p l e w a y s t h a t t e a c h e r s c a n t o w a t e x t ( S t o d o l s k y , 1 9 8 9 ; W o o d w a r d & E l l i o t , 1 9 9 0 ) . T e a c h e r s n o t o n l y s e l e c t a m o n g a t e x t ' s m u l t i p l e o p t i o n s b u t t h e y r e a d i n t o t h e m m a t h e m a t i c a l a n d p e d a g o g i c a l a i m s t h a t i n fl u e n c e h o w t h e y p r e s e n t t h e m t o t h e i r s t u d e n t s ( S t e p h e n s , 1 9 8 2 ; T h o m p s o n , 1 9 8 4 ) . T h e d e s c r i p t i o n o f t h e H B J t e x t i n C h a p t e r 3 i n d i c a t e s t h a t e a c h l e s s o n c o n t a i n e d m a n y o p t i o n s . E v e n f o r C a t h e r i n e , w h o h o p e d t o " d o i t w i t h t h e b o o k , " f o l l o w i n g t h e t e x t i n v o l v e d s e l e c t i n g a m o n g t h e s e o p t i o n s , d e c i d i n g o n t h e i r i n t e n t , a n d d e t e r m i n i n g h o w t o i n c o r p o r a t e t h e m i n t o h e r t e a c h i n g . T h e s e c h o i c e s w e r e s h a p e d b y h e r i d e a s a b o u t s t u d e n t s a n d t h e i r l e a r n i n g o f m a t h e m a t i c s . T h e y , i n t u r n , s h a p e d t h e e m p h a s e s a n d s t r u c t u r e o f h e r l e s s o n s . I n t h i s s e c t i o n , I c o n s i d e r h o w C a t h e r i n e f o l l o w e d t h e H B J t e x t t o t e a c h n o n c o m p u t a t i o n a l t o p i c s d u r i n g t h e f a l l a n d w i n t e r . I a l s o e x a m i n e w h a t s h e a t t e n d e d t o i n t h e t e x t , h o w s h e d r e w f r o m i t t o s h a p e h e r m a t h e m a t i c s t e a c h i n g , a n d h o w t h e s e c h o i c e s r e fl e c t e d t h e i d e a s a n d c o m m i t m e n t s s h e b r o u g h t t o h e r u s e o f i t . I n c h a r a c t e r i z i n g h e r u s e o f t h e t e x t b o o k , I d r a w o n d e t a i l s i n t h e l e s s o n s d e s c r i b e d a b o v e . T h e f o l l o w i n g a n a l y s i s i s s i g n i fi c a n t f o r t w o r e a s o n s . F i r s t , i t o u t l i n e s a s p e c t s o f C a t h e r i n e ' s t e a c h i n g a n d t e x t b o o k u s e t h a t u n d e r w e n t c h a n g e t h r o u g h o u t t h e y e a r . S e c o n d , i t i l l u s t r a t e s h e r o r i e n t a t i o n t o t e a c h i n g a n d u s i n g t h e H B J t e x t , w h i c h p l a y e d a n 1 6 4 i m p o r t a n t r o l e i n s t i m u l a t i n g t h e c h a n g e s t h a t o c c u r r e d . A n a n a l y s i s o f h e r o r i e n t a t i o n t o t e a c h i n g m a t h a n d u s i n g t h e t e x t b o o k a s w e l l a s a d e s c r i p t i o n o f h o w t h e s e i n fl u e n c e d c h a n g e , f o l l o w t h i s s e c t i o n . C o n t e n t o f d a i l y l e s s o n s . E v e n t h o u g h h e r l e s s o n s v a r i e d , p a t t e r n s w e r e e v i d e n t i n w h a t C a t h e r i n e a t t e n d e d t o , u s e d , a n d o m i t t e d i n t h e t e x t t h r o u g h o u t t h e f a l l a n d w i n t e r o b s e r v a t i o n s . E a c h l e s s o n w a s b a s e d o n a s i n g l e , t w o - p a g e s p r e a d i n t h e t e a c h e r ' s g u i d e , w h i c h d e fi n e d t h e l e s s o n t o p i c a n d f r o m w h i c h s h e d r e w i n s t r u c t i o n a l s u g g e s t i o n s a n d t a s k s t o p r e s e n t t o t h e s t u d e n t s . M a n y o f h e r c h o i c e s r e fl e c t e d h e r v i e w s a b o u t t h e r o l e o f p r a c t i c e i n l e a r n i n g m a t h a n d h e r c o m m i t m e n t t o p r o v i d i n g s t u d e n t s w i t h a s m u c h o f i t a s p o s s i b l e . H e r i d e a s a b o u t p r a c t i c e w e r e a p p a r e n t i n t h e p r o p o r t i o n s o f i n s t r u c t i o n a l a n d p r a c t i c e a c t i v i t i e s s e l e c t e d . O f t h e m y r i a d s t u d e n t t a s k s o f f e r e d i n t h e t e a c h e r ' s g u i d e , C a t h e r i n e t e n d e d t o d r a w s p a r i n g l y f r o m t h e i n s t r u c t i o n a l a c t i v i t i e s , w h i c h w e r e f o u n d o n l y i n t h e t e a c h e r ' s g u i d e . A s a r e s u l t , h e r i n t r o d u c t i o n s t o t h e t o p i c o f t h e l e s s o n s w e r e b r i e f , a l l o w i n g m o r e t i m e f o r t h e s t u d e n t s t o p r a c t i c e l e a r n e d s k i l l s . F u r t h e r m o r e , t h e t e a c h i n g s u g g e s t i o n s s h e s e l e c t e d w e r e c o n c i s e a n d c o u l d b e i n c o r p o r a t e d e f fi c i e n t l y i n t o a w a r m - u p . O t h e r s u g g e s t i o n s w e r e a i m e d a t p r e p a r i n g s t u d e n t s t o d o t h e w o r k o n t h e p r a c t i c e p a g e s . S h e s k i p p e d o r m o d i fi e d t h o s e s u g g e s t i o n s t h a t h a d t h e p o t e n t i a l t o t a k e a l o n g t i m e , t h a t i n v o l v e d m a n i p u l a t i v e s , o r t h a t w e r e l i k e l y t o u n s e t t l e t h e s t u d e n t s f r o m t h e i r s e a t s . A s a r e s u l t , s h e o f t e n u s e d t h e s u g g e s t i o n s u n d e r t h e h e a d i n g " T e a c h " a n d o m i t t e d o r a l t e r e d t h e p r e c e d i n g s u g g e s t i o n s u n d e r t h e h e a d i n g " M o t i v a t e . " T h e M o t i v a t e a c t i v i t y t h a t C a t h e r i n e c h o s e t o s k i p o n N o v e m b e r 1 9 t h ( w h e n s h e t a u g h t m u l t i p l i c a t i o n a n d e s t i m a t i n g t i m e i n t h e s a m e l e s s o n ) w a s b o t h t i m e c o n s u m i n g a n d i n v o l v e d m o v e m e n t a r o u n d t h e r o o m . S h e s e e m e d t o b e f o c u s e d o n m o v i n g t h e s t u d e n t s i n t o t h e i r t w o g r o u p s a s q u i c k l y a s p o s s i b l e . T h u s , s h e m o v e d d i r e c t l y t o t h e " T e a c h " s e c t i o n a n d g a v e t h e t e r s e i n t r o d u c t i o n d e s c r i b e d e a r l i e r b e f o r e m o v i n g t h e s t u d e n t s i n t o t h e p r a c t i c e p o r t i o n o f t h e l e s s o n . 1 6 5 O n D e c e m b e r 3 r d , d u r i n g t h e p r o b l e m - s o l v i n g l e s s o n , C a t h e r i n e u s e d o n l y t h e fi r s t p a r t o f t h e " M o t i v a t e " a c t i v i t y i n l e s s o n 4 . 6 , w h i c h i n v o l v e d w r i t i n g a s c h e d u l e f o r t h e s c h o o l d a y o n t h e b o a r d . T h e s e c o n d p a r t o f t h e a c t i v i t y s u g g e s t e d t h a t t h e s t u d e n t s w o r k t o g e t h e r t o w r i t e q u e s t i o n s t h a t c o u l d b e a n s w e r e d u s i n g t h e s c h e d u l e . S h e s a i d t h a t s h e c h o s e t o o m i t i t b e c a u s e i t w o u l d h a v e t a k e n t o o m u c h t i m e . " T h i s m o t i v a t i o n w o u l d h a v e t a k e n p r o b a b l y 2 0 m i n u t e s i f w e h a d d o n e i t t h e w a y t h e y s u g g e s t e d , " s h e e x p l a i n e d ( I n t e r v i e w , 1 2 / 7 / 9 2 ) . I n s t e a d , C a t h e r i n e f o l l o w e d t h e s u g g e s t i o n s i n t h e T e a c h s e c t i o n o f t h e l e s s o n . T h e M o t i v a t e a c t i v i t i e s t h a t C a t h e r i n e s e l e c t e d w e r e s h o r t a n d i n v o l v e d t e a c h e r - d i r e c t e d , w h o l e - c l a s s i n t e r a c t i o n . F o r e x a m p l e , s h e u s e d t h e a c t i v i t y u n d e r t h e M o t i v a t e h e a d i n g i n l e s s o n 4 . 1 o n N o v e m b e r 5 t h . T h e l e s s o n w a s a b o u t t e l l i n g t i m e t o t h e n e a r e s t m i n u t e . T h e M o t i v a t e a c t i v i t y i n v o l v e d d r a w i n g h a n d s o n c l o c k f a c e s t o i n d i c a t e s p e c i fi c t i m e , w h i c h C a t h e r i n e r e a d a l o u d t o t h e c l a s s . T h i s t a s k t o o k o n l y a f e w m i n u t e s b e c a u s e i t w a s e a s y f o r t h e s t u d e n t s . I t a l s o l a i d t h e g r o u n d w o r k f o r t h e r e m a i n d e r o f t h e l e s s o n o n t e l l i n g t i m e t o t h e m i n u t e a n d a s e t o f s i m i l a r p r a c t i c e t a s k s f r o m p a g e 1 1 0 i n t h e i r t e x t s . A s t h e a b o v e e x a m p l e s a b o v e i n d i c a t e , C a t h e r i n e a l m o s t a l w a y s u s e d t h e p o r t i o n s i n t h e t e x t b o o k d e s i g n e d t o p r o v i d e s t u d e n t s w i t h p r a c t i c e o f t h e s k i l l o r c o n c e p t j u s t t a u g h t . S o m e t i m e s s h e s u p p l e m e n t e d t h e t e x t b o o k e x e r c i s e s w i t h p r a c t i c e p r o b l e m s o f h e r o w n . O n N o v e m b e r 1 9 t h , s h e a s s i g n e d s t u d e n t s t h e p r a c t i c e q u e s t i o n s i n t h e t e x t , a s w e l l a s a p a g e o f m u l t i p l i c a t i o n e x e r c i s e s s h e h a d d e v e l o p e d . O n D e c e m b e r 3 r d , t h e s t u d e n t s s p e n t t h e s e c o n d h a l f o f t h e c l a s s c o m p l e t i n g t w o p r a c t i c e p r o b l e m s p r o v i d e d i n t h e t e x t l e s s o n . C a t h e r i n e p l a c e d c o n s i d e r a b l e e m p h a s i s o n m o v i n g s t u d e n t s t h r o u g h t h e s e p r a c t i c e a c t i v i t i e s . T o h e r , " d o l i n g l i t w i t h t h e b o o k " i n v o l v e d f a c i l i t a t i n g s t u d e n t s ' p r a c t i c e o f t h e s k i l l s t a u g h t i n e a c h l e s s o n . R e l a t e d i n s t r u c t i o n a l a c t i v i t i e s , s u c h a s t h o s e f r o m t h e M o t i v a t e s u g g e s t i o n s , w e r e s e c o n d a r y . 1 6 6 T a b l e 5 . 2 d i s p l a y s t h e a c t i v i t i e s s h e s e l e c t e d f r o m t h e t e x t b o o k d u r i n g e a c h o f t h e l e s s o n s d u r i n g t h e f a l l a n d w i n t e r . S t r u c t u r e o f d a i l y l e s s o n s . T h e s e l e c t i o n s m a d e f r o m t h e t e x t b o o k a n d t h e w a y C a t h e r i n e i n c o r p o r a t e d t h e m i n t o h e r i n s t r u c t i o n r e s u l t e d i n a f a i r l y c o n s i s t e n t l e s s o n s t r u c t u r e w h i c h i n c l u d e d t h r e e t y p e s o f a c t i v i t i e s : i n t r o d u c t i o n , p r a c t i c e , a n d r e v i e w . T h e c h a r a c t e r i s t i c s o f , a n d t i m e d e v o t e d t o e a c h o f t h e s e a c t i v i t i e s r e fl e c t e d h e r v i e w s o n t e a c h i n g a n d h e r c o m m i t m e n t t o p r a c t i c e . S h e g e n e r a l l y s t a r t e d w i t h a b r i e f w a r m - u p a c t i v i t y b e f o r e m o v i n g i n t o w h o l e - c l a s s i n s t r u c t i o n o n t h e t o p i c o f t h e l e s s o n . S h e f o l l o w e d t h i s i n t r o d u c t i o n w i t h a s u b s t a n t i a l a m o u n t o f p r a c t i c e a n d u s u a l l y c o n c l u d e d t h e l e s s o n s w i t h a c l o s i n g a c t i v i t y o r r e v i e w i n a w h o l e - c l a s s s e t t i n g . D e s p i t e m i n o r v a r i a t i o n s f r o m l e s s o n t o l e s s o n t h i s p a t t e r n r e m a i n e d a c o n s i s t e n t r e m i n d e r o f h e r v i e w s o n h o w s t u d e n t s l e a r n m a t h . T a b l e s 5 . 3 a n d 5 . 4 d i s p l a y t h e s t r u c t u r e a n d f o r m a t o f C a t h e r i n e ' s l e s s o n s d u r i n g t h e f a l l a n d w i n t e r . T a b l e 5 . 5 i l l u s t r a t e t h e g e n e r a l p a t t e r n t h a t e m e r g e d . I d e s c r i b e t h e c h a r a c t e r i s t i c s o f t h e s e t h r e e t y p e s o f a c t i v i t i e s b e l o w . T h e p u r p o s e o f t h e i n t r o d u c t i o n p i e c e o f t h e l e s s o n w a s t o t e a c h s t u d e n t s a b o u t t h e c e n t r a l i d e a s , c o n c e p t s , o r s k i l l s . I t t o o k p l a c e i n a w h o l e - c l a s s f o r m a t a n d o f t e n i n v o l v e d i n t r o d u c t o r y m a t e r i a l s f r o m t h e m a r g i n o f t h e t e a c h e r ' s g u i d e a n d t h e fi r s t p a r t o f t h e s t u d e n t ' s p a g e s . A l m o s t a l l o f t h e i n t r o d u c t i o n s I o b s e r v e d d u r i n g t h e f a l l a n d w i n t e r fi t w i t h i n C a t h e r i n e ' s d e fi n i t i o n o f " t e a c h i n g ; " t h a t i s : t h e y w e r e t e a c h e r — d i r e c t e d ; t h e y i n v o l v e d t h e t e a c h e r t e l l i n g o r s h o w i n g s t u d e n t s w h a t t h e y n e e d e d t o k n o w ; t h e y w e r e a l s o b r i e f a n d t o t h e p o i n t . O f t h e l e s s o n s I o b s e r v e d , C a t h e r i n e d e v o t e d a p p r o x i m a t e l y o n e t h i r d o f e a c h t o t h i s t y p e o f i n s t r u c t i o n b e f o r e m o v i n g t h e c l a s s i n t o p r a c t i c e . D u r i n g p r a _ c t i g , s t u d e n t s a n s w e r e d q u e s t i o n s a n d c o m p l e t e d e x e r c i s e s o n t h e p a g e s i n t h e i r t e x t s o r f r o m o t h e r s o u r c e s . E v e n t h o u g h C a t h e r i n e p r o v i d e d p r a c t i c e i n a v a r i e t y o f f o r m a t s , s u c h a s o r a l a n d w r i t t e n i n i n d i v i d u a l , p a r t n e r , o r g r o u p s e t t i n g s , s h e a l w a y s e n g a g e d s t u d e n t s i n u s i n g t h e i n s t r u c t i o n j u s t g i v e n . P r a c t i c e w a s c e n t r a l t o d s r e k o s c s u o l l o s c o e t c l r e r u e o h s o t e M O o r s k c a t s a p k o c l c l s t r e o b t i t s e l h e a r a o M p t c l e l A M a - - c ~ d d u t r s e e h m t o c y r t c e e a a r l e t t i f g l a d f t t n d ( i e p O n n d e s a s o o n i u r i i o o p h t e d c e a k e t t w i o s m d t a a e h r t t c m p t o c c a - e e s t w e a w l l i e n m e i i s d c s r . r h t e p p l C a c d e h r d r l c d i i ) i i p e v m e b a a r t e e t t i t l l t e c h e o d n o u u l e a m e o a t R r a B O M M i r u o r T h O o f o t o o m - M p p b o s r e t ) f t a e ) 7 - 2 r 6 e e e h 2 e s - n , g d o 1 4 1 a 1 n p 2 - 6 n n d s 1 n 2 o u ( l e o . o 1 i - 2 d n p n r t 0 g i e s a a o 5 p t o 2 p u f c , 1 c d i 1 o . a u t d k n l - 1 e t u g i n m o c i p p c p u s e r e r d i e r m i d t n t g t a h s e g e k a u n a l s t t I S P t u n W C a I s o - - s P m ( i o . p p f o l l A - ) e e ) ) ) d l g l g d a a a a 2 . 5 e l b a T ' e t l p e fi i d o a k d a m ( ( c e h e e c t t a a u r u r d d e e i i v v v v a t a i i d d l / n n c c i i i i s s e e h s g g e a a n n c b b ( ( k h v v h h i i c c i i s c c t s t i a t t d e d a e a u e o o e e e e e e i t c a r Q T M T M M T e M e P ~ v - o v o n o o n ~ . . ’ \ . . . , 2 . A 0 . _ 1 s t i n U c i r t ' s g n i l i l e l l m i T g m e u u e l g n d i e v h l e c o M s a S - T y n r g n i t a m o t e l e i c l i m i l i b b a c a p o l t p t o r e s a T T E P a C n o s s e 1 3 6 7 2 . . . . . L 4 4 4 4 7 9 0 l 1 3 6 / / / l 2 2 l 1 1 1 2 / / 2 3 D a t e 1 1 / 5 C o l l e c t i n g D a t a I t e m s u s e d i n T e a c h e r ' s G u i d e o M o t i v a t e ~ T e a c h - ( Q u i c k C h e c k d o n e a s b o a r d w o r k ) ~ T e a c h - D o u b l e C h e c k 7 . 8 L e n g t h : M e t r i c U n i t s A l l o f p p . 2 1 0 - 2 1 2 1 6 7 f l a 6 5 2 3 2 6 7 3 6 1 8 3 9 0 o 8 2 3 3 3 5 6 5 5 2 1 1 1 t o % t 2 6 8 4 t 5 6 e f n o m f f i o o e 1 6 t m . g n l i e a m s . . . n n n i i i t o f 5 2 2 8 9 8 4 7 4 2 m m m T o 6 3 2 3 3 3 8 5 3 4 4 1 l 1 1 1 e l o h w p u o s d s n a r a g / l c 5 s s s t t s t t s t s s s u e t a h t y r o g e t a c e h t t u p e v a h t u b , h t s s s n n s s s s s n n n o a a a a a a a e a e e e r o e l l l l l l l d d l d m o l u b c c c c c c d c h d c s n n n n a w n e e e l / e e e e e e e l l l l l l l l . e e e m E . a s s p p l e e e l u r o o o d o o o o o d a d d d r i h h h n h h h h h n n n n a a m t r n u e t W I I I I P S W P W W W W W I W a n o i t n o ' i w e e i c t c i e u t v e w c u r t s n i n n n r s r o l e o o o r t i v e r e c a / d s n e W / i e n h i i i . ' / e e e e e e i e t t t t e b t w c c c c c c c c c r c w c a / e u u u i e i i i i i o _ w i l u s a i i r t t r r t t t t e t l r t c c t t y c c c c i c t e 3 . 5 e v v s s a a a a s a a v a s e e x n n r n r r r r e n r r R R P P R P P P E I I I I P P ) ) 1 2 v r a o h g I e t a . l c ) ) s e e c b a T W m g n e s s ' t n e s e e h m t g i g t n c i a t r a p n d i n m a o d n e o r i t c e u h r t t s d n e i s r u w o e i e v s e o r p r d u e p x e i h m t e r n o i F r e . h t t s a r fi p 1 2 u m o p u i r m u u t g o g ( r m n n g i w e i n v o o i i ( t a t n n m t a i o o e r a h c i i t c i t t i a l l c a e t s p i c i l i i t t l l l p u u i m m t l ; n o w d e i i x s t t l t i l m u a i p t e u e 5 u r c s i e 0 n s m c e c o m e l r o t e p u 2 e a a t i l e l c i c n t s o 1 a i k s n v o e p t a ‘ a c s u i r a u - l - l l e o l p u m a , i h a c t 1 l t s c I a n n w - - n i u 2 v o t o i 1 , W e e o i d i e 1 n n c n w t s c 3 i r t o a . n ' u l s d . p n a u a n . n l o o f f n t l 4 4 m t k r t s s i n s i y o o t c i - d k a t i e e n t r l e e o t t n c n w T T c c c c o o u i a u w a a e u i i u w d i o o o o p l , i a t v f . i o o r r t r t t r k o t c c t r r m / i r r v e t t s e t s a a s i t o o n n r r n n n o n a n R I I I O I P I M I P P W C . . . . . 4 g n i g m e e s a l U l n b l i o r g o e n : i e l t t a m e e r g e t u P l n c i e b d e : : : : m m a i v l a 1 3 6 7 T t l l t h . . . . i i s o a C o c 4 T 4 E T 4 4 S a S C d 9 0 5 3 1 1 / / / / 1 1 2 2 1 1 1 1 , d y e l t t a n n e i u m q e o r d F e r 3 p D a t e L e s s o n T o p i c o f L e s s o n s e g m e n t : N a t u r e o f s e g m e n t a F o r m a t o f s e g m e n t I n . R e v i e w o f b o a r d w o r k \ O — ‘ N ‘ r f i fl t — ‘ N u i 1 6 8 3 8 0 5 . 4 1 1 1 l l 1 6 s s a l c e l o h w t s s n s s n e a a d l l e d c c n n m e e e l l e d d o o n n h h I W I W e e c c w w i i e e t t i i c c a a v v r r e g P R l P e g a e c e 7 i g 2 a t c 2 a . r e n p o c n n t s i s o o c e a l k k r r r f o o o f w w o y r n n w _ e e e a t t t t i m i i v m r r e u W W R S 4 . 5 e l b a T I . “ 1 . . l : E E I 5 [ 5 s t i : n y U t i c c i : a r p t 5 8 . . a e 7 C M 2 / 3 5 e l b a T e e S a T t a l t i 7 f D a t e L e s s o n T i t l e o f L e s s o n s e g m e n t : N a t u r e o f s e g m e n t F o r m a t o f p i e c e o f ) s e n g S I { 3 , 2 1 2 / 1 6 7 . 2 : L e n g t h : 1 . I n s t r u c t i o n o n m z d m , c m , k m , m m I n s t r u c t i o n W h o l e c l a s s 1 4 m i n . o f 6 0 2 3 M e t r i c U n i t s 2 . O r a l w o r k o n p p . 2 1 0 - 2 1 1 P r a c t i c e / i n s t r u c t i o n W h o l e c l a s s 1 8 3 0 3 . W r i t t e n w o r k o n p . 2 1 1 P r a c t i c e l n d e g n d e n t 5 8 4 . O r a l p r a c t i c e c h o o s i n g a p p r o p r i a t e u n i t s P r a c t i c e W h o l e c l a s s ( i n d i v i d u a l 8 1 3 r e g p o n s e ) 5 . W r i t t e n w o r k o n p . 2 1 2 P r a c t i c e l n d e m n d e n t 1 4 2 3 6 . C l o s i n g q u e s t i o n l i g v i e w W h o l e c l a s s I 2 1 . I n t r o d u c t i o n t o t o i c i n s t r u c t i o n o n l a n d m l I n s t r u c t i o n W h o l e c l a s s 1 1 m i n . o f 6 1 1 8 2 . O r a l w o r k o n p . 2 2 6 P r a c t i c e W h o l e c l a s s 4 6 . 5 3 . O r a l c t i c e c h o o s i n r o a r e u n i t s P r a c t i c e W h o l e c l a s s 2 3 4 5 . 6 . 7 . P a t t e r n s i n s t r u c t u r e a n d f o r m a t a c r o s s F a l l a n d W i n t e r A v e r a g e % a I n t r o d u c e i n w h o l e c l a s s I n s t r u c t i o n W h o r e c l a s s 3 1 m i n . o f 6 1 P r a c t i c e a l o n e o r i n g r o u p P r a c t i c e I n d i v i d u u g l p a i r / g r o u p 5 1 P r a c t i c e a l o n e o r i n g r o u p E x p l o r e G r o u p R e v i e w o r c o n c l u d e i n o n R e v i e w W h o l e c l a s s 8 1 6 9 e m i t n s s s e e e t t t l a t o t s o e u u u s s e l l a t o T n o i t a n n i i m m n i m t u n i 8 4 m 0 5 6 6 6 6 3 % 9 2 % % 1 % 2 1 8 % r 6 % 9 o l p x E e c i t 5 . 5 5 % % % % % e 9 5 1 c 1 9 l a 1 8 5 7 5 b r P a T . d ‘ t I o n % % i t c % % % % % % 2 4 1 3 u 2 8 4 3 8 1 r t r t s t n I r r ' t e ' t r 5 2 4 2 1 3 2 l p p u u o o r r G G a e s U ‘ : r e g e ‘ n o s s m - r n l a i u t v d a e T s s l e D e m o h t t L i S c g i i g m n n : n T - S t m i U y U g a e [ t : t n i l m l e r - b l c e l h c c i t i i c g a r r 1 l 3 6 7 l 2 t o b n p t t 8 . e . . s r a . o . e . a e e 4 T 4 E 4 P T 4 C 7 M 7 C M L e t a D 9 5 1 / / 1 1 1 1 0 1 / 2 1 2 / 3 R e v i e w 6 2 m i n u t e s 7 % 1 2 / 3 7 2 % 6 1 m i n u t e s 2 / 1 6 A v e r a g e 7 0 % 6 1 m i n u t e s 1 7 0 1 7 1 C a t h e r i n e ' s t e a c h i n g . W h e t h e r s h e w a s t e a c h i n g o n e o f t h e c o m p u t a t i o n a l p r o c e s s e s o r a l e s s o n f r o m t h e t e x t , s h e b e l i e v e d t h a t a s u b s t a n t i a l a m o u n t o f t i m e m u s t b e d e v o t e d t o r e p e a t e d p r a c t i c e i n o r d e r t o f a c i l i t a t e l e a r n i n g . I n f a c t , o n e o f t h e c o m p l a i n t s s h e f r e q u e n t l y c i t e d a b o u t t h e H B J t e x t w a s t h a t " t h e y d o n ' t g i v e a l o t o f p r a c t i c e " ( I n t e r v i e w , 1 1 / 9 / 9 2 ) . H e r c o m m i t m e n t t o p r a c t i c e w a s a p p a r e n t i n t h e a m o u n t o f l e s s o n t i m e s h e d e v o t e d t o i t , f o r e x a m p l e , a s m u c h a s t h r e e q u a r t e r s o f t h e t i m e o n N o v e m b e r 1 9 t h . O n a v e r a g e , C a t h e r i n e d e v o t e d m o r e t h a n h a l f o f h e r c l a s s t i m e t o t h i s t y p e o f p r a c t i c e d u r i n g t h e f a l l a n d w i n t e r l e s s o n s . U n l e s s t h e y r a n o u t o f t i m e , C a t h e r i n e f o l l o w e d i n d e p e n d e n t p r a c t i c e w i t h a w h o l e - c l a s s r e v i e w d u r i n g w h i c h s h e r e v i e w e d s o m e o r a l l o f t h e p r o b l e m s s t u d e n t s h a d c o m p l e t e d . T y p i c a l l y , s h e r e a d e a c h q u e s t i o n a l o u d a n d c a l l e d o n s t u d e n t s t o s h a r e t h e i r a n s w e r s , s t o p p i n g o n l y t o a t t e n d t o s t u d e n t s ' q u e s t i o n s o r d i f fi c u l t i e s . A s t h e D e c e m b e r 3 r d , l e s s o n e x e m p l i fi e s , C a t h e r i n e f o l d e d t h e r e v i e w i n t o t h e p r a c t i c e p o r t i o n o f t h e l e s s o n s b y f o l l o w i n g e a c h s e c t i o n o f p r a c t i c e w i t h r e v i e w . E m p h a s i s o f e a c h l e s s o n . D u r i n g e a c h p o r t i o n o f h e r l e s s o n s , C a t h e r i n e p l a c e d p r i m a r y e m p h a s i s o n a r r i v i n g a t c o r r e c t a n s w e r s . I n g e n e r a l , s h e d i d n o t e n c o u r a g e s t u d e n t s t o c o n s i d e r w h y t h e i r a n s w e r s w e r e c o r r e c t o r p a y a t t e n t i o n t o t h e p r o c e s s o f m a k i n g s e n s e o f a p r o b l e m i n o r d e r t o s o l v e i t . H e r f o c u s o n c o r r e c t a n s w e r s w a s e v i d e n t i n t h e n a t u r e o f t h e i n t e r a c t i o n s i n t h e c l a s s ; s t u d e n t s p r o v i d e d a n s w e r s t o t h e q u e s t i o n s s h e p o s e d o r r e a d f r o m t h e t e x t . C a t h e r i n e ' s r o l e , i t s e e m e d , w a s t o h e l p t h e m a r r i v e a t t h e c o r r e c t a n s w e r , w h i c h s h e o f t e n a c c o m p l i s h e d b y r e p h r a s i n g o r r e a s k i n g q u e s t i o n s , a s k i n g i f s o m e o n e c o u l d " s a y i t a d i f f e r e n t w a y " ( O b s e r v a t i o n , 1 1 / 5 / 9 2 ) o r p r o v i d i n g h i n t s a n d g u i d a n c e u n t i l t h e s t u d e n t s p r o d u c e d t h e a n s w e r s h e w a s a f t e r . T h e a n s w e r s h e w a n t e d m o s t o f t e n w a s t h e o n e p r i n t e d i n t h e t e a c h e r ' s g u i d e o f t h e t e x t b o o k F o r e x a m p l e , d u r i n g t h e D e c e m b e r 3 r d l e s s o n , d e s c r i b e d e a r l i e r , w h e n t h e s t u d e n t s c o u l d n o t a r r i v e a t a n a l t e r n a t i v e w a y t o s o l v e t h e p r o b l e m , C a t h e r i n e a s k e d t h e f o l l o w i n g s e r i e s o f q u e s t i o n s , w h i c h l e d t h e m t o t h e a n s w e r i n t h e t e x t . T h e i n i t i a l 1 7 2 q u e s t i o n s h e a s k e d w a s w h e t h e r t h e y c o u l d t h i n k o f a n y o t h e r s t r a t e g y t o s o l v e t h e p r o b l e m . T h e a l t e r n a t i v e s t r a t e g y o f f e r e d i n t h e t e x t w a s " w o r k b a c k w a r d s f r o m 3 : 0 0 . . . . S o t h e y c a n s e e a n y m o v i e s t a r t i n g b y 1 : 1 5 . " C a t h e r i n e a s k e d : " C a n y o u t h i n k o f a n y o t h e r s t r a t e g i e s b e s i d e s fi g u r i n g o u t t h e e n d i n g t i m e ? " S e v e r a l s t u d e n t s r a i s e d t h e i r h a n d s : S t u d e n t : F i g u r e o u t t h e s t a r t i n g t i m e . C a t h e r i n e : W e k n e w t h e s t a r t i n g t i m e . S h e a c c e p t e d a f e w m o r e r e s p o n s e s , n o n e o f w h i c h s e e m e d t o b e w h a t s h e w a s l o o k i n g f o r . S o , s h e a s k e d m o r e p o i n t e d q u e s t i o n s : C a t h e r i n e : W h a t o t h e r t h i n g s c o u l d w e h a v e d o n e ? W h a t t i m e d i d t h e y h a v e t o b e h o m e ? S t u d e n t s : 3 : 0 0 . C a t h e r i n e : S o w h a t c o u l d w e h a v e d o n e w i t h t h e 3 : 0 0 i d e a ? S t u d e n t : W e c o u l d h a v e s u b t r a c t e d fi f t e e n m i n u t e s f r o m 3 : 0 0 . C a t h e r i n e l i k e d t h i s r e s p o n s e . S h e r e p e a t e d i t a n d t h e n p r o b e d f o r m o r e : C a t h e r i n e : T h a t w o u l d t e l l y o u t h e 1 5 m i n u t e s i t t o o k t h e m t o w a l k h o m e . T h a t w o u l d b e 2 : 4 5 , r i g h t ? T h e n w h a t w o u l d w e h a v e t o d o t o fi n d o u t w h a t m o v i e t h e y c o u l d s e e ? S t u d e n t s : [ N o a n s w e r ] C a t h e r i n e : H o w l o n g i s t h e m o v i e ? S t u d e n t s : A n h o u r a n d 3 0 m i n u t e s . C a t h e r i n e : S o i f y o u t a k e a n h o u r a n d 3 0 m i n u t e s a w a y f r o m . . . t w o w h a t ? ( S h e p a u s e d b r i e fl y , b u t c o n t i n u e d a f t e r n o r e s p o n s e f r o m t h e s t u d e n t s . ) t w o f o r t y - fi v e . W h a t w o u l d i t b e ? S t u d e n t : O n e fi f t e e n . C a t h e r i n e a g r e e d a n d t h e n w r o t e : 2 : 4 5 - 1 : 3 0 1 : 1 5 a n d t h e n s h o w e d t h e s t u d e n t s t h a t 2 : 4 5 m i n u s 1 : 3 0 w a s 1 : 1 5 . " O k a y ? " s h e a s k e d t h e c l a s s , a s i f s h e w a s c h e c k i n g t o b e s u r e t h e y u n d e r s t o o d . T h e r e w a s n o r e s p o n s e . S h e t h e n c o n c l u d e d : " S o t h a t s c h e d u l e w o u l d h e l p y o u . " S h e r e a s s u r e d t h e m t h a t i f t h e y h a d 1 7 3 b e e n d o i n g t h i s p r o b l e m i n a { a l l s i t u a t i o n , i t w o u l d h a v e b e e n m u c h l e s s d i f fi c u l t b e f o r e m o v i n g o n t o t h e n e x t t a s k C a t h e r i n e a p p e a r e d r e l i e v e d t h a t a s t u d e n t fi n a l l y h a d g i v e n t h e c o r r e c t a n s w e r , n o t b e c a u s e t h e c o r r e c t a n s w e r i n d i c a t e d t h a t h e u n d e r s t o o d t h i s a l t e r n a t i v e s t r a t e g y b u t b e c a u s e a r r i v i n g a t t h e c o r r e c t a n s w e r e n a b l e d t h e m t o m o v e o n . H e r c o m m e n t s l a t e r s u b s t a n t i a t e d t h i s a s s u m p t i o n : I j u s t h a d t h e f e e l i n g t h a t I g o t o n e c h i l d t o s a y t o c o u n t b a c k w a r d s . A n d I t h i n k I r e m e m b e r o n e c h i l d d i d s a y t h a t , b u t I d i d n o t f e e l t h a t e v e n w i t h t h e e x p l a n a t i o n t h a t t h e y w e r e r e a l l y u n d e r s t a n d i n g t h a t a g r e a t d e a l u g o i n g b a c k w a r d s . A n d I t h o u g h t t h a t m a y b e t h a t w a s s o m e t h i n g t h a t w a s n o t n e c e s s a r y a t t h i s p o i n t u t h a t t h e y n e e d t o u n d e r s t a n d t h a t . S o I w e n t o n s o t h a t I c o u l d g e t o n w i t h t h e l e s s o n . . . . B u t a l o t o f w h a t I t h o u g h t w a s t h a t m o r e e x p l a n a t i o n w o u l d j u s t m u d d y u p t h e w a t e r m o r e . ( I n t e r v i e w , 1 2 / 7 / 9 2 ) M u d d y i n g t h e w a t e r s w o u l d n o t o n l y a d d m o r e c o n f u s i o n t o t h e l e s s o n b u t c o u l d d e t r a c t f r o m C a t h e r i n e ' s g o a l o f m o v i n g t h r o u g h t h e q u e s t i o n s i n t h e t e x t s u c c e s s f u l l y . A s a t e a c h e r a i m i n g t o h e l p s t u d e n t s b e s u c c e s s f u l i n m a t h , s h e w a s h e s i t a n t t o a d d m o r e c o n f u s i o n t o t h e p r o c e e d i n g s o f a l e s s o n , p a r t i c u l a r l y w h e n s o m e o n e h a d g i v e n t h e c o r r e c t a n s w e r . A n e x c e p t i o n t o t h e p a t t e r n . I o b s e r v e d o n e e x c e p t i o n t o t h e p a t t e r n s d e s c r i b e d a b o v e i n C a t h e r i n e ' s u s e o f t h e t e x t a n d i n h e r g e n e r a l l e s s o n s t r u c t u r e . O n D e c e m b e r 1 0 t h , C a t h e r i n e c o n s t r u c t e d a n e n t i r e l e s s o n o n c o l l e c t i n g d a t a f r o m t h e M o t i v a t e a c t i v i t y f o r l e s s o n 4 . 7 . T h e M o t i v a t e a c t i v i t y s u g g e s t e d d i v i d i n g t h e c l a s s i n t o g r o u p s a n d g i v i n g e a c h a s m a l l b a g o f a l p h a b e t m a c a r o n i t o s o r t b y l e t t e r a n d t h e n r e c o r d t h e n u m b e r o f e a c h l e t t e r c o l l e c t e d . T h e t e x t s u g g e s t e d t h a t a l l t h e g r o u p s ' r e s u l t s b e c o m b i n e d i n a f r e q u e n c y t a b l e a n d t h e n d i s c u s s e d . C a t h e r i n e h a d h e r s t u d e n t s s o r t t h e m a c a r o n i i n g r o u p s b e f o r e c o m b i n i n g t h e i r d a t a i n a t a b l e o n t h e o v e r h e a d . S h e t h e n e l a b o r a t e d t h e e n d o f t h e a c t i v i t y , c r e a t i n g a w h o l e - c l a s s l e s s o n o n m a k i n g , r e a d i n g , a n d u s i n g a f r e q u e n c y c h a r t . S h e c r e a t e d q u e s t i o n s o n t h e s p o t t h a t e n g a g e d s t u d e n t s i n r e a d i n g t h e t a b l e a n d u s i n g c a l c u l a t o r s t o c o m p a r e t h e q u a n t i t i e s o f d i f f e r e n t l e t t e r s . I n a d d i t i o n t o a s k i n g s t u d e n t s t o e x p l a i n t h e d i f f e r e n c e b e t w e e n a t a l l y s h e e t a n d a f r e q u e n c y t a b l e , 1 7 4 w h i c h a r e l o c a t e d i n t h e t e x t , s h e a s k e d h e r o w n q u e s t i o n s t h a t i n v o l v e d e x a m i n i n g a n d c o m p a r i n g d a t a . W h e n I a s k e d h e r a b o u t t h e l e s s o n , C a t h e r i n e s a i d s h e w a s p l e a s e d w i t h i t , b u t h e r c o m m e n t s r e fl e c t e d t h e g e n e r a l e m p h a s e s o f t h e o t h e r l e s s o n s d e s c r i b e d e a r l i e r . S h e w a s c o n c e r n e d t h a t t h e a c t i v i t y t o o k m o r e t i m e t h a n e x p e c t e d ; s h e h a d h o p e d t o h a v e t h e s t u d e n t s d o m o r e o f t h e p r a c t i c e a c t i v i t i e s i n t h e l e s s o n . " W e j u s t g o t s o i n v o l v e d , " s h e s a i d , e x p l a i n i n g w h y s h e a l l o w e d t h e a c t i v i t y t o p r o c e e d ( I n t e r v i e w , 1 2 / 1 7 / 9 2 ) . S h e d e s c r i b e d t h i s l e s s o n a s a t y p i c a l , s i n c e s h e d i d n o t o f t e n h a v e t i m e t o d e v o t e a n e n t i r e l e s s o n t o s u c h a n a c t i v i t y . S t i l l , s h e s a i d , s h e d i d n o t r e g r e t i t , a n d s h e w o u l d p r o b a b l y d o i t a g a i n n e x t y e a r . I f s h e d i d , s h e t o l d m e : " I w o u l d g i v e t h e m f a r l e s s a l p h a b e t s t o w o r k w i t h . . . a n d I m i g h t h a v e g i v e n t h e m m o r e d i r e c t i o n o n h o w t o c o u n t u p t h e t a l l y , b e c a u s e t h a t t o o k q u i t e a l o n g t i m e " ( I n t e r v i e w , 1 2 / 1 7 / 9 2 ) . T h e f a c t t h a t C a t h e r i n e f o u n d t h i s a c t i v i t y a p p e a l i n g , e v e n t h o u g h s h e b e l i e v e d i t t o o k t o o m u c h t i m e , r e fl e c t e d h e r m i x e d f e e l i n g s a b o u t t h e c h a n g e s a d v o c a t e d b y t h e r e f o r m a g e n d a . S h e b e l i e v e d t h a t m a n y w e r e o f s o m e v a l u e , b u t t h e y t o o k t i m e a w a y f r o m d i r e c t i n s t r u c t i o n a n d m u c h - n e e d e d p r a c t i c e . T h u s , s h e t e n d e d t o s t a y a w a y f r o m s u c h t i m e - c o n s u m i n g , e x p l o r a t o r y a c t i v i t i e s . M i x i n g t h e O l d a n d t h e N e w a n d T e a c h e r C h fl g a A s t h e s e d e s c r i p t i o n s o f C a t h e r i n e ' s u s e o f t h e t e x t i n t h e f a l l a n d w i n t e r s u g g e s t , w h a t i t m e a n t t o " d o i t w i t h t h e b o o k " d i f f e r e d d e p e n d i n g o n t h e a s p e c t o f h e r m a t h e m a t i c s i n s t r u c t i o n i n v o l v e d . H o w s h e m a d e s e n s e o f t h e s u g g e s t i o n s i n t h e H B J t e x t a n d e m b r a c e d t h e m i n h e r t e a c h i n g v a r i e d f o r p r o b l e m s o l v i n g , n o n c o m p u t a t i o n a l t o p i c s , a n d c o m p u t a t i o n a l s k i l l s . B e c a u s e s h e s a w t h e r e f o r m s a s a d d i t i v e i n n a t u r e , s h e o p e n e d h e r p r a c t i c e t o c o n t e n t a d d i t i o n s s u c h a s p r o b l e m s o l v i n g a n d i n c r e a s e d e m p h a s i s o n n o n c o m p u t a t i o n a l t o p i c s . T h e e l e m e n t s o f h e r i n s t r u c t i o n t h a t w e r e m o r e i n t e g r a l l y c o n n e c t e d t o w h a t s h e s a w a s t h e c o r e o f m a t h e m a t i c s ( t h o s e t h a t l e d t o c o m p u t a t i o n a l m a s t e r y ) w e r e n o t o p e n t o r e v i s i o n s o f f e r e d i n t h e t e x t . 1 7 5 C a t h e r i n e ' s t e n d e n c y t o e m b r a c e s e l e c t i v e l y s o m e o f t h e n e w i d e a s o f f e r e d b y t h e t e x t , w h i l e s t a n d i n g fi r m o n t h o s e t h a t c o m p r i s e d t h e f o u n d a t i o n o f h e r m a t h e m a t i c s i n s t r u c t i o n , i s n o t a t y p i c a l . M a n y r e f o r m e r s h a v e a r g u e d t h a t c u r r i c u l a r a n d p e d a g o g i c a l c h a n g e i n m a t h e m a t i c s i n s t r u c t i o n r e q u i r e s a f u n d a m e n t a l s h i f t i n o n e ' s t h i n k i n g a b o u t t e a c h i n g a n d l e a r n i n g m a t h ( C o h e n 8 : B a l l , 1 9 9 0 ; I a p p a n 8 r T h e u l e - L u b i e n s k i , 1 9 9 2 ) ; h o w e v e r , o b s e r v e r s o f t e a c h e r s r e s p o n d i n g t o t h e s e c a l l s f o r c h a n g e h a v e n o t e d t h a t w h o l e s a l e s h i f t s a r e u n l i k e l y . I t i s m o r e l i k e l y i n t h e i r i n i t i a l r e s p o n s e , t h a t t e a c h e r s w i l l m i x r e f o r m e d a p p r o a c h e s w i t h t h e s t a t u s q u o ( C o h e n , 1 9 9 0 ) . I n C a t h e r i n e ' s c a s e , t h i s m i x i n g o f t h e o l d a n d t h e n e w e v e n t u a l l y h a d a n i m p a c t o n h e r v i e w o f t e a c h i n g a n d l e a r n i n g m a t h . C a t h e r i n e ' s t e a c h i n g d i d n o t u n d e r g o f u n d a m e n t a l s h i f t s a s t h e y e a r p r o g r e s s e d , b u t i t w a s e v i d e n t t h a t c h a n g e s i n h e r m a t h e m a t i c s g o a l s a n d u s e o f t h e t e x t t o a c c o m p l i s h t h e m h a d b e g u n t o o c c u r m i d w a y t h r o u g h t h e y e a r . T h e s e c h a n g e s a p p e a r e d t o b e s t i m u l a t e d b y h e r a t t e m p t s t o u p h o l d t w o c o m p e t i n g c o m m i t m e n t s . T h e fi r s t c o m m i t m e n t i n v o l v e d h e r o r i e n t a t i o n t o t e a c h i n g m a t h e m a t i c s , a n d t h e s e c o n d i n v o l v e d h e r s p e c i fi c o r i e n t a t i o n t o u s i n g t h e H B J t e x t b o o k I d i s c u s s t h e s e t w o c o m p e t i n g r o l e s b e l o w . T h e n I e x a m i n e h o w t h e t e n s i o n b e t w e e n t h e m s t i m u l a t e d l e a r n i n g a n d c h a n g e . ( _ Z _ a t h e r i n _ e ' s O g e n t a t i o n t o M a t h e m a t i c s T e a c h i n g a n d U s i n g t h e H B I T e x t b o o k : C a t h e r i n e ' s l a r g e r A g _ e n _ d a F r o m h e r i n i t i a l e n c o u n t e r s , C a t h e r i n e s a w t h e H B J t e x t b o o k a s a t o o l t o p r o m o t e c h a n g e i n h e r m a t h e m a t i c s i n s t r u c t i o n . R e f o r m - i n i t i a t e d c h a n g e w a s n o t h e r o n l y f o c u s . S o s n i a k a n d S t o d o l s k y ( 1 9 9 3 ) f o u n d t h a t t e x t s w e r e n o t " d r i v i n g f o r c e s " i n t e a c h e r s ' i n s t r u c t i o n a s m u c h a s t h e y w e r e " p r o p s i n t h e s e r v i c e o f m a n a g i n g l a r g e r a g e n d a s " ( p . 2 7 1 ) . S i m i l a r l y , a t t e n d i n g t o t h e r e f o r m s w a s o n l y p a r t o f C a t h e r i n e ' s l a r g e r i n s t r u c t i o n a l a g e n d a ; t h e c e n t r a l f o c u s i n h e r t e a c h i n g w a s t o h e l p s t u d e n t s b e " s u c c e s s f u l " a s l e a r n e r s o f m a t h e m a t i c s . I n h e r v i e w , s u c c e s s i n c l u d e d p r o d u c i n g c o r r e c t a n s w e r s t o m a t h 1 7 6 p r o b l e m s w i t h o u t e x p e r i e n c i n g t o o m u c h f r u s t r a t i o n . T h e s e t w o a s p e c t s o f h e r a g e n d a w e r e o f t e n a t o d d s w i t h o n e a n o t h e r , p a r t i c u l a r l y w h e n t h e s o l u t i o n s t o t h e p r o b l e m s s u g g e s t e d i n t h e t e x t w e r e n o t r e a d i l y a c c e s s i b l e t o h e r s t u d e n t s . T h e s e t w o g o a l s , h o w e v e r , g u i d e d h e r t e a c h i n g a n d s h a p e d t h e w a y s s h e m a d e s e n s e o f t h e t e x t . E x a m i n i n g C a t h e r i n e ' s c o m m i t m e n t t o e a c h o f t h e s e c o m p e t i n g r o l e s i s c r i t i c a l t o u n d e r s t a n d i n g h o w t h e t e n s i o n s t h e y c r e a t e d i n h e r t e a c h i n g s e r v e d t o s t i m u l a t e c h a n g e . I d e s c r i b e e a c h o f t h e s e g o a l s b e l o w a n d t h e n d i s c u s s t h e i m p a c t t h e y h a d o n h e r t e a c h i n g . T h e T e a c h e r ' s R o l e a s A d v o c a t e o f S t u d e n t s W h e t h e r u s i n g s u g g e s t i o n s i n t h e t e x t o r h e r o w n a p p r o a c h , C a t h e r i n e b e l i e v e d t h a t i t w a s h e r r e s p o n s i b i l i t y t o " t e a c h " s t u d e n t s t h e s t e p s a n d p r o c e d u r e s t h e y n e e d e d t o k n o w , n o t l e a v i n g t h e m t o s t r u g g l e a l o n e . S h e b e l i e v e d t h a t p r o v i d i n g c a r e f u l g u i d a n c e a n d a s k i n g s t u d e n t s o n l y w h a t w a s w i t h i n t h e i r r e a c h w a s t h e b e s t w a y t o e n s u r e t h e i r s u c c e s s . I n t h i s s e n s e , C a t h e r i n e v i e w e d h e r s e l f a s a n a d v o c a t e o f s t u d e n t s . T h i s r o l e o f t e n i n v o l v e d s t r u c t u r i n g l e s s o n s t o p r o v i d e s t u d e n t s w i t h a p p r o p r i a t e g u i d a n c e a n d s u p p o r t . D u r i n g t h e N o v e m b e r 1 9 t h l e s s o n , f o r e x a m p l e , s h e f o c u s e d s t u d e n t s ' a t t e n t i o n o n e a c h p a r t o f t h e m u l t i p l i c a t i o n a l g o r i t h m a n d m a d e s u r e t h e y k n e w h o w t o d o e a c h s t e p . I n o r d e r t o h e l p t h e m s u c c e s s f u l l y l e a r n t h e s e p r o c e d u r e s , s h e l i m i t e d t h e a m o u n t o f s t e p s t h e y n e e d e d t o r e m e m b e r b y h a v i n g t h e m w o r k w i t h o n e t y p e o f a l g o r i t h m a t a t i m e . A t o t h e r t i m e s , C a t h e r i n e ' s r o l e a s a d v o c a t e r e q u i r e d t h a t s h e m e d i a t e t h e s t u d e n t s ' i n t e r a c t i o n s w i t h t h e m a t h o r t h e t e x t i n o r d e r t o c i r c u m v e n t t h e i r f r u s t r a t i o n . S h e o f t e n i n t e r p r e t e d q u e s t i o n s t o h e l p t h e m a r r i v e a t t h e c o r r e c t a n s w e r . T h i s t e n d e n c y w a s e v i d e n t o n s e v e r a l o c c a s i o n s d u r i n g t h e D e c e m b e r 3 r d l e s s o n , w h e n C a t h e r i n e l e d t h e s t u d e n t s t o t h e a n s w e r i n t h e t e x t a n d e x p l a i n e d t h e i r d i f fi c u l t i e s b y s u g g e s t i n g t h a t t h e q u e s t i o n w a s p o o r l y p h r a s e d . W h e n h e r s t u d e n t s h a d d i f fi c u l t y u s i n g t h e t r a i n s c h e d u l e t o fi n d t h e t i m e i t t o o k t o t r a v e l b e t w e e n t w o c i t i e s , C a t h e r i n e s p e c u l a t e d t h a t 1 7 7 m o r e s t u d e n t s w o u l d h a v e b e e n s u c c e s s f u l i f t h e t e x t h a d i n d i c a t e d t h a t t h e y w e r e a c t u a l l y c a l c u l a t i n g e l a p s e d t i m e . L a t e r , r e fl e c t i n g o n t h e s o u r c e o f t h e i r s t r u g g l e s , C a t h e r i n e o f f e r e d : " I d o r e a l l y t h i n k t h e y k n o w h o w t o d o e l a p s e d t i m e , b u t I ' m j u s t n o t s u r e t h e y k n o w h o w t o a p p _ l y i t t o a n a c t u a l s i t u a t i o n " ( I n t e r v i e w , 1 2 / 7 / 9 2 ) . C a t h e r i n e ' s R o l e a s I m p l e m e n t o r o f t h e T e x t T h e f a c t t h a t C a t h e r i n e p o s e d q u e s t i o n s t o h e r s t u d e n t s b e c a u s e t h e y w e r e s u g g e s t e d i n t h e t e x t , r e g a r d l e s s o f w h e t h e r s h e b e l i e v e d t h e y w e r e u s e f u l o r a p p r o p r i a t e , i s i l l u s t r a t i v e o f t h e s e c o n d i t e m o n h e r l a r g e r a g e n d a : h e r o r i e n t a t i o n t o u s i n g t h e H B J t e x t b o o k T h e r e f o r m c o n t e x t i n w h i c h s h e w a s t e a c h i n g p r e s e n t e d g o a l s s h e s a w a s v a l u a b l e . F u r t h e r m o r e , a r e v i s e d d i s t r i c t t e s t , t h e a d o p t i o n o f a n e w t e x t b o o k , a n d o t h e r a c t i v i t i e s i n t h e d i s t r i c t i n d i c a t e d t h a t r e s p o n d i n g t o t h e s e c a l l s f o r c h a n g e w a s p r u d e n t . B e c a u s e s h e b e l i e v e d t h a t t h e H B J t e x t e n c o m p a s s e d t h e r e f o r m a g e n d a , C a t h e r i n e l o o k e d t o i t t o g u i d e h e r e f f o r t s b y d e fi n i n g t h e n o n c o m p u t a t i o n a l t o p i c s t h a t h e r s t u d e n t s s h o u l d l e a r n a n d d e s i g n i n g t h e t a s k s a n d a c t i v i t i e s t h a t w o u l d h e l p s t u d e n t s l e a r n t h e m . E v e n t h o u g h s h e f e l t f r e e t o p i c k a n d c h o o s e f r o m t h e o f f e r i n g s i n t h e t e x t a n d e v e n a l t e r s o m e , s h e t r e a t e d t h e i t e m s s e l e c t e d a s t h o u g h t h e y w e r e t h e i d e a s a n d i n t e n t i o n s o f a n e x t e r n a l a u t h o r i t y . I n t h i s w a y , s h e s a w h e r s e l f a s a n i m p l e m e n t o r o f t h e a u t h o r s ' i d e a s a n d i n t e n t i o n s . C a t h e r i n e s a i d t h a t s h e w a s p a y i n g m o r e c a r e f u l a t t e n t i o n t o t h e s u g g e s t i o n s i n t h e m a r g i n s t h a n u s u a l " s o t h a t I c a n t r y t o t e a c h i t t h e w a y t h e b o o k f e e l s i s t h e n e w a p p r o a c h t o m a t h " ( I n t e r v i e w , 1 2 / 7 / 9 2 ) . C o m p e t i n g A g e n d a s A s t h e p r e v i o u s d e s c r i p t i o n s s u g g e s t , C a t h e r i n e ' s a t t e m p t s t o i m p l e m e n t s e l e c t e d a s p e c t s o f t h e t e x t c o n fl i c t e d a t t i m e s w i t h h e r r o l e a s a d v o c a t e o f s t u d e n t s . T h u s , i n i m p l e m e n t i n g t h e t e x t , s h e w a s l e d b y h e r r o l e a s a d v o c a t e t o g u i d e s t u d e n t s t o w a r d s u c c e s s b y t e a c h i n g t h e m w h a t t h e y n e e d e d t o k n o w , p r o v i d i n g t h e m w i t h p r a c t i c e , a n d g u i d i n g t h e m t o t h e c o r r e c t a n s w e r s . D o i n g t h i s r e q u i r e d p a y i n g c l o s e a t t e n t i o n t o t h e i r w o r k o n t h e t a s k a t h a n d . O v e r t i m e , r e c o n c i l i n g t h e s e d u a l r o l e s h a d a n i m p a c t o n h e r ; 1 7 8 i t p r o v i d e d h e r w i t h a v a n t a g e p o i n t t h a t s t i m u l a t e d l e a r n i n g a n d c h a n g e i n h e r i d e a s a b o u t m a t h e m a t i c s a n d i n h e r t e a c h i n g o f i t . T h e s e c t i o n t h a t f o l l o w s e x a m i n e s t h i s p r o c e s s a n d i t s e f f e c t s . E f f e c t s o f C o m p e t i n g O r i e n t a t i o n s o n C a t h e r i n e ' s P r a c t i c e : S i t e s f o r L e a r n i n g O v e r t h e y e a r t h a t I o b s e r v e d C a t h e r i n e , h e r u s e o f t h e t e x t b o o k r e s u l t e d i n c h a n g e s i n h e r t e a c h i n g a n d i d e a s a b o u t m a t h e m a t i c s c o n t e n t a n d p e d a g o g y . S h e b e g a n t o t a l k d i f f e r e n t l y a b o u t h e r m a t h e m a t i c a l g o a l s f o r s t u d e n t s , s h e d r e w o n d i f f e r e n t a s p e c t s o f t h e t e x t , a n d s h e s t r u c t u r e d l e s s o n s i n w a y s t h a t r e fl e c t e d h e r c h a n g i n g s t a n c e . T h e s e c h a n g e s w e r e i n s p i r e d , i n p a r t , b y t h e s u g g e s t i o n s i n t h e t e x t t h a t s h e a d d e d t o h e r t e a c h i n g t h r o u g h o u t t h e y e a r . Y e t , t h e p r o c e s s t h a t f a c i l i t a t e d t h e s e c h a n g e s a n d t h e r o l e t h a t t h e t e x t p l a y e d i n h e r l e a r n i n g w e r e n o t s t r a i g h t f o r w a r d . T h e t e x t p r o v i d e d C a t h e r i n e w i t h t a s k s t o g i v e s t u d e n t s o r s u g g e s t e d t o o l s s h e m i g h t u s e i n h e r t e a c h i n g . H o w e v e r , t h e s e t a s k s a n d t o o l s w e r e n o t t h e o n l y s o u r c e s o f C a t h e r i n e ' s l e a r n i n g a n d c h a n g e . I n h e r d u a l r o l e a s s t u d e n t a d v o c a t e a n d t e x t i m p l e m e n t o r , C a t h e r i n e a n a l y z e d t h e s e t a s k s a n d t h e s t u d e n t s ' w o r k w i t h t h e m i n o r d e r t o m a k e a p p r o p r i a t e a d a p t a t i o n s i n h e r t e a c h i n g . T h i s p r o c e s s o f a n a l y s i s a n d a d a p t a t i o n c r e a t e d s i t e s f o r l e a r n i n g b y f o r c i n g h e r t o r e c o n s i d e r m a n y o f t h e i d e a s s h e h e l d a b o u t t e a c h i n g o r l e a r n i n g m a t h . E x a m i n i n g t h e n a t u r e a n d g e n e r a t i o n o f t h e s e s i t e s i s c r i t i c a l t o u n d e r s t a n d i n g h o w t h e H B J t e x t b o o k c o n t r i b u t e d t o C a t h e r i n e ' s l e a r n i n g . T h e s e s i t e s h a d c o m m o n c h a r a c t e r i s t i c s t h a t w e r e r e l a t e d a n d t h a t s t i m u l a t e d C a t h e r i n e ' s l e a r n i n g : t h e y o c c u r r e d w h e n s h e b e g a n u s i n g r e f o r m - r e l a t e d s u g g e s t i o n s t h a t w e r e f o r e i g n t o h e r . T h e y i n v o l v e d h e r s t u d e n t s ' s t r u g g l e s b e c a u s e o f t h e s e s u g g e s t i o n s , c a u s i n g h e r t o p a y a d d i t i o n a l a t t e n t i o n . T h e r e s u l t s o f t h i s l e a r n i n g c a u s e d C a t h e r i n e t o m a k e c o n n e c t i o n s b e t w e e n a s p e c t s o f t h e r e f o r m s s h e h a d p r e v i o u s l y t r e a t e d i n i s o l a t i o n . 1 7 9 T h e s e s i t e s f o r C a t h e r i n e ' s l e a r n i n g o c c u r r e d i n a p a r t i c u l a r o r d e r t h a t c o r r e s p o n d e d w i t h d i f f e r e n t l a y e r s o f h e r t e a c h i n g . A s t h e f o l l o w i n g d e s c r i p t i o n s r e v e a l , s h e b e g a n b y e n t e r t a i n i n g n e w i n s t r u c t i o n a l i d e a s i n p r o b l e m s o l v i n g , a n a r e a t h a t w a s f a r o u t s i d e c o m p u t a t i o n , w h i c h w a s t h e c o r e o f h e r m a t h e m a t i c s i n s t r u c t i o n . T h e c h a n g e s t h a t r e s u l t e d l e d h e r t o r e e x a m i n e l a y e r s c l o s e r t o t h e c e n t e r o f h e r i n s t r u c t i o n . I n t h e f o l l o w i n g t w o a c c o u n t s , I d e s c r i b e a n d e x p l o r e t h e t w o s i t e s f o r l e a r n i n g t h a t h a d t h e g r e a t e s t i m p a c t . E a c h s i t e w a s p r o m p t e d b y a s p e c i fi c t e x t b o o k c o m p o n e n t i n t o w h i c h a n o t h e r r e f o r m - r e l a t e d i n s t r u c t i o n a l t o o l w a s i n t e g r a t e d . T h e fi r s t , w h i c h p r o v o k e d h e r t o r e e x a m i n e h e r c o n c e p t i o n s o f a n d p u r p o s e f o r p r o b l e m s o l v i n g , o c c u r r e d t h r o u g h h e r u s e o f t h e P r o b l e m o f t h e D a y s u g g e s t i o n s a n d i n v o l v e d t h e u s e o f c a l c u l a t o r s . T h e s e c o n d , w h i c h f o c u s e d h e r a t t e n t i o n o n d e v e l o p i n g s t u d e n t u n d e r s t a n d i n g , o c c u r r e d t h r o u g h h e r u s e o f t h e t e x t b o o k t o t e a c h f r a c t i o n s a n d i n c l u d e d t h e u s e o f v i s u a l m o d e l s . P r o b l e a n S o l v i n g T h e P r o b l e m o f t h e D a y w a s t h e fi r s t t e x t b o o k c o m p o n e n t t h a t s e r v e d t o c r e a t e a l e a r n i n g s i t e f o r C a t h e r i n e , a n d i t w a s t h e fi r s t e l e m e n t o f t h e n e w t e x t b o o k t h a t s h e e m b r a c e d ; t h a t i s s h e a d d e d i t t o h e r d a i l y r o u t i n e r a t h e r t h a n m a k i n g a s i g n i fi c a n t c h a n g e i n h e r m a t h e m a t i c s i n s t r u c t i o n . E v e n t h o u g h h e r s t u d e n t s ' e a r l y e n c o u n t e r s w i t h p r o b l e m s r a i s e d q u e s t i o n s f o r h e r a b o u t t h e i r a p p r o p r i a t e n e s s , h e r c o m m i t m e n t t o t h i s a s p e c t o f t h e r e f o r m s l e d h e r t o c o n t i n u e t o u s e t h e m . A t t h e s a m e t i m e , p r o b l e m s o l v i n g r e m a i n e d p e r i p h e r a l t o t h e c o r e o f h e r m a t h e m a t i c s i n s t r u c t i o n ; s h e d i d n o t i n t e g r a t e i t i n t o h e r r e g u l a r l e s s o n s . T h u s , a d d i n g t h i s p r o b l e m - s o l v i n g a c t i v i t y t o t h e fi r s t 1 0 m i n u t e s o f t h e m o r n i n g d i d n o t r e fl e c t s i g n i fi c a n t c h a n g e i n w h a t w a s c e n t r a l t o h e r i n s t r u c t i o n . O v e r t i m e , h o w e v e r , t h i s a c t i v i t y ' s c o n t r i b u t i o n t o h e r l e a r n i n g h a d a n i m p a c t b e y o n d t h e fi r s t 1 0 m i n u t e s o f t h e s c h o o l d a y . C a t h e r i n e ' s s t r u g g l e s w i t h p r o b l e m s o l v i n g . A s I d e s c r i b e d e a r l i e r , C a t h e r i n e w a s c o m m i t t e d t o p r o b l e m s o l v i n g , b u t s h e a n d h e r s t u d e n t s s t r u g g l e d w i t h t h e 1 8 0 p r o b l e m s o f t h e d a y . T h e t e x t o f f e r e d n o p e d a g o g i c a l g u i d a n c e i n u s i n g t h e m , l e a v i n g C a t h e r i n e f r e q u e n t l y b a f fl e d a b o u t t h e a u t h o r s ' e x p e c t a t i o n s . S h e s a i d : " I s o m e t i m e s w o n d e r h o w t h e y t h i n k c h i l d r e n c o m e t o t h i s c o n c l u s i o n . . . . T h e b o o k d o e s n ' t g o i n t o a l o t o f i d e a s o n h o w t o g e t t h e c h i l d r e n t o c o m e t o t h i s c o n c l u s i o n " ( I n t e r v i e w , 4 / 3 / 9 3 ) . I r o n i c a l l y , i t w a s t h i s f e a t u r e o f t h e t e x t ( p r o v i d i n g t h e t e a c h e r a c o l l e c t i o n o f n o n r o u t i n e p r o b l e m s w i t h n o g u i d a n c e ) t h a t s t i m u l a t e d a c r u c i a l f e a t u r e o f t h e l e a r n i n g s i t e . B e c a u s e i t w a s h e r r o l e t o h e l p s t u d e n t s s o l v e t h e s e p r o b l e m s , C a t h e r i n e f o u n d h e r s e l f e x a m i n i n g t h e m c l o s e l y . S h e b e g a n t o s e e a n d a p p r e c i a t e t h e t y p e o f n o n p r e s c r i p t i v e r e a s o n i n g t h e y c a l l e d f o r . C h a n g e s i n C a t h e r i n e ' s v i e w o f p r o b l e m s o l v i n g . I b e g a n t o n o t i c e c h a n g e s i n t h e w a y C a t h e r i n e t a l k e d a b o u t t h e p r o b l e m s o f t h e d a y d u r i n g m y v i s i t s i n t h e w i n t e r . S h e s e e m e d t o b e m o r e a c c e p t i n g o f t h e m g e n e r a l l y , a n d s h e t a l k e d m o r e a d a m a n t l y a b o u t t h e n e e d f o r s t u d e n t s t o b e a b l e t o s o l v e a r a n g e o f d i f f e r e n t p r o b l e m s : " N o w , p r o b l e m s o l v i n g h a s b e c o m e v e r y i m p o r t a n t t o m e , " s h e c o n f e s s e d d u r i n g o n e o f o u r c o n v e r s a t i o n s ( I n t e r v i e w , 3 / 1 1 / 9 3 ) . T h i s s h i f t i n i t i a l l y s e e m e d s t i m u l a t e d b y i n s t a n c e s i n w h i c h s t u d e n t s w e r e u n a b l e t o s o l v e p r o b l e m s , e v e n w h e n s h e a l l o w e d t h e m t o u s e c a l c u l a t o r s . T h e a c t o f " w a l k i n g " s t u d e n t s t h r o u g h t h e p r o c e s s o f s e l e c t i n g a n d u s i n g a s t r a t e g y a n d t h e n t h i n k i n g a b o u t w h e t h e r t h e i r r e s u l t s w e r e l o g i c a l s t i m u l a t e d C a t h e r i n e ' s r e s p e c t f o r t h e t y p e o f t h i n k i n g r e q u i r e d . T h e f a c t t h a t h e r s t u d e n t s w e r e u n a b l e t o t h i n k t h r o u g h t h i s p r o c e s s , e v e n w h e n t h e y u s e d c a l c u l a t o r s , d e m o n s t r a t e d t h e n e c e s s i t y o f t h e s e a b i l i t i e s ; " T h e m o r e t h e y ' r e w o r k i n g o n t h e p r o b l e m s o l v i n g , t h e m o r e i m p o r t a n t i t ' s b e c o m i n g t o m e . . . . T h e p r e s s u r e i s o n u s t o h e l p t h e m t h i n k t h r o u g h t h e s e k i n d s o f p r o b l e m s " ( I n t e r v i e w , 4 / 3 / 9 3 ) . T h e n a t u r e o f t h e p r o b l e m - s o l v i n g t a s k s p r o v i d e d i n t h e t e x t b o o k a l s o c o n t r i b u t e d t o C a t h e r i n e ' s l e a r n i n g b y c o n f r o n t i n g h e r w i t h p r o b l e m s a p p r e c i a b l y d i f f e r e n t f r o m o t h e r s s h e h a d u s e d o r i m a g i n e d . A s a s t u d e n t a n d a s a t e a c h e r , C a t h e r i n e h a d a l w a y s b e l i e v e d t h a t t h e r e w a s a s i n g l e s o l u t i o n p a t h f o r e a c h p r o b l e m 1 8 1 t h a t n e e d e d t o b e t a u g h t a n d p r a c t i c e d : " W h e n I g r e w u p , i t w a s a l w a y s j u s t a c e r t a i n w a y y o u h a d t o d o i t . T h a t ' s w h a t w e w e r e l e d t o b e l i e v e . W e h a d t o d o i t t h e w a y t h e t e a c h e r d i d i t " ( I n t e r v i e w , 4 / 3 / 9 3 ) . T h e p r o b l e m s i n t h e H B J t e x t t h a t d i d n o t a l w a y s h a v e o b v i o u s s o l u t i o n p a t h s c h a l l e n g e d t h a t v i e w . T h e p r o b l e m s w e r e m u l t i s t e p , a n d m a n y c o u l d b e a p p r o a c h e d i n m u l t i p l e w a y s . M a n y w e r e n o t e a s i l y r e d u c e d t o r e a d i l y s o l v e d e q u a t i o n s . S o l v i n g t h e m i n v o l v e d m o r e t h a n f o l l o w i n g a k n o w n p r o c e d u r e o r a p p l y i n g a f o r m u l a ; i t i n v o l v e d s e l e c t i n g o r d e v e l o p i n g a s o l u t i o n m e t h o d . M a n y o f t h e p r o b l e m s a l s o r e q u i r e d a fl e x i b l e u n d e r s t a n d i n g o f m a t h e m a t i c a l r e l a t i o n s h i p s t h a t C a t h e r i n e h a d n o t d e v e l o p e d . I w a s t h e k i n d o f p e r s o n . . . i f I l e a r n e d a r u l e a n d t h e n y o u a l w a y s g a v e m e a l l t h e s a m e k i n d s o f p r o b l e m s , I w a s s e t . B u t , i f y o u w o u l d j u s t c h a n g e i t s o I h a d t o fi n d , l i k e f o r e x a m p l e , 4 t i m e s 4 i s 1 6 . I f y o u g a v e m e 4 t i m e s 4 , I w o u l d a l w a y s k n o w t h e p r o d u c t . B u t i f y o u g a v e m e 4 t i m e s b l a n k e q u a l s 1 6 , w h e n I w a s y o u n g e r , t h e n t h a t w o u l d h a v e j u s t t h r o w n m e i n t o a b i g t i z z y . ( I n t e r v i e w , 4 / 8 / 9 3 ) C a t h e r i n e r e a l i z e d t h a t m a n y o f t h e P r o b l e m s o f t h e D a y r e q u i r e d fl e x i b l e t h i n k i n g , b u t s h e l a c k e d s t r a t e g i e s f o r h e l p i n g h e r s t u d e n t s d e v e l o p t h i s fl e x i b i l i t y . C a t h e r i n e ' s l i m i t a t i o n s , h o w e v e r , d i d n o t s t o p h e r s t u d e n t s f r o m c r e a t i n g a n d s h a r i n g t h e i r s o l u t i o n s t r a t e g i e s . T h u s , C a t h e r i n e ' s s t u d e n t s a l s o c o n t r i b u t e d t o h e r I e a m i n g . A s m o r e o f t h e m g a i n e d c o n fi d e n c e i n t h e i r o w n p r o b l e m - s o l v i n g a b i l i t i e s , t h e y b e g a n t o o f f e r t h e m t o t h e c l a s s , w h i c h o p e n e d h e r e y e s t o t h e m u l t i p l e w a y s m o s t p r o b l e m s c o u l d b e s o l v e d : W h e n w e w o u l d d o t h e p r o b l e m o f t h e d a y , t h e y w o u l d d o i t , a n d w e ' d t a l k a b o u t i t . A n d t h e n I ' d s h o w t h e m , y o u k n o w , h o w w e g o t t h e a n s w e r t h a t w e g o t o n t h e b o a r d , a n d i n e v i t a b l y I ' d h a v e t w o o r t h r e e k i d s s a y , " T h i s i s w h a t I d i A n d t h e y w o u l d h a v e a d i f f e r e n t w a y o f d o i n g t h a t a n d t h e n s o m e c h i l d r e n w o u l d d o a n e q u a t i o n , a n d s o m e p e o p l e w o u l d d r a w a p i c t u r e . ( I n t e r v i e w , 6 / 2 5 / 9 3 ) I n t r i g u e d , C a t h e r i n e e v e n t u a l l y b u i l t o p p o r t u n i t i e s f o r s t u d e n t s t o s h a r e t h e i r s t r a t e g i e s i n t o t h e d a i l y d i s c u s s i o n o f t h e p r o b l e m o f t h e d a y . S h e c o n t i n u e d t o w a l k t h e m t h r o u g h a n a l g o r i t h m i c a p p r o a c h t o s o l v i n g t h e p r o b l e m , b u t s h e w o u l d a l w a y s f o l l o w w i t h : " D i d a n y o n e s o l v e i t a d i f f e r e n t w a y ? " T h e r e s p o n s e s t o t h i s q u e s t i o n d e m o n s t r a t e d t o 1 8 2 h e r t h a t , i n d e e d , m a n y s t u d e n t s h a d s o l v e d t h e p r o b l e m d i f f e r e n t l y . T h r o u g h t h e s e e x p e r i e n c e s C a t h e r i n e g a i n e d r e s p e c t f o r h e r s t u d e n t s ' s t r a t e g i e s a n d s e e m e d p a r t i c u l a r l y m o t i v a t e d b y t h e i r a b i l i t i e s : " I t h i n k i t ' s k i n d o f n e a t n o w t h a t c h i l d r e n c a n t r y t h e i r o w n w a y " ( I n t e r v i e w , 4 / 3 / 9 3 ) . C a t h e r i n e e n d e d t h e s c h o o l y e a r h a v i n g u n d e r g o n e a c o n s i d e r a b l e s h i f t i n h e r v i e w o f p r o b l e m s o l v i n g , h e r s e n s e o f i t s i m p o r t a n c e , a n d h e r p e r c e p t i o n o f h e r o w n a n d h e r s t u d e n t s ' a b i l i t i e s t o s o l v e p r o b l e m s . T h r o u g h w a t c h i n g h e r s t u d e n t s s t r u g g l e w i t h p r o b l e m - s o l v i n g , a s w e l l a s o b s e r v i n g t h e s t r a t e g i e s a n d a p p r o a c h e s u s e d , C a t h e r i n e g r a d u a l l y i n c r e a s e d t h e v a l u e s h e a t t a c h e d t o i t . I n o u r c o n v e r s a t i o n s l a t e r i n t h e y e a r , s h e p l a c e d p r o b l e m s o l v i n g m o r e a t t h e h e a r t o f w h a t s t u d e n t s n e e d e d t o l e a r n : " I a l w a y s t h o u g h t o f [ p r o b l e m s o l v i n g ] a s g a m e s , f u n - t i m e g a m e s , y o u k n o w . I t ' s n o t i m p o r t a n t . . . . I s e e t h e r e a s o n f o r t h e s e t h i n g s n o w , e v e n t h o u g h t h e r e m a y n o t b e m a t h e m a t i c a l w o r d s i n v o l v e d o r a m a t h e m a t i c a l e q u a t i o n t o s o l v e ; i t s t i l l , i t ' s a t h o u g h t p r o c e s s t h a t ' s i m p o r t a n t i n m a t h " ( I n t e r v i e w , 6 / 2 5 / 9 3 ) . T h i s i n c r e a s e d a p p r e c i a t i o n f o r t h e t h i n k i n g t h a t u n d e r l i e s p r o b l e m s o l v i n g p r o v i d e d a n e w l e n s f o r h e r t o e x a m i n e m a t h e m a t i c a l t a s k s , p a r t i c u l a r l y t h o s e s h e r e m e m b e r e d d o i n g a s a c h i l d : " W h e n I w a s a c h i l d , w e d i d d o p a t t e r n i n g s o m e , b u t I n e v e r c o u l d s e e t h e r e a s o n w h y . . . . I ' m m o r e a w a r e n o w o f i f y o u c a n p a t t e r n , y o u r m i n d i s w o r k i n g i n k i n d o f , i n a m a t h e m a t i c a l w a y t o s e e t h e p a t t e r n " ( I n t e r v i e w , 6 / 2 5 / 9 3 ) . C a t h e r i n e ' s c h a n g i n g v i e w o f t h e r o l e o f c a l c u l a t o r s i n p r o b l e m s o l v i n g . T h e l e a r n i n g C a t h e r i n e e x p e r i e n c e d r e g a r d i n g p r o b l e m s o l v i n g a l s o w a s s t i m u l a t e d b y h e r e x p e r i m e n t a t i o n w i t h a n o t h e r m a t h e m a t i c a l t o o l c l o s e l y a s s o c i a t e d w i t h t h e r e f o r m m o v e m e n t : t h e c a l c u l a t o r . W h e n I fi r s t s p o k e w i t h h e r , s h e m e n t i o n e d t h a t s h e w a s t r y i n g t o u s e c a l c u l a t o r s m o r e i n h e r t e a c h i n g . A s s h e i n c o r p o r a t e d t h e m i n t o m a n y p r o b l e m - s o l v i n g s i t u a t i o n s , s h e b e g a n t o s e e t h e m a s a v i a b l e t o o l . A s h e r i n t e r e s t i n p r o b l e m s o l v i n g i n c r e a s e d , s o d i d h e r e n t h u s i a s m f o r c a l c u l a t o r s . 1 8 3 I n i t i a l l y , C a t h e r i n e ' s t r e a t m e n t o f c a l c u l a t o r s w a s s i m i l a r t o p r o b l e m s o l v i n g . S e e i n g i t a s o n e o f t h e m a n y r e f o r m - r e l a t e d i d e a s t h a t h a d m e r i t , s h e f o l l o w e d t h e s u g g e s t i o n s i n t h e t e x t , b u t n o t w i t h o u t r e s e r v a t i o n s a b o u t s h o r t c h a n g i n g c o m p u t a t i o n . S h e a l s o i n c o r p o r a t e d c a l c u l a t o r s i n t o l e s s o n s a t h e r d i s c r e t i o n , e v e n w h e n n o t r e c o m m e n d e d i n t h e t e x t . O v e r t h e s i x - w e e k o b s e r v a t i o n p e r i o d d u r i n g t h e f a l l , t h e r e w a s a n o t i c e a b l e c h a n g e i n t h e w a y C a t h e r i n e i n c o r p o r a t e d c a l c u l a t o r s i n t o h e r i n s t r u c t i o n a n d i n t h e r a n g e o f u s e s s h e b e l i e v e d t h e y h a d i n a f o u r t h - g r a d e c l a s s r o o m . W h e n I b e g a n v i s i t i n g h e r c l a s s r o o m , s h e h a d t h e s t u d e n t s u s e c a l c u l a t o r s p r i m a r i l y t o c h e c k t h e i r a n s w e r s t o c o m p u t a t i o n p r o b l e m s : W e h a v e a s e t o f c l a s s r o o m c a l c u l a t o r s . . . a n d t h e y ' v e d o n e q u i t e a b i t w i t h a c a l c u l a t o r . N o t , I m e a n y o u k n o w w h e n I s a y q u i t e a b i t I m e a n m o r e t h a n w e w o u l d h a v e d o n e 2 y e a r s a g o . T h e r e a r e t i m e s w h e n I w i l l a s s i g n t h e m a p a g e o r s o m e t h i n g o r g i v e t h e m 1 0 p r o b l e m s , a n d I ' l l l e t t h e m c h e c k , a f t e r t h e y ' v e d o n e t h e w o r k , t h e n I ' l l l e t t h e m u s e t h e c a l c u l a t o r t o c h e c k i t . ( I n t e r v i e w , 1 1 / 9 / 9 2 ) T h i s a p p r o a c h p r o v i d e d a w a y f o r h e r t o r e s p o n d t o t h e p r e s s u r e s h e f e l t t o i n t r o d u c e h e r s t u d e n t s t o t h e s e d e v i c e s w i t h o u t f a c i l i t a t i n g t h e i r d e p e n d e n c e o n t h e m : " I t h i n k t h e h i g h e r m a t h i s w h e r e y o u s h o u l d b e a l l o w e d t o u s e t h e c a l c u l a t o r s , b u t I t h i n k d o w n h e r e t h e y n e e d t o l e a r n , t h e y n e e d t o l e a r n h o w t o d o t h e c o m p u t a t i o n " ( I n t e r v i e w , 1 1 / 1 9 / 9 2 ) . B y t h e e n d o f t h e f a l l d a t a c o l l e c t i o n , C a t h e r i n e h a d b e g u n t o t a l k d i f f e r e n t l y a b o u t t h e r o l e o f c a l c u l a t o r s i n l e a r n i n g m a t h e m a t i c s ; s h e e n c o u r a g e d s t u d e n t s t o u s e t h e m w h e n s o l v i n g c o m p l e x p r o b l e m s o r p e r f o r m i n g o t h e r t a s k s t h a t i n v o l v e d c o m p u t a t i o n i n a p e r i p h e r a l w a y . F o r e x a m p l e , d u r i n g t h e D e c e m b e r 1 0 t h l e s s o n d e s c r i b e d e a r l i e r , s h e g a v e t h e s t u d e n t s t a s k s t h a t i n v o l v e d s o r t i n g a l p h a b e t m a c a r o n i b y l e t t e r a n d r e c o r d i n g t h e f r e q u e n c y o f e a c h . S h e h a d t h e s t u d e n t s u s e c a l c u l a t o r s t o c o n s o l i d a t e d a t a t h e y h a d c o l l e c t e d i n t o a c l a s s c h a r t . C a t h e r i n e p o i n t e d o u t t h a t t h e p u r p o s e o f t h e l e s s o n w a s t o g i v e s t u d e n t s " h a n d s - o n " e x p e r i e n c e g a t h e r i n g d a t a a n d m a k i n g a g r a p h , n o t t w o - d i g i t a d d i t i o n ; t h u s u s i n g c a l c u l a t o r s m a d e s e n s e . S h e a l s o e x p l a i n e d t h a t s h e h a d a l l o w e d s t u d e n t s t o u s e c a l c u l a t o r s t o s o l v e a p r o b l e m o f t h e d a y : 1 8 4 " W e h a d t h i s p r o b l e m o f t h e d a y t o d a y . A n d i t h a d s o m e d i v i s i o n i n i t . S o m e o f t h e c h i l d r e n i n t h e r o o m h a v e h a d d i v i s i o n , b u t t h e m a j o r i t y o f t h e m h a v e n ' t . S o w e u s e d [ t h e c a l c u l a t o r ] . I t ' s l i k e a t h r e e - s t e p p r o b l e m a n d t h e fi r s t s t e p i s d i v i s i o n " ( I n t e r v i e w , 1 2 / 1 7 / 9 2 ) . T h e f o c u s , f o r C a t h e r i n e , s e e m e d t o b e o n h e l p i n g h e r s t u d e n t s fi g u r e o u t h o w t o s o l v e t h e p r o b l e m , n o t o n d i v i s i o n s k i l l s : " I t h i n k , i n c e r t a i n k i n d s o f p r o b l e m s , l i k e t h o u g h t p r o b l e m s , a p r o b l e m t h a t h a s t h r e e s t e p s i n i t , y o u k n o w , t h e n I t h i n k i t ' s v e r y a p p r o p r i a t e t o u s e t h e c a l c u l a t o r s b e c a u s e t h e y h a v e t o k n o w w h i c h p r o c e s s t o u s e " ( I n t e r v i e w , 1 2 / 1 7 / 9 2 ) . H e r e x p a n d i n g v i e w o f p r o b l e m s o l v i n g s e e m e d t o b e a r e s p o n s e t o a n d a n i n i t i a t o r o f c h a n g e s i n h e r p e r c e p t i o n o f t h e r o l e o f c a l c u l a t o r s . C a t h e r i n e ' s c o m m e n t s d u r i n g t h e w i n t e r s u g g e s t e d t h a t h e r v i e w o f c a l c u l a t o r s c o n t i n u e d t o c h a n g e . S h e w a s b e g i n n i n g t o s e e t h a t t h e y a l l o w e d s t u d e n t s t o p a r t i c i p a t e i n p r o b l e m s o l v i n g w i t h o u t n e c e s s a r i l y k n o w i n g a l l t h e m e c h a n i c a l s t e p s o f a r i t h m e t i c : " I ' m b e g i n n i n g t o c h a n g e m y m i n d a b o u t , y o u k n o w , w h e n w e ' v e d o n e p r o b l e m s o l v i n g . I f y o u d o n ' t h a v e t o d o i t w i t h p a p e r a n d p e n c i l , y o u c a n d o i t w i t h t h e c a l c u l a t o r , fi n e ; y o u s t i l l h a v e t o k n o w t h e p r o c e s s t o d o t h e p r o b l e m - s o l v i n g p a r t o f i t " ( I n t e r v i e w , 3 / 1 1 / 9 3 ) . H e r e x p e r i e n c e u s i n g c a l c u l a t o r s a n d e n g a g i n g s t u d e n t s i n c o m p l e x p r o b l e m s d u r i n g t h e p r e c e d i n g m o n t h s h a d l e d h e r t o b e l i e v e t h a t j u s t k n o w i n g h o w t o s o l v e a p r o b l e m w a s a c o m p l e x a b i l i t y t h a t s t u d e n t s n e e d e d t o d e v e l o p . T h e c a l c u l a t o r s , s h e b e l i e v e d , f a c i l i t a t e d t h i s d e v e l o p m e n t : ” W i t h t h e c a l c u l a t o r s , t h e y c a n a t l e a s t d o t h e t h i n k i n g p a r t o f t h e p r o b l e m ” ( I n t e r v i e w , 3 / 1 1 / 9 3 ) . O b s e r v i n g h e r s t u d e n t s ' u s e o f c a l c u l a t o r s a l s o p l a c e d t h e r o l e o f c o m p u t a t i o n i n a d i f f e r e n t l i g h t . S h e b e g a n t o s u s p e c t t h a t c o m p u t a t i o n a l m a s t e r y d i d n o t n e c e s s a r i l y l e a d t o u n d e r s t a n d i n g : " I ' m j u s t t h i n k i n g , " s h e m e n t i o n e d a t t h e e n d o f t h e y e a r , " s o w h a t i f y o u k n o w h o w t o d o a l l t h i s c o m p u t a t i o n . T h a t d o e s n ' t m e a n t h a t y o u ' r e g o i n g t o b e a b l e t o s o l v e p r o b l e m s " ( I n t e r v i e w , 6 / 2 5 / 9 3 ) . B y t h i s p o i n t , C a t h e r i n e s e e m e d t o b e q u e s t i o n i n g t h e s t a n c e s h e h a d t a k e n e a r l i e r i n t h e y e a r w h e n s h e c l a i m e d t h a t c o m p u t a t i o n a l m a s t e r y " s e t s t h e f o u n d a t i o n f o r a n y h i g h e r m a t h " ( I n t e r v i e w , 1 2 / 1 7 / 9 2 ) : 1 8 5 [ W h e n I w a s a c h i l d , ] y o u h a d t o k n o w h o w t o c o m p u t e a n d t h a t w a s t h e m o s t i m p o r t a n t t h i n g . A n d t h e n , s o m e w h e r e , t h e r e w a s a m a g i c t i m e i n y o u r l i f e t h a t y o u w e r e s u p p o s e d t o b e a b l e t o t a k e a l l t h i s i d e a o f t h e c o m p u t a t i o n a n d p u t i t t o w a r d s p r o b l e m s o l v i n g . . . . I n a l g e b r a , I c o u l d n ' t a s s o c i a t e t h e s e e q u a t i o n s a n d h o w t h e y w e r e g o i n g t o s o l v e t h e p r o b l e m s , e v e n t h i n k o f m a y b e w h a t t h e p r o b l e m w a s a b o u t . M a y b e t h a t ' s t h e b e s t t h i n g w i t h p r o b l e m s o l v i n g , e s p e c i a l l y t h e o n e s t h a t d o n ' t d e a l w i t h n u m b e r s , a n d t h a t k i n d o f t h i n g t h a t m a k e s t h e m t h i n k a b o u t h o w c a n I s o l v e t h i s p r o b l e m ? W h a t w o u l d b e a l o g i c a l a n s w e r t o t h a t ? " ( I n t e r v i e w , 6 / 2 5 / 9 3 ) . S e e i n g h e r o w n s t u d e n t s t h i n k t h r o u g h p r o b l e m s g a v e C a t h e r i n e a d i f f e r e n t p e r s p e c t i v e o n h e r e x p e r i e n c e s l e a r n i n g m a t h , a n d i t p r o v o k e d h e r t o r e a s s e s s t h e w a y s h e p r i o r i t i z e d m a t h e m a t i c a l s k i l l s . O b s e r v a t i o n s o f h e r s t u d e n t s ' w o r k o n c a l c u l a t o r s a l s o p r o m p t e d h e r t o s t r e t c h h e r i d e a s a b o u t s t u d e n t l e a r n i n g . S h e d e s c r i b e d a n i n s t a n c e i n w h i c h s h e b e l i e v e d t h a t s o l v i n g p r o b l e m s w i t h c a l c u l a t o r s a c t u a l l y h e l p e d s t u d e n t s b e g i n t o u n d e r s t a n d t h e c o m p u t a t i o n a l p r o c e s s b y s e e i n g w h e n a n d h o w i t a p p l i e d : " T h e y c a n d o t h e p r o c e s s e s t h a t t h e y h a v e n ' t e v e n b e e n t a u g h t p a r t i c u l a r l y . A n d t h e y ' r e g e t t i n g t h e i d e a o f b r e a k i n g i n t o t h e i r d i f f e r e n t g r o u p s [ r e f e r r i n g t o d i v i s i o n ] . . . . T h e y h a v e n ' t r e a l l y b e e n t a u g h t t h e p r o c e s s , b u t t h e y c a n g e t t h e i d e a " ( I n t e r v i e w , 4 / 3 / 9 3 ) . C a t h e r i n e s t i l l f e l t s t r o n g l y t h a t s t u d e n t s n e e d e d t o b e t a u g h t t h e c o m p u t a t i o n a l p r o c e s s e s . B u t , h e r r e s p o n s e t o e x p e r i m e n t i n g w i t h c a l c u l a t o r s i n p r o b l e m - s o l v i n g c o n t e x t s s u g g e s t s t h a t s h e w a s b r o a d e n i n g h e r v i e w s o n h o w s t u d e n t s l e a r n . C a t h e r i n e s a w t h e s e c h a n g e s i n h e r t h i n k i n g a n d t e a c h i n g a s s i g n i fi c a n t , a n d s h e c r e d i t e d t h e m t o s u g g e s t i o n s i n t h e t e x t b o o k : " I t p u t d i f f e r e n t i d e a s i n f r o n t o f m e . . . I t r i e d t h e m , a n d I f o u n d t h a t s o m e o f t h o s e t h i n g s w o r k " ( I n t e r v i e w , 6 / 2 5 / 9 3 ) . S h e b e l i e v e d t h a t t h e t e x t c a l l e d f o r c a l c u l a t o r s m o r e o f t e n i n t a s k s t h a t i n v o l v e d m o r e t h a n b a s i c c o m p u t a t i o n . T h r o u g h u s i n g c a l c u l a t o r s s h e b e g a n t o d e v e l o p h e r o w n i d e a s a b o u t t h e i r v a l u e a s a t o o l a n d a b o u t t h e p r o b l e m s o l v i n g t h e y f a c i l i t a t e d . I n p a r t i c u l a r , s h e b e g a n t o d e v e l o p a v i e w o f m a t h i n t o w h i c h p r o b l e m s o l v i n g w a s i n t e g r a t e d r a t h e r t h a n a n i s o l a t e d t o p i c . 1 8 6 D e v e l o p i n g S t u d e n t U n d e r s t a n d i n g T h e s e c o n d l e a r n i n g s i t e i n i t i a t e d b y t h e t e x t b o o k s t i m u l a t e d c h a n g e i n C a t h e r i n e ' s t e a c h i n g m u c h l a t e r d u r i n g t h e y e a r b u t m u c h c l o s e r t o t h e c o r e o f h e r m a t h e m a t i c s i n s t r u c t i o n . T h e m o t i v a t o r w a s h e r u s e o f i n s t r u c t i o n a l s u g g e s t i o n s i n t h e t e x t b o o k d e s i g n e d t o d e v e l o p s t u d e n t u n d e r s t a n d i n g o f u n d e r l y i n g c o n c e p t s . T h e s e s u g g e s t i o n s h a d b e e n i n t h e m a r g i n s o f t h e t e a c h e r ' s g u i d e i n e a c h c h a p t e r , b u t i t w a s n o t u n t i l m i d y e a r ( a f t e r s h e h a d a l r e a d y s t a r t e d t o r e c o n s i d e r h e r v i e w s o f c a l c u l a t o r s a n d p r o b l e m s o l v i n g ) t h a t s h e b e g a n t o t r y t h e m . I n F e b r u a r y , f o r t h e fi r s t t i m e , s h e f o l l o w e d t h e t e x t ' s s u g g e s t i o n s t o i n c o r p o r a t e m a n i p u l a t i v e s i n t o h e r i n s t r u c t i o n , r e p o r t i n g t h i s i n i t i a l v e n t u r e a s a s u c c e s s . T h e n , i n A p r i l , I o b s e r v e d t h e fi r s t w e e k a n d a h a l f o f a u n i t o n f r a c t i o n s , d u r i n g w h i c h I n o t i c e d s i g n i fi c a n t c h a n g e s i n h e r u s e o f t h e c o n c e p t u a l l y o r i e n t e d s u g g e s t i o n s i n t h e t e a c h e r ' s g u i d e a n d i n t h e w a y s h e s t r u c t u r e d t h e l e s s o n s . T h e s e c h a n g e s r e f o c u s e d h e r l e s s o n s o n d e v e l o p i n g u n d e r s t a n d i n g o f m a t h e m a t i c a l i d e a s , r e fl e c t i n g c h a n g e s i n h e r c o n c e p t i o n s o f l e a r n i n g . P r i o r t o t h e f r a c t i o n u n i t i n t h e s p r i n g , I h a d o b s e r v e d l i t t l e c h a n g e i n t h e w a y C a t h e r i n e u s e d t h e t e x t t o s h a p e h e r d a i l y i n s t r u c t i o n o f n o n c o m p u t a t i o n a l t o p i c s . T h e e m p h a s i s o n c o r r e c t a n s w e r s a n d r e p e a t e d p r a c t i c e p r e d o m i n a t e d a l l b u t o n e o f t h e l e s s o n s I h a d o b s e r v e d e a r l i e r . W h e n I a s k e d h e r a b o u t s u g g e s t i o n s i n t h e m a r g i n s t h a t s h e h a d o m i t t e d , s h e c l a i m e d t h a t m a n y r e q u i r e d e x t r a e q u i p m e n t o r d e m a n d e d m o r e t i m e t h a n s h e c o u l d a f f o r d . O n s e v e r a l o c c a s i o n s , s h e e x p l a i n e d t h a t t h e s u g g e s t e d m a n i p u l a t i v e a c t i v i t i e s w e r e u n n e c e s s a r y b e c a u s e t h e s t u d e n t s d i d n o t " n e e d " t h e m . L a t e r , C a t h e r i n e a l s o a d m i t t e d t h a t a t t e m p t s t o u s e m a n i p u l a t i v e s i n p r e v i o u s y e a r s h a d r e s u l t e d i n d i s o r d e r a n d c o n f u s i o n f o r t h e s t u d e n t s a n d f r u s t r a t i o n f o r h e r : " I c a n g e t r e a l l y r a t t l e d w i t h m a n i p u l a t i v e s . " S h e e x p l a i n e d : S o m e t i m e s w h e n I ' m w o r k i n g w i t h m a n i p u l a t i v e s t h e c h i l d r e n c o u l d s a y s o m e t h i n g t o m e a n d I w o u l d t h i n k , y e a h , t h a t ' s t r u e , a n d I k n o w i t c a n ' t b e . . . . T h e y ' l l s a y s o m e t h i n g a n d b e c a u s e I ' m n o t t h a t f a m i l i a r w i t h w h a t I ' m d o i n g . . . I g e t r e a l fl u s t e r e d b e c a u s e y o u k n o w i t ' s n o t r i g h t a n d t h e n I c a n ' t e x p l a i n . . . . I h a v e n ' t d o n e i t e n o u g h s o t h a t I f e e l r e a l l y c o m f o r t a b l e e n o u g h w i t h i t . ( I n t e r v i e w , 3 / 1 1 / 9 3 ) 1 8 7 I n m i d F e b r u a r y , C a t h e r i n e d e c i d e d t o t r y o n e o f t h e m a n i p u l a t i v e - b a s e d a c t i v i t i e s s u g g e s t e d i n t h e t e x t . S h e f o l l o w e d t h e s u g g e s t i o n a t t h e b e g i n n i n g o f t h e c h a p t e r t h a t i n v o l v e d u s i n g b a s e - 1 0 b l o c k s t o m o d e l t h e c o n c e p t u a l u n d e r p i n n i n g s o f t h e d i v i s i o n a l g o r i t h m ( s e e F i g u r e 5 . 2 ) . A s w i t h p r o b l e m s o l v i n g a n d c a l c u l a t o r s , h e r d e c i s i o n t o u s e t h e s u g g e s t i o n w a s m o t i v a t e d b y h e r c o m m i t m e n t t o i m p l e m e n t i n g t h e t e x t . A s a d v o c a t e o f s t u d e n t s , s h e o b s e r v e d h e r s t u d e n t s ' e n c o u n t e r s w i t h t h e a c t i v i t i e s c l o s e l y , l o o k i n g f o r s i g n s o f c o n f u s i o n o r f r u s t r a t i o n ; s h e d i d n o t fi n d t h e m . R a t h e r , w h e n s h e e x a m i n e d w h a t w a s h a p p e n i n g i n h e r c l a s s r o o m , s h e s a w m a t h e m a t i c a l r e l a t i o n s h i p s a n d p r o c e d u r e s m o r e c l e a r l y . S h e w a s p a r t i c u l a r l y i m p r e s s e d w i t h h o w w e l l t h e b a s e - t e n b l o c k s d e m o n s t r a t e d t h e m a t h e m a t i c a l c o n c e p t u n d e r l y i n g " b r i n g i n g d o w n " t h e n e x t d i g i t o f t h e d i v i d e n d i n t h e d i v i s i o n a l g o r i t h m : W h e n I t a u g h t b r i n g i n g d o w n i n d i v i s i o n a n d I u s e d t h e b l o c k s o f t e n , i t w a s r e a l l y i n t e r e s t i n g . . . . W h a t h a p p e n s h e r e i s y o u h a v e a l o n g t e n a n d t h r e e l i t t l e b l o c k s . S o t h e y b r e a k t h e s e u p a n d t h e y t a k e 1 0 o f t h e i n d i v i d u a l s t o s h o w h o w t h e y g o t t h e 1 3 . . . . S o i t w a s r e a l l y n e a t . T h e y u n d e r s t o o d . I h a d n e v e r d o n e t h a t b e f o r e . ( I n t e r v i e w , 2 / 1 6 / 9 2 ) C a t h e r i n e e n t h u s i a s t i c a l l y r e p o r t e d t h i s i n c i d e n t a s h e r fi r s t s u c c e s s f u l a t t e m p t u s i n g m a n i p u l a t i v e s . S h e w a s p r o u d o f h e r s e l f b e c a u s e s h e h a d c o n f r o n t e d s o m e o f t h e a n x i e t y s h e f e l t a b o u t t h e m . " T h e h a r d e s t p a r t i s m a k i n g y o u r s e l f u s e m a n i p u l a t i v e s w h e n y o u d o n ' t f e e l c o m f o r t a b l e w i t h t h e m . A n d I t h i n k i t ' s g o o d t o h a v e m a d e m y s e l f d o i t " ( I n t e r v i e w , 4 / 3 / 9 3 ) . I t w a s n o t j u s t t r y i n g t h e m a n i p u l a t i v e - b a s e d s u g g e s t i o n t h a t s t i m u l a t e d t h e s i t e f o r C a t h e r i n e ' s l e a r n i n g . O b s e r v i n g h e r s t u d e n t s e n g a g e d w i t h m a n i p u l a t i v e s p r o v i d e d a p e r s p e c t i v e o n t h e i r r o l e i n l e a r n i n g t h a t r e a d i n g t h e t e x t c o u l d n o t p r o v i d e . T h i s e x p e r i e n c e , t o g e t h e r w i t h t h e c h a n g e s s h e h a d b e g u n t o m a k e r e g a r d i n g p r o b l e m s o l v i n g , l e d h e r t o r e c o n s i d e r h e r r e s i s t a n c e t o t i m e — c o n s u m i n g m a n i p u l a t i v e a c t i v i t i e s . B y t h e s p r i n g o b s e r v a t i o n p e r i o d , C a t h e r i n e h a d u s e d s o m e m a n i p u l a t i v e o r m o d e l i n s i x o f t h e s e v e n f r a c t i o n l e s s o n s o b s e r v e d . F o l l o w i n g t h e i n s t r u c t i o n a l s u g g e s t i o n s i n t h e t e x t b o o k , p a r t i c u l a r l y t h o s e i n t h e m a r g i n o f t h e t e a c h e r ' s g u i d e , 1 8 8 l £ 5 5 0 fl D R ‘ G A N I Z ' E R - D I J I C ‘ I ' N I I o u s e p l a c e - v a l u e m a t e r l a l s t o l o r e d l v r s r o n M I T I I I A L S p l a c e - v a l u e m a t e n a l s . ' l a m - I I I ? ! % B a s i c 1 - 2 , 3 - 9 A v a - a g e 1 — 2 . 5 - 9 - A d v a n c e d 1 — 2 . 5 — 9 D m l l l . e m u - e n - R e t e a c h l n g 8 5 - P r a c t l c e 8 5 - E n n c h m e n t 8 . 3 - M o r e P r a c t l c e S t u d e n t H a n d b o o k , D N 6 2 - L l n k s D r o m S o I v m g p S O B - A l t e r n a t e ( e a r n i n g S t r a t e g i e s , 0 C 1 5 P R O B L E M O F T H E D I V . T E D 8 1 2 ‘ C ‘ a r r d ‘ fi i c u r e - k C h e c k . . . . . . . . . . . . . U 5 9 m u l t v p l l c a t l o n t o fi n d t h e q u o t l e n t 1 . 3 4 ‘ 8 ' — ‘ _ _ . ' . l . 2 . 5 7 . 6 : _ ' 3 6 5 - 9 = _ ’ 3 6 ~ S = _ r ' t 7 . . . . . . . . M a v a A T E . . . . . . . . ‘ = " Q C O O P E R A T I V E [ E A R N I N G M a t e r l a l s : p l a c e - v a l u e m a t e n a l s U s e p l a c e - v a l u e m a t e r l a l s t o m o d e l t h e f o l l o w m g p r o b l e m W H B J - T V d o n a t e s 2 7 m e t e r s f o r a t e l e v r s r o n s h o w t o 2 f o u r t h g r a a e c l a s s e s 1 6 e a c h c l a s s r e c e l v e s t h e s a m e n u m b e r o f t l c k e t s . h o w m a n y w r l l e a c h c l a s s g e t ? ‘ 3 " l l / " K . " l - _ : " ' e a : 2 : 5 5 — - 5 1 c 1 5 ' e o a R e a d a b o u t t h e t e l e v m l o n s o u n d s t a g e p r o d u c t l o n . B u l l d l n g U n d e r s t a n d l n n H a v e s t u d e n t s w o r k I n c o o p e r a t l v e g r o u p s t o c o m p l e t e d l s c u s s l o n p v h a v a n a s t u d e n t m o d e l t h e f o l l o w i n g b e m S u p p o s e 3 2 c h l l d r e n ‘ s p r o g r a m s a r e p r o d u c e d o n t h e 3 S O U n d S t a Q e s H o w m a n y p r o g r a m s w l l l b e p r o d u c e d o n e a c h s t a g e ? 1 C p r o g r a m s w m l 2 l e f t a D I V I S I O " . I l - I I - I I - l W H B J - T V p r o d u c e s 5 2 c h i l d r e n : p r o g r a m s p e n : “ o n o n m t h e i r 3 s o u n d s t a g e s . a c E u n d l t a g e c a n h a n d l e t h e u m b e r o f p r o g r a m s . 8 H o w u m a n y p r o g r a m s w i l l b e p r o d u c e d o n e a c h s o u n d s t a D l v l d e . 5 2 - 3 = n 3 1 — 5 2 — — " 0 [ I I I I O fi E I I I E I B u i l d i n g U n d e r s t a n d i n g : U s e p l a c e - v a l u e m a t e r i a l s t o m o d e l t h e p r o b l e m . r d t h e n u m b e r s a s y o u c o m p l e t e e a c h s t e p . S t e p 4 S u p ! P l a c e m s q u d W o l o n u m o o c h d l d o W o w t h e 2 1 0 n d l o t ! o v e r u n l o c m : l 7 0 0 “ . v ' { T S — 2 1 ’ . 3 3 5 — 2 s o o n o n » : i m g 3 - s i 2 2 3 ' 1 7 " . 1 5 . 2 2 ‘ - _ 2 1 0 — 2 1 o n e : U S ” — 1 e — I o n e M > I n S t e p 2 w h y d i d y o u p u t 6 o n l y 1 t e n i n e a c h c i r c l e ? L ‘ g - 4 M w i l l A l “ 1 1 4 . 9 4 4 . ” ! ‘ ' ‘ > W h \ d i d y o u h a w : c t o r e g r o u p t h e 2 f r o m l e f t o v e r ? ’ 1 3 “ . . - r m m e s c h c n c c l ' A M " [ 3 " W h 1 m u s t y o u b r i n g d o v m t h e o n e s b e f o r e y o u c a n d i v i d e a s u n " ' ‘ i n a n a r m » n y o n e ; a v e l n t h e s o l a c e ’ ‘ ' e A f t e « L a h o w m a n y b l o c k s m a r e i n e a c h c i r c l e ? S o , h o w m a n y p r o g r a m s w i l l b e p r o d u c e d o n a n a o u n d n t a x e ? e m s ‘ D I V I D E N D D I S C D V I R V . l A : - . l . ' . ' l ' . c ~ : ‘ I ’ I S U J l D I V I S I O N D R A W ' 1 1 4 ’ " l ' 1 5 . 1 3 , ~ ' , ~ " 1 " M a t e r i a l s : f o r e a c h p a i r o f s t u t u e d n t s — 1 0 i n d e x c a r d s e a c h w i t h a d i v i s i o n e x e r c i s e s u c h a s 3 ' 5 3 ; c a l c u l a t o r ; p l a c e - v a l u e m a t e n a l s W I ! " a p a r t n e r , w o r k W i t h 5 d l g l t s a n d a ‘ l - d l g l t l e l s o r p r o v i d e d [ 7 1 / y o u r t e a c h e r : F u n d a l l p o s y b l e 2 - d l g l r d l v 1 d e n d s m a d e f r o m t h e 5 d l g l t s t h a t c a n w e a 2 - d l g l t 1 . O n e p a r t n e r t a k e s a d w n s n o n c a r d I q u o t l e n t F l n d t h e m o m e n t s a n d a n y a n d fi n d s t h e d u c t - e m ( b u t n o t t h e r e m a t n d e r s r e m a l n d e r l » E x a m l o : 8 , 6 . 3 D r V I S O l ’ , 4 2 . T h e o t h e r p a r t n e r c h e c k s t h e . p l e l S t O n m m a c a l c u l a t o r l f a r m l o n i 3 6 “ 4 = — 1 ’ 1 ' 3 w a s c o r r e c t . n e x t s t u d e n t 2 e s 8 5 v a = 2 0 r } t u r n ; 1 f n o t . s t u d e n t s w o r k t o g e t h e r 5 8 ‘ 4 = — — ‘ 7 w 1 t h p l a c e v a l u e m a t e r i a l s t o fi n d 6 5 + 4 ' — ‘ 5 [ J t h e c o r r e c t d u o e . t 3 . S t u d e n t s c o n t l n d e u n t l l a l l c a r d s a r e N l l m h e ' S e n s : L p o l z e ' P e a s o r l m ' j 2 4 6 - C H A P T E R 8 L E S S O N 8 . 5 F i g u r e 5 . 2 M a n i p u l a t i v e - b a s e d d i v i s i o n a c t i v i t y u s e d b y C a t h e r i n e i n F e b r u a r y ; H B J t e a c h e r s g u i d e , l e s s o n 8 . 3 , p p . 4 6 1 8 9 C a t h e r i n e h a d h e r s t u d e n t s f o l d i n g , s h a d i n g , a n d c u t t i n g p a p e r t o r e p r e s e n t a n d c o m p a r e f r a c t i o n a l p a r t s a n d u s i n g c o u n t e r s t o f i n d d i s c r e t e f r a c t i o n s . I n o u r c o n v e r s a t i o n s , s h e e x p l a i n e d t h a t s u c h e x t e n s i v e u s e o f m o d e l s w a s n e w t o h e r . I n p r e v i o u s y e a r s , s h e h a d n o t i n v o l v e d s t u d e n t s i n c o n s t r u c t i n g t h e i r o w n m o d e l s o f f r a c t i o n s : " I ' v e d o n e t h e f r a c t i o n p i e s a n d t h i n g s l i k e t h a t . U s u a l l y t h e w a y I d o i t i s d r a w o n t h e b o a r d . W i t h t h i s [ r e f e r r i n g t o t h e s u g g e s t i o n s s h e u s e d i n t h e H B ] t e x t ] m y [ t h e s t u d e n t s ] h a v e t o d o t h e m a n i p u l a t i n g . I t h i n k i t m e a n s m o r e t o t h e m t h a n t h e d r a w i n g o n t h e b o a r d " ( I n t e r v i e w 4 / 8 / 9 3 ) . T h e i n c r e a s e i n C a t h e r i n e ' s u s e o f i n s t r u c t i o n a l s u g g e s t i o n s t h a t i n v o l v e d v i s u a l m o d e l s w a s o n l y o n e o f t h e c h a n g e s e v i d e n t i n h e r u s e o f t h e t e x t b o o k i n t h e s p r i n g . O t h e r s u g g e s t i o n s t h a t a l t e r e d t h e w a y s h e i n t e r a c t e d w i t h s t u d e n t s a l s o s t i m u l a t e d h e r l e a r n i n g b y p l a c i n g g r e a t e r e m p h a s i s o n t h e m e a n i n g o f u n d e r l y i n g c o n c e p t s . D u r i n g t h e l e s s o n s I o b s e r v e d i n A p r i l , s h e u s e d a r a n g e o f e x p l o r a t o r y a n d c o n c e p t u a l l y f o c u s e d s u g g e s t i o n s i n t h e i n t r o d u c t o r y p a r t o f t h e l e s s o n s w h i c h s h e t e n d e d t o o m i t d u r i n g e a r l i e r o b s e r v a t i o n s . T h e r e s u l t w a s a c h a n g e i n t h e f o c u s a n d s t r u c t u r e o f h e r l e s s o n s , i n w h i c h m o r e t i m e w a s d e v o t e d t o w h o l e - c l a s s i n s t r u c t i o n a l a c t i v i t i e s a n d l e s s t i m e t o i n d e p e n d e n t p r a c t i c e . D u r i n g t h e i n s t r u c t i o n , C a t h e r i n e s e e m e d c o n c e r n e d t h a t h e r s t u d e n t s c o u l d u n d e r s t a n d a n d v i s u a l i z e c o n c e p t s t a u g h t i n t h e l e s s o n s . S h e e v e n b e g a n t o a d d h e r o w n e l a b o r a t i o n s t o t h e s u g g e s t i o n s i n t h e t e x t , f o c u s i n g m o r e o n u n d e r s t a n d i n g . T h e f o l l o w i n g d e s c r i p t i o n o f t h e l e s s o n C a t h e r i n e t a u g h t o n A p r i l 6 t h , t h e s e c o n d d a y o f t h e u n i t o n f r a c t i o n s , c h a r a c t e r i z e s h e r u s e o f t h e t e x t b o o k i n t h e s p r i n g : A p r i l 6 : A t y p i c a l f r a c t i o n l e s s o n . T h e h o u r l e s s o n w a s d r a w n f r o m p a g e s 3 2 0 a n d 3 2 1 i n t h e t e x t b o o k , e n t i t l e d F r a c t i o n s : P a r t o f a W h o l e . C a t h e r i n e b e g a n w i t h t h e Q u i c k C h e c k o n p a g e 3 2 0 o f t h e t e a c h e r ' s g u i d e , w h i c h r e v i e w e d t h e d i s t i n c t i o n i n t r o d u c e d t h e p r e v i o u s d a y b e t w e e n d i s c r e t e f r a c t i o n s a n d t h o s e t h a t w e r e p a r t o f a w h o l e . " Y e s t e r d a y w e w e r e l o o k i n g a t t h i n g s a n d d e c i d i n g 1 9 0 w h e t h e r a p a r t o f s o m e t h i n g w a s p a r t o f a w h o l e o r p a r t o f a g r o u p , " s h e b e g a n , d i r e c t i n g t h e m t o l o o k a t t h e f i r s t o f t h r e e p i c t u r e s s h e h a d c o p i e d o n t h e b o a r d . " T e l l m e w h e t h e r t h e s h a d e d - i n c i r c l e i s p a r t o f a g r o u p o r p a r t o f a w h o l e . " 1 o o z l fl y ‘ A M A A F i g u r e 5 . 3 Q u e s t i o n s f r o m Q u i c k C h e c k , H B J t e a c h e r s g u i d e , p . 3 2 0 S e v e r a l h a n d s w e n t u p . C a t h e r i n e c a l l e d o n J o s e p h , w h o s a i d : " P a r t o f a w h o l e - n o , I m e a n p a r t o f a g r o u p . " R a t h e r t h a n a f f i r m i n g h i s c o r r e c t a n s w e r , C a t h e r i n e a s k e d a b o u t h i s m i d s t r e a m c h a n g e o f m i n d : C a t h e r i n e : W h y ? W h y d i d y o u c h a n g e y o u r m i n d ? J o s e p h : B e c a u s e t h e y ' r e n o t t o u c h i n g . S h e a c c e p t e d h i s a n s w e r a n d t h e n w e n t o n t o t h e n e x t t w o d i a g r a m s . I n e a c h c a s e , s h e c a l l e d o n s t u d e n t s t o g i v e t h e a n s w e r a n d e x p l a i n w h y . A f t e r t h e y h a d a g r e e d t h a t t h e t h i r d p i c t u r e r e p r e s e n t e d p a r t o f a g r o u p , C a t h e r i n e c o m m e n t e d , i n p a s s i n g , t h a t " i t w o u l d b e h a r d t o p u t t r i a n g l e s i n t o a w h o l e . " I m m e d i a t e l y , s e v e r a l s t u d e n t s b e g a n t o s u g g e s t p o s s i b i l i t i e s , w h i c h s h e a c c e p t e d a n d r e s p o n d e d t o , a l l o w i n g t h e c l a s s t o d i g r e s s f o r s e v e r a l m i n u t e s . O n e s t u d e n t s u g g e s t e d : " Y o u c a n m a k e o n e b i g t r i a n g l e . " A n o t h e r s a i d : " Y o u c a n p u t s o m e u p s i d e d o w n . " C a t h e r i n e a g r e e d t h a t t h e s e w e r e p o s s i b i l i t i e s , b u t s h e i n s i s t e d t h a t i t w o u l d b e h a r d , e s p e c i a l l y w i t h m t r i a n g l e s . T h i s r e s p o n s e p r o m p t e d m o r e s t u d e n t s t o m a k e s u g g e s t i o n s a b o u t h o w t h e fi v e t r i a n g l e s c o u l d b e p u t t o g e t h e r t o b e p a r t o f a w h o l e . S h e d r e w a r e c t a n g l e o n t h e b o a r d a n d f o r s e v e r a l m i n u t e s f o l l o w e d s t u d e n t s ' i n s t r u c t i o n s f o r d i v i d i n g i t i n t o t r i a n g l e s . A f t e r s e v e r a l a t t e m p t s t h a t p r o d u c e d o n l y e v e n n u m b e r s o f t r i a n g l e s o r t r i a n g l e s o f d i f f e r e n t s i z e s , C a t h e r i n e s u g g e s t e d t h a t i t m i g h t n o t b e p o s s i b l e t o g e t f i v e t r i a n g l e s t h a t w e r e " a l l t h e s a m e s i z e . " S h e t h e n d i r e c t e d t h e c l a s s b a c k t o t h e t h r e e p i c t u r e s o n t h e b o a r d . E v e n t h o u g h t h e y h a d c o m p l e t e d t h e a c t i v i t y s u g g e s t e d i n t h e t e a c h e r ' s g u i d e , C a t h e r i n e c o n t i n u e d w i t h a s e t o f q u e s t i o n s o f h e r o w n , w h i c h i n v o l v e d t e l l i n g w h i c h p a r t o f t h e f r a c t i o n w a s s h a d e d a n d w h i c h p a r t w a s n o t s h a d e d . A t f i r s t , t h e s t u d e n t s h a d s o m e d i f f i c u l t y w i t h t h i s n e w t a s k . C a t h e r i n e a n d t h e c l a s s s p e n t s e v e r a l m i n u t e s r e v i e w i n g h o w t o i d e n t i f y f r a c t i o n a l p a r t s . 1 9 1 F o r e x a m p l e , w h e n M a u r a s a i d t h a t o n e t h i r d o f t h e f i r s t fi g u r e w a s n o t s h a d e d , C a t h e r i n e r e m i n d e d h e r : " K e e p i n m i n d , h o w m a n y t h i n g s w e r e t h e r e i n t h e w h o l e g r o u p ? " M a u r a : F o u r . C a t h e r i n e : S o t h e d e n o m i n a t o r h a s t o b e » ? M a u r a : F o u r . S h e t h e n a s k e d M a u r a h o w m a n y w e r e n o t c o l o r e d i n t o a r r i v e a t t h e f r a c t i o n t h r e e f o u r t h s . O n c e t h e c l a s s h a d a g r e e d t h a t t h e n a m e s o f t h e f r a c t i o n a l p a r t s s h a d e d a n d n o t s h a d e d i n t h e t h i r d p i c t u r e , a n d C a t h e r i n e h a d w r i t t e n g - a n d " 5 ? : o n t h e b o a r d , s h e a l l o w e d a n o t h e r s t u d e n t - i n i t i a t e d q u e s t i o n t o d i v e r t t h e i r p r o g r e s s t h r o u g h t h e l e s s o n . L o o k i n g a t t h e t w o f r a c t i o n s , E r i n a s k e d : " H o w c a n y o u a d d t h e m ? " " T h i s i s a g o o d q u e s t i o n , " C a t h e r i n e t o l d t h e c l a s s . " T h i s i s a q u e s t i o n b e f o r e i t s t i m e , b u t w e m i g h t a s w e l l a n s w e r i t . " S h e d r e w t h e s t u d e n t s ' a t t e n t i o n t o t h e p i c t u r e o f t h e g r o u p a n d r e i t e r a t e d t h a t t w o o f t h e fi v e t h i n g s w e r e s h a d e d , w h e r e a s t h r e e o f t h e fi v e t h i n g s w e r e n o t . " H o w m a n y t r i a n g l e s a r e i n t h e g r o u p ? " s h e a s k e d . T h e s t u d e n t s a g r e e d t h a t t h e r e w e r e fi v e . C a t h e r i n e t h e n e x p l a i n e d t h a t t h e y c o u l d d e t e r m i n e f o r s u r e b y a d d i n g t h e t o p n u m b e r s . " O n l y t h e t o p n u m b e r s , " s h e r e i t e r a t e d , " b e c a u s e y o u ' r e s t i l l t a l k i n g a b o u t a g r o u p o f w h a t ? " I n u n i s o n , s e v e r a l s t u d e n t s a n s w e r e d " fi v e . " C a t h e r i n e t h e n e x p l a i n e d t h a t s u b t r a c t i o n w o u l d w o r k t h e s a m e w a y ; t h a t i s , y o u o n l y s u b t r a c t t h e t o p n u m b e r s b e c a u s e y o u a r e s t i l l t a l k i n g a b o u t a g r o u p o f fi v e . S h e d e m o n s t r a t e d h o w t o s u b t r a c t g f r o m ; a n d c o v e r e d u p t w o o f t h e fi v e t r i a n g l e s t o s h o w t h a t t h e r e w e r e t h r e e l e f t . T h e c l a s s h a d w o r k e d o n t h e Q u i c k C h e c k a c t i v i t y a n d C a t h e r i n e ' s a d d i t i o n a l t a s k s f o r a p p r o x i m a t e l y 1 0 m i n u t e s b e f o r e t h e y m o v e d o n t o t h e n e x t t a s k , w h i c h w a s d r a w n f r o m t h e M o t i v a t e s u g g e s t i o n i n t h e t e a c h e r ' s g u i d e . T h e t a s k i n v o l v e d f o l d i n g s t r i p s o f p a p e r i n t o p a r t s , s h a d i n g s o m e o f t h e p a r t s w i t h t w o d i f f e r e n t c o l o r s , a n d u s i n g t h e m o d e l s t o i d e n t i f y v a r i o u s f r a c t i o n s . C a t h e r i n e p o s e d e a c h o f t h e q u e s t i o n s s u g g e s t e d i n t h e t e a c h e r ' s g u i d e a n d f o l l o w e d e a c h s t u d e n t a n s w e r w i t h a b r i e f e x p l a n a t i o n . A f t e r a p p r o x i m a t e l y 8 m i n u t e s , C a t h e r i n e i n s t r u c t e d t h e s t u d e n t s t o p u t a s i d e t h e s e p a p e r s a n d t u r n t o p a g e 3 2 0 i n t h e i r t e x t s . S h e t h e n p r o c e e d e d t o i n t r o d u c e t h e m t o t h e c e n t r a l t o p i c o f t h e l e s s o n b y l e a d i n g t h e m t h r o u g h t h e i n f o r m a t i o n a n d q u e s t i o n s o n t h e i n s t r u c t i o n a l p a g e i n t h e i r t e x t s . S h e r e a d a l o u d t h e t i t l e , F r a c t i o n s : P a r t o f a W h o l e , a n d r e m i n d e d t h e m t h a t t h e s e w e r e 1 9 2 f r a c t i o n s w i t h t h e i r p a r t s t o u c h i n g . T h e n s h e r e a d t h e s e n t e n c e s a t t h e t o p o f t h e p a g e t h a t t o l d a b o u t t h r e e c h i l d r e n s h a r i n g a p i z z a e q u a l l y a n d t h e n p r o c e e d e d t o a s k t h e q u e s t i o n s t h a t f o l l o w e d . T h e s t u d e n t s h a d l i t t l e d i f fi c u l t y e x p l a i n i n g w h y % i s o n e d i v i d e d b y t h r e e o r i d e n t i f y i n g f r a c t i o n s f r o m s h a d e d d r a w i n g s o n t h e p a g e . T h e o n l y q u e s t i o n t h a t p o s e d s o m e d i f fi c u l t y w a s t h e l a s t : H o w m a n y e i g h t h s a r e i n o n e w h o l e ? A t fi r s t M a u r a s a i d t h a t s h e t h o u g h t o n e e i g h t h w a s i n o n e w h o l e , b u t C a t h e r i n e r e m i n d e d h e r o f t h e p i z z a t h e y h a d t a l k e d a b o u t e a r l i e r i n w h i c h t h r e e t h i r d s w e r e i n t h e w h o l e . O n c e M a u r a p r o d u c e d t h e c o r r e c t , a n s w e r C a t h e r i n e w r o t e o n t h e b o a r d : 3 4 m 3 4 1 0 0 S h e r e i t e r a t e d : " W h e n e v e r y o u h a v e a f r a c t i o n w h o s e n u m e r a t o r i s t h e s a m e t h i n g a s t h e d e n o m i n a t o r y o u a r e t a l k i n g a b o u t - ? " S e v e r a l s t u d e n t s fi l l e d i n t h e b l a n k s h e l e f t a t t h e e n d o f h e r s e n t e n c e b y s a y i n g " . " O n e w h o l e . " R a t h e r t h a n m o v i n g t h e c l a s s o n t o t h e n e x t p a g e i n t h e t e x t , w h i c h c o n t a i n e d p r a c t i c e e x e r c i s e s , C a t h e r i n e i n t r o d u c e d a t a s k o f f e r e d i n t h e m a r g i n o f t h e t e a c h e r ' s g u i d e u n d e r t h e h e a d i n g M e e t i n g I n d i v i d u a l N e e d s . T h e i n s t r u c t i o n s , w h i c h s h e h a d a l r e a d y w r i t t e n o n t h e b o a r d , d i r e c t e d t h e s t u d e n t s t o f o l d a p a p e r c i r c l e i n t o e i g h t e q u a l p a r t s a n d s h a d e s o m e o n e c o l o r , s o m e a n o t h e r c o l o r , a n d l e a v e s o m e u n s h a d e d . S t u d e n t s w e r e t h e n t o w r i t e f o u r q u e s t i o n s a b o u t t h e i r c i r c l e t h a t c o u l d b e a n s w e r e d w i t h a f r a c t i o n . C a t h e r i n e g a v e t h e s t u d e n t s a p p r o x i m a t e l y 8 m i n u t e s t o f o l d , c o l o r , a n d w r i t e t h e i r q u e s t i o n s b e f o r e s h e i n s t r u c t e d t h e m t o g i v e t h e i r q u e s t i o n s t o a f r i e n d t o a n s w e r . W h e n C a t h e r i n e c a l l e d t h e c l a s s b a c k t o g e t h e r , s h e r e a d a l o u d s e v e r a l s t u d e n t s ' q u e s t i o n s w i t h t h e a n s w e r s t h a t w e r e g i v e n f o r t h e c l a s s t o d i s c u s s . W i t h t h i s c o m p l e t e d , C a t h e r i n e i n s t r u c t e d t h e c l a s s t o d o t h e e x e r c i s e s o n p a g e 3 2 1 , w h i c h i n v o l v e d i d e n t i f y i n g f r a c t i o n a l p a r t s o f fi g u r e s . B e c a u s e t h e y h a d o n l y 8 m i n u t e s o f m a t h c l a s s r e m a i n i n g , s h e t o l d t h e m t h a t t h e y w o u l d n e e d t o fi n i s h t h e p a g e f o r h o m e w o r k . ( O b s e r v a t i o n , A p r i l 6 , 1 9 9 3 ) C h a n g e s i n C a t h e r i n e ' s u s e o f t h e H B I t e x t b o o k . C o m p a r e d t o t h e l e s s o n s d e s c r i b e d e a r l i e r , t h i s l e s s o n r e p r e s e n t s s e v e r a l s i g n i fi c a n t c h a n g e s i n t h e s t r u c t u r e a n d e m p h a s i s o f C a t h e r i n e ' s i n s t r u c t i o n r e l a t e d t o h e r u s e o f t h e t e x t . A s t h e d a t a i n d i c a t e , t h e t e x t b o o k c o n t i n u e d t o p l a y a c e n t r a l r o l e i n C a t h e r i n e ' s i n s t r u c t i o n ; i t s t i l l d e fi n e d t h e 1 9 3 t o p i c s s h e t a u g h t , a n d s h e c o n t i n u e d t o r e l y o n e a c h t w o - p a g e s p r e a d t o s h a p e m o s t l e s s o n s . T h e d i f f e r e n c e s w e r e i n t h e t y p e s o f i t e m s s h e s e l e c t e d f r o m t h e t e x t a n d h o w s h e u s e d t h e m t o s t r u c t u r e h e r l e s s o n s . S h e s e l e c t e d m o r e c o n c e p t u a l l y o r i e n t e d t a s k s , a n d s h e o r d e r e d t h e a c t i v i t i e s i n t h e l e s s o n s t o d e v o t e m o r e t i m e t o c o n c e p t u a l d e v e l o p m e n t . O n A p r i l 6 t h , C a t h e r i n e s p e n t t h e fi r s t 1 0 m i n u t e s o f t h e l e s s o n o n t h e Q u i c k C h e c k a c t i v i t y , f o l l o w e d b y a n o t h e r 8 o n t h e M o t i v a t e a c t i v i t y . B o t h a c t i v i t i e s i n v o l v e d u s i n g o r m a k i n g f r a c t i o n m o d e l s , a n d s h e a d d e d h e r o w n e l a b o r a t i o n s t o b o t h . T h i s w a s t y p i c a l o f t h e s p r i n g l e s s o n s . C a t h e r i n e b e g a n f o u r o f t h e s e v e n l e s s o n s w i t h t h e Q u i c k C h e c k a n d M o t i v a t e a c t i v i t i e s s u g g e s t e d i n t h e t e x t , a n d s h e b e g a n a fi f t h l e s s o n w i t h o n l y t h e M o t i v a t e a c t i v i t y . M a n y o f t h e s e a c t i v i t i e s i n v o l v e d m a n i p u l a t i n g c o u n t e r s , f o l d i n g a n d c u t t i n g p a p e r t o m a k e f r a c t i o n m o d e l s , w r i t i n g q u e s t i o n s , e x c h a n g i n g p a p e r s w i t h a p a r t n e r , a n d h a v i n g s t u d e n t s g o t o t h e f r o n t o f t h e r o o m . A s s h e d i d o n A p r i l 6 t h , C a t h e r i n e r e g u l a r l y e x t e n d e d t h e s e a c t i v i t i e s b e y o n d w h a t w a s s u g g e s t e d i n t h e t e a c h e r ' s g u i d e , a s k i n g s t u d e n t s a d d i t i o n a l q u e s t i o n s , c r e a t i n g p i c t u r e s o r i n v e n t i n g s i t u a t i o n s t o i l l u s t r a t e t h e f r a c t i o n s i n v o l v e d , o r a l l o w i n g r e l a t e d d i g r e s s i o n s t o d i v e r t c l a s s a t t e n t i o n f r o m t h e i m m e d i a t e t a s k a t h a n d . U n l i k e h e r t e n d e n c y t o s t a y a w a y f r o m s u c h t i m e - c o n s u m i n g a c t i v i t i e s i n t h e f a l l a n d w i n t e r , C a t h e r i n e s e e m e d t o h a v e l i t t l e h e s i t a t i o n a b o u t s p e n d i n g m o r e t h a n o n e t h i r d o f a m a t h l e s s o n o n t h e s e a c t i v i t i e s d u r i n g t h e s p r i n g . T a b l e 5 . 6 i n d i c a t e s t h e s u g g e s t i o n s s h e d r e w f r o m t h e t e x t d u r i n g t h e s p r i n g l e s s o n s . C a t h e r i n e ' s i n c r e a s e d u s e o f c o n c e p t u a l l y o r i e n t e d a c t i v i t i e s f r o m t h e t e x t b o o k c o n t r i b u t e d t o c h a n g e s i n t h e w a y s h e s t r u c t u r e d h e r l e s s o n s . T h e s t r u c t u r e o f h e r l e s s o n s i n t h e f a l l a n d w i n t e r ( b r i e f i n s t r u c t i o n , f o l l o w e d b y a h e a l t h y a m o u n t o f i n d e p e n d e n t p r a c t i c e , a n d c l o s e d w i t h a s h o r t r e v i e w ) u n d e r w e n t c o n s i d e r a b l e r e v i s i o n d u r i n g t h e f r a c t i o n u n i t i n t h e s p r i n g . E v e n t h o u g h t h e s a m e l e s s o n c o m p o n e n t s w e r e e v i d e n t ( i n s t r u c t i o n , p r a c t i c e , a n d r e v i e w ) , C a t h e r i n e o r g a n i z e d a n d t r e a t e d t h e m s e o s l t d t d d n n g a a e n i n r / s a s u t g p p p i i a s s l c n l r o e a i s t o s e r d n s t c l o n s r r e t s s n r o i r o o r r t r u f e e t n e y y e c p p o h a a s r a a a u p o a t P P e C P f f c o r r r c O r - v ' o d c l a r n o o f i t s e s u s m e a l r g f n a o t t c n e i t i r e h t P C f O - ~ p u a o l o e r g r n e i d s r e t n n ) o 8 - y 1 t ( i 1 ) v 9 2 9 3 2 g n i k ) a n M o l l l l n s i o e t g c 1 3 1 3 ( i a a 3 t - - - 6 . 5 e l b a T d c 0 6 2 5 8 9 a . 1 a e 2 2 2 2 e 2 p e p s 3 3 3 3 3 n u t r n o , n t 8 o s s s s s p s e l e e e e 1 c e c e m g p g g g g d 3 x e e x a a a a a u . e h t P E P P P P t p ( t I s o - - ~ ~ o s u ) e d g a r e r l f t e e p / d e ( e v a i e d h n k ) L k i / g o k s i u k c n d c a c m c G o e e c r i d e e s e u g n e i e e v a s h e t c t s ' a c c C a b t h t t h h e i e e h u r r C t n a a c a a ( ( e o a k v a v v a k h h v h k s i e i i h b N N c v k h v c c c i c c m t t t t c a c c i i a a t a i e o o o e i t a u e e o e u a l l I i d t M M M R u o e Q T e a Q T M T e M M u I M r o o o ~ o ~ o o o o - Q T Q T a a r r n n e e t t s e e g g l l n o i f f n n b b a a o o i i v v m m t u u d d i i c a t r a n a n n u u i i q q N N r a a F F E E F P P f f : : : : g : : o o n i r : o s s n n o o g g g g s s n n n n n n n n i i i i o o o o i i e p i i i i r r r r , t t t t o o o o t l t u “ l P p O x c c o o l l l c l c c c a a p p p a p a a a r r x x x r r r r x h r T E E F E F E F F W G F F E s e / g n a 9 1 3 5 1 2 2 2 o d e r o p / / 3 3 s 1 2 - - s . 8 . 0 t x e e 3 3 - - - 4 4 6 / / / / 6 2 . 4 . 5 . 8 / 9 / 3 0 0 1 0 2 2 0 2 0 2 0 2 0 2 L t 3 1 1 3 1 1 1 1 3 3 3 3 1 3 e t a 5 D / 6 / 4 4 3 1 / 4 4 f 7 4 / 8 4 / 1 2 4 / 1 4 o P a g e s 3 2 4 - 3 2 5 ( M a k i n g t h e c o n n e c t i o n ) p a r t s - P a p e r s t r i p s a n d c r a y o n s o C o u n t e r s 0 C o u n t e r s 1 9 4 1 9 5 d i f f e r e n t l y . R a t h e r t h a n b e g i n n i n g e a c h l e s s o n w i t h i n s t r u c t i o n a l a c t i v i t i e s f r o m t h e s t u d e n t p a g e , s h e b e g a n a l l b u t t h e fi r s t l e s s o n w i t h a r e v i e w o f t h e w o r k t h e y h a d d o n e t h e p r e v i o u s d a y . M o s t o f t h e s e r e v i e w a c t i v i t i e s o r i g i n a t e d f r o m t h e s u g g e s t i o n s i n t h e m a r g i n o f t h e t e a c h e r ' s g u i d e l a b e l e d Q u i c k C h e c k . T h e t a s k s u n d e r t h i s h e a d i n g w e r e d e s i g n e d t o t o u c h o n p r e v i o u s l y t a u g h t c o n c e p t s r e l e v a n t t o t h e l e s s o n a t h a n d . B e g i n n i n g w i t h t h e m f a c i l i t a t e d t h e f o r g i n g o f c o n n e c t i o n s b e t w e e n l e s s o n s f r o m o n e d a y t o t h e n e x t , w h i c h I d i d n o t o b s e r v e i n t h e f a l l o r w i n t e r . E v e n t h o u g h I d i d n o t o b s e r v e l e s s o n s o n c o n s e c u t i v e d a y s u n t i l A p r i l , t h i s w a s t h e fi r s t t i m e t h a t I o b s e r v e d C a t h e r i n e l i n k i n g i d e a s f r o m a p r e v i o u s l e s s o n t o t h e p r e s e n t . A n o t h e r f a c t o r t h a t c o n t r i b u t e d e v e n f u r t h e r t o t h e c o n c e p t u a l f l o w a m o n g t h e l e s s o n s i n t h e s p r i n g w a s t h e a m o u n t o f t i m e C a t h e r i n e s p e n t o n t h e r e v i e w p o r t i o n o f t h e l e s s o n s . S h e s p e n t a s m u c h a s o n e f o u r t h o f t h e f r a c t i o n l e s s o n o n r e v i e w t a s k s , w h i c h w a s s t i m u l a t e d b y s u g g e s t i o n s i n t h e t e a c h e r ' s g u i d e b u t w h i c h s h e e x t e n d e d b y c r e a t i n g m o r e q u e s t i o n s . T h e Q u i c k C h e c k w i t h w h i c h C a t h e r i n e o p e n e d t h e A p r i l 6 t h l e s s o n , d e s c r i b e d a b o v e , i s a n e x a m p l e o f s u c h a r e v i e w . S h e d e v o t e d 1 0 o f t h e 6 0 - m i n u t e l e s s o n t o q u e s t i o n i n g s t u d e n t s a b o u t t h e t h r e e f r a c t i o n d i a g r a m s . A f t e r t h i s r e v i e w p o r t i o n , C a t h e r i n e w o u l d m o v e i n t o i n s t r u c t i o n a i m e d a t i n t r o d u c i n g s t u d e n t s t o p a r t i c u l a r c o n c e p t s , p r o c e d u r e s , o r i d e a s . T h i s p o r t i o n o f C a t h e r i n e ' s f r a c t i o n l e s s o n s a l s o h a d a d i f f e r e n t fl a v o r t h a n t h o s e o b s e r v e d e a r l i e r i n t h e y e a r . S h e d e v o t e d m o r e l e s s o n t i m e t o i n s t r u c t i o n ( a n a v e r a g e o f a p p r o x i m a t e l y 6 0 % p e r l e s s o n c o m p a r e d t o m o r e t h a n 3 0 % i n t h e f a l l a n d w i n t e r ) , a n d t h e i n s t r u c t i o n a l a c t i v i t i e s o f t e n i n v o l v e d a s m u c h e x p l o r a t i o n a s d i r e c t i n s t r u c t i o n . T h e s e a c t i v i t i e s w e r e d e s i g n e d t o l e a d t h e s t u d e n t s t o r e a l i z i n g p a r t i c u l a r c o n c e p t s o r r e l a t i o n s h i p s . C a t h e r i n e ' s r o l e d u r i n g e x p l o r a t i o n a c t i v i t i e s w a s t o g u i d e s t u d e n t s t o m a k e o b s e r v a t i o n s a n d t o d r a w c o n c l u s i o n s r a t h e r t h a n t o t e l l o r s h o w s p e c i fi c f a c t s o r s t e p s . O f t e n , b u t n o t a l w a y s , t h e a c t i v i t i e s o r i e n t e d t o w a r d e x p l o r a t i o n w e r e i n t h e m a r g i n s o f t h e t e a c h e r ' s g u i d e - n o t o n t h e s t u d e n t p a g e . C a t h e r i n e u s e d a n e x p l o r a t i o n a c t i v i t y e a c h d a y t h a t I o b s e r v e d 1 9 6 e x c e p t o n e . A s s h e d i d o n A p r i l 6 t h , s h e o f t e n t o o k a d v a n t a g e o f o p p o r t u n i t i e s t h a t a r o s e t o e x t e n d t h e e x p l o r a t i o n s p o n t a n e o u s l y . C a t h e r i n e ' s u s e o f t h e p r a c t i c e p o r t i o n o f h e r l e s s o n s a l s o u n d e r w e n t q u a l i t a t i v e a n d q u a n t i t a t i v e c h a n g e s i n A p r i l . D u r i n g t h e f a l l a n d w i n t e r , p r a c t i c e p l a y e d a c e n t r a l r o l e , t a k i n g , o n a v e r a g e , h a l f o f e a c h l e s s o n . E v e n t h o u g h s h e c o n t i n u e d t o u s e e x e r c i s e s f r o m t h e s t u d e n t t e x t b o o k d u r i n g t h e s p r i n g , s h e d e v o t e d c o n s i d e r a b l y l e s s t i m e t o p r a c t i c e t h a n s h e h a d e a r l i e r i n t h e y e a r . T h e n a t u r e o f t h e p r a c t i c e c h a n g e d a s w e l l . S h e d e v o t e d l e s s t i m e t o i n d e p e n d e n t p r a c t i c e , d u r i n g w h i c h t h e s t u d e n t s w o r k e d i n d i v i d u a l l y o n a p a r t i c u l a r t a s k , t h a n e a r l i e r i n t h e f a l l . S h e a s s i g n e d s t u d e n t s a t a s k t o c o m p l e t e i n d i v i d u a l l y o n o n l y t h r e e o c c a s i o n s a c r o s s t h e s e v e n l e s s o n ; t h e l o n g e s t o f t h e s e t o o k 1 4 m i n u t e s . D u r i n g t h e f a l l , s t u d e n t s s p e n t a s m u c h a s 3 7 m i n u t e s ( t w o t h i r d s ) o f a l e s s o n i n v o l v e d i n i n d e p e n d e n t p r a c t i c e . T a b l e s 5 . 7 a n d 5 . 8 d i s p l a y t h e s t r u c t u r e a n d f o r m a t o f C a t h e r i n e ' s l e s s o n s i n t h e S p r i n g . T a b l e 5 . 9 c o m p a r e s a p p r o x i m a t e a m o u n t s o f l e s s o n t i m e d e v o t e d t o e a c h t y p e o f a c t i v i t y d u r i n g t h e t h r e e r o u n d s o f d a t a c o l l e c t i o n . T a b l e 5 . 9 fi t t e r n s i n I n s t r u c t i o n a n _ d F o r m _ a t o f C a t h e r i n e ' s L e s s o n s O b s e r v e d A c r o s s t h e Y e a D a t a N u m b e r o f A v e r a g e p e r c e n t a g e o f t i m e s p e n t o n : c o l l e c t i o n l e s s o n s R e v i e w D i r e c t E x p l o r a t i o n P r a c t i c e p e r i o d o b s e r v e d i n s t r u c t i o n i n s t r u c t i o n F a l l / W i n t e r 1 9 9 2 / 9 3 6 8 % 3 1 % 9 % 5 1 % S p r i n g 1 9 9 3 7 8 % 3 2 % 2 9 % 3 1 % A n o t h e r d i f f e r e n c e i n C a t h e r i n e ' s t e a c h i n g o f t h e f r a c t i o n u n i t t h a t c o n t r i b u t e d t o h e r u s e o f t h e t e x t w a s t h a t i t w a s t h e fi r s t c h a p t e r t h a t s h e t a u g h t u n p a i r e d w i t h a n o t h e r . A l l t h e n o n c o m p u t a t i o n a l u n i t s , t o t h a t p o i n t , h a d b e e n p a i r e d w i t h c o m p u t a t i o n a l t o p i c s . B y t h i s t i m e , s h e h a d s a t i s f a c t o r i l y c o v e r e d e a c h o f t h e f o u r 3 7 6 5 f f o o . . n n i i m m 2 3 8 0 1 1 3 4 s s s s s s s t n e d a a a s l l l a n c c c l e c p t e e e e n d l l l e e m o n o o l h i h h o g w w w / / h w e s s s s s s t t s s s s t t s s s s s n s s s n n s d n n / p u o s s s s f a a a a a e a a a e e a n a a o d d d a l l l l l l l l l l l r e e c d d c c c c c c c c g c c n n n t s n n e e e e e e e e e e E g e e e a m r l l l l l l l l l e e e e e p u l l l o o o o o o o d d d d d o o o o o o o n h n h h h h h h h h n n n r h h h F W W W I I W I I W W W I W W G W W W t n e m e c i t c a g r e s f o e r u t a N 7 . 5 e l b a T p / n o i t c u r t s n I s e s i n t : o i t i v n t i e c t a c - 1 2 3 . m p r a g f e n s o o n o t i t n c o a n o k r s o i r s f w t e c L u f d o n e i t n o r d t c i p t l i n r o I F W o . T 1 . . 2 6 e l o h : w a s n o n f o o i : : t s 1 2 c t s . . a r e 0 0 r a L F P 1 1 e t a 5 / D 4 6 / 4 7 / 4 2 3 1 1 / / 4 4 E x p l o r i n g F r a c t i o n s 1 . R e v i e w o f f r a c t i o n s 3 . I n s t r u c t i o n : P a r t s o f w h o l e 4 . O r a l w o r k o n p . 3 2 0 5 . W r i t i n f r a c t i o n u e s t i o n s 4 / 8 1 0 . 3 : F r a c t i o n s : P a r t o f a g r o u p 1 . N a m i n f r a c t i o n a l a r t s n o t s h a d e d 2 . N a m i n f r a c t i o n a l a r t s o f r o u u s i n s t u d e n t s 3 . I n t r o d u c t i o n t o p . 3 2 2 4 . W r i t t e n w o r k o n p . 3 2 2 5 O r a l n a m i n o f f r a c t i o n s 6 . W r i t t e n w o r k o n p . 3 2 3 l 2 3 l . I d e n t i f i n f r a c t i o n o f a o u U s i n c o u n t e r s t o fi n d f r a c t i o n o f a n u m b e r . - 3 2 5 . I n s t r u c t i o n o n fi n d i n g f r a c t i o n o f a n u m b e r u s i n g c o u n t e r s 1 0 . 4 ( R e t e a c h ) F i n d i n g a f r a c t i o n o f a 2 . I n s t r u c t i o n o n fi n d i n g f r a c t i o n o f a n u m b e r u s i n g n u m b e r 1 0 . 6 E x p l o r i n g a r i t h m e t i c , p . 3 2 5 I n s t r u c t i o n E x l o r e I n s t r u c t i o n P r a c t i c e R e v i e w / i n s t r u c t i o n I n s t r u c t i o n / e x l o r e I n s t r u c t i o n P r a c t i c e E x l o r e P r a c t i c e R e v i e w I n s t r u c t i o n / e x l o r e I n s t r u c t i o n P r a c t i c e P r a c t i c e P r a c t i c e R e v i e w / r a c t i c e I n s t r u c t i o n / e x l o r e I n s t r u c t i o n I n s t r u c t i o n / p r a c t i c e l 2 e q u i v a l e n t 3 f r a c t i o n s 4 5 1 9 7 f l 6 0 o 3 a 3 3 t o % t 6 7 . ) t n 1 e f % n i m o i e m . e m t g g n l i e a m s t 4 a 6 r e f o o f 3 2 v 9 1 6 7 T o 2 2 2 8 3 3 A 2 t t n n e e d d n n e e s t p n u e g d g n / e t p p s p n e e m e r e d d i d n n i a n g p i e / s s i / s s s s s s / / s s f a g a l a l o t c fl c s s s s a a a a l l l l c c c c a e e e e e e e m l l l l l l l r o o o o o o o o h h h h h h h F W W W w w w w t n e m w e g i e v s e ) d f n o i r / e e o t e u c c e c n u i i i r u r t t t c c t t s a a n a n r r o I N P P C ( 7 . 5 e l s s a l n o c s i t t e p a . r e t n i w d n a l l a f e h t n i b n a e r c o l o T h n l o p w c x n e i d e t i d r e o s d e n i i n o v s e u o r h l s a a t e r g n l u o s a h t t n e r a p p a s s o s e : i t t r n p s r w e a c l e h e s n t o r m m g o s i e r o r o p s p n c s o r n o f c o t t l s a w s n n o a i t o p t o p t e s e c t s a c u c e o m n L i r o t o r n n o c t n s c s s e l g f n o c i p o f c i e w u c d e i t d n c o t i a e r c v r t a i r p s e e r i n r e T h R D I P u t c u r t s n i t n s g n e n s i l o n n r i r a t n i n r e t t a p o 8 s c 6 l t i o e t v l . a 5 s . t p u e 0 x q r a L E e 1 P f e 4 t 1 a / D 4 a r e e l n b e a g T e e h e T S a b 1 . I n s t r u c t i o n o n e q u i v a l e n t f r a c t i o n s w i t h c o u n t e r s , p . 3 2 9 2 . W r i t t e n w o r k r e t e a c h i n g s h e e t w i t h c o u n t e r s 3 . O r a l a n d w r i t t e n w o r k o n p . 3 2 9 r e v i e w i n s t r u c t i o n e x p l o r e i n s t r u c t i o n p r a c t i c e 1 9 8 e m i t n s s e e t t l a t o t s o e u u s s e l l a t o T e c i t c a r P " ! . 1 8 . . n ' 5 e 1 1 1 1 l 0 b . o i t c u r n n i i m m t u n i 8 8 m 5 6 5 4 4 % % 9 6 5 6 % 1 2 % % 3 0 4 2 % % % % a t . 6 3 3 5 9 1 T . 1 0 ‘ s n I w e i v % % 0 9 l 1 2 fl ' l z - . 3 1 ' e R c i p o ) h c a e t e R T ( n o s s e L r e b m u g g n n i i r r N o o 6 6 l l a . . p p f x x 0 0 o E E 1 1 5 6 / / 4 4 2 3 4 1 1 1 / / / 4 4 4 1 0 . 1 E x p l o r i n g F r a c t i o n s 8 % I n s t r u c t i o n / e x p l o r a t i o n 8 1 % 1 1 % 6 2 m i n u t e s 4 / 7 4 / 8 A v e r a g e 1 0 . 2 F r a c t i o n s : P a r t o f a W h o l e 1 0 . 3 F r a c t i o n s : P a r t o f a W h o l e 1 0 . 4 F i n d i n g a F r a c t i o n o f a N u m b e r 1 0 . 4 F i n d i n g a F r a c t i o n E q u i v a l e n t F r a c t i o n s E q u i v a l e n t F r a c t i o n s 1 7 % 8 % 1 0 0 % 5 2 % 2 1 % 3 2 % 2 9 % 2 6 % 4 6 % 3 1 % 6 1 m i n u t e s 6 3 m i n u t e s 5 7 m i n u t e s 7 6 m i n u t e s 1 9 9 2 0 0 o p e r a t i o n s , e n a b l i n g h e r t o d e v o t e t h e e n t i r e a l l o t t e d m a t h t i m e , a s w e l l a s h e r f u l l a t t e n t i o n , t o f r a c t i o n s . C h a n g e s i n t h e e m p h a s i s o f C a t h e r i n e ' s l e s s o n s . T h e s t r u c t u r a l c h a n g e s i n C a t h e r i n e ' s t e a c h i n g c o n t r i b u t e d t o r e l a t e d c h a n g e s i n t h e f o c u s a n d e m p h a s i s o f h e r l e s s o n s . D u r i n g t h e f a l l a n d w i n t e r , C a t h e r i n e p l a c e d p r i m a r y e m p h a s i s o n g e t t i n g c o r r e c t a n s w e r s a n d g i v i n g t h e s t u d e n t s a s m u c h p r a c t i c e a s p o s s i b l e . I n A p r i l , s h e f o c u s e d m o r e o n h e l p i n g s t u d e n t s t o e x p l o r e a n d u n d e r s t a n d c o n c e p t u a l i d e a s , w h i c h w a s r e l a t e d t o t h e i n c r e a s e i n h e r u s e o f e x p l o r a t o r y a n d c o n c e p t u a l l y o r i e n t e d s u g g e s t i o n s f r o m t h e t e x t b o o k . T h e r e s u l t w a s l e s s o n s a i m e d a t d e v e l o p i n g s t u d e n t s ' u n d e r s t a n d i n g s o f t h e m e a n i n g o f f r a c t i o n s . A t t h e s a m e t i m e , t h e w a y s h e t r e a t e d t h e s e a c t i v i t i e s a n d t h e a m o u n t o f t i m e s h e d e v o t e d t o t h e m i m p l y t h a t b u i l d i n g s t u d e n t s ' c o n c e p t u a l u n d e r s t a n d i n g s o f f r a c t i o n s w a s h e r g o a l . T h i s a i m w a s e v i d e n t i n t h e w a y C a t h e r i n e m a d e c o n c e p t u a l l y o r i e n t e d a d d i t i o n s t o t h e t a s k s s h e u s e d f r o m t h e t e x t . O f t e n , a s s h e d i d d u r i n g t h e Q u i c k C h e c k o n A p r i l 6 t h , s h e a d d e d m o r e q u e s t i o n s . A t o t h e r t i m e s , t h e q u e s t i o n s s h e i n s e r t e d w e r e s p a r k e d b y t h i n g s s t u d e n t s d i d , t h a t r e q u i r e d e x p l a n a t i o n s o r j u s t i f i c a t i o n s . F o r e x a m p l e , o n A p r i l 6 t h C a t h e r i n e q u e s t i o n e d J o s e p h a b o u t h i s r e a s o n f o r c h a n g i n g a n a n s w e r . E v e n t h o u g h h i s a n s w e r w a s c o r r e c t , s h e c h o s e t o u s e t h e o p p o r t u n i t y t o a s k h i m t o a r t i c u l a t e h i s t h i n k i n g . T h e n C a t h e r i n e t o o k a d v a n t a g e o f a n o t h e r s t u d e n t - i n i t i a t e d d i v e r s i o n t o r e e m p h a s i z e t h e m e a n i n g o f t h e n u m e r a t o r a n d d e n o m i n a t o r . A s C a t h e r i n e s a i d h e r s e l f , E r i n ' s q u e s t i o n a b o u t a d d i n g g a n d g w a s " b e f o r e i t s t i m e . " S h e d e c i d e d t o p u r s u e i t , h o w e v e r , a n d s h e d i d s o i n a w a y t h a t f o c u s e d o n w h a t t h e n u m e r a t o r a n d d e n o m i n a t o r r e p r e s e n t . W h e n I a s k e d C a t h e r i n e a b o u t t h e a p p a r e n t i n c r e a s e i n h e r u s e o f " w h y " q u e s t i o n s a s w e l l a s s i m i l a r i m p r o v i s a t i o n s , s h e c l a i m e d t h a t m a n y o f t h e m w e r e i n i t i a t e d b y t h e t e x t . " I t h i n k t h e b o o k a s k s m o r e w h y t h i n g s , " s h e t o l d m e . S h e f u r t h e r e x p l a i n e d t h a t t h e m o r e s h e a s k e d q u e s t i o n s i n t h e b o o k , t h e m o r e s h e s a w t h e i r m e r i t , 2 0 1 a n d t h e m o r e s h e w a s i n c l i n e d t o i n s e r t h e r o w n q u e s t i o n s . I n o r d e r t o i l l u s t r a t e , s h e p o i n t e d t o t h e p r o b l e m o f t h e d a y w r i t t e n o n t h e b o a r d : T h e r e w e r e 2 4 m a t h p r o b l e m s . S a r a d i d % o f t h e p r o b l e m s c o r r e c t l y . N i c k d i d g o f t h e p r o b l e m s c o r r e c t l y . W h o d i d m o r e p r o b l e m s c o r r e c t l y ? " I m a d e t h i s p r o b l e m u p o n t h e s p o t , " s h e s a i d , b u t " I f I h a d b e e n r e a l l y t h i n k i n g , I w o u l d h a v e a s k e d t h e m h o w t h e y k n e w o r w h y t h e y g a v e t h e a n s w e r t h e y d i d . " S h e e x p l a i n e d t h a t s h e w a n t e d t o e n s u r e t h a t t h e y u n d e r s t o o d t h a t t h e f r a c t i o n s w e r e e q u i v a l e n t : " O n e o f t h e t h i n g s w e ' v e b e e n w o r k i n g o n i s e q u i v a l e n t f r a c t i o n s , a n d t h a t w o u l d j u s t b e , t h a t w o u l d b e m a k i n g t h e m p u t i n t o t h e i r o w n w o r d s w h y t h e y k n e w t h a t e a c h c h i l d h a d d o n e t h e s a m e n u m b e r o f p r o b l e m s " ( I n t e r v i e w , 4 / 1 4 / 9 3 ) . T h e i n c r e a s e d a t t e n t i o n t o s t u d e n t u n d e r s t a n d i n g s e e m e d t o b e a r e s u l t o f h e r l e a r n i n g b y u s i n g t h e t e x t . I n i t i a l l y , s h e t r i e d n e w s u g g e s t i o n s s p a r i n g l y . H o w e v e r , a s s h e o b s e r v e d a n d p a r t i c i p a t e d i n h e r s t u d e n t s ' e n c o u n t e r s w i t h a c t i v i t i e s t h a t c a l l e d f o r e x p l a n a t i o n s , c o m p l e x t h i n k i n g , o r m o d e l i n g o f c o n c e p t s , s h e b e g a n t o s e e t h e s e p e d a g o g i c a l a p p r o a c h e s a s v a l u a b l e . A t t h e e n d o f t h e y e a r , C a t h e r i n e o f f e r e d t h e f o l l o w i n g e x p l a n a t i o n : W h e n I s t a r t e d o u t i n t h e f a l l , e v e n t h o u g h I h a d u s e d t h i s t e x t b o o k a s a p i l o t t h e y e a r b e f o r e , I s t i l l k i n d o f t e n d e d t o t e a c h t h e w a y I d i d w i t h t h e o l d b o o k . I f o l l o w e d t h e o l d r o u t i n e . B u t , a s t h e y e a r p r o g r e s s e d , I b e g a n t o u s e m o r e o f t h e i d e a s i n t h e b o o k , a n d , u m , r e a l l y f o u n d t h e m h e l p f u l w i t h t h e c h i l d r e n , a n d u s e d t h e i r i d e a s t h a t t h e y s u g g e s t e d i n s t e a d o f j u s t k i n d o f c l i n g i n g t o t h e o l d , m y o l d w a y o f d o i n g t h i n g s . ( I n t e r v i e w , 6 / 2 5 / 9 3 ) C o n s e q u e n t l y , C a t h e r i n e l o o k e d f o r a n d u s e d m o r e c o n c e p t u a l l y o r i e n t e d s u g g e s t i o n s i n t h e t e x t , a s w e l l a s c r e a t i n g h e r o w n , w h i c h s h e a d d e d t o t h e o f f e r i n g s o f t h e t e x t . I n e s s e n c e , u s i n g t h e t e x t c r e a t e d o p p o r t u n i t i e s f o r l e a r n i n g t h a t m o v e d C a t h e r i n e b e y o n d t h e o f f e r i n g s o f t h e t e x t . C h a n g e s i n C a t h e r i n e ' s i d e a s a b o u t u n d e r s t a n d i n g a n d l e a r n i n g m a t h . M a n y o f t h e c h a n g e s o b s e r v e d i n C a t h e r i n e ' s t e a c h i n g a n d u s e o f t h e t e x t d u r i n g t h e f r a c t i o n u n i t s e e m e d t o b e r e l a t e d t o h e r e x p a n d i n g i d e a s o n w h a t u n d e r s t a n d i n g m a t h e m a t i c s 2 0 2 i n c l u d e s a n d h o w t h i s u n d e r s t a n d i n g i s d e v e l o p e d . E a r l i e r i n t h e y e a r C a t h e r i n e f e l t h e r s t u d e n t s " u n d e r s t o o d " w h e n t h e y w e r e a b l e t o c o m p l e t e a c c u r a t e l y t h e t a s k s s h e g a v e t h e m o r t o p r o v i d e t h e c o r r e c t a n s w e r . C a t h e r i n e ' s u s e o f c o n c e p t u a l l y o r i e n t e d t a s k s d u r i n g t h e f r a c t i o n u n i t s , a s w e l l a s t h e b a s e - 1 0 b l o c k s w h e n t e a c h i n g l o n g d i v i s i o n , s e e m e d t o i n t e r j e c t a n e w t w i s t i n t o h e r v i e w o f u n d e r s t a n d i n g . P r o c e d u r a l m a s t e r y s t i l l s e e m e d c e n t r a l , b u t C a t h e r i n e a l s o b e l i e v e d t h a t i t w a s i m p o r t a n t f o r s t u d e n t s t o c o n n e c t t h e s e p r o c e d u r e s t o u n d e r l y i n g m e a n i n g s r e p r e s e n t e d c o n c r e t e l y o r p i c t o r i a l l y . A f t e r a l e s s o n d u r i n g w h i c h s h e u s e d c o u n t e r s t o m o d e l fi n d i n g d i s c r e t e f r a c t i o n s ( s u c h a s i o f 1 2 ) a n d t h e n f o l l o w e d w i t h t e a c h i n g t h e s y m b o l i c n o t a t i o n , C a t h e r i n e e x p r e s s e d c o n c e r n t h a t t h e s t u d e n t s d i d n o t " u n d e r s t a n d t h a t t h i s [ p o i n t i n g t o t h e a l g o r i t h m ] i s t h e s a m e a s t h i s [ p o i n t i n g t o t h e r e p r e s e n t a t i o n w i t h c o u n t e r s l " ( I n t e r v i e w , 4 / 8 / 9 3 ) . W h e n a s k e d w h y t h e c o n n e c t i o n w a s i m p o r t a n t , C a t h e r i n e a r t i c u l a t e d h e r s t a n c e o n t h e r o l e o f u n d e r s t a n d i n g i n m a t h , w h i c h w a s m a r k e d l y d i f f e r e n t f r o m h e r e a r l i e r e m p h a s i s o n c o m p u t a t i o n a l m a s t e r y : I t h i n k t h a t p e o p l e t h a t r e a l l y a r e a b l e t o d o p r o b l e m s o l v i n g a n d t h e h i g h e r m a t h e m a t i c s a r e t h e o n e s t h a t u n d e r s t a n d t h e c o n n e c t i o n s . A n d t h e n t h e p e o p l e , l i k e m y s e l f t h a t j u s t l e a r n e d t h e p r o c e s s e s w h e n I w a s y o u n g e r , h a d m o r e t r o u b l e w i t h t h e h i g h e r m a t h l a t e r o n b e c a u s e I r e a l l y d i d n ' t u n d e r s t a n d a l o t o f t h e r e a s o n s w h y c e r t a i n t h i n g s w o r k e d . ( I n t e r v i e w , 4 / 8 / 9 3 ) E v e n t h o u g h i t w a s n o t e v i d e n t t h a t C a t h e r i n e ' s u n d e r s t a n d i n g s o f m a t h e m a t i c s g r e w t h r o u g h h e r u s e o f t h e t e x t , t h e c h a n g e s i n h e r t e a c h i n g a n d h e r t a l k s u g g e s t t h a t i t s t i m u l a t e d l e a r n i n g a b o u t t h e n a t u r e o f m a t h e m a t i c a l u n d e r s t a n d i n g . 3 3 D e t e r m i n i n g w h e t h e r C a t h e r i n e ' s u n d e r s t a n d i n g s o f m a t h e m a t i c s c h a n g e d w a s d i f f i c u l t b e c a u s e s h e s e e m e d r e l u c t a n t t o t a l k a b o u t s u c h i n s t a n c e s w h e n e v e r I b r o a c h e d t h e s u b j e c t . F o r e x a m p l e , a f t e r s h e t o l d m e a b o u t u s i n g t h e b a s e - 1 0 b l o c k s f o r t h e f i r s t t i m e t o m o d e l t h e d i v i s i o n a l g o r i t h m , I a s k e d h e r i f i t h a d h e l p e d h e r u n d e r s t a n d t h e a l g o r i t h m . S h e s t a t e d t h a t s h e a l r e a d y u n d e r s t o o d i t . S h e r e s p o n d e d s i m i l a r l y w h e n I a s k e d i f s h e f e l t s h e u n d e r s t o o d f r a c t i o n s b e t t e r t h r o u g h t h e i n t e n s i v e w o r k w i t h v a r i o u s f r a c t i o n m o d e l s . I n b o t h i n s t a n c e s , s h e s e e m e d s u r p r i s e d t h a t I w o u l d a s k h e r a b o u t h e r m a t h e m a t i c a l k n o w l e d g e . E v e n t h o u g h C a t h e r i n e m a y h a v e u n d e r s t o o d t h e s e m a t h e m a t i c a l c o n c e p t s b u t h a d n e v e r f o c u s e d o n t h e m i n t e a c h i n g , i t i s a l s o p o s s i b l e t h a t s h e w a s u n c o m f o r t a b l e d i s c u s s i n g f o r m e r o r p r e s e n t h o l e s i n h e r k n o w l e d g e o f t h e m a t h e m a t i c s s h e t a u g h t a n d , t h e r e f o r e , w a s n o t i n c l i n e d t o a s s e s s h e r o w n m a t h e m a t i c a l l e a r n i n g . 2 0 3 C o m p u t a t i o n a l P r o c e s s e s : A D o m a i n U n t o u c h e d C a t h e r i n e ' s l e a r n i n g d i d n o t h a v e a n o b s e r v a b l e i m p a c t o n t h e w a y s h e s t r u c t u r e d t h e m a t h e m a t i c s c u r r i c u l u m o r t h o u g h t a b o u t w h a t w a s a t t h e c o r e o f h e r i n s t r u c t i o n . E v e n t h o u g h s h e b e g a n t o s e e o t h e r m a t h e m a t i c a l t o p i c s a s m o r e i n t e r c o n n e c t e d a n d g r o u n d e d i n t h i n k i n g a n d r e a s o n i n g , a s w e l l a s h a v i n g p r i o r i t y o v e r c o m p u t a t i o n , s h e d i d n o t r e e x a m i n e h e r v i e w s o n w h a t l e a r n i n g c o m p u t a t i o n i n c l u d e d . I n f a c t , t h e i d e a s a n d p e r c e p t i o n s a b o u t m a t h e m a t i c s a n d t h e i n t e n t o f t h e r e f o r m s t h a t C a t h e r i n e b r o u g h t t o h e r u s e o f t h e t e x t e n a b l e d h e r t o d i s m i s s m o s t o f t h e t e x t ' s s u g g e s t i o n s r e g a r d i n g t e a c h i n g c o m p u t a t i o n . H e r v i e w o f m a t h e m a t i c s , w h i c h c o n s i s t e d o f t w o d i s t i n c t d o m a i n s ( c o m p u t a t i o n a n d n o n c o m p u t a t i o n a l s k i l l s ) , r e m a i n e d u n c h a n g e d . C a t h e r i n e ' s p e r c e p t i o n t h a t t h e i n t e n t o f t h e r e f o r m s w a s t o m n o n c o m p u t a t i o n a l t o p i c s t o t h e e x i s t i n g c u r r i c u l u m a l l o w e d h e r t o d i r e c t h e r u s e o f t h e t e x t t o w a r d o n e p a r t o f t h e c u r r i c u l u m , s h i e l d i n g h e r b e l i e f s a b o u t t e a c h i n g c o m p u t a t i o n a l p r o c e s s e s f r o m r e e x a m i n a t i o n . T h e l i k e l i h o o d t h a t c h a n g e i n t h i s f u n d a m e n t a l l a y e r o f C a t h e r i n e ' s m a t h t e a c h i n g w o u l d e v e r o c c u r w a s u n c l e a r . B e c a u s e h e r o v e r a l l v i e w o f m a t h e m a t i c s d i d n o t c h a n g e s i g n i fi c a n t l y , o n e m i g h t s p e c u l a t e t h a t t h e r e s i l i e n c y o f h e r i d e a s a b o u t m a t h e m a t i c s , a n d c o m p u t a t i o n i n p a r t i c u l a r , m a k e s c h a n g e i n t h i s d o m a i n u n l i k e l y . O n t h e o t h e r h a n d , c o n s i d e r i n g t h e o r d e r i n w h i c h s h e w a s w i l l i n g t o e n t e r t a i n n e w i d e a s i n o t h e r d o m a i n s o f h e r t e a c h i n g , o n e m i g h t s p e c u l a t e t h a t r e e x a m i n i n g a t o p i c c l o s e t o t h e h e a r t o f h e r t e a c h i n g m i g h t h a v e o c c u r r e d n e x t . T h e c h a n g e s t h a t t o o k p l a c e d u r i n g h e r fi r s t y e a r o f u s i n g t h e t e x t b e g a n a t t h e p e r i p h e r y o f h e r m a t h e m a t i c s i n s t r u c t i o n a n d t h e n m o v e d i n w a r d . T h e fi r s t s i t e s f o r l e a r n i n g , w h i c h b e g a n t o t a k e p l a c e m i d y e a r , i n v o l v e d p r o b l e m s o l v i n g , w h i c h w a s a n a c t i v i t y t h a t s h e t r e a t e d s e p a r a t e l y f r o m h e r d a i l y l e s s o n s . T h e s e c o n d s i t e s , w h i c h i n v o l v e d s o m e a s p e c t s o f h e r d a i l y i n s t r u c t i o n , d i d n o t b e g i n u n t i l A p r i l . C a t h e r i n e ' s l e a r n i n g f r o m t h e H B J t e x t m a y h a v e b e e n o n a t r a j e c t o r y t h a t w a s g r a d u a l l y m o v i n g c l o s e r t o t h e h e a r t o f h e r t e a c h i n g . 2 0 4 W h i l e i n c o n c l u s i v e , C a t h e r i n e o f f e r e d s o m e e v i d e n c e t h a t m i g h t s u p p o r t t h i s c o n j e c t u r e . F i r s t , i n F e b r u a r y , s h e v e n t u r e d b r i e fl y i n t o t h e c h a p t e r o n d i v i s i o n , d r a w i n g f r o m i t t h e a c t i v i t y t h a t m o d e l e d t h e l o n g - d i v i s i o n a l g o r i t h m w i t h b a s e - 1 0 b l o c k s . F u r t h e r m o r e , s h e w a s i m p r e s s e d b y t h e c l a r i t y w i t h w h i c h t h e m o d e l r e p r e s e n t e d t h e u n d e r l y i n g c o n c e p t s t o t h e s t u d e n t s . S h e a l s o w a s i m p r e s s e d w i t h m a n y o f t h e c o n c e p t u a l l y o r i e n t e d a c t i v i t i e s i n t h e f r a c t i o n c h a p t e r t o t h e e x t e n t t h a t s h e s e e m e d a l m o s t w i l l i n g t o e x p l o r e m o r e o f i t s o f f e r i n g s . I n J u n e , w h e n I a s k e d h e r i f s h e b e l i e v e d t h a t s h e w o u l d u s e t h e t e x t d i f f e r e n t l y n e x t y e a r , C a t h e r i n e s u g g e s t e d t h a t s h e w o u l d : " I d i d n ' t g o t h r o u g h t h e b o o k c h a p t e r b y c h a p t e r a n d I a l m o s t t h i n k [ t h a t ] m a y b e I n e e d t o d o t h a t n e x t y e a r " ( I n t e r v i e w , 6 / 2 5 / 9 3 ) . C o n t e x t u _ a l S u ' p o r t : _ Q p p o r t u n i t i e s f o r E x p e r i m e n t a t i o n , R E fl e c t i o n a n d C o n v e r s a t i o n A s t h e d e s c r i p t i o n s s u g g e s t e d , t h e c h a n g e s I o b s e r v e d i n C a t h e r i n e ' s t e a c h i n g w e r e s t i m u l a t e d b y a n i n t e r a c t i o n o f p e r s o n a l a n d t e x t u a l r e s o u r c e s . C o n t e x t u a l r e s o u r c e s a l s o i n fl u e n c e d t h e w a y s h e l o o k e d a t t h e t e x t b o o k a n d h o w s h e t h o u g h t a b o u t i t s o f f e r i n g s . S o m e a s p e c t s o f t h e c o n t e x t , l i k e t h e p r e s s u r e s h e f e l t t o p r e p a r e h e r s t u d e n t s " t o g o o n t o fi f t h g r a d e , " a r e t y p i c a l f o r m a n y e l e m e n t a r y t e a c h e r s . O t h e r a s p e c t s w e r e u n i q u e t o C a t h e r i n e ' s t e a c h i n g s i t u a t i o n . T h e m o s t s i g n i fi c a n t o f t h e s e c o n t e x t u a l i n fl u e n c e s w a s g e n e r a t e d b y t h e c o n t e x t o f t h e s t u d y i t s e l f , w h i c h w a s C a t h e r i n e ' s r e s p o n s e t o m y p r e s e n c e i n h e r c l a s s r o o m a s a n o b s e r v e r a n d t h e i n t e r a c t i o n s w e h a d i n w h i c h s h e t a l k e d a b o u t h e r t e a c h i n g . E v e n t h o u g h t h e i n t e n t o f m y r o l e a s a n o b s e r v e r a n d i n t e r v i e w e r w a s t o e x a m i n e h e r e n c o u n t e r s w i t h t h e t e x t , C a t h e r i n e ' s c o g n i z a n c e o f m y i n t e r e s t a n d h e r i n t e l l e c t u a l r e s p o n s e t o m y q u e s t i o n s l e d h e r t o g a i n a p e r s p e c t i v e o n h e r o w n t e a c h i n g , w h i c h w a s n e w . T h i s p e r s p e c t i v e p r o v i d e d a n d s u p p o r t e d o p p o r t u n i t i e s f o r e x p e r i m e n t a t i o n , c o n v e r s a t i o n , a n d r e fl e c t i o n t h a t i n fl u e n c e d t h e p e d a g o g i c a l c h o i c e s s h e m a d e a b o u t t h e t e x t . E v e n t h o u g h t h e s t u d y w a s n o t d e s i g n e d t o a l t e r t h e t e a c h e r s ' a c t i o n s i n a n y s p e c i fi c w a y s , a c k n o w l e d g i n g a n d e x a m i n i n g t h e r o l e t h a t m y p r e s e n c e , a s a r e s e a r c h e r , 2 0 5 p l a y e d i n h o w C a t h e r i n e m a d e s e n s e o f a n d u s e d t h e H B J t e x t b o o k i s c r u c i a l f o r t w o r e a s o n s . F i r s t , d o i n g s o i s e s s e n t i a l t o a c h i e v i n g w h a t L a t h e r ( 1 9 9 1 ) r e f e r s t o a s @ 1 1 5 ; E n e r g y , t h a t i s , " r e c o g n i t i o n o f t h e r e a l i t y - a l t e r i n g i m p a c t o f t h e r e s e a r c h p r o c e s s " ( p . 6 8 ) . S e c o n d , i n l i g h t o f t h e c h a n g e s t h a t C a t h e r i n e u n d e r w e n t d u r i n g t h e r e s e a r c h p r o c e s s , e x a m i n i n g t h i s a s p e c t o f t h e c o n t e x t c a n p r o v i d e i n s i g h t s i n t o a n u n a n t i c i p a t e d , b u t p o w e r f u l , r e s o u r c e t h a t i n fl u e n c e d h e r c h o i c e s . T h e w a y t h a t t h e o p p o r t u n i t i e s c r e a t e d b y t h e s t u d y s t i m u l a t e d C a t h e r i n e ' s g r o w t h h a s i m p l i c a t i o n s f o r t h e p o t e n t i a l o f s i m i l a r o p p o r t u n i t i e s t o f o s t e r t e a c h e r s ' g r o w t h a s t h e y u s e n e w c u r r i c u l u m m a t e r i a l s . C a t h e r i n e ' s s c h o o l c o n t e x t p r o v i d e d f e w o p p o r t u n i t i e s f o r h e r t o d i s c u s s m a t h e m a t i c s i n s t r u c t i o n o r u s e o f t h e H B J t e x t b o o k . N e i t h e r w a s s h e p r o v i d e d o n g o i n g s u p p o r t o r e n c o u r a g e m e n t t o t r y t h e n e w s u g g e s t i o n s i t o f f e r e d . S h e r e p o r t e d o c c a s i o n a l l u n c h - r o o m c o n v e r s a t i o n s a b o u t t h e t e x t w i t h h e r c o l l e a g u e s o v e r l u n c h . T h e s e c o n v e r s a t i o n s f o c u s e d o n c r i t i c i s m s o f t h e t e x t ' s f a s t p a c e a n d i n s u f fi c i e n t e m p h a s i s o n p r a c t i c e . I n f a c t , t h e c o n v e r s a t i o n s s h e h a d w i t h m e s e e m e d t o b e t h e o n l y c o n s i s t e n t o p p o r t u n i t i e s s h e h a d t o t a l k a b o u t h e r u s e o f t h e t e x t . D u r i n g t h e i n t e r v i e w s t h a t f o l l o w e d e a c h o b s e r v a t i o n , I a s k e d C a t h e r i n e a b o u t t h e c h o i c e s s h e m a d e r e g a r d i n g t h e t e x t a n d w h y s h e m a d e t h e m . T h e s e c o n v e r s a t i o n s h a d t h e u n i n t e n d e d e f f e c t o f d r a w i n g h e r a t t e n t i o n t o t h e r a n g e o f o f f e r i n g s i n t h e t e x t b o o k w h i l e p r o v i d i n g h e r w i t h a f o r u m f o r d i s c u s s i n g a n d r e fl e c t i n g o n t h e m . A s t h e f o l l o w i n g d e s c r i p t i o n s i l l u s t r a t e , t h e s e o p p o r t u n i t i e s c o n t r i b u t e d t o h o w s h e u s e d t h e t e x t . O p p o r t u n i t i e s f o r E x p e r i m e n t a t i o n C a t h e r i n e ' s r e s p o n s e t o m y v i s i t s b e c a m e e v i d e n t a t t h e e n d o f t h e fi r s t r o u n d o f d a t a c o l l e c t i o n . A s d e s c r i b e d , C a t h e r i n e d e v o t e d t h e e n t i r e l e s s o n o n D e c e m b e r 1 0 t h t o t h e M o t i v a t e a c t i v i t y s u g g e s t e d i n t h e t e a c h e r ' s g u i d e o f l e s s o n 4 . 7 . T h i s d a t a c o l l e c t i o n a c t i v i t y w a s s i g n i f i c a n t l y d i f f e r e n t i n s t r u c t u r e a n d e m p h a s i s t h a n o t h e r l e s s o n s o b s e r v e d . L a t e r , C a t h e r i n e t o l d m e t h a t s h e h a d s a v e d t h a t a c t i v i t y f o r a d a y t h a t I v i s i t e d b e c a u s e s h e b e l i e v e d I w o u l d l i k e t o s e e i t : " I w a n t e d t o d o t h i s w i t h y o u h e r e f o r 2 0 6 y o u t o s e e i t , " s h e t o l d m e ; " I w a s g o i n g t o d o i t a n d I t h o u g h t , w e l l , y o u m i g h t a s w e l l s e e i t " ( I n t e r v i e w , 1 2 / 1 7 / 9 2 ) . H e r i n t e r e s t i n h a v i n g m e s e e t h i s a c t i v i t y s u g g e s t e d t h a t m y p r e s e n c e h a d a n i m p a c t o n h e r c h o i c e s . T h i s i m p a c t w a s t h e r e s u l t o f C a t h e r i n e ' s r e s p o n s e t o m y v i s i t i n t w o w a y s . F i r s t , h e r k n o w l e d g e o f m y i n t e r e s t i n r e f o r m - o r i e n t e d t e x t s m a d e h e r e v e n m o r e c o n s c i o u s o f h e r o w n u s e o f t h e t e x t a n d h e r r e c e p t i o n o f a r t i f a c t s o f c h a n g e : " I d i d n ' t w a n t t o a p p e a r t o b e o n e o f t h o s e t e a c h e r s t h a t w a s s t u c k i n t h e s a m e o l d g r o o v e , w h i c h i s p r e t t y e a s y . . . . I ' v e t a u g h t 3 1 y e a r s p r e t t y m u c h t h e s a m e w a y " ( I n t e r v i e w , 6 / 2 5 / 9 3 ) . S e c o n d , t h e q u e s t i o n s I a s k e d a b o u t s u g g e s t i o n s s h e h a d n o t t r i e d i n t h e t e x t s h a p e d h e r i d e a s a b o u t w h a t I w o u l d b e i n t e r e s t e d i n s e e i n g . E v e n t u a l l y , m y v i s i t s a n d q u e s t i o n s l e d h e r t o l o o k a t t h e t e x t m o r e c l o s e l y a n d e n c o u r a g e d h e r t o t r y t h i n g s t h a t s h e m i g h t n o t h a v e c o n s i d e r e d o t h e r w i s e . " I t [ m y p r e s e n c e ] m a d e m e l o o k a t m o r e o f t h e s u g g e s t i o n s , " s h e l a t e r t o l d m e ( I n t e r v i e w , 6 / 2 5 / 9 3 ) , a n d i t c r e a t e d w h a t s h e d e s c r i b e d , i n r e t r o s p e c t , a s a " f r i e n d l y p r e s s u r e t o t r y t h i n g s " ( I n t e r v i e w 4 / 1 4 / 9 3 ) . T h e " f r i e n d l y p r e s s u r e " C a t h e r i n e f e l t f r o m m y o b s e r v a t i o n s a n d i n t e r v i e w s m a d e h e r u n c o m f o r t a b l e a t fi r s t . h o w e v e r , m i d w a y t h r o u g h t h e y e a r , s h e w e l c o m e d m y v i s i t s a n d s a i d t h a t s h e l o o k e d f o r w a r d t o o u r i n t e r v i e w s . S h e b e l i e v e d t h e y e n c o u r a g e d h e r t o o v e r c o m e w h a t s h e c a l l e d " t h e t e a c h e r s ' [ s i c ] f e a r o f t h e u n f a m i l i a r " ( W r i t t e n r e fl e c t i o n , 4 / 9 3 ) . F o r e x a m p l e , w h e n I r e t u r n e d i n t h e w i n t e r f o r a n o t h e r r o u n d o f d a t a c o l l e c t i o n , C a t h e r i n e t o l d m e o f a n e w a c t i v i t y s h e h a d t r i e d d u r i n g m y a b s e n c e . S h e u s e d t h e s u g g e s t i o n i n t h e t e x t t o m o d e l l o n g d i v i s i o n w i t h b a s e - 1 0 b l o c k s . S h e p r o u d l y r e p o r t e d i t a s h e r fi r s t " s u c c e s s f u l " e n c o u n t e r w i t h m a n i p u l a t i v e s . C a t h e r i n e l i n k e d h e r i n i t i a l u s e o f m a n i p u l a t i v e s t o t h e f r i e n d l y p r e s s u r e s h e f e l t : I p r o b a b l y t r i e d t h a t w i t h t h e b a s e - 1 0 b l o c k s w i t h d i v i s i o n b e c a u s e y o u w e r e t h e r e a n d y o u w e r e a s k i n g m e a b o u t m a n i p u l a t i v e s . . . . I m e a n b e c a u s e y o u a s k m e t h e s e q u e s t i o n s t h a t m a k e s m e u n c o m f o r t a b l e i f I d o n ' t t r y s o m e o f t h e t h i n g s . I w o u l d h a v e t r i e d s o m e o f t h e m a n y w a y , b u t i t w o u l d h a v e b e e n m u c h e a s i e r t o d o t h e s a m e o l d t h i n g t h a t I ' v e a l w a y s d o n e . ( I n t e r v i e w , 4 / 3 / 9 3 ) 2 0 7 M o r e o v e r , s h e b e l i e v e d t h a t t h e r e s u l t s o f h e r e x p e r i m e n t s w e r e p o s i t i v e . S h e g r a d u a l l y s a w v a l u e i n m a n y o f t h e s u g g e s t i o n s i n t h e t e x t : " T h e m o r e I u s e t h i s b o o k t h e m o r e I l i k e i t " ( I n t e r v i e w , 2 / 1 6 / 9 3 ) , s h e s a i d , a f t e r t e l l i n g m e a b o u t u s i n g t h e b a s e - 1 0 b l o c k s . C a t h e r i n e w a s t y p i c a l o f m a n y t e a c h e r s w h o s e w o r k o c c u r s b e h i n d t h e c l o s e d d o o r s o f t h e c l a s s r o o m , c r e a t i n g a n e n v i r o n m e n t o f i s o l a t i o n a n d i n d i v i d u a l i s m ( J a c k s o n , 1 9 8 6 ; L i t t l e , 1 9 8 2 ; L o r t i e , 1 9 7 5 ; R i c h a r d s o n , 1 9 9 4 ) . O p e n i n g h e r c l a s s r o o m t o a s t r a n g e r i n v o l v e d i n v i t i n g i n o u t s i d e s t a n d a r d s , p e r s p e c t i v e s , a n d p r e s s u r e s . A s C a t h e r i n e d e s c r i b e d i t , t h e p r e s s u r e s h e f e l t f o r c e d h e r t o o v e r c o m e h e r f e a r o f t r y i n g n e w t h i n g s : " I j u s t t h i n k t h a t b e c a u s e y o u w e r e h e r e I d i d t h i n g s , a n d g o t o v e r b e i n g a f r a i d o f n e w t h i n g s " ( I n t e r v i e w , 4 / 1 2 / 9 3 ) . C a t h e r i n e e v e n d e s c r i b e d h e r s e l f a s " e a g e r t o t r y n e w i d e a s " a s a r e s u l t o f h e r p a r t i c i p a t i o n i n t h i s p r o j e c t . O p p o r t u n i t i e s f o r C o n v e r s a t i o n a n d R e fl e c t i o n M a n y o f C a t h e r i n e ' s c o m m e n t s d u r i n g f o r m a l a n d i n f o r m a l i n t e r v i e w s i n d i c a t e d t h a t t h e n a t u r e o f t h e s e i n t e r v i e w s a l s o p r o m p t e d h e r r e fl e c t i o n o n h e r t e a c h i n g . B y d e s i g n , t h e q u e s t i o n s I a s k e d w e r e i n t e n d e d t o d e l v e i n t o h e r p e d a g o g i c a l r e a s o n i n g . B e c a u s e t h e s e q u e s t i o n s i n q u i r e d i n t o h e r t h i n k i n g a n d d e c i s i o n - m a k i n g p r o c e s s e s , C a t h e r i n e b e g a n t o a r t i c u l a t e p o s i t i o n s t h a t s h e h a d n o t e x p l o r e d p r e v i o u s l y . O n s e v e r a l o c c a s i o n s , s h e s t a r t e d a n e x p l a n a t i o n w i t h : " I ' v e n e v e r r e a l l y p u t i t i n t o w o r d s b e f o r e , b u t . . . . " E s s e n t i a l l y , t h e i n t e r v i e w s e s s i o n s a s k e d C a t h e r i n e t o r e fl e c t o n , a n d t a l k a b o u t , h e r p r a c t i c e , w h i c h s h e s e l d o m h a d a n o p p o r t u n i t y t o d o . B y s p r i n g , C a t h e r i n e w a s a r t i c u l a t e a b o u t t h e i m p a c t t h e i n t e r v i e w s h a d h a d o n h e r t h i n k i n g . S h e l o o k e d f o r w a r d t o t h e m , d e s c r i b i n g t h e m a s " a h e l p f u l t o o l i n t h e c o n t i n u i n g p r o c e s s o f b e c o m i n g b e t t e r a t w h a t I d o " ( W r i t t e n r e fl e c t i o n , 4 / 9 3 ) . C a t h e r i n e a l s o r e c a l l e d t h a t s h e d i d n o t a l w a y s s e e t h e i n t e r v i e w s a s p o s i t i v e l y a s s h e d i d i n A p r i l ; a t fi r s t , t h e y w e r e " s o m e w h a t u n n e r v i n g . " S h e r e m e m b e r e d f e e l i n g " p u t o n t h e s p o t , s i m p l y b e c a u s e I h a d n e v e r b e e n a s k e d t o v a l i d a t e v e r b a l l y m y c r i t e r i o n f o r t e a c h i n g a c e r t a i n t h i n g o r w h y I h a d p r o c e e d e d t o t e a c h i t i n a g i v e n m a n n e r " ( W r i t t e n 2 0 8 r e fl e c t i o n , 4 / 9 3 ) . I n r e t r o s p e c t , s h e s a w t h e d i s c o m f o r t t h a t s h e h a d i n i t i a l l y f e l t a s u s e f u l , w h i c h l e d h e r t o f o r m u l a t e a n d e x a m i n e h e r v i e w s : " I b e g a n t o q u e s t i o n m y s e l f " ( W r i t t e n r e fl e c t i o n , 4 / 9 3 ) . F o r e x a m p l e , a f t e r I o b s e r v e d t h e c l a s s w o r k o n t h e p r o b l e m o f t h e d a y o n M a r c h 2 4 t h , C a t h e r i n e t o l d m e t h a t s h e h a d f o u n d h e r s e l f t h i n k i n g a b o u t t h e q u e s t i o n s I m i g h t a s k , p a r t i c u l a r l y b e c a u s e l e s s t h a n h a l f o f t h e s t u d e n t s s o l v e d t h e p r o b l e m c o r r e c t l y : " I k n e w t h a t y o u w e r e g o i n g t o a s k m e a b o u t t h e p r o b l e m o f t h e d a y . . . a n d s o I r e a l l y h a d t o , I t h o u g h t a b o u t h o w I r e a l l y f e l t a b o u t i t " ( I n t e r v i e w , 4 / 3 / 9 3 ) . M y p r e s e n c e a n d q u e s t i o n i n g o f C a t h e r i n e u n i n t e n t i o n a l l y s e r v e d a s a r e s o u r c e f o r h e r t e a c h i n g . U n l i k e m a n y t e a c h e r r e s o u r c e s t h a t s u p p l y i n s t r u c t i o n a l g u i d a n c e o r h e l p f u l i n f o r m a t i o n ( S p a r k s & L o u c k s - H o r s l e y , 1 9 9 0 ) , I a c t e d a s a n i n q u i s i t i v e m i n t e r e s t e d i n w h a t s h e d i d a n d w h y . T h e q u e s t i o n s I a s k e d b e c a m e q u e s t i o n s s h e a s k e d h e r s e l f a s s h e i n t e r a c t e d w i t h t h e t e x t b o o k . 4 T h i s i m p a c t i s s i m i l a r t o fi n d i n g s o f o t h e r s w h o h a v e n o t e d t h e i m p a c t o f e t h n o g r a p h i c i n q u i r y o n t h e r e s e a r c h c o n t e x t ( B e r k e y e t a l . , 1 9 8 9 ; F l o r i o - R u a n e , 1 9 8 6 ) . B e r k e y e t a l . , f o r e x a m p l e , d e s c r i b e d a p r o j e c t i n w h i c h r e s e a r c h e r s , w h o g e n e r a l l y f u n c t i o n o u t s i d e t h e s c h o o l c o m m u n i t y , o b s e r v e d a n d a s k e d q u e s t i o n s o f t h o s e o n t h e " i n s i d e " a b o u t e v e r y d a y p r a c t i c e s o r r e g u l a r i t i e s ( S a r a s o n , 1 9 8 2 ) . T h i s p r o c e s s h a d a n i m p a c t o n t h e t e a c h e r s ' p e r s p e c t i v e s . A s o n e t e a c h e r w r o t e : T h e y a s k e d u s q u e s t i o n s t h a t w e k n e w t h e a n s w e r s t o , b u t u n t i l t h e y h a d a s k e d u s t h e q u e s t i o n , w e h a d n ' t t h o u g h t a b o u t t h e a n s w e r s ; t h a t b e g a n t o g e t u s t o q u e s t i o n m o r e t h i n g s o u r s e l v e s . . . . B y b e i n g a s k e d q u e s t i o n s a n d r e fl e c t i n g o n t h e m , w e d i s c o v e r e d w a y s t h a t w e w a n t e d t o c h a n g e . . . . W e b e g a n t o q u e s t i o n o u r o w n a s s u m p t i o n s . ( p . 1 3 ) S i m i l a r l y , m y i n t e r a c t i o n s w i t h C a t h e r i n e p r o m p t e d h e r t o r e fl e c t o n a n d e x a m i n e h e r c h o i c e s . T e x t b o o k s a s T o o l s f o r T e a c h e r s ' L e a r n i n g : I s s u e s R a i s e s b y C a t h e r i n e ' s C a s e A s t h e p r e c e d i n g d e s c r i p t i o n s a n d a n a l y s e s r e v e a l e d , t h e H B J t e x t h a d a n i m p a c t o n C a t h e r i n e ' s t h i n k i n g a n d p r a c t i c e , a l b e i t t o a l i m i t e d e x t e n t . A s s h e s t r u g g l e d t o fi t 4 ] a m g r a t e f u l f o r S t e v e S m i t h ' s c o n t r i b u t i o n t o m y u n d e r s t a n d i n g o f t h i s r e l a t i o n s h i p . A s h e c h a r a c t e r i z e d i t , C a t h e r i n e h a d m y v o i c e i n h e r h e a d a s s h e p l a n n e d a n d t a u g h t m a t h e m a t i c s . 2 0 9 n e w s u g g e s t i o n s f r o m t h e t e x t i n t o h e r p r a c t i c e a n d t o e n s u r e t h a t h e r s t u d e n t s m e t t h e m w i t h s u c c e s s , s h e f o u n d h e r s e l f r e a s s e s s i n g s o m e o f h e r o w n i d e a s a b o u t m a t h e m a t i c s a n d s t u d e n t s ' l e a r n i n g o f i t . H e r c a s e s u g g e s t s t h a t t e x t b o o k s a n d o t h e r c u r r i c u l u m r e s o u r c e s m i g h t h a v e t h e c a p a c i t y t o i n i t i a t e o r s u p p o r t c h a n g e s i n t e a c h i n g b y p r o v i d i n g t e a c h e r s w i t h a c t i v i t i e s . O n t h e o t h e r h a n d , t h e t e x t d i d n o t i m p a c t a l l a s p e c t s o f C a t h e r i n e ' s m a t h e m a t i c s i n s t r u c t i o n . H e r u s e o f t h e t e x t b o o k a n d i t s c o n s e q u e n t i n fl u e n c e o n h e r t e a c h i n g w e r e s e l e c t i v e . H e r v i e w o f t h e r e f o r m s a s m n e w t o p i c s a n d t e a c h i n g s t r a t e g i e s t o t h e e x t a n t c u r r i c u l u m s u p p o r t e d h e r i n o v e r l o o k i n g t h e c o m p u t a t i o n a l c h a p t e r s i n t h e n e w t e x t , t h u s e n a b l i n g h e r n o t t o r e e x a m i n e h e r i d e a s a b o u t t h e i r p l a c e i n t h e m a t h e m a t i c s c u r r i c u l u m . C a t h e r i n e ' s c a s e s u g g e s t s t h a t t h e r e l a t i o n s h i p b e t w e e n a t e a c h e r ' s p e r c e p t i o n s , b e l i e f s , a n d u n d e r s t a n d i n g s a n d h e r p r a c t i c e c a n fl o w i n b o t h d i r e c t i o n s . 5 A s s t u d i e s o f t e a c h i n g i n t h e c o n t e x t o f r e f o r m h a v e d o c u m e n t e d , t e a c h e r s ' v i e w s c a n b e p o w e r f u l l e n s e s t h a t s h a p e h o w t h e y i n t e r p r e t a n d u s e n e w i n f o r m a t i o n a b o u t t e a c h i n g ( P u t n a m , H e a t o n , P r a w a t , 8 : R e m i l l a r d , 1 9 9 2 ; R a n d C o r p o r a t i o n , 1 9 7 5 ; S a r a s o n , 1 9 8 2 ; S t a k e & E a s e l y , 1 9 7 8 ) a n d w h a t t h e y a r e w i l l i n g t o c o n s i d e r i n a n e w t e x t b o o k ( D o n o v a n , 1 9 8 3 ; P u t n a m , 1 9 9 2 ; R e m i l l a r d , 1 9 9 1 c ; S t e p h e n s , 1 9 8 2 ; W i l s o n , 1 9 9 0 ) . H o w e v e r , C a t h e r i n e ' s c a s e a l s o e x e m p l i fi e s t h e r e l a t i o n s h i p b e t w e e n b e l i e f s a n d p r a c t i c e i n o t h e r , l e s s f r e q u e n t l y d i s c u s s e d w a y s . S h e t r i e d n e w s u g g e s t i o n s t h a t p r o m p t e d c h a n g e s i n h e r t h i n k i n g , r e v e a l i n g t h a t c h a n g e s i n p r a c t i c e c a n l e a d t o c h a n g e s i n b e l i e f s ( M c L a u g h l i n , 1 9 9 0 ; R e m i l l a r d , 1 9 9 2 ; W i e m e r s - J e n n i n g s , 1 9 9 0 ) . C a t h e r i n e ' s c a s e r a i s e s q u e s t i o n s a b o u t w h e n a n d u n d e r w h a t c i r c u m s t a n c e s . H o w d i d t h e t e x t p e n e t r a t e s o m e a s p e c t s o f C a t h e r i n e ' s p r a c t i c e a n d n o t o t h e r s ? T h e s e a r e q u e s t i o n s I e x p l o r e i n C h a p t e r 6 . 5 T h e r e l a t i o n s h i p b e t w e e n o n e ' s b e l i e f s a n d p r a c t i c e i s u s e d o f t e n i n t h e s t u d y o f t e a c h i n g , b u t i t i s n o t u n i q u e t o t e a c h e r s . T h i s r e l a t i o n s h i p a p p l i e s t o d i s t r i c t a d m i n i s t r a t o r s , s t a f f d e v e l o p e r s , t e a c h e r e d u c a t o r s , a n d e d u c a t i o n a l r e s e a r c h e r s - a l l o f w h o m a r e g u i d e d b y t h e i r u n d e r s t a n d i n g s o f t h e w o r l d . B e c a u s e t h e i n t e n t o f t h e p r e s e n t s t u d y w a s t o e x a m i n e t e a c h e r s ' u s e s o f a n d l e a r n i n g f r o m t e x t s , I f o c u s e d o n t h e r e l a t i o n s h i p a s i t a p p l i e s t o t e a c h e r s a n d t e a c h i n g . “ H I H H H H H I I I l l l U H H l l l l l l H H W I l l l l fl l l l l l l l H l l H l fl 3 1 2 9 3 0 1 5 6 8 0 0 L I B R A R Y M i c h i g a n S t a t e U n l v e r s l t y P L A C E N R E T U R N 3 0 1 0 0 r o m a n t h i s c h o c k o u t m o m y o u r r e c o r d . T O A V O I D F I N E S m u m o n o r M o r e d u o d u o . D A T E D U E D A T E D U E D A T E D U E — L a l — J _ : - _ _ : L _ : _ l l l — | | - - - I I — I . M S U I . A n A f fi r m a t i v e A u d e n / E q u a l O p p o r t u n i t y I m w o n C H A N G I N G T E X T S , T E A C H E R S , A N D T E A C H I N G : T H E R O L E O F C U R R I C U L U M M A T E R I A L S I N M A T H E M A T I C S E D U C A T I O N R E F O R M V O L U M E I I B Y J a n i n e T . R e m i l l a r d A D I S S E R T A T I O N S u b m i t t e d t o M i c h i g a n S t a t e U n i v e r s i t y i n p a r t i a l f u l l f i l l m e n t o f t h e r e q u i r e m e n t s f o r t h e d e g r e e o f D O C T O R O F P H I L O S O P H Y D e p a r t m e n t o f T e a c h e r E d u c a t i o n 1 9 9 6 C H A P T E R S I X C U R R I C U L U M D E V E L O P M E N T , T E A C H E R D E V E L O P M E N T , A N D T H E T E X T B O O K : A C R O S S - C A S E A N A L Y S I S H o w d o t e a c h e r s i n t e r a c t w i t h a n d d r a w o n a r e f o r m - o r i e n t e d t e x t , a n d h o w d o e s i t i m p a c t t h e i r t e a c h i n g ? I n w h a t w a y s a n d u n d e r w h a t c i r c u m s t a n c e s c a n a t e x t b o o k o r t e a c h e r ' s g u i d e s u p p o r t t e a c h e r s i n t h e i r e f f o r t s t o c h a n g e t h e i r m a t h e m a t i c s t e a c h i n g ? T h e s e q u e s t i o n s g u i d e d m y e x a m i n a t i o n o f J a c k i e a n d C a t h e r i n e ' s f i r s t y e a r o f u s i n g t h e H 3 ] t e x t . T h e c a s e s c h a r a c t e r i z e d e a c h t e a c h e r ' s i n d i v i d u a l i n t e r a c t i o n s w i t h h e r t e x t b o o k a n d h o w t h e y p l a y e d o u t i n h e r p r a c t i c e . T h e p u r p o s e o f t h i s c h a p t e r i s t o l o o k a c r o s s b o t h c a s e s t o c o n s i d e r w h a t t h e y , a s a p a i r , i m p l y a b o u t t h e r o l e t h a t t e x t s m i g h t p l a y i n s u p p o r t i n g c h a n g e i n m a t h e m a t i c s e d u c a t i o n . I n t h i s c h a p t e r , I t a k e a d i f f e r e n t s t a r t i n g p o i n t t h a n I d i d i n t h e c a s e s . R a t h e r t h a n f o c u s i n g d i r e c t l y o n t h e t e a c h e r s ' i n t e r a c t i o n s w i t h t h e t e x t b o o k , I u s e t h e c a s e s t o e x a m i n e w h a t D o y l e ( 1 9 9 2 ) c a l l e d t h e " c u r r i c u l u m p r o c e s s , " t h a t i s , h o w t h e t e a c h e r s e n a c t e d c u r r i c u l u m i n t h e i r c l a s s r o o m s . I b e g a n w i t h t h e c u r r i c u l u m p r o c e s s b e c a u s e i t i s b y i m p l i c a t i o n t h e k e y t a r g e t o f t h e c u r r e n t r e f o r m s i n m a t h e m a t i c s e d u c a t i o n . I n o r d e r f o r s t u d e n t s t o l e a r n m a t h e m a t i c s d i f f e r e n t l y , t h e i r c l a s s r o o m e x p e r i e n c e s m u s t c h a n g e . C o n s e q u e n t l y , t e x t b o o k s d e s i g n e d t o f a c i l i t a t e s u c h c h a n g e i n t e a c h i n g a n d i n t e a c h e r s m u s t c o n t r i b u t e t o t h e c u r r i c u l u m d e v e l o p m e n t p r o c e s s . I n t h i s c h a p t e r , m y g o a l i s t o d e v e l o p a n u n d e r s t a n d i n g o f t h i s p r o c e s s , a s w e l l a s t h e v a r i o u s f a c t o r s t h a t s h a p e i t , i n o r d e r t o c o n s i d e r t h e r o l e s t h a t t e x t b o o k s o r o t h e r c u r r i c u l u m m a t e r i a l s m i g h t p l a y . I n d o i n g s o , I h o p e t o d r a w t o g e t h e r t w o d o m a i n s o f r e s e a r c h d i s c u s s e d i n C h a p t e r 1 . T h e fi r s t d o m a i n e x a m i n e s t e a c h e r s ' u s e o f c u r r i c u l u m m a t e r i a l s a n d 2 1 0 2 1 1 c o n s i d e r s w h i c h a s p e c t s o f t e x t s t h e y d r a w o n ( F r e e m a n 8 : : P o r t e r , 1 9 8 9 ; M c C u t c h e o n , 1 9 8 1 ; S t o d o l s k y , 1 9 8 9 ; S o s n i a k 8 : S t o d o l s k y , 1 9 9 3 ) , t h e f a c t o r s t h a t i n fl u e n c e t h e s e c h o i c e s ( D o n o v a n , 1 9 8 3 ; P u t n a m , 1 9 9 2 ; R e m i l l a r d , 1 9 9 1 ; S t e p h e n s , 1 9 8 2 ) , t h e i m p a c t t e x t s h a v e o n t e a c h e r s ( B a l l 8 r F e i m a n - N e m s e r , 1 9 8 8 ) , a n d h o w t e a c h e r s m i g h t o v e r c o m e t h e r e s t r i c t i v e c o n t r o l o f p u b l i s h e d c u r r i c u l u m m a t e r i a l s ( B e n - P e r e t z , 1 9 9 0 ) . T h e f o c u s i s g e n e r a l l y o n t h e i n t e r a c t i o n o f t e a c h e r s a n d t e x t s a n d h o w t e a c h e r s m a k e s e n s e o f t h e i r t e x t s . T h e s e c o n d d o m a i n f o c u s e s o n c u r r i c u l u m p r o c e s s e s i n e d u c a t i o n ( D o y l e , 1 9 9 2 ) . R e s e a r c h e r s f r o m t h i s p e r s p e c t i v e v i e w t h e c u r r i c u l u m a s t h e a c t u a l e v e n t s t e a c h e r s a n d s t u d e n t s c r e a t e a n d e x p e r i e n c e i n t h e c l a s s r o o m a s w e l l a s t h e t e a c h e r a s t h e c u r r i c u l u m m a k e r ( C l a n d i n i n 8 : C o n n e l l y , 1 9 9 2 ) . T h i s r e s e a r c h a l s o e x a m i n e s t h e r o l e o f t h e t e a c h e r i n c r e a t i n g o r e n a c t i n g c u r r i c u l u m i n t h e c l a s s r o o m ( D o y l e , 1 9 9 2 ; G o l d e n , 1 9 8 8 ; L e m k e , 1 9 9 0 ; S n y d e r , B o l i n , 8 : Z u m w a l t , 1 9 9 2 ) . T h e i r f o c u s i s l e s s o n t h e t e a c h e r - t e x t b o o k r e l a t i o n s h i p a n d m o r e o n t h e t e a c h e r - c u r r i c u l u m r e l a t i o n s h i p , t h a t i s t h e t e x t s t e a c h e r s w r i t e i n t h e c l a s s r o o m . 1 D r a w i n g t h e s e t w o d o m a i n s o f r e s e a r c h t o g e t h e r i m p o s e s t w i s t s o n t h e c o n v e n t i o n a l u s e s o f s e v e r a l t e r m s . T h e s e d i f f e r e n t m e a n i n g s a l l o w o n e t o l o o k a t t h e a c t i v i t y o f t e a c h e r s f r o m n e w p e r s p e c t i v e s . I n u s i n g t h e t e r m t e x t s t o d e s c r i b e w h a t t e a c h e r s w r i t e i n t h e c l a s s r o o m , f o r e x a m p l e , I a m r e f e r r i n g t o n e i t h e r a m a t e r i a l t e x t n o r t h e p h y s i c a l a c t o f w r i t i n g . R a t h e r , I a m r e f e r r i n g t o t h e n o n p h y s i c a l p r o d u c t s o f t e a c h e r s ' i n s t r u c t i o n a l a c t i o n s a n d t a l k . M y i n t e n t i s t o j u x t a p o s e t h e m w i t h t h e v e r y c o n c r e t e M b o o k s d e s i g n e d t o s h a p e o r r e p r e s e n t i n s t r u c t i o n a l a c t i v i t y . S i m i l a r l y , r e s e a r c h e r s i n t h e s e t w o d o m a i n s o f t e n u s e t h e t e r m c u r r i c u l u m d i f f e r e n t l y . C u r r i c u l u m i n t h e f i r s t d o m a i n g e n e r a l l y r e f e r s t o t h e f o r m a l ( D o y l e , 1 9 9 2 ) o r p l a n n e d c u r r i c u l u m ( G e h r k e , K n a p p , 8 t S i r o t n i k , 1 9 9 2 ) . I n t h e s e c o n d d o m a i n , i t r e f e r s t o t h a t w h i c h i s e n a c t e d i n t h e c l a s s r o o m ( G e h r k e , K n a p p , 8 : S i r o t n i k , 1 9 9 2 ; S n y d e r , B o l i n , 8 : Z u m w a l t , 1 I n h e r a n a l y s i s o f h o w t e a c h e r s e n a c t c u r r i c u l u m i n s t o r y - r e a d i n g l e s s o n s , G o l d e n ( 1 9 8 8 ) r e f e r r e d t o t h e t e a c h e r s ' i n s t r u c t i o n a l m o v e s a n d t h e m e s a s " i n s t r u c t i o n a l t e x t s , " w h i c h s h e c o n t r a s t e d w i t h t h e w r i t t e n t e x t s t h e t e a c h e r s u s e d t o g u i d e t h e l e s s o n . I n s t r u c t i o n a l t e x t s , s h e a r g u e d , o f f e r t h e t e a c h e r ' s i n t e r p r e t a t i o n o f t h e w r i t t e n t e x t . 2 1 2 1 9 9 2 ) . M y u s e o f t h e t e r m c u r r i c u l u m i n t h i s c h a p t e r p r i m a r i l y r e f e r s t o t h e e x p e r i e n c e s e n a c t e d b y t h e t e a c h e r i n r e s p o n s e t o s t u d e n t s . C e n t r a l t o m y a n a l y s i s i s a n e x t e n s i o n o f t h e t e r m r e a d i n g b e y o n d i t s c o n v e n t i o n a l u s a g e . G e n e r a l l y , r e a d i n g r e f e r s t o m a k i n g m e a n i n g t h r o u g h e n g a g i n g w r i t t e n t e x t . S c h o l a r s o f r e a d i n g d e s c r i b e i t a s a p r o c e s s t h a t i s d y n a m i c a n d c o n s t r u c t i v e , i n v o l v i n g i n t e r a c t i o n b e t w e e n t h e r e a d e r a n d t h e t e x t a n d s i t u a t e d w i t h i n a p a r t i c u l a r c o n t e x t ( P e a r s o n 8 : S t e p h e n s , 1 9 9 4 ; R o s e n b l a t t , 1 9 9 4 ) . 2 R e a d i n g i s a p r o c e s s i n w h i c h r e a d e r s " u s e t h e i r e x i s t i n g k n o w l e d g e a n d a r a n g e o f c u e s f r o m t h e t e x t a n d t h e s i t u a t i o n a l c o n t e x t i n w h i c h t h e r e a d i n g o c c u r s " t o c o n s t r u c t m e a n i n g f r o m w r i t t e n t e x t ( D o l e , D u f f y , R o e h l e r , 8 : P e a r s o n , 1 9 9 1 , p . 2 4 1 ) . T h i s d e s c r i b e s w h a t h a p p e n e d w h e n J a c k i e a n d C a t h e r i n e r e a d t h e t e x t b o o k . T h e m e a n i n g s t h e y c o n s t r u c t e d g r e w o u t o f i n t e r a c t i o n s b e t w e e n t h e i r b e l i e f s , a s w e l l a s w h a t t h e y a c t u a l l y a t t e n d e d t o i n t h e t e x t b o o k a n d w e r e s i t u a t e d i n t h e l a r g e r c o n t e x t o f t h e i r t e a c h i n g . T h e t e x t b o o k , h o w e v e r , w a s n o t a l l t h e t e a c h e r s g a g i n t h e p r o c e s s o f e n a c t i n g c u r r i c u l u m . T h e i r c u r r i c u l a r d e c i s i o n s a l s o w e r e i n fl u e n c e d b y t h e m e a n i n g s t h e y m a d e f r o m o b s e r v i n g a n d i n t e r a c t i n g w i t h t h e i r s t u d e n t s a s t h e y w o r k e d o n m a t h e m a t i c a l t a s k s . I n t h i s s e n s e , t h e t e a c h e r s r e a d s t u d e n t s a n d t h e i r m a t h e m a t i c a l a c t i v i t i e s , a s w e l l a s w r i t t e n s u g g e s t i o n s i n t h e t e x t b o o k , i n t h e p r o c e s s o f c o n s t r u c t i n g c u r r i c u l u m . A s w i t h a l l r e a d i n g , t h e m e a n i n g s t h e y c o n s t r u c t e d a f f e c t e d t h e b e l i e f s a n d k n o w l e d g e t h e y b r o u g h t t o t h e i r r e a d i n g . B l o o m e a n d E g a n - R o b e r t s o n ( 1 9 9 3 ) p o s i t e d : " T h e m e a n i n g o f a n u t t e r a n c e o r o t h e r l a n g u a g e a c t d e r i v e s n o t f r o m t h e c o n t e n t o f i t s w o r d s , b u t r a t h e r f r o m i t s i n t e r p l a y w i t h w h a t w e n t b e f o r e a n d w h a t w i l l c o m e l a t e r " ( p . 3 0 9 ) . T h i s c h a p t e r i s d i v i d e d i n t o t w o p a r t s . I n t h e f i r s t p a r t , I d r a w o n t h e c a s e s i n o r d e r t o a r t i c u l a t e a m o d e l f o r t e a c h e r s ' c u r r i c u l u m d e v e l o p m e n t p r o c e s s e s . M y i n t e n t i s t w o f o l d : t o p r o v i d e a t h e o r e t i c a l f r a m e f o r e x a m i n i n g t h e v a r i o u s p i e c e s o f t e a c h e r s ‘ 2 R e a d i n g s c h o l a r s d i s a g r e e a b o u t t h e e x t e n t t o w h i c h r e a d i n g i s c o g n i t i v e o r s o c i a l a n d w h e t h e r m e a n i n g r e s i d e s i n t h e r e a d e r o r t h e t e x t . M o s t , h o w e v e r , d e s c r i b e i t a s d y n a m i c , i n t e r a c t i v e , c o n s t r u c t i v e , a n d c o n t e x t u a l l y s i t u a t e d . 2 1 3 c u r r i c u l u m d e v e l o p m e n t a n d t o c o n s i d e r w h a t w e n t i n s i d e t h i s f r a m e f o r t h e t e a c h e r s i n t h i s s t u d y . T h i s f r a m e i n c l u d e s , b u t i s n o t l i m i t e d t o , t h e r o l e t h e t e x t b o o k p l a y s . U n d e r l y i n g t h i s f r a m e i s m y a s s u m p t i o n t h a t t e a c h e r s m e d i a t e t e x t b o o k s ' c o n t r i b u t i o n s t o s t u d e n t s ' m a t h e m a t i c a l l e a r n i n g . T h u s , e x a m i n i n g C a t h e r i n e ' s a n d J a c k i e ' s a c t i v i t i e s w i t h i n t h i s f r a m e a l l o w s o n e t o l o o k a t p a t t e r n s a n d d i s t i n c t i o n s a c r o s s t w o d i f f e r e n t t e a c h e r s . I n t h e s e c o n d , p a r t I l o o k a t t h i s d y n a m i c f r o m t h e o t h e r d i r e c t i o n , t h a t i s , h o w t h e t e a c h e r s ' c u r r i c u l u m d e v e l o p m e n t p r o c e s s e s i m p a c t e d t h e m a n d t h e i r t e a c h i n g . T h i s a n a l y s i s i s i m p o r t a n t b e c a u s e o f t h e c u r r e n t r e f o r m c o n t e x t . I f c h a n g e i s t o o c c u r i n t h e c u r r i c u l u m t h a t t e a c h e r s e n a c t i n t h e c l a s s r o o m , i t m u s t d o s o t h r o u g h t h e i r c u r r i c u l u m d e v e l o p m e n t a c t i v i t i e s . H e r e , t o o , b o t h t e a c h e r s ' r e a d i n g p l a y e d a s i g n i f i c a n t r o l e i n s t i m u l a t i n g c h a n g e . B e c a u s e m y c e n t r a l q u e s t i o n i s a b o u t t h e r o l e o f t e x t b o o k s , I i n c l u d e e x a m i n a t i o n s o f t h e t e x t b o o k i n l i g h t o f m y a n a l y s i s . I n t h e s e s e c t i o n s , I d r a w o n m y a n a l y s i s o f t h e H 8 ] t e x t b o o k i n C h a p t e r 3 i n o r d e r t o c o n s i d e r h o w t h e n a t u r e o f t h i s p a r t i c u l a r t e x t c o n t r i b u t e d t o t h e t e a c h e r s ' r e a d i n g a n d t h e r e l a t e d c h a n g e s o b s e r v e d t h r o u g h o u t t h e y e a r . T h i s a n a l y s i s c a n l a y t h e g r o u n d w o r k f o r s p e c u l a t i n g o n h o w t e a c h e r s m i g h t i n t e r a c t d i f f e r e n t l y w i t h d i f f e r e n t l y d e s i g n e d c u r r i c u l u m m a t e r i a l s . T h e T e a c h e r ' s R o l e i n C u r r i c u l u m D e v e l o p m e n t D e s p i t e t h e d i f f e r e n t w a y s t h a t J a c k i e a n d C a t h e r i n e d r e w o n a n d u s e d t h e H E ] t e x t , t h e i r a c t i v i t y i n r e l a t i o n t o p l a n n i n g a n d t e a c h i n g m a t h e m a t i c s c a n b e u n d e r s t o o d s i m i l a r l y a s a c t i v i t i e s o f c u r r i c u l u m d e v e l o p m e n t . T h i s i s t h e p r o c e s s b y w h i c h t e a c h e r s d e v e l o p c u r r i c u l a r p l a n s a n d i d e a l s a n d t r a n s l a t e t h e m i n t o c l a s s r o o m e v e n t s , i n c l u d i n g h o w t h e y u s e r e s o u r c e s s u c h a s t e x t b o o k s o r o t h e r c u r r i c u l u m m a t e r i a l s . T h e w a y i n w h i c h I a m u s i n g t h e c o n s t r u c t o f c u r r i c u l u m d e v e l o p m e n t a s s u m e s a v i e w o f c u r r i c u l u m a s t h e a c t u a l e v e n t s e n a c t e d i n t h e c l a s s r o o m w i t h s t u d e n t s ( D o y l e , 1 9 9 2 ; C o m b l e t h , 1 9 8 8 ; P o s n e r , 1 9 8 8 ; S n y d e r , B o l i n , 8 : Z u m w a l t , 1 9 9 2 ) , o r , a s J a c k i e a n d C a t h e r i n e i l l u s t r a t e , " a n e v o l v i n g c o n s t r u c t i o n " t h a t e m e r g e s f r o m i n t e r a c t i o n s a m o n g t e a c h e r s a n d s t u d e n t s ( Z u m w a l t , 1 9 8 9 , p . 1 7 5 ) . T h u s , t h e c u r r i c u l u m d e v e l o p m e n t 2 1 4 p r o c e s s p l a n s a n d s h a p e s w h a t s t u d e n t s e x p e r i e n c e i n t h e c l a s s r o o m . B e c a u s e I a d d r e s s t h e m a t h e m a t i c s c u r r i c u l u m , t h e d i s c u s s i o n f o c u s e s o n w h a t s t u d e n t s e x p e r i e n c e i n t h e c l a s s r o o m t h a t r e l a t e s t o l e a r n i n g o f o r a b o u t m a t h e m a t i c s . 3 T h e t e r m " c u r r i c u l u m d e v e l o p m e n t " i s o f t e n u s e d t o d e s c r i b e t h e w o r k o f p e o p l e w h o w r i t e t e x t b o o k s o r m a t e r i a l s d e s i g n e d t o g u i d e t e a c h e r s i n t h e i r t e a c h i n g . T h u s , i n t a l k i n g a b o u t t e a c h e r s a s c u r r i c u l u m d e v e l o p e r s , I s u g g e s t t h a t t h e c u r r i c u l u m d e v e l o p m e n t p r o c e s s d o e s n o t s t o p w h e n t e x t b o o k s a r e p r i n t e d , r a t h e r , i t c o n t i n u e s w i t h t h e t e a c h e r i n t h e c l a s s r o o m . M y h o p e i n u s i n g t h e t e r m i s t o b u i l d o n B e n - P e r e t z ' s ( 1 9 9 0 ) c o n c e p t i o n o f t h e t e a c h e r ' s r o l e i n c u r r i c u l u m d e v e l o p m e n t . S h e a r g u e d t h a t t h e r e a r e t w o l e v e l s o f c u r r i c u l u m d e v e l o p m e n t . T h e f i r s t l e v e l i s w h a t c u r r i c u l u m w r i t e r s o r t e a c h e r s d o w h e n c o n c e p t u a l i z i n g c u r r i c u l a r p l a n s a n d t h e n w r i t i n g t h e m i n r e s o u r c e s f o r t e a c h e r s . G e h r k e , K n a p p , a n d S i r o t n i k ( 1 9 9 2 ) c a l l e d t h i s t h e " p l a n n e d c u r r i c u l u m . " T h e s e c o n d l e v e l i s w h a t t e a c h e r s d o w h e n t h e y a l t e r , a d a p t , o r t r a n s l a t e t e x t b o o k o f f e r i n g s t o m a k e t h e m a p p r o p r i a t e f o r t h e i r s t u d e n t s . I n h e r d i s c u s s i o n o f t h e t e a c h e r ' s r o l e i n c u r r i c u l u m d e v e l o p m e n t , B e n - P e r e t z r e f e r r e d t o t h e d e l i b e r a t e a c t i o n s o f t e a c h e r s w h o l e a r n e d t o " u n c o v e r t h e p o t e n t i a l o f c u r r i c u l u m m a t e r i a l s s o t h a t t h e s e c a n b e r e c o n s t r u c t e d f o r p a r t i c u l a r s t u d e n t s a n d f o r s p e c i f i c c l a s s r o o m s i t u a t i o n s . " S u c h a p r o c e s s i n v o l v e s s e e i n g t e x t s a s " m o r e t h a n t h e e m b o d i m e n t o f t h e i r d e v e l o p e r s ' i n t e n t i o n s " ( p . x i v ) a n d t h e n t r a n s l a t i n g c u r r i c u l a r i d e a l s t h a t a r e p l a n n e d o r w r i t t e n b y o t h e r s i n t o i d e a l s t h a t t h e t e a c h e r a c t u a l l y i n t e n d s . S i n c e c u r r i c u l u m i s t h a t w h i c h i s e n a c t e d i n t h e c l a s s r o o m , m y o b s e r v a t i o n s o f J a c k i e a n d C a t h e r i n e s u g g e s t t h a t t h e t e a c h e r ' s r o l e a s c u r r i c u l u m d e v e l o p e r i n v o l v e s m o r e t h a n s e l e c t i n g a n d r e d e s i g n i n g c u r r i c u l u m p l a n s ; i t i n v o l v e s e n a c t i n g t h e m i n t h e c l a s s r o o m w i t h , a n d i n r e s p o n s e t o , 3 m t h e m a t h e m a t i c s c u r r i c u l u m i s i s n o t " c u t a n d d r i e d . " I t i n c l u d e s , b u t i s n o t l i m i t e d t o , s t u d e n t s ' e x p e r i e n c e s d u r i n g t h e d a i l y 4 5 t o 6 0 m i n u t e s i n t h e s c h o o l d a y d e v o t e d t o f o r m a l m a t h . S t u d e n t s ' l e a r n i n g o f o r a b o u t m a t h e m a t i c s m o s t l i k e l y i s w o v e n a c r o s s t h e s c h o o l d a y e x p l i c i t l y a n d t a c i t l y . S t u d e n t s m i g h t l e a r n m a t h t h r o u g h r e l a t e d a c t i v i t i e s i n o t h e r s u b j e c t s s u c h a s m e a s u r i n g , c o u n t i n g , t o t a l i n g , a n d c o m p a r i n g . T h e y a l s o l e a r n a b o u t m a t h t h r o u g h t h e s e a c t i v i t i e s , a s w e l l a s h o w m a t h i s t r e a t e d a n d s i t u a t e d w i t h r e s p e c t t o o t h e r s u b j e c t s . F o r e x a m p l e , C a t h e r i n e ' s s e p a r a t i o n o f p r o b l e m s o l v i n g f r o m h e r m o r e c o n v e n t i o n a l m a t h l e s s o n s l i k e l y r e p r e s e n t s i d e a s a b o u t w h a t m a t h i s a n d i s n o t t o s t u d e n t s . 2 1 5 s t u d e n t s . I n t h i s p r o c e s s , t h e c u r r i c u l u m a c t u a l l y c o n s t r u c t e d i s r e s p o n s i v e , i n t e r a c t i v e , a n d e m e r g e n t t o t h e e x t e n t t h a t i t i s i m p o s s i b l e t o c a p t u r e i t o n a w r i t t e n p a g e . E v e n a t e a c h e r w h o s e e m s t o b e f o l l o w i n g t h e t e x t b o o k s u g g e s t i o n s a s c l o s e l y a n d c a r e f u l l y a s p o s s i b l e i s m a k i n g c u r r i c u l u m d e v e l o p m e n t c h o i c e s . M y a i m i n t h i s s e c t i o n i s t o a r t i c u l a t e a p r o c e s s o f c u r r i c u l u m d e v e l o p m e n t t h a t a p p l i e s t o b o t h C a t h e r i n e a n d J a c k i e . I u s e m y a n a l y s e s o f t h e s e t e a c h e r s t o d e v e l o p a m o d e l o f t h e c o m p o n e n t s o f t h e c u r r i c u l u m d e v e l o p m e n t p r o c e s s t h a t i s r e l e v a n t t o t e a c h e r s a n d m a t h e m a t i c s t e a c h i n g i n g e n e r a l . A n d , a t t h e s a m e t i m e , I a i m t o c o n s i d e r t h e i s s u e s t h a t J a c k i e ' s a n d C a t h e r i n e ' s a c t i v i t i e s w i t h i n t h i s m o d e l r a i s e a b o u t t h e r o l e o f c u r r i c u l u m m a t e r i a l s i n r e f o r m . M y a n a l y s e s r e v e a l e d t h r e e a r e n a s i n w h i c h t h e t e a c h e r s e n g a g e d i n c u r r i c u l u m d e v e l o p m e n t : t h e d e s i g n a r e n a , t h e c o n s t r u c t i o n a r e n a , a n d t h e m a p p i n g a r e n a . E a c h a r e n a d e f i n e s a p a r t i c u l a r a s p e c t o f t h e c u r r i c u l u m d e v e l o p m e n t p r o c e s s a b o u t w h i c h t e a c h e r s e x p l i c i t l y o r i m p l i c i t l y m a k e d e c i s i o n s . T h e d e s i g n a r e n a i n v o l v e d s e l e c t i n g a n d d e s i g n i n g t a s k s f o r s t u d e n t s . T h e c o n s t r u c t i o n a r e n a i n v o l v e d t h e a c t u a l c o n s t r u c t i o n o f t h e c u r r i c u l u m b y e n a c t i n g t h e s e t a s k s i n t h e c l a s s r o o m a n d r e s p o n d i n g t o s t u d e n t s ' e n c o u n t e r s w i t h t h e m . T h e m a p p i n g a r e n a i n v o l v e d c h o i c e s t h a t d e t e r m i n e d t h e o r g a n i z a t i o n a n d c o n t e n t o f t h e p l a n n e d c u r r i c u l u m . U n l i k e t h e fi r s t t w o , t h e m a p p i n g a r e n a i s n o t d i r e c t l y r e l a t e d t o d a i l y , c l a s s r o o m e v e n t s , b u t i t i m p a c t s a n d i s i m p a c t e d b y t h e m . F o r C a t h e r i n e a n d J a c k i e , t h e a c t i v i t y o f t h i s a r e n a w a s l e s s a p p a r e n t t h a n t h a t o f t h e o t h e r t w o b e c a u s e i t i n v o l v e d c h o i c e s t h a t w e r e n o t a l w a y s e x p l i c i t a n d t h a t t h e t e a c h e r s m a d e t h r o u g h o u t t h e y e a r . T h e i r d e c i s i o n s i n t h i s a r e n a c r e a t e d t h e m a t h e m a t i c a l c o n t e x t s i n w h i c h t h e i r a c t i v i t i e s i n t h e o t h e r t w o a r e n a s o c c u r r e d . E v e n t h o u g h I a m u s i n g t h e s e t h r e e a r e n a s t o d e l i n e a t e d i s t i n c t a s p e c t s o f t h e c u r r i c u l u m d e v e l o p m e n t p r o c e s s , I d o n o t i n t e n d t o s u g g e s t t h a t t h e d e c i s i o n s i n e a c h n e c e s s a r i l y o c c u r s e r i a l l y o r d i s t i n c t l y . M a k i n g a p a r t i c u l a r t a s k s e l e c t i o n , f o r e x a m p l e , m i g h t h a v e t h e e f f e c t o f a d j u s t i n g o n e ' s c u r r i c u l u m m a p . S i m i l a r l y , t h e p r o c e s s o f e n a c t i n g a 2 1 6 p a r t i c u l a r t a s k i s l i k e l y t o l e a d t o f u r t h e r t a s k s e l e c t i o n , a s w e l l a s p o s s i b l e c h a n g e s i n t h e c u r r i c u l u m m a p . B e l o w I d e s c r i b e t h e d o m a i n o f e a c h o f t h e s e a r e n a s a n d t h e n i l l u s t r a t e h o w t h e y p l a y e d o u t i n C a t h e r i n e ' s a n d J a c k i e ' s t e a c h i n g . fl a s k S e l e c t i o n i n t h _ e D e s i g n A r e n a T a s k s e l e c t i o n o c c u r r e d i n t h e d e s i g n a r e n a o f c u r r i c u l u m d e v e l o p m e n t . I t i n c l u d e d s e l e c t i n g , a l t e r i n g , a n d c o n s t r u c t i n g t a s k s — t h e a c t i v i t i e s t e a c h e r s g i v e s t u d e n t s t o d o . T h e s e a c t i v i t i e s m i g h t b e s i n g l e p r o b l e m s d e s i g n e d t o s p a r k e x p l o r a t i o n o r t e a c h e r - l e d p a t h s t h r o u g h s e t s o f s t r a i g h t f o r w a r d q u e s t i o n s p o s e d i n t h e t e x t . T h e t a s k s t h a t t e a c h e r s s e l e c t , r e g a r d l e s s o f t h e e x t e n t t o w h i c h t h e y d i f f e r f r o m t h o s e d e s c r i b e d i n t h e t e x t b o o k , r e p r e s e n t a s s u m p t i o n s a b o u t c o n t e n t a n d p e d a g o g y , t h a t i s , w h a t s t u d e n t s s h o u l d l e a r n a n d h o w t h e y s h o u l d l e a r n i t . T a s k s e l e c t i o n , t h e n , i s t h e p r o c e s s t h r o u g h w h i c h a t e a c h e r g i v e s p u r p o s e t o a p r o p o s e d a c t i v i t y i n t h e t e x t o r c r e a t e s h e r o w n . I t i s a n o n - g o i n g , t e a c h e r - m e d i a t e d l i n k b e t w e e n t h e p l a n n e d ( G e h r k e , K n a p p , 8 : S i r o t n i k , 1 9 9 2 ) c u r r i c u l u m , a s c o n c e i v e d b y t e x t b o o k w r i t e r s o r p o l i c y m a k e r s , a n d t h e c u r r i c u l u m a c t u a l l y e n a c t e d b y t h e t e a c h e r . T h e r o l e o f t h e t e a c h e r i n t h i s p r o c e s s i s e x e m p l i fi e d i n t h e s t r i k i n g l y d i f f e r e n t w a y s C a t h e r i n e a n d J a c k i e u s e d t h e H B J t e x t b o o k I n t h e f o l l o w i n g ' s e c t i o n s , l c h a r a c t e r i z e a n d c o m p a r e t h e t w o t e a c h e r s ' a p p r o a c h e s t o t a s k s e l e c t i o n a n d t h e r o l e t h a t t h e t e x t p l a y e d . I n a c c o u n t i n g f o r t h e i r d i f f e r e n c e s , I a r g u e t h a t u n d e r l y i n g t h e m a r e d i f f e r e n t w a y s o f g a _ d i p g t h e t e x t . M y i n t e n t i s t h a t i n i l l u m i n a t i n g t h e m e a n i n g o f r e a d i n g , a s i t a p p l i e s t o t h e s e t w o t e a c h e r s , I m i g h t d e v e l o p a l e n s t o e x a m i n e a n d d e s c r i b e h o w t e a c h e r s m a k e s e n s e o f c u r r i c u l u m m a t e r i a l s . T w o A p p r o a c h e s t o t a s k S e l e c t i o n C a t h e r i n e a n d J a c k i e i l l u s t r a t e t w o d i s t i n c t a p p r o a c h e s t o t a s k s e l e c t i o n t h a t i n v o l v e d d i f f e r e n t w a y s o f r e a d i n g t h e t e x t a n d , c o n s e q u e n t l y , d r a w i n g d i f f e r e n t i t e m s f r o m i t . I n t h e f o l l o w i n g d e s c r i p t i o n s , I u s e e x a m p l e s f r o m e a c h c a s e . T h e c l a s s i f i c a t i o n s f o r t a s k s e l e c t i o n ( a p p r o p r i a t i o n a n d i n v e n t i o n ) s e r v e a s t h e o r e t i c a l l e n s e s f o r 2 1 7 u n d e r s t a n d i n g t e a c h e r s ' i n t e r a c t i o n s w i t h m a t h e m a t i c s t e x t s a r o u n d t h e s e l e c t i o n a n d d e s i g n o f t a s k s . O t h e r w a y s f o r t e a c h e r s t o s e l e c t t a s k s a r e l i k e l y , b u t t h e s e t w o p r o v i d e o n e i n s t a n c e o f t h e v a r i a t i o n i n r e a d i n g a n d u s i n g a t e x t i n t h e d e s i g n a r e n a . C a t h e r i n e : T a s k a p p r o p r i a t i o n . W h e n t e a c h i n g t o p i c s o t h e r t h a n t h e f o u r o p e r a t i o n s , C a t h e r i n e c o n s t r u c t e d t a s k s b y s e l e c t i n g a n d d r a w i n g t h e m f r o m t h e t e x t b o o k a n d i n s e r t i n g t h e m i n t o h e r t e a c h i n g . H e r c o m m i t m e n t t o i n c o r p o r a t i n g c e r t a i n r e f o r m - r e l a t e d t o p i c s i n t o h e r m a t h e m a t i c s i n s t r u c t i o n , a s w e l l a s h e r f a i t h i n t h e t e x t t o p r o v i d e t a s k s t h a t e m b o d i e d t h e s e t o p i c s , i m p e l l e d h e r t o u s e t a s k s i n t h e t e x t . T a s k s e l e c t i o n f o r C a t h e r i n e i n v o l v e d a p r o c e s s o f a p p r o p r i a t i n g t h o s e s h e c h o s e f r o m t h e t e x t . T h e s e t a s k s i n c l u d e d t h e p r o b l e m s o f t h e d a y , a s w e l l a s m a n y f o u n d i n t h e n o n c o m p u t a t i o n a l c h a p t e r s . A s I d e s c r i b e d i n h e r c a s e , e v e n w h e n s h e d i d n o t f u l l y a g r e e w i t h o r u n d e r s t a n d t h e i n t e n t b e h i n d t h e p a r t i c u l a r t a s k s , s h e u s e d t h e m b e c a u s e t h e y r e p r e s e n t e d a s p e c t s o f t h e r e f o r m s s h e s o u g h t t o a d d t o h e r t e a c h i n g . T h r o u g h u s i n g t h e m , s h e g a v e t h e m h e r o w n p u r p o s e , w h i c h , i n g e n e r a l , w a s f o r t h e s t u d e n t s t o c o m p l e t e t h e m s u c c e s s f u l l y , p r o d u c i n g t h e a n s w e r p r i n t e d i n t h e t e a c h e r ' s g u i d e . T h e o n l y i n s t a n c e s i n w h i c h C a t h e r i n e d i d n o t a p p r o p r i a t e t a s k s f r o m t h e t e x t w a s w h e n t e a c h i n g c o m p u t a t i o n a l t o p i c s . T h e n s h e r e l i e d o n h e r o w n p e d a g o g i c a l r e p e r t o i r e t o t e a c h t h e p r o c e d u r a l s t e p s . I n t h i s d i s c u s s i o n , h o w e v e r , I f o c u s o n h e r e f f o r t s t o i n c o r p o r a t e t o p i c s a s s o c i a t e d w i t h t h e r e f o r m s i n t o h e r t e a c h i n g . C a t h e r i n e ' s a p p r o a c h t o t a s k s e l e c t i o n c a n b e d e s c r i b e d b e s t a s a p r o c e s s o f a p p r o p r i a t i o n b e c a u s e i t i m p l i e s t a k i n g p o s s e s s i o n o f s o m e t h i n g o r m a k i n g i t o n e ' s o w n . T h e c e n t r a l i d e a i n t a s k a p p r o p r i a t i o n i s t h a t t h e t e a c h e r i n t e n d s t o d r a w t h e t a s k f r o m t h e t e x t a i l s . A p p r o p r i a t i o n i s o f t e n r e f e r r e d t o a s " f o l l o w i n g " t h e t e x t . I h a v e n o t u s e d t h i s t e r m b e c a u s e , a s I l a t e r s u g g e s t w i t h J a c k i e , f o l l o w i n g t h e t e x t d o e s n o t n e c e s s a r i l y i n v o l v e a p p r o p r i a t i o n . T h e p r o b l e m t h a t C a t h e r i n e u s e d o n D e c e m b e r 3 r d p r o v i d e s a g o o d e x a m p l e o f h e r g e n e r a l a p p r o a c h . T h e t e x t b o o k l e s s o n w a s o n e o f t h e t w o p r o b l e m - s o l v i n g l e s s o n s f o u n d i n e a c h c h a p t e r . W a n t i n g t o i n c o r p o r a t e m o r e p r o b l e m 2 1 8 s o l v i n g i n h e r m a t h e m a t i c s i n s t r u c t i o n , s h e f o l l o w e d t h e s u g g e s t i o n s i n t h e t e a c h e r ' s g u i d e w h i l e w a l k i n g t h e s t u d e n t s t h r o u g h e a c h s t e p o f t h e p r o b l e m - s o l v i n g p r o c e s s . A s I d e s c r i b e i n g r e a t e r d e t a i l l a t e r , a p p r o p r i a t i n g t a s k s a l s o i n v o l v e s b r i n g i n g o n e ' s o w n m e a n i n g a n d p u r p o s e t o t h e m s i n c e g i v i n g c o n c r e t e f o r m t o a n y t a s k o f f e r e d i n a t e x t r e q u i r e s m a k i n g a d d i t i o n s a n d a d j u s t m e n t s . T h u s , i t i s l i k e l y t h a t t e a c h e r s a p p r o p r i a t i n g t h e s a m e t a s k s f r o m t h e s a m e t e x t w o u l d i n t e r p r e t a n d e n a c t t h e m d i f f e r e n t l y . F i g u r e 6 . 1 i l l u s t r a t e s C a t h e r i n e ' s a p p r o a c h t o a p p r o p r i a t i n g t a s k s f r o m t h e t e x t . C a t h e r i n e V R e a d s t a s k s i n t e x t i S e l e c t s t a s k s t h a t r e fl e c t h e r v i e w o f t h e e m p h a s e s o f t h e r e f o r m s l E n a c t m e n t F i g u r e 6 . 1 . C a t h e r i n e ' s a p p r o a c h t o t a s k s e l e c t i o n l a c k i e : T a s k i n v e n t i o n . U n l i k e C a t h e r i n e , J a c k i e d i d n o t s e l e c t a n d u s e t a s k s f r o m t h e t e x t . R a t h e r , s h e u s e d t h e t e x t a s a s o u r c e o f m a t h e m a t i c a l a n d r e p r e s e n t a t i o n a l i d e a s f r o m w h i c h s h e a d a p t e d a n d d e v e l o p e d t a s k s f o r t h e c l a s s . T h e s e i d e a s r a n g e d f r o m m a t h e m a t i c a l c o n c e p t s o r r e l a t i o n s h i p s s h e b e l i e v e d h e r s t u d e n t s n e e d e d i n o r d e r t o u n d e r s t a n d , t o c o n c r e t e w a y s t o r e p r e s e n t t h e m o r f a c i l i t a t e s t u d e n t s ' e x p l o r a t i o n o f t h e m . B e c a u s e s h e b e l i e v e d t h e r e f o r m s w e r e a i m e d a t d e v e l o p i n g s t u d e n t s ' 2 1 9 u n d e r s t a n d i n g s o f m a t h e m a t i c a l i d e a s a n d r e l a t i o n s h i p s , s h e r e j e c t e d t a s k s t h a t r e q u i r e d o n l y r o t e s k i l l s . S h e d r e w o n h e r v i s i o n o f g o o d m a t h e m a t i c s t e a c h i n g t o i n v e n t t a s k s t h a t f o c u s e d o n i d e a s s h e b e l i e v e d w e r e i m p o r t a n t . A s t h e d e s c r i p t i o n s i n h e r c a s e i l l u s t r a t e , t h e t a s k s s h e d e s i g n e d e n g a g e d s t u d e n t s i n e x p l o r i n g t h e s e m a t h e m a t i c a l i d e a s , d i s c u s s i n g t h e i r u n d e r s t a n d i n g s w i t h o n e a n o t h e r , a n d i n v e n t i n g t h e i r o w n s o l u t i o n s t o p r o b l e m s . T h e t a s k s h e d e s i g n e d f o r t h e S e p t e m b e r 1 6 t h l e s s o n p r o v i d e s a n e x a m p l e o f h e r i n v e n t i v e a p p r o a c h . I n p r e p a r a t i o n , J a c k i e r e v i e w e d t h e e x p l a n a t i o n s , e x a m p l e s , a n d t a s k s o n p a g e s 4 a n d 5 o f t h e t e x t , c o n c l u d i n g t h a t t h e c e n t r a l i d e a o n t h e p a g e w a s t h e r e l a t i o n s h i p b e t w e e n t h e v a l u e s o f t h e p l a c e s i n t h e b a s e - 1 0 s y s t e m , a n d t h a t 1 4 0 h u n d r e d s , f o r e x a m p l e , w a s a n o t h e r w a y t o s h o w 1 4 , 0 0 0 . T h i s i d e a , s h e b e l i e v e d , w a s c r u c i a l f o r s t u d e n t s t o u n d e r s t a n d , b u t t h e t a s k s o n t h e p a g e w e r e u n l i k e l y t o g e t a t i t s i n c e t h e y m e r e l y a s k e d s t u d e n t s t o s h o w t h e s e e q u i v a l e n c i e s b y f i l l i n g i n b l a n k s s u c h a s 3 0 0 = _ t e n s . S h e l a t e r p o i n t e d o u t t h a t s t u d e n t s c o u l d m e m o r i z e t h e p a t t e r n , r e p l i c a t e r e l a t i o n s h i p s s u c h a s 1 4 , 0 0 0 o n e s = 1 , 4 0 0 t e n s = 1 4 0 h u n d r e d s , a n d b e n o c l o s e r t o u n d e r s t a n d i n g w h y . T h u s , s h e i n v e n t e d a t a s k t h a t r e q u i r e d s t u d e n t s t o u s e d r a w i n g s o f b a s e - 1 0 b l o c k s t o i l l u s t r a t e a n d e v e n " p r o v e " t h e r e l a t i o n s h i p s w r i t t e n i n t h e t e x t . H e r p r o c e s s o f t a s k s e l e c t i o n i s r e p r e s e n t e d i n F i g u r e 6 . 2 . 2 2 0 J a c k i e i R e a d s i d e a s e m b e d d e d i n t a s k s i n t e x t I S e l e c t s i d e a s a n d r e p r e s e n t a t i o n s a c c o r d i n g t o h e r s e n s e o f t h e i r v a l u e I n v e n t s t a s k s d e s i g n e d t o f o c u s s t u d e n t s o n m a t h e m a t i c a l i d e a s I E n a c t m e n t F i g u r e 6 . 2 J a c k i e ' s a p p r o a c h t o t a s k s e l e c t i o n D i f f e r e n t A p p r o a c h e s t o T a s k S e l e c t i o n : D i f f e r e n t R e a d i n g s o f t h e T e x t b o o k C a t h e r i n e a n d J a c k i e ' s a p p r o a c h e s t o t a s k s e l e c t i o n i n v o l v e d d i f f e r e n t w a y s o f d r a w i n g o n a n d u s i n g t h e t e x t . O t h e r s h a v e o b s e r v e d t h a t t e a c h e r s ' i d e a s a b o u t m a t h e m a t i c s , s t u d e n t s , t e a c h i n g , a n d l e a r n i n g i n fl u e n c e w h a t t e x t s u g g e s t i o n s t h e y u s e d ( F r e e m a n 8 : P o r t e r , 1 9 8 9 ; P u t n a m , 1 9 9 2 ; S o s n i a k 8 : S t o d o l s k y , 1 9 9 3 ) a n d h o w t h e y i n t e r p r e t a n d u s e t h e m ( D o n o v a n , 1 9 8 3 ; R e m i l l a r d , 1 9 9 1 c ; S t o d o l s k y , 1 9 8 9 ; S t e p h e n s , 1 9 8 2 ) . E x a m i n i n g w h a t i s a t t h e h e a r t o f t h e s e d i f f e r e n c e s c a n i l l u m i n a t e h o w t e a c h e r s m a k e s e n s e o f t e x t b o o k s . M y a n a l y s e s r e v e a l t h a t t h e s e d i f f e r e n c e s w e r e o u t g r o w t h s o f h o w e a c h r e a d t h e t e x t b o o k . I n t h i s a r e n a , r e a d i n g t h e t e x t i n v o l v e d a s e r i e s o f i m p l i c i t d e c i s i o n s a b o u t w h a t t o a t t e n d t o o r r e a d i n t h e t e x t , a s w e l l a s b r i n g i n g m e a n i n g t o w h a t t h e y r e a d . I n a d d i t i o n t o b r i n g i n g t h e i r o w n m e a n i n g t o w h a t t h e y r e a d , C a t h e r i n e a n d J a c k i e i l l u s t r a t e t w o o t h e r d i f f e r e n c e s i n r e a d i n g t h e t e x t . F i r s t , t h e y r e a d a n d p a i d a t t e n t i o n t o d i f f e r e n t p a r t s o f t h e t e x t a n d d i s m i s s e d o t h e r s . A t t h e b e g i n n i n g o f t h e 2 2 1 y e a r , C a t h e r i n e t e n d e d t o p a y a t t e n t i o n t o s u g g e s t i o n s t h a t g u i d e d h e r i n g e t t i n g s t u d e n t s t h r o u g h t h e e x e r c i s e s o n t h e s t u d e n t s ' p a g e s . S h e r e a d t h e s t u d e n t t e x t a n d t h e s t e p s d e s c r i b e d i n t h e m a r g i n s o f t h e t e a c h e r ' s g u i d e . A s h e r t h i n k i n g c h a n g e d , s h e b e g a n t o r e a d m o r e e x p l o r a t o r y s u g g e s t i o n s , s u c h a s t h o s e u n d e r t h e h e a d i n g M o t i v a t e . T h e s e s u g g e s t e d i n t e r a c t i v e t a s k s t h a t r e l a t e d t o , b u t d i d n o t i n v o l v e , t h e s t u d e n t ' s p a g e . S h e d i d n o t r e a d t h e s u p p l e m e n t a r y p a g e s i n e a c h c h a p t e r t h a t o f f e r e d h a n d s - o n a n d e x p l o r a t o r y a c t i v i t i e s r e l a t e d t o t h e c o n c e p t s i n t h e l e s s o n , a n d s h e d i d n o t r e a d t h e c h a p t e r s o n c o m p u t a t i o n . T h r o u g h o u t t h e y e a r , J a c k i e r e a d s u g g e s t i o n s t h a t e n g a g e d s t u d e n t s i n e x p l o r a t o r y a c t i v i t i e s s u c h a s t h o s e t h a t C a t h e r i n e s k i p p e d . R e c a l l b o t h t e a c h e r s ' i n t r o d u c t i o n s t o t h e f r a c t i o n u n i t . S k i p p i n g t h e p a g e t h a t i n t r o d u c e d t h e s t u d e n t s t o t h e c h a p t e r a n d v a r i o u s e x a m p l e s o f f r a c t i o n s , C a t h e r i n e s t a r t e d h e r c l a s s o n t h e f i r s t l e s s o n i n t h e c h a p t e r , w h i c h i n c l u d e d a p a g e o f e x e r c i s e s f o r s t u d e n t s . J a c k i e a n d h e r c l a s s s p e n t t h e fi r s t 3 d a y s o f t h e u n i t o n e x p l o r a t o r y t a s k s t h a t g r e w f r o m t h o s e s u g g e s t e d i n t h e i n t r o d u c t i o n t o t h e c h a p t e r . T h e s e c o n d d i f f e r e n c e i n t h e i r r e a d i n g o f t h e t e x t w a s m o r e s u b t l e . T h e y r e a d t h e s a m e w o r d s f o r d i f f e r e n t p u r p o s e s . W h e n C a t h e r i n e l o o k e d a t a s u g g e s t i o n i n t h e t e x t , s h e r e a d i t f o r t a s k s s h e m i g h t a p p r o p r i a t e , s t e p s t o f o l l o w , a n d t h i n g s t o d o . M o s t o f t e n s h e f o c u s e d o n e x e r c i s e s f o r s t u d e n t s t o c o m p l e t e o r q u e s t i o n s t o a s k t h e m . J a c k i e r e a d s i m i l a r s u g g e s t i o n s a s a t t e m p t s t o a d d r e s s p a r t i c u l a r m a t h e m a t i c a l u n d e r s t a n d i n g s t h r o u g h t a s k s . T h e t a s k s h e r e a d o n p a g e 4 , f o r e x a m p l e a d d r e s s e d t h e r e l a t i o n s h i p b e t w e e n t h e p l a c e s i n t h e p l a c e - v a l u e s y s t e m . I n r e a d i n g t h e t e x t , s h e f o c u s e d o n u n d e r l y i n g i d e a s r a t h e r t h a n o n t h e t a s k . T h u s , h e r r e a d i n g o f t h e t a s k s o n p a g e s 4 a n d 5 , w h i c h o f f e r e d a s e r i e s o f f i l l - i n - t h e - b l a n k q u e s t i o n s t h a t e q u a t e d o n e s , t e n , h u n d r e d s , a n d t h o u s a n d s , s u g g e s t e d a p a r t i c u l a r r e l a t i o n s h i p i m p o r t a n t f o r s t u d e n t s t o u n d e r s t a n d . W h e r e a s C a t h e r i n e ' s r e a d i n g s p r o v i d e d h e r w i t h a s e t o f a c t i v i t i e s t o h a v e s t u d e n t s d o , s u c h a s f i l l i n e a c h b l a n k , J a c k i e ' s r e a d i n g s s u g g e s t e d a r e l a t i o n s h i p t h e y n e e d e d t o u n d e r s t a n d . E v e n w h e n s h e b e g a n t o u s e m o r e c o n c e p t u a l l y o r i e n t e d t a s k s i n 2 2 2 t h e t e x t , C a t h e r i n e f o c u s e d o n e n g a g i n g s t u d e n t s i n a t a s k s u c h a s u s i n g c o u n t e r s t o f i n d f r a c t i o n s o f v a r i o u s n u m b e r s o r w r i t i n g a n d a n s w e r i n g q u e s t i o n s a b o u t f r a c t i o n s . C a t h e r i n e ' s r e a d i n g i s c o n s o n a n t w i t h B o r k o a n d N i l e ' s ( 1 9 8 7 ) o b s e r v a t i o n t h a t t e a c h e r s s e l d o m b e g i n w i t h o b j e c t i v e s o r g o a l s w h e n p l a n n i n g . R a t h e r , t h e y t e n d t o f o c u s o n a c t i v i t i e s i n w h i c h o b j e c t i v e s a r e e m b e d d e d . J a c k i e ' s r e a d i n g w a s t h e o p p o s i t e . S h e f o c u s e d o n t h e o b j e c t i v e s e m b e d d e d i n t h e t a s k s a n d s t a r t e d h e r p l a n n i n g w i t h t h e m . T h e a c t i v i t i e s f o l l o w e d . F a c t o r s T h a t S h a p e d t h e T e a c h e r s ' R e a d i n g s o f t h e T e x t b o o k A c c o u n t i n g f o r t h e d i f f e r e n t w a y s t h e s e t w o t e a c h e r s r e a d t h e t e x t b o o k i l l u m i n a t e s k e y f a c t o r s t h a t s h a p e t e a c h e r s ' r e a d i n g s a n d t a s k s e l e c t i o n . M y a n a l y s e s r e v e a l e d t w o m a i n f a c t o r s t h a t s h a p e d t h e s e w a y s o f r e a d i n g t h e t e x t : h o w e a c h t h o u g h t a b o u t t h e c o n t e n t s a n d n a t u r e o f t h e m a t h e m a t i c a l t e r r a i n a n d t h e v i e w e a c h h e l d a b o u t t e a c h i n g a n d l e a r n i n g . B o t h g r e w o u t o f t h e i r i d e a s a b o u t t e a c h i n g , l e a r n i n g , a n d m a t h e m a t i c s . T h e fi r s t f a c t o r - h o w t h e y c h a r a c t e r i z e d t h e m a t h e m a t i c a l t e r r a i n - — s h a p e d t h e v i e w s t h e y h e l d a b o u t t h e r e f o r m s a n d w h a t t h e t e x t h a d t o o f f e r . T h e s e v i e w s fi g u r e d i n w h a t t h e y r e a d i n t h e t e x t . T h e s e c o n d f a c t o r — - t h e i r i d e a s a b o u t t e a c h i n g a n d l e a r n i n g - s h a p e d h o w t h e y l e a r n e d f r o m t h e t e x t a n d w h a t t h e y b e l i e v e d i t s h o u l d p r o v i d e . E a c h t e a c h e r e s t a b l i s h e d a r e l a t i o n s h i p w i t h t h e t e x t t h a t p a r a l l e l e d t h e t e a c h e r - l e a r n e r r e l a t i o n s h i p s h e c o n s t r u c t e d w i t h h e r s t u d e n t s . I d i s c u s s t h e s e t w o f a c t o r s b e l o w , i l l u s t r a t i n g h o w t h e y c o n t r i b u t e d t o t h e d i f f e r e n c e s i n t h e t e a c h e r s r e a d i n g s o f t h e t e x t . I t h e n c o n s i d e r h o w d i f f e r e n c e s i n t h e i r t e a c h i n g s i t u a t i o n s a l s o c o n t r i b u t e d t o t h i s p r o c e s s . F i g u r e 6 . 3 s h o w s h o w t h e s e f a c t o r s i n t e r a c t e d w i t h o n e a n o t h e r . 2 2 3 f { T a s k S e l e c t i o n 1 ' W V i e w o f m a t h e m a t i c s a n d t h e r e f o r m a g e n d a b e l i e f s a b o u t l e a r n i n g / i d e a s a b o u t s t u d e n t s S u p p o r t i n [ M a t h e m a t i c a l T a s k J t e a c h i n g c o n t e x t / R e a d i n g t h e t e x t b o o k F i g u r e 6 . 3 T a s k s e l e c t i o n p r o c e s s T h e m a t h e m a t i c a l t e r r a i n . C a t h e r i n e a n d J a c k i e h a d d i f f e r e n t v i e w s a b o u t m a t h e m a t i c s , t h e c o n t e n t a n d n a t u r e o f t h e r e f o r m s , a n d w h a t s t u d e n t s m u s t l e a r n . T h e s e v i e w s fi g u r e d i n w h a t t h e y e x p e c t e d o f t h e t e x t a n d s h a p e d t h e p a r t s o f i t t h e y l o o k e d a t . C a t h e r i n e b e l i e v e d t h a t m a t h w a s a c o l l e c t i o n o f t o p i c s . F r o m h e r p e r s p e c t i v e , t h e r e f o r m a g e n d a a i m e d t o a d d n e w t o p i c s , s u c h a s p r o b l e m s o l v i n g , g r a p h i n g , a n d g e o m e t r y , t o a c u r r i c u l u m t h a t t e n d e d t o f o c u s o n c o m p u t a t i o n a l s k i l l s . S h e d i d n o t b e l i e v e t h a t t h e r e f o r m s s u g g e s t e d c h a n g e s i n t o p i c s c u r r e n t l y t a u g h t . 4 T h u s , s h e d i d n o t b e l i e v e t h a t t h e t e x t h a d a n y t h i n g t o c o n t r i b u t e t o h e r t e a c h i n g o f t h e m . T h i s v i e w i n fl u e n c e d w h a t s h e l o o k e d a t i n t h e t e x t . S h e f o c u s e d o n t h e p r o b l e m - s o l v i n g t a s k s a n d t h e s u g g e s t i o n s f o r t e a c h i n g n o n c o m p u t a t i o n a l t o p i c s s u c h a s d a t a a n a l y s i s , g r a p h i n g , a n d f r a c t i o n s , w h i l e c o n t i n u i n g t o t e a c h c o m p u t a t i o n a l p r o c e d u r e s a s s h e a l w a y s h a d . 4 T h e l a c k o f e x p l i c i t a t t e n t i o n t o c o m p u t a t i o n a l s k i l l s i n t h e r e f o r m r h e t o r i c w a s n o t e d b y P u t n a m a n d G e i s t ( 1 9 9 4 ) a s a t r o u b l e s p o t f o r m a n y t e a c h e r s a t t e m p t i n g t o m a k e s e n s e o f t h e r e f o r m a g e n d a . I n h e r s t u d y o f a n e l e m e n t a r y t e a c h e r s t r u g g l i n g t o r e s p o n d t o t h e r e f o r m s , G e i s t ( i n p r e p a r a t i o n ) a r g u e d t h a t t h e l a c k o f e x p l i c i t a t t e n t i o n t o w h e r e c o m p u t a t i o n a l s k i l l s b e l o n g i n t h e l a r g e r p i c t u r e o f t e a c h i n g c h i l d r e n t o t h i n k m a t h e m a t i c a l l y m a y u n d e r m i n e r e f o r m e r s ' e f f o r t s t o p a i n t a p i c t u r e o f m a t h e m a t i c s u n d e r s t a n d i n g i n w h i c h c o n c e p t u a l u n d e r s t a n d i n g a n d c o m p u t a t i o n a l s k i l l s a r e i n t e r t w i n e d . 2 2 4 T h e r e l a t i o n s h i p b e t w e e n C a t h e r i n e ' s i d e a s a b o u t t h e m a t h e m a t i c s r e f o r m s a n d w h a t s h e l o o k e d a t i n t h e t e x t a l s o w a s e v i d e n t i n t h e c h a n g e s s h e m a d e t h r o u g h o u t t h e y e a r . A s s h e d e v e l o p e d a g r e a t e r a p p r e c i a t i o n f o r p a r t i c u l a r e m p h a s e s o f t h e r e f o r m s , w h a t s h e w a s w i l l i n g t o t r y i n t h e t e x t b o o k l e s s o n s c h a n g e d . I n i t i a l l y s h e c o n c e n t r a t e d o n t a s k s t h a t p r o v i d e d s t u d e n t s w i t h i n d e p e n d e n t p r a c t i c e o f s k i l l s t h e y h a d l e a r n e d . H o w e v e r , a s s h e b e g a n t o v a l u e r e a s o n i n g a n d e x p l o r a t i o n i n l e a r n i n g m a t h , s h e s t a r t e d t o s e l e c t a n d a p p r o p r i a t e m o r e a c t i v i t i e s t h a t a f f o r d e d s t u d e n t s o p p o r t u n i t i e s t o e x p l o r e u n d e r l y i n g m a t h e m a t i c a l m e a n i n g s . C h a n g e w a s p a r t i c u l a r l y e v i d e n t d u r i n g t h e f r a c t i o n u n i t w h e n s h e s e l e c t e d m a n y t a s k s f r o m t h e M o t i v a t e s u g g e s t i o n s . J a c k i e ' s v i e w o f m a t h a n d t h e i d e a s u n d e r l y i n g t h e r e f o r m s a l s o s h a p e d w h a t s h e l o o k e d a t i n t h e t e x t , a s w e l l a s t h e m a t h e m a t i c a l i d e a s s h e w a s w i l l i n g t o c o n s i d e r . R a t h e r t h a n a s e q u e n c e d l i s t o f r u l e s a n d p r o c e d u r e s , s h e s a w m a t h e m a t i c s a s a b o d y o f r e l a t e d i d e a s a n d r e l a t i o n s h i p s t h a t n e e d e d t o b e u n d e r s t o o d , n o t m e m o r i z e d . S h e b e l i e v e d t h a t t h e r e f o r m a g e n d a e m p h a s i z e d u n d e r s t a n d i n g c o n c e p t s a n d i d e a s a s o p p o s e d t o m e m o r i z i n g p r o c e d u r e s a n d , t h u s , c a l l e d f o r s i g n i f i c a n t r e v i s i o n s i n h o w m o s t p e o p l e t h o u g h t a b o u t w h a t k n o w i n g a n d l e a r n i n g m a t h i n c l u d e d . I n u s i n g t h e t e x t t o c o n s t r u c t t a s k s , J a c k i e f o c u s e d o n i d e a s s h e s a w i n t h e t e x t a n d i n v e n t e d t a s k s t o a c c o m p a n y t h e m . L i k e C a t h e r i n e , J a c k i e ' s v i e w o f m a t h a l s o d e t e r m i n e d t h e m a t h e m a t i c a l i d e a s s h e w a s n o t i n c l i n e d t o d r a w f r o m t h e t e x t . F o r e x a m p l e , i n h e r p e r u s a l o f t h e c h a p t e r o n a d d i t i o n a n d s u b t r a c t i o n , s h e n o t e d , b u t s k i p p e d , s u g g e s t i o n s t o b e g i n w i t h e s t i m a t i o n . S h e b e l i e v e d t h a t e s t i m a t i o n w a s a n a p p l i c a t i o n o f a d d i t i o n a n d s u b t r a c t i o n r a t h e r t h a n a v e h i c l e t o e x p l o r e i t s m e a n i n g , w h i c h l e d h e r t o d i s m i s s t h e i d e a c o m p l e t e l y . S h e a l s o b e l i e v e d t h a t p l a c e v a l u e w a s a t t h e h e a r t o f a d d i t i o n a n d s u b t r a c t i o n . C o n s t r u c t i n g a r e l a t i o n s h i p w i t h t h e t e x t . C a t h e r i n e a n d J a c k i e a l s o c o n s t r u c t e d t h e i r o w n r e l a t i o n s h i p s w i t h t h e H 3 ] t e x t t h a t d e t e r m i n e d h o w t h e y r e a d i t s s u g g e s t i o n s , i n t e r a c t e d w i t h i t , a n d d r e w o n i t i n t h e i r t e a c h i n g . I n b o t h c a s e s , t h e r e l a t i o n s h i p e a c h 2 2 5 t e a c h e r c r e a t e d w i t h t h e t e x t a s a r e s o u r c e p a r a l l e l e d t h e r e l a t i o n s h i p s h e b u i l t w i t h h e r s t u d e n t s a s t h e i r r e s o u r c e o r g u i d e . I n s h o r t , t h e v i e w s o f l e a r n i n g t h a t s h a p e d t h e t y p e o f t e a c h e r e a c h a i m e d t o b e a l s o s h a p e d t h e t y p e o f t e a c h i n g o r g u i d a n c e s h e s o u g h t f r o m t h e t e x t . C a t h e r i n e b e l i e v e d t h a t s t u d e n t s l e a r n f r o m b e i n g t o l d o r s h o w n w h a t t o d o . T h u s , s h e s a w t e a c h i n g a s t e l l i n g a n d s h o w i n g . S h e b e l i e v e d t h a t i t w a s h e r r e s p o n s i b i l i t y t o s h o w h e r s t u d e n t s e a c h s t e p t o f o l l o w b e f o r e s h e a s k e d t h e m t o d o i t o n t h e i r o w n . S h e e v e n r e c a l l e d f e e l i n g f r u s t r a t e d a s a s t u d e n t w h e n t e a c h e r s l e f t h e r s t r u g g l i n g t o fi g u r e o u t m a t h e m a t i c a l p r o c e d u r e s . S i m i l a r l y , s h e e x p e c t e d t h e t e x t t o p r o v i d e h e r w i t h t h e s a m e s o r t o f g u i d a n c e i n t e a c h i n g n e w m a t h e m a t i c a l t o p i c s . S h e l o o k e d t o t h e t e x t t o s h o w h e r w h a t t a s k s t o g i v e s t u d e n t s a n d w h a t s t e p s t o f o l l o w w h e n g u i d i n g t h e m i n t h e p r o c e s s . I n f a c t , C a t h e r i n e w a s f r u s t r a t e d w h e n t h e t e x t d i d n o t p r o v i d e h e r w i t h s u f fi c i e n t g u i d a n c e i n h e l p i n g s t u d e n t s a r r i v e a t t h e c o n c l u s i o n s i t s a i d t h e y s h o u l d . F o r e x a m p l e , s h e p o i n t e d o u t p l a c e s i n t h e t e x t t h a t s u g g e s t e d t h e t e a c h e r " e l i c i t " a p a r t i c u l a r r e s p o n s e f r o m s t u d e n t s b u t c o m p l a i n e d t h a t i t " d o e s n ' t g o i n t o a l o t o f i d e a s o n h o w t o g e t t h e c h i l d r e n t o c o m e t o t h i s c o n c l u s i o n " ( I n t e r v i e w , 4 / 3 / 9 3 ) . J a c k i e ' s i d e a s a b o u t t e a c h i n g a n d l e a r n i n g w e r e a l m o s t t h e o p p o s i t e o f C a t h e r i n e ' s . S h e b e l i e v e d t h a t l e a r n i n g o c c u r r e d t h r o u g h p u z z l i n g o v e r p r o b l e m s , i n v e n t i n g s o l u t i o n s , e x p l o r i n g r e l a t i o n s h i p s , a n d a r t i c u l a t i n g t h e m t o o t h e r s . C o n s e q u e n t l y , s h e s a w t e a c h i n g a s p u t t i n g s t u d e n t s i n c o m p l e x s i t u a t i o n s a n d t h e n a l l o w i n g t h e m t o e x p l o r e a n d c o n s t r u c t t h e i r o w n u n d e r s t a n d i n g s . S h e a l s o b e l i e v e d t h a t g o o d t e a c h i n g i n v o l v e d f o l l o w i n g s t u d e n t s ' t h i n k i n g a n d b u i l d i n g o n t h e i r i d e a s r a t h e r t h a n i m p o s i n g a r i g i d c u r r i c u l a r p l a n . I n t h e r e l a t i o n s h i p s s h e c o n s t r u c t e d w i t h t h e H B J t e x t , J a c k i e h a d s i m i l a r e x p e c t a t i o n s . S h e d i d n o t b e l i e v e t h a t t h e t e x t s h o u l d i m p o s e a p a r t i c u l a r s e q u e n c e o r s e t o f p e d a g o g i c a l s t e p s . T h u s , s h e w o v e h e r o w n p a t h t h r o u g h t h e m a t h e m a t i c a l t e r r a i n . J u s t a s s h e u s e d t a s k s o r p r o b l e m s t o s p a r k e x p l o r a t o r y a c t i v i t y i n h e r m a t h l e s s o n s , J a c k i e r e a d t h e t e x t t o s p a r k p e d a g o g i c a l i d e a s 2 2 6 i n h e r s e l f . S h e u s e d t h e t e x t a s a " j u m p i n g - o f f p o i n t . " S h e s a w m a t h e m a t i c a l i d e a s a n d r e l a t i o n s h i p s t h a t s p a r k e d h e r e x p l o r a t i o n s o f g o o d m a t h e m a t i c a l t a s k s . T h e T e a c h i n g C o n t e x t H o w t h e t e a c h e r s v i e w e d t h e i r c l a s s r o o m s a n d s c h o o l c o n t e x t s a l s o p l a y e d a r o l e i n t h e i r t a s k s e l e c t i o n p r o c e s s e s . D i f f e r e n t c i r c u m s t a n c e s i n t h e i r t e a c h i n g s i t u a t i o n s p l a c e d t h e t e x t b o o k i n a s l i g h t l y d i f f e r e n t l i g h t f o r e a c h , w h i c h , i n t u r n , p l a y e d a r o l e i n s h a p i n g t h e i r e x p e c t a t i o n s a n d p e r c e p t i o n s . I n t h e M a p l e t o n S c h o o l D i s t r i c t , t h e t e x t b o o k w a s p r e s e n t e d a s a r e s p o n s e t o t h e r e f o r m s . H o w e a c h t e a c h e r r e a d i t , h o w e v e r , d e p e n d e d o n h e r s t a n c e t o w a r d t h e r e f o r m a g e n d a a n d t h e e n c o u r a g e m e n t s h e f e l t t o p u r s u e i t . T h e f a c t o r s i n J a c k i e ' s t e a c h i n g s i t u a t i o n t h a t c o n t r i b u t e d m o s t t o h e r s t a n c e t o w a r d t h e t e x t b o o k w e r e r e l a t e d t o t h e p r o f e s s i o n a l d e v e l o p m e n t o p p o r t u n i t i e s i n h e r s c h o o l . T h r o u g h t h e s e o p p o r t u n i t i e s , s h e h a d b e g u n t o r e t h i n k h e r v i e w s o n m a t h a n d s t u d e n t s ' l e a r n i n g . H e r h o p e w a s t h a t a n e w t e x t b o o k w o u l d h e l p h e r c o n t i n u e t o m o v e i n t h e s a m e d i r e c t i o n . S h e r e a d t h e t e x t , l o o k i n g f o r t h i n g s t h a t w o u l d g u i d e h e r a l o n g t h i s p a t h a n d r e j e c t i n g t h o s e l e s s p r o m i s i n g . F o r e x a m p l e , s h e r e a d t h e n o n r o u t i n e p r o b l e m s , a s w e l l a s a l t e r n a t i v e t e a c h i n g s u g g e s t i o n s t h a t w e r e i n t e r a c t i v e o r e m p l o y e d m a n i p u l a t i v e s . S h e t e n d e d t o i g n o r e t a s k s o n t h e s t u d e n t s ' p a g e s b e c a u s e t h e y g e n e r a l l y i n v o l v e d r o t e p r a c t i c e . C a t h e r i n e b e g a n t h e y e a r r e l a t i v e l y u n f a m i l i a r w i t h i d e a s o f t h e r e f o r m s a n d s a w t h e t e x t a s a w a y t o l e a r n m o r e a b o u t t h e m . F u r t h e r m o r e , h e r i n v o l v e m e n t i n t h i s s t u d y p l a y e d a n i n fl u e n t i a l r o l e i n h e r t e a c h i n g c o n t e x t . M y r e g u l a r v i s i t s t o h e r c l a s s e n c o u r a g e d h e r t o t r y n e w s u g g e s t i o n s t h a t s h e m i g h t n o t h a v e o t h e r w i s e . O u r c o n v e r s a t i o n s a l s o p r o m p t e d h e r t o r e fl e c t o n h e r i d e a s a b o u t m a t h e m a t i c s a n d s t u d e n t s ' l e a r n i n g , s i n c e t h e y c a l l e d o n h e r t o a r t i c u l a t e s t a n c e s t h a t s h e h a d n o t p u t i n t o w o r d s . U n l i k e J a c k i e , f o r w h o m e x a m i n i n g a n d d i s c u s s i n g p e d a g o g i c a l c h o i c e s h a d b e c o m e f a m i l i a r , c o n v e r s a t i o n s t h a t p r o b e d s u c h i d e a s w e r e n e w t o C a t h e r i n e . A s F i g u r e 6 . 3 2 2 7 i l l u s t r a t e s , c o n t e x t u a l o p p o r t u n i t i e s s u c h a s t h e s e i n fl u e n c e d b o t h t e a c h e r s ' r e a d i n g o f t h e t e x t , a s w e l l a s t h e i r i d e a s a b o u t m a t h e m a t i c a l g o a l s f o r s t u d e n t s . T a s k S e l e c t i o n a n d t h e R o l e o f t h e T e x t A s t h e a b o v e d i s c u s s i o n i l l u s t r a t e s , C a t h e r i n e a n d J a c k i e r e a d t h e s a m e t e x t b o o k d i f f e r e n t l y i n t h e i r c u r r i c u l u m d e s i g n p r o c e s s e s . T h u s , t h e i m p a c t t h a t t h e s a m e t e x t h a d o n t h i s a s p e c t o f t h e i r c u r r i c u l a v a r i e d c o n s i d e r a b l y . W h a t t h e H B J t e x t o f f e r e d t o e a c h t e a c h e r d i f f e r e d a c c o r d i n g t o w h a t s h e r e a d i n t h e t e x t a n d h o w s h e r e a d i t . I n b o t h c a s e s , t h e i r r e a d i n g w a s i n fl u e n c e d b y t h e w a y s t h e y t h o u g h t a b o u t m a t h e m a t i c s , l e a r n i n g , a n d t h e i r t e a c h i n g . T h e s e i d e a s l e d t h e m t o c o n s t r u c t d i f f e r e n t r e l a t i o n s h i p s w i t h t h e t e x t . I n s h o r t , t h e t e x t ' s r o l e i n t h i s a r e n a w a s p r i m a r i l y a f u n c t i o n o f t h e i d e a s t h e t e a c h e r b r o u g h t t o i t , w h i c h i n fl u e n c e d t h e i r r e a d i n g o f i t . T h e s e i d e a s , h o w e v e r , w e r e n o t t h e o n l y f a c t o r s c o n t r i b u t i n g t o t h e d i f f e r e n c e s i n t h e t e a c h e r s ' r e a d i n g o f t h e t e x t . M y a n a l y s e s s u g g e s t t h a t p a r t i c u l a r c h a r a c t e r i s t i c s o f t h e H B J t e x t m a y h a v e c r e a t e d o p p o r t u n i t i e s f o r v a r i e d r e a d i n g s . E x a m i n i n g t h e t e x t ' s r o l e i n t h e i r r e a d i n g i l l u m i n a t e d p a r t i c u l a r c h a r a c t e r i s t i c s o f t e x t s l i k e l y t o e n g e n d e r t h e v a r i a t i o n e v i d e n c e d b y t h e s e t w o t e a c h e r s . B e l o w I d i s c u s s t w o c h a r a c t e r i s t i c s o f t h e H B J t e x t t h a t s e e m e d t o i n c r e a s e t h e p o s s i b i l i t y o f v a r i e d r e a d i n g s b y d i f f e r e n t t e a c h e r s : t h e l a r g e n u m b e r o f d i s c o n n e c t e d o p t i o n s t o s e l e c t f r o m a n d t h e w a y t h e t e x t b o o k c o m m u n i c a t e s w i t h t e a c h e r s . M u l t i p l e o p t i o n s . I n C h a p t e r 2 , I d e s c r i b e d t h e t r e m e n d o u s n u m b e r o f d i s t i n c t o p t i o n s t h e t e x t w r i t e r s m a d e a v a i l a b l e t o t e a c h e r s . T h e i r i n t e n t a p p e a r e d t o b e t o m e e t t h e a p p r o v a l o f a r a n g e o f p o t e n t i a l p u r c h a s e r s b y o f f e r i n g m a n y c h o i c e s , s o m e o f w h i c h w e r e r e l a t e d t o t h e r e f o r m s , b u t m a n y o t h e r s t h a t w e r e m o r e t r a d i t i o n a l . E a c h t w o - p a g e s p r e a d d i s p l a y e d m o r e p o s s i b l e a c t i v i t i e s t h a n a t e a c h e r c o u l d u s e i n a s i n g l e l e s s o n , p l u s e a c h c h a p t e r c o n t a i n e d s e v e r a l p a g e s o f a l t e r n a t i v e a n d s u p p l e m e n t a r y s u g g e s t i o n s . F u r t h e r m o r e , t h e s e a c t i v i t i e s w e r e d i s t i n c t f r o m o n e a n o t h e r , f o r m i n g a c o l l e c t i o n o f t a s k s r a t h e r t h a n a c o h e r e n t p a t h t h r o u g h a p a r t i c u l a r c o n c e p t . T h e r e s u l t w a s a 2 2 8 s m o r g a s b o r d o f p o s s i b i l i t i e s w i t h o u t g u i d a n c e f r o m t h e t e x t i n s o r t i n g t h r o u g h a n d s e l e c t i n g a m o n g t h e m . F r o m o n e p e r s p e c t i v e , t h i s v a r i e t y i s a s t r e n g t h b e c a u s e i t i n c r e a s e s t h e p o s s i b i l i t y t h a t a r a n g e o f t e a c h e r s w i l l fi n d a s p e c t s o f i t a p p e a l i n g a n d u s e f u l . O n t h e o t h e r h a n d , t h e v a r i e t y i n c r e a s e s t h e l i k e l i h o o d t h a t d i f f e r e n t t e a c h e r s w i l l r e a d d i f f e r e n t o f f e r i n g s w e a k e n i n g t h e t e x t ' s a b i l i t y t o c o m m u n i c a t e a c o h e r e n t o r s p e c i fi c m e s s a g e . T a l k i n g t h r o u g h t e a c h e r s . A n o t h e r c h a r a c t e r i s t i c o f t h e t e x t t h a t i n c r e a s e d t h e p o s s i b i l i t y t h a t t e a c h e r s w o u l d r e a d i t s s u g g e s t i o n s d i f f e r e n t l y w a s a r e s u l t o f i t s v e r y n a t u r e a n d p u r p o s e . L i k e m o s t t e x t b o o k s , t h e H B J t e x t w a s d e s i g n e d t o s h a p e t h e c u r r i c u l u m e n a c t e d i n t h e c l a s s r o o m , a n d , l i k e m o s t t e x t b o o k s , i t d i d s o b y r e c o m m e n d i n g i n s t r u c t i o n a l t a s k s a n d a c t i o n s . T h e s e r e c o m m e n d a t i o n s , h o w e v e r , h a v e t h e p o t e n t i a l t o c o m m u n i c a t e m o r e t h a n m a t h e m a t i c a l t a s k s . W h e t h e r o r n o t t h e y w e r e i n t e n d e d , t h e s e s u g g e s t i o n s i m p l y m a t h e m a t i c a l a n d p e d a g o g i c a l g o a l s a n d a s s u m p t i o n s . C o n s e q u e n t l y , t e x t b o o k s c a r r y m u l t i p l e m e s s a g e s a n d c a n b e r e a d a t m a n y l e v e l s . A t e a c h e r l i k e C a t h e r i n e m i g h t r e a d t h e t a s k s u g g e s t i o n . A n o t h e r , l i k e J a c k i e , m i g h t r e a d a c o n c e p t u a l i d e a u n d e r l y i n g t h e t a s k A n o t h e r m i g h t r e a d l a r g e r l e a r n i n g g o a l s . I n o t h e r w o r d s , t h e m e s s a g e s t h a t t e x t b o o k s h a v e t o c o m m u n i c a t e a r e n e i t h e r s t r a i g h t f o r w a r d n o r s i m p l e . Y e t , l i k e m a n y t e x t b o o k s , t h e H B J t e x t w r i t e r s f o c u s e d o n t h e m o s t v i s i b l e p a r t o f t h i s m e s s a g e : t h e i n s t r u c t i o n a l t a s k s t e a c h e r s s h o u l d g i v e s t u d e n t s t o d o . T e x t s t e n d t o c o m m u n i c a t e w i t h t e a c h e r s b y s p e a k i n g M g } ; t h e m , b y d i c t a t i n g a c t i o n s , a n d n o t L g t h e m a b o u t t h e s e a c t i o n s . T h u s , t h e H B J t e x t r e p r e s e n t e d t h e r e f o r m s i n t e r m s o f t a s k s o r a c t i v i t i e s . I n e s s e n c e , t h i s m o d e o f g u i d i n g t e a c h e r s o v e r s i m p l i f i e s t h e a c t i v i t y o f t e a c h i n g , r e d u c i n g i t t o t h a t w h i c h i s o b s e r v a b l e . B y n o t t a l k i n g t 9 t e a c h e r s , t h e H B J t e x t d i d n o t e x p l i c i t l y a t t e n d t o t h e l e s s v i s i b l e a s p e c t s o f t e a c h e r d e c i s i o n m a k i n g , l e a v i n g t h e t e a c h e r s t o e x t r a p o l a t e f r o m i t s s u g g e s t i o n s . 2 2 9 T a s k E n a c t m e n t a n d A d a p t a t i o n i n t h _ e C o n s t r u c t i o n A r e n a A s e c o n d a r e n a o f c u r r i c u l u m d e v e l o p m e n t i n v o l v e d d e c i s i o n s r e l a t e d t o c r e a t i n g a n d s u s t a i n i n g c l a s s r o o m e v e n t s a r o u n d t h e t a s k s s e l e c t e d . T h i s a r e n a i n c l u d e s a l l i n t e r a c t i o n s , p l a n n e d o r u n p l a n n e d , i n t h e c l a s s r o o m t h a t i n fl u e n c e , s h a p e , o r c o n t r i b u t e t o t h e e n a c t e d c u r r i c u l u m . T h u s , i t i s a n a c t i v e , r e s p o n s i v e , a n d " e v o l v i n g " ( Z u m w a l t , 1 9 8 9 ) p r o c e s s t h r o u g h w h i c h t e a c h e r s w o r k w i t h s t u d e n t s t o t r a n s f o r m p l a n n e d t a s k s i n t o a c t u a l e v e n t s i n t h e c l a s s r o o m . T h e a c t i v i t y o f t h e c o n s t r u c t i o n a r e n a i s t h e r e f o r e r e m i n i s c e n t o f w h a t Y i n g e r ( 1 9 8 8 ) c a l l e d " a t h r e e — w a y c o n v e r s a t i o n b e t w e e n t e a c h e r s , s t u d e n t s , a n d p r o b l e m " ( p . 8 6 ) . B e c a u s e t h e f o c u s o f m y a n a l y s i s w a s o n t h e t e a c h e r ' s r o l e i n c u r r i c u l u m d e v e l o p m e n t , I w i l l d i s c u s s t h e s t u d e n t s ' p a r t i n s h a p i n g c u r r i c u l u m t h r o u g h t h e e y e s a n d a c t i o n s o f t h e t e a c h e r , i n c l u d i n g h o w t h e a c t i v i t i e s o f s t u d e n t s fi g u r e i n t e a c h e r s ' r e s p o n s e s a n d a c t i o n s . 5 E n a c t i n g c u r r i c u l u m i n v o l v e s p r e s e n t i n g t a s k s t o s t u d e n t s a n d f a c i l i t a t i n g t h e i r i n t e r a c t i o n s w i t h t h e m . T h u s , i t n e c e s s a r i l y i n c l u d e s r e s p o n d i n g t o s t u d e n t s i n u n r e h e a r s e d s i t u a t i o n s . I n f a c t , m o s t o f C a t h e r i n e a n d J a c k i e ' s a c t i v i t y i n t h e c l a s s r o o m w e r e r e s p o n s i v e t o s t u d e n t s . R e g a r d l e s s o f t h e e x t e n t t o w h i c h t h e y u s e d t h e t e x t o r t h e i r b e l i e f s a b o u t t e a c h i n g a n d l e a r n i n g , e n a c t i n g t a s k s i n v o l v e d b o t h t e a c h e r s i n o n - t h e - s p o t d e c i s i o n s a b o u t , a n d a d a p t a t i o n o f , t h e i r c u r r i c u l a r p l a n s i n r e s p o n s e t o t h i n g s t h a t s t u d e n t s s a i d o r d i d . B e c a u s e o f t h e i n t e r a c t i v e n a t u r e o f t e a c h i n g , a d a p t a t i o n i s a n i n h e r e n t p a r t o f e n a c t i n g t a s k s ( C o h e n , 1 9 8 9 ; J a c k s o n , 1 9 8 6 ; L o r t i e , 1 9 7 5 ) . N e v e r t h e l e s s , a s d e s c r i b e d b e l o w , t h e n e e d f o r i t w a s p a r t i c u l a r l y p r e v a l e n t i n J a c k i e ' s a n d C a t h e r i n e ' s c l a s s r o o m s b e c a u s e t h e y w e r e i n t h e m i d s t o f m a k i n g c h a n g e s i n t h e i r t e a c h i n g . T h e n e w c u r r i c u l a r a n d p e d a g o g i c a l i d e a s a s s o c i a t e d w i t h t h e r e f o r m s , a s w e l l a s t h e t e a c h e r s ' e f f o r t s t o t r y t h e m , i n c r e a s e d t h e n u m b e r o f u n a n t i c i p a t e d e v e n t s t h e y c o n f r o n t e d i n t h e i r c l a s s r o o m s . 5 M y i n t e n t i s n o t t o d i s m i s s t h e r o l e s t u d e n t s p l a y i n d e v e l o p i n g c u r r i c u l u m . Y e t , s i n c e t h e f o c u s o f t h i s s t u d y i s o n t h e r o l e t h a t t e x t s o r c u r r i c u l u m m a t e r i a l s m i g h t p l a y i n r e f o r m i n m a t h e m a t i c s e d u c a t i o n t h r o u g h t e a c h e r s ' i n t e r a c t i o n s w i t h t h e m , I f o c u s o n t h e t e a c h e r s ' p e r s p e c t i v e i n t h i s p r o c e s s . A s w i l l b e s e e n , t h e r o l e o f s t u d e n t s i s n o t i g n o r e d . 2 3 0 T a s k A d a p t a t i o n a n d t h e R e f o r m C o n t e x t B o t h t e a c h e r s h o p e d t o m a k e c h a n g e s i n t h e i r t e a c h i n g i n r e s p o n s e t o t h e r e f o r m s . E v e n t h o u g h t h e y h a d d i f f e r e n t i n t e r p r e t a t i o n s o f w h a t t h i s i n c l u d e d , b o t h w e r e d e a l i n g w i t h c o n t e n t o r p e d a g o g i c a l a p p r o a c h e s n e w t o t h e m a n d t h e i r s t u d e n t s . T h e c o n c e p t s a n d s k i l l s t h e y w e r e a s k i n g t h e i r s t u d e n t s t o l e a r n o r t h e t a s k s t h e y p r e s e n t e d w e r e u n f a m i l i a r . A s a r e s u l t , m o s t o f t h e i r s t u d e n t s ' r e s p o n s e s w e r e u n a n t i c i p a t e d . B e c a u s e n e i t h e r t e a c h e r h a d e s t a b l i s h e d r o u t i n e s f o r h o w t o r e s p o n d , t h e y c r e a t e d a n d r e v i s e d t h e i r i n s t r u c t i o n a l t e x t s c o n t i n u o u s l y , r e l y i n g o n t h e i r a s s e s s m e n t s o f s t u d e n t s t o g u i d e t h i s p r o c e s s . C a t h e r i n e c r e a t e d a n u n f a m i l i a r t e r r a i n i n h e r t e a c h i n g b y a p p r o p r i a t i n g t a s k s a n d m a t h e m a t i c a l t o p i c s n e w t o h e r a n d h e r s t u d e n t s . B e c a u s e t h e i r r e s p o n s e s s u r p r i s e d h e r , l e a v i n g h e r u n s u r e h o w t o p r o c e e d , s h e f o u n d h e r s e l f l o o k i n g c l o s e l y a t h e r s t u d e n t s , w h a t t h e y w e r e s t r u g g l i n g w i t h , a n d u n d e r s t a n d i n g f o r c l u e s . T h e m o s t s t r i k i n g e x a m p l e w a s t h e P r o b l e m - o f - t h e - D a y t a s k s . B e c a u s e h e r s t u d e n t s w e r e h a v i n g d i f fi c u l t y a n d b e c a u s e i t w a s i m p o r t a n t t h a t t h e y w e r e " s u c c e s s f u l , " s h e p a i d c l o s e a t t e n t i o n t o t h e i r a c t i v i t y i n o r d e r t o k n o w h o w t o h e l p t h e m . I n c o n t r a s t , w h e n t e a c h i n g c o m p u t a t i o n , a n a r e a s h e b e l i e v e d r e m a i n e d u n t o u c h e d b y t h e r e f o r m s , C a t h e r i n e r e l i e d o n h e r f a m i l i a r r o u t i n e s . E v e n t h o u g h s h e c o n f r o n t e d i n s t a n c e s i n w h i c h s t u d e n t s s t r u g g l e d , t h e s e w e r e a n t i c i p a t e d a n d s h e w a s p r e p a r e d t o a d d r e s s t h e m . E v e n t h o u g h J a c k i e w a s m o r e f a m i l i a r w i t h t h e r e f o r m a g e n d a t h a n C a t h e r i n e , s h e a l s o f o u n d h e r s e l f e x p l o r i n g u n f a m i l i a r t e r r a i n , m a t h e m a t i c a l l y a n d p e d a g o g i c a l l y . N o t o n l y w a s s h e t e a c h i n g f o u r t h g r a d e f o r t h e fi r s t t i m e b u t s h e w a s m a k i n g d r a m a t i c c h a n g e s i n h e r t e a c h i n g . B e c a u s e s h e w a n t e d s t u d e n t s t o u n d e r s t a n d m a t h e m a t i c a l i d e a s , s h e f o c u s e d h e r i n s t r u c t i o n o n e x p l o r i n g t h e s e i d e a s r a t h e r t h a n o n t h e r u l e s a n d p r o c e d u r e s s h e h a d t a u g h t p r e v i o u s l y . Y e t , t h e s e i d e a s w e r e a s n e w t o h e r a s t h e y w e r e t o h e r s t u d e n t s . F u r t h e r m o r e , s h e a l s o w a s e x p e r i m e n t i n g w i t h a n e w p e d a g o g i c a l a p p r o a c h t h a t i n v o l v e d u s i n g d i s c u s s i o n t o f a c i l i t a t e s t u d e n t s ' e x p l o r a t i o n o f t h e s e i d e a s . 2 3 1 A s a r e s u l t , s h e w a s i n u n f a m i l i a r t e r r a i n i n t w o w a y s . F u r t h e r m o r e , s h e w a s f e e l i n g h e r w a y a s t h e o r c h e s t r a t o r o f t h e s e d i s c u s s i o n s . T h e d i s c u s s i o n s u n l e a s h e d a r a n g e o f u n a n t i c i p a t e d s t u d e n t p e r s p e c t i v e s t h a t s h e t h e n h a d t o n a v i g a t e t h r o u g h . C a t h e r i n e ' s a n d J a c k i e ' s n e e d t o n a v i g a t e t h r o u g h u n f a m i l i a r t e r r a i n i l l u s t r a t e s t w o r e l a t e d c h a l l e n g e s t h a t c u r r e n t r e f o r m s p l a c e o n t e a c h e r s i n t h e c o n s t r u c t i o n a r e n a . F i r s t , a s C a t h e r i n e ' s c a s e s u g g e s t s , t h e n a t u r e o f a n y c h a n g e r e q u i r e s t e a c h e r s t o o p e r a t e w i t h o u t f a m i l i a r r o u t i n e s . S e c o n d , a s J a c k i e ' s c a s e d e m o n s t r a t e s , t h e r e f o r m s s u g g e s t a n a p p r o a c h t o t e a c h i n g m a t h e m a t i c s t h a t i s h i g h l y d e p e n d e n t o n s t u d e n t s ' i d e a s a n d i n s i g h t s ( B a l l , 1 9 9 4 ; C o h e n , 1 9 8 9 ) . I n f a c t , m u c h o f t h e t a s k e n a c t m e n t u n d e r t a k e n b y t e a c h e r s a s t h e y e x p l o r e n e w p r a c t i c e s m a y i n v o l v e t h i s t y p e o f a d a p t a t i o n . T h u s , e x a m i n i n g h o w t e a c h e r s c o n s t r u c t c u r r i c u l u m b y a d a p t i n g t a s k s c a n i l l u m i n a t e a s m u c h a b o u t t h e a c t u a l e n a c t e d c u r r i c u l u m a s c a n a n a l y z i n g c u r r i c u l u m m a t e r i a l s o r p o l i c y . F u r t h e r m o r e , i n o r d e r t o c o n s i d e r t h e r o l e o f c u r r i c u l u m m a t e r i a l s i n m a t h e m a t i c s e d u c a t i o n r e f o r m , w e n e e d t o u n d e r s t a n d t h e r e l a t i o n s h i p b e t w e e n t h e e n a c t e d c u r r i c u l u m a n d t h e o f f e r i n g s o f p u b l i s h e d t e x t b o o k s t e a c h e r s u s e a s r e s o u r c e s . W i t h t h i s a i m , I n o w t u r n t o a d e s c r i p t i o n o f b o t h t e a c h e r s ' p r o c e s s e s o f t a s k e n a c t m e n t i n t h e i r c l a s s r o o m s . D e s p i t e t h e d i f f e r e n c e s i n h o w a n d w h a t t a s k s C a t h e r i n e a n d J a c k i e s e l e c t e d , t h e i r a d a p t a t i o n s h a d s t r i k i n g s i m i l a r i t i e s . T h e A c t i v i t i e s o f T a s k E n a c t m e n t F o r b o t h t e a c h e r s , e n a c t i n g t a s k s i n c l u d e d t w o t y p e s o f a c t i v i t i e s . T h e fi r s t a c t i v i t y i n v o l v e d a s s e s s i n g w h a t w a s e v o l v i n g i n t h e c l a s s r o o m b y r e a d i n g s t u d e n t s ' u n d e r s t a n d i n g s o r a b i l i t i e s w i t h r e s p e c t t o t h e t a s k a n d b y r e a d i n g t h e t a s k i t s e l f t o d e t e r m i n e w h a t i t r e q u i r e d o f s t u d e n t s . T h e s e c o n d a c t i v i t y ( i m p r o v i s i n g ) i n v o l v e d c r e a t i n g a n d c o n s i d e r i n g p o s s i b l e p e d a g o g i c a l a l t e r n a t i v e s f o r p r o c e e d i n g . E v e n t h o u g h t h e s e a c t i v i t i e s w e r e d i s t i n c t i n n a t u r e , t h e t e a c h e r s d i d n o t a l w a y s e n g a g e i n t h e m d i s t i n c t l y o r s e q u e n t i a l l y . F o r e x a m p l e , b o t h t e a c h e r s o c c a s i o n a l l y i n v e n t e d t a s k s t h a t s e r v e d a s w a y s t o r e a d t h e i r s t u d e n t s f u r t h e r , a s w e l l a s r e s p o n s e s t o u n a n t i c i p a t e d 2 3 2 e v e n t s i n t h e c l a s s r o o m . I c h a r a c t e r i z e e a c h o f t h e s e a c t i v i t i e s b e l o w a n d d e s c r i b e t h e f a c t o r s t h a t i n fl u e n c e d t h e m ( s e e F i g u r e 6 . 4 ) . I n t h i s fi g u r e , I u s e d a c o n c e n t r i c r e g i o n t o s h o w t h a t t a s k a d a p t a t i o n i s p a r t o f t a s k e n a c t m e n t . r i T a s k E n a c t m e n t i 1 r , 4 — g o a l s o f t a s k @ g t h e s t u d e n t s * S t u d e n t s ' / ' f \ e n c o u n t e r s i d e a s a b o u t k n o w i n g m a t h — > i m p r o v i s a t i o n \ w i t h t a s k \ ‘ @ t h e t a s k s i n @ 4 — ‘ f fi s m m g L . . / I A d a W t J F i g u r e 6 . 4 T a s k e n a c t m e n t p r o c e s s R e a d i n g s t u d e n t s . T h e m o s t e v i d e n t p a r t o f J a c k i e ‘ s a n d C a t h e r i n e ' s t a s k e n a c t m e n t a c t i v i t i e s w a s t h e i r r e a d i n g o f s t u d e n t s . E v e n t h o u g h t h e i r t a s k g o a l s v a r i e d , m u c h o f w h a t t h e t e a c h e r s d i d i n v o l v e d c h e c k i n g o n s t u d e n t s a n d r e a d i n g t h e i r p r o g r e s s w i t h r e s p e c t t o t h e s e g o a l s a n d t h e i r i d e a s a b o u t w h a t i t m e a n t t o k n o w m a t h . T h e s e i d e a s a n d i n t e n t i o n s w e r e t h e l e n s e s t h r o u g h w h i c h t h e y r e a d t h e i r s t u d e n t s . J a c k i e f o c u s e d o n h e r s t u d e n t s ' u n d e r s t a n d i n g s o f p a r t i c u l a r m a t h e m a t i c a l i d e a s . S h e c a r e f u l l y n o t e d t h e i r e x p l a n a t i o n s f o r t h e i r s o l u t i o n s i n o r d e r t o p l a n h o w t o c h a l l e n g e t h e m f u r t h e r . C a t h e r i n e ' s f o c u s , p a r t i c u l a r l y a t t h e b e g i n n i n g o f t h e y e a r , w a s o n h e l p i n g s t u d e n t s b e " s u c c e s s f u l " i n m a t h . S h e c a r e f u l l y o b s e r v e d t h e m a s t h e y e n c o u n t e r e d n e w t a s k s f r o m t h e t e x t . B e c a u s e i t w a s i m p o r t a n t f o r C a t h e r i n e t h a t s t u d e n t s a r r i v e d a t t h e c o r r e c t a n s w e r s w i t h o u t b e c o m i n g t o o f r u s t r a t e d , s h e p a i d a t t e n t i o n t o w h a t t h e y w e r e d o i n g a n d h o w i t d i d o r d i d n o t fi t w i t h t h e t a s k . L a t e r i n t h e y e a r , a s h e r p e r s p e c t i v e s o n s t u d e n t s ' l e a r n i n g o f m a t h e m a t i c s c h a n g e d , C a t h e r i n e b e g a n t o f o c u s h e r r e a d i n g o n w h a t s t u d e n t s u n d e r s t o o d a n d w h a t t h e y w e r e t h i n k i n g . T h i s c h a n g e w a s p a r t i c u l a r l y 2 3 3 e v i d e n t w h e n s h e v e e r e d f r o m t h e s u g g e s t i o n s i n t h e t e x t d u r i n g t h e f r a c t i o n l e s s o n s i n o r d e r t o p r o b e s t u d e n t s ' u n d e r s t a n d i n g s . R e a d i n g t a s k s i n a c t i o n . I n a d d i t i o n t o r e a d i n g s t u d e n t s ' u n d e r s t a n d i n g s o r a c t i v i t y , b o t h t e a c h e r s f o u n d t h e m s e l v e s e x a m i n i n g a n d a n a l y z i n g t h e t a s k s , p a r t i c u l a r l y w h e n s t u d e n t s w e r e s t r u g g l i n g . B e c a u s e t h e i r r e a d i n g s w e r e a i m e d a t h e l p i n g s t u d e n t s t h r o u g h o r w i t h t h e t a s k , t h e y b o t h r e a d t h e m w i t h r e s p e c t t o t h e i r i d e a s a b o u t l e a r n i n g a n d w h a t s t u d e n t s n e e d e d t o k n o w . I n o r d e r t o h e l p s t u d e n t s c o n f r o n t s o m e o f t h e m o r e c o m p l e x p r o b l e m s o f t h e d a y , C a t h e r i n e s p e n t a g r e a t d e a l o f t i m e t h i n k i n g a b o u t t h e m . S h e c o n s i d e r e d w h a t t h e y i n v o l v e d , h o w s h e w o u l d d o t h e m h e r s e l f , a n d h o w s h e w o u l d a r t i c u l a t e t h e n o n a l g o r i t h m i c a p p r o a c h e s u s e d t o s o l v e t h o s e t h a t d i d n o t h a v e s t r a i g h t f o r w a r d s o l u t i o n p a t h s . J a c k i e r e e x a m i n e d t h e t a s k s h e r s t u d e n t s w o r k e d o n p r i m a r i l y t o h e l p h e r i n t e r p r e t t h e i r e r r o r s . A s I d e s c r i b e d e a r l i e r , m o s t o f t h e t a s k s s h e g a v e t h e m h a d b e e n d e s i g n e d a n d a n a l y z e d b y h e r . H o w e v e r , s o m e t i m e s h e r s t u d e n t s ' w o r k o n a p a r t i c u l a r t a s k w a s s o u n e x p e c t e d t h a t s h e r e e x a m i n e d i t f o r c l u e s . O n A p r i l 8 t h , f o r e x a m p l e , s t u d e n t s w h o h a d b e e n a b l e t o d e t e r m i n e f r a c t i o n s o f n u m b e r s h a d d i f fi c u l t y w o r k i n g t h e p r o b l e m . H e r a n a l y s i s o f t h e s i t u a t i o n t o o k h e r b e y o n d t h e s t u d e n t s t o t h e t a s k s s h e h a d g i v e n t h e m o v e r t h e l a s t f e w d a y s . S h e r e a l i z e d t h a t s h e h a d s e l d o m a s k e d t h e m t o fi n d a n o n u n i t f r a c t i o n o f a n u m b e r , s u c h a s I 2 ; o f 2 4 . J a c k i e s u s p e c t e d t h a t s h e h a d b e e n f o o l e d b y t h e p r e v i o u s t a s k s i n t o b e l i e v e d t h a t t h e y u n d e r s t o o d f r a c t i o n s w h e n t h e y h a d r e c o g n i z e d o n l y t h a t t h e y c o u l d a r r i v e a t t h e c o r r e c t a n s w e r b y d i v i d i n g t h e t o t a l i n t h e g r o u p b y t h e d e n o m i n a t o r . T h e c o n t r a s t b e t w e e n w h a t t h e t w o t e a c h e r s l o o k e d a t w h e n r e a d i n g t a s k s w a s s i m i l a r t o t h e c o n t r a s t i n t h e i r r e a d i n g o f t h e t e x t . W h e n C a t h e r i n e a s s e s s e d t h e t a s k s h e r s t u d e n t s w e r e s t r u g g l i n g w i t h , s h e f o c u s e d o n w h a t t h e y w e r e b e i n g a s k e d t o _ d _ o a n d w h a t s h e c o u l d d o t o h e l p t h e m a c c o m p l i s h t h e t a s k . J a c k i e f o c u s e d o n w h a t t h e t a s k d e m a n d e d o f , o r s u g g e s t e d a b o u t , t h e i r u n d e r s t a n d i n g . S h e e x a m i n e d t h e i d e a s s t u d e n t s w e r e o r w e r e n o t u n d e r s t a n d i n g b e c a u s e o f t h e t a s k . T h e s e p e r s p e c t i v e s 2 3 4 i n fl u e n c e d t h e i r i n t e r p r e t a t i o n s o f w h a t w a s g o i n g o n i n t h e i r c l a s s r o o m s a n d c o n t r i b u t e d t o w h a t t h e y d e c i d e d t o d o i n r e s p o n s e . I m p r o v i s a t i o n . T h e p r o c e s s o f r e s p o n d i n g t o s t u d e n t s ' e n c o u n t e r s w i t h t h e t a s k s p o s e d i n v o l v e d a f o r m o f i m p r o v i s a t i o n o r o n - t h e - s p o t c u r r i c u l u m c o n s t r u c t i o n f o r b o t h t e a c h e r s b e c a u s e t h e y h a d t o d e c i d e h o w t o r e s p o n d o n c e t h e y h a d a s s e s s e d t h e s i t u a t i o n ( H e a t o n , 1 9 9 4 ; H u b e r m a n , 1 9 9 3 ; L a m p e r t , 1 9 9 0 ; Y i n g e r , 1 9 8 7 , 1 9 8 8 ) . F i g u r e 6 . 4 i l l u s t r a t e s t h a t C a t h e r i n e a n d J a c k i e d r e w o n t h e o u t c o m e s o f t h e i r r e a d i n g s ( w h a t t h e y b e l i e v e d s t u d e n t s n e e d e d o r u n d e r s t o o d w i t h r e s p e c t t o t h e t a s k ) , a s w e l l a s t h e i r g o a l s f o r t h e t a s k a n d t h e i r i d e a s a b o u t l e a r n i n g a n d k n o w i n g m a t h i n o r d e r t o m a k e i m p r o v i s e d d e c i s i o n s . A s t h e a r r o w t h a t c i r c l e s b a c k t o t h e " s t u d e n t s ' e n c o u n t e r s w i t h t a s k " i n F i g u r e 6 . 4 d e n o t e s , t h e i r i m p r o v i s a t i o n s o f t e n i n v o l v e d p r e s e n t i n g s t u d e n t s w i t h a n e w t a s k . I m p r o v i s a t i o n a l s o i n v o l v e s d e c i d i n g w h e n t o c o n c l u d e t h e w o r k o n a n p a r t i c u l a r t a s k o r i d e a ; t h u s i t c o u l d r e s u l t i n r e t u r n i n g t o t h e d e s i g n a r e n a . I n J a c k i e ' s c a s e , I u s e d t h e t e r m i m p r o v i s a t i o n t o c h a r a c t e r i z e m u c h o f h e r t e a c h i n g . S h e w a n t e d h e r i n s t r u c t i o n t o b e r e s p o n s i v e t o s t u d e n t s a n d t o f o l l o w t h e i r u n d e r s t a n d i n g s a n d i n t e r e s t s . E v e n t h o u g h s h e b e g a n e a c h l e s s o n b y p r e s e n t i n g s t u d e n t s w i t h a p a r t i c u l a r t a s k , i t s p u r p o s e w a s t o l a u n c h a d i s c u s s i o n a b o u t t h e m a t h e m a t i c a l i d e a s i n v o l v e d . J a c k i e u s e d h e r a s s e s s m e n t o f h e r s t u d e n t s ' u n d e r s t a n d i n g s t o g u i d e h e r a c t i o n s . S h e l i s t e n e d t o s t u d e n t s a r t i c u l a t e t h e i r i d e a s a n d t h e n c o n s t r u c t e d a n d p o s e d n e w q u e s t i o n s t o p u s h t h e m e v e n f u r t h e r o r t o p r o m p t t h e m t o r e e x a m i n e t h e i r u n d e r s t a n d i n g s . W h e n J a r e d d e m o n s t r a t e d h i s r e p r e s e n t a t i o n o f 1 , 4 0 0 f o r t h e c l a s s o n S e p t e m b e r 1 6 t h , J a c k i e q u e s t i o n e d h i m a b o u t e a c h a s p e c t o f h i s d r a w i n g , i n s i s t i n g t h a t h e " s h o w m e h o w y o u k n o w t h a t . " T h e i n s t r u c t i o n a l t e x t s h e c r e a t e d t h r o u g h h e r i m p r o v i s e d q u e s t i o n s w a s a r e s p o n s e t o h e r r e a d i n g o f J a r e d ' s d e m o n s t r a t i o n . S i m i l a r l y , o n O c t o b e r 1 5 t h , w h e n s h e g a v e h e r s t u d e n t s t h e p r o b l e m o f t h e d a y ( i m a g i n i n g t h a t t h r e e d a r t s h a d b e e n t h r o w n a t a d a r t b o a r d a n d d e t e r m i n i n g w h a t t h e p o s s i b l e s c o r e s w e r e ) , s h e w a s s u r p r i s e d b y t h e h a p h a z a r d a n d i n a c c u r a t e 2 3 5 a p p r o a c h e s s t u d e n t s u s e d . J a c k i e a s s e s s e d w h a t t h e t a s k a s k e d o f s t u d e n t s w i t h r e s p e c t t o w h a t s h e w a n t e d t h e m t o l e a r n a n d t h e n c o n s t r u c t e d a n e w q u e s t i o n : H o w d o y o u k n o w w h e n y o u h a v e t h e m a l l ? W i t h t h i s q u e s t i o n , J a c k i e a d a p t e d t h e t a s k t o f o c u s t h e s t u d e n t s m o r e d i r e c t l y o n h e r g o a l s . I m p r o v i s a t i o n w a s n o t a d e l i b e r a t e c h a r a c t e r i s t i c o f C a t h e r i n e ' s t e a c h i n g a t t h e b e g i n n i n g o f t h e y e a r , e v e n t h o u g h s h e f o u n d h e r s e l f i n s i t u a t i o n s t h a t c a l l e d f o r i t . F o r h e r , t h e n e e d t o i m p r o v i s e a r o s e w h e n s h e c o n f r o n t e d s t u d e n t d i f fi c u l t i e s t h a t s h e h a d n o t a n t i c i p a t e d . F o r e x a m p l e , o n D e c e m b e r 1 9 t h , w h e n m a n y s t u d e n t s s t r u g g l e d w i t h t h e p r o b l e m o f t h e d a y , s h e d i s t r i b u t e d c a l c u l a t o r s a n d t o o k t h e t i m e t o d e v e l o p w h a t s h e c a l l e d a " l e s s o n i n t h r e e - s t e p p r o b l e m s " ( I n t e r v i e w , 1 2 / 1 9 / 9 2 ) . T h i s l e s s o n w a s n o t m o t i v a t e d b y t h e t a s k f r o m t h e t e x t , o r b y t h e t e x t , b u t b y C a t h e r i n e ' s a s s e s s m e n t o f h e r s t u d e n t s ' e n c o u n t e r s w i t h i t . A s C a t h e r i n e b e c a m e m o r e f o c u s e d o n s t u d e n t u n d e r s t a n d i n g , s o d i d h e r i m p r o v i s a t i o n s . I n f a c t , s h e b e g a n t o i n v e n t a n d i n s e r t i m p r o v i s e d q u e s t i o n s i n t o t h e l e s s o n s s h e d r e w f r o m t h e t e x t . O n A p r i l 6 t h , s h e p r o b e d m a n y s t u d e n t s ' r e s p o n s e s e v e n f u r t h e r . W h e n J o s e p h c h a n g e d h i s m i n d i n t h e m i d d l e o f g i v i n g t h e i n c o r r e c t a n s w e r t o t h e c o r r e c t o n e , C a t h e r i n e a s k e d h i m t o e x p l a i n w h y h e h a d d e c i d e d t o c h a n g e h i s m i n d . J u s t a f e w m i n u t e s l a t e r s h e a l l o w e d t h e c l a s s t o d e p a r t f r o m t h e t a s k a t h a n d t o e x p l o r e t h e p o s s i b i l i t y o f c o m b i n i n g fi v e t r i a n g l e s i n t o a s i n g l e p o l y g o n . T h i s t y p e o f o p e n n e s s t o i m p r o v i s a t i o n w a s t y p i c a l o f a l l h e r f r a c t i o n l e s s o n s d u r i n g t h e s p r i n g . T a s k A d a p t a t i o n a n d t h e R o l e o f t h e T e x t A c h a r a c t e r i s t i c c o m m o n t o b o t h t e a c h e r s ' a d a p t a t i o n s o f t a s k s w a s t h e m i n o r r o l e t h e t e x t p l a y e d . R e g a r d l e s s o f t h e i r u s e s o f t h e t e x t t o d e s i g n c u r r i c u l u m , n e i t h e r J a c k i e n o r C a t h e r i n e t u r n e d t o i t t o g u i d e t h e i r a c t u a l e n a c t m e n t o f i t . R a t h e r , t h e y d r e w o n t h e i r o w n p e r s o n a l r e s o u r c e s t o a s s e s s s t u d e n t s , e x a m i n e t h e t a s k s , a n d i m p r o v i s e r e s p o n s e s , e v e n w h e n t h e y h a d d r a w n t h e o r i g i n a l t a s k f r o m t h e t e x t . J a c k i e , i n p a r t i c u l a r , i l l u s t r a t e s t h i s t e n d e n c y . O n c e s h e p o s e d a t a s k t o s t u d e n t s , s h e g e n e r a l l y 2 3 6 i n i t i a t e d a s e r i e s o f i m p r o v i s a t i o n s t h a t t o o k t h e e n t i r e l e s s o n . C a t h e r i n e r e t u r n e d t o t h e t e x t f o r n e w t a s k s m o r e f r e q u e n t l y w i t h i n a s i n g l e l e s s o n . N e v e r t h e l e s s , s h e a l s o d i d n o t i n v o l v e t h e t e x t i n e n a c t i n g t h e m . T h i s p a t t e r n i s i l l u s t r a t e d i n T a b l e s 6 . 1 a n d 6 . 2 . T a b l e 6 . 1 d i s p l a y s t h e t a s k a d a p t a t i o n s I o b s e r v e d i n J a c k i e ' s t e a c h i n g . T h e s e v a r y f r o m e n t i r e c l a s s d i s c u s s i o n s t o s i n g l e i n s t a n c e s i n s p i r e d b y a s t u d e n t ' s q u e s t i o n s o r c o m m e n t s . T a b l e 6 . 2 d i s p l a y s t h e t a s k a d a p t a t i o n s f r o m C a t h e r i n e ' s o b s e r v e d l e s s o n s , w h i c h a l s o v a r y i n n a t u r e . T h e s e c o n d c o l u m n i n e a c h t a b l e s u m m a r i z e s t h e t e a c h i n g s i t u a t i o n s t h a t c a l l e d f o r a d a p t a t i o n . A s i n d i c a t e d i n t h e s u m m a r i e s , a l l b u t 2 o f t h e 1 8 i n s t a n c e s d e s c r i b e d w e r e s t i m u l a t e d b y u n a n t i c i p a t e d s t u d e n t a c t i v i t y . T h e o t h e r 2 w e r e r e s u l t s o f t h e t e a c h e r ' s o n - t h e - s p o t r e a d i n g o f t h e t a s k . T h e t h i r d c o l u m n s u m m a r i z e s t h e t e a c h e r s ' i m p r o v i s e d r e s p o n s e s , a n d i t i l l u s t r a t e s t h e e x t e n t t o w h i c h b o t h t e a c h e r s r e l i e d o n t h e i r r e a d i n g s o f t h e i r s t u d e n t s t o c o n s t r u c t r e s p o n s e s . A s i n d i c a t e d i n t h e l a s t c o l u m n , t h e o n l y w a y t h a t t h e t e x t c o u l d c o n t r i b u t e t o t h e c o n s t r u c t i o n p r o c e s s w a s t o p r o v i d e t h e t a s k t h a t i n i t i a t e d t h e s e s i t u a t i o n s , w h i c h o c c u r r e d i n 6 o f J a c k i e ' s 9 i n s t a n c e s a n d i n a l l 9 o f C a t h e r i n e ' s . 2 3 7 T a b l e 6 . 1 I n s t a n c e s o f A d a p t a t i o n i n J a c k i e ' s O b s e r v e d L e s s o n s T e a c h e r / d a t e S i t u a t i o n A d a p t a t i o n R o l e o f t h e t e x t J a c k i e C l a s s d i s c u s s i o n o n T e a c h e r u s e d s t u d e n t s ' P r o v i d e d t h e 9 / 1 6 / 9 2 r e p r e s e n t a t i o n s o f 1 , 4 0 0 w i t h r e p r e s e n t a t i o n s t o s h a p e t h e i d e a f o r t h e t a s k b a s e - 1 0 b l o c k s d i s c u s s i o n . W h i l e s t u d e n t s w o r k e d o n T e a c h e r a s k e d t h e q u e s t i o n : P r o v i d e d J a c k i e p r o b l e m o f t h e d a y , t e a c h e r " H o w d o y o u k n o w w h e n p r o b l e m 1 0 / 1 5 / 9 2 n o t i c e d s t u d e n t s ' h a p h a z a r d y o u h a v e t h e m a l l ? " a p p r o a c h e s t o d a r t p r o b l e m . S t u d e n t m a d e o b s e r v a t i o n J a c k i e c o n s t r u c t e d l e s s o n t o P r o v i d e d p l a c e - J a c k i e a b o u t t h e r e l a t i o n s h i p e x a m i n e a n d b u i l d o n v a l u e 1 0 / 1 5 / 9 2 b e t w e e n 1 0 , 0 0 0 a n d 1 0 s t u d e n t s ' o b s e r v a t i o n . r e p r e s e n t a t i o n t h o u s a n d . u s e d i n t a s k J a c k i e C l a s s d i s c u s s i o n i n w h i c h T e a c h e r u s e d s t u d e n t s ' 1 0 / 2 2 / 9 2 s t u d e n t s u s e d 3 d i f f e r e n t s o l u t i o n s t o g u i d e d i s c u s s i o n N o n e m o d e l s f o r a d d i t i o n S t u d e n t s w e r e t o s o l v e c o l u m n J a c k i e s u b t r a c t i o n p r o b l e m s w i t h U s e d d i s c u s s i o n t o p u s h 1 0 / 2 9 / 9 2 r e g r o u p i n g . M a n y a r r i v e d a t s t u d e n t s t o r e s o l v e d i f f e r e n t N o n e d i f f e r e n t a n s w e r s w h e n u s i n g a n s w e r s n u m e r a l s a n d m a n i p u l a t i v e s . T h r o u g h l i s t e n i n g t o s t u d e n t s ' T e a c h e r m o v e d d i s c u s s i o n J a c k i e s o l u t i o n s t o p r o b l e m o f t h e i n t o e x p l o r a t i o n o f m e a n i n g P r o v i d e d i n i t i a l 2 / 1 / 9 3 d a y i n v o l v i n g f r a c t i o n s , J a c k i e o f f r a c t i o n s , e n c o u r a g i n g t a s k f o u n d t h a t s t u d e n t s h a d m i s - s t u d e n t s t o m a k e d r a w i n g s c o n c e p t i o n s a b o u t f r a c t i o n s t o e x p l o r e m e a n i n g s . D u r i n g i n t r o d u c t i o n t o T e a c h e r c l o s e d c l a s s b y ' J a c k i e f r a c t i o n s t a s k , t e a c h e r r e a l i z e d a s k i n g s t u d e n t s t d r a w a P r o v i d e d i n i t i a l 4 / 5 / 9 3 t h a t s t u d e n t s d i d n o t p i c t u r e o f 0 / 2 2 . t a s k u n d e r s t a n d t h e f r a c t i o n 2 2 / 2 2 . D i s c u s s i o n o f j o u r n a l T e a c h e r a l l o w e d c l a s s t o J a c k i e q u e s t i o n s a n d c a n d y - b a r t a s k a r g u e t h i s q u e s t i o n f o r e n t i r e P r o v i d e d p a r t 4 / 7 / 9 3 r e v e a l e d t h a t m a n y s t u d e n t s l e s s o n , u s i n g p i c t u r e s o f o f i n i t i a l t a s k w e r e n o t s u r e w h i c h w a s r e c t a n g l e s i n 1 2 p i e c e s o n t h e m o r e : 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 6 . o v e r h e a d t o h a v e s t u d e n t s s h o w t h e i r s o l u t i o n s T h r o u g h w a t c h i n g s t u d e n t s J a c k i e fi n d f r a c t i o n s o f a n u m b e r o f J a c k i e f o c u s e d t h e d i s c u s s i o n 4 / 8 / 9 3 c h i p s , t e a c h e r r e a l i z e d t h a t o n fi n d i n g a n d e x p l a i n i n g N o n e m a n y d i d n o t u n d e r s t a n d t h e n o n - u n i t f r a c t i o n s . m e a n i n g o f n o n - u n i t f r a c t i o n s . F o r 6 o u t o f 9 S u m m a r y A l l 9 i n s t a n c e s w e r e I n a l l i n s t a n c e s J a c k i e r e l i e d a d a p t a t i o n s , t h e s t i m u l a t e d b y u n a n t i c i p a t e d o n h e r o w n r e s o u r c e t o t e x t p r o v i d e d N = 9 s t u d e n t a c t i v i t y . i n v e n t r e s p o n s e s . t h e i d e a f o r t h e o r i g i n a l t a s k . 2 3 8 T a b l e 6 . 2 I n s t a n c e s o f A d a p t a t i o n i n C a t h e r i n e ' s O b s e r v e d L e s s o n s T e a c h e r / D a t e S i t u a t i o n A d a p t a t i o n R o l e o f t h e t e x t C a t h e r i n e S t u d e n t s h a d d i f fi c u l t y T e a c h e r o b s e r v e d s t u d e n t s P r o v i d e d k n o w i n g w h e r e t o s t a r t a n d a n d e x a m i n e d p r o b l e m s t o p r o b l e m s o f t h e T h r o u g h o u t h o w t o p r o c e e d w i t h m u l t i s t e p d e t e r m i n e h o w t o h e l p t h e m . d a y t h e f a l l p r o b l e m s o f t h e D a y . C a t h e r i n e T e a c h e r b e g a n t o n o t i c e t h a t T e a c h e r b e g a n t o a s k s t u d e n t s h a d a l t e r n a t i v e s t u d e n t s i f a n y o n e s o l v e t h e P r o v i d e d l a t e f a l l s o l u t i o n s t o t h e p r o b l e m s o f p r o b l e m d i f f e r e n t l y . p r o b l e m s t h e d a y . S t u d e n t s h a d d i f f i c u l t y T e a c h e r a s k e d s t u d e n t s P r o v i d e d t h e C a t h e r i n e c o n s i d e r i n g a l t e r n a t i v e l e a d i n g q u e s t i o n s u n t i l t a s k a n d t h e 1 2 / 3 / 9 2 s o l u t i o n s d u r i n g p r o b l e m — s o m e o n e p r o d u c e d t h e q u e s t i o n t o a s k s o l v i n g l e s s o n i n t e x t . c o r r e c t a n s w e r . W h e n c o n s o l i d a t i n g d a t a T e a c h e r d i s t r i b u t e d c o l l e c t e d b y s t u d e n t s i n a c a l c u l a t o r s a n d a s k e d S u g g e s t e d t a s k C a t h e r i n e f r e q u e n c y c h a r t , T e a c h e r w a s s t u d e n t s a s e r i e s o f i n m a r g i n o f 1 2 / 1 0 / 9 2 i n t r i g u e d b y t h e p o t e n t i a l t h e q u e s t i o n s t h a t i n v o l v e d t e a c h e r ' s g u i d e p r o b l e m h a d t o h e l p s t u d e n t s r e a d i n g t h e t a b l e a n d u n d e r s t a n d t h e t a b l e . c o m m r t i n g t o t a l s . T e a c h e r w a s s u r p r i s e d t o fi n d C a t h e r i n e t h a t m a n y s t u d e n t s r e a d i l y T e a c h e r t o o k t h e p r o b l e m P r o v i d e d i n i t i a l 4 / 5 / 9 3 u n d e r s t o o d t h e p a p e r / f o l d i n g f u r t h e r t h a n w a s s u g g e s t e d t a s k t a s k i n t h e i n t r o d u c t i o n t o i n t h e t e x t f r a c t i o n s l e s s o n . C a t h e r i n e A s t u d e n t c h a n g e d a n a n s w e r T e a c h e r a s k e d s t u d e n t t o P r o v i d e d i n i t i a l 4 / 6 / 9 3 f r o m a n i n c o r r e c t t o c o r r e c t e x p l a i n w h y h e c h a n g e d h i s a c t i v i t i e s r e s p o n s e . m i n d . M a n y s t u d e n t s d i s a g r e e d T e a c h e r a l l o w e d s t u d e n t s t o C a t h e r i n e w h e n C a t h e r i n e m e n t i o n e d p u r s u e w a y s t o p u t 5 P r o v i d e d i n i t i a l 4 / 6 / 9 3 t h a t i t w o u l d b e d i f f i c u l t t o t r i a n g l e s i n t o a s i n g l e s h a p e . a c t i v i t i e s p u t 5 t r i a n g l e s t o g e t h e r i n t o a s i n g l e s h a p e . A l t h o u g h i t w a s " a q u e s t i o n C a t h e r i n e D u r i n g r e v i e w o f f r a c t i o n b e f o r e i t s t i m e , " C a t h e r i n e P r o v i d e d i n i t i a l 4 / 6 / 9 3 a s s i g n m e n t , s t u d e n t a s k e d s h o w e d h o w t o a d d t w o a c t i v i t i e s a b o u t a d d i n g f r a c t i o n s . f r a c t i o n s w i t h l i k e d e n o m i n a t o r s . T a s k i n v o l v e d u s i n g c o u n t e r s T e a c h e r t r i e d v a r i o u s w a y s C a t h e r i n e t o fi n d n o n - n i t f r a c t i o n s o f a t o s h o w t h e m h o w t o f i n d 4 / 8 / 9 3 n u m b e r ; s t u d e n t s h a d f r a c t i o n s o f n u m b e r s , P r o v i d e d i n i t i a l d i f fi c u l t y w i t h p r o c e d u r e . r e t u r n i n g t o c o u n t e r s e v e n t a s k t h o u g h t h e t e x t w e n t o n t o a p u r e l y a b s t r a c t a p p r o a c h . 2 3 9 T a b l e 6 . 2 ( C o n t i n u e d ) T e a c h e r / d a t e S i t u a t i o n A d a p t a t i o n R o l e o f t h e t e x t T e a c h e r i n v e n t e d h e r o w n T e a c h e r c r e a t e d a s t r a t e g y C a t h e r i n e l e s s o n t o t e a c h n o n - u n i t f o r t e a c h i n g s t u d e n t s a n d P r o v i d e d i d e a 4 / 1 2 / 9 3 f r a c t i o n s o f a n u m b e r , c o n t i n u a l l y a s s e s s e d t h e i r f o r t a s k f o c u s i n g o n o b s e r v e d u n d e r s t a n d i n g s a s s h e s t u d e n t s ' d i f fi c u l t i e s . p r o c e e d e d . T e a c h e r i n t r o d u c e d e q u i v a l e n t f r a c t i o n s u s i n g s u g g e s t i o n s i n I n t r i g u e d b y m o d e l , t e a c h e r C a t h e r i n e t e x t t h a t h a d s t u d e n t s e l a b o r a t e d q u e s t i o n s w i t h P r o v i d e d i n i t i a l 4 / 1 4 / 9 3 c o n s t r u c t f r a c t i o n b a r s ; h e r o w n t h a t a s s e s s e d t a s k o b s e r v e d h o w w e l l m o d e l s t u d e n t s ' u n d e r s t a n d i n g o f i l l u s t r a t e d r e l a t i o n s h i p s e q u i v a l e n t f r a c t i o n s . a m o n g e q u i v a l e n t f r a c t i o n s . I n a l l 9 S u m m a r y S e v e n a d a p t a t i o n s w e r e i n s t a n c e s , t h e s t i m u l a t e d b y u n a n t i c i p a t e d I n a l l i n s t a n o e s C a t h e r i n e t e x t p r o v i d e d N = 9 s t u d e n t a c t i v i t y ; t w o w e r e r e l i e d o n h e r o w n r e s o u r c e t h e t a s k o r i d e a s t i m u l a t e d b y t e a c h e r ' s t o i n v e n t r e s p o n s e s . t h a t i n i t i a t e d a s s e s s m e n t o f t a s k . t h e n e e d f o r a d a p t a t i o n . T h e m i n i m a l r o l e t h e t e x t p l a y e d i n s h a p i n g t h e a c t i v i t y i n t h e c o n s t r u c t i o n a r e n a s e e m s c h a r a c t e r i s t i c o f t h i s a s p e c t o f t e a c h i n g . I n o r d e r t o e n a c t t a s k s , b o t h t e a c h e r s f o u n d t h e m s e l v e s r e a d i n g s t u d e n t s a n d i m p r o v i s i n g i n r e s p o n s e . B e c a u s e t e x t b o o k w r i t e r s c a n n o t p r e d i c t s t u d e n t s ' r e s p o n s e s t o t a s k s p o s e d b y t e a c h e r s , t h e i r a b i l i t y t o d i r e c t l y d e t e r m i n e a n d s h a p e t h e e n a c t e d c u r r i c u l u m i s l i m i t e d . T h e H B J t e x t b o o k , h o w e v e r , f o c u s e d o n t h e e n a c t e d c u r r i c u l u m . A s I d e s c r i b e d i n C h a p t e r 3 , t h e t e x t w a s d e s i g n e d t o g u i d e t h e a c t i v i t y o f t e a c h e r s a n d s t u d e n t s i n t h e c l a s s r o o m . I t s a p p r o a c h w a s t o o f f e r a s e r i e s o f t a s k s a n d q u e s t i o n s t e a c h e r s c o u l d p o s e a n d t h e n p r o v i d e c o r r e c t a n s w e r s s t u d e n t s s h o u l d g i v e i n r e s p o n s e . B o t h t e a c h e r s ' a c t i v i t i e s w i t h i n t h i s a r e n a , h o w e v e r , w e r e p r i m a r i l y i m p r o v i s a t i o n a l a n d r e s p o n s i v e t o t h e s i t u a t i o n a t h a n d . T h e r e s u l t w a s p a r a l l e l c u r r i c u l u m d e v e l o p m e n t . T h e t e x t d e v e l o p e r s o u t l i n e d a p a r t i c u l a r p l a n , w h e r e a s t h e t e a c h e r s e n a c t e d t h e i r o w n . B e c a u s e t h e t e x t d i d n o t a t t e n d t o t h e 2 4 0 a c t i v i t i e s t e a c h e r s a c t u a l l y e n g a g e d i n w h e n e n a c t i n g c u r r i c u l u m , i t w a s n o t s e t u p t o c o n t r i b u t e t o t h i s a r e n a o f c u r r i c u l u m d e v e l o p m e n t . T h i s a r e n a , m o r e t h a n t h e o t h e r s , c a p t u r e s t h e i n t e r a c t i v e n a t u r e o f t e a c h i n g . T h e c u r r i c u l u m e n a c t e d i s t h e p r o d u c t o f t e a c h e r s ' i n t e r a c t i o n s w i t h s t u d e n t s a r o u n d p a r t i c u l a r t a s k s ( Y i n g e r , 1 9 8 8 ) a n d c a n n o t b e p r e d e t e r m i n e d b y t e x t b o o k w r i t e r s o r t e a c h e r s . I n o t h e r w o r d s , t h e t a s k s t h a t t e a c h e r s s e l e c t i n t h e d e s i g n a r e n a o f c u r r i c u l u m d e v e l o p m e n t a r e n o t b l u e p r i n t s f o r c u r r i c u l u m . A s C a t h e r i n e a n d J a c k i e i l l u s t r a t e , p l a n n e d t a s k s a r e o n l y s e e d s . T h e p a t h s t h a t t h e i r g r o w t h t a k e a r e d e t e r m i n e d b y m u l t i p l e , d i f f i c u l t - t o - p r e d i c t f a c t o r s , w h i c h r a i s e s q u e s t i o n s a b o u t h o w t e x t s m i g h t c o n t r i b u t e t o t e a c h e r s ' a c t i v i t i e s d u r i n g c u r r i c u l u m e n a c t m e n t . S i n c e t e a c h e r s r e a d a n d r e s p o n d t o t e x t s , s t u d e n t s , a n d c l a s s r o o m e v e n t s i n t h e p r o c e s s o f d e v e l o p i n g c u r r i c u l u m , i t i s t h e f a c t o r s t h a t s h a p e t h e i r r e a d i n g a n d r e s p o n d i n g t h a t n e e d t o b e b e t t e r u n d e r s t o o d . I e x p l o r e t h i s i s s u e i n t h e s e c o n d p a r t o f t h i s c h a p t e r . F i r s t , I d i s c u s s t h e r e l a t i o n s h i p b e t w e e n t h e s e t w o a r e n a s a n d t h e i r i m p a c t o n a t h i r d a r e n a o f c u r r i c u l u m d e v e l o p m e n t , c u r r i c u l u m m a p p i n g . T h e R e l a t i o n s h i p B e t w e e n t h e D e s i g n a n d C o n s t r u c t i o n A r e n a s A s t h e a b o v e d i s c u s s i o n s u g g e s t s , t h e r e l a t i o n s h i p b e t w e e n t h e d e s i g n a n d c o n s t r u c t i o n a r e n a s v a r i e d f o r t h e s e t w o t e a c h e r s . T h e m o s t o b v i o u s r e l a t i o n s h i p w a s s e q u e n t i a l ; a f t e r s e l e c t i n g a t a s k o r t a s k s i n t h e d e s i g n a r e n a , t h e t e a c h e r s e n a c t e d a n d a d a p t e d i t i n t h e c o n s t r u c t i o n a r e n a . W h a t f o l l o w e d t h e a c t i v i t y i n t h e c o n s t r u c t i o n a r e n a w a s l e s s s t r a i g h t f o r w a r d . D i f f e r e n t p o s s i b i l i t i e s a r e r e p r e s e n t e d w i t h a r r o w s i n F i g u r e 6 . 5 . I m p r o v i s a t i o n i n v o l v e d i m p r o m p t u d e s i g n i n g o r a l t e r i n g t a s k s t o p r e s e n t t o s t u d e n t s , k e e p i n g t h e i r a c t i v i t y w i t h i n t h e c o n s t r u c t i o n a r e n a . J a c k i e , i n f a c t , r a r e l y m o v e d o u t o f t h e c o n s t r u c t i o n a r e n a d u r i n g a l e s s o n . R a t h e r , e a c h l e s s o n c o n s i s t e d o f a s e r i e s o f i m p r o v i s e d t a s k s b a s e d o n h e r a s s e s s m e n t o f s t u d e n t s . C a t h e r i n e w a s m o r e l i k e l y t o r e t u r n t o t h e d e s i g n a r e n a a n d t h e t e x t , f o r a n e w t a s k d u r i n g a l e s s o n a n d i n p r e p a r a t i o n f o r a n o t h e r , a s i s r e p r e s e n t e d w i t h t h e a r r o w m a r k e d C a t h e r i n e . T h u s , i n a ‘ ’ ‘ - ’ 2 4 1 g i v e n l e s s o n , s h e g e n e r a l l y r e t u r n e d t o t h e d e s i g n a r e n a m u l t i p l e t i m e s , i n c l u d i n g s e l e c t i n g t a s k s f r o m t h e t e x t . c k i e I D e s i g n a r e n a 1 C o n s t r u c t i o n a r e n a V i e r a s 0 m a t h B e l i e f s a f l r o u t l e a r n i n g R e a d i n g s t u d e n t s / ' I d e a s a b o u t s t u d e n t s ‘ i \ S u p i n . S t u d e n t s ' - M a t h e m a t i c a l . . 5 8 3 C e n c o u n t e r I m v r s a t r o n c o n t e x t 8 ¢ “ ' 5 " w i t h t a s k a c ' a n d c a t h e fi C a t h e r i n e F i g u r e 6 . 5 . I n t e r a c t i o n b e t w e e n t h e d e s i g n a n d c o n s t r u c t i o n a r e n a s J a c k i e w a s m o r e l i k e l y t o r e t u r n t o t h e d e s i g n p r o c e s s o n l y i n p r e p a r a t i o n f o r a n e w l e s s o n . F u r t h e r m o r e , u n l e s s b e g i n n i n g a n e w t o p i c , s h e t e n d e d n o t t o r e t u r n t o i d e a s i n t h e t e x t b u t t o i n f o r m a t i o n g l e a n e d f r o m r e a d i n g h e r s t u d e n t s a n d t h e i r a c t i v i t i e s i n d e s i g n i n g s u b s e q u e n t t a s k s . A s a r e s u l t , s h e t e n d e d t o r e a d l e s s a n d l e s s o f t h e t e x t b o o k a s s h e p r o c e e d e d t h r o u g h a t 0 p i c . T h i s w a s t h e c a s e w i t h b o t h t h e p l a c e - v a l u e l e s s o n s a n d t h e f r a c t i o n u n i t I o b s e r v e d . E v e n t h o u g h s h e b e g a n e a c h u n i t w i t h i d e a s s h e r e a d i n t h e t e x t , s h e q u i c k l y m o v e d a w a y f r o m t h e t e x t , i n v e n t i n g t a s k s r e l a t e d t o i d e a s t h a t e m e r g e d f r o m r e a d i n g h e r s t u d e n t s a n d t h e t a s k s i n a c t i o n . T h i s t e n d e n c y i s r e p r e s e n t e d b y J a c k i e ' s a r r o w i n F i g u r e 6 . 5 . T h i s p i c t u r e o f t h e r e l a t i o n s h i p s b e t w e e n t h e s e t w o a r e n a s r e p r e s e n t s a c o m p l e x v i e w o f t e a c h e r s ' c u r r i c u l u m d e v e l o p m e n t b y s h o w i n g t h e m u l t i p l e f a c t o r s i n v o l v e d . T h e p i c t u r e a l s o p l a c e s t h e r o l e o f t h e t e x t i n p e r s p e c t i v e b y s h o w i n g h o w i t f i t s i n t o a 2 4 2 l a r g e r c o n t e x t . E v e n t h o u g h m o d e l s o f t h e s e t w o a r e n a s m a y l o o k d i f f e r e n t f o r o t h e r t e a c h e r s , t h e r o l e t h a t t h e H B J t e x t p l a y e d w i t h r e s p e c t t o o t h e r i n fl u e n t i a l f a c t o r s r a i s e s q u e s t i o n s a b o u t i t s a b i l i t y t o d i r e c t l y s h a p e t h e e n a c t e d c u r r i c u l u m . F u r t h e r m o r e , t h i s p i c t u r e o f v a r i o u s r e s o u r c e s a n d i n p u t s t h e t e a c h e r s d r e w o n t o m a k e c u r r i c u l a r d e c i s i o n s s u g g e s t s t h e p o s s i b i l i t y o f r o l e s t h a t a t e x t m i g h t p l a y o t h e r t h a n p r o v i d e r o f t a s k s . H o w m i g h t a t e a c h e r ' s g u i d e , f o r e x a m p l e , s u p p o r t t e a c h e r s ' e f f o r t s t o r e a d t h e i r s t u d e n t s o r i n v e n t t a s k s i n r e s p o n s e t o s t u d e n t s ' u n d e r s t a n d i n g s ? T h e i n d i v i d u a l i z e d a r r o w s f o r e a c h t e a c h e r i n F i g u r e 6 . 5 r e fl e c t a c e n t r a l d i f f e r e n c e b e t w e e n t h e t w o t e a c h e r s t h a t h a s i m p l i c a t i o n s f o r t e x t s d e s i g n e d t o p r o m o t e r e f o r m i n m a t h e m a t i c s e d u c a t i o n . T h e d i f f e r e n c e w a s C a t h e r i n e ' s i n c l i n a t i o n t o r e t u r n t o t h e t e x t w h e n d e c i d i n g w h e r e t o g o n e x t a s o p p o s e d t o J a c k i e ' s t e n d e n c y t o i n v e n t t a s k s t h a t f o l l o w e d h e r a s s e s s m e n t o f h e r s t u d e n t s ' n e e d s . T h i s d i f f e r e n c e i s s i g n i fi c a n t b e c a u s e i t r e fl e c t s a t e n s i o n t e a c h e r s a r e l i k e l y t o f a c e b e t w e e n a t t e n d i n g t o p a r t i c u l a r m a t h e m a t i c a l g o a l s a n d s t u d e n t u n d e r s t a n d i n g . T h e e m p h a s i s t h a t t h e c u r r e n t r e f o r m a g e n d a p l a c e s o n b o t h m a t h e m a t i c a l g o a l s a n d s t u d e n t s ' u n d e r s t a n d i n g s s u g g e s t s t h a t a t t e n d i n g t o o n e m i g h t m e a n n e g l e c t i n g t h e o t h e r . I n J a c k i e ' s c a s e , a t t e n d i n g t o s t u d e n t s d e c r e a s e d h e r a t t e n t i o n t o t h e t e x t . T h i s t e n s i o n a l s o w a s a p p a r e n t i n t h e d e c i s i o n s t h e t e a c h e r s m a d e a b o u t t h e i r l a r g e r c u r r i c u l u m m a p s w h i c h I d i s c u s s i n t h e f o l l o w i n g s e c t i o n . T h e C u r r i c u l u m M a p p i n g A r e n a T h e d e s i g n a n d c o n s t r u c t i o n a r e n a s , d i s c u s s e d a b o v e , i n v o l v e t h e d a y - t o - d a y d e c i s i o n s t h a t d i r e c t l y i m p a c t t h e e n a c t e d c u r r i c u l u m ; t h e y e x i s t w i t h i n a t h i r d a r e n a - t h e c u r r i c u l u m m a p p i n g a r e n a u w h i c h p r o v i d e s t h e b r o a d e r s t r u c t u r e i n s i d e o f w h i c h t h e o t h e r t w o fi t . T h i s a r e n a i n v o l v e s d e c i s i o n s t h a t e f f e c t i v e l y d e fi n e a n d o r g a n i z e t h e m a t h e m a t i c s c u r r i c u l u m a s a w h o l e a n d d e t e r m i n e t h e c o n t e n t , s e q u e n c e , a n d t i m i n g o f i t s t o p i c s . T e a c h e r s ' d e c i s i o n s t h a t s h a p e t h e i r c u r r i c u l u m m a p s o f t e n g o u n n o t i c e d p r i m a r i l y b e c a u s e t h e m a t h e m a t i c s c u r r i c u l u m i s o f t e n a s s u m e d . T e x t b o o k s f r e q u e n t l y 2 4 3 o f f e r a c u r r i c u l u m m a p t h a t o r g a n i z e s m a t h e m a t i c s t o p i c s i n t o c h a p t e r s t h a t i n c l u d e s p e c i fi c c o n c e p t s o r s k i l l s . T e a c h e r s m a p t h e c u r r i c u l u m w h e n t h e y d e c i d e h o w o r w h e t h e r t o u s e t h i s s t r u c t u r e . F o r e x a m p l e , t h e y m i g h t s k i p t h e c h a p t e r i n t h e t e x t b o o k o n p l a c e v a l u e , s p e n d t w i c e a s l o n g o n i t , o r c o m b i n e i t w i t h a n o t h e r . T h e y a l s o m a p t h e c u r r i c u l u m w h e n t h e y e l e c t t o g o t h r o u g h e a c h c h a p t e r i n t h e t e x t b o o k , t a k i n g o n e l e s s o n e a c h d a y a s t h e a u t h o r s s u g g e s t , o r w h e n t h e y a b a n d o n t h e t e x t a l t o g e t h e r a n d d e v e l o p t h e i r o w n m a p o f t h e c u r r i c u l u m . C a t h e r i n e ' s a n d J a c k i e ' s m a p p i n g a c t i v i t i e s w e r e i n t e r t w i n e d w i t h d a i l y , c l a s s r o o m e v e n t s b e c a u s e t h e m a p p i n g p r o c e s s i n c l u d e d d e c i s i o n s t h a t w e r e s e l d o m e x p l i c i t l y m a d e . R a t h e r , t h e s e d e c i s i o n s w e r e o n g o i n g , a n d t h e y o c c u r r e d t h r o u g h o u t t h e y e a r a s t h e t e a c h e r s m o v e d t h r o u g h t h e t e x t . C a t h e r i n e a n d J a c k i e m a p p e d t h e c u r r i c u l u m w h e n d e c i d i n g w h a t t o p i c s t o t e a c h , h o w t o o r g a n i z e a n d s e q u e n c e t h e m , a n d h o w m u c h t i m e t o s p e n d o n e a c h . T h i s a r e n a w a s t h e p l a c e i n t h e i r c u r r i c u l u m d e v e l o p m e n t t h a t b o t h t e a c h e r s ' d e c i s i o n s m a t c h e d m o s t c l o s e l y t h e o f f e r i n g s i n t h e t e x t . T h u s , t h e r o l e o f t h e t e x t b o o k w a s p a r t i c u l a r l y e v i d e n t . N e i t h e r t e a c h e r , h o w e v e r , f o l l o w e d t h e t e x t c o m p l e t e l y i n c o n s t r u c t i n g h e r c u r r i c u l u m m a p . B e l o w I d e s c r i b e t h e c u r r i c u l u m m a p p i n g p r o c e s s f o r b o t h t e a c h e r s . C o m p o n e n t s o f C u r r i c u l u m M m M y a n a l y s e s o f J a c k i e ' s a n d C a t h e r i n e ' s m a p p i n g d e c i s i o n s r e v e a l e d t w o c o m p o n e n t s o f c u r r i c u l u m d e t e r m i n a t i o n : ( a ) t o p i c d e t e r m i n a t i o n , w h i c h o u t l i n e d h o w t h e m a t h e m a t i c s c u r r i c u l u m w a s d i v i d e d u p o r c a t e g o r i z e d , a n d ( b ) c o n t e n t m a p p i n g , w h i c h d e t e r m i n e d t h e c o n c e p t s o r s k i l l s a d d r e s s e d i n a g i v e n t o p i c , t h e s e q u e n c e i n w h i c h t h e t o p i c s w e r e t a u g h t , a n d t h e a m o u n t o f t i m e s p e n t o n e a c h . A s F i g u r e 6 . 6 r e p r e s e n t s , t o p i c d e t e r m i n a t i o n w a s a b r o a d f r a m e i n s i d e o f w h i c h c o n t e n t m a p p i n g o c c u r r e d . T h e d a y - t o - d a y d e c i s i o n s t h a t d i r e c t l y i m p a c t e d t h e e n a c t e d c u r r i c u l u m t o o k p l a c e w i t h i n , a n d o f t e n i n fl u e n c e d , t h i s l a r g e r s e t o f d e c i s i o n s . T h e t e a c h e r s ' t o p i c 2 4 4 d e t e r m i n a t i o n d e c i s i o n s w e r e s i m i l a r , w h e r e a s t h e d i f f e r e n c e s i n t h e i r c o n t e n t m a p p i n g r e p r e s e n t a s i g n i fi c a n t d i f f e r e n c e i n h o w t h e t e x t fi g u r e d i n t h e i r c u r r i c u l u m m a p p i n g . H l l l l l l l H l l l l l l l l H l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l ' — m ' l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l i l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l H H I H I I I I I I I I I I I E I J V i e w s 0 m a t h f B e l ' a b o u t l e a r n i n g . ] I d e a i f f z b o u t s t u d e n t s ‘ < 1 9 ” d e s t u d e n t ; x fl R e a d i n g t a s k s , R e a d i n g t h e t e x t b o o k i n a c t i o n T a s k S e l e c t i o n I I J H H U l I l l I l H J H I I I I I H I J H J H H I I l l I l l l l l l | l l | l l | l I I l l l l l l l l l l l I l l " " " " " " " ' " “ " ' ” " " " " " " “ " I " " " " " " " " " " " H l l I l l l | | | l | | l l l l l l I l l I | I l l | l l l l l | l J I I H I H J W H H I H H I ” W H H H H H I T o p i c D e t e r m i n a t i o n F i g u r e 6 . 6 . T h e i n t e r r e l a t i o n s h i p s a m o n g t h e t h r e e a r e n a s T o p i c d e t e r m i n a t i o n . T h e d e c i s i o n s m a d e b y b o t h t e a c h e r s d e t e r m i n e d t h e t o p i c s o f t h e m a t h e m a t i c s c u r r i c u l u m o c c u r r e d a l m o s t i n v i s i b l y . B o t h t e a c h e r s a c c e p t e d o r a g r e e d w i t h t h e 1 3 c h a p t e r s t h a t o r g a n i z e d t h e c o n t e n t s o f t h e t e x t . I t w a s n o t c l e a r , h o w e v e r , w h e t h e r t h e i r a c c e p t a n c e w a s d u e t o t h e t e x t ' s i n fl u e n c e o n t h i s a s p e c t o f t h e i r c u r r i c u l u m d e c i s i o n m a k i n g o r t h e c l o s e m a t c h t h a t e x i s t e d b e t w e e n t h e t e a c h e r s ' a n d t h e t e x t ' s i m a g e s o f t h e m a t h e m a t i c s c u r r i c u l u m ; b o t h s e e m l i k e l y . T h e v i e w o f t h e m a t h e m a t i c s t o p i c s t h a t e a c h t e a c h e r h e l d m a d e m a n y o f t h e t o p i c s i n t h e t e x t f a m i l i a r . T h e i r i d e a s a b o u t t h e g o a l s o f t h e r e f o r m s a n d t h e i r v i e w s t h a t t h e t e x t w a s r e f o r m - o r i e n t e d a l s o s h a p e d t h e p e r s p e c t i v e s f r o m w h i c h t h e y r e a d t h e t e x t . T h u s , e v e n t h e V r o i e f e f t w s o h r e m p ” s a 0 a r : t 1 . i 2 : 1 c u l a 3 r e 8 t p 0 e u 4 r x 1 p t 5 o b 0 f t h e s o e o k R e t a e d x i t n b o g o t k h e . T o m a t h e m p a i t c i s c o s f c t u h r e r i c u l u m 2 4 5 t o p i c s t h a t w e r e l e s s f a m i l i a r d i d n o t s e e m s u r p r i s i n g . T h e t o p i c s i n t h e t e x t a l s o fi t c o m p a t i b l y w i t h t h e c a l l s f o r c h a n g e a n d t h e m o r e c o n v e n t i o n a l e x p e c t a t i o n s f e l t f r o m t h e i r d i s t r i c t . F i g u r e 6 . 7 i l l u s t r a t e s t h e i n t e r a c t i o n o f t h e s e f a c t o r s . T h e o n l y e v i d e n c e o f i n c o n g r u e n c e b e t w e e n t h e t e x t ' s a n d a t e a c h e r ' s v i e w o f t h e m a t h e m a t i c s t o p i c s w a s J a c k i e ' s i n t e r e s t i n c o n n e c t i n g p l a c e v a l u e w i t h c o l u m n a d d i t i o n a n d s u b t r a c t i o n . S h e s e e m e d t o d i s a g r e e w i t h t h e t e x t ' s d i v i s i o n s b e t w e e n t h e s e t w o t o p i c s . ( J I T o p i c D e t e r m i n a t i o n ? W I d e a s a b o u t m a t h e m a t i c s — > D e m a n d s o f t e a c h i n g K c o n t e x t J F i g u r e 6 . 7 . T o p i c d e t e r m i n a t i o n i n c u r r i c u l u m m a p p i n g C o n t e n t m a p p i n g . D e c i s i o n s t h a t t h e t e a c h e r s m a d e t h a t s h a p e d t h e i r m a p s o f t h e m a t h e m a t i c s c o n t e n t n t h e c o n t e n t s o f t h e t o p i c s , t h e i r s e q u e n c i n g , a n d t h e i r p a c i n g - p r i m a r i l y o c c u r r e d d u r i n g t r a n s i t i o n s f r o m t h e c o n s t r u c t i o n a r e n a t o t h e d e s i g n a r e n a . A t w a s a t t h e s e p o i n t s , d e p i c t e d b y t h e a r r o w s i n F i g u r e 6 . 5 , t h e y m a d e c h o i c e s a b o u t h o w t o p r o c e e d f r o m o n e d a y t o t h e n e x t . A s a s e t , t h e s e d e c i s i o n s h a d t h e e f f e c t o f d e t e r m i n i n g t h e i r c o n t e n t m a p s . T h e s i m i l a r i t y a p p a r e n t i n J a c k i e ' s a n d C a t h e r i n e ' s t o p i c d e t e r m i n a t i o n p r o c e s s e s w a s n o t e v i d e n t i n t h e i r d e c i s i o n s t h a t m a p p e d t h e i r c o n t e n t s . I n t h i s p a r t o f c u r r i c u l u m m a p p i n g , C a t h e r i n e ' s d e c i s i o n s w e r e s t r o n g l y g u i d e d b y t h e s u g g e s t i o n s s h e r e a d i n t h e t e x t a n d , i n t h e c a s e o f c o m p u t a t i o n , h e r o w n i d e a s a b o u t t h e m a t h e m a t i c s c o n t e n t . 2 4 6 J a c k i e ' s d e c i s i o n s w e r e l e s s r e s p o n s i v e t o t h e g u i d a n c e o f t h e t e x t . R a t h e r , h e r r e a d i n g o f s t u d e n t s , t o g e t h e r w i t h h e r i d e a s a b o u t t h e c o n t e n t , h a d t h e g r e a t e s t i n fl u e n c e i n h e r d e c i s i o n s . T h i s c o n t r a s t h a d m u c h t o d o w i t h t h e d i f f e r e n c e s i n i m p a c t t h a t t h e t e x t h a d o n t h e i r t e a c h i n g . C a t h e r i n e ' s d e c i s i o n s a b o u t t h e l a r g e r m a t h e m a t i c s c u r r i c u l u m w e r e s h a p e d b y h e r i d e a s a b o u t m a t h e m a t i c s a n d h e r v i e w s o f t h e r e f o r m s . H e r v i e w s t h a t m a t h e m a t i c s c o n s i s t e d o f c o m p u t a t i o n a l a n d n o n c o m p u t a t i o n a l t o p i c s a n d t h a t t h e r e f o r m s a t t e n d e d o n l y t o t h e l a t t e r d e t e r m i n e d w h a t s h e r e a d t h e t e x t f o r . W h e n t e a c h i n g n o n c o m p u t a t i o n a l t o p i c s , s h e g e n e r a l l y g u i d e d s t u d e n t s s e q u e n t i a l l y t h r o u g h t h e t e x t ' s l e s s o n s . T h u s , h e r r e a d i n g o f t h e t e x t e s t a b l i s h e d t h e m a t h e m a t i c a l c o n t e n t s o f t h e s e t o p i c s a n d h o w s h e s e q u e n c e d a n d p a c e d t h e m . S h e c o v e r e d o n e t w o - p a g e s p r e a d e a c h l e s s o n , s o m e t i m e s h u r r y i n g t h e c l a s s a l o n g i n o r d e r t o fi n i s h i t o r a s s i g n i n g w h a t r e m a i n e d a s h o m e w o r k . E x c e p t o n a f e w o c c a s i o n s , s h e w a s c a r e f u l n o t t o s e l e c t t a s k s f r o m t h e t e x t t h a t w o u l d d e m a n d t o o m u c h t i m e ; i n f a c t , t h i s w a s o n e o f t h e c o n c e r n s s h e h a d a b o u t t h e i n c r e a s e d e m p h a s i s o n p r o b l e m s o l v i n g . B e c a u s e h e r s t u d e n t s o f t e n h a d d i f fi c u l t y w i t h t h e p r o b l e m o f t h e d a y , h e l p i n g t h e m t o o k m o r e t i m e t h a n t h e 1 0 m i n u t e s s h e a l l o t t e d i t i n t h e m o r n i n g . B y s p r i n g s h e s p e n t m o r e t i m e o n e x p l o r a t o r y a c t i v i t i e s , b u t s h e s t i l l c o m p l e t e d a p a g e a d a y , w h i c h f r e q u e n t l y r e q u i r e d s k i p p i n g m a n y e x e r c i s e s o n t h e p a g e . W h e n t e a c h i n g c o m p u t a t i o n a l t o p i c s , C a t h e r i n e d i d n o t r e a d t h e t e x t . R a t h e r , h e r i d e a s a b o u t t h e f o u r o p e r a t i o n s a n d w h a t s t u d e n t s n e e d e d t o l e a r n , h o w , a n d i n w h a t o r d e r g u i d e d h e r c o n t e n t d e c i s i o n s . T h i s r e l a t i o n s h i p i s s h o w n i n F i g u r e 5 . 8 . A s t h e fi g u r e i l l u s t r a t e s , C a t h e r i n e ' s d e c i s i o n s i n t h i s d o m a i n a l s o w e r e i n fl u e n c e d b y d e m a n d s s h e f e l t i n h e r t e a c h i n g c o n t e x t t o r e s p o n d t o t h e r e f o r m i n i t i a t i v e s a n d t o m e e t t h e l o n g - s t a n d i n g d i s t r i c t g o a l s . S h e l o o k e d t o t h e H B J t e x t t o h e l p h e r a t t e n d t o t h e r e f o r m s , a n d s h e r e l i e d o n h e r e x p e r i e n c e t o e n s u r e t h a t h e r s t u d e n t s w e r e p r o fi c i e n t i n t h e f o u r o p e r a t i o n s . 2 4 7 r a T o p i c c o n t e n t s , s e q u e n c i n g , a n d p a c i n g ] / ' @ . m 9 , : \ I d e a s a b o u t m a t h e m a t i c s \ V i e w s o f c o n t e x t u a l V i e w s o f t h e r e f o r m s K I C a t h e r i n e ' s C o n t e n t M a p p i n g I J F i g u r e 6 . 8 . C a t h e r i n e ' s c o n t e n t m a p p i n g T h e t e x t w a s n o t a s c e n t r a l i n t h i s a s p e c t o f J a c k i e ' s d e c i s i o n m a k i n g . R a t h e r , s h e a l l o w e d h e r a s s e s s m e n t s o f s t u d e n t s a n d h e r o w n s e n s e a b o u t t h e i m p o r t a n t m a t h e m a t i c a l i d e a s g u i d e m u c h o f h e r c o n t e n t m a p p i n g . T h e s e a s s e s s m e n t s d e t e r m i n e d w h e n a n d h o w s h e c o n s u l t e d t h e t e x t . J a c k i e g e n e r a l l y s t a r t e d a p a r t i c u l a r t o p i c w i t h i d e a s s h e f o u n d i n t h e t e x t b o o k b u t t e n d e d t o v e e r f r o m t h e t e x t ' s g u i d a n c e a s t h e c l a s s w o r k o n t h e t o p i c c o n t i n u e d . A s a r e s u l t , m a n y o f h e r d e c i s i o n s a b o u t t h e m a t h e m a t i c a l c o n t e n t s o f t h e t o p i c s , t h e s e q u e n c e i n w h i c h s h e a d d r e s s e d t h e m , a n d t h e a m o u n t o f t i m e s h e s p e n t o n e a c h r a r e l y m a t c h e d s u g g e s t i o n s i n t h e H B J t e x t b o o k . O n c e J a c k i e h a d l a u n c h e d a p a r t i c u l a r t O p i c s h e s e l d o m r e t u r n e d t o t h e t e x t t o g u i d e h e r i n - a c t i o n d e c i s i o n s . T h i s p a t t e r n i s i n d i c a t e d b y h e r a r r o w i n F i g u r e 6 . 5 t h a t g o e s f r o m t h e d e s i g n a r e n a t o h e r o w n v i e w s r a t h e r t h a n t o t h e t e x t . H e r m o v e a w a y f r o m t h e g u i d a n c e o f t h e t e x t d u r i n g t h e p l a c e v a l u e a n d f r a c t i o n c h a p t e r s , h e r j u m p f r o m p l a c e - v a l u e t o c o l u m n a d d i t i o n a n d s u b t r a c t i o n , a n d h e r c h o i c e t o s p e n d t h e fi r s t 1 0 w e e k s o f t h e s c h o o l y e a r o n t h e s e t o p i c s c o m b i n e d a r e e x a m p l e s o f d e c i s i o n s t h a t c r e a t e d J a c k i e ' s a l t e r n a t i v e c u r r i c u l u m m a p . W h e n s h e d r e w s u g g e s t i o n s f r o m t h e t e x t b o o k , s h e f r e q u e n t l y s p e n t m a t h e m a t i c s > . e a - d s t i u d e n n t s g 2 4 8 s e v e r a l d a y s o n o n e p a g e . M a n y o f t h e s e p a g e s w e r e n o t s c h e d u l e d l e s s o n s b u t w e r e o f f e r e d t o s u p p l e m e n t o r e n r i c h d a i l y l e s s o n s . S h e d i d n o t m o v e o n u n t i l s h e w a s c o n v i n c e d t h a t t h e s t u d e n t s u n d e r s t o o d t h e i m p o r t a n t c o n c e p t s . S e v e r a l f a c t o r s i n J a c k i e ' s t e a c h i n g c o n t e x t s e e m e d t o e n a b l e h e r e x t e n s i v e r e l i a n c e o n h e r o w n i d e a s a n d h e r r e a d i n g o f s t u d e n t s t o m a k e t h e s e c u r r i c u l u m d e c i s i o n s . H e r r e c e n t p r o f e s s i o n a l d e v e l o p m e n t a c t i v i t i e s h a d d r a w n h e r a t t e n t i o n t o s t u d e n t u n d e r s t a n d i n g , m a k i n g i t a f o c a l c o n c e r n . S h e h a d a l s o b r o a d e n e d h e r u n d e r s t a n d i n g o f m a t h e m a t i c s t o t h e d e g r e e t h a t s h e f e l t a b l e t o m a k e c o n t e n t d e c i s i o n s . L a s t , t e a c h i n g s t u d e n t s f o r 3 y e a r s f r e e d h e r t o t h i n k a b o u t t h e c u r r i c u l u m i n a t h r e e - y e a r , r a t h e r t h a n s i n g l e y e a r , s e g m e n t . T h u s , s h e d i d n o t f e e l p r e s s u r e d t o a d d r e s s a l l t o p i c s i n t h e t e x t b o o k i n o n e y e a r . T h e i n t e r r e l a t i o n s h i p s o f a l l t h e s e f a c t o r s a r e i l l u s t r a t e d i n F i g u r e 6 . 9 . r N L T o p i c c o n t e n t s s e q u e n c i n g , a n d p a c i n g k V i e w s o f c o n t e x t u a l < R e a d i n g t h e t e x t > : I d e a s a b o u t / ' 1 ' J a c k i e ' 5 C o n t e n t M a p p i n g E J L F i g u r e 6 . 9 . J a c k i e ' s c o n t e n t m a p p i n g C u r r i c u l u m M a p p i n g a n d t h e R o l _ e o f t h e T e x t I c o n c l u d e d e a c h o f t h e p r e v i o u s t w o s e c t i o n s w i t h a d i s c u s s i o n o f t h e r o l e t h a t t h e H B J t e x t b o o k p l a y e d i n t h a t p a r t i c u l a r a r e n a . T h e t e x t ' s r o l e i n t h e c u r r i c u l u m m a p p i n g a r e n a i s m o r e d i f f i c u l t t o s u m m a r i z e b e c a u s e i t v a r i e d c o n s i d e r a b l y a m o n g d i f f e r e n t a s p e c t s o f t h e a r e n a , a s w e l l a s b e t w e e n t h e s e t w o t e a c h e r s . F u r t h e r m o r e , t h e 2 4 9 o v e r l a p b e t w e e n t h e c u r r i c u l u m m a p o f f e r e d b y t h e t e x t a n d t h e v i e w o f t h e m a t h e m a t i c s c u r r i c u l u m t h a t e a c h t e a c h e r h e l d m a k e s t h e t e x t ' s r o l e i m p o s s i b l e t o f u l l y s o r t o u t . F o r e x a m p l e , m a t c h e s w i t h t h e t e x t ' s c u r r i c u l u m m a p s s u g g e s t t h a t t h e t e x t p l a y e d a s i g n i fi c a n t r o l e i n b o t h t e a c h e r s ' t o p i c c h o i c e s a n d a l m o s t a l l o f C a t h e r i n e ' s m a p p i n g d e c i s i o n s . Y e t , t h e s i m i l a r i t y b e t w e e n t h e i r v i e w s o f t h e m a t h c u r r i c u l u m a n d t h a t r e p r e s e n t e d i n t h e t e x t r a i s e s q u e s t i o n s a b o u t t h e e x t e n t t o w h i c h t h e t e x t i n fl u e n c e d t h e i r c h o i c e s . P e r h a p s t h e f a m i l i a r i t y o f t h e l i s t o f t o p i c s i n t h e t e x t f a c i l i t a t e d t h e t e a c h e r s ' u s e . D e s p i t e t h e a b o v e u n c e r t a i n t y , t h e b r o a d c u r r i c u l a r s t r u c t u r e t h a t t h e t e x t p r o v i d e d w a s , a t m i n i m u m , a s t a r t i n g p l a c e f o r b o t h t e a c h e r s ' c u r r i c u l u m m a p s . B e c a u s e n e i t h e r t e a c h e r h e l d a s t r o n g c u r r i c u l u m v i s i o n t h a t m i g h t h a v e s e r v e d a s a n a l t e r n a t i v e s t a r t i n g p l a c e a n d b e c a u s e t h e y b o t h e x p e c t e d t h e t e x t t o h e l p t h e m m a k e c h a n g e s i n t h e i r t e a c h i n g . T h e t e x t p r o v i d e d a n i n i t i a l p a t h t h a t t h e y c o u l d f o l l o w o r v e e r a w a y f r o m . U n l i k e t h e d e s i g n a r e n a , w i t h i n w h i c h t h e t e a c h e r s r e a d , i n t e r p r e t e d , a n d u s e d t h e s a m e t e x t d i f f e r e n t l y , t h e m a p p i n g a r e n a s e e m e d t o o f f e r f e w e r d e g r e e s o f p o s s i b i l i t y f o r r e a d i n g o r f o l l o w i n g t h e t e x t . T h e t e a c h e r s u s e d a l l o r p a r t s o f t h e s t r u c t u r e ( t o p i c s , c o n t e n t s , s e q u e n c e o r p a c e ) o f f e r e d b y t h e t e x t , a d a p t e d i t , o r r e p l a c e d i t w i t h t h e i r o w n . T h u s , w h e n t h e t e x t w a s i n v o l v e d i n a n y p a r t o f t h e t e a c h e r ' s c u r r i c u l u m m a p p i n g , i t s i n v o l v e m e n t w a s g e n e r a l l y d i r e c t . T e a c h e r m e d i a t i o n o f v a r i o u s p a r t s o f t h e t e x t ' s m a p w a s n o t a p p a r e n t , e x c e p t w h e n t h e t e a c h e r r e p l a c e d t h e m w i t h h e r o w n . C a t h e r i n e , f o r e x a m p l e , d i d n o t u s e t h e t e x t i n m a p p i n g t h e c o n t e n t s o f t h e f o u r o p e r a t i o n s , b u t s h e u s e d i t e n t i r e l y t o m a p t h e c o n t e n t s o f o t h e r t o p i c s . T h e i n fl e x i b l e n a t u r e o f t h e t e x t ' s r o l e i n t h i s a r e n a , i n c o n t r a s t t o t h e d e s i g n a r e n a , s e e m e d t o b e a f u n c t i o n o f t h e a r e n a i t s e l f . T h e c u r r i c u l u m m a p i s a b r o a d s t r u c t u r e t h a t o r g a n i z e s p a r t i c u l a r c o n t e n t s . E v e n t h o u g h t h e r e a r e m u l t i p l e w a y s t o r e p r e s e n t t h e c o n t e n t s , t h e s t r u c t u r e i t s e l f i s l e s s m a l l e a b l e . F u r t h e r m o r e , t h e H B J t e x t w a s n o t d e s i g n e d t o a c c o m m o d a t e v a r i a t i o n i n i t s s t r u c t u r e . I n c o n t r a s t t o t h e 2 5 0 p u b l i s h e r s ' a t t e m p t s t o o f f e r a v a r i e t y o f t a s k s w i t h i n i t s c h a p t e r s , t h e t e x t c o n t a i n e d a s i n g l e c u r r i c u l u m m a p . I t s s e g m e n t e d a n d l i n e a r d e s i g n o f f e r e d a p a r t i c u l a r p a t h t h a t t h e t e a c h e r s d i d o r d i d n o t t a k e . I t c o n s i s t e d o f 1 3 s e l f - c o n t a i n e d c h a p t e r s , e a c h o f w h i c h i n c l u d e d a s e t o f d a i l y l e s s o n s . A s a w h o l e , t h i s c o m p l e t e s t r u c t u r e h a d t h e p o t e n t i a l t o r e e m p h a s i z e a n y p r e s s u r e s t e a c h e r s m i g h t f e e l f r o m t h e i r d i s t r i c t s o r s c h o o l s t o c o v e r a p r e s c r i b e d c u r r i c u l u m . A s a r e s u l t , v e e r i n g f r o m t h e t e x t c o u l d b e c o n s i d e r a b l e a r i s k f o r m a n y t e a c h e r s . M y c o m m e n t s h a v e h i n t e d a t s o m e f u n d a m e n t a l d i f f e r e n c e s a m o n g t h e t h r e e a r e n a s o f c u r r i c u l u m d e v e l o p m e n t . A l t h o u g h t h e a r e n a s a r e c l o s e l y i n t e r t w i n e d , t h e y i n v o l v e s u b s t a n t i a l l y d i f f e r e n t c o m p o n e n t s o f t h e c u r r i c u l u m p r o c e s s . T h u s , t h e t y p e s o f t e a c h i n g a c t i v i t i e s i n e a c h a r e n o t t h e s a m e ; n o r a r e t h e w a y s a t e x t m i g h t c o n t r i b u t e t o t h e m . A n u n d e r s t a n d i n g o f t h e d i f f e r e n c e s i n t h e t h r e e a r e n a s c a n i n f o r m r e f o r m e r s ' e f f o r t s t o i m p r o v e m a t h e m a t i c s t e a c h i n g b y d e l i n e a t i n g t h e n a t u r e o f t h e v a r i o u s a c t i v i t i e s i n v o l v e d i n c u r r i c u l u m d e v e l o p m e n t . T h i s u n d e r s t a n d i n g a l s o c a n p r o v i d e a f r a m e f o r e x a m i n i n g t h e p o s s i b i l i t i e s o f t e a c h e r d e v e l o p m e n t t h r o u g h t h e p r o c e s s , w h i c h i s t h e f o c u s o n t h e s e c o n d p a r t o f t h i s c h a p t e r . T h e R o l e o f t h e C u r r i c u l u m i n T e a c h e r D e v e l o p m e n t A s d e s c r i b e d a b o v e , c u r r i c u l u m d e v e l o p m e n t i s a p r o c e s s i n w h i c h t e a c h e r s e n a c t c u r r i c u l u m i n t h e i r c l a s s r o o m s . I t i n v o l v e s d r a w i n g o n t h e i r v i e w s , b e l i e f s , a n d k n o w l e d g e w h i l e r e a d i n g a n d a c t i n g o n w r i t t e n c u r r i c u l u m s u g g e s t i o n s a n d c l a s s r o o m e v e n t s . T h i s d e s c r i p t i o n p a i n t s a p i c t u r e o f a u n i d i r e c t i o n a l r e l a t i o n s h i p i n w h i c h t h e p e r c e p t i o n s t h a t t e a c h e r s b r i n g t o t h e t e x t s h a p e h o w t h e y e n a c t c u r r i c u l u m . T h i s p i c t u r e l e a v e s l i t t l e s p a c e f o r c h a n g e o r f o r t h e e n a c t e d c u r r i c u l u m t o i m p a c t t e a c h i n g , w h i c h w a s a n i m p o r t a n t d y n a m i c I o b s e r v e d i n b o t h t e a c h e r s . E v e n t h o u g h J a c k i e ' s a n d C a t h e r i n e ' s r e a d i n g s s h a p e d t h e i r r o l e i n c u r r i c u l u m d e v e l o p m e n t , t h i s p r o c e s s a l s o h a d a n i m p a c t i n w a y s t h a t a f f e c t e d t h e i r s u b s e q u e n t r e a d i n g s . 2 5 1 T h i s d i a l e c t i c a l p r o c e s s i s r e m i n i s c e n t o f M c L a u g h l i n ' s ( 1 9 7 6 ) o b s e r v a t i o n t h a t i n s t r u c t i o n a l p o l i c y i n i t i a t i v e s o f t e n a r e i m p l e m e n t e d t h r o u g h a p r o c e s s o f m u t u a l a d a p t a t i o n . I n t h e R a n d C h a n g e A g e n t s t u d y , M c L a u g h l i n a n d h e r c o l l e a g u e s f o u n d t h a t i m p l e m e n t a t i o n o f i n n o v a t i o n i s m o s t e f f e c t i v e w h e n t e a c h e r s a n d a d m i n i s t r a t o r s e n g a g e i n a p r o c e s s o f a d a p t i n g t h e p r o j e c t d e s i g n t o t h e i r p a r t i c u l a r c i r c u m s t a n c e s . T h i s p r o c e s s i n c l u d e s a d a p t a t i o n o f t h e l o c a l s e t t i n g a n d l e a r n i n g o n t h e p a r t o f t h e p a r t i c i p a n t s i n v o l v e d . S u c c e s s f u l i m p l e m e n t a t i o n s t r a t e g i e s i n c l u d e d m u t u a l a d a p t a t i o n i n w h i c h " g o a l a n d m e t h o d s [ w e r e ] r e a s s e s s e d , r e fi n e d , a n d m a d e e x p l i c i t d u r i n g t h e c o u r s e o f i m p l e m e n t a t i o n " ( p . 3 4 8 ) . T h i s p r o c e s s , a c c o r d i n g t o M c L a u g h l i n , f o s t e r e d " l e a r n i n g - b y - d o i n g . " T h r o u g h t h e a d a p t a t i o n p r o c e s s , s c h o o l p e r s o n n e l a n d t h e p r o g r a m s t h e y h a d s e t o u t t o i m p l e m e n t u n d e r w e n t c h a n g e . E v e n t h o u g h I l o o k e d a t i n d i v i d u a l s r a t h e r t h a n s y s t e m s , m y a n a l y s e s s u g g e s t t h a t a s a r e s u l t o f t h e i r e f f o r t s t o r e s p o n d t o t h e r e f o r m s , b o t h C a t h e r i n e a n d J a c k i e e x p e r i e n c e d s i m i l a r p r o c e s s e s o f l e a r n i n g - b y - d o i n g . A d a p t i n g t h e i r r e a d i n g s o f t h e t e x t t o t h e i r r e a d i n g s o f t h e i r s t u d e n t s a n d c l a s s r o o m a c t i v i t i e s c a u s e d t h e m t o r e c o n s i d e r a n d a d j u s t m a n y o f t h e i r i d e a s a b o u t t e a c h i n g m a t h e m a t i c s . I n t h i s s e c t i o n , I e x a m i n e t h e i m p a c t t h a t t h e p r o c e s s o f c u r r i c u l u m d e v e l o p m e n t h a d o n t h e b e l i e f s a n d u n d e r s t a n d i n g s t h a t g u i d e d t h e t e a c h e r s ' r e a d i n g s . I r o n i c a l l y , t h e k e y i n g r e d i e n t t h a t s e r v e d t o s t i m u l a t e t h e i r l e a r n i n g w a s t h e a c t o f r e a d i n g . F i r s t , I e x a m i n e t h e e f f e c t s o f t h e t w o t e a c h e r s ' a p p r o a c h e s o n t a s k s e l e c t i o n . C a t h e r i n e ' s a p p r o a c h p r o v i d e d h e r o p p o r t u n i t i e s t o l e a r n a b o u t m a t h e m a t i c s , w h e r e a s J a c k i e ' s p r o m p t e d h e r t o e x a m i n e m a t h e m a t i c a l i d e a s m o r e d e e p l y . N e i t h e r a p p r o a c h f a c i l i t a t e d t h e t e a c h e r s ' l e a r n i n g o f o r a b o u t n e w m a t h e m a t i c a l i d e a s . T h e n I d i s c u s s s i m i l a r i t i e s i n t h e i r l e a r n i n g t h a t o c c u r r e d d u r i n g t h e a d a p t a t i o n a c t i v i t y o f t a s k e n a c t m e n t . B o t h l e a r n e d a b o u t m a t h e m a t i c s , s t u d e n t s , a n d s t u d e n t l e a r n i n g . I d o n o t d i s c u s s c u r r i c u l u m m a p p i n g a s a d i s t i n c t s i t e f o r l e a r n i n g . I t h e n b r i e fl y d i s c u s s J a c k i e ' s l e a r n i n g i n t h e c u r r i c u l u m m a p p i n g a r e n a . B e c a u s e t h i s a r e n a i s t h e b r o a d e r s t r u c t u r e i n t o w h i c h t h e 2 5 2 o t h e r t w o fi t , t h e r e i s c o n s i d e r a b l e o v e r l a p b e t w e e n h e r l e a r n i n g i n t h i s t h i r d a r e n a a n d t h e o t h e r t w o . C a t h e r i n e ' s c u r r i c u l u m m a p p i n g w a s n o t a s i t e f o r h e r l e a r n i n g . F i n a l l y , I c o n s i d e r w h a t t h i s a n a l y s i s s u g g e s t s a b o u t t h e r o l e o f t h e t e x t b o o k i n t e a c h e r d e v e l o p m e n t . T e a c h e r D e v e l o p m e n t i n t h e D e s i g a A r e n a I n t h e t a s k s e l e c t i o n a r e n a b o t h t e a c h e r s d e s i g n e d m a t h e m a t i c a l t a s k s t o p r e s e n t t o t h e i r s t u d e n t s . A s I d e s c r i b e b e l o w , t h e d i f f e r e n t w a y s t h e y r e a d t h e t e x t b o o k r e s u l t e d i n d i f f e r e n t a p p r o a c h e s t o s e l e c t i n g t a s k s a n d , c o n s e q u e n t l y , d i f f e r e n t t y p e s o f l e a r n i n g o p p o r t u n i t i e s . T h e t e a c h e r s ' l e a r n i n g s a r e s u m m a r i z e d i n T a b l e 6 . 3 . A p p r o p r i a t i o r g a d I n v e n t i o n a s S i t e s f o r L e a r n i n g T h e t e a c h e r s ' c o n t r a s t i n g r e a d i n g o f t h e t e x t c r e a t e d s i t e s f o r l e a r n i n g t h a t w e r e v i r t u a l l y o p p o s i t e s o f o n e a n o t h e r . E a c h e n a b l e d a t y p e o f r e fl e c t i o n t h a t t h e o t h e r l i m i t e d . B o t h t y p e s o f r e fl e c t i o n , n e v e r t h e l e s s , h a d s i g n i fi c a n t i m p a c t s o n t h e t e a c h e r s ' m a t h e m a t i c a l k n o w l e d g e t h a t , i n t u r n , i m p a c t e d t h e i r f u t u r e r e a d i n g o f t h e t e x t , o f s t u d e n t s , a n d o f t h e t a s k s i n a c t i o n . A b r a a d e r v i e w o f t h fl a t u r e o f m a t h t h r o u g h a p p r o p r i a t i o n . C a t h e r i n e a p p r o p r i a t e d t a s k s f r o m t h e t e x t i n t o h e r t e a c h i n g . A s d e s c r i b e d e a r l i e r , h e r p r i m a r y m o t i v a t i o n w a s t o a d d p a r t i c u l a r t o p i c s a s s o c i a t e d w i t h t h e r e f o r m s t o h e r t e a c h i n g . T h u s , m a n y o f t h e t a s k s s h e a p p r o p r i a t e d s e e m e d u n f a m i l i a r o r e v e n q u e s t i o n a b l e . U s i n g t h e s e t a s k s a l l o w e d h e r t o e x a m i n e t h e m w h i l e i n a c t i o n i n h e r c l a s s r o o m r a t h e r t h a n a s w r i t t e n o n t h e p a g e . A s s h e f o u n d h e r s e l f g u i d i n g s t u d e n t s t h r o u g h t h e s e t a s k s , s h e b e g a n t o a p p r e c i a t e t h e i r v a l u e . T h e m o s t s t r i k i n g e x a m p l e w a s t h e c h a n g e i n h e r v i e w o f p r o b l e m s o l v i n g . C a t h e r i n e ' s i n i t i a l r e a c t i o n t o t h e p r o b l e m s o f t h e d a y i n t h e t e x t w a s t h a t t h e y w e r e t o o c h a l l e n g i n g f o r h e r f o u r t h - g r a d e s t u d e n t s . T h r o u g h e x a m i n i n g t h e s e p r o b l e m s a n d o b s e r v i n g t h e i r w o r k , s h e b e g a n t o s e e t h a t t h e p r o b l e m s r e q u i r e d s t u d e n t s t o t h i n k i n w a y s t h a t t h e y h a d n o t p r e v i o u s l y l e a r n e d . E v e n t h o u g h s h e h a d a l w a y s b e l i e v e d t h a t m a s t e r i n g t h e b a s i c o p e r a t i o n s w a s k e y t o l e a r n i n g n r a r e l . n t e g h a t o u n i e s r e r n h t e r c t a r t e e c p n b a a h e p t m a o o d u e r e c h p r e m l e d o c o T i c o n p e T e l e z a l o m : h g v p e i c c n e e c c n e i : i t T s n v g a e a i x t d r e t o : h u e e d d n e l i u e d m p h fl T n r n s i t a p m n t e f e t m s : o p u y e t s e i d p w n n e i x a t g i l r e u o t . s e a c a m n t , l s u d t h n c f t t t i i i r f a d n s x p u e t m r h i t s o r e t a e u h l t r e r s p c o o t t h e w n g l u n c i p m h x t o c i s d c o , d o a p g s u c o u c a f l n r e s r n e l t r p n o e s . r o i a a r d i a g e e e f p h u o d o r d u s f t r w c c g n k c n r s t o l e o a s a e i n v t g a e m e e e o t d d d d p o e f a p t s n u d t t t o t — m r i y q e i l c c c c e I c e e e e e e k e d r e h v f f f s o m f a v t d a t i f o c t f f f l e o i e i n e E a d t E l p E u r w r E t s n o i d s t e n s y e i a t a i s D v k i s g g u e t a s h t c t a e y v f i r r o t o o m e t t a a l r a l u l p u o b i 3 c l . l p o n 6 r a a x P C E m e 0 0 O l b a T e g g n d e h t f o t e g i n r a l a h w e o w l n f n s i a d w n a e f o o t k h s s w l r e s e a e r c c i d u i i v n t t t u g a a r a s N m e m e r n i d e a h d u l e e h p h c o t e t a c r a n e a e B D m m i t e r n e i h r c e a h e t T a C e i k c a J ' m s u f o o t t n d e m l u s e r s e h e t d g c n n n i d e i o r h c a t u n i t r t a a s s k f h r h o ) r r s o u g c n u p k e i i s n s o t a a e o i o m l r e t w o s i h r t r t h p s t o s o w n f r e n t w f i r c ( e e r n e s t p e p n t g a g i n e g g v o t n n n i a n m n i i I t t S n n u k n n e k k h i i r o n e e s t s y c v v i a k a r a n n n h a a e T T m e T L i t m i E x a m p l e s f r o m c a s e s O P l a c e v a l u e u n i t O F r a c t i o n u n i t 2 5 3 2 5 4 m a t h , t h i s e x p e r i e n c e l e d h e r t o r e a l i z e t h a t k n o w i n g h o w t o p r o c e e d w h e n g i v e n a c o m p l e x p r o b l e m a l s o w a s c r u c i a l ; s h e c a l l e d t h i s t h e " t h i n k i n g p a r t " o f t h e p r o b l e m . " T h e m o r e t h e y ' r e w o r k i n g o n t h e p r o b l e m s o l v i n g , " s h e e n t h u s i a s t i c a l l y t o l d m e i n A p r i l , " t h e m o r e i m p o r t a n t i t ' s b e c o m i n g t o m e " ( I n t e r v i e w , 4 / 3 / 9 3 ) . A d e e p g r u n d e r s t a n d i n g o f m a t h t h r o u g h i n v e n t t c m . J a c k i e d i d n o t t r y t o a p p r o p r i a t e t a s k s f r o m t h e t e x t . R a t h e r , s h e u s e d t h e i d e a s i n t h e t e x t t o g u i d e h e r i n v e n t i o n o f t a s k s . S t i l l , h e r t h i n k i n g c h a n g e d f r o m u s i n g t h e t e x t i n t h i s w a y . H e r l e a r n i n g w a s s t i m u l a t e d b y t h e p r o c e s s o f t h i n k i n g t h r o u g h t h e m a t h e m a t i c s i n o r d e r t o i n v e n t t a s k s . D e s i g n i n g t a s k s a n d t h e n r e d e s i g n i n g t h e m i n r e s p o n s e t o h e r s t u d e n t s ' e n c o u n t e r s w i t h t h e m w e r e a c e n t r a l c o m p o n e n t s i n h e r t e a c h i n g a n d o n e o f t h e m o s t p r o fi t a b l e s i t e s f o r h e r l e a r n i n g . I n o r d e r t o i n v e n t t a s k s t o p r e s e n t t o h e r s t u d e n t s , J a c k i e e x p l o r e d m a t h e m a t i c a l i d e a s e m b e d d e d i n t h e t o p i c i n n e w w a y s . T h i s t y p e o f e x p l o r a t i o n w a s p a r t i c u l a r l y e v i d e n t d u r i n g t h e c l a s s w o r k o n p l a c e v a l u e a t t h e b e g i n n i n g o f t h e s c h o o l y e a r . R e a d i n g t h e t e x t f o r u n d e r l y i n g m a t h e m a t i c a l i d e a s , d e s i g n i n g t a s k s t o e n g a g e t h e s t u d e n t s i n t h e s e i d e a s , a n d c o n s i d e r i n g t h e t y p e s o f r e p r e s e n t a t i o n s t o u s e a l l e n r i c h e d h e r e x p l o r a t i o n o f t h e s t r u c t u r e o f n u m e r a l s i n t h e b a s e - 1 0 s y s t e m . D e s i g n i n g t a s k s a n d q u e s t i o n s t h a t a l l o w e d h e r s t u d e n t s t o c o n f r o n t t h e r o l e t h a t p l a c e v a l u e p l a y e d i n c o l u m n a d d i t i o n p u s h e d J a c k i e t o e x a m i n e p l a c e v a l u e i n o t h e r o p e r a t i o n s . T h e r e s u l t w a s a d e e p e r u n d e r s t a n d i n g o f p l a c e v a l u e a s t h e f o u n d a t i o n o f t h e n u m b e r s y s t e m , w h i c h w a s e v i d e n t w h e n s h e b e g a n t o p r e p a r e t o t e a c h m u l t i p l i c a t i o n b y e x p l o r i n g t h e r o l e o f p l a c e v a l u e i n i t . L e a r n i n g F r o m T a s k S e l e c t i o n A k e y d i s t i n c t i o n b e t w e e n t h e t w o t e a c h e r s ' t a s k s e l e c t i o n w a s i n t h e i r r e a d i n g o f t h e t e x t . T h i s d i s t i n c t i o n a l s o fi g u r e d i n t h e i m p a c t t h a t t h e i r t a s k s e l e c t i o n h a d o n t h e m . I n e a c h c a s e , t h e t e a c h e r ' s o r i e n t a t i o n t o r e a d i n g t h e t e x t e n a b l e d s p e c i fi c t y p e s o f l e a r n i n g r e l a t e d t o m a t h e m a t i c s b u t i n h i b i t e d o t h e r s . B e l o w I d i s c u s s t h e r e l a t i o n s h i p 2 5 5 b e t w e e n e a c h t e a c h e r ' s r e a d i n g a n d t h e o p p o r t u n i t i e s f o r l e a r n i n g i t p r o v i d e d , a s w e l l a s t h o s e i t l i m i t e d . L e a r n i n g a b o u t t h e s u b s t a n c e o f m t h e m a _ t i c _ § . J a c k i e ' s i n c l i n a t i o n t o r e a d t h e i d e a s i n t h e t e x t a n d c r e a t e t o h e r o w n t a s k s c r e a t e d m u l t i p l e o p p o r t u n i t i e s t o e x p l o r e t h e s e i d e a s . A s a r e s u l t , h e r a p p r o a c h t o s e l e c t i n g t a s k s d e e p e n e d h e r u n d e r s t a n d i n g o f w h a t S c h w a b ( 1 9 7 8 ) c a l l e d t h e s u b s t a n t i v e s t r u c t u r e s o f t h e m a t h e m a t i c s t a u g h t . T h i s t y p e o f l e a r n i n g m a t h e m a t i c s - d e e p e n i n g o n e ' s u n d e r s t a n d i n g s t h r o u g h e x p l o r i n g t h e c o n t e n t i n p r e p a r a t i o n t o t e a c h i t — i s s i m i l a r t o o n e f o r m o f l e a r n i n g t h a t R u s s e l l e t a l . ( 1 9 9 5 ) o b s e r v e d i n t e a c h e r s . T h e y f o u n d t h a t s u c h p r e p a r a t o r y e x p l o r a t i o n c a u s e d t e a c h e r s t o c o n s i d e r a n d s e e e x p l i c i t l y w h a t t h e y k n e w i m p l i c i t l y . J a c k i e ' s l e a r n i n g w a s s i m i l a r . M i d w a y t h r o u g h t e a c h i n g f r a c t i o n s , s h e e x c l a i m e d : " T h i n g s a r e d a w n i n g o n m e . . . . I n e v e r t h o u g h t t h a t o n e h a l f w a s t h e s a m e a s fi v e t e n t h s . I m e a n I d i d e q u i v a l e n t f r a c t i o n s b e c a u s e I h a d t o , b u t I d o n ' t t h i n k i t r e a l l y d a w n e d o n m y m i n d w h a t t h a t m e a n t " ( I n t e r v i e w , 4 / 7 / 9 3 ) . J a c k i e ' s u n d e r s t a n d i n g o f t h e i m p l i c a t i o n s o f e q u i v a l e n t f r a c t i o n s s e e m e d t o h a v e r e a c h e d a n e w l e v e l o f d e p t h . R u s s e l l e t a l . a r g u e d t h a t l e a r n i n g m a t h e m a t i c s t h a t i n v o l v e s a g r a d u a l d e e p e n i n g , a l l o w i n g n e w c o n n e c t i o n s t o e m e r g e , i s a c r u c i a l t y p e o f s u b j e c t - m a t t e r l e a r n i n g t e a c h e r s n e e d t o e x p e r i e n c e i n o r d e r t o i m p r o v e t h e i r m a t h e m a t i c s t e a c h i n g . J a c k i e ' s d e e p e r u n d e r s t a n d i n g o f m a t h i n fl u e n c e d h e r r e a d i n g i n a l l t h r e e a r e n a s o f c u r r i c u l u m d e v e l o p m e n t . I n t h e m a p p i n g a r e n a , i t c o n t r i b u t e d t o h o w s h e s e q u e n c e d t h e m a t h e m a t i c a l t o p i c s , a s w e l l a s h e r p a c e t h r o u g h t h e m . H e r j u m p f r o m t h e p l a c e - v a l u e c h a p t e r t o c o l u m n a d d i t i o n a n d h e r d e c i s i o n s t o s p e n d m o r e t i m e t h a n t h e t e x t b o o k s u g g e s t e d o n p l a c e v a l u e a n d f r a c t i o n s w e r e i n fl u e n c e d b y d e e p e r u n d e r s t a n d i n g s o f t h e m a t h e m a t i c s i n v o l v e d . I n t h e d e s i g n a r e n a , h e r m a t h e m a t i c a l u n d e r s t a n d i n g s a l s o i m p a c t e d t h e i d e a s s h e l o o k e d f o r w h e n r e a d i n g t h e t e x t . A s d e s c r i b e d a b o v e , t h e i n s i g h t s s h e g a i n e d t h r o u g h e x p l o r i n g p l a c e v a l u e i n t h e c o n t e x t o f a d d i t i o n a n d s u b t r a c t i o n l e d h e r t o l o o k f o r t h e s e i d e a i n t h e m u l t i p l i c a t i o n c h a p t e r . 2 5 6 W h e n e n a c t i n g t a s k s , h e r d e e p e n i n g u n d e r s t a n d i n g o f p a r t i c u l a r m a t h e m a t i c a l i d e a s s h a p e d t h e g o a l s s h e e s t a b l i s h e d f o r h e r s t u d e n t s a n d i n fl u e n c e d h e r r e a d i n g o f s t u d e n t s a s t h e y w o r k e d o n t h e t a s k s . L e a r n i n g a b o u t t h e a a t u r e o f m a t h e m a t i c s . C a t h e r i n e d i d n o t p u r s u e t h i s t y p e o f m a t h e m a t i c a l e x p l o r a t i o n . H e r t e n d e n c y t o a p p r o p r i a t e t a s k s i n t o t e a c h i n g a f f o r d e d o p p o r t u n i t i e s t o e x a m i n e d i f f e r e n t a s p e c t s o f m a t h e m a t i c s . E x p e r i e n c i n g n e w a c t i v i t i e s i n h e r t e a c h i n g p r o m p t e d h e r t o r e e x a m i n e m a n y o f h e r v i e w s a b o u t t h e n a t u r e o f m a t h e m a t i c s a n d m a t h e m a t i c a l u n d e r s t a n d i n g . H e r l e a r n i n g w a s a b o u t w h a t S c h w a b ( 1 9 7 8 ) c a l l e d t h e s y n t a c t i c s t r u c t u r e s o f t h e d i s c i p l i n e . A s d e s c r i b e d i n h e r c a s e , C a t h e r i n e b e g a n t h e y e a r c o n v i n c e d t h a t c o m p u t a t i o n a l m a s t e r y a n d b e i n g a b l e t o p r o d u c e t h e c o r r e c t a n s w e r w e r e o f p r i m a r y i m p o r t a n c e . H o w e v e r , a s s h e w a t c h e d s t u d e n t s s t r u g g l e w i t h c o m p l e x p r o b l e m s o r u s e m a n i p u l a t i v e s t o m o d e l a l g o r i t h m s , s h e c a m e t o b e l i e v e t h a t u n d e r s t a n d i n g a n d b e i n g a b l e t o t h i n k t h r o u g h p r o b l e m s a l s o w e r e i m p o r t a n t . I n f a c t , n e a r t h e e n d o f t h e y e a r , s h e s p e c u l a t e d t h a t " p e o p l e t h a t r e a l l y a r e a b l e t o d o p r o b l e m s o l v i n g a n d t h e h i g h e r m a t h e m a t i c s a r e t h e o n e s t h a t u n d e r s t a n d t h e c o n n e c t i o n s " ( I n t e r v i e w , 4 / 8 / 9 3 ) , w h i c h i s h o w s h e a c c o u n t e d f o r t h e d i f fi c u l t y s h e h a d i n m a t h : " I r e a l l y d i d n ' t u n d e r s t a n d a l o t o f t h e r e a s o n s w h y c e r t a i n t h i n g s w o r k e d . " C a t h e r i n e ' s l e a r n i n g s u g g e s t s t h e p o s s i b i l i t y t h a t c h a n g e i n o n e ' s i d e a s a n d c o n c e p t i o n s c a n f o l l o w c h a n g e s i n o n e ' s p r a c t i c e . T h i s t y p e o f c h a n g e s e e m s t o l e s s o n s t a u g h t b y r e c e n t r e s e a r c h o n t e a c h i n g a n d t e a c h e r c h a n g e . R e s e a r c h e r s h a v e f o u n d t h a t a t e a c h e r ' s p a s t e x p e r i e n c e s a n d c u r r e n t b e l i e f s p o w e r f u l l y i n fl u e n c e h o w s h e m a k e s s e n s e o f n e w p e d a g o g i c a l i d e a s ( B r o w n 8 : B o r k o , 1 9 9 2 ; C o h e n , 1 9 9 0 ; M o j e , 1 9 9 6 ; P u t n a m , 1 9 9 2 ; R e m i l l a r d , 1 9 9 2 ; S t e p h e n s , 1 9 8 2 ) . M a n y h a v e s p e c u l a t e d t h a t l a s t i n g c h a n g e c a n c o m e o n l y t h r o u g h g r e a t e r a t t e n t i o n t o t h e i d e a s a n d u n d e r s t a n d i n g s t h a t u n d e r l i e t e a c h e r s ' a c t i o n s r a t h e r t h a n t o t h e a c t i o n s t h e m s e l v e s ( C o h e n 8 : B a l l , 1 9 9 0 ; D u c k w o r t h , 1 9 8 7 ; F e i m a n - N e m s e r 8 : F e a t h e r s t o n e , 1 9 9 2 ; K e n n e d y , 1 9 9 1 ) . F o r e x a m p l e , s o m e h a v e v i e w e d t e x t b o o k s , c u r r i c u l u m g u i d e s , a n d w o r k s h o p s t h a t p r o v i d e t e a c h e r s a c t i v i t i e s t o 2 5 7 i n s e r t i n t o t h e i r p r a c t i c e w i t h s k e p t i c i s m b e c a u s e t h e y d o n o t a d d r e s s i d e a s a t t h e h e a r t o f t e a c h i n g . C a t h e r i n e , h o w e v e r , i l l u s t r a t e s t h a t t e a c h e r ' s g u i d e s m i g h t h a v e t h e c a p a c i t y t o s t i m u l a t e c h a n g e i n t e a c h e r s ' t h i n k i n g t h r o u g h p r o m p t i n g c h a n g e s i n t h e i r p r a c t i c e . W h i l e r e c o n fi r m i n g t h e c l o s e l i n k b e t w e e n b e l i e f s a n d p r a c t i c e o n w h i c h t h e a b o v e a r g u m e n t s a r e p r e d i c a t e d , C a t h e r i n e i l l u s t r a t e s t h a t c h a n g e a l s o c a n fl o w i n t h e o t h e r d i r e c t i o n . A s o t h e r s h a v e o b s e r v e d ( M c L a u g h l i n , 1 9 9 0 ; R e m i l l a r d , 1 9 9 2 ; W i e m e r s - J e n n i n g s , 1 9 9 0 ) , t h e a c t o f i n c o r p o r a t i n g n e w s t e p s i n t o o n e ' s o w n p r a c t i c e c a n p r o v i d e a s i t e f o r r e fl e c t i o n a n d l e a r n i n g , p a r t i c u l a r l y g i v e n t h e n a t u r e o f c u r r e n t r e f o r m s . B e c a u s e t h e s e c a l l s f o r c h a n g e a s k t e a c h e r s t o t e a c h i n w a y s t h a t t h e y h a v e n e v e r e x p e r i e n c e d ( C o h e n 8 : B a l l , 1 9 9 0 ) a n d t h a t r u n c o u n t e r t o c o m m o n l y h e l d v i e w s o f k n o w l e d g e a n d l e a r n i n g ( C o h e n , 1 9 8 9 ) , t e a c h e r s l i k e C a t h e r i n e o f t e n h a v e f e w i m a g e s o f w h a t t h i s t e a c h i n g m i g h t l o o k l i k e i n t h e i r c l a s s r o o m s . T h e y m a y fi n d t h e m e s s a g e o f t h e r e f o r m s a p p e a l i n g , b u t t h e i r v i s i o n s m a y b e i n c o m p l e t e o r g r o u n d e d i n t h e i r o w n " p e r s o n a l s e n s e o f w h a t w o r " ( R i c h a r d s o n , 1 9 9 4 , p . 6 ) . T h e s e t e a c h e r s a r e l i k e l y t o b e n e fi t f r o m a c t u a l t a s k s t o p o s e t o s t u d e n t s . C a t h e r i n e ' s b r o a d e r v i e w o f m a t h a l s o i n fl u e n c e d h e r f u t u r e a c t i v i t y i n t w o o f t h e t h r e e a r e n a s o f c u r r i c u l u m d e v e l o p m e n t B e c a u s e s h e b e g a n t o v a l u e m a t h e m a t i c a l u n d e r s t a n d i n g , s h e p a i d m o r e a t t e n t i o n t o t h e t a s k s i n t h e t e a c h e r ' s g u i d e d e s i g n e d t o n u r t u r e s t u d e n t s ' u n d e r s t a n d i n g s . F o r e x a m p l e , i n F e b r u a r y , s h e t r i e d t h e s u g g e s t i o n i n t h e t e x t b o o k t o u s e b a s e - 1 0 b l o c k s t o t e a c h d i v i s i o n . S i m i l a r l y , d u r i n g t h e f r a c t i o n u n i t , s h e s e l e c t e d m a n y o f t h e e x p l o r a t o r y t a s k s i n t h e t e x t t h a t e m p h a s i z e d u n d e r l y i n g m e a n i n g s , w h i c h a f f e c t e d t h e g o a l s s h e h a d f o r t h e t a s k s s h e g a v e s t u d e n t s . S h e b e g a n t o l o o k f o r m o r e s i g n s o f u n d e r s t a n d i n g w h e n a s s e s s i n g t h e i r e n c o u n t e r s w i t h t h e t a s k s . E a c h t e a c h e r ' s a p p r o a c h t o s e l e c t i n g t a s k s a l s o r e s t r i c t e d h e r o p p o r t u n i t i e s t o l e a r n f r o m t h e p r o c e s s . B e c a u s e C a t h e r i n e u s e d t a s k s i n t h e t e x t , s h e d i d n o t n e e d t o i n v e n t n e w o n e s ; n o r d i d s h e n e e d t o d e l v e i n t o t h e m a t h e m a t i c a l i d e a s b e c a u s e t h e y 2 5 8 w e r e e m b e d d e d i n t h e t a s k s s h e u s e d . J a c k i e , o n t h e o t h e r h a n d , d i d n o t u s e t h e t a s k s i n t h e t e x t ; s h e i n v e n t e d h e r o w n . B u t s h e d i d n o t h a v e o p p o r t u n i t i e s t o l e a r n f r o m u s i n g n e w t a s k s t h a t s h e w o u l d n o t h a v e i n v e n t e d h e r s e l f . I n e s s e n c e , t h e i r p a r t i c u l a r r e a d i n g s c r e a t e d m i s s e d o p p o r t u n i t i e s t o l e a r n f r o m t a s k s e l e c t i o n . M i s s e d o p p _ o r t u n i t i e s . F o r b o t h t e a c h e r s , t h e f a c t t h a t w h a t a n d h o w t h e y r e a d w a s s h a p e d b y t h e i r v i e w s o f m a t h e m a t i c s a n d t h e m a t h e m a t i c a l f o c i o f t h e r e f o r m s r e s t r i c t e d t h e i r o p p o r t u n i t i e s t o e x a m i n e n e w m a t h e m a t i c a l i d e a s . I n o r d e r t o l e a r n f r o m u s i n g t a s k s , C a t h e r i n e h a d t o b e w i l l i n g t o t r y t h e m . S i m i l a r l y , i f J a c k i e w a s t o l e a r n a b o u t a p a r t i c u l a r m a t h e m a t i c a l i d e a , s h e n e e d e d t o s e e t h e i d e a i n t h e t e x t a n d t h e n b e c o n v i n c e d t h a t i t w a s v a l u a b l e ; t h i s d i d n o t a l w a y s h a p p e n . C a t h e r i n e ' s v i e w s a b o u t m a t h e m a t i c s a n d t h e r e f o r m s l e d h e r t o d i s m i s s c e r t a i n c h a p t e r s i n t h e t e x t . S h e h e l d w e l l - f o r m u l a t e d v i e w s a b o u t t h e i m p o r t a n c e o f c o m p u t a t i o n a n d h o w i t s h o u l d b e t a u g h t , a n d s h e b e l i e v e d t h a t t h e r e f o r m s w e r e n o t a b o u t c o m p u t a t i o n . A s a r e s u l t , C a t h e r i n e d i d n o t r e a d t h o s e c h a p t e r s . T h u s , s h e d i d n o t a p p r o p r i a t e t a s k s f r o m t h e m o r p e r m i t a l t e r n a t i v e i d e a s a b o u t t e a c h i n g t h e m t o e n t e r h e r p r a c t i c e f o r t h e fi r s t 5 m o n t h s o f t h e s c h o o l y e a r . A s I d i s c u s s b e l o w , t h e c h a n g e s s h e m a d e i n h e r v i e w s o f m a t h e m a t i c a l u n d e r s t a n d i n g e v e n t u a l l y l e d h e r t o t r y a s u g g e s t i o n f o r u s i n g b a s e - 1 0 b l o c k s t o t e a c h d i v i s i o n . T h i s w a s t h e fi r s t t i m e t h a t I o b s e r v e d h e r u s i n g t h e t e x t t o g u i d e h e r t e a c h i n g o f c o m p u t a t i o n . J a c k i e ' s m i s s e d o p p o r t u n i t i e s w e r e a l s o a f u n c t i o n o f w h a t s h e r e a d i n t h e t e x t . E v e n t h o u g h s h e f o c u s e d h e r r e a d i n g s o f t h e t e x t o n i d e a s a n d c o n c e p t s , h e r v i e w s o f t h e m a t h e m a t i c s c o n t e n t s h a p e d t h e m e a n i n g s s h e m a d e o f t h e m . B e c a u s e s h e b e l i e v e d i t w a s i m p o r t a n t , s h e e x a m i n e d t h e s t r u c t u r e o f t h e b a s e - 1 0 p l a c e v a l u e s y s t e m m o r e d e e p l y a n d i n v e n t e d t a s k s t o h e l p h e r s t u d e n t s d o t h e s a m e . S h e s a w t h e s e i d e a s a s c e n t r a l t o u n d e r s t a n d i n g c o l u m n a d d i t i o n a n d s u b t r a c t i o n , a n d f o c u s i n g o n t h e m w h e n d e s i g n i n g t a s k s . S h e d i d n o t r e a d i d e a s s u c h a s n u m b e r s e n s e o r t h e m e a n i n g o f a d d i t i o n i n t o t h e e s t i m a t i o n s u g g e s t i o n s i n t h e t e x t , n o r d i d s h e s e e t h e m a s i m p o r t a n t t o 2 5 9 u n d e r s t a n d i n g c o l u m n a d d i t i o n . R a t h e r s h e s a w e s t i m a t i o n a s a n a p p l i c a t i o n o f t h e u n d e r s t a n d i n g s h e w a s b u i l d i n g t h r o u g h t h e w o r k o n p l a c e v a l u e . T h u s , s h e d i d n o t c o n s t r u c t t a s k s t h a t f o c u s e d s t u d e n t s o n i t . L e a r n i n g i n t h e C o n s t r u c t i o n A r e n a T h e c o n s t r u c t i o n a r e n a o f c u r r i c u l u m d e v e l o p m e n t w a s t h e p l a c e i n w h i c h t h e t e a c h e r s ' r e a d i n g w a s m o s t p r o n o u n c e d . M o r e o v e r , i t w a s a l s o t h e a r e n a t h a t h a d t h e g r e a t e s t i m p a c t o n t h e t e a c h e r s , p r i m a r i l y w h e n t h e y e n g a g e d i n a d a p t i n g u n f a m i l i a r t a s k s . I n t h e m i d s t o f e n a c t i n g t a s k s , b o t h t e a c h e r s f o c u s e d o n r e a d i n g s t u d e n t s a n d r e a d i n g t h e t a s k s i n a c t i o n i n o r d e r t o d i r e c t t h e i r r e s p o n s e s . T h e s e a c t i v i t i e s p r o m p t e d l e a r n i n g i n b o t h t e a c h e r s . B e l o w I d e s c r i b e h o w t h e i r r e a d i n g c r e a t e d o p p o r t u n i t i e s f o r t h e i r l e a r n i n g a n d c o n s e q u e n t l y i m p a c t e d t h e i r c u r r i c u l u m d e v e l o p m e n t p r o c e s s e s . ( S e e T a b l e 6 . 4 ) T a s k A d a p t a t i o n a s a S i t e f o r L e a r n i n g L e a r n i n g t h r o u g h r e a d i n g s t u d e n t s ' e n c o u n t e r s w i t h n e w t a s k s . O n e a c t i v i t y o f t a s k a d a p t a t i o n w a s r e a d i n g t a s k s i n a c t i o n , w h i c h i n v o l v e d a s s e s s i n g t h e t a s k s w i t h r e s p e c t t o w h a t t h e y e n a b l e d s t u d e n t s t o d o o r u n d e r s t a n d . T h e c h a n g e s t h e y h a d u n d e r g o n e i n t h e i r t e a c h i n g m a d e s t u d e n t s ' a p p r o a c h e s m o r e a p p a r e n t . T h u s , t h i s t y p e o f r e a d i n g a l l o w e d C a t h e r i n e a n d J a c k i e t o e x a m i n e s t u d e n t s ' u n d e r s t a n d i n g s a n d a p p r o a c h e s . B o t h f o u n d t h a t t h e i r s t u d e n t s v i s u a l i z e d m a t h e m a t i c a l i d e a s a n d u s e d s t r a t e g i e s t o s o l v e p r o b l e m s t h a t t h e y h a d n o t c o n s i d e r e d . T h e s e i n s i g h t s c a u s e d t h e m t o l o o k a t t h e m a t h e m a t i c s a n d t h e i r s t u d e n t s ' a b i l i t i e s d i f f e r e n t l y . T h i s t y p e o f l e a r n i n g m a t h e m a t i c s i s s i m i l a r t o o n e f o r m o f l e a r n i n g t h a t R u s s e l l a n d h e r c o l l e a g u e s ( 1 9 9 5 ) w i t n e s s e d i n m a n y t e a c h e r s . T h e y d e s c r i b e d t h e p r o c e s s a s e n g a g i n g i n m a t h e m a t i c a l t h o u g h t m fl t s t u d e n t s . " I n a s s e s s i n g t h e r e a s o n i n g o f s t u d e n t s ' r e s p o n s e s , e s p e c i a l l y w h e n t h e y a r e u n f a m i l i a r a n d u n e x p e c t e d , " t h e y e x p l a i n e d , " t e a c h e r s t h i n k t h r o u g h t h e m a t h e m a t i c s a g a i n f o r t h e m s e l v e s i n n e w w a y s , s e e i n g n e w a s p e c t s o f f a m i l i a r c o n t e n t " ( p . 3 ) . T h i s w a s t h e c a s e f o r b o t h C a t h e r i n e a n d g n g r e e t s i e e e r n r ; e r r r t e a c e i n h i h l r a s h h h h s k c g e c c c e g u p c r a s e a c u s g m n a t d i a c e n g a e d r r f a a f a p t i e h e e i o o d d e e e e e a i e c n T v r c s h h T T T T t e i s g g T r i o d r e r l t l a c c e i d l s a a e i n n e n e a : t n t u i : i : o a x e v : : a : t s s e i t s s e s u o e n T a o l l d d v x t t t t t x v d t t o T a t r a a e T a e p n i e m n n n s e i t s : e e t t v t s p n d e e e e e e d : p d d : d t r t c r a m t r d - o t r e c l u m n e i n e x e r a x e h n l b k c n e h n e d u a n u u n u u e d t a o t t o t o o m s y r t o t ' t l s d a o i s s n s t i s o n c e a s r s r l s k u f u m u u t t f f d r s p n f o w f t r n d f c o e u a ' t p o a t e o o e o a ' a ' a o e e e s s r i l s r s l a h s s g g t s o s g t f h t h r g u i g g i c a t r g t r n r v n c n n n n o n g n p t t v n r n a a f a e i n a o d u i i i i r l s r i o i m s b e t o o i e b e d r i h n c d u s r s e d p d e d l r d n r d e t f d d a p d e u i k c a u u n d c a t r k h a x a a k a h a p s g t t s y e e m e e o d e s s t t e m s t e e a e u l s s l o i a r s a r r e d t c r i i a a r r g n a t t u n t r e n t r n n e y a c o n d r d o d d u o d d d d d d c b e e a e s e d e e e e e e e s d e d s n g o o r r a u t d e t t s t t t d t t t d t t e t e i o n t e s n s s v u u o d p c e c t c m c c n c c c c t n q a y n c e i e c n e m e s e e n e e e e e n e e e s o e e s o q o r o t n d fl f a c v u n e f p f s f f f f f f fi f e c v u s c s e a I d u e d u p u e d f f r e r f f f f f f f f s s i f c E E E E E E e o n t v m e e s E E E E e h o r o o e n t o O O O O O O O O O O r s o f i l t r i r u t f f s f c r i e r A n o o n i t s e s s p n n e s i e h t c o a y u c i l s r e m o D t n d a t s o r a u n v a l t i s e n r a h o n a 0 f e o v s t l 0 s s e 0 C s e f m e l e h t e l p m b e r , c o o l b a 0 s s l e 1 . o m n n p e o o h d r ' n t n n e y a g a l b i p i t t i d x c c n t s e t g E n i n r a e g n n i u w o r u a a a r r o o t r r a R P F D F u h b e O O 0 O O d a b t L i h h e e s k n t t ' f g i e o n h f o f o i k c a J i t t g n r a t n f o n s n n f e i i t i e s o d d t t d n e g g t n n ' d l s a d s u o e n d e n e d n n e s s n e n s s g n f t t t t n i s c t c t n n i a s o s l s r s u c i a a o i i e u t l e e l r n i a r r a l e l i i s e e o r o b e c ' r t a t d e u n w n n h a d i i i n t e b e a r c a a l d n i w n t a ' u g a u r t u t a ' i a r s s s a n r a r m t r s i r e t e n h h e e e e n k d e e t N m t r t i e m h h g g t e h i i a d t p p t n a h t e a d t a C s s a e u e u e a i o t e d n n r t m a r t e h h e n r I G D I t s B w D s m G a e n i r e h t a C e i k c a J e i k c a J g n ' i n r a e l r s d t n t n s a s n e k t e d s s n d m u g a e u m o o t n t d t o t s i r s u s r o d r t f s f g e f g e t i S r m n n o i i n i s i g n n a n h n n a i g i c g o i t l n i a n n s i i r r e a m d a p a d f a e x e n p n r m u f a a n e x o L e u a u R L e c T a b l e 6 . 4 R e a d i n g s t u d e n t s ' e n c o u n t e r s w i t h t a s k s T e a c h e r C a t h e r i n e B r o a d e r u n d e r s t a n d i n g o f O P r o b l e m o f t h e d a y w h a t m a t h e m a t i c s i n c l u d e s G r e a t e r a w a r e n e s s o f s t u d e n t s ' a b i l i t i e s 2 6 0 2 6 1 J a c k i e . T h e y f o u n d t h a t l i s t e n i n g t o a n d a s s e s s i n g s t u d e n t s ' r e s p o n s e s t o t a s k s h e l p e d t h e m s e e m a t h e m a t i c s d i f f e r e n t l y . T h i s h a p p e n e d f o r C a t h e r i n e t h r o u g h u s i n g t h e p r o b l e m s o f t h e d a y . S h e w a s s u r p r i s e d t o fi n d t h a t s o m e s t u d e n t s s o l v e d p r o b l e m s d i f f e r e n t l y t h a n s h e h a d . L i s t e n i n g t o t h e i r a l t e r n a t i v e a p p r o a c h e s b r o a d e n e d h e r i d e a s a b o u t w h a t m a t h e m a t i c s i n c l u d e d . S h e r e a l i z e d t h a t t h e a b i l i t y t o d e v e l o p a n d u s e s t r a t e g i e s t o s o l v e p r o b l e m s w a s a n i m p o r t a n t p a r t o f m a t h e m a t i c s . E v e n t h o u g h J a c k i e e x p e c t e d h e r s t u d e n t s t o c o m e u p w i t h a l t e r n a t i v e s o l u t i o n s a n d p e r s p e c t i v e s , a s s e s s i n g t h e m s o m e t i m e s s t r e t c h e d h e r u n d e r s t a n d i n g o f t h e c o n c e p t . F o r e x a m p l e , h e r a s s e s s m e n t o f t h e o b s e r v a t i o n m a d e b y R a n d y d u r i n g t h e p l a c e v a l u e u n i t l e d h e r t o a d e e p e r u n d e r s t a n d i n g o f t h e r e l a t i v e s i z e s o f l a r g e n u m b e r s . J a c k i e ' s a n d C a t h e r i n e ' s e x p e r i e n c e s f r o m t h e s e e p i s o d e s a l s o i n v o l v e d l e a r n i n g a b o u t s t u d e n t s a n d t h e i r w a y s o f t h i n k i n g . H o w e v e r , t h e e v i d e n c e s u g g e s t s t h a t l i s t e n i n g t o h e r s t u d e n t s c o n t r i b u t e d t o C a t h e r i n e ' s l e a r n i n g i n a n a r e a f a m i l i a r t o J a c k i e . J a c k i e b e g a n t h e y e a r b e l i e v i n g t h a t s t u d e n t s c o u l d a n d s h o u l d i n v e n t t h e i r o w n s o l u t i o n s . T h i s , h o w e v e r , w a s a n e w i d e a f o r C a t h e r i n e . S h e b e c a m e m o r e a w a r e o f h e r s t u d e n t s ' a b i l i t i e s t o c o n s t r u c t t h e i r o w n s o l u t i o n s t r a t e g i e s , u n l i k e h e r a p p r o a c h . ‘ L e a r n i n g t h r o u g h r e a d i n g s t u d e n t s . A d a p t i n g t a s k s a l s o i n v o l v e d r e a d i n g s t u d e n t s w h e n t h e y w e r e s t r u g g l i n g . B o t h t e a c h e r s c o n f r o n t e d i n s t a n c e s i n w h i c h t h e i r s t u d e n t s h a d d i f fi c u l t y w i t h t h e c o n c e p t s o r t a s k s c e n t r a l t o t h e i r l e s s o n s . T h u s , t h e y f o u n d t h e m s e l v e s p a y i n g c l o s e a t t e n t i o n t o t h e i r s t u d e n t s ' t h i n k i n g i n o r d e r t o h e l p t h e m . A s a r e s u l t , t h e y b e g a n t o e x a m i n e m o r e c l o s e l y t h e m a t h e m a t i c a l i d e a s i n v o l v e d i n t h e c o n c e p t s o r t a s k s a n d , c o n s e q u e n t l y , r e c o n s i d e r e d t h e i r o w n v i e w s o f t h e m a t h e m a t i c s a n d o f t h e i r s t u d e n t s ' a b i l i t i e s . 6 C a t h e r i n e ' s l e a r n i n g a b o u t h e r s t u d e n t s ' a b i l i t i e s t o c o n s t r u c t t h e i r o w n s o l u t i o n s a n d i t s c o n s e q u e n t i m p a c t o n h e r t e a c h i n g i s s i m i l a r t o t h e c h a n g e s o b s e r v e d i n t e a c h e r s i n v o l v e d i n t h e C o g n i t i v e l y G u i d e d I n s t r u c t i o n ( C G I ) s t u d y ( C a r p e n t e r e t a l . , 1 9 8 8 ) . T h e s e r e s e a r c h e r s i n t r o d u c e d t e a c h e r s t o t h e t y p e s o f a d d i t i o n a n d s u b t r a c t i o n p r o b l e m s , a s w e l l a s t h e s t r a t e g i e s t h a t s t u d e n t s t y p i c a l l y u s e t o s o l v e t h e m . T h e y f o u n d t h a t t e a c h e r s w i t h t h i s k n o w l e d g e w e r e m o r e i n c l i n e d t o a t t e n d t o t h e i r s t u d e n t s ' s o l u t i o n s t r a t e g i e s t h a n t h o s e w i t h o u t i t . 2 6 2 R u s s e l l e t a l . ( 1 9 9 5 ) a l s o f o u n d t h a t e p i s o d e s i n v o l v i n g s t u d e n t c o n f u s i o n o r p r o b l e m a t i c t h i n k i n g c a u s e d t e a c h e r s t o l o o k a t r e l a t e d m a t h e m a t i c a l s t r u c t u r e s u n d e r n e a t h t h e i r s t u d e n t s ' r e a s o n i n g . I n e s s e n c e , s t u d e n t s ' d i f fi c u l t i e s b e c o m e a c a t a l y s t f o r f u r t h e r e x p l o r a t i o n o f t h e t o p i c . S i m i l a r l y , C a t h e r i n e ' s e f f o r t s t o l o o k b e n e a t h h e r s t u d e n t s ' t r o u b l e s l e d h e r t o d e v e l o p a s e n s e o f w h a t t h e y n e e d e d t o u n d e r s t a n d o r b e a b l e t o d o , a l o n g w i t h a g r e a t e r a p p r e c i a t i o n o f t h e s e a b i l i t i e s . W h e n h e r s t u d e n t s h a d é d i f fi c u l t y u s i n g c o u n t e r s t o s o l v e p r o b l e m s s u c h a s 4 o f 1 2 , s h e c a r e f u l l y e x a m i n e d t h e p r o c e s s a n d t h e i r e r r o r s w i t h i t , r e a l i z i n g t h a t t h e y n e e d e d a fi r m e r u n d e r s t a n d i n g o f t h e m e a n i n g o f t h e n u m e r a t o r a n d d e n o m i n a t o r . J a c k i e h a d s i m i l a r e x p e r i e n c e s w i t h f r a c t i o n s a n d t h e d a r t b o a r d p r o b l e m . H e l p i n g s t u d e n t s t h r o u g h t h e i r s t r u g g l e s w i t h n o n u n i t f r a c t i o n s l e d h e r t o e x p l o r e h e r o w n u n d e r s t a n d i n g m o r e c a r e f u l l y a n d t o s e e c o n n e c t i o n s s h e h a d n o t c o n s i d e r e d . D u r i n g h e r s t u d e n t s ' w o r k o n t h e c o m b i n a t i o n p r o b l e m w i t h t h e d a r t b o a r d , J a c k i e n o t e d , a n a l y z e d , a n d r e s p o n d e d t o h e r s t u d e n t s ' d i f fi c u l t i e s w h i c h p u s h e d h e r t o e x a m i n e t h e n a t u r e o f t h e p r o b l e m , a s w e l l a s t h e m a t h e m a t i c a l t h i n k i n g i t r e p r e s e n t e d . T h i s p r o c e s s i n fl u e n c e d h e r d e c i s i o n t o p u s h h e r s t u d e n t s b e y o n d t h e i r r a n d o m a p p r o a c h e s t o t h e p r o b l e m . I n a d d i t i o n t o p r o m p t i n g g r o w t h i n t h e i r u n d e r s t a n d i n g o f m a t h , e x a m i n i n g s t u d e n t c o n f u s i o n a l s o p r o m p t e d b o t h t e a c h e r s t o r e c o n s i d e r t h e e v i d e n c e t h a t t h e y h a d a s s u m e d i n d i c a t e d s t u d e n t u n d e r s t a n d i n g . J a c k i e ' s a n a l y s i s o f h e r s t u d e n t s ' c o n f u s i o n w i t h n o n u n i t f r a c t i o n s s u g g e s t e d t h a t t h e i r c o r r e c t a n s w e r s f o r f r a c t i o n s i n w h i c h t h e n u m e r a t o r w a s 1 w a s o f t e n t h e r e s u l t o f t h e i r a b i l i t i e s t o f o l l o w a p a t t e r n . T h e y k n e w t h a t % o f 1 2 w a s 4 o n l y b e c a u s e t h e y r e a l i z e d t h a t t h e y c o u l d g e t t h e a n s w e r b y d i v i d i n g 1 2 b y 3 . T h e y g o t s t u c k w h e n s h e a s k e d t h e m t o S h o w ; o f 1 2 . S i m i l a r l y , fi n d i n g t h a t h e r s t u d e n t s d i d n o t k n o w w h e r e t o b e g i n t o s o l v e m a n y o f t h e p r o b l e m s o f t h e d a y , e v e n w h e n s h e a l l o w e d t h e m t o u s e c a l c u l a t o r s , i n c r e a s e d C a t h e r i n e ' s a w a r e n e s s o f h e r s t u d e n t s ' a b i l i t i e s a n d i n a b i l i t i e s . E v e n t h o s e s t u d e n t s w h o w e r e g o o d a t c o m p u t a t i o n w e r e n o t n e c e s s a r i l y a b l e t o t h i n k t h r o u g h t h e p r o b l e m s . 2 6 3 L e a r n i n g f r o m T a s k A d a p t a t i o n T h e e f f e c t o f C a t h e r i n e ' s a n d J a c k i e ' s l e a r n i n g i n t h i s a r e n a w a s s i m i l a r i n t h a t i t s p r i m a r y i m p a c t w a s o n t h e i d e a s a n d c o n c e p t i o n s t h a t c o n t r i b u t e d t o t a s k e n a c t m e n t a c t i v i t i e s . T h e s e e n c o u n t e r s w i t h t h e i r s t u d e n t s ' u n d e r s t a n d i n g s a n d s t r u g g l e s c a u s e d b o t h t e a c h e r s t o r e fi n e t h e i r t a s k g o a l s a n d t o r e v i s e t h e i r i d e a s a b o u t s t u d e n t s ' l e a r n i n g a n d k n o w i n g m a t h . T h e s e c h a n g e s i n fl u e n c e d t h e m e a n i n g s t h e y m a d e o f s t u d e n t s , t h e t a s k s t h e y w e r e w o r k i n g o n , a n d t h e i r i m p r o v i s i n g . T h e i r l e a r n i n g a l s o i n fl u e n c e d s o m e o f t h e i d e a s t h a t s h a p e d t a s k s e l e c t i o n . B r o a d e n i n g h e r v i e w o f w h a t m a t h e m a t i c s i n c l u d e d h a d a n e f f e c t o n C a t h e r i n e ' s r e a d i n g o f t h e t e x t . S h e u s e d m o r e c o n c e p t u a l a n d e x p l o r a t o r y t a s k s a s t h e y e a r p r o g r e s s e d . T h e i m p a c t o n J a c k i e ' s t a s k s e l e c t i o n w a s n o t r e l a t e d t o h e r r e a d i n g o f t h e t e x t . H e r m a t h e m a t i c a l l e a r n i n g i n c r e a s e d h e r c o n fi d e n c e i n h e r a b i l i t y t o i n v e n t t a s k s a n d t o c o n s t r u c t a m a t h e m a t i c a l p a t h r e s p o n s i v e t o s t u d e n t s . S h e c h a n g e d f r o m f e e l i n g u n s u r e a b o u t s k i p p i n g i d e a s i n t h e t e x t t o f e e l i n g s e c u r e i n h e r a b i l i t y t o g u i d e s t u d e n t s t h r o u g h e a c h t o p i c . O n l y J a c k i e ' s l e a r n i n g i m p a c t e d h e r c u r r i c u l u m m a p p i n g . A s s h e d e v e l o p e d a d e e p e r u n d e r s t a n d i n g o f p l a c e v a l u e , s h e m a d e a d j u s t m e n t s i n t h e s e q u e n c e o f t h e c h a p t e r s b y j u m p i n g t o a n e w c h a p t e r . S h e a l s o p u r s u e d t h e i t e m s w i t h i n t h e t e x t ' s c h a p t e r s i n a d i f f e r e n t o r d e r , a d d i n g i d e a s s h e b e l i e v e d w e r e i m p o r t a n t a n d o m i t t i n g o t h e r s . J a c k i e ' s m a t h e m a t i c a l l e a r n i n g a l s o i n fl u e n c e d h e r c h o i c e t o s p e n d m o r e t i m e o n p a r t i c u l a r t o p i c s . T e a c h e r D e v e l o p m e n t i n t h e M a p p i n g A r e n a T h e t e a c h e r s ' d e c i s i o n s i n t h e c u n i c u l u m m a p p i n g a r e n a s h a p e d t h e b i g p i c t u r e s o f t h e i r c u r r i c u l u m s u c h a s i t s o r g a n i z a t i o n , c o n t e n t s , s e q u e n c i n g , a n d p a c i n g . A s a r e s u l t , m a n y d e s i g n a n d c o n s t r u c t i o n d e c i s i o n s t h e t e a c h e r s m a d e o s t e n s i b l y a f f e c t e d t h e i r c u r r i c u l u m m a p s . F o r e x a m p l e , t h e t e a c h e r s m a d e d a i l y c h o i c e s a b o u t w h a t t o d o t h e n e x t d a y . E v e n t h o u g h t h i s c h o i c e w a s a t a s k - s e l e c t i o n d e c i s i o n , i t s o u t c o m e a l s o 2 6 4 a f f e c t e d t h e i r c u r r i c u l u m m a p s . J a c k i e ' s d e c i s i o n s t o i n v e n t a r e l a t e d t a s k o n t h e s a m e t o p i c a n d C a t h e r i n e ' s c h o i c e s t o c o n t i n u e w i t h t h e n e x t l e s s o n i n t h e t e x t b e l o n g i n b o t h t h e s e l e c t i o n a n d m a p p i n g a r e n a s . A s a r e s u l t o f t h i s o v e r l a p , t h e m a p p i n g d e c i s i o n s t h a t p r o v i d e d t h e m o s t f r u i t f u l s i t e s f o r t h e i r l e a r n i n g w e r e c l o s e l y i n t e r t w i n e d w i t h t a s k s e l e c t i o n d e c i s i o n s t h a t l e d t h e m t o a d a p t t h e m a p i n t h e t e x t , w h i c h C a t h e r i n e r a r e l y d i d . S h e e i t h e r m a t c h e d h e r c u r r i c u l u m m a p t o t h a t i n t h e t e x t o r , w h e n p l a n n i n g t o t e a c h c o m p u t a t i o n , d i s c a r d e d t h e m a p i n t h e t e x t . T h u s , h e r r e a d i n g o f t h i s a s p e c t o f t h e t e x t w a s l i t e r a l . A s a r e s u l t , t h i s a r e n a w a s n o t a s i t e f o r h e r l e a r n i n g . J a c k i e , o n t h e o t h e r h a n d , o f t e n a d a p t e d t h e m a p o f t h e t e x t . T h u s , t h e m a p p i n g a r e n a w a s a s i t e f o r h e r l e a r n i n g . E v e n t h o u g h s h e s t a r t e d e a c h u n i t w i t h t h e i d e a s i n t h e t e x t b o o k , h e r m a p p i n g i n v o l v e d r e a d i n g t h e s t u d e n t s w i t h r e s p e c t t o h e r m a t h e m a t i c a l g o a l s f o r t h e m i n o r d e r t o d e t e r m i n e w h e t h e r t o c o n t i n u e w i t h t h e t a s k o r t o p i c a t h a n d o r t o t r y s o m e t h i n g n e w . S h e a l l o w e d h e r d e s i g n a n d c o n s t r u c t i o n d e c i s i o n s t o r e d e s i g n t h e c o n t e n t s o f t h e c h a p t e r s , t o r e s e q u e n c e t h e m , a n d a d j u s t t h e i r p a c i n g . T h i s r e fl e c t i v e p r o c e s s w a s w h a t p r o m p t e d h e r l e a r n i n g i n t h i s a r e n a . T h r o u g h a n a l y z i n g t h e a c t i v i t i e s o f h e r t e a c h i n g a n d h e r s t u d e n t s ' u n d e r s t a n d i n g s , s h e d e e p e n e d h e r u n d e r s t a n d i n g o f t h e m a t h e m a t i c s a n d g a i n e d i n s i g h t s i n t o h e r s t u d e n t s ' t h i n k i n g . M a n y o f t h e m a p p i n g c h o i c e s t h a t J a c k i e m a d e d u r i n g t h e p l a c e - v a l u e u n i t p r o v i d e e x a m p l e s o f d e c i s i o n - m a k i n g p r o c e s s e s t h a t p r o m p t e d h e r g r o w t h . E a c h t i m e I i n t e r v i e w e d h e r i n t h e f a l l , s h e s e e m e d t o b e i n t h e m i d s t o f d e c i d i n g w h e t h e r o r h o w t o a d j u s t t h e c u r r i c u l u m m a p i n t h e t e x t i n o r d e r t o b e r e s p o n s i v e t o h e r s t u d e n t s ' d e v e l o p i n g u n d e r s t a n d i n g s o f p l a c e v a l u e . C e n t r a l t o h e r r e fl e c t i o n w a s h e r d e v e l o p i n g u n d e r s t a n d i n g o f t h e p o w e r o f p l a c e v a l u e a n d h e r s e n s e o f w h a t t h e s t u d e n t s d i d a n d d i d n o t u n d e r s t a n d a b o u t i t . A s s h e t h o u g h t t h r o u g h t h e v a r i o u s c o n s e q u e n c e s o f j u m p i n g t o t h e n e x t c h a p t e r , o r p l o d d i n g t h r o u g h t h e p l a c e - v a l u e c h a p t e r a t a t u r t l e ' s p a c e , s h e l o o k e d m o r e c l o s e l y a t t h e r e l a t i o n s h i p s b e t w e e n p l a c e v a l u e a n d a d d i t i o n a n d 2 6 5 s u b t r a c t i o n . T h e m a t h e m a t i c a l l e a r n i n g t h a t g r e w o u t o f t h i s c a r e f u l a n a l y s i s i n fl u e n c e d h e r m a p p i n g d e c i s i o n s , a n d i n c r e a s e d h e r c o n fi d e n c e i n h e r a b i l i t y t o c o n s t r u c t a v a l i d a n d w o r t h w h i l e c u r r i c u l u m m a p . T a a c h e r D e v e l o p m e n t a n d t h e T e x t b o o k W h a t r o l e d i d t h e t e x t b o o k p l a y i n t h e t e a c h e r s ' l e a r n i n g ? L o o k i n g a t t h e a b o v e a n a l y s e s o f t h e t e a c h e r s ' c u r r i c u l u m d e v e l o p m e n t p r o c e s s e s , a s w e l l a s t h e l e a r n i n g a n d c h a n g e i t f o s t e r e d , t w o p o i n t s e m e r g e : F i r s t , t h e m o s t f r u i t f u l s i t e s f o r l e a r n i n g o c c u r r e d w h e n t h e t e a c h e r s h a d t o r e a d t h e t e x t , t h e i r s t u d e n t s , o r s i t u a t i o n s i n t h e i r t e a c h i n g w i t h a n e y e t o w a r d d e s i g n i n g o r c o n s t r u c t i n g c u r r i c u l u m . T h i s p r o c e s s o f r e a d i n g a n d d e c i s i o n m a k i n g c a u s e d t h e t e a c h e r s t o r e e x a m i n e t h e i r b e l i e f s a n d u n d e r s t a n d i n g s t h a t , i n t u r n , i n fl u e n c e d t h e c u r r i c u l u m t h e y e n a c t e d . S e c o n d , t h e t e a c h e r s e n g a g e d i n t h i s t y p e o f a c t i v e c u r r i c u l u m d e v e l o p m e n t w h e n t h e t e x t ' s r o l e w a s m o s t fl e x i b l e o r i t s c o n t r i b u t i o n w a s i n d i r e c t , a l l o w i n g , o r e v e n c a l l i n g f o r , t h e i r i n v o l v e m e n t i n t h e c u r r i c u l u m p r o c e s s . T h e m o s t l e a r n i n g , f o r e x a m p l e , o c c u r r e d f o r b o t h t e a c h e r s i n t h e c o n s t r u c t i o n a r e n a . I n t h i s a r e n a t h e t e x t ' s r o l e w a s t h e l e a s t d i r e c t , a l b e i t u n i n t e n t i o n a l l y . T a s k s o r i d e a s f r o m t h e t e x t s o m e t i m e s i n i t i a t e d c l a s s r o o m a c t i v i t i e s , b u t i t w a s t h e t e a c h e r s w h o w e r e a c t i v e l y i n v o l v e d i n r e a d i n g a n d a c t i n g o n t h e s e e v e n t s . T h e i n s t a n c e s t h a t p r o m p t e d l i t t l e t e a c h e r d e v e l o p m e n t w e r e t h o s e i n w h i c h o n e o f t h e t e a c h e r s u s e d s u g g e s t i o n s i n t h e t e x t v e r b a t i m , w i t h o u t a d a p t i n g t h e m , o r w h e n t h e y c o m p l e t e l y d i s m i s s e d p a r t s , r e p l a c i n g t h e m w i t h t h e i r o w n . A p o s s i b l e i n t e r p r e t a t i o n o f t h e s e t w o p o i n t s i s t h a t t h e t e x t h a d l i t t l e t o o f f e r t h e t e a c h e r s ' p r o f e s s i o n a l d e v e l o p m e n t s i n c e t h e y s e e m e d t o l e a r n w h e n t h e t e x t d i d l e s s a n d t h e y d i d m o r e . T h i s w a s n o t e x a c t l y t h e c a s e . T h e t e x t c o n t r i b u t e d i n d i r e c t l y t o t h e i r l e a r n i n g . T o p i c s o r t a s k s i n t h e t e x t , t h a t t h e t e a c h e r s a c c e p t e d o r i n s e r t e d i n t o t h e i r t e a c h i n g d i d n o t , b y t h e m s e l v e s , p r o v o k e r e fl e c t i o n o r c h a n g e , b u t t h e y o f t e n c r e a t e d p l a c e s f o r t h i s t o o c c u r . C a t h e r i n e , i n p a r t i c u l a r , a p p r o p r i a t e d u n f a m i l i a r s u g g e s t i o n s f r o m t h e t e x t t h a t a l o n e d i d n o t m o t i v a t e h e r t o r e t h i n k e x i s t i n g i d e a s . T h e 2 6 6 a p p r o p r i a t i o n s , h o w e v e r , c r e a t e d s i t u a t i o n s i n h e r t e a c h i n g t h a t e n g a g e d h e r i n a c t i v e r e a d i n g a n d i m p r o v i s i n g . S i m i l a r l y , b o t h t e a c h e r s a c c e p t e d t h e m a t h e m a t i c a l t o p i c s o f f e r e d b y t h e t e x t . T h i s p r o c e s s d i d n o t i n v o l v e l e a r n i n g . T h e s e t o p i c s , h o w e v e r , p r o v i d e d t h e t e r r a i n i n w h i c h l a t e r m a t h e m a t i c a l l e a r n i n g o c c u r r e d . I n d i r e c t a s i t w a s , t h i s r o l e i n t e a c h e r s ' l e a r n i n g m u s t n o t b e d i s c o u n t e d . I n f a c t , a s I d e s c r i b e b e l o w , i t h a s t h e p o t e n t i a l t o b e c r u c i a l . T h e R o l e o f t h e T e x t b o o k i n D e v e l o p i n g C u r r i c u l u m a n d T e a c h e r s 1 c l o s e t h i s c h a p t e r b y r e t u r n i n g t o t h e t h r e e - w a y r e l a t i o n s h i p t h a t f r a m e d t h i s s t u d y u t h e t e a c h e r , t h e t e x t b o o k , a n d t h e c u r r i c u l u m . W h a t d o t h e c a s e s o f C a t h e r i n e a n d J a c k i e s u g g e s t a b o u t h o w t e x t b o o k s m i g h t c o n t r i b u t e t o c u r r i c u l u m d e v e l o p m e n t t h a t i s a l s o t e a c h e r d e v e l o p m e n t ? W h e t h e r i t w a s i n t e n t i o n a l o r n o t , t h e t e x t b o o k p r o v i d e d t w o t y p e s o f r e s o u r c e s t h a t t h e t e a c h e r s u s e d i n d e v e l o p i n g c u r r i c u l u m : I t p r o p o s e d t h e m a t h e m a t i c a l t e r r a i n w i t h i n w h i c h , o r f r o m w h i c h , t h e t e a c h e r s e n a c t e d c u r r i c u l u m , a n d i t p r o v i d e d m a t e r i a l s f o r t h e m t o b u i l d w i t h . T h e m a t e r i a l s t h e t e a c h e r s r e a d a n d s e l e c t e d f r o m i n c l u d e d r a w c o n c e p t s , t o o l s , a n d p r e f a b r i c a t e d t a s k s . T h e y u s e d t h e s e m a t e r i a l s a l o n g w i t h t h e i r p e r s o n a l r e s o u r c e s t o d e s i g n a n d b u i l d c u r r i c u l u m . G r o w t h o c c u r r e d w h e n t e a c h e r s e n g a g e d i n t h e p r o c e s s o f c u r r i c u l u m b u i l d i n g , t h a t i s , a c t i v e l y r e a d i n g s t u d e n t s , t h e t e x t , a n d t h e t a s k s , a n d c o n t i n u a l l y i n v e n t i n g o r i m p r o v i s i n g i n r e s p o n s e t o w h a t t h e y r e a d . O n t h e o t h e r h a n d , w h e n e i t h e r t e a c h e r u s e d g u i d a n c e f r o m t h e t e x t w i t h o u t e n g a g i n g i n t h i s d e c i s i o n - m a k i n g p r o c e s s , h e r t h i n k i n g w a s n o t s t r e t c h e d . I r o n i c a l l y , a s I a l l u d e d t o e a r l i e r , e n g a g i n g t e a c h e r s i n a c u r r i c u l u m d e v e l o p m e n t p r o c e s s w a s n o t n e c e s s a r i l y t h e i n t e n t o f t h e H B J p u b l i s h e r s ; i n f a c t , i t a p p e a r e d t o b e t h e c o n t r a r y . T h e t e x t d e v e l o p e r s o f f e r e d a s e t o f p r e p a r e d a c t i v i t i e s , w i t h i n a s p e c i fi c s t r u c t u r e , f o r t e a c h e r s t o u s e . E v e n t h o u g h i t s e e m e d e v i d e n t t h a t t e a c h e r s w o u l d n e e d t o m a k e s e l e c t i o n s a m o n g t h e p l e t h o r a o f s u g g e s t e d t a s k s , t h e r e w a s n o m e n t i o n t h r o u g h o u t t h e t e x t a b o u t t h e s e l e c t i o n p r o c e s s . G i v e n m y fi n d i n g t h a t t h e p r o c e s s o f 2 6 7 c u r r i c u l u m d e v e l o p m e n t c a n b e a s o u r c e o f t e a c h e r d e v e l o p m e n t , i t s e e m s t h a t t e x t s m i g h t f a c i l i t a t e t h e t e a c h e r ' s r o l e i n i t r a t h e r t h a n d o i n g i t f o r t h e m . N a t u r a l l y , t h i s c l a i m h a s l i m i t s a n d q u e s t i o n s . J a c k i e ' s a n d C a t h e r i n e ' s c a s e s s u g g e s t t h a t t h e r e i s m u c h t h a t t e x t b o o k s c a n n o t d o a l o n e o r a t a l l . T o g e t h e r , t h e s e t w o t e a c h e r s i l l u s t r a t e a r a n g e o f p e r s o n a l a n d c o n t e x t u a l f a c t o r s t h a t i m p a c t e d t h e i r c u r r i c u l u m - d e v e l o p m e n t c h o i c e s . I n s o m e i n s t a n c e s , t h e s e f a c t o r s w e r e c e n t r a l t o t h e d e c i s i o n s t h e y m a d e . Y e t , t e x t d e v e l o p e r s m u s t a s s u m e t h a t a r a n g e o f t e a c h e r s w i l l b e u s i n g t h e i r m a t e r i a l s i n d i f f e r i n g s i t u a t i o n s . C a n a s i n g l e t e x t a c c o m m o d a t e s u c h v a r i e t y ? F u r t h e r m o r e , b o t h c a s e s c a p t u r e t h e r e s p o n s i v e a n d u n p r e d i c t a b l e n a t u r e o f t e a c h i n g . J a c k i e ' s c a s e , i n p a r t i c u l a r , i l l u s t r a t e s h o w t e a c h e r s ' e f f o r t s t o d e v e l o p c u r r i c u l u m i n r e s p o n s e t o s t u d e n t s a r e l i k e l y t o l e a d t h e m d o w n u n c h a r t e d a n d u n a n t i c i p a t e d p a t h s . H o w m i g h t a t e x t h e l p t e a c h e r s f o l l o w s u c h p a t h s a n d s u p p o r t t h e m t h r o u g h t h e i r u n p l a n n e d t r a v e l s ? M u s t t e a c h e r s e v e n t u a l l y c h o o s e b e t w e e n f o l l o w i n g t h e t e x t o r t h e s t u d e n t s ? I p u r s u e t h e s e q u e s t i o n s i n t h e f o l l o w i n g a n d fi n a l c h a p t e r . C H A P T E R S E V E N C O N C L U S I O N : A N E W R O L E F O R T E X T B O O K S T h i s c h a p t e r c o n s i d e r s w h a t t h e p r e v i o u s a n a l y s e s o f C a t h e r i n e a n d J a c k i e s u g g e s t a b o u t t h e r o l e t h a t t e x t b o o k s m i g h t p l a y i n r e f o r m i n m a t h e m a t i c s e d u c a t i o n . M y i n q u i r i e s f o c u s e d o n t h e r e l a t i o n s h i p a m o n g t w o t e a c h e r , t h e c u r r i c u l u m , a n d a s p e c i f i c r e f o r m - o r i e n t e d t e x t . M y fi n d i n g s , h o w e v e r , r a i s e q u e s t i o n s a b o u t t h e r o l e o f a n y t e x t i n r e f o r m - r e l a t e d t e a c h i n g . A k e y o u t c o m e o f m y a n a l y s e s , f o r e x a m p l e , w a s t h e m o d e l o f t e a c h e r s ' c u r r i c u l u m d e v e l o p m e n t , w h i c h i l l u s t r a t e d t h e m u l t i p l e l a y e r s o f t h e c u r r i c u l u m d e v e l o p m e n t p r o c e s s . T h i s m o d e l h i g h l i g h t s t h e v a r i o u s p l a c e s t h a t a t e x t m i g h t c o n t r i b u t e t o t h e e n a c t e d c u r r i c u l u m . I t a l s o r e v e a l s p l a c e s w h e r e a t e x t ' s i m p a c t i s l i k e l y t o b e l i m i t e d . A n o t h e r o u t c o m e o f m y a n a l y s i s t h a t t a k e s u s b e y o n d t h e s p e c i fi c s o f t h e H B J t e x t w a s t h e c h a r a c t e r i z a t i o n o f t h e a c t i v i t i e s t h a t p r o m p t e d t e a c h e r l e a r n i n g . E v e n t h o u g h t h e i r u s e o f t h e t e x t d i f f e r e d , b o t h t e a c h e r s l e a r n e d w h e n a c t i v e l y i n v o l v e d i n c u r r i c u l u m d e v e l o p m e n t a c t i v i t i e s . F u r t h e r m o r e , t h e i r l e a r n i n g i n fl u e n c e d t h e i r s u b s e q u e n t c u r r i c u l u m - d e v e l o p m e n t d e c i s i o n s . T h e s e fi n d i n g s h a v e i m p l i c a t i o n s f o r r e f o r m - o r i e n t e d t e x t b o o k s a n d t e a c h i n g . I n t h i s c h a p t e r , I d i s c u s s i m p l i c a t i o n s o f m y fi n d i n g s b y c o n s i d e r i n g w h a t t h e y i l l u m i n a t e a b o u t t e a c h e r s ' c u r r i c u l u m d e v e l o p m e n t a n d t h e r o l e t h a t t e x t b o o k s a n d t e a c h e r s u p p o r t m i g h t p l a y . I d o s o i n t h r e e p a r t s . I n t h e fi r s t p a r t , I e x p l o r e w h a t m y a n a l y s i s i n C h a p t e r 6 s u g g e s t s a b o u t c u r r i c u l u m a n d t e a c h e r d e v e l o p m e n t a n d t h e t e x t b o o k ' s r o l e i n e a c h . T h e n , I d i s c u s s i m p l i c a t i o n s t h e s e p e r s p e c t i v e s a n d fi n d i n g s h a v e f o r t e x t b o o k d e v e l o p m e n t a n d s e l e c t i o n a n d f o r t e a c h e r d e v e l o p m e n t . I n t h e fi n a l 2 6 8 2 6 9 s e c t i o n I d i s c u s s l i k e l y c h a l l e n g e s t o t e x t b o o k c h a n g e d u e t o m a r k e t a n d i n s t i t u t i o n a l f o r c e s . C u r r i c u l u m D e v e l o p m e n t , T e a c h e r D e v e l o p m e n t , a n d t h e T e x t I n C h a p t e r 6 I o f f e r e d a m o d e l o f t e a c h e r s ' c u r r i c u l u m - d e v e l o p m e n t a c t i v i t i e s t h a t c o n s i s t s o f t h r e e a r e n a s . E a c h a r e n a a d d r e s s e s s u b s t a n t i a l l y d i f f e r e n t c o m p o n e n t s o f t h e c u r r i c u l u m p r o c e s s , i n v o l v e s d i f f e r e n t t e a c h e r a c t i o n s a n d d e c i s i o n s , a n d i s r e s p o n s i v e t o d i f f e r e n t i n fl u e n t i a l f a c t o r s a n d r e s o u r c e s . T h u s , t h e p o t e n t i a l r o l e o f t h e t e x t b o o k v a r i e d s i g n i fi c a n t l y w i t h i n t h e s e t h r e e a r e n a s . E v e n t h o u g h t h e s p e c i fi c i n fl u e n c e s i n e a c h o f J a c k i e ' s a n d C a t h e r i n e ' s a r e n a s c a n n o t b e g e n e r a l i z e d t o a l l t e a c h e r s , t h i s m o d e l o f f e r s a f r a m e w o r k f o r e x a m i n i n g a n y t e a c h e r ' s c u r r i c u l u m - d e v e l o p m e n t a c t i v i t i e s , a n d t h u s , t h e r o l e t h a t a t e x t p l a y s i n t e a c h i n g . I n e s s e n c e , t h e m o d e l o f t e a c h e r s ' c u r r i c u l u m d e v e l o p m e n t p r o v i d e s a f r a m e w o r k f o r a n s w e r i n g t h e o v e r a r c h i n g q u e s t i o n o f t h i s s t u d y : H o w d o t e a c h e r s m a k e s e n s e o f a n d u s e a r e f o r m - o r i e n t e d m a t h e m a t i c s t e x t b o o k ? T h e m o d e l p o r t r a y s h o w t e a c h e r s ' t e x t b o o k u s e i s e m b e d d e d i n a l a r g e r s e t o f a c t i v i t i e s a n d i l l u s t r a t e s h o w e x a m i n i n g t h e s e a c t i v i t i e s , t h e i r r o o t s a n d i n fl u e n c e s , t h e i r i n t e r r e l a t i o n s h i p s , a n d t h e o u t c o m e s i n t e a c h i n g h e l p s u s u n d e r s t a n d t h e p o s s i b l e w a y s t e x t s m i g h t c o n t r i b u t e t o r e f o r m i n m a t h e m a t i c s t e a c h i n g . T h e p u r p o s e o f t h i s s e c t i o n i s t o t a k e s t o c k o f o u r c u r r e n t u n d e r s t a n d i n g s o f t e a c h e r s ' c u r r i c u l u m d e v e l o p m e n t a n d t e x t b o o k u s e . T h u s , I c o n s i d e r t h e c o n t r i b u t i o n t h a t t h e fi n d i n g s o f t h i s s t u d y m a k e t o r e s e a r c h o n t e a c h e r s ' t e x t b o o k u s e . I b e g i n b y d i s c u s s i n g w h a t t h e m o d e l o f t e a c h e r s ' c u r r i c u l u m d e v e l o p m e n t o f f e r s t o o u r u n d e r s t a n d i n g s o f t h e a c t i v i t i e s o f t e a c h i n g . I t h e n c o n s i d e r w h a t t h i s m o d e l s u g g e s t s a b o u t t h e p o w e r a n d l i m i t s o f t e x t s . I n s o d o i n g , I d i s c u s s w h a t m y fi n d i n g s s u g g e s t a b o u t h o w t e x t s m i g h t f a c i l i t a t e t e a c h e r s ' c u r r i c u l u m d e v e l o p m e n t t h a t i s a l s o t e a c h e r d e v e l o p m e n t . 2 7 0 P e r s p e c t i v e s o n T e a c h e r s ' C u r r i c u l u m D e v e l g r m e n t T h e m o d e l o f t e a c h e r s ' c u r r i c u l u m - d e v e l o p m e n t p r o c e s s e s c o n t r i b u t e s t o o u r u n d e r s t a n d i n g o f a c t i v i t i e s o f t e a c h i n g i n s e v e r a l w a y s . A s a t h e o r e t i c a l f r a m e w o r k , i t o f f e r s a l e n s f o r e x a m i n i n g t e a c h e r s ' c u r r i c u l u m d e v e l o p m e n t a c t i v i t i e s , i n c l u d i n g h o w t h e y i n t e r a c t w i t h a n d u s e t e x t b o o k s . I t i l l u s t r a t e s t h e d i s t i n c t i o n s b e t w e e n t h e p u r p o s e s o f e a c h a r e n a , h i g h l i g h t i n g t h e m u l t i p l e r o l e s a t e x t m i g h t p l a y . M o r e o v e r , m y e x a m i n a t i o n o f t h e d e t a i l s o f t h e m o d e l f o r t w o t e a c h e r s r e v e a l s p a t t e r n s i n t h e i r a c t i v i t i e s a n d i n t h e i r d e c i s i o n - m a k i n g p r o c e s s e s . I n t h i s s e c t i o n I d i s c u s s t h r e e s p e c i f i c a c t i v i t i e s o f t e a c h i n g m a t h e m a t i c s a n d t e x t b o o k u s e t h a t t h e p r e v i o u s a n a l y s i s o f t e a c h e r s ' c u r r i c u l u m d e v e l o p m e n t i l l u m i n a t e s : ( a ) d i f f e r e n t i a t i o n i n w h a t t e x t b o o k u s e i n v o l v e s , ( b ) t h e u n i q u e n a t u r e o f t h e c o n s t r u c t i o n a r e n a , a n d ( c ) t h e r o l e a n d i m p o r t a n c e o f t e a c h e r s ' r e a d i n g i n s h a p i n g t h e e n a c t e d c u r r i c u l u m . A S h a r p e r V i e w o f T e x t b o o k U s e I n C h a p t e r O n e , I d i s c u s s e d t h e a m b i g u i t y i n t h e l i t e r a t u r e a b o u t t h e m e a n i n g o f t h e t e r m " t e x t b o o k u s e " . R e s e a r c h e r s h a v e d e fi n e d u s e d i f f e r e n t l y a n d h a v e n o t f o c u s e d o n t h e s a m e a s p e c t s o f p r a c t i c e w h e n a s s e s s i n g t h e r o l e t h e t e x t p l a y e d . F o r e x a m p l e , B u s h ( 1 9 8 6 ) a n d F l o d e n e t a l . ( 1 9 8 1 ) c o n s i d e r e d m a t h e m a t i c a l t o p i c s a l o n e , i d e n t i f y i n g t e a c h e r s w h o u s e d t h e t e x t ' s t o p i c s a s c l o s e f o l l o w e r s . S t e p h e n s ( 1 9 8 2 ) a n d D o n o v a n ( 1 9 8 3 ) , a m o n g o t h e r s , l o o k e d a t h o w t e a c h e r s r e p r e s e n t e d t h e s u b j e c t t o a s s e s s t h e e x t e n t t o w h i c h t h e y w e r e f o l l o w i n g o r s u b v e r t i n g t h e i n t e n t o f t h e a u t h o r s . F r e e m a n a n d P o r t e r ( 1 9 8 9 ) , G r a y b e a l a n d S t o d o l s k y ( 1 9 8 7 ) , a n d S o s n i a k a n d S t o d o l s k y ( 1 9 9 3 ) , o n t h e o t h e r h a n d , e x a m i n e d t h e d i f f e r e n t a s p e c t s o f t e x t b o o k s t h a t t e a c h e r s u s e d o r d i s m i s s e d . T h e y a l l f o u n d fi d e l i t y w i t h t h e t e x t i n s o m e a s p e c t s o f t e a c h i n g a n d l a r g e d i s c r e p a n c i e s i n o t h e r s . Y e t , t h e r e w a s l i t t l e c o n s i s t e n c y i n t h e a s p e c t s o f t h e t e x t t h e s e r e s e a r c h e r s e x a m i n e d , l e a v i n g f e w o p p o r t u n i t i e s f o r c o m p a r i s o n o f fi n d i n g s a c r o s s s t u d i e s . I n a d d i t i o n t o a s s u m i n g i n c o n g r u o u s d e fi n i t i o n s o f " u s e " , m u c h o f t h e r e s e a r c h f o c u s e d o n t e a c h e r s ' i n t e r a c t i o n s w i t h t e x t s i n i s o l a t i o n , r a t h e r t h a n c o n s i d e r i n g t h e t e x t ' s p l a c e i n 2 7 1 t e a c h i n g a s a w h o l e . S o s n i a k a n d S t o d o l s k y ( 1 9 9 3 ) a r g u e d t h a t t o u n d e r s t a n d t e a c h e r s ' t e x t b o o k u s e w e m u s t e x a m i n e i t w i t h i n t e a c h e r s ' l a r g e r a g e n d a s . T h e m o d e l o f t e a c h e r s ' c u r r i c u l u m d e v e l o p m e n t t h a t e m e r g e d f r o m m y a n a l y s e s s i t u a t e s t e a c h e r s ' t e x t b o o k u s e w i t h i n a l a r g e r , m o r e c o m p l e x a g e n d a . I t o f f e r s a f r a m e w o r k t h a t a r t i c u l a t e s t h e v a r y i n g a s p e c t s o f t h e c u r r i c u l u m p r o c e s s , r e fi n i n g a n d c l a r i f y i n g t h e b r e a d t h a n d d e p t h o f t h e r e s e a r c h e r s ' l e n s e s . A s I d i s c u s s b e l o w , t h e t h r e e a r e n a s a d d b r e a d t h t o t h e w a y t h e a c t i v i t i e s o f t e a c h i n g a r e d i s c u s s e d i n t h e l i t e r a t u r e a n d t h e y o f f e r f r a m e s f o r l o o k i n g m o r e d e e p l y a t t h e d e t a i l s o f t h e p r o c e s s . D i f f e r e n t a r e n a s , d i f f e r e n t p o s s i b i l i t i e s . O n e w a y t h i s m o d e l c o n t r i b u t e s c l a r i t y t o t h e l i t e r a t u r e o n t e x t b o o k u s e i s b y d e l i n e a t i n g t h r e e a r e n a s o f t h e c u r r i c u l u m d e v e l o p m e n t p r o c e s s , t h u s o f f e r i n g a b r o a d e r p i c t u r e o f t e a c h i n g . T h e r e s e a r c h o n t e a c h e r s ' u s e o f t e x t s h a s t r e a t e d t e a c h i n g a s o n e h o m o g e n e o u s a c t i v i t y , e x a m i n i n g h o w " i t " w a s s h a p e d b y a t e x t . M y o b s e r v a t i o n s o f C a t h e r i n e a n d J a c k i e s u g g e s t t h a t t e a c h i n g c o m p r i s e s d i f f e r e n t k i n d s o f a c t i v i t i e s t h a t i n v o l v e v a r y i n g t y p e s o f d e c i s i o n s . T h e t h r e e a r e n a s i n t h e m o d e l r e p r e s e n t t h e m u l t i p l e a c t i v i t i e s o f t e a c h i n g , p r o v i d i n g a f r a m e f o r e x a m i n i n g t e x t b o o k u s e t h a t a l l o w s f o r t h e p o s s i b i l i t y t h a t t e a c h e r s w i l l u s e a t e x t d i f f e r e n t l y i n e a c h a r e n a . B y f o c u s i n g o n s i n g l e a s p e c t s o f t e a c h i n g , s u c h a s t o p i c d e t e r m i n a t i o n , t a s k s e l e c t i o n , o r t a s k e n a c t m e n t , r e s e a r c h e r s h a v e o b s e r v e d p a r t i a l i m a g e s o f t e a c h e r s ' t e x t b o o k u s e , r e s u l t i n g i n a v a r i e t y o f c o n c e p t u a l i z a t i o n s o f t e x t b o o k u s e i n t h e l i t e r a t u r e . S o m e r e s e a r c h e r s h a v e v i e w e d t e a c h e r s a s e i t h e r f o l l o w i n g o r s u b v e r t i n g t e x t s . O t h e r s h a v e f o c u s e d o n h o w t e a c h e r s s e l e c t i v e l y i n c o r p o r a t e d t h e m i n t o t h e i r t e a c h i n g . O t h e r s , a r g u i n g t h a t s t r i c t fi d e l i t y i s n o t p o s s i b l e , h a v e e x a m i n e d h o w t e a c h e r s i n t e r p r e t e d t e x t b o o k o f f e r i n g s i n t h e p r o c e s s o f u s i n g t h e m . B y t a k i n g i n t o a c c o u n t t h e n a t u r e o f e a c h a r e n a , w e c a n s e e t h a t c e r t a i n o f t h e s e i m a g e s a r e m o r e p l a u s i b l e i n p a r t i c u l a r a r e n a s t h a n i n o t h e r s . F o r e x a m p l e , q u e s t i o n s a b o u t t e a c h e r s f o l l o w i n g o r s u b v e r t i n g t h e i r t e x t b o o k s a r e m o r e g e r m a n e t o d i s c u s s i o n s o f t h e m a p p i n g a r e n a t h a n t h e o t h e r 2 7 2 t w o b e c a u s e t h e s t r u c t u r a l n a t u r e o f a t e x t ' s o f f e r i n g s i n t h i s a r e n a t e n d t o l i m i t t h e i r m a l l e a b i l i t y o r o p e n n e s s t o i n t e r p r e t a t i o n . O n t h e o t h e r h a n d , t h e n a t u r e o f t h e d e s i g n a r e n a , p a r t i c u l a r l y i t s f o c u s o n s e l e c t i n g a n d d e s i g n i n g t a s k s w i t h i n p a r t i c u l a r t o p i c s , a l l o w s f o r c o n s i d e r a b l e t e a c h e r i n t e r p r e t a t i o n o f a t e x t ' s s u g g e s t i o n s . B e c a u s e d e c i s i o n s i n t h e c o n s t r u c t i o n a r e n a a r e o f t e n i m p r o m p t u r e s p o n s e s t o s t u d e n t s , r e s e a r c h e r s e x a m i n i n g t e a c h e r s ' t e x t b o o k u s e i n t h i s a r e n a a r e l i k e l y t o f o c u s o n t h e e x t e n t t o w h i c h t h e y i n c o r p o r a t e i d e a s f r o m t h e i r t e x t s i n t o t h e i r c l a s s r o o m p r a c t i c e . T h u s t h e m o d e l o f c u r r i c u l u m d e v e l o p m e n t i l l u s t r a t e s t h a t e x a m i n i n g t h e r o l e a t e x t p l a y s i n a t e a c h e r ' s p r a c t i c e i n v o l v e s c o n s i d e r a t i o n o f i t s r o l e i n e a c h o f t h e s e t h r e e a r e n a s . A v i e w w i t h i n e a c h a r e n a . I n a d d i t i o n t o r e p r e s e n t i n g t h e m u l t i f a c e t e d n a t u r e o f c u r r i c u l u m d e v e l o p m e n t , t h i s m o d e l p r o v i d e s a t e m p l a t e f o r e x a m i n i n g t h e d e t a i l s w i t h i n e a c h a r e n a . E v e n t h o u g h t h e p a r t i c u l a r m o d e l s o f C a t h e r i n e ' s a n d J a c k i e ' s d e c i s i o n - m a k i n g c a n n o t b e g e n e r a l i z e d t o a l l t e a c h e r s u s i n g a n y t e x t b o o k , t h e y r e v e a l t h e c o m p l e x i t y o f f a c t o r s t h a t fi g u r e d i n t h e c h o i c e s o f t w o n o t a b l y d i f f e r e n t t e a c h e r s . T h e m o d e l s p r e s e n t s a n i m a g e o f t e a c h e r d e c i s i o n m a k i n g t h a t i n v o l v e d i n t e r a c t i o n s a m o n g t h e t e a c h e r ' s i d e a s a b o u t t e a c h i n g a n d l e a r n i n g m a t h , c h a r a c t e r i s t i c s o f t h e t e a c h i n g c o n t e x t , s t u d e n t s , a n d t h e t e x t . T h e s e i m a g e s a d d t o t h e r e s e a r c h o n t e a c h e r s ' t e x t b o o k s u s e b y s u g g e s t i n g t h a t t h e s e i n fl u e n t i a l f a c t o r s a c t i n c o n j u n c t i o n w i t h o n e a n o t h e r . T h e m o d e l o f f e r s a f r a m e f o r e x a m i n i n g h o w t h e s e f a c t o r s i n t e r a c t i n e a c h t e a c h e r ' s d e c i s i o n m a k i n g . M o r e o v e r , b y h i g h l i g h t i n g t h e i n fl u e n t i a l f a c t o r s w i t h i n e a c h a r e n a , t h e m o d e l h e l p s t o u n c o v e r c h a r a c t e r i s t i c s o f c u r r i c u l u m d e v e l o p m e n t t h a t h a v e r e c e i v e d l i t t l e a t t e n t i o n i n d i s c u s s i o n s o f t e x t b o o k u s e . B e l o w I d i s c u s s t w o a s p e c t s o f t h e p r o c e s s t h a t t h i s m o d e l h e l p s t o c a p t u r e a n d a r t i c u l a t e : T h e n a t u r e o f t h e c o n s t r u c t i o n a r e n a a n d t h e a c t i v i t y o f r e a d i n g . B o t h o f f e r i n s i g h t s t o u n d e r s t a n d i n g t e a c h e r s ' c u r r i c u l u m d e v e l o p m e n t a c t i v i t i e s a n d t h e p o t e n t i a l f o r c h a n g e . 2 7 3 T h e N a t u r e o f t h e C o n s t r u c t i o n A r e n a T h e m o d e l o f t e a c h e r s ' c u r r i c u l u m d e v e l o p m e n t c o n t r i b u t e s t o s t u d i e s o f t e x t b o o k u s e b y i t s c h a r a c t e r i z a t i o n o f t h e u n i q u e c h a l l e n g e s i n t h e c o n s t r u c t i o n a r e n a . A l t h o u g h m a n y s t u d i e s h a v e f o c u s e d o n h o w t e a c h e r s u s e t e x t s , f e w e x a m i n e d t h e p r o c e s s o f e n a c t i n g c u r r i c u l u m p l a n s i n t h e c l a s s r o o m w i t h r e s p e c t t o t h e t e x t b o o k . T h o s e t h a t h a v e ( D o n o v a n , 1 9 8 3 ; R e m i l l a r d , 1 9 9 1 c ; S t e p h e n s , 1 9 8 2 ) h i n t e d a t t h e t e n s i o n s t e a c h e r s h a v e c o n f r o n t e d b e t w e e n " u s i n g " t h e m a t e r i a l s a n d a t t e n d i n g t o s t u d e n t s ' i m m e d i a t e n e e d s . T h i s t e n s i o n , a l s o f e l t b y C a t h e r i n e a n d J a c k i e , f r e q u e n t l y h a s b e e n m i s s e d b e c a u s e r e s e a r c h e r s h a v e f o c u s e d o n h o w t e a c h e r s u s e t e x t s w i t h o u t a t t e n d i n g t o t h e c i r c u m s t a n c e s t h a t s u r r o u n d t h e i r u s e . B y d e l i n e a t i n g c h a r a c t e r i s t i c s u n i q u e t o e a c h a r e n a , t h i s m o d e l a l l o w s u s t o e x a m i n e t h e s e c i r c u m s t a n c e s . I n p a r t i c u l a r , i t h i g h l i g h t s t h e u n i q u e d e m a n d s t h e c o n s t r u c t i o n a r e n a p l a c e s o n t e a c h e r s , e m p h a s i z i n g i t s r e s p o n s i v e n a t u r e a n d i t s d e p e n d e n c e o n s t u d e n t s . A b e t t e r u n d e r s t a n d i n g o f t h i s a r e n a a n d t h e f a c t o r s t h a t s h a p e i t i s c r u c i a l f o r c o n s i d e r i n g t h e r o l e t e x t s m i g h t p l a y i n r e f o r m b e c a u s e i t i s i n t h i s a r e n a t h a t c u r r i c u l u m i s a c t u a l l y e n a c t e d . T h u s , t h e a c t i v i t y o f t h i s a r e n a i s a k e y t a r g e t o f t h e c u r r e n t r e f o r m a g e n d a . R e f o r m d o c u m e n t s , i n a d d i t i o n t o o u t l i n i n g n e w c u r r i c u l a r g o a l s , c a l l f o r c h a n g e i n h o w s t u d e n t s e n c o u n t e r a n d l e a r n m a t h e m a t i c s . B y c a p t u r i n g t h e i m p r o v i s a t i o n a l n a t u r e o f t h i s a r e n a , t h i s m o d e l h e l p s t o e x p l a i n w h y t h e t e x t p l a y e d o n l y a n i n d i r e c t r o l e d u r i n g t h i s p a r t o f b o t h C a t h e r i n e ' s a n d J a c k i e ' s t e a c h i n g . T h i s v i e w o f t h e c o n s t r u c t i o n a r e n a r a i s e s q u e s t i o n s a b o u t w h a t d e t e r m i n e s t h e e n a c t e d c u r r i c u l u m a n d t h e t e x t ' s r o l e i n i t . M e r e l y i d e n t i f y i n g t o p i c s t o a d d t o t h e c u r r i c u l u m o r t a s k s t o p o s e t o s t u d e n t s d o e s n o t d e t e r m i n e h o w t h e y w i l l b e e n a c t e d i n t h e c l a s s r o o m . A s I d e s c r i b e d i n C h a p t e r 6 , m y a n a l y s e s s u g g e s t e d t h a t t e a c h e r s ' r e a d i n g s o f t h e t e x t a n d c l a s s r o o m e v e n t s w e r e k e y f a c t o r s i n t h e d e c i s i o n s t h e y m a d e i n t h e c o n s t r u c t i o n a r e n a . I d i s c u s s t h e i m p o r t a n c e o f r e a d i n g b e l o w . 2 7 4 T h e I m p o r t a n c e o f R e a d i n g T h e m o d e l o f c u r r i c u l u m d e v e l o p m e n t h i g h l i g h t s r e a d i n g a s a k e y a c t i v i t y i n b o t h t e a c h e r s ' c u r r i c u l u m d e c i s i o n s a n d i n t h e i r l e a r n i n g . R e a d i n g i n v o l v e d t h e a c t i v e p r o c e s s o f c o n s t r u c t i n g m e a n i n g o f v a r i o u s p h e n o m e n a w i t h a n e y e t o w a r d a c t i o n . T h e t e a c h e r s ' d i f f e r e n t r e a d i n g s o f t h e t e x t fi r s t b e c a m e e v i d e n t a s I d e v e l o p e d t h e m o d e l o f t h e d e s i g n a r e n a ; i n t h e p r o c e s s o f s e l e c t i n g t a s k s , t h e y f o c u s e d o n d i f f e r e n t p a r t s o f t h e t e x t ( i t e m s o n s t u d e n t p a g e s v e r s u s i t e m s i n t h e m a r g i n s o f t h e t e a c h e r ' s g u i d e ) a n d a t t e n d e d t o d i f f e r e n t a s p e c t s o f i t ( t a s k s v e r s u s m a t h e m a t i c a l i d e a s ) . M y e x a m i n a t i o n o f t h e t w o t e a c h e r s ' a c t i v i t i e s i n t h e c o n s t r u c t i o n a r e n a b r o u g h t t o l i g h t a d i f f e r e n t t y p e o f r e a d i n g . T h e i r c u r r i c u l u m d e c i s i o n s w e r e i n f o r m e d b y t h e i r r e a d i n g o f s t u d e n t s a n d t a s k s a s t h e y w e r e e n a c t e d i n t h e i r c l a s s r o o m s . T h u s , t h e p r o c e s s o f c u r r i c u l u m d e v e l o p m e n t i n v o l v e d r e a d i n g s t u d e n t s ' r e s p o n s e s , e v e n t s i n t h e c l a s s r o o m , a n d s u g g e s t i o n s i n t h e t e x t i n o r d e r t o d e c i d e h o w t o r e s p o n d . W h i l e t h e i r r e a d i n g w a s i n fl u e n c e d b y t h e p e r s o n a l r e s o u r c e s t h e t e a c h e r s b r o u g h t t o t h e i r t e a c h i n g , i t w a s n o t l i m i t e d b y t h e m . I n f a c t , i t w a s d u r i n g t h e p r o c e s s o f r e a d i n g t h a t t h e t e a c h e r s e n c o u n t e r e d n e w a n d p o t e n t i a l l y c h a l l e n g i n g i d e a s a b o u t t e a c h i n g a n d l e a r n i n g m a t h e m a t i c s . U n d e r s t a n d i n g t h e n a t u r e o f t h e r e a d i n g p r o c e s s i s i m p o r t a n t t o u n d e r s t a n d i n g t e a c h e r s ' c u r r i c u l a r d e v e l o p m e n t f o r t h r e e r e l a t e d r e a s o n s . F i r s t , i t i s t h e m e n t a l p r o c e s s c l o s e s t t o t e a c h e r s ' c u r r i c u l u m d e c i s i o n s . T h u s , c h a n g e i n h o w o r w h a t t e a c h e r s r e a d i s n e c e s s a r y f o r c h a n g e i n t h e e n a c t e d c u r r i c u l u m t o o c c u r . S e c o n d , i t i s a p r o c e s s i n w h i c h t h e b e l i e f s a n d u n d e r s t a n d i n g s t h a t t e a c h e r s b r i n g t o t h e i r t e a c h i n g h e l p t h e m t o m a k e s e n s e o f n e w e v e n t s . T h u s , i t i l l u s t r a t e s t h e p r o c e s s t h r o u g h w h i c h t e a c h e r s ' p e r s o n a l r e s o u r c e s fi g u r e d i n t o , w i t h o u t c o m p l e t e l y d e t e r m i n i n g , t h e i r c u r r i c u l u m d e c i s i o n s . L a s t , b e c a u s e r e a d i n g i n v o l v e s a n a c t i v e p r o c e s s o f s e n s e m a k i n g , i t h a s t h e p o t e n t i a l t o p r o m p t t e a c h e r s t o r e e x a m i n e t h e i r b e l i e f s . I n o t h e r w o r d s , r e a d i n g d i d n o t a l w a y s i n v o l v e o n l y a p r o c e s s o f a s s i m i l a t i o n . E v e n t h o u g h t h e t e a c h e r s ' b e l i e f s i n fl u e n c e d w h a t 2 7 5 t h e y p a i d a t t e n t i o n t o a n d t h e i r i n t e r p r e t a t i o n s o f i t , t h e a c t i v i t y o f m a k i n g s e n s e o f u n f a m i l i a r e v e n t s a l s o p r o m p t e d t h e m t o c o n s i d e r n e w u n d e r s t a n d i n g s o r p e r s p e c t i v e s . T h u s , t e a c h e r s ' r e a d i n g s h o u l d b e a p r i m a r y f o c u s o f e f f o r t s t o c h a n g e t h e e n a c t e d c u r r i c u l u m . M o r e o v e r , f o s t e r i n g i t m i g h t a l s o b e o n e r o u t e f o r s u c h c h a n g e t o o c c u r . G i v e n t h e c e n t r a l i t y o f t e a c h e r r e a d i n g i n t h e c u r r i c u l u m - d e v e l o p m e n t p r o c e s s , t e x t b o o k s o r c u r r i c u l u m m a t e r i a l s i n t e n d i n g t o i n fl u e n c e t h e e n a c t e d c u r r i c u l u m m i g h t d o s o t h r o u g h c o n t r i b u t i n g t o h o w t e a c h e r s r e a d a n d t h e s u b s e q u e n t d e c i s i o n s t h a t t h e y m a k e . I n t h e f o l l o w i n g s e c t i o n , I c o n s i d e r h o w a n d t o w h a t e x t e n t t e x t b o o k s m i g h t b e a b l e t o i n fl u e n c e h o w o r w h a t t e a c h e r s r e a d . I e x a m i n e w h a t C a t h e r i n e ' s a n d J a c k i e ' s c a s e s s u g g e s t a b o u t t h e t e x t b o o k ' s p o w e r t o c o n t r i b u t e t o t e a c h e r s ' c u r r i c u l u m d e v e l o p m e n t p r o c e s s e s . T h e P o t e n t i a l a n d L i m i t s o f T e x t b o o k s i n C u r r i c u l u m D e v e l o p m fl r t T h e a s s u m p t i o n u n d e r l y i n g t h e d e s i g n a n d s e l e c t i o n o f r e f o r m - o r i e n t e d c u r r i c u l u m m a t e r i a l s i s t h a t t e x t b o o k s h a v e t h e a b i l i t y t o i n fl u e n c e t h e e n a c t e d c u r r i c u l u m , t h a t i s , t h e c u r r i c u l u m t h a t s t u d e n t s a c t u a l l y e n c o u n t e r . I n t h i s v i e w , t h e j o b o f c u n i c u l u m d e v e l o p e r s a n d p u b l i s h e r s i s t o p r o v i d e t e a c h e r s w i t h r e f o r m - b a s e d a c t i v i t i e s t h a t t h e y c a n " i m p l e m e n t " i n t h e i r c l a s s r o o m s ( R u s s e l l , 1 9 9 4 ) . J a c k i e ' s a n d C a t h e r i n e ' s c a s e s , h o w e v e r , c h a l l e n g e t h i s a s s u m p t i o n b y i l l u s t r a t i n g t h e l i m i t e d r o l e t h e t e x t p l a y e d i n t h e c o n s t r u c t i o n a r e n a a n d h o w t h e i r r e a d i n g m e d i a t e d t h e t e x t b o o k ' s c o n t r i b u t i o n t o t h e i r c u r r i c u l u m p r o c e s s e s . C o n s e q u e n t l y , m y fi n d i n g s s u g g e s t t h a t t e x t b o o k s a r e n o t l i k e l y t o d i a c t l x s h a p e t h e e n a c t e d c u r r i c u l u m , b u t t h e y h a v e t h e c a p a c i t y t o c o n t r i b u t e t o t h e e n a c t e d c u r r i c u l u m i n a l t e r n a t i v e w a y s o r t h r o u g h o t h e r p a r t s o f t h e c u r r i c u l u m d e v e l o p m e n t p r o c e s s . I n t h i s s e c t i o n I d i s c u s s w h a t w e l e a r n f r o m t h e s e t w o t e a c h e r s a b o u t h o w t e x t b o o k s m i g h t c o n t r i b u t e t o t e a c h e r s ' c o n s t r u c t i o n o f t h e e n a c t e d c u r r i c u l u m . I a l s o c o n s i d e r w h a t t h e c a s e s s u g g e s t r e g a r d i n g t h e l i m i t s o f t h e p o w e r o f t e x t s . l a t e r , I d i s c u s s r e l a t e d i m p l i c a t i o n s f o r t e x t b o o k d e v e l o p e r s a n d t e a c h e r e d u c a t o r s . 2 7 6 W h a t T e x t b o o k s H a v e t h _ e P o t e n t i a l t o D o M y a n a l y s i s s u g g e s t s t w o w a y s t h a t t e x t s m i g h t h a v e a n i n d i r e c t i m p a c t o n t h e e n a c t e d c u r r i c u l u m : F i r s t , b y f o c u s i n g o n t h e t a s k s e l e c t i o n a n d m a p p i n g a r e n a s , t h e y m i g h t o f f e r r e s o u r c e s f o r t e a c h e r s t o u s e i n t h e c u r r i c u l u m - d e v e l o p m e n t p r o c e s s t h a t m i g h t fi g u r e i n t h e e n a c t e d c u r r i c u l u m . S e c o n d , b y i n t e n t i o n a l l y f o s t e r i n g t e a c h e r d e v e l o p m e n t , t h e y a r e l i k e l y t o i m p a c t c h a n g e i n t e a c h e r s ' r e a d i n g a n d d e c i s i o n m a l d n g i n a l l t h r e e a r e n a s . I d i s c u s s e a c h o f t h e s e a p p r o a c h e s b e l o w . A r e s o u r c e i n t h e c u r r i c u l u m d e v e l o p m e n t p r o c e s s . B y i l l u s t r a t i n g t h e d i f f e r e n t p u r p o s e s o f t h e t h r e e a r e n a s , t h e m o d e l h i g h l i g h t s p l a c e s i n t h e p r o c e s s t h a t a r e m o s t a n d l e a s t r e c e p t i v e t o a t e x t ' s o f f e r i n g s . T h e t e a c h e r s ' d e c i s i o n s i n t h e c o n s t r u c t i o n a r e n a , b e c a u s e o f i t s d e m a n d f o r r e s p o n s i v e a n d i m p r o v i s e d a c t i o n , w e r e m i n i m a l l y i n fl u e n c e d b y t h e t e x t ' s s u g g e s t i o n s . D e c i s i o n s i n t h e m a p p i n g a n d d e s i g n a r e n a s , o n t h e o t h e r h a n d , w e r e m o r e r e c e p t i v e t o t h e t y p e o f g u i d a n c e a t e x t m i g h t o f f e r . B o t h t e a c h e r s a d o p t e d a l l o r p a r t o f t h e t e x t ' s c u r r i c u l u m m a p a n d d r e w t o p i c s , t a s k s , o r m a t h e m a t i c a l i d e a s f r o m i t t o u s e w h e n c o n s t r u c t i n g t h e c u r r i c u l u m . T h e s e w e r e p a r t o f t h e r e s o u r c e s w i t h w h i c h t h e t e a c h e r s c o n s t r u c t e d t h e e n a c t e d c u r r i c u l u m . F o r e x a m p l e , n e i t h e r t h e H B ] t e x t ' s o r g a n i z a t i o n o f t h e m a t h e m a t i c s c o n t e n t i n t o 1 3 c h a p t e r s n o r t h e t a s k s s u g g e s t e d i n e a c h c h a p t e r d i r e c t l y s h a p e d t h e t e a c h e r s ' a c t i v i t i e s i n t h e c o n s t r u c t i o n a r e n a , b u t t h e s e r e s o u r c e s fi g u r e d s i g n i fi c a n t l y i n t h e i r d e c i s i o n s i n t h e o t h e r t w o a r e n a s a n d , c o n s e q u e n t l y , c o n t r i b u t e d t o t h e e n a c t e d c u r r i c u l u m . T h e H B J t e x t b o o k ' s f o c u s , o n t h e o t h e r h a n d , w a s t o s h a p e t h e e n a c t e d c u r r i c u l u m b y p r o v i d i n g t e a c h e r s w i t h p r e f a b r i c a t e d l e s s o n s t o w a l k s t u d e n t s t h r o u g h . E v e n t h o u g h t h e t e x t a t t e n d e d t o c u r r i c u l u m m a p p i n g a n d t a s k s e l e c t i o n f o r t e a c h e r s , t h e s e w e r e n o t a c k n o w l e d g e d a s c o n s e q u e n t i a l p o i n t s i n t h e c u r r i c u l u m d e v e l o p m e n t p r o c e s s . T e a c h e r s ' a c t i v i t i e s a n d c h o i c e s i n t h e s e a r e n a s w e r e n o t a d d r e s s e d b y t h e t e x t d e v e l o p e r s . T h e o n l y d e c i s i o n - m a k i n g a c t i v i t y t h a t w a s a r g u a b l y e x p e c t e d o f t e a c h e r s w a s t h a t o f s e l e c t i n g a m o n g t h e p l e t h o r a o f o p t i o n s p r o v i d e d i n t h e t e x t . T h i s 2 7 7 e x p e c t a t i o n , h o w e v e r , w a s n o t e x p l i c i t . T h e f a c t t h a t t h e t e x t b o o k i n c l u d e d c o n s i d e r a b l y m o r e a c t i v i t i e s t h a n c o u l d p o s s i b l y b e c o v e r e d i n a y e a r w a s n o t m e n t i o n e d i n t h e b o o k a n y w h e r e . M o r e o v e r , t h e t e x t o f f e r e d n o g u i d a n c e i n t h e s e l e c t i o n p r o c e s s . A t e x t b o o k d e s i g n e d t o i m p a c t t h e e n a c t e d c u r r i c u l u m t h r o u g h t h e o t h e r t w o a r e n a s w o u l d n e e d t o a c k n o w l e d g e t h e r e l a t i o n s h i p s a m o n g t h e a c t i v i t i e s o f e a c h a r e n a . I t w o u l d a l s o n e e d t o t a k e s e r i o u s l y t e a c h e r s ' r e a d i n g a n d d e c i s i o n m a k i n g a t e a c h s t a g e o f t h e c u r r i c u l u m - d e v e l o p m e n t p r o c e s s . S u c h a t e x t b o o k w o u l d p l a c e a s m u c h e m p h a s i s o n h o w t h e c o n t e n t i s r e p r e s e n t e d a n d t h e a i m s o f t h e s u g g e s t e d t a s k s a s t h e H B J t e x t p l a c e d o n s t e p - b y - s t e p i n s t r u c t i o n s t h r o u g h t h e c o n s t r u c t i o n a r e n a . F a c i l i t a t i n g t e a c h e r c h a n g e . I n a d d i t i o n t o d e l i n e a t i n g a l l t h r e e a r e n a s , m y fi n d i n g s h i g h l i g h t t h e a c t i v e r o l e t h a t t e a c h e r s p l a y i n t h i s p r o c e s s . C a t h e r i n e ' s a n d J a c k i e ' s c a s e s r e v e a l t h a t t e a c h e r s ' k n o w l e d g e , b e l i e f s , a n d c o m m i t m e n t s a n d t h e i r i n t e r p r e t a t i o n s o f c l a s s r o o m e v e n t s p l a y a p r i m a r y r o l e i n t h e i r c u r r i c u l a r d e c i s i o n s . C o n s e q u e n t l y , a t e x t b o o k t h a t i s a b l e t o f a c i l i t a t e c h a n g e i n t h e s e p e r s o n a l r e s o u r c e s m i g h t m o r e e f f e c t i v e l y i n fl u e n c e t h e c u r r i c u l u m p r o c e s s . B o t h c a s e s o f f e r i n s i g h t s i n t o t h e p o t e n t i a l f o r r e f o r m - o r i e n t e d t e x t b o o k s t o f a c i l i t a t e t e a c h e r c h a n g e b y p r o v i d i n g e x a m p l e s o f t e a c h e r l e a r n i n g w i t h r e s p e c t t o t h e c u r r i c u l u m d e v e l o p m e n t a c t i v i t i e s . M o s t n o t a b l e w a s t h e n a t u r e o f t h e a c t i v i t i e s t h a t p r o m p t e d g r o w t h i n t h e i r t h i n k i n g . W h e n t h e t e a c h e r s e n g a g e d i n c u r r i c u l u m d e v e l o p m e n t a c t i v i t i e s s u c h a s r e a d i n g t h e t e x t , i n v e n t i n g t a s k s , a s s e s s i n g s t u d e n t s ' m a t h e m a t i c a l e n c o u n t e r s , a n d d e c i d i n g h o w t o p r o c e e d , t h e y f o u n d t h e m s e l v e s r e e x a m i n i n g t h e i r b e l i e f s a n d u n d e r s t a n d i n g s a b o u t s t u d e n t s o r t h e m a t h e m a t i c s a n d m a k i n g s u b s e q u e n t c h a n g e s . T h i s p a t t e r n i n t h e i r l e a r n i n g h a s i m p l i c a t i o n s f o r h o w t e x t b o o k s m i g h t i n t e n t i o n a l l y f o s t e r t e a c h e r c h a n g e e v e n t h o u g h s u c h a c t i v i t y w a s s t i m u l a t e d b y t h e t e x t o n l y i n C a t h e r i n e ' s c a s e . C a t h e r i n e ' s c a s e , b y p r o v i d i n g a n e x a m p l e o f t e x t - i n i t i a t e d t e a c h e r l e a r n i n g , s u g g e s t s t h a t t e x t s l m v e t h e p o t e n t i a l t o c o n t r i b u t e t o t e a c h e r c h a n g e a n d l e a r n i n g w h e n 2 7 8 t h e y r e q u i r e t e a c h e r s t o a c t i v e l y p a r t i c i p a t e i n t h e c u r r i c u l u m d e v e l o p m e n t p r o c e s s . A s s h e u s e d n e w s u g g e s t i o n s i n t h e t e x t a n d f o u n d h e r s e l f i n u n f a m i l i a r t e r r a i n , t h e p r o c e s s o f r e a d i n g h e r s t u d e n t s a n d t h e t a s k s i n o r d e r t o n a v i g a t e t h r o u g h t h i s n e w t e r r a i n c a u s e d h e r t o r e e v a l u a t e m a n y o f h e r v i e w s . O f p a r t i c u l a r i n t e r e s t i n C a t h e r i n e ' s c a s e i s t h e f a c t t h a t e n g a g i n g t e a c h e r s i n t h i s t y p e o f a c t i v e c u r r i c u l u m d e v e l o p m e n t w a s n o t a n i n t e n t o f t h e H B J t e x t b o o k d e v e l o p e r s . I n f a c t , a s I d e s c r i b e d a b o v e , t h e t e x t s e e m e d d e s i g n e d t o n o t e n g a g e t e a c h e r s i n t h e c u r r i c u l u m p r o c e s s , b u t r a t h e r t o d o i t f o r t h e m . A n i m p l i c a t i o n o f C a t h e r i n e ' s c a s e , t h e n , i s t h a t t e x t b o o k s m i g h t b e i n t e n t i o n a l l y d e s i g n e d t o e n g a g e a n d s u p p o r t t e a c h e r s i n t a k i n g a n a c t i v e r o l e i n c u r r i c u l u m d e v e l o p m e n t . J a c k i e ' s c a s e a l s o s u g g e s t s t h a t p a r t i c i p a t i o n i n t h e c u r r i c u l u m d e v e l o p m e n t p r o c e s s c a n f a c i l i t a t e l e a r n i n g . I n h e r c a s e , h o w e v e r , i t w a s J a c k i e h e r s e l f w h o i n i t i a t e d t h e s e a c t i v i t i e s a n d n o t t h e t e x t . H e r c a s e r a i s e s q u e s t i o n s a b o u t h o w t e x t s m i g h t b e d e s i g n e d t o s u p p o r t t e a c h e r s i n s e l e c t i n g a n d i n v e n t i n g m a t h e m a t i c a l t a s k s , g u i d i n g s t u d e n t s ' e n c o u n t e r s w i t h t h e m , a n d a s s e s s i n g t h e i r u n d e r s t a n d i n g i n o r d e r t o d e c i d e h o w t o p r o c e e d . H e r c a s e a l s o i l l u s t r a t e s t h a t , i n s p i t e o f t h e t e x t ' s c a p a c i t y t o o f f e r n e w t o p i c s o r t a s k s , t e a c h e r s u l t i m a t e l y d e c i d e w h i c h t o u s e . T h u s , t h e i r d e c i s i o n s a r e k e y t o t h e t e x t ' s a b i l i t y t o c o n t r i b u t e t o t h e e n a c t e d c u r r i c u l u m . I n t h e s e c t i o n t h a t f o l l o w s I c o n s i d e r i m p l i c a t i o n s o f t h e s e i s s u e s . L i m i t s o f t h e P o w e r o f T e x t b o o k s B e c a u s e t h e m o d e l s o f C a t h e r i n e ' s a n d J a c k i e ' s c u r r i c u l u m d e v e l o p m e n t p l a c e t e x t b o o k u s e w i t h i n a b r o a d e r d e c i s i o n - m a k i n g c o n t e x t , t h e y h i g h l i g h t t h e m u l t i p l e f a c t o r s t h a t a f f e c t t e a c h e r s ' c u r r i c u l u m d e c i s i o n s . A s I d i s c u s s e d i n C h a p t e r 1 , m u c h o f t h e r e s e a r c h o n t e a c h e r s ' t e x t b o o k u s e h a s f o c u s e d o n t h e p e r c e p t i o n s a n d u n d e r s t a n d i n g s o f t e a c h e r s t h a t fi g u r e i n h o w t h e y u s e t e x t s . R e s e a r c h e r s h a v e o b s e r v e d t h a t t e a c h e r s ' i d e a s a b o u t p u r p o s e s o f s c h o o l , t h e i r k n o w l e d g e a n d b e l i e f s a b o u t m a t h e m a t i c s , a n d t h e i r p e r c e p t i o n s a b o u t t h e v a l u e a n d a u t h o r i t y o f t h e t e x t a l l 2 7 9 i n fl u e n c e t h e i r t e x t - r e l a t e d d e c i s i o n s . E x c e p t f o r t h e C o n t e n t D e t e r m i n a n t S t u d y ( F l o d e n , P o r t e r , S c h m i d t , F r e e m a n , a n d S c h w i l l e , 1 9 8 0 ; K u h s a n d F r e e m a n , 1 9 7 9 ) , w h i c h f o u n d t h a t t e a c h e r s ' p e r c e p t i o n s o f e x t e r n a l p r e s s u r e s a l s o i n fl u e n c e d t h e i r d e c i s i o n s , t h e s e s t u d i e s t e n d t o g i v e m i n i m a l a t t e n t i o n t o i n fl u e n t i a l f a c t o r s o u t s i d e o f t h e t e a c h e r s . A s d i s c u s s e d e a r l i e r , m y fi n d i n g s c o n f i r m t h e p o w e r t h a t t e a c h e r s h a v e i n m e d i a t i n g t e x t b o o k o f f e r i n g s . B o t h J a c k i e ' s a n d C a t h e r i n e ' s p e r s o n a l r e s o u r c e s i n fl u e n c e d h o w t h e y r e a d a n d d r e w o n t h e H B J t e x t b o o k . T h e s e fi n d i n g s a l s o h i g h l i g h t f a c t o r s o u t s i d e o f t h e t e a c h e r s t h a t i m p a c t e d t h e i r t e x t - r e l a t e d c h o i c e s . T h e m o d e l s o f t h e i r d e c i s i o n m a k i n g i n e a c h a r e n a r e v e a l t h a t s u p p o r t a n d d e m a n d s f r o m t h e c o n t e x t , t h e a c t i v i t i e s o f s t u d e n t s , t h e n a t u r e o f t h e a r e n a i t s e l f , a n d t h e n a t u r e o f t h e t e x t b o o k i n fl u e n c e d t h e i r d e c i s i o n s . R e s e a r c h e r s e x a m i n i n g t e a c h e r s ' d e c i s i o n - m a k i n g p r o c e s s e s a n d r e s p o n s e s t o r e f o r m p o l i c y h a v e o b s e r v e d t h e p o w e r o f e x t e r n a l f a c t o r s s u c h a s t h e s e ( C o h e n , 1 9 8 9 ; C o h e n e t a l . , 1 9 9 0 ; F u l l a n , 1 9 9 1 ; T a l b e r t 8 : M c L a u g h l i n , 1 9 9 3 ; S a r a s o n , 1 9 8 2 ) . N e v e r t h e l e s s , b e c a u s e o f i t s f o c u s o n t h e t e a c h e r - t e x t r e l a t i o n s h i p , r e s e a r c h o n t e x t b o o k u s e h a s k e p t t h e s e f a c t o r s i n t h e b a c k g r o u n d . A s I d i s c u s s b e l o w , t h e m o d e l s o f C a t h e r i n e ' s a n d J a c k i e ' s c u r r i c u l u m d e v e l o p m e n t s u g g e s t t h a t c e r t a i n o f t h e s e f a c t o r s a r e c e n t r a l i n f a c i l i t a t i n g o r i n h i b i t i n g t e a c h e r s ' c h o i c e s w i t h r e s p e c t t o t h e t e x t . M o r e o v e r , t h e y h a v e i m p o r t a n t i m p l i c a t i o n s f o r t h e c i r c u m s t a n c e s u n d e r w h i c h r e f o r m - o r i e n t e d t e x t s s h o u l d b e u s e d . T h e r o l e o f t h a c o n t e x t . B o t h c a s e s i l l u s t r a t e t h e i n fl u e n c e o f c o n t e x t u a l f a c t o r s o n t e a c h e r s ' i n t e r a c t i o n s w i t h t e x t b o o k s . A s a p a i r t h e y o f f e r d i f f e r e n t p e r s p e c t i v e s o n t h e i n fl u e n c e o f e x t e r n a l e x p e c t a t i o n s , p r e s s u r e s , a n d s u p p o r t o n h o w t e a c h e r s r e a d a n d u s e t e x t b o o k s . T h e t w o e l e m e n t s o f t h e c o n t e x t t h a t h a d t h e m o s t s i g n i fi c a n t i m p a c t o n b o t h t e a c h e r s w e r e p r e s s u r e s t h e y f e l t t o c o v e r p a r t i c u l a r c o n t e n t a n d e n c o u r a g e m e n t t h e y e x p e r i e n c e d t o a t t e n d t o c e r t a i n a s p e c t s o f t h e t e x t . T h e f a c t t h a t t e a c h e r s f e e l p r e s s u r e d t o c o v e r a l a r g e a m o u n t o f c o n t e n t i n o n e y e a r i s n o t n e w . S u c h e x p e c t a t i o n s , u s u a l l y i m p o s e d b y s c h o o l d i s t r i c t s , h a v e b e e n 2 8 0 d o c u m e n t e d a s b e i n g i n fl u e n t i a l i n t e a c h e r s ' t e x t - a n d c u r r i c u l u m - r e l a t e d d e c i s i o n s ( C o h e n e t a l , 1 9 9 0 ; F l o d e n , P o r t e r , S c h m i d t , F r e e m a n , a n d S c h w i l l e , 1 9 8 0 ; K u h s a n d F r e e m a n , 1 9 7 9 ; M c L a u g h l i n , 1 9 9 0 ) . T h e e x t e n t t o w h i c h t h e s e t w o t e a c h e r s r e s p o n d e d t o d i s t r i c t p r e s s u r e s t o c o v e r c o n t e n t a p p e a r e d t o b e a f u n c t i o n o f o r g a n i z a t i o n a l s t r u c t u r e s i n t h e i r i n d i v i d u a l s c h o o l s . C a t h e r i n e ' s c a s e p r o v i d e s a n e x a m p l e o f h o w t h e t y p i c a l s c h o o l s t r u c t u r e i n t e n s i fi e s e x t e r n a l p r e s s u r e . S h e h a d o n e s c h o o l y e a r t o g e t s t u d e n t s t h r o u g h t h e e s t a b l i s h e d l i s t o f t o p i c s . H e r s t r a t e g y f o r m o v i n g q u i c k l y t h r o u g h t h e f o u r o p e r a t i o n s w h i l e c o n c u r r e n t l y c o v e r i n g t h e n o n c o m p u t a t i o n a l c h a p t e r s i n t h e n e w t e x t w a s a r e s p o n s e t o t h i s p r e s s u r e . J a c k i e ' s c a s e h i g h l i g h t s t h e p o w e r o f e x t e r n a l p r e s s u r e s f r o m a d i f f e r e n t p e r s p e c t i v e . S h e i l l u s t r a t e s o n e t e a c h e r ' s r e s p o n s e t o i n c r e a s e d c u r r i c u l a r fl e x i b i l i t y w h e n t h e s e p r e s s u r e s a r e d i m i n i s h e d . B e c a u s e s h e h a d t h e s a m e s t u d e n t s 3 y e a r s , s h e f e l t t h e f r e e d o m t o e x e r c i s e m o r e c o n t r o l o v e r t h e n u m b e r o f t o p i c s s h e c o v e r e d i n a y e a r a n d t h e d e p t h a t w h i c h s h e p u r s u e d t h e m . E v e n t h o u g h i t i s l i k e l y t h a t t e a c h e r s w i l l i n t e r p r e t s i m i l a r c i r c u m s t a n c e s i n t h e i r o w n w a y s , t h e s e t w o c a s e s p r o v i d e a n e x a m p l e o f t h e p o w e r o f t h e c o n t e x t t o f o s t e r o r i n h i b i t c h a n g e . T h e o t h e r t y p e o f c o n t e x t u a l f a c t o r t h a t h a d a s i g n i fi c a n t i n fl u e n c e o n b o t h t e a c h e r s ' c h o i c e s w a s p e r s o n a l o r c o l l e g i a l i n t e r a c t i o n s w i t h i n t e r e s t e d o t h e r s . T h e r o l e a n d p o w e r o f s u c h s u p p o r t i n t e a c h e r s ' d e c i s i o n m a k i n g h a s n o t h a d a p r o m i n e n t p l a c e i n t h e l i t e r a t u r e o n t e a c h e r c h a n g e . N e v e r t h e l e s s , t h e c a s e s c o n fi r m fi n d i n g s o f o t h e r r e s e a r c h e r s w h o h a v e o b s e r v e d t h a t c o l l e g i a l i n t e r a c t i o n s ( B e a s l e y , C o r b e n , S h a n k , 8 : F e i m a n - N e m s e r , 1 9 9 6 ; L i e b e r m a n , 1 9 9 0 ; L i t t l e , 1 9 8 2 ; L i t t l e 8 : M c L a u g h l a n , 1 9 9 3 ; S m i t h 8 : F e a t h e r s t o n e , 1 9 9 6 ) a n d t h e i n q u i r y p r o c e s s i t s e l f ( B e r k e y , C u r t i s , M i n n i c k , C a m p b e l l , Z i e t l o w , 8 : K i r s c h n e r , 1 9 9 0 ; F e a t h e r s t o n e 8 : S m i t h , 1 9 9 6 ; F l o r i o - R u a n e , 1 9 8 6 ) c a n i n c r e a s e t e a c h e r r e fl e c t i o n a n d e x p e r i m e n t a t i o n . E v e n t h o u g h o u t s i d e s u p p o r t t o o k a d i f f e r e n t f o r m a n d , c o n s e q u e n t l y , h a d d i f f e r e n t i m p a c t s o n e a c h o f t h e t w o t e a c h e r s , t h e f a c t t h a t b o t h w e r e i n fl u e n c e d b y i n t e r e s t e d o t h e r s h i n t s a t t h e a b i l i t y o f s u c h s u p p o r t t o m i t i g a t e t h e i s o l a t i o n a n d 2 8 1 i n d i v i d u a l i s m i n h e r e n t i n m o s t t e a c h i n g c o n t e x t s ( J a c k s o n , 1 9 8 6 ; L i t t l e , 1 9 8 2 ; L o r t i e , 1 9 7 5 ; R i c h a r d s o n , 1 9 9 4 ) . T h e s u p p o r t t h a t J a c k i e f e l t f r o m h e r c o l l e a g u e s w a s a n i n t e n t i o n a l p a r t o f h e r P D S s c h o o l c o n t e x t . T h r o u g h t h e m a t h e m a t i c s s t u d y g r o u p s h e w a s a b l e t o e x p l o r e m a t h e m a t i c a l i d e a s a n d a l t e r n a t i v e s a p p r o a c h e s t o h e l p i n g s t u d e n t s l e a r n t h e m . T h e s e a c t i v i t i e s p r o v i d e d h e r w i t h a l t e r n a t i v e i m a g e s o f t e a c h i n g m a t h a n d t h e k n o w l e d g e t h a t s h e w a s n o t a l o n e i n h e r e f f o r t s t o u s e t h e m . T h i s t y p e o f s u p p o r t f a c i l i t a t e d J a c k i e ' s m o v e a w a y f r o m t h e t e x t b o o k s . C a t h e r i n e ' s t e x t b o o k u s e w a s a l s o i n fl u e n c e d b y c o n t e x t u a l s u p p o r t t h a t w a s n o t i n t e n t i o n a l . R a t h e r i t w a s a r e s u l t o f t h e s t u d y . S h e f o u n d t h a t m y f r e q u e n t p r e s e n c e i n h e r c l a s s r o o m a n d t h e i n t e r v i e w s t h a t c a l l e d o n h e r t o a r t i c u l a t e r a t i o n a l e s f o r h e r d e c i s i o n s p r o m p t e d h e r t o l o o k c a r e f u l l y a t t h e t e x t b o o k a n d t h i n k d e e p l y a b o u t t h e c h o i c e s s h e m a d e . U n l i k e J a c k i e ' s e x p e r i e n c e , t h i s s u p p o r t i n c r e a s e d t h e a m o u n t o f a t t e n t i o n s h e p a i d t o t h e t e x t b o o k . I n o t h e r w o r d s , t h e t e a c h i n g c o n t e x t m a y fi g u r e s i g n i fi c a n t l y i n t e a c h e r s ' i n t e r a c t i o n w i t h n e w t e x t s . T h e r o l e o f s t u d e n t s . A n o t h e r f a c t o r o u t s i d e o f t h e t e a c h e r s t h a t i n fl u e n c e d t h e i r c h o i c e s w a s t h e s t u d e n t s ' t h e m s e l v e s . T h i s w a s p a r t i c u l a r l y t h e c a s e i n t h e c o n s t r u c t i o n a r e n a . B o t h C a t h e r i n e a n d J a c k i e r e a d t h e i r s t u d e n t s ' r e s p o n s e s t o t a s k s t h e y p r e s e n t e d a s g a u g e s o f t h e i r u n d e r s t a n d i n g a n d i n t e r e s t . W h a t t h e y r e a d fi g u r e d s i g n i fi c a n t l y i n t h e d e c i s i o n s t h e y m a d e f r o m m o m e n t t o m o m e n t a n d f r o m d a y t o d a y , m a k i n g t h e e n a c t e d c u r r i c u l u m i m p o s s i b l e t o p r e d i c t o r p r e d e t e r m i n e . T h e r o l e o f s t u d e n t s i n t e a c h i n g a n d p a r t i c u l a r l y t h e i n fl u e n c e t h a t t h e i r a c t i o n s h a v e o n t e a c h e r s ' d e c i s i o n s h a s r e c e n t l y s u r f a c e d a s a c e n t r a l c o n c e r n i n r e s e a r c h o n t e a c h i n g ( C o h e n , 1 9 8 9 ; F e a t h e r s t o n e 8 : S m i t h , 1 9 9 6 ; F u l l a n , 1 9 9 1 ; M c L a u g h l i n , 1 9 9 3 ; M o j e , 1 9 9 6 ) , b u t h a s r e c e i v e d l i t t l e a t t e n t i o n i n t h e r e s e a r c h o n t e x t b o o k u s e . M y fi n d i n g s , h o w e v e r , s u g g e s t t h a t h o w t e a c h e r s r e a d s t u d e n t s ' a c t i v i t i e s i n t h e c l a s s r o o m p l a y s a c e n t r a l r o l e i n s h a p i n g t h e i r t e x t b o o k a n d c u r r i c u l u m - r e l a t e d d e c i s i o n s . T h e n a t u r e o f t h e a r e n a . M y e x a m i n a t i o n o f J a c k i e ' s a n d C a t h e r i n e ' s d e c i s i o n m a k i n g a l s o r e v e a l s t h a t t h e i n fl u e n c e o f t h e a b o v e f a c t o r s v a r i e d a c c o r d i n g t o t h e 2 8 2 p a r t i c u l a r a r e n a . F o r e x a m p l e , t h e s t r u c t u r e s o f t h e i r s c h o o l a n d t e a c h i n g s i t u a t i o n s fi g u r e d p o w e r f u l l y i n t h e m a p p i n g a r e n a f o r b o t h t e a c h e r s , w h i l e p e r s o n a l s u p p o r t f r o m o t h e r s h a d t h e g r e a t e s t i n fl u e n c e i n t h e d e s i g n a r e n a . S t u d e n t s , o n t h e o t h e r h a n d , p l a y e d a s t r o n g r o l e i n s h a p i n g t h e i r d e c i s i o n s i n t h e c o n s t r u c t i o n a r e n a . E v e n t h o u g h m y fi n d i n g s r e g a r d i n g t h e s e t w o t e a c h e r s c a n n o t b e g e n e r a l i z e d t o a l l t e a c h e r s , t h e f a c t t h a t t h e s a m e f a c t o r s fi g u r e d m o r e s t r o n g l y i n t h e s a m e a r e n a s f o r b o t h t e a c h e r s i s a n o t e w o r t h y p a t t e r n . T h i s o v e r l a p s u g g e s t s t h a t e x t e r n a l f a c t o r s m a y n o t i n fl u e n c e t e a c h e r s ' c u r r i c u l a r c h o i c e s s i m i l a r l y i n d i f f e r e n t a r e n a s . R a t h e r , t h e i n fl u e n t i a l p o w e r t h a t a n y e x t e r n a l f a c t o r h a s m i g h t b e a f u n c t i o n o f t h e p a r t i c u l a r a r e n a . T h e I E t u r e o f t h e t e x t b o o k . A n o t h e r f a c t o r t h a t i n fl u e n c e d C a t h e r i n e ' s a n d J a c k i e ' s i n t e r a c t i o n s w i t h t h e H B J t e x t b o o k w a s t h e n a t u r e o f t h e t e x t i t s e l f , i t s c o n t e n t s , d e s i g n , a n d h o w i t w a s v i e w e d b y t h e m . T h e f a c t t h a t t h e t e x t w a s r e f o r m - o r i e n t e d a n d i n c l u d e d a r a n g e t o p i c s a n d a c t i v i t i e s a s s o c i a t e d w i t h t h e N C T M S t a n d a r d s f o r e x a m p l e , s t i m u l a t e d b o t h t e a c h e r s ' i n t e r e s t s i n u s i n g i t . S t i l l , c e r t a i n c h a r a c t e r i s t i c s o f i t s d e s i g n p r o m p t e d d i f f e r e n t r e a c t i o n s f r o m t h e t w o t e a c h e r s a s a r e s u l t o f t h e i r p e r s o n a l r e s o u r c e s . I n f a c t , p a r t i c u l a r a s p e c t s o f F E M t h e t e x t o f f e r e d t o g e t h e r w i t h M i t o f f e r e d t h e m f a c i l i t a t e d t h e i r d i f f e r e n t r e s p o n s e s t o i t . A c h a r a c t e r i s t i c o f t h e H B J t e x t b o o k t h a t p r o m p t e d a l m o s t o p p o s i t e r e s p o n s e s i n e a c h t e a c h e r w a s i t s f a m i l i a r i t y . T h e H B J t e x t d i d n o t r e p r e s e n t a r a d i c a l s h i f t a w a y f r o m t h e t e x t i t r e p l a c e d . A s I d e s c r i b e d i n C h a p t e r 3 , t h e t e x t r e s p o n d e d t o t h e r e f o r m s b y a d d i n g n e w t o p i c s , p e d a g o g i c a l s u g g e s t i o n s , a n d s t u d e n t a c t i v i t i e s t h a t r e fl e c t e d c h a n g e s c a l l e d f o r b y t h e N C T M S t a n d a r d s t o i t s c u s t o m a r y o f f e r i n g s a n d f o r m a t . I t w a s s t i l l d i v i d e d i n t o t h e s t a n d a r d 1 3 c h a p t e r s a n d f o c u s e d p r i m a r i l y o n d e v e l o p i n g c o m p u t a t i o n a l p r o fi c i e n c y . I n e s s e n c e , t h e t e x t r e p r e s e n t e d a c o l l e c t i o n o f r e f o r m - r e l a t e d i d e a s i n s e r t e d i n t o a v e r y f a m i l i a r b o d y — a n i m a g e n o t u n l i k e C a t h e r i n e ' s v i e w o f t h e r e f o r m s . 2 8 3 T h i s f a m i l i a r i t y i n fl u e n c e d t h e w a y b o t h t e a c h e r s u s e d t h e t e x t . E v e n t h o u g h i t i n c l u d e d m a n y n e w t o p i c s , i t s f a m i l i a r o r g a n i z a t i o n a n d f o r m a t m a d e i t p a r t i c u l a r l y a c c e s s i b l e t o C a t h e r i n e b u t d i s a p p o i n t i n g t o J a c k i e . F o r C a t h e r i n e , u s i n g t h e t e x t ' s s u g g e s t i o n s r e q u i r e d a w i l l i n g n e s s t o t r y n e w t a s k s , b u t n o t a w h o l e s a l e r e v i s i o n i n h e r i d e a s a b o u t t e a c h i n g m a t h e m a t i c s . S h e r e f e r r e d t o t h e H B J t e x t a s " m i d d l e o f t h e r o a d " ( I n t e r v i e w , 1 1 / 9 / 9 2 ) . J a c k i e , t o o , f e l t t h e t e x t r e p r e s e n t e d p a r t i a l a n d t e n t a t i v e s t e p s t o w a r d c h a n g e , b u t t h i s l e s s e n e d h e r i n t e r e s t i n u s i n g i t . S h e e x p e c t e d h e r n e w t e x t t o r e fl e c t g r e a t e r c o m m i t m e n t t o t h e r e f o r m a g e n d a . S h e w a s d i s c o u r a g e d b y t h e l a r g e n u m b e r o f t a s k s t h a t a p p e a r e d u n c h a n g e d f r o m t h o s e i n h e r o l d t e x t , a n d s h e q u e s t i o n e d i t s c a p a c i t y t o s t i m u l a t e s i g n i f i c a n t c h a n g e : " I f y o u w a n t t o b e t r a d i t i o n a l w i t h t h i s b o o k , y o u c a n d o i t j u s t l i k e y o u d i d w i t h a n y o t h e r b o o k " ( I n t e r v i e w , 2 / 1 / 9 3 ) . A n o t h e r c h a r a c t e r i s t i c o f t h e H B J t e x t t h a t i n t e n s i fi e d t h e d i f f e r e n t w a y s t h e t e a c h e r s u s e d i t w a s t h e v a r i e t y o f o f f e r i n g s i t p r o v i d e d w i t h l i t t l e g u i d a n c e i n n a v i g a t i n g t h r o u g h t h e m . T h e t e x t p r o v i d e d a l a r g e s e l e c t i o n o f d i s c o n n e c t e d t a s k s o r a c t i v i t i e s w i t h i n a f a m i l i a r s t r u c t u r e . I n t h e p r o c e s s o f u s i n g t h e t a s k s , t h e t e a c h e r s h a d t o s e l e c t a m o n g t h e s e o f f e r i n g s . A s I d e s c r i b e d i n C h a p t e r 6 , b o t h t e a c h e r s t e n d e d t o r e a d a n d c o n s i d e r t a s k s t h a t fi t w i t h t h e i r i d e a s a b o u t g o o d m a t h e m a t i c s t e a c h i n g . C o n s e q u e n t l y , b o t h u s e d t a s k s i n t h e t e x t , y e t t h e r e w a s l i t t l e o v e r l a p i n t h o s e t h e y u s e d o r h o w t h e y u s e d t h e m . D e s p i t e t h e c h o i c e o f t a s k s o f f e r e d b y t h e t e x t , t h e l a r g e r c u r r i c u l a r m a p i n c l u d e d l i t t l e fl e x i b i l i t y . T h e t e x t w a s o r g a n i z e d i n t o 1 3 c h a p t e r s , e a c h c o n s i s t i n g o f a s e t o f d a i l y , s e q u e n t i a l l e s s o n s . F u r t h e r m o r e , t h e p i c t u r e o f t h e c u r r i c u l u m i t p r e s e n t e d w a s o n l y m o d e r a t e l y i n n o v a t i v e . B e c a u s e o f i t s i n fl e x i b i l i t y , a t e a c h e r w h o w a s d i s s a t i s fi e d w i t h t h e c o n t e n t , s e q u e n c i n g , o r p a c i n g w o u l d n e e d t o r e p l a c e i t w i t h h e r o w n . A r e f o r m - m i n d e d t e a c h e r l i k e J a c k i e , i n t e r e s t e d i n i n c r e a s i n g t h e e m p h a s i s i n t h e t e x t o n s t u d e n t u n d e r s t a n d i n g , h a d t o c h o o s e b e t w e e n t h e g u i d a n c e o f t h e t e x t a n d h e r o w n g o a l s . T h u s , t h e l i m i t e d v e r s a t i l i t y i n s t r u c t u r e a n d g r e a t v a r i e t y o f t a s k s i n c r e a s e d t h e 2 8 4 l i k e l i h o o d t h a t t e a c h e r s w o u l d u s e t h e t e x t i n v e r y d i f f e r e n t w a y s . T h i s s e r v e d t o d i l u t e i t s c a p a c i t y t o c o n t r i b u t e t o r e f o r m - r e l a t e d p r a c t i c e . T h e d i f f e r e n t r e s p o n s e s t h a t J a c k i e a n d C a t h e r i n e h a d t o t h e t e x t r a i s e q u e s t i o n s a b o u t fi n d i n g s o f r e s e a r c h e r s w h o v i e w e d t e x t b o o k s g e n e r i c a l l y a n d c o n s i d e r e d t h e e x t e n t t o w h i c h t e a c h e r s u s e d c o m p o n e n t s o f t e x t b o o k s d i f f e r e n t l y . T h e i r fi n d i n g s h a v e b e e n m i x e d . F r e e m a n a n d P o r t e r ( 1 9 8 9 ) a n d G r a y b e a l a n d S t o d o l s k y ( 1 9 8 7 ) a n a l y z e d a n d c l a s s i f i e d t h e m a i n c o m p o n e n t o f t e x t b o o k s a n d e x a m i n e d w h i c h o f t h e s e t e a c h e r s t e n d e d t o u s e . T h e y n o t e d t h a t t e a c h e r s p a i d a t t e n t i o n t o i t e m s o n t h e s t u d e n t p a g e m o r e t h a n t h e m a r g i n s a n d s u g g e s t e d t h a t p u b l i s h e r s p u t m o r e r e f o r m - r e l a t e d a c t i v i t i e s o n t h e s t u d e n t p a g e . E v e n t h o u g h I e x a m i n e d o n l y t w o t e a c h e r s , m y fi n d i n g s r e v e a l e d m i n i m a l o v e r l a p b e t w e e n t h e t w o t e a c h e r s i n t h e t e x t c o m p o n e n t s t h e y u s e d . M o r e r e f o r m - r e l a t e d a c t i v i t i e s o n t h e s t u d e n t p a g e m a y n o t h a v e i m p a c t e d t e a c h e r s l i k e J a c k i e , w h o t e n d e d t o a v o i d t h e s t u d e n t p a g e s . S i m i l a r l y , n e w s u g g e s t i o n s i n t h e c o m p u t a t i o n c h a p t e r s m a y n o t h a v e i n fl u e n c e d a t e a c h e r l i k e C a t h e r i n e w h o r e l i e d o n h e r o w n a p p r o a c h t o t e a c h i n g c o m p u t a t i o n a l p r o c e d u r e s . M y fi n d i n g s p o i n t t o c o n s i s t e n c y w i t h i n e a c h t e a c h e r . I n o t h e r w o r d s , C a t h e r i n e a n d J a c k i e r e a d a n d u s e d d i f f e r e n t p a r t s o f t h e t e x t , b u t t h e r e w e r e e v i d e n t p a t t e r n s i n t h o s e p a r t s u s e d b y e a c h t e a c h e r . T h i s w i t h i n - t e a c h e r c o n s i s t e n c y i m p l i e s t h a t t h e s e l e c t i o n s t e a c h e r s m a k e f r o m t h e i r t e x t b o o k s d e p e n d m o r e o n t h e i n d i v i d u a l t e a c h e r s t h a n t h e v a r i o u s c o m p o n e n t s o f t h e t e x t . T h e i r d i f f e r e n t i d e a s a b o u t m a t h e m a t i c s a n d w h a t t h e r e f o r m s w e r e a b o u t , f o r e x a m p l e , a c c o u n t e d f o r d i f f e r e n c e s i n t h e a s p e c t s o f t h e t e x t t h e y p a i d a t t e n t i o n t o . T h e P o t e n t i a l f o r C h fl g a T h e fi n d i n g s o f t h i s s t u d y b o t h c o n fi r m a n d a d d t o t h e l i m i t e d c l a i m s i n t h e l i t e r a t u r e r e g a r d i n g t h e p o w e r o f t e x t b o o k s t o m o t i v a t e c h a n g e i n t e a c h i n g . A l t h o u g h t h e n u m b e r o f s t u d i e s e x a m i n i n g t h e i m p a c t o f t e x t b o o k s o n t e a c h e r s i s s m a l l , m o s t h a v e f o u n d t h a t t e a c h e r s ' b e l i e f s a n d p e r c e p t i o n s m e d i a t e t h e o f f e r i n g s o f m a n y i n n o v a t i v e 2 8 5 t e x t b o o k s ( D o n o v a n , 1 9 8 3 ; R e r n i l l a r d 1 9 9 1 c , S t a k e 8 : E a s l e y , 1 9 7 8 ; S t e p h e n s , 1 9 8 2 ) . T w o s t u d i e s t h a t d o c u m e n t e d t e x t - m o t i v a t e d c h a n g e ( W i e m e r s - J e n n i n g s , 1 9 9 0 ; R e m i l l a r d , 1 9 9 2 ) w e r e o f t e a c h e r s u s i n g t e x t s t h a t h a d u n d e r g o n e m o d e r a t e , r a t h e r t h a n f u n d a m e n t a l , c h a n g e . I n a n o t h e r s t u d y o f p r e s e r v i c e t e a c h e r s , B a l l a n d F e i m a n - N e m s e r ( 1 9 8 8 ) d e s c r i b e d a p r o s p e c t i v e e l e m e n t a r y t e a c h e r w h o s e m a t h e m a t i c a l k n o w l e d g e w a s e n r i c h e d t h r o u g h c l o s e e x a m i n a t i o n o f t h e m a t e r i a l s i n t h e t e x t b o o k T h e t w o c a s e s i n t h i s s t u d y c o n fi r m t h e g e n e r a l s e n s e i n t h e l i t e r a t u r e t h a t , d e s p i t e t h e p o t e n t i a l p o w e r a t e x t m i g h t h a v e t o f a c i l i t a t e c h a n g e i n t e a c h i n g , t h e t e a c h e r i s t h e fi n a l a r b i t r a t o r i n d e t e r m i n i n g t h e e x t e n t o f i t s i m p a c t . O n t h e o t h e r h a n d , m y fi n d i n g s a l s o p r o v i d e a c l e a r e r v i e w o f t w o t e a c h e r s ' c u r r i c u l u m - d e v e l o p m e n t p r o c e s s e s , i n c l u d i n g t h e v a r i o u s f a c t o r s t h a t i n fl u e n c e d h o w t h e y u s e d t h e t e x t . T h e y a l s o h i g h l i g h t r e l e v a n t c h a r a c t e r i s t i c s o f t h e c u r r i c u l u m - d e v e l o p m e n t p r o c e s s , s u c h a s t h e n a t u r e o f t h e c o n s t r u c t i o n a r e n a a n d t h e i m p o r t a n c e o f r e a d i n g , t h a t h a v e n o t b e e n a c k n o w l e d g e d i n p r e v i o u s r e s e a r c h o r i n c u r r i c u l u m d e s i g n e r s e f f o r t s t o p r o m p t c h a n g e . I n t h e f o l l o w i n g s e c t i o n , I c o n s i d e r i m p l i c a t i o n s o f m y fi n d i n g s f o r w r i t e r s a n d u s e r s o f r e f o r m - o r i e n t e d t e x t b o o k s . I m p l i c a t i o n s f o r W r i t e r s a n d U s e r s o f R e f o r m - O r i e n t e d T e x t b o o k s T h e q u e s t i o n u n d e r l y i n g t h i s s t u d y w a s w h e t h e r a n d h o w r e d e s i g n e d c u r r i c u l u m I I m a t e r i a l s h a v e t h e c a p a c i t y t o s u p p o r t c u r r i c u l a r a n d p e d a g o g i c a l c h a n g e i n m a t h e m a t i c s e d u c a t i o n . T h e fi n d i n g s d i s c u s s e d p r e v i o u s l y s u g g e s t t h a t t e x t s m a y b e a b l e t o c o n t r i b u t e t o c h a n g e i n t e a c h i n g , b u t t h r o u g h r o u t e s l e s s f r e q u e n t l y c o n s i d e r e d . I n t h i s s e c t i o n I d i s c u s s w a y s t h a t c u r r i c u l u m d e v e l o p e r s m i g h t p u r s u e t h e s e r o u t e s . M y fi n d i n g s a l s o s u g g e s t t h a t t e a c h e r s ' p e r s o n a l r e s o u r c e s s u c h a s t h e i r i d e a s a b o u t t e a c h i n g , l e a r n i n g , a n d m a t h e m a t i c s p l a y m e d i a t i n g r o l e s i n t e a c h e r s ' i n t e r a c t i o n s w i t h t e x t s . C o n s e q u e n t l y , i t i s u n l i k e l y t h a t r e f o r m e d c u r r i c u l u m m a t e r i a l s w i l l h a v e a n y s i g n i fi c a n t i m p a c t o n t e a c h i n g i f c a r e f u l c o n s i d e r a t i o n i s n o t g i v e n t o t h e t y p e s a n d n a t u r e o f s u p p o r t t h a t a c c o m p a n y t h e m . T h u s , I a l s o d i s c u s s i m p l i c a t i o n s f o r t e a c h e r e d u c a t i o n 2 8 6 a n d p r o f e s s i o n a l d e v e l o p m e n t . M y a i m i s n o t t o c a s t p r o f e s s i o n a l d e v e l o p m e n t a s a n e c e s s a r y m e a s u r e i n t h e s u c c e s s f u l c h a n g e o f c u r r i c u l u m m a t e r i a l s . R a t h e r , i t i s t o e m p h a s i z e t h e n e e d f o r c o o r d i n a t e d e f f o r t s i n c u r r i c u l u m m a t e r i a l d e v e l o p m e n t a n d t e a c h e r d e v e l o p m e n t a c t i v i t i e s . I n f a c t , a c e n t r a l c o n t r i b u t i o n o f t h i s s t u d y i s t h e i n t e r c o n n e c t i o n o f c u r r i c u l u m d e v e l o p m e n t a n d t e a c h e r d e v e l o p m e n t ( F e a t h e r s t o n e 8 : S m i t h , 1 9 9 6 ) . I n t h i s s e c t i o n , I u s e t h e t e r m s " t e x t b o o k " a n d " c u r r i c u l u m m a t e r i a l s " i n t e r c h a n g e a b l y . T e x t b o o k s g e n e r a l l y r e f e r t o t h e m o s t t r a d i t i o n a l o f c u r r i c u l u m p r o g r a m s t h a t u s u a l l y i n c l u d e a c l a s s r o o m s e t o f s t u d e n t t e x t s a n d a t e a c h e r ' s g u i d e . T h e t e r m " c u n i c u l u m m a t e r i a l s " h a s b e e n u s e d i n r e c e n t y e a r s t o r e f e r t o p r o g r a m s t h a t a r e u n l i k e t e x t b o o k s i n d e s i g n a n d c o n t e n t . M a n y n o n c o m m e r c i a l c u r r i c u l u m d e v e l o p e r s h a v e a d o p t e d t h e t e r m c u r r i c u l u m m a t e r i a l s t o d i f f e r e n t i a t e t h e i r p r o g r a m s f r o m t h o s e m o s t c o m m o n l y u s e d i n s c h o o l s . I n t h e p r e v i o u s c h a p t e r s , I u s e d t h e t e r m t e x t b o o k , s i n c e i t b e s t d e s c r i b e s t h e H B J p r o g r a m . T h e f o l l o w i n g r e c o m m e n d a t i o n s f o r c u r r i c u l u m d e v e l o p e r s a n d t h e m a t e r i a l s t h e y d e v e l o p t h a t a r e i n t e n d e d f o r a l l d e v e l o p e r s . T h e s u g g e s t i o n s i n t h i s s e c t i o n g r o w o u t o f fi n d i n g s o f m y s t u d y . M a n y a r e , h o w e v e r , s p e c u l a t i v e a n d c o n j e c t u r a l . T h e y h a v e n o t b e e n t e s t e d b y p r e v i o u s r e s e a r c h b e c a u s e t h e y h a v e n o t y e t b e e n a t t e m p t e d . T h e y a r e a l l c a n d i d a t e s f o r f u r t h e r r e s e a r c h . T h u s , i m p l i c i t i n t h e f o l l o w i n g r e c o m m e n d a t i o n s f o r r e f o r m - o r i e n t e d t e x t b o o k s d e s i g n a n d t e a c h e r d e v e l o p m e n t i s a r e s e a r c h a g e n d a t o e x a m i n e t h e i r i m p a c t . T e x t b o o k s t h a t F o s t e r T e a c h e r s ' C u r r i g u l u m D e v e l o p m e n t I a s s e r t e d e a r l i e r t h a t r e f o r m - o r i e n t e d t e x t b o o k s d e s i g n e d t o e n g a g e t e a c h e r s i n c u r r i c u l u m d e v e l o p m e n t h a v e t h e p o t e n t i a l t o a l s o f a c i l i t a t e t h e i r l e a r n i n g . T h i s a s s e r t i o n w a s i n fl u e n c e d , i n p a r t , b y M c L a u g h l i n ' s ( 1 9 7 6 ) d i s c u s s i o n o f m u t u a l a d a p t a t i o n i n i n s t r u c t i o n a l p o l i c y i n i t i a t i v e s . A s I d e s c r i b e d i n C h a p t e r 6 , M c L a u g h l i n a n d h e r c o l l e a g u e s f o u n d t h a t e f f e c t i v e i m p l e m e n t a t i o n o c c u r r e d w h e n t e a c h e r s a n d 2 8 7 a d m i n i s t r a t o r s a d a p t e d t h e p r o j e c t d e s i g n t o t h e i r p a r t i c u l a r c i r c u m s t a n c e s a n d , i n t u r n , a d a p t e d l o c a l c o n d i t i o n s a s w e l l . T h i s p r o c e s s o f m a k i n g g o a l s a n d a s s u m p t i o n s e x p l i c i t f o s t e r e d l e a r n i n g - b y - d o i n g . I n o t h e r w o r d s , t h r o u g h t h e a d a p t a t i o n p r o c e s s , b o t h t h e s c h o o l p e r s o n n e l a n d t h e p r o g r a m s t h e y h a d s e t o u t t o i m p l e m e n t u n d e r w e n t c h a n g e . T h i s c h a n g e w a s n o t u n l i k e t h e l e a r n i n g t h a t b o t h C a t h e r i n e a n d J a c k i e e x p e r i e n c e d w h e n t r y i n g t o a d a p t t h e i r c u r r i c u l a r p l a n s t o t h e i r s t u d e n t s ' r e s p o n s e s . T h u s , c u r r i c u l u m m a t e r i a l s t h a t a r e a b l e t o f o s t e r t e a c h e r s ' c u r r i c u l u m d e v e l o p m e n t a r e a l s o l i k e l y t o s t i m u l a t e t h e i r l e a r n i n g . A n i m a g e o f t e x t b o o k s d e s i g n e d t o e n g a g e t e a c h e r s i n t h e c u r r i c u l u m d e v e l o p m e n t a c t i v i t i e s a s s u m e s r e v i s i o n o r e x p a n s i o n o f s e v e r a l a s s u m p t i o n s u n d e r l y i n g t h e d e s i g n o f m o s t c u r r i c u l u m m a t e r i a l s . 1 T h e s e a s s u m p t i o n s fi t i n t o t h r e e c a t e g o r i e s : ( a ) w h o c u r r i c u l u m m a t e r i a l s a r e f o r , ( b ) w h a t c u r r i c u l u m m a t e r i a l s o f f e r , a n d ( c ) h o w t h e y c o m m u n i c a t e w i t h t e a c h e r s . I n t h e f o l l o w i n g s e c t i o n s , I d e s c r i b e h o w t h e s e a s s u m p t i o n s a r e c u r r e n t l y m a n i f e s t e d i n c u r r i c u l u m m a t e r i a l s a n d t h e n o f f e r r e c o m m e n d a t i o n s f o r w a y s t e x t b o o k w r i t e r s m i g h t c h a n g e t h e m . l a t e r i n t h e c h a p t e r I d i s c u s s c a v e a t s a s s o c i a t e d w i t h t h e s e s u g g e s t i o n s . A s w i l l b e c o m e e v i d e n t , m y t r e a t m e n t o f t h e s e t h r e e a s s u m p t i o n s s e p a r a t e l y , f o r t h e p u r p o s e s o f a n a l y s i s a n d d i s c u s s i o n , i s a r t i f i c i a l ; i n r e a l i t y t h e y a r e p a r t o f t h e s a m e l a r g e r w h o l e . F o r e x a m p l e , i m p l i c i t i n h o w t e x t w r i t e r s t a l k t o t e a c h e r s a r e a s s u m p t i o n s a b o u t w h a t t h e y t a l k a b o u t . I a r g u e t h a t t e x t s n e e d t o t a l k t o t e a c h e r s a b o u t m o r e t h a n t h e y t r a d i t i o n a l l y h a v e . T h i s a r g u m e n t i m p l i e s a c h a n g e i n h o w t e x t s c o m m u n i c a t e a s w e l l a s w h a t t h e y c o m m u n i c a t e . T h u s , t h e s e a s s u m p t i o n s a n d t h e s u g g e s t i o n s t h a t f o l l o w s h o u l d b e v i e w e d a s i n t e r c o n n e c t e d . 1 I a m n o t s u g g e s t i n g t h a t a l l c u r r i c u l u m m a t e r i a l s a r e t h e s a m e . M y e x p e r i e n c e s u g g e s t s t h a t m o s t c o m m e r c i a l l y p u b l i s h e d t e a c h e r ' s g u i d e s a r e s i m i l a r t o t h e H B J t e x t w i t h r e s p e c t t o t h e s e a s s u m p t i o n s . A t t h e s a m e t i m e , a n u m b e r o f g r o u p s a r e c u r r e n t l y d e v e l o p i n g c u r r i c u l u m m a t e r i a l s t h a t c h a l l e n g e t h e s e a s s u m p t i o n s . 2 8 8 W h o T e x t b o o k s A r e F o r N a t u r a l l y , t e x t s o r t e a c h e r ' s g u i d e s a r e w r i t t e n f o r t e a c h e r s t o g u i d e t h e i r i n s t r u c t i o n . M y a n a l y s e s o f t h e H B J t e x t s u g g e s t , h o w e v e r , t h a t t h e t e x t ' s f o c u s w a s s h a p i n g s t u d e n t s ' e x p e r i e n c e s i n t h e m a t h e m a t i c s c l a s s r o o m . I t s c o m m u n i c a t i o n w i t h t e a c h e r s w a s w h o l l y t o t h i s e n d . T h u s , i t w a s w r i t t e n w i t h t h e a c t i v i t i e s o f s t u d e n t s , r a t h e r t h a n t e a c h e r s , i n m i n d . T h e r o l e o f t e a c h e r s i m p l i e d b y t h e t e x t w a s t o " d e l i v e r " a c t i v i t i e s t o s t u d e n t s . M y fi n d i n g s r e v e a l e d t w o c h a r a c t e r i s t i c s o f t e a c h e r s ' c u r r i c u l u m d e v e l o p m e n t t h a t l i m i t t h e e f f e c t i v e n e s s o f t e x t b o o k s d e s i g n e d t o p r e d e t e r m i n e s t u d e n t s ' e x p e r i e n c e s i n t h e c l a s s r o o m . F i r s t , t e a c h e r s a r e l i k e l y t o r e a d t h e i r o w n i d e a s a n d p u r p o s e s i n t o t a s k s i n t h e i r t e x t . S e c o n d , t h e p r o c e s s o f e n a c t i n g t a s k s i n t h e c o n s t r u c t i o n a r e n a i s r e s p o n s i v e a n d i n t e r a c t i v e . I t w a s t h e p o i n t i n t h e i r c u r r i c u l u m d e v e l o p m e n t t h a t b o t h t e a c h e r s r e l i e d a l m o s t c o m p l e t e l y o n t h e i r o w n p e r s o n a l r e s o u r c e s t o d e c i d e h o w t o p r o c e e d . A t h i r d f a c t o r l i m i t i n g t h e e f f e c t i v e n e s s o f t e x t s w r i t t e n t o s p e a k t o s t u d e n t s t h r o u g h t e a c h e r s i s t h e n a t u r e o f t h e r e f o r m s t h e m s e l v e s . C e n t r a l t o t h e r e f o r m a g e n d a i s t h e i d e a t h a t s t u d e n t s ' u n d e r s t a n d i n g s o f m a t h e m a t i c s s h o u l d e n a b l e t h e m t o r e a s o n a n d s o l v e p r o b l e m s , r a t h e r t h a n m e r e l y f o l l o w r u l e s o r m e m o r i z e f a c t s . T o t h i s e n d , r e f o r m e r s h a v e e m p h a s i z e d i n s t r u c t i o n a l a c t i v i t i e s i n w h i c h s t u d e n t s a c t i v e l y s o l v e p r o b l e m s a n d d i s c u s s t h e i r i d e a s w i t h o t h e r s . S u c h a n i n s t r u c t i o n a l f o r m a t i n v o l v e s a s i g n i f i c a n t s h i f t f r o m t h o s e f o u n d i n c o m m e r c i a l t e x t b o o k s , i n c l u d i n g t h e H B J t e x t , i n w h i c h t h e t e a c h e r o r t e x t b o o k p o s e s q u e s t i o n s t h a t t h e s t u d e n t s a n s w e r . I t i s u n l i k e l y t h a t t e x t b o o k s c a n b y p a s s t h e t e a c h e r i n t h e p r o c e s s o f o r c h e s t r a t i n g r e f o r m - o r i e n t e d a c t i v i t i e s . F u r t h e r m o r e , h e l p i n g s t u d e n t s l e a r n t o t h i n k m a t h e m a t i c a l l y r e q u i r e s t h a t t e a c h e r s u n d e r s t a n d t h e m a t h e m a t i c s t h e m s e l v e s , a s w e l l a s a t t e n d t o s t u d e n t s ' d e v e l o p i n g u n d e r s t a n d i n g s , l o o k i n g t o t h e i r i d e a s a n d s t r u g g l e s t o d e t e r m i n e w h a t t o p u r s u e i n a g i v e n l e s s o n . T h u s , i m p l i c i t i n r e f o r m e r s ' g o a l s f o r s t u d e n t s a r e p a r a l l e l 2 8 9 g o a l s f o r t e a c h e r s : t h o u g h t f u l d e c i s i o n m a k i n g t h a t i s r e s p o n s i v e t o t h e s i t u a t i o n a t h a n d ( B a l l , 1 9 9 4 ) . A s J a c k i e f o u n d , t h i s c o u l d n o t b e d o n e b y p r e s c r i p t i v e l y f o l l o w i n g p r e d e t e r m i n e d s t e p s i n a t e x t . M y p o s i t i o n i s t h a t r e f o r m - o r i e n t e d c u r r i c u l u m g u i d e s n e e d t o b e w r i t t e n Q t e a c h e r s . A s B r u n e r ( 1 9 7 7 ) p u t i t , " [ C u r r i c u l u m ] m u s t b e fi r s t a n d f o r e m o s t a c u r r i c u l u m f o r t e a c h e r s . I f i t h a s a n y e f f e c t o n p u p i l s , i t w i l l h a v e i t b y v i r t u e o f h a v i n g h a d a n e f f e c t o n t e a c h e r s " ( p . x v ) . C u r r i c u l u m d e v e l o p e r s n e e d t o v i e w t e a c h e r s , r a t h e r t h a n s t u d e n t s , a s t h e p r i m a r y u s e r s o f t h e i r m a t e r i a l s . F u r t h e r m o r e , t h e y n e e d t o a i m , t h r o u g h t h e i r m a t e r i a l s , t o e n g a g e t e a c h e r s i n a c t i v e c u r r i c u l u m d e v e l o p m e n t . I n t h e f o l l o w i n g s e c t i o n s o n w h a t r e f o r m - o r i e n t e d m a t e r i a l s s h o u l d o f f e r a n d h m t h e y s h o u l d c o m m u n i c a t e t h e i r o f f e r i n g s t o t e a c h e r s , I d i s c u s s w a y s t h a t t e x t b o o k s m i g h t b e w r i t t e n f o r t e a c h e r s w i t h t h e i n t e n t o f f o s t e r i n g t h e i r c u r r i c u l u m - d e v e l o p m e n t a c t i v i t i e s . I e x p e c t t h a t t h e m a t h e m a t i c s c o n t e n t a n d o r g a n i z a t i o n o f t h e s e t e x t s r e fl e c t a g e n u i n e c o m m i t m e n t t o t h e i d e a s o f t h e r e f o r m s . E v e n t h o u g h t h e a n a l y s i s i n C h a p t e r 3 i s c r i t i c a l o f t h e H B J t e x t ' s s u p e r fi c i a l c o m m i t m e n t t o t h e r e f o r m s r e fl e c t e d i n t h e c o n t e n t a n d o r g a n i z a t i o n , I w i l l n o t a d d r e s s t h i s i s s u e i n m y s u g g e s t i o n s . I s e e c o m m i t m e n t t o t h e r e f o r m s a s a n e c e s s a r y c h a r a c t e r i s t i c o f r e f o r m - o r i e n t e d t e x t s t h a t a n u m b e r o f n o n c o m m e r c i a l c u r r i c u l u m w r i t e r s h a v e t a k e n s e r i o u s l y . W h i l e n e c e s s a r y , i t i s n o t s u f fi c i e n t . T h u s , m y f o c u s h e r e i s o n m o r e s u b t l e a s p e c t s o f t e x t d e s i g n t h a t t a k e i n t o a c c o u n t t h e r o l e o f t h e t e a c h e r u s i n g t h e m . _ W _ h a t T e x t b o o fl f f e r M a t h e m a t i c s t e x t b o o k s g e n e r a l l y g u i d a n c e i n t w o a s p e c t s o f m a t h e m a t i c s i n s t r u c t i o n : m a t h e m a t i c s c o n t e n t a n d t e a c h i n g t h e c o n t e n t . T h e H B J t e x t b o o k a t t e n d e d t o b o t h t h e s e a s p e c t s o f t e a c h i n g m a t h e m a t i c s , b u t , a s I d i s c u s s e d e a r l i e r , n o t n e c e s s a r i l y i n w a y s d e s i g n e d t o e n g a g e t e a c h e r s i n c u r r i c u l u m d e v e l o p m e n t . T h e f o c u s o f t h e t e x t ' s g u i d a n c e w a s o n t h e o u t c o m e s o f t h e c u r r i c u l u m d e v e l o p m e n t p r o c e s s — t h e t a s k s t o g i v e s t u d e n t s a n d t h e o r d e r i n w h i c h t o g i v e t h e m . T h e o v e r a l l a s s u m p t i o n i m p l i c i t i n H B J 2 9 0 t e x t ' s o f f e r i n g s w a s t h a t t e x t s s h o u l d p r o v i d e fi n i s h e d c u r r i c u l u m f o r t e a c h e r s t o e n a c t i n t h e c o n s t r u c t i o n a r e n a . C a t h e r i n e ' s c a s e i l l u s t r a t e s h o w a c o l l e c t i o n o f p r e p l a n n e d a c t i v i t i e s m i g h t c o n t r i b u t e t o c h a n g e s i n t e a c h e r s ' i d e a s a b o u t m a t h e m a t i c s l e a r n i n g . T h r o u g h p r o v i d i n g t a s k s t o p o s e , t h e t e x t i n t r o d u c e d n e w i d e a s i n t o h e r p r a c t i c e , w h e r e s h e e x a m i n e d t h e m , m a d e d e c i s i o n s a b o u t h o w t o a c t o n t h e m , a n d b e c a m e c o n v i n c e d o f t h e i r v a l u e . T h u s , t e x t b o o k s h a v e t h e p o t e n t i a l t o f o s t e r t e a c h e r c h a n g e t h r o u g h p r o v i d i n g a c o l l e c t i o n o f n o n - s t a n d a r d t a s k s f o r t e a c h e r s t o t r y ( F e a t h e r s t o n e 8 : S m i t h , 1 9 9 6 ) . E v e n t h o u g h t h i s t y p e s u p p o r t p r o m p t e d C a t h e r i n e t o r e t h i n k s o m e o f h e r v i e w s o n m a t h e m a t i c s l e a r n i n g , i t w a s n o t a n i n t e n t i o n a l a i m o f t h e w r i t e r s . F u r t h e r m o r e , b o t h c a s e s i l l u s t r a t e t h a t j u s t p r o v i d i n g t a s k s w a s n o t s u f fi c i e n t . I t w a s n o t i n a f o r m t h a t J a c k i e f o u n d u s e f u l a n d i t w a s n o t e n o u g h t o h e l p C a t h e r i n e c o n s i d e r u n d e r l y i n g m a t h e m a t i c a l i d e a s o r p e d a g o g i c a l i m p l i c a t i o n s . T h e t e x t d i d n o t g o o n t o h e l p t e a c h e r s a c t u a l l y a s s t h e s u g g e s t i o n s i t o f f e r e d i n a n y w a y o t h e r t h a n f o l l o w i n g t h e m i n o r d e r . I t s f o c u s w a s e n t i r e l y o n t h e i n i t i a l s t a g e o f t h e c o n s t r u c t i o n a r e n a - « p r e s e n t i n g s t u d e n t s w i t h t a s k s . A k e y i m p l i c a t i o n o f m y fi n d i n g s i s t h a t t e x t s t h a t c o n t r i b u t e t o t e a c h e r s ' r e a d i n g a n d d e c i s i o n m a k i n g , p a r t i c u l a r l y i n t h e o t h e r t w o a r e n a s , a r e m o r e l i k e l y t o i m p a c t t e a c h i n g . C o n t r i b u t i n g t o t e a c h e r s ' r e a d i n g . I n o r d e r t o m a k e a g r e a t e r c o n t r i b u t i o n t o t e a c h e r s ' r e a d i n g o f c u r r i c u l u m m a t e r i a l s , d e v e l o p e r s w i l l n e e d t o o f f e r m o r e t o r e a d t h a n t a s k s . K n o w i n g t h a t t e a c h e r s l o o k e d t o t h e t e x t f o r d i f f e r e n t t h i n g s , t e x t w r i t e r s w i l l n e e d t o p r o v i d e a v a r i e t y o f t y p e s o f i n f o r m a t i o n f o r t e a c h e r s t h a t w i l l c o n t r i b u t e t o t h e i r e f f o r t s t o a s s e s s a n d i n t e r p r e t s p e c i fi c t a s k s . F o r e x a m p l e , i n a d d i t i o n t o d e s c r i b i n g a t a s k , t e x t a u t h o r s m i g h t d i s c u s s t h e u n d e r l y i n g m a t h e m a t i c a l g o a l s , s u g g e s t i n g w a y s t h a t t h e t a s k m i g h t b e m a d e m o r e o r l e s s c o m p l e x , b u t s t i l l f o c u s e d o n t h e i n t e n d e d g o a l . T h e y m i g h t a l s o s u g g e s t a r a n g e o f p e d a g o g i c a l o p t i o n s t h a t t e a c h e r s h a v e u s e d t o a d d r e s s t h e p a r t i c u l a r m a t h e m a t i c a l i d e a a l o n g w i t h s a m p l e s t u d e n t w o r k o r r e s p o n s e s 2 9 1 t o t h e s e t a s k s . B e c a u s e t e a c h e r s m i g h t a t t e n d t o d i f f e r e n t p a r t s o f a t e x t , w r i t e r s w i l l n e e d t o e x p l a i n h o w t h e d i f f e r e n t p a r t s a r e r e l a t e d t o o n e a n o t h e r a n d t o t h e o v e r a l l g o a l s o f t h e l e s s o n o r c h a p t e r . A n o t h e r t y p e o f r e a d i n g t h a t w a s c e n t r a l t o b o t h t e a c h e r s ' c u r r i c u l u m d e v e l o p m e n t w a s t h e i r r e a d i n g o f s t u d e n t s a n d t a s k s i n a c t i o n . I n o r d e r t o c o n t r i b u t e t o t h i s t y p e o f r e a d i n g , t e x t s w i l l n e e d t o p r o m p t t e a c h e r s t o e x a m i n e t h e i r s t u d e n t s ' t h i n k i n g w i t h r e s p e c t t o t h e g o a l s o f t h e m a t h e m a t i c a l t a s k s . T h i s s o r t o f r e a d i n g m i g h t b e e n c o u r a g e d t h r o u g h d e s c r i p t i o n s o f p o s s i b l e s t u d e n t r e s p o n s e s o r w o r k , a n n o t a t e d t o h i g h l i g h t h o w t h e y c o u l d b e i n t e r p r e t e d . R e s e a r c h e r s h a v e f o u n d t h a t e x a m i n i n g e x a m p l e s o f s t u d e n t s ' i n v e n t e d s o l u t i o n s t r a t e g i e s t o p r o b l e m s c a n p i q u e t e a c h e r s ' c u r i o s i t y a b o u t t h e i r o w n s t u d e n t s ' a p p r o a c h e s ( C a r p e n t e r e t a l . , 1 9 8 8 ; D a v e n p o r t 8 : S a s s i , 1 9 9 5 ; F e a t h e r s t o n e 8 : S m i t h , 1 9 9 6 ) . T h e r a p i d l y g r o w i n g b o d y o f r e s e a r c h o n c h i l d r e n ' s t h i n k i n g i n v a r i o u s m a t h e m a t i c a l d o m a i n s c a n a l r e a d y c o n t r i b u t e m u c h t o p o s s i b l e f r a m e w o r k s . F o r e x a m p l e , r e s e a r c h e r s i n v o l v e d i n t h e C o g n i t i v e l y G u i d e d I n s t r u c t i o n P r o j e c t s ( C a r p e n t e r , F e n n e m a , F r a n k e , 1 9 9 4 ) h a v e d e v e l o p e d f r a m e w o r k s f o r s t u d e n t ' s t h i n k i n g a b o u t a d d i t i o n , s u b t r a c t i o n , m u l t i p l i c a t i o n , d i v i s i o n , a n d p l a c e v a l u e . O t h e r s h a v e e x a m i n e d s t u d e n t s ' u n d e r s t a n d i n g s a n d a b i l i t i e s w i t h r e s p e c t t o r a t i o a n d p r o p o r t i o n ( c f . B e h r , H a r e l , P o s t , 8 : L e s h , 1 9 9 2 ; P a r k e r 8 : L e i n h a r d t , 1 9 9 5 ) , e s t i m a t i o n a n d n u m b e r s e n s e ( c f . S o w d e r , 1 9 9 2 ) , g e o m e t r y a n d s p a t i a l r e a s o n i n g ( c f . C l e m e n t s 8 : B a t t i s t a , 1 9 9 2 ) , p r o b a b i l i t y a n d s t a t i s t i c s ( c f . S h a u g h n e s s y , 1 9 9 2 ) , a n d a l g e b r a ( c f . K i e r a n , 1 9 9 2 ) . D r a w i n g o n w o r k s u c h a s t h e s e , t e x t s c a n o f f e r t e a c h e r s l e n s e s f o r e x a m i n i n g s t u d e n t s ' u n d e r s t a n d i n g s . T e x t s c a n a l s o f o c u s t e a c h e r s ' r e a d i n g o n t h e p r o c e s s e s t h r o u g h w h i c h s t u d e n t s d e v e l o p u n d e r s t a n d i n g s d u r i n g c l a s s r o o m d i s c o u r s e b y p r o v i d i n g i m a g e s o f c l a s s r o o m i n t e r a c t i o n . S o m e a l t e r n a t i v e c u r r i c u l u m m a t e r i a l s d e v e l o p e d i n t h e l a s t s e v e r a l y e a r s h a v e b e g u n t o p r o v i d e s a m p l e s o f c l a s s r o o m d i s c o u r s e t h a t m i g h t o c c u r a s a c l a s s p u r s u e s a p a r t i c u l a r t a s k . T h e s e c a n p r o v i d e " u s e f u l i m a g e s o f t e a c h e r s e n g a g i n g 2 9 2 s t u d e n t s i n m a t h e m a t i c a l i n v e s t i g a t i o n s [ t h a t ] a l l o w t e a c h e r s t o e n v i s i o n t h e t a k i n g o n o f s i m i l a r a c t i o n s " ( D a v e n p o r t 8 : S a s s i , 1 9 9 5 , p . 4 0 ) . W h i l e t h e y p r o v i d e i m a g e s o f r i c h s t u d e n t d i s c o u r s e , t h e r e a r e t w o w a y s t e x t s m i g h t g o f u r t h e r i n a s s i s t i n g t e a c h e r s i n t h e t y p e o r r e a d i n g J a c k i e a n d C a t h e r i n e f o u n d t h e m s e l v e s d o i n g . F i r s t , t h e y m i g h t u s e a n n o t a t i o n s t o p r o v i d e t h e r e a d e r o f t h e t e x t a c c e s s t o t h e t e a c h e r s ' t h i n k i n g d u r i n g c l a s s r o o m i n t e r a c t i o n . L o r t i e ( 1 9 7 5 ) a r g u e d t h a t s t u d e n t s l e a r n b y w a t c h i n g w h a t t e a c h e r s d o , b u t t h e y d o n o t h a v e a c c e s s t o t h e d e c i s i o n m a k i n g p r o c e s s e s b e h i n d t e a c h e r s ' a c t i o n s . S i m i l a r l y , s a m p l e d i a l o g u e s t h a t o n l y p r o v i d e t e a c h e r s w i t h i m a g e s o f r i c h c l a s s r o o m d i s c o u r s e r u n t h e r i s k o f f o c u s i n g t e a c h e r s o n t h e d o i n g a n d n o t t h e a n a l y s i s t h a t g u i d e d i t . S e c o n d , s a m p l e d i a l o g u e s m i g h t a l s o i n c l u d e e x a m p l e s i n w h i c h s t u d e n t s o r t e a c h e r s a r e g e n u i n e l y p e r p l e x e d a b o u t h o w t o p r o c e e d a l o n g w i t h c o m m e n t a r y o n h o w t h e s e s t r u g g l e s m i g h t b e a s s e s s e d . A g a i n , s u c h d e t a i l s w o u l d h a v e t h e p o t e n t i a l t o b r i n g t o t h e f o r e t h e r e a d i n g p r o c e s s , r a t h e r t h a n f o c u s i n g s o l e l y o n i m p l e m e n t a t i o n C o n t r i b u t i n g t o t e a c h e r s ' d e c i s i o n m a k i g . T h e o t h e r c u r r i c u l u m d e v e l o p m e n t a c t i v i t y t h a t r e f o r m - o r i e n t e d t e x t b o o k s n e e d t o a t t e n d t o i s d e c i s i o n m a k i n g . T h e p u r p o s e o f b o t h t e a c h e r s ' r e a d i n g w a s t o d e t e r m i n e h o w t o a c t o n , o r r e s p o n d t o , s u g g e s t i o n s i n t h e t e x t a n d e v e n t s i n t h e i r t e a c h i n g . I n o r d e r t o c o n t r i b u t e t o t e a c h e r s ' d e c i s i o n m a k i n g t e x t w r i t e r s w i l l n e e d t o b u i l d i n t o t h e i r m a t e r i a l s s p a c e s a n d s u p p o r t f o r t e a c h e r s t o m a k e d e c i s i o n s . M y u s e o f t h e t e r m " s p a c e " h a s t w o c o n n o t a t i o n s . F i g u r a t i v e l y , i t r e f e r s t o a m e a s u r e o f fl e x i b i l i t y i n w h i c h t e a c h e r s c a n m o v e . L i t e r a l l y , i t r e f e r s t o a n o p e n i n g i n w h i c h t o w o r k s u c h a s a w o r k s p a c e o r a n e m p t y c a n v a s . T e x t s d e s i g n e d t o g u i d e t e a c h e r s i n t h e i r o w n d e c i s i o n m a k i n g n e e d t o i n c l u d e b o t h k i n d s o f s p a c e ; t h e y n e e d t o b e fl e x i b l e a n d r e s p o n s i v e t o t e a c h e r s ' c h o i c e s a n d i n c o m p l e t e w i t h o u t t h e i r i n p u t . I r o n i c a l l y , t h e i d e a t h a t s p a c e s h o u l d b e a d d e d t o c u r r i c u l u m m a t e r i a l s r u n s c o u n t e r t o m a n y t e x t w r i t e r s ' i n c l i n a t i o n s . E v e r y p o s s i b l e s p a c e i n t h e H B J t e x t , f o r i n s t a n c e , w a s o v e r fl o w i n g w i t h p r e d e t e r m i n e d a c t i v i t i e s t o g i v e s t u d e n t s . 2 9 3 I n o r d e r t o p r o v i d e s p a c e f o r t e a c h e r s ' d e c i s i o n m a k i n g t e x t s w o u l d n e e d t o b e m u c h l e s s " fi n i s h e d " t h a n p u b l i s h e d t e x t s w e a r e f a m i l i a r w i t h . M y p o s i t i o n t h a t c u r r i c u l u m m a t e r i a l s m i g h t m a k e s p a c e s f o r t e a c h e r d e c i s i o n m a k i n g i s s i m i l a r t o B r i d g h a m ' s ( 1 9 7 1 ) v i e w t h a t g o o d c u r r i c u l u m m a t e r i a l s m i g h t b e l i k e e n v e l o p e s c o n t a i n i n g m u l t i p l e p o s s i b l e t r a j e c t o r i e s t h r o u g h a d e fi n e d p e d a g o g i c t e r r a i n . B e n - P e r e t z ( 1 9 9 0 ) s u g g e s t s t h e b o u n d a r i e s o f t h e " c u r r i c u l u m e n v e l o p e " a r e d e fi n e d b y c e r t a i n p e d a g o g i c a l c h a r a c t e r i s t i c s , e m p h a s e s , i d e a l s , o r g o a l s e s t a b l i s h e d b y t h e d e v e l o p e r s . M u c h l i k e s e l e c t i n g a m o n g t h e m a n y r o u t e s t h r o u g h a c i t y , t h e p a t h s t h a t t e a c h e r s a n d s t u d e n t s t a k e t h r o u g h t h e p e d a g o g i c s p a c e a r e n o t p r e d e t e r m i n e d b y t h e w r i t e r s , b u t a r e t h e r e s u l t s o f d a y - t o - d a y a n d m o m e n t - t o - m o m e n t d e c i s i o n s . T h e s e i m a g e s o f c u r r i c u l u m m a t e r i a l s a s e n v e l o p e s t h a t o f f e r fl e x i b i l i t y o f m o v e m e n t a r e s i m i l a r t o S h u l r n a n ' s ( 1 9 8 3 ) c o n c e p t i o n o f e d u c a t i o n a l p o l i c y . H e s u g g e s t s t h a t p o l i c y s h o u l d b e " d e s i g n e d a s a s h e l l w i t h i n w h i c h t h e k e r n e l o f p r o f e s s i o n a l j u d g m e n t a n d d e c i s i o n m a k i n g c a n f u n c t i o n c o m f o r t a b l y " ( p . 5 0 1 ) . T h e y m i g h t o u t l i n e m o r a l a n d p o l i t i c a l i m p e r a t i v e s , b u t n o t p r o v i d e d i r e c t i o n s f o r a c t i o n s . B r i d g h a m ' s i d e a t h a t t h e c u r r i c u l u m e n v e l o p e c o n t a i n s t r a j e c t o r i e s o r p o s s i b l e r o u t e s t h r o u g h p a r t i c u l a r t e r r a i n , h o w e v e r , d i s t i n g u i s h e s t h e r o l e o f c u r r i c u l u m m a t e r i a l s f r o m t h a t o f p o l i c i e s i n a c r u c i a l w a y ; i n a d d i t i o n t o o f f e r i n g f r e e d o m o f m o v e m e n t w i t h i n p e d a g o g i c s p a c e , c u r r i c u l u m m a t e r i a l s m u s t a l s o a s s i s t t e a c h e r s i n n a v i g a t i n g t h r o u g h t h a t s p a c e i n p r o d u c t i v e w a y s . A s H e a t o n ( 1 9 9 4 ) p u t i t , " C u r r i c u l u m d e v e l o p e r s m u s t fi n d w a y s t o g u i d e t e a c h e r s ' p e d a g o g i c a l a n d m a t h e m a t i c a l d e c i s i o n s , n o t m a k e d e c o n t e x t u a l i z e d d e c i s i o n s f o r t h e m " ( p . 3 7 6 ) . T h e c o m b i n a t i o n o f fl e x i b i l i t y a n d g u i d a n c e I a m s u g g e s t i n g f o r t e x t s c o n t r a s t s w i t h t h e v a r i e t y o f t a s k s t h e H B J t e x t o f f e r e d t e a c h e r s t o c h o o s e a m o n g . T h e n u m b e r o f o p t i o n s i n t h e H B J t e x t m a d e i t n e c e s s a r y f o r t e a c h e r s t o m a k e s e l e c t i o n s , b u t w i t h o u t a n y h e l p i n d o i n g s o . F u r t h e r m o r e , s e l e c t i n g a m o n g t h e v a r i e t y o f t a s k s w a s t h e o n l y a s p e c t o f t e a c h e r d e c i s i o n - m a k i n g i n c o r p o r a t e d i n t o t h e t e x t . T h e c u r r i c u l u m m a p a n d 2 9 4 d e s i g n o f t h e t a s k s w e r e n o t i n t e n d e d t o b e fl e x i b l e . W h i l e t h e t e x t o f f e r e d t e a c h e r s v a r i e t y , i t l a c k e d v e r s a t i l i t y . I t i s m y p o s i t i o n t h a t t h e t y p e o f v a r i e t y i n t h e H B J t e x t , a n d m a n y t e x t b o o k s l i k e i t , g i v e s t e a c h e r s c h o i c e a t a s u p e r fi c i a l l e v e l , b u t d o e s n o t p r o v i d e t h e r e q u i s i t e g u i d a n c e o r s p a c e f o r m e a n i n g f u l d e c i s i o n m a k i n g . I n o r d e r t o f o s t e r t e a c h e r s ' d e c i s i o n m a k i n g , t e x t b o o k s n e e d t o i n c l u d e v e r s a t i l i t y , r a t h e r t h a n v a r i e t y . T h e y n e e d t o o f f e r fl e x i b l e r o u t e s t h r o u g h t h e m a t h e m a t i c a l t e r r a i n , r a t h e r t h a n e c l e c t i c a s s o r t r n e n t s o f a c t i v i t i e s . I n a d d i t i o n t o m a k i n g s p a c e s f o r t e a c h e r s b y s t r u c t u r i n g m a t e r i a l s t o i n c l u d e fl e x i b l e r o u t e s t h r o u g h t h e m , t e x t s n e e d t o s u p p o r t t e a c h e r s ' d e c i s i o n m a k i n g w i t h i n t h o s e s p a c e s . S e v e r a l o f t h e s u g g e s t i o n s I h a v e a l r e a d y m a d e r e g a r d i n g t h e t y p e o f i n f o r m a t i o n a n d i m a g e s t e x t s m i g h t p r o v i d e c a n c o n t r i b u t e t o f o s t e r i n g t e a c h e r s ' d e c i s i o n m a k i n g . D i s c u s s i o n i n t h e t e x t a b o u t u n d e r l y i n g m a t h e m a t i c a l g o a l s , p o s s i b l e s t u d e n t r e s p o n s e s , a n d a n n o t a t e d i m a g e s o f c l a s s r o o m d i s c o u r s e c a n i n v i t e t e a c h e r s t o a s s e s s t h e i r s t u d e n t s a n d t h i n k w i t h c u r r i c u l u m w r i t e r s a b o u t w h e r e t o g o n e x t . T e x t s m i g h t a l s o p r o v i d e s e v e r a l p o s s i b l e t r a j e c t o r i e s t h a t t e a c h e r s m i g h t f o l l o w , r a t h e r t h a n o n e l i n e a r p a t h . O n s e v e r a l o c c a s i o n s J a c k i e f e l t s h e h a d t o d e c i d e t o f o l l o w t h e t e x t o r t h e s t u d e n t s ; a t e x t t h a t s u p p o r t e d t e a c h e r s ' d e c i s i o n m a k i n g w o u l d g u i d e t e a c h e r s t o f o l l o w s t u d e n t s . C o n t r i b u t m ’ g t o t h e d e s i g a a n d m a p p i n g a r e n a s . A s I h a v e a l r e a d y d i s c u s s e d , t h e f o c u s o f t h e H B J t e x t b o o k w a s t h e c o n s t r u c t i o n a r e n a . T h e a u t h o r s ' m a p p i n g a n d d e s i g n d e c i s i o n s w e r e e v i d e n t , b u t t h e y w e r e n o t o p e n t o q u e s t i o n o r a d a p t a t i o n . T h u s , t h e . t e a c h e r s e i t h e r f o l l o w e d t h e s u g g e s t i o n s o f f e r e d o r a b a n d o n e d t h e m a l l t o g e t h e r . I n s h o r t , t h e l a c k o f e x p l i c i t a t t e n t i o n t o m a p p i n g a n d d e s i g n d e c i s i o n s i n h i b i t e d t h e t e x t ' s fl e x i b i l i t y i n t h e s e a r e n a s . C e n t r a l t o t h e s u g g e s t i o n s I h a v e o f f e r e d a b o v e i s t h e a s s u m p t i o n t h a t a r e f o r m - o r i e n t e d t e x t b o o k w o u l d c o n t r i b u t e t o t e a c h e r s ' r e a d i n g a n d d e c i s i o n m a k i n g i n t h e d e s i g n a n d m a p p i n g a r e n a s a s w e l l a s t h e c o n s t r u c t i o n a r e n a . T e x t w r i t e r s n e e d t o m a k e 2 9 5 t h e a c t i v i t i e s o f t h e s e a r e n a s m o r e p r o m i n e n t a n d t h e y n e e d t o e n g a g e t e a c h e r s i n t h e m . F o r e x a m p l e , t h e y m i g h t p r o v i d e a m a p o r p i c t u r e o f t h e l a r g e r m a t h e m a t i c a l t e r r a i n i n t o w h i c h a s e t o f i d e a s fi t s , i n c l u d i n g d i s c u s s i o n o f s e q u e n c i n g a n d p a c i n g . A l s o , b y d i s c u s s i n g i d e a s u n d e r l y i n g t a s k s a n d w a y s t h e y m i g h t b e a d a p t e d , a t e x t c a n e n c o u r a g e t e a c h e r s t o m a k e i n f o r m e d a d a p t a t i o n s o r i n v e n t n e w t a s k s . U n d e r l y i n g t h e s u g g e s t i o n s a b o v e i s t h e a s s u m p t i o n t h a t t e x t b o o k s s h o u l d t a l k t o t e a c h e r s a b o u t m o r e t h a n t h e y t r a d i t i o n a l l y h a v e . R a t h e r t h a t m e r e l y g i v i n g t a s k s f o r t e a c h e r s t o u s e , t e x t s n e e d t o i n c l u d e d i s c u s s i o n s o f t h e u n d e r l y i n g m a t h e m a t i c a l i d e a s , h o w t e a c h e r s c a n u s e t h e m , a n d h o w s t u d e n t s m i g h t r e s p o n d . T h e a i m o f r e s o u r c e s s u c h a s t h e s e w o u l d b e t o f a c i l i t a t e t e a c h e r r e a d i n g a n d d e c i s i o n m a k i n g i n a l l t h r e e a r e n a s a n d t o f o s t e r t h e i r l e a r n i n g . A r e l a t e d a s s u m p t i o n , t h a t I d i s c u s s b e l o w , i s t h a t t e x t b o o k s w i l l n e e d t o c o m m u n i c a t e w i t h t e a c h e r s d i f f e r e n t l y . H o w T e x t b o o k W r i t e r s C o m m u n i c a t e w i t h T e a c h e r s A s I h a v e a l r e a d y d i s c u s s e d , t h e H B J t e x t b o o k w a s d e s i g n e d t o p r o v i d e t e a c h e r s w i t h a c o l l e c t i o n o f t a s k s t o g i v e t o s t u d e n t s . I t c o m m u n i c a t e d b y s p e a k i n g M g } ; t h e t e a c h e r s a n d t h e g u i d a n c e i t p r o v i d e d f o r t h e i r a c t i o n s . I t d i d n o t s p e a k t _ o t h e m a b o u t t h e s e t a s k s o r t h e i d e a s u n d e r l y i n g t h e m . T h i s c h o i c e o f l a n g u a g e i s c o m m o n a m o n g m a n y c u r r i c u l u m g u i d e s t h a t s e t o u t t o s h a p e t h e a c t i v i t i e s o f t h e c o n s t r u c t i o n a r e n a . T h e y t e n d t o d i r e c t t e a c h e r s ' a c t i o n s b y o f f e r i n g s t e p s t o f o l l o w , p r o b l e m s t o g i v e , a c t u a l q u e s t i o n s t o a s k , a n d a n s w e r s t o e x p e c t . T h i s a p p r o a c h t o t e a c h i n g g u i d a n c e f o c u s e s e n t i r e l y o n t h e i n - c l a s s a c t i v i t i e s o f t e a c h i n g a n d n o t o n t h e r a t i o n a l e s , a s s u m p t i o n s , o r a g e n d a s s u p p o r t i n g t h e m , d i s c o u r a g i n g t e a c h e r s f r o m e n g a g i n g t h e i d e a s u n d e r l y i n g t h e w r i t e r s ' d e c i s i o n s a n d s u g g e s t i o n s . T e x t s d e s i g n e d t o e n g a g e t e a c h e r s i n h e l p f u l d i a l o g u e w o u l d n e e d t o c o m m u n i c a t e i n a d i f f e r e n t l a n g u a g e i n o r d e r t o a t t e n d t o t h e a c t i v i t i e s o f r e a d i n g a n d d e c i s i o n m a k i n g . T h e y m u s t b e d e s i g n e d t o s p e a k t _ o t h e m , n o t m e r e l y m a g g a t h e m . I n a d d i t i o n t o s u g g e s t i n g t o t e a c h e r s w h a t t h e y m i g h t s a y o r d o , t e x t w r i t e r s n e e d t o t a l k t o 2 9 6 t e a c h e r s a b o u t t h e s e s u g g e s t i o n s , a b o u t t h e m a t h e m a t i c a l a n d p e d a g o g i c a l i d e a s u n d e r l y i n g t h e m , a n d a b o u t s t u d e n t s ' l i k e l y e n c o u n t e r s w i t h t h e m . I n d o i n g s o , t h e y n e e d t o m a k e t h e i r a g e n d a s a n d p e r s p e c t i v e s a c c e s s i b l e t o t e a c h e r s . T h e s u g g e s t i o n s i n t h e p r e v i o u s s e c t i o n a r e a l l p r e d i c a t e d o n t h e a s s u m p t i o n t h a t t e x t b o o k s m i g h t b e d e s i g n e d t _ o t a l k t o t e a c h e r s i n t h i s w a y . W e i g h i n g t h e P o s s i b i l i t i e s T h e s e s u g g e s t i o n s f o r r e d e s i g n e d t e x t b o o k s a r e t w o o v e r a r c h i n g r e c o m m e n d a t i o n s t h a t h a v e g r o w n o u t o f m y fi n d i n g s : t e x t s n e e d t o o f f e r b o t h m o r e a n d l e s s t h a n t h e y t r a d i t i o n a l l y h a v e . T h e y n e e d t o o f f e r m o r e i n t e r m s o f c o n v e r s a t i o n , d e s c r i p t i o n , i m a g e s , e x a m p l e s , r e s o u r c e s , a n d fl e x i b i l i t y . B u t t h e y w o u l d a l s o n e e d t o o f f e r l e s s i n t e r m s o f p r e d e t e r m i n e d s t r u c t u r e a n d d e s i g n . T o g e t h e r , t h e s e t w o r e c o m m e n d a t i o n s p l a c e u n t y p i c a l e x p e c t a t i o n s o n t e x t b o o k s a n d t e x t w r i t e r s ; t h e y r e q u i r e t h a t t e x t b o o k s l o o k c o n s i d e r a b l y d i f f e r e n t f r o m c u r r e n t t e x t s , a n d t h e y s u g g e s t d i f f e r e n t p e r s p e c t i v e s a n d a i m s f o r t e x t w r i t e r s . I e x p l o r e t h e i m p l i c a t i o n s o f t h e s e d e m a n d s i n t h e f o l l o w i n g s e c t i o n . I m p l i c a t i o n s f o r R e f o r m - O r i e n t e d T e x t b o o k s a n d T e x t b o o k W r i t e r s T h e r e c o m m e n d a t i o n s i n t h e p r e v i o u s s e c t i o n c a l l f o r a r a d i c a l s h i f t i n t h e d e s i g n a n d p u r p o s e o f t e x t s , a s o p p o s e d t o t h e s u p e r fi c i a l c h a n g e s e v i d e n t i n t h e H B J t e x t b o o k S o m e d e v e l o p e r s o f a l t e r n a t i v e c u r r i c u l u m m a t e r i a l s h a v e b e g u n t o p u r s u e t h e s e s h i f t s b y m a k i n g c h a n g e s i n t h e s t a n d a r d t e x t f o r m a t . I n c r e a s e d e m p h a s i s o n c l a s s r o o m i n t e r a c t i o n a n d s t u d e n t a c t i v i t y h a s l e d m a n y d e v e l o p e r s t o r e d u c e t h e a m o u n t o f p a p e r a n d p e n c i l w o r k . S o m e h a v e e l i m i n a t e d t h e s t u d e n t ' s t e x t a l l t o g e t h e r , r e l y i n g o n b l a c k - l i n e m a s t e r s o r s t u d e n t a c t i v i t y b o o k l e t s w h e n n e c e s s a r y . M a n y a l t e r n a t i v e t e x t w r i t e r s a l s o a v o i d p r e s e n t i n g t h e m a t h e m a t i c s c u r r i c u l u m i n a l a r g e n u m b e r o f c h a p t e r s t h a t f o c u s o n s k i l l d e v e l o p m e n t . S o m e r e c e n t l y d e v e l o p e d m a t e r i a l s c o n s i s t o f f e w e r u n i t s t h a t f o c u s o n c o n c e p t u a l i d e a s . F e w c u r r i c u l u m d e v e l o p e r s , h o w e v e r , h a v e a t t e m p t e d t o e n g a g e t e a c h e r s i n t h e t y p e o f c u r r i c u l u m d e v e l o p m e n t c a l l e d f o r b y t h e p r e c e d i n g 2 9 7 r e c o m m e n d a t i o n s . D o i n g s o i s l i k e l y t o r e q u i r e c h a n g e s i n t h e o r i e n t a t i o n s a n d u n d e r s t a n d i n g s o f t h o s e t h a t w r i t e t h e m . I m p l i c a t i o n s f o r W r i t e r s o f T e x t b o o k s T h o s e w h o w r i t e t e x t b o o k s o r o t h e r c u r r i c u l u m m a t e r i a l s a r e g e n e r a l l y t h o u g h t o f a s c u r r i c u l u m d e v e l o p e r s s i n c e t h e f o c u s o f t h e i r w o r k i s o n c o n c e p t u a l i z i n g a n d o r g a n i z i n g t h e c u r r i c u l u m f o r t e a c h e r s . M y fi n d i n g s , h o w e v e r , h i g h l i g h t t h e s i g n i fi c a n t r o l e t h a t t e a c h e r s p l a y i n t h e c u r r i c u l u m d e v e l o p m e n t p r o c e s s a n d t h e c o n s e q u e n t n e e d f o r t e x t s t o c o n t r i b u t e t o t e a c h e r d e v e l o p m e n t a s a m e a n s o f c o n t r i b u t i n g t h e c u r r i c u l u m d e v e l o p m e n t . C o n s e q u e n t l y , t e x t w r i t e r s n e e d t o k n o w a b o u t m o r e t h a n m a t h e m a t i c s , c u r r i c u l u m , a n d s t u d e n t l e a r n i n g . T h e y m u s t b e a b l e t o u n d e r s t a n d t e a c h e r s a n d t h e p r o c e s s e s o f l e a r n i n g t o t e a c h m a t h e m a t i c s d i f f e r e n t l y . T h e y n e e d t o d r a w o n a n d a d d t o g e n e r a l k n o w l e d g e a b o u t t e a c h e r s a n d t e a c h e r l e a r n i n g , a n d t h e y n e e d t o u n d e r s t a n d a n d a t t e n d t o t h e d i v e r s i t y o f t e a c h e r s . K n o w l e d g e a b o u t t e a c h e r s . I n o r d e r t o c o n t r i b u t e t o t e a c h e r d e v e l o p m e n t , t e x t w r i t e r s n e e d t o u n d e r s t a n d w h o t e a c h e r s a r e a n d w h a t t h e y b r i n g t o t h e i r m a t h e m a t i c s i n s t r u c t i o n . C u r r i c u l u m m a t e r i a l s a n d t h e l a n g u a g e u s e d t o t a l k t o t e a c h e r s n e e d t o r e fl e c t t h i s u n d e r s t a n d i n g . I t i s i m p e r a t i v e t h a t t h e w o r k o f c u r r i c u l u m w r i t e r s ' b e i n f o r m e d b y k n o w l e d g e a b o u t t e a c h e r s i n r e l a t i o n t o m a t h e m a t i c s i n s t r u c t i o n , t h e r e f o r m s , a n d t h e p r o c e s s e s o f t e a c h e r l e a r n i n g a n d c h a n g e . 2 T h e g r o w i n g b o d y o f r e s e a r c h o n t e a c h e r t h i n k i n g , l e a r n i n g , a n d c h a n g e c a n c o n t r i b u t e t o t h i s k n o w l e d g e ( c f . H a r g r e a v e s , 1 9 9 4 ; H u b e r m a n , 1 9 9 3 ; S c h i f t e r , 1 9 9 5 a 8 : 1 9 9 5 b ) . T h o s e w h o w r i t e t e x t s s h o u l d b e f a m i l i a r w i t h t h e r e s e a r c h o n t h e r e l a t i o n s h i p s b e t w e e n e x p e r i e n c e s , b e l i e f s , a n d p r a c t i c e s . F u r t h e r m o r e , fi e l d t e s t s o f c u r r i c u l u m m a t e r i a l s u n d e r d e v e l o p m e n t 2 I t i s l i k e l y t h a t m a n y c u r r i c u l u m d e v e l o p e r s k n o w s o m e t h i n g a b o u t t e a c h e r s w i t h r e g a r d t o t h e s e t o p i c s . I t i s , h o w e v e r , n o t e v i d e n t t h a t t h i s k n o w l e d g e i n f o r m s t h e d e s i g n o f t e x t s . A s I w i l l d i s c u s s l a t e r i n t h i s c h a p t e r , t h e m o s t p o w e r f u l f a c t o r i n fl u e n c i n g t h e c h o i c e s o f c o m m e r c i a l p u b l i s h e r s i s t h e m a r k e t . T h e i r d e s i g n c h o i c e s a r e b a s e d o n w h a t w i l l s e l l . A t t h i s p o i n t , w e d o n o t k n o w w h e t h e r a t e x t t h a t p a y s a t t e n t i o n t o t e a c h e r s a s a c t i v e c u r r i c u l u m d e v e l o p e r s a n d l e a r n e r s w i l l s e l l i n t h e c o m m e r c i a l m a r k e t b e c a u s e i t h a s n e v e r b e e n t r i e d . 2 9 8 s h o u l d b e d e s i g n e d t o c o n t r i b u t e t o t h i s k n o w l e d g e a n d s h o u l d c o n t i n u a l l y i n f o r m t h e w a y t e x t w r i t e r s t a l k t o t e a c h e r s . I n a d d i t i o n t o k n o w i n g a b o u t w h a t t e a c h e r s v a l u e o r p a y a t t e n t i o n t o , t e x t w r i t e r s a l s o n e e d t o u n d e r s t a n d w h i c h t o p i c s a r e l i k e l y t o b e d i f fi c u l t f o r t e a c h e r s . F o r e x a m p l e , t h e y n e e d t o b e a w a r e t h a t t h e t y p e o f m a t h e m a t i c s i n s t r u c t i o n t h a t t h e c u r r e n t r e f o r m s p r o m o t e i s v a s t l y d i f f e r e n t f r o m t h e m a t h m o s t A m e r i c a n s e n c o u n t e r e d a s s t u d e n t s o r a s t e a c h e r s . I t i s t h e r e f o r e l i k e l y t h a t t e a c h e r s w i l l fi n d m a n y t a s k s a s u n f a m i l i a r a n d c h a l l e n g i n g f o r t h e m s e l v e s a s t h e y a r e f o r s t u d e n t s . I n o t h e r w o r d s , c u r r i c u l u m d e v e l o p e r s n e e d t o r e a l i z e t h a t l e a r n i n g t o t e a c h m a t h e m a t i c s f o r u n d e r s t a n d i n g i s n e c e s s a r i l y a p r o c e s s o f u n l e a r n i n g a n d r e l e a m i n g ( B a l l , 1 9 9 4 ; T a l b e r t 8 : M c L a u g h l i n , 1 9 9 3 ) . T h u s , r e f o r m - o r i e n t e d t e x t s n e e d t o r e c o g n i z e a n d s u p p o r t t h i s p r o c e s s . M y a n a l y s i s o f t h e H B J t e x t s u g g e s t s t h a t t h e w r i t e r s a s s u m e d t h a t t e a c h e r s w e r e f a m i l i a r w i t h t h e r e f o r m a g e n d a a n d t h e i n t e n t b e h i n d t h e c h o i c e s i n t h e t e x t . T h e y a s s u m e d , f o r e x a m p l e , t h a t t e a c h e r s u n d e r s t o o d a n d w e r e a l r e a d y c o m m i t t e d t o t h e n e w i d e a s t h e t e x t s u g g e s t e d . T h e s e a s s u m p t i o n s d i d n o t h o l d t r u e f o r e i t h e r C a t h e r i n e o r J a c k i e . D i f f e r e n c e g m o n g t e a c h e r s . I n a d d i t i o n t o d r a w i n g o n g e n e r a l k n o w l e d g e a b o u t t e a c h e r s a s a g r o u p , c u r r i c u l u m w r i t e r s n e e d t o b e i n f o r m e d b y a n u n d e r s t a n d i n g o f t h e w a y s i n w h i c h t e a c h e r s a r e l i k e l y t o b e d i f f e r e n t . T e x t w r i t e r s n e e d t o k n o w a b o u t t h e r a n g e o f d i f f e r e n t p e r s p e c t i v e s a n d b a c k g r o u n d s t e a c h e r s b r i n g t o t h e i r t e a c h i n g . C a t h e r i n e a n d J a c k i e , f o r e x a m p l e , w e r e a t d i f f e r e n t p o i n t s i n t h e i r l e a r n i n g w i t h r e g a r d t o t h e r e f o r m s w h e n t h e y fi r s t e n c o u n t e r e d t h e H B J t e x t . T h e t e x t , h o w e v e r , m e t b o t h t e a c h e r s a t t h e s a m e p l a c e ; i t a s s u m e d t h a t t h e y b o t h w o u l d i n t e r a c t w i t h i t i n t h e s a m e w a y a n d t h a t t h e y b o t h h a d t h e s a m e k n o w l e d g e a n d i d e a s a b o u t t e a c h i n g m a t h e m a t i c s a n d t h e r e f o r m s . A t e x t t h a t c a n e f f e c t i v e l y c o n t r i b u t e t o b o t h C a t h e r i n e ' s a n d J a c k i e ' s c u r r i c u l u m d e v e l o p m e n t w o u l d n e e d t o r e c o g n i z e a n d a c c o m m o d a t e t h e s e d i f f e r e n c e s . T h e t a s k f o r t e x t w r i t e r s , t h e n , i s t o c o n s t r u c t m a t e r i a l s t h a t a r e m u l t i f a c e t e d i n w h a t t h e y 2 9 9 o f f e r t o t e a c h e r s . T h e y n e e d t o o f f e r s t r a i g h t - f o r w a r d g u i d a n c e o r s u g g e s t i o n s , a c c e s s i b l e e x p l a n a t i o n s o f u n d e r l y i n g i d e a s , i m a g e s o f c l a s s r o o m i n t e r a c t i o n , a n d a l l o w f o r a g r e a t d e a l o f fl e x i b i l i t y a n d i n v e n t i o n . I n e s s e n c e , r e f o r m - o r i e n t e d t e x t s m u s t , a t o n c e , p r e s e n t a v i s i o n o f t h o u g h t f u l m a t h e m a t i c s t e a c h i n g a n d h e l p a r a n g e o f d i f f e r e n t t e a c h e r s p u r s u e i t . R e t h i n k i n g t h e M e d i u m o f R e f o r m - O r i e n t e d C u r r i c u l u m M a t e r i a l s T h e s u g g e s t i o n s I h a v e m a d e f o r w h a t r e f o r m - o r i e n t e d c u r r i c u l u m m a t e r i a l s n e e d t o o f f e r t e a c h e r s a n d h o w t h e y n e e d t o c o m m u n i c a t e w i t h t e a c h e r s d o n o t r e a d i l y fi t i n t o t h e s t a n d a r d t e x t b o o k f o r m a t . T h e c o n t e n t s w o u l d n e e d t o b e s i g n i fi c a n t l y t h i c k e r t h a n m o s t t e x t s a n d t h e y w o u l d n e e d t o b e d e s i g n e d i n a w a y t h a t a l l o w s t h e m t o b e fl e x i b l e a n d r e s p o n s i v e t o t e a c h e r s ' d e c i s i o n s . T h e s e d e m a n d s b r i n g t o t h e f o r e t h e l i m i t a t i o n s o f t h e m e d i u m o f t h e s t a n d a r d , p r i n t e d t e x t b o o k f o r m a t , r a i s i n g q u e s t i o n s a b o u t a l t e r n a t i v e m e d i a f o r c u r r i c u l u m m a t e r i a l s . O n e p o s s i b l e a l t e r n a t i v e i s c o m p u t e r — g e n e r a t e d h y p e r t e x t e n v i r o n m e n t s . B e i n g m u c h m o r e v e r s a t i l e , fl e x i b l e , a n d n o n l i n e a r t h a n p r i n t e d b o o k s , h y p e r t e x t m a y h a v e t h e c a p a c i t y t o p r o v i d e s p a c e f o r t e a c h e r s t o e n g a g e i n t h e c u r r i c u l u m d e v e l o p m e n t p r o c e s s . F u r t h e r m o r e , b e c a u s e i t i s a m e d i u m f o r c u r r i c u l u m m a t e r i a l s , h y p e r t e x t m a y b e f r e e o f m u c h o f t h e b a g g a g e t h a t o t h e r m a t e r i a l s c a r r y . B e l o w I b r i e fl y c o n s i d e r s o m e w a y s t h a t a h y p e r t e x t e n v i r o n m e n t m i g h t fi t w i t h t h e r o l e I h a v e s u g g e s t e d r e f o r m - o r i e n t e d c u r r i c u l u m m a t e r i a l s n e e d t o p l a y . I d o n o t s e e h y p e r t e x t a s t h e o n l y p o s s i b l e m e d i u m f o r s u c h t e x t s , b u t i t s e e m s m o r e a p p r o p r i a t e t h a n o t h e r s I a m a b l e t o i m a g i n e a t t h i s p o i n t . 3 C l e a r l y t h i s i s a n a r e a i n n e e d o f f u r t h e r c o n c e p t u a l i z a t i o n a n d r e s e a r c h . M y i m m e d i a t e a i m i s t o s u g g e s t a n a l t e r n a t i v e t h a t d e fi e s t h e b o u n d a r i e s e s t a b l i s h e d b y w h a t i s f a m i l i a r . 3 M y k n o w l e d g e o f t h e c o m p l e x i t i e s o f h y p e r t e x t i s l i m i t e d . H o w e v e r , I h a v e b e e n e n c o u r a g e d t o c o n s i d e r s u c h a m e d i u m f o r c u r r i c u l u m m a t e r i a l s t h a t c a n b e m o r e i n t e r a c t i v e f o r t e a c h e r s t h r o u g h c o n v e r s a t i o n s w i t h D a n C h a z a n a n d S t e v e S m i t h . M y u n d e r s t a n d i n g o f t h e i n t e r a c t i v e a n d fl e x i b l e p o s s i b i l i t i e s o f h y p e r t e x t , w h i l e s t i l l m i n i m a l , h a s g a i n e d d e p t h t h r o u g h o b s e r v a t i o n s o f t h e w o r k o f D e b o r a h B a l l a n d M a g d a l e n e L a m p e r t , w h o h a v e d e v e l o p e d h y p e r t e x t e n v i r o n m e n t s t o b e u s e d i n t e a c h e r e d u c a t i o n . 3 0 0 L i k e m o s t c o m p u t e r - g e n e r a t e d e n v i r o n m e n t s , h y p e r t e x t h a s t h e c a p a c i t y t o i n t e r a c t w i t h t e a c h e r s u s i n g m u l t i p l e f o r m a t s . U n l i k e a p r i n t e d t e x t t h a t i s l i m i t e d t o w o r d s , p i c t u r e s , a n d d r a w i n g s o n t h e p a g e , a n e l e c t r o n i c m e d i u m c a n a l s o d i s p l a y v i d e o s e g m e n t s o f c l a s s r o o m i n t e r a c t i o n o r a u d i o t a p e d c o m m e n t a r y b y t e a c h e r s . B e c a u s e t h e s e o f f e r i n g s w o u l d n o t b e a r r a n g e d i n a l i n e a r m a n n e r , t e a c h e r s c o u l d a c c e s s t h e m i n t h e o r d e r t h a t m a d e s e n s e t o t h e m , r a t h e r t h a n i n a n o r d e r s e l e c t e d b y t h e w r i t e r . I t c a n o f f e r m a n y p o s s i b l e p a t h s t h r o u g h i t s c o n t e n t s t h a t a r e a k i n t o B r i d g h a m ' s ( 1 9 7 1 ) t r a j e c t o r i e s t h r o u g h p e d a g o g i c s p a c e . E l e c t r o n i c m e d i a a l s o h a v e t h e c a p a c i t y t o s t o r e a g r e a t d e a l o f i n f o r m a t i o n i n a n o r g a n i z e d w a y , m a k i n g i t p o s s i b l e f o r c u r r i c u l u m m a t e r i a l s t o c o n t a i n t h e t h i c k n e s s a n d d e p t h n e c e s s a r y i n o r d e r t o b e a c c e s s i b l e t o a n d a p p r o p r i a t e f o r a d i v e r s e g r o u p o f t e a c h e r s w i t h o u t b e i n g p h y s i c a l l y c u m b e r s o m e . C u r r i c u l u m m a t e r i a l s s t o r e d i n h y p e r t e x t a l s o h a s t h e p o t e n t i a l t o p u t t h e u s e r i n c h a r g e o f d i r e c t i n g a p a t h t h r o u g h t h e m a t e r i a l s . I n f a c t , u s i n g i t w o u l d r e q u i r e t e a c h e r s t o n a v i g a t e t h r o u g h t h e m a n d i n t e r a c t w i t h t h e m . T h e n o n - l i n e a r n a t u r e o f a h y p e r t e x t e n v i r o n m e n t c o u l d p r o v i d e t h e fl e x i b i l i t y n e c e s s a r y f o r t e a c h e r s t o a c t o n t h e i r r e a d i n g o f t h e c l a s s r o o m s i t u a t i o n . T h e c h a n g e a b l e n a t u r e o f a n e l e c t r o n i c m e d i u m w o u l d e n a b l e d e v e l o p e r s t o p r o v i d e c u r r i c u l a r p l a n s t h a t a r e v e r s a t i l e , a l l o w i n g t h e t e a c h e r t o a d a p t a n d a d d t o t h e m . L i m i g o f C h q u T e x t b o o k s T h e t y p e o f t e x t b o o k I h a v e c o n c e p t u a l i z e d p r e s c r i b e s a d i f f e r e n t r e l a t i o n s h i p w i t h t e a c h e r s t h a n h a s c o m m o n l y b e e n t h e c a s e . T e x t b o o k s h a v e m o s t f r e q u e n t l y b e e n d e s i g n e d t o s h a p e t h e c u r r i c u l u m f o r t e a c h e r s a n d g u i d e t h e m i n c a r r y i n g o u t t h e s e p r e d e t e r m i n e d p l a n s . M y fi n d i n g s s u g g e s t t h a t t e x t b o o k s a n d c u r r i c u l u m m a t e r i a l s c a n c o n t r i b u t e m o r e s u b s t a n t i v e l y t o r e f o r m - o r i e n t e d t e a c h i n g i f t h e y p l a c e m u c h o f t h e d e c i s i o n m a k i n g i n t e a c h e r s ' h a n d s . D o i n g s o w o u l d r e q u i r e t h e d e g r e e o f a u t o n o m y t h a t S h u l m a n ( 1 9 8 3 ) e n v i s i o n e d f o r t e a c h e r s w i t h r e s p e c t t o p o l i c y w h e n h e s u g g e s t e d t h a t p o l i c i e s m i g h t r e p r e s e n t m o r a l a n d p o l i t i c a l i m p e r a t i v e s r a t h e r t h a n d i r e c t i v e s o f 3 0 1 t e a c h e r a c t i o n s . G i v e n t h e p e r s o n a l a n d c o n t e x t u a l f a c t o r s t h a t fi g u r e d i n C a t h e r i n e ' s a n d J a c k i e ' s c h o i c e s , i t i s u n l i k e l y t h a t t h i s a u t o n o m y c a n b e n u r t u r e d b y c h a n g e d c u r r i c u l u m m a t e r i a l s a l o n e . T h u s , s u c c e s s o f r e d e s i g n e d t e x t b o o k s i s n e c e s s a r i l y d e p e n d e n t o n o p p o r t u n i t i e s a n d s u p p o r t f o r t e a c h e r s t o l e a r n . I n h i s d i s c u s s i o n o f p o l i c i e s a s s h e l l s i n w h i c h t h e k e r n e l o f p r o f e s s i o n a l j u d g m e n t m i g h t f u n c t i o n c o m f o r t a b l y , S h u l m a n ( 1 9 8 3 ) r a i s e s q u e s t i o n s a b o u t t h e s e o t h e r c o n s i d e r a t i o n s : I f p r o f e s s i o n a l s a r e t o e x p l o i t t h e o p p o r t u n i t i e s o f f e r e d b y a u t o n o m y i n t h e i n t e r e s t s o f y o u n g s t e r s , h o w m u s t t h e y b e e d u c a t e d , s e l e c t e d , s u p p o r t e d , a n d s u p e r v i s e d ? W h a t i s n e e d e d o n t h e p a r t s o f e d u c a t o r s i f t h e y a r e t o r e n d e r i n t e l l i g e n t a n d p r o p e r j u d g m e n t s r e g a r d i n g c h o i c e s a m o n g c o m p e t i n g p o l i c i e s , t r a d e - o f f s b e t w e e n a l t e r n a t i v e g o a l s o r d e c i s i o n s r e g a r d i n g f r u i t f u l m e t h o d s ? ( p . 5 0 1 ) I t i s t h e s e q u e s t i o n s o f t e a c h e r e d u c a t i o n a n d s u p p o r t t h a t I t a k e u p i n t h e e n s u i n g s e c t i o n s . I m p l i c a t i o n s f o r T e a c h e r E d u c a t i o n a a d P r o f e s s i o n a l D e v e l p p m e fl M y fi n d i n g s a n d s u b s e q u e n t r e c o m m e n d a t i o n s f o r r e v i s e d t e x t b o o k s a n d c u r r i c u l u m g u i d e s h a v e i m p l i c a t i o n s f o r t h e e d u c a t i o n a n d d e v e l o p m e n t o f t e a c h e r s f o r t w o r e a s o n s . F i r s t , b e c a u s e t h e t y p e o f i n t e r a c t i v e r e l a t i o n s h i p t h a t I e n v i s i o n f o r t e a c h e r s a n d t e x t s i s f o r e i g n t o m o s t t e a c h e r s , t h e y n e e d o p p o r t u n i t i e s t o l e a r n t o p a r t i c i p a t e w i t h t e x t s i n c u r r i c u l u m d e v e l o p m e n t . S e c o n d , a s t h e v a r i o u s f a c t o r s t h a t i n fl u e n c e d C a t h e r i n e ' s a n d J a c k i e ' s c h o i c e s s u g g e s t , t h e r e i s m u c h t h a t r e v i s e d t e x t b o o k s c a n n o t a c c o m p l i s h a l o n e . I n o t h e r w o r d s , i t i s u n l i k e l y t h a t r e f o r m e d c u r r i c u l u m m a t e r i a l s w i l l h a v e a n y s i g n i f i c a n t i m p a c t o n t e a c h i n g i f c o n s i d e r a t i o n i s n o t g i v e n t o t h e t y p e s a n d n a t u r e o f s u p p o r t t h a t a c c o m p a n y t h e m . M y a i m i s n o t t o c a s t p r o f e s s i o n a l d e v e l o p m e n t a s a n e c e s s a r y m e a s u r e i n t h e s u c c e s s f u l c h a n g e o f c u r r i c u l u m m a t e r i a l s . R a t h e r , i t i s t o e m p h a s i z e t h e n e e d f o r c o o r d i n a t e d a n d c o h e r e n t e f f o r t s i n c u r r i c u l u m m a t e r i a l d e v e l o p m e n t a n d t e a c h e r d e v e l o p m e n t a c t i v i t i e s . I n t h e f o l l o w i n g d i s c u s s i o n I c o n s i d e r h o w p r o f e s s i o n a l d e v e l o p m e n t a c t i v i t i e s a n d p r e s e r v i c e t e a c h e r e d u c a t i o n c a n s u p p o r t t e a c h e r s i n b e c o m i n g m o r e a c t i v e i n t h e c u r r i c u l u m d e v e l o p m e n t p r o c e s s . I f o c u s m y s u g g e s t i o n s o n t h r e e r e l a t e d a r e a s o f 3 0 2 l e a r n i n g f o r t e a c h e r s : ( a ) c u l t i v a t i o n o f r e a d i n g a n d d e c i s i o n m a k i n g , ( b ) d e e p e n i n g a n d b r o a d e n i n g t h e i r m a t h e m a t i c a l k n o w l e d g e , a n d ( c ) d e v e l o p i n g k n o w l e d g e o f t h e w o r k i n g s o f t h e c u r r i c u l u m d e v e l o p m e n t i n d u s t r y . D e v e l o p m e n t i n t h e s e t h r e e a r e a s c a n f o s t e r t e a c h e r s ' a b i l i t i e s t o a s s e s s s t u d e n t s a n d m a t h e m a t i c a l t a s k s a n d g o a l s , a n d t o c r i t i c a l l y e x a m i n e t h e o f f e r i n g s i n t h e i r t e x t b o o k s i n o r d e r t o a d a p t a n d t r a n s f o r m t h e m . D e v e l o p i n g t h e s e a b i l i t i e s i s l i k e l y t o r e q u i r e t i m e a n d e x p e r i e n c e ( B r i d g h a m , 1 9 7 1 ; B e n - P e r e t z , 1 9 9 0 ) . A c c o r d i n g t o B a l l a n d F e i m a n - N e m s e r ( 1 9 8 8 ) , t r a n s f o r m i n g o n e ' s c u r r i c u l u m m a t e r i a l s " r e q u i r e s a n u n d e r s t a n d i n g o f t h e m e a n i n g a n d p o s s i b l e c o n s e q u e n c e s o f t h e w a y t h e y a r e d e s i g n e d a n d w h a t t h e y i n c l u d e " ( p . 4 2 0 ) . H a v i n g m i n i m a l c l a s s r o o m e x p e r i e n c e , n e w t e a c h e r s a r e l i k e l y t o b e l e s s p r e p a r e d t o a n t i c i p a t e t h e c o n s e q u e n c e s o f c u r r i c u l a r p l a n s . T h u s , i n s e r v i c e t e a c h e r d e v e l o p m e n t s e e m s t o b e a m o r e f r u i t f u l c o n t e x t f o r h e l p i n g t e a c h e r s e x p a n d t h e i r a b i l i t i e s t o i n t e r a c t w i t h a n d t r a n s f o r m p r e p a r e d c u r r i c u l u m m a t e r i a l s . N e v e r t h e l e s s , p r e s e r v i c e t e a c h e r e d u c a t i o n c a n b e v i e w e d , a s B e n - P e r e t z ( 1 9 9 0 ) s u g g e s t s , a s t h e p l a c e t o l a y " t h e n e c e s s a r y f o u n d a t i o n s f o r t h e f u t u r e d e v e l o p m e n t a n d g r o w t h o f t h e a b i l i t i e s n e e d e d f o r r e fl e c t i v e , p r o b l e m - s o l v i n g - o r i e n t e d , a n d c r e a t i v e c u r r i c u l u m u s e " ( p . 1 1 0 ) . W i t h t h i s i n m i n d , I b e g i n e a c h s e c t i o n b e l o w b y c o n s i d e r i n g w a y s t h a t i n s e r v i c e t e a c h e r d e v e l o p m e n t m i g h t s u p p o r t t e a c h e r s ' c u r r i c u l u m d e v e l o p m e n t a c t i v i t i e s . I t h e n c o n s i d e r h o w p r e s e r v i c e t e a c h e r e d u c a t i o n m i g h t l a y t h e f o u n d a t i o n f o r t h i s l a t e r l e a r n i n g . C u l t i v a t i n g R e a d i n g a n d D e c i s i o n M a k i n g A t t h e b e g i n n i n g o f t h i s c h a p t e r , I d i s c u s s e d t h e c e n t r a l r o l e t h a t r e a d i n g p l a y e d i n t h e t e a c h e r s ' c u r r i c u l u m - d e v e l o p m e n t d e c i s i o n s a n d i n t h e i r p r o f e s s i o n a l d e v e l o p m e n t . H o w t h e t e a c h e r s i n t e r p r e t e d t h e o f f e r i n g s i n t h e t e x t b o o k a n d t h e e v e n t s i n t h e i r t e a c h i n g fi g u r e d s i g n i f i c a n t l y i n t h e i r c h o i c e s . C o n s e q u e n t l y , I a r g u e d t h a t r e f o r m - o r i e n t e d t e a c h e r ' s g u i d e s n e e d e d t o b e d e s i g n e d t o e n c o u r a g e t e a c h e r s ' r e a d i n g a n d s u b s e q u e n t d e c i s i o n m a k i n g . T e a c h e r s ' p r o f e s s i o n a l d e v e l o p m e n t ( b o t h i n s e r v i c e a n d p r e s e r v i c e ) a l s o n e e d s t o p l a y a s i g n i fi c a n t r o l e i n f o s t e r i n g t e a c h e r s ' r e a d i n g a n d 3 0 3 d e c i s i o n m a k i n g w i t h r e s p e c t t o c u r r i c u l u m d e v e l o p m e n t . I n c o n t r a s t , p r o f e s s i o n a l d e v e l o p m e n t o p p o r t u n i t i e s a n d c o u r s e w o r k o f t e n f o c u s o n m e t h o d s a n d a c t i v i t i e s t o b e u s e d i n t h e c l a s s r o o m ( B a l l , 1 9 9 4 ; S p a r k s 8 : L o u k s - H o r s l e y , 1 9 9 0 ) . T h i s a p p r o a c h a s s u m e s t h a t m e t h o d s o r a c t i v i t i e s a r e s e l f - c o n t a i n e d a n d c o m p l e t e . M y a n a l y s e s o f t h e t e a c h e r s ' c u r r i c u l u m e n a c t m e n t , h o w e v e r , s u g g e s t e d t h a t t h e s e p r e p l a n n e d a c t i v i t i e s w e r e o n l y o n e o f m a n y r e s o u r c e s t h e y d r e w o n i n t h e p r o c e s s . I n o r d e r t o m a k e i n - a c t i o n c h o i c e s i n r e s p o n s e t o s t u d e n t s ' a c t i v i t i e s , C a t h e r i n e a n d J a c k i e d r e w o n p e r s o n a l r e s o u r c e s t o c o n s i d e r m a t h e m a t i c a l g o a l s , a s s e s s s t u d e n t s , a n d m a k e a d a p t a t i o n s o r i m p r o v i s a t i o n s . T h u s , w h i l e p r o f e s s i o n a l d e v e l o p m e n t n e e d n o t a b a n d o n t h e p r a c t i c e o f o f f e r i n g m e t h o d s a n d a c t i v i t i e s , i t s f o c u s s h o u l d b e o n f o s t e r i n g t e a c h e r s ' a b i l i t i e s t o t h o u g h t f u l l y a n d i n t e n t i o n a l l y u s e t h e m i n t h e p r o c e s s o f c u r r i c u l u m d e v e l o p m e n t . P r a c t i c i n g t e a c h e r s a r e l i k e l y t o h a v e e x p e r i e n c e a s s e s s i n g s t u d e n t s a n d e x a m i n i n g a n d r e s h a p i n g t e x t b o o k s u g g e s t i o n s t o fi t t h e i r c l a s s r o o m n e e d s . Y e t , a s C a t h e r i n e ' s c a s e i l l u s t r a t e d , t h i s r e a s o n i n g a n d d e c i s i o n m a k i n g i s o f t e n n o t e x p l i c i t . T h e a i m o f i n s e r v i c e p r o f e s s i o n a l d e v e l o p m e n t a c t i v i t i e s , t h e n , s h o u l d b e t o h e l p t e a c h e r s b e c o m e c o n s c i o u s l y a w a r e o f t h e c u r r i c u l u m d e v e l o p m e n t a c t i v i t i e s t h e y e n g a g e i n a n d t o e n c o u r a g e t h e m t o e x a m i n e t h e i d e a s u n d e r l y i n g t h e i r c h o i c e s . C a t h e r i n e a n d J a c k i e p r o v i d e t w o e x a m p l e s o f h o w o p p o r t u n i t i e s t o r e fl e c t o n t h e i r c u r r i c u l a r d e c i s i o n s a n d t o t a l k a b o u t t h e m t o o t h e r s h e i g h t e n e d t h e i r a w a r e n e s s o f t h e c h o i c e s t h e y m a d e . I n t h e c a s e s , I r e f e r r e d t o t h e s e a s o p p o r t u n i t i e s f o r c o n v e r s a t i o n a n d r e fl e c t i o n . J a c k i e ' s o p p o r t u n i t i e s i n v o l v e d c o n v e r s a t i o n s w i t h o t h e r c o l l e a g u e s . C a t h e r i n e ' s i n v o l v e d c o n v e r s a t i o n s w i t h m e . I n b o t h c a s e s , t h e r o l e o f t h e o t h e r w a s n o t t o p r o v i d e d i r e c t i o n o r a d v i c e ; i t w a s t o a s k q u e s t i o n s a n d e x a m i n e e v e n t s o f t h e i r p r a c t i c e , t h e i r r e a d i n g o f t h e t e x t , a n d t h e i r s u b s e q u e n t d e c i s i o n s w i t h t h e m . P r o f e s s i o n a l d e v e l o p m e n t t h a t p r o v i d e s s u c h o p p o r t u n i t i e s f o r t e a c h e r s , t o g e t h e r w i t h c o n t e x t u a l c h a n g e s n e c e s s a r y t o s u p p o r t t h e m , a r e l i k e l y t o f o s t e r t e a c h e r s ' e n g a g e m e n t o f t h e c u r r i c u l u m d e v e l o p m e n t p r o c e s s . T h e s e o p p o r t u n i t i e s m i g h t t a k e t h e f o r m o f c o l l a b o r a t i v e - i n q u i r y p a r t n e r s h i p s 3 0 4 a n d g r o u p s i n w h i c h t e a c h e r s a c t a s t h e " o t h e r " f o r o n e a n o t h e r . ‘ B e l o w I e x p l o r e s o m e r e l a t e d f o c i t h a t s u c h c o l l a b o r a t i v e i n q u i r y a c t i v i t i e s m i g h t i n c l u d e . R e a d i n g t e x t s . B e c a u s e t e x t s c a n b e r e a d i n m u l t i p l e w a y s a n d t e a c h e r s a r e l i k e l y t o r e a d t h e m d i f f e r e n t l y , c o l l a b o r a t i v e i n q u i r y g r o u p s m i g h t f o c u s o n r e a d i n g , i n t e r p r e t i n g , a n d e x p l o r i n g t h e i d e a s a n d s u g g e s t i o n s i n c u r r i c u l u m g u i d e s . T h i s t y p e o f w o r k w o u l d a l l o w t e a c h e r s t o e x a m i n e m a t h e m a t i c a l t a s k s , d i s c u s s u n d e r l y i n g c o n c e p t s a n d g o a l s , c o n s i d e r v a r i o u s o p t i o n s f o r u s i n g t h e m , a n d d i s c u s s t h e i r s t u d e n t s ' e n c o u n t e r s w i t h t h e m . T h e i d e a t h a t r e f o r m - o r i e n t e d c u r r i c u l u m m a t e r i a l s c a n s e r v e a s v e h i c l e s f o r t e a c h e r i n q u i r y , n o t j u s t i n s t r u c t i o n a l g u i d e s g r o w s o u t o f e v i d e n c e t h a t t e a c h e r s ' d i s c u s s i o n s a b o u t t h e i r u s e o f a n e w c u r r i c u l u m m a t e r i a l s f o s t e r s r e fl e c t i o n a n d s e l f e x a m i n a t i o n . M u c h o f t h i s e v i d e n c e r e m a i n s a n e c d o t a l , b u t h a s e m e r g e d d u r i n g p i l o t s t u d i e s o f n e w c u r r i c u l u m m a t e r i a l s ( I a p p a n , p e r s o n a l c o m m u n i c a t i o n , M a r c h , 1 9 9 4 ; R u s s e l l , 1 9 9 4 ; S m i t h , i n p r e p a r a t i o n ) . I t i s s u p p o r t e d b y m y fi n d i n g s r e g a r d i n g t h e i m p a c t t h a t C a t h e r i n e ' s c o n v e r s a t i o n s w i t h m e h a d o n h e r t h i n k i n g . R e a d i n g s m d e n t s a n d t a s k s i n a c t i o n . C e n t r a l t o t h e p r o c e s s o f e n a c t i n g c u r r i c u l u m w a s t h e t e a c h e r s ' r e a d i n g o f t h e e v e n t s i n t h e c o n s t r u c t i o n a r e n a . H o w t h e y m a d e s e n s e o f t h e i r s t u d e n t s ' n e e d s a n d u n d e r s t a n d i n g s a n d t h e d e m a n d s o f t h e m a t h e m a t i c a l t a s k s i n fl u e n c e d t h e i r i n - a c t i o n d e c i s i o n s . A s I d i s c u s s e d p r e v i o u s l y , m u c h o f t h i s r e a d i n g w a s n o t d e l i b e r a t e . C o l l a b o r a t i v e a c t i v i t i e s d e s i g n e d t o f o s t e r t e a c h e r s ' i n t e n t i o n a l r e a d i n g o f s t u d e n t s a n d t a s k s i n a c t i o n m i g h t i n v o l v e a n a l y s e s o f s t u d e n t s ' w o r k o r v i d e o s e g m e n t s o f c l a s s r o o m d i s c o u r s e . T h e f o c u s o f s u c h a n a l y s e s w o u l d b e o n i d e n t i f y i n g t h e m a t h e m a t i c a l r o o t s o f s t u d e n t s ' a c t i v i t i e s , a s s e s s i n g t h e i r u n d e r s t a n d i n g s w i t h r e s p e c t t o m a t h e m a t i c a l c o n c e p t s , a n d e x p l o r i n g p o s s i b l e c u r r i c u l a r a c t i o n s . T h o s e f a c i l i t a t i n g t e a c h e r g r o u p s t h a t i n v o l v e e x a m i n i n g s t u d e n t s ' t h i n k i n g a n d c l a s s r o o m d i s c o u r s e h a v e f o u n d t h a t s u c h a c t i v i t i e s c a n e n h a n c e t e a c h e r s ' m a t h e m a t i c a l 4 I n r e c o m m e n d i n g a t e a c h e r - i n q u i r y g r o u p f o r m a t , I a m d r a w i n g o n e v i d e n c e f r o m m a n y t e a c h e r d e v e l o p m e n t p r o j e c t s t h a t s u g g e s t s i m i l a r s t r u c t u r e s c a n b e h i g h l y m o t i v a t i n g c o n t e x t s f o r t e a c h e r s ' e x p l o r a t i o n a n d l e a r n i n g , a s w e l l a s s o u r c e s o f e m o t i o n a l s u p p o r t ( B a l l , 1 9 9 4 ; F e a t h e r s t o n e , P f e i f e r , 8 : S m i t h , 1 9 9 3 ; H a m m e r r n a n , 1 9 9 5 ; S m i t h 8 : F e a t h e r s t o n e , 1 9 9 5 ) . 3 0 5 k n o w l e d g e ( R u s s e l l e t a l . , 1 9 9 5 , S m i t h 8 : F e a t h e r s t o n e , 1 9 9 6 ) a n d t h e i r i d e a s a b o u t p e d a g o g y ( H a m m e r m a n , 1 9 9 5 ) . D e c i s i o n m a k i n g . D e c i s i o n m a k i n g g o e s h a n d i n h a n d w i t h r e a d i n g i n t h e c u r r i c u l u m d e v e l o p m e n t p r o c e s s . I n t h e t h r e e a r e n a s , t e a c h e r s m a k e d e c i s i o n s t h a t a r e b o t h p r o a c t i v e a n d r e a c t i v e . S o m e a r e p r e p l a n n e d ; o t h e r s a r e i m p r o v i s e d . T h e y d r a w o n t h e i r p e r s o n a l r e s o u r c e s t o d e c i d e h o w t o a c t o n t h e t e x t ' s s u g g e s t i o n s a n d r e s p o n d t o s t u d e n t s ' a c t i o n s . T h e s e d e c i s i o n s a r e a t t h e h e a r t o f t h e e n a c t e d c u r r i c u l u m . Y e t , l i k e m u c h o f t h e i r r e a d i n g , t h e d e c i s i o n - m a k i n g p r o c e s s i s o f t e n n o t e x p l i c i t a n d n o t a t a r g e t o f e f f o r t s t o s t i m u l a t e c u r r i c u l a r a n d p e d a g o g i c a l c h a n g e . C o l l a b o r a t i v e - i n q u i r y a c t i v i t i e s n e e d t o b e d e s i g n e d t o m a k e t h e d e c i s i o n - m a k i n g p r o c e s s e x p l i c i t a n d g r o u n d e d i n t h e r e s u l t s o f o n e ' s r e a d i n g . T e a c h e r s n e e d t o h a v e o p p o r t u n i t i e s t o c r i t i q u e d e c i s i o n s t h e y h a v e m a d e a n d e x p l o r e a l t e r n a t i v e p o s s i b i l i t i e s w i t h o t h e r s . T h e y a l s o n e e d t o e n g a g e i n d e c i s i o n m a k i n g w i t h c o l l e a g u e s a b o u t f u t u r e c u r r i c u l a r c h o i c e s . I n e s s e n c e t h e y s h o u l d b e s u p p o r t e d i n t h e i r e f f o r t s t o a d a p t c u r r i c u l u m i d e a l s t o t h e i r s p e c i fi c c o n t e x t s . M g s e e d _ s f o r f u t u r e r e a d i n g a n d d e c i s i o n m a k i n g . T h e r e a r e t h r e e r e l a t e d a r e a s o f d e v e l o p m e n t t h a t p r e s e r v i c e t e a c h e r e d u c a t i o n m i g h t p u r s u e i n o r d e r t o p r e p a r e t e a c h e r s t o a c t i v e l y e n g a g e t h e c u r r i c u l u m d e v e l o p m e n t p r o c e s s w i t h t h e i r t e x t s . A l l t h r e e i n c l u d e h e l p i n g t e a c h e r s - t o - b e d e v e l o p p e r s p e c t i v e s o n t h e w o r k o f t e a c h i n g t h a t o f t e n r u n c o u n t e r t o c o m m o n f o l k l o r e . T h e fi r s t a r e a c o n c e r n s h o w p r e s e r v i c e t e a c h e r s v i e w t e x t b o o k s . M a n y p e r s p e c t i v e s o n t e a c h e r - t e x t r e l a t i o n s h i p s ( c f . R u s s e l l , 1 9 9 4 ) t e n d t o p l a c e t h e t e a c h e r a n d t h e t e x t a t o d d s w i t h o n e a n o t h e r , e a c h v y i n g f o r t h e s a m e a u t h o r i t y o v e r c u r r i c u l a r d e c i s i o n s . B a l l a n d F e i m a n - N e m s e r ( 1 9 8 8 ) o b s e r v e d t h i s t e n s i o n i n t h e p e r s p e c t i v e s o f p r e p a r i n g t e a c h e r s w h o , t h r o u g h t h e i r t e a c h e r e d u c a t i o n c o u r s e w o r k , d e v e l o p e d a d i s d a i n f o r t e x t b o o k s . I n s t e a d , p r e s e r v i c e t e a c h e r s s h o u l d b e e n c o u r a g e d t o d e v e l o p w o r k i n g , r a t h e r t h a n a n t a g o n i s t i c , r e l a t i o n s h i p s w i t h t e x t b o o k s a n d c u r r i c u l u m g u i d e s . T e a c h e r e d u c a t i o n s h o u l d p r o v i d e t h e m w i t h o p p o r t u n i t i e s t o 3 0 6 c r i t i c a l l y a n a l y z e c u r r i c u l u m m a t e r i a l s , t o e x a m i n e t h e m a t h e m a t i c a l a n d p e d a g o g i c a l a s s u m p t i o n s i m p l i c i t i n t h e i r d e s i g n , a n d t o c o n s i d e r h o w c u r r i c u l u m m a t e r i a l s m i g h t b e a d a p t e d . A c t i v i t i e s i n t e a c h e r e d u c a t i o n d e s i g n e d t o g i v e s t u d e n t s o p p o r t u n i t i e s t o p r a c t i c e d e s i g n i n g a n d t e a c h i n g l e s s o n s o r u n i t s n e e d t o i n c l u d e t a s k s t h a t f o c u s t h e i r a t t e n t i o n o n r e a d i n g a n d a d a p t i n g c u r r i c u l u m g u i d e s . T h e i n t e n t o f t h e s e a c t i v i t i e s w o u l d b e t o h e l p p r o s p e c t i v e t e a c h e r s b e g i n t o d e v e l o p s t a n c e s t o w a r d m a t e r i a l s t h a t a r e i n t e r a c t i v e a n d c o l l a b o r a t i v e . T h e s e c o n d a r e a o f d e v e l o p m e n t f o r p r e s e r v i c e t e a c h e r e d u c a t i o n i n v o l v e s p r e p a r i n g p r o s p e c t i v e t e a c h e r s t o t a k e o n t h e a c t i v i t i e s i n v o l v e d i n c u r r i c u l u m d e v e l o p m e n t . P r e s e r v i c e t e a c h e r s m o s t f r e q u e n t l y v i e w t e a c h i n g a s a p e r f o r m a n c e . B e c a u s e t h e i r v i s i o n s o f t e a c h i n g h a v e b e e n d e v e l o p e d t h r o u g h y e a r s o f w a t c h i n g t e a c h e r s i n a c t i o n ( L o r t i e , 1 9 7 5 ) , p r e p a r i n g t e a c h e r s f o c u s p r i m a r i l y o n w h a t t e a c h e r s d o , n o t h o w t h e y t h i n k a n d m a k e d e c i s i o n s . T h u s , d e l i b e r a t e a t t e n t i o n s h o u l d b e p a i d t o d e v e l o p i n g a n d m a k i n g e x p l i c i t p r e s e r v i c e t e a c h e r s ' r e a d i n g o f t e x t s , s t u d e n t s , a n d m a t h e m a t i c a l t a s k s , a n d o n t h e s u b s e q u e n t d e c i s i o n s t h e y m a k e . P r e p a r i n g t e a c h e r s n e e d t o h a v e o p p o r t u n i t i e s t o a n a l y z e t h e p r e p l a n n e d a n d i n - a c t i o n d e c i s i o n s o f t e a c h e r s , i n c l u d i n g t h e m s e l v e s , w i t h a n e y e o n t h e i r m a t h e m a t i c a l g o a l s a n d w h a t s t u d e n t s a r e l e a r n i n g . T h e y n e e d t o c o m e t o s e e t h i s t y p e o f a n a l y s i s a s c e n t r a l t o t h e w o r k o f t e a c h i n g . T h e t h i r d a r e a o f d e v e l o p m e n t i n v o l v e s a c e n t r a l c o m p o n e n t o f c u r r i c u l u m d e v e l o p m e n t t h a t i s o f t e n l a t e t o d e v e l o p i n b e g i n n i n g t e a c h e r s , t h a t i s t h e i n c l i n a t i o n t o p a y c l o s e a t t e n t i o n t o l e a r n e r s . R e s e a r c h e r s s t u d y i n g p r o s p e c t i v e a n d b e g i n n i n g t e a c h e r s h a v e f o u n d t h a t d e v e l o p i n g a s e n s e o f t h e m s e l v e s a s t e a c h e r s i s t h e f o r e m o s t c o n c e r n f o r n e w t e a c h e r s ( K a g a n , 1 9 9 2 ) . A s a r e s u l t , t h e y a r e l e s s i n c l i n e d t o a t t e n d t o s t u d e n t s ' d e v e l o p i n g u n d e r s t a n d i n g i n w a y s t h a t c a n e n h a n c e t h e i r c u r r i c u l a r d e c i s i o n m a k i n g . T h u s , p r e s e r v i c e t e a c h e r e d u c a t i o n n e e d s t o a t t e n d s p e c i fi c a l l y t o d e v e l o p i n g t e a c h e r c a n d i d a t e s ' a b i l i t i e s a n d i n c l i n a t i o n s t o e x a m i n e s t u d e n t s ' u n d e r s t a n d i n g s 3 0 7 ( F e i m a n - N e m s e r 8 : R e m i l l a r d , 1 9 9 6 ) . C o u r s e w o r k a n d r e l a t e d a c t i v i t i e s s h o u l d b e d e s i g n e d t o f o s t e r a l e a r n e r - f o c u s e d p e r s p e c t i v e i n s t u d e n t s p r i o r t o o r a l o n g w i t h t h e d e v e l o p m e n t o f o t h e r p e d a g o g i c a l s k i l l s . L i k e t h e t w o a r e a s d i s c u s s e d a b o v e , t h e a i m o f d e v e l o p i n g t h i s p e r s p e c t i v e i s t o p r e p a r e b e g i n n i n g t e a c h e r s t o e n g a g e i n c u r r i c u l u m d e v e l o p m e n t a s t e a c h e r s . D e e p e n i n g a n d B r o a d e n i n g M a t h e m a t i c a l K n o w l e d g e M a n y h a v e a r g u e d t h a t t e a c h i n g e n v i s i o n e d b y t h e r e f o r m s r e q u i r e s a d e e p e r u n d e r s t a n d i n g o f m a t h e m a t i c s t h a n m o s t e l e m e n t a r y t e a c h e r s h a v e d e v e l o p e d ( B a l l ; 1 9 9 3 ; I a m p e r t , 1 9 9 0 ; R u s s e l l e t a l , 1 9 9 5 ) . M a t h e m a t i c a l u n d e r s t a n d i n g i s a l s o c e n t r a l t o t h e c u r r i c u l u m d e v e l o p m e n t p r o c e s s . I t i s a c r i t i c a l t o o l i n r e a d i n g s t u d e n t s a n d s u g g e s t i o n s i n t e x t s . A s w e s a w i n J a c k i e ' s c a s e , h e r a b i l i t y t o e x a m i n e t h e m a t h e m a t i c a l i d e a s u n d e r l y i n g t a s k s i n t h e t e x t a n d h e r s t u d e n t s ' r e s p o n s e s t o t h e m b o l s t e r e d h e r i n v o l v e m e n t i n t h e c u r r i c u l u m d e v e l o p m e n t p r o c e s s . F u r t h e r m o r e , t h e t e a c h e r s ' u n d e r s t a n d i n g s a n d v i e w s o f t h e c o n t e n t d e t e r m i n e d w h i c h m a t h e m a t i c a l i d e a s i n t h e t e x t t h e y w e r e w i l l i n g t o e x a m i n e . A s I d e s c r i b e d i n C h a p t e r 6 , n e i t h e r t e a c h e r e x p l o r e d m a t h e m a t i c a l c o n t e n t i n t h e t e x t t h a t w a s n e w t o t h e m . T h u s , t e a c h e r s n e e d o p p o r t u n i t i e s t o l e a r n m a t h e m a t i c s t h a t w i l l d e e p e n t h e i r e x i s t i n g k n o w l e d g e a n d i n t r o d u c e t h e m t o n e w i d e a s . U n l i k e o t h e r a s p e c t s o f c u r r i c u l u m d e v e l o p m e n t d i s c u s s e d a b o v e , t h e r e s e e m t o b e f e w e r p r a c t i c a l o p p o r t u n i t i e s f o r p r a c t i c i n g t e a c h e r s t o l e a r n m o r e m a t h e m a t i c s t h a n t h e r e a r e f o r p r e s e r v i c e t e a c h e r s . I t i s t y p i c a l f o r t e a c h e r p r e p a r a t i o n p r o g r a m s t o i n c l u d e m a t h e m a t i c s c o u r s e s t h a t e n g a g e s t u d e n t s i n e x p l o r i n g t h e m a t h e m a t i c a l i d e a s t h e y w i l l t e a c h . U n t i l r e c e n t l y , h o w e v e r , l e a r n i n g n e w m a t h e m a t i c s w a s n o t a p r i m a r y f o c u s o f p r o f e s s i o n a l d e v e l o p m e n t e f f o r t s f o r p r a c t i c i n g t e a c h e r s . T h i s t y p e o f l e a r n i n g i s p a r t i c u l a r l y c r u c i a l t o s u p p o r t i n g r e f o r m i n m a t h e m a t i c s t e a c h i n g b e c a u s e t e a c h e r s a r e b e i n g a s k e d t o t e a c h a s p e c t s o f t h e c o n t e n t t h e y h a v e h a d l i t t l e o p p o r t u n i t y t o e x p l o r e . F u r t h e r m o r e , t h e e v i d e n c e t h a t n e i t h e r J a c k i e n o r C a t h e r i n e e x p l o r e d n e w m a t h e m a t i c s 3 0 8 t h r o u g h u s i n g t h e t e x t r a i s e s q u e s t i o n s a b o u t t h e p o t e n t i a l f o r t e x t s t o p r o m p t s u c h l e a r n i n g . O p p o r t u n i t i e s t o l e a r n m a t h e m a t i c s d i f f e r e n t l y m i g h t t a k e v a r y i n g f o r m s . N e v e r t h e l e s s , t h e r e i s a g r o w i n g b o d y o f e v i d e n c e t h a t s u g g e s t s t h a t t h i s t y p e o f l e a r n i n g c a n b e f o s t e r e d t h r o u g h c o l l a b o r a t i v e i n q u i r y a b o u t t e a c h i n g . T e a c h e r s w h o w o r k o n m a t h e m a t i c a l t a s k s t o g e t h e r ( R o b e r t s , 1 9 9 5 ; R u s s e l l e t . a l , 1 9 9 5 ; S c h i f t e r , 1 9 9 5 a 8 : 1 9 9 5 b ; S m i t h 8 : F e a t h e r s t o n e , 1 9 9 6 ) a n d w h o e x p l o r e m a t h e m a t i c s t h r o u g h e x a m i n i n g t h e i r s t u d e n t s ' e n c o u n t e r s w i t h r i c h m a t h e m a t i c a l t a s k s ( H a m m e r m a n , 1 9 9 5 ; R u s s e l l e t . a l , 1 9 9 5 ) h a v e d e e p e n e d a n d b r o a d e n e d t h e i r m a t h e m a t i c a l k n o w l e d g e a n d h a v e d e v e l o p e d s k i l l i n e x a m i n i n g t h e m a t h e m a t i c a l r o o t s o f s t u d e n t s ' w o r k . E v e n t h o u g h p r e s e r v i c e t e a c h e r e d u c a t i o n h a s e s t a b l i s h e d s p a c e t o a t t e n d t o t e a c h e r c a n d i d a t e s ' m a t h e m a t i c a l u n d e r s t a n d i n g s , t h e r e a r e s t i l l u n a n s w e r e d q u e s t i o n s a b o u t h o w t o d o s o i n w a y s t h a t h e l p t h e m c o n n e c t t h e i r o w n l e a r n i n g t o i d e a s a b o u t t e a c h i n g . M a t h e m a t i c s a n d t e a c h e r e d u c a t o r s h a v e d e v e l o p e d m a t h e m a t i c s c o n t e n t c o u r s e s ( L e B l a n c , L e s t e r , 8 : K r o l l , 1 9 9 2 ; S i m o n , 1 9 9 5 ) a n d m e t h o d s c o u r s e s ( B a l l , 1 9 8 9 ; R e m i l l a r d , 1 9 9 3 ) d e s i g n e d t o b r o a d e n a n d d e e p e n p r e s e r v i c e t e a c h e r s ' m a t h e m a t i c a l u n d e r s t a n d i n g s . L i t t l e i s k n o w n a b o u t t h e i m p a c t t h e s e c o u r s e s h a v e o n b e g i n n i n g t e a c h e r s . I t i s u n c l e a r w h e t h e r t h e s t a n d a r d d e s i g n o f m a t h e m a t i c s c o u r s e s f o l l o w e d b y m e t h o d s c o u r s e s f a c i l i t a t e s b e g i n n i n g t e a c h e r s ' a b i l i t i e s t o : d r a w o n t h e i r m a t h e m a t i c a l k n o w l e d g e i n t h e i r d e v e l o p m e n t a s t e a c h e r s . M o r e e x p e r i m e n t a t i o n w i t h t h e c o n t e n t a n d c o n fi g u r a t i o n o f s u c h l e a r n i n g o p p o r t u n i t i e s i n t e a c h e r e d u c a t i o n p r o g r a m s i s n e c e s s a r y . I L e a r n i n g A b o u t t h _ g C u r r i c u l u m D e v e l o p m e n t I n d u s t r y E a r l i e r I a r g u e d t h a t t h e w o r k o f t e x t b o o k w r i t e r s n e e d e d t o b e i n f o r m e d b y k n o w l e d g e a b o u t t e a c h e r s a n d t h e w o r k o f t e a c h i n g . S i m i l a r l y , t e a c h e r s ' t e x t b o o k u s e o u g h t t o b e i n f o r m e d b y a r e a l i s t i c u n d e r s t a n d i n g o f w h o t e x t b o o k d e v e l o p e r s a r e , t h e i r u n d e r l y i n g a i m s a n d i n t e n t s , a n d t h e p r o c e s s e s b e h i n d a t e x t ' s d e v e l o p m e n t . T e a c h e r s 3 0 9 n e e d t o h a v e a c c e s s t o i n f o r m a t i o n a b o u t h o w c o m m e r c i a l t e x t s a r e d e v e l o p e d , e d i t e d , a n d m a r k e t e d . T h e y a l s o n e e d t o l e a r n a b o u t t h e v a r i o u s n o n m a i n s t r e a m c u r r i c u l u m - d e v e l o p m e n t v e n t u r e s , h o w t h e i r d e v e l o p m e n t i s s u p p o r t e d a n d u n d e r t a k e n . T h i s i n f o r m a t i o n i s l i k e l y t o h e l p t e a c h e r s b e c o m e a w a r e o f a n d d e v e l o p p e r s p e c t i v e o n t h e v a r i o u s r e s o u r c e s a v a i l a b l e . M o r e o v e r , m y h o p e i s t h a t t e a c h e r s w i l l d e v e l o p h e a l t h y s k e p t i c i s m o f t h e m a r k e t i n fl u e n c e s o n t h e c o m m e r c i a l t e x t b o o k i n d u s t r y . T h i s s u g g e s t i o n i s i n r e s p o n s e t o o b s e r v a t i o n s t h a t o f t e n t e x t b o o k s a r e t r e a t e d a s a u t h o r i t i e s ( R e m i l l a r d , 1 9 9 1 a ) o r a s f o o l p r o o f r e c i p e s . S c h o o l d i s t r i c t o f fi c i a l s a n d t e a c h e r s t e n d t o b e l i e v e t h a t a c h i e v i n g c u r r i c u l u m c h a n g e i s p r i m a r i l y a m a t t e r o f s e l e c t i n g t h e r i g h t t e x t b o o k ( T y s o n - B e r n s t e i n 8 : W o o d w a r d , 1 9 9 1 ) . I t i s m y b e l i e f t h a t t h i s s e n s e o f a u t h o r i t y a n d p o w e r s u r r o u n d i n g p u b l i s h e d c u r r i c u l u m m a t e r i a l s m a g n i fi e s c o m m o n l y - h e l d v i e w s o f t e a c h i n g a s a p p l i c a t i o n o f " b e s t " m e t h o d s a n d c a s t s t e x t d e v e l o p e r s a s p o s s e s s o r s o f t h e s e m e t h o d s . S u c h a v i e w o f t e x t s d i s s u a d e s t e a c h e r s f r o m p a r t i c i p a t i n g w i t h t e x t s i n t h e c u r r i c u l u m - d e v e l o p m e n t p r o c e s s . T h u s , k n o w l e d g e a b o u t t h e c u r r i c u l u m - d e v e l o p m e n t i n d u s t r y m a y h e l p t o d e fl a t e t h e i m a g e o f t e x t s a s a u t h o r i t i e s , e n c o u r a g i n g t e a c h e r s t o c r i t i c a l l y e x a m i n e t e x t s a n d t h e i r i n t e r a c t i o n s w i t h t h e m . H e l p i n g t e a c h e r s l e a r n a b o u t t h e c u r r i c u l u m d e v e l o p m e n t i n d u s t r y w i l l b e d i f fi c u l t f o r t w o r e a s o n s . F i r s t , s u c h k n o w l e d g e s e e m s p e r i p h e r a l t o t h e w o r k o f t e a c h i n g a n d t h u s a d d s a n o t h e r i t e m t o t h e l i s t o f t h i n g s t e a c h e r s n e e d t o l e a r n . S e c o n d , t h i s k n o w l e d g e r u n s c o u n t e r t o t h e i n c l i n a t i o n s o f t h e m a r k e t - d r i v e n t e x t b o o k i n d u s t r y w h i c h p u t s g r e a t e f f o r t i n t o s h a p i n g c o n s u m e r s ' p e r c e p t i o n s o f t h e i r p r o d u c t s . I n o r d e r t o p r o m o t e i n t e r e s t i n t h e i r t e x t s , c o m m e r c i a l p u b l i s h e r s f o s t e r a n i m a g e o f t e x t s a s p r e p a c k a g e d s o l u t i o n s t o c u r r i c u l a r p r o b l e m s t h a t c a n e m b o d y p r a c t i c e s " a l i g n e d w i t h " t h e N C T M S t a n d a r d s . A s m y d e s c r i p t i o n i n C h a p t e r 3 i n d i c a t e s , t h e H B J t e x t b o o k o f f e r s a n e x a m p l e o f a t e x t t h a t e m p l o y s r h e t o r i c , h y p e , a n d t h e n a m e s o f " e x p e r t s " t o p r o m o t e s u c h a n i m a g e . D e s p i t e t h e s e d i f fi c u l t i e s , e f f o r t s t o m a k e t h e w o r k i n g s o f t h e t e x t b o o k 3 1 0 i n d u s t r y a n e x p l i c i t t o p i c o f c o n v e r s a t i o n a m o n g t e a c h e r s a n d d i s t r i c t o f fi c i a l s m a y e n c o u r a g e t e a c h e r s a n d o t h e r s t o l o o k a t t e x t s d i f f e r e n t l y a n d c o u l d p o t e n t i a l l y p r e s s u r e t e x t b o o k p u b l i s h e r s t o r e s p o n d . T w o g r o u p s o f p e o p l e s e e m t o b e w e l l p o s i t i o n e d t o i n i t i a t e c o n v e r s a t i o n s a b o u t t h e i n t e r w o r k i n g s o f t h e t e x t b o o k i n d u s t r y : d e v e l o p e r s o f n o n m a i n s t r e a m ( o r a l t e r n a t i v e ) c u r r i c u l u m m a t e r i a l s a n d t e a c h e r e d u c a t o r s . B o t h g r o u p s o p e r a t e o u t s i d e o f t h e p u b l i c s c h o o l s y s t e m , b u t h a v e v e h i c l e s f o r c o n t r i b u t i n g t o i t . C u r r e n t l y a s i g n i fi c a n t n u m b e r o f n o n c o m m e r c i a l e f f o r t s t o d e v e l o p c u r r i c u l u m m a t e r i a l s a r e u n d e r w a y . T h e d e v e l o p m e n t p r o c e s s o f t h e s e m a t e r i a l s i s d i s t i n c t l y d i f f e r e n t f r o m t h e c o m m e r c i a l p r o c e s s . I n m o s t c a s e s , i t i n v o l v e s c a r e f u l w o r k o f m a n y m a t h e m a t i c s e d u c a t o r s a n d t e a c h e r s r e s p o n s i b l e f o r d e s i g n i n g , p i l o t i n g , a s s e s s i n g , a n d r e v i s i n g ( c f . R u s s e l l , 1 9 9 4 ) . T h e s e d e v e l o p e r s a r e i n a p o s i t i o n t o m a k e t h i s p r o c e s s k n o w n t o p o t e n t i a l u s e r s a n d t o c o n t r a s t i t t o c o m m o n c o m m e r c i a l p r o c e s s e s . T e a c h e r e d u c a t o r s a r e a l s o i n a p o s i t i o n t o i n i t i a t e c o n v e r s a t i o n s a b o u t t h e d e v e l o p m e n t o f c u r r i c u l u m m a t e r i a l s t h r o u g h t h e i r w o r k w i t h p r e s e r v i c e a n d i n s e r v i c e t e a c h e r s . I n f a c t , p r e s e r v i c e t e a c h e r e d u c a t i o n i n c l u d e s s e v e r a l a v e n u e s f o r d r a w i n g s t u d e n t s ' a t t e n t i o n t o t h e r o l e s t h a t c u r r i c u l u m m a t e r i a l s h a v e i n m a t h e m a t i c s i n s t r u c t i o n . C o u r s e w o r k a n d e x p e r i e n c e s t h a t a d d r e s s i s s u e s o f t e a c h i n g m a t h e m a t i c s n e e d t o p r o v i d e p r o s p e c t i v e t e a c h e r s w i t h i n f o r m a t i o n a b o u t t h e t e x t b o o k i n d u s t r y a n d e n g a g e t h e m i n c o n s i d e r i n g w a y s i n w h i c h c u r r i c u l u m a n d t e a c h i n g h a v e b e e n i n fl u e n c e d b y c o m m e r c i a l t e x t s . P r e s e r v i c e t e a c h e r s s h o u l d a l s o h a v e o p p o r t u n i t i e s t o l e a r n a b o u t t h e d e v e l o p m e n t o f n o n c o m m e r c i a l m a t e r i a l s . M o r e o v e r , o t h e r c o u r s e w o r k d e s i g n e d t o f o c u s o n t h e p o l i t i c a l d i m e n s i o n s o f t e a c h i n g m i g h t a t t e n d t o t h e r e l a t i o n s h i p s a m o n g t h e t e x t b o o k i n d u s t r y a n d p u b l i c e d u c a t i o n . T h e c h a l l e n g e f o r t e a c h e r e d u c a t o r s i s t o h e l p p r e s e r v i c e t e a c h e r s d e v e l o p fl e x i b l e a n d w o r k i n g r e l a t i o n s h i p s w i t h t e x t b o o k s , r a t h e r t h a n b l a n k e t l y r e j e c t o r a c c e p t t h e m . 3 1 1 I m p l i c a t i o n s f o r t h e C o n t e x t o f T e a c h i l g T h e s u g g e s t i o n s I h a v e m a d e i n t h e p r e v i o u s s e c t i o n s h a v e i m p l i c a t i o n s f o r t h e s t r u c t u r e s i n w h i c h t e a c h i n g t a k e s p l a c e . C u r r i c u l u m m a t e r i a l s a n d t e a c h e r d e v e l o p m e n t o p p o r t u n i t i e s d o n o t o p e r a t e i n i s o l a t i o n ; t h e i r i m p a c t o n t e a c h i n g i s s u b j e c t t o a s p e c t s o f t h e t e a c h i n g c o n t e x t . M a n y c u r r e n t s c h o o l s t r u c t u r e s , f o r e x a m p l e , e x p l i c i t l y a n d i m p l i c i t l y i m p o s e d e m a n d s o n t e a c h e r s t h a t i n fl u e n c e t h e i r c h o i c e s ( H a r g r e a v e s , 1 9 9 4 ; J a c k s o n , 1 9 8 6 ; S a r a s o n , 1 9 8 2 ) . J a c k i e ' s a n d C a t h e r i n e ' s c a s e s i l l u s t r a t e h o w f e a t u r e s o f t h e t e a c h i n g c o n t e x t c a n f a c i l i t a t e o r i n h i b i t t e a c h e r s ' e f f o r t s t o r e a l i z e c h a n g e , s u g g e s t i n g t h a t a d o p t i o n o f r e f o r m - o r i e n t e d t e x t b o o k s o u g h t t o b e a c c o m p a n i e d b y c o n t e x t u a l c h a n g e . O n e c o n t e x t u a l p r e s s u r e r e p o r t e d t o c o n s t r a i n t e a c h e r s ' w i l l i n g n e s s t o p u r s u e m a t h e m a t i c s t o p i c s i n g r e a t e r d e p t h i s t h e n e e d t o c o v e r a s p e c i fi c a m o u n t o f c o n t e n t i n o n e s c h o o l y e a r ( P e t e r s o n , 1 9 9 0 ) . T h e r e l a t i o n s h i p b e t w e e n p r e s s u r e s f o r c o n t e n t c o v e r a g e a n d s t r u c t u r a l c h a r a c t e r i s t i c s o f s c h o o l s w a s a p p a r e n t w h e n c o n t r a s t i n g t h e t w o c a s e s . L i k e m a n y t e a c h e r s , C a t h e r i n e f e l t p r e s s u r e t o " c o v e r " a s p e c i fi c s e t o f t o p i c s i n o r d e r t o p r e p a r e h e r s t u d e n t s f o r 5 t h g r a d e . M o s t t e a c h e r s a l s o f e e l p r e s s u r e t o p r e p a r e s t u d e n t s t o t a k e e n d - o f - l e v e l t e s t s ( M a d a u s , 1 9 8 8 ) . H a v i n g h e r s t u d e n t s f o r 3 y e a r s , o n t h e o t h e r h a n d , o f f e r e d J a c k i e a m e a s u r e o f c u r r i c u l a r fl e x i b i l i t y w i t h w h i c h s h e f e l t f r e e t o p u r s u e f e w e r t o p i c s i n g r e a t e r d e p t h e a c h y e a r . T h i s fl e x i b i l i t y w a s c r i t i c a l i n e n a b l i n g h e r d e c i s i o n s r e l a t e d t o c o n t e n t c o v e r a g e . I t i s r e a s o n a b l e t o a s s u m e t h a t c o n t e x t u a l p r e s s u r e s s i m i l a r t o C a t h e r i n e ' s m i g h t d i s c o u r a g e t e a c h e r s f r o m p u r s u i n g c h a n g e i n t h e w a y t h e y u s e t e x t b o o k s . T h e t w o c a s e s a l s o i l l u s t r a t e h o w s p e c i fi c t y p e s o f s u p p o r t i n t h e t e a c h i n g c o n t e x t m i g h t e n a b l e t e a c h e r s t o e x p e r i m e n t w i t h n e w m a t e r i a l s a n d r e fl e c t o n t h e i r t e a c h i n g . T h e P D S c o n t e x t a t J a c k i e ' s s c h o o l i n c l u d e d s t r u c t u r a l f e a t u r e s t h a t s u p p o r t e d h e r e x p e r i m e n t a t i o n i n h e r m a t h e m a t i c s t e a c h i n g . E v e n t h o u g h n o r e f o r m - r e l a t e d s t r u c t u r a l c h a n g e s h a d b e e n m a d e i n C a t h e r i n e ' s s c h o o l , m y f r e q u e n t p r e s e n c e i n h e r c l a s s r o o m 3 1 2 i n i t i a t e d a n e w t y p e o f i n t e r a c t i o n f o r h e r . T h e e n c o u r a g e m e n t t o e x p e r i m e n t a n d t h e o p p o r t u n i t i e s t h a t b o t h t e a c h e r s h a d t o t a l k t o o t h e r s a r e n o t c o m m o n f e a t u r e s i n m a n y s c h o o l o r g a n i z a t i o n s ( H a r g r e a v e s , 1 9 9 4 ; J a c k s o n , 1 9 8 6 ; L i t t l e 8 : M c L a u g h l i n , 1 9 9 3 ) . T h e s i g n i f i c a n c e o f t h e s e f e a t u r e s i n b o t h C a t h e r i n e ' s a n d J a c k i e ' s g r o w t h , h o w e v e r , c o n t r i b u t e s t o a g r o w i n g b o d y o f r e s e a r c h o n t h e p o w e r o f c o n t e x t u a l a n d c o l l e g i a l s u p p o r t i n t e a c h i n g a n d t e a c h e r c h a n g e ( c f . M c L a u g h l i n , 1 9 9 3 ) . F i n d i n g s s u c h o f t h e s e d o n o t d i m i n i s h t h e i m p o r t a n c e o f t e x t b o o k c h a n g e , b u t t h e y s h o u l d a l s o b r o a d e n t h e p e r s p e c t i v e s o f t h o s e w h o l o o k t o n e w c u r r i c u l u m m a t e r i a l s t o s t i m u l a t e c h a n g e . T h e T e x t b o o k I n d u s t r y a n d t h e C h a l l e n g e o f C h a n g e T h e s u g g e s t i o n s I m a d e i n t h e p r e v i o u s s e c t i o n t a k e a n o p t i m i s t i c s t a n c e t o w a r d c u r r i c u l u m r e f o r m ; t h e y f o c u s o n t h e p o s s i b i l i t i e s o f c h a n g e t h r o u g h r e d e s i g n e d c u r r i c u l u m m a t e r i a l s , t e a c h e r d e v e l o p m e n t o p p o r t u n i t i e s , a n d s c h o o l c o n t e x t s . I n t h i s fi n a l s e c t i o n , I e x p l o r e s o m e o f t h e c o m p l e x i t i e s o f s u c h c h a n g e s b y c o n s i d e r i n g t h e c u l t u r a l a n d i n s t i t u t i o n a l a s p e c t s t e x t b o o k s a n d t h e i r u s e . F i r s t , I d i s c u s s t w o a r t i f a c t s o f t e x t b o o k s a s a n i n s t i t u t i o n i n A m e r i c a n s c h o o l s : t h e i n fl u e n c e s t h a t t h e t e x t b o o k m a r k e t h a s o n t h e c o n t e n t s a n d d e s i g n o f t e x t s a n d t h e c u l t u r a l a s s u m p t i o n s a b o u t t h e r o l e o f t e x t b o o k s i n t e a c h i n g a n d e d u c a t i o n a l c h a n g e . T h e s e h a v e i m p l i c a t i o n s f o r l i k e l y r e s i s t a n c e t o t h e t y p e s o f c h a n g e s I r e c o m m e n d e d f o r t e x t s . I t h e n c o n c l u d e b y c o n s i d e r i n g h o w t h e e d u c a t i o n a l c o m m u n i t y m i g h t c o n f r o n t t h e s e c h a l l e n g e s i n i t s e f f o r t s t o r e a l i z e c u r r i c u l a r a n d p e d a g o g i c a l c h a n g e . T h e T e x t b o o k A s a n I n s t i t u t i o n i n A m e r i c a n C u l t u r e S c h o o l s a r e n o t c l o s e d s y s t e m s . T h e y o p e r a t e w i t h i n t h e l a r g e r s o c i a l a n d e c o n o m i c s y s t e m s i n w h i c h t h e y a r e l o c a t e d a n d , c o n s e q u e n t l y , a r e s u b j e c t t o a v a r i e t y o f e x t e r n a l i n fl u e n c e s . T e x t b o o k s , p e r h a p s m o r e t h a n m o s t a r t i f a c t s o f s c h o o l i n g , r e v e a l t h e r e l a t i o n s h i p b e t w e e n s c h o o l s a n d t h e v a l u e s , a s s u m p t i o n s , a n d s t r u c t u r e s o f t h e l a r g e r s o c i e t y . T h e p r o c e s s t h r o u g h w h i c h t h e y a r e d e s i g n e d , m a r k e t e d , a n d s e l e c t e d i l l u s t r a t e s t h e i n fl u e n c e o f m a r k e t f o r c e s a n d c u l t u r a l e x p e c t a t i o n s a n d a s s u m p t i o n s o n c u r r i c u l u m . 3 1 3 T h e s e i n fl u e n c e s m u s t b e u n d e r s t o o d a n d a c c o u n t e d f o r i n o u r e f f o r t s t o u s e r e d e s i g n e d t e x t b o o k s t o f a c i l i t a t e c h a n g e . B e l o w I d i s c u s s t h e h o w c h a n g e i s l i m i t e d b y t h e m a r k e t a n d b y e x i s t i n g c o n c e p t i o n s o f t h e i r r o l e . T e x t s a s M a r k e t I t e m s M o s t t e x t b o o k s a r e d e s i g n e d , c o n s t r u c t e d , a n d s o l d w i t h i n a c o m m e r c i a l i n d u s t r y , a n d t h u s t h e i r c o n t e n t i s i n fl u e n c e d b y m a r k e t f o r c e s ( s e e C h a p t e r 3 ) . A p p l e ( 1 9 9 1 ) d e s c r i b e d t h e t e x t b o o k a s " a n e c o n o m i c c o m m o d i t y , b o u g h t a n d s o l d i n t h e U n i t e d S t a t e s a n d m a n y o t h e r c o u n t r i e s u n d e r t h e c o n d i t i o n s o f a c a p i t a l i s t m a r k e t . B e c a u s e o f t h i s , i t i s s u b j e c t t o i n t e n s e c o m p e t i t i o n a n d t o t h e p r e s s u r e s o f p r o fi t " ( p . 7 ) . A s r e s u l t , p u b l i s h e r s , r a t h e r t h a n e d u c a t o r s , d e t e r m i n e t h e c o n t e n t a n d f o r m a t o f t e x t s a c c o r d i n g t o w h a t t h e y b e l i e v e t h e m a r k e t w i l l b e a r , n o t d u e t o a n y p a r t i c u l a r a c a d e m i c o r p e d a g o g i c a l a i m s . I n f a c t , c o m m e r c i a l t e x t s t e n d t o w a r d e c l e c t i c i s m i n o r d e r t o i n c o r p o r a t e a s m a n y e d u c a t i o n a l p o s i t i o n s a s p o s s i b l e ( S e w a l l 8 : C a n n o n , 1 9 9 1 ) . T h e e x t e n t t o w h i c h t h e d e s i g n o f a n y c o m m e r c i a l t e x t i s r e s p o n s i v e t o e d u c a t i o n a l i n i t i a t i v e s i s a f u n c t i o n o f t h e d e g r e e t o w h i c h t h e s e i n i t i a t i v e s a r e t r a n s l a t e d i n t o m a r k e t p r e s s u r e s ( K e i t h , 1 9 9 1 ) . A s h a s b e e n t h e c a s e i n m a t h e m a t i c s , t h e s e p r e s s u r e s a r e g e n e r a l l y m a n i f e s t e d i n t h e c r i t e r i a f o r t e x t b o o k a d o p t i o n o u t l i n e d b y s t a t e o r d i s t r i c t o f fi c i a l s . F o r e x a m p l e , a s t h e N C T M S t a n d a r d s ( 1 9 8 9 ) g a i n e d a c c e p t a n c e i n A m e r i c a n s c h o o l s , t h o s e s e l e c t i n g m a t h e m a t i c s t e x t b o o k s b e g a n t o l o o k f o r e v i d e n c e o f a t t e n t i o n t o t h e s e n e w s t a n d a r d s i n t h e t e x t s t h e y e x a m i n e d . T e x t b o o k p u b l i s h e r s h a d l i t t l e c h o i c e b u t t o r e s p o n d w i t h c h a n g e s i n t h e i r t e x t s . 5 T h e s e c h a n g e s , h o w e v e r , t e n d e d t o b e g u a r d e d a n d s u p e r fi c i a l s i n c e t a k i n g a n y p o s i t i o n t o a n e x t r e m e c a n b e e c o n o m i c a l l y r i s k y f o r p u b l i s h e r s ( F i t z G e r a l d , 1 9 7 9 ; T y s o n - B e r n s t e i n 8 : W o o d w a r d , 1 9 9 1 ) . T h e H B J p u b l i s h e r s , f o r e x a m p l e , a d d e d p r o b l e m s o l v i n g , w o r k w i t h 5 T h e p o w e r o f t h e t e x t b o o k i n d u s t r y t o c u r t a i l e d u c a t i o n a l c h a n g e w a s e v i d e n t i n t h e l a t e 1 9 8 0 5 , w h e n t h e c u r r e n t r e f o r m e f f o r t s w e r e i n t h e i r i n i t i a l s t a g e s . I n o r d e r t o s t i m u l a t e s t a t e - w i d e c h a n g e , C a l i f o r n i a e n f o r c e d s t r i c t c r i t e r i a f o r t h e a d o p t i o n o f m a t h e m a t i c s t e x t s . A l l s u b m i t t e d t e x t s w e r e i n i t i a l l y r e j e c t e d . I n r e s p o n s e , t h e t e x t b o o k i n d u s t r y c h a l l e n g e d i n c o u r t t h e s t a t e o f C a l i f o r n i a ' s r i g h t t o d e e m c e r t a i n t e x t b o o k s u n a c c e p t a b l e f o r p u r c h a s e . 3 1 4 m a n i p u l a t i v e s , a n d e x p l o r a t i o n t o t h e i r s t a n d a r d o f f e r i n g s b u t a v o i d e d m a k i n g s u b s t a n t i a l c h a n g e s t o t h e i r t e x t . T h e m a r k e t c o n t r o l o v e r t h e t e x t b o o k i n d u s t r y h a s s e r i o u s i m p l i c a t i o n s f o r e f f o r t s t o c h a n g e t e x t s . E v e n t h o u g h i t i s l i k e l y t h a t p u b l i s h e r s w i l l c o n t i n u e t o r e s p o n d t o p r e s s u r e s f r o m t h e fi e l d , i t i s u n l i k e l y t h a t t h e i r r e s p o n s e s w i l l r e fl e c t t h e l e v e l o f d e p t h h o p e d f o r b y m o s t m a t h e m a t i c s e d u c a t o r s . T h u s , i t i s c u r r e n t l y i m p r o b a b l e t h a t c o m m e r c i a l t e x t b o o k p u b l i s h e r s w o u l d t a k e a l e a d i n g p o s i t i o n i n f u r t h e r i n g r e f o r m e f f o r t s o r t h a t t h e y w o u l d e m b r a c e a r a d i c a l l y n e w r o l e f o r t e x t s i n t e a c h i n g . I n o r d e r t o a c c o m p l i s h t h e c h a n g e s i n t e x t s t h a t I s u g g e s t e d i n p r e v i o u s s e c t i o n s , t e x t b o o k p u b l i s h e r s w i l l n e e d t o e x p e r i e n c e i m m e n s e e x t e r n a l p r e s s u r e f r o m t h e e d u c a t i o n a l c o m m u n i t y . B e l o w I c o n s i d e r h o w t h i s p r e s s u r e m i g h t b e c r e a t e d . F i r s t , h o w e v e r , I b r i e fl y d i s c u s s o n e a s p e c t o f c u l t u r a l e x p e c t a t i o n s f o r t e x t b o o k s t h a t i n fl u e n c e s t h e c r i t e r i a b y w h i c h t h e y a r e s e l e c t e d . C o n c a p t i o n s o f t h e R o l e o f T e x t b o o k s i n T e a c h i n g E a r l i e r I d i s c u s s e d l i k e l y d i s j u n c t u r e s b e t w e e n t e a c h e r s ' e x p e c t a t i o n s f o r c u r r i c u l u m m a t e r i a l s a n d t e x t s d e s i g n e d t o h e l p t h e m e n g a g e i n t h e c u r r i c u l u m d e v e l o p m e n t p r o c e s s . S u c h t e x t s a r e a l s o l i k e l y t o c o n f l i c t w i t h t h e e x p e c t a t i o n s o f o t h e r s i n v o l v e d i n e d u c a t i o n a l d e c i s i o n m a k i n g . T h e t e x t s e l e c t i o n a n d a d o p t i o n p r o c e s s i n m o s t s c h o o l d i s t r i c t s w o r k s u n d e r a n u m b e r o f a s s u m p t i o n s a b o u t w h a t t e x t b o o k s h o u l d b e t h a t a r e t r a n s l a t e d i n t o c r i t e r i a f o r s e l e c t i o n . T y s o n - B e r n s t e i n a n d W o o d w a r d ( 1 9 9 1 ) , f o r e x a m p l e , f o u n d t h a t t h o s e r e s p o n s i b l e f o r t e x t b o o k s e l e c t i o n i n m a n y s t a t e s s u b s c r i b e d t o a c o m m o n s e t o f a s s u m p t i o n s t h a t i n c l u d e : ( a ) f a i t h i n a t e x t ' s a b i l i t y t o r e fl e c t t h e s t a t e ' s o r d i s t r i c t ' s c u r r i c u l u m i n t e r m s o f c o n t e n t , i n s t r u c t i o n , a n d s e q u e n c i n g , ( b ) t r u s t t h a t p r o p e r l y s e l e c t e d t e x t s c o u l d p r o v i d e a f o o l p r o o f m e a n s t o e n s u r e t h a t s t u d e n t s a r e t a u g h t s u c c e s s f u l l y , ( c ) t h e e x p e c t a t i o n t h a t a t e x t c a n m e e t d e m a n d s f o r a c c o u n t a b i l i t y t h r o u g h s t a n d a r d i z e d a c h i e v e m e n t t e s t s , ( ( 1 ) t h e b e l i e f t h a t 3 1 5 n e w t e x t b o o k s w e r e b e t t e r t h a n o l d o n e s , a n d ( e ) t h e e x p e c t a t i o n t h a t a g o o d t e x t o r g a n i z e s i t s c o n t e n t i n t o m o d u l e s o r l e s s o n s t h a t c a n b e t a u g h t i n o n e c l a s s p e r i o d . T h e s e a s s u m p t i o n s a r e l i k e l y t o i n fl u e n c e h o w r e d e s i g n e d t e x t b o o k s w i l l b e r e c e i v e d . S e l e c t i o n c o m m i t t e e s t h a t b e l i e v e t h a t t e x t s c a n a n d s h o u l d p r e d e t e r m i n e a n d d i r e c t t e a c h e r s ' c u r r i c u l a r d e c i s i o n s a n d , i n s o d o i n g , e n s u r e c o n s i s t e n c y a c r o s s s c h o o l s , w i l l a v o i d t e x t s t h a t o f f e r t e a c h e r s t o o m a n y o p p o r t u n i t i e s f o r d e c i s i o n m a k i n g . F u r t h e r m o r e , t h o s e s e l e c t i n g t e x t b o o k s m a y a t t e n d t o s u p e r fi c i a l f e a t u r e s o f t h e t e x t , l i k e t h e p u b l i c a t i o n d a t e , r a t h e r t h a n w h a t a n d h o w m a t h e m a t i c a l c o n t e n t i s r e p r e s e n t e d . T h e y a r e a l s o l i k e l y t o r e j e c t t e x t b o o k s t h a t d o n o t r e l y o n a f a m i l i a r s t r u c t u r e f o r m a t h e m a t i c s i n s t r u c t i o n . T h e s e a s s u m p t i o n s t h a t g u i d e t e x t s e l e c t i o n a r e a l s o f o s t e r e d b y m a r k e t i n g r e p r e s e n t a t i v e s o f c o m m e r c i a l p u b l i s h e r s w h o " s e " t h e i r p r o d u c t t o s c h o o l s o r d i s t r i c t s a s r e a d y - m a d e p a c k a g e s , c o n s e q u e n t l y s h a p i n g t h e i r i d e a s a b o u t w h a t a t e x t s h o u l d o f f e r t e a c h e r s . T h u s , i n a d d i t i o n t o p r e s s u r i n g c o m m e r c i a l p u b l i s h e r s t o u n d e r g o c h a n g e i n t h e i r m a t e r i a l s , e d u c a t o r s m u s t c o m b a t t h i s i m a g e o f c u r r i c u l u m m a t e r i a l s a s p r e p a c k a g e d p r o g r a m s t h a t t e a c h e r s i m p l e m e n t . A s I d i s c u s s i n t h e f o l l o w i n g s e c t i o n , o n e p o s s i b l e w a y t h a t e d u c a t o r s m i g h t p u r s u e t h e s e g o a l s i s t o p r e s e n t t h e p u b l i c w i t h a l t e r n a t i v e s . F a c i n g t h e C h a l l e n g e o f C h a n g e : P u s h i n g t h e M a r k e t F o r w a r d I t i s m y p o s i t i o n t h a t i n o r d e r f o r c u r r i c u l u m m a t e r i a l s t o u n d e r g o s i g n i f i c a n t c h a n g e s i n w h a t t h e y o f f e r a n d h o w t h e y i n t e r a c t w i t h t e a c h e r s , r e s p o n s i b i l i t y f o r t h e i r d e s i g n m u s t b e i n t h e h a n d s o f e d u c a t o r s , r a t h e r t h a n c o m m e r c i a l p u b l i s h e r s . T o c o n s i d e r t h i s p o s s i b i l i t y , I t u r n , o n c e a g a i n , t o t h o s e d e v e l o p i n g a l t e r n a t i v e c u r r i c u l u m m a t e r i a l s . C u r r e n t l y , a h a n d f u l o f c u r r i c u l u m d e s i g n e r s p r i m a r i l y i n t e r e s t e d i n c o n t r i b u t i n g t o c h a n g e i n m a t h e m a t i c s e d u c a t i o n a r e p u r s u i n g a l t e r n a t i v e r o u t e s t o p r o d u c i n g a n d d i s t r i b u t i n g t h e i r m a t e r i a l s . M o s t o f t h e s e c u r r i c u l u m p r o j e c t s h a v e b e e n u n d e r t a k e n b y m a t h e m a t i c s e d u c a t o r s a t n o n - p r o fi t e d u c a t i o n a l o r g a n i z a t i o n s , f e d e r a l 3 1 6 r e g i o n a l l a b o r a t o r i e s , o r u n i v e r s i t i e s a n d a r e f e d e r a l l y f u n d e d . M a n y o f t h e s e d e v e l o p e r s a r e m a r k e t i n g t h e i r m a t e r i a l s t h r o u g h c o m p a n i e s k n o w n f o r m a r k e t i n g a l t e r n a t i v e a n d i n n o v a t i v e e d u c a t i o n a l m a t e r i a l s . T h i s a r r a n g e m e n t a l l o w s f o r c u r r i c u l u m m a t e r i a l s t o b e t h o u g h t f u l l y a n d c a r e f u l l y d e v e l o p e d b y e d u c a t o r s w h o m a k e d e c i s i o n s a b o u t c o n t e n t a n d d e s i g n a c c o r d i n g t o e d u c a t i o n a l c o n c e r n s , r a t h e r t h a n e c o n o m i c s . I t a l s o p r o v i d e s f o r t h e m a r k e t i n g o f t h e s e m a t e r i a l s t o b e i n t h e h a n d s o f s o m e o n e o t h e r t h a n t h e d e v e l o p e r s . T h i s a r r a n g e m e n t i s s i m i l a r t o t h e w a y c u r r i c u l u m d e s i g n e r s w o r k e d w i t h c o m m e r c i a l a g e n t s i n t h e 1 9 6 0 3 . A c c o r d i n g t o K e i t h ( 1 9 9 1 ) , m a n y f e d e r a l o r p r i v a t e f u n d i n g a g e n c i e s r e q u i r e d t h a t c o m m e r c i a l o r g a n i z a t i o n s w e r e n o t i n v o l v e d i n t h e d e v e l o p m e n t o f t h e m a t e r i a l s , b u t a l l o w e d t h e m t o p a r t i c i p a t e a s p u b l i s h e r s a n d m a r k e t e r s . T h e r e s u l t w a s p a r t n e r s h i p s b e t w e e n t h o s e d e v e l o p i n g c u r r i c u l u m m a t e r i a l s a n d c o r p o r a t i o n s , s u c h a s X e r o x , R C A , o r I B M , i n t e r e s t e d i n s p o n s o r i n g a n e d u c a t i o n a l p u b l i c a t i o n . I n r e s p o n s e t o t h e r e c e n t f e r v o r c r e a t e d b y v a r i o u s r e f o r m a c t i v i t i e s , t h e s e r e l a t i v e l y s m a l l e d u c a t i o n a l m a t e r i a l s c o m p a n i e s a r e b e g i n n i n g t o fl o u r i s h . I t i s p o s s i b l e t h a t t h e y a r e fi l l i n g t h e g a p i n s o u r c e s o f a l t e r n a t i v e m a t e r i a l s l e f t b y t h e s m a l l e r t e x t b o o k c o m p a n i e s d u r i n g t h e p e r i o d o f m a r k e t c o n s o l i d a t i o n t h a t I d e s c r i b e d i n C h a p t e r 3 . T h i s g r o w i n g s e g m e n t o f t h e c u r r i c u l u m m a t e r i a l s m a r k e t h a s t h e p o t e n t i a l t o o f f e r v a l u a b l e r e s o u r c e s t o t e a c h e r s w h i l e p r e s s u r i n g l a r g e t e x t b o o k c o m p a n i e s t o c h a n g e . A s t e a c h e r s , s c h o o l s , a n d e v e n d i s t r i c t s a s p i r e t o c h a n g e t h e i r m a t h e m a t i c s i n s t r u c t i o n , m a n y h a v e b e g u n t o l o o k b e y o n d t h e o f f e r i n g s o f c o m m e r c i a l p u b l i s h e r s a n d t r a d i t i o n a l t e x t b o o k s f o r a l t e r n a t i v e s . ‘ 5 N o w m a y b e a n o p p o r t u n e t i m e f o r t h e w r i t e r s o f a l t e r n a t i v e c u r r i c u l a t o fi n d a n o p e n i n g i n t h e t e x t b o o k m a r k e t t h a t a l l o w s f o r a n 6 T h e e v i d e n c e f o r t h i s i s p u r e l y f r o m m y o w n i n t e r a c t i o n s w i t h t e a c h e r s a n d s c h o o l o f fi c i a l s i n C a l i f o r n i a , M i c h i g a n , a n d U t a h . M a n y o f t h e t e a c h e r s a n d s c h o o l o f fi c i a l s I h a v e i n t e r a c t e d w i t h a b o u t t h e s e l e c t i o n o f c u r r i c u l u m m a t e r i a l s h a v e e x p r e s s e d d i s s a t i s f a c t i o n s w i t h t h e s u p e r fi c i a l a t t e n t i o n t o t h e r e f o r m a g e n d a r e p r e s e n t e d i n c o m m e r c i a l s t e x t s . M a n y h a v e c o n s i d e r e d a l t e r n a t i v e t e a c h e r r e s o u r c e b o o k s t h a t f o c u s o n s t u d e n t a c t i v i t i e s d u r i n g i n s t r u c t i o n a n d h a v e r e j e c t e d t h e i d e a t h a t s t u d e n t s s h o u l d h a v e i n d i v i d u a l t e x t s . 3 1 7 a l t e r n a t i v e c o n c e p t i o n o f c u r r i c u l u m m a t e r i a l s . I n a d d i t i o n t o p u s h i n g t h e t e x t b o o k m a r k e t f o r w a r d , i n c r e a s e d a v a i l a b i l i t y o f a l t e r n a t i v e m a t e r i a l s w i l l p r o v i d e v a l u a b l e s i t e s f o r g r e a t l y n e e d e d r e s e a r c h o n t e a c h e r s ' u s e o f a l t e r n a t i v e c u r r i c u l u m m a t e r i a l s . A P P E N D I X A H o w h e l p f u l w a s i t i n h e l p i n g y o u t h i n k a b o u t t e a c h i n g m a t h ? A P P E N D I X A S A M P L E I N T E R V I E W S 1 2 1 1 . 1 m m T h e p u r p o s e o f t h i s s e c t i o n i s t o l e a r n a b o u t t h e t e a c h e r ' 5 v i e w s o n t e a c h i n g a n d l e a r n i n g m a t h e m a t i c s a n d r e c o l l e c t i o n s o f p r e v i o u s e x p e r i e n c e s w i t h m a t h e m a t i c s . m m S a y : A s y o u k n o w t h e p u r p o s e o f m y s t u d y i s t o l e a r n a b o u t h o w t e a c h e r s u s e a n d t h i n k a b o u t a N e w t e x t b o o k . I w i l l b e a s k i n g y o u q u e s t i o n s a b o u t y o u r u s e a n d o p i n i o n s o t h e r H B J t e x t . F i r s t , h o w e v e r , I w o u l d l i k e t o l e a r n a l i t t l e b i t a b o u t y o u a s a t e a c h e r a n d a b o u t y o u r e x p e r i e n c e s u p t o t h i s p o i n t . E l 8 | . l H ' | A 1 . H o w l o n g h a v e y o u b e e n t e a c h i n g ? H o w l o n g i n L a n s i n g ? W h e r e e l s e h a v e y o u t a u g h t ? W h a t g r a d e s h a v e y o u t a u g h t ? A 2 . W h e r e d i d y o u g e t y o u r u n d e r g r a d u a t e d e g r e e ? W h a t d i d y o u s t u d y ? A 3 . D i d y o u t a k e a m a t h m e t h o d s c l a s s ? W h a t d o y o u r e m e m b e r a b o u t i t ? 3 1 8 3 1 9 A 4 . D i d y o u t a k e m a t h c o n t e n t c o u r s e s i n c o l l e g e ? W h a t w e r e t h e y ? H a v e a n y o f t h e m b e e n h e l p f u l t o y o u i n t h i n k i n g a b o u t t e a c h i n g m a t h ? A 5 . H a v e y o u t a k e n a n y c l a s s e s s i n c e y o u r u n d e r g r a d u a t e d e g r e e ? W h a t w e r e t h e y ? W h y d i d y o u t a k e t h e m ? H a v e t h e y h e l p e d y o u t h i n k a b o u t t e a c h i n g m a t h ? I n w h a t w a y s ? M a t h e m a t i c s H i s t g t ' y A 6 . W h a t w a s y o u r f a v o r i t e s u b j e c t i n s c h o o l ? W h a t w a s y o u r l e a s t f a v o r i t e s u b j e c t ? A 7 . W h a t d o y o u r e m e m b e r a b o u t m a t h c l a s s e s y o u h a v e h a d ( i n c o l l e g e , h i g h s c h o o l o r e l e m e n t a r y ? ) P r o b e f o r t h e t e a c h e r ' s r o l e , t h e s t u d e n t ' s r o l e , h e r p e r c e p t i o n s o f t h e c o n t e n t , a n d w h a t c o u n t s a s k n o w i n g . A 8 . D i d y o u e n j o y m a t h i n s c h o o l ? W h a t d i d y o u p a r t i c u l a r l y e n j o y a b o u t i t ? W h a t d i d y o u n o t e n j o y a b o u t i t ? A 9 . I n w h a t w a y s w o u l d y o u l i k e y o u r s t u d e n t s ' e x p e r i e n c e w i t h m a t h b e l i k e y o u r s ? I n w h a t w a y s w o u l d y o u l i k e i t t o b e d i f f e r e n t ? B 6 . D o e s t h e g r a d e l e v e l y o u a r e t e a c h i n g a f f e c t w h e t h e r o r n o t y o u e n j o y t e a c h i n g 3 2 0 T h e p u r p o s e o f t h i s s e c t i o n i s t o u n c o v e r w h a t t h e t e a c h e r k n o w s a n d b e l i e v e s a b o u t , a n d h e r a t t i t u d e s t o w a r d , m a t h e m a t i c s , a n d t e a c h i n g a n d l e a r n i n g i t . S a y : I a m a l s o i n t e r e s t e d i n y o u r g e n e r a l v i e w s o f m a t h a s i t i s t a u g h t i n s c h o o l s t o d a y . P u m s e o f s c h o o l m a t h e m a t i c s B 1 . W h a t d o y o u f e e l t h e g o a l s o f e l e m e n t a r y s c h o o l m a t h s h o u l d b e ? W h y a r e t h e s e t h i n g s i m p o r t a n t ? 3 2 . W h a t i s t h e m o s t i m p o r t a n t t h i n g y o u w o u l d l i k e y o u r s t u d e n t s t o l e a r n f r o m m a t h c l a s s t h i s y e a r ? T e a c h i n g m a t h B B . D o y o u h a v e a c o l l e a g u e o r k n o w s o m e o n e w h o y o u f e e l i s a n e x c e l l e n t m a t h t e a c h e r ? W h a t a b o u t h i s / h e r t e a c h i n g m a k e s h i m / h e r a g o o d t e a c h e r ? F e e l i n g s a b o u t m a t h B 4 . A r e t h e r e t h i n g s y o u e s p e c i a l l y e n j o y a b o u t t e a c h i n g m a t h ? W h a t d o y o u e n j o y a b o u t t h e m ? B S . A r e t h e r e t h i n g s y o u d o n ' t l i k e a b o u t t e a c h i n g m a t h ? W h a t d o n o t l i k e a b o u t t h e m ? m a t h ? 3 2 1 B 7 . H a v e y o u r f e e l i n g s a b o u t m a t h c h a n g e d o v e r t h e y e a r s ? I n w h a t w a y s ? H o w d o y o u a c c o u n t f o r t h i s ? B S . H o w a b o u t y o u r m a t h t e a c h i n g . H a s i t c h a n g e d o v e r t h e y e a r s ? I n w h a t w a y s ? H o w d o y o u a c c o u n t f o r t h i s ? B 9 . C a n y o u a n y t h i n g f r o m y o u r fi r s t e x p e r i e n c e t e a c h i n g m a t h ? W h a t w o u l d y o u d o d i f f e r e n t l y n o w ? L e a r n i n g a n d k n o w i n g m a t h 8 1 0 . C o u l d y o u n a m e a s t u d e n t y o u h a v e h a d i n t h e p a s t w h o w a s g o o d a t m a t h ? T e l l m e a l i t t l e b i t a b o u t t h i s s t u d e n t . P r o b e f o r : W h a t m a k e s h i m / h e r g o o d a t m a t h , w h a t i t m e a n s t o b e g o o d a t m a t h , w h a t t h e c r i t e r i a a r e f o r b e i n g g o o d a t m a t h . 8 1 1 . N o w , w h o w o u l d y o u s a y w a s p o o r a t m a t h ? ( U s e a b o v e p r o b e s . ) 3 2 2 P a r t 1 1 S W T h e p u r p o s e o f t h i s s e c t i o n i s t o l e a r n a b o u t t h e t e a c h e r ' s v i e w o f a n d h i s t o r y w i t h t h e H B J t e x t , a s w e l l a s w h a t k i n d s o f t h i n g s s h e h a s h e a r d a b o u t i t f r o m h e r c o l l e a g u e s . I w i l l h a v e t h e t e x t b o o k a v a i l a b l e d u r i n g t h e i n t e r v i e w , b u t w i l l f o l l o w t h e t e a c h e r ' s l e a d i n t u r n i n g t o i t a n d e x a m i n i n g i t s c o n t e n t s . I a m i n t e r e s t e d i n w h e t h e r a n d h o w s h e e x a m i n e s a n e w t e x t b o o k , b u t w o u l d l i k e t h i s e x a m i n a t i o n t o b e i n i t i a t e d b y h e r ? L e a r n i n g a m u t H B I S a y : N o w l e t ' s t a l k a l i t t l e b i t a b o u t H B J . C 1 . W h e n d i d y o u fi r s t l e a r n a b o u t H B J ? P r o b e t o g e t a t h e r i n i t i a l i n t r o d u c t i o n a n d r e a c t i o n t o i t ? D i s t r i g t A d o p t i o n o f H B I C 2 . W h y d o y o u t h i n k t h e d i s t r i c t c h o s e i t a s t h e m a i n m a t h e m a t i c s c u r r i c u l u m ? W h a t d o y o u k n o w a b o u t t h e a d o p t i o n p r o c e s s ? C 3 . H a v e y o u h a d a n y o p p o r t u n i t i e s t o l e a r n a b o u t t h e t e x t ? I f s o , w h a t ? D i d y o u p a r t i c i p a t e ? W e r e t h e s e e f f o r t s h e l p f u l t o y o u ? I n w h a t w a y s ? C 4 . H a v e y o u s e e n a n y o n e e l s e t e a c h u s i n g H B J ? I f y e s , h o w d i d t h i s c o n t r i b u t e t o y o u r v i e w o f t h e p r o g r a m ? V i e w o f H B | C 5 . B a s e d o n w h a t y o u k n o w , h o w w o u l d y o u d e s c r i b e t h e H B J t e x t t o s o m e o n e e l s e ? W h a t f e a t u r e s s t a n d o u t t o y o u ? ( A s k a b o u t h e r v i e w o n e a c h f e a t u r e - i t ' s s t r e n g t h s a n d w e a k n e s s e s , p u r p o s e ) . C 6 . W h a t d o y o u f e e l t h e a u t h o r s ' g o a l s a r e ? D o y o u a g r e e o r d i s a g r e e ? 3 2 3 C 7 . A s y o u p r e p a r e t o u s e t h e t e x t f o r t h e fi r s t t i m e , w h a t c o n c e r n s y o u t h e m o s t ? C 8 . W h a t a r e m o s t l o o k i n g f o r w a r d t o a b o u t i t ? U s e o f H B J C 9 H o w w o u l d y o u c h a r a c t e r i z e t h e w a y y o u u s u a l l y u s e y o u r m a t h e m a t i c s t e x t b o o k ? D o y o u m o s t l y f o l l o w i t o r u s e i t a s a r e s o u r c e ? H a s t h i s c h a n g e d o v e r t h e y e a r s ? H o w ? C 1 0 . H o w d o y o u a n t i c i p a t e y o u w i l l u s e t h e H B J t e x t ? fi l m i n g I r e a l l y a p p r e c i a t e y o u t a k i n g t h e t i m e t o t a l k w i t h m e d u r i n g t h i s b u s y t i m e o f y e a r . I a m l o o k i n g f o r w a r d t o s p e n d i n g s o m e t i m e i n y o u r c l a s s r o o m . I s t h e r e a n y t h i n g e l s e y o u f e e l I n e e d t o k n o w a b o u t y o u t h a t I h a v e n ' t a s k e d ? D o y o u h a v e a n y q u e s t i o n s f o r m e b e f o r e w e c l o s e 3 2 4 R e t r o s p e c t i v e V i e w o f I - I B l S a y : N o w t h a t w e a r e a t t h e e n d o f y o u r fi r s t y e a r o f u s i n g t h e H B J t e x t b o o k , I ' d l i k e t o g e t y o u r i m p r e s s i o n s o f t h e t e x t n o w a n d y o u v i e w o n h o w y o u r u s e o f i t c h a n g e d o v e r t h e y e a r . A 1 . H o w w o u l d y o u d e s c r i b e H B J n o w ? W h a t f e a t u r e s s t a n d o u t t o y o u ? ( A s k a b o u t h e r v i e w o n e a c h f e a t u r e - i t ' s s t r e n g t h s a n d w e a k n e s s e s , p u r p o s e ) . A 2 . W h a t d o y o u f e e l t h e a u t h o r s ' g o a l s a r e ? D o y o u a g r e e o r d i s a g r e e ? A 3 . W h a t r e c o m m e n d a t i o n s w o u l d y o u m a k e f o r c h a n g e s t o t h e a u t h o r s ? A 4 . . A r e t h e r e p a r t s y o u fi n d c o n f u s i n g o r p u z z l i n g ? W h i c h o n e s ? W h a t d o y o u fi n d p u z z l i n g a b o u t t h e m ? U s e o f I - I B I A 5 . H o w w o u l d y o u c h a r a c t e r i z e y o u r u s e o f t h e p r o g r a m ? A 6 . H a s y o u r u s e o f H B J c h a n g e d a t a l l ? I n w h a t w a y s ? H o w d o y o u a c c o u n t f o r t h i s ? A 7 . D o y o u t h i n k t h e t e x t b o o k h a s h e l p e d l e a d m a t h e m a t i c s i n s t r u c t i o n i n t h e d i r e c t i o n t h e d i s t r i c t i n t e n d e d i n s e l e c t i n g i t ? 3 2 5 A 8 . H o w w e l l h a s t h e t e x t b o o k h e l p e d y o u a c c o m p l i s h y o u r g o a l s f o r m a t h e m a t i c s i n s t r u c t i o n ? W U s i n g c o n t e n t a n d r e p r e s e n t a t i o n s f r o m H B J , I i n t e n d t o g e t a t t h e t e a c h e r ' s k n o w l e d g e o f m a t h e m a t i c s a n d o f H B J . S a y : I w o u l d l i k e t o a s k y o u s o m e s p e c i fi c q u e s t i o n s a b o u t t h e s o r t s o f t h i n g s i n c l u d e d t h e H B J p r o g r a m a n d h o w t h e y h e l p s t u d e n t s l e a r n m a t h e m a t i c s . ( I w i l l d e v e l o p t a s k s d u r i n g t h e y e a r t o u s e i n t h i s s e c t i o n . ) W W 9 : S a y : I ' d l i k e t o a s k y o u s o m e q u e s t i o n s a b o u t h o w t h e t e x t i s o r g a n i z e d a n d t h e m a t h e m a t i c a l c o n t e n t i n c l u d e d . C 1 . F o r e a c h o f t h e f o l l o w i n g c h a r a c t e r i s t i c s , a s k w h a t s h e t h i n k s a b o u t i t , w h y , a n d h o w i t c o m p a r e s t o o t h e r t e x t b o o k s s h e u s e s : 0 C o n t e n t i n c l u d e d 0 C o n t e n t o r g a n i z a t i o n a n d s e q u e n c i n g 0 L e v e l o f d i f f i c u l t y . 0 C o n t e n t p r e s e n t a t i o n ° S t r r d e n t a c t i v i t i e s 0 G u i d a n c e f o r t e a c h e r . C 2 . O n e c o m p l a i n t I h a v e h e a r d a b o u t H B J i s t h a t i t ' s f o c u s e s t o o m u c h o n p r o b l e m s o l v i n g a n d i g n o r e s t h e b a s i c s . H a v e y o u h e a r d t h i s ? W h a t d o y o u t h i n k ? C 3 . W h a t i s i t a b o u t t h i s t h a t p e o p l e a r e s o p e o p l e a r e s o w o r r i e d a b o u t ? 3 2 6 fl e e i n g I r e a l l y a p p r e c i a t e y o u t a k i n g t h e t i m e t o t a l k w i t h m e a b o u t y o u r t e a c h i n g a n d h o w y o u t h i n k a b o u t m a t h e m a t i c s . T h a n k y o u a l s o f o r a l l o w i n g m e t o c o m e i n t o y o u r c l a s s r o o m t h i s y e a r . 3 2 7 W I w i l l i n t e r v i e w t h e t e a c h e r o n c e a w e e k a b o u t h e r t e a c h i n g t h a t w e e k . T h e i n t e n t i o n o f t h e s e i n t e r v i e w s i s t o fi n d o u t h o w s h e w a s t h i n k i n g a b o u t a n d i n t e r p r e t i n g t h e H B J l e s s o n . I n 1 1 ' n 1 . H o w d o y o u t h i n k t h i n g s w e n t ? ( T h e r a t i o n a l e f o r t h i s q u e s t i o n i s t o s t a r t t h e c o n v e r s a t i o n b y l e t t i n g t h e t e a c h e r s a y w h a t e v e r s h e w a n t s t o s a y a b o u t h e r t e a c h i n g . I f t h e d i s c u s s i o n d o e s n o t n a t u r a l l y m o v e o n t o t h e n e x t q u e s t i o n t h e n b e s u r e t o m o v e i t t h e r e . ) W h a t w a s m i n g t a u g h t 2 a . ( i f t h e s h e b a s e d h e r l e s s o n o n t h e t e x t . I f s h e d i d n ' t f o l l o w 2 b . ) L e t ' s g o o v e r t h e l e s s o n y o u t a u g h t t h i s w e e k i n t h e t e a c h e r ' s g u i d e . I ' d l i k e t o k n o w y ‘ i i r ‘ r a t t h o u g h t a b o u t w h e n p l a n n i n g f o r a n d t e a c h i n g t h i s l e s s o n . ( F r o m t h i s I w o u l d l i k e t o u n p a c k t h e t e a c h e r ' s n o t i o n s a b o u t t h e a u t h o r s ' i n t e n t i o n s o r g o a l s a n d h e r s e n s e o f w h a t a c t u a l l y h a p p e n e d . I a l s o a m i n t e r e s t e d i n h e r k n o w l e d g e o f a n d t h i n k i n g a b o u t h e r s t u d e n t s b e f o r e , d u r i n g a n d a f t e r t h e l e s s o n . ) F o l l o w u p q u e s t i o n s : W h a t d o y o u f e e l t h e m a i n i d e a w a s i n t h i s l e s s o n ? W h y i s t h a t i m p o r t a n t ? W h a t w e r e y o u h o p i n g t h e k i d s w o u l d g e t f r o m t h i s l e s s o n ? D i d t h e y g e t i t ? H o w d o y o u k n o w ? A r e t h e r e s o m e t h i n g s a b o u t t h e w a y t h i s l e s s o n i s d e s i g n e d t h a t y o u r e a l l y l i k e ? A r e t h e r e s o m e t h i n g s y o u d i s l i k e ? W o u l d y o u d o a n y t h i n g d i f f e r e n t l y i f y o u w e r e t o t e a c h t h i s l e s s o n a g a i n ? 2 b . ( I f s h e d i d n o t u s e t h e t e x t . ) H o w d i d y o u d e c i d e w h a t t o t e a c h t o d a y ? H o w d o e s t h e t e x t b o o k h a n d l e t h i s i d e a d i f f e r e n t l y ? W h a t w a s t h e m a i n i d e a i n t h i s l e s s o n ? W h y i s t h a t i m p o r t a n t ? W h a t w e r e y o u h o p i n g t h e k i d s w o u l d g e t f r o m t h i s l e s s o n ? D i d t h e y g e t i t ? H o w d o y o u k n o w ? W o u l d y o u d o a n y t h i n g d i f f e r e n t l y i f y o u w e r e t o t e a c h t h i s l e s s o n a g a i n ? 3 2 8 H a w w a s i t m i n g t a u g h t 3 . I s t h e r e a n y t h i n g t h a t s t u d e n t s t y p i c a l l y h a v e d i f f i c u l t y w i t h w i t h t h i s m a t e r i a l / a c t i v i t y ? I f s o , w h a t ? H o w d o y o u d e a l w i t h t h a t ? ( T h e i n t e n t i o n o f t h e s e q u e s t i o n s i s t o g e t a t w h a t t h e t e a c h e r k n o w s a b o u t h e r l e a r n e r s , w h e t h e r o r n o t s h e t h i n k s a b o u t s t u d e n t s w h e n s h e t h i n k s a b o u t m a t h t e a c h i n g , h o w h e r k n o w l e d g e o f s t u d e n t s i n fl u e n c e s h e r t h i n k i n g a b o u t t e a c h i n g m a t h . ) I s t h e r e a n y t h i n g e l s e a b o u t h o w s t u d e n t s r e a c t t o t h i s m a t e r i a l — t h i n g s t h e y a l r e a d y k n o w , t h i n g s t h e y ' r e i n t e r e s t e d i n , f o r e x a m p l e , t h a t y o u c a n t h i n k o f ? I f s o , w h a t ? D o e s t h a t a f f e c t t h e w a y t h a t y o u t h i n k a b o u t t e a c h i n g t h i s i n a n y w a y ? H o w ? A s w e g o t h r o u g h t h e l e s s o n s , b r i n g u p s p e c i fi c q u e s t i o n s a b o u t e v e n t s t h a t o c c u r r e d d u r i n g t h e l e s s o n ( e . g . , t h e w a y s h e p h r a s e d a c e r t a i n q u e s t i o n , a s t u d e n t s r e s p o n s e , a n y o m i s s i o n o r a d d i t i o n , e t c . ) a s k i n g h e r t o r e fl e c t o n h e r i n t e n t i o n w i t h o r r e a c t i o n t o e a c h . Q u e s t i o n s o n v a r i a t i o n s f r o m t e x t b o o k l e s s o n w i l l b e p h r a s e d a s : l n o t i c e d t h a t . . . W h y d i d y o u c h o o s e t o . . . . ? W h a t d i d y o u t h i n k w h e n ( s t u d e n t ' s n a m e ) s a i d . . . ? Y o u r r e s p o n d e d w i t h . . . . ; W h a t w a s y o u r r e a s o n i n g f o r t h i s ? W a s t h e r e a n y t h i n g t h a t h a p p e n e d d u r i n g t h a t l e s s o n t h a t s u r p r i s e d y o u ? i f s o , w h a t ? W h y w a s i t s u r p r i s i n g ? D i d y o u h a v e t o c h a n g e y o u r p l a n s a t a l l t o d a y ? I f s o , h o w a n d w h y ? W i g w a m ( T h e s e q u e s t i o n s a r e i n t e n d e d t o h e l p m e fi n d o u t h o w a n d i f t h e t e a c h e r a s s e s s e s s t u d e n t e n g a g e m e n t a n d l e a r n i n g , a s w e l l a s h o w s h e t h i n k s h e r k i d s l e a r n m a t h . ) 8 . 1 0 . 1 1 . 1 2 . H o w e n g a g e d i n t h e ( a c t i v i t y , l e s s o n , d i s c u s s i o n ) d i d y o u t h i n k t h e k i d s w e r e ? H o w c o u l d y o u t e l l ? W h y d o y o u t h i n k t h a t w a s ? I s t h i s t y p i c a l ? H o w d o y o u t h i n k t h e s t u d e n t s d i d ? I s t h e r e a n y t h i n g t h a t t h e y h a d t r o u b l e w i t h ? H o w c a n y o u t e l l ? W a s t h e r e a n y t h i n g t h a t t h e y f o u n d e a s y ? I n t e r e s t i n g ? H o w c a n y o u t e l l ? I s t h e r e a n y t h i n g t h a t y o u w a n t t o f o l l o w u p o n i n f u t u r e c l a s s e s ? I f s o , w h y ? W h y i s t h a t i m p o r t a n t t o f o l l o w u p o n ? 3 2 9 m m 1 3 . A r e t h e r e o t h e r q u e s t i o n s I s h o u l d a s k y o u t h a t w o u l d h e l p m e u n d e r s t a n d t h a t l e s s o n ? A P P E N D D ( B A P P E N D I X B O B S E R V A T I O N I N S T R U M E N T s t a r w a t i g n F a r m D a t e : T e a c h e r : O b s e r v e r : N u m b e r o f s t u d e n t s i n t h e c l a s s : N u m b e r o f s t u d e n t s p r e s e n t : N a m e s o f s t u d e n t s a b s e n t : D r a w a p i c t u r e o f t h e c l a s s r o o m h e r e , n o t i n g m a j o r l a n d m a r k s . ( N o t e : I f t h e g r o u p i n g o f d e s k s o r s t u d e n t s c h a n g e s a c r o s s t h e d a y , b e s u r e t o i n c l u d e a m a p o f t h o s e c h a n g e s . ) 1 . N a r r a t i v e d e s c r i p t i o n . I n a n a r r a t i v e , d e s c r i b e t h e l e s s o n . I n c l u d e t h e t o p i c b e i n g t a u g h t , t h e r e p r e s e n t a t i o n s t h a t w e r e u s e d t o e a c h i t , t h e t e a c h e r ' s a n d s t u d e n t s ' a c t i o n s , b e h a v i o r s , a n d t a l k d u r i n g t h e l e s s o n . D e s c r i b e i n o r d e r t h e m a j o r p i e c e s o f t h e l e s s o n , n o t i n g t h e r o l e t h e t e x t b o o k p l a y e d i n t h e i n s t r u c t i o n . B o a r d w o r k : 2 . I n s t r u c t i o n a l m a t e r i a l s . D e s c r i b e t h e m a t e r i a l s i n t h e r o o m r e l a t e d t o m a t h e m a t i c s i n s t r u c t i o n . H o w a r e t h e y s t o r e d , m a d e a c c e s s i b l e t o s t u d e n t s , a n d u s e d d u r i n g i n s t r u c t i o n ? . 3 . M a t h e m a t i c s i n s t r u c t i o n . 3 a . D i v i d e t h e l e s s o n i n t o t h e m a i n a c a d e m i c t a s k s w i t h w h i c h s t u d e n t s w e r e e n g a g e d . B r i e fl y i d e n t i f y a n d l i s t t h e s e t a s k s i n c h r o n o l o g i c a l o r d e r . ( I n c l u d e a d e s c r i p t i v e l a b e l , a b r i e f d e s c r i p t i o n o f t h e t a s k , t h e n u m b e r o f m i n u t e s , a n d p e r c e n t a g e o f c l a s s t i m e d e v o t e d t o e a c h t a s k ) . A n a c a d e m i c t a s k i s d e f i n e d a s a n a c t i v i t y , t h e p u r p o s e o f w h i c h i s t o f o c u s s t u d e n t s ' a t t e n t i o n o n m a t h e m a t i c a l w o r k o f s o m e n a t u r e . E x a m p l e s o f a c a d e m i c t a s k s w o u l d i n c l u d e ( b u t n o t b e l i m i t e d t o ) a s m a l l g r o u p w o r k i n g o n a n o p e n - e n d e d p r o b l e m , a t e a c h e r l e c t u r e o n h o w t o d e t e r m i n e i f t w o f r a c t i o n s a r e e q u i v a l e n t , a w h o l e - c l a s s d i s c u s s i o n o n w h y w e n e e d n e g a t i v e n u m b e r s , i n d i v i d u a l s c o m p l e t i n g w o r k s h e e t s o n l o n g d i v i s i o n a l o n e a t t h e i r s e a t s . 3 3 0 3 3 1 S e l e c t t h e t w o t a s k s t h a t o c c u p i e d t h e m o s t a m o u n t o f c l a s s t i m e . l a b e l t h e t a s k t h a t o c c u p i e d t h e m o s t a m o u n t o f t i m e T a s k A a n d t h e s e c o n d t a s k , T a s k B . ( I f t h e e n t i r e c l a s s w a s d e v o t e d t o o n e t a s k , p l e a s e n o t e . ) F o r e a c h o f t h e s e t a s k s , a n s w e r t h e f o l l o w i n g q u e s t i o n s : ( a ) F r o m a m a t h e m a t i c a l t a s k a n a l y t i c p e r s p e c t i v e , d e s c r i b e t h e s u b s t a n t i v e c o n t e n t o f t h e t a s k . ( b ) B a s e d o n h o w t h e t a s k w a s i m p l e m e n t e d , d e s c r i b e t h e l e a r n i n g g o a l s o f t h e t a s k f r o m t h e t e a c h e r ' s p e r s p e c t i v e ( i . e . , w h a t d i d t h e t e a c h e r s e e m t o w a n t s t u d e n t s t o b e l e a r n i n g t o b e a b l e t o d o , t o u n d e r s t a n d , e t c ? ( c ) B a s e d o n s t u d e n t s ' c l a s s r o o m b e h a v i o r s , d e s c r i b e t h e e x t e n t t o w h i c h t h e t e a c h e r ' s l e a r n i n g g o a l s w e r e a c h i e v e d o r n o t a c h i e v e d . 3 b . D i d t h e t a s k s f o c u s s t u d e n t s ' a t t e n t i o n o n u n d e r l y i n g m a t h e m a t i c a l m e a n i n g s o f t h e c o n t e n t ? G i v e s p e c i fi c e x a m p l e s . 3 c . D i d t h e t a s k f o c u s s t u d e n t s ' a t t e n t i o n o n p r o c e d u r a l s t e p s a n d f a c t s ? I f s o , w e r e t h e p r o c e d u r e s c o n n e c t e d t o u n d e r l y i n g c o n c e p t s o r w e r e t h e y m e c h a n i c a l ? G i v e s p e c i fi c e x a m p l e s . 3 d . W a s " d o i n g m a t h e m a t i c s " e m p h a s i z e d ( e . g . , f r a m i n g p r o b l e m s , m a k i n g c o n j e c t u r e s , l o o k i n g f o r p a t t e r n s , e x a m i n i n g c o n s t r a i n t s , d e t e r m i n i n g w h e t h e r a n a n s w e r i s v a l i d o r r e a s o n a b l e , k n o w i n g w h e n a p r o b l e m i s s o l v e d , j u s t i f y i n g , e x p l a i n i n g , c h a l l e n g i n g ) ? I n w h a t w a y s ? G i v e s p e c i fi c e x a m p l e s . W a s g e t t i n g r i g h t a n s w e r s e m p h a s i z e d ? I n w h a t w a y s ? G i v e s p e c i fi c e x a m p l e s . B e . W h a t i n s t r u c t i o n a l r e p r e s e n t a t i o n s ( e . g . , m a n i p u l a t i v e s , p i c t u r e s , a n a l o g i e s , p i c t u r e s , s t o r i e s ) d i d t h e t e a c h e r o r t h e s t u d e n t s u s e i n t h i s l e s s o n a n d o n w h a t m a t h e m a t i c a l i d e a s d i d t h e y f o c u s ? D e s c r i b e e a c h r e p r e s e n t a t i o n , n o t i n g w h e t h e r i t w a s i n t r o d u c e d b y t h e t e a c h e r o r b y a s t u d e n t . I n c l u d e d e t a i l s t h a t w i l l h e l p t o s h o w h o w t h e t e a c h e r a n d / o r s t u d e n t s u s e d t h e r e p r e s e n t a t i o n ( f o r w h a t p u r p o s e , w i t h w h a t l a n g u a g e ) . 3 f . W h a t m a t h e m a t i c a l l a n g u a g e ( s p e c i a l t e r m s u s e d t o r e f e r t o t h e s u b s t a n c e o f m a t h e m a t i c s — e . g . , " q u o t i e n t , " " p a r a l l e l o g r a m , " " n e g a t i v e n u m b e r " ) w a s u s e d , i f a n y ? M a t h e m a t i c a l s y m b o l s a n d n o t a t i o n ? l a n g u a g e a n d s k i l l s o f m a t h e m a t i c a l d i s c o u r s e ( e . g . , c o n j e c t u r e , e x a m p l e , c o u n t e r e x a m p l e , p r o o f , c o n v i n c e ) ? 3 3 2 3 g . D i d y o u n o t e a n y e r r o r s o r c u r i o s i t i e s i n t h e m a t h e m a t i c a l c o n t e n t a s i t w a s r e p r e s e n t e d o r e x p l a i n e d b y e i t h e r t e a c h e r o r s t u d e n t s ? W h a t w a s t h e s o u r c e a n d n a t u r e o f t h e s e ? H o w w e r e t h e s e t r e a t e d , i t a t a l l ? 3 h . O p e n n e s s o f t h e d i s c o u r s e : I f t h e r e w a s d i s c u s s i o n , w h a t w e r e t h e s t u d e n t s d o i n g a n d w h a t w a s t h e t e a c h e r ' s r o l e i n t h e d i s c u s s i o n ? I n w h a t w a y s w a s t h e d i s c o u r s e c o n v e r g e n t , w a s t h e p r e s s t o w a r d c o n s e n s u s ? G i v e e x a m p l e s . I n w h a t w a y s w a s t h e d i s c o u r s e d i v e r g e n t ? W a s t h e r e s p a c e a n d t i m e t o d i s a g r e e , t o r e m a i n u n c o n v i n c e d ? G i v e e x a m p l e s . D i d s t u d e n t s p l a y a n a c t i v e r o l e i n i n i t i a t i n g o r l e a d i n g t h e p a t h o r f o c u s o f t h e l e s s o n ? G i v e e x a m p l e s . D i d s t u d e n t s s e e m t o b e c o n f u s e d a b o u t a n y t h i n g ? A b o u t w h a t ? H o w d i d t h e t e a c h e r t r e a t t h e c o n f u s i o n ? 3 i . D i d t h e p r o b l e m s o r t a s k s s e e m t o b e c h a l l e n g i n g t o s t u d e n t s ? W h a t e v i d e n c e d i d y o u n o t e o f s t u d e n t s ' r e a c t i o n t o t h e p r o b l e m s ? W e r e t h e r e t i m e s d u r i n g t h e l e s s o n w h e n a s i g n i fi c a n t n u m b e r o f s t u d e n t s s e e m e d e x c e p t i o n a l l y e n g a g e d i n t h e m a t h e m a t i c s a t h a n d ? W h a t w e r e t h e y e n g a g e d i n ? W e r e t h e r e t i m e s d u r i n g t h e l e s s o n w h e n a s i g n i fi c a n t n u m b e r o f s t u d e n t s s e e m e d t o b e e n g a g e d i n s o m e t h i n g o t h e r t h a n t h e m a t h e m a t i c s a t h a n d ? W h a t w e r e t h e y e n g a g e d i n ? 3 j . I s t h e r e a n y t h i n g a b o u t m a t h e m a t i c s i n s t r u c t i o n t h a t f a l l s t h r o u g h t h e c r a c k s w h e n y o u d e s c r i b e i t i n t h i s w a y ? I f s o , p l e a s e e x p l a i n . 4 . T e x t b o o k U s e . D e s c r i b e h o w t h e t e a c h e r u s e d t h e t e x t b o o k d u r i n g t h e l e s s o n . I n d i c a t e w h i c h l e s s o n w a s b e i n g u s e d a n d t h e d e g r e e t o w h i c h s h e s e e m e d 0 f o l l o w o r v e e r f r o m t h e t e x t . 4 a . H o w w e r e t h e s t u d e n t s u s i n g t h e t e x t b o o k s ? A P P E N D I X C A P P E N D I X C H B J T E X T B O O K S A M P L E E X C E P T S T h e f o l l o w i n g p a g e s a r e c o p i e d f r o m C h a p t e r 1 0 o f t h e H B J t e x t b o o k t o s e r v e a s e x a m p l e s o f t h e v a r i o u s f e a t u r e s i n t h e t e x t b o o k . T h e y a r e r e p r i n t e d w i t h p e r m i s s i o n o f t h e p u b l i s h e r , H a r c o u r t B r a c e J o v a n o v i c h , I n c o r p o r a t e d . 3 3 3 3 3 4 - C H A P T E R j ' I I ’ - ' e r r - m u m S u m m a r y . . . . . . . . . . . . . . . . I n [ h I S c h a p t e r s t u d e n t s w . l | d e v e l o p a n d e x p a n d [ n e w u n d e r s t a n d t n g o f f r a c t l o n s T h e c a r e f u l d e v e l o p m e n t f r o m c o n c r e t e t o m a n u a l t o a b s t r a c t e n h a n c e s s t u d e n t s a p t l t r v t o m a s t e r t h e c o n c e p t o f 3 f r a c t l o n a n : t o d e v e l o p a s e n s e o f u s m g f r a c t l o n s t o s o l v e p l o p l e m s T n l s c a r e f u l d e v e l o p m e n t I n c l u d e s I e x p l o r l n g f r a c t i o n s a s p a r t o f a w h o l e o r p a " . 3 ‘ a g r o u p e x p l o r t n g t : ‘ t n d a f r a c r l o n a l p a r t o f a n u m e r m o d e l l n g e p u w a l e n r f r a a t p n s e x p r e s s m ‘ f o r m I c o m p a r l n o f r a m o n s W i t h l o r e a n d u n l l k e d e p o r t n a t o r s ‘ r a c t l o n s I I I S l r c f e s t a t a F r a c t l o n c a n h a v e e x p r e s s e d a s m i x e d n u m c e r T h e d e v e l o p m e n : c o n c l u d e s m t h s t u - d e n t s ‘ I n c r e a C a b l l l t v t o u n d e r s t a n d t h e m e a n i n g s " ‘ f r a c t l o n s T h e v r e c o g - n i z e t h a t f r a c t l p n s c a n b e e x C ' e s s e d t n d t f f e r e n r f o r m : a n d t h a t t r » : - v a l u e s o f f r a c t t o n s c a n t L . . : o m p a r e e d I n t h l s C h a p t e r , t h e p r o b l e m - s p l v x n g l e s s o n s f o c u s a ” I m m ) t h e d - s t e p p r o c e s s I : s o l v e p r o b l e m s I u s m g t h e 3 : : I : o u t s r r a t e g . | c h o o s i n g a n a p p r o p r i a t e s t r a t e g v t o s o l v e a p r o b l e m M a t e r i a l s C o u n t e r s ( 1 0 ~ 0 8 D l a v m o n e y ( 1 : : ’ - S C I s s o r s ( 1 0 o 1 3 7 , 1 0 B l F r a c t i o n b a r s o r T R a s H O 6 T D 9 ) F r a c t i o n c t r c l e s ' 3 ' T ? 4 6 4 1 7 1 : I O ] U N D E R S T A N D I N G F R A C T I O N S M I D M I X E D N U M B E R S " W h e n c l r t l a r e n p o s s e s s a n o u n d e r s r r n d m g o f f r o a l c t t o n a n d ( r e c / m a I c o n c e p t s I I I S ‘ I c a n u s e t h i s k n o w l e d g e t o O r s c l t b e r e a l - I ' . o r t o p l l e n c ‘ m e n a a n d . 7 " . “ l l t . { c p r a m s m s l l T l O I L ' I I I G I l l i c i t " r 1 7 1 : [ I i L ‘ T . ‘ L ‘ . I . ' ) . ' l . ' { ‘ , a n : « e n s u e s " - 1 . - 4 . 2 e s t , T h e f o l l o w m g o b j e c t i v e s f o r c o n c e p t s . s k i l l s , a n d p r o b l e m - s o l v m g s t r a t e g l e s a n d S k l l I S a r e t e s t e d S e e p a g e 3 1 6 F f o r a c o m p l e t e d e s c n p t l o n o f b o t h t h e p e r f o r m a n c e a n d f o r m a l a s s e s s m e n t s f o r t h l s c h a p : e r fl u T o I d e n t i f y a f r a c t i o n a l p a r t o f a g r o u p t o l d e r ‘ l t l f v t h e f r a c t l o n a l p a r t o f a t o - l T o I d e n t r f y e o u u v a l e n t f r a c t i o n s t o s r m p h f v f r a c t l o n s i o - t T o c o m p a r e f r a c t i o n s w u t h l t k e d u e n o m t n a t o o r s « t o T o i d e n t r f v f r a c t i o n s a s m l x e d n r n r b e r s 1 0 - E T o s o l v e p r o b l e m s b y c h o o s m g a p p r o p r l a t e s t r a t e g l e s a n d b y u s u n g t h e a c t / r o u r s t r a t e g y 3 1 6 A I C H A P T E R 1 0 - r < — T M o a O u t i h e I r d e a s ' " m e w a s . 3 3 5 " . . 9 3 - V ; , - ‘ v s ' 2 2 , , ' w e ' - 1 . . “ m y : A — . . . ' 4 y ; ~ . - N 4 . , . . . . . " f ‘ s f - , ‘ ‘ ' _ J a n . ‘ H v ‘ : ' V - - . . . , t 1 7 . ‘ fi ' . n : . _ ‘ ! ‘ : + ' ¥ ' 1 ~ ' 1 1 J ; ' , $ 3 . 2 " B u i l d i n g B l o c k s o f L e a r n i n g I 5 i l I a l l p l l m - u s i n g p a p e r t o m o d e l f r a c t i o n s p p . 3 1 8 . 3 1 s ' a . - u s i n g c o u n t e r s t o m o d e l a f r a c t i o n o f a n u m b e r I p p . 3 2 4 3 - 3 2 5 . 3 2 9 . u p C o n c e p t D E V E I O p m e n t . u s i n g f r a c t i o n b a r s , p i e c e s . o r C i r c l e s t o m o d e l . f r a c t i o n s a n d m i x e d n u m b e r s p p . 3 2 8 . 3 3 2 . 3 3 6 . 3 3 8 i i i . 3 , S k i l l s a n d i n a c t i n g i t o u t p u n s - 3 2 7 . 3 3 5 . 3 4 1 1 P r o b l e m S o l v i n g m l ” ' ‘ " ° ° " " ° “ ” ‘ e ° ' ” ° - ” " ’ ” - “ ‘ A p p l i c a t i o n - u s i n g s t r a t e g i e s a n d s k i l l s t o s o l v e p r o b l e m s p p . 3 1 9 . a L 3 2 1 . 3 2 3 . 3 2 5 . 3 2 7 . 3 2 9 - 3 3 1 . 3 3 3 . 3 3 5 . 3 3 7 . 3 4 1 , 3 4 3 c r i t i c a q u h i n k l n g I Q I S O I I I I Q - a n a l y z i n g , d r a w i n g c o n c l u s i o n s p . 3 2 1 0 a n s w e r i n g W h a t i f q u e s t i o n s o n . 3 2 6 . 3 3 4 1 0 E v e r y d a y l i f e - u s i n g f r a c t i o n a l p a r t s o f a n h o u r t o e x p r e s s t i m e s p e n t o n a c t i v i t i e s p . 3 3 3 C O H H E C t I O n S - u s i n g m o n e y p p . 3 2 3 . 3 2 7 . 3 3 0 . 3 3 3 . 3 3 5 . S M , 1 0 O t i i e r - H e a l t h — ' h e a i t n a n d f i t n e s s ' t h e m e i n c h a p t e r i S I I D I E C I ” a s - S o c i a l S t u d i e s — m a k i n g a m a p 9 . 3 4 3 l 8 ' i N a m i n g F r a c t i o n s - w r i t i n g f r a c t i o n s o r m i x e d n u m b e r s f o r p i c t u r e s o r s i t e w o r d n a m e s p p . 3 2 0 - 3 2 3 . 3 3 9 - 3 “ N u m b e r s e n s e E s t i m a t i o n a c h e c k i n g r e a s o n a b l e n e s s o f a n s w e r s 9 . 3 3 1 l 0 u s i n g a p i c t u r e a . 3 3 7 l a n g u a g e - u n d e r s t a n d i n g a n d u s i n g t h e l a n g u a g e o f m a t h e m a t i c s p p . 3 2 3 . 3 3 2 . 3 3 5 . 3 3 8 . 3 4 1 0 S p e a k i n g . d i s c u s s i n g m a t h e m a t i c s u p . 3 1 6 . m . 3 2 0 . 3 2 2 . 3 2 4 . 3 2 8 . 3 3 1 . 3 3 6 . 3 3 1 3 . 3 3 . H 2 2 - H 2 3 . . a W a r m t i p / W r a p U p i n e v e r y b a s i c l e s s o n 5 w r i t i n g . f o r m u l a t i n g p r o b l e m s p . 3 2 7 C o m m u n i c a t i o n C o o p e r a t i v e . e x p l o r i n g m a t h e m a t i c a l c o n c e p t s p p . 3 1 9 - 3 1 9 . 3 2 0 - 3 2 5 l e a r n i n g A c t i v i t i e s ” 3 " ” . ” ” 3 9 . u e n g a g i n g i n p r o b l e m - s o l v i n g a c t i v i t i e s a n d p r o i e c t s D D . 3 3 1 . 3 4 3 - 3 “ . " 3 0 C H A P T E R 1 0 - 3 1 6 3 3 3 6 L e s s o n P l a n n i n G u i d e 9 . - ‘ U s e t h r o u g h o u t t h e C h a p t e r ' 7 ‘ " ; v g w y w + 3 . ‘ Q " 1 A ? “ 1 9 5 3 - } a n - v - - ‘ * ‘ q u l ’ - - _ . h _ 2 l 1 . 4 - . ‘ L - f r ' 1 T 4 3 1 6 - 7 C h a p t e r O p e n e r l " P r o b S o w L m k ; I i p . 3 2 6 8 f 1 0 . 1 3 1 8 — 9 T o u s e r r a m o n s t o 1 - 1 4 1 - 1 4 1 - 1 4 ' M o r e P r a c t i c e . 9 H 7 0 i 1 0 1 1 0 1 1 o 1 r e p r e s e n t p a r t o r a w h a l e : l o r c a n o r a g r o w F g T 1 0 . 2 3 2 0 - 1 7 0 r e a d a n d w r i t e a 5 1 - 2 6 1 - 2 7 1 - 2 7 . M o r e P r a c t i c e . 0 H 7 0 1 1 o 2 1 0 2 1 0 1 2 f r a c t i o n a s a c a n o f ' ' a a W h o ’ e l , 1 0 3 3 2 2 - 3 T o r e a d a n d M M a t 1 - 2 S 1 - 2 5 1 - 2 5 5 M o r e P r a c t i c e . 0 H 7 1 ‘ M a m C o n n , U n k g 1 0 3 1 0 . 3 1 0 1 5 l r a m o n a s p a r t o r a ' 2 8 - 5 2 2 8 - 3 2 2 8 - 3 2 g l o r 3 3 8 A 1 g r o u p ; ' l 1 0 : 1 3 2 4 - 5 T o t u n a a f r a c t i o n a l 1 - 1 2 : 1 - 1 2 1 - 1 3 - w o r e P r a c t i c e . 9 . H 7 1 P r o o S o w . L i n k I 1 0 I : ! 1 0 a 1 0 a c a n o r a g r o w i t D . 3 2 6 A 1 . ' 1 0 5 3 2 6 - 7 T o s a l v e o r o m e m s o v v s : 1 - 9 1 - 9 . M o r e P r a c t l c e . 0 , H 7 1 i 1 0 s 1 1 0 5 1 o 5 u s m q t h e a c t I r o u t , ' i s m t e g v 5 E 1 0 6 3 2 8 - 9 T o e x p l o r e e o u w a l e n t 1 - 1 6 : 1 - 1 6 1 - 1 7 , - M o r e P r a m c e , p H 7 2 M a m o u n u 0 5 1 8 A 1 0 5 1 o 5 1 o 6 t r a m - e n s u s m g m o a e l s i n " : [ M R M R . . . f T I 3 3 0 R e v u e w a n d M a m t e n a n c e 3 1 - 2 0 I 1 - 2 0 1 - 2 0 1 3 3 1 5 0 0 a n o n P r o b l e m ~ 1 - 2 ! 1 - 2 1 — 2 9 . S o w i n g ‘ l ‘ 1 | j 1 0 7 3 5 2 — 3 T o fi n d a n e o u r v a l e n t 1 - 2 8 ; 1 - 2 8 1 - 2 8 M o r e P r a c t i c e . 0 . H 7 2 . 1 0 7 I 1 0 ] 1 0 7 " a C I I O n 1 n S l m D I E S X . . . : l o r m ! g , 3 1 1 * A i 1 0 8 3 3 4 - 5 T o s o l v e D r o o l e m s b y 1 - 1 1 1 - 1 1 1 - 1 1 M o r e P r a c t i c e , 0 H 7 3 Q 1 0 a ' 1 e r 1 0 a l c n o o s m g a S t r a t e g y 1 1 0 9 3 3 6 - 7 I T o c o m p a r e f r a C t n o n s 1 - 2 1 1 - 2 1 1 - 2 1 ’ B r i d g e L e s s o n s 0 0 H 2 2 — H 2 3 M a m o L i n k 9 3 1 8 8 1 0 9 1 0 , 9 1 0 9 u s r n g < > o r : : m o r e P r a c t i c e . 0 H 7 3 M a t h C o n n L v n k , 1 n o M B A - 3 5 8 3 ‘ . l 1 0 1 0 3 3 8 - 9 1 0 e x p l o r e m i x e d 9 1 - 2 1 1 - 2 1 1 - 2 1 M O r e P r a c t i c e , 0 H 7 3 P r o o S o w u m i 1 0 1 0 : 1 0 1 0 1 0 1 o n u m o e r s 1 0 3 2 6 A . i a I T 3 3 4 0 - 1 C h a p t e r e e w e w - ‘ 1 ! 3 4 2 C n a o t e r t e s t | 3 4 3 t e a m w o r k P r o t e c t ; S c n o m - H o m e C o n n e c t l o n . l 3 4 4 E x t e r m o n ‘ 0 H 5 0 1 ' 3 4 $ C u m u l a u v e k n e w i ' : i | l I ‘ t " " h fi " “ i f i n ” " ' ' 7 l i n g - I n { " 1 r a i n y " ' _ ” 8 1 1 0 * “ W W 9 5 9 5 7 1 0 o r t h l s m a n - 7 3 2 1 f " { - ' - _ - j " " " " ' " 5 _ ' a A c o m p l e t e l i s t o f m e d l a r e s o u r c e s f o r t h i s c h a p t e r c a n b e f o u n d I n t h e t a b b e d s e c u o n a t t h e b a c k o f b u s m a n u a l . \ R e s o u r c e s I n c l u d e p r o f e s s i o n a l r e f e r e n c e s f o r t e a c h e r s . M R m \ f l c t l o n a n d n o n f i c t i o n D O O R S f o r S t u d e n t s . 1 ‘ fi l m s a n d v i d e o r a p e s . a n d c o m p u t e r s o f t w a r e . ' \ C H A D T E ? 1 0 a 3 1 6 0 I N T R O D U C I N G T H E T H E M E H E A L T H A N D F I T N E S S T a l k a b o u t t h e k i n d s o f a c t i v i t i e s s t u d e n t s a n d t h e i r f a m i l i e s a r e m v o l v e d i n t h a t w l l l k e e p p h y s i c a l l y fi t P o s s i b l e a c t i v i t i e s d a n c e c l a s s e s g y m n a s t i c s a e r o b i c e x e r c r s e s D I C V C I I H ’ , “ b a s k e t b a l l l o g g i n g L i s t fi t n e s s a c t i v i t i e s o n t h e c h a l k b o a r d a n d w r i t e t h e n u m b e r o f s t u d e n t s w h o p a r t i c i p a t e i n e a c h . E x p r e s s e a c h a c t i v x t y a s a f r a c t i o n o f t h e c l a s s . E X B l e E : ‘ s o ‘ t h e s t u d e n t s . 0 ; U s i n g t h e P a g e s R e a d t h e " D i d y o u k n o w q u e s t i o n H a v e s t u d e n t s s h a r e w h a t t h e y k n o w a b o u t s p o r t s f o r p e o p l e W i t h d i s a b i l i t i e s Y o u m a y W I s h t o s h a r e t h e f o l l o w m g i n f o r m a t i o n W i t h t h e c l a s s - : . ' i t : h e e w . L . . : - . m e : I n 1 9 4 8 , t h e O l y m p i c s o f t h e P a r a l y z e d , a l s o k n o w n a s t h e S t o k e M a n d e v i l l e G a m e s , w e r e s t a r t e d t o e n c o u r a g e m e n a n d w o m e n w i t h i n j u r i e s t o t h e s p i n a l c o r d t o p a r t i c i p a t e i n a s w i d e a r a n g e o f s p o r t s a s p o s s i b l e . B y 1 9 5 2 , t h e g a m e s h a d b e c o m e a n a n n u a l i n t e r n a t i o n a l e v e n t . I n H e i d e l b e r g , G e r m a n y , g a m e s w e r e h e l d i n w h i c h 1 , 0 0 0 p a r a ! a t h l e t e s f r o m 4 5 c o u n t r i e s c o m p e t e d f o r p r i z e s . T h e O l y m p i c s o f t h e P a r a l y z e d a r e h e l d a n n u a l l y a t S t o k e M a n d e v i l l e , E n g l a n d , a n d e v e r y f o u r y e a r s e i t h e r i m m e d i a t e l y b e f o r e o r a f t e r t h e O l y m p i c G a m e s , a n d , w h e n p o s s i b l e , i n t h e c o u n t r y o f t h e O l y m p i c s . A l l c o m p e t i t o r s a r e c o n f i n e d t o w h e e l c h a i r s , b u t s t a n d a r d e q u i p m e n t i s u s e d a n d s t a n d a r d d r e s s i s w o r n . E v e n t s i n c l u d e a r c h e r y , s w i m m i n g . b a s k e t b a l l , t a b l e t e n n i s . b o w l i n g , d a r t c h e r y ( c o m b i n a t i o n o f d a r t s a n d a r c h e r y ) , a n d f i e l d e v e n t s . M e n p a r t i c i p a t e i n b e n c h p r e s s w e i g h t l i f t i n g a n d f e n c i n g , A n e v e n t c a l l e d t h e S p e c i a l O l y m p i c G a m e s i s h e l d t o e n c o u r a g e m e n t a l l y r e t a r d e d c h i l d r e n a n d a d u l t s t o t r a i n a n d c o m p e t e a s a t h l e t e s . C o m p e t i t o r s a r e d i v i d e d i n t o c a t e g o r i e s b a s e d o n a g e a n d a b i l i t y . C o m p e t i t i o n s i n c l u d e t r a c k e v e n t s , fi e l d e v e n t s , g y m n a s t i c s , b o w l i n g , v o l l e y b a l l , b a s k e t b a l l , f l o o r h o c k e y , s w i m m i n g . d i v i n g , a n d i c e - s k a t i n g . T h e f i r s t i n t e r n a t i o n a l S p e c i a l O l y m p i c s w e r e h e l d i n t h e U n i t e d S t a t e s i n 1 9 6 8 . 3 3 7 - i i i U N D E R S T A N D I N G F R A C T I O N S A N D M I X E D N U M B E R S 3 1 6 - C H A P T E R 1 0 d i : . m ° w 3 3 8 T H E M E : H u i m I n d P M O I ” V o c a b u l a r y D e v e l o p m e n t y r T h e o w i n g n e w t e r m s w i l l b e h i g h l i g h t e d w i t h t h e M a t h J o u r n a l l o g o E n c o u r a g e s t u d e n t s t o w r i t e d e f i n i t i o n s f o r t h e s e t e r m s i n t h e i r J o u r n a l s n u m e r a t o r , d e n o m i m t o r l p . 3 2 0 i e q u i v a l e n t f r a c t i o n s l o 3 2 8 ) s i m p l i f y , c o m m o n f a c t o r . s i m p l e s t f o r m i n 3 3 2 l l i k e f r a c t i o n s u n l i k e f r a c t i o n s ( 9 . 3 - m i x e d n u m b e r ( p 3 3 8 ) L a n g u a g e D e v e l o p m e n t S t u d e n t s g a i n a n u n d e r s t a n d i n g o f f r a c t i o n s b y u s i n g m o d e l s a n d w r i t i n g a b o u t t h e i r d i s c o v e r i e s I P r o v i d e a p l u m e o f a f r a c t i o n u s e d t p a r t o f a w h o l e a n d o m o f a f r a c t l o n u s e d o o r e p r e s e n t d e t e r m i n e i f t w o f r a c t l o n s a r e e q u i v a l e n t T h i n k A h e a d - " n . - W r a o u p y o u r d i s c u s s i o n b y a s k i n g s t u d e n t s t o a n s w e r t h e T a l k A b o u t I t q u e s t i o n . D l s c u s s w l t s t u d e n t s w h y a f r a c t i o n c a n b e u s e d t x p l a i n t h e n u m b e r o f r a c e s w o n F r a c t i o n s s h o w r e l a t i o n s h i p s P o s e t h s S u p p o s e S h a w n w o n o n e t h i r d o f t h e 1 5 h u n d r e d ‘ m e t e r d a s h e s . H o w m a n y r a c e s d i d h e w i n ? . ‘ : o . ‘ 1 5 = C h a l l e n g e s t u d e n t s t o e x p l a i n h o w t h i s p r o b l e m d i f f e r s f r o m t h e T a l k A b o u t I t p r o b l e m . P o s s m l e r e s p o n s e s P r a t t i o : ~ 3 g i v e n S o l u t i o n i s a w h o l e n u m b e r Y o u m a y w a n t t o d i s c u s s w i t h s t u d e n t s e v e r y d a y S i t u a t i o n s i n w h i c h t h e y m a y u s e a f r a c t i o n E x a m p l e ' r n e p u s a r r i v e s i n . 1 h a l f h o u r C o n n e c f ' o n s . . . . . . . s i n i - D i s c u s s W i t h s t u d e n t s w h a t t h e y a l r e a d y k n o w a b o u t I f r a c t i o n s R e c o r d r e s p o n s e s o n t h e c h a l k b o a r d , P O S S I b l e d i s c u s s m n q u e s t i o n s , . A r e a l l f r a c t i o n a l p a r t s a l w a y s t h e s a m e s i z e 7 r : i . W h a t i s t h e w o r d n a m e f o r t h e f r a c t i o n : 7 w . r ‘ v f t v t : - D r a w a p i c t u r e t o S h o w ; 9 : t i ’ s e m l l a v . - H o w m a n y h a l v e s i n o n e w h o l e 7 2 r i a ' v e s I I A r r a n g e t h e s e f r a c t i o n s f r o m l e a s t [ 0 g r e a t e s t W h i c h i s g r e a t e r , ; o r g 7 ' m a t h e m a z l c a l 0 0 . 3 5 G O V H M H I n m l I N C H " ! O M m o d e r n u m a n d I D W I Z N m e C W I I ' I U M ’ O M “ M m e : a r o u n d t h e w $ 9 9 " 1 9 I C H V I W c a r d s c o r r e l a t e d t o " I “ C H I D : : P f o r C H A P T E R 1 0 l 3 1 7 - m T a h n e i f o p l r l o p u l a t o v D i w e l v l d n e r e l s i t s g e a d c d e c n t l d a nn a v i o i w o f t i n f i e t a e s l h r 3 3 9 C O N C I I Y I c o n c e p t s b e l n g t a u g h t I n t h l s C h a p t e r v u n p o s e ; A C T I V I T Y : M u h i p u l u t i v e s E q u l v a l e n t F r a c t l o n s U s e w i t h L e s s o n 1 0 . 6 ‘ p a g e s 3 2 3 - 3 2 9 , u n n l u u : p a t t e r n b l o c k s H a v e s t u d e n t s w o r k i n p a i r s s t a r t i n g W i t h a y e l l o w b l o c k a s t h e w h o l e W i t h a v a i u e o t ‘ l r m m s ~ ~ ~ ~ ‘ € — — 4 - , u - . . . . . _ _ t & . / " ' R I C ? - - - - - u m r n c ' r l w r v - - i m o r e v a r i e t y O f . T h e c o n c e p t o f e q u w a l e n t f r a c t i o n s s h o u l d b e g i n W i t h c o n c r e t e , h a n d s o n ! [ r u n s t C t l o n f o r t h e e x p e r i e n c e s T h e s e m a n i p u l a t i v e s e s t a b l i s h a v i s u a l r e f e r e n c e f o r s t u d e n t s t o i c a l l u p o n l a t e r f o r f u r t h e r d e v e l o p m e n t o f t h e c o n c e p t ; I T o u s e g e o m e t r i c m o d e l s t o i l l u s t r a t e e q u i v a l e n t f r a c t i o n s H a v e s t u d e n t s - b u i l d t h e s a m e s h a p e a n d S I Z E u s m g r e d b l o c k s - c o u n t h e o w m a n y r e d b l o c k s m a k e a w w h o l e - d e t e r m i n e w h a t f r a - r e p e a t t h e p r o c e s s u s i n g b l u e a n d t h e n g r e e n b l o c o n c a n b e u s e d t o n a m e t h e r e d b l o c k 2 r e d b l o c k s m a k e a w h o l e 3 b l u e b l o c k s m a k e a w h o l e 6 g r e e n b l o c k s m a k e a w h o l e E a c h r e d b l o c k I S 1 t h e w h o l e E a c h b l u e b l o c k I S ; t h e w h o l e E a c h g r e e n b l o c k i s ; ‘ t h e w h o l e x 9 U s e g r e e n b l o c k s t o b u i l d t h e r e d s h a p e a n d t h e b l u e s h a p e , 4 . ‘ _ , . i t . l , l e I . l . 3 . 2 ' 6 S 6 : H a v e s t u d e n t s t r y t o m a k e a t r i a n g u l a r a r r a v u s m g t h r e e r e d b l o c k s i f t h e t r i a n g l e i s t h e w h o l e . w h a t f r a c t i o n a l p a r t l S e a c h r e d b l o c k ? ; 3 4 0 n . m a n l o u l a t l o A n w m : I X T I I S I O I : - - v - u m r A C T I V I T Y - - - - - - - - - - - C o m p a r i n g F I ’ I C ‘ C I O H S u s e w i t h L e s s o n 1 0 . 9 . p a g e s 3 3 6 - 3 3 7 . t h e I . 1 m m u . u m : I l l fl L U U l l 3 , W I n a n d c o m o a n s o n o f s h a p e s o f k n o w n f r a c n o n s u e s T o u s e g e o m e t n c m o d e l s I n c o m o a n n g f r a c u o n s “ l u l l - L I : o a t t e r n D I O C K S H a v e s t u d e n t s w o r k I n o a l r s u s l n g t h e v e l l o w b l o c k a s t h e w e H a v e s t u d e n t s - g l v e a f r a c t l o n n a m e f o r t h e r e d b l o c k - c o m p a r e l t t o t h e v e l l o w b l o c k b y p l a c r n g i t o n t o p - w r l t e t h e c o m o a r l s o n a s a n u m b e r s e n t e n c e - r e o e a t t h e p r o c e s s c o m o a r l n g r e d . b l u e , a n d g r e e n m o c k s é ’ a ; £ 7 A , 4 § 1 ' . l l l L s ‘ ‘ s ’ a e ‘ 2 S t u d e n t s s t a c k b l o c k s o n t o o o f o n e a n o t h e r t o a n s w e r o u e s t r o n s a b o u t t h e l r r e l a t l o n s n l o s W h a t o a r t o f a y e l l o w b l o c k : 5 o n e r e d b l o c k 7 . W h a t D a r t o f a v e l l o w b l o c k a r e t w o b l u e b l o c k s 7 f W h a t p a r t o f a v e l l o w b l o c k a r e f o u r g r e e n t l l o c l t s 7 f 5 2 H a v e s t u o e n t s c o m p a r e o t h e r f r a c t l o n s u s r n g t h e p a t t e r n b l o c k s L e t n m e g r e e n b l o c k s r e p r e s e n t a w h o l e - C o m o a r e t h e r e d b l o c k t o t h e v e l l o w - C o m p a r e t h e b l u e b l o c k t o t h e g r e e n 7 . I fi n d t h a t p u t t i n g p a t t e m b l o c k s I n t h e h a n d s o f m y s t u d e n t s h e l p s t h e m d e v e l o p a b e t t e r n u m b e r s e n s e t h r o u g h t h e v i s u a l I m a g e s e c t o r t o e x p l a i n v a r i o u s r e l a t i o n s h i p s f o r t h e ‘ ~ ' e n t i r e c l a s s , J - C H A P T E R 1 0 3 1 8 8 ‘ . N ‘ P P ua v " ‘ 7 l —- - g O R G A N I Z E R L E S S O ‘ N o f a w h o l e o r p a r t o r a g r o u p . - a n . . . “ ' - l u l l : 1 4 . 4 — 1 4 - A n t - a p e 1 4 1 - 1 1 - W 1 — 3 4 . 1 4 m e n “ . m u m R u t e a c h m g 1 0 1 - n P r S a c t i c e 1 0 1 - E n h c h m e n t 1 0 1 R e a c h i n g A l l S t u o e 2 0 — 2 ' - M o r e D r a c o c e S t u d e n t H a n a o o o : 0 H 7 0 L i n k s . P r . o b l e m S o M n g p 5 2 6 8 m l “ . O I V I C E D I V , T E D 8 1 5 C a r d 1 0 1 0 ” , “ c h e c k . . . . . . . . . . . . . H o w m a n v o m e s d o w a o l d a p i e c e o f p a p e r t o g e t : 2 e q u a l s e c t i o n s 7 1 t i m e 4 e q u a l s e c t i o n s 7 2 t i m e s 8 e q u a l s e c t i o n s 7 3 t i m e s 1 6 e q u a l s e c t i o n s 7 4 t i m e s . . . . . . . . M ° f ' v n f E . . . . . . . . ' i C O O ' E ' I T I V E l E A I N I n L W I S : f o r e a c h s t u d e n t — u n l i n e d p a p e r . b l u e m m H a v e s t u d e n t s f o l d a s h e e t o f p a p e r i n t o 2 e m a l p a r a . a n d c o l o r 1 p a r t b l u e - W h a t p a r t o f t h e p a p e r i s s h a p e d o l u e " 1 h a l f C o n t i n u e t o f o l d s h e e t s o f p a p e r i n t o e q u a l p a r t s a n d c o l o r 1 p a r t b l u e C o m p l e t e t h e t a b l e . l i l i i h v o f h l d s P a m I l u e T e m p u r a F r a c t i o n 1 1 2 g 2 1 c g 3 1 E g 4 1 1 5 : L “ n u n " . . f E A c . . . . . . . . . . . . . ” R e a d a b o u t M i s s A l l e n ' s b u l l e t h b o a r d . - a e l o w t n e r l r l e m o w m a n v e o m l n a m m m n i a s s A l l e n ‘ s b u l l e t i n b o a r d ? 4 e q u a l p a r t s B u l l d l l l fl U n d e r s t a n d i n g r u l e : f o r e a c h g r o u p o f s t u d e n t s — u n l i n e d p a p e r . H a v e s n i d e n t s w o r l t i n c o o p e r a t i v e c o u p s t o c o m b i n e t h e t a s k s o n p a g e 3 1 8 . h a v e e a c h g r o u p r e p o r t l a fi i d l n o s C o n c l u o e t h e d i s c u s s i o n w i t h t h e s e q u e s t i o n s , a w n a t m c n o n s n o m a m o r a o a r t s s m o e m g E x p l a i n t h a t l f e b o t h n u m b e r s a r e t h e s a m e t h e f r a c t i o n W I S 1 w h o l 3 4 1 Z ’ X fl é l i i ‘ i fl t fi l i - l l é i . F f l “ ' D n ‘ I - I - l - I I - I I - I I - I M i s s A l l e n ' s c l u e i s p l a n n i n g a b u l l e t i n b o a r d o n h e a l t h a n d fi t n z a a e J o e l ' a e d o n t h e e x e r c i s e a e . p a n a n d t h e [ 3 7 0 $ w i n k e d n f o o d s l e e p . a n d c h e c k u p : " t h e b u l l e t i n b o a r d " l i s d i v i d e d i n t o e q u a l w h a t f r a c t i o n o f i t i s J o e l ' 5 g r o u p g o i n g t o m a k e ? 4 0 “ “ I O C I E I I I E I B u i l d i n g U n d e r s t a n d i n g U a e p a p e r t o m a k e a m o d e l o f t h e b u l l e t i n b o a r d . F o l d L h e p a p e r e x a c t l y i n h a l f k e e p i n g t h e f o l d o n t h e a b o r t a i d e F o l d i v . i n h a l f n L h o o . p A p e r S h a d e ‘ 1 A f r a c t i o n n a m e s o n o r m o r e . e q u a l p a n s o f a w h o l e o r o f a l l g r o u p . Y o u c a n r e a d a f r a c t i o n a s : o n e p u t 5 l M a k e - n o i m o d e l . U s e f o r u r l p i e o o a o l ' p n p a ; S h a d e o n e p i e c e . i I - l _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . I . ' T a l k 1 ’ " m a y “ . ' 7 ' . “ ‘ ' A b o u t , s z m d l i g z w g r H W H u m m u d m o d e l l l h t h q u " ' . m o d ” 9 5 . . a l t " , t h e l ‘ “ K i g a l i - “ M e m e . " P i p e ! 5 J . 7 " a l u m n u s ? e c u - I n n m ! ” a t . ” u m l ? ” l l 1 o u t 0 r d . p . F W h y c n n y o u d e a c r i b e } u l d i v i d o d b y o c ? n l a l w h o l o d i v l d o d e a c h f r a c t i o n . o n e t o t h a w n o q u n l p a r t o f I w h o l e a n d o n e t o a h o v p a r t g r o u p C h e c l r I l u d o n t s m . > H o w m a n y p a n s a r e s h a d e d ? i n ' * H o w m y t o t a l p a r t s a r e t h e r e ? 4 c a n : 5 W h a t f r a c t i o n ( a n y o u w r i t e t h a t . n a m e s t h e s h a d e d p m ? " S o . o n w h a t f r a c t i o n o f ‘ l 3 ‘ l o n i b o u d a ‘ S h a r e K y o u r m o d e l s w i t h y o u r ' J o : l ' | g r o u p w o r k i n g ? . l c h u m £ 0 8 . ! “ a v e t h e m n a m e t h _ e f r a c t i o n f o r t h e u n a h o d e d p a r t . - , - ~ , ‘ . ~ - } o i t h e b u l l e t i n n b o a r d F O O D P O I ! T u n i n g ” ? ! 6 * : - : t : A v v r e a : C . M a t e r i a l s : w o r d c a r d s : ” l a w m a n . w h o l e A s e a c h s t a t e m e n t i s r e a d . h o l d u p a F o l d w o r d c a r d t o t e l l i f w h a t i s e a t e n i s p a r t o f a p r o u p o r p a r t o f a w h o l e . fi o f a p i z z a p i e w h o l e i = 3 ! F R A C ‘ I ’ I O N A ! " V i s u a l M a t e r i a l s : d r a w i n g p a p e r . c r a y o n s t h e a r m p a p e r I n t o 4 e a u a l p a r t s D r a w 1 o f t h e f o l l o w i n g D I C t u ’ e s i n e a c h s e c t i o n . a n d w r i t e t h e f r a c t i o n i l l u s t r a t e d . T e l l i f e a c h p l c t u ' e s h o w s ' r t o f a w h o l e o r r t o f a q r o u p . g l o a r o r b r e a a w h o l e ° ’ ° ' 1 : 1 . M o u t o f fi v e o a l l o o n s a r e o l u e j , : 2 : : ° " . . . . . . . . ° ” : : : : : W 0 ‘ ‘ 2 . O n e h a l f o r t h e c a l r e i s e a t e n . ‘ 1 : 2 . 3 o : a p a r i a h ; 1 w h o l e w h o l e 3 ° t h e m u " 5 9 m “ 3 . O n e f o u r t h o f t h e o o z e n fl o w u s a r e é o r t h e o n e w h o l e t u l i p s 1 o r » g . r o u 5 o f t h e p l u m s g r o u p ' F i v e e i g h t h s : 3 : t h e D p i z z a i s n o t e a t e n ; w h o l e . 5 . ; . i . . T i m u r : ' l ' , S p a r t a n ? 5 1 8 - C H A P T E R 1 0 L E S S O N 1 0 . 1 m 1 6 M a k i n g t h e C o n n e c t i o n T h e s a m e f r a c t i o n c a n r e p r e s e n t d i f f e r e n t m o u n t s . I . M o r g a n a n d M e l i s s a e a c h c o l o r e d { g o l ' a p o s t e r g r e e n ; D i d t h e y b o t h c o l o r t h e s a m e a m o u n t o f p a p e r ? y n o t ? n o b e c a u s e t h e p o s t e r s w e r e t w o d i h o r o n l I I : I I I " 1 0 m m w l . 2 . W h i c h ' s i s l a r g e r . ‘ I o f F i g u r e A o r $ 5 1 3 fi r s t 3 0 f F l g u r e B ‘ ! g o i F l g u r e A " " ' . 2 2 . Q 9 1 W h i c h i s s m a l l e r . I 4 o f F i g u r e A o r 7 o f F i i g u r e B " j , 0 ” g C h e c k i n g U n d e r s t a n d i n g W r i t e p a n 0 ! a w h o l e o r p a r t a ! a g r o u p l o d e s c r i b e t h e s h a d e d p a n 0 3 9 p a n o l a t n o l r B n D i a l u ’ n O i o . W r i t e t h e l e t t e r s o f t h e fi g u r e s t h a t s h o w e i g h t h s . ® W $ fl F o l d p a p e r . a n d s h a d e t h e p a n l o r e a c h l r a c l l o n C h o c k s t u d e n t s m o d e l s . 3 4 7 A , i 5 . a 6 9 c I . a l o . 1 2 n . 1 2 . u S a n d y s a y s t h a t e a c h o f t h e c o l o r s o f h e r d r a w i n g s h o w s t h i r d s I s s h e c o r r e c t ? W h y o r W n o t k s E a c h o l o r r e p r e s e n t s 1 o l 3 e q u a l p a n s a l l o w s b u r p l l a w a r l c m a y b e n o ' " 1 2 1 3 s a I I H e r a P r a c t i c e . L a - o n l 0 . | . p a g e H 1 0 5 0 % fi r s t ' " 0 " " 9 ” " c o m p l e t e E x e r c i s e s 4 - 1 4 D l s c u s s t h e a n s w e r s . 0 O 0 0 0 0 a W h y d o e s E x e r C l s e 8 c n o t s h o w e i g h t h s ? P a r t s a r e n o t 0 0 o w p a n o l 3 g r o u : E I I . I s i t p 0 5 5 l b l e t h a t 3 ; o f y o u r n c e i s m o r e t h a n 5 o f y o u r f r i e n d 5 a l l o w a n c e ? E x p l a l n l i e s g r I l l l t t h a n 3 4 2 a T o fl n d a f r a c u o n o f a w h o l e . t h e o a r t s m u s t b e t h e s a m e s i z e i s t h i s t r u e o f p a r t s o f a g r o u p ? E m l a i n . N o t n e c e s s a r i l y ; t h e b a b y l 5 2 ; o f a f a m i l y o f 4 . M a k i n g t h e C o n n e c t i o n H a v e s t u d e n t s e x p l a i n h o w t h e y s d e t e r m i n e d t h e l a r g e r o r s m a l l e r fi g u r e s f o r E x e r c i s e s 1 — . R a n d y e a t s 3 o f a n a p p l e a n d S t e v e e a t s ; o f a w a t e r m e l o n . W h o e a t s m o r e f r u l t ? S t e v e w h y ? A w a t e r m e l o n l 5 l a r g e r t h a n a n a p p l e S u 5 l e r e a d 1 : o f h e r 2 1 1 3 - 0 3 9 9 D o c k . J i m r e a d 5 o f h i s 1 0 0 - p a g e b o o k , W h o r e a d m o r e p a g e s ? S u s i e H a v e s t u d e n t s g i v e o t h e r e x a m p l e s o f t h e s a m e f r a c t i o n r e p r e s e n t i n g d i f f e r e n t a m o u n t s , C h e c k l n l U n d o n t a n d l n fl Y o u m a y w a n t s t u d e n t s t o w o r k w i t h a p a r t n e r t o a F o r E x e r c i s e s 9 — 1 2 , w h a t n u m b e r t e l l s y o u h o w m a n y t o t a l p a r t s a r e n e e d e d 7 n o t t o m n u m b e r , o r d e n o m i n a t o r s u m m a r u e b y a s k i n g s t u d e n t s t o e x p l a i n t h e d i f f e r e n c e b e t w e e n f r a c t i o n s r e p r e s e n t i n g p a r t o f a w h o l e a n d p a r t o f a o r c u p D o u b l e C h e e k - - - - - - - - - - - 9 9 5 ” “ t h e s h a d e d p a r t s a s p a r t o r a w h o l e o r p a r t o f ' ° " ° ” " ' < 1 1 ) l : l l : l E l 1 ‘ a s ) 3 3 3 p a r t o f a w h o l e p a r t o f a g r o u p p a r t o f a g r o u p E x p l o r i n g F r a c t i o n s t r y - " n u a n - n u p . - n a n — n . . " i n - w u — w — m — a u — I w — q u o w n - ” i t " e x p l a i n ; I m a m r u n n i n g - m o m a g m e — n a n u - o m o - x / X a x z m t a n » 0 ’ \ I ' W - l n w t r w D i o r - U N _ A , . . _ . . c . . . , . . . . . . . . . . , , a . . . . m i l ' g w _ I > p q l fl r l fl d l ~ n ~ ~ m ~ I - I _ , , 7 " _ _ " $ l fl l fl l fl ® 3 4 3 L E 5 3 0 N ‘ D ’ R l i t l i fl fl l l n fi ~ ~ O I J I C I ' I I I T o r e a d a n d w r i t e a f r a c t i o n a s a p a r t o r a w h o l e W n u m e r a t o r . d e n o m m a t o r I m a m - a m c 1 4 , 8 4 4 , 2 5 - 2 6 A m 1 — 7 , 8 — 2 4 . 2 5 - 2 7 - A d v a n c e d 1 . 7 . 5 4 4 , 2 5 - 2 7 ” D I A L I I I O I I I C I S - R e t e a c r u n g 1 0 7 - P r a c t l c e 1 0 2 - E n r i c h m e n t 1 0 2 - M o r e P r a c t i c e . S t u d e n t H a n d b o o k D - L l n k S , P r o b l e m S o l v u n g . D 5 2 6 8 - A l t e r n a t i v e T e a c h l n g S t r a t e g i e s , p C 1 9 " O I L I M 0 ' I ’ l l D I V , T E 0 8 1 5 C a r d 1 0 2 - - - - - - - - - - - c u : s h : G r a h a m s : w n t e p a r t o f : w h o l e o r p a r t o f : g r o u p t o d e s c n o e t h e e x a m p l e ” 1 m 3 . A A A A A A D a r t C ‘ 2 m m » p a r t 0 ‘ 0 0 p a r : 0 ? a g r o w 3 3 , 5 “ : E L E A F N H H ’ . ” " ‘ C C J F L H M a t e r i a l s : p a p e r s t r i p . b l u e a n d r e d c r a y o n s H a v e s t u d e n t s f o l d t h e p a p e r s t n o I n t o 4 e q u a l p a r t s a n d c o l o r 1 p a r t b l u e a n d 1 p a r t r e d I W h a t f r a c t i o n n a m e s t h e p a r t c o l o r e d b l u e 7 ; r e d 7 . _ I W h a t f r a c t i o n n a m e s t h e p a r t s n o t c o l o r e d ? ; I W h a t f r a c t i o n n a m e s t h e p a r t s t h a t a r e c o l o r e d r e d o r b l u e 7 7 W a r m U p : H o w c a n l 0 1 o n . p u n b e a m o u n t l r o r n ; o r a n o t h e r ? . . . ? T ‘ r ' w , L B a r t o f a W h O I e _ r t h e s o c c e r g a m e . A m i T e d . a n d S k i p s h a r e d a s m a l r l p i m e q e q . u a l l y W h a t f r a c t i o n o f t h e p i n s d i d e a c h p e r s o A f r a c t i o n n a m e s a n e q u a l p a n o f a w h o l e c o m m u n a l - s i o - n u r n - a k x m w m a 3 H a d r o n - n a t a l R e a d : o n e t h i r d S o . e a c h p e r s o n a t e % o f t h e p i z z a , T a l k A b o u t I t 5 | H o w c a n y o u e x p l a i n t h a t 3 - i a 1 d i v i d e d b y 3 ? C l . ‘ n n o ‘ f f U l V I O Q fl I n I t , 3 8 0 1 ! b W h a t t r a c t i o n n a m e s t h e w h o l e p i m ? ; H o r a E x a m p l e s ‘ ® ‘ a n d 9 3 - h o u r } . w n I I l l a d a o n l s W h a l l r a c a o n l s 7 f m u r m u r ? : % ” m y ‘ C h e c k ( o r U n d e r s t a n d i n g e r l e 3 l r a c t l o n l o r t h e s h a d e d p a r ‘ l U s e l h e o l r c l e a t l h e r i g h t t o a n s w e r E x e r u s e s 5 — 7 . 5 . H o w m u c h o f t h e f i g u r e i s r e d ? a . H o w m u c h o f t h e f i g u r e i s n o t r e d o r b l u e ? i 7 H o w m a n v e i g h t h s a r e i n 1 w h o l e " a c l g h l m I H o w m a n y p a r t s a r e n o t c o l o r e d r e d ? ; n o t c o l o r e d b l u e 7 é I A r e t h e p a r t s c o l o r e d e q u a l t o t h e p a r t s n o t c o l o r e d 7 y e s e r . ” I D i s c u s s t h e W a r m U p q u e s t l o n E l u c i t f r o m s t u d e n t s t h a t t h e W 2 3 5 c a n b e d u f f e r e n t R e a d a b o u t t h e p i z z a I W h a t d o e s t h e d e n o m l n a t o r t e l l v o u 7 n u m b e r o f e q u a l p a r t s t h e w h o l e p i z z a l s d l v l d e d I n t o t h e n u m e r a t o r ? n u m b e r o f p i e c e s o f 0 1 2 2 3 e a c h p e r s o n e a t s I A m e d l u r n - s l z e m m i s d l v l d e d I n t o 6 e q u a l p l e c e s , I f 3 p e o p l e s h a r e t h e o l z z a e o u a l l v ‘ w h a t f r a c t i o n o f t h e p i z z a w i l l e a c h g e t ? g W h a t m c u o n w i l l 2 p e o p l e g e t ? 5 F R A C T I O N D R A W ; M a t e r l a l s : g r a p h p a p e r ( T R 2 5 ) . I Y " N u m b e r S e n s e C I R C L E C R E A T I O N S u a l n - ' v V i s u a l M a t o r l a l s : f o r e a c h s t u d e n t ~ p a p e r O u t l i n e s q u a r e u n i t s o n g r a p h p a p e r c i r c l e 2 c o l o r e d ” W “ f o r t h e s e fi g u r e s : 1 . F o l d 3 p a p e r c l r c l e i n t o 8 e q u a l ' t s I o n e 2 - u n l t r e c t a n g l e ; I I t w o S - u n l t r e c t a n g l e s ; 2 . C o o r s o m e s e c t i o n s o n e c o l o r a n d . t w o d ‘ u n l t r e c t a n g l ; s o m e a n o t h e r . L e a v e s o m e n o t I f o u r S - u n l t r e c t a n g l e s C ° ° ' ' 9 0 I f o u r a u n t : r e c t a n g l e s . 3 , E v h g t e c g n d u e s g l o n s a b o u t v o u r C I r C I e I f o u r l o u n l t r e c t a l e s ' l S W ‘ E d W I n o f r a c p o n i E x a m p l o : H o w m u c h o f S h a d e a n d l a b e l p a r t s o f t h e 3 t h e W e l s v e l l o w o r r e d ? 0 ' . ‘ r e c t a n g l e s t o s h o w t h e s e g r a c t l n s s r : a . T r a d e v o u r C i r c l e a n d q u e s t i o n s \ m t h a w e 1 0 ' a n o t h e r s t u d e n t t o a n s w e r T O ’ 1 0 C h e c k s t u d e n t s ' fi g u r e s . P r o b l e m F o r m u l a t i o n 3 2 0 - C H A P T E R 1 0 L E S S O N 1 0 . 2 u . 3 4 4 P r a c t i c e W r fl e I " a c t i o n f o r l h e s h a d e d p a n ' m ® U s e l h e r e c t a n g l e I t t h e r i g h t I o a n s w e r E n r o l “ : 1 2 — 1 5 . I t . H o w m u c h o f t h e f i g u r e u . H o w m u c h o f t h e f i g u r e i s b l u e ' . ’ , ’ _ o t g r e e n o r b b l u e ? ' i . 3 D r a w a fi g u r e . a n d s h a d e p a n o f I I t o s h o w t h e t r a c t i o n . C h e c k n u a n m ' fi g u r e . 4 6 I I . H o w m a n y t w e l f t h s a r e l l . H o w m u c h o f t h e f i g u r e i s n o t b l u . g r e e n . o r l w h o l e " 1 2 t w e l f t h : u r p l e " 5 W r i t e t h e I e n e r 0 1 m e " a c t i o n f o r t h e s h a d e d p m a t e a c h f i g u r e ” a < i > M i x e d A p p l i c a t i o n s 2 5 , S o l o r d e r e d a p i z z a w i t h 5 e q u a l a s T h e s o c c e r g a m e b e g a n a ! 5 1 5 , s l i c e s H r - a l e 4 s l i c e s , W h a t I t l a s t e d 1 h o u r a n d 8 m i n u t e s f r a c t i o n o f t h e p i z z a w a s n o t A t w h a t t i m e d i d t h e g a m e e n ' . ’ e n d ? 5 , 2 : - E 1 ] . — 1 . — I 1 I t s I M . 2 1 . L o g i i u l l l e u o n i m l “ 5 C r a f t a s k e d h e r s t u d e n t s t o d r a w a p i c t u r e o f f o u r t h . T h i s i s K e i f e r ' s p i c t u r e 1 5 l l c a n - e e l " u W h } o r w h y G P : i n m l ) ( : 1 : — ~ — 4 m : 2 : M o r e P r m k e . L e n n o n I t ] , p a g e H 1 0 . . . . . W W . » P i l l ” I S O - I I I I C I ' I t l c a I T h l n l t l n n g O u e s t l o n s t o t r f a f r a c t i o n 5 l e s s t h a n 1 o r e q u a I t o 1 . I f t h e n u m e r a t o r i s l e s s ” a n t h e d e n o m i n a t o r t h e f r a c t i o n i s l e s s t h a n 1 i f t h e n u m e r a t o r e a u a t h e d e n o m i n a t o r , t h e f r a c t i o n e q u a l s 1 ( m a i l / s i s ! s I E x n l a ' n t h e v a l u e o f a f r a c t i o n i f t h e u n e r a t o r i s g r e a t e r t h a n t h e d e n o m n a t o r g r e a t e r t h a n ‘ . ( S y n t h e s i s C h e c k f o r u n d e r s t a n d l n g D i s c u s s a n s w e r s f o r E x e r c i s e s 1 - 7 - F o r E x e r c r s e s 1 - 4 ‘ w h i c h fi g u r e s h a v e t h e r o f p a r t s s h a d e d a s n o t s h a d e d ’ f i g u r e s I n E x e m s e s 1 , - I n c m l n u m e r a t o r f o r t h e D a r t s n o t 5 . c o m m o n E r r o r A l e r t S t u d e n t s m a v w n t e a fi a c u o n h c u m fl v b v v m m m s h a d e d a n d m e d e n o m m a t o r f o r p a r t s h a d e d C o r r e c t b y s t r e s s m t h a t t h e a e m m n a t o r i s t h e t o t a l n u m b e r o f p a r t s H a v e s t u d e n t s c o u n t a n p u t s fi r s t S u m m a r i z e b y d r s c u s s n n g t h e W r a p U p q u e s t i o n G u n d e s t u d e n t s t o c o n c l u d e t h a t t h e r e a r e 4 e q u a l p a r t s t h e S i z e o f i t h a t t o g e t h e r f o r m a w h o l e { a s U ; : 0 C 3 ? 9 : : w r i t e a f r a c t i o n 1 . W h a t p a r t r s s h a d e d ” ; 2 W h a t p a r t I S n o t s h a d e d ” 1 3 W h a t f r a c t i o n n a m e s t h e w h o l e fi g u r e ? - L " . a " fi l ' v I n n - d . m m u - n - o m I — l n n - l - 3 r . u - u u - I — n i n n u u . . . ~ b ( I ( a } ” u m , I v / _ m . . . h ' _ ' - : 1 3 . _ . ‘ _ - , I . r . . j ) / I L 2 g , / g L ‘ i C i : 1 l . : - C C , _ . ‘ ' L ~ ' _ ‘ " . I . h u m a n : P a r t s m ” n u n — « u n u s u a — m o w e r . “ S 2 1 P r o b l e r u n n i n g . m 0 s u r o e n l v - ( I n c i ( n A g , l o u r u e c 3 4 5 . . . . . - - L I N K A C T I V I T V ~ - - - R e a d i n g M a t h u s e w i t h L e s s o n 1 0 . 1 0 , p a g e s 3 3 8 - 3 3 9 . s u m W r i t i n g a q u e s t i o n W r i t e t h i s p r o b l e m O n t h e c h a l k b o a r d C a s e y h a s 1 3 f e e t o f r i b b o n . P a t h a s 1 1 f e e t — o r r i b b o n L v d l a h a s 1 ; f e e t o f r i b b o n . H a v e s t u d e n t s - i d e n t i f y t h e f a c t s g i v e n i n t h e p r o b l e m - w r i t e a q u e s t i o n t h a t c o u l d b e a s k e d - d e t e r m i n e i f a n t h e g i v e n f a c t s a r e n e e d e d t o a n s w e r t h e Q u e s t i o n - I d e n t i f y t h e s t r a t e q v o r m e t h o d n e e d e d t o s o l v e t h e p r o b l e m - s o l v e t h e p r o b l e m E x t e n s i o n : H a v e s t u d e n t s w r i t e p r o b l e m s F r ' ” T I E ? s t u d e n t s t o L I N K A C T I V I T V - - - - - - - ~ v v v v v T h i n k A l o n g u s e w i t h L e s s o n 1 0 4 p a g e s 5 2 4 — 3 2 5 M A I - I m a m : T h i n k A l o n g c o m i n g m a s t e r . l e a c h i n g R e s o u r c e 1 W r i t e t h i s p r o b l e m o n t h e c h a l k b o a r d D e n i s e h a s 6 C O I N S . H a l f O f N E ! C O I N S a r e q u a r t e r s 0 N 6 { I I / I ' d o f n e r C O I N S a r e N I C K E I S . o n e s i x t h O f h e r C O I N S a r e p e n n i e s . H O W m u c h M O N E Y 0 0 9 5 s h e h a v e ? H a v e s t u d e n t s w o r k I n g r o u p s H a v e e a c h g r o u p r e c o r d I t s r e s p o n s e s o n t h e T h i n k A l o n g ( : 0 a n m a s t e r Q u e s t i o n : W h o h a s t h e l o n g e s t p i e c e o f r i b b o n ? A l l f a c t s a r e n e e d e d . S t r a t e g y , " D r a e w a p i c t u r e , a n d c o S o l u t i o n : P r o b l e m S o l v i n g M I - ~ w h fl w n - w — ‘ t . h u m - . n n w m , i t u n - I n n . . . I O - . m — I I - o M - l m t u l u t - ‘ l » I h a s — i l e n — u . 1 . I n . I B i t u m e n — ” I I . . . “ - - ~ ' m m - fi m - I t — o - I u h i — . . . h W . l i w t u u . D 5 W r F P : . S y i n o ! t e n S H t h h e E u m . i r r t b . t s b s r i a . h i k p o n e s o i r c . t . . P a h u t r c r o k fi . . o o o n u l e m . . h l o o e b g t d e i r p r g u S e e I f e v L t s n o N I m o h u e r c t h Y u h e t i O A o s t a c s n S K h m a U c - l u e y p h c t a d l a i n v e e r l k f S n s o r t n b O t t . E ' g . a N O y e v ' f u e s n T h r d b f . O O e c i i n u . t r p g e h e . 3 . o e r s t o . u n . h I g t n n u d m b f s a + / ' m h o . 5 n a r 0 r s t - _ s m n " s a “ o i t _ 1 A e a d m a c - v 4 e o e — n , 5 c r l “ h s n i t a l i o " l r c a ' t — e i I — l h a n - r e u n n h c i - o l n F 4 ' e l u o m n d a e r m t 3 h e ~ r ~ ' o l , a . ~ . ‘ t . 7 ? ¢ L ” " W 2 1 m “ ” c l ° ! ‘ l " " ° " ‘ . 7 t i i " : ? E i , ( A t o " i A x _ f ' 3 ‘ E — M " ' s e 3 : n m e t : h " a l — ' — r l e n a ~ i a c n — I t A 0 i 0 t F l , n h i . ” h — 2 a u r 4 2 — i s a : m a 6 V 3 l ; a m c t i o n l u e o _ _ r _ e . . . u t p i r e n o d r . h l l e e t b . . . . r . . m m a e t e r a c h d i v d e t h t e e c m t i i s v s e i . n g 0 m n o J l n h T e a i : “ ‘ 6 ' 0 m e u n s a I r . ‘, ; i “ a a T a l a l N ' n i : ' ‘ * : 9 o n h t c - c n u t a a l m c i . . ‘ A , s o d i n n o 4 l r u o m o e l m r r 3 F a i 1 1 ‘ - . _ d o d r v e a t u u - m 0 7 a v 1 s n a o i r e 1 F i n d l h “ “ e m n 1 i_ e e a a g 2 d l c 2 ‘ n n l u i . W . i l t 2 m n o o 1 " W i l " 1 N t h h r 3 n u r 3 _ d 0 e i o l l r a a i n o r e q — J ’ e l 0 a 1 e m - , " 7 l T l a _ I t _ h a n n r c , e a t d l g o o l c ' m w i ‘ . H l a r o o e o s n t I ” , n l i ‘ b s h I s ! a e s , l A c n d a ‘ 7 _ V - t o s m m m a i e i m a . ' 5 o “ . _ h m m W > r - 7 n 3 o I s x » x I V . . A _ - i 7 h " , V > , ' ~ " , , ‘ _ i = ’- , . - . _ . . . A . _ . _ 1 : , - . l a o c l 1 o t ' l e I t c g i a l S l a n h e m i u " o m m a n e c s i r ! a s y t i o e a e l n a c w o s i ” a m 3 5 l m e o n n W h i a _ 1 “ l. ‘. A T o h ‘ i s ’ 3 4 6 — — — r I l i k e t o d i s c u s s t h e S t r a t e g i e s m y s t u d e n t s u s e I N s o l v i n g t h e s e p r o b l e m s . M o s t s t u d e n t s fi n d g u e s s a n d c h e c k o r m a k i n g a l i s t t o b e m o s t h e l p f u l . C H A P T E R 1 0 3 2 6 8 ~ ~ ~ _ . _ . _ . _ . . s w “ L E S S O N O R G A N I Z E R T o s o l v e m o l e m s b y u s i n g t h e a c t I t o u t s t r a t e g y ; - l a m - n u p l a v r n o n e v A m e n - u m - W « 2 . 3 4 . 9 - A v e r a g e r - u - a 9 - m i x e d 1 ~ 2 . 3 > 8 . 9 O F F I C I A L I I S O I I I C I I h i n g 1 0 5 - p r a c t i c e 1 0 5 - E n n t h m e n t 1 0 5 H k a n d b o o . - L i n - ( s D r o p l e t “ S o l v - n g D 5 2 6 8 P I O I L I I O F T H E D A V , T E 0 8 1 5 | C a r d 1 0 5 o a s i s " : C h e c k - - - - - - - - - - - - - H o w m a n y d i f f e r e n t s - d i g i t n u m b e r s c a n y o u m a k e W i t h t h e d i g i t s 8 . 5 . a n d 3 7 L i s t t h e m 6 n u m b e r s 8 5 3 , 8 ‘ 5 5 5 8 5 5 3 5 S E E 5 3 8 ! E . . . . . . . . . M o r ' v n f E u - . n u C U O P E R M i V E L E A R N I N C H a v e 4 s t u d e n t s a c t o u t t h e f o l l o w i n g s i t u a t i o n J a n e t . N i c k . B r i a n . a n d M e g a n a r e h a v m g a s t u d e n t 9 a t a s q u a r e t a b l e B n a n a n d M e g a n a r e n o t n e x t t o e a c h o t h e r , J a n e t s t a r t s t h e m e e t i n g b v t u r n i n g t o h e r r i g h t a n d a s k i n g M e g a n f o r h e r r e p o r t , w h e r e i s e v e r y o n e s i t t i n g a t t h e t a b l e 7 I C a n y o u u s e a n o t h e r V s t r a t e g y n w s T a l k t h r o u g h t h e 4 - s t e b p r o c e s s . " m e n t a l ! - H a v e s t u d e n t s r e s t a t e t h e p r o b l e m i n t h e i r o w n w o r d s a n d a n s w e r t h e q u e s t i o n s I I I ' D i s c u s s t h e p r o b l e m . I W h V i s u s m o D l v I t o u t a g o o d s t r a t e g v t o u s e 7 P o s s m l e a n s w e r : e a s y t o t e l l i f e a c h p e r s o r i h a s t h e s a m e a m o u n t $ 0 M ' D i s c u s s w h v l t l s n e c e s s a r v t o t r a d e u r i t s o f m o n e y . I S w o o s e t h e r e w a s a l s o o n e $ 5 b i l l ‘ i n t h e c a s h b o x H o w m u c h e x t r a w o u l d e a c h p e r s o n r e c e i v e ? $ 1 . 2 5 t o o l l a d I H a v e s t u d e n t s s u g g e s t w a y s t o c h e c k t h e a n s w e r . P o s s i b l e a n s w e r - U s e a c a l c u l a t o r t o m u l t i p l y a x $ 1 . 3 7 . C o m p a r e t h a t p r o d u c t W i t h t h e s u m 3 4 7 b y a c t i n g “ b U N D E R S T A N D p r o m e a c h p e r s o n r e c e i v e d T h e m o m w a s 5 D P L A N t h e p r o b l e m ” Y o u c a n u s e p l a y m o n e y t o a c t o u t t h e s i t u a t i o n . b S O L V E H o w c a n y o u s o l v e t h e p r o b l e m ? C o u n t t h e t o t a l a m o u n t o f m o n e y . T r y d i f f e r e n t c o m b i n a t i o n s o b i l l s a n d c o i n s T r a d e l 1 m D e n s e - d o l l a r q u a r t e r s . d 2 4 e q u a l g r o u p s . C o u n t o n e g r o u p > L O O K B A C K e r m e t h o d c o u l d y o u u s e t o o s o l v e t h e p r o b l e m i n ? C o u n l [ h e . . ‘ a n d o w ‘ i d c i i b y m e n u m b e r o f p o o o p l e 5 5 A t : : 5 1 . 3 7 S o m e t i m e a y o u c a n s o l v e a p r o b l e m k e d t o fi n d " h o w m u c h W h a t i n f o r m a t i o n i s g i v e n i n t h e p r o b l e r n ' . j 0 r t e - d o l l a r b i l l s , 1 q u a r t e r 2 d i m e s . d 3 p e n n i e s W h a t s t r a t e g y c a n y o u u s e t o s o l v e S o . e a c h p e r s o n e a r n e d $ 1 . 3 7 p r o f i t . m e r w m t m l i m f . . 0 8 1 . 3 1 ‘ L t o 3 1 3 7 S H ” A C T I T U P . . . , V i s u a l S o l v e e a c h p r o b l e m b y a c t i n g i t o u t . 1 . F o u r b o y s a r e i n l i n e f o r t h e r e l a y N i f D g m 3 § 3 : 9 i f t » i n r n i n n 3 ' t h e g r e a t e s t n u m b e r o f s l i c e s e a c h p e n n n h a v e ? 4 s l i c e s H o w m a n y a r e l e f t o v e r 7 4 s l i c e s T O O T H P I C K A C T I O N . V i s u a l M a t e r i a l s : t o o t h p i c k s f o r e a c h p a i r o f s t u d e n t s 1 . W i t h a p a r t n e r . a r r a n g e 9 t o o t h p i c k s t o m a k e 5 m a n g l e s 2 . P l a c e 2 0 t o o t h p i c k s i n r o w s o f S t h e t o o t h p i c k s a r e l e f t , t h e s e c o n d s t u d e n t t o p i c k c a n c o n t r o l t h e o u t c o m e s o h e o r s h e w i n s 3 2 6 I C H A P T E R 1 0 L E S S O N 1 0 5 l l ( l l ( n 3 O R G A N I Z E R L E S S ' O N O I J I C ' I ' I V I T o s o l v e p r o b l e m s b y c h o o s i n g a s t r a r e o v l a m - n u c o u n t e r s A m e n - l u v s - B a s i c 1 4 1 - A v e r a g e 1 - 1 1 - A d v a n c e d 1 - 1 1 m u n I I " I t " - R e t e a c h i n g 1 0 8 - P r a c t i c e 1 0 8 - E n n c h m e n t 1 0 8 - M o r e P r a c a c t i c e S t u d e n t H a n d b o o k b H 7 5 - L i n k s , P r o b l e m S o l v m n 9 0 $ 2 6 8 P I G - L I I O F V I I I D I V , T E 0 B 1 5 1 C a r d 1 0 8 . . . . . . . . . . . . O u fi c k c h e c k . w w r i t e i n S i m p l e s t f o r m 5 O : 6 1 1 4 ' 5 ; 2 7 7 $ 1 3 — ; 4 - s — o ' s a - - - - - - - - M o r l v a n - - - - - - - - " C O O P E R A T I V E l i l l l i l u c P r e s e n t s i t u a t i o n s i n w h i c h s t u d e n t s c a n s u g g e s t s e v e r a l o p t i o n s t o a n s w e r a q u e s t i o n t u m u l t : S u s a n p l a n s t o g o t o C a l i f o r n i a S h e l i v e s 1 , 2 0 0 a w a y W h a t k i n d o r t r a n s p o r t a t i o n c a n S u s a n t a k e ? p l a n e b u s , t r a i n , c r P o u n t o u t t h a t S u s a n h a s a c h o i c e o f s e v e r a l w a y s t o g e t t o C a l i f o r n i a I D o y o u h a v e s e v e r a l c h O i c e s f o r s o l v i n g a p r o b l e m i n m a t h e m a t i c s ? 3 4 8 T h e m u o o p p l a n n e d a h i k e t o e a m t h e l r p h y x i c a l l ’ i m e s s p l m ‘ l h e r e m fl h i h e u i n a l L a m l l o r t h e w e a l - l o u n n n y o f o i e h fl c e n w e r e l o a d e n l m C h o c - i n c a c t r - l o g y i s a n i m p o r t a n t p a r t o f p r o b l e m a o l v i n g . S o m e t i m e s e s y o u c a n u s e d i f f e r e n t m o r e g i e a t o a o v e t h e u m e p r o S t r a t e g y : M a k e a M o d e l o d e l o f t h e p r o b l e m o u r m a n y a r e i n l g m u o p o f a m t a l o n g r o u p a . F i n d ; — ‘ 0 1 ' 2 4 S o p - r o w t h e 2 4 c o u n t e r s i n t o 6 e q u a l g r o u p s 0 o v , V ‘ , v V N o w y o u c a n c o u n t t o f i n d h o w m a n y c o u n t e r s a r e i n 1 g r o u p S o , 4 o f t h e h i k e r s w e r e l e a d e r s . S t r a t e g y : D r a w a P i c t u r e D r a w s t i c k fi g u r e s t o r e p r e s e n t t h e 2 4 h i k e r s - C i r c l e 6 S e q u a l g r o u p s o f t h e f i g u r e s C o u n t t h e n u m b e r o f f i g u r e s i n 1 g r o u p F i n d ; t h e r e w e r e 8 l e a d e r x ’ W l u t l r a c o o n m s i m p l e s t l o a n w o u l d r e p r e s e n t t h e n u m b e r o ! l e a d e n ' ) S o . 4 o f t h e h i k e r s w e r e l e a d e r s . I 4 I l a t o r l a l s : 2 4 c o u n t e r s f o r e a c h g r o u p o f s t u d e n t s T a l k t h r o u g h t h e d - s t e p p r o c e s s . " m u I H a v e s t u d e n t s r e s t a t e t h e p r o b l e m i n t h e i r o w n w o r d s " a I D i s c u s s w h y m a k e a m o d e l a n d d r a w a p i c t u r e a r e g o o d s t r a t e g i e s t o s o l v e t h e p r o b l e m - H o w a r e t h e 2 m e t h o d s r e l a t e d 7 P o s s i b l e a n s w e r : B o t h m e t h o d s g i v e a v i s u a l s o l u t i o n R e m m d s t u d e n t s t o m a k e e o u a l g r o u p s b y ” d e a l i n g " t h e i r c o u n t e r s i n t o s e t s 1 c o u n t e r a t a t i m e S o l " - D i s c u s s t h e s o l u t i o n . - W h y i s i t m o o r t a n t t o k n o w m o r e t h a n 1 s t r a t e g y t o s o l v e a ? P o s s i b l e a n s w e r s : P r o b l e m s v a r y a n d s o d o t h e p r o b l e m - s o w i n g a b i l i t i e s o f p e o p l e . p e o p l e m a y F i n d 1 s t r a t e g y e a s i e r t o u s e t h a n a n o t h e r . S T R A T E G I C S O L U T I O N S . W I I T E I ' S C H O I C E - _ _ ; - r r i — A d c . ’ a o L V I S U J ” 1 ' “ V ' s “ , I l a t o r l a l l z e i n d e x c a r d s / o n e a c h a 1 E a c h g r o u p c h o o s e s d b r o b l e m s o n p r o b l e m f o r o n e o f t h e ' b e e 3 3 5 t o r e w r i t e b y c h a n g n g t h e p r o b l e m - s o l v i n g s t r a t o g i a e s l i s t e d o n n u r g n b e r s a n d t h u s m a k i n g n e w E I I I ” 5 . p r o b l e m s 1 . O r i e p r o b l e r n i s g i v e n t o e a c h g r o u p 2 7 r o u p m e m b e r s m u s t m a l i e s u r e o f s t u d e n t s t h e n u m b e r s t h e y c h o o s e fi t t h e 2 . T h e g r o u p s o l v e s t h e p r o b l e m a n d s i t u a t i o n a n d t h e o u e s b o n t h e n ” ’ 5 ’ ” ' t t o a n o t h e r g r o u p ‘ 0 I 3 , T h e n e w p r o b l e m s a r e e x c h a n g e d s o l v e . . w i t h a n o t h e r c u p t o s o l v e . 3 . P l a y c o n t i n u e s m t i l e a c h g r o u p o r s o l v e s 6 p r o b l e m s 4 . E a c h r e p o r t s o n t h e P r o b i e m S o w i n g g r o u p s t r a t e g i e s i t u s e d t o s o l v e t h e p r o b l e m s n o o n i t s s o l u t i o n s ‘ . ‘ . ’ . a » . i i x o L i e z i s w n . 3 3 4 I C H A P T E R 1 0 L E S S O N 1 0 . 8 3 4 9 U s i n g t h e P a g e s T h e e a e r d s e s h t h e c r a p t e r e e m w m a v b e m e d a s a r e v i e w a s s i g r v n e n t . E a c h I t e m s r e f e r e n c e d t o m e r e l a n e d o c c a s i o n w t l c h t h e v o c a w t v t e m . m e o t . s k fl l . o r W s k i l l o r s t n t e w I s o r e s e n t e d . V b u m v w i s h t o u s e m e p a g e s a s a c l a s s r o o m W t o r a s a h o m e w o r k a s s i o m n t t o h e b W m m r m m e fl e s t m d s m d e n t s t o m m t h e t e x t p a o e s ' n d i c a t e d t o fl i d h e l o h m t e x t b o o k . V o c a b u l a r y C h e c k M a n u u m m m e b m b m e u o h m . 1 . A ? _ n a m e e a p a r t o f a w h o l e o r a p a r t o f a g r o u p . t l ' l c t l o n a l n t h e f r a c t i o n % . t h e 3 i e t h e ? n u m e r e t o a T h e t a n u m b e r o f e q u a l p a r t a o r o b j e c t a i n a f r a c t i o n i s t h e _ _ _ d e n o m m a t o r e . F r a c t i o n o t h a t n a m e t b e e a m o n u m b e r a r e i . o u u i v a h m 3 . W h e n a f r a c t i o n i s i n , ? _ . t h e n u m e r a t o r a n d d e n o m i n a t o r h a v e n o c o m m o n f a c t o r g r e a t e r t h a n 1 . s i m p l e s t t o m 0 . “ L u f r a c t i o n e h a v e t h e e a m e d e n o m i n a t o r s . - 1 ? f r a c t i o n : h a v e d i f f e r e n t d e n o m i n a t o r s . - U n l i k e I . A " n u m b e r i e m a d e u p o t ‘ a w h o l e n u m b e r u n d o f r a c t i o n . m m a C o n c e p t C h e c k . w m e p a n d a w n o l e o r p m d a g r o u p t o d e e a i b e w m m o l e a o h m . e . 1 e 1 1 . 1 1 V V 8 0 8 0 ® m v a s a v p a n o l e g r o u p p a n o t a w h o c e p e n o t a w n o t e W M a l r a a i o n i u t h e a h a o e d p a n . 2 3 p e n d a g r o u p b D r a w a fi g i n . w e h e o e p a n o m t o i U e e o o u n t e n t o m o o e l e a c n s h o w t h e t r a c t i o n . ‘ R e c o r d w h a t y o u d i d . . . C h e e k s t u d e n t s o r a w m g a . S e c A d d i t i o n a l A n s w e r s . p a g e M O . 3 7 2 ' 4 1 1 1 . 3 1 a W 1 9 . 7 a n . 6 0 1 ‘ 2 0 1 6 a o i ' 1 5 5 J O 0 c a n o e - r t o A d d i t i o n a l A n s w e r s C h a p t e r R e v i e w . 0 0 9 0 3 4 0 @ Q ? 2 1 . 3 4 0 I C H A P T E R 1 0 C H A P T E R R E V I E W 3 5 0 C O I M - “ $ 8 3 n ® < D C o r m a r e b y u e i n g < , > , o r - l o r 0 . t h a t ] 0 l : l : l : l : l * a 1 . a 0 % ; . S k i l l C h e e k W r i t s a t r a c t i o n l o r t h e s h a d e d p a n . 1 6 n u m b e r o r f r a c b o n . . C h e c k s t u d e n t s c r a m n g s . ‘ 7 9 1 8 . 2 ‘ a l . . ” . 3 “ V A V A V A V A V A V s . 1 . . 0 . ! 2 " ‘ C g 8 8 8 ‘ 4 I W r i t e h u o e q u i v a l e n t l r a c u o n s t o r e a c h . W r i t e e a c h l r a a é o n h m l o r m . A n s w e r s w i l l v a r y . P o s s i b l e l t s c l i o n s a r e g o ’ v e n . . 1 . 3 . 3 . ' _ 3 _ . 1 3 n 1 _ 4 “ 2 ” ' 3 ” ‘ 4 3 " 1 2 ” ‘ 2 4 ' 1 6 d 3 4 . . e S I ' 7 r e s " : a 1 : : e C o m m a . 3 2 4 0 . ; o l ' 2 l - I 9 n . 3 0 f 2 5 = l 1 c ~ “ E a r l s - I s w n t e o a c h l r a c t i o n a s a m m d n u m b e r . « 3 1 ’ 4 5 3 1 ' « 1 1 3 4 1 — 1 ' 3 3 ‘ 2 2 ‘ 4 - ‘ 5 P r o b l e m - S o l v i n g C h e c k s o . T h e r e a r e 2 4 s t u d e n t s i n B o b ' s c l a s s . M r . B u r t o n t o o k § o f t h e m t o a w o r k s h o p . H o w m a n y s t u d e n t s w e n t t o t h e w o r k s h o p ? ‘ 6 s t u d e n t s a s . L o l a ' s c l a s s i s d i v i d e d i n t o t e a m s o f 4 f o r c o m p e t i t i o n . T h e r e a r e 7 t e a m s . H o w m a n y s t u d e n t s a r e i n L o l a ‘ s c l a s s ? a s s t u d e n t s M 0 0 0 M I A d d i t i o n a l A n s w e r s L e s s o n 1 0 1 . 0 3 9 9 3 1 5 T a l k A b o u t I t T h e s h a d e d p a r t o f e a c h c a n b e r e p r e s e n t e d b y t h e s a m e f r a c t i o n T h e s h a d e d o a r ! c ‘ t n e fi r s t m o o e i s h o w s p a r t 0 ‘ a w h o l e a n d t h e s h a d e d c a r t o r t h e s e c o n d m o d e ! s n o w s : s z . _ . . - . 1 g r o u p L e s s o n 1 0 4 p a g e 3 2 5 1 1 ~ 5 \ e e 0 . a e , ’ e e e e L e s s o n 1 0 . 6 , p a g e 3 2 6 T a l k A b o u t I : r e s T h e y n a m e t h e s a m e p a r t o f t h e f o u r t h s t r a C t r c ‘ . b a r a n d t h e h a l v e s r r a c u o n b a r L e s s o r » 1 0 3 p a g e 3 3 7 P a g e s 3 4 0 - 3 4 1 C H A P T E R 1 0 C H A P T E R R E V l E W - 3 4 1 . . _ 4 _ . . _ e . _ . _ ' — ' — — r W I T o t e s t t h e c o n c e p t s s k I l s a n n o D r e o m e n » s k i l l s a n d s t r a t e g i e s t a u g h t I n [ H I S n t e c h a o U s i n g t h e P a g e T h i s C h a p t e r T e s t c a n b e u s e d a s a p r a c t i c e t e s t o r a s a n a l t e r n a u v e t o l ‘ o r m a l a s s e s s m e n t T h e P e r f o r m a n c e A s s e s s m e n t . e l v e n o n p a c e F o f t h e O v e r w e w . c a n h e u s e d w i t h t h e C h a p t e r T e s t T h e P o s t t e s t m s t a n d a r d u e d f o r m a t c o r r e l a t e s I t e m f o r i t e m W i t h t h e P r e t e s t s h o w n o n p a g e F o f t h e O v e r v i e w f r e e r e s o o n s e t e s t t h a t c o r r e l a t e s I t e m F o r I t e m W l t h t h e P o s t t e s t i s a l s o p r o v i d e d C O D V I n g m a s t e r s f o r a l l o f t h e s e t e s t s a r e f o m d I n t h e T e a c h e r ' s G u i d e - T e s t i n g P r o g r a m 3 5 1 W r i t e p a n 0 ! a w h o l e o r p a n o f a g r o u p f o r t h e s h a d e d p a n o l e a c h fi g u r e W m e a l r a c t i o n l o r t h e s h a d e d p a n . * O O O O x I l l 1 p a r t o l s p r o u : p a n o l a w h o l e p s fi c l u n h o l - t l I o o ‘ A A A A A O A A A A A i 0 0 0 0 O l 7 — I D D C I D D . . ' é é g g D D D D D , . D D D D Q i C m a n e l e i 1 3 . 1 7 5 o l ' 2 8 = l 2 » I l . g o f 3 0 = f \ € 1 1 % o l ‘ 5 6 = l : = 1 C o m p a r e u s m g « 1 , > . o r n l o r ( m " 8 % C h o o s e a s t r a t e g y a n d s o r t i e i t M i s s L a k e h a s 3 0 s t u d e n t s I n h e r I L A L B i l l I s m s . h u n i t ] D e e h l _ . c l a s s S h e g a v e a f i t n e § t e s t V t o g j u i c e s e y s h a r e d t h e o f t h e m o n F r i d a a s H o w m n a p r o f i t o l ' n 8 d 2 0 . 6 0 e q u a l l v . H o w s t u d e n t s d i d s h e t e s t o n F r i d a ) " u c h o f t h e i v p m fi t d i d e a c h p e r s o n : e e c l a a - c u p s - u 5 m m H i w w m ” fl “ _ M h h — I — m I = l i - l ~ v : I ! ’ n y ‘ . — . - 1 ' c a - , , ‘ _ u r a n i u m — b u . _ I ‘ L ‘ . . . _ - u v ‘ . - ; ' 3 r . ' . _ n a n - u " . . - . _ . ; . 1 . : . ; - - . - . l w - I — D Q W I . ‘ 2 I “ " D I M - " M a l i ? ” a ' 3 ‘ V ‘ ~ ' E , . ~ ’ . - ! V I M / H I | i \ a I ) s 0 0 t . \ fi g ; q - ’ H - . . . 1 . 2 § ‘ _ _ , ‘ fi . ‘ . ~ . ~ . — — — u u l ' v i u l fl m m — I fl : ‘ . . m g u - w . - r m ' w m - a . . . . ' — - c . . . ~ . . . : . . - . ; . t : . r ' — ' \ 1 % } n ! " — u - % . E v ’ , “ ' . m - n — m v : u " - _ . . _ . W . 3 ‘ ” . . h . - _ ' , - : . ; . 5 . ; . ‘ t - , - . y , ~ — - — - - m - — . I n - n f o - n r — c m . h - _ _ . | . : n fi I ; ” u l n a - C u r - A v - - n . : l u - 9 9 9 . . . , ‘ 9 ’ 3 9 \ _ / - a t s - " - : 0 , ' i ‘ 5 ‘ o I n i l - ' 2 “ t ' . i . . . : - - - — . . . . . — a . — - ~ - ~ 3 4 2 ' C H A P T E R 1 0 C H A P T E R T E S T . - . ~ . : . s . ' m E . . w — n — u 3 5 2 e a m w o r / e ” H a p p y T r a i l s M r w a l k i n g ; r u n n i n g , b i k i n g , h i k i n g o r r i d i n g c a b s h i s t o u s e a m a r k e d t r a i l . I t o f t e n l e a d s t o i n t e r e s t i n g p l a c e s , a n d i t i s I y a w a y f r o m c . I m a g i n e a n d y o u r t e a m m a t e s a n m o m b o r s o f t h e p a r k s - c r e c r e a t i o n c o m m i t t o o M o r k t o g e t h o r t o p i a n a b i c y c l e . D e c i d e D o fi g C I R R e s e a r c h i n t e r e s t i n g A U M a r k y o u r t r a i l o n i p l a c e s w h e r t r a i l . “ W k “ ! 2 I n c l u d e t h e " ‘ t ‘ o u l d i s t a n c e a n d t h e D D i s c u s s a p p r o x i m a t e l y h o : l o n g d i s t a n c e s t o r r o p a r t s o f e l h t r a i l h o w t h e t r a i l s h o u l d b e i t s h o u l d t a k e t o n d e ' I L “ H i g h l i g h t p l a c e s o f I n t e r e s t I D D e c i d e w h e r e t o g e t a m a x i m o ! t h e c o m m u n i t y . { o r m s r k i n g o y o u S h a r e D D i s c u s s 1 w a y t o s h o w d i s t a n c e s ( k C ] S h o w a w y o u r m a p t o t h e o n t h e m a p . o t h e r t u r n s T e l l w h y y o u r b i c y c l e t r a i l I s i n t c 1 q u A b o u t I I T E A M W O R K P R O J E C T r u n s - o n T o w o r t a s a t e a m t o p l a n a o i l m g [ T i l l g " o f l v n f s ( O O P E H T I V E L E A R N I N G Y o u a n d y o u r s t u d e n t s m a y w i s h t o s h a r e b a c k w o m d N o r m a b o n h o n s u c h a s t h e F o l l o w n g T h e A p p a l a c h i a n T r a I l I s t h e w o r l d ‘ s l o n g e s t c o n o w w s M u n g t r a i l . I t e x t e n d s 2 . 0 5 0 m l ( 3 , 2 9 9 k m ) f r o m M t K a t a h d l n . M E . t o S p r i n g e r M o m t a n . G A . I t g o e s t h r o u m 1 4 s t a t e s a n d w a s fl u s h e d n 1 9 3 7 . S e v e r a l c o u n t r i e s a r e s a d t o b e t h e p l a c e o f o r i g i n o f t h e fi r s t b i c y c l e F r a n c e , I n t h e l a t e 1 7 0 0 5 ; G e r m a n y . I n 1 8 1 6 . a n d S c o t l a n d I n 1 8 5 9 . b i c y c l e s b e c a m e s o p o p u l a r r o a d s w e r e . g r e a t l y i m p r o v e d i n E u r o p e a n d A m e n c a . i l l T h e b e s t - k n o w n p I c y c l e r a c e i s t h e T o u r d e F r a n c e l t e r s a c o u r s e o f a b o u t 2 . 0 1 ) m i l e s . I n 1 9 8 9 . t h e r a c e l a s t e d 2 1 d a y s T h a t y e a r . t h e w i n n e r c a m e I n 8 s e c o n d s a h e a d o f t h e s e c o n d - p l a n fi n i s h e r S o m e c o m m u n i t i e s h a v e m a d e a b a n d o n e d r a I l r o a d n g h t - o f ~ w a v s I n t o b u m p a n d h i k i n g t r a i l s . Q - r s n c u T n I s p r o j e c t w i l l r e d w e s e v e r a l h o u r s o f w o r k . a s w e l l a s r e s e a r c h I n t h e C o m m u n l h fl s o y o u m a y w a n t t o h a v e s t u d e n t s w o r k o n I t e a c h d a y f o r a w e e k o r h a v e t h e m w o n o n I t i n t h e i r f r e e R e n e w t h e D e c i d e . D o . a n d S h a r e s t a t s f o r c o r r e l a t i n g t h e a r m e d A n s w e r o u e s n o n s b e f o r e t h e g r o u p s b e o l n t h e I r o r . k S t u d e n t s m a y n e e d y o u r h e l p I n p r o v t d i n g t h e s a m e s I m o l e m a p o f t h e c o m m u n i t y t o a l l g r o u p s . A f t e r t h e p r o t e c t I s c o m p l e t e d d i s c u s s t h e q u e s t i o n s i n T a l k A b o u t I t . I W h a t c h a r a c t e r i s t i c s d i d y o u k e e p i n m m f o r t h e b a k i n g t r a I l 7 9 : 3 : t o n ' 1 I . 1 . : r . M I t o . , _ I v ; - 7 S t u d e n t s m a y w r s h t o c o n t a c t c o m m u n i t i e s t h a t m v e m u n g t r a i l s t o s e e h w t h o s e t r a i l a i l s c o m p a r e w t t h t h e i r p l a n n e d t r a i l s A I ‘ E W E ‘ " r . " P 2 9 ! K J ’ ' ; « w a w c r g r - M - 1 I ‘ ) “ , ' m e g - : I n : 3 w e E : I O s ' s n 1 w a s ; 3 2 " “ I m ' : . V u l t u e a n s w e ” u s e a - a s c a I - L C H A P T E R 1 0 T E A M W O R K P R O J E C T - 3 4 3 " I t . “ T o m v i d o a d d m a c o v i u e s a n d m m t e d t o t h s w e r c o n t e n t U s i n g t h e P a g e M T V - “ W W W F o r - u m H a v e s m d e n t s p t ' e o a r e t n e s e t o f c a t ' d s . v w m a v w i s h t o b e w i w i t h a y n a l l e r s e t - p e r h a o s s m t fl a c t l o m a n d s e m i v a l e n t f r a c t i o n s f o r e a c h — f o r a t o t a l o f s s . O l A L L E N G E - V I S I M L M N K I N G l a s h - t o m E m i s e 1 m a v b e d o n e o n a o e o b o a r d . w i t h r e w t t s r e c o r d e d m o o t o a o e r . h E x e m s e 2 . s t u d e n t s m a v s o r t b v p u t fi n o a a d e s m a r e s a n d r e c t a n o l e s a n d t n e n o u t t i n o a s i d e a l l b w e s . M E M O S - W H A T } ! m e o w S t u d e n t s m a y u s e m y c o n s t o m o d e l t h e p r o b l e m s o r t o v e r i f y t h e i r a n s w e r s , 3 5 3 I O C ¢ O V O O P r e p a r e a s e t o f 3 6 n u m b e r c a r d s . W r i t e o n e o f t h e f o l l o w i n g f r a c t i o n s o n o u c h o f 1 2 c a r d s : i i i i i i i i i i i m d t z o . F o r e a c h o f t h e s e 1 2 ( f a c t i o n s . w r i t e 2 e q u i v a l e n t f r a c t i o n s o n t h e r e m a i n i n g 2 4 c a r d s . P l a y t h e g a m e m ‘ t h a p a r t n e r . S h u f fl e a l l t h e c a r d s . P l a c e t h e m f a c e d o w n . f o r m i n g a 4 x 9 a r r a y . A p l a y e r s e l e c t s t w o c a r d s . t u r n s t h e m f a c e u p . a n d s h o w s t h e m t o t h e o t h e r p l a y e r . I ! t h e f r a c t i o n s a r e e q u i v a l e n t . t h e t w o c a r d s m a t c h a n d t h e p l a y e r k e e p s t h e m a n d c o n t i n u e s p l a y i n g . I t t h e t w o c a r d s d o n o t m a t c h . t h e y a r e p l a c e d b a c k o n t h e t a b l e f a c e d o w n . a n d t h e o t h e r p l a y e r h a s a t u r n . W h e n a l l t h e c a r d s h a v e b e e n m a t c h e d . t h e p l a y e r w i t h t h e m o s t m a t c h e s i s t h e w i n n e r . C h ; “ I “ l | . F i n d t o u r d i f f e r e n t v a y s t o d i v i d e t h i s fi g u r e i n t o 4 e q u a l p a r t s . S e e “ l o fi ‘ t o r a n s w e r : 2 . 5 m d y t h e s h a p e s i n t h e b o x h e l o w . I I O 1 | - { > O a t O ’ I y \ . 3 W r i t e a f r a c t i o n t h a t t e l l s w h a t p a r t o f t h e g r o u p i s n o t b l u e . s q u a r e . o r J r e c t a n g u l a r . . . C h a l l e n g e m u I . h e r e a r e 7 c o i n s . 1 ? a r e n i c k e l s T h e r e s t a r e d i m e s . H o w m u c h m o n e y i s t h i s a l t o g e t h e r ? s o w 2 . 1 h e r e a r e 8 c o i n s . 3 ‘ . - a r e q u a r t e t s . ' - } a r e d i m e s . a n d t h e r e s t a r e n i c k e l s . H o w m u c h m o n e y i s t h i s a l t o g e t h e r ? s o n . M O M " A d d i t i o n a l A n s w e r s E x t e n s i o n , p a g e 3 4 : C h a l l e n g e V i s u a l T h i n k i n g 1 f — T _ _ m 5 2 2 3 3 E E E E 3 E S I Z S 3 “ I C H A P T E R 1 0 E X T E N S I O N - ) b l 4 : u a l l o v a c : l l o - a u 3 5 4 E m s - m a c a w ” . 1 . W h i c h o f t h e f o l l o w i n g i s a n o t h e r n a m e f o r 2 0 t e n s ? a 2 0 ( @ 2 0 0 c . 2 . “ 0 . 2 0 . ! ! ! ) s . E s t i m a t e t h e s u n i . 2 8 9 7 3 1 4 + 1 0 7 + 4 7 7 - I C U M U L A T I V E R E V I E W ’ C H A P T E R S l — I O s . W h i c h i s 4 . 2 9 7 r o u n d e d t o i t s g r e a t e s t p l a c e o v a l u e p o s i t i o n ? @ 4 9 0 0 a 4 . 2 0 0 c . 4 . 3 0 0 0 . E L M O E s t i m a t e t h e d i f f e r e n c e . 8 . 4 1 2 - 1 , 9 0 5 - I p a t 0 0 0 a 1 . 1 0 0 g - 2 . 0 0 0 a 4 . 0 0 0 g 1 . 2 0 0 0 . 1 . 4 0 0 " g . 6 . 0 0 0 0 . 8 . 0 0 0 I . F i n d t h e e l a p a e d t i m e . s . 3 . 4 5 6 X 4 t 1 2 . 0 “ . 1 2 . 3 2 4 6 . 1 3 . 0 2 4 1 ? ! “ h a r e a . 4 h r ( i n 4 h r 1 5 m m c ‘ h r 2 5 m i n 0 . 5 h r 1 . F i n d t h e p e r i m e t e r . s . F i n d t h e a r e a . t o m a . 2 0 m a 0 s q u a r e u n i t s E J , : i . ‘ 3 8 m m ( s ’ . t o s q t i a r s m i t s " ’ c . 6 0 m c . 2 0 s q u a r e u n i t s “ " ‘ 0 . 3 . 3 0 0 m 0 . 2 4 s q u a r s u n i t s s . F i n d t h e a v e r a g e . 1 0 0 . 6 8 . 9 6 . 8 4 . 7 7 L 3 2 . 8 1 6 . 8 4 . 8 5 1 0 . W h i c h f r a c t i o n i s e q u i v a l e n t t o 3 ’ ? A . C . n . J e r r y b o u g h t a s w e a t s h i r t a n d j e a n s f o r 8 5 3 . 4 5 . T h e j e a n s c o s t $ 2 8 . 5 0 . H o w m u c h d i d t h e s w e a t s h i r t o o s t ' . ’ a . M o n t e b o u g h t 3 c a n s o f t e n n i s b a l l s f o r 8 9 . 1 9 a n d n e w t e n n i s s h o e s { o r $ 3 7 . 9 5 . H o w m u c h c h a n g e d i d h e r e c e i v e f r o m $ 5 0 . 0 0 ? i t $ 2 4 . 9 5 a s z s s s c . $ 7 5 . 1 5 0 . $ 0 1 . 9 5 i t 3 2 . 0 6 s . 5 2 . 0 6 c . $ 1 3 . 0 6 o . : 4 7 . “ c a n o n i s 0 u s T o m a i n t a n s k i l l s t a u g h t i t t h i s a n d a r m c h a o t e r s U s i n g t h e P a g e T h e e x e t c i s e s a r e o r e s e n t e d h a m u o l e - c h o l c e f o n n a t s t n i l a r t o t h a t u s e d f o r m o s t s t a n d a r d i z e d t e s t s . T h e f o u r c h o i c e s i n c l u d e a c o m b ‘ m a t i o n o f t h e W 1 0 t y p e s o f a n s w e r s . o n e c l o s e t o t h e c o r r e c t a n s w e r . o n e d i s t r a c t o r r e fl e c t i n g a c o m m o n e r r o r : o n e t h a t i s c l e a r l y i n c o r r e c t . a c o r r e c t a n s w e r . a n d " n o t h e r e ’ Y w m a v w i s h t o h a v e s t u d e n t s w n t e t h e l e t t e r o f t h e c o r r e c t a n s w e r a f t e r t h e n u m b e r f o r e a c h e x e r c i s e . Y o u m a v a l s o m e t h e a n s w e r s h e e t f o u n d n t h e T e a c h e r ' s G u i d e 0 T e s t i n g P r o g r a m , w h i c h p r o v i d e s a f o r m a t s l r t i l a r t o t h e a n s w e r s h e e t s u s e d w i t h s t a n d m t e s t s . Y o u m a y w i s h t o h a v e s t u d e n t s fi n d t h e a c t u a l a n m r s t o e x e r c i s e s f o r w r i c h t h e c o r r e c t c h o i c e i s " n o t C H A P T E R 1 0 C U M U L A T I V E R E V I E W I 3 4 5 M a t h c o n n e c t i o n s 3 5 5 M a u c t i o n 0 " x ' L a . . . “ . " . _ , ' s s o a a . 0 ‘ I ' l l t v n n v a l l ; 0 e - S t u d e n t s n e e d c o n s t a n t I | r e r T ' n d e m O f t h e w a y s I n 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . L I N K A C T I V I T Y . . . . . . . . . . . . . w c h m I a t h e m a t l c s W i l l I F r a c t l o n s I n L a n g u a g e A r t s U s e w l t h L e s s o n 1 0 . 3 . p a g e s 3 2 2 - 3 2 3 . b e u s e f u l t o t h e m T h e s e { 3 C t l v l t l e s w i l l h e l p y o u ' I n n - D o s s : T o e x p r e s s l e t t e r s a s f r a c t i o n a l p a r t s o f s e n t e n c e s m a k e t h e s e C O N C O N N E C T I O N S i s e r u m : S o m e l e t t e r s o f t h e a l p h a b e t o c c u r I n w n t t e n l a n g u a g e m o r e f 0 . o f t e n t h a n o t h e r s I n t h i s a c n w t y . S t u d e n t s r a n d O m l v s e l e c t I “ t h e m . 3 s e n t e n c e s f r o m d i f f e r e n t b o o k s _ . . F o r e a c h s e n t e n c e . h a v e t h e s t u d e n t s . ' - - . . - f i n d t h e t O t a l n u m b e r o f l e t t e r s I n t h e s e n t e n c e - ‘ ‘ - f i n d t h e n u m b e r o f t i m e s e a c h l e t t e r I s u s e d - , - e x p r e s s e a c h l e t t e r u s e d a s a f r a c t i o n a l p a r t o f t h e s e n t e n c e ' - o r d e r t h e f r a c t i o n s f r o m l e a s t t o g r e a t e s t - o r d e r t h e c o r r e s p o n d i n g l e t t e r s f r o m l e a s t t o g r e a t e s t u s e e x a m - L e : S o m e a n i m a l s l i v e i n a n a r e a t h e v c o n S I d e r t h e i r o w n A _ _ C . _ 9 L L 5 . 1 _ ’ ~ ‘ i . 9 . j _ 3 _ L . L ‘ L J ’ _ _ . E l l e z s z z s s s s z i l i r o w a s H e r e a r e t h e n u s e s e x p r e s s e d a s f r a c t i o n a l p a r t s o f t h e w h o l e 5 A . I . N C . R . S H u n t c , p . v , w . v i i . 3 - l 1 4 5 4 3 4 3 4 5 4 3 ' t e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . L ' N K A G I V I W F r a c t i o n s i n S o c i a l S t u d i e s U s e w i t h L e s s o n 1 0 . 9 . p a g e s 3 3 5 - 3 3 1 . w a r m : T o e x p r e s s s a m p l e d a t a u s i n g f r a c t i o n s ” Y u l “ O f i d 0 3 0 9 ! a m : I n t e r p r e t a t i o n o f d a t a i n g r a p h s . t a b l e s . a n d l i s t s I s a n i m p o r t a n t s k i l l I n s o c i a l s t u d i e s S u r v e y s a r e o f t e n u s e d t o g a t h e r i n f o r m a t i o n a b o u t v o t e r p r e f e r e n c e s H a v e s t u d e n t s - r a n d o m l v s a m p l e 1 0 s t u d e n t s r e g a r d i n g t h e i r f a v o r i t e c o l o r - r e c o r d t h e r e s u l t s i n a t a b l e - c o n s t r u c t a g r a p h o f 1 0 c o n n e c t e d s q u a r e s . - s h o w t h e n u m b e r o f s t u d e n t s t h a t p r e f e r e a c h c o l o r b v s h a d i n g i n t h e a p p r o p r i a t e n u m b e r o f s q u a r e s i n t h e g r a p h . - g i v e t h e f r a c t i o n o f t h e r e c t a n g l e r e p r e s e n t e d b y e a c h c o l o r . . . n . s . n . I > . r F m . . . . . . a c m t l o : . 0 a . T E l A a . v r c w . e : ‘ e l g s v l . r m e o t t y n . u h v L a l . l v d a e i n s t g i e m O s I u r s r s i t , e y s p t o e o u l a t e s N e a n e s n i n K s u y e r d x s t i b d e o w m r o c e c n o a g t - s e e n l e v c e t l c a o p r e d t s h f e r y o s m h t u h l e d o d b ‘ i b e I I 3 9 9 5 3 3 6 - 3 V T 3 1 T f o C L i e n t h a r s o y r t S i a z e s g n s d u p d s n r a s a m r 1 c r g I t 0 . 1 i o n a n g I s 9 e I t o e n m s c a b r y S i z e T h l S 5 f r a c t i ( 1 d c e k p a a l n c p l a c e d I e n t e t h r e m i t t o I n e n t o h e c o r r e W c h t I C h e n v e l o p e s 7 ' b t m d ' i 5 c a t " e h a a 6 a t h y l a ” u m e S y m V e a 9 V - s t / 5 e n s e l a w l t i t u c d s s s n t I u t u c o s s t h s b e s a e e t u s I h n e d h o r t e e w h s e e i r 3 5 6 M I I T I I I A L S : 1 1 i ( O 5 , a n d E X A M P L E : C H A P T E R 1 0 3 5 3 3 A P P E N D I X D A P P E N D D ( D E X A M P L E P A G E F R O M P R O B L E M O F T H E D A Y S E C T I O N fl a a é l e m o / M e f b c u f S h a w a n a t h r o w s t h r e e d a r t s a t t h i s t a r g e t 1 C o m p l e t e e a c h p a t t e r n D e s c r i b e t h e p a t t e r n s i n y o u r o w n w o r d s A l l t h r e e o f t h e d a r t s h i t W h a t a r e I 1 5 7 5 1 , 5 8 0 , 1 , 5 8 5 , 1 , 5 9 0 , I , I ; I ‘ S h a w n a 5 9 0 5 5 ' ” “ 0 ’ 9 5 ? 1 , 5 9 5 1 , 6 0 3 1 . 6 0 5 , a d a 5 1 F l 1 0 9 5 1 0 9 6 1 , 0 9 7 , 1 , 0 9 8 , I ; I , I 3 i ( Q J 1 0 9 : 1 1 0 . 1 0 1 a c m 1 1 / / 3 1 1 3 1 S 4 2 : 8 3 9 9 , s u b t r a c : ‘ 1 * J i s , 7 . 7 3 7 i s . . , 7 1 l 8 , 4 0 5 8 , 4 0 4 8 . 4 0 3 8 , 4 0 2 I . . . I ‘ 3 4 5 6 ‘ 7 3 1 ' . 1 . 1 : ’ J o s e s a S S i g n m e n t f o r s c i e n c e P S t o r e a d t h e n e x t f o u r p a g e s i n h i s b o o k T h e s u m o f t h e p a g e n u m b e r s i s 3 8 6 W h a t a r e t h e f o u r p a g e s J o s e s h o u l d r e a d 7 1 , B y w h a t n u m b e r d i d y o u c o u n t ” . ’ W h a t p a t t e r n d o y o u s e e i n t h e u n i t s d i g i t 7 c a t . . _ _ 1 . [ w W E T - m ) ? , j W . , 1 5 F i n d t h e v a l u e o f e a c h i t e m U s e t h e d i g i t s 0 5 W r i t e o n e d i g i t i n e a c h 0 : i \ 3 b o x s o t h a t e a c h l i n e o f t h r e e n u m b e r s W _ h a s a s u m o f 7 L J + \ ‘ 3 2 _ $ 1 2 A 1 “ t o o = $ 8 , . . h a ’ l l E x p l a i n h o w y o u c a n c h o o s e t h e c o r r e c t F i n d t h e s u m s a c r o s s a n d d o w n l k n a n h e m l S l n i n g l x é e r w m o u t o w g t 5 g . 3 4 8 + a 2 6 _ l - . ‘ 5 + 6 2 1 + 2 9 5 : I 3 5 . 7 4 . 6 2 = 7 I I : - 1 a 2 , 0 8 9 p . 1 2 5 c . 1 , 3 5 9 ! : 3 7 . 3 S ; ‘ 1 3 : : { i n 1 : 1 A l a n / e r s p a g e 3 2 1 P r o b l e m o f t h e D a y - B ! 3 5 7 L I S T O F R E F E R E N C E S L I S T O F R E F E R E N C E S A p p l e , M . W . ( 1 9 8 6 ) . T _ e a c h e r s a n d t e x t s : A p o l i t i c a l e c o n o m y o f c l a s s a n d g e n d e r r e l a t i o n s ' 1 n e d u c a t i o n . B o s t o n : R o u t l e d g e & K e g a n P a u l . A p p l e , M . W . ( 1 9 9 1 ) . R e g u l a t i n g t h e t e x t : T h e s o c i o - h i s t o r i c a l r o o t s o f s t a t e c o n t r o l . I n P . G . A l t b a c h , G . P . K e l l y , H . G . P e t r i e , 8 1 : L . W e i s ( E d s . ) , T e x t b o o k s i n A m e r i c a n s o c i e t y ( p p . 7 - 2 6 ) . A l b a n y , N Y : S t a t e U n i v e r s i t y o f N e w Y o r k P r e s s . B a l l , D . L . ( 1 9 8 8 ) . K n o w l e d g e a n d r e a s o n i n g n m a t h e m a t i c a l p e d a g o g y E x a m i n i n g w h a t p r o s m t i v e t e a c h e r s b r i n g t o t e a c h e r e d u c a t i o n . U n p u b l i s h e d d o c t o r a l d i s s e r t a t i o n , M i c h i g a n S t a t e U n i v e r s i t y , E a s t L a n s i n g . B a l l , D . L . ( 1 9 8 9 ) . B r e a k i n g w i t h e x g r i e n c e i n l e a r n i n g t o t e a c h m a t h e m a t i c s : T h e r o l e o f a p r e s e r v i c e m e t h o d s c o u r s e ( I s s u e P a p e r 8 9 - 1 0 ) . E a s t L a n s i n g , M I : N a t i o n a l C e n t e r f o r R e s e a r c h o n T e a c h e r E d u c a t i o n , M i c h i g a n S t a t e U n i v e r s i t y . B a l l , D . L . ( 1 9 9 0 ) . R e f l e c t i o n s a n d d e fl e c t i o n s o f t h e f r a m e w o r k : T h e c a s e o f C a r o l T u r n e r . E d u c a t i o n a l E v a l u a t i o n a n d P o l i c y A n a l y s i s , 1 2 ( 3 ) , 2 4 7 - 2 6 0 . B a l l , D . L . ( 1 9 9 2 ) . M a g i c a l H o e s : M a n i p u l a t i v e s a n d t h e r e f o r m o f m a t h e d u c a t i o n . A m e r i c a n E d u c a t o r 1 6 2 ) , 1 4 - 1 9 . B a l l , D . L . ( 1 9 9 3 ) . H a l v e s , p i e c e s , a n d t w o t h s : C o n s t r u c t i n g a n d u s i n g r e p r e s e n t a t i o n a l c o n t e x t s i n t e a c h i n g f r a c t i o n s . I n T . C a r p e n t e r & E . F e n n e m a ( E d s . ) , R a t i o n a l N u m b e r s ( p p . 1 5 7 - 1 9 5 ) . H i l l s d a l e , N J : E r l b a u m . B a l l , D . L . ( 1 9 9 4 , N o v e m b e r ) . D e v e l o p i n g m a t h e m a t i c s r e f o r m : W h a t d o n ’ t w e k n o w a b o u t t e a c h e r l e a r n i n g — b u t w o u l d m a k e g o g i h y p o t h e s e s ? P a p e r p r e p a r e d f o r c o n f e r e n c e o n T e a c h e r E n h a n c e m e n t i n M a t h e m a t i c s K - 6 , N a t i o n a l S c i e n c e F o u n d a t i o n , W a s h i n g t o n D C . B a l l , D . L . , & F e i m a n — N e m s e r , S . ( 1 9 8 8 ) . U s i n g t e x t b o o k s a n d t e a c h e r s ’ 8 g u i d e s : A d i l e m m a f o r b e g i n n i n g t e a c h e r s a n d t e a c h e r e d u c a t o r s . C u r r i c u l u m I n g p g y , 1 8 , ( 4 ) 4 0 1 - 4 2 3 . B a l l , D . L . , & M c D i a r m i d , G . W . ( 1 9 9 0 ) . T h e s u b j e c t - m a t t e r p r e p a r a t i o n o f t e a c h e r s . I n W . R . H o u s t o n ( E d ) , H a n d b o o k o f r e s e a r c h o n t e a c h e r e g ‘ L _ _ u c a t i o n ( p p . 4 3 7 - 4 4 9 ) . N e w Y o r k : M a c m i l l a n . B e a s l e y , K . , C o r b e n , D . , S h a n k , C . , 8 : F e i m a n - N e m s e r , S . ( 1 9 9 5 ) . " M a k i n g i t h a p p e n " : T e a c h e r s m e n t o r i n g o n e a n o t h e r . C h a n g i p g m i n d s ( B u l l e t i n 1 2 ) , 6 - 1 0 . E a s t L a n s i n g , M I : E d u c a t i o n a l E x t e n s i o n S e r v i c e , C o l l e g e o f E d u c a t i o n , M i c h i g a n S t a t e U n i v e r s i t y . 3 5 8 3 5 9 B e h r , M . J . , H a r e l , ( 3 . , P o s t , T . , 8 : L e s h , R . ( 1 9 9 2 ) . R a t i o n a l n u m b e r , r a t i o , a n d p r o p o r t i o n . I n D . A . G r o u w s ( E d . ) , H a n d b o o k o f r e s e a r c h o n m a t h e m a t i c s t e a c h i n g a n d l e a r n i n g ( p p . 2 9 6 - 3 3 4 ) . N e w Y o r k : M a c m i l l a n . B e n - P e r e t z , M . ( 1 9 9 0 ) . T h e t e a c h e r - c u r r i c u l u m e n g o u n t e r : F r e e i n g t e a c h e r s f r o m t h e M a n n y o f t e x t s . A l b a n y , N Y : S t a t e U n i v e r s i t y o f N e w Y o r k P r e s s . B e r k e y , R . , C u r t i s , T . , M i n n i c k , F . , Z i e t l o w , K . , C a m p b e l l , D . , 8 : K i r s c h n e r , B . W . ( 1 9 9 0 ) . C o l l a b o r a t i n g f o r r e fl e c t i v e p r a c t i c e : V o i c e s o f t e a c h e r s , a d m i n i s t r a t o r s , a n d r e s e a r c h e r s . E d u c a t i o n a n d U r b a n S o c i e t y , 2 2 ( 2 ) , 2 0 4 - 2 3 3 . B l o o m e , D . , 8 : E g a n - R o b e r t s o n , A . ( 1 9 9 3 ) . T h e s o c i a l c o n s t r u c t i o n o f i n t e r t e x t u a l i t y i n c l a s s r o o m r e a d i n g a n d w r i t i n g l e s s o n s . R e a d i n g R e s e a r c h Q g r t e r l y , fl , 3 0 5 - 3 3 3 . B o r k o , H . , 8 : N i l e s , J . ( 1 9 8 7 ) . D e s c r i p t i o n s o f t e a c h e r p l a n n i n g : I d e a s f o r t e a c h e r s a n d r e s e a r c h . I n V . R i c h a r d s o n - K o e h l e r ( E d . ) , E d u c a t o r s ' h a n d b o o k : A r e s e a r c h p e r s p e c t i v e ( p p . 1 6 7 — 1 8 7 ) . N e w Y o r l c L o n g m a n . B o w l e r , M . ( 1 9 7 8 , M a r c h ) . T h e m a k i n g o f a t e x t b o o k . L e a r n i n g , M a r c h 1 9 7 8 , 3 8 - 4 2 . B r i d g h a m , K . E . ( 1 9 7 1 ) . C o m m e n t s o n s o m e t h o u g h t s o n s c i e n c e c u r r i c u l u m d e v e l o p m e n t . I n E . W . E i s n e r ( E d . ) , C o n f r o n t i n g C u r r i c u l u m R e f o r m ( p p . 6 0 - 7 2 ) . B o s t o n : L i t t l e B r o w n . B r o u d y , E . ( 1 9 7 5 ) . T h e t r o u b l e w i t h t e x t b o o k s . T e a c h e r s C o l l e g e R e c o r d . 7 7 , 1 3 - 1 4 . B r o w n , C . A . , 8 : B o r k o , H . ( 1 9 9 2 ) . B e c o m i n g a m a t h e m a t i c s t e a c h e r . I n D . A . G r o u w s ( E d . ) , H a n d b o o k o f r e s e a r c h o n m a t h e m a t i c s t e a c h i n g a n d l e a r n i n g ( p p . 2 0 9 - 2 3 9 ) . N e w Y o r k : M a c m i l l a n . B r u n e r , I . ( 1 9 7 7 ) . T h e p r o c e s s o f e d u c a t i o n . C a m b r i d g e , M A : H a r v a r d U n i v e r s i t y P r e s s . B u s h , W . S . ( 1 9 8 6 ) . P r e s e r v i c e t e a c h e r s ’ s o u r c e s o f d e c i s i o n s i n t e a c h i n g s e c o n d a r y m a t h e m a t i c s . I o u r n _ a 1 f o r R e s e a r c h i n M a t h e m a t i c s E d u c a t i o n 1 7 ( 1 ) , 2 1 - 3 0 . C a l i f o r n i a S t a t e D e p a r t m e n t o f E d u c a t i o n . ( 1 9 8 5 ) . M a t h e m a t i c s f r a m e w o g r k f o r C a l i f o r n i a p u b l i c s c h o o l s , k i n d e r g a r t e n t h r o u g h g g a d e t w e l v e . S a c r a m e n t o , C A : A u t h o r . C a r p e n t e r , T . P . , F e n n e m a , E . , P e t e r s o n , P . L . , C h i a n g , C . P . , 8 : L o e f , M . ( 1 9 8 8 ) . U s i n g k n o w l e d g e o f c h i l d r e n ’ s m a t h e m a t i c s t h i n k i n g i n c l a s s r o o m t e a c h i n g : A n e x p e r i m e n t a l s t u d y . A m e r i c a n E d u c a t i o n a l R e s e a r c h l o u r n a l , 2 6 , 4 9 9 - 5 3 2 . C a r p e n t e r , T . P . , F e n n e m a , E . , 8 : F r a n k e , M . L . ( 1 9 9 4 ) . C o g r _ 1 i t i v e l y g g ‘ d e d i n s t r u c t i o n : C h i l d r e n ' s t h i n k i n g a b o u t w h o l e n u m b e r s . M a d i s o n , W I : W i s c o n s i n C e n t e r f o r E d u c a t i o n R e s e a r c h , S c h o o l o f E d u c a t i o n , U n i v e r s i t y o f W i s c o n s i n - M a d i s o n . C h a z a n , D . , 8 : B a l l , D . L . ( 1 9 9 5 ) . B e y o n _ d e x h o r t a t i o n s n o t t o t e l l : W h a t i s t h e t e a c h e r ’ 8 r o l e i n d i s c u s s i o n - i n t e n s i v e m a t h e m a t i c s c l a s s e s ? ( C r a f t P a p e r 9 5 - 2 ) . E a s t L a n s i n g , M I : N a t i o n a l C e n t e r f o r R e s e a r c h o n T e a c h e r L e a r n i n g , M i c h i g a n S t a t e U n i v e r s i t y . 3 6 0 C l a n d i n i n , D . J . , 8 : C o n n e l l y , F . M . ( 1 9 9 2 ) . T e a c h e r a s c u r r i c u l u m m a k e r . I n P . W . J a c k s o n ( E d . ) , H a n d b o o k o f r e s c i i r c h o n c u r r i c u l u m ( p p . 3 6 3 - 4 0 1 ) . N e w Y o r k : M a c m i l l a n . C l a r k , C . ( 1 9 8 8 ) . A s k i n g t h e r i g h t q u e s t i o n s a b o u t t e a c h e r p r e p a r a t i o n . E d u c a t i o n a l R e s e a r c h e r 1 7 5 - 1 2 . C l e m e n t s , D . H . , 8 : B a t t i s t a , M . T . ( 1 9 9 2 ) . G e o m e t r y a n d s p a t i a l r e a s o n i n g . I n D . A . G r o u w s ( E d . ) , _ H _ a n d b o o k o f r e s e a r c h o n m a t h e m a _ t i c s t e a c h i n g a n d l e a r n i n g ( p p . 4 2 0 - 4 6 4 ) . N e w Y o r k : M a c m i l l a n . C o h e n , D . K . ( 1 9 8 9 ) . T e a c h i n g p r a c t i c e : P l u s c a c h a n g e . . . . I n P . W . J a c k s o n ( E d . ) , C o n t r i b u t i n g t o e d u c a t i o n a l c h a n g e : P e r s p e c t i v e s o n r e s e a r c h a n d p r a c t i c e ( p p . 2 7 - 8 4 ) . B e r k e l e y : M c C u t c h a n . C o h e n , D . K . ( 1 9 9 0 ) . A r e v o l u t i o n i n o n e c l a s s r o o m : T h e c a s e o f M r s . O u b l i e r . E d u c a t i o n a l E v a l p a t i o n a n d P o l i c y A n a l y s i s , 1 2 ( 3 ) , 3 2 7 - 3 4 5 . C o h e n , D . K . , 8 : B a l l , D . L . ( 1 9 9 0 ) . P o l i c y a n d p r a c t i c e : A n o v e r v i e w . E d u c a t i o n a l E v a l u a t i o n a n ‘ d P o l i c y A n a l y s i s . 1 2 ( 3 ) , 3 4 7 - 3 5 3 . C o h e n , D . K . , 8 : B a r n e s , C . ( 1 9 9 3 ) . P e d a g o g y a n d p o l i c y . I n D . K . C o h e n , M . W . M c L a u g h l i n , 8 : J . E . T a l b e r t ( E d s . ) , T e a c h i n g f o r u n d e r s t a n d i n g ; C h a l l a n g e s f o r p r a c t i c e , r e s e a r c h , a n g p o l i g y ( p p . 2 0 7 - 2 3 9 ) . S a n F r a n c i s c o : J o s s e y - B a s s . C o h e n , D . K . , P e t e r s o n , P . L . , W i l s o n , 5 . M . , B a l l , D . L . , P u t n a m , R . T . , P r a w a t , R . , H e a t o n , R , R e m i l l a r d , J . , 8 : W i e m e r s , N . J . ( 1 9 9 0 ) . T h e e f f e c t s o f s t a t e - l e v e l r e f o r m o f e l e m e n t _ a r y m a t h e m a _ p ’ c s c u r r i c u l u m o n c l a s s r o o m p r a c t i c e ( F i n a l R e p o r t t o O E R I ) . E a s t L a n s i n g , M I : C e n t e r f o r L e a r n i n g a n d T e a c h i n g o f E l e m e n t a r y S u b j e c t s . C o n n e l l y , F . M . , 8 : C l a n d i n i n , D . J . ( 1 9 8 6 ) . O n n a r r a t i v e m e t h o d , p e r s o n a l p h i l o s o p h y , a n d t h e s t o r y o f t e a c h i n g . I o u m a l o f R e s e a r c h i n S c i e p c e T e a c h i n g , 2 3 , 2 9 3 - 3 1 0 . C o m b l e t h , C . ( 1 9 8 8 ) . C u r r i c u l u m i n a n d o u t o f c o n t e x t . J o u r n a l o f C u r r j g u l u m a n d S u p e r v i s i o n . 3 ( 2 ) , 8 5 - 9 6 . C u b a n , L . ( 1 9 8 4 ) . H o w t e a c h e r s t a u g h t : C o n s t a n c y a n d c h a n g e i n A m e r i c a n c l a s s r o o m s 1 8 9 0 - 1 fl . N e w Y o r k : T e a c h e r s C o l l e g e P r e s s . D a v e n p o r t , L . R . , 8 : S a s s i , A . ( 1 9 9 5 ) . T r a n s f o r m i n g m a t h e m a t i c s t e a c h i n g i n g r a d e s K - 8 : H o w n a r r a t i v e s t r u c t u r e s i n r e s o u r c e m a t e r i a l s h e l p s u p p o r t t e a c h e r c h a n g e . I n B . S . N e l s o n ( E d . ) , I n q u i r y a n d t h e d e v e l o p m e n t o f t e a c h i n g : I s s u e s i n t h e t r a n s f o r m a t i o n o f m a t h e m a g ' c s t e a c h i n g ( p p . 3 7 4 6 ) . N e w t o n , M A : C e n t e r f o r t h e D e v e l o p m e n t o f T e a c h i n g . D o l e , J . A . , D u f f y , C . ( 3 . , R o e h l e r , L . R . , 8 : P e a r s o n , P . D . ( 1 9 9 1 ) . M o v i n g f r o m t h e o l d t o t h e n e w : R e s e a r c h o n r e a d i n g c o m p r e h e n s i o n i n s t r u c t i o n . R e v i e w o f E d u c a f t i o n a l R e s e a r c h . 6 1 . 2 3 9 - 2 6 4 . D o n o v a n , B . F . ( 1 9 8 3 ) . P o w e r a n d c u r r i c u l u m i n i m p l e m e n t a t i o n : A c a s e s t u d y o f a n i n n g y a t j v e m a t h e m a t i g s p r g g r a m . U n p u b l i s h e d d o c t o r a l d i s s e r t a t i o n , U n i v e r s i t y o f W i s c o n s i n , M a d i s o n . 3 6 1 D o y l e , W . ( 1 9 9 2 ) . C u r r i c u l u m a n d p e d a g o g y . I n P . W . J a c k s o n ( E d . ) , H a n d b o o k o f r e s e a r c h o n c u r r i c u l u m ( p p . 4 8 6 - 5 1 6 ) . N e w Y o r k : M a c m i l l a n . D o y l e , W . ( 1 9 9 3 ) . C o n s t r u c t i n g c u r r i c u l u m i n t h e c l a s s r o o m . I n F . K . O s e r , A . D i c k , 8 : J . P a t t y ( E d s . ) , E f f e c t i v e a n d r e s m n s i b l e t e a c h i n g ( p p . 6 6 - 7 9 ) . S a n F r a n c i s c o : J o s s e y - B a s s . D u c k w o r t h , E . R . ( 1 9 8 7 ) . T h e h a v i n g o f w o n _ d e r f u l i _ d e a s a n d o t h e r e s s a y s o n t e a c h i n g a n d l e a r n i n g . N e w Y o r k : T e a c h e r s C o l l e g e P r e s s . , G . G . , R o e h l e r , L . R . , 8 : P u t n a m , J . ( 1 9 8 7 ) . P u t t i n g t h e t e a c h e r i n c o n t r o l : B a s a l r e a d i n g t e x t b o o k s a n d i n s t r u c t i o n a l d e c i s i o n m a k i n g . E l e m e n t a r y S c h o o l I o u r n a l , 8 2 , 3 5 7 - 3 6 6 . D u r k i n , D . ( 1 9 8 3 ) . I s t h e r e a m a t c h b e t w e e n w h a t e l e m e n t a r y t e a c h e r s d o a n d w h a t b a s a l m a n u a l s r e c o m m e n d ? ( T e c h . R e p . N o . 4 4 ) . U r b a n a , I L : C e n t e r f o r t h e S t u d y o f R e a d i n g . E l l i o t , D . L . ( 1 9 9 0 ) . T e x t b o o k s a n d t h e c u r r i c u l u m i n t h e p o s t w a r e r a : 1 9 5 0 - 1 9 8 0 . I n D . E l l i o t 8 : A . W o o d w a r d ( E d s . ) , T e x t b o o k s a p d s c h o o l i n g i n t h e U n i t e d S t a g e ; ( p p . 4 2 - 5 5 ) . C h i c a g o : U n i v e r s i t y o f C h i c a g o P r e s s . F e a t h e r s t o n e , H . , 8 : S m i t h , S . P . ( 1 9 9 6 , A p r i l ) . C a p a c i t y f o r r e f o r m : I n d i v i d u a l t _ e _ a _ c h e r s m u s t e r i n g r e s o u r c e s . P a p e r p r e s e n t e d a t t h e A n n u a l m e e t i n g o f t h e A m e r i c a n E d u c a t i o n a l R e s e a r c h A s s o c i a t i o n , N e w Y o r k N Y . F e i m a n - N e m s e r , 5 . , 8 : F e a t h e r s t o n e , H . ( 1 9 9 2 ) . E x p l o r i n g t e a c h i n g : R e i n v e n t i n g a n i n t r o d u c t o r y c o u r s e . N e w Y o r k : T e a c h e r s C o l l e g e P r e s s . F e i m a n - N e m s e r , S . 8 : R e m i l l a r d , J . T . , ( 1 9 9 6 ) . P e r s p e c t i v e s o n l e a r n i n g t o t e a c h . I n F . M u r r a y ( E d . ) , A k n o w l e d g e b a s e f o r t e a c h e r e d u c a t o r s ( p p . 6 3 - 9 1 ) . N e w Y o r k : J o s s e y - B a s s . F i t z G e r a l d , F . ( 1 9 7 9 ) . A m e r i c a r e v i s e d . B o s t o n : L i t t l e , B r o w n . F l o d e n , R . E . , P o r t e r , A . C . , S c h m i d t , W . H , F r e e m a n , D . J . , 8 : S c h w i l l e , ] . R . ( 1 9 8 0 ) . R e s p o n s e s t o c u r r i c u l u m p r e s s u r e s : A p o l i c y c a p t u r i n g s t u d y o f t e a c h e r d e c i s i o n s a b o u t c o n t e n t . I o u r n a l o f E d u c a t i o n a l P s y c h o l o g y , 2 3 , 1 2 9 - 1 4 1 . F l o r i o - R u a n e , S . ( 1 9 8 6 ) . C o n v e r s a t i o n a n d n a r r a t i v e i n c o l l a b o r a t i v e r e s e a r c h ( O c c a s i o n a l P a p e r n o . 1 0 2 ) . E a s t L a n s i n g : M i c h i g a n S t a t e U n i v e r s i t y , I n s t i t u t e f o r R e s e a r c h o n T e a c h i n g . F r e e m a n , D . , 8 : P o r t e r , A . ( 1 9 8 9 ) . D o t e x t b o o k s d i c t a t e t h e c o n t e n t o f m a t h e m a t i c s i n s t r u c t i o n i n e l e m e n t a r y s c h o o l s ? A m e r i c a n E d u c a t i o n a l R e s e a r c h l o u m a l , 2 _ 6 , 4 0 3 - 4 2 1 . F u l l a n , M . ( 1 9 9 1 ) . T h e n e w m e a n i n g o f e d u c a t i o n a l c h a n g e . N e w Y o r k : T e a c h e r s C o l l e g e . G e h r k e , N . J . , K n a p p , M . S . , 8 : S i r o t n i k , K . A . ( 1 9 9 2 ) . I n s e a r c h o f t h e s c h o o l c u r r i c u l u m . I n C . G r a n t ( E d . ) , R e v i e w o f r e s e a r c h i n e d u c a t i o n ( p p . 5 1 - 1 1 0 ) . W a s h i n g t o n , D C : A m e r i c a n E d u c a t i o n a l R e s e a r c h A s s o c i a t i o n . 3 6 2 G e i s t , P . ( i n p r e p a r a t i o n ) . P o l i c y i n p r a c t i c e : R e - f o r r n i n g m a t h e g a t i c s t e a c h i n g . U n p u b l i s h e d d o c t o r a l d i s s e r t a t i o n , M i c h i g a n S t a t e U n i v e r s i t y , E a s t L a n s i n g . G o l d e n , J . M . ( 1 9 8 8 ) . T h e c o n s t r u c t i o n o f a l i t e r a r y t e x t i n a s t o r y - r e a d i n g l e s s o n . I n J . L . G r e e n 8 : J . O . H a r k e r ( E d s . ) , M u l t i p l e p e r s p e c t i v e a n a l y s e s o f c l a s s r o o m d i s c o u r s e ( p p . 7 1 - 1 0 6 ) . N o r w o o d , N J : A b l e x . G r a n t , S . G . ( 1 9 9 4 ) . T h e v a r i a t i o n i n t a c h e r s ' r e s p o m e s t o r e a d i n g , w r i t i n g , a n d m a t h e m a t i c s r e f o r m _ s _ . U n p u b l i s h e d d o c t o r a l d i s s e r t a t i o n , M i c h i g a n S t a t e U n i v e r s i t y , E a s t L a n s i n g . G r a y b e a l , S . S . , 8 : S t o d o l s k y , S . S . ( 1 9 8 7 , A p r i l ) . W h e r e ’ s a l l t h e ” g o o d s t u f f ? ” : A n a n a l y s i s o f f i f t h - g r a d e m a t h a n d s o c i a l s t u d i e s t e a c h e r s ’ g p i d e s . P a p e r p r e s e n t e d a t t h e a n n u a l m e e t i n g o f t h e A m e r i c a n R e s e a r c h A s s o c i a t i o n , W a s h i n g t o n , D C . G r i m m i t t , P . P . , 8 : M a c K i n n o n , A . M . ( 1 9 9 2 ) . C r a f t k n o w l e d g e a n d t h e e d u c a t i o n o f t e a c h e r s . I n G . G r a n t ( E d . ) , R e v i a w o f r e g a r c h i n e d u c a t i o n ( V 0 1 . 1 8 , p p . 3 8 5 - 4 5 6 ) . W a s h i n g t o n , D C : A m e r i c a n E d u c a t i o n a l R e s e a r c h A s s o c i a t i o n . H a m m e r m a n , J . K . ( 1 9 9 5 ) . T e a c h e r i n q u i r y g r o u p s : c o l l a b o r a t i v e e x p l o r a t i o n s o f c h a n g i n g p r a c t i c e . I n B . 5 . N e l s o n ( E d . ) , I n g p g y ' a n d t h e d e v e l o p m e n t o f t e a c h i n g ; I s s u e s i n t h e t r a n s f o r m a t i o n o f m a t h e m a t i c s t a c h i n g ( p p . 4 7 - 5 6 ) . N e w t o n , M A : C e n t e r f o r t h e D e v e l o p m e n t o f T e a c h i n g . H a r c o u r t B r a c e J o v a n o v i c h , P u b l i s h e r s . ( 1 9 9 2 ) . M a t h e m a t i c s P l y . O r l a n d o : A u t h o r . H a r g r e a v e s , A . ( 1 9 9 4 ) . a n ' t e a c h e r s c h a n ' t i m e s : T e a c h e r s ' w o r k a n d c u l t u r e i n t h e m s t m o d e r n a g e . N e w Y o r k : T e a c h e r s C o l l e g e P r e s s H e a t o n , R . M . ( 1 9 9 2 ) . W h o i s m i n d i n g t h e m a t h e m a t i c s c o n t e n t ? A c a s e s t u d y o f a f i f t h - g r a d e t e a c h e r . E l g m e n t a r L S c h o o l J o u r n a l . 9 3 . 1 5 3 - 1 6 2 . H e a t o n , R M . ( 1 9 9 4 ) . C r e a t i n g a n d s t u d m ’ g a p r a c t i c e o f t e a c h i n g e l e m e n t a r y m a t h e m a t i c s f o r u n d e r s t a n d i n g . U n p u b l i s h e d d o c t o r a l d i s s e r t a t i o n , M i c h i g a n S t a t e U n i v e r s i t y , E a s t L a n s i n g . H e a t o n , R . M . ( 1 9 9 5 ) . L e a r n i n g w h i l e d o i n g : U n d e r s t a n d i n g e a r l y e f f o r t s t o c r e a t e n e w p r a c t i c e s o f t e a c h i n g a n d l e a r n i n g m a t h e m a t i c s f o r u n d e r s t a n d i n g . I n D . S c h i f t e r ( E d . ) , a t ' s h a e n i n i n m a t h c l a s s ? R e c o n s t r u c t i n r o f e s s i o n a l i d e n t i t i e s ( p p . 7 4 - 8 0 ) . N e w Y o r k : T e a c h e r s C o l l e g e P r e s s . H o n i g , W . ( 1 9 9 1 ) . C a l i f o r n i a ’ s e x p e r i e n c e w i t h t e x t b o o k i m p r o v e m e n t . I n P . G . A l t b a c h , G . P . K e l l y , H . G . P e t r i e , 8 : L . W e i s ( E d s . ) , T e x t b o o k s i n A m e r i c a n s o c i e t y ( p p . 1 0 5 - 1 1 6 ) . A l b a n y , N Y : S t a t e U n i v e r s i t y o f N e w Y o r k P r e s s . H u b e r m a n , M . ( 1 9 9 3 ) . T h e m o d e l o f t h e i n d e p e n d e n t a r t i s a n i n t e a c h e r s ’ p r o f e s s i o n a l r e l a t i o n s . I n J . W . L i t t l e 8 : M . W . M c L a u g h l i n ( E d s . ) , T e a c h e r s w o r l c I n d i v i d u a l s , c o l l e a g p e s , a n d c o n t e x t s ( p p . 1 1 - 5 0 ) . N e w Y o r k : T e a c h e r s C o l l e g e P r e s s . J a c k s o n , P . W . ( 1 9 6 8 ) . L i f e i n c l a s s r o o m s . N e w Y o r k : H o l t , R i n e h a r t a n d W i n s t o n . 3 6 3 J a c k s o n , P . W . ( 1 9 8 6 ) . T h e p r a c t i c e o f t e a c h i n g . N e w Y o r k - T e a c h e r s C o l l e g e P r e s s . J e n n i n g s , N . E . ( 1 9 9 2 ) . T e a c h e r s l e a r n i n g f r o m p o l i c y : C a s e s f r o m t h e M i c h i g a n r e a d i n g r e f o r m . U n p u b l i s h e d d o c t o r a l d i s s e r t a t i o n , M i c h i g a n S t a t e U n i v e r s i t y , E a s t L a n s i n g . K a g a n , D . M . ( 1 9 9 2 ) . P r o f e s s i o n a l g r o w t h a m o n g p r e s e r v i c e a n d b e g i n n i n g t e a c h e r s . R e v i e w o f E d u c a t i o n a l R e s e a r c h . 6 2 ( 2 ) , 1 2 9 - 1 6 9 . K a p u t , J . J . ( 1 9 9 2 ) . T e c h n o l o g y a n d m a t h e m a t i c s e d u c a t i o n . I n D . A . G r o u w s ( E d . ) , H a n d b o o k p f r e s e a r c h o n m a t h e m a t i c s t e a c h i n g a n d l e a r n i n g ( p p . 5 1 5 - 5 5 6 ) . N e w Y o r k : M a c m i l l a n . K e i t h , S . ( 1 9 9 1 ) . T h e d e t e r m i n a n t s o f t e x t b o o k c o n t e n t . I n P . G . A l t b a c h , G . P . K e l l y , H . G . P e t r i e , 8 : L . W e i s ( E d s . ) , T e x t b o o k s i n A m e r i c a n s o c i e t y ( p p . 4 3 - 6 0 ) . A l b a n y , N Y : S t a t e U n i v e r s i t y o f N e w Y o r k P r e s s . K e n n e d y , M . M . ( 1 9 9 1 ) . I n e x a c t s c i e n c e s : P r o f e s s i o n a l d e v e l o p m e n t a n d t h e e d u c a t i o n o f e x p e r t i s e . I n E . A . R o t h k o p f ( E d . ) , R e v i e w o f r e s e a r c h i n e d u c a t i o n ( V 0 1 . 1 4 , p p . 1 3 3 - 1 6 7 ) . W a s h i n g t o n , D C : A m e r i c a n E d u c a t i o n a l R e s e a r c h A s s o c i a t i o n . K i e r a n , C . ( 1 9 9 2 ) . T h e l e a r n i n g a n d t e a c h i n g o f s c h o o l a l g e b r a . I n D . A . G r o u w s ( E d . ) , H a n d b o o k o f r e s e a r c h o n m a t h e m a t i c s t e a c h i n g a n d l e a r n i n g ( p p . 3 9 0 - 4 1 9 ) . N e w Y o r k : M a c m i l l a n . K o m o s k i , P . K . ( 1 9 7 7 ) . I n s t r u c t i o n a l m a t e r i a l s w i l l n o t i m p r o v e u n t i l w e c h a n g e t h e s y s t e m . E g u c a t i o n a l L e a d e r s h i p , 4 2 , 3 1 - 3 7 . K u h s , T . M . , 8 : F r e e m a n , D . J . ( 1 9 7 9 ) . T h e p g t e n t i a l i n fl u e n c e o f t e x t b o o k s o n t e a c h e r s ’ s e l e c t i o n o f c o n t e n t f o r e l e m e n t a r y s c h o o l m a t h e m a t i c s ( R e s e a r c h S e r i e s N o . 4 8 ) . E a s t L a n s i n g , M I : I n s t i t u t e f o r R e s e a r c h o n T e a c h i n g . L a m p e r t , M . ( 1 9 9 0 ) . W h e n t h e p r o b l e m i s n o t t h e q u e s t i o n a n d t h e a n s w e r i s n o t t h e s o l u t i o n : M a t h e m a t i c a l k n o w i n g a n d t e a c h i n g . A m e r i c a n E d u c a t i o n R e s e a r c h I o u m a l , 2 7 , 2 9 - 6 4 . L a p p a n , G . , 8 : T h e u l e - L u b i e n s k i , S . ( 1 9 9 2 , J u l y ) . T r a i n i n g t e a c h e r s o r e d u c a t i n g p r o f e s s i o n a l s ? W h a t a r e t h e i s s u e s a n d h o w a r e t h e y b e i n g r e s o l v e d ? P a p e r p r e s e n t e d a t t h e S e v e n t h I n t e r n a t i o n a l C o n g r e s s o n M a t h e m a t i c a l E d u c a t i o n , Q u e b e c C i t y , Q u e b e c . L a t h e r , P . ( 1 9 9 1 ) . G e t t i n a S m a r t : F e m i n i s t r e s e a r c h a n d p e d a g o g y w i c h i n t h e m s t m o d e r n . N e w Y o r k : R o u t l e d g e . L e B l a n c , J . F . , L e s t e r , F . K . , 8 : K r o l l , D . L . ( 1 9 9 2 ) . P r e p a r i n g e l e m e n t a r y t e a c h e r s t o t e a c h m a t h e m a t i c s : A p r o b l e m - s o l v i n g a p p r o a c h ( F i n a l R e p o r t , N a t i o n a l S c i e n c e F o u n d a t i o n g r a n t T E I 8 7 5 1 4 7 8 ) . B l o o m i n g t o n , I N : M a t h e m a t i c s E d u c a t i o n D e v e l o p m e n t C e n t e r , S c h o o l o f E d u c a t i o n , I n d i a n a U n i v e r s i t y . L e m k e , J . L . ( 1 9 9 0 ) . T a l k i n g s c i e n c e : L a n g g a g e , l e a r n i n g a n d v a l u e s . N o r w o o d , N J : A b l e x . L i e b e r m a n , A . ( 1 9 9 0 ) . S c h o o l s a s c o l l a b o r a t i v e c u l t u r e s : C r e a t i n g t h e f u t u r e n o w . N e w Y o r l c F a l m e r P r e s s . 3 6 4 L i t t l e , J . W . ( 1 9 8 2 ) . N o r m s o f c o l l e g i a l i t y a n d e x p e r i m e n t a t i o n : W o r k p l a c e c o n d i t i o n s o f s c h o o l s u c c e s s . A m e r i g n E d u c a t i o n a l R e s e a r c h J o u r n a l . 1 9 . 3 2 5 - 3 4 0 . L i t t l e , J . W . , 8 : M c L a u g h l a n , M . W . ( 1 9 9 3 ) . C o n c l u s i o n . I n J . W . L i t t l e a n d M . W . M c L a u g h l a n ( E d s . ) , I a a c h e r s ' w o r k : I n d i v i d u a l s . c o l l e a g u e s . a n d c o n t e x t s ( p p . 1 8 5 - 1 9 0 ) . N e w Y o r k : T e a c h e r s C o l l e g e P r e s s . L o r t i e , D . C . ( 1 9 7 5 ) . S c h o o l t e a c h e r : A s o c i o l o g i c a l s t u d y . C h i c a g o : U n i v e r s i t y o f C h i c a g o P r e s s . M a d a u s , G . F . ( 1 9 8 8 ) . T h e i n fl u e n c e o f t e s t i n g o n t h e c u r r i c u l u m . I n A . N . T a n n e r ( E d . ) , C r i t i c _ a l i s s u e s i n c u m ' c u l u m : 8 7 t h y e a r b o o k o f t h e N a t i o n a l S o c i e t y f o r t h e S t u d y o f E d u c a t i o n ( p p . 8 3 - 1 2 1 ) . C h i c a g o : U n i v e r s i t y o f C h i c a g o P r e s s . M a t h e m a t i c a l S c i e n c e E d u c a t i o n B o a r d . ( 1 9 8 9 ) . E v e r y b o d y c o u n t s . W a s h i n g t o n , D C : N a t i o n a l A c a d e m y P r e s s . M c C u t c h e o n , G . ( 1 9 8 1 ) . E l e m e n t a r y s c h o o l t e a c h e r s ’ p l a n n i n g f o r s o c i a l s t u d i e s a n d o t h e r s u b j e c t s . T h e o r y a n d R e s e a r c h i n S a g a ] E d u c a t i o n 9 4 5 - 6 6 . M c L a u g h l i n , M . W . ( 1 9 7 6 ) . I m p l e m e n t a t i o n a s m u t u a l a d a p t a t i o n . T e a c h e r s C o l l a g e R e c o r d . 7 7 . 3 3 9 - 3 5 1 . M c L a u g h l i n , M . W . ( 1 9 9 0 ) . T h e R a n d c h a n g e a g e n t s t u d r e v i s i t e d : M a c r o p e r s p e c t i v e s a n d m i c r o r e a l i t i e s . E d u c a t i o n a l R e s e a r c h e r , 1 9 9 ) , 1 1 - 1 6 . M c L a u g h l i n , M . W . ( 1 9 9 3 ) . W h a t m a t t e r s m o s t i n t e a c h e r s ' w o r k p l a c e c o n t e x t s ? I n J . W . L i t t l e a n d M . W . M c L a u g h l a n ( E d s . ) , T e a c h e r s ' w o r k : I n d i v i d u a l s , c o l l e a g p e s , a n d c o n t e x t s ( p p . 7 9 - 1 0 3 ) . N e w Y o r k : T e a c h e r s C o l l e g e P r e s s . M o j e , E . B . ( 1 9 9 6 ) . I t e a c h s t u d e n t s , n o t s u b j e c t s : T e a c h e r - s t u d e n t r e l a t i o n s h i p s a s c o n t e x t f o r s e c o n d a r y l i t e r a c y . R e a d i n g R e s e a r c h m a r t e r l y , 3 1 , 1 7 2 - 1 9 5 . N a t i o n a l C o u n c i l o f T e a c h e r s o f M a t h e m a t i c s . ( 1 9 8 0 ) . A n a g e n d a f o r a c t i o n : R e c o m m e n d a t i o n s f o r s c h o o l m a t h e m a t i c s o f t h e 1 9 8 0 s . R e s t o n , V A : A u t h o r . N a t i o n a l C o u n c i l o f T e a c h e r s o f M a t h e m a t i c s . ( 1 9 8 9 ) . T h e c u r r i c u l u m a n _ d e v a l u a t i o n s t a n d a r d s f o r s c h o o l m a t h e m a t i c s . R e s t o n , V A : A u t h o r . N a t i o n a l C o u n c i l o f T e a c h e r s o f M a t h e m a t i c s . ( 1 9 9 1 ) . T h e p r o f g a s i o n a l s t a n d a r d s f o r t e a g h i n g m a t h e m a t i c s . R e s t o n , V A : A u t h o r . P a r k e r , M . 8 : , L e i n h a r d t , G . , ( 1 9 9 5 ) . P e r c e n t : A p r i v i l e g e d p r o p o r t i o n . R e v i e w o f E d u c a t i o n a l R g e a r c h , 6 5 ( 4 ) , 4 2 1 - 4 8 2 . P a t t o n , M . Q . ( 1 9 9 0 ) . Q _ u a l i t a t i v e e v a l u a t i o n a n d r e s e a r c h m e t h o d s ( 2 n d e d . ) . T h o u s a n d O a k s , C A : S a g e P u b l i c a t i o n s . P e a r s o n , P . D . , 8 : S t e p h e n s , D . ( 1 9 9 4 ) . L e a r n i n g a b o u t l i t e r a c y : A 3 0 - y e a r j o u r n e y . I n R . B . R u d d e l l , M . R . R u d d e l l , 8 : H . S i n g e r ( E d s . ) , T h e o r e t i c a l m o d e l s a n d p r o c e s s e s o f r e a d i n g ( 4 t h e d . ) ( p p . 2 2 - 4 2 ) . N e w a r k , D E : I n t e r n a t i o n a l R e a d i n g A s s o c i a t i o n . P e t e r s o n , P . L . ( 1 9 9 0 ) . T h e C a l i f o r n i a s t u d y o f e l e m e n t a r y m a t h e m a t i c s . E d u c a t i o n a l E v a l u a t i o n a n d P o l i c y A n a l y s i s , 1 2 ( 3 ) , 2 4 1 - 2 4 6 . r ‘ t 3 6 5 P o p p i n k , S . E . ( 1 9 9 4 , A p r i l ) . H o w c a n y o u b e w r o n g w h e n I a s k e d f o r w h a t y o u t _ h i n k ? P a p e r p r e s e n t e d a t t h e a n n u a l m e e t i n g o f t h e A m e r i c a n E d u c a t i o n a l R e s e a r c h A s s o c i a t i o n , N e w O r l e a n s , L A . P o s n e r , G . J . ( 1 9 8 8 ) . M o d e l s o f c u n i c u l u m p l a n n i n g . I n L . E . B e y e r 8 : M . W . A p p l e ( E d s . ) , T h e c u r r i c u l u m : P r o b l e m s , p o l i t i c s a n d p o s s i b i l i t i e s ( p p . 7 7 - 9 7 ) . A l b a n y : S t a t e U n i v e r s i t y o f N e w Y o r k P r e s s . P r a w a t , R . , R e r n i l l a r d , J . , P u t n a m , R . T . , 8 : H e a t o n , R . ( 1 9 9 2 ) . I n t r o d u c t i o n t o c a s e s o f f i f t h - g r a d e m a t h e m a t i c s t e a c h e r s . E l e m e n t a r y S c h o o l I o u r n a l , 9 3 ( 2 ) , 1 4 5 - 1 5 2 . P u t n a m , R T . ( 1 9 9 2 ) . T e a c h i n g t h e ” h o w s ” o f m a t h e m a t i c s f o r e v e r y d a y l i f e : A c a s e o f a f i f t h - g r a d e t e a c h e r . E l e m e n t a r y S c h o o l J o u r r r a l . 9 3 . 1 6 3 - 1 7 7 . P u t n a m , R . T . , 8 : G e i s t , P . ( 1 9 9 4 , A p r i l ) . W h a t a b o u t b a s i c s k i l l s ? : E x a m i n i n g l e a r n i n g a n d c h a n g e o f t w o t e a c h e r s . P a p e r p r e s e n t e d a t t h e a n n u a l m e e t i n g o f t h e A m e r i c a n E d u c a t i o n a l R e s e a r c h A s s o c i a t i o n , N e w O r l e a n s , L A . P u t n a m , R . T . , a n d H e a t o n , R . M . , P r a w a t , R , R e m i l l a r d , J . ( 1 9 9 2 ) . T e a c h i n g m a t h e m a t i c s f o r u n d e r s t a n d i n g : D i s c u s s i n g c a s e s t u d i e s o f f o u r fi f t h - g r a d e t e a c h e r s . E l e m e n t a r y S c h o o l J o u r n a l , 9 3 ( 2 ) , 2 1 3 - 2 2 8 . P u t n a m , R T . , J e n n i n g s , N . E . , 8 : R e m i l l a r d , J . ( 1 9 9 0 ) . T h e r o l e o f t e x t b o o k s i n m a t h e m a t i c s t e a c h i n g a n d i n s t r u c t i o n a l c h a n g e . U n p u b l i s h e d m a n u s c r i p t , M i c h i g a n S t a t e U n i v e r s i t y , E a s t L a n s i n g , M I . R a n d C o r p o r a t i o n . ( 1 9 7 5 ) . V o l u m e 1 1 : F a c t o r s a f f e c t i n g c h a n g e a g e n t p r o g ’ t s ( R e s e a r c h R e p . N o . R - 1 5 8 9 / 2 - H E W ) . S a n t M o n i c a , C A : A u t h o r . R e m i l l a r d , J . ( 1 9 9 1 a ) . I s t h e r e a n a l t e r n a t i v e ? A n a n a l y s i s o f c o m m o n l y u s e d a n d d i s t i n c t i v e e l e m e n t a r y m a t h e m a t i c s m u m ( E l e m e n t a r y S u b j e c t s C e n t e r S e r i e s N o . 3 1 ) . E a s t C e n t r a l , M I : M i c h i g a n S t a t e U n i v e r s i t y , I n s t i t u t e f o r R e s e a r c h o n T e a c h i n g , C e n t e r f o r t h e L e a r n i n g a n d T e a c h i n g o f E l e m e n t a r y S u b j e c t s . R e m i l l a r d , J . ( 1 9 9 1 b ) . C o n c e p t i o n s o f p r o b l e m s o l v i n g i n c o m m o n l y u s e d a n d d i s t i n c t i v e e l e m e n t a r y m a t h e m a t i c s c u r r i c u l a ( E l e m e n t a r y S u b j e c t s C e n t e r S e r i e s N o . 4 3 ) . E a s t C e n t r a l , M I : M i c h i g a n S t a t e U n i v e r s i t y , I n s t i t u t e f o r R e s e a r c h o n T e a c h i n g , C e n t e r f o r t h e L e a r n i n g a n d T e a c h i n g o f E l e m e n t a r y S u b j e c t s . R e m i l l a r d , J . ( 1 9 9 1 c ) . A b d i c a t i n g a u t h o r i t y f o r k n o w i n g A t e a c h e r ’ s u s e o f a n i n n o v a t i v e m a m e m a t i c s c u r r i c u l u m ( E l e m e n t a r y S u b j e c t s C e n t e r S e r i e s N o . 4 2 ) . E a s t C e n t r a l , M I : M i c h i g a n S t a t e U n i v e r s i t y , I n s t i t u t e f o r R e s e a r c h o n T e a c h i n g , C e n t e r f o r t h e L e a r n i n g a n d T e a c h i n g o f E l e m e n t a r y S u b j e c t s . R e m i l l a r d , J . ( 1 9 9 2 ) . T e a c h i n g m a t h e m a t i c s f o r u n d e r s t a n d i n g : A f i f t h - g r a d e t e a c h e r ’ 8 i n t e r p r e t a t i o n o f m a t h e m a t i c s p o l i c y . E l e m e n t a r y S c h o o l J o u r n a l a 9 3 ( 2 ) , 1 7 9 — 1 8 3 . R e m i l l a r d , J . ( 1 9 9 3 , A p r i l ) . U s i n g e x p e r i e n c e t o b r e a k f r o m e x p e r i e n c e : A n e l e m e n t a r y m a t h e m a t i c s m e t h o d e c o u r s e . P a p e r p r e s e n t e d a t t h e a n n u a l m e e t i n g o f t h e A m e r i c a n E d u c a t i o n a l R e s e a r c h A s s o c i a t i o n , A t l a n t a , G A . R i c h a r d s o n , V . ( 1 9 9 4 ) . C o n d u c t i n g r e s e a r c h o n p r a c t i c e . E d u c a t i o n a l R e s e a r c h e r 2 _ 3 ( 4 ) , 5 — 1 0 . 3 6 6 R o b e r t s , A . D . ( 1 9 9 5 ) . P a r t n e r s i n t e a c h i n g m a t h : S c h o o l a a d u n i v e r s i t y f a c u l t y e x a m i n e i s s u e s i n m a t h e m a t i c s e d u c a t i o n . U n p u b l i s h e d m a n u s c r i p t , U n i v e r s i t y o f U t a h , S a l t L a k e C i t y , U T . R o s e n b l a t t , L . ( 1 9 9 4 ) . T h e t r a n s a c t i o n a l t h e o r y o f r e a d i n g a n d w r i t i n g . I n R . B . R u d d e l l , M . R R u d d e l l , 8 : H . S i n g e r ( E d s . ) , T h e o r e t i a a l m o d e l s a n d p r o c e s s e s o f r e a d i n g ( 4 t h e d . ) ( p p . 1 0 5 7 - 1 0 9 2 ) . N e w a r k , D E : I n t e r n a t i o n a l R e a d i n g A s s o c i a t i o n . R o t h , K . J . , 8 : A n d e r s o n , C . W . ( 1 9 8 7 , A p r i l ) . P r o m o t i n g c o n c e p t u a l c h a n g e l e a r n i n g f r o m s c i e n c e t e x t b o o k s . P a a g r p r e s e n t e d a t t h e a n n u a l m e e t i n g o f t h e A m e r i c a n E d u c a t i o n a l R e s e a r c h A s s o c i a t i o n , n F r a n c i s c o . R o t h m a n , R . ( 1 9 8 9 ) . C r i t i c s w a r n m e r g e r s i n t e x t b o o k i n d u s t r y c o u l d h u r t q u a l i t y . E d u c a t i o n W e e k . D ( ( 1 4 ) , 1 - 1 2 . R u s s e l l , S . J . ( 1 9 9 4 , N o v e m b e r ) . T h e r o l e o f t h e t e a c h e r i n c u r r i c u l u m d e v e l o p m e n t ( O R , ” W o n ’ t w e l l - p r e p a r e d t e a c h e r s m a k e u p t h e i r o w n ? ” ) ( O R , ” C u r r i c u l u m : T h e r i g m w a y , a n e c e s m e v i l , a h a n d y r e f e r e n c e , o r p a r t n e r ? ” ) . P a p e r p r e s e n t e d a t t h e C o n f e r e n c e o n T e a c h e r E n h a n c e m e n t K - 6 , N a t i o n a l S c i e n c e F o u n d a t i o n , A r l i n g t o n , V A . R u s s e l l , S . J . , S c h i f t e r , D . , B a s t a b l e , V . , Y a f f e e , L . , L e s t e r , J . B . , 8 : C o h e n , S . ( 1 9 9 5 ) . L e a r n i n g m a t h e m a t i c s w h i l e t e a c h i n g . I n B . S . N e l s o n ( E d . ) , I n g p r r y ' a n d t h e d e v e l o p m e n t o f t e a c h i n g : I s s u e s i n t h e t r a n s f o r m a t i o n o f m a t h e m a t i c s t e a c h i n g ( p p . 9 - 1 6 ) . N e w t o n , M A : C e n t e r f o r t h e D e v e l o p m e n t o f T e a c h i n g . S a r a s o n , S . ( 1 9 8 2 ) . T h e c u l t u r e o f t h e g h o o l a n d t h e p r o b l e m o f c h a n g e ( 2 n d e d . ) . B o s t o n : A l l y n a n d B a c o n . S c h i f t e r , D . ( 1 9 9 5 a ) . W h a t ' s h a p p e n i n g i n m a t h c l a s s ? E n v i s i o n i n g n e w p r a c t i c e s t h r o u g h t e a c h e r n a r r a t i v e s . N e w Y o r k : T e a c h e r s C o l l e g e P r e s s . S c h i f t e r , D . ( 1 9 9 5 b ) . W h a t ' s h a p p e n i n g i n m a t h c l a s s ? R e c o n s t r u c t i n g p r o f e s s i o n a l i d e n t i t i e s . N e w Y o r k : T e a c h e r s C o l l e g e P r e s s . S c h w a b , J . J . ( 1 9 7 8 ) . E d u c a t i o n a n d t h e s t r u c t u r e o f t h e d i s c i p l i n e s . I n I . W e s t b u r y 8 : N . W i l k o f ( E d s . ) , g ' e n c e , c u r r i c u l u m , a n d l i b e r a l g u c a t i o n : S e l e c t e d e s s a y s ( p p . 2 2 9 - 2 7 2 ) . C h i c a g o : U n i v e r s i t y o f C h i c a g o P r e s s . ( O r i g i n a l w o r k p u b l i s h e d 1 9 6 1 ) S e w a l l , G . T . , 8 : C a n n o n , P . ( 1 9 9 1 ) . T h e n e w w o r l d o f t e x t b o o k s : I n d u s t r y c o n s o l i d a t i o n a n d i t s c o n s e q u e n c e s . I n P . G . A l t b a c h , G . P . K e l l y , H . G . P e t r i e , 8 : L . W e i s ( E d s . ) , T e x t b o o k s i n A m e r i c a n s o c i e t y ( p p . 6 1 - 7 0 ) . A l b a n y , N Y : S t a t e U n i v e r s i t y o f N e w Y o r k P r e s s . S h a u g h n e s s y , M . M . ( 1 9 9 2 ) . R e s e a r c h i n p r o b a b i l i t y a n d s t a t i s t i c s : R e fl e c t i o n s a n d d i r e c t i o n s . I n D . A . G r o u w s ( E d . ) , H a n d b e o k o f r e s e a r c h o n m a t h e m a t i c s t e a c h i n g a n d l e a r n i n g ( p p . 4 6 5 - 4 9 4 ) . N e w Y o r k : M a c m i l l a n . S h u l m a n , L . S . ( 1 9 8 6 ) . T h o s e w h o u n d e r s t a n d : K n o w l e d g e g r o w t h i n t e a c h i n g . E d u c a t i o n a l R e s e a r c h e r . 1 5 ( 2 ) , 1 - 2 2 . S h u l m a n , L . S . ( 1 9 8 3 ) . A u t o n o m y a n d o b l i g a t i o n : T h e r e m o t e c o n t r o l o f t e a c h i n g . I n L . S h u l m a n 8 : G . S y k e s ( E d s . ) , H a n d b o o k o f t e a c h i n g a n d p o l i g y , ( p p . 4 8 4 - 5 0 4 ) . N e w Y o r k : L o n g m a n . 3 6 7 S h u l m a n , L . S . ( 1 9 8 7 ) . K n o w l e d g e a n d t e a c h i n g : F o u n d a t i o n s o f t h e n e w r e f o r m . H a r v a r d E d u c a t i o n a l R e v i e w 5 7 1 - 2 2 . S i m o n , M . A . ( 1 9 9 5 ) . R e c o n s t r u c t i n g m a t h e m a t i c s p e d a g o g y f r o m a c o n s t r u c t i v i s t p e r s p e c t i v e . J o u r n a l f o r R e s e a r c h i n M a t h e m a t i c s E d u c a t i o n . 2 6 ( 2 ) , 1 1 4 - 1 4 5 . S m i t h , L . M . ( 1 9 7 8 ) . A n e v o l v i n g l o g i c o f p a r t i c i p a n t o b s e r v a t i o n , e d u c a t i o n a l e t h n o g r a p h y a n d o t h e r c a s e s t u d i e s . I n L . S h u l m a n ( E d . ) , R e v i e w o f r e s e a r c h i n e d u c a t i o n ( V 0 1 . 6 , p p . 3 1 6 - 3 7 7 ) . I t a s c a , I L : P e a c o c k . S m i t h , S . Z . ( i n p r e p a r a t i o n ) . I m p a c t o f c u r r i c u l u m r e f o r m o n t e a c h e r s , c o n c e p t i o n s o f m a t h e m a t i c s . U n p u b l i s h e d d o c t o r a l d i s s e r t a t i o n . U n i v e r s i t y o f W i s c o n s i n - M a d i s o n . S m i t h , E . L . , 8 : A n d e r s o n , C . W . ( 1 9 8 4 ) . P l a n t s a s p r o d u c e r s : A c a s e s t u d y o f e l e m e n t a r y s c i e n c e t e a c h i n g . I o u m a l o f R e s e a r c h i n S c i e n c e T e a c h i n g , 2 1 ( 7 ) , 6 8 5 - 6 9 8 . S m i t h , S . P . , 8 : F e a t h e r s t o n e , H . ( 1 9 9 6 ) . " H e k n o w s t h e r e a r e 6 1 0 0 s i n 2 6 ? " A n i n v e s t i g a t i o n i a t o w h a t i t m e a n s t o d o m a t h e m a t i c s i n a t e a c h e r g r o u p . C r a f t P a p e r 9 6 - 3 ) . E a s t L a n s i n g , M I : N a t i o n a l C e n t e r f o r R e s e a r c h o n T e a c h e r L e a r n i n g . S n y d e r , J . , B o l i n , F . , 8 : Z u m w a l t , K . ( 1 9 9 2 ) . C u r r i c u l u m i m l e m e n t a t i o n . I n P . W . J a c k s o n ( E d . ) , H a n d b o o k o f r e s e a r c h o n c u r r i c u l u m ( p p . 4 0 2 - 4 3 5 . N e w Y o r k : M a c m i l l a n . S o s n i a k , L . A . , 8 : S t o d o l s k y , S . S . ( 1 9 9 3 ) . T e a c h e r s a n d t e x t b o o k s : M a t e r i a l s u s e i n f o u r f o u r t h - g r a d e c l a s s r o o m s . T h e E l e m e n t a r y S c h o o l I o u r n a l , 9 3 ( 3 ) , 2 4 9 - 2 7 5 . S o w d e r , J . ( 1 9 9 2 ) . E s t i m a t i o n a n d n u m b e r s e n s e . I n D . A . G r o u w s ( E d . ) , H a n d b o o k o f r e s e a r c h o n m a t h e m a t i c s t e a c h i n g a n d l e a r n i n g ( p p . 3 7 1 - 3 8 9 ) . N e w Y o r k : M a c m i l l a n . S p a r k s , D . 8 : L o u c k s - H o r s l e y , S . ( 1 9 9 0 ) . M o d e l s o f s t a f f d e v e l o p m e n t . I n W . R . H o u s t o n ( E d . ) , H a n g l b e o k o f r e s e a r c h o n t e a c h e r e d u c a t i e n ( p p . 2 3 4 — 2 5 0 ) . N e w Y o r k : M a c m i l l a n . S t a k e , R E . ( 1 9 7 8 ) . C a s e s t u d y m e t h o d s i n e d u c a t i o n a l r e s e a r c h : S e e k i n g s w e e t w a t e r . I n R . M . J a e g e r ( E d . ) , C o m p l e m e n t a r y m e t h o d s f e r r e s e a r c h i n e d u g t i o n ( p p . 2 5 3 - 2 7 8 ) . W a s h i n g t o n , D C : A m e r i c a n E d u c a t i o n a l R e s e a r c h A s s o c i a t i o n . S t a k e , R . E . , 8 : E a s l e y , J . ( 1 9 7 8 ) . C a s e s t u d i e s i n s c i e n c e e d u c a t i o n . U r b a n a : U n i v e r s i t y o f I l l i n o i s . S t e p h e n s , W . M . ( 1 9 8 2 ) . M a t h e m a t i c a l k n o w l e d g e a n d s c h o o l w o r k : A c a s e s t u d y o f t h e t e a c h i n g o f d e v e l o p i n g m a t h e m a t i c a l p r o c e s s e s . U n p u b l i s h e d d o c t o r a l d i s s e r t a t i o n , U n i v e r s i t y o f W i s c o n s i n , M a d i s o n . S t o d o l s k y , S . ( 1 9 8 9 ) . I s t e a c h i n g r e a l l y b y t h e b o o k ? I n P . J a c k s o n 8 : S . H a r o u t u n i n a - G o r d o n ( E d s . ) , F r o m S o c r a t e s t o s o f t w a r e : T h e t e a c h e r a s t e x t a n d t h e t e x t a s t e a c h e r ( p p . 1 5 9 - 1 8 4 ) . C h i c a g o : U n i v e r s i t y o f C h i c a g o P r e s s . T a l b e r t , J . E . , 8 : M c L a u g h l i n , M . W . ( 1 9 9 3 ) . U n d e r s t a n d i n g t e a c h i n g i n c o n t e x t . I n D . K . C o h e n , M . W . M c L a u g h l i n , 8 : J . E . T a l b e r t ( E d s . ) , T e a c h i n g f o r u n d e r s t a n d i n g . C h a l l e n g e s f o r p r a c t i c e . r e s e a r c l a a n d p o l i c y ( p p . 1 6 7 - 2 0 6 ) . S a n F r a n c i s c o : J o s s e y - B a s s . 3 6 8 T h o m p s o n , A . ( 1 9 8 4 ) . T h e r e l a t i o n s h i p o f t e a c h e r s ’ c o n c e p t i o n s o f m a t h e m a t i c s a n d m a t h e m a t i c s t e a c h i n g t o i n s t r u c t i o n a l p r a c t i c e . E d u c a t i o n a l S t u d i e s i n M a t h e m a t i c s . 1 5 . 1 0 5 - 1 2 7 . T h o m p s o n , A . ( 1 9 9 2 ) . T e a c h e r s ’ b e l i e f s a n d c o n c e p t i o n s : A s y n t h e s i s o f t h e r e s e a r c h . I n D . A . G r o u w s ( E d . ) , H a n d b o o k o f r e s e a r c h o n m a t h e m a t i c s t e a c h i n g a n d l e a r n i n g ( p p . 1 2 7 - 1 4 6 ) . N e w Y o r k : M a c m i l l a n . T y s o n - B e r n s t e i n , H . , 8 : W o o d w a r d , A . ( 1 9 9 1 ) . N i n e t e e n t h c e n t u r y p o l i c i e s f o r t w e n t y - f i r s t c e n t u r y p r a c t i c e : T h e t e x t b o o k r e f o r m d i l e m m a . I n P . G . A l t b a c h , G . P . K e l l y , H . G . P e t r i e , 8 : L . W e i s ( E d s . ) , T e x t b o o k s i n A m e r i c a n s o c i e g r ( p p . 9 1 - 1 0 4 ) . A l b a n y , N Y : S t a t e U n i v e r s i t y o f N e w Y o r k P r e s s . V e n e z k e y , R . L . ( 1 9 9 2 ) . T e x t b o o k s i n s c h o o l a n d s o c i e t y . I n P . W . J a c k s o n ( E d . ) , H a n d b o o k o f r e s e a r c h o n c u r r i c u l u m ( p p . 3 6 3 - 4 0 1 ) . N e w Y o r k : M a c m i l l a n . W a l l e r , W . ( 1 9 3 2 ) . T h e s o c i o l o g y o f t e a c h i n g . N e w Y o r k : R u s s e l l 8 : R u s s e l l . W a l k e r , B . F . ( 1 9 7 6 ) . C u r r i c u l u m e v o l u t i o n a s p o r t r a y e d t h r o u g h o l _ d t e x t b o o k s . T e r r e H a u t e : I n d i a n a S t a t e U n i v e r s i t y , S c h o o l o f E d u c a t i o n . W i e m e r s - J e n n i n g s , N . J . ( 1 9 9 0 ) . T r a n s f o r m a t i o n a n d a c c o m m o d a t i o n : A c a s e s t u d y o f J o e S c o t t . E d u c a t i o n a l E v a l u a t i o n a n d P o l i c y A n a l y s i s , 1 2 , 2 8 1 - 2 9 2 . W i l s o n , S . M . ( 1 9 9 0 ) . A c o n fl i c t o f i n t e r e s t s : T h e c a s e o f M a r k B l a c k . E d u c a t i o n a l E v a l u a t i o n a n d P o l i c y A n a l y s i s , 1 2 , 2 9 3 - 3 1 0 . W o o d w a r d A . , 8 : E l l i o t , D . L . ( 1 9 9 0 ) . T e x t b o o k u s e a n d t e a c h e r p r o f e s s i o n a l i s m . I n D . E l l i o t 8 : A . W o o d w a r d ( E d s . ) , T e x t b o o k s a n d s c h o o l i n g i n t h e U n i t e d S t a t e s ( p p . 1 7 8 - 1 9 3 ) . C h i c a g o : U n i v e r s i t y o f C h i c a g o P r e s s . Y i n g e r , R . ( 1 9 8 7 , A p r i l ) . B y t h e s e a t o f y o u r p a n t s : A n i n g _ _ u _ i r y i n t o i m p r o v i s a t i o n a n d t e a c h i n g . P a p e r p r e s e n t e d a t t h e m e e t i n g o f t h e A m e r i c a n E d u c a t i o n a l R e s e a r c h A s s o c i a t i o n , W a s h i n g t o n , D C . Y i n g e r , R . ( 1 9 8 8 , M a y ) . T h e c o n v e r s a t i o n o f t e a c h i n g ; P a t t e r n s o f e x p l a n a t i o n i n m a t h e m a t i c s l e s s o n s . P a p e r p r e s e n t e d a t t h e m e e t i n g o f t h e I n t e r n a t i o n a l S t u d y A s s o c i a t i o n o n T e a c h e r T h i n k i n g , N o t t i n g h a m , E n g l a n d . Z u m w a l t , K . ( 1 9 8 9 ) . B e g i n n i n g p r o f e s s i o n a l t e a c h e r s : T h e n e e d f o r a c u r r i c u l a r v i s i o n o f t e a c h i n g . I n M . C . R e y n o l d s ( E d . ) , K n o w l e d g e b a s e f o r t h e b e g i n n i n g t e a c h e r ( p p . 1 7 3 - 1 8 4 ) . N e w Y o r k : P e r g a m o n .