r m . I l l l $ 3 1 5 5 l i ‘ § E l § l § § § 3 . . . . . . . m a n i c . p . 0 a n u v s - o I l : , ' 3 k ‘ . . . . t - h z ) : . 2 . 4 3 1 a 1 n " . : , . . 4 8 . ; u i t ! " , o n t n ‘ . - « m u n m . f ( — 4 a : U B M R I E I l l i l l ’ i l l l l l m l l l l l l l m l l l l l l l l l l l 3 1 2 9 3 0 1 6 8 8 7 6 6 7 T h i s i s t o c e r t i f y t h a t t h e d i s s e r t a t i o n e n t i t l e d H I G H S C H O O L A N D C O L L E G E S T U D E N T S ' K N O W L E D G E O F R A T E O F C H A N G E p r e s e n t e d b y G a r n e t S . H a n g e r h a s b e e n a c c e p t e d t o w a r d s f u l fi l l m e n t o f t h e r e q u i r e m e n t s f o r P h . D . E d u c a t i o n a l P s y c h o l o g y d e g r e e i n M a j o r p r o f e s s o r a fl é fi a : / D a t e 4 - L l ’ 7 6 M S U i s a n A f fi r m a t i v e A c t i o n / E q u a l O p p o r t u n i t y I n s t i t u t i o n 0 - 1 2 7 7 1 L c U I h n B v g R a e A s n r i i R S i t t Y a y M i t e P L A C E l N R E T U R N B O X t o r e m o v e t h i s c h e c k o u t f r o m y o u r r e c o r d . T O A V O I D F I N E S r e t u r n o n o r b e f o r e d a t e d u e . M T E D U E M T E D U E D A T E D U E 1 M C O M M A w S - p . “ H I G H S C H O O L A N D C O L L E G E S T U D E N T S ’ K N O W L E D G E O F R A T E O F C H A N G E V O L U M E I B Y G a r n e t S . H a u g e r A D I S S E R T A T I O N S u b m i t t e d t o M i c h i g a n S t a t e U n i v e r s i t y i n p a r t i a l f u l f i l l m e n t o f t h e r e q u i r e m e n t s f o r t h e d e g r e e o f D O C T O R O F P H I L O S O P H Y D e p a r t m e n t o f C o u n s e l i n g , E d u c a t i o n a l P s y c h o l o g y , a n d S p e c i a l E d u c a t i o n 1 9 9 8 A B S T R A C T H I G H S C H O O L A N D C O L L E G E S T U D E N T S ’ K N O W L E D G E O F R A T E O F C H A N G E B Y G a r n e t S . H a u g e r R a t e o f c h a n g e i s i m p o r t a n t f r o m h i s t o r i c a l , a c a d e m i c , a n d e v e r y d a y p o i n t s o f v i e w . B u t m a n y s t u d e n t s s t r u g g l e w i t h l e a r n i n g r a t e o f c h a n g e a n d e s p e c i a l l y t h e d e r i v a t i v e i n c a l c u l u s . O n e w a y t o t h i n k a b o u t r a t e o f c h a n g e c o n s i d e r s t h r e e p e r s p e c t i v e s a n d t h r e e t y p e s o f r e a s o n i n g . T h i s d i s s e r t a t i o n a t t e m p t e d t o d i s c o v e r w h a t k n o w l e d g e o f r a t e o f c h a n g e p r e c a l c u l u s , c a l c u l u s , a n d p o s t c a l c u l u s s t u d e n t s h a v e , h o w t h i s k n o w l e d g e d i f f e r s a m o n g t h e s e t h r e e g r o u p s , a n d i f t h e t h r e e p e r s p e c t i v e s a n d t y p e s o f r e a s o n i n g p r o v i d e a n i n t e r p r e t i v e f r a m e f o r u n d e r s t a n d i n g s t u d e n t s ' k n o w l e d g e o f r a t e o f c h a n g e . I n t h i s s t u d y k n o w l e d g e w a s t a k e n a s s t r a t e g i e s a n d l e a r n i n g a s s t r a t e g y c o n s t r u c t i o n . H e n c e I w a s i n t e r e s t e d i n w h a t s t r a t e g i e s p r e c a l c u l u s , c a l c u l u s , a n d p o s t c a l c u l u s s t u d e n t s u s e d t o s o l v e t a s k s i n v o l v i n g r a t e o f c h a n g e , h o w s t r a t e g y u s e d i f f e r e d a m o n g t h e s e t h r e e g r o u p s o f s t u d e n t s , a n d i f t h e s e s t r a t e g i e s s e e m e d c o n s i s t e n t w i t h t h e t h r e e p e r s p e c t i v e s a n d t y p e s o f r e a s o n i n g . T w e l v e p r e c a l c u l u s , f i f t e e n c a l c u l u s , a n d t e n p o s t c a l c u l u s s t u d e n t s w e r e g i v e n t h e s a m e s e t o f t a s k s i n i n d i v i d u a l a u d i o a n d v i d e o t a p e d i n t e r v i e w s . S t u d e n t s ’ w r i t t e n w o r k a n d v e r b a l e x p l a n a t i o n s w e r e u s e d t o i d e n t i f y s t r a t e g i e s t h e y u s e d t o s o l v e t h e p r o b l e m s , c l a s s i f y s t r a t e g i e s i n t e r m s o f t h e t h r e e p e r s p e c t i v e s a n d t y p e s o f r e a s o n i n g , a n d c o m p a r e a n d c o n t r a s t s t r a t e g i e s u s e d b y t h e t h r e e g r o u p s . N i n e t e e n d i f f e r e n t s t r a t e g i e s w e r e u s e d . M a n y s t r a t e g i e s , l i k e “ d e l t a d ” a n d “ v i s u a l s l o p e " , w e r e u s e d b y e a c h o f t h e t h r e e g r o u p s a n d m o s t s t u d e n t s u s e d m o r e t h a n o n e s t r a t e g y o n e a c h t a s k . P r e c a l c u l u s s t u d e n t s ' u s e o f m a n y s t r a t e g i e s s h o w e d t h e y h a v e k n o w l e d g e t h a t c a n b e u s e d t o s o l v e t a s k s i n v o l v i n g r a t e o f c h a n g e a n d t h a t m a y s u p p o r t t h e i r l e a r n i n g o f t h e d e r i v a t i v e i n c a l c u l u s . C a l c u l u s a n d p o s t c a l c u l u s s t u d e n t s ’ u s e o f t h e s e s a m e s t r a t e g i e s s u g g e s t s t h e y a r e b a s e d o n k n o w l e d g e t h a t i s s h a r e d b y a l l t h r e e g r o u p s o f s t u d e n t s a n d m a y t h e r e f o r e s e r v e a n i m p o r t a n t r o l e i n c o m i n g t o k n o w r a t e o f c h a n g e . S o m e s t r a t e g i e s w e r e u s e d p r i m a r i l y b y s o m e g r o u p s b u t n o t o t h e r s . C a l c u l u s a n d p o s t c a l c u l u s s t u d e n t s u s e d s l o p e o f t a n g e n t l i n e b u t n o p r e c a l c u l u s s t u d e n t d i d . A l t h o u g h a l l t h r e e g r o u p s u s e d a v e r a g e r a t e o f c h a n g e t o a d d r e s s r a t e o f c h a n g e a t p o i n t , p r e c a l c u l u s s t u d e n t s u s e d l o n g a n d m e d i u m s i z e d i n t e r v a l s b e f o r e t h e p o i n t , c a l c u l u s s t u d e n t s u s e d s h o r t i n t e r v a l s b e f o r e t h e p o i n t , a n d p o s t c a l c u l u s s t u d e n t s u s e d i n t e r v a l s s t r a d d l i n g t h e p o i n t . O v e r t h e c o u r s e o f t h e t a s k s , p r e c a l c u l u s s t u d e n t s c a m e t o u s e s h o r t e r i n t e r v a l s b e f o r e t h e p o i n t , c a l c u l u s s t u d e n t s u s e d t h e s h o r t e s t a v a i l a b l e i n t e r v a l s b e f o r e t h e p o i n t a n d s o m e s t r a d d l e i n t e r v a l s , a n d p o s t c a l c u l u s s t u d e n t s r e l i e d m o r e a n d m o r e o n s t r a d d l e i n t e r v a l s . I n t e r v a l b a s e d s t r a t e g i e s w e r e d o m i n a n t i n a d d r e s s i n g r a t e o f c h a n g e a t a p o i n t , u s u a l l y v i a a v e r a g e r a t e o f c h a n g e . S o m e n u m e r i c a l a n d a l g e b r a i c s t r a t e g i e s w e r e h e l p f u l i n e x p l o r i n g d i f f e r e n c e s b e t w e e n a d d i t i v e a n d m u l t i p i c a t i v e c o m p a r i s o n o f c h a n g e s o v e r i n t e r v a l s . C o p y r i g h t b y G A R N E T S . H A U G E R 1 9 9 8 D E D I C A T I O N T o m y p a r e n t s w h o s e r e s p e c t a n d t h i r s t f o r k n o w l e d g e f u e l e d m y o w n d e s i r e t o k n o w a n d w h o s e c o n s t a n t e n c o u r a g e m e n t e n e r g i z e d m y e d u c a t i o n a l e f f o r t s . A C K N O W L E D G M E N T S M a n y p e o p l e s u p p o r t e d m e i n t h i s e f f o r t . F i r s t , m y h u s b a n d , c h i l d r e n , a n d g r a n d c h i l d r e n a l t e r n a t e l y p r o v i d e d a q u i e t a n d r e s t f u l p l a c e a n d n o i s y a n d r a m b u n c t i o u s b r e a k s . I s h a l l n e v e r b e a b l e t o c o m p l e t e l y r e p a y t h i s d e b t . S e c o n d , m y c o l l e a g u e s a t S p r i n g A r b o r C o l l e g e a n d C h r i s t i a n F e l l o w s h i p C e n t e r r e l e a s e d m e f r o m s o m e o b l i g a t i o n s s o I w o u l d h a v e m o r e t i m e f o r t h i s w o r k . T h e y a l s o s u p p o r t e d m e w i t h w o r d s o f e n c o u r a g e m e n t a n d , a t t i m e s , s y m p a t h y . I w i l l t r y t o d o t h e s a m e f o r o t h e r s t h e r e a n d e l s e w h e r e . M y a d v i s o r , J a c k S m i t h , d e s e r v e s a n a w a r d f o r h i s m a n y h o u r s o f r e a d i n g , c o m m e n t i n g , a n d h a n d h o l d i n g . H e a l s o p a u s e d i n h i s b u s y s c h e d u l e t o l a u g h a n d c r y w i t h m e . H e m a y n e v e r k n o w h o w m a n y t i m e s I n e a r l y g a v e u p a n d w h a t h i s w o r d s o f s o l a c e a n d a s s u r a n c e m e a n t t o m e . T h e y k e p t m e g o i n g w h e n I w a s s u r e I c o u l d n o t . F i n a l l y , t h e r e i s a l a r g e g r o u p o f w o m e n w h o h a v e m o t i v a t e d m e i n w a y s t h a t o n l y w o m e n c a n . I w i s h t o e s p e c i a l l y t h a n k S u s a n , S a n d y , D e n i c e , M a r j o r i e , C a r o l , L a u r e n , J a n , a n d M i r i a m . T h e r e w e r e m a n y o t h e r s , b u t t h e s e w o m e n w e r e a l w a y s t h e r e t o l a u g h , c r y , a n d c e l e b r a t e w i t h m e . T h e r e w e r e , o f c o u r s e , m a n y m e n w h o a l s o e n c o u r a g e d m e , e s p e c i a l l y a m o n g t h e m e n o f t h e N a t u r a l S c i e n c e D i v i s i o n o f S p r i n g A r b o r C o l l e g e . B u t t h e g i f t o f e n c o u r a g e m e n t f r o m w o m e n h e l d m e u p d u r i n g p a r t i c u l a r l y t o u g h t i m e s a n d f o r t h a t I s h a l l a l w a y s b e g r a t e f u l . v i T A B L E O F C O N T E N T S L I S T O F T A B L E S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x L I S T O F F I G U R E S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x i v C H A P T E R 1 I N T R O D U C T I O N T O T H E P R O B L E M . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 R a t e o f c h a n g e i s i m p o r t a n t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 A b r i e f h i s t o r y o f r a t e o f c h a n g e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 M o d e r n s i g n i f i c a n c e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 5 L e a r n i n g r a t e o f c h a n g e i s a c h a l l e n g i n g i n t e l l e c t u a l t a s k . . . . . . 2 1 E x a m p l e s f r o m m y t e a c h i n g . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1 E v i d e n c e o f d i f f i c u l t y f r o m r e p o r t s o n c a l c u l u s . . . . . . . . . . . 2 6 R e s e a r c h o n d i f f i c u l t i e s l e a r n i n g c a l c u l u s . . . . . . . . . . . . . . . . 2 7 W h a t d o e s i t m e a n t o k n o w r a t e o f c h a n g e ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 0 F u n c t i o n s a n d t h e i r r e p r e s e n t a t i o n s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1 T h r e e p e r s p e c t i v e s a n d t h r e e t y p e s o f r e a s o n i n g . . . . . . . . . . . 3 3 Q u e s t i o n s a b o u t s t u d e n t s ' l e a r n i n g o f r a t e o f c h a n g e . . . . . . . . . . . . 4 0 C H A P T E R 2 R E V I E W O F L I T E R A T U R E O N L E A R N I N G A N D U S I N G R A T E O F C H A N G E . . . . . . . . . . . . . 4 3 R e s e a r c h o n l e a r n i n g a n d u s i n g r a t e o f c h a n g e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 5 R e s e a r c h i n v o l v i n g p r e c a l c u l u s s t u d e n t s a n d v e l o c i t y a n d p o s i t i o n g r a p h s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 5 R e s e a r c h i n v o l v i n g p r e c a l c u l u s s t u d e n t s ' s t u d y f u n c t i o n s v i a r a t e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 3 R e s e a r c h a b o u t c h i l d r e n ' s v i e w s o f c o n s t a n t r a t e . . . . . . . . . . 5 6 R e s e a r c h a b o u t c o l l e g e p h y s i c s s t u d e n t s ' w o r k w i t h v e l o c i t y a n d p o s i t i o n g r a p h s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 2 R e s e a r c h i n v o l v i n g c a l c u l u s a n d p o s t c a l c u l u s s t u d e n t s ’ w o r k w i t h r e l a t e d r a t e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 6 T h o m p s o n ' s s t u d y o f a d v a n c e d m a t h e m a t i c s s t u d e n t s . . . . . . . . . 7 3 S u m m a r y o f a l l s t u d i e s r e v i e w e d h e r e a n d c o n s i d e r a t i o n o f h o l e s i n t h e r e s e a r c h . . . . . . . . . . . . . . 7 5 R e l a t i o n s h i p t o p e r s p e c t i v e s a n d t y p e s o f r e a s o n i n g . . . . . . . . . . . . . 8 0 R a t e o f c h a n g e p e r s p e c t i v e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1 R e a s o n i n g t y p e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 3 C h a p t e r s u m m a r y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 5 v i i C H A P T E R 3 E P I S T E M O L O G I C A L F R A M E . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 8 A c o n s t r u c t i v i s t v i e w o f l e a r n i n g . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 8 B a s i c t e n e t s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 8 V a r i e t y a n d s i m i l a r i t y i n i n d i v i d u a l s ' k n o w l e d g e . . . . . . . . . . 8 9 S t u d y i n g l e a r n i n g r a t e o f c h a n g e i n t h i s s t u d y . . . . . . . . . . . . 9 0 K n o w l e d g e a s s t r a t e g i e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 0 L e a r n i n g a s s t r a t e g y c o n s t r u c t i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1 S t r e n g t h s o f t h i s v i e w o f k n o w l e d g e a n d l e a r n i n g . . . . . . . . . . 9 3 U n f o r t u n a t e c o n s e q u e n c e s o f v i e w o f k n o w l e d g e a n d l e a r n i n g . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 5 T w o s t u d i e s b a s e d o n t h i s v i e w o f k n o w l e d g e a n d l e a r n i n g . . . . . . . . 9 6 A s t u d y o f s i m p l e a d d i t i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 7 A s t u d y a b o u t r a t i o n a l n u m b e r s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 9 S u m m a r y o f t h e t w o s t u d i e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 0 1 L e a r n i n g r a t e o f c h a n g e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 0 3 C H A P T E R 4 R E S E A R C H M E T H O D O L O G Y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 0 7 A b r i e f o v e r v i e w o f t h e d e s i g n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 0 7 D e s c r i p t i o n a n d j u s t i f i c a t i o n o f t h e t a s k s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 2 S e l e c t i o n o f s u b j e c t s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2 1 D a t a c o l l e c t i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 3 0 D a t a a n a l y s i s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 3 5 I d e n t i f y i n g s t r a t e g i e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 3 5 C l a s s i f y i n g s t r a t e g i e s b y p e r s p e c t i v e a n d t y p e o f r e a s o n i n g . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 3 7 C o m p a r i n g a n d c o n t r a s t i n g t h e t h r e e g r o u p s . . . . . . . . . . . . . . . 1 4 0 C h a p t e r s u m m a r y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 4 2 C H A P T E R 5 I D E N T I F Y I N G S T R A T E G I E S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 4 4 T h e “ w a l k i n g ” t a s k s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 4 6 T a s k s t a t e m e n t s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 4 6 C o r r e c t a n s w e r s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 4 6 I d e n t i f i c a t i o n o f s t r a t e g i e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 5 0 S t r a t e g i e s f o r e x p l a i n i n g g r a p h s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 5 0 S t r a t e g i e s f o r e x p l a i n i n g t a b l e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 6 4 T h e “ t h r o w n b a l l " , “ b i o m a s s ” , a n d “ c i r c l e s ” t a s k s . . . . . . . . . . . . . . 1 7 5 T a s k s s t a t e m e n t s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 7 5 C o r r e c t a n s w e r s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 7 7 I d e n t i f i c a t i o n o f s t r a t e g i e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 8 3 D e s c r i b i n g t h e d e p e n d e n t v a r i a b l e . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 8 3 I d e n t i f y i n g i n t e r v a l s o f l e a s t a n d m o s t c h a n g e . . . . . 1 8 5 F i n d i n g r a t e o f c h a n g e a t a p o i n t . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 9 9 C h a p t e r s u m m a r y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 6 2 v i i i C H A P T E R 6 C L A S S I F Y I N G S T R A T E G I E S B Y P E R S P E C T I V E A N D T Y P E O F R E A S O N I N G . . . . . . . . . . 2 6 7 C l a s s i f y i n g s t r a t e g i e s b y p e r s p e c t i v e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 6 8 R e v i e w o f d e f i n i t i o n s o f p e r s p e c t i v e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 6 8 C l a s s i f y i n g s t r a t e g i e s f o r t h e “ w a l k i n g ” t a s k s . . . . . . . . . . . 2 6 8 S t r a t e g i e s f o r e x p l a i n i n g g r a p h s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 6 8 S t r a t e g i e s f o r e x p l a i n i n g t a b l e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 7 1 C l a s s i f y i n g s t r a t e g i e s f o r t h e “ t h r o w n b a l l " , “ b i o m a s s ” , a n d “ c i r c l e s " t a s k s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 7 2 I d e n t i f y i n g i n t e r v a l s o f l e a s t a n d m o s t c h a n g e . . . . . 2 7 2 F i n d i n g r a t e o f c h a n g e a t a p o i n t . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 7 C l a s s i f y i n g s t r a t e g i e s b y t y p e o f r e a s o n i n g . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 7 8 R e v i e w o f d e f i n i t i o n s o f t y p e s o f r e a s o n i n g . . . . . . . . . . . . . . 2 7 8 C l a s s i f y i n g s t r a t e g i e s f o r t h e “ w a l k i n g " t a s k s . . . . . . . . . . . 2 7 8 E x p l a i n i n g g r a p h s a n d t a b l e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 7 8 C l a s s i f y i n g s t r a t e g i e s f o r t h e “ t h r o w n b a l l " , “ b i o m a s s ” , a n d “ c i r c l e s " t a s k s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 8 0 I d e n t i f y i n g i n t e r v a l s o f l e a s t a n d m o s t c h a n g e . . . . . 2 8 0 F i n d i n g r a t e o f c h a n g e a t a p o i n t . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 8 2 C h a p t e r s u m m a r y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 8 6 C H A P T E R 7 C O M P A R I N G A N D C O N T R A S T I N G T H E T H R E E G R O U P S O F S T U D E N T S . . . . . . . . . . . . . . . 2 8 8 C o m p a r i n g s t r a t e g i e s o f t h e t h r e e g r o u p s - “ w a l k i n g ” t a s k s . . . . . 2 8 9 S t r a t e g i e s f o r e x p l a i n i n g g r a p h s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 8 9 S t r a t e g i e s f o r e x p l a i n i n g t a b l e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 9 5 C o m p a r i n g s t r a t e g i e s o f t h e t h r e e g r o u p s - “ t h r o w n b a l l " , “ b i o m a s s ” , a n d “ c i r c l e s " t a s k s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 0 0 I d e n t i f y i n g i n t e r v a l s o f l e a s t a n d m o s t c h a n g e . . . . . . . . . . . 3 0 0 F i n d i n g r a t e o f c h a n g e a t a p o i n t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 0 4 C h a p t e r s u m m a r y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 2 8 C H A P T E R 8 S U M M A R Y A N D C O N C L U S I O N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 3 1 S t u d e n t s ' k n o w l e d g e o f r a t e o f c h a n g e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 3 1 W h a t k n o w l e d g e d o t h e s e t h r e e g r o u p s h a v e ? . . . . . . . . . . . . . . . 3 3 2 H o w d o e s k n o w l e d g e d i f f e r a m o n g t h e t h r e e g r o u p s ? . . . . . . . . 3 3 4 D o t h e p e r s p e c t i v e s a n d t y p e s o f r e a s o n i n g p r o v i d e a n i n t e r p r e t i v e f r a m e ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 3 9 R e l a t i o n s h i p o f t h e s e f i n d i n g s t o o t h e r r e s e a r c h l i t e r a t u r e . . . . 3 5 9 Q u e s t i o n s p o s e d a b o u t s t u d e n t s ' k n o w l e d g e . . . . . . . . . . . . . . . . 3 5 9 H o w t h i s d i s s e r t a t i o n f i l l e d h o l e s i n t h e r e s e a r c h . . . . . . . 3 6 4 H o w m y t e a c h i n g h a s c h a n g e d a s a r e s u l t o f t h i s r e s e a r c h . . . . . . . 3 6 6 S o m e s u g g e s t i o n s f o r f u t u r e e f f o r t s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 7 3 C h a p t e r s u m m a r y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 7 5 A P P E N D I C E S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 7 9 R E F E R E N C E L I S T . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 0 7 i x T a b l e T a b l e T a b l e T a b l e T a b l e T a b l e T a b l e T a b l e T a b l e T a b l e T a b l e T a b l e T a b l e T a b l e T a b l e T a b l e 1 0 l l 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 L I S T O F T A B L E S S u m m a r y o f r e v i e w e d l i t e r a t u r e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 6 S t r a t e g i e s u s e d t o e x p l a i n g r a p h s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 5 0 S t r a t e g i e s u s e d t o e x p l a i n t a b l e s o f v a l u e s . . . . . . . . . . . . . . . . 1 6 4 A v e r a g e r a t e o f c h a n g e i n t h e n u m b e r o f y e a s t c e l l s o v e r i n t e r v a l s o f d e c r e a s i n g w i d t h b o r d e r i n g t = 4 a m . . . . . . . 1 8 2 S t r a t e g i e s u s e d t o d e c i d e w h e n t h e b a l l w a s t r a v e l i n g m o s t a n d l e a s t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 8 6 S t r a t e g i e s u s e d t o d e c i d e w h e n t h e p o p u l a t i o n c h a n g e d m o s t a n d l e a s t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 9 2 S t r a t e g i e s f o r f i n d i n g s p e e d a t t = 1 , 2 , 3 , a n d 4 w i t h g r a p h . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 0 0 S t r a t e g i e s f o r f i n d i n g s p e e d a t t = 1 , 2 , 3 , a n d 4 w i t h t a b l e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2 2 S t r a t e g y u s e b y t i m e v a l u e f o r g r a p h a n d t a b l e . . . . . . . . . . . . . 2 3 3 S t r a t e g i e s f o r f i n d i n g r a t e o f g r o w t h a t t = 4 u s i n g g r a p h . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 3 6 S t r a t e g i e s f o r f i n d i n g r a t e o f g r o w t h a t t = 4 u s i n g t a b l e o f v a l u e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 4 1 S t r a t e g i e s f o r f i n d i n g r a t e o f g r o w t h w i t h e n l a r g e d g r a p h a n d t a b l e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 4 4 R e a s o n s s t u d e n t s g a v e f o r w h y t h e y l i k e d t h e i r l a s t a n s w e r b e s t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 4 9 R e s p o n s e s t o t h e q u e s t i o n “ H o w w o u l d y o u g e t a b e t t e r a n s w e r ? ” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 5 0 S t r a t e g i e s f o r f i n d i n g t h e r a t e o f c h a n g e a t r = 3 u s i n g g r a p h a n d t a b l e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 5 3 S t r a t e g i e s b y c a t e g o r y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 6 3 L I S T O F T A B L E S ( C O N T I N U E D ) T a b l e 1 7 - C l a s s i f i c a t i o n o f s t r a t e g i e s f o r e x p l a i n i n g g r a p h s i n t e r m s o f p e r s p e c t i v e s o n r a t e o f c h a n g e f o r T a s k s 1 , 2 , a n d 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 6 9 T a b l e 1 8 - C l a s s i f i c a t i o n o f s t r a t e g i e s f o r e x p l a i n i n g t a b l e s o f v a l u e s i n t e r m s o f p e r s p e c t i v e s o n r a t e o f c h a n g e f o r T a s k s 1 , 2 , a n d 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 7 1 T a b l e 1 9 — C l a s s i f i c a t i o n o f s t r a t e g i e s f o r d e c i d i n g w h e r e t h e d e p e n d e n t v a r i a b l e c h a n g e d t h e m o s t a n d l e a s t i n t e r m s o f p e r s p e c t i v e s o n r a t e o f c h a n g e f o r T a s k s 4 , 5 , a n d 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 7 3 T a b l e 2 0 - c l a s s i f i c a t i o n o f s t r a t e g i e s f o r f i n d i n g r a t e o f c h a n g e a t a p o i n t i n t e r m s o f p e r s p e c t i v e s o n r a t e o f c h a n g e f o r T a s k s 4 , 5 , a n d 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 7 4 T a b l e 2 1 - C l a s s i f i c a t i o n o f s t r a t e g i e s f o r e x p l a i n i n g g r a p h s a n d t a b l e s i n t e r m s o f t y p e s o f r e a s o n i n g f o r T a s k s 1 , 2 , a n d 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 7 9 T a b l e 2 2 - C l a s s i f i c a t i o n o f s t r a t e g i e s f o r d e c i d i n g w h e r e t h e d e p e n d e n t v a r i a b l e c h a n g e d t h e m o s t a n d l e a s t i n t e r m s o f t y p e s o r r e a s o n i n g f o r T a s k s 4 , 5 , a n d 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 8 1 T a b l e 2 3 - C l a s s i f i c a t i o n o f s t r a t e g i e s f o r f i n d i n g r a t e o f c h a n g e a t a p o i n t i n t e r m s o f t y p e s o f r e a s o n i n g f o r T a s k s 4 , 5 , a n d 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 8 2 T a b l e 2 4 — P e r c e n t o f e a c h g r o u p u s i n g e a c h s t r a t e g y t o e x p l a i n h o w t h e i r g r a p h s s h o w e d s l o w i n g d o w n , s p e e d i n g u p , o r s t e a d y p a c e i n T a s k s 1 , 2 , a n d 3 . . . . . . . . . 2 9 0 T a b l e 2 5 - N u m b e r ( p e r c e n t ) o f e a c h g r o u p u s i n g e a c h s t r a t e g y t o e x p l a i n t h e i r g r a p h s i n T a s k s 1 , 2 , a n d 3 c o m b i n e d . . . . 2 9 4 T a b l e 2 6 — P e r c e n t o f e a c h g r o u p u s i n g e a c h s t r a t e g y t o e x p l a i n h o w t h e i r t a b l e s s h o w e d s l o w i n g d o w n , s p e e d i n g u p , o r s t e a d y p a c e i n T a s k s 1 , 2 , a n d 3 . . . . . . . . . 2 9 6 T a b l e 2 7 - N u m b e r ( p e r c e n t ) o f e a c h g r o u p u s i n g e a c h s t r a t e g y t o e x p l a i n t h e i r t a b l e s i n T a s k s 1 , 2 , a n d 3 c o m b i n e d . . . . 2 9 8 T a b l e 2 8 - P a t t e r n s o f s t r a t e g y u s e b y g r o u p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 0 0 T a b l e 2 9 - N u m b e r ( p e r c e n t ) o f e a c h g r o u p u s i n g e a c h s t r a t e g y t o i d e n t i f y w h e n t h e h e i g h t o f t h e b a l l c h a n g e d t h e m o s t a n d l e a s t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 0 1 x i T a b l e T a b l e T a b l e T a b l e T a b l e T a b l e T a b l e T a b l e T a b l e T a b l e T a b l e T a b l e T a b l e 3 0 3 1 3 2 3 3 3 4 3 5 3 6 3 7 3 8 3 9 4 O 4 1 4 2 L I S T O F T A B L E S ( C O N T I N U E D ) N u m b e r ( p e r c e n t ) o f e a c h g r o u p u s i n g e a c h s t r a t e g y t o i d e n t i f y w h e n t h e c e l l p o p u l a t i o n g r e w t h e m o s t a n d l e a s t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 0 2 S t r a t e g i e s u s e d t o i d e n t i f y i n t e r v a l s o f t h e r a d i u s f o r w h i c h t h e a r e a o f c i r c l e s g r e w m o s t a n d l e a s t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 0 3 N u m b e r o f i n c i d e n c e s o f e a c h s t r a t e g y b y g r o u p i n f i n d i n g t h e s p e e d o f t h e b a l l a t t = 1 , 2 , 3 , a n d 4 i n T a s k 4 u s i n g t h e g r a p h . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 0 5 N u m b e r o f i n c i d e n c e s o f e a c h s t r a t e g y b y g r o u p i n f i n d i n g t h e s p e e d o f t h e b a l l a t t = 1 , 2 , 3 , a n d 4 i n T a s k 4 u s i n g t h e t a b l e o f v a l u e s . . . . . . . . . . . . . . . . 3 0 7 N u m b e r ( p e r c e n t ) o f e a c h g r o u p u s i n g e a c h s t r a t e g y t o f i n d t h e r a t e o f g r o w t h o f t h e c e l l p o p u l a t i o n a t t = 4 a m u s i n g t h e g r a p h . . . . . . . . . . . . . . 3 1 2 N u m b e r ( p e r c e n t ) o f e a c h g r o u p u s i n g e a c h s t r a t e g y t o f i n d t h e r a t e o f g r o w t h o f t h e c e l l p o p u l a t i o n a t t = 4 a m u s i n g t h e t a b l e . . . . . . . . . . . . . . 3 1 3 N u m b e r ( p e r c e n t ) o f e a c h g r o u p u s i n g e a c h s t r a t e g y t o f i n d t h e r a t e o f g r o w t h o f t h e c e l l p o p u l a t i o n a t 4 a m u s i n g t h e m o r e d e t a i l e d g r a p h a n d t a b l e . . . . . . . . . . . 3 1 7 R e a s o n s s t u d e n t s g a v e f o r l a s t a n s w e r b e s t a n d t h e e a c h g r o u p w h o g a v e e a c h w h y t h e y l i k e d t h e i r n u m b e r ( p e r c e n t ) o f r e a s o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 2 0 R e s p o n s e s t o t h e q u e s t i o n “ H o w w o u l d y o u g e t a b e t t e r a n s w e r ? ” a n d t h e n u m b e r ( p e r c e n t ) o f e a c h g r o u p g i v i n g e a c h r e s p o n s e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 2 1 N u m b e r ( p e r c e n t ) o f e a c h g r o u p u s i n g e a c h s t r a t e g y w h e n u s i n g t h e g r a p h t o f i n d t h e r a t e o f c h a n g e o f t h e a r e a w h e n t h e r a d i u s w a s t h r e e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 2 2 N u m b e r ( p e r c e n t ) o f e a c h g r o u p u s i n g e a c h s t r a t e g y w h e n u s i n g t h e t a b l e t o f i n d t h e r a t e o f c h a n g e o f t h e a r e a w h e n t h e r a d i u s w a s t h r e e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 2 4 Q u a l i t a t i v e , n u m e r i c a l , a n d a l g e b r a i c w a y s o f a d d r e s s i n g r a t e o f c h a n g e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 8 0 W a y s s t u d e n t s f o u n d t h e s p e e d o f t h e b a l l a t t = 1 , 2 , 3 , a n d 4 i n T a s k 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 0 2 x i i L I S T o r T A B L E S ( C O N T I N U E D ) T a b l e 4 3 — W a y s s t u d e n t s f o u n d t h e r a t e o f g r o w t h o f t h e c e l l p o p u l a t i o n a t t = 4 a m i n T a s k 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 0 3 T a b l e 4 4 - W a y s s t u d e n t s f o u n d t h e r a t e o f c h a n g e o f t h e a r e a o f t h e c i r c l e a t r = 3 f e e t i n T a s k 6 . . . . . . . . . . . . . . . 4 0 4 T a b l e 4 5 - S t r a t e g i e s a n d t h e i r c l a s s i f i c a t i o n s b y p e r s p e c t i v e a n d t y p e o f r e a s o n i n g . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 0 5 x i i i F i g u r e F i g u r e F i g u r e F i g u r e F i g u r e F i g u r e F i g u r e F i g u r e F i g u r e F i g u r e F i g u r e F i g u r e F i g u r e F i g u r e F i g u r e 1 0 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5 L I S T O F F I G U R E S D i a g r a m s h o w i n g s p e e d a t p o i n t s i n t i m e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 G r a p h o f a f u n c t i o n s h o w i n g a r e a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2 G r a p h a n d t a b l e o f v a l u e s f o r g r o w t h o f y e a s t c e l l s o v e r t i m e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 2 P o s i t i o n o f t w o m o v i n g o b j e c t s o v e r 1 0 s e c o n d s . . . . . . . . . . . . . 6 2 P o s i t i o n o f a m o v i n g o b j e c t o v e r t i m e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 4 D i a g r a m s h o w i n g a 6 ' m a n w a l k i n g a w a y f r o m a 1 6 ’ l i g h t p o l e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 7 D i a g r a m s h o w i n g a 1 4 ' l a d d e r s l i d i n g d o w n a w a l l . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1 S o m e c o r r e c t g r a p h s f o r T a s k s 1 a n d 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 4 7 s o m e c o r r e c t t a b l e s o f v a l u e s f o r T a s k s 1 a n d 3 . . . . . . . . . . . 1 4 9 M o s t f r e q u e n t l y u s e d s t r a t e g i e s f o r s p e e d a t t = l , 2 , 3 , a n d 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2 1 M o s t f r e q u e n t l y u s e d s t r a t e g i e s o f e a c h g r o u p w h e n u s i n g t h e g r a p h t o f i n d s p e e d a t t = 1 , 2 , 3 , a n d 4 i n T a s k 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 0 7 M o s t f r e q u e n t l y u s e d s t r a t e g i e s o f e a c h g r o u p w h e n u s i n g t h e t a b l e t o f i n d s p e e d a t t = 1 , 2 , 3 , a n d 4 i n T a s k 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 0 9 M o s t f r e q u e n t l y u s e d s t r a t e g i e s o f e a c h g r o u p t o f i n d r a t e o f g r o w t h o f c e l l p o p u l a t i o n a t t = 4 i n T a s k 5 u s i n g t h e g r a p h . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1 3 M o s t f r e q u e n t l y u s e d s t r a t e g i e s o f e a c h g r o u p t o f i n d r a t e o f g r o w t h o f t h e c e l l p o p u l a t i o n a t t = 4 i n T a s k 5 u s i n g t h e t a b l e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1 5 T r e n d s i n t h e u s e o f s t r a t e g i e s b y e a c h g r o u p a c r o s s T a s k 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1 9 x i v F i g u r e F i g u r e F i g u r e F i g u r e 1 6 1 7 1 8 1 9 L I S T O F F I G U R E S ( C O N T I N U E D ) P a t t e r n s o f c o n s i s t e n t u s e o f s t r a t e g i e s b y g r o u p a c r o s s T a s k s 4 , 5 , a n d 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 2 6 P a t t e r n s o f d e c r e a s e d a n d i n c r e a s e d s t r a t e g y u s e b y e a c h g r o u p a c r o s s T a s k s 4 , 5 , a n d 6 . . . . . . . . . . . . . . . 3 2 7 F i n d i n g s a b o u t s t u d e n t s ' l e a r n i n g o f r a t e o f c h a n g e . . . . . . 3 5 8 X F i n d i n g v a l u e s o f t h e d e r i v a t i v e o f y = e ' . . . . . . . . . . . . . . . 3 7 1 X V C h a p t e r 1 I N T R O D U C T I O N T O T H E P R O B L E M R a t e o f c h a n g e i s i m p o r t a n t f o r a t l e a s t t h r e e m a i n r e a s o n s . F i r s t , t h e q u a n t i t a t i v e s t u d y o f r a t e o f c h a n g e a n d m o r e g e n e r a l l y t h e d e v e l o p m e n t o f t h e c a l c u l u s r e p r e s e n t s a m a j o r i n t e l l e c t u a l a c h i e v e m e n t o f h u m a n k i n d . S e c o n d , t h e c o n c e p t o f r a t e o f c h a n g e h a s t r e m e n d o u s u s e f u l n e s s i n m a t h e m a t i c s a n d t h e p h y s i c a l , n a t u r a l , a n d s o c i a l s c i e n c e s . T h i r d , w e l i v e i n a w o r l d c h a r a c t e r i z e d b y c h a n g e , e s p e c i a l l y i n t e r m s o f m o t i o n a n d g r o w t h . B u t r a t e o f c h a n g e i s d i f f i c u l t t o l e a r n . I t t o o k h u m a n k i n d o v e r 2 0 0 0 y e a r s t o f u l l y w o r k o u t a q u a n t i t a t i v e a n a l y s i s o f r a t e o f c h a n g e . I t s h o u l d t h e r e f o r e n o t b e s u r p r i s i n g w h e n p e o p l e s t r u g g l e i n t h e i r a t t e m p t s t o m a s t e r t h e c o n c e p t i n a f e w m o n t h s o r y e a r s . A l s o a l t h o u g h w e l i v e i n a w o r l d w h e r e m o t i o n a n d g r o w t h a r e p r e v a l e n t , v e r y f e w o f u s e n g a g e i n t h e k i n d o f e x p l i c i t s t u d y o f c h a n g e a n d r a t e o f c h a n g e t h a t w o u l d a l l o w u s t o e a s i l y c o m e t o t h e s a m e i n s i g h t s s e e n b y G a l i l e o a n d o t h e r s . I n a d d i t i o n , t h e f o r m a l c o n c e p t o f r a t e o f c h a n g e , e s p e c i a l l y t h e d e r i v a t i v e , i s a s c h o o l e d c o n c e p t , n o t o n e e a s i l y a c c e s s i b l e o u t s i d e o f s c h o o l . A l t h o u g h r a t e o f c h a n g e i s i n c l u d e d i n s o m e f o r m i n m o s t m i d d l e a n d h i g h s c h o o l m a t h e m a t i c s p r o g r a m s , a m o r e c o m p l e t e a n d g e n e r a l s t u d y o f r a t e o f c h a n g e i s u s u a l l y r e s e r v e d f o r c a l c u l u s . I t t a k e s a l o t o f s c h o o l i n g i n m a t h e m a t i c s t o g e t t o a s t u d y o f c a l c u l u s . H e n c e e v e n f o r t h o s e w h o w a n t t o , a f a i r l y l a r g e i n v e s t m e n t i n t i m e a n d e n e r g y i s n e e d e d t o i n i t i a t e a s e r i o u s s t u d y o f r a t e o f c h a n g e . T h i s o p e n i n g c h a p t e r d i s c u s s e s t h e s e i s s u e s i n m o r e d e t a i l . T h e f i r s t s e c t i o n p r e s e n t s a m o r e d e t a i l e d d i s c u s s i o n o f t h e i m p o r t a n c e o f r a t e o f c h a n g e . T h e s e c o n d s e c t i o n p r o v i d e s e v i d e n c e t h a t l e a r n i n g r a t e o f c h a n g e i s d i f f i c u l t . T h e t h i r d s e c t i o n o u t l i n e s o n e c h a r a c t e r i z a t i o n o f w h a t i t m e a n s f o r s o m e o n e t o u n d e r s t a n d r a t e o f c h a n g e . T h i s c h a p t e r c l o s e s w i t h a s e t o f q u e s t i o n s t h i s d i s s e r t a t i o n a t t e m p t e d t o a d d r e s s . R a t e o f c h a n g e i s i m p o r t a n t T o d a y m a t h e m a t i c i a n s a n d s c i e n t i s t s h a v e w e l l d e v e l o p e d c o n c e p t u a l t o o l s f o r t h i n k i n g a b o u t c h a n g e . B u t t h a t w a s n o t a l w a y s s o . C h a n g e , a n d e s p e c i a l l y m o t i o n , w a s o f i n t e r e s t t o s c h o l a r s b e f o r e t h e t i m e o f C h r i s t . H o w e v e r , a q u a n t i t a t i v e s t u d y o f c h a n g e d i d n o t c o m e u n t i l t h e M i d d l e A g e s , a n d p r e c i s e q u a n t i t a t i v e c h a r a c t e r i z a t i o n s o f a v e r a g e a n d i n s t a n t a n e o u s r a t e o f c h a n g e a r e m o r e r e c e n t . T h e c r e a t i o n o f c a l c u l u s , i n c l u d i n g a m o d e r n s t u d y o f c h a n g e , i s a s i g n i f i c a n t i n t e l l e c t u a l a c h i e v e m e n t i n a n d o f i t s o w n r i g h t a n d r e p r e s e n t s o n e o f h u m a n k i n d ' s g r e a t e s t e f f o r t s t o u n d e r s t a n d t h e w o r l d . T h e l o n g h i s t o r y o f r a t e o f c h a n g e i n v o l v e s t h e w o r k o f m a n y m a t h e m a t i c i a n s a n d s c i e n t i s t s t o u n d e r s t a n d i m p o r t a n t c l a s s e s o f p h e n o m e n a a n d i n v e n t c o n c e p t s t o m a k e s e n s e o f t h e s e p h e n o m e n a a n d s o l v e m a n y r e l a t e d p r o b l e m s . R a t e o f c h a n g e i s n o t o n l y i m p o r t a n t a s a m a j o r i n t e l l e c t u a l a c h i e v e m e n t b u t i t i s a l s o i m p o r t a n t b e c a u s e o f i t s u s e f u l n e s s i n s e v e r a l a c a d e m i c d i s c i p l i n e s . M a t h e m a t i c s , p h y s i c s , c h e m i s t r y , b i o l o g y , e c o n o m i c s , a n d o t h e r a r e a s o f t h e s o c i a l s c i e n c e s d e a l w i t h c h a n g e i n o n e w a y o r a n o t h e r . S o m e , l i k e m a t h e m a t i c s a n d p h y s i c s , i n v o l v e q u i t e d e t a i l e d s t u d i e s o f c h a n g e a s c e n t r a l c o n c e p t s i n t h e d i s c i p l i n e . O t h e r s , l i k e c h e m i s t r y a n d b i o l o g y , u s e t h e c o n c e p t o f r a t e o f c h a n g e t o u n d e r s t a n d c e r t a i n a s p e c t s o f t h e p h y s i c a l a n d n a t u r a l w o r l d . S t i l l o t h e r s , l i k e e c o n o m i c s , p o l i t i c a l s c i e n c e , a n d p s y c h o l o g y , u s e c h a n g e t o e x p l a i n a n d p r e d i c t p h e n o m e n a i n t h e s o c i a l s c i e n c e s . S o r a t e o f c h a n g e i s i m p o r t a n t f o r a s e r i o u s s t u d y o f m a n y a c a d e m i c d i s c i p l i n e s a n d c l i e n t p r o g r a m s r e l a t e d t o t h o s e d i s c i p l i n e s . F i n a l l y r a t e o f c h a n g e i s a p r e v a l e n t p a r t o f o u r e v e r y d a y l i v e s , e s p e c i a l l y a s i t r e l a t e s t o m o t i o n a n d g r o w t h . W h e t h e r m o v i n g b y w a l k i n g o r r u n n i n g o r r i d i n g o n a b i k e o r i n a c a r , t r a i n , o r a i r p l a n e , s p e e d o f t r a v e l i s a p r i m a r y c o n s i d e r a t i o n i n o u r w o r k a n d l e i s u r e a c t i v i t i e s . S i m i l a r l y , w h e n c o n s i d e r i n g t h e g r o w t h o r o u r i n v e s t m e n t s , p l a n t s i n o u r g a r d e n s , o r t h e p o p u l a t i o n o f o u r c o u n t y , r a t e s c a n y i e l d v a l u a b l e i n f o r m a t i o n f o r p l a n n i n g a n d p r e d i c t i n g . T h i s f i r s t s e c t i o n g i v e s a b r i e f h i s t o r y o f t h e s t u d y o f c h a n g e . I r e l i e d o n B o y e r ( 1 9 5 9 ) , E d w a r d s ( 1 9 7 9 ) , K l i n e ( 1 9 7 2 ) , a n d K a p u t ( 1 9 9 4 ) a s s e c o n d a r y s o u r c e s a n d A r i s t o t l e ' s P h y s i c s ( B o o k V ) a n d G a l i l e o ' s D i a l Q g n g _ g Q n g a r n i n g _ t w g _ n e w _ s g i e n g g s a s p r i m a r y s o u r c e s i n t h i s h i s t o r y . T h e s e c o n d a n d t h i r d p a r t s o f t h i s s e c t i o n d e a l w i t h t h e c o n c e p t o f c h a n g e i n s e v e r a l a c a d e m i c d i s c i p l i n e s a n d i n e v e r y d a y l i f e . Q ; § g k _ a n a l ¥ s i s _ g f _ m g t i g n . A r i s t o t l e ( P h y s i c s , B o o k V , 2 2 8 b ) d e f i n e d m o t i o n t o b e e i t h e r u n i f o r m o r n o n u n i f o r m . T h e m o v e m e n t o f h e a v e n l y b o d i e s w a s c o n s i d e r e d u n i f o r m w h i l e t h e m o t i o n o f o b j e c t s o n e a r t h w a s n o n u n i f o r m . T h e s e d e s c r i p t i o n s w e r e b a s e d o n s e n s e p e r c e p t i o n s o f m o v i n g o b j e c t s . T h e m o v e m e n t o f a n i m a l s a n d h u m a n s w a s o b v i o u s l y n o t u n i f o r m . T h e y m o v e d a t v a r y i n g s p e e d s ; t h e y c o u l d b e s e e n m o v i n g f a s t e r a t s o m e t i m e s , s l o w e r a t o t h e r s , a n d s l o w i n g d o w n a n d s p e e d i n g u p . I n c o n t r a s t , t h e m o v e m e n t o f s t a r s a n d p l a n e t s s e e m e d t o b e u n i f o r m . H e n c e t h e r e w a s n o c o n c e p t o f a c c e l e r a t i o n i n a s t r o n o m y . F u r t h e r m o r e , a s t r o n o m i c a l m o t i o n w a s s e e n a s c i r c u l a r a n d c o u l d b e e a s i l y s t u d i e d u s i n g t h e g e o m e t r y o f t h e c i r c l e ( B o y e r , 1 9 5 9 ) . M o t i o n w a s n o t s t u d i e d i n q u a n t i t a t i v e t e r m s b e c a u s e t h e c o n c e p t o f n u m b e r w a s t i e d t o g e o m e t r y o f q u a n t i t i e s . N u m b e r s r e p r e s e n t e d l e n g t h s , a r e a s , o r v o l u m e s . S i n c e m o t i o n o n t h e e a r t h w a s n o t s e e n i n g e o m e t r i c a l t e r m s , i t w a s n o t w i t h i n t h e p u r v i e w o f n u m b e r ( B o y e r , 1 9 5 9 ) . I n a d d i t i o n , w h a t w e k n o w t o d a y a s r a t i o n a l n u m b e r w a s n o t t h e s a m e a s t h e a n c i e n t G r e e k s ' c o n c e p t o f r a t i o n a l n u m b e r . R e l a t i o n s h i p s b e t w e e n g e o m e t r i c a l o b j e c t s w e r e o f t e n e x p r e s s e d i n t e r m s o f p r o p o r t i o n s , A i s t o B a s C i s t o D , b u t r a t i o s o f n u m b e r s , A / B , w e r e n o t a c c e p t e d a s n u m b e r s i n t h e i r o w n r i g h t . S p e e d w o u l d l a t e r c o m e t o b e d e f i n e d a s a r a t i o w i t h t h e n u m e r a t o r r e p r e s e n t i n g a d i s t a n c e t r a v e l e d a n d t h e d e n o m i n a t o r r e p r e s e n t i n g t h e t i m e t o t r a v e l t h a t d i s t a n c e . S o a q u a n t i t a t i v e s t u d y o f s p e e d w o u l d r e q u i r e a c c e p t a n c e o f t h e s e r a t i o s a s n u m b e r s i n t h e i r o w n r i g h t ( K l i n e , 1 9 7 2 ) . F i n a l l y , t h e w o r l d o f m a t h e m a t i c s a t t h a t t i m e w a s c o n c e r n e d o n l y w i t h d i s c r e t e q u a n t i t i e s . S i n c e m o t i o n w a s c o n s i d e r e d c o n t i n u o u s , i t w a s i n c l u d e d i n p h y s i c s b u t w a s n o t i n m a t h e m a t i c s ( E d w a r d s , 1 9 7 9 ) . H e n c e t h e a n c i e n t G r e e k s d i d n o t s u b m i t m o t i o n t o t h e s c r u t i n y o f n u m b e r . M o t i o n w a s s i m p l y d e s c r i b e d a s u n i f o r m o r n o n u n i f o r m . T h e a n c i e n t G r e e k s ' i d e a s o f m o t i o n w e r e g u i d e d b y t h e n o t i o n t h a t o b j e c t s m o v e b e c a u s e o f s o m e e x t e r n a l f o r c e t h a t n o t o n l y s e t s t h e m i n m o t i o n b u t a l s o c o n t i n u e s t o a c t t o k e e p t h e m m o v i n g . T h e e m p h a s i s w a s o n s e e i n g m o v i n g o b j e c t s a s m o v i n g t o w a r d a g o a l p r o p e l l e d a l o n g b y a p p l i c a t i o n o f s o m e f o r c e . T h i s m e a n t , f o r e x a m p l e , t h a t m o v i n g o b j e c t s d i d n o t h a v e s p e e d a t a p o i n t ( B o y e r , 1 9 5 9 ) . I n a d d i t i o n , m o t i o n w a s s t u d i e d m o s t l y w i t h i n t h e c o n t e x t o f a s t r o n o m y . S i n c e , i n t h i s c a s e , m o t i o n w a s c i r c u l a r , i t c o u l d b e d e s c r i b e d c o m p l e t e l y i n t e r m s o f t h e g e o m e t r y o f t h e c i r c l e . S i n c e i t w a s u n i f o r m , s p e e d o f a n o b j e c t a t a n i n s t a n t i n t i m e w a s n o t a m e a n i n g f u l q u e s t i o n ( E d w a r d s , 1 9 7 9 ) . F i n a l l y , t h e a n c i e n t G r e e k s r e l i e d o n t h e s e n s e s f o r c o l l e c t i o n o f d a t a a b o u t h o w t h e w o r l d o p e r a t e s . S i n c e m o t i o n a t a n i n s t a n t i s n o t o b s e r v a b l e , t h e c o n c e p t o f s p e e d a t a p o i n t w a s n o t p a r t o f G r e e k m a t h e m a t i c s a n d s c i e n c e ( K l i n e , 1 9 7 2 ) . A l l o f t h e s e f a c t o r s m a d e t h e f o r m a t i o n o f t h e c o n c e p t o f i n s t a n t a n e o u s r a t e o f c h a n g e i m p o s s i b l e a t t h i s t i m e . R a t e _ Q f _ g h a n g g _ i n _ m e d i e x a l _ t i m e s . I n t h e 1 3 t h a n d 1 4 t h c e n t u r i e s t h e i d e a t h a t a m o v i n g o b j e c t c o n t i n u e s t o m o v e b e c a u s e a f o r c e c o n t i n u e s t o a c t o n i t w a s r e p l a c e d b y t h e n o t i o n t h a t a m o v i n g o b j e c t c o n t i n u e s t o m o v e b e c a u s e o f s o m e t e n d e n c y o f i t s o w n . W h i l e t h e a n c i e n t G r e e k ' s e m p h a s i z e d t h e m o v i n g o f a n o b j e c t t o w a r d a g o a l u n d e r t h e a p p l i c a t i o n o f a n e x t e r n a l f o r c e , m e d i e v a l s c h o l a r s f o c u s e d o n t h e m o v e m e n t i t s e l f a n d a t t r i b u t e d t o m o v i n g o b j e c t s p r o p e r t i e s r e l a t e d t o t h e i r o w n m o t i o n . O n e o f t h e s e p r o p e r t i e s w a s s p e e d a t a p o i n t . T h i s m a d e p o s s i b l e t h e i n t u i t i v e i d e a o f i n s t a n t a n e o u s r a t e o f c h a n g e , t h a t m o v i n g o b j e c t s h a v e a s p e e d a t e a c h i n s t a n t i n t i m e , a n d u s h e r e d i n a q u a n t i t a t i v e s t u d y o f r a t e o f c h a n g e , i n c l u d i n g s p e e d , t h e r a t e o f c h a n g e o f d i s t a n c e w i t h r e s p e c t t o t i m e ( B o y e r , 1 9 5 9 ) . D u n s S c o t u s , T h o m a s B r a d w a r d i n e , a n d R i c h a r d S u i s e t h ( T h e C a l c u l a t o r ) s e t t h e f o u n d a t i o n f o r s u c h a s t u d y b y d e f i n i n g m o t i o n a s u n i f o r m i f e q u a l d i s t a n c e s a r e t r a v e l e d i n e q u a l t i m e s . U n i f o r m a c c e l e r a t i o n w a s t h e n d e f i n e d a s e q u a l i n c r e m e n t s o f v e l o c i t y b e i n g a c q u i r e d i n e q u a l i n t e r v a l s o f t i m e . N i c o l e O r e s m e d e s c r i b e d i n s t a n t a n e o u s v e l o c i t y i n t e r m s o f d i s t a n c e t r a v e l e d i f t h e o b j e c t c o n t i n u e d t o m o v e a t t h a t s a m e c o n s t a n t s p e e d o v e r s o m e i n t e r v a l o f t i m e . S o m e s c h o l a r s t h o u g h t o f t i m e a s d i v i d e d i n t o v e r y s m a l l i n t e r v a l s s o t h a t o n e h o u r c o n t a i n e d 2 2 , 5 6 0 i n s t a n t s o f t i m e . I n t h i s v i e w i n s t a n t a n e o u s v e l o c i t y w a s t h o u g h t o f a s t h e s p e e d n e e d e d t o t r a v e l a g i v e n d i s t a n c e i n o n e i n s t a n t o f t i m e . T h e s e d e f i n i t i o n s f o r u n i f o r m m o t i o n , u n i f o r m a c c e l e r a t i o n , a n d i n s t a n t a n e o u s v e l o c i t y w e r e e x p r e s s e d i n t e r m s o f d i s t a n c e s t r a v e l e d o v e r i n t e r v a l s o f t i m e a n d s e r v e d a s t h e b a s i s f o r t h e c o n t i n u i n g s t u d y o f r a t e o f c h a n g e ( E d w a r d s , 1 9 7 9 ) . F o u r t e e n t h c e n t u r y S c h o l a s t i c s d i s t i n g u i s h e d b e t w e e n u n i f o r m m o t i o n ( e q u a l i n c r e m e n t s o f d i s t a n c e a c q u i r e d i n e q u a l t i m e i n t e r v a l s ) a n d n o n u n i f o r m m o t i o n ( u n e q u a l i n c r e m e n t s o f d i s t a n c e a c q u i r e d i n e q u a l t i m e i n t e r v a l s ) . T h e y a l s o d i s t i n g u i s h e d b e t w e e n u n i f o r m a c c e l e r a t i o n ( e q u a l i n c r e m e n t s o f s p e e d a c q u i r e d i n e q u a l t i m e i n t e r v a l s - u n i f o r m n o n u n i f o r m m o t i o n ) a n d n o n u n i f o r m a c c e l e r a t i o n ( u n e q u a l i n c r e m e n t s o f s p e e d a c q u i r e d i n e q u a l t i m e i n t e r v a l s — n o n u n i f o r m n o n u n i f o r m m o t i o n ) . S c h o l a s t i c s e s t a b l i s h e d a n u m b e r o f r e s u l t s r e g a r d i n g u n i f o r m s p e e d a n d a c c e l e r a t i o n . R i c h a r d S u i s e t h s h o w e d t h a t a b o d y m o v i n g w i t h c o n s t a n t a c c e l e r a t i o n o v e r a n i n t e r v a l o f t i m e h a s a n a v e r a g e s p e e d e q u a l t o t h e m e a n o f t h e s p e e d s a t t h e b e g i n n i n g a n d e n d o f t h e i n t e r v a l . T h i s s t a t e m e n t a s s u m e s t h e e x i s t e n c e o f s p e e d a t a p o i n t , i n p a r t i c u l a r s p e e d a t t h e b e g i n n i n g a n d e n d i n g t i m e s o f t h e i n t e r v a l . S u i s e t h ' s a r g u m e n t i n c l u d e d a n u m e r i c a l e x a m p l e w i t h a b e g i n n i n g s p e e d o f f o u r u n i t s o f d i s t a n c e p e r u n i t o f t i m e a n d a n e n d i n g s p e e d o f e i g h t a n d a v e r b a l d e s c r i p t i o n o f w h a t h a p p e n s t o t h e s p e e d a s t h e b e g i n n i n g s p e e d i s i n c r e a s e d u n i f o r m l y a n d t h e e n d i n g s p e e d i s d e c r e a s e d u n i f o r m l y . H e c o n c l u d e d t h a t t h e y a r r i v e t o g e t h e r a t a s p e e d o f s i x s o t h a t t h e r e s u l t i s t h e s a m e a s t r a v e l i n g a t a c o n s t a n t s p e e d o f s i x t h e w h o l e t i m e ( B o y e r , 1 9 5 9 ) . L a t e r , O r e s m e e s t a b l i s h e d t h e s a m e r e s u l t b u t e x p r e s s e d i t i n t e r m s o f t h e d i s t a n c e t r a v e l e d i n s t e a d o f t h e a v e r a g e s p e e d : a b o d y s t a r t i n g a t r e s t a n d m o v i n g w i t h c o n s t a n t a c c e l e r a t i o n o v e r a n i n t e r v a l o f t i m e t r a v e l s t h e s a m e d i s t a n c e a s a b o d y m o v i n g t h e s a m e a m o u n t o f t i m e a t a c o n s t a n t s p e e d e q u a l t o h a l f o f t h e f i n a l v e l o c i t y o f t h e f i r s t b o d y . O r e s m e p r o v i d e d a g e o m e t r i c a l d e m o n s t r a t i o n o f t h i s r e s u l t i n w h i c h t i m e w a s r e p r e s e n t e d b y a h o r i z o n t a l l i n e a n d s p e e d a t e a c h i n s t a n t w a s r e p r e s e n t e d b y a l i n e s e g m e n t o f t h e a p p r o p r i a t e l e n g t h p e r p e n d i c u l a r t o t h e h o r i z o n t a l t i m e l i n e a t t h e i n s t a n t . ( S e e F i g u r e 1 . ) C F E G A B D F i g u r e 1 - D i a g r a m s h o w i n g s p e e d a t p o i n t s i n t i m e T h e d i a g o n a l l i n e f r o m B t o C r e p r e s e n t e d s p e e d i n c r e a s i n g c o n s t a n t l y f r o m r e s t t o f i n a l v e l o c i t y . T h e h o r i z o n t a l l i n e f r o m G t o F r e p r e s e n t e d c o n s t a n t s p e e d e q u a l t o h a l f o f t h e f i n a l v e l o c i t y r e p r e s e n t e d b y t h e l i n e s e g m e n t A C . O r e s m e s h o w e d t h a t t r i a n g l e s B G E a n d C F E a r e c o n g r u e n t a n d t h e r e f o r e t h e a r e a o f r e c t a n g l e B G F A i s e q u a l t o t h e a r e a o f t h e t r i a n g l e B C A . H e t o o k t h i s a s e v i d e n c e t h a t t h e d i s t a n c e s t r a v e l e d w e r e t h e r e f o r e t h e s a m e e v e n t h o u g h h e n o w h e r e e x p l a i n e d w h y d i s t a n c e c o u l d b e r e p r e s e n t e d b y a r e a u n d e r t h e s p e e d - t i m e g r a p h . I n k e e p i n g w i t h o t h e r s c h o l a r s o f h i s t i m e , h e m a y h a v e b e e n t h i n k i n g o f t h e a r e a o f t h e r e g i o n f o r m e d b y t h i n r e c t a n g l e s w i t h e a c h r e c t a n g l e c o r r e s p o n d i n g t o a v e r t i c a l l i n e r e p r e s e n t i n g v e l o c i t y o v e r a v e r y s m a l l t i m e i n t e r v a l o n t h e h o r i z o n t a l t i m e a x i s . E a c h r e c t a n g l e t h e n w o u l d h a v e a n a r e a e q u a l t o t h e d i s t a n c e t r a v e l e d b y t h a t v e l o c i t y o v e r t h a t s m a l l a m o u n t o f t i m e ( B o y e r , 1 9 5 9 ) . T h i s e x p r e s s e s t h e i n v e r s e r e l a t i o n s h i p b e t w e e n s p e e d a n d d i s t a n c e a s e x p r e s s e d i n t h e f u n d a m e n t a l t h e o r e m o f c a l c u l u s : t h e r a t e o f c h a n g e o f t h e d i s t a n c e i s t h e s p e e d a n d t h e a r e a u n d e r t h e s p e e d - t i m e g r a p h y i e l d s t h e d i s t a n c e t r a v e l e d . L a t e r , G a l i l e o e s t a b l i s h e d t h e s a m e r e s u l t b u t e x p r e s s e d i t i n t e r m s o f t i m e r a t h e r t h a n a v e r a g e s p e e d o r d i s t a n c e . T h i s w i l l b e d i s c u s s e d b e l o w . O r e s m e d i s c o v e r e d a n o t h e r i n t e r e s t i n g r e s u l t . F o r a s p e e d t h a t c o u l d b e r e p r e s e n t e d g r a p h i c a l l y a s a s e m i c i r c l e , h e n o t i c e d t h a t t h e s p e e d c h a n g e d t h e l e a s t w h e n i t w a s n e a r i t s m a x i m u m . I n o t h e r w o r d s , t h e r a t e o f c h a n g e o f t h e v e l o c i t y w a s l e a s t a t t h e m a x i m u m v e l o c i t y ( B o y e r , 1 9 5 9 ) . K a p u t ( 1 9 9 4 ) d e s c r i b e s O r e s m e ' s p o r t r a y a l s o f r a t e o f c h a n g e u s i n g g e o m e t r i c a l o b j e c t s a s a n a t t e m p t " t o r e p r e s e n t a t o t a l e v e n t a s a g l o b a l r e p r e s e n t a t i o n " ( p . 9 2 ) a n d c l a i m s t h a t " O r e s m e u s e d t h e s h a p e o f t h e e n t i r e f i g u r e a s t h e b a s i s f o r t a l k a b o u t v a r y i n g i n t e n s i t i e s " ( p . 9 2 ) , t h a t i s , v a r y i n g s p e e d . O r e s m e u s e d t h e s e g l o b a l r e p r e s e n t a t i o n s r e p e a t e d l y t o i n v e s t i g a t e u n i f o r m m o t i o n a n d u n i f o r m a c c e l e r a t i o n . I n s u m m a r y , m e d i e v a l s c h o l a r s d e s c r i b e d m o t i o n i n t e r m s o f d i s t a n c e t r a v e l e d d u r i n g i n t e r v a l s o f t i m e a n d t h o u g h t o f s p e e d a t a p o i n t i n t e r m s o f s p e e d o v e r a v e r y s m a l l i n t e r v a l o f t i m e . T h e y d i s c o v e r e d m a n y f a m o u s r e s u l t s c o n c e r n i n g u n i f o r m s p e e d a n d u n i f o r m a c c e l e r a t i o n a n d t h e y d i d s o b y e x a m i n i n g r e l a t i o n s h i p s a m o n g t i m e , d i s t a n c e , a n d s p e e d a n d u s i n g g r a p h i c a l r e p r e s e n t a t i o n s o f s p e e d v e r s u s t i m e w i t h d i s t a n c e r e p r e s e n t e d b y a r e a . T h e i r w o r k i n t h e s e q u a n t i t a t i v e b e g i n n i n g s o f a v e r a g e a n d i n s t a n t a n e o u s r a t e o f c h a n g e s e t t h e s t a g e f o r t h e 1 6 t h a n d 1 7 t h c e n t u r y c o n s i d e r a t i o n s o f t h e s e c o n c e p t s . W I n t h e 1 6 t h a n d 1 7 t h c e n t u r y c a m e m a n y m o r e c h a r a c t e r i z a t i o n s o f r a t e o f c h a n g e . P e r h a p s t h e b e s t k n o w n i s t h e w o r k o f G a l i l e o ( 1 6 3 8 ) w h o c o m p l e t e l y c h a r a c t e r i z e d t h e m o t i o n o f f a l l i n g o b j e c t s . G a l i l e o b e g a n h i s d i s c u s s i o n w i t h a d e f i n i t i o n o f u n i f o r m m o t i o n s t a t e d i n t e r m s o f d i s t a n c e t r a v e l e d i n i n t e r v a l s o f t i m e : " B y s t e a d y o r u n i f o r m m o t i o n , I m e a n o n e i n w h i c h t h e d i s t a n c e s t r a v e r s e d b y t h e m o v i n g p a r t i c l e d u r i n g a n y e q u a l i n t e r v a l s o f t i m e , a r e t h e m s e l v e s e q u a l . " ( p . 1 9 1 ) . H e t h e n s t a t e d f o u r a x i o m s a n d s i x p r o p o s i t i o n s f o r a d e d u c t i v e s y s t e m w h i c h c h a r a c t e r i z e d r e l a t i o n s h i p s a m o n g t i m e , d i s t a n c e , a n d s p e e d u n d e r u n i f o r m m o t i o n . A l l o f t h e s e s t a t e m e n t s w e r e b a s e d o n d i s t a n c e t r a v e l e d i n i n t e r v a l s o f t i m e . ( S e e A p p e n d i x A f o r c o m p l e t e s t a t e m e n t s o f t h e f o u r a x i o m s a n d s i x p r o p o s i t i o n s . ) F o r e x a m p l e , t h e f i r s t a x i o m s t a t e d t h a t u n d e r u n i f o r m m o t i o n , d i s t a n c e t r a v e l e d i n a l o n g e r i n t e r v a l o f t i m e i s g r e a t e r t h a n d i s t a n c e t r a v e l e d i n a s h o r t e r i n t e r v a l o f t i m e a n d 1 0 t h e f i r s t p r o p o s i t i o n e s t a b l i s h e d t h a t t h e t i m e i n t e r v a l s a r e i n t h e s a m e r a t i o a s t h e d i s t a n c e s . G a l i l e o n e x t c o n s i d e r e d w h a t h e c a l l e d n a t u r a l l y a c c e l e r a t e d m o t i o n , t h e m o t i o n o f f a l l i n g b o d i e s , a n d d e r i v e d t h e r e s u l t s f o r w h i c h h e i s b e s t k n o w n . J u s t a s h e d e f i n e d u n i f o r m m o t i o n i n t e r m s o f e q u a l i n c r e m e n t s o f d i s t a n c e a c q u i r e d i n e q u a l i n c r e m e n t s o f t i m e , h e d e f i n e d u n i f o r m a c c e l e r a t i o n i n t e r m s o f e q u a l i n c r e m e n t s o f s p e e d a c q u i r e d i n e q u a l i n c r e m e n t s o f t i m e a n d c o n c l u d e d t h a t " t h e i n c r e m e n t o f s p e e d i s p r o p o r t i o n a l t o t h e i n c r e m e n t o f t i m e " ( p . 1 9 8 ) . H e c o n t i n u e d h i s d i s c o u r s e w i t h m a n y r e s u l t s , i n c l u d i n g t h e s a m e r e s u l t a s S u i s e t h a n d O r e s m e c o n c e r n i n g t h e a v e r a g e s p e e d o f a u n i f o r m l y a c c e l e r a t i n g o b j e c t o v e r a n i n t e r v a l o f t i m e . W h i l e S u i s e t h e x p r e s s e d h i s r e s u l t i n t e r m s o f v e l o c i t y a n d O r e s m e e x p r e s s e d h i s i n t e r m s o f d i s t a n c e , G a l i l e o e x p r e s s e d h i s i n t e r m s o f t i m e : " T h e t i m e i n w h i c h a n y s p a c e i s t r a v e r s e d b y a b o d y s t a r t i n g f r o m r e s t a n d u n i f o r m l y a c c e l e r a t e d i s e q u a l t o t h e t i m e i n w h i c h t h a t s a m e s p a c e w o u l d b e t r a v e r s e d b y t h e s a m e b o d y m o v i n g a t a u n i f o r m s p e e d w h o s e v a l u e i s t h e m e a n o f t h e h i g h e s t s p e e d a n d t h e s p e e d j u s t b e f o r e a c c e l e r a t i o n b e g a n . " ( p . 2 0 8 ) T h i s r e s u l t l e d t o a d e f i n i t i o n o f a v e r a g e s p e e d f o r g e n e r a l m o t i o n : t h e a v e r a g e s p e e d t o t r a v e l a g i v e n d i s t a n c e o v e r a s p e c i f i e d i n t e r v a l o f t i m e i s t h a t u n i f o r m s p e e d r e q u i r e d t o t r a v e l t h e s a m e d i s t a n c e i n t h e s a m e t i m e . T h i s l e a d t o a c o m p u t a t i o n a l f o r m u l a f o r a v e r a g e s p e e d a s t h e r a t i o o f t h e d i s t a n c e t r a v e l e d t o t h e l e n g t h o f t h e t i m e i n t e r v a l , t h e s a m e f o r m u l a u s e d t o c o m p u t e t h e s p e e d i f i t w e r e a s s u m e d t o b e u n i f o r m . N o t e t w o t h i n g s h e r e . F i r s t , u n i f o r m s p e e d i s a s s o c i a t e d w i t h d i s t a n c e t r a v e l e d i n a n i n t e r v a l o f t i m e ; t h a t i s , u n i f o r m s p e e d i s a w a y o f c h a r a c t e r i z i n g s p e e d o v e r i n t e r v a l s . S e c o n d , m o v i n g o b j e c t s a r e l l a s s u m e d t o h a v e s p e e d a t a p o i n t , i n t h i s c a s e a t t h e b e g i n n i n g a n d e n d i n g i n s t a n t s o f t h e t i m e i n t e r v a l ; t h a t i s , i n s t a n t a n e o u s s p e e d i s a w a y o f c h a r a c t e r i z i n g s p e e d a t a p o i n t . G a l i l e o p r o v i d e d a g e o m e t r i c a l d e m o n s t r a t i o n o f t h i s r e s u l t u s i n g a f i g u r e v e r y s i m i l a r t o O r e s m e ' s a n d , l i k e O r e s m e , G a l i l e o b a s e d h i s a r g u m e n t o n a r e a u n d e r t h e v e l o c i t y - t i m e g r a p h . H e u s e d s i m i l a r g e o m e t r i c a l d e m o n s t r a t i o n s t o c o n c l u d e t h a t t h e d i s t a n c e t r a v e l e d i s r e l a t e d t o t h e s q u a r e o f t h e l e n g t h o f t h e t i m e i n t e r v a l . F r o m t h i s r e s u l t h e a l s o o b t a i n e d t h e f a m o u s r e s u l t t h a t d i s t a n c e s t r a v e l e d i n c o n s e c u t i v e a n d e q u a l t i m e i n t e r v a l s h a v e t h e s a m e r a t i o a s t h e s e q u e n c e o f o d d n u m b e r s , 1 , 3 , 5 , 7 , W W W N e w t o n a n d L e i b n i z a r e g i v e n j o i n t c r e d i t f o r t h e i n v e n t i o n o f c a l c u l u s . T h e y w e r e t h e f i r s t t o e x p l i c i t l y s t a t e t h e i n v e r s e r e l a t i o n s h i p b e t w e e n t h e t w o p r i m a r y c o n c e p t s o f c a l c u l u s - i n t e g r a t i o n a n d d i f f e r e n t i a t i o n . O t h e r s h a d o b t a i n e d r e s u l t s h i n t i n g s t r o n g l y a t t h i s r e l a t i o n s h i p b u t a p p a r e n t l y N e w t o n a n d L e i b n i z w e r e t h e f i r s t t o r e c o g n i z e i t s i m p o r t a n c e a n d g e n e r a l i t y . T h i s r e l a t i o n s h i p i s k n o w n t o d a y a s t h e f u n d a m e n t a l t h e o r e m o f c a l c u l u s . S t a t e d l o o s e l y , i t i s t h e p r o p o s i t i o n t h a t t h e r a t e o f c h a n g e o f t h e a r e a o f t h e r e g i o n f o r m e d b y t h e g r a p h o f a f u n c t i o n b e t w e e n a f i x e d X v a l u e a n d a v a r i a b l e X v a l u e x i s t h e v a l u e o f t h e f u n c t i o n a t x . I n o t h e r w o r d s , t h e d e r i v a t i v e o f t h e i n t e g r a l o f a f u n c t i o n i s j u s t t h e f u n c t i o n i t s e l f . H e r e i s h o w N e w t o n a r r i v e d a t t h i s r e l a t i o n s h i p . I n a n e f f o r t t o c o m p l e t e a c a t a l o g o f f u n c t i o n s w h o s e i n t e g r a t i o n ( a r e a ) f o r m u l a s w e r e k n o w n , N e w t o n d e c i d e d t o s t a r t f i r s t b y a s s u m i n g t h a t a n i n t e g r a t i o n f o r m u l a f o r a f u n c t i o n w a s o f a p a r t i c u l a r f o r m a n d t h e n s e e w h a t t h i s m e a n t a b o u t t h e f u n c t i o n . S o h e s t a r t e d w i t h a n u n k n o w n f u n c t i o n f ( X ) 1 2 w h o s e g r a p h w a s a s m o o t h c u r v e l y i n g a b o v e t h e h o r i z o n t a l a x i s f r o m X = O t o X = c w h e r e c i s s o m e p o s i t i v e n u m b e r . L e t A ( x ) r e p r e s e n t t h e a r e a o f t h e r e g i o n b o u n d e d b y t h e h o r i z o n t a l a x i s , t h e g r a p h o f f ( X ) , a n d t h e v e r t i c a l l i n e s X = 0 a n d X = x . T h e n A ( X ) i s t h e i n t e g r a t i o n f o r m u l a f o r f ( X ) a n d i s i t s e l f a f u n c t i o n w h i c h i s d e f i n e d f o r v a l u e s o f X f r o m X = O t o X = c . S u p p o s e i t i s k n o w n t h a t A ( X ) i s e q u a l t o a X b . C a n w e t h e d e t e r m i n e a n e x p r e s s i o n f o r f ( X ) ? T o a n s w e r t h i s q u e s t i o n N e w t o n f o r m e d t w o e x p r e s s i o n s f o r A ( x + h ) , t h e a r e a o f t h e r e g i o n b o u n d e d b y t h e h o r i z o n t a l a x i s , t h e g r a p h o f f ( X ) , a n d t h e v e r t i c a l l i n e s X = O a n d X = x + h . ( S e e F i g u r e 2 . ) O n e e x p r e s s i o n f o r A ( x + h ) w a s a ( x + h ) b ‘ w h i c h g i v e s t h e e x a c t v a l u e o f t h e a r e a A ( x + h ) . T h e o t h e r e x p r e s s i o n f o r A ( x + h ) w a s a p p r o x i m a t e l y A ( x ) + h * f ( x ) = a x P + h * f ( x ) w h i c h e s t i m a t e s t h e a r e a A ( x + h ) b y a d d i n g t o t h e a r e a A ( x ) t h e a r e a o f t h e r e c t a n g l e d e t e r m i n e d b y t h e i n t e r v a l o n t h e h o r i z o n t a l a x i s f r o m X = x t o X = x + h a n d t h e h e i g h t o f t h e g r a p h o f f ( X ) a t X = x . F i g u r e 2 - G r a p h o f a f u n c t i o n s h o w i n g a r e a 1 3 N e w t o n s e t t h e s e t w o e x p r e s s i o n s e q u a l t o e a c h o t h e r a n d a p p l i e d h i s b i n o m i a l t h e o r e m t o a ( x + h ) b . H e t h e n s u b t r a c t e d a x b f r o m b o t h s i d e s o f t h e e q u a t i o n a n d d i v i d e d b y h . O n o n e s i d e o f t h e e q u a t i o n h e n o w ( b 4 ) a n d s e v e r a l t e r m s h a d f ( x ) a n d o n t h e o t h e r s i d e h e h a d a b * x i n v o l v i n g p o w e r s o f h . H e r e a s o n e d t h a t t e r m s w i t h h i n t h e m c o u l d b e n e g l e c t e d s i n c e h w a s c h o s e n t o b e c l o s e t o z e r o ( u n d e r t h e a s s u m p t i o n t h a t x + h w a s c h o s e n t o b e c l o s e t o x ) a n d r a i s i n g h t o p o s i t i v e i n t e g r a l p o w e r s w o u l d o n l y m a k e t h e t e r m s s m a l l e r . T h i s l e f t f ( x ) o n o n e s i d e o f q u a l o n e o n t h e o t h e r s i d e . S i n c e t h i s r e s u l t t h e e q u a t i o n a n d a b * x w o u l d h o l d f o r a n y v a l u e o f x i n t h e d o m a i n o f f ( X ) ( e x c e p t p o s s i b l y t h e r i g h t e n d p o i n t , c , o f t h e d o m a i n ) , h e c o n c l u d e d t h a t i f A ( X ) = a X b , t h e n f ( X ) = a b * x ‘ b ' “ . ( b - l ) H i s a r g u m e n t a l s o s h o w e d t h a t i f f ( X ) = a b * X , t h e n A ( X ) = a x b . I t w a s a l r e a d y k n o w n t h a t t h e r a t e o f c h a n g e o f t h e f u n c t i o n g i v e n b y t h e . b - ( b - l ) e x p r e S S T O n a X i s a b * x H e n c e N e w t o n h a d s h o w n , f o r t h i s p a r t i c u l a r c l a s s o f f u n c t i o n s , t h a t t h e r a t e o f c h a n g e o f t h e a r e a u n d e r a c u r v e d e f i n e d b y a f u n c t i o n i s j u s t t h e f u n c t i o n i t s e l f . P r i o r t o t h e d i s c o v e r y o f t h i s r e s u l t , a r e a u n d e r t h e g r a p h o f a f u n c t i o n g i v e n b y f ( X ) w a s d e t e r m i n e d b y d i v i d i n g t h e r e g i o n i n t o s m a l l e r a n d s m a l l e r r e c t a n g l e s a n d a d d i n g u p t h e a r e a s o f t h e s e r e c t a n g l e s . W i t h t h i s r e s u l t o f N e w t o n ' s , a r e a u n d e r t h e g r a p h o f a f u n c t i o n f ( X ) f r o m X = O t o X = x c o u l d n o w b e d e t e r m i n e d b y " d o i n g d e r i v a t i v e s b a c k w a r d s " , t h a t i s , b y f i n d i n g a n e x p r e s s i o n f o r t h e f u n c t i o n g ( X ) w h o s e d e r i v a t i v e i s e q u a l t o f ( X ) , a n d t h e n e v a l u a t i n g g ( X ) a t X = x . F r o m t h i s i t w a s t h e n p o s s i b l e t o o b t a i n a m e t h o d f o r f i n d i n g t h e a r e a u n d e r t h e g r a p h o f f u n c t i o n f ( X ) b e t w e e n a n y t w o v a l u e s o f X . T h i s r e s u l t n o t o n l y p r o v i d e d a c o m p u t a t i o n a l l y e a s i e r w a y t o 1 4 f i n d a r e a s b u t i t a l s o c o n n e c t e d t h e e x t r e m e l y u s e f u l b u t b e f o r e n o w i s o l a t e d o p e r a t i o n s o f d i f f e r e n t i a t i o n a n d i n t e g r a t i o n . N e w t o n a n d L e i b n i z w e r e t h e f i r s t t o m a k e t h i s c o n n e c t i o n ( K l i n e , 1 9 7 2 ) . T w o o t h e r r e a s o n s N e w t o n a n d L e i b n i z a r e g i v e n c r e d i t f o r t h e i n v e n t i o n o f c a l c u l u s a r e t h e i r a b i l i t y t o s e e d i f f e r e n t t e c h n i q u e s a s f u n d a m e n t a l l y r e l a t e d t o e a c h o t h e r a n d t o m a k e t e c h n i q u e s m o r e g e n e r a l l y a p p l i c a b l e . F o r e x a m p l e , m a t h e m a t i c i a n s a n d s c i e n t i s t s f r o m a n c i e n t G r e e c e t o t h e t i m e o f N e w t o n a n d L e i b n i z d e v i s e d m a n y m e t h o d s f o r f i n d i n g t a n g e n t s t o s p e c i f i c c u r v e s . B u t t h e y d i d n o t a p p a r e n t l y h a v e a g e n e r a l t e c h n i q u e t h a t a l l o w e d t h e m t o f i n d t a n g e n t s t o a n y a r b i t r a r y c u r v e . N o r d i d t h e y a s s o c i a t e t a n g e n t s t o c u r v e s w i t h r a t e o f c h a n g e . N e w t o n a n d L e i b n i z f o r m e d g e n e r a l t e c h n i q u e s f o r f i n d i n g t a n g e n t s t o a n y s m o o t h c u r v e a n d r e l a t e d t a n g e n t s t o r a t e o f c h a n g e . R a t g _ g f _ g h a n g g _ t g d a y . I n c o n t e m p o r a r y m a t h e m a t i c s , i n s t a n t a n e o u s r a t e o f c h a n g e o f a f u n c t i o n i s d e f i n e d a s t h e d e r i v a t i v e o f t h a t f u n c t i o n . T h e d e r i v a t i v e o f a f u n c t i o n f ( X ) i s i t s e l f a f u n c t i o n , d e s i g n a t e d b y f ' ( X ) . F o r X = x , a s p e c i f i c v a l u e o f t h e d o m a i n o f f ' ( X ) , t h e v a l u e o f t h e d e r i v a t i v e , f ' ( x ) , i s d e f i n e d a s t h e l i m i t o f [ f ( x + h ) - f ( x ) ] / h a s h g o e s t o z e r o , l i m b _ _ > 0 f ( K i l l ) ‘ f ( K ) . h T h e n u m b e r o b t a i n e d f r o m t h i s l i m i t i s t h e d e f i n i t i o n o f t h e s l o p e o f t h e l i n e t a n g e n t t o t h e g r a p h o f f ( X ) a t t h e p o i n t ( x , f ( x ) ) a n d t h e i n s t a n t a n e o u s r a t e o f c h a n g e o f f ( X ) a t X = x . F o r a v a l u e o f h i s n o t e q u a l t o z e r o , [ f ( x + h ) - f ( x ) ] / h i s t h e s l o p e o f a l i n e c o n t a i n i n g t h e t w o p o i n t s ( x + h , f ( x + h ) ) a n d ( x , f ( x ) ) ; t h e s m a l l e r h i s i n a b s o l u t e v a l u e , t h e c l o s e r t h a t l i n e i s t o b e i n g t h e l i n e t a n g e n t t o t h e g r a p h o f f ( X ) a t t h e s p e c i f i c p o i n t ( x , f ( x ) ) . S i m i l a r l y , [ f ( x + h ) — f ( x ) l / h i s 1 5 t h e a v e r a g e r a t e o f c h a n g e o f f ( x ) o v e r t h e i n t e r v a l b e t w e e n x a n d x + h . T h e s m a l l e r h i s i n a b s o l u t e v a l u e , t h e c l o s e r t h e a v e r a g e r a t e o f c h a n g e i s t o t h e i n s t a n t a n e o u s r a t e o f c h a n g e o f f ( X ) a t X = x . M o r e g e n e r a l l y t h e d e r i v a t i v e i s a f u n c t i o n . T h e d e r i v a t i v e o f t h e f u n c t i o n f ( X ) i s t h e f u n c t i o n f ' ( X ) o b t a i n e d b y f o r m i n g f o r e a c h v a l u e o f h t h e f u n c t i o n f h ( X ) = f ( n g h ) - f ( X ) h a n d t a k i n g t h e l i m i t o f t h i s c l a s s o f f u n c t i o n s a s h g o e s t o z e r o . T h e f u n c t i o n f h ( X ) g i v e s f o r e a c h v a l u e o f X , t h e a v e r a g e r a t e o f c h a n g e o f t h e d e p e n d e n t v a r i a b l e o f f ( X ) o v e r t h e i n t e r v a l f r o m X + h a n d X i f h i s n e g a t i v e a n d X t o X + h i s h i s p o s i t i v e . T h e l i m i t o f t h i s c l a s s o f f u n c t i o n s , f ' ( X ) , i s n o t a n u m e r i c a l v a l u e ; i t i s a f u n c t i o n . T h i s f u n c t i o n c a n , o f c o u r s e , b e e v a l u a t e d f o r p a r t i c u l a r v a l u e s o f X t o y i e l d t h e v a l u e o f t h e d e r i v a t i v e a t s p e c i f i c p o i n t s . B u t t h e f u n c t i o n f ' ( X ) h a s i t s o w n p l a c e i n t h e s t u d y o f c a l c u l u s a s i d e f r o m t h e f u n c t i o n t h a t g i v e s t h e s l o p e o f t h e l i n e t a n g e n t t o t h e g r a p h o f f ( X ) o r t h e i n s t a n t a n e o u s r a t e o f c h a n g e o f f ( X ) a t s p e c i f i c v a l u e s o f X . R a t e o f c h a n g e i s a n i m p o r t a n t c o n c e p t i n m a t h e m a t i c s , o t h e r a c a d e m i c d i s c i p l i n e s , a n d e v e r y d a y l i f e . I n m a t h e m a t i c s r a t e o f c h a n g e s e r v e s b o t h a s a t o o l a n d a t h e o r e t i c a l u n d e r p i n n i n g o f a d v a n c e d m a t h e m a t i c s . W i t h o t h e r a c a d e m i c d i s c i p l i n e s , r a t e o f c h a n g e i s a t o o l u s e d t o i n v e s t i g a t e q u a n t i t i e s t h a t c h a n g e o v e r t i m e . I n e v e r y d a y l i f e , r a t e o f c h a n g e i s e v i d e n t i n s u b t l e b u t p e r v a s i v e w a y s . R a t e _ Q f _ g h a n g e _ i n _ m a t h e m a t i g s . C a l c u l u s i s t h e s t u d y o f p r o p e r t i e s o f c o n t i n u o u s f u n c t i o n s i n c l u d i n g t h e i r d e r i v a t i v e a n d i n t e g r a l f u n c t i o n s . W h i l e t h e d e r i v a t i v e f u n c t i o n c a n b e s t u d i e d 1 6 w i t h o u t a n y s p e c i f i c r e f e r e n c e t o r a t e o f c h a n g e , m o s t c a l c u l u s c o u r s e s t o d a y i n c l u d e s o m e w o r k w i t h r a t e o f c h a n g e . T h e a m o u n t a n d t y p e o f e m p h a s i s o n r a t e o f c h a n g e v a r i e s w i t h c a l c u l u s t e x t s a n d t e a c h e r s . W h i l e i t i s g e n e r a l l y t h e c a s e t h a t r e f o r m c a l c u l u s t e x t s g i v e m o r e a t t e n t i o n t o r a t e o f c h a n g e a s a n i m p o r t a n t i n s t a n t i a t i o n o f t h e d e r i v a t i v e , a l m o s t a l l m o d e r n c a l c u l u s t e x t s h a v e a h e a l t h y s t r a n d o f e x a m p l e s , p r o b l e m s , a n d a p p l i c a t i o n s o f t h e d e r i v a t i v e a s r a t e o f c h a n g e . 1 F o r e x a m p l e , o n e p r i m a r y a p p l i c a t i o n o f t h e d e r i v a t i v e a s r a t e o f c h a n g e i s t h e s o l u t i o n o f d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s i n w h i c h d e r i v a t i v e e q u a t i o n s a r e g i v e n r e p r e s e n t i n g r a t e s o f c h a n g e o f q u a n t i t i e s w i t h r e s p e c t t o o t h e r q u a n t i t i e s . S t u d e n t s a r e t h e n a s k e d t o f i n d t h e f u n c t i o n s w h i c h h a v e t h e s e r a t e s o f c h a n g e . T h e d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s c o u r s e t a k e n a f t e r a f u l l y e a r o f e l e m e n t a r y c a l c u l u s t h e n h a s a s i t s m a i n t o p i c t h e s o l u t i o n o f c l a s s e s o f d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s w i t h v a r y i n g t y p e s o f c o n d i t i o n s . M a n y o f t h e e x a m p l e s u s e d i n t h e d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s c o u r s e a r e r a t e o f c h a n g e p r o b l e m s . T h a t i s , t h e d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s u n d e r s t u d y a r e s e t i n a c o n t e x t o f t h e r a t e o f c h a n g e o f o n e q u a n t i t y w i t h r e s p e c t t o a n o t h e r q u a n t i t y . l R e f o r m c a l c u l u s i s d i s t i n g u i s h e d f r o m t r a d i t i o n a l c a l c u l u s b y m o r e u s e o f m u l t i p l e r e p r e s e n t a t i o n s o f f u n c t i o n s , e s p e c i a l l y g r a p h s a n d t a b l e s i n a d d i t i o n t o e q u a t i o n s , t e c h n o l o g y , r e a l s i t u a t i o n s a n d d a t a , e x t e n d e d p r o j e c t s , l a b o r a t o r y s e t t i n g s , a n d g r o u p w o r k b o t h i n a n d o u t o f c l a s s . D a i l y a s s i g n m e n t s a r e m o r e l i k e l y t o e m p h a s i z e a s m a l l e r n u m b e r o f p r o b l e m s , w i t h p r o b l e m s g o i n g i n t o m o r e d e p t h . T h e r e i s l e s s r e l i a n c e o n l e c t u r e a n d m o r e u s e o f e x t e n d e d c o n v e r s a t i o n s i n t h e c l a s s r o o m w i t h s t u d e n t s p l a y i n g a n a c t i v e r o l e i n g u i d i n g a n d c o n t r i b u t i n g t o t h e d i r e c t i o n o f t h e l e s s o n . R e f o r m c a l c u l u s i s a l s o m o r e l i k e l y t o h a v e a t r i m m e d s y l l a b u s w h i c h d e l e t e s s e v e r a l t o p i c s t r a d i t i o n a l l y i n c l u d e d i n c a l c u l u s i n f a v o r o f m o r e d e t a i l e d t r e a t m e n t o f a f e w e r n u m b e r o f t o p i c s . 1 7 S i m i l a r l y t h e c o n c e p t o f r a t e o f c h a n g e a p p e a r s i n v e c t o r c a l c u l u s , n u m e r i c a l a n a l y s i s , a n d m a t h e m a t i c a l m o d e l i n g c o u r s e s . I n v e c t o r c a l c u l u s , p a r t i a l d e r i v a t i v e s o f f u n c t i o n s o f t w o o r m o r e i n d e p e n d e n t v a r i a b l e s a r e s t u d i e d a n d o f t e n e x a m p l e s i n v o l v i n g t h e r a t e o f c h a n g e o f q u a n t i t i e s r e p r e s e n t e d b y t h e i n d e p e n d e n t v a r i a b l e o f o n e o f t h e s e f u n c t i o n s a r e d e a l t w i t h . I n n u m e r i c a l a n a l y s i s , n u m e r i c a l t e c h n i q u e s f o r o b t a i n i n g s o l u t i o n s t o d e r i v a t i v e s a n d d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s a r e d e v e l o p e d . M a n y o f t h e s e e x a m p l e s a r e s e t i n t h e c o n t e x t o f r a t e o f c h a n g e . I n m a t h e m a t i c a l m o d e l i n g , o n e t y p i c a l s e t o f t e c h n i q u e s d e a l s w i t h s i t u a t i o n s w h e r e t h e r a t e o f c h a n g e o f o n e v a r i a b l e w i t h r e s p e c t t o a n o t h e r v a r i a b l e i s k n o w n o r c o n j e c t u r e d . T h e s e s i t u a t i o n s a r e o f t e n r e p r e s e n t e d b y d e r i v a t i v e s o f d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s w h i c h w h e n s o l v e d y i e l d i m p o r t a n t r e l a t i o n s h i p s b e t w e e n t h e v a r i a b l e s . I t i s f a i r t o s a y t h a t h a l f o f t h e c o u r s e w o r k i n t h e c u r r e n t u n d e r g r a d u a t e m a t h e m a t i c s c u r r i c u l u m m a k e s u s e , i n s o m e w a y o r a n o t h e r , o f k n o w l e d g e o f t h e d e r i v a t i v e i n g e n e r a l a n d r a t e o f c h a n g e i n p a r t i c u l a r . A n o t h e r e x a m p l e o f t h e p r e v a l e n c e o f r a t e o f c h a n g e a n d d i f f e r e n t i a t i o n i n m a t h e m a t i c s i s t h e u s e o f t h e M e a n V a l u e T h e o r e m a n d T a y l o r ' s T h e o r e m i n u p p e r d i v i s i o n m a t h e m a t i c s c o u r s e s . T h e M e a n V a l u e T h e o r e m s t a t e s t h a t u n d e r a p p r o p r i a t e c o n t i n u i t y a n d d i f f e r e n t i a t i o n c o n d i t i o n s t h e a v e r a g e r a t e o f c h a n g e o f t h e d e p e n d e n t v a r i a b l e o f t h e f u n c t i o n o v e r a n i n t e r v a l o f t h e i n d e p e n d e n t v a r i a b l e i s e q u a l t o t h e v a l u e o f t h e d e r i v a t i v e a t s o m e v a l u e o f t h e i n d e p e n d e n t v a r i a b l e i n t h e i n t e r v a l . T h i s t h e o r e m i s u s e d i n v e c t o r c a l c u l u s t o o b t a i n s e v e r a l t h e o r e t i c a l r e s u l t s . 1 8 T a y l o r ' s T h e o r e m s t a t e s t h a t f u n c t i o n s w h i c h a r e d i f f e r e n t i a b l e a t l e a s t N t i m e s c a n b e r e p r e s e n t e d b y a ( N - 1 ) t h d e g r e e p o l y n o m i a l w h e r e e a c h t e r m o f t h e p o l y n o m i a l c o n t a i n s a f a c t o r i n v o l v i n g a d e r i v a t i v e e v a l u a t e d a t a s p e c i f i c v a l u e a n d w h e r e t h e e r r o r t e r m i s d o m i n a t e d b y t h e N t h d e r i v a t i v e . T h i s t h e o r e m i s u s e d r e p e a t e d l y i n n u m e r i c a l a n a l y s i s a s t h e b a s i s o f m a n y a p p r o x i m a t i o n m e t h o d s . I n r e c o g n i t i o n o f i t s i m p o r t a n t r o l e i n m a t h e m a t i c s , r a t e o f c h a n g e h a s a l s o b e c o m e o n e o f t h e m a j o r s s t r a n d s i n s e v e r a l r e f o r m c u r r i c u l a i n K - 1 2 m a t h e m a t i c s , i n c l u d i n g t h e C o n n e c t e d M a t h e m a t i c s P r o j e c t f o r m i d d l e s c h o o l a n d t h e C o r e P l u s p r o j e c t f o r h i g h s c h o o l . I n a d d i t i o n , t h e T e c h n i c a l E d u c a t i o n a l R e s o u r c e C e n t e r ( T E R C ) h a s d e v e l o p e d c u r r i c u l u m m a t e r i a l s o n c h a n g e a n d r a t e o f c h a n g e f o r k i n d e r g a r t e n t h r o u g h f i f t h g r a d e a n d J i m K a p u t a t U n i v e r s i t y o f M a s s a c h u s e t t s - N o r t h D a r t m o u t h h a s p r o d u c e d s o f t w a r e , c a l l e d S I M C A L C , f o r e l e m e n t a r y s c h o o l s t u d e n t s ' e x p l o r a t i o n s o f c h a n g e a n d r a t e o f c h a n g e ( K a p u t , 1 9 9 7 ) . T h e m a t h e m a t i c s e d u c a t i o n w h o d e v e l o p e d t h e s e m a t e r i a l s b e l i e v e t h a t r a t e o f c h a n g e i s a n i m p o r t a n t t o p i c f o r s t u d e n t s a t a l l e d u c a t i o n a l l e v e l s t o s t u d y a n d t h a t i t i s p o s s i b l e t o p r e s e n t c h a n g e a n d r a t e o f c h a n g e i n c o n t e x t s a p p r o p r i a t e f o r s t u d e n t s a t t h e s e a g e s . I n s h o r t , t h e y b e l i e v e t h a t c a l c u l u s a s r a t e o f c h a n g e c a n b e a n d s h o u l d b e m a d e m o r e a c c e s s i b l e t o s t u d e n t s m u c h e a r l i e r i n t h e s c h o o l c u r r i c u l u m ( K a p u t , 1 9 9 4 ) . B M W L y n n S t e e n . i n h i s i n f l u e n t i a l b o o k W W W t h a t m a p s o u t t h e m a j o r s t r a n d s o f m a t h e m a t i c s , i n c l u d e d a c h a p t e r a b o u t c h a n g e . I a n S t e w a r t , t h e a u t h o r o f t h i s c h a p t e r , a r g u e d t h a t " e v e r y n a t u r a l p h e n o m e n o n , f r o m t h e q u a n t u m v i b r a t i o n s o f s u b a t o m i c p a r t i c l e s t o t h e 1 9 u n i v e r s e i t s e l f , i s a m a n i f e s t a t i o n o f c h a n g e " ( p . 1 8 3 ) . H e w e n t o n t o w r i t e t h a t w h i l e s o m e o f t h e s e c h a n g e s s e e m t o o c o m p l e x t o s u b m i t t o a n a l y s i s , w e m u s t l o o k f o r p a t t e r n s o f c h a n g e s o w e c a n u n d e r s t a n d a n d c o n t r o l o u r w o r l d . H i s c h a p t e r i n v e s t i g a t e s c h a n g e a n d p a t t e r n s o f c h a n g e i n s e v e r a l a r e a s i n m a t h e m a t i c s a n d s c i e n c e a n d r e q u i r e s a f a i r a m o u n t o f c o l l e g e l e v e l m a t h e m a t i c s a n d s c i e n c e . O t h e r s h a v e a l s o n o t e d t h e i m p o r t a n c e o f t h e i d e a s a n d t e c h n i q u e s o f c a l c u l u s i n t h e n a t u r a l , p h y s i c a l , a n d s o c i a l s c i e n c e s ( D o u g l a s , 1 9 8 6 ) . I n p h y s i c s , r a t e o f c h a n g e a p p e a r s s i g n i f i c a n t l y i n k i n e m a t i c s w h e r e d i f f e r e n t i a t i o n i s u s e d t o f i n d t h e v e l o c i t y f r o m p o s i t i o n f u n c t i o n s a n d i n t e g r a t i o n i s u s e d t o f i n d t h e p o s i t i o n f r o m v e l o c i t y f u n c t i o n s . R a t e o f c h a n g e i s a l s o u s e d i n c h e m i s t r y a n d b i o l o g y . F o r e x a m p l e , i n c h e m i s t r y , p o i n t s o n a t i t r a t i o n c u r v e r e l a t i n g t i m e a n d c o n c e n t r a t i o n y i e l d a t a b l e o f v a l u e s w h i c h i s t h e n u s e d t o c o m p u t e d i f f e r e n c e s i n s u c c e s s i v e c o n c e n t r a t i o n s . T h e s e d i f f e r e n c e s a r e e x a m i n e d t o i d e n t i f y t h e c o n c e n t r a t i o n v a l u e w h i c h y i e l d s t h e g r e a t e s t r e a c t i o n r a t e ( l a r g e s t d i f f e r e n c e ) a n d t h e c o n c e n t r a t i o n v a l u e b e f o r e w h i c h t h e c o n c e n t r a t i o n w a s i n c r e a s i n g a t a n i n c r e a s i n g r a t e ( d i f f e r e n c e s p o s i t i v e a n d g e t t i n g s u c c e s s i v e l y l a r g e r ) a n d a f t e r w h i c h t h e c o n c e n t r a t i o n w a s i n c r e a s i n g a t a d e c r e a s i n g r a t e ( d i f f e r e n c e s p o s i t i v e a n d g e t t i n g s u c c e s s i v e l y s m a l l e r ) . I n e c o l o g y , n u m e r i c a l d a t a c o n c e r n i n g c h a n g i n g p a t t e r n s i n t h e p o p u l a t i o n o f a n i m a l s a n d p l a n t s a r e u s e d t o s u p p o r t t h e o r i e s c o n c e r n i n g e c o l o g i c a l b a l a n c e s a n d i m b a l a n c e s . C l a s s i c a l s t u d i e s i n p o p u l a t i o n y i e l d d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s w h i c h c a n t h e n b e s o l v e d t o y i e l d i n f o r m a t i o n a b o u t h o w p l a n t a n d a n i m a l p o p u l a t i o n s i n t e r a c t t o y i e l d g r o w t h o r d e c l i n e . R a t e s a n d r a t e o f c h a n g e a r e a l s o i m p o r t a n t i n 2 0 e c o n o m i c s w h e r e q u a r t e r l y a n d a n n u a l i n f o r m a t i o n c o n c e r n i n g i n f l a t i o n , g r o w t h o f s a v i n g s a n d d e b t , a n d c h a n g e s i n b u s i n e s s a n d p e r s o n a l i n c o m e a r e a l l e x p r e s s e d a s r a t e s . T h e s e r a t e s a r e u s e d b o t h t o f o r m a n d c o n f i r m e c o n o m i c t h e o r i e s . I n m a n y d i f f e r e n t f i e l d s o f s c i e n c e a n d e n g i n e e r i n g , d y n a m i c a l s y s t e m s p l a y a c r u c i a l r o l e . C a l c u l u s , a s t h e s t u d y o f c h a n g e , i s t h e b a s i s f o r t h i s s t u d y . E a t g _ Q f _ g h a n g e _ i n _ § 1 e r y d a ¥ _ l i f e . I a n S t e w a r t ' s i l l u s t r a t i o n s w e r e p r i m a r i l y f r o m t h e d i s c i p l i n e s o f m a t h e m a t i c s a n d s c i e n c e b u t h i s r e m a r k s a l s o a p p l y t o e v e r y d a y k n o w l e d g e o f t h e w o r l d a n d h o w i t o p e r a t e s . W e l i v e i n a w o r l d o f m o t i o n . I t i s i n t e r e s t i n g t h a t m o t i o n w a s t h e f i r s t v e n u e f o r t h e s t u d y o f r a t e o f c h a n g e a n d a t n o t i m e i s m o t i o n m o r e o b v i o u s l y a c h a r a c t e r i s t i c o f o u r d a i l y l i v e s t h a n t o d a y . W e w a l k a n d r u n , r i d e o n b i c y c l e s a n d i n - l i n e s k a t e s a n d i n c a r s , p l a n e s , a n d t r a i n s . I n s h o r t , w e a r e d a i l y s u b m i t t e d t o a v a r i e t y o f e x p e r i e n c e s i n v o l v i n g m o v i n g f a s t a n d s l o w a n d s p e e d i n g u p a n d s l o w i n g d o w n . C h a n g e a n d r a t e o f c h a n g e a r e a c o n s t a n t p a r t o f o u r d a i l y l i v e s . B u t m o t i o n i s n o t t h e o n l y e x a m p l e o f r a t e o f c h a n g e i n o u r e v e r y d a y l i v e s . W e a l s o d e a l w i t h c h a n g e w h e n w e r e c o r d c h i l d r e n ' s h e i g h t a n d w e i g h t o v e r t h e y e a r s o f t h e i r g r o w t h o r v i s u a l l y o v e r s h o r t e r i n t e r v a l s o f t i m e . W e a l s o n o t e t h e c h a n g i n g t e m p e r a t u r e w i t h t h e s e a s o n s a n d t i m e o f d a y ; w e w a t c h t h e g r o w t h o r d e c l i n e o f o u r i n v e s t m e n t s i n s a v i n g s a n d p e n s i o n p l a n s ; a n d w e l a m e n t t h e r i s e o f p r i c e s , e s p e c i a l l y i f i t i s n o t a l s o a c c o m p a n i e d b y a s i m i l a r r i s e i n o u r i n c o m e s . W e a r e a l s o a n n u a l l y r e m i n d e d o f c h a n g e s i n c r i m e , p o p u l a t i o n , c h a r i t a b l e g i v i n g , a n d h e a l t h c a r e c o s t s . M a n y o f t h e s e c h a n g e s a r e r e p o r t e d i n t h e b e l i e f t h a t w e c a n u n d e r s t a n d , p r e d i c t , a n d 2 1 c o n t r o l t h e m . T h e y a r e c o n t i n u a l r e m i n d e r s t h a t w e l i v e i n a w o r l d c h a r a c t e r i z e d b y c h a n g e . L e a r n i n g r a t e o f c h a n g e i s a c h a l l e n g i n g i n t e l l e c t u a l t a s k I n t h e o p e n i n g p a r a g r a p h s o f t h i s c h a p t e r I n o t e d t h a t s i n c e i t t o o k h u m a n k i n d o v e r 2 0 0 0 y e a r s t o a r r i v e a t a q u a n t i t a t i v e a n a l y s i s o f r a t e o f c h a n g e , w e s h o u l d n o t b e s u r p r i s e d w h e n s t u d e n t s s t r u g g l e w i t h t r y i n g t o m a s t e r i t i n a f e w m o n t h s o r y e a r s . E v e n t h o u g h w e l i v e i n a w o r l d c h a r a c t e r i z e d b y c h a n g e , f e w n e e d t o i n v e s t i g a t e r a t e o f c h a n g e i n t h e s a m e w a y a s O r e s m e , G a l i l e o , a n d N e w t o n i n o r d e r t o s u c c e s s f u l l y n e g o t i a t e t h i s w o r l d . S o m o s t o f u s d o n o t . F o r t h o s e w h o w a n t o r n e e d t o s t u d y r a t e o f c h a n g e i n a d e t a i l e d w a y , a f a i r a m o u n t o f m a t h e m a t i c a l b a c k g r o u n d i s r e q u i r e d a n d t h i s i s n o t e a s y t o a c q u i r e . A l l o f t h e s e f a c t o r s c o n t r i b u t e t o t h e c h a l l e n g e o f l e a r n i n g r a t e o f c h a n g e . H e r e I p r e s e n t a d d i t i o n a l e v i d e n c e t h a t m a n y s t u d e n t s s t r u g g l e w i t h l e a r n i n g r a t e o f c h a n g e . T h i s e v i d e n c e c o m e s f r o m m y o w n t e a c h i n g , r e p o r t s o f v a r i o u s o r g a n i z a t i o n s c o n c e r n e d w i t h m a t h e m a t i c s e d u c a t i o n , a n d r e s e a r c h o n l e a r n i n g r a t e o f c h a n g e . W e l l i n g - W W O v e r m y 2 5 y e a r s o f t e a c h i n g c a l c u l u s I h a v e i d e n t i f i e d s e v e r a l a r e a s w h e r e s t u d e n t s h a v e d i f f i c u l t y w i t h r a t e o f c h a n g e . F i r s t , s t u d e n t s l a c k k n o w l e d g e o f f u n c t i o n s . I n p a r t i c u l a r , t h e y d o n o t k n o w g r a p h s o f f a m i l i e s o f f u n c t i o n s , i m p o r t a n t p r o p e r t i e s o f t h o s e g r a p h s , a n d c o n n e c t i o n s b e t w e e n g r a p h s a n d e q u a t i o n s . F o r e x a m p l e , s t u d e n t s c o m i n g i n t o c a l c u l u s r a r e l y k n o w t h e g r a p h s o f l o g a r i t h m o r e x p o n e n t i a l f u n c t i o n s , t r i g o n o m e t r i c f u n c t i o n s , o r p o l y n o m i a l s o t h e r t h a n l i n e s ; t h e y a r e n o t f a c i l e a t a s s o c i a t i n g x - a n d y — i n t e r c e p t s o n a g r a p h w i t h s o l u t i o n s o f 2 2 c o r r e s p o n d i n g e q u a t i o n s ; t h e y d o n o t a s s o c i a t e t h e s h a p e o f a g r a p h w i t h c o r r e s p o n d i n g p r o p e r t i e s o f i t s e q u a t i o n . T h i s a n d o t h e r k n o w l e d g e o f f u n c t i o n s i s v e r y i m p o r t a n t i n s t u d y i n g c a l c u l u s . M o s t s t u d e n t s r e m e m b e r h a v i n g h a d e x p e r i e n c e s i n h i g h s c h o o l w i t h m a n y o f t h e s e f u n c t i o n s b u t d o n o t r e m e m b e r m u c h a b o u t t h e i r g r a p h s , t h e i r a l g e b r a i c p r o p e r t i e s , o r c o n n e c t i o n s b e t w e e n t h e t w o . T h e y a l s o d o n o t s e e m t o h a v e m u c h k n o w l e d g e o f t h e r o l e o f t h e d o m a i n a n d r a n g e o f f u n c t i o n s . I n p a r t i c u l a r , t h e y d o n o t g e n e r a l l y k n o w t h a t a f u n c t i o n i s a s s o c i a t e d w i t h a r e l a t i o n s h i p b e t w e e n t w o v a r y i n g q u a n t i t i e s a n d t h a t a l g e b r a i c , g r a p h i c a l , a n d t a b u l a r p r o p e r t i e s o f a f u n c t i o n c a n r e v e a l t h e n a t u r e o f t h i s r e l a t i o n s h i p . W . S t u d e n t s u s u a l l y h a v e s o m e e x p e r i e n c e s w i t h r a t e s i n m i d d l e a n d h i g h s c h o o l . H o w e v e r , t h a t e x p e r i e n c e i s t y p i c a l l y l i m i t e d t o a s t u d y o f u n i f o r m o r c o n s t a n t r a t e o f c h a n g e a n d i s r e p r e s e n t e d a l m o s t e x c l u s i v e l y b y t h e f o r m u l a d = r * t . T h e r e a r e a t l e a s t t w o p r o b l e m s w i t h t h i s . O n e i s t h a t r e l i a n c e o n o n l y o n e r e p r e s e n t a t i o n , a n e q u a t i o n , d o e s n o t h e l p s t u d e n t s s e e w h a t c o n s t a n t r a t e m i g h t l o o k l i k e i n o t h e r r e p r e s e n t a t i o n s , l i k e g r a p h s a n d t a b l e s o f v a l u e s . F o r e x a m p l e , s t u d e n t s m a y n o t s e e t h a t c o n s t a n t r a t e i s r e l a t e d t o a l i n e a r f u n c t i o n . T h e s e c o n d p r o b l e m w i t h s t u d y i n g o n l y u n i f o r m r a t e s i s t h a t i t m a y l e a d s t u d e n t s t o b e l i e v e t h a t a l l r a t e s a r e c o n s t a n t a n d t h e r e f o r e s u b j e c t t o t h e f o r m u l a d = r * t . T h i s p r o v i d e s t w o d i f f i c u l t i e s f o r s t u d e n t s . O n e i s t h a t u n d e r c o n d i t i o n s o f v a r y i n g r a t e s , s t u d e n t s ' u s e o f t h e f o r m u l a d = r * t i s l i k e l y t o l e a d t o i n c o r r e c t o r v e r y i n a c c u r a t e a n s w e r s . W i t h o u t a p p r o p r i a t e e x p e r i e n c e s w i t h b o t h c o n s t a n t a n d v a r y i n g 2 3 r a t e s , s t u d e n t s m a y n o t u n d e r s t a n d w h y o r t h a t a f o r m u l a f o r c o n s t a n t r a t e d o e s n o t w o r k f o r v a r y i n g r a t e s . T h e o t h e r d i f f i c u l t y i s t h a t i f s t u d e n t s o n l y s t u d y c o n s t a n t r a t e s , t h e y w i l l n o t h a v e d e v e l o p e d w a y s o f d e a l i n g w i t h v a r i a b l e r a t e s . A v e r a g e r a t e o f c h a n g e p r o v i d e s a w a y o f s i m p l i f y i n g a n d i n i t i a l l y d e a l i n g w i t h v a r i a b l e r a t e s . R e c a l l t h a t O r e s m e a n d C a l c u l a t o r i n t h e m i d d l e a g e s a n d G a l i l e o i n t h e 1 6 t h c e n t u r y u s e d a v e r a g e r a t e o f c h a n g e t o m a k e s e n s e o f a s i t u a t i o n i n v o l v i n g v a r y i n g s p e e d u n d e r c o n d i t i o n s o f c o n s t a n t a c c e l e r a t i o n . I f s t u d e n t s h a v e k n o w l e d g e o f a v e r a g e r a t e o f c h a n g e , t h e y m i g h t b e a b l e t o u s e i t t o m a k e s e n s e o f v a r i a b l e r a t e s . B u t i f t h e i r o n l y e x p e r i e n c e s a r e w i t h c o n s t a n t r a t e s , t h e y a r e n o t l i k e l y t o k n o w a b o u t a v e r a g e r a t e o f c h a n g e o r s e e t h e n e e d f o r i t e s p e c i a l l y s i n c e i n t h e c a s e o f c o n s t a n t r a t e s , a v e r a g e r a t e o f c h a n g e o v e r a n i n t e r v a l i s t h e s a m e a s t h e u n i f o r m r a t e o f c h a n g e . S i n c e a v e r a g e r a t e o f c h a n g e p r o v i d e s t h e c o n c e p t u a l b a s i s o f a n a l y z i n g i n s t a n t a n e o u s r a t e o f c h a n g e , i t s e e m s t o b e g o o d f o r s t u d e n t s t o h a v e s o m e e x p e r i e n c e s w i t h a v e r a g e r a t e o f c h a n g e b e f o r e t h e y c o m e t o c a l c u l u s o r g e t e x t e n s i v e e x p e r i e n c e w i t h i t i n c a l c u l u s . M a n y c a l c u l u s t e x t s , i n c l u d i n g s o m e r e f o r m t e x t s , d o n o t , i n m y o p i n i o n , p r o v i d e e n o u g h h e l p f o r s t u d e n t s t o i n v e s t i g a t e d i f f e r e n c e s b e t w e e n u n i f o r m r a t e s a n d v a r y i n g r a t e s o r u n d e r s t a n d h o w a v e r a g e r a t e o f c h a n g e c a n h e l p m a k e s e n s e o f v a r i a b l e a n d i n s t a n t a n e o u s r a t e o f c h a n g e . T r a d i t i o n a l c a l c u l u s t e x t s t y p i c a l l y i n c l u d e a p a g e o r t w o d e v o t e d t o a v e r a g e r a t e o f c h a n g e w i t h f e w i f a n y w o r d s a b o u t d i f f e r e n c e s b e t w e e n u n i f o r m a n d v a r i a b l e r a t e s . C a l c u l u s r e f o r m t e x t s i n c l u d e m o r e d i s c u s s i o n , b u t l i m i t t h e i r d i s c u s s i o n o f a v e r a g e r a t e o f c h a n g e t o r e l a t i v e l y f e w p a g e s . O n e c a l c u l u s r e f o r m t e x t m a k e s a v e r a g e r a t e o f 2 4 c h a n g e t h e f o c u s o f i t s i n i t i a l c o n s i d e r a t i o n o f r a t e o f c h a n g e , b u t i t i s n o t w i d e l y u s e d . 2 W W W I f s t u d e n t s b e l i e v e m o v i n g o b j e c t s h a v e s p e e d a t e a c h i n s t a n t o f t i m e , t h e n i t i s o f t e n p o s s i b l e t o h a v e f r u i t f u l c o n v e r s a t i o n s a b o u t h o w r a t e o f c h a n g e a t a p o i n t c o u l d b e d e f i n e d . I f s t u d e n t s d o n o t b e l i e v e m o v i n g o b j e c t s h a v e s p e e d a t a p o i n t , t h e n t h e y m a y f i n d i t d i f f i c u l t t o c o m e t o s u c h a b e l i e f o r t o s e t a s i d e t h e i r d i s b e l i e f a n d t a k e o n t h e i n t e l l e c t u a l t a s k o f t h i n k i n g a b o u t h o w i t m a y b e r e a s o n a b l y d e f i n e d i f t h e r e w e r e s u c h a t h i n g . F o r t h e m o s t p a r t , c a l c u l u s t e x t w r i t e r s a n d t e a c h e r s a s s u m e t h a t s p e e d a t a p o i n t m a k e s s e n s e t o s t u d e n t s a n d p r o c e e d w i t h o u t m u c h p r e a m b l e t o d e f i n e i n s t a n t a n e o u s r a t e o f c h a n g e i n t e r m s o f t h e l i m i t o f a v e r a g e r a t e o f c h a n g e o v e r i n t e r v a l s o f d e c r e a s i n g w i d t h a r o u n d t h e p o i n t . M y e x p e r i e n c e i s t h a t t h i s h a s d i r e c o n s e q u e n c e s . I n s t a n t a n e o u s r a t e o f c h a n g e o f t e n d o e s n o t m a k e s e n s e t o s t u d e n t s a n d i t s c o n n e c t i o n s t o a v e r a g e r a t e o f c h a n g e e l u d e s t h e m . A c c e p t a n c e o f t h e i s s u e o f r a t e o f c h a n g e a t a p o i n t d o e s n o t c o m e e a s i l y . I t i s n o t a n o b s e r v a b l e p h y s i c a l p h e n o m e n o n . N o r d o e s i t f o l l o w t h e s a m e r u l e s o f f o r m a t i o n a s u n i f o r m o r v a r y i n g s p e e d b o t h o f w h i c h h a v e t o d o w i t h a c t u a l d i s t a n c e 2 g a l g n l n s _ i n _ g g n t e x t , o n e o f t h e N S F s p o n s o r e d c a l c u l u s r e f o r m t e x t s f e a t u r e s a n e x c e p t i o n a l l y c o m p e l l i n g e x a m p l e o f t h e u s e o f r a t e o f c h a n g e t o m a k e s e n s e o f a r e l a t i v e l y c o m p l e x s i t u a t i o n . I t i s a n e p i d e m i o l o g y m o d e l o f t h e s p r e a d o f a d i s e a s e t h r o u g h o u t a p o p u l a t i o n . T h i s e x a m p l e i s u s e d t o m o t i v a t e a n i n t r o d u c t i o n t o r a t e o f c h a n g e a n d e v e n t u a l l y t h e d e r i v a t i v e . O t h e r e x a m p l e s l i k e t h i s a p p e a r i n s o m e d e t a i l t h r o u g h o u t t h e t e x t , m a k i n g i t a r e f r e s h i n g c h a n g e f r o m o t h e r c a l c u l u s t e x t s , b o t h t r a d i t i o n a l a n d r e f o r m . T h i s t e x t w a s w r i t t e n b y T h e F i v e C o l l e g e s C a l c u l u s P r o j e c t ( S m i t h C o l l e g e , A m h e r s t C o l l e g e , H a m p s h i r e C o l l e g e , M o u n t H o l y o k e C o l l e g e , a n d U n i v e r s i t y o f M a s s a c h u s e t t s - A m h e r s t ) a n d i s a v a i l a b l e f r o m W . H . F r e e m a n a n d C o m p a n y . 2 5 t r a v e l e d o v e r a p e r i o d o f t i m e . I n t h e c a s e o f i n s t a n t a n e o u s r a t e o f c h a n g e , t h e r e i s n o p e r i o d o f t i m e ; t h e r e i s a p o i n t i n t i m e . H o w c a n o n e t r a v e l a r e a l , o b s e r v a b l e d i s t a n c e i n a p o i n t o f t i m e ? I t i s n o t u n u s u a l f o r s t u d e n t s t o s a y t h e r e i s n o s u c h t h i n g a s s p e e d a t a p o i n t b e c a u s e y o u h a v e t o h a v e a n i n t e r v a l o f t i m e t o h a v e a s p e e d . I n a d d i t i o n , s t u d e n t s o f t e n h a v e t r o u b l e w i t h t h e l i m i t c o n c e p t . I n s t a n t a n e o u s r a t e o f c h a n g e i s d e f i n e d i n t e r m s o f a p a r t i c u l a r l i m i t . S o s t u d e n t s w h o a r e s t r u g g l i n g w i t h u n d e r s t a n d i n g l i m i t s m a y a l s o s t r u g g l e w i t h u n d e r s t a n d i n g i n s t a n t a n e o u s r a t e o f c h a n g e . M o s t c a l c u l u s t e x t s h a v e e x t e n s i v e w o r k o n l i m i t s b e f o r e t h e i r t r e a t m e n t o f t h e d e r i v a t i v e a n d i n s t a n t a n e o u s r a t e o f c h a n g e . B u t m y o b s e r v a t i o n s l e a d m e t o b e l i e v e t h a t u n d e r s t a n d i n g t h e l i m i t c o n c e p t c o m e s v e r y h a r d f o r s t u d e n t s a n d e v e n m o r e s o , t h e c o n n e c t i o n b e t w e e n l i m i t s a n d i n s t a n t a n e o u s r a t e o f c h a n g e . A l l o f t h e s e f a c t o r s , l a c k o f k n o w l e d g e o f e l e m e n t a r y f u n c t i o n s a n d o f c o n n e c t i o n s b e t w e e n t h e i r g r a p h s a n d a l g e b r a i c p r o p e r t i e s , l a c k o f e x p e r i e n c e w i t h s i t u a t i o n s i n v o l v i n g v a r y i n g s p e e d a n d a v e r a g e r a t e o f c h a n g e , a n d l a c k o f s e n s e - m a k i n g w i t h l i m i t s a n d t h e c o n c e p t o f r a t e o f c h a n g e a t a p o i n t , c o n s p i r e t o m a k e l e a r n i n g r a t e o f c h a n g e d i f f i c u l t . I f s t u d e n t s a r e t o g r a s p r a t e o f c h a n g e , t h e n a t a m i n i m u m , t h e y m u s t u n d e r s t a n d t h a t f u n c t i o n s r e p r e s e n t r e l a t i o n s h i p s b e t w e e n v a r y i n g q u a n t i t i e s , t h a t t h e y c a n b e r e p r e s e n t e d a s e q u a t i o n s , g r a p h s , a n d t a b l e s o f v a l u e s , a n d t h a t t h o s e r e p r e s e n t a t i o n s a r e r e l a t e d t o e a c h o t h e r i n i m p o r t a n t w a y s t h a t r e v e a l r a t e o f c h a n g e . A d d i t i o n a l l y i t m a y b e h e l p f u l f o r s t u d e n t s t o u n d e r s t a n d d i f f e r e n c e s b e t w e e n c o n s t a n t a n d v a r y i n g r a t e s , t h a t a v e r a g e r a t e o f c h a n g e c a n p r o v i d e a w a y o f i n i t i a l l y m a k i n g s e n s e o f v a r y i n g r a t e s , a n d 2 6 t h a t a v e r a g e r a t e o f c h a n g e a n d t h e l i m i t c o n c e p t p r o v i d e a w a y o f c o n s t r u c t i n g s u c h a t h i n g a s i n s t a n t a n e o u s r a t e o f c h a n g e . T h i s m e a n s , a m o n g o t h e r t h i n g s , t h a t s t u d e n t s n e e d , b e f o r e t h e y g e t t o c a l c u l u s , e x p e r i e n c e s w i t h v a r i a b l e a n d a v e r a g e r a t e o f c h a n g e i n s i t u a t i o n s i n v o l v i n g m u l t i p l e r e p r e s e n t a t i o n s o f r e l a t i o n s h i p s b e t w e e n v a r y i n g q u a n t i t i e s a n d t h a t i n c a l c u l u s , s t u d e n t s n e e d t o b e g i v e n m u c h m o r e s u p p o r t i n s e e i n g r e l a t i o n s h i p s a m o n g u n i f o r m , a v e r a g e , a n d i n s t a n t a n e o u s r a t e o f c h a n g e . T h e M a t h e m a t i c a l A s s o c i a t i o n o f A m e r i c a , N a t i o n a l R e s e a r c h C o u n c i l , a n d t h e N a t i o n a l S c i e n c e F o u n d a t i o n h a v e a l l i n d i c a t e d c o n c e r n a b o u t m a t h e m a t i c s e d u c a t i o n i n t h e U n i t e d S t a t e s , w i t h s o m e s p e c i a l c o n c e r n f o r c a l c u l u s . E a c h y e a r o v e r a m i l l i o n s t u d e n t s t a k e c a l c u l u s i n h i g h s c h o o l o r c o l l e g e ( N a t i o n a l R e s e a r c h C o u n c i l , 1 9 8 9 ) . T h e n u m b e r o f s t u d e n t s t a k i n g c a l c u l u s h a s r i s e n s t e a d i l y s i n c e t h e m i d 1 9 6 0 ' s ( N a t i o n a l R e s e a r c h C o u n c i l , 1 9 9 1 ) , y e t a b o u t h a l f o f t h o s e s t u d e n t s e i t h e r f a i l c a l c u l u s ( D o u g l a s , 1 9 8 6 a , 1 9 8 6 b ) o r d o s o p o o r l y t h e y a r e d i s c o u r a g e d f r o m c o n t i n u i n g t h e i r s t u d y o f m a t h e m a t i c s ( N a t i o n a l R e s e a r c h C o u n c i l , 1 9 9 1 ) . I n t h e 1 9 8 1 - 8 2 S e c o n d I n t e r n a t i o n a l M a t h e m a t i c s S t u d y ( S I M S ) l e s s t h a n a t h i r d o f s t u d e n t s t a k i n g c a l c u l u s i n h i g h s c h o o l a n d o n l y a l i t t l e m o r e t h a n h a l f w h o h a d f i n i s h e d c a l c u l u s c o u l d o b t a i n t h e v a l u e o f a d e f i n i t e i n t e g r a l f o r t h e a r e a o f a r e g i o n u n d e r t h e g r a p h o f a l i n e a r f u n c t i o n w h e n t h e r e g i o n a n d l i n e a r f u n c t i o n w e r e r e p r e s e n t e d b y a g r a p h . O t h e r i n t e r n a t i o n a l c o m p a r i s o n s s h o w U S s t u d e n t s p e r f o r m i n g p o o r l y o n i t e m s a b o u t c o n c e p t u a l u n d e r s t a n d i n g o f c a l c u l u s a n d r e l a t i v e l y s i m p l e s t a n d a r d c a l c u l u s c o m p u t a t i o n s ( M c K n i g h t , e t a l , 2 7 1 9 8 7 ) . T h e s e r e p o r t s o f c a l c u l u s s t u d e n t s ' p e r f o r m a n c e s l e d i n t h e 1 9 8 0 ' s t o a $ 7 m i l l i o n c a l c u l u s r e f o r m i n i t i a t i v e f u n d e d b y t h e N a t i o n a l S c i e n c e F o u n d a t i o n . A m a j o r f o c u s o f t h a t e f f o r t h a s b e e n t o p r o d u c e c u r r i c u l u m m a t e r i a l s a n d f o s t e r i n s t r u c t i o n t h a t e m p h a s i z e c o n c e p t u a l u n d e r s t a n d i n g o f c a l c u l u s . C a l c u l u s h a s b e e n d e s c r i b e d a s a g a t e w a y t o t h e s t u d y o f a d v a n c e d m a t h e m a t i c s a n d n a t u r a l , p h y s i c a l , a n d s o c i a l s c i e n c e s ( D o u g l a s , 1 9 8 6 a ) . I t s r o l e i n p r e p a r a t i o n f o r s t u d y i n t h e s e a r e a s h a s i n c r e a s e d i n t h e l a s t t h i r t y y e a r s . M o r e u s e s o f c a l c u l u s c o n c e p t s a n d t e c h n i q u e s h a v e c o m e i n t o b e i n g w i t h a n e m p h a s i s o n d y n a m i c a l s y s t e m s i n b i o l o g y , p h y s i c s , a n d e c o n o m i c s . C o m p u t e r s c i e n c e , a n a r e a o f s t u d y c o n c e r n e d p r i m a r i l y w i t h d i s c r e t e m a t h e m a t i c s , i s a s k e d t o d e a l w i t h c o n t i n u o u s c h a n g e i n b o t h t h e o r e t i c a l a n d a p p l i e d w a y s . S t u d e n t s w h o w i s h t o p u r s u e s e r i o u s s t u d y i n t h e s e a c a d e m i c a r e a s n e e d a g o o d c o n c e p t u a l f o u n d a t i o n i n t h e c a l c u l u s . T h e c a l c u l u s r e f o r m e f f o r t w a s b o r n e o u t o f e v i d e n c e t h a t s t u d e n t s i n t r a d i t i o n a l c a l c u l u s c l a s s e s d o n o t h a v e t h i s c o n c e p t u a l u n d e r s t a n d i n g a n d h a s w o r k e d t o d e v e l o p t h e m e a n s f o r h e l p i n g s t u d e n t s a c q u i r e t h i s u n d e r s t a n d i n g . T h e c o n c e p t u a l d i f f i c u l t i e s i n v o l v e d i n l e a r n i n g c a l c u l u s h a v e n o t e s c a p e d t h e a t t e n t i o n o f m a t h e m a t i c s e d u c a t i o n r e s e a r c h e r s . I n c h a p t e r 2 , I w i l l g i v e a m o r e d e t a i l e d d i s c u s s i o n o f r e s e a r c h a b o u t s t u d e n t s ' d i f f i c u l t i e s w i t h c a l c u l u s . H e r e m y p u r p o s e i s t o p r o v i d e s o m e e v i d e n c e t h a t s t u d e n t s h a v e c o n c e p t u a l d i f f i c u l t i e s w i t h c a l c u l u s . S o m e r e s e a r c h s t u d i e s s h o w c a l c u l u s s t u d e n t s h a v i n g t r o u b l e f o r m i n g a n d m a n i p u l a t i n g a l g e b r a i c r e p r e s e n t a t i o n s f o r r e l a t i o n s h i p s b e t w e e n c h a n g i n g q u a n t i t i e s ( M o n k , 1 9 9 2 a , 1 9 9 2 b ; W h i t e a n d M i c h e l m o r e , 2 8 1 9 9 6 ) . O t h e r s s h o w t h a t c a l c u l u s s t u d e n t s a r e o f t e n u n f a m i l i a r w i t h g r a p h s o f f a m i l i e s o f f u n c t i o n s ( l i n e a r , q u a d r a t i c , r a t i o n a l , e x p o n e n t i a l , t r i g o n o m e t r i c ) a n d s i g n i f i c a n t r e l a t i o n s h i p s b e t w e e n t h e i r e q u a t i o n s a n d t h e i r g r a p h s ( H a u g e r , 1 9 9 1 ; E v a n , 1 9 8 9 , 1 9 9 0 , 1 9 9 3 ) . S t i l l o t h e r s c o n c e r n s t u d e n t s ' k n o w l e d g e o f f u n c t i o n s ( D r e y f u s a n d E i s e n b e r g , 1 9 8 2 , 1 9 8 3 , 1 9 8 7 ; A y e r s , D a v i s , D u b i n s k y , a n d L e w i n , 1 9 8 8 ; V i n n e r , 1 9 8 3 ; V i n n e r a n d D r e y f u s , 1 9 8 9 ) . A l l o f t h e s e s t u d i e s d e a l w i t h k n o w l e d g e t r a d i t i o n a l l y c o n s i d e r e d p r e r e q u i s i t e f o r t h e s t u d y o f c a l c u l u s t h a t t e a c h e r s o f c a l c u l u s u n f o r t u n a t e l y o f t e n a s s u m e s t u d e n t s a l r e a d y p o s s e s s . O t h e r s t u d i e s d e a l m o r e d i r e c t l y w i t h s p e c i f i c c a l c u l u s c o n c e p t s a n d c h r o n i c l e d i f f i c u l t i e s s t u d e n t s h a v e w i t h t h e s e c o n c e p t s . S o m e o f t h e s e s t u d i e s d e a l w i t h s t u d e n t s ' k n o w l e d g e o f i n t e g r a t i o n ( O r t o n , 1 9 8 3 b ) , l i m i t s ( C o r n u , 1 9 8 1 ; T a l l a n d V i n n e r , 1 9 8 1 ; M o n a g h a n , 1 9 9 1 ; W i l l i a m s , 1 9 9 1 ; C o n f r e y , 1 9 8 0 ; G r a h a m a n d F e r r i n i - M u n d y , 1 9 8 9 ; T a l l a n d S c h w a r z e n b e r g e r , 1 9 7 8 ; D a v i s a n d V i n n e r , 1 9 8 6 ) , a n d c o n t i n u i t y ( T a l l a n d V i n n e r , 1 9 8 1 ; K a r p l u s , 1 9 7 9 ; V i n n e r , 1 9 8 7 ) . T h e s e , l i k e r a t e o f c h a n g e , a r e t y p i c a l t o p i c s i n c a l c u l u s , a n d t h e s e s t u d i e s s h o w t h a t s t u d e n t s h a v e d i f f i c u l t y u n d e r s t a n d i n g t h e m . M o s t p e r t i n e n t t o t h i s d i s s e r t a t i o n a r e s t u d i e s c o n c e r n i n g c a l c u l u s s t u d e n t s ' k n o w l e d g e o f d e r i v a t i v e a n d r a t e o f c h a n g e . S o m e o f t h e s e s t u d i e s w i l l b e m o r e e x t e n s i v e l y r e v i e w e d i n C h a p t e r 2 , b u t I h a v e c h o s e n o n e i n p a r t i c u l a r t o d i s c u s s h e r e b e c a u s e i t d e a l s w i t h c a l c u l u s a n d p o s t c a l c u l u s s t u d e n t s ' g e n e r a l k n o w l e d g e o f t h e d e r i v a t i v e , a c o n c e p t t h e y h a v e s t u d i e d e x t e n s i v e l y i n c a l c u l u s . I n p a r t i c u l a r , i t i n c l u d e s a v a r i e t y o f s t a n d a r d e l e m e n t a r y c a l c u l u s t a s k s i n v o l v i n g r a t e o f c h a n g e . I t w a s b a s e d o n i n d i v i d u a l i n t e r v i e w s w i t h a l a r g e s a m p l i n g 2 9 o f s t u d e n t s , 6 0 s t u d e n t s n e a r t h e e n d o f t h e i r e l e m e n t a r y c a l c u l u s c o u r s e a n d S O i n m a t h e m a t i c s c o u r s e s b e y o n d c a l c u l u s . T h i s s t u d y , c o n d u c t e d b y O r t o n ( 1 9 8 4 , 1 9 8 3 a ) , s h o w e d t h a t t h e s e c a l c u l u s a n d p o s t c a l c u l u s s t u d e n t s e x p e r i e n c e d m a n y d i f f i c u l t i e s w i t h r a t e o f c h a n g e t a s k s . S t u d e n t s h a d d i f f i c u l t y d i s t i n g u i s h i n g a m o n g c o n s t a n t r a t e o f c h a n g e , a v e r a g e r a t e o f c h a n g e , a n d r a t e o f c h a n g e a t a p o i n t . I n o n e t a s k s t u d e n t s w e r e g i v e n a v e r b a l d e s c r i p t i o n o f t w o c h a n g i n g q u a n t i t i e s s y m b o l i z e d b y t h e v a r i a b l e s y m b o l s X a n d Y . I n t h e v e r b a l d e s c r i p t i o n , t h e r a t e w a s i d e n t i f i e d a s a c o n s t a n t r a t e a n d i t s v a l u e w a s g i v e n . S t u d e n t s w e r e a l s o g i v e a g r a p h a n d t a b l e o f v a l u e s s h o w i n g t h e l i n e a r r e l a t i o n s h i p b e t w e e n X a n d Y i n c l u d i n g f i r s t o r d e r d i f f e r e n c e s f o r Y , d i f f e r e n c e s b e t w e e n t w o c o n s e c u t i v e y v a l u e s i n t h e t a b l e , Y L A ' Y I - W h e n a s k e d f o r t h e r a t e o f i n c r e a s e i n Y w h e n X = 2 . 5 a n d w h e n X = t , o v e r o n e - f i f t h o f t h e s t u d e n t s g a v e t h e v a l u e o f Y . S i m i l a r r e s u l t s w e r e o b t a i n e d i n a n o t h e r t a s k i n v o l v i n g a l i n e a r g r a p h a n d i t s e q u a t i o n . W h e n g i v e n t h e e q u a t i o n a n d g r a p h o f a q u a d r a t i c f u n c t i o n , t w o - t h i r d s o f t h e s t u d e n t s c o u l d n o t f i n d t h e a v e r a g e r a t e o f c h a n g e o f Y f o r v a l u e s o f X i n t h e i n t e r v a l [ a , a + h ] a n d a l m o s t 9 0 p e r c e n t c o u l d n o t u s e a v e r a g e r a t e o f c h a n g e o v e r t h i s i n t e r v a l t o d i s c u s s h o w t h e y w o u l d f i n d t h e r a t e o f c h a n g e a t a s p e c i f i c o r g e n e r a l v a l u e o f X . N o n e o f t h e s t u d e n t s a t t e m p t e d t o d r a w a l i n e t a n g e n t t o t h e c u r v e a n d e s t i m a t e i t s s l o p e o r g i v e a v e r b a l d e s c r i p t i o n o f s u c h a p r o c e d u r e . G i v e n a g r a p h w i t h p o i n t s l a b e l e d a n d t h e i r X a n d Y c o o r d i n a t e s e a s i l y v i s i b l e , o v e r o n e - t h i r d o f t h e s t u d e n t s w e r e u n a b l e t o f i n d t h e a v e r a g e r a t e o f c h a n g e o f Y b e t w e e n s e l e c t e d v a l u e s o f X . C o m m o n e r r o r s i n c l u d e d f o r m i n g a r a t i o w i t h d e l t a Y o v e r o n e o f t h e X v a l u e s o r o n e o f t h e Y 3 0 v a l u e s o v e r o n e o f t h e X v a l u e s o r s i m p l y g i v i n g o n e o f t h e Y v a l u e s a s t h e a n s w e r . E v e n w h e n c o r r e c t n u m e r i c a l a n s w e r s w e r e o b t a i n e d , r e q u i r e d n e g a t i v e s i g n s w e r e o f t e n o m i t t e d . S t u d e n t s w e r e a s k e d w h a t w a s m e a n t b y t h e s y m b o l s d y / d x a n d ( d e l t a y ) / ( d e l t a x ) . M a n y c o u l d n o t s a y n o r c o u l d t h e y r e l a t e t h e t w o . M a n y c o u l d n o t c a l c u l a t e t h e d e r i v a t i v e e x p r e s s i o n f o r s o m e g i v e n f u n c t i o n e q u a t i o n s , n o r c o u l d t h e y s u c c e s s f u l l y s o l v e e q u a t i o n s i n v o l v i n g s e t t i n g t h e d e r i v a t i v e e x p r e s s i o n t o z e r o o r s a y w h a t w a s m e a n t b y t h e n u m b e r o b t a i n e d w h e n e v a l u a t i n g t h e d e r i v a t i v e e x p r e s s i o n f o r a g i v e n n u m e r i c a l v a l u e o f X . M a n y o f t h e s e s t u d e n t s c o u l d n o t r e l a t e t h e p r o c e s s o f f i n d i n g t h e d e r i v a t i v e o f a f u n c t i o n t o t h e s l o p e o f a c u r v e o r t h e l i n e t a n g e n t t o a c u r v e , n o r c o u l d t h e y r e l a t e r o t a t i n g s e c a n t l i n e s t o t h e t a n g e n t l i n e . T h e s e a r e a l l s t a n d a r d w a y s o f w o r k i n g w i t h r a t e o f c h a n g e i n c a l c u l u s . T h i s s t u d y a n d o t h e r s d o c u m e n t d i f f i c u l t i e s c a l c u l u s a n d p o s t c a l c u l u s s t u d e n t s h a d w i t h r a t e o f c h a n g e a n d s h o w e d t h a t e v e n a f t e r i n s t r u c t i o n i n c a l c u l u s , t h e s e s t u d e n t s o f t e n c o u l d n o t s o l v e p r o b l e m s i n v o l v i n g r a t e o f c h a n g e . O v e r a l l , t h e O r t o n s t u d y s u g g e s t s t h a t s t u d e n t s a r e n o t l e a r n i n g m u c h i n o u r c a l c u l u s c l a s s e s . W h a t d o e s i t m e a n t o k n o w r a t e o f c h a n g e ? T h i s d i s s e r t a t i o n e x p l o r e s h i g h s c h o o l a n d c o l l e g e s t u d e n t s ' k n o w l e d g e o f r a t e o f c h a n g e . R a t e o f c h a n g e i s a m u l t i f a c e t e d c o n c e p t . I t s e e m s r e a s o n a b l e a t t h i s p o i n t t o d i s c u s s s o m e o f t h e m o s t i m p o r t a n t e l e m e n t s . S i n c e r a t e o f c h a n g e i s c o n s i d e r e d w i t h i n t h e c o n t e x t o f f u n c t i o n s , I f i r s t d i s c u s s f u n c t i o n s a n d t h e i r r e p r e s e n t a t i o n s a s g r a p h s , t a b l e s , a n d e q u a t i o n s . T h e n I i n t r o d u c e r a t e o f c h a n g e i n t e r m s o f t h r e e p e r s p e c t i v e s a n d t h r e e t y p e s o f r e a s o n i n g . 3 1 G e n e r a l l y , r a t e o f c h a n g e r e f e r s t o t h e c h a r a c t e r o f c h a n g e i n o n e q u a n t i t y r e l a t i v e t o c h a n g e i n a n o t h e r q u a n t i t y . W e t h i n k o f r a t e o f c h a n g e i n t h e c o n t e x t o f a f u n c t i o n d e s c r i b i n g a r e l a t i o n s h i p b e t w e e n t w o v a r i a b l e s , o n e c a l l e d t h e i n d e p e n d e n t v a r i a b l e ( o f t e n r e f e r r e d t o a s X ) a n d t h e o t h e r c a l l e d t h e d e p e n d e n t v a r i a b l e ( o f t e n r e f e r r e d t o b y Y o r f ( X ) ) . M o r e p r e c i s e l y t h e n , r a t e o f c h a n g e r e f e r s t o c h a n g e i n Y , t h e d e p e n d e n t v a r i a b l e , r e l a t i v e t o c h a n g e i n X , t h e i n d e p e n d e n t v a r i a b l e . F i g u r e 3 s h o w s t h e p o p u l a t i o n o f y e a s t c e l l s i n a c u l t u r e o v e r a p e r i o d o f 1 8 h o u r s ( f r o m m i d n i g h t t o 6 p . m . ) a s a g r a p h a n d a t a b l e . T h i s i s a n e x a m p l e o f a f u n c t i o n w i t h t i m e a s t h e i n d e p e n d e n t v a r i a b l e a n d n u m b e r o f c e l l s a s t h e d e p e n d e n t v a r i a b l e . R a t e o f c h a n g e i n t h i s c o n t e x t r e f e r s t o c h a n g e i n t h e n u m b e r o f c e l l s r e l a t i v e t o c h a n g e i n t i m e . T h e d o m a i n o f a f u n c t i o n i s t h e s e t o f a l l o w a b l e v a l u e s o f t h e i n d e p e n d e n t v a r i a b l e a n d t h e r a n g e i s t h e s e t o f v a l u e s o f t h e d e p e n d e n t v a r i a b l e . I n o u r e x a m p l e , t h e d o m a i n c o n s i s t s o f t h e r e a l n u m b e r s f r o m 0 ( r e p r e s e n t i n g m i d n i g h t ) t o 1 8 ( r e p r e s e n t i n g 6 p . m . ) a n d t h e r a n g e i s t h e s e t o f r e a l n u m b e r s f r o m 9 . 6 t o 6 6 1 . 8 . 3 2 T i m e N o . o f ( h o u r s ) c e l l s 3 0 9 . 6 Y e a s t c e l l p o p u l a t i o n o v e r 1 8 h o u r s 1 1 8 _ 3 2 2 9 . 0 7 0 0 3 4 7 . 2 4 7 1 . 1 6 0 0 5 1 1 9 . 1 . 2 5 0 0 6 1 7 4 . 6 “ g _ 7 2 5 7 . 3 3 4 0 ° . N , 1 8 3 5 0 . 7 t 9 4 4 1 . 0 g 3 0 0 ~ / 1 0 5 1 3 . 3 : 2 0 0 1 1 5 5 9 . 7 J _ 1 2 5 9 4 . 8 1 0 0 M 1 3 6 2 9 . 4 0 " é ' * - 1 4 6 4 0 . 8 0 5 1 0 1 5 2 0 1 5 5 5 1 . 1 t i m e ( I n h o u r s ) 1 6 5 5 5 - 9 1 7 6 5 9 . 6 1 8 6 6 1 . 8 F i g u r e 3 — G r a p h a n d t a b l e o f v a l u e s f o r g r o w t h o f y e a s t c e l l s o v e r t i m e F u n c t i o n s a r e m a t h e m a t i c a l o b j e c t s a n d c a n n o t b e d i r e c t l y e x a m i n e d , b u t t h e y c a n b e r e p r e s e n t e d i n s e v e r a l w a y s . T h e y c a n b e r e p r e s e n t e d a s g r a p h s w i t h t h e i n d e p e n d e n t v a r i a b l e l a b e l e d a n d s c a l e d o n t h e h o r i z o n t a l a x i s a n d t h e d e p e n d e n t v a r i a b l e o n t h e v e r t i c a l a x i s . T h e c o o r d i n a t e s o f p o i n t s o n t h e g r a p h a r e f o r m e d b y v a l u e s o f t h e d e p e n d e n t v a r i a b l e a n d t h e i r a s s o c i a t e d i n d e p e n d e n t v a r i a b l e v a l u e s . O n e p o i n t o n t h e g r a p h i n F i g u r e 3 h a s c o o r d i n a t e s ( 4 , 7 1 . 1 ) I t s h o w s t h a t f o r a t i m e v a l u e o f 4 t h e n u m b e r o f c e l l s w a s 7 1 . 1 . G r a p h s o f a 3 T h i s d a t a c a m e f r o m P e a r l ( 1 9 2 7 ) . I n t h i s a r t i c l e , P e a r l e x p l a i n s h o w t h e c e l l c o u n t w a s o b t a i n e d : " B e c a u s e o f t h e m i n u t e s i z e o f t h e i n d i v i d u a l c e l l s , a n d o f o t h e r t e c h n i c a l d i f f i c u l t i e s , s o m e s o r t o f i n d i r e c t m e t h o d i s c o m m o n l y u s e d t o m e a s u r e t h e s i z e o f t h e p o p u l a t i o n , i n p l a c e o f d i r e c t c o u n t s . " ( p . 5 3 3 ) . A p p a r e n t l y t h e v a l u e s i n t h e c o l u m n l a b e l e d " N o . o f c e l l s " r e p r e s e n t a n e s t i m a t e o f t h e n u m b e r o f c e l l s d e t e r m i n e d b y l a b o r a t o r y t e c h n i q u e s b a s e d o n w e i g h i n g t h e s p e c i m e n o r c o u n t i n g c e l l s o r p a r t s o f c e l l s i n o n e m i c r o s c o p e w i n d o w . T h a t w o u l d e x p l a i n w h y t h e n u m b e r o f c e l l s a r e n o t w h o l e n u m b e r s b u t h a v e d e c i m a l v a l u e s . 3 3 f u n c t i o n a r e u s u a l l y f o r m e d b y c o n n e c t i n g p o i n t s a s s o c i a t e d w i t h c o r r e s p o n d i n g v a l u e s o f t h e i n d e p e n d e n t a n d d e p e n d e n t v a r i a b l e s . F u n c t i o n s c a n a l s o b e r e p r e s e n t e d b y t a b l e s o f n u m e r i c a l v a l u e s w h e r e o n e c o l u m n d i s p l a y s v a l u e s o f t h e i n d e p e n d e n t v a r i a b l e a n d t h e o t h e r c o l u m n t h e c o r r e s p o n d i n g v a l u e s o f t h e d e p e n d e n t v a r i a b l e . I n t h e t a b l e i n F i g u r e 3 , t h e l e f t c o l u m n c o n t a i n s v a l u e s o f t h e i n d e p e n d e n t v a r i a b l e t i m e a n d t h e r i g h t c o l u m n c o n t a i n s v a l u e s o f t h e d e p e n d e n t v a r i a b l e n u m b e r o f c e l l s . F u n c t i o n s c a n a l s o b e r e p r e s e n t e d b y e q u a t i o n s . T h e e q u a t i o n o f b e s t f i t f o r t h e f u n c t i o n r e p r e s e n t e d b y t h e d a t a i n F i g u r e 3 i s f ( X ) = 6 6 5 4 . 1 8 9 6 - O . 5 3 5 5 X 1 + e w h e r e X r e p r e s e n t s t h e t i m e i n h o u r s a n d f ( x ) r e p r e s e n t s t h e n u m b e r o f c e l l s . T h e n u m b e r o f c e l l s f o r a p a r t i c u l a r t i m e v a l u e c a n b e f o u n d b y e v a l u a t i n g t h e e x p r e s s i o n o n t h e r i g h t s i d e o f t h i s e q u a t i o n f o r t h a t t i m e v a l u e . T h e t i m e v a l u e f o r a p a r t i c u l a r n u m b e r o f c e l l s c a n b e f o u n d b y s e t t i n g t h e r i g h t s i d e o f t h e e q u a t i o n e q u a l t o t h a t n u m b e r o f c e l l s a n d s o l v i n g f o r x . T h i s e q u a t i o n i s a l o g i s t i c c u r v e . L o g i s t i c c u r v e s h a v e b e e n s t u d i e d e x t e n s i v e l y . I n f a c t , i t w a s a c o n s i d e r a t i o n o f r a t e o f c h a n g e i n s i t u a t i o n s i n v o l v i n g p o p u l a t i o n g r o w t h t h a t g e n e r a t e d e q u a t i o n s f o r l o g i s t i c c u r v e s ( G i o r d a n o a n d W e i r , 1 9 8 5 ) . I f r a t e o f c h a n g e r e f e r s t o t h e c h a n g e i n o n e q u a n t i t y r e l a t i v e t o c h a n g e i n a n o t h e r , t h e r e a r e d i f f e r e n t w a y s t o e x a m i n e a n d a n a l y z e t h a t c h a n g e . I c a l l t h e s e w a y s p e r s p e c t i v e s b e c a u s e t h e y r e p r e s e n t d i f f e r e n t v i e w s o f l o o k i n g a t r a t e o f c h a n g e a n d g i v e , I b e l i e v e , d i f f e r e n t i n f o r m a t i o n . I r e f e r t o t h e s e a s g l o b a l , i n t e r v a l , a n d p o i n t p e r s p e c t i v e s o n r a t e o f c h a n g e . T h e y r e p r e s e n t a s u c c e s s i v e n a r r o w i n g 3 4 o f i n t e l l e c t u a l f o c u s o n t h e n a t u r e o f c h a n g e i n a s i t u a t i o n . A g l o b a l p e r s p e c t i v e c o n s i d e r s c h a n g e s i n t h e d e p e n d e n t v a r i a b l e o v e r t h e e n t i r e d o m a i n o f t h e i n d e p e n d e n t v a r i a b l e . F o r a g i v e n f u n c t i o n f ( X ) , i t s d e r i v a t i v e f u n c t i o n , f ' ( X ) , y i e l d s i n f o r m a t i o n a b o u t t h e r a t e o f c h a n g e o f f ( X ) o v e r i t s e n t i r e d o m a i n . T h i s i s o n e w a y m a t h e m a t i c i a n s m i g h t t h i n k a b o u t a g l o b a l p e r s p e c t i v e o n r a t e o f c h a n g e . A n i n t e r v a l p e r s p e c t i v e r e f e r s t o c h a n g e i n t h e d e p e n d e n t v a r i a b l e o f a f u n c t i o n o v e r i n t e r v a l s o f t h e i n d e p e n d e n t v a r i a b l e s m a l l e r t h a n i t s e n t i r e d o m a i n . O n e i m p o r t a n t m a t h e m a t i c a l c o n c e p t a s s o c i a t e d w i t h a n i n t e r v a l p e r s p e c t i v e i s a v e r a g e r a t e o f c h a n g e . F o r a g i v e n f u n c t i o n , t h e a v e r a g e r a t e o f c h a n g e i n t h e d e p e n d e n t v a r i a b l e o v e r t h e i n t e r v a l f r o m X = a t o X = b i s g i v e n b y ( f ( b ) - f ( a ) ) / ( b - a ) . A p o i n t p e r s p e c t i v e f o c u s e s o n c h a n g e i n t h e d e p e n d e n t v a r i a b l e f o r a n i n d i v i d u a l v a l u e o f t h e i n d e p e n d e n t v a r i a b l e . F o r a f u n c t i o n f ( X ) , t h e v a l u e o f t h e i t s d e r i v a t i v e f ' ( X ) a t x = c , f ' ( c ) , y i e l d s t h e r a t e o f c h a n g e o f t h e d e p e n d e n t v a r i a b l e o f f ( X ) a t t h e p o i n t ( c , f ( c ) ) . B e l o w I w i l l d i s c u s s e a c h p e r s p e c t i v e i n m o r e d e t a i l . I w i l l a l s o i n t r o d u c e a n d d i s c u s s t h r e e t y p e s o f r e a s o n i n g a b o u t r a t e o f c h a n g e - q u a l i t a t i v e , n u m e r i c a l , a n d a l g e b r a i c . T h e s e t y p e s o f r e a s o n i n g a r e d i f f e r e n t m e a n s o f a n a l y z i n g w h a t i s h a p p e n i n g i n s i t u a t i o n s i n v o l v i n g r a t e o f c h a n g e . Q u a l i t a t i v e r e a s o n i n g r e f e r s p r i m a r i l y t o t h e u s e o f g r a p h i c a l f e a t u r e s t o d r a w c o n c l u s i o n s a b o u t r a t e o f c h a n g e , e s p e c i a l l y c o m p a r a t i v e j u d g m e n t s l i k e “ m o r e ” , “ l e s s ” , “ m o s t ” , a n d “ l e a s t ” . N u m e r i c a l r e a s o n i n g c o n c e r n s t h e c a l c u l a t i o n o r u s e o f n u m e r i c a l v a l u e s t o m a k e d e c i s i o n s a b o u t r a t e o f c h a n g e . A l g e b r a i c r e a s o n i n g i n v o l v e s t h e u s e o f a l g e b r a i c n o t a t i o n ( e x p r e s s i o n s , f o r m u l a e , a n d e q u a t i o n s ) t o m a k e j u d g m e n t s a b o u t r a t e o f c h a n g e . ( S e e A p p e n d i x B . ) 3 5 8 1 9 W . T h i s p e r s p e c t i v e f o c u s e s o n c h a n g e i n t h e d e p e n d e n t v a r i a b l e o v e r t h e e n t i r e d o m a i n o f t h e i n d e p e n d e n t v a r i a b l e . F o r e x a m p l e , d e c i d i n g f o r w h a t v a l u e s o f t h e d o m a i n o f t h e i n d e p e n d e n t v a r i a b l e t h e d e p e n d e n t v a r i a b l e i s i n c r e a s i n g o r d e c r e a s i n g , i n c r e a s i n g o r d e c r e a s i n g a t a f a s t o r s l o w c o n s t a n t r a t e , o r i n c r e a s i n g o r d e c r e a s i n g a t s u c c e s s i v e l y f a s t e r o r s l o w e r r a t e s i n v o l v e j u d g m e n t s f r o m a g l o b a l p e r s p e c t i v e b e c a u s e t h e e n t i r e d o m a i n o f t h e i n d e p e n d e n t v a r i a b l e o r l a r g e s e c t i o n s o f i t m u s t b e c o n s i d e r e d . I n F i g u r e 3 i t i s f a i r l y e a s y t o s e e f r o m t h e g r a p h t h a t t h e n u m b e r o f c e l l s i n c r e a s e d t h r o u g h o u t t h e e n t i r e t i m e f r o m 0 t o 1 8 a n d t h e n u m b e r o f c e l l s i n c r e a s e d s u c c e s s i v e l y f a s t e r u n t i l a b o u t 8 a . m . a n d t h e n i n c r e a s e d s u c c e s s i v e l y s l o w e r f r o m 8 a . m . t o 6 p . m . . T h i s c a n b e s e e n m o s t e a s i l y b y n o t i n g t h a t t h e g r a p h r i s e s t h r o u g h o u t t h e e n t i r e t i m e a n d g e t s s u c c e s s i v e l y s t e e p e r u n t i l 8 a . m . a n d t h e n s u c c e s s i v e l y f l a t t e r a f t e r t h a t . T h i s i s a n e x a m p l e o f q u a l i t a t i v e r e a s o n i n g s i n c e i t r e l i e s o n g r a p h i c a l c h a r a c t e r i s t i c s t o m a k e t h e s e c o n c l u s i o n s . O n e c o u l d a l s o u s e n u m e r i c a l r e a s o n i n g t o m a k e t h i s c o n c l u s i o n . T h e g r a p h o r t h e t a b l e c o u l d b e u s e d t o n o t e t h a t t h e n u m b e r o f c e l l s i n c r e a s e d a s t i m e i n c r e a s e d . F r o m t h e g r a p h i t c a n b e s e e n t h a t f r o m X = O t o X = 1 t o X = 2 a n d s o o n , t h e n u m b e r o f c e l l s i n c r e a s e d f r o m a b o u t 1 0 t o a b o u t 2 0 t o a b o u t 3 0 a n d s o f o r t h . U s i n g t h e t a b l e o f v a l u e s , o n e c a n s e e t h a t f r o m X = 0 t o X = 1 t o X = 2 a n d s o o n , t h e n u m b e r o f c e l l s i n c r e a s e d f r o m 9 . 6 t o 1 8 . 3 t o 2 9 a n d s o f o r t h . T h e s e a r e e x a m p l e s o f n u m e r i c a l r e a s o n i n g s i n c e t h e y r e l y o n c a l c u l a t i o n o f o r r e f e r e n c e t o n u m e r i c a l v a l u e s . A l g e b r a i c r e a s o n i n g c o u l d a l s o b e u s e d t o m a k e t h e s e d e c i s i o n s . T h e d e r i v a t i v e e x p r e s s i o n f o r a f u n c t i o n y i e l d s i n f o r m a t i o n a b o u t t h e 3 6 r a t e o f c h a n g e o f t h e d e p e n d e n t v a r i a b l e o f t h e f u n c t i o n r e l a t i v e t o i t s i n d e p e n d e n t v a r i a b l e . V a l u e s o f t h e i n d e p e n d e n t v a r i a b l e w h i c h m a k e t h e d e r i v a t i v e e x p r e s s i o n p o s i t i v e a r e a s s o c i a t e d w i t h i n c r e a s i n g v a l u e s o f t h e d e p e n d e n t v a r i a b l e . S i m i l a r l y , v a l u e s o f t h e i n d e p e n d e n t v a r i a b l e w h i c h m a k e t h e d e r i v a t i v e e x p r e s s i o n n e g a t i v e y i e l d d e c r e a s i n g v a l u e s o f t h e d e p e n d e n t v a r i a b l e . F o r t h e f u n c t i o n i n F i g u r e 3 , t h e d e r i v a t i v e e x p r e s s i o n i s 4 . 1 8 9 6 - 0 . 5 3 5 5 X . f ' ( X ) = * ( 1 + e 4 . 1 8 9 6 - O . 5 3 5 5 X ) 2 T h e e x p r e s s i o n o n t h e r i g h t s i d e o f t h i s e q u a t i o n i s p o s i t i v e f o r a l l v a l u e s o f X a n d i n p a r t i c u l a r f o r v a l u e s o f X f r o m z e r o t o 1 8 . H e n c e t h e d e p e n d e n t v a r i a b l e f o r t h i s f u n c t i o n i n c r e a s e s f o r a l l v a l u e s o f t h e i n d e p e n d e n t v a r i a b l e . T h a t i s , t h e n u m b e r o f c e l l s i n c r e a s e s o v e r t h e e n t i r e e i g h t e e n h o u r s . T h i s i s a n e x a m p l e o f a l g e b r a i c r e a s o n i n g i n m a k i n g d e c i s i o n s a b o u t g l o b a l r a t e o f c h a n g e s i n c e i t d e p e n d s o n t h e u s e o f a f o r m u l a . I n L S I Y a l _ D S I S p £ 9 L i ¥ £ _ 9 n _ z a t e _ g f _ g h a n g e . I n t h e p r e v i o u s s e c t i o n , w e e x a m i n e d t h e b e h a v i o r o f t h e d e p e n d e n t v a r i a b l e , n u m b e r o f c e l l s , o v e r t h e e n t i r e d o m a i n o f t h e i n d e p e n d e n t v a r i a b l e , t h e e n t i r e 1 8 h o u r s o f t i m e . T h a t h e l p e d u s u n d e r s t a n d s o m e f a c e t s o f r a t e o f c h a n g e . T o u n d e r s t a n d o t h e r f a c e t s , i t i s h e l p f u l t o d i v i d e t h e d o m a i n o f t h e i n d e p e n d e n t v a r i a b l e i n t o s m a l l e r s e c t i o n s . T h i s h e l p s u s e x a m i n e m o r e c l o s e l y t h e b e h a v i o r o f t h e d e p e n d e n t v a r i a b l e . W e c o u l d , f o r e x a m p l e , l o o k a t t h e g r o w t h i n t h e n u m b e r o f c e l l s o v e r o n e h o u r i n t e r v a l s . T h i s r e p r e s e n t s a n i n t e r v a l p e r s p e c t i v e . T o d e c i d e f o r w h a t v a l u e s o f t i m e t h e n u m b e r o f c e l l s i s g r o w i n g t h e f a s t e s t o r t h e s l o w e s t , w e c o u l d v i s u a l l y c o m p a r e v e r t i c a l j u m p s o r d r o p s o n t h e g r a p h o v e r i n t e r v a l s o f o n e h o u r t o s e e w h i c h o n e i s t h e 3 7 g r e a t e s t o r l e a s t . I n F i g u r e 3 , a n e x a m i n a t i o n o f t h e g r a p h i n d i c a t e s t h a t t h e g r e a t e s t j u m p s a r e m a d e b e t w e e n X = 7 a n d X = 8 a n d b e t w e e n X = 8 a n d X = 9 a n d t h e s m a l l e s t j u m p a p p e a r s t o b e f r o m X = 1 7 t o X = 1 8 . T h i s m e a n s t h a t t h e n u m b e r o f c e l l s g r e w f a s t e s t f r o m X = 7 t o X = 8 a n d f r o m X = 8 t o X = 9 a n d t h e s l o w e s t f r o m X = 1 7 t o X = 1 8 . T h i s r e p r e s e n t s q u a l i t a t i v e r e a s o n i n g s i n c e i t u s e s v i s u a l c o m p a r i s o n s t o m a k e t h i s j u d g m e n t . W e c o u l d a l s o d e c i d e w h i c h i n t e r v a l s s h o w t h e f a s t e s t o r s l o w e s t g r o w t h b y c o m p u t i n g c h a n g e s i n t h e n u m b e r o f c e l l s o v e r o n e h o u r i n t e r v a l s a n d n o t i n g w h i c h c h a n g e s a r e l a r g e s t o r s m a l l e s t . I n F i g u r e 3 , u s i n g e i t h e r t h e g r a p h o r t h e t a b l e o f v a l u e s , c o m p u t a t i o n o f c h a n g e s i n t h e n u m b e r o f c e l l s e a c h h o u r r e v e a l s t h a t t h e l a r g e s t c h a n g e o c c u r s f r o m X = 7 t o X = 8 w i t h a n a d d i t i o n o f a b o u t 9 0 c e l l s a n d t h e s m a l l e s t c h a n g e o c c u r s f r o m X = 1 7 t o X = 1 8 w i t h a n a d d i t i o n o f a b o u t 2 c e l l s . S o t h e c e l l s g r e w t h e f a s t e s t f r o m X = 7 t o X = 8 a n d t h e s l o w e s t f r o m X = 1 7 t o X = 1 8 . T h i s r e p r e s e n t s n u m e r i c a l r e a s o n i n g s i n c e i t i n v o l v e s c o m p u t i n g a n d r e f e r r i n g t o n u m e r i c a l v a l u e s . A s p e c i a l c o n c e p t a s s o c i a t e d w i t h a n i n t e r v a l p e r s p e c t i v e i s a v e r a g e r a t e o f c h a n g e . I t i s a h e l p f u l b r i d g e b e t w e e n c o n s t a n t r a t e a n d i n s t a n t a n e o u s r a t e o f c h a n g e . W i t h c o n s t a n t r a t e , t h e c h a n g e i n t h e d e p e n d e n t v a r i a b l e o v e r e v e r y i n t e r v a l o f t h e i n d e p e n d e n t v a r i a b l e o f a p a r t i c u l a r s i z e i s t h e s a m e . W i t h v a r y i n g r a t e s , t h e a v e r a g e r a t e o f c h a n g e i n t h e d e p e n d e n t v a r i a b l e o v e r a n i n t e r v a l o f t h e i n d e p e n d e n t v a r i a b l e i s t h a t c o n s t a n t r a t e t h a t y i e l d s t h e s a m e c h a n g e i n t h e d e p e n d e n t v a r i a b l e o v e r t h e s a m e s i z e i n t e r v a l o f t h e i n d e p e n d e n t v a r i a b l e . S o a v e r a g e r a t e o f c h a n g e h e l p s u s m a k e s e n s e o f v a r y i n g r a t e o f c h a n g e b y r e l a t i n g v a r y i n g r a t e s t o t h e m o r e e a s i l y u n d e r s t o o d c o n c e p t o f c o n s t a n t r a t e o f c h a n g e . I t i s c o m p u t a t i o n a l l y d e f i n e d a s 3 8 t h e r a t i o o f t h e c h a n g e i n t h e d e p e n d e n t v a r i a b l e t o t h e c o r r e s p o n d i n g c h a n g e i n t h e i n d e p e n d e n t v a r i a b l e . F o r a f u n c t i o n f ( X ) , t h e a v e r a g e r a t e o f c h a n g e o f t h e d e p e n d e n t v a r i a b l e o f f ( X ) o v e r t h e i n t e r v a l o f t h e i n d e p e n d e n t v a r i a b l e f r o m X = a t o x = b i s g i v e n b y ( f ( b ) - f ( a l l / ( b - a ) . I n F i g u r e 3 , t h e a v e r a g e r a t e o f c h a n g e o f t h e n u m b e r o f c e l l s o v e r t h e i n t e r v a l s f r o m X = 3 t o X = 4 , X = 4 t o X = 5 , a n d X = 5 t o X = 6 a r e 2 3 . 9 c e l l s p e r h o u r , 4 8 c e l l s p e r h o u r , a n d 5 5 . 5 c e l l s p e r h o u r , r e s p e c t i v e l y . W e c a n t h e r e f o r e c o n c l u d e t h a t t h e n u m b e r o f c e l l s i n c r e a s e d a t s u c c e s s i v e l y f a s t e r r a t e s i n t h e s e h o u r s . I f w e h a d i n f o r m a t i o n a b o u t s m a l l e r i n t e r v a l s o f t i m e , s a y 1 5 m i n u t e i n t e r v a l s , w e c o u l d e s t i m a t e r a t e s o f g r o w t h o v e r e v e r y q u a r t e r h o u r a n d t h e r e b y g e t m o r e p r e c i s e i n f o r m a t i o n a b o u t t h e b e h a v i o r o f t h e c e l l p o p u l a t i o n . T h i s r e p r e s e n t s a n i n t e r v a l p e r s p e c t i v e o n r a t e o f c h a n g e t h a t m a k e s u s e o f a l g e b r a i c r e a s o n i n g . 2 Q i n t _ p e r a p e g t i x e _ g n _ r a t e _ g f _ g h a n g e . W h e r e a s a g l o b a l p e r s p e c t i v e c o n c e r n s c h a n g e s i n t h e d e p e n d e n t v a r i a b l e o v e r t h e e n t i r e d o m a i n o f t h e i n d e p e n d e n t v a r i a b l e a n d a n i n t e r v a l p e r s p e c t i v e c o n s i d e r s c h a n g e i n t h e d e p e n d e n t v a r i a b l e o v e r s o m e i n t e r v a l o f t h e i n d e p e n d e n t v a r i a b l e s m a l l e r t h a n t h e e n t i r e d o m a i n , a p o i n t p e r s p e c t i v e r e f e r s t o c h a n g e i n t h e d e p e n d e n t v a r i a b l e a t a p a r t i c u l a r v a l u e o f t h e i n d e p e n d e n t v a r i a b l e . I c a l l t h i s a p o i n t p e r s p e c t i v e t o d r a w a t t e n t i o n t o t h e f a c t t h a t w e a r e t h i n k i n g a b o u t r a t e o f c h a n g e a t a p o i n t . I t e m p h a s i z e s t h e n o t i o n t h a t f r o m t h e o v e r a l l f e a t u r e s o f r a t e o f c h a n g e o f a f u n c t i o n ( g l o b a l p e r s p e c t i v e ) , w e z o o m i n o n r a t e o f c h a n g e o v e r a s m a l l e r i n t e r v a l ( i n t e r v a l p e r s p e c t i v e ) , a n d t h e n z o o m i n c l o s e r t o r a t e o f c h a n g e a t a p o i n t ( p o i n t p e r s p e c t i v e ) . 3 9 A p o i n t p e r s p e c t i v e i s w h a t m a t h e m a t i c i a n s u s u a l l y c a l l i n s t a n t a n e o u s r a t e o f c h a n g e . F o r a f u n c t i o n f ( X ) , t h e i n s t a n t a n e o u s r a t e o f c h a n g e o f t h e d e p e n d e n t v a r i a b l e a t X = c i s f ' ( c ) , t h e v a l u e o f t h e d e r i v a t i v e e x p r e s s i o n f o r f ' ( X ) a t X = c . I f o n e h a s t h e e x p r e s s i o n f ' ( X ) f o r t h e d e r i v a t i v e o f a f u n c t i o n f ( X ) , t h e n o n e c a n f i n d t h e i n s t a n t a n e o u s r a t e o f c h a n g e b y e v a l u a t i n g f ' ( X ) a t X = c . B u t h o w c a n t h e i n s t a n t a n e o u s r a t e o f c h a n g e b e f o u n d i f o n e d o e s n o t h a v e a n e x p r e s s i o n f o r t h e d e r i v a t i v e f u n c t i o n ? O n e c a n o b t a i n a n a p p r o x i m a t i o n f o r t h e i n s t a n t a n e o u s r a t e o f c h a n g e o f t h e d e p e n d e n t v a r i a b l e f ( X ) a t X = c b y c o m p u t i n g t h e a v e r a g e r a t e o f c h a n g e o f f ( X ) f o r t h e s m a l l e s t a v a i l a b l e i n t e r v a l o f t h e i n d e p e n d e n t v a r i a b l e b e f o r e , a f t e r , o r s t r a d d l i n g c . T h e s m a l l e r t h e i n t e r v a l , t h e c l o s e r w e w o u l d e x p e c t t h a t a p p r o x i m a t i o n t o b e t o t h e i n s t a n t a n e o u s r a t e o f c h a n g e . O r o n e c o u l d f i n d t h e s l o p e o f a s m a l l l i n e s e g m e n t c o n n e c t i n g t w o p o i n t s o n t h e g r a p h o f t h e f u n c t i o n n e a r ( c , f ( c ) ) . T h a t w o u l d g i v e a n a p p r o x i m a t i o n o f t h e s l o p e o f t h e g r a p h a t ( c , f ( c ) ) a n d h e n c e s h o u l d b e a n a p p r o x i m a t i o n o f t h e i n s t a n t a n e o u s r a t e o f c h a n g e o f f ( X ) a t X = c . T h e s e r e p r e s e n t a l g e b r a i c r e a s o n i n g s i n c e t h e y b o t h u s e a f o r m u l a , o n e t h e f o r m u l a f o r a v e r a g e r a t e o f c h a n g e a n d t h e o t h e r t h e f o r m u l a f o r t h e s l o p e o f a l i n e , t o f i n d r a t e o f c h a n g e a t a p o i n t . T h e s e a p p r o x i m a t i o n s w o r k b e c a u s e t h e i n s t a n t a n e o u s r a t e o f c h a n g e o f f ( X ) a t X = c i s d e f i n e d a s t h e l i m i t o f t h e a v e r a g e r a t e o f c h a n g e o f f ( X ) o v e r i n t e r v a l s o f X t o t h e i m m e d i a t e l e f t a n d r i g h t o f ( c , f ( c ) ) a s t h e w i d t h o f t h e s e i n t e r v a l s d e c r e a s e s t o z e r o , p r o v i d e d t h a t l i m i t e x i s t s . E x p r e s s e d s y m b o l i c a l l y , t h i s l i m i t l o o k s l i k e t h i s : l i m h — - > O H E M - h 4 0 T h e a l g e b r a i c e x p r e s s i o n ( f ( c + h ) - f ( c ) ) / h i s t h e a v e r a g e r a t e o f c h a n g e o f t h e d e p e n d e n t v a r i a b l e o v e r t h e i n t e r v a l o f t h e i n d e p e n d e n t v a r i a b l e f r o m X = c t o X = c + h w h e n h i s p o s i t i v e a n d X = c + h t o X = c w h e n h i s n e g a t i v e . I t i s a l s o t h e s l o p e o f t h e l i n e c o n t a i n i n g p o i n t s ( c , f ( c ) ) a n d ( c + h , f ( c + h ) ) . T h i s l i n e i s o f t e n c a l l e d a s e c a n t l i n e . T h u s , t h e l i m i t a b o v e i s t h e l i m i t o f t h e s l o p e s o f s e c a n t l i n e s , o f t e n c a l l e d r o t a t i n g s e c a n t l i n e s , a n d d e f i n e s t h e s l o p e o f t h e l i n e t a n g e n t t o t h e g r a p h o f t h e f u n c t i o n a t t h e p o i n t ( c , f ( c ) ) . T h e t a n g e n t l i n e t h e n i s d e f i n e d a s t h e l i n e w h i c h h a s t h i s s l o p e a n d c o n t a i n s t h e p o i n t ( c , f ( C ) ) . I f o n e h a s a n e q u a t i o n f o r f ( X ) , t h e n t h e o r e t i c a l l y , a t l e a s t , o n e c a n u s e t h i s l i m i t t o f i n d a n e x a c t v a l u e f o r f ' ( c ) , t h e i n s t a n t a n e o u s r a t e o f c h a n g e o f f ( X ) a t X = c . O t h e r w i s e f ' ( c ) c a n b e a p p r o x i m a t e d u s i n g o n e o f t h e m e t h o d s I n o t e d a b o v e o r b y d r a w i n g a l i n e t h a t l o o k s l i k e i t m i g h t b e t a n g e n t t o t h e g r a p h a t ( c , f ( c ) ) a n d t h e n a p p r o x i m a t i n g i t s s l o p e . T h i s m a y r e p r e s e n t b o t h q u a l i t a t i v e a n d a l g e b r a i c r e a s o n i n g s i n c e v i s u a l p r o p e r t i e s o f t h e g r a p h a r e b e i n g u s e d t o m a k e s e n s e o f r a t e o f c h a n g e a n d t h e s l o p e f o r m u l a i s b e i n g u s e d t o t r a n s l a t e t h a t v i s u a l p r o p e r t y i n t o a n u m e r i c a l v a l u e f o r t h e r a t e o f c h a n g e o f t h e d e p e n d e n t v a r i a b l e a t a p a r t i c u l a r v a l u e o f t h e i n d e p e n d e n t v a r i a b l e . Q u e s t i o n s a b o u t s t u d e n t s ' l e a r n i n g o f r a t e o f c h a n g e I n t h i s o p e n i n g c h a p t e r I h a v e a r g u e d t h a t r a t e o f c h a n g e i s i m p o r t a n t a n d t h a t i s i t d i f f i c u l t f o r s o m e s t u d e n t s t o l e a r n . T h e m a i n g o a l o f t h i s d i s s e r t a t i o n w a s t o i n v e s t i g a t e t h e k n o w l e d g e o f r a t e o f c h a n g e o f s t u d e n t s a t v a r i o u s p o i n t s i n m a t h e m a t i c s e d u c a t i o n a n d m a k e c o n j e c t u r e s a b o u t h o w t h a t k n o w l e d g e m i g h t s u p p o r t l e a r n i n g r a t e o f c h a n g e a n d e s p e c i a l l y l e a r n i n g i n s t a n t a n e o u s r a t e o f c h a n g e . T h i s a n d 4 1 t h e r e s e a r c h a n d a n a l y s i s d i s c u s s e d a b o v e s u g g e s t a s e r i e s o f q u e s t i o n s a b o u t l e a r n i n g r a t e o f c h a n g e : 1 . W h a t k n o w l e d g e o f r a t e o f c h a n g e d o s t u d e n t s b r i n g w i t h t h e m t o c a l c u l u s t h a t m i g h t s u p p o r t t h e i r l e a r n i n g o f r a t e o f c h a n g e ? A s y s t e m a t i c e x a m i n a t i o n o f p r e c a l c u l u s s t u d e n t s ' k n o w l e d g e o f r a t e o f c h a n g e i n s p e c i f i c s i t u a t i o n s m a y h e l p u s s e e h o w t h i s k n o w l e d g e s u p p o r t s l e a r n i n g o f r a t e o f c h a n g e . 2 . W h a t d o s t u d e n t s w h o h a v e h a d c a l c u l u s k n o w a b o u t r a t e o f c h a n g e t h a t m a y p r o v i d e d c l u e s a b o u t h o w r a t e o f c h a n g e i s l e a r n e d ? A s i m i l a r e x a m i n a t i o n o f c a l c u l u s a n d p o s t c a l c u l u s s t u d e n t s k n o w l e d g e o f r a t e o f c h a n g e i n t h e s a m e s i t u a t i o n s m a y p r o v i d e i n f o r m a t i o n a b o u t s t u d e n t s l e a r n r a t e o f c h a n g e a n d s p e c i f i c a l l y w h a t s p e c i f i c k n o w l e d g e g e t s u s e d i n t h a t l e a r n i n g a n d h o w . 3 . W h a t s i m i l a r i t i e s a n d d i f f e r e n c e s i n k n o w l e d g e o f r a t e o f c h a n g e e x i s t b e t w e e n t h o s e w h o h a v e h a d c a l c u l u s a n d t h o s e w h o h a v e n o t h a d c a l c u l u s a n d w h a t m i g h t t h i s t e l l u s a b o u t w h a t k n o w l e d g e s u p p o r t s l e a r n i n g r a t e o f c h a n g e a n d h o w i t s u p p o r t s i t ? I f p r e c a l c u l u s , c a l c u l u s , a n d p o s t c a l c u l u s s t u d e n t s h a v e s o m e k n o w l e d g e o f r a t e o f c h a n g e t h a t i s s i m i l a r , t h a t m a y m e a n t h a t t h i s k n o w l e d g e i s e s p e c i a l l y u s e f u l t o a s s e m b l e m o r e a d v a n c e d k n o w l e d g e o f r a t e o f c h a n g e . I f p r e c a l c u l u s , c a l c u l u s , a n d p o s t c a l c u l u s s t u d e n t s h a v e d i f f e r e n t k n o w l e d g e o f r a t e o f c h a n g e , t h e n t h a t m a y s h o w p a t h s o f p r o g r e s s i o n i n t h e l e a r n i n g o f r a t e o f c h a n g e . 4 . I n w h a t w a y s d o g l o b a l , i n t e r v a l , a n d p o i n t p e r s p e c t i v e s o n r a t e o f c h a n g e p r o v i d e a n i n t e r p r e t i v e f r a m e f o r s t u d e n t s ' k n o w l e d g e a n d h o w r a t e o f c h a n g e i s l e a r n e d ? 4 2 5 . I n w h a t w a y s d o s t u d e n t s u s e q u a l i t a t i v e , n u m e r i c a l , a n d a l g e b r a i c t y p e s o f r e a s o n i n g a n d w h a t m i g h t t h a t t e l l u s a b o u t h o w r a t e o f c h a n g e i s l e a r n e d ? I f t h e p e r s p e c t i v e s a n d t y p e s o f r e a s o n i n g a r e u s e f u l i n a n a l y z i n g s t u d e n t s ' w o r k w i t h r a t e o f c h a n g e , w e w o u l d l i k e t o k n o w i n w h a t w a y s t h e y a r e u s e f u l . C h a p t e r s u m m a r y I n t h i s c h a p t e r I h a v e a r g u e d t h a t r a t e o f c h a n g e i s i m p o r t a n t b y p r o v i d i n g a b r i e f h i s t o r y o f r a t e o f c h a n g e a n d g i v i n g s o m e i n d i c a t i o n o f i t s i m p o r t a n c e i n m a t h e m a t i c s , o t h e r a c a d e m i c d i s c i p l i n e s , a n d e v e r y d a y l i f e . I h a v e a l s o s h o w n t h a t r a t e o f c h a n g e i s c h a l l e n g i n g t o l e a r n b y d i s c u s s i n g e x a m p l e s f r o m m y o w n t e a c h i n g , r e p o r t s f r o m v a r i o u s g r o u p s c o n c e r n e d a b o u t m a t h e m a t i c s e d u c a t i o n , a n d s o m e o f t h e r e s e a r c h o n l e a r n i n g c a l c u l u s . F i n a l l y , I h a v e p r o v i d e d a f r a m e w o r k f o r w h a t i t m e a n s t o u n d e r s t a n d r a t e o f c h a n g e b y p o s i t i o n i n g i t w i t h i n t h e c o n t e x t o f f u n c t i o n s a n d t h e i r r e p r e s e n t a t i o n s a n d b y o r g a n i z i n g r a t e o f c h a n g e i n t e r m s o f t h r e e p e r s p e c t i v e s - g l o b a l , i n t e r v a l , a n d p o i n t - a n d d i s c u s s i n g w i t h i n e a c h p e r s p e c t i v e t h r e e d i f f e r e n t m e t h o d s o f r e a s o n i n g - q u a l i t a t i v e , n u m e r i c a l , a n d a l g e b r a i c . I c l o s e d t h i s c h a p t e r w i t h a l i s t i n g o f q u e s t i o n s a b o u t l e a r n i n g r a t e o f c h a n g e t h a t w i l l f r a m e t h i s s t u d y . I n t h e n e x t t w o c h a p t e r s I r e v i e w l i t e r a t u r e r e l e v a n t t o s t u d e n t ’ s k n o w l e d g e o f r a t e o f c h a n g e a n d w h a t i t m e a n s t o l e a r n w i t h i n t h e c o n t e x t o f k n o w l e d g e a s s t r a t e g i e s a n d l e a r n i n g a s s t r a t e g y c h a n g e . I f o l l o w t h a t w i t h a c h a p t e r o n r e s e a r c h m e t h o d o l o g y , t h r e e c h a p t e r s o n d a t a a n a l y s i s , a n d a f i n a l c h a p t e r o n c o n c l u s i o n s a n d r e c o m m e n d a t i o n s . C h a p t e r 2 R E V I E W O F L I T E R A T U R E O N L E A R N I N G A N D U S I N G R A T E O F C H A N G E T h e r e i s a s u b s t a n t i a l l i t e r a t u r e o n s t u d e n t s ’ t h i n k i n g a n d p e r f o r m a n c e w i t h m a t h e m a t i c a l t a s k s a n d p r o b l e m s t h a t i n v o l v e r a t e o f c h a n g e , a n d t h e r e a r e d i f f e r e n t i n t e r p r e t i v e l e n s t h e a n a l y s t c a n b r i n g t o r e v i e w i n g t h i s l i t e r a t u r e . O n e a p p r o a c h i s t o e x a m i n e s t u d e n t p e r f o r m a n c e o n s t a n d a r d c a l c u l u s t a s k s . T h e O r t o n ( 1 9 8 4 , 1 9 8 3 a ) s t u d y r e v i e w e d i n C h a p t e r 1 s h o w e d d i f f i c u l t i e s c a l c u l u s a n d p o s t c a l c u l u s s t u d e n t s h a d w i t h b o t h c o n c e p t u a l a n d c o m p u t a t i o n a l a s p e c t s o f t h e d e r i v a t i v e a n d r a t e o f c h a n g e . T h i s s t u d y w a s b a s e d o n t h e p e r f o r m a n c e o f a l a r g e n u m b e r o f s t u d e n t s , d e a l t w i t h t a s k s c o n s i d e r e d f a i r l y s t a n d a r d i n c a l c u l u s , a n d s h o w e d t h a t c o m p l e t i n g a c o u r s e w h i c h h a s t h e d e r i v a t i v e a s a m a i n c o n c e p t i s n o g u a r a n t e e t h a t s t u d e n t s a r e a b l e t o a p p l y d i f f e r e n t i a t i o n a p p r o p r i a t e l y o r c o r r e c t l y o r t h a t t h e y u n d e r s t a n d h o w t h e d e r i v a t i v e i s r e l a t e d t o r a t e o f c h a n g e . O t h e r s t u d i e s s h o w e d s i m i l a r r e s u l t s . S t u d i e s b y P e t e r s ( 1 9 8 2 ) , C l e m e n t ( 1 9 8 9 ) , G r a h a m a n d F e r r i n i - M u n d y ( 1 9 8 9 ) , S e l d e n , M a s o n , a n d S e l d e n ( 1 9 8 9 ) , a n d W h i t e a n d M i t c h e l m o r e ( 1 9 9 6 ) s h o w e d t h a t s t u d e n t s ' p e r f o r m a n c e o n t a s k s i n v o l v i n g t h e d e r i v a t i v e a n d r a t e o f c h a n g e o f t e n s h o w e d a l a c k o f e x p e r t i s e w e w o u l d e x p e c t o f s t u d e n t s w h o h a v e c o m p l e t e d c a l c u l u s . R e s e a r c h e r s o f t e n w a n t t o e x a m i n e w h e r e s t u d e n t s ' k n o w l e d g e d o e s n o t m a t c h a c c e p t e d k n o w l e d g e s o t h e y c a n t h i n k a b o u t w h y t h i s i s t h e c a s e , w h a t i t s a y s a b o u t l e a r n i n g , a n d w h a t i m p l i c a t i o n s i t h a s f o r t e a c h i n g . T h e b r o a d f i n d i n g f r o m t h i s a p p r o a c h i s t h a t s t u d e n t s 4 3 4 4 d o n o t d o w e l l o n t h e s e t a s k s , s u g g e s t i n g t h e y h a v e n o t l e a r n e d a g r e a t d e a l f r o m t h e i r c o u r s e w o r k , e s p e c i a l l y c a l c u l u s . A n o t h e r a p p r o a c h c o n s i d e r s r e s e a r c h o n t e c h n o l o g i c a l s u p p o r t f o r s t u d e n t s ' l e a r n i n g . T a l l ( 1 9 8 7 ) s h o w e d t h a t c a l c u l u s s t u d e n t s w h o u s e d c o m p u t e r s o f t w a r e t o d r a w s e c a n t l i n e s r o t a t i n g t o t a n g e n t l i n e s p e r f o r m e d s i g n i f i c a n t l y b e t t e r o n a t e s t o f c o n c e p t u a l u n d e r s t a n d i n g o f s l o p e , t h e d e r i v a t i v e a n d r a t e o f c h a n g e t h a n c a l c u l u s a n d p o s t c a l c u l u s s t u d e n t s w h o h a d a t r a d i t i o n a l l y t a u g h t c a l c u l u s c o u r s e . S p e i s e r a n d W a l t e r ( 1 9 9 4 ) u s e d t i m e - l a p s e d p h o t o s o f t h e m o t i o n o f a c a t t o i n t r o d u c e t h e c o n c e p t o f r a t e o f c h a n g e a t a p o i n t a n d t o d i s c u s s i s s u e s r e l a t e d t o e s t i m a t i n g i t . B e c k m a n n ( 1 9 8 8 ) , H e i d ( 1 9 8 8 ) , a n d E l l i s o n ( 1 9 9 4 ) d i s c u s s e d t h e e f f e c t i v e n e s s o f u s i n g t h e c o m p u t e r a s a t o o l f o r l e a r n i n g c a l c u l u s . T h e s e s t u d i e s p r e s e n t e d p i c t u r e s o f p o s s i b i l i t y f o r u s i n g t e c h n o l o g y t o h e l p s t u d e n t s c o m e t o a n a p p r o p r i a t e u n d e r s t a n d i n g o f c a l c u l u s c o n c e p t s a n d e s p e c i a l l y r a t e o f c h a n g e a s t h e d e r i v a t i v e . A t h i r d a p p r o a c h e x a m i n e s r e s e a r c h o n h o w , s p e c i f i c a l l y , s t u d e n t s s o l v e p r o b l e m s i n v o l v i n g r a t e o f c h a n g e , m a k e s i n f e r e n c e s a b o u t t h e c u r r e n t s t a t e o f t h e i r k n o w l e d g e , a n d t h i n k s a b o u t h o w t h e i r k n o w l e d g e o f r a t e o f c h a n g e c o u l d t h e n b e a d v a n c e d . T h i s a p p r o a c h e m p h a s i z e s w h a t s t u d e n t s a c t u a l l y d i d t o s o l v e t a s k s i n v o l v i n g r a t e o f c h a n g e , c o n s i d e r s w h a t t h a t m a y s a y a b o u t t h e i r k n o w l e d g e o f r a t e o f c h a n g e , a n d e x p l o r e s w a y s t h a t k n o w l e d g e m a y s u p p o r t g r o w t h o f o t h e r k n o w l e d g e o f r a t e o f c h a n g e . I t c o n t r a s t s w i t h t h e f i r s t a p p r o a c h d i s c u s s e d a b o v e w h e r e t h e e m p h a s i s i s o n w h e t h e r o r n o t s t u d e n t s g o t t h e r i g h t a n s w e r a n d w h a t p e r c e n t o f t h e m d i d o r d i d n o t . T h e r e s e a r c h r e v i e w e d h e r e s h o w e d w h a t s t u d e n t s a c t u a l l y d i d t o s o l v e p r o b l e m s i n v o l v i n g r a t e o f c h a n g e . I t a l s o s h o w e d d i f f i c u l t i e s p r e c a l c u l u s , c a l c u l u s , a n d p o s t c a l c u l u s 4 5 s t u d e n t s h a d w i t h t a s k s i n v o l v i n g r a t e o f c h a n g e , c o n s i d e r e d p o s s i b l e r e a s o n s f o r t h o s e d i f f i c u l t i e s a n d , i n s o m e c a s e s , d i s c u s s e d w a y s t o h e l p s t u d e n t s l e a r n r a t e o f c h a n g e . B u t t h e p r i m a r y f o c u s o f m y r e v i e w o f t h e s e s t u d i e s w i l l b e t h e k n o w l e d g e s t u d e n t s d i s p l a y e d i n w o r k i n g t a s k s w i t h a n e y e t o w a r d s e e i n g h o w t h a t k n o w l e d g e m a y b e p r o d u c t i v e i n l e a r n i n g r a t e o f c h a n g e . I f s t u d e n t s a r e t o b e s u c c e s s f u l i n l e a r n i n g c a l c u l u s a n d i f w e a r e t o b e e f f e c t i v e i n t e a c h i n g c a l c u l u s , t h i s v i e w o f s t u d e n t s ' k n o w l e d g e a n d l e a r n i n g c o u l d b e q u i t e h e l p f u l . R e s e a r c h o n l e a r n i n g a n d u s i n g r a t e o f c h a n g e T h i s r e v i e w i s o r g a n i z e d a s m u c h a s p o s s i b l e a r o u n d s t u d i e s d e a l i n g p r i m a r i l y w i t h p r e c a l c u l u s s t u d e n t s f o l l o w e d b y s t u d i e s d e a l i n g w i t h c a l c u l u s a n d p o s t c a l c u l u s s t u d e n t s . T h e r e a r e s o m e c o m m o n t h e m e s f o r e a c h g r o u p . F o r e x a m p l e , s e v e r a l s t u d i e s s h o w t h a t p r e c a l c u l u s , c a l c u l u s , a n d p o s t c a l c u l u s s t u d e n t s h a v e d i f f i c u l t y g l e a n i n g i n f o r m a t i o n a b o u t v e l o c i t y f r o m p o s i t i o n g r a p h s a n d i n f o r m a t i o n a b o u t p o s i t i o n f r o m v e l o c i t y g r a p h s . S i m i l a r l y , i n s i t u a t i o n s i n v o l v i n g t a b l e s o f v a l u e s o r w h e r e s t u d e n t s c a n m a k e t a b l e s o f v a l u e s , t h e y t e n d t o u s e c h a n g e s i n t h e d e p e n d e n t v a r i a b l e o v e r i n t e r v a l s o f t h e i n d e p e n d e n t v a r i a b l e t o m a k e c o n c l u s i o n s a b o u t r a t e o r c h a n g e . T h e s e s t u d i e s s h o w d i f f i c u l t i e s s t u d e n t s h a v e w h e n w o r k i n g w i t h r a t e o f c h a n g e . B u t t h e y a l s o s h o w k n o w l e d g e t h e y h a v e t h a t h e l p s t h e m m a k e s e n s e o f r a t e o f c h a n g e i n s i t u a t i o n s i n v o l v i n g g r a p h s a n d t a b l e s a n d m a y s e r v e a s a b a s e f o r t h e i r e x p a n d i n g k n o w l e d g e o f r a t e o f c h a n g e . S e v e r a l s t u d i e s ( N e m i r o v s k y a n d R u b i n , 1 9 9 1 , 1 9 9 2 ; R u b i n a n d N e m i r o v s k y , 1 9 9 1 ; M o n k a n d N e m i r o v s k y , 1 9 9 2 ; N e m i r o v s k y , 1 9 9 4 ) a t 4 6 T e c h n i c a l E d u c a t i o n R e s e a r c h C e n t e r s ( T E R C ) c o n c e r n e d h i g h s c h o o l s t u d e n t s ' k n o w l e d g e o f r a t e o f c h a n g e . S t u d e n t s i n t h e s e s t u d i e s h a d t a k e n t w o y e a r s o f a l g e b r a a n d s o m e s c i e n c e i n h i g h s c h o o l b u t h a d n o t y e t t a k e n c a l c u l u s . T h e p u r p o s e o f t h e s e s t u d i e s w a s t o s e e w h a t c o n n e c t i o n s s t u d e n t s m a d e b e t w e e n f u n c t i o n s a n d t h e i r d e r i v a t i v e s i n t h e c o n t e x t o f p r e d i c t i n g t h e g r a p h o f o n e w h e n g i v e n t h e g r a p h o f t h e o t h e r . S t u d e n t s w o r k e d w i t h a d e v i c e i n v o l v i n g a c a r m o v i n g o n a t r a c k s o t h a t b o t h t h e p o s i t i o n a n d t h e v e l o c i t y o f t h e c a r a t e a c h m o m e n t i n t i m e c o u l d b e g r a p h e d . O n e e n d o f t h e t r a c k w a s a s s i g n e d a p o s i t i o n v a l u e o f z e r o s o t h a t w h e n t h e c a r w a s a t t h a t e n d o f t h e t r a c k i t h a d p o s i t i o n z e r o a n d a s i t m o v e d a w a y f r o m t h a t p o i n t i t s p o s i t i o n v a l u e i n c r e a s e d a n d a s i t m o v e d b a c k t o w a r d t h i s p o i n t i t s p o s i t i o n v a l u e d e c r e a s e d . T h e p o s i t i o n v a l u e o f t h e c a r w a s a l w a y s p o s i t i v e . T h e v e l o c i t y o f t h e c a r w a s p o s i t i v e i f t h e c a r w a s m o v i n g a w a y f r o m p o s i t i o n z e r o a n d n e g a t i v e i f i t w a s m o v i n g t o w a r d p o s i t i o n z e r o . I n t h i s c o n t e x t s t u d e n t s ' c o n c e p t s o f t h e r e l a t i o n s h i p b e t w e e n a f u n c t i o n a n d i t s d e r i v a t i v e w e r e s t u d i e d i n t e r m s o f t h e r e l a t i o n s h i p b e t w e e n t h e p o s i t i o n a n d v e l o c i t y f u n c t i o n s a s r e p r e s e n t e d b y g r a p h s . B o t h p o s i t i o n a n d v e l o c i t y w e r e g r a p h e d a g a i n s t t i m e s o t h a t t h e g r a p h s s h o w e d e i t h e r t h e p o s i t i o n o r t h e v e l o c i t y o f t h e c a r a t e a c h p o i n t i n t i m e . N e m i r o v s k y a n d R u b i n ( 1 9 9 2 ) m a d e t h r e e a s s u m p t i o n s a b o u t c o n n e c t i o n s p e o p l e m a k e b e t w e e n a f u n c t i o n a n d i t s d e r i v a t i v e . O n e i s t h a t b e c a u s e o f e v e r y d a y e x p e r i e n c e s , e v e r y o n e h a s s o m e k n o w l e d g e o f t h e r e l a t i o n s h i p b e t w e e n d i s t a n c e a n d s p e e d . T h e s e c o n d i s t h a t n o o n e h a s c o m p l e t e k n o w l e d g e o f t h e c o n n e c t i o n s b e t w e e n d i s t a n c e a n d s p e e d . N o 4 7 m a t t e r h o w m u c h o n e k n o w s a b o u t f u n c t i o n s , t h e i r d e r i v a t i v e s , a n d r e l a t i o n s h i p s b e t w e e n t h e t w o , t h e r e a r e s t i l l o t h e r t h i n g s t o b e l e a r n e d . T h e t h i r d i s t h a t c o n t e x t i s i m p o r t a n t i n p e r f o r m a n c e . T w o s i t u a t i o n s m a y i n v o l v e t h e s a m e m a t h e m a t i c a l c o n c e p t b u t i f t h e y a r e p r e s e n t e d i n d i f f e r e n t c o n t e x t s , l i k e d i f f e r e n t p h y s i c a l d e v i c e s o r d i f f e r e n t f u n c t i o n r e p r e s e n t a t i o n s , t h e y m a y e v o k e d i f f e r e n t r e s p o n s e s f r o m s t u d e n t s . H e n c e c o n c l u s i o n s a b o u t w h a t s t u d e n t s k n o w m u s t t a k e p r o b l e m c o n t e x t i n t o a c c o u n t . R g s n l t s _ g f _ t h e _ w g r k _ a t _ I E R g ‘ S t u d e n t s w e r e p r e s e n t e d w i t h a v e l o c i t y g r a p h a n d a s k e d t o p r e d i c t t h e p o s i t i o n g r a p h . T h e n s t u d e n t s w e r e a s k e d t o m o v e t h e c a r o n t h e t r a c k t o t r y t o g e n e r a t e t h e g i v e n v e l o c i t y g r a p h a n d t o c o m p a r e t h e i r p r e d i c t e d p o s i t i o n g r a p h w i t h t h e p o s i t i o n g r a p h t h e d e v i c e g e n e r a t e d . T h e s e s t u d e n t s a l s o a s s u m e d t h a t g r a p h s o f a f u n c t i o n a n d i t s d e r i v a t i v e w e r e s i m i l a r i n c e r t a i n w a y s . F o r e x a m p l e , s t u d e n t s o f t e n a s s u m e d t h a t a f u n c t i o n a n d i t s d e r i v a t i v e i n c r e a s e d a n d d e c r e a s e d t o g e t h e r . I f t h e g r a p h o f t h e v e l o c i t y i n c r e a s e d , t h e n , f o r t h e s e s t u d e n t s , s o d i d t h e p o s i t i o n f u n c t i o n . I n a c t u a l i t y a v e l o c i t y f u n c t i o n w h i c h i s i n c r e a s i n g b u t n e g a t i v e h a s a c o r r e s p o n d i n g p o s i t i o n f u n c t i o n w h i c h d e c r e a s e s . S i m i l a r l y a d e c r e a s i n g v e l o c i t y f u n c t i o n c a n b e a s s o c i a t e d w i t h a p o s i t i o n f u n c t i o n t h a t i n c r e a s e s . S t u d e n t s a l s o o f t e n a s s u m e d t h a t t h e g r a p h s o f a f u n c t i o n a n d i t s d e r i v a t i v e h a d t h e s a m e s h a p e . I f t h e v e l o c i t y f u n c t i o n w a s a l i n e , t h e n t h e y p r e d i c t e d t h e p o s i t i o n f u n c t i o n w o u l d a l s o b e a l i n e . I f t h e v e l o c i t y g r a p h w a s c o n c a v e u p w a r d , t h e n t h e y p r e d i c t e d t h e p o s i t i o n f u n c t i o n w o u l d b e t o o . I n m a n y c a s e s , t h e s e p r e d i c t i o n s w e r e i n c o r r e c t . G e n e r a l l y , g r a p h s o f a f u n c t i o n a n d i t s d e r i v a t i v e d o n o t h a v e t h e s a m e 4 8 s h a p e a l t h o u g h t h e r e i s a r e l a t i o n s h i p b e t w e e n t h e s h a p e s o f t h e t w o f u n c t i o n s . F o r e x a m p l e , i f a v e l o c i t y f u n c t i o n i s a n h o r i z o n t a l l i n e l y i n g a b o v e t h e h o r i z o n t a l a x i s , t h e n t h e c o r r e s p o n d i n g p o s i t i o n f u n c t i o n w i l l b e a l i n e w i t h p o s i t i v e s l o p e . T h e s e s t u d e n t s a l s o b e l i e v e d t h a t a n y c h a n g e i n t h e v e l o c i t y f u n c t i o n m e a n t t h e s a m e k i n d o f c h a n g e i n t h e p o s i t i o n f u n c t i o n . I f t h e v e l o c i t y f u n c t i o n c h a n g e d f r o m i n c r e a s i n g t o d e c r e a s i n g , t h e n t h e s e s t u d e n t s p r e d i c t e d t h a t t h e p o s i t i o n f u n c t i o n w o u l d t o o . I f t h e v e l o c i t y f u n c t i o n c h a n g e d f r o m p o s i t i v e t o n e g a t i v e , t h e n a c c o r d i n g t o t h e s e s t u d e n t s s o d i d t h e p o s i t i o n f u n c t i o n . I n a c t u a l i t y , w h e n a v e l o c i t y f u n c t i o n i s p o s i t i v e a n d c h a n g e s f r o m i n c r e a s i n g t o d e c r e a s i n g , t h e p o s i t i o n f u n c t i o n c h a n g e s f r o m i n c r e a s i n g a t a n i n c r e a s i n g r a t e t o i n c r e a s i n g a t a d e c r e a s i n g r a t e . W h e n a v e l o c i t y f u n c t i o n c h a n g e s f r o m p o s i t i v e t o n e g a t i v e , t h e p o s i t i o n f u n c t i o n c h a n g e s f r o m i n c r e a s i n g t o d e c r e a s i n g . E . E . i 1 . i . . 1 . ] N e m i r o v s k y a n d R u b i n ( 1 9 9 2 ) p o s i t e d s e v e r a l r e a s o n s s t u d e n t s b e l i e v e p o s i t i o n a n d v e l o c i t y f u n c t i o n s a r e a l i k e . O n e i s t h a t v e l o c i t y a n d p o s i t i o n f u n c t i o n s o f t e n a r e a l i k e . A n i n c r e a s i n g v e l o c i t y f u n c t i o n i s o f t e n a s s o c i a t e d w i t h a n i n c r e a s i n g p o s i t i o n f u n c t i o n . F o r e x a m p l e , i f t h e v e l o c i t y f u n c t i o n i s i n c r e a s i n g a n d p o s i t i v e , t h e n t h e p o s i t i o n f u n c t i o n i s i n c r e a s i n g . N e m i r o v s k y a n d R u b i n c o n c l u d e d t h a t w h e n s t u d e n t s ' a s s u m p t i o n s o f r e s e m b l a n c e ' s t u r n o u t t o b e c o r r e c t , t h e y m a y b e l e d t o g e n e r a l i z e t h a t a l l v e l o c i t y a n d p o s i t i o n f u n c t i o n s r e s e m b l e e a c h o t h e r . A n o t h e r r e a s o n N e m i r o v s k y a n d R u b i n g a v e f o r s t u d e n t s ' b e l i e f s t h a t a f u n c t i o n a n d i t s d e r i v a t i v e a r e a l i k e i s t h a t i t h e l p s t h e m m a k e 4 9 s e n s e o f c o m p l e x s i t u a t i o n s . I f i n s o m e s i t u a t i o n s a f u n c t i o n a n d i t s d e r i v a t i v e a r e s i m i l a r , t h e n t h e a s s u m p t i o n t h a t a f u n c t i o n a n d i t s d e r i v a t i v e a r e a l w a y s s i m i l a r s i m p l i f i e s s i t u a t i o n s a n d h e l p s n a r r o w t h e p o s s i b i l i t i e s . I t a l s o e n c o u r a g e s s t u d e n t s t o n o t i c e a n d t a k e a d v a n t a g e o f p a t t e r n s , s o m e t h i n g w e o f t e n e x p l i c i t l y t e a c h m a t h e m a t i c s s t u d e n t s t o d o . A t h i r d r e a s o n i s t h a t o u r u s e o f e v e r y d a y l a n g u a g e s u g g e s t s s o m e r e s e m b l a n c e s b e t w e e n v e l o c i t y a n d p o s i t i o n . I n m a n y e v e r y d a y c o n t e x t s w i t h m o t i o n , g o i n g f a s t e r m e a n s g o i n g f a r t h e r . S i n c e , i n t h i s c o n t e x t , m o r e o f o n e i m p l i e s m o r e o f t h e o t h e r i t i s e a s y t o g e n e r a l i z e t h a t l e s s o f o n e m e a n s l e s s o f t h e o t h e r . T h i s l e a d s t o d i f f i c u l t i e s w h e n v e l o c i t y i s p o s i t i v e b u t d e c r e a s i n g w h i l e p o s i t i o n i s s t i l l i n c r e a s i n g w h i c h i s e x a c t l y w h a t h a p p e n s i n s i t u a t i o n s i n v o l v i n g s l o w i n g d o w n a s o n e m o v e s f o r w a r d . M y o w n p e r s p e c t i v e i s t h a t i t i s e a s y t o c o n f u s e v e l o c i t y w i t h s p e e d a n d p o s i t i o n w i t h d i s t a n c e . I n m o s t e v e r y d a y c o n t e x t s , w e m o s t o f t e n r e f e r t o s p e e d r a t h e r t h a n v e l o c i t y a n d d i s t a n c e r a t h e r t h a n p o s i t i o n . W h e n I d r i v e f r o m h o m e t o t h e s t o r e a n d b a c k a g a i n I w o u l d n o t g e n e r a l l y d e s c r i b e m y r a t e i n t e r m s o f v e l o c i t y , 3 5 m i l e s p e r h o u r g o i n g f r o m h o m e t o t h e s t o r e a n d - 3 5 m i l e s p e r h o u r g o i n g f r o m t h e s t o r e t o h o m e . I w o u l d j u s t s a y t h a t I t r a v e l e d a s p e e d o f 3 5 m i l e s p e r h o u r t h e w h o l e w a y . S i m i l a r l y , I w o u l d r e f e r t o t h e t o t a l d i s t a n c e f o r t h e t r i p , a b o u t 2 4 m i l e s w i t h 1 2 m i l e s f r o m h o m e t o s t o r e a n d 1 2 m i l e s f r o m s t o r e t o h o m e . I p r o b a b l y w o u l d n o t r e f e r t o t h e t r i p a s s t a r t i n g a t p o s i t i o n z e r o b e f o r e I l e f t h o m e , g o i n g i n t h e p o s i t i v e d i r e c t i o n t o p o s i t i o n 1 2 , a n d t h e n m o v i n g i n a n e g a t i v e d i r e c t i o n b a c k t o p o s i t i o n z e r o . T h a t w o u l d b e a p e r f e c t l y v a l i d d e s c r i p t i o n o f t h e t r i p b u t i n m y S O e v e r y d a y m o d e , I w o u l d n o t t e n d t o t h i n k o f i t t h a t w a y o r d e s c r i b e m y t r i p t o t h e s t o r e i n t h o s e t e r m s . A _ y a I i a t i g n a l _ a p p r g a g h _ i s _ n g § d § d L N e m i r o v s k y a n d R u b i n ( 1 9 9 2 ) c l a i m e d t h a t s t u d e n t s n e e d a v a r i a t i o n a l r a t h e r t h a n a r e s e m b l a n c e s a p p r o a c h t o f u n c t i o n s a n d t h e i r d e r i v a t i v e s i n o r d e r t o c o m e t o u n d e r s t a n d r e l a t i o n s h i p s b e t w e e n t h e t w o . A r e s e m b l a n c e s a p p r o a c h t o f u n c t i o n s a n d t h e i r d e r i v a t i v e s a s s u m e s t h a t t h e g r a p h s o f a f u n c t i o n a n d i t s d e r i v a t i v e r e s e m b l e e a c h o t h e r , t h a t i f o n e i s i n c r e a s i n g s o i s t h e o t h e r , i f o n e i s p o s i t i v e t h a n s o i s t h e o t h e r , o r i f o n e i s a l i n e s o i s t h e o t h e r . A v a r i a t i o n a l a p p r o a c h r e l a t e s l o c a l v a r i a t i o n i n a p o s i t i o n f u n c t i o n t o t h e c o r r e s p o n d i n g v a l u e o f t h e v e l o c i t y f u n c t i o n t o u n d e r s t a n d r e l a t i o n s h i p s b e t w e e n t h e t w o f u n c t i o n s . M o r e s p e c i f i c a l l y , a v a r i a t i o n a l a p p r o a c h c o n s i d e r s h o w c h a n g e s i n t h e p o s i t i o n o v e r a s m a l l i n t e r v a l o f t i m e r e l a t e s t o t h e v e l o c i t y o v e r t h a t s a m e i n t e r v a l . A s t e e p o r l a r g e s l o p e o n t h e g r a p h o f a n p o s i t i o n f u n c t i o n m e a n s a l a r g e c h a n g e i n p o s i t i o n w h i c h i n t u r n m e a n s t h a t t h e v e l o c i t y i s a l s o l a r g e i n a b s o l u t e v a l u e . A n o t h e r e x a m p l e o f a v a r i a t i o n a l a p p r o a c h i s t o u s e t h e v a l u e o f t h e v e l o c i t y a t a p o i n t t o i n f e r h o w m u c h t h e p o s i t i o n c h a n g e s o v e r a s m a l l i n t e r v a l o f t i m e a r o u n d t h a t p o i n t . I f t h e v e l o c i t y t h r e e s e c o n d s a f t e r t h e c a r s t a r t e d m o v i n g , a t t = 4 , i s - 5 f e e t / s e c o n d , t h e n w e c o u l d i n f e r t h a t f r o m t = 3 . 5 t o t = 4 . 5 t h e c a r m o v e d a b o u t 2 . 5 f e e t i n t h e n e g a t i v e d i r e c t i o n s o t h a t t h e p o s i t i o n o f t h e c a r d e c r e a s e d a b o u t 2 . 5 f e e t o v e r t h a t h a l f s e c o n d . N e m i r o v s k y a n d R u b i n n o t e d t h a t s t u d e n t s n e e d t o t h i n k a b o u t t h e s e k i n d s o f v a r i a t i o n a l r e l a t i o n s h i p s t o b e t t e r u n d e r s t a n d r e l a t i o n s h i p s b e t w e e n v e l o c i t y a n d p o s i t i o n f u n c t i o n s . 5 1 : J J i , . E . E 1 . E t h g _ y e l g g i t y + N e m i r o v s k y ( 1 9 9 4 ) r e p o r t e d o n o n e s t u d e n t ' s w o r k i n v o l v i n g n e g a t i v e v e l o c i t y w h e n u s i n g t h e c a r o n t h e t r a c k . I n i t i a l l y t h e s t u d e n t , L a u r a , b e l i e v e d t h a t v e l o c i t y w a s a l w a y s p o s i t i v e . I n h e r m i n d , g r e a t e r a n d l e s s v e l o c i t y w a s a s s o c i a t e d w i t h t h e c a r m o v i n g a t f a s t e r a n d s l o w e r s p e e d s , r e s p e c t i v e l y . S h e d i d n o t a t t h i s p o i n t c o n s i d e r w h a t t h e d i r e c t i o n o f t h e m o t i o n o f t h e c a r m i g h t m e a n i n t e r m s o f t h e v e l o c i t y . A s s h e m o v e d t h e c a r b a c k a n d f o r t h t h e d e v i c e p r o d u c e d v e l o c i t y g r a p h s t h a t h a d s o m e s e c t i o n s a b o v e a n d o t h e r s e c t i o n s b e l o w t h e h o r i z o n t a l a x i s . A c c o r d i n g t o h e r r e m e m b r a n c e , w h e n s h e m o v e d t h e c a r a w a y f r o m t h e m o t i o n d e t e c t o r , t h e c a r w a s g o i n g s l o w e r a n d w h e n s h e m o v e d t h e c a r t o w a r d t h e m o t i o n d e t e c t o r , t h e c a r w a s g o i n g f a s t e r . T h e r e f o r e , s h e c a m e t o a s s o c i a t e v e l o c i t y a b o v e t h e h o r i z o n t a l a x i s ( v e l o c i t y f o r w h e n t h e c a r w a s m o v i n g a w a y f r o m t h e m o t i o n d e t e c t o r , p o s i t i v e v e l o c i t y ) w i t h g o i n g s l o w e r a n d v e l o c i t y b e l o w t h e h o r i z o n t a l a x i s ( v e l o c i t y f o r w h e n t h e c a r w a s m o v i n g t o w a r d t h e m o t i o n d e t e c t o r , n e g a t i v e v e l o c i t y ) w i t h g o i n g f a s t e r . I n t h i s c o n t e x t z e r o v e l o c i t y w a s a s s o c i a t e d w i t h t h e p l a c e w h e r e t h e c a r c h a n g e d f r o m g o i n g s l o w e r t o g o i n g f a s t e r . L a t e r i n t h e i n t e r v i e w L a u r a a s s o c i a t e d n e g a t i v e v e l o c i t y w i t h d i s t a n c e c l o s e r t o t h e m o t i o n d e t e c t o r a n d p o s i t i v e v e l o c i t y w i t h d i s t a n c e f a r t h e r a w a y . S o w h e r e a s b e f o r e s h e a s s o c i a t e d t h e s i g n o f t h e v e l o c i t y w i t h s p e e d o f t h e c a r - p o s i t i v e m e a n s s l o w e r , n e g a t i v e m e a n s f a s t e r - s h e n o w a s s o c i a t e d s i g n o f t h e v e l o c i t y w i t h d i s t a n c e o f t h e c a r f r o m t h e m o t i o n d e t e c t o r - n e g a t i v e m e a n s c l o s e r , p o s i t i v e m e a n s f a r t h e r a w a y . 5 2 W i t h s u g g e s t i o n s f r o m t h e i n t e r v i e w e r , L a u r a c o n d u c t e d t r i a l s w h e r e t h e c a r m o v e d o n l y o n e d i r e c t i o n , e i t h e r a w a y f r o m o r t o w a r d t h e m o t i o n d e t e c t o r . L a u r a t h e n c a m e t o s e e t h a t p o s i t i v e v e l o c i t y m e a n s m o v i n g a w a y f r o m t h e m o t i o n d e t e c t o r a n d n e g a t i v e v e l o c i t y m e a n s m o v i n g t o w a r d t h e m o t i o n d e t e c t o r w i t h z e r o v e l o c i t y a s s o c i a t e d w i t h t h e c a r c h a n g i n g d i r e c t i o n . L a u r a h a d c o m e t o s e e t h e s i g n o f v e l o c i t y a s g i v i n g i n f o r m a t i o n a b o u t t h e d i r e c t i o n o f m o v e m e n t . N e m i r o v s k y n o t e d t h a t L a u r a ' s u n d e r s t a n d i n g o f v e l o c i t y c h a n g e d b e c a u s e o f e x p e r i e n c e s d u r i n g t h i s i n t e r v i e w , t h a t a s s h e p r o c e e d e d w i t h t h e i n t e r v i e w , s h e r a d i c a l l y c h a n g e d h e r u n d e r s t a n d i n g o f t h e s i g n o f t h e v e l o c i t y . S o m e m i g h t t h i n k t h e r e f o r e t h a t t h i s p a r t i c u l a r s e q u e n c e o f e x p e r i e n c e s h o l d s t h e k e y t o s t u d e n t s l e a r n i n g t h e s i g n o f t h e v e l o c i t y . H e c a u t i o n s u s t o b e c a r e f u l a b o u t m a k i n g t h i s c o n c l u s i o n f o r t w o r e a s o n s . F i r s t , t h e r e m a y h a v e b e e n o t h e r e x p e r i e n c e s t h a t w o u l d h a v e h e l p e d L a u r a c o m e t o t h i s u n d e r s t a n d i n g o f v e l o c i t y s i g n . S e c o n d , t h e r e i s n o g u a r a n t e e t h a t t h i s p a r t i c u l a r s e q u e n c e o f e x p e r i e n c e s w o u l d l e a d o t h e r s t u d e n t s t o t h e s a m e u n d e r s t a n d i n g o f t h e s i g n o f v e l o c i t y . A c c o r d i n g t o N e m i r o v s k y , w e c a n n o t b e s u r e t h a t a s i n g l e s e t o r s e q u e n c e o f p r o b l e m s w i l l n e c e s s a r i l y y i e l d p a r t i c u l a r k n o w l e d g e i n s t u d e n t s . s u m m a r y _ g f _ I E R C _ s t u d i e s . I n t h e s e s t u d i e s w e s a w s o m e h i g h s c h o o l s t u d e n t s ' k n o w l e d g e o f r a t e o f c h a n g e i n t h e c o n t e x t o f p o s i t i o n a n d v e l o c i t y g r a p h s f o r a c a r m o v i n g o n a t r a c k . T h e s e s t u d e n t s a s s u m e d t h a t v e l o c i t y a n d p o s i t i o n g r a p h s w e r e s i m i l a r . A c c o r d i n g t o t h e s e r e s e a r c h e r s s t u d e n t s a s s u m e s i m i l a r i t i e s b e t w e e n v e l o c i t y a n d p o s i t i o n b e c a u s e o f t e n t h e y a r e s i m i l a r , e s p e c i a l l y i n c e r t a i n e v e r y d a y c o n t e x t s . A s s u m i n g s i m i l a r i t y s i m p l i f i e s p r o b l e m s o l v i n g , h e l p s s t u d e n t s u s e t h e i r p r e v i o u s e x p e r i e n c e , a n d e n c o u r a g e s t h e m t o r e c o g n i z e a n d u s e 5 3 p a t t e r n s . N e m i r o v s k y a n d R u b i n c a l l f o r e x p e r i e n c e s w i t h r a t e o f c h a n g e t h a t h e l p s t u d e n t s c o n s t r u c t a v a r i a t i o n a l a p p r o a c h t o m a k e s e n s e o f s i t u a t i o n s . N e m i r o v s k y g u i d e d o n e s t u d e n t t h r o u g h a s e t o f e x p e r i e n c e s w i t h p o s i t i o n a n d v e l o c i t y t h a t h e l p e d h e r u n d e r s t a n d w h a t t h e s i g n o f t h e v e l o c i t y m e a n t . C o n f r e y a n d S m i t h ( 1 9 9 4 , 1 9 9 5 ) i n v e s t i g a t e d s t u d e n t s ' t h i n k i n g a b o u t r a t e o f c h a n g e , s p e c i f i c a l l y i n t h e c o n t e x t o f l i n e a r a n d e x p o n e n t i a l f u n c t i o n s . T h e y d i s c u s s e d t w o w a y s o f t h i n k i n g a b o u t f u n c t i o n s t h a t i n f l u e n c e h o w s t u d e n t s t h i n k a b o u t r a t e o f c h a n g e . O n e i s a c o r r e s p o n d e n c e v i e w o f f u n c t i o n s , w h a t M o n k ( 1 9 9 2 a , 1 9 9 2 b ) c a l l e d a p o i n t w i s e v i e w o f f u n c t i o n s . T h e f o c u s i s o n r e l a t i n g v a l u e s o f t h e i n d e p e n d e n t v a r i a b l e t o c o r r e s p o n d i n g v a l u e s o f t h e d e p e n d e n t v a r i a b l e , f o r e x a m p l e f i n d i n g a v a l u e o f t h e d e p e n d e n t v a r i a b l e f o r a g i v e n v a l u e o f t h e i n d e p e n d e n t v a r i a b l e . T h i s p l a c e s t h e e m p h a s i s o n d e s c r i b i n g a f u n c t i o n i n t e r m s o f t h e c o r r e s p o n d e n c e b e t w e e n t h e i n d e p e n d e n t a n d d e p e n d e n t v a r i a b l e . W h e n w e e x p r e s s Y a s a f u n c t i o n o f X ( f o r e x a m p l e , a s Y = f ( X ) ) , w e a r e e m p h a s i z i n g a c o r r e s p o n d e n c e a s p e c t o f f u n c t i o n s . A n o t h e r v i e w o f f u n c t i o n s i s c a l l e d a c o v a r i a t i o n v i e w . T h i s i s w h a t M o n k ( 1 9 9 2 a , 1 9 9 2 b ) c a l l e d a n a c r o s s - t i m e v i e w o f f u n c t i o n s . I n t h i s v i e w , t h e f o c u s i s o n r e l a t i n g c h a n g e s i n t h e d e p e n d e n t v a r i a b l e f o r c h a n g e s i n t h e c o r r e s p o n d i n g v a l u e s o f t h e i n d e p e n d e n t v a r i a b l e , f o r e x a m p l e r e l a t i n g c o n s e c u t i v e d i f f e r e n c e s i n Y v a l u e s f o r c o n s e c u t i v e o n e u n i t d i f f e r e n c e s i n X v a l u e s . T h i s p l a c e s t h e e m p h a s i s o n d e s c r i b i n g a f u n c t i o n i n t e r m s o f c h a n g e o r r a t e o f c h a n g e i n t h e d e p e n d e n t v a r i a b l e r e l a t i v e t o c h a n g e i n t h e i n d e p e n d e n t v a r i a b l e . W h e n w e d e f i n e a f u n c t i o n r e c u r s i v e l y ( f o r e x a m p l e , a s l e = f ( Y n ) ) , w e a r e e m p h a s i z i n g a 5 4 c o v a r i a t i o n a s p e c t o f f u n c t i o n s . A c c o r d i n g t o C o n f r e y a n d S m i t h a n d M o n k , s t u d e n t s n e e d a c o v a r i a t i o n v i e w o f f u n c t i o n s i n o r d e r t o u n d e r s t a n d c a l c u l u s . C o v a r i a t i o n m a k e s r a t e o f c h a n g e m o r e v i s i b l e a n d m a k e s i t e a s i e r t o d e s c r i b e f u n c t i o n s i n t e r m s o f t h e i r r a t e o f c h a n g e . C o n f r e y a n d S m i t h w o r k e d w i t h h i g h s c h o o l s t u d e n t s w h o h a d t a k e n a t l e a s t t w o y e a r s o f a l g e b r a b u t w h o h a d n o t y e t t a k e n c a l c u l u s . T h e y w e r e g i v e n a t a b l e o f v a l u e s f o r a s i t u a t i o n i n v o l v i n g e x p o n e n t i a l g r o w t h . T h e p a r t i c u l a r c o n t e x t w a s t h e g r o w t h o f a c e l l p o p u l a t i o n o v e r n i n e h o u r s , f r o m t = 0 t o t = 9 . T h e t a b l e o f v a l u e s s h o w e d t h e n u m b e r o f c e l l s a t t = 0 a n d a t t h e e n d o f e a c h h o u r . S t u d e n t s w e r e a s k e d t o p r e d i c t t h e n u m b e r o f c e l l s a t t = 1 0 . T h e y f o c u s e d t h e i r a t t e n t i o n o n r e l a t i n g t h e y - v a l u e s t o e a c h o t h e r . T h i s i s m o r e c o n s i s t e n t w i t h a c o v a r i a t i o n v i e w o f f u n c t i o n t h a n w i t h a c o r r e s p o n d e n c e v i e w . S o m e s t u d e n t s r e l a t e d t h e y - v a l u e s u s i n g t h e d i f f e r e n c e b e t w e e n c o n s e c u t i v e v a l u e s o f Y , Y m 1 — Y n , f o r o n e u n i t d i f f e r e n c e s i n t h e x - v a l u e s . C o n f r e y a n d S m i t h c a l l e d t h i s a n a d d i t i v e r a t e o f c h a n g e . S t u d e n t s h a d u s e d a d d i t i v e r a t e o f c h a n g e e a r l i e r i n t h e s t u d y t o d i s c o v e r t h a t w i t h l i n e a r f u n c t i o n s t h e s e d i f f e r e n c e s w e r e a l l t h e s a m e c o n s t a n t . H e r e w i t h t h e e x p o n e n t i a l s i t u a t i o n , t h e a d d i t i v e r a t e o f c h a n g e d i d n o t y i e l d d i f f e r e n c e s t h a t w e r e a l l t h e s a m e c o n s t a n t . S o t h a t l e d s t u d e n t s t o c o n s i d e r o t h e r r e l a t i o n s h i p s b e t w e e n y h a n d y m l t h a t y i e l d e d t h e s a m e c o n s t a n t . F o r e x p o n e n t i a l f u n c t i o n s , t h e r a t i o Y n + 1 / Y n y i e l d s t h e s a m e c o n s t a n t . T h i s l e a d s t o y m 1 = k l i t y n a s a r e l a t i o n s h i p b e t w e e n c o n s e c u t i v e y - v a l u e s f o r e x p o n e n t i a l f u n c t i o n s . C o n f r e y a n d S m i t h c a l l e d t h i s a m u l t i p l i c a t i v e r a t e o f c h a n g e . A n o t h e r r e l a t i o n s h i p b e t w e e n y ; a n d y m 1 t h a t h o l d s f o r e x p o n e n t i a l f u n c t i o n s i s y m l = y n - i l g * y q w h e r e k 2 i s a c o n s t a n t . C o n f r e y a n d S m i t h 5 5 c a l l e d t h i s a " p r o p o r t i o n a l n e w t o o l d " r a t e o f c h a n g e . I t e m p h a s i z e s t h e p r o p o r t i o n o f y a t o b e a d d e d t o y , ( t h e " o l d " ) t o g e t y m l ( t h e " n e w " ) . B e c a u s e o f s t u d e n t s d e s c r i p t i o n o f l i n e a r a n d e x p o n e n t i a l f u n c t i o n s i n t e r m s o f c h a n g e s f r o m o n e y - v a l u e t o t h e n e x t , C o n f r e y a n d S m i t h c o n j e c t u r e t h a t c h a n g e a n d r a t e o f c h a n g e m a y b e a w a y t h a t s t u d e n t s i n v e s t i g a t e f u n c t i o n s a n d m a y t h e r e f o r e b e a n e n t r y p o i n t t o t h e i r s t u d y o f f u n c t i o n s . C o n f r e y a n d S m i t h r e f e r t o w o r k b y K a p u t a n d W e s t ( 1 9 9 0 ) i n w h i c h t h e c o n c e p t o f r a t e a l s o i n v o l v e s h o m o g e n e i t y , t h a t i s t h e r a t i o o f c h a n g e s i n Y t o c h a n g e s i n X r e m a i n s t h e s a m e o v e r d i f f e r e n t c h a n g e s i n X . T h o m p s o n ( 1 9 9 4 a ) r e f e r s t o t h i s a s " r e f l e c t i v e l y a b s t r a c t e d c o n s t a n t r a t i o " ( p . 1 9 2 ) . B y t h a t h e m e a n s t h a t s t u d e n t s m u s t c o m e t o s e e c o n s t a n t r a t e a s m e a n i n g t h a t n o m a t t e r h o w l a r g e o r s m a l l t h e c h a n g e i n X , t h e r a t i o o f t h e c h a n g e i n Y t o t h e c h a n g e i n X i s t h e s a m e . H o m o g e n e i t y h o l d s f o r c o n s t a n t r a t e b u t d o e s n o t h o l d f o r v a r i a b l e r a t e s . C o n f r e y a n d S m i t h a d v o c a t e e x p a n s i o n o f t h e d e f i n i t i o n o f r a t e t o i n c l u d e c o n s i d e r a t i o n o f v a r i a b l e a s w e l l a s c o n s t a n t r a t e s . T h i s , t h e y b e l i e v e , w i l l e a s e t h e t r a n s i t i o n t o c a l c u l u s , t h e s t u d y o f v a r i a b l e r a t e s . T h i s s t u d y b y C o n f r e y a n d S m i t h i n v o l v e d e q u a t i o n s a n d t a b l e o f v a l u e s i n s t u d e n t s ' e x p l o r a t i o n o f f u n c t i o n s a n d t h e i r r a t e s o f c h a n g e . W e m i g h t a l s o c o n s i d e r t h e r o l e o f g r a p h s . C o n f r e y a n d S m i t h r e f e r r e d t o N e m i r o v s k y ' s ( 1 9 9 1 ) s i x b a s i c s h a p e s o f g r a p h s f r o m w h i c h g r a p h s o f m a n y c o n t i n u o u s f u n c t i o n s c a n b e c o n s t r u c t e d . N e m i r o v s k y s u g g e s t e d t h a t m a n y s t u d e n t s w o u l d f i n d c a l c u l u s e a s i e r i f t h e y f i r s t u n d e r s t o o d h o w t h e s e s i x b a s i c s h a p e s d i s p l a y d i f f e r e n t r a t e s o f c h a n g e . 5 6 C o n f r e y a n d S m i t h f u r t h e r w o n d e r e d i f r e l a t i o n s h i p s b e t w e e n t h e s e s i x b a s i c s h a p e s a n d s l o p e r e p r e s e n t a n o t h e r w a y t o i n v e s t i g a t e r a t e o f c h a n g e . T h e y p r o p o s e d t h a t m a n y s t u d e n t s m a k e c o n n e c t i o n s b e t w e e n s l o p e a n d r a t e o f c h a n g e w i t h o u t r e f e r e n c e t o t h e n u m e r i c a l v a l u e o f t h e s l o p e o r o f c h a n g e s i n t h e d e p e n d e n t v a r i a b l e o v e r i n t e r v a l s o f t h e d e p e n d e n t v a r i a b l e . T h e y c o n j e c t u r e d t h a t s t u d e n t s ' k n o w l e d g e o f r e l a t i o n s h i p s b e t w e e n s l o p e a n d s h a p e o f g r a p h m a y s e r v e a s a b a s i s f o r a d v a n c i n g t h e i r k n o w l e d g e o f r a t e o f c h a n g e . T h e s e s t u d i e s s h o w e d t h a t h i g h s c h o o l s t u d e n t s o f t e n f i n d i t r e a s o n a b l e t o s t u d y f u n c t i o n s i n t e r m s o f c h a n g e i n t h e d e p e n d e n t v a r i a b l e f o r f i x e d c h a n g e s i n t h e i n d e p e n d e n t v a r i a b l e r a t h e r t h a n a s a r e l a t i o n s h i p b e t w e e n t h e d e p e n d e n t v a r i a b l e a n d t h e i n d e p e n d e n t v a r i a b l e . T h a t i s , s t u d e n t s t h i n k a b o u t f u n c t i o n s i n t e r m s o f c o v a r i a t i o n r a t h e r t h a n a s a c o r r e s p o n d e n c e . T h i s s u g g e s t s t h a t o n e e n t r y p o i n t t o t h e s t u d y o f f u n c t i o n s i s v i a r a t e o f c h a n g e a n d t h a t s t u d e n t s ' u n d e r s t a n d i n g o f r a t e o f c h a n g e i s e n h a n c e d w i t h t h i s a p p r o a c h t o f u n c t i o n s . C o n f r e y a n d S m i t h s u g g e s t e d o t h e r w a y s t o s t u d y f u n c t i o n s a n d r a t e o f c h a n g e i n c l u d i n g c o n s i d e r a t i o n o f v a r i a b l e a s w e l l a s c o n s t a n t r a t e o f c h a n g e a n d c o n n e c t i o n s b e t w e e n q u a l i t a t i v e s l o p e a n d s h a p e o f g r a p h . P a t r i c k a n d A l b a T h o m p s o n ( 1 9 9 2 ) i n t e r v i e w e d m i d d l e s c h o o l s t u d e n t s a r o u n d s i t u a t i o n s i n v o l v i n g c o n s t a n t r a t e . T h e y w e r e i n t e r e s t e d i n h o w s t u d e n t s c o m e t o u n d e r s t a n d r a t e a s a q u a n t i t y f o r m e d b y t h e r a t i o o f t w o o t h e r q u a n t i t i e s , e a c h o f w h i c h i s t h e c h a n g e i n a n o t h e r q u a n t i t y . T h e T h o m p s o n s i d e n t i f i e d f o u r d i f f e r e n t w a y s s t u d e n t s t h i n k a b o u t c o n s t a n t r a t e . S o m e s t u d e n t s t h i n k o f c o n s t a n t r a t e i n 5 7 t e r m s o f " s p e e d a s a d i s t a n c e " a n d " t i m e a s a r a t i o " . T h e s e s t u d e n t s t h i n k o f s p e e d a s a d i s t a n c e t h a t i s t r a v e l e d i n s o m e u n i t m e a s u r e o f t i m e . A s p e e d o f 1 5 f e e t p e r s e c o n d m e a n s 1 5 f e e t a r e t r a v e l e d a n d i t t a k e s o n e s e c o n d t o d o s o . T o f i n d t h e d i s t a n c e t r a v e l e d a t a g i v e n s p e e d o v e r a g i v e n a m o u n t o f t i m e , t h e s e s t u d e n t s l a y o u t t h e n u m b e r o f s p e e d - d i s t a n c e s c o r r e s p o n d i n g t o t h e n u m b e r o f t i m e u n i t s a n d a d d u p t h e t o t a l d i s t a n c e . F o r e x a m p l e , t o f i n d t h e d i s t a n c e t r a v e l e d i n f i v e s e c o n d s a t a s p e e d o f 1 2 f e e t p e r s e c o n d , t h e s e s t u d e n t s m e a s u r e o u t f i v e s p e e d - d i s t a n c e s o f " 1 2 f e e t p e r s e c o n d " a n d a d d u p t h e t o t a l d i s t a n c e t o g e t 6 0 f e e t . T o f i n d t h e t i m e i t t a k e s t o t r a v e l 1 0 0 f e e t a t a s p e e d o f 2 0 f e e t p e r s e c o n d , a s t u d e n t w h o t h i n k s a b o u t r a t e i n t e r m s o f " s p e e d a s a d i s t a n c e " w i l l f i n d t h e n u m b e r o f u n i t s o f t h e s p e e d - d i s t a n c e " 2 0 f e e t p e r s e c o n d " t h a t c a n b e m e a s u r e d o u t i n 1 0 0 f e e t ; t h a t n u m b e r w i l l b e t h e n u m b e r o f s e c o n d s i t t a k e s t o t r a v e l 1 0 0 f e e t . T h i s p r e s e n t s a v i e w o f t i m e a s t h e r a t i o o f t h e t o t a l d i s t a n c e t o t h e s p e e d - d i s t a n c e . T o f i n d t h e s p e e d i t t a k e s t o t r a v e l a g i v e n d i s t a n c e i n a g i v e n a m o u n t o f t i m e , s t u d e n t s o f t e n g u e s s a s p e e d a n d t h e n c h e c k i t b y l a y i n g d o w n a n a p p r o p r i a t e n u m b e r o f s p e e d - d i s t a n c e s c o r r e s p o n d i n g t o t h e g i v e n n u m b e r o f t i m e u n i t s t o s e e i f t h e r e s u l t i n g d i s t a n c e m a t c h e s t h e g i v e n d i s t a n c e . T o f i n d t h e s p e e d n e e d e d t o t r a v e l 1 0 0 f e e t i n s i x s e c o n d s , a s t u d e n t w i l l g u e s s a s p e e d , s a y 1 5 f e e t p e r s e c o n d , a n d t h e n m e a s u r e o u t s i x s p e e d - d i s t a n c e s o f " 1 5 f e e t p e r s e c o n d " t o s e e i f t h e y a d d u p t o 1 0 0 f e e t . I n t h i s c a s e s i x s p e e d - d i s t a n c e s o f " 1 5 f e e t p e r s e c o n d " d o n o t c o v e r t h e f u l l 1 0 0 f e e t . S o t h e s t u d e n t m a y t h e n t r y a f a s t e r s p e e d , s a y 1 6 f e e t p e r s e c o n d , a n d r e p e a t t h e p r o c e d u r e u n t i l a s p e e d - d i s t a n c e i s f o u n d s o t h a t s i x o f t h e m m e a s u r e s o u t t o 1 0 0 f e e t . 5 8 S t u d e n t s w i t h t h i s v i e w o f c o n s t a n t r a t e m a y c o n c l u d e t h a t t h e r e i s n o s p e e d a t w h i c h o n e c a n t r a v e l t o c o v e r 1 0 0 f e e t i n s i x s e c o n d s s i n c e t h e y m a y n o t b e a b l e t o f i n d a s p e e d s o t h a t s i x o f t h e r e s u l t i n g s p e e d - d i s t a n c e s a d d s u p t o e x a c t l y 1 0 0 f e e t . T h e T h o m p s o n s r e f e r t o t h i s v i e w o f c o n s t a n t r a t e a s a d d i t i v e s i n c e i t r e l i e s o n f i n d i n g o u t h o w m a n y s p e e d - d i s t a n c e s t o a d d u p t o y i e l d a c e r t a i n d i s t a n c e . Q t h e r _ w a x s _ o f _ t h i n k i n g _ a b o u t _ s n e e d . A s e c o n d w a y s t u d e n t s t h i n k a b o u t c o n s t a n t r a t e i s i n t e r m s o f s p e e d a s a d i s t a n c e w i t h a n i m p l i e d n u m b e r o f t i m e u n i t s . S t u d e n t s w i t h t h i s v i e w c a n f i n d t h e t i m e a s s o c i a t e d w i t h a g i v e n d i s t a n c e l e s s t h a n 1 5 f e e t s i n c e t h e y s e e r a t i o s o f i n c r e m e n t s o f d i s t a n c e t o t h e c o r r e s p o n d i n g i n c r e m e n t s o f t i m e a s b e i n g c o n s t a n t . S o a d i s t a n c e o f f i v e f e e t i m p l i e s a t i m e o f o n e - t h i r d o f a s e c o n d . B u t t h e y c a n n o t f i n d t h e t i m e a s s o c i a t e d w i t h a d i s t a n c e m o r e t h a n 1 5 f e e t s i n c e t h e y d o n o t t h i n k o f r a t i o s o f t o t a l a c c u m u l a t i o n s o f d i s t a n c e t o t o t a l a c c u m u l a t i o n s o f t i m e a s h a v i n g t h e s a m e c o n s t a n t r a t i o . S o a d i s t a n c e o f 4 5 f e e t d o e s n o t i m p l y t o t h e m a t i m e o f t h r e e s e c o n d s . S t u d e n t s w i t h t h i s v i e w a l s o c a n n o t f i n d t h e d i s t a n c e f o r a g i v e n t i m e s i n c e t i m e d o e s n o t n e c e s s a r i l y i m p l y d i s t a n c e . S o a t i m e o f o n e - t h i r d o f a s e c o n d d o e s n o t n e c e s s a r i l y i m p l y a d i s t a n c e o f f i v e f e e t n o r d o e s a t i m e o f t h r e e s e c o n d s a u t o m a t i c a l l y y i e l d 4 5 f e e t . A t h i r d w a y s t u d e n t s t h i n k a b o u t c o n s t a n t r a t e i s i n t e r m s o f i n c r e m e n t s o f t i m e a n d d i s t a n c e o c c u r r i n g t o g e t h e r s o t h a t e a c h i n c r e m e n t i n t i m e i m p l i e s a c o r r e s p o n d i n g i n c r e m e n t i n d i s t a n c e a n d e a c h i n c r e m e n t i n d i s t a n c e i m p l i e s a c o r r e s p o n d i n g i n c r e m e n t i n t i m e . A s p e e d o f 1 5 f e e t p e r s e c o n d i s s e e n a s m a d e u p o f t w o q u a n t i t i e s - 1 5 f e e t a n d o n e s e c o n d - s o t h a t g i v e n a d i s t a n c e l e s s t h a n 1 5 f e e t , o n e 5 9 c a n f i n d t h e c o r r e s p o n d i n g t i m e a n d g i v e n a t i m e l e s s t h a n o n e s e c o n d , o n e c a n f i n d t h e c o r r e s p o n d i n g d i s t a n c e . S t u d e n t s w i t h t h i s v i e w o f c o n s t a n t r a t e s e e t h a t t h e r a t i o o f a n i n c r e m e n t o f d i s t a n c e t o a c o r r e s p o n d i n g i n c r e m e n t o f t i m e i s c o n s t a n t f o r a l l i n c r e m e n t s . H o w e v e r , t h e y a r e n o t a b l e t o c o n s i d e r t h a t a t e a c h i n c r e m e n t t h e r a t i o o f t h e t o t a l a c c u m u l a t i o n o f d i s t a n c e t o t h e t o t a l a c c u m u l a t i o n o f t i m e i s a l s o t h e s a m e c o n s t a n t . T h e y d o n o t a s s o c i a t e 4 5 f e e t w i t h t h r e e s e c o n d s n o r d o t h e y a s s o c i a t e t h r e e s e c o n d s w i t h 4 5 f e e t . A f o u r t h w a y s t u d e n t s t h i n k a b o u t c o n s t a n t r a t e i s i n t e r m s o f d i s t a n c e a n d t i m e a c c u m u l a t i n g t o g e t h e r s o t h a t n o t o n l y i s t h e r a t i o o f a n i n c r e m e n t o f d i s t a n c e t o t h e c o r r e s p o n d i n g i n c r e m e n t o f t i m e c o n s t a n t f o r a l l i n c r e m e n t s b u t a t e a c h i n c r e m e n t t h e r a t i o o f t h e t o t a l a c c u m u l a t i o n o f d i s t a n c e t o t h e t o t a l a c c u m u l a t i o n o f t i m e i s t h e s a m e c o n s t a n t . A s p e e d o f 1 5 f e e t p e r s e c o n d n o t o n l y i m p l i e s t h a t f i v e f e e t m e a n s o n e - t h i r d o f a s e c o n d a n d v i c e v e r s a b u t i t a l s o i m p l i e s t h a t 4 5 f e e t m e a n s t h r e e s e c o n d s a n d v i c e v e r s a . A c c o r d i n g t o t h e T h o m p s o n s , t h i s f o u r t h v i e w o f c o n s t a n t r a t e i s w h a t i t m e a n s t o k n o w c o n s t a n t r a t e . D g y g l g p m e n t a l _ s t a g e s _ f g r _ r a t g é T h e T h o m p s o n s i m p l y t h a t t h e s e f o u r w a y s o f t h i n k i n g a b o u t c o n s t a n t r a t e a r e d e v e l o p m e n t a l s t a g e s t h a t s t u d e n t s w o r k t h r o u g h w i t h t h e f i r s t t w o s t a g e s a s s o c i a t e d w i t h a n a d d i t i v e v i e w o f r a t e a n d t h e l a s t t w o s t a g e s a s s o c i a t e d w i t h a m u l t i p l i c a t i v e v i e w o f r a t e . P a t r i c k T h o m p s o n ( 1 9 9 4 b ) g a v e a d e t a i l e d a c c o u n t o f h i s w o r k w i t h o n e 1 0 y e a r o l d a s s h e m o v e d t h r o u g h t h e s e f o u r s t a g e s . I n i t i a l l y h e r u n d e r s t a n d i n g o f r a t e i n c l u d e d s p e e d a s a d i s t a n c e ( h o w f a r i n o n e u n i t o f t i m e ) a n d t i m e a s a r a t i o ( h o w m a n y s p e e d - d i s t a n c e s i n a g i v e n d i s t a n c e ) . S h e m e a s u r e d o u t a g i v e n d i s t a n c e 6 0 i n u n i t s o f s p e e d - d i s t a n c e t o y i e l d t h e t i m e i t t o o k t o t r a v e l a g i v e n d i s t a n c e , w i t h o n e s p e e d - d i s t a n c e c o r r e s p o n d i n g t o o n e u n i t o f t i m e . S h e u s e d g u e s s a n d c h e c k t o d e t e r m i n e s p e e d w h e n g i v e n a d i s t a n c e t o b e t r a v e l e d i n a g i v e n t i m e . T h e s e a r e a l l b e h a v i o r s t h a t a r e c o n s i s t e n t w i t h t h e f i r s t v i e w o f r a t e d e s c r i b e d a b o v e . O v e r s e v e r a l s e s s i o n s h e r u n d e r s t a n d i n g o f r a t e w a s e x t e n d e d s o t h a t a c e r t a i n n u m b e r o f s p e e d - d i s t a n c e s n e c e s s a r i l y i m p l i e d a c o r r e s p o n d i n g n u m b e r o f t i m e u n i t s , a v i e w c o n s i s t e n t w i t h t h e s e c o n d v i e w o f r a t e d e s c r i b e d a b o v e . L a t e r s h e c a m e t o s e e r a t e i n t e r m s o f b o t h d i s t a n c e a n d t i m e c h a n g i n g t o g e t h e r s o t h a t t h e r a t i o o f c h a n g e s i n d i s t a n c e t o t h e r a t i o o f c h a n g e s i n t i m e w e r e c o n s t a n t . T h i s v i e w i s c o n s i s t e n t w i t h t h e t h i r d v i e w o f r a t e d e s c r i b e d a b o v e . I n t h e f i n a l s e s s i o n s s h e w o r k e d w i t h o t h e r t y p e s o f r a t e s b u t i n i t i a l l y r e l i e d o n h e r e a r l i e r c o n c e p t i o n o f " s p e e d a s a d i s t a n c e " t o s o l v e t h e s e n e w r a t e p r o b l e m s . A s s h e c o n t i n u e d t o w o r k w i t h t h e s e p r o b l e m s s h e c a m e t o d i s t i n g u i s h b e t w e e n t w o c h a n g i n g q u a n t i t i e s i n e a c h s i t u a t i o n s o t h a t t h e i r r a t i o r e m a i n e d c o n s t a n t o v e r i n c r e m e n t s a n d a c c u m u l a t i o n s . T h i s v i e w o f r a t e i s c o n s i s t e n t w i t h t h e f o u r t h v i e w d e s c r i b e d a b o v e . W W W M a n o t h e r s t u d y ( T h o m p s o n , 1 9 9 4 b ) P a t r i c k c l a i m e d t h a t o n e r e a s o n c a l c u l u s s t u d e n t s s t r u g g l e w i t h t h e F u n d a m e n t a l T h e o r e m o f C a l c u l u s i s b e c a u s e t h e y h a v e " i m p o v e r i s h e d i m a g e s o f r a t e " ( p . 2 2 9 ) . I t a k e t h i s t o m e a n h e b e l i e v e s s t u d e n t s h a v e t r o u b l e u n d e r s t a n d i n g v a r i a b l e r a t e a n d i t s r e l a t i o n s h i p t o a c c u m u l a t i o n b e c a u s e t h e y h a v e n o t y e t g r a s p e d t h e s i g n i f i c a n c e o f c o n s t a n t r a t e . T h e y h a v e n o t c o m e t o s e e c o n s t a n t r a t e a s h a v i n g s o m e t h i n g t o d o w i t h t w o q u a n t i t i e s c h a n g i n g t o g e t h e r i n s u c h 6 1 a w a y t h a t c h a n g e s i n o n e n e c e s s a r i l y i m p l y c h a n g e s i n t h e o t h e r , t h a t t h e r a t i o o f a n y s i z e i n c r e m e n t o f o n e q u a n t i t y t o t h e c o r r e s p o n d i n g i n c r e m e n t o f t h e o t h e r q u a n t i t y y i e l d s t h e s a m e c o n s t a n t n o m a t t e r h o w l a r g e o r s m a l l t h e i n c r e m e n t , a n d t h a t t h e r a t i o o f a c c u m u l a t i o n s o f o n e o f t h e q u a n t i t i e s t o t h e c o r r e s p o n d i n g a c c u m u l a t i o n s o f t h e o t h e r q u a n t i t y y i e l d s t h e s a m e c o n s t a n t . I n o t h e r w o r d s , t h e y h a v e n o t c o m e t o s e e r a t e a s " r e f l e c t i v e l y a b s t r a c t e d c o n s t a n t r a t i o " ( 1 9 9 4 a , p . 1 9 2 ) . A s a c l o s i n g r e m a r k t o t h i s s t u d y ( 1 9 9 4 a ) , T h o m p s o n n o t e d t h a t i t d o e s l i t t l e g o o d t o t e a c h s t u d e n t s t h a t s p e e d i s d i s t a n c e d i v i d e d b y t i m e , s p e c i f i c a l l y t h a t c o n s t a n t s p e e d c a n b e f o u n d b y d i v i d i n g t h e a m o u n t o f d i s t a n c e t r a v e l e d b y t h e a m o u n t o f t i m e t o t r a v e l i t , i f t h e y d o n o t a l r e a d y h a v e a n i d e a t h a t m o t i o n i n v o l v e s t w o q u a n t i t i e s - d i s t a n c e a n d t i m e - a n d t h a t i n t h e c a s e o f c o n s t a n t s p e e d t h e s e t w o q u a n t i t i e s c h a n g e t o g e t h e r i n s u c h a w a y t h a t t h e r a t i o o f c h a n g e s i n e a c h q u a n t i t y a t e a c h i t e r a t i o n i s t h e s a m e f r o m i t e r a t i o n t o i t e r a t i o n a n d i s t h e s a m e a s t h e r a t i o o f t o t a l a c c u m u l a t i o n s o f e a c h q u a n t i t y a t e a c h i t e r a t i o n . H i s c o n c e r n i s t h a t s t u d e n t s , e v e n c o l l e g e s t u d e n t s , d o n o t h a v e a n v i e w o f c o n s t a n t r a t e o n w h i c h t h e y c a n t h e n b u i l d a n u n d e r s t a n d i n g o f v a r i a b l e r a t e a n d a c c u m u l a t i o n . P a t r i c k a n d A l b a T h o m p s o n s h o w e d u s t h a t a p r o p e r u n d e r s t a n d i n g o f c o n s t a n t r a t e m e a n s b e i n g a b l e t o c o o r d i n a t e t w o c h a n g i n g q u a n t i t i e s s o t h a t t h e r a t i o s o f i n c r e m e n t s o r t o t a l a c c u m u l a t i o n s o f o n e t o i n c r e m e n t s o r t o t a l a c c u m u l a t i o n s o f t h e o t h e r a r e a l l e q u a l t o t h e s a m e c o n s t a n t . T h e y a l s o s h o w e d t h a t e l e m e n t a r y s c h o o l a g e d c h i l d r e n d o n o t c o m e t o t h i s u n d e r s t a n d i n g e a s i l y . F u r t h e r i f s t u d e n t s c o m e t o c a l c u l u s w i t h o u t a p r o p e r u n d e r s t a n d i n g o f c o n s t a n t r a t e t h a n P a t r i c k a r g u e s i t i s l i t t l e w o n d e r i f t h e y s t r u g g l e w i t h v a r i a b l e r a t e . T T T ' T I ) m 8 c I ( 8 n o 8 m s 8 o T T ' f ' U p ' [ L L l L L i l l l J t l l l l I J 6 2 M c D e r m o t t , R o s e n q u i s t , a n d v a n Z e e ( 1 9 8 7 ) s t u d i e d u n i v e r s i t y p h y s i c s s t u d e n t s ' k n o w l e d g e o f p o s i t i o n a n d v e l o c i t y a s r e p r e s e n t e d b y g r a p h s . I n o n e t a s k s t u d e n t s w e r e g i v e n a p o s i t i o n - t i m e g r a p h s h o w i n g t h e p o s i t i o n o f t w o o b j e c t s m o v i n g a t d i f f e r e n t c o n s t a n t r a t e s . ( S e e F i g u r e 4 . ) O b j e c t A s t a r t e d a t z e r o c e n t i m e t e r s a t t = 0 s e c o n d s a n d e n d e d a t 8 5 c e n t i m e t e r s a t t = 1 0 s e c o n d s . O b j e c t B s t a r t e d a t 2 0 c e n t i m e t e r s a t t - O s e c o n d s a n d e n d e d a t 5 5 c e n t i m e t e r s a t 1 0 s e c o n d s . S i n c e t h e r a t e f o r o b j e c t A i s f a s t e r t h a n f o r o b j e c t 8 , t h e l i n e f o r o b j e c t A h a s s t e e p e r s l o p e . T h e t w o l i n e s i n t e r s e c t a t t - 4 s e c o n d s w i t h t h e l i n e f o r o b j e c t A b e l o w t h e l i n e f o r o b j e c t 8 f r o m t - O t o t - 4 s e c o n d s a n d t h e l i n e f o r o b j e c t A a b o v e t h e l i n e f o r o b j e c t 8 f r o m t = 4 t o t - I O s e c o n d s . ' o c ' i ' l ' i ' l ' l ‘ i ' l ' T r T T ( p . . . 5 F i g u r e 4 - P o s i t i o n o f t w o m o v i n g o b j e c t s o v e r 1 0 s e c o n d s S t u d e n t s w e r e a s k e d i f t h e s p e e d o f o b j e c t A w a s g r e a t e r t o , l e s s t h a n , o r e q u a l t o t h e s p e e d o f o b j e c t 8 a t t = 2 s e c o n d s . M a n y s t u d e n t s s a i d t h a t s i n c e t h e g r a p h o f o b j e c t A w a s b e l o w t h e g r a p h o f o b j e c t 8 a t 6 3 t = 2 s e c o n d s , t h e s p e e d o f o b j e c t A w a s l e s s t h a n t h e s p e e d o f o b j e c t B . S t u d e n t s w e r e u s i n g r e l a t i v e h e i g h t s i n s t e a d o f r e l a t i v e s l o p e s o f t h e p o s i t i o n g r a p h s o f o b j e c t s A a n d B t o m a k e c o n c l u s i o n s a b o u t t h e i r s p e e d s . S t u d e n t s w e r e a l s o a s k e d i f o b j e c t s A a n d B e v e r h a d t h e s a m e s p e e d . M a n y s a i d t h a t t h e y h a d t h e s a m e s p e e d a t t = 4 s e c o n d s b e c a u s e t h a t i s w h e r e t h e g r a p h s o f t h e i r p o s i t i o n s i n t e r s e c t . T h e y w e r e u s i n g t h e f a c t t h a t o b j e c t s A a n d B h a v e t h e s a m e p o s i t i o n t o c o n c l u d e t h a t t h e y h a v e t h e s a m e s p e e d . T h e s e r e s p o n s e s a r e s i m i l a r t o r e s p o n s e s o f s t u d e n t s i n t h e T E R C s t u d i e s w h e r e s t u d e n t s a s s u m e d r e s e m b l a n c e ' s b e t w e e n a f u n c t i o n a n d i t s d e r i v a t i v e . S p e c i f i c a l l y , s t u d e n t s i n t h e T E R C s t u d i e s u s e d g r a p h s o f v e l o c i t y f u n c t i o n s t o m a k e c o n c l u s i o n s a b o u t g r a p h s o f p o s i t i o n f u n c t i o n s . T h e y a s s u m e d t h a t a p o s i t i o n f u n c t i o n l o o k s s i m i l a r t o i t s v e l o c i t y f u n c t i o n . I n t h e M c D e r m o t t e t a l . s t u d y , s t u d e n t s u s e d a g r a p h o f t h e p o s i t i o n f u n c t i o n t o m a k e c o n c l u s i o n s a b o u t t h e v e l o c i t y . T h e y m a y h a v e a s s u m e d t h a t t h e v e l o c i t y r e s e m b l e s t h e p o s i t i o n f u n c t i o n o r t h a t t h e r e i s o n l y o n e g r a p h f o r a m o t i o n . W W S t u d e n t s w e r e a l s o g i v e n a p o s i t i o n - t i m e g r a p h f o r o n e m o v i n g o b j e c t a n d a s k e d t o s p e c i f y t h e p o i n t s w h e r e t h e o b j e c t w a s m o v i n g t h e s l o w e s t , s p e e d i n g u p , s l o w i n g d o w n , a n d t u r n i n g a r o u n d . ( S e e F i g u r e 5 . ) M a n y s t u d e n t s i d e n t i f i e d t h e p o i n t w i t h h e i g h t z e r o ( p o i n t D ) a s t h e p o i n t w h e r e t h e o b j e c t w a s m o v i n g t h e s l o w e s t . A c o r r e c t a n s w e r i s p o i n t B o r F w h e r e a s l o p e o f z e r o i n d i c a t e s a s p e e d o f z e r o , t h e s l o w e s t s p e e d p o s s i b l e . M a n y s t u d e n t s s p e c i f i e d a p o i n t w h e r e t h e g r a p h w a s i n c r e a s i n g ( p o i n t A ) a s t h e p o i n t w h e r e t h e o b j e c t w a s s p e e d i n g u p . A c o r r e c t a n s w e r h e r e i s p o i n t G s i n c e t h e m a g n i t u d e o f t h e s l o p e i s i n c r e a s i n g t h e r e . 6 4 F i g u r e 5 - P o s i t i o n o f a m o v i n g o b j e c t o v e r t i m e I n b o t h c a s e s s t u d e n t s a p p e a r e d t o c o n f u s e p o s i t i o n a n d v e l o c i t y . T h a t w o u l d h e l p e x p l a i n w h y p o i n t D , w i t h t h e s m a l l e s t p o s i t i o n , w a s i d e n t i f i e d a s t h e p o i n t o f s m a l l e s t s p e e d . I t w o u l d a l s o e x p l a i n w h y p o i n t A , w i t h a n i n c r e a s i n g p o s i t i o n , w a s i d e n t i f i e d a s t h e p o i n t w h e r e t h e s p e e d w a s i n c r e a s i n g . D i f f g z g n g g a _ b e t w g e n _ 5 p e e d _ a n d _ x g l g g i t ¥ . S o m e o f t h e c o n f u s i o n h e r e m a y b e d u e t o t h e d i f f e r e n c e b e t w e e n s p e e d a n d v e l o c i t y . A v e l o c i t y o f 1 5 f e e t p e r s e c o n d o r - 1 5 f e e t p e r s e c o n d y i e l d s a s p e e d o f 1 5 f e e t p e r s e c o n d . S p e e d i s a l w a y s p o s i t i v e w h i l e t h e s i g n o f t h e v e l o c i t y d e s i g n a t e s d i r e c t i o n . S l o p e o f a p o s i t i o n - t i m e g r a p h y i e l d s i n f o r m a t i o n a b o u t t h e v e l o c i t y o f a m o v i n g o b j e c t . I f t h e g r a p h i s i n c r e a s i n g a n d g e t t i n g s t e e p e r , t h e n s i n c e t h e s l o p e o f t h e g r a p h i s p o s i t i v e a n d i n c r e a s i n g , b o t h t h e v e l o c i t y a n d s p e e d a r e p o s i t i v e a n d i n c r e a s i n g . B u t i f t h e g r a p h i s d e c r e a s i n g a n d g e t t i n g s t e e p e r , t h e n t h e s l o p e i s n e g a t i v e a n d d e c r e a s i n g ( " g e t t i n g m o r e n e g a t i v e " ) s o t h a t t h e v e l o c i t y i s n e g a t i v e a n d d e c r e a s i n g w h i l e t h e s p e e d i s p o s i t i v e a n d i n c r e a s i n g . S o i f s t u d e n t s s a w t h a t p o i n t G h a s a s l o p e t h a t i s n e g a t i v e a n d d e c r e a s i n g s o t h a t t h e v e l o c i t y w a s n e g a t i v e a n d d e c r e a s i n g 6 5 a t p o i n t G , t h e y s t i l l m a y n o t h a v e s e e n p o i n t G a s a p l a c e w h e r e t h e s p e e d i s i n c r e a s i n g . S l Q w i n g _ d o w n _ a n d _ t u r n i n g _ a r g u n d + T o a n s w e r t h e q u e s t i o n a b o u t w h e r e t h e o b j e c t w a s s l o w i n g d o w n , s o m e s t u d e n t s i n d i c a t e d t h e p o i n t G w h e r e t h e g r a p h a c h i e v e s i t s l o w e s t h e i g h t . T h i s i s a l s o a p o i n t w h e r e t h e s l o p e o f t h e g r a p h i s n e g a t i v e w h i c h i n t h e m i n d s o f s o m e s t u d e n t s m a y m e a n t h a t t h e o b j e c t i s s l o w i n g d o w n . T h e o b j e c t i s s l o w i n g d o w n a t p o i n t s A , C , D , a n d E s i n c e t h e m a g n i t u d e o f t h e s l o p e i s d e c r e a s i n g . M a n y s t u d e n t s a s s o c i a t e d t h e p o i n t w h e r e t h e g r a p h c r o s s e d t h e x - a x i s ( p o i n t D ) a s t h e p o i n t w h e r e t h e o b j e c t t u r n e d a r o u n d . P o i n t B i s w h e r e t h e o b j e c t t u r n s a r o u n d s i n c e i t s p o s i t i o n w a s i n c r e a s i n g b e f o r e t h a t p o i n t a n d d e c r e a s i n g a f t e r . A g a i n w e s e e s t u d e n t s a s s u m i n g r e s e m b l a n c e ' s b e t w e e n p o s i t i o n a n d v e l o c i t y . I n t h i s s t u d y s t u d e n t s w e r e a l s o g i v e n s e v e r a l g r a p h s o f p o s i t i o n v e r s u s t i m e a n d a s k e d t o s k e t c h g r a p h s o f t h e v e l o c i t y v e r s u s t i m e . M a n y s t u d e n t s s k e t c h e d v e l o c i t y - t i m e g r a p h s t h a t w e r e i n c o r r e c t . O n a p o s i t i o n - t i m e g r a p h , a p e a k o r d i p w o u l d s h o w w h e n a n o b j e c t r e v e r s e s d i r e c t i o n . T h e v e l o c i t y - t i m e g r a p h w o u l d c r o s s t h e h o r i z o n t a l a x i s a t t h e s e t i m e s . M a n y s t u d e n t s i n t h i s s t u d y s k e t c h e d a v e l o c i t y g r a p h t h a t h a d a p e a k o r d i p t o s h o w a n o b j e c t c h a n g i n g d i r e c t i o n s . T h i s i s a n o t h e r e x a m p l e o f s t u d e n t s a s s u m i n g r e s e m b l a n c e ’ s b e t w e e n a f u n c t i o n a n d i t s d e r i v a t i v e . S t u d e n t s i n t h i s s t u d y a l s o h a d t r o u b l e r e l a t i n g v e l o c i t y - t i m e a n d a c c e l e r a t i o n - t i m e g r a p h s . W h e n g i v e n t h e v e l o c i t y - t i m e g r a p h a n d a s k e d t o f i n d t h e a c c e l e r a t i o n , m a n y u s e d t h e r a t i o v e l o c i t y / t i m e i n s t e a d o f t h e r a t i o ( d e l t a v ) / ( d e l t a t ) . I n a s i t u a t i o n i n v o l v i n g c o n s t a n t a c c e l e r a t i o n , t h e y o b t a i n e d a n u m e r i c a l v a l u e f o r t h a t a c c e l e r a t i o n b y 6 6 d i v i d i n g t h e v a l u e o f t h e v e l o c i t y a t a p o i n t o n t h e v e l o c i t y - t i m e g r a p h b y t h e c o r r e s p o n d i n g t i m e v a l u e . W W . A s i n t h e T E R C s t u d i e s w i t h h i g h s c h o o l s t u d e n t s , t h e s e u n i v e r s i t y p h y s i c s s t u d e n t s , a l l o f w h o m h a d c o m p l e t e d c a l c u l u s , a p p e a r e d t o a s s u m e r e s e m b l a n c e s b e t w e e n f u n c t i o n s a n d t h e i r d e r i v a t i v e s . W h i l e i n t h e T E R C s t u d i e s s t u d e n t s w e r e g i v e n a v e l o c i t y g r a p h a n d a s k e d t o p r e d i c t t h e p o s i t i o n g r a p h , i n t h i s s t u d y s t u d e n t s w e r e g i v e n a p o s i t i o n g r a p h a n d a s k e d t o i d e n t i f y p o i n t s o n t h e p o s i t i o n g r a p h s a t i s f y i n g a p a r t i c u l a r r e q u i r e m e n t f o r v e l o c i t y o r s k e t c h a g r a p h o f t h e v e l o c i t y . I n b o t h t h e T E R C s t u d i e s a n d t h i s s t u d y o f p h y s i c s s t u d e n t s w e s a w s t u d e n t s g i v i n g a n s w e r s t h a t i m p l y t h e y w e r e a s s u m i n g t h a t a v e l o c i t y a n d p o s i t i o n f u n c t i o n a r e s i m i l a r . S t u d e n t s u s e o f t h e r a t i o o f v e l o c i t y t o t i m e t o f i n d t h e a c c e l e r a t i o n r a t h e r t h a n ( d e l t a v ) / ( d e l t a t ) r a i s e s q u e s t i o n s a b o u t c o n n e c t i o n s s t u d e n t s m i g h t b e m a k i n g w h e n f o r m u l a s s u c h a s d i s t a n c e = r a t e * t i m e a n d v e l o c i t y = d i s t a n c e / t i m e a n d a c c e l e r a t i o n = v e l o c i t y / t i m e a r e u s e d f o r i n s t r u c t i o n i n v o l v i n g r a t e . T h e s e f o r m u l a s h o l d i n c e r t a i n s i t u a t i o n s b u t i n g e n e r a l t h e y d o n o t h o l d f o r s i t u a t i o n s i n v o l v i n g v a r i a b l e r a t e s . S t e v e M o n k ( 1 9 9 2 a , 1 9 9 2 b ) c o n d u c t e d t w o s t u d i e s a b o u t c a l c u l u s a n d p o s t c a l c u l u s s t u d e n t s ' u n d e r s t a n d i n g o f r a t e i n t h e c o n t e x t o f r e l a t e d r a t e s p r o b l e m s . O n e s t u d y u s e d a p r o b l e m i n v o l v i n g a s i x f o o t m a n w a l k i n g a w a y f r o m a 1 6 f o o t l i g h t p o l e w i t h a s h a d o w o f t h e m a n b e i n g c a s t b y t h e l i g h t . A p h y s i c a l d e v i c e m a d e i t p o s s i b l e f o r s t u d e n t s t o 6 7 m o v e a c a r d b o a r d " m a n " a l o n g a t r a c k a n d t o m e a s u r e d i s t a n c e f r o m t h e p o l e t o t h e m a n , f r o m t h e p o l e t o t h e t i p o f t h e s h a d o w , a n d f r o m t h e m a n t o t h e t i p o f t h e s h a d o w . A f l e x i b l e w i r e f r o m t h e t o p o f t h e l i g h t p o l e t o t h e h e a d o f t h e m a n a n d t h e n o n t o t h e t r a c k m a d e i t p o s s i b l e t o d e c i d e w h e r e t h e t i p o f t h e s h a d o w w a s a t e a c h p o s i t i o n o f t h e m a n a l o n g t h e t r a c k . ( S e e F i g u r e 6 . ) S t u d e n t s w e r e a s k e d t o c o n s i d e r t h a t t h e m a n w a s w a l k i n g a t a c o n s t a n t r a t e o f f i v e f e e t p e r s e c o n d a n d t o d e t e r m i n e t h e r a t e a t w h i c h t h e t i p o f t h e s h a d o w w a s m o v i n g a n d t h e r a t e a t w h i c h t h e l e n g t h o f t h e s h a d o w w a s g r o w i n g w h e n t h e m a n w a s 1 0 f e e t f r o m t h e p o l e . 1 6 ' M L F i g u r e 6 - D i a g r a m o f a 6 ’ m a n w a l k i n g a w a y f r o m a 1 6 ' l i g h t p o l e S t u d e n t s ; _ i n t u i t i y e _ m g d e l s + S o m e s t u d e n t s u s e d w h a t M o n k c a l l e d i n t u i t i v e m o d e l s o f t h e s i t u a t i o n t o m a k e c o n c l u s i o n s a b o u t t h e t i p a n d l e n g t h o f t h e s h a d o w . O n e s t u d e n t s a i d t h a t s i n c e t h e t i p o f t h e s h a d o w w a s f a r t h e r a w a y f r o m t h e l i g h t p o l e t h a n t h e m a n , i t m u s t b e m o v i n g f a s t e r . T h a t i s , g r e a t e r d i s t a n c e m e a n s g r e a t e r s p e e d . M o n k n o t e d t h a t t h i s s t u d e n t ' s r e s p o n s e w a s s i m i l a r t o t h e r e s p o n s e o f c o l l e g e p h y s i c s s t u d e n t s r e p o r t e d b y M c D e r m o t t , R o s e n q u i s t , a n d v a n Z e e ( 1 9 8 7 ) w h e r e s t u d e n t s r e s p o n d e d i n w a y s t h a t m a k e u s t h i n k t h e y b e l i e v e t h a t v e l o c i t y r e s e m b l e d p o s i t i o n , t h a t g r e a t e r p o s i t i o n m e a n t g r e a t e r v e l o c i t y . 6 8 T h i s i s a l s o c o n s i s t e n t w i t h w h a t N e r m i r o v s k y a n d R u b i n n o t i c e d i n t h e i r s t u d i e s . T h e i r s u b j e c t s w e r e t h i n k i n g t h a t m o r e v e l o c i t y m e a n s m o r e d i s t a n c e . M o n k ' s s t u d e n t w a s t h i n k i n g t h a t m o r e d i s t a n c e m e a n s m o r e v e l o c i t y . I n m a n y s i t u a t i o n s i n e v e r y d a y l i f e m o r e v e l o c i t y d o e s m e a n m o r e d i s t a n c e t r a v e l e d i n a g i v e n a m o u n t o f t i m e a n d v i c e v e r s a T h i s c a n l e a d s t u d e n t s t o r e a s o n a b l y c o n c l u d e t h a t m o r e o f o n e n e c e s s a r i l y m e a n s m o r e o f t h e o t h e r . M o n k ' s s t u d e n t a l s o s a i d t h a t s i n c e t h e l e n g t h o f t h e s h a d o w w a s g e t t i n g l o n g e r , t h e n i t s t i p w a s m o v i n g a t a n i n c r e a s i n g r a t e . T h i s i s a n o t h e r e x a m p l e o f s t u d e n t s t h i n k i n g t h a t m o r e o f o n e t h i n g n e c e s s a r i l y m e a n s m o r e o f a n o t h e r ; i n t h i s c a s e m o r e l e n g t h m e a n s i n c r e a s i n g s p e e d . T h i s s t u d e n t a l s o n o t e d t h a t s i n c e o n e o b j e c t w a s n o t m o v i n g a t t h e s a m e c o n s t a n t r a t e a s a n o t h e r o b j e c t , t h e n i t w a s n o t m o v i n g a t a c o n s t a n t r a t e . S h e w a s n o t d i s t i n g u i s h i n g b e t w e e n t w o o b j e c t s m o v i n g a t t h e s a m e c o n s t a n t r a t e a n d t w o o b j e c t s m o v i n g a t d i f f e r e n t c o n s t a n t r a t e s . S t n d g n t s ; _ u s e s _ g fi _ q n a n t i t i e s + I n t h i s s t u d y s t u d e n t s m a d e u s e o f q u a n t i t i e s t o e x p l o r e t h e r a t e o f c h a n g e o f t h e t i p a n d l e n g t h o f t h e s h a d o w . I n t h i s t a s k t h e r e w e r e s e v e r a l q u a n t i t i e s , e a c h w i t h t o t a l l e n g t h s ( t o t a l d i s t a n c e f r o m t h e l i g h t p o l e t o t h e m a n , t o t a l d i s t a n c e f r o m t h e m a n t o t h e t i p o f t h e s h a d o w , a n d t o t a l d i s t a n c e f r o m t h e l i g h t p o l e t o t h e t i p o f t h e s h a d o w ) a n d i n c r e m e n t a l l e n g t h s ( l e n g t h o f o n e s t e p o f t h e m a n , c o r r e s p o n d i n g i n c r e a s e i n t h e l e n g t h o f t h e s h a d o w , a n d c o r r e s p o n d i n g i n c r e a s e i n t h e d i s t a n c e t h e t i p o f t h e s h a d o w i s f r o m t h e l i g h t p o l e ) . M o n k c a l l e d c o m p a r i s o n s o f i n c r e m e n t s o f t h e s a m e q u a n t i t y " w i t h i n " c o m p a r i s o n s a n d c o m p a r i s o n s o f i n c r e m e n t s o f o n e q u a n t i t y t o i n c r e m e n t s i n a n o t h e r q u a n t i t y " b e t w e e n " c o m p a r i s o n s . 6 9 S o m e s t u d e n t s u s e d o n e o f t h e s e c o m p a r i s o n s t o s u p p o r t s t a t e m e n t s a b o u t t h e o t h e r t y p e o f c o m p a r i s o n . F o r e x a m p l e , o n e s t u d e n t e x a m i n e d i n c r e m e n t s o f t h e l e n g t h o f t h e s h a d o w f o r o n e f o o t i n c r e m e n t s i n t h e m a n ' s d i s t a n c e f r o m t h e l i g h t p o l e . S h e f o u n d t h a t i n c r e m e n t s i n t h e l e n g t h o f t h e s h a d o w w e r e e q u a l t o e a c h o t h e r b u t s i n c e t h e y w e r e n o t e q u a l t o t h e i n c r e m e n t s o f t h e m a n ' s d i s t a n c e f r o m t h e p o l e , s h e c o n c l u d e d t h a t t h e l e n g t h o f t h e s h a d o w c o u l d n o t b e i n c r e a s i n g a t a c o n s t a n t r a t e . S h e c o m p a r e d i n c r e m e n t s o f o n e q u a n t i t y t o i n c r e m e n t s o f a n o t h e r q u a n t i t y t o m a k e a d e c i s i o n a b o u t t h e r a t e o f c h a n g e o f o n e o f t h e q u a n t i t i e s . S h e w a s u s i n g a " b e t w e e n " c o m p a r i s o n w h e n s h e s h o u l d h a v e b e e n u s i n g a " w i t h i n " c o m p a r i s o n . M o n k c a l l e d t h i s a " c o m p a r i s o n " e r r o r . S o m e s t u d e n t s c o n f u s e d i n c r e m e n t s o f o n e q u a n t i t y w i t h t o t a l d i s t a n c e o r l e n g t h o f t h e s a m e q u a n t i t y . M o n k c a l l e d t h i s a n " i n c r e m e n t / a m o u n t " e r r o r . F o u r o f t h e e i g h t s t u d e n t s s a i d t h e r a t e o f c h a n g e o f t h e l e n g t h o f t h e s h a d o w w a s i n c r e a s i n g b a s e d o n o b s e r v a t i o n s t h a t t h e t o t a l l e n g t h o f t h e s h a d o w w a s i n c r e a s i n g . S o m e s t u d e n t s n o t e d t h a t t h e d i s t a n c e b e t w e e n t h e p o l e a n d t h e t i p o f t h e s h a d o w w a s g r e a t e r t h a n t h e d i s t a n c e b e t w e e n t h e p o l e a n d t h e m a n a n d c o n c l u d e d t h e r e f o r e t h a t t h e t i p o f t h e s h a d o w w a s i n c r e a s i n g a t a r a t e f a s t e r t h a n t h e m a n w a s w a l k i n g . T h e y w e r e c o m p a r i n g t o t a l l e n g t h o f o n e q u a n t i t y t o t o t a l l e n g t h o f a n o t h e r q u a n t i t y w h e n t h e y s h o u l d h a v e b e e n m a k i n g " w i t h i n " c o m p a r i s o n s o f i n c r e m e n t s o f e a c h o f t h e q u a n t i t i e s . W W O n e s t u d e n t r e c o r d e d t h e d i s t a n c e f r o m t h e l i g h t p o l e t o t h e t i p o f t h e s h a d o w ( L 1 ) f o r e a c h o n e f o o t i n c r e m e n t i n t h e m a n ' s d i s t a n c e f r o m t h e l i g h t p o l e . T h e n f o r e a c h r e s u l t i n g p o s i t i o n o f t h e s h a d o w t i p h e 7 0 d i v i d e d L 1 b y t h e c o r r e s p o n d i n g t o t a l d i s t a n c e f r o m t h e p o l e t o t h e m a n ( L 2 ) . H e t h e n u s e d t h e s e q u a n t i t i e s t o m a k e c o n c l u s i o n s a b o u t t h e r a t e o f c h a n g e o f t h e t i p o f t h e s h a d o w w i t h r e s p e c t t o t h e p o s i t i o n o f t h e m a n . I n e f f e c t , h e w a s d i v i d i n g t o t a l c h a n g e i n o n e q u a n t i t y b y t o t a l c h a n g e i n a n o t h e r q u a n t i t y . T h i s y i e l d s t h e a v e r a g e r a t e o f c h a n g e i n o n e o f t h e q u a n t i t i e s r e l a t i v e t o t h e l a r g e s t a v a i l a b l e i n t e r v a l s o f t h e o t h e r q u a n t i t y . T h i s i s t h e a n a l y s i s M o n k g i v e s t h i s s t u d e n t s ' w o r k . T h e r e i s a n o t h e r w a y t o l o o k a t t h e r a t i o L 1 / L 2 . I t i s t h e v a l u e o f t h e p o s i t i o n o f t h e t i p o f t h e s h a d o w d i v i d e d b y t h e v a l u e o f t h e p o s i t i o n o f t h e m a n . I t i s t h e s a m e t h i n g a s f i n d i n g , w h e n g i v e n a n e q u a t i o n o f y i n t e r m s o f x , t h e r a t e o f c h a n g e o f y w i t h r e s p e c t t o x a t a p a r t i c u l a r v a l u e o f x b y d i v i d i n g t h e c o r r e s p o n d i n g v a l u e o f y b y t h e v a l u e o f x . I t h a p p e n s i n t h e c a s e o f t h e s h a d o w p r o b l e m a n d i n m a n y o t h e r s i t u a t i o n s t h a t t h i s r a t i o h a s a n i n t e r p r e t a t i o n b o t h a s a n o v e r a l l a v e r a g e r a t e o f c h a n g e a n d a s a r a t i o o f a v a l u e o f t h e d e p e n d e n t v a r i a b l e t o t h e c o r r e s p o n d i n g v a l u e o f t h e i n d e p e n d e n t v a r i a b l e . T h e f o r m e r m e t h o d i s a c r u d e b u t c o r r e c t w a y t o t h i n k a b o u t r a t e o f c h a n g e . T h e l a t t e r m e t h o d i s n o t , t h o u g h i n c e r t a i n c a s e s i t o f t e n y i e l d s t h e s a m e n u m e r i c a l a n s w e r s a s t h e f o r m e r m e t h o d . O n e s t u d e n t m a d e a t a b l e o f v a l u e s f o r t h e l e n g t h o f t h e s h a d o w ( L 3 ) f o r e a c h o n e f o o t i n c r e m e n t i n t h e p o s i t i o n o f t h e m a n . S h e t h e n c o m p u t e d i n c r e m e n t s o f L 3 f o r e a c h i n c r e m e n t i n t h e p o s i t i o n o f t h e m a n a n d l o o k e d f o r a n e q u a t i o n t h a t r e l a t e s t h e s e i n c r e m e n t s . B e c a u s e o f v a r i a t i o n i n t h e v a l u e s o f t h e i n c r e m e n t s o f L 3 , s h e w a s u n a b l e t o f i n d a n e q u a t i o n . H o w e v e r , t h i s a n d o t h e r s t u d e n t s ' u s e o f t o t a l a n d i n c r e m e n t a l d i s t a n c e s a n d l e n g t h s s h o w h o w s t u d e n t s u s e t h e s e q u a n t i t i e s t o t r y t o m a k e s e n s e o f s i t u a t i o n s i n v o l v i n g r a t e o f c h a n g e . 7 1 W W S e v e r a l s t u d e n t s t r i e d t o o b t a i n a l g e b r a i c r e p r e s e n t a t i o n s o f t h i s s i t u a t i o n . M o s t c o u l d n o t . O n e s t u d e n t o b t a i n e d a n e q u a t i o n r e l a t i n g t h e p o s i t i o n o f t h e m a n ( M ) t o t h e l e n g t h o f t h e s h a d o w ( L ) : M = 5 / 3 L . S h e t h e n u s e d t h i s e q u a t i o n t o c o n s t r u c t a t a b l e o f v a l u e s a n d p l o t t e d t h e c o r r e s p o n d i n g p o i n t s t o o b t a i n a g r a p h o f M v e r s u s L . S h e t h e n u s e d t h e s h a p e o f t h e g r a p h , a s t r a i g h t l i n e , t o c o n c l u d e c o r r e c t l y t h a t s i n c e t h e r a t e o f c h a n g e o f t h e p o s i t i o n o f t h e m a n i s c o n s t a n t t h a n s o i s t h e r a t e o f c h a n g e o f t h e l e n g t h o f t h e s h a d o w . S h e d i d n o t a t t e m p t t o d i f f e r e n t i a t e t h e e q u a t i o n i n t e r m s o f t i m e o r u s e i t i n w a y s t a u g h t i n c a l c u l u s . T h e s e c o n d s t u d y b y M o n k w a s s i t u a t e d a r o u n d a p r o b l e m i n v o l v i n g a 1 4 f o o t l a d d e r l e a r n i n g a g a i n a w a l l . T h e b o t t o m o f t h e l a d d e r b e g i n s t o m o v e a w a y f r o m t h e f o o t o f t h e w a l l a t a c o n s t a n t r a t e o f f i v e f e e t p e r s e c o n d . I n t h e p h y s i c a l m o d e l , t h e l a d d e r w a s o n a r u l e d t r a c k a n d c o u l d b e m o v e d s o t h a t d i s t a n c e s b e t w e e n t h e f o o t o f t h e w a l l a n d t h e f o o t o f t h e l a d d e r a n d b e t w e e n t h e t o p o f t h e l a d d e r a n d t h e f o o t o f t h e w a l l c o u l d b e m e a s u r e d . ( S e e F i g u r e 7 . ) X F i g u r e 7 - D i a g r a m o f 1 4 ’ l a d d e r s l i d i n g d o w n a w a l l 7 2 M o n k a s k e d s t u d e n t s t o d e c i d e i f t h e t o p o f t h e l a d d e r m o v e d d o w n t h e w a l l a t a n i n c r e a s i n g , d e c r e a s i n g , o r c o n s t a n t s p e e d a n d t o e x p l a i n t h e i r a n s w e r s . H e a l s o a s k e d t h e m t o d r a w a g r a p h t o r e p r e s e n t t h e s i t u a t i o n a n d e x p l a i n i t . H e w a s i n t e r e s t e d i n t h e v a r i a b l e s t h e y c h o s e t o r e p r e s e n t , t h e s h a p e o f t h e i r g r a p h s , a n d h o w t h e y u s e d t h e i r g r a p h s t o d e c i d e i f t h e t o p o f t h e l a d d e r m o v e d d o w n t h e w a l l a t a n i n c r e a s i n g , d e c r e a s i n g , o r c o n s t a n t s p e e d . T h r e e s t u d e n t s c o n s t r u c t e d t h e i r g r a p h s b y m a k i n g a t a b l e o f v a l u e s f o r X , t h e d i s t a n c e b e t w e e n t h e b a s e o f t h e l a d d e r a n d t h e f o o t o f t h e w a l l , a n d Y , t h e d i s t a n c e b e t w e e n t h e t o p o f t h e l a d d e r a n d t h e f o o t o f t h e w a l l , p l o t t i n g t h e c o r r e s p o n d i n g p o i n t s , a n d s k e t c h i n g a s m o o t h c u r v e t h r o u g h t h e p o i n t s . T h e y o b t a i n e d g r a p h s t h a t w e r e c o r r e c t . T h i s i s a t e d i o u s m e t h o d o f o b t a i n i n g a g r a p h , b u t i t w a s u s e d s u c c e s s f u l l y t o o b t a i n a g r a p h o f Y v e r s u s X a n d h e l p e d s t u d e n t s c o n f i r m o r d e n y t h e i r e a r l i e r a n s w e r s a b o u t t h e s p e e d o f t h e l a d d e r a s i t m o v e d d o w n t h e w a l l . A l l o f t h e o t h e r s t u d e n t s u s e d a f e w d a t a p o i n t s , i n f o r m a t i o n p r e v i o u s l y o b t a i n e d f r o m t h e m o d e l , a n d c o n c l u s i o n s m a d e f r o m t h e i r e a r l i e r w o r k t o s i m p l y s t r i k e a n a r c t h a t s e e m e d t o h a v e t h e r i g h t s h a p e . W h a t w a s s u r p r i s i n g t o M o n k w a s t h a t f i v e o f t h e s e s t u d e n t s s k e t c h e d a c u r v e f i r s t a n d t h e n d e c i d e d h o w t h e h o r i z o n t a l a n d v e r t i c a l a x e s s h o u l d b e l a b e l e d s o t h a t t h e g r a p h m a t c h e d i n f o r m a t i o n a b o u t t h e s i t u a t i o n t h e y a l r e a d y h a d . T h i s y i e l d e d g r a p h s t h a t h a d X o n t h e h o r i z o n t a l a x i s a n d Y o r d e l t a Y o r t h e q u a n t i t y 1 4 - Y o n t h e v e r t i c a l a x i s . S n m m a £ ¥ _ Q fi _ L h § _ M a n _ § t u d i e s . I f i n d t w o t h i n g s p a r t i c u l a r l y i n t e r e s t i n g a b o u t t h e s e t w o s t u d i e s o f c a l c u l u s a n d p o s t c a l c u l u s 7 3 s t u d e n t s ' k n o w l e d g e o f r a t e o f c h a n g e . O n e i s t h a t v e r y f e w o f t h e s e s t u d e n t s w o r k e d t h e s e r e l a t e d r a t e s p r o b l e m s i n w a y s t h a t h a v e b e e n t r a d i t i o n a l l y t a u g h t i n c a l c u l u s . I t c a n b e d e p r e s s i n g f o r a c a l c u l u s t e a c h e r t o r e a l i z e t h a t v e r y f e w s t u d e n t s l e a r n t h e s e s t a n d a r d t e c h n i q u e s a n d i s y e t a n o t h e r s e t o f e v i d e n c e t h a t s t u d e n t s s t r u g g l e w i t h l e a r n i n g r a t e o f c h a n g e . T h e o t h e r , m o r e p o s i t i v e , t h i n g i s t h a t m o s t o f t h e s e s t u d e n t s h a d w a y s o f a d d r e s s i n g r a t e o f c h a n g e t h a t h e l p e d t h e m m a k e s e n s e o f t h e s i t u a t i o n . T h e y u s e d i n t u i t i o n b a s e d o n o t h e r e x p e r i e n c e s w i t h d i s t a n c e a n d s p e e d . T h e y u s e d v a r i o u s q u a n t i t i e s l i k e t o t a l a n d i n c r e m e n t a l l e n g t h s t o i n v e s t i g a t e r a t e . T h e y u s e d n u m e r i c a l m e a s u r e m e n t s o f X a n d Y t o a s c e r t a i n r e l a t i o n s h i p s b e t w e e n X a n d Y a n d d X / d t a n d d Y / d t . T h e y u s e d e q u a t i o n s a n d f o r m u l a s i n s e v e r a l w a y s t o r e p r e s e n t r e l a t i o n s h i p s a m o n g v a r i o u s q u a n t i t i e s , e s p e c i a l l y X a n d Y . F i n a l l y , t h e y w e r e a b l e t o u s e i n f o r m a t i o n o b t a i n e d a b o u t t h e s i t u a t i o n t o c o n s t r u c t g r a p h s o f t h e r e l a t i o n s h i p b e t w e e n t w o q u a n t i t i e s a n d t o d e s c r i b e h o w t h e i r g r a p h s c o n f i r m e d o r d e n i e d t h e i r e a r l i e r c o n c l u s i o n s . T h e s e r e p r e s e n t a v a r i e t y o f k n o w l e d g e s t u d e n t s h a v e f o r m a k i n g s e n s e o f s i t u a t i o n s i n v o l v i n g r a t e o f c h a n g e . W T h o m p s o n ( 1 9 9 4 b ) c l a i m e d t h a t o n e r e a s o n s t u d e n t s h a v e d i f f i c u l t y w i t h t h e F u n d a m e n t a l T h e o r e m o f C a l c u l u s i s b e c a u s e t h e y h a v e " i m p o v e r i s h e d i m a g e s o f r a t e " ( p . 2 2 9 ) . A s m e n t i o n e d a b o v e , I b e l i e v e h e m e a n s t h a t s t u d e n t s d o n o t u n d e r s t a n d c o n s t a n t r a t e a s " r e f l e c t i v e l y a b s t r a c t e d c o n s t a n t r a t i o " ( 1 9 9 4 a , p . 1 9 2 ) . T h e y h a v e n o t c o m e t o s e e c o n s t a n t r a t e i n t e r m s o f t w o c h a n g i n g q u a n t i t i e s s o t h a t t h e r a t i o o f c h a n g e s i n o n e t o c o r r e s p o n d i n g c h a n g e s i n t h e o t h e r i s c o n s t a n t n o 7 4 m a t t e r h o w l a r g e o r s m a l l t h e c h a n g e s . M a n y c o l l e g e m a t h e m a t i c s s t u d e n t s t h i n k o f r a t e i n t e r m s o f o n e q u a n t i t y c h a n g i n g o r t h i n k i n t e r m s o f t w o q u a n t i t i e s c h a n g i n g w i t h o u t r e g a r d t o t h e r a t i o o f c o r r e s p o n d i n g c h a n g e s i n t h e t w o q u a n t i t i e s m a i n t a i n i n g a c o n s t a n t r a t i o o v e r a l l s u c h c h a n g e s . I f s t u d e n t s d o n o t u n d e r s t a n d c o n s t a n t r a t e o f c h a n g e i n t h i s w a y , t h e n i t s h o u l d n o t b e p u z z l i n g t h a t t h e y o f t e n d o n o t u n d e r s t a n d v a r i a b l e r a t e o f c h a n g e . T h o m p s o n ' s w o r k w i t h e i g h t u p p e r d i v i s i o n m a t h e m a t i c s s t u d e n t s a n d e l e v e n g r a d u a t e s t u d e n t s r e v e a l e d o n e p i c t u r e o f " i m p o v e r i s h e d i m a g e s o f r a t e " f o r a s i t u a t i o n i n v o l v i n g v a r i a b l e r a t e o f c h a n g e . H e g a v e t h e s e s t u d e n t s a f u n c t i o n r e p r e s e n t e d b y a n e q u a t i o n Y = f ( X ) a n d a s k e d t h e m t o o b t a i n a g r a p h o f t h e f u n c t i o n . H e t h e n a s k e d t h e m t o f o r m f u n c t i o n s g i v e n b y ' f 5 ( X ) = [ f ( X + h ) - f ( X ) ] / h f o r v a l u e s o f h l i k e 0 1 , 0 . 0 1 , a n d 0 . 0 0 1 . M a n y o f t h e s e s t u d e n t s c o u l d n o t d e s c r i b e t h e s e f u n c t i o n s . F o r e a c h v a l u e o f h , f h ( X ) r e p r e s e n t s t h e f u n c t i o n w h i c h f o r a g i v e n v a l u e o f X y i e l d s t h e a v e r a g e r a t e o f c h a n g e o f Y o v e r i n t e r v a l s o f t h e f o r m [ X , X + h ] i f h i s p o s i t i v e a n d [ X + h , X ] i f h i s n e g a t i v e . A s h g o e s t o z e r o , t h i s f a m i l y o f f u n c t i o n s c o n v e r g e s t o t h e f u n c t i o n w h i c h i s c a l l e d t h e d e r i v a t i v e o f f ( X ) . M a n y o f t h e s e s t u d e n t s c o u l d n o t a l s o s a y w h a t f u n c t i o n w a s o b t a i n e d b y t a k i n g t h e l i m i t o f t h i s c l a s s o f f u n c t i o n s a s h g o e s t o z e r o . E v e n i f s t u d e n t s h a v e , b e f o r e t h e y c o m e t o c a l c u l u s , t h e k i n d o f k n o w l e d g e o f c o n s t a n t r a t e T h o m p s o n a d v o c a t e s , t h e y w o u l d n e c e s s a r i l y r e c o g n i z e w h a t t h e f u n c t i o n s f g ( X ) g i v e o r w h a t f u n c t i o n i s o b t a i n e d w h e n h g o e s t o z e r o . A n i m p o r t a n t i n t e r m e d i a t e s t e p b e t w e e n k n o w l e d g e o f c o n s t a n t r a t e a n d l i m i t o f a v e r a g e r a t e o f c h a n g e o f Y o v e r i n t e r v a l s o f X o f d e c r e a s i n g w i d t h i s a n u n d e r s t a n d i n g o f a v e r a g e r a t e o f c h a n g e 7 5 u n d e r c o n d i t i o n s o f v a r i a b l e r a t e . K n o w i n g c o n s t a n t r a t e m a y b e a g o o d p l a c e t o s t a r t i n t h a t p r o c e s s b u t m y o w n s e n s e o f t h e g r o w t h o f u n d e r s t a n d i n g o f r a t e i s t h a t s t u d e n t s a l s o n e e d m a n y v a r i e d e x p e r i e n c e s w i t h a v e r a g e r a t e o f c h a n g e b e f o r e a n d e a r l y i n c a l c u l u s i n o r d e r f o r t h e m t o u n d e r s t a n d w h a t i t i s t h a t t h e f u n c t i o n s f h a n d t h e l i m i t o f f h a s h g o e s t o z e r o t e l l u s . 1 1 1 1 - . o o . . 0 , “ , ‘ ‘ . ‘ o 0 ‘ 7 - . ! 0 . 0 0 , 9 ‘ - . , 0 ! 0 , I O 7 . ' 9 0 ‘ r e s e a r c h . T h e s e s t u d i e s s h o w e d s o m e o f w h a t p r e c a l c u l u s , c a l c u l u s , a n d p o s t c a l c u l u s s t u d e n t s t h i n k a n d b e l i e v e a b o u t r a t e o f c h a n g e . I n t h e T E R C s t u d i e s p r e c a l c u l u s s t u d e n t s o f t e n m a d e i n a p p r o p r i a t e c o n c l u s i o n s a b o u t t h e p o s i t i o n o f a m o v i n g o b j e c t g i v e n t h e g r a p h o f i t s v e l o c i t y f u n c t i o n . I n t h e M c D e r m o t t e t a l . s t u d y p h y s i c s s t u d e n t s w h o h a d c o m p l e t e d c a l c u l u s m a d e i n c o r r e c t c o n c l u s i o n s a b o u t t h e v e l o c i t y o f m o v i n g o b j e c t s g i v e n a g r a p h o f t h e i r p o s i t i o n f u n c t i o n s . I n b o t h o f t h e s e s t u d i e s s t u d e n t s w e r e u n a b l e t o p r o p e r l y c o n n e c t a f u n c t i o n a n d i t s d e r i v a t i v e g i v e n t h e g r a p h o f o n e o f t h e m . ( S e e T a b l e 1 . ) I n t h e M o n k s t u d i e s c a l c u l u s a n d p o s t c a l c u l u s s t u d e n t s w e r e u n a b l e t o w o r k r e l a t e d r a t e s p r o b l e m s i n w a y s t h a t a r e t a u g h t i n c a l c u l u s . M o s t o f t h e m w e r e u n a b l e t o f o r m a p p r o p r i a t e a l g e b r a i c r e p r e s e n t a t i o n s o f t h e s i t u a t i o n a n d o f t h o s e w h o d i d , n o n e t r i e d t o d i f f e r e n t i a t e t h e e q u a t i o n s t o a d d r e s s r a t e . S o m e w h o o b t a i n e d a l g e b r a i c r e p r e s e n t a t i o n s u s e d t h e m t o m a k e t a b l e s o f v a l u e s , t h e n m a d e g r a p h s f r o m t h e t a b l e s , a n d t h e n m a d e c o n c l u s i o n s a b o u t t h e r a t e o f c h a n g e o f o n e o f t h e q u a n t i t i e s r e l a t i v e t o t h e o t h e r b y a n a l y z i n g t h e i r g r a p h s . M a n y s t u d e n t s u s e d i n c r e m e n t s a n d a c c u m u l a t i o n s o f q u a n t i t i e s b u t t h e y o f t e n m a d e i n c o r r e c t c o n c l u s i o n s a b o u t r a t e f r o m t h e m . 7 6 T a b l e 1 - S u m m a r y o f l i t e r a t u r e r e v i e w e d R e s u l t s W W 5 T E R C S t u d i e s P r e c a l c u l u s ( N e m i r o v s k y , s t u d e n t s R u b i n , a n d M o n k ) C o n f r e y a n d P r e c a l c u l u s S m i t h s t u d e n t s T h o m p s o n s ’ s t u d y M c D e r m o t t , R o s e n q u i s t , a n d v a n Z e e M o n k T h o m p s o n M i d d l e s c h o o l s t u d e n t s U n i v e r i s t y p h y s i c s s t u d e n t s w h o h a d h a d c a l c l u s C a l c u l u s a n d p o s t c a l c u l u s s t u d e n t s P o s t c a l c u l u s G i v e n v e l o c i t y g r a p h s , s t u d e n t s w e r e a s k e d t o p r e d i c t p o s i t i o n g r a p h s ; t h e y o f t e n a s s u m e d p o s i t i o n g r a p h s w e r e s i m i l a r t o v e l o c i t y g r a p h s . G i v e n t a b l e s f o r s e v e r a l f u n c t i o n s , s t u d e n t s w e r e a s k e d t o p r e d i c t y v a l u e s f o r t h e n e x t x v a l u e ; t h e y u s e d d i f f e r e n c e s i n g i v e n y v a l u e s t o s t u d y r a t e o f c h a n g e o f l i n e a r a n d e x p o n e n t i a l f u n c t i o n s . G i v e n t w o o f t h e q u a n t i t i e s s p e e d , t i m e , a n d d i s t a n c e , s t u d e n t s w e r e a s k e d t o f i n d t h e t h i r d q u a n t i t y ; t h e y t h o u g h t a b o u t s p e e d i n f o u r w a y s . G i v e n p o s i t i o n g r a p h s , s t u d e n t s w e r e a s k e d t o p r e d i c t v e l o c i t y g r a p h s ; s t u d e n t s o f t e n a s s u m e d v e l o c i t y g r a p h s w e r e s i m i l a r t o p o s i t i o n g r a p h s . S t u d e n t s w e r e g i v e n t w o r e l a t e d r a t e s p r o b l e m s ; s o m e u s e d i n t u i t i v e m o d e l s , s o m e c o m p a r e d i n c r e m e n t s a n d a c c u m u l a t i o n s , a n d s o m e m a d e a n d u s e d g r a p h s t o m a k e d e c i s i o n s a b o u t r a t e s ; s t u d e n t s o f t e n c o n f u s e d i n c r e m e n t s o f o n e q u a n t i t y w i t h a c c u m u l a t i o n s o f t h a t q u a n t i t y o r i n c r e m e n t s o f a n o t h e r q u a n i t i t y . S t u d e n t s w e r e a s k e d t o f o r m f h ( x ) = [ f ( x + h ) - f ( x ) ] / h f o r v a l u e s o f h a p p r o a c h i n g z e r o ; m a n y d i d n o t k n o w w h a t f h ( x ) o r i t s l i m i t a s h g o e s t o z e r o r e p r e s e n t e d . 7 7 I n t h e T h o m p s o n s t u d y , p o s t c a l c u l u s s t u d e n t s w e r e o f t e n u n a b l e t o c o r r e c t l y d e s c r i b e f u n c t i o n s f o r m e d f r o m N e w t o n ' s q u o t i e n t o r t o s a y w h a t t h e l i m i t o f t h e s e f u n c t i o n s m e a n . F o r u p p e r d i v i s i o n m a t h e m a t i c s m a j o r s a n d g r a d u a t e s t u d e n t s i n m a t h e m a t i c s , t h i s s h o w s a s e r i o u s l a c k o f u n d e r s t a n d i n g o f r a t e o f c h a n g e . A l l o f t h e s e s t u d i e s s h o w w h e r e p r e c a l c u l u s , c a l c u l u s , a n d p o s t c a l c u l u s s t u d e n t s ' u n d e r s t a n d i n g o f r a t e o f c h a n g e i s s o m e t h i n g o t h e r t h a n w h a t w e w o u l d h o p e f o r a n d e s p e c i a l l y s o i n t h e c a s e o f s t u d e n t s w h o h a v e h a d c a l c u l u s . S o o n e w a y t o s u m m a r i z e t h e s e s t u d i e s i s t o h i g h l i g h t d e f i c i e n c i e s t h e y s h o w i n s t u d e n t s ' k n o w l e d g e . T h e T E R C , M o n k , a n d T h o m p s o n s t u d i e s c e r t a i n l y d o t h a t . B u t a n o t h e r w a y t o s u m m a r i z e t h e s e s t u d i e s i s t o t h i n k a b o u t h o w s t u d e n t s ' k n o w l e d g e , a s i n c o r r e c t a n d i n c o m p l e t e a s i t i s , m i g h t s e r v e t h e m i n c o m i n g t o a m o r e c o n v e n t i o n a l u n d e r s t a n d i n g o f r a t e o f c h a n g e . W h a t k n o w l e d g e d i d s t u d e n t s i n t h e s e s t u d i e s h a v e t h a t m a y h o l d s u c h p r o m i s e ? I n t h e T E R C s t u d i e s , R u b i n a n d N e m i r o v s k y p o i n t e d o u t t h a t o f t e n a f u n c t i o n a n d i t s d e r i v a t i v e d o r e s e m b l e e a c h o t h e r . S t u d e n t s i n t h o s e a n d t h e M c D e r m o t t s t u d i e s o f t e n a s s u m e d r e s e m b l a n c e s w h e r e t h e r e w e r e n o n e , b u t p e r h a p s t h i s t e n d e n c y o n s t u d e n t s ' p a r t c a n b e u s e d t o a d v a n t a g e i n h e l p i n g s t u d e n t s c o m e t o k n o w w h e r e a f u n c t i o n a n d i t s d e r i v a t i v e d o p r o p e r l y r e s e m b l e e a c h o t h e r a n d w h e r e t h e y d o n o t . T h i s s e e m s a p a r t i c u l a r l y p r o d u c t i v e p o s s i b i l i t y f o r l e a r n i n g r a t e o f c h a n g e . F u r t h e r m o r e , t h e s e s t u d i e s w e r e b a s e d o n p a r t i c u l a r s i t u a t i o n s i n v o l v i n g m o t i o n . A r e t h e r e o t h e r c o n t e x t s f o r m o t i o n w h e r e s t u d e n t s m a k e a p p r o p r i a t e c o n n e c t i o n s b e t w e e n a f u n c t i o n a n d i t s d e r i v a t i v e i n t h e c o n t e x t o f g r a p h s ? W h a t m i g h t a s e t o f t a s k s a b o u t m o t i o n l o o k l i k e t h a t c o u l d e x p l o r e t h i s f u r t h e r ? T h e s e s e e m l i k e i m p o r t a n t q u e s t i o n s t o ' F ‘ A ; 7 8 p o s e f o r t r y i n g t o u n d e r s t a n d h o w s t u d e n t s m a k e c o n n e c t i o n s b e t w e e n t h e g r a p h s o f a f u n c t i o n a n d i t s d e r i v a t i v e a n d h o w t h e s e c o n n e c t i o n s c o u l d b e c a p i t a l i z e d o n i n h e l p i n g s t u d e n t s a d v a n c e t h e i r u n d e r s t a n d i n g o f r a t e o f c h a n g e . I n t h e M o n k s t u d i e s s t u d e n t s ' u s e o f i n c r e m e n t s a n d a c c u m u l a t i o n s o f q u a n t i t i e s t o e x p l o r e r a t e s e e m s t o m e t o h o l d p r o m i s e f o r s t u d e n t s ' c o m i n g t o k n o w r a t e o f c h a n g e . G i v e n t h a t i n c r e m e n t s c o n n e c t t o a v e r a g e r a t e o f c h a n g e a n d , t h r o u g h a p a r t i c u l a r l i m i t , t o i n s t a n t a n e o u s r a t e o f c h a n g e , p e r h a p s a c o n s i d e r a t i o n o f s t u d e n t s ' t e n d e n c i e s t o u s e i n c r e m e n t s s h o u l d b e f u r t h e r e x p l o r e d . W h a t o t h e r t a s k s m i g h t s h o w h o w s t u d e n t s u s e i n c r e m e n t s a n d a c c u m u l a t i o n s t o m a k e s e n s e o f r a t e o f c h a n g e ? T h e C o n f r e y a n d S m i t h s t u d y s h o w e d p r e c a l c u l u s s t u d e n t s u s i n g i n c r e m e n t s t o e x p l o r e p r o p e r t i e s o f e x p o n e n t i a l a n d l i n e a r f u n c t i o n s r e p r e s e n t e d i n i t i a l l y a s t a b l e s o f v a l u e s a n d d i s t i n g u i s h i n g t h e m o n t h e b a s i s o f p a t t e r n s i n t h e s e i n c r e m e n t s . I n w h a t o t h e r w a y s d o s t u d e n t s u s e i n c r e m e n t s t o m a k e s e n s e o f r a t e o f c h a n g e ? T h i s s e e m s l i k e a n i m p o r t a n t q u e s t i o n t o t r y t o a n s w e r . I n t h e T h o m p s o n s ' s t u d y o f m i d d l e s c h o o l s t u d e n t s ' w a y s o f t h i n k i n g a b o u t c o n s t a n t s p e e d , w e s a w a p a r t i c u l a r n o t i o n o f w h a t i t m e a n s t o c o m e t o k n o w r a t e . A r e t h e r e w a y s t o i n v e s t i g a t e o l d e r s t u d e n t s k n o w l e d g e o f r a t e i n s i t u a t i o n s i n v o l v i n g b o t h c o n s t a n t a n d v a r y i n g r a t e s o f c h a n g e ? W h a t m i g h t a s e t o f t a s k s l o o k l i k e f o r t h a t i n v e s t i g a t i o n ? O n e c o m m e n t I m a d e o f P a t r i c k T h o m p s o n ' s c l a i m c o n c e r n i n g c a l c u l u s a n d p o s t c a l c u l u s s t u d e n t s ' " i m p o v e r i s h e d i m a g e s o f r a t e " ( 1 9 9 4 b , p . 2 2 9 ) w a s t h a t i t i s a l o n g w a y f r o m c o n s t a n t r a t e t o a p r o p e r u n d e r s t a n d i n g o f i n s t a n t a n e o u s r a t e o f c h a n g e a n d i t m u s t s u r e l y i n v o l v e c o m i n g t o k n o w a v e r a g e r a t e o f c h a n g e i n s i t u a t i o n s i n v o l v i n g 7 9 v a r y i n g r a t e s a n d c o n n e c t i o n s b e t w e e n a v e r a g e r a t e o f c h a n g e a n d i n s t a n t a n e o u s r a t e o f c h a n g e v i a l i m i t s . I t h i n k h e w o u l d a g r e e t h a t r e s e a r c h s h o w i n g h o w s t u d e n t s c o m e t o u n d e r s t a n d a v e r a g e r a t e o f c h a n g e a n d m a k e c o n n e c t i o n s t o i n s t a n t a n e o u s r a t e o f c h a n g e a r e w e l c o m e . A s e t o f t a s k s f o r i n v e s t i g a t i n g o l d e r s t u d e n t s ' k n o w l e d g e o f r a t e o f c h a n g e s h o u l d i n c l u d e o p p o r t u n i t i e s f o r t h e m t o s h o w w h a t t h e y u n d e r s t a n d a b o u t a v e r a g e a n d i n s t a n t a n e o u s r a t e o f c h a n g e . S o a s e c o n d w a y t o t h i n k a b o u t t h e s e s t u d i e s i s t o c o n s i d e r s t u d e n t s ' k n o w l e d g e i n l i g h t o f h o w i t m a y s e r v e t h e m i n l e a r n i n g m o r e a b o u t r a t e o f c h a n g e . T a k e n t h a t w a y , s o m e h o l e s i n t h e r e s e a r c h c o n c e r n i n g s t u d e n t s ' k n o w l e d g e o f r a t e o f c h a n g e e x i s t . T h e r e a p p e a r s t o b e n o r e s e a r c h t h a t i n v e s t i g a t e s h o w s t u d e n t s f r o m d i f f e r e n t p o i n t s i n m a t h e m a t i c s e d u c a t i o n ( f o r e x a m p l e , p r e c a l c u l u s , c a l c u l u s , a n d p o s t c a l c u l u s ) a d d r e s s a c o m m o n s e t o f t a s k s c o n c e r n i n g r a t e o f c h a n g e . T h e r e a r e s e v e r a l r e a s o n s s u c h a s t u d y c o u l d b e a v a l u a b l e a d d i t i o n t o t h e l i t e r a t u r e . O n e i s t h a t i t m a y p r o v i d e e v i d e n c e t h a t s o m e o f t h e w a y s s t u d e n t s a d d r e s s e d t a s k s i n v o l v i n g r a t e o f c h a n g e i n t h e s t u d i e s r e v i e w e d a b o v e a r e n o t a t y p i c a l b u t a r e r e p r e s e n t a t i v e o f w h a t o t h e r s t u d e n t s a t t h e s a m e o r o t h e r p l a c e s i n m a t h e m a t i c s e d u c a t i o n d o w i t h o t h e r s i t u a t i o n s o r f u n c t i o n r e p r e s e n t a t i o n s . T h i s i n f o r m a t i o n w o u l d s h o w u s h o w p r e v a l e n t t h e s e m e t h o d s o f a d d r e s s i n g r a t e o f c h a n g e a r e a n d s h o u l d c a u s e u s t o t h i n k e v e n h a r d e r a b o u t w h a t t h e y s a y a b o u t s t u d e n t s ' k n o w l e d g e a n d h o w i t c a n b e u s e d t o a d v a n c e t h e i r u n d e r s t a n d i n g o f r a t e o f c h a n g e . A n o t h e r r e a s o n s u c h a s t u d y w o u l d b e a v a l u a b l e a d d i t i o n t o t h e l i t e r a t u r e i s t h a t w e c o u l d s e e h o w m a n y d i f f e r e n t w a y s s t u d e n t s a t t h e s e l e v e l s o f m a t h e m a t i c s e d u c a t i o n a d d r e s s r a t e o f c h a n g e . I f t h e r e 8 0 a r e l o t s o f d i f f e r e n t m e t h o d s , t h e n t h i s b o t h p r o v i d e s a r i c h e r p i c t u r e o f s t u d e n t s ' k n o w l e d g e a n d s h o w s h o w c o m p l e x l e a r n i n g r a t e o f c h a n g e c a n b e . I t m i g h t i m p l y t h a t t h e r e i s n o t a s i n g l e p i e c e o f k n o w l e d g e w e c a n a s s u m e a l l s t u d e n t s h a v e a n d u p o n w h i c h w e c a n p l a n a l l i n s t r u c t i o n i n r a t e o f c h a n g e . A t t h e s a m e t i m e i t g i v e s u s m o r e w a y s t o t h i n k a b o u t h o w t o d e s i g n s u c c e s s f u l i n s t r u c t i o n a l i n t e r v e n t i o n s . A f i n a l r e a s o n a s t u d y o f k n o w l e d g e o f r a t e o f c h a n g e o f p r e c a l c u l u s , c a l c u l u s , a n d p o s t c a l c u l u s s t u d e n t s w o u l d b e a h e l p f u l a d d i t i o n t o t h e l i t e r a t u r e i s t h a t w e c o u l d s e e h o w s i m i l a r l y o r d i f f e r e n t l y s t u d e n t s a t t h e s e d i f f e r e n t p o i n t s i n m a t h e m a t i c s e d u c a t i o n a d d r e s s t h e s a m e p r o b l e m s . I f p r e c a l c u l u s , c a l c u l u s , a n d p o s t c a l c u l u s s t u d e n t s u s e s o m e c o m m o n m e t h o d s f o r a d d r e s s i n g r a t e o f c h a n g e , t h e n t h a t m i g h t s h o w t h a t s o m e k n o w l e d g e i s s o u s e f u l t h a t s t u d e n t s a t d i f f e r e n t p o i n t s o f m a t h e m a t i c s e d u c a t i o n f i n d i t h e l p f u l i n m a k i n g s e n s e o f s i t u a t i o n s i n v o l v i n g r a t e o f c h a n g e . I f s t u d e n t s a t d i f f e r e n t p o i n t s i n m a t h e m a t i c s e d u c a t i o n u s e d i f f e r e n t m e t h o d s f o r a d d r e s s i n g r a t e o f c h a n g e , t h e n w e s h o u l d t h i n k a b o u t w h a t t h i s m i g h t s a y a b o u t l e a r n i n g r a t e o f c h a n g e . I t m a y s u g g e s t t h a t s t u d e n t s p r o g r e s s a l o n g p a r t i c u l a r s t r e a m s i n c o m i n g t o k n o w r a t e o f c h a n g e a n d p r o v i d e c l u e s a b o u t h o w w e c a n h e l p t h a t p r o g r e s s i o n a l o n g . T h i s d i s s e r t a t i o n a t t e m p t e d t o f i l l t h i s h o l e i n t h e r e s e a r c h l i t e r a t u r e . T h i s s t u d y p r e s e n t e d t o g r o u p s o f p r e c a l c u l u s , c a l c u l u s , a n d p o s t c a l c u l u s s t u d e n t s a s e t o f t a s k s a b o u t r a t e o f c h a n g e t h a t g a v e t h e m o p p o r t u n i t i e s t o m a k e c o n n e c t i o n s b e t w e e n f u n c t i o n s a n d t h e i r d e r i v a t i v e s . S t u d e n t s w e r e a s k e d t o c o n s t r u c t g r a p h s a n d t a b l e s o f v a l u e s f o r f u n c t i o n s w h e n g i v e n i n f o r m a t i o n a b o u t t h e i r r a t e s . T h e y w e r e a s k e d t o u s e g i v e n g r a p h s a n d t a b l e s o f v a l u e s f o r f u n c t i o n s t o 8 1 m a k e c o n c l u s i o n s a b o u t t h e i r r a t e s . T h e y w e r e a l s o g i v e n a n o p p o r t u n i t y t o u s e a v a r i e t y o f m e t h o d s t o a d d r e s s r a t e o f c h a n g e i n c l u d i n g u s e o f i n c r e m e n t s a n d a c c u m u l a t i o n s , s h a p e a n d s l o p e o f a g r a p h , a v e r a g e r a t e o f c h a n g e o f o n e q u a n t i t y o v e r i n t e r v a l s o f v a r i o u s s i z e s o f a n o t h e r q u a n t i t y . T h e y w e r e a l s o g i v e n t h e c h a n c e t o r e l a t e a v e r a g e r a t e o f c h a n g e t o i n s t a n t a n e o u s r a t e o f c h a n g e . F o u r o f t h e s i x t a s k s i n t h i s s t u d y f o c u s e d o n m o t i o n i n c o n t e x t s d i f f e r e n t f r o m t h e T E R C a n d M c D e r m o t t e t a l . s t u d i e s t o s e e i f s t u d e n t s h a v e w a y s o f t h i n k i n g a b o u t r a t e o f c h a n g e i n s i t u a t i o n s i n v o l v i n g m o t i o n t h a t m a k e a p p r o p r i a t e c o n n e c t i o n s b e t w e e n a f u n c t i o n a n d i t s d e r i v a t i v e . T h e o t h e r t w o t a s k s d e a l t w i t h g r o w t h , o n e o f a b i o m a s s a n d t h e o t h e r o f t h e a r e a o f a c i r c l e . I t w a s h o p e d t h a t t h e s e t a s k s a n d t h e s e f u n c t i o n r e p r e s e n t a t i o n s w o u l d g i v e s t u d e n t s a m p l e o p p o r t u n i t y t o s h o w h o w t h e y w e r e t h i n k i n g a b o u t r a t e o f c h a n g e , w o u l d s h o w v a r i o u s m e t h o d s o f a d d r e s s i n g r a t e o f c h a n g e , a n d w o u l d p r o v i d e a v i e w o f h o w s t u d e n t s a t t h e s e l e v e l s o f m a t h e m a t i c s e d u c a t i o n c o m e t o k n o w r a t e o f c h a n g e . R e l a t i o n s h i p t o p e r s p e c t i v e s a n d t y p e s o f r e a s o n i n g I n C h a p t e r 1 I p r e s e n t e d a p a r t i c u l a r v i e w o f r a t e o f c h a n g e i n t e r m s o f t h r e e p e r s p e c t i v e s - g l o b a l , i n t e r v a l , a n d p o i n t - a n d t h r e e t y p e o f r e a s o n i n g - q u a l i t a t i v e , n u m e r i c a l , a n d a l g e b r a i c . H e r e I w o u l d l i k e t o d i s c u s s t h e s e i n l i g h t o f t h e l i t e r a t u r e r e v i e w e d a b o v e . I f t h e s e p e r s p e c t i v e s a n d t y p e s o f r e a s o n i n g a r e r e a s o n a b l e w a y s o f l o o k i n g a t r a t e o f c h a n g e , t h e n a t l e a s t s o m e o f t h e l i t e r a t u r e o n s t u d e n t s ' k n o w l e d g e o f r a t e o f c h a n g e s h o u l d s h o w s t u d e n t s ' t h i n k i n g i n w a y s t h a t a r e c o n s i s t e n t w i t h t h e m . 8 2 R e t e s t — C W R e c a l l f r o m C h a p t e r 1 t h a t g l o b a l r a t e o f c h a n g e c o n s i d e r s c h a n g e s i n t h e d e p e n d e n t v a r i a b l e o f a f u n c t i o n o v e r t h e e n t i r e d o m a i n o f t h e i n d e p e n d e n t v a r i a b l e , i n t e r v a l r a t e o f c h a n g e r e f e r s t o c h a n g e i n t h e d e p e n d e n t v a r i a b l e o v e r i n t e r v a l s o f t h e i n d e p e n d e n t v a r i a b l e s m a l l e r t h a n i t s e n t i r e d o m a i n , o f t e n i n t e r v a l s o f s o m e c o n v e n i e n t l e n g t h l i k e o n e u n i t , a n d p o i n t r a t e o f c h a n g e f o c u s e s o n c h a n g e i n t h e d e p e n d e n t v a r i a b l e f o r a n i n d i v i d u a l v a l u e o f t h e i n d e p e n d e n t v a r i a b l e , w h a t m a t h e m a t i c i a n s u s u a l l y r e f e r t o a s i n s t a n t a n e o u s r a t e o f c h a n g e . I s t h e r e e v i d e n c e i n t h e s t u d i e s r e v i e w e d a b o v e t h a t t h e s e p e r s p e c t i v e s p r o v i d e a f r a m e w o r k f o r a n a l y z i n g s t u d e n t s ' r e a s o n i n g a b o u t r a t e o f c h a n g e ? D i d t h e s t u d e n t s i n t h e s e s t u d i e s d i s p l a y k n o w l e d g e t h a t c o u l d b e i n t e r p r e t e d i n l i g h t o f t h e s e t h r e e p e r s p e c t i v e s ? I n t h e T E R C s t u d i e s , p r e c a l c u l u s s t u d e n t s c r e a t e d p o s i t i o n g r a p h s t h a t r e s e m b l e d g i v e n v e l o c i t y g r a p h s o v e r t h e e n t i r e d o m a i n o f t h e i n d e p e n d e n t v a r i a b l e . I n t h e M c D e r m o t t e t a l . s t u d y u n i v e r s i t y p h y s i c s s t u d e n t s c r e a t e d v e l o c i t y g r a p h s t h a t r e s e m b l e d g i v e n p o s i t i o n g r a p h s . I n b o t h c a s e s s t u d e n t s s e e m e d t o b e t h i n k i n g a b o u t t h e f u n c t i o n s i n a g l o b a l w a y m a t c h i n g t h e i n c r e a s i n g / d e c r e a s i n g b e h a v i o r o f o n e o f t h e f u n c t i o n s t o t h e s a m e b e h a v i o r i n t h e o t h e r o v e r a l l r e l e v a n t v a l u e s o f t i m e , t h e i n d e p e n d e n t v a r i a b l e . C l e m e n t ( 1 9 8 9 ) c a l l e d t h i s t y p e o f e r r o r a g l o b a l c o r r e s p o n d e n c e e r r o r s i n c e s t u d e n t s a s s u m e d t h e t w o g r a p h s r e s e m b l e d e a c h o t h e r o v e r t h e i r e n t i r e d o m a i n s . I n t h e C o n f r e y a n d S m i t h s t u d y , p r e c a l c u l u s s t u d e n t s u s e d c h a n g e s i n t h e d e p e n d e n t v a r i a b l e o v e r i n t e r v a l s o f t h e i n d e p e n d e n t v a r i a b l e o f l e n g t h o n e t o e x p l o r e t h e r a t e o f c h a n g e o f e x p o n e n t i a l f u n c t i o n s . I n t h e M o n k s t u d y c a l c u l u s a n d p o s t c a l c u l u s s t u d e n t s a l s o u s e d c h a n g e s i n 8 3 t h e d e p e n d e n t v a r i a b l e f o r o n e u n i t i n t e r v a l s o f t h e i n d e p e n d e n t v a r i a b l e t o m a k e d e c i s i o n s a b o u t r a t e o f c h a n g e . W h i l e w e m i g h t h o p e t h a t t h e s e s t u d e n t s w o u l d h a v e m o r e s o p h i s t i c a t e d w a y s o f a d d r e s s i n g r a t e o f c h a n g e b a s e d o n w h a t w a s t a u g h t i n t h e i r c a l c u l u s c o u r s e , t h e i r u s e o f c h a n g e s o v e r i n t e r v a l s s h o w s t h a t o n e w a y s t u d e n t s t h i n k a b o u t r a t e o f c h a n g e i s i n t e r m s o f i n t e r v a l s . I n T h o m p s o n ' s s t u d y o f a d v a n c e d m a t h e m a t i c s s t u d e n t s , s t u d e n t s f o r m e d f u n c t i o n s t h a t g i v e t h e a v e r a g e r a t e o f c h a n g e o f t h e d e p e n d e n t v a r i a b l e o v e r i n t e r v a l s o f t h e i n d e p e n d e n t v a r i a b l e a n d w e r e a s k e d t o c o n s i d e r w h a t h a p p e n s t o t h o s e f u n c t i o n s a s t h o s e i n t e r v a l s d e c r e a s e i n l e n g t h a b o u t a n i n d i v i d u a l v a l u e . T h i s i s a t t h e h e a r t o f i n s t a n t a n e o u s r a t e o f c h a n g e a n d t h e d e r i v a t i v e . S t u d e n t s h a d d i f f i c u l t y t h i n k i n g a b o u t t h e s e f u n c t i o n s , c o n n e c t i n g t h e m t o a v e r a g e r a t e o f c h a n g e , a n d s p e c i f y i n g w h a t t h e i r l i m i t w a s . T h i s w o u l d s e e m t o i m p l y t h a t p o i n t r a t e o f c h a n g e i n n o t a m e a n i n g f u l w a y f o r s t u d e n t s t o t h i n k a b o u t r a t e o f c h a n g e . H o w e v e r s t u d e n t s i n t h e T E R C a n d M c D e r m o t t e t a l . s t u d y w e r e a s k e d t o m a k e j u d g m e n t s a b o u t v e l o c i t y a t i n d i v i d u a l p o i n t s i n s i t u a t i o n s i n v o l v i n g v a r y i n g r a t e s a n d t h e y p r o c e e d e d t o d o s o w i t h o u t q u e s t i o n i n g t h e e x i s t e n c e o f s u c h a t h i n g . T h a t , o f c o u r s e , d o e s n o t m e a n t h e y b e l i e v e d t h a t r a t e o f c h a n g e a t a p o i n t m a k e s s e n s e o r t h a t t h e y h a d w a y s o f f i n d i n g i t . H o w e v e r , t h e i r e v e r y d a y e x p e r i e n c e s w i t h m o t i o n a n d s p e e d m a y h a v e h e l p e d t h e m b e l i e v e t h a t m o v i n g o b j e c t s h a v e s p e e d a t p o i n t s , t h a t s p e e d c a n c h a n g e f r o m i n s t a n t t o i n s t a n t , a n d t h a t i t h a s a m e a s u r e m e n t i n t e r m s o f d i s t a n c e t r a v e l e d i n a c e r t a i n a m o u n t o f t i m e . I t i s u n c l e a r b a s e d o n t h e s t u d i e s r e v i e w e d a b o v e t o w h a t e x t e n t s t u d e n t s t h i n k i n t e r m s o f r a t e o f c h a n g e a t a p o i n t . 8 4 R e a s o n i n u m s l R e c a l l f r o m C h a p t e r 1 t h a t q u a l i t a t i v e r e a s o n i n g r e f e r s p r i m a r i l y t o t h e u s e o f g r a p h i c a l f e a t u r e s l i k e s l o p e a n d s h a p e t o m a k e c o n c l u s i o n s a b o u t r a t e o f c h a n g e , n u m e r i c a l r e a s o n i n g c o n c e r n s t h e c a l c u l a t i o n o r u s e o f n u m e r i c a l v a l u e s t o m a k e d e c i s i o n s a b o u t r a t e o f c h a n g e , a n d a l g e b r a i c r e a s o n i n g i n v o l v e s t h e u s e o f f o r m u l a s o r e q u a t i o n s t o m a k e j u d g m e n t s a b o u t r a t e o f c h a n g e . I s t h e r e e v i d e n c e i n t h e s t u d i e s r e v i e w e d h e r e t h a t t h e s e t y p e s o f r e a s o n i n g a r e u s e d b y s t u d e n t s i n a d d r e s s i n g r a t e o f c h a n g e ? I n t h e T E R C s t u d i e s s t u d e n t s u s e d s h a p e a n d i n c r e a s i n g a n d d e c r e a s i n g p r o p e r t i e s o f t h e g r a p h s o f v e l o c i t y f u n c t i o n s t o m a k e c o n c l u s i o n s a b o u t t h e g r a p h s o f p o s i t i o n f u n c t i o n s . I n t h e M c D e r m o t t e t a l . s t u d y s t u d e n t s u s e d s i m i l a r p r o p e r t i e s o f g r a p h s o f p o s i t i o n f u n c t i o n s t o m a k e c o n c l u s i o n s a b o u t v e l o c i t y . I n t h e M o n k s t u d i e s s t u d e n t s c o n s t r u c t e d g r a p h s o f t h e r e l a t i o n s h i p b e t w e e n t w o v a r y i n g q u a n t i t i e s a n d u s e d t h o s e g r a p h s t o m a k e a n d c o n f i r m c o n j e c t u r e s a b o u t t h e r a t e o f c h a n g e o f o n e o f t h e q u a n t i t i e s w i t h r e s p e c t t o t h e o t h e r . T h e r e s p o n s e s o f s t u d e n t s i n t h e s e s t u d i e s g i v e e v i d e n c e t h a t s t u d e n t s u s e p r o p e r t i e s o f g r a p h s , a n d h e n c e q u a l i t a t i v e r e a s o n i n g t o m a k e s e n s e o f r a t e o f c h a n g e . S t u d e n t s i n t h e C o n f r e y a n d S m i t h s t u d y c o m p u t e d a n d u s e d f i r s t o r d e r d i f f e r e n c e s t o m a k e s e n s e o f r a t e o f c h a n g e o f l i n e a r a n d e x p o n e n t i a l f u n c t i o n s . S t u d e n t s i n t h e M o n k s t u d i e s u s e d i n c r e m e n t s o f o n e q u a n t i t y o v e r o n e u n i t c h a n g e s i n a n o t h e r q u a n t i t y t o m a k e c o n c l u s i o n s a b o u t t h e r a t e o f c h a n g e o f o n e o f t h e q u a n t i t i e s w i t h r e s p e c t t o a n o t h e r . I n e a c h o f t h e s e s t u d i e s , s t u d e n t s c a l c u l a t e d s o m e , o r i n s o m e c a s e s a l o t , o f n u m e r i c a l v a l u e s t o h e l p t h e m m a k e s e n s e o f 8 5 r a t e o f c h a n g e . T h e y w e r e u s i n g w h a t I h a v e c a l l e d n u m e r i c a l r e a s o n i n g t o r e a s o n a b o u t r a t e o f c h a n g e . I n t h e M o n k s t u d i e s , s t u d e n t s o f t e n t r i e d t o f i n d a n e q u a t i o n r e l a t i n g v a r i a b l e s i n t h e s i t u a t i o n . S o m e w e r e s u c c e s s f u l b u t t h e n w e r e n o t a b l e t o d i f f e r e n t i a t e t h e s e e q u a t i o n s t o a d d r e s s r a t e o f c h a n g e o f o n e o f t h e v a r i a b l e s w i t h r e s p e c t t o a n o t h e r . T h e y w e r e h o w e v e r , o f t e n a b l e t o u s e t h e i r e q u a t i o n s i n o t h e r w a y s t o a d d r e s s r a t e o f c h a n g e i n t h e s e s i t u a t i o n s . S o m e s t u d e n t s t r a n s f o r m e d t h e e q u a t i o n i n t o a t a b l e o f v a l u e s o r a g r a p h a n d t h e n u s e d t h e s e t o m a k e c o n c l u s i o n s a b o u t t h e r a t e o f c h a n g e o f o n e q u a n t i t y w i t h r e s p e c t t o a n o t h e r . I n a s m u c h a s t h e e q u a t i o n s h e l p e d t h e s e s t u d e n t s p r o c e e d w i t h t h e i r a n a l y s i s , I s a w i t a s a n e x a m p l e o f a l g e b r a i c r e a s o n i n g . I n t h e T h o m p s o n s t u d i e s , s t u d e n t s w e r e g i v e n a n e q u a t i o n r e p r e s e n t i n g a f u n c t i o n a n d a s k e d t o w o r k w i t h e q u a t i o n s o f t h e f u n c t i o n g i v i n g t h e a v e r a g e r a t e o f c h a n g e o v e r c e r t a i n i n t e r v a l s a n d m o r e g e n e r a l l y t o t r y t o r e l a t e d t h i s t o t h e f u n c t i o n g i v i n g t h e r a t e o f c h a n g e a t a p o i n t . S t u d e n t s w e r e o f t e n u n a b l e t o w o r k v e r y s u c c e s s f u l l y w i t h t h e e q u a t i o n s y i e l d i n g t h e a v e r a g e r a t e o f c h a n g e o f t h e d e p e n d e n t v a r i a b l e o v e r i n t e r v a l s o f t h e i n d e p e n d e n t v a r i a b l e . B u t t h e y w e r e a b l e t o o b t a i n t h e d e r i v a t i v e e q u a t i o n f o r m o s t o f t h e g i v e n f u n c t i o n e q u a t i o n s a n d t o u s e t h e m t o a d d r e s s r a t e o f c h a n g e . T h e s e a r e e x a m p l e s o f a l g e b r a i c r e a s o n i n g . S u m m a r y - T h e s t u d i e s r e v i e w e d a b o v e s h o w s t u d e n t s t h i n k i n g i n w a y s t h a t a r e c o n s i s t e n t w i t h a t l e a s t t w o o f t h e t h r e e p e r s p e c t i v e s o n r a t e o f c h a n g e a n d t h e t h r e e t y p e s o f r e a s o n i n g . O n e o f t h e g o a l s o f t h i s d i s s e r t a t i o n w a s t o s e e t o w h a t e x t e n t t h e s e t h r e e p e r s p e c t i v e s a n d t y p e s o f 8 6 r e a s o n i n g m a k e s e n s e i n t e r m s o f h o w s t u d e n t s t h i n k a b o u t r a t e o f c h a n g e . C h a p t e r s u m m a r y O f t h e r e s e a r c h l i t e r a t u r e c o n c e r n i n g s t u d e n t s ' k n o w l e d g e o f r a t e o f c h a n g e , I c h o s e t o r e v i e w s t u d i e s w h i c h s h o w e d h o w s t u d e n t s s o l v e d p r o b l e m s i n v o l v i n g r a t e o f c h a n g e s o t h a t i n f e r e n c e s a b o u t t h e c u r r e n t s t a t e o f t h e i r k n o w l e d g e c o u l d b e m a d e a n d c o n j e c t u r e s a b o u t h o w t h a t k n o w l e d g e m i g h t s e r v e t h e m i n l e a r n i n g m o r e a b o u t r a t e o f c h a n g e c o u l d b e p u t f o r t h . A l l o f t h e l i t e r a t u r e r e v i e w e d h e r e s h o w e d d i f f i c u l t i e s p r e c a l c u l u s , c a l c u l u s , a n d p o s t c a l c u l u s s t u d e n t s h a d a n d c o n s i d e r e d p o s s i b l e r e a s o n s f o r t h o s e d i f f i c u l t i e s . S o m e o f i t a l s o d i s c u s s e d w a y s t o h e l p s t u d e n t s l e a r n r a t e o f c h a n g e . S t u d i e s c o n d u c t e d a t T E R C s h o w e d p r e c a l c u l u s s t u d e n t s a s s u m e d t h a t p o s i t i o n a n d v e l o c i t y g r a p h s r e s e m b l e d e a c h o t h e r a n d a s a r e s u l t o f t e n m a d e i n c o r r e c t c o n c l u s i o n s a b o u t t h e p o s i t i o n g r a p h w h e n g i v e n t h e v e l o c i t y g r a p h . A s t u d y b y M c D e r m o t t e t a l . f o u n d u n i v e r s i t y p h y s i c s s t u d e n t s w h o h a d c o m p l e t e d c a l c u l u s m a d e i n c o r r e c t c o n c l u s i o n s a b o u t v e l o c i t y g i v e n g r a p h s o f p o s i t i o n f u n c t i o n s a n d o f t e n d r e w v e l o c i t y g r a p h s t h a t i n a p p r o p r i a t e l y r e s e m b l e d g i v e n p o s i t i o n g r a p h s . M o n k f o u n d t h a t c a l c u l u s a n d p o s t c a l c u l u s s t u d e n t s w e r e u n a b l e t o w o r k s t a n d a r d r e l a t e d r a t e s p r o b l e m s i n w a y s t a u g h t i n c a l c u l u s . T h o m p s o n f o u n d t h a t p o s t c a l c u l u s s t u d e n t s d i d n o t k n o w w h a t f u n c t i o n s f o r m e d b y t h e N e w t o n Q u o t i e n t y i e l d e d o r w h a t t h e i r l i m i t m e a n t . T h i s l i t e r a t u r e s h o w e d s t u d e n t s s t r u g g l i n g w i t h r a t e o f c h a n g e . I n a d d i t i o n , t h i s l i t e r a t u r e s h o w e d k n o w l e d g e p r e c a l c u l u s , c a l c u l u s , a n d p o s t c a l c u l u s s t u d e n t s h a v e t h a t m a y s u p p o r t t h e i r l e a r n i n g o f r a t e o f c h a n g e . R u b i n a n d N e m i r o v s k y e x p l a i n e d t h a t o n e r e a s o n 8 7 s t u d e n t s a s s u m e a f u n c t i o n a n d i t s d e r i v a t i v e r e s e m b l e e a c h o t h e r i s t h a t o f t e n t h e y d o . S t u d e n t s i n t h e M o n k s t u d i e s r e l i e d o n i n c r e m e n t s o f q u a n t i t i e s a n d s h a p e o f g r a p h s t o m a k e d e c i s i o n s a b o u t t h e r a t e o f c h a n g e o f o n e q u a n t i t y w i t h r e s p e c t t o a n o t h e r . C o n f r e y a n d S m i t h r e p o r t e d o n p r e c a l c u l u s s t u d e n t s w h o u s e d i n c r e m e n t s t o m a k e s e n s e o f f u n c t i o n s a n d t h e i r r a t e s o f c h a n g e . P a t r i c k a n d A l b a T h o m p s o n g a v e a n a c c o u n t i n g o f h o w m i d d l e s c h o o l s t u d e n t s c o m e t o u n d e r s t a n d c o n s t a n t r a t e . T h e s e p i e c e s o f k n o w l e d g e a b o u t a n d m e t h o d s o f d e a l i n g w i t h r a t e A . o f c h a n g e a s w e l l a s t h e i n s i g h t s a b o u t h o w y o u n g e r c h i l d r e n l e a r n c o n s t a n t r a t e g a v e i m p e t u s t o t h e d e s i g n o f t h i s s t u d y a b o u t o l d e r s t u d e n t s ' l e a r n i n g o f r a t e o f c h a n g e . I w a n t e d t o s e e i f p r e c a l c u l u s , c a l c u l u s , a n d p o s t c a l c u l u s s t u d e n t s d i s p l a y e d s o m e o f t h i s s a m e k n o w l e d g e i n o t h e r s i t u a t i o n s i n v o l v i n g r a t e o f c h a n g e . I a l s o w a n t e d t o s e e w h a t o t h e r k n o w l e d g e s t u d e n t s u s e d t o s o l v e t a s k s i n v o l v i n g r a t e o f c h a n g e . F i n a l l y , I w a n t e d t o t h i n k a b o u t w h a t r o l e t h i s k n o w l e d g e m i g h t p l a y i n l e a r n i n g m o r e a b o u t r a t e o f c h a n g e . I n a d d i t i o n t o s h o w i n g d i f f i c u l t i e s p r e c a l c u l u s , c a l c u l u s , a n d p o s t c a l c u l u s s t u d e n t s h a v e w i t h r a t e o f c h a n g e , a n d s h o w i n g w h a t m e t h o d s t h e y u s e t o s o l v e r a t e o f c h a n g e p r o b l e m s , I w a s i n t e r e s t e d i n t h e e x t e n t t o w h i c h t h i s l i t e r a t u r e s h o w e d s t u d e n t s r e s p o n d i n g i n w a y s t h a t a r e c o n s i s t e n t w i t h t h r e e p e r s p e c t i v e s o n r a t e o f c h a n g e a n d t h r e e t y p e s o f r e a s o n i n g . T h e s e s t u d i e s s h o w e d s t u d e n t s r e s p o n d i n g i n w a y s c o n s i s t e n t w i t h g l o b a l a n d i n t e r v a l p e r s p e c t i v e s o n r a t e o f c h a n g e a n d u s i n g q u a l i t a t i v e , n u m e r i c a l , a n d a l g e b r a i c t y p e o f r e a s o n i n g . I n t h i s d i s s e r t a t i o n I f u r t h e r e x a m i n e d s t u d e n t s ' r e s p o n s e s t o r a t e o f c h a n g e t a s k s i n t e r m s o f t h e s e p e r s p e c t i v e s a n d t y p e s o f r e a s o n i n g . C h a p t e r 3 E P I S T E M O L O G I C A L F R A M E T h i s d i s s e r t a t i o n c o n c e r n s k n o w l e d g e o f r a t e o f c h a n g e i n p r e c a l c u l u s , c a l c u l u s , a n d p o s t c a l c u l u s s t u d e n t s w i t h i n t h e c o n t e x t o f a p a r t i c u l a r s e t o f t a s k s . T h e p u r p o s e o f t h i s s t u d y w a s t o i n v e s t i g a t e t h e s e s t u d e n t s ' k n o w l e d g e o f r a t e o f c h a n g e , n o t e s i m i l a r i t i e s a n d d i f f e r e n c e s i n t h i s k n o w l e d g e a m o n g t h e t h r e e g r o u p s o f s t u d e n t s , a n d t h i n k a b o u t w h a t t h i s m e a n s f o r l e a r n i n g r a t e o f c h a n g e . I n t h i s c h a p t e r I d e s c r i b e a p a r t i c u l a r v i e w o f k n o w l e d g e a n d l e a r n i n g , b r i e f l y r e v i e w t w o s t u d i e s t h a t i l l u s t r a t e t h i s v i e w , a n d r e l a t e t h i s v i e w t o t h i s s t u d y . A c o n s t r u c t i v i s t v i e w o f l e a r n i n g B a s i g _ t e n e t s . C o n s t r u c t i v i s t t h e o r i e s o f l e a r n i n g v i e w l e a r n e r s a s a c t i v e l y t r y i n g t o m a k e s e n s e o f s i t u a t i o n s , u s i n g t h e i r p r i o r k n o w l e d g e a b o u t p r e v i o u s s i t u a t i o n s , a n d a l t e r i n g t h e i r k n o w l e d g e t o f i t t h e c o n s t r a i n t s o f n e w s i t u a t i o n s . T h r e e t e n e t s a r e a t t h e h e a r t o f t h i s s t a t e m e n t . O n e i s t h a t i n d i v i d u a l s a c t i v e l y t r y t o m a k e s e n s e o f s i t u a t i o n s . T h e y a r e n o t p a s s i v e r e c i p i e n t s o f k n o w l e d g e a b o u t t h e p h y s i c a l a n d s o c i a l w o r l d b u t r a t h e r a c t i v e l y t r y t o i n t e r p r e t t h e i r i n t e r a c t i o n s w i t h t h e w o r l d s o t h a t t h o s e i n t e r p r e t a t i o n s a r e c o n s i s t e n t w i t h o t h e r i n t e r a c t i o n s t h e y h a v e h a d . A s e c o n d t e n e t i s t h a t i n d i v i d u a l s u s e t h e i r p r i o r k n o w l e d g e a b o u t o t h e r s i t u a t i o n s t o m a k e s e n s e o f n e w s i t u a t i o n s . P e o p l e c o m e t o s i t u a t i o n s w i t h k n o w l e d g e a c q u i r e d b y p r e v i o u s i n t e r a c t i o n s w i t h t h e w o r l d a n d t h e y u s e t h i s 8 8 8 9 k n o w l e d g e t o i n t e r p r e t n e w s i t u a t i o n s . A t h i r d t e n e t i s t h a t i n d i v i d u a l s a l t e r t h e i r k n o w l e d g e t o t a k e i n t o c o n s i d e r a t i o n n e w i n t e r a c t i o n s w i t h t h e w o r l d . P r i o r k n o w l e d g e a d j u s t s s o t h a t i t a c c o u n t s f o r n e w s i t u a t i o n s . W T h i s v i e w o f l e a r n i n g a c c o u n t s f o r v a r i e t y i n i n d i v i d u a l s ' k n o w l e d g e . N o t a l l i n d i v i d u a l s h a v e t h e s a m e p r i o r e x p e r i e n c e s . I t i s t h e r e f o r e l i k e l y t h a t p e o p l e b r i n g t o n e w s i t u a t i o n s p r i o r k n o w l e d g e t h a t i s d i f f e r e n t i n s o m e w a y f r o m t h e p r i o r k n o w l e d g e o f o t h e r p e o p l e . T h i s m i g h t m e a n t h a t p e o p l e w i t h d i f f e r e n t p r i o r k n o w l e d g e i n t e r p r e t a g i v e n s i t u a t i o n d i f f e r e n t l y . I t i s e x p e c t e d t h e n t h a t i n t e r a c t i o n b e t w e e n a n i n d i v i d u a l ' s p r i o r k n o w l e d g e a n d a g i v e n s i t u a t i o n w i l l n o t n e c e s s a r i l y r e s u l t i n e x a c t l y t h e s a m e k n o w l e d g e a n a n o t h e r i n d i v i d u a l ' s e x p e r i e n c e w i t h t h e s a m e s i t u a t i o n . T h i s m e a n s t h e n t h a t i n a n y g r o u p o f p e o p l e w e c a n e x p e c t v a r i e t y i n t h e i r k n o w l e d g e . H o w e v e r , i n m a n y a r e a s o f l e a r n i n g , l e a r n e r s d o i n f a c t a r r i v e e v e n t u a l l y a t s i m i l a r s t a t e s o f k n o w l e d g e . T h e y m a y s h o w v a r i e t y i n t h e l e n g t h o f t i m e t o c o n s t r u c t t h i s k n o w l e d g e o r t h e y m a y s h o w d i f f e r e n t i n t e r m e d i a t e s t a t e s o f k n o w l e d g e o n t h e p a t h t o t h i s k n o w l e d g e . B u t t h e a r r i v a l o f m a n y p e o p l e a t s i m i l a r k n o w l e d g e r a i s e s q u e s t i o n s a b o u t h o w t h i s h a p p e n s . P e r h a p s s i m i l a r s t a t e s i n p e o p l e ' s k n o w l e d g e a r e d u e t o p a r t i c u l a r s e t s o f c o m m o n e x p e r i e n c e s w i t h a m o r e k n o w l e d g e a b l e o t h e r . I n s t r u c t i o n c e n t e r e d a r o u n d a p a r t i c u l a r s e t o f e x p e r i e n c e s u n d e r t h e g u i d a n c e o f a t e a c h e r m a y a c c o u n t f o r s o m e o f t h e s i m i l a r i t y i n p e o p l e ' s k n o w l e d g e . S i m i l a r s t a t e s i n i n d i v i d u a l s ' k n o w l e d g e m a y a l s o b e a t t r i b u t a b l e t o s o m e k n o w l e d g e b e i n g s o f u n d a m e n t a l t o a w i d e v a r i e t y o f e x p e r i e n c e s b o t h i n s c h o o l a n d o u t t h a t e v e r y o n e s i m p l y a c q u i r e s i t i n 9 0 t i m e . T h e a c q u i s i t i o n o f k n o w l e d g e f o r p e r f o r m i n g s i m p l e a r i t h m e t i c m a y b e o n e t y p e o f k n o w l e d g e . M e c h a n i s m s f o r h o w p e o p l e c o m e t o d i f f e r e n t a n d s i m i l a r k n o w l e d g e i s a n i m p o r t a n t p a r t o f t h e r e s e a r c h a g e n d a f o r c o n s t r u c t i v i s t t h e o r i e s o f l e a r n i n g . I n t h i s d i s s e r t a t i o n I w a s i n t e r e s t e d i n t h e v a r i e t y i n s t u d e n t s ’ k n o w l e d g e a b o u t r a t e o f c h a n g e . I w a s a l s o i n t e r e s t e d i n s i m i l a r i t i e s i n t h e i r k n o w l e d g e a n d w h a t b o t h t h e v a r i e t y a n d s i m i l a r i t i e s m i g h t m e a n a b o u t l e a r n i n g r a t e o f c h a n g e . W W W T h e r e a r e m a n y w a y s t o s t u d y l e a r n i n g r a t e o f c h a n g e . O n e w a y i s t o i m p l e m e n t o n e o r m o r e i n s t r u c t i o n a l i n t e r v e n t i o n s a n d s e e h o w s t u d e n t s ' k n o w l e d g e c h a n g e s o v e r t i m e . A n o t h e r w a y i s t o e x a m i n e t h e c o n c e p t o f r a t e o f c h a n g e , p a r t i t i o n i t i n t o i t s s e v e r a l s u b c o n c e p t s , a n d c o n j e c t u r e a b o u t h o w s t u d e n t s m i g h t a c q u i r e k n o w l e d g e o f t h e s e s u b c o n c e p t s . A t h i r d w a y i s t o g i v e s t u d e n t s a p a r t i c u l a r s e t o f t a s k s c o n c e r n e d w i t h r a t e o f c h a n g e , s e e w h a t i t i s t h a t t h e y a c t u a l l y d o w i t h t h e s e t a s k s , a n d t h i n k a b o u t w h a t t h i s s a y s a b o u t l e a r n i n g r a t e o f c h a n g e . I s e l e c t e d t h i s l a t t e r a p p r o a c h . I w a s i n t e r e s t e d i n w h a t p r e c a l c u l u s , c a l c u l u s , a n d p o s t c a l c u l u s s t u d e n t s a c t u a l l y d i d w h e n p r e s e n t e d w i t h s p e c i f i c t a s k s i n v o l v i n g r a t e o f c h a n g e . I w a s a l s o i n t e r e s t e d i n h o w w h a t t h e y d i d d i f f e r e d f r o m g r o u p t o g r o u p a n d w h a t t h a t m i g h t t e l l u s a b o u t h o w r a t e o f c h a n g e i s l e a r n e d . T h e s e s e e m i m p o r t a n t t h i n g s t o f i n d o u t i f o n e i s c o n c e r n e d a b o u t s t u d e n t s ' l e a r n i n g a n d o n e ’ s t e a c h i n g o f r a t e o f c h a n g e b e f o r e , d u r i n g , a n d a f t e r c a l c u l u s . K n Q W l a d g § _ a S _ S L I a L § g i e s . I n t h i s s t u d y I t o o k a s k n o w l e d g e w h a t s t u d e n t s a c t u a l l y d i d t o s o l v e a p a r t i c u l a r s e t o f p r o b l e m s . O t h e r s 9 1 h a v e t a k e n t h i s s a m e s t a n c e a b o u t k n o w l e d g e w h e n s t u d y i n g h o w s t u d e n t l e a r n . S i e g l e r a n d J e n k i n s ( 1 9 8 9 ) d e f i n e k n o w l e d g e a s s t r a t e g i e s , " a n y p r o c e d u r e t h a t i s n o n o b l i g a t o r y a n d g o a l d i r e c t e d " ( p . 1 1 ) . B y " n o n o b l i g a t o r y " t h e y m e a n t h a t a p a r t i c u l a r s t r a t e g y m u s t n o t r e p r e s e n t t h e o n l y w a y t o a c c o m p l i s h a s p e c i f i c t a s k ; i t m u s t a l s o b e o n e o f m u l t i p l e d i f f e r e n t w a y s o f c o m p l e t i n g t h e t a s k w i t h e a c h w a y r e f e r r e d t o a s a s t r a t e g y . B y " g o a l d i r e c t e d " t h e y m e a n t h a t s t r a t e g i e s a r e i n v o k e d t o a c c o m p l i s h a p a r t i c u l a r g o a l , u s u a l l y c o m p l e t i o n o f a g i v e n t a s k o r s o l u t i o n o f a g i v e n p r o b l e m . F o r S i e g l e r a n d J e n k i n s , w h a t s t u d e n t s a c t u a l l y d o i s c a l l e d s t r a t e g i e s a n d t h e s e s t r a t e g i e s a r e a t y p e o f k n o w l e d g e . L g a r n i n g _ a s _ s t r a t e g y _ c g n s t r u g t i o n . S i e g l e r a n d J e n k i n s f u r t h e r d e f i n e l e a r n i n g a s s t r a t e g y c o n s t r u c t i o n , w h i c h t h e y f u r t h e r d e f i n e a s s t r a t e g y a c q u i s i t i o n a n d g e n e r a l i z a t i o n . S t r a t e g y c o n s t r u c t i o n d e p e n d s o n t h e e x i s t e n c e o f p r i o r k n o w l e d g e , o f t e n i n t h e f o r m o f o t h e r s t r a t e g i e s . W h e n a n e w s t r a t e g y i s l e a r n e d , i t d o e s n o t i m m e d i a t e l y , a t l e a s t , r e p l a c e o l d e r s t r a t e g i e s . I t e x i s t s a l o n g s i d e a l r e a d y e x i s t i n g s t r a t e g i e s a n d c o m p e t e s w i t h t h e m f o r u s e i n s o l v i n g p r o b l e m s . P e o p l e c h o o s e w h i c h s t r a t e g i e s t o u s e o n w h i c h t a s k s b a s e d o n t h e p e r c e i v e d a d v a n t a g e s o f s t r a t e g i e s i n s o l v i n g t h o s e t a s k s . A s s t r a t e g i e s a r e u s e d , t h e i r r e l a t i v e s u c c e s s e s a n d f a i l u r e s h e l p i n f l u e n c e d e c i s i o n s a b o u t h o w o f t e n a n d o n w h a t t a s k s t h e y w i l l b e u s e d i n t h e f u t u r e ( S i e g l e r a n d J e n k i n s , 1 9 8 9 ) . S t r a t e g i e s c a n b e a c q u i r e d i n a n u m b e r o f w a y s . O n e w a y i s t h r o u g h e x p l i c i t i n s t r u c t i o n . A l l o f t h e c h i l d r e n i n t h e S i e g l e r a n d J e n k i n s s t u d y h a d b e e n t a u g h t , p r i o r t o t h e s t u d y , a t l e a s t o n e s t r a t e g y f o r p e r f o r m i n g s i m p l e a d d i t i o n . P r e s u m a b l y t h a t i s h o w t h e y a c q u i r e d 9 2 t h a t s t r a t e g y . I l e a r n e d h o w t o f i n d r a t e o f c h a n g e a t a p o i n t b y d i f f e r e n t i a t i n g a n e q u a t i o n a n d e v a l u a t i n g t h e d e r i v a t i v e e q u a t i o n a t t h a t p o i n t b e c a u s e I h a d e x p l i c i t i n s t r u c t i o n i n t h a t s t r a t e g y . S i m i l a r l y I l e a r n e d t o f i n d r a t e o f c h a n g e a t a p o i n t b y f i n d i n g t h e s l o p e o f a t a n g e n t l i n e b e c a u s e s o m e o n e s h o w e d m e h o w t o d o t h a t . I n e a c h o f t h e s e c a s e s s o m e o n e e x p l i c i t l y t a u g h t a s t r a t e g y . A n o t h e r w a y s t r a t e g i e s a r e a c q u i r e d i s b y i m p l i c i t i n s t r u c t i o n . S o m e o f t h e c h i l d r e n i n t h e S i e g l e r a n d J e n k i n s s t u d y h a d a c q u i r e d o t h e r s t r a t e g i e s f o r s i m p l e a d d i t i o n b y w a t c h i n g o l d e r s t u d e n t s , l i k e t h e i r s i b l i n g s , p e r f o r m a d d i t i o n . I l e a r n e d h o w t o a p p r o x i m a t e r a t e o f c h a n g e a t a p o i n t b y c o m p u t i n g t h e a v e r a g e r a t e o f c h a n g e o v e r a v e r y s m a l l i n t e r v a l a r o u n d t h e p o i n t b e c a u s e I w a t c h e d s o m e o f m y s t u d e n t s u s e t h a t s t r a t e g y . I l e a r n e d h o w t o a d d r e s s r a t e o f c h a n g e a t a p o i n t b y e x a m i n i n g p r o p e r t i e s o f t h e g r a p h s o f r a t e s o f c h a n g e b e c a u s e I s a w t h i s s t r a t e g y u s e d i n a c o l l e a g u e ' s a d v a n c e d p h y s i o l o g y t e x t . I n e a c h o f t h e s e c a s e s n o o n e w a s e x p l i c i t l y t r y i n g t o t e a c h a s t r a t e g y ; a n e w s t r a t e g y w a s l e a r n e d b y o b s e r v i n g o t h e r s u s i n g t h e s t r a t e g y . S t r a t e g i e s c a n a l s o b e a c q u i r e d b y d i s c o v e r y o r i n v e n t i o n . I n t h e S i e g l e r a n d J e n k i n s s t u d y , s t u d e n t s i n v e n t e d s e v e r a l s t r a t e g i e s f o r s i m p l e a d d i t i o n o v e r t h e w e e k s o f t h e s t u d y . M y s t u d e n t s d i s c o v e r e d o n t h e i r o w n t h e s t r a t e g y f o r f i n d i n g r a t e o f c h a n g e a t a p o i n t b y c o m p u t i n g t h e a v e r a g e r a t e o f c h a n g e o v e r a v e r y s m a l l i n t e r v a l a r o u n d t h e p o i n t . I n e v e r t a u g h t i t t o t h e m . I o n c e s a w a s t u d e n t u s e t h e p a t t e r n o f d i s t a n c e s t r a v e l e d b y a f a l l i n g o b j e c t o v e r s u c c e s s i v e q u a r t e r s e c o n d i n t e r v a l s t o m a k e a c o n j e c t u r e a b o u t h o w f a r t h e o b j e c t w o u l d h a v e t r a v e l e d i n t h e q u a r t e r s e c o n d a f t e r i t h i t t h e g r o u n d i f i t h a d b e e n a l l o w e d t o c o n t i n u e i t s f a l l a n d t h e n u s e t h a t i n f o r m a t i o n t o 9 3 d e c i d e w i t h w h a t s p e e d t h e o b j e c t h i t t h e g r o u n d . I b e l i e v e s h e i n v e n t e d t h i s s t r a t e g y o n h e r o w n . A n o t h e r s t u d e n t u s e d t h e a c c e l e r a t i o n d u e t o g r a v i t y t o f i n d t h e s p e e d o f a f a l l i n g o b j e c t a t p o i n t s i n t i m e . A l t h o u g h h e m a y h a v e h a d s o m e p r i o r i n s t r u c t i o n c o n c e r n i n g t h e a c c e l e r a t i o n d u e t o g r a v i t y , h i s s t r a t e g y r e p r e s e n t e d , I b e l i e v e , a n i n v e n t e d u s e o f t h i s k n o w l e d g e t o f i n d t h e s p e e d o f t h e f a l l i n g o b j e c t a t s p e c i f i c p o i n t s . S t r a t e g y g e n e r a l i z a t i o n r e f e r s t o t h e e s t a b l i s h m e n t o f c o n d i t i o n s o f a p p l i c a b i l i t y o f s t r a t e g i e s . F o r e x a m p l e , w i t h s i m p l e a d d i t i o n , s t u d e n t s i n t h e S i e g l e r a n d J e n k i n s s t u d y d i s c o v e r e d t h a t t h e M I N s t r a t e g y c o u l d b e a p p l i e d w i t h g r e a t e f f i c i e n c y t o p a r t i c u l a r t y p e s o f p r o b l e m s w h e n o t h e r s t r a t e g i e s c o u l d n o t . S i m i l a r l y , u s i n g t h e s l o p e o f t h e t a n g e n t l i n e f o r a n s w e r i n g c e r t a i n t y p e s o f q u e s t i o n s a b o u t r a t e o f c h a n g e i s q u i t e e f f i c i e n t b u t t o f i n d a f a i r l y g o o d a p p r o x i m a t i o n f o r t h e r a t e o f c h a n g e a t a p o i n t , u s i n g t h e s l o p e o f t h e t a n g e n t l i n e m a y n o t w o r k a s w e l l b e c a u s e o f i n a c c u r a c i e s i n d r a w i n g t h e t a n g e n t l i n e o r n o t b e i n g a b l e t o f i n d e x a c t c o o r d i n a t e s f o r p o i n t s o n t h e t a n g e n t l i n e . O n c e a s t r a t e g y h a s b e e n a c q u i r e d , i t i s n o t n e c e s s a r i l y u s e d t o t h e e x c l u s i o n o f o t h e r s t r a t e g i e s o r e v e n f r e q u e n t l y i n s i t u a t i o n s w h e r e i t s u s e i s a d v a n t a g e o u s . E x p e r i e n c e w i t h t a s k s a n d s t r a t e g i e s h e l p s d e t e r m i n e w h i c h s t r a t e g i e s a r e u s e f u l f o r w h i c h t a s k s i n c l u d i n g r e l a t i v e a d v a n t a g e s o f e a c h s t r a t e g y f o r e a c h t y p e o f t a s k . G a i n i n g t h i s e x p e r i e n c e t a k e s t i m e . O n c e t h e s e c o n d i t i o n s o f a p p l i c a b i l i t y h a v e b e e n e s t a b l i s h e d , u s e o f n e w l y a c q u i r e d s t r a t e g i e s c a n b e s u d d e n l y m o r e f r e q u e n t a n d a d v e n t u r e s o m e ( S i e g l e r a n d J e n k i n s , 1 9 8 9 ) . S t r e n g t h u u h i u i e u f i n o u l e d g u n L l e a r n m g S t r a t e g i e s t h e n r e p r e s e n t a p a r t i c u l a r t y p e o f k n o w l e d g e a n d l e a r n i n g , i n t h i s c o n t e x t , 9 4 m e a n s c o n s t r u c t i n g k n o w l e d g e o f s t r a t e g i e s , i n c l u d i n g b o t h a c q u i r i n g s t r a t e g i e s , b y e x p l i c i t o r i m p l i c i t i n s t r u c t i o n o r d i s c o v e r y , a n d e s t a b l i s h i n g c o n d i t i o n s o f a p p l i c a b i l i t y . T h i s v i e w o f k n o w l e d g e a n d l e a r n i n g h a s s e v e r a l s t r e n g t h s . O n e i s t h a t i t i s c o n s i s t e n t w i t h d a t a s h o w i n g t h a t i n d i v i d u a l s u s e s e v e r a l s t r a t e g i e s , r a t h e r t h a n a s i n g l e s t r a t e g y , t o s o l v e t h e s a m e t y p e s o f p r o b l e m s a n d t h a t , e v e n w i t h t h e s a m e t a s k , a p e r s o n m a y u s e o n e s t r a t e g y o n e d a y a n d a d i f f e r e n t s t r a t e g y t h e n e x t d a y . A n o t h e r s t r e n g t h o f t h i s v i e w o f l e a r n i n g i s t h a t i t a c c o u n t s f o r d a t a w h i c h s h o w s t h a t p e o p l e t a k e v a r y i n g a m o u n t s o f t i m e t o a c q u i r e a n d g e n e r a l i z e s t r a t e g i e s a n d t h e c o n d i t i o n s u n d e r w h i c h t h e y d o s o v a r i e s . T h i s i s c o n s i s t e n t w i t h a t h e o r y o f l e a r n i n g w h i c h p o s i t s t h a t p e o p l e c o n s t r u c t k n o w l e d g e t h r o u g h e x p e r i e n c e w i t h s i t u a t i o n s a n d j u s t a s p e o p l e ' s e x p e r i e n c e s v a r y , t h e n s o a l s o d o t h e c i r c u m s t a n c e s a s s o c i a t e d w i t h t h e i r a c q u i s i t i o n a n d g e n e r a l i z a t i o n o f s t r a t e g i e s t o d e a l w i t h s i t u a t i o n s . F i n a l l y t h i s V i e w o f l e a r n i n g g i v e s a m o r e c o m p l e t e a c c o u n t i n g o f i n t e r a c t i o n b e t w e e n p r i o r k n o w l e d g e i n t h e f o r m o f a l r e a d y e x i s t i n g s t r a t e g i e s a n d t h e a c q u i s i t i o n a n d g e n e r a l i z a t i o n o f n e w s t r a t e g i e s . O n e o f t h e t e n e t s o f c o n s t r u c t i v i s t t h e o r i e s o f l e a r n i n g i s t h a t p r i o r k n o w l e d g e p l a y s a p i v o t a l r o l e i n t h e c o n s t r u c t i o n o f n e w k n o w l e d g e . H o w e v e r , m e c h a n i s m s c o n c e r n i n g t h e r o l e o f p r i o r k n o w l e d g e i n t h a t c o n s t r u c t i o n h a v e n o t b e e n v e r y w e l l d e l i n e a t e d . T h e v i e w t h a t l e a r n i n g i s s t r a t e g y c o n s t r u c t i o n m a k e s m o r e e x p l i c i t t h e r o l e o f p r i o r k n o w l e d g e i n t h e d i s c o v e r y a n d g e n e r a l i z a t i o n o f s t r a t e g i e s b y s h o w i n g t h e o r d e r i n w h i c h s t u d e n t s u s e s t r a t e g i e s a n d e x p l o r i n g w h a t k n o w l e d g e i n a ' l ‘ u “ 9 5 p r e v i o u s s t r a t e g y m a y b e u s e f u l f o r c o n s t r u c t i o n o f a s u c c e e d i n g s t r a t e g y . I 0 , . J e ‘ 0 . ‘ O L ‘ O ‘ o 0 ' 7 ‘ . 0 . 0 0 . ‘ 0 0 - 1 ’ . ‘ 4 0 ' 0 0 . T h i s v i e w o f k n o w l e d g e a s s t r a t e g i e s a n d l e a r n i n g a s s t r a t e g y c o n s t r u c t i o n h a s a t l e a s t t w o m a j o r c o n s e q u e n c e s t h a t m a y d i s c o u r a g e r e s e a r c h e r s f r o m a d o p t i n g i t . O n e i s t h a t i t c a l l s f o r a m o r e i n v o l v e d m e t h o d o l o g y t o s t u d y k n o w l e d g e a n d l e a r n i n g . A p r e - t e s t , i n t e r v e n t i o n , p o s t - t e s t s t u d y f o c u s i n g o n i m p r o v e m e n t o f p e r f o r m a n c e w i l l n o t n e c e s s a r i l y u n c o v e r e i t h e r t h e s t r a t e g i e s s t u d e n t s u s e o r t h e c i r c u m s t a n c e s l e a d i n g t o t h e i r i n i t i a l u s e a n d g e n e r a l i z a t i o n . A m o r e i n t e n s i v e s t u d y i n v o l v i n g m u l t i p l e i n t e r v i e w s w i t h s t u d e n t s a s t h e y w o r k o n t h e s a m e o r s i m i l a r t a s k s o v e r a l o n g e r p e r i o d o f t i m e w i l l m o r e l i k e l y r e v e a l b o t h t h e s t r a t e g i e s s t u d e n t s u s e a n d h o w t h o s e s t r a t e g i e s a r e d i s c o v e r e d a n d g e n e r a l i z e d . T h e p e r i o d o f t h e s t u d y n e e d s t o b e l o n g e n o u g h t o i d e n t i f y c i r c u m s t a n c e s l e a d i n g t o t h e f i r s t u s e o f a s t r a t e g y , t h e i n s t a n c e o f i t s f i r s t u s e , a n d u s e s o f t h e n e w s t r a t e g y a f t e r i t s d i s c o v e r y . T h i s v i e w o f l e a r n i n g c a l l s f o r m o r e l a b o r i n t e n s i v e s t u d i e s t o g i v e a f u l l e r a c c o u n t i n g o f b o t h k n o w l e d g e a n d l e a r n i n g ( S i e g l e r a n d J e n k i n s , 1 9 8 9 ) . A n o t h e r u n f o r t u n a t e c o n s e q u e n c e o f t h i s v i e w o f l e a r n i n g , i n t h e e y e s o f s o m e , i s t h a t i t d o e s n o t n e c e s s a r i l y l e a d t o a s e t d e v e l o p m e n t a l s e q u e n c e t h r o u g h w h i c h a l l s t u d e n t s p a s s . I n f a c t , a v i e w o p e n t o t h e v a r i e t y i n p e o p l e ' s k n o w l e d g e d e n i e s t h a t t h e r e i s s u c h a d e v e l o p m e n t a l s e q u e n c e . T h i s v i e w w i l l m o s t l i k e l y s h o w t h a t l e a r n i n g d o e s n o t c o n s i s t o f m o v i n g f r o m s t a g e t o s t a g e w i t h e a c h s t a g e c h a r a c t e r i z e d b y u s e o f a s i n g l e s t r a t e g y m o r e a d v a n c e d t h a n s t r a t e g i e s u s e d i n p r e v i o u s s t a g e s a n d l e s s a d v a n c e d t h a n t h o s e u s e d i n f u t u r e 9 6 s t a g e s . T h e v i e w o f l e a r n i n g d i s c u s s e d h e r e i s t h a t s t u d e n t s a t a n y g i v e n t i m e p o s s e s s s e v e r a l d i f f e r e n t s t r a t e g i e s f o r s o l v i n g a g i v e n p r o b l e m , t h e r e i s n o t n e c e s s a r i l y a f i x e d o r d e r i n t h e a p p e a r a n c e o f s t r a t e g i e s , t h e a m o u n t o f t i m e i t t a k e s t o d i s c o v e r a s t r a t e g y i s n o t t h e s a m e f r o m s t u d e n t t o s t u d e n t , a n d t h e f r e q u e n c y o f u s e o f a d i s c o v e r e d s t r a t e g y v a r i e s f r o m p e r s o n t o p e r s o n a n d f r o m s i t u a t i o n t o s i t u a t i o n . T h i s v i e w o f l e a r n i n g i s m o r e c o m p l i c a t e d t h a n o t h e r v i e w s a n d t h e r e f o r e m a y b e r e j e c t e d i n f a v o r o f s i m p l e r e x p l a n a t i o n s ( S i e g l e r a n d J e n k i n s , 1 9 8 9 ) . I t h a s a m o r e c o m p l e x s e t o f i m p l i c a t i o n s f o r t e a c h i n g a n d l e a r n i n g , o n e t h a t m a y n o t b e w e l c o m e b y t e a c h e r s a l r e a d y o v e r w h e l m e d b y t h e m a n y c o m p e t i n g d e m a n d s o n t h e i r t i m e a n d e n e r g y . T w o s t u d i e s b a s e d o n t h i s v i e w o f k n o w l e d g e a n d l e a r n i n g S e v e r a l s t u d i e s h a v e t a k e n k n o w l e d g e a s s t r a t e g i e s a n d l e a r n i n g a s s t r a t e g y c o n s t r u c t i o n . I h a v e c h o s e n t o b r i e f l y r e v i e w t w o s t u d i e s h e r e . B o t h a r e a b o u t l e a r n i n g i n m a t h e m a t i c a l d o m a i n s . O n e i s a l o n g i t u d i n a l s t u d y a b o u t s t r a t e g i e s u s e d t o p e r f o r m s i m p l e a d d i t i o n b y y o u n g c h i l d r e n o v e r a b o u t t h r e e m o n t h s . T h i s s t u d y e x a m i n e d l e a r n i n g b y l o o k i n g a t s t r a t e g y u s e a n d c h a n g e i n t h e s a m e g r o u p o f i n d i v i d u a l s o v e r a p e r i o d o f t i m e . T h e o t h e r i s a c r o s s s e c t i o n a l s t u d y a b o u t s t r a t e g i e s f o r w o r k i n g w i t h r a t i o n a l n u m b e r s a n d i n v o l v e d t h r e e g r o u p s o f s t u d e n t s a t d i f f e r e n t p o i n t s i n t h e i r m a t h e m a t i c a l e d u c a t i o n . T h i s s t u d y e x a m i n e d l e a r n i n g b y c o m p a r i n g a n d c o n t r a s t i n g s t r a t e g y u s e a m o n g t h e t h r e e g r o u p s o f s t u d e n t s . T h e s e t w o s t u d i e s i l l u s t r a t e t h e u s e f u l n e s s o f l o o k i n g a t s t r a t e g i e s a s k n o w l e d g e a n d s t r a t e g y c o n s t r u c t i o n a s l e a r n i n g a n d p r o v i d e v e n u e s f o r t h i n k i n g a b o u t a s i m i l a r s t u d y o f s t u d e n t s ' k n o w l e d g e a n d l e a r n i n g o f r a t e o f c h a n g e . 9 7 A _ s t u d ¥ _ o f _ s i m n l e _ a d d i t i o n . S i e g l e r a n d J e n k i n s ( 1 9 8 9 ) s t u d i e d k n o w l e d g e o f a d d i t i o n o f s i n g l e d i g i t w h o l e n u m b e r s i n e i g h t 4 — a n d 5 - y e a r o l d s . T h e y i n t e r v i e w e d e a c h c h i l d t w o o r t h r e e t i m e s a w e e k f o r e l e v e n w e e k s . D u r i n g t h e f i r s t s e v e n w e e k s , c h i l d r e n w e r e g i v e n a d d i t i o n p r o b l e m s w i t h a d d e n d s f r o m 1 t o 5 . D u r i n g t h e l a s t f o u r w e e k s , i n a d d i t i o n t o t h e s e s m a l l - a d d e n d p r o b l e m s , c h i l d r e n w e r e g i v e n p r o b l e m s w i t h o n e o f a d d e n d f r o m 1 t o 5 a n d t h e o t h e r a d d e n d b e t w e e n 1 0 a n d 3 0 . T h e s e l a t t e r p r o b l e m s w e r e c a l l e d c h a l l e n g e p r o b l e m s . A t t h e b e g i n n i n g o f t h e s t u d y t h e s e c h i l d r e n c o u l d a d d t w o n u m b e r s f r o m 1 t o 5 w i t h r e a s o n a b l e a c c u r a c y ( a t l e a s t 6 7 p e r c e n t c o r r e c t f o r e a c h c h i l d ) b u t h a d n o t y e t u s e d t h e M i n s t r a t e g y ( c o u n t i n g o n f r o m t h e l a r g e r a d d e n d ) . T h e M i n s t r a t e g y i s a n i m p o r t a n t s t r a t e g y f o r s i m p l e a d d i t i o n s i n c e i t y i e l d s b o t h a c c u r a t e a n d q u i c k a n s w e r s . T h e g o a l o f t h i s s t u d y w a s t o i n v e s t i g a t e h o w t h e s e c h i l d r e n d i s c o v e r e d , w i t h o u t t h e b e n e f i t o f i n s t r u c t i o n , t h e M i n s t r a t e g y a n d h o w t h e y u s e d i t o n c e t h e y d i s c o v e r e d i t . S i e g l e r a n d J e n k i n s w e r e p a r t i c u l a r l y i n t e r e s t e d i n t h e r o l e o f o t h e r a d d i t i o n s t r a t e g i e s a n d r e l a t e d k n o w l e d g e i n t h a t d i s c o v e r y a n d t h e c i r c u m s t a n c e s l e a d i n g t o i t s g e n e r a l i z a t i o n . I n t h i s s t u d y s t u d e n t s u s e d a v a r i e t y o f s t r a t e g i e s t o s o l v e s i m p l e a d d i t i o n p r o b l e m s a n d t h e d i s t r i b u t i o n o f f r e q u e n c y o f u s e o f s t r a t e g i e s c h a n g e d o v e r t h e c o u r s e o f t h e s t u d y a s s t u d e n t s i n v e n t e d n e w s t r a t e g i e s a n d m o d i f i e d a n d e x p a n d e d u s e o f b o t h n e w a n d o l d s t r a t e g i e s . S i e g l e r a n d J e n k i n s o r d e r e d t h e s t r a t e g i e s f r o m l e s s a d v a n c e d t o m o r e a d v a n c e d b a s e d o n t h e p r i o r k n o w l e d g e , n u m b e r o f s t e p s , a n d a m o u n t o f s e l f - r e g u l a t i o n r e q u i r e d f o r e a c h s t r a t e g y . W h i l e s t u d e n t s t e n d e d t o s w i t c h f r o m l e s s a d v a n c e d t o m o r e a d v a n c e d s t r a t e g i e s o v e r t h e t i m e 9 8 p e r i o d o f t h e s t u d y , t h e y a l s o u s e d m o r e a n d l e s s a d v a n c e d s t r a t e g i e s t h r o u g h o u t t h e e n t i r e e l e v e n w e e k s . S e v e n o f t h e e i g h t c h i l d r e n i n t h e s t u d y d i s c o v e r e d t h e M i n s t r a t e g y a n d t h e i r d i s c o v e r y o c c u r r e d p r i m a r i l y o n p r o b l e m s w h i c h s t u d e n t s h a d a l r e a d y s o l v e d c o r r e c t l y a n d f o r w h i c h t h e y h a d o t h e r s t r a t e g i e s f o r s o l v i n g . I t c a n t h e r e f o r e b e i n f e r r e d t h a t t h e p r e s e n c e o f n e w p r o b l e m s w h i c h s t u d e n t s d o n o t k n o w h o w t o s o l v e i s n o t a r e q u i r e m e n t f o r t h e i n v e n t i o n o f n e w s t r a t e g i e s . O n e s t r a t e g y s e e m e d t o p l a y a s i g n i f i c a n t r o l e i n t h e d i s c o v e r y o f t h e M i n s t r a t e g y . S t u d e n t s d i s c o v e r e d t h i s s t r a t e g y b e f o r e t h e y d i s c o v e r e d t h e M i n s t r a t e g y a n d i t s e e m e d t o b r i d g e t h e g a p b e t w e e n t h e l a r g e r n u m b e r o f s t e p s r e q u i r e d f o r l e s s a d v a n c e d s t r a t e g i e s a n d t h e s m a l l e r n u m b e r o f s t e p s f o r t h e M i n s t r a t e g y a n d b e t w e e n t h e n e e d f o r l e s s s e l f - r e g u l a t i o n w i t h l e s s a d v a n c e d s t r a t e g i e s a n d m o r e s e l f - r e g u l a t i o n w i t h t h e M i n s t r a t e g y . O n c e t h e M i n s t r a t e g y w a s d i s c o v e r e d s t u d e n t s d i d n o t i m m e d i a t e l y u s e i t t o t h e e x c l u s i o n o f o t h e r s t r a t e g i e s . T h e y c o n t i n u e d t o u s e o t h e r s t r a t e g i e s , t o o . H o w e v e r , w h e n t h e c h a l l e n g e p r o b l e m s w e r e p r e s e n t e d , t h e f r e q u e n c y o f u s e o f t h e M i n s t r a t e g y i n c r e a s e d n o t o n l y o n t h e c h a l l e n g e p r o b l e m s b u t a l s o o n a l l p r o b l e m s . T h e r e l a t i v e a d v a n t a g e s o f t h e M i n s t r a t e g y o n t h e s e p r o b l e m s a n d i t s g r e a t e r e f f i c i e n c y o n a l l p r o b l e m s m a d e i t a n a t t r a c t i v e c h o i c e f o r p e r f o r m i n g s i m p l e a d d i t i o n . S i e g l e r a n d J e n k i n s ' s t u d y h a d t w o m a j o r f i n d i n g s . O n e i s t h a t s t u d e n t s u s e d s e v e r a l d i f f e r e n t s t r a t e g i e s f o r s o l v i n g t h e s a m e k i n d o f p r o b l e m s . T h e o t h e r i s t h a t s o m e s t r a t e g i e s s e e m e d t o i n f l u e n c e t h e d i s c o v e r y o f o t h e r s t r a t e g i e s a n d c e r t a i n t y p e s o f p r o b l e m s e n c o u r a g e d 9 9 m o r e f r e q u e n t u s e o f c e r t a i n s t r a t e g i e s . I f w e a r e c o n c e r n e d a b o u t w h a t m i g h t l e a d s t u d e n t s t o l e a r n s t r a t e g i e s f o r s o l v i n g p a r t i c u l a r t y p e s o f m a t h e m a t i c s p r o b l e m s , t h e n t h i s i n f o r m a t i o n a b o u t w h a t s t r a t e g i e s a n d p r o b l e m s i n f l u e n c e t h e d i s c o v e r y a n d u s e o f o t h e r s t r a t e g i e s c o u l d b e q u i t e h e l p f u l . A _ s t u d ¥ _ a b g u t _ r a t i g n a l _ n u m b § r s . S m i t h ( 1 9 9 0 ) s t u d i e d k n o w l e d g e o f r a t i o n a l n u m b e r s i n e l e m e n t a r y , m i d d l e , a n d h i g h s c h o o l s t u d e n t s . S p e c i f i c a l l y , h e l o o k e d a t s t r a t e g i e s f o r c o m p a r i n g t w o f r a c t i o n s , a d d i n g t w o f r a c t i o n s , a n d f i n d i n g f r a c t i o n s b e t w e e n t w o o t h e r s . F o r t h e c o m p a r i s o n t a s k , s t u d e n t s w e r e g i v e n t w o f r a c t i o n s a n d a s k e d t o d e c i d e i f o n e w a s g r e a t e r t h a n t h e o t h e r o r i f t h e y w e r e e q u a l . F o r a d d i n g f r a c t i o n s , s t u d e n t s w e r e g i v e n a f r a c t i o n a n d a s k e d t o s e l e c t , f r o m a m o n g f o u r f r a c t i o n s , t w o w h o s e s u m y i e l d e d t h e g i v e n f r a c t i o n . F o r t h e b e t w e e n e s s t a s k , s t u d e n t s w e r e g i v e n t w o f r a c t i o n s o r t w o c o n s e c u t i v e n a t u r a l n u m b e r s a n d a s k e d t o f i n d n u m b e r s b e t w e e n t h e m . T h e 1 0 e l e m e n t a r y , 1 0 m i d d l e , a n d 1 0 h i g h s c h o o l s t u d e n t s i n t h i s s t u d y w e r e i n t e r v i e w e d i n d i v i d u a l l y . T h e g o a l s o f t h i s s t u d y w e r e t o i n v e s t i g a t e r a t i o n a l n u m b e r k n o w l e d g e i n s t u d e n t s a t t h e s e t h r e e p o i n t s i n t h e i r m a t h e m a t i c s e d u c a t i o n a n d t o i n f e r f r o m t h a t h o w s t u d e n t s m i g h t a c q u i r e k n o w l e d g e o f r a t i o n a l n u m b e r s . S m i t h w a s p a r t i c u l a r l y i n t e r e s t e d i n d e s c r i b i n g s t r a t e g i e s t h e s e s t u d e n t s u s e d o n t h e s e f r a c t i o n t a s k s . H e w a s a l s o i n t e r e s t e d i n u s i n g s i m i l a r i t i e s a n d ( d i f f e r e n c e s i n s t r a t e g y u s e a m o n g t h r e e g r o u p s o f s t u d e n t s , m o s t c o m p e t e n t , l e s s c o m p e t e n t , a n d l e a s t c o m p e t e n t , t o m a k e c l a i m s a b o u t l e a r n i n g a b o u t r a t i o n a l n u m b e r s . T h e r e w e r e f o u r m a i n f i n d i n g s o f t h i s s t u d y . O n e i s t h a t s t u d e n t s 1 m 3 e d . a v a r i e t y o f s t r a t e g i e s t o a d d r e s s a l l t h r e e t y p e s o f t a s k s . T h e 1 0 0 s t u d e n t s i n t h i s s t u d y u s e d 2 8 d i f f e r e n t s t r a t e g i e s f o r c o m p a r i n g f r a c t i o n s , 1 4 f o r a d d i n g f r a c t i o n s , a n d s i x f o r f i n d i n g a f r a c t i o n b e t w e e n t w o n u m b e r s . A s e c o n d f i n d i n g i s t h a t s o m e o f t h e s t r a t e g i e s w e r e a p p l i c a b l e t o a l l p r o b l e m s w h i l e o t h e r s w e r e a p p l i c a b l e o n l y t o p r o b l e m s w i t h s p e c i f i c f e a t u r e s , l i k e f i n d i n g a f r a c t i o n b e t w e e n t w o g i v e n f r a c t i o n s t h a t s t r a d d l e 1 / 2 . O f t h e 2 8 s t r a t e g i e s f o r t h e c o m p a r i s o n t a s k s , 1 2 w e r e g e n e r a l a n d 1 6 w e r e s p e c i f i c . O f t h e 1 4 s t r a t e g i e s f o r t h e a d d e n d s t a s k , 1 0 w e r e g e n e r a l a n d f o u r w e r e s p e c i f i c . A l l s i x o f t h e s t r a t e g i e s f o r b e t w e e n e s s w e r e g e n e r a l . A t h i r d f i n d i n g w a s t h a t s o m e o f t h e s t r a t e g i e s w e r e t a u g h t i n s c h o o l w h i l e o t h e r s w e r e a p p a r e n t l y i n v e n t e d b y t h e s e s t u d e n t s d u r i n g t h e i n t e r v i e w s . S o m e o f t h e i n v e n t e d s t r a t e g i e s w e r e a l t e r a t i o n s o f i n s t r u c t e d s t r a t e g i e s w h i l e o t h e r s s e e m e d t o h a v e n o c l e a r i n f l u e n c e f r o m s c h o o l i n g . W i t h t h e c o m p a r i s o n t a s k , o n l y e i g h t o f t h e 2 8 s t r a t e g i e s s t u d e n t s u s e d w e r e i n s t r u c t e d s t r a t e g i e s . T h e o t h e r 2 0 w e r e c o n s t r u c t e d s t r a t e g i e s . O f t h e s e 2 0 c o n s t r u c t e d s t r a t e g i e s , 1 4 r e p r e s e n t e d c o r r e c t w a y s t o t h i n k a b o u t f r a c t i o n s a n d t w o m o r e w e r e c o r r e c t f o r t h e s p e c i f i c s i t u a t i o n s t o w h i c h t h e y w e r e a p p l i e d . H e n c e , m o s t o f t h e s t r a t e g i e s s t u d e n t s i n v e n t e d w e r e c o r r e c t f o r t h e p r o b l e m s o n w h i c h t h e y w e r e u s e d . T h e f o u r t h f i n d i n g c o n c e r n e d f o u r m o d e s o f r e a s o n i n g t h a t s e e m e d t o c h a r a c t e r i z e t h e s t r a t e g i e s . T h e " p a r t s " m o d e r e f e r s t o p a r t i t i o n i n g q u a n t i t i e s i n t o a c e r t a i n n u m b e r o f e q u a l p a r t s a n d r e a s o n i n g a b o u t t h e s e p a r t s . T h e " c o m p o n e n t s " m o d e i n v o l v e s l o o k i n g a t t h e n u m e r a t o r a n d d e n o m i n a t o r o f a f r a c t i o n a s n u m e r i c a l q u a n t i t i e s a n d r e a s o n i n g a b o u t t h e r e l a t i o n s h i p b e t w e e n a n u m e r a t o r a n d a d e n o m i n a t o r , t w o I n i m e r a t o r s , o r t w o d e n o m i n a t o r s o r s o m e c o m b i n a t i o n o f t h e s e . T h e l O l " r e f e r e n c e p o i n t " m o d e c o n s i s t s o f u s i n g r e l a t i v e p o s i t i o n o f r a t i o n a l n u m b e r s t o o t h e r n u m b e r s t o m a k e c o n c l u s i o n s a b o u t w h i c h o f t w o f r a c t i o n s i s g r e a t e r . T h e " t r a n s f o r m " m o d e e n t a i l s t r a n s f o r m i n g a f r a c t i o n i n t o a n e q u i v a l e n t f r a c t i o n o r d e c i m a l r e p r e s e n t a t i o n . T h i n k i n g a b o u t s t r a t e g i e s i n t e r m s o f t h e s e m o d e s h e l p e d S m i t h t h i n k a b o u t t h e i r r o l e i n s t u d e n t s ' c o n s t r u c t i o n o f r a t i o n a l n u m b e r k n o w l e d g e . S i m i l a r l y , I a m w o n d e r i n g i f m y c h a r a c t e r i z a t i o n o f k n o w l e d g e o f r a t e o f c h a n g e i n t e r m s o f t h e t h r e e p e r s p e c t i v e s a n d t y p e s o f r e a s o n i n g m a y p r o v i d e a w a y o f t h i n k i n g a b o u t t h e r o l e t h a t p a r t i c u l a r s t r a t e g i e s p l a y i n s t u d e n t s ’ c o n s t r u c t i o n o f k n o w l e d g e o f r a t e o f c h a n g e . O n e o f t h e g o a l s o f t h e S m i t h s t u d y w a s t o m a k e i n f e r e n c e s a b o u t h o w s t u d e n t s a c q u i r e r a t i o n a l n u m b e r k n o w l e d g e . H e w e n t a b o u t t h i s b y c o n t r a s t i n g t h e r a t i o n a l n u m b e r k n o w l e d g e o f t h e l e a s t c o m p e t e n t s t u d e n t s ( t h e e l e m e n t a r y s t u d e n t s ) a n d t h e m o s t c o m p e t e n t s t u d e n t s ( p r i m a r i l y t h e h i g h s c h o o l s t u d e n t s ) w h e r e c o m p e t e n c e w a s j u d g e d b y t h e n u m b e r o f c o r r e c t s o l u t i o n s o b t a i n e d . T h e m o s t c o m p e t e n t s t u d e n t s u s e d a w i d e r v a r i e t y o f s t r a t e g i e s i n c l u d i n g m o r e s t r a t e g i e s i n e a c h o f t h e f o u r m o d e s o f r e a s o n i n g . I n c o n t r a s t , t h e l e a s t c o m p e t e n t s t u d e n t s u s e d f e w e r s t r a t e g i e s a n d t e n d e d t o u s e p r i m a r i l y " p a r t s " s t r a t e g i e s . H e c o n j e c t u r e d t h a t " p a r t s " r e a s o n i n g s u p p o r t s " c o m p o n e n t s " a n d " r e f e r e n c e p o i n t " r e a s o n i n g . S i m i l a r l y , i n t h i s s t u d y I w a n t t o s e e i f s t r a t e g i e s c l a s s i f i e d a s o n e p e r s p e c t i v e o r t y p e o f r e a s o n i n g s e e m t o s u p p o r t s t u d e n t s ’ c o n s t r u c t i o n o f s t r e e t s o f a n o t h e r p e r s p e c t i v e o r t y p e o f r e a s o n i n g . a u m m a r y _ g f _ t h e _ t w g _ s t u d i e s . I n b o t h t h e S i e g l e r a n d J e n k i n s a n d t h e S m i t h s t u d i e s , k n o w l e d g e w a s o p e r a t i o n a l i z e d i n t e r m s o f s t r a t e g i e s f o r s o l v i n g p a r t i c u l a r p r o b l e m s a n d l e a r n i n g w a s t a k e n a s s t r a t e g y 1 0 2 c o n s t r u c t i o n . T h e p r i m a r y g o a l s o f e a c h s t u d y w e r e t o d e s c r i b e s t u d e n t s ' k n o w l e d g e i n t e r m s o f t h e s t r a t e g i e s t h e y u s e d a n d t o m a k e i n f e r e n c e s a b o u t l e a r n i n g b a s e d o n c h a n g e s i n t h e u s e o f s t r a t e g i e s a c r o s s t i m e ( S i e g l e r a n d J e n k i n s ) o r d i f f e r e n c e s i n s t r a t e g y u s e a m o n g g r o u p s o f s t u d e n t s a t d i f f e r e n t p o i n t s i n t h e i r m a t h e m a t i c s e d u c a t i o n ( S m i t h ) . I n b o t h s t u d i e s s t u d e n t s u s e d a v a r i e t y o f s t r a t e g i e s a n d t h e d i s c o v e r y o r i n v e n t i o n o f n e w s t r a t e g i e s d i d n o t r e p l a c e o l d e r s t r a t e g i e s . I n t h e S i e g l e r a n d J e n k i n s s t u d y s t u d e n t s c a m e i n t i m e t o u s e t h e M i n s t r a t e g y w i t h g r e a t e r f r e q u e n c y , b u t t h e y s t i l l u s e d o t h e r s t r a t e g i e s w h e r e a p p r o p r i a t e . I n t h e S m i t h s t u d y , s t u d e n t s u s e d s p e c i f i c s t r a t e g i e s w h e r e t h e y w e r e e s p e c i a l l y e f f e c t i v e o n p r o b l e m s w i t h p a r t i c u l a r n u m e r i c a l f e a t u r e s , b u t r e t a i n e d a n d u s e d g e n e r a l s t r a t e g i e s w h e n s p e c i f i c s t r a t e g i e s d i d n o t f i t t h e g i v e n p r o b l e m . C o n c e r n i n g l e a r n i n g , i n b o t h s t u d i e s t h e r e s e a r c h e r s c o n j e c t u r e d t h a t c e r t a i n s t r a t e g i e s p l a y a r o l e i n t h e c o n s t r u c t i o n o f o t h e r s t r a t e g i e s . I n t h e S i e g l e r a n d J e n k i n s s t u d y o n e p a r t i c u l a r s t r a t e g y a p p e a r e d i n m o s t s t u d e n t s ' s o l u t i o n s b e f o r e t h e M i n s t r a t e g y . I n t h e S m i t h s t u d y , s t r a t e g i e s b a s e d o n " p a r t s " r e a s o n i n g a p p e a r e d b e f o r e s t r a t e g i e s b a s e d o n " c o m p o n e n t s " , " r e f e r e n c e p o i n t " , a n d " t r a n s f o r m " r e a s o n i n g . T h i s m a d e t h e s e r e s e a r c h e r s t h i n k t h a t t h e s e p r e v i o u s l y l e a r n e d s t r a t e g i e s m i g h t b e i m p o r t a n t f a c t o r s i n s t u d e n t s ' l e a r n i n g . F i n a l l y b o t h s t u d i e s s h o w e d t h a t s t u d e n t s ' s t r a t e g i e s a r e o f t e n t a i l o r e d t o s p e c i f i c p r o p e r t i e s o f p r o b l e m s . I n t h e S i e g l e r a n d J e n k i n s s t u d y , p r o b l e m s w i t h o n e s m a l l a n d o n e l a r g e r a d d e n d e n c o u r a g e d s t u d e n t s t o m a k e m o r e f r e q u e n t u s e o f t h e M i n s t r a t e g y . I n t h e S m i t h s t u d y , s t u d e n t s w e r e q u i t e a d e p t a t i n v e n t i n g o r a d a p t i n g s t r a t e g i e s t o p r o v i d e 1 0 3 q u i c k a n d a c c u r a t e s o l u t i o n o f p r o b l e m s w i t h s p e c i f i c n u m e r i c a l f e a t u r e s . L e a r n i n g r a t e o f c h a n g e T h i s d i s s e r t a t i o n e x a m i n e d k n o w l e d g e o f r a t e o f c h a n g e i n s t u d e n t s a t t h r e e p o i n t s i n t h e i r m a t h e m a t i c s e d u c a t i o n . T h e g o a l s o f t h i s s t u d y w e r e t o d e s c r i b e t h e k n o w l e d g e t h e s e s t u d e n t s h a d , n o t e s i m i l a r i t i e s a n d d i f f e r e n c e s i n t h i s k n o w l e d g e a m o n g t h e s e t h r e e g r o u p s o f s t u d e n t s , a n d t h i n k a b o u t w h a t t h i s m e a n s f o r l e a r n i n g r a t e o f c h a n g e . I n t h i s s e c t i o n I w i l l c o n s i d e r t h e s e g o a l s i n t h e c o n t e x t o f a c o n s t r u c t i v i s t v i e w o f l e a r n i n g a n d s p e c i f i c a l l y i n t e r m s o f k n o w l e d g e a s s t r a t e g i e s a n d l e a r n i n g a s s t r a t e g y c o n s t r u c t i o n . I n t h e S i e g l e r a n d J e n k i n s s t u d y 4 - a n d S — y e a r o l d s t u d e n t s u s e d s e v e r a l s t r a t e g i e s t o p e r f o r m s i m p l e a d d i t i o n a n d i n t h e S m i t h s t u d y e l e m e n t a r y , m i d d l e , a n d h i g h s c h o o l s t u d e n t s u s e d a l a r g e n u m b e r o f s t r a t e g i e s w h e n c o m p a r i n g , a d d i n g , o r f i n d i n g a n u m b e r b e t w e e n t w o f r a c t i o n s . T h i s l e a d s m e t o b e l i e v e t h e r e m a y a l s o b e a n u m b e r o f d i f f e r e n t s t r a t e g i e s f o r s o l v i n g r a t e o f c h a n g e p r o b l e m s . S t u d e n t s i n t h e M o n k s t u d i e s r e v i e w e d i n C h a p t e r 2 u s e d s e v e r a l d i f f e r e n t s t r a t e g i e s f o r a d d r e s s i n g r a t e o f c h a n g e i n t w o r e l a t e d r a t e s p r o b l e m s . S o m e u s e d c h a n g e s i n o n e q u a n t i t y o v e r f i x e d i n t e r v a l s o f a n o t h e r q u a n t i t y . O t h e r s u s e d g r a p h s o f t h e r e l a t i o n s h i p b e t w e e n t w o q u a n t i t i e s t o a d d r e s s r a t e o f c h a n g e o f o n e q u a n t i t y w i t h r e s p e c t t o t h e o t h e r . S t i l l o t h e r s f o r m e d a n d m a n i p u l a t e d e q u a t i o n s f o r t h e r e l a t i o n s h i p b e t w e e n v a r y i n g q u a n t i t i e s . T h o m p s o n ' s s t u d i e s s h o w e d y o u n g s t u d e n t s u s i n g c h a n g e s i n o n e q u a n t i t y o v e r i n t e r v a l s o f a n o t h e r q u a n t i t y t o a d d r e s s r a t e o f c h a n g e a n d t o t a l c h a n g e . T h e s e a r e e x a m p l e s o f s t r a t e g i e s s t u d e n t s i n t h o s e s t u d i e s u s e d t o a d d r e s s r a t e o f c h a n g e . 1 0 4 S m i t h ' s s t u d y d e a l t w i t h r a t i o n a l n u m b e r k n o w l e d g e i n s t u d e n t s n e a r t h e b e g i n n i n g , i n t h e m i d d l e , a n d n e a r t h e e n d o f t h e i r f o r m a l s t u d y o f r a t i o n a l n u m b e r s . H i s g o a l w a s t o u s e s i m i l a r i t i e s a n d d i f f e r e n c e s i n r a t i o n a l n u m b e r k n o w l e d g e a m o n g t h e s e t h r e e g r o u p s o f s t u d e n t s t o i n v e s t i g a t e s t u d e n t s ' l e a r n i n g o f r a t i o n a l n u m b e r s . S i m i l a r i t i e s i n k n o w l e d g e , l i k e c o m m o n u s e o f " p a r t s " r e a s o n i n g , a m o n g t h e t h r e e g r o u p s p o i n t e d t o a p o s s i b l e b a s e r a t i o n a l n u m b e r k n o w l e d g e t h a t a l l s t u d e n t s a t t h e s e p o i n t s o f m a t h e m a t i c s e d u c a t i o n h a v e a n d w h i c h c o u l d s e r v e a s i m p o r t a n t p r i o r k n o w l e d g e f o r t h e c o n s t r u c t i o n o f o t h e r k n o w l e d g e o f r a t i o n a l n u m b e r . D i f f e r e n c e s i n k n o w l e d g e a m o n g t h e t h r e e g r o u p s w e r e u s e d t o m a k e c o n j e c t u r e s a b o u t i n t e r m e d i a t e s t a t e s o f k n o w l e d g e a n d p o s s i b l e r o l e s o f " p a r t s " r e a s o n i n g i n t h e c o n s t r u c t i o n o f o t h e r m o d e s o f r e a s o n i n g a b o u t r a t i o n a l n u m b e r s . I n a s i m i l a r w a y t h i s d i s s e r t a t i o n d e a l t w i t h k n o w l e d g e o f r a t e o f c h a n g e i n s t u d e n t s n e a r t h e b e g i n n i n g , i n t h e m i d d l e , a n d n e a r t h e e n d o f t h e i r f o r m a l s t u d y o f v a r i a b l e r a t e o f c h a n g e . M o r e s p e c i f i c a l l y , t h i s s t u d y i n v e s t i g a t e d k n o w l e d g e o f r a t e o f c h a n g e i n t h r e e g r o u p s o f s t u d e n t s , o n e b e f o r e t h e y h a v e h a d c a l c u l u s , o n e n e a r t h e e n d o f a y e a r o f c a l c u l u s , a n d o n e a f t e r h a v i n g h a d s e v e r a l c o u r s e s i n m a t h e m a t i c s b e y o n d c a l c u l u s . S i m i l a r i t i e s a n d d i f f e r e n c e s i n r a t e o f c h a n g e k n o w l e d g e a m o n g t h e s e t h r e e g r o u p s o f s t u d e n t s w e r e t h e n u s e d t o i n f e r h o w s t u d e n t s l e a r n r a t e o f c h a n g e . S m i t h c l a s s i f i e d m a n y o f t h e r a t i o n a l n u m b e r s t r a t e g i e s h i s s u b j e c t s u s e d i n t e r m s o f f o u r m o d e s o f r e a s o n i n g . T h i s m a k e s m e w o n d e r i f s t u d e n t s ' k n o w l e d g e o f r a t e o f c h a n g e c a n a l s o b e c l a s s i f i e d i n c e r t a i n w a y s . I n C h a p t e r 6 , I d i s c u s s s t u d e n t s ' k n o w l e d g e o f r a t e o f c h a n g e i n t e r m s o f t h e t h r e e p e r s p e c t i v e s o f r a t e o f c h a n g e a n d t h r e e 1 0 5 m e t h o d s o f r e a s o n i n g I o u t l i n e d i n C h a p t e r 1 . M o r e s p e c i f i c a l l y I w a n t e d t o s e e i f t h e s e t h r e e p e r s p e c t i v e s a n d m e t h o d s o f r e a s o n i n g m a d e s e n s e i n t e r m s o f h o w s t u d e n t s a d d r e s s r a t e o f c h a n g e . B o t h t h e S i e g l e r a n d J e n k i n s s t u d y a n d t h e S m i t h s t u d y m a d e a t t e m p t s t o s t u d y t h e r o l e o f c e r t a i n s t r a t e g i e s i n t h e d i s c o v e r y o f o t h e r s t r a t e g i e s . I n t h e S i e g l e r a n d J e n k i n s s t u d y o n e s t r a t e g y s e e m e d t o h a v e p l a y e d a r o l e i n t h e d i s c o v e r y o f t h e M i n s t r a t e g y . I n t h e S m i t h s t u d y " p a r t s " s t r a t e g i e s s e e m e d t o h a v e p l a y e d a r o l e i n t h e u s e o f " c o m p o n e n t s " a n d " r e f e r e n c e p o i n t " s t r a t e g i e s a n d m a y h a v e i n f l u e n c e d t h e u s e o f " t r a n s f o r m " s t r a t e g i e s . S i m i l a r l y i n t h i s s t u d y I w a n t e d t o s e e i f s t u d e n t s ' s t r a t e g i e s f o r a d d r e s s i n g r a t e o f c h a n g e y i e l d e d e v i d e n c e t h a t s o m e s t r a t e g i e s m a y p l a y a r o l e i n t h e d i s c o v e r y o r c o n s t r u c t i o n o f o t h e r s t r a t e g i e s . I n p a r t i c u l a r , c o u l d s t r a t e g i e s b e c l a s s i f i e d a s c o n s i s t e n t w i t h a g l o b a l , i n t e r v a l , o r p o i n t r a t e o f c h a n g e p e r s p e c t i v e a n d i f s o , w h a t r o l e d o s t r a t e g i e s o f o n e p a r t i c u l a r p e r s p e c t i v e p l a y i n s t u d e n t s ’ u s e o f s t r a t e g i e s o f o n e a n o t h e r p e r s p e c t i v e ? T h i s d i s s e r t a t i o n , t h e n , f o c u s e d o n i d e n t i f i c a t i o n o f s t r a t e g i e s s t u d e n t s a t t h r e e d i f f e r e n t p o i n t s i n t h e i r m a t h e m a t i c s e d u c a t i o n u s e d t o s o l v e p r o b l e m s a b o u t r a t e o f c h a n g e ( s e e C h a p t e r 5 ) . I n t h i s w a y i t a t t e m p t e d t o a n s w e r t h e f i r s t t w o q u e s t i o n s a t t h e e n d o f C h a p t e r 1 ( “ W h a t k n o w l e d g e o f r a t e o f c h a n g e d o s t u d e n t s b r i n g w i t h t h e m t o c a l c u l u s t h a t m i g h t s u p p o r t t h e i r l e a r n i n g o f r a t e o f c h a n g e ? ” a n d “ W h a t d o s t u d e n t s w h o h a v e h a d c a l c u l u s k n o w a b o u t r a t e o f c h a n g e t h a t m a y p r o v i d e c l u e s a b o u t h o w r a t e o f c h a n g e i s l e a r n e d ? ” ) . I t a l s o n o t e d s i m i l a r i t i e s a n d d i f f e r e n c e s i n s t r a t e g i e s u s e d b y t h e t h r e e g r o u p s ( s e e C h a p t e r 7 ) a n d u s e d t h i s i n f o r m a t i o n t o a n s w e r t h e t h i r d q u e s t i o n a t t h e 1 0 6 e n d o f C h a p t e r 1 ( “ W h a t s i m i l a r i t i e s a n d d i f f e r e n c e s i n k n o w l e d g e o f r a t e o f c h a n g e e x i s t b e t w e e n t h o s e w h o h a v e h a d c a l c u l u s a n d t h o s e h o w h a v e n o t h a d c a l c u l u s a n d w h a t m i g h t t h i s t e l l u s a b o u t w h a t k n o w l e d g e s u p p o r t s l e a r n i n g r a t e o f c h a n g e a n d h o w i t s u p p o r t s i t ? " ) . T h i s d i s s e r t a t i o n a l s o i n v e s t i g a t e d r e l a t i o n s h i p s a m o n g s t r a t e g i e s t o s e e i f u s e o f s o m e s t r a t e g i e s s e e m e d t o s u p p o r t u s e o f o t h e r s t r a t e g i e s a n d t h e r e b y p l a y a r o l e i n a d v a n c i n g s t u d e n t s ' k n o w l e d g e o f r a t e o f c h a n g e . I t d i d t h i s b y s e e i n g i f t h e t h r e e p e r s p e c t i v e s o n r a t e o f c h a n g e a n d t h e t h r e e t y p e s o f r e a s o n i n g a b o u t r a t e o f c h a n g e m a d e ! ; " s e n s e i n t e r m s o f t h e s t r a t e g i e s s t u d e n t s u s e d a n d p r o v i d e d a n a p p r o p r i a t e i n t e r p r e t i v e f r a m e f o r s t u d e n t s ' l e a r n i n g o f r a t e o f c h a n g e ( s e e C h a p t e r 6 ) . I n t h i s w a y i t a t t e m p t e d t o a n s w e r q u e s t i o n s 4 a n d S a t t h e e n d o f C h a p t e r 1 ( “ I n w h a t w a y s d o g l o b a l , i n t e r v a l , a n d p o i n t p e r s p e c t i v e s o n r a t e o f c h a n g e p r o v i d e a n i n t e r p r e t i v e f r a m e f o r s t u d e n t s ’ k n o w l e d g e a n d h o w r a t e o f c h a n g e i s l e a r n e d ? ” a n d “ I n w h a t w a y s d o s t u d e n t s u s e q u a l i t a t i v e , n u m e r i c a l , a n d a l g e b r a i c t y p e s o f r e a s o n i n g a n d w h a t m i g h t t h a t t e l l u s a b o u t h o w r a t e o f c h a n g e i s l e a r n e d ? ” ) . C h a p t e r 4 R E S E A R C H M E T H O D O L O G Y T o s t u d y s t u d e n t s ' k n o w l e d g e o f r a t e o f c h a n g e , I d e s i g n e d s i x t a s k s a n d p r e s e n t e d t h e m t o s t u d e n t s i n i n d i v i d u a l i n t e r v i e w s . I c h o s e s t u d e n t s f r o m t h r e e p o i n t s i n m a t h e m a t i c s e d u c a t i o n - 1 2 w h o w e r e t a k i n g a p r e c a l c u l u s c o u r s e , 1 5 w h o w e r e i n t h e i r s e c o n d s e m e s t e r o f c a l c u l u s , a n d 1 0 w h o h a d t a k e n a t l e a s t t w o m a t h e m a t i c s c o u r s e s b e y o n d c a l c u l u s . I n t e r v i e w s w e r e a u d i o a n d v i d e o t a p e d a n d t a p e s w e r e t h e n t r a n s c r i b e d w o r d - f o r - w o r d . T h e s e t r a n s c r i p t i o n s a n d s t u d e n t s ' w r i t t e n w o r k w e r e u s e d t o i d e n t i f y s t r a t e g i e s s t u d e n t s u s e d t o s o l v e t h e t a s k s , t o e x a m i n e s i m i l a r i t i e s a n d d i f f e r e n c e s i n s t r a t e g y u s e a m o n g t h e t h r e e g r o u p s o f s t u d e n t s , a n d t o c l a s s i f y , i f p o s s i b l e , s t r a t e g i e s i n t e r m s o f t h r e e p e r s p e c t i v e s o n r a t e o f c h a n g e a n d t h r e e t y p e s o f r e a s o n i n g a b o u t r a t e o f c h a n g e . T h e p r i m a r y g o a l w a s t o s e e w h a t k n o w l e d g e t h e s e s t u d e n t s h a d a b o u t r a t e o f c h a n g e a n d t o t h e n m a k e c o n j e c t u r e s , i f p o s s i b l e , a b o u t h o w r a t e o f c h a n g e i s l e a r n e d . A b r i e f o v e r v i e w o f t h e d e s i g n S t u d e n t a _ a n d _ g g n t e n t . A s t u d y w h i c h f o c u s e s o n l e a r n i n g a p a r t i c u l a r c o n c e p t s h o u l d i n c l u d e s t u d e n t s w h o h a v e n o t y e t s t u d i e d t h a t c o n c e p t , b u t w h o m i g h t b e c o n s i d e r e d r e a d y t o s t u d y t h a t c o n c e p t . S t u d e n t s w h o h a v e n o t y e t h a d f o r m a l i n s t r u c t i o n i n r a t e o f c h a n g e , e s p e c i a l l y v a r y i n g r a t e s o f c h a n g e , w o u l d , h o p e f u l l y , e n g a g e w i t h t a s k s i n v o l v i n g r a t e o f c h a n g e i n s u c h a s w a y a s t o r e v e a l k n o w l e d g e t h e y h a v e . T h i s i n t u r n m a y h e l p u s t h i n k a b o u t h o w t h a t k n o w l e d g e g e t s u s e d 1 0 7 1 0 8 o r c o u l d g e t u s e d i n l e a r n i n g m o r e a b o u t r a t e o f c h a n g e . S t u d e n t s w h o h a d n o t y e t t a k e n c a l c u l u s w e r e t h e r e f o r e i n c l u d e d i n t h i s s t u d y . T h e s e s t u d e n t s w e r e t a k i n g a c o u r s e c a l l e d P r e c a l c u l u s , t y p i c a l l y a m a t h e m a t i c s c o u r s e i m m e d i a t e l y p r e c e d i n g c a l c u l u s . S i n c e a f o r m a l s t u d y o f r a t e o f c h a n g e , e s p e c i a l l y v a r y i n g r a t e s o f c h a n g e , i s u s u a l l y r e s e r v e d f o r c a l c u l u s , i t s e e m e d r e a s o n a b l e f o r t h i s s t u d y t o i n c l u d e s t u d e n t s w h o w e r e t a k i n g c a l c u l u s . S i n c e t h e f i r s t s e m e s t e r o f c a l c u l u s i s u s u a l l y w h e r e r a t e o f c h a n g e i s m o s t e x p l i c i t l y d e a l t w i t h , t h i s s t u d y i n c l u d e d s t u d e n t s w h o h a d f i n i s h e d f i r s t s e m e s t e r c a l c u l u s a n d w e r e t a k i n g s e c o n d s e m e s t e r c a l c u l u s . M o s t o f c a l c u l u s i n s t r u c t i o n c o n c e r n s f u n c t i o n s r e p r e s e n t e d a s e q u a t i o n s w i t h s u p p o r t f r o m g r a p h i c a l a n d t a b u l a r r e p r e s e n t a t i o n s . T h e t a s k s f o r t h i s s t u d y r e p r e s e n t e d f u n c t i o n s o n l y a s g r a p h s a n d t a b l e s . I a s s u m e d t h e s e s t u d e n t s , b e c a u s e o f t h e i r i n s t r u c t i o n i n c a l c u l u s , w o u l d h a v e s o m e k n o w l e d g e o f r a t e o f c h a n g e t h a t t h e p r e c a l c u l u s s t u d e n t s m a y n o t h a v e . B u t I w a s n o t s u r e w h a t t h a t k n o w l e d g e w o u l d l o o k l i k e s i n c e i t d i d n o t m a k e u s e o f t h e p r i m a r y f u n c t i o n r e p r e s e n t a t i o n u s e d i n c a l c u l u s . L e a r n i n g a c o n c e p t o f t e n i n v o l v e s c o n c e p t u a l c h a n g e s a f t e r f o r m a l i n s t r u c t i o n i n t h e c o n c e p t i s f i n i s h e d . T h i s m a y e s p e c i a l l y b e t h e c a s e i f s t u d e n t s h a v e f u r t h e r i n s t r u c t i o n i n r e l a t e d c o n c e p t s . S t u d e n t s ' k n o w l e d g e o f r a t e o f c h a n g e m a y c o n t i n u e t o g r o w a f t e r t h e y h a v e c o m p l e t e d c a l c u l u s a n d a s t h e y t a k e m o r e m a t h e m a t i c s c o u r s e s e v e n i f t h o s e c o u r s e s d o n o t e x p l i c i t l y d e a l w i t h r a t e o f c h a n g e . I t h e r e f o r e i n c l u d e d i n t h i s s t u d y s t u d e n t s w h o h a d t a k e n a t l e a s t t w o c o u r s e s i n m a t h e m a t i c s b e y o n d c a l c u l u s . A s w i t h t h e c a l c u l u s s t u d e n t , t h e i r i n s t r u c t i o n w o u l d p r i m a r i l y i n v o l v e f u n c t i o n s r e p r e s e n t e d b y e q u a t i o n s w i t h s o m e s u p p o r t f r o m g r a p h i c a l a n d t a b u l a r r e p r e s e n t a t i o n s . A g a i n I 1 0 9 a s s u m e d t h a t t h e s e s t u d e n t s m i g h t h a v e k n o w l e d g e o f r a t e o f c h a n g e t h a t o t h e r t w o g r o u p s o f s t u d e n t s m a y n o t h a v e b u t w a s n o t s u r e w h a t t h a t k n o w l e d g e w o u l d l o o k l i k e . S u b j e c t s f o r t h i s s t u d y t h e r e f o r e c a m e f r o m t h r e e g r o u p s o f s t u d e n t s . O n e g r o u p c o n s i s t e d o f h i g h s c h o o l s t u d e n t s t a k i n g a P r e c a l c u l u s c o u r s e ; a n o t h e r g r o u p w a s m a d e u p o f c o l l e g e s t u d e n t s i n t h e i r s e c o n d s e m e s t e r o f c a l c u l u s ; a t h i r d g r o u p w a s c o m p o s e d o f c o l l e g e m a t h e m a t i c s m a j o r s w h o h a d t a k e n a t l e a s t t w o c o u r s e s b e y o n d c a l c u l u s . T a s k s . S t u d e n t s w e r e a s k e d t o w o r k s i x t a s k s d e a l i n g w i t h r a t e o f c h a n g e . A p p e n d i x C c o n t a i n s t h e c o m p l e t e s t a t e m e n t s o f t h e t a s k s . T h e f i r s t t h r e e t a s k s d e a l t w i t h s a m e b a s i c s i t u a t i o n : " T w o p e o p l e s t a r t a t o p p o s i t e c o r n e r s o f a r o o m , w a l k t o w a r d e a c h o t h e r , p a s s , a n d t h e n p r o c e e d t o t h e i r r e s p e c t i v e o p p o s i t e c o r n e r s . T h i s t a k e s a t o t a l o f e i g h t s e c o n d s a n d t h e o p p o s i t e c o r n e r s o f t h e r o o m a r e 2 0 f e e t a p a r t . " I n t h e f i r s t t a s k t h e t w o p e o p l e s l o w d o w n a s t h e y g e t c l o s e r t o e a c h o t h e r , p a s s , a n d t h e n s p e e d u p a s t h e y g e t f a r t h e r a p a r t . I n t h e s e c o n d t a s k t h e t w o p e o p l e m a i n t a i n t h e s a m e s t e a d y p a c e t h e w h o l e w a y . I n t h e t h i r d t a s k t h e t w o p e o p l e s p e e d u p a s t h e y g e t c l o s e r t o e a c h o t h e r , p a s s , a n d t h e n s l o w d o w n a s t h e y g e t f a r t h e r a p a r t . F o r e a c h o f t h e s e t h r e e t a s k s s t u d e n t s w e r e a s k e d t o c o n s t r u c t a g r a p h a n d t a b l e o f v a l u e s t h a t s h o w e d t h e d i s t a n c e b e t w e e n t h e t w o p e o p l e a t e a c h p o i n t i n t i m e a n d t o e x p l a i n h o w t h e i r g r a p h s a n d t a b l e s s h o w e d t h e t w o p e o p l e s l o w i n g d o w n , s p e e d i n g u p , a n d m a i n t a i n i n g a s t e a d y p a c e . I r e f e r t o t h e s e t h r e e t a s k s a s t h e " w a l k i n g " t a s k s . I n t h e o t h e r t h r e e t a s k s s t u d e n t s w e r e g i v e n a s i t u a t i o n a n d a c c o m p a n y i n g g r a p h a n d t a b l e o f v a l u e s s h o w i n g t h e r e l a t i o n s h i p b e t w e e n t w o q u a n t i t i e s i n t h e s i t u a t i o n a n d a s k e d s p e c i f i c q u e s t i o n s a b o u t t h e b - 1 1 0 r a t e o f c h a n g e o f o n e o f t h e q u a n t i t i e s r e l a t i v e t o t h e o t h e r q u a n t i t y . I n T a s k 4 , t h e s i t u a t i o n i n v o l v e d a b a l l t h r o w n s t r a i g h t u p i n t o t h e a i r . T h e a c c o m p a n y i n g g r a p h a n d t a b l e o f v a l u e s s h o w e d t h e r e l a t i o n s h i p b e t w e e n t i m e a n d t h e h e i g h t o f t h e b a l l . S t u d e n t s w e r e a s k e d t o d e s c r i b e t h e h e i g h t o f t h e b a l l o v e r t h e e n t i r e t i m e , f i n d t h e s p e e d o f t h e b a l l o v e r s e l e c t e d i n t e r v a l s o f t i m e , a n d f i n d t h e s p e e d o f t h e b a l l a t p a r t i c u l a r p o i n t s i n t i m e . T h i s t a s k i s r e f e r r e d t o a s t h e " t h r o w n b a l l " t a s k . F o r T a s k 5 , s t u d e n t s w e r e g i v e n a g r a p h a n d t a b l e o f v a l u e s s h o w i n g t h e p o p u l a t i o n o f y e a s t c e l l s i n a c u l t u r e o v e r 1 8 h o u r s . T h e y w e r e a s k e d t o d e s c r i b e t h e p o p u l a t i o n o f y e a s t c e l l s o v e r t h e 1 8 h o u r s , f i n d t h e r a t e o f g r o w t h o v e r s e l e c t e d i n t e r v a l s o f t i m e , a n d f i n d t h e r a t e o f g r o w t h a t a p a r t i c u l a r p o i n t i n t i m e . S t u d e n t s w e r e t h e n g i v e n a m o r e d e t a i l e d g r a p h a n d t a b l e o f v a l u e s f o r t h e p o p u l a t i o n o f t h e y e a s t c e l l s a r o u n d t h i s p o i n t a n d o n c e a g a i n a s k e d t o f i n d t h e r a t e o f g r o w t h a t t h i s p o i n t . T h i s t a s k i s r e f e r r e d t o a s t h e " b i o m a s s " t a s k . T a s k 6 c o n c e r n e d t h e r e l a t i o n s h i p b e t w e e n t h e r a d i u s a n d a r e a o f c o n c e n t r i c c i r c l e s f o r m e d w h e n a p e b b l e i s d r o p p e d i n t o a c a l m p o n d . S t u d e n t s w e r e g i v e n a g r a p h a n d t a b l e o f v a l u e s s h o w i n g t h e r e l a t i o n s h i p b e t w e e n t h e r a d i u s a n d a r e a o f t h e c i r c l e s . T h e y w e r e a s k e d t o d e s c r i b e t h e a r e a o f t h e c i r c l e s a s t h e r a d i u s g r o w s f r o m z e r o t o f i v e f e e t , f i n d t h e r a t e o f g r o w t h o v e r s e l e c t e d i n t e r v a l s o f c h a n g e i n t h e r a d i u s , a n d s p e c i f y t h e r a t e o f g r o w t h o f t h e a r e a w h e n t h e r a d i u s w a s t h r e e f e e t . T h i s t a s k i s r e f e r r e d t o a s t h e " c i r c l e s " t a s k . A l l o f t h e t a s k s w e r e g i v e n t o t h e s t u d e n t s i n t h e s a m e o r d e r . T h e o n l y e x c e p t i o n w a s w i t h f i v e s t u d e n t s w h o h a d d i f f i c u l t y g e t t i n g s t a r t e d w i t h t h e f i r s t " w a l k i n g " t a s k a n d w h o t h e r e f o r e c o m p l e t e d t h e 1 1 1 s e c o n d " w a l k i n g " t a s k s f i r s t . T h e s e c o n d " w a l k i n g " t a s k a p p e a r e d t o b e e a s i e r t h a n t h e f i r s t o n e a n d w o r k i n g t h e s e c o n d o n e f i r s t s e e m e d t o g i v e t h e s e s t u d e n t s c o n f i d e n c e a n d i n f o r m a t i o n a b o u t t h e n a t u r e o f t h e t a s k s a n d w h a t w a s r e q u i r e d o f t h e m . N e a r l y a l l o f t h e s u b j e c t s c o m p l e t e d a l l s i x t a s k s . T h e o n l y e x c e p t i o n w a s f o u r c a l c u l u s a n d t h r e e p o s t c a l c u l u s s t u d e n t s w h o d i d n o t r e t u r n f o r a s e c o n d i n t e r v i e w a n d s o d i d n o t c o m p l e t e " c i r c l e s " t a s k o r t h e s e c o n d h a l f o f t h e " t h r o w n b a l l " t a s k . I n m o s t c a s e s , t h e s e w e r e s t u d e n t s w h o c o u l d n o t b e r e a c h e d l a t e r b e c a u s e t h e y h a d g r a d u a t e d o r l e f t t h e a r e a . I n a l a t e r s e c t i o n I w i l l g i v e a m o r e c o m p l e t e d e s c r i p t i o n a n d j u s t i f i c a t i o n f o r t h e t a s k s . D a t a . T h e d a t a f o r t h i s s t u d y c o n s i s t e d o f s u b j e c t s ' w r i t t e n w o r k a n d t h e i r e x p l a n a t i o n s o f t h e i r r e a s o n i n g . T h e g r a p h s a n d t a b l e s o f v a l u e s s t u d e n t s c o n s t r u c t e d f o r t h e " w a l k i n g " t h r e e t a s k s w e r e p a r t o f t h e d a t a a s w e r e t h e i r e x p l a n a t i o n s o f h o w t h o s e g r a p h s a n d t a b l e s s h o w e d s l o w i n g d o w n , s p e e d i n g u p , a n d s t e a d y p a c e . I n t h e " t h r o w n b a l l " , " b i o m a s s " , a n d " c i r c l e s " t a s k s , s t u d e n t s w e r e g i v e n g r a p h s a n d t a b l e s o f v a l u e s f o r t h e s i t u a t i o n s p r e s e n t e d a n d a s k e d s e v e r a l s p e c i f i c q u e s t i o n s a b o u t t h e r a t e o f c h a n g e o f o n e q u a n t i t y r e l a t i v e t o a n o t h e r q u a n t i t y . S t u d e n t s ' v e r b a l a n d w r i t t e n a n s w e r s a l o n g w i t h a n y c a l c u l a t i o n s o r d r a w i n g s c o n s t i t u t e d p a r t o f t h e d a t a f o r t h e s e t h r e e t a s k s . I n t e r v i e w s . D a t a w e r e c o l l e c t e d i n i n d i v i d u a l i n t e r v i e w s w h i c h l a s t e d a b o u t a n h o u r , w e r e a u d i o a n d v i d e o t a p e d , a n d w e r e c o n d u c t e d b y t h e a u t h o r . M o s t s t u d e n t s c o m p l e t e d t h e i n t e r v i e w i n o n e s i t t i n g . O n e o f t h e h i g h s c h o o l s t u d e n t s a n d m o s t o f t h e c o l l e g e s t u d e n t s w e r e i n t e r v i e w e d a t t w o s e p a r a t e t i m e s . T h i s w a s n o t d u e t o t h e i n t e r v i e w s t a k i n g l o n g e r t h a n a n h o u r , b u t w a s d u e t o c o n s t r a i n t s o n s t u d e n t s ' 1 1 2 s c h e d u l e s . I t w a s e a s i e r f o r t h e m t o c o m e f o r t w o s h o r t e r i n t e r v i e w s t h a n f o r o n e l o n g e r i n t e r v i e w . I n e a c h i n t e r v i e w s t u d e n t s w e r e t o l d t h e r e w o u l d b e s i x t a s k s a n d t h a t f o r e a c h t a s k t h e y w o u l d b e g i v e n s o m e i n f o r m a t i o n a n d a s k e d t o a n s w e r s o m e q u e s t i o n s . I t w a s e x p e c t e d t h a t o n e h o u r w o u l d b e s u f f i c i e n t t i m e t o w o r k t h r o u g h t h e t a s k s i n e n o u g h d e t a i l t o a s s e s s s t u d e n t s ' k n o w l e d g e o f r a t e o f c h a n g e , a n d w i t h v e r y f e w e x c e p t i o n s s t u d e n t s f i n i s h e d i n t e r v i e w s w i t h i n a f e w m i n u t e s o f a n h o u r . T h r e e s t u d e n t s , o n e i n e a c h o f t h e t h r e e g r o u p s , t o o k m o r e t h a n a n h o u r . T h e y e i t h e r h a d t r o u b l e g e t t i n g s t a r t e d o n a t a s k a n d n e e d e d m o r e t i m e t o u n d e r s t a n d t h e t a s k a n d w h a t w a s a s k e d o f t h e m o r d i d m o r e t a l k i n g a b o u t t h e t a s k , w h a t t h e y w e r e t h i n k i n g , a n d w h y t h e y w e r e d o i n g w h a t t h e y w e r e d o i n g . I r a n s t r i p t s . I t r a n s c r i b e d t h e a u d i o a n d v i d e o t a p e s w o r d f o r w o r d e x c e p t f o r i n t e r r u p t i o n s b y o t h e r s o r c o n v e r s a t i o n s a b o u t t o p i c s u n r e l a t e d t o t h e t a s k s . T h i s i n c l u d e d c o n v e r s a t i o n s a b o u t t h e w e a t h e r , s c h o o l , s t u d e n t s ' p l a n s f o r t h e f u t u r e , a n d i n q u i r i e s a b o u t m e m b e r s o f t h e i r f a m i l i e s o r f r i e n d s w h o m I m i g h t h a v e k n o w n . W o r d - f o r - w o r d t r a n s c r i p t i o n s w e r e h e l p f u l f o r m y a n a l y s i s o f t h e d a t a b e c a u s e e v e n t h o u g h I h a d v i e w e d t h e t a p e s s e v e r a l t i m e s , I w a n t e d t o h a v e s t u d e n t s ' a c t u a l w o r d s a v a i l a b l e t o i d e n t i f y s t r a t e g i e s t h e y u s e d a n d s u p p o r t c l a i m s a b o u t t h e i r k n o w l e d g e . D e s c r i p t i o n a n d j u s t i f i c a t i o n o f t a s k s I w a n t e d t o m a k e s u r e t h e t a s k s I u s e d i n t h i s s t u d y w e r e s e t i n f a m i l i a r c o n t e x t s a n d u s e d f u n c t i o n r e p r e s e n t a t i o n s s t u d e n t s a t t h e s e l e v e l s o f m a t h e m a t i c s e d u c a t i o n w o u l d f e e l c o m f o r t a b l e w i t h . I n a d d i t i o n , s i n c e s t u d e n t s ' r e s p o n s e s t o t h e s e t a s k s w e r e g o i n g t o b e 1 1 3 c l a s s i f i e d i n t e r m s o f t h r e e p e r s p e c t i v e s o n r a t e o f c h a n g e a n d t h r e e t y p e s o f r e a s o n i n g a b o u t r a t e o f c h a n g e , I w a n t e d t o m a k e s u r e t h e t a s k s g a v e s t u d e n t s a m p l e o p p o r t u n i t y t o r e s p o n d i n t h e s e w a y s i f t h e y w e r e s o i n c l i n e d . I d i s c u s s e a c h o f t h e s e a n d r e s u l t s o f t h e p i l o t w o r k b e l o w . E . ] . ] . I E I 1 J ] 1 ' | . E Q t u s _ g n _ t a b l s s _ a n d _ g r a p h s . T h e t a s k s i n t h i s s t u d y i n v o l v e d f u n c t i o n a l r e l a t i o n s h i p s b e t w e e n t w o c h a n g i n g q u a n t i t i e s . F u n c t i o n s c a n b e r e p r e s e n t e d a s e q u a t i o n s , g r a p h s , t a b l e s o f v a l u e s , o r v e r b a l d e s c r i p t i o n s . I n t h i s s t u d y s i t u a t i o n s w e r e p r e s e n t e d v e r b a l l y w i t h a c c o m p a n y i n g g r a p h s a n d t a b l e s o f v a l u e s o r t h e y r e q u e s t e d s t u d e n t s t o c o n s t r u c t g r a p h s a n d t a b l e s o f v a l u e s . F o r s e v e r a l r e a s o n s e q u a t i o n s w e r e n o t u s e d t o r e p r e s e n t f u n c t i o n s n o r w e r e s t u d e n t s a s k e d t o u s e o r c o n s t r u c t e q u a t i o n s t o a d d r e s s r a t e o f c h a n g e . T h e m o s t i m p o r t a n t r e a s o n h a s t o d o w i t h h o w s t u d e n t t y p i c a l l y t h i n k a b o u t r a t e o f c h a n g e o u t s i d e o f c l a s s r o o m s . F u n c t i o n s a r e r e p r e s e n t e d i n m a n y a r e a s o f m a t h e m a t i c s a n d t h e n a t u r a l , p h y s i c a l , a n d s o c i a l s c i e n c e s a s w e l l a s e v e r y d a y l i f e . T h e y a r e o f t e n i n t r o d u c e d f i r s t a s g r a p h s a n d t a b l e s o f v a l u e s i n t h e m i d d l e a n d h i g h s c h o o l m a t h e m a t i c s c u r r i c u l u m . I n o t h e r a r e a s o f s t u d y i n h i g h s c h o o l a n d c o l l e g e , g r a p h s a n d t a b l e s a r e f r e q u e n t l y u s e d t o r e p r e s e n t r e l a t i o n s h i p s b e t w e e n c h a n g i n g q u a n t i t i e s . I n b i o l o g y , f o r e x a m p l e , t h e m o s t c o m m o n w a y f u n c t i o n a l r e l a t i o n s h i p s a r e r e p r e s e n t e d i s b y g r a p h s . O u t s i d e o f s c h o o l , f u n c t i o n s a r e m o s t c o m m o n l y r e p r e s e n t e d a s g r a p h s a n d t a b l e s . I n b a n k i n g , t a b l e s a r e u s e d t o r e p r e s e n t i n t e r e s t a n d p r i n c i p a l f o r l o a n s a n d i n v e s t m e n t s . S o g r a p h s a n d t a b l e s w e r e u s e d h e r e b e c a u s e t h e y a r e m o r e t y p i c a l o f h o w f u n c t i o n s a r e r e p r e s e n t e d b o t h i n a n d o u t o f s c h o o l . 1 1 4 A n o t h e r r e a s o n h a s t o d o w i t h w h a t w e m i g h t e x p e c t s t u d e n t s t o d o w i t h f u n c t i o n r e p r e s e n t a t i o n s . P r e s e n t e d w i t h a n e q u a t i o n , s t u d e n t s w h o h a v e h a d c a l c u l u s m i g h t t r y t o a d d r e s s r a t e o f c h a n g e b y d i f f e r e n t i a t i n g t h e e q u a t i o n . H o w e v e r , p r e c a l c u l u s s t u d e n t s w o u l d n o t b e e x p e c t e d t o k n o w h o w t o d o t h i s . S o i t i s n o t c l e a r w h a t i n f o r m a t i o n m i g h t b e o b t a i n e d a b o u t t h e i r k n o w l e d g e o f r a t e o f c h a n g e i f s i t u a t i o n s w e r e r e p r e s e n t e d a s e q u a t i o n s . A d d i t i o n a l l y , a s w e s a w i n t h e O r t o n s t u d y i n C h a p t e r 1 , e v e n w h e n s t u d e n t s h a v e h a d c a l c u l u s , t h e y o f t e n c a n n o t c o r r e c t l y d i f f e r e n t i a t e e q u a t i o n s . I f s t u d e n t s c a n n o t u s e e q u a t i o n s t o a d d r e s s t a s k s i n v o l v i n g r a t e o f c h a n g e , t h e n o t h e r f u n c t i o n r e p r e s e n t a t i o n s s h o u l d b e u s e d . S i n c e s t u d e n t a r e m o r e l i k e l y t o b e f a m i l i a r w i t h a n d c o r r e c t l y u s e g r a p h s a n d t a b l e s o f v a l u e s , I d e c i d e d t o u s e t h e s e f u n c t i o n s r e p r e s e n t a t i o n s i n t h e t a s k s f o r t h i s s t u d y . E a m i l i a r _ s g n t s x t s . T h e s i x t a s k s f o r t h i s s t u d y r e p r e s e n t c o n t e x t w h i c h a r e u s u a l l y r e l a t i v e l y f a m i l i a r t o s t u d e n t s a t t h i s l e v e l o f s c h o o l i n g . I t h o u g h t , t h e r e f o r e , t h a t s t u d e n t s m a y b e m o r e a b l e t o S h o w t h e i r k n o w l e d g e o f r a t e o f c h a n g e i n t h e s e c o n t e x t . T h e " w a l k i n g " t a s k s a n d t h e " t h r o w n b a l l " t a s k d e a l t w i t h m o t i o n . M o s t o f u s w o u l d h a v e l o t s o f e v e r y d a y e x p e r i e n c e s w i t h w a l k i n g a n d t h r o w i n g . S o t h e s e c o n t e x t s s h o u l d b e f a m i l i a r t o s t u d e n t s a t t h e s e a g e s . T h e " b i o m a s s " t a s k d e a l t w i t h g r o w t h o f y e a s t i n a c u l t u r e d i s h . A l t h o u g h s t u d e n t s w o u l d n o t b e e x p e c t e d t o n e c e s s a r i l y h a v e e x p e r i e n c e w i t h t h i s p a r t i c u l a r s i t u a t i o n , t h e y a l l p r o b a b l y h a v e h a d e x p e r i e n c e w i t h g r o w t h i n g e n e r a l - t h e i r o w n c h a n g i n g h e i g h t , t h e g r o w t h o f p l a n t s , t h e a c c u m u l a t i o n o f i n t e r e s t i n a s a v i n g s a c c o u n t . T h e s e e x p e r i e n c e s w i t h g r o w t h m a k e t h e s i t u a t i o n i n t h i s t a s k r e l a t i v e l y a c c e s s i b l e t o t h e m . T h e " c i r c l e s " t a s k i n v o l v e d d r o p p i n g a p e b b l e i n t o a p o n d a n d n o t i c i n g 1 1 5 t h e e n l a r g i n g c o n c e n t r i c c i r c l e s t h a t r e s u l t s . S t u d e n t s a t t h i s a g e c o u l d r e a s o n a b l y b e e x p e c t e d t o h a v e t h i s e x a c t o r s i m i l a r e x p e r i e n c e , e n o u g h t o m a k e t h e s i t u a t i o n i n t h i s t a s k a f a m i l i a r o n e . O n e o f t h e g o a l s o f t h i s d i s s e r t a t i o n w a s t o s e e i f g l o b a l , i n t e r v a l , a n d p o i n t r a t e o f c h a n g e p e r s p e c t i v e s r e l a t e t o s t r a t e g i e s s t u d e n t s u s e d t o s o l v e t h e r a t e o f c h a n g e t a s k s a n d t o t h i n k a b o u t w h a t t h i s m i g h t m e a n f o r l e a r n i n g r a t e o f c h a n g e . I t h e r e f o r e w a n t e d t o d e s i g n t a s k s t h a t c o u l d b e a d d r e s s e d u s i n g a v a r i e t y o f s t r a t e g i e s a n d t h a t w o u l d g i v e s t u d e n t s a m p l e o p p o r t u n i t y t o u s e s t r a t e g i e s c o n s i s t e n t w i t h t h e s e p e r s p e c t i v e s i f t h e y s o d e s i r e d . M y g o a l w a s n o t t o f o r c e s t u d e n t s t o u s e p a r t i c u l a r s t r a t e g i e s t h a t m a t c h e d o n e o f t h e p e r s p e c t i v e s i n a p r e d e t e r m i n e d w a y . I n s t e a d m y g o a l w a s t o g i v e s t u d e n t s t a s k s t h a t c o u l d b e a d d r e s s e d u s i n g a n u m b e r o f d i f f e r e n t s t r a t e g i e s a n d t o s e e i f t h e s t r a t e g i e s s t u d e n t s a c t u a l l y u s e d c o u l d b e c l a s s i f i e d i n t e r m s o f t h e p e r s p e c t i v e s . T h e e x t e n t t o w h i c h t h e s e t h r e e p e r s p e c t i v e s a c c o u n t e d f o r s t u d e n t s ' s t r a t e g i e s w o u l d t h e n b e u s e d t o j u d g e t h e a d e q u a c y o f t h e s e v i e w s o f r a t e o f c h a n g e . I n t h e f o l l o w i n g p a r a g r a p h s I w i l l d i s c u s s t h e d e s i g n o f t h e t a s k s i n t e r m s o f g l o b a l , i n t e r v a l , a n d p o i n t r a t e o f c h a n g e p e r s p e c t i v e s . fi l a h a l _ r a t s _ s f _ t h a n g s . A g l o b a l r a t e o f c h a n g e p e r s p e c t i v e l o o k s f o r a n d d e s c r i b e s c h a n g e s i n t h e d e p e n d e n t v a r i a b l e o f a f u n c t i o n o v e r t h e e n t i r e d o m a i n o f t h e i n d e p e n d e n t v a r i a b l e . I n t h e " w a l k i n g " t a s k s , s t u d e n t s w e r e a s k e d t o c o n s t r u c t g r a p h s a n d t a b l e s o f v a l u e s t o s h o w t h e t w o p e o p l e s l o w i n g d o w n , s p e e d i n g u p , o r m a i n t a i n i n g a s t e a d y p a c e . S t u d e n t s m i g h t a d d r e s s t h e s e t a s k s u s i n g s t r a t e g i e s c o n s i s t e n t w i t h a 1 1 6 g l o b a l r a t e o f c h a n g e p e r s p e c t i v e . F o r e x a m p l e , i f s t u d e n t s d r e w g r a p h s o f a p a r t i c u l a r s h a p e b e c a u s e t h e y b e l i e v e d t h o s e s h a p e s s h o w e d s p e e d i n g u p , s l o w i n g d o w n , o r m a i n t a i n i n g s t e a d y p a c e , t h e n t h e y w e r e u s i n g a s t r a t e g y t h a t a t t e n d s t o c h a n g e s i n t h e d e p e n d e n t v a r i a b l e o v e r a l l o r a s i g n i f i c a n t p a r t o f t h e d o m a i n o f t h e i n d e p e n d e n t v a r i a b l e . T h e " t h r o w n b a l l " , " b i o m a s s " , a n d " c i r c l e s " t a s k s a l s o h a v e t h e p o t e n t i a l f o r e l i c i t i n g s t r a t e g i e s c o n s i s t e n t w i t h a g l o b a l r a t e o f c h a n g e p e r s p e c t i v e . T h e y a s k s t u d e n t s t o g i v e d e s c r i p t i o n s o f t h e b e h a v i o r o f t h e d e p e n d e n t v a r i a b l e o v e r t h e e n t i r e d o m a i n o f t h e i n d e p e n d e n t v a r i a b l e . F o r e x a m p l e , i n t h e " b i o m a s s " t a s k , o n e c o u l d u s e c h a n g e s i n t h e v i s i b l e s l o p e o f t h e g r a p h o v e r t h e d o m a i n o f t h e i n d e p e n d e n t v a r i a b l e t o c o n c l u d e t h a t t h e p o p u l a t i o n o f y e a s t c e l l s i n c r e a s e s a t s u c c e s s i v e l y f a s t e r r a t e s u n t i l a b o u t t = 8 a n d t h e n i n c r e a s e s s u c c e s s i v e l y s l o w e r r a t e s a f t e r t h a t . S i n c e t h i s s t r a t e g y f o c u s e s o n c h a n g e s i n t h e y e a s t c e l l p o p u l a t i o n o v e r t h e e n t i r e 1 8 h o u r s , i t w o u l d b e c l a s s i f i e d a s r e p r e s e n t i n g a g l o b a l r a t e o f c h a n g e p e r s p e c t i v e . l n t s r y a l _ r a t s _ g f _ t h a n g s . A n i n t e r v a l r a t e o f c h a n g e p e r s p e c t i v e c o n c e r n s p a r t i t i o n i n g t h e d o m a i n o f t h e i n d e p e n d e n t v a r i a b l e i n t o c o n v e n i e n t i n t e r v a l s a n d l o o k i n g a t c h a n g e o r a v e r a g e r a t e o f c h a n g e o f t h e d e p e n d e n t v a r i a b l e o v e r t h e s e i n t e r v a l s . I n t h e " w a l k i n g " t a s k s , s t u d e n t s m i g h t e x p l a i n h o w t h e i r g r a p h s o r t a b l e s o f v a l u e s s h o w s p e e d i n g u p , s l o w i n g d o w n , o r s t e a d y p a c e b y r e f e r r i n g t o c h a n g e s i n d i s t a n c e o v e r o n e s e c o n d i n t e r v a l s o f t i m e . T h i s w o u l d r e p r e s e n t a n i n t e r v a l p e r s p e c t i v e . P a r t s o f t h e " t h r o w n b a l l " t a s k c o u l d b e a d d r e s s e d b y r e f e r r i n g t o c h a n g e s i n t h e h e i g h t o f t h e b a l l o v e r o n e u n i t t i m e i n t e r v a l s . T o 1 1 7 d e c i d e w h e n t h e b a l l t r a v e l e d t h e f a s t e s t o r t h e s l o w e s t , o n e c o u l d r e f e r t o c h a n g e s i n t h e d i s t a n c e t h e b a l l t r a v e l e d i n o n e q u a r t e r s e c o n d i n t e r v a l s . T o f i n d t h e s p e e d o f t h e b a l l a t a p o i n t i n t i m e , o n e c o u l d c o m p u t e t h e a v e r a g e r a t e o f c h a n g e o v e r t h e s m a l l e s t a v a i l a b l e i n t e r v a l b e f o r e t h e p o i n t . T h e s e r e p r e s e n t s a n i n t e r v a l p e r s p e c t i v e o n r a t e o f c h a n g e . T h e " b i o m a s s " a n d " c i r c l e s " t a s k s g a v e s i m i l a r o p p o r t u n i t i e s t o a d d r e s s r a t e o f c h a n g e f r o m a n i n t e r v a l p e r s p e c t i v e . E g i n t _ r a t s _ g f _ s h a n g s . P o i n t r a t e o f c h a n g e i s w h a t m a t h e m a t i c i a n s m o s t o f t e n c a l l i n s t a n t a n e o u s r a t e o f c h a n g e a n d d e a l s w i t h r a t e o f c h a n g e a t a p o i n t . T h e " t h r o w n b a l l " , " b i o m a s s " , a n d " c i r c l e s " t a s k s c o n t a i n i t e m s t h a t c o u l d b e a d d r e s s e d u s i n g t h i s p e r s p e c t i v e . F o r e x a m p l e , i n t h e " b i o m a s s " t a s k , s t u d e n t s m i g h t f i n d h o w f a s t t h e p o p u l a t i o n o f y e a s t c e l l s w a s c h a n g i n g a t t = 4 b y d r a w i n g a l i n e t a n g e n t t o t h e g r a p h a t t h a t p o i n t a n d e s t i m a t i n g i t s s l o p e . T h i s i s a p o i n t p e r s p e c t i v e o n r a t e o f c h a n g e . I n t h e " t h r o w n b a l l " t a s k s o n e c o u l d i d e n t i f y w h e n t h e b a l l i s t r a v e l i n g t h e f a s t e s t o r t h e s l o w e s t b y s p e c i f y i n g t h e p o i n t w h e r e t h e s l o p e o f t h e g r a p h i s t h e s t e e p e s t . T h i s r e p r e s e n t s a p o i n t p e r s p e c t i v e . S i m i l a r o p p o r t u n i t i e s w e r e a v a i l a b l e i n t h e " b i o m a s s " a n d " c i r c l e s " t a s k s . E J . 1 . E 1 J ' . . J i J 1 . r e a s g n i n g - A n o t h e r g o a l o f t h i s d i s s e r t a t i o n w a s t o s e e h o w s t u d e n t s t h i n k i n g i n v o l v e d q u a l i t a t i v e , n u m e r i c a l , a n d a l g e b r a i c t y p e s o f r e a s o n i n g . S i n c e g r a p h s a n d t a b l e s o f v a l u e s w e r e u s e d t o r e p r e s e n t f u n c t i o n s i n t h e s e t a s k s , i t m a y s e e m r e a s o n a b l e t h a t s t u d e n t s w o u l d u s e q u a l i t a t i v e a n d n u m e r i c a l t y p e s o f r e a s o n i n g b u t m a y n o t b e o b v i o u s t h a t i f o r h o w 1 1 8 t h e y m i g h t u s e a l g e b r a i c r e a s o n i n g . H o w e v e r , t h e r e a r e w a y s t o u s e a l g e b r a i c r e a s o n i n g t o a d d r e s s t a s k s u s i n g o n l y g r a p h s a n d t a b l e o f v a l u e s . T h i s w i l l b e a d d r e s s e d b e l o w . M y m a i n c o n c e r n w a s t o g i v e s t u d e n t s o p p o r t u n i t i e s t o u s e t h e s e t h r e e t y p e s o f r e a s o n i n g i f t h e y w e r e s o i n c l i n e d . Q u a l i t a t i y s _ r s a s s n i n g . Q u a l i t a t i v e r e a s o n i n g r e f e r s t o u s i n g g r a p h i c a l f e a t u r e s t o m a k e c o n c l u s i o n s a b o u t r a t e o f c h a n g e . E a c h o f t h e s i x t a s k s g a v e s t u d e n t s o p p o r t u n i t i e s t o r e a s o n t h i s w a y i f t h e y w e r e s o i n c l i n e d . I n t h e " w a l k i n g " t a s k s , s t u d e n t s w e r e a s k e d t o c r e a t e g r a p h s t h a t s h o w e d s l o w i n g d o w n , s p e e d i n g u p , a n d s t e a d y p a c e a n d t o e x p l a i n h o w t h e i r g r a p h s s h o w e d t h e s e v a r i o u s r a t e s o f c h a n g e . O n e c o u l d r e f e r t o t h e r e l a t i v e s t e e p n e s s o f a g r a p h t o e x p l a i n h o w i t s h o w s s l o w i n g d o w n , s p e e d i n g u p , o r s t e a d y p a c e . T h i s i s a n e x a m p l e o f q u a l i t a t i v e r e a s o n i n g . F o r t h e " t h r o w n b a l l " t a s k o n e c o u l d u s e t h e g i v e n g r a p h t o d e c i d e w h e n t h e b a l l w a s t r a v e l i n g t h e f a s t e s t a n d t h e s l o w e s t b y i d e n t i f y i n g t h e s e c t i o n o f t h e g r a p h t h a t h a s t h e s t e e p e s t o r f l a t t e s t s l o p e . O n e c o u l d u s e r e l a t i v e s h a p e a n d d i r e c t i o n o f t h e g r a p h t o d e c i d e w h e n t h e b a l l i s m o v i n g u p o r d o w n a n d t o m a k e s t a t e m e n t s a b o u t t h e b a l l g e t t i n g s u c c e s s i v e l y s l o w e r o r f a s t e r . T h e " b i o m a s s " a n d " c i r c l e s " t a s k s g i v e s i m i l a r o p p o r t u n i t i e s t o u s e q u a l i t a t i v e r e a s o n i n g . N u m s r i s a l _ r s a s 9 n i n g . N u m e r i c a l r e a s o n i n g c o n c e r n s t h e c a l c u l a t i o n o f o r u s e o f n u m e r i c a l v a l u e s t o m a k e d e c i s i o n s a b o u t r a t e o f c h a n g e . E a c h o f t h e s i x t a s k s g a v e s t u d e n t s o p p o r t u n i t i e s t o r e a s o n n u m e r i c a l l y . I n t h e " w a l k i n g " t a s k s , s t u d e n t s c o u l d c o m p u t e o r r e f e r t o n u m e r i c a l v a l u e s l i k e d i f f e r e n c e b e t w e e n c o n s e c u t i v e v a l u e s o f t h e d e p e n d e n t v a r i a b l e t o e x p l a i n h o w g r a p h s a n d t a b l e s s h o w s l o w i n g d o w n , s p e e d i n g 1 1 9 u p , o r s t e a d y p a c e . S i m i l a r l y i n t h e " t h r o w n b a l l " , " b i o m a s s " , a n d " c i r c l e s " t a s k s , s t u d e n t s m i g h t u s e t h e g i v e n g r a p h s o r t a b l e s t o c o m p u t e c h a n g e s i n t h e d e p e n d e n t v a r i a b l e o v e r i n t e r v a l s o f t h e i n d e p e n d e n t v a r i a b l e t o d e c i d e w h e n t h e r a t e o f c h a n g e w a s t h e g r e a t e s t o r l e a s t . A l g s b r a i s _ r s a s s n i n g . A l g e b r a i c r e a s o n i n g i n v o l v e s t h e u s e o f f o r m u l a s o r e q u a t i o n s t o m a k e j u d g m e n t s a b o u t r a t e o f c h a n g e . E a c h o f t h e s i x t a s k s g a v e s t u d e n t s o p p o r t u n i t i e s t o r e a s o n a l g e b r a i c a l l y . E q u a t i o n s f o r r e l a t i o n s h i p s b e t w e e n c h a n g i n g q u a n t i t i e s w e r e n o t g i v e n o r a s k e d f o r i n a n y o f t h e s i x t a s k s . B u t t h e s e c o n d " w a l k i n g " t a s k , t h e " t h r o w n b a l l " t a s k , a n d t h e " c i r c l e s " t a s k a r e a l l a s s o c i a t e d w i t h r e l a t i v e l y s i m p l e a n d f a m i l i a r e q u a t i o n s s o t h a t s t u d e n t s a t t h e s e l e v e l s o f m a t h e m a t i c s e d u c a t i o n m a y k n o w t h e m . O b t a i n i n g s u c h a n e q u a t i o n a n d u s i n g i t t o a d d r e s s r a t e o f c h a n g e w o u l d b e c o n s i d e r e d a l g e b r a i c r e a s o n i n g . T h e r e a r e o t h e r w a y s s t u d e n t s c o u l d u s e a l g e b r a i c r e a s o n i n g o n t h e s e t a s k s . F o r e x a m p l e , t h e f o r m u l a ( y 2 - ) q ) / ( x 2 - J g ) y i e l d s t h e s l o p e o f t h e l i n e c o n t a i n i n g t h e p o i n t s ( x u y q ) a n d ( i j g ) . I t a l s o y i e l d s t h e a v e r a g e r a t e o f c h a n g e i n y o v e r t h e i n t e r v a l f r o m x 1 t o x 2 . U s e o f t h i s f o r m u l a t o a d d r e s s r a t e o f c h a n g e r e p r e s e n t s a l g e b r a i c r e a s o n i n g s i n c e i t u s e s a f o r m u l a o r e q u a t i o n t o m a k e j u d g m e n t s a b o u t r a t e o f c h a n g e . M W - T o j u d g e t h e a c c e s s i b i l i t y o f t h e t a s k s t o t h e s t u d e n t s a n d t h e r a n g e a n d v a r i e t y o f s t r a t e g i e s I i n t e r v i e w e d s i x s t u d e n t s ( t w o p r e c a l c u l u s , t w o c a l c u l u s , a n d t w o p o s t c a l c u l u s ) i n a p i l o t s t u d y o f t h e " w a l k i n g " , " t h r o w n b a l l " , a n d " b i o m a s s " t a s k s . O v e r a l l I f o u n d t h a t t h e 1 2 0 s t u d e n t s a t t e m p t e d t h e t a s k s w i t h o u t h e s i t a t i o n . T h e y g e n e r a l l y c o n s t r u c t e d c o r r e c t g r a p h s a n d t a b l e s o f v a l u e s f o r t h e " w a l k i n g " t a s k s a n d g a v e a p p r o p r i a t e d e s c r i p t i o n s o f t h e r e l a t i o n s h i p b e t w e e n q u a n t i t i e s i n t h e " t h r o w n b a l l " a n d " b i o m a s s " t a s k s . I t o o k t h i s a s e v i d e n c e t h a t t h e y f o u n d t h e s i t u a t i o n s p r e s e n t e d i n t h e s e t a s k s f a i r l y f a m i l i a r a n d c o u l d u s e g r a p h s a n d t a b l e s o f v a l u e s t o c i p h e r t h e n a t u r e o f r e l a t i o n s h i p s b e t w e e n q u a n t i t i e s . T h e s t u d e n t s i n t h e p i l o t s t u d y u s e d s t r a t e g i e s t h a t c o u l d b e c l a s s i f i e d i n t e r m s o f g l o b a l , i n t e r v a l , a n d p o i n t p e r s p e c t i v e s o n r a t e o f c h a n g e . S o m e s t u d e n t s r e f e r r e d t o t h e r e l a t i v e s h a p e o f g r a p h s o v e r t h e e n t i r e d o m a i n o f t h e i n d e p e n d e n t v a r i a b l e t o e x p l a i n h o w g r a p h s i n t h e " w a l k i n g " t a s k s s h o w e d s l o w i n g d o w n , s p e e d i n g u p , o r s t e a d y p a c e . T h i s i s a s t r a t e g y t h a t i s c o n s i s t e n t w i t h a g l o b a l p e r s p e c t i v e o n r a t e o f c h a n g e . A l l o f t h e s t u d e n t s r e f e r r e d t o c h a n g e s o v e r o n e s e c o n d i n t e r v a l s i n t h e " t h r o w n b a l l " t a s k t o i d e n t i f y i n t e r v a l s o f t i m e w h e r e t h e d e p e n d e n t v a r i a b l e c h a n g e d t h e f a s t e s t a n d t h e s l o w e s t . T h i s i s a s t r a t e g y i n k e e p i n g w i t h a n i n t e r v a l p e r s p e c t i v e o n r a t e o f c h a n g e . I n t h e " t h r o w n b a l l " a n d " b i o m a s s " t a s k s , s o m e s t u d e n t s u s e d a v e r a g e r a t e o f c h a n g e o v e r t h e s m a l l e s t a v a i l a b l e i n t e r v a l s b e f o r e a n d a f t e r p o i n t s i n t i m e t o a d d r e s s r a t e o f c h a n g e a t a p o i n t a n d i n d i c a t e d t h a t t h e i r a n s w e r s w e r e e s t i m a t e s f o r t h e r a t e o f c h a n g e a t t h e r e s p e c t i v e p o i n t s i n t i m e . A l t h o u g h t h e s e s t u d e n t s u s e d a s t r a t e g y I w o u l d c l a s s i f y a s c o n s i s t e n t w i t h i n t e r v a l r a t e o f c h a n g e t o g e t a t p o i n t r a t e o f c h a n g e , i t s e e m e d c l e a r t h a t t h e s e s t u d e n t s b e l i e v e d t h e r e w a s s u c h a t t h i n g a s r a t e o f c h a n g e a t a p o i n t . R e s u l t s o f t h e p i l o t s t u d y i n d i c a t e t h a t s t u d e n t s u s e s t r a t e g i e s c o n s i s t e n t w i t h g l o b a l , i n t e r v a l , a n d p o i n t p e r s p e c t i v e s o n r a t e o f c h a n g e . 1 2 1 T h e s t u d e n t s i n t h e p i l o t s t u d y a l s o u s e d s t r a t e g i e s t h a t c o u l d b e i d e n t i f i e d a s q u a l i t a t i v e , n u m e r i c a l , o r a l g e b r a i c t y p e s o f r e a s o n i n g . I n t h e " w a l k i n g " t a s k s , s o m e s t u d e n t s r e f e r r e d t o t h e v i s u a l s l o p e t o e x p l a i n h o w t h e i r g r a p h s s h o w e d t h e t w o p e o p l e s l o w i n g d o w n , s p e e d i n g u p , o r m a i n t a i n i n g s t e a d y p a c e . T h i s s t r a t e g y r e p r e s e n t s q u a l i t a t i v e r e a s o n i n g s i n c e i t r e l i e s o n g r a p h i c a l f e a t u r e s t o m a k e c o n c l u s i o n s a b o u t r a t e o f c h a n g e . S o m e s t u d e n t s c o m p u t e d a n d r e f e r r e d t o n u m e r i c a l v a l u e s , e s p e c i a l l y c h a n g e s i n t h e d e p e n d e n t v a r i a b l e f o r o n e s e c o n d o r o n e h o u r i n t e r v a l s o f t i m e t o e x p l a i n h o w t h e i r g r a p h s a n d t a b l e i n t h e " w a l k i n g " t a s k s s h o w e d s l o w i n g d o w n , s p e e d i n g u p , o r s t e a d y p a c e . S i m i l a r l y s o m e s t u d e n t s u s e d t h e s e f i r s t o r d e r d i f f e r e n c e s t o d e c i d e o v e r w h a t i n t e r v a l s o f t i m e t h e d e p e n d e n t v a r i a b l e w a s c h a n g i n g t h e f a s t e s t a n d t h e s l o w e s t i n t h e " t h r o w n b a l l " a n d " b i o m a s s " t a s k s . T h e s e a r e e x a m p l e s o f n u m e r i c a l r e a s o n i n g . S o m e s t u d e n t s c o m p u t e d t h e a v e r a g e r a t e o f c h a n g e i n t h e d e p e n d e n t v a r i a b l e o v e r i n t e r v a l s o f t i m e o r f o u n d t h e s l o p e o f t h e l i n e s e g m e n t f o r m e d b y t h e p o i n t s c o r r e s p o n d i n g t o e n d p o i n t s o f a n i n t e r v a l o f t h e i n d e p e n d e n t v a r i a b l e . T h e s e s t r a t e g i e s u s e f o r m u l a s t o i n f o r m d e c i s i o n m a k i n g a b o u t r a t e o f c h a n g e . T h e s e a r e e x a m p l e s o f a l g e b r a i c r e a s o n i n g s i n c e t h e y u s e a f o r m u l a o r e q u a t i o n t o m a k e d e c i s i o n s a b o u t r a t e o f c h a n g e . S e l e c t i o n o f s u b j e c t s I n t h i s s e c t i o n I w i l l d e s c r i b e h o w s t u d e n t s i n e a c h g r o u p w e r e r e c r u i t e d a n d c h o s e n f o r t h i s s t u d y . I w i l l a l s o g i v e c h a r a c t e r i s t i c s o f t h e i r m a t h e m a t i c s c u r r i c u l a a n d c o m p a r e t h e d i s t r i b u t i o n o f t h e p o t e n t i a l p o p u l a t i o n a n d s a m p l e b y g e n d e r , r a c e a n d e t h n i c i t y , a n d 1 2 2 a b i l i t y . I w i l l a l s o d i s c u s s l i m i t a t i o n s o f t h e s a m p l e , i n c l u d i n g t h e r e l a t i o n s h i p o f t h e s u b j e c t s t o t h e r e s e a r c h e r , u s e o f v o l u n t e e r s , a n d c o n c e r n s a b o u t t h e s a m p l e i n t e r m s o f g e n d e r , r a c e , e t h n i c i t y , a n d a b i l i t y . 1 1 1 W - T h r e e g r o u p s o f s t u d e n t s w e r e c h o s e n f r o m t h r e e d i f f e r e n t p o i n t s i n t h e i r m a t h e m a t i c s e d u c a t i o n : O n e g r o u p t a k i n g t h e i r l a s t m a t h e m a t i c s c o u r s e b e f o r e c a l c u l u s ; a s e c o n d g r o u p t a k i n g t h e i r s e c o n d s e m e s t e r o f c a l c u l u s ; a n d a t h i r d g r o u p o f m a t h e m a t i c s m a j o r s w i t h a t l e a s t t w o c o u r s e s b e y o n d c a l c u l u s . T h e p r e c a l c u l u s s t u d e n t s c a m e f r o m t h e s a m e h i g h s c h o o l . M o s t o f t h e c a l c u l u s a n d a l l o f t h e p o s t c a l c u l u s s t u d e n t s c a m e f r o m a s m a l l f o u r y e a r c h u r c h r e l a t e d l i b e r a l a r t s c o l l e g e w h e r e I t e a c h . T h e r e s t o f t h e c a l c u l u s s t u d e n t s c a m e f r o m a t w o y e a r p u b l i c l y s u p p o r t e d c o m m u n i t y c o l l e g e . A l l t h r e e o f t h e s e s c h o o l s a r e l o c a t e d i n t h e s a m e c o u n t y i n s o u t h e a s t M i c h i g a n . T h i s c o u n t y c o n s i s t s o f r u r a l c o m m u n i t i e s a n d s m a l l t o w n s w i t h o n e l a r g e r t o w n s e r v i n g a s t h e c o u n t y s e a t . I h s _ p r s s a l t u l n s _ g r s a p . T h e p r e c a l c u l u s s t u d e n t s w e r e t a k i n g a c o u r s e c a l l e d P r e c a l c u l u s , t y p i c a l l y t h e l a s t m a t h e m a t i c s c o u r s e b e f o r e c a l c u l u s . T h e s e s t u d e n t s c a m e f r o m t w o s e c t i o n s o f t h e c o u r s e t a u g h t b y t h e s a m e t e a c h e r . T h e t e x t f o r t h e i r c o u r s e w a s E r s t a l t u l u s , S e c o n d E d i t i o n , b y L a r s o n a n d H o s t e t t l e r ( 1 9 8 5 ; D . C . H e a t h ) . I a p p r o a c h e d t h e t e a c h e r , o n e o f m y m a t h e m a t i c s s t u d e n t s w h o h a d g r a d u a t e d a f e w y e a r s e a r l i e r , a n d a s k e d h e r i f s h e w o u l d a l l o w m e t o r e c r u i t s u b j e c t s f r o m h e r P r e c a l c u l u s c l a s s e s . S h e i n v i t e d m e t o v i s i t h e r t w o c l a s s e s , e x p l a i n m y s t u d y , a n d a s k s t u d e n t s i f t h e y w o u l d v o l u n t e e r t o b e s u b j e c t s . M y r e c r u i t m e n t s c r i p t w e n t s o m e t h i n g l i k e t h i s : 1 2 3 " H i . M y n a m e i s G a r n e t H a u g e r a n d I t e a c h m a t h e m a t i c s a t S p r i n g A r b o r C o l l e g e . I a m w o r k i n g o n a P h . D . a t M i c h i g a n S t a t e U n i v e r s i t y a n d m y d i s s e r t a t i o n h a s t o d o w i t h h o w s t u d e n t s l e a r n r a t e o f c h a n g e . I n e e d s o m e s t u d e n t s w h o w i l l v o l u n t e e r f o r t h i s s t u d y . I w i l l i n t e r v i e w e a c h o f y o u i n d i v i d u a l l y . T h e i n t e r v i e w s w i l l b e a u d i o a n d v i d e o t a p e d a n d w i l l l a s t a b o u t a n h o u r . I w i l l a s k y o u s o m e q u e s t i o n s a b o u t m a t h e m a t i c s a n d s o m e t h i n g k n o w n a s r a t e o f c h a n g e . Y o u d o n o t h a v e t o s t u d y f o r t h e s e q u e s t i o n s b e f o r e h a n d . I a m j u s t i n t e r e s t e d i n w h a t y o u a l r e a d y k n o w . Y o u w i l l b e p a i d $ 1 0 f o r y o u r t i m e a n d I w i l l a r r a n g e t o i n t e r v i e w y o u h e r e a t y o u r s c h o o l d u r i n g t h e s c h o o l d a y . S o i f y o u a r e i n t e r e s t e d i n b e i n g a p a r t o f t h i s s t u d y , j u s t p u t y o u r n a m e a n d t e l e p h o n e n u m b e r o n t h e s h e e t c o m i n g a r o u n d . " T h e r e w e r e a t o t a l o f a b o u t 5 0 s t u d e n t s i n t h e s e t w o c l a s s e s . T w e n t y - o n e v o l u n t e e r e d f o r t h i s s t u d y . S i x b o y s a n d s i x g i r l s w e r e r a n d o m l y c h o s e n f r o m t h e v o l u n t e e r s t o p a r t i c i p a t e i n t h e s t u d y . E a c h o f t h e s e s t u d e n t s w a s g i v e n a c o n s e n t f o r m a n d a s k e d t o s i g n i t a n d h a v e a p a r e n t o r g u a r d i a n s i g n i t i f t h e y w e r e u n d e r t h e a g e o f 1 8 . C o p i e s o f t h e c o n s e n t f o r m s a n d l e t t e r s o f e x p l a n a t i o n a r e i n A p p e n d i x D . T h e n u m b e r o f m a l e s a n d f e m a l e s i n t h e c o m b i n e d c l a s s e s a n d t h e g r o u p o f v o l u n t e e r s w a s r o u g h l y e v e n . I t h e r e f o r e c h o s e s i x m a l e s a n d s i x f e m a l e s f o r t h e s t u d y . H o w e v e r , t h e r a c i a l m i x o f t h e c l a s s e s , v o l u n t e e r s , a n d s a m p l e w a s l i m i t e d . I n f a c t , t h e o n l y n o n - w h i t e p e r s o n i n t h e t w o c l a s s e s v o l u n t e e r e d f o r t h e s t u d y a n d w a s c h o s e n f o r t h e s a m p l e . T h e a b i l i t y o f t h e s t u d e n t s i n t h e s e t w o p r e c a l c u l u s c l a s s e s a n d i n t h e s a m p l e a s m e a s u r e d b y t h e g r a d e s i n t h e i r P r e c a l c u l u s c o u r s e w a s d i v e r s e . G r a d e s i n t h i s c o u r s e r a n g e d f r o m D t o A . E a c h o f t h e s e s t u d e n t s w a s i n a c o l l e g e p r e p a r a t i o n t r a c k a n d m o s t o f t h e s t u d e n t s i n t h e s e t w o c l a s s e s w e n t o n t o c o l l e g e i m m e d i a t e l y a f t e r g r a d u a t i o n . F o u r o f t h e t w e l v e s t u d e n t s i n t h e s a m p l e w e r e N a t i o n a l M e r i t F i n a l i s t s o r S e m i - F i n a l i s t s d u r i n g t h e i r s e n i o r y e a r , t h e y e a r a f t e r t h e y 1 2 4 p a r t i c i p a t e d i n t h i s s t u d y . T h i s i s a h i g h e r p e r c e n t a g e t h a n i n t h e t w o c l a s s e s o r t h e g r o u p o f v o l u n t e e r s . T h e _ c a l c u l u s _ g r n u n . A l l o f t h e s t u d e n t s i n t h e c a l c u l u s g r o u p w e r e t a k i n g s e c o n d s e m e s t e r c a l c u l u s f r o m a f o u r y e a r l i b e r a l a r t s c o l l e g e o r a t w o y e a r c o m m u n i t y c o l l e g e . T h e c a l c u l u s s t u d e n t s f r o m t h e f o u r y e a r c o l l e g e w e r e s t u d e n t s i n m y s e c o n d s e m e s t e r c a l c u l u s c l a s s , t h e o n l y s e c t i o n t a u g h t t h a t s c h o o l y e a r . T h e c a l c u l u s c u r r i c u l u m w a s a n N S F s p o n s o r e d c a l c u l u s r e f o r m t e x t , C a l t u l u s _ fi r g m _ g r a p h i t a l r W W P r e l i m i n a r y E d i t i o n , b y O s t e b e e a n d Z o r n ( 1 9 9 4 ) a n d p u b l i s h e d b y S a u n d e r s . A s w i t h t h e p r e c a l c u l u s s t u d e n t s I e x p l a i n e d m y s t u d y a n d a s k e d s t u d e n t s i f t h e y w o u l d l i k e t o v o l u n t e e r f o r t h e s t u d y . M y r e c r u i t m e n t s c r i p t w e n t l i k e t h i s : " A s m a n y o f y o u k n o w , I a m w o r k i n g o n a P h . D . a t M i c h i g a n S t a t e U n i v e r s i t y . M y d i s s e r t a t i o n h a s t o d o w i t h h o w s t u d e n t s l e a r n r a t e o f c h a n g e . I n e e d s o m e s t u d e n t s w h o w i l l v o l u n t e e r f o r t h i s s t u d y . I w i l l i n t e r v i e w e a c h o f y o u i n d i v i d u a l l y . T h e i n t e r v i e w s w i l l b e a u d i o a n d v i d e o t a p e d a n d w i l l l a s t a b o u t a n h o u r . I w i l l a s k y o u s o m e q u e s t i o n s a b o u t m a t h e m a t i c s a n d r a t e o f c h a n g e . Y o u d o n o t h a v e t o s t u d y f o r t h i s i n t e r v i e w . I j u s t w a n t t o k n o w w h a t y o u a l r e a d y k n o w a b o u t r a t e o f c h a n g e . Y o u r p e r f o r m a n c e i n t h i s i n t e r v i e w w i l l i n n o w a y a f f e c t y o u r g r a d e f o r t h i s c o u r s e o r f o r o t h e r c o u r s e s y o u m i g h t t a k e f r o m m e . Y o u w i l l b e p a i d $ 5 f o r y o u r t i m e a n d g i v e n s o m e e x t r a c r e d i t f o r t h i s c o u r s e i f y o u a r e s e l e c t e d t o b e p a r t o f t h i s s t u d y . I w i l l g i v e a n o t h e r a s s i g n m e n t t o e a r n a n e q u a l a m o u n t o f e x t r a c r e d i t f o r t h o s e w h o d o n o t w i s h t o v o l u n t e e r f o r t h e s t u d y o r f o r t h o s e w h o v o l u n t e e r b u t a r e n o t c h o s e n . T h e i n t e r v i e w s w i l l t a k e p l a c e h e r e i n t h e s c i e n c e b u i l d i n g a t a t i m e t h a t i s c o n v e n i e n t f o r b o t h o f u s . S o i f y o u a r e i n t e r e s t e d , j u s t p u t y o u r n a m e a n d t e l e p h o n e n u m b e r o f t h e s h e e t c o m i n g a r o u n d . " T h e r e w e r e 2 2 s t u d e n t s i n t h i s c l a s s a n d 1 4 o f t h e m v o l u n t e e r e d f o r t h e s t u d y . I r a n d o m l y c h o s e l l o f t h e m t o b e i n t h e s t u d y . E a c h o f t h e v o l u n t e e r s w a s a s k e d t o s i g n a c o n s e n t f o r m . T h e s e s t u d e n t s w e r e 1 2 5 o f f e r e d o n l y f i v e d o l l a r s i n s t e a d o f t e n s i n c e t h e y w e r e a l s o o f f e r e d s o m e e x t r a c r e d i t i n t h e c o u r s e t h e y w e r e t a k i n g f r o m m e . T h e n u m b e r o f m a l e s a n d f e m a l e s i n t h e c l a s s a n d t h e g r o u p o f v o l u n t e e r s w a s r o u g h l y e v e n . T h e s a m p l e i n c l u d e d s i x m a l e s a n d f i v e f e m a l e s . T h e r a c i a l / e t h n i c m a k e u p o f t h e c l a s s w a s l i m i t e d b u t d i d i n c l u d e o n e b l a c k m a l e s t u d e n t f r o m K e n y a a n d o n e f e m a l e s t u d e n t f r o m S e r b i a . B o t h o f t h e s e s t u d e n t s w e r e c h o s e n f o r t h e s a m p l e . T h e c l a s s c o n t a i n e d t w o a d u l t c o l l e g e s t u d e n t s . B o t h w e r e s e l e c t e d f o r t h e s a m p l e . G r a d e s f o r t h e f i r s t a n d s e c o n d s e m e s t e r c a l c u l u s c l a s s e s , t h e v o l u n t e e r s , a n d t h e s a m p l e r a n g e d f r o m D t o A . T h e g e n e r a l a b i l i t i e s o f t h e s a m p l e v a r i e d a b i t . O n e o f t h e s e s t u d e n t s i s n o w i n m e d i c a l s c h o o l , o n e i s i n g r a d u a t e s c h o o l i n g e n e t i c s , a n d o n e j u s t c o m p l e t e d s t u d e n t t e a c h i n g i n m a t h e m a t i c s a n d p h y s i c s a n d r e c e i v e d t h r e e t e a c h i n g j o b o f f e r s . A t l e a s t t w o s t u d e n t s h a v e s t r u g g l e d w i t h t h e i r c o l l e g e p r o g r a m s . O n e l e f t s c h o o l a t t h e e n d o f h i s f r e s h m a n y e a r b e c a u s e o f l o w g r a d e s , t h o u g h h e s h o w e d a f a i r a m o u n t o f t a l e n t f o r m a t h e m a t i c s . A n o t h e r s t u d e n t w i l l g r a d u a t e f r o m c o l l e g e t h i s s p r i n g b u t h a s h a d t o r e p e a t e d s e v e r a l c o u r s e s , s o m e i n h i s m a j o r . C o m p a r e d t o c o l l e g e s t u d e n t s I h a v e t a u g h t , t h i s g r o u p w a s o f m i x e d a b i l i t y . T h e c a l c u l u s s t u d e n t s f r o m t h e t w o y e a r c o m m u n i t y c o l l e g e w e r e i n o n e o f t w o s e c o n d s e m e s t e r c a l c u l u s c l a s s e s u s i n g a t r a d i t i o n a l c a l c u l u s t e x t , C a l t n l u s , F o u r t h E d i t i o n , b y A n t o n ( 1 9 9 2 ) a n d p u b l i s h e d b y J o h n W i l e y a n d S o n s . T h e i n s t r u c t o r i n v i t e d m e t o e x p l a i n m y s t u d y t o t h e c l a s s a n d a s k f o r v o l u n t e e r s . T h e r e c r u i t m e n t s c r i p t f o r t h e s e s t u d e n t s w a s n e a r l y i d e n t i c a l t o t h e o n e u s e d f o r t h e p r e c a l c u l u s g r o u p . T h e r e 1 2 6 w e r e a b o u t 2 0 s t u d e n t s i n t h i s c l a s s ; s e v e n v o l u n t e e r e d f o r t h e s t u d y ; f o u r w e r e s e l e c t e d . T h e y w e r e a s k e d t o S i g n a c o n s e n t f o r m . T h e c l a s s a n d g r o u p o f v o l u n t e e r s w e r e n e a r l y a l l m a l e . T h e c l a s s c o n t a i n e d t h r e e f e m a l e s , t w o o f w h i c h v o l u n t e e r e d f o r t h e s t u d y . O n e f e m a l e a n d t h r e e m a l e s w e r e c h o s e n f o r t h e s a m p l e . T h e c l a s s h a d n o r a c i a l o r e t h n i c m i n o r i t i e s ; s o n e i t h e r d i d t h e s a m p l e o f s t u d e n t s s e l e c t e d f r o m t h i s c l a s s . T h e c l a s s d i d h o w e v e r c o n t a i n o n e o l d e r c o l l e g e s t u d e n t . H e v o l u n t e e r e d a n d w a s s e l e c t e d f o r t h e s a m p l e . T h e r a n g e o f g r a d e s f o r f i r s t a n d s e c o n d s e m e s t e r f o r t h i s c l a s s w a s v a r i e d . T h e g r a d e s f o r t h e f o u r s t u d e n t s c h o s e n f o r t h e s a m p l e a l s o v a r i e d f r o m C t o A . I n a _ p s s t t a l t n l n s _ g r g u p . A l l o f t h e p o s t c a l c u l u s s t u d e n t s c a m e f r o m t h e f o u r y e a r c o l l e g e a n d w e r e t a k i n g a n u p p e r d i v i s i o n m a t h e m a t i c s c o u r s e t h a t s e m e s t e r . A l l o f t h e s e s t u d e n t s w e r e t a k i n g o r h a d t a k e n a c o u r s e f r o m m e a n d h a d t a k i n g c a l c u l u s f r o m a t r a d i t i o n a l c a l c u l u s t e x t . T h e y r e c e i v e d t h e s a m e r e c r u i t m e n t s c r i p t a s t h e c a l c u l u s s t u d e n t s f r o m t h e s a m e c o l l e g e . T o b e e l i g i b l e f o r t h e s t u d y , t h e s e s t u d e n t s h a d t o h a v e c o m p l e t e d a t l e a s t t w o m a t h e m a t i c s c o u r s e s b e y o n d c a l c u l u s . O f t h e 1 5 e l i g i b l e s t u d e n t s , e l e v e n v o l u n t e e r e d f o r t h e s t u d y a n d t e n w e r e s e l e c t e d . T h e o n e w h o w a s n o t c h o s e n h a d t i m e c o n f l i c t s t h a t m a d e s c h e d u l i n g a n i n t e r v i e w d i f f i c u l t . T h e g r o u p o f e l i g i b l e s t u d e n t s c o n t a i n e d a b o u t t h e s a m e n u m b e r o f m a l e s a s f e m a l e s ; t h e s a m p l e c o n t a i n e d s i x f e m a l e s a n d f o u r m a l e s . A l l o f t h e e l i g i b l e s t u d e n t s , a n d h e n c e t h e s a m p l e , w e r e w h i t e . T h i s g r o u p o f s t u d e n t s w a s h o w e v e r d i v e r s e i n t e r m s o f a b i l i t y . T h r e e o f t h e s e s t u d e n t s w e r e N a t i o n a l M e r i t F i n a l i s t s o r S e m i - F i n a l i s t s . O n e o f t h e s e s t u d e n t s i s n o w i n a P h . D . p r o g r a m i n m a t h e m a t i c s a t C o r n e l l U n i v e r s i t y . 1 2 7 T w o o f t h e s e s t u d e n t s s t r u g g l e d t o f i n i s h t h e i r m a t h e m a t i c s m a j o r s , o b t a i n i n g m o s t l y C ' s i n t h e i r m a t h e m a t i c s c o u r s e s . G r a d e s i n u p p e r d i v i s i o n m a t h e m a t i c s c o u r s e s f o r s t u d e n t s i n t h i s s a m p l e r a n g e d f r o m C t o A . W T h e c a l c u l u s a n d p o s t c a l c u l u s s t u d e n t s a t t h e f o u r y e a r c o l l e g e w e r e o r h a d b e e n , a t t h e t i m e o f t h e i n t e r v i e w s , s t u d e n t s i n o n e o f m y c l a s s e s . T h i s h a d t h e p o t e n t i a l f o r p r o v i d i n g s e v e r a l d i f f i c u l t i e s . O n e i s r e l a t e d t o t h e d e s i r e o f s t u d e n t s t o a p p e a r k n o w l e d g e a b l e t o t h e i r t e a c h e r a n d t o f e e l e m b a r r a s s e d i f t h e y f e e l t h e i r a n s w e r i s w r o n g o r c a n n o t a n s w e r a q u e s t i o n . I a s s u r e d s t u d e n t s t h a t m o s t o f t h e q u e s t i o n s h a d s e v e r a l d i f f e r e n t a c c e p t a b l e a n s w e r s , t h a t I w o u l d p r e s s t h e m f o r m u l t i p l e a n s w e r s a n d d e t a i l e d e x p l a n a t i o n s , a n d t h a t i n a n y c a s e t h e i r a n s w e r s w o u l d n o t a f f e c t t h e i r g r a d e s i n c o u r s e s t h e y t o o k f r o m m e o r i n r e c o m m e n d a t i o n s I w r o t e f o r t h e m . A s a g u a r a n t e e a g a i n s t t h i s , I t r a n s c r i b e d i n t e r v i e w t a p e s a f t e r t h e e n d o f t h e s e m e s t e r i n w h i c h t h e i n t e r v i e w s w e r e c o n d u c t e d a n d i n m a n y c a s e s a f t e r s t u d e n t s h a d f i n i s h e d t h e i r l a s t c o u r s e w i t h m e . I n g e n e r a l , s t u d e n t s ' r e s p o n s e s m a d e m e a p p r e c i a t e t h e i r k n o w l e d g e a n d a b i l i t i e s , n o t b e c a u s e t h e y g a v e m e t h e a n s w e r I t h o u g h t t h e y w o u l d o r o u g h t t o g i v e , b u t b e c a u s e t h e y o f t e n s h o w e d g r e a t t h o u g h t f u l n e s s i n c o n s i d e r i n g t h e q u e s t i o n s a n d f o r m i n g t h e i r a n s w e r s a n d g a v e a n s w e r s t h a t w e r e q u i t e r e s o u r c e f u l a n d o n e s I h a d n o t t h o u g h t o f m y s e l f . T h i s r e l a t e s t o t h e s e c o n d d i f f i c u l t y t h a t c a n c o m e f r o m i n t e r v i e w i n g o n e ‘ s o w n s t u d e n t s . T h e r e i s a p o t e n t i a l t o i n t e r p r e t s t u d e n t s ' r e s p o n s e s i n p a r t i c u l a r w a y s b e c a u s e y o u t h i n k y o u a l r e a d y k n o w w h a t t h e i r k n o w l e d g e 1 2 8 i s a n d h o w t h e y a r e l i k e l y t o r e s p o n d t o t h e p r e s e n t e d t a s k s . I w a n t e d t o b e c a r e f u l I d i d n o t i n t e r p r e t s t u d e n t s ' a n s w e r s b y s u p e r i m p o s i n g o n t h o s e a n s w e r s w h a t I t h o u g h t t h e y a l r e a d y k n e w o r o u g h t t o k n o w a b o u t r a t e o f c h a n g e . I t r i e d v e r y h a r d t o g i v e t h e s a m e m e a n i n g s t o t h e i r a c t u a l w o r d s a s I g a v e t o t h e s a m e o r s i m i l a r w o r d s w h e n g i v e n b y s t u d e n t s I d i d n o t a l r e a d y k n o w . T o w a r d t h i s e n d i t w a s v e r y h e l p f u l t o h a v e w o r d - f o r - w o r d t r a n s c r i p t i o n s i n f r o n t o f m e a n d t o v i e w t h e v i d e o t a p e s m a n y t i m e s . I h a d s o m e r e l a t i o n s h i p w i t h h a l f o f t h e h i g h s c h o o l s t u d e n t s b e f o r e t h e i n t e r v i e w s . F i v e o f t h e s t u d e n t s w e r e c h i l d r e n o f c o l l e a g u e s a t t h e c o l l e g e ; o n e w a s a s o n o f a f o r m e r s t u d e n t . T h e s e s t u d e n t s w e r e n o t c h o s e n b e c a u s e o f t h i s r e l a t i o n s h i p ; t h e y w e r e r a n d o m l y c h o s e n f r o m a l a r g e r p o o l o f v o l u n t e e r s . S o i t j u s t h a p p e n e d t h a t t h e y w e r e i n t h e s t u d y . T h e s e s t u d e n t s a n d I l i v e i n a c l o s e k n i t c o m m u n i t y w h e r e i t i s n o t u n u s u a l t o b e v e r y w e l l a c q u a i n t e d w i t h m a n y f a m i l i e s i n t h e c o m m u n i t y . A s a l o n g s t a n d i n g m e m b e r o f t h i s c o m m u n i t y a n d o n e w h o m a i n t a i n s a c t i v e a n d v i t a l r e l a t i o n s h i p s w i t h m y c o l l e a g u e s a n d n e i g h b o r s , I a m f a i r l y w e l l k n o w n a m o n g f a m i l i e s w h o s e c h i l d r e n a r e p l a n n i n g t o g o t o c o l l e g e a n d e s p e c i a l l y t h o s e w h o a r e m o s t i n t e r e s t e d i n m a t h e m a t i c s . F o r t h i s r e a s o n a l m o s t a n y c o l l e c t i o n o f p o t e n t i a l s u b j e c t s f o r t h i s s t u d y w o u l d h a v e i n c l u d e d s t u d e n t s w h o s e p a r e n t s w e r e m y f r i e n d s , c o l l e a g u e s , o r f o r m e r s t u d e n t s . S i n c e m y p r i o r k n o w l e d g e o f t h e s e s t u d e n t s ' m a t h e m a t i c a l a b i l i t i e s a n d k n o w l e d g e w a s l i m i t e d a n d u n r e l a t e d t o a n y a n t i c i p a t i o n o f h o w t h e y m i g h t r e s p o n d t o t h e s e s p e c i f i c t a s k s , I d o n o t t h i n k t h i s p r o v i d e d a d i f f i c u l t y i n c o l l e c t i n g o r i n t e r p r e t i n g t h e d a t a . 1 2 9 U s s _ s f _ y s l u n t s s r s . T h e u s e o f v o l u n t e e r s i n r e s e a r c h t h a t a i m s f o r r e s u l t s o f w i d e v a l i d i t y c a n b e a p r o b l e m . V o l u n t e e r s a r e l i k e l y t o b e m o r e o u t g o i n g a n d p e r h a p s c o n f i d e n t o f t h e m s e l v e s i n a r e a s h a v i n g t o d o w i t h t h e s t u d y . H i g h s c h o o l s t u d e n t s w h o a r e l e s s o u t g o i n g o r n o t v e r y c o n f i d e n t o f t h e i r a b i l i t i e s i n m a t h e m a t i c s a r e l e s s l i k e l y t o v o l u n t e e r f o r a s t u d y i n w h i c h t h e i n t e r v i e w e r i s a c o l l e g e m a t h e m a t i c s t e a c h e r . C o l l e g e m a t h e m a t i c s s t u d e n t s w h o a r e r e s e r v e d o r u n s u r e o f t h e i r m a t h e m a t i c a l k n o w l e d g e m a y b e m o r e r e t i c e n t a b o u t v o l u n t e e r i n g f o r a s t u d y i n w h i c h t h e r e s e a r c h e r i s t h e i r o w n t e a c h e r . S u c h s t u d e n t s m a y n o t h a v e v o l u n t e e r e d f o r t h i s s t u d y a n d t h e r e f o r e t h e r e s p o n s e s o f t h o s e t y p e s o f s t u d e n t s , i n a s m u c h a s t h e y m i g h t d i f f e r f r o m t h e r e s p o n s e s o f m o r e o u t g o i n g a n d c o n f i d e n t s t u d e n t s , w o u l d b e m i s s i n g . W W W 0 f t h e 3 7 s t u d e n t s i n t h e s t u d y 1 8 w e r e f e m a l e a n d 1 9 w e r e m a l e . H o w e v e r , t h e s a m p l e d o e s n o t c o n t a i n m a n y n o n - w h i t e s t u d e n t s . T h e g r o u p o f p r e c a l c u l u s s t u d e n t s i n t h e s t u d y c o n t a i n e d o n e A s i a n s t u d e n t ; t h e g r o u p o f c a l c u l u s s t u d e n t s h a d o n e b l a c k s t u d e n t f r o m K e n y a a n d o n e s t u d e n t f r o m S e r b i a . T h e o t h e r 3 4 s t u d e n t s i n t h e s t u d y w e r e w h i t e A m e r i c a n s t u d e n t s f r o m p r e d o m i n a n t l y m i d d l e c l a s s b a c k g r o u n d s . S o t h i s s a m p l e f a i r l y r e p r e s e n t s t h i s l a t t e r s u b g r o u p i n t h e p o p u l a t i o n b u t i t d o e s n o t r e p r e s e n t n o n - w h i t e s t u d e n t s o r s t u d e n t s f r o m o t h e r t h e n m i d d l e c l a s s b a c k g r o u n d s . T h e s a m p l e d o e s h o w e v e r r e p r e s e n t t h e p o p u l a t i o n o f c o l l e g e s t u d e n t s i n t h e t w o c o l l e g e s a n d t h e l o c a l c o m m u n i t y f r o m w h i c h t h e h i g h s c h o o l s t u d e n t s w e r e c h o s e n . T h e h i g h s c h o o l s t u d e n t s i n t h i s s t u d y w e r e p r e p a r i n g t o g o t o c o l l e g e . T h e y w e r e a l l t a k i n g c o l l e g e p r e p a r a t i o n c o u r s e s a n d w e r e c o n s i d e r e d t o b e i n t h e t o p 2 5 p e r c e n t o f t h e i r h i g h s c h o o l s t u d e n t 1 3 0 b o d y . T h e y t h e r e f o r e w e r e n o t n e c e s s a r i l y r e p r e s e n t a t i v e o f t h e g e n e r a l p o p u l a t i o n o f a l l h i g h s c h o o l s t u d e n t s b u t w e r e c o n s i d e r e d r e p r e s e n t a t i v e o f h i g h s c h o o l s t u d e n t s p r e p a r i n g f o r c o l l e g e a n d i n p a r t i c u l a r f o r t a k i n g c a l c u l u s e i t h e r i n h i g h s c h o o l o r c o l l e g e . T h i s i s t h e p o p u l a t i o n m o s t r e l e v a n t t o t h i s s t u d y . T h e c a l c u l u s s t u d e n t s i n t h i s s t u d y w e r e p u r s u i n g c o l l e g e p r o g r a m s p r i m a r i l y i n m a t h e m a t i c s a n d s c i e n c e . T h e y t h e r e f o r e w o u l d n o t b e r e p r e s e n t a t i v e o f a l l c o l l e g e s t u d e n t s t h o u g h t h e y m a y b e r e p r e s e n t a t i v e o f a l l c o l l e g e s t u d e n t s r e q u i r e d t o t a k e c a l c u l u s f o r d e g r e e r e q u i r e m e n t s i n c l i e n t d i s c i p l i n e s , i n c l u d i n g m a j o r s a n d m i n o r s i n m a t h e m a t i c s . T h e p o s t c a l c u l u s v o l u n t e e r s w e r e m a t h e m a t i c s m a j o r s a n d m i n o r s a n d t h e r e f o r e m a y n o t b e r e p r e s e n t a t i v e o f a l l c o l l e g e s t u d e n t s o r e v e n o f s t u d e n t s i n m a n y p r o g r a m s r e q u i r i n g c a l c u l u s . H o w e v e r , b e c a u s e m a n y c l i e n t d i s c i p l i n e s l i k e c h e m i s t r y , p h y s i c s , a n d c o m p u t e r s c i e n c e o f t e n r e q u i r e e n o u g h m a t h e m a t i c s t o w a r r a n t a m i n o r i n m a t h e m a t i c s , t h e p o s t c a l c u l u s s t u d e n t s i n t h i s s t u d y m a y r e p r e s e n t s t u d e n t s f r o m t h o s e a c a d e m i c a r e a s . S o w h i l e t h e c a l c u l u s a n d p o s t c a l c u l u s s t u d e n t s i n t h i s s t u d y c e r t a i n l y w e r e n o t r e p r e s e n t a t i v e o f a l l c o l l e g e s t u d e n t s , t h e y m i g h t b e c o n s i d e r e d r e p r e s e n t a t i v e o f s t u d e n t s r e q u i r e d t o t a k e c a l c u l u s f o r f u r t h e r s t u d y i n m a t h e m a t i c s a n d s o m e a r e a s o f s c i e n c e . D a t a c o l l e c t i o n I n t h i s s e c t i o n I d e s c r i b e t h e i n t e r v i e w p r o c e s s , s p e c i f i c a l l y t h e i n t e r v i e w e n v i r o n m e n t , t h e p r o b e s I u s e d a n d t h e i r p u r p o s e s . I n g e n e r a l t h i s d i s c u s s i o n i s u s e f u l b e c a u s e i t h e l p s i n u n d e r s t a n d i n g h o w s t u d e n t s ' r e s p o n s e s i n t h e s e i n t e r v i e w s m i g h t b e s i m i l a r t o o r d i f f e r e n t 1 3 1 f r o m r e s p o n s e s o f s t u d e n t s i n c l a s s r o o m s o r p r i v a t e c o n v e r s a t i o n w h e r e t e a c h e r s m i g h t u s e t h e s a m e p r o b e s . F o r t h e m o s t p a r t i n t e r v i e w s w e r e c o n d u c t e d a t t h e s c h o o l s t h e s t u d e n t s a t t e n d e d . T h e o n l y e x c e p t i o n s w e r e i n t e r v i e w s f o r f i v e o f t h e 1 2 h i g h s c h o o l s t u d e n t s w h i c h w e r e c o n d u c t e d i n m y o f f i c e a t t h e c o l l e g e w h e r e I t e a c h . T h e s e s t u d e n t s d i d n o t w a n t t o m i s s a n y o f t h e i r c l a s s e s a t t h e h i g h s c h o o l a n d s o c h o s e t o c o m e t o m y o f f i c e a t t h e e n d o f t h e i r s c h o o l d a y f o r t h e i r i n t e r v i e w s . T h e o t h e r h i g h s c h o o l s t u d e n t s w e r e i n t e r v i e w e d d u r i n g t h e s c h o o l d a y i n a s m a l l r o o m i n t h e l i b r a r y a t t h e i r s c h o o l . T h e s t u d e n t s f r o m t h e f o u r y e a r c o l l e g e w e r e i n t e r v i e w e d i n m y o f f i c e o r i n a n u n u s e d b i o l o g y l a b . T h e s t u d e n t s f r o m t h e t w o y e a r c o l l e g e w e r e i n t e r v i e w e d i n a r e l a t i v e l y q u i e t c o r n e r o f a s t u d e n t l o u n g e . T h e c o l l e g e s t u d e n t s a r r a n g e d t h e i r i n t e r v i e w s s o t h e y d i d n o t c o n f l i c t w i t h c l a s s e s , w o r k , o r o t h e r a c t i v i t i e s . S o m e o f t h e s e i n t e r v i e w s w e r e a t n i g h t . T h e r e w e r e d i s a d v a n t a g e s t o e a c h o f t h e s e e n v i r o n m e n t s . N e a r l y a l l o f t h e m w e r e s u b j e c t t o s o m e b a c k g r o u n d n o i s e n o m a t t e r w h a t p r e c a u t i o n s I t o o k . A n o t e o n t h e d o o r a b o u t a n i n t e r v i e w i n p r o g r e s s m e t w i t h l i m i t e d s u c c e s s i n g u a r a n t e e i n g q u i e t o r p r e v e n t i n g i n t e r r u p t i o n s . E v e n s o , t h e i n t e r r u p t i o n s w e r e f e w a n d d i d n o t c o n t i n u e f o r a l o n g t i m e . T h e s e i n t e r r u p t i o n s d i d n o t s e e m t o b o t h e r t h e s t u d e n t s a l t h o u g h t h e y d i d b o t h e r m e . T h e y d i d n o t a p p e a r t o a l t e r e i t h e r t h e q u a l i t y o r q u a n t i t y o f s t u d e n t s ' r e s p o n s e s . A f t e r i n t e r r u p t i o n s s t u d e n t s w e r e a b l e w i t h v e r y l i t t l e d i f f i c u l t y t o p i c k u p w h e r e t h e y l e f t o f f , c o n t i n u i n g t h e i r t h o u g h t p a t t e r n s a n d e x p l a n a t i o n s . 1 3 2 E m b e s . T h e s p e c i f i c q u e s t i o n s l i s t e d i n t h e t a s k s w e r e f o r t h e m o s t p a r t a d e q u a t e i n e l i c i t i n g a p p r o p r i a t e r e s p o n s e s f r o m s t u d e n t s . ( S e e A p p e n d i x B f o r t h e c o m p l e t e t a s k s . ) N o n e t h e l e s s i t w a s h e l p f u l t o a s k s t u d e n t s a d d i t i o n a l q u e s t i o n s t o g e t f u r t h e r i n f o r m a t i o n a b o u t o r c l a r i f y t h e i r a n s w e r s . I w i l l d i s c u s s e a c h p r o b e a n d t h e c i r c u m s t a n c e s i n w h i c h e a c h w a s u s e d . T h e m o s t c o m m o n p r o b e w a s " H o w d i d y o u g e t t h a t ? " a n d w a s u s e d p r i m a r i l y f o r q u e s t i o n s c a l l i n g f o r n u m e r i c a l a n s w e r s i n p a r t s o f t h e " t h r o w n b a l l " , " b i o m a s s " , a n d " c i r c l e s " t a s k s . T h o u g h I o f t e n f e l t I u n d e r s t o o d h o w s t u d e n t s g o t t h e i r n u m e r i c a l a n s w e r s , t h i s p r o b e h e l p e d t o c o n f i r m t h i s a n d g a v e m e a c h a n c e t o h e a r s t u d e n t s ' o w n e x p l a n a t i o n s o f h o w t h e y g o t t h e i r a n s w e r s . A n o t h e r p r o b e t h a t w a s h e l p f u l i n c l a r i f y i n g w h a t s t u d e n t s w e r e t h i n k i n g w a s " D o y o u m e a n [ t h i s ] o r [ t h a t ] ? " . I u s e d t h i s p r o b e i n c a s e s w h e r e I f e l t t h e s t u d e n t w a s g i v i n g o n e o f t w o r e s p o n s e s b u t w a s n o t s u r e w h i c h o n e . S o I s i m p l y a s k e d w h i c h o n e t h e y m e a n t . F o r e x a m p l e , w h e n s t u d e n t s r e f e r r e d t o t h e d i s t a n c e a p a r t i n t h e " w a l k i n g " t a s k s , I w a n t e d t o b e s u r e i f t h e y w e r e t a l k i n g a b o u t t h e d i s t a n c e t h e t w o p e o p l e w e r e a p a r t ( t h e d v a l u e i n t h e t a b l e o r o n t h e g r a p h ) o r t h e d i s t a n c e b e t w e e n c o n s e c u t i v e p o i n t s o n t h e g r a p h o r i n t h e t a b l e ( d e l t a d ) . S o I s i m p l y a s k e d t h e m w h i c h o f t h e s e t w o t h e y m e a n t . F o r t h e " w a l k i n g " t a s k s s t u d e n t s o c c a s i o n a l l y h a d d i f f i c u l t y d e s c r i b i n g h o w t h e i r g r a p h s o r t a b l e s o f v a l u e s s h o w e d t h e t w o p e o p l e s l o w i n g d o w n , s p e e d i n g u p , o r w a l k i n g s t e a d y . W h e n t h i s h a p p e n e d I a s k e d s t u d e n t s t o c o m p a r e t h e i r g r a p h o r t a b l e o f v a l u e s i n t h e c u r r e n t t a s k w i t h o n e o f t h e o t h e r t w o t a s k s . I n t h i s c a s e I u s e d t h e p r o b e 1 3 3 " H o w d o e s [ t h i s o n e ] c o m p a r e t o [ t h a t o n e ] ? " M y i n t e n t w a s t o g i v e s t u d e n t s a n o p p o r t u n i t y t o c o m p a r e a n d c o n t r a s t s i t u a t i o n s i n w h i c h t h e y h a d a l r e a d y n o t e d d i f f e r e n c e s w i t h r e s p e c t t o r a t e o f c h a n g e a n d t o t h i n k , i f t h e y d o d e s i r e d , a b o u t w h a t t h a t m i g h t m e a n i n t e r m s o f t h e g r a p h s a n d t h e t a b l e s o f v a l u e s . I n a f e w c a s e s w h e n a s t u d e n t c o u l d n o t p r o c e e d , I i n t r o d u c e d m i l d i n t e r v e n t i o n s l i k e " W o u l d t h i s h e l p ? " o r " W h a t a b o u t t h i s ? " . I n e a c h c i r c u m s t a n c e , I t r i e d t o r e v i e w w i t h t h e s t u d e n t w h a t s t r a t e g i e s t h e y h a d u s e d o n o t h e r t a s k s a n d a s k t h e m i f t h o s e s a m e o r d i f f e r e n t s t r a t e g i e s m i g h t w o r k h e r e . F o r e x a m p l e , i n t h e " b i o m a s s " t a s k , w h e n s t u d e n t s w e r e p r e s e n t e d w i t h a n e n l a r g e d g r a p h a n d a m o r e d e t a i l e d t a b l e o f v a l u e s , a f e w o f t h e m s e e m e d i n i t i a l l y f l u s t e r e d . I p r o c e e d e d b y a s k i n g t h e m t o r e v i e w w h a t t h e y h a d d o n e i n e a r l i e r p a r t s o f t h i s s a m e t a s k a n d c o n s i d e r i f t h e y m i g h t u s e t h e s a m e o r a d i f f e r e n t s t r a t e g y h e r e . T h a t w a s o f t e n s u c c e s s f u l i n s o l i c i t i n g a r e s p o n s e . S i m i l a r l y , i f a s t u d e n t h a d u s e d i n t e r v a l s b e f o r e t = 4 i n e a r l i e r p a r t s o f t h e " b i o m a s s " t a s k , I m i g h t h a v e s u g g e s t e d t h a t t h e s t u d e n t a g a i n u s e a n i n t e r v a l b e f o r e t = 4 . I n t h a t c a s e t h e y c o u l d c h o o s e t o u s e t h e s a m e s i z e o r l a r g e r o r s m a l l e r i n t e r v a l b e f o r e t = 4 . S i n c e t h i s p a r t o f t h e " b i o m a s s " t a s k p r o v i d e d i n f o r m a t i o n a b o u t s m a l l e r i n t e r v a l s t h a n w a s p r o v i d e d i n e a r l i e r p a r t s o f t h i s t a s k s , s t u d e n t s h a d m o r e c h o i c e s h e r e . W h e n s t u d e n t s h a d b e e n c o n s i s t e n t l y u s i n g o n l y i n t e r v a l s b e f o r e t = 4 , I m i g h t a s k t h e m i f w h a t w a s h a p p e n i n g a f t e r t = 4 h a d a n y b e a r i n g o n t h e r a t e o f c h a n g e a t t = 4 . S t u d e n t s d i d n o t a l w a y s t a k e t o m y s u g g e s t i o n s , b u t m y e n c o u r a g e m e n t t o t r y t h e s a m e t h i n g o r s o m e t h i n g s i m i l a r s e e m e d t o b e s u c c e s s f u l i n g e t t i n g t h e m t o t r y s o m e t h i n g . 1 3 4 A n o t h e r m i l d i n t e r v e n t i o n w a s i n c l u d e d i n t h e s e t o f q u e s t i o n s i n t h e " b i o m a s s " t a s k w h e r e s t u d e n t s w e r e a s k e d t o d e c i d e h o w m u c h a n d h o w f a s t t h e c e l l p o p u l a t i o n c h a n g e d o v e r i n t e r v a l s o f v a r i o u s s i z e a r o u n d t = 4 . I n t h e e v e n t t h a t s t u d e n t s h a d n o t y e t u s e d i n t e r v a l s o f a n h o u r o r l e s s b e f o r e a n d a f t e r t = 4 t o a d d r e s s t h e r a t e o f c h a n g e a t t = 4 , I w a n t e d t o s e e h o w t h e y w o u l d r e s p o n d t o s u g g e s t i o n s a b o u t u s i n g t h e s e t y p e s o f i n t e r v a l s t o f i n d t h e a v e r a g e r a t e o f c h a n g e . S o p a r t f o f t h a t t a s k c o n t a i n s a n u m b e r o f q u e s t i o n s t h a t w e r e i n t e n d e d t o w a l k s t u d e n t s t h r o u g h t h e u s e o f s e v e r a l d i f f e r e n t i n t e r v a l s t o a d d r e s s c h a n g e n e a r a n d a t t = 4 . I f s t u d e n t s h a d b y t h i s t i m e i n t h e i n t e r v i e w u s e d s o m e o r a l l o f t h e s e i n t e r v a l s , I s k i p p e d m o s t o f t h e q u e s t i o n s i n t h i s p a r t . T h a t i n c l u d e d t h e v a s t m a j o r i t y o f s t u d e n t s i n t h e s t u d y . F o r a f e w s t u d e n t s I p r e s s e d f o r a n s w e r s t o s e v e r a l o f t h e q u e s t i o n s i n p a r t f t o s e e i f t h e y w e r e o p e n t o u s i n g s t r a t e g i e s b a s e d o n c o n s i d e r a t i o n o f c h a n g e o v e r p a r t i c u l a r k i n d s o f i n t e r v a l s i f t h e y h a d n o t y e t d o n e s o . T h e l a s t q u e s t i o n i n p a r t f o f t h e " b i o m a s s " t a s k w a s a s k e d o f n e a r l y e v e r y s t u d e n t : " H o w w o u l d y o u g e t a n e x a c t a n s w e r ? " . ( T h e a c t u a l w o r d i n g o n t h e t a s k s h e e t i s " D e s c r i b e a p r o c e d u r e f o r f i n d i n g e x a c t l y h o w f a s t t h e p o p u l a t i o n c h a n g e s a t 4 a m . " b u t i n t h e i n t e r v i e w s I o f t e n u s e d t h e w o r d i n g " H o w w o u l d y o u g e t a n e x a c t a n s w e r ? " . ) T h i s q u e s t i o n w a s d e s i g n e d t o s e e i f s t u d e n t s h a d i d e a s a b o u t h o w t h e y w o u l d g e t t h e e x a c t v a l u e o f t h e r a t e o f c h a n g e o f t h e c e l l p o p u l a t i o n a t t = 4 . M a n y o f t h e p r e c a l c u l u s a n d s o m e o f t h e c a l c u l u s a n d p o s t c a l c u l u s s t u d e n t s s e e m e d f l u s t e r e d b y t h i s q u e s t i o n . F o r e x a m p l e , m a n y s t u d e n t s r e s p o n d e d i n i t i a l l y t o t h e q u e s t i o n s w i t h " W h a t d o y o u m e a n ? " . S o I r e s p o n d e d w i t h t w o p r o b e s h e r e . T h e p r o b e " I s t h a t [ l a t e s t a n s w e r ] a n e x a c t o r 1 3 5 a p p r o x i m a t e a n s w e r ? " w a s d e s i g n e d t o s e e i f t h e y h a d a n o p i n i o n a b o u t e x a c t v e r s u s a p p r o x i m a t e a n s w e r s . T h e p r o b e s " H o w w o u l d y o u g e t a b e t t e r a p p r o x i m a t i o n ? " a n d " H o w w o u l d y o u g e t a n e x a c t a n s w e r ? " w e r e u s e d t o s e e i f t h e y m a d e c o n n e c t i o n s b e t w e e n t h e i r a p p r o x i m a t e a n s w e r s a n d a n e x a c t a n s w e r . D a t a a n a l y s i s T h i s s t u d y h a d t h r e e m a i n g o a l s : t o s e e w h a t k n o w l e d g e o f r a t e o f c h a n g e s t u d e n t s h a d ; t o s e e h o w t h i s k n o w l e d g e d i f f e r e d ; a n d t o s e e i f t h e t h r e e p e r s p e c t i v e s o n r a t e o f c h a n g e a n d t h e t h r e e t y p e s o f r e a s o n i n g p r o v i d e a n i n t e r p r e t i v e f r a m e f o r t h i n k i n g a b o u t s t u d e n t s ' k n o w l e d g e o f r a t e o f c h a n g e a n d h o w i t c h a n g e s o v e r t i m e . I n t h i s s e c t i o n I w i l l d e s c r i b e t h e m e t h o d s o f d a t a a n a l y s i s I u s e d t o m e e t t h e s e g o a l s . G e n e r a l l y t h e r e w e r e t h r e e m a i n p h a s e s o f t h e a n a l y s i s : i d e n t i f y i n g s t r a t e g i e s s t u d e n t s u s e d t o a d d r e s s t h e s e t a s k s ; c l a s s i f y i n g t h o s e s t r a t e g i e s i n t e r m s o f g l o b a l , i n t e r v a l , a n d p o i n t r a t e o f c h a n g e a n d q u a l i t a t i v e , n u m e r i c a l , a n d a l g e b r a i c r e a s o n i n g ; a n d c o m p a r i n g a n d c o n t r a s t i n g t h e d i s t r i b u t i o n o f u s e o f s t r a t e g i e s a m o n g t h e t h r e e g r o u p s . I n c h a p t e r 3 I d i s c u s s e d k n o w l e d g e a s s t r a t e g i e s a s p a r t o f t h e e p i s t e m o l o g i c a l f r a m e f o r t h i s s t u d y . T o d i s c o v e r k n o w l e d g e o f r a t e o f c h a n g e t h a t t h e s t u d e n t s i n t h i s s t u d y h a d , I i d e n t i f i e d s t r a t e g i e s t h e y u s e d t o w o r k t h e t a s k s . T h i s p r o c e s s h a d t h r e e p a r t s . O n e p a r t i n v o l v e d r e a d i n g l i t e r a l t r a n s c r i p t s a n d i d e n t i f y i n g u n a m b i g u o u s s t a t e m e n t s o f d i f f e r e n t t y p e s o f r e s p o n s e s . S o m e s t u d e n t s w e r e q u i t e c l e a r a b o u t w h a t s t r a t e g i e s t h e y w e r e u s i n g a n d g a v e r e s p o n s e s t h a t m a k e 1 3 6 i t p o s s i b l e t o d i s t i n g u i s h t h a t s t r a t e g y f r o m o t h e r p o s s i b l e s t r a t e g i e s . O t h e r r e s p o n s e s w e r e l e s s c l e a r a n d n e e d e d c o r r o b o r a t i n g d a t a . A s e c o n d p a r t o f t h e p r o c e s s o f i d e n t i f y i n g s t r a t e g i e s s t u d e n t s u s e d i n v o l v e d c i p h e r i n g r e s p o n s e s w h i c h w e r e l e s s c l e a r a n d f i g u r i n g o u t t h e m o s t p r o b a b l e s t r a t e g y b e i n g u s e d . T h i s w a s m o s t u s e f u l w h e n a s t u d e n t ' s r e s p o n s e s e e m e d t o b e o n e o f t w o s t r a t e g i e s b u t d i d n o t m a k e c l e a r w h i c h o n e . C o m p a r i n g t h e s t u d e n t ' s r e s p o n s e t o c l e a r e r s t a t e m e n t s g i v e n b y o t h e r s t u d e n t s h e l p e d t o i d e n t i f y t h e s t r a t e g y b e i n g u s e d . A t h i r d p a r t o f t h e p r o c e s s w a s t o c l o s e l y e x a m i n e s t u d e n t s ' u n c l e a r r e s p o n s e s a n d c o n s t r u c t a n a r g u m e n t c o n c e r n i n g w h a t s t r a t e g i e s t h e s t u d e n t w a s u s i n g . T h i s r e q u i r e d n o t o n l y c o m p a r i s o n w i t h r e s p o n s e s o f o t h e r s t u d e n t s b u t a l s o g e n e r a t i n g a n d c o n s i d e r i n g s t r a t e g i e s n o o t h e r s t u d e n t s h a d u s e d . T h i s p r o c e s s w a s n o t l i n e a r . A l l t h r e e p a r t s w e r e u s e d o n d i f f e r e n t s t u d e n t s ' r e s p o n s e s i n a s i n g l e p a s s t h r o u g h t h e t r a n s c r i p t s . I n a d d i t i o n , m u l t i p l e r e a d i n g s o f t h e t r a n s c r i p t s h e l p e d m e m a k e f i n a l d e c i s i o n s a b o u t s t u d e n t s ' s t r a t e g i e s . T h i s w a s e s p e c i a l l y t h e c a s e i n a f e w i n s t a n c e s w h e n t h e f i r s t r e a d i n g o f a s t u d e n t ' s r e s p o n s e y i e l d e d n o c l e a r i d e a a b o u t t h e s t r a t e g y t h e s t u d e n t w a s u s i n g . S u b s e q u e n t r e a d i n g s o f t h e t r a n s c r i p t s o f a l l s t u d e n t s y i e l d e d m o r e i n f o r m a t i o n a b o u t s t u d e n t s ' s t r a t e g i e s s o t h a t m u l t i p l e c o m p a r i s o n s c o u l d b e m a d e a m o n g r e s p o n s e s . T h i s h e l p e d m e d e c i d e t h e m o s t p r o b a b l e s t r a t e g y e a c h s t u d e n t w a s u s i n g . S o m e t i m e s a s t u d e n t u s e d a s t r a t e g y n o o t h e r s t u d e n t h a d u s e d a n d i f t h e s t u d e n t ' s r e s p o n s e w a s n o t v e r y c l e a r , i t w a s e x t r e m e l y d i f f i c u l t t o d e c i d e w h a t s t r a t e g y t h e s t u d e n t u s e d a n d p r o v i d e e v i d e n c e t h a t w o u l d c o n v i n c e o t h e r s . M u l t i p l e r e a d i n g s o f t h e t r a n s c r i p t s a n d c o m p a r i s o n s w i t h o t h e r s t u d e n t s ' r e s p o n s e s h e l p e d . 1 3 7 J ' E . . 1 . i E . . I n a d d i t i o n t o i d e n t i f y i n g s t r a t e g i e s s t u d e n t s u s e d t o a d d r e s s r a t e o f c h a n g e , I w a s i n t e r e s t e d i f t h e y f i t g l o b a l , i n t e r v a l , a n d p o i n t p e r s p e c t i v e s a n d q u a l i t a t i v e , n u m e r i c a l , a n d a l g e b r a i c r e a s o n i n g . I n t h e a b o v e s e c t i o n " D e s c r i p t i o n a n d j u s t i f i c a t i o n o f t a s k s " , I d i s c u s s e d r e l a t i o n s h i p s o f t h e t a s k s t o t h e s e p e r s p e c t i v e s a n d t y p e s o f r e a s o n i n g , i n d i c a t e d s p e c i f i c p a r t s o f e a c h t a s k I b e l i e v e d w o u l d g i v e s t u d e n t s o p p o r t u n i t i e s t o u s e s t r a t e g i e s c o n s i s t e n t w i t h p a r t i c u l a r p e r s p e c t i v e s a n d t y p e s o f r e a s o n i n g i f t h e y w e r e s o i n c l i n e d , a n d g a v e e x a m p l e s o f s p e c i f i c s t r a t e g i e s t h a t w e r e c o n s i s t e n t w i t h e a c h p e r s p e c t i v e a n d t y p e o f r e a s o n i n g . H e r e I w a n t t o g e n e r a l l y d e f i n e h o w I w i l l c l a s s i f y s t r a t e g i e s a s c o n s i s t e n t w i t h g l o b a l , i n t e r v a l , o r p o i n t p e r s p e c t i v e s a n d q u a l i t a t i v e , n u m e r i c a l , a n d a l g e b r a i c r e a s o n i n g . W W W . G l o b a l r a t e o f c h a n g e c o n s i d e r s c h a n g e s i n t h e d e p e n d e n t v a r i a b l e o f a f u n c t i o n o v e r t h e e n t i r e d o m a i n o f t h e i n d e p e n d e n t v a r i a b l e . S t r a t e g i e s w h i c h f o c u s o n r e l a t i v e c h a n g e s i n t h e d e p e n d e n t v a r i a b l e o v e r a l l o r a s i g n i f i c a n t p a r t o f t h e d o m a i n o f t h e i n d e p e n d e n t v a r i a b l e w i l l t h e r e f o r e b e c l a s s i f i e d a s c o n s i s t e n t w i t h a g l o b a l r a t e o f c h a n g e p e r s p e c t i v e . F o r e x a m p l e , s t r a t e g i e s b a s e d o n t h e r e l a t i v e s l o p e o r s h a p e o f t h e g r a p h o v e r t h e e n t i r e d o m a i n o f t h e i n d e p e n d e n t v a r i a b l e a r e c o n s i s t e n t w i t h a g l o b a l r a t e o f c h a n g e p e r s p e c t i v e . I n t e r v a l r a t e o f c h a n g e r e f e r s t o c h a n g e i n t h e d e p e n d e n t v a r i a b l e o v e r i n t e r v a l s o f t h e i n d e p e n d e n t v a r i a b l e s m a l l e r t h a n t h e e n t i r e d o m a i n . E x a m i n i n g c h a n g e s i n t h e d e p e n d e n t v a r i a b l e o v e r i n t e r v a l s o f t h e i n d e p e n d e n t v a r i a b l e o f o n e u n i t l e n g t h , f o r e x a m p l e , i s c o n s i s t e n t w i t h a n i n t e r v a l r a t e o f c h a n g e p e r s p e c t i v e . P o i n t r a t e o f c h a n g e 1 3 8 f o c u s e s o n c h a n g e i n t h e d e p e n d e n t v a r i a b l e f o r a n i n d i v i d u a l v a l u e o f t h e i n d e p e n d e n t v a r i a b l e . D r a w i n g a l i n e t a n g e n t t o t h e g r a p h a t a p o i n t c o r r e s p o n d i n g t o a p a r t i c u l a r v a l u e o f t h e i n d e p e n d e n t v a r i a b l e i s a n e x a m p l e o f a s t r a t e g y t h a t i s c o n s i s t e n t w i t h a p o i n t r a t e o f c h a n g e p e r s p e c t i v e . S o m e s t r a t e g i e s p r o v i d e i n t e r e s t i n g c o n n e c t i o n s b e t w e e n i n t e r v a l a n d p o i n t p e r s p e c t i v e s . O n e c o u l d c o m p u t e t h e s l o p e o f a l i n e c o n t a i n i n g p o i n t P ( x m ) % ) a n d a n o t h e r p o i n t n e a r P t o a p p r o x i m a t e t h e r a t e o f c h a n g e a t p o i n t P . T h i s i s a n i n t e r v a l s t r a t e g y u s e d t o a d d r e s s i r a t e o f c h a n g e a t a p o i n t . S i m i l a r l y o n e c o u l d a p p r o x i m a t e r a t e o f c h a n g e a t a p o i n t b y c o m p u t i n g t h e a v e r a g e r a t e o f c h a n g e o f t h e d e p e n d e n t v a r i a b l e o v e r a n i n t e r v a l o f t h e i n d e p e n d e n t v a r i a b l e a r o u n d t h a t p o i n t . T h i s a l s o m a k e s u s e o f a n i n t e r v a l s t r a t e g y t o g e t a t r a t e o f c h a n g e a t a p o i n t . Q u a l i t a t i v e r e a s o n i n g r e f e r s p r i m a r i l y t o t h e u s e o f g r a p h i c a l f e a t u r e s t o m a k e c o n c l u s i o n s a b o u t r a t e o f c h a n g e . S t r a t e g i e s w h i c h f o c u s o n p r o p e r t i e s o f a g r a p h t o m a k e c o n c l u s i o n s a b o u t r a t e o f c h a n g e o f t h e d e p e n d e n t v a r i a b l e w i t h r e s p e c t t o t h e i n d e p e n d e n t v a r i a b l e b a s e d o n t h o s e p r o p e r t i e s w i l l b e c l a s s i f i e d a s m a k i n g u s e o f q u a l i t a t i v e r e a s o n i n g . N o t i n g t h a t t h e v i s i b l e s l o p e o f t h e g r a p h g e t s s u c c e s s i v e l y s t e e p e r a n d c o n c l u d i n g t h e r e f o r e t h a t t h e d e p e n d e n t v a r i a b l e i s c h a n g i n g s u c c e s s i v e l y f a s t e r i s a s t r a t e g y t h a t m a k e s u s e o f a g r a p h i c a l f e a t u r e a n d t h e r e f o r e w o u l d b e c l a s s i f i e d a s q u a l i t a t i v e r e a s o n i n g . V i s u a l l y c o m p a r i n g t h e r i s e a n d f a l l o f a g r a p h o v e r s e v e r a l i n t e r v a l s t o d e c i d e o v e r w h i c h i n t e r v a l o f t h e i n d e p e n d e n t v a r i a b l e t h e d e p e n d e n t v a r i a b l e 1 3 9 c h a n g e s t h e m o s t o r f a s t e s t i s a s t r a t e g y t h a t r e p r e s e n t s q u a l i t a t i v e r e a s o n i n g . N u m e r i c a l r e a s o n i n g c o n c e r n s t h e c a l c u l a t i o n o r u s e o f n u m e r i c a l v a l u e s t o m a k e d e c i s i o n s a b o u t r a t e o f c h a n g e . E x a m i n i n g t h e n u m e r i c a l v a l u e s o f t h e d e p e n d e n t v a r i a b l e o f a f u n c t i o n v i a a g r a p h , t a b l e , o r e q u a t i o n t o d e c i d e i f t h e d e p e n d e n t v a r i a b l e i s i n c r e a s i n g o r d e c r e a s i n g i s a s t r a t e g y t h a t r e f e r s t o o r c a l c u l a t e s n u m e r i c a l v a l u e s . T h e r e f o r e , I w o u l d c l a s s i f y i t a s n u m e r i c a l r e a s o n i n g . C o m p u t i n g a n d r e f e r r i n g t o c h a n g e s i n t h e d e p e n d e n t v a r i a b l e o v e r i n t e r v a l s o f t h e i n d e p e n d e n t v a r i a b l e t o s p e c i f y t h e i n t e r v a l w h e r e t h e d e p e n d e n t v a r i a b l e c h a n g e s t h e m o s t o r f a s t e s t i s a n e x a m p l e o f n u m e r i c a l r e a s o n i n g . T h e s e a r e e x a m p l e s o f n u m e r i c a l r e a s o n i n g s i n c e t h e y r e l y o n n u m e r i c a l v a l u e s t o m a k e c o n c l u s i o n s a b o u t r a t e o f c h a n g e . A l g e b r a i c r e a s o n i n g i n v o l v e s t h e u s e o f f o r m u l a s o r e q u a t i o n s t o c o m p u t e v a l u e s t o m a k e j u d g m e n t s a b o u t r a t e o f c h a n g e . O b t a i n i n g t h e d e r i v a t i v e e q u a t i o n f o r a f u n c t i o n a n d f i n d i n g v a l u e s o f t h e i n d e p e n d e n t v a r i a b l e t h a t m a k e t h e d e r i v a t i v e v a l u e s p o s i t i v e a n d u s i n g t h i s t o m a k e a c o n c l u s i o n s a b o u t w h e r e t h e f u n c t i o n i s i n c r e a s i n g i s o n e e x a m p l e o f a l g e b r a i c r e a s o n i n g . L o c a t i n g t h e c o o r d i n a t e s o f t w o p o i n t s o n a l i n e t a n g e n t t o t h e g r a p h a t a p o i n t P ( x m } % ) a n d u s i n g t h e f o r m u l a f o r s l o p e o f a l i n e t o f i n d t h e s l o p e o f t h i s t a n g e n t l i n e a s a n a n s w e r f o r h o w f a s t t h e d e p e n d e n t v a r i a b l e i s c h a n g i n g a t x 0 i s a n o t h e r e x a m p l e o f a l g e b r a i c r e a s o n i n g . C o m p u t i n g t h e a v e r a g e r a t e o f c h a n g e o f t h e d e p e n d e n t v a r i a b l e o v e r a n i n t e r v a l o f t h e i n d e p e n d e n t v a r i a b l e u s i n g t h e f o r m u l a f o r a v e r a g e r a t e o f c h a n g e ( y 2 - y ' 1 ) / ( x 2 - x 1 ) i s y e t a n o t h e r e x a m p l e o f a l g e b r a i c r e a s o n i n g . S t r a t e g i e s t h a t m a k e u s e o f a f o r m u l a o r e q u a t i o n w i l l b e c l a s s i f i e d a s m a k i n g u s e o f a l g e b r a i c r e a s o n i n g . 1 4 0 O n e w a y t o i n v e s t i g a t e h o w s t u d e n t s l e a r n a s c h o o l e d c o n c e p t i s t o c o m p a r e a n d c o n t r a s t t h e k n o w l e d g e o f s t u d e n t s a t d i f f e r e n t p o i n t s i n t h e i r e d u c a t i o n a l e x p e r i e n c e . I n t h i s s t u d y a b o u t s t u d e n t s ' k n o w l e d g e o f r a t e o f c h a n g e , s t u d e n t s a t t h r e e d i f f e r e n t p o i n t s i n t h e i r m a t h e m a t i c s e d u c a t i o n w e r e a s k e d t o c o m p l e t e s e v e r a l t a s k s i n v o l v i n g r a t e o f c h a n g e . A n a s s u m p t i o n w a s m a d e a b o u t t h e l e v e l o f c o m p e t e n c e w i t h r a t e o f c h a n g e o f e a c h o f t h e g r o u p s . S i n c e t h e p r e c a l c u l u s g r o u p h a d n o t y e t f o r m a l l y s t u d i e d r a t e o f c h a n g e , t h e i r l e v e l o f c o m p e t e n c e w a s t h e s a m e a s a t r a d i t i o n a l " b e f o r e " g r o u p . T h e c a l c u l u s g r o u p w a s f i n i s h i n g t h e i r y e a r o f e l e m e n t a r y c a l c u l u s a n d c o u l d t h e r e f o r e b e c o n s i d e r e d a n " a f t e r " g r o u p . T h e p o s t c a l c u l u s g r o u p w a s s e v e r a l c o u r s e s b e y o n d c a l c u l u s a n d s o c o u l d b e s e e n a s s e v e r a l m o n t h s b e y o n d t h e " a f t e r " g r o u p . T h e s e t h r e e g r o u p s w e r e t a k e n a s r e p r e s e n t i n g d i f f e r e n t l e v e l s o f c o m p e t e n c e w i t h r e g a r d t o k n o w l e d g e o f r a t e o f c h a n g e . D i f f e r e n c e s i n t h e d i s t r i b u t i o n o f u s e o f s t r a t e g i e s o f t h e s e t h r e e g r o u p s c o u l d t h e n b e u s e d t o m a k e c o n j e c t u r e s a b o u t h o w s t u d e n t s l e a r n r a t e o f c h a n g e . W h e n e x a m i n i n g t h e d i s t r i b u t i o n o f s t r a t e g i e s a m o n g t h e t h r e e g r o u p s I l o o k e d f o r t h r e e d i f f e r e n c e s . O n e d i f f e r e n c e h a d t o d o w i t h t h e s t r a t e g i e s t h e m s e l v e s . I a n t i c i p a t e d t h a t s o m e s t r a t e g i e s w o u l d b e u s e d b y s o m e g r o u p s b u t n o t b y o t h e r s . I n t h i s c a s e I w a n t e d t o c o n s i d e r p o s s i b l e r e a s o n s f o r t h i s d i f f e r e n c e a n d t h i n k a b o u t w h a t i t m i g h t m e a n a b o u t s t u d e n t s ' l e a r n i n g o f r a t e o f c h a n g e . O n e p o s s i b i l i t y i s t h a t s t r a t e g i e s u s e d b y t h e p o s t c a l c u l u s g r o u p a r e i n s o m e s e n s e m o r e a d v a n c e d t h a n s t r a t e g i e s u s e d b y t h e c a l c u l u s g r o u p w h i c h i n t u r n a r e m o r e a d v a n c e d t h a n s t r a t e g i e s u s e d b y t h e p r e c a l c u l u s g r o u p . T h i s w o u l d 1 4 1 r e p r e s e n t a n i m p o r t a n t c o n c l u s i o n a b o u t s t u d e n t s ' k n o w l e d g e o f r a t e o f c h a n g e a n d s u g g e s t p a t h s f o r l e a r n i n g r a t e o f c h a n g e . A s e c o n d d i f f e r e n c e r e l a t e d t o s t r a t e g i e s u s e d b y m o r e t h a n o n e g r o u p b u t w i t h d i f f e r e n t f r e q u e n c i e s . I f c a l c u l u s a n d p o s t c a l c u l u s s t u d e n t s u s e d s o m e o f t h e s a m e s t r a t e g i e s b u t u s e d t h e m w i t h d i f f e r e n t f r e q u e n c i e s , t h a t m a y s a y s o m e t h i n g a b o u t t h e g r o w t h o f k n o w l e d g e o f r a t e o f c h a n g e a f t e r f o r m a l i n s t r u c t i o n i n r a t e o f c h a n g e i s f i n i s h e d . S i m i l a r l y , i f p r e c a l c u l u s a n d c a l c u l u s s t u d e n t s u s e d s o m e o f t h e s a m e s t r a t e g i e s b u t w i t h d i f f e r e n t f r e q u e n c i e s , t h a t m a y s a y s o m e t h i n g a b o u t i n t e r m e d i a t e s t a t e s o f k n o w l e d g e f r o m b e f o r e i n s t r u c t i o n i n r a t e o f c h a n g e t o d u r i n g a n d a f t e r i n s t r u c t i o n i n r a t e o f c h a n g e . B o t h o f t h e s e p o s s i b i l i t i e s p r o v i d e i n t e r e s t i n g o p p o r t u n i t i e s t o m a k e c o n j e c t u r e s a b o u t s t u d e n t s ' l e a r n i n g o f r a t e o f c h a n g e . A t h i r d d i f f e r e n c e c o n c e r n e d d i f f e r e n t u s e s o f t h e s a m e s t r a t e g i e s b y t h e g r o u p s . I f m o r e t h a n o n e g r o u p u s e d t h e s a m e s t r a t e g y b u t u s e d i t i n d i f f e r e n t w a y s , t h e n t h i s m a y s a y s o m e t h i n g a b o u t t r a n s i t i o n o f k n o w l e d g e o f r a t e o f c h a n g e a c r o s s t i m e . F o r e x a m p l e , t o e s t i m a t e r a t e o f c h a n g e a t a p o i n t , p r e c a l c u l u s s t u d e n t s m a y u s e l a r g e i n t e r v a l s b e f o r e t h e p o i n t , c a l c u l u s s t u d e n t s m a y u s e s m a l l i n t e r v a l s b e f o r e t h e p o i n t , a n d p o s t c a l c u l u s s t u d e n t s m y u s e i n t e r v a l s b o t h b e f o r e a n d a f t e r t h e p o i n t . I n t h i s c a s e e a c h g r o u p w o u l d b e u s i n g i n t e r v a l s b u t u s i n g t h e m i n d i f f e r e n t w a y s t o a d d r e s s r a t e o f c h a n g e a t a p o i n t . T h i s w o u l d b e a n i m p o r t a n t c o n c l u s i o n a b o u t d i f f e r e n c e s i n k n o w l e d g e o f t h e s e t h r e e g r o u p s a n d w o u l d s u g g e s t s o m e p o s s i b l e p a t h s f o r l e a r n i n g r a t e o f c h a n g e . 1 4 2 C h a p t e r s u m m a r y I n t h i s c h a p t e r I d i s c u s s e d t h e c r o s s s e c t i o n a l d e s i g n o f t h i s s t u d y , g a v e a d e s c r i p t i o n a n d j u s t i f i c a t i o n o f t h e t a s k s , a n d d e s c r i b e d t h e s e l e c t i o n a n d c h a r a c t e r i s t i c s o f t h e s u b j e c t s , d a t a c o l l e c t i o n p r o c e d u r e s , a n d m e t h o d s o f d a t a a n a l y s i s . I n b r i e f , s t u d e n t s f r o m t h r e e d i f f e r e n t p o i n t s o f m a t h e m a t i c a l e x p e r i e n c e w e r e a s k e d t o w o r k s i x t a s k s i n i n d i v i d u a l i n t e r v i e w s w h i c h w e r e a u d i o a n d v i d e o t a p e d . W o r d - f o r - w o r d t r a n s c r i p t s o f t h e i n t e r v i e w s a l o n g w i t h s t u d e n t s ' w r i t t e n w o r k w e r e u s e d t o i d e n t i f y s t r a t e g i e s s t u d e n t s u s e d , c l a s s i f y t h o s e s t r a t e g i e s i n t e r m s o f t h r e e p e r s p e c t i v e s o n r a t e o f c h a n g e a n d t h r e e t y p e s o f r e a s o n i n g a b o u t r a t e o f c h a n g e , a n d c o m p a r e a n d c o n t r a s t t h e t h r e e g r o u p s o f s t u d e n t s w i t h r e g a r d t o w h a t s t r a t e g i e s t h e y u s e d , t h e f r e q u e n c y w i t h w h i c h t h e y u s e d t h e m , a n d h o w t h o s e s t r a t e g i e s w e r e u s e d . T h e s t r a t e g i e s s t u d e n t s u s e d w e r e t a k e n a s t h e i r k n o w l e d g e o f r a t e o f c h a n g e . T h e c l a s s i f i c a t i o n o f t h o s e s t r a t e g i e s i n t e r m s o f t h e t h r e e p e r s p e c t i v e s o n r a t e o f c h a n g e a n d t h e t h r e e t y p e s o f r e a s o n i n g a b o u t r a t e o f c h a n g e w a s u s e d t o j u d g e t h e a d e q u a c y o f t h a t f r a m e w o r k f o r w h a t i t m e a n s t o k n o w r a t e o f c h a n g e . D i f f e r e n c e s i n w h a t s t r a t e g i e s w e r e u s e d , t h e f r e q u e n c y o f u s e o f s t r a t e g i e s , a n d h o w s t r a t e g i e s w e r e u s e d a m o n g t h e t h r e e g r o u p s w e r e u s e d t o m a k e c o n j e c t u r e s a b o u t h o w s t u d e n t s l e a r n r a t e o f c h a n g e . T h i s t h e n i s h o w t h e t h r e e g o a l s o f t h e d i s s e r t a t i o n w e r e m e t . T h e n e x t t h r e e c h a p t e r s d i s c u s s t h e r e s u l t s o f t h i s w o r k . C h a p t e r 5 c o n c e r n s t h e i d e n t i f i c a t i o n o f s t r a t e g i e s s t u d e n t s i n t h e s t u d y u s e d t o w o r k t h e t a s k s . C h a p t e r 6 d e a l s w i t h t h e c l a s s i f i c a t i o n o f s t r a t e g i e s i n t e r m s o f t h e t h r e e p e r s p e c t i v e s a n d t h r e e t y p e s o f r e a s o n i n g . I n C h a p t e r 7 I c o m p a r e a n d c o n t r a s t t h e u s e o f s t r a t e g i e s 1 4 3 a m o n g t h e t h r e e g r o u p s . S p e c i f i c a l l y , i n t h a t c h a p t e r I l o o k a t t h e s t r a t e g i e s e a c h g r o u p u s e d a n d e x a m i n e s i m i l a r i t i e s a n d d i f f e r e n c e s a m o n g t h e t h r e e g r o u p s w i t h r e g a r d t o f r e q u e n c y o f u s e o f s t r a t e g i e s a n d h o w s t r a t e g i e s w e r e u s e d . w . . Q fl . . x . ? . L . u % 4 3 n ” . . 3 A P — » V ? a W M fl n W L fl M d s fi s » . . 4 5 . 2 n . . 2 . . . . . . . : g 1 9 1 . A . “ I é . ‘ . t n V n h v . l o . . . , I . I I . . ‘ 1 5 . g : g . ; . v e i z ; : ; x . 7 : A A m i w w u ‘ “ ! i i t 1 : 1 1 : 1 4 . . , . m m fi i a « 4 A , . “ A . A _ w t A I H U p ‘ l A r . fi u ‘ m t t f fl x N W T ? . L I ‘ . H o A . . v ) I s > . . J M H O Q I I n u t , 9 4 ‘ ‘ . . 0 1 1 3 . . . - I . " A ‘ r ‘ x 0 . . L $ . 3 . . . . . 1 H t 5 1 b W i l l “ ! ! ! H H I I H ‘ I H H H I H I ! H I I I I H I H ' I I H { I M M U N E 2 9 3 0 1 6 8 8 7 6 7 5 M l L c U I h n B g v R a o l l A s n r R S l t t Y a y t e P L A C E I N R E T U R N B O X t o r e m o v e t h i s c h e c k o u t f r o m y o u r r e c o r d . T O A V O I D F I N E S r e t u r n o n o r b e f o r e d a t e d u e . D A T E D U E D A T E D U E D A T E D U E W N W ; u B E fi fi H J o a 1 M m m . p o s - p . 1 4 H I G H S C H O O L A N D C O L L E G E S T U D E N T S ’ K N O W L E D G E O F R A T E O F C H A N G E V O L U M E I I B Y G a r n e t S . H a u g e r A N A B S T R A C T O F A D I S S E R T A T I O N S u b m i t t e d t o M i c h i g a n S t a t e U n i v e r s i t y i n p a r t i a l f u l f i l l m e n t o f t h e r e q u i r e m e n t s f o r t h e d e g r e e o f D O C T O R O F P H I L O S O P H Y D e p a r t m e n t o f C o u n s e l i n g , E d u c a t i o n a l P s y c h o l o g y , a n d S p e c i a l E d u c a t i o n 1 9 9 8 C h a p t e r 5 I D E N T I F Y I N G S T R A T E G I E S A t t h e e n d o f C h a p t e r 4 I i n d i c a t e d t h a t t h e d a t a a n a l y s i s f o r t h i s s t u d y i n v o l v e d t h r e e p a r t s — i d e n t i f y i n g s t r a t e g i e s , c l a s s i f y i n g s t r a t e g i e s i n t e r m s o f t h r e e p e r s p e c t i v e s a n d t h r e e t y p e s o f r e a s o n i n g , a n d c o m p a r i n g a n d c o n t r a s t i n g t h e t h r e e g r o u p s o f s t u d e n t s w i t h r e g a r d t o t h e i r s t r a t e g y u s e . T h e s e t h e n h e l p a n s w e r t h e q u e s t i o n s p o s e d a t t h e e n d o f C h a p t e r 1 a b o u t s t u d e n t s ' k n o w l e d g e o f r a t e o f c h a n g e . A s i n d i c a t e d i n C h a p t e r 3 , i n t h i s s t u d y k n o w l e d g e w a s t a k e n t o b e s t r a t e g i e s . T h e r e f o r e t h e a n a l y s i s o f s t u d e n t s ' k n o w l e d g e w a s a n a n a l y s i s o f t h e s t r a t e g i e s t h e y u s e d . T h e p a r t o f t h e a n a l y s i s r e p o r t e d i n t h i s c h a p t e r c o n c e r n s i d e n t i f i c a t i o n o f t h e s t r a t e g i e s s t u d e n t s u s e d t o w o r k t h e s i x t a s k s i n t h i s s t u d y a n d h a s t w o m a j o r s e c t i o n s , o n e s e c t i o n f o r t h e " w a l k i n g " t a s k s a n d o n e s e c t i o n f o r t h e " t h r o w n b a l l " , " b i o m a s s " , a n d " c i r c l e s " t a s k s . I n e a c h s e c t i o n , I g i v e s t a t e m e n t s o f t h e c o r r e s p o n d i n g t a s k s a n d c o r r e c t a n s w e r s . T h e n I f o c u s o n i d e n t i f i c a t i o n o f s t r a t e g i e s s t u d e n t s u s e d t o w o r k t h e s e t a s k s . T h e r e w e r e s e v e r a l r e a s o n s f o r g r o u p i n g t h e " w a l k i n g " t a s k s t o g e t h e r a n d t h e " t h r o w n b a l l " , " b i o m a s s " , a n d " c i r c l e s " t a s k s t o g e t h e r f o r d a t a a n a l y s i s . T w o r e a s o n s h a d t o d o w i t h w h a t w a s g i v e n a n d w h a t w a s r e q u e s t e d i n t h e t a s k s . I n t h e " w a l k i n g " t a s k s s t u d e n t s w e r e v e r b a l l y g i v e n i n f o r m a t i o n a b o u t s i m i l a r s i t u a t i o n s a n d a s k e d t o c r e a t e g r a p h s a n d t a b l e s o f v a l u e s t h a t s h o w d i f f e r e n t t y p e s o f r a t e o f c h a n g e 1 4 4 1 4 5 - s l o w i n g d o w n , s p e e d i n g u p , a n d s t e a d y p a c e — a n d t o e x p l a i n h o w t h e i r g r a p h s a n d t a b l e s s h o w e d t h e s e r a t e s o f c h a n g e . I n t h e " t h r o w n b a l l " , " b i o m a s s " , a n d " c i r c l e s " t a s k s s t u d e n t s w e r e g i v e n v e r b a l d e s c r i p t i o n s o f s i t u a t i o n s a l o n g w i t h g r a p h s a n d t a b l e s o f v a l u e s s h o w i n g r e l a t i o n s h i p s b e t w e e n t w o q u a n t i t i e s i n e a c h s i t u a t i o n a n d a s k e d q u e s t i o n s a b o u t t h e r a t e o f c h a n g e o f o n e o f t h e q u a n t i t i e s w i t h r e s p e c t t o t h e o t h e r . A n o t h e r r e a s o n f o r g r o u p i n g c e r t a i n t a s k s t o g e t h e r h a d t o d o w i t h t h e c o n t e x t s o f t h e t a s k s . T h e c o n t e x t w a s t h e s a m e f o r t h e " w a l k i n g " t a s k s ; i t i n v o l v e d t w o p e o p l e s t a r t i n g a t o p p o s i t e c o r n e r s o f a r o o m , w a l k i n g t o w a r d e a c h o t h e r , a n d p r o c e e d i n g t o t h e i r r e s p e c t i v e o p p o s i t e c o r n e r s a f t e r p a s s i n g . T h e c o n t e x t s f o r t h e " t h r o w n b a l l " , " b i o m a s s " , a n d " c i r c l e s " t a s k s w e r e n o t a s o b v i o u s l y s i m i l a r . T h e " b i o m a s s " a n d " C i r c l e s " t a s k s h a d t o d o w i t h g r o w t h - g r o w t h o f p o p u l a t i o n i n o n e t a s k a n d g r o w t h o f a r e a i n t h e o t h e r . T h e " t h r o w n b a l l " t a s k d e s c r i b e d a m o t i o n , a s d i d t h e " w a l k i n g " t a s k s , b u t i t w a s t h e m o t i o n o f a t h r o w n b a l l r a t h e r t h a n t h e m o t i o n o f t w o p e o p l e w a l k i n g . A f i n a l r e a s o n t a s k s w e r e g r o u p e d t h i s w a y h a d t o d o w i t h s p e c i f i c q u e s t i o n s s t u d e n t s w e r e a s k e d t o a n s w e r . I n t h e " t h r o w n b a l l " , " b i o m a s s " , a n d " c i r c l e s " t a s k s s t u d e n t s w e r e a s k e d q u e s t i o n s a i m e d a t d i s c o v e r i n g s t r a t e g i e s t h e y u s e f o r a d d r e s s i n g r a t e o f c h a n g e a t a p o i n t . T h e r e a r e n o i t e m s i n t h e " w a l k i n g " t a s k s w h i c h p o i n t e d l y a s k e d s t u d e n t s t o a d d r e s s r a t e o f c h a n g e a t a p o i n t . T h o s e t a s k s f o c u s e d m o r e o n g l o b a l a n d i n t e r v a l p e r s p e c t i v e s o n r a t e o f c h a n g e . T h i s w a s a n o t h e r r e a s o n f o r g r o u p i n g t h e " w a l k i n g " t a s k s t o g e t h e r a n d t h e " t h r o w n b a l l " , " b i o m a s s " , a n d " c i r c l e s " t a s k s t o g e t h e r . 1 4 6 T h e " w a l k i n g " t a s k s T a s k s t a t e m e n t s . T a s k s 1 , 2 , a n d 3 p r e s e n t e d t h r e e s i m i l a r s i t u a t i o n s : T a s k 1 - T w o p e o p l e s t a r t a t o p p o s i t e c o r n e r s o f a r o o m a n d w a l k t o w a r d e a c h o t h e r . A s t h e y w a l k , t h e y b o t h s l o w d o w n a s t h e y g e t c l o s e r t o e a c h o t h e r , p a s s , a n d t h e n s p e e d u p a s t h e y g e t f a r t h e r a p a r t . T h i s t a k e s a t o t a l o f e i g h t s e c o n d s . T h e o p p o s i t e c o r n e r s o f t h e r o o m a r e 2 0 f e e t a p a r t . T a s k 2 - T h e s e t w o p e o p l e a g a i n s t a r t a t o p p o s i t e c o r n e r s o f t h e r o o m a n d w a l k t o w a r d e a c h o t h e r b u t t h i s t i m e t h e y m a i n t a i n t h e s a m e s t e a d y p a c e t h e w h o l e w a y . A g a i n i t t a k e s a t o t a l o f e i g h t s e c o n d s f o r e a c h t o w a l k t h e 2 0 f e e t . T a s k 3 - T h e s e t w o p e o p l e o n c e m o r e s t a r t a t o p p o s i t e c o r n e r s a n d w a l k t o w a r d e a c h o t h e r , b u t t h i s t i m e a s t h e y w a l k , t h e y b o t h s p e e d u p a s t h e y g e t c l o s e r t o e a c h o t h e r , p a s s , a n d t h e n s l o w d o w n a s t h e y g e t f a r t h e r a p a r t . O n c e a g a i n i t t a k e s e i g h t s e c o n d s f o r e a c h t o w a l k t h e 2 0 f e e t . F o r e a c h t a s k , s t u d e n t s w e r e a s k e d t o c r e a t e a g r a p h s h o w i n g t h e d i s t a n c e b e t w e e n t h e t w o p e o p l e ( d i s t a n c e a p a r t ) a t e a c h m o m e n t i n t i m e a n d e x p l a i n h o w t h e i r g r a p h s h o w e d t h e t w o p e o p l e s l o w i n g d o w n , s p e e d i n g u p , o r w a l k i n g a t a s t e a d y p a c e . T h e n s t u d e n t s w e r e a s k e d t o c r e a t e a t a b l e o f v a l u e s f o r t h e i r g r a p h a n d e x p l a i n h o w t h e i r t a b l e s h o w e d t h e t w o p e o p l e s l o w i n g d o w n , s p e e d i n g u p , o r w a l k i n g a t a s t e a d y p a c e . C o r r e c t a n s w e r s . C o r r e c t g r a p h s f o r T a s k s 1 a n d 3 a r e s h o w n i n F i g u r e 8 . T a s k 2 i s t h e o n l y t a s k t h a t r e q u i r e s a g r a p h t h a t m e e t s t h e h o r i z o n t a l a x i s a t t h e p o i n t ( 4 , 0 ) . S i n c e t h e t w o p e o p l e w a l k a t t h e s a m e s t e a d y p a c e t h r o u g h o u t t h e e n t i r e t i m e a n d s i n c e t h e y e a c h h a v e t o w a l k 2 0 f e e t i n e i g h t s e c o n d s , t h e y e a c h w a l k t w o a n d a h a l f f e e t e a c h s e c o n d . B e f o r e t h e y s t a r t w a l k i n g , t h e y a r e 2 0 f e e t a p a r t ; t h e r e f o r e , t h e p o i n t ( 0 , 2 0 ) i s o n t h e g r a p h . A f t e r o n e s e c o n d , t h e y h a v e e a c h w a l k e d t w o a n d a h a l f f e e t f o r a t o t a l o f f i v e f e e t . S o a t t h e e n d o f t h e f i r s t a m h h d a m h h d a m a u m T a s k 1 T a s k 3 2 0 2 0 1 8 v 1 3 _ 1 6 — 1 6 _ 1 4 - 1 4 > 1 2 - 3 1 2 . C 1 0 5 1 0 ~ 8 < % 8 - 6 ~ 6 I 4 T 4 2 2 o 1 v 0 v 0 2 4 6 8 o 2 4 fl m o fi m e T a s k 1 T a s k 3 2 0 2 0 1 8 A 1 8 1 6 < 1 5 . _ 1 4 4 1 4 i t 1 2 « 3 1 2 r I : 1 0 s 1 0 . . a . ‘ % a . - 6 - 5 _ 4 ~ 4 « A 2 ~ 2 A - o I v O A V o 2 4 6 8 o 2 4 fi m e fi m e T a s k 3 T a s k 1 2 0 2 0 1 a 1 8 » 1 6 ‘ 1 6 — — 1 4 ‘ 1 4 " ‘ 3 1 2 . - 1 2 1 : g 1 0 — » 1 o « - 2 a . 1 . , 8 . 6 - 6 a » 4 J 4 " 2 . L 2 . o - 0 ' o 2 4 2 4 6 8 t i m e fl m e F i g u r e 8 - S o m e c o r r e c t g r a p h s f o r T a s k s 1 a n d 3 1 4 8 s e c o n d , t h e y a r e 1 5 f e e t a p a r t . T h a t m e a n s t h e p o i n t ( 1 , 1 5 ) i s o n t h e g r a p h . A t t h e e n d o f t w o s e c o n d s , t h e y h a v e e a c h w a l k e d f i v e f e e t f o r a t o t a l o f 1 0 f e e t . S o t h e y a r e t e n f e e t a p a r t a n d t h e p o i n t ( 2 , 1 0 ) o n t h e g r a p h . A t t h e e n d o f t h r e e s e c o n d s , t h e y h a v e w a l k e d a t o t a l o f 1 5 f e e t a n d a r e f i v e f e e t a p a r t , s o t h e p o i n t ( 3 , 5 ) i s o n t h e g r a p h . A f t e r f o u r s e c o n d s t h e y h a v e e a c h w a l k e d 1 0 f e e t a n d a r e i n t h e m i d d l e o f t h e r o o m n e x t t o e a c h o t h e r ; t h i s i s r e p r e s e n t e d o n t h e g r a p h b y t h e p o i n t ( 4 , 0 ) . S i m i l a r l y , t h e p o i n t s ( 5 , 5 ) , ( 6 , 1 0 ) , ( 7 , 1 5 ) , a n d ( 8 , 2 0 ) a r e o n t h e g r a p h a n d r e p r e s e n t t h e d i s t a n c e b e t w e e n t h e t w o p e o p l e a t v a r i o u s p o i n t s i n t i m e a s t h e y w a l k a w a y f r o m e a c h o t h e r t o w a r d t h e i r r e s p e c t i v e o p p o s i t e c o r n e r s . F o r e a c h o f t h e o t h e r t w o t a s k s , t h e t w o p e o p l e d o n o t n e c e s s a r i l y h a v e t o m e e t a t t = 4 . I n t a s k 1 , t h e t w o p e o p l e s l o w d o w n a s t h e y w a l k t o w a r d e a c h o t h e r , p a s s , a n d t h e n s p e e d u p a f t e r t h e y p a s s e a c h o t h e r . E v e n i f t h e y w a l k t h e s a m e p a c e a s e a c h o t h e r a t e v e r y m o m e n t , i t i s s t i l l p o s s i b l e f o r t h e m t o m e e t b e f o r e t = 4 , a t t = 4 , o r a f t e r t = 4 . F o r e x a m p l e , i f t h e y e a c h w a l k f i v e f e e t i n t h e f i r s t s e c o n d , t o g e t h e r t h e y w a l k 1 0 f e e t s o t h a t a t t h e e n d o f t h a t s e c o n d t h e y a r e 1 0 f e e t a p a r t a n d t h e p o i n t ( 1 , 1 0 ) i s o n t h e g r a p h . I f i n t h e n e x t s e c o n d t h e y e a c h w a l k t h r e e f e e t , t h e n t o g e t h e r t h e y w a l k s i x f e e t i n t h a t s e c o n d f o r a t o t a l o f 1 6 f e e t i n t h e f i r s t t w o s e c o n d s . T h a t m e a n s t h e y a r e f o u r f e e t a p a r t a t t h e e n d o f t w o s e c o n d s a n d t h e p o i n t ( 2 , 4 ) i s o n t h e g r a p h . I f t h e y t h e n e a c h w a l k t w o f e e t i n t h e t h i r d s e c o n d s o t h a t t o g e t h e r t h e y w a l k f o u r f e e t i n t h a t s e c o n d , t h e n a t t h e e n d o f t h r e e s e c o n d s t h e y w i l l m e e t a n d t h e p o i n t ( 3 , 0 ) i s o n t h e g r a p h . T h e y t h e n p m o c e e d t o t h e o t h e r s i d e o f t h e r o o m m a k i n g s u r e t h e y w a l k m o r e f e e t i n e m fl i s u c c e s s i v e s e c o n d . A s a m p l e g r a p h c o u l d g o t h r o u g h t h e p o i n t s 1 4 9 ( 4 , 2 ) , ( 5 , 5 ) , ( 6 , 9 ) , ( 7 , 1 4 ) , ( 8 , 2 0 ) . T h i s w o u l d m e a n t h a t e a c h p e r s o n w a l k e d o n e f o o t , o n e a n d a h a l f f e e t , t w o f e e t , t w o a n d a h a l f f e e t , a n d t h r e e f e e t i n e a c h s u c c e s s i v e s e c o n d a f t e r t = 3 . T o g e t a t a b l e o f v a l u e s f o r e a c h t a s k , o n e c o u l d s i m p l y r e a d p o i n t s f r o m t h e g r a p h o r c o n s t r u c t d i s t a n c e v a l u e s t o m a t c h a p p r o p r i a t e r a t e o f c h a n g e c o n d i t i o n s . T a s k 2 i s t h e o n l y t a s k t h a t h a s a s i n g l e c o r r e c t t a b l e o f v a l u e s . I t m u s t c o n t a i n p o i n t s ( 0 , 2 0 ) , ( 1 , 1 5 ) , ( 2 , 1 0 ) , ( 3 , 5 ) , ( 4 , 0 ) , ( 5 , 5 ) , ( 6 , 1 0 ) , ( 7 , 1 5 ) , a n d ( 8 , 2 0 ) . B u t T a s k s 1 a n d 3 h a v e m a n y c o r r e c t t a b l e s o f v a l u e s . T h e o n l y r e q u i r e m e n t i s t h a t t h e y s h o w s l o w i n g d o w n a n d s p e e d i n g u p o n t h e a p p r o p r i a t e s e c t i o n s . S a m p l e t a b l e s f o r T a s k s 1 a n d 3 a r e s h o w n i n F i g u r e 9 . T h r e e t a b l e s o f v a l u e s f o r T a s k 1 T i m e ( t ) D i s t ( d ) T i m e ( t ) D i s t ( d ) T i m e ( t ) D i s t ( d ) O 2 0 0 2 0 O 2 0 1 1 0 1 1 2 1 1 4 2 4 2 6 2 9 3 0 3 2 3 5 4 2 4 O 4 2 5 5 5 2 5 O - 6 9 6 6 6 4 7 1 4 7 1 2 7 1 0 8 2 0 8 2 0 8 2 0 T h r e e t a b l e s o f v a l u e s f o r T a s k 3 T i m e ( t ) D i s t ( d ) T i m e ( t ) D i s t ( d ) T i m e ( t ) D i s t ( d ) 0 2 0 0 2 0 0 2 O 1 1 6 1 1 8 1 1 8 2 1 0 2 1 4 2 1 5 3 0 3 8 3 1 1 4 6 4 O 4 6 5 1 1 5 1 0 5 0 6 1 5 6 1 5 6 1 0 7 1 8 7 1 9 7 1 6 8 2 0 8 2 0 8 2 0 F i g u r e 9 - S o m e c o r r e c t t a b l e s o f v a l u e s f o r T a s k s 1 a n d 3 1 5 0 I d e n t i f i c a t i o n o f s t r a t e g i e s . S t r a t e g i e s f o r e x p l a i n i n g g r a p h s . S t u d e n t s u s e d s e v e r a l d i f f e r e n t s t r a t e g i e s t o e x p l a i n h o w t h e i r g r a p h s s h o w e d t h e t w o p e o p l e s p e e d i n g u p , s l o w i n g d o w n , o r w a l k i n g a t a s t e a d y p a c e . T a b l e 2 g i v e s e a c h s t r a t e g y a n d t h e n u m b e r o f s t u d e n t s u s i n g e a c h s t r a t e g y o n e a c h t a s k . T a b l e 2 — S t r a t e g i e s u s e d t o e x p l a i n g r a p h s F r e q u e n c y ( p e r c e n t ) o f s t u d e n t s ' e x p l a n a t i o n s t r a t e g i e s S t r a t e g y T a s k 1 T a s k 2 T a s k 3 D e l t a d 2 4 ( 6 5 % ) 3 1 ( 8 4 % ) 2 6 ( 7 0 % ) V i s u a l s l o p e 2 2 ( 6 0 % ) 1 6 ( 4 3 % ) 2 0 ( 5 4 % ) D e l t a d a n d d e l t a t 8 ( 2 2 % ) 0 ( 0 % ) 4 ( 1 1 % ) R e f e r e n c e t o a p o i n t 5 ( 1 4 % ) 2 ( 5 % ) 0 ( 0 % ) D e l t a t 5 ( 1 4 % ) 1 ( 3 % ) 4 ( 1 1 % ) M e e t i n g p o i n t 3 ( 8 % ) 2 ( 5 % ) 2 ( 5 % ) V e l o c i t y e q u a t i o n 0 ( 0 % ) 2 ( 5 % ) 0 ( 0 % ) N o t e : P e r c e n t a g e s a d d u p t o m o r e t h a n 1 0 0 % i n e a c h c o l u m n s i n c e s o m e s t u d e n t s g a v e m o r e t h a n o n e e x p l a n a t i o n . " D e l t a d " . O n e a c h o f t h e t h r e e t a s k s , o v e r 6 0 p e r c e n t o f t h e s t u d e n t s r e f e r r e d t o t h e a c t u a l o r r e l a t i v e c h a n g e i n d i s t a n c e e a c h s e c o n d . I c a l l e d t h i s s t r a t e g y " d e l t a d " . I f t h e s e c h a n g e s g e t s u c c e s s i v e l y g r e a t e r i n a b s o l u t e v a l u e t h e t w o p e o p l e a r e s p e e d i n g u p ; i f t h e y g e t s u c c e s s i v e l y s m a l l e r , t h e y a r e s l o w i n g d o w n ; i f t h e y a r e c o n s t a n t , t h e y a r e w a l k i n g a t a c o n s t a n t p a c e . H e r e a r e s t u d e n t s ' e x p l a n a t i o n s u s i n g t h e " d e l t a d " s t r a t e g y " : T a s k 1 - " T h e f i r s t s e c o n d t h e y c o v e r a l o t . T h e n a s t h e y g r a d u a l l y s l o w d o w n , a t e a c h p r o g r e s s i n g s e c o n d , t h e y c o v e r l e s s . " D G - P r e c a l c u l u s " A s t h e y ' r e g e t t i n g c l o s e r , a s t h e t i m e ' s g o i n g i n t o a h a l f , t h e n t h e y ' r e g e t t i n g c l o s e r a t a s l o w e r r a t e . ( O k . A n d t h a t ' s s h o w n b y ? ) T h e y m o v e a l i t t l e l e s s e a c h s e c o n d . " B S — C a l c u l u s 1 5 1 " W e l l , t h e y ' r e g o i n g t o g o f a s t e r , t h e y ' r e g o i n g t o c o v e r m o r e f e e t i n t h e f i r s t s e c o n d ' c a u s e t h e y ' r e g o i n g f a s t e r . T h e n a s t h e y s l o w d o w n t h e y ' r e g o i n g t o c o v e r l e s s f e e t f o r e a c h s e c o n d . " J G - P o s t c a l c u l u s T a s k 2 - " E v e r y s e c o n d t h a t p a s s e s t h e y ' r e g o i n g t h e s a m e a m o u n t o f d i s t a n c e . " L C - P r e c a l c u l u s " T h e y b o t h [ b o t h s i d e s o f t h e g r a p h ] C h a n g e 5 f e e t f o r e v e r y s e c o n d b e f o r e t h e y r e a c h e a c h o t h e r a n d a f t e r t h e y r e a c h e a c h o t h e r . " R F - C a l c u l u s " B e c a u s e t h e y ' r e g o i n g a n e q u a l d i s t a n c e f o r e v e r y - b e t w e e n e v e r y s e c o n d , t h e y ' r e g o i n g t h e s a m e d i s t a n c e . " J S — P o s t c a l c u l u s T a s k 3 - " ( H o w d o e s y o u r g r a p h s h o w t h e t w o p e o p l e s p e e d i n g u p a s t h e y w a l k t o w a r d e a c h o t h e r ? ) U m , w e l l , t h e y o n l y w a l k e d 3 f e e t t h e f i r s t t i m e [ f r o m t = 0 t o t = 1 ] , t h e n 4 [ f r o m t = 1 t o t = 2 ] , t h e n 6 [ f r o m t = 2 t o t = 3 ] , t h e n 7 [ f r o m t = 3 t o t = 4 ] . " A J - P r e c a l c u l u s " B e c a u s e w i t h i n t h e t i m e f r a m e t h e y ' r e m o v i n g u m a f a i r l y s m a l l a m o u n t o f d i s t a n c e [ f r o m t = 0 t o t = 1 ] c o m p a r e d t o t h e s a m e t i m e f r a m e i n w h i c h t h e y ' r e m o v i n g a l a r g e r a m o u n t o f d i s t a n c e [ f r o m t = 3 t o t = 4 ] " H L — C a l c u l u s " U m . B a s i c a l l y I g u e s s b e c a u s e t h e f i r s t s e c o n d [ f r o m t = 0 t o t = 1 ] I m a d e i t s o t h e y o n l y c o v e r e d f o u r f e e t . A n d t h e n f r o m t h e f i r s t t o t h e s e c o n d [ f r o m t = 1 t o t = 2 ] t h e y c o v e r e d f i v e , s o t h e y ' r e s p e e d i n g u p . Y o u c a n s e e t h e y s p e e d u p . I t g o e s f r o m 4 h e r e [ f r o m t = 1 t o t = 2 ] a n d t h e n i t f i n i s h e s o f f a t 6 d o w n h e r e [ f r o m t = 3 t o t = 4 ] . " R C - P o s t c a l c u l u s E a c h o f t h e s e s t u d e n t s r e f e r r e d t o d i s t a n c e c o v e r e d e a c h s e c o n d . S l o w i n g d o w n w a s d e n o t e d b y c o v e r i n g l e s s d i s t a n c e i n s u c c e e d i n g s e c o n d s , s p e e d i n g u p b y c o v e r i n g m o r e d i s t a n c e , a n d s t e a d y p a c e b y c o v e r i n g t h e s a m e d i s t a n c e e a c h s e c o n d . S o m e s t u d e n t s a c t u a l l y c o m p u t e d d i s t a n c e s c o v e r e d e a c h s e c o n d ( R F , A J , a n d R C ) w h i l e o t h e r s v i s u a l l y c o m p a r e d r e l a t i v e d i s t a n c e s t r a v e l e d e a c h s e c o n d ( D G , B S , J G , L C , J S , a n d H L ) . R e g a r d l e s s w h i c h w a y t h e y d i d i t , t h e s e s t u d e n t s w e r e c x m m a r i n g c h a n g e i n d i s t a n c e e a c h s e c o n d . 1 5 2 " V i s u a l s l o p e " . T h e s e c o n d m o s t u s e d s t r a t e g y f o r e x p l a i n i n g h o w g r a p h s s h o w e d s p e e d i n g u p , s l o w i n g d o w n , o r s t e a d y p a c e w a s " v i s u a l s l o p e " . I f t h e s l o p e g e t s s u c c e s s i v e l y f l a t t e r , t h e t w o p e o p l e a r e s l o w i n g d o w n ; i f t h e s l o p e g e t s s u c c e s s i v e l y s t e e p e r , t h e y a r e s p e e d i n g u p ; i f t h e s l o p e d o e s n o t c h a n g e , t h e y a r e w a l k i n g a t a s t e a d y p a c e . O n e a c h t a s k a t l e a s t 4 0 p e r c e n t u s e d v i s u a l s l o p e t o m a k e d e c i s i o n s a b o u t w h e n t h e t w o p e o p l e w e r e s l o w i n g d o w n , s p e e d i n g u p , o r m a i n t a i n i n g a s t e a d y p a c e : T a s k 1 - " W h e n t h e y ' r e g o i n g f a s t e r , t h e l i n e s a r e s t e e p e r a n d t h e y ' r e n o t a s s t e e p w h e n t h e y a r e g o i n g s l o w e r . " K H — P r e c a l c u l u s " T h e y s t a r t e d o u t 2 0 f e e t a p a r t a n d t h e y w e r e w a l k i n g q u i c k l y t o b e g i n w i t h s o t h e s l o p e o f t h e l i n e o n t h e g r a p h w o u l d b e s t e e p a n d a s t h e y s l o w d o w n , t h e s l o p e i s g o i n g t o d e c r e a s e a n d b e c o m e m o r e g r a d u a l . A n d t h e n a s t h e y m e e t t h e s l o p e i s g o i n g t o i n c r e a s e b e c a u s e t h e y ' r e g o i n g t o s p e e d u p a n d s t a r t t o m o v e f a r t h e r a p a r t m o r e q u i c k l y . " D W — C a l c u l u s " ( H o w d o e s y o u r g r a p h s h o w t h e t w o p e o p l e s l o w i n g d o w n ? ) B y f l a t t e n i n g i t o u t . ( A n d w h y d o e s f l a t t e n i n g i t o u t s h o w s l o w i n g d o w n ? ) B e c a u s e a s y o u r c u r v e g e t s f l a t t e r i t m e a n s t h a t i t ' s a p p r o a c h i n g z e r o . ( I t ' s a p p r o a c h i n g z e r o ? ) Y e s . ( W h a t ' s t h e ' i t ' i n t h a t s e n t e n c e ? ) A s y o u r s l o p e , u m , b e c o m e s , u m , a s i t m o v e s m o r e a n d m o r e t o w a r d s a h o r i z o n t a l , i t ' s g o i n g t o s l o w d o w n [ m o v e s p e n a l o n g c u r v e f r o m t = 2 t o t = 4 ] . I t ' l l b e y o u r r a t e o f c h a n g e . ( S o y o u ' r e i d e n t i f y i n g s l o p e ? ) U h h u h . ( O k . Y o u s t a r t e d t o d r a w s o m e t h i n g t h e r e . ) [ S h e w a s s t r i k i n g t h e c u r v e w i t h w h a t l o o k e d l i k e t a n g e n t l i n e s e g m e n t s d o w n t h e l e f t s i d e o f t h e c u r v e . ] O h . L i k e i f y o u t a k e l i k e a p a r t i c u l a r p o i n t o n t h e g r a p h a n d d r a w l i k e u h t h e s l o p e a t t h a t p a r t i c u l a r p o i n t - l i k e r i g h t h e r e - i t w o u l d b e a b o u t r i g h t h e r e - r i g h t h e r e - i t w o u l d b e l i k e - h e r e - a n d i t s h o w s t h a t — i t w o u l d l i k e h e r e - r i g h t h e r e . [ A s s h e s a y s t h i s s h e i s d r a w i n g t a n g e n t l i n e s e g m e n t s a t s e v e r a l p o i n t s d o w n t h e l e f t s i d e o f t h e c u r v e . ] ( S o y o u ' r e n o t d r a w i n g t h e s l o p e . ) I t ' s t h e s l o p e o f a t a n g e n t l i n e . ( W h a t i s i t a b o u t t h e s l o p e o f t h e t a n g e n t l i n e t h a t t e l l s y o u t h e s p e e d o r t h e r a t e o f c h a n g e o f t h a t g r a p h ? ) T h e s l o p e o f t h e t a n g e n t l i n e w i l l j u s t s h o w y o u t h e r a t e o f c h a n g e a t t h e p a r t i c u l a r p a r t o f t i m e a t s u c h a n d s u c h a d i s t a n c e . ( S o o n t h i s s i d e [ l e f t s i d e o f h e r g r a p h ] y o u ' r e i n d i c a t i n g i t ' s s l o w i n g d o w n , t h e s l o p e i s , u h , w h a t d i d y o u s a y ? G e t t i n g s m a l l e r ? D e c r e a s i n g ? I c a n ' t r e m e m b e r y o u r e x a c t w o r d s . ) Y e a h . I j u s t s a i d i t ' s b e c o m i n g m o r e h o r i z o n t a l . T h a t ' s w h a t I s a i d . ( A n d s o h o w d o e s t h i s s i d e 1 5 3 [ r i g h t s i d e o f g r a p h ] s h o w s p e e d i n g u p ? ) B e c a u s e i t ' s b e c o m i n g m o r e v e r t i c a l . " S E - P o s t c a l c u l u s T a s k 2 - " I t ' s g o t t a b e s t r a i g h t [ d r a w s v - s h a p e d g r a p h ] . T h e s l o p e o f t h e l i n e i s t h e s a m e t h e w h o l e w a y s o t h e y ' r e c o v e r i n g t h e s a m e d i s t a n c e i n e v e r y s e c o n d . " M H - P r e c a l c u l u s " B e c a u s e i f y o u p i c k e d a n y t w o p o i n t s , i t ' s a l w a y s t h e s a m e . T h e r a t e o f c h a n g e i s t h e s a m e a s t h e s l o p e o f t h e l i n e , a n d t h e s l o p e o f t h e l i n e i s j u s t t h e s a m e t h e w h o l e w a y b e c a u s e i t ' s a s t r a i g h t l i n e . " A M - C a l c u l u s " B e c a u s e i t ' s n o t c u r v e d a n d i t ' s n o t s h o w i n g a c h a n g e o f p a c e . I t ' s k e e p i n g t h e s a m e x , r i s e o v e r t h e r u n . ( O k . R i s e o v e r t h e r u n i s t h e s a m e . ) S a m e s t e e p n e s s o f s l o p e . " L B - P o s t c a l c u l u s T a s k 3 - " ( H o w d o e s y o u r g r a p h s h o w t h e t w o p e o p l e s p e e d i n g u p ? ) W e l l , a l l o f a s u d d e n t h e y m a k e a s u d d e n d r o p r i g h t h e r e [ p o i n t i n g t o t h e s e c t i o n o f t h e g r a p h b e t w e e n t = 3 . 5 a n d t = 4 w h e r e t h e g r a p h d r o p s 5 f e e t ] w h e r e t h e y ' r e a l l o f a s u d d e n f i v e f e e t a p a r t a n d t h e n j u s t d r o p a l l t h e w a y t o z e r o . ( A n d h o w d o e s y o u r g r a p h s h o w t h e t w o p e o p l e s l o w i n g d o w n ? ) T h e y - w h e n t h e y g e t u p h e r e [ p o i n t i n g t o t h e u p p e r r i g h t p a r t o f t h e c u r v e ] i t j u s t k i n d o f l e v e l s o f f — n o t r e a l l y l e v e l s o f f i n a w a y — b u t s l o w l y m o v e s u p . " B G - P r e c a l c u l u s " T h e y ' r e g o i n g s l o w e r h e r e [ a t t h e b e g i n n i n g ] s o t h e s l o p e w i l l b e l e s s a n d t h e n i t w i l l g r a d u a l l y i n c r e a s e a n d g e t s t e e p e r . T h e s t e e p e r t h e s l o p e i s , t h e f a s t e r a p e r s o n w i l l b e t r a v e l i n g b e c a u s e t h e d i s t a n c e c h a n g e s t h e m o s t . T h e f a s t e r t h e y ' r e w a l k i n g , t h e m o s t d i s t a n c e t h e y ' r e c o v e r i n g o v e r a p e r i o d o f t i m e . " S B — C a l c u l u s " T h e g r a p h g e t s s t e e p e r a s t h e y g e t c l o s e r t o g e t h e r w h i c h m e a n s t h e y ' r e m o v i n g f a s t e r . A n d a s t h e y g o a p a r t , t h e g r a p h s t a r t s o u t s t e e p a n d g e t s l e s s s t e e p . S o t h e y ' r e s l o w i n g d o w n . ( W h y d o e s g o i n g s t e e p e r m e a n t h e y ' r e g o i n g f a s t e r ? ) B e c a u s e t h e a m o u n t o f d i s t a n c e p e r s e c o n d i s h i g h e r . " M G - P o s t c a l c u l u s R e s p o n s e s w e r e c l a s s i f i e d a s m a k i n g u s e o f t h e " v i s u a l s l o p e " s t r a t e g y i f t h e y r e f e r r e d t o t h e g r a p h o r s l o p e a s s t e e p , f l a t , * v e r t i c a l , h o r i z o n t a l , s u d d e n d r o p o r j u m p , g r a d u a l o r l e v e l , c u r v e d o r a s t r a i g h t . R e f e r e n c e s t o r a t e o f c h a n g e w e r e a l s o c l a s s i f i e d a s " v i s u a l s l x q p e " i f i t w a s o b v i o u s s t u d e n t s w e r e a t t e n d i n g t o v i s u a l f e a t u r e s o f t i n e g r a p h . F o r e x a m p l e , S E , A M , a n d L B r e f e r r e d t o r a t e o f c h a n g e i n 1 5 4 d i s c u s s i n g s l o p e . S o m e s t u d e n t s u s e d b o t h " v i s u a l s l o p e " a n d " d e l t a d " t o e x p l a i n h o w t h e i r g r a p h s s h o w e d s p e e d i n g u p , s l o w i n g d o w n , o r s t e a d y p a c e ( M H , S B , a n d M G ) . " D e l t a t " a n d " d e l t a d a n d d e l t a t " . T w o s t r a t e g i e s , " d e l t a t " a n d " d e l t a d a n d d e l t a t " , a r e s i m i l a r t o " d e l t a d " i n t h a t t h e y i n v o l v e d c h a n g e s i n o n e q u a n t i t y o v e r i n t e r v a l s o f a n o t h e r q u a n t i t y . R e c a l l t h a t " d e l t a d " i n v o l v e d c h a n g e s i n d i s t a n c e o v e r f i x e d i n t e r v a l s o f t i m e . T h e " d e l t a t " s t r a t e g y i n v o l v e d c h a n g e s i n t i m e f o r f i x e d i n t e r v a l s o f d i s t a n c e a n d t h e " d e l t a t a n d d e l t a d " s t r a t e g y i n v o l v e d c h a n g e s i n b o t h d i s t a n c e a n d t i m e . T h e s e t h r e e s t r a t e g i e s , " d e l t a d " , " d e l t a t " , a n d " d e l t a d a n d d e l t a t " a r e s i m i l a r . B u t t h e r e a r e i m p o r t a n t d i f f e r e n c e s a m o n g t h e m . W h i l e " d e l t a d " c o n c e r n s t h e a m o u n t o f d i s t a n c e c o v e r e d i n a f i x e d t i m e ( l i k e o n e s e c o n d ) , " d e l t a t " r e f e r s t o t h e a m o u n t o f t i m e t o c o v e r a f i x e d d i s t a n c e ( l i k e f i v e f e e t ) . I n e a c h o f t h e s e s t r a t e g i e s , o n e q u a n t i t y , t i m e o r d i s t a n c e , i s f i x e d a n d s p e e d i s e x p r e s s e d i n t e r m s o f c h a n g e s i n t h e o t h e r q u a n t i t y . W i t h " d e l t a d a n d d e l t a t " n e i t h e r t i m e n o r d i s t a n c e i s f i x e d a s s p e e d i s e x p r e s s e d i n t e r m s o f m o r e d i s t a n c e i n l e s s t i m e o r l e s s d i s t a n c e i n m o r e t i m e . H e r e a r e s o m e e x a m p l e s o f s t u d e n t s ' r e s p o n s e s : D e l t a t - " A s t h e y ' r e g e t t i n g c l o s e r i t t a k e s m o r e s e c o n d s t h a n j u s t o n e s e c o n d t o t r a v e l a c e r t a i n n u m b e r o f f e e t . " K G — P r e c a l c u l u s - T a s k 1 " I t t o o k t h e m s a y t w o s e c o n d s h e r e [ f r o m t = 0 t o t = 2 ] t o w a l k t h e s e f i v e f e e t . A n d i n t h i s p a r t [ f r o m t = 3 . 5 t o t = 4 ] i t t o o k t h e m o n l y h a l f a s e c o n d t o w a l k f i v e f e e t . " A M - C a l c u l u s - T a s k 3 " T h e y w e n t a v e r y s h o r t d i s t a n c e - b u t t h e y w e n t [ p o i n t i n g t o t h e b e g i n n i n g ] f i v e f e e t h e r e i n t h e f i r s t t w o s e c o n d s a n d t h e n t h i s l a s t f i v e f e e t [ n e a r t = 4 ] t h e y w e n t i n a b o u t o n e h a l f s e c o n d . " S E - P o s t c a l c u l u s - T a s k 3 1 5 5 D e l t a t a n d d e l t a d - " S o i n a s h o r t e r t i m e t h e y g o m o r e d i s t a n c e [ t r a c e s p e n a l o n g c u r v e f r o m t = 0 t o t = 2 ] t h a n t h e y g o d o w n h e r e [ f r o m t = 2 t o t = 4 ] . " J W - P r e c a l c u l u s — T a s k 1 " A t t h e t o p t h e y t r a v e l l e s s d i s t a n c e i n a l o n g e r t i m e [ p o i n t i n g t o t h e u p p e r l e f t o f t h e c u r v e ] . " J w - P r e c a l c u l u s - T a s k 3 " T h e y ' r e g o i n g o v e r m o r e d i s t a n c e i n l e s s t i m e . " L C — C a l c u l u s — T a s k 1 " W e l l , i n t h e b e g i n n i n g , t h e s l o p e i s m u c h - i t ' s a h - o k - a g r e a t e r d i s t a n c e i s c o v e r e d - n o - a s m a l l e r d i s t a n c e i s c o v e r e d i n a l o n g e r t i m e c o m p a r e d t o t h i s o t h e r p a r t o v e r h e r e [ n e a r t = 4 ] . " P G - C a l c u l u s — T a s k 3 " I t ' s a l o n g e r d i s t a n c e i n n o t a s m u c h t i m e . " J S — P o s t c a l c u l u s - T a s k 1 " T h e y ' r e g o i n g a v e r y l a r g e a m o u n t o f d i s t a n c e i n a v e r y s h o r t a m o u n t o f t i m e . " J S - P o s t c a l c u l u s — T a s k 3 M a t h e m a t i c i a n s a n d s c i e n t i s t s m o s t o f t e n e x p r e s s s p e e d i n t e r m s o f d i s t a n c e p e r u n i t t i m e s o t h a t " s p e e d i n g u p " m e a n s " m o r e f e e t p e r s e c o n d " a n d " s l o w i n g d o w n " m e a n s " f e w e r f e e t p e r s e c o n d " . R e s p o n s e s l i k e t h i s w o u l d b e c l a s s i f i e d a s " d e l t a d " . B u t t h e r e i s n o t h i n g i n h e r e n t l y w r o n g w i t h e x p r e s s i n g s p e e d i n t e r m s o f t i m e t o c o v e r u n i t d i s t a n c e . I n t h i s c a s e " s p e e d i n g u p " w o u l d m e a n " l e s s t i m e t o c o v e r a c e r t a i n d i s t a n c e " a n d " s l o w i n g d o w n " w o u l d m e a n " m o r e t i m e t o c o v e r a c e r t a i n d i s t a n c e " . T h e s e r e s p o n s e s w o u l d b e c l a s s i f i e d a s " d e l t a t " . I t i s p o s s i b l e t o r e p r e s e n t s p e e d i n t e r m s o f d i s t a n c e p e r t i m e u d t h o u t m e a s u r i n g o n e q u a n t i t y i n t e r m s o f 1 u n i t o f t h e o t h e r . I n t h i s c a s e , " s p e e d i n g u p " w o u l d b e c h a r a c t e r i z e d a s " m o r e d i s t a n c e i n l e s s t i m e " o r " l e s s t i m e t o c o v e r m o r e d i s t a n c e " a n d " s l o w i n g d o w n " w o u l d b e < 3 h a r a c t e r i z e d a s " l e s s d i s t a n c e i n m o r e t i m e " o r " m o r e t i m e t o c o v e r L L e s s d i s t a n c e " . T h e r e i s n o t h i n g i n h e r e n t l y w r o n g w i t h t h i s c c n u c e p t u a l i z a t i o n o f s p e e d . E x p r e s s i n g s p e e d i n t e r m s o f a u n i t 1 5 6 m e a s u r e m e n t o f o n e o f t h e q u a n t i t i e s m a k e s c o m p a r i s o n s e a s i e r , b u t i s n o t r e q u i r e d . T h e r e a r e s e v e r a l r e a s o n s s t u d e n t s m a y n o t f i n d d i s t a n c e p e r u n i t t i m e a n o b v i o u s w a y t o e x p r e s s s p e e d . O n e r e a s o n c o n c e r n s h o w s p e e d i s e x p r e s s e d i n s o m e e v e r y d a y s i t u a t i o n s . D r i v i n g a c a r m a k e s m i l e s p e r h o u r ( d i s t a n c e p e r u n i t t i m e ) a c o m m o n w a y o f r e f e r r i n g t o s p e e d . B u t i n o t h e r s i t u a t i o n s , s p e e d i s e x p r e s s e d i n t e r m s o f t i m e p e r u n i t d i s t a n c e . F o r e x a m p l e , i n f o o t , b i c y c l e , a n d c a r r a c e s w e d e c l a r e a w i n n e r b a s e d o n s h o r t e s t t i m e t o c o v e r a f i x e d d i s t a n c e . A n o t h e r r e a s o n c o n c e r n s t h e n a t u r e o f t h e q u e s t i o n . A n u m e r i c a l a n s w e r i s n o t r e q u i r e d t o d e c i d e i f t h e t w o p e o p l e a r e s p e e d i n g u p o r s l o w i n g d o w n . W h a t i s r e q u i r e d i s s o m e k i n d o f c o m p a r i s o n o f d i s t a n c e c o v e r e d i n t i m e . T h a t c a n b e d o n e w i t h o u t m a k i n g e i t h e r t i m e o r d i s t a n c e a u n i t m e a s u r e m e n t . S o i t i s n o t s u r p r i s i n g t h a t s o m e s t u d e n t s g a v e t h o s e k i n d s o f a n s w e r s h e r e . " R e f e r e n c e t o g a p o i n t " a n d " v e l o c i t y e q u a t i o n " . S o m e s t u d e n t s u s e d t h e v a l u e o f t h e d i s t a n c e a t i n d i v i d u a l p o i n t s t o e x p l a i n h o w t h e i r g r a p h s s h o w e d s l o w i n g d o w n , s p e e d i n g u p , o r s t e a d y p a c e : " ( H o w d o e s y o u r g r a p h s h o w t h e t w o p e o p l e s l o w i n g d o w n ? ) B y t h e d e c r e a s e i n t h e l i n e [ r u n n i n g h e r p e n d o w n t h e l e f t s i d e o f h e r g r a p h ] . ( 0 k . A n d h o w d o e s i t s h o w t h e t w o p e o p l e s p e e d i n g u p ? ) B y t h e i n c r e a s e i n t h e l i n e [ r u n n i n g h e r p e n u p t h e r i g h t s i d e o f h e r g r a p h ] . ( O k . Y o u m e a n t h e l i n e i s g o i n g u p ? ) Y e a h . " K G — P r e c a l c u l u s — T a s k 1 " ( H o w d o e s y o u r g r a p h s h o w t h e t w o p e o p l e s l o w i n g d o w n ? ) I t s h o w s t h a t a t s a y o n e s e c o n d t h e y w o u l d b e a p p r o x i m a t e l y 1 6 f e e t a p a r t [ r e a d i n g t h e p o i n t ( 1 , 1 6 ) f r o m h e r g r a p h ] a n d a t t w o s e c o n d s t h e y ' d b e a p p r o x i m a t e l y a b o u t 1 0 f e e t a p a r t [ r e a d i n g t h e p o i n t ( 2 , 1 0 ) f r o m h e r g r a p h ] , t h r e e s e c o n d s t h e y ' d b e a b o u t f i v e f e e t a p a r t [ r e a d i n g t h e p o i n t ( 3 , 5 ) f r o m h e r g r a p h ] . S o t h e y ' r e s t e a d i l y s l o w i n g d o w n , a p p r o x i m a t e l y f i v e f e e t p e r s e c o n d . A n d t h e n t h e s a m e w a y b a c k s p e e d i n g u p [ r u n n i n g h e r p e n a l o n g t h e r i g h t s i d e o f h e r g r a p h ] . " L C - P r e c a l c u l u s - T a s k 1 1 5 7 " ( H o w d o e s y o u r g r a p h s h o w t h e t w o p e o p l e s l o w i n g d o w n ? ) W e l l , o k , i n l i k e t h e f i r s t s e c o n d t h e y w e n t a b o u t 8 , 8 f e e t - t h e y ' r e 8 f e e t a p a r t — t h e y ' r e 1 2 f e e t a p a r t - s o t h e y e a c h g o 4 [ t h e p o i n t ( 1 , 1 2 ) i s o n h e r g r a p h ] . A n d t h e n a s i t g e t s c l o s e r t o 4 [ t = 4 ] . t h e y ' r e m o v i n g s l o w e r s o t h e y ' r e g e t t i n g l e s s a p a r t f o r e a c h s e c o n d , k i n d o f . T h e y ' r e g e t t i n g m o r e a p a r t b u t a t a l e s s r a t e - s l o w e r r a t e , k i n d o f . S o a t 2 [ t = 2 ] , I h a d t h e m a t a b o u t 7 f e e t a p a r t [ t h e p o i n t ( 2 , ? ) i s o n h e r g r a p h ] . S o - b u t - a n d t h e n t h e y ' r e g o i n g l e s s - t h e y ' r e j u s t m o v i n g s l o w e r t h e w h o l e w a y d o w n b e c a u s e i t ' s f e e t p e r s e c o n d s o a t h e r e [ a t t = 2 ] t h e y ' r e a t s e v e n f e e t p e r t w o s e c o n d s - I d o n ' t k n o w w h a t I ' m s a y i n g . " B S - C a l c u l u s - T a s k 1 " ( O k . N o w w h y d o e s t h a t s h o w t h e m g o i n g a t t h e s a m e s t e a d y p a c e ? ) B e c a u s e w h e n y o u - l e t ' s s a y t h e y ' r e u m - t h i s s h o w s b e c a u s e t h r e e s e c o n d s i n t o t h e i r w a l k i n g t o w a r d s e a c h o t h e r t h e y ' r e g o i n g t o b e f i v e f e e t a w a y a n d t h e n - l e t ' s s a y t h i s i s t h e c o m m o n g r o u n d [ t h e p o i n t ( 4 , 0 ) ] f o r r i g h t n o w . A n d t h e n l i k e t h r e e s e c o n d s l a t e r , a f t e r - n o w t h i s [ t h e p o i n t ( 4 , 0 ) ] i s k i n d o f t h e s t a r t i n g p o i n t o v e r a g a i n - t h e y ' r e a l s o - o h - o h , n o , t h e y ' r e n o t ! W h o a ! W a i t a m i n u t e ! T h a t d i d n ' t w o r k . " H L - C a l c u l u s - T a s k 2 " ( 8 0 , f o r e x a m p l e , o v e r t h e f i r s t s e c o n d , w h a t ' s t h e d i s t a n c e c o v e r e d ? ) 1 5 f e e t . ( O k . S o t h e d i f f e r e n c e b e t w e e n z e r o [ t = 1 ] a n d o n e [ t = 1 ] i s f i v e f e e t . ) F i v e f e e t [ s a i d w i t h t h e i n t e r v i e w e r ] ( S o w h a t w o u l d b e t h e d i s t a n c e b e t w e e n 1 a n d 2 s e c o n d s ? ) I t s h o u l d b e u h 1 0 f e e t . ( T h e d i f f e r e n c e b e t w e e n ? N o t t h e t o t a l d i s t a n c e , b u t t h e d i f f e r e n c e b e t w e e n w h e r e t h e y w e r e a t a t 1 f o o t [ s e c o n d ] a n d w h e r e t h e y w e r e a t a t 2 f e e t [ s e c o n d s ] ? ) I t s h o u l d b e f i v e f e e t . " L B — P o s t c a l c u l u s - T a s k 2 M o s t o f t h e s e e x c e r p t s h a v e m u l t i p l e i n t e r p r e t a t i o n s . B u t t h e s i m p l e s t i n t e r p r e t a t i o n i s t h a t t h e s e s t u d e n t s w e r e u s i n g t h e v a l u e o f t h e d i s t a n c e b e t w e e n t h e t w o p e o p l e a t o n e o r m o r e p o i n t s t o e x p l a i n s p e e d i n g u p , s l o w i n g d o w n , o r s t e a d y p a c e . W h e n K G e x p l a i n e d t h a t h e r g r a p h s h o w e d s l o w i n g d o w n a n d s p e e d i n g u p b y t h e d e c r e a s e a n d i n c r e a s e i n . t h e l i n e , r e s p e c t i v e l y , s h e m i g h t h a v e m e a n t t h a t t h e w a y t h e g r a p h . i s d e c r e a s i n g o r i n c r e a s i n g s h o w s t h a t t h e t w o p e o p l e a r e s l o w i n g d o w n C H 7 S p e e d i n g u p . B u t t h e s i m p l e r e x p l a n a t i o n i s t h a t s h e l i t e r a l l y m e a n t t h a t : t h e g r a p h s h o w s t h e t w o p e o p l e s l o w i n g d o w n a n d s p e e d i n g u p s i n c e d i s t a n c e v a l u e s a t i n d i v i d u a l p o i n t s a r e f i r s t d e c r e a s i n g a n d t h e n i n c r e a s i n g . 1 E , h i h ' j 1 5 8 T h i s i s t h e s a m e i n t e r p r e t a t i o n I g a v e t o L C ' s e x p l a n a t i o n . S h e l m d , a t t h i s p o i n t i n T a s k 1 , t h e g r a p h t h a t w a s a p p r o p r i a t e f o r T a s k 2 . S o h e r g r a p h d e c r e a s e d a n d t h e n i n c r e a s e d f i v e f e e t e v e r y s e c o n d . F o r h e r , t h i s d e c r e a s e a n d i n c r e a s e i n d i s t a n c e v a l u e s i s w h a t s h o w e d t h e t w o p e o p l e s l o w i n g d o w n a n d s p e e d i n g u p , r e s p e c t i v e l y . S h e n o t i c e d h e r e r r o r w h e n s h e g o t t o t h e t a b l e o f v a l u e s f o r t h i s g r a p h , w h i c h i s w h e r e s h e t h e n c o n s t r u c t e d a c o r r e c t g r a p h f o r T a s k 1 a n d g a v e a " d e l t a d " e x p l a n a t i o n f o r s l o w i n g d o w n a n d s p e e d i n g u p . T h e t w o c a l c u l u s s t u d e n t s ( B S a n d H L ) a n d t h e p o s t c a l c u l u s s t u d e n t ( L B ) a l s o u s e d d i s t a n c e v a l u e a t i n d i v i d u a l p o i n t s t o t h i n k a b o u t s p e e d . I n t h i s e x c e r p t , B S s t r u g g l e d w i t h " d e l t a d " a n d " d i s t a n c e v a l u e " . H e r f i n a l s t a t e m e n t " s e v e n f e e t f o r t w o s e c o n d s " c o u l d m e a n t h a t s i n c e t h e g r a p h w a s a t h e i g h t 7 f e e t a t t = 2 , t h e n t h e t w o p e o p l e w e r e t r a v e l i n g a t a s p e e d o f s e v e n f e e t f o r t w o s e c o n d s . O r i t c o u l d m e a n t h a t s i n c e t h e g r a p h w a s a t h e i g h t 7 f e e t a t t = 2 , t h e n o v e r t h e n e x t t w o s e c o n d t h e t w o p e o p l e h a d t o g o a t o t a l o f s e v e n f e e t b e f o r e t h e y m e t a t ( 4 , 0 ) a n d t h a t m e a n s t o g e t h e r t h e y w e r e t r a v e l i n g a t a n a v e r a g e s p e e d o f s e v e n f e e t p e r t w o s e c o n d s . T h e f i r s t i n t e r p r e t a t i o n f o c u s e s o n " d i s t a n c e v a l u e " w h i l e t h e s e c o n d f o c u s e s o n " d e l t a d " . S h e m a d e i t c l e a r s h e d i d n o t k n o w w h a t s h e w a s t h i n k i n g . W h e n B S c o n s t r u c t e d a t a b l e o f v a l u e s f o r t h i s t a s k , s h e s e t t l e d o n " d e l t a d " f o r h e r e x p l a n a t i o n s o f s l o w i n g d o w n a n d S p e e d i n g u p . H L w a n t e d t o u s e t h e f a c t t h a t t h r e e s e c o n d s a f t e r t h e y s t a r t e d t fl l e t w o p e o p l e w e r e t h e s a m e d i s t a n c e a p a r t a s t h r e e s e c o n d s a f t e r t h e y p a s s e d e a c h o t h e r . T h i s w o u l d h a v e b e e n s h o w n b y t h e g r a p h h a v i n g t h e s a m e h e i g h t a t t = 3 a n d a t t = 7 . B u t h e r g r a p h d i d n o t h a v e t h e s a m e h e i g h t a t t h o s e t w o p o i n t s . H e r e x c l a m a t i o n " O h , n o ! W a i t a m i n u t e ! 1 5 9 T h a t d i d n ' t w o r k ! " c a m e w h e n s h e d i s c o v e r e d t h a t t h e h e i g h t a t t = 3 i s n o t t h e s a m e a s t h e h e i g h t a t t = 7 . A f t e r s e v e r a l o t h e r u s e s o f d i s t a n c e v a l u e t o d e s c r i b e s p e e d s h e e v e n t u a l l y c a m e t o d e s c r i b e s p e e d i n t e r m s o f " d e l t a d " . L i k e B S , L B s t r u g g l e d w i t h d i s t i n g u i s h i n g b e t w e e n " d e l t a d " a n d " d i s t a n c e v a l u e " a s a w a y o f f i g u r i n g o u t s p e e d . I n t h e e x c e r p t a b o v e s h e s t a r t e d b y g i v i n g d i s t a n c e v a l u e a t i n d i v i d u a l p o i n t s a n d e n d e d b y g i v i n g d e l t a d v a l u e s . T h i s e x c e r p t c a m e a f t e r a l e n g t h y c o n v e r s a t i o n a b o u t w h a t s h o w s s p e e d o n t h e g r a p h s f o r T a s k s 1 a n d 2 . L i k e B S a n d H L , s h e e v e n t u a l l y c a m e t o d e s c r i b e s p e e d i n t e r m s o f " d e l t a d " a n d g o t m o r e a r t i c u l a t e a b o u t t h a t a s t h e i n t e r v i e w w e n t o n . T h e r e a r e s e v e r a l r e a s o n s s o m e s t u d e n t s u s e d i s t a n c e v a l u e s a t i n d i v i d u a l p o i n t s a s a n i n d i c a t o r o f s p e e d . O n e i s t h a t t h e s e v a l u e s a r e i s s a l i e n t . T h e y a r e t h e r e , e a s i l y r e a d a b l e ; s o t h e t e m p t a t i o n t o u s e t h e m i s a l m o s t o v e r w h e l m i n g . A n o t h e r r e a s o n i s t h a t m a n y s t u d e n t s k n o w t h a t s p e e d i s s o m e h o w r e l a t e d t o d i s t a n c e . T h e m o s t i m m e d i a t e w a y o f e x p r e s s i n g a r e l a t i o n s h i p b e t w e e n s p e e d a n d d i s t a n c e i s t o e q u a t e t h e t w o . I t t a k e s s p e c i f i c e x p e r i e n c e s t o l e a r n t h e p r o p e r r e l a t i o n s h i p b e t w e e n s p e e d a n d d i s t a n c e . S p e e d i s n o t d i r e c t l y g i v e n b y d i s t a n c e . S p e e d i s m o r e d i r e c t l y o b t a i n e d f r o m t h e c h a n g e i n d i s t a n c e f r o m o n e t i m e v a l u e t o a n o t h e r . A t h i r d r e a s o n s o m e s t u d e n t s f o c u s o n d i s t a n c e a t i n d i v i d u a l P o i n t s w h e n w o r k i n g w i t h s p e e d c o n c e r n s h o w s p e e d i s r e p r e s e n t e d i n m a n y S i t u a t i o n s i n m a t h e m a t i c s a n d s c i e n c e i n s t r u c t i o n . M o s t s t u d e n t s k n o w t h a t : " s p e e d i s d i s t a n c e o v e r t i m e " . T h i s s t a t e m e n t h a s m u l t i p l e m e a n i n g s . I f t h e v e r t i c a l a x i s o f a g r a p h i s l a b e l e d " d i s t a n c e " , a s i t i s i r 1 T a s k s 1 , 2 , a n d 3 , t h e n w e s h o u l d n o t b e s u r p r i s e d t h a t s o m e 1 6 0 s t u d e n t s i d e n t i f i e d s p e e d w i t h d i s t a n c e v a l u e a t i n d i v i d u a l p o i n t s o n t h e g r a p h . F u r t h e r m o r e , s i n c e s p e e d i s " d i s t a n c e o v e r t i m e " a n d t h e h o r i z o n t a l a x i s i s l a b e l e d t i m e , s o m e s t u d e n t s w i l l f i n d i t c o m p e l l i n g t o t h i n k o f s p e e d i n t e r m s o f t h e d i s t a n c e v a l u e a t i n d i v i d u a l p o i n t s o n t h e g r a p h o r i n t e r m s o f t h a t d i s t a n c e d i v i d e d b y t h e t i m e . T w o p o s t c a l c u l u s s t u d e n t s r e f e r r e d t o j u s t t h i s k i n d o f v e l o c i t y e q u a t i o n i n t h e i r d i s c u s s i o n s o f t h e i r g r a p h s f o r T a s k 2 : " A t o n e s e c o n d t h e y a r e 1 5 f e e t a p a r t . A t t w o s e c o n d s t h e y a r e 1 0 f e e t a p a r t . A n d a t t h r e e s e c o n d s t h e y a r e f i v e f e e t a n d a t f o u r s e c o n d s t h e y m e e t . B u t t h a t m e a n s t h a t t h e y a r e g o i n g t h e s a m e s p e e d t h r o u g h o u t t h e w h o l e t h i n g . ( A n d w h y d o e s t h a t m e a n t h e y a r e g o i n g t h e s a m e s p e e d t h r o u g h o u t t h e w h o l e t h i n g ? ) ' C a u s e v e l o c i t y e q u a l s d i s t a n c e d i v i d e d b y t i m e a n d i n m i n e , d i s t a n c e d i v i d e d b y t i m e i s a l l g o i n g t o b e t h e s a m e . " T S - P o s t c a l c u l u s " I t c o u l d b e i n a v - s h a p e - s t r a i g h t d o w n a n d s t r a i g h t u p . ( W h a t w o u l d t h a t r e p r e s e n t ? ) T h a t w o u l d r e p r e s e n t v e l o c i t y , w h i c h i s d i s t a n c e o v e r t i m e . " L B — P o s t c a l c u l u s L B w e n t o n t o t a l k a b o u t t h e r a t e o f c h a n g e p r o p e r t i e s o f h e r g r a p h i n t e r m s o f s l o p e w h i l e T S c a l c u l a t e d v e l o c i t y b y d i v i d i n g t h e c h a n g e i n d i s t a n c e b y t h e c h a n g e i n t i m e . T h e e x p r e s s i o n s " v e l o c i t y e q u a l s d i s t a n c e d i v i d e d b y t i m e " o r " v e l o c i t y , w h i c h i s d i s t a n c e o v e r t i m e " h a v e t h e p o t e n t i a l f o r b e i n g i n t e r p r e t e d i n a t l e a s t t w o w a y s . O n e w a y m e a n s t h i s : " V e l o c i t y h a s t o d o w i t h h o w m u c h d i s t a n c e i s t r a v e l e d o v e r a c e r t a i n a m o u n t o f t i m e . " . T h i s w o u l d i m p l y a c o m p u t a t i o n a l f o r m u l a o f t h e f o r m ( d i s t a n c e t r a v e l e d ) / ( t i m e t o t r a v e l t h a t d i s t a n c e ) o r ( d e l t a d ) / ( d e l t a t ) . A n o t h e r i n t e r p r e t a t i o n o f t h e s e e x p r e s s i o n s i s t h i s : " T o g e t t h e V fl a l o c i t y , j u s t t a k e t h e d i s t a n c e v a l u e a n d d i v i d e i t b y t h e t i m e ' v a l l m e . " . I n d e e d , t h i s i s e x a c t l y w h a t a n o t h e r p o s t c a l c u l u s s t u d e n t d i d w h e n s h e e x p l a i n e d h o w h e r t a b l e o f v a l u e s i n T a s k 1 s h o w e d t h e t w o p e o p l e s l o w i n g d o w n a n d t h e n s p e e d i n g u p . 1 6 1 " M e e t i n g p o i n t " . F o r e a c h o f t h e t h r e e t a s k s , o v e r 8 0 p e r c e n t o f t h e s t u d e n t s h a d f i n a l g r a p h s t h a t m e t t h e h o r i z o n t a l a x i s a t t h e p o i n t ( 4 , 0 ) w h i c h i s e q u i v a l e n t t o t h e t w o p e o p l e m e e t i n g a t t = 4 . O n l y o n e s t u d e n t h a d n o g r a p h s w h i c h m e t t h e h o r i z o n t a l a x i s a t t = 4 . A l l t h r e e o f h i s g r a p h s w e n t f r o m ( 0 , 0 ) t o ( 8 , 2 0 ) i n v a r i o u s s h a p e s . H e w a s t h e o n l y s t u d e n t w h o d i d n o t g e t a c o r r e c t g r a p h f o r T a s k 2 . A c o r r e c t g r a p h f o r T a s k 2 m u s t m e e t t h e h o r i z o n t a l a x i s a t t = 4 , b u t g r a p h s f o r T a s k s 1 a n d 3 c a n t h e o r e t i c a l l y m e e t t h e h o r i z o n t a l a x i s a n y w h e r e b e t w e e n t = 0 a n d t = 8 . T h r e e s t u d e n t s h a d T a s k 1 g r a p h s t h a t d i d n o t m e e t a t t = 4 . T h e y a l s o h a d T a s k 3 g r a p h s t h a t d i d n o t m e e t a t t = 4 . T w o o f t h e s e s t u d e n t s ( J F a n d L C ) h a d t h e r i g h t s h a p e o f g r a p h s f o r b o t h T a s k s 1 a n d 3 a n d t h o u g h t t h a t b o t h t h e m e e t i n g p o i n t a n d t h e s h a p e o f t h e g r a p h s a i d s o m e t h i n g a b o u t t h e t w o p e o p l e s l o w i n g d o w n , s p e e d i n g u p , a n d w a l k i n g a t a c o n s t a n t p a c e . T h e o t h e r s t u d e n t ( J M ) h a d i n c o r r e c t s h a p e s f o r b o t h T a s k 1 a n d 3 g r a p h s a n d t h o u g h t t h a t t h e m e e t i n g p o i n t g a v e c o m p l e t e i n f o r m a t i o n a b o u t t h e s p e e d a t w h i c h t h e t w o p e o p l e w e r e w a l k i n g : " ( H o w d o e s y o u r g r a p h s h o w t h e t w o p e o p l e s l o w i n g d o w n ? ) I t t a k e s - I f i g u r e d f o u r s e c o n d s w o u l d b e i f t h e y w e r e b o t h g o i n g t h e s a m e s p e e d a n d i t t o o k 8 s e c o n d s . F o u r s e c o n d s w o u l d m a k e t h e m i n t h e m i d d l e . S o i t w o u l d b e l o n g e r t h a n f o u r s e c o n d s i f t h e y a r e g o i n g s l o w e r a t t h e b e g i n n i n g a n d f a s t e r a t t h e e n d . S o I s h o w e d t h e z e r o a l i t t l e p a s t 5 [ h i s g r a p h m e e t s t h e h o r i z o n t a l a x i s a t ( 5 . 2 5 , 0 ) ] . S o t h i s [ p o i n t i n g t o t h e l e f t s i d e o f h i s g r a p h ] t a k e s l o n g e r . A n d t h e n [ p o i n t i n g t o t h e r i g h t s i d e o f h i s g r a p h ] t h i s l a s t t w o a n d t h r e e q u a r t e r s s e c o n d o r w h a t e v e r i s q u i c k e r t o g e t b a c k u p t o 2 0 . " J M - P r e c a l c u l u s - T a s k 1 " c o v e r s t h e s a m e d i s t a n c e i n f o u r s e c o n d s o n b o t h s i d e s o f i t . S o t h a t m e a n s t h a t t h e y ' r e g o i n g t h e s a m e s p e e d i n t h e f i r s t h a l f [ p o i n t s t o t = 0 t o t = 4 o n t h e h o r i z o n t a l a x i s ] w h e n t h e y m e e t e a c h o t h e r a n d t h e n t h e y a r e i n t h e s e c o n d h a l f [ p o i n t s t o t = 4 t o t = 8 o n t h e h o r i z o n t a l a x i s ] . " J M — P r e c a l c u l u s - T a s k 2 " T h e y c o v e r a l l 2 0 , t h e y c o v e r 2 0 f e e t i n t h r e e s e c o n d s [ p o i n t i n g t o t = 0 t o t = 3 ] o n t h e h o r i z o n t a l a x i s ] a n d t h e r e m a i n i n g 8 [ p o i n t i n g t o t = 3 t o t = 8 o n t h e h o r i z o n t a l a x i s ] s e c o n d s i s s p e n t 1 6 2 c o v e r i n g t h e s e c o n d o r g o i n g b a c k , I s h o u l d s a y [ r u n n i n g h i s f i n g e r u p t h e r i g h t s i d e o f h i s g r a p h ] . ( S o s i n c e i t t o o k t h e m o n l y t h r e e s e c o n d s i n t h e f i r s t h a l f , t h e y ' r e s p e e d i n g u p ? ) Y e a h . ( A n d f i v e s e c o n d s i n t h e s e c o n d h a l f , t h e y ' r e s l o w i n g d o w n ? ) Y e p . " J M - P r e c a l c u l u s - T a s k 3 " S i n c e a s t h e t i m e g o e s b y , i t t a k e s t h e m l o n g e r t o m o v e — u h — a s t h e y m o v e [ r u n n i n g h e r p e n d o w n t h e l e f t s i d e o f h e r g r a p h ] c l o s e r t o g e t h e r , i t t a k e s t h e m l o n g e r t o m o v e m o r e f e e t t o w a r d e a c h o t h e r o r h a v e l e s s d i s t a n c e b e t w e e n t h e m . A n d t h e n s i n c e t h e y ' r e s p e e d i n g b a c k u p [ r u n n i n g h e r p e n u p t h e r i g h t s i d e o f h e r g r a p h ] , i t t a k e s l e s s t i m e t o g e t f a r t h e r a p a r t . [ H e r g r a p h m e e t s t h e h o r i z o n t a l a x i s a t ( 4 . 5 , 0 ) . ] " J F - P r e c a l c u l u s - T a s k 1 " I t w o u l d t a k e t h e m f i v e s e c o n d s t o m e e t b e c a u s e t h e y ' r e s l o w i n g d o w n a s t h e y ' r e r e a c h i n g e a c h o t h e r . B u t t h e n o n c e t h e y p a s s e a c h o t h e r , t h e n t h e y ' r e s p e e d i n g u p s o t h e y w o u l d t a k e l e s s t i m e . S o i t w o u l d n ' t b e s o b a l a n c e d [ t h e g r a p h w o u l d n o t m e e t t h e h o r i z o n t a l a x i s a t t = 4 ; h e r g r a p h m e e t s t h e h o r i z o n t a l a x i s a t t = 5 . ] " L C - P r e c a l c u l u s — T a s k 1 " T h i s o n e ' s c o n s t a n t s p e e d . [ D r a w s g r a p h . ] A n d o n t h i s o n e t h e y w o u l d h a v e t o m e e t a t f o u r . " L C — P r e c a l c u l u s - T a s k 2 " T h e a n c h o r ' s g o i n g t o h a v e t o b e o v e r h e r e [ p o i n t s t o t = 2 o n t h e h o r i z o n t a l a x i s ] b e c a u s e t h e y ' r e b o t h g o i n g f a s t . S o i t ' s n o t g o i n g t o t a k e t h e m v e r y l o n g t o m e e t b u t i t ' s g o i n g t o t a k e t h e m a l o n g t i m e t o g o s i t d o w n a g a i n . " L C - P r e c a l c u l u s - T a s k 3 A l l t h r e e o f t h e s e s t u d e n t s u s e d t h e m e e t i n g p o i n t t o e x p l a i n h o w t h e i r g r a p h s s h o w e d s p e e d i n g u p , s l o w i n g d o w n , a n d s t e a d y p a c e . F o r T a s k 1 , s i n c e t h e t w o p e o p l e w e r e s l o w i n g d o w n b e f o r e t h e y m e t a n d s p e e d i n g u p a f t e r , t h e n , a c c o r d i n g t o t h e s e s t u d e n t s , i t t o o k t h e m a l o n g e r t i m e t o m e e t a n d a s h o r t e r t i m e t o g e t t o t h e o p p o s i t e c o r n e r . F o r T a s k 2 , s i n c e t h e t w o p e o p l e w e r e w a l k i n g t h e s a m e p a c e t h e w h o l e w a y , i t t o o k t h e s a m e a m o u n t o f t i m e t o m e e t a s i t d i d t o g e t t o t h e o p p o s i t e c o r n e r . S i m i l a r l y , f o r T a s k 3 , s i n c e t h e t w o p e o p l e w e r e S p e e d i n g u p b e f o r e t h e y m e t a n d s l o w i n g d o w n a f t e r , i t t o o k l e s s t i m e t o m e e t a n d m o r e t i m e t o g e t t o t h e o p p o s i t e c o r n e r . G o i n g s l o w v e r s u s g s l o w i n g d o w n . O n e o f t h e c o n f u s i o n s a b o u t s p e e d 1 J 5 t l a e a d i f f e r e n c e b e t w e e n g o i n g s l o w o r f a s t ( m a g n i t u d e o f v e l o c i t y ) a n d s l c n n i x n g d o w n o r s p e e d i n g u p ( c h a n g e i n v e l o c i t y ) . G o i n g a t a s l o w 1 6 3 c o n s t a n t r a t e m e a n s e a c h s e c o n d t h e d i s t a n c e c o v e r e d i s t h e s a m e , s m a l l n u m b e r o f f e e t . H o w e v e r , " s l o w i n g d o w n " m e a n s e a c h s e c o n d , t h e d i s t a n c e c o v e r e d i s l e s s t h a n i t w a s t h e p r e c e d i n g s e c o n d . T h e d i s t a n c e c o u l d c h a n g e a r e l a t i v e l y l a r g e n u m b e r o f f e e t e a c h s e c o n d ( i n d i c a t i v e o f g o i n g a t a f a s t p a c e ) , b u t i f t h e n u m b e r o f f e e t i t c h a n g e s e a c h s e c o n d i s l e s s t h a n t h e p r e c e d i n g s e c o n d , t h e n t h e t w o p e o p l e a r e s l o w i n g d o w n . T h e r e s p o n s e s o f J M , J F , a n d L C a b o v e s h o w t h e y w e r e c o n f u s i n g s l o w i n g d o w n a n d s p e e d i n g u p w i t h g o i n g a t a s l o w o r f a s t c o n s t a n t r a t e . F o r e x a m p l e , J M ' s c o m m e n t " S o i t w o u l d b e l o n g e r t h a n f o u r s e c o n d s i f t h e y a r e g o i n g s l o w e r a t t h e b e g i n n i n g a n d f a s t e r a t t h e e n d . " i n d i c a t e s h e i n t e r p r e t e d T a s k 1 t o m e a n s l o w o n t h e f i r s t p a r t a n d f a s t o n t h e s e c o n d p a r t r a t h e r t h a n s l o w i n g d o w n u n t i l t h e y m e e t a n d t h e n s p e e d i n g u p a f t e r . I n T a s k 2 , h i s c o m m e n t f u r t h e r v e r i f i e s t h i s : " c o v e r s t h e s a m e d i s t a n c e i n f o u r s e c o n d s o n b o t h s i d e s o f i t . S o t h a t m e a n s t h a t t h e y ' r e g o i n g t h e s a m e s p e e d i n t h e f i r s t h a l f w h e n t h e y m e e t e a c h o t h e r a n d t h e n t h e y a r e i n t h e s e c o n d h a l f . " S i n c e t h e y c o v e r t h e s a m e d i s t a n c e i n f o u r s e c o n d s b e f o r e t h e y m e e t a n d a f t e r t h e y m e e t , t h a t s h o w s t h e y a r e g o i n g t h e s a m e s p e e d t h r o u g h o u t t h e w h o l e t i m e . O f c o u r s e , t h e t w o p e o p l e c a n t o g e t h e r c o v e r 2 0 f e e t i n f o u r s e c o n d s b e f o r e m e e t i n g b u t b e s l o w i n g d o w n , s p e e d i n g u p , o r w a l k i n g a t a s t e a d y p a c e . S i m i l a r l y , c o v e r i n g 2 0 f e e t i n t h e s e c o n d h a l f d o e s n o t n e c e s s a r i l y m e a n w a l k i n g a t a c o n s t a n t p a c e . I n T a s k 3 , J M h a d a g r a p h t h a t s h o w e d t h e t w o p e o p l e c o v e r i n g 2 0 f e e t i n t h r e e s e c o n d s a t a r e l a t i v e l y c o n s t a n t r a t e b e f o r e t h e y m e t a n d 2 0 f e e t i n t h e r e m a i n i n g f i v E : s e c o n d s a t a r e l a t i v e l y c o n s t a n t r a t e . T o h i m , t h a t s h o w e d t h e m S p e e d i n g u p a s t h e y w a l k e d t o w a r d e a c h o t h e r a n d s l o w i n g d o w n a f t e r t h e y j p a s s e e d u S o f o r h i m a n d t h e o t h e r t w o s t u d e n t s q u o t e d h e r e , w h e n t h e t w o 1 6 4 p e o p l e m e t g a v e i n f o r m a t i o n a b o u t h o w t h e i r g r a p h s s h o w e d t h e t w o p e o p l e s l o w i n g d o w n , s p e e d i n g u p , o r w a l k i n g a t a s t e a d y p a c e . S t r a g e g i e § : f o r e x p l a i n i n g t a b l e s . M a n y o f t h e s t r a t e g i e s s t u d e n t s u s e d t o e x p l a i n h o w t h e i r t a b l e s s h o w e d t h e t w o p e o p l e s p e e d i n g u p , s l o w i n g d o w n , o r w a l k i n g a t a s t e a d y p a c e w e r e t h e s a m e s t r a t e g i e s u s e d t o e x p l a i n g r a p h s . T a b l e 3 g i v e s e a c h s t r a t e g y a n d t h e n u m b e r o f s t u d e n t s u s i n g e a c h s t r a t e g y o n e a c h t a s k . T a b l e 3 - S t r a t e g i e s u s e d t o e x p l a i n t a b l e s o f v a l u e s F r e q u e n c y ( p e r c e n t ) o f s t u d e n t s ' e x p l a n a t i o n s t r a t e g i e s S t r a t e g y T a s k 1 T a s k 2 T a s k 3 D e l t a d 3 4 ( 9 2 % ) 3 5 ( 9 5 % ) 3 5 ( 9 5 % ) ( d e l t a d ) / ( d e l t a t ) 3 ( 8 % ) 2 ( 5 % ) 2 ( 5 % ) R e f e r e n c e t o a p o i n t 4 ( 1 1 % ) 0 ( 0 % ) 0 ( 0 % ) M e e t i n g p o i n t 1 ( 3 % ) 2 ( 5 % ) 1 ( 3 % ) D e l t a d a n d d e l t a t 1 ( 3 % ) O ( 0 % ) 2 ( 5 % ) D e l t a t l ( 3 % ) O ( 0 % ) l ( 3 % ) V e l o c i t y E q u a t i o n 1 ( 3 % ) 0 ( 0 % ) O ( 0 % ) N o t e : P e r c e n t a g e s a d d u p t o m o r e t h a n 1 0 0 % i n e a c h c o l u m n s i n c e s o m e s t u d e n t s g a v e m o r e t h a n o n e e x p l a n a t i o n . " D e l t a d " . O n e a c h o f t h e t h r e e t a s k s o v e r 9 0 p e r c e n t o f t h e s t u d e n t s r e f e r r e d t o t h e c h a n g e i n d i s t a n c e e a c h s e c o n d t o e x p l a i n h o w t h e i r t a b l e s s h o w e d t h e t w o p e o p l e s l o w i n g d o w n , s p e e d i n g u p , o r m a i n t a i n i n g a s t e a d y p a c e . A s w i t h g r a p h s , I c a l l e d t h i s s t r a t e g y " d e l t a d " . H e r e a r e s o m e e x p l a n a t i o n s u s i n g " d e l t a d " : T a s k 1 - " ( H o w d o e s y o u r t a b l e o f v a l u e s s h o w t h e t w o p e o p l e s l o w i n g d o w n a n d t h e n s p e e d i n g u p ? ) T h e r e ' s a g r e a t e r d i s t a n c e b e t w e e n t h e n u m b e r s a t t h e z e r o a n d o n e s e c o n d s . T h e r e ' s a s m a l l e r d i s t a n c e b e t w e e n t h e t w o n u m b e r s b e t w e e n t h r e e a n d f o u r s e c o n d s . ( D o e s t h a t m e a n t h e y ' r e s l o w i n g d o w n o r s p e e d i n g u p ? ) S l o w i n g d o w n ' c a u s e t h e n u m b e r s g e t s m a l l e r . A n d t h e n t h e s p a c e b e t w e e n t h e n u m b e r s g e t s b i g g e r a s t h e t i m e g o e s o n . ( A n d t h a t m e a n s ? ) T h e y ' r e s p e e d i n g u p . " J W - P r e c a l c u l u s 1 6 5 " W e l l , a t t i m e z e r o , t h e y a r e 2 0 f e e t a p a r t . A t t i m e o n e s e c o n d , t h e y a r e 1 0 f e e t a p a r t . S o i n o n e s e c o n d , t h e y c o v e r e d 1 0 f e e t . F r o m o n e s e c o n d t o t w o s e c o n d s , t h e y c o v e r e d s i x f e e t . S o t h e y ' r e g o i n g a l i t t l e b i t s l o w e r ' c a u s e h e r e t h e y c o v e r e d 1 0 f e e t i n a s e c o n d a n d h e r e t h e y c o v e r e d s i x f e e t i n a s e c o n d . H e r e [ f r o m t = 2 t o t = 3 ] t h e y c o v e r e d t h r e e f e e t i n a s e c o n d a n d t h e n t h e y c o v e r e d o n l y o n e f o o t [ f r o m t = 3 t o t = 4 ] . S o t h e y ' r e g o i n g d o w n u n t i l t h e y g e t i n t h e m i d d l e a n d t h e n f r o m 5 t o 6 t h e y g o f o u r f e e t i n t h a t s e c o n d . A n d t h e y o n l y w e n t o n e i n h e r e [ f r o m t = 3 t o t = 4 ] . S o t h e y ' r e i n c r e a s i n g . F r o m 6 t o 7 s e c o n d s t h e y g o f i v e f e e t s o i t ' s i n c r e a s i n g . F r o m 7 t o 8 s e c o n d s t h e y g o e i g h t f e e t w h i c h i s a n o t h e r i n c r e a s e . " R F - C a l c u l u s " T h e y a r e g o i n g t h e f a s t e s t h e r e [ p o i n t i n g t o t h e f i r s t p a r t o f h e r t a b l e ] s i n c e t h e y t r a v e l e d n i n e f e e t i n o n e s e c o n d [ f r o m t = 0 t o t = 1 ] a n d t h e n t h e y t r a v e l e d f i v e f e e t i n o n e s e c o n d [ f r o m t = 1 t o t = 2 ] , t h e n f o u r [ f r o m t = 2 t o t = 3 ] a n d t h e n t w o [ f r o m t = 3 t o t = 4 ] , t h e n t w o [ f r o m t = 4 t o t = 5 ] , t h e n f o u r [ f r o m t = 5 t o t = 6 ] , t h e n f i v e [ f r o m t = 6 t o t = 7 ] , a n d t h e n n i n e [ f r o m t = 7 t o t = 8 ] . ( S o t h e y ' r e s l o w i n g d o w n h e r e [ p o i n t i n g t o t h e f i r s t h a l f o f t h e t a b l e ] a n d t h e y ' r e ) s p e e d i n g u p h e r e [ p o i n t i n g t o t h e s e c o n d h a l f o f t h e t a b l e ] . " D B - P o s t c a l c u l u s T a s k 2 - " ( H o w d o e s y o u r t a b l e s h o w t h e s t e a d y p a c e o f t h e t w o p e o p l e ? ) I t ' s f i v e f e e t e a c h t i m e . O n e s e c o n d e q u a l s f i v e f e e t . " L C — P r e c a l c u l u s " T h e i n t e r v a l s o f t i m e a l l h a v e t h e s a m e d i s t a n c e . T h e y a l w a y s m o v e t h e s a m e d i s t a n c e i n t h e s a m e a m o u n t o f t i m e . " L C - C a l c u l u s " B e c a u s e t h e d i s t a n c e c h a n g e s f i v e f e e t e v e r y s e c o n d , e v e r y c o n s e c u t i v e s e c o n d . " M G - P o s t c a l c u l u s T a s k 3 - " ( H o w d o e s y o u r t a b l e o f v a l u e s s h o w t h e t w o p e o p l e s p e e d i n g u p ? ) T h e d i f f e r e n c e b e t w e e n p e r s e c o n d i s g r e a t e r t h e c l o s e r y o u g e t t o f o u r . ( I t ' s s m a l l h e r e [ f r o m t = 0 t o t = 1 t o t = 2 ] ? ) R i g h t . ( A n d t h e n i t g e t s b i g g e r h e r e { f r o m t = 2 t o t = 3 t o t = 4 ] ? ) R i g h t . ( H o w d o e s y o u r t a b l e o f v a l u e s s h o w t h e t w o p e o p l e s l o w i n g d o w n ? ) T h e d i s t a n c e i n c r e a s e d b y q u i t e a b i t h e r e [ f r o m t = 4 t o t = 5 ] a n d t h e y b y l e s s a s w e g o a l o n g [ f r o m t = 5 t o t = 6 t o t = 7 t o t = 8 ] . " K G - P r e c a l c u l u s " I t s h o w s t h a t t h e y ' r e g o i n g s l o w a t t h e b e g i n n i n g b e c a u s e f r o m 0 s e c o n d s t o 1 s e c o n d , t h e d i s t a n c e c o v e r e d i s o n l y l i k e o n e f o o t . A n d t h e n f r o m 1 s e c o n d t o 2 s e c o n d s i s t w o f e e t , a n d f r o m 2 s e c o n d s t o 3 s e c o n d s i s t h r e e f e e t , t h i r d t o f o u r t h i s 1 4 f e e t . S o t h e y s t a r t e d o f f s l o w a n d t h e d i s t a n c e t h e y c o v e r e d b e c a m e b i g g e r . A n d o v e r h e r e [ f r o m t = 4 t o t = 8 ] t h e d i r e c t o p p o s i t e . T h e y s t a r t e d o f f r e a l l y f a s t a n d t h e n t h e y s l o w e d d o w n b e c a u s e t h e d i s t a n c e b e t w e e n t h e s e c o n d s g e t s s m a l l e r a n d s m a l l e r . " P G - C a l c u l u s 1 6 6 " F r o m 0 t o 1 s e c o n d , t h e r e ' s o n l y a d i f f e r e n c e o f o n e f o o t . F r o m 1 t o 2 s e c o n d s , t h e r e ' s a d i f f e r e n c e o f o n e a n d a h a l f f e e t . F r o m 2 t o 3 s e c o n d s , t h e r e ' s a d i f f e r e n c e o f s e v e n a n d a h a l f f e e t . F r o m 3 t o 4 s e c o n d s , t h e r e ' s a d i f f e r e n c e o f 1 0 f e e t . S i n c e d i f f e r e n c e s a r e g o i n g f r o m s m a l l e r t o l a r g e r , t h a t m e a n s t h a t t h e y ' r e s t a t i n g o u t s l o w e r a n d g e t t i n g f a s t e r . A n d s y m m e t r i c a l l y t h e o t h e r s i d e . " T S - P o s t c a l c u l u s T h e s e s t u d e n t s c o m p a r e d c h a n g e s i n d i s t a n c e e a c h s e c o n d t o e x p l a i n h o w t h e i r t a b l e s s h o w e d t h e t w o p e o p l e s l o w i n g d o w n , s p e e d i n g u p , o r w a l k i n g a t a s t e a d y p a c e . S o m e s t u d e n t s r e f e r r e d d i r e c t l y t o d i f f e r e n c e s b e t w e e n c o n s e c u t i v e d i s t a n c e v a l u e s i n t h e t a b l e ( J W , M G , K G , a n d T S ) w h i l e o t h e r s m e n t i o n e d t h e n u m b e r o f f e e t t h e t w o p e o p l e m o v e d e a c h s e c o n d ( R F , D B , L C - P r e c a l c u l u s , L C — C a l c u l u s , a n d P G ) . E i t h e r w a y i t s e e m s c l e a r t h e s e s t u d e n t s w e r e u s i n g c h a n g e i n d i s t a n c e b e t w e e n t h e t w o p e o p l e t o m a k e c o n c l u s i o n s a b o u t h o w t h e i r t a b l e s s h o w e d t h e t w o p e o p l e s l o w i n g d o w n , s p e e d i n g u p , o r w a l k i n g a t a s t e a d y p a c e . " D e l t a t " a n d " d e l t a d a n d d e l t a t " . A f e w s t u d e n t s u s e d t h e " d e l t a t " o r " d e l t a d a n d d e l t a t " s t r a t e g y t o e x p l a i n t h e i r t a b l e s . S t u d e n t s w h o u s e d t h e " d e l t a t " s t r a t e g y r e f e r r e d t o s p e e d i n t e r m s o f t h e a m o u n t o f t i m e t o c o v e r a f i x e d d i s t a n c e a n d s t u d e n t s w h o u s e d t h e " d e l t a d a n d d e l t a t " s t r a t e g y d i s c u s s e d s p e e d i n g u p i n t e r m s o f " l e s s t i m e t o c o v e r m o r e d i s t a n c e " a n d s l o w i n g d o w n i n t e r m s o f " m o r e t i m e t o c o v e r l e s s d i s t a n c e " . T w o s t u d e n t s u s e d e a c h s t r a t e g y ; o n e o f t h o s e S t u d e n t s ( M Y ) u s e d b o t h : " D e l t a t " - " ( H o w d o e s y o u r t a b l e o f v a l u e s s h o w t h e t w o p e o p l e s l o w i n g d o w n ? ) A s t h e y ' r e g e t t i n g c l o s e r i t t a k e s m o r e s e c o n d s t h a n j u s t o n e s e c o n d i n t i m e t o t r a v e l a c e r t a i n n u m b e r o f f e e t . " K G — P r e c a l c u l u s - T a s k 1 " D e l t a d a n d d e l t a t " — " ( W h e r e a r e t h e t w o p e o p l e w a l k i n g t h e f a s t e s t ? ) D o w n h e r e a t t h e e n d o f y o u r t i m e a n d a g a i n a t t h e b e g i n n i n g o f y o u r t i m e t h e 1 6 7 p e o p l e a r e c o v e r i n g m o r e d i s t a n c e i n l e s s s e c o n d s . " M Y — C a l c u l u s - T a s k 1 " ( H o w d o e s y o u r t a b l e o f v a l u e s s h o w t h e t w o p e o p l e s p e e d i n g u p ? ) I t s h o w s t h e m s p e e d i n g u p ' c a u s e t h e y w a l k m o r e f e e t i n l e s s t i m e . " A J - P r e c a l c u l u s — T a s k 3 " D e l t a t " a n d " d e l t a d a n d d e l t a t " - " ( H o w d o e s y o u r t a b l e s h o w t h e t w o p e o p l e s p e e d i n g u p a n d s l o w i n g d o w n ? ) T h e y s t a r t o u t h e r e z e r o [ a t t = 0 ] , t h e y ' r e b o t h 2 0 f e e t a p a r t . H e r e a t t h e b e g i n n i n g t h e y ' r e l o s i n g m o r e t i m e b u t c o v e r i n g l e s s f e e t u n t i l t h e y g e t t o a b o u t t h e f o u r s e c o n d s m a r k a n d t h e n t h e y a c c e l e r a t e u p u n t i l a b o u t t h e f i v e s e c o n d m a r k a n d t h e n t h e y s t a r t s l o w i n g d o w n a g a i n a n d s t a r t l o s i n g t i m e a s f a r a s d i s t a n c e t r a v e l e d . " M Y - C a l c u l u s - T a s k 3 K G a n d M Y u s e d t h e " d e l t a t " s t r a t e g y w h e n t h e y r e f e r r e d t o v a r i a b l e t i m e t o c o v e r a f i x e d d i s t a n c e . K G s a i d " i t t a k e s m o r e s e c o n d s t h a n j u s t o n e s e c o n d i n t i m e t o t r a v e l a c e r t a i n n u m b e r o f f e e t " a n d M Y s a i d " t h e y . . . s t a r t l o s i n g t i m e a s f a r a s d i s t a n c e t r a v e l e d " . B o t h o f t h e s e s t a t e m e n t s w e r e t a k e n t o r e f e r t o m o r e o r l e s s t i m e t o c o v e r a g i v e n d i s t a n c e . M Y a n d A J u s e d t h e " d e l t a d a n d d e l t a t " s t r a t e g y w h e n t h e y s a i d " c o v e r i n g m o r e d i s t a n c e i n l e s s s e c o n d s " ( M Y ) a n d " t h e y w a l k m o r e f e e t i n l e s s t i m e " ( A J ) . B o t h o f t h e s e s t a t e m e n t s r e f e r t o v a r i a b l e t i m e t o c o v e r v a r i a b l e d i s t a n c e . " ( D e l t a d ) / ( d e l t a , t ) " . S o m e s t u d e n t s u s e d ( d e l t a d ) / ( d e l t a t ) , a f o r m u l a f o r s l o p e o f a l i n e a n d a v e r a g e r a t e o f c h a n g e i n d i s t a n c e o v e r i n t e r v a l s o f t i m e , t o e x p l a i n t h e i r t a b l e s : " ( H o w d o e s y o u r t a b l e o f v a l u e s s h o w t h e t w o p e o p l e s l o w i n g d o w n ? ) W e l l , u h , h e r e [ f r o m t = 0 t o t = 1 t o t = 2 ] t h e d i f f e r e n c e b e t w e e n t h e s e i s , y o u k n o w , t h i s i s g o i n g t o r e f l e c t a p p r o x i m a t e l y t h e i r s p e e d b e c a u s e y o u ' v e g o t a c h a n g e o f o n e s e c o n d h e r e , c h a n g e i n t i m e . A n d y o u c a n d i v i d e t h e c h a n g e i n d i s t a n c e b y t h e c h a n g e i n t i m e . S o h e r e y o u ' r e g o i n g t o h a v e t h e p s e u d o - v e l o c i t y f i v e h e r e [ f r o m t = 1 t o t = 2 ] , t h r e e h e r e [ f r o m t = 2 t o t = 3 ] , a n d o n e [ f r o m t = 3 t o t = 4 ] . " A D - P o s t c a l c u l u s - T a s k 1 " ( H o w d o e s y o u r t a b l e o f v a l u e s s h o w t h e t w o p e o p l e w a l k i n g a t a s t e a d y p a c e ? ) T h e c h a n g e i n d i s t a n c e o v e r t h e c h a n g e i n t i m e i s t h e s a m e f o r e v e r y o n e . I t ' s a l w a y s f i v e f o r e a c h s e c o n d . " D R - C a l c u l u s - T a s k 2 1 6 8 " ( H o w d o e s y o u r t a b l e o f v a l u e s s h o w t h e t w o p e o p l e s p e e d i n g u p ? ) [ S h e c o m p u t e s ( d e l t a d ) / ( d e l t a t ) f o r e a c h o n e s e c o n d i n t e r v a l . ] T h e y ' r e g o i n g t h e s a m e [ i n t h e f i r s t t w o s e c o n d s ] . T h e y w e n t t h r e e f e e t i n o n e s e c o n d t h e r e [ i n e a c h o f t h e f i r s t t w o s e c o n d s ] a n d t h e n t h e y g o t a l i t t l e f a s t e r a s t h e y w e n t a n d h e r e [ f r o m t = 2 t o t = 3 ] t h e y ' r e g o i n g f i v e f e e t p e r s e c o n d a n d h e r e [ f r o m t = 3 t o t = 4 ] t h e y ' r e g o i n g n i n e f e e t p e r s e c o n d w h e n t h e y w e r e c l o s e s t t o e a c h o t h e r . " S E - P o s t c a l c u l u s ~ T a s k 3 I d i d n o t c l a s s i f y t h e s e r e s p o n s e s a s " s l o p e " a l t h o u g h t h e f o r m u l a t h e s t u d e n t s u s e d i s a f o r m u l a f o r s l o p e . N o r d i d I c l a s s i f y t h e s e r e s p o n s e s a s " a v e r a g e r a t e o f c h a n g e " w h i c h h a s t h e s a m e f o r m u l a . T h e s e r e s p o n s e s a r e c l o s e r t o " d e l t a d " s i n c e s t u d e n t s e s s e n t i a l l y c o m p u t e d c h a n g e s i n d i s t a n c e o v e r o n e s e c o n d i n t e r v a l s . N o n e t h e l e s s I g a v e t h e m t h e i r o w n s e p a r a t e s t r a t e g y c l a s s i f i c a t i o n a s " ( d e l t a d ) / ( d e l t a t ) " s i n c e t h e s e s t u d e n t s u s e d t h e l a n g u a g e " c h a n g e i n d i s t a n c e o v e r c h a n g e i n t i m e " ( A D a n d D R ) o r a c t u a l l y w r o t e " ( d e l t a d ) / ( d e l t a t ) " a n d c o m p u t e d ( d e l t a d ) / ( d e l t a t ) v a l u e s ( S E ) a s p a r t o f t h e i r a r g u m e n t a b o u t h o w t h e i r t a b l e s s h o w e d r a t e o f c h a n g e . C o m p a r i n g c h a n g e s i n d i s t a n c e o v e r i n t e r v a l s o f t i m e o f t h e s a m e s i z e i s a n a p p r o p r i a t e w a y t o d i s c u s s s l o w i n g d o w n , s p e e d i n g u p , a n d s t e a d y p a c e . S o " d e l t a d " w a s a p o p u l a r a n d s u c c e s s f u l s t r a t e g y f o r t h e s e t h r e e t a s k s . " ( D e l t a d ) / ( d e l t a t ) " i s a m o r e g e n e r a l s t r a t e g y t h a t c a n n o t o n l y h e l p e x p l a i n h o w t a b l e s a n d g r a p h s s h o w i n g s l o w i n g d o w n , s p e e d i n g u p , a n d s t e a d y p a c e b u t c a n a l s o h e l p m a k e m o r e p r e c i s e S N Z a t e m e n t s a b o u t t h e n u m e r i c a l v a l u e o f t h e s p e e d o v e r i n t e r v a l s o f ‘ t i m e . I w o u l d t h e r e f o r e c o n s i d e r " ( d e l t a d ) / ( d e l t a t ) " a s t r a t e g y t h a t g i v e s a m o r e g e n e r a l f o r m u l a t i o n o f r a t e o f c h a n g e . W e w i l l s e e w i t h t h e " t h r o w n b a l l " , " b i o m a s s " , a n d " c i r c l e s " t a s k s t h e a d d i t i o n a l u s e f u l n e s s o f " ( d e l t a d ) / ( d e l t a t ) " i n h e l p i n g s t u d e n t s g e t a t i n s t a n t a n e o u s r a t e o f c h a n g e . 1 6 9 " R e f e r e n c e t o a p o i n t " a n d " v e l o c i t y e q u a t i o n " . J u s t a s s o m e s t u d e n t s u s e d t h e d i s t a n c e v a l u e a t p o i n t s o n t h e g r a p h a s a d i r e c t m e a s u r e o f r a t e o f c h a n g e , s o m e s t u d e n t s u s e d t h e d i s t a n c e v a l u e a t p o i n t s i n t h e t a b l e t o t a l k a b o u t s p e e d i n g u p , s l o w i n g d o w n , a n d s t e a d y p a c e : " ( H o w d o e s y o u r t a b l e s h o w t h e t w o p e o p l e s l o w i n g d o w n ? ) J u s t t h e n u m b e r s g o d o w n [ p o i n t i n g t o t h e f i r s t h a l f o f h e r t a b l e ] . ( Y o u m e a n f r o m h e r e t o h e r e t o h e r e [ p o i n t i n g t o t h e d v a l u e s i n h e r t a b l e ] ? ) Y e a h . ( A n d h o w d o e s y o u r t a b l e s h o w t h e t w o p e o p l e s p e e d i n g u p ? ) ' C a u s e t h e n u m b e r s g o u p [ p o i n t i n g t o t h e s e c o n d h a l f o f h e r t a b l e ] . " K G - P r e c a l c u l u s - T a s k 1 " ( H o w d o e s y o u r t a b l e o f v a l u e s s h o w t h e t w o p e o p l e s l o w i n g d o w n a n d t h e n s p e e d i n g u p ? ) W e l l , t h e n u m b e r s a r e d e c r e a s i n g u n t i l t h i s i s z e r o a n d t h e n t h e y a r e , t h e d i s t a n c e i s [ p o i n t i n g t o t h e e n t r i e s i n t h e t a b l e , n o t t h e d i s t a n c e b e t w e e n e n t r i e s i n t h e t a b l e ] i n c r e a s i n g a s , u n t i l i t g e t s t o 2 0 . ( S o w h e n y o u s a y t h e y ' r e d e c r e a s i n g , y o u m e a n b e c a u s e t h e y ' r e g o i n g ? ) T h e d i s t a n c e i s d e c r e a s i n g a s t h e t i m e i s i n c r e a s i n g ( O k . ) u n t i l t h e y g e t t o z e r o a n d t h e n t h e t i m e i s i n c r e a s i n g a s t h e d i s t a n c e i s i n c r e a s i n g . ( O h . A n d t h a t s h o w s t h e m s l o w i n g d o w n a n d s p e e d i n g u p ? ) Y e a h . " C H - P o s t c a l c u l u s - T a s k 1 T h e f i r s t s t u d e n t , K G , u s e d " d i s t a n c e a t a p o i n t " t o e x p l a i n h o w h e r t a b l e o f v a l u e s f o r T a s k 1 s h o w e d t h e t w o p e o p l e s l o w i n g d o w n a n d t h e n s p e e d i n g u p . S h e u s e d t h i s s a m e s t r a t e g y t o e x p l a i n h o w h e r g r a p h f o r T a s k 1 s h o w e d s l o w i n g d o w n a n d s p e e d i n g u p . T h e s e c o n d s t u d e n t , C H , a l s o u s e d " d i s t a n c e a t a p o i n t " f o r e a c h t i m e v a l u e t o a d d r e s s s l o w i n g d o w n a n d s p e e d i n g u p i n T a s k 1 . W h e n d i s c u s s i n g h e r g r a p h f o r t a s k 1 , S h e f u m b l e d a r o u n d w i t h h e r l a n g u a g e i n t r y i n g t o d e s c r i b e s l o w i n g d o w n a r m : s p e e d i n g u p i n t e r m s o f s l o p e a n d " d e l t a d " . P o s s i b l e r e a s o n s s t u d e n t s e x p r e s s s p e e d i n t e r m s o f d i s t a n c e a t F K fi J I t w e r e d i s c u s s e d a b o v e . T h e s a m e r e a s o n s a p p l y h e r e . A t a b l e m a k e s t h e < d i s t a n c e v a l u e a t i n d i v i d u a l p o i n t s r e a d i l y a v a i l a b l e ; s t u d e n t s 0 f t € a n . k n o w t h a t s p e e d i s r e l a t e d t o d i s t a n c e ; a n d s o m e s t u d e n t s k n o w t h a t : a f o r m u l a f o r s p e e d i s f r e q u e n t l y g i v e n i n t e r m s o f d i s t a n c e o v e r 1 7 0 t i m e o r d i s t a n c e d i v i d e d b y t i m e . H e r e t h e t i m e i n t e r v a l s a r e o n e s e c o n d . S o i f s p e e d i s d i s t a n c e d i v i d e d b y t i m e a n d t i m e i s 1 , t h e n s p e e d i s s i m p l y t h e v a l u e o f t h e d i s t a n c e a t t h e p o i n t . T w o o t h e r s t u d e n t s u s e d d i s t a n c e a t a p o i n t i n d i s c u s s i n g h o w t h e i r t a b l e s o f v a l u e s s h o w e d r a t e . O n e o f t h e s e a l s o r e f e r r e d t o a n e q u a t i o n f o r v e l o c i t y : " ( H o w d o e s y o u r t a b l e o f v a l u e s s h o w t h e t w o p e o p l e s l o w i n g d o w n ? ) D e c r e a s i n g [ m o v i n g p e n d o w n t h e f i r s t h a l f o f h e r t a b l e o f v a l u e s ] . ( A n d w h a t i s i t t h a t ' s d e c r e a s i n g ? ) T h e d i s t a n c e t h a t t h e y a r e a p a r t . ( S o s i n c e i t ' s g o i n g 2 0 , 1 4 , 6 , 1 . 2 5 , 0 ) Y o u k n o w - o h - t h a t t h e y ' r e s l o w i n g d o w n - i t w o u l d b e t h e v e l o c i t y - w h i c h w o u l d b e d i s t a n c e o v e r t i m e . [ S h e c o m p u t e d d / t a t e a c h t i m e v a l u e i n t h e t a b l e . ] ( A n d t h a t t e l l s y o u v e l o c i t y ? ) Y e s . ( O v e r t h e f i r s t i n t e r v a l , t h e y m o v e d ? ) 1 4 f e e t p e r s e c o n d [ a t t = 1 , d = 1 4 , s o t h a t d / t = 1 4 f t . / 1 s e c . f o r 1 4 f e e t p e r s e c o n d ] . A n d h e r e t h e y ' r e o n l y m o v i n g t h r e e f e e t p e r s e c o n d [ a t t = 2 , d = 6 , s o t h a t d / t = 6 f t . / 2 5 e c f o r 3 f e e t p e r s e c o n d ] . ( O v e r t h a t i n t e r v a l ? ) J u s t a t t h e p o i n t . ( A n d h o w d o e s y o u r t a b l e s h o w t h e t w o p e o p l e s p e e d i n g u p ? ) [ S h e c o m p u t e s d / t f o r t h e s e c o n d h a l f o f h e r t a b l e a n d g e t s . 2 a t t = 5 , . 5 a t t = 6 , 1 . 7 a t t = 7 , a n d 2 . 5 a t t = 8 - t o h e r t h i s s h o w s s p e e d i n g u p ] " S E - P o s t c a l c u l u s - T a s k 1 T h r e e p o i n t s c a n b e m a d e a b o u t t h i s e x c e r p t . F i r s t , i t i s c l e a r t h a t t h i s s t u d e n t i n i t i a l l y u s e d d i s t a n c e a t a p o i n t , r a t h e r t h a n c h a n g e i n d i s t a n c e f r o m o n e t i m e v a l u e t o a n o t h e r ( " d e l t a d " ) , t o t a l k a b o u t s p e e d . T h e n s h e u s e d t h e d e c r e a s i n g a n d i n c r e a s i n g v a l u e s o f d / t a t e a c h t i m e v a l u e t o e x p l a i n h o w h e r t a b l e s h o w e d t h e t w o p e o p l e s l o w i n g d o w n a n d s p e e d i n g u p , r e s p e c t i v e l y . S h e a c t u a l l y p e r f o r m e d t h e s e C o m p u t a t i o n s o n h e r t a b l e a n d l a b e l e d t h e m " d / t " . T h e f o r m u l a " v e l o c i t y " W h i c h w o u l d b e d i s t a n c e o v e r t i m e " m a y h a v e i n s p i r e d h e r t o u s e t h i s 8 ‘ Z I ‘ a t e g y f o r a d d r e s s i n g s p e e d . A l i t e r a l i n t e r p r e t a t i o n o f t h i s f o r m u l a “ K n fi l d d i r e c t l y l e a d o n e t o f o r m t h e r a t i o d / t a n d u s e i t t o m a k e C O D c r l u s i o n s a b o u t s p e e d . F i n a l l y , t h i s s t u d e n t m a d e c l e a r t h a t s h e w a s n o t c o m p u t i n g a v e r w a g e r a t e o f c h a n g e o v e r a n i n t e r v a l , b u t r a t h e r w a s , i n h e r m i n d , 1 7 1 c o m p u t i n g r a t e o f c h a n g e a t a p o i n t . T h a t i s h o w I i n t e r p r e t e d h e r a n s w e r o f " J u s t a t t h e p o i n t . " t o m y q u e s t i o n " O v e r t h a t i n t e r v a l ? " . T h a t d o e s n o t m a k e h e r a n s w e r m o r e c o r r e c t ; i t d o e s h o w e v e r l e n d c r e d e n c e t o t h e c l a i m t h a t s t u d e n t s u s e d i s t a n c e a n d d i s t a n c e d i v i d e d b y t i m e t o t h i n k a b o u t s p e e d i n g e n e r a l , s p e e d o v e r i n t e r v a l s , a n d s p e e d a t p o i n t s . " M e e t i n g p o i n t " . T w o s t u d e n t s g a v e e x p l a n a t i o n s o f h o w t h e i r t a b l e s s h o w e d r a t e o f c h a n g e b a s e d o n w h e n t h e t w o p e o p l e m e t . O n e o f t h e s e s t u d e n t s ( J M ) u s e d t h i s s t r a t e g y o n a l l t h r e e t a s k s f o r b o t h g r a p h s a n d t a b l e s ; S C L u s e d i t o n l y w i t h h i s t a b l e f o r T a s k 2 : " ( H o w d o e s y o u r t a b l e s h o w t h e t w o p e o p l e s p e e d i n g u p ? ) I n t h e f i r s t t h r e e s e c o n d s , t h e y c o v e r 2 0 f e e t - g o e s f r o m 2 0 t o 1 0 t o 5 t o O [ p o i n t i n g t o t h e d v a l u e s i n t h e p a r t o f h i s t a b l e f o r t = 0 t o t = 3 ] . A n d t h e n t h e r e m a i n i n g f i v e s e c o n d s [ p o i n t i n g t o t h e d v a l u e s i n t h e p a r t o f h i s t a b l e f o r t = 3 t o t = 8 ] , i t c o v e r s t h e s a m e a m o u n t o f t i m e [ d i s t a n c e ] . S o t h a t m e a n s t h a t t h e y s l o w e d d o w n d u r i n g t h i s p a r t [ p a r t f r o m t = 3 t o t = 8 ] . A n d a g a i n i f f o u r w e r e z e r o [ i f t h e d i s t a n c e v a l u e w e r e f o u r w h e n t h e t i m e v a l u e w a s z e r o ] , t h e n t h e y w o u l d h a v e c o v e r e d 1 0 f e e t , u h , y e a h , e a c h . B u t s i n c e t h e z e r o ' s a t t h r e e t h a t m e a n s t h a t t h e y w e r e g o i n g a l i t t l e f a s t e r t h a n a v e r a g e [ f r o m t = 0 t o t = 3 ] . ( S o h e r e [ f r o m t = 0 t o t = 3 ] t h e y ' r e s p e e d i n g u p b e c a u s e i t o n l y t o o k t h e m t h r e e s e c o n d s ) Y e a h . ( a n d h e r e t h e y ' r e s l o w i n g d o w n b e c a u s e i t t o o k t h e m f i v e s e c o n d s . ) Y e a h . " J M - P r e c a l c u l u s - T a s k 3 " ( H o w d o e s y o u r t a b l e s h o w t h e s t e a d y p a c e o f t h e t w o p e o p l e ? ) W h e n t h e y g e t h e r e - f o r f o u r s e c o n d s t h e y m e e t . S o i n f o u r s e c o n d s t h e y g o s a m e d i s t a n c e g o i n g a c r o s s r o o m i n s a m e t i m e a s t h e y c o m e t o t h i s p o i n t [ p o i n t i n g t o t h e p o i n t i n h i s t a b l e w i t h t = 4 a n d d = 0 ] . ( S o t h e f a c t t h a t i t t o o k t h e m f o u r s e c o n d s t o m e e t a n d f o u r s e c o n d s t o g e t t o t h e o t h e r s i d e , t h a t s h o w s t h a t t h e y w e r e g o i n g a t a s t e a d y p a c e ? ) U h h u h . " S C L - P r e c a l c u l u s - T a s k 2 I I I t h e s e c t i o n a b o v e w h e r e I d e s c r i b e d s t u d e n t s ' s t r a t e g i e s f o r e x P l a i n i n g t h e i r g r a p h s , I d i s c u s s e d i n d e t a i l h o w J M a n d t w o o t h e r S t l k i e n t s u s e d " m e e t i n g p o i n t " a s e v i d e n c e f o r h o w t h e i r g r a p h s s h o w e d t h e t w o p e o p l e s l o w i n g d o w n , s p e e d i n g u p , o r w a l k i n g a t a s t e a d y p a c e . H e r e : w e h a v e f u r t h e r e v i d e n c e t h a t J M b e l i e v e d t h a t t h e m e e t i n g p o i n t 1 7 2 w a s t h e d e c i d i n g f a c t o r i n s h o w i n g s p e e d i n g u p a n d s l o w i n g d o w n . T h e t w o p e o p l e w a l k e d a t o t a l o f 2 0 f e e t i n t h r e e s e c o n d b e f o r e t h e y m e t a n d t h e y w a l k e d a n o t h e r 2 0 f e e t i n f i v e s e c o n d s a f t e r t h e y m e t . T o J M t h i s s h o w e d t h a t t h e y w e r e s p e e d i n g u p b e f o r e t h e y m e t a n d s l o w i n g d o w n a f t e r . W h i l e i t i s t r u e t h a t w a l k i n g 2 0 f e e t i n t h r e e s e c o n d s y i e l d s a f a s t e r a v e r a g e s p e e d t h a n w a l k i n g 2 0 f e e t i n f i v e s e c o n d s , i t i s p o s s i b l e f o r t w o p e o p l e t o w a l k 2 0 f e e t i n t h r e e s e c o n d s a n d b e s l o w i n g d o w n a n d w a l k 2 0 f e e t i n f i v e s e c o n d s a n d b e s p e e d i n g u p . I n f a c t , o n e o f t h e p r e c a l c u l u s s t u d e n t s ( L C ) h a d e x a c t l y s u c h a t a b l e . S C L u s e d t h e " m e e t i n g p o i n t " s t r a t e g y o n l y o n h i s t a b l e f o r T a s k 2 . F o r h i s g r a p h f o r T a s k 2 a s w e l l a s h i s g r a p h s a n d t a b l e s f o r T a s k s 1 a n d 3 , h e u s e d a v a r i e t y o f s t r a t e g i e s f i n a l l y s e t t l i n g i n T a s k 3 o n " d e l t a d " . P e r h a p s i n T a s k 2 h e w a s j u s t e x p e r i m e n t i n g w i t h y e t a n o t h e r s t r a t e g y . O r p e r h a p s h e w a s t r y i n g t o e x p r e s s i n a d i f f e r e n t w a y w h a t h e h a d a l r e a d y s a i d a b o u t h i s g r a p h f o r T a s k 2 . T h e r e h e s a i d " t h e y t a k e s a m e t i m e g o i n g a c e r t a i n d i s t a n c e " a n d , a f t e r m y p r o m p t i n g c o n c e r n i n g w h a t t h i s m e a n t f o r d i s t a n c e t r a v e l e d e a c h s e c o n d , m a d e s t a t e m e n t s a b o u t " f i v e f e e t e a c h s e c o n d . " I c l a s s i f i e d t h a t a s u s i n g t h e " d e l t a d " s t r a t e g y . B u t h i s w o r d i n g i n t h e e x c e r p t a b o v e m a k e s i t c l e a r h e i s t h i n k i n g t h a t g o i n g 2 0 f e e t i n f o u r s e c o n d s f r o m t = 0 t o t = 4 , m e e t i n g a t t = 4 , a n d g o i n g 2 0 f e e t i n f o u r s e c o n d s f r o m t = 4 t o t = 8 b y i t s e l f s h o w s s t e a d y I fi a c e , T h a t i s , s i n c e t h e y c o v e r e d t h e s a m e d i s t a n c e , 2 0 f e e t , i n t h e s a m e a m o u n t o f t i m e , f o u r s e c o n d s , b e f o r e t h e y m e t a n d a f t e r t h e y m e t , t h e ) ; w e r e g o i n g a t a s t e a d y p a c e . H o w e v e r , t h a t a l o n e d o e s n o t s h o w S t e é i d y p a c e . I t i s p o s s i b l e t o g o 2 0 f e e t f r o m t = 0 t o t = 4 a n d b e s l o h r i n g d o w n , s p e e d i n g u p , o r m a i n t a i n i n g a s t e a d y p a c e , m e e t a t t = 4 , 1 7 3 a n d g o 2 0 f e e t f r o m t = 4 t o t = 8 a n d b e s l o w i n g d o w n , s p e e d i n g u p , o r m a i n t a i n i n g a s t e a d y p a c e . H a v i n g t h e t w o p e o p l e m e e t a t t = 4 d o e s n o t s h o w s t e a d y p a c e . S C L ' s w o r d s h e r e i m p l y t h a t h e b e l i e v e d i t d i d . S u m m a r y o f s t r a t e g i e s u s e d w i t h T a s k s 1 , 2 4 a n d 3 . S e v e n s t r a t e g i e s w e r e u s e d t o e x p l a i n h o w g r a p h s s h o w e d s l o w i n g d o w n , s p e e d i n g u p , a n d s t e a d y p a c e . T h e m o s t f r e q u e n t l y u s e d s t r a t e g i e s w e r e " d e l t a d " a n d " v i s u a l s l o p e " . O n e a c h t a s k o v e r 6 0 p e r c e n t o f t h e s t u d e n t s u s e d " d e l t a d " a n d o v e r 4 0 p e r c e n t u s e d " v i s u a l s l o p e " t o e x p l a i n t h e i r g r a p h s . S e v e n s t r a t e g i e s w e r e u s e d t o e x p l a i n h o w t a b l e s o f v a l u e s s h o w e d t h e v a r y i n g s p e e d o f t h e t w o p e o p l e . O v e r 9 0 p e r c e n t o f t h e s t u d e n t s u s e d " d e l t a d " t o e x p l a i n t h e i r t a b l e s . S i n c e s l o p e i s a m o r e v i s i b l e f e a t u r e o f g r a p h s , i t i s n o t s u r p r i s i n g t h a t s t u d e n t s u s e d " v i s u a l s l o p e " w h e n w o r k i n g w i t h g r a p h s b u t n o t w i t h t a b l e s . S i x s t r a t e g i e s w e r e u s e d w i t h b o t h g r a p h s a n d t a b l e s a n d t h e m o s t f r e q u e n t l y u s e d s t r a t e g y w i t h b o t h w a s " d e l t a d " . I w a s n o t s u r p r i s e d t h a t t h e m o s t c o m m o n s t r a t e g y w i t h t a b l e s w a s " d e l t a d " b u t I w a s s u r p r i s e d t h a t i t w a s a l s o t h e m o s t c o m m o n s t r a t e g y w i t h g r a p h s . T h i s m a d e m e t h i n k t h a t s t u d e n t s a t t h e s e l e v e l s o f m a t h e m a t i c s e d u c a t i o n f i n d r e l a t i v e o r a c t u a l d i s t a n c e t r a v e l e d o v e r i n t e r v a l s a m e a n i n g f u l W a y t o m a k e s e n s e o f r a t e o f c h a n g e . T h i s k n o w l e d g e h a s , I b e l i e v e , t h e I N D t e n t i a l f o r b e i n g q u i t e h e l p f u l i n s t u d e n t s c o m i n g t o k n o w a v e r a g e I fi i t e o f c h a n g e a n d i n s t a n t a n e o u s r a t e o f c h a n g e , b o t h o f w h i c h h a v e t h e i r b a s i s i n c h a n g e s i n t h e d e p e n d e n t v a r i a b l e o v e r i n t e r v a l s o f t h e i n d e p e n d e n t v a r i a b l e o f a f u n c t i o n . S t u d e n t s ' u s e o f " v i s u a l s l o p e " a l s o p o i n t s t o k n o w l e d g e t h a t m a y s e r W r e a t h e m i n l e a r n i n g m o r e a b o u t r a t e o f c h a n g e . T h e d e r i v a t i v e o f a 1 7 4 f u n c t i o n i s t h e m a t h e m a t i c a l c o n c e p t m o s t c l o s e l y a s s o c i a t e d w i t h i n s t a n t a n e o u s r a t e o f c h a n g e a n d i t i s o f t e n i n t r o d u c e d t o s t u d e n t s i n t h e c o n t e x t o f s l o p e o f s e c a n t a n d t a n g e n t l i n e s . M o r e g e n e r a l l y , d e r i v a t i v e a n d r a t e o f c h a n g e a t a p o i n t h a v e t o d o w i t h s l o p e o f c u r v e s a t p o i n t s . T h i s m a k e s m e t h i n k t h a t s t u d e n t s ' u s e o f " v i s u a l s l o p e " r e p r e s e n t s k n o w l e d g e t h e y c o u l d u s e t o m a k e s e n s e o f s l o p e o f t a n g e n t l i n e s , s l o p e o f c u r v e s a t p o i n t s , a n d i n s t a n t a n e o u s r a t e o f c h a n g e . 1 7 5 T h e " t h r o w n b a l l " , " b i o m a s s “ , a n d " c i r c l e s " t a s k s T a s k j t a t e m e n t s . F o r e a c h o f t h e s e t a s k s s t u d e n t s w e r e v e r b a l l y p r e s e n t e d w i t h a s i t u a t i o n a n d a g r a p h o f t h e r e l a t i o n s h i p b e t w e e n t w o c h a n g i n g q u a n t i t i e s a n d w e r e a s k e d t o u s e t h e g r a p h t o a n s w e r s o m e q u e s t i o n s a b o u t t h e r a t e o f c h a n g e o f o n e o f t h e q u a n t i t i e s w i t h r e s p e c t t o t h e o t h e r q u a n t i t y . T h e n t h e y w e r e g i v e n a t a b l e o f v a l u e s a n d a s k e d t o a n s w e r s o m e o f t h e s a m e q u e s t i o n s . I w i l l d e s c r i b e e a c h t a s k i n t h e f o l l o w i n g p a r a g r a p h s . T h e s i t u a t i o n i n T a s k 4 , t h e " t h r o w n b a l l " t a s k , i n v o l v e d a b a l l b e i n g t h r o w n s t r a i g h t u p i n t o t h e a i r . S t u d e n t s w e r e g i v e n a g r a p h s h o w i n g t h e h e i g h t o f t h e b a l l a t e a c h m o m e n t a n d w e r e a s k e d t o d e s c r i b e t h e h e i g h t o f t h e b a l l o v e r t i m e , i d e n t i f y i n t e r v a l s o f t i m e w h e n t h e b a l l t r a v e l e d t h e m o s t a n d t h e l e a s t n u m b e r o f f e e t , a n d f i n d t h e s p e e d o f t h e b a l l a t t h e e n d o f o n e s e c o n d , t w o s e c o n d s , t h r e e s e c o n d s , a n d j u s t b e f o r e i t h i t t h e g r o u n d . T h e y w e r e t h e n g i v e n a t a b l e o f v a l u e s f o r t h e h e i g h t o f t h e b a l l a t e a c h q u a r t e r s e c o n d a n d a s k e d a g a i n t o f i n d t h e s p e e d o f t h e b a l l a t t h e e n d o f o n e s e c o n d , t w o s e c o n d s , t h r e e s e c o n d s , a n d j u s t b e f o r e i t h i t t h e g r o u n d . M y i n t e n t i n a s k i n g s o m e o f t h e s a m e q u e s t i o n s t w i c e , o n c e w i t h t h e g r a p h a n d o n c e w i t h t h e t a b l e , w a s t o s e e i f s t u d e n t s c o u l d a d d r e s s r a t e o f c h a n g e a t a p o i n t u s i n g m o r e t h a n o n e s t r a t e g y a n d s p e c i f i c a l l y i f t h e y u s e d s o m e s t r a t e g i e s w i t h t h e g r a p h a n d o t h e r s t r a t e g i e s w i t h t h e t a b l e . I n e a c h p a r t o f t h e t a s k s t u d e n t s w e r e a s k e d t o e x p l a i n t h e i r a n s w e r s . A p p e n d i x C c o n t a i n s t h e c o m p l e t e t a s k s i n c l u d i n g g r a p h s a n d t a b l e s o f v a l u e s f o r e a c h t a s k . 1 7 6 T h e g r a p h f o r T a s k 5 , t h e " b i o m a s s " t a s k , s h o w e d t h e p o p u l a t i o n o f y e a s t c e l l s i n a c u l t u r e o v e r a p e r i o d o f 1 8 h o u r s f r o m m i d n i g h t t o 6 p m . S t u d e n t s w e r e a s k e d t o d e s c r i b e t h e p o p u l a t i o n o v e r t h i s p e r i o d o f t i m e , i d e n t i f y i n t e r v a l s o f t i m e w h e n t h e p o p u l a t i o n c h a n g e d t h e m o s t a n d t h e l e a s t , a n d f i n d h o w f a s t t h e p o p u l a t i o n w a s c h a n g i n g a t 4 a m . T h e y w e r e t h e n g i v e n a t a b l e o f v a l u e s f o r t h i s g r a p h a n d a g a i n a s k e d t o f i n d h o w f a s t t h e p o p u l a t i o n w a s c h a n g i n g a t 4 a m . I c h o s e t h i s p o i n t i n t i m e s i n c e t h e c e l l p o p u l a t i o n w a s i n c r e a s i n g s l o w l y b e f o r e 4 a m a n d m o r e q u i c k l y a f t e r 4 a m . I w a s i n t e r e s t e d i n h o w s t u d e n t s w o u l d t r e a t r a t e o f c h a n g e a t a p o i n t i n t h i s k i n d o f c i r c u m s t a n c e . I t h e n g a v e t h e s t u d e n t s a n e n l a r g e d s e c t i o n o f t h e g r a p h n e a r t = 4 a m a n d a t a b l e o f v a l u e s t h a t s h o w e d t h e c e l l p o p u l a t i o n a t e a c h q u a r t e r o f a n h o u r a n d a s k e d t h e m o n c e a g a i n t o f i n d h o w f a s t t h e p o p u l a t i o n w a s c h a n g i n g a t 4 a m . M y i n t e n t i n a s k i n g t h e s a m e q u e s t i o n s t h r e e t i m e , o n c e w i t h a g r a p h , o n c e w i t h a t a b l e o f v a l u e s , a n d o n c e w i t h a n e n l a r g e d g r a p h a n d t a b l e o f v a l u e s , w a s t o s e e i f s t u d e n t s h a d m o r e t h a n o n e s t r a t e g y f o r a d d r e s s i n g r a t e o f c h a n g e a t a p o i n t a n d i f a m o r e d e t a i l e d g r a p h a n d t a b l e o f v a l u e s s u g g e s t e d n e w s t r a t e g i e s t o t h e m . I t o l d s t u d e n t s I w a s a s k i n g t h e s a m e q u e s t i o n s s e v e r a l t i m e s t o s e e i f t h e y h a d m o r e t h a n o n e w a y t o w o r k t h e p r o b l e m a n d m y a s k i n g t h e s a m e q u e s t i o n s e v e r a l t i m e s d i d n o t n e c e s s a r i l y m e a n t h a t t h e i r f i r s t a n s w e r s w e r e w r o n g . F o r e a c h q u e s t i o n s t u d e n t s w e r e a s k e d t o e x p l a i n h o w t h e y g o t t h e i r a n s w e r s . I n T a s k 6 , t h e " c i r c l e s " t a s k , t h e s i t u a t i o n i n v o l v e d a p e b b l e b e i n g d r o p p e d i n t o a c a l m p o n d , c a u s i n g r i p p l e s i n t h e f o r m o f c o n c e n t r i c c i r c l e s . A g r a p h s h o w i n g t h e r e l a t i o n s h i p b e t w e e n t h e a r e a 1 7 7 a n d r a d i u s o f t h e s e c i r c l e s w a s g i v e n . S t u d e n t s w e r e a s k e d t o d e s c r i b e t h e a r e a o f t h e c i r c l e s a s t h e r a d i u s g r e w f r o m z e r o t o f i v e f e e t , i d e n t i f y t h e o n e f o o t i n c r e a s e i n t h e r a d i u s f o r w h i c h t h e a r e a g r e w t h e m o s t a n d t h e l e a s t , f i n d h o w m u c h t h e a r e a g r e w a s t h e r a d i u s g r e w f r o m t w o t o t h r e e f e e t a n d f r o m t h r e e t o f o u r f e e t , a n d f i n d h o w f a s t t h e a r e a w a s g r o w i n g w h e n t h e r a d i u s w a s t h r e e f e e t . H e r e I w a s i n t e r e s t e d i n w h a t c o n n e c t i o n s s t u d e n t s m i g h t m a k e b e t w e e n r a t e o f c h a n g e a t a p o i n t a n d c h a n g e s o v e r i n t e r v a l s b e f o r e a n d a f t e r t h e p o i n t . I f s t u d e n t s h a d n o t a l r e a d y m a d e s o m e c o n n e c t i o n b y t h i s t i m e i n t h e i n t e r v i e w s , I w a n t e d t o s e e w h a t s e n s e t h i s s u g g e s t i o n m i g h t m a k e t o t h e m . S t u d e n t s w e r e t h e n g i v e n a t a b l e o f v a l u e s f o r t h i s g r a p h a n d a s k e d a g a i n t o f i n d h o w m u c h t h e a r e a g r e w a s t h e r a d i u s g r e w f r o m t w o t o t h r e e f e e t a n d f r o m t h r e e t o f o u r f e e t a n d t o f i n d h o w f a s t t h e a r e a w a s g r o w i n g w h e n t h e r a d i u s w a s t h r e e f e e t . A s w i t h t h e o t h e r t a s k s , s t u d e n t s w e r e a s k e d t o e x p l a i n a l l o f t h e i r a n s w e r s . W - " " . A c o r r e c t d e s c r i p t i o n o f t h e h e i g h t o f t h e b a l l o v e r i t s f o u r s e c o n d j o u r n e y m i g h t s i m p l y n o t e t h a t t h e b a l l w e n t u p t o a h e i g h t o f a b o u t 6 4 f e e t o v e r t h e f i r s t t w o s e c o n d s a n d t h e n c a m e b a c k d o w n o v e r t h e l a s t t w o s e c o n d s , h i t t i n g t h e g r o u n d a t t = 4 . A m o r e c o m p l e t e d e s c r i p t i o n w o u l d i n c l u d e s o m e m e n t i o n t h a t t h e b a l l s l o w e d d o w n a s i t w e n t u p a n d s p e d u p a s i t c a m e d o w n . T h e b a l l t r a v e l e d t h e m o s t f e e t t h e f i r s t a n d l a s t q u a r t e r s e c o n d s a n d i t t r a v e l e d t h e l e a s t t h e t w o q u a r t e r s e c o n d s e i t h e r s i d e o f t = 2 . O n e ' w a y t o s e e t h i s i s t o n o t e t h e c h a n g e i n t h e h e i g h t o f t h e b a l l o v e r e a c h q u a r t e r s e c o n d . D u r i n g t h e f i r s t a n d l a s t q u a r t e r s e c o n d s t h e 1 7 8 h e i g h t c h a n g e d t h e m o s t a n d d u r i n g t h e t w o q u a r t e r s e c o n d s t o t h e i m m e d i a t e r i g h t a n d l e f t o f t = 2 , t h e h e i g h t c h a n g e d t h e l e a s t . A n o t h e r w a y t o s e e t h i s i t t o c o m p a r e t h e v i s u a l s l o p e o f e a c h q u a r t e r s e c o n d s e c t i o n o f t h e g r a p h a n d n o t e t h a t t h e s e c t i o n s w i t h t h e s t e e p e s t s l o p e a r e t h e f i r s t a n d l a s t q u a r t e r s e c o n d s a n d t h e s e c t i o n s w i t h t h e f l a t t e s t s l o p e a r e t h e t w o m i d d l e q u a r t e r s e c o n d s . A t t = 1 t h e b a l l w a s t r a v e l i n g 3 2 f e e t p e r s e c o n d . I f o n e k n o w s t h e e q u a t i o n f o r t h i s g r a p h , t h e n o n e c a n d i f f e r e n t i a t e i t a n d e v a l u a t e t h a t d e r i v a t i v e a t t = 1 . O n e c o u l d d r a w t h e l i n e t a n g e n t t o t h e g r a p h a t t h e p o i n t ( 1 , 4 8 ) a n d e s t i m a t e t h e s l o p e . T h a t t h e o r e t i c a l l y y i e l d s a c o r r e c t a n s w e r a l t h o u g h i t m a y b e f r a u g h t w i t h d r a w i n g a n d e s t i m a t i o n e r r o r s . A n o t h e r w a y o f g e t t i n g a n e s t i m a t e f o r t h e s p e e d o f t h e b a l l a t t = 1 i s t o f i n d t h e a v e r a g e r a t e o f c h a n g e o f t h e h e i g h t o v e r a n y r e a s o n a b l y s m a l l t i m e i n t e r v a l c e n t e r e d a t t = 1 . T h e i n t e r v a l s f r o m t = . 7 5 t o t = 1 . 2 5 , t = . 5 t o t = 1 . 5 , t = . 2 5 t o t = 1 . 7 5 , a n d t = 0 t o t = 2 a l l y i e l d a n a v e r a g e r a t e o f c h a n g e o f 3 2 f e e t p e r s e c o n d . B e c a u s e o f p r o p e r t i e s o f a p a r a b o l a ( t h e s h a p e o f t h i s g r a p h ) , t h e a v e r a g e r a t e o f c h a n g e o f t h e h e i g h t o v e r a n y t i m e i n t e r v a l s c e n t e r e d a t a p o i n t h a p p e n s t o y i e l d t h e a c c e p t e d v a l u e f o r t h e s p e e d o f t h e b a l l a t t h a t p o i n t . S o t h e s e p a r t i c u l a r i n t e r v a l s c e n t e r e d a r o u n d t = 1 y i e l d t h e e x a c t v a l u e f o r t h e s p e e d o f t h e b a l l a t t = 1 . A t t = 2 t h e s p e e d o f t h e b a l l w a s z e r o f e e t p e r s e c o n d ; t h a t i s , t h e b a l l w a s s t a t i o n a r y a t t = 2 . O n e c o u l d e v a l u a t e t h e d e r i v a t i v e e q u a t i o n a t t = 2 o r c o u l d n o t e t h a t t h e g r a p h r e a c h e s a m a x i m u m a t t = 2 a n d t h e r e f o r e t h e v a l u e o f t h e d e r i v a t i v e a n d t h e s p e e d o f t h e b a l l t n u s t b e z e r o t h e r e . N o t i n g t h a t t h e l i n e t a n g e n t t o t h e g r a p h a t t = 2 1 7 9 i s h o r i z o n t a l a n d t h e r e f o r e h a s s l o p e z e r o a l s o y i e l d s a c o r r e c t a n s w e r . A n e l e g a n t a r g u m e n t c o n s i d e r s t h e s p e e d o f t h e b a l l a s i t g o e s u p a n d a s i t c o m e s d o w n . S i n c e t h e b a l l s l o w s d o w n a s i t g o e s u p a n d t h e n s p e e d s u p a s i t c o m e s d o w n , a n a r g u m e n t c o u l d b e m a d e t h a t a t t h e p e a k t h e b a l l s t o p p e d a s i t c h a n g e d d i r e c t i o n s . S i n c e t h e p e a k o c c u r s a t t = 2 , t h e s p e e d o f t h e b a l l a t t = 2 h a s t o b e z e r o . O n e c o u l d a l s o c o m p u t e t h e a v e r a g e r a t e o f c h a n g e o f t h e h e i g h t o v e r a v a r i e t y o f t i m e i n t e r v a l s c e n t e r e d a t t = 2 a n d a r r i v e a t z e r o f e e t p e r s e c o n d a s t h e s p e e d o f t h e b a l l a t t = 2 . A t t = 3 t h e s p e e d o f t h e b a l l w a s t h e s a m e a s i t w a s a t t = 1 e x c e p t t h a t t h e b a l l w a s m o v i n g d o w n w a r d i n s t e a d o f u p w a r d . T h e v e l o c i t y o f t h e b a l l a t t = 1 w a s 3 2 f e e t p e r s e c o n d ; t h e r e f o r e t h e v e l o c i t y o f t h e b a l l a t t 3 w a s - 3 2 f e e t p e r s e c o n d s i n c e v e l o c i t y r e f e r s t o b o t h s p e e d a n d d i r e c t i o n . A c o r r e c t a n s w e r f o r t h e s p e e d i s 3 2 f e e t p e r s e c o n d . O n e c o u l d g e t t h i s a n s w e r b y e v a l u a t i n g t h e d e r i v a t i v e e q u a t i o n a t t = 3 a n d o b t a i n i n g - 3 2 f e e t p e r s e c o n d . O r o n e c o u l d a r g u e t h a t s i n c e t h e a c c e l e r a t i o n d u e t o g r a v i t y i s ( 3 2 f e e t p e r s e c o n d ) / s e c o n d , t h e n s i n c e t h e s p e e d o f t h e b a l l w a s z e r o a t t = 2 , t h e n t h e s p e e d o f t h e b a l l a t t = 3 h a d t o b e 3 2 f e e t p e r s e c o n d . T h a t i s , i f t h e s t a r t i n g s p e e d w a s z e r o ( a t t = 2 ) a n d t h e s p e e d i n c r e a s e d 3 2 f e e t p e r s e c o n d e v e r y s e c o n d , t h e n a t t h e e n d o f o n e s e c o n d ( a t t = 3 ) t h e b a l l w a s t r a v e l i n g a t a s p e e d o f 3 2 f e e t p e r s e c o n d . O n e c o u l d a l s o c o m p u t e t h e a v e r a g e r a t e o f c h a n g e o f h e i g h t o v e r s e v e r a l t i m e i n t e r v a l s c e n t e r e d a t t = 3 a n d g e t - 3 2 f e e t p e r s e c o n d . A t t = 4 , t h e b a l l w a s s t o p p e d , s i n c e i t h a d j u s t h i t t h e g r o u n d , ( a n d t h e r e f o r e t h e s p e e d o f t h e b a l l a t t = 4 w a s z e r o f e e t p e r s e c o n d . 1 8 0 B u t j u s t b e f o r e t h e b a l l h i t t h e g r o u n d , i t w a s t r a v e l i n g a t a s p e e d o f 6 4 f e e t p e r s e c o n d . T h e d e r i v a t i v e e q u a t i o n e v a l u a t e d a t t = 4 y i e l d s t h i s . I n a d d i t i o n , u s i n g a n a r g u m e n t b a s e d o n t h e a c c e l e r a t i o n d u e t o g r a v i t y , o n e c o u l d a r g u e t h a t a t t = 2 t h e s p e e d o f t h e b a l l w a s z e r o f e e t p e r s e c o n d , a n d s i n c e t h e s p e e d o f t h e b a l l w a s i n c r e a s i n g 3 2 f e e t p e r s e c o n d f o r e v e r y s e c o n d , t h e n n o t o n l y i s t h e s p e e d o f t h e b a l l 3 2 f e e t p e r s e c o n d a t t = 3 b u t i t i s a l s o 6 4 f e e t p e r s e c o n d a t t = 4 . O n e c o u l d a r g u e t h a t t h e s p e e d o f t h e b a l l a s i t h i t t h e g r o u n d w a s t h e s a m e a s t h e i n i t i a l v e l o c i t y o f t h e b a l l a t t = 0 a n d s e t a b o u t t o e s t i m a t e t h a t b y c o n s i d e r i n g t h e a v e r a g e s p e e d o f t h e b a l l o v e r t h e f i r s t o r l a s t q u a r t e r s e c o n d . A m o r e s o p h i s t i c a t e d m e t h o d i n v o l v e s p r o j e c t i n g h o w f a r t h e b a l l w o u l d h a v e t r a v e l e d b e t w e e n t = 4 a n d t = 4 . 2 5 i f i t h a d n o t h i t t h e g r o u n d a t t 4 a n d t h e n c o m p u t i n g t h e a v e r a g e s p e e d o v e r t h e i n t e r v a l f r o m t 3 . 7 5 t o t = 4 . 2 5 . P r o j e c t i n g h o w f a r t h e b a l l w o u l d h a v e t r a v e l e d b e t w e e n t = 4 a n d t = 4 . 2 5 i s p r e t t y e a s y w h e n o n e s e e s t h e p a t t e r n o f d i s t a n c e t r a v e l e d e a c h q u a r t e r s e c o n d f r o m t = 2 t o t = 4 . T h a t p a t t e r n i s t h i s : 1 , 3 , 5 , 7 , 9 , 1 1 , 1 3 , a n d 1 5 . I f t h i s p a t t e r n h a d c o n t i n u e d , t h e n t h e p r o j e c t e d d i s t a n c e t r a v e l e d f r o m t = 4 t o t = 4 . 2 5 w o u l d h a v e b e e n 1 7 a n d t h e a v e r a g e s p e e d f r o m t = 3 . 7 5 t o t = 4 . 2 5 w o u l d h a v e b e e n ( 1 5 + 1 7 ) f e e t o r 3 2 f e e t o v e r a h a l f s e c o n d o r 6 4 f e e t p e r s e c o n d . " ' " . A c o r r e c t d e s c r i p t i o n o f t h e g r o w t h o f t h e p o p u l a t i o n o f y e a s t c e l l s o v e r t h e 1 8 h o u r s w o u l d m e n t i o n t h a t t h e p o p u l a t i o n i n c r e a s e d f r o m l e s s t h a n 1 0 a t m i d n i g h t ( t = 0 ) t o a l i t t l e o v e r 7 5 0 a t 6 p m ( t = 1 8 ) . A m o r e c o m p l e t e d e s c r i p t i o n m i g h t n o t e t h a t t h e p o p u l a t i o n g r e w s l o w l y a t f i r s t , t h e n r a p i d l y f r o m a b o u t 6 a m ( t = 1 8 1 6 ) t o n o o n ( t = 1 2 ) , t h e n c o n t i n u e d t o i n c r e a s e b u t a t a s l o w e r r a t e . A n o t h e r d e s c r i p t i o n i s t h a t t h e p o p u l a t i o n i n c r e a s e d a t s u c c e s s i v e l y f a s t e r r a t e s u n t i l a b o u t 8 a m ( t = 8 ) a n d t h e n i t i n c r e a s e d a t s u c c e s s i v e l y s l o w e r r a t e s f r o m 8 a m t o 6 p m ( t = 1 8 ) . T h e p o p u l a t i o n d i d n o t g r o w b y t h e s a m e a m o u n t e v e r y h o u r . I t c h a n g e d t h e m o s t d u r i n g t h e m i d d l e h o u r s o f 7 t o 8 a m a n d 8 t o 9 a m a n d i t c h a n g e d t h e l e a s t f r o m m i d n i g h t t o 1 a m a n d f r o m 5 t o 6 p m . T h i s c o u l d b e s e e n b y n o t i n g t h e s t e e p n e s s o r f l a t n e s s o f t h e g r a p h o r t h e r e l a t i v e v e r t i c a l c h a n g e o v e r t h e s e r e s p e c t i v e t i m e i n t e r v a l s . T o f i n d h o w f a s t t h e p o p u l a t i o n w a s c h a n g i n g a t t = 4 a m , o n e c o u l d d r a w t h e l i n e t a n g e n t t o t h e g r a p h a t t = 4 a n d e s t i m a t e i t s s l o p e . O r o n e c o u l d f i n d t h e a v e r a g e r a t e o f c h a n g e o f t h e p o p u l a t i o n o v e r t h e i n t e r v a l f r o m t = 3 t o t = 5 a n d u s e t h a t a s a n e s t i m a t e o f t h e r a t e o f c h a n g e o f t h e p o p u l a t i o n a t t = 4 . T h e e n l a r g e d g r a p h a n d m o r e d e t a i l e d t a b l e o f v a l u e s c o u l d b e u s e d t o g e t b e t t e r e s t i m a t e s o f t h e r a t e o f c h a n g e o f t h e p o p u l a t i o n a t t = 4 . O n t h e e n l a r g e d g r a p h o n e c o u l d d r a w t h e t a n g e n t l i n e a t t = 4 a n d e s t i m a t e i t s s l o p e . T h a t m i g h t g i v e a b e t t e r e s t i m a t e . U s i n g t h e d e t a i l e d t a b l e o f v a l u e s o n e c o u l d f i n d t h e a v e r a g e r a t e o f c h a n g e o f t h e p o p u l a t i o n o v e r t h e t i m e i n t e r v a l f r o m t = 3 . 7 5 t o t = 4 . 2 5 a n d u s e t h a t a s a n e s t i m a t e o f t h e r a t e o f c h a n g e o f t h e p o p u l a t i o n a t t = 4 a m . V a l u e s f o r t h e a v e r a g e r a t e o f c h a n g e o f t h e p o p u l a t i o n o v e r t i m e i n t e r v a l s o f d e c r e a s i n g w i d t h b o r d e r i n g o n t = 4 a r e s h o w n i n T a b l e 4 . T h e p a t t e r n f o r m e d b y t h e s e v a l u e s s u g g e s t s t h e r a t e o f c h a n g e o f t h e p o p u l a t i o n a t t = 4 i s b e t w e e n 3 1 . 6 a n d 3 4 . 4 c e l l s p e r h o u r . T h i s j p r o c e d u r e a l s o s u g g e s t s o n e w a y f o r f i n d i n g e x a c t l y h o w f a s t t h e 1 8 2 p o p u l a t i o n c h a n g e s a t t = 4 , a s s t u d e n t s w e r e a s k e d t o d o i n a l a t e r p a r t o f T a s k 5 . O n e c o u l d f i n d t h e a v e r a g e r a t e o f c h a n g e o v e r i n t e r v a l s o f d e c r e a s i n g w i d t h b o r d e r i n g a t t = 4 a n d n o t e t h e l i m i t i n g v a l u e o f t h o s e a v e r a g e r a t e s o f c h a n g e a s t h e w i d t h o f t h e s e i n t e r v a l s g o e s t o z e r o . S i n c e v a l u e s f o r t h e c e l l p o p u l a t i o n w e r e n o t g i v e n f o r t i m e v a l u e s b e t w e e n t = 3 : 4 5 a n d t = 4 : 1 5 I d i d n o t a n t i c i p a t e t h a t s t u d e n t s w o u l d a c t u a l l y c o m p u t e a m o r e p r e c i s e l i m i t i n g v a l u e t h a n w h a t c o u l d b e o b t a i n e d f r o m T a b l e 4 a l t h o u g h I h o p e d s o m e s t u d e n t s m i g h t v e r b a l l y d e s c r i b e s u c h a p r o c e d u r e . T a b l e 4 A v e r a g e r a t e o f c h a n g e i n t h e n u m b e r o f y e a s t c e l l s o v e r i n t e r v a l s o f d e c r e a s i n g w i d t h b o r d e r i n g t = 4 a m W W W W 3 : 0 0 — 4 : 0 0 2 3 . 9 c e l l s p e r h o u r 4 : 0 0 - 5 : 0 0 4 8 . 0 c e l l s p e r h o u r 3 : 1 5 — 4 : 0 0 2 6 . 3 c e l l s p e r h o u r 4 : 0 0 - 4 : 4 5 4 2 . 8 c e l l s p e r h o u r 3 : 3 0 — 4 : 0 0 2 8 . 8 c e l l s p e r h o u r 4 : 0 0 - 4 : 3 0 3 8 . 4 c e l l s p e r h o u r 3 : 4 5 — 4 : 0 0 3 1 . 6 c e l l s p e r h o u r 4 : 0 0 - 4 : 1 5 3 4 . 4 c e l l s p e r h o u r T h e s e v a l u e s s u g g e s t T h e s e v a l u e s s u g g e s t t h e r a t e o f c h a n g e a t t h e r a t e o f c h a n g e a t t = 4 i s g r e a t e r t h a n 3 1 . 6 t = 4 i s l e s s t h a n 3 4 . 4 T o g e t h e r t h e s e s u g g e s t t h e r a t e o f c h a n g e a t t = 4 i s g r e a t e r t h a n 3 1 . 6 a n d l e s s t h a n 3 4 . 4 c e l l s p e r h o u r . A n o t h e r p r o c e d u r e f o r f i n d i n g t h e e x a c t r a t e o f c h a n g e a t t = 4 i s t o f i n d a n e q u a t i o n f o r t h e r e l a t i o n s h i p b e t w e e n t i m e a n d t h e p o p u l a t i o n , d i f f e r e n t i a t e t h a t e q u a t i o n , a n d e v a l u a t e t h a t d e r i v a t i v e a t t = 4 . S i n c e a n e q u a t i o n f o r t h a t r e l a t i o n s h i p w a s n o t g i v e n a n d s i n c e i t w a s u n l i k e l y t h a t s t u d e n t s i n t h i s s t u d y c o u l d e a s i l y f i n d i t , I d i d n o t b e l i e v e s t u d e n t s w o u l d u s e t h i s m e t h o d a l t h o u g h I b e l i e v e d t h a t s o m e s t u d e n t s w o u l d m e n t i o n s u c h a p r o c e d u r e . S t u d e n t s c o u l d , o f c o u r s e , 1 8 3 r e f e r t o t h e s l o p e o f t h e t a n g e n t l i n e a s a n e x a c t a n s w e r f o r t h e r a t e o f c h a n g e o f t h e c e l l p o p u l a t i o n a t t = 4 . " ' " . A c o r r e c t d e s c r i p t i o n o f t h e g r o w t h o f t h e a r e a o f a c i r c l e w o u l d n o t e t h a t t h e a r e a i n c r e a s e d a s t h e r a d i u s i n c r e a s e d . I t m i g h t a l s o n o t e t h a t t h e a r e a i n c r e a s e d a t a n i n c r e a s i n g r a t e . T h e a r e a g r e w t h e l e a s t a s t h e r a d i u s i n c r e a s e d f r o m z e r o t o o n e a n d i t g r e w t h e m o s t w h e n t h e r a d i u s i n c r e a s e d f r o m f o u r t o f i v e . T h e a r e a g r e w a b o u t 1 5 . 7 s q u a r e f e e t a s t h e r a d i u s g r e w f r o m 2 t o 3 f e e t a n d t h e a r e a g r e w a b o u t 2 2 s q u a r e f e e t a s t h e r a d i u s g r e w f r o m 3 t o 4 f e e t . T h e a v e r a g e r a t e s o f c h a n g e o v e r t h e s e t w o i n t e r v a l s a r e 1 5 . 7 a n d 2 2 s q u a r e f e e t p e r f o o t , r e s p e c t i v e l y . O n e e s t i m a t e o f t h e r a t e o f c h a n g e o f t h e a r e a w h e n t h e r a d i u s i s e x a c t l y t h r e e f e e t w o u l d b e t h e a v e r a g e o f 1 5 . 7 a n d 2 2 , t h e t w o f i g u r e s o b t a i n e d a b o v e . T h a t w o u l d y i e l d a n a n s w e r o f 1 8 . 8 5 s q u a r e f e e t p e r f o o t . A n e x a c t a n s w e r c o u l d b e o b t a i n e d b y d i f f e r e n t i a t i n g t h e a r e a w i t h r e s p e c t t o t h e r a d i u s u s i n g t h e e q u a t i o n A = P I * r 2 f o r t h e r e l a t i o n s h i p b e t w e e n t h e r a d i u s ( r ) a n d t h e a r e a ( A ) o f a c i r c l e . T h i s r e s u l t s i n t h e d e r i v a t i v e e q u a t i o n o f A ' = 2 * P I * r . E v a l u a t i n g t h e r i g h t s i d e o f t h i s e q u a t i o n a t r = 3 y i e l d s 1 8 . 8 5 , t h e s a m e a s t h e e s t i m a t e a b o v e . A n o t h e r w a y t o g e t t h e e x a c t a n s w e r w o u l d i n v o l v e d r a w i n g t h e l i n e t a n g e n t t o t h e g r a p h a t r = 3 a n d f i n d i n g t h e s l o p e . D g a g I i h i n g _ ; h e _ d e p g n d e n t _ y a r i a b l e . I n T a s k s 4 , 5 , a n d 6 s t u d e n t s w e r e a s k e d t o d e s c r i b e w h a t w a s h a p p e n i n g t o t h e d e p e n d e n t v a r i a b l e o v e r t h e e n t i r e d o m a i n o f t h e i n d e p e n d e n t v a r i a b l e . S t u d e n t s t e n d e d t o g i v e o n e o f t w o d e s c r i p t i o n s , a l e s s d e t a i l e d d e s c r i p t i o n a n d a m o r e d e t a i l e d 1 8 4 d e s c r i p t i o n . I n t h e l e s s d e t a i l e d d e s c r i p t i o n s , s t u d e n t s m e n t i o n e d o n l y t h a t t h e d e p e n d e n t v a r i a b l e i n c r e a s e d o r d e c r e a s e d w i t h o u t i n d i c a t i n g t h e v a r y i n g r a t e s o f i n c r e a s e o r d e c r e a s e . I n t h e m o r e d e t a i l e d d e s c r i p t i o n , s t u d e n t s n o t o n l y m e n t i o n e d t h a t t h e d e p e n d e n t v a r i a b l e i n c r e a s e d o r d e c r e a s e d b u t a l s o e m p h a s i z e d t h e v a r y i n g r a t e s o f i n c r e a s e a n d d e c r e a s e . I n T a s k 4 s t u d e n t s w e r e a s k e d t o " D e s c r i b e t h e h e i g h t o f t h e b a l l o v e r t h e f o u r s e c o n d s . " T h e l e s s d e t a i l e d d e s c r i p t i o n w a s " i t g o e s u p a n d t h e n i t c o m e s b a c k d o w n " a n d t h e m o r e d e t a i l e d d e s c r i p t i o n w a s " i t s l o w s d o w n a s i t g o e s u p a n d s p e e d s u p a s i t c o m e s d o w n " . O v e r 6 0 p e r c e n t o f t h e s t u d e n t s g a v e t h e l e s s d e t a i l e d d e s c r i p t i o n . F o r T a s k 5 s t u d e n t s w e r e a s k e d t o " D e s c r i b e t h e p o p u l a t i o n o f y e a s t c e l l s o v e r t h i s p e r i o d o f t i m e . " f r o m m i d n i g h t ( t = O ) t o 6 p m ( t = 1 8 ) . A l l o f t h e s t u d e n t s g a v e o n e o f t w o s o r t s o f d e t a i l e d d e s c r i p t i o n s . I n o n e o f t h e d e s c r i p t i o n s t h e c h a n g e i n p o p u l a t i o n o v e r t h e 1 8 h o u r s w a s s e e n a s c o n s i s t i n g o f t h r e e s e c t i o n s . I n t h e f i r s t s e c t i o n , t h e p o p u l a t i o n i n c r e a s e d s l o w l y ; i n t h e s e c o n d s e c t i o n , i t i n c r e a s e d m o r e q u i c k l y ; i n t h e t h i r d s e c t i o n , i t i n c r e a s e d s l o w l y a g a i n . I n t h e o t h e r d e s c r i p t i o n t h e p o p u l a t i o n w a s s e e n a s c o n s i s t i n g o f t w o s e c t i o n s . O v e r t h e f i r s t s e c t i o n f r o m t = 0 t o a b o u t t = 8 , t h e p o p u l a t i o n i n c r e a s e d a t s u c c e s s i v e l y f a s t e r r a t e s a n d o v e r t h e s e c o n d s e c t i o n f r o m a b o u t t = 8 t o t = 1 8 , t h e p o p u l a t i o n i n c r e a s e d a t s u c c e s s i v e l y s l o w e r r a t e s . T h i s m e a n s t h a t i n e a c h s u c c e e d i n g h o u r o f t h e f i r s t h a l f , t h e p o p u l a t i o n i n c r e a s e d m o r e t h a n i t d i d t h e p r e v i o u s h o u r a n d i n e a c h s u c c e e d i n g h o u r o f t h e s e c o n d h a l f , t h e p o p u l a t i o n i n c r e a s e d l e s s t h a n i t d i d t h e p r e v i o u s h o u r . A b o u t t h r e e - f o u r t h s o f 1 8 5 t h e s u b j e c t s g a v e t h e f i r s t t y p e o f d e s c r i p t i o n - i n c r e a s i n g s l o w l y , i n c r e a s i n g q u i c k l y , i n c r e a s i n g s l o w l y a g a i n . I n T a s k 6 s t u d e n t s w e r e a s k e d t o " D e s c r i b e t h e a r e a o f t h e c i r c l e a s t h e r a d i u s g r o w s f r o m 0 t o 5 f e e t . " T h e l e s s d e t a i l e d d e s c r i p t i o n w a s " I t i n c r e a s e s . " T h e m o r e d e t a i l e d d e s c r i p t i o n w a s " I t i n c r e a s e s a t a n i n c r e a s i n g r a t e . " O v e r 6 0 p e r c e n t o f t h e s u b j e c t s g a v e t h e l e s s d e t a i l e d d e s c r i p t i o n . W I n T a s k s 4 , 5 . a n d 6 s t u d e n t s w e r e a s k e d t o i d e n t i f y i n t e r v a l s o f t h e i n d e p e n d e n t v a r i a b l e f o r w h i c h t h e d e p e n d e n t v a r i a b l e c h a n g e d t h e m o s t a n d t h e l e a s t a n d t o e x p l a i n h o w t h e y k n e w . O n a l l t h r e e t a s k s , a l l o f t h e s t u d e n t s c o r r e c t l y i d e n t i f i e d i n t e r v a l s o f t h e i n d e p e n d e n t v a r i a b l e f o r w h i c h t h e d e p e n d e n t v a r i a b l e c h a n g e d t h e m o s t a n d t h e l e a s t a n d p r i m a r i l y t h r e e s t r a t e g i e s w e r e u s e d t o m a k e t h e s e d e c i s i o n s . - " " . S t u d e n t s w e r e a s k e d t o d e c i d e o v e r w h i c h q u a r t e r s e c o n d i n t e r v a l s t h e b a l l t r a v e l e d t h e m o s t a n d t h e l e a s t . T a b l e 5 s h o w s t h e s t r a t e g i e s s t u d e n t s u s e d . 1 8 6 T a b l e 5 S t r a t e g i e s u s e d t o d e c i d e w h e n t h e b a l l w a s t r a v e l i n g m o s t a n d l e a s t _ S _ t r a t e g y _ _ P W D e l t a d 3 7 ( 1 0 0 % ) K n o w l e d g e o f m o t i o n 1 0 ( 2 7 % ) V i s u a l s l o p e 6 ( 1 6 % ) D e l t a t 1 ( 3 % ) D e l t a d a n d d e l t a t 1 ( 3 % ) T h e r e w e r e 3 7 s t u d e n t s i n t h e s t u d y . T h e t o t a l s ( n u m b e r a n d p e r c e n t ) d o n o t a d d t o 3 7 ( 1 0 0 % ) s i n c e s o m e s t u d e n t s u s e d m o r e t h a n o n e s t r a t e g y . A l l s t u d e n t s u s e d a t l e a s t o n e s t r a t e g y . P e r c e n t s r e p r e s e n t t h e p e r c e n t o f t h e 3 7 s t u d e n t s t o u s e t h i s s t r a t e g y . " " . A l l o f t h e s t u d e n t s r e f e r r e d t o d i s t a n c e t r a v e l e d o v e r q u a r t e r s e c o n d i n t e r v a l s , " d e l t a d " , t o d e c i d e w h i c h i n t e r v a l s s h o w e d t h e b a l l t r a v e l i n g t h e m o s t a n d l e a s t . S i n c e s t u d e n t s w e r e a s k e d t o f i n d t h e q u a r t e r s e c o n d i n t e r v a l s d u r i n g w h i c h t h e b a l l t r a v e l e d t h e m o s t a n d t h e l e a s t , i t s h o u l d n o t b e t o o s u r p r i s i n g t h a t t h e y r e f e r e n c e r e l a t i v e o r a c t u a l d i s t a n c e s t r a v e l e d i n q u a r t e r s e c o n d i n t e r v a l s t o a n s w e r t h i s q u e s t i o n . H e r e a r e s o m e s a m p l e c o m m e n t s : " ( D o e s t h e b a l l t r a v e l t h e s a m e n u m b e r o f f e e t e a c h q u a r t e r s e c o n d ? ) N o . I t ' s f e w e r f e e t a s w e g e t c l o s e r t o t h e t w o s e c o n d p o i n t . ( H o w c a n y o u t e l l ? ) U h , t h e l i t t l e s q u a r e s [ d e n o t i n g p o i n t s o n t h e g r a p h f o r e a c h q u a r t e r s e c o n d ] a r e c l o s e r t o g e t h e r . " K G - P r e c a l c u l u s " I n s o m e q u a r t e r s t h e y t r a v e l m o r e f e e t . ( O k . D u r i n g w h i c h q u a r t e r s e c o n d s d o e s i t t r a v e l t h e m o s t ? ) T h e y t r a v e l a b o u t 1 5 f e e t h e r e [ f r o m t = 0 t o t = . 2 5 ] . A n d h e r e [ f r o m t = 1 . 5 t o t = l . 7 5 ] t h e y t r a v e l a b o u t f i v e f e e t . " ( S C L - P r e c a l c u l u s " T h e b a l l t r a v e l s s a y t h e m o s t , t h e m o s t f e e t i n l i k e t h e f i r s t s e c o n d o r l i k e i n t h e f i r s t c o u p l e q u a r t e r s o f a s e c o n d . A n d t h e n i t k e e p s d e c r e a s i n g [ t h e d i s t a n c e t r a v e l e d i n s u c c e s s i v e q u a r t e r 1 8 7 s e c o n d i n t e r v a l s o n t h e w a y u p ] a n d t h e n l i k e a s i t c o m e s d o w n , i n t h e l a s t c o u p l e q u a r t e r s i s h a s , i t m a k e s t h e m o s t j u m p o r w h a t e v e r , t h e b i g g e s t d i f f e r e n c e i n f e e t . " A M - C a l c u l u s " ( D o e s t h e b a l l t r a v e l t h e s a m e n u m b e r o f f e e t e a c h q u a r t e r o f a s e c o n d ? ) N o . ( H o w c a n y o u t e l l ? ) B e c a u s e t h e d i s t a n c e b e t w e e n t h i s [ h e i g h t a t t = . 2 5 ] w o u l d b e a r o u n d 1 5 a n d t h i s [ h e i g h t a t t = . 5 ] w o u l d b e a r o u n d 2 9 a n d t h e n u p h e r e [ f r o m t = 1 . 5 t o t = 1 . 7 5 ] t h i s i s a b o u t 5 . " J K - C a l c u l u s " F r o m z e r o t o t w o s e c o n d s , i t ' s g o i n g p r o g r e s s i v e l y f e w e r f e e t p e r u n i t o f t i m e a n d a s i t g o e s f r o m t w o t o f o u r s e c o n d s , i t ' s g o i n g p r o g r e s s i v e l y m o r e f e e t p e r u n i t o f t i m e . " A D - P o s t c a l c u l u s " I t c o v e r e d d i f f e r e n t a m o u n t o f f e e t i n d i f f e r e n t s e c o n d s b e c a u s e i t ' s n o t a s l o p e [ r e a d l i n e ] . I t ' s a p a r a b o l a . ( S h o w m e a q u a r t e r s e c o n d w h e r e i t ' s t r a v e l i n g f a s t a n d s h o w m e a q u a r t e r s e c o n d w h e r e i t ' s t r a v e l i n g s l o w . ) W e l l , r i g h t h e r e [ f r o m t = 0 t o t = . 2 5 ] i s l i k e 1 5 f e e t f o r a q u a r t e r o f a s e c o n d . A n d l i k e u p h e r e [ f r o m t = 1 . 7 5 t o t = 2 ] t h e y o n l y c o v e r e d l i k e t w o f e e t . W h i c h i s a d i f f e r e n t s p e e d t h a n o v e r h e r e [ f r o m t = 0 t o t = . 2 5 ] . F r o m t h i s p o i n t [ t = 2 ] t o t h i s p o i n t [ t = 2 . 5 ] t h e y o n l y c o v e r e d m a y b e f o u r f e e t , m a y b e t h r e e f e e t . " L B - P o s t c a l c u l u s T h e s e s t u d e n t s r e f e r r e d t o a c t u a l o r r e l a t i v e d i s t a n c e t r a v e l e d b y t h e b a l l t o d e c i d e o v e r w h i c h q u a r t e r s e c o n d i n t e r v a l s t h e b a l l t r a v e l e d t h e m o s t a n d l e a s t . S o m e s t u d e n t s b a s e d t h e i r d e c i s i o n s o n v i s u a l c o m p a r i s o n s o f d i s t a n c e o n t h e g r a p h ( K G , A M , a n d A D ) w h i l e o t h e r s r e f e r r e d d i r e c t l y t o t h e a c t u a l d i s t a n c e s t r a v e l e d d u r i n g s p e c i f i c q u a r t e r s e c o n d s i n t e r v a l s ( S C L , J K , a n d L B ) . " ' " . T h e l a s t s t u d e n t q u o t e d a b o v e ( L B ) a l s o u s e d v i s u a l s l o p e t o s u p p o r t h e r c l a i m : " I t c o v e r e d d i f f e r e n t a m o u n t o f f e e t i n d i f f e r e n t s e c o n d s b e c a u s e i t ' s n o t a s l o p e . " ( S h e c o n s i s t e n t l y u s e d s l o p e t h r o u g h o u t t h i s i n t e r v i e w w h e n r e f e r r i n g t o l i n e s . ) W h e n p r e s s e d f o r f u r t h e r e v i d e n c e s h e r e f e r r e d t o t h e a c t u a l n u m b e r o f f e e t t r a v e l e d i n s o m e q u a r t e r s e c o n d i n t e r v a l s . O t h e r s t u d e n t s a l s o m a d e c o m p a r i s o n s u s i n g v i s u a l s l o p e : " W e l l , y o u c a n s e e t h a t t h e s l o p e i s d e c r e a s i n g [ r u n s p e n u p a l o n g t h e l e f t s i d e o f t h e g r a p h ] . B u t I k n o w t h a t t h e f o r c e o f g r a v i t y i s p u l l i n g i t d o w n a n d s l o w i n g i t d o w n s o i t ' s t r a v e l i n g l e s s 1 8 8 d i s t a n c e o v e r t h e t i m e . B u t i t ' s t r a v e l i n g f a r t h e r i n t h i s q u a r t e r s e c o n d [ f r o m t = 0 t o t = . 2 5 ] , l i t t l e b i t l e s s , l i t t l e b i t l e s s , l i t t l e b i t l e s s [ s u c c e s s i v e l y l e s s i n s u c c e s s i v e i n t e r v a l s ] , l o t l e s s , l o t l e s s [ m o v e s h i s p e n f r o m p o i n t t o p o i n t u p a l o n g t h e l e f t s e c t i o n o f t h e g r a p h ] . " D R - C a l c u l u s " ( H o w c a n y o u t e l l w h e r e i t ' s m o v i n g t h e f a s t e s t a n d w h e r e i t ' s m o v i n g t h e s l o w e s t ? W h a t i s i t a b o u t t h e g r a p h t h a t s h o w s y o u t h a t ? ) W e l l , t o m e , i t ' s t h e s l o p e o f t h e g r a p h . J u s t t o l o o k a t t h e s l o p e o f t h e g r a p h . B u t y o u c a n a l s o l o o k a t i t a s a t a b l e o f v a l u e s . I n t h e f i r s t q u a r t e r i t ' s m o v e d a l m o s t 1 5 f e e t i n t h e a i r . A n d i n t h e f i f t h q u a r t e r i t m o v e s o n l y l i k e f i v e f e e t . " D W — C a l c u l u s " N o . I t s t a r t s o u t b y m o v i n g f a r t h e r u p a n d t h e n i t s l o w s d o w n a n d d o e s n ' t t r a v e l a s f a r r i g h t i n t h e m i d d l e a n d t h e n i t s p e e d s u p a g a i n . ( S o y o u c a n t e l l i t ' s s l o w i n g d o w n b e c a u s e ? ) B e c a u s e f o r t h e , t h e b i g g e r t h e s l o p e o f t h e l i n e [ c o n n e c t s p o i n t s a t t = 1 . 5 a n d t = 1 . 7 5 ] o n t h e g r a p h ] i s l i k e t h i s - a n d i t ' s m o r e t i m e [ t o c o v e r t h e s a m e d i s t a n c e ] a n d n o t a s m u c h d i s t a n c e i n t h e s a m e t i m e . ( A n d h o w c a n y o u t e l l i t ' s g o i n g f a s t e r ? ) B e c a u s e t h e r e ' s m o r e d i s t a n c e i n a s h o r t e r a m o u n t o f t i m e . " J S - P o s t c a l c u l u s T h e s e s t u d e n t s u s e d s l o p e i n i t i a l l y t o s u p p o r t t h e i r c l a i m s a b o u t w h e n t h e b a l l t r a v e l e d f a s t e r a n d w h e n i t t r a v e l e d s l o w e r . T h e t h r e e s t u d e n t s q u o t e d a b o v e c o n t i n u e d t o r e a s o n a b o u t t h e q u e s t i o n . T h e f i r s t s t u d e n t ( D R ) u s e d k n o w l e d g e o f m o t i o n a s f u r t h e r e v i d e n c e t h a t t h e b a l l t r a v e l e d l e s s d i s t a n c e i n e a c h s u c c e s s i v e q u a r t e r s e c o n d o n i t s w a y u p : " t h e f o r c e o f g r a v i t y i s p u l l i n g i t d o w n a n d s l o w i n g i t d o w n s o i t ' s t r a v e l i n g l e s s d i s t a n c e o v e r t h e t i m e " . H e t h e n w a l k e d o f f c o m p a r a t i v e d i s t a n c e s t h e b a l l t r a v e l e d i n e a c h q u a r t e r s e c o n d i n t e r v a l o n i t s w a y u p . H e u s e d t h r e e d i f f e r e n t s t r a t e g i e s , " d e l t a d " , " v i s u a l s l o p e " , a n d " k n o w l e d g e o f m o t i o n " , a s t r a t e g y t o b e d i s c u s s e d b e l o w , t o d e c i d e w h e n t h e b a l l t r a v e l e d m o r e a n d w h e n i t t r a v e l e d l e s s . T h e s e c o n d s t u d e n t ( D W ) u s e d a c t u a l d i s t a n c e s t r a v e l e d i n e a c h q u a r t e r s e c o n d t o s t r e n g t h e n h i s c l a i m a b o u t w h e n t h e b a l l t r a v e l e d m o r e a n d w h e n i t t r a v e l e d l e s s . H e r e f e r r e d t o a t a b l e o f v a l u e s . A t t h i s p o i n t h e d i d n o t h a v e a n a c t u a l t a b l e o f v a l u e s ; h e w a s m e r e l y n o t i n g 1 8 9 t h a t h e c o u l d r e a d c o o r d i n a t e s o f p o i n t s o n t h e g r a p h a n d , a s h e w o u l d d o i f h e h a d a t a b l e o f v a l u e s , c o u l d t h e n c o m p u t e t h e d i s t a n c e t h e b a l l t r a v e l e d e a c h q u a r t e r s e c o n d i n t e r v a l a n d m a k e h i s d e c i s i o n t h a t w a y . H e p r o c e e d e d t o d o j u s t t h a t . T h e g r a p h s g i v e n i n T a s k s 4 , 5 , a n d 6 w e r e n o t s m o o t h c u r v e s . T h e y w e r e c o m p o s e d o f s t r a i g h t l i n e s e g m e n t s j o i n i n g p o i n t s . T h e g r a p h f o r T a s k 4 w a s s t r a i g h t l i n e s e g m e n t s j o i n i n g p o i n t s a t q u a r t e r s e c o n d i n t e r v a l s . T h i s m a d e i t f a i r l y e a s y t o r e a d t h e c o o r d i n a t e s o f t h e s e p o i n t s a n d c o m p u t e t h e d i s t a n c e t r a v e l e d e a c h q u a r t e r s e c o n d . " " " " . T h e l a s t s t u d e n t q u o t e d a b o v e ( J S ) m a d e a r e f e r e n c e t o s l o p e b u t s h e u s e d t h e w o r d s " b i g g e r s l o p e " w h i l e p o i n t i n g t o a s e c t i o n o f t h e g r a p h t h a t h a s r e l a t i v e l y s m a l l e r s l o p e . A f t e r a b r i e f f u m b l i n g a r o u n d w i t h w o r d s , s h e r e f e r r e d t o t h e d i s t a n c e t r a v e l e d i n a n a m o u n t o f t i m e : " i t ' s m o r e t i m e [ t o c o v e r t h e s a m e d i s t a n c e ] a n d n o t a s m u c h d i s t a n c e i n t h e s a m e t i m e " w h e n t h e b a l l w a s t r a v e l i n g s l o w e r a n d " t h e r e ' s m o r e d i s t a n c e i n a s h o r t e r a m o u n t o f t i m e " w h e n t h e b a l l w a s t r a v e l i n g f a s t e r . S h e u s e d " d e l t a t " ( " i t ' s m o r e t i m e [ t o c o v e r t h e s a m e d i s t a n c e ] " ) , " d e l t a d " ( " n o t a s m u c h d i s t a n c e i n t h e s a m e t i m e " ) , a n d " d e l t a d a n d d e l t a t " ( " t h e r e ' s m o r e d i s t a n c e i n a s h o r t e r a m o u n t o f t i m e " ) . " ' " . O n e o f t h e s t u d e n t s d i s c u s s e d a b o v e ( D R ) u s e d k n o w l e d g e o f m o t i o n t o d e c i d e w h e n t h e b a l l t r a v e l e d m o r e a n d l e s s . T h e r e w e r e o t h e r s t u d e n t s w h o u s e d t h i s s a m e s t r a t e g y : " ( D o e s t h e b a l l t r a v e l t h e s a m e n u m b e r o f f e e t e a c h q u a r t e r s e c o n d ? ) P r e t t y m u c h , u n t i l i t g e t s t o t h e t o p w h e n i t s t a r t s t o s l o w d o w n ' c a u s e o f t h e g r a v i t y p i c k i n g u p a n d w h e n i t r e a c h e s t h e p e a k , i t s t o p s . S o i t d o e s n ' t c o v e r a s m a n y f e e t a t t h e t o p a s i t d o e s d o w n a t t h e b o t t o m o n t a k e o f f . " T W — P r e c a l c u l u s 1 9 0 " W e l l , o b v i o u s l y w h e n t h e b a l l i s b e i n g t h r o w n , b e t w e e n z e r o a n d o n e q u a r t e r o f a s e c o n d , i t ' s g o i n g f a s t e s t b e c a u s e i t j u s t l e f t y o u r h a n d . I t ' s g o i n g f a s t e r t h e n s a y c l o s e r t o w h e n i t ' s r e a c h i n g i t s p e a k . I t s l o w s d o w n . ( H o w d o e s t h e g r a p h s h o w t h a t ? ) H e r e [ f r o m t = 0 t o t = . 2 5 ] i n a q u a r t e r s e c o n d t h e d i s t a n c e t r a v e l e d i s a b o u t 1 5 f e e t . B u t o v e r h e r e t o w a r d i t s p e a k i n t h i s q u a r t e r s e c o n d [ f r o m t = 1 . 7 5 t o t = 2 ] t h e b a l l t r a v e l s o n l y a b o u t j u s t a f e w f e e t . I t t r a v e l s f a s t t h e c l o s e r i t g e t s t o t h e g r o u n d . I t k e e p s a c c e l e r a t i n g d u e t o g r a v i t y . " M G - C a l c u l u s " W e l l , i t l o o k s l i k e i t ' s c o v e r i n g m o r e s o m e q u a r t e r s e c o n d s i f I j u s t w a n t t o l o o k a t t h e s e l i t t l e b o x e s b e t w e e n t h e m [ t h e d i s t a n c e b e t w e e n t h e p o i n t s , w h i c h a r e p r e s e n t e d b y i c o n s t h a t l o o k l i k e l i t t l e b o x e s ] . ( S h o w a q u a r t e r s e c o n d w h e r e i t ' s c o v e r i n g a l o t o f d i s t a n c e . ) W e l l , a n y w h e r e r i g h t u p t h r o u g h h e r e , a n y w h e r e u p t h r o u g h t h e t o p . I t h i n k . I t a p p e a r s t h a t [ l o n g p a u s e ] . I t s e e m s l i k e i f y o u w e r e t o t o s s a b a l l u p , i t w o u l d h a v e m o r e v e l o c i t y o b v i o u s l y a t t h e b e g i n n i n g o f t h e t o s s t h a n i t w o u l d a t t h e t o p , t h a n a t i t s m a x i m u m . A t i t s m a x i m u m i t w o u l d c o v e r l e s s a n d i t w o u l d s l o w d o w n b e c a u s e i t ' s g e t t i n g r e a d y f o r i t s d o w n f a l l . S o i t w o u l d g o u p f a s t e r a n d t h e n i t w o u l d r e a c h a p o i n t w h e r e i t ' s s l o w , w h e r e i t ' d b e a t i t s p e a k a n d a s i t ' d c o m e d o w n i t w o u l d g o f a s t e r a n d f a s t e r . ( I s t h e r e a n y t h i n g a b o u t t h i s g r a p h t h a t s u b s t a n t i a t e s t h a t ? O r c o n t r a d i c t s i t ? ) N o . I g u e s s t h i s s u p p o r t s i t . ( A n d h o w d o e s i t s u p p o r t i t ? ) W e l l , a s y o u t h r o w t h e b a l l u p , o b v i o u s l y a t t h e b e g i n n i n g i t ' s c o v e r i n g m o r e t h a n i t i s a t t h e t o p , I g u e s s , i f i t i s r i g h t . A n d t h e n a s i t d o e s g e t r i g h t , i t h i t s i t s m a x i m u m o r p e a k . I t ' s o b v i o u s l y , y o u k n o w , s l o w e d w a y d o w n . I t ' s n o t , y o u k n o w , t r a v e l i n g n e a r l y a s f a s t o r c o v e r i n g n e a r l y a s m u c h g r o u n d ' c a u s e , y o u k n o w , i n b e t w e e n h e r e [ a t t h e t o p o f t h e g r a p h ] I g u e s s i t ' s o n l y c o v e r i n g a c o u p l e o f f e e t w h e r e y o u c a n c o m e d o w n h e r e [ n e a r t = . 7 5 ] a n d i t ' s c o v e r i n g a b o u t 1 0 , y o u k n o w , o r 1 1 d o w n h e r e . S o , I g u e s s , y e a h , o k , s o I ' m , s e e m s r i g h t . " R C - P o s t c a l c u l u s T h e s e s t u d e n t s u s e d k n o w l e d g e o f m o t i o n t o d e c i d e w h e n t h e b a l l t r a v e l e d m o s t a n d l e a s t . T h e f i r s t s t u d e n t ( T W ) b a s e d h i s c o n c l u s i o n t h a t " i t d o e s n ' t c o v e r a s m a n y f e e t a t t h e t o p a s i t d o e s d o w n a t t h e b o t t o m o n t a k e o f f " o n h i s k n o w l e d g e o f t h e e f f e c t o f g r a v i t y i n c a u s i n g t h e b a l l t o s l o w d o w n a s i t w e n t u p . T h e s e c o n d s t u d e n t ( M G ) u s e d h i s k n o w l e d g e t h a t t h e b a l l i s g o i n g f a s t e s t w h e n i t f i r s t l e a v e s y o u r h a n d . W h e n I p r e s s e d h i m f o r f u r t h e r e v i d e n c e , h e c i t e d a c t u a l d i s t a n c e s t h e b a l l t r a v e l e d i n s e v e r a l q u a r t e r s e c o n d i n t e r v a l s . H e f i n i s h e d o f f h i s 1 9 1 d i s c u s s i o n w i t h a n o t h e r r e f e r e n c e t o m o t i o n : " I t t r a v e l s f a s t e r t h e c l o s e r i t g e t s t o t h e g r o u n d . I t k e e p s a c c e l e r a t i n g d u e t o g r a v i t y . " T h e t h i r d s t u d e n t ( R C ) g a v e a n i n i t i a l a n s w e r b a s e d o n " d e l t a d " : " i f I j u s t w a n t t o l o o k a t t h e s e l i t t l e b o x e s b e t w e e n t h e m [ t h e d i s t a n c e b e t w e e n t h e p o i n t s , w h i c h a r e r e p r e s e n t e d b y i c o n s t h a t l o o k l i k e l i t t l e b o x e S J " . W h e n a s k e d t o i d e n t i f y a n i n t e r v a l w h e r e t h e b a l l t r a v e l e d m o r e d i s t a n c e , h e u s e d h i s k n o w l e d g e o f m o t i o n t o s a t i s f y h i m s e l f t h a t t h e g r a p h s h o w s w h a t i t i s s u p p o s e d t o s h o w . I n t h e p r o c e s s h e n o t e d t h a t t h e b a l l t r a v e l e d m o r e d i s t a n c e a t t h e b o t t o m t h a n a t t h e t o p w h e r e i t w a s n o t " c o v e r i n g n e a r l y a s m u c h g r o u n d " . H e e n d e d b y c i t i n g t h e n u m b e r o f f e e t t h e b a l l t r a v e l e d i n a c o u p l e o f i n t e r v a l s : " i t ' s o n l y c o v e r i n g a c o u p l e o f f e e t [ u p a t t h e t o p ] w h e r e y o u c a n c o m e d o w n h e r e [ n e a r t = . 7 5 ] a n d i t ' s c o v e r i n g a b o u t 1 0 " . H e , l i k e s e v e r a l o t h e r s t u d e n t s , u s e d m o r e t h a n o n e s t r a t e g y t o r e a s o n a b o u t w h e n t h e b a l l t r a v e l e d t h e m o s t a n d t h e l e a s t . - " ' " . S t u d e n t s w e r e a s k e d t o d e c i d e o v e r w h a t i n t e r v a l s o f t i m e t h e c e l l p o p u l a t i o n c h a n g e d t h e m o s t a n d t h e l e a s t . M o s t o f t h e s t r a t e g i e s u s e d i n T a s k 4 w e r e a l s o u s e d h e r e . T a b l e 6 s h o w s t h e n u m b e r a n d p e r c e n t o f t h e 3 7 s t u d e n t s w h o u s e d e a c h s t r a t e g y . 1 9 2 T a b l e 6 S t r a t e g i e s u s e d t o d e c i d e w h e n t h e p o p u l a t i o n c h a n g e d m o s t a n d l e a s t _ _ _ S _ t t a t _ e s i e s _ _ _ W D e l t a p 2 6 ( 7 0 % ) V i s u a l s l o p e 2 2 ( 5 9 % ) K n o w l e d g e o f g r o w t h 5 ( 1 4 % ) o f p o p u l a t i o n s D e l t a p a n d d e l t a t 2 ( 5 % ) T o t a l s ( a n d p e r c e n t s ) d o n o t a d d u p t o 3 7 ( 1 0 0 p e r c e n t ) s i n c e s o m e s t u d e n t s u s e d m o r e t h a n o n e s t r a t e g y . " " . S e v e n t y p e r c e n t o f t h e s t u d e n t s u s e d c h a n g e i n p o p u l a t i o n o v e r o n e h o u r i n t e r v a l s o f t i m e t o m a k e d e c i s i o n s a b o u t w h e n t h e p o p u l a t i o n c h a n g e d t h e m o s t a n d l e a s t . T h e y c o m p a r e d d i s t a n c e s b e t w e e n p o i n t s o n t h e g r a p h o r n u m b e r o f c e l l s t h e p o p u l a t i o n g r e w d u r i n g o n e h o u r t i m e i n t e r v a l s . S o m e a c t u a l l y c o m p u t e d a p p r o x i m a t e v a l u e s f o r t h e c h a n g e i n p o p u l a t i o n w h i l e o t h e r s m a d e r e l a t i v e c o m p a r i s o n s . H e r e i s a r e p r e s e n t a t i v e s a m p l e o f c o m m e n t s : " L o o k s l i k e o v e r t h e f i r s t f o u r h o u r s t h e r e i s n o t a s i g n i f i c a n t a m o u n t o f r e p r o d u c t i o n b u t a b o u t 5 h o u r s u n t i l 1 3 h o u r s i s w h e n t h e y a r e g o i n g t h r o u g h t h e i r m a j o r r e p r o d u c t i v e s t a g e a n d t h e n 1 4 t h r o u g h 1 8 t h e y ' r e m o r e a b u n d a n t . ( A n d h o w a r e y o u a b l e t o t e l l t h a t f r o m t h e g r a p h ? ) U h . T h e f i r s t f o u r h o u r s , i n e a c h o f t h o s e h o u r s , t h e n u m b e r o f c e l l s d o e s n ' t r i s e v e r y m u c h . I t ' s s t i l l u n d e r 1 0 0 . T h e n u m b e r o f c e l l s - i t ' s h a r d t o e v e n t e l l h o w m u c h i t ' s g o i n g u p . B u t t h e n y o u g e t u p t o a b o u t 5 h o u r s u n t i l 1 3 h o u r s a n d i t ' s g o i n g u p s i g n i f i c a n t l y - b e t w e e n 5 0 a n d a 1 0 0 p e r h o u r a n d b a c k a g a i n t o i n s i g n i f i c a n t . " L C - P r e c a l c u l u s " I t g o e s l e s s , m o r e , l e s s . ( A n d h o w d o y o u k n o w ? ) A s y o u c a n s e e h e r e , t h e s e t i m e i n t e r v a l s a r e r e m a i n i n g c o n s t a n t . N o w w e n o t i c e h e r e , l e t ' s s a y t h i s i s g o n n a b e o n e [ d r a w s r e c t a n g u l a r s t e p s o n t h e g r a p h f r o m 1 t o 2 t o 3 ] , t h a t t h e d i s t a n c e h e r e , I m e a n t h e p o p u l a t i o n i s g r o w i n g i n h e r e [ f r o m t = 0 t o t = 1 ] i s g o n n a b e s a y , l e t ' s s a y 1 0 , 1 5 . W e g o t o p o i n t 2 [ f r o m t = 1 t o t = 2 ] , t h e p o p u l a t i o n g r o w s a l i t t l e m o r e , n o t m u c h a s y o u c a n s e e . T h e l i n e 1 9 3 { i n d e c i p h e r a b l e } . A s y o u g o f r o m h e r e [ f r o m t = 2 t o t = 3 ] w e ' r e s e e i n g a l i t t l e m o r e i n c r e a s e o f p e o p l e , o f c e l l s . T h e n w e n o t i c e t h a t w i t h i n t h e s a m e t i m e f r a m e , e r , t h e t i m e i n t e r v a l , w e ' r e g e t t i n g a l i t t l e m o r e p e o p l e h e r e [ f r o m t = 3 t o t = 4 ] . I f y o u j u s t w a n t e d t o f i n d t h e r a t e o f c h a n g e , o r t h e s l o p e o f f r o m p o i n t t o p o i n t , y o u n o t i c e t h a t y o u ' r e g e t t i n g l a r g e r a n d l a r g e r . S o , a n y w a y s , t h e t i m e i n t e r v a l s a r e t h e s a m e , a n d y o u c a n s e e h e r e t h a t t h e r e ' s b e i n g m o r e c e l l s p r o d u c e d w i t h i n a b o u t t h e s a m e a m o u n t o f t i m e [ m i d d l e s e c t i o n ] . A n d t h e n o v e r h e r e [ u p p e r r i g h t s e c t i o n o f t h e g r a p h ] I s e e t h a t t h e r e ' s l e s s c e l l s p r o d u c e d w i t h i n t h e s a m e a m o u n t o f t i m e . " H L - C a l c u l u s " ( H o w d o y o u k n o w t h a t t h e y ' r e i n c r e a s i n g n o t v e r y m u c h h e r e [ f r o m t = 0 t o t = 4 ] a n d a l o t h e r e [ f r o m t = 5 t o t = 1 2 ] ? ) O k , w e l l , j u s t t a k e y o u r c e l l s p o p u l a t i o n p e r h o u r . H e r e [ f r o m t = 3 t o t = 4 ] y o u h a v e a b o u t 2 5 c e l l s p e r h o u r . A n d t h e n w a y r i g h t h e r e [ f r o m t = 7 t o t = 8 ] y o u h a v e n e a r l y 1 0 0 c e l l s p e r h o u r . A n d t h e n u p h e r e [ f r o m t = 1 6 t o t = 1 7 t o t = 1 8 ] , i t ' s b a r e l y c h a n g i n g a t a l l . " R F - C a l c u l u s " I t g r o w s a l i t t l e a t f i r s t a n d t h e n i t s o r t o f g r o w s a l o t m o r e a n d t h e n i t s o r t o f l e v e l s o f f [ t r a c i n g h e r p e n a l o n g t h e f u l l l e n g t h o f t h e c u r v e a s s h e t a l k s ] . I t ' s g r o w i n g m o r e i n t h e m i d d l e h o u r s a n d t h e n i t t a p e r s o f f . ( H o w a r e y o u a b l e t o t e l l t h a t f r o m t h e g r a p h ? ) J u s t b e c a u s e o f t h e s l o p e o f t h e g r a p h , a c t u a l l y , ' c a u s e t h e r e i s m o r e o f a p o p u l a t i o n g r o w t h b e t w e e n t h e s e t w o [ t = 6 t o t = 1 0 ] t h e n b e t w e e n t h e s e t w o [ t = 0 t o t = 4 ] . I t ' s s l o w e r h e r e [ t = 0 t o t = 4 ] b e c a u s e t h e r e ' s n o t a s m a n y y e a s t c e l l s g r o w i n g h e r e . " D B - P o s t c a l c u l u s " ' C a u s e h e r e [ f r o m t = 0 t o t = 1 t o t = 2 ] t h e d i f f e r e n c e w o u l d b e p r o b a b l y 1 0 a n d t h e n a s y o u c o m e u p f r o m t h e r e [ n e a r t = 3 t o t = 4 t o t = 5 ] i t w o u l d b e a b o u t 4 0 a n d f r o m t h e r e t o t h e r e t o t h e r e [ f r o m t = 6 t o t = 7 t o t = 8 ] i t ' s a b o u t 1 0 0 c e l l s , n o t q u i t e , a n d i t i n c r e a s e s a g a i n a n d h e r e [ n e a r t h e e n d ] i t ' s a b o u t 1 c e l l s , 2 c e l l s . " J G - P o s t c a l c u l u s H L u s e d t w o s t r a t e g i e s . F i r s t s h e u s e d " d e l t a p " b y m a k i n g a r o u g h n u m e r i c a l a p p r o x i m a t i o n o f t h e a m o u n t o f g r o w t h i n t h e f i r s t h o u r ( " l e t ' s s a y 1 0 , 1 5 " ) a n d t h e n f o r s u b s e q u e n t t i m e i n t e r v a l s s h e n o t e d t h a t t h e g r o w t h e a c h h o u r w a s a l i t t l e m o r e t h a n t h e p r e v i o u s h o u r . S h e t h e n u s e d " v i s u a l s l o p e " b y n o t i n g t h a t t h e s l o p e w a s " g e t t i n g l a r g e r a n d l a r g e r " w h e r e t h e p o p u l a t i o n w a s g r o w i n g t h e f a s t e s t . T h e n s h e r e t u r n e d t o u s i n g " d e l t a p " t o c o n c l u d e t h a t t h e p o p u l a t i o n g r e w f a s t e r i n t h e m i d d l e h o u r s a n d s l o w a g a i n i n t h e l a t e r h o u r s . 1 9 4 D B f o c u s e d f i r s t o n s l o p e b u t t h e n t u r n e d t o c o m p a r i s o n o f d i s t a n c e b e t w e e n c o n s e c u t i v e p o i n t s t o n o t e t h a t t h e p o p u l a t i o n g r o w t h f r o m t = 6 t o t = 1 0 w a s m o r e t h a n t h e p o p u l a t i o n g r o w t h f r o m t = O t o t = 4 . S o s h e u s e d b o t h v i s u a l s l o p e a n d d e l t a p . L C , R F , a n d J G u s e d t h e " d e l t a p " s t r a t e g y b y m a k i n g a p p r o x i m a t i o n s o f t h e n u m b e r o f c e l l s t h a t g r e w i n s e l e c t e d h o u r s . " ' " . O v e r h a l f o f t h e s t u d e n t s u s e d v i s u a l s l o p e t o s u p p o r t t h e i r c l a i m s a b o u t w h e n t h e p o p u l a t i o n g r e w t h e m o s t a n d t h e l e a s t : " M o r e s o m e a n d l e s s o t h e r s . ( W h e r e i s i t c h a n g i n g t h e m o s t ? ) B e t w e e n 6 a n d 1 2 . ( W h a t i s i t a b o u t t h e g r a p h t h a t m a k e s y o u s a y t h a t ? ) I t ' s m o r e s t e e p . ( W h e n i s i t c h a n g i n g t h e l e a s t ? ) T h e f i r s t a n d t h e l a s t h o u r s . ( W h y i s t h a t ? ) I t ' s a l m o s t a h o r i z o n t a l l i n e . " M H - P r e c a l c u l u s " T h e y i n c r e a s e m o r e b e t w e e n 5 a m a n d a b o u t 1 2 . ( H o w c a n y o u t e l l t h a t ? ) T h e s l o p e i s m u c h g r e a t e r t h e r e t h a n i t i s h e r e [ f r o m t = 0 t o t = 4 ] . " J K - C a l c u l u s " D u r i n g t h e m i d d l e h o u r s , i t ' s g r e a t e s t r a t e o f c h a n g e . ( A n d h o w d o y o u k n o w t h a t ? ) T h e s l o p e o f t h e g r a p h i s i t s g r e a t e s t a t t h e p o i n t . " A D - P o s t c a l c u l u s S o m e s t u d e n t s e x p l i c i t l y u s e d t h e w o r d " s l o p e " . O t h e r w o r d s s t u d e n t s u s e d t h a t m a d e m e t h i n k t h e y w e r e f o c u s i n g o n v i s u a l s l o p e i n c l u d e d s t e e p , h o r i z o n t a l , v e r t i c a l , f l a t t e r l i n e , l e v e l e d o f f , c u r v a t u r e , g r a d u a l c u r v e , a n d r e f e r e n c e s t o s h a p e o f c u r v e . N o t e t h a t t w o o f t h e t h r e e s t u d e n t s c i t e d a b o v e u s e d w o r d s l i k e " t h e s l o p e i s m u c h g r e a t e r " ( J K ) a n d " t h e s l o p e o f t h e g r a p h i s i t s g r e a t e s t " ( A D ) . T h e s e a r e n o t r e f e r e n c e s t o a n y n u m e r i c a l v a l u e s ; t h e s e s t u d e n t s d i d n o t c o m p u t e t h e n u m e r i c a l v a l u e s f o r t h e s l o p e s h e r e . T h e s e a r e q u a l i t a t i v e c o m p a r i s o n s o f t h e s l o p e s o f v a r i o u s s e c t i o n s o f t h e g r a p h . H e r e I i n t e r p r e t e d " g r e a t e r " t o m e a n " s t e e p e r " a n d " g r e a t e s t " t o m e a n " s t e e p e s t " . 1 9 5 I a s k e d s e v e r a l c a l c u l u s a n d p o s t c a l c u l u s s t u d e n t s w h o m a d e e x p l i c i t r e f e r e n c e t o s l o p e w h y s l o p e g a v e i n f o r m a t i o n a b o u t r a t e o f g r o w t h : " ( N o w y o u u s e d t h e w o r d ' s l o p e ' . I s s l o p e h e l p i n g y o u t h i n k a b o u t h o w f a s t i t ' s g o i n g ? ) Y e s , b e c a u s e h e r e , t h e s l o p e , w h i c h i s h o w f a s t , y e a h , ' c a u s e s l o p e t e l l s y o u h o w m u c h e x t r a c e l l s a r e g r o w i n g p e r h o u r s o h e r e [ a t t h e b e g i n n i n g o f t h e g r a p h ] t h e s l o p e ' s i n c r e a s i n g . S o m o r e c e l l s a r e g r o w i n g p e r h o u r . " B S - C a l c u l u s " T h e u h s l o p e i s i n c r e a s i n g t h e r e , t h i s r i g h t h e r e [ m i d d l e s e c t i o n o f t h e g r a p h w h e r e h e e a r l i e r i d e n t i f i e d t h e g r o w t h a s ' g o i n g f a s t ' ] . ( A n d w h y d o e s a n i n c r e a s i n g s l o p e m e a n t h a t ? ) I t m e a n s t h a t t h e r e ' s m o r e p o p u l a t i o n i n a l e s s a m o u n t o f t i m e . " L C - C a l c u l u s " H o r i z o n t a l s l o p e m e a n s t h a t i t ' s n o t g r o w i n g v e r y f a s t a n d v e r t i c a l s l o p e m e a n s i t ' s g r o w i n g v e r y f a s t . ( W h y i s t h a t ? ) B e c a u s e o v e r t h i s a m o u n t o f t i m e [ a t t h e b e g i n n i n g ] t h e r e ' s v e r y l i t t l e d i f f e r e n c e b e t w e e n t h i s p o i n t a n d t h i s p o i n t . B u t t h e n r i g h t h e r e [ n e a r t = 6 ] i t s t a r t s g r o w i n g m o r e f o r a s m a l l e r a m o u n t o f t i m e . " J S - P o s t c a l c u l u s T h e s e s t u d e n t s m a d e a c o n n e c t i o n b e t w e e n s l o p e a n d c h a n g e i n p o p u l a t i o n p e r h o u r w h i c h i s a k e y t o u n d e r s t a n d i n g r a t e o f g r o w t h . I n c r e a s i n g o r m o r e v e r t i c a l s l o p e m e a n s m o r e c h a n g e i n p o p u l a t i o n p e r u n i t t i m e a n d m o r e h o r i z o n t a l s l o p e m e a n s v e r y l e s s c h a n g e i n p o p u l a t i o n p e r u n i t t i m e . S o a s t e e p e r s l o p e m e a n s a g r e a t e r g r o w t h r a t e a n d a f l a t t e r s l o p e m e a n s a s m a l l e r r a t e o f g r o w t h . fi n e l t a _ £ _ a n d _ d e l t a _ t 1 . T w o o f t h e s t u d e n t s q u o t e d a b o v e ( L C a n d J S ) a l s o u s e d " d e l t a p a n d d e l t a t " w h e n t h e y s a i d " m o r e p o p u l a t i o n i n a l e s s a m o u n t o f t i m e " ( L C ) a n d " i t s t a r t s g r o w i n g m o r e f o r a s m a l l e r a m o u n t o f t i m e " ( J S ) . R e c a l l t h a t t h i s s t r a t e g y d i f f e r s f r o m " d e l t a p " i n t h a t s t u d e n t s w h o u s e d " d e l t a p " h e l d t h e c h a n g e i n t i m e c o n s t a n t a t o n e h o u r w h i l e s t u d e n t s w h o u s e d " d e l t a p a n d d e l t a t " c o m p a r e d c h a n g e s 1 9 6 i n p o p u l a t i o n o v e r v a r y i n g a m o u n t s o f t i m e . T h e s e w e r e t h e o n l y t w o s t u d e n t s w h o u s e d t h i s s t r a t e g y i n T a s k 5 . " ' " . S o m e s t u d e n t s u s e d k n o w l e d g e o f g r o w t h o f p o p u l a t i o n s t o m a k e d e c i s i o n s a b o u t w h e n t h e p o p u l a t i o n c h a n g e d t h e m o s t a n d l e a s t : " I t ' s a l m o s t l i k e t h e 2 , 4 , 8 , 1 6 , l i k e a c h a i n r e a c t i o n k i n d [ t r a c i n g h i s p e n a l o n g t h e m i d d l e p a r t o f t h e g r a p h ] o f w h e r e t h e y ' r e a l l r e p r o d u c i n g u n t i l t h e y g e t t o l i k e a c e r t a i n n u m b e r , p r o b a b l y w h e n i t f i l l s t h e p e t r i d i s h a n d t h e y s t a r t s l o w i n g d o w n b e c a u s e o f a b s e n c e o f s p a c e a n d t h e n t h e y s t o p p r o d u c i n g r i g h t t h e r e [ r i g h t e n d o f g r a p h ] . " J M - P r e c a l c u l u s " I a s s u m e t h e p o p u l a t i o n i n c r e a s e s b e c a u s e t h e y h a v e p l e n t y o f f o o d a n d p r o b a b l y b e c a u s e w a s t e i s n ' t a n a s p e c t . A n d h e r e [ n e a r r i g h t e n d o f c u r v e ] f o o d d e c r e a s e s a n d s o s o m e o f t h e m d i e p l u s p r o b a b l y b y - p r o d u c t s o f w a s t e a n d s t u f f a r e a f f e c t i n g t h e m . T h e y a r e c h a n g i n g m o r e s o m e h o u r s . ( W h i c h h o u r s d o e s i t c h a n g e m o r e o r t h e m o s t ? ) P r o b a b l y h e r e [ n e a r t = 7 ] a n d h e r e [ n e a r t = 1 0 ] . ( A n d w h i c h h o u r s d o t h e y c h a n g e t h e l e a s t ? ) T o b e g i n w i t h a n d t o e n d w i t h b e c a u s e p o p u l a t i o n i s e x p o n e n t i a l . " A W - C a l c u l u s S t u d e n t s w h o u s e d t h i s s t r a t e g y t h o u g h t o f p o p u l a t i o n g r o w t h a s e x p o n e n t i a l o r t o l d a s t o r y a b o u t w h a t f a c t o r s a f f e c t e d p o p u l a t i o n g r o w t h t o p r o d u c e s o t h a t t h i s g r a p h r e s u l t e d . I t c o u l d b e a r g u e d t h a t s t u d e n t s w e r e n o t r e a l l y u s i n g k n o w l e d g e o f g r o w t h o f p o p u l a t i o n t o m a k e d e c i s i o n s a b o u t w h e r e t h e p o p u l a t i o n w a s g r o w i n g m o s t a n d l e a s t b u t i n s t e a d w e r e s i m p l y m a k i n g u s e o f t h e s h a p e o f t h e g r a p h t o b o t h t e l l a s t o r y a b o u t t h e g r o w t h o f t h e p o p u l a t i o n a n d d e c i d e w h e r e t h e p o p u l a t i o n i s g r o w i n g m o s t a n d l e a s t . E i t h e r w a y , i t s e e m s c l e a r t h a t s t u d e n t s w e r e m a k i n g s e n s e o f t h e s i t u a t i o n u s i n g t h e i r k n o w l e d g e o f g r o w t h o f p o p u l a t i o n s . - " ' " . S t u d e n t s w e r e a s k e d t o d e c i d e f o r w h a t o n e f o o t i n c r e a s e i n t h e r a d i u s t h e a r e a s g r e w t h e m o s t a n d t h e 1 9 7 l e a s t a n d t h e y u s e d p r i m a r i l y t h e t h r e e m a i n s t r a t e g i e s u s e d i n T a s k s 4 a n d 5 . H e r e a r e s o m e r e s p o n s e s o f s t u d e n t s u s i n g " d e l t a A " : " D i s t a n c e f r o m h e r e t o h e r e [ f r o m t h e p o i n t c o r r e s p o n d i n g t o t = 0 t o t h e p o i n t c o r r e s p o n d i n g t o t = 1 ] i s a l o t s h o r t e r a n d t h i s i s l o n g e r [ d i s t a n c e b e t w e e n t h e p o i n t c o r r e s p o n d i n g t o t = 4 a n d t h e p o i n t c o r r e s p o n d i n g t o t = 5 ] . " S C L - P r e c a l c u l u s " I t w o u l d n ' t b e a s e q u i v a l e n t a s f a r a s , ' c a u s e u p h e r e [ o n t h e c u r v e b e t w e e n r = 4 . 7 5 a n d r = 5 ] y o u k n o w , y o u i n c r e a s e 1 0 [ s q u a r e ] f e e t a n d r i g h t h e r e [ o n t h e h o r i z o n t a l a x i s f r o m t = 4 . 7 5 t o r = 5 ] y o u ' r e o n l y i n c r e a s i n g o n e - f o u r t h f o o t . ( S o i t ' s i n c r e a s i n g n o t v e r y m u c h d o w n h e r e ) R i g h t ( a n d i n c r e a s i n g a l o t ) U p h e r e y o u g o t 1 0 [ s q u a r e ] f e e t b u t d o w n h e r e [ b e t w e e n r = 0 a n d r = 1 o n t h e h o r i z o n t a l a x i s ] i t t a k e s a w h o l e f o o t r i g h t t h e r e t o g o [ p o i n t i n g t o t h e c o r r e s p o n d i n g g r o w t h o n t h e c u r v e ] . " B G - P r e c a l c u l u s " ( F o r w h i c h o n e f o o t i n c r e a s e i n t h e r a d i u s d o e s t h e a r e a g r o w t h e m o s t ? ) [ S t u d e n t c o m p u t e s t h e d i s t a n c e i n a r e a b e t w e e n r = 3 a n d r = 4 a n d g e t s 2 2 a n d b e t w e e n r = 4 a n d r = 5 a n d g e t s 3 3 . ] I ' d s a y b e t w e e n 4 a n d 5 . " M Y - C a l c u l u s " A t t h e b e g i n n i n g i t g r o w s s l o w e r a n d a s t h e r a d i u s i n c r e a s e s m o r e t h e a r e a c h a n g e s m o r e a n d m o r e . L i k e b e t w e e n z e r o a n d o n e , t h e c h a n g e i s n ' t a s d r a s t i c a s b e t w e e n 4 a n d 5 . " A M - C a l c u l u s " Y o u k n o w i t d o e s n ' t [ g r o w t h e s a m e n u m b e r o f s q u a r e f e e t f o r e a c h o n e f o o t i n c r e a s e i n t h e r a d i u s ] b e c a u s e i t ' s k i n d o f l i k e a p a r a b o l a . A n d y o u c a n t e l l , l i k e , a s i t g o e s , t h e r e ' s m o r e s p a c e b e t w e e n t h e m , l i k e , b e t w e e n 4 . 7 5 f e e t t o 5 f e e t t h e y i n c r e a s e d a n a r e a o f 1 0 s q u a r e f e e t . " L B — P o s t c a l c u l u s S o m e o f t h e s e s t u d e n t s m a d e r e l a t i v e c o m p a r i s o n s o f c h a n g e i n a r e a o v e r o n e f o o t i n c r e a s e s i n t h e r a d i u s ( S C L a n d A M ) w h i l e o t h e r s t u d e n t s g a v e n u m e r i c a l c o m p a r i s o n s ( B G a n d M Y ) . L B u s e d r e l a t i v e ( " t h e r e ' s m o r e s p a c e b e t w e e n t h e m " ) a n d a c t u a l ( " b e t w e e n 4 . 7 5 f e e t t o 5 f e e t t h e y i n c r e a s e d a n a r e a o f 1 0 s q u a r e f e e t " ) c o m p a r i s o n s o f c h a n g e s i n a r e a . S h e a l s o u s e d " v i s u a l s l o p e " b y r e f e r r i n g t o t h e s h a p e o f t h e g r a p h ( " i t ' s k i n d o f l i k e a p a r a b o l a " ) . S o m e o t h e r s t u d e n t s a l s o u s e d " v i s u a l s l o p e " : " I t ' s n o t c o n s t a n t . I f i t w e r e c o n s t a n t , i t w o u l d b e a s t r a i g h t l i n e . " L C — P r e c a l c u l u s 1 9 8 " ( F o r w h i c h o n e f o o t i n c r e a s e i n t h e r a d i u s d o e s t h e a r e a g r o w t h e m o s t ? ) P r o b a b l y r i g h t a b o u t 3 w h e n i t s t a r t s t o c u r v e w a y u p . ( H o w a r e y o u a b l e t o t e l l t h a t ? ) I t g o e s a l m o s t s t r a i g h t u p - n o t q u i t e - t h e r e ' s a g r e a t e r s l a n t , g r e a t e r s l o p e , I g u e s s . " A J - P r e c a l c u l u s " I t ' s a n e x p o n e n t i a l g r o w t h [ t r a c i n g p e n a l o n g t h e c u r v e ] . " M G - C a l c u l u s F o r T a s k 6 I c l a s s i f i e d t h e " e x p o n e n t i a l g r o w t h " r e s p o n s e o f M G a s r e f e r r i n g t o s l o p e o r s h a p e o f c u r v e . B u t i n T a s k 5 I c l a s s i f i e d a r e f e r e n c e t o " p o p u l a t i o n i s e x p o n e n t i a l " a s u s i n g t h e s t r a t e g y " k n o w l e d g e o f g r o w t h o f p o p u l a t i o n s " . I t s e e m e d c l e a r h e r e t h a t M G w a s r e f e r r i n g t o s h a p e o f g r a p h a n d n o t t o k n o w l e d g e o f t h e s i t u a t i o n a n d t h e r e f o r e h i s r e s p o n s e w a s c l a s s i f i e d a s " v i s u a l s l o p e " . I n T a s k 5 A W ' s r e f e r e n c e t o " e x p o n e n t i a l " w a s i n c o n j u n c t i o n w i t h h i s k n o w l e d g e o f p o p u l a t i o n g r o w t h a n d s o h i s r e s p o n s e t h e r e w a s c l a s s i f i e d a s " k n o w l e d g e o f g r o w t h o f p o p u l a t i o n " . S e v e r a l s t u d e n t s u s e d t h e i r k n o w l e d g e o f t h e s i t u a t i o n w h e n t h e y d e s c r i b e d t h e a r e a o f t h e c i r c l e s a s t h e r a d i i g r e w : " W e l l , a s y o u r r a d i u s i n c r e a s e s , y o u e n d u p c o v e r i n g a b i g g e r a r e a [ m a k e s m o t i o n w i t h h a n d s i n d i c a t i n g b i t t e r a n d b i g g e r c i r c l e s ] . ' C a u s e y o u d o n ' t h a v e t h e r a d i u s , y o u k n o w , a t f i r s t y o u ' v e g o t i t g o i n g s o f a r a r o u n d [ m a k e s m o t i o n o f o n e c o m p l e t e c i r c l e u s i n g t h e m o t i o n o f t h e p e n ] . T h e n y o u ' r e g o i n g t h i s f a r a r o u n d [ m a k e s a b i g g e r c i r c u l a r m o t i o n w i t h h i s p e n ] . S o y o u ' r e g e t t i n g t h a t [ m a k e s m o t i o n i n d i c a t i n g r a d i u s o f t h e l a t t e r c i r c l e h e m a d e w i t h h i s m o t i o n s ] t i m e s b y , I g u e s s , t h e c i r c u m f e r e n c e o r w h a t e v e r , w h i c h y o u ' r e a d d i n g o n t o . " B G - P r e c a l c u l u s " I n i t i a l l y w h e n t h e s t o n e f i r s t h i t s t h e w a t e r , t h e a r e a o f t h e c i r c l e s t a r t s o u t s m a l l . B u t a s t i m e g o e s o n , t h e f o r c e c a u s i n g t h e g r o w i n g c i r c l e s d i m i n i s h e s o v e r t i m e a n d e v e n t u a l l y d i s s i p a t e s b e c a u s e t h e r e ' s n o m o r e f o r c e f o r c i n g t h e c i r c l e s [ m a k e s a m o t i o n w i t h h a n d s t o i n d i c a t e e n l a r g i n g c i r c l e s ] . " M Y - C a l c u l u s T h e s e s t u d e n t s u s e d t h e p h y s i c a l s i t u a t i o n t o c o n s t r u c t a d e s c r i p t i o n o f t h e r e l a t i o n s h i p b e t w e e n t h e r a d i u s a n d a r e a o f t h e c i r c l e s . 1 9 9 T w o p o s t c a l c u l u s s t u d e n t s u s e d t h e e q u a t i o n r e l a t i n g t h e a r e a a n d r a d i u s o f c i r c l e s - A = ( P I ) * r 3 . O n e o f t h e s e s t u d e n t s e x p l i c i t l y m e n t i o n e d t h i s e q u a t i o n i n h i s d e s c r i p t i o n : " I t ' s g o i n g t o g r o w w i t h t h e s q u a r e o f t h e r a d i u s . S o y o u ' r e g o i n g t o h a v e a p a r a b o l i c g r a p h w h i c h w e h a v e h e r e a n d y o u ' r e g o i n g t o h a v e a n a c c e l e r a t i o n o f 2 ( P I ) f e e t a n d v e l o c i t y o r r a t e o f c h a n g e o f g r o w t h i s g o i n g t o b e 2 ( P I ) r s q u a r e f e e t p e r f o o t . " A D - P o s t c a l c u l u s B o t h s t u d e n t s u s e d t h e e q u a t i o n A = ( P I ) * r 2 t o g e t t h e i r a n s w e r s o f 5 ( P I ) a n d 7 ( P I ) f o r h o w m u c h t h e a r e a o f t h e c i r c l e s g r e w a s t h e r a d i u s g r e w f r o m t w o t o t h r e e a n d f r o m t h r e e t o f o u r f e e t . T h e y w e r e t h e o n l y t w o s t u d e n t s w h o u s e d t h i s e q u a t i o n i n T a s k 6 . E i n d i n g _ I a t e _ g fi _ § h a n g e _ a t _ a _ p g i n t . I n T a s k s 4 , 5 , a n d 6 s t u d e n t s w e r e a s k e d t o f i n d t h e r a t e o f c h a n g e a t s p e c i f i c p o i n t s u s i n g t h e g i v e n g r a p h a n d t a b l e o f v a l u e s . S o m e s t r a t e g i e s w e r e u s e d o n a l l t h r e e t a s k s . O t h e r s t r a t e g i e s w e r e u n i q u e t o e a c h t a s k . M o s t s t r a t e g i e s w e r e u s e d w i t h b o t h g r a p h s a n d t a b l e s b u t t h e d i s t r i b u t i o n o f u s e o f s t r a t e g i e s w a s d i f f e r e n t b e t w e e n g r a p h s a n d t a b l e s , a m o n g t h e t h r e e t a s k s , a n d a m o n g t h e f o u r p o i n t s i n t a s k 4 a t w h i c h s t u d e n t s w e r e t o f i n d t h e s p e e d . - " " . S t u d e n t s w e r e a s k e d t o f i n d t h e s p e e d o f t h e b a l l a t t = 1 , 2 , 3 , a n d 4 u s i n g t h e g i v e n g r a p h a n d t a b l e o f v a l u e s . A p p e n d i x E s h o w s t h e d i f f e r e n t w a y s s t u d e n t s a d d r e s s e d s p e e d a t t h e s e t i m e v a l u e s a n d p o s s i b l e a n s w e r s o b t a i n e d f o r e a c h . C o r r e c t a n s w e r s w e r e d i s c u s s e d e a r l i e r i n t h i s c h a p t e r . s p e e d _ w h e n _ u s i n g _ t h e _ g r a p h . T a b l e 7 s h o w s t h e s t r a t e g i e s s t u d e n t s u s e d t o f i n d t h e s p e e d o f t h e b a l l a t t h e f o u r t i m e v a l u e s w h e n u s i n g t h e g r a p h . W e n o t e t w o p a t t e r n s i n T a b l e 7 . O n e i s t h a t s t u d e n t s u s e d 2 0 0 a v a r i e t y o f s t r a t e g i e s . T h e o t h e r i s t h a t t h e d i s t r i b u t i o n o f f r e q u e n c y o f s t r a t e g y u s e i s d i f f e r e n t f o r e a c h t i m e v a l u e . T a b l e 7 S t r a t e g i e s f o r f i n d i n g s p e e d a t t = 1 , 2 , 3 , a n d 4 w i t h g r a p h F r e q u e n c y ( % ) o f r e s p o n s e s u s i n g e a c h s t r a t e g y S t r a t e g y t = 1 t = 2 . t = 3 t = 4 A n a l y s i s o f m o v i n g 6 ( 1 6 % ) 2 0 ( 5 4 % ) 1 6 ( 5 2 % ) 1 7 ( 5 5 % ) o b j e c t s A v g . s p e e d o v e r p r e v . 1 2 ( 3 2 % ) 4 ( 1 1 % ) 5 ( 1 6 % ) 1 0 ( 3 2 % ) q u a r t e r s e c o n d R e f e r e n c e t o s l o p e 7 ( 2 2 % ) 1 1 ( 3 0 % ) 3 ( 1 0 % ) 5 ( 1 6 % ) A v g . s p e e d o v e r t h e 1 5 ( 4 1 % ) 2 ( 5 % ) 4 ( 1 3 % ) 2 ( 6 % ) p r e v i o u s s e c o n d A v g . s p e e d s i n c e t = 0 5 ( 1 4 % ) 5 ( 1 4 % ) 3 ( 1 0 % ) 4 ( 1 3 % ) o r t = 2 R e f e r e n c e t o a 2 ( 5 % ) 3 ( 8 % ) 6 ( 1 9 % ) 1 ( 3 % ) p o i n t A v g . s p e e d o v e r h a l f 6 ( 1 6 % ) 4 ( 1 1 % ) 2 ( 6 % ) 0 ( 0 % ) s e c . a r o u n d p t . D e s i r e s m a l l e r 1 ( 3 % ) 0 ( 0 % ) 2 ( 6 % ) 1 ( 3 % ) i n t e r v a l F o r t = 1 a n d 2 , t o t a l s d o n o t a d d t o 3 7 o r 1 0 0 % , t h e n u m b e r o f s u b j e c t s i n t h e s t u d y , s i n c e m a n y s t u d e n t s u s e d m o r e t h a n o n e s t r a t e g y . F o r t = 3 a n d 4 , p e r c e n t s w e r e c o m p u t e d o n t h e b a s i s o f 3 1 r e s p o n s e s s i n c e s i x s t u d e n t s d i d n o t r e t u r n f o r t h e i r s e c o n d i n t e r v i e w a n d s o d i d n o t a n s w e r t h i s q u e s t i o n . T o t a l s d o n o t a d d t o 3 1 s i n c e s o m e s t u d e n t s u s e d m o r e t h a n o n e s t r a t e g y . A n a l x s i s _ g f _ m g y i n g _ g b i e c t s . A t l e a s t h a l f o f t h e s t u d e n t s u s e d " a n a l y s i s o f m o v i n g o b j e c t s " t o f i n d t h e s p e e d a t t = 2 , 3 , a n d 4 b u t r e l a t i v e l y f e w u s e d t h i s s t r a t e g y a t t = 1 . R e p r e s e n t a t i v e r e s p o n s e s h e l p u s s e e w h y . A t t = 1 : " N o t a s f a s t a s i t w a s d o w n h e r e [ f i r s t q u a r t e r s e c o n d ] . I t ' s s t a r t i n g t o s l o w d o w n ' c a u s e i t ' s n o t m o v i n g a s f a s t a s i t w a s . L i k e i n t h i s q u a r t e r o f a s e c o n d [ f r o m t = 1 t o t = 1 . 2 5 ] i t ' s o n l y m o v i n g c l o s e t o f i v e f e e t , s i x f e e t p e r a q u a r t e r o f a s e c o n d 2 0 1 w h e r e a s d o w n h e r e [ f r o m t = 0 t o t = . 2 5 ] t h a t ' s n o t e v e n h a l f o f w h a t i t w a s g o i n g d o w n h e r e . " B G - P r e c a l c u l u s " u m . I d o n ' t t h i n k i t ' s 4 8 f e e t p e r s e c o n d . I t h i n k i t ' s l i k e m a y b e - y e a h , m a y b e i t i s 4 8 f e e t p e r s e c o n d . N o , i t ' s n o t . I t h i n k i t ' s l e s s b e c a u s e i t t r a v e l e d t h a t f a r [ 4 8 f e e t i n t h e f i r s t s e c o n d ] b u t i t w a s s t i l l s l o w i n g d o w n . I d o n ' t k n o w h o w m u c h - b u t l e s s t h a n 4 8 f e e t p e r s e c o n d . " A J - P r e c a l c u l u s T h e s e s t u d e n t s k n e w t h a t t h e b a l l w a s s l o w i n g d o w n a s i t w e n t u p . F o r B G , t h a t m e a n t t h a t a t t = 1 " i t ' s n o t m o v i n g a s f a s t a s i t w a s " o v e r t h e f i r s t q u a r t e r s e c o n d . H e f o l l o w e d t h a t c o m m e n t w i t h d i s t a n c e s t r a v e l e d o v e r q u a r t e r s e c o n d s t o f u r t h e r m a k e h i s p o i n t t h a t t h e b a l l w a s s l o w i n g d o w n . F o r A J , s i n c e t h e b a l l m o v e d 4 8 f e e t i n o n e s e c o n d a n d w a s s l o w i n g d o w n , t h e n a t t = 1 t h e b a l l w a s m o v i n g a t a s p e e d “ l e s s t h a n 4 8 f e e t p e r s e c o n d " . " A n a l y s i s o f m o v i n g o b j e c t s " h e l p e d s t u d e n t s k n o w t h a t t h e b a l l s l o w e d d o w n b u t i t w a s n o t v e r y h e l p f u l i n y i e l d i n g a n u m e r i c a l a n s w e r t o t h e q u e s t i o n " H o w f a s t i s t h e b a l l t r a v e l i n g a t t h e e n d o f t h e f i r s t s e c o n d ? " . T h a t m a y e x p l a i n w h y r e l a t i v e l y f e w s t u d e n t s u s e d t h i s s t r a t e g y t o a n s w e r t h a t q u e s t i o n . I n c o n t r a s t w a s t h e r e l a t i v e l y l a r g e n u m b e r o f s t u d e n t s w h o u s e d t h i s s t r a t e g y a t t = 2 , 3 , a n d 4 . A t t = 2 : " V e r y s l o w l y . ( V e r y s l o w l y . O k . A n d w h y d o y o u s a y t h a t ? ) ' C a u s e i t ' s r i g h t i n b e t w e e n g o i n g u p a n d c o m i n g d o w n . I t ' s n o t m o v i n g - u m . I t ' s n o t m o v i n g v e r y m u c h . " J W - P r e c a l c u l u s " I t ' s n o t . I t ' s t h a t s p l i t s e c o n d w h e r e i t s t o p s a n d c o m e s b a c k d o w n . ( A n d h o w c a n y o u t e l l t h a t ? ) I t ' s r i g h t a t t h e v e r y t o p o f t h e c u r v e . " A J - P r e c a l c u l u s " A c t u a l l y , t h e r e ' s k i n d a n o s p e e d r i g h t t h e r e . ( A n d h o w d o y o u k n o w t h a t ? ) B e c a u s e i t r e a c h e d i t s m a x i m u m p o i n t a n d t h e n i t ' s g o i n g t o s t a r t g o i n g d o w n . S o i t k i n d o f s t o p s t h e r e . " R S - C a l c u l u s " A t t h e e n d o f t w o s e c o n d s , i t ' s s t o p p e d . I t ' s c h a n g i n g f r o m m o v i n g u p t o m o v i n g d o w n . S o i t ' s a t t h e e x a c t p o i n t w h e r e i t ' s s t o p p e d . " D W - C a l c u l u s 2 0 2 " Z e r o . ( Z e r o . O k . A n d h o w d o y o u k n o w t h a t ? ) B e c a u s e i t ' s n o t i n c r e a s i n g o r d e c r e a s i n g . " C H - P o s t c a l c u l u s " I t ' s n o t . ( I t ' s n o t . 0 k . ) F o r t h a t b r i e f , i t j u s t k i n d o f h a n g s , s t u c k i n t h e a i r , y o u k n o w w h a t I m e a n , i t ' s h a n g i n g i n t h e a i r . I t h i t s i t s p e a k . S o t h a t s e c o n d , j u s t f o r , i t ' s r e a l l y f a s t [ t h e t i m e t h e b a l l i s n o t m o v i n g i s a v e r y s h o r t t i m e ] . " R C - P o s t c a l c u l u s S o m e s t u d e n t s s a i d t h a t s i n c e t h e b a l l w a s b e t w e e n g o i n g u p a n d c o m i n g d o w n , i t s s p e e d a t t = 2 h a d t o b e z e r o ( J W , D W , a n d C H ) . O t h e r s t u d e n t s u s e d t h e f a c t t h a t t h e b a l l r e a c h e d i t s m a x i m u m h e i g h t a t t = 2 a n d c o n c l u d e d t h a t i t s s p e e d h a d t o b e z e r o ( A J , R S , R C ) . I n a d d i t i o n , s o m e s t u d e n t s n o t e d t h a t s i n c e t h e b a l l s l o w e d d o w n a s i t w e n t u p a n d s p e d u p a s i t c a m e d o w n , t h e n i t s s p e e d h a d t o b e z e r o f e e t p e r s e c o n d a t t = 2 . G i v e n t h e p r o m i n e n c e o f t h e p o i n t a t t = 2 o n t h e g r a p h a n d s t u d e n t s ' k n o w l e d g e t h a t m o v i n g o b j e c t s s l o w d o w n a s t h e y g o u p a n d s p e e d u p a s t h e y c o m e d o w n , i t i s n o t s u r p r i s i n g t h a t o v e r h a l f o f t h e s t u d e n t s m a d e " a n a l y s i s o f m o v i n g o b j e c t s " t h e c e n t e r o f t h e i r a r g u m e n t a b o u t t h e s p e e d a t t = 2 . S i m i l a r l y h a l f o f t h e s t u d e n t s u s e d t h i s s t r a t e g y t o f i n d t h e s p e e d a t t = 3 : " I ' l l s a y t h e s a m e a g a i n . ( T h e s a m e a s ? ) W e l l , I w a s g o i n g t o s a y t h e s a m e a s t h i s o v e r h e r e [ p o i n t i n g t o t h e p o i n t ( 1 , 4 8 ) ] . B u t i t ' s g e t t i n g f a s t e r . " K G - P r e c a l c u l u s " 4 0 f e e t p e r s e c o n d . ( A n d w h y d o y o u s a y t h a t ? ) ' C a u s e i t ' s e q u a l t o t h i s [ s p e e d a t t = 1 ] a n d t h a t ' s w h a t I s a i d f o r t h i s o n e [ s p e e d a t t = 1 ] . " A W - C a l c u l u s " W h a t ' s t h e s p e e d a t t = 1 ? ( I s t h e r e a n y d i f f e r e n c e ? ) T h e d i f f e r e n c e i t i t ' s c o m i n g d o w n h e r e [ a t p o i n t ( 3 , 4 8 ) ] a n d i t w a s g o i n g u p h e r e [ a t p o i n t ( 1 , 4 8 ) ] . " J 8 — P o s t c a l c u l u s A t t = 3 t h e b a l l w a s c o m i n g d o w n a n d b e c a u s e o f t h e s y m m e t r y o f t h e g r a p h a n d p e r h a p s b e c a u s e o f s o m e i n t u i t i o n s t u d e n t s h a v e a b o u t t h i s 2 0 3 p a r t i c u l a r s i t u a t i o n , t h e s e s t u d e n t s k n e w t h a t t h e s p e e d o f t h e b a l l a t t = 3 w a s t h e s a m e a s a t t = 1 e x c e p t t h a t t h e b a l l w a s c o m i n g d o w n ( J S ) a n d s p e e d i n g u p ( K G ) i n s t e a d o f g o i n g u p ( J S ) a n d s l o w i n g d o w n . S i m i l a r l y a l a r g e n u m b e r o f s t u d e n t s u s e d " a n a l y s i s o f m o v i n g o b j e c t s " t o f i n d t h e s p e e d a t t = 4 : " A s f a s t a s i t p o s s i b l y w i l l . " B G - P r e c a l c u l u s " U m . U m . A b o u t , w e l l , 6 0 f e e t p e r s e c o n d . ( W h y ? ) ' C a u s e i t w a s 6 0 f e e t o v e r h e r e [ p o i n t i n g t o t h e q u a r t e r s e c o n d f r o m t = 0 t o t = . 2 5 ] . " J W - P r e c a l c u l u s " S a m e a s i t w a s [ p o i n t i n g t o t h e p o i n t ( 0 , 0 ) ] . ( S a m e a s i t w a s o v e r h e r e [ p o i n t i n g t o t = 0 ] ? ) Y e a h . " L C — C a l c u l u s " W e l l , i t w o u l d b e t r a v e l i n g t h e f a s t e s t a t t h a t p o i n t . " D W - C a l c u l u s " I t ' s t h e s a m e a s z e r o . T h e s a m e a s w h e n i t s t a r t e d . N e g a t i v e l y . " J G — P o s t c a l c u l u s " W e l l . L e t m e t h i n k . C o m m o n s e n s e t e l l s m e i t ' s s t i l l g o i n g a t a g o o d s p e e d . W e l l , I g u e s s t h a t ' s w h a t t h i s s h o w s [ p o i n t i n g t o t h e g r a p h n e a r t = 4 ] . I t s h o w s t h a t i t ' s s t i l l g o i n g a t a g o o d s p e e d . Y o u c o u l d f i g u r e i t o u t b y u s i n g t h e s a m e m e t h o d [ a s s h e u s e d t o f i n d t h e s p e e d a t t = 3 , a v e r a g e s p e e d f r o m t = 2 . 7 5 t o t = 3 . 2 5 ] . ( O k . ) B u t w e ' d h a v e t o s e c t i o n i f o f f d i f f e r e n t o r j u s t i t s h o w s r i g h t h e r e [ p o i n t i n g t o t h e v e r t i c a l a x i s ] l i k e i t t r a v e l e d , a q u a r t e r o f a s e c o n d , i t t r a v e l e d l i k e 1 5 f e e t [ f r o m t = 3 . 7 5 t o t = 4 ] . S o , b y w h e n i t ' s d o w n h e r e , t h e s l o p e i s k i n d o f s t e e p e r . ( Y e s , i t i s . ) S o i t ' s g o i n g p r e t t y f a s t a n d t h e n t h e g r o u n d j u s t b o o m , j u s t s t o p s i t . " D B - P o s t c a l c u l u s S t u d e n t s w h o u s e d " a n a l y s i s o f m o v i n g o b j e c t s " t o a d d r e s s s p e e d a t t = 4 t y p i c a l l y n o t e d t h a t t h e s p e e d o f t h e b a l l a t t = 4 w a s t h e f a s t e s t ( B G , D W , D B ) o r t h e s a m e a s a t t = 0 ( L C , J G ) o r t h e s a m e a s o v e r t h e i n t e r v a l f r o m t = 0 t o t = . 2 5 ( J W ) . D B u s e d t h r e e s t r a t e g i e s h e r e — a n a l y s i s o f m o v i n g o b j e c t s ( " i t ' s s t i l l g o i n g a t a g o o d s p e e d " ) , s p e e d o v e r p r e v i o u s q u a r t e r s e c o n d ( " a q u a r t e r o f a s e c o n d , i t t r a v e l e d l i k e 1 5 f e e t " ) , a n d s l o p e ( " t h e s l o p e i s k i n d o f s t e e p e r " ) . 2 0 4 I n s u m m a r y t h e n , " a n a l y s i s o f m o v i n g o b j e c t s " w a s t h e m o s t f r e q u e n t l y u s e d s t r a t e g y f o r f i n d i n g t h e s p e e d o f t h e b a l l a t t = 2 , 3 , a n d 4 . S t u d e n t s ' k n o w l e d g e o f m o t i o n s u p p o r t e d b y t h e s y m m e t r y a n d t h e m a x i m u m p o i n t o f t h e g r a p h m a d e t h i s s t r a t e g y p a r t i c u l a r l y u s e f u l a t t h e s e p o i n t s . W W . W h i l e " a n a l y s i s o f m o v i n g o b j e c t s " w a s t h e m o s t p o p u l a r s t r a t e g y f o r f i n d i n g t h e s p e e d o f t h e b a l l a t t = 2 , 3 , a n d 4 , t h e m o s t f r e q u e n t l y u s e d s t r a t e g i e s a t t = 1 w e r e " a v e r a g e s p e e d o v e r t h e p r e v i o u s s e c o n d " a n d " a v e r a g e s p e e d o v e r t h e p r e v i o u s q u a r t e r s e c o n d " . O v e r 4 0 p e r c e n t o f t h e s t u d e n t s u s e d t h e f o r m e r a n d a b o u t o n e — t h i r d u s e d t h e l a t t e r t o f i n d t h e s p e e d o f t h e b a l l a t t = 1 : A v e r a g e s p e e d o v e r p r e v i o u s s e c o n d - " 4 8 f e e t p e r s e c o n d . ( O k . W h y d o y o u s a y 4 8 f e e t p e r s e c o n d ? ) B e c a u s e i t ' s t a k e n o n e s e c o n d a n d i t ' s b e t w e e n l i k e t o w a r d s t h e 5 0 . ( O h . O k . S o i t t r a v e l e d 4 8 f e e t i n o n e s e c o n d ? ) Y e a h . " M H — P r e c a l c u l u s " I t l o o k s l i k e i t ' s t r a v e l i n g b e t w e e n 4 5 a n d 5 0 f e e t p e r s e c o n d . ( H o w d i d y o u g e t t h a t ? ) I f I w a s t o d r a w a s l o p e s t r a i g h t t o t h i s p o i n t b e t w e e n z e r o a n d o n e s e c o n d [ d r a w s l i n e s e g m e n t f r o m t h e p o i n t ( 0 , 0 ) t o t h e p o i n t ( 1 , 4 8 ) ] . N o w a c c o r d i n g t o t h e s l o p e , i t s h o w s t h a t i f t h e b a l l w a s a t a c o n s t a n t r a t e o f s p e e d , i t w o u l d b e t r a v e l i n g a b o u t 4 8 f e e t p e r s e c o n d . ( A n d s o y o u ' r e s a y i n g a t t h a t e x a c t p o i n t , i n s t a n t o f t i m e , y o u r b e s t e s t i m a t e i s t h a t i t ' s g o i n g 4 8 f e e t p e r s e c o n d ? ) Y e s . " M G - C a l c u l u s " [ l o n g p a u s e ] H o w f a s t i s i t t r a v e l i n g h e r e [ p o i n t s t o t h e p o i n t ( 1 , 4 8 ) ] , t h e f i r s t s e c o n d . [ S i g h ] 4 9 f e e t ? p e r s e c o n d ? ( O k . A n d h o w d i d y o u g e t t h a t ? ) I j u s t l o o k e d t o s e e i f i t ' s u p h e r e a t 4 9 [ a t t = 1 ] . I d o n ' t k n o w . ( O h . S i n c e i t ' s t r a v e l e d 4 9 f e e t . ) R i g h t . ( O v e r t h e ) W a s I s u p p o s e d t o l o o k a t t h e w h o l e , j u s t t h e f i r s t p o i n t i n g e n e r a l . ( O k . W e l l , t h e r e ' s t w o q u e s t i o n s h e r e t h a t o n e m i g h t t h i n k a b o u t . O n e i s h o w f a s t h a s i t t r a v e l e d o v e r t h e i n t e r v a l f r o m 0 t o 1 . ) O k . ( A n d t h e o t h e r q u e s t i o n i s h o w f a s t i s i t t r a v e l i n g a t t = 1 . S o w h i c h q u e s t i o n w e r e y o u a n s w e r i n g w h e n y o u s a i d 4 9 f e e t . ) U h h u h . ( O r i s t h e r e a d i f f e r e n c e ? M a y b e t h e r e ' s n o d i f f e r e n c e b e t w e e n t h e t w o q u e s t i o n s . ) [ l o n g p a u s e ] W e l l , i f t h e d i s t a n c e - i n s t e a d o f g o i n g - w e w e n t b y q u a r t e r s h e r e [ b e t w e e n t = 0 a n d t = . 2 5 ] ( Y e a h ) 2 0 5 a n d s o I m u l t i p l i e d i t b y f o u r [ r e f e r r i n g t o h i s e a r l i e r w o r k w h e n h e c o m p u t e d t h e a v e r a g e s p e e d o f t h e b a l l o v e r t h e i n t e r v a l f r o m t = 0 t o t = . 2 5 ] . ( O k . ) S o i t w o u l d e q u a l l i k e o n e [ S o t h e u n i t s w o u l d b e f e e t p e r o n e s e c o n d r a t h e r t h a n f e e t p e r q u a r t e r s e c o n d ] . B u t h e r e i t ' s a l r e a d y [ i n f e e t p e r s e c o n d ] , s o I d o n ' t f e e l I n e e d t o , I g u e s s , m u l t i p l y a n y t h i n g ( O k . ) o v e r t h a t i n t e r v a l ? ( A n d t h a t a n s w e r s t h e q u e s t i o n h o w f a s t i s i t t r a v e l i n g o v e r t h e f i r s t s e c o n d ? O r d o e s i t a n s w e r t h e q u e s t i o n h o w f a s t i s i t t r a v e l i n g a t t h e e n d o f t h e f i r s t s e c o n d ? O r d o e s i t a n s w e r b o t h ? O r i s t h e r e n o d i f f e r e n c e b e t w e e n t h o s e q u e s t i o n s ? ) I ' m g o n n a s a y , u h , [ p a u s e ] b o t h . I t a n s w e r s b o t h . " R C - P o s t c a l c u l u s T h e s e s t u d e n t s g a v e t h e a v e r a g e s p e e d o v e r t h e f i r s t f u l l s e c o n d a s t h e i r a n s w e r f o r t h e s p e e d a t t = 1 . T h e f i r s t s t u d e n t ( M H ) s i m p l y n o t e d t h a t t h e b a l l h a d t r a v e l e d 4 8 f e e t i n t h a t f i r s t s e c o n d . T h e s e c o n d s t u d e n t ( M G ) u s e d t h e s l o p e o f t h e l i n e c o n t a i n i n g t h e p o i n t s ( 0 , 0 ) t o ( 1 , 4 8 ) t o g e t t h e a v e r a g e s p e e d o v e r t h e f i r s t s e c o n d . H e t h e n n o t e d t h a t i f t h e b a l l w a s t r a v e l i n g a t c o n s t a n t s p e e d , t h e s p e e d o f t h e b a l l a t t = 1 w o u l d b e 4 8 f e e t p e r s e c o n d . I c l a s s i f i e d M G ' s r e s p o n s e a s u s i n g t w o s t r a t e g i e s , " a v e r a g e s p e e d o v e r p r e v i o u s s e c o n d " a n d " s l o p e " . H e d i d n o t u s e s l o p e o f t a n g e n t l i n e ; h e u s e d s l o p e o f s e c a n t l i n e f r o m ( 0 , 0 ) t o ( 1 , 4 8 ) . B u t h e d i d u s e s l o p e t o h e l p h i m m a k e s e n s e o f t h e s i t u a t i o n a n d o b t a i n h i s a n s w e r . T h e t h i r d s t u d e n t ( R C ) , l i k e t h e f i r s t s t u d e n t , n o t e d h o w f a r t h e b a l l h a d t r a v e l e d i n t h e f i r s t s e c o n d . H e w e n t o n t o e x p l a i n t h a t s i n c e h i s a n s w e r ( 4 9 f e e t p e r s e c o n d ) w a s i n f e e t p e r s e c o n d a n d n o t f e e t p e r q u a r t e r s e c o n d , h e d i d n o t h a v e t o c o n v e r t i t t o s t a n d a r d u n i t s a n d h e n c e , h i s a n s w e r s t o o d a s 4 9 f e e t p e r s e c o n d . A n o t h e r s t r a t e g y w a s v e r y p o p u l a r f o r f i n d i n g t h e s p e e d o f t h e b a l l a t t = 1 : A v e r a g e s p e e d o v e r p r e v i o u s q u a r t e r s e c o n d - " A b o u t - o o h - u h m - I d o n ' t k n o w , 3 6 f e e t p e r s e c o n d . ( H o w d i d y o u g e t t h a t ? ) B e t w e e n t h e s e t w o p o i n t s [ ( . 7 5 , 3 9 ) a n d ( 1 , 4 8 ) ] t h a t ' s a b o u t 9 f e e t a n d y o u m u l t i p l y t h a t b y f o u r . " D G - P r e c a l c u l u s 2 0 6 " U m . [ l o n g p a u s e ] A b o u t 4 0 f e e t a s e c o n d . ( H o w d i d y o u g e t t h a t ? ) W e l l , I d o n ' t k n o w i f t h i s i s r i g h t b u t I t o o k t h i s l a s t i n t e r v a l r i g h t h e r e [ f r o m t = . 7 5 t o t = 1 ] . I t w e n t a p p r o x i m a t e l y 1 0 f e e t a n d t h e n t h a t ' s 4 0 f e e t p e r s e c o n d . S o f o r a f r a c t i o n o f o n e s e c o n d t h a t ' s w h a t i t w a s . " J K - C a l c u l u s " I w o u l d s a y 8 f e e t i n a q u a r t e r o f a s e c o n d . ( O h . 8 f e e t i n - b e c a u s e ? ) B e c a u s e i t w e n t a p p r o x i m a t e l y 8 o r 9 f e e t i n o n e q u a r t e r o f a s e c o n d [ f r o m t = . 7 5 t o t = 1 ] . " C H - P o s t c a l c u l u s T h e s e s t u d e n t s u s e d a v e r a g e s p e e d o v e r t h e p r e v i o u s q u a r t e r s e c o n d i n t e r v a l t o g e t t h e i r a n s w e r f o r t h e s p e e d o f t h e b a l l a t t = 1 . T w o o f t h e m ( D G a n d J K ) c o n v e r t e d t h e i r " f e e t p e r q u a r t e r s e c o n d " a n s w e r t o a " f e e t p e r s e c o n d " e q u i v a l e n t . T h e t h i r d s t u d e n t ( C H ) l e f t h e r a n s w e r i n f e e t p e r q u a r t e r s e c o n d . O n e o f t h e i s s u e s r e l a t e d t o u n d e r s t a n d i n g r a t e i s t h e e q u i v a l e n t n a t u r e o f c o n s t a n t r a t e . E i g h t f e e t i n a q u a r t e r o f a s e c o n d i s e q u i v a l e n t t o a s p e e d o f 3 2 f e e t p e r s e c o n d . T h i s s t u d e n t a n d s i x o t h e r s c o n s i s t e n t l y d i d n o t c o n v e r t t h e i r " f e e t p e r q u a r t e r s e c o n d " a n s w e r s t o f e e t p e r s e c o n d . ( S e e A p p e n d i x H f o r a d i s c u s s i o n o f s t u d e n t s ' r e s p o n s e s r e l a t i v e t o t h i s i s s u e . ) A t t = 2 r e l a t i v e l y f e w s t u d e n t s u s e d t h e s e t w o s t r a t e g i e s . R e p r e s e n t a t i v e r e s p o n s e s s h o w w h y . A v e r a g e s p e e d o v e r p r e v i o u s o n e s e c o n d — " T h a t o n e ' s s i x t y - o k - u h - I c a n ' t f i g u r e i t o u t i n m y h e a d . 6 0 f e e t . ( L e t ' s s e e . Y o u ' r e t r y i n g t o u s e t h e h e i g h t ? ) R i g h t . ( A n d t h a t ' s p r o b a b l y a r o u n d 6 4 [ a t t = 2 ] . ) Y e a h . B u t t h e n t h a t ' s h o w f a r i t ' s g o n e i n t h e w h o l e t w o s e c o n d s . ( Y e a h . R i g h t . ) S o t h e n y o u ' d h a v e t o s u b t r a c t t h e 4 8 [ h e i g h t a t t = 1 ] f r o m 6 4 [ t h e h e i g h t a t t = 2 ] . 1 6 . " M H - P r e c a l c u l u s A v e r a g e s p e e d o v e r p r e v i o u s q u a r t e r s e c o n d - " A b o u t 4 f e e t p e r s e c o n d , u h , 4 o r 8 f e e t p e r s e c o n d b e c a u s e f r o m t h e r e [ t = 1 . 7 5 ] t o t h e r e [ t = 2 ] i t ' s o n e o r t w o f e e t a n d m u l t i p l y b y f o u r a n d y o u ' l l g e t 4 t o 8 f e e t p e r s e c o n d . " D G - P r e c a l c u l u s " W e l l , I g u e s s I c o u l d f o l l o w t h e s a m e p r e m i s e o f w h a t I ' v e b e e n t r y i n g t o d o h e r e . I w o u l d s a y t h a t t h i s [ f r o m t = 1 . 7 5 t o t = 2 ] i s p r o b a b l y l e s s t h a n f i v e f e e t i n a q u a r t e r s e c o n d . S o I w o u l d s a y 2 0 7 2 0 f e e t p e r s e c o n d . I t d o e s n ' t s o u n d r i g h t . B u t w h a t I k n o w o f a b a l l i s t h a t i t r e a c h e s , i t ' s g o i n g t o s t o p h e r e [ a t t = 2 ] a n d t h e n g o b a c k d o w n . S o o b v i o u s l y ( W e l l , a c t u a l l y I t h i n k t h e d i s t a n c e h e r e i s m o r e l i k e o n e f o o t i n w h i c h c a s e ) O h . O k . S o t h a t w o u l d b e 4 f e e t p e r s e c o n d . ( w h i c h i s c l o s e r ) B u t i t ' s g o t t a b e z e r o f r o m w h a t I k n o w o f g r a v i t y . " A W - C a l c u l u s T h e f i r s t s t u d e n t ( M H ) u s e d a v e r a g e s p e e d f r o m t = l t o t = 2 t o f i n d s p e e d a t t = 2 . T h e o t h e r t w o s t u d e n t s ( D G a n d A W ) u s e d a v e r a g e s p e e d f r o m t = 1 . 7 5 t o t = 2 . B u t f o r A W t h i s a n s w e r d i d n o t l o o k r i g h t . H e t h e n a n a l y z e d t h e s i t u a t i o n i n t e r m s o f " a n a l y s i s o f m o v i n g o b j e c t s " t o d e c i d e t h a t t h e s p e e d o f t h e b a l l a t t = 2 w a s z e r o . H i s u n d e r s t a n d i n g o f t h e s i t u a t i o n m a d e h i m b e l i e v e m o r e i n h i s s e c o n d a n s w e r t h a n h i s f i r s t . W h e n w e t u r n e d t o t h e t a b l e o f v a l u e s l a t e r i n t h e i n t e r v i e w , h e a g a i n u s e d a v e r a g e r a t e o f c h a n g e o v e r t h e q u a r t e r s e c o n d b e f o r e t = 2 t o g e t f o u r f e e t p e r s e c o n d . T h e n t o f i n d t h e s p e e d o f t h e b a l l a t t = 3 , h e d e v e l o p e d a n e w s t r a t e g y - t h e a v e r a g e o f t h e a v e r a g e s p e e d s o v e r t h e q u a r t e r s e c o n d b e f o r e a n d t h e q u a r t e r s e c o n d a f t e r t = 3 . H e t h e n r e t u r n e d t o t = 2 a n d u s e d t h i s s t r a t e g y t h e r e . O n c e h e r e a l i z e d t h a t t h e a v e r a g e s p e e d o v e r t h e q u a r t e r s e c o n d a f t e r t = 2 w a s t h e n e g a t i v e o f t h e a v e r a g e s p e e d o v e r t h e q u a r t e r s e c o n d b e f o r e t = 2 , h e o b t a i n e d t h e s p e e d a t t = 2 a s z e r o f e e t p e r s e c o n d , h i s f i n a l a n s w e r w h e n w o r k i n g w i t h t h e g r a p h . T h i s l a s t s t u d e n t ' s r e s p o n s e h e l p s u s s e e w h y m o r e s t u d e n t s d i d n o t u s e a v e r a g e r a t e o f c h a n g e o v e r i n t e r v a l s b e f o r e t = 2 t o f i n d t h e s p e e d a t t = 2 . " A n a l y s i s o f m o v i n g o b j e c t s " a n d " s l o p e " w e r e s o s u c c e s s f u l i n y i e l d i n g q u i c k a n d e a s y a n s w e r s a n d a v o i d e d c o m p u t a t i o n s t h a t r e q u i r e d m o r e e f f o r t a n d o f t e n d i d n o t y i e l d a n s w e r s t h a t m a d e m u c h s e n s e . 2 0 8 A f e w s t u d e n t s u s e d " a v e r a g e s p e e d o v e r p r e v i o u s s e c o n d " o r " a v e r a g e s p e e d o v e r p r e v i o u s q u a r t e r s e c o n d " t o f i n d t h e s p e e d a t t = 3 b u t o v e r a t h i r d o f t h e s t u d e n t s u s e d t h e l a t t e r s t r a t e g y a t t = 4 . F o r t h e m o s t p a r t t h e s e w e r e t h e s t u d e n t s w h o u s e d " a v e r a g e s p e e d o v e r h a l f s e c o n d a r o u n d p o i n t " t o f i n d t h e s p e e d a t t = 1 , 2 , a n d 3 . T h e y w o u l d h a v e b e e n p r e v e n t e d f r o m u s i n g t h i s s t r a t e g y h e r e u n l e s s t h e y h a d c o n j e c t u r e d t h e d i s t a n c e t h e b a l l w o u l d h a v e t r a v e l e d i f i t h a d c o n t i n u e d a f t e r t = 4 a n d o n t o t = 4 . 2 5 s e c o n d s . N o o n e d i d t h a t w i t h t h e g r a p h o r w i t h t h e t a b l e . I n m a n y c i r c u m s t a n c e s i n e v e r y d a y l i f e , w h a t o c c u r s i m m e d i a t e l y b e f o r e a p o i n t i n t i m e i s t h o u g h t t o h a v e t h e m o s t i n f l u e n c e o n w h a t h a p p e n s a t t h a t p o i n t . T h i s w o u l d a c c o u n t f o r s t u d e n t s ' r e l a t i v e l y h e a v y u s e h e r e o f a v e r a g e s p e e d o v e r i n t e r v a l s b e f o r e p o i n t s . A d d i t i o n a l l y s i n c e s p e e d i s m o s t o f t e n g i v e n i n t e r m s o f d i s t a n c e t r a v e l e d i n o n e u n i t o f t i m e , t h e p r e f e r r e d w a y o f r e f e r r i n g t o s p e e d h e r e w o u l d b e i n t e r m s o f f e e t p e r s e c o n d . T h a t w o u l d a c c o u n t f o r s o m e s t u d e n t s ' u s e o f a v e r a g e s p e e d o v e r t h e f u l l s e c o n d b e f o r e a p o i n t r a t h e r t h a n a v e r a g e s p e e d o v e r t h e q u a r t e r s e c o n d b e f o r e t h e p o i n t t o f i n d s p e e d a t a p o i n t . R e fi e ; e n c e _ t g _ s l g p e . A b o u t o n e - f i f t h o f t h e s t u d e n t s u s e d " s l o p e " t o f i n d t h e s p e e d o f t h e b a l l a t t = 1 w h i l e a b o u t o n e - t h i r d u s e d t h i s s t r a t e g y a t t = 2 , o n e - t e n t h a t t = 3 , a n d o n e - s i x t h a t t = 4 . T h e f o l l o w i n g e x c e r p t s s h o w h o w s t u d e n t s u s e d t h i s s t r a t e g y a n d w h y f r e q u e n c y o f u s e v a r i e d f o r t h e f o u r p o i n t s . t = 1 : " R i g h t h e r e t o f i n d t h i s v e l o c i t y y o u m i g h t h a v e t o f i n d l i k e t h e s l o p e o f t h i s l i n e o r s o m e t h i n g . R i g h t a t t h i s p o i n t . T h e s l o p e o f t h i s l i n e . ( Y o u w a n t t o d r a w t h a t l i n e i n s o I k n o w w h a t l i n e 2 0 9 y o u ' r e t a l k i n g a b o u t ? ) I c a n t r y . [ H e d r a w s a l i n e s e g m e n t t a n g e n t t o t h e g r a p h a t t h e p o i n t ( 1 , 4 8 ) . ] I h a v e n o c l u e . B u t t h e r e s h o u l d b e s o m e t h i n g t o d o w i t h t h e s l o p e r i g h t h e r e . [ D r a w s v e r t i c a l a n d h o r i z o n t a l l i n e s e g m e n t s u p a n d t o t h e r i g h t f r o m t h e p o i n t ( 1 , 4 8 ) o n t h e g r a p h . ] T a n g e n t l i n e r i g h t t h e r e . ( H o w d o e s t h a t t a n g e n t l i n e h e l p y o u a n s w e r t h e q u e s t i o n " H o w f a s t i s t h e b a l l t r a v e l i n g a t t = 1 ? " ) W e l l , i f I c a n f i n d t h e s l o p e o f t h a t t a n g e n t l i n e h e r e , I w o u l d k n o w t h e r a t e o f c h a n g e . D o y o u w a n t m e t o d o t h a t ? ( I f y o u f e e l l i k e y o u c a n . ) W e l l , I m e a n , I k n o w y o u h a v e t o h a v e t h e t a n g e n t l i n e t h e r e a n d y o u h a v e t o t r y t o f i n d w h a t t h e s l o p e i s . I d o n ' t k n o w e x a c t l y h o w I w o u l d g o a b o u t d o i n g t h a t t h o u g h . " R F - C a l c u l u s " L e t ' s d o t h i s g r a p h i c a l l y . [ H e d r a w s t h e l i n e t a n g e n t t o t h e c u r v e a t t h e p o i n t ( 1 , 4 8 ) , f i n d s t h e c o o r d i n a t e s o f t w o p o i n t s o n t h a t l i n e ( . 4 5 , 3 0 ) a n d ( 1 . 3 5 , 6 0 ) , a n d u s e s t h e s e t w o p o i n t s t o f i n d t h e s l o p e o f t h e t a n g e n t l i n e ] 3 3 . 3 f e e t p e r s e c o n d . " A D - P o s t c a l c u l u s " A t o n e s e c o n d , I w o u l d d r a w a t a n g e n t l i n e . [ S h e d o e s t h a t . ] A n d t h e n I w o u l d f i n d t h e s l o p e o f t h a t l i n e . ( T h e w h a t ? ) T h e s l o p e o f t h e t a n g e n t l i n e . ( A n d t h a t w o u l d g i v e y o u ? ) A n d t h a t w o u l d g i v e m e t h e r a t e o f c h a n g e a t t h a t s p e c i f i c p o i n t . " S E - P o s t c a l c u l u s " H m m . W e l l . [ l o n g p a u s e ] T h a t ' s a g o o d q u e s t i o n . A t t h e e n d o f o n e s e c o n d ? ( Y e a h . A t t h e e n d o f o n e s e c o n d . ) [ H e d r a w s t h e l i n e t a n g e n t t o t h e c u r v e a t t = 1 a n d i d e n t i f i e s p o i n t s ( 2 , 8 0 ) a n d ( 1 , 4 8 ) o n t h a t l i n e a n d u s e s t h e s e t w o p o i n t s t o f i n d t h e s l o p e o f t h e t a n g e n t l i n e . ] L o o k s l i k e 3 2 f e e t p e r s e c o n d . ( H o w d i d y o u g e t t h a t ? ) B e c a u s e I d r e w t h e t a n g e n t t o t h e c u r v e a t o n e s e c o n d a n d f i g u r e d t h e s l o p e o f t h a t t a n g e n t . " M G - P o s t c a l c u l u s A l l f o u r o f t h e s e s t u d e n t s d r e w a l i n e t a n g e n t t o t h e g r a p h a t t h e p o i n t ( 1 , 4 8 ) a n d i n d i c a t e d t h e s l o p e o f t h a t l i n e w o u l d g i v e t h e s p e e d o f t h e b a l l a t t = 1 . T w o o f t h e f o u r a c t u a l l y f o u n d a n u m e r i c a l v a l u e f o r t h e s l o p e o f t h a t l i n e . B o t h o f t h e m l o c a t e d c o n v e n i e n t p o i n t s o n t h e i r t a n g e n t l i n e s a n d f o u n d t h e s l o p e u s i n g t h o s e p o i n t s . M o r e s t u d e n t s u s e d " s l o p e " t o f i n d t h e s p e e d o f t h e b a l l a t t = 2 : " I t ' s n o t . W e l l , i t ' s k i n d a . I t ' s n o t g o i n g a n y w h e r e . I t ' s n o t m o v i n g . T h e t a n g e n t l i n e a c r o s s t h e r e , t h e s l o p e w o u l d b e z e r o . T h a t m e a n s i t ' s n o t g o i n g a n y w h e r e . T h e r e ' s n o s l o p e , s o t h e r e ' s n o a c c e l e r a t i o n a n d n o v e l o c i t y , o n e o f t h o s e w o r d s . " L C — C a l c u l u s " Z e r o . ( A n d h o w d o y o u k n o w t h a t ? ) B e c a u s e i t ' s s t o p p i n g - t h e , w e l l t h e s l o p e i s a h o r i z o n t a l l i n e , e r , t h e l i n e t a n g e n t t o t h e 2 1 0 c u r v e i s h o r i z o n t a l , s o t h e s l o p e i s z e r o . A n d w h e n t h e s l o p e i s z e r o , t h a t m e a n s t h a t t h e v e l o c i t y i s z e r o b e c a u s e t h e s l o p e i s t h e d e r i v a t i v e a n d t h e d e r i v a t i v e i s t h e v e l o c i t y . " T S - P o s t c a l c u l u s N e i t h e r o f t h e s e s t u d e n t s a c t u a l l y d r e w t h e t a n g e n t l i n e o r c o m p u t e d i t s s l o p e . T h e y m e r e l y n o t e d t h a t t h e t a n g e n t l i n e w a s h o r i z o n t a l , a h o r i z o n t a l l i n e h a s s l o p e z e r o , s l o p e g i v e s v e l o c i t y , a n d t h e r e f o r e t h e s p e e d o f t h e b a l l a t t = 2 w a s z e r o f e e t p e r s e c o n d . L C a l s o a s s o c i a t e d z e r o s l o p e w i t h n o a c c e l e r a t i o n a n d n o v e l o c i t y a n d t h e n i n d i c a t e d h e w a s n o t s u r e w h i c h o n e o f t h o s e h e n e e d e d h e r e ( " o n e o f t h o s e w o r d s " ) . T S m a d e h e r l a n g u a g e m o r e p r e c i s e a s s h e c o n t i n u e d t a l k i n g . S h e e x p l a i n e d t h a t " t h e s l o p e i s a h o r i z o n t a l l i n e " r e a l l y m e a n t " t h e l i n e t a n g e n t t o t h e c u r v e i s h o r i z o n t a l , s o t h e s l o p e i s z e r o " . S h e t h e n w e n t o n t o a s s o c i a t e s l o p e o f t a n g e n t l i n e w i t h v e l o c i t y a n d t h e d e r i v a t i v e . 3 b u t o n e - s i x t h u s e d t h a t O n l y t h r e e s t u d e n t s u s e d " s l o p e " a t t s t r a t e g y t o f i n d t h e s p e e d o f t h e b a l l a t t 4 . T h e l o w f r e q u e n c y o f u s e o f t h i s s t r a t e g y a t t = 3 m i g h t b e e x p l a i n e d b y s t u d e n t ' s u s e o f s t r a t e g i e s l i k e " a n a l y s i s o f m o v i n g o b j e c t s " a n d s y m m e t r y o f t h e g r a p h t h a t y i e l d a n s w e r s m u c h m o r e q u i c k l y a n d e f f o r t l e s s l y . T h e h i g h f r e q u e n c y o f u s e o f t h i s s t r a t e g y a t t = 2 m a y b e f o r t h e s a m e r e a s o n ; i t w a s a q u i c k a n d e a s y w a s t o g e t a n a n s w e r f o r t h e s p e e d o f t h e b a l l a t t = 2 . W W . T o f i n d t h e s p e e d o f t h e b a l l a t t = 1 , 2 , o r 3 s o m e s t u d e n t s f o u n d t h e a v e r a g e S p e e d o v e r t h e h a l f s e c o n d i n t e r v a l a r o u n d t h e p o i n t . F o r t = 1 , t h i s m e a n s t h a t s t u d e n t s f o u n d t h e a v e r a g e s p e e d o v e r t h e i n t e r v a l f r o m t = . 7 5 t o t = 1 . 2 5 ; f o r t = 2 , s t u d e n t s o b t a i n e d t h e a v e r a g e s p e e d f r o m t = 1 . 7 5 t o t 2 1 1 = 2 . 2 5 ; a n d f o r t = 3 , s t u d e n t s c o m p u t e d t h e a v e r a g e s p e e d f o r t = 2 . 7 5 t o t = 3 . 2 5 . I c a l l e d t h e s e " s t r a d d l e " i n t e r v a l s s i n c e i n e a c h c a s e t h e y s t r a d d l e t h e c o r r e s p o n d i n g p o i n t . F o r e x a m p l e , t h e i n t e r v a l f r o m t = . 7 5 t o t = 1 . 2 5 " s t r a d d l e s " t h e p o i n t a t t = 1 . T h i s s t r a t e g y w a s u s e d w i t h h i g h e s t f r e q u e n c y a t t = 1 : " O h . N o . I k n o w . I c a n d o i t l i k e a r a t e o f c h a n g e b u s i n e s s . ( R a t e o f c h a n g e b u s i n e s s ? ) L i k e i n t h i s q u a r t e r o f a s e c o n d [ f r o m t = . 7 5 t o t = 1 ] , t h e r a t e o f c h a n g e w a s 1 0 f e e t . ( O k . ) A n d i n t h i s o n e [ f r o m t = 1 t o t = 1 . 2 5 ] i t w a s u h a b o u t s a y , w o u l d i t b e l i k e 5 ? ( Y e a h . L e t ' s j u s t s a y f i v e ) i n a q u a r t e r o f a s e c o n d . ( i n a q u a r t e r o f a s e c o n d . ) S o t h e a v e r a g e i s a b o u t 7 . 5 p e r q u a r t e r . S o 7 . 5 t i m e s 4 . T h a t ' d b e 3 0 , a b o u t 3 0 . ( 3 0 . Y e a h . 3 0 ? ) f e e t p e r s e c o n d . " A M - C a l c u l u s " 0 k . T w o w a y s . F r o m h e r e t o t h e r e [ f r o m t = . 7 5 t o t = 1 ] i t w o u l d b e a b o u t 3 6 f e e t p e r s e c o n d b u t f r o m t h e r e t o t h e r e [ f r o m t = 1 t o t = 1 . 2 5 ] i t w o u l d b e g o i n g a b o u t 2 8 f e e t p e r s e c o n d . S o I w o u l d p r o b a b l y t a k e t h e a v e r a g e , a b o u t 3 2 f e e t p e r s e c o n d . " J G — P o s t c a l c u l u s " A t t h e e n d o f o n e s e c o n d ? ( Y e a h . ) P r o b a b l y a b o u t 3 5 f e e t p e r s e c o n d . ( A n d h o w d i d y o u g e t t h a t ? ) B e c a u s e i f t h e r e ' s a d i f f e r e n c e o f a b o u t n i n e f r o m h e r e t o h e r e [ f r o m t = . 7 5 t o t = 1 ] , t h e n f r o m h e r e [ t = . 7 5 ] t o h e r e [ t = 1 ] , i t ' s t r a v e l i n g a t a b o u t 3 6 f e e t p e r s e c o n d . A n d i f t h i s d i f f e r e n c e [ f r o m t = 1 t o t = 1 . 2 5 ] i s s m a l l e r , i t l o o k s s m a l l e r , t h e n t h a t v e l o c i t y i s g o i n g t o b e a l i t t l e b i t l e s s t h a n s a y 3 6 f e e t p e r s e c o n d . S o m a y b e 3 3 f e e t p e r s e c o n d . P r o b a b l y s o m e w h e r e i n t h e r e . ( S o y o u ' r e t a k i n g w h a t ' s h a p p e n i n g o v e r t h i s i n t e r v a l [ f r o m t = . 7 5 t o t = 1 ] a n d w h a t ' s h a p p e n i n g o v e r t h i s i n t e r v a l [ f r o m t = 1 t o t = 1 . 2 5 ] t o m a k e a d e c i s i o n a b o u t w h a t ' s h a p p e n i n g h e r e [ a t t = 1 ] . ? ) R i g h t . " T S — P o s t c a l c u l u s T h e s e s t u d e n t s u s e d s p e e d o v e r t h e q u a r t e r s e c o n d s i m m e d i a t e l y b e f o r e a n d a f t e r t = 1 t o f i n d t h e s p e e d o f t h e b a l l a t t = 1 . N o n e o f t h e s t u d e n t s m a d e m e n t i o n o f t h e p r o p e r t i e s o f p a r a b o l a s t h a t a l l o w t h i s s t r a t e g y t o y i e l d t h e e x a c t a n s w e r . I b e l i e v e t h e y u s e d t h i s s t r a t e g y n o t b e c a u s e t h e y w e r e a w a r e o f t h i s p r o p e r t y b u t b e c a u s e i t r e p r e s e n t s a g e n e r a l s t r a t e g y t h a t c a n b e u s e d w i t h c o n t i n u o u s f u n c t i o n s t o y i e l d r e a s o n a b l e e s t i m a t e s o f t h e r a t e o f c h a n g e a t a p o i n t . A s w e s h a l l s e e 2 1 2 b e l o w , s t u d e n t s ' r e s p o n s e s t o t a s k s 5 a n d 6 , w h e r e t h i s q u a d r a t i c p r o p e r t y d o e s n o t h o l d , b e a r t h i s o u t . F o u r s t u d e n t s u s e d t h i s s t r a t e g y a t t = 2 : " u m . A b o u t m a y b e 7 o r 8 f e e t p e r s e c o n d . ( O k . A n d h o w a r e y o u g e t t i n g t h a t ? ) B e c a u s e i t w o u l d b e a p p r o x i m a t e l y I ' d s a y t w o f e e t i n d i s t a n c e i n t h e s e i n t e r v a l s [ f r o m t = 1 . 7 5 t o t = 2 a n d f r o m t = 2 t o t = 2 . 2 5 ] . I n t h i s i n t e r v a l [ f r o m t = 1 . 7 5 t o t = 2 ] a n d t h e s a m e a s i n t h i s i n t e r v a l , t o o [ f r o m t = 2 t o t = 2 . 2 5 ] . A n d u h p e r f o u r p e r s e c o n d [ a t o t a l o f f o u r f e e t o v e r t h e h a l f s e c o n d f r o m t = 1 . 7 5 t o t = 2 . 2 5 ] a n d t h e n t i m e s t w o i s e i g h t [ f o r a n a v e r a g e s p e e d o f e i g h t f e e t p e r s e c o n d ] . " J K - C a l c u l u s " H o w f a s t ? I t ' s n o t t r a v e l i n g a t t h a t s e c o n d . ( H o w c a n y o u t e l l t h a t ? ) B e c a u s e f r o m a q u a r t e r s e c o n d b e f o r e a n d a q u a r t e r s e c o n d a f t e r i t d i d n ' t t r a v e l — o r i f I d i d l i k e I d i d b e f o r e I ' d t a k e t h e a v e r a g e a n d t h a t ' s p r o b a b l y f o u r f e e t p e r s e c o n d t h e r e [ f r o m t = 1 . 7 5 t o t = 2 ] a n d t h a t ' s n e g a t i v e f o u r f e e t p e r s e c o n d [ f r o m t = 2 t o t = 2 . 2 5 ] . S o t h e a v e r a g e w o u l d b e z e r o . " J G - p o s t c a l c u l u s J K t o o k i n t o c o n s i d e r a t i o n t h e a v e r a g e s p e e d o f t h e b a l l i m m e d i a t e l y b e f o r e a n d a f t e r t = 2 . S h e s a w t h a t t h e b a l l t r a v e l e d t w o f e e t f r o m t = 1 . 7 5 t o t = 2 a n d a n o t h e r t w o f e e t f r o m t = 2 t o t = 2 . 2 5 a n d t h e r e f o r e t h e b a l l t r a v e l e d f o u r f e e t f r o m t = 1 . 7 5 t o t = 2 . 2 5 s o t h a t t h e a v e r a g e s p e e d o f t h e b a l l f r o m t = 1 . 7 5 t o t = 2 . 2 5 w a s e i g h t f e e t p e r s e c o n d . L i k e s e v e r a l s t u d e n t s i n t h i s s t u d y s h e d i d n o t n o t e t h a t t h e c h a n g e i n h e i g h t b e f o r e t = 2 w a s p o s i t i v e w h i l e t h e c h a n g e i n h e i g h t a f t e r t = 2 w a s n e g a t i v e . J G d i d n o t e t h i s . O n l y t w o s t u d e n t s u s e d t h i s s t r a t e g y a t t = 3 a n d n o n e o f t h e s t u d e n t s u s e d i t a t t = 4 . T h e l o w f r e q u e n c y o f u s e a t t h e s e t w o p o i n t s i s d u e , I b e l i e v e , t o s t u d e n t s ' u s e o f q u i c k e r , e a s i e r s t r a t e g i e s , l i k e " a n a l y s i s o f m o v i n g o b j e c t s " c o u p l e d w i t h t h e s y m m e t r y o f t h e g r a p h , w h e r e t h e s p e e d a t t = 3 w a s n o t e d t o b e t h e s a m e a s t h e s p e e d a t t = 1 a n d t h e s p e e d a t t = 4 w a s n o t e d t o b e t h e s a m e a s a t t = 0 . A l s o t h e a b s e n c e o f m o t i o n a f t e r t = 4 m a k e s i t l e s s l i k e l y t h a t s t u d e n t s w i l l 2 1 3 u s e t h e " s t r a d d l e " i n t e r v a l a t t = 4 . T h e r e l a t i v e l y h i g h f r e q u e n c y o f u s e o f t h i s s t r a t e g y a t t = 1 w o u l d c o n v e r s e l y b e a t t r i b u t a b l e t o t h e l a c k o f k n o w l e d g e o f s p e e d a t o t h e r p o i n t s s i m i l a r t o t = 1 . = = . F i v e s t u d e n t s o b t a i n e d t h e i r a n s w e r s f o r t h e s p e e d o f t h e b a l l a t t = 1 a n d t = 2 u s i n g t h e a v e r a g e s p e e d o v e r t h e i n t e r v a l s t a r t i n g a t t = 0 . A t t 1 t h a t s t r a t e g y y i e l d s 4 8 f e e t p e r s e c o n d s i n c e t h e t o t a l d i s t a n c e t h e b a l l h a d t r a v e l e d s i n c e t = O w a s 4 8 f e e t . T h i s i s t h e s a m e a n s w e r o b t a i n e d f r o m t h e s t r a t e g y " a v e r a g e s p e e d o v e r p r e v i o u s s e c o n d " . I t w a s n o t a l w a y s e a s y t o d i s t i n g u i s h w h e n s t u d e n t s w e r e u s i n g w h i c h o f t h e s e t w o s t r a t e g i e s . D e c i s i o n s a b o u t w h i c h s t r a t e g y w a s b e i n g u s e d t o o k i n t o c o n s i d e r a t i o n t h e s t r a t e g i e s s t u d e n t u s e d a t t = 2 . I f i t w a s c l e a r t h a t a s t u d e n t u s e d a v e r a g e s p e e d o v e r t h e i n t e r v a l f r o m t = O t o g e t s p e e d a t t = 2 a n d e i t h e r a v e r a g e s p e e d s i n c e t = 0 o r o r a v e r a g e s p e e d o v e r t h e f i r s t s e c o n d f o r t h e i r a n s w e r a t t = 1 , t h e n I c l a s s i f i e d t h e i r a n s w e r f o r t = 1 a s u s i n g " a v e r a g e s p e e d s i n c e t = 0 " . T h e f i v e s t u d e n t s w h o u s e d t h i s s t r a t e g y a t t = 1 w e r e t h e s a m e f i v e s t u d e n t s w h o u s e d t h i s s t r a t e g y a t t = 2 : " A t t h a t e x a c t p o i n t ? ( Y e a h . A t t h a t e x a c t p o i n t . ) I t w o u l d b e e a s i e r j u s t t o s a y a b o u t 6 3 f e e t - w e l l , t h a t ' s f o r t w o s e c o n d s . S o ( I f y o u m a k e i t 6 4 , i t ' s e a s i e r ) . O k . A l r i g h t . S o I ' l l s a y 3 2 f e e t p e r s e c o n d . " K G - P r e c a l c u l u s " A b o u t 3 1 f e e t p e r s e c o n d . ( O k . A n d w h y d o y o u s a y t h a t ? ) B e c a u s e t h e t o t a l d i s t a n c e t h e b a l l t r a v e l e d i s a b o u t 6 2 [ f r o m t = 0 t o t = 2 ] . ( O k . ) S o i n t w o s e c o n d s i t t r a v e l e d 6 2 f e e t . S o d i v i d e b y t w o a n d t h a t g i v e s 3 1 . " S C L - P r e c a l c u l u s " A t t h e e n d o f t h e s e c o n d s e c o n d ? ( Y e a h . ) S e e , t h e r a t e o f c h a n g e c h a n g e s a l l t h e t i m e . B u t a t t h e e n d o f t w o s e c o n d s I c a n s a y t h a t i t t r a v e l e d a p p r o x i m a t e l y 6 4 f e e t . ( S o i t t r a v e l e d 6 4 f e e t o v e r t h e f i r s t t w o s e c o n d s . ) Y e s . ( A n d i s t h a t w h a t y o u w a n t t o s a y a b o u t h o w f a s t i t ' s t r a v e l i n g a t t h e e n d o f t w o s e c o n d s ? W h a t i s i t s s p e e d a t t h a t p o s i t i o n [ a t t h e p o i n t 2 1 4 ( 2 , 6 4 ) ] ? ) I t s s p e e d a t t h i s p o s i t i o n - u m - y e a h - I g u e s s i t ' s 6 4 f e e t p e r t w o s e c o n d s . " P G - C a l c u l u s K G a n d S C L c o m p u t e d t h e a v e r a g e s p e e d o v e r t h e i n t e r v a l f r o m t = 0 t o t = 2 a n d e x p r e s s e d t h e i r a n s w e r s i n t e r m s o f f e e t p e r s e c o n d . P G a l s o c o m p u t e d t h e a v e r a g e s p e e d o v e r t h e i n t e r v a l f r o m t = 0 t o t = 2 b u t e x p r e s s e d h i s a n s w e r i n t e r m s o f f e e t p e r t w o s e c o n d s . T h e r e i s n o t h i n g i n h e r e n t l y w r o n g w i t h g i v i n g a n a n s w e r s i n t e r m s o f f e e t p e r t w o s e c o n d s b u t t h e a c c e p t e d n o t i o n o f s p e e d u s u a l l y c a r r i e s w i t h i t t h e u n d e r s t a n d i n g t h a t s p e e d i s e x p r e s s e d i n t e r m s o f d i s t a n c e p e r u n i t t i m e . W i t h t h e t a b l e o f v a l u e s , h e u s e d s l o p e o f t h e l i n e s e g m e n t f r o m t = . 7 5 t o t = 1 t o g e t a n a n s w e r o f 3 2 f e e t p e r s e c o n d f o r t h e s p e e d o f t h e b a l l a t t = 1 . B u t h e t h e n s t r u g g l e d w i t h w h e t h e r o r n o t t h a t s h o u l d b e 3 2 f e e t p e r s e c o n d o r 3 2 f e e t p e r h a l f s e c o n d o r 3 2 f e e t p e r q u a r t e r s e c o n d . T h e s e r e s p o n s e s m a d e m e t h i n k t h a t h e w a s s t r u g g l i n g w i t h t h e i d e a o f r a t e . A n i n t e r e s t i n g v a r i a t i o n o f t h i s s t r a t e g y c o n s i d e r e d t h e a v e r a g e s p e e d f r o m t = 2 r a t h e r t h a n f r o m t = 0 t o f i n d t h e s p e e d a t t = 3 a n d t = 4 : A t t = 3 : " Y o u ' r e d o w n w a r d s l i d e s o y o u ' r e p r o b a b l y g o n n a f o r g e t a b o u t t h e f i r s t h a l f o f t h i s g r a p h . M a y b e u s e i t i n a f o r m u l a t o f i g u r e o u t t h e d o w n w a r d s l i d e . B u t I d o n ' t k n o w w h a t i t i s o r a n y t h i n g . B u t r i g h t h e r e [ p o i n t i n g t o t h e p o i n t ( 3 , 4 8 ) o n t h e g r a p h ] , y o u ' r e t a l k i n g a b o u t ? ( Y e a h . A t t = 3 . ) I t ' s o n a d o w n w a r d t r e n d f r o m 6 4 f e e t d o w n t o a b o u t 4 8 f e e t s o t h a t ' s a b o u t 1 6 f e e t p e r s e c o n d . " M Y - C a l c u l u s A t f i r s t I t h o u g h t t h i s s t u d e n t f o u n d t h e s p e e d a t t = 3 u s i n g t h e a v e r a g e s p e e d o v e r t h e p r e v i o u s s e c o n d . B u t a s I f u r t h e r e x a m i n e d h i s w o r k h e r e a n d w i t h t = 1 , 2 , a n d 4 , I d e c i d e d h e w a s b a s i n g h i s w o r k o n a v e r a g e r a t e o f c h a n g e o v e r i n t e r v a l s s t a r t i n g a t s o m e " b e g i n n i n g " 2 1 5 p o i n t . W h e n h e f o u n d t h e s p e e d o f t h e b a l l a t t = 1 a n d t = 2 h e u s e d t h e a v e r a g e s p e e d f r o m t = 0 . B u t w h e n h e f o u n d t h e s p e e d o f t h e b a l l a t t = 3 a n d t = 4 h e u s e d t h e a v e r a g e s p e e d f r o m t = 2 . H i s c o m m e n t " Y o u ' r e d o w n w a r d s l i d e s o y o u ' r e p r o b a b l y g o n n a f o r g e t a b o u t t h e f i r s t h a l f o f t h i s g r a p h . " m a d e h i s w o r k a n d t h e w o r k o f a f e w o t h e r s t u d e n t s m o r e u n d e r s t a n d a b l e . T h e p o i n t a t t = 2 o b v i o u s l y s i g n a l s a c h a n g e i n t h e m o t i o n o f t h e b a l l . S o e v e r y t h i n g t h a t h a p p e n s a f t e r t = 2 i s c o n s i d e r e d s e p a r a t e f r o m w h a t h a p p e n e d b e f o r e t = 2 . S o s o m e s t u d e n t s w h o a r e i n c l i n e d t o u s e t o t a l d i s t a n c e t o f i n d s p e e d a t a p o i n t w i l l u s e t o t a l d i s t a n c e f r o m t h e l a s t m o s t s i g n i f i c a n t p o i n t w h e r e t h e r e w a s a n o b v i o u s c h a n g e i n m o t i o n . A n o t h e r s t u d e n t m a d e i t c l e a r h e w a s u s i n g t h i s v e r s i o n o f t h i s s t r a t e g y a t t = 4 : " 6 3 f e e t p e r s e c o n d . ( O k . A n d h o w d i d y o u g e t t h a t ? ) U m , b e c a u s e w h e n i t r e a c h e s h e r e [ t h e p o i n t ( 2 , 6 4 ) ] i t ' s 6 3 f e e t p e r s e c o n d a n d w h e n i t r e a c h e s t h e g r o u n d i t ' s e q u a l s p e e d . ( O k . S o s i n c e i t s t a r t e d a t 6 3 f e e t a n d t h e n h e r e [ a t t = 4 ] i t ' s g o t t a b e 6 3 f e e t p e r s e c o n d ? ) I t ' s g o t t a b e u m 3 1 a n d a h a l f f e e t p e r s e c o n d [ d i v i d i n g 6 3 f e e t b y t w o ] . ( O k . A l r i g h t . B e c a u s e ? I t t o o k t w o s e c o n d s ? ) R i g h t . ( A l r i g h t . A n d t h a t ' s b e c a u s e i t t r a v e l e d 6 3 f e e t ) o v e r t w o s e c o n d s . " J P - C a l c u l u s J P ' s w o r d s " b e c a u s e w h e n i t r e a c h e s h e r e [ t h e p o i n t ( 2 , 6 4 ) ] i t ' s 6 3 f e e t p e r s e c o n d a n d w h e n i t r e a c h e s t h e g r o u n d i t ' s e q u a l s p e e d " m a d e m e t h i n k h e , l i k e M Y , w a s s i n g l i n g o u t t h e s e c t i o n o f t h e g r a p h f r o m t = 2 t o t = 4 a s r e l e v a n t f o r f i n d i n g t h e s p e e d a t t 4 . H e c o m p u t e d t h e a v e r a g e s p e e d f r o m t = 2 t o f i n d t h e s p e e d a t t 4 b y d i v i d i n g t h e d i s t a n c e t r a v e l e d d u r i n g t h a t t i m e , 6 3 f e e t , b y t h e a m o u n t o f t i m e t o t r a v e l t h a t d i s t a n c e , t w o s e c o n d s , t o g e t h i s f i n a l a n s w e r o f 3 1 . 5 f e e t p e r s e c o n d . 2 1 6 I i n t e r p r e t e d h i s i n i t i a l a n s w e r o f 6 3 f e e t p e r s e c o n d a s h i s n o t i c i n g t h e h e i g h t a t t = 2 . H e h a d g i v e n t h i s s a m e i n i t i a l r e s p o n s e w h e n h e w a s f i n d i n g t h e s p e e d a t t = 2 b u t i m m e d i a t e l y w e n t o n t h e r e t o n o t e t h a t t h e h e i g h t w a s 6 3 f e e t . I t o o k t h i s t o m e a n h e w a s s a y i n g h e d i d n o t m e a n t o s a y 6 3 f e e t p e r s e c o n d b u t m e a n t t o s a y t h e b a l l w a s a t a h e i g h t o f 6 3 f e e t . H e w e n t o n t o g i v e z e r o f e e t p e r s e c o n d a s h i s a n s w e r f o r t h e s p e e d a t t = 2 . R e f e r e n g e _ t g _ a _ p g i n t . A f e w s t u d e n t s u s e d o n e o r b o t h c o o r d i n a t e s o f t h e p o i n t a t t = 1 , 2 , 3 , o r 4 t o f i n d t h e s p e e d a t e a c h o f t h o s e p o i n t s . M o s t o f t e n s t u d e n t s d i v i d e d t h e s e c o n d c o o r d i n a t e o f t h e p o i n t b y t h e f i r s t c o o r d i n a t e o r s i m p l y a t t a c h e d t h e p h r a s e " p e r s e c o n d " t o t h e v a l u e o f t h e s e c o n d c o o r d i n a t e . U s e o f t h i s s t r a t e g y a t t = 1 y i e l d e d t h e s a m e a n s w e r a s " a v e r a g e s p e e d o v e r p r e v i o u s s e c o n d " a n d " a v e r a g e s p e e d s i n c e t = 0 " a n d u s e o f t h i s s t r a t e g y a t t = 2 y i e l d e d t h e s a m e a n s w e r a s " a v e r a g e s p e e d s i n c e t = 0 " . S o i t w a s n o t a l w a y s e a s y t o d e c i d e w h i c h o f t h e s e s t r a t e g i e s s t u d e n t s w e r e u s i n g . A s w i t h " a v e r a g e s p e e d s i n c e t = 0 " , I u s e d s t u d e n t s ' r e s p o n s e s w h e n f i n d i n g t h e s p e e d a t o t h e r p o i n t s t o h e l p d e c i d e i f t h e y u s e d " r e f e r e n c e t o a s p e c i f i c p o i n t " a t t = 1 a n d t = 2 . U s e o f t h i s s t r a t e g y a t t = 3 r e s u l t e d i n 4 8 f e e t p e r s e c o n d i f t h e s t u d e n t r e f e r e n c e d o n l y t h e s e c o n d c o o r d i n a t e o r 1 6 f e e t p e r s e c o n d i f t h e s t u d e n t d i v i d e d v a l u e o f t h e s e c o n d c o o r d i n a t e b y t h e v a l u e o f t h e f i r s t . A c o u p l e o f s t u d e n t s m a d e i t c l e a r t h i s i s w h a t t h e y w e r e d o i n g : " B y l o o k i n g a t t h e c h a r t [ g r a p h ] , I w o u l d s a y a b o u t 4 8 . ( 4 8 f e e t ? ) A r o u n d t h e r e . ( 4 8 f e e t p e r s e c o n d ? ) Y e a h . ( A n d h o w d i d y o u g e t t h a t ? Y o u s a i d b y l o o k i n g a t t h e c h a r t . ) U h h u h . ( C a n y o u e l a b o r a t e m o r e ? ) W e l l , t h a t ' s t h e f e e t a n d t h a t ' s 4 8 . S o t h a t ' s a b o u t 4 8 . ( O k . ' C a u s e t h e b a l l i s a t h e i g h t o f 4 8 ? ) R i g h t . " C H - P o s t c a l c u l u s 2 1 7 " 4 8 f e e t p e r s e c o n d . ( A n d w h y d o y o u s a y t h a t ? ) B e c a u s e i t ' s 4 8 f e e t h i g h . " J P - C a l c u l u s B o t h o f t h e s e s t u d e n t s u s e d t h e v a l u e o f t h e s e c o n d c o o r d i n a t e ( h e i g h t ) o f t h e p o i n t a t t = 3 t o h e l p t h e m d e c i d e t h e s p e e d o f t h e b a l l . C H f o l l o w e d h e r a n s w e r a b o v e w i t h a n e v e n m o r e e l a b o r a t e s t r a t e g y b a s e d o n t h e h e i g h t o f t h e b a l l a t t = 0 , 1 , a n d 2 t o f i n d t h e s p e e d o f t h e b a l l a t t = 3 : " [ S h e a d d s 6 3 a n d 4 8 a n d d i v i d e s t h a t s u m b y t h r e e t o o b t a i n 3 7 . ] 0 k . 3 7 . S o t h e a v e r a g e i s 3 7 f e e t . ( O h . B e c a u s e i t w e n t 6 3 i n t h e f i r s t t w o s e c o n d s — w a i t a m i n u t e . ) F r o m 6 3 a t t w o s e c o n d s - I ' m t r y i n g t o f i n d t h e a v e r a g e a t t h r e e . ( O k . ) O k . I d o n ' t k n o w w h y I d i d t h a t . T h a t ' s 6 3 [ a t t = 2 ] , a n d t h a t ' s 4 8 [ a t t = 1 ] , a n d t h a t ' s z e r o [ a t t = 0 ] . ( U h h u h . ) T h e n I d i v i d e d i t b y t h r e e . A n d t h a t ' s 3 7 . ( S o 6 3 p l u s 4 8 w a s 1 1 1 . ) U h h u h . ( A n d y o u d i v i d e d t h a t b y t h r e e a n d t h a t g a v e y o u 3 7 f e e t p e r s e c o n d . ) I d o n ' t k n o w w h y . O k . ( D o y o u w a n t t o t e l l m e w h y y o u t h i n k y o u d i d t h a t ? ) W e l l , 3 7 , w e l l i t ' s t h e a v e r a g e . B u t I d o n ' t w a n t t h e a v e r a g e . " C H - P o s t c a l c u l u s C H u s e d t h e v a l u e s o f t h e s e c o n d c o o r d i n a t e a t t h r e e p r e v i o u s p o i n t s i n a n a v e r a g i n g s c h e m e t o o b t a i n t h e s p e e d a t t = 3 . S h e e x p r e s s e d c o n s i d e r a b l e d o u b t t h a t t h i s y i e l d e d a r e a s o n a b l e a n s w e r . B u t t h e p o i n t I w a n t t o m a k e h e r e i s t h a t u s i n g t h e s e c o n d c o o r d i n a t e o f a p o i n t o r t h e h e i g h t o f t h e p o i n t o n t h e g r a p h t o f i n d s p e e d a t t h e s a m e o r o t h e r p o i n t s m a k e s s e n s e t o s t u d e n t s . T h i s s t u d e n t u s e d a s i m i l a r l y e l a b o r a t e a l g o r i t h m b a s e d o n t h e s e c o n d c o o r d i n a t e o f p o i n t s t o f i n d t h e s p e e d a t t = 4 . S h e a d d e d t h e h e i g h t s a t t = 4 , 3 . 5 , a n d 3 . 7 5 ( 0 + 1 5 + 2 8 ) a n d t h e n d i v i d e d b y t h r e e t o g e t t h e “ a v e r a g e s p e e d " o v e r t h e l a s t h a l f s e c o n d a n d t h e n s h e m u l t i p l i e d t h a t b y t w o t o c o n v e r t h e r a n s w e r t o f e e t p e r s e c o n d . T h a t y i e l d e d 2 8 . 6 7 f e e t p e r s e c o n d a s h e r a n s w e r f o r t h e s p e e d a t t = 4 . O n e c a l c u l u s s t u d e n t s p o k e o f u s i n g t h e s a m e s t r a t e g y b y a d d i n g u p a l l o f 2 1 8 t h e h e i g h t s a t t h e q u a r t e r s e c o n d m a r k s f r o m t = 2 t o t = 4 a n d u s i n g t h a t a s h i s a n s w e r f o r t h e s p e e d a t t = 4 . I t m a y s e e m p e r p l e x i n g t h a t s t u d e n t s w o u l d u s e t h e h e i g h t o f t h e b a l l a s a d i r e c t i n d i c a t i o n o f t h e s p e e d o f t h e b a l l . H o w e v e r , i f s t u d e n t s b e l i e v e t h a t s p e e d h a s s o m e t h i n g t o d o w i t h d i s t a n c e a n d t i m e a n d h e i g h t i s r e p r e s e n t e d i n f e e t , a m e a s u r e o f d i s t a n c e , t h e n i t m a y n o t b e s u c h a s u r p r i s i n g j u m p t h a t t h e y t h i n k t h a t s p e e d a t a p o i n t i s d i s t a n c e a t t h a t p o i n t . T h e s e s t u d e n t s w e r e u s i n g t h e h e i g h t o f t h e b a l l , p e r h a p s a s d i s t a n c e , a t i n d i v i d u a l p o i n t s t o t r y t o m a k e s e n s e o f s p e e d a t a p o i n t . R e f e r e n g e _ t g _ a n _ e q u a t i g n . A f e w s t u d e n t s r e f e r r e d t o e q u a t i o n s w h e n t r y i n g t o f i n d t h e s p e e d o f t h e b a l l a t s o m e o f t h e p o i n t s . A l t h o u g h t h e s i t u a t i o n i n t h i s t a s k i s f a i r l y c o m m o n t o m a t h e m a t i c s a n d p h y s i c s s t u d e n t s a n d t h e s h a p e o f t h e g r a p h s t r o n g l y s u g g e s t s a p a r a b o l a , n o n e o f t h e s t u d e n t s g a v e e v i d e n c e t h a t t h e y k n e w t h e e q u a t i o n o r s e e m e d i n c l i n e d t o t r y t o f i n d i t . S i n c e t h e e q u a t i o n f o r t h i s s i t u a t i o n w a s n o t g i v e n a n d s i n c e s t u d e n t s k n e w o t h e r s t r a t e g i e s f o r f i n d i n g s p e e d a t a p o i n t , I w a s n o t s u r p r i s e d s t u d e n t s d i d n o t m e n t i o n e q u a t i o n s . I n f a c t , I w a s r a t h e r s u r p r i s e d w h e n s o m e o f t h e m d i d . H e r e a r e t h e w a y s e q u a t i o n s w e r e r e f e r r e d t o a t t = 1 : " Y o u c o u l d t a k e a d e r i v a t i v e b u t I d o n ' t r e a l l y h a v e a n e q u a t i o n . ( I f y o u h a d a n e q u a t i o n f o r t h a t [ g r a p h ] h o w w o u l d y o u f i n d t h e s p e e d a t t h a t ) J u s t t a k e t h e d e r i v a t i v e a n d s e t i t e q u a l t o o n e . ( S e t i t e q u a l t o o n e ? ) F o r o n e s e c o n d . ( D o y o u m e a n e v a l u a t e i t a t o n e ? ) x e q u a l t o o n e . " J G - P o s t c a l c u l u s " B u t y o u c a n d o i t w i t h e q u a t i o n s . ( Y o u c a n ? ) B u t I d o n ' t k n o w t h e m . " T S - P o s t c a l c u l u s W h e n J G s a i d " y o u c o u l d t a k e a d e r i v a t i v e b u t I d o n ' t r e a l l y h a v e a n e q u a t i o n " h e p r o b a b l y m e a n t t h a t i f h e h a d a n e q u a t i o n f o r t h i s 2 1 9 g r a p h , h e w o u l d o b t a i n t h e d e r i v a t i v e e q u a t i o n f o r i t a n d e v a l u a t e i t a t t = 1 . T h i s s t r a t e g y y i e l d s a c o r r e c t a n s w e r a l t h o u g h s i n c e h e d i d n o t h a v e t h e e q u a t i o n a n d d i d n o t o b t a i n i t , h e w a s u n a b l e t o c a r r y i t o u t . A c a l c u l u s s t u d e n t s i m i l a r l y s a i d a t t = 3 t h a t h e w o u l d d i f f e r e n t i a t e t h e e q u a t i o n i f h e h a d o n e a n d p l u g i n t h r e e f o r t h e t v a l u e . T 8 w a s a p h y s i c s m i n o r w h o p r o b a b l y e n c o u n t e r e d e q u a t i o n s d e a l i n g w i t h t h i s s i t u a t i o n i n h e r p h y s i c s i n s t r u c t i o n . B u t s h e c o u l d n o t i m m e d i a t e l y r e c a l l w h a t t h o s e e q u a t i o n s w e r e . I n d e e d m o s t c a l c u l u s s t u d e n t s w o u l d m o s t l i k e l y h a v e s e e n a d e r i v a t i o n o f e q u a t i o n s f o r " f a l l i n g b o d y " s i t u a t i o n s . B u t n o n e o f t h e s t u d e n t s i n t h i s s t u d y g a v e e v i d e n c e t h a t t h e y r e m e m b e r e d t h o s e e q u a t i o n s a n d e v e n t h o u g h o n e s t u d e n t t r i e d t o u s e c u r v e - f i t t i n g m e t h o d s t o f i n d s u c h a n e q u a t i o n , h e q u i c k l y a b a n d o n e d t h e p r o c e s s i n f a v o r o f e a s i e r , q u i c k e r s t r a t e g i e s . O n e m i g h t b e d i s a p p o i n t e d t h a t c a l c u l u s a n d p o s t c a l c u l u s s t u d e n t s , s o m e o f w h o m a r e p h y s i c s m i n o r s , c o u l d n o t e a s i l y c o m e u p w i t h a n e q u a t i o n f o r t h i s s i t u a t i o n . H o w e v e r , t h e p o i n t o f t h i s t a s k w a s n o t t o f i n d o u t i f t h e s e s t u d e n t s c o u l d r e c a l l o r d e r i v e t h e s e e q u a t i o n s . I n a d d i t i o n , e v e n i f o n e h a s w o r k e d w i t h k i n e m a t i c s e q u a t i o n s f o r t h i s p a r t i c u l a r s i t u a t i o n , i t i s n o t n e c e s s a r i l y e a s y t o r e c a l l t h e m h e r e . T h e c o n t e x t h e r e i s n o t n e c e s s a r i l y t h e s a m e a s t h e c o n t e x t f o r e a r l i e r s t u d y o f k i n e m a t i c s . N e a r l y a l l o f u s h a v e h a d t h e e x p e r i e n c e o f s e e i n g a n o l d c o n c e p t i n a n e w e r c o n t e x t a n d n o t b e e n a b l e t o m a k e a n a p p r o p r i a t e c o n n e c t i o n . D e s i r e _ s m a l l e r _ i n t e r y a l . O n e s t u d e n t e x p r e s s e d a d e s i r e f o r a n i n t e r v a l s m a l l e r t h a n o n e q u a r t e r s e c o n d : " O k . S o t a k e a l i t t l e i n t e r v a l a t t h e v e r y e n d h e r e [ j u s t b e f o r e t = 1 u p t o t = 1 ] p e r t h i s a m o u n t o f t i m e a n d t h a t ' s h o w f a s t i t ' s t r a v e l i n g . T h a t d i s t a n c e p e r t h a t t i m e . " R S - C a l c u l u s 2 2 0 T h i s s t u d e n t w a n t e d a n i n t e r v a l i m m e d i a t e l y b e f o r e t = 1 w h i c h w a s m u c h s m a l l e r t h a n a q u a r t e r o f a s e c o n d . S h e d e s c r i b e d w h a t s h e w o u l d d o w i t h t h a t i n t e r v a l b u t s h e d i d n o t p r o c e e d t o o b t a i n a n u m e r i c a l a n s w e r . T h i s s t u d e n t a n d a n o t h e r s t u d e n t s i m i l a r l y w a n t e d a s m a l l e r i n t e r v a l e i t h e r b e f o r e o r a r o u n d t = 3 . Y e t a n o t h e r s t u d e n t w a n t e d a s m a l l e r i n t e r v a l b e f o r e t = 4 . T h i s i s a n i m p o r t a n t m a t h e m a t i c a l s t e p b e t w e e n u s i n g w h a t i s g i v e n t o a p p r o x i m a t e r a t e o f c h a n g e a t a p o i n t a n d k n o w i n g h o w t o g e t a b e t t e r a p p r o x i m a t i o n a n d , t h r o u g h a p a r t i c u l a r l i m i t , a n e x a c t a n s w e r . c h g ; _ i d e a s . A t t = 3 a n d t = 4 a f e w s t u d e n t s n o t e d t h a t t h e v e l o c i t y w a s n e g a t i v e . I d i d n o t s p e c i f i c a l l y a s k s t u d e n t s a b o u t t h e v e l o c i t y ; I a s k e d t h e m a b o u t t h e s p e e d w h i c h t e c h n i c a l l y d o e s n o t r e q u i r e n o t i n g t h e s i g n . S e v e r a l o t h e r s t u d e n t s p o i n t e d o u t t h a t t h e b a l l w a s g o i n g d o w n a t t = 3 i n c o n t r a s t t o i t s m o t i o n a t t = 1 w h e r e i t w a s g o i n g u p . T h i s w a s u s u a l l y i n c o n c e r t w i t h t h e i r c l a i m t h a t t h e s p e e d o f t h e b a l l a t t = 3 w a s t h e s a m e a s a t t = 1 e x c e p t i n t h e o p p o s i t e d i r e c t i o n . F i n a l l y o n e s t u d e n t n o t e d t h a t t h e s p e e d w a s " c h a n g i n g " a t t = 3 a n d t = 4 . S h e n o t e d a t t = 3 t h a t " y o u d o n ' t r e a l l y k n o w b e c a u s e i t i s n ' t g o i n g a t a s t e a d y s p e e d . . . I t ' s c h a n g i n g a s t h e g r a v i t y p u l l s i t d o w n . " . T h i s s t u d e n t k n e w t h a t t h e s p e e d w a s n o t c o n s t a n t , t h a t t h e s p e e d o f t h e b a l l w a s c h a n g i n g , a n d t h a t g r a v i t y w a s e x e r t i n g a n e f f e c t o n t h e b a l l t h a t c a u s e d i t s s p e e d t o c h a n g e . I t m a y b e t h a t s h e d i d n o t a c t u a l l y b e l i e v e t h a t t h e b a l l h a s s u c h a t h i n g a s s p e e d a t a p o i n t . H e r a n s w e r h e r e i n d i c a t e s p e r h a p s a l a c k o f a c k n o w l e d g m e n t t h a t a t e a c h p o i n t i n t i m e t h e b a l l a c t u a l l y d o e s h a v e a s p e e d . 2 2 1 u s i n g _ t h e _ g r a p h . T w o m a i n s t o r i e s c o m e o u t o f t h i s a n a l y s i s o f s t r a t e g i e s s t u d e n t s u s e d t o f i n d t h e s p e e d o f t h e b a l l a t d i f f e r e n t p o i n t s i n t i m e w h e n u s i n g t h e g r a p h . O n e i s t h a t a v a r i e t y o f s t r a t e g i e s w e r e u s e d . T h e o t h e r i s t h a t t h e d i s t r i b u t i o n o f s t r a t e g y u s e w a s d i f f e r e n t a t e a c h t i m e v a l u e . A t t = 1 , t h e m o s t p r e v a l e n t s t r a t e g i e s w e r e " a v e r a g e s p e e d o v e r p r e v i o u s s e c o n d " , " a v e r a g e s p e e d o v e r p r e v i o u s q u a r t e r s e c o n d " , a n d " s l o p e " . A t t = 2 , t = 3 , a n d t = 4 , o v e r h a l f o f t h e s t u d e n t s u s e d " a n a l y s i s o f m o v i n g o b j e c t s " d r a w i n g h e a v i l y o n t h e s y m m e t r y o f t h e g r a p h t o d e c i d e s p e e d . A t t h e m a x i m u m p o i n t , a t t = 2 , t h i r t y p e r c e n t u s e d " s l o p e " , a p a r t i c u l a r l y e a s y s t r a t e g y t o u s e t h e r e . A t t h e f i r s t p o i n t a f t e r t h e m a x i m u m , w h e n t h e b a l l w a s f a l l i n g , a t t = 3 , o n e - f i f t h o f t h e s t u d e n t s r e f e r e n c e d t h e h e i g h t o f t h e b a l l a t t h a t p o i n t w h i l e o n e - s i x t h u s e d " a v e r a g e s p e e d o v e r p r e v i o u s q u a r t e r s e c o n d " , a s t r a t e g y t h a t w a s u s e d w i d e l y a t t = 1 , t h e p o i n t s y m m e t r i c a l t o t = 3 . O v e r o n e - t h i r d u s e d " a v e r a g e s p e e d o v e r p r e v i o u s q u a r t e r s e c o n d " a t t = 4 p a r t l y b e c a u s e t h a t w a s a p o p u l a r s t r a t e g y a t s e v e r a l p o i n t s a n d b e c a u s e s t u d e n t s w h o h a d u s e d " s t r a d d l e " i n t e r v a l s a t o t h e r p o i n t s c o u l d n o t e a s i l y d o s o h e r e . F i g u r e 1 0 s h o w s t h e m o s t f r e q u e n t l y u s e d s t r a t e g i e s a t e a c h o f t h e f o u r t i m e v a l u e s . A t t = 1 A t t = 2 A t t = 3 A A t t = 4 A v g . s p e e d o v e r A n a l y s i s o f A n a l y s i s o f A n a l y s i s o f p r e v . s e c . m o v i n g o b j . m o v i n g o b j . m o v i n g o b j A v g . s p e e d o v e r R e f e r e n c e t o R e f e r e n c e t o a A v g . s p e e d p r e v . 1 / 4 s e c s l o p e p o i n t o v e r p r e v . R e f e r e n c e t o A v g . s p e e d o v e r 1 / 4 s e c . s l o p e p r e v . 1 / 4 s e c . F i g u r e 1 0 - M o s t f r e q u e n t l y u s e d s t r a t e g i e s f o r s p e e d a t t = 1 , 2 , 3 , a n d 4 2 2 2 E i E 1 1 J ] = E i l . 1 1 ] E y a l n e s . T a b l e 8 s h o w s t h e s t r a t e g i e s s t u d e n t s u s e d t o f i n d t h e s p e e d o f t h e b a l l a t t = 1 , 2 , 3 , a n d 4 w h e n u s i n g t h e t a b l e o f v a l u e s . T h e r e a r e t w o p a t t e r n s i n T a b l e 8 t h a t w e a l s o s a w w i t h t h e g r a p h . S t u d e n t s u s e d a v a r i e t y o f s t r a t e g i e s w h e n w o r k i n g w i t h t h e t a b l e o f v a l u e s , a n d t h e d i s t r i b u t i o n o f s t r a t e g y u s e v a r i e d f r o m o n e t i m e v a l u e t o a n o t h e r . B u t a t e a c h t i m e v a l u e t h e f r e q u e n c y o f s t r a t e g y u s e w i t h t h e t a b l e o f v a l u e s d i f f e r e d w i t h t h e f r e q u e n c y o f s t r a t e g y u s e w i t h t h e g r a p h . W i t h t h e t a b l e o f v a l u e s , f r e q u e n c y o f u s e o f s t r a t e g i e s w a s m o r e s p r e a d o u t . T a b l e 8 S t r a t e g i e s f o r f i n d i n g s p e e d a t t = l , 2 , 3 , a n d 4 w i t h t a b l e F r e q u e n c y ( % ) o f r e s p o n s e s u s i n g e a c h s t r a t e g y _ _ S t r a t _ e g x _ _ _ _ t ; 1 _ _ t ; 2 _ _ t _ = _ 3 _ _ t _ i _ 4 _ A v g . s p e e d o v e r p r e v . 8 ( 2 2 % ) 7 ( 1 9 % ) 6 ( 2 1 % ) 1 4 ( 4 8 % ) p r e v . 1 / 4 s e c o n d A v g . s p e e d o v e r 1 / 2 1 5 ( 4 1 % ) 1 3 ( 3 5 % ) 9 ( 3 1 % ) 0 ( 0 % ) s e c . a r o u n d p o i n t A n a l y s i s o f m o v i n g 3 ( 8 % ) 1 4 ( 3 8 % ) 1 ( 3 % ) 4 ( 1 4 % ) o b j e c t s R e f e r e n c e t o s l e p e 7 ( 1 9 % ) 4 ( 1 1 % ) 2 ( 7 % ) 3 ( 1 0 % ) A v g . s p e e d o v e r p r e v . 8 ( 2 2 % ) 1 ( 3 % ) 3 ( 1 0 % ) 3 ( 1 0 % ) s e c o n d A v g . s p e e d s i n c e t = 0 3 ( 8 % ) 3 ( 8 % ) 3 ( 1 0 % ) 4 ( 1 4 % ) o r t = 2 R e f e r e n c e t o a 2 ( 5 % ) 2 ( 5 % ) 3 ( 1 0 % ) 3 ( 1 0 % ) p o i n t D e s i r e s m a l l e r 2 ( 5 % ) O ( 0 % ) 0 ( 0 % ) 2 ( 7 % ) i n t e r v a l F o r t = 1 a n d 2 , t o t a l s d o n o t a d d t o 3 7 o r 1 0 0 % , t h e n u m b e r o f s u b j e c t s i n t h e s t u d y , s i n c e m a n y s t u d e n t s u s e d m o r e t h a n o n e s t r a t e g y a t e a c h p o i n t . F o r t = 3 a n d 4 , p e r c e n t s w e r e c o m p u t e d o n t h e b a s i s o f 2 9 s t u d e n t s s i n c e e i g h t s t u d e n t s d i d n o t a n s w e r t h i s q u e s t i o n . T o t a l s d o n o t a d d t o 2 9 a t t = 3 a n d 4 s i n c e s o m e s t u d e n t s u s e d m o r e t h a n o n e s t r a t e g y . 2 2 3 A n a l y s i s _ g f _ m g y i n g _ g b j e c t s . W h e n u s i n g t h e g r a p h m a n y s t u d e n t s u s e d " a n a l y s i s o f m o v i n g o b j e c t s " b u t r e l a t i v e l y f e w s t u d e n t s u s e d t h i s s t r a t e g y w i t h t h e t a b l e o f v a l u e s e x c e p t a t t = 2 . W h e r e a s t h e g r a p h m a d e t h e m a x i m u m p o i n t a t t = 2 v i s u a l l y o b v i o u s , t h e t a b l e o f v a l u e s m a d e t h a t m a x i m u m n u m e r i c a l l y o b v i o u s w i t h t h e l a r g e s t h e i g h t v a l u e o c c u r r i n g a t t = 2 . S t u d e n t s r e l i e d o n t h e f a c t t h a t t h e b a l l r e a c h e d i t s m a x i m u m h e i g h t a t t = 2 a n d t h e i r k n o w l e d g e o f m o t i o n t o m a k e c o n c l u s i o n s a b o u t t h e s p e e d o f t h e b a l l a t t = 2 : " I t ' s a t 6 4 f e e t r i g h t t h e r e a n d t h a t ' s t h e h i g h e s t i t g e t s . S o i t ' s u p t h e r e s t o p p i n g a n d s l o w i n g d o w n , a n d c o m i n g b a c k . ( S o y o u ' r e s a y i n g t h a t i t ' s s t o p p e d t h e r e b e c a u s e i t w a s g o i n g u p a n d t h e n a f t e r t h a t i t ' s g o i n g d o w n ? ) Y e a h . " A J — P r e c a l c u l u s S t u d e n t s d i d n o t u s e " a n a l y s i s o f m o v i n g o b j e c t s " v e r y m u c h a t t = 1 , 3 , o r 4 . O n e p o s s i b l e r e a s o n h a s t o d o w i t h h o w s t u d e n t s r e s p o n d t o a g r a p h v e r s u s a t a b l e o f v a l u e s . W i t h t h e g r a p h s t u d e n t s o f t e n t r a c e d t h e c u r v e o f t h e g r a p h f r o m t = 0 t o t = 4 w h i l e t e l l i n g a s t o r y a b o u t t h e m o t i o n o f t h e b a l l . S o p e r h a p s t h e g r a p h i n v o k e d t h e " a n a l y s i s o f m o v i n g o b j e c t s " s t r a t e g y . O r p e r h a p s w h a t l o o k e d l i k e " a n a l y s i s o f m o v i n g o b j e c t s " t o m e w a s r e a l l y s t u d e n t s ' a n a l y s i s o f a g r a p h i c a l s h a p e . E i t h e r w a y , t h a t s t r a t e g y d i d n o t w o r k s o w e l l w i t h t h e t a b l e o f v a l u e s . T h e t a b l e m a d e m o r e o b v i o u s t h e p r e s e n c e o f n u m e r i c a l d a t a w h i c h m i g h t b e p r o f i t a b l y u s e d t o m a k e c o n c l u s i o n s a b o u t t h e s p e e d o f t h e b a l l a t t = 1 , 3 , a n d 4 a n d s t u d e n t s m a d e g o o d u s e o f s t r a t e g i e s t h a t t o o k a d v a n t a g e o f t h i s d a t a . I t i s p o s s i b l e t o g e t t h i s n u m e r i c a l d a t a f r o m t h e g r a p h b y u s i n g t h e v e r t i c a l a x i s o f t h e g r a p h . B u t i t i s m u c h m o r e e a s i l y a c c e s s i b l e w i t h a t a b l e o f v a l u e s . 2 2 4 R g fi g r g n g e _ t g _ s l g p e . A n o t h e r s t r a t e g y t h a t w a s u s e d w i t h g r e a t e r f r e q u e n c y w i t h t h e g r a p h b u t w a s n o t u s e d v e r y m u c h w i t h t h e t a b l e o f v a l u e s w a s " r e f e r e n c e t o s l o p e " . A t e a c h o f t h e f o u r t i m e v a l u e s t h e p e r c e n t o f s t u d e n t s r e f e r e n c i n g s l o p e w i t h t h e t a b l e o f v a l u e s w a s l e s s t h a n t h e p e r c e n t r e f e r e n c i n g s l o p e w i t h t h e g r a p h . S l o p e i s m o r e c l o s e l y a s s o c i a t e d w i t h p r o p e r t i e s o f a g r a p h t h a n w i t h a t a b l e o f v a l u e s , b u t e v e n s o s o m e s t u d e n t s r e f e r r e d t o s l o p e w h e n t h e y w e r e u s i n g t h e t a b l e o f v a l u e s . A t t = 1 a l m o s t o n e — f i f t h o f t h e s t u d e n t s r e f e r e n c e d s l o p e t o f i n d t h e s p e e d : " A t t h e f i r s t s e c o n d . B u t t h a t ' s n o t r i g h t . ( W h a t ' s n o t r i g h t ? ) W e l l . I w a n t t o s a y 4 8 f e e t p e r s e c o n d b u t t h a t w o u l d g i v e m e t h i s l i n e [ s e c a n t l i n e f r o m t h e p o i n t ( 0 , 0 ) t o t h e p o i n t ( 1 , 4 8 ) ] a n d n o t t h i s l i n e [ t a n g e n t l i n e a t t = 1 ] . ( I s t h e r e a n y w a y y o u c o u l d u s e t h i s t a b l e o f v a l u e s ? ) U m . T h a t j u s t g i v e s m e t h e d i f f e r e n t i n t e r v a l s h e r e , r i g h t ? ( I t g i v e s y o u t h e h e i g h t a t e a c h q u a r t e r o f a s e c o n d . ) Y e a h . ( R i g h t . ) I w o u l d n e e d t o h a v e p o i n t s [ o n t h e t a n g e n t l i n e ] , l i k e a p o i n t h e r e [ o n t h e t a n g e n t l i n e n e a r t = 1 . 5 ] a n d a p o i n t n e a r [ o n t h e t a n g e n t l i n e n e a r t = . 5 ] . O r . I c o u l d u s e t w o r e a l l y c l o s e p o i n t s [ t w o p o i n t s o n t h e c u r v e t h a t a r e r e a l l y c l o s e t o t w o p o i n t s o n t h e t a n g e n t l i n e , l i k e p o i n t ( . 7 5 , 3 9 ) w h i c h i s o n t h e g r a p h o f t h e c u r v e a n d o n h e r d r a w n t a n g e n t l i n e a n d p o i n t ( 1 . 2 5 , 5 5 ) w h i c h i s o n t h e g r a p h o f t h e c u r v e a n d n e a r l y o n h e r t a n g e n t l i n e ] . ( Y e a h . Y o u c o u l d u s e t w o r e a l l y c l o s e p o i n t s . D o y o u h a v e a n y p o i n t s o n h e r e t h a t y o u w o u l d c l a s s i f y a s r e a l l y c l o s e p o i n t s ? ) I c o u l d u s e t h e s e t w o [ p o i n t i n g t o p o i n t s ( . 7 5 , 3 9 ) a n d ( 1 . 2 5 , 5 5 ) i n t h e t a b l e o f v a l u e s ] . T h a t w o u l d g i v e m e a n a p p r o x i m a t i o n [ t o t h e s l o p e o f t h e t a n g e n t l i n e l . " S E - p o s t c a l c u l u s S E w a s i n t e n t o n f i n d i n g t h e s l o p e o f t h e l i n e t a n g e n t t o t h e g r a p h a t t = 1 . S h e h a d d r a w n t h i s t a n g e n t l i n e w h e n u s i n g t h e g r a p h a n d n o w s h e u s e d t h e t a b l e o f v a l u e s t o g e t a n a p p r o x i m a t i o n o f t h e s l o p e o f t h a t l i n e . S h e s e t t l e d o n u s i n g v a l u e s i n t h e t a b l e f o r t w o p o i n t s t h a t w e r e t h e c l o s e s t t o b e i n g o n h e r t a n g e n t l i n e . T h i s w a s t y p i c a l o f t h e s t u d e n t s w h o r e f e r e n c e d s l o p e w h i l e u s i n g t h e t a b l e o f v a l u e s . T h e y s a i d t h e y w a n t e d t o f i n d t h e s l o p e o f t h e t a n g e n t l i n e , b u t s i n c e e x a c t 2 2 5 v a l u e s o f d w e r e n o t a v a i l a b l e f o r p o i n t s o n t h e t a n g e n t l i n e , t h e y w o u l d u s e t h e n e x t b e s t t h i n g , p o i n t s i n t h e t a b l e t h a t w e r e c l o s e s t t o t h e t a n g e n t l i n e . T h a t a m o u n t e d t o u s i n g t h e p o i n t s ( . 7 5 , 3 9 ) a n d ( 1 . 2 5 , 5 5 ) f r o m t h e t a b l e . M o s t o f t h e s e s t u d e n t s w e r e c a r e f u l t o p o i n t o u t t h a t t h e i r a n s w e r w a s o n l y a n a p p r o x i m a t i o n t o t h e s l o p e o f t h e t a n g e n t l i n e a n d t h e r e f o r e o n l y a n a p p r o x i m a t i o n t o t h e s p e e d o f t h e b a l l a t t = 1 . A l l f o u r o f t h e s t u d e n t s w h o u s e d s l o p e a t t = 2 b a s i c a l l y i g n o r e d t h e t a b l e o f v a l u e s a n d r e f e r e n c e d t h e h o r i z o n t a l t a n g e n t l i n e a t t = 2 o n t h e g r a p h a n d g a v e t h e s l o p e o f t h a t l i n e a s t h e s p e e d o f t h e b a l l a t t = 2 . A t t = 3 a n d t = 4 s t u d e n t s u s e d t h e t a b l e , a s t h e y d i d a t t = 1 , t o h e l p t h e m g e t a b e t t e r a p p r o x i m a t i o n f o r t h e s l o p e o f t h e l i n e t a n g e n t t o t h e g r a p h a t t = 3 a n d t = 4 w h i c h i n t u r n g a v e t h e m t h e s p e e d o f t h e b a l l a t t h o s e t w o p o i n t s . W W W . F i n d i n g t h e s p e e d o v e r t h e q u a r t e r s e c o n d b e f o r e a t i m e v a l u e w a s a p o p u l a r s t r a t e g y f o r a p p r o x i m a t i n g t h e s p e e d o f t h e b a l l a t t = 1 , 2 , 3 , a n d 4 . A b o u t o n e f i f t h u s e d t h i s s t r a t e g y a t t = 1 , 2 , a n d 3 , a n d a l m o s t h a l f u s e d i t a t t = 4 . A t t = 1 : " U m . O k . B e t w e e n a q u a r t e r o f a s e c o n d , I m e a n , t h r e e q u a r t e r s o f a s e c o n d a n d o n e s e c o n d i t ' s g o i n g a b o u t 9 f e e t p e r u h , i t t r a v e l s 9 f e e t i n o n e q u a r t e r o f a s e c o n d . S o I ' d s a y a b o u t 3 6 f e e t p e r s e c o n d . " J M - P r e c a l c u l u s A t t = 2 : " I t ' s a b o u t f o u r f e e t p e r s e c o n d ' c a u s e i t w e n t a b o u t o n e [ i n t h e q u a r t e r s e c o n d f r o m t = 1 . 7 5 t o t = 2 ] . " D G - P r e c a l c u l u s 2 2 6 A t t = 3 : " I ' d s a y i t w a s b e t w e e n 5 5 [ a t t = 2 . 7 5 ] a n d 4 8 [ a t t = 3 ] . T h a t w o u l d b e 7 . s o 2 8 f e e t p e r s e c o n d . " J F - P r e c a l c u l u s " t e q u a l s t h r e e ? ( Y e a h . ) I ' l l t r y . [ H e c o m p u t e s t h e d i f f e r e n c e b e t w e e n 5 5 a t t = 2 . 7 5 a n d 4 8 a t t = 2 , g e t s 7 , t h e n d i v i d e d 7 b y . 2 5 ; a s h e d o e s t h i s h e p o i n t s t o t h e g r a p h a t t h o s e p o i n t s . ] I g u e s s 2 8 f e e t p e r s e c o n d . ( O k . A n d t h a t ' s b e c a u s e y o u t o o k t h e i n t e r v a l r i g h t b e f o r e , d i d n ' t y o u ? ) I w a s t h i n k i n g . W h a t i f I t o o k t h e i n t e r v a l a f t e r . B u t t h a t , t h a t w o u l d b e t h e n e x t o n e [ p o i n t i n g t o t h e p o i n t ( 3 . 2 5 , 3 9 ) o n t h e g r a p h ] . " A W - C a l c u l u s A t t = 4 : " R i g h t a b o u t 6 0 f e e t p e r s e c o n d . R i g h t a b o u t 4 8 f e e t p e r s e c o n d , I g u e s s . N o , 6 0 ' c a u s e t h e l a s t i n t e r v a l i t g o e s 1 5 , s o t h a t ' s 6 0 f e e t p e r s e c o n d a n d i t ' s s t i l l g a i n i n g j u s t a l i t t l e b i t . " A J - P r e c a l c u l u s " W e l l , y o u c o u l d d o t h e s a m e t h i n g w i t h f o u r a n d z e r o , w i t h t h r e e p o i n t s e v e n f i v e a n d f o u r . T h a t w o u l d g i v e y o u a r e a s o n a b l e e s t i m a t e . ( A l r i g h t . A n d w h a t w o u l d t h a t b e ? ) W e l l , i t ' l l b e 1 5 o v e r u h p o i n t t w o f i v e o r 1 5 f e e t p e r , w e l l m i n u s a c t u a l l y , m i n u s 1 5 f e e t p e r q u a r t e r s e c o n d . " D W - C a l c u l u s " T h e b e s t e s t i m a t e I c o u l d g e t w o u l d b e l i k e t a k e 1 5 d i v i d e d b y p o i n t t w o f i v e w h i c h w o u l d b e 6 0 , n e g a t i v e 6 0 . " J G - P o s t c a l c u l u s A t t = 3 , J F a n d A w u s e d t h e a v e r a g e s p e e d o v e r t h e p r e v i o u s q u a r t e r s e c o n d b u t A W t h e n b e g a n t o t h i n k a b o u t w h a t i n f o r m a t i o n a b o u t s p e e d a t t = 3 w a s g i v e n b y t h e i n t e r v a l i m m e d i a t e l y f o l l o w i n g t = 3 . H e w e n t o n , i n t h e c o n v e r s a t i o n a f t e r t h a t q u o t e d a b o v e , t o d e c i d e t h a t a v e r a g e s p e e d i n t h e q u a r t e r s e c o n d a f t e r t = 3 w a s d i f f e r e n t t h a n a v e r a g e s p e e d i n t h e q u a r t e r s e c o n d b e f o r e t = 3 a n d t h a t t h e b e s t a n s w e r f o r s p e e d a t t = 3 w a s t o t a k e t h e a v e r a g e o f t h e s e t w o a v e r a g e s p e e d s . H i s r e s p o n s e w a s t h e r e f o r e c l a s s i f i e d a s u s i n g b o t h a v e r a g e s p e e d o v e r t h e p r e v i o u s q u a r t e r s e c o n d a n d a v e r a g e s p e e d o v e r t h e h a l f s e c o n d " s t r a d d l i n g " t = 3 ( w h i c h i n c l u d e d t h o s e w h o a v e r a g e d t h e a v e r a g e s p e e d o v e r t h e q u a r t e r s e c o n d b e f o r e a p o i n t a n d t h e a v e r a g e s p e e d o v e r t h e q u a r t e r s e c o n d a f t e r a p o i n t ) . 2 2 7 A t t = 4 , A J , D W , a n d J G n o t e d t h a t t h e i r a n s w e r s w e r e r e a s o n a b l e e s t i m a t e s . A J i n d i c a t e d t h a t h i s e s t i m a t e s h o u l d b e a d j u s t e d t o g e t a m o r e e x a c t a n s w e r s i n c e " i t ' s s t i l l g a i n i n g j u s t a l i t t l e b i t " . A t t = 4 , t h i s w a s t h e m o s t f r e q u e n t l y u s e d s t r a t e g y . S t u d e n t s w h o u s e d t h e h a l f s e c o n d i n t e r v a l a r o u n d t = 1 , 2 , a n d 3 u s e d t h e q u a r t e r s e c o n d i n t e r v a l b e f o r e t = 4 . I n o r d e r t o b e c l a s s i f i e d a s u s i n g t h e h a l f s e c o n d i n t e r v a l a r o u n d t = 4 , s t u d e n t s h a d t o c o n j e c t u r e h o w f a r t h e b a l l w o u l d h a v e t r a v e l e d b e t w e e n t = 4 a n d t = 4 . 2 5 i f i t h a d c o n t i n u e d t o f a l l a n d t h e n u s e t h e a v e r a g e s p e e d o v e r t h e i n t e r v a l f r o m t = 3 . 7 5 t o t = 4 . 2 5 t o e s t i m a t e t h e s p e e d a t t = 4 . N o o n e i n t h i s s t u d y d i d t h a t . S o m e s t u d e n t s u s e d a v e r a g e s p e e d o v e r t h e p r e v i o u s f u l l s e c o n d : A t t = 1 : " U h m . 4 8 f e e t p e r s e c o n d . ( O k . A n d w h y d o y o u s a y t h a t ? ) B e c a u s e t h e b a l l t r a v e l e d 4 8 f e e t o v e r t h e o n e s e c o n d i n t e r v a l . " J P - C a l c u l u s A t t = 2 : " S o t h e n y o u ' d h a v e t o s u b t r a c t t h e 4 8 [ a t t = 1 ] f r o m 6 4 [ a t t = 2 ] . 1 6 . " M H - P r e c a l c u l u s A t t = 3 : " A b o u t 1 5 , 1 6 f e e t p e r s e c o n d [ a v e r a g e s p e e d f r o m t = 2 t o t = 3 ] . " T W - P r e c a l c u l u s A t t = 4 : " I t ' s g o i n g 4 8 f e e t p e r s e c o n d [ a v e r a g e s p e e d f o r m t = 3 t o t = 4 ] . " T W - P r e c a l c u l u s W W W . A n o t h e r f r e q u e n t l y u s e d s t r a t e g y w a s a v e r a g e s p e e d o v e r t h e h a l f s e c o n d a r o u n d t h e p o i n t , a s t r a t e g y I e a r l i e r r e f e r r e d t o a s u s i n g " s t r a d d l e " i n t e r v a l s . T h i r t y t o f o r t y p e r c e n t o f t h e s t u d e n t s u s e d t h i s s t r a t e g y a t t = 1 , 2 , a n d 3 b u t 2 2 8 n o o n e u s e d i t a t t = 4 f o r t h e s a m e r e a s o n s a s d i s c u s s e d a b o v e . I w i l l i n c l u d e s a m p l e s t u d e n t c o m m e n t s a t t = 1 , 2 , a n d 3 . A t t = 1 : " W e l l , t h i s h e r e [ f r o m t = 0 t o t = . 2 5 ] i s g o i n g 1 5 f e e t f o r p o i n t t w o f i v e s e c o n d s . T h i s i s g o i n g 1 3 i n . 2 5 s e c o n d s [ f r o m t = . 2 5 t o t = . 5 ] a n d t h i s h e r e i s t r a v e l i n g 1 1 f o r . 2 5 s e c o n d s [ f r o m t = . 5 t o t = . 7 5 ] . T h i s i s t r a v e l i n g 9 f e e t f o r . 2 5 s e c o n d s [ f r o m t = . 7 5 t o t = 1 ] . S o t h i s , s o f r o m h e r e t o h e r e [ f r o m t = . 7 5 t o t = 1 ] i t ' s b e e n g o i n g 9 f e e t p e r q u a r t e r s e c o n d . A n d h e r e [ f r o m t = 1 t o t = 1 . 2 5 ] i t p r o b a b l y g o e s , h e r e i t g o e s 7 f e e t f o r a q u a r t e r s e c o n d . I m e a n . I f I h a d t o m a k e a w i l d g u e s s f r o m t h e d a t a , I ' d s a y i t w a s g o i n g 8 f e e t p e r q u a r t e r s e c o n d . ( A n d w h y w o u l d y o u s a y t h a t ? ) O k . W e l l , b e c a u s e f r o m . 7 5 s e c o n d s t o o n e s e c o n d , y o u ' r e t r a v e l i n g n i n e f e e t p e r q u a r t e r s e c o n d . ( O k . ) T h e n f r o m o n e s e c o n d t o 1 . 2 5 s e c o n d s , y o u ' r e t r a v e l i n g s e v e n f e e t p e r q u a r t e r s e c o n d . ( O k . ) A n d o n e s e c o n d i s r i g h t i n b e t w e e n . 7 5 a n d 1 . 2 5 . S o r i g h t a r o u n d 8 . M a y b e l i t t l e b i t l e s s o r a l i t t l e b i t m o r e . " R F - C a l c u l u s " W e l l , t h e r e ' s t i m e t = 1 a n d t h a t ' s a t 4 8 a n d I w o u l d j u s t d o i t t h e s a m e w a y I d i d b e f o r e . S o i n t h e q u a r t e r s e c o n d b e f o r e t h a t i t ' s a t 3 9 . S o i t t r a v e l e d 9 f e e t . A n d t h e n i n t h e n e x t q u a r t e r s e c o n d i t t r a v e l s a n o t h e r 7 f e e t . S o a d d t h a t u p a n d i t ' s 1 2 , u h , i t ' s 1 6 . S o d i v i d e b y t h e h a l f s e c o n d . S o i t ' s 3 2 . B u t i t ' s n o t e x a c t b e c a u s e i t ' s d e c r e a s i n g a s i t g o e s a l o n g [ t h e i n c r e a s e s i n e a c h s u c c e s s i v e q u a r t e r s e c o n d g e t l e s s a n d l e s s ] . S o i t ' s [ t h e e x a c t a n s w e r ] n o t r i g h t i n t h e m i d d l e . ( T h e s p e e d i s n o t r i g h t i n t h e m i d d l e ? ) Y e a h . ( W h a t w o u l d y o u n e e d t o a n s w e r t h a t q u e s t i o n b e t t e r o r m o r e e x a c t l y ? ) W e l l , i f y o u h a d t h e e q u a t i o n o f t h a t t h e n y o u c o u l d t a k e t h e d e r i v a t i v e a t t h a t p o i n t a n d t h e n y o u c o u l d a n s w e r i t e x a c t l y . ( A n y o t h e r w a y ? ) Y o u c o u l d t r y t o d r a w a t a n g e n t l i n e t o i t . ( A n d w h a t w o u l d y o u n e e d f r o m t h a t t a n g e n t l i n e ? ) Y o u ' d h a v e t o t r y t o f i n d t h e s l o p e . " B S - C a l c u l u s " W h a t ' d I s a y b e f o r e [ w h e n w o r k i n g w i t h t h e g r a p h ] ? I s a i d . I s a i d t h e s a m e t h i n g [ l o o k s a t t h e t a b l e o f v a l u e s a n d n o t e s t h a t h i s g u e s s e d v a l u e s f r o m t h e g r a p h f o r t = . 7 5 , t = 1 , a n d t = 1 . 2 5 w e r e e x a c t l y r i g h t . ] . I ' d t a k e 3 2 . G o i n g b y t h i s . T h a t ' d b e 9 [ c h a n g e f r o m t = . 7 5 t o t = 1 ] . T h e d i f f e r e n c e , t h a t ' d b e 9 a n d 7 [ c h a n g e f r o m t = 1 t o t = 1 . 2 5 ] . A n d I ' d m u l t i p l y b o t h b y f o u r a n d t h e n t a k e t h e a v e r a g e a n d t h a t ' d b e t h e s a m e , 3 2 . " J G - P o s t c a l c u l u s " 3 2 f e e t p e r s e c o n d . ( H o w d i d y o u g e t t h a t ? ) B e c a u s e i n t h e q u a r t e r s e c o n d b e f o r e i t t r a v e l e d 9 a n d i n t h e q u a r t e r s e c o n d a f t e r i t t r a v e l e d 7 . S o t h e a v e r a g e o f t h o s e t w o i s 8 . S o I f i g u r e d t h a t i t m u s t b e t r a v e l i n g a b o u t 8 f e e t p e r q u a r t e r s e c o n d . S o 3 2 f e e t p e r s e c o n d . " M G - P o s t c a l c u l u s 2 2 9 A l l o f t h e s e s t u d e n t s e i t h e r c o m p u t e d t h e c h a n g e o r t h e s p e e d o v e r t h e i n t e r v a l s f r o m t = . 7 5 t o t = 1 a n d f r o m t = 1 t o t = 1 . 2 5 a n d t h e n a v e r a g e d t h o s e t w o a n s w e r s ( R F , J G , M G ) o r t h e y t o o k t h e t o t a l c h a n g e f r o m t = . 7 5 t o t = 1 . 2 5 a n d d i v i d e d b y a h a l f ( B S ) . O n e o f t h e c a l c u l u s s t u d e n t s ( B S ) w a s c a r e f u l t o p o i n t o u t t h a t t h i s a n s w e r w a s n o t n e c e s s a r i l y e x a c t . I n g e n e r a l s h e i s r i g h t ; t h i s s t r a t e g y d o e s n o t n e c e s s a r i l y y i e l d t h e e x a c t a n s w e r . I t d o e s y i e l d a n e x a c t a n s w e r h e r e o n l y b e c a u s e t h e c u r v e i s a p a r a b o l a . T h i s s t u d e n t s e e m e d t o b e m a k i n g a m o r e g e n e r a l p o i n t : t h a t t a k i n g t h e a v e r a g e o f t h e c h a n g e b e f o r e a n d a f t e r a p o i n t d o e s n o t n e c e s s a r i l y y i e l d t h e e x a c t v a l u e f o r t h e r a t e o f c h a n g e a t t h e p o i n t . A t t = 2 : " T h a t w o u l d b e t a k i n g t h e s e t w o [ f r o m t = 1 . 7 5 t o t = 2 . 2 5 ] a n d t h a t w o u l d b e z e r o c h a n g e o v e r f i v e [ . 5 s e c o n d s ] w h i c h w o u l d e q u a l z e r o . ( S o w h a t w o u l d y o u s a y t h e s p e e d a t t h a t p o i n t i s ? ) Z e r o f e e t p e r s e c o n d . " S E - P o s t c a l c u l u s " I t g o e s 6 3 [ a t t = 2 . 2 5 ] m i n u s 6 3 [ a t t = 1 . 7 5 ] . T h a t ' s z e r o . ( S o w h a t ' s t h e s p e e d ? ) Z e r o f e e t p e r s e c o n d . " J S - P o s t c a l c u l u s A t t = 3 : " S o - o h , I k n o w w h a t I g o t t a , I g o t t a g o b e f o r e i t a n d a f t e r i t . S o u m t h i s i s m i n u s 7 [ f r o m t = 2 . 7 5 t o t = 3 ] a n d t h i s i s m i n u s 9 [ f r o m t = 3 t o t = 3 . 2 5 ] . S o t h a t ' s 1 6 . S o i t f a l l s 1 6 , 1 6 f e e t d u r i n g t h i s - w h a t w a s t h a t ? - 2 . 7 5 t o 3 . 2 5 - d u r i n g t h a t h a l f s e c o n d t h e r e . S o , s o f i v e i n t o o n e s i x t y [ l 6 / . 5 = 1 6 0 / 5 ] , b e 3 2 , s o i t ' s g o i n g d o w n w a r d s a t l i k e 3 2 f e e t p e r s e c o n d . " R G — C a l c u l u s " I t ' s g o i n g 3 2 f e e t p e r s e c o n d . ( W o w . A n d h o w d i d y o u g e t t h a t ? ) B e c a u s e i f y o u s u b t r a c t 5 5 m i n u s 3 9 , i t ' s g o i n g 1 6 f e e t i n p o i n t 5 s e c o n d s . 8 0 t h e r e f o r e , i t ' s g o i n g 3 2 f e e t p e r s e c o n d . " J S - P o s t c a l c u l u s A t t = 3 t h e s e s t u d e n t s c o m p u t e d a v e r a g e s p e e d o v e r t h e i n t e r v a l f r o m t = 2 . 7 5 t o t = 3 . 2 5 a n d 3 2 f e e t p e r s e c o n d . S o m e s t u d e n t s n o t e d t h a t t h e a n s w e r s h o u l d b e n e g a t i v e . T e c h n i c a l l y s p e a k i n g , a c o r r e c t 2 3 0 a n s w e r f o r t h e v e l o c i t y i s - 3 2 f e e t p e r s e c o n d w h i l e a c o r r e c t a n s w e r f o r t h e s p e e d i s 3 2 f e e t p e r s e c o n d . V e l o c i t y t a k e s i n t o c o n s i d e r a t i o n d i r e c t i o n w h i l e s p e e d d o e s n o t . S e v e r a l s t u d e n t s g o t a n s w e r s o f 3 2 f e e t p e r s e c o n d a n d t h e n n o t e d t h a t w h i l e t h a t w a s t h e s a m e a n s w e r a s a t t = 1 , a t t = 1 t h e b a l l w a s g o i n g u p a n d a t t = 3 t h e b a l l w a s c o m i n g d o w n . T h e y n o t e d t h i s d i f f e r e n c e n o t b y i n t e r p r e t i n g t h e n e g a t i v e s i g n o f t h e i r a n s w e r b u t b y u n d e r s t a n d i n g t h e m o t i o n o f m o v i n g o b j e c t s i n t h i s s i t u a t i o n . = = . A f e w s t u d e n t s f o u n d t h e s p e e d a t t = 1 , 2 , 3 , o r 4 b y f i n d i n g t h e a v e r a g e s p e e d s i n c e t = 0 o r t h e a v e r a g e s p e e d s i n c e t = 2 : A v e r a g e s p e e d s i n c e t = 0 : A t t = 2 : " I t ' s m o v i n g 3 2 f e e t p e r s e c o n d o r 6 4 f e e t i n t w o s e c o n d s . " M Y - C a l c u l u s A t t = 4 : " [ d i v i d e s 1 2 8 , t h e t o t a l d i s t a n c e t h e b a l l t r a v e l e d o v e r t h e f o u r s e c o n d s , b y 4 ] 3 2 . ( A n d y o u g o t t h a t b y a d d i n g u p t h e t o t a l ) Y e a h ( d i s t a n c e a n d d i v i d i n g b y f o u r ? ) Y e a h . " S C L — P r e c a l c u l u s A v e r a g e s p e e d s i n c e t = 2 : A t t = 4 : I ' d s a y - l e t ' s s e e . I f i t w e n t 6 4 f e e t i n t w o s e c o n d s , t h e n i t w o u l d g o 3 2 f e e t i n o n e s e c o n d . S o 3 2 f e e t p e r s e c o n d , I g u e s s . " J F - P r e c a l c u l u s R e fi e r e n g e _ t g _ a _ p g i n t . A f e w s t u d e n t s m a d e r e f e r e n c e t o t h e c o o r d i n a t e s o f a p o i n t t o g e t t h e s p e e d o f t h e b a l l a t t h a t t i m e : A t t = 4 : " I t ' s g o i n g z e r o [ l o o k i n g a t t h e z e r o e n t r y f o r t h e h e i g h t o f t h e b a l l a t t = 4 i n t h e t a b l e ] . " K H - P r e c a l c u l u s 2 3 1 " U m . L e t ' s s a y - i t w a s g o i n g , l e t ' s s e e , t h e h e i g h t w a s o n e [ t h e s m a l l e s t w h o l e n u m b e r b e f o r e z e r o , t h e h e i g h t a t t = 4 ] , b u t p e r f o u r s e c o n d s . S o i t ' s g o i n g o n e f o o t p e r f o u r s e c o n d s . " H L - C a l c u l u s A t t = 3 : " I t ' s g o i n g 4 8 [ t h e h e i g h t o f t h e b a l l a t t = 3 ] . " K H — P r e c a l c u l u s A t t = 2 : " T w o s e c o n d s . 6 4 . A n d s o I l i k e t o d o m y s p e e d i n f e e t p e r s e c o n d . S o I ' m g o i n g . Y o u j u s t c a n ' t l o o k h e r e [ a t t h e t a b l e ] a n d s a y 6 4 b e c a u s e t h a t ' s t h e h e i g h t , n u m b e r o n e . S o y o u h a v e t o k i n d o f d o s o m e l i t t l e m a t h t o f i g u r e o u t , i f y o u w a n t t o k n o w t h a t . A n y w a y s . 6 4 f e e t p e r t w o s e c o n d s . S o i t ' s g o i n g t o g o 3 2 f e e t p e r s e c o n d . " H L - C a l c u l u s H L s a i d y o u c o u l d n o t j u s t s a y t h a t t h e s p e e d w a s 6 4 a t t = 2 . Y o u h a d t o c o n v e r t t o f e e t p e r s e c o n d , w h i c h s h e d i d t o g e t h e r a n s w e r o f 3 2 f e e t p e r s e c o n d . O n e c o u l d a r g u e t h a t H L w a s c o m p u t i n g a v e r a g e s p e e d s i n c e t = 0 . H e r w o r k h e r e s u g g e s t s t h a t s i n c e i t l o o k s l i k e s h e w a s d i v i d i n g t h e d i s t a n c e t r a v e l e d o v e r t h e f i r s t t w o s e c o n d s b y t w o . H o w e v e r , s i n c e s h e c o n s i s t e n t l y u s e d h e i g h t d i v i d e d b y t i m e a t o t h e r p o i n t s , f o r e x a m p l e , a t t = 4 a s q u o t e d a b o v e , I c l a s s i f i e d h e r r e s p o n s e a t t = 2 a s h e i g h t d i v i d e d b y t i m e o r r e f e r e n c e t o a s p e c i f i c p o i n t . I t i s c l e a r e r H L w a s u s i n g h e i g h t d i v i d e d b y t i m e a t t = 4 . S h e c o u l d n o t u s e t h e h e i g h t a t t = 4 d i v i d e d b y f o u r s i n c e t h a t w o u l d y i e l d z e r o f e e t p e r s e c o n d , t h e s p e e d o f t h e b a l l a f t e r i t h i t t h e g r o u n d . S o s h e d e c i d e d t o u s e t h e h e i g h t j u s t a l i t t l e b i t b e f o r e t = 4 a n d d i v i d e t h a t b y f o u r t o g e t t h e s p e e d o f t h e b a l l j u s t b e f o r e i t h i t t h e g r o u n d . R e f e r e n s e _ t 9 _ a n _ e q u a t i o n . A t t = 1 a n d t = 3 a f e w s t u d e n t s r e f e r r e d t o a n e q u a t i o n : A t t = 1 : " W e l l , i f y o u h a d t h e e q u a t i o n o f t h a t t h e n y o u c o u l d t a k e t h e d e r i v a t i v e a t t h a t p o i n t a n d t h e n y o u c o u l d a n s w e r i t e x a c t l y . " B S - C a l c u l u s 2 3 2 A t t = 3 : " S u r e , i f y o u h a v e a n e q u a t i o n . ( W h a t w o u l d y o u d o i f y o u h a d a n e q u a t i o n ? ) Y o u c o u l d p l u g i n t i m e a n d h e i g h t p r o b a b l y . ( A n d w h a t w o u l d g i v e y o u ? ) T h e s p e e d . " T S - P o s t c a l c u l u s S o m e s t u d e n t s a s s o c i a t e d a n e q u a t i o n w i t h f i n d i n g i t s d e r i v a t i v e a n d u s i n g i t t o f i n d t h e s p e e d a t a g i v e n t i m e v a l u e . O t h e r s t u d e n t s w a n t e d t o e v a l u a t e a n e q u a t i o n a t t h e t i m e v a l u e t o g e t t h e s p e e d . I f y o u h a v e a n e q u a t i o n f o r t h e s p e e d o r t h e d e r i v a t i v e o f t h e e q u a t i o n f o r t h e d i s t a n c e , t h e n t h i s p r o c e d u r e w o u l d g i v e t h e e x a c t s p e e d a t i n d i v i d u a l p o i n t s . D e s i r e _ s m a l l e r _ i n t e r y a l . A t t = 1 a n d t = 4 a f e w s t u d e n t s w a n t e d a s m a l l e r i n t e r v a l t o h e l p t h e m f i n d t h e s p e e d : A t t = 1 : " [ u s e s t h e i n t e r v a l f r o m t = . 7 5 t o t = 1 . 2 5 t o e s t i m a t e t h e s p e e d a t t = 1 ] T h a t ' s a n e s t i m a t e . ( O k . W h a t w o u l d y o u n e e d t o g e t a b e t t e r e s t i m a t e ? ) U m - m a y b e s m a l l e r t i m e i n t e r v a l s w o u l d g i v e m e a b e t t e r e s t i m a t e . " T S - P o s t c a l c u l u s A t t = 4 : " [ u s e s t h e i n t e r v a l f r o m t = 3 . 7 5 t o t = 4 t o e s t i m a t e t h e s p e e d a t t = 4 ] T h a t w o u l d b e t h e a v e r a g e s p e e d o v e r t h e l a s t q u a r t e r s e c o n d . ( O k . ) I d o n ' t k n o w h o w I w o u l d g e t i t l i k e a t t h r e e p o i n t n i n e . I m e a n , i f I h a d , i f I h a d m o r e n u m b e r s h e r e . I f I h a d l i k e s a y 3 . 9 9 t o 4 a n d t h e h e i g h t t h a t f e l l t h e n , t h e n I c o u l d , y o u k n o w , g e t i t e x a c t . " R F - C a l c u l u s B o t h o f t h e s e s t u d e n t s a n d a n o t h e r w h o u s e d t h i s s t r a t e g y f i r s t e s t i m a t e d t h e s p e e d a t t = 1 o r t = 4 u s i n g t h e s t r a d d l e i n t e r v a l f r o m t = . 7 5 t o t = 1 . 2 5 o r t h e q u a r t e r s e c o n d i n t e r v a l f r o m t = 3 . 7 5 t o t = 4 . T h e n t h e y e x p r e s s e d a d e s i r e f o r a s m a l l e r i n t e r v a l n e a r t h e t i m e v a l u e . E E ' 3 ' i = i . 1 1 ] E y a l n e s . A s w i t h t h e g r a p h , s t u d e n t s u s e d a v a r i e t y o f s t r a t e g i e s t o 2 3 3 a d d r e s s s p e e d a t a p o i n t w h e n u s i n g a t a b l e o f v a l u e s a n d t h e d i s t r i b u t i o n o f s t r a t e g y u s e w a s d i f f e r e n t a t e a c h t i m e v a l u e . A v e r a g e s p e e d o v e r t h e p r e v i o u s q u a r t e r s e c o n d o r t h e h a l f s e c o n d s t r a d d l i n g t h e t i m e v a l u e w e r e h e a v i l y u s e d s t r a t e g i e s a t t = l , 2 , a n d 3 . A t t = 4 h a l f o f t h e s t u d e n t s u s e d a v e r a g e s p e e d o v e r t h e p r e v i o u s q u a r t e r s e c o n d , b u t n o s t u d e n t s u s e d t h e i n t e r v a l s t r a d d l i n g t = 4 . A t t = 1 s t u d e n t s a l s o u s e d a v e r a g e s p e e d o v e r t h e p r e v i o u s s e c o n d a n d a t t = 2 s t u d e n t s u s e d a n a l y s i s o f m o v i n g o b j e c t s . 0 1 1 0 - . ‘ 0 ! v . 9 0 . 0 . . v . . 0 - . ‘ ° ‘ 9 " . “ ! 9 a . . . 2 9 . . v . 9 - ‘ Q f g y a l n e s . T a b l e 9 s h o w s t h e s t r a t e g i e s u s e d m o s t o f t e n f o r e a c h t i m e v a l u e u s i n g t h e g r a p h a n d t h e t a b l e o f v a l u e s . T a b l e 9 - S t r a t e g y u s e b y t i m e v a l u e f o r g r a p h a n d t a b l e T i m m l u e G r a p h T a b l e t = 1 A v e r a g e s p e e d o v e r p r e v . A v e r a g e s p e e d o v e r p r e v . s e c . o r q r t r . s e c . s e c . o r q r t r . s e c . o r R e f e r e n c e t o s l o p e h a l f s e c . a r o u n d t i m e t = 2 A n a l y s i s o f m o v i n g o b j . A n a l y s i s o f m o v i n g o b j . R e f e r e n c e t o s l o p e A v g . s p d . p r e v . 1 / 4 s e c . o r 1 / 2 s e c . a r o u n d t i m e t = 3 A n a l y s i s o f m o v i n g o b j . A v e r a g e s p e e d o v e r p r e v . R e f e r e n c e t o a p o i n t 1 / 4 s e c . o r h a l f s e c . A v g . s p d . p r e v . 1 / 4 s e c . a r o u n d t i m e t = 4 A n a l y s i s o f m o v i n g o b j . A v e r a g e s p e e d o v e r p r e v . A v g . s p d . p r e v . 1 / 4 s e c . q u a r t e r s e c o n d T w o s t r a t e g i e s , r e f e r e n c e t o s l o p e a n d a n a l y s i s o f m o v i n g o b j e c t s , w e r e f r e q u e n t l y u s e d w i t h g r a p h s b u t n o t w i t h t a b l e s o f v a l u e s . T h i s i s a s e n s i b l e r e s u l t s i n c e g r a p h s m a k e v i s u a l s l o p e m o r e a c c e s s i b l e t o s t u d e n t s . U s e o f t h e g r a p h t o t e l l a s t o r y a b o u t t h e m o t i o n o f t h e b a l l 2 3 4 m a y a l s o m a k e a n a l y s i s o f m o v i n g o b j e c t s a m o r e a t t r a c t i v e s t r a t e g y f o r s t u d e n t s . I n t h i s p a r t i c u l a r t a s k t h e s y m m e t r y o f t h e g r a p h a n d s t u d e n t s ' e v e r y d a y k n o w l e d g e a b o u t t h e m o t i o n o f t h r o w n b a l l m a y h a v e m a d e t h i s s t r a t e g y m o r e a p p e a l i n g . W i t h t h e t a b l e o f v a l u e s , s t r a t e g i e s b a s e d o n c o m p u t a t i o n o f a v e r a g e r a t e o f c h a n g e o v e r i n t e r v a l s o f v a r i o u s s i z e w e r e t h e m o s t f r e q u e n t l y u s e d . T h i s s h o u l d n o t b e t o o s u r p r i s i n g s i n c e t a b l e s e m p h a s i z e n u m e r i c a l d a t a a n d c o m p u t a t i o n o f a v e r a g e r a t e o f c h a n g e m a k e s g o o d u s e o f t h a t d a t a . W h a t I f i n d e s p e c i a l l y i n t e r e s t i n g i s t h a t e v e n w i t h g r a p h s , c o m p u t a t i o n o f t h e a v e r a g e r a t e o f c h a n g e o v e r o n e s e c o n d a n d o n e q u a r t e r s e c o n d w e r e t w o o f t h e m o s t f r e q u e n t l y u s e d s t r a t e g i e s . P e r h a p s u s e o f t h e s e s t r a t e g i e s w a s e n h a n c e d b y t h e p o s i t i o n i n g o f s q u a r e s a t p o i n t s o n t h e g r a p h f o r e v e r y q u a r t e r s e c o n d . T h a t m a d e r e a d i n g s p e c i f i c t i m e a n d h e i g h t v a l u e s o f f t h e g r a p h a r e l a t i v e l y e a s y t h i n g t o d o . E v e n s o , s t u d e n t s ' t e n d e n c i e s t o c o m p u t e a v e r a g e r a t e o f c h a n g e t o a d d r e s s s p e e d a t p o i n t s w a s b o t h i n t e r e s t i n g a n d s u r p r i s i n g . O f a d d i t i o n a l i n t e r e s t i s t h e u s e o f a n a l y s i s o f m o v i n g o b j e c t s t o f i n d t h e s p e e d a t t = 2 w h e n u s i n g a t a b l e o f v a l u e s . T h i s m a y i n d i c a t e h o w m u c h i n f l u e n c e a m a x i m u m o r m i n i m u m p l a y s i n s t u d e n t s ' u n d e r s t a n d i n g o f a s i t u a t i o n a n d i n f i n d i n g t h e r a t e o f c h a n g e a t t h a t p o i n t . W W T w o m a i n r e s u l t s c o m e f r o m a n a n a l y s i s o f s t u d e n t s e f f o r t s t o f i n d t h e s p e e d o f t h e b a l l a t t = 1 , 2 , 3 , a n d 4 . O n e i s t h a t s t u d e n t s u s e d a v a r i e t y o f s t r a t e g i e s a n d t h e o t h e r i s t h a t t h e f r e q u e n c y o f s t r a t e g y u s e w a s d i f f e r e n t f o r e a c h t i m e v a l u e . F u r t h e r m o r e , a t e a c h t i m e v a l u e t h e d i s t r i b u t i o n o f s t r a t e g y u s e w a s d i f f e r e n t b e t w e e n t h e g r a p h a n d t h e n 1 t ( ' o n x u . - ( I ! l l 1 I - . a . ‘ - ' I t o . ( I ) g I 8 | ) a v " ' — “ - _ n . - - I n . - . . a n - A ‘ 4 - 2 3 5 t a b l e . G e n e r a l l y , w i t h t h e g r a p h t h e r e w a s m o r e u s e o f s t r a t e g i e s t h a t m a d e u s e o f g r a p h i c a l f e a t u r e s l i k e s l o p e a n d s h a p e a n d s y m m e t r y o f g r a p h b u t w i t h t h e t a b l e t h e r e w a s m o r e u s e o f s t r a t e g i e s t h a t t o o k a d v a n t a g e o f t h e p r e s e n c e o f n u m e r i c a l d a t a , s t r a t e g i e s l i k e a v e r a g e s p e e d o v e r i n t e r v a l s o f t i m e . E s p e c i a l l y p r e v a l e n t w a s t h e u s e o f a v e r a g e s p e e d o v e r i n t e r v a l s o f t i m e w i t h b o t h g r a p h s a n d t a b l e s b u t a s s t u d e n t s w o r k e d t h r o u g h t h e t a s k , t h e y t e n d e d t o s w i t c h f r o m u s i n g a v e r a g e s p e e d o v e r l a r g e a n d i n t e r v a l s b e f o r e t h e p o i n t t o u s i n g a v e r a g e s p e e d o v e r s m a l l i n t e r v a l s b e f o r e t h e p o i n t a n d t h e s m a l l e s t a v a i l a b l e i n t e r v a l s t r a d d l i n g t h e p o i n t . - " ' " . S t u d e n t s w e r e a s k e d " H o w f a s t i s t h e p o p u l a t i o n ( o f y e a s t c e l l s ) c h a n g i n g a t 4 a m ? " . A p p e n d i x F s h o w s t h e d i f f e r e n t s t u d e n t s a d d r e s s e d r a t e o f c h a n g e o f t h e p o p u l a t i o n a t t = 4 a n d p o s s i b l e a n s w e r s o b t a i n e d f o r e a c h w a y . C o r r e c t a n s w e r s w e r e d i s c u s s e d e a r l i e r i n t h i s c h a p t e r . A s w i t h T a s k 4 s t u d e n t s u s e d a v a r i e t y o f s t r a t e g i e s a n d t h e d i s t r i b u t i o n o f s t r a t e g y u s e w a s d i f f e r e n t b e t w e e n t h e g r a p h a n d t h e t a b l e o f v a l u e s a l t h o u g h t h e r e w a s m o r e s i m i l a r i t y i n T a s k 5 t h a n i n T a s k 4 . W W - T a b l e 1 0 s h o w s t h e s t r a t e g i e s s t u d e n t s u s e d t o f i n d t h e r a t e o f g r o w t h o f t h e p o p u l a t i o n w h e n u s i n g t h e g r a p h . T h e t h r e e m o s t f r e q u e n t l y u s e d s t r a t e g i e s w e r e a v e r a g e r a t e o f c h a n g e i n t h e n u m b e r o f c e l l s o v e r t h e p r e v i o u s h o u r , a v e r a g e r a t e o f c h a n g e o v e r t h e t w o h o u r s a r o u n d t = 4 , a n d s l o p e o f t h e l i n e t a n g e n t t o t h e g r a p h a t t = 4 . W i t h t h e s e t h r e e s t r a t e g i e s s t u d e n t s e s t i m a t e d p o p u l a t i o n v a l u e s f o r s e l e c t e d v a l u e s o f t i m e f o r _ . . , . . . . . . ~ . _ ¥ . _ - _ . . . . . . — — — _ 1 a r m — # # 4 # # . . . _ - . - . “ a . . . " ‘ a — ‘ A ‘ . . . . . . _ _ . _ - _ _ . . W ‘ — — . . . - . . - “ ’ 2 3 6 p o i n t s o n t h e c u r v e o r t h e t a n g e n t l i n e a n d t h e n c o m p u t e d t h e c h a n g e i n n u m b e r o f c e l l s d i v i d e d b y t h e c h a n g e i n t h e t i m e . T a b l e 1 0 S t r a t e g i e s f o r f i n d i n g r a t e o f g r o w t h a t t = 4 w h e n u s i n g g r a p h S t r a t e g y W A v g . g r o w t h o v e r p r e v i o u s 1 1 ( 3 0 % ) h o u r A v g . g r o w t h o v e r 2 h o u r s 1 1 ( 3 0 % ) a r o u n d t = 4 R e f e r e n c e t o s l o p e 1 0 ( 2 7 % ) R e f e r e n c e t o a p o i n t 6 ( 1 6 % ) A v g . g r o w t h s i n c e t = 0 3 ( 8 % ) " N o t q u i t e d o u b l i n g " 1 ( 3 % ) " I t ' s m u l t i p l i e d b y 1 ( 3 % ) t w o - t h i r d s . " D e s i r e d s m a l l e r i n t e r v a l 1 ( 3 % ) n e a r t = 4 T o t a l d o e s n o t a d d t o 3 7 , t h e n u m b e r o f s u b j e c t s i n t h e s t u d y , s i n c e s o m e s t u d e n t s u s e d m o r e t h a n o n e s t r a t e g y . H e r e a r e s o m e s a m p l e r e s p o n s e s : A v e r a g e r a t e o f c h a n g e i n t h e n u m b e r o f c e l l s o v e r t h e p r e v i o u s h o u r - " A b o u t 2 0 c e l l s a n h o u r b e c a u s e t h a t ' s h o w m u c h i t c h a n g e d b e t w e e n 3 a n d 4 . " K H - P r e c a l c u l u s " I w o u l d s a y 2 5 c e l l s a n h o u r . T h i s l o o k s l i k e 7 5 [ h e i g h t o n t h e c u r v e a t t = 4 ] . T h i s l o o k s l i k e 5 0 [ h e i g h t o n t h e c u r v e a t t = 3 ] . S o d i f f e r e n c e i s 2 5 i n t h a t d u r a t i o n . " A W — C a l c u l u s " I t ' s p r o b a b l y a b o u t 7 5 [ a t t = 4 ] a n d 5 0 [ a t t = 3 ] o v e r u m 4 m i n u s 3 w h i c h i s 2 5 o v e r 1 w h i c h i s 2 5 c e l l s a d d e d p e r h o u r . " L B - P o s t c a l c u l u s T h e s e s t u d e n t s c o m p u t e d t h e c h a n g e i n t h e n u m b e r o f c e l l s f r o m t = 3 a n d t = 4 a n d u s e d t h a t a s t h e i r e s t i m a t e f o r h o w f a s t t h e p o p u l a t i o n 2 3 7 i s c h a n g i n g a t t = 4 . O n e p r e c a l c u l u s s t u d e n t n o t e d t h a t t h e r a t e o f c h a n g e o f t h e c e l l p o p u l a t i o n a t t = 4 w a s m o r e t h a n t h e a v e r a g e r a t e o f c h a n g e o v e r t h e i n t e r v a l f r o m t = 3 t o t = 4 : " A l i t t l e f a s t e r t h a n 2 5 y e a s t c e l l s p e r h o u r . A t 3 , i t l o o k s a b o u t 5 0 a n d a t 4 , i t l o o k s l i k e a b o u t 7 5 . S o t h a t ' s 2 5 , a n d i t ' s g r o w i n g f a s t e r . S o , a l i t t l e f a s t e r . ( A n d y o u ' r e s a y i n g t h a t b e c a u s e i t g r e w 2 5 c e l l s b u t y o u a l s o ) I t ' s s t i l l g o i n g u p . " A J - P r e c a l c u l u s A J n o t i c e d t h e s h a r p e r r i s e a f t e r t = 4 a n d r e a l i z e d t h a t t h e a v e r a g e r a t e o f c h a n g e f r o m t = 3 t o t = 4 n e e d e d t o b e a d j u s t e d u p w a r d t o g i v e a m o r e a c c u r a t e a n s w e r f o r t h e r a t e o f c h a n g e a t t = 4 . O t h e r s t u d e n t s c a p i t a l i z e d m o r e o n t h e i n f o r m a t i o n g i v e n a b o u t t h e g r o w t h o f t h e p o p u l a t i o n i m m e d i a t e l y a f t e r t = 4 t o h e l p t h e m e s t i m a t e t h e r a t e o f g r o w t h a t t = 4 . A v e r a g e r a t e o f c h a n g e i n t h e n u m b e r o f c e l l s f r o m t = 3 t o t = 5 - " W e l l , a t 3 t h e p o p u l a t i o n i s 5 0 a n d t h e n a t 5 i t ' s 1 2 5 . S o t h a t ' s 7 5 c e l l s o v e r t h a t t w o h o u r p e r i o d . S o i f y o u d i v i d e 7 5 b y 2 , t h e n a t 4 , i t ' s a b o u t 3 7 . 5 c e l l s p e r h o u r . " B S - C a l c u l u s " W h a t i s t h a t ? A b o u t 5 0 t o 7 0 [ f r o m t = 3 t o t = 4 ] , 2 0 . A n d 4 t o 5 , 1 1 0 a n d 7 0 . I ' d s a y a b o u t 4 0 . ( H o w d i d y o u g e t t h a t ? ) I j u s t f o u n d h o w f a s t t h e y w e r e g r o w i n g b e t w e e n t h e s e t w o [ t = 3 a n d t = 4 ] . I j u s t e s t i m a t e d , 7 0 m i n u s 5 0 , a b o u t 2 0 t h e r e . T h e n 1 1 0 m i n u s 7 0 [ f r o m t = 4 t o t = 5 ] , a b o u t 4 0 t h e r e . S o b e t w e e n 2 0 a n d 4 0 , a b o u t 3 0 c e l l s p e r h o u r . " D B - P o s t c a l c u l u s " A b o u t 3 3 c e l l s . ( H o w d i d y o u g e t t h a t ? ) W e l l , I ' m j u s t k i n d o f e s t i m a t i n g - ' c a u s e f r o m h e r e [ f r o m t = 3 t o t = 4 ] , i t ' s a b o u t 2 5 c e l l s p e r h o u r a n d f r o m h e r e [ f r o m t = 4 t o t = 5 ] i t ' s a b o u t 5 0 c e l l s p e r h o u r a n d a b o u t h a l f w a y i n b e t w e e n i s 3 3 . " J K - C a l c u l u s B S c o m p u t e d t h e c h a n g e f r o m t = 3 a n d t = 5 a n d d i v i d e d b y t w o W h e r e a s D B a n d J K c o m p u t e d t h e c h a n g e f r o m t = 3 t o t = 4 , t h e c h a n g e f r o m t = 4 t o t = 5 , a n d t h e n a v e r a g e d t h o s e t w o n u m b e r s . J K a v e r a g e d i I 1 a n a p p r o x i m a t e w a y . E i t h e r w a y , t h e y t o o k i n t o a c c o u n t c h a n g e i n t h e C e l l p o p u l a t i o n f r o m t = 3 t o t = 5 t o g e t t h e r a t e o f c h a n g e a t t = 4 . - _ . A . . - - " 2 3 8 S l o p e o f t a n g e n t l i n e - " [ d r a w s l i n e t a n g e n t t o t h e c u r v e a t t = 4 ] N o w , l e t ' s s e e . [ e s t i m a t e s t h a t t h e t w o p o i n t s ( 2 , 0 ) a n d ( 7 . 5 , 2 0 0 ) a r e o n t h a t t a n g e n t l i n e ] 2 0 0 o v e r 5 . 5 . T h a t m e a n s I h a v e t o u s e a c a l c u l a t o r . 3 6 c e l l s p e r h o u r . " A D - P o s t c a l c u l u s " [ d r a w s a l i n e t a n g e n t t o t h e c u r v e a t t = 4 ] T h a t w o u l d s h o w t h e s l o p e o f t h i s l i n e , w o u l d s h o w h o w f a s t t h e y c h a n g e t h e r e . D o y o u w a n t n u m b e r s n u m b e r s ? ( I f y o u c o u l d . ) U m . I c o u l d s a y a b o u t 1 0 0 a t 5 [ a t t = 5 ] a n d a b o u t z e r o a t 1 . 8 [ a t t = 1 . 8 ] g i v e s m e 1 0 0 o v e r 3 . 2 , 3 1 . 2 5 c e l l p o p u l a t i o n p e r h o u r . " S E - P o s t c a l c u l u s " I t l o o k s l i k e i t ' s c h a n g i n g a b o u t 7 5 c e l l s p e r 2 h o u r s . I t ' s a b o u t — ' c a u s e I ' m u s i n g t h e t a n g e n t l i n e h e r e . I j u s t t o o k t h e e s t i m a t e d t a n g e n t l i n e o v e r a t w o h o u r p e r i o d [ f r o m t = 2 t o t = 4 ] . I t l o o k s l i k e i t g r e w a b o u t 7 5 c e l l s . " M G - C a l c u l u s A l l t h r e e o f t h e s e s t u d e n t s a p p r o x i m a t e d t h e s l o p e o f t h e t a n g e n t l i n e . S o m e s t u d e n t s o f f e r e d t h e i n f o r m a t i o n t h a t i f t h e y c o u l d b e g u a r a n t e e d t h a t t h e y h a d d r a w n t h e i r t a n g e n t l i n e e x a c t l y a n d h a d o b t a i n e d e x a c t c o o r d i n a t e s o f p o i n t s o n t h a t l i n e , t h e i r a n s w e r f o r t h e s l o p e o f t h e t a n g e n t l i n e w o u l d b e e x a c t l y h o w f a s t t h e p o p u l a t i o n o f y e a s t c e l l s w a s c h a n g i n g a t t = 4 . S e v e r a l s t u d e n t s r e f e r e n c e d t h e s p e c i f i c p o i n t a t t = 4 t o f i n d t h e r a t e o f g r o w t h a t t = 4 : “ u m , w e l l , t h e r e ' s 8 0 c e l l s b y f o u r h o u r s . S o a b o u t 2 0 c e l l s a n h o u r . ” J F - P r e c a l c u l u s “ A b o u t 1 7 . 5 . ( H o w d i d y o u g e t t h a t ? ) 7 0 [ e s t i m a t e d c e l l v a l u e a t t = 4 ] d i v i d e d b y 4 . ” S C L - P r e c a l c u l u s “ I w o u l d s a y t h a t t h e y ' r e c h a n g i n g a t a b o u t 7 5 c e l l s p e r 4 h o u r s . S o w o u l d t h a t b e 1 5 ? ( S o y o u ’ r e t r y i n g t o m a k e i t p e r h o u r ? ) Y e a h . 8 0 p e r 4 [ d e c i d e s t o u s e 8 0 i n s t e a d o f 7 5 ] 2 0 c e l l s p e r h o u r . ” H L - C a l c u l u s T h e s e s t u d e n t s u s e d t h e c o o r d i n a t e s o f t h e p o i n t a t t = 4 t o m a k e d e c i s i o n s a b o u t t h e r a t e o f g r o w t h a t t = 4 m o s t o f t e n b y d i v i d i n g t h e n u m b e r o f c e l l s a t t = 4 b y f o u r . O t h e r s t u d e n t s u s e d t h e a v e r a g e g r o w t h s i n c e t = 0 : 2 3 9 " U h . A t t h a t p o i n t , w e ' r e g e t t i n g a b o u t a , a b o u t 2 0 , 2 0 c e l l s p e r h o u r . ( A n d h o w d i d y o u g e t t h a t ? ) U h , b e c a u s e t h a t ' s a r o u n d a b o u t 8 0 c e l l s h a d b e e n d e v e l o p e d a t t h a t t i m e a n d i t w a s o v e r a f o u r h o u r t i m e p e r i o d . " J P - C a l c u l u s " 7 5 i n 4 , s o , u h , i t ' s c h a n g i n g — i t ' s i n c r e a s i n g 7 5 m o r e i n 4 h o u r s . S o 7 5 d i v i d e d b y 4 — 1 8 . 7 5 c e l l s p e r h o u r . ( O k . A n d y o u ' r e s a y i n g t h a t b e c a u s e i t h a d a c t u a l l y g r o w n - I m e a n - a t - w h y a r e y o u s a y i n g ? ) I t ' s 1 8 . 7 5 b e c a u s e i t w e n t f r o m 0 t o 7 5 m o r e c e l l s i n f o u r h o u r s . " C H - P o s t c a l c u l u s J F , S C L , a n d H L i n d i c a t e d t h e y w e r e t h i n k i n g s o l e l y i n t e r m s o f n u m b e r o f c e l l s a t t = 4 w h i l e J P a n d C H w e r e r e f e r r i n g t o t h e t o t a l g r o w t h s i n c e t = 0 . T h e s e t w o s t r a t e g i e s a r e n o t t h e s a m e . O n e c o n s i d e r s t h e v a l u e o f t h e d e p e n d e n t v a r i a b l e o n l y a t a s i n g l e p o i n t w h i l e t h e o t h e r c o n s i d e r s t h e c h a n g e i n t h e d e p e n d e n t v a r i a b l e o v e r a n i n t e r v a l s t a r t i n g a t t h e b e g i n n i n g t i m e v a l u e . J F , S C L , a n d H L w e r e u s i n g t h e f o r m e r s t r a t e g y h e r e a n d u s e d t h e s a m e s t r a t e g y w h e n u s i n g t h e t a l fl e o f v a l u e s a s w e s h a l l s e e b e l o w . J P a n d C H u s e d t h e l a t t e r s s t r a t e g y ; t h e y r e f e r r e d t o t h e n u m b e r o f c e l l s t h a t h a d g r o w n o v e r t h e f k a u r h o u r s . A d m i t t e d l y t h e y d i d n o t g e t i t r i g h t ; t h e y d i d n o t n o t i c e t l l a t t h e n u m b e r o f c e l l s a t t = 0 w a s n o t z e r o . B u t t h e i r w o r d s c l e a r l y 0 . 1 i n d i c a t e t h e y w e r e t h i n k i n g i n t e r m s o f a m o u n t o f g r o w t h s i n c e t O n e s t u d e n t w a n t e d t o u s e a v e r y s m a l l i n t e r v a l b e f o r e t — 4 : " A ; 4 a m . ( A ; 4 a m . ) T h i s m u c h [ d r a w s a v e r y s m a l l i n t e r v a l b e f o r e t = 4 o n t h e c u r v e ] . ( T h a t m u c h ? C o u l d y o u b e a l i t t l e b i t ) T h e a m o u n t o f c e l l p o p u l a t i o n o f t h i s l i t t l e i n t e r v a l [ s h e i n d i c a t e s a s m a l l p a r t o f t h e c u r v e b e f o r e t = 4 ] o v e r t h i s l i t t l e a m o u n t o f t i m e [ s h e i n d i c a t e s a s m a l l i n t e r v a l o n t h e h o r i z o n t a l a x i s w i t h r i g h t e n d p o i n t a t t = 4 ] . " R C — C a l c u l u s S k h e w a s n o t c o n t e n t t o u s e t h e o n e h o u r i n t e r v a l b e f o r e t = 4 o r e v e n t a l e s o n e - q u a r t e r h o u r i n t e r v a l b e f o r e t = 4 . S h e w a n t e d a m u c h s m a l l e r l r r t e r v a l b e f o r e t = 4 . 2 4 0 M Y , a c a l c u l u s s t u d e n t , n o t e d t h a t t h e s p e e d a t t = 4 w a s " n o t q u i t e d o u b l i n g " . H e n o t e d t h a t t h e n u m b e r o f c e l l s i n c r e a s e d 2 5 f r o m t = 3 t o t = 4 a n d 4 5 f r o m t = 4 t o t = 5 . S i n c e 4 5 i s a l m o s t t w i c e 2 5 , h e c o n c l u d e d t h a t " I t ' s a b o u t d o u b l i n g . J u s t f i v e s h y . " ( M Y - C a l c u l u s ) . A p r e c a l c u l u s s t u d e n t a l s o n o t i c e d a m u l t i p l i c a t i v e r e l a t i o n s h i p : " [ l o n g p a u s e ] O k . I t m u l t i p l i e d b y t w o t h i r d s . ( M u l t i p l i e d b y t w o - t h i r d s ? ) Y e a h . I t h i n k s o . B e c a u s e i t w e n t f r o m 7 5 [ a t t = 4 ] t o 1 2 5 [ a t t = 5 ] . " M H - P r e c a l c u l u s T h i s s t u d e n t u s e d t h e g r o w t h f r o m t = 4 t o t = 5 t o d e c i d e a b o u t t h e r a t e o f g r o w t h a t t = 4 . S i n c e t h e n u m b e r o f c e l l s g r e w f r o m 7 5 a t t = 4 t o 1 2 5 a t t = 5 , a 6 6 . 6 7 % i n c r e a s e , " i t m u l t i p l i e d b y t w o t h i r d s " . A c t u a l l y t h e i n c r e a s e f r o m t = 4 t o t = 5 i s t w o t h i r d s t h e n u m b e r o f c e l l s a t t = 4 s o t h e n u m b e r o f c e l l s a t t = 5 i s e q u a l t o t h e s u m o f t h e n u m b e r o f c e l l s a t t = 4 a n d t w o - t h i r d s t h e n u m b e r o f c e l l s a t t = 4 . T h e n u m b e r o f c e l l s a t t = 5 i s a l s o t h e n u m b e r o f c e l l s a t t = 4 m u l t i p l i e d b y o n e a n d t w o - t h i r d s . O n e s t u d e n t g a v e a t e n t a t i v e a n s w e r o f 7 0 c e l l s i n f o u r h o u r s b u t t h e n d e c i d e d t h a t d i d n o t g i v e u s t h e r a t e o f g r o w t h a t t = 4 . S h e f i n a l l y r e s p o n d e d w i t h " I d o n ' t k n o w . " ( K G - P r e c a l c u l u s ) . F i n a l l y , a n o t h e r p r e c a l c u l u s s t u d e n t g a v e a q u a l i t a t i v e a n s w e r : " H o w f a s t ? N o t t o o f a s t a s f a r a s t h e c o u r s e o f i t s l i f e b u t i t ' s p i c k i n g u p r i g h t h e r e [ a t t = 4 ] . I m e a n , i t ' s s t a r t i n g t o p i c k u p . " B G - P r e c a l c u l u s B a t e Q f g b a n g g a t t = 4 fl b g n “ s i n g a t a b l g Q f y a l u g s . T a b l e 1 1 s h o w s t h e s t r a t e g i e s s t u d e n t s u s e d t o f i n d t h e r a t e o f g r o w t h o f t h e p o p u l a t i o n o f y e a s t c e l l s a t t = 4 w h e n u s i n g t h e t a b l e o f v a l u e s . 2 4 1 A l m o s t h a l f o f t h e s t u d e n t s u s e d t h e a v e r a g e r a t e o f c h a n g e i n t h e n u m b e r o f c e l l s f r o m t = 3 t o t = 5 t o f i n d t h e r a t e o f g r o w t h o f t h e p o p u l a t i o n a t t = 4 . A t h i r d u s e d a v e r a g e r a t e o f c h a n g e f r o m t = 3 t o t = 4 . A f e w s t u d e n t s r e f e r r e d t o t h e a m o u n t o f g r o w t h s i n c e t = 0 : " 7 1 . 1 ( 7 1 . 1 ? ) 7 1 . 1 c e l l s i n a f o u r h o u r p e r i o d . O h , b u t i t s t a r t e d a t 9 . 6 . S o 7 1 . 1 m i n u s 9 . 6 - t h a t ' s 6 2 . 5 . S o t e c h n i c a l l y i t ' s 6 2 . 5 o v e r f o u r h o u r s . " C H - P o s t c a l c u l u s " I t ' s g o n e f r o m 9 . 6 [ a t t = 0 ] t o 7 1 . 1 [ a t t = 4 ] . ( S o w h a t a r e y o u s a y i n g a b o u t h o w f a s t i t ' s c h a n g i n g a t 4 a m ? ) W e l l . ( I m e a n , a r e y o u s a y i n g i t ' s 7 1 . 1 c e l l s p e r h o u r o r ? ) W e l l , y o u p r o b a b l y - ' c a u s e a t z e r o i t ' s 9 . 6 - s o I w o u l d s a y d e d u c t t h a t f r o m t h i s [ 7 1 . 1 ] t o g i v e y o u h o w f a s t i t c h a n g e s . ( S o t h a t w o u l d b e a r o u n d 6 1 p o i n t s o m e t h i n g . ) Y e a h . S o m e w h e r e i n t h e r e . T h a t ' s h o w f a s t I ' m s a y i n g i t ' s c h a n g i n g . " R C - P o s t c a l c u l u s T a b l e 1 1 S t r a t e g i e s f o r f i n d i n g r a t e o f g r o w t h a t t = 4 u s i n g a t a b l e o f v a l u e s S t r a t e g y W A v g . g r o w t h o v e r 2 h o u r s 1 7 ( 4 6 % ) a r o u n d t = 4 A v g . g r o w t h o v e r p r e v i o u s h o u r 1 2 ( 3 2 % ) R e f e r e n c e t o a p o i n t 4 ( 1 1 % ) A v g . g r o w t h s i n c e t = 0 2 ( 5 % ) R e f e r e n c e t o s l o p e 1 ( 3 % ) M u l t i p l i e d b y t w o - t h i r d s l ( 3 % ) I n c r e a s e d b y o n e - t h i r d 1 ( 3 % ) T o t a l d o e s n o t a d d t o 3 7 , t h e n u m b e r o f s u b j e c t s i n t h e s t u d y , s i n c e s o m e s t u d e n t s u s e d m o r e t h a n o n e s t r a t e g y . S e v e r a l s t u d e n t s r e f e r r e d t o t h e n u m b e r o f c e l l s a t t = 4 : " [ S t u d e n t a n d i n t e r v i e w e r l o o k a t t a b l e o f v a l u e s a n d c o m p a r e v a l u e s f o r t i m e a n d n u m b e r o f c e l l s t o v a l u e s o b t a i n e d f r o m g r a p h ] ( A c t u a l l y i t w a s n ' t 8 0 , i t w a s 7 1 . 1 [ a t t = 4 ] a n d a c t u a l l y i t d i d n ' t s t a r t a t z e r o , i t s t a r t e d t h e r e [ p o i n t i n g t o 9 . 6 a s n u m b e r o f c e l l s f o r t = 0 ] . S o i t d i d n ' t g r o w e x a c t l y 8 0 - m o r e l i k e 6 2 . ) U h h u h . ( S o m e t h i n g l i k e t h a t . O k . S o n o w d o e s t h i s h e l p y o u 2 4 2 c o m e u p w i t h a n o t h e r a n s w e r t o t h e q u e s t i o n " H o w f a s t i s t h e p o p u l a t i o n c h a n g i n g a t 4 a m ? " ? ) U m - [ c a l c u l a t e s 7 1 . 1 d i v i d e d b y 4 ] 1 7 . 8 ( A n d y o u g o t t h a t b y t a k i n g 7 1 . 1 a n d d i v i d i n g b y f o u r ? ) Y e a h . ( A n d t h a t ' s w h a t ? C e l l s p e r ? ) h o u r ( C e l l s p e r h o u r ) " J F - P r e c a l c u l u s " 1 7 . 7 7 5 [ 7 1 . 1 d i v i d e d b y f o u r ] " S C L - P r e c a l c u l u s " 7 1 p e r a t t h e e n d o f f o u r h o u r s . S o p e r h o u r t h a t w o u l d b e w h a t ? [ d i v i d e s 7 1 . 1 b y f o u r ] 1 7 c e l l s p e r h o u r . I s a i d 2 0 [ p r e v i o u s a n s w e r w h e n u s i n g g r a p h ] . T h a t ' s c l o s e . " H L - C a l c u l u s I p o i n t e d o u t t o J F t h a t t h e n u m b e r o f c e l l s a t t = 0 w a s n o t z e r o s o t h a t t h e a m o u n t o f g r o w t h f r o m t = O t o t = 4 w a s n o t t h e n u m b e r o f c e l l s a t t 4 ; i t w a s t h e n u m b e r o f c e l l s a t t = 4 m i n u s t h e n u m b e r o f c e l l s a t t 0 . J F d i d n o t u s e t h i s i n f o r m a t i o n ; i n s t e a d s h e d i v i d e d t h e n u m b e r o f c e l l s a t t = 4 b y f o u r . I c o n c l u d e d t h e r e f o r e t h a t s h e w a s n o t r e f e r r i n g t o t h e a m o u n t o f g r o w t h s i n c e t = 0 b u t w a s r e f e r r i n g t o t h e n u m b e r o f c e l l s a t t = 4 t o f i n d t h e r a t e o f g r o w t h o f t h e p o p u l a t i o n a t t = 4 . O n e s t u d e n t u s e d s l o p e o f t a n g e n t l i n e ; o n e m a i n t a i n e d h e r e a r l i e r a n s w e r o f " m u l t i p l i e d b y t w o - t h i r d s " s h e o b t a i n e d w h e n u s i n g t h e g r a p h ( M H - P r e c a l c u l u s ) ; a n d o n e s t u d e n t c o m p a r e d t h e g r o w t h f r o m t = 3 t o t = 4 t o t h e t o t a l g r o w t h f r o m t = 0 t o t = 4 a n d d e c l a r e d " i t ' s g o t t e n o n e — t h i r d t h a t a m o u n t [ t h e g r o w t h f r o m t = 3 t o t = 4 i s o n e t h i r d t h e t o t a l g r o w t h f r o m t = 0 t o t = 4 ] " ( B G - P r e c a l c u l u s ) . T h i s l a s t s t u d e n t w a s t h e o n e w h o w h e n u s i n g t h e g r a p h n o t e d t h a t a t t = 4 " I t ' s s t a r t i n g t o p i c k u p . " w i t h t h e g r a p h s t u d e n t s u s e d i n t e r v a l s e i t h e r i m m e d i a t e l y b e f o r e t = 4 o r s t r a d d l i n g t = 4 o r u s e d s l o p e o f t a n g e n t l i n e w h e r e a s w i t h t h e t a b l e m o r e s t u d e n t s m a d e u s e o f t h e t w o h o u r i n t e r v a l s t r a d d l i n g t = 4 a n d 2 4 3 a l m o s t n o s t u d e n t s u s e d s l o p e o f t a n g e n t l i n e w i t h t h e t a b l e o f v a l u e s . T h e p r e s e n t a t i o n o f n u m e r i c a l d a t a i n t h e t a b l e o f v a l u e s m i g h t h a v e e n c o u r a g e d s t u d e n t s t o u s e m o r e n u m e r i c a l a p p r o a c h e s l i k e a v e r a g e r a t e o f c h a n g e o v e r i n t e r v a l s a n d l e s s g r a p h i c a l a p p r o a c h e s l i k e s l o p e o f t a n g e n t l i n e . W W W S t u d e n t s w e r e g i v e n a n e n l a r g e d s e c t i o n o f t h e g r a p h f r o m t = O t o t = 7 a n d a t a b l e o f v a l u e s c o n t a i n i n g c e l l p o p u l a t i o n v a l u e s f o r e v e r y q u a r t e r h o u r f r o m t = 3 t o t = 5 a n d a s k e d t o a g a i n f i n d o u t h o w f a s t t h e p o p u l a t i o n w a s c h a n g i n g a t 4 a m . I t o l d s t u d e n t s a t t h e b e g i n n i n g o f t h e i n t e r v i e w s t h a t w e w e r e t r y i n g t o s e e h o w m a n y d i f f e r e n t w a y s t h e y c o u l d a n s w e r t h e s e q u e s t i o n s a n d s o w e w o u l d b e a s k i n g s o m e q u e s t i o n s m o r e t h a n o n c e . S t u d e n t s w e r e g e n e r a l l y q u i t e c o o p e r a t i v e i n a n s w e r i n g t h e s a m e q u e s t i o n m o r e t h a n o n c e a n d e s p e c i a l l y h e r e i n T a s k 5 w h e r e t h e y w e r e a s k e d t h e s a m e q u e s t i o n t h r e e t i m e s . T a b l e 1 2 s h o w s t h e s t r a t e g i e s s t u d e n t s u s e d a n d t h e n u m b e r a n d p e r c e n t o f s t u d e n t s u s i n g e a c h s t r a t e g y . O v e r h a l f o f t h e s t u d e n t s f o u n d h o w f a s t t h e p o p u l a t i o n w a s c h a n g i n g a t 4 a m b y c o m p u t i n g t h e a v e r a g e r a t e o f c h a n g e i n t h e n u m b e r o f c e l l s f r o m t = 3 . 7 5 t o t = 4 . 2 5 : " W e l l , I c o u l d d o t h e d i f f e r e n c e b e t w e e n 3 . 7 5 a n d 4 a n d 4 . 2 5 a n d 4 a n d a v e r a g e t h o s e . [ S h e d o e s t h a t a n d g e t s 3 3 c e l l s p e r h o u r . ] " K H - P r e c a l c u l u s " W e l l , I c o u l d , l e t ' s s e e . O h . Y o u d o h a v e t h o s e b r o k e n d o w n f a r t h e r . I c o u l d g e t a l o t c l o s e r a p p r o x i m a t i o n w i t h t h i s b y d o i n g t h e s a m e m e t h o d e x c e p t b e t w e e n 3 . 7 5 , t = 3 . 7 5 a n d 4 a n d t h e n t = 4 a n d 4 . 2 5 a n d t h e n - i f y o u w a n t m e t o , I c a n d o i t . [ H e d o e s a n d t h e n a v e r a g e s t h e s e t w o a n s w e r s t o g e t 3 3 c e l l s p e r h o u r . ] " D W — C a l c u l u s " I c a n d o e x a c t l y w h a t I d i d b e f o r e . I t w i l l b e a s l i g h t l y b e t t e r a p p r o x i m a t i o n . i n t h i s c a s e y o u ' l l g e t 7 9 . 7 [ a t t = 4 . 2 5 ] m i n u s 6 3 . 2 [ a t t = 3 . 7 5 ] e q u a l s 1 6 . 5 d i v i d e d b y . 5 g i v e s m e 3 3 . " A D - P o s t c a l c u l u s 2 4 4 T a b l e 1 2 S t r a t e g i e s f o r f i n d i n g r a t e o f g r o w t h w i t h e n l a r g e d g r a p h a n d t a b l e S t r a t e g y W W A v g . g r o w t h o v e r h a l f h o u r 2 1 ( 5 7 % ) a r o u n d t = 4 A v g . g r o w t h o v e r p r e v i o u s 1 1 ( 3 0 % ) q u a r t e r h o u r R e f e r e n c e t o s l o p e 4 ( 1 1 % ) R e f e r e n c e t o a p o i n t 2 ( 5 % ) A v g . g r o w t h o v e r t w o h o u r s 1 ( 3 % ) a r o u n d t = 4 1 2 p e r c e n t i n c r e a s e 1 ( 3 % ) T o t a l d o e s n o t a d d t o 3 7 , t h e n u m b e r o f s u b j e c t s i n t h e s t u d y , s i n c e s o m e s t u d e n t s u s e d m o r e t h a n o n e s t r a t e g y . F o u r s t u d e n t s w h o u s e d t h i s s t r a t e g y a l s o r e f e r e n c e d t h e s l o p e o f t h e t a n g e n t l i n e i n s o m e w a y . D W q u o t e d a b o v e w e n t o n t o d e s c r i b e h i s p r o c e d u r e i n t e r m s o f s l o p e s o f c e r t a i n l i n e s : " I u s e d t h e s a m e t e c h n i q u e [ a s o n p r e v i o u s p a r t s o f t h i s t a s k ] o f g e t t i n g t h e s l o p e o f t h e l i n e b e t w e e n t h e p o i n t s t = 3 . 7 5 a n d c = 6 3 . 2 a n d t = 4 a n d c = 7 1 . 1 a n d t h e n I g o t t h e s l o p e o f t h e l i n e b e t w e e n 4 a n d 7 1 . 1 a n d 4 . 2 5 a n d 7 9 . 7 a n d t h e n I a v e r a g e d t h e t w o s l o p e s t o t r y a n d g e t a b e t t e r a p p r o x i m a t i o n o f t h e e x a c t s l o p e o f t h e p o i n t t = 4 a n d c = 7 1 . 1 . " D W - C a l c u l u s A n o t h e r c a l c u l u s s t u d e n t s a i d h e w a n t e d t o f i n d t h e s l o p e o f t h e t a n g e n t l i n e b u t w o u l d a p p r o x i m a t e t h a t s l o p e b y f i n d i n g t h e s l o p e o f t h e l i n e b e t w e e n t = 3 . 7 5 a n d t = 4 . 2 5 : " S i n c e i t w o u l d b e k i n d o f h a r d t o f i n d e x a c t l y t h e s l o p e o f t h e t a n g e n t l i n e a t t = 4 , w h a t I d o i s I c o u l d t a k e - u m - I c o u l d t a k e t h e - m a k e a n e q u a t i o n o f a l i n e b e t w e e n 4 m i n u s a q u a r t e r a n d 4 p l u s a q u a r t e r a n d t h e n t h a t w o u l d b e a b o u t t h e s l o p e o f t h e t a n g e n t l i n e a t 4 . " M G - C a l c u l u s A p o s t c a l c u l u s s t u d e n t d i d t h e s a m e t h i n g : " [ d r a w s t a n g e n t l i n e a t t = 4 ] I t p r e t t y w e l l g o e s t h r o u g h t h e s e t w o p o i n t s [ a t t = 3 . 7 5 a n d t = 4 . 2 5 ] r i g h t h e r e [ p o i n t i n g t o t h e c o r r e s p o n d i n g p o i n t s o n t h e c u r v e ] . I w o u l d p r o b a b l y u s e t h e s e 2 4 5 t w o p o i n t s s i n c e t h e y s i n c e t h e y s e e m t o b e l y i n g o n m y [ t a n g e n t ] l i n e . T h e y w o u l d p r o b a b l y b e p r e t t y c l o s e . " S E - P o s t c a l c u l u s S E l a t e r s a i d t h a t t h i s a n s w e r w a s b e t t e r t h a n h e r p r e v i o u s a n s w e r s o b t a i n e d u s i n g t h e p o i n t s a t t = 3 a n d t = 5 " b e c a u s e t h e s e [ t h e p o i n t s a t t = 3 a n d t = 5 ] a r e a l i t t l e b i t f u r t h e r a w a y f r o m m y l i n e a n d I w a s a b l e t o u s e n u m b e r s [ a t t = 3 . 7 5 a n d t = 4 . 2 5 ] t h a t s e e m t o b e l y i n g c l o s e r t o m y l i n e . " ( S E - P o s t c a l c u l u s ) . S h e c o n s i s t e n t l y u s e d t h e s l o p e o f t h e t a n g e n t l i n e t o f i n d t h e r a t e o f g r o w t h a t t = 4 . S h e r e a s o n e d t h a t s i n c e t h e p o i n t s o n t h e c u r v e a t t = 3 . 7 5 a n d t = 4 . 2 5 w e r e c l o s e r t o h e r t a n g e n t l i n e t h a n t h e p o i n t s a t t = 3 a n d t = 5 , t h e s l o p e o f t h e l i n e c o n t a i n i n g t h e p o i n t s a t t = 3 . 7 5 a n d t = 4 . 2 5 s h o u l d b e c l o s e r t o t h e s l o p e o f t h e t a n g e n t l i n e t h a n t h e s l o p e o f t h e l i n e c o n t a i n i n g t h e p o i n t s a t t = 3 a n d t = 5 . A n o t h e r p o s t c a l c u l u s s t u d e n t f o u n d t h e a v e r a g e r a t e o f c h a n g e f r o m t = 3 . 7 5 t o t = 4 . 2 5 a n d g o t a n a n s w e r o f 3 3 c e l l s p e r h o u r b u t t h e n s e p a r a t e l y f o u n d t h e s l o p e o f t h e t a n g e n t l i n e b y i d e n t i f y i n g t h e c o o r d i n a t e s o f t w o p o i n t s o n h i s t a n g e n t l i n e a n d f i n d i n g t h e s l o p e u s i n g t h e s e t w o p o i n t s . H i s a n s w e r w a s 3 1 . 5 c e l l s p e r h o u r . H e w e n t o n t o s a y t h a t h e l i k e d h i s a n s w e r 3 3 c e l l s p e r h o u r b e t t e r b e c a u s e h e w a s n o t v e r y c o n f i d e n t t h a t h e h a d d r a w n h i s t a n g e n t l i n e a c c u r a t e l y . I a s k e d h i m w h i c h a n s w e r h e w o u l d p r e f e r i f h e c o u l d f i n d t h e e x a c t v a l u e f o r t h e s l o p e o f t h e t a n g e n t l i n e . H e s a i d " Y e a h . T h a t . Y e a h . O h , y e a h . T h e n i f I c o u l d g e t t h e e x a c t v a l u e o f t h e s l o p e o f t h e t a n g e n t l i n e t h e n t h a t w o u l d b e t h e r i g h t a n s w e r . " ( M G - P o s t c a l c u l u s ) . E l e v e n s t u d e n t s u s e d a v e r a g e r a t e o f g r o w t h f r o m 3 . 7 5 t o 4 . 0 0 t o e s t i m a t e r a t e o f g r o w t h a t t = 4 . I a s k e d s o m e o f t h e s e s t u d e n t s i f t h e 2 4 6 r a t e o f c h a n g e o v e r t h e i n t e r v a l a f t e r t = 4 h a d a n y b e a r i n g o n t h e r a t e o f c h a n g e a t t = 4 : " W e l l , I m e a n , a f t e r 4 , t h e y o b v i o u s l y , t h e y m a d e m o r e p e r h o u r . B u t i f y o u ' r e t r y i n g t o f i n d t h e r a t e o f i n c r e a s e a t 4 , I ' d u s e 3 . 7 5 t o 4 . ( Y o u w o u l d n ' t u s e d t h e s e n u m b e r s t h e n [ p o i n t i n g t o t h e t i m e v a l u e s a f t e r 4 ] ? ) N o . " D G — P r e c a l c u l u s " N o , b e c a u s e t h a t ' s t h e f i f t h s e c o n d [ h o u r ] . O r t h a t ' s t h e w a y I s e e i t . S e e t h a t ' s t h e f i f t h s e c o n d [ h o u r ] . S o i f w h e n y o u t e l l m e w h a t ' s h a p p e n i n g a t 4 , I w o u l d t h i n k a l l i n t h e f o u r t h s e c o n d [ h o u r ] w o u l d b e t h e o n e s t h a t a r e i n c l u d e d i n 4 a n d t h e n a f t e r t h a t w o u l d b e i n c l u d e d i n 5 . " J M - P r e c a l c u l u s T h e s e s t u d e n t s m a d e i t c l e a r t h a t t o f i n d t h e r a t e o f g r o w t h a t t = 4 t h e y w o u l d u s e o n l y i n f o r m a t i o n a b o u t t h e r a t e o f g r o w t h b e f o r e t = 4 . A s n o t e d a b o v e , m a n y s t u d e n t s u s e d i n f o r m a t i o n a f t e r t = 4 t o m a k e d e c i s i o n s a b o u t t h e r a t e o f g r o w t h a t t = 4 b u t f o r s o m e s t u d e n t s w h a t h a p p e n e d a f t e r t = 4 h a d n o b e a r i n g o n t h e r a t e o f g r o w t h a t t = 4 . A s w e s h a l l s e e i n C h a p t e r 7 , i t w a s p r e c a l c u l u s r a t h e r t h a n c a l c u l u s a n d p o s t c a l c u l u s s t u d e n t s w h o d i d n o t u s e i n f o r m a t i o n a f t e r a p o i n t t o f i n d r a t e o f c h a n g e a t a p o i n t . W e w i l l d i s c u s s p o s s i b l e r e a s o n s f o r t h e i r r e a s o n i n g t h e r e . O n e s t u d e n t u s e d a v e r a g e r a t e o f g r o w t h f r o m t = 3 t o t = 5 a n d o n e s t u d e n t s a i d " I t c h a n g e s . " . T w o s t u d e n t s s a i d t h e e n l a r g e d g r a p h a n d m o r e d e t a i l e d t a b l e o f v a l u e s a d d e d n o n e w i n f o r m a t i o n : " I t ' s s t i l l g o i n g I t h i n k a b o u t t h e s a m e . I f y o u b l o w u p t h e g r a p h i t d o e s n ' t c h a n g e t h e r a t e . " A J - P r e c a l c u l u s " I t ' s g o n n a b e t h e s a m e a m o u n t - t h a t j u s t s h o w s - t h a t j u s t g o e s i n t o m o r e d e t a i l — i t ' s n o t g o i n g t o c h a n g e t h e r a t e o f g r o w t h . " T W - P r e c a l c u l u s B o t h o f t h e s e s t u d e n t s m e n t i o n e d t h a t t h e e n l a r g e d g r a p h a n d m o r e d e t a i l e d t a b l e o f v a l u e s d i d n o t h e l p t h e m t h i n k d i f f e r e n t l y a b o u t t h e r a t e o f c h a n g e a t t = 4 . I n f a c t , b o t h w e r e a d a m a n t t h a t t h e e n l a r g e d _ . . _ . . , _ ‘ - — . _ - . . - H a — 4 . o « r ' 2 4 7 g r a p h a n d m o r e d e t a i l e d t a b l e o f v a l u e s i s " n o t g o i n g t o c h a n g e t h e r a t e o f g r o w t h " . T h e y a r e , o f c o u r s e , c o r r e c t ; e n l a r g i n g t h e g r a p h a n d c r e a t i n g a m o r e d e t a i l e d t a b l e o f v a l u e s d o e s n o t c h a n g e t h e r a t e o f g r o w t h . I t d o e s h o w e v e r g i v e m o r e i n f o r m a t i o n w h i c h m a y h e l p o n e g e t a m o r e a c c u r a t e a n s w e r f o r t h e r a t e o f g r o w t h a t a p o i n t . T w o s t u d e n t s r e f e r e n c e d u s e d t h e c o o r d i n a t e s o f t h e p o i n t a t t = 4 t o g e t t h e i r a n s w e r s . B o t h o f t h e s e s t u d e n t s u s e d t h i s s a m e s t r a t e g y t o g e t t h e i r t w o p r e v i o u s a n s w e r s f o r t h e g r o w t h r a t e a t t = 4 . T w o s t u d e n t s c o m p u t e d c h a n g e s f r o m t = 3 . 7 5 t o t = 4 a n d f r o m t = 4 t o t = 4 . 2 5 t o m a k e q u a l i t a t i v e s t a t e m e n t s a b o u t t h e r a t e o f c h a n g e a t t = 4 : " I s t i l l s a y , y o u k n o w , t h a t ' s t h e p o i n t o f i t s b i g i n c r e a s e , I ' d s a y , b e c a u s e f r o m h e r e t o h e r e [ f r o m t = 4 t o t = 4 . 2 5 t o t = 4 . 5 t o t = 4 . 7 5 t o t = 5 - h e p o i n t s t o t h e c e l l v a l u e s f o r a l l o f t h e s e t i m e v a l u e s a s h e t a l k s ] i t s t a r t s i n c r e a s i n g e v e n m o r e . B u t r i g h t h e r e [ f r o m t = 3 t o t = 3 . 2 5 t o t = 3 . 5 t o t = 3 . 7 5 t o t = 4 ] i t ' s n o t t o o m u c h a s f a r a s r i g h t h e r e a t t h i s p o i n t . I t ' s a l m o s t i n c r e a s e d 8 [ f r o m t = 3 . 7 5 t o t = 4 ] , b u t h e r e i t ' s a l m o s t u p t o 1 0 h e r e [ f r o m t = 4 t o t = 4 . 2 5 ] . " B G - P r e c a l c u l u s O n e s t u d e n t u s e d p e r c e n t c h a n g e f r o m t = 4 t o t = 4 . 2 5 t o f i n d t h e r a t e o f g r o w t h a t t = 4 : " [ S h e c o m p u t e s c h a n g e i n n u m b e r o f c e l l s f r o m t = 4 t o t = 4 . 2 5 a n d g e t s 8 . 6 . ] I s t h i s t h e n u m b e r o f ? ( N u m b e r o f c e l l s ) A l r i g h t . ( a t t h a t p o i n t i n t i m e . S o t h i s i s t h e n u m b e r o f c e l l s a t 4 a m a n d t h i s i s t h e n u m b e r o f c e l l s a t 4 : 1 5 . ) [ S h e t h e n d i v i d e s 8 . 6 b y 7 1 . 1 a n d g e t s . 1 2 . ] S o - t h a t d i d n ' t r e a l l y h e l p . ( Y o u t o o k t h e d i f f e r e n c e ) A p e r c e n t . ( A n d t h e n y o u d i v i d e d i t b y t h a t [ 7 1 . 1 ] ? ) R i g h t . A n d t h e n ( A n d y o u g o t 1 2 p e r c e n t i n c r e a s e ? ) U h h u h . " M H - P r e c a l c u l u s T h i s i s t h e s a m e s t u d e n t w h o i n t h e t w o p r e v i o u s p a r t s u s e d c h a n g e f r o m t = 4 t o t = 5 a n d c o n c l u d e d t h a t " i t m u l t i p l i e d b y t w o - t h i r d s " . T h e g r o w t h f r o m t = 4 t o t = 5 w a s a 6 6 p e r c e n t i n c r e a s e o v e r t h e g r o w t h f r o m t = 0 t o t = 4 . H e r e , t h e g r o w t h f r o m t = 4 t o t = 4 . 2 5 w a s a 1 2 p e r c e n t i n c r e a s e o v e r t h e g r o w t h f r o m t = 0 t o t = 4 . T h i s i s a w a y o f — - — — - q . . _ . - M “ = - 7 — - — v : a a . " “ - - ‘ o - a v . 2 4 8 l o o k i n g a t r a t e o f c h a n g e a t a p o i n t i n t e r m s o f p e r c e n t i n c r e a s e i m m e d i a t e l y a f t e r t h e p o i n t i n c o m p a r i s o n w i t h t o t a l c h a n g e s i n c e t h e b e g i n n i n g t i m e v a l u e t = 0 . T h i s i s a n i n t e r e s t i n g w a y t o t h i n k a b o u t r a t e o f c h a n g e a t a p o i n t t h o u g h n o t c o n s i s t e n t w i t h c o n v e n t i o n a l m e t h o d s . W . W h i l e t h e r e w e r e n o d r a m a t i c d i f f e r e n c e s i n s t r a t e g y u s e b e t w e e n t h e o r i g i n a l g r a p h a n d t a b l e a n d t h e e n l a r g e d g r a p h a n d t a b l e , w i t h t h e l a t t e r , m o r e s t u d e n t s m a d e u s e o f i n t e r v a l s , e s p e c i a l l y t h e h a l f h o u r i n t e r v a l s t r a d d l i n g t = 4 . F o r s t u d e n t s w h o h a d a l r e a d y c o m m i t t e d t h e m s e l v e s t o u s i n g i n t e r v a l s w i t h t h e f i r s t t a b l e o f v a l u e s , t h e p r e s e n c e o f d a t a a b o u t t h e n u m b e r o f c e l l s a t t i m e v a l u e s c l o s e r t o t = 4 m a y h a v e e n c o u r a g e d t h e m t o u s e a v e r a g e r a t e o f c h a n g e o v e r t h e s e s m a l l e r i n t e r v a l s . Q h Q Q s i n g _ w h i c h _ a n s w e r _ i s _ b e s t . T w e n t y - n i n e o f t h e 3 7 s t u d e n t s h a d t h r e e d i f f e r e n t a n s w e r s f o r t h e r a t e o f c h a n g e a t t = 4 - o n e o b t a i n e d u s i n g t h e o r i g i n a l g r a p h , o n e f r o m t h e o r i g i n a l t a b l e o f v a l u e s , a n d o n e f r o m t h e e n l a r g e d g r a p h a n d t a b l e . I a s k e d t h e s e s t u d e n t s w h i c h o f t h e i r t h r e e a n s w e r s t h e y l i k e d b e s t a n d w h y . A l l o f t h e m s a i d t h e y l i k e d t h e i r l a s t a n s w e r b e s t . T h e y d i d n o t s e e m b o t h e r e d t h a t t h e y h a d t h r e e d i f f e r e n t a n s w e r s t o t h e s a m e q u e s t i o n . A s s t u d e n t s ' c o m m e n t s b e l o w i n d i c a t e , t h e y u n d e r s t o o d t h a t t h e s e a n s w e r s w e r e e s t i m a t e s f o r t h e e x a c t a n s w e r a n d t h e y w e r e b e i n g a s k e d t o d e c i d e w h i c h e s t i m a t e t h e y l i k e d b e s t a n d w h y . T a b l e 1 3 s h o w s t h e r e a s o n s s t u d e n t s g a v e f o r w h y t h e y l i k e d t h e i r l a s t a n s w e r b e s t . 2 4 9 T a b l e 1 3 R e a s o n s s t u d e n t s g a v e f o r w h y t h e y l i k e d t h e i r l a s t a n s w e r b e s t R e a s o n N u m b e ; _ 1 & 1 _ 9 fi _ a t n d § n t fi I n t e r v a l w a s s m a l l e r 2 5 ( 8 6 % ) P o i n t s w e r e c l o s e r t o t a n g e n t l i n e 4 ( 1 4 % ) U s e d p o i n t s o n b o t h s i d e s o f t = 4 1 ( 3 % ) ( O n e c a l c u l u s s t u d e n t g a v e t w o a n s w e r s . ) O n l y 2 9 s t u d e n t s w e r e a s k e d t h i s q u e s t i o n . O n e c a l c u l u s s t u d e n t g a v e t w o a n s w e r s . T h i s q u e s t i o n w a s n o t a s k e d o f s t u d e n t s w h o o b t a i n e d t h e s a m e a n s w e r w i t h t h e o r i g i n a l g r a p h , t h e o r i g i n a l t a b l e o f v a l u e s , a n d t h e e n l a r g e d g r a p h a n d m o r e d e t a i l e d t a b l e n o r w a s i t a s k e d o f s t u d e n t s w h o d i d n o t o b t a i n n u m e r i c a l a n s w e r s . M o s t o f t h e s e s t u d e n t s s a i d t h e i r l a s t a n s w e r w a s b e s t b e c a u s e i t w a s b a s e d o n a s m a l l e r i n t e r v a l , i t i n v o l v e d o n l y p o i n t s c l o s e r t o t = 4 : " ( W h i c h o f t h e s e t h r e e a n s w e r s d o y o u h a v e t h e m o s t f a i t h i n ? 2 0 , 3 5 . 9 6 , o r 3 3 c e l l s p e r h o u r ? ) 3 3 ( W h y ? ) B e c a u s e i t ' s g o i n g t o b e m o r e a c c u r a t e b e c a u s e t h e n y o u ' r e d o i n g i t b e t w e e n 3 a n d 4 , t h e c h a n g e i n r a t e o v e r t h a t t i m e i s g r e a t e r t h a n t h e c h a n g e i n r a t e j u s t i n a q u a r t e r o f a n h o u r a n d s o t h e r e ' s a b i g g e r m a r g i n f o r e r r o r i f y o u ' r e d o i n g 3 a n d 4 a n d 4 a n d 5 . " K H ~ P r e c a l c u l u s " T h i s o n e ' s [ h e r l a s t a n s w e r ] a b e t t e r e s t i m a t e b e c a u s e i t ' s o v e r a s h o r t e r a m o u n t o f t i m e . " R C - C a l c u l u s " I w o u l d p r o b a b l y g o w i t h t h i s o n e [ l a s t a n s w e r ] ' c a u s e i t ' s m o r e d e f i n e d . I m e a n , t h r e e p o i n t s e v e n [ p o i n t i n g t o 3 . 7 5 t o 4 ] , y o u k n o w , I b r o k e i t d o w n a l i t t l e m o r e , w h e r e a s t h i s o n e [ f r o m t = 3 t o t = 4 ] i s a l i t t l e m o r e b r o a d e r , I w o u l d s a y . " R C - P o s t c a l c u l u s S t u d e n t s w h o g a v e t h i s t y p e o f a n s w e r m a d e i t c l e a r t h a t c o n s i d e r i n g o n l y p o i n t s c l o s e r t o t = 4 s h o u l d g i v e u s a b e t t e r e s t i m a t e o f t h e r a t e o f c h a n g e a t t = 4 . 2 5 0 A f e w s t u d e n t s m a d e r e f e r e n c e t o t h e t a n g e n t l i n e : " B e c a u s e t h i s i s t a k i n g t h e s l o p e o f t h i s l i n e r i g h t h e r e [ t h e l i n e t h r o u g h t h e p o i n t s w i t h t i m e v a l u e s 3 . 7 5 a n d 4 . 2 5 ] w h i c h i s m o r e t h e s l o p e o f t h e t a n g e n t l i n e t h a n i s t h i s l i n e r i g h t h e r e [ t h e l i n e t h r o u g h t h e p o i n t s w i t h t i m e v a l u e s 3 a n d 5 ] . T h i s o n e i s m o r e a c c u r a t e . " J S - P o s t c a l c u l u s F o r t h e s e s t u d e n t s t h e i r l a t e s t a n s w e r s w e r e b e s t s i n c e t h e p o i n t s t h e y u s e d t o o b t a i n t h e s e a n s w e r s w e r e c l o s e r t o t h e t a n g e n t l i n e t h a n t h e p o i n t s t h e y u s e d t o o b t a i n p r e v i o u s a n s w e r s a n d t h e r e f o r e t h e i r l a s t a n s w e r w a s c l o s e r t o b e i n g t h e s l o p e o f t h e t a n g e n t l i n e . O n e s t u d e n t s a i d h i s l a s t a n s w e r w a s b e s t s i n c e i t u s e d p o i n t s o n b o t h s i d e s o f t = 4 ; h i s e a r l i e r a n s w e r s u s e d o n l y p o i n t s b e f o r e t = 4 . G e t t i n g _ a _ b e t t e r _ a n s w e r . I t h e n a s k e d t h e s e s t u d e n t s h o w t h e y w o u l d g e t y e t a b e t t e r a n s w e r f o r t h e r a t e o f c h a n g e a t t = 4 . T a b l e 1 4 s h o w s t h e i r r e s p o n s e s . T a b l e 1 4 R e s p o n s e s t o t h e q u e s t i o n " H o w w o u l d y o u g e t a b e t t e r a n s w e r ? " R e s p o n s e s N u m b e r J i L Q L s t n d e n t a U s e s m a l l e r i n t e r v a l s 2 5 ( 9 3 % ) T a k e l i m i t o f a v g . r a t e o f c h a n g e 1 0 ( 3 7 % ) o v e r s m a l l e r a n d s m a l l e r i n t e r v a l s E v a l u a t e d e r i v a t i v e a t t = 4 1 0 ( 3 7 % ) S l o p e a t t = 4 3 ( 1 1 % ) I n t e g r a t e f r o m t = 0 t o t = 4 1 ( 4 % ) F i n d a n e q u a t i o n f o r t h e c h a n g e 1 ( 4 % ) E v a l u a t e e q u a t i o n f o r t h e c u r v e a t t = 4 2 ( 7 % ) U s e t i m e a f t e r t = 4 a l s o 1 ( 7 % ) P e r c e n t s a r e c o m p u t e d o n t h e b a s i s o f 2 7 , t h e n u m b e r o f s t u d e n t s w h o a n s w e r e d t h i s q u e s t i o n . 2 5 1 M o s t o f t h e s e s t u d e n t s s a i d t h e y w o u l d u s e s m a l l e r i n t e r v a l s a r o u n d t = 4 t o g e t a b e t t e r a p p r o x i m a t i o n : " ( W h a t w o u l d y o u h a v e t o d o t o g e t a b e t t e r a n s w e r ? ) T a k e r e a d i n g s t h a t w e r e e v e n c l o s e r t o 4 - l i k e 3 : 5 0 a n d 4 : 1 0 . T h e c l o s e r y o u g o t t o 4 , t h e c l o s e r y o u r a n s w e r w o u l d b e . " K H - P r e c a l c u l u s " T h i s o n e w o u l d c o m e o u t e v e n m o r e a c c u r a t e [ r e f e r r i n g t o t h e i n t e r v a l f r o m 3 . 9 t o 4 . 1 ] . ( W h y d o y o u s a y i t w o u l d b e m o r e a c c u r a t e ? ) B e c a u s e i t ' s g i v i n g m e a b o u t a l m o s t - t h e r e ' s l e s s t i m e i n b e t w e e n . S o w e ' r e b r e a k i n g i t d o w n e v e n m o r e . " R C — P o s t c a l c u l u s O t h e r s t u d e n t s w e n t o n s a y t h a t t o g e t a n e x a c t a n s w e r , t h e y w o u l d k e e p t a k i n g s m a l l e r a n d s m a l l e r i n t e r v a l s a n d t h e n c o n j e c t u r e w h a t t h e l i m i t i n g v a l u e s w a s : " T a k e t h e m c l o s e r a n d c l o s e r a n d c l o s e r [ p o i n t i n g t o a t a b l e o f v a l u e s f o r t = 3 . 9 , t = 3 . 9 9 , t = 3 . 9 9 9 , t = 4 . 0 0 1 , t = 4 . 0 1 , a n d t = 4 . l ] . T h e n y o u c o u l d t a k e t h e l i m i t . " H L — C a l c u l u s " L i k e t a k e t h e a v e r a g e f r o m t h e r e t o t h e r e [ f r o m t = 3 . 9 t o t = 4 . 1 ] a n d t h e r e t o t h e r e [ f r o m t = 3 . 9 9 a n d t = 4 . 0 1 ] , t a k e a l l o f t h e a v e r a g e s a n d s e e w h a t t h e n u m b e r s s e e m t o b e a p p r o a c h i n g . " J G - P o s t c a l c u l u s A l t h o u g h o n l y o n e s t u d e n t ( J G ) a c t u a l l y m e n t i o n e d h e w a s c o m p u t i n g t h e l i m i t o f t h e a v e r a g e r a t e s o f c h a n g e o v e r s m a l l e r a n d s m a l l e r i n t e r v a l s , i t w a s a s s u m e d f r o m t h e l a r g e r c o n t e x t o f t h e s t u d e n t s ' r e m a r k s t h a t t h e y w e r e t a l k i n g a b o u t a v e r a g e r a t e s o f c h a n g e o v e r t h e s e i n t e r v a l s a n d t h e l i m i t t h e s e n u m b e r s w o u l d b e a p p r o a c h i n g . T e n s t u d e n t s s a i d t h a t i f t h e y h a d a n e q u a t i o n f o r t h e c u r v e , t h e y w o u l d " t a k e t h e d e r i v a t i v e " a n d e v a l u a t e i t a t t = 4 . O t h e r s t u d e n t s s a i d t h a t i f t h e y h a d a n e q u a t i o n f o r t h e c u r v e , t h e y w o u l d e v a l u a t e i t a t t = 4 o r i n t e g r a t e i t f r o m t = 0 t o t = 4 . O n e s t u d e n t h o p e d f o r a n e q u a t i o n t h a t w o u l d y i e l d t h e c h a n g e i n p o p u l a t i o n f o r e a c h t v a l u e . 2 5 2 T h r e e s t u d e n t s m e n t i o n e d s l o p e i n t h e i r p r o c e d u r e t o g e t a b e t t e r a n s w e r : " T a k e t h e t a n g e n t t o t h e l i n e . E v e n w i t h o n e m i n u t e e i t h e r s i d e o f 4 t h e r e ' d s t i l l b e a l i t t l e r o o m b e t w e e n t h e l i n e a n d t h e g r a p h . T h e d e g r e e o f a c c u r a c y i s i n c r e d i b l y d i f f e r e n t b u t i t s t i l l w o u l d b e j u s t a p p r o a c h i n g t h e e x a c t a n s w e r . " D R — C a l c u l u s " I f y o u t o o k t h e s l o p e w h e n i t w a s h e r e [ f r o m t = 3 . 7 5 t o t = 4 ] , a n d t h e n y o u t o o k t h e s l o p e w h e n i t w a s t h a t [ f r o m t = 3 . 9 t o t = 4 . 1 ] a n d t h e n y o u t o o k t h e s l o p e w h e n i t w a s t h a t [ f r o m t = 3 . 9 9 t o t = 4 . 0 1 ] . " S B - C a l c u l u s " W e l l , a s y o u g e t p o i n t s c l o s e r a n d c l o s e r t o 4 , t h e r e ' s a v a l u e w h i c h t h e s l o p e w i l l a p p r o a c h b u t n o t r e a c h . A s s u m i n g i t ' s a c o n t i n u o u s f u n c t i o n . W e ' r e a s s u m i n g i t ' s c o n t i n u o u s . 8 0 - a n d d i f f e r e n t i a b l e - a s t h e y g e t c l o s e r a n d c l o s e r t o 4 , t h e r e ' l l b e a v a l u e w h i c h t h e y a p p r o a c h b u t d o n ' t a c t u a l l y r e a c h . A n d t h a t ' s t h e l i m i t . " A D - P o s t c a l c u l u s F i n a l l y , o n e s t u d e n t w h o h a d u n t i l n o w u s e d o n l y i n t e r v a l s b e f o r e t = 4 n o w d e c i d e d t h a t t o g e t a b e t t e r a n s w e r s h e c o u l d a l s o i n c l u d e i n t e r v a l s a f t e r t = 4 . W . A s s t u d e n t s m o v e d t h r o u g h t h e " b i o m a s s " t a s k , t h e y m a d e m o r e u s e o f a v e r a g e r a t e o f c h a n g e o v e r i n t e r v a l s a n d e s p e c i a l l y o v e r t h e s m a l l e s t a v a i l a b l e i n t e r v a l s b e f o r e o r a r o u n d t = 4 . W h e n a s k e d w h i c h o f t h e i r a n s w e r s t h e y l i k e d b e s t , t h e y c o n s i s t e n t l y s a i d t h e y l i k e d t h e o n e b a s e d o n t h e s m a l l e s t i n t e r v a l s , a n d w h e n a s k e d h o w t o g e t a n e v e n b e t t e r a n s w e r , t h e y w o u l d l i k e d t o h a v e h a d e v e n s m a l l e r i n t e r v a l s b e f o r e o r a r o u n d t = 4 . T h i s s h o w s a h e a v y r e l i a n c e o n c h a n g e i n t h e d e p e n d e n t v a r i a b l e o v e r i n t e r v a l s o f t h e i n d e p e n d e n t v a r i a b l e i n t h i n k i n g a b o u t r a t e o f c h a n g e a t a p o i n t . - " ' " . S t u d e n t s w e r e a s k e d h o w f a s t t h e a r e a o f t h e c i r c l e w a s g r o w i n g w h e n t h e r a d i u s w a s e x a c t l y t h r e e f e e t . A p p e n d i x G s h o w s d i f f e r e n t w a y s o f a d d r e s s i n g t h i s q u e s t i o n a n d a n s w e r s 2 5 3 o b t a i n e d f o r e a c h w a y . C o r r e c t a n s w e r s w e r e d i s c u s s e d e a r l i e r i n t h i s c h a p t e r . A s w i t h T a s k s 4 a n d 5 , s t u d e n t s u s e d a v a r i e t y o f s t r a t e g i e s t o f i n d t h e r a t e o f c h a n g e o f t h e a r e a w h e n t h e r a d i u s w a s t h r e e a n d t h e d i s t r i b u t i o n o f s t r a t e g y b e t w e e n t h e g r a p h a n d t a b l e d i f f e r e d . T a b l e 1 5 s h o w s t h e s t r a t e g i e s s t u d e n t s u s e d w i t h t h e g r a p h a n d t a b l e . T a b l e 1 5 S t r a t e g i e s f o r f i n d i n g t h e r a t e o f c h a n g e a t r = 3 u s i n g g r a p h a n d t a b l e _ _ _ _ _ j fl u E U E E D L . _ _ _ . . fi r a p h _ _ S t r a t e g y _ I a b l g _ _ R e f e r t o s l o p e 8 ( 2 7 % ) A v g . r a t e f r o m 1 5 ( 5 0 % ) 2 . 7 5 t o 3 . 2 5 A v g . r a t e f r o m 7 ( 2 3 % ) A v g . r a t e f r o m 6 ( 2 0 % ) 2 . 7 5 t o 3 . 0 0 2 . 7 5 t o 3 . 0 0 A v g . r a t e f r o m 7 ( 2 3 % ) A v g . r a t e f r o m 4 ( 1 3 % ) r = 0 r = 0 A v g . r a t e f r o m 6 ( 2 0 % ) R e f e r e n c e t o a 2 ( 7 % ) 2 . 0 0 t o 4 . 0 0 p o i n t A v g . r a t e f r o m 4 ( 1 3 % ) R e f e r t o s l o p e 2 ( 7 % ) 2 . 7 5 t o 3 . 2 5 R e f e r e n c e t o a 1 ( 3 % ) A v g . r a t e f r o m 1 ( 3 % ) p o i n t 2 . 0 0 t o 4 . 0 0 O t h e r s t r a t e g i e s 5 ( 1 7 % ) O t h e r s t r a t e g i e s 6 ( 2 0 % ) T o t a l s d o n o t a d d t o 3 0 , t h e n u m b e r o f s t u d e n t s w h o w e r e a s k e d t h i s q u e s t i o n , s i n c e s o m e s t u d e n t s u s e d m o r e t h a n o n e s t r a t e g y . T h e m o s t f r e q u e n t l y u s e d s t r a t e g y w i t h t h e g r a p h w a s r e f e r e n c e t o s l o p e w i t h o v e r o n e - f o u r t h o f t h e s t u d e n t s u s i n g t h i s s t r a t e g y . W i t h t h e t a b l e o f v a l u e s t h e m o s t f r e q u e n t l y u s e d s t r a t e g y w a s a v e r a g e r a t e o f c h a n g e i n t h e a r e a f r o m r = 2 . 7 5 t o r = 3 . 2 5 w i t h h a l f o f t h e s t u d e n t s u s i n g t h i s s t r a t e g y . W i t h t h e g r a p h o t h e r f r e q u e n t l y u s e d s t r a t e g i e s w e r e a v e r a g e r a t e o f c h a n g e s t a r t i n g a t r = 0 , a v e r a g e r a t e o f c h a n g e f r o m r = 2 t o r = 4 , a n d a v e r a g e r a t e o f c h a n g e f r o m r = 2 . 7 5 t o r = 3 . E a c h o f t h e s e s t r a t e g i e s w a s u s e d b y a t l e a s t o n e f i f t h o f t h e s t u d e n t s . W i t h t h e t a b l e o f v a l u e s t h e o t h e r f r e q u e n t l y u s e d 2 5 4 s t r a t e g y w a s a v e r a g e r a t e o f c h a n g e f r o m r = 2 . 7 5 t o r = 3 w i t h o n e - f i f t h o f t h e s t u d e n t s u s i n g t h i s s t r a t e g y . O n l y o n e s t r a t e g y w a s c o m m o n l y u s e d b y s t u d e n t s w i t h b o t h t h e g r a p h a n d t h e t a b l e o f v a l u e s . W i t h e a c h , a b o u t o n e - f i f t h o f t h e s t u d e n t s u s e d a v e r a g e r a t e o f c h a n g e f r o m r = 2 . 7 5 t o r = 3 . A v e r a g e r a t e o f c h a n g e f r o m r = 2 . 7 5 t o r = 3 . 2 5 w a s u s e d b y a b o u t o n e - e i g h t h o f t h e s t u d e n t s w h e n u s i n g t h e g r a p h a n d a v e r a g e r a t e o f c h a n g e s t a r t i n g a t r = 0 w a s u s e d b y a b o u t o n e - e i g h t h o f t h e s t u d e n t s w h e n u s i n g t h e t a b l e o f v a l u e s . O n e s t u d e n t r e c o g n i z e d t h a t t h e e q u a t i o n f o r t h e r e l a t i o n s h i p b e t w e e n t h e r a d i u s a n d t h e a r e a o f t h e c i r c l e w a s A = ( P I ) r 2 , d i f f e r e n t i a t e d t h i s e q u a t i o n t o g e t A ' = 2 ( P I ) r , t h e n e v a l u a t e d t h i s a t r = 3 t o g e t h i s a n s w e r w h e n u s i n g t h e g r a p h . W h e n u s i n g t h e t a b l e h e d e c i d e d t o u s e a v e r a g e r a t e o f c h a n g e o f a r e a f r o m r = 2 . 7 5 t o r = 3 . 2 5 . A n o t h e r s t u d e n t w h o h a d u s e d t h e e q u a t i o n A = ( P I ) r 2 t o a n s w e r t h e q u e s t i o n s a b o u t h o w m u c h t h e a r e a g r e w f r o m r = 2 t o r = 3 a n d f r o m r = 3 t o r = 4 c h o s e t o u s e s l o p e o f t a n g e n t l i n e t o f i n d t h e r a t e o f c h a n g e o f t h e a r e a a t r = 3 w h e n u s i n g t h e g r a p h a n d t h e a v e r a g e r a t e o f c h a n g e f r o m r = 2 . 7 5 t o r = 3 . 2 5 w h e n u s i n g t h e t a b l e o f v a l u e s . O n e s t u d e n t s a i d t h a t t h e a r e a o f t h e c i r c l e w a s n o t g r o w i n g w h e n t h e r a d i u s w a s r = 3 : " W e l l , w h e n i t ' s e x a c t l y t h r e e f e e t i t ' s n o t r e a l l y g r o w i n g , i s i t ? " M H - P r e c a l c u l u s T h i s c o u l d b e t a k e n t o m e a n t h a t s h e d i d n o t b e l i e v e t h a t t h e a r e a h a d a r a t e o f c h a n g e a t r = 3 , t h a t r a t e o f c h a n g e a t a p o i n t d o e s n o t m a k e s e n s e . I p r e s s e d h e r f u r t h e r t o s e e w h a t s h e w o u l d d o w i t h i n f o r m a t i o n a b o u t c h a n g e i n t h e a r e a f o r o n e f o o t a n d o n e q u a r t e r f o o t c h a n g e s i n 2 5 5 t h e r a d i u s b e f o r e a n d a f t e r r = 3 . W e u s e d t h e t a b l e o f v a l u e s t o f i n d h o w m u c h t h e a r e a g r e w b e t w e e n r = 2 a n d r = 3 ( a b o u t 1 5 s q u a r e f e e t ) , b e t w e e n r = 3 a n d r = 4 ( 2 2 s q u a r e f e e t ) , b e t w e e n r = 2 . 7 5 a n d r = 3 ( " a l i t t l e l e s s t h a n f i v e " ) , a n d b e t w e e n r = 3 a n d r = 3 . 2 5 ( " a l i t t l e l e s s t h a n f i v e a g a i n , b u t c l o s e r t o f i v e " ) . I a g a i n a s k e d h e r h o w f a s t t h e a r e a w a s g r o w i n g w h e n t h e r a d i u s w a s e x a c t l y t h r e e f e e t : " H o w f a s t i s i t g r o w i n g ? I t ' s n o t g r o w i n g t o o f a s t i f i t ' s g r o w i n g b e c a u s e t h e d i f f e r e n c e b e t w e e n t h e 2 . 7 5 a n d 3 a n d t h e n t h e 3 a n d 3 . 2 5 i s n ' t v e r y m u c h . " M H - P r e c a l c u l u s O n e i n t e r p r e t a t i o n o f t h i s i n t e r c h a n g e m i g h t b e t h a t s h e h a d o b s e r v e d t h a t a s t h e i n t e r v a l s f o r t h e r a d i u s g e t s m a l l e r , t h e c h a n g e i n a r e a a l s o g e t s s m a l l e r s o t h a t a t r = 3 , a n i n t e r v a l w i t h z e r o w i d t h , t h e c h a n g e h a d t o b e z e r o a n d t h e r e f o r e t h e a r e a o f t h e c i r c l e s w a s n o t g r o w i n g a t r = 3 . A n o t h e r i n t e r p r e t a t i o n i s t h a t s h e c o m p a r e d t h e c h a n g e i n a r e a f r o m r = 2 . 7 5 t o r = 3 t o t h e c h a n g e i n a r e a f r o m r = 3 t o r = 3 . 2 5 a n d n o t i c e d t h a t t h e y w e r e n e a r l y t h e s a m e a n d t h e r e f o r e t h e r e w a s e s s e n t i a l l y n o c h a n g e a t r = 3 . T h a t i s , s h e i n t e r p r e t e d n o c h a n g e i n t h e c h a n g e o v e r t h o s e t w o i n t e r v a l s a s n o c h a n g e i n t h e a r e a a t r = 3 . Y e t a n o t h e r i n t e r p r e t a t i o n i s t h a t t h i s s t u d e n t s i m p l y d o e s n o t b e l i e v e t h a t a q u a n t i t y c a n b e c h a n g i n g a t a p o i n t . I n T a s k 4 t h i s s t u d e n t u s e d a v e r a g e r a t e o f c h a n g e o v e r t h e p r e v i o u s s e c o n d t o g e t t h e s p e e d o f t h e b a l l a t e a c h o f t h e f o u r t i m e v a l u e s a n d i n T a s k 5 u s e d p e r c e n t c h a n g e o v e r t h e i n t e r v a l i m m e d i a t e l y a f t e r t = 4 r e l a t i v e t o c h a n g e f r o m t = 0 t o t = 4 t o f i n d t h e r a t e o f c h a n g e o f t h e g r o w t h a t t = 4 . T h i s s t u d e n t k n e w i n T a s k 4 t h a t s p e e d s h o u l d b e m e a s u r e d i n f e e t p e r s e c o n d . S o s h e u s e d n u m b e r o f f e e t t r a v e l e d o v e r t h e p r e v i o u s f u l l s e c o n d t o g e t a n a n s w e r c o n s i s t e n t w i t h 2 5 6 t h a t k n o w l e d g e . I n T a s k 5 s h e k n e w t h a t p o p u l a t i o n g r o w t h w a s d e p e n d e n t o n h o w m u c h p o p u l a t i o n h a d a l r e a d y g r o w n , s o s h e b a s e d h e r a n s w e r t h e r e o n h o w m u c h i t g r e w i n t h e i n t e r v a l i m m e d i a t e l y a f t e r t = 4 i n c o m p a r i s o n t o h o w m u c h i t h a d a l r e a d y g r o w n . I n T a s k 6 s h e d i d n o t u s e e i t h e r o f t h o s e t y p e s o f s t r a t e g i e s t o m a k e s e n s e o f r a t e o f c h a n g e a t a p o i n t . W i t h m y g u i d a n c e s h e l o o k e d a t c h a n g e s i n t h e a r e a o v e r i n t e r v a l s o f c h a n g e s i n t h e r a d i u s , a s t r a t e g y s i m i l a r t o w h a t s h e d i d i n T a s k 4 . B u t w h e r e a s i n T a s k 4 t h a t s t r a t e g y y i e l d e d a n a n s w e r t h a t m a d e s e n s e , s p e e d i n t e r m s o f f e e t p e r s e c o n d , i n T a s k 6 i t d i d n o t . S h e d i d h o w e v e r d o s o m e t h i n g t h a t m a d e p r e t t y g o o d s e n s e . I f t h e c h a n g e i n a r e a o v e r t h e q u a r t e r f o o t b e f o r e r = 3 i s a b o u t t h e s a m e a s t h e c h a n g e i n a r e a o v e r t h e q u a r t e r f o o t a f t e r r = 3 , t h e n i n s o m e s e n s e t h e a r e a i s n o t c h a n g i n g a t r = 3 a n d t h e r e f o r e " i t ' s n o t r e a l l y g r o w i n g , i s i t ? " . I n s u m m a r y , a s w i t h T a s k s 4 a n d 5 a s i g n i f i c a n t n u m b e r o f s t u d e n t s u s e d s l o p e t o f i n d r a t e o f c h a n g e a t a p o i n t w h e n w o r k i n g w i t h a g r a p h . B u t w h e n p r e s e n t e d w i t h a t a b l e o f v a l u e s , t h e m o s t f r e q u e n t l y u s e d s t r a t e g y w a s a v e r a g e r a t e o f c h a n g e o v e r t h e h a l f f o o t i n t e r v a l s t r a d d l i n g r = 3 . E v e n w i t h t h e g r a p h a l a r g e p e r c e n t o f t h e s t u d e n t s u s e d a v e r a g e r a t e o f c h a n g e o v e r i n t e r v a l s o f v a r y i n g l e n g t h - l o n g i n t e r v a l s [ f r o m r = 0 t o r = 3 ] , m e d i u m i n t e r v a l s [ r = 2 t o r = 4 ] , o r s h o r t i n t e r v a l s [ r = 2 . 7 5 t o r = 3 o r r = 2 . 7 5 t o r = 3 . 2 5 ] . I n g o i n g f r o m t h e g r a p h t o t h e t a b l e , s t u d e n t s m a d e l e s s u s e o f l o n g e r i n t e r v a l s [ f r o m r = 0 t o r = 3 a n d f r o m r = 2 t o r = 4 ] a n d m o r e u s e o f s h o r t e r i n t e r v a l s [ f r o m r = 2 . 7 5 t o r = 3 a n d f r o m r = 2 . 7 5 t o r = 3 . 2 5 ] . 2 5 7 T h e d i s t r i b u t i o n o f s t r a t e g y u s e i n T a s k 6 h a d m o r e s p r e a d t h a n i n T a s k s 4 a n d 5 . I n T a s k 4 , w i t h b o t h t h e g r a p h a n d t h e t a b l e , a t o n e t i m e v a l u e o n l y o n e s t r a t e g y h a d a f r e q u e n c y o f a t l e a s t 2 0 p e r c e n t o f t h e s t u d e n t s , a t t w o t i m e v a l u e s t w o s t r a t e g i e s h a d f r e q u e n c i e s t h i s l a r g e , a n d a t t h e o t h e r t i m e v a l u e , t h r e e s t r a t e g i e s h a d f r e q u e n c i e s t h i s l a r g e . I n T a s k 5 , w i t h t h e o r i g i n a l g r a p h , t h r e e s t r a t e g i e s h a d f r e q u e n c i e s o f a t l e a s t 2 0 p e r c e n t o f t h e s t u d e n t s , a n d w i t h t h e o r i g i n a l t a b l e a n d t h e e n l a r g e d g r a p h a n d t a b l e , o n l y t w o s t r a t e g i e s h a d f r e q u e n c i e s t h i s l a r g e . I n c o n t r a s t , i n T a s k 6 , w i t h t h e g r a p h f o u r s t r a t e g i e s h a d f r e q u e n c i e s o f a t l e a s t 2 0 p e r c e n t . O n e e x p l a n a t i o n f o r t h i s i s t h a t t h e s i t u a t i o n i n T a s k 6 w a s l e s s f a m i l i a r t o s t u d e n t s t h a n t h e s i t u a t i o n s i n T a s k 4 a n d 5 . I n T a s k 4 s t u d e n t s m a d e h e a v y u s e o f " a n a l y s i s o f m o v i n g o b j e c t s " . I n T a s k 6 t h e r e w a s n o s i m i l a r s t r a t e g y . A l t h o u g h s t u d e n t s m i g h t h a v e h a d e x p e r i e n c e s w i t h d r o p p i n g a r o c k i n t o a p o n d a n d w a t c h i n g t h e g r o w i n g c i r c l e s , i t i s d o u b t f u l t h e y w o u l d h a v e h a d m u c h e x p e r i e n c e w i t h t h i n k i n g a b o u t t h e r a t e o f c h a n g e o f t h e a r e a o f t h e c i r c l e s . I n T a s k 4 , b e c a u s e o f e v e r y d a y e x p e r i e n c e s w i t h s p e e d , s t u d e n t s w e r e m o r e l i k e l y t o a s s o c i a t e s p e e d w i t h t h e p a r t i c u l a r s i t u a t i o n a n d t h e r e f o r e u s e a s t r a t e g y t h a t c o n n e c t e d t h i s s i t u a t i o n w i t h s p e e d . I n b o t h T a s k s 4 a n d 5 , t i m e w a s t h e i n d e p e n d e n t v a r i a b l e a n d s i n c e s t u d e n t s a r e u s e d t o t h i n k i n g a b o u t s p e e d a n d r a t e o f c h a n g e i n t e r m s o f t i m e , s t u d e n t s w e r e l i k e l y t o u s e s t r a t e g i e s t h a t t o o k a d v a n t a g e o f t h i s . I n T a s k 6 , t h e i n d e p e n d e n t v a r i a b l e w a s r a d i u s , n o t t i m e , a n d t h e r e f o r e s t u d e n t s c o u l d n o t t h i n k a b o u t r a t e o f c h a n g e i n t e r m s o f c h a n g e i n s o m e q u a n t i t y o v e r t i m e . T h i s w o u l d h a v e p r e v e n t e d t h e m f r o m 2 5 8 r e l y i n g o n o n e o r t w o s t r a t e g i e s t h a t c o n n e c t e d r a t e o f c h a n g e t o t i m e . T h e y h a d t o r e l y o n o t h e r s t r a t e g i e s . T h a t m i g h t e x p l a i n w h y t h e r e w a s m o r e s p r e a d i n t h e u s e o f s t r a t e g i e s i n T a s k 6 w i t h t h e g r a p h . A n o t h e r e x p l a n a t i o n f o r a l a r g e r n u m b e r o f f r e q u e n t l y u s e d s t r a t e g i e s i n T a s k 6 i s t h a t b y t h i s t i m e i n t h e i n t e r v i e w s t u d e n t s h a d m o r e s t r a t e g i e s a t t h e i r d i s p o s a l a n d t h e r e f o r e t e n d e d t o v a r y t h e s t r a t e g i e s t h e y u s e d . T h i s p a t t e r n o f s t r a t e g y u s e d i d n o t h o l d h o w e v e r w i t h t h e t a b l e i n T a s k 6 . A s w i t h T a s k s 4 a n d 5 , o n l y t w o s t r a t e g i e s h a d f r e q u e n c i e s o f a t l e a s t 2 0 p e r c e n t i n T a s k 6 , a n d a s i n T a s k s 4 a n d 5 , t h e s e s t r a t e g i e s w e r e a m o n g t h e m o s t a p p r o p r i a t e t o u s e w i t h a t a b l e o f v a l u e s . S o I t e n d t o t h i n k t h a t t h e l a r g e r n u m b e r o f h i g h f r e q u e n c y s t r a t e g i e s w i t h t h e g r a p h i n T a s k 6 i s m o r e r e l a t e d t o t h e l a c k o f e x p e r i e n c e w i t h r a t e o f c h a n g e e x p r e s s e d i n t e r m s o t h e r t h a n t i m e a n d a s i t u a t i o n w h e r e r a t e o f c h a n g e w a s a l e s s f a m i l i a r c o n c e p t . W W W W h e n d e s c r i b i n g t h e f u n c t i o n i n T a s k s 4 a n d 6 , s o m e s t u d e n t s g a v e l e s s d e t a i l e d d e s c r i p t i o n s w h i c h m e n t i o n e d o n l y t h a t t h e d e p e n d e n t v a r i a b l e i n c r e a s e d o r d e c r e a s e d a s t h e i n d e p e n d e n t v a r i a b l e i n c r e a s e d . O t h e r s t u d e n t s g a v e a m o r e d e t a i l e d d e s c r i p t i o n t h a t i n c l u d e d s o m e m e n t i o n o f t h e v a r y i n g r a t e o f c h a n g e o f t h e d e p e n d e n t v a r i a b l e . I n T a s k 5 a l l s t u d e n t s g a v e a m o r e d e t a i l e d d e s c r i p t i o n b u t t h e r e w e r e t w o s u c h d e s c r i p t i o n s . I n o n e d e s c r i p t i o n t h e g r a p h w a s s e e n a s t w o s e c t i o n s , o n e w h e r e t h e d e p e n d e n t v a r i a b l e i n c r e a s e d a t a n i n c r e a s i n g r a t e a n d o n e w h e r e t h e d e p e n d e n t v a r i a b l e i n c r e a s e d a t a d e c r e a s i n g r a t e . I n t h e o t h e r d e s c r i p t i o n t h e g r a p h w a s s e e n a s t h r e e s e c t i o n s , w h e r e t h e d e p e n d e n t v a r i a b l e i n c r e a s e d s l o w l y , t h e n f a s t e r , t h e n s l o w l y a g a i n . 2 5 9 T o d e c i d e w h i c h i n t e r v a l s o f t h e i n d e p e n d e n t v a r i a b l e y i e l d e d t h e m o s t a n d l e a s t c h a n g e i n t h e d e p e n d e n t v a r i a b l e , s t u d e n t s u s e d p r i m a r i l y t h r e e s t r a t e g i e s - " d e l t a d " , " k n o w l e d g e o f t h e s i t u a t i o n " , a n d " v i s u a l s l o p e " . D i f f e r e n c e s i n f r e q u e n c y o f u s e o f t h e s e s t r a t e g i e s s e e m e d t o b e r e l a t e d t o t h e f a m i l i a r i t y o f t h e s i t u a t i o n . I n T a s k 4 , t h e m o s t f a m i l i a r s i t u a t i o n , a l l o f t h e s t u d e n t s u s e d " d e l t a d " a n d o v e r o n e — f o u r t h u s e d " k n o w l e d g e o f t h e s i t u a t i o n " . W i t h T a s k 5 , a l e s s f a m i l i a r s i t u a t i o n , 7 0 p e r c e n t o f t h e s t u d e n t s u s e d " d e l t a d " a n d o v e r h a l f u s e d " v i s u a l s l o p e " . O n a l l t h r e e t a s k s " d e l t a d " w a s t h e m o s t f r e q u e n t l y u s e d s t r a t e g y a n d o n t a s k s 5 a n d 6 , w h e r e t h e s i t u a t i o n w a s l e s s f a m i l i a r t o s t u d e n t s , s t u d e n t s m a d e m o r e u s e o f " v i s u a l s l o p e " . T w o m a i n f e a t u r e s h o l d f o r t h e s t r a t e g i e s s t u d e n t s u s e d t o f i n d s p e e d a t i n d i v i d u a l p o i n t s . O n e i s t h a t s t u d e n t s u s e d a v a r i e t y o f s t r a t e g i e s . T h e o t h e r i s t h a t t h e d i s t r i b u t i o n o f s t r a t e g y u s e w a s d i f f e r e n t a m o n g t h e t h r e e t a s k s , b e t w e e n g r a p h s a n d t a b l e s a n d , i n t h e c a s e o f T a s k 4 , f r o m o n e t i m e t o a n o t h e r . O n T a s k 4 , s t u d e n t s u s e d a t o t a l o f e i g h t s t r a t e g i e s a n d a l l o f t h e s e s t r a t e g i e s w e r e u s e d w i t h b o t h t h e g r a p h a n d t a b l e o f v a l u e s . W i t h t h e g r a p h , a t t = 2 , 3 , a n d 4 o v e r h a l f o f t h e s t u d e n t s u s e d " a n a l y s i s o f m o v i n g o b j e c t s " . A t t = 1 t h e m o s t f r e q u e n t l y u s e d s t r a t e g i e s w e r e a v e r a g e s p e e d o v e r t h e p r e v i o u s s e c o n d o r q u a r t e r s e c o n d . W i t h t h e t a b l e o f v a l u e s , a t t = 2 t h e t w o m o s t p o p u l a r s t r a t e g i e s w e r e " a n a l y s i s o f m o v i n g o b j e c t s " a n d a v e r a g e s p e e d o v e r t h e h a l f s e c o n d a r o u n d t = 2 w i t h o v e r o n e - t h i r d o f t h e s t u d e n t s u s i n g e a c h . A v e r a g e s p e e d o v e r t h e h a l f s e c o n d a r o u n d t h e p o i n t w a s a l s o t h e m o s t p o p u l a r s t r a t e g y a t t = 1 a n d t = 3 a n d a v e r a g e s p e e d o v e r t h e p r e v i o u s q u a r t e r s e c o n d w a s t h e m o s t p o p u l a r s t r a t e g y a t 2 6 0 t = 4 . A t e a c h t i m e v a l u e , " r e f e r e n c e t o s l o p e " w a s u s e d w i t h g r e a t e r f r e q u e n c y o n t h e g r a p h t h a n o n t h e t a b l e . W i t h T a s k 5 , s t u d e n t s u s e d a t o t a l o f 1 2 s t r a t e g i e s a n d m o s t o f t h e m w e r e u s e d w i t h b o t h g r a p h a n d t a b l e s . W i t h t h e g r a p h , t h r e e s t r a t e g i e s w e r e e a c h u s e d b y m o r e t h a n o n e - f o u r t h o f t h e s t u d e n t s - a v e r a g e g r o w t h o v e r t h e p r e v i o u s h o u r , a v e r a g e g r o w t h o v e r t h e t w o h o u r s a r o u n d t = 4 , a n d r e f e r e n c e t o s l o p e . W i t h t h e t a b l e , t w o o f t h e s e s t r a t e g i e s - a v e r a g e g r o w t h o v e r t h e p r e v i o u s h o u r a n d a v e r a g e g r o w t h o v e r t h e t w o h o u r s a r o u n d t = 4 - h a d f r e q u e n c i e s o f o v e r 3 0 p e r c e n t o f t h e s t u d e n t s . W i t h t h e e n l a r g e d g r a p h a n d t a b l e o f v a l u e s , t w o s t r a t e g i e s - a v e r a g e g r o w t h o v e r t h e h a l f h o u r a r o u n d t = 4 a n d a v e r a g e g r o w t h o v e r t h e p r e v i o u s q u a r t e r h o u r - w e r e t h e m o s t f r e q u e n t l y u s e d s t r a t e g i e s w i t h a t l e a s t 3 0 p e r c e n t o f t h e s t u d e n t s u s i n g e a c h . O n t h i s t a s k t h e r e w a s n o s t r a t e g y t h a t p l a y e d t h e s a m e r o l e a s " a n a l y s i s o f m o v i n g o b j e c t s " p l a y e d i n T a s k 4 . O f s p e c i a l i n t e r e s t i s t h e u s e o f s t r a t e g i e s t h a t e m p h a s i z e c h a n g e i n t h e p o p u l a t i o n o v e r s m a l l e r i n t e r v a l s b e f o r e a n d s t r a d d l i n g t h e p o i n t . W i t h T a s k 6 , s i x m a i n s t r a t e g i e s w e r e u s e d w i t h b o t h t h e g r a p h a n d t h e t a b l e . W i t h t h e g r a p h , f o u r o f t h e s e s t r a t e g i e s h a d a f r e q u e n c y o f a t l e a s t 2 0 p e r c e n t o f t h e s t u d e n t s - a v e r a g e r a t e o f g r o w t h o f t h e a r e a o f t h e c i r c l e f r o m r = 0 , a v e r a g e r a t e o f g r o w t h f r o m r = 2 t o r = 4 , a v e r a g e r a t e o f g r o w t h f r o m r = 2 . 7 5 t o r = 3 , a n d r e f e r e n c e t o s l o p e . W i t h t h e t a b l e , o n l y t w o s t r a t e g i e s h a d f r e q u e n c i e s o f a t l e a s t 2 0 p e r c e n t - a v e r a g e r a t e o f g r o w t h f r o m r = 2 . 7 5 t o r = 3 a n d a v e r a g e r a t e o f g r o w t h f r o m r = 2 . 7 5 t o r = 3 . 2 5 . H a l f o f t h e s t u d e n t s u s e d t h i s l a s t s t r a t e g y . 2 6 1 T h r e e p o i n t s a r e w o r t h m e n t i o n i n g . F i r s t , t h e d i s t r i b u t i o n o f u s e o f s t r a t e g i e s a m o n g t h e t h r e e t a s k s w a s d i f f e r e n t . S e c o n d , w i t h i n e a c h t a s k , t h e d i s t r i b u t i o n o f u s e o f s t r a t e g i e s w a s d i f f e r e n t b e t w e e n g r a p h s a n d t a b l e s . T h i r d , i n T a s k 4 a n d w i t h i n t h e g r a p h a n d w i t h i n t h e t a b l e , t h e d i s t r i b u t i o n o f u s e o f s t r a t e g i e s w a s d i f f e r e n t a m o n g t h e f o u r t i m e v a l u e s . T h e s e t h r e e p o i n t s s e e m t o s a y t h a t u s e o f s t r a t e g i e s d e p e n d s o n t h e c o n t e x t o f t h e p r o b l e m , t h e f u n c t i o n r e p r e s e n t a t i o n s g i v e n , a n d t h e p o i n t s a t w h i c h t h e r a t e o f c h a n g e i s r e q u e s t e d . T h i s p r e s e n t s a r i c h a n d v a r i e d p i c t u r e o f s t u d e n t s ' k n o w l e d g e o f r a t e o f c h a n g e a n d t h e a p p l i c a t i o n o f t h a t k n o w l e d g e t o s p e c i f i c s i t u a t i o n s . A f i n a l p o i n t i s i m p o r t a n t t o m e n t i o n a b o u t c o m m o n a l t i e s i n t h e s t r a t e g i e s u s e d w i t h e a c h t a s k , w i t h b o t h g r a p h s a n d t a b l e s , a n d a t e v e r y p o i n t . T h e m o s t p o p u l a r c l a s s o f s t r a t e g i e s u s e d i n a l l o f t h e s e s i t u a t i o n s w a s a v e r a g e r a t e o f c h a n g e o f t h e d e p e n d e n t v a r i a b l e o v e r s o m e i n t e r v a l o f t h e i n d e p e n d e n t v a r i a b l e . T h i s w a s t h e c a s e n o t o n l y w i t h t a b l e s o f v a l u e s , w h e r e w e m i g h t e x p e c t f r e q u e n t u s e o f s u c h s t r a t e g i e s b u t i t w a s a l s o t h e c a s e w i t h g r a p h s . T h i s c l a s s o f s t r a t e g i e s s e e m s t h e r e f o r e t o h o l d a s p e c i a l p l a c e i n s t u d e n t s ' k n o w l e d g e o f r a t e o f c h a n g e . I n T a s k 5 w h e n s t u d e n t s w e r e a s k e d w h i c h o f t h e i r v a r i o u s a n s w e r s t h e y l i k e d b e s t t h e y s a i d t h e y l i k e d t h e a n s w e r t h a t w a s b a s e d o n t h e a v e r a g e r a t e o f c h a n g e o v e r t h e s m a l l e s t i n t e r v a l , a n d w h e n t h e y w e r e a s k e d h o w t h e y w o u l d g e t a n e v e n b e t t e r a n s w e r f o r t h e r a t e o f g r o w t h a t t = 4 o v e r w h e l m i n g l y t h e y s a i d t h e y w o u l d u s e s t i l l s m a l l e r i n t e r v a l s . T h i s r e a s o n i n g s e e m s t o h o l d a n i m p o r t a n t k e y f o r s t u d e n t s ' k n o w l e d g e o f 2 6 2 r a t e o f c h a n g e a t a p o i n t a n d p e r h a p s p o i n t s t o r e a s o n i n g t h a t c o u l d s u p p o r t s t u d e n t s ' l e a r n i n g o f i n s t a n t a n e o u s r a t e o f c h a n g e . C h a p t e r s u m m a r y T w o m a i n r e s u l t s c o m e f r o m a n a l y s i s o f s t r a t e g i e s s t u d e n t s u s e d i n t h e s e t a s k s . O n e i s t h a t s t u d e n t s u s e d m a n y s t r a t e g i e s t o a d d r e s s r a t e o f c h a n g e i n t h e s e s i x t a s k s . W h e n e x p l a i n i n g t h e g r a p h s a n d t a b l e s t h e y m a d e i n T a s k s 1 , 2 , a n d 3 s t u d e n t s u s e d a t o t a l o f e i g h t s t r a t e g i e s , s i x w i t h b o t h g r a p h s a n d t a b l e , o n e w i t h g r a p h s o n l y , a n d o n e w i t h t a b l e s o n l y . I n T a s k s 4 , 5 , a n d 6 s t u d e n t s u s e d f i v e s t r a t e g i e s t o d e c i d e o v e r w h a t i n t e r v a l s o f t h e i n d e p e n d e n t v a r i a b l e t h e d e p e n d e n t v a r i a b l e c h a n g e d t h e m o s t a n d l e a s t . F o u r o f t h e s e s t r a t e g i e s w e r e a l s o u s e d i n T a s k s 1 , 2 , a n d 3 . T o f i n d t h e r a t e o f c h a n g e o f t h e d e p e n d e n t v a r i a b l e a t a s p e c i f i c v a l u e o f t h e i n d e p e n d e n t v a r i a b l e i n T a s k s 4 , 5 , a n d 6 , s t u d e n t s u s e d 1 2 d i f f e r e n t s t r a t e g i e s . M o s t o f t h e s e s t r a t e g i e s w e r e u s e d w i t h b o t h g r a p h s a n d t a b l e s a n d o n a l l t h r e e o f t h e t a s k s . A p p e n d i x H l i s t s a l l o f t h e s t r a t e g i e s . G e n e r a l l y t h e s e s t r a t e g i e s c a n b e g r o u p e d i n t o t h r e e b r o a d c a t e g o r i e s . O n e c a t e g o r y c o n c e r n s t h e v a r i o u s u s e s o f s l o p e a n d s h a p e o f g r a p h . " V i s u a l s l o p e " , r e f e r e n c e t o s l o p e ( s e c a n t l i n e ) , a n d r e f e r e n c e t o s l o p e ( t a n g e n t l i n e ) f i t i n t o t h i s c a t e g o r y . " V i s u a l s l o p e " w a s d i f f e r e n t f r o m s l o p e o f s e c a n t a n d t a n g e n t l i n e s i n t h a t s t u d e n t s w h o u s e d " v i s u a l s l o p e " r e f e r r e d o n l y t o t h e s t e e p n e s s o r f l a t n e s s o f a g r a p h w h e r e a s s t u d e n t s w h o u s e d s l o p e o f s e c a n t o r t a n g e n t l i n e s c o m p u t e d a n u m e r i c a l v a l u e o f t h e s l o p e a n d u s e d t h a t v a l u e a s t h e i r a n s w e r f o r t h e r a t e o f c h a n g e o f t h e d e p e n d e n t v a r i a b l e a t a s p e c i f i c v a l u e o f t h e i n d e p e n d e n t v a r i a b l e . I a l s o i n c l u d e d i n t h i s 2 6 3 c a t e g o r y " k n o w l e d g e o f t h e s i t u a t i o n " s i n c e t h e u s e o f t h i s s t r a t e g y s e e m e d t o b e c l o s e l y t i e d t o i n t e r p r e t a t i o n o f t h e g r a p h . T a b l e 1 6 l i s t s t h e s t r a t e g i e s b y c a t e g o r y . T a b l e 1 6 S t r a t e g i e s b y c a t e g o r y C a t e g o r y 1 — B a s e d o n s l o p e o r s h a p e o f g r a p h : V i s u a l s l o p e A l l t a s k s R e f e r e n c e t o s l o p e ( s e c a n t l i n e ) T a s k s 4 , 5 , a n d 6 R e f e r e n c e t o s l o p e ( t a n g e n t l i n e ) T a s k s 4 , 5 , a n d 6 K n o w l e d g e o f s i t u a t i o n T a s k s 4 , 5 , a n d 6 C a t e g o r y 2 - B a s e d o n c o m p a r i s o n o f c h a n g e s i n o n e o r b o t h v a r i a b l e s S u b g r o u p 1 - B a s e d o n c o m p a r i s o n o f c h a n g e i n d e p e n d e n t v a r i a b l e t o c h a n g e i n t h e i n d e p e n d e n t v a r i a b l e D e l t a d A l l t a s k s D e l t a t A l l t a s k s D e l t a d a n d d e l t a t A l l t a s k s ( D e l t a d ) / ( d e l t a t ) T a s k s 1 , 2 , a n d 3 A v g . r a t e o f c h a n g e o v e r i n t e r v a l s T a s k s 4 , 5 , a n d 6 l a r g e r t h a n o n e u n i t b e f o r e p o i n t A v g . r a t e o f c h a n g e o v e r i n t e r v a l s T a s k s 4 , 5 , a n d 6 o f o n e u n i t b e f o r e p o i n t A v g . r a t e o f c h a n g e o v e r i n t e r v a l s T a s k s 4 , 5 , a n d 6 l e s s t h a n o n e u n i t b e f o r e p o i n t A v g . r a t e o f c h a n g e o v e r i n t e r v a l s T a s k s 4 , 5 , a n d 6 s t r a d d l i n g p o i n t . S u b g r o u p 2 - B a s e d o n c o m p a r i s o n o f a c h a n g e i n t h e d e p e n d e n t v a r i a b l e t o a n o t h e r c h a n g e i n t h e d e p e n d e n t v a r i a b l e " N o t q u i t e d o u b l i n g " T a s k s 4 , 5 , a n d 6 " M u l t i p l i e d b y t w o - t h i r d s " T a s k s 4 , 5 , a n d 6 " I n c r e a s e d b y o n e — t h i r d " T a s k s 4 , 5 , a n d 6 " 1 2 p e r c e n t i n c r e a s e " T a s k s 4 , 5 , a n d 6 C a t e g o r y 3 - B a s e d o n a s p e c i f i c p o i n t R e f e r e n c e t o a p o i n t T a s k s 4 , 5 , a n d 6 M e e t i n g p o i n t T a s k s 1 , 2 , a n d 3 V e l o c i t y e q u a t i o n T a s k s 1 , 2 , a n d 3 2 6 4 A s e c o n d c a t e g o r y i n c l u d e s s t r a t e g i e s b a s e d o n c o m p a r i s o n o f c h a n g e s i n o n e o r b o t h v a r i a b l e s . T h i s c a t e g o r y h a s t w o s u b g r o u p i n g s . O n e s u b g r o u p c o n t a i n s s t r a t e g i e s t h a t c o m p a r e c h a n g e s i n t h e d e p e n d e n t v a r i a b l e t o c h a n g e s i n t h e i n d e p e n d e n t v a r i a b l e a n d i n c l u d e s " d e l t a d " , " d e l t a t " , " d e l t a d a n d d e l t a t " , a n d " ( d e l t a d ) / ( d e l t a t ) " w h i c h o f t e n e m p h a s i z e d c h a n g e i n o n e v a r i a b l e f o r u n i t c h a n g e s i n t h e o t h e r . T h e s e s t r a t e g i e s w e r e u s e d i n T a s k s 1 , 2 , a n d 3 t o e x p l a i n h o w g r a p h s a n d t a b l e s h o w e d r a t e o f c h a n g e a n d i n T a s k s 4 , 5 , a n d 6 t o i d e n t i f y i n t e r v a l s o f l e a s t a n d m o s t c h a n g e . T h i s s u b g r o u p i n g a l s o i n c l u d e s a v e r a g e r a t e o f c h a n g e i n t h e d e p e n d e n t v a r i a b l e o v e r v a r i o u s s i z e s a n d t y p e s o f i n t e r v a l s o f t h e i n d e p e n d e n t v a r i a b l e - l o n g i n t e r v a l s o f m o r e t h a n o n e u n i t b e f o r e a p o i n t , m e d i u m i n t e r v a l s o f o n e u n i t b e f o r e a p o i n t , s h o r t i n t e r v a l s o f l e s s t h a n o n e u n i t b e f o r e a p o i n t , a n d i n t e r v a l s s t r a d d l i n g a p o i n t . T h e s e s t r a t e g i e s w e r e u s e d i n T a s k s 4 , 5 , a n d 6 t o f i n d t h e r a t e o f c h a n g e a t s p e c i f i c p o i n t s . A s e c o n d s u b g r o u p i n g i n t h i s s e c o n d c a t e g o r y o f s t r a t e g i e s c o m p a r e s c h a n g e s i n t h e d e p e n d e n t v a r i a b l e t o e a c h o t h e r . T h i s s u b g r o u p i n g i n c l u d e s " n o t q u i t e d o u b l i n g " , " m u l t i p l i e d b y t w o — t h i r d s " , " i n c r e a s e d b y o n e - t h i r d " , a n d " 1 2 p e r c e n t i n c r e a s e " . T h e s e s t r a t e g i e s w e r e b a s e d o n a c o m p a r i s o n o f c h a n g e s i n t h e d e p e n d e n t v a r i a b l e t o e a c h o t h e r . " N o t q u i t e d o u b l i n g " c o m p a r e s c h a n g e i n t h e d e p e n d e n t v a r i a b l e o v e r a n i n t e r v a l a f t e r a p o i n t t o c h a n g e i n t h e d e p e n d e n t v a r i a b l e o v e r t h e s a m e s i z e d i n t e r v a l b e f o r e t h e p o i n t . " M u l t i p l i e d b y t w o - t h i r d s " a n d " 1 2 p e r c e n t i n c r e a s e " c o m p a r e c h a n g e i n t h e d e p e n d e n t v a r i a b l e o v e r a n i n t e r v a l a f t e r a p o i n t t o t o t a l c h a n g e i n t h e d e p e n d e n t v a r i a b l e b e f o r e t h e p o i n t . " I n c r e a s e d b y o n e — t h i r d " c o m p a r e s c h a n g e i n t h e 2 6 5 d e p e n d e n t v a r i a b l e o v e r a o n e — u n i t i n t e r v a l b e f o r e a p o i n t t o t o t a l c h a n g e i n t h e d e p e n d e n t v a r i a b l e b e f o r e t h e p o i n t . T h e t h i r d c a t e g o r y c o n s i s t s o f s t r a t e g i e s t h a t e m p h a s i z e a s p e c i f i c p o i n t t o m a k e d e c i s i o n s a b o u t r a t e o f c h a n g e . T h i s i n c l u d e s " r e f e r e n c e t o a p o i n t " u s e d i n a l l s i x t a s k s a n d " m e e t i n g p o i n t " a n d " v e l o c i t y e q u a t i o n " u s e d i n T a s k s 1 , 2 , a n d 3 . " R e f e r e n c e t o a p o i n t " a n d " v e l o c i t y e q u a t i o n " u s e t h e c o o r d i n a t e s o f a p o i n t t o m a k e d e c i s i o n s a b o u t r a t e o f c h a n g e w h i l e " m e e t i n g p o i n t " r e f e r s t o t h e p o s i t i o n i n g o f a p a r t i c u l a r p o i n t t o c o n v e y i n f o r m a t i o n a b o u t t h e r a t e o f c h a n g e . T h e o t h e r m a i n r e s u l t o f t h e a n a l y s i s o f s t r a t e g i e s s t u d e n t s u s e d i n t h e s e t a s k s i s t h a t s o m e s t r a t e g i e s w e r e u s e d w i t h r e l a t i v e l y g r e a t e r f r e q u e n c y t h a n o t h e r s t r a t e g i e s . I n T a s k s 1 , 2 , a n d 3 s t u d e n t s m a d e h e a v y u s e o f " v i s u a l s l o p e " a n d " d e l t a d " t o e x p l a i n h o w t h e i r g r a p h s a n d t a b l e s s h o w e d s p e e d i n g u p , s l o w i n g d o w n , a n d s t e a d y p a c e . I n T a s k s 4 , 5 , a n d 6 s t u d e n t s u s e d " d e l t a d " , “ v i s u a l s l o p e " , a n d " k n o w l e d g e o f t h e s i t u a t i o n " t o m a k e d e c i s i o n s a b o u t w h e n t h e d e p e n d e n t v a r i a b l e c h a n g e d t h e m o s t a n d l e a s t . T o f i n d r a t e o f c h a n g e o f t h e d e p e n d e n t v a r i a b l e a t s p e c i f i c v a l u e s o f t h e i n d e p e n d e n t v a r i a b l e , s t u d e n t s m a d e g o o d u s e o f s l o p e o f t a n g e n t l i n e , a v e r a g e r a t e o f c h a n g e o v e r m e d i u m a n d s h o r t i n t e r v a l s b e f o r e t h e p o i n t , a n d a v e r a g e r a t e o f c h a n g e o v e r i n t e r v a l s s t r a d d l i n g t h e p o i n t . S l o p e o f t a n g e n t l i n e w a s u s e d p r i m a r i l y w i t h g r a p h s b u t a v e r a g e r a t e o f c h a n g e w a s u s e d w i t h b o t h g r a p h s a n d t a b l e s . O n T a s k 4 " k n o w l e d g e o f t h e s i t u a t i o n " w a s a n i m p o r t a n t s t r a t e g y t h a t w a s n o t u s e d w i t h T a s k s 5 a n d 6 . 2 6 6 I n c o n c l u s i o n s t u d e n t s u s e d a v a r i e t y o f s t r a t e g i e s t o a d d r e s s r a t e o f c h a n g e i n t h e s e s i x t a s k s , t h e s e s t r a t e g i e s f i t i n t o o n e o f t h r e e b r o a d c a t e g o r i e s o f s t r a t e g i e s , a n d s o m e s t r a t e g i e s w e r e c o n s i s t e n t l y u s e d o n s e v e r a l t a s k s a n d w i t h h i g h e r f r e q u e n c y t h a n o t h e r s t r a t e g i e s . C h a p t e r 6 C L A S S I F Y I N G S T R A T E G I E S B Y P E R S P E C T I V E S A N D T Y P E S O F R E A S O N I N G I n C h a p t e r 1 I d i s c u s s e d t h r e e p e r s p e c t i v e s a n d t h r e e t y p e s o f r e a s o n i n g a b o u t r a t e o f c h a n g e . I n t h i s c h a p t e r I c o n s i d e r e a c h o f t h e s t r a t e g i e s i d e n t i f i e d i n C h a p t e r 5 i n t e r m s o f t h e s e p e r s p e c t i v e s a n d t y p e s o f r e a s o n i n g . M y g o a l h e r e i s t o s e e i f e a c h s t r a t e g y c a n b e c l a s s i f i e d i n t e r m s o f o n e o r m o r e o f t h e s e p e r s p e c t i v e s a n d o n e o r m o r e o f t h e s e t y p e s o f r e a s o n i n g . T h e e x t e n t t o w h i c h t h e y c a n w i l l p r o v i d e a m e a s u r e o f t h e a d e q u a c y o f t h e p e r s p e c t i v e s a n d t y p e s o f r e a s o n i n g a s a n a p p r o p r i a t e f r a m e w o r k f o r s t u d e n t s ' r e a s o n i n g a b o u t r a t e o f c h a n g e . C h a p t e r 6 h a s t w o m a j o r s e c t i o n s . T h e f i r s t s e c t i o n c o n c e r n s c l a s s i f y i n g s t u d e n t s ' s t r a t e g i e s i n t e r m s o f t h e t h r e e p e r s p e c t i v e s . I r e v i e w w h a t I m e a n b y g l o b a l , i n t e r v a l , a n d p o i n t p e r s p e c t i v e s o n r a t e o f c h a n g e a n d t h e n e x a m i n e e a c h s t r a t e g y t o s e e i f i t s a t i s f i e s t h e d e f i n i t i o n o f a t l e a s t o n e o f t h e s e p e r s p e c t i v e s . T h e s e c o n d s e c t i o n c o n c e r n s c l a s s i f i c a t i o n o f s t u d e n t s ' s t r a t e g i e s i n t e r m s o f t h r e e t y p e s o f r e a s o n i n g . I r e v i e w w h a t I m e a n b y q u a l i t a t i v e , n u m e r i c a l , a n d a l g e b r a i c t y p e s o f r e a s o n i n g a n d t h e n e x a m i n e e a c h s t r a t e g y t o s e e i f i t s a t i s f i e s t h e d e f i n i t i o n o f o n e o r m o r e o f t h e s e t y p e s o f r e a s o n i n g . I a n t i c i p a t e t h a t i t w i l l b e p o s s i b l e t o c l a s s i f y m a n y s t r a t e g i e s i n t e r m s o f a t l e a s t o n e p e r s p e c t i v e a n d o n e t y p e o f r e a s o n i n g . I s u s p e c t s e v e r a l s t r a t e g i e s c a n b e c l a s s i f i e d i n t e r m s o f m o r e t h a n o n e p e r s p e c t i v e o r t y p e o f r e a s o n i n g . S t i l l s o m e s t r a t e g i e s m a y n o t f i t c l e a n l y i n t o a n y o n e o f t h e p e r s p e c t i v e s o r t y p e s o f r e a s o n i n g . I 2 6 7 ‘ : _ . fi fl w i ‘ m f : ¢ A : " . " _ . ~ . . . 2 6 8 a n t i c i p a t e f u r t h e r t h a t s t r a t e g i e s w h i c h c a n b e v i e w e d i n t e r m s o f m o r e t h a n o n e p e r s p e c t i v e o r t y p e o f r e a s o n i n g m a y p r o v i d e p i c t u r e s o f s t u d e n t s ' r e a s o n i n g a b o u t r a t e o f c h a n g e t h a t m a y h a v e i m p l i c a t i o n s f o r c o m i n g t o k n o w r a t e o f c h a n g e . C l a s s i f y i n g s t r a t e g i e s b y p e r s p e c t i v e R e v i e w o f d e f i n i t i o n s o f p e r s p e c t i v e s . R e c a l l t h a t g l o b a l , i n t e r v a l , a n d p o i n t p e r s p e c t i v e s o n r a t e o f c h a n g e r e p r e s e n t a s u c c e s s i v e n a r r o w i n g o f f o c u s o n t h e n a t u r e o f c h a n g e i n a s i t u a t i o n . A g l o b a l p e r s p e c t i v e c o n s i d e r s c h a n g e s i n t h e d e p e n d e n t v a r i a b l e o f a f u n c t i o n o v e r t h e e n t i r e d o m a i n o f t h e i n d e p e n d e n t v a r i a b l e . A n i n t e r v a l p e r s p e c t i v e r e f e r s t o c h a n g e i n t h e d e p e n d e n t v a r i a b l e o v e r i n t e r v a l s o f t h e i n d e p e n d e n t v a r i a b l e o f s o m e c o n v e n i e n t s i z e s m a l l e r t h a n i t s e n t i r e d o m a i n . A p o i n t r a t e o f c h a n g e p e r s p e c t i v e f o c u s e s o n c h a n g e i n t h e d e p e n d e n t v a r i a b l e f o r a n i n d i v i d u a l v a l u e o f t h e i n d e p e n d e n t v a r i a b l e . C l a s s i f y i n g s t r a t e g i e s f o r t h e " w a l k i n g " t a s k s . I n T a s k s 1 , 2 , a n d 3 , t h e " w a l k i n g " t a s k s , s t u d e n t s w e r e a s k e d t o c r e a t e a n d e x p l a i n g r a p h s a n d t a b l e s o f v a l u e s t h a t s h o w e d t h e d i s t a n c e b e t w e e n t w o p e o p l e a s t h e y w a l k e d a c r o s s a r o o m . I n T a s k 1 , t h e t w o p e o p l e s l o w e d d o w n , p a s s e d , a n d t h e n s p e d u p ; i n T a s k 2 , t h e t w o p e o p l e m a i n t a i n e d t h e s a m e s t e a d y p a c e t h e w h o l e w a y ; i n T a s k 3 , t h e t w o p e o p l e s p e d u p , p a s s e d , a n d t h e n s l o w e d d o w n . S t r a t e g i e s f o r e x p l a i n i n g g r a p h s . S e v e n s t r a t e g i e s w e r e u s e d b y s t u d e n t s i n t h e i r e x p l a n a t i o n s o f h o w t h e i r g r a p h s s h o w e d s l o w i n g d o w n , s p e e d i n g u p , o r s t e a d y p a c e . T a b l e 1 7 s h o w s t h e s e s t r a t e g i e s a n d h o w I c l a s s i f i e d t h e m . 2 6 9 T a b l e 1 7 C l a s s i f i c a t i o n o f s t r a t e g i e s f o r e x p l a i n i n g g r a p h s i n t e r m s o f p e r s p e c t i v e s o n r a t e o f c h a n g e f o r T a s k s 1 , 2 , a n d 3 S t r a t e g i e s P e r s p e c t i v e s V i s u a l s l o p e G l o b a l M e e t i n g p o i n t G l o b a l D e l t a d I n t e r v a l D e l t a t I n t e r v a l D e l t a d a n d d e l t a t I n t e r v a l V e l o c i t y e q u a t i o n I n t e r v a l R e f e r e n c e t o a p o i n t P o i n t I c l a s s i f i e d " v i s u a l s l o p e " a s c o n s i s t e n t w i t h a g l o b a l p e r s p e c t i v e s i n c e s t u d e n t s w h o u s e d t h i s s t r a t e g y f o c u s e d o n p r o p e r t i e s o f t h e g r a p h o f t h e d e p e n d e n t v a r i a b l e o v e r t h e e n t i r e d o m a i n o f t h e i n d e p e n d e n t v a r i a b l e . S t u d e n t s e x a m i n e d t h e s l o p e o f t h e g r a p h o v e r i t s e n t i r e t y t o m a k e c l a i m s a b o u t h o w t h e i r g r a p h s s h o w e d s l o w i n g d o w n , s p e e d i n g u p , a n d s t e a d y p a c e . T h e y d i d n o t d i v i d e t h e d o m a i n o f t h e i n d e p e n d e n t v a r i a b l e i n t o i n t e r v a l s o f s o m e c o n v e n i e n t e q u a l s i z e a n d d i s c u s s t h e r e l a t i v e s l o p e o v e r e a c h o f t h o s e i n t e r v a l s . F o r t h a t r e a s o n I d i d n o t c l a s s i f y t h i s s t r a t e g y i n t e r m s o f a n i n t e r v a l p e r s p e c t i v e . S t u d e n t s d i d o f t e n r e f e r t o s e c t i o n s o f t h e g r a p h . B u t t h o s e s e c t i o n s w e r e l a r g e r t h a n w h a t I w o u l d t h i n k o f i n t e r m s o f i n t e r v a l s a n d w e r e u s e d s o l e l y f o r t h e p u r p o s e o f c o m p a r i s o n o f t h e v i s u a l s l o p e o f o n e l a r g e s e c t i o n o f t h e d o m a i n t o a n o t h e r l a r g e s e c t i o n a n d t o o k i n t o c o n s i d e r a t i o n t h e b e h a v i o r o f t h e s l o p e o f t h e g r a p h o v e r t h e e n t i r e d o m a i n o f t h e i n d e p e n d e n t v a r i a b l e . F o r t h i s r e a s o n I c l a s s i f i e d i t a s c o n s i s t e n t w i t h a g l o b a l p e r s p e c t i v e . I a l s o c l a s s i f i e d " m e e t i n g p o i n t " a s c o n s i s t e n t w i t h a g l o b a l p e r s p e c t i v e s i n c e s t u d e n t s w h o u s e d t h i s s t r a t e g y c a r e f u l l y c o n s i d e r e d 2 7 0 t h e b e h a v i o r o f t h e d e p e n d e n t v a r i a b l e o v e r t h e e n t i r e d o m a i n o f t h e i n d e p e n d e n t v a r i a b l e i n d e t e r m i n i n g t h e t i m e w h e n t h e t w o p e o p l e s h o u l d m e e t t o s h o w s l o w i n g d o w n , s p e e d i n g u p , a n d s t e a d y p a c e . T h e p o s i t i o n i n g o f t h e m e e t i n g p o i n t t o o k i n t o c o n s i d e r a t i o n w h a t s h o u l d b e t h e b e h a v i o r o f t h e d e p e n d e n t v a r i a b l e f r o m t h e b e g i n n i n g v a l u e o f t h e i n d e p e n d e n t v a r i a b l e t o i t s e n d i n g v a l u e . T h r e e s t r a t e g i e s , " d e l t a d " , " d e l t a t " , a n d " d e l t a d a n d d e l t a C " , w e r e c l a s s i f i e d a s r e p r e s e n t i n g a n i n t e r v a l p e r s p e c t i v e s i n c e t h e y r e f e r t o c h a n g e s i n t h e d e p e n d e n t v a r i a b l e o v e r i n t e r v a l s o f t h e i n d e p e n d e n t v a r i a b l e i n o n e w a y o r a n o t h e r . " D e l t a d " f i x e s t h e s i z e o f i n t e r v a l s o f t h e i n d e p e n d e n t v a r i a b l e a n d l o o k s a t c h a n g e s i n t h e d e p e n d e n t v a r i a b l e o v e r t h e s e i n t e r v a l s . " D e l t a t " f i x e s t h e s i z e o f i n t e r v a l s o f t h e d e p e n d e n t v a r i a b l e a n d l o o k s a t c h a n g e s i n t h e i n d e p e n d e n t v a r i a b l e o v e r t h e s e i n t e r v a l s . " D e l t a d a n d d e l t a t " l o o k s a t c h a n g e s i n t h e d e p e n d e n t v a r i a b l e o v e r s m a l l b u t v a r i a b l e s i z e d i n t e r v a l s o f t h e i n d e p e n d e n t v a r i a b l e . S i n c e a l l o f t h e s e s t r a t e g i e s c e n t e r o n c h a n g e s o v e r i n t e r v a l s I c l a s s i f i e d t h e m a s c o n s i s t e n t w i t h a n i n t e r v a l r a t e o f c h a n g e p e r s p e c t i v e . " V e l o c i t y e q u a t i o n " c o u l d b e c l a s s i f i e d a s r e p r e s e n t i n g a p o i n t o r i n t e r v a l p e r s p e c t i v e . A s i t w a s u s e d h e r e , i t r e f e r r e d t o t h e f o r m u l a " a v e r a g e v e l o c i t y e q u a l s c h a n g e i n d i s t a n c e d i v i d e d b y c h a n g e i n t i m e " . I n t h a t c o n t e x t i t i s c o n s i s t e n t w i t h a n i n t e r v a l p e r s p e c t i v e s i n c e i t r e f e r s t o c h a n g e s i n t h e d e p e n d e n t v a r i a b l e , d i s t a n c e , o v e r i n t e r v a l s o f t h e i n d e p e n d e n t v a r i a b l e , t i m e . W e w i l l s e e " v e l o c i t y e q u a t i o n " u s e d i n a w a y c o n s i s t e n t w i t h a p o i n t p e r s p e c t i v e w h e n w e c l a s s i f y s t r a t e g i e s u s e d w i t h t a b l e s i n t h e s e t a s k s . 2 7 1 " R e f e r e n c e t o a p o i n t " w a s c l a s s i f i e d i n t e r m s o f a p o i n t p e r s p e c t i v e s i n c e i t r e l i e s o n t h e b e h a v i o r o f t h e d e p e n d e n t v a r i a b l e a t a s i n g l e v a l u e o f t h e i n d e p e n d e n t v a r i a b l e . S t u d e n t s w h o u s e d t h i s s t r a t e g y u s e d t h e v a l u e o f t h e d e p e n d e n t v a r i a b l e a t a s p e c i f i c v a l u e o f t h e i n d e p e n d e n t v a r i a b l e t o g i v e e x p l a n a t i o n s o f h o w t h e g r a p h s h o w e d s l o w i n g d o w n , s p e e d i n g u p , a n d s t e a d y p a c e . S t r a t e g i e s f o r e x p l a i n i n g t a b l e s . S e v e n s t r a t e g i e s w e r e u s e d b y s t u d e n t s t o e x p l a i n h o w t h e i r t a b l e s o f v a l u e s s h o w e d s l o w i n g d o w n , s p e e d i n g u p , o r s t e a d y p a c e . T a b l e 1 8 s h o w s t h e s e s t r a t e g i e s a n d t h e i r c l a s s i f i c a t i o n i n t e r m s o f t h e t h r e e p e r s p e c t i v e s o n r a t e o f c h a n g e . T a b l e 1 8 C l a s s i f i c a t i o n o f s t r a t e g i e s f o r e x p l a i n i n g t a b l e s o f v a l u e s i n t e r m s o f p e r s p e c t i v e s o n r a t e o f c h a n g e f o r T a s k s 1 , 2 , a n d 3 S t r a t e g i e s P e r s p e c t i v e s M e e t i n g p o i n t G l o b a l D e l t a d I n t e r v a l D e l t a t I n t e r v a l D e l t a d a n d d e l t a t I n t e r v a l ( D e l t a d ) / ( d e l t a t ) I n t e r v a l R e f e r e n c e t o a p o i n t P o i n t V e l o c i t y e q u a t i o n P o i n t S e v e r a l o f t h e s e s t r a t e g i e s w e r e t h e s a m e o n e s u s e d t o e x p l a i n h o w g r a p h s s h o w e d s l o w i n g d o w n , s p e e d i n g u p , o r s t e a d y p a c e . T h e s e i n c l u d e " m e e t i n g p o i n t " , a g l o b a l p e r s p e c t i v e s t r a t e g y ; " d e l t a d " , " d e l t a t " , a n d " d e l t a d a n d d e l t a t " , i n t e r v a l p e r s p e c t i v e s t r a t e g i e s ; a n d " r e f e r e n c e t o a p o i n t " , a p o i n t p e r s p e c t i v e s t r a t e g y . I c l a s s i f i e d t h e s t r a t e g y " ( d e l t a d ) / ( d e l t a t ) " a s r e p r e s e n t i n g a n i n t e r v a l p e r s p e c t i v e s i n c e i t c o n c e r n s c h a n g e s i n t h e d e p e n d e n t v a r i a b l e o v e r i n t e r v a l s o f t h e i n d e p e n d e n t v a r i a b l e . I t i s a c o m p u t i n g f o r m u l a 2 7 2 f o r t h e s l o p e o f a l i n e o r t h e a v e r a g e r a t e o f c h a n g e o v e r a n i n t e r v a l . E i t h e r w a y i t r e f e r s t o c h a n g e s i n o n e v a r i a b l e o v e r i n t e r v a l s o f t h e a n o t h e r a n d i s t h e r e f o r e a n i n t e r v a l p e r s p e c t i v e s t r a t e g y . W i t h t h e g r a p h , t h e s t r a t e g y " v e l o c i t y e q u a t i o n " w a s a n i n t e r v a l p e r s p e c t i v e s t r a t e g y s i n c e i t r e f e r r e d t o c h a n g e s i n d i s t a n c e o v e r c h a n g e s i n t i m e , t h a t i s , c h a n g e s i n t h e d e p e n d e n t v a r i a b l e o v e r i n t e r v a l s o f t h e i n d e p e n d e n t v a r i a b l e . B u t w i t h t h e t a b l e o f v a l u e s , o n e s t u d e n t u s e d t h e f o r m u l a " v e l o c i t y e q u a l s d i s t a n c e d i v i d e d b y t i m e " t o d i v i d e t h e d i s t a n c e v a l u e b y t h e t i m e v a l u e a t i n d i v i d u a l p o i n t s t o m a k e c o n c l u s i o n s a b o u t h o w h e r t a b l e o f v a l u e s s h o w e d t h e t w o p e o p l e s l o w i n g d o w n a n d t h e n s p e e d i n g u p . S i n c e s h e w a s m a k i n g j u d g m e n t s a b o u t r a t e o f c h a n g e b y r e f e r r i n g t o a p o i n t , I c l a s s i f i e d t h i s s t r a t e g y a s c o n s i s t e n t w i t h a p o i n t p e r s p e c t i v e o n r a t e o f c h a n g e . g l a a a i f y i n g s t r a t e g i e s f o r t h e " t h r o w n b a l l " , " b i o m a a s " L , a n d " c i r c l e s " t _ a _ § 1 < § - F o r T a s k s 4 , 5 , a n d 6 s t u d e n t s w e r e g i v e n g r a p h s a n d t a b l e s o f v a l u e s f o r t h r e e d i f f e r e n t s i t u a t i o n s a n d a s k e d t o g i v e a d e s c r i p t i o n o f t h e d e p e n d e n t v a r i a b l e , i d e n t i f y i n t e r v a l s o f t h e i n d e p e n d e n t v a r i a b l e f o r w h i c h t h e d e p e n d e n t v a r i a b l e c h a n g e d t h e m o s t a n d l e a s t , a n d f i n d t h e r a t e o f c h a n g e o f t h e d e p e n d e n t v a r i a b l e a t s p e c i f i c v a l u e s o f t h e i n d e p e n d e n t v a r i a b l e . I d e n t i f y i n g i n t e r v a l s o f l e a s t a n d m o s t c h a p g e . S t u d e n t s u s e d f i v e d i f f e r e n t s t r a t e g i e s t o d e c i d e w h i c h i n t e r v a l s o f t h e i n d e p e n d e n t v a r i a b l e s h o w e d t h e l e a s t a n d m o s t c h a n g e i n t h e d e p e n d e n t v a r i a b l e . T h r e e o f t h e s e s t r a t e g i e s - " d e l t a d " , " d e l t a t " , a n d " d e l t a d a n d d e l t a t " - a r e c o n s i s t e n t w i t h a n i n t e r v a l r a t e o f c h a n g e p e r s p e c t i v e f o r t h e s a m e r e a s o n t h e y w e r e c l a s s i f i e d t h a t w a y i n T a s k s 1 , 2 , a n d 3 ; t h e y * u s e — t w i g . 1 3 : _ ‘ 1 " ‘ 5 “ 2 7 3 a t t e n d t o c h a n g e s i n t h e d e p e n d e n t o r i n d e p e n d e n t v a r i a b l e o v e r i n t e r v a l s o f o n e o r t h e o t h e r t o m a k e d e c i s i o n s a b o u t r a t e o f c h a n g e . S i m i l a r l y " v i s u a l s l o p e " i s c l a s s i f i e d h e r e , a s i n T a s k s l , 2 , a n d 3 , a s c o n s i s t e n t w i t h g l o b a l r a t e o f c h a n g e s i n c e , b y c o m p a r i n g s l o p e o f t h e v a r i o u s l a r g e s e c t i o n s o f t h e g r a p h , i t f o c u s e s o n p r o p e r t i e s o f t h e d e p e n d e n t v a r i a b l e o v e r t h e e n t i r e d o m a i n o f t h e i n d e p e n d e n t v a r i a b l e . " K n o w l e d g e o f t h e s i t u a t i o n " , w h e t h e r i t w a s k n o w l e d g e o f t h e m o t i o n o f t h e b a l l i n T a s k 4 , k n o w l e d g e o f t h e g r o w t h o f a p o p u l a t i o n i n T a s k 5 , o r k n o w l e d g e o f c i r c l e s g e n e r a t e d b y d r o p p i n g a p e b b l e i n t o a p o n d a s i n T a s k 6 , w a s c l a s s i f i e d a s c o n s i s t e n t w i t h g l o b a l r a t e o f c h a n g e s i n c e i t r e l i e s o n a n i m a g e o f h o w t h e d e p e n d e n t v a r i a b l e i s e x p e c t e d t o b e h a v e o v e r t h e e n t i r e d o m a i n o f t h e i n d e p e n d e n t v a r i a b l e . T h i s s t r a t e g y w a s s u p p o r t e d b y t h e b e h a v i o r o f t h e g r a p h o v e r i t s e n t i r e l y . T h i s p r o v i d e s f u r t h e r i m p e t u s f o r c l a s s i f y i n g t h i s s t r a t e g y i n t e r m s o f a g l o b a l p e r s p e c t i v e . T a b l e 1 9 s u m m a r i z e s t h e s e c l a s s i f i c a t i o n s . T a b l e 1 9 C l a s s i f i c a t i o n o f s t r a t e g i e s f o r d e c i d i n g w h e r e t h e d e p e n d e n t v a r i a b l e c h a n g e d t h e m o s t a n d l e a s t i n t e r m s o f p e r s p e c t i v e s o n r a t e o f c h a n g e f o r T a s k s 4 , 5 , a n d 6 S t r a g e q i e s P e r s p e c t i v e s D e l t a d I n t e r v a l D e l t a t I n t e r v a l D e l t a d a n d d e l t a t I n t e r v a l V i s u a l s l o p e G l o b a l K n o w l e d g e o f s i t u a t i o n G l o b a l F i n d i n g r a t e o f c h a n g e a t a p o i n t . W h e n s t u d e n t s w e r e a s k e d t o f i n d t h e r a t e o f c h a n g e o f t h e d e p e n d e n t v a r i a b l e a t i n d i v i d u a l v a l u e s o f t h e i n d e p e n d e n t v a r i a b l e i n T a s k s 4 , 5 , a n d 6 t h e y u s e d 1 2 2 7 4 s t r a t e g i e s . T a b l e 2 0 s h o w s t h e s e s t r a t e g i e s a n d t h e i r c l a s s i f i c a t i o n i n t e r m s o f g l o b a l , i n t e r v a l , a n d p o i n t p e r s p e c t i v e s o n r a t e o f c h a n g e . T a b l e 2 0 C l a s s i f i c a t i o n o f s t r a t e g i e s f o r f i n d i n g r a t e o f c h a n g e a t a p o i n t i n t e r m s o f p e r s p e c t i v e s o n r a t e o f c h a n g e f o r T a s k s 4 , 5 , a n d 6 S t r a t e g i e s P e r s p e c t i v e s A n a l y s i s o f m o v i n g o b j e c t s G l o b a l A v g . r a t e o f c h a n g e o v e r i n t e r v a l s I n t e r v a l l a r g e r t h a n o n e u n i t b e f o r e p o i n t A v g . r a t e o f c h a n g e o v e r i n t e r v a l s I n t e r v a l o f o n e u n i t b e f o r e p o i n t A v g . r a t e o f c h a n g e o v e r i n t e r v a l s I n t e r v a l s m a l l e r t h a n o n e u n i t b e f o r e p o i n t A v g . r a t e o f c h a n g e o v e r i n t e r v a l s I n t e r v a l s t r a d d l i n g p o i n t " N o t q u i t e d o u b l i n g . " I n t e r v a l " I t ' s m u l t i p l i e d b y t w o — t h i r d s . " I n t e r v a l " I n c r e a s e d b y o n e - t h i r d " I n t e r v a l 1 2 p e r c e n t i n c r e a s e I n t e r v a l R e f e r e n c e t o s l o p e ( s e c a n t l i n e ) I n t e r v a l R e f e r e n c e t o s l o p e ( t a n g e n t l i n e ) P o i n t R e f e r e n c e t o a p o i n t P o i n t I n T a s k 4 m a n y s t u d e n t s u s e d " a n a l y s i s o f m o v i n g o b j e c t s " t o f i n d t h e s p e e d o f t h e b a l l a t t = 1 , 2 , 3 , o r 4 , e s p e c i a l l y w h e n w o r k i n g w i t h t h e g r a p h . I n T a s k s 5 a n d 6 s t u d e n t s d i d n o t u s e a n a l y s i s o f t h e s p e c i f i c s i t u a t i o n t o a d d r e s s r a t e o f c h a n g e a t a p o i n t . W h e n s t u d e n t s u s e d " a n a l y s i s o f m o v i n g o b j e c t s " t o f i n d t h e s p e e d o f t h e b a l l i n T a s k 4 , t h e y m o s t o f t e n c o n s i d e r e d t h e s p e e d o f t h e b a l l a t a s p e c i f i c p o i n t i n t e r m s o f t h e b e h a v i o r o f t h e b a l l o v e r a l l o r a l a r g e p a r t o f t h e 2 7 5 d o m a i n o f t i m e . T h e r e f o r e , I c l a s s i f i e d t h i s s t r a t e g y a s r e f e r r i n g t o a g l o b a l r a t e o f c h a n g e p e r s p e c t i v e . F o u r s t r a t e g i e s i n v o l v e d c o m p u t i n g t h e a v e r a g e r a t e o f c h a n g e i n t h e d e p e n d e n t v a r i a b l e o v e r i n t e r v a l s o f t h e i n d e p e n d e n t v a r i a b l e o f v a r i o u s s i z e s - g r e a t e r t h a n o n e u n i t b e f o r e a p o i n t , o n e u n i t b e f o r e a p o i n t , a n d l e s s t h a n o n e u n i t b e f o r e a p o i n t - o r i n t e r v a l s s t r a d d l i n g a p o i n t . T h e s e s t r a t e g i e s w e r e b a s e d o n c o m p a r i s o n o f c h a n g e i n t h e d e p e n d e n t v a r i a b l e t o c h a n g e i n t h e i n d e p e n d e n t v a r i a b l e o v e r s o m e i n t e r v a l o f t h e i n d e p e n d e n t v a r i a b l e a n d t h e r e f o r e w e r e c l a s s i f i e d a s c o n s i s t e n t w i t h a n i n t e r v a l p e r s p e c t i v e o n r a t e o f c h a n g e . T h e s t r a t e g i e s " n o t q u i t e d o u b l i n g " , " m u l t i p l i e d b y t w o - t h i r d s " , " i n c r e a s e d b y o n e — t h i r d " , a n d " 1 2 p e r c e n t i n c r e a s e " w e r e b a s e d o n a c o m p a r i s o n o f c h a n g e i n t h e d e p e n d e n t v a r i a b l e o v e r o n e i n t e r v a l o f t h e i n d e p e n d e n t v a r i a b l e t o c h a n g e i n t h e d e p e n d e n t v a r i a b l e o v e r a n o t h e r i n t e r v a l o f t h e i n d e p e n d e n t v a r i a b l e . T h e s t u d e n t w h o u s e d " n o t q u i t e d o u b l i n g " c o m p a r e d c h a n g e i n t h e n u m b e r o f c e l l s o v e r t h e i n t e r v a l f r o m t = 3 t o t = 4 t o c h a n g e i n t h e n u m b e r o f c e l l s o v e r t h e i n t e r v a l f r o m t = 4 t o t = 5 . T h e s t u d e n t w h o u s e d " m u l t i p l i e d b y t w o - t h i r d s " c o m p a r e d c h a n g e i n t h e n u m b e r o f c e l l s f r o m t = 4 t o t = 5 t o c h a n g e i n t h e n u m b e r o f c e l l s f r o m t = 0 t o t = 4 . T h e s t u d e n t w h o u s e d " i n c r e a s e d b y o n e - t h i r d " c o m p a r e d c h a n g e i n t h e n u m b e r o f c e l l s f r o m t = 3 t o t = 4 t o c h a n g e i n t h e n u m b e r o f c e l l s f r o m t = 0 t o t = 3 . T h e s t u d e n t w h o u s e d " 1 2 p e r c e n t i n c r e a s e " c o m p a r e d c h a n g e i n t h e n u m b e r o f c e l l s f r o m t = 4 t o t = 4 . 2 5 t o c h a n g e i n t h e n u m b e r o f c e l l s f r o m t = 0 t o t = 4 . S i n c e t h e s e s t r a t e g i e s r e l y o n c h a n g e s i n t h e d e p e n d e n t v a r i a b l e o v e r i n t e r v a l s o f t h e i n d e p e n d e n t v a r i a b l e , I c l a s s i f i e d t h e m a s c o n s i s t e n t W i t h a n i n t e r v a l p e r s p e c t i v e . 2 7 6 " R e f e r e n c e t o s l o p e " w a s u s e d i n a l l t h r e e o f T a s k s 4 , 5 , a n d 6 . W h e n i t w a s u s e d w i t h t h e g r a p h i t m o s t o f t e n c o n c e r n e d t h e s l o p e o f t h e l i n e t a n g e n t t o t h e c u r v e a t a s p e c i f i c p o i n t . I n t h a t c a s e I c l a s s i f i e d i t a s r e p r e s e n t i n g t o a p o i n t p e r s p e c t i v e s i n c e i t c o n c e r n e d w h a t w a s h a p p e n i n g t o t h e d e p e n d e n t v a r i a b l e o r t h e r a t e o f c h a n g e o f t h e d e p e n d e n t v a r i a b l e a t a s i n g l e v a l u e o f t h e i n d e p e n d e n t v a r i a b l e . I n a f e w c a s e s " r e f e r e n c e t o s l o p e " m e a n t s l o p e o f a s e c a n t l i n e . I n t h e s e c a s e s I c l a s s i f i e d t h i s s t r a t e g y a s c o n s i s t e n t w i t h a n i n t e r v a l p e r s p e c t i v e s i n c e s t u d e n t s w h o u s e d s l o p e i n t h i s w a y r e l a t e d i t t o c h a n g e s i n t h e d e p e n d e n t v a r i a b l e o v e r a n i n t e r v a l o f t h e i n d e p e n d e n t v a r i a b l e . T h i s w a s e s p e c i a l l y t h e c a s e i n T a s k 4 . w i t h t h e t a b l e o f v a l u e s " r e f e r e n c e t o s l o p e " w a s u s e d i n o n e o f t w o w a y s , b o t h o f w h i c h a r e c o n s i s t e n t w i t h a p o i n t p e r s p e c t i v e . O n e w a y w a s t o u s e t h e t a b l e o f v a l u e s t o g e t a n a p p r o x i m a t i o n f o r t h e s l o p e o f t h e t a n g e n t l i n e t o t h e c u r v e a t a s p e c i f i c p o i n t . T h e o t h e r w a y w a s t o b a s i c a l l y i g n o r e t h e i n f o r m a t i o n i n t h e t a b l e a n d t o r e f e r t o t h e s l o p e o f t h e t a n g e n t l i n e o n t h e g r a p h . " R e f e r e n c e t o a p o i n t " w a s c l a s s i f i e d a s a p o i n t p e r s p e c t i v e s t r a t e g y s i n c e s t u d e n t s w h o u s e d t h i s s t r a t e g y g a v e t h e v a l u e o f t h e d e p e n d e n t v a r i a b l e a t a s p e c i f i c v a l u e o f t h e i n d e p e n d e n t v a r i a b l e o r u s e d t h e v a l u e o f b o t h t h e d e p e n d e n t a n d i n d e p e n d e n t v a r i a b l e t o f i n d r a t e o f c h a n g e a t t h a t p o i n t . S u m m a r y o f c l a s s i f y i n g s t r a t e g i e s i n t e r m s o f t h r e e g p e r s p e c t i v e s o n r a t e o f c h a n g e . I n T a s k s 1 , 2 , a n d 3 , t h e " w a l k i n g " t a s k s , t h e m o s t f r e q u e n t l y u s e d s t r a t e g i e s w e r e " v i s u a l s l o p e " a n d " d e l t a d " . " V i s u a l s l o p e " w a s c l a s s i f i e d a s r e p r e s e n t i n g a g l o b a l p e r s p e c t i v e o n r a t e o f c h a n g e a n d " d e l t a d " w a s c l a s s i f i e d a s a n i n t e r v a l p e r s p e c t i v e . G i v e n - - ' « 2 9 : 1 : _ - : e § r : 5 - ' i £ ' * ; " t t ~ - ' : — 2 7 7 t h e n a t u r e o f t h e t a s k s , t h i s i s n o t t o o s u r p r i s i n g . S t u d e n t s w e r e a s k e d t o e x p l a i n h o w t h e i r g r a p h s a n d t a b l e s s h o w e d t h e t w o p e o p l e s l o w i n g d o w n , s p e e d i n g u p , a n d m a i n t a i n i n g a s t e a d y p a c e . S t r a t e g i e s b a s e d o n d e s c r i p t i o n s o f g r a p h s o v e r t h e i r e n t i r e d o m a i n , l i k e " v i s u a l s l o p e " , s e e m r e a s o n a b l e o n e s t o u s e w i t h t h e s e t a s k s . L i k e w i s e , s t r a t e g i e s b a s e d o n c h a n g e s i n t h e d e p e n d e n t v a r i a b l e o v e r o n e u n i t i n t e r v a l s o f t h e i n d e p e n d e n t v a r i a b l e a r e s e n s i b l e w a y s t o t h i n k a b o u t t h e s e t a s k s . S i m i l a r l y i n T a s k s 4 , 5 , a n d 6 , " v i s u a l s l o p e " a n d " d e l t a d " a s w e l l a s " k n o w l e d g e o f s i t u a t i o n " w e r e f r e q u e n t l y u s e d s t r a t e g i e s t o i d e n t i f y i n t e r v a l s o f t h e i n d e p e n d e n t v a r i a b l e w h e r e t h e d e p e n d e n t v a r i a b l e c h a n g e d t h e m o s t a n d l e a s t . S t u d e n t s ' u s e o f " d e l t a d " , a n i n t e r v a l p e r s p e c t i v e s t r a t e g y , i s n o t s u r p r i s i n g h e r e . I n a d d i t i o n , s i n c e s t u d e n t s h a d b e e n g i v e n a g r a p h s h o w i n g t h e b e h a v i o r o f t h e d e p e n d e n t v a r i a b l e o v e r t h e e n t i r e d o m a i n o f t h e i n d e p e n d e n t v a r i a b l e , i t m a k e s s e n s e t h a t t h e y m a d e g o o d u s e o f t h e g l o b a l p e r s p e c t i v e s t r a t e g i e s " v i s u a l s l o p e " a n d " k n o w l e d g e o f t h e s i t u a t i o n " . T o f i n d t h e r a t e o f c h a n g e a t a p o i n t i n T a s k s 4 , 5 , a n d 6 , t h e m o s t f r e q u e n t l y u s e d s t r a t e g i e s r e p r e s e n t e d a n i n t e r v a l p e r s p e c t i v e . T h i s w a s e s p e c i a l l y t h e c a s e i n T a s k s 5 a n d 6 w h e r e s t u d e n t s r e l i e d h e a v i l y o n a v e r a g e r a t e o f c h a n g e i n t h e d e p e n d e n t v a r i a b l e o v e r i n t e r v a l s o f v a r i o u s s i z e s o f t h e i n d e p e n d e n t v a r i a b l e . I n T a s k 4 m a n y s t u d e n t s a l s o u s e d " a n a l y s i s o f m o v i n g o b j e c t s " , a g l o b a l p e r s p e c t i v e s t r a t e g y a n d i n a l l t h r e e t a s k s a f a i r n u m b e r o f s t u d e n t s m a d e " r e f e r e n c e t o s l o p e o f t a n g e n t l i n e " , a p o i n t p e r s p e c t i v e . S o o v e r t h e s i x t a s k s , s t u d e n t s m a d e g o o d u s e o f s t r a t e g i e s f r o m a l l t h r e e p e r s p e c t i v e s . T o e x p l a i n t h e i r g r a p h s a n d t a b l e s a n d t o 2 7 8 i d e n t i f y w h e r e t h e d e p e n d e n t v a r i a b l e c h a n g e d t h e m o s t a n d l e a s t , s t u d e n t s m a d e g o o d u s e o f g l o b a l a n d i n t e r v a l p e r s p e c t i v e s t r a t e g i e s . T o f i n d t h e r a t e o f c h a n g e a t v a r i o u s p o i n t s i n T a s k s 4 , 5 , a n d 6 s t u d e n t s u s e d p r i m a r i l y i n t e r v a l p e r s p e c t i v e s t r a t e g i e s b u t a l s o u s e d s o m e g l o b a l a n d p o i n t p e r s p e c t i v e s . C l a s s i f y i n g s t r a t e g i e s b y t y p e s o f r e a s o n i n g R e v i e w o f d e f i n i t i o n s o f t y p e s o f r e a s o n i n g . Q u a l i t a t i v e r e a s o n i n g r e f e r s p r i m a r i l y t o t h e u s e o f g r a p h i c a l f e a t u r e s t o m a k e c o n c l u s i o n s a b o u t r a t e o f c h a n g e . N u m e r i c a l r e a s o n i n g c o n c e r n s c a l c u l a t i o n o r u s e o f n u m e r i c a l v a l u e s t o m a k e d e c i s i o n s a b o u t r a t e o f c h a n g e . A l g e b r a i c r e a s o n i n g i n v o l v e s u s e o f f o r m u l a s o r e q u a t i o n s t o m a k e j u d g m e n t s a b o u t r a t e o f c h a n g e . C l a s s i f y i n g s t r a t e g i e s f o r t h e " w a l k i n g " t a s k s . E x p l a i n i n g g r a p h s a n d t a b l e s . E i g h t s t r a t e g i e s w e r e u s e d b y s t u d e n t s t o e x p l a i n h o w t h e i r g r a p h s a n d t a b l e s o f v a l u e s s h o w e d t h e t w o p e o p l e s l o w i n g d o w n , s p e e d i n g u p , o r m a i n t a i n i n g a s t e a d y p a c e . T w o o f t h e s e s t r a t e g i e s r e l i e d o n g r a p h i c a l f e a t u r e s t o m a k e d e c i s i o n s a b o u t r a t e o f c h a n g e - " v i s u a l s l o p e " a n d " m e e t i n g p o i n t " . " V i s u a l s l o p e " m a d e u s e o f t h e s h a p e a n d r e l a t i v e s t e e p n e s s o r f l a t n e s s o f t h e g r a p h a n d " m e e t i n g p o i n t " f o c u s e d o n t h e p o s i t i o n i n g o f a p a r t i c u l a r p o i n t o n t h e g r a p h t o s h o w s l o w i n g d o w n , s p e e d i n g u p , a n d s t e a d y p a c e . T h e s e s t r a t e g i e s w e r e t h e r e f o r e c l a s s i f i e d a s q u a l i t a t i v e t y p e s o f r e a s o n i n g . T a b l e 2 1 s h o w s e a c h s t r a t e g y a n d i t s t y p e o f r e a s o n i n g . 2 7 9 T a b l e 2 1 C l a s s i f i c a t i o n o f s t r a t e g i e s f o r e x p l a i n i n g g r a p h s a n d t a b l e s i n t e r m s o f t y p e s o f r e a s o n i n g f o r T a s k s 1 , 2 , a n d 3 S t r a t e g y T y p e s o f r e a s o n i n g V i s u a l s l o p e Q u a l i t a t i v e M e e t i n g p o i n t Q u a l i t a t i v e D e l t a d Q u a l i t a t i v e / n u m e r i c a l D e l t a t Q u a l i t a t i v e / n u m e r i c a l D e l t a d a n d d e l t a t Q u a l i t a t i v e / n u m e r i c a l R e f e r e n c e t o a p o i n t N u m e r i c a l / a l g e b r a i c V e l o c i t y e q u a t i o n A l g e b r a i c ( D e l t a d ) / ( d e l t a t ) A l g e b r a i c T h e s t r a t e g i e s " d e l t a d " , " d e l t a t " , a n d " d e l t a d a n d d e l t a t " c a n b e c l a s s i f i e d a s t w o t y p e s o f r e a s o n i n g , d e p e n d i n g o n h o w t h e y w e r e u s e d . W h e n s t u d e n t s r e f e r r e d t o s p e c i f i c n u m e r i c a l v a l u e s f o r c h a n g e s i n t h e d e p e n d e n t o r i n d e p e n d e n t v a r i a b l e o v e r i n t e r v a l s o f t h e o t h e r o r r e f e r r e d t o n u m e r i c a l d i f f e r e n c e s b e t w e e n t w o v a l u e s o f t h e d e p e n d e n t o r i n d e p e n d e n t v a r i a b l e , t h e n I c l a s s i f i e d t h e s e s t r a t e g i e s a s n u m e r i c a l r e a s o n i n g . B u t w h e n s t u d e n t s v i s u a l l y c o m p a r e d r i s e s o f f a l l s o f t h e g r a p h w i t h o u t r e f e r r i n g t o s p e c i f i c n u m e r i c a l v a l u e s o r o t h e r w i s e i d e n t i f y i n g t h o s e r i s e s a n d f a l l s i n t e r m s o f q u a n t i t i e s , I c l a s s i f i e d t h e s e a s q u a l i t a t i v e t y p e s o f r e a s o n i n g s i n c e s t u d e n t s w h e r e a t t e n d i n g t o p r o p e r t i e s o f t h e g r a p h t o m a k e t h e s e d e c i s i o n s . " R e f e r e n c e t o a p o i n t " u s e d t h e v a l u e o f t h e d e p e n d e n t v a r i a b l e f o r a s p e c i f i c v a l u e o f t h e i n d e p e n d e n t v a r i a b l e o r u s e d s o m e c o m b i n a t i o n o f t h e v a l u e s o f t h e d e p e n d e n t a n d i n d e p e n d e n t v a l u e s a t a p o i n t t o m a k e d e c i s i o n s a b o u t r a t e o f c h a n g e . I n s o m e c a s e s i t w a s s i m p l y t h e p a t t e r n o f v a l u e s o f t h e d e p e n d e n t v a r i a b l e a t p a r t i c u l a r p o i n t s o n t h e g r a p h o r i n t h e t a b l e t h a t w a s u s e d t o e x p l a i n h o w g r a p h s « F l u e — 7 ' - a . A . ~ ‘ — - - " . _ . . . - r - a “ a ’ _ _ " ' . . . ' _ _ _ — . . . . - ~ fi . 1 - . . 2 8 0 a n d t a b l e s s h o w e d s l o w i n g d o w n , s p e e d i n g u p , a n d s t e a d y p a c e . I n t h i s c a s e I c l a s s i f i e d t h i s s t r a t e g y a s n u m e r i c a l . I n o t h e r c a s e s s t u d e n t s u s e d a f o r m u l a b a s e d o n t h e v a l u e s o f t h e d e p e n d e n t a n d i n d e p e n d e n t v a l u e s a t p a r t i c u l a r p o i n t s . T h e s e s t u d e n t s d i v i d e d t h e v a l u e o f t h e d e p e n d e n t v a r i a b l e ( d i s t a n c e ) a t a p o i n t b y t h e v a l u e o f t h e i n d e p e n d e n t v a r i a b l e ( t i m e ) a t t h a t p o i n t . T h i s y i e l d e d a n a n s w e r i n t e r m s o f " f e e t p e r s e c o n d " . S t u d e n t s w h o u s e d t h e c o o r d i n a t e s o f p o i n t s i n t h i s w a y a p p e a r e d t o b e u s i n g a f o r m u l a l i k e " v e l o c i t y i s d i s t a n c e d i v i d e d b y t i m e " t o g e t t h e i r a n s w e r s . B e c a u s e o f t h i s I c l a s s i f i e d t h i s s t r a t e g y a s a l g e b r a i c . S t u d e n t s w h o u s e d " v e l o c i t y e q u a t i o n " e x p l i c i t l y m e n t i o n e d t h a t t h e y w e r e u s i n g a f o r m u l a f o r f i n d i n g t h e s p e e d . T h e f o r m o f t h e e q u a t i o n u s e d w i t h g r a p h s w a s " a v e r a g e v e l o c i t y i s c h a n g e i n d i s t a n c e d i v i d e d b y c h a n g e i n t i m e " w h i l e t h e f o r m u s e d w i t h t a b l e s w a s " v e l o c i t y i s d i s t a n c e d i v i d e d b y t i m e " . I n b o t h c a s e s s t u d e n t s i n d i c a t e d t h e y w e r e u s i n g a f o r m u l a t h a t g a v e t h e m v e l o c i t y a n d t h e r e f o r e I c l a s s i f i e d t h i s a s a l g e b r a i c r e a s o n i n g . S i m i l a r l y , s t u d e n t s w h o u s e d " ( d e l t a d ) / ( d e l t a t ) " w e r e r e f e r e n c i n g a f o r m u l a f o r t h e s l o p e o f a l i n e o r f o r a v e r a g e r a t e o f c h a n g e t o m a d e d e c i s i o n s a b o u t r a t e o f c h a n g e . T h e r e f o r e t h i s s t r a t e g y w a s c l a s s i f i e d a s u s i n g a l g e b r a i c r e a s o n i n g . g l a a a i f y i n g a t r a t e g i e s f o r t h e " t h r o w n b a l l " , " b i o m a s s " , a n d " c i r c l e s " E a t e - I d e n t i f y i n g i n t e r v a l s o f l e a s t a n d m o a t c h a a g e . S t u d e n t s u s e d f i v e s t r a t e g i e s t o d e c i d e w h i c h i n t e r v a l s o f t h e i n d e p e n d e n t v a r i a b l e s h o w e d t h e l e a s t a n d m o s t c h a n g e i n t h e d e p e n d e n t v a r i a b l e . T a b l e 2 2 2 8 1 s h o w s t h e s e s t r a t e g i e s a n d t h e i r c l a s s i f i c a t i o n s i n t e r m s o f t y p e s o f r e a s o n i n g . T a b l e 2 2 C l a s s i f i c a t i o n o f s t r a t e g i e s f o r d e c i d i n g w h e r e t h e d e p e n d e n t v a r i a b l e c h a n g e d t h e m o s t a n d l e a s t i n t e r m s o f t y p e s o f r e a s o n i n g f o r T a s k s 4 , 5 , a n d 6 S t r a t e g i e s T y p e s o f r e a s o n i n g V i s u a l s l o p e Q u a l i t a t i v e K n o w l e d g e o f s i t u a t i o n Q u a l i t a t i v e D e l t a d Q u a l i t a t i v e / n u m e r i c a l D e l t a t Q u a l i t a t i v e / n u m e r i c a l D e l t a d a n d d e l t a t Q u a l i t a t i v e / n u m e r i c a l " V i s u a l s l o p e " m a d e u s e o f g r a p h i c a l f e a t u r e s b y r e f e r r i n g t o t h e s t e e p n e s s o r f l a t n e s s o f a g r a p h . T h e r e f o r e I c l a s s i f i e d t h i s s t r a t e g y a s q u a l i t a t i v e . S t u d e n t s w h o u s e d " k n o w l e d g e o f s i t u a t i o n " w e r e o f t e n p r o m p t e d b y t h e g r a p h t o h e l p t h e m t e l l a s t o r y a b o u t t h e m o t i o n o f a t h r o w n b a l l , t h e g r o w t h o f a p o p u l a t i o n , o r t h e b e h a v i o r o f e n l a r g i n g c i r c l e s c a u s e d b y d r o p p i n g a p e b b l e i n t o a p o n d . S i n c e t h i s s t o r y - t e l l i n g f e a t u r e o f t h e i r u s e o f t h i s s t r a t e g y s e e m e d t o b e b a s e d o n r e a s o n i n g s u p p o r t e d b y t h e g r a p h , I c l a s s i f i e d t h i s s t r a t e g y a s q u a l i t a t i v e t y p e o f r e a s o n i n g . A s i n T a s k s 1 , 2 , a n d 3 w h e n s t u d e n t s u s e d " d e l t a d " , " d e l t a t " , o r " d e l t a d a n d d e l t a t " , t h e y s o m e t i m e s r e a c h e d t h e i r c o n c l u s i o n s b y v i s u a l l y c o m p a r i n g r i s e s o r f a l l s o f t h e g r a p h w i t h o u t r e f e r r i n g t o s p e c i f i c n u m e r i c a l v a l u e s o r o t h e r w i s e a s s o c i a t i n g t h o s e r i s e s a n d f a l l s i n t e r m s o f q u a n t i t i e s . I n t h e s e c a s e s I c l a s s i f i e d t h e s e s t r a t e g i e s a s q u a l i t a t i v e r e a s o n i n g s i n c e s t u d e n t s w e r e b a s i n g t h e i r d e c i s i o n s o n u s e o f g r a p h i c a l f e a t u r e s . 2 8 2 B u t s o m e t i m e s s t u d e n t s u s e d t h e s e s t r a t e g i e s t o e x p l i c i t l y c o m p u t e a n d r e f e r t o n u m e r i c a l c h a n g e s i n t h e d e p e n d e n t o r i n d e p e n d e n t v a r i a b l e o v e r i n t e r v a l s . I n t h e s e c a s e s I c l a s s i f i e d t h e s e s t r a t e g i e s a s n u m e r i c a l r e a s o n i n g s i n c e s t u d e n t s w e r e b a s i n g t h e i r c o n c l u s i o n s o n c o m p u t a t i o n o f n u m e r i c a l v a l u e s . F i n d i n g r a t e o f c h a n g e a t a p o i n t . W h e n s t u d e n t s w e r e a s k e d t o f i n d t h e r a t e o f c h a n g e a t a p o i n t , t h e y u s e d 1 2 s t r a t e g i e s . T a b l e 2 3 s h o w s t h e s e s t r a t e g i e s a n d t h e i r c l a s s i f i c a t i o n s i n t e r m s o f t y p e s o f r e a s o n i n g . T a b l e 2 3 C l a s s i f i c a t i o n o f s t r a t e g i e s f o r f i n d i n g r a t e o f c h a n g e a t a p o i n t i n t e r m s o f t y p e s o f r e a s o n i n g f o r T a s k s 4 , 5 , a n d 6 S t r a t e g i e s T y p e s o f r e a s o n i n g A n a l y s i s o f m o v i n g o b j e c t s Q u a l i t a t i v e R e f e r e n c e t o s l o p e ( t a n g e n t l i n e ) Q u a l i t a t i v e / a l g e b r a i c R e f e r e n c e t o s l o p e ( s e c a n t l i n e ) Q u a l i t a t i v e / a l g e b r a i c " N o t q u i t e d o u b l i n g " N u m e r i c a l A v g . r a t e o f c h a n g e o v e r i n t e r v a l s A l g e b r a i c l a r g e r t h a n o n e u n i t b e f o r e p o i n t A v g . r a t e o f c h a n g e o v e r i n t e r v a l s A l g e b r a i c o f o n e u n i t b e f o r e p o i n t A v g . r a t e o f c h a n g e o v e r i n t e r v a l s A l g e b r a i c s m a l l e r t h a n o n e u n i t b e f o r e p o i n t A v g . r a t e o f c h a n g e o v e r i n t e r v a l s A l g e b r a i c s t r a d d l i n g t h e p o i n t " I t ' s m u l t i p l i e d b y t w o - t h i r d s " A l g e b r a i c " I n c r e a s e d b y o n e - t h i r d " A l g e b r a i c 1 2 p e r c e n t i n c r e a s e A l g e b r a i c R e f e r e n c e t o a p o i n t A l g e b r a i c 2 8 3 S i n c e " a n a l y s i s o f m o v i n g o b j e c t s " , l i k e " k n o w l e d g e o f t h e s i t u a t i o n " i n e a r l i e r p a r t s o f T a s k s 4 , 5 , a n d 6 , w a s r e l a t e d t o s t u d e n t s ' u s e o f t h e g r a p h i n T a s k 4 t o r e a s o n a b o u t t h e b e h a v i o r o f t h e t h r o w n b a l l a n d e s p e c i a l l y i t s h e i g h t a n d s p e e d o v e r t i m e , I c l a s s i f i e d t h i s s t r a t e g y a s u s i n g q u a l i t a t i v e r e a s o n i n g . W h e n s t u d e n t s r e f e r r e d t o t h e s l o p e o f a t a n g e n t l i n e , t h e y m o s t o f t e n d i d s o w h e n w o r k i n g w i t h t h e g r a p h . T h e y d r e w t h e l i n e o n t h e g r a p h , i d e n t i f i e d p o i n t s o n t h a t l i n e , e s t i m a t e d t h e i r c o o r d i n a t e s , a n d t h e n u s e d t h o s e c o o r d i n a t e s a n d t h e f o r m u l a f o r s l o p e t o f i n d t h e s l o p e o f t h e t a n g e n t l i n e . T h i s s t r a t e g y u s e d f e a t u r e s o f t h e g r a p h t o i n i t i a l l y m a k e s e n s e o f r a t e o f c h a n g e a t a p o i n t i n t e r m s o f t a n g e n t l i n e s . I t a l s o u s e d a f o r m u l a ( f o r t h e s l o p e o f a l i n e ) t o a r r i v e a t a f i n a l a n s w e r f o r t h e r a t e o f c h a n g e a t a p a r t i c u l a r p o i n t . B e c a u s e s t u d e n t s r e l i e d o n g r a p h i c a l f e a t u r e s t o a s s o c i a t e r a t e o f c h a n g e w i t h a p a r t i c u l a r l i n e I c l a s s i f i e d t h i s s t r a t e g y a s q u a l i t a t i v e . F u r t h e r b e c a u s e s t u d e n t s t h e n a p p l i e d a f o r m u l a t o f i n d t h e s l o p e o f t h e l i n e a n d g a v e t h a t a s t h e a n s w e r f o r t h e r a t e o f c h a n g e a t a p o i n t , I c l a s s i f i e d t h i s s t r a t e g y a s a l s o u s i n g a l g e b r a i c r e a s o n i n g . S o m e s t u d e n t s u s e d t h e s l o p e o f a s e c a n t l i n e o n a g r a p h t o a d d r e s s r a t e o f c h a n g e a t a p o i n t . I n t h e s e c a s e s s t u d e n t s s a i d t h e y w e r e u s i n g s l o p e , d r e w t h e l i n e , u s e d t h e f o r m u l a f o r s l o p e t o f i n d t h e s l o p e o f t h a t s e c a n t l i n e a n d d e c l a r e d t h a t a s t h e i r a n s w e r f o r s p e e d a t a p o i n t . S i n c e s t u d e n t s w e r e a t t e n d i n g t o f e a t u r e s o f t h e g r a p h a n d u s i n g t h e f o r m u l a f o r s l o p e t o f i n d r a t e o f c h a n g e a t a p o i n t , I a l s o c l a s s i f i e d t h i s a q u a l i t a t i v e a n d a l g e b r a i c r e a s o n i n g . O n e s t u d e n t s a i d i n t a s k 5 t h a t t h e c e l l p o p u l a t i o n w a s " n o t q u i t e d o u b l i n g " . H i s a n s w e r w a s b a s e d o n c o m p a r i s o n o f c h a n g e s i n t h e c e l l 2 8 4 p o p u l a t i o n o v e r t h e i n t e r v a l f r o m t = 3 t o t = 4 a n d f r o m t = 4 t o t = 5 . H e n u m e r i c a l l y c o m p a r e d c h a n g e s i n t h e d e p e n d e n t v a r i a b l e o v e r t w o c o n s e c u t i v e i n t e r v a l s o f t h e i n d e p e n d e n t v a r i a b l e . T h e r e f o r e I c l a s s i f i e d t h i s s t r a t e g y a s n u m e r i c a l . T h e f o u r s t r a t e g i e s b a s e d o n a v e r a g e r a t e o f c h a n g e o v e r i n t e r v a l s i n v o l v e d u s e o f t h e a p p r o p r i a t e f o r m u l a f o r c o m p u t i n g a v e r a g e r a t e o f c h a n g e b a s e d o n c h a n g e i n t h e d e p e n d e n t v a r i a b l e d i v i d e d b y c h a n g e i n t h e i n d e p e n d e n t v a r i a b l e . I c l a s s i f i e d t h e s e s t r a t e g i e s a s a l g e b r a i c t y p e s o f r e a s o n i n g . " I t ' s m u l t i p l i e d b y t w o - t h i r d s " , " i n c r e a s e d b y o n e — t h i r d " , a n d " 1 2 p e r c e n t i n c r e a s e " w e r e c l a s s i f i e d a s a l g e b r a i c s i n c e t h e y w e r e b a s e d o n f o r m u l a s t h a t m u t i p l i c a t i v e l y c o m p a r e d c h a n g e i n p o p u l a t i o n o v e r a n i n t e r v a l i m m e d i a t e l y b e f o r e o r a f t e r t = 4 t o c h a n g e i n t h e p o p u l a t i o n f r o m t = 0 t o t = 4 i n T a s k 5 . T h e s t u d e n t w h o u s e d " i t ' s m u l t i p l i e d b y t w o t h i r d s " a n d " 1 2 p e r c e n t i n c r e a s e " d i v i d e d t h e c h a n g e i n p o p u l a t i o n o v e r t h e o n e h o u r a n d o n e — q u a r t e r h o u r a f t e r t = 4 b y t h e c h a n g e o v e r t h e i n t e r v a l f r o m t = 0 t o t = 4 . T h e s t u d e n t w h o s a i d " i n c r e a s e d b y o n e - t h i r d " d i v i d e d t h e c h a n g e i n p o p u l a t i o n f r o m t = 3 t o t = 4 b y t h e c h a n g e i n p o p u l a t i o n f r o m t = 0 t o t = 4 . W h i l e t h e s e a r e n o t c o n v e n t i o n a l f o r m u l a s f o r a d d r e s s i n g r a t e o f c h a n g e , t h e y a r e w a y s t h e s e s t u d e n t s u s e d f o r m u l a s t o m a k e s e n s e o f r a t e o f c h a n g e a t a p o i n t . O n e o t h e r s t r a t e g y w a s b a s e d o n a f o r m u l a f o r a d d r e s s i n g r a t e o f c h a n g e a t a p o i n t , " r e f e r e n c e t o a p o i n t " . S t u d e n t s w h o u s e d t h i s s t r a t e g y t o f i n d r a t e o f c h a n g e a t a p o i n t m o s t o f t e n d i v i d e d t h e v a l u e o f t h e d e p e n d e n t v a r i a b l e a t t h a t p o i n t b y t h e v a l u e o f t h e i n d e p e n d e n t v a r i a b l e a n d a p p e a r e d t o b e u s i n g t h e f o r m u l a " v e l o c i t y i s d i s t a n c e 2 8 5 d i v i d e d b y t i m e " t o f i n d r a t e o f c h a n g e a t a p o i n t . H e n c e i t w a s c l a s s i f i e d a s a l g e b r a i c r e a s o n i n g . S u m m a r y o f c l a s s i f y i n g s t r a t e g i e s i n t e r m s o f t h r e e t y p e s o f r e a s o n i n g a b o u t r a t e o f c h a n g e . T o e x p l a i n t h e i r g r a p h s a n d t a b l e s i n T a s k s 1 , 2 , a n d 3 s t u d e n t s u s e d s t r a t e g i e s f r o m a l l t h r e e t y p e s o f r e a s o n i n g w i t h s o m e s t r a t e g i e s r e p r e s e n t i n g m o r e t h a n o n e t y p e o f r e a s o n i n g . " V i s u a l s l o p e " , a s t r a t e g y u s i n g q u a l i t a t i v e r e a s o n i n g , w a s u s e d p r i m a r i l y w i t h g r a p h s a n d " d e l t a d " , a s t r a t e g y u s i n g b o t h q u a l i t a t i v e a n d n u m e r i c a l r e a s o n i n g , w a s u s e d w i t h b o t h g r a p h a n d t a b l e s . T o i d e n t i f y w h e r e t h e d e p e n d e n t v a r i a b l e c h a n g e d t h e m o s t a n d l e a s t i n T a s k s 4 , 5 , a n d 6 s t u d e n t s u s e d s t r a t e g i e s l i k e " v i s u a l s l o p e " a n d " k n o w l e d g e o f s i t u a t i o n " w h i c h u s e d q u a l i t a t i v e r e a s o n i n g a n d s t r a t e g i e s l i k e " d e l t a d " w h i c h i n v o l v e d b o t h q u a l i t a t i v e a n d n u m e r i c a l r e a s o n i n g . I n T a s k s 4 , 5 , a n d 6 a l l t h r e e t y p e s o f r e a s o n i n g w e r e r e p r e s e n t e d i n t h e s t r a t e g i e s s t u d e n t s u s e d t o f i n d r a t e o f c h a n g e a t a p o i n t . T h e m o s t f r e q u e n t l y u s e d s t r a t e g i e s i n v o l v e d a v e r a g e r a t e o f c h a n g e o v e r i n t e r v a l s o f v a r i o u s s i z e s , s t r a t e g i e s u s i n g a l g e b r a i c r e a s o n i n g , " r e f e r e n c e t o s l o p e o f t a n g e n t l i n e " , a s t r a t e g y i n v o l v i n g b o t h q u a l i t a t i v e a n d a l g e b r a i c r e a s o n i n g , a n d , i n T a s k 4 , " a n a l y s i s o f m o v i n g o b j e c t s " , a s t r a t e g y u s i n g q u a l i t a t i v e r e a s o n i n g . S o o v e r t h e s i x t a s k s , s t u d e n t s u s e d s t r a t e g i e s f r o m a l l t h r e e t y p e s o f r e a s o n i n g . T o e x p l a i n t h e i r g r a p h s a n d t a b l e s a n d t o i d e n t i f y w h e r e t h e d e p e n d e n t v a r i a b l e c h a n g e d t h e m o s t a n d l e a s t s t u d e n t s u s e d s t r a t e g i e s r e l y i n g o n q u a l i t a t i v e a n d n u m e r i c a l r e a s o n i n g . T o f i n d r a t e o f c h a n g e a t a p o i n t , s t u d e n t s m a d e h e a v i e s t u s e o f s t r a t e g i e s u s i n g 2 8 6 a l g e b r a i c r e a s o n i n g b u t t h e y a l s o u s e d s t r a t e g i e s r e l y i n g o n q u a l i t a t i v e r e a s o n i n g . C h a p t e r s u m m a r y I n t h i s c h a p t e r I c l a s s i f i e d t h e s t r a t e g i e s s t u d e n t s u s e d i n t h e s e s i x t a s k s i n t e r m s o f t h r e e p e r s p e c t i v e s o n r a t e o f c h a n g e a n d t h r e e t y p e s o f r e a s o n i n g . A p p e n d i x H s h o w s a l l o f t h e s t r a t e g i e s a n d t h e i r c l a s s i f i c a t i o n s i n t e r m s o f t h e p e r s p e c t i v e s a n d t y p e s o f r e a s o n i n g . S t u d e n t s u s e d s t r a t e g i e s f r o m a l l t h r e e p e r s p e c t i v e s a n d a l l t h r e e t y p e s o f r e a s o n i n g . I n T a s k s 1 , 2 , a n d 3 , t h e " w a l k i n g " t a s k s , s t u d e n t s w e r e a s k e d t o e x p l a i n h o w t h e i r g r a p h s a n d t a b l e s s h o w e d t h e t w o p e o p l e s l o w i n g d o w n , s p e e d i n g u p , a n d m a i n t a i n i n g a s t e a d y p a c e . T h e s t r a t e g i e s w i t h t h e h i g h e s t f r e q u e n c i e s i n t h o s e t a s k s r e p r e s e n t e d g l o b a l a n d i n t e r v a l p e r s p e c t i v e s a n d q u a l i t a t i v e a n d n u m e r i c a l t y p e s o f r e a s o n i n g . I n T a s k s 4 , 5 , a n d 6 , t h e " t h r o w n b a l l " , " b i o m a s s " , a n d " c i r c l e s " t a s k s , s t u d e n t s w e r e a s k e d t o i d e n t i f y w h e r e t h e d e p e n d e n t v a r i a b l e c h a n g e d t h e m o s t a n d l e a s t . A s w i t h T a s k s 1 , 2 , a n d 3 , t h e s t r a t e g i e s m o s t o f t e n u s e d r e p r e s e n t e d g l o b a l a n d i n t e r v a l p e r s p e c t i v e s a n d q u a l i t a t i v e a n d n u m e r i c a l t y p e s o f r e a s o n i n g . T h e s e s t r a t e g i e s w o r k v e r y w e l l f o r a d d r e s s i n g q u e s t i o n s a b o u t r a t e o f c h a n g e t h a t i n v o l v e c o m p a r i s o n s o f t h e d e p e n d e n t v a r i a b l e o v e r a l l o r l a r g e s e c t i o n s o f t h e d o m a i n o f t h e i n d e p e n d e n t v a r i a b l e . H o w e v e r t o f i n d r a t e o f c h a n g e a t a p o i n t i n T a s k s 4 , 5 , a n d 6 , s t u d e n t s m a d e m o r e u s e o f a l g e b r a i c r e a s o n i n g a n d i n t e r v a l a n d p o i n t p e r s p e c t i v e s t r a t e g i e s . T h e m o s t f r e q u e n t l y u s e d s t r a t e g i e s i n t h e s e t h r e e t a s k s , a n d e s p e c i a l l y i n T a s k s 5 a n d 6 , w e r e s t r a t e g i e s b a s e d o n a v e r a g e r a t e o f c h a n g e o v e r v a r i o u s s i z e d i n t e r v a l s , a c o l l e c t i o n o f 2 8 7 i n t e r v a l p e r s p e c t i v e s t r a t e g i e s , a n d s l o p e o f t a n g e n t l i n e , a p o i n t p e r s p e c t i v e s t r a t e g y . T h e s e s t r a t e g i e s w e r e c l a s s i f i e d a s u s i n g a l g e b r a i c r e a s o n i n g s i n c e t h e y r e l y o n a p a r t i c u l a r f o r m u l a f o r a r r i v i n g a t a n a n s w e r f o r r a t e o f c h a n g e a t a p o i n t . T w o p r i m a r y c o n c l u s i o n s c o m e s f r o m t h i s p a r t o f t h e a n a l y s i s . O n e i s t h a t s t u d e n t s u s e d s t r a t e g i e s f r o m a l l t h r e e p e r s p e c t i v e s a n d a l l t h r e e t y p e s o f r e a s o n i n g . T h e s e c o n d i s t h a t s t r a t e g i e s b a s e d i n g l o b a l a n d i n t e r v a l p e r s p e c t i v e s a n d q u a l i t a t i v e a n d n u m e r i c a l t y p e s o f r e a s o n i n g w e r e e s p e c i a l l y h e l p f u l f o r a n s w e r i n g q u e s t i o n s a b o u t t h e b e h a v i o r o f t h e i n d e p e n d e n t v a r i a b l e o v e r a l l o r a s i g n i f i c a n t s e c t i o n o f i t s d o m a i n , a n d s t r a t e g i e s b a s e d i n i n t e r v a l a n d p o i n t p e r s p e c t i v e s a n d a l g e b r a i c r e a s o n i n g w e r e e s p e c i a l l y h e l p f u l f o r a n s w e r i n g q u e s t i o n s a b o u t b e h a v i o r o f t h e d e p e n d e n t v a r i a b l e a t i n d i v i d u a l p o i n t s . P e r h a p s n o o n e i s s u r p r i s e d b y t h e s e r e s u l t s , b u t I w a s . I w a s n o t s u r e w h a t s t r a t e g i e s s t u d e n t s w o u l d u s e t o a d d r e s s t h e s e t a s k s . I w a s f a i r l y s u r e a t l e a s t s o m e s t u d e n t s w o u l d u s e s l o p e o f t a n g e n t l i n e t o a d d r e s s r a t e o f c h a n g e a t a p o i n t . O u t s i d e o f t h a t I w a s b a s i c a l l y c l u e l e s s a b o u t w h a t s t u d e n t s w o u l d d o . I s u s p e c t I a m n o t t h e o n l y c a l c u l u s t e a c h e r i n t h i s b o a t . O n e i s s u e t o b e d i s c u s s e d i n C h a p t e r 8 c o n c e r n s w h a t d i f f e r e n c e i t m a k e s t o c a l c u l u s t e a c h e r s w h a t s t u d e n t s d o w i t h p r o b l e m s l i k e t h e s e . C h a p t e r 7 C O M P A R I N G A N D C O N T R A S T I N G T H E T H R E E G R O U P S O F S T U D E N T S O n e o f t h e g o a l s o f t h i s d i s s e r t a t i o n w a s t o s e e h o w k n o w l e d g e o f r a t e o f c h a n g e d i f f e r e d a m o n g t h e t h r e e g r o u p s o f s t u d e n t s . S i n c e s t r a t e g i e s w e r e t a k e n a s t h e u n i t o f k n o w l e d g e i n t h i s s t u d y , i t m a d e s e n s e t o c o m p a r e a n d c o n t r a s t s t r a t e g y u s e a m o n g t h e p r e c a l c u l u s , c a l c u l u s , a n d p o s t c a l c u l u s g r o u p s . S p e c i f i c a l l y f o r e a c h t a s k I n o t e d t h e s t r a t e g i e s u s e d b y e a c h g r o u p a n d s i m i l a r i t i e s a n d d i f f e r e n c e s i n f r e q u e n c y o f u s e o f s t r a t e g i e s a m o n g t h e t h r e e g r o u p s . G e n e r a l l y I f o u n d t h a t t h e m i x o f s t r a t e g y u s e w a s n o t u n i f o r m a c r o s s t h e t h r e e g r o u p s . A s i n C h a p t e r s 5 a n d 6 , h e r e I e x a m i n e s t r a t e g i e s u s e d i n T a s k s 1 , 2 , a n d 3 f i r s t a n d t h e n I l o o k a t s t r a t e g i e s u s e d i n T a s k s 4 , 5 , a n d 6 . I f o u n d t h a t f r e q u e n c y o f u s e o f s t r a t e g i e s v a r i e d b y g r o u p a n d b y t a s k b u t t h a t t h e r e w e r e c l e a r p a t t e r n s i n w h a t s t r a t e g i e s w e r e c o n s i s t e n t l y u s e d b y e a c h g r o u p . T h r e e p a t t e r n s e m e r g e d . F i r s t , c e r t a i n s t r a t e g i e s w e r e u s e d b y a l l t h r e e g r o u p s w i t h g r e a t f r e q u e n c y . F o r e x a m p l e , i n T a s k s 1 , 2 , a n d 3 , a l l t h r e e g r o u p s o f s t u d e n t s m a d e h e a v y u s e o f " v i s u a l s l o p e " a n d " d e l t a d " . S e c o n d , s o m e s t r a t e g i e s w e r e u s e d b y s o m e g r o u p s b u t n o t b y o t h e r s . C a l c u l u s a n d p o s t c a l c u l u s s t u d e n t s u s e d s l o p e o f t a n g e n t l i n e i n T a s k s 4 , 5 , a n d 6 b u t p r e c a l c u l u s s t u d e n t s d i d n o t . F i n a l l y , s o m e s t r a t e g i e s w e r e u s e d w i t h g r e a t e r o r l e s s f r e q u e n c y b y e a c h g r o u p o f s t u d e n t s a s t h e y p r o g r e s s e d t h r o u g h t h e t a s k s . T h e 2 8 8 2 8 9 f r e q u e n c y o f u s e o f a v e r a g e r a t e o f c h a n g e o v e r s h o r t i n t e r v a l s b e f o r e a p o i n t a n d s t r a d d l i n g a p o i n t b e c a m e m o r e p o p u l a r a s s t u d e n t s m o v e d t h r o u g h T a s k s 4 , 5 , a n d 6 . C o m p a r i n g s t r a t e g i e s o f t h e t h r e e g r o u p s - “ W a l k i n g " t a s k s I n t h i s s e c t i o n I c o n s i d e r s i m i l a r i t i e s a n d d i f f e r e n c e s a m o n g t h e t h r e e g r o u p s o f s t u d e n t s i n t h e f r e q u e n c y o f s t r a t e g i e s u s e d t o e x p l a i n g r a p h s a n d t a b l e s i n e a c h o f T a s k s 1 , 2 , a n d 3 . T h e n I c o m p a r e a n d c o n t r a s t u s e o f s t r a t e g i e s b y e a c h g r o u p f o r t h e t h r e e t a s k s c o m b i n e d . G e n e r a l l y I f o u n d t h a t a l l t h r e e g r o u p s o f s t u d e n t s m a d e h e a v y u s e o f t w o p a r t i c u l a r s t r a t e g i e s , " v i s u a l s l o p e " a n d " d e l t a d " , w i t h o t h e r s t r a t e g i e s u s e d b y o n l y a f e w s t u d e n t s i n o n e o r t w o g r o u p s . S t r a t e g i e s f o r e x p l a i n i n g g r a p h s . T a b l e 2 4 s h o w s s t r a t e g i e s s t u d e n t s u s e d f o r e x p l a i n i n g h o w t h e i r g r a p h s s h o w e d s l o w i n g d o w n , s p e e d i n g u p , o r s t e a d y p a c e a n d , f o r e a c h t a s k , t h e p e r c e n t o f e a c h g r o u p t h a t u s e d e a c h s t r a t e g y . O n e s i m i l a r i t y a m o n g t h e t h r e e g r o u p s a n d a c r o s s t h e t h r e e t a s k s i s t h e p r e d o m i n a n t u s e o f " d e l t a d " a n d " v i s u a l s l o p e " . H o w e v e r , t h e f r e q u e n c y o f u s e o f t h e s e a n d o t h e r s t r a t e g i e s d i f f e r e d a m o n g t h e t h r e e g r o u p s a n d a c r o s s t h e t h r e e t a s k s . P r e c a l c u l u s s t u d e n t s w e r e t h e o n l y o n e s t o u s e " m e e t i n g p o i n t " a n d t h e y u s e d i t o n a l l t h r e e t a s k s . " V e l o c i t y e q u a t i o n " w a s u s e d b y o n l y p o s t c a l c u l u s s t u d e n t s a n d t h e n o n l y o n T a s k 2 . A l l o t h e r s t r a t e g i e s w e r e u s e d b y a t l e a s t t w o g r o u p s o n a t l e a s t o n e t a s k . I w i l l e x a m i n e s i m i l a r i t i e s a n d d i f f e r e n c e s i n s t r a t e g y u s e a m o n g t h e t h r e e g r o u p s b y e a c h t a s k . T h e n f o r e a c h s t r a t e g y I w i l l c o m b i n e f r e q u e n c i e s a c r o s s a l l t h r e e t a s k s a n d l o o k a t s i m i l a r i t i e s a n d d i f f e r e n c e s a m o n g t h e t h r e e g r o u p s . 2 9 0 T a b l e 2 4 P e r c e n t o f e a c h g r o u p u s i n g e a c h s t r a t e g y t o e x p l a i n h o w t h e i r g r a p h s s h o w e d s l o w i n g d o w n , s p e e d i n g u p , o r s t e a d y p a c e i n T a s k s 1 , 2 , a n d 3 ( P r e z P r e c a l c u l u s , C a l = C a l c u l u s , a n d P o s = P o s t c a l c u l u s ) T a s k 1 T a s k 2 T a s k 3 S t r a t e g y P r e C a l P o s P r e C a l P o s P r e C a l P o s D e l t a d 5 8 5 3 9 0 8 3 8 0 9 0 7 5 6 7 7 0 V i s u a l 4 2 7 3 6 0 2 5 4 7 6 0 3 3 6 7 6 0 s l o p e D e l t a ( 1 a n d 1 7 4 0 0 0 0 0 8 1 3 1 0 d e l t a t D e l t a t 2 5 1 3 0 8 0 0 8 1 3 1 0 M e e t i n g 2 5 0 O 1 7 O 0 1 7 0 0 p o i n t R e f e r e n c e t o 3 3 7 0 0 7 1 0 0 0 0 a p o i n t V e l o c i t y 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 e q u a t i o n T a s k 1 . O v e r h a l f o f e a c h g r o u p u s e d " d e l t a d " a n d o v e r 4 0 p e r c e n t u s e d " v i s u a l s l o p e " . F o r t h e p o s t c a l c u l u s g r o u p t h e s e w e r e t h e o n l y t w o s t r a t e g i e s u s e d . T h i s i s i n c o n t r a s t t o t h e p r e c a l c u l u s a n d c a l c u l u s g r o u p s w h i c h u s e d a t o t a l o f s i x a n d f i v e s t r a t e g i e s , r e s p e c t i v e l y . B e s i d e s " d e l t a d " a n d " v i s u a l s l o p e " , c a l c u l u s s t u d e n t s a l s o u s e d " d e l t a d a n d d e l t a t " a n d p r e c a l c u l u s s t u d e n t s u s e d " d e l t a d " , " m e e t i n g p o i n t " , a n d " r e f e r e n c e t o a p o i n t " . P e r h a p s c a l c u l u s s t u d e n t s u s e d " d e l t a d a n d d e l t a t " b e c a u s e t h e i r m o s t r e c e n t e x p e r i e n c e s i n c a l c u l u s s u g g e s t e d t h a t r a t e o f c h a n g e h a s s o m e t h i n g t o d o w i t h v a r y i n g d i s t a n c e r e l a t i v e t o v a r y i n g t i m e a n d t h i s i s o n e w a y o f e x p l i c i t l y r e f e r r i n g t o r a t e o f c h a n g e i n t e r m s o f b o t h . P r e c a l c u l u s s t u d e n t s ' u s e o f " d e l t a t " , " m e e t i n g p o i n t " , a n d " r e f e r e n c e t o a p o i n t " s h o w s t h a t t h e s e s t u d e n t s w e r e t h i n k i n g a b o u t 2 9 1 p o s s i b l e r e l a t i o n s h i p s b e t w e e n d i s t a n c e a n d t i m e i n t r y i n g t o m a k e s e n s e o f r a t e o f c h a n g e . I n t h e c a s e o f " m e e t i n g p o i n t " , s t u d e n t s w e r e t h i n k i n g a b o u t t h e n e e d f o r t h e t w o p e o p l e t o c o v e r a t o t a l o f 2 0 f e e t i n l e s s t i m e w h e n g o i n g f a s t a n d m o r e t i m e w h e n g o i n g s l o w . A l t h o u g h n o t n e c e s s a r i l y a n a c c e p t e d w a y o f t h i n k i n g a b o u t s l o w i n g d o w n a n d s p e e d i n g u p , s t u d e n t s w e r e n o n e t h e l e s s t h i n k i n g a b o u t t h e r i g h t k i n d s o f r e l a t i o n s h i p s b e t w e e n d i s t a n c e a n d t i m e f o r a d d r e s s i n g r a t e o f c h a n g e . S i m i l a r l y w i t h " d e l t a t " , s t u d e n t s i n t e r p r e t e d r a t e o f c h a n g e i n t e r m s o f h o w m u c h t i m e t o t r a v e l a f i x e d a m o u n t o f d i s t a n c e . T h i s t o o s h o w s s t u d e n t s m a k i n g s o m e w h a t c o n v e n t i o n a l s e n s e o f r a t e o f c h a n g e . S t u d e n t s w h o u s e d " r e f e r e n c e t o a p o i n t " f o c u s e d o n a r e l a t i o n s h i p o f d i s t a n c e t o t i m e b u t i n t h i s c a s e i t w a s t h e v a l u e o f t h e d i s t a n c e a t a p o i n t i n t i m e r a t h e r t h a n c h a n g e i n d i s t a n c e o v e r s o m e t i m e p e r i o d . W h i l e t h i s u n d e r s t a n d i n g o f r a t e o f c h a n g e i s u n c o n v e n t i o n a l , i t s h o w s t h a t t h e s e s t u d e n t s w e r e t r y i n g t o r e l a t e d i s t a n c e t o t i m e i n t h i n k i n g a b o u t r a t e o f c h a n g e , a n i m p o r t a n t p a r t o f l e a r n i n g r a t e o f c h a n g e . A l a r g e r p e r c e n t o f c a l c u l u s s t u d e n t s u s e d " v i s u a l s l o p e " t h a n e i t h e r p r e c a l c u l u s o r p o s t c a l c u l u s s t u d e n t s . I t i s u s u a l l y i n c a l c u l u s t h a t s t u d e n t s a s s o c i a t e s l o p e o f a g r a p h w i t h d e r i v a t i v e a n d r a t e o f c h a n g e . S t u d e n t s w h o a r e j u s t f i n i s h i n g t h e i r s t u d y o f c a l c u l u s t h e n a r e q u i t e l i k e l y t o a s s o c i a t e r a t e o f c h a n g e w i t h s l o p e o f c u r v e . T h a t m a y b e w h y c a l c u l u s s t u d e n t s , m o r e t h a n p r e c a l c u l u s o r p o s t c a l c u l u s , u s e d " v i s u a l s l o p e " t o a d d r e s s r a t e o f c h a n g e i n T a s k 1 . A l l b u t o n e o f t h e p o s t c a l c u l u s s t u d e n t s u s e d " d e l t a d " c o m p a r e d t o a l i t t l e o v e r h a l f o f t h e p r e c a l c u l u s a n d c a l c u l u s s t u d e n t s . C o u r s e s b e y o n d c a l c u l u s , l i k e d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s , m a t h e m a t i c a l m o d e l i n g , a n d n u m e r i c a l a n a l y s i s , c o n t a i n s t r a t e g i e s f o r a p p r o x i m a t i n g r a t e o f c h a n g e 2 9 2 u s i n g c h a n g e s o v e r i n t e r v a l s . T h i s w o u l d h e l p e x p l a i n w h y " d e l t a d " w a s a m o r e p o p u l a r s t r a t e g y w i t h t h e s e s t u d e n t s t h a n " v i s u a l s l o p e " a n d w h y i t w a s m o r e p o p u l a r w i t h p o s t c a l c u l u s s t u d e n t s t h a n w i t h p r e c a l c u l u s o r c a l c u l u s s t u d e n t s . T a s k 2 . A t l e a s t 8 0 p e r c e n t o f e a c h g r o u p u s e d " d e l t a d " o n T a s k 2 . T h i s r e p r e s e n t s a n i n c r e a s e i n u s e f r o m T a s k 1 f o r p r e c a l c u l u s a n d c a l c u l u s s t u d e n t s . T h i s c o n t r a s t s w i t h a d e c r e a s e i n t h e u s e o f " v i s u a l s l o p e " b y t h e s e s a m e t w o g r o u p s . P r e c a l c u l u s a n d c a l c u l u s s t u d e n t s u s e d t w o f e w e r s t r a t e g i e s i n T a s k 2 t h a n i n T a s k 1 w h i l e p o s t c a l c u l u s s t u d e n t s u s e d t w o m o r e . W h a t a c c o u n t s f o r t h e s e s i m i l a r i t i e s a n d d i f f e r e n c e s ? S o m e p r e c a l c u l u s a n d c a l c u l u s s t u d e n t s w h o u s e d " v i s u a l s l o p e " o n T a s k 1 s w i t c h e d t o " d e l t a d " o n T a s k 2 . I b e l i e v e t h e y d i d t h i s b e c a u s e t h e i r g r a p h s f o r T a s k 1 w e r e c u r v e s w h i c h m a d e d i f f e r e n c e s i n s l o p e f o r s e c t i o n s o f t h e c u r v e q u i t e v i s i b l e . T h e r e f o r e " v i s u a l s l o p e " w a s a m o r e o b v i o u s c h o i c e w h e n a d d r e s s i n g r a t e o f c h a n g e i n T a s k 1 . B u t i n T a s k 2 t h e i r g r a p h s w e r e l i n e a r s o t h a t v i s i b l e c h a n g e i n s l o p e w a s n o t a s o b v i o u s a g r a p h i c a l f e a t u r e . F u r t h e r m o r e , c o n s t a n t s p e e d , a s i n T a s k 2 , m a y h a v e b e e n i n t e r p r e t e d a s " s a m e n u m b e r o f f e e t e a c h s e c o n d " w h i c h w o u l d a c c o u n t f o r h e a v i e r u s e o f " d e l t a d ” b y t h e s e s t u d e n t s . A s i n T a s k 1 , s o m e p r e c a l c u l u s s t u d e n t s u s e d " m e e t i n g p o i n t " i n T a s k 2 . R e a s o n s f o r u s e o f t h i s s t r a t e g y i n T a s k 2 a r e c o n j e c t u r e d t o b e t h e s a m e a s i n T a s k 1 . I n T a s k 2 , t w o p o s t c a l c u l u s s t u d e n t s u s e d " v e l o c i t y e q u a t i o n " . W h a t w o u l d a c c o u n t f o r t h i s ? N o t i c e t h a t " v e l o c i t y e q u a t i o n " w a s u s e d o n l y o n T a s k 2 . P o s t c a l c u l u s s t u d e n t s w o u l d m o s t l i k e l y h a v e h a d m o r e e x p e r i e n c e w i t h r e l a t i o n s h i p s b e t w e e n e q u a t i o n s a n d t h e i r g r a p h s a n d 2 9 3 t h e r e f o r e m a y h a v e b e e n m o r e l i k e l y t o r e l a t e t h e g r a p h o f a l i n e t o t h e c o n s t a n t n a t u r e o f " c h a n g e i n d i s t a n c e o v e r c h a n g e i n t i m e " . T h i s m a y e x p l a i n w h y s o m e o f t h e m u s e d " v e l o c i t y e q u a t i o n " o n T a s k 2 a n d n o t o n T a s k s 1 o r 3 . T a s k 3 . A t l e a s t t w o - t h i r d s o f e a c h g r o u p u s e d " d e l t a d " o n T a s k 3 . F o r e a c h g r o u p t h i s s t r a t e g y w a s u s e d w i t h l e s s f r e q u e n c y o n T a s k 3 t h a n o n T a s k 2 b u t w i t h g r e a t e r f r e q u e n c y t h a n o n T a s k 1 f o r p r e c a l c u l u s a n d c a l c u l u s s t u d e n t s . T w o p o s t c a l c u l u s s t u d e n t s w h o u s e d " d e l t a d " o n T a s k s 1 a n d 2 u s e d e i t h e r " d e l t a t " o r " d e l t a d a n d d e l t a t " o n T a s k 3 . S t u d e n t s ' g r a p h s f o r T a s k 3 a r e l e s s c o m m o n t h a n t h e i r g r a p h s f o r T a s k s 1 a n d 2 . I n s o m e s e n s e t h e i r g r a p h s i n T a s k 3 w e r e t h e o p p o s i t e o f t h e i r g r a p h s i n T a s k 1 . T h i s m a y h a v e e n c o u r a g e d s o m e s t u d e n t s t o t h i n k i n T a s k 3 a b o u t r a t e o f c h a n g e i n t e r m s o f c h a n g e i n t i m e r e l a t i v e t o c h a n g e i n d i s t a n c e ( ” d e l t a t " ) i n s t e a d o f c h a n g e i n d i s t a n c e r e l a t i v e t o c h a n g e i n t i m e ( " d e l t a d " ) o r t o r e f e r t o c h a n g e i n b o t h d i s t a n c e a n d t i m e a s i n t h e s t r a t e g y " d e l t a d a n d d e l t a t " . S i m i l a r l y l e s s f a m i l i a r g r a p h s i n T a s k 3 m a y h a v e b e e n t h e r e a s o n s o m e p r e c a l c u l u s a n d c a l c u l u s s t u d e n t s s w i t c h e d f r o m " d e l t a d " i n T a s k 2 t o " d e l t a t " o r " d e l t a d a n d d e l t a t " i n T a s k 3 . T h e p a t t e r n o f u s e o f " v i s u a l s l o p e " i n T a s k 3 i s d i f f e r e n t f r o m b o t h T a s k s 1 a n d 2 . A l m o s t e q u a l p e r c e n t s o f c a l c u l u s a n d p o s t c a l c u l u s g r o u p s u s e d " v i s u a l s l o p e " i n T a s k 3 w h i l e a b o u t h a l f t h a t p e r c e n t o f t h e p r e c a l c u l u s g r o u p u s e d t h i s s t r a t e g y . B e c a u s e c a l c u l u s a n d p o s t c a l c u l u s s t u d e n t s h a v e l i k e l y h a d m o r e e x p e r i e n c e w i t h r e l a t i o n s h i p s b e t w e e n s h a p e s o f c u r v e s a n d r a t e o f c h a n g e , t h e y m a y h a v e b e e n m o r e l i k e l y t o u s e " v i s u a l s l o p e " i n T a s k 3 t h a n p r e c a l c u l u s s t u d e n t s . 2 9 4 A s i n T a s k s 1 a n d 2 , s o m e p r e c a l c u l u s s t u d e n t s u s e d " m e e t i n g p o i n t " i n T a s k 3 . I s u s p e c t t h e i r r e a s o n s f o r u s i n g i t h e r e a r e t h e s a m e a s o n T a s k s 1 a n d 2 . S t u d e n t s u s e d t h i s s t r a t e g y b e c a u s e t h e y k n e w t h a t r a t e o f c h a n g e i n t h e s e t a s k s h a d s o m e t h i n g t o d o w i t h a m o u n t o f d i s t a n c e t r a v e l e d i n a c e r t a i n a m o u n t o f t i m e a n d o n e o f t h e s i m p l e s t w a y s t o e x p r e s s t h i s i s " 2 0 f e e t i n f e w e r s e c o n d s m e a n s s p e e d i n g u p a n d 2 0 f e e t i n m o r e s e c o n d s m e a n s s l o w i n g d o w n " . S t r a t e g i e s u s e d b y e a c h g r o u p w i t h T a s k s 1 , 2 , a n d 3 c o m b i n e d . T a b l e 2 5 s h o w s t h e n u m b e r a n d p e r c e n t o f e a c h g r o u p u s i n g e a c h s t r a t e g y a t l e a s t o n c e o n T a s k s 1 , 2 , a n d 3 . T a b l e 2 5 N u m b e r ( p e r c e n t ) o f e a c h g r o u p u s i n g e a c h s t r a t e g y t o e x p l a i n t h e i r g r a p h s i n T a s k s 1 , 2 , a n d 3 c o m b i n e d S t r a t e g y P r e c a l c u l u s C a l c u l u s P o s g g a l c u l u s D e l t a d 1 1 ( 9 2 % ) 1 5 ( 1 0 0 % ) 1 0 ( 1 0 0 % ) V i s u a l s l o p e 6 ( 5 0 % ) 1 1 ( 7 3 % ) 8 ( 8 0 % ) D e l t a t 4 ( 3 3 % ) 4 ( 2 7 % ) 1 ( 1 0 % ) D e l t a d a n d 2 ( 1 7 % ) 6 ( 4 0 % ) 1 ( 1 0 % ) d e l t a t R e f e r e n c e t o a 4 ( 3 3 % ) 2 ( 1 3 % ) 1 ( 1 0 % ) p o i n t M e e t i n g p o i n t 3 ( 2 5 % ) O ( 0 % ) O ( 0 % ) V e l o c i t y e q u a t i o n 0 ( 0 % ) 0 ( 0 % ) 2 ( 2 0 % ) O v e r 9 0 p e r c e n t o f t h e p r e c a l c u l u s s t u d e n t s a n d a l l o f t h e c a l c u l u s a n d p o s t c a l c u l u s s t u d e n t s u s e d " d e l t a d " a t l e a s t o n c e i n T a s k s 1 , 2 , a n d 3 . H a l f o f t h e p r e c a l c u l u s , a l m o s t t h r e e - f o u r t h s o f t h e c a l c u l u s , a n d e i g h t y p e r c e n t o f t h e p o s t c a l c u l u s s t u d e n t s u s e d " v i s u a l s l o p e " o n a t l e a s t o n e o f t h e t a s k s . N o t i c e t h a t a s m a t h e m a t i c a l 2 9 5 b a c k g r o u n d i n c r e a s e d s o d i d t h e p e r c e n t o f s t u d e n t s w h o u s e d e a c h o f t h e s e t w o s t r a t e g i e s . P r e c a l c u l u s s t u d e n t s w e r e t h e o n l y o n e s t o u s e " m e e t i n g p o i n t " a n d p o s t c a l c u l u s s t u d e n t s w e r e t h e o n l y o n e s t o u s e " v e l o c i t y e q u a t i o n " . G e n e r a l l y f r e q u e n c y o f u s e o f " r e f e r e n c e t o a p o i n t " a n d " d e l t a t " d e c r e a s e d w i t h m o r e f o r m a l m a t h e m a t i c s e d u c a t i o n . C a l c u l u s s t u d e n t s w e r e m o r e i n c l i n e d t h a n p r e c a l c u l u s a n d p o s t c a l c u l u s s t u d e n t s t o u s e " d e l t a d a n d d e l t a t " . S t r a t e g i e s f o r e x p l a i n i n g t a b l e s . T a b l e 2 6 s h o w s s t r a t e g i e s s t u d e n t s u s e d t o e x p l a i n h o w t h e i r t a b l e s s h o w e d s l o w i n g d o w n , s p e e d i n g u p , o r s t e a d y p a c e a n d , f o r e a c h t a s k , t h e p e r c e n t o f e a c h g r o u p u s i n g e a c h s t r a t e g y . F o r e a c h o f t h e t h r e e t a s k s t h e s t r a t e g y m o s t p r e d o m i n a n t l y u s e d b y e a c h g r o u p w a s " d e l t a d " . A t l e a s t 9 0 p e r c e n t o f e a c h g r o u p u s e d t h i s s t r a t e g y o n T a s k s 1 a n d 3 a n d a t l e a s t 8 0 p e r c e n t u s e d i t o n T a s k 2 . A s w i t h g r a p h s , p r e c a l c u l u s s t u d e n t s w e r e t h e o n l y o n e s w h o u s e d " m e e t i n g p o i n t " a n d p o s t c a l c u l u s s t u d e n t s w e r e t h e o n l y o n e s w h o u s e d " v e l o c i t y e q u a t i o n " . T a s k 1 . P o s t c a l c u l u s s t u d e n t s u s e d t w o o t h e r s t r a t e g i e s w o r t h y o f n o t e . T w o o f t h e s e s t u d e n t s u s e d " r e f e r e n c e t o a p o i n t " , a s t r a t e g y t h a t m a k e s u s e o f t h e v a l u e o f t h e d e p e n d e n t v a r i a b l e , r a t h e r t h a n d i f f e r e n c e s i n v a l u e s o f t h e d e p e n d e n t v a r i a b l e , t o m a k e d e c i s i o n s a b o u t r a t e o f c h a n g e . O n e o f t h e s e p o s t c a l c u l u s s t u d e n t s u s e d t h e r a t i o o f t h e d i s t a n c e v a l u e t o t h e t i m e v a l u e t o a d d r e s s s l o w i n g d o w n a n d s p e e d i n g u p i n T a s k 1 . B u t i n T a s k 2 w h e n s h e t r i e d t o u s e t h e s a m e s t r a t e g y s h e s a w t h a t t h i s d i d n o t s h o w s t e a d y p a c e s i n c e t h e r e s u l t i n g r a t i o s w e r e n o t c o n s t a n t . S h e t h e n u s e d " ( d e l t a d ) / ( d e l t a t ) " t o m a k e s e n s e o f s t e a d y 2 9 6 p a c e i n T a s k 2 a n d r e t u r n e d t o T a s k 1 t o u s e t h i s n e w s t r a t e g y t o d i s c u s s h o w h e r t a b l e t h e r e s h o w e d s l o w i n g d o w n a n d s p e e d i n g u p . T h e o t h e r p o s t c a l c u l u s s t u d e n t w h o u s e d " r e f e r e n c e t o a p o i n t " o n T a s k 1 m a d e f r e q u e n t u s e o f t h e v a l u e o f t h e d e p e n d e n t v a r i a b l e i n o t h e r t a s k s . T a b l e 2 6 P e r c e n t o f e a c h g r o u p u s i n g e a c h s t r a t e g y t o e x p l a i n h o w t h e i r t a b l e s s h o w e d s l o w i n g d o w n , s p e e d i n g u p , o r s t e a d y p a c e i n T a s k s 1 , 2 , a n d 3 ( P r e = P r e c a l c u l u s , C a l = C a l c u l u s , P o s = P o s t c a l c u l u s ) T a s k 1 T a s k 2 T a s k 3 S t r a t e g y P r e C a l P o s P r e C a l P o s P r e C a l P o s D e l t a ( : 1 9 2 9 3 9 0 8 3 1 0 0 1 0 0 9 2 9 3 1 0 0 ( D e l t a d ) / o 7 2 0 o 7 1 0 o 7 1 0 ( d e l t a t ) R e f e r e n c e t o 1 7 0 2 0 0 0 O O 0 0 a p o i n t M e e t i n g 8 0 O 1 7 O O 8 0 0 p o i n t D e l t a d a n d 0 7 O O O O 8 7 0 d e l t a t D e l t a t 8 0 0 0 0 0 O 7 0 V e l o c i t y O O 1 0 0 0 O O 0 0 e q u a t i o n T w o p r e c a l c u l u s s t u d e n t s a l s o u s e d " r e f e r e n c e t o a p o i n t " o n T a s k 1 . O n e u s e d t h e d i s t a n c e v a l u e i t s e l f a s a m e a s u r e o f s p e e d a t i n d i v i d u a l v a l u e s o f t i m e . T h e o t h e r u s e d t h e r a t i o o f t h e d i s t a n c e v a l u e t o c o r r e s p o n d i n g v a l u e s o f t i m e a s a m e a s u r e o f s p e e d . B o t h o f t h e s e w a y s o f u s i n g v a l u e s o f t h e d e p e n d e n t v a r i a b l e ( d i s t a n c e ) a t i n d i v i d u a l v a l u e s o f t h e i n d e p e n d e n t v a r i a b l e ( t i m e ) m a k e u s e o f r e l a t i o n s h i p s b e t w e e n d i s t a n c e a n d t i m e t o m a k e s e n s e o f r a t e o f c h a n g e . T h e y a r e n o t t h e c o n v e n t i o n a l s e n s e , b u t , a s I h a v e s t a t e d e l s e w h e r e , 2 9 7 t h e s e s t u d e n t s a s s u m e d t h a t d i s t a n c e a n d t i m e t e l l u s s o m e t h i n g a b o u t s p e e d a n d t h a t s p e e d i s g i v e n b y a p a r t i c u l a r r a t i o o f d i s t a n c e t o t i m e . T w o p o s t c a l c u l u s s t u d e n t s u s e d " ( d e l t a d ) / ( d e l t a t ) " . O n e o f t h e s e s t u d e n t s a l s o u s e d " d i s t a n c e v a l u e " a n d h e r u s e o f t h e s e t w o s t r a t e g i e s w a s d i s c u s s e d a b o v e . T h e o t h e r s t u d e n t d i v i d e d t h e c h a n g e i n d i s t a n c e b y t h e c h a n g e i n t i m e o v e r e a c h o n e s e c o n d i n t e r v a l , s a i d t h a t h e w a s d o i n g t h i s , a n d n o t i c e d t h e d e c r e a s i n g p a t t e r n o f t h e r e s u l t i n g a n s w e r s i n t h e f i r s t h a l f o f t h e t a b l e a n d t h e i n c r e a s i n g p a t t e r n i n t h e s e c o n d h a l f a n d c o n c l u d e d t h a t h i s t a b l e s h o w e d s l o w i n g d o w n o n t h e f i r s t h a l f a n d s p e e d i n g u p o n t h e s e c o n d h a l f . O n e c a l c u l u s s t u d e n t a l s o u s e d t h i s s t r a t e g y b u t n o p r e c a l c u l u s s t u d e n t s d i d . T a s k 2 . I n a d d i t i o n t o " d e l t a d " , t h e o n l y o t h e r s t r a t e g y u s e d b y m o r e t h a n o n e s t u d e n t i n a n y g r o u p w a s " m e e t i n g p o i n t " . T w o p r e c a l c u l u s s t u d e n t s u s e d t h i s s t r a t e g y . O n e o f t h e s e s t u d e n t s u s e d t h i s s t r a t e g y o n a l l t h r e e o f t h e s e t a s k s w i t h b o t h t h e g r a p h a n d t h e t a b l e . T h e o t h e r s t u d e n t d i d n o t u s e t h i s s t r a t e g y a n y w h e r e e l s e i n T a s k s 1 , 2 , a n d 3 b u t h i s u s e o f t h i s s t r a t e g y h e r e w a s s i m i l a r t o o t h e r s t u d e n t s ' u s e o f t h i s s t r a t e g y w i t h g r a p h s . H e n o t e d t h a t w h a t s h o w e d t h e s t e a d y p a c e o f t h e t w o p e o p l e w a s t h a t t h e y t r a v e l e d a t o t a l o f 2 0 f e e t i n t h e f o u r s e c o n d s b e f o r e t h e y m e t a n d a t o t a l o f 2 0 f e e t i n t h e f o u r s e c o n d s a f t e r t h e y m e t . A s w i t h g r a p h s , t h e n o t i o n o f a m o u n t o f d i s t a n c e t r a v e l e d i n a m o u n t o f t i m e h e l p e d t h e s e s t u d e n t s a d d r e s s s l o w i n g d o w n , s p e e d i n g u p , a n d s t e a d y p a c e i n T a s k s 1 , 2 , a n d 3 . T h i s p o i n t s t o a r e s o u r c e t h a t c o u l d h e l p t h e s e s t u d e n t s r e f i n e t h e i r k n o w l e d g e o f r a t e o f c h a n g e . T a s k 3 . " D e l t a d " w a s u s e d b y a l l b u t o n e c a l c u l u s a n d o n e p r e c a l c u l u s s t u d e n t a n d w a s t h e o n l y s t r a t e g y u s e d b y m o r e t h a n o n e s t u d e n t i n e a c h g r o u p . O n e p r e c a l c u l u s s t u d e n t u s e d " m e e t i n g p o i n t " a n d 2 9 8 a d i f f e r e n t p r e c a l c u l u s s t u d e n t u s e d " d e l t a d a n d t " . O n e c a l c u l u s a n d o n e p o s t c a l c u l u s s t u d e n t u s e d " ( d e l t a d ) / ( d e l t a t ) " a n d e v e n t h e n i t w a s i n c o n j u n c t i o n w i t h " d e l t a d " . A n o t h e r c a l c u l u s s t u d e n t u s e d b o t h " d e l t a t " a n d " d e l t a d a n d t " . S t r a t e g i e s u s e d b y e a c h g r o u p w i t h T a s k s 1 , 2 , a n d 3 c o m b i n e d . T a b l e 2 7 s h o w s t h e n u m b e r a n d p e r c e n t o f e a c h g r o u p u s i n g e a c h s t r a t e g y a t l e a s t o n c e o n T a s k s 1 , 2 , a n d 3 . M a j o r p a t t e r n s r e v e a l e d b y t h i s t a b l e h a v e a l r e a d y b e e n d i s c u s s e d a b o v e . T a b l e 2 7 N u m b e r ( p e r c e n t ) o f e a c h g r o u p u s i n g e a c h s t r a t e g y t o e x p l a i n t h e i r t a b l e s i n T a s k s 1 , 2 , a n d 3 c o m b i n e d S t r a t e g y P r e c a l c u l u s C a l c u l u s P o s t c a l c u l u s D e l t a d 1 1 ( 9 2 % ) 1 5 ( 1 0 0 % ) 1 0 ( 1 0 0 % ) R e f e r e n c e t o a 2 ( 1 7 % ) 0 ( 0 % ) 2 ( 2 0 % ) p o i n t ( D e l t a d ) / o ( 0 % ) 1 ( 7 % ) 2 ( 2 0 % ) ( d e l t a t ) M e e t i n g p o i n t 2 ( 1 7 % ) 0 ( 0 % ) 0 ( 0 % ) D e l t a t l ( 8 % ) 1 ( 7 % ) 0 ( 0 % ) D e l t a d a n d 1 ( 8 % ) 1 ( 7 % ) 0 ( 0 % ) d e l t a t V e l o c i t y e q u a t i o n 0 ( 0 % ) O ( 0 % ) 1 ( 1 0 % ) S u m m a r y o f s t t a t e g y u s e i n T a s k s 1 , 2 , a n d 3 . T w o p a t t e r n s o f s t r a t e g y u s e e m e r g e d . O n e c o n c e r n s s t r a t e g i e s u s e d b y a l l t h r e e g r o u p s a n d o n e c o n c e r n s s t r a t e g i e s u s e d b y s o m e g r o u p s b u t n o t o t h e r s . A l l t h r e e g r o u p s m a d e h e a v y u s e o f " d e l t a d " i n t h e s e t a s k s . W i t h g r a p h s , c a l c u l u s a n d p o s t c a l c u l u s s t u d e n t s a l s o m a d e h e a v y u s e o f " v i s u a l s l o p e " w h i l e p r e c a l c u l u s s t u d e n t s m a d e m e d i u m u s e o f t h a t 2 9 9 s t r a t e g y . T h e s e w e r e t h e t w o m o s t c o m m o n l y u s e d s t r a t e g i e s b y e a c h o f t h e t h r e e g r o u p s . M o s t o f t h e s e s t u d e n t s w o u l d h a v e h a d s o m e e x p e r i e n c e w i t h r a t e i n m i d d l e s c h o o l a n d h i g h s c h o o l a s w e l l a s e v e r y d a y e x p e r i e n c e w i t h s p e e d e x p r e s s e d i n t e r m s o f m i l e s p e r h o u r o r f e e t p e r s e c o n d . T h e s e e x p e r i e n c e s w o u l d l i k e l y h a v e h e l p e d s t u d e n t s t h i n k o f s p e e d i n T a s k s 1 , 2 , a n d 3 i n t e r m s o f d i s t a n c e t r a v e l e d e a c h s e c o n d . T h a t w o u l d m a k e " d e l t a d " a c a n d i d a t e a s a h e a v i l y u s e d s t r a t e g y . T h e s e s t u d e n t s w o u l d a l s o h a v e h a d s o m e s c h o o l e x p e r i e n c e w i t h l i n e a r g r a p h s a n d t h e i r s l o p e s . I n a d d i t i o n t h e c a l c u l u s a n d p o s t c a l c u l u s s t u d e n t s w o u l d h a v e h a d m o r e e x p e r i e n c e s w i t h g r a p h s , t h e i r s l o p e s a n d s h a p e s , a n d c o n n e c t i o n s t o r a t e o f c h a n g e . T h a t w o u l d h e l p e x p l a i n w h y p r e c a l c u l u s s t u d e n t s t o a l e s s e r e x t e n t a n d c a l c u l u s a n d p o s t c a l c u l u s s t u d e n t s t o a g r e a t e r e x t e n t m a d e u s e o f " v i s u a l s l o p e " a s a w a y t o a d d r e s s r a t e o f c h a n g e . S o m e s t r a t e g i e s w e r e u s e d b y s o m e g r o u p s b u t n o t b y o t h e r s . W i t h b o t h g r a p h s a n d t a b l e s t h e p r e c a l c u l u s g r o u p w a s t h e o n l y g r o u p t o u s e " m e e t i n g p o i n t " a n d t h e p o s t c a l c u l u s s t u d e n t s w e r e t h e o n l y o n e s t o u s e " v e l o c i t y e q u a t i o n " . G e n e r a l l y p r e c a l c u l u s s t u d e n t s m a d e m o r e u s e o f " r e f e r e n c e t o a p o i n t " t h a n t h e o t h e r t w o g r o u p s a l t h o u g h a l l t h r e e g r o u p s u s e d t h a t s t r a t e g y w i t h s o m e f r e q u e n c y . G e n e r a l l y u s e o f " d e l t a t " d e c l i n e d w i t h m o r e f o r m a l m a t h e m a t i c s e d u c a t i o n . H o w e v e r , c a l c u l u s s t u d e n t s w e r e m o r e l i k e l y t h a n p r e c a l c u l u s a n d p o s t c a l c u l u s s t u d e n t s t o u s e " d e l t a d a n d d e l t a t " . S t u d e n t s w i t h m o r e f o r m a l m a t h e m a t i c s e d u c a t i o n w e r e m o r e i n c l i n e d t o u s e " ( d e l t a d ) / ( d e l t a t ) " . T h e s e p a t t e r n s o f s t r a t e g y u s e a r e s u m m a r i z e d i n T a b l e 2 8 . 3 0 0 T a b l e 2 8 P a t t e r n s o f s t r a t e g y u s e b y g r o u p ( S t r a t e g i e s c o m m o n t o a l l t h r e e g r o u p s a r e i n b o l d . ) ( S t r a t e g i e s c o m m o n t o t w o g r o u p s a r e i n i t a l i c s . ) G r o u p M a i n s t r a t e g i e s u s e d P r e c a l c u l u s M e e t i n g p o i n t , R e f e r e n c e t o a p o i n t , D e l t a d , V i s u a l s l o p e , a n d D e l t a t C a l c u l u s D e l t a d , V i s u a l s l o p e , D e l t a t , a n d D e l t a d a n d t P o s t c a l c u l u s V e l o c i t y e q u a t i o n , D e l t a d , V i s u a l s l o p e , R e f e r e n c e t o a p o i n t , ( D e l t a d ) / ( d e l t a t ) C o m p a r i n g s t r a t e g i e s o f t h e t h r e e g r o u p s - " t h r o w n b a l l " , " b i o m a s s " , a n d " c i r c l e s " t a s k s I n t h i s s e c t i o n I e x a m i n e s i m i l a r i t i e s a n d d i f f e r e n c e s a m o n g t h e t h r e e g r o u p s o f s t u d e n t s i n t h e f r e q u e n c y o f s t r a t e g i e s u s e d t o i d e n t i f y i n t e r v a l s o f t h e i n d e p e n d e n t v a r i a b l e f o r w h i c h t h e d e p e n d e n t v a r i a b l e c h a n g e d m o s t a n d l e a s t a n d t o f i n d t h e r a t e o f c h a n g e a t s e l e c t e d p o i n t s i n T a s k s 4 , 5 , a n d 6 . I l o o k f i r s t a t f r e q u e n c i e s o f s t r a t e g i e s u s e d b y e a c h g r o u p f o r e a c h t a s k a n d t h e n I n o t e p a t t e r n s o f s t r a t e g y u s e f o r e a c h g r o u p a c r o s s t h e t h r e e t a s k s . I d e n t i f y i n g i n t e r v a l s o f l e a s t a n d m o s t c h a n g e . S t u d e n t s u s e d f i v e s t r a t e g i e s t o i d e n t i f y i n t e r v a l s o f t h e i n d e p e n d e n t v a r i a b l e f o r w h i c h t h e d e p e n d e n t v a r i a b l e c h a n g e d m o s t a n d l e a s t . I e x a m i n e s t r a t e g i e s u s e d b y e a c h g r o u p o n e a c h o f T a s k s 4 , 5 , a n d 6 . T h e n I l o o k a t s t r a t e g y u s e b y g r o u p a c r o s s t h e t h r e e t a s k s . T a s k 4 . T a b l e 2 9 s h o w s t h e n u m b e r a n d p e r c e n t o f e a c h g r o u p u s i n g e a c h s t r a t e g y t o f i n d t h e i n t e r v a l s o f t i m e i n w h i c h t h e h e i g h t o f t h e b a l l c h a n g e d t h e m o s t a n d t h e l e a s t . 3 0 1 T a b l e 2 9 N u m b e r ( p e r c e n t ) o f e a c h g r o u p u s i n g e a c h s t r a t e g y t o i d e n t i f y w h e n t h e h e i g h t o f t h e b a l l c h a n g e d t h e m o s t a n d t h e l e a s t S t r a t e g y P r e c a l c u l u s C a l c u l u s P o s t c a l c u l u s D e l t a d 1 2 ( 1 0 0 % ) 1 5 ( 1 0 0 % ) 1 0 ( 1 0 0 % ) V i s u a l s l o p e O ( 0 % ) 4 ( 2 7 % ) 2 ( 2 0 % ) K n o w l e d g e o f 2 ( 1 7 % ) 5 ( 3 3 % ) 3 ( 3 0 % ) m o t i o n D e l t a t 0 ( 0 % ) O ( 0 % ) l ( 1 0 % ) D e l t a d a n d 0 ( 0 % ) 0 ( 0 % ) 1 ( 1 0 % ) d e l t a t T h e m o s t p o p u l a r s t r a t e g y b y f a r f o r e a c h g r o u p w a s " d e l t a d " . E v e r y s t u d e n t i n t h e s t u d y r e f e r r e d t o c h a n g e i n t h e h e i g h t o f t h e b a l l o v e r i n t e r v a l s o f t i m e . C a l c u l u s a n d p o s t c a l c u l u s s t u d e n t s u s e d " v i s u a l s l o p e " a n d a l l t h r e e g r o u p s u s e d " k n o w l e d g e o f m o t i o n " . T a s k 5 . T a b l e 3 0 s h o w s t h e n u m b e r a n d p e r c e n t o f e a c h g r o u p u s i n g e a c h s t r a t e g y t o f i n d i n t e r v a l s o f t i m e d u r i n g w h i c h t h e c e l l p o p u l a t i o n g r e w t h e m o s t a n d l e a s t . A s o n T a s k 4 , c h a n g e i n t h e d e p e n d e n t v a r i a b l e f r o m o n e t i m e v a l u e t o t h e n e x t , w h a t i s c a l l e d " d e l t a p " h e r e , w a s t h e m o s t p o p u l a r s t r a t e g y f o r e a c h o f t h e t h r e e g r o u p s w i t h a t l e a s t 7 0 p e r c e n t o f e a c h g r o u p u s i n g i t . " V i s u a l s l o p e " w a s a l s o f r e q u e n t l y u s e d , e s p e c i a l l y b y c a l c u l u s a n d p o s t c a l c u l u s s t u d e n t s . G e n e r a l l y s t u d e n t s w i t h m o r e f o r m a l m a t h e m a t i c s e d u c a t i o n m a d e m o r e u s e o f " v i s u a l s l o p e " . 3 0 2 T a b l e 3 0 N u m b e r ( p e r c e n t ) o f e a c h g r o u p u s i n g e a c h s t r a t e g y t o i d e n t i f y w h e n t h e c e l l p o p u l a t i o n g r e w t h e m o s t a n d l e a s t S t r a t e g y P r e c a l c u l u s C a l c u l u s P o s t c a l c u l u s D e l t a p 9 ( 7 5 % ) 1 1 ( 7 3 % ) 7 ( 7 0 % ) V i s u a l s l o p e 3 ( 2 5 % ) 1 0 ( 6 7 % ) 8 ( 8 0 % ) K n o w l e d g e o f 3 ( 2 5 % ) 2 ( 1 3 % ) 0 ( 0 % ) p o p . g r o w t h D e l t a p a n d O ( 0 % ) 1 ( 7 % ) 1 ( 1 0 % ) d e l t a t T a s k 6 . B e c a u s e I f a i l e d t o a s k e v e r y s t u d e n t h o w t h e y k n e w w h i c h i n t e r v a l s o f t h e r a d i u s y i e l d e d t h e m o s t a n d l e a s t c h a n g e i n t h e a r e a , a f a i r p i c t u r e o f w h i c h g r o u p s u s e d w h i c h s t r a t e g i e s a n d w i t h w h a t f r e q u e n c y i s n o t p o s s i b l e h e r e . B u t s t u d e n t s d i d u s e t h e s a m e b a s i c t h r e e s t r a t e g i e s a s i n T a s k s 4 a n d 5 - " d e l t a A " , " v i s u a l s l o p e " , a n d " k n o w l e d g e o f t h e s i t u a t i o n " . F r o m c o m m e n t s m a d e b y a b o u t h a l f o f t h e s t u d e n t s , I k n o w t h a t " d e l t a A " a n d " v i s u a l s l o p e " w e r e u s e d b y a l l t h r e e g r o u p s . A t l e a s t o n e p r e c a l c u l u s a n d o n e c a l c u l u s s t u d e n t u s e d " k n o w l e d g e o f t h e s i t u a t i o n " b u t n o n e o f t h e p o s t c a l c u l u s s t u d e n t s r e f e r r e d t o t h i s . H o w e v e r , a c o u p l e o f p o s t c a l c u l u s s t u d e n t s u s e d t h e e q u a t i o n r e l a t i n g a r e a o f a c i r c l e t o i t s r a d i u s i n t h i s a n d o t h e r p a r t s o f T a s k 6 . T a b l e 3 1 s u m m a r i z e s s t r a t e g y u s e i n t h i s p a r t o f T a s k 6 . C o m p a r i s o n a n d c o n t r a s t o f r e s p o n s e s g a g r o s s T a s k s 4 , 5 t : a n d 6 . W h e n c o m p a r i n g s t r a t e g i e s u s e d b y e a c h g r o u p t o i d e n t i f y i n t e r v a l s o f t h e i n d e p e n d e n t v a r i a b l e f o r w h i c h t h e d e p e n d e n t v a r i a b l e c h a n g e d t h e m o s t a n d l e a s t , w e s e e t h a t " d e l t a d " w a s u s e d b y a l l t h r e e g r o u p s o n a l l t h r e e t a s k s a n d i t w a s t h e m o s t f r e q u e n t l y u s e d s t r a t e g y b y e a c h g r o u p o n e a c h t a s k . " V i s u a l s l o p e " w a s a l s o u s e d b y a l l t h r e e g r o u p s o n 3 0 3 a t l e a s t t w o o f t h e t h r e e t a s k s b u t c a l c u l u s a n d p o s t c a l c u l u s s t u d e n t s u s e d i t m o r e t h a n p r e c a l c u l u s s t u d e n t s a n d g e n e r a l l y u s e o f " v i s u a l s l o p e " i n c r e a s e d w i t h m o r e m a t h e m a t i c s e d u c a t i o n . T a b l e 3 1 S t r a t e g i e s u s e d t o i d e n t i f y i n t e r v a l s o f t h e r a d i u s f o r w h i c h a r e a o f c i r c l e s g r e w m o s t a n d l e a s t S t t a t e g y D e l t a A V i s u a l s l o p e K n o w l e d g e o f s i t u a t i o n E q u a t i o n P r e g a l c u l u s U s e d b y s o m e U s e d b y s o m e U s e d b y o n e N o t u s e d C a l c u l u s U s e d b y s o m e U s e d b y s o m e U s e d b y o n e N o t u s e d P o s t g a l c u l u s U s e d b y s o m e U s e d b y s o m e N o t u s e d U s e d b y t w o " K n o w l e d g e o f s i t u a t i o n " w a s u s e d b y a l l t h r e e g r o u p s o n a t l e a s t t w o t a s k s b u t u s e o f t h i s s t r a t e g y b y e a c h g r o u p d i f f e r e d a m o n g t h e t a s k s . O n T a s k 4 c a l c u l u s a n d p o s t c a l c u l u s s t u d e n t s w e r e m o r e l i k e l y t o u s e i t t h a n p r e c a l c u l u s , o n T a s k 5 p r e c a l c u l u s s t u d e n t s w e r e m o r e l i k e l y t o u s e i t t h a n c a l c u l u s , a n d o n T a s k s 5 a n d 6 n o p o s t c a l c u l u s s t u d e n t u s e d t h i s s t r a t e g y . W h a t w o u l d e x p l a i n t h e s e p a t t e r n s o f s t r a t e g y u s e ? T a s k 4 w a s p r o b a b l y a m o r e f a m i l i a r t a s k t h a n T a s k 5 . T h a t w o u l d h e l p e x p l a i n w h y " k n o w l e d g e o f m o t i o n " w a s a m o r e p o p u l a r s t r a t e g y o n T a s k 4 t h a n " k n o w l e d g e o f g r o w t h o f p o p u l a t i o n s " w a s o n T a s k 5 . I n a d d i t i o n , f o r s t u d e n t s a t t h e s e l e v e l s o f m a t h e m a t i c s e d u c a t i o n , f e e t p e r s e c o n d i s l i k e l y a m o r e f a m i l i a r w a y o f t h i n k i n g a b o u t r a t e o f c h a n g e t h a n n u m b e r o f c e l l s p e r h o u r . T h a t m i g h t b e w h y f e w e r s t u d e n t s u s e d " d e l t a p " o n T a s k 5 t h a n u s e d " d e l t a d " o n T a s k 4 . W i t h d e c r e a s e d u s e o f " d e l t a P " a n d " k n o w l e d g e o f g r o w t h o f p o p u l a t i o n s " o n T a s k 5 , s t u d e n t s t u r n e d t o o t h e r s t r a t e g i e s , l i k e " v i s u a l s l o p e " . T h a t w o u l d 3 0 4 a c c o u n t f o r t h e i n c r e a s e d u s e o f " v i s u a l s l o p e " o n T a s k 5 c o m p a r e d t o T a s k 4 . F i n d i n g 7 r a t e o f c h a n g e t a t a p o i n t . T w e l v e d i f f e r e n t s t r a t e g i e s w e r e u s e d f o r f i n d i n g t h e r a t e o f c h a n g e o f t h e d e p e n d e n t v a r i a b l e a t s p e c i f i c v a l u e s o f t h e i n d e p e n d e n t v a r i a b l e i n T a s k s 4 , 5 , a n d 6 . B e l o w I e x a m i n e s t r a t e g i e s u s e d b y e a c h g r o u p o n e a c h t a s k a n d t h e n I l o o k a t s t r a t e g y u s e b y g r o u p a c r o s s t h e t h r e e t a s k s . T a s k 4 . I n C h a p t e r 5 I i d e n t i f i e d s t r a t e g i e s u s e d t o f i n d t h e s p e e d o f t h e b a l l a t e a c h t i m e v a l u e t = 1 , 2 , 3 , a n d 4 f o r a l l t h r e e g r o u p s c o m b i n e d . I d i d t h i s f i r s t f o r s t r a t e g i e s u s e d w i t h t h e g r a p h a n d t h e n f o r s t r a t e g i e s u s e d w i t h t h e t a b l e o f v a l u e s . H e r e I l o o k a t s t r a t e g i e s u s e d b y e a c h g r o u p b u t w i t h f r e q u e n c i e s f o r t h e t i m e v a l u e s c o m b i n e d . I l o o k f i r s t a t s t r a t e g i e s u s e d w i t h t h e g r a p h a n d t h e n a t s t r a t e g i e s u s e d w i t h t h e t a b l e . S t t a t e g i e s u s e d w i t h t h e g r a p h . T a b l e 3 2 s h o w s t h e n u m b e r o f t i m e s e a c h s t r a t e g y w a s u s e d b y e a c h g r o u p t o f i n d t h e s p e e d o f t h e b a l l a t t = 1 , 2 , 3 , a n d 4 w h e n u s i n g t h e g r a p h . F o r e a c h g r o u p " a n a l y s i s o f m o v i n g o b j e c t s " w a s t h e m o s t f r e q u e n t l y u s e d s t r a t e g y f o r f i n d i n g t h e s p e e d o f t h e b a l l a t t = 1 , 2 , 3 , a n d 4 . T h e s i t u a t i o n i n T a s k 4 w a s n o d o u b t f a m i l i a r e n o u g h t h a t s t u d e n t s c o u l d r e l y o n k n o w l e d g e o f t h e m o v e m e n t o f t h e b a l l t o a d d r e s s i t s s p e e d a t v a r i o u s t i m e v a l u e s . T h e r e w e r e , h o w e v e r , d i f f e r e n c e s i n t h e n e x t t w o m o s t p r e v a l e n t s t r a t e g i e s u s e d b y e a c h g r o u p . T h e p r e c a l c u l u s g r o u p u s e d a v e r a g e s p e e d o v e r t h e p r e v i o u s s e c o n d o r q u a r t e r s e c o n d . B o t h t h e c a l c u l u s a n d p o s t c a l c u l u s g r o u p s r e f e r r e d t o s l o p e o f t a n g e n t l i n e a n d c a l c u l u s 3 0 5 s t u d e n t s a l s o u s e d a v e r a g e s p e e d o v e r t h e p r e v i o u s q u a r t e r s e c o n d w h i l e p o s t c a l c u l u s s t u d e n t s u s e d a v e r a g e s p e e d o v e r t h e h a l f s e c o n d a r o u n d t h e p o i n t . T a b l e 3 2 N u m b e r o f i n c i d e n c e s o f e a c h s t r a t e g y b y g r o u p i n f i n d i n g t h e s p e e d o f t h e b a l l a t t = 1 , 2 , 3 , a n d 4 i n T a s k 4 u s i n g t h e g r a p h S t r a t e g y P r e c a l c C a l c u l u s P o s t c a l c A n a l y s i s o f m o v i n g o b j e c t s 1 8 ( 3 8 % ) 2 6 ( 4 8 % ) 1 5 ( 4 4 % ) A v g . s p e e d o v e r p r e v i o u s 1 7 ( 3 5 % ) 1 0 ( 1 9 % ) 4 ( 1 2 % ) q u a r t e r s e c o n d R e f e r e n c e t o s l o p e 0 ( 0 % ) 1 4 ( 2 6 % ) 1 2 ( 3 5 % ) A v g . s p e e d o v e r t h e 1 2 ( 2 5 % ) 6 ( 1 1 % ) 5 ( 1 5 % ) p r e v i o u s s e c o n d A v g . s p e e d s i n c e t = 0 8 ( 1 7 % ) 9 ( 1 7 % ) O ( 0 % ) o r t = 2 A v g . s p e e d o v e r h a l f s e c . 0 ( 0 % ) 4 ( 7 % ) 8 ( 2 4 % ) a r o u n d p o i n t R e f e r e n c e t o a p o i n t 7 ( 1 5 % ) 3 ( 6 % ) 2 ( 6 % ) D e s i r e s m a l l e r i n t e r v a l 0 ( 0 % ) 3 ( 6 % ) 1 ( 3 % ) P e r c e n t s w e r e c o m p u t e d o n t h e b a s i s o f t h e t o t a l n u m b e r o f o p p o r t u n i t i e s t o a n s w e r e a c h i t e m . P r e c a l c u l u s s t u d e n t s h a d 4 8 o p p o r t u n i t i e s ( 1 2 s t u d e n t s * 4 t i m e v a l u e s ) ; c a l c u l u s s t u d e n t s h a d 5 4 o p p o r t u n i t i e s ( 1 5 s t u d e n t s w i t h t h r e e s t u d e n t s ' r e s p o n s e s m i s s i n g f o r t = 3 a n d t = 4 ) ; p o s t c a l c u l u s s t u d e n t s h a d 3 4 o p p o r t u n i t i e s ( 1 0 s t u d e n t s w i t h t h r e e s t u d e n t s ' r e s p o n s e s m i s s i n g f o r t = 3 a n d t = 4 ) . N o n e o f t h e p r e c a l c u l u s s t u d e n t s r e f e r r e d t o s l o p e , a n o t t o o s u r p r i s i n g r e s u l t g i v e n t h a t t h e y , u n l i k e t h e c a l c u l u s a n d p r e c a l c u l u s s t u d e n t s , h a d n o t y e t r e c e i v e d i n s t r u c t i o n o n c o n n e c t i o n s b e t w e e n s l o p e o f t a n g e n t l i n e a n d r a t e o f c h a n g e a t a p o i n t . H o w e v e r , I f o u n d i n t e r e s t i n g t h e h e a v y u s e b y e a c h g r o u p o f a v e r a g e s p e e d o v e r i n t e r v a l s . P r e c a l c u l u s s t u d e n t s u s e d m e d i u m a n d s h o r t i n t e r v a l s b e f o r e t h e p o i n t , c a l c u l u s s t u d e n t s u s e d t h e s h o r t e s t a v a i l a b l e i n t e r v a l s b e f o r e t h e 3 0 6 p o i n t , a n d p o s t c a l c u l u s s t u d e n t s u s e d s h o r t e s t a v a i l a b l e i n t e r v a l s " s t r a d d l i n g " t h e p o i n t . P o s t c a l c u l u s s t u d e n t s ' u s e o f " s t r a d d l e " i n t e r v a l s i s m o r e c o n s i s t e n t w i t h t h e d e f i n i t i o n o f i n s t a n t a n e o u s r a t e o f c h a n g e f o r c o n t i n u o u s f u n c t i o n s a s d i s c u s s e d i n C h a p t e r 1 a n d c a l c u l u s s t u d e n t s ' u s e o f t h e s m a l l e s t o n e — s i d e d i n t e r v a l b e f o r e t h e p o i n t w o u l d b e e x p e c t e d t o y i e l d a m o r e a c c u r a t e a n s w e r t h a n u s i n g a l a r g e r o n e - s i d e d i n t e r v a l a s s o m e p r e c a l c u l u s s t u d e n t s d i d . G e n e r a l l y t h e m o r e f o r m a l m a t h e m a t i c s e d u c a t i o n t h e g r o u p h a d , t h e l e s s i t u s e d " r e f e r e n c e t o a p o i n t " , " a v e r a g e s p e e d s i n c e t = 0 o r t = 2 " , " a v e r a g e s p e e d o v e r t h e p r e v i o u s s e c o n d " , a n d " a v e r a g e s p e e d o v e r t h e p r e v i o u s q u a r t e r s e c o n d " a n d t h e m o r e i t u s e d " a v e r a g e s p e e d o v e r t h e h a l f s e c o n d a r o u n d t h e p o i n t " a n d " r e f e r e n c e t o s l o p e " . A v e r a g e r a t e o f c h a n g e o v e r t h e h a l f s e c o n d a r o u n d t h e p o i n t a n d s l o p e o f t a n g e n t l i n e w o u l d b e e x p e c t e d t o g i v e t h e m o s t a c c u r a t e a n s w e r s f o r s p e e d a t p o i n t s . N o p r e c a l c u l u s s t u d e n t s u s e d t h e s l o p e o f t h e t a n g e n t l i n e o r a v e r a g e s p e e d o v e r t h e h a l f s e c o n d i n t e r v a l " s t r a d d l i n g " t h e p o i n t . F i g u r e 1 1 s u m m a r i z e s t h e t h r e e m o s t f r e q u e n t l y u s e d s t r a t e g i e s o f e a c h g r o u p . P r e c a l c u l u s A n a l y s i s o f m o v i n g o b j e c t s 3 0 7 C a l c u l u s A n a l y s i s o f m o v i n g o b j e c t s P o s t c a l c u l u s A n a l y s i s o f m o v i n g o b j e c t s A v g . s p e e d o v e r p r e v . 1 / 4 s e c . R e f e r e n c e t o s l o p e R e f e r e n c e t o s l o p e A v g . s p e e d o v e r A v g . s p e e d o v e r A v g . s p d . o v e r 1 / 2 p r e v . s e c o n d p r e v . 1 / 4 s e c . s e c . a r o u n d p t . F i g u r e 1 1 — M o s t f r e q u e n t l y u s e d s t r a t e g i e s o f e a c h g r o u p w h e n u s i n g t h e g r a p h t o f i n d s p e e d a t t = 1 , 2 , 3 , a n d 4 i n T a s k 4 S t r a t e g i e s u s e d w i t h t h e t a b l e . T a b l e 3 3 s h o w s t h e n u m b e r o f t i m e s e a c h s t r a t e g y w a s u s e d b y e a c h g r o u p t o f i n d t h e s p e e d o f t h e b a l l a t t = 1 , 2 , 3 , a n d 4 w h e n u s i n g t h e t a b l e o f v a l u e s . T a b l e 3 3 N u m b e r o f i n c i d e n c e s o f e a c h s t r a t e g y b y g r o u p i n f i n d i n g t h e s p e e d o f t h e b a l l a t t = 1 , 2 , 3 , a n d 4 i n T a s k 4 u s i n g t h e t a b l e o f v a l u e s S t r a t e g y P r e c a l c C a l c u l u s P o s t c a l c A v g . s p e e d o v e r h a l f s e c o n d 0 ( 0 % ) 1 7 ( 3 4 % ) 2 0 ( 6 1 % ) a r o u n d p o i n t A v g . s p e e d o v e r p r e v i o u s 1 6 ( 3 3 % ) 1 6 ( 3 2 % ) 3 ( 9 % ) q u a r t e r s e c o n d A n a l y s i s o f m o v i n g o b j e c t s 6 ( 1 3 % ) 8 ( 1 6 % ) 8 ( 2 4 % ) R e f e r e n c e t o s l o p e O ( 0 % ) 1 4 ( 2 8 % ) 2 ( 6 % ) A v g . s p e e d o v e r t h e 1 1 ( 2 3 % ) 3 ( 6 % ) 1 ( 3 % ) p r e v i o u s s e c o n d A v g . s p e e d f r o m t = 0 o r t = 2 9 ( 1 9 % ) 4 ( 8 % ) 0 ( 0 % ) R e f e r e n c e t o a p o i n t 3 ( 6 % ) 5 ( 1 0 % ) 2 ( 6 % ) D e s i r e s m a l l e r i n t e r v a l 0 ( 0 % ) 2 ( 4 % ) 2 ( 6 % ) P e r c e n t s w e r e c o m p u t e d o n t h e b a s i s o f t h e t o t a l n u m b e r o f o p p o r t u n i t i e s t o a n s w e r e a c h i t e m . P r e c a l c u l u s s t u d e n t s h a s 4 8 o p p o r t u n i t i e s ( 1 2 s t u d e n t s * 4 t i m e v a l u e s ) ; c a l c u l u s s t u d e n t s h a d 5 0 o p p o r t u n i t i e s ( 1 5 s t u d e n t s w i t h f i v e s t u d e n t s ' r e s p o n s e s m i s s i n g f o r t = 3 a n d t = 4 ) ; p o s t c a l c u l u s s t u d e n t s h a d 3 3 o p p o r t u n i t i e s ( 1 0 s t u d e n t s w i t h t h r e e s t u d e n t s ' r e s p o n s e s m i s s i n g f o r t = 3 a n d t = 4 ) . 3 0 8 T h e r e w e r e d i f f e r e n c e s a m o n g t h e t h r e e g r o u p s . P r e c a l c u l u s s t u d e n t s u s e d a v e r a g e s p e e d o v e r t h e p r e v i o u s s e c o n d a n d q u a r t e r s e c o n d m o r e t h a n a n y o t h e r s t r a t e g i e s . C a l c u l u s s t u d e n t s u s e d a v e r a g e s p e e d o v e r t h e p r e v i o u s q u a r t e r s e c o n d a n d a v e r a g e s p e e d o v e r t h e h a l f s e c o n d i n t e r v a l a r o u n d t h e t i m e v a l u e . P o s t c a l c u l u s s t u d e n t s o v e r w h e l m i n g l y u s e d a v e r a g e s p e e d o v e r t h e h a l f s e c o n d i n t e r v a l a r o u n d t h e t i m e v a l u e . P r e c a l c u l u s s t u d e n t s a l s o u s e d a v e r a g e s p e e d f r o m t = 0 o r t = 2 . C a l c u l u s s t u d e n t s m a d e r e l a t i v e l y h e a v y u s e o f s l o p e o f t a n g e n t l i n e a n d p o s t c a l c u l u s s t u d e n t s u s e d a n a l y s i s o f m o v i n g o b j e c t s . W i t h m o r e m a t h e m a t i c s e d u c a t i o n , s t u d e n t s m a d e l e s s u s e o f a v e r a g e s p e e d s i n c e t = O o r t = 2 , a v e r a g e s p e e d o v e r t h e p r e v i o u s s e c o n d a n d q u a r t e r s e c o n d a n d m a d e m o r e u s e o f a v e r a g e s p e e d o v e r t h e h a l f s e c o n d " s t r a d d l i n g " t h e p o i n t a n d a n a l y s i s o f m o v i n g o b j e c t s . C a l c u l u s s t u d e n t s m a d e m o r e u s e o f s l o p e o f t a n g e n t l i n e t h a n p o s t c a l c u l u s s t u d e n t s . P r e c a l c u l u s s t u d e n t s d i d n o t u s e a t a l l s l o p e o f t a n g e n t l i n e o r a v e r a g e s p e e d o v e r t h e h a l f s e c o n d " s t r a d d l i n g " t h e p o i n t . T w o p a t t e r n s e m e r g e f r o m t h i s d a t a a t O n e i a : t h a t t h e m o r e m a t h e m a t i c s e d u c a t i o n s t u d e n t s h a d , t h e m o r e l i k e l y t h e y w e r e t o u s e a m a l l e r i n t e r v a l s b e f o r e t h e p o i n t o r i n t e r v a l s s t r a d d l i n g t h e p o i n t . T h e o t h e r i s t h a t n o n e o f t h e p r e c a l c u l u s s t u d e n t s u s e d s l o p e o f t a n g e n t l i n e o r i n t e r v a l s s t r a d d l i n g t h e p o i n t b u t b o t h c a l c u l u a _ a a g p o s t c a l c u l u a s t u d e n t s u s e d t h e s e s t r a t e g i e a , w i t h c a l c u l u s s t u d e n t s u s i n g s l o p e m o r e t h a n p o s t t a l c u l u s s t u d e n t s , a n d p o s t c a l c u l u s s t u d e n t s u s i n g " s t r a d d l e " i n t e r v a l s m o r e t h a n c a l c u l u s s t u d e n t a a F i g u r e 1 2 s u m m a r i z e s t h e m o s t c o m m o n l y u s e d s t r a t e g i e s o f e a c h g r o u p . 3 0 9 P r e g a l c u l u s C a l c u l u s P o s t c a l c u l u s A v g . s p e e d o v e r A v g . s p e e d o v e r 1 / 2 A v g . s p e e d o v e r 1 / 2 p r e v . 1 / 4 s e c . s e c . a r o u n d p o i n t s e c . a r o u n d p o i n t A v g . s p e e d o v e r A v g . s p e e d o v e r A n a l y s i s o f m o v i n g p r e v . s e c . p r e v . 1 / 4 s e c . o b j e c t s A v g . s p e e d s i n c e R e f e r e n c e t o s l o p e t = 0 o r t = 2 F i g u r e 1 2 — M o s t f r e q u e n t l y u s e d s t r a t e g i e s o f e a c h g r o u p w h e n u s i n g t h e t a b l e t o f i n d s p e e d a t t = 1 , 2 , 3 , a n d 4 i n T a s k 4 C o m p a r i s o n a n d c o n t r a s t o f s t r a t e g y u s e b e t w e e n g r a p h t a n d t a b l e o n T a s k 4 . A l l t h r e e g r o u p s u s e d a n a l y s i s o f m o v i n g o b j e c t s a n d c a l c u l u s a n d p o s t c a l c u l u s s t u d e n t s u s e d s l o p e w i t h g r a p h s . I n c o n t r a s t , w i t h t a b l e s , o n l y t h e p o s t c a l c u l u s s t u d e n t s m a d e f r e q u e n t u s e o f a n a l y s i s o f m o v i n g o b j e c t s a n d o n l y c a l c u l u s s t u d e n t s f r e q u e n t l y u s e d s l o p e . W i t h b o t h g r a p h s a n d t a b l e s , p r e c a l c u l u s s t u d e n t s u s e d a v e r a g e s p e e d o v e r t h e p r e v i o u s s e c o n d a n d q u a r t e r s e c o n d , c a l c u l u s s t u d e n t s u s e d a v e r a g e s p e e d o v e r t h e p r e v i o u s q u a r t e r s e c o n d , a n d p o s t c a l c u l u s s t u d e n t s u s e d a v e r a g e s p e e d o v e r t h e h a l f s e c o n d a r o u n d t h e p o i n t , w h a t I h a v e c a l l e d " s t r a d d l e " i n t e r v a l s . O n e s i g n i f i c a n t c h a n g e w a s c a l c u l u s s t u d e n t s ' i n c r e a s e d u s e o f " s t r a d d l e " i n t e r v a l s w i t h t a b l e s . R e a s o n s f o r d e c r e a s e d u s e o f a n a l y s i s o f m o v i n g o b j e c t s a n d s l o p e a n d i n c r e a s e d u s e o f a v e r a g e s p e e d o v e r i n t e r v a l s w i t h t a b l e s w e r e n o t e d i n C h a p t e r 5 . H o w e v e r t w o d i f f e r e n c e s i n s t r a t e g y u s e b e t w e e n g r a p h s a n d t a b l e s w i l l b e d i s c u s s e d h e r e . O n e i s t h e c o n t i n u e d u s e o f a n a l y s i s o f m o v i n g o b j e c t s b y t h e p o s t c a l c u l u s s t u d e n t s a n d s l o p e b y c a l c u l u s s t u d e n t s . T h e o t h e r i s t h e i n c r e a s e d u s e o f s t r a d d l e i n t e r v a l s b y p o s t c a l c u l u s a n d c a l c u l u s s t u d e n t s . 3 1 0 W h y w o u l d p o s t c a l c u l u s s t u d e n t s m a k e f r e q u e n t u s e o f a n a l y s i s o f m o v i n g o b j e c t s w i t h t a b l e s o f v a l u e s ? O n e e x p l a n a t i o n i s t h a t t h e s e s t u d e n t s m o s t l i k e l y h a d t h e m o s t e x p e r i e n c e w i t h t h i s p a r t i c u l a r s i t u a t i o n , h a v i n g e n c o u n t e r e d i t i n o t h e r m a t h e m a t i c s a n d s c i e n c e c l a s s e s . A n o t h e r e x p l a n a t i o n i s t h a t s i n c e p o s t c a l c u l u s s t u d e n t s g e n e r a l l y f o u n d r e a s o n a b l e n u m e r i c a l e s t i m a t e s f o r t h e s p e e d o f t h e b a l l w h e n u s i n g t h e g r a p h , t h e y t u r n e d , w h e n u s i n g t h e t a b l e o f v a l u e s , t o q u i c k a n d e a s y w a y s t o v e r i f y t h e i r e a r l i e r a n s w e r s . A n a l y s i s o f m o v i n g o b j e c t s w o u l d b e s u c h a s t r a t e g y . W h y w o u l d c a l c u l u s s t u d e n t s c o n t i n u e t o u s e s l o p e w i t h t a b l e s ? S i n c e c a l c u l u s s t u d e n t s h a d m o r e r e c e n t l y e n c o u n t e r e d i n s t r u c t i o n c o n n e c t i n g r a t e o f c h a n g e t o s l o p e o f t a n g e n t l i n e , t h a t s t r a t e g y w a s p r o b a b l y m o r e a t t r a c t i v e t o t h e m f o r a d d r e s s i n g r a t e o f c h a n g e a t a p o i n t i n a l l s i t u a t i o n s , t a b l e s a s w e l l a s g r a p h s . W h e n u s i n g t h e t a b l e o f v a l u e s , m o s t o f t h e s e s t u d e n t s s a i d t h e y w a n t e d t o f i n d t h e s l o p e o f t h e t a n g e n t l i n e a n d t h a t t h e y c o u l d g e t a p r e t t y g o o d e s t i m a t e o f t h a t s l o p e u s i n g t h e t w o p o i n t s i n t h e t a b l e o n e - q u a r t e r o f a s e c o n d o n e i t h e r s i d e o f t h e p o i n t o f t a n g e n c y . T h u s t h e t a b l e o f v a l u e s m a d e t h e i r a p p r o x i m a t i o n o f s l o p e o f t a n g e n t l i n e e a s i e r t h a n w i t h t h e g r a p h . W h e n t h e s e c a l c u l u s s t u d e n t s a p p r o x i m a t e d t h e s l o p e o f t h e t a n g e n t l i n e u s i n g t h i s t e c h n i q u e I d i d a g t c l a s s i f y i t a s a v e r a g e s p e e d o v e r t h e h a l f s e c o n d a r o u n d t h e p o i n t e v e n t h o u g h n u m e r i c a l i t y i e l d e d t h e s a m e a n s w e r a n d a l g e b r a i c a l l y i t u s e d t h e s a m e f o r m u l a . I c l a s s i f i e d t h i s s t r a t e g y a s r e f e r e n c e t o s l o p e , w h i c h i n t h e s e t a s k s m e a n t s l o p e o f t a n g e n t l i n e , s i n c e t h e s e s t u d e n t s m a d e i t c l e a r t h a t t h e i r i n t e n t w a s t o f i n d a r e a s o n a b l e e s t i m a t e o f t h e s l o p e o f t h e t a n g e n t l i n e . 3 1 1 P o s t c a l c u l u s s t u d e n t s w e r e f u r t h e r r e m o v e d f r o m s l o p e o f t a n g e n t l i n e a s a p r i m a r y w a y o f t h i n k i n g a b o u t r a t e o f c h a n g e a t a p o i n t a n d m o s t o f t h e m h a d s i n c e l e a r n e d o t h e r t e c h n i q u e s b a s e d o n N e w t o n ' s q u o t i e n t , t e c h n i q u e s l i k e d i v i d e d d i f f e r e n c e s a n d t h e N e w t o n a n d s e c a n t m e t h o d s , f o r a d d r e s s i n g r a t e o f c h a n g e i n s i t u a t i o n s i n v o l v i n g a t a b l e o f v a l u e s . T h i s m a y b e t h e r e a s o n t h e y m a d e l e s s u s e o f s l o p e a n d m a d e m o r e u s e o f " s t r a d d l e " i n t e r v a l s . B u t c a l c u l u s s t u d e n t s a l s o m a d e h e a v y u s e o f " s t r a d d l e " i n t e r v a l s w i t h t h e t a b l e o f v a l u e s . T h e y m a d e l e s s u s e o f a n a l y s i s o f m o v i n g o b j e c t s w i t h t a b l e s t h a n t h e y d i d w i t h g r a p h s . T h i s m e a n s t h a t o t h e r s t r a t e g i e s h a d t o b e u s e d w i t h g r e a t e r f r e q u e n c y . G e n e r a l l y w i t h t a b l e s c a l c u l u s s t u d e n t s m a d e l e s s u s e o f a v e r a g e s p e e d o v e r o n e a n d t w o s e c o n d i n t e r v a l s b e f o r e t h e p o i n t a n d m o r e u s e o f a v e r a g e s p e e d o v e r o n e - q u a r t e r i n t e r v a l s b e f o r e a n d h a l f s e c o n d i n t e r v a l s s t r a d d l i n g t h e p o i n t . T h e t a b l e o f v a l u e s m a y h a v e e n c o u r a g e d m o r e u s e o f a v e r a g e r a t e o f c h a n g e a n d t h e a v a i l a b i l i t y o f m o r e p r e c i s e v a l u e s o f t h e d e p e n d e n t v a r i a b l e c l o s e r t o t h e p o i n t w o u l d h a v e e n c o u r a g e d s t u d e n t s t o u s e s m a l l e r i n t e r v a l s . I t m a y a l s o h a v e m a d e c o n s i d e r a t i o n o f i n f o r m a t i o n a f t e r t h e p o i n t m o r e l i k e l y . T a s k 5 . H e r e I l o o k f i r s t a t s t r a t e g i e s e a c h g r o u p u s e d w i t h t h e g r a p h , t h e n w i t h t h e t a b l e , a n d t h e n w i t h t h e e n l a r g e d g r a p h a n d m o r e d e t a i l e d t a b l e . I f o l l o w t h a t w i t h a n a n a l y s i s o f e a c h g r o u p ' s r e a s o n s f o r s p e c i f y i n g w h i c h o f t h e i r a n s w e r s w a s b e s t a n d h o w t h e y w o u l d g e t a b e t t e r a n s w e r . S t r a t e g i e s u s e d w i t h t h e g r a p h . T a b l e 3 4 s h o w s t h e n u m b e r a n d p e r c e n t o f e a c h g r o u p u s i n g e a c h s t r a t e g y t o f i n d t h e r a t e o f g r o w t h o f t h e c e l l p o p u l a t i o n a t 4 a m w h e n u s i n g t h e g r a p h . 3 1 2 T h e m o s t f r e q u e n t l y u s e d s t r a t e g y f o r p r e c a l c u l u s s t u d e n t s w a s a v e r a g e g r o w t h o v e r t h e h o u r b e f o r e 4 a m w h i l e p o s t c a l c u l u s a n d c a l c u l u s s t u d e n t s u s e d s l o p e o f l i n e t a n g e n t t o t h e g r a p h a t t = 4 a n d a v e r a g e g r o w t h o v e r t h e t w o h o u r i n t e r v a l s t r a d d l i n g t = 4 . P r e c a l c u l u s a n d c a l c u l u s s t u d e n t s a l s o m a d e r e f e r e n c e t o t h e n u m b e r o f c e l l s a t 4 a m s o m e t i m e s d i v i d i n g i t b y f o u r , t h e t i m e v a l u e . A s i n T a s k 4 p r e c a l c u l u s s t u d e n t s u s e d o n l y i n t e r v a l s b e f o r e t h e p o i n t w h i l e c a l c u l u s a n d p o s t c a l c u l u s s t u d e n t s t e n d e d t o u s e i n t e r v a l s t h a t " s t r a d d l e d " t h e p o i n t . A l s o n o p r e c a l c u l u s s t u d e n t u s e d a " s t r a d d l e " i n t e r v a l o r s l o p e o f t a n g e n t l i n e . F i g u r e 1 3 s u m m a r i z e s t h e s e t r e n d s . T a b l e 3 4 N u m b e r ( p e r c e n t ) o f e a c h g r o u p u s i n g e a c h s t r a t e g y t o f i n d t h e r a t e o f g r o w t h o f t h e c e l l p o p u l a t i o n a t t = 4 a m u s i n g t h e g r a p h S t r a t e g y P r e c a l c C a l c u l u s P o s t c a l c A v g . g r o w t h o v e r p r e v i o u s 7 ( 5 8 % ) 2 ( 1 3 % ) 2 ( 2 0 % ) h o u r A v g . g r o w t h o v e r 2 h o u r s 0 ( 0 % ) 6 ( 4 0 % ) 4 ( 4 0 % ) a r o u n d t = 4 R e f e r e n c e t o s l o p e 0 ( 0 % ) 6 ( 4 0 % ) 4 ( 4 0 % ) R e f e r e n c e t o a p o i n t 3 ( 2 5 % ) 3 ( 2 0 % ) 0 ( 0 % ) A v g . g r o w t h s i n c e t = 0 O ( 0 % ) 1 ( 7 % ) 2 ( 2 0 % ) " N o t q u i t e d o u b l i n g " 0 ( 0 % ) 1 ( 7 % ) 0 ( 0 % ) " I t ' s m u l t i p l i e d b y l ( 8 % ) 0 ( 0 % ) 0 ( 0 % ) t w o - t h i r d s . " D e s i r e s m a l l e r i n t e r v a l 0 ( 0 % ) 1 ( 7 % ) 0 ( 0 % ) n e a r t = 4 3 1 3 P r e c a l c u l u s C a l c u l u s P o s t c a l c u l u s A v g . g r o w t h o v e r A v g . g r o w t h o v e r A v g . g r o w t h o v e r p r e v i o u s h o u r 2 h r s . a r o u n d p t . 2 h r s . n e a r p t . R e f e r e n c e t o a R e f e r e n c e t o s l o p e R e f e r e n c e t o s l o p e p o i n t R e f e r e n c e t o a p o i n t F i g u r e 1 3 - M o s t f r e q u e n t l y u s e d s t r a t e g i e s o f e a c h g r o u p t o f i n d r a t e o f g r o w t h o f c e l l p o p u l a t i o n a t t = 4 i n T a s k 5 w h e n u s i n g g r a p h S t r a t e g i e s u s e d w i t h t h e t a b l e . T a b l e 3 5 s h o w s t h e n u m b e r a n d p e r c e n t o f e a c h g r o u p u s i n g e a c h s t r a t e g y t o f i n d t h e r a t e o f g r o w t h o f t h e c e l l p o p u l a t i o n a t 4 a m w h e n u s i n g t h e t a b l e o f v a l u e s . T a b l e 3 5 N u m b e r ( p e r c e n t ) o f e a c h g r o u p u s i n g e a c h s t r a t e g y t o f i n d t h e r a t e o f g r o w t h o f t h e c e l l p o p u l a t i o n a t 4 a m u s i n g t h e t a b l e S t r a t e g y P r e c a l c C a l c u l u s P o s t c a l c A v g . g r o w t h o v e r t h e 2 1 ( 8 % ) 9 ( 6 0 % ) 7 ( 7 0 % ) h o u r s a r o u n d t = 4 A v g . g r o w t h o v e r p r e v i o u s 7 ( 5 8 % ) 4 ( 2 7 % ) 1 ( 1 0 % ) h o u r R e f e r e n c e t o a p o i n t 2 ( 1 7 % ) 2 ( 1 3 % ) O ( 0 % ) A v g . g r o w t h s i n c e t = 0 0 ( 0 % ) 0 ( 0 % ) 2 ( 2 0 % ) R e f e r e n c e t o s l o p e 0 ( 0 % ) 1 ( 7 % ) 0 ( 0 % ) M u l t i p l i e d b y t w o — t h i r d s 1 ( 8 % ) O ( 0 % ) O ( 0 % ) I n c r e a s e d b y o n e - t h i r d 1 ( 8 % ) 0 ( 0 % ) 0 ( 0 % ) P r e c a l c u l u s s t u d e n t s u s e d a v e r a g e g r o w t h o v e r t h e h o u r p r e v i o u s t o t = 4 w h i l e c a l c u l u s a n d p o s t c a l c u l u s s t u d e n t s u s e d a v e r a g e g r o w t h o v e r t h e t w o h o u r p e r i o d f r o m t = 3 t o t = 5 . T h e s e c o n d m o s t f r e q u e n t l y u s e d s t r a t e g y f o r c a l c u l u s s t u d e n t s w a s a l s o a v e r a g e g r o w t h o v e r t h e h o u r p r e v i o u s t o t = 4 . S o m e p r e c a l c u l u s a n d c a l c u l u s s t u d e n t s 3 1 4 r e f e r e n c e d t h e n u m b e r o f c e l l s a t t = 4 a n d s o m e p o s t c a l c u l u s s t u d e n t s u s e d t h e t o t a l g r o w t h s i n c e t = 0 . G e n e r a l l y w i t h m o r e f o r m a l m a t h e m a t i c s e d u c a t i o n , s t u d e n t s m a d e l e s s u s e o f a v e r a g e g r o w t h o v e r t h e s h o r t e s t a v a i l a b l e i n t e r v a l b e f o r e t h e p o i n t a n d m o r e u s e o f a v e r a g e g r o w t h o v e r t h e s h o r t e s t a v a i l a b l e i n t e r v a l s t r a d d l i n g t h e p o i n t . I n T a s k 4 a n d w i t h t h e g r a p h h e r e i n T a s k 5 n o p r e c a l c u l u s s t u d e n t u s e d s l o p e o f t a n g e n t l i n e o r " s t r a d d l e " i n t e r v a l s . B u t w i t h t h e t a b l e o f v a l u e s i n T a s k 5 , o n e p r e c a l c u l u s s t u d e n t u s e d a " s t r a d d l e " i n t e r v a l . I t m a y b e i n t e r e s t i n g t o s e e w h a t t h a t s t u d e n t s a i d w i t h t h e g r a p h a n d t h e t a b l e h e r e i n T a s k 5 : W i t h t h e g r a p h - A v e r a g e g r o w t h o v e r t h e p r e v i o u s h o u r - " T h e r e i t ' s c h a n g i n g i n a b o u t 2 0 c e l l s p e r h o u r . ( A n d w h y d o y o u s a y t h a t ? ) B e c a u s e t h a t ' s a b o u t h o w m u c h i t c h a n g e d b e t w e e n 3 a n d 4 . " K H - P r e c a l c u l u s W i t h t h e t a b l e o f v a l u e s ~ A v e r a g e g r o w t h o v e r t h e t w o h o u r s f r o m 3 t o 5 - " W e l l , i f I h a v e t h e e x a c t n u m b e r s t h e r e [ p o i n t i n g t o t h e s e c t i o n o f t h e t a b l e n e a r 4 ] , t h e n I c a n . [ U s e s c a l c u l a t o r ] I t ' s c h a n g i n g a b o u t 2 3 . 9 c e l l s p e r h o u r . ( A n d a g a i n y o u d i d i t b y l o o k i n g a t w h a t h a p p e n s b e t w e e n 3 a n d 4 ? ) Y e a h . O r c o u r s e , I c o u l d d o t h e c h a n g e f r o m 3 t o 4 a n d t h e c h a n g e f r o m 4 t o 5 a n d t h e n a v e r a g e t h e m . ( O h . T h a t ' s a g o o d i d e a ! W o u l d y o u l i k e t o d o t h a t ? ) I w o u l d . [ C a l c u l a t e s ] T h e n i t c o m e s o u t t o 3 5 . 9 5 . ( A n d w h a t ' s t h e u n i t s o n t h a t ? ) C e l l s p e r h o u r . " K H - P r e c a l c u l u s W h a t c a u s e d K H t o s w i t c h f r o m a v e r a g e g r o w t h o v e r t h e p r e v i o u s h o u r t o a v e r a g e g r o w t h o v e r t h e t w o h o u r i n t e r v a l s t r a d d l i n g t = 4 ? I t i s n o t c l e a r h e r e w h a t p r o m p t e d h e r s u g g e s t i o n t h a t t h i s m a y b e a n e w w a y o f t h i n k i n g a b o u t t h e p r o b l e m , a l t h o u g h i t i s c l e a r t h a t o n c e s h e m a d e t h e s u g g e s t i o n I s t r o n g l y e n c o u r a g e d h e r t o c o n t i n u e . P e r h a p s h a v i n g t h e t a b l e o f v a l u e s i n f r o n t o f h e r m a d e h e r t h i n k t h a t t h e c h a n g e a f t e r t = 4 g a v e i n f o r m a t i o n a b o u t c h a n g e a t t = 4 . A t a n y r a t e h e r e i s t h e 3 1 5 f i r s t i n s t a n c e i n t h e s e t a s k s o f a p r e c a l c u l u s s t u d e n t u s i n g " s t r a d d l e " i n t e r v a l s t o a d d r e s s r a t e o f c h a n g e a t a p o i n t . T h e r e a r e o t h e r s t o c o m e i n l a t e r p a r t s o f T a s k 5 a n d i n T a s k 6 . F i g u r e 1 4 s u m m a r i z e s t h e t r e n d s i n s t r a t e g y u s e b y t h e t h r e e g r o u p s i n T a s k 5 w i t h t h e t a b l e o f v a l u e s . P r e c a l c u l u s C a l c u l u s P o s t c a l c u l u s A v g . g r o w t h o v e r A v g . g r o w t h o v e r 2 A v g . g r o w t h o v e r 2 p r e v . h o u r h r s . a r o u n d t = 4 2 h r s . n e a r t = 4 R e f e r e n c e t o a A v g . g r o w t h o v e r A v g . g r o w t h s i n c e p o i n t p r e v . h o u r t = 0 F i r s t u s e o f a R e f e r e n c e t o a s t r a d d l e i n t e r v a l p o i n t F i g u r e 1 4 - M o s t f r e q u e n t l y u s e d s t r a t e g i e s o f e a c h g r o u p t o f i n d r a t e o f g r o w t h o f c e l l p o p u l a t i o n a t t = 4 i n T a s k 5 w h e n u s i n g t a b l e C o m p a r i s o n a n d c o n t r a s t o f s t r a t e g y u s e b e t w e e n g r a p h a n d t a b l e o n t a s k 5 . P r e c a l c u l u s s t u d e n t s t e n d e d t o u s e t h e s a m e s t r a t e g i e s w i t h b o t h g r a p h a n d t a b l e - a v e r a g e g r o w t h o v e r t h e p r e v i o u s h o u r a n d r e f e r e n c e t o a p o i n t , s p e c i f i c a l l y t h e n u m b e r o f c e l l s a t t = 4 . H o w e v e r , c a l c u l u s a n d p o s t c a l c u l u s s t u d e n t s m a d e f r e q u e n t u s e o f s l o p e o f t a n g e n t l i n e w h e n w o r k i n g w i t h t h e g r a p h b u t o n l y o n e o f t h e s e s t u d e n t s u s e d s l o p e w i t h t h e t a b l e . M o r e c a l c u l u s a n d p o s t c a l c u l u s s t u d e n t s u s e d a v e r a g e g r o w t h o v e r t h e t w o h o u r s s t r a d d l i n g t = 4 w i t h t h e t a b l e t h a n w i t h t h e g r a p h a n d t w i c e a s m a n y c a l c u l u s s t u d e n t s u s e d a v e r a g e g r o w t h o v e r t h e p r e v i o u s h o u r w i t h t h e t a b l e t h a n w i t h t h e g r a p h . B o t h p r e c a l c u l u s a n d c a l c u l u s s t u d e n t s u s e d r e f e r e n c e t o a p o i n t w i t h t h e g r a p h a n d t h e t a b l e o f v a l u e s . R e a s o n s s t u d e n t s m i g h t m a k e l e s s u s e o f s l o p e a n d m o r e u s e o f s t r a d d l e i n t e r v a l s h a v e b e e n d i s c u s s e d , b u t w h y w o u l d m o r e c a l c u l u s 3 1 6 s t u d e n t s u s e a v e r a g e g r o w t h o v e r t h e p r e v i o u s h o u r w i t h t h e t a b l e t h a n w i t h t h e g r a p h ? T w o o f t h e c a l c u l u s s t u d e n t s w h o u s e d a v e r a g e g r o w t h o v e r t h e p r e v i o u s h o u r w i t h t h e t a b l e u s e d t h i s s a m e s t r a t e g y w i t h t h e g r a p h . O n e o f t h e m o f f e r e d i n b o t h c a s e s t h a t t h e r a t e o f g r o w t h a t t = 4 w o u l d b e f a s t e r t h a n t h e a v e r a g e g r o w t h o v e r t h e p r e v i o u s h o u r b u t t h a t t h e l a t t e r w a s a r e a s o n a b l e e s t i m a t e o f t h e g r o w t h r a t e a t t = 4 . S o a l t h o u g h t h i s s t u d e n t s e t t l e d o n u s e o f a v e r a g e g r o w t h o v e r t h e p r e v i o u s h o u r t o g e t h e r a n s w e r , i t w a s c l e a r t h a t s h e r e c o g n i z e d h e r a n s w e r w a s n o t a n e x a c t a n s w e r . I t w a s a n e s t i m a t e t h a t w a s a b i t o n t h e l o w s i d e . T h i s s h o w s k n o w l e d g e o f r a t e o f c h a n g e a t t = 4 t h a t i s m o r e s p e c i f i c t h a n s i m p l y u s i n g t h e a v e r a g e g r o w t h o v e r t h e p r e v i o u s h o u r . O n e o f t h e c a l c u l u s s t u d e n t s w h o u s e d a v e r a g e g r o w t h o v e r t h e p r e v i o u s h o u r w i t h t h e t a b l e b u t n o t w i t h t h e g r a p h n o t e d w i t h t h e g r a p h t h a t s h e w o u l d c o m p u t e t h e a v e r a g e r a t e o f c h a n g e o v e r a m u c h s m a l l e r i n t e r v a l b e f o r e t = 4 i f s h e h a d t h e n u m b e r o f c e l l s f o r t h o s e t i m e v a l u e s . W h e n s h e g o t t o t h e t a b l e s h e d e c i d e d t o u s e t h e s h o r t e s t a v a i l a b l e i n t e r v a l b e f o r e t = 4 , t h e i n t e r v a l f r o m t = 3 t o t = 4 . A g a i n t h i s s h o w s k n o w l e d g e o f r a t e o f c h a n g e a t t = 4 t h a t i s m o r e s o p h i s t i c a t e d t h a n u s e o f t h e s t r a t e g y " a v e r a g e g r o w t h o v e r t h e p r e v i o u s h o u r " w o u l d i n d i c a t e . T h e o t h e r s t u d e n t w h o u s e d t h i s s t r a t e g y w i t h t h e t a b l e u s e d t h e n u m b e r o f c e l l s a t t = 4 d i v i d e d b y 4 t o g e t t h e r a t e o f g r o w t h a t t = 4 w h e n u s i n g t h e g r a p h . F o r t h i s s t u d e n t , m o v i n g f r o m " r e f e r e n c e t o a p o i n t " t o " a v e r a g e g r o w t h o v e r t h e p r e v i o u s h o u r " r e p r e s e n t e d a m o v e t o w a r d m o r e c o n v e n t i o n a l m a t h e m a t i c a l k n o w l e d g e . W i t h t h e e n l a r g e d g r a p h a n d m o r e d e t a i l e d t a b l e t h i s s t u d e n t u s e d a s h o r t e r i n t e r v a l 3 1 7 b e f o r e t = 4 a n d a n i n t e r v a l s t r a d d l i n g t = 4 . A c c o r d i n g t o a c o n v e n t i o n a l u n d e r s t a n d i n g o f r a t e o f c h a n g e a t a p o i n t , t h i s s t u d e n t m o v e d t o w a r d s t r a t e g i e s t h a t y i e l d m o r e a c c u r a t e a n s w e r s . S t r a t e g i e s u s e d w i t h t h e e n l a r g e d g r a p h a n d m o r e d e t a i l e d t a b l e . T a b l e 3 6 s h o w s t h e n u m b e r a n d p e r c e n t o f e a c h g r o u p u s i n g e a c h s t r a t e g y t o f i n d t h e r a t e o f g r o w t h o f t h e c e l l p o p u l a t i o n a t 4 a m w h e n u s i n g t h e e n l a r g e d g r a p h a n d t h e m o r e d e t a i l e d t a b l e o f v a l u e s . T a b l e 3 6 N u m b e r ( p e r c e n t ) o f e a c h g r o u p u s i n g e a c h s t r a t e g y t o f i n d t h e r a t e o f g r o w t h o f t h e c e l l p o p u l a t i o n a t 4 a m u s i n g t h e m o r e d e t a i l e d g r a p h a n d t a b l e S t r a t e g y P r e c a l c C a l c u l u s P o s t c a l c A v g . g r o w t h o v e r 1 / 2 h o u r 1 ( 8 % ) 1 1 ( 7 3 % ) 9 ( 9 0 % ) a r o u n d t = 4 A v g . g r o w t h o v e r p r e v i o u s 6 ( 5 0 % ) 4 ( 2 7 % ) 1 ( 1 0 % ) q u a r t e r h o u r R e f e r e n c e t o s l o p e O ( 0 % ) 2 ( 1 3 % ) 2 ( 2 0 % ) R e f e r e n c e t o a p o i n t 1 ( 8 % ) 1 ( 7 % ) 0 ( 0 % ) A v g . g r o w t h o v e r 2 h o u r s 0 ( 0 % ) 0 ( 0 % ) l ( 1 0 % ) a r o u n d t = 4 1 2 p e r c e n t i n c r e a s e 1 ( 8 % ) 0 ( 0 % ) 0 ( 0 % ) T h e m o s t f r e q u e n t l y u s e d s t r a t e g y f o r t h e p r e c a l c u l u s s t u d e n t s w a s a v e r a g e g r o w t h o v e r t h e p r e v i o u s q u a r t e r h o u r , t h e s h o r t e s t a v a i l a b l e i n t e r v a l b e f o r e t = 4 . H o w e v e r , c a l c u l u s a n d p o s t c a l c u l u s s t u d e n t s m a d e h e a v i e s t u s e o f a v e r a g e g r o w t h o v e r t h e h a l f h o u r a r o u n d t = 4 , t h e s h o r t e s t a v a i l a b l e i n t e r v a l s t r a d d l i n g t = 4 . G e n e r a l l y u s e o f t h e f o r m e r s t r a t e g y d e c r e a s e d a c r o s s a g e a n d e x p e r i e n c e w h i l e u s e o f t h e l a t t e r i n c r e a s e d . T h e p r e c a l c u l u s s t u d e n t w h o u s e d a v e r a g e g r o w t h o v e r a s t r a d d l e i n t e r v a l h e r e w a s t h e p r e c a l c u l u s s t u d e n t w h o u s e d a s t r a d d l e 3 1 8 i n t e r v a l w h e n w o r k i n g w i t h t h e o r i g i n a l t a b l e a n d w a s t h e f i r s t p r e c a l c u l u s s t u d e n t t o u s e a s t r a d d l e i n t e r v a l i n t h i s s t u d y . A f e w c a l c u l u s a n d p o s t c a l c u l u s s t u d e n t s s a i d t h e y w a n t e d t o f i n d t h e s l o p e o f t h e l i n e t a n g e n t t o t h e g r a p h a t t = 4 a n d m o s t o f t h e m t h e n e s t i m a t e d t h a t s l o p e u s i n g t h e s l o p e o f t h e s e c a n t l i n e t h r o u g h t h e t w o p o i n t s a t t = 3 . 7 5 a n d t = 4 . 2 5 . I c l a s s i f i e d t h i s s t r a t e g y a s " r e f e r e n c e t o s l o p e " r a t h e r t h a n " a v e r a g e g r o w t h o v e r t h e h a l f h o u r a r o u n d t = 4 " s i n c e i t w a s c l e a r t h a t s t u d e n t s w e r e t r y i n g t o f i n d t h e s l o p e o f t h e t a n g e n t l i n e r a t h e r t h a n t h e a v e r a g e r a t e o f c h a n g e o v e r a n i n t e r v a l e v e n t h o u g h t h e n u m e r i c a l a n s w e r o b t a i n e d a n d t h e a l g e b r a i c f o r m u l a u s e d w e r e t h e s a m e . O n e p r e c a l c u l u s a n d o n e c a l c u l u s s t u d e n t u s e d n u m b e r o f c e l l s a t t = 4 d i v i d e d b y f o u r a s t h e i r a n s w e r s f o r t h e r a t e o f g r o w t h a t t = 4 . C o m p a r i s o n a n d c o n t r a s t o f s t r a t e g y u s e b e t w e e n o r i g i n a l g g r a p h a a g t a b l e g a n d m o r e d e t a i l e d g r a p h a n d t a b l e o n T a s k 5 . A c r o s s t h e s e t h r e e p a r t s o f T a s k 5 e a c h g r o u p e x h i b i t e d p a t t e r n s i n t h e i r s t r a t e g y u s e . P r e c a l c u l u s s t u d e n t s t e n d e d t o u s e t h e s h o r t e s t a v a i l a b l e i n t e r v a l s b e f o r e t = 4 , t h e o n e h o u r i n t e r v a l b e f o r e t = 4 w i t h t h e o r i g i n a l g r a p h a n d t a b l e a n d t h e o n e — q u a r t e r h o u r i n t e r v a l b e f o r e t = 4 w i t h t h e d e t a i l e d g r a p h a n d t a b l e . T h e y a l s o m a d e l e s s u s e o f r e f e r e n c e t o a p o i n t a s t h e y m o v e d t h r o u g h T a s k 5 . C a l c u l u s s t u d e n t s u s e d t h e s h o r t e s t a v a i l a b l e i n t e r v a l s t r a d d l i n g t = 4 , t h e t w o h o u r i n t e r v a l w i t h t h e f i r s t g r a p h a n d t a b l e a n d t h e h a l f h o u r i n t e r v a l w i t h t h e s e c o n d g r a p h a n d t a b l e . L i k e t h e p r e c a l c u l u s s t u d e n t s , t h e y m a d e s o m e u s e o f t h e s m a l l e s t i n t e r v a l s b e f o r e t = 4 w i t h b o t h s e t s o f g r a p h s a n d t a b l e s a n d t h e y m a d e l e s s u s e o f r e f e r e n c e t o a P O i n t a s t h e y m o v e d t h r o u g h T a s k 5 . P o s t c a l c u l u s s t u d e n t s , 3 1 9 s h o r t e s t a v a i l a b l e i n t e r v a l s s t r a d d l i n g t s m a l l e s t i n t e r v a l s b e f o r e . l i k e t h e c a l c u l u s s t u d e n t s , u s e d t h e 4 w i t h a f e w u s i n g t h e B o t h c a l c u l u s a n d p o s t c a l c u l u s s t u d e n t s u s e d s l o p e o f t a n g e n t l i n e w i t h t h e g r a p h s b u t l e s s s o w i t h t h e t a b l e s . N o n e o f t h e p r e c a l c u l u s , o n e o f t h e c a l c u l u s s t u d e n t s , a n d t w o p o s t c a l c u l u s s t u d e n t s u s e d a v e r a g e g r o w t h s i n c e t = 0 w i t h t h e o r i g i n a l g r a p h a n d t a b l e o f v a l u e s b u t n o s t u d e n t u s e d t h i s s t r a t e g y w i t h t h e e n l a r g e d g r a p h a n d m o r e d e t a i l e d t a b l e o f v a l u e s . t r e n d s . P r e c a l c u l u s C o n s i s t e n t l y u s e d s h o r t e s t i n t e r v a l b e f o r e t = 4 R e f e r e n c e t o a p o i n t d e c r e a s e d a c r o s s T a s k 5 C a l c u l u s C o n s i s t e n t l y u s e d s h o r t e s t a v a i l a b l e s t r a d d l e i n t e r v a l S o m e u s e d s h o r t e s t a v a i l a b l e i n t e r v a l b e f o r e t = 4 R e f e r e n c e t o a p o i n t d e c r e a s e d a c r o s s t a s k 5 R e f e r e n c e t o s l o p e w i t h g r a p h s b u t b u t n o t t a b l e s F i g u r e 1 5 s u m m a r i z e s t h e s e P o s t c a l c u l u s C o n s i s t e n t l y u s e d s h o r t e s t a v a i l a b l e s t r a d d l e i n t e r v a l F e w u s e d s h o r t e s t a v a i l a b l e i n t e r v a l b e f o r e t = 4 R e f e r e n c e t o s l o p e w i t h g r a p h s b u t n o t t a b l e s F e w u s e d a v e r a g e g r o w t h s i n c e t = 0 F i g u r e 1 5 - T r e n d s i n t h e u s e o f s t r a t e g i e s b y e a c h g r o u p a c r o s s T a s k 5 C h o o s i n g w h i c h a n s w e r w a s b e s t i n T a s k 5 . T w e n t y - n i n e o f t h e 3 7 s t u d e n t s h a d t h r e e d i f f e r e n t a n s w e r s f o r t h e r a t e o f g r o w t h a t t = 4 b a s e d o n t h e i r w o r k w i t h t h e o r i g i n a l g r a p h , a n d d e t a i l e d g r a p h a n d t a b l e . o r i g i n a l t a b l e o f v a l u e s , F i v e o f t h e p r e c a l c u l u s a n d t h r e e o f t h e c a l c u l u s s t u d e n t s d i d n o t h a v e a t l e a s t t w o d i f f e r e n t n u m e r i c a l a n s w e r s a n d s o I c o u l d n o t a s k t h e m w h i c h o f t h e i r a n s w e r s t h e y p r e f e r r e d a n d 3 2 0 w h y . B u t I d i d a s k t h e o t h e r 2 9 s t u d e n t s t h e s e q u e s t i o n s . T a b l e 3 7 s h o w s t h e r e s p o n s e s o f e a c h g r o u p . A m a j o r i t y i n e a c h o f t h e t h r e e g r o u p s r e s p o n d e d t h a t t h e i r l a s t a n s w e r w a s b e s t s i n c e i t w a s b a s e d o n i n t e r v a l s t h a t w e r e s m a l l e r . A f e w c a l c u l u s a n d p o s t c a l c u l u s s t u d e n t s n o t e d t h a t t h e p o i n t s t h e y u s e d t o e s t i m a t e t h e s l o p e o f t h e t a n g e n t l i n e w i t h t h e m o r e d e t a i l e d g r a p h a n d t a b l e w e r e b e t t e r a n s w e r s s i n c e t h e y w e r e c l o s e r t o b e i n g o n t h e t a n g e n t l i n e . T a b l e 3 7 R e a s o n s s t u d e n t s g a v e f o r w h y t h e y l i k e d t h e i r l a s t a n s w e r b e s t a n d t h e n u m b e r ( p e r c e n t ) o f e a c h g r o u p w h o g a v e e a c h r e a s o n R e a s o n P r e c a l c C a l c u l u s P o s t c a l c I n t e r v a l w a s s m a l l e r 7 ( 5 8 % ) 1 0 ( 6 7 % ) 8 ( 8 0 % ) P o i n t s c l o s e r t o t a n g e n t l i n e 0 ( 0 % ) 2 ( 1 3 % ) 2 ( 2 0 % ) U s e d p o i n t s b o t h s i d e s o f t = 4 0 ( 0 % ) 1 ( 7 % ) 0 ( 0 % ) P e r c e n t s w e r e c o m p u t e d o n t h e b a s i s o f t h e t o t a l n u m b e r o f s t u d e n t s i n e a c h g r o u p e v e n t h o u g h n o t a l l o f t h o s e s t u d e n t s w e r e a s k e d t h i s q u e s t i o n . G e t t i n g a b e t t e r a n s w e r i n t a s k 5 . T w e n t y - s e v e n o f t h e 3 7 s u b j e c t s a n s w e r e d t h e q u e s t i o n " H o w w o u l d y o u g e t a b e t t e r a n s w e r ? " . T h i s i n c l u d e d s i x o f t h e 1 2 p r e c a l c u l u s , 1 1 o f t h e 1 5 c a l c u l u s , a n d a l l 1 0 o f t h e p o s t c a l c u l u s s t u d e n t s . T a b l e 3 8 s h o w s t h e r e s p o n s e s o f e a c h g r o u p t o t h i s q u e s t i o n . O f t h e s t u d e n t s a s k e d t h i s q u e s t i o n , t h e m a j o r i t y o f e a c h g r o u p r e s p o n d e d t h a t u s i n g s m a l l e r i n t e r v a l s w o u l d y i e l d a b e t t e r a n s w e r . C a l c u l u s a n d p o s t c a l c u l u s s t u d e n t s a l s o g a v e t w o o t h e r a n s w e r s . T h e y s a i d t h e y w o u l d t a k e t h e l i m i t o f t h e a v e r a g e r a t e o f c h a n g e i n t h e n u m b e r o f c e l l s o v e r i n t e r v a l s b o r d e r i n g o r s t r a d d l i n g t = 4 a s t h e l e n g t h 3 2 1 o f t h o s e i n t e r v a l s w e n t t o z e r o . T h e y a l s o s a i d t h a t i f t h e y h a d a n e q u a t i o n f o r t h e c u r v e t h e y w o u l d f i n d t h e d e r i v a t i v e e q u a t i o n a n d e v a l u a t e i t a t t = 4 . A f e w c a l c u l u s a n d p o s t c a l c u l u s s t u d e n t s s a i d t h e y w o u l d t r y t o g e t a m o r e p r e c i s e e s t i m a t e o f t h e s l o p e o f t h e t a n g e n t l i n e a n d i f t h e y c o u l d g e t t h e e x a c t v a l u e o f t h a t s l o p e , t h e n t h e y w o u l d h a v e a n e x a c t a n s w e r f o r t h e r a t e o f c h a n g e i n t h e n u m b e r o f c e l l s a t t = 4 . T a b l e 3 8 R e s p o n s e s t o t h e q u e s t i o n " H o w w o u l d y o u g e t a b e t t e r a n s w e r ? " a n d t h e n u m b e r ( p e r c e n t ) o f e a c h g r o u p g i v i n g e a c h r e s p o n s e . R e s p o n s e s P r e c a l c C a l c u l u s P o s t c a l c U s e s m a l l e r i n t e r v a l s 5 ( 4 2 % ) 1 1 ( 7 3 % ) 9 ( 9 0 % ) L i m i t o f A v g . R O C o v e r s m a l l e r 0 ( 0 % ) 4 ( 2 7 % ) 6 ( 6 0 % ) a n d s m a l l e r i n t e r v a l s E v a l u a t e d e r i v a t i v e e q u a t i o n 0 ( 0 % ) 4 ( 2 7 % ) 6 ( 6 0 % ) a t t = 4 S l o p e o f t a n g e n t l i n e a t t = 4 0 ( 0 % ) 2 ( 1 3 % ) 1 ( 1 0 % ) I n t e g r a t e f r o m t = 0 t o t = 4 0 ( 0 % ) 0 ( 0 % ) 1 ( 1 0 % ) F i n d a n e q u a t i o n f o r t h e c h a n g e 1 ( 8 % ) 0 ( 0 % ) O ( 0 % ) E v a l u a t e e q u a t i o n f o r c u r v e 0 ( 0 % ) 2 ( 1 3 % ) 0 ( 0 % ) a t t = 4 U s e t i m e a f t e r t = 4 a l s o 0 ( 0 % ) 1 ( 7 % ) 0 ( 0 % ) P e r c e n t s w e r e c o m p u t e d o n t h e b a s i s o f t h e t o t a l n u m b e r o f s t u d e n t s i n e a c h g r o u p e v e n t h o u g h n o t a l l o f t h o s e s t u d e n t s w e r e a s k e d t h i s q u e s t i o n . O n e c a l c u l u s s t u d e n t t h o u g h t h e c o u l d g e t a b e t t e r a n s w e r b y u s i n g i n t e r v a l s a f t e r t = 4 a s w e l l a s i n t e r v a l s b e f o r e t = 4 . I n h i s p r e v i o u s a n s w e r s i n T a s k 5 h e h a d u s e d o n l y i n t e r v a l s b e f o r e t = 4 . N o w h e t h o u g h t a b o u t c o m b i n i n g i n f o r m a t i o n a b o u t t h e g r o w t h o f t h e p o p u l a t i o n b o t h b e f o r e a n d a f t e r t = 4 t o g e t a b e t t e r a n s w e r f o r t h e 3 2 2 r a t e o f c h a n g e i n t h e n u m b e r o f c e l l s a t t = 4 . T h i s r e p r e s e n t e d a n a d v a n c e m e n t i n t h i s s t u d e n t ' s u n d e r s t a n d i n g o f r a t e o f c h a n g e . T a s k 6 . H e r e I l o o k a t s t r a t e g i e s u s e d b y e a c h g r o u p t o f i n d t h e r a t e o f c h a n g e o f t h e a r e a w h e n t h e r a d i u s w a s t h r e e . F i r s t I e x a m i n e s t r a t e g i e s s t u d e n t s u s e d w i t h t h e g r a p h a n d t h e n w i t h t h e t a b l e o f v a l u e s . S t r a t e g i e s u s e d w i t h t h e g r a p h . T a b l e 3 9 s h o w s t h e s t r a t e g i e s s t u d e n t s u s e d w i t h t h e g r a p h t o f i n d t h e r a t e o f c h a n g e o f t h e a r e a w h e n t h e r a d i u s w a s t h r e e a n d t h e n u m b e r a n d p e r c e n t o f e a c h g r o u p t h a t u s e d e a c h s t r a t e g y . T a b l e 3 9 N u m b e r ( p e r c e n t ) o f e a c h g r o u p u s i n g e a c h s t r a t e g y w h e n u s i n g t h e g r a p h t o f i n d t h e r a t e o f c h a n g e o f t h e a r e a w h e n t h e r a d i u s w a s t h r e e S t r a t e g y P r e c a l c C a l c u l u s P o s t c a l c R e f e r e n c e t o s l o p e 0 ( 0 % ) 6 ( 5 5 % ) 2 ( 2 9 % ) A v g . g r o w t h f r o m r = 2 . 7 5 t o r = 3 5 ( 4 2 % ) 1 ( 9 % ) l ( 1 4 % ) A v g . g r o w t h f r o m r = 2 t o r = 4 1 ( 8 % ) 3 ( 2 7 % ) 2 ( 2 9 % ) A v g . g r o w t h s i n c e r = 0 4 ( 3 3 % ) 3 ( 2 7 % ) 0 ( 0 % ) A v g . g r o w t h r = 2 . 7 5 t o r = 3 . 2 5 0 ( 0 % ) 2 ( 1 8 % ) 2 ( 2 9 % ) R e f e r e n c e t o a p o i n t 0 ( 0 % ) O ( 0 % ) 1 ( 1 4 % ) n 1 = 1 2 n 2 = 1 1 n 3 = 7 P r e c a l c u l u s s t u d e n t s u s e d t h e a v e r a g e r a t e o f c h a n g e i n t h e a r e a o v e r t h e o n e — q u a r t e r f o o t i n t e r v a l b e f o r e r = 3 a n d t h e i n t e r v a l f r o m r = 0 t o r = 3 f e e t w i t h g r e a t e s t f r e q u e n c y . C a l c u l u s s t u d e n t s a l s o u s e d a v e r a g e r a t e o f c h a n g e i n a r e a o v e r t h e i n t e r v a l f r o m r = 0 t o r = 3 b u t t h e y a l s o u s e d a v e r a g e r a t e o f c h a n g e i n a r e a o v e r t h e i n t e r v a l f r o m r = 2 t o r = 4 w i t h e q u a l f r e q u e n c y a n d s l o p e o f t a n g e n t l i n e w i t h g r e a t e r 3 2 3 f r e q u e n c y . P o s t c a l c u l u s s t u d e n t s u s e d t h r e e s t r a t e g i e s w i t h e q u a l f r e q u e n c y - s l o p e o f t a n g e n t l i n e a n d a v e r a g e r a t e o f c h a n g e o f t h e a r e a o v e r t h e i n t e r v a l s f r o m r = 2 t o r = 4 a n d f r o m r = 2 . 7 5 t o r = 3 . 2 5 . P r e c a l c u l u s s t u d e n t s u s e d p r i m a r i l y i n t e r v a l s b e f o r e r = 3 , c a l c u l u s u s e d s o m e i n t e r v a l s b e f o r e r = 3 a n d s o m e i n t e r v a l s s t r a d d l i n g r = 3 , a n d p o s t c a l c u l u s s t u d e n t s u s e d i n t e r v a l s s t r a d d l i n g r = 3 . C a l c u l u s s t u d e n t s m a d e m o r e u s e o f s l o p e t h a n d i d p o s t c a l c u l u s s t u d e n t s w h i l e p r e c a l c u l u s s t u d e n t s d i d n o t u s e s l o p e a t a l l . T h e p r e c a l c u l u s s t u d e n t w h o u s e d t h e s t r a d d l e i n t e r v a l f r o m r = 2 t o r = 4 h e r e w a s t h e o n l y p r e c a l c u l u s s t u d e n t t o u s e s t r a d d l e i n t e r v a l s t h u s f a r i n t h e s e t a s k s . S t r a t e g i e s u s e d w i t h t h e t a b l e . T a b l e 4 0 s h o w s t h e s t r a t e g i e s u s e d w i t h t h e t a b l e o f v a l u e s t o f i n d t h e r a t e o f c h a n g e o f t h e a r e a o f t h e c i r c l e s w h e n t h e r a d i u s w a s t h r e e a n d t h e n u m b e r a n d p e r c e n t o f e a c h g r o u p u s i n g e a c h s t r a t e g y . T h e m o s t f r e q u e n t l y u s e d s t r a t e g y f o r p r e c a l c u l u s s t u d e n t s w a s t h e s a m e a s i t w a s w i t h t h e g r a p h - a v e r a g e r a t e o f c h a n g e o f t h e a r e a f r o m r = 2 . 7 5 t o r = 3 . T w o p r e c a l c u l u s s t u d e n t s u s e d a v e r a g e r a t e o f c h a n g e f r o m r = 0 t o r = 3 a n d t w o u s e d a v e r a g e r a t e o f c h a n g e f r o m r = 2 . 7 5 t o r = 3 . 2 5 . O n e o f t h e s e l a t t e r s t u d e n t s w a s t h e s a m e s t u d e n t w h o u s e d t h e s t r a d d l e i n t e r v a l f r o m r = 2 t o r = 4 w i t h t h e g r a p h a n d u s e d t w o d i f f e r e n t s t r a d d l e i n t e r v a l s i n T a s k 5 . S h e w a s t h e o n l y p r e c a l c u l u s s t u d e n t w h o b e f o r e n o w h a d u s e d a s t r a d d l e i n t e r v a l i n t h e s e t a s k s . S h e w a s n o w j o i n e d b y a n o t h e r p r e c a l c u l u s s t u d e n t . 3 2 4 T a b l e 4 0 N u m b e r ( p e r c e n t ) o f e a c h g r o u p u s i n g e a c h s t r a t e g y w h e n u s i n g t h e t a b l e t o f i n d t h e r a t e o f c h a n g e o f t h e a r e a w h e n t h e r a d i u s w a s t h r e e S t r a t e g y P r e c a l c C a l c u l u s P o s t c a l c A v g . g r o w t h r = 2 7 5 t o r = 3 . 2 5 2 ( 1 7 % ) 8 ( 7 3 % ) 5 ( 7 1 % ) A v g . g r o w t h r = 2 . 7 5 t o r = 3 6 ( 5 0 % ) O ( 0 % ) O ( 0 % ) A v g . g r o w t h s i n c e r = 0 2 ( 1 7 % ) 2 ( 1 8 % ) O ( 0 % ) R e f e r e n c e t o a p o i n t 0 ( 0 % ) 0 ( 0 % ) 2 ( 2 9 % ) R e f e r e n c e t o s l o p e 0 ( 0 % ) 2 ( 1 8 % ) 0 ( 0 % ) A v g . g r o w t h r = 2 t o r = 4 O ( 0 % ) l ( 9 % ) 0 ( 0 % ) F o r c a l c u l u s a n d p o s t c a l c u l u s s t u d e n t s t h e m o s t f r e q u e n t l y u s e d s t r a t e g y w a s a v e r a g e r a t e o f c h a n g e i n t h e a r e a f r o m r = 2 . 7 5 t o r = 3 . 2 5 . T w o c a l c u l u s s t u d e n t s u s e d a v e r a g e r a t e o f c h a n g e f r o m r = O a n d t w o u s e d s l o p e . T w o p o s t c a l c u l u s s t u d e n t s r e f e r e n c e d t h e p o i n t a t r = 2 b y d i v i d i n g t h e a r e a a t r = 3 b y t h r e e . S o p r e c a l c u l u s s t u d e n t s u s e d p r i m a r i l y a v e r a g e r a t e o f c h a n g e i n t h e a r e a o v e r t h e s m a l l e s t a v a i l a b l e i n t e r v a l s b e f o r e r = 3 w h i l e c a l c u l u s a n d p o s t c a l c u l u s s t u d e n t s u s e d a v e r a g e r a t e o f c h a n g e i n t h e a r e a o v e r t h e s m a l l e s t a v a i l a b l e i n t e r v a l s s t r a d d l i n g r = 3 . C o m p a r i s o n a n d c o n t r a s t o f s t r a t e g y u s e b e t w e e n g r a p h a n d p t a b l e i n T a s k 6 . T h e m o s t f r e q u e n t l y u s e d s t r a t e g y f o r t h e p r e c a l c u l u s s t u d e n t s w i t h b o t h t h e g r a p h a n d t h e t a b l e o f v a l u e s w a s a v e r a g e r a t e o f c h a n g e f r o m r = 2 . 7 5 t o r = 3 , t h e s m a l l e s t a v a i l a b l e i n t e r v a l b e f o r e t h e p o i n t . P r i m a r i l y p r e c a l c u l u s s t u d e n t s u s e d t h e s a m e s t r a t e g i e s w i t h b o t h g r a p h a n d t a b l e . H o w e v e r , t h e d i s t r i b u t i o n o f s t r a t e g y u s e f o r c a l c u l u s a n d p o s t c a l c u l u s s t u d e n t s d i f f e r e d b e t w e e n t h e g r a p h a n d t a b l e . W i t h t h e 3 2 5 g r a p h , c a l c u l u s s t u d e n t s m a d e p r e d o m i n a n t u s e o f s l o p e w i t h s o m e u s e o f a v e r a g e r a t e o f c h a n g e o v e r t h e i n t e r v a l s f r o m r = 0 t o r = 3 a n d r = 2 t o r = 4 . B u t w i t h t h e t a b l e , c a l c u l u s s t u d e n t s p r i m a r i l y u s e d a v e r a g e r a t e o f c h a n g e f r o m r = 2 . 7 5 t o r = 3 . 2 5 , t h e s m a l l e s t a v a i l a b l e s t r a d d l e i n t e r v a l . S t r a t e g y u s e f o r t h e p o s t c a l c u l u s g r o u p w i t h t h e g r a p h w a s s p r e a d o v e r f i v e s t r a t e g i e s b u t w i t h t h e t a b l e o f v a l u e s p o s t c a l c u l u s s t u d e n t s s e t t l e d p r i m a r i l y o n o n e s t r a t e g y , a v e r a g e r a t e o f c h a n g e o v e r t h e s m a l l e s t a v a i l a b l e s t r a d d l e i n t e r v a l . C o m p a r i s o n a n d c o n t r a s t o f r e s p o n s e s t o T a s k s 4 , 5 , a n d 6 . T w o s e t s o f p a t t e r n s o f s t r a t e g y u s e i n t h e s e t h r e e t a s k s a r e d i s c u s s e d . O n e c o n c e r n s p a t t e r n s o f c o n s i s t e n t s t r a t e g y u s e b y e a c h g r o u p i n t h e t h r e e t a s k s a n d t h e o t h e r c o n c e r n s p a t t e r n s o f d e c r e a s i n g o r i n c r e a s i n g s t r a t e g y u s e f o r e a c h g r o u p a c r o s s t h e t h r e e t a s k s . P a t t e r n s o f c o n s i s t e n t s t r a t e g y u s e b y e a c h g r o u p i n t h e t h r e e t a s k s . O n e i m p o r t a n t p a t t e r n w a s t h e c o n s i s t e n t u s e o f s l o p e b y c a l c u l u s a n d p o s t c a l c u l u s s t u d e n t s w h e n w o r k i n g w i t h g r a p h s o n a l l t h r e e t a s k s . S p e c i f i c a l l y t h i s m e a n t t h a t c a l c u l u s a n d p o s t c a l c u l u s s t u d e n t s u s e d s l o p e o f t a n g e n t l i n e t o a d d r e s s r a t e o f c h a n g e a t p o i n t s . N o p r e c a l c u l u s s t u d e n t u s e d s l o p e t o a d d r e s s r a t e o f c h a n g e a t a p o i n t i n T a s k s 4 , 5 , a n d 6 . A n o t h e r p a t t e r n o f c o n s i s t e n c y a c r o s s t h e t h r e e t a s k s w a s t h e u s e o f a v e r a g e r a t e o f c h a n g e o f t h e d e p e n d e n t v a r i a b l e o v e r i n t e r v a l s o f t h e i n d e p e n d e n t v a r i a b l e o f v a r y i n g l e n g t h a n d t y p e b y a l l t h r e e g r o u p s o f s t u d e n t s w i t h b o t h g r a p h s a n d t a b l e s . P r e c a l c u l u s s t u d e n t s t e n d e d t o u s e m e d i u m a n d s h o r t i n t e r v a l s b e f o r e t h e p o i n t , c a l c u l u s s t u d e n t s u s e d s h o r t i n t e r v a l s b e f o r e t h e p o i n t a n d i n t e r v a l s s t r a d d l i n g t h e p o i n t , a n d 3 2 6 p o s t c a l c u l u s s t u d e n t s r e l i e d p r i m a r i l y o n i n t e r v a l s s t r a d d l i n g t h e p o i n t . F i n a l l y , i n t h e s e t h r e e t a s k s , s t u d e n t s i n e a c h g r o u p p e r s i s t e n t l y u s e d t w o o t h e r s t r a t e g i e s . O n e w a s t h e a v e r a g e r a t e o f c h a n g e i n t h e d e p e n d e n t v a r i a b l e o v e r i n t e r v a l s b e g i n n i n g w i t h t h e f i r s t v a l u e o f t h e i n d e p e n d e n t v a r i a b l e a n d e n d i n g a t t h e p o i n t . T h e o t h e r w a s t h e n u m b e r o b t a i n e d b y d i v i d i n g t h e v a l u e o f t h e d e p e n d e n t v a r i a b l e a t t h e p o i n t b y t h e v a l u e o f t h e i n d e p e n d e n t v a r i a b l e . W h i l e p r e c a l c u l u s a n d c a l c u l u s s t u d e n t s w e r e t h e p r i m a r y u s e r s o f t h e s e t w o s t r a t e g i e s , t h e p o s t c a l c u l u s g r o u p a l s o u s e d b o t h o f t h e s e s t r a t e g i e s . F i g u r e 1 6 s u m m a r i z e s t h e s e p a t t e r n s o f c o n s i s t e n c y f o r e a c h g r o u p a c r o s s t h e t h r e e t a s k s . P r e c a l c u l u s p g a l c u l u s P o s t c a l c u l u s C o n s i s t e n t l y u s e d C o n s i s t e n t l y u s e d s h o r t C o n s i s t e n t l y u s e d m e d i u m a n d s h o r t i n t e r v a l s b e f o r e t h e i n t e r v a l s t h a t i n t e r v a l s b e f o r e p o i n t a n d i n t e r v a l s s t r a d d l e d t h e t h e p o i n t s t r a d d l i n g t h e p o i n t p o i n t C o n s i s t e n t l y u s e d s l o p e C o n s i s t e n t l y u s e d o f t a n g e n t l i n e w i t h s l o p e o f t a n g e n t g r a p h s l i n e w i t h g r a p h s P e r s i s t e n t u s e o f P e r s i s t e n t u s e o f t o t a l S o m e u s e o f t o t a l t o t a l c h a n g e c h a n g e a n d r e f e r e n c e c h a n g e a n d a n d r e f e r e n c e t o a p o i n t r e f e r e n c e t o a t o a p o i n t p o i n t F i g u r e 1 6 - P a t t e r n s o f c o n s i s t e n t u s e o f s t r a t e g i e s b y g r o u p a c r o s s T a s k s 4 , 5 , a n d 6 P a t t e r n a o f c h a p g e s i n s t r a t e g y u s e f o r e a c h g r o u p a c r o a a t h e t h r e e t a s k s . A s w e l o o k a t s t r a t e g y u s e f o r e a c h g r o u p a c r o s s t h e t h r e e t a s k s , a c o u p l e p a t t e r n s o f d e c r e a s i n g a n d i n c r e a s i n g s t r a t e g y u s e e m e r g e . O n e i s t h a t p r e c a l c u l u s s t u d e n t s m a d e l e s s u s e o f m e d i u m 3 2 7 i n t e r v a l s b e f o r e t h e p o i n t a n d m o r e u s e o f s h o r t e r i n t e r v a l s b e f o r e t h e p o i n t , c a l c u l u s s t u d e n t s m a d e l e s s u s e o f s h o r t i n t e r v a l s b e f o r e t h e p o i n t a n d m o r e u s e o f i n t e r v a l s s t r a d d l i n g t h e p o i n t , a n d p o s t c a l c u l u s s t u d e n t s m a d e m o r e u s e o f t h e s h o r t e s t a v a i l a b l e i n t e r v a l s s t r a d d l i n g t h e p o i n t . B y t h e t i m e t h e y g o t t o T a s k 6 t w o p r e c a l c u l u s s t u d e n t s h a d b e g u n t o u s e s t r a d d l e i n t e r v a l s a n d m o r e c a l c u l u s s t u d e n t s h a d t u r n e d t o s t r a d d l e i n t e r v a l s . A n o t h e r p a t t e r n w a s d e c r e a s e d u s e o f " r e f e r e n c e t o a p o i n t " w h i c h u s u a l l y m e a n t r e f e r e n c e t o t h e v a l u e o f t h e d e p e n d e n t v a r i a b l e a t a p o i n t o r t h e r a t i o o f t h e v a l u e o f t h e d e p e n d e n t v a r i a b l e t o t h e v a l u e o f t h e i n d e p e n d e n t v a r i a b l e a t a p o i n t . T h i s w a s e s p e c i a l l y t r u e o f p r e c a l c u l u s a n d c a l c u l u s s t u d e n t s a l t h o u g h i n T a s k 6 t w o p o s t c a l c u l u s s t u d e n t s w e r e s t i l l u s i n g t h i s s t r a t e g y . F i g u r e 1 7 s u m m a r i z e s t h e s e p a t t e r n s o f d e c r e a s e d a n d i n c r e a s e d s t r a t e g y u s e b y e a c h o f t h e t h r e e g r o u p s a c r o s s t h e t h r e e t a s k s . P r e c a l c u l u s C a l c u l u s P o s t c a l c u l u s L e s s u s e o f m e d i u m L e s s u s e o f s h o r t M o r e u s e o f s h o r t e s t a n d m o r e u s e o f i n t e r v a l s b e f o r e s t r a d d l e i n t e r v a l s s h o r t i n t e r v a l s p o i n t a n d m o r e u s e b e f o r e p o i n t s t r a d d l e i n t e r v a l s D e c r e a s e d u s e o f D e c r e a s e d u s e o f r e f e r e n c e t o a r e f e r e n c e t o a s p e c i f i c p o i n t s p e c i f i c p o i n t B e g a n t o u s e s t r a d d l e i n t e r v a l s F i g u r e 1 7 — P a t t e r n s o f d e c r e a s e d a n d i n c r e a s e d s t r a t e g y u s e b y e a c h g r o u p a c r o s s T a s k s 3 , 4 , a n d 6 3 2 8 S u m m a r y o f a t r a t e g y u s e i n T a s k s 4 , 5 , a n d 6 . A s i n T a s k s 1 , 2 , a n d 3 a l l t h r e e g r o u p s m a d e h e a v y u s e o f c h a n g e s o v e r i n t e r v a l s . W h e n i d e n t i f y i n g i n t e r v a l s o f t h e i n d e p e n d e n t v a r i a b l e f o r w h i c h t h e d e p e n d e n t v a r i a b l e c h a n g e d t h e m o s t a n d l e a s t , a l l t h r e e g r o u p s m a d e h e a v y u s e o f " d e l t a d " a n d w h e n f i n d i n g t h e r a t e o f c h a n g e o f t h e d e p e n d e n t v a r i a b l e a t i n d i v i d u a l v a l u e s o f t h e i n d e p e n d e n t v a r i a b l e , a l l t h r e e g r o u p s p r e d o m i n a n t l y u s e d a v e r a g e r a t e o f c h a n g e i n t h e d e p e n d e n t v a r i a b l e o v e r i n t e r v a l s o f t h e i n d e p e n d e n t v a r i a b l e o f v a r y i n g t y p e s a n d s i z e s . S i m i l a r l y , a s i n T a s k s 1 , 2 , a n d 3 , c a l c u l u s a n d p o s t c a l c u l u s s t u d e n t s u s e d s l o p e , e s p e c i a l l y w h e n w o r k i n g w i t h g r a p h s . B u t u n l i k e T a s k s 1 , 2 , a n d 3 , p r e c a l c u l u s s t u d e n t s u s e d s l o p e i n l i m i t e d n u m b e r s w h e n i d e n t i f y i n g i n t e r v a l s o f l e a s t a n d m o s t c h a n g e a n d n o t a t a l l w h e n f i n d i n g r a t e o f c h a n g e a t p o i n t s . O t h e r s t r a t e g i e s w e r e u s e d b y s m a l l n u m b e r s o f s t u d e n t s i n e a c h g r o u p , b u t t h e d o m i n a n t s t r a t e g y u s e d b y a l l t h r e e g r o u p s t o a d d r e s s r a t e o f c h a n g e a t a p o i n t w a s a v e r a g e r a t e o f c h a n g e i n t h e d e p e n d e n t v a r i a b l e o v e r i n t e r v a l s o f t h e i n d e p e n d e n t v a r i a b l e o f v a r y i n g s i z e a n d t y p e . C h a p t e r s u m m a r y I n t h i s c h a p t e r I l o o k e d a t t h e d i s t r i b u t i o n o f s t r a t e g i e s u s e d b y e a c h g r o u p o n e a c h o f t h e t a s k s . I f o u n d t h a t f r e q u e n c y o f u s e o f s t r a t e g i e s v a r i e d b y g r o u p a n d b y t a s k b u t t h a t t h e r e w e r e c l e a r p a t t e r n s i n w h a t s t r a t e g i e s w e r e c o n s i s t e n t l y u s e d b y e a c h g r o u p . T h r e e p a t t e r n s e m e r g e d . F i r s t , s o m e s t r a t e g i e s w e r e u s e d b y a l l t h r e e g r o u p s . S e c o n d , s o m e s t r a t e g i e s w e r e u s e d b y s o m e g r o u p s b u t n o t b y o t h e r s . F i n a l l y , s o m e s t r a t e g i e s w e r e u s e d w i t h g r e a t e r o r l e s s f r e q u e n c y b y 3 2 9 e a c h g r o u p a s s t u d e n t s p r o g r e s s e d t h r o u g h t h e t a s k s . I d e a l w i t h t h e s e t h r e e p a t t e r n s i n t u r n . S t r a t e g i e s u s e d b y a l l t h r e e g r o u p s . I n T a s k s 1 , 2 , a n d 3 , a l l t h r e e g r o u p s u s e d " d e l t a d " t o e x p l a i n h o w t h e i r g r a p h s a n d t a b l e s s h o w e d s l o w i n g d o w n , s p e e d i n g u p , a n d s t e a d y p a c e . W i t h g r a p h s , c a l c u l u s a n d p o s t c a l c u l u s s t u d e n t s a l s o m a d e h e a v y u s e o f " v i s u a l s l o p e " w h i l e p r e c a l c u l u s s t u d e n t s m a d e m e d i u m u s e o f t h i s s t r a t e g y . " D e l t a d " a n d " v i s u a l s l o p e " w e r e t h e t w o m o s t c o m m o n l y u s e d s t r a t e g i e s f o r e a c h g r o u p o n T a s k s 1 , 2 , a n d 3 . I n T a s k s 4 , 5 , a n d 6 , a s i n T a s k s 1 , 2 , a n d 3 , a l l t h r e e g r o u p s u s e d " d e l t a d " a n d " v i s u a l s l o p e " t o i d e n t i f y i n t e r v a l s o f t h e i n d e p e n d e n t v a r i a b l e f o r w h i c h t h e d e p e n d e n t v a r i a b l e c h a n g e d t h e m o s t a n d l e a s t a n d c a l c u l u s a n d p o s t c a l c u l u s s t u d e n t s m a d e m o r e u s e o f " v i s u a l s l o p e " t h a n p r e c a l c u l u s s t u d e n t s . T o f i n d r a t e o f c h a n g e i n t h e d e p e n d e n t v a r i a b l e a t i n d i v i d u a l v a l u e s o f t h e i n d e p e n d e n t v a r i a b l e , a l l t h r e e g r o u p s u s e d a v e r a g e r a t e o f c h a n g e i n t h e d e p e n d e n t v a r i a b l e o v e r i n t e r v a l s o f t h e i n d e p e n d e n t v a r i a b l e o f v a r y i n g t y p e a n d s i z e . C a l c u l u s a n d p o s t c a l c u l u s s t u d e n t s a l s o u s e d s l o p e o f t a n g e n t l i n e w i t h g r a p h s b u t n o p r e c a l c u l u s s t u d e n t u s e d t h i s s t r a t e g y t o a d d r e s s r a t e o f c h a n g e a t a p o i n t . D i f f e r e n c a a p i n s t r a t e g y u § a _ a m o n g t h e t h r e e g r o u p a . A l l t h r e e 9 r o u p s u s e d a v e r a g e r a t e o f c h a n g e i n t h e d e p e n d e n t v a r i a b l e o v e r i n t e r v a l s o f t h e i n d e p e n d e n t v a r i a b l e t o a d d r e s s r a t e o f c h a n g e a t a p o i n t , b u t e a c h g r o u p t e n d e d t o u s e a d i f f e r e n t t y p e o r s i z e o f i n t e r v a l . P r e c a l c u l u s s t u d e n t s t e n d e d t o u s e m e d i u m a n d s h o r t i n t e r v a l s b e f o r e t h e p o i n t , c a l c u l u s s t u d e n t s u s e d s h o r t i n t e r v a l s b e f o r e t h e 3 3 0 p o i n t a n d i n t e r v a l s s t r a d d l i n g t h e p o i n t , a n d p o s t c a l c u l u s s t u d e n t s p r i m a r i l y u s e d i n t e r v a l s s t r a d d l i n g t h e p o i n t . I n T a s k s 1 , 2 , a n d 3 , p r e c a l c u l u s s t u d e n t s w e r e t h e o n l y o n e s t o u s e " m e e t i n g p o i n t " a n d p o s t c a l c u l u s s t u d e n t s w e r e t h e o n l y o n e s t o u s e " v e l o c i t y e q u a t i o n " . G e n e r a l l y p r e c a l c u l u s s t u d e n t s m o r e t h a n t h e o t h e r t w o g r o u p s u s e d " r e f e r e n c e t o a p o i n t " . T h i s s t r a t e g y m a d e u s e o f t h e v a l u e o f t h e d e p e n d e n t v a r i a b l e o r t h e r a t i o o f t h e v a l u e o f t h e d e p e n d e n t v a r i a b l e t o t h e v a l u e o f t h e i n d e p e n d e n t v a r i a b l e a t a s p e c i f i c p o i n t . U s e o f " d e l t a t " d e c l i n e d w i t h i n c r e a s e d m a t h e m a t i c s e d u c a t i o n . S t r a t e g i e s t h a t w e r e u s e d w i t h g r e a t e r o r l e s s f r e q u e n c y a t t o s s t h e t a s k s . I n T a s k s 4 , 5 , a n d 6 , p r e c a l c u l u s s t u d e n t s u s e d a l m o s t e x c l u s i v e l y i n t e r v a l s b e f o r e a p o i n t t o a d d r e s s r a t e o f c h a n g e a t t h e p o i n t b u t a s t h e y p r o c e e d e d t h r o u g h t h e t a s k s , t h e y m a d e m o r e u s e o f t h e s h o r t e s t a v a i l a b l e i n t e r v a l s b e f o r e t h e p o i n t . C a l c u l u s s t u d e n t s u s e d i n t e r v a l s b e f o r e t h e p o i n t a n d i n t e r v a l s s t r a d d l i n g t h e p o i n t b u t a s t h e y p r o g r e s s e d t h r o u g h t h e t a s k s , t h e y m a d e l e s s u s e o f t h e f o r m e r a n d m o r e o f t h e l a t t e r . P o s t c a l c u l u s s t u d e n t s c a m e m o r e a n d m o r e t o r e l y o n s t r a d d l e i n t e r v a l s a s t h e y m o v e d t h r o u g h T a s k s 4 , 5 , a n d 6 . A s s t u d e n t s m o v e d t h r o u g h t h e s i x t a s k s , t h e y m a d e l e s s u s e o f " r e f e r e n c e t o a p o i n t " a l t h o u g h a l l t h r e e g r o u p s m a d e s o m e u s e o f t h i s s t r a t e g y t h r o u g h o u t a l l s i x t a s k s . T h e a t t r a c t i v e n e s s o f t h e c o o r d i n a t e s o f a p o i n t a s t h e s o l e i n f o r m a t i o n a b o u t r a t e o f c h a n g e a t t h a t p o i n t s e e m s t o b e a n i r r e s i s t i b l e t e m p t a t i o n f o r s o m e s t u d e n t s , n o m a t t e r h o w m u c h m a t h e m a t i c s e d u c a t i o n t h e y h a v e h a d . C h a p t e r 8 S U M M A R Y A N D C O N C L U S I O N A t t h e e n d o f C h a p t e r 1 I p o s e d s e v e r a l q u e s t i o n s a b o u t s t u d e n t s ' k n o w l e d g e o f r a t e o f c h a n g e . I n t h i s f i n a l c h a p t e r I u s e t h e r e s u l t s o f t h i s r e s e a r c h t o s u g g e s t a n s w e r s t o t h o s e q u e s t i o n s . I n a d d i t i o n , I r e l a t e l i t e r a t u r e r e v i e w e d i n C h a p t e r 2 t o t h i s d i s s e r t a t i o n . F i n a l l y , I d e s c r i b e h o w m y o w n t e a c h i n g o f c a l c u l u s h a s c h a n g e d a s a r e s u l t o f t h i s r e s e a r c h . S t u d e n t s ' k n o w l e d g e o f r a t e o f c h a n g e N e a r t h e e n d o f C h a p t e r 1 , I p o s e d f i v e q u e s t i o n s t h i s d i s s e r t a t i o n w o u l d . a t t e m p t t o a n s w e r . ' T h e f i r s t t w o ( q u e s t i o n s c o n c e r n . s t u d e n t s ' k n o w l e d g e a n d h o w i t s u p p o r t s l e a r n i n g r a t e o f c h a n g e . T h e s e t w o q u e s t i o n s w i l l b e d i s c u s s e d b e l o w u n d e r t h e h e a d i n g " W h a t k n o w l e d g e o f r a t e o f c h a n g e d o p r e c a l c u l u s , c a l c u l u s , a n d p o s t c a l c u l u s s t u d e n t s h a v e ? " . T h e t h i r d q u e s t i o n i n C h a p t e r 1 p e r t a i n s t o s i m i l a r i t i e s a n d d i f f e r e n c e s i n k n o w l e d g e o f r a t e o f c h a n g e b e t w e e n t h o s e w h o h a v e h a d c a l c u l u s a n d t h o s e w h o h a v e n o t a n d w h a t t h i s m i g h t t e l l u s a b o u t w h a t k n o w l e d g e s u p p o r t s l e a r n i n g r a t e o f c h a n g e a n d h o w . T h i s q u e s t i o n w i l l b e a d d r e s s e d u n d e r t h e h e a d i n g " H o w d o e s k n o w l e d g e o f r a t e o f c h a n g e d i f f e r a m o n g t h e t h r e e g r o u p s o f s t u d e n t s ? " . T h e l a s t t w o q u e s t i o n s i n C h a p t e r ' 1 c o n s i d e r t h e r o l e o f t h e t h r e e p e r s p e c t i v e s a n d t y p e s o f r e a s o n i n g i n t h i n k i n g a b o u t s t u d e n t s ' k n o w l e d g e o f r a t e o f c h a n g e a n d h o w i t g r o w s . T h e s e q u e s t i o n s w i l l b e d e a l t w i t h u n d e r t h e h e a d i n g " D o t h e p e r s p e c t i v e s a n d t y p e s o f r e a s o n i n g p r o v i d e a n i n t e r p r e t i v e f r a m e f o r 3 3 1 3 3 2 u n d e r s t a n d i n g s t u d e n t s ' k n o w l e d g e o f r a t e o f c h a n g e a n d h o w i t g r o w s o v e r t i m e ? " . W h a t k n o w l e d g e d o t h e s e t h r e e g r o u p s h a v e ? A v a r i e t y o f s t t a t e g i e s . T h e m o s t p r o m i n e n t r e s u l t o f t h i s s t u d y w a s t h a t s t u d e n t s u s e d m a n y s t r a t e g i e s t o a d d r e s s r a t e o f c h a n g e . T h i s w a s t h e c a s e w i t h t h e e n t i r e s a m p l e , w i t h e a c h o f t h e t h r e e g r o u p s , a n d w i t h i n d i v i d u a l s t u d e n t s . T h e s a m p l e o f 3 7 s t u d e n t s u s e d a t o t a l o f n i n e t e e n d i f f e r e n t s t r a t e g i e s o n t h e s i x t a s k s . M a n y o f t h e s e s t r a t e g i e s w e r e u s e d b y e a c h o f t h e t h r e e g r o u p s . M o s t s t u d e n t s u s e d m o r e t h a n o n e s t r a t e g y t o s o l v e e a c h t a s k . P r e c a l c u l u s s t u d e n t s u s e d , m a n y ' o f t h e s e s t r a t e g i e s i n t h e s i x t a s k s . W e c a n c o n c l u d e t h e r e f o r e t h a t t h e y h a v e k n o w l e d g e t h a t c a n b e u s e d t o s o l v e t a s k s i n v o l v i n g r a t e o f c h a n g e . T h e y u s e d " d e l t a d " a n d " v i s u a l s l o p e " t o a d d r e s s s l o w i n g d o w n , s p e e d i n g u p , a n d s t e a d y p a c e ; t h e y u s e d a v e r a g e r a t e o f c h a n g e o v e r m e d i u m a n d s h o r t i n t e r v a l s b e f o r e a p o i n t t o f i n d r a t e o f c h a n g e a t a p o i n t ; a n d t h e y u s e d k n o w l e d g e o f s p e c i f i c s i t u a t i o n s t o a n s w e r s e v e r a l q u e s t i o n s a b o u t r a t e o f c h a n g e . T h e s e s t r a t e g i e s w e r e a l s o ' u s e d . h e a v i l y ' b y ’ c a l c u l u s a n d p o s t c a l c u l u s s t u d e n t s . T h i s s u g g e s t s t h a t t h i s s h a r e d k n o w l e d g e m a y p l a y a r o l e i n s u p p o r t i n g l e a r n i n g r a t e o f c h a n g e b e f o r e , d u r i n g , a n d a f t e r c a l c u l u s . T h e s e s t r a t e g i e s w e r e u s e d a p p r o p r i a t e l y b y a l l t h r e e g r o u p s t o y i e l d r e a s o n a b l y g o o d e s t i m a t e s f o r r a t e o f c h a n g e a t p o i n t s , t o c o r r e c t l y d e s c r i b e s l o w i n g d o w n , s p e e d i n g u p , a n d s t e a d y p a c e , a n d t o i d e n t i f y i n t e r v a l s o f m o s t a n d l e a s t c h a n g e . T h i s u s e o f " c o r r e c t " k n o w l e d g e s u g g e s t s t h a t i t c a n b e u s e d t o b u i l d o t h e r k n o w l e d g e o f r a t e o f c h a n g e . 3 3 3 F u r t h e r , s i n c e m u c h o f t h i s k n o w l e d g e h a s i n i t t h e g e r m s o f m o r e a d v a n c e d a n d c o n v e n t i o n a l l y a c c e p t e d k n o w l e d g e o f r a t e o f c h a n g e , i t m a k e s s e n s e t h a t i t c a n s e r v e a s t h e b a s i s f o r c o n s t r u c t i o n o f o t h e r k n o w l e d g e o f r a t e o f c h a n g e . S t u d e n t s ' k n o w l e d g e o f " v i s u a l s l o p e " a n d s h a p e o f g r a p h a n d r e l a t i o n s h i p t o r a t e o f c h a n g e o f a d e p e n d e n t v a r i a b l e o v e r a l l o r l a r g e p a r t s o f t h e d o m a i n o f t h e i n d e p e n d e n t v a r i a b l e g i v e s t h e m a b a s e o n w h i c h i t m a y b e p o s s i b l e t o b u i l d k n o w l e d g e o f r a t e o f c h a n g e a t a p o i n t i n t e r m s o f s l o p e s o f r o t a t i n g s e c a n t l i n e s a n d t a n g e n t l i n e . S i m i l a r l y , s t u d e n t s ' u s e o f a v e r a g e r a t e o f c h a n g e o v e r m e d i u m a n d s h o r t i n t e r v a l s b e f o r e a p o i n t s u g g e s t t h e i r r e c e p t i v i t y t o t h e d e f i n i t i o n o f i n s t a n t a n e o u s r a t e o f c h a n g e i n t e r m s o f t h e l i m i t o f a v e r a g e r a t e o f c h a n g e o v e r i n t e r v a l s o f d e c r e a s i n g w i d t h b e f o r e a n d a f t e r a p o i n t . G e n e r a l p i a n d a p e c i f i c s t r a t e g i e a . A s e c o n d c o n c l u s i o n a b o u t s t u d e n t s ' k n o w l e d g e o f r a t e o f c h a n g e i s t h a t t h e y h a v e s o m e s t r a t e g i e s t h a t c a n b e u s e d i n n e a r l y e v e r y s i t u a t i o n . F o r d e s c r i b i n g h o w g r a p h s a n d t a b l e s s h o w e d s l o w i n g d o w n , s p e e d i n g u p , a n d s t e a d y p a c e a n d f o r d e c i d i n g w h e r e t h e d e p e n d e n t v a r i a b l e c h a n g e d t h e m o s t a n d l e a s t , n e a r l y e v e r y s t u d e n t i n t h i s s t u d y ' u s e d " d e l t a . d " a n d . " v i s u a l s l o p e " , t w o s t r a t e g i e s t h a t c a n b e a p p l i e d t o m a n y d i f f e r e n t s i t u a t i o n s t o a d d r e s s r a t e o f c h a n g e . T o f i n d r a t e o f c h a n g e a t a p o i n t , c a l c u l u s a n d p o s t c a l c u l u s s t u d e n t s u s e d s l o p e o f t a n g e n t l i n e a n d a l l t h r e e g r o u p s u s e d a v e r a g e r a t e o f c h a n g e o v e r i n t e r v a l s o f v a r i o u s s i z e a n d t y p e , s t r a t e g i e s w h i c h h a v e w i d e a p p l i c a b i l i t y f o r a d d r e s s i n g r a t e o f c h a n g e a t a p o i n t . T h e s e s t r a t e g i e s w e r e g e n e r a l i n t h e s e n s e t h a t t h e y w e r e u s e d i n e v e r y s i t u a t i o n a n d s h o w t h a t s t u d e n t s a t t h e s e l e v e l s o f m a t h e m a t i c s 3 3 4 e d u c a t i o n h a v e k n o w l e d g e o f r a t e o f c h a n g e t h a t c a n b e a p p l i e d i n n e a r l y e v e r y s i t u a t i o n . S t u d e n t s i n t h i s s t u d y a l s o u s e d s o m e s t r a t e g i e s t h a t a r e a p p l i c a b l e o n l y t o s p e c i f i c s i t u a t i o n s . S o m e s t r a t e g i e s w e r e u s e d o n l y w i t h c e r t a i n f u n c t i o n r e p r e s e n t a t i o n s . F o r e x a m p l e , s l o p e o f t a n g e n t l i n e w a s u s e d e x t e n s i v e l y w i t h g r a p h s , b u t n o t w i t h t a b l e s . S o m e s t r a t e g i e s w e r e u s e d o n l y w i t h c e r t a i n t a s k s . S u i T a s k 4 , t h e " t h r o w n b a l l " t a s k , s t u d e n t s m a d e h e a v y u s e o f " a n a l y s i s o f m o v i n g o b j e c t s " b u t i n T a s k s 5 a n d 6 , t h e " b i o m a s s " a n d " c i r c l e s " t a s k s , s t u d e n t s d i d n o t u s e k n o w l e d g e o f t h e s p e c i f i c s i t u a t i o n t o a d d r e s s r a t e o f c h a n g e a t a p o i n t . S o m e s t r a t e g i e s w e r e u s e d o n l y a t c e r t a i n p o i n t s . T h i s w a s t h e c a s e i n T a s k 4 w h e r e s t u d e n t s w e r e a s k e d t o f i n d t h e s p e e d o f t h e b a l l a t m o r e t h a n o n e p o i n t . T h e s e s t r a t e g i e s w e r e s p e c i f i c i n t h e s e n s e t h a t t h e y ' w e r e u s e d . o n l y ' i n c e r t a i n s i t u a t i o n s a n d . n o t a t a l l i n . o t h e r s i t u a t i o n s a n d s h o w t h a t s t u d e n t s a t t h e s e l e v e l s o f m a t h e m a t i c s e d u c a t i o n h a v e k n o w l e d g e o f r a t e o f c h a n g e t h a t i s s p e c i f i c t o p a r t i c u l a r s i t u a t i o n s . H Q ! d o a a k n o w l e d g e d i f f e r a m o n g t h e t h r e e g r o u p a z S t r a t e g i e a t u s e d b y a l l t h r e e g r o u p a . A l l t h r e e g r o u p s u s e d " d e l t a d " a n d " v i s u a l s l o p e " t o e x p l a i n t h e i r g r a p h s a n d t a b l e s i n T a s k s 1 , 2 , a n d 3 a n d i d e n t i f y i n t e r v a l s o f t h e i n d e p e n d e n t v a r i a b l e f o r w h i c h t h e d e p e n d e n t v a r i a b l e c h a n g e d t h e m o s t a n d l e a s t i n T a s k s 4 , 5 , a n d 6 . T o f i n d r a t e o f c h a n g e i n t h e d e p e n d e n t v a r i a b l e a t i n d i v i d u a l v a l u e s o f t h e i n d e p e n d e n t v a r i a b l e , a l l t h r e e g r o u p s u s e d a v e r a g e r a t e o f c h a n g e i n t h e d e p e n d e n t v a r i a b l e o v e r i n t e r v a l s o f t h e i n d e p e n d e n t v a r i a b l e o f v a r y i n g t y p e a n d s i z e . 7 . . : - . . ' ~ g _ _ _ _ _ . _ _ . - L 1 _ 3 3 5 S t u d e n t s a t t h e s e l e v e l s o f m a t h e m a t i c s e d u c a t i o n t h e n h a v e s o m e c o m m o n k n o w l e d g e a b o u t r a t e o f c h a n g e . A s s t u d e n t s ' r e s p o n s e s t o t h e s e t a s k s s h o w e d , t h i s k n o w l e d g e i s v e r y u s e f u l b o t h f o r t h o s e w h o h a v e h a d c a l c u l u s a n d t h o s e w h o h a v e n o t . T h i s m a y s u g g e s t , a s w a s n o t e d e a r l i e r , t h a t t h i s k n o w l e d g e c a n s e r v e a s i g n i f i c a n t r o l e i n s t u d e n t s ' c o n s t r u c t i o n o f k n o w l e d g e o f r a t e o f c h a n g e a c r o s s a l l o f t h e s e l e v e l s o f m a t h e m a t i c s e d u c a t i o n . S t r a t e g i e s u s e d b y s o m e g r o u g . b u t n o t o t h e r a . S o m e s t r a t e g i e s w e r e u s e d p r i m a r i l y b y s o m e g r o u p s b u t n o t b y o t h e r s . I n T a s k s 1 , 2 , a n d 3 o n l y p r e c a l c u l u s s t u d e n t s u s e d " m e e t i n g p o i n t " a n d o n l y p o s t c a l c u l u s s t u d e n t s u s e d " v e l o c i t y e q u a t i o n " t o e x p l a i n t h e i r g r a p h s a n d t a b l e s . G e n e r a l l y p r e c a l c u l u s s t u d e n t s m a d e m o r e u s e o f " r e f e r e n c e t o a p o i n t " t h a n t h e o t h e r t w o g r o u p s , c a l c u l u s s t u d e n t s w e r e m o r e l i k e l y t h a n p r e c a l c u l u s a n d p o s t c a l c u l u s s t u d e n t s t o u s e " d e l t a d a n d d e l t a t " , a n d u s e o f " d e l t a t " d e c r e a s e d a n d u s e o f " ( d e l t a d ) / ( d e l t a t ) " i n c r e a s e d w i t h i n c r e a s e d m a t h e m a t i c s e d u c a t i o n . " M e e t i n g p o i n t " s h o w s s l o w i n g d o w n , s p e e d i n g u p , a n d s t e a d y p a c e i n t e r m s o f h o w m u c h t i m e i t t a k e s t o c o v e r 2 0 f e e t — m o r e t i m e f o r s l o w i n g d o w n , l e s s t i m e f o r s p e e d i n g u p , a n d s a m e t i m e f o r s t e a d y p a c e . S t u d e n t s w h o u s e d t h i s s t r a t e g y s e e m e d t o b e c o n f u s i n g s l o w i n g d o w n w i t h g o i n g a t a s t e a d y s l o w p a c e a n d s p e e d i n g u p w i t h g o i n g a t a s t e a d y f a s t p a c e . T h i s m a k e s m e t h i n k t h a t s o m e p r e c a l c u l u s s t u d e n t s h a v e n o t y e t s o r t e d o u t t h e s e d i f f e r e n c e s . T h i s c o u l d h e l p t e a c h e r s p l a n a p p r o p r i a t e l y f o r i n s t r u c t i o n o n r a t e o f c h a n g e . P o s t c a l c u l u s s t u d e n t s ' u s e d " v e l o c i t y e q u a t i o n " i n t w o d i f f e r e n t w a y s i n T a s k s 1 , 2 , a n d 3 . O n e u s e i n v o l v e d d i v i d i n g t h e c h a n g e i n d i s t a n c e b y t h e c h a n g e i n t i m e o v e r s e l e c t e d i n t e r v a l s o f t i m e . T h e 3 3 6 o t h e r i n v o l v e d d i v i s i o n o f t h e d i s t a n c e v a l u e a t a p o i n t b y t h e c o r r e s p o n d i n g t i m e v a l u e , s i m i l a r t o w h a t m a n y s t u d e n t s d i d w h e n t h e y u s e d " r e f e r e n c e t o a p o i n t " . I d i s c u s s e d i n C h a p t e r 5 w h y I b e l i e v e t h e s t a t e m e n t " v e l o c i t y ’ e q u a l s d i s t a n c e o v e r t i m e " p r o v i d e s p r o b l e m s f o r s t u d e n t s a t t h e s e l e v e l s o f m a t h e m a t i c s e d u c a t i o n . H e r e I s i m p l y a d d t h a t t e a c h e r s n e e d t o h e l p s t u d e n t s s o r t o u t t h e v a r i o u s m e a n i n g s o f t h i s s t a t e m e n t a n d l e a r n h o w t o a p p r o p r i a t e l y u s e i t i n v a r i o u s s i t u a t i o n s . C a l c u l u s s t u d e n t s ' u s e o f " d e l t a d a n d d e l t a t " a n d d e c r e a s e d u s e o f " d e l t a t " a n d i n c r e a s e d u s e o f " ( d e l t a d ) / ( d e l t a t ) " w i t h i n c r e a s e d m a t h e m a t i c s e d u c a t i o n s h o w s , I b e l i e v e , a s o r t i n g o u t o f t h e a p p r o p r i a t e r e l a t i o n s h i p I b e t w e e n . d i s t a n c e a n d . t i m e t o ( a d d r e s s r a t e o f c h a n g e a s s t u d e n t s l e a r n m o r e m a t h e m a t i c s . T o p r e s s t h e p o i n t p e r h a p s b e y o n d w h a t t h e d a t a s u p p o r t s , p r e c a l c u l u s s t u d e n t s k n o w t h a t s p e e d h a s s o m e t h i n g t o d o w i t h r e l a t i o n s h i p s b e t w e e n d i s t a n c e a n d t i m e b u t t h e y h a v e n o t c o m e t o a c c e p t t h e c o n v e n t i o n o f s p e e d a s d i s t a n c e p e r u n i t o f t i m e . I n s t e a d t h e y s o m e t i m e s e x p r e s s s p e e d a s t i m e p e r u n i t d i s t a n c e , t h a t i s , a s " d e l t a t " . C a l c u l u s s t u d e n t s k n o w t h a t s p e e d h a s t o d o w i t h c h a n g e s i n d i s t a n c e r e l a t i v e t o c h a n g e s i n t i m e b u t h a v e n o t s e t t l e d o n s p e e d a s d i s t a n c e p e r u n i t t i m e . I n s t e a d t h e y s o m e t i m e s e x p r e s s s p e e d a s v a r i a b l e d i s t a n c e o v e r v a r i a b l e t i m e , t h a t i s , a s " d e l t a d a n d d e l t a t " . F i n a l l y , p o s t c a l c u l u s s t u d e n t s h a v e c o m e t o a c c e p t t h a t s p e e d i s m o s t a p p r o p r i a t e l y e x p r e s s e d a s c h a n g e i n d i s t a n c e r e l a t i v e t o c h a n g e i n t i m e a n d h e n c e t h e i r u s e o f " ( d e l t a d ) / ( d e l t a t ) " . I n T a s k s 4 , 5 , a n d 6 c a l c u l u s a n d p o s t c a l c u l u s s t u d e n t s u s e d s l o p e o f t a n g e n t l i n e t o f i n d r a t e o f c h a n g e a t a p o i n t , b u t n o p r e c a l c u l u s s t u d e n t u s e d t h i s s t r a t e g y . S i n c e c a l c u l u s a n d p o s t c a l c u l u s s t u d e n t s h a d i n s t r u c t i o n i n c a l c u l u s r e l a t i n g r a t e o f c h a n g e t o s l o p e o f t a n g e n t l i n e , 3 3 7 i t s h o u l d n o t b e s u r p r i s i n g t h a t t h e y u s e d i t a n d p r e c a l c u l u s s t u d e n t s d i d n o t . H o w e v e r , g i v e n p r e c a l c u l u s s t u d e n t s ' u s e o f " v i s u a l s l o p e " i n a l l s i x t a s k s , i t s e e m s u s e f u l t o a s k h o w t h i s k n o w l e d g e o f s l o p e m i g h t b e u s e f u l t o c o n s t r u c t i o n a n u n d e r s t a n d i n g o f r a t e o f c h a n g e a t a p o i n t i n t e r m s o f s l o p e o f t a n g e n t l i n e . A l t h o u g h a l l t h r e e g r o u p s u s e d a v e r a g e r a t e o f c h a n g e i n t h e d e p e n d e n t v a r i a b l e o v e r i n t e r v a l s o f t h e i n d e p e n d e n t v a r i a b l e , e a c h g r o u p t e n d e d t o u s e a d i f f e r e n t s e t o f i n t e r v a l s . P r e c a l c u l u s s t u d e n t s t e n d e d t o u s e m e d i u m a n d s h o r t i n t e r v a l s b e f o r e t h e p o i n t , c a l c u l u s s t u d e n t s u s e d s h o r t i n t e r v a l s b e f o r e t h e p o i n t a n d i n t e r v a l s s t r a d d l i n g t h e p o i n t , a n d p o s t c a l c u l u s s t u d e n t s r e l i e d p r i m a r i l y o n i n t e r v a l s s t r a d d l i n g t h e p o i n t . T h e m o r e m a t h e m a t i c s e d u c a t i o n , t h e s m a l l e r t h e i n t e r v a l s t h e g r o u p t e n d e d t o u s e a n d t h e m o r e l i k e l y t h e g r o u p w a s t o u s e i n t e r v a l s s t r a d d l i n g t h e p o i n t . P r e c a l c u l u s s t u d e n t s ' u s e o f a v e r a g e r a t e o f c h a n g e o v e r s o m e i n t e r v a l s t o a d d r e s s r a t e o f c h a n g e a t a p o i n t i s e n c o u r a g i n g f o r t w o r e a s o n s . O n e i s t h a t t h e y k n o w h o w t o u s e a v e r a g e r a t e o f c h a n g e t o a d d r e s s r a t e o f c h a n g e a t a p o i n t . T h e o t h e r i s t h a t s i n c e i n s t a n t a n e o u s r a t e o f c h a n g e i s b a s e d o n a v e r a g e r a t e o f c h a n g e o v e r s m a l l e r a n d s m a l l e r ' i n t e r v a l s , i t s e e m s r e a s o n a b l e t h a t s t u d e n t s ' w h o ( a l r e a d y " u s e a v e r a g e r a t e o f c h a n g e a r e p r i m e d t o c o n s i d e r a v e r a g e r a t e o f c h a n g e o v e r i n t e r v a l s o f d e c r e a s i n g w i d t h a n d t h e r e s u l t i n g l i m i t i n g v a l u e . O n e p o s s i b l e w a y t h e s e s t u d e n t s m i g h t c o m e t o k n o w i n s t a n t a n e o u s r a t e o f c h a n g e i s b y p r o v i d i n g s e v e r a l o p p o r t u n i t i e s f o r t h e m t o f i n d r a t e o f c h a n g e a t a p o i n t . A s p r e c a l c u l u s s t u d e n t s ' r e s p o n s e s t o t h e s e s i x t a s k s s h o w e d , w i t h e a c h n e w t a s k , s t u d e n t s w e r e m o r e i n c l i n e d t o u s e s h o r t e r i n t e r v a l s b e f o r e t h e p o i n t a n d o n e s t u d e n t b e g a n o n h e r o w n t o 3 3 8 a l s o u s e i n t e r v a l s a f t e r t h e p o i n t . O n e m i g h t t h e n h o p e t h a t s o m e s t u d e n t s w o u l d b e g i n t o t h i n k a b o u t a l i m i t i n g v a l u e f o r t h e a v e r a g e r a t e o f c h a n g e o v e r s m a l l e r a n d s m a l l e r i n t e r v a l s b o t h b e f o r e a n d a f t e r a p o i n t . S t r a t e g y c h a n g e a c r o s s t a s _ ) _ < _ s _ . T h e d i s t r i b u t i o n o f s t r a t e g y u s e c h a n g e d a c r o s s t h e t a s k s . I n T a s k s 4 , 5 , a n d 6 p r e c a l c u l u s s t u d e n t s u s e d i n t e r v a l s b e f o r e a p o i n t t o a d d r e s s r a t e o f c h a n g e a t a p o i n t b u t a s t h e y p r o c e e d e d t h r o u g h t h e t a s k s , t h e y m a d e m o r e u s e o f t h e s h o r t e s t a v a i l a b l e i n t e r v a l s b e f o r e t h e p o i n t . C a l c u l u s s t u d e n t s u s e d i n t e r v a l s b e f o r e t h e p o i n t a n d s t r a d d l e i n t e r v a l s b u t a s t h e y p r o g r e s s e d t h r o u g h t h e t a s k s , t h e y m a d e l e s s u s e o f t h e f o r m e r a n d m o r e u s e o f t h e l a t t e r . P o s t c a l c u l u s s t u d e n t s c a m e m o r e a n d m o r e t o r e l y o n s t r a d d l e i n t e r v a l s a s t h e y m o v e d t h r o u g h T a s k s 4 , 5 , a n d 6 . T h i s p a t t e r n c o m p l e m e n t s t h e p a t t e r n d i s c u s s e d a b o v e a n d p o i n t s e v e n m o r e h o p e f u l l y t o t h e p o s s i b i l i t y t h a t s t u d e n t s ' k n o w l e d g e o f a v e r a g e r a t e o f c h a n g e o v e r i n t e r v a l s i s a p r i m a r y r e s o u r c e t h a t c o u l d h e l p t h e m l e a r n i n s t a n t a n e o u s r a t e o f c h a n g e . U s e o f " r e f e r e n c e t o a p o i n t " d e c r e a s e d a c r o s s t h e t a s k s a l t h o u g h i t s u s e h a d n o t e n t i r e l y d i s a p p e a r e d b y t h e l a s t t a s k . S o m e s t u d e n t s w h o u s e d " r e f e r e n c e t o a p o i n t " o n e a r l i e r t a s k s t u r n e d i n l a t e r t a s k s t o s t r a t e g i e s b a s e d o n c h a n g e s i n t h e d e p e n d e n t v a r i a b l e o v e r i n t e r v a l s o f t h e i n d e p e n d e n t v a r i a b l e , l i k e a v e r a g e r a t e o f c h a n g e . T h i s h a p p e n e d , I b e l i e v e , b e c a u s e a s t h e s e s t u d e n t s m o v e d t h r o u g h t h e t a s k s , t h e y c a m e t o s e e t h a t r a t e o f c h a n g e i s n o t g i v e n b y " d i s t a n c e o v e r t i m e " , a s i n d i v i d i n g t h e d i s t a n c e v a l u e b y t h e t i m e v a l u e , a " r e f e r e n c e t o a p o i n t " s t r a t e g y , b u t i s m o r e a p p r o p r i a t e l y r e l a t e d t o " c h a n g e i n d i s t a n c e o v e r c h a n g e i n t i m e " . 3 3 9 A t l e a s t o n e s t u d e n t , a p o s t c a l c u l u s s t u d e n t , m a d e h e r t h i n k i n g e x p l i c i t e n o u g h t h a t I c a n s a y w i t h a s s u r a n c e t h a t i s w h a t s h e d i d . I n T a s k 1 w h e r e t h e t w o p e o p l e s l o w d o w n u n t i l t h e y m e e t a n d t h e n s p e e d u p , s h e d i v i d e d t h e d i s t a n c e v a l u e a t e a c h p o i n t b y t h e t i m e v a l u e . S i n c e t h e r e s u l t i n g r a t i o s w e r e d e c r e a s i n g f r o m t = 0 t o t = 4 , s h e c o n c l u d e d t h a t t h e t w o p e o p l e w e r e s l o w i n g d o w n a n d s i n c e t h e r a t i o s w e r e i n c r e a s i n g f r o m t = 4 t o t = 8 , s h e c o n c l u d e d t h a t t h e t w o p e o p l e w e r e s p e e d i n g u p . B u t i n T a s k 2 , t h i s s a m e s t r a t e g y r e s u l t e d i n r a t i o s t h a t w e r e n o t c o n s t a n t a n d t h e r e f o r e d i d n o t s h o w " s t e a d y p a c e " . I t w a s h e r e t h a t s h e r e a l i z e d t h a t " d i s t a n c e o v e r t i m e " s h o u l d b e i n t e r p r e t e d n o t a s d i s t a n c e v a l u e d i v i d e d b y t i m e v a l u e , b u t a s c h a n g e i n d i s t a n c e d i v i d e d b y c h a n g e i n t i m e . S h e t h e n u s e d " ( d e l t a d ) / ( d e l t a t ) " o n T a s k 2 , g o t c o n s t a n t r a t i o s a n d p r o p e r l y ' c o n c l u d e d t h a t t h i s s h o w e d t h e t w o p e o p l e w e r e s l o w i n g d o w n . S h e t h e n r e t u r n e d t o T a s k 1 , c o m p u t e d n e w r a t i o s b a s e d o n c h a n g e i n d i s t a n c e o v e r c h a n g e i n t i m e a n d p r o p e r l y u s e d t h e s e n e w r a t i o s t o c o n c l u d e t h a t t h e t w o p e o p l e w e r e s l o w i n g d o w n a n d t h e n s p e e d i n g u p . T h i s i s a n a c c o u n t o f o n l y o n e s t u d e n t ' s e x p e r i e n c e a n d c a n n o t n e c e s s a r i l y b e u s e d t o m a k e c l a i m s a b o u t a l l s t u d e n t s . H o w e v e r i t i s t e m p t i n g t o s p e c u l a t e t h a t m o r e a n d v a r i e d e x p e r i e n c e s l i k e t h e o n e s r e p r e s e n t e d . i n t h e s e t a s k s c a n . h e l p s t u d e n t s c o m e t o s e e t h a t s o m e r e l a t i o n s h i p s b e t w e e n d i s t a n c e a n d t i m e d o n o t y i e l d c o r r e c t i n f o r m a t i o n a b o u t r a t e o f c h a n g e a n d e n c o u r a g e t h e m t o e x p l o r e o t h e r r e l a t i o n s h i p s t h a t d o . D o t h e p e r s p e c t i v e s a n d t y p e s o f r e a a o n i n g p r o v i d e a n i n t a r p r g t i y a f r a m e ? T h e t h r e e p a t a p e c t i v e s . I d i s c u s s f o u r i s s u e s r e l a t e d t o l e a r n i n g r a t e o f c h a n g e a n d c l a s s i f i c a t i o n o f s t r a t e g i e s i n t e r m s o f t h e t h r e e p e r s p e c t i v e s : t h e c o n c e p t o f s l o p e o r s h a p e o f g r a p h i n u n d e r s t a n d i n g 3 4 0 r a t e o f c h a n g e , p o i n t p e r s p e c t i v e s i n a d d r e s s i n g r a t e o f c h a n g e a t a p o i n t , i n t e r v a l p e r s p e c t i v e s i n a d d r e s s i n g r a t e o f c h a n g e a t a p o i n t , a n d g l o b a l p e r s p e c t i v e s i n a d d r e s s i n g r a t e o f c h a n g e a t a p o i n t . T h e c o n c e p t o f s l o p e i n u n d e r s t a n d i n g r a t e o f c h a n g e . " V i s u a l s l o p e " w a s u s e d t o e x p l a i n t a b l e s a n d g r a p h s i n T a s k s 1 , 2 , a n d 3 a n d i d e n t i f y w h e r e t h e d e p e n d e n t v a r i a b l e c h a n g e d m o s t a n d l e a s t i n T a s k s 4 , 5 , a n d 6 . T h i s s t r a t e g y w a s c l a s s i f i e d a s r e p r e s e n t i n g a g l o b a l p e r s p e c t i v e . " R e f e r e n c e t o s l o p e ( s e c a n t l i n e ) " w a s u s e d t o e x p l a i n t a b l e s a n d g r a p h s i n T a s k s l , 2 , a n d 3 a n d t o f i n d r a t e o f c h a n g e a t a p o i n t i n T a s k s 4 , 5 , a n d 6 . T h i s s t r a t e g y w a s c l a s s i f i e d a s c o n s i s t e n t w i t h a n i n t e r v a l r a t e o f c h a n g e p e r s p e c t i v e . " R e f e r e n c e t o s l o p e ( t a n g e n t l i n e ) " w a s u s e d t o f i n d r a t e o f c h a n g e a t a p o i n t i n T a s k s 4 , 5 , a n d 6 a n d w a s c l a s s i f i e d a s p o r t r a y i n g a p o i n t r a t e o f c h a n g e p e r s p e c t i v e . S o f o r e a c h p e r s p e c t i v e w e h a v e a s l o p e b a s e d s t r a t e g y . S l o p e i s a c o n c e p t i n t i m a t e l y r e l a t e d t o r a t e o f c h a n g e . T h e f o r m u l a f o r s l o p e o f a l i n e t h r o u g h t w o g i v e n p o i n t s ( s l o p e o f a s e c a n t l i n e ) y i e l d s t h e a v e r a g e r a t e o f c h a n g e i n t h e d e p e n d e n t v a r i a b l e o v e r t h e i n t e r v a l o f t h e i n d e p e n d e n t v a r i a b l e d e t e r m i n e d b y t h e t w o p o i n t s . S o s l o p e a n d a v e r a g e r a t e o f c h a n g e a r e c o m p u t a t i o n a l l y e q u i v a l e n t . F u r t h e r m o r e , j u s t a s r a t e o f c h a n g e a t a p o i n t c a n b e t h o u g h t o f a s t h e l i m i t o f t h e a v e r a g e r a t e o f c h a n g e i n t h e d e p e n d e n t v a r i a b l e a s t h e s i z e o f t h e i n t e r v a l s o f t h e i n d e p e n d e n t v a r i a b l e d e c r e a s e s t o z e r o , i t c a n a l s o b e t h o u g h t o f a s t h e l i m i t o f t h e s l o p e o f s e c a n t l i n e s d e t e r m i n e d b y t h o s e s h r i n k i n g i n t e r v a l s . T h i s l i m i t , i f i t e x i s t s , i s c a l l e d t h e s l o p e o f t h e l i n e t a n g e n t t o t h e g r a p h o f t h e f u n c t i o n a t t h e p o i n t . I n f a c t , t h i s i s h o w t h e t a n g e n t l i n e i s d e f i n e d ; i t i s t h e l i n e c o n t a i n i n g t h e p o i n t a n d h a v i n g s l o p e e q u a l t o t h i s l i m i t . 3 4 1 T h i s l i m i t i d e a c o n n e c t s t h e i n t e r v a l . p e r s p e c t i v e o f s l o p e ( o f s e c a n t l i n e ) t o t h e p o i n t p e r s p e c t i v e o f s l o p e ( o f t a n g e n t l i n e ) a n d i s r e l i e d o n h e a v i l y i n c a l c u l u s t o h e l p s t u d e n t s l e a r n i n s t a n t a n e o u s r a t e o f c h a n g e . B u t h o w d o e s t h e g l o b a l p e r s p e c t i v e o f s l o p e r e l a t e t o t h e i n t e r v a l a n d p o i n t s p e r s p e c t i v e s ? " V i s u a l s l o p e " w a s u s e d h e a v i l y i n t h e s e t a s k s b y a l l t h r e e g r o u p s o f s t u d e n t s i n t r y i n g t o w a k e s e n s e o f r a t e o f c h a n g e w h e n u s i n g g r a p h s . I t s e e m s c l e a r t h a t s t u d e n t s a t t h e s e l e v e l s o f m a t h e m a t i c s e d u c a t i o n r e l a t e s l o p e a s s h a p e o f g r a p h t o r a t e o f c h a n g e . B u t w h a t c o n n e c t i o n d i d s t u d e n t s m a k e b e t w e e n t h i s u s e o f s l o p e a s r a t e o f c h a n g e a n d u s e o f s l o p e o f s e c a n t a n d t a n g e n t l i n e s a s r a t e o f c h a n g e ? H a l f o f t h e p r e c a l c u l u s s t u d e n t s u s e d " v i s u a l s l o p e " t o e x p l a i n h o w t h e i r g r a p h s s h o w e d s l o w i n g d o w n , s p e e d i n g u p , a n d s t e a d y p a c e i n T a s k s 1 , 2 , a n d 3 a n d s o m e u s e d i t t o i d e n t i f y i n t e r v a l s o f t h e i n d e p e n d e n t v a r i a b l e w h e r e t h e d e p e n d e n t v a r i a b l e c h a n g e d t h e m o s t a n d l e a s t i n T a s k s 4 , 5 , a n d 6 . B u t n o n e o f t h e m u s e d s l o p e o f s e c a n t l i n e o r t a n g e n t l i n e i n t h e s e t a s k s . I w o u l d n o t h a v e e x p e c t e d t h e m t o u s e s l o p e o f t a n g e n t l i n e . B u t I w o u l d h a v e e x p e c t e d s o m e o f t h e m t o u s e s l o p e o f s e c a n t l i n e . F o r e x a m p l e , w h e n u s i n g t h e g r a p h , s e v e r a l p r e c a l c u l u s s t u d e n t s u s e d a v e r a g e r a t e o f c h a n g e o v e r a n i n t e r v a l . I w o u l d h a v e e x p e c t e d s o m e o f t h e m t o m e n t i o n t h a t t h i s w a s a l s o t h e s l o p e o f t h e l i n e t h r o u g h t w o p a r t i c u l a r p o i n t s . N o n e o f t h e m d i d t h a t . T h a t m a k e s m e t h i n k t w o t h i n g s . O n e i s t h a t w h i l e p r e c a l c u l u s s t u d e n t s r e l a t e s l o p e a s s h a p e o f g r a p h t o r a t e o f c h a n g e , t h e y d o n o t r e l a t e s l o p e o f l i n e t h r o u g h t w o p o i n t s t o r a t e o f c h a n g e . T h i s s e e m s a c r u c i a l p o i n t g i v e n t h a t i n s t a n t a n e o u s r a t e o f c h a n g e h a s t r a d i t i o n a l l y b e e n i n t r o d u c e d i n c a l c u l u s i n t e r m s o f t h e l i m i t o f t h e s l o p e s o f s e c a n t 3 4 2 l i n e s . I t m i g h t o c c u r t o u s t h a t s t u d e n t s c o m i n g t o c a l c u l u s m a y n o t e a s i l y r e l a t e s l o p e o f l i n e t o r a t e o f c h a n g e a n d t h e r e f o r e w e s h o u l d e i t h e r f i n d a w a y t o h e l p t h e m m a k e t h a t c o n n e c t i o n o r i n t r o d u c e r a t e o f c h a n g e a t a p o i n t d i f f e r e n t l y . P e r h a p s w e s h o u l d d o b o t h . B u t t h e o t h e r t h o u g h t I h a d i s t h a t s i n c e p r e c a l c u l u s s t u d e n t s d i d r e l a t e a v e r a g e r a t e o f c h a n g e t o r a t e o f c h a n g e a t a p o i n t e v e n w h e n t h e y w e r e u s i n g g r a p h s , w e m i g h t o u g h t t o t h i n k a b o u t i n t r o d u c i n g i n s t a n t a n e o u s r a t e o f c h a n g e a s t h e l i m i t o f a v e r a g e r a t e o f c h a n g e o v e r i n t e r v a l s o f d e c r e a s i n g w i d t h i n s t e a d o f a s t h e l i m i t o f t h e s l o p e o f s e c a n t l i n e s . G i v e n t h e p r e v a l e n t u s e o f a v e r a g e r a t e o f c h a n g e b y t h e s t u d e n t s i n t h i s s t u d y a n d m o s t p e r t i n e n t l y , b y t h e p r e c a l c u l u s s t u d e n t s , t h i s w o u l d s e e m t o b e a v e r y g o o d i d e a . P o i n t p e r a p e c t i v e i n a d d r m i n g r a t e o f c h a n g e a t a p o i n t . I d i s c u s s h e r e s t r a t e g i e s s o m e s t u d e n t s u s e d t o a d d r e s s r a t e o f c h a n g e a t a p o i n t b u t w h i c h a r e n o t c o n s i s t e n t w i t h a c c e p t e d w a y s o f t h i n k i n g a b o u t i n s t a n t a n e o u s r a t e o f c h a n g e . M y p u r p o s e i s t o t h i n k a b o u t w h a t t h e s e s t r a t e g i e s s a y a b o u t s t u d e n t s ' k n o w l e d g e o f r a t e o f c h a n g e a n d p o s s i b l e r o l e s t h e y p l a y i n s t u d e n t s ' c o n s t r u c t i o n o f i n s t a n t a n e o u s r a t e o f c h a n g e . S t u d e n t s u s e d t w o s u c h s t r a t e g i e s — " r e f e r e n c e t o a p o i n t " , a n d " v e l o c i t y e q u a t i o n ( t a b l e ) " . " R e f e r e n c e t o a p o i n t " w a s u s e d i n T a s k s 1 , 2 , a n d 3 t o e x p l a i n h o w g r a p h s a n d t a b l e s s h o w e d s l o w i n g d o w n , s p e e d i n g u p , a n d s t e a d y p a c e a n d i n T a s k s 4 , 5 , a n d 6 t o f i n d r a t e o f c h a n g e a t a p o i n t . I n b o t h c a s e s s t u d e n t s u s e d t h e v a l u e o f t h e d e p e n d e n t v a r i a b l e a t a p a r t i c u l a r v a l u e o f t h e i n d e p e n d e n t v a r i a b l e t o m a k e d e c i s i o n s a b o u t r a t e o f c h a n g e . S o m e t i m e s t h e y f o r m e d t h e r a t i o o f t h e v a l u e s o f t h e 3 4 3 d e p e n d e n t a n d i n d e p e n d e n t v a r i a b l e s a t a p o i n t ; s o m e t i m e s t h e y j u s t g a v e t h e v a l u e o f t h e d e p e n d e n t v a r i a b l e ; s o m e t i m e s t h e y a v e r a g e d s e v e r a l v a l u e s o f t h e d e p e n d e n t v a r i a b l e . B u t t h e y a l l u s e d i n s o m e w a y o r o t h e r t h e v a l u e o f t h e d e p e n d e n t v a r i a b l e a t a p o i n t t o a d d r e s s r a t e o f c h a n g e a t t h a t p o i n t . A s d i s c u s s e d i n C h a p t e r 5 , t h e r e a r e s e v e r a l r e a s o n s s t u d e n t s u s e t h i s s t r a t e g y . V a l u e s o f t h e d e p e n d e n t v a r i a b l e a r e r e a d i l y a v a i l a b l e w i t h a g r a p h a n d e s p e c i a l l y a t a b l e a n d t h e r e f o r e p r e s e n t a n a l m o s t i r r e s i s t i b l e t e m p t a t i o n t o u s e i n s o m e f o r m o r o t h e r . T h e s i m p l e s t w a y t o u s e t h e m i s t o d i r e c t l y g i v e , a s t h e r a t e o f c h a n g e a t a p o i n t , t h e v a l u e o f t h e d e p e n d e n t v a r i a b l e o r t h e r a t i o o f t h e v a l u e o f t h e d e p e n d e n t v a r i a b l e t o t h e v a l u e o f t h e i n d e p e n d e n t v a r i a b l e . A l s o m a n y s t u d e n t s k n o w t h e r e i s a r e l a t i o n s h i p b e t w e e n s p e e d a n d d i s t a n c e a n d t h e s i m p l e s t r e l a t i o n s h i p i s t o e q u a t e t h e t w o . F i n a l l y , s o m e t i m e s s p e e d i s r e f e r r e d t o a s d i s t a n c e o v e r t i m e . O n e i n t e r p r e t a t i o n o f t h i s i s t h a t s p e e d i s t h e v a l u e o f t h e d i s t a n c e a t t h e t i m e o r t h e v a l u e o f t h e d i s t a n c e d i v i d e d b y t h e v a l u e o f t h e t i m e a t t h e p o i n t . T h e s e f a c t o r s m a k e t h e v a l u e o f t h e d e p e n d e n t v a r i a b l e o r t h e r a t i o o f t h e v a l u e o f t h e d e p e n d e n t v a r i a b l e t o t h e v a l u e o f t h e i n d e p e n d e n t v a r i a b l e a r e a s o n a b l e , t h o u g h i n c o r r e c t , c h o i c e f o r a d d r e s s i n g r a t e o f c h a n g e a t a p o i n t . S t u d e n t s w h o u s e " r e f e r e n c e t o a p o i n t " k n o w t h a t t h e v a l u e o f t h e d e p e n d e n t v a r i a b l e o r t h e r a t i o o f t h e v a l u e o f t h e d e p e n d e n t v a r i a b l e t o t h e v a l u e o f t h e i n d e p e n d e n t v a r i a b l e h a s s o m e t h i n g t o d o w i t h r a t e o f c h a n g e a t a p o i n t . T h e y d o , t h o u g h n o t i n t h e w a y t h e s e s t u d e n t s t h i n k , b u t r a t h e r i n a w a y t h a t m a k e s a c o n v e n t i o n a l u n d e r s t a n d i n g o f r a t e o f c h a n g e c l o s e r t o t h e m t h a n i f t h e y d i d n o t b e l i e v e a t a l l t h a t r a t e o f c h a n g e h a s a n y t h i n g t o d o w i t h v a l u e s o f t h e d e p e n d e n t a n d i n d e p e n d e n t 3 4 4 v a r i a b l e s . S i n c e t h e s e s t u d e n t s a l r e a d y k n o w t h i s m u c h a b o u t r a t e o f c h a n g e , f u r t h e r e x p e r i e n c e w i t h r a t e o f c h a n g e s h o u l d . a l l o w ' t h e m . t o e x p e r i m e n t w i t h p o s s i b l e r e l a t i o n s h i p s b e t w e e n t h e d e p e n d e n t a n d i n d e p e n d e n t v a r i a b l e s a n d e v e n t u a l l y a r r i v e a t a m o r e c o n v e n t i o n u n d e r s t a n d i n g o f r a t e o f c h a n g e . I n f a c t , o v e r t h e c o u r s e o f t h e s e o n e h o u r i n t e r v i e w s s e v e r a l s t u d e n t s w h o a t o n e p o i n t o r a n o t h e r u s e d t h i s s t r a t e g y , l a t e r u s e d s t r a t e g i e s b a s e d o n c h a n g e s i n t h e d e p e n d e n t v a r i a b l e r e l a t i v e t o c h a n g e s i n t h e i n d e p e n d e n t v a r i a b l e t o m a k e s e n s e o f r a t e o f c h a n g e a t a p o i n t . " V e l o c i t y e q u a t i o n ( t a b l e ) " i s a s t r a t e g y s i m i l a r t o " r e f e r e n c e t o a p o i n t " i n t h a t s t u d e n t s d i v i d e d d i s t a n c e v a l u e s i n t h e t a b l e b y t i m e v a l u e s . A s t h e y d i d s o t h e y s a i d t h e y w e r e u s i n g t h e f o r m u l a " v e l o c i t y i s d i s t a n c e o v e r t i m e " . T h e y w e r e l i t e r a l l y f o r m i n g t h e f r a c t i o n " d i s t a n c e o v e r t i m e " o r d i s t a n c e v a l u e d i v i d e d b y t i m e v a l u e t o g e t a n e s t i m a t e f o r s p e e d a t a p o i n t . H e r e i s a n o t h e r i n s t a n c e w h e r e s t u d e n t s k n o w t h a t r a t e o f c h a n g e h a s s o m e t h i n g t o d o w i t h a r e l a t i o n s h i p b e t w e e n t h e d e p e n d e n t a n d i n d e p e n d e n t v a r i a b l e s . A s h a p p e n e d i n t h e s e t a s k s , s t u d e n t s c a n t h e n u s e t h i s k n o w l e d g e t o b u i l d m o r e c o n v e n t i o n a l k n o w l e d g e o f r a t e o f c h a n g e . I n t e r v a l p e r s p e c t i v e i n a d d r e s s i n g r a t e o f c h a n g e a t a p o i n t . I c o n s i d e r t h r e e t y p e s o f s t r a t e g i e s h e r e . O n e t y p e c o n s i s t s o f s t r a t e g i e s b a s e d o n c h a n g e s i n t h e d e p e n d e n t o r i n d e p e n d e n t v a r i a b l e o v e r i n t e r v a l s o f t h e o t h e r v a r i a b l e . " D e l t a d " , " d e l t a t " , a n d " d e l t a d a n d d e l t a t " a r e o f t h i s t y p e . A l l t h r e e o f t h e s e s t r a t e g i e s t a k e i n t o c o n s i d e r a t i o n c o o r d i n a t i o n o f c h a n g e s i n b o t h t h e d e p e n d e n t a n d i n d e p e n d e n t v a r i a b l e s b u t t h e y t a k e d i f f e r e n t s t a n c e s w i t h r e g a r d t o s t a n d a r d i z a t i o n . " D e l t a d " c o n s i d e r s c h a n g e i n t h e d e p e n d e n t v a r i a b l e f o r o n e u n i t c h a n g e s i n t h e 3 4 5 i n d e p e n d e n t ' v a r i a b l e . W D e l t a , t " c o n s i d e r s c h a n g e i n . t h e i n d e p e n d e n t v a r i a b l e f o r o n e u n i t c h a n g e s i n t h e d e p e n d e n t v a r i a b l e . " D e l t a d a n d d e l t a t " c o n s i d e r s c h a n g e i n t h e d e p e n d e n t v a r i a b l e o v e r i n t e r v a l s o f t h e i n d e p e n d e n t v a r i a b l e o f v a r y i n g l e n g t h . S t u d e n t s h e a v y u s e o f " d e l t a d " i n t h i s s t u d y s u g g e s t s t h a t s t u d e n t s a t t h e s e l e v e l s o f m a t h e m a t i c s e d u c a t i o n . k n O W ’ t h a t r a t e o f c h a n g e h a s s o m e t h i n g t o d o w i t h c h a n g e s i n t h e d e p e n d e n t v a r i a b l e o v e r u n i t i n t e r v a l s o f t h e i n d e p e n d e n t v a r i a b l e . D e c r e a s e d u s e o f " d e l t a t " w i t h i n c r e a s e d m a t h e m a t i c s e d u c a t i o n s u g g e s t s t h a t o v e r t i m e s t u d e n t s c o m e t o r e a l i z e t h a t f o c u s i n g o n c h a n g e s i n t h e i n d e p e n d e n t v a r i a b l e f o r o n e u n i t c h a n g e s i n t h e d e p e n d e n t v a r i a b l e i s n o t t h e m o s t h e l p f u l w a y t o l o o k a t r a t e o f c h a n g e . C a l c u l u s s t u d e n t s ' u s e o f " d e l t a d a n d t " i n d i c a t e s s o r t i n g o u t t h e r e l a t i o n s h i p b e t w e e n c h a n g e s i n t h e d e p e n d e n t v a r i a b l e a n d c h a n g e s i n t h e i n d e p e n d e n t v a r i a b l e . T h e s e p a t t e r n s t a k e n t o g e t h e r s u g g e s t t h a t o v e r t i m e s t u d e n t s c o m m i t t h e m s e l v e s t o v d e w i n g r a t e o f c h a n g e a s d e a l i n g p r i m a r i l y w i t h c h a n g e s i n t h e d e p e n d e n t v a r i a b l e f o r f i x e d c h a n g e s i n t h e i n d e p e n d e n t v a r i a b l e . A s e c o n d t y p e o f s t r a t e g y i s b a s e d o n c o m p a r i s o n s o f c h a n g e s i n t h e d e p e n d e n t ‘ v a r i a b l e o v e r o n e i n t e r v a l o f t h e i n d e p e n d e n t ‘ v a r i a b l e t o c h a n g e s i n t h e d e p e n d e n t v a r i a b l e o v e r a n o t h e r i n t e r v a l o f t h e i n d e p e n d e n t v a r i a b l e . " N o t q u i t e d o u b l i n g " i s b a s e d o n a c o m p a r i s o n o f c h a n g e s i n t h e d e p e n d e n t v a r i a b l e o v e r c o n s e c u t i v e o n e u n i t i n t e r v a l s o f t h e i n d e p e n d e n t v a r i a b l e . " M u l t i p l i e d b y t w o — t h i r d s " a n d " 1 2 p e r c e n t i n c r e a s e " i n v o l v e c o m p a r i s o n s o f c h a n g e i n t h e d e p e n d e n t v a r i a b l e o v e r a n i n t e r v a l o f t h e i n d e p e n d e n t v a r i a b l e i m m e d i a t e l y a f t e r t h e p o i n t w i t h c h a n g e i n t h e d e p e n d e n t v a r i a b l e o v e r t h e i n t e r v a l b e g i n n i n g a t t h e f i r s t v a l u e o f t h e i n d e p e n d e n t v a r i a b l e a n d e n d i n g a t t h e p o i n t . " I n c r e a s e d b y 3 4 6 o n e - t h i r d " c o m p a r e s c h a n g e i n t h e d e p e n d e n t v a r i a b l e o v e r a n i n t e r v a l o f t h e i n d e p e n d e n t v a r i a b l e i m m e d i a t e l y b e f o r e t h e p o i n t w i t h c h a n g e i n t h e d e p e n d e n t v a r i a b l e o v e r t h e i n t e r v a l b e g i n n i n g a t t h e f i r s t v a l u e o f t h e i n d e p e n d e n t v a r i a b l e a n d e n d i n g a t t h e p o i n t . I t w a s p r i m a r i l y t h e p r e c a l c u l u s s t u d e n t s w h o u s e d s t r a t e g i e s o f t h e s e c o n d t y p e . M y i n t e r p r e t a t i o n f o r t h e i r i n v e n t i o n o f t h e s e s t r a t e g i e s i s t h a t t h e y k n e w t h a t r a t e o f c h a n g e h a s t o d o w i t h c h a n g e s i n t h e d e p e n d e n t v a r i a b l e a n d w e r e e x p e r i m e n t i n g w i t h r e l a t i o n s h i p s b e t w e e n t h e s e c h a n g e s t o a r r i v e a t c o n c l u s i o n s a b o u t r a t e o f c h a n g e t h a t m a d e s e n s e . T h e y , l i k e a l l o f t h e o t h e r s t u d e n t s i n t h i s s t u d y , r e l i e d o n " d e l t a d " t o m a k e j u d g m e n t s a b o u t r a t e o f c h a n g e . T o a d d r e s s r a t e o f c h a n g e a t a p o i n t t h e y w a n t e d t o p u t t h e i r d e l t a d ' s t o g o o d u s e a n d o n e w a y t o d o t h a t w a s t o c o m p a r e d e l t a d ' s o v e r v a r i o u s i n t e r v a l s o f t h e i n d e p e n d e n t v a r i a b l e . : a » s o m e p r e c a l c u l u s s t u d e n t s g e n e r a l i z e d u s e o f d e l t a d ' s t o i n c l u d e c o m p a r i s o n o f d e l t a d ' s t o o n e a n o t h e r a s a w a y o f a d d r e s s i n g r a t e o f c h a n g e a t a p o i n t . A t h i r d t y p e o f s t r a t e g y i s b a s e d o n c o m p a r i s o n o f c h a n g e i n t h e d e p e n d e n t v a r i a b l e t o c h a n g e i n t h e i n d e p e n d e n t v a r i a b l e . S t r a t e g i e s b a s e d o n t h e a v e r a g e r a t e o f c h a n g e i n t h e d e p e n d e n t v a r i a b l e o v e r a n i n t e r v a l o f t h e i n d e p e n d e n t v a r i a b l e a r e o f t h i s t y p e . T h e s e s t r a t e g i e s i n c l u d e t h e f o u r s t r a t e g i e s s p e c i f i c a l l y i d e n t i f i e d a s a v e r a g e r a t e o f c h a n g e a n d t h e s t r a t e g y " ( d e l t a d ) / ( d e l t a t ) " . T h i s l a t t e r s t r a t e g y c o u l d h a v e b e e n u s e d i n c o n j u n c t i o n w i t h s l o p e , s p e c i f i c a l l y s l o p e o f s e c a n t l i n e . B u t a s i t w a s c o d e d i n t h e s e t a s k s , i t r e f e r r e d t o s t u d e n t s w h o w e r e c o m p u t i n g a v e r a g e r a t e o f c h a n g e i n t h e d e p e n d e n t v a r i a b l e o v e r i n t e r v a l s o f t h e i n d e p e n d e n t v a r i a b l e , w h o s a i d t h i s i s w h a t t h e y w e r e 3 4 7 d o i n g , a n d w h o a l s o h a p p e n e d t o m e n t i o n , e i t h e r v e r b a l l y o r i n w r i t i n g , t h a t t h e y w e r e u s i n g t h e f o r m u l a " ( d e l t a d ) / ( d e l t a t ) " . T h e s t r a t e g i e s m o s t h e a v i l y u s e d t o a d d r e s s r a t e o f c h a n g e a t a p o i n t i n v o l v e d a v e r a g e r a t e o f c h a n g e i n t h e d e p e n d e n t v a r i a b l e o v e r v a r i o u s i n t e r v a l s o f t h e i n d e p e n d e n t v a r i a b l e . T h e r e a r e t w o s t o r i e s t o b e t o l d a b o u t u s e o f t h e s e s t r a t e g i e s . O n e i s t h a t s t u d e n t s s a w r a t e o f c h a n g e i n t e r m s o f c o m p a r i s o n o f c h a n g e i n t h e d e p e n d e n t v a r i a b l e t o c h a n g e i n t h e i n d e p e n d e n t v a r i a b l e . F o r s o m e s t u d e n t s t h i s m e a n t s e e i n g r a t e o f c h a n g e f i r s t i n t e r m s o f a c h a n g e i n t h e d e p e n d e n t v a r i a b l e , t h e n a s c o m p a r i s o n o f c h a n g e s i n t h e d e p e n d e n t v a r i a b l e , a n d f i n a l l y , a s c o m p a r i s o n o f c h a n g e i n t h e d e p e n d e n t v a r i a b l e t o c h a n g e i n t h e i n d e p e n d e n t v a r i a b l e . T h i s i s o n e p o s s i b l e p a t h f o r c o m i n g t o k n o w r a t e o f c h a n g e s e e n i n t h i s d a t a . T h e o t h e r s t o r y a b o u t s t r a t e g i e s b a s e d o n a v e r a g e r a t e o f c h a n g e c o n c e r n s s t u d e n t s c o m i n g t o k n o w i n s t a n t a n e o u s r a t e o f c h a n g e . A s n o t e d e a r l i e r , p r e c a l c u l u s s t u d e n t s c a m e , o v e r t h e c o u r s e o f w o r k i n g t h e s e t a s k s , t o r e l y o n s h o r t i n t e r v a l s b e f o r e t h e p o i n t , c a l c u l u s s t u d e n t s m o v e d t o u s i n g t h e s h o r t e s t a v a i l a b l e i n t e r v a l s b e f o r e t h e p o i n t a n d i n t e r v a l s s t r a d d l i n g t h e p o i n t , a n d p o s t c a l c u l u s s t u d e n t s s e t t l e d d e c i d e d l y o n i n t e r v a l s s t r a d d l i n g t h e p o i n t a n d e s p e c i a l l y t h e s h o r t e s t s u c h i n t e r v a l s . S i n c e i n s t a n t a n e o u s r a t e o f c h a n g e , w h a t I h a v e c a l l e d r a t e o f c h a n g e a t a p o i n t , i s d e f i n e d i n t e r m s o f t h e l i m i t i n g v a l u e o f t h e a v e r a g e r a t e s o f c h a n g e i n t h e d e p e n d e n t v a r i a b l e o v e r i n t e r v a l s o f t h e i n d e p e n d e n t v a r i a b l e o f d e c r e a s i n g w i d t h , i t i s i n t e r e s t i n g t o n o t e t h a t t h e p r o g r e s s i o n i n u s e o f i n t e r v a l s o f t h e i n d e p e n d e n t v a r i a b l e f r o m p r e c a l c u l u s t o c a l c u l u s t o p o s t c a l c u l u s f o l l o w s t h i s p a t t e r n o f d e c r e a s i n g w i d t h . T h i s s e e m s t o s a y t h a t o v e r t i m e s t u d e n t s a t t h e s e 3 4 8 l e v e l s o f m a t h e m a t i c s e d u c a t i o n c o m e t o s e e r a t e o f c h a n g e a t a p o i n t i n t e r m s o f a v e r a g e r a t e s o f c h a n g e o v e r s m a l l e r a n d s m a l l e r i n t e r v a l s . W e w o u l d e x p e c t c a l c u l u s a n d p o s t c a l c u l u s s t u d e n t s t o m o r e e a s i l y m a k e t h i s c o n n e c t i o n t h a n p r e c a l c u l u s s t u d e n t s . B u t w h a t I f i n d e n c o u r a g i n g i s p r e c a l c u l u s s t u d e n t s ' c o n s i s t e n t u s e o f a v e r a g e r a t e s o f c h a n g e o v e r i n t e r v a l s t o m a k e s e n s e o f r a t e o f c h a n g e a t a p o i n t w h e n p r e s u m a b l y t h e y h a d a s y e t h a d n o i n s t r u c t i o n a b o u t s u c h a t h i n g . T h i s p o i n t s t o t h e p o s s i b i l i t y t h a t t h i s k n o w l e d g e t h a t p r e c a l c u l u s s t u d e n t s h a v e o r c a n f a i r l y e a s i l y c o n s t r u c t i n a r e l a t i v e l y s h o r t t i m e , a s t h e y d i d h e r e o v e r a o n e h o u r i n t e r v i e w , s e r v e s a f u n d a m e n t a l r o l e i n h e l p i n g t h e s e s t u d e n t s l e a r n i n s t a n t a n e o u s r a t e o f c h a n g e . F u r t h e r m o r e , i n t a s k 5 , w h e n s t u d e n t s w e r e a s k e d w h i c h o f t h e i r a n s w e r s t h e y l i k e d b e s t a n d h o w t h e y w o u l d g e t a b e t t e r a n s w e r , p r e c a l c u l u s s t u d e n t s g a v e t h e k i n d o f a n s w e r s t h a t s h o w e d p o t e n t i a l f o r t h e i r l e a r n i n g i n s t a n t a n e o u s r a t e o f c h a n g e . T h e y s a i d t h e y l i k e d t h e i r l a s t a n s w e r b e s t b e c a u s e i t w a s b a s e d o n s m a l l e r i n t e r v a l s a n d t o g e t a b e t t e r a n s w e r t h e y w o u l d u s e e v e n s m a l l e r i n t e r v a l s . T h i s i s k n o w l e d g e t h a t c o u l d s e r v e t h e s e s t u d e n t s w e l l i n c o m i n g t o k n o w i n s t a n t a n e o u s r a t e o f c h a n g e . G l o b a l p e r a p e c t i v e i n p a d d r e a a i n g r a t e o f c h a n g e a t a p o i n t . O n e s t r a t e g y c l a s s i f i e d a s c o n s i s t e n t w i t h g l o b a l r a t e o f c h a n g e w a s u s e d t o a d d r e s s r a t e o f c h a n g e a t a p o i n t - " a n a l y s i s o f m o v i n g o b j e c t s " . T h i s s t r a t e g y w a s u s e d i n T a s k 4 a n d w a s t h e o n l y t a s k f o r w h i c h s t u d e n t s u s e d k n o w l e d g e o f t h e s i t u a t i o n t o a d d r e s s r a t e o f c h a n g e a t a p o i n t . W i t h t h e g r a p h t h i s s t r a t e g y w a s u s e d e q u a l l y h e a v i l y b y a l l t h r e e g r o u p s a n d e s p e c i a l l y s o a t t = 2 , 3 , a n d 4 . W i t h t h e t a b l e o f v a l u e s , t h e m o r e 3 4 9 m a t h e m a t i c s e d u c a t i o n t h e g r o u p h a d , t h e m o r e l i k e l y i t w a s t o u s e t h i s s t r a t e g y . A n i m p o r t a n t p o i n t t o m a k e i s t h a t k n o w l e d g e o f t h e s i t u a t i o n h e l p e d a l l t h r e e g r o u p s o f s t u d e n t s m a k e s e n s e o f r a t e o f c h a n g e a t a p o i n t i n t h i s t a s k . I t s e e m s c l e a r t h a t p r o b l e m c o n t e x t a n d s t u d e n t s ' b a c k g r o u n d k n o w l e d g e o f t h e s i t u a t i o n p l a y s a s i g n i f i c a n t r o l e i n h o w s t u d e n t s m a k e s e n s e o f r a t e o f c h a n g e a n d e s p e c i a l l y r a t e o f c h a n g e a t a p o i n t . A n o t h e r p o i n t i s t h a t t h e s e s t u d e n t s , p e r h a p s b e c a u s e o f t h e i r p r i o r e x p e r i e n c e s w i t h m o v i n g o b j e c t s , s h o w e d t h e y b e l i e v e d i n r a t e o f c h a n g e a t a p o i n t , a t l e a s t i n t h e c o n t e x t o f T a s k 4 . T h e y b e l i e v e d t h e b a l l h a d s p e e d a t i n d i v i d u a l p o i n t s , t h a t i n s t a n t a n e o u s r a t e o f c h a n g e e x i s t s f o r t h i s s i t u a t i o n . T h i s m a k e s m e t h i n k t h a t s t u d e n t s ' b a c k g r o u n d k n o w l e d g e i n o t h e r p r o b l e m c o n t e x t s c a n b e a n i m p o r t a n t r e s o u r c e i n t h e a d v a n c e m e n t o f t h e i r k n o w l e d g e o f r a t e o f c h a n g e i n g e n e r a l a n d r a t e o f c h a n g e a t a p o i n t i n p a r t i c u l a r . I a a t t h r e e t y p e a o f r e a s o n i n g a b o u t r a t e o f c h a n g e . A s w i t h t h e t h r e e p e r s p e c t i v e s I d i s c u s s f o u r i s s u e s r e l a t e d t o l e a r n i n g r a t e o f c h a n g e a n d c l a s s i f i c a t i o n o f s t r a t e g i e s i n t e r m s o f t h e t h r e e t y p e s o f r e a s o n i n g : s t r a t e g i e s c l a s s i f i e d a s b o t h q u a l i t a t i v e a n d n u m e r i c a l , s t r a t e g i e s c l a s s i f i e d a s b o t h q u a l i t a t i v e a n d a l g e b r a i c , s t r a t e g i e s c l a s s i f i e d a s b o t h n u m e r i c a l a n d a l g e b r a i c , a n d t h e r o l e o f n u m e r i c a l s t r a t e g i e s i n h e l p i n g s t u d e n t s l e a r n a l g e b r a i c s t r a t e g i e s . S t r a t e g i e a c l a _ s s i f i e d a s b o t h g u a l i t a t _ i v e fl i n u m e r i c a _ _ l . T h r e e s t r a t e g i e s w e r e g i v e n ( b o t h . q u a l i t a t i v e a n d . n u m e r i c a l c l a s s i f i c a t i o n s : " d e l t a d " , " d e l t a t " , a n d " d e l t a d a n d d e l t a t " . S t u d e n t s w h o s e u s e o f t h e s e s t r a t e g i e s w a s b a s e d o n g r a p h i c a l f e a t u r e s m a d e c o m m e n t s l i k e " t h e y t r a v e l e d l e s s e a c h s e c o n d " , " i t g r e w m o r e i n t h i s h o u r t h a n i n t h i s 3 5 0 h o u r " , o r " i t g o e s u p m o r e h e r e t h a n h e r e " . S t u d e n t s w h o r e a s o n e d n u m e r i c a l l y u s i n g t h e s e s t r a t e g i e s c o m p u t e d t h e c h a n g e i n t h e d e p e n d e n t v a r i a b l e f o r o n e o r m o r e i n t e r v a l s o f t h e i n d e p e n d e n t v a r i a b l e a n d t h e n u s e d t h e s e n u m e r i c a l v a l u e s t o m a k e j u d g m e n t s a b o u t r a t e o f c h a n g e . W h a t d i f f e r e n c e d o e s i t m a k e i f s t u d e n t s r e f e r t o t h e s e c h a n g e s q u a l i t a t i v e l y o r n u m e r i c a l l y ? F o r s o m e t a s k s , i t m a k e s n o d i f f e r e n c e a t a l l . T h e s e t h r e e s t r a t e g i e s w e r e u s e d t o e x p l a i n h o w g r a p h s a n d t a b l e s i n T a s k s l , 2 , a n d 3 s h o w e d s l o w i n g d o w n , s p e e d i n g u p , a n d s t e a d y p a c e a n d t o i d e n t i f y i n t e r v a l s o f t h e i n d e p e n d e n t v a r i a b l e o v e r w h i c h t h e d e p e n d e n t v a r i a b l e c h a n g e d t h e m o s t a n d l e a s t i n T a s k s 4 , 5 , a n d 6 . T h e s e q u e s t i o n s d o n o t n e c e s s a r i l y r e q u i r e a n u m e r i c a l a n s w e r . S o s t u d e n t s ' u s e o f g r a p h i c a l f e a t u r e t o o b t a i n a n s w e r s t o t h e s e q u e s t i o n s w a s q u i t e a d e q u a t e . H o w e v e r , i n t h i n k i n g a b o u t w h a t k n o w l e d g e s t u d e n t s h a v e w h i c h m a y h e l p t h e m c o n s t r u c t o t h e r k n o w l e d g e o f r a t e o f c h a n g e a n d s p e c i f i c a l l y k n o w l e d g e o f i n s t a n t a n e o u s r a t e o f c h a n g e , i t s e e m s c l e a r t h a t s t u d e n t s n e e d t o b e a b l e t o r e a s o n n u m e r i c a l l y a b o u t c h a n g e s o v e r i n t e r v a l s . H e n c e s t u d e n t s w h o r e a s o n n u m e r i c a l l y u s i n g t h e s e t h r e e s t r a t e g i e s m a y b e f u r t h e r a l o n g t o w a r d t h e g o a l o f l e a r n i n g i n s t a n t a n e o u s r a t e o f c h a n g e t h a n s t u d e n t s w h o r e a s o n q u a l i t a t i v e l y . S t r a t e g i e a c l a s s i f i e d a s b o t h g u a l i t a t i v e p p a n d a l g e b r a a g . T w o s t r a t e g i e s w e r e g i v e n . b o t h . q u a l i t a t i v e a n d . a l g e b r a i c c l a s s i f i c a t i o n s : " r e f e r e n c e t o s l o p e ( s e c a n t l i n e ) " a n d " r e f e r e n c e t o s l o p e ( t a n g e n t l i n e ) " . W h e n s t u d e n t s r e a s o n e d . u s i n g g r a p h i c a l f e a t u r e s w i t h t h e s e s t r a t e g i e s , t h e y a s s o c i a t e d r a t e o f c h a n g e w i t h t h e s l o p e o f a l i n e t a n g e n t t o t h e g r a p h a t a p a r t i c u l a r p o i n t o r a s e c a n t l i n e t h r o u g h t w o p o i n t s o n t h e g r a p h . T h e y r e f e r r e d t o a l i n e , d r e w i t o n t h e g r a p h , a n d 3 5 1 s a i d i t s s l o p e w a s t h e r a t e o f c h a n g e . W h e n s t u d e n t s r e a s o n e d a l g e b r a i c a l l y u s i n g t h e s e t w o s t r a t e g i e s , t h e y r e l a t e d r a t e o f c h a n g e t o t h e s l o p e o f o n e o f t h e s e l i n e s , u s e d t h e f o r m u l a f o r s l o p e o f a l i n e t o o b t a i n . a ‘ n u m e r i c a l v a l u e f o r t h e s l o p e o f t h e l i n e , a n d . g a v e t h i s n u m e r i c a l v a l u e a s t h e r a t e o f c h a n g e . W h e n w o r k i n g w i t h g r a p h s m o s t s t u d e n t s w h o u s e d o n e o f t h e s e s t r a t e g i e s r e a s o n e d b o t h w a y s . M o s t o f t e n t h e y r e a s o n e d q u a l i t a t i v e l y f i r s t a n d t h e n a l g e b r a i c a l l y . T h e y d r e w a n a p p r o p r i a t e l i n e , s a i d t h e s l o p e o f t h a t l i n e w a s t h e r a t e o f c h a n g e t h e y w e r e h u n t i n g f o r , a n d t h e n p r o c e e d e d t o f i n d a n u m e r i c a l v a l u e f o r t h e s l o p e a n d g a v e t h a t v a l u e a s t h e r a t e o f c h a n g e . B u t s o m e s t u d e n t s u s e d t h e s e s t r a t e g i e s t o r e a s o n o n l y i n a q u a l i t a t i v e w a y . T h e y d r e w a l i n e a n d s a i d t h e r a t e o f c h a n g e w a s t h e s l o p e o f t h a t l i n e b u t t h e n d i d n o t f i n d t h e n u m e r i c a l v a l u e f o r t h a t s l o p e . P e r h a p s t h e y d i d n o t b e l i e v e i t w a s n e c e s s a r y t o d o s o o r d i d n o t k n o w h o w . W h a t d o t h e s e t w o w a y s o f r e a s o n i n g a b o u t s l o p e s a y a b o u t s t u d e n t s ' k n o w l e d g e o f r a t e o f c h a n g e ? W h e n s t u d e n t s r e a s o n q u a l i t a t i v e l y u s i n g o n e o f t h e s e s t r a t e g i e s , t h e y a r e a s s o c i a t i n g t h e c o n c e p t o f r a t e o f c h a n g e w i t h t h e c o n c e p t o f s l o p e w i t h o r w i t h o u t a c t u a l l y c o m p u t i n g a n u m e r i c a l a n s w e r f o r e i t h e r . T h e y a r e m a k i n g a v e r y i m p o r t a n t c o n n e c t i o n b e t w e e n s l o p e a n d r a t e o f c h a n g e . H o w e v e r , s t u d e n t s w h o d o n o t k n o w h o w t o g e t a n u m e r i c a l v a l u e f o r t h e s l o p e o f a l i n e o r d o n o t a s s o c i a t e t h a t n u m e r i c a l v a l u e w i t h t h e v a l u e f o r t h e r a t e o f c h a n g e m a y n o t h a v e t h e s a m e k n o w l e d g e a b o u t r a t e o f c h a n g e a s s t u d e n t s w h o c a n a n d d o . S o m e s i t u a t i o n s d o n o t r e q u i r e a n u m e r i c a l a n s w e r f o r t h e r a t e o f c h a n g e a n d t h e r e f o r e k n o w i n g a n a l g e b r a i c f o r m u l a f o r o b t a i n i n g t h e s l o p e a n d u s i n g t h a t v a l u e f o r t h e r a t e o f c h a n g e m a y n o t b e i m p o r t a n t . B u t 3 5 2 o t h e r s i t u a t i o n s d o r e q u i r e a n u m e r i c a l a n s w e r f o r t h e r a t e o f c h a n g e a n d i n t h e s e i n s t a n c e s k n o w i n g t h e f o r m u l a f o r s l o p e , b e i n g a b l e t o u s e i t t o f i n d t h e s l o p e , a n d g i v i n g t h a t a n s w e r a s t h e r a t e o f c h a n g e i s v e r y i m p o r t a n t . M o r e t h a n t h a t , g i v e n t h e i n t i m a t e c o n n e c t i o n b e t w e e n s l o p e a n d r a t e o f c h a n g e , i t i s r e a s o n a b l e t o c o n c l u d e t h a t t h e m o r e o n e k n o w s a b o u t s l o p e , t h e m o r e o n e k n o w s a b o u t r a t e o f c h a n g e . H e n c e s t u d e n t s w h o k n o w h o w t o c o m p u t e s l o p e a n d u s e t h e r e s u l t s o f t h a t c o m p u t a t i o n t o a d d r e s s r a t e o f c h a n g e a r e f u r t h e r a l o n g i n t h e i r u n d e r s t a n d i n g o f r a t e o f c h a n g e t h o s e w h o d o n o t . S t r a t e g i e s c l a s s i f i e d a s b o t h n u m e r i c a l a n d a l g e b r a i c . O n e s t r a t e g y w a s g i v e n b o t h a n u m e r i c a l a n d a n a l g e b r a i c c l a s s i f i c a t i o n - " r e f e r e n c e t o a p o i n t " . S t u d e n t s w h o r e a s o n e d n u m e r i c a l l y a t t e n d e d t o t h e p a t t e r n o f v a l u e s o f t h e d e p e n d e n t v a r i a b l e o n a g r a p h o r i n a t a b l e t o a d d r e s s r a t e o f c h a n g e . T h i s w a s e s p e c i a l l y t h e c a s e i n T a s k s 1 , 2 , a n d 3 w h e n s t u d e n t s w e r e a s k e d t o e x p l a i n h o w t h e i r g r a p h s a n d t a b l e s s h o w e d t h e t w o p e o p l e s l o w i n g d o w n , s p e e d i n g u p , a n d m a i n t a i n i n g a s t e a d y p a c e . S t u d e n t s w h o r e a s o n e d a l g e b r a i c a l l y u s e d a f o r m u l a b a s e d o n d i v i s i o n o f t h e v a l u e o f t h e d e p e n d e n t v a r i a b l e b y t h e v a l u e o f t h e i n d e p e n d e n t v a r i a b l e a t a p o i n t . T h i s u s u a l l y m e a n t d i v i s i o n o f t h e v a l u e o f t h e d e p e n d e n t v a r i a b l e b y t h e c o r r e s p o n d i n g v a l u e o f t h e i n d e p e n d e n t v a r i a b l e a t a p o i n t . N e i t h e r o f t h e s e w a y s o f u s i n g v a l u e s o f t h e d e p e n d e n t a n d i n d e p e n d e n t v a r i a b l e a t a p o i n t r e p r e s e n t s a c o n v e n t i o n a l l y a c c e p t e d v i e w o f r a t e o f c h a n g e . B u t t h e y b o t h h i n t a t w a y s s t u d e n t s m a k e s e n s e o f r a t e o f c h a n g e a n d m a y p r o v i d e i n f o r m a t i o n a b o u t l e a r n i n g r a t e o f c h a n g e . A s h a s b e e n m e n t i o n e d a b o v e , s t u d e n t s w h o k n o w t h a t v a l u e s o f t h e 3 5 3 d e p e n d e n t a n d i n d e p e n d e n t v a r i a b l e h a v e s o m e t h i n g t o d o w i t h r a t e o f c h a n g e a r e f u r t h e r a l o n g i n t h e i r u n d e r s t a n d i n g o f r a t e o f c h a n g e t h a n s t u d e n t s w h o d o n o t k n o w t h i s . I n a d d i t i o n , s t u d e n t s w h o k n o w t h a t r a t e o f c h a n g e i n v o l v e s a r a t i o o f t w o q u a n t i t i e s a r e f u r t h e r a l o n g y e t . T h i s k n o w l e d g e s h o u l d p r o v e t o b e a p r i m a r y b u i l d i n g b l o c k f o r c o m i n g t o t h i n k o f r a t e o f c h a n g e a s t h e r a t i o o f t w o d i f f e r e n c e s , a d i f f e r e n c e b e t w e e n t w o v a l u e s o f t h e d e p e n d e n t v a r i a b l e a n d a d i f f e r e n c e b e t w e e n t w o v a l u e s o f t h e i n d e p e n d e n t v a r i a b l e . R o l e o f n u m e r i c a l s t r a t e g i e a i n h e l p i n g s t u d e n t s l e a r n a l g e b r a i c s t r a t e g i e s . O n e s e t o f n u m e r i c a l s t r a t e g i e s p l a y s , I b e l i e v e , a n i m p o r t a n t r o l e i n s t u d e n t s ' c o n s t r u c t i o n o f o n e p a r t i c u l a r s e t o f a l g e b r a i c s t r a t e g i e s . T h e s e n u m e r i c a l s t r a t e g i e s a r e " d e l t a d " a n d " n o t q u i t e d o u b l i n g " . T h e s e t o f a l g e b r a i c s t r a t e g i e s a r e " i n c r e a s e d o n e - t h i r d " , " m u l t i p l i e d . b y ' t w o - t h i r d s " , " 1 2 % i n c r e a s e " , " ( d e l t a . d ) / ( d e l t a t ) " , a n d a v e r a g e r a t e o f c h a n g e i n t h e d e p e n d e n t v a r i a b l e o v e r v a r i o u s s i z e i n t e r v a l s o f t h e i n d e p e n d e n t v a r i a b l e . W h a t p o s s i b l e r o l e c a n t h e s e n u m e r i c a l s t r a t e g i e s p l a y i n t h e c o n s t r u c t i o n o f t h e s e a l g e b r a i c s t r a t e g i e s ? T h e t w o n u m e r i c a l s t r a t e g i e s d e a l w i t h r e f e r e n c e s t o c h a n g e s i n t h e d e p e n d e n t v a r i a b l e o v e r i n t e r v a l s o f t h e i n d e p e n d e n t v a r i a b l e ( " d e l t a d " ) o r a d d i t i v e c o m p a r i s o n o f c h a n g e s i n t h e d e p e n d e n t v a r i a b l e o v e r c o n s e c u t i v e i n t e r v a l s o f t h e i n d e p e n d e n t v a r i a b l e ( " n o t q u i t e d o u b l i n g " ) . T h e s e t o f a l g e b r a i c s t r a t e g i e s i n v o l v e m u l t i p l i c a t i v e c o m p a r i s o n . o f c h a n g e i n t h e d e p e n d e n t v a r i a b l e o v e r o n e i n t e r v a l o f t h e i n d e p e n d e n t v a r i a b l e t o c h a n g e i n t h e d e p e n d e n t v a r i a b l e o v e r a n o t h e r i n t e r v a l o f t h e i n d e p e n d e n t v a r i a b l e ( " i n c r e a s e d b y o n e - t h i r d " , " m u l t i p l i e d b y t w o - t h i r d s " , a n d " 1 2 % i n c r e a s e " ) o r m u l t i p l i c a t i v e c o m p a r i s o n o f c h a n g e i n 3 5 4 t h e d e p e n d e n t v a r i a b l e t o c h a n g e i n t h e i n d e p e n d e n t v a r i a b l e ( " ( d e l t a d ) / ( d e l t a t ) " a n d a v e r a g e r a t e o f c h a n g e ) . T h i s p r o g r e s s i o n o f s t r a t e g i e s , f r o m r e f e r e n c e s t o c h a n g e s i n t h e d e p e n d e n t v a r i a b l e t o a d d i t i v e c o m p a r i s o n o f c h a n g e s i n t h e d e p e n d e n t v a r i a b l e t o m u l t i p l i c a t i v e c o m p a r i s o n o f c h a n g e s i n t h e d e p e n d e n t v a r i a b l e t o m u l t i p l i c a t i v e c o m p a r i s o n o f c h a n g e i n t h e d e p e n d e n t v a r i a b l e w i t h c h a n g e i n t h e i n d e p e n d e n t v a r i a b l e , r e p r e s e n t s a p o s s i b l e p a t h f o r c o n s t r u c t i o n o f k n o w l e d g e o f r a t e o f c h a n g e a t a p o i n t . E v i d e n c e f r o m r e s p o n s e s o f s t u d e n t s i n t h i s s t u d y s u p p o r t t h i s c l a i m i n a t l e a s t t w o w a y s . O n e w a y i s t h a t a c r o s s t h e t h r e e g r o u p s o f s t u d e n t s f r o m p r e c a l c u l u s t o c a l c u l u s t o p o s t c a l c u l u s , u s e o f s t r a t e g i e s p r o g r e s s e d i n t h i s w a y . T h a t i s , p r e c a l c u l u s s t u d e n t s w e r e t h e o n e s w h o u s e d s t r a t e g i e s b a s e d o n m u l t i p l i c a t i v e c o m p a r i s o n o f c h a n g e s i n t h e d e p e n d e n t v a r i a b l e ( " i n c r e a s e d o n e - t h i r d " , " m u l t i p l i e d b y t w o - t h i r d s " , a n d " 1 2 % i n c r e a s e " ) a n d a s i n g l e c a l c u l u s s t u d e n t w a s r e s p o n s i b l e f o r a s t r a t e g y b a s e d o n a d d i t i v e c o m p a r i s o n o f c h a n g e s i n t h e d e p e n d e n t v a r i a b l e o v e r t w o c o n s e c u t i v e i n t e r v a l s o f t h e i n d e p e n d e n t v a r i a b l e . S o s t u d e n t s w i t h l e s s m a t h e m a t i c s e d u c a t i o n w e r e p r i m a r i l y t h e o n e s w h o u s e d s t r a t e g i e s b a s e d o n a d d i t i v e o r m u l t i p l i c a t i v e c o m p a r i s o n s o f c h a n g e s i n t h e d e p e n d e n t v a r i a b l e . S t u d e n t s w i t h m o r e m a t h e m a t i c s e d u c a t i o n w e r e i n c l i n e d t o r e l y o n s t r a t e g i e s b a s e d o n m u l t i p l i c a t i v e c o m p a r i s o n s o f c h a n g e i n t h e d e p e n d e n t v a r i a b l e t o c h a n g e i n t h e i n d e p e n d e n t v a r i a b l e . T h e o t h e r w a y t h i s c l a i m i s s u p p o r t e d b y d a t a f r o m t h i s s t u d y i s t h e c h a n g e i n s t r a t e g i e s a c r o s s t h e t a s k s . F o r e a c h g r o u p , p r o g r e s s i o n t h r o u g h t h e s i x t a s k s s a w l e s s u s e o f a d d i t i v e a n d m u l t i p l i c a t i v e c o m p a r i s o n o f c h a n g e s i n t h e d e p e n d e n t v a r i a b l e a n d m o r e u s e o f 3 5 5 m u l t i p l i c a t i v e c o m p a r i s o n o f c h a n g e i n t h e d e p e n d e n t v a r i a b l e t o c h a n g e i n t h e i n d e p e n d e n t v a r i a b l e . A d m i t t e d l y t h e d a t a i s w e a k h e r e ; o n l y a f e w s t u d e n t s u s e d s t r a t e g i e s o f t h e f o r m e r t y p e a n d l a r g e n u m b e r s o f s t u d e n t s i n e a c h g r o u p u s e d s t r a t e g i e s o f t h e l a t t e r t y p e . N o n e t h e l e s s , t h e r e w a s a p a t t e r n o f d e c r e a s e d u s e o f t h e f o r m e r a n d i n c r e a s e d u s e o f t h e l a t t e r t y p e s o f s t r a t e g i e s b y t h e p r e c a l c u l u s a n d c a l c u l u s s t u d e n t s . O n e a p p a r e n t a n o m a l y n e e d s t o b e e x p l a i n e d . A l l t h r e e g r o u p s m a d e h e a v y u s e o f " d e l t a d " , a s t r a t e g y b a s e d o n r e f e r e n c e t o c h a n g e s i n t h e d e p e n d e n t v a r i a b l e . T h i s w o u l d a p p e a r t o p r o v i d e c o n t r a d i c t o r y e v i d e n c e f o r t h e p o s s i b l e p r o g r e s s i o n i n k n o w l e d g e d e s c r i b e d a b o v e . B u t I b e l i e v e i t d o e s n o t . " D e l t a d " w a s u s e d b y e v e r y s t u d e n t i n T a s k s 1 , 2 , a n d 3 t o e x p l a i n h o w t h e i r g r a p h s a n d t a b l e s s h o w e d s l o w i n g d o w n , s p e e d i n g u p , a n d s t e a d y p a c e . I t i s o n e o f t h e m o s t a p p r o p r i a t e s t r a t e g i e s t o u s e t h e r e s i n c e i t p r o v i d e s b o t h q u i c k a n d a c c u r a t e i n f o r m a t i o n . H o w e v e r , i n T a s k s 4 , 5 , a n d 6 , " d e l t a d " i s l e s s h e l p f u l i n a d d r e s s i n g r a t e o f c h a n g e a t a p o i n t a n d i t w a s n o t u s e d t h e r e b y a n y s t u d e n t . I n o t h e r w o r d s , w h e r e " d e l t a d " w a s a p p r o p r i a t e , i t w a s u s e d h e a v i l y b y e a c h g r o u p o f s t u d e n t s . W h e r e i t w a s n o t a p p r o p r i a t e , i t w a s n o t u s e d . T h e a b o v e d i s c u s s i o n a b o u t a p o s s i b l e p r o g r e s s i o n o f s t r a t e g i e s i s n o t m e a n t t o i m p l y t h a t s t r a t e g i e s b a s e d o n r e f e r e n c e t o c h a n g e s i n t h e d e p e n d e n t v a r i a b l e o r a d d i t i v e o r m u l t i p l i c a t i v e c o m p a r i s o n o f c h a n g e s i n t h e d e p e n d e n t v a r i a b l e a r e l e s s a p p r o p r i a t e o r u s e f u l . T h e y a r e q u i t e u s e f u l i n c e r t a i n s i t u a t i o n s . F o r e x a m p l e , t h e y f o r m t h e b a s i s o f t h e m a t h e m a t i c a l c o n c e p t " p e r c e n t c h a n g e " . B u t i n t h i n k i n g a b o u t h o w s t u d e n t s c o m e t o k n o w i n s t a n t a n e o u s r a t e o f c h a n g e , s t r a t e g i e s b a s e d o n a d d i t i v e o r m u l t i p l i c a t i v e c o m p a r i s o n o f c h a n g e s i n t h e d e p e n d e n t v a r i a b l e a r e n o t a s h e l p f u l a s o t h e r s t r a t e g i e s . T h e y ' m a y ' h o w e v e r 3 5 6 p r o v i d e a w i n d o w t h r o u g h w h i c h w e m a y v i e w s t u d e n t s ' k n o w l e d g e o f r a t e o f c h a n g e a n d t h e i r s u b s e q u e n t l e a r n i n g . I n n p a r t i c u l a r , u s e o f t h e s e a n d o t h e r s t r a t e g i e s s e e m t o i m p l y a p r o g r e s s i o n t h r o u g h i n t e r m e d i a t e s t a t e s o f k n o w l e d g e t o w a r d k n o w l e d g e o f r a t e o f c h a n g e a t a p o i n t . S u m m a r y o f t h r e e p e r s p e c t i v e s a n d t y p e a o f r e a s o n i n g . T h i s s t u d y s h o w e d w a y s i n w h i c h t h e t h r e e p e r s p e c t i v e s o n r a t e o f c h a n g e a n d t h e t h r e e t y p e s o f r e a s o n i n g i n f o r m o u r u n d e r s t a n d i n g o f s t u d e n t s ' k n o w l e d g e o f r a t e o f c h a n g e a n d h o w i t g r o w s o v e r t i m e . T h r e e m a j o r f i n d i n g s c o m e o u t o f t h i s d i s c u s s i o n . O n e i s t h e r o l e t h a t i n t e r v a l s t r a t e g i e s p l a y i n s t u d e n t s ' c o m i n g t o k n o w r a t e o f c h a n g e . O n e i m p o r t a n t p a r t o f t h i s f i n d i n g c o n c e r n s c o m i n g t o k n o w i n s t a n t a n e o u s r a t e o f c h a n g e a n d i s b o r n o u t b y t h e p a t t e r n o f r e s p o n s e s i n t h i s s t u d y . A l l t h r e e g r o u p s o f s t u d e n t s u s e d . a v e r a g e r a t e o f c h a n g e i n . t h e d e p e n d e n t v a r i a b l e ( o v e r i n t e r v a l s o f t h e i n d e p e n d e n t v a r i a b l e t o a d d r e s s r a t e o f c h a n g e a t a p o i n t . P r e c a l c u l u s s t u d e n t s u s e d l o n g e r i n t e r v a l s b e f o r e t h e p o i n t , c a l c u l u s s t u d e n t s u s e d s h o r t e r i n t e r v a l s b e f o r e t h e p o i n t , a n d p o s t c a l c u l u s s t u d e n t s u s e d i n t e r v a l s s t r a d d l i n g t h e p o i n t . I n a d d i t i o n , a s s t u d e n t s m o v e d t h r o u g h t h e t a s k s , p r e c a l c u l u s s t u d e n t s c a m e t o u s e s h o r t e r i n t e r v a l s b e f o r e t h e p o i n t , c a l c u l u s s t u d e n t s c a m e t o u s e t h e s h o r t e s t i n t e r v a l s b e f o r e t h e j p o i n t a n d . s o m e s t r a d d l e i n t e r v a l s , a n d p o s t c a l c u l u s s t u d e n t s c a m e t o r e l y a l m o s t e x c l u s i v e l y o n s t r a d d l e i n t e r v a l s . T h i s p a t t e r n w a s t h e s i n g l e m o s t p r o m i n e n t p a t t e r n s u p p o r t e d b y t h e d a t a a n d s h o w s t h e r o l e t h a t a v e r a g e r a t e o f c h a n g e p l a y s n o t o n l y i n t h e f o r m a l d e f i n i t i o n o f i n s t a n t a n e o u s r a t e o f c h a n g e b u t a l s o i n t h e t h i n k i n g o f s t u d e n t s t r y i n g t o m a k e s e n s e o f i n s t a n t a n e o u s r a t e o f c h a n g e . 3 5 7 A s e c o n d m a j o r f i n d i n g i s a h i n t a b o u t h o w s o m e s t u d e n t s p r o g r e s s f r o m t h i n k i n g i n t e r m s o f c h a n g e s i n t h e d e p e n d e n t v a r i a b l e t o t h i n k i n g i n t e r m s o f t h e r a t i o o f c h a n g e i n t h e d e p e n d e n t v a r i a b l e t o c h a n g e i n t h e i n d e p e n d e n t v a r i a b l e . T h e d a t a h e r e i s w e a k b u t i t p r o v i d e s a w i n d o w o n t h e t h i n k i n g o f a f e w s t u d e n t s w h o r e l i e d f i r s t o n c h a n g e s i n t h e d e p e n d e n t v a r i a b l e , t h e n o n a d d i t i v e o r m u l t i p l i c a t i v e c o m p a r i s o n o f c h a n g e s i n t h e d e p e n d e n t v a r i a b l e , a n d t h e n o n m u l t i p l i c a t i v e c o m p a r i s o n o f c h a n g e s i n t h e d e p e n d e n t v a r i a b l e t o c h a n g e s i n t h e i n d e p e n d e n t v a r i a b l e . T h e t h i r d f i n d i n g i s t h e v a r i o u s u s e s o f v a l u e s o f t h e d e p e n d e n t a n d i n d e p e n d e n t v a r i a b l e s t o m a k e s e n s e o f r a t e o f c h a n g e . A f e w s t u d e n t s i n e a c h o f t h e t h r e e g r o u p s u s e d t h e r a t i o o f t h e v a l u e o f t h e d e p e n d e n t v a r i a b l e t o t h e v a l u e o f t h e i n d e p e n d e n t v a r i a b l e t o m a k e s e n s e o f r a t e o f c h a n g e ( " r e f e r e n c e t o a p o i n t " ) . T h e r e a r e m a n y r e a s o n s s t u d e n t s a r e a t t r a c t e d t o s t r a t e g i e s m a k i n g u s e o f v a l u e s o f t h e d e p e n d e n t a n d i n d e p e n d e n t v a r i a b l e a n d t h e r e m a y b e i m p o r t a n t w a y s t h i s k n o w l e d g e c a n s u b s e q u e n t l y ’ b e u s e d t o h e l p s t u d e n t s c o n s t r u c t o t h e r k n o w l e d g e o f r a t e o f c h a n g e . M y s u g g e s t i o n a b o u t t h i s k n o w l e d g e i s t h a t s t u d e n t s w h o u s e t h e s e k i n d s o f s t r a t e g i e s k n o w t h a t r a t e o f c h a n g e h a s s o m e t h i n g t o d o w i t h a r e l a t i o n s h i p b e t w e e n v a l u e s o f t h e d e p e n d e n t a n d i n d e p e n d e n t v a r i a b l e s . S i n c e r a t e o f c h a n g e d o e s i n d e e d h a v e s o m e t h i n g t o d o w i t h v a l u e s o f t h e s e v a r i a b l e s , i t s e e m s c r u c i a l t h a t s t u d e n t s w h o b e l i e v e t h a t i t d o e s , e v e n i f t h e d e t a i l s o f t h a t b e l i e f a r e f l a w e d , h a v e k n o w l e d g e u p o n w h i c h o t h e r l e s s f l a w e d k n o w l e d g e o f r a t e o f c h a n g e c a n b e c o n s t r u c t e d . T w o m i n o r f i n d i n g s d e s e r v e m e n t i o n h e r e . C o n t e x t p l a y s a r o l e i n h o w s t u d e n t s a d d r e s s r a t e o f c h a n g e . W h e n s t u d e n t s h a v e k n o w l e d g e o f 3 5 8 s p e c i f i c s i t u a t i o n s t h e y u s e i t m a k e s e n s e o f r a t e o f c h a n g e a n d o f t e n a r r i v e a t c o n c l u s i o n s m o r e e a s i l y a n d q u i c k l y . 1 % : s a w t h a t e s p e c i a l l y w i t h T a s k 4 . A l s o s o m e s t r a t e g i e s , l i k e " d e l t a d " , m a y h e l p s t u d e n t s c o m e t o a s s o c i a t e r a t e o f c h a n g e w i t h n u m b e r . O n e i m p o r t a n t p a r t o f c o m i n g t o k n o w r a t e o f c h a n g e i s r e a l i z i n g t h a t r a t e o f c h a n g e i s a q u a n t i t y a n d t h e r e f o r e c a n b e m e a s u r e d i n t h e s e n s e t h a t i t c a n b e a s s i g n e d n u m e r i c a l v a l u e s t h a t y i e l d i n f o r m a t i o n . T h e r e i s a s m a l l h i n t o f t h a t i n t h e v a r i o u s w a y s s t u d e n t s u s e d " d e l t a d " . F i g u r e 1 8 s u m m a r i z e s t h e s e t h e m e s . M a j o r f i n d i n g s : 1 . I n t e r v a l r a t e o f c h a n g e p l a y s a p r i m a r y r o l e i n c o m i n g t o k n o w r a t e o f c h a n g e a n d e s p e c i a l l y i n s t a n t a n e o u s r a t e o f c h a n g e . 2 . I n t e r v a l r a t e o f c h a n g e p l a y s a p r i m a r y r o l e i n d i s t i n g u i s h i n g b e t w e e n a d d i t i v e / m u l t i p l i c a t i v e c o m p a r i s o n o f t w o c h a n g e s i n t h e d e p e n d e n t v a r i a b l e a n d m u l t i p l i c a t i v e c o m p a r i s o n o f c h a n g e i n t h e d e p e n d e n t v a r i a b l e t o c h a n g e i n t h e i n d e p e n d e n t v a r i a b l e . 3 . V a l u e s o f t h e d e p e n d e n t a n d i n d e p e n d e n t v a r i a b l e s a r e a t t r a c t i v e i n m a k i n g s e n s e o f r a t e o f c h a n g e . W i t h t h e r i g h t k i n d s o f e x p e r i e n c e s , p r o p e r r e l a t i o n s h i p s b e t w e e n r a t e o f c h a n g e a n d v a l u e s o f t h e d e p e n d e n t a n d i n d e p e n d e n t v a r i a b l e s c a n b e c o n s t r u c t e d . M i n o r f i n d i n g s : 1 . C o n t e x t p l a y s a r o l e i n h o w s t u d e n t s a d d r e s s r a t e o f c h a n g e . O f t e n t h e c o n t e x t o f a t a s k c a n p r o v i d e q u i c k a n d e a s y w a y s o f a n s w e r i n g q u e s t i o n s a b o u t r a t e o f c h a n g e . 2 . S o m e s t r a t e g i e s , l i k e " d e l t a d " a n d " v i s u a l s l o p e " a r e o f s u c h u n i v e r s a l u s e a n d p r a c t i c a l i t y t h a t t h e y s h o u l d b e c o n s i d e r e d f u n d a m e n t a l b u i l d i n g b l o c k s f o r c o n s t r u c t i o n o f k n o w l e d g e o f r a t e o f c h a n g e . F i g u r e 1 8 - F i n d i n g s a b o u t s t u d e n t s ’ l e a r n i n g r a t e o f c h a n g e 3 5 9 R e l a t i o n s h i p o f t h e s e f i n d i n g s t o o t h e r r e s e a r c h l i t e r a t u r e A t t h e e n d o f C h a p t e r 2 , i n s u m m a r i z i n g t h e l i t e r a t u r e r e v i e w e d t h e r e , I p o s e d s e v e r a l q u e s t i o n s a b o u t s t u d e n t s ' k n o w l e d g e o f r a t e o f c h a n g e . I n t h i s s e c t i o n I r e t u r n t o t h o s e q u e s t i o n s t o a t t e m p t p r e l i m i n a r y a n s w e r s b a s e d o n t h e r e s u l t s o f t h i s d i s s e r t a t i o n . I n C h a p t e r 2 , I a l s o i d e n t i f i e d s o m e h o l e s i n t h e r e s e a r c h l i t e r a t u r e a n d i n d i c a t e d t h i s d i s s e r t a t i o n w o u l d t r y t o f i l l t h o s e h o l e s . H e r e I c o n s i d e r i n w h a t w a y s i t d i d . Q a a a t i o n s p o s e d a b o u t s t u d e n t s ' k n o w l e d g e . fl a a t r o l e d o e s s t u d e n t s ' i n c o r r e c t k n o w l e d g e p l a y i n l a a r n i n q m o r e c o r r e c t k n o w l e d g e o f r a t e o f c h a n g e ? M u c h o f t h e l i t e r a t u r e r e v i e w e d i n C h a p t e r 2 s h o w e d d i s c r e p a n c i e s b e t w e e n s t u d e n t s ' k n o w l e d g e o f r a t e o f c h a n g e a n d c o n v e n t i o n a l l y a c c e p t e d k n o w l e d g e . I n t h e T E R C a n d M c D e r m o t t e t a l . s t u d i e s s t u d e n t s o f t e n t h o u g h t t h a t a f u n c t i o n a n d i t s d e r i v a t i v e r e s e m b l e e a c h o t h e r . F o r e x a m p l e , s o m e s t u d e n t s t h o u g h t t h a t i f a f u n c t i o n i s d e c r e a s i n g , t h e n s o i t s d e r i v a t i v e . O t h e r s t u d e n t s t h o u g h t t h a t t h e v a l u e o f t h e d e p e n d e n t v a r i a b l e o f a f u n c t i o n r a t h e r t h a n t h e s l o p e g i v e s i n f o r m a t i o n a b o u t t h e d e r i v a t i v e . I n t h i s d i s s e r t a t i o n , s o m e s t u d e n t s m a d e s i m i l a r c o n c l u s i o n s . I n T a s k s 1 , 2 , a n d 3 , t h e " w a l k i n g " t a s k s , a f e w s t u d e n t s u s e d t h e f a c t t h a t t h e g r a p h o f a f u n c t i o n w a s d e c r e a s i n g t o c o n c l u d e t h a t i t s h o w e d t h a t t h e t w o p e o p l e w e r e s l o w i n g d o w n . T h i s w a s o n e w a y t h e s t r a t e g y " r e f e r e n c e t o a p o i n t " w a s u s e d i n t h e s e t a s k s . A s t h e s e s t u d e n t s w o r k e d t h r o u g h T a s k s 1 , 2 , a n d 3 t h e y s a w t h a t a d e c r e a s i n g g r a p h d i d n o t n e c e s s a r i l y s h o w " s l o w i n g d o w n " . A s i n t h e T E R C s t u d y i n v o l v i n g L a u r a , v a r i e d e x p e r i e n c e s h e r e s e e m e d t o h e l p s t u d e n t s c o m e t o a m o r e 3 6 0 a p p r o p r i a t e u n d e r s t a n d i n g o f t h e r e l a t i o n s h i p b e t w e e n a f u n c t i o n a n d i t s d e r i v a t i v e . I n T a s k s 4 , 5 , a n d 6 , t h e " t h r o w n b a l l " , " b i o m a s s " , a n d " c i r c l e s " t a s k s , s o m e s t u d e n t s f o u n d t h e r a t e o f c h a n g e a t a p o i n t b y r e f e r e n c i n g t h e v a l u e o f t h e d e p e n d e n t v a r i a b l e a t t h a t p o i n t . T h i s w a s a n o t h e r w a y t h e s t r a t e g y " r e f e r e n c e t o a p o i n t " w a s u s e d i n t h e s e t a s k s . A s s t u d e n t s w o r k e d t h r o u g h T a s k s 4 , 5 , a n d 6 m o s t o f t h e m r e p l a c e d t h i s s t r a t e g y w i t h m o r e a p p r o p r i a t e s t r a t e g i e s . A g a i n , I c o n j e c t u r e t h a t t h e i r k n o w l e d g e c o u p l e d w i t h m o r e e x p e r i e n c e l e d t o m o r e a c c e p t a b l e k n o w l e d g e o f r a t e o f c h a n g e . A r a : t h e r e o t h e r m o t i o n c o n t e x t s w h e r e s t u d e n t s m a k e a p p r o p r i a t e c o n n e c t i o n a b e t w e e n a : t u n c t i o p p a n d i t a d e r i v a t i v e ? M o s t o f t h e s t u d i e s r e v i e w e d i n C h a p t e r 2 w e r e s i t u a t e d i n t h e c o n t e x t o f m o t i o n a n d o f t e n s h o w e d s t u d e n t s m a k i n g i n a p p r o p r i a t e c o n n e c t i o n s b e t w e e n a f u n c t i o n a n d i t s d e r i v a t i v e . F i v e o f t h e s i x t a s k s i n t h i s d i s s e r t a t i o n c o n c e r n e d m o t i o n a n d s h o w e d a v a r i e t y o f w a y s s t u d e n t s t h i n k a b o u t r a t e o f c h a n g e . S o m e o f t h e s t r a t e g i e s s t u d e n t s u s e d , l i k e " d e l t a d " , " v i s u a l s l o p e " , " a v e r a g e r a t e o f c h a n g e " , a n d s l o p e o f t a n g e n t l i n e s h o w a p p r o p r i a t e w a y s o f t h i n k i n g a b o u t r a t e o f c h a n g e . T h e s e w e r e h e a v i l y u s e d s t r a t e g i e s i n t h i s s t u d y a n d s h o w s o m e o f t h e r i c h c o n n e c t i o n s s t u d e n t s m a d e b e t w e e n f u n c t i o n s r e p r e s e n t e d b y g r a p h s a n d t a b l e s a n d r a t e o f c h a n g e . A r e t h e r e o t h e r t a s k s t h a t p a h o w h o w a t u d e n t a _ p a a i n c r a m e n t § _ a p g a c c u m u l a t i o n s t o m a k e s e n s e o f r a t e o f c h a p g a z I n t h e M o n k a n d C o n f r e y s t u d i e s s t u d e n t s u s e d i n c r e m e n t s a n d a c c u m u l a t i o n s o f q u a n t i t i e s t o e x p l o r e r a t e . O n e o f t h e s t r o n g e s t f i n d i n g s o f t h i s d i s s e r t a t i o n i s t h e m a n y a n d v a r i e d w a y s s t u d e n t s u s e d i n c r e m e n t s t o a d d r e s s r a t e o f c h a n g e . 3 6 1 S t r a t e g i e s l i k e " d e l t a d " a n d " a v e r a g e r a t e o f c h a n g e " o v e r i n t e r v a l s o f v a r i e d s i z e a n d t y p e s h o w s t r o n g t e n d e n c i e s f o r s t u d e n t s a t t h e s e l e v e l s o f m a t h e m a t i c s e d u c a t i o n t o u s e i n c r e m e n t s t o a d d r e s s r a t e o f c h a n g e i n t a s k s i n v o l v i n g g r a p h s a n d t a b l e s . F o r t h e m o s t p a r t , s t u d e n t s u s e d t h e s e s t r a t e g i e s i n a p p r o p r i a t e w a y s . I n T a s k s l , 2 , a n d 3 s t u d e n t s u s e d c h a n g e s i n t h e d e p e n d e n t v a r i a b l e o v e r o n e u n i t i n t e r v a l s o f t h e i n d e p e n d e n t v a r i a b l e . T h i s w a s o n e o f t h e q u i c k e s t a n d m o s t e f f i c i e n t m e t h o d s o f a n s w e r i n g q u e s t i o n s t h e r e . I n T a s k s 4 , 5 , a n d 6 s t u d e n t s u s e d a v e r a g e r a t e o f c h a n g e o v e r s m a l l e r a n d s m a l l e r i n t e r v a l s a s t h e y w o r k e d t h r o u g h t h e t h r e e t a s k s t o f i n d r a t e o f c h a n g e a t a p o i n t . W h e n w o r k i n g w i t h g r a p h s a n d t a b l e s t h i s r e p r e s e n t s o n e o f t h e m o s t a p p r o p r i a t e w a y s t o a d d r e s s r a t e o f c h a n g e a t a p o i n t . A r e t h e r e w a y s t o i n v e s t i g a t e o l d e r a t u d e n t a ' k n o w l e d g e o f r a t e i n s i t u a t i o n s i n v o l v i n g b o t h c o n g r a n t t a n d v a r y i n g r a t e s o f c h a n g e ? T h i s q u e s t i o n w a s a s k e d i n r e s p o n s e t o t h e T h o m p s o n s ' s t u d i e s o f m i d d l e s c h o o l s t u d e n t s ' u n d e r s t a n d i n g o f c o n s t a n t r a t e a n d P a t T h o m p s o n ' s s t u d y o f p o s t c a l c u l u s s t u d e n t s ' p o o r u n d e r s t a n d i n g o f t h e f u n c t i o n y i e l d i n g , f o r e a c h v a l u e o f t h e i n d e p e n d e n t v a r i a b l e , t h e a v e r a g e r a t e o f c h a n g e o v e r a f i x e d s i z e d i n t e r v a l a n d i t s l i m i t a s t h e s i z e o f t h e i n t e r v a l d e c r e a s e s t o z e r o . T h o m p s o n c o n j e c t u r e d t h a t p o s t c a l c u l u s s t u d e n t s h a v e " i m p o v e r i s h e d i m a g e s o f r a t e " . I f s t u d e n t s d o n o t h a v e a n u n d e r s t a n d i n g o f c o n s t a n t r a t e a s " r e f l e c t i v e l y a b s t r a c t e d c o n s t a n t r a t i o " , t h e n i t m a k e s s e n s e t h a t i t w o u l d b e d i f f i c u l t f o r t h e m t o u s e a r a t i o o f d i f f e r e n c e s i n q u a n t i t i e s t o s t u d y v a r i a b l e r a t e s a n d t o t h e n u s e a v e r a g e r a t e o f 3 6 2 c h a n g e o v e r i n t e r v a l s o f d e c r e a s i n g w i d t h a s a w a y o f t h i n k i n g a b o u t r a t e o f c h a n g e a t a p o i n t . I n t h i s s t u d y m o s t s t u d e n t s u s e d " d e l t a t " c o r r e c t l y i n T a s k s l , 2 , a n d 3 t o a r g u e t h a t t h e i r g r a p h s a n d t a b l e s p r o p e r l y s h o w e d t h e t w o p e o p l e s l o w i n g d o w n , s p e e d i n g u p , a n d w a l k i n g a t a s t e a d y p a c e . T h e y s h o w e d t h a t t h e y u n d e r s t o o d t h a t " s t e a d y p a c e " m e a n t c o v e r i n g t h e s a m e d i s t a n c e e v e r y s e c o n d , t h a t " s l o w i n g d o w n " m e a n t c o v e r i n g s u c c e s s i v e l y l e s s d i s t a n c e e a c h s e c o n d , a n d t h a t " s p e e d i n g u p " m e a n t c o v e r i n g s u c c e s s i v e l y m o r e d i s t a n c e e a c h s e c o n d . T h i s s h o w s s t u d e n t s a b l e t o d i s t i n g u i s h b e t w e e n c o n s t a n t a n d v a r i a b l e r a t e s a t l e a s t i s t h e s e c o n t e x t s . B u t i t d o e s n o t s h o w t h e y u n d e r s t o o d c o n s t a n t r a t e a s " r e f l e c t i v e l y a b s t r a c t e d c o n s t a n t r a t i o " . S t u d e n t s d i d n o t e x p a n d t h e i r a r g u m e n t s t o c l a i m , f o r e x a m p l e , t h a t f i v e f e e t p e r s e c o n d i s t h e s a m e t h i n g a s t w o a n d a h a l f f e e t p e r h a l f s e c o n d o r a h a l f f o o t e v e r y t e n t h o f a s e c o n d o r t e n f e e t e v e r y t w o s e c o n d s . T h e y d i d n o t h a v e t o d o t h i s t o w o r k t h e t a s k s . S o e v e n t h o u g h i t i s e n c o u r a g i n g t h a t s t u d e n t s c o r r e c t l y u s e d " d e l t a d " t o a d d r e s s s p e e d i n g u p , s l o w i n g d o w n , a n d s t e a d y p a c e , i t i s n o t c l e a r t h a t T a s k s 1 , 2 , a n d 3 h e l p e d s t u d e n t s s e e c o n s t a n t r a t e i n t e r m s o f " r e f l e c t i v e l y a b s t r a c t e d c o n s t a n t r a t i o " o r h o w t h a t t h e s e t a s k s c o u l d h a v e r e v e a l e d i f t h e s t u d e n t s k n e w c o n s t a n t r a t e i n t h i s w a y . T a s k s 4 , 5 , a n d 6 s h o w a b i t m o r e c l e a r l y t h a t s t u d e n t s d i d u n d e r s t a n d a v e r a g e r a t e o f c h a n g e o v e r i n t e r v a l s o f v a r i o u s s i z e s . M o s t s t u d e n t s , i n c l u d i n g m a n y o f t h e p r e c a l c u l u s s t u d e n t s , u s e d a v e r a g e r a t e o f c h a n g e o v e r i n t e r v a l s a n d s e v e r a l o f t h e m u s e d s e v e r a l d i f f e r e n t s i z e d i n t e r v a l s , i n c l u d i n g i n t e r v a l s o f l e s s t h a n o n e u n i t w i d t h . 3 6 3 F u r t h e r m o r e , i n T a s k 5 m o s t s t u d e n t s i n t h i s s t u d y , i n c l u d i n g m a n y o f t h e p r e c a l c u l u s s t u d e n t s , s a i d t h e y w o u l d u s e t h e a v e r a g e r a t e o f c h a n g e o v e r s m a l l e r i n t e r v a l s t o g e t a b e t t e r a p p r o x i m a t i o n t o t h e r a t e o f c h a n g e a t a p o i n t a n d s u c c e s s i v e l y s m a l l e r i n t e r v a l s t o o b t a i n a n e x a c t v a l u e f o r t h a t r a t e o f c h a n g e . T h i s s h o w s a f a i r a m o u n t o f f a c i l i t y i n a d d r e s s i n g i n s t a n t a n e o u s r a t e o f c h a n g e u s i n g a v e r a g e r a t e o f c h a n g e o v e r i n t e r v a l s o f d e c r e a s i n g w i d t h . B u t i t d o e s n o t n e c e s s a r i l y m e a n t h a t s t u d e n t s r e c o g n i z e t h a t t h e a l g e b r a i c e x p r e s s i o n ( f ( x + h ) - f ( x ) ) / h y i e l d s t h e a v e r a g e r a t e o f c h a n g e i n t h e d e p e n d e n t v a r i a b l e o f t h e f u n c t i o n f o v e r a n i n t e r v a l o f w i d t h h b e t w e e n x a n d x + h . N o r d o e s i t m e a n t h a t s t u d e n t s r e c o g n i z e t h a t f h ( X ) = ( f ( X + h ) ~ f ( X ) ) / h r e p r e s e n t s a f u n c t i o n t h a t y i e l d s f o r e v e r y v a l u e o f X t h e a v e r a g e r a t e o f c h a n g e o v e r t h e i n t e r v a l b e t w e e n X a n d X + h . N o r d o e s i t m e a n t h a t s t u d e n t s r e c o g n i z e w h a t t h e l i m i t o f t h i s f u n c t i o n i s a s h g o e s t o z e r o r e p r e s e n t s . A g u e s t i o n r a i s e d b y c o n s i d e r a t i o n o f t h e r e s u l t s o f t h i s g r a a e r t a t i o n a n d t h e r e s u l t s o f o t h e r a ' r e s e a r c h . O n e o f t h e g o a l s o f c a l c u l u s i s t o h e l p s t u d e n t s l e a r n t h e s t a n d a r d a l g e b r a i c r e p r e s e n t a t i o n f o r t h e d e r i v a t i v e a s t h e l i m i t o f t h e a v e r a g e r a t e o f c h a n g e o f t h e d e p e n d e n t v a r i a b l e o f a f u n c t i o n a s t h e w i d t h s o f t h e i n t e r v a l s o f t h e i n d e p e n d e n t v a r i a b l e d e c r e a s e t o z e r o , u n d e r s t a n d w h a t t h e d e r i v a t i v e m e a n s i n a v a r i e t y o f c o n t e x t s , a n d b e a b l e t o e a s i l y a n d c o r r e c t l y c o m p u t e i t . T h i s d i s s e r t a t i o n s h o w e d t h a t s t u d e n t s , e v e n p r e c a l c u l u s s t u d e n t s , h a v e v a r i e d a n d a p p r o p r i a t e k n o w l e d g e t h a t s u p p o r t s t h e i r t h i n k i n g a b o u t r a t e o f c h a n g e i n c o n t e x t s i n v o l v i n g g r a p h s a n d t a b l e s . W h a t i s n o t c l e a r i s h o w t h i s k n o w l e d g e c a n t h e n s u p p o r t s t u d e n t s ' a c c o m p l i s h i n g t h e g o a l s o f c a l c u l u s . I w i l l t r y i n t h e l a s t s e c t i o n o f 3 6 4 t h i s c h a p t e r t o g i v e s o m e i d e a s a b o u t h o w I h a v e e x p l o r e d t h i s p r o b l e m i n m y o w n t e a c h i n g . H o w t h i a d i s s e r t a t i o n f i l l e d h o l e a fi i n t h e r e a a a r c h . N o o t h e r r e s e a r c h i n v o l v i n g p r e q a l c u l u s r r c a l t u l u s r r a p g p o s t c a l c u l u s s t u d e n t s . T h i s d i s s e r t a t i o n i n v o l v e d t h r e e d i f f e r e n t g r o u p s o f s t u d e n t s - b e f o r e , d u r i n g , a n d a f t e r c a l c u l u s - a r o u n d a c o m m o n s e t o f t a s k s . A s n e a r a s I c a n t e l l , t h e r e a r e n o o t h e r s t u d i e s t h a t h a v e a t t e m p t e d t o p r o v i d e , a s t h i s s t u d y d i d , a c o m p a r i s o n o f t h e k n o w l e d g e o f r a t e o f c h a n g e i n g r o u p s o f s t u d e n t s f r o m d i f f e r e n t l e v e l s o f m a t h e m a t i c s e d u c a t i o n . T h i s f i l l s a n i m p o r t a n t h o l e i n t h e r e s e a r c h s i n c e i t s h o w s s i m i l a r i t i e s a n d d i f f e r e n c e s i n k n o w l e d g e a m o n g t h e t h r e e g r o u p s a n d g i v e s a m o r e s y s t e m a t i c a c c o u n t i n g o f t h e k n o w l e d g e o f s t u d e n t s a t t h e s e d i f f e r e n t p l a c e s i n m a t h e m a t i c s l e a r n i n g . C e r t a i n w a y s o f a d d r e s s i n g r a t a o f c h a n g e a r e t y p i c a l . T h e s t u d e n t s i n t h i s s t u d y a d d r e s s e d t a s k s i n v o l v i n g r a t e o f c h a n g e i n m a n y o f t h e s a m e w a y s a s t h e s t u d e n t s i n t h e s t u d i e s r e v i e w e d i n C h a p t e r 2 . T h i s m a k e s m e t h i n k t h a t t h e s e w a y s o f t h i n k i n g a b o u t r a t e o f c h a n g e a r e n o t a t y p i c a l b u t a r e r e p r e s e n t a t i v e o f w h a t o t h e r s t u d e n t s a t t h e s e l e v e l s o f m a t h e m a t i c s e d u c a t i o n d o w i t h o t h e r s i t u a t i o n s o r f u n c t i o n r e p r e s e n t a t i o n s . I f s o , t h e n t h i s k n o w l e d g e i s r e l a t i v e l y p r e v a l e n t i n s t u d e n t s a t t h e s e l e v e l s o f m a t h e m a t i c s e d u c a t i o n , a n d t h e r e f o r e w e s h o u l d t h i n k a b o u t h o w i t c a n b e u s e d t o h e l p s t u d e n t s l e a r n m o r e a b o u t r a t e o f c h a n g e a n d s p e c i f i c a l l y h o w i t c a n b e u s e d t o h e l p s t u d e n t s l e a r n c a l c u l u s . p a p y r d i f f e r e n t w a y s t o a d d r e s s r a t e o f c h a n g e . T h i s s y s t e m a t i c s t u d y o f t h e k n o w l e d g e o f s t u d e n t s b e f o r e , d u r i n g , a n d a f t e r c a l c u l u s s h o w e d t h a t t h e r e a r e m a n y w a y s s t u d e n t s a t t h e s e l e v e l s o f m a t h e m a t i c s 3 6 5 e d u c a t i o n a d d r e s s r a t e o f c h a n g e . T h i s p r o v i d e s a r i c h p i c t u r e o f s t u d e n t s ' k n o w l e d g e . B u t i t a l s o s h o w s h o w c o m p l e x l e a r n i n g r a t e o f c h a n g e c a n b e s i n c e , i n t h e c a s e o f r a t e o f c h a n g e a t a p o i n t , t h e r e i s n o s i n g l e p i e c e o f k n o w l e d g e w e c a n a s s u m e a l l s t u d e n t s h a v e a n d u p o n w h i c h w e c a n t h e r e f o r e b a s e a l l i n s t r u c t i o n i n r a t e o f c h a n g e . I n s t e a d t h e r e a r e m a n y p i e c e s o f k n o w l e d g e o f r a t e o f c h a n g e w i t h s o m e s t u d e n t s h a v i n g s o m e p i e c e s a n d o t h e r s t u d e n t s i n t h e s a m e c l a s s h a v i n g o t h e r p i e c e s . T h i s m a k e s i n s t r u c t i o n m o r e c o m p l e x s i n c e i t s h o u l d t o t a k e i n t o c o n s i d e r a t i o n l o t s o f d i f f e r e n t p i e c e s o f r a t e o f c h a n g e k n o w l e d g e . I t a l s o h a s t h e p o t e n t i a l o f m a k i n g i n s t r u c t i o n m o r e f r u i t f u l s i n c e i t i m p l i e s t h e r e i s m o r e t h a n o n e w a y t o t e a c h a n d l e a r n r a t e o f c h a n g e . C o m m o n w a y s o f a d d r e s s i n g r a t e o f c t a p g a . T h i s s t u d y i n v o l v i n g p r e c a l c u l u s , c a l c u l u s , a n d p o s t c a l c u l u s s t u d e n t s a l s o s h o w e d t h e r e a r e s o m e c o m m o n w a y s s t u d e n t s a t t h e s e l e v e l s o f m a t h e m a t i c s e d u c a t i o n s o l v e t a s k s i n v o l v i n g r a t e o f c h a n g e . T h e s e p o i n t s o f c o m m o n a l i t y s h o u l d h e l p u s t h i n k a b o u t h o w t h i s k n o w l e d g e s e r v e s s t u d e n t s a t t h e s e d i f f e r e n t l e v e l s o f m a t h e m a t i c s e d u c a t i o n b o t h i n b e g i n n i n g t h e i r e x p e r i e n c e w i t h c a l c u l u s a n d c o n t i n u i n g t o e x p a n d t h e i r k n o w l e d g e o f r a t e o f c h a n g e a f t e r c a l c u l u s . D i f f e r e n t w a y s o f a d d r e s s i n g r r a t e o f c h a n g e b y g r o u p s a t d i f f e r e n t p o i n t s i n m a t h a m a t i c s e d u c a t i o n . T h i s s t u d y a l s o s h o w e d d i f f e r e n c e s i n k n o w l e d g e o f r a t e o f c h a n g e a m o n g t h e s e t h r e e g r o u p s o f s t u d e n t s . T h e s e d i f f e r e n c e s s u g g e s t , i n w a y s t h a t s t u d i e s n o t i n v o l v i n g s t u d e n t s a t a l l t h r e e l e v e l s o f m a t h e m a t i c s e d u c a t i o n c a n n o t , t h a t t h e r e m a y b e p a r t i c u l a r s t r e a m s a l o n g w h i c h k n o w l e d g e o f r a t e o f c h a n g e p r o c e e d s . E a r l i e r i n t h i s c h a p t e r I m a d e s u g g e s t i o n s a b o u t s o m e p o s s i b l e s t r e a m s . 3 6 6 H o w m y t e a c h i n g h a s c h a n g e d a s a r e s u l t o f t h i s r e s e a r c h T h i s r e s e a r c h h a s h a d t w o b r o a d a f f e c t s o n m y t e a c h i n g o f c a l c u l u s . B e f o r e I d i s c u s s t h e s e a f f e c t s , I g i v e a b r i e f h i s t o r y o f m y e x p e r i e n c e t e a c h i n g c a l c u l u s . T h e n I d i s c u s s h o w m y t e a c h i n g a n d t h i n k i n g a b o u t l e a r n i n g c a l c u l u s h a s c h a n g e d a s a r e s u l t o f t h i s w o r k . I e n d t h i s c h a p t e r a n d d i s s e r t a t i o n w i t h s o m e s u g g e s t i o n s f o r f u t u r e e f f o r t s . A b r i e f h i s t o r y o f m y e x p e r i e n c e t e a t h i n g c a l c u l u a . I t w a s a l l s o s i m p l e a t f i r s t . W h e n I s t a r t e d t e a c h i n g c a l c u l u s 3 0 y e a r s a g o , I w o r k e d h a r d a t t r y i n g t o f i n d t h e s i n g l e b e s t w a y t o i n t r o d u c e t h e d e r i v a t i v e s o t h a t a l l s t u d e n t s c o u l d u n d e r s t a n d . C a l c u l u s t e x t s t y p i c a l l y i n t r o d u c e t h e d e r i v a t i v e i n t e r m s o f t h e s l o p e o f t h e t a n g e n t l i n e w h i c h i n t u r n i s d e f i n e d i n t e r m s o f a p a r t i c u l a r l i m i t o f t h e s l o p e s o f s e c a n t l i n e s . S o I f o c u s e d m y a t t e n t i o n o n t r y i n g t o m a k e t h i s a p p r o a c h t o t h e d e r i v a t i v e a n d r a t e o f c h a n g e a s u n d e r s t a n d a b l e a s p o s s i b l e t o s t u d e n t s . T h e n r e a l i t y s e t i n . I t w a s n o t l o n g b e f o r e I r e a l i z e d t h a t s t u d e n t s s t r u g g l e d w i t h t h e d e r i v a t i v e c o n c e p t a n d w i t h d i f f e r e n t i a t i o n i n g e n e r a l . I d e c i d e d t h a t s t u d e n t s w e r e h a v i n g t r o u b l e b e c a u s e t h e y d i d n o t k n o w e n o u g h a b o u t t h e e l e m e n t a r y f u n c t i o n s . S i n c e t h e d e f i n i t i o n o f d e r i v a t i v e i s s o m a r r i e d t o s l o p e o f t a n g e n t l i n e a n d s l o p e i n g e n e r a l , I b e l i e v e d t h a t i t w o u l d b e h e l p f u l i f s t u d e n t s w e r e m o r e k n o w l e d g e a b l e a b o u t t h e g r a p h s o f f u n c t i o n s a n d r e l a t i o n s h i p s b e t w e e n t h e i r g r a p h s a n d t h e i r e q u a t i o n s . T h e n m a y b e t h e y c o u l d r e l a t e b e t t e r t o t h e d e f i n i t i o n o f t h e d e r i v a t i v e i n t e r m s o f s l o p e o f t a n g e n t l i n e s . 3 6 7 M y r e f f o r t s t o h e l p . S o I t o o k t i m e a t t h e b e g i n n i n g o f c a l c u l u s t o r e v i e w t h e e l e m e n t a r y f u n c t i o n s p l a c i n g s p e c i a l e m p h a s i s o n t h e i r g r a p h s . W e u s e d g r a p h s o f f u n c t i o n s w h e r e v e r p o s s i b l e t o c o n s i d e r c o n c e p t s a n d s o l v e p r o b l e m s . T h i s s e e m e d t o h e l p . B u t I w a s o f t e n f r u s t r a t e d w h e n s t u d e n t s w e r e n o t c o m f o r t a b l e w i t h t h e d e f i n i t i o n o f t h e d e r i v a t i v e . T h e y c o u l d r e m e m b e r t h a t i t h a d t o d o w i t h t a n g e n t l i n e s a n d t h e i r s l o p e s . B u t t h e y c o u l d n o t o f t e n r e c a l l o r e a s i l y w o r k w i t h N e w t o n ' s q u o t i e n t o r r e l a t e i t t o s l o p e . I t s e e m e d o b v i o u s t o m e t h a t i t w a s . S o I w a s p e r p l e x e d b y t h e i r c o n f u s i o n . S e t t l i n g i n . A s y e a r s w e n t b y I c a m e t o a c c e p t t h a t s t u d e n t s w o u l d l e a v e c a l c u l u s n o t u n d e r s t a n d i n g m u c h a b o u t t h e l i m i t d e f i n i t i o n o f d e r i v a t i v e b u t t h a t t h e y m i g h t b e a b l e t o u s e t h e d e r i v a t i v e a p p r o p r i a t e l y i n p a r t i c u l a r s i t u a t i o n s i n t h e i r s c i e n c e a n d m a t h e m a t i c s c l a s s e s . I b e c a m e m o r e s e n s i t i v e t o t h e i r n e e d t o r e v i e w t h e d e f i n i t i o n a n d l e a r n m o r e a b o u t i t a s w e u s e d i t i n o t h e r m a t h e m a t i c s c l a s s e s . T h a t , t o o , s e e m e d t o h e l p s t u d e n t s g e t a f i r m e r g r a s p o f w h a t t h e d e r i v a t i v e w a s a b o u t . T h e n c a m e g r a d u a t e s c h o o l . I q u i c k l y d e c i d e d I w o u l d f o c u s m y r e s e a r c h o n c a l c u l u s l e a r n i n g a n d s t u d e n t s ' u n d e r s t a n d i n g o f r a t e o f c h a n g e . I n m y f i r s t t w o r e s e a r c h p r o j e c t s , I a s k e d i n d i v i d u a l c a l c u l u s s t u d e n t s t o w o r k p r o b l e m s , w a t c h e d t h e m s o l v e t h e m , a n d a s k e d t h e m q u e s t i o n s a b o u t w h a t t h e y w e r e d o i n g . T h i s w a s h e l p f u l t o s e e t h a t s t u d e n t s h a d k n o w l e d g e t h e y c o u l d u s e o n p r o b l e m s b u t t h a t k n o w l e d g e w a s n o t a l w a y s w h a t I h a d p r e d i c t e d o r w a n t e d i t t o b e . T h i s b o t h i n t r i g u e d m e a n d p e r p l e x e d m e . I w a n t e d t o k n o w m o r e a b o u t s t u d e n t s ' k n o w l e d g e a n d h o w i t m i g h t s e r v e t h e m i n l e a r n i n g c a l c u l u s . 3 6 8 I w a g c l u e l e s s . W h e n I p r o p o s e d t h i s d i s s e r t a t i o n , I a d m i t I h a d v e r y l i t t l e i d e a a b o u t w h a t s t u d e n t s , e v e n c a l c u l u s a n d p o s t c a l c u l u s , w o u l d d o w i t h t h e s e t a s k s . I w a s p l e a s e d a n d n o t v e r y s u r p r i s e d t h a t m a n y c a l c u l u s a n d p o s t c a l c u l u s s t u d e n t s u s e d s l o p e o f t a n g e n t l i n e t o a d d r e s s r a t e o f c h a n g e a t a p o i n t . B u t b e y o n d t h a t , I w a s n o t s u r e h o w s t u d e n t s w o u l d w o r k t h e t a s k s . S o I w a s q u i t e s u r p r i s e d a t t h e v a r i e t y o f a p p r o a c h e s t h e y u s e d t o s o l v e t h e s e p r o b l e m s a n d w a s p l e a s e d t h a t , f o r t h e m o s t p a r t , s t u d e n t s d i s p l a y e d k n o w l e d g e t h a t w a s a p p r o p r i a t e f o r t h e t a s k s . I t h a s u n d e r s t a n d a b l y l e f t m e w o n d e r i n g h o w t h i s k n o w l e d g e m i g h t t h e n b e u s e d t o h e l p s t u d e n t s l e a r n c a l c u l u s . H o w m y t h i n k i n g r a b o u t t e a c h i n g a n d l a a r n i n g c a l c u l u s h a v e c h a n g e d . I a a c h i n g i s m o r e c o m p l i c a t e d n o w . T h e f i r s t b r o a d e f f e c t t h i s d i s s e r t a t i o n h a s h a d o n m y t e a c h i n g i s t h a t i t h a s m a d e m e r e a l i z e h o w c o m p l i c a t e d t e a c h i n g a n d l e a r n i n g i s . M y r e s e a r c h s h o w e d t h a t s t u d e n t s h a v e a v a r i e t y o f w a y s t o w o r k p r o b l e m s i n v o l v i n g r a t e o f c h a n g e . S o m e o f t h e s e w a y s a r e a p p r o p r i a t e a n d s o m e a r e n o t . S o m e o f t h e s e w a y s h o l d p r o m i s e f o r b u i l d i n g o t h e r k n o w l e d g e o f r a t e o f c h a n g e a n d s o m e a r e s p e c i f i c t o p a r t i c u l a r s i t u a t i o n s . K n o w i n g t h i s a s a t e a c h e r m a k e s p l a n n i n g i n s t r u c t i o n v e r y c o m p l i c a t e d . H o w d o I t a k e i n t o c o n s i d e r a t i o n t h e s e v a r i o u s w a y s o f a p p r o a c h i n g r a t e o f c h a n g e ? S h o u l d I ? S h o u l d I p r i v i l e g e a p p r o a c h e s u p o n w h i c h m o r e a d v a n c e d k n o w l e d g e o f r a t e o f c h a n g e c a n b e c o n s t r u c t e d ? I f s o , h o w d o I d o t h a t ? S h o u l d I a l l o w d i s c u s s i o n o f a p p r o a c h e s t h a t a p p l y o n l y i n p a r t i c u l a r c o n t e x t s ? I f I d o , h o w d o I r e l a t e t h i s s p e c i f i c k n o w l e d g e t o m o r e g e n e r a l l y a p p l i c a b l e k n o w l e d g e ? D o I n e e d t o ? T h e s e a r e s o m e o f t h e q u e s t i o n s t h a t m a k e t e a c h i n g c a l c u l u s m o r e c o m p l i c a t e d f o r m e n o w . 3 6 9 T a a c h i n g t o t a k e i n t o a c c o u n t p o s s i b l e t a t r e a m s o f l e a r n i n g r a t e o f c h a n g e . T h e s e c o n d b r o a d e f f e c t h a s c o m e w h e n I h a v e t r i e d t o p l a n i n s t r u c t i o n t h a t b u i l d s o n s t u d e n t s ' k n o w l e d g e . O n e c o n c e r n i s h o w t o m o v e s t u d e n t s f r o m u s i n g a v e r a g e r a t e o f c h a n g e i n n u m e r i c a l a n d g r a p h i c a l c o n t e x t s t o a n u n d e r s t a n d i n g o f t h e l i m i t d e f i n i t i o n o f t h e d e r i v a t i v e i n i t s a l g e b r a i c f o r m . I h a v e t r i e d s e v e r a l a p p r o a c h e s w i t h m i x e d s u c c e s s . I h a v e n o t a t t e m p t e d a r e s e a r c h b a s e d i n v e s t i g a t i o n o f t h e s e a p p r o a c h e s . I s i m p l y o f f e r t h e m h e r e a s o n e s I h a v e t r i e d . I h a v e u s e d t h e s i x t a s k s o f t h i s d i s s e r t a t i o n a n d o t h e r t a s k s a s a n i n t r o d u c t i o n t o c a l c u l u s . S t u d e n t s i n m y c a l c u l u s c l a s s e s h a v e u s e d m a n y o f t h e s a m e s t r a t e g i e s a s s t u d e n t s i n t h i s s t u d y . I n m o v i n g f r o m t h e s e t a s k s t o a m o r e g e n e r a l d i s c u s s i o n o f t h e d e r i v a t i v e , I h a v e u s e d t w o a p p r o a c h e s . O n e a p p r o a c h h a s b e e n t o t r y t o m o v e f r o m n u m e r i c a l r e p r e s e n t a t i o n s o f t h e a v e r a g e r a t e o f c h a n g e o v e r s m a l l e r a n d s m a l l e r i n t e r v a l s t o a l g e b r a i c r e p r e s e n t a t i o n s o f t h a t p r o c e s s . M o v i n g f r o m t h e n u m e r t t a l t o t h e a l g e b r a i c . S t u d e n t s c a n f a i r l y e a s i l y e s t i m a t e t h e r a t e o f c h a n g e a t a s p e c i f i c p o i n t , l i k e ( 1 , 4 8 ) , b y o b t a i n i n g t h e a v e r a g e r a t e o f c h a n g e o v e r i n t e r v a l s l i k e ( . 7 5 , 1 . 2 5 ) a n d ( . 9 , 1 . 1 ) a n d ( . 9 9 , l . 0 1 ) a n d c a n e v e n c o n j e c t u r e a l i m i t i n g v a l u e b a s e d o n t h i s n u m e r i c a l e v i d e n c e . B u t r e p r e s e n t i n g t h e e n d p o i n t s o f t h e s e i n t e r v a l s i n t e r m s o f ( l - . 2 5 , 1 + . 2 5 ) a n d ( 1 — . 1 , 1 + . l ) , a n d ( 1 - . 0 1 , 1 + . 0 1 ) a n d t h e n a s ( 1 — h , 1 + h ) f o r h = . 2 5 , . 1 , a n d . 0 1 s e e m s b a f f l i n g t o s t u d e n t s . W h e n u s i n g t h e f i r s t s e t o f i n t e r v a l s l i s t e d a b o v e , s t u d e n t s m a y e v e n s a y s o m e t h i n g l i k e " I ' l l j u s t g o a l i t t l e b e f o r e a n d a l i t t l e a f t e r . " b u t t r a n s l a t i n g t h a t i n t o l - h a n d 1 + h s e e m s t o b e v e r y d i f f i c u l t . 3 7 0 O n c e o n e s e e s t h a t e n d p o i n t s o f t h e s e i n t e r v a l s c a n b e e x p r e s s e d a s l - h a n d 1 + h , t h e r e i s t h e m o r e c o m p l i c a t e d p r o b l e m o f f o r m i n g t h e e x p r e s s i o n s ( f ( l + h ) — f ( l — h ) ) a n d ( ( 1 + h ) - ( l - h ) ) a n d u n d e r s t a n d i n g w h a t t h e s e m e a n a n d t h e n e x p r e s s i n g t h e a v e r a g e r a t e o f c h a n g e a s t h e r a t i o o f t h e s e t w o e x p r e s s i o n s . F i n a l l y , o n e h a s t o t a k e t h e l i m i t o f t h e r e s u l t i n g e x p r e s s i o n t o g e t o n e v e r s i o n o f t h e l i m i t d e f i n i t i o n o f d e r i v a t i v e f o r f u n c t i o n s c o n t i n u o u s t h r o u g h o u t a n a p p r o p r i a t e i n t e r v a l . M y a t t e m p t s t o h e l p s t u d e n t s t h r o u g h t h i s h a v e g e n e r a l l y n o t s u c c e e d e d . T h e r e a r e s e v e r a l i s s u e s h e r e t h a t m a k e t h e s e t r a n s i t i o n s h a r d . O n e i s t h e g e n e r a l d i f f i c u l t y s t u d e n t s h a v e w i t h e x p r e s s i n g n u m e r i c a l d a t a i n t e r m s o f a l g e b r a i c e x p r e s s i o n s . A n o t h e r i s t h e d i f f i c u l t y o f a l g e b r a i c a l l y s i m p l i f y i n g t h e r a t i o o f t w o a l g e b r a i c e x p r e s s i o n s . Y e t a n o t h e r i s t h e d i f f i c u l t y o f w o r k i n g w i t h a n d u n d e r s t a n d i n g l i m i t s . T h e s t r e a m o f l e a r n i n g t h e d e f i n i t i o n o f d e r i v a t i v e o u t l i n e d a b o v e i s b a s e d o n m y o w n a n a l y s i s o f w h a t s t u d e n t s n e e d t o k n o w a t e a c h s t e p b e f o r e t h e y c a n m o v e o n t o t h e n e x t s t e p . T h i s s t r e a m s e e m s r e a s o n a b l e i n m y o w n m i n d b u t f o r s t u d e n t s i t r e p r e s e n t s a h u g e h u r d l e t o c o m i n g t o k n o w t h e d e r i v a t i v e i n w a y s m a t h e m a t i c i a n s c o n s i d e r d e s i r a b l e . _ a s i n g i n s t r u c t i o n o n n u m e r i c a l a p p r o a c h e s . I h a v e t r i e d a s e c o n d a p p r o a c h w h i c h s e e m s t o b e m o r e s u c c e s s f u l i n h e l p i n g s t u d e n t s c o m e t o a n u n d e r s t a n d i n g o f t h e d e r i v a t i v e f o r m u l a s f o r e q u a t i o n s a n d i n w o r k i n g r a t e o f c h a n g e p r o b l e m s w h e n t h e y c a n n o t r e m e m b e r t h e d e r i v a t i v e f o r m u l a s o r h o w t o f i n d t h e m . U n f o r t u n a t e l y , i t b y p a s s e s t h e a l g e b r a i c r e p r e s e n t a t i o n o f t h e l i m i t d e f i n i t i o n o f t h e d e r i v a t i v e a n d w o u l d I s u s p e c t t h e r e f o r e b e u n a c c e p t a b l e t o m a n y c a l c u l u s t e a c h e r s a n d c u r r i c u l u m w r i t e r s a s a n a l t e r n a t i v e f o r t e a c h i n g d e r i v a t i v e s . 3 7 1 T h e a p p r o a c h i s b a s e d f i r m l y i n t h e c a m p o f u s i n g n u m e r i c a l a n a l y s i s t o f i n d d e r i v a t i v e s . I t g o e s l i k e t h i s . S t u d e n t s a r e g i v e n a X f u n c t i o n i n e q u a t i o n f o r m , s a y y = e . T h e y a r e a s k e d t o f i n d t h e d e r i v a t i v e f o r m u l a f o r t h i s f u n c t i o n i n t h e f o l l o w i n g w a y . W e s t a r t w i t h a t a b l e o f v a l u e s f o r t h e g i v e n f u n c t i o n . F i g u r e 1 9 s h o w s a s a m p l e t a b l e . T h e n w e a p p r o x i m a t e t h e v a l u e o f t h e d e r i v a t i v e a t e a c h g i v e n v a l u e o f x b y c o m p u t i n g t h e a v e r a g e r a t e o f c h a n g e o v e r a t i n y i n t e r v a l a r o u n d t h e x v a l u e . F o r e x a m p l e , t o f i n d t h e d e r i v a t i v e a t x = 3 , s t u d e n t s m i g h t f i n d t h e a v e r a g e r a t e o f c h a n g e o v e r t h e i n t e r v a l ( 2 . 9 9 9 9 9 , 3 . 0 0 0 0 1 ) . T h i s i s n o t n e c e s s a r i l y e a s y e v e n i f s t u d e n t s h a v e b e e n u s i n g a v e r a g e r a t e o f c h a n g e t o f i n d r a t e o f c h a n g e a t a p o i n t f o r s e v e r a l w e e k s i n c a l c u l u s . B u t w i t h h e l p m o s t s t u d e n t s c a n s e e t h a t t h e y h a v e t o f i n d , i n t h e c a s e o f t h i s f u n c t i o n a n d t h i s v a l u e o f x , ( e 3 ' ° ° ° ° 1 - e 2 ‘ 9 9 9 9 9 ) / ( 3 . 0 0 0 0 1 - 2 . 9 9 9 9 9 ) . v a l u e s o f x v a l u e s o f y = e x v a l u e s o f d a r i v a t i v e - 3 0 . 0 4 9 7 8 7 1 0 . 0 4 9 7 8 7 1 - 2 0 . 1 3 5 3 3 5 3 0 . 1 3 5 3 3 5 3 - 1 0 . 3 6 7 8 9 4 0 . 3 6 7 8 9 4 0 1 . 0 0 0 0 0 0 1 . 0 0 0 0 0 0 1 2 . 7 1 8 2 8 1 8 2 . 7 1 8 2 8 1 8 2 7 . 3 8 9 0 5 6 1 7 . 3 8 9 0 5 6 1 3 2 0 . 0 8 5 5 3 7 2 0 . 0 8 5 5 3 7 F i g u r e 1 9 - F i n d i n g v a l u e s o f t h e d e r i v a t i v e o f y = e S t u d e n t s u s e t h i s s t r a t e g y t o c o m p l e t e t h e t a b l e i n F i g u r e 1 2 a n d t h e n w e d i s c u s s w h a t a n e q u a t i o n f o r t h e d e r i v a t i v e f u n c t i o n m i g h t b e 3 7 2 b a s e d o n t h e v a l u e s i n t h e t h i r d c o l u m n o f t h e t a b l e . I n t h e c a s e o f t h i s f u n c t i o n , s t u d e n t s o f t e n r e c o g n i z e t h a t t h e v a l u e s i n t h e t h i r d c o l u m n a r e e q u a l , o r a p p r o x i m a t e l y e q u a l , t o t h e v a l u e s i n t h e s e c o n d c o l u m n a n d t h e r e f o r e t h e f o r m u l a f o r t h e d e r i v a t i v e f u n c t i o n i s p r o b a b l y f ' ( x ) = e * . G e n e r a l l y t h i s e x e r c i s e a p p e a r s t o b e s u c c e s s f u l i n h e l p i n g s t u d e n t s o b t a i n t h e d e r i v a t i v e f o r m u l a s f o r m o s t o f t h e e l e m e n t a r y f u n c t i o n s . T h i s a p p r o a c h c a p i t a l i z e s o n s t u d e n t s ' k n o w l e d g e o f r a t e o f c h a n g e a t a p o i n t i n t e r m s o f a v e r a g e r a t e o f c h a n g e o v e r v e r y s m a l l i n t e r v a l s a r o u n d t h e p o i n t . M a n y w o u l d o b j e c t t o u s i n g t h i s p r o c e d u r e b e c a u s e i t i s a p p l i c a b l e o n l y f o r f u n c t i o n s t h a t a r e c o n t i n u o u s o n b o t h s i d e s o f e a c h v a l u e o f x . B u t a m o r e s e r i o u s o b j e c t i o n i s t h a t i t b y p a s s e s t h e d e f i n i t i o n o f t h e d e r i v a t i v e i n i t s m o r e g e n e r a l f o r m a s t h e l i m i t o f ( f ( x + h ) - f ( x ) ) / h a s h g o e s t o z e r o . M a n y w h o t e a c h c o l l e g e m a t h e m a t i c s w o u l d c e r t a i n l y f i n d t h i s a s e r i o u s o m i s s i o n t o t h e t e a c h i n g o f c a l c u l u s . B u t w h a t h a p p e n s t o s t u d e n t s u n d e r t h i s a p p r o a c h ? I w i l l c o n f e s s h e r e t h a t I h a v e t a u g h t c a l c u l u s t h i s w a y f o r s e v e r a l y e a r s . S o f a r , s t u d e n t s h a v e n o t s e e m e d t o e n c o u n t e r g r e a t d i f f i c u l t y b y t h i s o m i s s i o n . A d m i t t e d l y f o r m a n y s t u d e n t s , c a l c u l u s i s t h e i r l a s t m a t h e m a t i c s c l a s s a n d t h e i r u s e o f c a l c u l u s i n c o u r s e s i n t h e i r m a j o r s r e l i e s o n k n o w i n g h o w t o u s e s h o r t c u t f o r m u l a s f o r f i n d i n g t h e d e r i v a t i v e e q u a t i o n s f o r c e r t a i n t y p e s o f f u n c t i o n s o r u n d e r s t a n d i n g c o n c e p t u a l l y w h a t t h e d e r i v a t i v e g i v e s i n s p e c i f i c c o n t e x t s . I n t h e c a s e o f t h e f o r m e r , i t i s p o s s i b l e t o l e a r n h o w t o f i n d d e r i v a t i v e f o r m u l a s w i t h o u t k n o w i n g m u c h a b o u t t h e d e r i v a t i v e a s a c o n c e p t . I n t h e l a t t e r c a s e , I s u s p e c t , t h o u g h I h a v e n o f o r m a l p r o o f f o r i t , t h a t s t u d e n t s w h o s e c a l c u l u s A . 3 7 3 e x p e r i e n c e h a s b e e n b a s e d s o l e l y o n n u m e r i c a l t r e a t m e n t s u s i n g a v e r a g e r a t e o f c h a n g e m a y v e r y w e l l k n o w a s m u c h i f n o t m o r e a b o u t t h e c o n c e p t u a l d e t a i l s o f t h e d e r i v a t i v e a s s t u d e n t s w h o h a v e e n c o u n t e r e d t h e m o r e a l g e b r a i c r e p r e s e n t a t i o n o f t h e l i m i t d e f i n i t i o n o f t h e d e r i v a t i v e . F o r m a t h e m a t i c s m a j o r s a n d m i n o r s a n d s t u d e n t s w h o s e m a j o r s r e q u i r e m a t h e m a t i c s b e y o n d c a l c u l u s , i t i s n o t c l e a r t h a t s t u d e n t s h a v e b e e n h a r m e d b y m y t r e a t m e n t . T h e l i m i t d e f i n i t i o n o f d e r i v a t i v e e x p r e s s e d i n a l g e b r a i c t e r m s i s c e r t a i n l y n e e d e d f o r m a n y a d v a n c e d m a t h e m a t i c s c o u r s e s , b u t e v e n s t u d e n t s w h o h a v e h a d t h e m o r e f o r m a l t r e a t m e n t o f t h e d e f i n i t i o n o f d e r i v a t i v e i n c a l c u l u s c a n n o t o f t e n r e c a l l i t a n d h a v e o n l y f u z z y n o t i o n s o f w h a t i t m e a n s . I n a d v a n c e d c o u r s e s , I r e v i e w t h e l i m i t d e f i n i t i o n o f t h e d e r i v a t i v e w h e r e v e r w e n e e d t o u s e i t . S t u d e n t s w h o h a v e e x p e r i e n c e d m y m o r e n u m e r i c a l a p p r o a c h t o t h e d e r i v a t i v e i n m y c a l c u l u s c l a s s d o n o t s e e m t o b e a t a g r e a t e r d i s a d v a n t a g e i n u n d e r s t a n d i n g t h e m o r e a l g e b r a i c r e p r e s e n t a t i o n o f t h e d e f i n i t i o n o f d e r i v a t i v e t h a n s t u d e n t s w h o h a v e h a d e n c o u n t e r e d t h i s d e f i n i t i o n i n t h e i r c a l c u l u s c o u r s e . S o a t t h i s p o i n t i t i s n o t c l e a r w h a t h a r m c o m e s t o s t u d e n t s i n l a t e r w o r k i n t h e i r m a j o r s i f t h e y h a v e a n u m e r i c a l , r a t h e r t h a n a l g e b r a i c , a p p r o a c h t o t h e d e f i n i t i o n o f l i m i t . S o m e s u g g e s t i o n s f o r f u t u r e e f f o r t s T h r e e i s s u e s r a i s e d a b o v e n e e d t o b e i n v e s t i g a t e d f u r t h e r . O n e i s h o w t o h e l p s t u d e n t s m o v e f r o m t h e k n o w l e d g e t h e y b r i n g w i t h t h e m t o c a l c u l u s , e s p e c i a l l y i n c o n t e x t s i n v o l v i n g n u m e r i c a l a n d g r a p h i c a l r e p r e s e n t a t i o n s o f f u n c t i o n s , t o a n u n d e r s t a n d i n g o f t h e m o r e f o r m a l t r e a t m e n t o f t h e d e r i v a t i v e a n d s p e c i f i c a l l y t o t h e a l g e b r a i c 3 7 4 r e p r e s e n t a t i o n f o r t h e l i m i t d e f i n i t i o n o f d e r i v a t i v e . A r e t h e r e w a y s t o b r i d g e t h i s g a p t h a t m a k e s e n s e t o s t u d e n t s ? W h a t d o t h e y l o o k l i k e ? A s e c o n d i s s u e c o n c e r n s n u m e r i c a l t r e a t m e n t s o f t h e d e r i v a t i v e i n c a l c u l u s i n s t r u c t i o n . A r e s u c h t r e a t m e n t s d e s i r a b l e ? I n w h a t w a y s d o t h e y h e l p s t u d e n t s l e a r n c a l c u l u s a n d i n w h a t w a y s t o t h e y h i n d e r t h e m ? A r e t h e r e b e t t e r w a y s o f u s i n g n u m e r i c a l m e t h o d s t o t e a c h a n d l e a r n c a l c u l u s t h a n t h e o n e s I h a v e o u t l i n e d a b o v e ? A r e t h e r e w a y s o f c a p i t a l i z i n g o n n u m e r i c a l m e t h o d s t o h e l p s t u d e n t s m o v e s o o n e r o r l a t e r t o a m o r e a l g e b r a i c c o n s i d e r a t i o n o f t h e d e f i n i t i o n o f t h e d e r i v a t i v e ? W h a t s e n s e d o s u c h m e t h o d s m a k e t o s t u d e n t s ? T h e t h i r d i s s u e d e a l s w i t h t h e c o n s e q u e n c e s o f t e a c h i n g c a l c u l u s w i t h o u t c o n s i d e r a t i o n o f t h e a l g e b r a i c r e p r e s e n t a t i o n o f t h e l i m i t d e f i n i t i o n o f d e r i v a t i v e . I t a p p e a r s t h a t I a m c o m i n g d o w n o n t h e s i d e o f o m i t t i n g t h i s m o r e f o r m a l d e f i n i t i o n f r o m t h e f i r s t y e a r c o u r s e i n c a l c u l u s . A d m i t t e d l y , I h a v e , t e m p o r a r i l y , a t l e a s t , o m i t t e d i t f r o m m y c a l c u l u s i n s t r u c t i o n . B u t I a m n o t c o n v i n c e d t h a t i t s h o u l d b e o m i t t e d . M y o m i s s i o n h a s m o r e t o d o w i t h n o t k n o w i n g h o w t o m a k e i t u n d e r s t a n d a b l e t o s t u d e n t s w h e n m y o w n e x p e r i e n c e t e l l s m e t h e r e a r e o t h e r w a y s t o m o v e s t u d e n t s t h r o u g h c a l c u l u s w i t h l e s s p a i n a n d m o r e s e n s e - m a k i n g a n d t h a t t h e r e i s l i t t l e e v i d e n c e t h a t t h i s o m i s s i o n r e a l l y h a r m s s t u d e n t s i n a n y s e r i o u s w a y . I v e r y m u c h l o o k f o r w a r d t o s t u d i e s w h i c h s h o w t h a t i t c a n b e d o n e , t h a t e l e m e n t a r y c a l c u l u s s t u d e n t s c a n m a k e s e n s e o u t o f t h e m o r e f o r m a l d e f i n i t i o n o f t h e d e r i v a t i v e , a n d t h a t t h e y c a n d o s o u s i n g t h e k n o w l e d g e t h i s s t u d y s h o w s t h e y b r i n g w i t h t h e m t o c a l c u l u s . 3 7 5 C h a p t e r S u m m a r y I n t h i s c l o s i n g c h a p t e r I d i s c u s s e d s t u d e n t s ’ k n o w l e d g e o f r a t e o f c h a n g e i n t h e c o n t e x t o f t h i s r e s e a r c h . T h i s w o r k s h o w e d t h a t s t u d e n t s a t t h e s e l e v e l s o f m a t h e m a t i c s e d u c a t i o n h a v e v a r i e d k n o w l e d g e o f r a t e o f c h a n g e . S o m e o f t h a t k n o w l e d g e i s g e n e r a l i n t h a t i t c a n b e a p p l i e d i n m a n y d i f f e r e n t s i t u a t i o n s . S o m e o f t h a t k n o w l e d g e i s s p e c i f i c i n t h a t i t s u s e i s d e p e n d e n t o n t h e c o n t e x t o f t h e t a s k . T h i s s t u d y a l s o s h o w e d t h a t k n o w l e d g e o f r a t e o f c h a n g e d i f f e r s a m o n g p r e c a l c u l u s , c a l c u l u s , a n d p o s t c a l c u l u s s t u d e n t s . S o m e k n o w l e d g e , l i k e k n o w l e d g e b a s e d o n c h a n g e d o v e r i n t e r v a l s a n d s h a p e o f g r a p h , i s s h a r e d b y a l l t h r e e g r o u p s o f s t u d e n t s . S o m e k n o w l e d g e i s u s e d m o r e b y s o m e g r o u p s t h a n o t h e r s . P r e c a l c u l u s s t u d e n t s w e r e m o r e l i k e l y t o t h i n k a b o u t r a t e o f c h a n g e i n t e r m s o f c h a n g e s i n t h e d e p e n d e n t v a r i a b l e o v e r l a r g e i n t e r v a l s o f t h e i n d e p e n d e n t v a r i a b l e o f a f u n c t i o n w h i l e c a l c u l u s a n d p o s t c a l c u l u s s t u d e n t s w e r e m o r e l i k e l y t o u s e s m a l l e r i n t e r v a l s . C a l c u l u s a n d p o s t c a l c u l u s s t u d e n t s a l s o t h o u g h t a b o u t r a t e o f c h a n g e i n t e r m s o f s l o p e o f t a n g e n t l i n e , w h i l e p r e c a l c u l u s d i d n o t . T h i s s t u d y s h o w e d t h a t s t u d e n t s ' k n o w l e d g e o f r a t e o f c h a n g e c h a n g e s w i t h e x p e r i e n c e . O v e r t h e c o u r s e o f w o r k i n g t h e s e t a s k s , a l l t h r e e g r o u p s o f s t u d e n t s u s e d s m a l l e r a n d s m a l l e r i n t e r v a l s t o a d d r e s s r a t e o f c h a n g e a t a p o i n t . S t u d e n t s i n a l l t h r e e g r o u p s a l s o m a d e l e s s u s e o f i n c o r r e c t s t r a t e g i e s a n d m o r e u s e o f c o r r e c t s t r a t e g i e s . T h e t h r e e p e r s p e c t i v e s a n d t y p e s o f r e a s o n i n g p r o v i d e a n i n t e r p r e t i v e f r a m e f o r t h i n k i n g a b o u t s t u d e n t s ’ k n o w l e d g e o f r a t e o f c h a n g e . S l o p e c a n b e u s e d t o a d d r e s s r a t e o f c h a n g e f r o m a l l t h r e e p e r s p e c t i v e s a n d u s i n g m o r e t h a n o n e t y p e o f r e a s o n i n g . S l o p e a s a g l o b a l p e r s p e c t i v e w a s u s e d b y l a r g e n u m b e r s o f a l l t h r e e g r o u p s a n d 3 7 6 i n v o l v e d q u a l i t a t i v e r e a s o n i n g . B u t s l o p e a s a n i n t e r v a l o r p o i n t p e r s p e c t i v e a n d b a s e d o n b o t h q u a l i t a t i v e a n d a l g e b r a i c r e a s o n i n g w a s u s e d o n l y b y c a l c u l u s a n d p o s t c a l c u l u s s t u d e n t s . G i v e n t h e e m p h a s i s o n s l o p e i n t h e d e v e l o p m e n t o f t h e d e r i v a t i v e i n c a l c u l u s , e f f o r t s s h o u l d b e u n d e r t a k e n t o m a k e m o r e e x p l i c i t t h e r e l a t i o n s h i p b e t w e e n s l o p e o f s e c a n t l i n e s a n d r a t e o f c h a n g e b e f o r e s t u d e n t s e n c o u n t e r i n s t a n t a n e o u s r a t e o f c h a n g e a s s l o p e o f t a n g e n t l i n e . A c o n s i d e r a t i o n o f s l o p e i n t e r m s o f b o t h q u a l i t a t i v e a n d a l g e b r a i c r e a s o n i n g s h o u l d b e i n c l u d e d i n t h e s e e f f o r t s . S o m e s t u d e n t s u s e d v a l u e s o f o n e o r b o t h o f t h e d e p e n d e n t a n d i n d e p e n d e n t v a r i a b l e a t a p o i n t a s t h e s o l e i n f o r m a t i o n i n d e c i d i n g t h e r a t e o f c h a n g e a t t h e p o i n t . S o m e t i m e s t h e i r r e a s o n i n g w a s n u m e r i c a l , b a s e d o n p a t t e r n s f o r m e d b y t h e v a l u e s o f t h e d e p e n d e n t v a r i a b l e f o r s e v e r a l p o i n t s a n d s o m e t i m e s t h e i r r e a s o n i n g w a s a l g e b r a i c , b a s e d o n a f o r m u l a f o r t h e r a t i o o f t h e v a l u e s o f t h e d e p e n d e n t a n d i n d e p e n d e n t v a r i a b l e . T h i s p o i n t p e r s p e c t i v e k n o w l e d g e , t h o u g h i n c o r r e c t , s h o w s t h a t s t u d e n t s a r e a n x i o u s t o c o n n e c t t h e c o o r d i n a t e s o f a p o i n t t o r a t e o f c h a n g e a t t h a t p o i n t . T e a c h e r s a n d c u r r i c u l u m w r i t e r s n e e d t o t h i n k a b o u t w a y s t o h e l p s t u d e n t s m o v e f r o m t h i s k n o w l e d g e t o m o r e c o r r e c t k n o w l e d g e a b o u t r a t e o f c h a n g e . S t u d e n t s u s e c h a n g e s o v e r i n t e r v a l i n m a n y w a y s t o a d d r e s s r a t e o f c h a n g e a t a p o i n t . M a n y o f t h e s e a r e b a s e d o n a v e r a g e r a t e o f c h a n g e i n t h e d e p e n d e n t v a r i a b l e o v e r i n t e r v a l o f t h e i n d e p e n d e n t v a r i a b l e , a p p r o p r i a t e k n o w l e d g e f o r a d d r e s s i n g r a t e o f c h a n g e a t a p o i n t . O t h e r u s e s o f c h a n g e s o v e r i n t e r v a l s , l i k e n u m e r i c a l l y o r a l g e b r a i c a l l y c o m p a r i n g c h a n g e s i n t h e d e p e n d e n t v a r i a b l e f o r t w o c o n s e c u t i v e i n t e r v a l s o f t h e i n d e p e n d e n t v a r i a b l e , a r e n o t t h e m o s t h e l p f u l i n 3 7 7 t h i n k i n g a b o u t r a t e o f c h a n g e a t a p o i n t b u t p r o v i d e o p p o r t u n i t i e s f o r t e a c h e r a n d c u r r i c u l u m w r i t e r s t o h e l p s t u d e n t s d i s t i n g u i s h b e t w e e n p e r c e n t c h a n g e , a n u n d e r — i n s t r u c t e d c o n c e p t i n h i g h s c h o o l a n d c o l l e g e m a t h e m a t i c s , a n d r a t e o f c h a n g e . W h e r e a p p r o p r i a t e m a n y s t u d e n t s u s e d k n o w l e d g e o f t h e g i v e n s i t u a t i o n t o a d d r e s s r a t e o f c h a n g e a t a p o i n t . S t u d e n t s t h o u g h t a b o u t t h e s i t u a t i o n i n g l o b a l t e r m s , h o w t h e u n d e r l y i n g f u n c t i o n c h a n g e d o v e r i t s e n t i r e d o m a i n , t o t h e n m a d e d e c i s i o n s a b o u t r a t e o f c h a n g e a t v a r i o u s p o i n t s . W h e n s t u d e n t s h a v e s p e c i f i c k n o w l e d g e o f p a r t i c u l a r s i t u a t i o n s , t h i s k n o w l e d g e c a n b e q u i t e u s e f u l i n s u p p o r t i n g t h e i r t h i n k i n g a b o u t r a t e o f c h a n g e . I n t h i s c l o s i n g c h a p t e r I a l s o d i s c u s s e d c o n n e c t i o n s b e t w e e n f i n d i n g s i n t h e l i t e r a t u r e r e v i e w e d i n C h a p t e r 2 a n d t h e r e s u l t s o f t h i s w o r k . I n b o t h c a s e s , s t u d e n t s o f t e n u s e d i n c o r r e c t k n o w l e d g e b u t s h o w e d p r o g r e s s t o w a r d m o r e c o r r e c t k n o w l e d g e o v e r t h e c o u r s e o f t h e i n t e r v i e w s . H o w e v e r , i n b o t h c a s e s , s t u d e n t s d i d h a v e s o m e k n o w l e d g e t h a t w a s a p p r o p r i a t e f o r a d d r e s s i n g r a t e o f c h a n g e . S t u d e n t s u s e d c h a n g e s o v e r i n t e r v a l s i n p o w e r f u l w a y s i n t h i s s t u d y a n d i n o t h e r s t u d i e s t o a d d r e s s r a t e o f c h a n g e . T h e s e w a y s o f u s i n g i n c r e m e n t s s e e m p r o m i s i n g f o r t h i n k i n g a b o u t h o w t o h e l p s t u d e n t s l e a r n r a t e o f c h a n g e . I n t h i s s t u d y , s t u d e n t s s h o w e d a n a b i l i t y t o w o r k w i t h b o t h c o n s t a n t a n d v a r y i n g r a t e s o f c h a n g e , i n g r a p h i c a l a n d n u m e r i c a l c o n t e x t s . B u t g i v e n t h e d i f f i c u l t i e s o f a d v a n c e d m a t h e m a t i c s s t u d e n t s i n t h e T h o m p s o n s t u d y , a n i m p o r t a n t q u e s t i o n t o t r y t o a n s w e r i s h o w c a n w e a d v a n c e s t u d e n t s ’ k n o w l e d g e b e y o n d u s e o f q u a l i t a t i v e a n d n u m e r i c a l a p p r o a c h e s t o r e a s o n i n g a b o u t r a t e o f c h a n g e a t a p o i n t t o t h e a l g e b r a i c d e f i n i t i o n o f i n s t a n t a n e o u s r a t e o f c h a n g e a s t h e l i m i t o f t h e r a t i o o f 3 7 8 a g e n e r a l l y e x p r e s s e d c h a n g e i n t h e d e p e n d e n t v a r i a b l e t o c h a n g e i n t h e d e p e n d e n t v a r i a b l e a s t h i s l a t t e r g o e s t o z e r o ? F o r m e , t h i s r e m a i n s t h e c h a l l e n g e o f t e a c h i n g c a l c u l u s . T h i s d i s s e r t a t i o n f i l l e d s o m e h o l e s i n t h e r e s e a r c h l i t e r a t u r e . I t s h o w e d h o w p r e c a l c u l u s , c a l c u l u s , a n d p o s t c a l c u l u s s t u d e n t s a d d r e s s a c o m m o n s e t o f t a s k s i n v o l v i n g r a t e o f c h a n g e . I t s h o w e d t h a t c e r t a i n w a y s o f a d d r e s s i n g r a t e o f c h a n g e a r e f a i r l y t y p i c a l o f s t u d e n t s a t t h e s e l e v e l s o f m a t h e m a t i c s e d u c a t i o n . I t s h o w e d t h a t t h e r e a r e m a n y d i f f e r e n t w a y s o f a d d r e s s i n g r a t e o f c h a n g e , t h a t s o m e w a y s a r e m o r e c o m m o n t o s o m e g r o u p s t h a n o t h e r s , a n d t h a t s o m e w a y s a r e m o r e u n i q u e t o s o m e g r o u p s t h a n o t h e r s . S u g g e s t i o n s f o r f u r t h e r r e s e a r c h i n c l u d e h o w s t u d e n t s c a n u s e t h e i r k n o w l e d g e o f r a t e o f c h a n g e i n g r a p h i c a l a n d n u m e r i c a l c o n t e x t s t o t h e n l e a r n r a t e o f c h a n g e i n a l g e b r a i c c o n t e x t s , t h e v a l u e o f u s i n g m o r e n u m e r i c a l a p p r o a c h e s t o t h e i n t r o d u c t i o n o f t h e d e r i v a t i v e , a n d t h e c o n s i d e r a t i o n o f p o s t p o n i n g t h e i n t r o d u c t i o n o f t h e a l g e b r a i c a l l y b a s e d l i m i t d e f i n i t i o n o f t h e d e r i v a t i v e t o l a t e r i n t h e c a l c u l u s s e q u e n c e . A P P E N D I C E S A P P E N D I X A G A L I L E O ' S A X I O M S A N D P R O P O S I T I O N S F O R U N I F O R M M O T I O N T h e s e a x i o m s a r e t a k e n f r o m p a g e s 1 9 0 t h r o u g h 1 9 6 o f D i a l 9 g u e s _ c o n e a r n i n g _ t w o _ n e w _ s c i e n c e s ( G a l i l e o , 1 6 3 8 ) A x i o m s A x i o m I — I n t h e c a s e o f o n e a n d t h e s a m e u n i f o r m m o t i o n , t h e d i s t a n c e t r a v e r s e d d u r i n g a l o n g e r i n t e r v a l o f t i m e i s g r e a t e r t h a n t h e d i s t a n c e t r a v e r s e d d u r i n g a s h o r t e r i n t e r v a l o f t i m e . A x i o m I I - I n t h e c a s e o f o n e a n d t h e s a m e u n i f o r m m o t i o n , t h e t i m e r e q u i r e d t o t r a v e r s e a g r e a t e r d i s t a n c e i s l o n g e r t h a n t h e t i m e r e q u i r e d f o r a l e s s d i s t a n c e . A x i o m I I I - I n o n e a n d t h e s a m e i n t e r v a l o f t i m e , t h e d i s t a n c e t r a v e r s e d a t a g r e a t e r s p e e d i s l a r g e r t h a n t h e d i s t a n c e t r a v e r s e d a t a l e s s s p e e d . A x i o m I V — T h e s p e e d r e q u i r e d t o t r a v e r s e a l o n g e r d i s t a n c e i s g r e a t e r t h a n t h a t r e q u i r e d t o t r a v e r s e a s h o r t e r d i s t a n c e d u r i n g t h e s a m e t i m e - i n t e r v a l . P r o p o s i t i o n s P r o p o s i t i o n I — I f a m o v i n g p a r t i c l e , c a r r i e d u n i f o r m l y a t a c o n s t a n t s p e e d , t r a v e r s e s t w o d i s t a n c e s t h e t i m e - i n t e r v a l s r e q u i r e d a r e t o e a c h o t h e r i n t h e r a t i o o f t h e s e d i s t a n c e s . P r o p o s i t i o n I I - I f a m o v i n g p a r t i c l e t r a v e r s e t w o d i s t a n c e s i n e q u a l i n t e r v a l s o f t i m e , t h e s e d i s t a n c e s w i l l b e a r t o e a c h o t h e r t h e s a m e r a t i o a s t h e s p e e d . A n d c o n v e r s e l y i f t h e d i s t a n c e s a r e a s t h e s p e e d s t h e n t h e t i m e s a r e e q u a l . P r o p o s i t i o n I I I - I n t h e c a s e o f u n e q u a l s p e e d s , t h e t i m e - i n t e r v a l s r e q u i r e d t o t r a v e r s e a g i v e n s p a c e a r e t o e a c h o t h e r i n v e r s e l y a s t h e s p e e d s . P r o p o s i t i o n I V - I f t w o p a r t i c l e s a r e c a r r i e d w i t h u n i f o r m m o t i o n , b u t e a c h w i t h a d i f f e r e n t s p e e d , t h e d i s t a n c e s c o v e r e d b y t h e m d u r i n g u n e q u a l i n t e r v a l s o f t i m e b e a r t o e a c h o t h e r t h e c o m p o u n d r a t i o o f t h e s p e e d s a n d t i m e i n t e r v a l s . P r o p o s i t i o n V - I f t w o p a r t i c l e s a r e m o v e d a t a u n i f o r m r a t e , b u t w i t h u n e q u a l s p e e d s , t h r o u g h u n e q u a l d i s t a n c e s , t h e n t h e r a t i o o f t h e t i m e - i n t e r v a l s o c c u p i e d w i l l b e t h e p r o d u c t o f t h e r a t i o o f t h e d i s t a n c e s b y t h e i n v e r s e r a t i o o f t h e s p e e d s . P r o p o s i t i o n V I - I f t w o p a r t i c l e s a r e c a r r i e d a t a u n i f o r m r a t e , t h e r a t i o o f t h e i r s p e e d s w i l l b e t h e p r o d u c t o f t h e r a t i o o f t h e d i s t a n c e s t r a v e r s e d b y t h e i n v e r s e r a t i o o f t h e t i m e - i n t e r v a l s o c c u p i e d . 3 7 9 A P P E N D I X B M E T H O D S O F A D D R E S S I N G R A T E O F C H A N G E T a b l e 4 1 - Q u a l i t a t i v e , n u m e r i c a l , a n d a l g e b r a i c w a y s o f a d d r e s s i n g r a t e o f c h a n g e I n c r e a s i n g / v e r t i c a l r i s e / d i f f e r e n c e s f i r s t d e c r e a s i n g f a l l o n g r a p h ; i n y v a l u e s d e r i v a t i v e y v a l u e s i n i n t a b l e i s p o s i t i v e t a b l e g e t a r e p o s i t i v e o r n e g a t i v e b i g g e r / s m a l l e r o r n e g a t i v e I n c r e a s i n g / g r a p h i s s t e e p a b s o l u t e v a l u e v a l u e s o f d e c r e a s i n g o r f l a t o f d i f f e r e n c e s d e r i v a t i v e a t a f a s t o r i n y v a l u e s a r e l a r g e o r s l o w r a t e l a r g e o r s m a l l s m a l l i n a b s o l u t e v a l u e I n c r e a s i n g / g r a p h g e t s a b s o l u t e v a l u e s i g n o f d e c r e a s i n g a t s u c c e s s i v e l y o f d i f f e r e n c e s s e c o n d s u c c e s s i v e l y s t e e p e r o r i n y v a l u e s d e r i v a t i v e f a s t e r o r f l a t t e r g e t b i g g e r o r s l o w e r r a t e s s m a l l e r M a x i m u m / p e a k s a n d d i p s d i f f e r e n c e s i n f i r s t m i n i m u m i n g r a p h o r y v a l u e s c h a n g e d e r i v a t i v e h i g h e s t a n d f r o m p o s i t i v e i s z e r o o r l o w e s t p o i n t s t o n e g a t i v e o r u n d e f i n e d o n g r a p h v i c e v e r s a ; l o w e s t a n d h i g h e s t v a l u e s o f y P o i n t o f g r a p h c h a n g e s a b s o l u t e v a l u e s e c o n d i n f l e c t i o n f r o m o f d i f f e r e n c e s d e r i v a t i v e s u c c e s s i v e l y i n y c h a n g e i s z e r o o r s t e e p e r t o f r o m g e t t i n g u n d e f i n e d s u c c e s s i v e l y b i g g e r t o f l a t t e r g e t t i n g s m a l l e r 3 8 0 o r v i c e v e r s a . C h a n g e a n d a v e r a g e r a t e o f c h a n g e o v e r i n t e r v a l s i n s t a n t a n e o u s r a t e o f c h a n g e 3 8 1 T a b l e 4 1 c o n t i n u e d v i s u a l c o m p a r i s o n o f v e r t i c a l r i s e o r f a l l f o r a g i v e n h o r i z o n t a l c h a n g e v i s u a l s l o p e o f t a n g e n t l i n e n u m e r i c a l v a l u e o f v e r t i c a l c h a n g e f r o m g r a p h o r d i f f e r e n c e i n c o n s e c u t i v e y v a l u e s c o n j e c t u r e l i m i t i n g v a l u e b a s e d o n n u m e r i c a l v a l u e s o f t h e a v e r a g e r a t e o f c h a n g e o v e r s e v e r a l i n t e r v a l s ; e s t i m a t e v a l u e o f s l o p e o f t a n g e n t l i n e r a t i o o f v e r t i c a l t o h o r i z o n t a l c h a n g e s ; r a t i o o f c h a n g e s i n y t o c h a n g e s i n x ; r a t i o o f ( f ( x i + 1 ) _ ( K i d - X i ) u s e o f l i m i t d e f i n i t i o n d e r i v a t i v e o f e q u a t i o n f o r f c t ; e v a l u a t e f i r s t d e r i v a t i v e a t g i v e n v a l u e o f x A P P E N D I X C T A S K S F O R T H I S S T U D Y 1 . T w o p e o p l e s t a r t a t o p p o s i t e c o r n e r s o f a r o o m a n d w a l k t o w a r d e a c h o t h e r . A s t h e y w a l k , t h e y b o t h s l o w d o w n a s t h e y g e t c l o s e r t o e a c h o t h e r , p a s s , a n d t h e n t h e y b o t h s p e e d u p a s t h e y g e t f a r t h e r a p a r t . T h i s t a k e s a t o t a l o f e i g h t s e c o n d s . T h e o p p o s i t e c o r n e r s o f t h e r o o m a r e 2 0 f e e t a p a r t . a . O n t h e g r a p h p a p e r s u p p l i e d , d r a w a g r a p h s h o w i n g t h e d i s t a n c e b e t w e e n t h e t w o p e o p l e a t e a c h m o m e n t i n t i m e . D e s c r i b e y o u r g r a p h . b . H o w d o e s y o u r g r a p h s h o w t h e t w o p e o p l e s l o w i n g d o w n ? H o w d o e s y o u r g r a p h s h o w t h e m s p e e d i n g u p ? H o w d o e s y o u r g r a p h s h o w w h e n t h e y a r e w a l k i n g f a s t e r ? H o w d o e s y o u r g r a p h s h o w w h e n t h e y a r e w a l k i n g s l o w e r ? c . C a n y o u m a k e a t a b l e o f v a l u e s t h a t g o e s w i t h y o u r g r a p h ? . ( 1 i ' ( E ) d . H o w d o e s y o u r t a b l e s h o w t h e t w o p e o p l e s l o w i n g d o w n ? H o w d o e s y o u r t a b l e s h o w t h e t w o p e o p l e s p e e d i n g u p ? H o w d o e s y o u r t a b l e s h o w w h e n t h e y a r e w a l k i n g f a s t e r ? H o w d o e s y o u r t a b l e s h o w w h e n t h e y a r e w a l k i n g s l o w e r ? 3 8 2 3 8 3 2 . T h e s e s a m e t w o p e o p l e d e c i d e a g a i n t o s t a r t a t o p p o s i t e c o r n e r s o f t h e r o o m a n d w a l k t o w a r d e a c h o t h e r b u t t h i s t i m e t h e y b o t h d e c i d e t o m a i n t a i n t h e s a m e s t e a d y p a c e t h e w h o l e w a y . A g a i n i t t a k e s a t o t a l o f e i g h t s e c o n d s f o r e a c h t o w a l k t h e 2 0 f e e t . a . O n t h e g r a p h p a p e r s u p p l i e d , d r a w a g r a p h s h o w i n g t h e d i s t a n c e b e t w e e n t h e t w o p e o p l e a t e a c h m o m e n t i n t i m e . D e s c r i b e y o u r g r a p h . b . H o w d o e s y o u r g r a p h s h o w t h e s t e a d y p a c e o f t h e t w o p e o p l e ? c . C a n y o u m a k e a t a b l e o f v a l u e s t h a t g o e s w i t h t h i s g r a p h ? . I l 1 ' I ( E ! ) 0 d . H o w d o e s y o u r t a b l e s h o w t h e s t e a d y p a c e o f t h e t w o p e o p l e ? 3 8 4 3 . T h e s e s a m e t w o p e o p l e d e c i d e o n c e m o r e t o s t a r t a t o p p o s i t e c o r n e r s a n d w a l k t o w a r d e a c h o t h e r . B u t t h i s t i m e a s t h e y w a l k , t h e y b o t h s p e e d u p a s t h e y g e t c l o s e r t o e a c h o t h e r , p a s s , a n d t h e n t h e y b o t h s l o w d o w n a s t h e y g e t f a r t h e r a p a r t . O n c e a g a i n i t t a k e s e i g h t s e c o n d s f o r e a c h t o w a l k t h e 2 0 f e e t . a . O n t h e g r a p h p a p e r s u p p l i e d , d r a w a g r a p h s h o w i n g t h e d i s t a n c e b e t w e e n t h e t w o p e o p l e a t e a c h m o m e n t i n t i m e . D e s c r i b e y o u r g r a p h . b . H o w d o e s y o u r g r a p h s h o w t h e t w o p e o p l e s p e e d i n g u p ? p a s s i n g ? s l o w i n g d o w n ? c . C a n y o u m a k e a t a b l e o f v a l u e s t h a t g o e s w i t h y o u r g r a p h ? . I 1 3 ' ( E ) 0 d . H o w d o e s y o u r t a b l e o f v a l u e s s h o w t h e t w o p e o p l e s p e e d i n g u p ? p a s s i n g ? s l o w i n g d o w n ? 4 . 3 8 5 A b a l l i s t h r o w n s t r a i g h t u p i n t o t h e a i r . G r a p h 1 s h o w s t h e h e i g h t o f t h e b a l l a t s e l e c t e d p o i n t s i n i t s f o u r s e c o n d j o u r n e y . a . D e s c r i b e t h e h e i g h t o f t h e b a l l o v e r t h e f o u r s e c o n d s . b . D o e s t h e b a l l t r a v e l t h e s a m e n u m b e r o f f e e t e a c h q u a r t e r o f a s e c o n d o r d o e s t h e b a l l t r a v e l m o r e f e e t s o m e q u a r t e r s e c o n d s a n d l e s s f e e t o t h e r q u a r t e r s e c o n d s ? D u r i n g w h i c h q u a r t e r s e c o n d ( s ) d o e s i t t r a v e l t h e m o s t ? H o w d o y o u k n o w ? H o w f a s t d o e s t h e b a l l t r a v e l d u r i n g t h e s e q u a r t e r s e c o n d ( s ) ? D u r i n g w h i c h q u a r t e r s e c o n d ( s ) d o e s t h e b a l l t r a v e l t h e l e a s t ? H o w d o y o u k n o w ? H o w f a s t d o e s t h e b a l l t r a v e l d u r i n g t h e s e q u a r t e r s e c o n d s ? D u r i n g w h i c h q u a r t e r s e c o n d s d o e s t h e b a l l t r a v e l t h e s a m e n u m b e r o f f e e t ? H o w d o y o u k n o w ? H o w f a s t d o e s t h e b a l l t r a v e l d u r i n g t h e s e q u a r t e r s e c o n d s ? c . H o w f a s t i s t h e b a l l t r a v e l i n g a t t h e e n d o f t h e f i r s t s e c o n d ? H o w d o y o u k n o w ? ( H o w f a r h a s t h e b a l l t r a v e l e d i n t h e f i r s t s e c o n d ? H o w f a s t h a s t h e b a l l t r a v e l e d i n t h e f i r s t s e c o n d ? ) H o w f a s t i s t h e b a l l t r a v e l i n g a t t h e e n d o f t w o s e c o n d s ? H o w d o y o u k n o w ? T a b l e 3 8 6 H o w f a s t i s t h e b a l l t r a v e l i n g a t t h e e n d o f t h r e e s e c o n d s ? H o w d o y o u k n o w ? H o w f a s t i s t h e b a l l t r a v e l i n g a t t h e e n d o f f o u r s e c o n d s ? H o w d o y o u k n o w ? H o w f a s t i s t h e b a l l t r a v e l i n g j u s t b e f o r e i t h i t s t h e g r o u n d ? ( H o w f a s t i s t h e b a l l t r a v e l i n g w h e n i t h i t s t h e g r o u n d ? ) 1 s h o w s t h e v a l u e s f o r t h e d a t a p o i n t s i n G r a p h 1 . L e t ' s u s e t h i s t a b l e t o l o o k a g a i n a t t h e q u e s t i o n s i n c . Y o u a r e f r e e t o u s e j u s t t h e t a b l e t o a n s w e r t h e q u e s t i o n s o r t o u s e b o t h t h e t a b l e a n d t h e g r a p h . d . H o w f a s t i s t h e b a l l t r a v e l i n g a t t h e e n d o f t h e f i r s t s e c o n d ? H o w f a s t i s t h e b a l l t r a v e l i n g a t t h e e n d o f t w o s e c o n d s ? H o w f a s t i s t h e b a l l t r a v e l i n g a t t h e e n d o f t h r e e s e c o n d s ? H o w f a s t i s t h e b a l l t r a v e l i n g a t t h e e n d o f f o u r s e c o n d s ? H o w f a s t i s t h e b a l l t r a v e l i n g j u s t b e f o r e i t h i t s t h e g r o u n d ? 5 . 3 8 7 G r a p h 2 s h o w s t h e p o p u l a t i o n o f y e a s t c e l l s i n a c u l t u r e o v e r a p e r i o d o f 1 8 h o u r s ( f r o m m i d n i g h t t o 6 p m ) . a . D e s c r i b e t h e p o p u l a t i o n o f y e a s t c e l l s o v e r t h i s p e r i o d o f t i m e . b . D o e s t h e p o p u l a t i o n o f y e a s t c e l l s c h a n g e a b o u t t h e s a m e e a c h h o u r o r d o e s i t c h a n g e m o r e s o m e h o u r s a n d l e s s o t h e r h o u r s ? H o w d o y o u k n o w ? D u r i n g w h i c h h o u r ( s ) d o e s t h e p o p u l a t i o n c h a n g e t h e m o s t ? H o w d o y o u k n o w ? H o w f a s t d o e s i t c h a n g e o v e r t h o s e h o u r ( s ) ? D u r i n g w h i c h h o u r ( s ) d o e s t h e p o p u l a t i o n c h a n g e t h e l e a s t ? H o w d o y o u k n o w ? H o w f a s t d o e s i t c h a n g e o v e r t h o s e h o u r ( s ) ? D u r i n g w h i c h h o u r s d o e s t h e p o p u l a t i o n c h a n g e a b o u t t h e s a m e ? H o w d o y o u k n o w ? H o w f a s t d o e s i t c h a n g e o v e r e a c h o f t h e s e h o u r s ? c . H o w f a s t i s t h e p o p u l a t i o n c h a n g i n g a t 4 a m ? H o w d o y o u k n o w ? T a b l e 2 s h o w s t h e p o p u l a t i o n o f y e a s t c e l l s a t e a c h h o u r . L e t ' s u s e t h i s t a b l e t o l o o k a g a i n a t t h e q u e s t i o n s i n c . Y o u a r e f r e e t o u s e j u s t t h e t a b l e t o a n s w e r t h e q u e s t i o n s o r y o u c a n u s e b o t h t h e t a b l e a n d g r a p h . d . H o w f a s t i s t h e p o p u l a t i o n c h a n g i n g a t 4 a m ? 3 8 8 G r a p h 3 i s a n e n l a r g e d s e c t i o n o f g r a p h 2 a n d t a b l e 3 g i v e s t h e p o p u l a t i o n o f y e a s t c e l l s f o r s e l e c t e d t i m e v a l u e s i n t h i s s e c t i o n . U s e t h e s e t o f i n d o u t h o w f a s t t h e p o p u l a t i o n i s c h a n g i n g a t 4 a m . H o w m p g h d o e s t h e p o p u l a t i o n c h a n g e o v e r t h e i n t e r v a l f r o m 3 a m t o 4 a m ? H o w f a g ; d o e s t h e p o p u l a t i o n c h a n g e o v e r t h e i n t e r v a l f r o m 3 a m t o 4 a m ? H o w m u p h d o e s t h e p o p u l a t i o n c h a n g e o v e r t h e i n t e r v a l f r o m 4 a m t o 5 a m ? H o w f a g ; d o e s t h e p o p u l a t i o n c h a n g e o v e r t h e i n t e r v a l f r o m 4 a m t o 5 a m ? H o w f a g ; d o e s t h e p o p u l a t i o n c h a n g e a t 4 a m ? H o w m u g h d o e s t h e p o p u l a t i o n c h a n g e o v e r t h e i n t e r v a l f r o m 3 : 3 0 a m t o 4 a m ? H o w f a g ; d o e s t h e p o p u l a t i o n c h a n g e o v e r t h e i n t e r v a l f r o m 3 : 3 0 a m t o 4 a m ? H o w m u c h d o e s t h e t o 4 : 3 0 a m ? H o w f a g ; d o e s t h e t o 4 : 3 0 a m ? H o w f a g ; d o e s t h e H o w m u c h d o e s t h e 3 : 4 5 a m t o 4 a m ? H o w f a s r d o e s t h e 3 : 4 5 a m t o 4 a m ? H o w m u g h d o e s t h e t o 4 : 1 5 a m ? H o w f a g ; d o e s t h e t o 4 : 1 5 a m ? H o w f a g ; d o e s t h e D e s c r i b e a p r o c e d u r e c h a n g e s a t 4 a m . 3 8 9 p o p u l a t i o n c h a n g e p o p u l a t i o n c h a n g e p o p u l a t i o n c h a n g e p o p u l a t i o n c h a n g e p o p u l a t i o n c h a n g e p o p u l a t i o n c h a n g e p o p u l a t i o n c h a n g e p o p u l a t i o n c h a n g e o v e r t h e i n t e r v a l f r o m 4 a m o v e r t h e i n t e r v a l f r o m 4 a m a t 4 a m ? o v e r t h e i n t e r v a l f r o m o v e r t h e i n t e r v a l f r o m o v e r t h e i n t e r v a l f r o m 4 a m o v e r t h e i n t e r v a l f r o m 4 a m a t 4 a m ? f o r f i n d i n g e x a c t l y h o w f a g ; t h e p o p u l a t i o n 6 . 3 9 0 A p e b b l e i s d r o p p e d i n t o a c a l m p o n d , c a u s i n g r i p p l e s i n t h e f o r m o f c o n c e n t r i c c i r c l e s . G r a p h 4 s h o w s t h e a r e a o f t h e c i r c l e a s t h e r a d i u s g r o w s f r o m 0 t o 5 f e e t . a . D e s c r i b e t h e a r e a o f t h e c i r c l e a s t h e r a d i u s g r o w s f r o m 0 t o 5 f e e t . b . D o e s t h e a r e a g r o w t h e s a m e n u m b e r o f s q u a r e f e e t f o r e a c h o n e f o o t i n c r e a s e i n t h e r a d i u s ? F o r w h i c h o n e f o o t i n c r e a s e i n t h e r a d i u s d o e s t h e a r e a g r o w t h e l e a s t ? H o w m u c h d o e s i t g r o w ? H o w f a s t d o e s i t g r o w ? F o r w h i c h o n e f o o t i n c r e a s e t h e m o s t ? H o w m u c h d o e s H o w m u c h d o e s t h e a r e a g r o w f e e t ? H o w f a s t d o e s t h e 2 t o 3 f e e t ? H o w m u c h d o e s t h e a r e a g r o w f e e t ? H o w f a s t d o e s t h e 3 t o 4 f e e t ? i n t h e r a d i u s d o e s t h e a r e a g r o w i t g r o w ? H o w f a s t d o e s i t g r o w ? a s t h e r a d i u s g r o w s f r o m 2 t o 3 a r e a g r o w a s t h e r a d i u s g r o w s f r o m a s t h e r a d i u s g r o w s f o r m 3 t o 4 a r e a g r o w a s t h e r a d i u s g r o w s f r o m c . H o w f a s t i s t h e a r e a g r o w i n g w h e n t h e r a d i u s i s e x a c t l y 3 f e e t ? 3 9 1 T a b l e 4 g i v e s t h e a r e a f o r v a l u e s o f t h e r a d i u s f r o m 0 t o 5 f e e t i n s t e p s o f o n e - f o u r t h o f a f o o t . d . H o w f a s t d o e s t h e a r e a g r o w a s t h e r a d i u s g r o w s f r o m 2 t o 3 f e e t ? H o w f a s t d o e s t h e a r e a g r o w a s t h e r a d i u s g r o w s f r o m 3 t o 4 f e e t ? H o w f a s t i s t h e a r e a g r o w i n g w h e n t h e r a d i u s i s e x a c t l y 3 f e e t ? H o w f a s t d o e s t h e a r e a g r o w a s t h e r a d i u s g r o w s f r o m 2 . 7 5 t o 3 f e e t ? H o w f a s t d o e s t h e a r e a g r o w a s t h e r a d i u s g r o w s f r o m 3 t o 3 . 2 5 f e e t ? H o w f a s t i s t h e a r e a g r o w i n g w h e n t h e r a d i u s i s e x a c t l y 3 f e e t ? 3 9 2 T I F g l n s c o d I 1 5 + 1 0 u m L 1 3 2 1 _ — 7 _ _ - d ) s d n o c e s n I ( o m l T G r a p h 1 ( 1 0 0 1 u r ) m o m : ' E O * - N Q # I U ’ O N Q O ( fi o - s l — - l N — w l a - A m A m A u A A m T a b l e 1 1 1 m : H e i g h t 0 0 0 . 2 5 1 5 0 . 5 2 8 0 . 7 5 3 9 1 4 8 1 . 2 5 5 5 1 . 5 6 0 1 . 7 5 6 3 2 6 4 2 . 2 5 6 3 2 . 5 6 0 2 . 7 5 5 5 3 4 8 3 . 2 5 3 9 3 . 5 2 8 3 . 7 5 1 5 4 0 T a b l e 3 Y e a s t c e l l I i m e p o p u l a t i o n 3 4 7 . 2 3 . 2 5 5 1 . 4 3 . 5 5 6 . 7 3 . 7 5 6 3 . 2 4 7 1 . 1 4 . 2 5 7 9 . 7 4 . 5 9 0 . 3 4 . 7 5 1 0 3 . 2 5 1 1 9 . 1 3 9 4 0 . 2 5 0 . 5 0 . 7 5 1 . 2 5 1 . 5 1 . 7 5 2 . 2 5 2 . 5 2 . 7 5 3 . 2 5 3 . 5 3 . 7 5 4 . 2 5 4 . 5 4 . 7 5 T a b l e 2 T a b l e 4 Y e a s t c e l l e m u l a t i o n 9 . 6 1 8 . 3 2 9 4 7 . 2 7 1 . 1 1 1 9 . 1 1 7 4 . 6 2 5 7 . 3 3 5 0 . 7 4 4 1 5 1 3 . 3 5 5 9 . 7 5 9 4 . 8 6 2 9 . 4 6 4 0 . 8 6 5 1 . 1 6 5 5 . 9 6 5 9 . 6 6 6 1 . 8 3 . 1 4 4 . 9 1 7 . 0 7 9 . 6 2 1 2 . 5 7 1 5 . 9 1 9 . 6 3 2 3 . 7 6 2 8 . 2 7 3 3 . 1 8 3 8 . 4 8 4 4 . 1 8 5 0 . 2 7 5 6 . 7 5 6 3 . 6 2 7 0 . 8 8 7 8 . 5 4 3 9 5 ( u n o u u I ) o w n a n » m a o q w n u 3 9 6 . . . a . . . . . 1 . 0 . 3 5 . . 1 1 1 . . 1 3 . 3 . . . A ! . . . 2 1 ( M N W 5 . u I ) " a l l : 1 " W V 3 9 7 A P P E N D I X D L E T T E R S O F E X P L A N A T I O N A N D C O N S E N T L e t t e r f o r h i g h s c h o o l s t u d e n t s A p r i l 1 , 1 9 9 4 D e a r S t u d e n t s a n d P a r e n t s o f W e s t e r n H i g h S c h o o l , M y n a m e i s G a r n e t H a u g e r a n d I a m a m a t h e m a t i c s i n s t r u c t o r a t S p r i n g A r b o r C o l l e g e . I a m w o r k i n g o n a d o c t o r a t e i n E d u c a t i o n a l P s y c h o l o g y a t M i c h i g a n S t a t e U n i v e r s i t y . M y d i s s e r t a t i o n d e a l s w i t h w h a t s t u d e n t s a t v a r i o u s l e v e l s o f m a t h e m a t i c a l b a c k g r o u n d u n d e r s t a n d a b o u t t h e c o n c e p t o f ' r a t e o f c h a n g e . ’ T h i s p a r t i c u l a r m a t h e m a t i c a l c o n c e p t i s i m p o r t a n t b e c a u s e i t i s u s e d i n t h e p h y s i c a l , n a t u r a l , a n d s o c i a l s c i e n c e s t o a n a l y z e h o w p h e n o m e n o n c h a n g e o v e r t i m e . I n a d d i t i o n , m a n y e v e r y d a y e x p e r i e n c e s , l i k e w a l k i n g , r u n n i n g , d r i v i n g , w e a t h e r , a n d b a n k i n g i n v o l v e r a t e s o f c h a n g e . T h e p u r p o s e o f t h i s s t u d y i s t o f i n d o u t h o w s t u d e n t s t h i n k a b o u t t h e c o n c e p t o f r a t e o f c h a n g e s o t h a t w e c a n d o a b e t t e r j o b o f t e a c h i n g i t . T h e m o r e w e k n o w a b o u t w h a t s t u d e n t s a r e t h i n k i n g i n t h i s a r e a o f m a t h e m a t i c s , t h e b e t t e r c h a n c e t e a c h e r s h a v e o f a n t i c i p a t i n g w h e r e l i k e l y d i f f i c u l t i e s l i e a n d h e l p i n g w i t h t h e m . I h a v e d e s i g n e d s o m e p r o b l e m s I w i l l a s k v o l u n t e e r s t o w o r k o n a n d t a l k a b o u t . I w i l l i n t e r v i e w s t u d e n t s a t t h r e e d i f f e r e n t l e v e l s o f s c h o o l i n g - c o l l e g e j u n i o r a n d s e n i o r m a t h e m a t i c s m a j o r s , c o l l e g e f r e s h m e n a n d s o p h o m o r e s w h o a r e t a k i n g c a l c u l u s , a n d h i g h s c h o o l s t u d e n t s w h o h a v e h a d a t l e a s t t w o y e a r s o f h i g h s c h o o l a l g e b r a b u t w h o h a v e n o t y e t h a d c a l c u l u s . I w i l l w o r k w i t h s t u d e n t s f r o m S p r i n g A r b o r C o l l e g e f o r t h e f i r s t t w o g r o u p s b u t I a m s e e k i n g s o m e h i g h s c h o o l s t u d e n t s t o v o l u n t e e r f o r t h e l a s t g r o u p . E a c h s t u d e n t w i l l b e i n t e r v i e w e d i n d i v i d u a l l y . I n t e r v i e w s w i t h h i g h s c h o o l s t u d e n t s w i l l t a k e p l a c e a t W e s t e r n H i g h S c h o o l d u r i n g t h e s t u d e n t ' s f r e e p e r i o d o r i m m e d i a t e l y a f t e r s c h o o l . I n t e r v i e w s w i l l l a s t a b o u t a n h o u r a n d , w i t h y o u r p e r m i s s i o n , w i l l b e a u d i o a n d v i d e o t a p e d . T h e t a p e s w i l l b e h e a r d / s e e n p r i m a r i l y b y m e a n d m y a d v i s o r . I m a y s h o w e x c e r p t s o f o n e o r m o r e o f t h e t a p e s t o s o m e m e m b e r s o f a s m a l l r e s e a r c h g r o u p w h i c h g a t h e r s p e r i o d i c a l l y t o h e l p e a c h o t h e r w i t h o n g o i n g p r o j e c t s . I t m a y a l s o b e t h a t e x c e r p t s w i l l b e u s e d a s p a r t o f p r e s e n t a t i o n s a t p r o f e s s i o n a l m e e t i n g s i n v o l v i n g o t h e r m a t h e m a t i c s t e a c h e r s a n d r e s e a r c h e r s w h o h a v e a n i n t e r e s t i n t h i s s t u d y . S t u d e n t s w i l l n o t b e i d e n t i f i e d b y n a m e o r s c h o o l w h e n u s i n g t h e t a p e s o r i n r e p o r t i n g t h e r e s u l t s o f t h i s r e s e a r c h . T h e p e r f o r m a n c e o f i n d i v i d u a l s t u d e n t s w i l l n o t b e m a d e a v a i l a b l e t o a n y c u r r e n t o r f u t u r e t e a c h e r s o r s c h o o l o f f i c i a l s . T h i s l e t t e r i s t o i n v i t e y o u t o p a r t i c i p a t e i n t h i s s t u d y . E a c h s t u d e n t w i l l b e p a i d $ 5 . 0 0 f o r p a r t i c i p a t i n g . I f a s t u d e n t w a n t s t o s t o p t h e i n t e r v i e w o r s i m p l y s t o p f o r t h e d a y , s / h e w i l l b e a l l o w e d t o d o s o . I f t h i s s h o u l d h a p p e n , t h e s t u d e n t w i l l b e p a i d f o r t h e p a r t t h e y h a v e a c t u a l l y c o m p l e t e d . I f y o u r s o n o r d a u g h t e r i s w i l l i n g t o b e a p a r t o f ‘ t h i s s t u d y a n d i f y o u a r e w i l l i n g t o g i v e y o u r p e r m i s s i o n f o r h i s / h e r i n v o l v e m e n t , s i m p l y s i g n t h e c o n s e n t f o r m o n t h e n e x t p a g e a n d r e t u r n i n t h e s e l f - a d d r e s s e d s t a m p e d e n v e l o p e . A n e x t r a c o p y o f t h e c o n s e n t f o r m i s o n t h e b a c k o f t h i s l e t t e r f o r y o u r i n f o r m a t i o n . I f y o u h a v e a n y 3 9 8 3 9 9 q u e s t i o n s a b o u t t h i s s t u d y , p l e a s e c a l l m e a t t h e o f f i c e ( 7 5 0 - 6 3 7 7 ) o r a t h o m e ( 7 5 0 - 4 8 4 1 ) . I w i l l r e t u r n y o u r c a l l a s s o o n a s p o s s i b l e . I f y o u w o u l d l i k e a s h o r t r e p o r t o f t h e r e s u l t s o f t h i s s t u d y , I w o u l d b e h a p p y t o m a k e t h a t a v a i l a b l e e v e n i f y o u r s o n o r d a u g h t e r d o e s n o t p a r t i c i p a t e . J u s t c h e c k t h e a p p r o p r i a t e b l a n k o n t h e c o n s e n t f o r m . T h a n k y o u f o r y o u r t i m e . S i n c e r e l y , G a r n e t H a u g e r , A s s o c i a t e P r o f e s s o r o f M a t h e m a t i c s C h a i r , M a t h e m a t i c s D e p a r t m e n t P a r e n t P e r m i s s i o n F o r m : m a y v o l u n t a r i l y p a r t i c i p a t e i n t h e ( n a m e o f s t u d e n t ) s t u d y d e s c r i b e d i n t h i s l e t t e r . m a y n o t p a r t i c i p a t e i n t h e ( n a m e o f s t u d e n t ) s t u d y d e s c r i b e d i n t h i s l e t t e r . D a t e : S i g n a t u r e o f P a r e n t / G u a r d i a n : S i g n a t u r e o f S t u d e n t : I w o u l d l i k e a s h o r t r e p o r t o f t h e r e s u l t s o f t h i s s t u d y . W h e n t h a t r e p o r t b e c o m e s a v a i l a b l e , p l e a s e s e n d i t t o t h i s a d d r e s s : 4 0 0 L e t t e r f o r c o l l e g e s t u d e n t s A p r i l 1 , 1 9 9 4 D e a r C o l l e g e S t u d e n t , A s m a n y o f y o u k n o w , I a m w o r k i n g o n a d o c t o r a t e i n E d u c a t i o n a l P s y c h o l o g y a t M i c h i g a n S t a t e U n i v e r s i t y . M y d i s s e r t a t i o n d e a l s w i t h w h a t s t u d e n t s a t v a r i o u s l e v e l s o f m a t h e m a t i c a l b a c k g r o u n d u n d e r s t a n d a b o u t t h e c o n c e p t o f ' r a t e o f c h a n g e . ‘ T h i s p a r t i c u l a r m a t h e m a t i c a l c o n c e p t i s i m p o r t a n t b e c a u s e i t i s u s e d i n t h e p h y s i c a l , n a t u r a l , a n d s o c i a l s c i e n c e s t o a n a l y z e h o w p h e n o m e n o n c h a n g e o v e r t i m e . I n a d d i t i o n , m a n y e v e r y d a y e x p e r i e n c e s , l i k e w a l k i n g , r u n n i n g , d r i v i n g , w e a t h e r , a n d b a n k i n g i n v o l v e r a t e s o f c h a n g e . T h e p u r p o s e o f t h i s s t u d y i s t o f i n d o u t h o w s t u d e n t s t h i n k a b o u t t h e c o n c e p t o f r a t e o f c h a n g e s o t h a t w e c a n d o a b e t t e r j o b o f t e a c h i n g i t . T h e m o r e w e k n o w a b o u t w h a t s t u d e n t s a r e t h i n k i n g i n t h i s a r e a o f m a t h e m a t i c s , t h e b e t t e r c h a n c e t e a c h e r s h a v e o f a n t i c i p a t i n g w h e r e l i k e l y d i f f i c u l t i e s l i e a n d h e l p i n g w i t h t h e m . F o r t h i s s t u d y I h a v e d e s i g n e d s o m e p r o b l e m s w h i c h I w i l l a s k v o l u n t e e r s t o w o r k o n a n d t a l k a b o u t . I w i l l i n t e r v i e w s t u d e n t s a t t h r e e d i f f e r e n t l e v e l s o f s c h o o l i n g - c o l l e g e j u n i o r s a n d s e n i o r s w h o a r e m a t h e m a t i c s m a j o r s , c o l l e g e f r e s h m e n a n d s o p h o m o r e s w h o a r e t a k i n g c a l c u l u s , a n d h i g h s c h o o l s t u d e n t s w h o h a v e h a d a t l e a s t t w o y e a r s o f h i g h s c h o o l a l g e b r a b u t w h o h a v e n o t y e t h a d c a l c u l u s . E a c h s t u d e n t w i l l b e i n t e r v i e w e d i n d i v i d u a l l y . T h e i n t e r v i e w s w i t h t h e c o l l e g e s t u d e n t s w i l l t a k e p l a c e h e r e o n o u r c a m p u s . T h e y w i l l l a s t a b o u t a n h o u r a n d , w i t h y o u r p e r m i s s i o n , w i l l b e a u d i o a n d v i d e o t a p e d . T h e t a p e s w i l l b e h e a r d / s e e n p r i m a r i l y b y m e a n d m y a d v i s o r . I m a y s h o w e x c e r p t s o f o n e o r m o r e o f t h e t a p e s t o s o m e m e m b e r s o f a s m a l l r e s e a r c h g r o u p w h i c h g a t h e r s p e r i o d i c a l l y t o h e l p e a c h o t h e r w i t h o n g o i n g p r o j e c t s . I t m a y a l s o b e t h a t e x c e r p t s w i l l b e u s e d a s p a r t o f p r e s e n t a t i o n s a t p r o f e s s i o n a l m e e t i n g s i n v o l v i n g o t h e r m a t h e m a t i c s t e a c h e r s a n d r e s e a r c h e r s w h o h a v e a n i n t e r e s t i n t h i s s t u d y . S t u d e n t s w i l l n o t b e i d e n t i f i e d b y n a m e o r s c h o o l w h e n u s i n g t h e t a p e s o r i n r e p o r t i n g t h e r e s u l t s o f t h i s r e s e a r c h . Y o u r p e r f o r m a n c e a s a n i n d i v i d u a l w i l l n o t b e r e p o r t e d t o a n y c u r r e n t o r f u t u r e t e a c h e r o r s c h o o l o f f i c i a l . T h i s l e t t e r i s t o i n v i t e y o u r p a r t i c i p a t i o n i n t h i s s t u d y . P a r t i c i p a t i o n i s s t r i c t l y v o l u n t a r y . I f y o u c h o o s e t o p a r t i c i p a t e , y o u r p e r f o r m a n c e w i l l i n n o w a y a f f e c t y o u r g r a d e i n a n y c o u r s e y o u a r e t a k i n g o r w i l l t a k e f r o m m e . I f y o u c h o o s e n o t t o p a r t i c i p a t e , t h a t c h o i c e w i l l n o t i n a n y w a y a f f e c t y o u r g r a d e i n a n y c o u r s e y o u a r e t a k i n g o r w i l l t a k e f r o m m e . I f y o u c h o o s e t o p a r t i c i p a t e , y o u w i l l b e g i v e n e x t r a c r e d i t i n a c o u r s e y o u a r e t a k i n g f r o m m e . I f y o u c h o o s e n o t t o p a r t i c i p a t e , y o u w i l l b e g i v e n t h e o p p o r t u n i t y t o e a r n e x t r a c r e d i t i n a n o t h e r w a y . I f , f o r a n y r e a s o n , a p a r t i c i p a t i n g s t u d e n t w a n t s t o s t o p t h e i n t e r v i e w o r s i m p l y s t o p f o r t h e d a y , s / h e w i l l b e a l l o w e d t o d o s o . H o w e v e r , t o g e t t h e f u l l a m o u n t o f e x t r a c r e d i t , t h e s t u d e n t n e e d s t o c o m p l e t e t h e e n t i r e i n t e r v i e w . I f y o u w o u l d l i k e t o t a k e p a r t i n t h i s s t u d y , p l e a s e s i g n t h e c o n s e n t f o r m b e l o w a n d r e t u r n i t t o G a r n e t H a u g e r , S t a t i o n 1 4 . T h e e x t r a c o p y i s f o r y o u r i n f o r m a t i o n . I f y o u h a v e a n y q u e s t i o n s a b o u t t h i s r e s e a r c h , p l e a s e c a l l m e a t e x t e n s i o n 1 3 7 7 o r s t o p b y m y o f f i c e , r o o m 1 0 2 C i n t h e W h i t e m a n - G i b b s S c i e n c e C e n t e r . 4 0 1 I f y o u w o u l d l i k e a s h o r t r e p o r t o f t h e r e s u l t s o f t h i s s t u d y , I w o u l d b e h a p p y t o m a k e t h a t a v a i l a b l e e v e n i f y o u c h o o s e n o t t o p a r t i c i p a t e . J u s t c h e c k t h e a p p r o p r i a t e b l a n k o n t h e c o n s e n t f o r m . S i n c e r e l y , G a r n e t H a u g e r A s s o c i a t e P r o f e s s o r o f M a t h e m a t i c s C h a i r , M a t h e m a t i c s D e p a r t m e n t S t u d e n t P e r m i s s i o n F o r m : I w o u l d l i k e t o p a r t i c i p a t e i n t h e r e s e a r c h d e s c r i b e d i n t h i s l e t t e r . I w o u l d p r e f e r n o t t o p a r t i c i p a t e i n t h i s r e s e a r c h . S i g n a t u r e o f S t u d e n t : L o c a l A d d r e s s : L o c a l P h o n e N u m b e r : I w o u l d l i k e a s h o r t r e p o r t o f t h e r e s u l t s o f t h i s s t u d y . W h e n t h a t r e p o r t b e c o m e s a v a i l a b l e , p l e a s e s e n t i t t o t h i s a d d r e s s : A P P E N D I X E T A B L E 4 2 - W A Y S S T U D E N T S F O U N D T H E S P E E D O F T H E B A L L A T t a 1 . 2 : 3 . A N D 4 I N T A S K 4 _ _ _ _ _ § L I § L § 9 ¥ _ _ _ _ _ _ _ L £ l _ _ _ _ L 5 2 _ _ _ _ L a l _ _ t = 4 A n a l y s i s o f m o v i n g s l o w i n g z e r o ; * 1 s p e e d i n g f a s t e s t ; o b j e c t s d o w n s t o p p e d u p ; * 2 * 3 R e f e r e n c e t o a 4 8 / 1 6 4 / 2 4 8 / 3 0 / 4 p o i n t * 4 4 8 f t / s e c 3 2 f t / s e c l 6 f t / s e c 0 f t / s e c A v g . s p e e d s i n c e 4 8 / 1 6 4 / 2 8 0 / 3 * 5 1 2 8 / 4 t = 0 o r t = 2 * 6 4 8 f t / s e c 3 2 f t / s e c 2 7 f t / s e c 3 2 f t / s e c A v g . s p d . o v e r 4 8 f t / s e c 1 6 f t / s e c 1 6 f t / s e c 4 8 f t / s e c p r e v . s e c . A v g . s p d . o v e r 3 6 f t / s e c 4 f t / s e c 2 8 f t / s e c 6 0 f t / s e c p r e v . 1 / 4 s e c . A v g . s p d . o v e r 1 / 2 3 2 f t / s e c 0 f t / s e c 3 2 f t / s e c 6 4 f t / s e c s e c . a r o u n d p t . R e f e r e n c e t o s l o p e 3 2 f t / s e c 0 f t / s e c 3 2 f t / s e c 6 4 f t / s e c * 7 * 1 L i k e l y r e a s o n s g i v e n ; s i n c e i t ' s i n c r e a s i n g b e f o r e a n d d e c r e a s i n g a f t e r o r g o i n g u p b e f o r e a n d g o i n g d o w n a f t e r o r s l o w i n g d o w n b e f o r e a n d s p e e d i n g u p a f t e r o r h a s a m a x i m u m t h e r e . * 2 S o m e s t u d e n t s s a i d * 3 S o m e s t u d e n t s s a i d " s a m e a s a t t = 1 " . " s a m e a s a t t = 0 " . * 4 A v a r i a t i o n o f t h i s i n c l u d e s g i v i n g t h e h e i g h t p e r s e c o n d , l i k e 6 4 f t / s e c a t t = 2 a n d 4 8 f t / s e c a t t = 3 . * 5 F o r t = 3 a n d t = 4 s t u d e n t s m a y h a v e u s e d t o t a l d i s t a n c e f r o m t = 2 . * 6 A v a r i a t i o n o f t h i s i n c l u d e s g i v i n g t h e t o t a l d i s t a n c e p e r s e c o n d , l i k e 6 4 f t / s e c a t t = 2 a n d 8 0 f t / s e c a t t = 3 . * 7 F o r t = 2 s t u d e n t s m a y s a y t h e s p e e d i s z e r o b e c a u s e t h e s l o p e i f g o i n g f r o m p o s i t i v e b e f o r e t = 2 t o n e g a t i v e a f t e r t = 2 . 4 0 2 A P P E N D I X E T A B L E 4 3 - W A Y S S T U D E N T S F O U N D T H E R A T E O F G R O W T H O F T H E C E L L P O P U L A T I O N A T T a 4 A M I N T A S K 5 _ _ _ _ _ E L I B C G Q Y R e f e r e n c e t o a p o i n t A v g . g r o w t h r a t e s i n c e t = 0 A v g . g r o w t h o v e r t h e p r e v i o u s h o u r A v g . g r o w t h o v e r t w o h o u r s a r o u n d t = 4 a m A v g . g r o w t h o v e r h a l f h o u r a r o u n d t = 4 a m R e f e r e n c e t o s l o p e N o t q u i t e d o u b l i n g M u l t i p l i e d b y t w o - t h i r d s I n c r e a s e d b y o n e - t h i r d 1 2 p e r c e n t i n c r e a s e R W W W 7 1 . 1 c e l l s p e r h o u r o r 7 1 . 1 / 4 = 1 7 . 8 c e l l s p e r h o u r ( 7 1 . 1 - 9 . 6 ) = 6 1 . 5 c e l l s o v e r f o u r h o u r s o r 6 1 . 6 / 4 = 1 5 . 4 c e l l s p e r h o u r ( 7 1 . 1 — 4 7 . 2 ) = 2 3 . 9 c e l l s p e r h o u r ( 1 1 9 . 1 - 4 7 . 2 ) = 7 1 . 9 c e l l s o v e r t w o h o u r s o r 7 1 . 9 / 4 = 3 5 . 9 5 c e l l s p e r h o u r ( 7 9 . 7 - 6 3 . 2 ) = 1 6 . 5 c e l l s o v e r a h a l f o r 1 6 . 5 / . 5 = 3 3 c e l l s p e r h o u r T h e s l o p e o f t h e l i n e t a n g e n t t o t h e c u r v e a t t = 4 a m i s a b o u t 3 3 c e l l s p e r h o u r c h a n g e f r o m t = 3 t o t = 4 i s a b o u t 2 4 a n d t h e c h a n g e f r o m t = 4 t o t = 5 i s a b o u t 4 8 s o t h e r a t e o f c h a n g e i s a b o u t d o u b l i n g T h e c h a n g e f r o m t = 4 t o t = 5 i s a b o u t 5 0 w h i c h i s t w o t h i r d s o f t h e c h a n g e f r o m t = 0 t o t = 4 T h e c h a n g e f r o m t = 3 t o t = 4 i s o n e t h i r d t h e c h a n g e f r o m t = 0 t o t = 4 T h e c h a n g e f r o m t = 4 t o t = 4 . 2 5 i s a b o u t 1 2 p e r c e n t t h e g r o w t h f r o m t = 0 t o t = 4 4 0 3 A P P E N D I X G T A B L E 4 4 - W A Y S S T U D E N T S F O U N D T H E R A T E O F C H A N G E O F T H E A R E A O F T H E C I R C L E A T r I 3 F E E T I N T A S K 6 M — E W R e f e r e n c e t o a p o i n t A v g . g r o w t h r a t e s i n c e r = 0 A v g . g r o w t h r a t e f r o m r = 2 t o r = 4 A v g . g r o w t h r a t e f r o m r = 2 . 7 5 t o r = 3 A v g . g r o w t h r a t e f r o m r = 2 . 7 5 t o t = 3 . 2 5 R e f e r e n c e t o s l o p e 2 8 . 2 7 s q u a r e f e e t p e r f o o t o r 2 8 . 2 7 / 3 = 9 . 4 s q u a r e f e e t p e r f o o t 2 8 . 2 7 s q u a r e f e e t p e r f o o t o r 2 8 . 2 7 / 3 = 9 . 4 s q u a r e f e e t p e r f o o t ( 5 0 . 2 7 - 1 2 . 5 7 ) = 3 7 . 7 s q u a r e f e e t o v e r t w o f e e t o r 3 7 . 7 / 2 = 1 8 . 8 5 s q u a r e f e e t p e r f o o t o r ( 1 6 * P I - 4 * P I ) = 1 2 * P I o v e r t w o f e e t = 6 * P I s q u a r e f e e t p e r f o o t ( 2 8 . 2 7 - 2 3 . 7 6 ) = 4 . 5 1 s q u a r e f e e t o v e r o n e f o u r t h o f a f o o t o r 4 . 5 1 / . 2 5 = 1 8 . 0 4 s q u a r e f e e t p e r f o o t ( 3 3 . 1 8 - 2 3 . 7 6 ) = 9 . 4 2 s q u a r e f e e t o v e r a h a l f f o o t o r 9 . 4 2 / . 5 = 1 8 . 8 4 s q u a r e f e e t p e r f o o t 2 P I * 3 = 6 P I = 1 8 . 8 5 s q u a r e f e e t p e r f o o t 4 0 4 A P P E N D I X H T A B L E 4 5 - S T R A T E G I E S A N D T H E I R C L A S S I F I C A T I O N S B Y P E R S P E C T I V E A N D T Y P E O F R E A S O N I N G P e r s p e c t i v e R e a s o n i n g C a t e g o r y 1 - B a s e d o n s l o p e o r s h a p e o f g r a p h : V i s u a l s l o p e G l o b a l Q u a l i t a t i v e R e f e r e n c e t o s l o p e I n t e r v a l Q u a l i t a t i v e o f s e c a n t l i n e & A l g e b r a i c R e f e r e n c e t o s l o p e P o i n t Q u a l i t a t i v e o f t a n g e n t l i n e & A l g e b r a i c K n o w l e d g e o f s i t u a t i o n G l o b a l Q u a l i t a t i v e C a t e g o r y 2 - B a s e d o n c o m p a r i s o n o f c h a n g e s i n o n e o r b o t h v a r i a b l e s S u b g r o u p 1 — B a s e d o n c o m p a r i s o n o f c h a n g e i n t h e d e p e n d e n t v a r i a b l e t o c h a n g e i n t h e i n d e p e n d e n t v a r i a b l e . D e l t a d I n t e r v a l Q u a l i t a t i v e & N u m e r i c a l D e l t a t I n t e r v a l Q u a l i t a t i v e & N u m e r i c a l D e l t a d a n d d e l t a t I n t e r v a l Q u a l i t a t i v e & N u m e r i c a l ( D e l t a d ) / ( d e l t a t ) I n t e r v a l A l g e b r a i c A v g . r a t e o f c h a n g e o v e r I n t e r v a l A l g e b r a i c i n t e r v a l s l a r g e r t h a n o n e u n i t b e f o r e p o i n t A v g . r a t e o f c h a n g e o v e r I n t e r v a l A l g e b r a i c i n t e r v a l s o f o n e u n i t b e f o r e p o i n t A v g . r a t e o f c h a n g e o v e r I n t e r v a l A l g e b r a i c i n t e r v a l s l e s s t h a n o n e u n i t b e f o r e p o i n t A v g . r a t e o f c h a n g e o v e r I n t e r v a l A l g e b r a i c i n t e r v a l s s t r a d d l i n g p o i n t . 4 0 5 4 0 6 T a b l e 4 5 c o n t i n u e d P e r s p e c t i v e R e a s o n i n g S u b g r o u p 2 - B a s e d o n a c o m p a r i s o n o f a c h a n g e i n t h e d e p e n d e n t v a r i a b l e t o a n o t h e r c h a n g e i n t h e d e p e n d e n t v a r i a b l e “ N o t q u i t e d o u b l i n g " I n t e r v a l N u m e r i c a l “ M u l t i p l i e d b y t w o - t h i r d s ” I n t e r v a l A l g e b r a i c “ I n c r e a s e d b y o n e - t h i r d ” I n t e r v a l A l g e b r a i c “ 1 2 p e r c e n t i n c r e a s e " I n t e r v a l A l g e b r a i c C a t e g o r y 3 - B a s e d o n a s p e c i f i c p o i n t R e f e r e n c e t o a p o i n t P o i n t N u m e r i c a l & A l g e b r a i c M e e t i n g p o i n t G l o b a l Q u a l i t a t i v e V e l o c i t y e q u a t i o n I n t e r v a l A l g e b r a i c & P o i n t L I S T O F R E F E R E N C E S D a v i s , R . B . & V i n n e r , S . ( 1 9 8 6 ) . T h e n o t i o n o f l i m i t : S o m e s e e m i n g l y L I S T O F R E F E R E N C E S A n t o n , H . ( 1 9 9 2 ) . C a l c u l u s ( 4 t h e d . ) . N e w Y o r k : J o h n W i l e y & S o n s , I n c . A r i s t o t l e . ( 1 9 5 2 ) . T h e w o r k s o f A r i s t o t l e , B o o k V . I n R . M . H u t c h i n s ( E d . ) , G r e a t _ b Q 9 k a _ o f _ t h e _ u e s t e r n _ u e r l d 1 _ y g l i _ 8 1 ( p p . 3 0 4 - 3 1 2 ) . C h i c a g o , I L : E n c y c l o p e d i a B r i t a n n i c a , I n c . r e p r i n t e d f r o m I h e _ W o r k § _ g fi _ A r i s t g t l e ( p p . 2 2 4 a - 2 3 1 a ) t r a n s l a t e d b y W . D . R o s s . N e w Y o r k : O x f o r d U n i v e r s i t y P r e s s . A y e r s , T . , D a v i s , G . , D u b i n s h y , E . , & L e w i n , P . ( 1 9 8 8 ) . C o m p u t e r e x p e r i e n c e s i n l e a r n i n g c o m p o s i t i o n o f f u n c t i o n s . J o u r n a l _ £ g r _ R e s e a r s h _ 1 n _ M a t h e m a t i g s _ E d u s a t i o n 1 9 ( 3 ) , 2 4 6 - 2 5 9 . B e c k m a n n , C . ( 1 9 8 8 ) . ' U n p u b l i s h e d d o c t o r a l d i s s e r t a t i o n , W e s t e r n M i c h i g a n U n i v e r s i t y , K a l a m a z o o , M I . B e l l , A . , & J a n v i e r , C . ( 1 9 8 1 ) . T h e i n t e r p r e t a t i o n o f g r a p h s r e p r e s e n t i n g s i t u a t i o n s . E Q r _ t h e _ L e a r n i n g _ g f _ M a t h e m a t i g s . 2 ( 1 ) , 3 4 - 4 2 . B o y e r , C . B . ( 1 9 5 9 ) . I h e _ h 1 a t 9 r x _ Q f _ t h e _ s a l s u l u s _ a n d _ 1 t s _ s o n s e n t n a l _ d e y e l o p m e n t . N e w Y o r k . D o v e r . C a l l a h a n , J . , C o x , D . , H o f f m a n , K . , O ' S h e a , D . , P o l l a t s e k , H . & S e n e c h a l , L . ( 1 9 9 5 ) . C a l c n l n s _ i n _ g g n t e x t . N e w Y o r k : W . H . F r e e m a n . C l e m e n t , J . ( 1 9 8 9 ) . T h e c o n c e p t i o n o f v a r i a t i o n a n d m i s c o n c e p t i o n s i n C a r t e s i a n g r a p h i n g . E o c u s _ Q n _ L e a r n 1 n s _ E r o b l e m s _ 1 n _ M a t h e m a t i s s . 1 1 ( 1 - 2 ) , 7 7 - 8 7 . C o n f r e y J . ( 1 9 8 0 ) . C Q n s e p t u a l _ s h a n g e 1 _ n u m b e r _ s o n s e n t s _ a n d _ t h e _ i n t r o d u c t i o n _ t o _ c a l g u l u s . U n p u b l i s h e d d o c t o r a l d i s s e r t a t i o n , C o r n e l l U n i v e r s i t y , I t h a c a , N Y . C o n f r e y , J . , & S m i t h , E . ( 1 9 9 4 ) . E x p o n e n t i a l f u n c t i o n s , r a t e o f c h a n g e , a n d t h e m u l t i p l i c a t i v e u n i t E d n s a t 1 9 n a l _ S t u d 1 e s _ 1 n _ M a t h e m a t i g s 2 6 , 1 3 5 - 1 6 4 . C o n f r e y , J . , & S m i t h , E . ( 1 9 9 5 ) . S p l i t t i n g , c o v a r i a t i o n a n d t h e i r r o l e i n t h e d e v e l o p m e n t o f e x p o n e n t i a l f u n c t i o n s . J o u r n a l _ f g r _ 3 e s e a r c h _ 1 n _ M a t h e m a t 1 § s _ E d n s a t i o n 2 6 , ( 1 ) , 6 6 - 8 6 . C o r n u , B . ( 1 9 8 1 ) . A p p r e n t i s s a g e d e l a n o t i o n d e l i m i t e : M o d e l e s s p o n t a n e s e t m o d e l e s p r o p r e s . [ L e a r n i n g t h e l i m i t c o n c e p t : I n d i v i d u a l a n d s u i t a b l e m o d e l s . ] A s t s s _ d u _ C i n q u i e m e _ § Q l l o q u e _ d u _ G r o u p s _ l n t e r n a t i o n a l e _ 2 M E ( p p . 3 2 2 - 3 2 6 ) . G r e n o b l e : U n i v e r s i t e d e G r e n o b l e . u n a v o i d a b l e m i s c o n c e p t i o n s t a g e s I m a L £ 9 n r n a 1 _ e f _ M a t h e m a t i s a l _ B e h a x i o r 5 . 2 8 1 - 3 0 3 4 0 7 D o u g l a s , R . G . ( E d . ) ( 1 9 8 6 a ) . I g w a r d _ a _ l e a n _ a n d _ l i x e l ¥ _ s a l s u l u s ( M A A N o t e s N o . 6 ) . W a s h i n g t o n , D C : M a t h e m a t i c a l A s s o c i a t i o n o f A m e r i c a . D o u g l a s , R . G . ( 1 9 8 6 b ) . D e v e l o p i n g a l t e r n a t i v e c u r r i c u l a a n d t e a c h i n g m e t h o d s f o r c a l c u l u s a t t h e c o l l e g e l e v e l . q u r n a l _ g fi _ M a t h e m a t i s a l _ 8 e h a x 1 o r . 5 . 1 2 3 — 1 2 6 . D r e y f u s , T . , & E i s e n b e r g , T . ( 1 9 8 2 ) . I n t u i t i v e f u n c t i o n a l c o n c e p t s : A b a s e l i n e s t u d y o n i n t u i t i o n s J o n r n a l _ f o r _ R e s e a r g h _ 1 n _ M a t h e m a t i s s _ E d u c a t i o n . 1 3 . 3 6 0 - 3 8 0 D r e y f u s , T . & E i s e n b e r g , T . ( 1 9 8 3 ) . T h e f u n c t i o n c o n c e p t i n c o l l e g e s t u d e n t s : L i n e a r i t y , s m o o t h n e s s , a n d p e r i o d i c i t y . E o g u s _ g n _ L e a r n 1 n s _ E r o b l e m s _ 1 n _ M a t h e m a t i s s . 5 . ( 3 & 4 ) . 1 1 9 - 1 3 2 . D r e y f u s , T . , & E i s e n b e r g , T . ( 1 9 8 4 ) . I n t u i t i o n s o n f u n c t i o n s . J o u r n a l _ ' , , S _ 2 _ , 7 7 - 8 5 . D r e y f u s , T . & E i s e n b e r g , T . ( 1 9 8 7 ) . O n t h e d e e p s t r u c t u r e o f f u n c t i o n s . I n J . C . B e r g e r o n , N . H e r s c o v i c s , & C . K i e r e n ( E d s . ) , P r o c e e d i n g s _ I _ - - - - - I Q Q Q Q Q - . . - O . ‘ Q C Q - Q . . 0 . M a t h e m a t i s s _ E d u s a t i o n 1 1 9 1 1 . 1 1 ( p p 1 9 0 - 1 9 6 ) . M o n t r e a l . C a n a d a : U n i v e r s i t e d e M o n t r e a l . E d w a r d S . C . H . ( 1 9 7 9 ) . I h e _ h 1 s t Q r 1 s a l _ d e M e l o p m e n t _ o f _ t h e _ s a l s u l u s . N e w Y o r k : S p r i n g e r - V e r l a g . E l l i s o n . M . J . ( 1 9 9 4 ) . T h e e f f e c t o f c o m p u t e r a n d c a l c u l a t o r g r a p h i c s o n s t u d e n t s ’ a b i l i t y t o m e n t a l l y c o n s t r u c t c a l c u l u s c o n c e p t s , V o l u m e s I a n d I I . ( U n i v e r s i t y o f M i n n e s o t a , 1 9 9 3 ) . D i s s e r t a t i o n A b s t r a c t s I n t e r n a t i o n a l , 5 4 A , 4 0 2 0 . E v a n , R . ( 1 9 8 9 ) . ' ' ’ ' ' ' U n p u b l i s h e d d o c t o r a l d i s s e r t a t i o n , M i c h i g a n S t a t e U n i v e r s i t y , E a s t L a n s i n g , M i c h i g a n . E v a n , R . ( 1 9 9 0 ) . S u b j e c t m a t t e r k n o w l e d g e f o r t e a c h i n g a n d t h e c a s e o f f u n c t i o n s . E d u s a t 1 o n a l _ S t u d 1 e s _ 1 n _ M a t h e m a t i s s . 2 1 . 5 2 1 - 5 4 4 E v a n , R . ( 1 9 9 3 ) . S u b j e c t - - m a t t e r k n o w l e d g e a n d p e d a g o g i c a l c o n t e n t k n o w l e d g e . P r o s p e c t i v e s e c o n d a r y t e a c h e r s a n d t h e f u n c t i o n c o n c e p t J o n r n a 1 _ f o r _ R e s e a r s h _ 1 n _ M a t h e m a t 1 s s _ E d u g a t i o n . 2 4 . 9 4 - 1 1 6 . F e r r i n i - M u n d y , J . , & G r a h a m , K . ( 1 9 9 1 , J a n u a r y ) . R e s e a r g h _ l n _ g a l g u l u s - J . . H i I 1 ' E J ' ' I i . I ' i . I J P a p e r p r e s e n t e d a t t h e J o i n t M a t h e m a t i c s M e e t i n g s , S a n F r a n c i s c o . G a l i l e o , G . ( 1 6 3 8 / 1 9 1 4 / 1 9 5 2 ) . D i a l o s n e s _ s o n s e r n i n g _ t m o _ n e w _ s s i e n g s . N e w Y o r k : D o v e r . G i o r d a n o , F . R . . & W e i r , M . D . ( 1 9 8 5 ) . A 1 f 1 r s t _ s o u r s e _ 1 n _ m a t h e m a t 1 g a l _ m o d e l i n g . M o n t e r e y , C A : W a d s w o r t h , I n c . ( E r a h a m , K . G . , & F e r r i n i - M u n d y , J . ( 1 9 8 9 ) . ' ' P a p e r p r e s e n t e d a t t h e A n n u a l M e e t i n g o f t h e A m e r i c a n E d u c a t i o n a l R e s e a r c h A s s o c i a t i o n , S a n F r a n c i s c o . H a l l , R ” , K i b l e r , D . , W e n g e r , E . , & T r u x a w , C . ( 1 9 8 9 ) . E x p l o r i n g t h e e p i s o d i c s t r u c t u r e o f a l g e b r a s t o r y p r o b l e m s o l v i n g . g g g n l t l g n _ a n d _ l n s t r n s t 1 o n . 6 ( 3 ) . 2 2 3 - 2 8 3 . 4 0 8 H a u g e r . G . ( 1 9 9 1 ) . c o 1 1 e c e _ c a l c u 1 u s _ s t u d e n t s ; _ u n o e r s t a n c i n s _ o f _ f u n g n i o n s . U n p u b l i s h e d m a n u s c r i p t . H a u g e r , G . ( 1 9 9 5 ) . R a c e _ o f _ c h a n g e _ k n o w 1 e d c e _ 1 n _ h i c h _ s c h o o 1 _ a n d _ c o l l e s e _ s t u d e n t s i _ 9 r o w c h _ o f _ a _ b 1 o m a s s P a p e r P r e s e n t e d a t t h e A n n u a l M e e t i n g o f t h e A m e r i c a n E d u c a t i o n a l R e s e a r c h A s s o c i a t i o n , S a n F r a n c s i c o . H a u g e r . G . ( 1 9 9 6 ) . B a c e _ o f _ c h a n s c _ k n o w 1 e d s e _ 1 n _ h i o h _ s c h o o l _ a n o _ c o 1 1 c s c _ - ' ' ' P a p e r p r e s e n t e d a t t h e A n n u a l M e e t i n g o f t h e A m e r i c a n E d u c a t i o n a l R e s e a r c h A s s o c a t i o n , N e w Y o r k . H a u g e r , G . ( 1 9 9 7 ) . P a p e r p r e s e n t e d a t t h e A n n u a l M e e t i n g o f t h e A m e r i c a n E d u c a t i o n a l R e s e a r c h A s s o c i a t i o n , C h i c a g o . H e i d , M . K . ( 1 9 8 8 ) . R e s e q u e n c i n g s k i l l s a n d c o n c e p t s i n a p p l i e d c a l c u l u s u s i n g t h e c o m p u t e r a s a t o o l J o u r n a 1 _ f o r _ R e s e a r c h _ 1 n _ M a c h e m a t i c s _ E d u c a t i o n 1 2 ( 1 ) . 3 - 2 5 J a n v i e r . C . ( 1 9 7 8 ) . T h e _ 1 n t e r o r e t a t 1 o n _ o f _ c o m o c x _ c a r c c s i a n _ s r a n h s _ U n p u b l i s h e d d o c t o r a l d i s s e r t a t i o n , U n i v e r s i t y o f N o t t i n g h a m : S h e l l C e n t r e f o r M a t h e m a t i c a l E d u c a t i o n a n d U n i v e r s i t e d u Q u e b e c a M o n t r e a l . J a n v i e r , C . ( 1 9 8 1 ) . U s e o f s i t u a t i o n s i n m a t h e m a t i c s e d u c a t i o n . E d u c a t 1 o n a 1 _ S t u d 1 e s _ 1 n _ M a t h e m a c i c s . 1 2 . 1 1 3 - 1 2 2 . K a p u t , J . ( 1 9 9 4 ) . D e m o c r i t i z i n g a c c e s s t o c a l c u l u s : N e w r o u t e s t o o l d r o o t s . I n A . S c h o e n f e l d ( E d . ) . M a t h e m a t 1 c a 1 _ c h 1 n k 1 n o _ a n d _ o r o b l e m _ s o l x i n g ( p p . 7 7 - 1 5 6 ) . H i l l s d a l e , N J : E r l b a u m . K a r p l u s , R . ( 1 9 7 9 ) . C o n t i n u o u s f u n c t i o n s . S t u d e n t s ' v i e w p o i n t s . E u x o n e a n J o u r n a 1 _ o f _ 3 c 1 e n c e _ 1 e a c h 1 n s 1 . 3 9 7 - 4 1 5 K e r s l a k e , D . ( 1 9 7 7 ) . T h e u n d e r s t a n d i n g o f g r a p h s . M a t h e m a n i c s _ i n _ S c h o o l s . 6 ( 2 ) , 2 2 — 2 5 . K l i n e . M . ( 1 9 7 2 ) . M a t h e m a t 1 c s _ t h o u g h t _ f r o m _ a n c i e n t _ t o _ m o d e r n _ t i m c s . N e w Y o r k : O x f o r d U n i v e r s i t y P r e s s . L a r s o n , R . E . , & H o s t e t l e r , R . P . ( 1 9 8 5 ) . P r e c n l g u l u s ( 2 n d E d . ) . N e w Y o r k : D . C . H e a t h . L o v e l l , K . ( 1 9 7 1 ) . S o m e a s p e c t s o f t h e g r o w t h o f t h e c o n c e p t o f a f u n c t i o n . I n M . F . R o s s k o p f , L . P . S t e f f e , & S . T a b a c k ( E d s . ) , 2 1 a g c t 1 a n _ c o o n 1 t 1 I e _ d e M e 1 o o m c n t _ r o s e a r c h _ a n o _ m a t h e m a t 1 c a l _ e d u c a n l o n ( p p . 1 2 - 3 3 ) . W a s h i n g t o n , D C : N a t i o n a l C o u n c i l o f T e a c h e r s o f M a t h e m a t i c s . M a l i k . M . A . ( 1 9 8 0 ) . H i s t o r i c a l a n d p e d a g o g i c a l a s p e c t s o f t h e d e f i n i t i o n o f f u n c t i o n . E o u c a c 1 o n _ 1 n _ S c 1 o n c o _ a n o _ I c c h n o 1 o g y . 1 1 ( 4 ) , 4 8 9 - 4 9 2 . M a r k o v i t s , A . , E y l o n , B . , & B r u c k h e i m e r , M . ( 1 9 8 6 ) . f u n c t i o n s t o d a y a n d y e s t e r d a y . E o r _ t h c _ L e a r n i n o _ o f _ M a t h o m a t 1 c s . 6 ( 2 ) . 1 8 - 2 8 . M a r n y a n s k i i , I . A . ( 1 9 6 5 / 1 9 7 5 ) . P s y c h o l o g i c a l c h a r a c t e r i s t i c s o f p u p i l ' s a s s i m i l a t i o n o f t h e c o n c e p t o f a f u n c t i o n . I n J . K i l p a t r i c k , I . W i r s z u p , E . B e g l e , & J . W i l s o n ( E d s . ) , S o x l e n _ s ; u d i e s _ l n _ n n e _ o s x c h o 1 o s x _ o f _ 1 e a r n 1 n s _ a n o _ c e a c h 1 n s _ m a t h e m a t i c s . X I I . S M S G . U S A : U n i v e r s i t y o f C h i c a g o P r e s s . 4 0 9 M c D e r m o t t , L . R o s e n q u i s t , M . & v a n Z e e , E . ( 1 9 8 7 ) . S t u d e n t d i f f i c u l t i e s i n c o n n e c t i n g g r a p h s a n d p h y s i c s : E x a m p l e s f r o m k i n e m a t i c s . ' . 5 5 ( 6 ) , 5 0 3 - 5 1 3 . M c K n i g h t . C . C . ( 1 9 8 7 ) . T h e _ u n o c r a c h 1 e 1 1 n g _ c u r r 1 c u l u m i l a s s e s s i n g _ 9 1 5 1 _ s c h o o 1 _ m a t h e m a c 1 c s _ f r o m _ a n _ 1 n c e r n a t i o n a 1 _ p e r s o c c t i x e C h a m p a i g n , I L : S t i p e s P u b l i s h i n g C o m p a n y . M o n a g h a n , J . ( 1 9 9 1 ) . P r o b l e m s w i t h t h e l a n g u a g e o f l i m i t s . F o r t h e L e a r n i n o _ o f _ M a t h e m a t i c s . 1 1 ( 3 ) , 2 0 - 2 4 . M o n k . G S . & N e m i r o v s k y . R . ( 1 9 9 2 ) . I h c _ c a s e _ o f _ D a n 1 _ S t u o e n t _ I U n I O O O O O C “ - ' ' - ' - - 1 . , - . . o U n p u b l i s h e d m a n u s c r i p t . U n i v e r s i t y o f W a s h i n g t o n , S e a t t l e . M o n k , G . S . ( 1 9 8 8 ) . S t u d e n t s ' u n d e r s t a n d i n g o f f u n c t i o n s i n c a l c u l u s c o u r s e S . H u m a n 1 s t 1 c _ M a t h o m a t 1 c s _ t h w o r k _ N c w s l e t t e r 1 _ 2 M o n k , G . S . ( 1 9 9 2 a ) . S t u d e n t s ' u n d e r s t a n d i n g o f a f u n c t i o n g i v e n a p h y s i c a l m o d e l . I n D u b i n s k y , E . a n d H a r e l , G . ( E d s . ) , I n e _ g o n g § n n _ 2 5 . W a s h i n g t o n , D C : M A A . M o n k , G . s . ( 1 9 9 2 b ) . A _ s t u d y _ o f _ c a l c u l c s _ s t u d c n c s l . c o n s t r u c t 1 o n s _ o f _ P a p e r p r e s e n t e d a t t h e a n n u a l m e e t i n g o f t h e A m e r i c a n E d u c a t i o n a l R e s e a r c h A s s o c i a t i o n , S a n F r a n c i s c o . N a t i o n a l R e s e a r c h C o u n c i l . ( 1 9 8 9 ) . ' W a s h i n g t o n , D . C . : N a t i o n a l A c a d e m y P r e s s . N a t i o n a l R e s e a r c h C o u n c i l . ( 1 9 9 1 ) . H . 1 i I ] . E ' I J ' . u n d e r g x n d u a t g _ m n n h e m a n i g a . W a s h i n g t o n , D . C . : N a t i o n a l A c a d e m y P r e s s . N e m i r o v s k y , R . ( 1 9 9 1 ) . N o t e s a b o u t t h e r e l a t i o n s h i p b e t w e e n t h e h i s t o r y a n d t h e c o n s t r u c t i v e l e a r n i n g o f c a l c u l u s . B r o g e g d l n g n _ g fi _ n h § _ ‘ 0 o o - n o o ' . o ‘ o - ' 0 0 - o - ‘ “ ' 0 2 ' 0 9 ‘ 0 Q - ' 0 0 M o t o m a t i c a ( p p . 3 7 - 5 4 ) . U n i v e r s i d a d a u t o n o m a d e l E s t a d o v a M e x i c o , C u e r n a c a v a , M e x i c o . N e m i r o v s k y , R . ( 1 9 9 4 ) . O n w a y s o f s y m b o l i z i n g : T h e c a s e o f L a u r a a n d t h e v e l o c i t y s i g n J o u r n a 1 _ o f _ M a t h c m a t 1 c a l _ B c h a x i o r . 1 3 ( 4 ) , 3 8 9 - 4 2 2 . N e m i r o v s k y , R . & R u b i n , A . ( 1 9 9 1 ) . “ I t m a k e s s e n s e i f y o u t h i n k a b o u t h o w t h e g r a p h w o r k s . B u t i n r e a l i t y . . . ” . I n F . F u r i n g h e t t i ( E d . ) . ' ' , V o l . 3 ( p p . 5 7 - 6 4 ) . A s s i s i , I t a l y : T h e P r o g r a m C o m m i t t e e o f t h e F i f t e e n t h C o n f e r e n c e o f t h e I n t e r n a t i o n a l G r o u p f o r t h e P s y c h o l o g y o f M a t h e m a t i c s E d u c a t i o n . N e m i r o v s k y , R . , & R u b i n , A . ( 1 9 9 2 ) . ' ° ' C a m b r i d g e , M A : T E R C . O r t o n , A . ( 1 9 8 3 a ) . S t u d e n t s ' u n d e r s t a n d i n g o f d i f f e r e n t i a t i o n . E o u c a t 1 o n a 1 . 5 1 u o 1 c s _ 1 n _ M a t h e m a t i c s . 1 5 . 2 3 5 - 2 5 0 . O r t o n , A . ( 1 9 8 3 b ) . S t u d e n t s ' u n d e r s t a n d i n g o f i n t e g r a t i o n . E d u g a ; l g n n l _ S t u d i e s _ 1 n _ M a t h c m a t 1 c s . 1 4 . 1 - 1 8 c > O r t o n , A . ( 1 9 8 4 ) . U n d e r s t a n d i n g r a t e o f C h a n g e . M a n h e m a t i c s _ i n _ fi c h o o l , 1 3 ( 5 ) . 2 3 - 2 6 . 4 1 0 O s t e b e e , A . , & Z o r n , P . ( 1 9 9 4 ) . s x m b o 1 1 c _ o o 1 n t s . o f _ 1 1 o w 1 _ Y o 1 1 _ 1 _ § _ 2 ( P r e l i m i n a r y E d i t i o n ) N e w Y o r k . S a u n d e r s . P e a r l , R . ( 1 9 2 7 ) . T h e g r o w t h o f p o p u l a t i o n s . I h s _ Q u a a n ; l x _ R s z i s w _ o fi _ 3 1 9 m . 2 . : 5 2 3 ' 5 4 8 - P e t e r s , P . C . ( 1 9 8 2 ) . E v e n h o n o r s s t u d e n t s h a v e c o n c e p t u a l d i f f i c u l t i e s w i t h P h y s i c s . A m c r 1 c a n . 1 o n r n a 1 _ o f _ 2 h x s i c s . 5 0 ( 6 ) . 5 0 1 - 5 0 8 R i z z u t i . J . ( 1 9 9 1 ) H 1 o h _ s c h o o 1 _ s t u d c n c s l _ u s o s _ o f _ m u l t i o l e _ ‘ 0 - . f o 2 ' 0 0 ' 0 9 ‘ 0 9 ‘ 0 . - - ' 0 9 o f o ‘ z g o o - . 9 o o - o ' 2 , fi u n s n i g n s . U n p u b l i s h e d d o c t o r a l d i s s e r t a t i o n , C o r n e l l U n i v e r s i t y , I t h a c a , N Y . R u b i n , A . , & N e m i r o v s k y , R . ( 1 9 9 1 ) . C a r s , c o m p u t e r s , a n d a i r p u m p s : T h o u g h t s o n t h e r o l e s o f p h y s i c a l a n d c o m p u t e r m o d e l s i n l e a r n i n g t h e c e n t r a l c o n c e p t s o f c a l c u l u s . I n R . G . U n d e r h i l l ( E d . ) , 1 i ' E I ] 1 1 ' I I ] H I ' E I ] H 1 E . o n - ‘ 9 ‘ o 9 ‘ " 0 0 o - o u - o - u - ' o - ' 0 9 ' u - 5 : V o l . 2 ( p p . 1 6 8 - 1 7 4 ) . B l a c k s b u r g , V A : D i v i s i o n o f C u r r i c u l u m & I n s t r u c t i o n . I S e l d e n , J . , M a s o n , A . , & S e l d e n , A . ( 1 9 8 9 ) . C a n a v e r a g e c a l c u l u s s t u d e n t s s o l v e n o n r o u t i n e p r o b l e m s ? J o u r n s l _ g f _ M a n h s m s n i g s l _ B e h a y 1 o r . 8 . 4 5 - 5 0 . S i e g l e r . R . S . . & J e n k i n s , E . ( 1 9 8 9 ) . H o w _ c h 1 1 d r o n _ d 1 s c o x o r _ n c w _ s n r s n s g i s s . H i l l s d a l e , N J : L a w r e n c e E r l b a u m . S m i t h . W . D . ( 1 9 7 2 ) . A n _ 1 n x e s t 1 s a t 1 o n _ o f _ c h o _ a b 1 l i t x _ o f _ s t u d c n t s _ 1 n _ t h e _ i 1 J 1 . . J . i ° ‘ ! ‘ ° - 0 " . 9 0 . ‘ 0 0 - o o ' 0 0 0 ! ‘ 0 0 0 9 ‘ ' u . . ‘ s s t t i n g s l U n p u b l i s h e d d o c t o r a l d i s s e r t a t i o n . U n i v e r i s i t y o f M a r y l a n d . S m i t h , J . P . ( 1 9 9 0 ) . L s a r n i n g _ r s ; i o n s l _ n u m b s r . U n p u b l i s h e d d o c t o r a l d i s s e r t a t i o n , u n i v e r s i t y o f C a l i f o r n i a , B e r k e l e y . S m i t h , J . P . , d i S e s s a , A . A . , & R o s c h e l l e , J . ( 1 9 9 2 ) . M i s c o n c s n n i o n s _ U 0 I i ‘ . I 7 ‘ 0 . 4 . 9 . 7 - . I - . ‘ 0 . 9 0 . ‘ 0 . " I v . " . 1 . S m i t h , J . P . ( 1 9 9 5 ) . C o m p e t e n t r e a s o n i n g w i t h r a t i o n a l n u m b e r s . . C o g n i t i o n _ a n d _ 1 n s c r u c t i o n . 1 3 ( 1 ) . 3 - s o . S p e i s e r , B . & W a l t e r , C . ( 1 9 9 4 ) . C a t w a l k : F i r s t - s e m e s t e r c a l c u l u s , 1 o u r n a 1 _ o f _ M a t h e m a t i c a l _ B e h a y i o r . 1 3 . 1 3 5 - 1 5 2 . S t e w a r t , I . ( 1 9 9 3 ) . C h a n g e . I n L . S t e e n ( E d . ) . Q n _ t h o _ s h o u l d o r s _ o f _ g i a n t s ( p p . 1 8 3 - 2 1 7 ) . W a s h i n g t o n , D C : N a t i o n a l R e s e a r c h C o u n c i l . T a l l , D . O . ( 1 9 8 7 ) . C o n s t r u c t i n g t h e c o n c e p t i m a g e o f a t a n g e n t . I n J . B e r g e r o n , N . H e r s c o v i c s , & C . K i e r e n ( E d s . ) , E r g g s s d i n g s _ s fi _ n n s _ E 1 e 1 e n t h _ I n t e r n a c 1 o n a 1 _ c o n f o r c n c e _ f o r _ t h e _ E s x c h o l o s ¥ _ o f _ M a t h e m a t i c s _ E d u c a t i o n . _ Y o 1 1 _ 3 ( p p . 6 9 - 7 5 . ) M o n t r e a l . C a n a d a : U n i v e r s i t e d e M o n t r e a l . T a l l , D . O . , & S c h w a r z e n b e r g e r , R . L . ( 1 9 7 8 ) . C o n f l i c t s i n t h e l e a r n i n g o f r e a l n u m b e r s a n d l i m i t s . M a n h s m a n i c s _ 1 s a c h i n g , 8 3 , 4 4 - 4 9 . T a l l , D . O . & V i n n e r , S . ( 1 9 8 1 ) . C o n c e p t i m a g e a n d c o n c e p t d e f i n i t i o n i n m a t h e m a t i c s , w i t h p a r t i c u l a r r e f e r e n c e t o l i m i t s a n d c o n t i n u i t y . E d u c a t i o n a 1 . 5 t u d 1 e s _ 1 n _ M a t h e m a c i c s . 1 2 . 1 5 1 - 1 6 9 4 1 1 0 T h o m a s , H . L . ( 1 9 7 5 ) . T h e c o n c e p t o f f u n c t i o n . I n M . E . R o s s k o p f ( E d . ) , m s t n s m s t i s s _ s d u s s t i g n . N e w Y o r k . T e a c h e r s C o l l e g e P r e s s . T u c k e r . T . ( E d . ) ( 1 9 9 0 ) . E r 1 m 1 n g _ t h e _ c a l c u 1 u s _ o u m p 1 _ 1 n n o x a t 1 o n s _ a n d _ n s s s u r g s s . M a t h e m a t i c a l A s s o c i a t i o n o f A m e r i c a N o t e s N u m b e r 1 7 . W a s h i n g t o n , D C : M A A . ‘ T h o m p s o n , P . W . , & T h o m p s o n , A . G . ( 1 9 9 2 ) . l m a g s s _ g f _ r s t s . P a p e r p r e s e n t e d a t t h e A n n u a l M e e t i n g o f t h e A m e r i c a n E d u c a t i o n a l R e s e a r c h A s s o c i a t i o n , S a n F r a n c i s c o . T h o m p s o n , P . W . ( 1 9 9 4 a ) . I m a g e s o f r a t e a n d o p e r a t i o n a l u n d e r s t a n d i n g o f t h e f u n d a m e n t a l t h e o r e m o f c a l c u l u s . E d u g s t i g n s l _ $ ; u d i s s _ i n _ M a t h e m a t i c s . 2 5 . 2 2 9 - 2 7 4 . T h o m p s o n , P . W . ( 1 9 9 4 b ) . T h e d e v e l o p m e n t o f t h e c o n c e p t o f s p e e d a n d i t s r e l a t i o n s h i p t o c o n c e p t s o f r a t e . I n G . H a r e l & J . C o n f r e y ( E d s . ) , T h e _ d e x a 1 o n m e n t _ o f _ m u l t i p l i c a t i y o _ r e a s o n 1 n g ( p p . 1 7 9 - 2 3 4 ) . N e w Y o r k : S U N Y P r e s s . V i n n e r , S . ( 1 9 8 2 ) . C o n f l i c t s b e t w e e n d e f i n i t i o n s a n d i n t u i t i o n s : T h e c a s e o f t h e t a n g e n t . I n A . V e r m a n d e l ( E d . ) , E r s g s s d i n g s _ o f _ t h s _ ‘ o - c o - 0 9 ‘ ‘ 0 ‘ o o - ' 9 0 o - o “ a . - “ 1 ‘ E d u c a t i o n ( p p . 2 4 - 2 8 ) . A n t w e r p , B e l g i u m : U n i v e r s i t a i r e I n s t e l l i n g A n t w e r p e n . V i n n e r , S . ( 1 9 8 3 ) . C o n c e p t d e f i n i t i o n , c o n c e p t i m a g e a n d t h e n o t i o n o f V i n n e r , S . ( 1 9 8 7 ) . C o n t i n u o u s f u n c t i o n s - i m a g e s a n d r e a s o n i n g i n c o l l e g e s t u d e n t s . I n J . B e r g e r o n , N . H e r s c o v i c s , & C . K i e r e n ( E d s . ) ' E r o c e e d i n s s _ o f _ t h e _ E 1 e x e n t h _ 1 n t e r n a t 1 o n a 1 _ 9 o n f o r e n c c _ f o r _ t h o _ E s y c h o 1 o s Y _ o f _ M a t h c m a t 1 c s _ E d u c a t i o n . M o n t r e a l e n i v e r s i t e d e M o n t r e a l . V i n n e r , S . , & D r e y f u s , T . ( 1 9 8 9 ) . I m a g e s a n d d e f i n i t i o n s f o r t h e c o n c e p t o f a f u n c t i o n . J o u r n a 1 _ f o r _ E e s e a r c h _ 1 n _ M a t h c m a t 1 c s _ E d u c a t i o n . 2 9 . 3 5 6 - 3 6 6 . W i l l i a m s , S . ( 1 9 9 1 ) . M o d e l s o f l i m i t h e l d b y c o l l e g e c a l c u l u s s t u d e n t s . I 2 2 ( 3 ) , 2 1 9 - 2 3 6 . W h i t e , P . , & M i t c h e l m o r e , M . ( 1 9 9 6 ) . C o n c e p t u a l k n o w l e d g e i n i n t r o d u c t o r y c a l c u l u s . E d u c a t i o n . 2 1 ( 1 ) . 7 9 - 9 5 . 4 1 2 " 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 7 o n W I l l 5 I E S