l H I M " I 3 C “ G l A l N ’ S l T A T l E l U N l l I V l l l l l l l l l l T h i s i s t o c e r t i f y t h a t t h e d i s s e r t a t i o n e n t i t l e d C H I L D R E N , L E A R N I N G T H E O R Y , A N D M A T H E M A T I C S : A N A N A L Y S I S O F T H E R O L E O F L A N G U A G E A N D R E P R E S E N T A T I O N S I N C H I L D R E N ’ S M A T H E M A T I C A L R E A S O N I N G p r e s e n t e d b y S t e p h e n P . S m i t h h a s b e e n a c c e p t e d t o w a r d s f u l fi l l m e n t o f t h e r e q u i r e m e n t s f o r P h D . T e a c h e r E d u c a t i o n d e g r e e i n W V M a j o r p r o g s s o r D a t e 8 / 2 0 ! 7 ? M S U i s a n A f fi r m a t i v e A c t i o n / E q u a l O p p o r t u n i t y I n s t i t u t i o n O ~ 1 2 7 7 1 L I B R A R Y L M i c h i g a n S t a t e U n i v e r s i t y P L A C E I N R E T U R N B O X t o r e m o v e t h i s c h e c k o u t f r o m y o u r r e c o r d . T O A V O I D F I N E S r e t u r n o n o r b e f o r e d a t e d u e . M A Y B E R E C A L L E D w i t h e a r l i e r d u e d a t e i f r e q u e s t e d . D A T E D U E D A T E D U E D A T E D U E w o o C Z I C I R U D a t O D I n . w 5 - p . 1 4 C H I L D R E N , L E A R N I N G T H E O R Y , A N D M A T H E M A T I C S : A N A N A L Y S I S O F T H E R O L E O F L A N G U A G E A N D R E P R E S E N T A T I O N S I N C H I L D R E N ’ S M A T H E M A T I C A L R E A S O N I N G V K J L L D A E I B y S t e p h e n P . S m i t h A D I S S E R T A T I O N S u b m i t t e d t o M i c h i g a n S t a t e U n i v e r s i t y i n p a r t i a l f u l f i l l m e n t o f t h e r e q u i r e m e n t s f o r t h e d e g r e e o f D O C T O R O F P H I L O S O P H Y D e p a r t m e n t o f T e a c h e r E d u c a t i o n 1 9 9 9 A B S T R A C T C H I L D R E N , L E A R N I N G T H E O R Y , A N D M A T H E M A T I C S : A N A N A L Y S I S O F T H E R O L E O F L A N G U A G E A N D R E P R E S E N T A T I O N S I N C H I L D R E N ’ S M A T H E M A T I C A L R E A S O N I N G B y S t e p h e n P . S m i t h T h e c e n t r a l g o a l o f t h e s t u d y w a s t o u n d e r s t a n d t h e p r o c e s s e s a n d t o o l s o f c h i l d r e n ’ s m a t h e m a t i c a l r e a s o n i n g . T h e s t u d y e x a m i n e d t h e q u e s t i o n : H o w d o l a n g u a g e a n d r e p r e s e n t a t i o n s c h i l d r e n e m p l o y e n a b l e a n d c o n s t r a i n t h e i r d o i n g o f m a t h e m a t i c s ? T h e r o l e o f v a r i o u s f a c t o r s w h i l e d o i n g m a t h e m a t i c s w a s c o n s i d e r e d : ( a ) a c h i l d ’ s v i e w o f s e l f , ( b ) t h e u s e ( f o r m a l a n d i n f o r m a l ) o f l a n g u a g e , ( c ) t h e c o n t e x t i n w h i c h t h e m a t h e m a t i c s w a s s i t u a t e d ( t h e ” s t o r i e s ” ) , a n d ( d ) d i f f e r e n t f o r m s o f s e l f — m o n i t o r i n g . A l s o c o n s i d e r e d w e r e b a s e s o n w h i c h t h e c h i l d r e n m a d e d e c i s i o n s a n d t h e r o l e t h o s e d e c i s i o n s p l a y e d i n d o i n g m a t h e m a t i c s . F o u r t h i r d g r a d e r s ’ r e a s o n i n g i n a n d a b o u t m a t h e m a t i c s w a s e l i c i t e d b y c r e a t i n g a c t i v i t i e s t h a t e n g a g e d t h e m i n m a t h e m a t i c s o n o r n e a r t h e b o u n d a r i e s o f t h e i r k n o w l e d g e a n d u n d e r s t a n d i n g . D u r i n g a s e q u e n c e o f i n d i v i d u a l i n t e r v i e w s , t h e c h i l d r e n w e r e p o s e d m a t h e m a t i c a l t a s k s o f v a r y i n g n a t u r e — f r o m t r a d i t i o n a l p r o b l e m s t o ” s t o r y p r o b l e m s ” t o c o n v e r s a t i o n s o f f e r i n g s i t e s f o r m a t h e m a t i c a l r e a s o n i n g . A n a l y s i s o f t h e r e p r e s e n t a t i o n s a n d l a n g u a g e u s e d r e v e a l e d t h e c h i l d r e n ’ s m o n i t o r i n g o f t h e i r c r e a t i o n a n d u s e o f r e p r e s e n t a t i o n s . T h e e x t e n t a n d f o r m o f m o n i t o r i n g r e p r e s e n t t h e d e p t h a n d n a t u r e o f t h e i r n a s c e n t a u t h o r i t y o v e r m a t h e m a t i c s . I n a d d i t i o n , t h e c h i l d r e n ’ s c r e a t i o n , u s e , a n d m o n i t o r i n g o f t h e i r r e p r e s e n t a t i o n s c o n s t r a i n e d a n d e n a b l e d t h e m a t h e m a t i c a l w o r k i n w h i c h t h e y e n g a g e d . E v i d e n c e f o r t h i s a n a l y s i s a r o s e f r o m t h e c h i l d r e n ’ s n a r r a t i v e s a s t h e y w o r k e d , t h e i r r e s p o n s e s t o q u e s t i o n s , a n d t h e p h y s i c a l m a n i f e s t a t i o n s o f t h e i r w o r k . T h e s t u d y w a s g r o u n d e d i n a c o n s t r u c t i v i s t v i e w o f l e a r n i n g a n d a s y m b o l i c i n t e r a c t i o n i s t m e t h o d o l o g y ( B l u m e r , 1 9 6 9 ) . A f t e r e a c h r o u n d o f i n t e r v i e w s , d a t a w e r e a n a l y z e d a n d s u b s e q u e n t i n t e r v i e w s d e s i g n e d t o f o s t e r s i t u a t i o n s t h a t w o u l d i l l u m i n a t e t h e c h i l d r e n ’ s r e a s o n i n g . E x a m i n a t i o n o f t r a n s c r i p t s a n d v i d e o - a n d a u d i o - t a p e s r e s u l t e d i n p r o f i l e s o f e a c h c h i l d . S u b s e q u e n t l y a n a l y s e s o f l a n g u a g e a n d r e p r e s e n t a t i o n u s e a c r o s s t h e i n d i v i d u a l c h i l d r e n w e r e c o n d u c t e d . T h r e e o f t h e f o u r c h i l d r e n d e m o n s t r a t e d a d i s i n c l i n a t i o n , f o r v a r y i n g r e a s o n s , t o m o v e b e y o n d p a r t i c u l a r p r o b l e m s a n d e n g a g e i n t h e m a t h e m a t i c a l a c t i v i t i e s o f a b s t r a c t i o n a n d g e n e r a l i z a t i o n . W h i l e c h i l d r e n m a y m o n i t o r a s t h e y p u r s u e s o l u t i o n s t o p r o b l e m s , t h e i r p a t h s m a y c a r r y t h e m t h r o u g h d i f f e r e n t t e r r i t o r i e s . P r o b l e m s g r o u n d e d i n t h e ” r e a l w o r l d ” a l l o w s o m e s t u d e n t s t o e x p l o r e m a t h e m a t i c s w h i l e o t h e r s e x p l o r e t h e p h e n o m e n a d e s c r i b e d i n t h e c o n t e x t . T h e c o n t e x t p r o v i d e s a s a f e s p o t f o r e n g a g i n g i n m a t h e m a t i c a l a c t i v i t y . H o w e v e r , t h e s e c o n t e x t s a l s o a p p e a r e d t o a l l o w s t u d e n t s t o h o l d b a c k f r o m e n g a g i n g w i t h m a t h e m a t i c a l a b s t r a c t i o n a n d g e n e r a l i z a t i o n . T h e c o n t e x t s m a y e v e n h a v e m a s k e d t h e n e c e s s i t y o f s u c h e n g a g e m e n t . S t u d e n t s ’ a t t i t u d e s t o w a r d t h e m s e l v e s a n d t h e i r b e l i e f s a b o u t t h e n a t u r e o f t h e d i s c i p l i n e l a r g e l y s h a p e t h e i r u s e o f t h e c o n t e x t s o f t h e p r o b l e m s , a f f e c t i n g t h e i r e n g a g e m e n t w i t h t h e m a t h e m a t i c a l i s s u e s e n t a i l e d . T h i s s t u d y p r e s e n t s a r e s e a r c h m e t h o d o l o g y u n i q u e i n i t s a b i l i t y t o e l i c i t t h e r e a s o n i n g o f c h i l d r e n a s t h e y d o m a t h e m a fi c s . B y p r o b i n g t h e i r u n d e r s t a n d i n g a n d t h e n d e s i g n i n g t a s k s t h a t d r a w c h i l d r e n n e a r t h e b o u n d a r i e s o f t h e i r u n d e r s t a n d i n g , t h e p r o t o c o l s m a d e t h e i r d e c i s i o n - m a k i n g a n d t o o l s , a s w e l l a s t h e i r l a n g u a g e a n d r e p r e s e n t a t i o n s , v i s i b l e . C o p y r i g h t b y S T E P H E N P A T R I C K S N I I T H I 9 9 9 D e d i c a t e d t o m y f a t h e r , N o r m a n R . S m i t h , a n d t h e m e m o r y o f m y m o t h e r , B a r b a r a A . S m i t h . A c k n o w l e d g m e n t s A s I c o n t e m p l a t e w r i t i n g t h e s e a c k n o w l e d g m e n t s , I a m o v e r w h e l m e d w i t h e m o t i o n . T h e l o n g , s l o w ( a n d s t r a n g e ! ) j o u r n e y h a s p r o v i d e d m e w i t h m a n y u p s a n d d o w n s , g a i n e d a n d l o s t c o m p a n i o n s . I s u p p o s e i t i s n a t u r a l f o r t h e p r o c e s s o f w r i t i n g t h i s p i e c e t o t r i g g e r a r e fl e c t i v e f r a m e o f m i n d n e s p e c i a l l y w i t h t h e p r o x i m a l e n d o f t h e m i l l e n n i u m . ( Y e s , I h a v e c h o s e n t o a c c e p t t h e c o m m o n r e p r e s e n t a t i o n o f t h i s m i l l e n n i u m ’ s e n d . ) T h e f o l l o w i n g c a n b u t i n a d e q u a t e l y e x p r e s s m y g r a t i t u d e f o r a l l w h o h a v e h e l p e d m e o n t h i s j o u r n e y . I s t a r t b y t h a n k i n g t h e s i x c h i l d r e n o f t h i s s t u d y a l o n g w i t h t h e i r t h r e e p r e d e c e s s o r s f r o m t h e p i l o t . A ; ; g a v e u n s t i n t i n g l y o f t h e i r t i m e . T h e y t r i e d t h e i r b e s t t o c a r r y o u t t h e t a s k s I p o s e d a n d t o a n s w e r m y m a n y — a n d , n o d o u b t , o f t e n w e i r d — q u e s t i o n s w i t h o u t c o m p l a i n t o r e x p e c t a t i o n o f r e w a r d . T h e y w e r e s m a r t , c a n d i d , a n d c h a r m i n g . N o w e n t e r i n g h i g h s c h o o l , I c a n n o t b u t w o n d e r w h e r e ( m a t h e m a t i c a l l y ) t h e y a r e . I t h a n k K a t h y B e a s l e y w h o a l l o w e d m e t o o b s e r v e h e r a n d h e r s t u d e n t s d u r i n g m a t h e m a t i c s a n d o t h e r c l a s s e s . H e r h e l p i n s e l e c t i n g s i x c h i l d r e n a m o n g a c l a s s o f p o s s i b i l i t i e s w a s i n v a l u a b l e . A t h o u g h t f u l , c a r i n g , h a r d - w o r k i n g s t u d e n t o f m a t h e m a t i c s a n d r e f o r m , K a t h y b u i l t a l e a r n i n g c o m m u n i t y a r o u n d t r u s t a n d s t u d e n t - c e n t e r e d d i s c o u r s e . I a l s o o w e a d e b t o f g r a t i t u d e t o t h e p a r e n t s o f t h e p i l o t s t u d y c h i l d r e n f o r o f f e r i n g u p t h e i r o f f s p r i n g t o m y e a r l y a t t e m p t s a t u n d e r s t a n d i n g c h i l d r e n ’ s m a t h e m a t i c a l r e s o u r c e s a n d r e a s o n i n g . I w i s h a l s o t o t h a n k t h e m e m b e r s o f t h e I n v e s t i g a t i n g M a t h e m a t i c s T e a c h i n g ( I M T ) g r o u p ( o f w h i c h K a t h y B e a s l e y w a s a m e m b e r ) . T h o u g h m y s t u d y w a s n o t p a r t o f t h e I M T r e s e a r c h p r o j e c t , t h e t e a c h e r s ’ i n t e l l e c t u a l c u r i o s i t y , i i c o m m i t m e n t t o r e f o r m , a n d i n t e r e s t i n e a c h o f t h e i r s t u d e n t s a s i n d i v i d u a l s a n d a s l e a r n e r s p l a y e d a n i n c a l c u l a b l e r o l e i n m y c o n c e p t u a l i z a t i o n o f t h i s s t u d y a n d , m o r e f u n d a m e n t a l l y , i n m y o w n d e v e l o p m e n t a s a t e a c h e r . I w i s h t o t h a n k m y c o m m i t t e e , L i n d a A n d e r s o n , D e b o r a h B a l l ( a d v i s o r ) , H e l e n F e a t h e r s t o n e , G l e n d a L a p p a n ( c h a i r ) , a n d R a l p h P u t n a m f o r t h e i r h e l p a n d u n d e r s t a n d i n g t h r o u g h t h i s l o n g , o f t e n s l o w l y d e v e l o p i n g , p r o c e s s . L i n d a A n d e r s o n p r o v i d e d m e t h o d o l o g i c a l g u i d a n c e t h r o u g h c o u r s e w o r k a n d b e y o n d . S h e r e m a i n e d s u p p o r t i v e a n d h e l p f u l t h o u g h t h e s t u d y c h a n g e d f r o m o n e c l o s e l y a l i g n e d w i t h h e r r e s e a r c h e x p e r t i s e t o o n e w i t h l e s s c o n n e c t i o n . S h e a l s o g e n e r o u s l y a l l o w e d m e t o i n t e r v i e w h e r s o n a s p a r t o f m y p i l o t s t u d y . R a l p h P u t n a m w i l l i n g l y r e a d t e n t a t i v e a n d a w k w a r d t e x t a s I m a d e m y w a y f r o m a p i l o t s t u d y t o a p r o p o s a l a n d t h r o u g h d a t a c o l l e c t i o n . H i s c a r e f u l r e a d i n g a n d t h o u g h t f u l c o m m e n t s , o f t e n d r a w n f r o m h i s e x p e r i e n c e s a s a f a t h e r a n d t e a c h e r , w e r e i n s t r u m e n t a l i n s h a p i n g t h e s t u d y . I t h a n k G l e n d a L a p p a n f o r d r a w i n g m e i n t o m a t h e m a t i c s e d u c a t i o n i n t h e f i r s t p l a c e . T h e m a t h e m a t i c s e d u c a t i o n s e q u e n c e s h e c o - t a u g h t w i t h t h e l a t e B i l l F i t z g e r a l d i n h ' o d u c e d m e t o a c h a l l e n g i n g i n t e l l e c t u a l fi e l d . W i t h o u t b e i n g t r i t e , i t c h a n g e d m y l i f e . H e l e n F e a t h e r s t o n e i s a t r u l y w i s e p e r s o n . I c h e r i s h t h e m o r e t h a n s i x y e a r s o f p a r t i c i p a t i n g i n t h e l e a r n i n g c o m m u n i t y s h e c e n t e r e d t h a t w a s s o m u c h m o r e t h a t a r e s e a r c h p r o j e c t , t h e I M T g r o u p . I t w a s a n o p p o r t u n i t y a n d a p r i v i l e g e t o b e m e n t o r e d b y h e r a n d l e a r n f r o m h e r a w a r e n e s s o f w h a t i s i m p o r t a n t i n l i f e , h e r i n t e l l e c t u a l k e e n n e s s , h e r c u r i o s i t y , h e r w i d e - r a n g i n g i n t e r e s t s , h e r e m p a t h y , h e r w a r m t h , a n d h e r s t o r i e s . A h u e f r i e n d , H e l e n s h a r e d h e r s e l f u n s t i n t i n g l y ( a n d s h a r e d h e r d a u g h t e r f o r m y p i l o t s t u d y a n d h e r o f f i c e f o r m y r e f u g e ) . W o r d s c a n n o t a d e q u a t e l y e x p r e s s m y g r a t i t u d e . N e a r l y f r o m t h e b e g i n n i n g o f m y s t u d i e s i n e d u c a fi o n , D e b o r a h B a l l h a s b e e n a s i g n i f i c a n t p r e s e n c e . H e r c o u r s e s w e r e s fi m u l a t i n g a n d c h a l l e n g i n g ; a s B e r t w o u l d s a y , t h e y b r i g h t e n e d u p m y h e a d . S h e g u i d e d m e i n t o r e s e a r c h p r o j e c t s o f i n c r e d i b l e v a l u e . S h e a l w a y s s a w m o r e i n m e a n d m y w o r k t h a n I a l l o w e d w a s t h e r e . H e r p a t i e n c e a n d c o n s i d e r a t i o n a s s h e m e n t o r e d w e r e e x t r a o r d i n a r y . C h a l l e n g i n g a n d s u p p o r t i n g , p u s h i n g a n d p u l l i n g , D e b o r a h h e l p e d m e f i n d a p a t h t h r o u g h m u l t i p l e t e r r a i n s s i m u l t a n e o u s l y . I a l s o t h a n k t h e m a n y f a c u l t y a n d g r a d u a t e s t u d e n t s w i t h w h o m I s h a r e d t h e M i c h i g a n S t a t e e x p e r i e n c e . I w a s i n fl u e n c e d b y m a n y o u t s t a n d i n g f a c u l t y a n d t h e e q u a l l y o u t s t a n d i n g g r a d u a t e s t u d e n t s t h e y a t t r a c t e d . T h e c o l l e g i a l i t y a n d a c a d e m i c r i g o r o f M S U c r e a t e d a s t a n d a r d b y w h i c h I m e a s u r e p r o f e s s i o n a l e x p e r i e n c e s . W h i l e t o o n u m e r o u s t o n a m e a l l , I m e n t i o n t h e s p e c i a l r e l a t i o n s h i p a n d s u p p o r t o f a h a n d f u l . M y c o l l e a g u e s f o r f i v e y e a r s o n t h e U n d e r s t a n d i n g L i t e r a t u r e f o r T e a c h i n g s t u d y , B i l l M c D i a r m i d , D i a n e H o l t - R e y n o l d s , L i b b y K n e p p e r , a n d M a r g a r e t M a l e n k a , p r o v i d e d i n t e l l e c t u a l a n d e m o t i o n a l s u p p o r t f o r m y o w n r e s e a r c h w h i l e m e n t o r i n g m e i n t h e f i n e r p o i n t s o f i n t e r v i e w i n g a n d o f r e a d i n g l i t e r a t u r e . A h e a r t y t h a n k s t o a l l . T w o p a i r s o f g r a d u a t e s t u d e n t s w e r e i n s t r u m e n t a l i n t h e p r o c e s s o f d a t a a n a l y s i s a n d w r i t i n g a n d d e s e r v e m y h e a r t f e l t t h a n k s . M a r t i a l D e m b e l e , T a m m y L a n t z , a n d I m e t o v e r m a n y d i n n e r s t o d i s c u s s o u r v a r i o u s d i s s e r t a t i o n s . T h e i r c a m a r a d e r i e a n d i n s i g h t d u r i n g o u r a l l t o o s h o r t a s s o c i a t i o n h e l p e d m o v e m e p a s t m a n y s n a g s . P a m G e i s t ( i n C h i c a g o a n d t h e n D e n v e r ) , J a n i n e R e m i l l a r d ( i n S a l t L a k e C i t y a n d P h i l a d e l p h i a ) a n d I ( i n E a s t L a n s i n g a n d S a l t L a k e C i t y ) f o r m e d a l o n g - d i s t a n c e , m o v a b l e s t u d y g r o u p t h a t l a s t e d w e l l o v e r t h r e e y e a r s a s w e e a c h a n a l y z e d a n d w r o t e . W i t h o u t t h e i r s u p p o r t — a g a i n , b o t h e m o t i o n a l a n d i n t e l l e c t u a l — t h i s d i s s e r t a t i o n w o u l d b e a s h a d o w o f i t s p r e s e n t s e l f . i v T o m W e a v e r , D a w n A u t i o , a n d R i c k S t e p h e n s o n h a v e b e e n a n i n t e g r a l p a r t o f m y l i f e t h r o u g h o u t t h i s s t u d y . T h e y h a v e h e l p e d m e c e l e b r a t e t h e s u c c e s s e s . T h e i r g e n t l e p u s h i n g a n d m o r a l s u p p o r t h a v e h e l p e d m e t h r o u g h m a n y t o u g h e r t i m e s . T r u e f r i e n d s , o n e a n d a l l , t h a n k s . I l i k e w i s e t h a n k m y f a m i l y f o r t h e i r i n t e r e s t a n d b e l i e f i n m e . T h e y o u n g e s t m e m b e r , I b e n e f i t e d e a r l y f r o m t h e i r t u t o r i n g , e x p e r i e n c e , a n d c a r e . F i n a l l y , I t h a n k M i r e l l a w h o b e l i e v e d i n a n d l o v e d m e u n c o n d i t i o n a l l y . T A B L E O F C O N T E N T S L I S T O F T A B L E S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . L I S T O F F I G U R E S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . C H A P T E R O N E I N T R O D U C T I O N A N D L I T E R A T U R E R E V I E W . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . F o c u s O f T h e R e s e a r c h . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . M a t h e m a t i c s E d u c a t i o n - R e f o r m A n d R e s e a r c h . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . T w o I n fl u e n c e s o n R e f o r m - L e a r n i n g T h e o r y a n d M a t h e m a t i c s . . L e a r n i n g T h e o r y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . O r i g i n s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V a r i e t i e s o f C o n s t r u c t i v i s m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . T h e S t a n d a r d s A r e C o n s t r u c t i v i s t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . T h e D i s c i p l i n e o f M a t h e m a t i c s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A n a l y s i s o f C o n t e n t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A n a l y s i s o f S t u d e n t E r r o r s . . . . . - - . . . . . . . . . . . . . . A n a l y s i s o f L e a r n i n g i n O u t - o f - S c h o o l C o n t e x t s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . P r o b l e m S o l v i n g a s a B r i d g e b e t w e e n L e a r n i n g T h e o r y a n d M a t h e m a t i c s . . . . . . . . . . . . . T h e R o l e o f A f f e c t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . S u m m a r y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - . - . . . . . R e p r e s e n t a t i o n s - - . . . . . . . . . . . . . R e p r e s e n t a t i o n s a s S y m b o l S y s t e m s - . . . . . . . . . . . . . . . R e p r e s e n t a t i o n s a s T o o l s f o r S o l v i n g S p e c i fi c P r o b l e m s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . R e p r e s e n t a t i o n s a s T o o l s f o r U n d e r s t a n d i n g C h i l d r e n ’ s T h i n k i n g . . . " . . . . . A P a r a d o x F o r T e a c h e r s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A L o o k A h e a d . . . . . . . . . . . . . . . . . . v i X V x v i 1 1 1 3 1 4 1 4 1 6 1 9 2 O 2 3 2 6 2 9 3 3 3 6 3 7 3 9 4 1 4 2 4 3 4 5 C H A P T E R T W O M E T H O D O L O G Y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . C o n t e x t S e l e c t i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . M e t h o d o l o g i c a l P o s i t i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . S y m b o l i c I n t e r a c t i o n i s m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I n t e r v i e w s , n o t a n I n S i t u S t u d y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . S o c i a l C o n s t r a i n t s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . P e d a g o g i c a l C o n s t r a i n t s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . S u b s t a n t i v e C o n s u a i n t s M e t h o d o l o g i c a l P r o c e d u r e s . . . . . . . . . . . . . P i l o t S t u d y M a i n S t u d y D a t a C o l l e c t i o n . . . . . . . T h e C h i l d r e n ’ s C o n t e x t . . . . . . . . . . . . . . . O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O S e l e c t i o n o f t h e C h i l d r e n I n t e r v i e w D e s i g n - T h e F i r s t I n t e r v i e w T h e S e c o n d I n t e r v i e w T h e T h i r d I n t e r v i e w 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 T h e F o u r t h I n t e r v i e w J i m T e r i D a n i - 1 1 9 D a t a C o l l e c t i o n C o n c l u d e d A n a l y s i s R e c u r s i v e A n a l y s i s C h a r t s a n d S t r a n d s 4 7 4 9 5 0 5 0 5 3 5 4 5 4 5 6 5 7 5 8 6 1 6 1 6 2 6 3 6 4 6 6 6 8 7 3 7 4 7 6 7 9 8 1 8 2 8 3 8 5 C a s e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 6 C r o s s - C u t t i n g T h e m e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 7 W h y B e r t , D a n i e l l e , N i c o l e , a n d T e r i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 8 C H A P T E R T H R E E P R O F I L E S O F T H E C H I L D R E N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1 B e r t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2 V i g n e t t e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2 A n a l y t i c D e s c r i p t i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 6 T w o E x a m p l e s o f D o i n g M a t h e m a t i c s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 9 T h e C a n d y B a r P r o b l e m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 9 F i r s t R e p r e s e n t a t i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 0 0 S e c o n d R e p r e s e n t a t i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 0 2 E x p l a n a t i o n o f h i s R e a s o n i n g . . . . . . . . . - - . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 0 5 T w o H y p o t h e t i c a l S o l u t i o n s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 0 6 T h i r d R e p r e s e n t a t i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 0 9 S u m m a r y . . . . . . . - . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 0 T h e O p e r a t i o n s T a s k s . . . . . . . . . . . . . . . - - . . . . . . . . . . . . . 1 1 2 L a r g e s t O u t c o m e - - . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 2 S m a l l e s t O u t c o m e . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 5 S u m m a r y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 7 S u m m a r y o f B e r t - - - - - . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 7 T e r i - - . . . . . 1 1 0 V i g n e t t e - - . . . . . . . . . . . . . . . 1 2 0 A n a l y t i c D e s c r i p t i o n - - 1 2 3 T w o E x a m p l e s o f D o i n g M a t h e m a t i c s . . . . . . . . . . . . - - . . . 1 2 5 T h e C a n d y B a r P r o b l e m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2 6 v i i i F i r s t R e p r e s e n t a t i o n f o r t h e I n t e n d e d P r o b l e m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2 8 S e c o n d R e p r e s e n t a t i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2 9 H y p o t h e t i c a l S o l u t i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 3 2 S u m m a r y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 3 2 T h e O p e r a t i o n s T a s k s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 3 3 S u m m a r y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 3 9 S u m m a r y o f T e r i . . . . . . . . - . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 4 0 D a n i e l l e . . . . . . . . . . . . - . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 4 2 V i g n e t t e - - - . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 4 3 A n a l y t i c D e s c r i p fi o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 4 5 G r e g a r i o u s n e s s - . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 4 6 E f f i c a c i o u s n e s s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 4 7 R o l e - P l a y i n g . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 5 0 C o m p e t i h ' o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 5 1 M e t a - A w a r e n e s s - - . . . . . . . . . . . . . . . - - - - - 1 5 1 S u m m a r y - _ - . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 5 3 T w o E x a m p l e s o f D o i n g M a t h e m a t i c s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 5 5 T h e C a n d y B a r P r o b l e m - . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 5 7 S t a r t i n g h e r R e p r e s e n t a t i o n - - . . . 1 5 7 D i s t r i b u t i o n o f t h e C a n d y B a r s - - - - . . . . . . . . . . 1 5 9 F i r s t S o l u t i o n . . . . . . . 1 6 1 C o r r e c t i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 6 2 S u m m a r y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 6 4 T h e O p e r a t i o n s T a s k s - . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 6 4 F i r s t T a s k — S e e k i n g t h e L a r g e s t O u t c o m e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 6 5 S e c o n d T a s k — S e e k i n g t h e L a r g e s t O u t c o m e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 6 9 T h i r d T a s k — S e e k i n g t h e S m a l l e s t O u t c o m e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 7 2 i x S u m m a r y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 7 3 S u m m a r y o f D a n i e l l e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 7 3 N i c o l e - . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 7 4 V i g n e t t e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 7 4 A n a l y t i c D e s c r i p t i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 8 0 T w o E x a m p l e s o f D o i n g M a t h e m a t i c s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 8 3 T h e C a n d y B a r P r o b l e m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 8 4 T h e C a n d y C a n e P r o b l e m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 0 1 S u m m a r y - - - . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 0 7 S u m m a r y o f N i c o l e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 0 9 C o n c l u s i o n . . . . . . . . . . . . - . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 0 9 C H A P T E R F O U R F U N C T I O N S O F L A N G U A G E I N D O I N G M A T H E M A T I C S . . . . 2 1 1 F u n c t i o n s o f L a n g u a g e — S o l v i n g P r o b l e m s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1 2 N o n e x p l a n a t o r y L a n g u a g e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1 2 L a n g u a g e U s e d t o E s t a b l i s h a R e l a t i o n s h i p w i t h P r o b l e m s . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1 2 C l a r i f i c a t i o n - - . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1 3 C l a r i f i c a t i o n a t t h e e n d o f n a r r a t i o n - - 2 1 4 C l a r i f i c a t i o n i n t h e p r o c e s s o f w o r k i n g o n a p r o b l e m . . . . . . . . . . . . . 2 1 5 C l a r i f i c a t i o n i n r e s p o n s e t o p r o b e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1 8 P r o j e c t i o n - . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2 0 I n t e r r u p t i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2 1 S u m m a r y . . . . . . . . . . . . . . . . . - - - 2 2 3 L a n g u a g e U s e d t o D e s c r i b e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - - - - . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2 4 E n u m e r a t i o n - - - . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2 4 N a r r a t i o n - - - - - . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2 6 L a n g u a g e U s e d t o E x p r e s s A f f e c t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2 7 L a n g u a g e U s e d t o D i s e n g a g e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2 9 S u m m a r y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 3 0 L a n g u a g e U s e d t o E x p l a i n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 3 0 E x p l a n a t o r y L a n g u a g e a b o u t S y m b o l s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 3 1 E x p l a n a t o r y L a n g u a g e i n R e s p o n s e t o Q u e s t i o n i n g . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 3 4 N i c o l e ’ s ” I n - P r o c e s s ” A n a l o g y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 3 7 N i c o l e ’ s P o s t - S o l u t i o n A n a l o g y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 3 9 S u m m a r y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 4 0 S u m m a r y o f F u n c t i o n s o f L a n g u a g e - - S o l v i n g P r o b l e m s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 4 1 F u n c t i o n s o f L a n g u a g e — B e y o n d S p e c i fi c P r o b l e m s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 4 2 E x p l o r i n g M a t h e m a t i c a l C o n c e p t s a n d O b j e c t s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 4 2 T e r i - - - . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 4 3 N i c o l e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 4 3 D a n i e l l e . . . . . - - - . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 4 4 B e r t - - - - - - - . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 4 6 N e g a t i v e I n t e g e r s a s S e r v a n t s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 4 7 N e g a t i v e I n t e g e r s a s P i l l o w s o r C u s h i o n s - - - - - - . . 2 5 2 S u m m a r y o f E x p l o r i n g M a t h e m a fi c a l C o n c e p t s a n d O b j e c t s . . . . . . . . . . . . . 2 5 7 E x p l a i n i n g t h e P r o c e s s o f D o i n g M a t h e m a t i c s . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 5 8 T e r i . . . . . . . - . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 5 8 N i c o l e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 6 0 B e r t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 6 1 D a n i e l l e . . . . . . . . - . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 6 3 T r i c k y - - - 2 6 4 H a r d 2 6 8 S u m m a r y o f F u n c t i o n s o f L a n g u a g e - B e y o n d S p e c i fi c P r o b l e m s . . . . . . . . . . . . 2 6 9 x i D i s c u s s i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . C H A P T E R F I V E F U N C T I O N S O F R E P R E S E N T A T I O N S I N D O I N G M A T H E M A T I C S . . . . . R e p r e s e n t a fi o n s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . D e fi n i n g R e p r e s e n t a t i o n s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . E x a m i n i n g R e p r e s e n t a t i o n s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . H o w R e p r e s e n t a t i o n s F u n c t i o n f o r D o i n g M a t h e m a t i c s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A d H o c P u r p o s e s f o r R e p r e s e n t a t i o n s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . R e p r e s e n t a t i o n s o f P r o b l e m s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . M o d e l i n g P a r t i c u l a r P r o b l e m s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . S o l v i n g P a r t i c u l a r P r o b l e m s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . D a n i e l l e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . T e r i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B e r t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . N i c o l e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . R e p r e s e n t a t i o n s o f E x p l a n a t i o n s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . S u m m a r y - - . . . . . . 0 0 0 0 0 0 0 0 0 D i s c i p l i n e - B a s e d P u r p o s e s f o r R e p r e s e n t a t i o n s S u m m a r y . . . . . - - - . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . D e v e l o p m e n t o f R e p r e s e n t a t i o n s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . M u l t i p l e R e p r e s e n t a t i o n s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - . . . . . . S e r i a l R e p r e s e n t a t i o n s T e r i B e r t - - - . . . . . . . . . . . . . . . . . D i s c u s s i o n o f S e r i a l R e p r e s e n t a t i o n s - C o m p l e m e n t a r y R e p r e s e n t a t i o n s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x i i 2 7 0 2 7 7 2 8 1 2 8 2 2 8 4 2 8 7 2 8 9 2 8 9 2 8 9 2 9 0 2 9 0 2 9 4 2 9 8 3 0 3 3 0 4 3 0 7 3 0 8 3 1 3 3 1 4 3 1 4 3 1 5 3 1 5 3 1 6 3 1 6 3 1 7 B e r t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1 7 D a n i e l l e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1 7 N i c o l e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1 8 D i s c u s s i o n o f C o m p l e m e n t a r y R e p r e s e n t a t i o n s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1 8 S u m m a r y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1 9 C r e a t i o n o r U s e o f R e p r e s e n t a t i o n s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 2 0 D i s c u s s i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 2 1 M o n i t o r i n g . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 2 3 T e r i a n d D a n i e l l e — S e l f - R e s t r i c t e d D o m a i n s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 2 3 B e r t a n d N i c o l e - E y e s o n a L a r g e r D o m a i n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 2 6 S u m m a r y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 2 8 I s s u e s o f E n a b l i n g a n d C o n s t r a i n i n g . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 3 0 C h i l d r e n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 3 0 R e p r e s e n t a t i o n s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 3 4 C o n c l u s i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 3 6 C H A P T E R S D ( C O N C L U S I O N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 4 0 V a r y i n g T o o l s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 4 2 P u r s u i n g B o u n d a r i e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 4 6 P r o c e s s i n g M a t h e m a t i c s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 5 0 E x p a n d i n g P a r t i c i p a n t s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 5 4 E x p a n d i n g C o n t e x t s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 5 6 C o n c l u d i n g T h o u g h t s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 5 7 A P P E N D D ( A P R O T O C O L O F F I R S T I N T E R V I E W . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 6 3 x i i i A P P E N D I X B P R O T O C O L O F S E C O N D I N T E R V I E W . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 7 0 A P P E N D I X C P R O T O C O L O F T H I R D I N T E R V I E W . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 7 6 A P P E N D D ( D P R O T O C O L O F F O U R T H I N T E R V I E W . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 8 0 A P P E N D I X E L E T T E R T O D Y L A N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 8 4 R E F E R E N C E S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 9 4 x i v L I S T O F T A B L E S T a b l e 1 : V i t a l s t a t i s t i c s o f t h e c h i l d r e n o f t h e s t u d y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 3 X V L I S T O F F I G U R E S F i g u r e 1 : R e l a t i o n s h i p s a m o n g f r a m e s , r e p r e s e n t a t i o n s , a n d e x p e r i e n c e s . . . 6 4 F i g u r e 2 : B e r t ’ s fi r s t r e p r e s e n t a t i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 0 1 F i g u r e 3 : B e r t ’ 3 s e c o n d r e p r e s e n t a t i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 0 4 F i g u r e 4 : B e r t ’ s d i v i s i o n o f t h e 2 9 t h a n d 3 0 t h b a r s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 0 4 F i g u r e 5 : T h e fi r s t h y p o t h e t i c a l s o l u t i o n I o f f e r e d B e r t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 0 7 F i g u r e 6 : T h e s e c o n d h y p o t h e t i c a l s o l u t i o n I s h o w e d B e r t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 0 8 F i g u r e 7 : B e r t ’ 3 d i s t r i b u t i o n o f t w o ” b a r s ” - - . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 0 8 F i g u r e 8 : B e r t ’ s d e m o n s t r a t i o n o f o n e o f ” 1 0 0 0 l i t t l e p i e c e s ” o f a ” b i g ” b a r - - - . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 1 F i g u r e 9 : T h e fi r s t s l i p o f p a p e r i n t h e O p e r a t i o n s t a s k s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 1 F i g u r e 1 0 : B e r t ’ s ” s m a l l e s t p o s s i b l e o u t c o m e ” - - - - . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 6 F i g u r e 1 1 : R e p r e s e n t a t i o n B e r t u s e d t o c o m p u t e s m a l l e s t p o s s i b l e o u t c o m e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 6 F i g u r e 1 2 : T e r i ' s fi r s t r e p r e s e n t a t i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2 9 F i g u r e 1 3 : T e r i ' s s e c o n d r e p r e s e n t a t i o n . - . . . . . . . . . . . . . . 1 3 1 F i g u r e 1 4 : T e r i ’ s s o l u t i o n f o r p a r a d i g m a t i c c h i l d . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 3 4 F i g u r e 1 5 : H y p o t h e t i c a l s o l u t i o n s h o w n T e r i - - - - - - - - - - - - - . 1 3 4 F i g u r e 1 6 : T h e fi r s t O p e r a t i o n s t a s k , fi n d i n g t h e l a r g e s t o u t c o m e . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 3 6 F i g u r e 1 7 : T h e fi r s t t a s k w i t h t h e t w o s u b t r a c t i o n p r o b l e m s r e c o r d e d . . . . . . 1 3 6 F i g u r e 1 8 : F i n d i n g t h e l a r g e s t o u t c o m e _ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 3 6 F i g u r e 1 9 : F i n d i n g t h e s m a l l e s t o u t c o m e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - . . . . 1 3 6 F i g u r e 2 0 : F i n d i n g t h e s m a l l e s t o u t c o m e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 3 6 F i g u r e 2 1 : D a n i e l l e ’ s f i n i s h e d r e p r e s e n t a t i o n f o r t h e C a n d y B a r p r o b l e m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 5 6 x v i F i g u r e 2 2 : R e p r e s e n t a t i o n s s h o w i n g t h a t t w o q u a r t e r s i s t h e s a m e a s a h a l f - - - . . . . . . . . . . . . 1 6 4 F i g u r e 2 4 : N i c o l e ’ s r e p r e s e n t a t i o n a f t e r d i s t r i b u t i n g 2 8 b a r s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 8 8 F i g u r e 2 5 : N i c o l e ’ s r e p r e s e n t a t i o n a f t e r d i s u i b u t i n g t h e 2 9 t h a n d 3 0 t h b a r s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 9 1 F i g u r e 2 6 : N i c o l e ’ s a t t e m p t s t o fi n d a ” n u m b e r s e n t e n c e ” t o fi t h e r p i c t o r i a l s o l u t i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 9 2 F i g u r e 2 7 : N i c o l e ’ s a l t e r n a t e d i s t r i b u t i o n o f t h e 2 9 t h a n d 3 0 t h b a r s . . . . . . . . . . . 1 9 3 F i g u r e 2 8 : T h e fi n a l v e r s i o n o f N i c o l e ’ s r e p r e s e n t a t i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 9 6 F i g u r e 2 9 : N i c o l e ’ s fi r s t e x a m p l e , fi v e c h i l d r e n s h a r i n g o n e b r o w n i e . . . . . . . . 1 9 7 F i g u r e 3 0 : N i c o l e ’ s e x a m p l e o f t w o p e o p l e s h a r i n g t w o b a r s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 9 7 F i g u r e 3 1 : N i c o l e ’ s p a i r o f ” h a n d s ” w i t h c a n d y c a n e s - - 2 0 2 F i g u r e 3 2 : N i c o l e ’ s s e c o n d r e p r e s e n t a t i o n , a ” h a n d ” t h a t w a s n ’ t ” t h a t s m a l l . ” - A - . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 0 2 F i g u r e 3 3 : N i c o l e ’ s s e c o n d r e p r e s e n t a t i o n w i t h c a n d y c a n e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 0 2 F i g u r e 3 4 : B e r t ’ s r e p r e s e n t a t i o n s h o w i n g t h a t n u m b e r s ” g o d o w n a n d u p . ” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 4 9 F i g u r e 3 5 : B e r t ’ s r e p r e s e n t a t i o n f o r ” - 7 + 7 = 7 ( s i c ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 4 9 F i g u r e 3 6 : D a n i e l l e ’ s s p o n t a n e o u s p r o b l e m - . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 6 7 F i g u r e 3 7 : D a n i e l l e ’ s s o l u t i o n s t o a p a i r o f p r o b l e m s - . . 2 6 7 F i g u r e 3 8 : D a n i e l l e ’ s s o l u t i o n t o ” n i n e t a k e a w a y fi v e [ s i c ] ” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 6 7 F i g u r e 3 9 : A d h o c p u r p o s e s f o r r e p r e s e n t a t i o n s . . . . . 2 8 8 F i g u r e 4 0 : H o w T e r i m i g h t h a v e s o l v e d t h e C a n d y B a r p r o b l e m . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 9 8 F i g u r e 4 1 : F i r s t h y p o t h e t i c a l s o l u t i o n - - - _ . 3 7 1 F i g u r e 4 2 : S e c o n d h y p o t h e t i c a l s o l u t i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 7 1 x v i i F i g u r e 4 3 : T h i r d h y p o t h e t i c a l s o l u t i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 7 1 F i g u r e 4 4 : F i r s t s l i p o f p a p e r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 7 3 F i g u r e 4 5 : S e c o n d s l i p o f p a p e r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 7 3 x v i i i C H A P T E R O N E I N T R O D U C T I O N A N D L I T E R A T U R E R E V I E W F o r s i x y e a r s I m e t r e g u l a r l y w i t h a g r o u p o f e l e m e n t a r y a n d m i d d l e s c h o o l t e a c h e r s a s p a r t o f a r e s e a r c h p r o j e c t a t a l a r g e r n i d w e s t e r n u n i v e r s i t y . A s a g r o u p , w e e x p l o r e d w a y s o f t e a c h i n g m a t h e m a t i c s i n w h i c h c h i l d r e n h a v e t h e o p p o r t u n i t y t o l e a r n t o r e a s o n m a t h e m a t i c a l l y . W e s p e n t m u c h o f o u r t i m e e x p l o r i n g p r o b l e m s o f p r a c t i c e w h i c h o r i g i n a t e i n m e m b e r s ’ o w n c l a s s r o o m s . I n m a n y o f t h e g r o u p m e e t i n g s t h e p r o b l e m s o f p r a c t i c e w e r e d i l e m m a s w h i c h t e a c h e r s t r y i n g t o c h a n g e t h e i r p r a c t i c e f a c e . W e s t r u g g l e d t o u n d e r s t a n d a n d fi n d w a y s t o b a l a n c e c o m p e t i n g n e e d s a n d g o a l s . O f t e n t h e p o s i t i o n s m e m b e r s a r g u e d w e r e u n d e r g i r d e d w i t h b e l i e f s a b o u t h o w c h i l d r e n r e a s o n a b o u t , l e a r n , a n d d o m a t h e m a t i c s . F o r e x a m p l e , i n o n e m e e t i n g w e d i s c u s s e d t h e r e l a t i v e m e r i t s o f m e m o r i z i n g t h e m u l t i p l i c a t i o n t a b l e s . C o m p e t i n g p o s i t i o n s w e r e o f f e r e d o n m u l t i p l e f r o n t s — s o c i a l , c o g n i t i v e , a d m i n i s t r a t i v e , e m o t i o n a l . T h e g r o u p d i d n o t r e a c h a c o n s e n s u s . T h e p o s i t i o n s p r e s e n t e d w e r e g r o u n d e d i n m e m b e r s ’ e x p e r i e n c e s w i t h c h i l d r e n , e s p e c i a l l y i n c l a s s r o o m s . T o a g r e a t e x t e n t , t h e s e p o s i t i o n s f a i r l y r e p r e s e n t w h a t h a p p e n s i n c l a s s r o o m s - a n d w h y i t h a p p e n s . H o w e v e r , t h i s l e a v e s m e i n a q u a n d a r y . A s t e a c h e r s , w e h a v e e x t e n s i v e e x p e r i e n c e - b a s e d k n o w l e d g e a b o u t c h i l d r e n ’ s l e a r n i n g . Y e t , t h i s k n o w l e d g e a p p e a r s t o l e a d u s t o c o n t r a d i c t o r y c o n c l u s i o n s a b o u t w h a t c h i l d r e n l e a r n f r o m o r d o w i t h t h e m a t h e m a t i c a l e x p e r i e n c e s w e d e s i g n f o r t h e m . S o m e d i l e m m a s o r i g i n a t e i n c o m p e t i n g g o a l s i n h e r e n t i n t h e c u r r e n t s t r u c t u r e o f e d u c a t i o n : s o c i a l v e r s u s a c a d e m i c g o a l s ; s t a n d a r d i z e d t e s t i n g ; t i m e , m o n e t a r y , a n d p h y s i c a l c o n s t r a i n t s . H o w e v e r , I b e l i e v e t h a t o t h e r d i l e m m a s h a v e a b a s i s i n d i f f e r i n g v i e w s a n d u n d e r s t a n d i n g s o f h o w c h i l d r e n l e a r n a n d r e a s o n a b o u t m a t h e m a t i c s . T e a c h e r s b a s e t h e i r i n t e r p r e t a t i o n s o n t h e p h y s i c a l m a n i f e s t a t i o n s o f c h i l d r e n ’ s p r o b l e m s o l v i n g a l o n g w i t h t h e i r p o s t s o l u t i o n d e s c r i p t i o n s o f t h e i r w o r k . E v e n i n c l a s s r o o m s i n w h i c h d i s c o u r s e a m o n g c h i l d r e n i s c o m m o n , t h e e v i d e n c e t e a c h e r s h a v e t o w o r k w i t h m o s t l y c o n s i s t s o f r e p r e s e n t a t i o n s o f s o l u t i o n s a n d s t u d e n t s ’ ( o f t e n r e - c o n fi g u r e d ) d e s c r i p t i o n s o f t h e s t e p s o f t h e i r s o l u t i o n s . M u c h a s i n a m a t h e m a t i c s t e x t b o o k , w h e n c h i l d r e n " g o t o t h e b o a r d ” t o s h o w t h e i r w o r k , t h e y p r e s e n t a s o m e w h a t s t r e a m l i n e d v e r s i o n o f t h e i r s o l u t i o n . E v e n t h e c h i l d r e n w h o s p e n d a n i n o r d i n a t e a m o u n t o f t i m e r e — d r a w i n g t h e i r r e p r e s e n t a t i o n a r e l i k e l y t o h a v e s p e n t l o n g e r fi g u r i n g o u t a r e p r e s e n t a t i o n t h a t w o u l d w o r k . A d d i t i o n a l l y , t h e e x p l a n a t i o n s t h a t c h i l d r e n p r o v i d e w i t h t h e i r r e p r e s e n t a t i o n a r e m o s t l i k e l y : ( a ) a n a r r a t i v e o f t h e s t e p s t a k e n - n o t a n e x p l a n a t i o n o f w h y t h o s e s t e p s a r e p e r m i s s i b l e ; a n d ( b ) n o t t h e s t e p s t h e y a c t u a l l y f o l l o w e d t o s o l v e t h e p r o b l e m b u t a ” c l e a n e d u p ” v e r s i o n o f t h e i r w o r k . T h u s , t e a c h e r s h a v e t o i n f e r m u c h o f t h e t h i n k i n g t h a t c h i l d r e n d o . O f c o u r s e , t h e y m u s t b e a b l e t o d o t h i s a m i d s t t h e m u l t i t u d e o f o t h e r c o n s i d e r a t i o n s a t e a c h e r h a s a t e v e r y m o m e n t o f t h e d a y . R e c e n t c a l l s f o r r e f o r m ( e . g . , t h e t r i o o f d o c u m e n t s f r o m t h e N a t i o n a l C o u n c i l o f T e a c h e r s o f M a t h e m a t i c s ( N C T M ) : C u r r i c u l u m a n d E v a l u a t i o n S t a n d a r d s , P r o f e s s i o n a l S t a n d a r d s f o r T e a c h i n g M a t h e m a t i c s , a n d A s s e s s m e n t S t a n d a r d s f o r S c h o o l M a t h e m a t i c s ( 1 9 8 9 , 1 9 9 1 , 1 9 9 5 ) ) 1 h a v e u r g e d t e a c h e r s t o e n g a g e s t u d e n t s i n p r o b l e m s e m b e d d e d i n ” r e a l w o r l d ” c o n t e x t s . H o w c h i l d r e n s e e t h e r o l e o f t h e ” r e a l w o r l d ” c o n t e x t s o f s u c h p r o b l e m s i n fl u e n c e s w i t h w h a t m a t h e m a t i c s t h e y a r e i n c l i n e d t o e n g a g e . F o r s o m e c h i l d r e n , t h e c o n t e x t m a y p l a y a n i m p o r t a n t r o l e i n d o i n g t h e p r o b l e m ; f o r s o m e , i t m a y p l a y a n i m p o r t a n t 1 T h e s e w i l l b e c o l l e c t i v e l y r e f e r r e d t o a s t h e S t a n d a r d s o r t h e N C T M S t a n d a r d s . r o l e f o r e s t a b l i s h i n g a c o m f o r t a b l e s p a c e f o r w o r k i n g o n t h e p r o b l e m ; f o r o t h e r s , i t m a y j u s t b e s o m e t h i n g t o b e s t r i p p e d a w a y t o g e t a t t h e m a t h e m a t i c s . W h i l e e x p e r i e n c e a n d i n t u i t i o n a r e g e n e r a l l y h e l p f u l g u i d e s , w e w o u l d b e n e f i t f r o m r e s e a r c h o n w h a t i n d i v i d u a l c h i l d r e n t h i n k a s t h e y l e a r n a n d d o m a t h e m a t i c s . P u t a n o t h e r w a y , w e n e e d t o u n d e r s t a n d w h a t r o l e s t h e r e s o u r c e s c h i l d r e n h a v e a n d u s e a s t h e y d o m a t h e m a t i c s p l a y i n t h e i r r e a s o n i n g . W e n e e d t o d e v e l o p o u r u n d e r s t a n d i n g o f h o w t h e y u s e t h o s e r e s o u r c e s a n d o f t h e d e c i s i o n s t h e y m a k e a s t h e y w o r k i n m a t h e m a t i c a l s i t u a t i o n s . C h i l d r e n ’ s d e c i s i o n - m a k i n g i n t h e p r o c e s s o f c o n s t r u c t i n g s o l u t i o n s i s a r e s u l t o f m o n i t o r i n g o f t h e i r w o r k . A s t h e y c r e a t e a r e p r e s e n t a t i o n , c h i l d r e n m a y a t t e n d t o v a r i o u s e l e m e n t s : t h a t t h e c o n t e x t i s s e n s i b l e ; t h a t t h e c o n t e x t i s i n t e r p r e t a b l e ; t h a t t h e i r r e p r e s e n t a t i o n c o r r e s p o n d s w i t h t h e d a t a o f t h e c o n t e x t ; t h a t t h e y w i l l b e a b l e t o i n t e r p r e t t h e i r r e p r e s e n t a t i o n ; t h a t w h a t t h e y a r e d o i n g w i t h t h e r e p r e s e n t a t i o n d o e s n o t v i o l a t e " r e a l w o r l d ” l a w s . T h e c h i l d r e n o f t h i s s t u d y m o n i t o r e d d i f f e r e n t a s p e c t s o f t h e i r w o r k a n d w i t h d i f f e r e n t d e g r e e s o f i n t e n s i t y . T h e i r m o n i t o r i n g w a s r e fl e c t e d i n b o t h t h e i r c o n v e r s a t i o n a n d t h e i r p h y s i c a l m a n i p u l a t i o n s . M a t h e m a t i c s e d u c a t o r s n e e d t o u n d e r s t a n d t h e r o l e t h a t t h e f o r m a n d e x t e n t o f m o n i t o r i n g t h a t c h i l d r e n e m p l o y i n t h e i r c r e a t i o n a n d u s e o f r e p r e s e n t a t i o n s p l a y s i n t h e i r a b i l i t y t o d o a n d l e a r n m a t h e m a t i c s . M o n i t o r i n g o f t h e c r e a t i o n o f r e p r e s e n t a t i o n s p l a y s a s t r o n g r o l e i n w h a t c h i l d r e n a r e a b l e t o d o m a t h e m a t i c a l l y . R e p r e s e n t a t i o n s a n d m o n i t o r i n g b o t h e n a b l e a n d c o n s t r a i n m a t h e m a t i c a l r e a s o n i n g . F O C U S O F T H E R E S E A R C H T h i s i s a s t u d y o f f o u r t h i r d g r a d e r s ’ r e a s o n i n g i n a n d a b o u t m a t h e m a t i c s . B e r t , D a n i e l l e , N i c o l e , a n d T e r i 2 w e r e a l l m e m b e r s o f t h e s a m e c l a s s a n d r a n g e d i n a g e ( a t t h e s t a r t o f t h e i n t e r v i e w p r o c e s s ) f r o m j u s t o v e r s e v e n y e a r s t o n e a r l y n i n e a n d a h a l f . D u r i n g a s e q u e n c e o f i n d i v i d u a l i n t e r v i e w s , I p o s e d m a t h e m a t i c a l t a s k s o f v a r y i n g n a t u r e s — f r o m t r a d i t i o n a l v e r t i c a l a d d i t i o n a n d s u b t r a c t i o n p r o b l e m s t o ” s t o r y p r o b l e m s ” t o c o n v e r s a t i o n s t h a t o f f e r e d s i t e s f o r m a t h e m a t i c a l r e a s o n i n g ( w i t h o u t t h e o v e r t t r a p p i n g s o f ” p r o b l e m s ” ) . I n t h i s s t u d y I e x a m i n e b o t h t h e r e p r e s e n t a t i o n s t h e c h i l d r e n u s e d a n d t h e n a t u r e o f m o n i t o r i n g o f t h e i r c r e a t i o n a n d u s e . I a r g u e t h a t i t i s t h r o u g h t h i s m o n i t o r i n g t h a t t h e c h i l d r e n p r o v i d e e v i d e n c e o f t h e i r n a s c e n t a u t h o r i t y f o r m a t h e m a t i c a l k n o w l e d g e ( L a m p e r t , 1 9 9 0 ) . I a r g u e t h a t t h e f o r m a n d e x t e n t o f t h e m o n i t o r i n g t h e y d o r e p r e s e n t s t h e n a t u r e a n d e x t e n t o f t h e i r a u t h o r i t y o v e r t h e k n o w l e d g e . I n a d d i t i o n , I e x a m i n e h o w t h e c h i l d r e n ’ s c r e a t i o n , u s e , a n d m o n i t o r i n g o f t h e i r r e p r e s e n t a t i o n c o n s t r a i n e d a n d e n a b l e d t h e m a t h e m a t i c a l w o r k i n w h i c h t h e y e n g a g e d . E v i d e n c e f o r t h i s a n a l y s i s a r i s e s f r o m t h e c h i l d r e n ’ s n a r r a t i v e s a s t h e y w o r k e d a n d t h e i r r e s p o n s e s t o m y q u e s t i o n s , a l o n g w i t h t h e p h y s i c a l m a n i f e s t a t i o n s o f t h e i r w o r k . T h u s , t h e c e n t r a l g o a l o f t h e s t u d y w a s t o u n d e r s t a n d t h e p r o c e s s e s a n d t o o l s o f c h i l d r e n ’ s m a t h e m a t i c a l r e a s o n i n g . I d e s i g n e d t h e s t u d y i n p a r t i c u l a r t o e x a m i n e t h e f o l l o w i n g q u e s t i o n : H o w d o t h e r e p r e s e n t a t i o n s t h a t c h i l d r e n e m p l o y e n a b l e a n d c o n s t r a i n t h e i r d o i n g o f m a t h e m a t i c s ? I n t h i s e x a m i n a t i o n I c o n s i d e r e d t h e r o l e o f v a r i o u s f a c t o r s : W h a t i s t h e r o l e o f a c h i l d ’ s v i e w o f s e l f i n d o i n g m a t h e m a t i c s ? W h e n c h i l d r e n a r e p r e s e n t e d w i t h c o n t e x t u a l i z e d p r o b l e m s , 2 A 1 ] c h i l d r e n ’ s n a m e s i n t h e d i s s e r t a t i o n - b o t h t h e c h i l d r e n I i n t e r v i e w e d a n d t h e i r c l a s s m a t e s - a r e p s e u d o n y m s . w h a t r o l e d o e s t h e c o n t e x t p l a y i n t h e i r p r o b l e m s o l v i n g ? H o w d o t h e y u s e ( f o r m a l a n d i n f o r m a l ) l a n g u a g e a s t h e y d o m a t h e m a t i c s ? W h a t r o l e d o d i f f e r e n t f o r m s o f s e l f - m o n i t o r i n g p l a y i n t h e d o i n g o f m a t h e m a t i c s ? I a l s o c o n s i d e r e d o n w h a t b a s e s c h i l d r e n m a k e d e c i s i o n s a s t h e y d o m a t h e m a t i c s a n d t h e r o l e t h o s e d e c i s i o n s p l a y i n t h e i r w o r k . T h e s e q u e s t i o n s a r e a n i n t e r c o n n e c t e d a n d r e c u r s i v e s e t t h a t w a s f u n d a m e n t a l t o u n d e r s t a n d i n g t h e s e f o u r c h i l d r e n a s l e a r n e r s o f m a t h e m a t i c s . A s s u c h , t h e q u e s t i o n s , i n p a r t , h i g h l i g h t t h e i m p o r t a n c e o f r e p r e s e n t a t i o n s i n u n d e r s t a n d i n g c h i l d r e n ’ s m a t h e m a t i c a l r e a s o n i n g . C o n s e q u e n t l y , e d u c a t o r s n e e d t o u n d e r s t a n d h o w c h o i c e o f r e p r e s e n t a t i o n s i n f l u e n c e s t h e m a t h e m a t i c s t h a t c h i l d r e n a r e a b l e t o d o ; h o w t h e r e p r e s e n t a t i o n s c h i l d r e n e m p l o y e n a b l e o r c o n s t r a i n t h e i r m a t h e m a t i c a l r e a s o n i n g . T h e s t u d y c o n f i r m e d m y a s s u m p t i o n s t h a t : ( a ) t h e w a y t h a t a c h i l d u s e s r e p r e s e n t a t i o n s w h e n s o l v i n g p r o b l e m s d e p e n d s i n p a r t o n t h e d i s p o s i t i o n s a n d b e l i e f s s h e h a s a b o u t m a t h e m a t i c s , a b o u t h e r s e l f a s a d o e r o f m a t h e m a t i c s , a n d a b o u t t h e p a r t i c u l a r p r o b l e m ; ( b ) c h i l d r e n ’ s v i e w s o f m a t h e m a t i c s a n d p r o b l e m s i n t e r a c t w i t h t h e i r v i e w a n d k n o w l e d g e o f t h e w o r l d ; ( c ) t h i s e v e r - c h a n g i n g r e l a t i o n s h i p i n f l u e n c e s h o w c h i l d r e n v i e w t h e r o l e o f p r o b l e m c o n t e x t s ; ( d ) l a n g u a g e h e l p s s h a p e l e a r n e r s ’ v i e w s o f m a t h e m a t i c s w h i l e a l s o p r o v i d i n g e v i d e n c e o f b e l i e f s a b o u t a n d u n d e r s t a n d i n g o f t h e d i s c i p l i n e . W h i l e c o n f i r m i n g t h e s e a s s u m p t i o n s , t h e s t u d y h e l p e d e x p l i c a t e e a c h a s s u m p t i o n a n d t h e i n t e r a c t i o n a m o n g t h e m . F o r t h e s e f o u r c h i l d r e n , m a t t e r s o f b e l i e f , s e l f - i m a g e , a n d k n o w l e d g e i n t e r a c t e d a s t h e y w o r k e d o n m a t h e m a t i c s p r o b l e m s . F o r e x a m p l e , T e r i s a w h e r s e l f a s w e a k a t m a t h e m a t i c s a n d m o n i t o r e d h e r c r e a t i o n o f r e p r e s e n t a t i o n s t o t h e e x t e n t t h a t t h e y c o r r e c t l y a c c o u n t e d f o r t h e d a t a o f t h e s t o r y . C o n s e q u e n t l y , s h e s e e m e d n o t t o u s e t h e s t o r y t o h e l p h e r u n d e r s t a n d t h e m a t h e m a t i c s a n d l a c k e d c o n f i d e n c e i n h e r r e a s o n i n g a n d s o l u t i o n s ( w h i c h , h o w e v e r , w e r e u s u a l l y m a t h e m a t i c a l l y c o r r e c t ) . N i c o l e , i n c o n t r a s t , t h o u g h t t h a t ” e v e r y b o d y h a s g o o d i d e a s . " S h e ” t r i e d h a r d ” a n d b e l i e v e d t h a t i s w h a t c o u n t e d i n m a t h e m a t i c s . W h e n q u e s t i o n e d , s h e e x p l a i n e d h e r r e a s o n i n g b u t d i d n o t r e - c o n s i d e r i t . A s a c o n s e q u e n c e , h e r m o n i t o r i n g w a s a t a s u r f a c e l e v e l . S h e g e n e r a l l y e x p r e s s e d c o n f i d e n c e i n h e r r e a s o n i n g a n d s o l u t i o n s ( w h i c h w e r e o f t e n f l a w e d ) . D a n i e l l e f e l t a s t r o n g n e e d t o s i t u a t e h e r w o r k i n t h e ” r e a l w o r l d . ” M a k i n g c o n n e c t i o n s t o h e r p e r s o n a l w o r l d s e e m e d t o g i v e h e r a c o m f o r t l e v e l f o r r e a s o n i n g i n t h e t h r e a t e n i n g w o r l d o f a b s t r a c t m a t h e m a t i c s . C o n s e q u e n t l y , s h e c o n t i n u a l l y m o n i t o r e d m a t h e m a t i c a l a n d n o n - m a t h e m a t i c a l a s p e c t s o f h e r w o r k . T h e s e c o n n e c t i o n s , i n c o n j u n c t i o n w i t h v i g i l a n t m o n i t o r i n g , u s u a l l y r e s u l t e d i n v a l i d r e a s o n i n g a n d a c c u r a t e s o l u t i o n s ( b u t D a n i e l l e s e l d o m e x p r e s s e d c o n f i d e n c e i n e i t h e r ) . F i n a l l y , B e r t w a s f a s c i n a t e d w i t h a b s t r a c t a s p e c t s o f m a t h e m a t i c s a n d s o f r e q u e n t l y m o n i t o r e d t h e m a t h e m a t i c s e n c o u n t e r e d w i t h i n a p a r t i c u l a r p r o b l e m f o r t i e s t o a b s t r a c t c o n c e p t s t h a t i n t r i g u e d h i m . H e o f t e n i g n o r e d t h e c o n t e x t i n w h i c h t h e a b s t r a c t q u a n t i t i e s w e r e e m b e d d e d . W h i l e h i s r e a s o n i n g w a s g e n e r a l l y v a l i d , d i f f i c u l t i e s w i t h c o n v e n t i o n s o f t e n l e d t o i n c o r r e c t s o l u t i o n s . T h e s e v a r y i n g f o r m s o f m o n i t o r i n g i n f l u e n c e d w h a t t h e c h i l d r e n w e r e a b l e t o d o w i t h t h e i r r e p r e s e n t a t i o n s . T e r i w a s c o n s t r a i n e d b y h e r s e e k i n g o f q u i c k c o n c l u s i o n s t o t h e w o r k , a n a p p r o a c h f o s t e r e d b y h e r e x p r e s s e d b e l i e f t h a t s h e d i d n o t ” g e t ” m a t h e m a t i c s ; s h e w a s e n a b l e d b y h e r i n t u i t i o n a n d h e r a d e p t n e s s w i t h g e n e r i c r e p r e s e n t a t i o n s . N i c o l e w a s c o n s t r a i n e d b y h e r v i e w o f t h e d o m i n a n c e o f t h e r e a l w o r l d o v e r m a t h e m a t i c s ; s h e w a s e n a b l e d b y u s i n g a n a l o g i e s w i t h t h e r e a l w o r l d t o r e a s o n a b o u t m a t h e m a t i c a l s i t u a t i o n s . D a n i e l l e w a s c o n s t r a i n e d b y h e r a v o i d a n c e o f g r a p p l i n g w i t h a b s t r a c t c o n c e p t s b e c a u s e s h e w a s n ’ t , i n h e r w o r d s , " g o o d a t m a t h ” ; s h e w a s e n a b l e d b y h e r a b i l i t y t o c r e a t e a c o m f o r t a b l e c o n t e x t w i t h i n w h i c h s h e c o u l d m i t i g a t e t h e t h r e a t o f t h e a b s t r a c t . B e r t w a s c o n s t r a i n e d b y h i s i n a t t e n t i o n t o c o n v e n t i o n s o f m a t h e m a t i c s ; h e w a s e n a b l e d b y h i s f a s c i n a t i o n w i t h a n d c o n s e q u e n t e x p l o r a t i o n o f a b s t r a c t a s p e c t s o f m a t h e m a t i c s . G i v e n t h e s e q u e s t i o n s , t h i s d i s s e r t a t i o n i s g r o u n d e d i n c h i l d r e n ’ s i n t e r a c t i n g w i t h i d e a s w h i l e d o i n g m a t h e m a t i c s . A s L a m p e r t ( 1 9 9 0 ) h a s a r g u e d , ” i t i s t h e s t r a t e g i e s u s e d f o r f i g u r i n g o u t , r a t h e r t h a n t h e a n s w e r s [ t o p r o b l e m s ] , t h a t a r e t h e s i t e o f t h e m a t h e m a t i c a l a r g u m e n t , a n d i t i s t h e s e s t r a t e g i e s t h a t r e v e a l t h e a s s u m p t i o n s t h a t a s t u d e n t i s m a k i n g " ( p . 4 0 ) . T h u s , w h e n m a t h e m a t i c i a n s ” d o m a t h e m a t i c s , ” t h e y s e l e c t a p r o b l e m , e x p l o r e r e l a t i o n s h i p s a m o n g m a t h e m a t i c a l o b j e c t s , a n d , u s i n g e s t a b l i s h e d t e c h n i q u e s , d e v e l o p n e w t e c h n i q u e s f o r r e l a t i n g m a t h e m a t i c a l c o n c e p t s a n d o b j e c t s . W h e n s t u d e n t s d o m a t h e m a t i c s , t h e y a r e p r o v i d e d a p r o b l e m a n d s e e k t o e x p a n d t h e i r u n d e r s t a n d i n g o f r e l a t i o n s h i p s a m o n g m a t h e m a t i c a l o b j e c t s a n d c o n c e p t s . T h e y d o s o b y u s i n g w h a t t h e y k n o w t o s o l v e n e w p r o b l e m s . I n t h e p r o c e s s , t h e y d e v e l o p n e w t e c h n i q u e s . 3 I n o w e x a m i n e r e c e n t r e f o r m e f f o r t s t o p u t t h i s s t u d y i n c o n t e x t . M A T H E M A T I C S E D U C A T I O N ~ R E F O R M A N D R E S E A R C H I n t h e 1 9 8 0 ’ s t h e N a t i o n a l C o u n c i l o f T e a c h e r s o f M a t h e m a t i c s i n i t i a t e d a l a r g e s c a l e e f f o r t t o r e f o r m c u r r i c u l u m a n d p e d a g o g y . T h i s e f f o r t c a m e i n t h e f o r m o f t h r e e S t a n d a r d s d o c u m e n t s p u b l i s h e d a c r o s s a s e v e n y e a r t i m e s p a n ( 1 9 8 9 - 1 9 9 5 ) . I n p a r t , t h e s e d o c u m e n t s w e r e i n t e n d e d a s a r e s p o n s e t o p o o r t e s t r e s u l t s , l a c k o f m a t h e m a t i c a l u n d e r s t a n d i n g , a n d w e a k c o o p e r a t i v e w o r k s k i l l s o f g r a d u a t e s o f t h e U n i t e d S t a t e s e d u c a t i o n a l s y s t e m ( e . g . , N C T M , 1 9 8 9 , p p . 3 - 4 ) . 3 N e w t o t h e s t u d e n t s ; t h e y a r e u n l i k e l y t o b e n e w t o m a t h e m a t i c i a n s . T h e a u t h o r s o f t h e S t a n d a r d s a d v o c a t e s e v e r a l c h a n g e s i n m a t h e m a t i c s e d u c a t i o n . T h e s e i n c l u d e : ( a ) c h a n g e i n e m p h a s i s f r o m r o t e m e m o r i z a t i o n a n d a l g o r i t h m s t o c o n c e p t u a l u n d e r s t a n d i n g ( e . g . , N C T M , 1 9 8 9 , p p . 2 0 - 2 1 ) , ( b ) c h a n g e i n t h e t o p i c s t a u g h t a t a l l l e v e l s ( e . g . , N C T M , 1 9 8 9 , p p . 1 3 0 - 1 3 1 ) , a n d ( c ) e m p h a s i s o n b o t h d e p t h a n d b r e a d t h o f c o v e r a g e ( e . g . , N C T M , 1 9 8 9 , p p . 1 7 - 1 8 ) . T h e S t a n d a r d s d o c u m e n t s a r g u e t h a t e n a c t m e n t o f t h e s e c h a n g e s w o u l d b e t t e r p r e p a r e s t u d e n t s f o r a t e c h n o l o g y a n d c o m m u n i c a t i o n s o r i e n t e d w o r l d , a w o r l d t h a t w i l l c o n t i n u e t o d e v e l o p i n c o m p l e x i t y i n t h e n e x t c e n t u r y ( e . g . , N C T M , 1 9 8 9 , p p . 6 - 9 ) . T h e a r g u m e n t s s u g g e s t a d e q u a t e p r e p a r a t i o n f o r t h e w o r k f o r c e o f t h e l e t c e n t u r y r e q u i r e s d e v e l o p m e n t o f d e e p e r c o n c e p t u a l u n d e r s t a n d i n g o f m a t h e m a t i c s b y a l l s t u d e n t s a l o n g w i t h d e v e l o p m e n t o f t e c h n i c a l s k i l l s f o r d o i n g m a t h e m a t i c s . W h i l e t h e S t a n d a r d s t h u s d e s c r i b e a r e v i s e d t e r r a i n f o r m a t h e m a t i c s e d u c a t o r s t o h e l p s t u d e n t s t r a v e r s e , t h e d o c u m e n t s d o n o t p r o v i d e a p a t h t o f o l l o w . T h e d o c u m e n t s a r e v i s i o n a r y , n o t p r e s c r i p t i v e . F u r t h e r , P u t n a m , L a m p e r t , a n d P e t e r s o n ( 1 9 9 0 ) p o i n t o u t t h a t w h i l e r e f o r m d o c u m e n t s i n c l u d i n g t h e S t a n d a r d s ” h a v e e m p h a s i z e d t h e d o i n g o f m a t h e m a t i c s , t h e y h a v e n o t b e e n v e r y c l e a r a b o u t t h e d i s t i n c t i o n b e t w e e n w h a t s t u d e n t s s h o u l d d o i n s c h o o l a n d w h a t t h e y s h o u l d b e a b l e t o d o [ e m p h a s i s i n t h e o r i g i n a l ] a s a r e s u l t o f w h a t t h e y l e a r n i n s c h o o l ” ( p . 9 7 ) . T h e y g o o n t o r a i s e t h r e e q u e s t i o n s : D o w e w a n t s t u d e n t s t o l e a r n h o w t o d o m a t h e m a t i c s w i t h u n d e r s t a n d i n g s o t h a t w e w i l l h a v e m o r e m a t h e m a t i c i a n s a n d i n t e l l i g e n t c r e a t o r s o f m a t h e m a t i c a l a p p l i c a t i o n s ? O r d o w e w a n t a l l s t u d e n t s t o a p p r e c i a t e w h a t k i n d o f k n o w l e d g e m a t h e m a t i c s i s a n d h o w t r u t h i n t h e d i s c i p l i n e i s w a r r a n t e d ? O r d o w e w a n t s t u d e n t s t o b e c o m e i n t e l l i g e n t u s e r s [ e m p h a s i s i n t h e o r i g i n a l ] o f m a t h e m a t i c a l t o o l s i n t h e w o r k p l a c e a n d s o c i e t y ? ( p . 9 7 ) T h e s e q u e s t i o n s o f f e r a c h a l l e n g e . S h o u l d e l e m e n t a r y t e a c h e r s a t t e m p t t o h e l p s t u d e n t s b u i l d f o u n d a t i o n s f o r a l l t h r e e g o a l s ? T h e c h i l d r e n o f m y s t u d y w e r e a l l m e m b e r s o f t h e s a m e r e f o r m - o r i e n t e d t e a c h e r ’ 5 c l a s s f o r t w o y e a r s . Y e t , t h e s e t o f s t u d e n t s m i g h t b e v i e w e d a s i n c l u d i n g a n e x e m p l a r o f e a c h o f t h e l e a r n i n g g o a l s d e s c r i b e d b y P u t n a m , L a m p e r t , a n d P e t e r s o n ( 1 9 9 0 ) . T h u s , e v e n i f t e a c h e r s a n d r e f o r m e r s w e r e t o d e c i d e w h i c h o f t h e s e o u t c o m e s ( o r s o m e o t h e r ) t h e y v a l u e d m o s t , c o u l d t h e y b e c e r t a i n a p e d a g o g y b a s e d o n t h e S t a n d a r d s w o u l d r e s u l t i n t h a t o u t c o m e f o r a l l s t u d e n t s ? T h i s b e g s a f u r t h e r q u e s t i o n , s h o u l d r e f o r m e r s d e s i r e t h a t s a m e o u t c o m e f o r a l l s t u d e n t s ? M a y b e s t u d e n t s w h o b e c o m e m a t h e m a t i c i a n s n e e d d i f f e r e n t m a t h e m a t i c s — s u b s t a n c e , s y n t a x , a n d a f f e c t — t h a n t h o s e w h o w i l l b e a c c o u n t a n t s o r e x e c u t i v e s o r f a c t o r y w o r k e r s o r e n g i n e e r s . T h e s e q u e s t i o n s h i g h l i g h t a p o t e n t i a l t e n s i o n f o r t e a c h e r s t r y i n g t o i m p l e m e n t a p e d a g o g y b a s e d o n t w o c o n s i d e r a t i o n s i n t h e S t a n d a r d s t h a t u n d e r l i e d e s i g n o f c u r r i c u l u m : l e a r n i n g t h e o r y a n d t h e d i s c i p l i n e o f m a t h e m a t i c s . O n t h e o n e h a n d , t h e C u r r i c u l u m S t a n d a r d s ( N C T M , 1 9 8 9 ) a d v o c a t e a c o n s t r u c t i v i s t v i e w o f l e a r n i n g : ” Y o u n g c h i l d r e n a r e a c t i v e l e a r n e r s w h o c o n s t r u c t , m o d i f y , a n d i n t e g r a t e i d e a s b y i n t e r a c t i n g w i t h t h e p h y s i c a l w o r l d , m a t e r i a l s , a n d o t h e r c h i l d r e n ” ( p . 1 7 ) . O n t h e o t h e r h a n d , t h e s a m e d o c u m e n t v a l u e s ” m a t h e m a t i c a l l i t e r a c y ” f o r s t u d e n t s : ” ( 1 ) t h a t t h e y l e a r n t o v a l u e m a t h e m a t i c s , ( 2 ) t h a t t h e y b e c o m e c o n f i d e n t i n t h e i r a b i l i t y t o d o m a t h e m a t i c s , ( 3 ) t h a t t h e y b e c o m e m a t h e m a t i c a l p r o b l e m s o l v e r s , ( 4 ) t h a t t h e y l e a r n t o c o m m u n i c a t e m a t h e m a t i c a l l y , a n d ( 5 ) t h a t t h e y l e a r n t o r e a s o n m a t h e m a t i c a l l y " ( p . 5 ) . C o m b i n e d w i t h a r g u m e n t s f o r i n c r e a s e d a t t e n t i o n t o t o p i c s l i k e ” t h e s t r u c t u r e o f n u m b e r s y s t e m s ” ( p . 1 2 6 ) , o n e c a n s e e h o w t e a c h e r s m i g h t f e e l c a u g h t i n N e s h e r ’ s ( 1 9 8 9 ) d i l e m m a : ” ( a ) t h e n e e d f o r a y o u n g c h i l d t o c o n s t r u c t h i s k n o w l e d g e t h r o u g h i n t e r a c t i o n w i t h t h e e n v i r o n m e n t , a n d ( b ) t h e n e e d t o a r r i v e a t m a t h e m a t i c a l t r u t h s " ( p . 1 8 8 ) . 4 ‘ S e e a l s o , S t r e e fl a n d , 1 9 9 0 , p . 1 . T h e n e x t s e c t i o n e x a m i n e s t h i s t e n s i o n i n d e t a i l . B e f o r e e m b a r k i n g o n t h a t , I n o t e t h a t t h i s t e n s i o n o r d i l e m m a r e f l e c t s a v a r i e t y o f v i s i o n s t h a t h a v e c o m p e t e d t h r o u g h o u t m u c h o f t h i s c e n t u r y . 5 S i n c e a t l e a s t 1 9 0 0 t h e r e h a v e b e e n c a l l s f o r c h a n g e a n d i m p r o v e m e n t i n m a t h e m a t i c s e d u c a t i o n . T h r o u g h o u t t h e c e n t u r y t h e r e h a s b e e n a l i v e l y d e b a t e a b o u t h o w c h i l d r e n l e a r n . T h o r n d i k e a d v o c a t e d a s t i m u l u s - r e s p o n s e t h e o r y o f l e a r n i n g . U n d e r t h i s t h e o r y , t h e s t r u c t u r e o f m a t h e m a t i c s i s b u i l t u p w i t h i n t h e l e a r n e r i n t i n y i n c r e m e n t s t h r o u g h t h e c r e a t i o n o f ” b o n d s . ” T h e s e n s e o f t h e p r e v i o u s s e n t e n c e , t h a t o f s o m e t h i n g b e i n g ” d o n e t o ” t h e l e a r n e r , i s i n t e n t i o n a l . I n t h e p e d a g o g i c a l i n s t a n t i a t i o n o f T h o r n d i k e ’ s t h e o r y , k n o w l e d g e i s ” w r i t t e n " o n t h e ” b l a n k s l a t e ” o f t h e l e a r n e r ’ s m i n d . I n c o n t r a s t , P r o g r e s s i v e e d u c a t o r s a d v o c a t e d a m o r e c o n s t r u c t i v i s t a p p r o a c h . T h e y h a v e v a r i o u s l y b e e n a s s o c i a t e d w i t h c h i l d - c e n t e r e d c u r r i c u l u m , " t e a c h i n g f o r u n d e r s t a n d i n g , " d i s c o v e r y l e a r n i n g , u s e o f m a n i p u l a t i v e s , ” a u t h e n t i c ” p r o b l e m s , s t u d e n t s b e c o m i n g t h e i r o w n a u t h o r i t y f o r d e c i s i o n - m a k i n g i n m a t h e m a t i c s , a n d s t u d e n t s b e i n g a c t i v e l y i n v o l v e d i n c l a s s r o o m d i s c o u r s e . W h i l e t h e c e n t u r y h a s s e e n o n g o i n g a r g u m e n t a b o u t h o w c h i l d r e n l e a r n , u n t i l r e c e n t l y t h e r e h a s b e e n l e s s d i s a g r e e m e n t c o n c e r n i n g w h a t c o n s t i t u t e d t h e m a t h e m a t i c s t h a t c h i l d r e n s h o u l d l e a r n . N i n e t e e n t h c e n t u r y m a t h e m a t i c s f o c u s e d o n ” s h o p k e e p e r m a t h ” i n w h i c h s t u d e n t s l e a r n e d t h e m a t h e m a t i c s o f t r a d e . E a r l y i n t h i s c e n t u r y , c o n c u r r e n t w i t h t h e w o r k o f f o u n d a t i o n i s t s w i t h i n t h e d i s c i p l i n e ( e . g . , R u s s e l l a n d W h i t e h e a d , 1 9 1 0 ) , m a t h e m a t i c s e d u c a t i o n g r a d u a l l y c h a n g e d t o f o c u s m o r e o n t h e s t r u c t u r e o f t h e d i s c i p l i n e . T h i s m e a n t s t u d e n t s w o u l d l e a r n a b s t r a c t c o n c e p t s l i k e p r O p e r t i e s o f a d d i t i o n w h i c h f l o w ( i n w h o l e o r i n p a r t , d e p e n d i n g o n t h e s e t o f n u m b e r s c o n s i d e r e d ) f r o m p r o p e r t i e s o f g r o u p s . A c r o s s s ’ I ' h i s a n d t h e n e x t p a r a g r a p h d r a w h e a v i l y f r o m t h e 3 2 n d y e a r b o o k o f t h e N C T M . 1 0 t h e c e n t u r y a v a r i e t y o f a p p r o a c h e s e m e r g e d ; s o m e w e r e a l m o s t e n t i r e l y a b s t r a c t ( e . g . , ” N e w M a t h ” ) w h i l e o t h e r s a r g u e d f o r a d e v e l o p m e n t f r o m c o n c r e t e t o a b s t r a c t ( e . g . , D i e n e s ) . G e n e r a l l y , t h e u n d e r s t a n d i n g s t u d e n t s w e r e i n t e n d e d t o d e v e l o p w a s c o n s i s t e n t : a d i s c i p l i n e - b a s e d u n d e r s t a n d i n g o f m a t h e m a t i c s . I r o n i c a l l y , e v e n i n t h e i n f a n c y o f t h e d e b a t e a b o u t h o w c h i l d r e n l e a r n a n d w h i l e t h e f o u n d a t i o n i s t a p p r o a c h w a s s t i l l i n i t s h e y d a y , 6 D e w e y a r g u e d t h a t t h e c h i l d a n d t h e c u r r i c u l u m a r e b u t e n d s o f a c o n t i n u u m ( 1 9 0 2 / 1 9 5 6 , p . 1 1 ) . H e a r g u e d e d u c a t o r s s h o u l d n o t v i e w t h e d i s c i p l i n e a s ” f i x e d ” ( p . 1 1 ) a n d t h a t ” t h e l o g i c a l l y f o r m u l a t e d m a t e r i a l o f [ m a t h e m a t i c s ] i s n o s u b s t i t u t e f o r t h e h a v i n g o f i n d i v i d u a l e x p e r i e n c e s ” ( p . 2 0 ) . D e w e y ’ s g o a l f o r c h i l d r e n w a s s i m i l a r t o D i e n e s ’ , t o h e l p t h e m ” d i s t i l l t h e m a t h e m a t i c a l e s s e n c e f r o m t h e i r e x p e r i e n c e , n o t f r o m o u r s ” ( D i e n e s , 1 9 6 0 , p . 1 1 , e m p h a s i s i n t h e o r i g i n a l ) . H o w e v e r , D e w e y d i d n o t e n v i s i o n a l l c h i l d r e n c o n s t r u c t i n g t h e s a m e d i s c i p l i n a r y k n o w l e d g e . T h e N C T M S t a n d a r d s d o c u m e n t s h a r k b a c k t o t h i s D e w e y e n v i e w w i t h o u t c l a r i f y i n g h o w t e a c h e r s s h o u l d r e s o l v e t h e d i l e m m a i n p r a c t i c e . I t u r n n o w t o a m o r e n u a n c e d d i s c u s s i o n o f t h e l e a r n i n g t h e o r y a n d m a t h e m a t i c a l c o n s i d e r a t i o n s o f t h e S t a n d a r d s . T w o I n f l u e n c e s o n R e f o r m — L e a r n i n g T h e o r y a n d M a t h e m a t i c s T h i s s t u d y i s g r o u n d e d i n c h i l d r e n ’ s m a t h e m a t i c a l r e a s o n i n g a n d a s s u m e s t h a t c h i l d r e n c o n s t r u c t u n d e r s t a n d i n g . T h e y d o s o b y ” m a k i n g c o n n e c t i o n s , o r e s t a b l i s h i n g r e l a t i o n s h i p s , e i t h e r b e t w e e n d i f f e r e n t n e t w o r k s o f k n o w l e d g e a l r e a d y i n t e r n a l l y r e p r e s e n t e d o r b e t w e e n e x i s t i n g n e t w o r k s a n d n e w , e x t e r n a l i n f o r m a t i o n ” ( H i e b e r t & C a r p e n t e r , 1 9 9 2 , p . 8 0 ) . S o m e r e f o r m - o r i e n t e d t e a c h e r s f o s t e r s u c h c o n s t r u c t i o n t h r o u g h s t u d e n t e n g a g e m e n t i n p r o b l e m s o l v i n g a n d 6 d e e l ' s I n c o m p l e t e n e s s t h e o r e m l a t e r s h o w e d t h e f o u n d a t i o n i s t p r o g r a m t o b e f u t i l e . 1 1 d i s c o u r s e g r o u n d e d i n a n a l y s i s o f m u l t i p l e m e t h o d s o f s o l u t i o n ( e . g . , B a l l , 1 9 9 1 ; B r e n n e r e t a l . , 1 9 9 7 ; L a m p e r t , 1 9 9 0 ; M e r s e t h , 1 9 9 3 ; N u n e s , S c h l i e m a n n , & C a r r a h e r , 1 9 9 3 ) . R e f o r m e r s , f o r t h e m o s t p a r t , e s c h e w t h e t r a d i t i o n a l p r o b l e m w o r k s h e e t s c o m p o s e d s o l e l y o f m a t h e m a t i c a l s y m b o l s . T h e s e r e s e a r c h e r s a n d e d u c a t o r s d e s c r i b e a n i l l - s t r u c t u r e d w o r k w o r l d i n w h i c h e m p l o y e e s m u s t f o r m u l a t e p r o b l e m s r a t h e r t h a n m e r e l y c o m p u t e a n s w e r s ( L a m p e r t , 1 9 9 0 ) . S t a r t i n g f r o m t h i s s e t o f b e l i e f s , r e f o r m e r s a d v o c a t e t h e u s e o f ” r e a l w o r l d ” p r o b l e m s a s m o r e a u t h e n t i c a n d m o r e v a l u a b l e f o r s t u d e n t s w h e n t h e y e n t e r t h e w o r l d o f w o r k . I n a d d i t i o n t o p r e p a r a t i o n f o r w o r k , r e f o r m e r s a r g u e a n a f f e c t i v e b e n e f i t t o r e a l w o r l d p r o b l e m s : C h i l d r e n a r e l i k e l y t o b e m o r e e n g a g e d b y r e a l w o r l d p r o b l e m s o l v i n g ( L a p p a n 8 : B o u c k , 1 9 9 8 ; N u n e s e t a l . , 1 9 9 3 ) . A s a r e s u l t , p r o b l e m s o l v i n g h a s b e e n a f o c u s o f r e s e a r c h i n r e c e n t y e a r s ( e . g . , S i l v e r , 1 9 8 5 ) . I n a d d i t i o n t o c o n t e x t u a l i z e d o r ” r e a l w o r l d ” p r o b l e m s , s t u d e n t e n g a g e m e n t i n d i s c o u r s e a b o u t m a t h e m a t i c s i s a n o t h e r t o o l f o r r e f o r m - o r i e n t e d t e a c h e r s . S t u d e n t a n a l y t i c a l d i s c o u r s e a b o u t t h e i r o w n a n d t h e i r p e e r s ’ s o l u t i o n s t o c o m p l e x , i l l - s t r u c t u r e d , a n d c o n t e x t u a l i z e d p r o b l e m s p r o v i d e s a s o c i a l c o n t e x t f o r r e a s o n i n g . T h i s i s s e e n t o h e l p s t u d e n t s d e v e l o p m a t h e m a t i c a l c o n n e c t i o n s a n d a s e n s e o f a u t h o r i t y f o r m a t h e m a t i c a l r e a s o n i n g a n d k n o w l e d g e . I n c l a s s r o o m s w h e r e s u c h l e a r n i n g i s v a l u e d , t e a c h e r s f o s t e r b o t h s o c i a l a n d m a t h e m a t i c a l n o r m s t h a t s u p p o r t t h e s e g o a l s . T h e y c r e a t e e x p e c t a t i o n s t h a t : s t u d e n t s l i s t e n t o a n d t r y t o u n d e r s t a n d p e e r s ’ m a t h e m a t i c a l r e a s o n i n g , m a t h e m a t i c s m a k e s s e n s e , t h e c l a s s a s a c o m m u n i t y c a n c o m e t o u n d e r s t a n d t h e p r o b l e m a n d t h e m a t h e m a t i c s t h a t h e l p s o l v e t h e p r o b l e m . T h e i m p l i c i t a r g u m e n t i s t h a t , t h r o u g h s u c h d i s c o u r s e a b o u t c o m p l e x p r o b l e m s i t u a t i o n s , s t u d e n t s b e c o m e l e s s d e p e n d e n t o n m o r e k n o w l e d g e a b l e o t h e r s . S t u d e n t s r e a s o n l o g i c a l l y — i n d i v i d u a l l y o r w i t h p e e r s - a n d r e a c h 1 2 m a t h e m a t i c a l l y v a l i d c o n c l u s i o n s . T e a c h e r s a t t e m p t i n g t o f o s t e r s u c h a n e n v i r o n m e n t s e e k t o u n d e r s t a n d h o w s t u d e n t s r e a s o n m a t h e m a t i c a l l y , t h e w a y s t u d e n t s m a k e c o n n e c t i o n s , w h a t c o n s t i t u t e s a c o n v i n c i n g a r g u m e n t f o r s t u d e n t s , h o w s t u d e n t s r e a c h m a t h e m a t i c a l d e c i s i o n s , w h a t m a t h e m a t i c a l r e s o u r c e s s t u d e n t s u s e , w h a t a p p r o a c h t o p r o b l e m s s t u d e n t s t a k e , w h a t h e l p s c o n v i n c e s t u d e n t s t h a t t h e y h a v e a l l t h e a n s w e r s o r t h e r i g h t a n s w e r , a n d s o f o r t h I n o t h e r w o r d s , t e a c h e r s s e e k t o u n d e r s t a n d a l l t h e a s p e c t s o f t h i n k i n g t h a t c o m p r i s e d o i n g m a t h e m a t i c s . S u c h u n d e r s t a n d i n g i s n e c e s s a r y t o p l a n w o r t h w h i l e m a t h e m a t i c a l t a s k s t h a t f o s t e r d i s c o u r s e a r o u n d s i g n i f i c a n t m a t h e m a t i c s , t a s k s t h a t p r o v i d e s t u d e n t s w i t h a n o p p o r t u n i t y t o b u i l d n e w u n d e r s t a n d i n g u p o n t h a t w h i c h t h e y a l r e a d y h a v e . I n a d d i t i o n , u n d e r s t a n d i n g c h i l d r e n ’ s t h i n k i n g a s t h e y a r e d o i n g m a t h e m a t i c s - c r e a t i n g t h e i r u n d e r s t a n d i n g o f t h e p r o b l e m , r e a s o n i n g a b o u t i t , e x p l a i n i n g a n d d e f e n d i n g t h e i r s o l u t i o n - f o s t e r s t e a c h e r s ’ a b i l i t i e s t o h e l p c h i l d r e n m a k e c o n n e c t i o n s b e t w e e n t h i s p r o b l e m a n d t h e d i s c i p l i n e o f m a t h e m a t i c s . I n o w t u r n t o a c l o s e r l o o k a t w h a t I a r g u e m a y a p p e a r t o t e a c h e r s a s c o m p e t i n g a s p e c t s o f t h e N C T M S t a n d a r d s : g r o u n d i n g p e d a g o g y i n c o n s t r u c t i v i s t l e a r n i n g t h e o r y a n d h e l p i n g s t u d e n t s d e v e l o p a d i s c i p l i n e - b a s e d u n d e r s t a n d i n g o f m a t h e m a t i c s . L ' n r T o a l a r g e e x t e n t , t h e S t a n d a r d s a r e b a s e d o n a c o n s t r u c t i v i s t v i e w o f l e a r n i n g . B e f o r e I p r e s e n t e v i d e n c e t h a t c o n s t r u c t i v i s m u n d e r g i r d s t h e S t a n d a r d s , I w i l l b r i e fl y l a y o u t r e c e n t v i e w s o f c o n s t r u c t i v i s m . I w i l l t h e n d e s c r i b e i t s r e l a t i o n t o t h i s s t u d y . 1 3 g . . T h r o u g h o u t m o s t o f t h i s c e n t u r y t h e d o m i n a n t v i e w o f t e a c h i n g a n d l e a r n i n g m a y b e c h a r a c t e r i z e d w i t h t h e m e t a p h o r o f t r a n s m i s s i o n . T h e t e a c h e r t r a n s m i t t e d h e r k n o w l e d g e t o t h e s t u d e n t w h o w a s a b l a n k s l a t e t o b e w r i t t e n o n o r a v e s s e l t o b e f i l l e d . M o s t m a t h e m a t i c s p e d a g o g y w a s g r o u n d e d i n b e h a v i o r i s t p s y c h o l o g y . N o d d i n g s ( 1 9 9 0 ) a r g u e d t h a t t h e r e w a s a ” s h i f t i n t h e 1 9 6 0 ’ s a n d 7 0 ’ s f r o m b e h a v i o r i s m ” t o m o r e c o g n i t i v e v i e w s o f l e a r n i n g ( p . 7 ) . C o n t r i b u t i n g t o t h i s c h a n g e w e r e s c h e m a t h e o r y a n d c o m p u t e r d r i v e n v i e w s o f m i n d . D a v i s , M a h e r , a n d N o d d i n g s ( 1 9 9 0 b ) w r o t e t h a t i n 1 9 8 5 ” o n e h a d h a r d l y e v e r h e a r d t h e w o r d ’ c o n s t r u c t i v i s m ’ ” b u t t h a t b y 1 9 9 0 i t h a d ” a l m o s t b e c o m e a b a t t l e c r y f o r a r e c o n s i d e r a t i o n o f o u r [ e d u c a t i o n ] p r o b l e m s a n d o u r b e s t r o a d t o w a r d s o l u t i o n ” ( p - 2 ) - M . . E L : . . M u c h h a s b e e n w r i t t e n a b o u t c o n s t r u c t i v i s m ( e . g . , D a v i s , M a h e r , 8 : N o d d i n g s , 1 9 9 0 a ; S t e f f e 8 r G a l e , 1 9 9 5 ; v o n G l a s e r s f e l d , 1 9 9 1 ) . M y i n t e n t i s n o t t o r e p l i c a t e t h e t h e o r i e s a n d a r g u m e n t s b u t t o e s t a b l i s h a g r o u n d f r o m w h i c h t o l o o k a t t h e S t a n d a r d s . T h u s , o n e m i g h t a r g u e t h e r e a r e t w o i n fl u e n t i a l f o r m o f c o n s t r u c t i v i s m : r a d i c a l a n d s o c i a l . W h i l e m a t h e m a t i c s e d u c a t o r s s e e s i g n i f i c a n t d i f f e r e n c e s b e t w e e n t h e m , t e a c h e r s m a y n o t . O n t h e o t h e r h a n d , t h e d i f f e r e n c e b e t w e e n c o n s t r u c t i v i s m a n d b e h a v i o r i s m i s m u c h c l e a r e r . N o d d i n g s ( 1 9 9 0 ) a s s e r t e d t h a t ” c o n s t r u c t i v i s t s g e n e r a l l y a g r e e ” : 1 . A l l k n o w l e d g e i s c o n s t r u c t e d . . . t h r o u g h a p r o c e s s o f r e fl e c t i v e a b s t r a c t i o n . 2 . T h e r e e x i s t c o g n i t i v e s t r u c t u r e s t h a t a r e a c t i v a t e d i n t h e p r o c e s s o f c o n s t r u c t i o n [ t h a t ] a c c o u n t f o r t h e c o n s t r u c t i o n . 3 . C o g n i t i v e s t r u c t u r e s a r e u n d e r c o n t i n u a l d e v e l o p m e n t . ( p . 1 0 ) 1 4 R e s e a r c h e r s a n d t h e o r i s t s w h o d e s c r i b e t h e m s e l v e s a s c o n s t r u c t i v i s t s a r g u e t h a t c o g n i t i v e p r o c e s s e s l e a d p e o p l e t o t h e c o n s t r u c t i o n o f ” n e w k n o w l e d g e ” t h r o u g h i n t e r a c t i o n w i t h t h e i r e x i s t i n g k n o w l e d g e a n d b e l i e f s . O n e o f t h e b a s i c i d e a s o f t h i s v i e w i s t h a t k n o w l e d g e i s n o t t r a n s m i t t e d . P e o p l e , i n d i v i d u a l l y o r s o c i a l l y , c o n s t r u c t k n o w l e d g e b y r e l a t i n g i t t o t h e i r e x i s t i n g k n o w l e d g e . F o r e x a m p l e , v o n G l a s e r s f e l d ( 1 9 9 1 ) d e s c r i b e s h i m s e l f a s a r a d i c a l c o n s t r u c t i v i s t . H e a r g u e s t h a t ” t h e m e a n i n g o f t h e w o r d a p p l e ” i s a n a b s t r a c t i o n t h a t i n d i v i d u a l s m a k e f r o m t h e i r p r i o r ” a p p l e e x p e r i e n c e s . ” T h i s i m p l i e s t h a t m e a n i n g i s ” s u b j e c t i v e i n o r i g i n a n d r e s i d e s i n a s u b j e c t ’ s h e a d , n o t i n t h e w o r d ” ( p . 7 ) . I n t h i s v i e w , t o u n d e r s t a n d a n o t h e r , i t i s s u f f i c i e n t t h a t t h e t w o p a r t i e s h a v e c o n c e p t u a l s t r u c t u r e s t h a t ” f i t ” ( p . 9 ) r a t h e r t h a n ” m a t c h ” W h e n e n c o u n t e r i n g m a t h e m a t i c a l t a s k s , t h e i n d i v i d u a l ” m u s t i n t e r p r e t t h e t a s k a n d t r y t o c o n s t r u c t a s o l u t i o n u s i n g t h e m a t e r i a l s h e a l r e a d y h a s ” ( p . 1 2 ) . ” L o g i c a l o r m a t h e m a t i c a l n e c e s s i t y d o e s n o t r e s i d e i n a n y i n d e p e n d e n t w o r l d - t o s e e i t a n d g a i n s a t i s f a c t i o n f r o m i t , o n e m u s t r e fl e c t o n o n e ’ s o w n c o n s t r u c t s a n d t h e w a y i n w h i c h o n e h a s p u t t h e m t o g e t h e r ” ( p . 1 6 ) . S o c i a l c o n s t r u c t i v i s t s a r g u e t h a t m e a n i n g i s n e g o t i a t e d s o c i a l l y a n d t h e n i n t e r n a l i z e d . F o r e x a m p l e , L a v e a n d W e n g e r ( 1 9 9 1 ) a r g u e , ” s o c i a l p r a c t i c e i s t h e p r i m a r y , g e n e r a t i v e p h e n o m e n o n , a n d l e a r n i n g i s o n e o f i t s c h a r a c t e r i s t i c s ” ( p . 3 4 ) . F u r t h e r , ” l e a r n i n g i s n o t m e r e l y s i t u a t e d i n p r a c t i c e - a s i f i t w e r e s o m e i n d e p e n d e n t l y r e i f i a b l e p r o c e s s t h a t j u s t h a p p e n e d t o b e l o c a t e d s o m e w h e r e ; l e a r n i n g i s a n i n t e g r a b l e p a r t o f g e n e r a t i v e s o c i a l p r a c t i c e i n t h e l i v e d - i n w o r l d ” ( p . 3 5 ) . T h e y f u r t h e r c l a i m t h a t ” p r o d u c t i v e a c t i v i t y a n d u n d e r s t a n d i n g a r e n o t s e p a r a t e , o r e v e n s e p a r a b l e , b u t d i a l e c t i c a l l y r e l a t e d ” ( p . 1 0 2 ) . I n L a v e a n d W e n g e r ’ s v i e w , a l l l e a r n i n g t a k e s p l a c e i n t h e c o n t e x t o f p a r t i c i p a t i o n i n a c o m m u n i t y . 1 5 T h e r e l a t i o n b e t w e e n c o n s t r u c t i v i s m a n d t h e p r o p o s e d s t u d y i s t h r o u g h m y e x p l o r a t i o n o f h o w s t u d e n t s u s e t h e i r k n o w l e d g e t o m a k e d e c i s i o n s a b o u t w h a t c o n s t i t u t e s c o n v i n c i n g a r g u m e n t s , h o w s t u d e n t s u s e t h e i r k n o w l e d g e t o m a k e d e c i s i o n s a b o u t w h a t c o n s t i t u t e s a c o r r e c t a n s w e r , a n d w h a t k n o w l e d g e ( r e s o u r c e s ) t h e y s e l e c t t o m a k e t h e s e d e c i s i o n s . C o n s t r u c t i v i s m e x p l o r e s h o w p e o p l e c o m e t o d e v e l o p w a y s o f k n o w i n g — s a y t h r o u g h s o c i a l c o n s t r u c t i o n — b u t w h a t h a s b e e n p r e s e n t e d s o f a r d o e s n o t e x a m i n e t h e r e l a t i o n s h i p b e t w e e n w a y s o f k n o w i n g a n d t h e r e s o u r c e s p e o p l e h a v e a n d h o w t h e y u s e t h e m i n s p e c i f i c s i t u a t i o n s . I ] E ! l l ? C | . . B o t h r a d i c a l a n d s o c i a l c o n s t r u c t i v i s m p r e s u m e s t u d e n t s c o n s t r u c t k n o w l e d g e r a t h e r t h a n i t b e i n g t r a n s m i t t e d f r o m t e a c h e r t o s t u d e n t . O n e ’ s p r i o r e x p e r i e n c e s a n d w a y s o f v i e w i n g t h e w o r l d p l a y a r o l e i n h o w o n e m a k e s s e n s e o f n e w e x p e r i e n c e s . T h e f o r m o f t h e n e w e x p e r i e n c e a l s o p l a y s a r o l e i n d e t e r m i n i n g w h a t a p e r s o n l e a r n s . F o r e x a m p l e , t h e c o n c e p t o f a d d i t i o n o f f r a c t i o n s p r e s e n t e d i n a t r a d i t i o n a l l e c t u r e f o r m a t ( d e f i n i t i o n s a n d r u l e s ( a l g o r i t h m s ) f o l l o w e d b y e x a m p l e s a n d s t u d e n t p r a c t i c e ) o f f e r s s t u d e n t s a d i f f e r e n t o p p o r t u n i t y t o l e a r n t h a n a s e r i e s o f ” r e a l l i f e ” p r o b l e m s t h a t h a v e s t u d e n t s d e v e l o p i n g t h e i r o w n a l g o r i t h m s f o r a d d i n g f r a c t i o n s . I n e a c h c a s e , s t u d e n t s c o u l d b e e x p e c t e d t o l e a r n d i f f e r e n t c o n t e n t a n d d e v e l o p a d i f f e r e n t a t t i t u d e t o w a r d m a t h e m a t i c s . T h i s i s d e m o n s t r a t e d i n t h e i n t r o d u c t i o n o f t h e f i r s t S t a n d a r d s d o c u m e n t : ” T h e s e S t a n d a r d s . . . c a l l f o r t h e r e f o r m i n t h e t e a c h i n g a n d l e a r n i n g o f m a t h e m a t i c s . . . . [ t h e r e i s ] c o n s e n s u s t h a t a l l s t u d e n t s n e e d t o l e a r n m o r e , a n d o f t e n d i f f e r e n t , m a t h e m a t i c s ” ( N C T M , 1 9 8 9 , p . 1 ) . T h e a u t h o r s a r g u e t h a t ” w h a t a s t u d e n t l e a r n s d e p e n d s t o a g r e a t d e g r e e o n h o w h e o r s h e h a s l e a r n e d i t ” ( p . 5 , e m p h a s i s i n t h e o r i g i n a l ) . 1 6 H o w e v e r , s t u d e n t s d o n o t l e a r n s o l e l y b y c o n s t r u c t i n g : ” ’ K n o w i n g ’ m a t h e m a t i c s i s ’ d o i n g ’ m a t h e m a t i c s . A p e r s o n g a t h e r s , d i s c o v e r s , o r c r e a t e s k n o w l e d g e i n t h e c o u r s e o f s o m e a c t i v i t y h a v i n g a p u r p o s e ” ( N C T M , 1 9 8 9 , p . 7 ) . T h i s s h o u l d n o t b e c o n s t r u e d a s t h e a u t h o r s e n d o r s i n g t r a d i t i o n a l t e a c h i n g s i n c e , w i t h t r a d i t i o n a l t e a c h i n g , ” c h i l d r e n b e g i n t o l o s e t h e i r b e l i e f t h a t l e a r n i n g m a t h e m a t i c s i s a s e n s e - m a k i n g e x p e r i e n c e ” ( p . 1 5 ) . T h u s , ” l e a r n i n g o c c u r s t h r o u g h a c t i v e a s w e l l a s p a s s i v e i n v o l v e m e n t w i t h m a t h e m a t i c s ” ( p . 9 ) . R a t h e r t h a n b e i n g t r a n s m i t t e d , ” k n o w l e d g e o f t e n s h o u l d e m e r g e f r o m e x p e r i e n c e w i t h p r o b l e m s ” ( p . 1 0 ) . T h e a u t h o r s s o u g h t t o g r o u n d s u c h c l a i m s i n r e s e a r c h : ” R e s e a r c h f i n d i n g s f r o m p s y c h o l o g y i n d i c a t e t h a t l e a r n i n g d o e s n o t o c c u r f r o m p a s s i v e a b s o r p t i o n a l o n e ( R e s n i c k , 1 9 8 7 ) . I n s t e a d , i n m a n y s i t u a t i o n s i n d i v i d u a l s a p p r o a c h a n e w t a s k w i t h p r i o r k n o w l e d g e , a s s i m i l a t e n e w i n f o r m a t i o n , a n d c o n s t r u c t t h e i r o w n m e a n i n g s . . . . T h i s c o n s t r u c t i v e , a c t i v e v i e w o f t h e l e a r n i n g p r o c e s s m u s t b e r e fl e c t e d i n t h e w a y m u c h o f m a t h e m a t i c s i s t a u g h t ” ( N C T M , 1 9 8 9 , p . 1 0 ) . F u r t h e r r e s e a r c h s u p p o r t i s p r o v i d e d i n t h e s e c o n d S t a n d a r d s d o c u m e n t ( N C T M , 1 9 9 1 ) : ” E d u c a t i o n a l r e s e a r c h f i n d i n g s f r o m c o g n i t i v e p s y c h o l o g y a n d m a t h e m a t i c s e d u c a t i o n i n d i c a t e t h a t l e a r n i n g o c c u r s a s s t u d e n t s a c t i v e l y a s s i m i l a t e n e w i n f o r m a t i o n a n d e x p e r i e n c e s a n d c o n s t r u c t t h e i r o w n m e a n i n g s ” ( p . 2 ) . T h e a u t h o r s f u r t h e r s u p p o r t t h i s w i t h a q u o t e f r o m E v e r y b o d y C o u n t s ( N a t i o n a l R e s e a r c h C o u n c i l , 1 9 8 9 ) : ” E d u c a t i o n a l r e s e a r c h o f f e r s c o m p e l l i n g e v i d e n c e t h a t s t u d e n t s l e a r n m a t h e m a t i c s w e l l o n l y w h e n t h e y c o n s t r u c t t h e i r o w n m a t h e m a t i c a l u n d e r s t a n d i n g ” ( p p . 5 8 - 5 9 , a s c i t e d i n N C T M , 1 9 9 1 , p . 2 , e m p h a s i s i n t h e o r i g i n a l ) . 1 7 T h e S t a n d a r d s ( 1 9 9 1 ) g o o n t o a r g u e t h a t ” s t u d e n t s d o n o t l e a r n s i m p l y a s u b s e t o f w h a t t h e y h a v e b e e n s h o w n . I n s t e a d , t h e y u s e n e w i n f o r m a t i o n t o m o d i f y t h e i r p r i o r b e l i e f s ” ( p . 2 ) . T h i s i s r e fl e c t e d i n t h e i r c a l l f o r s h i f t s i n t e a c h i n g p r a c t i c e : ” t o w a r d c l a s s r o o m s a s m a t h e m a t i c a l c o m m u n i t i e s . . . t o w a r d l o g i c a n d m a t h e m a t i c a l e v i d e n c e a s v e r i f i c a t i o n . . . t o w a r d m a t h e m a t i c a l r e a s o n i n g . . . t o w a r d c o n j e c t u r i n g , i n v e n t i n g , a n d p r o b l e m s o l v i n g . . . t o w a r d c o n n e c t i n g m a t h e m a t i c s , i t s i d e a s , a n d i t s a p p l i c a t i o n s ” ( p . 3 ) . T h e A s s e s s m e n t S t a n d a r d s ( N C T M , 1 9 9 5 ) a l s o a r e g r o u n d e d i n c o n s t r u c t i v i s m . T h e y a r g u e t h a t : S o m e a s s e s s m e n t s m a y b e d e s i g n e d t o d e t e r m i n e h o w w e l l s t u d e n t s , p r e s e n t e d w i t h a n u n f a m i l i a r s i t u a t i o n , c a n u s e w h a t t h e y h a v e l e a r n e d p r e v i o u s l y . O t h e r a s s e s s m e n t s m a y r e q u i r e t h a t s t u d e n t s l e a r n a n e w m a t h e m a t i c a l c o n c e p t o r s t r a t e g y d u r i n g t h e a s s e s s m e n t a n d u s e t h i s k n o w l e d g e t o s o l v e p r o b l e m s . . . . S t u d e n t s r e s p o n d t o o p e n a c t i v i t i e s i n c r e a t i v e w a y s , a n d t h e i r r e s p o n s e s s h o u l d b e j u d g e d a c c o r d i n g t o t h e q u a l i t y o f t h e m a t h e m a t i c s d e m o n s t r a t e d . ( p . 1 1 ) G r o u n d i n g t h e S t a n d a r d s i n a c o n s t r u c t i v i s t v i e w o f l e a r n i n g , t h e a u t h o r s a r g u e f o r s i t u a t i n g p r o b l e m s i n r e a l w o r l d c o n t e x t s , i n c o n t e x t s f a m i l i a r t o s t u d e n t s . T h e y a r g u e ” a s l o n g a s t h e [ p r o b l e m ] s i t u a t i o n s a r e f a m i l i a r , c o n c e p t i o n s a r e c r e a t e d f r o m o b j e c t s , e v e n t s , a n d r e l a t i o n s h i p s i n w h i c h o p e r a t i o n s a n d s t r a t e g i e s a r e w e l l u n d e r s t o o d ” ( N C T M , 1 9 8 9 , p . 1 1 ) . T h i s c o n t e x t u a l i z i n g o f p r o b l e m s i s b e l i e v e d t o : ( a ) a l l o w c o n n e c t i o n s w i t h p e r s o n a l e x p e r i e n c e , f o s t e r i n g m o t i v a t i o n f o r e n g a g i n g w i t h t h e t a s k s ; ( b ) h e l p d e v e l o p r e a l w o r l d r e a s o n i n g , f o s t e r i n g t h e s o r t o f r e a s o n i n g n e e d e d i n d a i l y l i f e ; ( c ) g r o u n d m a t h e m a t i c a l r e a s o n i n g i n a ” s e n s i b l e ” s i t u a t i o n , f o s t e r i n g a n e x p e c t a t i o n t h a t r e a s o n i n g a n d a n s w e r s s h o u l d m a k e s e n s e ; a n d ( d ) p r o m o t e t h i n k i n g a n d o p e r a t i n g w i t h f a m i l i a r o b j e c t s w h i l e e x p l o r i n g n e w a n d p o t e n t i a l l y d i f f i c u l t m a t h e m a t i c a l c o n c e p t s , f o s t e r i n g a c o m f o r t a b l e e n v i r o n m e n t f o r m a t h e m a t i c a l r e a s o n i n g . I n t h i s v i e w , t h e v a l u e o f a r e a l w o r l d c o n t e x t i s i n 1 8 h e l p i n g l e a r n e r s m a k e s e n s e o f a n d r e a s o n t h r o u g h p r o b l e m s u s i n g t h e t o o l s o f d a i l y l i f e . T h e D i s c i p l i n e o f M a t h e m a t i c s T h e C u r r i c u l u m a n d E v a l u a t i o n S t a n d a r d s ( N C T M , 1 9 8 9 ) d e f i n e m a t h e m a t i c s a s ” m o r e t h a n a c o l l e c t i o n o f c o n c e p t s a n d s k i l l s t o b e m a s t e r e d ; i t i n c l u d e s m e t h o d s o f i n v e s t i g a t i n g a n d r e a s o n i n g , m e a n s o f c o m m u n i c a t i o n , a n d n o t i o n s o f c o n t e x t ” ( p . 5 ) . T h i s i s a d i s t i n c t l y d i f f e r e n t p i c t u r e o f t h e d i s c i p l i n e t h a n t h e P l a t o n i s t o r F o r m a l i s t v i e w s ( D a v i s & H e r s h , 1 9 8 1 ) . I t s h i f t s t h e f o c u s f r o m l e a r n i n g m a t h e m a t i c s a s a c c u m u l a t i n g k n o w l e d g e ( d e f i n i t i o n s , t h e o r e m s , a l g o r i t h m s , e t c . ) t o l e a r n i n g m a t h e m a t i c s a s d o i n g m a t h e m a t i c s ( p . 7 ) . T h e C u r r i c u l u m S t a n d a r d s ( 1 9 8 9 ) a r e e x p l i c i t i n n o t i n g t h i s d o e s ” n o t a s s e r t t h a t i n f o r m a t i o n a l k n o w l e d g e h a s n o v a l u e , o n l y t h a t i t s v a l u e l i e s i n t h e e x t e n t t o w h i c h i t i s u s e f u l i n t h e c o u r s e o f s o m e p u r p o s e f u l a c t i v i t y ” ( p . 7 ) . T h e ” f i r s t c o n s i d e r a t i o n i n p r e p a r i n g e a c h s t a n d a r d w a s i t s m a t h e m a t i c a l c o n t e n t ” ( p . 7 ) . 7 T h r o u g h s u c h a r e v i s e d v i e w o f l e a r n i n g a n d m a t h e m a t i c s , s t u d e n t s d e v e l o p m a t h e m a t i c a l p o w e r . T h i s i s d e f i n e d a s ” a n i n d i v i d u a l ’ s a b i l i t i e s t o e x p l o r e , c o n j e c t u r e , a n d r e a s o n l o g i c a l l y , a s w e l l a s t h e a b i l i t y t o u s e a v a r i e t y o f m a t h e m a t i c a l m e t h o d s e f f e c t i v e l y t o s o l v e n o n - r o u t i n e p r o b l e m s . . . . I n a d d i t i o n , f o r e a c h i n d i v i d u a l , m a t h e m a t i c a l p o w e r i n v o l v e s t h e d e v e l o p m e n t o f s e l f - c o n f i d e n c e ” ( p . 5 ) . C l e a r l y , r e f o r m e r s r e s p e c t t h e n e e d f o r c h i l d r e n t o d e v e l o p a d i s c i p l i n a r y u n d e r s t a n d i n g o f m a t h e m a t i c s . A s N e s h e r ( 1 9 8 9 ) p u t s i t , s t u d e n t s ” n e e d t o a r r i v e a t m a t h e m a t i c a l t r u t h s . ” B a l l ( 1 9 9 3 ) q u o t e s t h e N a t i o n a l R e s e a r c h C o u n c i l ( N R C ) 7 T h i s s o m e w h a t n o n - t r a d i t i o n a l v i e w o f m a t h e m a t i c s l i e s a t t h e h e a r t o f t h e c u r r e n t d e b a t e b e t w e a t r e f o r m e r s a n d t h o s e w h o w o u l d h a v e e d u c a t o r s r e t u r n t o ” b a s i c s ” i n m a t h e m a t i c s c l a s s e s ( e . g . , M a t h e m a t i c a l l y C o r r e c t ) . 1 9 t o d e m o n s t r a t e t h a t t h e g o a l s o f t h e S t a n d a r d s ” g o b e y o n d u n d e r s t a n d i n g o f p a r t i c u l a r i d e a s ” t o i n c l u d e ” w a y s o f s e e i n g , i n t e r p r e t i n g , t h i n k i n g , d o i n g , a n d c o m m u n i c a t i n g t h a t a r e s p e c i a l t o t h e c o m m u n i t y o f ” m a t h e m a t i c i a n s . T h e N R C ( 1 9 9 0 ) r e p o r t e d t h a t ” t o k n o w m a t h e m a t i c s i s t o i n v e s t i g a t e a n d e x p r e s s r e l a t i o n s h i p s a m o n g p a t t e r n s , t o b e a b l e t o d i s c e r n p a t t e r n s i n c o m p l e x a n d o b s c u r e c o n t e x t s , t o u n d e r s t a n d a n d t r a n s f o r m r e l a t i o n s h i p s a m o n g p a t t e r n s ” ( p . 1 2 , a s c i t e d i n B a l l , 1 9 9 3 ) . I n W a l k e r d i n e ’ s ( 1 9 8 8 ) t e r m i n o l o g y t h e d i s c i p l i n e i s ” t h e u l t i m a t e i n r a t i o n a l i t y ” w h e r e a r g u m e n t i s t h e k e y t o p o w e r ( p . 2 1 0 ) . L i k e m a t h e m a t i c i a n s , r e f o r m e r s v a l u e t h e r e a s o n e d d i s c o u r s e o f t h e d i s c i p l i n e a n d s e e k t o i n s t a n t i a t e i t i n c l a s s r o o m s ( e . g . , L a m p e r t , 1 9 9 0 ) . I n t h i s s e c t i o n I c o n s i d e r t h r e e d i f f e r e n t a p p r o a c h e s t o r e s e a r c h o n c o n t e n t . F i r s t , I d e s c r i b e r e s e a r c h t h a t l o o k s d i r e c t l y a t t h e m a t h e m a t i c s o f e l e m e n t a r y s c h o o l . N e x t , I d e s c r i b e r e s e a r c h t h a t u s e s c o n t e n t t o a n a l y z e t h e k i n d s o f e r r o r s s t u d e n t s m a k e i n c o m p u t a t i o n . F i n a l l y , I c o n s i d e r r e s e a r c h t h a t l o o k s a t l e a r n i n g i n n o n - s c h o o l c o n t e x t s . I h a v e i n c l u d e d t h i s l a s t w i t h i n t h i s s e c t i o n b e c a u s e m u c h o f t h e r e s e a r c h c o m p a r e s m a t h e m a t i c a l c o n t e n t w i t h i n t h e t w o c o n t e x t s - s c h o o l a n d n o n — s c h o o l . F i n a l l y , I r e t u r n t o m y a r g u m e n t t h a t t h e S t a n d a r d s v i e w t h e d e v e l o p m e n t o f d i s c i p l i n a r y u n d e r s t a n d i n g a s a n i m p o r t a n t g o a l o f m a t h e m a t i c s e d u c a t i o n . A n a l y s i m f fi e n t e m O n e r e a s o n r e s e a r c h e r s a n a l y z e c o n t e n t i s t o u n d e r s t a n d c h i l d r e n ’ s t h i n k i n g a b o u t t h a t c o n t e n t ( C a r p e n t e r , F e n n e m a , 8 r R o m b e r g , 1 9 9 3 a ) . R e s e a r c h e r s l o o k a t s t r u c t u r e s i n f i n e - g r a i n e d d e t a i l . I n j u s t i f y i n g w o r k o n a n a l y s i s o f r a t i o n a l n u m b e r s , C a r p e n t e r e t a l . a r g u e d t h a t ” d i f f e r e n t s u b - 2 0 c o n s t r u c t s a n d d i f f e r e n t v a r i a n t s o f e a c h s u b - c o n s t r u c t o f f e r p o t e n t i a l l y d i f f e r e n t w a y s t h a t c h i l d r e n . . . m a y t h i n k a b o u t r a t i o n a l n u m b e r s a n d s o l v e r a t i o n a l n u m b e r p r o b l e m s u s i n g c o n c r e t e o b j e c t s o r o t h e r f o r m s o f r e p r e s e n t a t i o n ” ( p . 4 ) . A n a l y s i s o f c o n t e n t m a y h e l p t e a c h e r s a n d r e s e a r c h e r s u n d e r s t a n d t h e s o l u t i o n s t h a t c h i l d r e n c r e a t e — e s p e c i a l l y f o r n o n - r o u t i n e p r o b l e m s . R e s e a r c h e r s a n a l y z i n g c o n t e n t h a v e b r o k e n d o w n a v a r i e t y o f t o p i c s t o s t u d y t h e i r s t r u c t u r e . T h e y h a v e e x a m i n e d t h e n a t u r e o f r a t i o n a l n u m b e r s ( e . g . , C a r p e n t e r e t a l . , 1 9 9 3 a ) , o f d e c i m a l s a n d p l a c e v a l u e ( e . g . , B r o w n , 1 9 8 1 ; G r o s s m a n , 1 9 8 3 ; H i e b e r t & W e a r n e , 1 9 8 5 ) , o f a r i t h m e t i c o p e r a t i o n s ( e . g . , H i e b e r t & B e h r , 1 9 8 8 ; R e s n i c k , 1 9 8 2 ) , o f p r o p o r t i o n p r o b l e m s ( e . g . , H a r e l 8 r B e h r , 1 9 8 9 ; H o y l e s & N o s s , 1 9 8 9 ) , a m o n g o t h e r s . R e s e a r c h i n r a t i o n a l n u m b e r s h a s a n a l y z e d t h e s t r u c t u r e o f f r a c t i o n s a n d i t s r e l a t i o n s h i p t o t h e s t r u c t u r e o f w h o l e n u m b e r s . T h e r e s u l t s o f s u c h a n a l y s i s a r e o f t e n u s e d t o m a k e a r g u m e n t s a b o u t s t u d e n t b e h a v i o r s . F o r e x a m p l e , r e s e a r c h e r s m i g h t a r g u e t h a t s o m e c h i l d r e n c o n c l u d e 1 t h a t g i s s m a l l e r t h a n ; - b e c a u s e t h e y c o m p a r e t h e w h o l e n u m b e r s f i v e a n d s i x . T h e s e r e s e a r c h e r s w o r k t o b e t t e r u n d e r s t a n d h o w p a r t i c u l a r m a t h e m a t i c a l d o m a i n s a r e s t r u c t u r e d . T h e y a r g u e t h a t u n d e r s t a n d i n g t h e c o m p o n e n t s o f a p i e c e o f m a t h e m a t i c s c a n i n f o r m h o w a n d w h a t w e t e a c h . T h e y e x p l o r e t h e m a t h e m a t i c a l c o n n e c t i o n s b o t h w i t h i n a t o p i c a n d i n r e l a t i o n t o o t h e r t o p i c s . T h e i r a n a l y s i s i n f o r m s u s a b o u t t h e s t r u c t u r e o f p a r t i c u l a r m a t h e m a t i c a l c o n c e p t s , o r a t l e a s t o n e v i e w o f t h a t s t r u c t u r e . T h e y p r o v i d e u s w i t h o n e w a y t o t h i n k a b o u t t h e p i e c e s t h a t s t u d e n t s l e a r n i n m a t h e m a t i c s c l a s s e s - w h a t i t i s s t u d e n t s a r e e x p e c t e d t o m a k e s e n s e o f a s t h e y s t u d y m a t h e m a t i c s . T h u s , t h i s r e s e a r c h c a n h e l p t e a c h e r s a n d r e s e a r c h e r s u n d e r s t a n d t h e p o t e n t i a l p a t h s c h i l d r e n m a y t a k e i n t r y i n g t o s o l v e a p r o b l e m a n d t h e w a y s t h a t p a r t i c u l a r t o p i c s m a y b e c o n s t r u c t e d b y c h i l d r e n . 2 1 ’ 1 ’ . C ) . W h a t t h i s r e s e a r c h c a n n o t t e l l u s i s h o w c h i l d r e n m a k e v a r i o u s d e c i s i o n s a s t h e y s o l v e p r o b l e m s , a s t h e y c r e a t e t h e i r p a t h . N o r d o e s t h e r e s e a r c h i n f o r m u s w h a t r e s o u r c e s a c h i l d m i g h t u s e t o m a k e t h o s e d e c i s i o n s . T h i s r e s e a r c h d o e s n o t h e l p u s u n d e r s t a n d w h y s o m e c h i l d r e n m a k e t h i s c o n n e c t i o n a n d s o m e c h i l d r e n t h a t o n e . W h a t h a p p e n s i n s i d e c h i l d r e n ’ s h e a d s r e s u l t i n g i n d i f f e r e n t p a t h s ? T h i s r e s e a r c h d o e s n o t t e l l u s t h e k i n d o f r e a s o n i n g t h a t p a r t i c u l a r c h i l d r e n d o o r t h e t o o l s t h a t e n a b l e o r c o n s t r a i n t h e i r a b i l i t y t o m a k e c o n n e c t i o n s . T h e r e m u s t b e p i e c e s t o t h i s p u z z l e t h a t l i e o u t s i d e o f t h e s p e c i f i c m a t h e m a t i c a l c o n t e n t t h a t s t u d e n t s a r e l e a r n i n g - h o w t h e c h i l d r e n c h o o s e a n d i n t e r a c t w i t h r e p r e s e n t a t i o n s s e e m i m p o r t a n t f a c t o r s . V e r g n a u d ( 1 9 8 2 ) a r g u e s t h a t t h e ” s t u d y o f l e a r n i n g a n d t e a c h i n g m a t h e m a t i c s ” i s ” n o t r e d u c i b l e t o m a t h e m a t i c s , t o p s y c h o l o g y , t o l i n g u i s t i c s , t o s o c i o l o g y o r t o a n y o t h e r s c i e n c e ” ( p . 3 1 ) . H e d o e s n o t m e a n b y t h i s t h a t o n e s h o u l d n o t p r o c e e d a s t h e r e s e a r c h e r s d e s c r i b e d h e r e h a v e . R a t h e r , h e s u g g e s t s t h a t , t o r e a l l y u n d e r s t a n d h o w c h i l d r e n t h i n k a n d l e a r n m a t h e m a t i c s , o n e n e e d s t o t a k e m u l t i p l e p e r s p e c t i v e s a t t h e s a m e t i m e ( s e e a l s o C o b b , 1 9 9 0 ) . T h i s i s w h a t t h i s s t u d y a i m s t o d o . A s C a r p e n t e r e t a l . ( 1 9 9 3 ) n o t e d , w h i l e s t u d i e s h a v e a n a l y z e d ” c o n c e p t s a n d p r o c e d u r e s c h i l d r e n h a v e a c q u i r e d , ” t h e r e h a s b e e n l i t t l e a t t e n t i o n t o h o w t h o s e c o n c e p t s a n d p r o c e d u r e s a r e a c q u i r e d ( p . 5 ) . T h i s s t u d y d o e s n o t l o o k a t h o w c o n c e p t s a n d p r o c e d u r e s a r e a c q u i r e d b u t e x a m i n e s t h e r o l e t h e y p l a y i n c h i l d r e n ’ s p r o b l e m s o l v i n g u w h i c h p l a y s a r o l e i n d e v e l o p i n g u n d e r s t a n d i n g o f n e w c o n c e p t s a n d p r o c e d u r e s . A n o t h e r c r i t i c i s m o f r e s e a r c h t h a t a n a l y z e s c o n t e n t i s o f f e r e d b y v o n G l a s e r s f e l d ( 1 9 8 7 ) . H e a r g u e s t h a t t h e d e f i n i t i o n o f c o n c e p t u a l s t r u c t u r e s ” m e r e l y s u b s t i t u t e l s ] o t h e r s i g n s ” f o r t h e m a t h e m a t i c a l s y m b o l s . T h a t i s , r e s e a r c h e r s s u b s t i t u t e l i n g u i s t i c s y m b o l s f o r m a t h e m a t i c a l o n e s . ” R a r e l y , i f e v e r , i s t h e r e a h i n t , l e t a l o n e a n e x p l i c a t i o n , o f w h a t o n e m u s t d o i n o r d e r t o b u i l d u p t h e 2 2 c o n c e p t u a l s t r u c t u r e s t h a t a r e t o b e a s s o c i a t e d w i t h t h e s y m b o l s ” ( p . 1 4 ) . A g a i n , t h i s i n d i c a t e s t h e d i s j u n c t u r e b e t w e e n t w o a s p e c t s o f t h e S t a n d a r d s — l e a r n i n g t h e o r y a n d t h e d i s c i p l i n e o f m a t h e m a t i c s - - a n d c a l l s f o r t h e t y p e o f s t u d y r e p o r t e d h e r e . A n a l y s i s e f fi h r d e n t fi m S t u d e n t s m a k e m a t h e m a t i c a l e r r o r s r e s u l t i n g f r o m a v a r i e t y o f c a u s e s . T h e s e i n c l u d e : ( a ) f a u l t y e x e c u t i o n ( e . g . , e r r o r s i n c o u n t i n g ) , ( b ) t h i s - i d e n t i f i c a t i o n o f t h e p r o b l e m ( e . g . , i n t e r p r e t i n g a p r o b l e m a s ” c o m b i n e ” r a t h e r t h a n a s ” c o m p a r e ” ) , a n d ( c ) b u g g y a l g o r i t h m s ( e . g . , a d d i n g f r a c t i o n s u s i n g t h e r u l e s f o r w h o l e n u m b e r s ) . I n t h i s s e c t i o n , I e x a m i n e t h e r e s e a r c h o n t h e l a s t . O f t h e t h r e e t y p e s o f e r r o r s , i t i s t h e o n l y o n e r e s u l t i n g f r o m s t u d e n t s ’ p a t t e r n s e e k i n g r a t h e r t h a n f r o m i d i o s y n c r a t i c a c t i o n s . T h e ” b u g g y a l g o r i t h m ” r e s e a r c h i n f o r m s u s a b o u t a b e r r a n t w a y s i n w h i c h s t u d e n t s p u t t o g e t h e r a l g o r i t h m s f o r t h e m s e l v e s . M a u r e r ( 1 9 8 7 ) p o i n t s o u t t h a t w h a t r e s e a r c h e r s t e r m ” b u g s ” a r e n o t m e r e l y m i s t a k e s t h a t c h i l d r e n m a k e . R a t h e r , t h e y a r e s y s t e m a t i c e r r o r s . R e s e a r c h e r s h a v e d e m o n s t r a t e d t h a t c h i l d r e n t r y t o c o n n e c t n e w s i t u a t i o n s w i t h t h o s e t h e y h a v e a l r e a d y l e a r n e d ; b y i n d u c t i n g f r o m c u r r e n t k n o w l e d g e t o t h e n e w t o p i c , t h e y c r e a t e b u g g y a l g o r i t h m s . O n e k i n d o f c h i l d r e n ’ s e r r o r s t h a t r e s e a r c h e r s h a v e s t u d i e d i s s u b t r a c t i o n w i t h r e g r o u p i n g . I n t h i s a n a l y s i s , e r r o r s c a n o f t e n b e t r a c e d b a c k t o l e a r n e d r u l e s . F o r e x a m p l e , c h i l d r e n i n c l a s s r o o m s o f t e n a r e i n t r o d u c e d t o s u b t r a c t i o n t h r o u g h a s e r i e s o f p r o b l e m s i n w h i c h t h e y t a k e t h e s m a l l e r n u m b e r f r o m t h e l a r g e r . S t u d e n t s e x t r a p o l a t e ( o r , t h e t e a c h e r m a y e v e n s t a t e ) a ” r u l e ” : ” Y o u a l w a y s s u b t r a c t t h e s m a l l e r n u m b e r f r o m t h e l a r g e r . ” W h e n c h i l d r e n e n c o u n t e r t w o d i g i t s u b t r a c t i o n p r o b l e m s , t h e y m a y b e l e d t o s u b t r a c t 3 4 f r o m 4 3 b y t a k i n g 2 3 t h r e e f r o m f o u r i n b o t h t h e o n e s a n d t h e t e n s p l a c e . ( F o r e x t e n s i v e w o r k o n e r r o r s i n s u b t r a c t i o n s e e B r o w n 8 : B u r t o n , 1 9 7 8 ; B r o w n 8 : V a n L e h n , 1 9 8 2 ; B e n - Z e e v , 1 9 9 6 ; V a n L e h n , 1 9 8 3 . ) B e n - Z e e v ( 1 9 9 6 ) h a s c r e a t e d a t a x o n o m y o f r a t i o n a l e r r o r s . F o r h e r , r a t i o n a l e r r o r s o c c u r w h e n a ” s t u d e n t f i r s t i n d u c e s a n i n c o r r e c t r u l e [ a b u g g y a l g o r i t h m ] a n d t h e n p r o c e e d s t o f o l l o w i t ’ c o r r e c t l y ’ i n a l o g i c a l l y c o n s i s t e n t m a n n e r ” ( p . 5 5 ) . T h e t a x o n o m y c o n s i d e r s b o t h m o n i t o r i n g a n d i n d u c t i o n c a u s e d e r r o r s . 8 O n e e l e m e n t o f h e r t a x o n o m y , t h e w e a k c r i t i c , d e s c r i b e s t h e f a i l u r e o f a c h i l d ’ s c r i t i c t o o v e r r i d e a ( m i s - a p p l i e d ) p r i o r k n o w l e d g e r u l e . W h a t B e n - Z e e v d o e s n o t a d d r e s s h e r e i s t h e c h i l d ’ s d e c i s i o n - m a k i n g p r o c e s s . D o e s t h e c h i l d c o n s i d e r b o t h t h e c r i t i c a n d t h e p r i o r r u l e ? I f s o , w h a t l e a d s t h e c h i l d t o l e a n t o w a r d o n e o r t h e o t h e r ? A r e t h e r e a s p e c t s o f t h e p r o b l e m n a r r a t i v e o r o f t h e r e p r e s e n t a t i o n c h o s e n t o s o l v e t h e p r o b l e m t h a t i n fl u e n c e t h e d e c i s i o n ? W h a t r o l e d o e s a c h i l d ’ s v i e w o f m a t h e m a t i c s a s a d i s c i p l i n e p l a y ? M a u r e r ( 1 9 8 7 ) n o t e s t h a t t h e e r r o r a n a l y s i s ” a p p r o a c h t o l e a r n i n g i n v o l v e s t h e v e r y d e t a i l e d s t u d y o f w h a t i n d i v i d u a l s a r e t h i n k i n g ” ( p . 1 6 6 , e m p h a s i s i n t h e o r i g i n a l ) . T h i s i s c e r t a i n l y a s t e p c l o s e r t o t h e r e s e a r c h i n m y s t u d y . Y e t , i t s t i l l f a l l s s h o r t i n a s i g n i f i c a n t w a y . T h e s t u d e n t e r r o r r e s e a r c h l o o k s a t t h e a c t i o n s o f s t u d e n t s a n d m a k e s a s s u m p t i o n s - a d m i t t e d l y r e a s o n a b l e o n e s - a b o u t t h e c h a i n o f l o g i c . I t e x a m i n e s c h i l d r e n ’ s w o r k a n d p o i n t s o u t t h e g e n e r a l i z a t i o n s t h e y m a k e . W h a t i t d o e s n o t d o , i s e x p l a i n h o w s t u d e n t s d e c i d e w h a t t o d o w i t h i n a p r o b l e m . A s t u d y b y E r l w a n g e r ( 1 9 7 5 ) i s a n e x c e p t i o n H i s f i n e - g r a i n e d a n a l y s i s o f B e n n y ’ s m a t h e m a t i c a l r e a s o n i n g o f f e r s a n o p p o r t u n i t y t o f u r t h e r d i s t i n g u i s h m y s t u d y f r o m p r e v i o u s o n e s . B e n n y w a s a s i x t h g r a d e r w h o h a d u s e d t h e 8 I a d m i t t o s o m e d i f f i c u l t y u n d e r s t a n d i n g h o w a t a x o n o m y o f r a t i o n a l e r r o r s — e r r o r s o f i n d u c t i o n - i n c o r p o r a t e s m o n i t o r i n g e r r o r s . 2 4 I n d i v i d u a l l y P r e s c r i b e d I n s t r u c t i o n ( I P I ) m a t e r i a l s s i n c e s e c o n d g r a d e . T h e m a t e r i a l s w e r e d e s i g n e d f o r s t u d e n t s t o p r o g r e s s i n d i v i d u a l l y t h r o u g h ” s e q u e n t i a l l y o r d e r e d i n s t r u c t i o n a l o b j e c t i v e s ” ( p . 1 1 ) . T h e m a t h e m a t i c s w a s ” p r e s e n t e d i n p r o g r a m m e d f o r m . . . r e q u i r l i n g ] f i l l i n g i n b l a n k s o r s e l e c t i n g a c o r r e c t a n s w e r " ( p . 1 5 ) . T h i s u s e o f d e c o n t e x t u a l i z e d p r o b l e m s r e s u l t e d i n ” a n e m p h a s i s o n a n s w e r s r a t h e r t h a n o n m a t h e m a t i c a l p r o c e s s e s i n v o l v e d ” ( p . 1 5 ) . E r l w a n g e r ’ s i n t e n t w a s ” t o s h o w t h a t t h e o v e r a l l g o a l o f I P I . . . h a s n o t b e e n a t o t a l s u c c e s s w i t h B e n n y ” ( p . 7 ) - a s t u d e n t w h o w a s f u r t h e r a l o n g i n t h e m a t e r i a l s t h a n m o s t o f h i s p e e r s . B e n n y c l e a r l y f i t s i n t o t h e ” b u g g y a l g o r i t h m ” r e s e a r c h a s h e ” d e v e l o p e d c o n s i s t e n t m e t h o d s ” w h i c h d i d n o t a l t e r ” u n d e r p r e s s u r e ” ( p . 1 2 ) a n d h i s ” r u l e s . . . e m p h a s i z e d p a t t e r n s ” ( p . 1 9 ) . L i k e m y s t u d y , E r l w a n g e r e n d e a v o r e d t o l o o k c l o s e l y a t B e n n y ’ s r e a s o n i n g . H e p r o v i d e s a f i n e - g r a i n e d a n a l y s i s o f B e n n y ’ s m a t h e m a t i c a l t h i n k i n g . H o w e v e r , B e n n y i s d i s c u s s i n g w h a t h e a l r e a d y k n o w s . H e e x p l a i n s h o w a n d w h y h e b e l i e v e s m a t h e m a t i c s o p e r a t e s a s i t d o e s . B e n n y ’ 5 r e s o u r c e s a m o u n t t o ” s e a r c h i n g f o r a r u l e o r p a t t e r n ” ( p . 2 1 ) . H a v i n g ” d e v e l o p e d a n i n fl e x i b l e , r u l e - o r i e n t e d a t t i t u d e t o w a r d m a t h e m a t i c s , ” t h e r e i s ” n o r o o m f o r h i m t o e x e r c i s e h i s i n d i v i d u a l i t y ” ( p . 2 1 ) . B e n n y h a s l i t t l e i n c l i n a t i o n t o m a k e d e c i s i o n s b a s e d i n m a t h e m a t i c a l r e a s o n i n g ; h e m e r e l y s e a r c h e s f o r r e m e m b e r e d ( o r c o b b l e d ) r u l e s . I n c o n t r a s t , t h e c h i l d r e n o f m y s t u d y s p e n t n e a r l y t w o y e a r s i n t h e o p p o s i t e e n v i r o n m e n t ; t h e y s t u d i e d m a t h e m a t i c s i n a s o c i a l s e t t i n g w h e r e i n d i v i d u a l i d e a s w e r e v a l u e d a n d e x a m i n e d . W h e n t h e c h i l d r e n o f m y s t u d y a p p r o a c h e d t h e b o u n d a r i e s o f t h e i r m a t h e m a t i c a l k n o w l e d g e a n d u n d e r s t a n d i n g , t h e y s e a r c h e d f o r r e s o u r c e s a n d c r e a t e d t h e i r o w n r e p r e s e n t a t i o n s . T h e s e m a y h a v e b e e n b a s e d i n r u l e s b u t w e r e n o t m e r e a p p l i c a t i o n o f r u l e s . T h e r e s u l t s o f t h e ” b u g g y a l g o r i t h m ” r e s e a r c h d o n o t i n f o r m u s h o w s t u d e n t s w o u l d g o a b o u t m a k i n g s e n s e o f c o n t e x t u a l i z e d p r o b l e m s i t u a t i o n s , a s c a l l e d f o r i n t h e N C T M S t a n d a r d s . H o w d o c h i l d r e n d e c i d e t o u s e s u b t r a c t i o n ? H o w m i g h t t h e y r e c o n c i l e d i f f e r e n t a n s w e r s o b t a i n e d f r o m s o l u t i o n s w i t h m a n i p u l a t i v e s a n d w i t h s y m b o l s ? T h e a n a l y s i s o f s t u d e n t e r r o r s r e s e a r c h h a s f o c u s e d o n t h e r e l a t i o n s h i p b e t w e e n w h a t c h i l d r e n h a v e l e a r n e d i n p r e v i o u s t o p i c s a n d t h e n e w t o p i c , s u g g e s t i n g r a t i o n a l e s f o r t h e b u g g y a l g o r i t h m s t h e y c r e a t e . I n t h i s s e n s e , i t i s b a c k g r o u n d f o r t h e r e s e a r c h o f t h e s t u d y r e p o r t e d h e r e . T h e r e s e a r c h d e s c r i b e d a b o v e h a s b e e n d i r e c t e d t o w a r d s c h o o l - b a s e d m a t h e m a t i c s l e a r n i n g . O t h e r r e s e a r c h e r s h a v e f o c u s e d o n t h e k i n d s o f m a t h e m a t i c a l r e a s o n i n g t h a t o r i g i n a t e s i n n o n - s c h o o l s e t t i n g s . T o d o s o , t h e y h a v e s o u g h t o u t p o p u l a t i o n s w i t h l i t t l e s c h o o l i n g b u t w h o e n g a g e i n ( u s u a l l y w o r k - r e l a t e d ) a c t i v i t i e s t h a t i n v o l v e m a t h e m a t i c a l r e a s o n i n g . T h i s s e c t i o n a d d r e s s e s t h a t r e s e a r c h . S a x e , L a v e , a n d o t h e r s h a v e f o c u s e d o n m e n t a l s t r u c t u r e s t h a t p e o p l e c r e a t e t o s o l v e p r o b l e m s t h a t i n v o l v e m a t h e m a t i c a l r e a s o n i n g a s t h e y g o a b o u t t h e i r d a i l y r o u t i n e s . F o r e x a m p l e , S a x e ( 1 9 9 1 ) s t u d i e d t h e w a y s i n w h i c h y o u n g c h i l d r e n w h o s e l l c a n d y i n B r a z i l m a k e d e c i s i o n s a b o u t q u a n t i t i e s t o b u y a n d s a l e p r i c e s f o r v a r y i n g q u a n t i t i e s . M o s t l y u n s c h o o l e d , f e w m a k e u s e o f s c h o o l - b a s e d l e a r n i n g f o r t h e i r p r o b l e m s o l v i n g . L a v e ’ s ( 1 9 8 8 ) s t u d y o f t h e u s e o f m a t h e m a t i c s w h i l e g r o c e r y s h o p p i n g l i k e w i s e s h o w e d l i t t l e u s e o f s c h o o l - b a s e d m a t h e m a t i c s . A c l o s e l o o k a t t h e w o r k o f N u n e s e t a l . ( 1 9 9 3 ) a s d e s c r i b e d i n S t r e e t M a t h e m a t i c s a n d S c h o o l M a t h e m a t i c s m a y b e i n s t r u c t i v e . I n a f i r s t s t u d y , r e s e a r c h e r s a p p r o a c h e d a s m a l l n u m b e r o f c h i l d r e n ( n = 5 ) w h o s o l d p r o d u c t s o n 2 6 t h e s t r e e t . T h e r e s e a r c h e r s a s k e d t h e c h i l d r e n t o s o l v e v a r i o u s p r o b l e m s t h a t s i m u l a t e d v e n d i n g t h e i r p r o d u c t s . L a t e r , t h e c h i l d r e n a l s o p a r t i c i p a t e d i n a f o r m a l , w r i t t e n m a t h e m a t i c s t e s t . T h e c h i l d r e n w e r e m o r e s u c c e s s f u l i n t h e o r a l a s s e s s m e n t . T h e a u t h o r s h y p o t h e s i z e d t h a t t h e c h i l d r e n ” w e r e c o n c r e t e i n t h e i r t h i n k i n g a n d t h a t c o n c r e t e s i t u a t i o n s w o u l d t h u s h e l p t h e m i n t h e d i s c o v e r y o f a s o l u t i o n ” ( p . 2 2 ) . T h e y f u r t h e r c o n j e c t u r e t h a t i t m a y b e t h a t c o m m o n s e n s e ” w i l l g u i d e c h i l d r e n t o f i n d a c o r r e c t s o l u t i o n w i t h o u t r e q u i r i n g a n e x t r a s t e p — n a m e l y , t h e t r a n s l a t i o n i n t o n u m e r i c a l s e n t e n c e s ” ( p p . 2 2 - 2 3 ) . T h i s s u p p o r t s t h e c o n s t r u c t i v i s t b e l i e f s d e s c r i b e d a b o v e i n t h e s e n s e o f f o s t e r i n g s o l u t i o n o f p a r t i c u l a r p r o b l e m s . H o w e v e r , i t h i g h l i g h t s t h e d i l e m m a : S t u d e n t s a b l e t o s o l v e p r o b l e m s w i t h o u t m a t h e m a t i z i n g m a y n o t l e a r n w h a t m a t h e m a t i c i a n s v a l u e i n t h e d i s c i p l i n e . I n a s e c o n d s t u d y , t h e a u t h o r s a r g u e ” d i s c r e p a n t p e r f o r m a n c e s ” b e t w e e n o r a l a n d w r i t t e n m a t h e m a t i c a l a c t i v i t y ” c a n b e e x p l a i n e d i n t e r m s o f t h e s y m b o l s y s t e m b e i n g u s e d ” ( p . 4 5 ) . T h i s p o i n t s u p o n e o f t h e d i f f i c u l t i e s i n h e r e n t i n u s i n g t h e w o r k o f N u n e s e t a 1 . ( 1 9 9 3 ) t o i n f o r m m y s t u d y : T h e y e q u a t e t h e d i f f e r e n c e ” b e t w e e n s c h o o l a r i t h m e t i c a n d s t r e e t - m a r k e t a r i t h m e t i c [ w i t h ] t h a t b e t w e e n w r i t t e n a n d o r a l p r a c t i c e s ” ( p . 5 3 , e m p h a s i s i n t h e o r i g i n a l ) . F u r t h e r , w r i t t e n m a t h e m a t i c s w a s l i m i t e d t o t r a d i t i o n a l s y m b o l m a n i p u l a t i o n . I n t h e i r c l a s s r o o m , t h e c h i l d r e n o f m y s t u d y e n g a g e d i n b o t h o r a l a n d w r i t t e n m a t h e m a t i c s a s d e s c r i b e d b y N u n e s e t a l . b u t a l s o d r e w p i c t u r e s f o r s o l v i n g p r o b l e m s . I n f a c t , t h i s w a y o f d o i n g m a t h e m a t i c s w a s s e e m i n g l y t h e m o s t v a l u e d w a y i n t h e i r c l a s s r o o m . W h i l e n o t a l l r e s e a r c h e r s i n o u t - o f - s c h o o l m a t h e m a t i c s s e e t h e s a m e c o r r e s p o n d e n c e o f s c h o o l / w r i t t e n a n d s t r e e t / o r a l m a t h e m a t i c s , t h e r e h a s b e e n a t e n d e n c y t o c o n t r a s t o u t - o f - s c h o o l m a t h e m a t i c s w i t h t r a d i t i o n a l c l a s s r o o m m a t h e m a t i c s — n o t w i t h r e f o r m - o r i e n t e d v i s i o n s o f d o i n g m a t h e m a t i c s . A 2 7 s t r e n g t h o f m y s t u d y w a s t o u s e t a s k s m o r e l i k e b o t h ” s t r e e t m a t h e m a t i c s ” a n d r e f o r m - o r i e n t e d m a t h e m a t i c a l p e d a g o g y t o e x p l o r e c h i l d r e n ’ s d e c i s i o n - m a k i n g a s t h e y d o m a t h e m a t i c s . T h e s e r e s e a r c h e r s a n a l y z e t h e n a t u r e o f t h e i r s u b j e c t s ’ d a i l y a c t i v i t i e s ( f o r e x a m p l e , t h e q u a n t i t i e s i n w h i c h c a n d y i s p u r c h a s e d a n d s o l d a n d t h e a m o u n t o f p r o f i t t h e s e l l e r s e e k s ) a n d t h e d e c i s i o n - m a k i n g t h e y e m p l o y . I n t h i s s e n s e t h e r e s e a r c h h a s c o n n e c t i o n s w i t h m y s t u d y . H o w e v e r , t h e r e s e a r c h d i f f e r s i n t w o r e s p e c t s f r o m m y s t u d y . F i r s t , t h e s e r e s e a r c h e r s a c c e p t t h e d e c i s i o n s t h e s e l l e r s m a k e a s b a s e d o n t h e s t r u c t u r e o f t h e i r a c t i v i t i e s . T h e y d o n o t e x p l o r e t h e a c t u a l d e c i s i o n - m a k i n g i n w h i c h t h e s u b j e c t s e n g a g e , t h e r e l a t i o n s h i p b e t w e e n b e l i e f s , d i s p o s i t i o n s , a n d d e c i s i o n s . I t s e e m s t h a t t h e r e s e a r c h e r s a s s u m e t h a t t h e c o n s t r a i n t s o f t h e s t r u c t u r e o f t h e a c t i v i t i e s ( e . g . , t h e s i z e o f t h e b o x ) c o m p l e t e l y c o n s t r a i n t h e d e c i s i o n s — t h e c o n s t r a i n t s d e f i n e b o t h t h e a v a i l a b l e r e s o u r c e s a n d p o s s i b l e d e c i s i o n s o f t h e s u b j e c t s . I n f a c t , N u n e s e t a l . ( 1 9 9 3 ) , a r g u e d t h a t t h e a c t i v i t i e s o f c a n d y s e l l e r s ( f o r e x a m p l e ) h e l p p r e s e r v e m e a n i n g f o r t h e m w h i l e w r i t t e n ( t r a d i t i o n a l ) m a t h e m a t i c s o f f e r s a ” g r e a t e r r a n g e o f s i t u a t i o n s a n d n u m b e r s t h a t c a n b e h a n d l e d ” ( p . 5 4 ) . S e c o n d l y , w i t h f e w e x c e p t i o n s , t h e r e s e a r c h e r s h a v e t r i e d t o a s c e r t a i n t h e r e a s o n i n g a n d d e c i s i o n - m a k i n g t h a t s u b j e c t s d i d i n t h e p a s t ; r e s e a r c h e r s s e e k t o u n d e r s t a n d d e v e l o p m e n t o f e x i s t i n g m a t h e m a t i c a l c o n c e p t s . I n c o n t r a s t , m y s t u d y s t r i v e s t o p u t t h e c h i l d r e n o n t h e b o u n d a r i e s o f t h e i r k n o w l e d g e . T h r o u g h t h i s p r o c e s s , t h e c h i l d r e n e x p o s e t h e i r d e c i s i o n - m a k i n g r e g a r d i n g c o n t e n t a n d c o n c e p t s t h e y h a v e n o t a l r e a d y c o n s t r u c t e d . F u r t h e r , t h e c h i l d r e n o f m y s t u d y a r e s t u d e n t s a n d t h u s h a v e r e s o u r c e s f r o m b o t h i n - a n d o u t - o f - s c h o o l c o n t e x t s . A n o t h e r c o n c e r n a b o u t t h e s e s t u d i e s i s t h e i r r a t h e r s i m p l i f i e d v i e w o f m a t h e m a t i c s . T h e s e r e s e a r c h e r s t r e a t t h e s o l v i n g o f s p e c i f i c p r o b l e m s a s d o i n g 2 8 m a t h e m a t i c s . O n e o f t h e g o a l s o f m y s t u d y i s e x p l o r a t i o n o f t h e c o n n e c t i o n b e t w e e n s o l v i n g o f p a r t i c u l a r , c o n t e x t u a l i z e d p r o b l e m s a n d a b s t r a c t i o n a n d g e n e r a l i z a t i o n . P r o b l e m S o l v i n g a s a B r i d g e b e t w e e n L e a r n i n g T h e o r y a n d M a t h e m a t i c s L a m p e r t ( 1 9 9 0 ) h a s a r g u e d t h a t c l a s s r o o m s g r o u n d e d i n m a t h e m a t i c a l d i s c o u r s e a b o u t p r o b l e m s f o s t e r t h e r e a s o n i n g a n d i n t e r a c t i o n e n g a g e d i n b y m a t h e m a t i c i a n s . O t h e r m a t h e m a t i c s e d u c a t o r s h a v e a r g u e d t h a t s t u d e n t s ’ a n a l y t i c a l d i s c o u r s e a r o u n d r e a l w o r l d p r o b l e m s p r o m o t e s t h e d e v e l o p m e n t o f a n a l y t i c a l r e a s o n i n g a n d a l l o w s t h e f o r m a t i o n o f n e w c o n n e c t i o n s i n c h i l d r e n ’ s w e b s o f m a t h e m a t i c a l u n d e r s t a n d i n g ( H i e b e r t e t a l . , 1 9 9 6 ; H i e b e r t 8 : C a r p e n t e r , 1 9 9 2 ; M a r s h a l l , 1 9 9 3 ; N u n e s e t a l . , 1 9 9 3 ) . T h e i m p l i c a t i o n o f s u c h c l a i m s i s t h a t c h i l d r e n c o n s t r u c t c o n n e c t i o n s b e t w e e n p r o b l e m s o l v i n g e x p e r i e n c e s a n d d i s c i p l i n a r y k n o w l e d g e o f m a t h e m a t i c s . I n t h i s s e c t i o n , I c o n s i d e r t h e s e c l a i m s . A n a r t i c l e b y B o a l e r ( 1 9 9 3 ) p r e s e n t s a n u m b e r o f i m p l i c a t i o n s t h a t f o l l o w f r o m t h e S t a n d a r d s ’ a s s u m p t i o n s a b o u t l e a r n i n g . S h e a r g u e s t h a t m o v e m e n t a w a y f r o m a b s t r a c t m a t h e m a t i c s a n d t o w a r d m a t h e m a t i c s i n c o n t e x t w a s d e e m e d t o r e fl e c t t h e d e m a n d s o f r e a l l i f e p r o b l e m s a n d t o p r e p a r e s t u d e n t s f o r t h e m a t h e m a t i c a l r e q u i r e m e n t s t h e y w o u l d f a c e i n t h e i r e v e r y d a y l i v e s . 9 T h e m o v e a w a y f r o m t e a c h i n g m a t h e m a t i c s a s a c o m p l e t e s e r i e s o f a b s t r a c t c a l c u l a t i o n s h a s a l s o b e e n s u p p o r t e d b y a n u m b e r o f a s s e r t i o n s r e g a r d i n g t h e e n h a n c e m e n t o f m a t h e m a t i c a l u n d e r s t a n d i n g . . . . U s i n g r e a l w o r l d , l o c a l c o m m u n i t y , a n d e v e n i n d i v i d u a l i z e d e x a m p l e s t h a t s t u d e n t s m a y a n a l y z e a n d i n t e r p r e t , i s t h o u g h t t o p r e s e n t m a t h e m a t i c s a s a m e a n s w i t h w h i c h t o u n d e r s t a n d r e a l i t y . . . . S u c h a p e r s p e c t i v e , w h i c h i n c l u d e s a n a w a r e n e s s o f t h e u t i l i t y o f m a t h e m a t i c s a n d i t s i n v o l v e m e n t i n t h e r e a l w o r l d i s k n o w n t o m o t i v a t e a n d e n g a g e s t u d e n t s , p a r t i c u l a r l y g i r l s . ( p . 1 3 ) 9 I t i s i n t e r e s t i n g t o n o t e t h a t B o a l e r i m p l i e s t h a t t h e N C T M h a s p r o m o t e d a r e t u r n t o 1 9 t h c e n t u r y g o a l s o f m a t h e m a t i c s . W h i l e n o t a d v o c a t i n g ” s h o p k e e p e r m a t h , ” t h e y p r o m o t e p r e p a r a t i o n f o r w o r k . 2 9 S h e s i m u l t a n e o u s l y n o t e d t h a t t h e s e a r e a s s u m p t i o n s a b o u t w h a t ” r e a l w o r l d ” c o n t e x t s m a y s u p p o r t a n d t h a t t h e i n t e r a c t i o n s o f i n d i v i d u a l s w i t h c o n t e x t s i s c o m p l e x a n d n o t r e a d i l y a p p a r e n t : T h e r e s e e m s t o e x i s t f o r e a c h i n d i v i d u a l a c o m p l e x o f r e l a t i o n s b e t w e e n t h e w o r l d i n w h i c h m a t h e m a t i c s i s d e v e l o p e d a n d t h e w o r l d i n w h i c h i t i s a p p l i e d . . . . T h e f a c t o r s w h i c h d e t e r m i n e w h e t h e r a c o n t e x t i s u s e f u l o r n o t a r e n u m e r o u s a n d c o m p l e x a n d h a v e l i t t l e t o d o w i t h d e s c r i p t i o n o r d e p i c t i o n o f r e a l w o r l d e v e n t s w h i c h s t u d e n t s w i l l e v e n t u a l l y e n c o u n t e r . . . . I w o u l d s u g g e s t t h a t t h e d e g r e e t o w h i c h a c o n t e x t o f a t a s k a f f e c t s s t u d e n t s ’ p e r f o r m a n c e i s w i d e l y u n d e r e s t i m a t e d . W h e n c o n t e x t i s r e c o g n i z e d a s a p o w e r f u l d e t e r m i n a t e , m i s c o n c e p t i o n s s t i l l p r e v a i l , a s i n t h e b e l i e f t h a t m a t h e m a t i c s i n a n ” e v e r y d a y ” c o n t e x t i s e a s i e r t h a n i t s a b s t r a c t e q u i v a l e n t , a n d t h a t l e a r n i n g m a t h e m a t i c s i n a n e v e r y d a y c o n t e x t c a n e n s u r e t r a n s f e r t o t h e ” e v e r y d a y ” l i v e s o f c h i l d r e n . ( p p . 1 2 - 1 3 ) M y s t u d y a d d r e s s e s s u c h q u e s t i o n s a b o u t a s s u m p t i o n s e m b e d d e d i n t h e N C T M S t a n d a r d s . T h e s t u d y a l s o e x p l o r e s t h e r e v e r s e o f h e r q u e s t i o n : D o e s s o l v i n g t h e e v e r y d a y t a s k w i t h e v e r y d a y c o n t e x t t r a n s f e r ? T h a t i s , d o c h i l d r e n s e e s o l v i n g a p a r t i c u l a r p r o b l e m a s m a t h e m a t i c s o r a s a w a y i n t o m a t h e m a t i c a l t h i n k i n g — b o t h g o a l s o f t h e N C T M S t a n d a r d s ? I c o n s i d e r t h i s b y a n a l y z i n g t h e c h i l d r e n ’ s i n t e r a c t i o n s w i t h r e p r e s e n t a t i o n s . T o p a r a p h r a s e B o a l e r , ” t h e d e g r e e t o w h i c h a r e p r e s e n t a t i o n a f f e c t s s t u d e n t s ’ p e r f o r m a n c e i s w i d e l y u n d e r e s t i m a t e d . ” P r o b l e m s o l v i n g a s p a r t o f m a t h e m a t i c s p e d a g o g y h a s h a d a v a r i e t y o f m a n i f e s t a t i o n s . S c h r o e d e r a n d L e s t e r ( 1 9 8 9 ) a r g u e d t h a t t e a c h i n g v i a p r o b l e m s o l v i n g i s c o n s i s t e n t w i t h g o a l s o f t h e S t a n d a r d s . T h e y c l a i m e d p r o b l e m s o l v i n g f o s t e r s c o n n e c t i o n s b e t w e e n ” t h e e v e r y d a y w o r l d o f p r o b l e m s ” a n d ” t h e a b s t r a c t w o r l d o f m a t h e m a t i c a l s y m b o l s a n d o p e r a t i o n s ” ( p . 3 6 ) . M a k i n g c o n n e c t i o n s f r o m t h e r e a l t o t h e m a t h e m a t i c a l w o r l d i n v o l v e s a ” p r o c e s s o f a b s t r a c t i o n a n d g e n e r a l i z a t i o n ” ; t h e r e v e r s e c o n n e c t i o n s ” s h o w t h a t t h e p r o b l e m s o l v e r i s a b l e t o e x p l a i n a m a t h e m a t i c a l p r o c e s s b y r e f e r r i n g t o t h e r e a l - w o r l d a c t i o n s t h a t t h e m a t h e m a t i c a l s y m b o l s r e p r e s e n t ” ( p . 3 6 ) . T h e y w e n t o n t o a r g u e t h a t t h e ” p r o b l e m s o l v e r t y p i c a l l y m o v e s b a c k a n d f o r t h b e t w e e n t h e t w o 3 0 w o r l d s ” ( p . 3 6 ) . T h u s , t h e y a r g u e g r o u n d i n g p e d a g o g y i n a c o n s t r u c t i v i s t l e a r n i n g t h e o r y c a n h e l p s t u d e n t s d e v e l o p a d i s c i p l i n a r y u n d e r s t a n d i n g o f m a t h e m a t i c s . F o r S c h r o e d e r a n d L e s t e r ( 1 9 8 9 ) t h i s f o c u s o n u n d e r s t a n d i n g d e v e l o p e d t h r o u g h p r o b l e m s o l v i n g h a s f o u r b e n e f i t s : 0 I t i n c r e a s e s t h e r i c h n e s s o f t h e t y p e s o f r e p r e s e n t a t i o n s t h a t t h e p r o b l e m s o l v e r c a n c o n s t r u c t ; 0 I t a s s i s t s t h e p r o b l e m s o l v e r i n m o n i t o r i n g t h e s e l e c t i o n a n d e x e c u t i o n o f p r o c e d u r e s ; 0 I t a i d s t h e p r o b l e m s o l v e r i n j u d g i n g t h e r e a s o n a b l e n e s s o f r e s u l t s ; 0 I t p r o m o t e s t h e t r a n s f e r o f k n o w l e d g e t o r e l a t e d p r o b l e m s a n d i t s g e n e r a l i z a b i l i t y t o o t h e r s i t u a t i o n s . ( p . 4 1 ) A s w i l l b e d e m o n s t r a t e d i n c h a p t e r s 3 , 4 , a n d 5 , e x a m i n a t i o n o f t h e w o r k d o n e b y t h e c h i l d r e n o f m y s t u d y r a i s e s q u e s t i o n s a b o u t t h e e x t e n t t o w h i c h a l l f o u r o f t h e s e b e n e f i t s d e v e l o p i n a n y o n e c h i l d . M y i n t e r v i e w e e s m i g h t d e m o n s t r a t e u p t o t h r e e o f t h e m b u t t h e y a l s o e x h i b i t e d e v i d e n c e t h a t w o u l d s i m u l t a n e o u s l y c o u n t e r a t l e a s t o n e b e n e f i t . F o r r e f o r m e r s , s o l v i n g w o r t h w h i l e m a t h e m a t i c a l t a s k s w i t h i n a d i s c o u r s e c o m m u n i t y i s s e e n t o c o r r e s p o n d w i t h h o w c h i l d r e n l e a r n a n d w i t h t h e w o r l d o f w o r k w h i l e f o s t e r i n g u n d e r s t a n d i n g o f t h e d i s c i p l i n e o f m a t h e m a t i c s . F o r t h e l a t t e r t o o c c u r , c h i l d r e n w o u l d n e e d t o g e t b e y o n d a f o c u s o n t h i s p r o b l e m ; t h a t i s , i n a d d i t i o n t o u s i n g t h e c o n t e x t t o s o l v e a p a r t i c u l a r p r o b l e m , s t u d e n t s n e e d t o g e n e r a l i z e t h e r e a s o n i n g i n v o l v e d s i n c e m a t h e m a t i c s a s a d i s c i p l i n e i s a b o u t ( a t l e a s t i n p a r t ) g e n e r a l i z a t i o n a n d a b s t r a c t i o n . I t i s u n l i k e l y t h a t o n e w i l l e n c o u n t e r t h i s p r o b l e m l a t e r i n l i f e b u t t h e r e a s o n i n g m a y b e w i d e l y a p p l i c a b l e . F o r e x a m p l e , D u n c k e r ( a s c i t e d i n K r u t e t s k i i , 1 9 6 8 / 1 9 7 6 ) a r g u e d t h a t ” t h e a b i l i t y t o a b s t r a c t o n e s e l f f r o m p a r t i c u l a r p e r c e p t u a l p r o p e r t i e s . . . i s e s s e n t i a l f o r 3 1 d i s c o v e r i n g t h e g e n e r a l i n t h e c o n c r e t e f a c t ” ( p . 4 2 ) . F u r t h e r , s t u d e n t s e x p a n d t h e i r u n d e r s t a n d i n g o f t h e n a t u r e o f , s a y , a d d i t i o n t h r o u g h e x p l o r a t i o n o f i n d i v i d u a l a d d i t i o n p r o b l e m s . M y s t u d y q u e s t i o n s t h e v a l i d i t y o f s u c h c l a i m s b y e n g a g i n g c h i l d r e n i n n o n - r o u t i n e , ” r e a l w o r l d ” p r o b l e m s a n d t h e n e x a m i n i n g t h e i r u s e o f r e p r e s e n t a t i o n s , t h e i r m o n i t o r i n g o f t h e i r w o r k , t h e i r a s s e s s m e n t o f s o l u t i o n s , a n d t h e i r t e n d e n c y t o t r a n s f e r a n d g e n e r a l i z e . S i n c e t h e s e c h i l d r e n h a d b e e n i m m e r s e d f o r t w o y e a r s i n a r e f o r m - o r i e n t e d c l a s s r o o m , t h i s s t u d y o f f e r s i n s i g h t i n t o h o w d i s c o u r s e a r o u n d ” w o r t h w h i l e m a t h e m a t i c a l t a s k s ” m a y h e l p c h i l d r e n l e a r n t o f u n c t i o n i n t h e w o r l d , d e v e l o p d i s c i p l i n a r y u n d e r s t a n d i n g , a n d d e v e l o p c o m p u t a t i o n a l f a c i l i t y . H u g h e s ( 1 9 8 3 ) a r g u e d t h a t ” i f w e a r e t o m a k e m u c h p r o g r e s s i n u n d e r s t a n d i n g w h y c h i l d r e n h a v e d i f f i c u l t y i n a r i t h m e t i c , ” w e n e e d t o b e t t e r u n d e r s t a n d w h a t h e c a l l e d ” t r a n s l a t i o n p r o c e d u r e s . ” T r a n s l a t i o n p r o c e d u r e s s e e m t o b e t h e l e a r n i n g s i d e o f N e s h e r ’ s p e d a g o g i c a l n e e d s : H o w d o s t u d e n t s m a k e c o n n e c t i o n s b e t w e e n c o n c r e t e r e p r e s e n t a t i o n s a n d t h e f o r m a l s y m b o l s y s t e m o f m a t h e m a t i c s ? H u g h e s p o i n t s o u t t h a t w e f r e q u e n t l y r e v e r s e t h e t r a n s l a t i o n o f c o n c r e t e s i t u a t i o n s ( ” r e a l w o r l d ” p r o b l e m s ) i n t o ” f o r m a l c o d e ” t o h e l p o u r s e l v e s m o r e f u l l y u n d e r s t a n d a p r o b l e m o r ” t o c h e c k t h a t a p a r t i c u l a r s o l u t i o n i s r e a s o n a b l e ” ( p . 2 1 8 ) . T o d a t e , t h e r e h a s b e e n l i t t l e r e s e a r c h o n s u c h t r a n s l a t i o n p r o c e d u r e s . O t h e r q u e s t i o n s b e g g e d i n c l u d e : W h a t k i n d o f m a t h e m a t i c a l k n o w l e d g e i s v a l u a b l e f o r s t u d e n t s i n e l e m e n t a r y c l a s s r o o m s a t t h e t u r n o f t h e c e n t u r y ? H o w s h o u l d t h a t k n o w l e d g e b e ” p a c k a g e d ” ? W h a t k i n d s o f e x p e r i e n c e s a r e a p p r o p r i a t e f o r f o s t e r i n g m a t h e m a t i c a l k n o w l e d g e f o r t o d a y ’ s — a n d t o m o r r o w ’ s - - w o r l d ? T h i s s t u d y d o e s n o t d i r e c t l y a d d r e s s s u c h q u e s t i o n s b u t i t d o e s h a v e i m p l i c a t i o n s f o r a n s w e r i n g t h e m . 3 2 T h e R o l e o f A f f e c t I n t h e a f f e c t i v e c a t e g o r y , I c o n s i d e r t h e w o r k o f M c L e o d a n d o t h e r s w h o l o o k s p e c i f i c a l l y a t a f f e c t i v e i s s u e s . I n a d d i t i o n , I c o n s i d e r s t u d e n t b e l i e f s . W h i l e s o m e w o u l d e x c l u d e b e l i e f s a s c o g n i t i v e , n o t a f f e c t i v e , o t h e r s s e e a c o m p o n e n t o f e a c h i n t h e o t h e r . F o l l o w i n g M a n d l e r , I t r e a t t h e m i n a s i n g l e c a t e g o r y . 1 0 I n t h e b o d y o f t h i s d o c u m e n t I t r e a t t h i s a s c h i l d r e n ’ s v i e w s o f t h e m s e l v e s i n r e l a t i o n t o m a t h e m a t i c s . A n u m b e r o f r e s e a r c h e r s h a v e r e p o r t e d o n t h e b e l i e f s a n d a t t i t u d e s c h i l d r e n h a v e t o w a r d m a t h e m a t i c s ( e . g . , F r a n k , 1 9 8 8 ; G a r o f a l o , 1 9 8 9 ; S c h o e n f e l d , 1 9 8 7 ) . O n e ” r a t i o n a l e f o r t h i s i n t e r e s t [ i n s t u d e n t b e l i e f s ] h a s b e e n t h e a s s u m p t i o n t h a t b e l i e f s a r e a n i m p o r t a n t i n fl u e n c e o n s t u d e n t s ’ a c t i o n s a n d a c h i e v e m e n t ” ( K l o o s t e r m a n 8 : C o o g a n , 1 9 9 4 , p . 3 7 5 ) . T h a t i s , s t u d e n t d e c i s i o n - m a k i n g w i t h i n t h e p r o c e s s o f d o i n g m a t h e m a t i c s i s i n fl u e n c e d b y a f f e c t i v e i s s u e s . A s M c L e o d ( 1 9 8 9 a ) a r g u e d , ” i f s t u d e n t s b e l i e v e t h a t m a t h e m a t i c a l p r o b l e m s s h o u l d a l w a y s b e c o m p l e t e d i n 5 m i n u t e s o r l e s s , t h e y m a y b e u n w i l l i n g t o p e r s i s t i n t r y i n g t o s o l v e p r o b l e m s t h a t m a y t a k e s u b s t a n t i a l l y l o n g e r ” ( p . 2 4 7 ) . T h i s , h e c l a i m e d , w o u l d ” w e a k e n t h e i r a b i l i t y t o s o l v e [ t h e ] n o n r o u t i n e p r o b l e m s ” a d v o c a t e d i n t h e N C T M S t a n d a r d s ( p . 2 4 6 ) . P u t a n o t h e r w a y : A p a r t f r o m t h e i n e s c a p a b l e f a c t o f l i f e t h a t e m o t i o n s a n d a f f e c t a r e a n i n t e g r a l p a r t o f w h a t w e c a l l h u m a n n a t u r e , w h a t w e r e c o g n i z e a s t h e c o n s t i t u t i v e a s p e c t s o f o u r h u m a n i t y , o n e c a n a r g u e t h a t a n a f f e c t l e s s l e a r n e r w o u l d n o t l e a r n m u c h . S u c h a c o n c l u s i o n a r i s e s o u t o f a b r i e f c o n s i d e r a t i o n o f t h e r e l a t i o n b e t w e e n e m o t i o n a n d m o t i v a t i o n . ( M a n d l e r , 1 9 8 9 , p . 1 6 ) M c L e o d ( 1 9 8 9 a ) a r g u e d t h a t t h e r e a r e t w o ” c a t e g o r i e s o f b e l i e f s ” t h a t i n fl u e n c e l e a r n e r s : ” b e l i e f s a b o u t m a t h e m a t i c s a s a d i s c i p l i n e ” a n d , w i t h a m o r e 1 0 F o r a s a m p l e o f a r g u m e n t s f o r a n d a g a i n s t i n c l u d i n g b e l i e f s u n d e r t h e u m b r e l l a o f a f f e c t i v e i s s u e s , s e e H a r t ( 1 9 8 9 ) a n d M a n d l e r ( 1 9 8 9 ) . 3 3 a f f e c t i v e c o m p o n e n t , ” b e l i e f s a b o u t t h e m s e l v e s a n d t h e i r r e l a t i o n s h i p t o m a t h e m a t i c s ” ( p . 2 4 6 ) . R e s u l t s o f r e s e a r c h o n t h e f o r m e r s u g g e s t t h e v i e w s o f m a t h e m a t i c s t h a t m a n y c h i l d r e n h o l d d o n o t c o r r e s p o n d w i t h t h o s e o f m a t h e m a t i c i a n s . F o r e x a m p l e , F r a n k ( 1 9 8 8 , a s c i t e d i n S p a n g l e r , 1 9 9 2 ) d e s c r i b e d b e l i e f s t h a t i n c l u d e : 0 m a t h e m a t i c s i s c o m p u t a t i o n ; 0 m a t h e m a t i c s p r o b l e m s s h o u l d b e s o l v e d i n l e s s t h a n f i v e m i n u t e s ; 0 t h e g o a l o f d o i n g a m a t h e m a t i c s p r o b l e m i s t o o b t a i n t h e c o r r e c t a n s w e r ; 0 t h e s t u d e n t i s p a s s i v e a n d t h e t e a c h e r , a c t i v e . ( p . 1 4 8 ) I n c o n t r a s t , m a t h e m a t i c i a n s a r e i n t e r e s t e d i n c o n c e p t s a n d s t r u c t u r a l a s p e c t s o f t h e d i s c i p l i n e . S p e c i f i c c o r r e c t a n s w e r s a r e u s e d t o p r o v i d e i n s i g h t a b o u t g e n e r a l c o n c e p t s . A s L a m p e r t ( 1 9 9 0 ) n o t e d s o e l e g a n t l y , t h e p r o b l e m i s n o t t h e q u e s t i o n a n d t h e s o l u t i o n i s n o t t h e a n s w e r . T h a t i s , t h e q u e s t i o n m e r e l y p r o v i d e s a n a c c e s s p o i n t t o e x p l o r a t i o n o f m a t h e m a t i c a l c o n c e p t s — t h e ” r e a l ” p r o b l e m i s u n d e r s t a n d i n g m a t h e m a t i c a l c o n c e p t s — a n d t h e a n s w e r m e r e l y p r o v i d e s a n e n d f o r c r e a t i o n o f a s o l u t i o n - t h e s o l u t i o n o f f e r s i n s i g h t i n t o t h e n a t u r e o f m a t h e m a t i c s a n d t h e s t r u c t u r e o f n u m b e r s y s t e m s . F i n a l l y , i t i s c l e a r f r o m r e a d i n g a w o r k l i k e H a l m o s ’ ( 1 9 8 5 ) a u t o b i o g r a p h y t h a t s o m e o n e d o i n g m a t h e m a t i c s i s n o t p a s s i v e . W h e n c h i l d r e n r e p o r t a b o u t t h e i r s u c c e s s o r c o n f i d e n c e a s d o e r s o f m a t h e m a t i c s , i t i s i m p o r t a n t t o a t t e n d t o ” w h a t i s i n c l u d e d i n t h e i r O p e r a t i o n a l d e f i n i t i o n o f ’ m a t h e m a t i c s ’ ” ( K o u b a 8 : M c D o n a l d , 1 9 9 1 , p . 1 0 5 ) . F o r e x a m p l e , i f a c h i l d s e e s h e r s e l f a s ” s u c c e s s f u l a t m a t h e m a t i c s , ” d o e s s h e m e a n a t c o m p u t a t i o n o r a t r e a s o n i n g ? C h i l d r e n ’ s c o n c e p t o f m a t h e m a t i c s i s a n o f t e n h i d d e n f a c t o r i n t h e i r p r o b l e m s o l v i n g . M c L e o d ( 1 9 8 9 b ) n o t e d t h e v a l u e o f m e t a c o g n i t i o n s a y i n g t h a t ” m e t a c o g n i t i o n i s i m p o r t a n t t o s u c c e s s i n p r o b l e m s o l v i n g ” ( p . 2 5 ) . R e s e a r c h e r s h a v e a l s o l o o k e d a t e x p e r t p r o b l e m s o l v e r s . T h e y h a v e f o u n d t h a t ” a e s t h e t i c p r i n c i p l e s ” o f t e n ” u n d e r l i e e x p e r t j u d g m e n t s [ a n d t h a t ] j u d g m e n t s b a s e d o n a e s t h e t i c p r i n c i p l e s s o m e t i m e s h a v e a f f e c t i v e a n d e m o t i o n a l c o n n e c t i o n s ” ( S i l v e r 8 : M e t z g e r , 1 9 8 9 , p . 5 9 ) . T h u s , M c L e o d ’ s ( 1 9 8 9 b ) a r g u m e n t f o r f o s t e r i n g a p a r a l l e l s e l f - a w a r e n e s s o f e m o t i o n a l r e a c t i o n s a m o n g l e a r n e r s s e e m s s a l i e n t : I f w e c a n h e l p p r o b l e m s o l v e r s r e fl e c t o n t h e i r o w n c o g n i t i v e p r o c e s s e s , w e s h o u l d a l s o b e a b l e t o b r i n g t o c o n s c i o u s n e s s a n a w a r e n e s s o f t h e i r e m o t i o n a l r e a c t i o n s t o p r o b l e m s o l v i n g . A n i n c r e a s e d a w a r e n e s s o f t h e s e e m o t i o n a l i n fl u e n c e s s h o u l d g i v e s t u d e n t s g r e a t e r c o n t r o l o v e r t h e i r c o g n i t i v e p r o c e s s e s . ( p . 2 5 ) I n m a k i n g a r g u m e n t s f o r t h e v a l u e o f r e s e a r c h o n a f f e c t , M c L e o d ( 1 9 8 9 b ) n o t e d t h a t t h e a f f e c t w i t h i n a s i n g l e c h i l d w i l l v a r y a c r o s s p r o b l e m s , a c r o s s s t r a t e g i e s u s e d , a n d a c r o s s s t a g e s w i t h i n a p r o b l e m . H e d e s c r i b e d f o u r s t a g e s i n p r o b l e m s o l v i n g : ” ( a ) u n d e r s t a n d t h e p r o b l e m , ( b ) p l a n y o u r s o l u t i o n , ( c ) c a r r y o u t y o u r p l a n , a n d , ( d ) e x a m i n e y o u r s o l u t i o n ” ( p . 2 7 ) . I n s u m m i n g u p t h e t h e n c u r r e n t r e s e a r c h , M c L e o d ( 1 9 8 9 a ) n o t e d : ” W h e n s t u d e n t s w o r k o n n o n r o u t i n e p r o b l e m s , t h e i r a f f e c t i v e r e s p o n s e s a r e m o r e i n t e n s e ; w e s e e m o r e e v i d e n c e o f e m o t i o n s a n d t h e i n fl u e n c e s o f a t t i t u d e s a n d b e l i e f s ” ( p . 2 5 1 ) . T h o m p s o n a n d T h o m p s o n ( 1 9 8 9 ) h a v e l o o k e d a t t h e r e l a t i o n s h i p b e t w e e n a f f e c t a n d p r o b l e m s o l v i n g w i t h i n e l e m e n t a r y c l a s s r o o m s . T h e y n o t e t h e r o l e o f t h e c l i m a t e o f t h e r o o m i n f o s t e r i n g o r s q u e l c h i n g c h i l d r e n ’ s w i l l i n g p a r t i c i p a t i o n i n p r o b l e m s o l v i n g . I n p a r t , m y s t u d y e x p l o r e s t h r e e c o n j e c t u r e s m a d e b y L e s t e r , G a r o f a l o , a n d K r o l l ( 1 9 8 9 ) t h a t r e l a t e b e l i e f s a n d a t t i t u d e s w i t h p r o b l e m s o l v i n g : 0 A n i n d i v i d u a l ’ s b e l i e f s a b o u t s e l f , m a t h e m a t i c s , a n d p r o b l e m s o l v i n g p l a y a d o m i n a n t , o f t e n o v e r p o w e r i n g , r o l e i n h i s o r h e r p r o b l e m - s o l v i n g b e h a v i o r . 3 5 0 E f f e c t i v e m o n i t o r i n g r e q u i r e s k n o w i n g n o t o n l y w h a t a n d w h e n t o m o n i t o r , b u t a l s o h o w t o d o s o ( e m p h a s i s i n t h e o r i g i n a l ) . 0 M e t a c o g n i t i o n t r a i n i n g i s l i k e l y t o b e m o s t e f f e c t i v e w h e n i t t a k e s p l a c e i n t h e c o n t e x t o f l e a r n i n g s p e c i f i c m a t h e m a t i c a l c o n c e p t s a n d t e c h n i q u e s . ( p p . 8 5 - 8 6 ) I a r g u e t h a t , l i k e t h e r e s e a r c h o n c o n t e n t , r e s e a r c h o n h o w c h i l d r e n v i e w m a t h e m a t i c s h a s o f t e n b e e n p e r f o r m e d f r o m t h e p e r s p e c t i v e o f t h e d i s c i p l i n e — i t i n f o r m s u s a b o u t s t u d e n t s ’ v i e w o f m a t h e m a t i c s a s a d i s c i p l i n e b y i n v e s t i g a t i n g h o w s t u d e n t s v i e w m a t h e m a t i c a l t a s k s , h o w t h e y t h i n k a b o u t t h e t a s k s . T h e s e r e s e a r c h e r s s o m e t i m e s p r e s e n t a r g u m e n t s f o r h o w c h i l d r e n c a m e t o t h e i r b e l i e f s , g e n e r a l l y t h r o u g h e x p e r i e n c e s i n c l a s s r o o m s , a r g u i n g s t u d e n t s w e r e a f f e c t e d b y v a r i o u s t e a c h i n g p r a c t i c e s . W h a t t h e r e s e a r c h s o f a r h a s n o t i n f o r m e d u s ( b u t s o m e r e s e a r c h e r s h a v e c a l l e d f o r ) i s h o w s t u d e n t s m o v e a r o u n d w i t h i n a m a t h e m a t i c a l t a s k , t h e s e c o n d - b y - s e c o n d d e c i s i o n s t h e y m a k e t h a t h e l p t h e m s o l v e p r o b l e m s a l o n g w i t h w h a t i n fl u e n c e s t h o s e d e c i s i o n s . E x t a n t r e s e a r c h d o e s n o t t e l l u s w h a t c o n v i n c e s c h i l d r e n w h e t h e r t h e y h a v e f o u n d t h e c o r r e c t a n s w e r . S u m m a r y S e v e r a l s t r a n d s o f r e s e a r c h h a v e b e e n i n fl u e n t i a l i n s h a p i n g a n d r e s p o n d i n g t o c a l l s f o r c h a n g e i n m a t h e m a t i c s e d u c a t i o n . O n e a p p r o a c h m o r e d e e p l y e x p l o r e s t h e w a y s i n w h i c h c h i l d r e n l e a r n m a t h e m a t i c s . T h i s r e s e a r c h i n i t i a t e s c o n s i d e r a t i o n o f w h a t a n d h o w t o t e a c h f r o m u n d e r s t a n d i n g o f h o w c h i l d r e n l e a r n . T o a d v a n c e s u c h u n d e r s t a n d i n g , r e s e a r c h e r s h a v e l o o k e d a t m a t h e m a t i c s l e a r n i n g f r o m a n u m b e r o f p e r s p e c t i v e s . M y s t u d y a d d s t o t h i s r e s e a r c h . I n a n e a r l y a r t i c l e o n p r o b l e m s o l v i n g , L e s t e r ( 1 9 8 0 ) d e f i n e d t h r e e t y p e s o f v a r i a b l e s : ( a ) ” P r o b l e m - s o l v i n g B e h a v i o r : P r o c e s s V a r i a b l e s ” ; ( b ) ” T h e P r o b l e m I t s e l f : T a s k V a r i a b l e s ” ; a n d ( c ) ” C h a r a c t e r i s t i c s o f t h e I n d i v i d u a l : S u b j e c t 3 6 V a r i a b l e s ” ( p p . 2 8 8 - 2 8 9 “ ) . H e e x a m i n e d t h e t h e n e x t a n t r e s e a r c h o n p r o b l e m s o l v i n g a n d f o u n d i t w a n t i n g . W h a t w e l a c k i s u n d e r s t a n d i n g o f t h e r e a s o n i n g t h a t c h i l d r e n d o a s t h e y s o l v e p r o b l e m s - t h e i r i n - p r o c e s s d e c i s i o n - m a k i n g . Y e t , L e s t e r s e e m e d t o s h y a w a y f r o m c l o s e s c r u t i n y o f i n d i v i d u a l t h i n k i n g , c a l l i n g i n s t e a d f o r c o m p a r i s o n s o f p r o b l e m s o l v i n g r e l a t e d t o i d e n t i c a l t a s k s a c r o s s a g e g r o u p s . F o r e x a m p l e , w h i l e p o i n t i n g t o s e v e r a l f a c t o r s t h a t i n fl u e n c e i n d i v i d u a l p r o b l e m s o l v i n g a b i l i t y ( v i z . , ” s e x , c o g n i t i v e a b i l i t y , m a t h e m a t i c a l a p t i t u d e a n d , a t t i t u d e t o w a r d m a t h e m a t i c s ” ( p . 2 9 6 ) ) , h e r e p o r t e d r e s e a r c h d e s c r i b i n g g r o u p s o f c h i l d r e n . H e c i t e d t h e f a i l u r e o f o n e p r o j e c t t o b e a b l e t o d e s i g n a r e s e a r c h i n s t r u m e n t t h a t w o u l d m e a s u r e a f f e c t i n 7 0 0 c h i l d r e n . R a t h e r t h a n c l o s e a n a l y s i s o f i n d i v i d u a l ’ s t h i n k i n g a n d a c t i o n s a s t h e y d o m a t h e m a t i c s , t h e p r o j e c t s o u g h t g r o s s c a t e g o r i e s o f a f f e c t o n p r o b l e m s o l v i n g s u c c e s s ( p p . 2 9 6 - 3 0 0 ) . A s i m i l a r s e t o f r e s e a r c h c a t e g o r i e s w a s p r e s e n t e d b y R o b e r t a n d S c h w a r z e n b e r g e r ( 1 9 9 3 ) . T h e y l i s t e d r e s e a r c h o n t h e a c q u i s i t i o n o f s p e c i f i c c o n c e p t s , r e s e a r c h o n t h e o r g a n i z a t i o n o f m a t h e m a t i c s , a n d r e s e a r c h o n ” e x t e r n a l c o n d i t i o n s . . . p r o d u c t i v e o f a d v a n c e d m a t h e m a t i c a l t h o u g h t ” ( p . 1 3 3 ) . T o e x p l o r e t h e fi r s t c a t e g o r y , t h e a u t h o r s c a l l f o r ” w o r k i n g ’ i n s i d e ’ t h e s t u d e n t ” ( p . 1 3 3 ) . M y s t u d y d e v e l o p s o n e a p p r o a c h t o ” w o r k i n g ’ i n s i d e ’ t h e s t u d e n . ” R E P R E S E N T A T I O N S O n e m a j o r a s p e c t o f c a l l s f o r r e f o r m s i s t h e i d e a t h a t c h i l d r e n d o i n g m a t h e m a t i c s s h o u l d s h a r e t h e i r s o l u t i o n s w i t h t h e i r c l a s s m a t e s — b e i t i n s m a l l g r o u p s o r w h o l e c l a s s d i s c u s s i o n s ( B a l l , 1 9 9 3 ; B r e n n e r e t a l . , 1 9 9 7 ; L a m p e r t , 1 9 9 0 ; M e r s e t h , 1 9 9 3 ; N C T M , 1 9 9 1 ) . I n c l a s s r o o m s w h e r e t e a c h e r s b a s e t h e i r p e d a g o g y o n c h i l d r e n ’ s d i s c o u r s e a b o u t m a t h e m a t i c s , c h i l d r e n s h a r e r e p r e s e n t a t i o n s f o r ¥ “ L e s t e r a c t u a l l y l i s t s a f o u r t h t y p e o f v a r i a b l e , ” I n s t r u c t i o n a l V a r i a b l e s . ” H o w e v e r , a s t h i s s t u d y i s o n l y i n d i r e c t l y a b o u t t e a c h i n g , I h a v e c h o s e n n o t t o i n c l u d e i t h e r e . 3 7 s o l v i n g t h e s a m e p r o b l e m . S t u d e n t s a r e e n c o u r a g e d t o d i s c u r s i v e l y a n a l y z e t h e n a t u r e o f p r o b l e m s , m e t h o d s o f s o l u t i o n , a n d a l t e r n a t i v e s o l u t i o n s . T h e l a t t e r t w o i t e m s i n t h i s l i s t t r e a t r e p r e s e n t a t i o n s a s o b j e c t s o f d i s c o u r s e . T h a t i s , i n s e l e c t i n g a m e t h o d , c h i l d r e n d i s c u s s h o w t o r e p r e s e n t t h e p r o b l e m i n o r d e r t o s o l v e i t ; i n c o n s i d e r i n g o t h e r s ’ s o l u t i o n s , t h e y a n a l y z e t h e c h o s e n r e p r e s e n t a t i o n . 1 2 A s a r e s u l t , r e p r e s e n t a t i o n s a b o u n d . T h i s a b u n d a n c e i s t r e a t e d a s i n h e r e n t l y g o o d . B u t , i s h a v i n g a l l t h e s e r e p r e s e n t a t i o n s a t p l a y ” g o o d ” ? I n a l l c l a s s r o o m s r e p r e s e n t a t i o n s p l a y a c e n t r a l r o l e i n d o i n g a n d l e a r n i n g m a t h e m a t i c s . W h a t c o u n t s a s a r e p r e s e n t a t i o n ? W h o i s t h e s o u r c e o f r e p r e s e n t a t i o n s ? W h o v a l i d a t e s r e p r e s e n t a t i o n s ? T h e a n s w e r s t o t h e s e q u e s t i o n s v a r y a c r o s s c l a s s r o o m s . I n t h i s s e c t i o n I p r e s e n t a s e n s e o f h o w I u s e ” r e p r e s e n t a t i o n s ” i n t h i s s t u d y t o p r o v i d e t h e r e a d e r c o n t e x t f o r c h a p t e r s 3 a n d 4 . I n c h a p t e r 5 , I e x a m i n e t h e r e s e a r c h o n r e p r e s e n t a t i o n s a n d h o w t h i s s t u d y b o t h e x t e n d s a n d c h a l l e n g e s t h a t r e s e a r c h . A s P i r n m ( 1 9 9 5 ) n o t e d , r e p r e s e n t a t i o n s ” r e - p r e s e n t s o m e t h i n g o f t h e w o r l d u s i n g s o m e t h i n g e l s e ” ( p . 1 1 9 ) . T r a d i t i o n a l w o r k s h e e t s o f f e r w a y s t o r e p r e s e n t p r o b l e m s n o l e s s t h a n d o p i c t u r e s , m a n i p u l a t i v e s , t a b l e s , g r a p h s , a n d s o f o r t h . E a c h f o r m o f r e p r e s e n t a t i o n i s a n a b s t r a c t i o n o f t h e r e a l w o r l d t o s o m e d e g r e e . F o r e x a m p l e , u s i n g f o u r m a r k e r s t o r e p r e s e n t a d d i n g t w o a p p l e s a n d t w o a p p l e s a b s t r a c t s t h e r e a l w o r l d a c t i o n . D r a w i n g f o u r t a l l y m a r k s i s a s t e p f u r t h e r a w a y f r o m ” r e a l i t y ” ( t h e y a r e n o t m a n i p u l a b l e a s a r e t h e m a r k e r s ) . W r i t i n g 2 + 2 = 4 i s a n e v e n m o r e a b s t r a c t r e p r e s e n t a t i o n ( i t u s e s a s i n g l e s y m b o l t o r e p r e s e n t t w o o b j e c t s ) . S o m e r e p r e s e n t a t i o n s o f f e r i m a g e s o f t h e ” r e a l w o r l d ” w h i l e o t h e r s h a v e l i t t l e o b v i o u s c o n n e c t i o n w i t h t h e c o n t e x t . T h e i s s u e o f w h i c h o f t w o r e p r e s e n t a t i o n s i s c l o s e r t o t h e ” r e a l w o r l d ” a c t i o n i s n o t s t r a i g h t f o r w a r d , 1 2 D i s c o u r s e o f t e n a l s o a n a l y z e s i n t e r p r e t a t i o n o f t h e p r o b l e m a n d u s e o f t h e r e p r e s e n t a t i o n . 3 8 h o w e v e r . W o u l d a l l a g r e e w h e t h e r a p i c t u r e o f f o u r a p p l e s o r f o u r , n o n - a p p l e s h a p e d m a r k e r s t h a t c a n b e p h y s i c a l l y m a n i p u l a t e d i s c l o s e r t o t h e r e a l w o r l d a c t i o n ? Y e t , a s I h a v e a r g u e d a b o v e , t h e S t a n d a r d s u r g e b o t h c o n n e c t i o n a n d a b s t r a c t i o n . F r o m t h e p e r s p e c t i v e o f t h e d i s c i p l i n e o f m a t h e m a t i c s , r e p r e s e n t a t i o n s a r e v a l u e d f o r t h e i r a b s t r a c t n e s s , t h e i r f r e e d o m f r o m t h e c o n s t r a i n t s o f p a r t i c u l a r c o n t e x t . O n t h e o t h e r h a n d , f r o m t h e p e r s p e c t i v e o f l e a r n i n g t h e o r y , r e p r e s e n t a t i o n s a r e v a l u e d f o r o f f e r i n g t h e l e a r n e r s o m e t h i n g ” c o n c r e t e ” t o h o l d o n t o , a p a r t i c u l a r c o n t e x t i n w h i c h t o e x p l o r e a p a r t i c u l a r p r o b l e m . I n m a t h e m a t i c s , t h e w o r d r e p r e s e n t a t i o n r e f e r s t o t w o i m p o r t a n t , o v e r l a p p i n g i d e a s . O n e i d e a i s t h a t o f r e p r e s e n t a t i o n a l s y s t e m s w i t h i n t h e d i s c i p l i n e , t h e o t h e r , o f p r o b l e m s o l v i n g t o o l s . I f i r s t d i s c u s s h o w r e p r e s e n t a t i o n s f u n c t i o n a s a s y m b o l s y s t e m i n m a t h e m a t i c s . T h i s i s e s s e n t i a l l y a n i m p o s e d v i e w ; t h e d i s c i p l i n e l a r g e l y d e f i n e s h o w o n e r e p r e s e n t s a p r o b l e m s i t u a t i o n . S e c o n d , I d i s c u s s r e p r e s e n t a t i o n s a s t o o l s f o r s o l v i n g s p e c i f i c p r o b l e m s . T h i s i s a n e m e r g e n t v i e w ; t h e r e a l w o r l d c o n t e x t i n fl u e n c e s h o w o n e r e p r e s e n t s a p r o b l e m . R e p r e s e n t a t i o n s a s S y m b o l S y s t e m s M a t h e m a t i c i a n s u s e s y m b o l s t o s o l v e p r o b l e m s o f t h e ” r e a l w o r l d . ” S y m b o l s a b s t r a c t t h e o b j e c t s o f t h e w o r l d . T h i s i s t r u e w h e t h e r r e p r e s e n t i n g c a n d y b a r s i n a s t o r y p r o b l e m w i t h t w o c u b e s , w i t h a d r a w i n g o f t w o r e c t a n g l e s , w i t h t w o t a l l i e s , o r w i t h t h e n u m e r a l ” 2 . ” I n m a t h e m a t i c s , s y m b o l s a r e v a l u e d f o r t h e i r v e r y l a c k o f c o n t e x t : T h e n u m b e r ” 2 ” b e c o m e s a n o u n t h a t c a n r e p r e s e n t i n f i n i t e l y m a n y d i f f e r e n t s e t s o f 3 9 t w o o b j e c t s . B u t , m a t h e m a t i c s g o e s b e y o n d t h i s ; i t a b s t r a c t s t h e a b s t r a c t . S o , f o r i n s t a n c e , ” 2 ” i s a n a b s t r a c t i o n o f t w o p h y s i c a l o b j e c t s , s a y , c a n d y b a r s , b u t ” 2 ” c a n a l s o b e c o n s i d e r e d a s a n e l e m e n t o f a g r o u p , t h e i n t e g e r s . I n t h i s i n s t a n c e , ” 2 ” m a y n o t b e c o n s i d e r e d a m e a s u r e o f q u a n t i t y a t a l l . C o n t i n u i n g t o a b s t r a c t , g r o u p s b e c o m e t h e o b j e c t s m a n i p u l a t e d i n m u c h t h e s a m e w a y n u m b e r s a r e b y y o u n g c h i l d r e n . A n d t h e b e a t g o e s o n : E a c h a b s t r a c t i o n y i e l d s t o y e t a n o t h e r l e v e l o f a b s t r a c t i o n — t h a t w h i c h w a s a b s t r a c t b e c o m e s a ” c o n c r e t e ” o b j e c t t o b e m a n i p u l a t e d . T h i s p r o c e s s o f a b s t r a c t i o n g r o w s f r o m t h e a b i l i t y t o g e n e r a l i z e t h a t s y m b o l s a f f o r d . T h e v a l u e o f m a t h e m a t i c a l s y m b o l s i s i n t h e i r h a v i n g b e e n s t r i p p e d o f a ” r e a l w o r l d ” c o n t e x t . F r o m t h i s p e r s p e c t i v e , u s i n g r e p r e s e n t a t i o n s i n m a t h e m a t i c s i n v o l v e s c o n f o r m i n g t h e p r o b l e m c o n t e x t t o a m a t h e m a t i c a l v i e w p o i n t . T h a t i s , t h e p r o b l e m s o l v e r e x a m i n e s t h e c o n t e x t a n d d e c i d e s t h e b e s t w a y t o t r e a t i t m a t h e m a t i c a l l y . T h e s o l v e r t h e n f i t s t h e d a t a o f t h e p r o b l e m i n t o a d i s c i p l i n e - b a s e d r e p r e s e n t a t i o n . F o r e x a m p l e , p o s e d a p r o b l e m o f s h a r i n g 3 0 c a n d y b a r s a m o n g f o u r c h i l d r e n , o n e m i g h t d e c i d e i t i s b e s t s o l v e d u s i n g d i v i s i o n a n d a p p l y t h e t r a d i t i o n a l l o n g d i v i s i o n a l g o r i t h m . 1 3 T h e m a t h e m a t i c i a n v i e w s t h i s e x e r c i s e a s a n i n s t a n t i a t i o n o f t h e g e n e r a l c a s e ( a w a n - 1 , a n . 2 , . . . , a o ) + ( b m , b m . 1 , m - z , . . . , b ( ) ) o r , e v e n m o r e g e n e r a l l y , ( a n x n + a n . 1 x " ' 1 + a n . 2 x “ ' 2 + . . . + a n + a 0 ) + ( b u n x m + b m - 1 x m ' 1 + b q u m ' 2 + . . . + b 1 x + b e ) . T h e m a t h e m a t i c i a n l o o k s a t e a c h p r o b l e m a s a n e x a m p l e o f t h e g e n e r a l c a s e . M a t h e m a t i c i a n s ’ g o a l s a r e n o t t h e s o l v i n g o f i n d i v i d u a l p r o b l e m s . R a t h e r , t h e y a n a l y z e m e t h o d s u s e d t o s o l v e p r o b l e m s t o u n d e r s t a n d , e x p l o r e , a n d 1 3 M y i n t e n t h e r e i s n o t t o c r e a t e a ” s t r a w m a n ” a r g u m e n t . I d o n o t d i s p a r a g e t h e u s e o f t h i s a l g o r i t h m . I t i s n o m o r e , n o l e s s l e g i t i m a t e t h a n t h e m e t h o d I w i l l o f f e r i n t h e n e x t s e c t i o n . 4 0 e x p a n d m a t h e m a t i c a l t e r r a i n . T h e y a n a l y z e r e l a t i o n s h i p s u n c o v e r e d i n p r o b l e m s o l u t i o n s t o b e t t e r u n d e r s t a n d t h e s t r u c t u r e o f t h e i r d i s c i p l i n e . R e p r e s e n t a t i o n s a s T o o l s f o r S o l v i n g S p e c i f i c P r o b l e m s L i k e m a t h e m a t i c i a n s , c h i l d r e n u s e s y m b o l s t o s o l v e p r o b l e m s o f t h e ” r e a l w o r l d . ” H o w e v e r , r a t h e r t h a n v i e w i n g t h e c o n t e x t a s a n e x a m p l e o f t h e g e n e r a l c a s e , c h i l d r e n o f t e n f o c u s s o l e l y o n s o l v i n g t h e p a r t i c u l a r p r o b l e m . T h e y u s e s y m b o l s i n a w a y t h a t m a i n t a i n s c l o s e c o n n e c t i o n w i t h t h e c o n t e x t . I n s u c h i n s t a n c e s , t h e c r e a t i o n a n d u s e o f r e p r e s e n t a t i o n s g r o w o u t o f t h e c o n t e x t . E s p e c i a l l y i n n o n - c l a s s r o o m c o n t e x t s , c h i l d r e n s o l v i n g p r o b l e m s a r e l i k e l y t o c o n s t r u c t i m a g e s o f t h e c o n t e x t . T h i s a l s o o c c u r s i n c l a s s r o o m s w h e r e c h i l d r e n a r e g i v e n t h e f r e e d o m , e v e n e n c o u r a g e d , t o f i n d t h e i r o w n m e t h o d s o f s o l v i n g p r o b l e m s . U n l i k e m a t h e m a t i c i a n s , i n t h e s e c o n t e x t s c h i l d r e n m a y p e r f o r m t h e a c t i o n s d e s c r i b e d i n a p r o b l e m t o f i n d a s o l u t i o n . F o r e x a m p l e , p o s e d t h e s a m e c a n d y b a r p r o b l e m a s a b o v e , c h i l d r e n m i g h t d e c i d e i t i s d i v i s i o n ( f a i r s h a r i n g ) b u t s o l v e i t w i t h o u t u s i n g t h e t r a d i t i o n a l a l g o r i t h m . T h e y m i g h t c o l l e c t 3 0 c u b e s a n d d i s t r i b u t e t h e m i n t o f o u r g r o u p s ( a n d t h e n d e c i d e w h a t t o d o w i t h t h e l e f t o v e r s ) . F o r m a n y c h i l d r e n , t h e r e i s n o i n t r i n s i c m o t i v a t i o n t o l o o k b e y o n d t h e s o l u t i o n t o t h i s p r o b l e m ; t h e y h a v e n o c o m p e l l i n g i n t e r e s t i n c o n s i d e r i n g t h e i m p l i c a t i o n s f o r s o l v i n g s i m i l a r p r o b l e m s , f o r g e n e r a l i z i n g . C h i l d r e n m a y s e e n o r e a s o n t o t r a n s l a t e t h i s p r o c e s s o f d i s t r i b u t i n g t h e b l o c k s i n t o a n u m e r i c a l a l g o r i t h m . N o r m a y t h e y h a v e r e a s o n t o t h i n k a b o u t m o r e a b s t r a c t w a y s o f r e p r e s e n t i n g t h e p r o b l e m . T h e m u s i n g s o n r e p r e s e n t a t i o n s c o n t a i n e d i n t h e s e t w o s e c t i o n s y i e l d t h e f o l l o w i n g q u e s t i o n s : W i l l c h i l d r e n w h o f o c u s o n r e - p r e s e n t i n g t h e ” r e a l w o r l d ” m a k e m a t h e m a t i c a l c o n n e c t i o n s ? W i l l t h o s e w h o s t r i p a w a y t h e ” r e a l w o r l d ” 4 1 c o n t e x t r e a c h s e n s i b l e s o l u t i o n s ? W i l l s t u d e n t s b e c o m e c a u g h t i n t h e m i d d l e o f r e p r e s e n t a t i o n s t h a t g r o w o u t o f t h e s e c o m p e t i n g a p p r o a c h e s ? W i l l m u l t i p l e r e p r e s e n t a t i o n s l e a d s t u d e n t s i n t o c o n f u s i o n ? “ R e p r e s e n t a t i o n s a s T o o l s f o r U n d e r s t a n d i n g C h i l d r e n ’ s T h i n k i n g A m a j o r i n fl u e n c e o n m a t h e m a t i c s e d u c a t o r s ’ t h i n k i n g a b o u t r e p r e s e n t a t i o n s h a s b e e n a b o o k e d i t e d b y I a n v i e r ( 1 9 8 7 b ) g e n e r a t e d b y a c o n f e r e n c e a d d r e s s i n g t h i s i s s u e . F o r t h e m o s t p a r t , t h e p a r t i c i p a n t s u s e d ” r e p r e s e n t a t i o n ” t o r e f e r s o l e l y t o s y m b o l s y s t e m s o f m a t h e m a t i c s . F o r e x a m p l e , K a p u t ( 1 9 8 7 b ) a r g u e d ” t h a t m o r e d i r e c t a n d s y s t e m a t i c a t t e n t i o n n e e d s t o b e p a i d t o t h e w a y s w e u s e s y m b o l s a n d c o m b i n a t i o n s o f s y m b o l s i n m a t h e m a t i c a l r e p r e s e n t a t i o n s y s t e m s a n d t h e w a y s t h e s e s y s t e m s r e l a t e t o e a c h o t h e r ” ( p . 2 0 ) . K a p u t d i d a c k n o w l e d g e e x i s t e n c e o f ” n o n - m a t h e m a t i c a l r e p r e s e n t a t i o n s ” a n d t h e ” p r o b l e m ” o f ” t r a n s l a t i o n ” b e t w e e n t h e m a n d m a t h e m a t i c a l r e p r e s e n t a t i o n s ( p p . 2 1 - 2 2 ) . H o w e v e r , h e d i d n o t d e f i n e ” n o n - m a t h e m a t i c a l r e p r e s e n t a t i o n s . ” H i s v i e w w a s ” h a v i n g e s t a b l i s h e d t h e r e p r e s e n t a t i o n a l c h a r a c t e r o f m a t h e m a t i c s a t a n a b s t r a c t l e v e l , o u r n e x t s t e p i s t o s t u d y t h e v a r i e t i e s o f r e a l i z a b l e f o r m s , a n d t h e p s y c h o l o g i c a l a s p e c t s o f t h o s e f o r m s , b y w h i c h r e p r e s e n t a t i o n s a r e a c h i e v e d ” ( p . 2 5 ) . T h i s i s c l e a r l y a p e r s p e c t i v e v a l u i n g t h e d i s c i p l i n e . T h e c h i l d r e n o f m y s t u d y u s e d r e p r e s e n t a t i o n s t h a t I s u s p e c t K a p u t w o u l d h a v e d e f i n e d a s ” n o n - m a t h e m a t i c a l . ” Y e t , t h e y w e r e b o t h c o n s i s t e n t w i t h t h e v a l u e s o f t h e S t a n d a r d s a n d a p p r o p r i a t e f o r s o l v i n g t h e t a s k s a t h a n d . T h e c h i l d r e n , r a t h e r t h a n s t a r t i n g f r o m a d i s c i p l i n a r y p e r s p e c t i v e , u s e d t h e i r k n o w l e d g e o f t h e w o r l d - w h i c h i n c l u d e d m a t h e m a t i c a l r e a s o n i n g - t o s o l v e t h e p r o b l e m s . M y a n a l y s i s e x a m i n e s l ‘ T ‘ h i s l a s t q u e s t i o n i s o f t e n a n s w e r e d i n t h e a f f i r m a t i v e b y p r e - s e r v i c e t e a c h e r s i n r e s p o n s e t o v i d e o s t h a t s h o w c l a s s r o o m s i n w h i c h s t u d e n t s p r e s e n t m u l t i p l e s o l u t i o n s t o t h e s a m e p r o b l e m . 4 2 t h e c h i l d r e n ’ s r e p r e s e n t a t i o n s - ” m a t h e m a t i c a l ” o r ” n o n - m a t h e m a t i c a l ” - a n d t h e i r l a n g u a g e t o u n d e r s t a n d t h e p r o c e s s e s a n d t o o l s o f t h e i r m a t h e m a t i c a l r e a s o n i n g . T h u s , m y s t u d y e x a m i n e s t h e c h i l d r e n ’ s l a n g u a g e a n d r e p r e s e n t a t i o n s a s t o o l s f o r t h e i r r e a s o n i n g . I n t h e p r o c e s s , I d o n o t w o r r y a b o u t w h e t h e r t h e y a r e m a t h e m a t i c a l o r n o t . A P A R A D O X F O R T E A C H E R S T h i s c h a p t e r h a s s h o w n t h a t r e c e n t r e f o r m e f f o r t s p r e s e n t t e a c h e r s w i t h a p a r a d o x b y s i t u a t i n g a r g u m e n t s b o t h i n w h a t g r o w s f r o m c o n s t r u c t i v i s t t h e o r i e s o f l e a r n i n g a n d i n w h a t i s s e e n a s i n h e r e n t i n m a t h e m a t i c s . T h e p a r a d o x g r o w s o u t o f a t e n s i o n b e t w e e n s i t u a t i n g p r o b l e m s i n ” r e a l w o r l d ” c o n t e x t s s e e n a s h e l p f u l f o r c h i l d r e n l e a r n i n g m a t h e m a t i c s a n d t h e d e c o n t e x t u a l i z e d n a t u r e o f m a t h e m a t i c a l r e a s o n i n g . 1 5 W h e n t e a c h e r s s i t u a t e t h e i r m a t h e m a t i c s l e s s o n s i n r e a l w o r l d c o n t e x t s , a r e s t u d e n t s a b l e t o m a k e c o n n e c t i o n s t o u n d e r l y i n g m a t h e m a t i c a l t h e o r y ? I f c h i l d r e n u s e r e p r e s e n t a t i o n s t o m o d e l t h e a c t i o n s d e s c r i b e d i n t h i s p r o b l e m , w i l l t h e y l o o k b e y o n d t h e p a r t i c u l a r i t i e s t o i m p l i c a t i o n s f o r g e n e r a l i z a t i o n ? I t s e e m s l i k e l y t h a t , j u s t a s w i t h t r a d i t i o n a l t e a c h i n g , s o m e s t u d e n t s w i l l l e a r n a n d b e s u c c e s s f u l i n s u c h m a t h e m a t i c s c l a s s e s a n d o t h e r s w i l l n o t . D o e s t h i s a p p r o a c h s u b s t i t u t e a d i f f e r e n t s e t o f c h i l d r e n a s s u c c e s s f u l m a t h e m a t i c s s t u d e n t s ? C a n s o m e f i n d a p a t h t o d i s c i p l i n a r y u n d e r s t a n d i n g b y s t r i p p i n g a w a y t h e c o n t e x t ? C a n s o m e f i n d a p a t h t h r o u g h t h e c o n t e x t t o d i s c i p l i n a r y u n d e r s t a n d i n g ? D o e s d i s c o u r s e a r o u n d w o r t h w h i l e m a t h e m a t i c a l t a s k s e x p a n d t h e l i k e l i h o o d ” t h a t a l l 1 5 O f c o u r s e , e v e r y t h i n g h a s a c o n t e x t . H o w e v e r , a s l h a v e a r g u e d , d o i n g m a t h e m a t i c s r e q u i r e s a b s t r a c t i o n o f t h e p r o b l e m f r o m i t s r e a l w o r l d c o n t e x t . 4 3 s t u d e n t s h a v e t h e o p p o r t u n i t y t o b e c o m e m a t h e m a t i c a l l y l i t e r a t e ” ( N C T M , 1 9 8 9 , p . 5 ) ? I n a d d i t i o n t o t h e s e i s s u e s a b o u t w h o i s a f f e c t e d a n d h o w , t h e r e a r e q u e s t i o n s a b o u t w h a t m a t h e m a t i c s s t u d e n t s a r e t o l e a r n i n e a c h c a s e . T h a t i s , d o t h e s t u d e n t s w h o ” d o n ’ t g e t i t ” - w h e t h e r t h e y a r e t h e s a m e s t u d e n t s a s i n t r a d i t i o n a l c l a s s r o o m s o r n o t , w h e t h e r t h e r e a r e f e w e r o r m o r e — s t i l l b e n e f i t i n s o m e w a y ? D o t h e y l e a r n m o r e o r m o r e v a l u a b l e m a t h e m a t i c s ? I f c h i l d r e n f a i l t o d e v e l o p t h e g e n e r a l a n d a b s t r a c t p e r s p e c t i v e o f t h e d i s c i p l i n e , m i g h t t h e y s t i l l b e I I I I b e t t e r p r e p a r e d f o r l i f e a n d / o r w o r k ? D o t h e s t u d e n t s w h o ” g e t i t , g e t ” d i f f e r e n t m a t h e m a t i c s t h a n w i t h t r a d i t i o n a l t e a c h i n g ? I f d i f f e r e n t , i s t h i s m o r e o r l e s s v a l u a b l e i n t h e ” r e a l w o r l d ” ? I s i t m o r e o r l e s s v a l u a b l e f o r t h o s e w h o p u r s u e s t u d i e s i n t h e d i s c i p l i n e ? I n o t h e r w o r d s , d o e s s i t u a t i n g p r o b l e m s i n a ” r e a l w o r l d ” c o n t e x t m e e t o r a d v a n c e t h e g o a l o f a l l s t u d e n t s g a i n i n g ” m a t h e m a t i c a l p o w e r ” ( N C T M , 1 9 8 9 , p . 5 ) ? 1 6 A s p r e v i o u s l y n o t e d , r e f o r m e r s h a v e a r g u e d t h a t m u l t i p l e r e p r e s e n t a t i o n s b e t t e r h e l p s t u d e n t s d e v e l o p c o n c e p t u a l u n d e r s t a n d i n g o f m a t h e m a t i c s . C e r t a i n l y , r e p r e s e n t a t i o n s a b o u n d i n c l a s s r o o m s o r g a n i z e d a r o u n d c h i l d r e n ’ s d i s c o u r s e a b o u t t h e i r d o i n g o f m a t h e m a t i c s . T h e y a r e p l e n t i f u l w h e n n u m e r o u s c h i l d r e n p r e s e n t t h e i r s o l u t i o n s t o c o m p l e x , ” r e a l w o r l d ” p r o b l e m s . R e f o r m e r s s e e m t o a s s u m e t h a t , t h r o u g h t h i s p r o c e s s , s t u d e n t s w i l l : ( a ) u n d e r s t a n d m a t h e m a t i c a l c o n c e p t s b e t t e r ; ( b ) d e v e l o p a m o r e c o m p r e h e n s i v e v i e w o f t h e t e r r a i n ; ( c ) d e v e l o p a m o r e a r t i c u l a t e d v i e w o f t h e t e r r a i n ; ( d ) l e a r n h o w t o r e a s o n a n d a n a l y z e m a t h e m a t i c a l l y ; ( e ) i n f u t u r e c o n t e x t s , s e l e c t t h e b e s t r e p r e s e n t a t i o n ; a n d ( f ) m a k e a b s t r a c t i o n s a n d g e n e r a l i z a t i o n s . W h i l e t h e s e f e e l ‘ 1 6 T h i s r e c a l l s S f a r d ’ s ( 1 9 9 8 ) d i s c u s s i o n o f a c q u i s i t i o n a n d p a r t i c i p a t i o n m e t a p h o r s . A d o p t i n g o n e , t h e o t h e r , o r b o t h , s e e m s l i k e l y t o c h a n g e t h e a n s w e r t o s u c h q u e s t i o n s . 4 4 r e a s o n a b l e , t h e r e i s l i t t l e r e s e a r c h t o s u b s t a n t i a t e s u c h a s s u m p t i o n s . J u s t a s w e w o u l d n o t w a n t o u r s t u d e n t s t o a c c e p t m a t h e m a t i c a l a r g u m e n t s b a s e d o n i n t u i t i o n , m a t h e m a t i c s e d u c a t o r s n e e d t o e x p l o r e t h e s e i n t u i t i o n s . M o r e o v e r , h o w s t u d e n t s O p e r a t e w i t h t h e s e r e p r e s e n t a t i o n s t o l e a r n m a t h e m a t i c s , m a k i n g u s e o f m u l t i p l e , v a r i e d r e p r e s e n t a t i o n s o f ” r e a l w o r l d ” c o n t e x t s t o d o m a t h e m a t i c s , h a s l i t t l e r e s e a r c h b a s e . T h i s s t u d y d o e s n o t a t t e m p t t o a n s w e r t h e l a r g e s t q u e s t i o n s p o s e d h e r e b u t , b y a d d r e s s i n g q u e s t i o n s a b o u t h o w c h i l d r e n i n t e r a c t w i t h r e p r e s e n t a t i o n s , a t t e m p t s t o s h e d l i g h t o n t h a t l a r g e r p i c t u r e a l o n g w i t h s u g g e s t i n g s o m e t e c h n i q u e s f o r l e a r n i n g m o r e . T h u s , t h i s s t u d y o f f e r s p a r t o f t h e a n a l y s i s I h a v e a r g u e d i s n e e d e d . I n d o i n g s o , i t w i l l r a i s e s o m e i s s u e s f o r t h o s e i n t e r e s t e d i n t e a c h i n g m a t h e m a t i c s f o r a l l l e a r n e r s . T h i s o c c u r s i n p a r t b y p r o b i n g a s i t e i n t h e r e f o r m s m a d e c r i t i c a l b y t h e b i - m o d a l f o u n d a t i o n o f t h e r e f o r m d o c u m e n t s I h a v e d e s c r i b e d . T h i s s t u d y e x a m i n e s c h i l d r e n ’ s u s e o f r e p r e s e n t a t i o n s i n d o i n g m a t h e m a t i c s . A L O O K A H E A D I n t h e n e x t c h a p t e r I d e s c r i b e t h e r e s e a r c h m e t h o d o l o g y o f t h i s s t u d y . I e x p l a i n m y c h o i c e s o f c h i l d r e n t o i n t e r v i e w , d e s c r i b e t h e i n t e r v i e w s , t h e i r g o a l s , a n d m y a n a l y t i c a l m e t h o d s . C h a p t e r 3 i s c o m p r i s e d o f p r o f i l e s o f f o u r c h i l d r e n . A f t e r a b r i e f i n t r o d u c t i o n , I e x a m i n e B e r t , T e r i , D a n i e l l e , a n d N i c o l e i n t u r n . I p r e s e n t a n i n i t i a l v i g n e t t e f o r e a c h d r a w n f r o m t h e f i r s t i n t e r v i e w . T h i s o f f e r s a s e n s e o f e a c h c h i l d i n t e r m s o f v i e w s o f m a t h e m a t i c s a n d 0 f s e l f . N e x t , I p r o v i d e a m o r e a n a l y t i c a l d e s c r i p t i o n o f e a c h . F i n a l l y , i n e a c h p r o f i l e I d e s c r i b e t h e c h i l d ’ s w o r k o n t w o t a s k s . F o r a l l f o u r , I l o o k f i r s t a t t h e i r s o l u t i o n s t o t h e C a n d y B a r p r o b l e m . I f o l l o w t h i s w i t h a n a l y t i c a l d e s c r i p t i o n o f w o r k o n a s e c o n d t a s k . P r o t o c o l s f o r a l l 4 5 i n t e r v i e w s m a y b e f o u n d i n t h e A p p e n d i c e s . B e s i d e s d e s c r i b i n g h o w i n h e r e n t l y i n t e r e s t i n g t h e s e f o u r c h i l d r e n a r e , t h e p r o f i l e s a r e i n t e n d e d t o l a y t h e g r o u n d w o r k f o r t h e s u b s e q u e n t c h a p t e r s t h a t l o o k a t a n a l y t i c a l i s s u e s . I h o p e t h e p r o f i l e s p a i n t v i v i d e n o u g h i m a g e s o f t h e c h i l d r e n t o h e l p r e a d e r s n e g o t i a t e t h e m o r e a n a l y t i c a l c h a p t e r s t h a t f o l l o w . C h a p t e r s 4 a n d 5 p r e s e n t a n a l y s e s t h a t l o o k a c r o s s t h e c h i l d r e n t h r o u g h t h e l e n s e s o f l a n g u a g e a n d r e p r e s e n t a t i o n s . I n t h e f i r s t , I e x a m i n e t h e v a r i o u s f o r m s t h e c h i l d r e n ’ s u s e o f l a n g u a g e t a k e a l o n g w i t h t h e c o n t e n t o f t h e i r c o n v e r s a t i o n s . F r o m t h e s e f o c i , I d r a w c o n c l u s i o n s a b o u t t h e n a t u r e o f t h e i r r e l a t i o n s h i p w i t h ” r e a l w o r l d ” c o n t e x t s . I n c h a p t e r 5 I e x a m i n e t h e i r c r e a t i o n a n d u s e o f r e p r e s e n t a t i o n s . T h i s e x a m i n a t i o n p r o v i d e s i n s i g h t i n t o t h e c h i l d r e n ’ s d e v e l o p i n g a u t h o r i t y f o r m a t h e m a t i c a l k n o w l e d g e . I a l s o d r a w c o n c l u s i o n s a b o u t t h e w a y s i n w h i c h t h e i r i n t e r a c t i o n s w i t h r e p r e s e n t a t i o n s c o n s t r a i n a n d e n a b l e t h e i r m a t h e m a t i c a l r e a s o n i n g . F i n a l l y , c h a p t e r 6 c o n c l u d e s t h e d i s s e r t a t i o n w i t h i m p l i c a t i o n s a n d m o r e q u e s t i o n s . 4 6 C H A P T E R T W O M E T H O D O L O G Y A s s t a t e d i n t h e p r e v i o u s c h a p t e r , t h i s s t u d y e x a m i n e s c h i l d r e n ’ s u s e o f r e p r e s e n t a t i o n s a n d l a n g u a g e w h i l e d o i n g m a t h e m a t i c s . I c h o s e t o f o c u s m y i n v e s t i g a t i o n o f t h i r d g r a d e r s t h r o u g h a c o m b i n a t i o n o f i n t e n t i o n a n d s e r e n d i p i t y . I n t h i s c h a p t e r I d e s c r i b e m y m e t h o d o l o g i c a l f r a m e w o r k , d a t a c o l l e c t i o n , a n d a n a l y s i s . M y o r i g i n a l g o a l f o r t h i s s t u d y w a s t w o f o l d : ( a ) t o e l i c i t t h e r e s o u r c e s t h a t c h i l d r e n u s e w h i l e d o i n g m a t h e m a t i c s , a n d ( b ) t o m a k e v i s i b l e t h e d e c i s i o n - m a k i n g p r o c e s s e s i n w h i c h t h e y e n g a g e d . T h u s , i n t e r v i e w s w e r e d e s i g n e d a s c o n v e r s a t i o n s a b o u t c h i l d r e n ’ s t h i n k i n g r a t h e r t h a n a s q u e s t i o n a n d a n s w e r s e s s i o n s . I n l i g h t o f t h i s , I e x p e c t e d s e l e c t i n g m a t h e m a t i c a l t a s k s c a p a b l e o f e l i c i t i n g t h e n e c e s s a r y r e s o u r c e s , d e c i s i o n - m a k i n g , a n d c o n v e r s a t i o n w o u l d r e q u i r e s i g n i f i c a n t k n o w l e d g e o f t h e m a t h e m a t i c s w i t h w h i c h p a r t i c i p a n t s w o u l d b e f a m i l i a r a n d t h e k i n d s o f t a s k s i n w h i c h t h e y g e n e r a l l y e n g a g e d i n m a t h e m a t i c s c l a s s . A l s o , I f e l t i t w o u l d e a s e d e v e l o p m e n t o f n a t u r a l c o n v e r s a t i o n i f I w a s k n o w l e d g e a b l e a b o u t t h e w a y s c h i l d r e n o f t h e s e l e c t e d a g e t a l k a m o n g t h e m s e l v e s a n d w i t h a d u l t s — a m o r e n a t u r a l c o n v e r s a t i o n a l s t y l e w o u l d h e l p t h e s t u d e n t s f e e l r e l a x e d , a l l o w i n g m o r e o f t h e i r t h i n k i n g t o e m e r g e u n c e n s o r e d . S u c h a n a p p r o a c h t o i n t e r v i e w i n g i s s u p p o r t e d b y P a c k e r ( 1 9 9 3 ) : T h e i n d i v i d u a l - i n - a c t i o n i s t h e p r o p e r f o c u s f o r p s y c h o l o g i c a l a n a l y s i s . T h e r e a r e n o u n i v e r s a l p s y c h o l o g i c a l t r a i t s o r c h a r a c t e r i s t i c s ; i n s t e a d , a p e r s o n ’ s p r o p e r t i e s , i f y o u l i k e , s t e m f r o m , c h a n g e w i t h , a n d s h o w u p i n t h e i r p r a c t i c a l i n v o l v e m e n t i n a c t i o n . ( p . 2 5 4 ) 4 7 B e a r i n g t h i s i n m i n d ( a l o n g w i t h o t h e r w o r k c i t e d b y P a c k e r ) , I f o c u s e d ” o n t h e g o a l s o f t h e c h i l d r e n t h e m s e l v e s , r a t h e r t h a n o n i m p o s i n g c r i t e r i a f r o m o u t s i d e t h e t a s k s e t t i n g . ” P a c k e r a r g u e d , ” m o r e w o r k o f t h i s k i n d b y e d u c a t i o n a l r e s e a r c h e r s i s n e e d e d ” ( p . 2 6 2 ) . M y s t u d y , i n p a r t , r e s p o n d s t o P a c k e r ’ s c a l l . S o m e h a v e p e r f o r m e d r e s e a r c h t h a t a p p e a r s p a r a l l e l t o m i n e . I w i l l d e s c r i b e o n e s u c h s t u d y , b y K r u t e t s k i i , t o h i g h l i g h t d i s t i n g u i s h i n g c h a r a c t e r i s t i c s o f m i n e . K r u t e t s k i i ( 1 9 6 8 / 1 9 7 6 ) s a i d t h e g o a l o f h i s s t u d y w a s ” t o c l a r i f y t h e f e a t u r e s t h a t c h a r a c t e r i z e t h e m e n t a l a c t i v i t y o f m a t h e m a t i c a l l y g i f t e d p u p i l s a s t h e y s o l v e v a r i o u s m a t h e m a t i c a l p r o b l e m s ” ( p . 7 8 ) . W i t h t h e e x c e p t i o n o f ” g i f t e d , ” t h i s s o u n d s l i k e m y s t u d y . H o w e v e r , e x a m i n i n g h i s ” h y p o t h e s e s c o n c e r n i n g t h e c o m p o n e n t s o f m a t h e m a t i c a l a b i l i t i e s , ” w e f i n d d i f f e r e n c e s . H e d e s c r i b e d t h e g o a l o f h i s s t u d y a s t h e a n a l y s i s o f m a t h e m a t i c a l a b i l i t y . H e d i d s o b y s e e k i n g t o e l i c i t ” p s y c h o l o g i c a l t r a i t s ” t h a t ” g i f t e d ” s t u d e n t s h a v e a n d w h i c h ” i n c a p a b l e p u p i l s d o n o t ” ( p . 1 7 5 ) . M y s t u d y n e i t h e r a t t e m p t s t o d i s c e r n e l e m e n t s o f a b i l i t y n o r d o e s i t v i e w t r a i t s f r o m a h a v e / h a v e n o t p e r s p e c t i v e . R a t h e r , m y s t u d y s e e k s t o u n d e r s t a n d t h e r o l e c o n t e x t ( t h e s e t t i n g o f t h e p r o b l e m ) a n d r e s o u r c e s ( l a n g u a g e a n d r e p r e s e n t a t i o n s ) p l a y a s i n d i v i d u a l s d o m a t h e m a t i c s . K r u t e t s k i i ( 1 9 6 8 / 1 9 7 6 ) a r g u e d t h a t ” t h e c o m p o n e n t s o f m a t h e m a t i c a l a b i l i t i e s . . . a r i s e f r o m t h e b a s i c c h a r a c t e r i s t i c s o f m a t h e m a t i c a l t h o u g h t ” ( p . 8 7 ) . H e w e n t o n t o l i s t c o m p o n e n t s s u c h a s : f o r m a l i z i n g a n d g e n e r a l i z i n g m a t h e m a t i c a l m a t e r i a l , o p e r a t i n g w i t h s y m b o l s , ” s e q u e n t i a l , p r o p e r l y s e g m e n t e d l o g i c a l r e a s o n i n g , ” c u r t a i l i n g a n d r e v e r s i n g r e a s o n i n g , a n d fl e x i b l e r e a s o n i n g ( p p . 8 7 - 8 8 ) . A l l o f t h i s m a k e s c l e a r t h a t K r u t e t s k i i ’ s g o a l w a s t o f i t s t u d e n t s ’ t h i n k i n g i n t o c r i t e r i a i m p o s e d b y t h e d i s c i p l i n e o f m a t h e m a t i c s . T h i s 4 8 r u n s c o u n t e r t o t h e c a l l o f P a c k e r ( a b o v e ) a n d t h e g o a l o f m y s t u d y . 1 7 F u r t h e r , K r u t e t s k i i p r o v i d e s a c l a s s i f i c a t i o n s c h e m e f o r t h e i n t e r v i e w p r o b l e m s ( T a b l e 1 , p p . 9 9 - 1 0 4 ) t h a t d e f i n e s w h a t m a t h e m a t i c s a r e a v a i l a b l e f o r a l l i n t e r v i e w e e s . T h i s a p p r o a c h a s s u m e s a p r o b l e m t o O f f e r t h e s a m e m a t h e m a t i c s f o r a l l . Y e t , m a n y s h a r i n g p r o b l e m s , f o r e x a m p l e , m a y b e i n t e r p r e t e d i n a v a r i e t y O f w a y s b y c h i l d r e n . T h u s , w h i l e b o t h s t u d i e s i n v o l v e d i n t e r v i e w s o f i n d i v i d u a l c h i l d r e n a n d e n g a g e t h e m i n d o i n g m a t h e m a t i c s , t h e y h a v e d i f f e r e n t p r e m i s e s . A s M e l l i n - O l s e n ( 1 9 9 3 ) m a d e t h e d i s t i n c t i o n , m y g o a l w a s t o ” a s s e s s t h e m e a n i n g ( s u b j e c t i v e ) t h e s t u d e n t g i v e s t o k n o w l e d g e , a s d i s t i n c t f r o m a n o b j e c t i v e a s s e s s m e n t o f h i s k n o w l e d g e ” ( p . 1 4 4 ) . C O N T E X T S E L E C T I O N A s I c o n t e m p l a t e d t h e a g e a t w h i c h t o f o c u s m y s t u d y , I r e v i e w e d m y e x p e r i e n c e s a n d r e s o u r c e s . I h a d r e c e n t e x p e r i e n c e w i t h f i r s t g r a d e r s , t h i r d g r a d e r s , s e v e n t h a n d e i g h t h g r a d e r s , a n d u n d e r g r a d u a t e s . M y e x p e r i e n c e w i t h f i r s t g r a d e r s s u g g e s t e d t h a t t h e y m i g h t n o t b e a r t i c u l a t e e n o u g h t o a l l o w m e t o r e a c h t h e f i n e - g r a i n e d l e v e l O f a n a l y s i s t h a t I s o u g h t . F u r t h e r , g i v e n t h e i r l i m i t e d e x p o s u r e t o m a t h e m a t i c s , t h e y w o u l d h a v e h a d l e s s O p p o r t u n i t y t o d e v e l o p a w i d e a r r a y o f r e s o u r c e s a n d e x p e r i e n c e s t o b r i n g t o t h e t a b l e . M y e x p e r i e n c e w i t h u n d e r g r a d u a t e s s u g g e s t e d s i m i l a r s h o r t c o m i n g s b u t f o r t h e o p p o s i t e r e a s o n s : m a n y h a v e h a d t o o m u c h e x p o s u r e t o s c h o o l m a t h e m a t i c s . I c o n j e c t u r e d t h a t t h e y w o u l d l i k e w i s e b e l i m i t e d i n a r t i c u l a t i n g t h e w a y s i n w h i c h t h e y t h o u g h t a b o u t m a t h e m a t i c a l s i t u a t i o n s . M a n y u n d e r g r a d u a t e s h a v e b e e n e n c u l t u r a t e d b y t h e e d u c a t i o n a l s y s t e m i n t o t h e b e l i e f t h a t t h e y s h o u l d n o t t r y t O t h i n k o r r e a s o n a b o u t h o w t o s o l v e p r o b l e m s , r a t h e r t h a t t h e y s h o u l d m e r e l y 1 7 T h i s i s n o t i n t e n d e d t o d i m i n i s h K r u t e t s k i i ’ s r e s e a r c h ( p e r f o r m e d b e f o r e P a c k e r ’ s a r t i c l e ) . I t i s i n t e n d e d s o l e l y t o h i g h l i g h t c h a r a c t e r i s t i c s o f m y s t u d y . 4 9 d r a w o n m e m o r y o f r u l e s a n d a l g o r i t h m s . 1 8 T h e i r s e n s e o f t h e i r o w n r e s o u r c e s a r e O f t e n s e v e r e l y l i m i t e d - c o n s i s t i n g m o s t l y O f ” f a c t s ” r e c e i v e d f r o m a u t h o r i t i e s . T h u s , a s w i t h t h e f i r s t g r a d e r s , t h e y m i g h t b r i n g a n a r r o w r a n g e o f r e s o u r c e s t o t h e m a t h e m a t i c a l s i t u a t i o n — m e r e l y a n a t t e m p t t o r e c a l l w h a t t h e y h a d ” l e a r n e d ” f r o m m a t h e m a t i c s c l a s s e s . L e f t w i t h c h o o s i n g b e t w e e n m i d d l e g r a d e s c h i l d r e n a n d t h i r d g r a d e r s , s e r e n d i p i t y c a m e i n t o p l a y . I c h o s e t h i r d g r a d e r s b e c a u s e I h a d a c c e s s t o a c l a s s I s u s p e c t e d w o u l d b e p a r t i c u l a r l y f o r t h c o m i n g i n c o m m u n i c a t i n g t h e i r m a t h e m a t i c a l r e a s o n i n g . F u r t h e r , I h a d t h e r e s o u r c e s o f m y a d v i s o r w h o h a d t a u g h t t h i r d g r a d e r s f o r s e v e r a l y e a r s a n d O f t h e c l a s s r o o m t e a c h e r w h o w o u l d b e i n t e r e s t e d i n t h e s t u d y . T h e s e r e s o u r c e s w o u l d h e l p m e d e s i g n a p p r o p r i a t e t a s k s a n d f o s t e r n a t u r a l c o n v e r s a t i o n s . M E T H O D O L O G I C A L P O S I T T O N M y r e s e a r c h m e t h o d s a r e g r o u n d e d i n B l u m e r ’ s ( 1 9 6 9 ) ” s y m b o l i c i n t e r a c t i o n i s m . ” H e c i t e s t h r e e p r e m i s e s u p o n w h i c h t h i s m e t h o d o l o g y r e s t s : ( a ) ” h u m a n b e i n g s a c t t o w a r d t h i n g s o n t h e b a s i s o f t h e m e a n i n g s t h a t t h e t h i n g s h a v e f o r t h e m , ” ( b ) ” t h e m e a n i n g O f s u c h t h i n g s i s d e r i v e d f r o m , o r a r i s e s o u t o f , t h e s o c i a l i n t e r a c t i o n o n e h a s w i t h o n e ’ s f e l l o w s , ” a n d ( c ) ” t h e s e m e a n i n g s a r e h a n d l e d i n , a n d m o d i f i e d t h r o u g h , a n i n t e r p r e t i v e p r o c e s s u s e d b y t h e p e r s o n i n d e a l i n g w i t h t h e t h i n g s h e e n c o u n t e r s ” ( p . 2 ) . S y m b o l i c I n t e r a c t i o n i s m M y i n t e r e s t i s n o t i n a c c o u n t i n g f o r t h e b e h a v i o r o f c h i l d r e n d o i n g m a t h e m a t i c s . R a t h e r , t h e y a c c o r d w i t h t h e f i r s t p r e m i s e , ” t h e m e a n i n g s t h a t t h i n g s h a v e f o r h u m a n b e i n g s a r e c e n t r a l i n t h e i r o w n r i g h t ” ( p . 3 ) . I n ‘ 8 1 d o s u s p e c t t h a t u n d e r g r a d u a t e s c a n b e i n d u c e d t o e x p a n d t h e i r r e s o u r c e s a n d m a t h e m a t i c a l c o n v e r s a t i o n s . H o w e v e r , d e v e l o p i n g t h i s w o u l d h a v e t a k e n s i g n i f i c a n t l y m o r e t i m e . 5 0 c o n s i d e r i n g t h e d e r i v a t i o n o f m e a n i n g s , I d o n o t t a k e a r e a l i s t a p p r o a c h b y a s s u m i n g t h a t m e a n i n g r e s i d e s i n ” t h e t h i n g ” a n d a p e r s o n m e r e l y r e c o g n i z e s i t . N o r d o I O p e r a t e u n d e r t h e a s s u m p t i o n t h a t m e a n i n g i s a ” p s y c h i c a l a c c r e t i o n ” t h a t a p e r s o n b r i n g s t o ” t h e t h i n g , ” w h e r e m e a n i n g i s ” b u t t h e e x p r e s s i o n o f t h e g i v e n p s y c h o l o g i c a l e l e m e n t s t h a t a r e b r o u g h t i n t o p l a y i n c o n n e c t i o n w i t h t h e p e r c e p t i o n o f t h e t h i n g ” ( B l u m e r , 1 9 6 9 , p . 4 ) . R a t h e r t h a n m e a n i n g ” e m a n a t i n g f r o m t h e i n t r i n s i c m a k e u p O f t h e t h i n g [ o r ] a r i s i n g t h r o u g h a c o a l e s c e n c e O f p s y c h o l o g i c a l e l e m e n t s O f t h e p e r s o n , ” m e a n i n g a r i s e s ” i n t h e p r o c e s s o f i n t e r a c t i o n b e t w e e n p e o p l e ” ( p . 4 ) . Y e t , b y t r e a t i n g o n e s e l f a s a n o b j e c t , o n e m a y p a r t i c i p a t e i n a s o c i a l i n t e r a c t i o n w h i l e o s t e n s i b l y b e i n g a l o n e . B l u m e r d e s c r i b e s h u m a n b e i n g s a s ” s o c i a l ” i n t h e ” s e n s e o f a n o r g a n i s m t h a t e n g a g e s i n s o c i a l i n t e r a c t i o n w i t h i t s e l f b y m a k i n g i n d i c a t i o n s t o i t s e l f a n d r e s p o n d i n g t o s u c h i n d i c a t i o n s ” ( p . 1 4 ) . T h e s e c o n d p r e m i s e i m p l i e s t h a t ” s y m b o l i c i n t e r a c t i o n i s m s e e s m e a n i n g s a s s o c i a l p r o d u c t s , a s c r e a t i o n s t h a t a r e f o r m e d i n a n d t h r o u g h t h e d e f i n i n g a c t i v i t i e s o f p e o p l e a s t h e y i n t e r a c t ” ( B l u m e r , 1 9 6 9 , p . 5 ) . W h i l e m y r e s e a r c h m e t h o d s f i t t h i s p h i l o s o p h y , I a m s t u d y i n g c h i l d r e n ’ s m e a n i n g m a k i n g i n m a t h e m a t i c s . I n p a r t i c u l a r , I e x a m i n e m e a n i n g m a k i n g a s i t o c c u r s w i t h i n m a t h e m a t i c a l a c t i v i t i e s . T h i s i s a s o c i a l c o n t e x t i n a t l e a s t t w o w a y s : t h e c h i l d r e n i n t e r a c t d i r e c t l y w i t h m e ; i n a s e n s e , t h e y i n t e r a c t w i t h t h e i r l e a r n i n g c o m m u n i t y t h r o u g h h a v i n g d e v e l o p e d t h o s e v o i c e s w i t h i n t h e i r h e a d s o v e r t h e p r e v i o u s t w o y e a r s . F u r t h e r , t h e c h i l d r e n i n t e r a c t w i t h t h e c o n t e x t s a s i f t h e y w e r e r e a l . T h a t i s , i n m a n y c a s e s , t h e c h i l d r e n t r e a t e d t h e m a t h e m a t i c a l a c t i v i t i e s a s O p p o r t u n i t i e s o r r e q u e s t s f o r t h e m t o s o r t o u t t h e m a t h e m a t i c s i n w h a t t h e y s a w a s a r e a l s i t u a t i o n . L i k e r e a d e r s , t h e y p u t t h e m s e l v e s i n t o t h e s o c i a l c o n t e x t I w o v e a r o u n d t h e p r o b l e m s . 5 1 T h e t h i r d p r e m i s e o f s y m b o l i c i n t e r a c t i o n i s m i s t h a t ” t h e u s e o f m e a n i n g s b y t h e a c t o r o c c u r s t h r o u g h a p r o c e s s o f i n t e r p r e t a t i o n " ( B l u m e r , 1 9 6 9 , p . 5 , e m p h a s i s i n t h e o r i g i n a l ) . T h i s p r o c e s s t a k e s p l a c e i n t w o s t e p s . T h e a c t o r ” i n d i c a t e s t o h i m s e l f t h e t h i n g s t o w a r d w h i c h h e i s a c t i n g ” ; t h i s s t e p e n g a g e s t h e a c t o r i n ” c o m m u n i c a t i o n w i t h h i m s e l f . ” T h e s e c o n d s t e p i n v o l v e s ” h a n d l i n g ” o f m e a n i n g s : t h e a c t o r ” s e l e c t s , c h e c k s , s u s p e n d s , r e g r o u p s , a n d t r a n s f o r m s t h e m e a n i n g s i n l i g h t o f t h e s i t u a t i o n i n w h i c h h e i s p l a c e d a n d t h e d i r e c t i o n o f h i s a c t i o n ” ( p . 5 ) . T h u s , i n t e r p r e t a t i o n i s a ” p r o c e s s i n w h i c h m e a n i n g s a r e u s e d a n d r e v i s e d a s i n s t r u m e n t s f o r t h e g u i d a n c e a n d f o r m a t i o n o f a c t i o n ” ( p . 5 ) . M y a n a l y s i s a s s u m e s t h a t , i n t h e p r o c e s s o f d o i n g m a t h e m a t i c s , t h e c h i l d r e n c o n v e r s e w i t h t h e m s e l v e s ( W e r t s c h , 1 9 9 1 ) . V i e w i n g t h e s e l f a s a s o c i a l c o n s t r u c t i o n , I a s s u m e t h e s e l f i n c o r p o r a t e s t h e v o i c e s o f o t h e r s ( W e r t s c h , 1 9 9 1 ) . I n p a r t i c u l a r , I e x p e c t e d t h e c h i l d r e n O f t h i s s t u d y t o h a v e i n c o r p o r a t e d t h e v o i c e s o f t h e i r p e e r s . T h e s e v o i c e s w o u l d t h e n p l a y a r o l e i n t h e c o n v e r s a t i o n s w i t h s e l f . A c c o r d i n g t o B l u m e r ( 1 9 6 9 ) , G . H . M e a d v i e w e d s y m b o l i c i n t e r a c t i o n a s ” a p r e s e n t a t i o n o f g e s t u r e s a n d a r e s p o n s e t o t h e m e a n i n g o f t h o s e g e s t u r e s ” ( p . 9 ) . A s s u c h , o n l y w h e n a g e s t u r e h a s t h e s a m e m e a n i n g f o r t w o p a r t i e s c a n t h e y u n d e r s t a n d e a c h o t h e r ( p . 9 ) . I a s s u m e d t h a t t h e b e s t u n d e r s t a n d i n g t h e c h i l d r e n a n d I w o u l d a c h i e v e w o u l d b e a f i t r a t h e r t h a n a m a t c h W h e t h e r o n e b e l i e v e s a m a t c h o r a f i t i s t h e u l t i m a t e g o a l , M e a d ’ s s t a t e m e n t a r g u e s t h e v a l u e o f t h e n a t u r a l c o n v e r s a t i o n s t y l e o f i n t e r v i e w I i n t e n d e d . S y m b o l i c i n t e r a c t i o n i s m v i e w s h u m a n b e i n g s ’ ” w o r l d s ” a s c o m p o s e d o f O b j e c t s ; o b j e c t s b e i n g a n y t h i n g t h a t c a n b e r e f e r r e d t o . I n t h i s v i e w , t h e r e a r e t h r e e c l a s s e s o f o b j e c t s : ( a ) p h y s i c a l O b j e c t s ( m a n i p u l a t i v e s , p e n c i l s , p a p e r , e t c . ) ; ( b ) s o c i a l O b j e c t s ( a f a m i l y , a c l a s s , a s c h o o l , a g a m e ) ; a n d ( c ) a b s t r a c t o b j e c t s ( e q u a l s h a r i n g , p r o b a b i l i t y ) ( B l u m e r , 1 9 6 9 , p p . 1 0 - 1 1 ) . T h e p i c t u r e s t h e s e c h i l d r e n 5 2 d r e w m a y b e c o n s i d e r e d t o f i t a l l t h r e e c a t e g o r i e s . T h e i r r e p r e s e n t a t i o n s i n t h e f o r m o f p i c t u r e s w e r e p h y s i c a l O b j e c t s . S e c o n d , t h e c h i l d r e n O f t e n t r e a t e d t h e m a t h e m a t i c a l c o n t e x t s a s s o c i a l c o n t e x t s a b o u t w h i c h t h e y w e r e e x p e c t e d t o m a k e s e n s e . F o r e x a m p l e , B e r t u s e d s t o r i e s t o e x p l a i n h i s r e a s o n i n g f o r 3 - 2 = - 1 . T h i r d , t h e y a l l t r e a t e d t h e C a n d y B a r p r o b l e m , f i r s t a n d f o r e m o s t , a s a p r o b l e m a b o u t e q u a l s h a r i n g . T o r e i t e r a t e , t h e n a t u r e o f a n o b j e c t ” c o n s i s t s o f t h e m e a n i n g t h a t i t h a s f o r t h e p e r s o n [ a n d h i s m e a n i n g s e t s t h e w a y i n w h i c h h e s e e s t h e O b j e c t , t h e w a y i n w h i c h h e i s p r e p a r e d t o a c t t o w a r d i t , a n d t h e w a y i n w h i c h h e i s r e a d y t o t a l k a b o u t i t ” ( B l u m e r , 1 9 6 9 , p . 1 1 ) . T h e s e t h r e e ” w a y s " o f i n t e r a c t i n g w i t h a n O b j e c t f o r m t h e f o c u s O f m y a n a l y s i s . T h a t i s , t h e c h i l d r e n c r e a t e d r e p r e s e n t a t i o n s , o b j e c t s , f o r w h i c h t h e y h a d m e a n i n g s . I t w a s m y g o a l a n d r o l e t o d e t e r m i n e w h a t t h e s e m e a n i n g s w e r e b y e x a m i n i n g h o w t h e y s a w t h e r e p r e s e n t a t i o n s , h o w t h e y a c t e d t o w a r d t h e m , a n d h o w t h e y t a l k e d a b o u t t h e m . B l u m e r ( 1 9 6 9 ) a r g u e d t h a t t h e ” h u m a n a c t i s n o t a r e l e a s e o f a n a l r e a d y o r g a n i z e d t e n d e n c y [ t o a c t ] ; i t i s a c o n s t r u c t i o n b u i l t u p b y t h e a c t o r ” ( p . 9 4 ) . T h i s c o n s t r u c t i o n i s a n i n t e r v e n i n g s t e p ” c o n s t i t u t e d b y a fl o w o f i n t e r a c t i o n i n w h i c h t h e i n d i v i d u a l i n d i c a t e s v a r i o u s t h i n g s a n d O b j e c t s t o h i m s e l f . " T h e n , d e f i n i n g , j u d g i n g , a n d s e l e c t i n g a m o n g t h e i n d i c a t e d O b j e c t s , t h e i n d i v i d u a l ” p i e c e s t o g e t h e r h i s s e l e c t i o n s , a n d t h e r e b y o r g a n i z e s h i m s e l f t o a c t ” ( p . 9 5 ) . I n t e r v i e w s , n o t a n I n S i t u S t u d y C l e a r l y , p e o p l e l e a r n m a t h e m a t i c s i n a s o c i a l c o n t e x t ( C o b b , 1 9 9 4 ) . E v e n i n t r a d i t i o n a l t e a c h i n g p r a c t i c e , t h e r e i s i n t e r a c t i o n b e t w e e n t h e s t u d e n t a n d t h e t e a c h e r , b e t w e e n s t u d e n t a n d t e x t b o o k , a n d , o f t e n , b e t w e e n s t u d e n t a n d f a m i l y m e m b e r s . I n c l a s s r o o m s o f r e f o r m - o r i e n t e d t e a c h e r s — t h e k i n d o f c l a s s r o o m i n 5 3 w h i c h t h e c h i l d r e n o f t h i s s t u d y w e r e s t u d e n t s f o r t w o c o n s e c u t i v e y e a r s - l e a r n i n g i s m o r e e x p l i c i t l y c e n t e r e d i n s o c i a l i n t e r a c t i o n s . T h i s s o c i a l n a t u r e o f m a t h e m a t i c a l l e a r n i n g m i g h t s u g g e s t t h a t c h i l d r e n ’ s r e p r e s e n t a t i o n s a n d l a n g u a g e b e c o l l e c t e d a n d s t u d i e d i n a u t h e n t i c s o c i a l l e a r n i n g c o n t e x t s . H o w e v e r , t h e r e w e r e t h r e e r e a s o n s m i t i g a t i n g a g a i n s t t h i s a p p r o a c h . S o c i a l C o n s t r a i n t s F i r s t , I d i d ” n o t h a v e a f i r s t h a n d a c q u a i n t a n c e w i t h t h e s p h e r e o f s o c i a l l i f e " o f t h i s t h i r d g r a d e c l a s s ( B l u m e r , 1 9 6 9 , p . 3 5 ) . T h e c h i l d r e n h a d b e e n w i t h t h e s a m e t e a c h e r f o r n e a r l y t w o a c a d e m i c y e a r s a n d h a d f o r m e d a r a t h e r t i g h t s o c i a l b o n d — a m o n g t h e m s e l v e s a n d w i t h t h e i r t e a c h e r . T h e y w e r e m o r e t h a n m e r e l y a c o l l e c t i o n O f 2 8 c h i l d r e n . T h e t e a c h e r t a u g h t a l l s u b j e c t s w i t h a r e f o r m o r i e n t a t i o n : t h r o u g h e x p l o r a t i o n O f w o r t h w h i l e t a s k s c o m b i n e d w i t h d i s c o u r s e f o c u s e d o n a n a l y s i s O f r e a s o n i n g c a r r i e d o u t i n a s u p p o r t i v e b u t c r i t i c a l e n v i r o n m e n t . A s a r e s u l t , t h e c l a s s h a d w e l l - e s t a b l i s h e d n o r m s o f i n t e r a c t i o n a n d s h a r e d l a n g u a g e . T h e s e w e r e n o t e a s i l y o r d i r e c t l y a v a i l a b l e t o a n o u t s i d e r , p a r t i c u l a r l y o n e w h o w o u l d n o t n o r m a l l y b e c o n s i d e r e d a m e m b e r o f t h e c l a s s ( n e i t h e r a s t u d e n t n o r s o m e o n e t h e r e t o t e a c h ) . P e d i a l i n S e c o n d l y , I s o u g h t t o e x a m i n e h o w p a r t i c u l a r c h i l d r e n u s e d l a n g u a g e a n d r e p r e s e n t a t i o n s o v e r a r a n g e o f m a t h e m a t i c a l c o n t e x t s . T h e c l a s s r o o m c o n t e x t i m p o s e d c o n s t r a i n t s t h a t w o u l d l i k e l y m a k e i t h a r d e r t o e l i c i t o r r e c o g n i z e t h e s e f o r p a r t i c u l a r c h i l d r e n . T h e c l a s s r o o m c o n t e x t w o u l d a l l o w m e t o O b s e r v e t h e c h i l d r e n i n c e r t a i n g i v e n c o n t e x t s - - w o r k i n g i n t h e i r j o u r n a l s , i n t e r a c t i n g w i t h a p a r t n e r o r g r o u p ( o f t h e c h i l d r e n I f o c u s e d o n , n e i t h e r J i m n o r T e r i w e r e i n c l i n e d t o w o r k w i t h o t h e r s m u c h ) , p r e s e n t i n g t h e i r i d e a s a t t h e b o a r d , o r q u e s t i o n i n g 5 4 o t h e r s a t t h e b o a r d . I w i l l q u i c k l y d i s p o s e o f t h e f i r s t a n d l a s t p o s s i b i l i t i e s a n d t h e n t u r n t o t h o s e t h a t w o u l d s e e m m o r e p r o m i s i n g f o r s u c h a s t u d y . T h e f i r s t c o n t e x t , w o r k i n g a l o n e i n t h e i r j o u r n a l s , s u g g e s t s a s i t u a t i o n s i m i l a r t o t h e i n t e r v i e w s . I t s e e m s a n o p p o r t u n i t y t o a c c e s s t h e s a m e r e a s o n i n g , r e p r e s e n t a t i o n s , a n d l a n g u a g e . Y e t , i n s u c h c o n t e x t s , c h i l d r e n d o n o t c a r r y o n t h e s o r t o f n a r r a t i o n o f t h e i r w o r k n e c e s s a r y f o r a r e s e a r c h e r t o u n d e r s t a n d t h e i r r e a s o n i n g - n o r c o u l d I h a v e e n g a g e d i n t h e s o r t O f i n - d e p t h c o n v e r s a t i o n s n e c e s s a r y b e c a u s e o f t i m e a n d n o i s e i s s u e s . T h i s w a s a r e a l - t i m e c l a s s r o o m . T h e l a s t s i t u a t i o n , i n t e r a c t i n g w i t h o t h e r s w h o h a v e p r e s e n t e d t h e i r i d e a s a t t h e b o a r d , d o e s n o t i l l u m i n a t e a c h i l d ’ s p r o c e s s o f r e a s o n i n g a b o u t h e r o w n r e p r e s e n t a t i o n s . I n t h a t i n s t a n c e , t h e f o c u s i s o n t h e r e p r e s e n t a t i o n s O f t h e c h i l d w h o i s a t t h e b o a r d - w h i c h i n t e r t w i n e s w i t h t h e n e c e s s a r y a n a l y s i s o f a n o t h e r ’ s l a n g u a g e u s a g e . ( T h i s O f f e r s a p r o m i s i n g r e s e a r c h s i t e f o r a f o l l o w - u p s t u d y . ) T h e o t h e r c o n t e x t s - w o r k i n g w i t h a p a r t n e r / g r o u p o r p r e s e n t i n g o n e ’ s o w n w o r k a t t h e b o a r d - a r e m o r e c o m p l i c a t e d c a s e s . W o r k i n g i n p a r t n e r s o r g r o u p s l i k e l y w o u l d O f f e r i n s i g h t i n t o c h i l d r e n ’ s r e a s o n i n g a s t h e y w o r k e d o n p r o b l e m s . Y e t , a n a p p r o a c h b a s e d o n t h i s c o n t e x t w o u l d c h a n g e ( t o s a y n o t h i n g O f c o m p l i c a t e ) t h e s t u d y . W h e n w o r k i n g w i t h o t h e r s , t h e r o l e O f l a n g u a g e i s d i f f e r e n t . N o l o n g e r i s t h e c h i l d e s s e n t i a l l y c o m m u n i c a t i n g w i t h t h e s e l f b u t i s n o w m a k i n g a r g u m e n t s f o r o t h e r s . F u r t h e r , t h e r e p r e s e n t a t i o n o f f e r e d m i g h t b e o n e c h i l d ’ s b u t n o t ” o w n e d ” b y o t h e r m e m b e r s o f t h e g r o u p . T h u s , t h e d i s c u s s i o n m a y b e a c a d e m i c f o r s o m e m e m b e r s O f t h e g r o u p . A l s o , t h e c h i l d r e n d i d n o t a l w a y s w o r k i n p a i r s o r g r o u p s . E v e n w h e n t h e y d i d , t h e y d i d n o t a l w a y s w o r k w i t h t h e s a m e c h i l d r e n . T h i s w o u l d m e a n t h a t , i f I w a s s t u d y i n g D a n i e l l e , I w o u l d b e l o o k i n g a t h e r i n t e r a c t i o n s w i t h a v a r i e t y O f o t h e r c h i l d r e n . T h i s w o u l d c o m p l i c a t e t h e l a n g u a g e i s s u e s . W h a t p a r t o f h e r t h i n k i n g w a s a n i s s u e o f h e r 5 5 l i n g u i s t i c r e l a t i o n w i t h m a t h e m a t i c s i t s e l f a n d w h a t p a r t w a s h e r r e l a t i o n w i t h t h e v a r i o u s o t h e r p a r t n e r s ? I n i n t e r v i e w s , h e r o n l y ” p a r t n e r ” w o u l d b e m e . G i v e n t h e f r e e d o m t o c h o o s e p a r t n e r s o r g r o u p s , i t w o u l d h a v e b e e n i m p o s s i b l e f o r a s i n g l e r e s e a r c h e r t o f o c u s o n o n e g r o u p o v e r t i m e u w h i c h i s c l e a r l y n e c e s s a r y f o r t h e i n - d e p t h a n a l y s i s a n d u n d e r s t a n d i n g I s o u g h t . O f c o u r s e , c l a s s r o o m i n t e r a c t i o n s a r e i m p o r t a n t a s p e c t s o f m a t h e m a t i c a l l e a r n i n g a n d w o r t h y o f s t u d y b u t w o u l d c h a n g e t h e g o a l s o f t h i s s t u d y . F i n a l l y , a t t h e b o a r d t h e c h i l d r e n a r e r e - p r e s e n t i n g t h e i r w o r k . T h a t i s , t h e y a r e r e p r o d u c i n g t h e r e a s o n i n g a n d r e p r e s e n t a t i o n s t h e y e n g a g e d i n w h i l e s o l v i n g t h e p r o b l e m . T h e c h i l d a t t h e b o a r d p r e s e n t s w o r k a l r e a d y c o m p l e t e d ( l i k e a c o m p l e t e d p r o o f ) r a t h e r t h a n t h e d e v e l o p m e n t o f t h e s o l u t i o n ( l i k e f i g u r i n g o u t h o w t o p r o v e s o m e t h i n g ) . W h i l e v a l u a b l e f o r s t u d y , i t m i s s e s t h e d e c i s i o n - m a k i n g t h a t w e n t i n t o t h e c r e a t i o n o f t h e s o l u t i o n t h e y p r e s e n t . I w i l l a r g u e i n t h e c o n c l u d i n g c h a p t e r t h a t r e s e a r c h s i t u a t e d i n t h e c l a s s r o o m w o u l d b e i m p o r t a n t f o r u n d e r s t a n d i n g t h e r e l a t i o n b e t w e e n l a n g u a g e a n d r e p r e s e n t a t i o n s a s c h i l d r e n l e a r n i s a n i m p o r t a n t n e x t s t u d y . H o w e v e r , t h e n a t u r e o f t h e c l a s s r o o m i n w h i c h t h i s s t u d y t o o k p l a c e ( g e n e r a l l y , c h i l d r e n w e r e f r e e t o c h o o s e t h e i r p a r t n e r s o r t o w o r k a l o n e ) , t h e s i z e O f t h e s t u d y ( a s i n g l e r e s e a r c h e r o v e r a r e l a t i v e l y s h o r t p e r i o d o f t i m e ) , a n d t h e c u r r e n t s t a t e O f k n o w l e d g e o f t h e i s s u e s ( t h e r e e x i s t s l i t t l e c l o s e e x a m i n a t i o n o f c h i l d r e n e n g a g e d i n d o i n g m a t h e m a t i c s t h a t f o c u s e s o n l a n g u a g e a n d r e p r e s e n t a t i o n s ) , i n d i c a t e d I c a r r y t h i s s t u d y o u t a s a s e r i e s o f i n t e r v i e w s . W a n t : A t h i r d f a c t o r t h a t c a u s e d m e t o d e m u r f r o m a t t e m p t i n g t h i s r e s e a r c h w i t h i n t h e c o n f i n e s o f t h e c l a s s r o o m w a s t h a t I d i d n o t h a v e e n o u g h k n o w l e d g e 5 6 o f t h e r e l a t i o n s h i p s a b o u t w h i c h I w a s s e e k i n g t o l e a r n . P r i o r r e s e a r c h o f t h i s s o r t d i d n o t e x i s t . A s I e m b a r k e d , I s o u g h t r e s o u r c e s w i d e l y d e f i n e d - m o w , I w o u l d s e e k r e p r e s e n t a t i o n s . W h e n I s t a r t e d , I d i d n o t u n d e r s t a n d t h e c o m p l e x i t y O f r e l a t i o n s h i p s a m o n g c o n t e x t , a t t i t u d e , a n d p e r c e p t i o n O f m a t h e m a t i c s , a n d t h e i r r o l e i n e n a b l i n g a n d c o n s t r a i n i n g d o i n g m a t h e m a t i c s . M E T H O D O L O G I C A L P R O C E D U R E S A l l i n t e r v i e w s t o o k p l a c e i n a n o t h e r w i s e u n o c c u p i e d r o o m i n t h e c h i l d r e n ’ s s c h o o l . P r i o r t o e a c h i n t e r v i e w , I s e t - u p a n u n m a n n e d v i d e o c a m e r a t o r e c o r d t h e c h i l d ’ s a c t i o n s a n d e x p r e s s i o n s . I a l s o s e t - u p a n a u d i o r e c o r d e r w i t h a n u n o b t r u s i v e r e m o t e m i c r o p h o n e . I p l a c e d n o t e b o o k p a p e r a n d a n u m b e r o f p e n c i l s o n t h e t a b l e i n t h e a r e a w h e r e I a s k e d s t u d e n t s t o s i t . I g e n e r a l l y d i d n o t s p e c i f i c a l l y a s k t h e m t o u s e t h e p a p e r . W h e n I c o u l d n o t f o l l o w t h e i r t h i n k i n g a n d t h e y w e r e n o t w r i t i n g o r d r a w i n g , I m i g h t a s k i f t h e y c o u l d d r a w a p i c t u r e t o s h o w m e . D u r i n g t h e i n t e r v i e w s m o s t o f m y d e c i s i o n s a b o u t t h e i n t e r a c t i o n s o c c u r r e d i n t h e m o m e n t a n d w e r e c h i l d - s p e c i f i c . I r e s p o n d e d a n d p r o b e d e a c h p a r t i c i p a n t b a s e d o n w h a t t h a t c h i l d w a s c u r r e n t l y s a y i n g a n d d o i n g . T h u s , I d e s i g n e d q u e s t i o n s a n d t a s k s t o o r g a n i z e t h e i n t e r v i e w a n d i n i t i a t e t h e c o n v e r s a t i o n s . I f o l l o w e d u p i n i t i a t i n g a c t i v i t i e s w i t h p r o b e s . T o t h a t e n d , I d e s i g n e d g u i d e l i n e s f o r w h y I w o u l d p r o b e , w h a t I w o u l d p r o b e , a n d h o w I w o u l d p r o b e . 0 W h y : I p r o b e d r e s p o n s e s O f t h e p a r t i c i p a n t s t h a t s e e m e d t o s u g g e s t u n a r t i c u l a t e d b e l i e f s , d i s p o s i t i o n s , a n d d e c i s i o n s . M y g o a l i n p r o b i n g s u c h r e s p o n s e s w a s t o c r e a t e a n o p p o r t u n i t y f o r t h e c h i l d t o m a k e e x p l i c i t s o m e o f h i s b e l i e f s , d i s p o s i t i o n s , a n d d e c i s i o n s . 0 W h a t : I n a s e n s e , I w a n t e d t o p r o b e e v e r y t h i n g t h e p a r t i c i p a n t s s a i d a n d d i d . S i n c e t h i s w a s n o t p r a c t i c a l , I f o c u s e d o n s t a t e m e n t s s u c h a s t h o s e w h i c h 5 7 a p p e a r e d t o b e t h e r e s u l t o f s o m e d e c i s i o n - m a k i n g p r o c e s s o r t o r e s u l t f r o m t h e s e l e c t i o n o r u s e o f r e p r e s e n t a t i o n s n o t m a d e v i s i b l e . 0 H o w : T h e p r o b e s g e n e r a l l y t o o k t h e f o r m o f q u e s t i o n s s u c h a s : C o u l d y o u s a y m o r e a b o u t t h a t ? W h e n y o u s a y [ f i l l i n c h i l d ’ s s t a t e m e n t ] , w h a t d o y o u m e a n ? H o w w o u l d y o u e x p l a i n t h a t t o [ y o u r l i t t l e b r o t h e r , s i s t e r , a s e c o n d g r a d e r ] ? W h a t i f a f r i e n d O f y o u r s s a i d t h a t s h e d i s a g r e e d w i t h t h a t [ p o s s i b l y g i v i n g s p e c i f i c c o m p e t i n g a r g u m e n t o r t h e o r y ] , w h a t w o u l d y o u s a y ? I f s o m e o n e s a i d t h e y d i d n o t t h i n k y o u c o u l d d o i t t h a t w a y , w h a t w o u l d y o u s a y ? D O y o u k n o w a n o t h e r w a y t o s h o w i t ? I h a d t h e a u d i o t a p e s t r a n s c r i b e d a n d t h e n p e r s o n a l l y a n n o t a t e d t h e m w i t h c o m m e n t s a b o u t f a c i a l e x p r e s s i o n s , b o d y l a n g u a g e , t o n e o f v o i c e , a n d s o f o r t h . I c o d e d t h e d a t a i n s e v e r a l w a y s ( d e t a i l e d i n t h e A n a l y s i s s e c t i o n b e l o w ) . I c o n s t r u c t e d i n d i v i d u a l c a s e s a l o n g w i t h c a s e s t h a t c u t a c r o s s c h i l d r e n . I n t h e i n d i v i d u a l c a s e s , I e x p l o r e d t h e c h i l d r e n ’ s s e n s e m a k i n g i n m a t h e m a t i c s : H o w d i d t h e y a p p r o a c h m a t h e m a t i c a l s i t u a t i o n s ? O n c e i n a s i t u a t i o n , h o w d i d t h e y g o a b o u t i n t e r p r e t i n g w h a t t h e s i t u a t i o n w a s a b o u t a n d w h a t t h e y w e r e d o i n g i n t h e s i t u a t i o n ? W h a t r e p r e s e n t a t i o n s c a m e i n t o p l a y i n t h e i r d e c i s i o n - m a k i n g p r o c e s s e s a n d h o w d i d t h e s e e n a b l e o r c o n s t r a i n t h e i r w o r k ? I n c r o s s - s t u d e n t c a s e s , I l o o k e d a t i s s u e s r e l a t e d t o l a n g u a g e a n d r e p r e s e n t a t i o n . P I L O T S T U D Y H a v i n g c h o s e n t o s t u d y t h i r d g r a d e r s ’ u s e O f r e s o u r c e s w h i l e d o i n g m a t h e m a t i c s , I c a r r i e d o u t a p i l o t s t u d y . I c r e a t e d a s e t O f q u e s t i o n s a n d a c t i v i t i e s i n t h e f o r m o f t w o i n t e r v i e w p r o t o c o l s . T h e f i r s t i n t e r v i e w w a s d e s i g n e d t o e l i c i t a t t i t u d e s a n d b e l i e f s a b o u t m a t h e m a t i c s ; t h e s e c o n d e x p l o r e d a r a n g e o f m a t h e m a t i c a l c o n t e n t , b o t h t r a d i t i o n a l ( e . g . , m u l t i p l i c a t i o n a n d s u b t r a c t i o n ) a n d l e s s t r a d i t i o n a l ( e . g . , p r o b a b i l i t y a n d c o m b i n a t o r i c s ) . I u s e d t h e s e i n t e r v i e w s w i t h t h r e e c h i l d r e n ( a l l C a u c a s i a n , t w o m a l e s a n d o n e f e m a l e ) O f c o l l e a g u e s . A l l w e r e n e a r t h i r d g r a d e a g e a n d w e r e i n t e r v i e w e d i n t w o p a r t s . T h e s e i n t e r v i e w s w e r e a u d i o t a p e d a n d t r a n s c r i b e d . 5 8 M y g o a l f o r t h e p i l o t s t u d y w a s t o e x p l o r e t h i n k i n g w i t h i n t h e p r o c e s s O f c r e a t i n g s o l u t i o n s t o m a t h e m a t i c a l t a s k s . M y e x p e r i e n c e w i t h s t u d e n t s s u g g e s t e d t h a t t h e y c o u l d m a k e a r g u m e n t s t h a t w e r e g r o u n d e d i n l o g i c b u t t h a t t h e y m a y n o t b e c o n v i n c e d b y t h e i r o w n a r g u m e n t s . M y g o a l w a s t o e l i c i t t h e r e a s o n i n g t h e y e n g a g e d i n d u r i n g t h e p r o c e s s O f s o l v i n g t o t r y t o u n d e r s t a n d t h i s a p p a r e n t d i s c o n t i n u i t y . I n t h e p i l o t s t u d y , s o m e O f t h e m o s t i n t e r e s t i n g d a t a r e s u l t e d f r o m c h i l d r e n w o r k i n g o n p r o b l e m s t h a t c a r r i e d t h e m i n t o u n f a m i l i a r m a t h e m a t i c a l t e r r i t o r y o r , a s I c a m e t o p h r a s e i t , p u t t h e m o n t h e b o u n d a r y o f t h e i r k n o w l e d g e . T h i s s e e m e d t o p u t t h e m i n a s i t u a t i o n i n w h i c h t h e y h a d f e w e r p r e - e s t a b l i s h e d r e s o u r c e s u p o n w h i c h t o d r a w . T h e y s t r u g g l e d - - a n d t o s o m e d e g r e e t a l k e d a b o u t t h e i r s t r u g g l e s - t o f i g u r e o u t w h i c h r e s o u r c e s w o u l d h e l p t h e m i n t h e s i t u a t i o n . T h e y c o m m u n i c a t e d w i t h t h e m s e l v e s i n m o r e O b v i o u s , m o r e a n a l y z a b l e w a y s a s t h e y n e g o t i a t e d t h e i r u n d e r s t a n d i n g o f t h e m a t h e m a t i c a l c o n t e x t s . T h e i r t h i n k i n g w a s m a d e m o r e m a n i f e s t i n i n s t a n c e s w h e r e t h e y a p p e a r e d t o b e o n t h e s e b o u n d a r i e s . 1 9 A f r u i t f u l p l a c e t o e x p l o r e m y i n t e r e s t s s e e m e d t o b e o f f e r e d w h e n i n t e r v i e w e e s w e r e o n t h e b o u n d a r y o f t h e i r k n o w l e d g e . F i n d i n g w a y s t o c r e a t e s u c h s i t u a t i o n s , r e c o g n i z i n g w h e n t h e y o c c u r , a t t e n d i n g c a r e f u l l y t o t h e m , a n d p r o b i n g t h i n k i n g d u r i n g t h e i n t e r v i e w s b e c a m e m y i n t e r n a l m a n t r a s . T h e t h r e e p i l o t c h i l d r e n m a d e f r e e u s e o f s c h o o l - b a s e d a l g o r i t h m s . T h i s w a s e s p e c i a l l y e v i d e n t i n w o r k o n t h e C a n d y B a r p r o b l e m b u t a l s o s u r f a c e d i n o t h e r s i t u a t i o n s s u c h a s D y l a n ’ s s o l u t i o n t o h i s f a t h e r ’ s " r e a l m a t h ” p r o b l e m ( s e e 1 9 T h i s i s r e m i n i s c e n t o f V y g o t s k y ’ s ( 1 9 7 8 ) c o n c e p t o f t h e z o n e o f p r o x i m a l d e v e l o p m e n t . H o w e v e r , m y c o n c e r n i s n o t w i t h d e v e l o p m e n t , p e r s e . 1 w a s n o t e n g a g e d i n h e l p i n g t h e c h i l d r e n r e a s o n b e y o n d t h e i r a b i l i t y t o d o s o a l o n e . R a t h e r , I s o u g h t t o u n d e r s t a n d t h e t o o l s t h e y u s e d a n d t h e i r d e c i s i o n - m a k i n g p r o c e s s e s . 5 9 l e t t e r t o D y l a n , A p p e n d i x E ) . T h i s l a t t e r w a s o f p a r t i c u l a r n o t e s i n c e D y l a n w a s d o i n g a p r o b l e m h e t h o u g h t a t e a c h e r w o u l d n e v e r g i v e h i m i n s c h o o l u t h a t w a s t h e p o i n t O f h i s b r i n g i n g i t u p - - b y u s i n g t h e v e r y r e s o u r c e s o f s c h o o l t h a t h e h a d d i s p a r a g e d . S u c h p i l o t d a t a l e d m e t o f o c u s o n t h e k i n d s o f r e s o u r c e s c h i l d r e n u s e d i n c o n t e x t u a l i z e d , ” r e a l w o r l d ” p r o b l e m s . M y a n a l y s i s o f t h e p i l o t d a t a s u g g e s t e d s e v e r a l t h i n g s a b o u t t h e p r o t o c o l : 0 T h e s o r t s w e r e e f f e c t i v e i n e l i c i t i n g c h i l d r e n ’ s b e l i e f s a b o u t w h a t m a t h e m a t i c s i s a n d t h e i r a t t i t u d e s t o w a r d m a t h e m a t i c s ; 0 I n t e r m s o f c o n t e n t , a l l h a d e x p e r i e n c e s w i t h c o m b i n a t o r i c s b u t n o n e w i t h p r o b a b i l i t y ; 0 T h e c h i l d r e n w e r e c h a l l e n g e d i n d i f f e r e n t w a y s b y t h e s a m e t a s k ( o r e x t e n s i o n o f i t ) ; 0 T h e c h i l d r e n ’ s e n g a g e m e n t w i t h s o m e t a s k s w a s n o t h e l p f u l i n a d d r e s s i n g t h e q u e s t i o n s o f t h e p i l o t s t u d y ( e . g . , p r o b a b i l i t y ) . O t h e r s — t a s k s t h a t p u t c h i l d r e n o n b o u n d a r i e s O f t h e i r k n o w l e d g e o r u n d e r s t a n d i n g - w e r e o p t i m a l i n e l i c i t i n g m a t h e m a t i c a l r e a s o n i n g . I n t h e p r o c e s s o f l o o k i n g a t t h e d a t a f r o m t h e p i l o t s t u d y , I b e c a m e i n t r i g u e d b y t h e u s e o f r e s o u r c e s . T h e t h r e e c h i l d r e n e m p l o y e d d i f f e r e n t r e s o u r c e s a n d u s e d t h e m i n d i f f e r e n t w a y s . T h e c h o i c e o f r e s o u r c e s a n d t h e i r u s e a p p e a r e d t o p l a y a r o l e i n b o t h t h e c h i l d r e n ’ s s u c c e s s a n d c o n f i d e n c e . C o n s e q u e n t l y , c a r e f u l e l i c i t a t i o n a n d a n a l y s i s o f c h i l d r e n ’ s r e s o u r c e s p r o m i s e d i n s i g h t s i n t o m y o r i g i n a l q u e s t i o n s — h o w c h i l d r e n c o u l d r e a s o n t h r o u g h a s o l u t i o n ( n o t m e r e l y a p p l y a n a l g o r i t h m ) a n d y e t b e u n c o n v i n c e d o f t h e v a l i d i t y o f t h e i r r e a s o n i n g o r t h e c o r r e c t n e s s o f t h e i r s o l u t i o n . T h u s , I w a s s a t i s f i e d t h a t , w i t h m o d i f i c a t i o n o f t h e i n t e r v i e w s , t h e s t u d y h a d t h e p o t e n t i a l t o e l i c i t t h e d a t a t h a t I s o u g h t ; d a t a t h a t , w h e n a n a l y z e d , p r o m i s e d t o i l l u m i n a t e t h e q u e s t i o n s d e t a i l e d i n c h a p t e r 1 . M A I N S T U D Y D A T A C O L L E C T I O N I i n t e n d e d t h i s s t u d y t o p l u m b d e e p e r t h a n t h e p i l o t . A s a r e s u l t , I p l a n n e d a l o n g e r s e q u e n c e o f i n t e r v i e w s . M y i n t e n t w a s t o u s e a m o d i fi e d v e r s i o n O f t h e fi r s t p i l o t i n t e r v i e w t o O b t a i n i n f o r m a t i o n a b o u t t h e c h i l d r e n ’ s b e l i e f s a n d a t t i t u d e s . I a l s o m o d i f i e d t h e s e c o n d o r c o n t e n t i n t e r v i e w , d e l e t i n g i t e m s t h a t s e e m e d l e s s f r u i t f u l o r m a t h e m a t i c a l l y r e d u n d a n t a n d a d d i n g i t e m s t h a t b r o a d e n e d b o t h t h e s c o p e o f c o n t e n t a n d t h e l i k e l i h o o d o f v a r i a t i o n i n r e p r e s e n t a t i o n s a n d / o r r e s o u r c e s . B e f o r e a d d r e s s i n g t h e s p e c i fi c s o f t h e i n t e r v i e w s , I t u r n t o p r o c e d u r e s f o r s e l e c t i n g t h e c h i l d r e n . T h e C h i l d r e n ’ s C o n t e x t A s n o t e d , I d e c i d e d t o i n t e r v i e w c h i l d r e n f r o m t h e t h i r d g r a d e c l a s s o f a t e a c h e r w h o m I k n e w t h r o u g h a r e s e a r c h p r o j e c t . I w a s c o n f i d e n t t h i s t e a c h e r w o u l d a l l o w a c c e s s t o h e r c h i l d r e n — i n f a c t , t h a t s h e w o u l d f i n d p r o fi t f o r h e r o w n t e a c h i n g i n m y l e a r n i n g a b o u t c h i l d r e n ’ s w a y s O f t h i n k i n g . T h u s , t h e c h i l d r e n o f t h e s t u d y w e r e f r o m t h e o n e t h i r d g r a d e c l a s s r o o m i n a l o w e r m i d d l e c l a s s , p u b l i c e l e m e n t a r y s c h o o l . T h e y w e r e c o n c l u d i n g t h e i r s e c o n d y e a r w i t h t h e s a m e t e a c h e r a n d ( m o s t l y ) t h e s a m e c l a s s m a t e s . T h e s c h o o l h a d a s l i g h t l y m o r e t h a n fi f t y p e r c e n t m i n o r i t y p o p u l a t i o n , o v e r 9 0 p e r c e n t O f w h i c h w e r e A f r i c a n A m e r i c a n . T h e s c h o o l i s l o c a t e d i n a m i d - s i z e d m i d w e s t e r n c i t y . T h e t e a c h e r h a d b e e n c h a n g i n g h e r p r a c t i c e o v e r s e v e r a l y e a r s i n c o n j u n c t i o n w i t h t h e N C T M S t a n d a r d s a n d s i m i l a r r e f o r m e f f o r t s . S h e s p e n t 6 1 c o n s i d e r a b l e t i m e e x a m i n i n g a n d r e - c o n s t r u c t i n g h e r p r a c t i c e . S h e w a s s u p p o r t e d i n t h e s e e f f o r t s b y p a r t i c i p a t i o n i n a r e s e a r c h p r o j e c t s p o n s o r e d b y a n e a r b y U n i v e r s i t y . T h r o u g h t h i s p r o j e c t , s h e m e t r e g u l a r l y w i t h a g r o u p o f e l e m e n t a r y t e a c h e r s a n d U n i v e r s i t y r e s e a r c h e r s . S h e v a l u e d a n d f o s t e r e d t h e s o r t o f m a t h e m a t i c a l d i s c o u r s e a d v o c a t e d w i t h i n t h e S t a n d a r d s . I n c o n s e q u e n c e , a t t h e t i m e o f t h e i n t e r v i e w s , t h e c h i l d r e n o f t h e s t u d y h a d h a d a b o u t t w o y e a r s o f m a t h e m a t i c s i n w h i c h t h e t e a c h e r p l a c e d s i g n i f i c a n t e m p h a s i s o n c o m m u n i c a t i n g m a t h e m a t i c a l l y a n d m a k i n g p e r s o n a l s e n s e O f m a t h e m a t i c a l i d e a s . B e c a u s e O f t h e i r e x p e r i e n c e s w i t h m a t h e m a t i c a l c o n v e r s a t i o n i n t h i s c l a s s r o o m , t h e s e t h i r d g r a d e r s p o t e n t i a l l y w o u l d b e r e s p o n s i v e t o m e , e x p r e s s i n g t h e m s e l v e s O p e n l y a b o u t a n d w i t h i n t h e m a t h e m a t i c s . 2 0 S e l e c t i o n o f t h e C h i l d r e n B e f o r e s e l e c t i n g c h i l d r e n , I v i s i t e d t h e c l a s s r o o m s e v e r a l t i m e s t o g e t a s e n s e O f t h e c h i l d r e n , t o g e t a s e n s e O f t h e i r c u r r e n t m a t h e m a t i c a l e x p l o r a t i o n s , a n d t o l e t t h e m g e t a s e n s e o f m e . I d e v e l o p e d r o u g h s o c i a l a n d m a t h e m a t i c a l s k e t c h e s o f i n d i v i d u a l c h i l d r e n a s I w a t c h e d s h a r i n g t i m e a n d m a t h e m a t i c s c l a s s e s ( f o r t h e m o s t p a r t ) . 2 1 I h a d d e c i d e d t o s t a r t b y i n t e r v i e w i n g s i x c h i l d r e n . I e x p e c t e d t o t r y t o c h o o s e a n e q u a l n u m b e r O f m a l e s a n d f e m a l e s , A f r i c a n - A m e r i c a n s a n d C a u c a s i a n s . 2 2 I h a d l i t t l e c o n c r e t e i d e a w h a t r o l e e i t h e r g e n d e r o r e t h n i c i t y w o u l d p l a y i n t h i s s t u d y . H o w e v e r , m u c h r e s e a r c h e x p l o r e s d i f f e r e n c e s i n m a t h e m a t i c a l a b i l i t y , m a t h e m a t i c a l w a y s o f t h i n k i n g , e m o t i o n a l r e s p o n s e t o m a t h e m a t i c a l s i t u a t i o n s , e t c . a c r o s s g e n d e r ( e . g . , A A U W , 1 9 9 2 ; C o l e 8 : G r i f f e n , 1 9 8 7 ; F e n n e m a 8 : L e d e r , 1 9 9 0 ; S a d k e r 8 : S a d k e r , 1 9 9 4 ) . A s m a l l e r b o d y o f 2 9 0 ! c o u r s e , t h i s m a k e s t h e s u b j e c t s o f m y s t u d y s p e c i a l i n a v a r i e t y o f w a y s . 2 1 O n o c c a s i o n , I a l s o o b s e r v e d t h e c l a s s a t r e c e s s a n d d u r i n g r e a d i n g / l a n g u a g e a r t s a c t i v i t i e s . 2 2 E x c e p t f o r o n e H i s p a n i c m a l e , a l l c h i l d r e n i n t h e c l a s s w e r e C a u c a s i a n o r A f r i c a n - A m e r i c a n . 6 2 r e s e a r c h e x p l o r e s t h e s a m e i s s u e s a c r o s s r a c e ( e . g . , S t i f f , 1 9 8 8 , S t i f f 8 : H a r v e y , 1 9 8 8 , W a l k e r , 1 9 9 2 ) . R e c o g n i z i n g t h e p o t e n t i a l f o r s u c h d i f f e r e n c e s t o p l a y a r o l e i n c h i l d r e n ’ s m a t h e m a t i c a l r e a s o n i n g , I c h o s e t o i n c o r p o r a t e a s m u c h d i v e r s i t y a s p o s s i b l e i n m y s e l e c t i o n s . A f t e r s e v e r a l v i s i t s , I g r o u p e d s t u d e n t s w h o e x h i b i t e d e x t e r n a l l y s i m i l a r c h a r a c t e r i s t i c s : g e n d e r , r a c e , f r e q u e n c y o f p a r t i c i p a t i o n , t y p e s o f c o n t r i b u t i o n s , d e p t h O f t h i n k i n g . I t h e n m a d e p r e l i m i n a r y s e l e c t i o n o f s e v e r a l s t u d e n t s f r o m t h e s e c a t e g o r i e s . I d i s c u s s e d t h e s e t e n t a t i v e s e l e c t i o n s w i t h t h e t e a c h e r a n d t o g e t h e r w e m a d e r e v i s i o n s g r o w i n g o u t o f o u r c o n v e r s a t i o n . T a b l e 1 p r o v i d e s a b r e a k d o w n o f t h e c h i l d r e n t h e t e a c h e r a n d I s e l e c t e d . G e n d e r 8 : D a t e O f B i r t h D a t e s o f i n t e r v i e w s ( a l l 1 9 9 4 ) E t h n i c i t y . M a l e , A f r i c a n - . B e n n i e A m e r i c a n 1 2 / 2 4 / 8 5 M a r c h 2 2 , A p r i l 1 5 , M a y 9 B e r t M a l e , C a u c a s i a n 1 2 / 9 / 8 6 2 3 M a r c h 2 3 , A p r i l 1 8 , M a y 1 1 D a n i e l l e F e m a l e , M i x e d 2 4 6 / 1 3 / 8 5 M a r c h 2 3 , A p r i l 1 8 , M a y 9 , J u l y 2 8 J i m M a l e , C a u c a s i a n 4 / 1 3 / 8 5 M a r c h 2 3 , A p r i l 1 8 , M a y 1 1 , J u n e 8 . F e m a l e , A f r i c a n - . N i c o l e A m e r i c a n 1 0 / 6 / 8 4 M a r c h 2 2 , A p r i l 1 5 , M a y 2 4 T e r i F e m a l e , C a u c a s i a n 6 / 7 / 8 5 M a r c h 2 2 , A p r i l 1 5 , M a y 9 T a b l e 1 : V i t a l s t a t i s t i c s o f t h e c h i l d r e n o f t h e s t u d y . I n t e r v i e w D e s i g n I u s e d t h e f i r s t i n t e r v i e w t o d e v e l o p a r e l a t i o n s h i p w i t h t h e c h i l d r e n a n d t o e x p l o r e t h e i r b e l i e f s a n d a t t i t u d e s i n r e l a t i o n t o m a t h e m a t i c s . O n a g e n e r a l l e v e l , t h e fi r s t i n t e r v i e w e x p l o r e d h o w e a c h o f t h e c h i l d r e n t h o u g h t a n d f e l t a b o u t m a t h e m a t i c s . T h e s u b s e q u e n t i n t e r v i e w s e x p l o r e d m a t h e m a t i c a l c o n t e n t , g r a d u a l l y h o n i n g i n o n s p e c i fi c m a t h e m a t i c a l c o n c e p t s w h i l e e l i c i t i n g t h e 2 3 B e r t s a i d t h a t h e h a d s t a r t e d s c h o o l a y e a r e a r l y . 2 ‘ D a n i e l l e ’ s m o t h e r w a s C a u c a s i a n a n d h e r f a t h e r , A f r i c a n - A m e r i c a n . 6 3 c h i l d r e n ’ s r e a s o n i n g a n d u s e O f l a n g u a g e a n d r e p r e s e n t a t i o n s . T h e m a t h e m a t i c a l a c t i v i t i e s O f t h e l a t e r i n t e r v i e w s w e r e d e s i g n e d t o b e a p p r o x i m a t e l y c o n g r u e n t w i t h t h o s e o f t h e c h i l d r e n ’ s c l a s s r o o m t e a c h e r . T h a t i s , m o s t t a s k s w e r e s i t u a t e d i n s t o r y c o n t e x t s t h a t i n c o r p o r a t e d t h e c h i l d r e n a n d t h e i r p e e r s . I c h o s e t h i s d e s i g n t o p r o v i d e t h e b e s t o p p o r t u n i t y t o e l i c i t t h e k i n d o f t h i n k i n g a n d d e c i s i o n - m a k i n g i n w h i c h t h e c h i l d r e n e n g a g e d i n t h e i r r e f o r m - o r i e n t e d c l a s s r o o m ( s e e a l s o N u n e s e t a l . , 1 9 9 3 ) . W e » : A s i n t h e p i l o t s t u d y , t h e fi r s t i n t e r v i e w e x p l o r e d e a c h c h i l d ’ s b e l i e f s a b o u t m a t h e m a t i c s t h r o u g h b o t h i n d i r e c t q u e s t i o n s a n d c a r d s o r t s . A f t e r p r e l i m i n a r y c o n v e r s a t i o n s a b o u t t h e i r l i k e s a n d d i s l i k e s r e l a t i v e t o s c h o o l a n d s c h o o l s u b j e c t s , I a s k e d w h a t t h e y t h o u g h t w h e n I s a i d " m a t h e m a t i c s , " w h e n t h e i r t e a c h e r s a i d " m a t h e m a t i c s , ” a n d s o f o r t h . 2 5 N e x t , I a s k e d t h e c h i l d r e n t o p e r f o r m t w o d i f f e r e n t c a r d s o r t s . 2 6 I n t h e f i r s t s o r t , e a c h c a r d h a d a n a c t i v i t y w r i t t e n o n i t ( e . g . , ” s l i c i n g a c a k e , ” " p l a n n i n g a b a t h r o o m fl o o r t i l e p a t t e r n , ” " 2 5 + 3 2 ” ) . I n t h e s e c o n d s o r t , e a c h c a r d h a d a n o c c u p a t i o n o n i t ( e . g . , ” t e a c h e r , ” ” m a t h e m a t i c i a n , " ” e n g i n e e r , ” " c u s t o d i a n ” ) . I a s k e d t h e c h i l d r e n t o p u t t h e c a r d s i n t o p i l e s a c c o r d i n g t o w h e t h e r t h e y b e l i e v e d w h a t w a s o n t h e c a r d d i d o r d i d n o t i n v o l v e m a t h e m a t i c s . I a s k e d t h e c h i l d r e n , a s t h e y s o r t e d , t o d e s c r i b e h o w t h e y d e c i d e d i n w h i c h p i l e a c a r d b e l o n g e d . 2 5 C o m p l e t e p r o t o c o l s O f t h e i n t e r v i e w s c o m p r i s e A p p e n d i c e s A , B , C , D . W h i l e t h e f i r s t t h r e e i n t e r v i e w s s t a r t e d w i t h t h e s a m e p r o t o c o l , d u r i n g e a c h t a s k I f o l l o w e d t h e c h i l d ’ s t h i n k i n g a n d t h u s w a s u n i q u e . M a n y p r o b e s I u s e d a r e n o t i n c l u d e d a s t h e y w e r e r e s p o n s i v e t o a c h i l d ’ s u t t e r a n c e s a n d a p p a r e n t r e a s o n i n g . T h i s c o r r e s p o n d s w i t h t h e " f l e x i b l e i n t e r v i e w ” d e s c r i b e d b y G i n s b u r g , J a c o b s , a n d L o p e z ( 1 9 9 3 ) . F o r e x a m p l e , t h e A g e C o n v e r s a t i o n t a s k p r o c e e d e d a l o n g s t r i k i n g l y d i f f e r e n t l i n e s a c r o s s t h e c h i l d r e n . F o r J i m , t h e f o c u s i n l a r g e p a r t w a s o n c o n fi r m i n g h o w O l d h e w a s g i v e n h i s d a t e o f b i r t h ; f o r B e r t , i t w a s d e t e r m i n i n g t h e f r a c t i o n a l p a r t o f h i s a g e . 2 6 5 e e A p p e n d i x A f o r l i s t s o f t h e c a r d s o r t i t e m s . 6 4 T h r o u g h t h i s p r o c e s s , I g a i n e d a s e n s e o f t h e c h i l d r e n ’ s b e l i e f s a b o u t w h a t m a t h e m a t i c s i s a n d t h e i r a t t i t u d e s t o w a r d i t . F o l l o w i n g t h e s o r t s , I a s k e d w h a t t h e y k n e w a b o u t z e r o a n d a b o u t e v e n a n d o d d n u m b e r s . I k n e w t h e c l a s s h a d e n g a g e d i n c o n v e r s a t i o n s a b o u t e a c h o f t h e s e c o n c e p t s b u t t h a t t h e c h i l d r e n ’ s u n d e r s t a n d i n g o f t h e m w a s l i k e l y s t i l l f r a g i l e . T h i s f r a g i l i t y s u g g e s t e d a n o p p o r t u n e c o n t e n t t o f i n d b o u n d a r i e s o f k n o w l e d g e . T h e i n t e r v i e w w a s a l s o d e s i g n e d t o e x p l o r e w h a t t h e y k n e w a b o u t f o u r a r i t h m e t i c o p e r a t i o n s ( a d d i t i o n , s u b t r a c t i o n , m u l t i p l i c a t i o n , d i v i s i o n ) t h r o u g h d i r e c t q u e s t i o n s a n d a s e r i e s o f t r a d i t i o n a l p r o b l e m s f o r e a c h O p e r a t i o n . C o n s t r a i n e d b y t i m e a n d a t t e n t i o n , I m a d e c h o i c e s a b o u t q u e s t i o n i n g t h e i r k n o w l e d g e o f z e r o , e v e n a n d o d d n u m b e r s , a n d O p e r a t i o n s b a s e d o n t h e e a r l i e r c o n v e r s a t i o n . F o r e x a m p l e , d u r i n g t h e i n t e r v i e w , D a n i e l l e h a d p o s i t e d ” 1 2 7 p l u s 2 6 8 o r s o m e t h i n g " a s a h a r d p r o b l e m . I c h o s e t o e x p l o r e a d d i t i o n w i t h h e r , g r a d u a l l y i n c r e a s i n g t h e d i f fi c u l t y o f t r a d i t i o n a l a d d i t i o n p r o b l e m s u p t o h e r o w n p r o b l e m . S i n c e s u b s e q u e n t i n t e r v i e w s w o u l d b e c o m p r i s e d o f n o n - t r a d i t i o n a l t a s k s , I h e r e s o u g h t t o d e v e l o p a s e n s e o f t h e i r c o m p u t a t i o n a l f a c i l i t y b y p o s i n g t r a d i t i o n a l p r o b l e m s . I n a m e m o , I g a v e a f i r s t i m p r e s s i o n t h a t n o t e d d i f f e r e n c e s f r o m t h e c h i l d r e n o f t h e p i l o t a l o n g w i t h d i f f e r e n c e s a c r o s s t h e s e c h i l d r e n : T h e c h i l d r e n a r e v e r y d i f f e r e n t t h a n t h e p i l o t c h i l d r e n ( n o s u r p r i s e ) b u t a l s o v a r y q u i t e a b i t a c r o s s t h i s s a m p l e . T h e m o s t O b v i o u s p o i n t . . . i s t h a t t h e s e c h i l d r e n s e e m t o h a v e a v e r y n a r r o w v i e w o f m a t h T h e y d o n o t h a v e m u c h o f a s e n s e o f m a t h a s b e i n g p a r t o f l i f e . I t i s a l l s c h o o l s t u f f - p r o b l e m s , e t c . ( M a r c h 2 4 , 1 9 9 4 ) B e s i d e l e a r n i n g a b o u t t h e c h i l d r e n t h e m s e l v e s , I i n t e n d e d t h i s s t u d y t o h e l p r e s e a r c h e r s l e a r n h o w t o l e a r n a b o u t c h i l d r e n ’ s m a t h e m a t i c a l r e a s o n i n g a n d t h e i r u s e o f r e p r e s e n t a t i o n s . T h u s , m e t h o d o l o g i c a l l y , I g a i n e d i n s i g h t s i n t o t h e k i n d s o f g e n e r a l q u e s t i o n s , t h e i r w o r d i n g , a n d t h e k i n d s o f p r o b e s t h a t s u c c e s s f u l l y d e v e l o p a c o m f o r t a b l e c o n t e x t f o r c h i l d r e n a n d e l i c i t a t t i t u d e s a n d b e l i e f s a b o u t m a t h e m a t i c s . T h e t T h e s e c o n d i n t e r v i e w c o v e r e d a r a n g e o f m a t h e m a t i c s . I c h o s e t h i s a p p r o a c h t o a l l o w a n d e n c o u r a g e t h e e m e r g e n c e o f t h e m o s t v a r i e t y o f r e a s o n i n g a n d r e p r e s e n t a t i o n s . I o p e r a t e d u n d e r t h e a s s u m p t i o n t h a t k n o w l e d g e i s s i t u a t e d ( L a v e 8 : W e n g e r , 1 9 9 1 ) . C o n s e q u e n t l y , l a n g u a g e a n d r e p r e s e n t a t i o n s w e r e l i k e l y t o v a r y a c r o s s t o p i c s . A d d i t i o n a l l y , I s o d e s i g n e d t h e i n t e r v i e w t o m a x i m i z e t h e c h a n c e o f f i n d i n g b o u n d a r i e s . D u r i n g t h e i n t e r v i e w I e n g a g e d e a c h c h i l d i n c o n t e x t u a l i z e d m a t h e m a t i c a l t a s k s I h a d d e v e l o p e d . ” A s i n t h e fi r s t i n t e r v i e w , I a s k e d t h e c h i l d r e n t o t a l k a b o u t w h a t t h e y w e r e d o i n g a n d t h i n k i n g a s t h e y w o r k e d . N a t u r a l l y , I f r e q u e n t l y n e e d e d t o r e m i n d a n d e n c o u r a g e t h e m t o d o s o , u s u a l l y w i t h q u e s t i o n s s u c h a s , " W h a t a r e y o u t h i n k i n g a b o u t n o w ? ” a n d " H o w d i d y o u d e c i d e t h a t ? ” A t t i m e s I a s k e d m o r e s p e c i f i c q u e s t i o n s , s a y , " I n o t i c e d t h a t fi r s t y o u d i d X b u t t h e n q u i c k l y c h a n g e d t o Y . W h y d i d y o u c h a n g e ? ” T h e t a s k s c o v e r e d a r a n g e o f t o p i c s c h i l d r e n a r e u s u a l l y i n t r o d u c e d t o a r o u n d t h i r d g r a d e o r t h o s e I t h o u g h t w o u l d c h a l l e n g e t h e m w h i l e b e i n g w i t h i n t h e i r a b i l i t y . I p r e s e n t e d t h e t a s k s i n t h e f o r m o f s t o r i e s a b o u t s i t u a t i o n s . T h e s e c o n t e x t s a r e i m p o r t a n t i n u n d e r s t a n d i n g t h e c h i l d r e n ’ s r e a s o n i n g , a n d t h e i r u s e o f r e p r e s e n t a t i o n s a n d l a n g u a g e a s t h e y e n g a g e d w i t h t h e m a t h e m a t i c s . I n c h a p t e r s 3 , 4 , a n d 5 , I e x a m i n e t h e r o l e o f c o n t e x t s m o r e c l o s e l y . H e r e , I w i l l d e f i n e c o n t e x t u a l i z e d p r o b l e m s b y c o n t r a s t i n g t h e m w i t h d e - 2 7 S e e A p p e n d i x B f o r t h e t a s k s . c o n t e x t u a l i z e d p r o b l e m s . T h e l a t t e r a r e p r o b l e m s l i k e ” 2 5 + 3 2 ” ( A p p e n d i x A ) , t h e O p e r a t i o n s t a s k ( A p p e n d i x B ) , a n d ” T a k e 9 a w a y f r o m 5 ” ( A p p e n d i x C ) . I n c o n t r a s t , c o n t e x t u a l i z e d p r o b l e m s w e r e t h o s e l i k e t h e C a n d y B a r p r o b l e m . E m b e d d e d w i t h i n a s t o r y o r w i t h i n t h e c h i l d r e n ’ s o w n l i v e s , c o n t e x t u a l i z e d p r o b l e m s s u g g e s t a n e e d f o r m a t h e m a t i c a l r e a s o n i n g a n d / o r c o m p u t a t i o n w i t h o u t e x p l i c i t l y i n d i c a t i n g w h a t t o d o . T h u s , w h e n I u s e ” c o n t e x t , ” I m e a n t h e s t o r i e s i n w h i c h t h e m a t h e m a t i c a l t a s k s w e r e e m b e d d e d . 2 8 M o s t o f t h e p r o b l e m s I p r e s e n t e d t h e s e c h i l d r e n w e r e c o n t e x t u a l i z e d . T h e s t o r i e s h a d v a r y i n g a m o u n t s o f ” t r u t h ” o r ” r e a l i t y ” i n t h e m . F o r i n s t a n c e , t h e c o n t e x t o f t h e C a n d y B a r p r o b l e m w a s a t r i p t o v i s i t m y s i s t e r ’ s f a m i l y . I n t h e s t o r y , I b o u g h t h e r f o u r c h i l d r e n a C h r i s t m a s p r e s e n t , a b o x o f 3 0 c a n d y b a r s . M y s i s t e r d o e s h a v e f o u r c h i l d r e n f o r w h o m I o f t e n b o u g h t C h r i s t m a s p r e s e n t s . H o w e v e r , I n e v e r b o u g h t t h e m s u c h a b o x o f c a n d y b a r s . T h e L u n c h M e n u p r o b l e m c o n t e x t — t h a t o f a s c h o o l w i t h a r e - d e s i g n e d l u n c h p r o g r a m — i s c o m p l e t e f a b r i c a t i o n b e y o n d t h e s t a t e m e n t t h a t I " v i s i t a l o t o f s c h o o l s . " 2 9 I n a s i m i l a r f a s h i o n , m a n y p r o b l e m s i n r e f o r m o r i e n t e d c l a s s r o o m s m a y g r o w o u t o f t h e s t u d e n t s ’ e x p e r i e n c e s o r m a y m e r e l y m a k e u s e o f t h e i r n a m e s i n f a b r i c a t e d s t o r i e s . T h i s w a s t h e c a s e i n t h e s e c h i l d r e n ’ s c l a s s . J u s t a s m a n y r e f o r m o r i e n t e d t e a c h e r s m a k e u s e b o t h O f p r o b l e m s l i k e t h o s e j u s t d e s c r i b e d a n d o f a b s t r a c t , d e c o n t e x t u a l i z e d p r o b l e m s , I p o s e d b o t h s o r t s o f p r o b l e m s . I c a l l t h e O p e r a t i o n s p r o b l e m ” d e c o n t e x t u a l i z e d " b e c a u s e I O f f e r e d t h e 2 8 T h i s d i s c u s s i o n r a i s e s t h e i s s u e o f w h a t I m e a n b y ” e m b e d d e d m a t h e m a t i c s . " S o m e m a y a r g u e t h a t t h e r e s h o u l d b e n o d i s t i n c t i o n b e t w e e n t h e d i s c i p l i n e o f m a t h e m a t i c s a n d c o n t e x t u a l i z e d m a t h e m a t i c a l t a s k s a s I h a v e d e s c r i b e d t h e m . T h a t i s , t h a t t h e c o n t e x t a n d t h e m a t h e m a t i c s a r e o n e a n d t h e s a m e o r e q u a l p a r t s o f t h e s a m e w o r k . T h e d i s t i n c t i o n I m a k e h e r e i s s i m i l a r t o t h a t w h i c h I l a t e r a s c r i b e t o B e r t : a d i s t i n c t i o n b e t w e e n t h e d i s c i p l i n e o f m a t h e m a t i c s a n d r e a l w o r l d a c t i v i t i e s t h a t m a k e u s e o f m a t h e m a t i c s . 2 9 S e e A p p e n d i x B f o r b o t h o f t h e s e t a s k s . 6 7 c h i l d r e n n o c o n n e c t i o n s t o t h e r e a l w o r l d , w o v e n o s t o r y a r o u n d t h e m a t h e m a t i c a l t a s k s ; I O f f e r e d n o r e f e r e n t s f o r t h e n u m b e r s i n t h e p r o b l e m . T h e i n t e r v i e w h a d b o t h s p e c i f i c s u b s t a n t i v e g o a l s a n d g e n e r a l m e t h o d o l o g i c a l g o a l s . S u b s t a n t i v e l y , m y g o a l s w e r e t o e l i c i t t h e c h i l d r e n ’ s m a t h e m a t i c a l t h i n k i n g , t o e x p l o r e t h e i r u s e o f r e p r e s e n t a t i o n s w h i l e s o l v i n g p r o b l e m s , a n d t o s t a r t h o n i n g i n o n i n d i v i d u a l b o u n d a r i e s . T h r o u g h t h i s p r o c e s s , I e x p e c t e d t o l e a r n a b o u t m e t h o d o l o g i c a l i s s u e s : A r e t h e r e s t r u c t u r a l c o m p o n e n t s o f t a s k s t h a t h e l p e l i c i t c h i l d r e n ’ s r e a s o n i n g , l a n g u a g e , a n d r e p r e s e n t a t i o n s ? A r e t h e r e w a y s o f p h r a s i n g t a s k s t h a t h e l p e l i c i t c h i l d r e n ’ s r e a s o n i n g , l a n g u a g e , a n d r e p r e s e n t a t i o n s ? H o w c a n o n e d e v e l o p t a s k s t h a t b o t h e n g a g e c h i l d r e n a n d p r e s e n t a n a p p r o p r i a t e l e v e l o f d i f fi c u l t y m a t h e m a t i c a l l y ? A r e t h e r e w a y s t o e l i c i t m a t h e m a t i c a l b o u n d a r i e s — O f t e n u n c o m f o r t a b l e , u n k n o w n t e r r i t o r y - t h a t e n c o u r a g e c h i l d r e n t o e x p l o r e t h e m ? W h a t i s t h e r o l e o f c o n t e x t ? H o w c a n r e s e a r c h e r s u n d e r s t a n d c h i l d r e n ’ s r e l a t i o n w i t h c o n t e x t s , h o w c h i l d r e n ( d o n ’ t ) c o n n e c t w i t h t h e m ? H o w m i g h t p r o b e s b e s t e l i c i t e x p l a n a t i o n s a n d r e a s o n i n g ? I l l l ' l l l ' T h e t h i r d i n t e r v i e w w a s d i f f e r e n t t h a n e i t h e r o f t h e fi r s t t w o a n d s o m e w h a t a d e p a r t u r e f r o m t h e p r o p o s a l p l a n . A s t h i s w a s w h e r e I m o v e d s u b s t a n t i a l l y b e y o n d t h e w o r k o f t h e p i l o t , i n a m e m o I c o n s i d e r e d w h e r e I s t o o d a t t h i s ” h a l f w a y p o i n t ” : W h a t a r e t h e m a j o r d e c i s i o n s I n e e d t o m a k e a t t h i s p o i n t ? 0 W h e r e d o I g o m a t h e m a t i c a l l y ? 0 H o w d o I n a r r o w m y s a m p l e ? W h i c h c h i l d r e n d o I c o n t i n u e t o i n t e r v i e w a n d w h i c h d o I s t o p i n t e r v i e w i n g ? 0 H o w m a n y m o r e i n t e r v i e w s w i l l I d o o f e a c h c h i l d ? H o w d o I m a k e u s e o f t h e d a t a w h i c h I a l r e a d y h a v e t o h e l p m e m a k e t h e s e d e c i s i o n s ? I t h i n k t h a t t h e f i r s t q u e s t i o n h o l d s a t l e a s t p a r t o f t h e k e y f o r a l l t h r e e d e c i s i o n s . I f I c a n t h i n k a b o u t a n d f o r m u l a t e [ a n a n s w e r ] t o t h e q u e s t i o n o f ” W h i t h e r m a t h e m a t i c a l l y ? ” , I c a n p o s s i b l y h o n e i n o n t h e o t h e r d e c i s i o n s . ( M a y 1 , 1 9 9 4 ) I a t t e m p t e d t o a n s w e r t h i s b y f i r s t d r a w i n g u p a l i s t ( i n g e n e r a l t e r m s ) o f h o w t h e c h i l d r e n h a d a p p r o a c h e d t h e t a s k s o f t h e f i r s t t w o i n t e r v i e w s . F o r i n s t a n c e , I d e s c r i b e d t h e i r w o r k o n t h e fi r s t t h r e e t a s k s o f t h e s e c o n d i n t e r v i e w a s : C a n d y b a r p r o b l e m : M o s t l y t h e c h i l d r e n d i d i t a s a d i s t r i b u t i o n p r o b l e m , u s u a l l y w i t h a d d i n g t o c o n f i r m s o l u t i o n , l o t s o f c o u n t i n g i s s u e s . C a n d y c a n e s p r o b l e m : M o s t l y a s c o u n t i n g o n . E a s t e r e g g p r o b l e m : M o s t l y s u b t r a c t i o n . A l l t h r e e o f t h e s e w e r e u s u a l l y s o l v e d b y d r a w i n g a p i c t u r e o f a l l t h e n e c e s s a r y c a n d y a n d w o r k i n g f r o m t h a t . ( M a y 1 , 1 9 9 4 ) L o o k i n g a c r o s s t h e t a s k s a n d c o n s i d e r i n g m a t h e m a t i c a l c o n t e n t , I f e l t a b i t l o s t . I w o r r i e d a b o u t w h i c h c o n t e n t m i g h t b e a p p r o p r i a t e t o p u r s u e i n a t h i r d i n t e r v i e w : A d d i t i o n i s a n a r e a w i t h w h i c h t h e y a r e f a i r l y c o m f o r t a b l e . A s s u c h , I a m n o t s u r e h o w m u c h I c o u l d e x p l o r e t h e r e t h a t w o u l d b e n e a r t h e b o u n d a r y o f t h e i r k n o w l e d g e . I d o n o t l i k e t h e w a y I h a v e s a i d t h a t — I k n o w t h e r e i s s t u f f t h e r e t o b e e x p l o r e d , I j u s t t h i n k t h a t i t s o m e h o w s e e m s n a r r o w a n d w o u l d l e a d m e i n t o w h a t o t h e r [ r e s e a r c h e r s ] h a v e d o n e i n t e r m s o f a n a l y z i n g p r o b l e m s a n d s o f o r t h S u b t r a c t i o n i s a m o r e p r o m i s i n g a r e a i n t h a t t h e c h i l d r e n a r e l e s s c o n fi d e n t i n w h a t t h e y k n o w / c a n d o . H o w e v e r , i t s t i l l f e e l s v e r y c o n fi n i n g i n t h e t y p e s o f p r o b l e m s t h a t I c a n c o n s t r u c t . ( M a y 1 , 1 9 9 4 ) A t t h i s p o i n t , I b e g a n t o w o n d e r i f m y c o n c e r n w a s m o r e w i t h m y o w n a b i l i t y t o c r e a t e p r o b l e m s r a t h e r t h a n w i t h c h o o s i n g t h e m a t h e m a t i c a l t e r r i t o r y i t s e l f . " M a y b e t h i s i s m o r e m y c o n c e r n - t h a t I c a n n o t t h i n k o f a n i n t e r e s t i n g s e t o f p r o b l e m s t h a t w i l l o f f e r v a r i e d a p p r o a c h e s a n d u s e o f v a r i e d r e s o u r c e s ” ( M a y 6 9 1 , 1 9 9 4 ) . I w a s q u e s t i o n i n g b o t h w h a t m a t h e m a t i c s a n d h o w t o c r e a t e a p p r o p r i a t e t a s k s . I c o n s i d e r e d f o c u s i n g o n t w o m a t h e m a t i c a l t o p i c s ( e . g . , p l a c e v a l u e a n d g e o m e t r y ) a s a w a y t o b r o a d e n t h e n e t . W i t h s u c h a n a p p r o a c h , I w o u l d d o u b l e m y c h a n c e o f b o t h i n t e r s e c t i n g w i t h b o u n d a r y t e r r i t o r y a n d d e s i g n i n g w o r t h w h i l e t a s k s . I w a s s t i l l l e f t t h o u g h w i t h h o w t o c h o o s e t h e t o p i c s . R e t u r n i n g t o t h e d a t a , I n o t i c e d s e v e r a l c h i l d r e n s t r u g g l e d w i t h f r a c t i o n s ( i n t h e C a n d y B a r t a s k ) a n d h a d t r e p i d a t i o n s a b o u t d e a l i n g w i t h n e g a t i v e i n t e g e r s ( i n t h e O p e r a t i o n s t a s k s ) . O n e w a y o f t h i n k i n g a b o u t t h e c h i l d r e n ’ s c o n c e r n s i s t h a t t h e y w e r e t r y i n g t o m a k e s e n s e o f a n i n e x o r a b l y e x p a n d i n g n u m b e r s y s t e m - f r o m c o u n t i n g n u m b e r s t o w h o l e n u m b e r s t o i n t e g e r s t o r a t i o n a l n u m b e r s . A d d t o t h i s , t h e c o m p l e x i t i e s o f u n d e r s t a n d i n g t h e e x i s t i n g s y s t e m — e . g . , H o w d o e v e n a n d o d d n u m b e r s r e l a t e ? — a n d i t s e e m e d l o g i c a l t o s t r u c t u r e t h e i n v e s t i g a t i o n a r o u n d t h e i r d e v e l o p i n g u n d e r s t a n d i n g o f n u m b e r s y s t e m s . I w r o t e : T h e c h i l d r e n a p p e a r t o b e s t i l l [ o p e r a t i n g ] w i t h i n a d i s c r e t e n u m b e r s y s t e m . H o w d o s u c h n u m b e r s y s t e m s fi t w i t h m a g n i t u d e a n d q u a n t i t y ? H o w c a n t h i s b e a s s e s s e d ? W h a t i s t h e r o l e o f f r a c t i o n s i n t h e i r d i s c r e t e n u m b e r s y s t e m s ? W h a t i s t h e r o l e o f n e g a t i v e n u m b e r s ? 3 0 ( M a y 7 , 1 9 9 4 ) A s t h e c l a s s w a s t h e n i n v e s t i g a t i n g f r a c t i o n s a n d h a d p r e v i o u s l y d o n e s o w i t h n e g a t i v e i n t e g e r s , I c h o s e t h e s e p a r t i c u l a r e l e m e n t s o f t h e t e r r a i n . I w a s l e f t t o d e s i g n t a s k s . I w a n t e d t h e c h i l d r e n t o e x p l o r e e a c h t o p i c w i t h i n a v a r i e t y o f c o n t e x t s . T h u s , I d e s i g n e d f r a c t i o n e x p l o r a t i o n s u s i n g a g e , d i s t a n c e , v o l u m e . I d e s i g n e d m u l t i p l e a n d c r o s s c u t t i n g a g e t a s k s f o l l o w e d b y l e s s i n t e n s e l o o k s a t d i s t a n c e a n d v o l u m e . S i n c e t h e c h i l d r e n ’ s a t t e n t i o n u s u a l l y fl a g g e d a f t e r 4 5 m i n u t e s o r s o , I o n l y i n c l u d e d a c o u p l e t a s k s t h a t l o o k e d a t n e g a t i v e i n t e g e r s . A s s u m i n g t h a t t h e l o c a t i o n o f b o u n d a r i e s w i t h i n t o p i c s w o u l d v a r y a c r o s s ” I n h i n d s i g h t , t h e s e m a y a c t u a l l y b e p l u r a l s : W h a t a r e t h e r o l e s ? 7 0 c h i l d r e n , I d e s i g n e d t h e c o n v e r s a t i o n s t o c o v e r t o p i c s i n b r e a d t h w i t h p r o b e s t h a t w o u l d a l l o w d e p t h a t a p p r o p r i a t e s p o t s f o r e a c h c h i l d . F o r t h i s i n t e r v i e w , I d i d n o t c r e a t e s p e c i f i c p r o b l e m s . R a t h e r , I d e s i g n e d a s e r i e s o f c o n v e r s a t i o n s a b o u t t o p i c s a m e n a b l e t o m a t h e m a t i c a l a n a l y s i s . I p r o v i d e d c o n t e x t s t h a t m i g h t f o s t e r m a t h e m a t i c a l e x p l o r a t i o n , t h e y w e r e m o r e l i k e c o n v e r s a t i o n a l o p e n i n g s . 3 1 W h e r e t h e s e c o n d i n t e r v i e w w a s i n i t i a t e d w i t h t h e C a n d y B a r p r o b l e m - c l e a r l y a m a t h e m a t i c a l t a s k , t h e t h i r d w a s i n i t i a t e d w i t h t h e A g e C o n v e r s a t i o n t a s k — i n w h i c h I q u e s t i o n e d t h e m a b o u t t h e i r a g e , h o w t h e y k n e w i t , a n d c o n t r a s t e d t h e i r a n s w e r s w i t h ( p o s s i b l y h y p o t h e t i c a l ) o t h e r s ’ . 3 2 I u s e d t h i s c o n v e r s a t i o n a l s t r a t e g y b e c a u s e , i n p e r f o r m i n g t h e i n i t i a l a n a l y s e s o f t h e p r i o r i n t e r v i e w s , I s a w t h e c h i l d r e n ’ s l a n g u a g e a s o n e o f t h e i r r e s o u r c e s . T h e N C T M S t a n d a r d s ( 1 9 9 1 ) a r g u e d e x p l i c i t l y t h e r o l e o f d i s c o u r s e ( o f w h i c h l a n g u a g e i s a k e y i n g r e d i e n t ) a n d t h e c h i l d r e n c l e a r l y r e l i e d o n i t i n a n u m b e r o f i m p o r t a n t b u t c o n t r a s t i n g w a y s . T h u s , t h e o r e t i c a l l y a n d p r a c t i c a l l y , l a n g u a g e w a s a k e y r e s o u r c e f o r t h e s e c h i l d r e n w h o h a d b e e n i m m e r s e d i n a r e f o r m - o r i e n t e d c l a s s r o o m . I w a s i n t e r e s t e d i n w h e t h e r t h e k i n d s o f r e a s o n i n g , r e s o u r c e s , a n d r e p r e s e n t a t i o n s t h a t w o u l d s u r f a c e i n c o n t e x t s t h a t w e r e e v e n m o r e " n a t u r a l , ” l e s s ” s c h o o l - m a t h ” l i k e , w o u l d d i f f e r f r o m t h o s e i n t h e p r e v i o u s i n t e r v i e w s . T h e c o n t e x t s w e r e d e s i g n e d a r o u n d t h e n u m b e r s y s t e m - i n p a r t i c u l a r , f r a c t i o n s a n d n e g a t i v e i n t e g e r s . A l l o w i n g m o r e t i m e f o r a n a l y s i s b e t w e e n t h e s e c o n d a n d t h i r d i n t e r v i e w s m i g h t h a v e a l l o w e d b e t t e r t a r g e t i n g o f t a s k s f o r i n d i v i d u a l c h i l d r e n . A l s o , I l i k e l y 3 1 1 d o n o t i n t e n d t o i m p l y t h a t t h e p r o b l e m s o f p r e v i o u s i n t e r v i e w s w e r e n o t a m e n a b l e t o m a t h e m a t i c a l e x p l o r a t i o n . T h e d i s t i n c t i o n I m a k e i s t h a t t h e t a s k s i n t h e t h i r d i n t e r v i e w w e r e n o t e x p l i c i t l y p r o b l e m s . O f c o u r s e , t h e c h i l d r e n w e r e l i k e l y t o i n t e r p r e t t h e s e t a s k s m a t h e m a t i c a l l y b e c a u s e t h e y k n e w I w a s i n t e r v i e w i n g t h e m b a s e d o n m y i n t e r e s t i n h o w c h i l d r e n t h i n k m a t h e m a t i c a l l y . 3 2 S e e A p p e n d i x C f o r t h e i n t e r v i e w p r o t o c o l . 7 1 w o u l d h a v e r e d u c e d t h e n u m b e r o f c h i l d r e n i n t e r v i e w e d a s w a s p l a n n e d i n t h e p r o p o s a l . 3 3 H o w e v e r , t i m e w a s p r o b l e m a t i c f o r t w o r e a s o n s . F i r s t , t h e i n t e r v i e w p r o c e s s d i d n o t s t a r t u n t i l M a r c h . T h e s e c o n d r o u n d o f i n t e r v i e w s w a s d e l a y e d f o r m o r e t h a n t h r e e w e e k s b e c a u s e t h e s c h o o l h a d i t s S p r i n g b r e a k a n d t h e c h i l d r e n p a r t i c i p a t e d i n a n n u a l s t a n d a r d i z e d t e s t i n g . A s a r e s u l t , t h e r e w a s a l i m i t e d t i m e u n t i l t h e s c h o o l y e a r c o n c l u d e d a n d t h e c h i l d r e n w o u l d b e m o r e d i f f i c u l t , i f n o t i m p o s s i b l e , t o i n t e r v i e w . T h i s p r e s s u r e o f t i m e w a s c l e a r i n a m e m o : I h a v e b e e n t r y i n g t o t h i n k a b o u t e a c h c h i l d a n d t o d e v g l p t p a s e n s e f o r t h e m . I c a n d o s o f o r s o m e b u t s o m e s e e m m u c h m o r e ' i c u l t . I n p a r t i t i s b e c a u s e I d o n o t f e e l I r e a l l y k n o w t h e m v e r y w e l l y e t . I t a l s o s t e m s f r o m t h e i r b e i n g s o c o m p l e x . I w o u l d l i k e t o h a v e t h e t i m e t o s p e n d l o o k i n g a t e a c h t a p e f a i r l y s e r i o u s l y t o t r y t o d e v e l o p s u c h h y p o t h e s e s . H o w e v e r , I d o n ’ t k n o w i f I c a n a c c o m p l i s h t h a t [ i n t h e a v a i l a b l e t i m e ] . T h i s i s o n e o f m y q u e s t i o n s : B a l a n c i n g b e t w e e n a n a l y z i n g t h e d a t a I h a v e s o I c a n g o f o r w a r d p r o d u c t i v e l y a n d h a v i n g o p p o r t u n i t y ( t i m e ) t o d o e n o u g h i n t e r v i e w s t o a n s w e r m y q u e s t i o n s . ( A p r i l 2 5 , 1 9 9 4 ) A s e c o n d c o n c e r n w a s t h a t , s i n c e t h e c h i l d r e n w e r e i n s c h o o l , t h e y c o n t i n u e d t o l e a r n m a t h e m a t i c s . M y g o a l f o r t h e s e c o n d i n t e r v i e w w a s t o fi n d t h e b o u n d a r i e s o f t h e i r k n o w l e d g e ; y e t t h a t t e r r i t o r y w a s a m o v i n g t a r g e t a s t h e c h i l d r e n p a r t i c i p a t e d i n m a t h c l a s s . T h i s w a s e s p e c i a l l y t h e c a s e a s I c h o s e f r a c t i o n s , t h e t h e n c u r r e n t t o p i c o f t h e i r c l a s s , f o r e x p l o r a t i o n . A s a c o n s e q u e n c e , I w a s c o n s t r a i n e d f r o m p e r f o r m i n g t h e i n - d e p t h a n a l y s i s o f e a c h c h i l d ’ s i n t e r v i e w r e q u i r e d t o m a k e a g r o u n d e d c h o i c e o f w h i c h c h i l d r e n t o p u r s u e f u r t h e r . H a d I m a d e s u c h d e c i s i o n s , I w o u l d t h e n h a v e b e e n f a c e d w i t h t h e e q u a l l y t i m e c o n s u m i n g t a s k o f c o n s t r u c t i n g i n d i v i d u a l i n t e r v i e w s f o r e a c h o f t h e s e l e c t e d c h i l d r e n . — ¥ 3 3 1 a l s o f e l t s o m e c o n c e r n f o r t h e f e e l i n g s o f t h e c h i l d r e n : w o u l d t h o s e e x c l u d e d f e e l l e s s i m p o r t a n t o r l e s s v a l u e d ? I h a d a l r e a d y h a d o t h e r s t u d e n t s i n t h e c l a s s a s k i f t h e y c o u l d b e I n t e r v i e w e d - g i v i n g t h e i m p r e s s i o n o f f e e l i n g l e f t o u t . 7 2 h F r I i n t e r v i e w e d t w o o f t h e c h i l d r e n , D a n i e l l e a n d J i m , a f o u r t h t i m e . O n c e t h e t h i r d i n t e r v i e w s w e r e c o n c l u d e d , I e x a m i n e d t a p e s a n d t r a n s c r i p t s . T h e r e s e a r c h p l a n c a l l e d f o r a f o c u s o n f e w e r c h i l d r e n a f t e r t h e s e c o n d r o u n d o f i n t e r v i e w s . A s n o t e d a b o v e , I d e l a y e d t h a t d e c i s i o n i n t h e i n t e r e s t o f t i m e . C o n s e q u e n t l y , a f t e r t h e t h i r d r o u n d , I a n a l y z e d w i t h a n e y e o n n a r r o w i n g t h e n u m b e r o f c h i l d r e n I w o u l d i n t e r v i e w . A s T a b l e 1 s h o w s , w i t h t h e e x c e p t i o n o f N i c o l e , t h e t h i r d i n t e r v i e w s t o o k p l a c e i n e a r l y M a y , a m o n t h p r i o r t o t h e e n d o f s c h o o l . A s I c o n s i d e r e d c a n d i d a t e s f o r a f o u r t h i n t e r v i e w , I w r o t e a n a l y t i c a l m e m o s . E x c e r p t s f r o m t h e s e h e l p d e m o n s t r a t e m y g e n e r a l m e t h o d o l o g y a n d r e a s o n i n g f o r s p e c i f i c c h i l d r e n . I f i r s t n a r r o w e d m y f o c u s t o B e r t , D a n i e l l e , J i m , a n d T e r i . I d e c i d e d t h a t B e n n i e s e e m e d t h e l e a s t p r o fi t a b l e t o p u r s u e g i v e n h i s r e l a t i o n s h i p w i t h m e . H e d i d n o t s e e m t o r e s p o n d t o t h e i n t e r v i e w t a s k s i n a ” n a t u r a l ” w a y , i n a w a y s i m i l a r t o h i s r e s p o n s e t o m a t h e m a t i c a l t a s k s w i t h i n h i s c l a s s r o o m . W h i l e n o d o u b t a l l t h e c h i l d r e n b e h a v e d d i f f e r e n t l y i n a o n e - o n - 0 n e s i t u a t i o n w i t h a n a d u l t m a l e t h a n t h e y w o u l d i n a c l a s s r o o m o f t h e i r p e e r s , B e n n i e c h a n g e d f r o m a n e a g e r p a r t i c i p a n t w i t h l o t s o f m a t h e m a t i c a l i d e a s t o a r e t i c e n t d o e r o f m a t h e m a t i c s . T h e o t h e r s ’ o u t w a r d d e m e a n o r w i t h m e w a s s i m i l a r t o t h a t i n t h e i r c l a s s r o o m . A s I s u s p e c t e d h e w o u l d e n g a g e w i t h t h e m a t h e m a t i c s m o r e r o b u s t l y i n a d i f f e r e n t c o n t e x t , I d e c i d e d t h e i n t e r v i e w s d i d n o t o f f e r a h e l p f u l p i c t u r e o f h i s m a t h e m a t i c a l r e a s o n i n g , l a n g u a g e , a n d r e p r e s e n t a t i o n s . “ I a l s o e x c l u d e d N i c o l e a t t h i s p o i n t b e c a u s e o f t h e d i f fi c u l t y s h e p r o m i s e d t o h o l d i n p r e p a r i n g f o r a f o u r t h , f o c u s e d i n t e r v i e w . S h e h a d b e e n a b s e n t t h e d a y ¥ 3 M W h y B e n n i e , o f t h e s i x , w o u l d b e r e s i s t a n t a n d i n t e r a c t d i f f e r e n t l y w i t h m a t h e m a t i c s w o u l d b e i n t e r e s t i n g t o p u r s u e . H o w e v e r , t h e a n s w e r t o t h i s i s o u t s i d e t h e s c o p e o f t h e s t u d y . 7 3 o f h e r s c h e d u l e d t h i r d i n t e r v i e w s o i t w a s c o n d u c t e d a p p r o x i m a t e l y t w o w e e k s a f t e r t h e o t h e r s ’ . I h a d s p e n t t h e i n t e r v e n i n g t i m e a n a l y z i n g d a t a a n d a s s e s s i n g n e x t s t e p s . I j u x t a p o s e d t h e s l o w p a c e o f t h a t w o r k w i t h m y d i f fi c u l t y u n d e r s t a n d i n g h e r r e a s o n i n g a n d a r t i c u l a t i o n o f i t . I t w a s c l e a r t h a t a n a l y z i n g N i c o l e a n d c r e a t i n g a n i n d i v i d u a l p r o t o c o l w o u l d b e n e x t t o i m p o s s i b l e i n t h e n o w t w o w e e k s b e f o r e t h e e n d o f t h e a c a d e m i c y e a r . I n h i n d s i g h t , t h i s e x c l u s i o n i s u n f o r t u n a t e b e c a u s e m y e x t a n t d a t a s u g g e s t s a r e l a t i o n b e t w e e n l a n g u a g e a n d r e p r e s e n t a t i o n s u b s t a n t i a l l y d i f f e r e n t t h a n t h a t o f t h e o t h e r c h i l d r e n . 3 5 E x p l o r i n g f u r t h e r w i t h N i c o l e — a n d w i t h o t h e r l o w e r S E S c h i l d r e n o f c o l o r — m i g h t f u r t h e r i n f o r m r e f o r m e f f o r t s i n u r b a n s c h o o l s . M y r e g r e t i s t e m p e r e d w i t h t h e r e a l i z a t i o n t h a t t h e n a t u r e o f t h e s t u d y a n d a s s o c i a t e d t i m e c o n s t r a i n t s f o r c e d s u c h c h o i c e s . H a v i n g n a r r o w e d m y f o c u s , I s t a r t e d m o r e d e t a i l e d a n a l y s e s . I r e v i e w e d t h e v i d e o t a p e s a n d t r a n s c r i p t s o f t h e f o u r c h i l d r e n . W i t h o u t m a k i n g a fi n a l d e c i s i o n o n h o w m a n y o f t h e f o u r c h i l d r e n I w o u l d i n t e r v i e w , I d e c i d e d J i m w a s a n a p p r o p r i a t e i n i t i a l c a n d i d a t e . J i m I h a d t h r e e r e a s o n s f o r s e l e c t i n g J i m : ( a ) h e g a v e i n t e r e s t i n g b u t c o n f u s i n g r e s p o n s e s t o t h e f i r s t t a s k o f b o t h t h e s e c o n d a n d t h i r d i n t e r v i e w s , ( b ) h e s h o w e d l i t t l e a f f e c t w h i l e e n g a g i n g i n t h e m a t h e m a t i c s , a n d ( c ) h e w a s t h e o n l y c h i l d t o p r o f e s s t o d i s l i k e m a t h e m a t i c s . I e x a m i n e d h i s t a p e s a n d t r a n s c r i p t s s e e k i n g e v i d e n c e o f t h e b o u n d a r i e s o f h i s m a t h e m a t i c a l u n d e r s t a n d i n g . N o t s u r p r i s i n g l y , I f e l t I c o u l d b e s t e l i c i t h i s m a t h e m a t i c a l r e a s o n i n g i n f r a c t i o n s ( w e h a d s p e n t t h e m o s t t i m e o n t h e m ) . 3 5 T h i s r e l a t i o n m u s t b e v i e w e d s p e c u l a t i v e l y b e c a u s e o f t h e l i m i t a t i o n s o f m y d a t a . 7 4 J i m h a d s e e m e d t o s t r u g g l e w i t h d r a w i n g p i c t u r e s i n e a r l i e r i n t e r v i e w s . H e a l s o s e e m e d t o h a v e s o m e t r o u b l e c o n n e c t i n g w i t h t h e s t o r i e s o f t h e s e c o n d i n t e r v i e w w h i c h w e r e a b o u t p e o p l e h e d i d n o t k n o w . T h u s , I d e s i g n e d a f o u r t h i n t e r v i e w a r o u n d h i m a n d b o t h m a d e m a n i p u l a t i v e s a v a i l a b l e a n d h a d s o m e t a s k s d i r e c t l y i n c o r p o r a t e r e a l o b j e c t s . I w a s h o p i n g t h e s e w o u l d i n c r e a s e h i s e n g a g e m e n t a n d s u p p o r t h i s r e a s o n i n g . I d e s i g n e d q u e s t i o n s s u c h a s : 0 I f [ n a m i n g f o u r t e a c h e r s i n h i s s c h o o l ] w e r e g o i n g t o h a v e l u n c h , a n d [ o n e ] b r o u g h t i n t w o c a n d y b a r s f o r t h e m t o s h a r e , h o w m u c h w o u l d e a c h p e r s o n g e t ? 0 I f y o u a n d [ n a m i n g t h r e e c l a s s m a t e s ] e a c h w a n t e d % O f a c a n d y b a r , h o w m a n y w o u l d y o u n e e d t o s t a r t w i t h ? 0 I f [ n a m i n g h i s t e a c h e r ] b r o u g h t a b o x o f e r a s e r s t o s c h o o l t h a t h a d 2 4 i n i t a n d s h e g a v e y o u 6 , w h a t f r a c t i o n o f t h e b o x w o u l d y o u h a v e ? 0 W h i c h i s m o r e , % - o r 1 % ? H o w a b o u t b e t w e e n i : a n d g ? I m a d e a v a i l a b l e f o r J i m : v a r i o u s c u b e s , p a p e r c l i p s , a n d C u i s e n a i r e r o d s . F o r t h e q u e s t i o n s a b o u t c a n d y b a r s I h a d T w i x a n d H e r s h e y b a r s ( t h e f o r m e r a r e s c o r e d i n f o u r e q u a l p i e c e s , t h e l a t e r i n t e n ) . I i n v i t e d h i m t o o p e n t h e p a c k a g e s a n d u s e t h e p i e c e s a s h e w i s h e d . T h i s i n t e r v i e w t o o k p l a c e a f t e r m a t h c l a s s w h e r e t h e y h a d b e e n w o r k i n g o n t h e p r o b l e m , " . . . h a d 2 4 c r a c k e r s a n d [ s t u d e n t n a m e ] a t e % . H o w m a n y d i d s h e e a t ? W h a t f r a c t i o n d i d s h e e a t ? ” S i n c e c a r r y i n g o n t h e u n fi n i s h e d d i s c u s s i o n h a d w o r k e d s o w e l l w i t h B e r t f ” 6 I d i d l i k e w i s e w i t h J i m . 3 6 m g i s d e s c r i b e d i n s o m e d e t a i l i n h i s p r o fi l e i n c h a p t e r 3 . 7 5 A s I d e s i g n e d a n d c a r r i e d o u t J i m ’ s f o u r t h i n t e r v i e w , I a n a l y z e d T e r i . 3 7 I c h o s e h e r n e x t b e c a u s e s h e w a s g e n e r a l l y s u c c e s s f u l a t s o l v i n g t h e p r o b l e m s w h i l e h a v i n g a r a t h e r l o w o p i n i o n o f h e r m a t h e m a t i c a l a b i l i t y . F u r t h e r , s h e t e n d e d t o s o l v e t h e p r o b l e m s q u i c k l y a n d w i t h l i t t l e v o c a l i z a t i o n O f t h e f o u r , B e r t a n d D a n i e l l e h a d e l a b o r a t e d t h e i r t h i n k i n g t h e m o s t . I s u s p e c t e d I w o u l d h a v e m o r e i n s i g h t i n t o t h e i r t h i n k i n g f r o m t h e e x i s t i n g d a t a . I t a l s o m e a n t t h e y w o u l d b e t h e m o s t c o m p l e x t o a n a l y z e i n a b r i e f p e r i o d . T h u s , I d e c i d e d a f o c u s e d i n t e r v i e w o f T e r i m i g h t b e e a s i e r t o d e s i g n a n d m i g h t b e t t e r e l i c i t h e r r e a s o n i n g . A s I n o t e d i n a m e m o : I l i k e t h e t h o u g h t o f r e - v i s i t i n g s o m e o f t h e e a r l i e r [ i n t e r v i e w ] q u e s t i o n s . S h e d o e s n o t t a l k m u c h a b o u t s t u f f , i s e a s i l y s a t i s fi e d [ w i t h a n s w e r s s h e g e t s ] . M a y b e , i f I h a v e a s o l i d h a n d l e o n h e r o r i g i n a l v i e w o f a p r o b l e m , I c a n u s e t h a t t o g e t a t w h a t s h e i s s a y i n g . ( M a y 3 1 , 1 9 9 4 ) A s I l o o k e d a t h e r d a t a , I n o t e d t h a t T e r i g a v e m i x e d s i g n a l s a b o u t s u b t r a c t i o n . A t t i m e s , s h e s u b t r a c t e d e a s i l y , a t o t h e r s , s h e c l a i m e d n o t t o k n o w h o w t o s u b t r a c t . T h e l a t t e r a p p e a r e d r e l a t e d t o h e r c o n c e r n a b o u t n e g a t i v e i n t e g e r s . I w r o t e : I n t h e f i r s t i n t e r v i e w , s h e d i d ” t a k e a w a y ” p r o b l e m s w i t h e a s e . . . . I n t h e s e c o n d i n t e r v i e w s h e c l a i m e d t h a t s h e d i d n o t k n o w h o w t o d o t a k e a w a y p r o b l e m s . T h i s w a s a f t e r w r i t i n g t h e E a s t e r e g g t a s k a s a t a k e a w a y ( 3 6 - 8 ) a n d t h e n f i g u r i n g o u t h o w m a n y e g g s w e r e l e f t u s i n g h a s h m a r k s . L a t e r , w h e n I a s k e d h e r t o d o t h e O p e r a t i o n s t a s k , s h e s a i d t h a t s h e d i d n o t k n o w ” h o w t o d o t a k e a w a y s . " S h e p r o c e e d e d t o p u t t h e n u m b e r s i n b o x e s a p p r o p r i a t e l y f o r O b t a i n i n g t h e m a x i m u m . ( M a y 3 1 , 1 9 9 4 ) 3 7 I n t h e i n t r o d u c t i o n t o t h i s s e c t i o n I m a d e n o m e n t i o n o f a f o u r t h i n t e r v i e w O f T e r i . A s w i l l b e c o m e a p p a r e n t b e l o w , I n e v e r c a r r i e d o u t t h i s i n t e r v i e w . H o w e v e r , I d e s c r i b e t h e p r o c e s s h e r e i n t h e i n t e r e s t s o f s h o w i n g t h e c o m p l e x i t y o f d e s i g n i n g s u c h i n t e r v i e w s . 7 6 S h e h a d a s e l f - p r o c l a i m e d i n a b i l i t y w i t h n e g a t i v e i n t e g e r s ( s a y i n g , s h e d i d n ’ t k n o w ” h o w y o u g e t t h e n e g a t i v e n u m b e r s ” ) . S h e w a s a l s o c o n f u s e d b y p a i r e d s u b t r a c t i o n p r o b l e m s l i k e 4 6 - 2 8 a n d 2 8 - 4 6 . 3 8 I c o n c l u d e d : S o , I a m w o n d e r i n g w h a t s h e t h i n k s a b o u t ” t a k e a w a y ” n o w . H o w i s s h e a b l e t o r e a d i l y s o l v e s e v e r a l s u c h p r o b l e m s a n d t h e n b a l k a t , s a y , 5 - 2 i n t h e c o n t e x t o f a s t r i n g o f o p e r a t i o n s ? W o u l d s h e d o s o i n a s i m p l e s t o r y p r o b l e m - s o m e t h i n g l i k e , ” J o h n w a n t e d t o t a k e a w a y 1 2 f r o m 1 8 . W h a t d i d h e g e t ? " ? I n o t h e r w o r d s , i s i t t h e d e - c o n t e x t u a l i z e d s t r i n g o f s y m b o l s t h a t t h r o w s h e r c o n f i d e n c e ( s i n c e s h e c l e a r l y c o u l d d o t h e s u b t r a c t i o n ) o r s o m e t h i n g e l s e ? ( M a y 3 1 , 1 9 9 4 ) T h e r e w a s a n o t h e r i s s u e t h a t p u z z l e d m e a b o u t T e r i a t t h a t t i m e . I w r o t e t h a t : A n o t h e r t h i n g t h a t s t r u c k m e a b o u t T e r i w a s h e r s e e m i n g i n a b i l i t y t o v i s u a l i z e c e r t a i n h y p o t h e t i c a l s i t u a t i o n s . O n o n e h a n d , s h e c o u l d v i s u a l i z e p r o b l e m s i n h e r h e a d t o h e l p h e r s e e w h a t t h e p r o b l e m w a s ( " I w r o t e [ 2 5 + 1 7 i n c o l u m n f o r m ] i n m y h e a d " ) o r t o s o l v e t h e p r o b l e m ( s h e p i c t u r e d h e r h a n d s w h e n d o i n g 9 - 5 ) . S h e w a s a l s o a b l e t o s i m u l t a n e o u s l y c o u n t o n f r o m 1 2 a n d k e e p t r a c k o f h o w m a n y t o c o u n t o n ( 5 ) w h e n a d d i n g 1 2 + 5 i n h e r h e a d . ( M a y 3 1 , 1 9 9 4 ) S o , i t s e e m e d t h a t s h e w a s g o o d a t v i s u a l i z i n g o b j e c t s a n d a t c a r r y i n g o u t m u l t i p l e , s i m u l t a n e o u s o p e r a t i o n s m e n t a l l y . O n t h e o t h e r h a n d , h y p o t h e t i c a l s i t u a t i o n s s e e m e d b e y o n d h e r k e n F o r e x a m p l e , I w r o t e a b o u t h e r w o r k o n t h e G e o m e t r y t a s k , ” O n c e t h e t r i a n g l e h a d b e e n d i v i d e d i n t o t h e s m a l l e r t r i a n g l e s , i t w a s n o l o n g e r a w h o l e t r i a n g l e i t s e l f ” ( M a y 3 1 , 1 9 9 4 ) . S h e a l s o h a d t r o u b l e w i t h t h e h y p o t h e t i c a l s i t u a t i o n p o s e d i n t h e P r o b a b i l i t y t a s k . I t o l d a s t o r y o f o n e o f t h e p i l o t c h i l d r e n w h o a r g u e d t h a t t h e p r o b a b i l i t i e s w e r e e q u a l b e c a u s e i f o n e t o o k o n e g r e e n a n d o n e r e d f r o m a t u b w i t h 4 g r e e n a n d 2 r e d S k i t t l e s , s a y i n g , t h e r e s u l t w a s w h a t w a s i n t h e o t h e r t u b . A s I w r o t e , " f o r h e r , i f y o u t o o k t h e m , t h e y w e r e g o n e ” ( M a y 3 1 , 1 9 9 4 ) . I r e c o g n i z e d t h e s i t u a t i o n s w e r e d i f f e r e n t b u t t h e y s e e m e d t o h a v e a c o m m o n t h r e a d : 3 8 “ s e e m s l i k e l y t h e c o n f u s i o n m a y s t e m f r o m a w a r e n e s s t h a t a d d i t i o n i s c o m m u t a t i v e b u t n o t h a v i n g y e t d e v e l o p e d a n u n d e r s t a n d i n g t h a t ( a n d w h y ) s u b t r a c t i o n i s n o t . 7 7 C e r t a i n l y , t h e r e i s a d i f f e r e n c e b e t w e e n w h a t I h a v e s a i d s h e a p p e a r s a b l e t o d o [ a b o u t v i s u a l i z a t i o n a n d h y p o t h e t i c a l s i t u a t i o n s ] . H o w e v e r , i n s o m e s e n s e t h e y s e e m r e l a t e d t o m e - b o t h a r e s o m e h o w a b o u t w h a t s h e c a n s e e — w i t h m a y b e o n e c o n c r e t e a n d t h e o t h e r a b s t r a c t . A n y w a y , i t s e e m s w o r t h p u s h i n g i n t o m o r e . ( M a y 3 1 , 1 9 9 4 ) I w a s i n c l i n e d t o i n v e s t i g a t e t h e s e i s s u e s o v e r f r a c t i o n s ( a s I c h o s e f o r J i m ) , b e c a u s e , w h i l e T e r i h a d d e m o n s t r a t e d s o m e c o n f u s i o n a b o u t t h e m d u r i n g t h e i n t e r v i e w s , ” w h e n I v i s i t e d [ h e r ] c l a s s M a y 2 4 , T e r i g a v e a c l e a r e x p l a n a t i o n f o r w h y % o f 1 2 w a s 8 ( u s i n g [ s t u d e n t ] c o n j e c t u r e s o n p o s t e r s o n t h e c h a l k b o a r d ) . S h e a l s o s a i d t h a t t h e o t h e r f o u r w a s % - t h e f i r s t p e r s o n t h a t d a y t o d o s o ” ( M a y 2 6 , 1 9 9 4 ) . I n t h e e n d , I d i d n o t c a r r y o u t a f o u r t h i n t e r v i e w o f T e r i . I f e l t I w a s m a k i n g p r o g r e s s : ” I d o t h i n k I a m p r e t t y f a r a l o n g w i t h h e r a s c o m p a r e d w i t h t h e a m o u n t o f t i m e i t t o o k t o p r e p a r e f o r J i m ” ( J u n e 9 , 1 9 9 4 ) . H o w e v e r , t h e r e w e r e b u t a f e w d a y s o f s c h o o l l e f t a n d I w a s u n a b l e t o d e s i g n t h e i n t e r v i e w i n t h a t t i m e . M y b i g g e s t s t r u g g l e w a s h o w t o i l l u m i n a t e m y q u e s t i o n s a b o u t t h e m o r e e s o t e r i c i s s u e s o f v i s u a l i z a t i o n a n d h y p o t h e t i c a l s i t u a t i o n s . O n c e I r e a c h e d t h e c o n c l u s i o n t h a t t i m e p r e v e n t e d f u r t h e r i n t e r v i e w s w i t h i n t h a t a c a d e m i c y e a r , I p a u s e d a n d r e c o n s i d e r e d . I r e - e x a m i n e d m y t h r e e r e m a i n i n g c a n d i d a t e s . M y l i m i t e d e x p e r i e n c e a n a l y z i n g J i m a n d T e r i l e d m e t o c o n c l u d e t h a t I a l r e a d y h a d l a r g e a m o u n t s o f d a t a . I d e c i d e d t o d o o n e m o r e i n t e r v i e w . R a t h e r t h a n c o n t i n u e w i t h T e r i , I d e c i d e d t h a t D a n i e l l e m i g h t p r o v e m o r e e n l i g h t e n i n g . A s I n o t e d b e f o r e , s h e w a s t a l k a t i v e , a r t i c u l a t e , a n d r e fl e c t i v e . R a t h e r t h a n s t r u g g l e w i t h T e r i , I c h o s e a s e e m i n g l y m o r e p r o d u c t i v e r o u t e o f i n t e r v i e w i n g D a n i e l l e . 7 8 D a n i e l l e A t t h i s p o i n t , I c o n f i r m e d w i t h D a n i e l l e ’ s m o t h e r t h a t a n i n t e r v i e w d u r i n g t h e s u m m e r w o u l d b e p o s s i b l e . A s t h e a c a d e m i c y e a r e n d e d f o r t h e c h i l d r e n , I w a s s t i l l e x a m i n i n g t h e i r d a t a i n d i v i d u a l l y . T h a t i s , I h a d n o t s y s t e m a t i c a l l y l o o k e d a c r o s s t h e d a t a f o r p a t t e r n s ( t h o u g h I w o u l d O f t e n m a k e n o t e s a b o u t s i m i l a r i t i e s o r c o n t r a s t s ) . A s I c o n s i d e r e d D a n i e l l e ’ s f o u r t h i n t e r v i e w , I n o t e d i n a m e m o o n m y o b s e r v a t i o n s o f h e r i n n o r m a l s c h o o l a c t i v i t i e s a n d h e r r e s p o n s e s t o i n t e r v i e w a c t i v i t i e s a n d i n t e r a c t i o n s w i t h m e , t h a t ” D a n i e l l e h a s a v e r y s o c i a l o r i e n t a t i o n t o l i f e i n g e n e r a l ” ( J u l y 2 7 , 1 9 9 4 ) . I n t h e s a m e m e m o I n o t e d t h a t t h i s s o c i a l b e n t fi t w e l l w i t h t h e o r i e n t a t i o n o f h e r t e a c h e r . I c o n c l u d e d t h a t ” t h i s i s , a t l e a s t i n p a r t , w h y s h e n o w l i k e s m a t h w h e r e a s i n fi r s t g r a d e s h e d i d n o t — s h e l i k e s t o l i s t e n t o o t h e r s t a l k a n d h e a r t h e i r i d e a s ” ( J u l y 2 7 , 1 9 9 4 ) . A s I m o v e d f r o m t h e s e i s s u e s i n t o h e r m a t h e m a t i c a l r e s p o n s e s , I w o n d e r e d a b o u t t h e r e l a t i o n s h i p f o r D a n i e l l e a m o n g t h e f o l l o w i n g : 1 ) t h e ” t r i c k i n e s s ” o f m a t h ; 2 ) t h e w a y s h e p l a y s w i t h m a t h a s s h e d o e s i t ; 3 ) w h y s h e d o e s n o t w a n t [ h e r t e a c h e r ] t o t e l l r i g h t a n s w e r s ; 3 ) [ s i c ] h e r a v o w a l o f d i s p l e a s u r e w i t h n e g a t i v e n u m b e r s c o n t r a s t e d w i t h h e r o b v i o u s d e l i g h t w h e n t h e y s u r f a c e ; 4 ) h e r i d e a s a b o u t w h a t i t m e a n s t o b e g o o d a t m a t h ; 5 ) h e r i d e a s a b o u t w h a t m a t h i s f o r ; 6 ) t h e r o l e O f d o i n g m a t h a n d o f r i g h t a n s w e r s i n m a t h . ( J u l y 2 7 , 1 9 9 4 ) T h i s w a s a l o t o f t e r r i t o r y t o c o v e r i n o n e i n t e r v i e w o f a n i n e y e a r o l d . F u r t h e r , i t r e q u i r e d n o s p e c i f i c m a t h e m a t i c a l t e r r a i n i n w h i c h t o c e n t e r t h e d i s c u s s i o n I h a d b e e n s t r u c k b y t h e s i g n i f i c a n c e s e v e r a l o f t h e c h i l d r e n p l a c e d o n t h e d u a l p r o b l e m s 2 6 - 1 8 a n d 1 8 - 2 6 ( t h e s e a r e d i s c u s s e d i n s e v e r a l o f t h e p r o fi l e s i n t h e n e x t c h a p t e r ) . S i n c e s e v e r a l c h i l d r e n s e e m e d t o h a v e s t i l l d e v e l o p i n g i d e a s a b o u t c o m m u t a t i v i t y a n d I h a d s p e n t c o n s i d e r a b l e t i m e o n 7 9 f r a c t i o n s w i t h J i m , I d e c i d e d t o c e n t e r t h e m a t h e m a t i c s i n D a n i e l l e ’ s i n t e r v i e w a r o u n d t h e f o r m e r i s s u e . N o w , I w a s f a c e d w i t h d e c i s i o n s a b o u t h o w t o a c c o m p l i s h m y g o a l s . O n e o f t h e k e y s , I f e l t , w a s t o b e t t e r u n d e r s t a n d h o w D a n i e l l e w a s u s i n g t h e w o r d s ” h a r d ” a n d ” t r i c k y . " S h e s e e m e d t o d i s t i n g u i s h b e t w e e n t h e s e b u t i t w a s n o t c l e a r h o w . S h e e x p e r i e n c e d b o t h i n h e r r e f o r m - o r i e n t e d c l a s s r o o m . S h e l i k e d t h e l a t t e r b u t n o t t h e f o r m e r . U n p a c k i n g h e r t h i n k i n g p r o m i s e d i n s i g h t i n t o s e v e r a l o f m y q u e s t i o n s . I k n e w t h a t c h i l d r e n l i k e d t o s e e t h e m s e l v e s i n v i d e o . S i n c e i t w a s m o r e t h a n t h r e e m o n t h s l a t e r , I t h o u g h t t h a t D a n i e l l e w o u l d n e e d a r e m i n d e r o f t h e c o n t e x t i n w h i c h s h e h a d t a l k e d a b o u t t h e s e v i e w s o f p r o b l e m s . 3 9 I s e l e c t e d v i d e o c l i p s o f o u r d i s c u s s i o n o f t h e s e i d e a s a n d c r e a t e d a t a p e t o s h o w h e r . I c r e a t e d a s e r i e s O f p r o b e s t o e x p l o r e h e r r e a c t i o n s a n d t h e n c u r r e n t t h i n k i n g . 4 0 T o e x p l o r e c o m m u t a t i v i t y , I d e s i g n e d a p a i r o f c o n t e x t u a l i z e d a d d i t i o n p r o b l e m s t h a t u s e d t h e s a m e n u m b e r s b u t s u g g e s t e d a d d i n g i n t h e o p p o s i t e o r d e r . I c r e a t e d a s i m i l a r p a i r s u g g e s t i n g s u b t r a c t i o n . I h a d p r o b e s t h a t e x p l o r e d t h e s i m i l a r i t i e s a n d d i f f e r e n c e s a m o n g t h e f o u r r e s u l t s . I a l s o a s k e d D a n i e l l e t o d e s i g n s t o r i e s t o g o w i t h n u m e r i c a l p r o b l e m s . M y g o a l w a s t o s e e w h a t s h e m i g h t d o w i t h a p r o b l e m t h a t e n d e d w i t h a n e g a t i v e i n t e g e r . S h e l o v e d t o t e l l s t o r i e s a n d h a d l o t s o f e x p e r i e n c e w i t h s t o r y p r o b l e m s i n h e r c l a s s b u t a s s e r t e d a d i s l i k e O f n e g a t i v e i n t e g e r s . I t h e o r i z e d t h a t s h e m i g h t b e f a v o r a b l y d i s p o s e d t o s u c h a t a s k a n d t h a t h e r r e a s o n i n g a b o u t n e g a t i v e i n t e g e r s w o u l d e m e r g e w i t h o u t t h e s h r o u d o f d i s l i k e . S i n c e I h a d n o t a s k e d h e r 3 9 I t t u r n e d o u t s h e r e m e m b e r e d t h e m c l e a r l y . S h e o f t e n k n e w w h a t w a s c o m i n g n e x t o n t h e t a p e . ” S e e A p p e n d i x D f o r t h e p r o t o c o l o f t h i s i n t e r v i e w . 8 0 t o c r e a t e s t o r i e s b e f o r e , I d e c i d e d t o s t a r t w i t h p r o b l e m s t h a t r e s u l t e d i n p o s i t i v e a n s w e r s . T h e f i n a l e l e m e n t o f t h e p r o t o c o l “ 1 w a s w h e t h e r s h e t h o u g h t O f f r a c t i o n s a n d n e g a t i v e i n t e g e r s a s n u m b e r s . R e c a l l t h a t I w a s i n t e r e s t e d i n t h e c h i l d r e n ’ s d e v e l o p i n g u n d e r s t a n d i n g o f n u m b e r s y s t e m s . T h i s w a s o n e a v e n u e i n t o u n d e r s t a n d i n g h o w s h e w a s p u t t i n g t o g e t h e r e l e m e n t s O f e x p a n d i n g n u m b e r s y s t e m s . D a t a C o l l e c t i o n C o n c l u d e d A t t h i s p o i n t , I f e l t u n c e r t a i n w h e t h e r I c o u l d s a f e l y s a y t h i s w a s t h e c o n c l u s i o n o f d a t a c o l l e c t i o n . I w a s i n c l i n e d t o s a y y e s b u t , w i t h o u t a n a l y z i n g t h e d a t a s i g n i fi c a n t l y o r s u f fi c i e n t l y , I w a s h a r d - p r e s s e d t o a s s e r t t h i s d e fi n i t i v e l y . I s o u g h t h e l p f r o m s o m e m e m b e r s o f m y c o m m i t t e e . Y e t , I w a s i n a b i n d h e r e a l s o . A f t e r a l l , n o o n e c o u l d k n o w m y d a t a a s I d i d . N o r c o u l d I a s k a n y o n e t o d o s o g i v e n t h e q u a l i t a t i v e n a t u r e a n d e x t e n t o f i t . T h u s , I w o u l d n e e d t o p r e s e n t s o m e i d e a o f w h a t I h a d . O f c o u r s e , t h i s i m p l i e d a n a l y z i n g t h e d a t a — a t l e a s t e n o u g h t o p a r s e i t f o r d e s c r i p t i v e p u r p o s e s . I n a d v a n c e o f a n A u g u s t 4 , 1 9 9 4 , m e e t i n g w i t h t w o m e m b e r s o f m y c o m m i t t e e , D e b o r a h B a l l a n d R a l p h P u t n a m , I d i s t r i b u t e d : ( a ) p r o t o c o l s o f a l l t h e i n t e r v i e w s I h a d d o n e ; ( b ) a c h a r t i d e n t i f y i n g t h e m a t h e m a t i c s I b e l i e v e d e a c h t a s k o f f e r e d ; ( c ) a m e m o r e - v i s i t i n g t h e p r o p o s a l q u e s t i o n s a n d p r e s e n t i n g m y c u r r e n t t h o u g h t s a b o u t t h e s t u d y ; a n d ( d ) p r e l i m i n a r y i d e a s a b o u t B e r t a l o n g w i t h r a w n o t e s f o l l o w i n g h i s i n t e r v i e w s . — ‘ “ A s i t t u r n e d o u t , t h e t o p i c a r o s e n a t u r a l l y e a r l i e r i n t h e i n t e r v i e w . 8 1 O u r c o n c l u s i o n w a s t h a t I h a d c o l l e c t e d e n o u g h d a t a . H o w e v e r , t h i s c o n c l u s i o n w a s h a r d l y d e f i n i t i v e . I n a m e m o w r i t t e n o n A u g u s t 1 1 , I c o m m e n t e d a b o u t P u t n a m ’ s s e e m i n g a m b i v a l e n c e a s t o w h e t h e r I h a d c o n c l u d e d d a t a c o l l e c t i o n : ” I d o n o t r e m e m b e r [ P u t n a m ] m a k i n g m u c h o f a n a r g u m e n t e i t h e r w a y n o r d i d I g e t a s e n s e t h a t h e h a d s t r o n g f e e l i n g s e i t h e r w a y . ” T h i s w a s i n r e s p o n s e t o a l e t t e r f r o m B a l l . G o i n g i n t o t h e m e e t i n g , s h e " r e a l l y w a s u n s u r e . ” E v e n a f t e r t h e m e e t i n g , n o t i n g m y c o n t i n u e d w o r r y o v e r t h e " e n o u g h ” q u e s t i o n , 4 2 B a l l w r o t e : ” I f i t s e e m s N O T e n o u g h , w e n e e d t o t h i n k h o w y o u w o u l d d e c i d e w h a t k i n d s o f d a t a y o u s t i l l n e e d . . . . I t h i n k i t m a k e s s e n s e t o g e t i n t o t h e a n a l y s i s , k n o w i n g t h a t i n e v i t a b l y y o u w i l l f e e l t h a t y o u d o n o t h a v e t h e d a t a y o u n e e d , a s y o u r t h i n k i n g e v o l v e s ” ( A u g u s t 8 , 1 9 9 4 , e m p h a s i s i n t h e o r i g i n a l ) . T h u s , w i t h h e s i t a n c e a n d r e a l i z a t i o n t h a t t h i s c o n c l u s i o n m a y p r o v e n o t t o b e f i n a l , I c l o s e d t h e b o o k o n d a t a c o l l e c t i o n a n d t u r n e d t o a n a l y s i s . A N A L Y S I S I t u r n n o w t o d i s c u s s i o n o f t h e a n a l y t i c p r o c e d u r e s u s e d a f t e r c o m p l e t i o n o f d a t a c o l l e c t i o n . I a n a l y z e d d a t a a n d c r e a t e d t e x t i n a r e c u r s i v e f a s h i o n . T h i s p r o c e s s i n c l u d e d : e x a m i n i n g d a t a ; p a r s i n g d a t a u s i n g c h a r t s a n d t a b l e s ; m a k i n g n o t a t i o n s o f c u r i o u s , i n t e r e s t i n g , i n t r i g u i n g e p i s o d e s a n d s t a t e m e n t s ; w r i t i n g m i n i - c a s e s ; w e a v i n g m i n i - c a s e s t o g e t h e r t o c r e a t e c a s e s . T h r o u g h o u t t h e p r o c e s s I l o o k e d f o r t h e m e s ( a n d i n c o n s i s t e n c i e s ) w i t h i n a n d a c r o s s c h i l d r e n I fi r s t d e s c r i b e w h a t I m e a n b y r e c u r s i v e a n a l y s i s . ‘ 2 " E n o u g h " i s n o t m e a n t q u a n t i t a t i v e l y h e r e . B a l l a n d I a l s o d i s c u s s e d ( i n s h a r e d t e x t ) i s s u e s a r o u n d s u c h t e r m s a s d e s c r i p t i v e o f q u a l i t a t i v e d a t a . I u s e i t h e r e m e r e l y a s s h o r t h a n d . 8 2 R e c u r s i v e A n a l y s i s M y fi r s t s t e p i n d a t a a n a l y s i s w a s t o w a t c h v i d e o t a p e s , f i l l i n g i n m i s s i n g w o r d s i n t r a n s c r i p t s a n d a n n o t a t i n g t h e m ( w i t h c o m m e n t s l i k e , ” w a v i n g h e r h a n d s , ” ” s m i l i n g , ” a n d ” t u r n i n g t o d r a w o n t h e c h a l k b o a r d ” ) a s I d i d s o . 4 3 S i m u l t a n e o u s l y , I m a d e n o t e s o f c u r i o u s o r i n t r i g u i n g i n c i d e n t s . A f t e r c o m p l e t i n g t r a n s c r i p t s , I r e t u r n e d t o s u c h i n c i d e n t s a n d e x a m i n e d t h e m i n l i g h t o f m y r e s e a r c h q u e s t i o n s . I r e v i s i t e d t h e d a t a a n d e x a m i n e d b o t h t h e i n c i d e n t a n d o t h e r s a l i e n t d a t a t o s e e i f t h e y s h e d l i g h t . L a t e r s t e p s w e r e a l s o r e c u r s i v e . W h i l e w r i t i n g c a s e s , I w o u l d o f t e n r e t u r n t o t h e d a t a t o r e - e x a m i n e a n d , p o t e n t i a l l y , r e - i n t e r p r e t w o r d s a n d a c t i o n s . T h r o u g h t h i s p r o c e s s , I w r o t e c a s e s a d d r e s s i n g m y r e s e a r c h q u e s t i o n s . F o r e x a m p l e , I w r o t e c a s e s d e s c r i b i n g c h i l d r e n ’ s f r a m e s . I a l s o w r o t e a b o u t e a c h c h i l d ’ s w o r k o n s e l e c t e d t a s k s . F o l l o w i n g t h e c o n s t r u c t i o n o f i n d i v i d u a l c a s e s , I l o o k e d a c r o s s c a s e s ( f o r a c h i l d a n d a c r o s s c h i l d r e n ) f o r s i m i l a r i t y a n d d i f f e r e n c e . T h i s O f t e n l e d t o a r e t u r n t o t h e d a t a . T h e f o u r d o c u m e n t s I p r o v i d e d f o r t h e A u g u s t 4 , 1 9 9 4 , m e e t i n g w i t h B a l l a n d P u t n a m ( s e e p r e v i o u s s e c t i o n ) i l l u s t r a t e t h e r e fl e x i v e n a t u r e O f m y a n a l y t i c a l p r o c e s s e s . I s t a r t e d w i t h r a w d a t a ( p r o t o c o l s o f i n t e r v i e w s ) . I f o l l o w e d t h i s w i t h a c l o s e l o o k a t o n e a s p e c t o f t h e d a t a ( t h e m a t h e m a t i c s O f f e r e d ) . N e x t , I e x p a n d e d m y p e r s p e c t i v e t o t h e b i g p i c t u r e o f t h e s t u d y ( r e - v i s i t i n g m y p r o p o s a l q u e s t i o n s ) . F i n a l l y , I r e t u r n e d t o t h e d a t a ( i n t h i s p r e l i m i n a r y s t a g e , f o r o n e c h i l d , B e r t ) a n d c o n s i d e r e d w h a t t h e y t o l d m e a b o u t h i m i n r e l a t i o n t o t h e i s s u e s r a i s e d i n t h e p r e v i o u s t w o s t e p s . “ A s n o t e d i n e a r l i e r s e c t i o n s , 1 p e r f o r m e d s i g n i fi c a n t a n a l y s i s d u r i n g t h e d a t a c o l l e c t i o n p r o c e s s . T h u s , " f i r s t s t e p " r e f e r s t o p o s t d a t a c o l l e c t i o n a n a l y s i s — t h o u g h , I d i d s o m e o f t h e s e s a m e t a s k s w h i l e a n a l y z i n g d u r i n g d a t a c o l l e c t i o n . 8 3 F r a m e s H o w c h i l d i n t e r p r e t s p r o b l e m s a n d p r o b l e m c o n t e x t s F l o w 0 ‘ R e p r e s e n t a t i o n s - i n fl u e n c e T o o l s & h o w t h e y F l o w o f a n a l y s r s i n p r o b l e m a r e u s e d s o l v i n g E x p e r i e n c e s M a t h t h e c h i l d i s a b l e t o d o F i g u r e 1 : R e l a t i o n s h i p s a m o n g f r a m e s , r e p r e s e n t a t i o n s , a n d e x p e r i e n c e s . T h i s p r o v i d e s a p i c t u r e o f t h e r e c u r s i v e a n a l y s i s . I n o w p r o v i d e e x a m p l e s o f s o m e o f t h e s p e c i f i c t o o l s u s e d i n t h e s e s t a g e s . C h a r t s a n d S t r a n d s I n p r e l i m i n a r y s t a g e s o f a n a l y s i s I m a d e c h a r t s O f a v a r i e t y O f t h i n g s : t h e m a t h e m a t i c s t h a t c h i l d r e n m i g h t e n g a g e w i t h i n e a c h t a s k , “ t h e m a t h e m a t i c s t h a t t h e c h i l d r e n a c t u a l l y e n g a g e d w i t h i n e a c h t a s k , r e s o u r c e s t h e y u s e d , r e p r e s e n t a t i o n s , a n d s o f o r t h . T h e s e c h a r t s o f f e r e d o n e w a y t o l o o k a c r o s s t h e d a t a . I n a s e n s e , t h e y a l s o r e d u c e d t h e r o l e o f t h e c h i l d r e n . T h a t i s , m a n y O f t h e s e c h a r t s l i s t e d e l e m e n t s w i t h o u t r e g a r d t o f r o m w h o m t h e y o r i g i n a t e d . T o a g r e a t e x t e n t , i t i s f o r t h i s r e a s o n t h a t t h e y t u r n e d o u t l e s s h e l p f u l i n a d d r e s s i n g m y g o a l s t h a n o t h e r a n a l y t i c a l a c t i v i t i e s . M y g o a l w a s t o u n d e r s t a n d h o w t h e s e c h i l d r e n r e a s o n e d w h i l e d o i n g m a t h e m a t i c s . O n t h e o t h e r h a n d , t h e c h a r t s w e r e h e l p f u l i n f o c u s i n g t h e a n a l y s i s . F o r e x a m p l e , t h e c h a r t o f r e s o u r c e s u s e d i n c l u d e d m a n y i t e m s t h a t s e e m e d O f l i t t l e i n t e r e s t t o t h e g e n e r a l m a t h e m a t i c s e d u c a t o r . F o r e x a m p l e , c o u n t i n g w a s a c o m m o n r e s o u r c e . T h e c h i l d r e n o f t e n r e c a l l e d t h i n g s ; t h e i r m e m o r y w a s a r e s o u r c e . T h e s e a r e c o m m o n r e s o u r c e s f o r c h i l d r e n . H o w e a c h u s e d t h e m v a r i e d a n d c o n s e q u e n t l y c o u l d b e o f i n t e r e s t . H o w e v e r , s u c h fi n e p a r s i n g r e s u l t e d i n a l i s t s o l o n g a n d s o d e t a i l e d t h a t i t o v e r w h e l m e d . T h i s r e a l i z a t i o n h e l p e d m e r e fi n e t h e s c o p e o f t h e a n a l y s i s t o o n e f o r m o f r e s o u r c e , r e p r e s e n t a t i o n s . T h e r e p e a t e d e x a m i n a t i o n o f t h e d a t a a l o n g w i t h t h e c r e a t i o n o f c h a r t s h e l p e d m e i n t e r n a l i z e m y d a t a . T h r o u g h t h i s p r o c e s s , I d e v e l o p e d t h r e e s t r a n d s t h a t I e x p l o r e d s i m u l t a n e o u s l y . O n e s t r a n d a i m e d a t u n d e r s t a n d i n g e a c h c h i l d ’ s “ E s s e n t i a l l y , t h i s i n v o l v e d c o l l e c t i n g n o t e s I m a d e a s I d e v e l o p e d e a c h t a s k . 8 5 a c t i o n s w h e n d o i n g m a t h e m a t i c s . I c r e a t e d m i n i - c a s e s O f w o r k o n s p e c i f i c p r o b l e m s . T h e s e I c a m e t o c a l l t h e c h i l d r e n ’ s ” e x p e r i e n c e s . ” A s e c o n d s t r a n d e x a m i n e d t h e c h i l d r e n i n d i v i d u a l l y b u t i n t e r m s o f t h e i r v i e w s o f t h e m s e l v e s , t h e w o r l d , a n d m a t h e m a t i c s . T h i s w a s l e s s a b o u t s p e c i fi c w a y s o f d o i n g m a t h e m a t i c s ; i t w a s m o r e a b o u t a t t i t u d e s a n d b e l i e f s . T h e s e I c a m e t o c a l l t h e i r " f r a m e s ” ( B a r n e s , 1 9 9 2 ) . T h e s e f i r s t t w o s t r a n d s w e r e l a t e r w o v e n t o g e t h e r t o f o r m t h e c a s e s c o m p r i s i n g c h a p t e r 3 . T h e t h i r d s t r a n d e x a m i n e d u s e o f r e p r e s e n t a t i o n s . T h i s s t r a n d f o r m s t h e b a s i s o f c h a p t e r s 4 a n d 5 . I t h e o r i z e d t h a t c h i l d r e n ’ s f r a m e s d r o v e t h e k i n d s o f r e p r e s e n t a t i o n s t h e y e m p l o y e d . R e p r e s e n t a t i o n s d e t e r m i n e d ( a t l e a s t i n fl u e n c e d ) t h e m a t h e m a t i c s t h e y w e r e a b l e t o d o . W h i l e I s a w t h i s t o b e t h e fl o w o f i n fl u e n c e i n d o i n g m a t h e m a t i c s , I s a w m y r o l e , t o a g r e a t e x t e n t , i n a n a l y z i n g d a t a t o w o r k f r o m t h e i r r e p r e s e n t a t i o n s t o w a r d t h e i r e x p e r i e n c e s a n d f r a m e s ( s e e F i g u r e 1 ) . T h e fi r s t i n t e r v i e w p r o v i d e d d a t a d i r e c t l y a d d r e s s i n g c h i l d r e n ’ s f r a m e s . S o m e c h i l d r e n ( m o s t n o t a b l y , D a n i e l l e ) p r o v i d e d m o r e d a t a o n f r a m e s t h r o u g h o u t t h e c o u r s e o f i n t e r v i e w s . H o w e v e r , t h e s e w e r e r e p o r t e d d a t a . T h a t i s , t h e c h i l d r e n m a d e d i r e c t s t a t e m e n t s a b o u t f e e l i n g s , b e l i e f s , e t c . G i v e n D a n i e l l e ’ s m i x e d s i g n a l s a b o u t h e r a t t i t u d e t o w a r d n e g a t i v e i n t e g e r s , I s o u g h t m o r e r e l i a b l e d a t a . I u s e d t h e c h i l d r e n ’ s a c t i o n s t o t r i a n g u l a t e w i t h t h e i r s t a t e m e n t s t o u n d e r s t a n d t h e i r f r a m e s . T h i s i s w h a t I m e a n w h e n I s a y t h e f l o w o f a n a l y s i s m o v e d f r o m t h e i r r e p r e s e n t a t i o n s b a c k t o t h e i r f r a m e s . C a s e s I p r o c e e d e d f r o m s t r a n d s t o w r i t i n g m i n i - c a s e s a b o u t e v e n t s , t a s k s , r e a s o n i n g , a n d m a t h e m a t i c a l t o p i c s . F o r e x a m p l e , o n e o f m y i n t e r e s t s i n t h e s t u d y w a s w h a t w a s c o n v i n c i n g f o r c h i l d r e n . A s I u s e d t h i s l e n s t o e x a m i n e t h e d a t a , I w r o t e c a s e s e x p l o r i n g i s s u e s o f p r o o f a n d c o n v i n c i n g a r g u m e n t s f o r t h e c h i l d r e n I w r o t e m i n i - c a s e s a b o u t i n d i v i d u a l c h i l d r e n ’ s : u s e o f r e s o u r c e s , f r a m e s ( B a r n e s , 1 9 9 2 ) , v o i c e s ( W e r t s c h , 1 9 9 1 ) , e n g a g e m e n t w i t h p a r t i c u l a r t a s k s ( e . g . , C a n d y B a r p r o b l e m , A g e c o n v e r s a t i o n ) , a n d e n g a g e m e n t w i t h p a r t i c u l a r m a t h e m a t i c a l c o n t e n t ( e . g . , n u m b e r s y s t e m s , f r a c t i o n s ) . I e x a m i n e d t h e s e m i n i - c a s e s f o r i n s i g h t i n t o i n d i v i d u a l c h i l d r e n I w o v e t h e m i n t o c a s e s d e s c r i b i n g e a c h c h i l d a n d h i s / h e r r e l a t i o n w i t h m a t h e m a t i c s . S i m u l t a n e o u s l y , I k e p t w a t c h f o r c r o s s - c u t t i n g t h e m e s . C r o s s - C u t t i n g T h e m e s O n c e I d e v e l o p e d c a s e s t u d i e s O f t h e c h i l d r e n , I l o o k e d w i t h i n i n d i v i d u a l ’ s c a s e s a n d a c r o s s c h i l d r e n f o r p a t t e r n s t h a t o c c u r r e d i n : r e p r e s e n t a t i o n s u s e d ; r e p r e s e n t a t i o n s u s e d f o r s p e c i fi c t a s k s ; d e c i s i o n - m a k i n g ; u s e o f l a n g u a g e . I e x a m i n e d t h e c a s e s u s i n g q u e s t i o n s s u c h a s : I s t h e r e a r e l a t i o n s h i p b e t w e e n t h e n u m b e r , v a r i e t y , o r s i m i l a r i t y o f r e p r e s e n t a t i o n s a n d t h e fl e x i b i l i t y o f p a r t i c i p a n t s ’ p r o b l e m s o l v i n g a p p r o a c h e s ? I m a d e t a b l e s b o t h b y p a r t i c i p a n t a n d b y t a s k t o d e v e l o p c a t e g o r i e s u s e f u l f o r u n c o v e r i n g p a t t e r n s a n d t h e m e s i n t h e d a t a . T h e t a b l e s o f f e r e d a g r o s s l e v e l a n a l y s i s o f d a t a . F o r e x a m p l e , I m a d e a c h a r t o f r e p r e s e n t a t i o n s l a b e l i n g t h e m a s : A b s t r a c t o r I n t u i t i v e : A b s t r a c t r e p r e s e n t a t i o n s a r e m a t h e m a t i c a l f u n c t i o n s , f o r m u l a e , e t c . t h a t r e p r e s e n t t h e c o n c r e t e ( e . g . , q u a d r a t i c f o r m u l a ) . I n t u i t i v e r e p r e s e n t a t i o n s a r e s e n s o r i a l a n d m a y b e p e r c e i v e d , r e p r e s e n t e d , o r m a n i p u l a t e d j u s t a s t h e c o n c r e t e r e a l i t y ( e . g . , t h e n u m b e r l i n e f o r d i r e c t e d n u m b e r s , d i r e c t e d l i n e s e g m e n t s f o r v e c t o r s ) ; E x p l i c i t o r I m p l i c i t : E x p l i c i t a r e p u r p o s e l y a n d c o n s c i o u s l y c h o s e n I m p l i c i t a r e t a c i t l y c h o s e n , t h e u s e r m a y b e c o n v i n c e d b y t h e o b j e c t m a n i p u l a t e d i n t h e c o n c r e t e r e a l i t y . ; A n a l o g i c a l o r p a r a d i g m a t i c : A n a l o g i c a l r e p r e s e n t a t i o n s h a v e s o m e s y s t e m a t i c s i m i l a r i t i e s w h i c h e n t i t l e a p e r s o n t o a s s u m e t h e e x i s t e n c e o f o t h e r s i m i l a r i t i e s . P a r a d i g m a t i c r e p r e s e n t a t i o n s a r e e x e m p l a r s w h i c h 8 7 r e p r e s e n t t h e c l a s s o f e n t i t i e s . T h u s , a n a l o g i c a l r e p r e s e n t a t i o n s a r e o f a d i f f e r e n t c l a s s t h a n t h e o r i g i n a l ; p a r a d i g m a t i c r e p r e s e n t a t i o n s a r e o f t h e s a m e c l a s s . ( J u l y , 1 7 , 1 9 9 6 ) F r o m s u c h t a b l e s , I w r o t e a n a l y t i c m e m o s h o n i n g t h e a n a l y s i s . T h e f o l l o w i n g e x c e r p t o f o n e s u c h m e m o e x p l o r e s N i c o l e ’ s u s e o f h e r r e p r e s e n t a t i o n a n d h e r a t t i t u d e . I t t h e n c o n t r a s t s h e r u s e w i t h t h a t I a t t r i b u t e d t o J i m a n d D a n i e l l e i n t h e s a m e m e m o . N i c o l e t r i e d t o c o m p a r e t h e r e s u l t s u s i n h e r r e p r e s e n t a t i o n w i t h t h e r e s u l t s f r o m u s i n g ” n u m b e r s e n t e n c e s ” a c t u a l l y , t h e t r a d i t i o n a l a l g o r i t h m i n v e r t i c a l f o r m ] . S h e s e e m e d u n h a p p y t h a t t h e t w o d i d n ’ t m a t c h . H e r s o l u t i o n u s i n g h e r r e p r e s e n t a t i o n w a s s o q u i c k , s o s t r a i g h t f o r w a r d t h a t s h e d i d n o t ( a p p e a r t o ) r u n i n t o i s s u e s O f g e t t i n g i n a n d g e t t i n g o u t o f t h e r e p r e s e n t a t i o n — s h e d i d n o t h a v e i s s u e s l i k e t h o s e o f J i m a n d D a n i e l l e - a t l e a s t , n o t w h i l e s o l v i n g t h e p r o b l e m o r i g i n a l l y . ( S e p t . 8 , 1 9 9 6 ) S u c h m e m o s l e d t o f i n e - g r a i n e d a n a l y s e s o f i n d i v i d u a l c h i l d r e n ’ s u s e O f r e p r e s e n t a t i o n s a n d l a n g u a g e . T h e s e f o r m e d a b a s i s f o r c h a p t e r s 4 a n d 5 . T h e y a l s o l a i d t h e g r o u n d f o r e x a m i n a t i o n o f r e p r e s e n t a t i o n s a n d l a n g u a g e a c r o s s t h e c h i l d r e n W h y B e r t , D a n i e l l e , N i c o l e , a n d T e r i T h o u g h I d i d d o m o r e a n a l y s i s o f B e n n i e a f t e r t h e c o n c l u s i o n O f t h e d a t a c o l l e c t i o n , I e v e n t u a l l y r u l e d o u t w r i t i n g a b o u t h i m f o r t h e s a m e r e a s o n s I c h o s e n o t t o i n t e r v i e w h i m a f o u r t h t i m e . H a v i n g d i s c u s s e d m y p r o c e s s o f d e v e l o p i n g a n i n t e r v i e w w i t h J i m a t l e n g t h , i t i s n o d o u b t s u r p r i s i n g t h a t I c h o s e n o t t o i n c l u d e h i m a s a n i n t e g r a l p a r t o f t h e d i s s e r t a t i o n 4 5 O n e r e a s o n i s t h a t I r e m a i n i l l a t e a s e w i t h m y u n d e r s t a n d i n g o f h i s r e a s o n i n g . A s I n o t e d i n a m e m o w r i t t e n s h o r t l y a f t e r h i s f o u r t h i n t e r v i e w : H i s i d e a s a b o u t f r a c t i o n s a r e a w e l t e r o f d i f f e r e n t p i e c e s l o o s e l y c o n fi g u r e d . I [ p r o b e d ] e v e r y w h i c h w a y ( a l t h o u g h n o t a l l [ t h e w a y s ] I 4 5 ] d o e x p e c t t o w r i t e a b o u t h i m i n o t h e r c o n t e x t s . 8 8 c o u l d t h i n k o f l a t e r , o f c o u r s e ) t o t r y t o g e t h i m t o b u m p t w o o r m o r e o f h i s i d e a s a g a i n s t e a c h o t h e r i n v a i n . H e a p p e a r s t o h a v e a f a i r l y . . 1 1 , c o n v e n t i o n a l V i e w o f 5 - a n d z , o f a w h o l e . . . . M o v e m e n t e i t h e r t o w a r d [ f r a c t i o n s o f ] s e t s o r t o w a r d d i f f e r e n t f r a c t i o n s ( o t h e r u n i t o r n o n - u n i t f r a c t i o n s ) s u r f a c e s v e r y c o n f u s i n g ( t o m e , h e d i d n o t s e e m t o f e e l c o n f u s e d ) i d e a s . N e a r t h e e n d o f t h e i n t e r v i e w , h e s a i d t h a t h e ” d o e s n o t g e t ” f r a c t i o n s b e s i d e s % a n d 4 ' ( J u n e 9 , 1 9 9 4 ) W h i l e t h i s s u g g e s t e d t o m e t h a t ” t h e r e i s a t o n o f s t u f f t h e r e , ” I w a s u n c e r t a i n a b o u t d i s e n t a n g l i n g i t . E v e n a t t h i s e a r l y p o i n t I n o t e d t h a t , ” H e i s j u s t v e r y h a r d t o f i g u r e o u t . I n h i n d s i g h t , i t m i g h t h a v e b e e n s m a r t e r t o t r y t o f i g u r e o u t s o m e o n e e l s e t o i n t e r v i e w f i r s t . I s u s p e c t ( n o w ) t h a t I m i g h t h a v e m a d e f a s t e r p r o g r e s s ” ( J u n e 9 , 1 9 9 4 ) . T h e i n t e r v i e w w a s a n i n - d e p t h p u r s u i t o f h i s u n d e r s t a n d i n g o f f r a c t i o n s . A f t e r t h e c o n c l u s i o n o f d a t a c o l l e c t i o n , I s p e n t c o n s i d e r a b l e t i m e a n a l y z i n g a n d w r i t i n g a b o u t J i m . A t l e a s t o n e m o r e i n t e r v i e w w o u l d h a v e b e e n i m p o r t a n t t o u n d e r s t a n d h i s t h i n k i n g w e l l . H e r e m a i n e d f a i r l y u n e n t h u s i a s t i c a b o u t m o s t a c t i v i t i e s e v e n t h o u g h c e n t e r e d a r o u n d h i s d a i l y l i f e . H e w a s e i t h e r l i t t l e w i l l i n g o r a b l e t o e x p r e s s h i s r e a s o n i n g . E x a m i n i n g w h a t d i d m o t i v a t e h i s i n t e r e s t ( e . g . , t h e c o m p e t i t i o n i n t h e D i c e G a m e ) a n d a f i n e r g r a i n e d a s s e s s m e n t o f t h e b o u n d a r i e s o f h i s k n o w l e d g e ( a v a i l a b l e t h r o u g h e x a m i n a t i o n a c r o s s a l l f r a c t i o n t a s k s ) m i g h t h a v e p r o v i d e d t h e g r o u n d w o r k f r o m w h i c h t o d e s i g n a f i f t h i n t e r v i e w . I n a d d i t i o n , J i m w a s t h e o n l y c h i l d w h o p r o f e s s e d n o t t o l i k e m a t h e m a t i c s . T h e r e m a i n i n g f o u r p r o v i d e a s e t o f c h i l d r e n w i t h c e r t a i n c o m m o n a l i t i e s w h o c o n s e q u e n t l y p r o v i d e v a l u a b l e i n s i g h t s t h r o u g h e x a m i n a t i o n o f t h e i r d i f f e r e n c e s . T h e p r e v i o u s p a r a g r a p h s d e t a i l m y e x c l u s i o n o f B e n n i e a n d J i m ; I n o w b r i e fl y e l a b o r a t e o n m y i n c l u s i o n o f t h e o t h e r s . A l l f o u r e x p r e s s e d a l i k i n g f o r 8 9 m a t h e m a t i c s a s t h e y h a d e x p e r i e n c e d i t i n s e c o n d a n d t h i r d g r a d e . Y e t , t h e y p r o v i d e a s e t t h a t m a y b e p a r s e d i n a v a r i e t y o f w a y s r e s u l t i n g i n i l l u m i n a t i o n o f t h e c o m p l e x i t i e s O f r e f o r m - o r i e n t e d t e a c h i n g . O n t h e o n e h a n d , B e r t a n d T e r i t e n d e d t o O p e r a t e m o r e w i t h t h e a b s t r a c t a n d d e c o n t e x t u a l i z e d t o o l s o f m a t h e m a t i c s ; D a n i e l l e a n d N i c o l e t o u s e t h e e l e m e n t s o f t h e r e a l w o r l d s t o r i e s . T h e f i r s t p a i r s t r i p p e d a w a y t h e c o n t e x t s w h i l e t h e l a t t e r a d h e r e d c l o s e l y t o t h e m . Y e t , T e r i a n d B e r t c r e a t e d a n d u s e d r e p r e s e n t a t i o n s i n d i f f e r e n t w a y s , w a y s t h a t r e fl e c t e d t h e i r a t t i t u d e s a b o u t t h e m s e l v e s a n d m a t h e m a t i c s . A s i m i l a r d i s t i n c t i o n o c c u r s w i t h t h e o t h e r p a i r . P a i r e d d i f f e r e n t l y , T e r i a n d D a n i e l l e h a d l i t t l e c o n f i d e n c e i n t h e i r m a t h e m a t i c a l a b i l i t i e s w h i l e t h e o t h e r t w o t h o u g h t e v e r y o n e ( i n c l u d i n g t h e m s e l v e s ) w a s ” g o o d a t m a t h . ” T e r i a v o i d e d d e a l i n g w i t h t h e a b s t r a c t c o n c e p t s o f m a t h e m a t i c s b e c a u s e o f t h i s ; N i c o l e , s h u n n e d t h e a b s t r a c t b e c a u s e o f i t s l a c k o f a p p l i c a b i l i t y i n " r e a l w o r l d ” s i t u a t i o n s . T h e a n a l y s i s o f s u c h c o n t r a s t s o f f e r s i n s i g h t f o r t e a c h e r s a d d r e s s i n g t h e p a r a d o x p o s e d b y t h e N C T M S t a n d a r d s a s d e s c r i b e d i n t h e f i r s t c h a p t e r . 9 0 C H A P T E R T H R E E P R O F I L E S O F T H E C H I L D R E N I n t h i s c h a p t e r , I d e s c r i b e e a c h o f t h e c h i l d r e n a s a p e r s o n a n d a s a d o e r o f m a t h e m a t i c s . I s t a r t e a c h p r o f i l e w i t h a v i g n e t t e t h a t g r o w s f r o m t h e f i r s t i n t e r v i e w . T h e s e v i g n e t t e s a r e i n t e n d e d t o h e l p t h e r e a d e r c r e a t e a v i v i d i m a g e o f e a c h c h i l d . I i n t r o d u c e t h r e e o f t h e c h i l d r e n , B e r t , D a n i e l l e , a n d T e r i , b y d e s c r i b i n g t h e b e g i n n i n g o f o u r s e r i e s o f c o n v e r s a t i o n s t o g e t h e r . T h e f o u r t h c h i l d , N i c o l e , I p r e s e n t s l i g h t l y d i f f e r e n t l y . T h e i m p o r t a n c e o f l a t e r p a r t s o f t h e f i r s t i n t e r v i e w i n h e l p i n g t h e r e a d e r d e v e l o p a c o m p r e h e n s i v e p i c t u r e o f h e r n e c e s s i t a t e a m o r e c o m p l e t e p r e s e n t a t i o n o f h e r f i r s t i n t e r v i e w . F o r a l l f o u r I f o l l o w t h e fi r s t s e c t i o n w i t h a d e s c r i p t i o n t h a t i n t e r t w i n e s t h e c h i l d a s a n i n d i v i d u a l a n d a s a m a t h e m a t i c a l t h i n k e r . T h e s e m i x t h e d e s c r i p t i v e a n d a n a l y t i c a l f o r t h e p u r p o s e o f p o i n t i n g t h e r e a d e r t o w a r d i s s u e s I h i g h l i g h t i n t h e t h i r d s e c t i o n O f t h e p r o f i l e s a n d i n c h a p t e r s 4 a n d 5 . T h e t h i r d s e c t i o n o f e a c h p r o f i l e O f f e r s t w o e x a m p l e s o f t h e c h i l d e n g a g e d i n m a t h e m a t i c a l t a s k s I p o s e d . I d e s c r i b e w o r k i n t h e C a n d y B a r p r o b l e m a n d t h e O p e r a t i o n s t a s k s t o i l l u s t r a t e m y d e s c r i p t i o n s . A g a i n , N i c o l e i s a n e x c e p t i o n b e c a u s e t h e i n s i g h t s o b t a i n a b l e t h r o u g h e x a m i n a t i o n o f h e r w o r k o n t h e C a n d y C a n e p r o b l e m a r e m o r e i l l u m i n a t i n g t h a n t h o s e O f f e r e d b y t h e O p e r a t i o n s t a s k s . I t m a y s u r p r i s e s o m e r e a d e r s t h a t I d o n o t a d d r e s s t h e c h i l d r e n ’ s " m a t h e m a t i c a l a b i l i t y . ” I d i d n o t e n d e a v o r t o a s s e s s t h e s e a b i l i t i e s i n t h i s s t u d y a n d i t w o u l d b e p r e s u m p t u o u s t o c o m m e n t o n t h e m . N e i t h e r m y p u r p o s e n o r m y m e t h o d s w e r e g e a r e d f o r s u c h a s s e s s m e n t . T h e i r t e a c h e r d i d n o t g i v e t h e c h i l d r e n t e s t s . N o r w e r e t h e r e s u l t s o f t h e s t a n d a r d i z e d t e s t s t h e y t o o k i n A p r i l 9 1 a v a i l a b l e . T h e i r t e a c h e r a s s e s s e d t h e s t u d e n t s i n a n o n g o i n g , h o l i s t i c , a n d i n d i v i d u a l f a s h i o n . S h e l o o k e d a t t h e i r m a t h e m a t i c s j o u r n a l s a n d k e p t o n e o f h e r o w n i n w h i c h s h e r e c o r d e d m u c h o f t h e d a i l y m a t h e m a t i c s c l a s s . S h e a t t e n d e d t o w h a t c h i l d r e n d i d a t t h e c h a l k b o a r d a n d w h e n w o r k i n g o n t h e i r o w n o r w i t h o t h e r s . S h e p r o b e d c h i l d r e n ’ s t h i n k i n g a l o n e a n d i n g r o u p s . B E R T I h a v e c h o s e n t o s t a r t t h e s e r i e s o f p r o f i l e s w i t h B e r t b e c a u s e , o n t h e s u r f a c e , h e a p p e a r s a n e x a m p l e O f a c h i l d w h o v a l u e d m a t h e m a t i c s i n m u c h t h e w a y m a t h e m a t i c i a n s a n d r e f o r m e r s a l i k e w o u l d d e s i r e . I n t h i s p r o f i l e I a r g u e t h a t h e s a w m a t h e m a t i c s a s a p o w e r f u l a n d e x c i t i n g d i s c i p l i n e . H e f r e q u e n t l y a n d i n t e n t i o n a l l y u n d e r t o o k e x p l o r a t i o n o f a b s t r a c t c o n c e p t s a n d O b j e c t s t h a t h e f e l t h e d i d n o t f u l l y u n d e r s t a n d — w i t h a n e x p e c t a t i o n t h a t h e c o u l d u n d e r s t a n d t h e m t h r o u g h s u c h e x p l o r a t i o n . I f u r t h e r a r g u e t h a t h i s a c t i o n s m a t c h h i s a v o w e d i n t e r e s t i n l e a r n i n g m a t h e m a t i c s t h r o u g h d i s c o u r s e a b o u t m a t h e m a t i c a l i s s u e s r a i s e d i n c o n t e x t u a l p r o b l e m s . O n t h e o t h e r h a n d , h e d i d n o t u s e t h e c o n t e x t s t h e m s e l v e s i n w o r k i n g t o w a r d s o l u t i o n s t o i n d i v i d u a l p r o b l e m s l e t a l o n e i n b u i l d i n g u n d e r s t a n d i n g o f m a t h e m a t i c s i n a l a r g e r s e n s e . I t u r n n o w t o t h e s t a r t O f m y f i r s t i n t e r v i e w w i t h B e r t . V i g n e t t e E a r l y i n t h e f i r s t i n t e r v i e w I d e v e l o p e d a s e n s e t h a t B e r t w a s i n t e n s e l y i n t e r e s t e d i n m a t h e m a t i c s . H e d e s c r i b e d m a t h e m a t i c s a s o n e o f ” m y b e s t t h i n g I s l " ( B , 1 1 , p . 2 ) . W h e n I a s k e d w h a t h e m e a n t b y ” b e s t t h i n g , ” B e r t s a i d , " b e c a u s e i t ’ s i n t e r e s t i n g . ” B e f o r e I c o u l d a s k w h a t h e m e a n t b y i n t e r e s t i n g , B e r t d i d s o m e t h i n g I w o u l d t o c o m e t o e x p e c t i n o u r d i s c u s s i o n s . G i v e n m y p r e v i o u s r e q u e s t t o e x p l i c a t e ” b e s t t h i n g , " B e r t a p p a r e n t l y a n t i c i p a t e d a s i m i l a r r e q u e s t f o r 9 2 ” i n t e r e s t i n g . ” H e c o n t i n u e d , ” a n d w h e n I t h i n k ’ i n t e r e s t i n g , ’ I t h i n k i t ’ s , l i k e , v e r y , l i k e p o w e r f u l , i t , y o u c a n s e e i t i n y o u r h e a d ” ( p . 3 ) . I a s k e d w h a t h e m e a n t b y " p o w e r f u l ” ( h e d i d n o t a l w a y s a n t i c i p a t e m y q u e s t i o n s ) . B e r t fi r s t t r i e d o u t ” a r g u e f u l ” a s h e c l e a r l y s t r u g g l e d t o f i n d a d e q u a t e w o r d s . T h i s s t r u g g l e t o e x p r e s s c e r t a i n i d e a s w a s a n o t h e r t h e m e O f t h e i n t e r v i e w s ; h e o f t e n f o u n d i t , i n h i s w o r d s , ” h a r d t o e x p l a i n ” i d e a s — b o t h m a t h e m a t i c a l a n d n o n - m a t h e m a t i c a l ( p . 3 ) . T y p i c a l l y w h e n e n c o u n t e r i n g d i f f i c u l t i e s e x p l a i n i n g h i m s e l f , B e r t r e s p o n d e d a s i n t h i s i n s t a n c e , w i t h a m e t a p h o r . H e f o u n d m a t h e m a t i c s p o w e r f u l b e c a u s e ” I t b r i g h t s u p m y h e a d ” ( p . 3 ) . H i s f a c i a l e x p r e s s i o n a n d e a r n e s t t o n e i n d i c a t e t h e e f f o r t h e w a s e x p e n d i n g t o a r t i c u l a t e h i s p e r c e p t i o n o f t h e p r o c e s s o f d o i n g m a t h e m a t i c s . L i k e w i s e , d u r i n g t h e s e c o n d a n d t h i r d i n t e r v i e w s B e r t w o r k e d h a r d e s t a t e x p l a i n i n g h i s i d e a s a b o u t c o m p l e x , a b s t r a c t c o n c e p t s a n d o b j e c t s o f m a t h e m a t i c s ( e . g . , t h e r e l a t i o n s h i p a m o n g z e r o , n e g a t i v e i n t e g e r s , a n d p o s i t i v e i n t e g e r s ) . H e w a s v e r y i n t e n s e d u r i n g t h e s e p a r t s O f t h e c o n v e r s a t i o n “ a n d s e e m e d t o r e c o g n i z e t h i s i n t e n s i t y w i t h i n h i m s e l f . I n e l a b o r a t i n g o n t h e p o w e r o f m a t h e m a t i c s , B e r t s p o k e O f f r e q u e n t l y p a r t i c i p a t i n g i n ” b i g d i s c u s s i o n s . ” H e t h o u g h t t h e s e d i s c u s s i o n s i m p o r t a n t b e c a u s e ” i t ’ s g o o d t o h a v e p e o p l e , k n o w w h a t p e o p l e , o t h e r p e o p l e m e a n . . . a n d i t ’ s r e a l l y f u n t o t e l l p e o p l e w h a t y o u t h i n k a n d s t u f f l i k e t h a t ” ( p . 3 ) . M y o b s e r v a t i o n s o f t h e c l a s s p r i o r t o s e l e c t i n g c h i l d r e n t o p a r t i c i p a t e i n t h e s t u d y a n d w h i l e p r e s e n t i n t h e c l a s s r o o m o v e r t h e c o u r s e o f t h e s t u d y , “ 7 c o n f i r m 4 6 A l l o f t h e c h i l d r e n h a d h a d e x t e n s i v e i n t e r a c t i o n w i t h a d u l t s i n t h e c l a s s r o o m : U n i v e r s i t y f a c u l t y , u n d e r g r a d u a t e s a n d i n t e r n s i n a t e a c h e r e d u c a t i o n p r o g r a m , o t h e r t e a c h e r s , r e s e a r c h e r s , f o l k s m a k i n g v i d e o t a p e s o f t h e c l a s s , a n d s o f o r t h . A l l t h e c h i l d r e n t r e a t e d t h e i n t e r v i e w s a s c o n v e r s a t i o n s t o s o m e d e g r e e . B e r t a n d D a n i e l l e d i d s o a l m o s t e n t i r e l y a s t i m e w e n t o n — t r e a t i n g m e a s n e a r l y a n e q u a l r a t h e r t h a n a s a n i n t e r l o c u t o r . ” E s s e n t i a l l y , t h e o n l y r e s t r i c t i o n t h e c h i l d r e n ’ s t e a c h e r p l a c e d w a s t h a t I c o u l d n o t r e m o v e t h e c h i l d r e n d u r i n g m a t h e m a t i c s c l a s s . S i n c e s h e w a s v e r y i n t e r e s t e d i n s t u d y i n g h e r o w n p r a c t i c e a n d s i n c e I h a d v i d e o e q u i p m e n t t h e r e f o r t h e p u r p o s e s o f t h i s s t u d y , I o f t e n t a p e d t h e m a t h e m a t i c s c l a s s e s . T h i s p r o v i d e d o p p o r t u n i t i e s t o o b s e r v e t h e c h i l d r e n d o i n g m a t h e m a t i c s i n t h e i r ” n o r m a l " c o n t e x t . 9 3 B e r t ’ s w o r d s ; h e w a s a n i n t e n s e a n d r e g u l a r p a r t i c i p a n t i n m a t h e m a t i c a l d i s c u s s i o n s . H e e n j o y e d t h i s i n t e n s i t y : Y o u ’ r e b e i n g s e r i o u s , y o u ’ r e n o t l a u g h i n g a n d p l a y i n g . . . . i t ’ s h a r d t o e x p l a i n , u m . . . l i k e , I l i k e t o b e s e r i o u s a t o n e t i m e , y o u h a v e t o b e s e r i o u s a t o n e t i m e , y o u h a v e t o b e p l a y f u l [ a t a n o t h e r ] t i m e . . . . I p l a y a t o n e t i m e a n d I b e s e r i o u s a t o n e t i m e . S o I l i k e b o t h O f t h o s e t h i n g s . ( B , 1 1 , p . 3 ) H e r e i t e r a t e d t h e s e s e n t i m e n t s i n r e s p o n s e t o w h a t h e t h o u g h t o f w h e n I s a i d ” m a t h e m a t i c s ” : I t h i n k o f d i s c u s s i o n a n d b e i n g s e r i o u s . W h e n I t h i n k o f m a t h e m a t i c s a n d I ’ m b e i n g p l a y f u l . . . I s t a r t b e i n g r e a l l y s e r i o u s , b e c a u s e l i k e , w h e n I c o m e i n f r o m l u n c h , w e ’ r e r e a l l y p l a y f u l . A n d t h e n w h e n t h e y s a y , ” I t ’ s t i m e t o s t a r t m a t h , " I ’ m s i t t i n g d o w n s e r i o u s . ( B , 1 1 , p . 3 ) B e r t l i k e d t h e c h a l l e n g e o f d o i n g m a t h ; h e l i k e d b o t h ” i r n p o s s i b l e q u e s t i o n s [ a n d ] n o t i m p o s s i b l e q u e s t i o n s ” ( B , I 1 , p . 3 ) . H e h a d a s e n s e o f t h e p o w e r o f m a t h e m a t i c s a n d e n j o y e d t h e c h a l l e n g e o f d e v e l o p i n g t h a t p o w e r w i t h i n h i m s e l f . H e s a w t h e r o l e o f l e a r n e r s a s a s e r i o u s o n e — h e h a d t o t h i n k a n d w o r k h a r d . B e r t e n g a g e d i n a c t i v i t i e s c o m p a r a b l e t o t h o s e o f m a t h e m a t i c i a n s w h e n h e f o u n d m u l t i p l e w a y s t o e x p l o r e a c o n c e p t t h a t p u z z l e d h i m ( n e g a t i v e i n t e g e r s ) . L i k e m a t h e m a t i c i a n s , h e f o u n d c o n n e c t i o n s a c r o s s p r o b l e m c o n t e x t s , h e e x p l o r e d c o n c e p t s f r o m d i f f e r e n t a n g l e s b y b r i n g i n g t o b e a r t h e s e d i f f e r e n t c o n t e x t s . F u r t h e r , B e r t t e n d e d t o s e e k a n d i n v e n t m e t a p h o r s t o h e l p h i m s e l f ” p i c t u r e ” a n d r e p r e s e n t h i s c u r r e n t u n d e r s t a n d i n g . T h e a s s e s s m e n t s B e r t m a d e o f h i s r e l a t i o n w i t h m a t h e m a t i c s w e r e b o r n e o u t i n h i s d o i n g o f m a t h e m a t i c s t h r o u g h o u t t h e i n t e r v i e w s . H e s m i l e d f r e e l y a n d n a t u r a l l y . Y e t h e t r e a t e d t h e i n t e r v i e w s s e r i o u s l y ; h e w a s a l w a y s i n t e r e s t e d i n t h e t a s k s I p o s e d , O f t e n p u s h i n g t h e m f u r t h e r t h a n a n y o f t h e o t h e r c h i l d r e n - b e y o n d t h e i m m e d i a t e p r o b l e m a n d i n t o t e r r i t o r y O f w h i c h h e f e l t u n s u r e . H i s i n t e n s i t y c a m e t o t h e s u r f a c e d u r i n g t h e s e e x p l o r a t i o n s o f p a r t i a l l y u n d e r s t o o d c o n c e p t s . 9 4 F o r e x a m p l e , B e r t e x p l o r e d t h e r e l a t i o n s h i p o f n e g a t i v e i n t e g e r s , z e r o , a n d p o s i t i v e i n t e g e r s i n a l l t h r e e i n t e r v i e w s . I n h i s f i r s t i n t e r v i e w , B e r t e x p r e s s e d c o n f i d e n c e t h a t z e r o i s a n u m b e r — b u t a n u m b e r t h a t d i d n o t m e a s u r e q u a n t i t y . H o w e v e r , t h i s c o n f i d e n c e i n o n e a s p e c t o f h i s u n d e r s t a n d i n g d i d n o t l u l l B e r t i n t o a s e n s e o f s e c u r i t y a b o u t o t h e r a s p e c t s o f h i s u n d e r s t a n d i n g o f t h e s a m e n u m b e r . H e s t i l l p u z z l e d : " W h a t I w a n t t o k n o w i s , i s z e r o a n e g a t i v e o r a p o s i t i v e ? ” B e r t ’ 5 t o n e i n d i c a t e d t h a t t h i s w a s m o r e a s t a t e m e n t a b o u t h i s p r e s e n t s t a t e o f k n o w l e d g e o r u n d e r s t a n d i n g t h a n a q u e s t i o n o f m e . I r e s p o n d e d b y a s k i n g w h a t h e w a s ” t h i n k i n g r i g h t n o w ” : I ’ m t h i n k i n g i t ’ s b o t h . B e c a u s e , [ p a u s e ] w h e n y o u h a v e z e r o , y o u c a n ’ t h a v e i t p o s i t i v e [ p a u s e ] o r n e g a t i v e . S O , s e e , I d o n ’ t t h i n k , I t h i n k t h a t b e c a u s e . . . [ s t a r t i n g o v e r ] O k a y . N u m b e r s g o o n f o r e v e r , o k a y ? A n d n u m b e r s g o d o w n a n d u p . B e c a u s e t h e r e ’ s n e g a t i v e n u m b e r s a n d p o s i t i v e n u m b e r s . A n d s o y o u , i t ’ l l n e v e r s t o p g o i n g d o w n , i t ’ 1 1 n e v e r s t o p g o i n g u p . B u t i f y o u h a v e t h e z e r o o n o n e s i d e , o n e p a r t w i l l h a v e m o r e , u m , o n e , n e g a t i v e o r p o s i t i v e , w i l l h a v e m o r e , w i l l h a v e m o r e n u m b e r s . B e c a u s e . . . [ s t a r t i n g o v e r ] W e l l , n o w t h a t I t h i n k o f i t , I t h i n k i t ’ s m o r e a n e g a t i v e t h a n a p o s i t i v e . ( B , I 1 , p . 1 8 ) D u r i n g t h i s m o n o l o g u e , B e r t d i d n o t s m i l e . H e w a s t h o u g h t f u l a n d s e r i o u s , s t r u g g l i n g t o e x p r e s s h i s i d e a s . E v e n a s h e e x p r e s s e d t h e m , h e m o d i f i e d t h e m . I n i t i a l l y , h e e x p l a i n e d w h y z e r o c o u l d n o t b e o n l y n e g a t i v e o r p o s i t i v e ( t h e r e w o u l d b e m o r e o f o n e k i n d o f n u m b e r t h e n ) a n d c o n s e q u e n t l y m u s t b e b o t h . N e a r t h e e n d o f h i s a r g u m e n t , h e a b r u p t l y c h a n g e d h i s m i n d . I m m e d i a t e l y f o l l o w i n g t h e q u o t e d c o n v e r s a t i o n , B e r t t u r n e d t h e c o n v e r s a t i o n t o w a r d h i s t h o u g h t s a b o u t n e g a t i v e i n t e g e r s w h i c h w e c o n t i n u e d t o e x p l o r e f o r s e v e r a l m i n u t e s . ‘ 8 B e r t r e p e a t e d l y p o n d e r e d m a t h e m a t i c a l c o n c e p t s h e d i d n o t f e e l h e u n d e r s t o o d . Y e t h e d i d n o t g e t f r u s t r a t e d . H e m a i n t a i n e d h i s c u r i o s i t y a p p a r e n t l y e x p e c t i n g h i s w o r k t o p a y o f f i n e v e n t u a l u n d e r s t a n d i n g . T h i s e x p e c t a t i o n e m b e d s a n a s s u m p t i o n t h a t t h e i s s u e s w i t h w h i c h h e s t r u g g l e d - a n d i n d e e d , 4 8 T h i s i s d i s c u s s e d i n s o m e d e t a i l i n c h a p t e r 4 . 9 5 m a t h e m a t i c s i t s e l f — s h o u l d m a k e s e n s e , s h o u l d b e c o m p r e h e n s i b l e b y t h i r d g r a d e r s l i k e h i m s e l f . B e r t a c t e d a s i f h i s i d e a s , c o n j e c t u r e s , a n d p e r s p e c t i v e s w e r e n o m o r e a n d n o l e s s v a l u a b l e , i n t e r e s t i n g , a n d v a l i d t h a n a n y o n e e l s e ’ s . H e t r e a t e d o t h e r s a n d m e a s e q u a l p a r t n e r s i n v a r i o u s d i s c u s s i o n s . H i s s t a t e m e n t s t h a t h e v a l u e d ” d i s c u s s i o n s ” a n d u n d e r s t a n d i n g w h a t ” o t h e r p e o p l e m e a n ” w e r e r e p e a t e d l y b o r n e o u t i n t h e i n t e r v i e w s . B e r t ' s w o r k o n t h e C a n d y B a r p r o b l e m , t o w h i c h I t u r n b e l o w , e x e m p l i f i e d t h i s s t a n c e . B e r t f o c u s e d m a i n l y o n t h e a b s t r a c t a s p e c t s o f m a t h e m a t i c s . A s w i l l b e c o m e m o r e c l e a r i n t h e p r o b l e m s d e s c r i b e d b e l o w , h e g e n e r a l l y s t r i p p e d a w a y t h e c o n t e x t w h e n w o r k i n g o n s t o r y p r o b l e m s ; h e t r e a t e d t h e c o n t e x t m e r e l y a s a p r e t e x t f o r g e t t i n g a t m a t h e m a t i c a l i s s u e s o f s i g n i fi c a n c e . T h i s a c c o r d s w i t h m a n y m a t h e m a t i c i a n s ’ v i e w s o f t h e r o l e o f p r o b l e m s b u t c o n t r a s t s w i t h m a n y m a t h e m a t i c s e d u c a t o r s ’ v i e w s o f h o w c h i l d r e n l e a r n m a t h e m a t i c s . I t u r n n o w t o a d e s c r i p t i o n o f B e r t a s a p e r s o n a n d a s a d o e r o f m a t h e m a t i c s . T h e s e a r e f o l l o w e d b y d e s c r i p t i o n s o f h i s w o r k o n t w o o f t h e i n t e r v i e w t a s k s - t h e C a n d y B a r p r o b l e m a n d t h e O p e r a t i o n s t a s k s . A n a l y t i c D e s c r i p t i o n I n m o s t w a y s , B e r t w a s q u i t e a n a v e r a g e a p p e a r i n g t h i r d g r a d e r . H e w a s v e r y p o l i t e a n d w e l l - m a n n e r e d w i t h o u t s e e m i n g s t i f f o r f o r m a l . T o a g r e a t e x t e n t , h e t r e a t e d m e a s a n e q u a l i n o u r c o n v e r s a t i o n s . H e t r e a t e d t h e i n t e r v i e w s a s c o n v e r s a t i o n s a b o u t m a t h e m a t i c s ; h e s e l d o m m a d e c o m m e n t s a b o u t o r c o n n e c t i o n s t o s o c i a l e v e n t s o r r e l a t i o n s h i p s e x c e p t t h o s e i m p i n g i n g o n t h e p r o b l e m ( e . g . , t h e A g e c o n v e r s a t i o n ) . H e t r e a t e d o u r r e l a t i o n s h i p a s f o c u s e d o n m a t h e m a t i c s a n d k e p t h i s a t t e n t i o n t h e r e . A t t h e s a m e t i m e , h e f r e q u e n t l y m a d e 9 6 c o n n e c t i o n s w i t h h i s m a t h e m a t i c s c l a s s : c o m p a r i n g t h e i n t e r v i e w t a s k s w i t h c l a s s r o o m p r o b l e m s , r e c a l l i n g w h a t o t h e r s h a d d o n e m a t h e m a t i c a l l y i n s i m i l a r o r r e l a t e d s i t u a t i o n s , a n d s o f o r t h . O n t h e p l a y g r o u n d , B e r t s h o w e d a r e l a x e d s i d e , o n e t h a t i n c l u d e d l a u g h t e r , p l a y f u l n e s s , a n d t h e u s u a l e s c a p a d e s o f t h i r d g r a d e b o y s . I n t h e c l a s s r o o m , h i s e a r n e s t n e s s a b o u t m a t h e m a t i c s s h o w e d ; t h i s e a r n e s t n e s s s o m e t i m e s g a v e t h e i m p r e s s i o n t h a t B e r t p o s s e s s e d l i t t l e a f f e c t . H o w e v e r , h e b e c a m e q u i t e e x c i t e d w h e n h e s a w t h i n g s i n n e w w a y s ; h i s m a n n e r a n d v o i c e w o u l d b e c o m e q u i t e e x p r e s s i v e . I n t h e C a n d y B a r p r o b l e m ( s e e b e l o w ) , h e i n i t i a l l y a r g u e d t h a t t h e r e w a s n o w a y t w o b a r s c o u l d b e s p l i t s o e a c h c h i l d r e c e i v e d a h a l f b a r b u t , r e v e r s i n g h i m s e l f i n m i d - s e n t e n c e , e x c i t e d l y e x c l a i m e d , ” y e a h , y e s , y e s , y e s t h e r e i s . ” A s a n i n d i v i d u a l , B e r t d e s c r i b e d h i m s e l f — a n d e v e r y o n e , f o r t h a t m a t t e r — a s a b l e , i f h e w o r k e d h a r d a n d w a s s e r i o u s , t o l e a r n m a t h e m a t i c s . H e r e c o g n i z e d t h a t h e c u r r e n t l y o n l y p a r t i a l l y u n d e r s t o o d c e r t a i n m a t h e m a t i c a l c o n c e p t s a n d o b j e c t s . D u r i n g t h e i n t e r v i e w s , h e r e p e a t e d l y r a i s e d a n d p o n d e r e d t h e s e c o n c e p t s . H e w a s v e r y p e r s i s t e n t i n f i n d i n g o r m a k i n g e n t r é e t o t o p i c s t h a t p u z z l e d h i m . H e h a d m i x e d s u c c e s s d o i n g t h e m a t h e m a t i c s o f t h e i n t e r v i e w s ; h e m o s t l y c r e a t e d a n d u s e d r e p r e s e n t a t i o n s t h a t r e s u l t e d i n a c o r r e c t a n s w e r a n d / o r f u r t h e r i n g h i s u n d e r s t a n d i n g o f m a t h e m a t i c s b u t h e a l s o d i s p l a y e d s o m e m i s c o n c e p t i o n s a n d c o n f u s i o n . F o r e x a m p l e , h e c o n s i s t e n t l y i n t e r p r e t e d s u b t r a c t i o n p r o b l e m s ” a n t i - c o n v e n t i o n a l l y ” ; f o r h i m , 3 - 2 = - l a n d 2 - 3 = 1 . B e r t r e a s o n e d m a t h e m a t i c a l l y b y e n g a g i n g w i t h o b j e c t s a n d c o n c e p t s t h a t h e v i e w e d a s b e l o n g i n g t o a d i s c i p l i n e d i s t i n c t f r o m o t h e r d i s c i p l i n e s a n d s e p a r a t e f r o m t h e r e a l w o r l d . 9 7 M a t h e m a t i c a l l y , B e r t o f f e r s a n i m a g e o f a c h i l d c o n s i s t e n t l y e n a m o r e d o f m a t h e m a t i c a l a b s t r a c t i o n . H e s a w m a t h e m a t i c s a s a s e p a r a t e r e a l m , w h a t e d u c a t o r s w o u l d t e r m a d i s c i p l i n e . T O a l a r g e d e g r e e a l l t h e c h i l d r e n e q u a t e d m a t h e m a t i c s w i t h n u m b e r s a n d o p e r a t i o n s o n t h e m . B e r t w a s t r u e t o t h i s b u t w e n t f u r t h e r ; 4 9 h e m a d e a d i s t i n c t i o n b e t w e e n n u m b e r s a s n a m e s a n d a s r e p r e s e n t a t i o n s o f q u a n t i f i c a t i o n . F o r h i m , m a t h e m a t i c s w a s a b o u t q u a n t i f i c a t i o n ; w h e n n u m b e r s w e r e u s e d a s n a m e s ( a s i n t h e n u m b e r p a i n t e d o n a j e t ) , t h e y w e r e n o t m a t h e m a t i c a l . B e r t d i s t i n g u i s h e d b e t w e e n m a t h e m a t i c s a n d t h e r e a l w o r l d . T h u s , i t i s n o t p a r t i c u l a r l y s u r p r i s i n g t h a t h e w o u l d e n g a g e w i t h m a t h e m a t i c a l t a s k s b y s t r i p p i n g a w a y r e a l w o r l d c o n t e x t s . H i s i n t e r e s t i n a n d f o c u s o n t h e a b s t r a c t m a d e t h e c o n t e x t m o s t l y i r r e l e v a n t f o r s o l v i n g p r o b l e m s . H e o f c o u r s e u s e d t h e n u m b e r s a n d d e t e r m i n e d w h a t o p e r a t i o n s t o p u r s u e b a s e d o n t h e c o n t e x t b u t h e s e l d o m u s e d t h e c o n t e x t i t s e l f t o h e l p h i m d o t h e m a t h e m a t i c s . I t f o l l o w s q u i t e n a t u r a l l y t h e n t h a t h e w o u l d u t i l i z e r e p r e s e n t a t i o n s a s t o o l s t h a t e n a b l e d h i m t o a c c o m p l i s h t h e t a s k o f s o l v i n g i n d i v i d u a l p r o b l e m s . L i k e w i s e , r e p r e s e n t a t i o n s u s e d t o s o l v e a p a r t i c u l a r p r o b l e m a r e t i e d t o t h a t p r o b l e m . C o n s e q u e n t l y , i t i s n o t s u r p r i s i n g t h a t B e r t w o u l d a b a n d o n t h e m w h e n h e e x t e n d e d h i s f o c u s f r o m t h i s p r o b l e m t o g e n e r a l o r a b s t r a c t i s s u e s o f m a t h e m a t i c s . H i s f o c u s w h e n e x p l o r i n g n e g a t i v e i n t e g e r s , s a y , w a s c r o s s - c u t t i n g . H e d i s c a r d e d t h e p a r t i c u l a r , a n d t h u s p a r t i c u l a r r e p r e s e n t a t i o n s , f o r a n e x p l o r a t i o n o f t h e g e n e r a l c o n c e p t , u s i n g m e t a p h o r s t o d o s o . B e y o n d p h y s i c a l r e p r e s e n t a t i o n s , B e r t d e p e n d e d o n l a n g u a g e a s a t o o l f o r r e a s o n i n g m a t h e m a t i c a l l y . O f c o u r s e , a l l t h e c h i l d r e n u s e d w o r d s t o d e s c r i b e t h e i r w o r k . 5 0 F o r B e r t t h e r e w a s m o r e a s e n s e o f i n t e n t i o n a l o r c o n s c i o u s 4 9 B e r t w e n t f u r t h e r w i t h m e . I t c o u l d b e t h a t s o m e o f t h e o t h e r s h e l d t h e s e s i m i l a r v i e w s b u t t h e y d i d n o t c o m e o u t i n o u r c o n v e r s a t i o n s . 5 " T h o u g h , a s w e w i l l s e e i n t h e n e x t p r o f i l e , T e r i w a s v e r y c l o s e t o l e t t i n g t h e r e p r e s e n t a t i o n " s t a n d a l o n e ” a s h e r s o l u t i o n . S h e p r o v i d e d v e r y f e w w o r d s o f e x p l a n a t i o n o r e x p l i c a t i o n . 9 8 d i s t i n c t i o n b e t w e e n t h e r o l e o f r e p r e s e n t a t i o n s a n d t h a t o f w o r d s . F o r h i m , l a n g u a g e p e r f o r m e d a ” m e t a - f u n c t i o n . ” I f w e s a y t h a t r e a s o n i n g a b o u t l a r g e r i s s u e s — g e n e r a l i z a t i o n s o r a b s t r a c t i o n s — O f m a t h e m a t i c s i s a ” s t e p u p " f r o m s o l v i n g i n d i v i d u a l p r o b l e m s , w e c a n s a y t h a t s i n c e B e r t e q u a t e d t h e u s e o f r e p r e s e n t a t i o n s w i t h t h e l o w e r o r f i r s t l e v e l , t h a t o f s o l v i n g p r o b l e m s , a n d l a n g u a g e w i t h t h e s e c o n d l e v e l , t h a t o f r e a s o n i n g a b o u t m a t h e m a t i c s , w e c a n s a y t h a t l a n g u a g e p e r f o r m e d a ” m e t a - f u n c t i o n ” f o r h i m . N e x t , I t u r n t o t w o e x a m p l e s o f B e r t ’ s m a t h e m a t i c a l w o r k d u r i n g t h e s e c o n d i n t e r v i e w . I u s e t h i s t o h e l p i l l u s t r a t e t h e p o i n t s m a d e i n t h i s s e c t i o n . T w o E x a m p l e s o f D o i n g M a t h e m a t i c s M y f i r s t e x a m p l e p r e s e n t s B e r t e n g a g e d i n d o i n g t h e C a n d y B a r p r o b l e m - a p r o b l e m s i t u a t e d i n a ” r e a l w o r l d ” c o n t e x t . T h e s e c o n d i s t h e O p e r a t i o n s t a s k s - a s e t o f a b s t r a c t m a t h e m a t i c a l t a s k s . 5 1 T h e s e p r o b l e m s h a v e b e e n c h o s e n t o i l l u s t r a t e a n d e x p l o r e s o m e o f t h e c l a i m s m a d e a b o v e w h i l e s i m u l t a n e o u s l y g i v i n g t h e r e a d e r a s h a r p e r i m a g e o f B e r t a s a d o e r o f m a t h e m a t i c s . W m W h e n I c o m p l e t e d n a r r a t i n g t h e s t o r y f o r t h e C a n d y B a r p r o b l e m , B e r t i m m e d i a t e l y s t a r t e d d r a w i n g a p i c t u r e . A s h e w o r k e d o n i t , B e r t n o t e d t h a t h i s c l a s s d i d ” l o t s o f p r o b l e m s l i k e t h i s " ( B , 1 2 , p . 1 ) . W h i l e d r a w i n g , h e c o n v e r s e d w i t h m e a b o u t s i m i l a r i t i e s b e t w e e n t h i s t a s k a n d t h e p r o b l e m s o f h i s t h i r d g r a d e c l a s s s a y i n g h e l i k e d b o t h h a r d a n d e a s y p r o b l e m s - a s l o n g a s t h e c l a s s c o u l d fi g u r e t h e m o u t . H e s a i d h e d i d n o t l i k e t a k i n g fi v e d a y s t o fi g u r e o u t a s i n g l e 5 1 S e e A p p e n d i x B f o r t e x t o f t h e p r o b l e m s . 9 9 p r o b l e m s " 2 W h i l e d r a w i n g , h e p r o v i d e d s p e c i f i c e x a m p l e s o f p r o b l e m s f r o m c l a s s f o r c o m p a r i s o n . B e r t ’ s w o r k o n t h i s p r o b l e m i n c l u d e d s e v e r a l p i c t o r i a l r e p r e s e n t a t i o n s . R r n i n T h e f i r s t p i c t u r e B e r t d r e w h a d t w o r o w s o f r e c t a n g l e s t o r e p r e s e n t t h e c a n d y b a r s ( F i g u r e 2 ) . T h e s e r o w s s e e m e d a r b i t r a r y i n l e n g t h ; t h e u p p e r h a d 1 8 r e c t a n g l e s a n d t h e l o w e r , 1 2 . 5 3 H e a c t u a l l y d r e w t h i r t y - o n e r e c t a n g l e s b u t i m m e d i a t e l y r e a l i z e d t h i s w a s t o o m a n y , c o m m e n t e d o n h i s e r r o r , a n d e r a s e d t h e e x t r a o n e . B e n e a t h t h e s e ” b a r s ” h e d r e w f o u r l a r g e r r e c t a n g l e s a n d p u t a c i r c l e w i t h i n e a c h . A f t e r d i s t r i b u t i n g fi v e ” b a r s " o n e a t a t i m e t o e a c h o f t h e f o u r l a r g e r r e c t a n g l e s , B e r t s a i d h e w a s g e t t i n g m i x e d u p , p r e s u m a b l y b e c a u s e h e h a d s o m a n y l i n e s c r o s s i n g e a c h o t h e r . R e m a r k i n g t h a t h e s o m e t i m e s h a d t o d r a w p i c t u r e s m u l t i p l e t i m e s t o g e t t h e " s i z e ” r i g h t , h e s t a r t e d a n e w r e p r e s e n t a t i o n H e d i d n o t s e e m p a r t i c u l a r l y s t r e s s e d o r s u r p r i s e d b y h i s d i f fi c u l t y w i t h t h e i n i t i a l r e p r e s e n t a t i o n ; h e s e e m e d t o t r e a t i t a s j u s t s o m e t h i n g t h a t h a p p e n s . “ D u r i n g t h i s p r o c e s s , h e d i d n o t u s e w o r d s l i k e ” c a n d y b a r s , " " c h i l d r e n , ” o r ” b o x . " T o t h i s p o i n t , B e r t t r e a t e d t h e p r o b l e m a s r e q u i r i n g o f h i m f a i r l y t y p i c a l m a t h e m a t i c a l r e a s o n i n g . H e s a w s i m i l a r i t i e s w i t h p r o b l e m s f r o m h i s c l a s s 5 5 a n d w a s u n f a z e d b y t h e f a i l u r e o f h i s fi r s t r e p r e s e n t a t i o n . 5 2 Y e t h e s e e m e d t o k e e p i n v o l v e d o v e r t h e s e v e r a l d a y s o f s u c h c l a s s e x P l o r a t i o n s a n d d i s c u s s i o n s . 5 3 1 t i s p o s s i b l e t h a t o u r c o n v e r s a t i o n a b o u t s i m i l a r p r o b l e m s i n h i s c l a s s d i s t r a c t e d h i m f r o m p l a n n i n g o r c r e a t i n g r o w s o f e q u a l l e n g t h . 5 4 B e r t s u g g e s t s t h i s i s p a r t o f t h e n a t u r e o f s o l v i n g a p r o b l e m . W e w i l l s e e b e l o w t h a t h e s e e m s t o l e a r n f r o m t h i s f i r s t a t t e m p t . T h i s r e c a l l s K r u t e t s k i i ’ s ( 1 9 6 8 / 1 9 7 6 ) s t a t e m e n t t h a t w h e n t h e c h i l d r e n o f h i s s t u d y m a d e d i f f e r e n t t r i a l s , t h e s e " w e r e o f t e n n o t s o m u c h d i r e c t a t t e m p t s a t s o l v i n g a p r o b l e m a s a m e a n s o f t h o r o u g h l y i n v e s t i g a t i n g i t , w i t h a u x i l i a r y i n f o r m a t i o n b e i n g e x t r a c t e d f r o m e a c h t r i a l ( p . 2 9 2 , e m p h a s i s i n t h e o r i g i n a l ) . $ 5 T h o u g h , e x a c t l y w h a t t h e s e s i m i l a r i t i e s w e r e i s n o t c l e a r . H e c o u l d h a v e b e e n r e f e r r i n g t o i t s e e m i n g l i k e a l o n g p r o b l e m , b e i n g a b o u t s h a r i n g , b e i n g o f f e r e d i n t h e c o n t e x t o f a s t o r y , o r o t h e r s i m i l a r i t i e s . 1 0 0 S e r e n d fi e m e s e n t a t i e a B e r t e r a s e d t h e c i r c l e s i n t h e f o u r r e c t a n g l e s b u t l e f t t h e r e s t o f t h e a b a n d o n e d r e p r e s e n t a t i o n u n c h a n g e d . C r e a t i n g a n e w r e p r e s e n t a t i o n , h e d r e w f o u r n e w l a r g e r e c t a n g l e s w h o s e t o p e d g e s c o i n c i d e d w i t h t h e b o t t o m e d g e s o f t h e o r i g i n a l r e c t a n g l e s . ( F i g u r e 3 s h o w s B e r t ' s s e c o n d r e p r e s e n t a t i o n a d j a c e n t t o t h e b o t t o m o f h i s f i r s t . ) T h e t w o s e t s o f r e c t a n g l e s s h a r e d a n e d g e b u t w e r e n o t n e c e s s a r i l y t h e s a m e s i z e . T h i s s e e m e d a s m u c h h a p p e n s t a n c e a s d e s i g n A s i n t h e f i r s t r e p r e s e n t a t i o n , B e r t d r e w a r o u g h l y c i r c u l a r s h a p e i n e a c h r e c t a n g l e . H e d r e w s m a l l e r r e c t a n g l e s i n t h e n e w s i t e s . U n l i k e p r e v i o u s l y , h e d i d n o t fi r s t d r a w 3 0 b a r s t o b e d i s t r i b u t e d . R a t h e r h e d r e w e a c h b a r a s h e d i s t r i b u t e d i t , d r a w i n g f o u r a t a t i m e i n e a c h s i t e . A f t e r d i s t r i b u t i n g 1 6 b a r s , h e c o m p u t e d h o w m a n y h e h a d d i s t r i b u t e d s o f a r , s o f t l y s a y i n g , 8 + 8 = 1 6 . P r e s u m a b l y , h e a d d e d 4 + 4 s u b - v o c a l l y o r e l s e " j u s t k n e w ” t h a t 4 + 4 = 8 . H e t h e n s t a r t e d t o a d d t w o m o r e l i t t l e r e c t a n g l e s t o e a c h s i t e . H o w e v e r , b e f o r e h e h a d d i s t r i b u t e d t w o b a r s t o e a c h O f t h e f o u r c h i l d r e n , h e a d a p t e d h i s s t r a t e g y a n d a d d e d t h r e e b a r s i n s t e a d . A f t e r d i s t r i b u t i n g a g r o u p o f f o u r a n d o n e o f t h r e e t o e a c h c h i l d , B e r t s a i d " 2 8 . " I t i s n o t c l e a r h o w h e h a d r e a c h e d t h i s t o t a l . B e n e a t h t h e f o u r s i t e s , B e r t d r e w t h e l a s t t w o b a r s a n d d i v i d e d t h e m i n t o q u a r t e r s u s i n g t h r e e h o r i z o n t a l l i n e s a c r o s s e a c h b a r ( F i g u r e 4 ) . H e d i s t r i b u t e d a q u a r t e r f r o m e a c h b a r t o e a c h c h i l d s a y i n g , " t h i s p i e c e g o e s t o t h i s g u y " a n d m a d e a d o t i n t h e p i e c e a s h e d i d s o . B e f o r e h e h a d d i s t r i b u t e d a l l t h e ” p i e c e s , ” h e s a i d t h a t t w o " o n e - h a l f s ” m a k e a w h o l e . H e s a i d , ” t h e s e t w o m a k e o n e ” ( B , I 2 , p . 2 ) r e f e r r i n g t o t h e t w o ” p i e c e s ” ( q u a r t e r s ) h e h a d a d d e d t o t h e f i r s t s i t e . T o i n s t a n t i a t e h i s r e a s o n i n g , h e s t a r t e d d r a w i n g a n o t h e r w h o l e b a r i n e a c h l a r g e 1 0 2 r e c t a n g l e . H o w e v e r , B e r t q u i c k l y c h a n g e d h i s m i n d s a y i n g , ” A c t u a l l y , y o u c a n ’ t d o t h a t . . . b e c a u s e t h e s e a r e q u a r t e r s . ” H e e r a s e d t h e ” w h o l e ” b a r s ( c o n s t r u c t e d f r o m t h e ” p i e c e s ” ) a n d d r e w t w o s m a l l e r r e c t a n g l e s f o r e a c h c h i l d . T h i s i s o n e o f m a n y i n s t a n c e s w h e r e B e r t s p o n t a n e o u s l y m a d e m i d - s e n t e n c e c o r r e c t i o n s o f h i m s e l f . T h i s a c t i o n t y p i c a l o f B e r t i s d i s c u s s e d i n d e t a i l i n t h e c h a p t e r 4 . W h e n I a s k e d h o w h e k n e w ” y o u c a n ' t t a k e t w o o f t h e m a n d m a k e a w h o l e , ” B e r t s a i d , " B e c a u s e t h e y ’ r e o n e - f o u r t h T h e y ' r e s m a l l e r t h a n a h a l f . " H e t h e n d r e w a s i n g l e r e c t a n g l e , d i v i d i n g i t i n h a l f w i t h a h o r i z o n t a l l i n e , a n d s a i d , ” t h a t w o u l d b e a h a l f ” ( p . 2 ) . D u r i n g t h i s p a r t o f h i s w o r k , B e r t d i d n o t u s e t h e n o u n s ” b a r [ s ] ” o r " b o x . ” H e d i d i d e n t i f y t h e r e c i p i e n t s O f t h e c a n d y a s ” g u y s , ” a g e n e r i c l a b e l i n g O f t h e c h i l d r e n . H e a l s o c r e a t e d a ” g e n e r i c ” b a r w h e n h e d e m o n s t r a t e d w h a t a h a l f ” w o u l d b e . ” T h e 2 9 t h a n d 3 0 t h b a r s t h a t h e q u a r t e r e d h e m a d e s i g n i f i c a n t l y l a r g e r t h a n t h e o r i g i n a l 2 8 — o r t h e 3 0 o f h i s fi r s t r e p r e s e n t a t i o n . T h u s , B e r t d e m o n s t r a t e d a s e n s e o f t h e a r b i t r a r i n e s s o f r e p r e s e n t a t i o n . S i n c e h e d i d n o t d r a w b a r s o f c o n s i s t e n t s i z e , i t c a n b e a r g u e d t h a t h e d i d n o t t r e a t h i s c o m p l e t e s o l u t i o n a s a m o d e l o f t h e r e a l w o r l d . R a t h e r , h e c r e a t e d a t o o l f o r O p e r a t i n g w i t h t h e O b j e c t s o f t h i s p a r t i c u l a r p r o b l e m . T h u s , w h i l e I t i t l e d t h i s s e c t i o n " s e c o n d r e p r e s e n t a t i o n , ” a m o r e a c c u r a t e d e s c r i p t i o n m i g h t b e t h a t h e u s e d a s e t o f r e p r e s e n t a t i o n s . I u s e ” s e t ” i n t h e m a t h e m a t i c a l s e n s e , a c o l l e c t i o n a n d d i s t i n g u i s h i t f r o m a " s y s t e m ” o f r e p r e s e n t a t i o n s . T h i s w i l l b e d i s c u s s e d i n m o r e d e t a i l i n c h a p t e r 5 . K B a n d r e p r e s e n t a t i o n . F i g u r e 3 : B e r t ’ s s e c F i g u r e 4 : B e r t ’ s d i v i s i o n o f t h e 2 9 t h a n d 3 0 t h b a r s . 1 0 4 W h e n I a s k e d h o w m a n y b a r s e a c h c h i l d r e c e i v e d , h e l o o k e d a t h i s p i c t u r e a n d s a i d , ” T h e y g e t [ p a u s e ] s e v e n , e i g h t a n d t w o h a l v e s , u h , t w o o n e - f o u r t h s . ” I q u e s t i o n e d , ” e i g h t a n d t w o f o u r t h s ? ” B e r t r e s p o n d e d , " Y e a h " b u t t h e n c o u n t e d a n d c o n c l u d e d i t w o u l d b e s e v e n a n d t w o f o u r t h s . W h e n I a s k e d i f h e k n e w h o w t o w r i t e t h a t , B e r t w r o t e : " 7 1 / 4 ” s a y i n g a s h e d i d s o , ” S e v e n . . . u h . . . s e v e n h e r e . . . a n d , u m , o n e f o u r t h ? ” ( B , 1 2 , p . 2 ) . E X ! . E I ' B . T o t h i s p o i n t , B e r t d i d l i t t l e n a r r a t i n g o f h i s w o r k o r t h i n k i n g . H e h a d b e e n s i l e n t o r s p o k e n s o t t o v o c e a s h e w o r k e d . W h e n h e s e e m e d d o n e , I a s k e d h o w h e h a d d e c i d e d t o ” p u t f o u r b a r s i n e a c h o n e ” a s h e s t a r t e d d i s t r i b u t i n g t h e m . B e r t s a i d t h a t h e d i d n o t w a n t t o p u t ” t o o m a n y a n d g o o v e r t h e a m o u n t t h e y h a v e . " A p p a r e n t l y t o d e m o n s t r a t e h i s s t r a t e g y , B e r t c o u n t e d a l l t h e b a r s h e h a d d i s t r i b u t e d . H e s t a r t e d t h i s b y c o u n t i n g t h e o r i g i n a l f o u r p e r c h i l d h e d i s t r i b u t e d , c o n c l u d i n g t h i s w a s 1 6 b a r s . M o v i n g t o t h e s e c o n d s t e p o f h i s d i s t r i b u t i o n , t h e t h r e e p e r c h i l d , B e r t c o u n t e d o n f r o m 1 6 . H o w e v e r , a f t e r a d d i n g t h e fi r s t t h r e e , h e h a d 1 8 . 5 6 A f t e r c o u n t i n g t h e r e m a i n i n g g r o u p s o f t h r e e , h e s a i d ” a n d t h e n i t a d d e d u p t o 2 7 , a n d t h e n a d d t h r e e e e ” d r a w i n g o u t t h e w o r d t h r e e . H e a p p a r e n t l y r e a l i z e d t h e t h r e e n e e d e d t o m a k e 3 0 t o t a l d i d n o t c o r r e s p o n d w i t h t h e t w o b a r s h e h a d ” a d d e d ” i n h i s o r i g i n a l w o r k . B e r t r e - c o u n t e d u s i n g a n e w s t r a t e g y : 7 + 7 = 1 4 , 1 4 + 1 4 = 2 8 . T h u s , h i s f i r s t a t t e m p t t o d e m o n s t r a t e t h e a c c u r a c y o r v a l i d i t y o f h i s w o r k - m o u n t i n g o n — d i f f e r e d f r o m h i s o r i g i n a l m e t h o d o f d i s t r i b u t i o n H i s s e c o n d a t t e m p t ( t h i s o n e s u c c e s s f u l ) — h e c o m p u t e d b a s e d o n a n a s s u m p t i o n t h a t h e h a d g i v e n e a c h c h i l d s e v e n b a r s — m a t c h e s n e i t h e r h i s o r i g i n a l d i s t r i b u t i o n n o r h i s p r i o r s t r a t e g y o f c o u n t i n g o n T h i s i s a n o t h e r 5 “ ’ I t s e e m s p l a u s i b l e t h a t h e m a d e a c o m m o n m i s t a k e o f c o u n t i n g t h e n u m b e r f r o m w h i c h h e w a s c o u n t i n g o n : ” 1 6 , 1 7 , 1 8 . ” S i n c e h e d i d n o t c o u n t t h e s e a l o u d , I a m u n a b l e t o b e c e r t a i n . 1 ( 5 e x a m p l e o f B e r t ’ s s e l f - m o n i t o r i n g ; i n t h i s c a s e , h e m o d i fi e d h i s s t r a t e g y i n m i d - a c t i o n . W h e n c o u n t i n g o n p r o d u c e d a d i s c r e p a n t r e s u l t - t h e n e e d t o a d d t h r e e b a r s i n s t e a d o f t w o , B e r t i n t r o d u c e d a n e w s t r a t e g y w h i c h w a s s a t i s f a c t o r y : ” Y e a h , i t ' s 2 8 . ” T O m y q u e s t i o n a b o u t t h i s m e t h o d o f fi g u r i n g o u t t h e r e w e r e 2 8 b a r s , B e r t s a i d t h a t , " i n s t e a d o f t a k i n g a l o n g t i m e ” b y a d d i n g 1 4 + 7 a n d t h e n 2 1 + 7 , h e d i d 7 + 7 = 1 4 a n d 1 4 + 1 4 = 2 8 . H e s a i d h e k n e w t h e s e s u m s s i n c e h e h a d " d o n e a l o t " o f s i m i l a r p r o b l e m s i n c l a s s . T o d e m o n s t r a t e h e c r e a t e d a s t o r y p r o b l e m u s i n g t h e s a m e n u m b e r s w i t h t w o o f h i s t e a c h e r s a s c h a r a c t e r s . E v e n t h o u g h I u s e d ” b a r ” i n e a c h O f m y q u e s t i o n s , B e r t d i d n o t i n h i s r e s p o n s e s . H e e l i d e d t h e n o u n , t u r n i n g t h e n u m b e r s ( f o u r , t h r e e , s e v e n , e t c . ) i n t o n o u n s a s , f o r e x a m p l e , w h e n h e s a i d , ” Y e a h , i t ’ s 2 8 . ” r a t h e r t h a n , " Y e a h , i t ’ s 2 8 b a r s . " M y q u e s t i o n a b o u t h o w h e d e c i d e d t o d i s t r i b u t e f o u r b a r s a t a t i m e t r i g g e r e d a n a p p r o p r i a t e e x p l a n a t o r y r e s p o n s e ( n o t w a n t i n g t o ” g o o v e r t h e a m o u n t ” ) b u t a l s o s e e m e d t o s u g g e s t t o B e r t t h a t I e x p e c t e d t h a t h e s h o u l d c h e c k o r d e m o n s t r a t e h i s w o r k . O n d o i n g t h i s , h e i n i t i a l l y o b t a i n e d a d i f f e r e n t i n t e r m e d i a t e s o l u t i o n ( t h r e e b a r s l e f t ) a n d c o n s e q u e n t l y e m p l o y e d a n e w s t r a t e g y f o r d e t e r m i n i n g t h e s o l u t i o n D u r i n g n o n e o f t h i s i s t h e r e e v i d e n c e t h a t B e r t g r o u n d e d h i s r e a s o n i n g i n t h e p a r t i c u l a r p r o b l e m c o n t e x t . T h e n u m b e r s d o c o r r e s p o n d t o t h e c o n t e x t b u t B e r t m a d e n o m e n t i o n o f c h i l d r e n o r b a r s ; t h e n u m b e r s c o u l d h a v e r e p r e s e n t e d a n y ( d i v i s i b l e ) o b j e c t s . I 1 1 l I ' l S l . N e x t , I s h o w e d B e r t a h y p o t h e t i c a l s t u d e n t ’ s s o l u t i o n . T h i s w a s a s l i p o f p a p e r w i t h ” 1 5 + 1 5 = 3 0 ” , " 7 + 7 = 1 4 ” , a n d ” 7 - 2 1 - c a n d y b a r s e a c h ” p r i n t e d o n i t ( F i g u r e 5 ) . 1 0 6 1 5 + 1 5 = 3 0 7 + 7 = 1 4 7 _ 1 _ c a n d y b a r s e a c h 2 F i g u r e 5 : T h e f i r s t h y p o t h e t i c a l s o l u t i o n I o f f e r e d B e r t . I s a i d , " T h e y w r o t e 1 5 p l u s 1 5 e q u a l s 3 0 , s e v e n p l u s s e v e n e q u a l s 1 4 , s o t h e y s a i d , ’ S o , t h e a n s w e r i s s e v e n a n d a h a l f c a n d y b a r s . ” ’ H e s e e m e d q u i t e p u z z l e d t h a t t h e s t u d e n t h a d g o t t e n s e v e n a n d a h a l f f o r a n a n s w e r . H e s t a r t e d s e v e r a l s e n t e n c e s l i k e ” t h e y m a y b e f i g u r e d . . . ” a n d " t h e y t h o u g h t . . . " b u t s t o p p e d i n t h e m i d d l e o f e a c h . H e f i n a l l y d e c i d e d , ” T h e y c o u l d n ' t h a v e . B e c a u s e t h e r e a r e f o u r p e o p l e . A n d i t c o u l d n ' t b e s e v e n a n d a h a l f b e c a u s e [ p a u s e ] y e a h i t c o u l d . ” H e w e n t o n t o s a y t h a t t h e t w o e x t r a b a r s c o u l d b e d i v i d e d i n h a l f a n d p u t ” e a c h h a l f i n t w o b o x e s ” ( B , I 2 , p . 3 ) . T h i s , ” t h e r e a r e f o u r p e o p l e , ” i s t h e fi r s t t i m e d u r i n g w o r k o n t h i s p r o b l e m t h a t B e r t ’ s l a n g u a g e r e fl e c t s a r e t u r n t o t h e p r o b l e m s t a t e m e n t . I t i s o n e o f B e r t ’ s r a r e r e f e r e n c e s t o c o n t e x t t h r o u g h o u t t h e i n t e r v i e w s . S h o w i n g h o w t w o b a r s c o u l d b e s p l i t t o r e s u l t i n e a c h p e r s o n r e c e i v i n g a h a l f d e m o n s t r a t e s h i s m a i n t e n a n c e o f a n o p e n m i n d c o n c e r n i n g a n s w e r s o t h e r t h a n h i s . B e r t v a l u e d o t h e r s ’ i d e a s ; h e h a d a n i n t e r e s t i n o t h e r s ’ t h i n k i n g . I t a l s o s h o w s B e r t ’ s a b i l i t y a n d t e n d e n c y t o f o c u s o n a p a r t o f a p r o b l e m - i n t h i s c a s e , t h e l a s t t w o b a r s — w h e r e c o n fl i c t i n g i d e a s o c c u r . I t i s a l s o a n o t h e r e x a m p l e o f m i d - s e n t e n c e c o r r e c t i o n b y B e r t . F u r t h e r d e m o n s t r a t i n g h i s i n t e r e s t i n o t h e r s ’ i d e a s , B e r t a s k e d i f a n y o n e e l s e h a d fi g u r e d t h e p r o b l e m o u t . I s h o w e d h i m a n o t h e r h y p o t h e t i c a l s o l u t i o n . T h i s h a d t h e n u m b e r s 1 t o 2 8 t y p e d i n r o w s o f f o u r w i t h 2 9 a n d 3 0 a d d e d o n t h e b o t t o m a n d ” 7 % - c a n d y b a r s e a c h ” t y p e d b e n e a t h ( F i g u r e 6 ) . 1 0 7 9 1 0 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 1 7 1 8 1 0 2 0 2 1 2 2 2 3 2 4 2 5 2 6 2 7 2 8 2 9 , 3 0 7 “ $ - c a n d y b a r s e a c h F i g u r e 6 : T h e s e c o n d h y p o t h e t i c a l s o l u t i o n I s h o w e d B e r t . F i g u r e 7 : B e r t ’ s d i s t r i b u t i o n o f t w o ” b a r s . ” 1 0 8 r n t i o n I a s k e d n o n e w q u e s t i o n , j u s t c o m m e n t i n g t h a t t h e t w o h y p o t h e t i c a l s t u d e n t s h a d g o t t e n t h e s a m e a n s w e r w i t h t w o d i f f e r e n t m e t h o d s . B e r t r e s p o n d e d b y d r a w i n g a n o t h e r r e p r e s e n t a t i o n . T h i s t i m e , h e d r e w t a l l i e s i n g r o u p s o f fi v e — f o u r l i n e s a n d a s l a s h a c r o s s t h e m . B e n e a t h t h e s e g r o u p s o f t a l l i e s , h e d r e w f o u r r e c t a n g l e s a n d , o n e - b y - o n e , c i r c l e d a t a l l y a n d t h e n d r e w a s m a l l t a l l y i n o n e o f t h e r e c t a n g l e s . ( F i g u r e F s h o w s h i s d i s t r i b u t i o n o f t h e fi r s t t w o b a r s ” ) H e p r o c e e d e d f r o m r e c t a n g l e t o r e c t a n g l e d i s t r i b u t i n g t a l l i e s o n e a t a t i m e . B e r t c o n c l u d e d w i t h s e v e n i n e a c h r e c t a n g l e a n d t w o l e f t o v e r . I a s k e d i f t h e r e w a s a n y w a y t o s p l i t t h e t w o b a r s s o e a c h c h i l d w o u l d g e t a h a l f a n d B e r t s a i d , " N o . B e c a u s e i f y o u s p l i t t h e m u p l i k e t h i s . . . y e a h , y e s , y e s , y e s t h e r e i s . ” T h i s l a s t w a s v e r y e x c i t e d . H e d r e w t w o r e c t a n g l e s a n d c u t e a c h i n h a l f . H e w e n t o n t o e x p l a i n t h a t t h e r e w e r e ” m a n y d i f f e r e n t w a y s ” o n e c o u l d d i v i d e t h e r e m a i n i n g t w o b a r s . D r a w i n g a l a r g e r e c t a n g l e , h e s a i d " Y o u c o u l d m a k e t h e m t h i s b i g . A n d y o u c o u l d m a k e 1 , 0 0 0 l i t t l e ” p i e c e s ( F i g u r e 8 ) . O f c o u r s e , b e s i d e s t h e s u r p r i s i n g n e e d B e r t a p p a r e n t l y f e l t t o v e r i f y a h a l f a s a p o s s i b l e o u t c o m e , t h i s p r e s e n t s y e t a n o t h e r m i d - s e n t e n c e c h a n g e o n h i s p a r t . H e e x p r e s s e d c o n f i d e n c e t h a t e a c h c h i l d w o u l d g e t t h e s a m e a m o u n t o f c a n d y w h e t h e r t h e y r e c e i v e d a h a l f , t w o f o u r t h s , o r s o m e o t h e r n u m b e r O f s m a l l e r p i e c e s . T h e n u m b e r o f e q u a l l y s i z e d p i e c e s a w h o l e w a s d i v i d e d i n t o , w o u l d d e t e r m i n e h o w m a n y p i e c e s t h e c h i l d r e n w o u l d g e t . T h i s w o u l d b e 5 7 F o r t h e s a k e o f s p a c e , o n l y o n e g r o u p o f t a l l i e s i s s h o w n a n d t h e s i t e s a r e d r a w n a d j a c e n t t o r a t h e r t h a n b e n e a t h t h e t a l l i e s . 1 0 9 w r i t t e n w i t h d i f f e r e n t n u m b e r s u b u t w o u l d b e t h e s a m e a m o u n t o f c h o c o l a t e . A t t h i s p o i n t w e t u r n e d t o t h e n e x t t a s k . S u m m a r y T h r o u g h o u t h i s w o r k o n t h i s t a s k , B e r t e l i d e d ” b a r [ s ] ” t h u s t r e a t i n g n u m b e r s a s n o u n s . H e s e l d o m r e f e r r e d t o t h e c h i l d r e n o f t h e s t o r y . W h e n h e d i d , i t w a s w i t h g e n e r i c t e r m s : ” t h e y , ” ” g u y s , ” a n d ” p e o p l e . ” B e r t f o c u s e d o n o p e r a t i o n s w i t h t h e n u m b e r s o f t h e s t o r y . H i s r e p r e s e n t a t i o n s b e c a m e m o r e a b s t r a c t w i t h e a c h i t e r a t i o n - m o v i n g f r o m 3 0 r e c t a n g l e s t o b e d i s t r i b u t e d , t o c r e a t i o n o f 3 0 r e c t a n g l e s i n t h e p r o c e s s o f d i s t r i b u t i o n , t o 3 0 t a l l i e s . H e m o n i t o r e d t h e n u m b e r s — t h e c r e a t i o n o f t h e r i g h t n u m b e r o f o b j e c t s - i n t h e d r a w i n g o f e a c h r e p r e s e n t a t i o n H o w e v e r , h e d i d n o t s e e m t o m o n i t o r t h e o v e r a l l f u n c t i o n a l i t y o f t h e r e p r e s e n t a t i o n a s h e w a s c r e a t i n g i t . T h a t i s , h e d r e w h i s f i r s t r e p r e s e n t a t i o n , t r i e d t o u s e i t , a n d f o u n d i t s f a u l t . H e m o n i t o r e d f u n c t i o n a l i t y a s h e u s e d t h e r e p r e s e n t a t i o n n o t a s h e c r e a t e d i t . O n t h e o t h e r h a n d , h e m o n i t o r e d h i s w o r d s , h i s s t a t e m e n t s a n d c l a i m s , c o n s t a n t l y a s d e m o n s t r a t e d b y a l l t h e m i d - c o u r s e c o r r e c t i o n s . A g a i n , t h i s w i l l b e t a k e n u p i n m o r e d e t a i l i n a l a t e r c h a p t e r . O n e m i g h t i n t e r p r e t B e r t ’ s s o l i c i t a t i o n o f m o r e s o l u t i o n s a s e v i d e n c e o f l a c k o f c o n fi d e n c e i n h i s o w n w o r k . H o w e v e r , i t s e e m e d m o r e t h a t B e r t s o u g h t t o p l a y o u t t h e l e a r n i n g o p p o r t u n i t y m u c h a s h e h a d e x p e r i e n c e d o v e r t h e l a s t t w o y e a r s i n t h i s c l a s s r o o m . T h a t i s , m u l t i p l e s o l u t i o n s w e r e p r e s e n t e d w h i c h p r o v i d e d B e r t o p p o r t u n i t y t o e x a m i n e t h e p r o b l e m f r o m m u l t i p l e p e r s p e c t i v e s . I b e l i e v e h e s a w t h e s e m u l t i p l e p e r s p e c t i v e s a s h e l p i n g h i m b e t t e r u n d e r s t a n d m a t h e m a t i c s . 1 1 0 F i g u r e 8 : B e r t ’ s d e m o n s t r a t i o n o f o n e o f ” 1 0 0 0 l i t t l e p i e c e s ” o f a " b i g ” b a r . C H E - C H E ] F i g u r e 9 : T h e f i r s t s l i p o f p a p e r i n t h e O p e r a t i o n s t a s k s . 1 1 1 T h e O p e r a t i o n s T a s k s T o i n i t i a t e t h i s a c t i v i t y , I p r e s e n t e d B e r t w i t h a s l i p o f p a p e r a s p i c t u r e d i n F i g u r e 9 ( e x c e p t g r e a t l y e n h a n c e d i n s i z e ) a n d a s k e d i f h e r e c o g n i z e d t h e s y m b o l s . L a r g e s t Q u t c c n i e B e r t c o n f i r m e d t h a t h e d i d r e c o g n i z e t h e m , c a l l i n g t h e m " t a k e a w a y a n d p l u s . " A f t e r I a s k e d h i m t o p l a c e t w o , t h r e e , f o u r , a n d fi v e i n s u c h a w a y a s t o g e t t h e l a r g e s t p o s s i b l e o u t c o m e , h e i n d i c a t e d t h a t i t d i d n o t m a t t e r t h e o r d e r o f t h e n u m b e r s . H o w e v e r , h e q u i c k l y r e - c o n s i d e r e d ( s e l f - m o n i t o r i n g a n d s e l f - c o r r e c t i n g ) , ” b e c a u s e y o u h a v e t h e p l u s a n d m i n u s s o m a y b e i f y o u t o o k t h e s l i g h t e s t n u m b e r . " A f t e r c o n fi r m i n g t h e n u m b e r s I g a v e w e r e t w o , t h r e e , f o u r , a n d f i v e , B e r t s t a r t e d w r i t i n g o u t a l l p o s s i b l e s u b t r a c t i o n p r o b l e m s . T h a t i s , h e w r o t e a n d s a i d - a p p a r e n t l y t a l k i n g t o h i m s e l f , ” t w o t a k e a w a y t h r e e i s o n e ” f o l l o w e d b y s i m i l a r w r i t i n g a n d s a y i n g 3 - 4 = 1 , 4 - 5 = 1 , 2 - 4 = 2 , a n d 3 - 5 = 2 . 5 3 H e t h e n s a i d , ” a n d i f I t o o k t h r e e t a k e a w a y t w o , i t w o u l d b e n e g a t i v e , w o u l d n ' t i t , y e a h , i t w o u l d b e n e g a t i v e o n e . ” O n c e a g a i n , t h o u g h h e d i d n o t c h a n g e h i s a n s w e r , h e s h o w e d s e l f - m o n i t o r i n g . W h e n I a s k e d w h a t w o u l d b e n e g a t i v e o n e , h e p o i n t e d t o 3 - 2 . H e t h e n r e a l i z e d , " I h a v e n ’ t t r i e d , h a v e I t r i e d [ a s k i n g h i m s e l f ] t w o t a k e a w a y f i v e y e t ? N o , I h a v e n ’ t . T w o t a k e a w a y fi v e . . . t w o t a k e a w a y f i v e w o u l d e q u a l t h r e e . ” H e t h e n p u t " t w o t a k e a w a y fi v e ” i n t h e c e n t e r t w o p o s i t i o n s ( ” b e c a u s e t h i s w o u l d b e t h r e e , s o y o u ' d s t i l l h a v e a b i g n u m b e r r i g h t h e r e ” ) a n d f i l l e d i n t h e o t h e r p o s i t i o n s w i t h t h e t h r e e a n d f o u r ( B , 1 2 , p . 9 ) . 5 8 T h e s e a r e n o t t r a n s p o s i t i o n s b y t h e t y p i s t . B e r t c o n s i s t e n t l y r e v e r s e d t h e o p e r a t i o n . T h i s i s d i s c u s s e d i n d e t a i l b e l o w . 1 1 2 I a s k e d , " D i d y o u s a y t w o t a k e a w a y t h r e e s h o u l d b e n e g a t i v e o n e ? ” H e r e s p o n d e d , ” N o . I s a i d t h r e e t a k e a w a y t w o s h o u l d b e n e g a t i v e o n e . ” I o b s e r v e d t h a t t h i s ” s e e m s f u n n y ” a n d s t a r t e d t o m a n i p u l a t e s o m e o f t h e p e n c i l s t h a t l a y o n t h e t a b l e s a y i n g , ” i f I h a v e t h r e e p e n c i l s . ” B e r t t o o k a d v a n t a g e o f m y b r i e f p a u s e a n d , a p p r o p r i a t i n g t h e p e n c i l s , e x p l a i n e d h i s t h i n k i n g : I f y o u h a v e t h r e e p e n c i l s a n d y o u h a v e t w o r i g h t h e r e [ f o r m i n g a g r o u p o f t w o p e n c i l s i n a d d i t i o n t o t h e g r o u p o f t h r e e I h a d c r e a t e d ] , a n d y o u t o o k a w a y t h r e e f r o m h e r e [ t h e 2 ] , y o u d o n ' t h a v e t h r e e , s o i t w o u l d b e n e g a t i v e o n e b e c a u s e , i f w e h a d , I f w e d i d n ’ t h a v e n e g a t i v e o n e , w e w o u l d . . . O k a y [ s t a r t i n g e x p l a n a t i o n o v e r ] . I f s o m e t h i n g w a s f a l l i n g , r i g h t ? T h e n e g a t i v e n u m b e r s a r e , i f n u m b e r s w e r e f a l l i n g , t h e n e g a t i v e n u m b e r s w o u l d [ b e ] j u s t l i k e c u s h i o n s , b e c a u s e l i k e , i f y o u h a d t h r e e t a k e a w a y t w o , n o o n e w o u l d k n o w w h a t i t w a s , t h e y w o u l d j u s t s a y " z e r o " b e c a u s e i t g o e s , u m , b e c a u s e n o o n e w o u l d k n o w t h a t n e g a t i v e s , a n y t h i n g a b o u t n e g a t i v e s . T h e y w o u l d n ' t h a v e e v e n t h o u g h t a b o u t i t . ( B , 1 2 , p . 9 ) B e r t s t a r t e d b y s h o w i n g t w o g r o u p s o f p e n c i l s . H e a r g u e d t h a t , s i n c e t h e g r o u p o f t w o d i d n ’ t ” h a v e t h r e e , ” t h e a n s w e r w o u l d h a v e t o b e n e g a t i v e o n e . H e m a d e a q u i c k j u m p f r o m t h i s i m m e d i a t e s i t u a t i o n t o t h e r o l e n e g a t i v e n u m b e r s p l a y i n m a t h e m a t i c s : t h e y a c t a s c u s h i o n s s o p r o b l e m s s u c h a s t h i s c a n b e d e a l t w i t h m a t h e m a t i c a l l y . S t i l l u n c e r t a i n a b o u t h i s r e a s o n i n g , I a s k e d B e r t t o ” s h o w m e t w o t a k e a w a y t h r e e . ” H e p o i n t e d t o t h e n u m b e r s e n t e n c e h e h a d w r i t t e n o n p a p e r . I a s k e d h i m i f h e c o u l d s h o w i t t o m e w i t h p e n c i l s . H e r e s t a t e d t h e p r o b l e m a n d a g a i n f o r m e d o n e g r o u p O f t h r e e a n d o n e O f t w o p e n c i l s . S o I t o o k t w o f r o m t h r e e a n d t h a t w o u l d e q u a l o n e [ m o v i n g 2 f r o m t h e g r o u p o f 3 t o t h e g r o u p o f 2 ] . L i k e , t h e s e t w o p e n c i l s w a n t m o r e f r i e n d , i e n d s t o p l a y a c a r d g a m e m a y b e , s o t h e y t o o k a w a y s o m e o t h e r k i d ’ s f r i e n d , t o p l a y a c a r d g a m e . I k n o w i t w o u l d s e e m k i n d o f m e a n ( B , 1 2 , p . 1 0 ) B e r t ’ s l a s t c o m m e n t d e m o n s t r a t e s h i s c o n s i d e r a t i o n f o r o t h e r s : e v e n i n t h i s h y p o t h e t i c a l s i t u a t i o n , h e n o t e d t h a t t a k i n g ” s o m e o t h e r k i d ’ s f r i e n d , t o p l a y 1 1 3 a c a r d g a m e ” w o u l d b e ” m e a n . ” H e a l s o m a d e t h e p r o b l e m m o r e c o n t e x t u a l i z e d b y t u r n i n g t h e p e n c i l s i n t o ” k i d s ” w h o w a n t t o p l a y c a r d s . T h i s t u r n t o t h e ” r e a l w o r l d ” s e e m s o d d g i v e n B e r t ’ s p r o c l i v i t y t o s t r i p a w a y c o n t e x t s i n h i s o w n s o l v i n g o f s u c h p r o b l e m s . H o w e v e r , i t f i t s w i t h h i s u s e o f m e t a p h o r s g r o u n d e d i n r e a l w o r l d i m a g e s o f t h e r e l a t i o n s h i p b e t w e e n z e r o , n e g a t i v e , a n d p o s i t i v e i n t e g e r s . I n t h e s e c a s e s , w h e n h e s t r u g g l e d t o a r t i c u l a t e a n i m p e r f e c t l y u n d e r s t o o d c o n c e p t , h e l i k e w i s e r e s o r t e d t o r e a l w o r l d i m a g e s . O n c e m o r e , I a s k e d w h e t h e r t h a t w a s 2 - 3 o r 3 - 2 a n d B e r t r e s p o n d e d : T w o t a k e a w a y t h r e e . B e c a u s e I t o o k t w o a w a y f r o m t h r e e . S e e t h i s u s e d t o b e t h r e e f r i e n d s t o g e t h e r , a n d t h e n I w a n t e d t o p l a y w i t h t w o p e o p l e , s o l i k e , l e t ’ s s a y t h e s e t h r e e f r i e n d s w e r e p l a y i n g a n d t h e y ' r e a l l r e d f r i e n d s [ r e f e r r i n g t o r e d p e n c i l s ] a n d t h e n t h e y s a i d , " H e y , I w a n t t o p l a y w i t h f r i e n d s , y o u h a v e m o r e f r i e n d s t h a n m e . " a n d t h e n t h e y t o o k m o r e f r i e n d s , a n d t h e n t h i s g u y [ t h e t h i r d r e d p e n c i l t h a t w a s n o w a l o n e ] w a s b o r e d . S o t h e r e , s e e t h i s i s o n e , r i g h t ? ( B , 1 2 , p . 1 0 ) B e r t c o n t i n u e d t o d e v e l o p h i s r e a l w o r l d c o n t e x t . H e c r e a t e d a r e a s o n f o r t h e t h r e e ” f r i e n d s ” t o b e f r i e n d s — a l l w e r e r e d . A s a b o v e w h e n h e a t t r i b u t e d m e a n n e s s t o t h e ” f r i e n d s , ” B e r t a n t h r o p o m o r p h i z e d t h e p e n c i l b y s a y i n g i t w o u l d b e b o r e d . I n t h i s i t e r a t i o n O f t h e s t o r y , h o w e v e r , h e m a d e n o m a t h e m a t i c a l a r g u m e n t . H e m e r e l y t o l d a s t o r y a r o u n d w h a t h e b e l i e v e d . A t t h i s p o i n t , B e r t t r i e d t O m a k e a b l o c k ” 3 ” w i t h t h e p e n c i l s b y s t a n d i n g o n e v e r t i c a l l y a n d h o l d i n g t w o a s c r o s s p i e c e s . T h i s f a i l e d b e c a u s e h e n e e d e d f o u r p e n c i l s ( o n e v e r t i c a l a n d t h r e e h o r i z o n t a l ) : ” A n d t h i s c o u l d b e t h r e e r i g h t i f I p u t t h e m l i k e t h i s . W e l l , I h a v e t o o m a n y . . . S o , h e r e ’ s t h r e e a n y w a y a n d h e r e ’ s t w o ” ( B , 1 2 , p . 1 0 ) . W h e n h e s a i d , " I h a v e t o o m a n y , ” i t a p p e a r s h e m e a n t e i t h e r t h a t h e h a d t o o f e w o r t h a t h e n e e d e d t o o m a n y . H e g a v e u p o n t r y i n g t o r e p r e s e n t t h e n u m e r a l t h r e e i n p e n c i l s a n d u s e d t h e m s i m p l y t o r e p r e s e n t t h r e e o b j e c t s a s b e f o r e . 1 1 4 I a s k e d i f t h e o r i g i n a l g r o u p O f t w o p e n c i l s w e r e ” i r n p o r t a n t t o t h e p r o b l e m . ” B e r t c o n f i r m e d t h e y w e r e b e c a u s e ” i f w e d i d n ’ t h a v e t h e s e , t h e r e w o u l d b e z e r o t a k e a w a y t h r e e . S O z e r o t a k e a w a y t h r e e w o u l d e q u a l t h r e e . B e c a u s e y o u ' r e n o t t a k i n g a n y t h i n g a w a y . " C l e a r l y , t h r o u g h o u t t h i s c o n v e r s a t i o n B e r t t r e a t e d t h e s e n u m b e r s e n t e n c e s a s " t a k e a w a y f r o m . ” S m a l l e s t Q u t s c m e P r o v i d i n g a n e w s l i p w i t h t h e s a m e o r d e r o f O p e r a t i o n s , I a s k e d h o w h e w o u l d a r r a n g e t h e n u m b e r s t o g e t t h e s m a l l e s t p o s s i b l e o u t c o m e . B e r t s t a r t e d b y s a y i n g h e w o u l d ” p u t t h e m l i k e t h i s . F o u r t a k e a w a y t h r e e a n d t h e n . . . n o . . . " H e p a u s e d a n d e r a s e d t h e n u m b e r s e n t e n c e t h a t h e h a d s t a r t e d t o w r i t e o n a s h e e t o f s c r a p p a p e r . H e s a i d , ” I t h i n k i t w o u l d b e fi v e t a k e a w a y t w o " i n t h e m i d d l e t w o p o s i t i o n s . T h e n , h e ” w o u l d p u t , u m , t h r e e a n d f o u r h e r e a g a i n . ” T o m y q u e s t i o n t h a t a l l h e w o u l d d o i s s w i t c h t h e t w o a n d fi v e , B e r t a g r e e d . I a s k e d i f t h a t w a s w h a t h e i n t e n d e d . 5 9 H e r e s p o n d e d , " Y e s ” a n d c o m p u t e d t h e a n s w e r . H e a d d e d t h e f i r s t t w o n u m b e r s , t h r e e a n d fi v e , a n d c r o s s e d o u t t h e 5 a n d w r o t e ” 8 ” a b o v e i t . N e x t , h e w r o t e ” 8 - 2 ” b e n e a t h t h e o r i g i n a l n u m b e r s e n t e n c e ( F i g u r e 1 0 ) . S e p a r a t e l y , h e m a d e t w o t a l l i e s f o r t h e " 2 . ” C o u n t i n g o n f r o m t w o t o e i g h t , B e r t t h e n a d d e d s i x d a s h e d t a l l i e s ( F i g u r e 1 1 ) . H e s a i d , ” I t w o u l d b e n e g a t i v e s i x . 5 0 , t h a t ’ s a s m a l l n u m b e r . ” H e a d d e d t h e fi n a l n u m b e r , f o u r , s a y i n g , ” t h e n p l u s s i n g f o u r , n e g a t i v e s i x p l u s s i n g f o u r , s o t h a t w o u l d b e , g o u p f o u r . " H e c i r c l e d f o u r d a s h e d l i n e s a s h e s a i d t h i s ( F i g u r e 1 1 ) . H e w r o t e h i s a n s w e r , ” n e g a t i v e t w o , ” a s " 2 - " . D u r i n g t h i s , B e r t d i d n o t w r i t e n u m b e r s e n t e n c e s f o r e a c h p o s s i b l e s u b t r a c t i o n p r o b l e m a s h e h a d i n s e e k i n g t h e l a r g e s t o u t c o m e . 5 9 M y p o i n t w a s t o a s c e r t a i n w h e t h e r h e w a s c o n n e c t i n g t h e t w o v e r s i o n s — l a r g e s t a n d s m a l l e s t - - o r i t j u s t w o r k e d o u t t h a t w a y . I t o o k m y c u e f r o m h i s ” 3 a n d 4 h e r e a g a i n . ” O f c o u r s e , t h o u g h h e g a v e a n a f fi r m a t i v e a n s w e r , I c a n n o t b e c e r t a i n w h e t h e r i t w a s i n t e n t i o n o r a f t e r - t h e - f a c t r e c o g n i t i o n o f t h e s i m i l a r i t y . 1 1 5 8 3 + k - 2 + 4 = 2 - 8 - 2 F i g u r e 1 0 : B e r t ’ s " s m a l l e s t p o s s i b l e o u t c o m e . ” B e r t ’ s u s e o f " 2 - " f o r n e g a t i v e t w o s e e m s t o fi t w i t h h i s a n t i - c o n v e n t i o n a l v i e w o f s u b t r a c t i o n . O n e c a n n o t k n o w w h i c h i n fl u e n c e d o r p r e c e d e d w h i c h , b u t w e m a y a s s u m e t h a t h i s u s e o f ” 2 - ” f o r n e g a t i v e t w o s u g g e s t s w h y h e t a k e s t w o a w a y f r o m t h r e e i n 2 - 3 . B e r t ’ s s t a t e m e n t t h a t " p l u s s i n g f o u r ” m e a n s g o i n g " u p ” m a y b e a r e f e r e n c e t o t h e t h e r m o m e t e r t h a t h i s c l a s s h a d u s e d t o e x p l o r e F i g u r e 1 1 : R e p r e s e n t a t i o n B e r t u s e d t o c o m p u t e s m a l l e s t p o s s i b l e o u t c o m e . n e g a t i v e i n t e g e r s . W h e n I a s k e d i f h e c o u l d b e s u r e t h a t h e w o u l d n ’ t g e t a s m a l l e r n u m b e r , h e a r g u e d t h a t y o u c o u l d n ’ t " b e c a u s e i f y o u h a d a h i g h e r n u m b e r , i t w o u l d n ' t g o d o w n t o , u m , i t w o u l d n ' t g o d o w n t o n e g a t i v e e i g h t . I t w o u l d g o d o w n t o s o m e t h i n g l i k e n e g a t i v e s i x o r s o m e t h i n g . A n d t h e n y o u t o o k a w a y t w o a n d i t w o u l d b e n e g a t i v e f o u r . ” 6 0 I n t h i s p a s s a g e , B e r t s e e m e d t o c o n s i d e r s w i t c h i n g t h e ” 4 " a n d t h e " 2 ” ( y i e l d i n g 3 + 5 - 4 + 2 ) . H e e s t i m a t e d t h a t 8 - 4 w a s ” n e g a t i v e s i x . " H e s e e m e d t o c o n f u s e t w o p a r t s o f h i s p r e v i o u s w o r k : 8 - 2 a n d ” - 8 . ” T h a t i s , “ O f c o u r s e , i f h e h a d p u t t h e ” 4 ” f i r s t , h e w o u l d h a v e e n d e d w i t h ” 4 - " ( u s i n g h i s d e fi n i t i o n o f s u b t r a c t i o n ) : 4 + 5 = 9 , 9 - 2 = - 7 , - 7 + 3 = - 4 . 1 1 6 g i v e n B e r t ’ s m e t h o d o f s u b t r a c t i n g , a c h a n g e f r o m 8 - 2 t o 8 - 4 s h o u l d i n c r e a s e t h e a n s w e r b y t w o , f r o m ” - 6 ” t o ” - 4 . ” H o w e v e r , i f h e r e c a l l e d t h e a n s w e r t o 8 - 2 a s ” - 8 , ” t h e n i n c r e a s i n g t h e ” 2 ” t o ” 4 ” w o u l d l i k e w i s e i n c r e a s e t h e a n s w e r f r o m ” - 8 ” t o ” - 6 ” - a s h e a s s e r t e d . T h u s , h i s r e a s o n i n g w o u l d h a v e b e e n v a l i d t h o u g h b a s e d o n f a u l t y d a t a . A t t h i s p o i n t w e m o v e d t o a n e w t a s k . S u m m a r y B e r t w a s c l e a r l y a n i n t r i g u i n g s t u d e n t o f m a t h e m a t i c s . H e p o n d e r e d t h e " b i g i s s u e s . ” H e w o n d e r e d a b o u t t h e r e l a t i o n s h i p a m o n g z e r o , p o s i t i v e , a n d n e g a t i v e i n t e g e r s . H e c o n s i s t e n t l y m o n i t o r e d m a t h e m a t i c a l c l a i m s t h a t h e m a d e . A t t h e s a m e t i m e , h e s u b t r a c t e d i n s u c h a w a y t h a t h e w o u l d f a i l m i s e r a b l y o n a s t a n d a r d i z e d t e s t ; y e t i t w a s a c o n s i s t e n t ( a n t i - c o n v e n t i o n a l ) f o r m u l a t i o n o f t h e p r o b l e m s . H e s e e m e d t o u n d e r s t a n d s u b t r a c t i o n t h o u g h h e u s e d a f a u l t y a l g o r i t h m . H e r e a s o n e d m a t h e m a t i c a l l y i f i m p e r f e c t l y . T h a t i s , B e r t t o o k t h e a p p r o a c h t h a t , t o f i n d t h e l a r g e s t p o s s i b l e o u t c o m e , h e n e e d o n l y fi g u r e o u t w h i c h s u b t r a c t i o n p r o b l e m g a v e t h e l a r g e s t o u t c o m e . L i k e w i s e , f o r t h e s m a l l e s t o u t c o m e , h e o n l y n e e d e d t o r e v e r s e t h e s e . O n t h e o t h e r h a n d , h i s f o r m o f s u b t r a c t i o n w a s n o t t h e c o n v e n t i o n a l f o r m . S u m m a r y o f B e r t T y p i c a l l y , w h e n e n g a g e d w i t h c o n t e x t u a l p r o b l e m s , B e r t s e l d o m m a d e r e f e r e n c e t o t h e c o n t e x t . H e t r e a t e d t h e C a n d y B a r p r o b l e m a s o n e o f s h a r i n g 3 0 a m o n g f o u r . E x c e p t f o r r a r e r e f e r e n c e s t o g e n e r i c r e c i p i e n t s o f t h e 3 0 , t h e r e i s n o e v i d e n c e h e h e l d a n y s p e c i f i c O b j e c t s i n m i n d . H e u s e d ” g e n e r i c " r e p r e s e n t a t i o n s t o m a k e ” s i d e ” p o i n t s ; e . g . , h e d r e w a g e n e r i c r e c t a n g l e t o d e m o n s t r a t e h o w a h a l f d i f f e r e d f r o m a q u a r t e r . E a c h o f h i s r e p r e s e n t a t i o n s m o v e d f u r t h e r a w a y f r o m t h e c o n t e x t a n d t o w a r d a b s t r a c t i o n H e s t a r t e d w i t h r e c t a n g l e s l a i d o u t a n d 1 1 7 t h e d i s t r i b u t e d p h y s i c a l l y , w i t h l i n e s o f c o n n e c t i o n . N e x t , h e c r e a t e d t h e r e c t a n g l e s i n t h e p r o c e s s o f d i s t r i b u t i o n ; i n a s e n s e , i n t h i s r e p r e s e n t a t i o n t h e y d i d n o t e x i s t p r i o r t o d i s t r i b u t i o n . F i n a l l y , h e u s e d t a l l i e s i n s t e a d o f r e c t a n g l e s f o r t h e b a r s . I n t h i s l a s t , h e d i d r e v e r t t o c r e a t i n g a l l a n d t h e n d i s t r i b u t i n g t h e m b u t h e d i d s o w i t h o u t t h e p h y s i c a l c o n n e c t i o n s O f t h e f i r s t r e p r e s e n t a t i o n . H e s e e m e d t o h a v e d i f fi c u l t y s e e i n g b o t h ” s e v e n a n d a h a l f ” a n d " s e v e n a n d t w o o n e - f o u r t h s ” a s s o l u t i o n s t o t h e s a m e p r o b l e m . I t m a y b e t h a t , s i n c e t h e r e w e r e f o u r c h i l d r e n , B e r t e x p e c t e d t h a t t h e a n s w e r w o u l d h a v e t o b e i n t h e f o r m O f f o u r t h s , t h a t d i v i s i o n a m o n g f o u r a l w a y s r e s u l t e d i n f r a c t i o n s c a l l e d ” f o u r t h s . ” T h i s i n t e r p r e t a t i o n i s r e i n f o r c e d b y B e r t ’ s b e l i e f s a b o u t t h e a n s w e r t o t h e B a s e b a l l C a r d p r o b l e m fi 1 I n t h a t i n s t a n c e , h e a r g u e d t h a t e a c h o f f o u r c h i l d r e n w o u l d r e c e i v e { - 1 5 b u t n o t % o f t h e c a r d s . H e s h o w e d h o w e a c h p e r s o n c o u l d r e c e i v e a h a l f a b a r a f t e r I s h o w e d h i m t h e fi r s t h y p o t h e t i c a l s o l u t i o n b u t t h e n s e e m e d t o n e e d t o r e v i s i t t h i s w h e n I s h o w e d t h e s e c o n d s u c h s o l u t i o n . T h e C a n d y B a r p r o b l e m d o e s n o t o f f e r a n e x a m p l e o f B e r t ’ s e x c u r s i o n s i n t o m a t h e m a t i c a l i s s u e s b e y o n d t h e s p e c i f i c p r o b l e m . T h i s m a y b e b e c a u s e h e w a s n o t p u z z l e d b y t h e n a t u r e o f f r a c t i o n s i n t h e s a m e w a y a s h e w a s a b o u t t h e n a t u r e o f n e g a t i v e i n t e g e r s . I n t h e t h i r d i n t e r v i e w , B e r t i d e n t i fi e d f r a c t i o n s a s o p e r a t i o n s , a s t h i n g s o n e d o e s , n o t a s n u m b e r s . S o , u n l i k e h i s t r y i n g t o u n d e r s t a n d h o w n e g a t i v e i n t e g e r s fi t w i t h z e r o a n d p o s i t i v e i n t e g e r s , h e m a y h a v e s e e n l i t t l e n e e d t o p u z z l e a b o u t t h e r e l a t i o n s h i p a m o n g f r a c t i o n s b e c a u s e t h e y w e r e n o t n u m b e r s f o r h i m . H e d i d n o t s e e m t o f e e l a n e e d t o a s c e r t a i n h o w t h e y r e l a t e d t o o t h e r n u m b e r s w i t h w h i c h h e w a s f a m i l i a r . ( A t t h e s a m e t i m e , t h r o u g h o u t t h e i n t e r v i e w s , i t w a s c l e a r t h a t h i s u n d e r s t a n d i n g o f f r a c t i o n s w a s 6 1 T h i s i s a p r o b l e m t h e c l a s s h a d b e e n w o r k i n g o n p r i o r t o t h e t h i r d i n t e r v i e w . I d i s c u s s i t i n d e t a i l i n c h a p t e r 4 . 1 1 8 l i m i t e d . ) T h e O p e r a t i o n s t a s k s , i n c o n t r a s t , r a i s e d t h e i s s u e o f n e g a t i v e i n t e g e r s f o r B e r t . D o i n g m a t h e m a t i c s e l i c i t e d s e v e r a l n o m i n a l l y o p p o s i n g t y p e s o f a f f e c t i n B e r t . H e f o u n d i t s e r i o u s — a n d t h e r e f o r e f u n ; h e f o u n d i t c h a l l e n g i n g — a n d t h e r e f o r e e n g a g i n g . H e s p e c u l a t e d a b o u t m a t h e m a t i c a l a b s t r a c t i o n s o n h i s o w n b u t w a s e q u a l l y i n t e r e s t e d i n w h a t o t h e r s — p e e r s a n d a d u l t s - t h o u g h t a b o u t m a t h e m a t i c a l o b j e c t s a n d c o n c e p t s . B e r t l o o k e d f o r p a t t e r n s i n m a t h e m a t i c s . H e s a w m a t h e m a t i c s a s a r e a l m s e p a r a t e f r o m t h e r e a l w o r l d . I t w a s c o m p o s e d O f o b j e c t s g o v e r n e d b y r u l e s t h a t f o r m e d ( o r s h o u l d f o r m ) a c o h e r e n t s t r u c t u r e . P a r t i c u l a r p r o b l e m s w e r e i n t e r e s t i n g t o B e r t — b u t , w h a t r e a l l y f a s c i n a t e d h i m w a s l o o k i n g t h r o u g h a p r o b l e m , b e y o n d t h i s c o n t e x t , t o m o r e g e n e r a l , a b s t r a c t m a t h e m a t i c a l o b j e c t s a n d c o n c e p t s . H e f e l t s a f e e x p r e s s i n g h i s k n o w l e d g e a s t e n t a t i v e a n d / o r i n s e c u r e l y h e l d . I n s u c h i n s t a n c e s , h e o f t e n r e s o r t e d t o ” r e a l w o r l d ” m e t a p h o r s t o c o m m u n i c a t e h i s t h i n k i n g . T E R I I f o l l o w B e r t ’ s p r o fi l e w i t h T e r i b e c a u s e s h e w a s l i k e h i m i n h e r p r e d i l e c t i o n f o r s o l v i n g p r o b l e m s u s i n g g e n e r i c r e p r e s e n t a t i o n s . L i k e B e r t , s h e t e n d e d t o s t r i p a w a y t h e c o n t e x t t h o u g h g e n e r a l l y s o l v i n g p r o b l e m s i n c o n c e r t w i t h t h e s t o r y . A t t h e s a m e t i m e , s h e O f f e r s a s t a r k c o n t r a s t w i t h B e r t . W h e r e h e w a s a t t r a c t e d t o a b s t r a c t , l a r g e r , a n d m o r e g e n e r a l m a t h e m a t i c a l i s s u e s , T e r i c o n s i s t e n t l y s h i e d a w a y f r o m t h e m u t h o u g h a p p a r e n t l y r e c o g n i z i n g t h e i r e x i s t e n c e a n d p o t e n t i a l v a l u e f o r u n d e r s t a n d i n g m a t h e m a t i c s . S h e a l s o s e e m e d t o s e e m a t h e m a t i c s a s p o w e r f u l b u t , i n s t e a d o f s e e i n g t h e p o t e n t i a l p o w e r f o r h e r , s h e r e s i g n e d h e r s e l f t o s o l v i n g s p e c i fi c p r o b l e m s , l e a v i n g r e a s o n i n g a b o u t c o m p l e x i t i e s t o o t h e r s . H o w e v e r , s h e w a s t h e m o s t s u c c e s s f u l o f t h e c h i l d r e n i n 1 1 9 s o l v i n g s o m e o f t h e m o r e d i f f i c u l t p r o b l e m s . S h e s e e m e d a s k i l l e d i f i n t u i t i v e m a t h e m a t i c a l r e a s o n e r i n t h e c o n t e x t o f t h e s e p r o b l e m s . A s w i t h B e r t , T e r i ’ s e a r l y q u e s t i o n s a n d a n s w e r s r e v e a l h e r b e l i e f s a b o u t m a t h e m a t i c s a n d a b o u t h e r s e l f . T h e y a r e a l s o c o n s i s t e n t w i t h h e r l a t e r a c t i o n s w h i l e e n g a g e d w i t h t h e m a t h e m a t i c a l t a s k s o f t h e i n t e r v i e w s . T h e g e n e r a l c o n v e r s a t i o n a l a p p r o a c h o f t h e f i r s t i n t e r v i e w O f f e r s a n h o l i s t i c i m a g e o f T e r i . T h e v i g n e t t e i s f o l l o w e d b y a m o r e a n a l y t i c d e s c r i p t i o n o f T e r i a s a p e r s o n a n d a s a d o e r o f m a t h e m a t i c s . F i n a l l y , I p r e s e n t a d e s c r i p t i o n o f h e r w o r k i n t w o c o n t e x t s , t h e C a n d y B a r p r o b l e m a n d t h e O p e r a t i o n s t a s k s . V i g n e t t e E a r l y i n t h e f i r s t i n t e r v i e w , I d e v e l o p e d a s e n s e o f T e r i ’ s a m b i v a l e n c e t o w a r d m a t h e m a t i c s — i n s t a r k c o n t r a s t w i t h B e r t . W h e n I a s k e d i f t h e r e w e r e t h i n g s a b o u t s c h o o l t h a t s h e d i d n o t l i k e , T e r i s a i d , " I d o n ’ t l i k e , u m , [ p a u s e ] I l i k e m a t h e m a t i c s b u t n o t t h a t m u c h . I d o n ’ t r e a l l y g e t i t ” ( T , 1 1 , p . 2 ) . S h e t h e n g a v e a p a r t i c u l a r e x a m p l e , t h e ” t h e r m o m e t e r t h i n g y . ” E a r l i e r i n t h e y e a r , t h e c l a s s h a d u s e d a t h e r m o m e t e r t o e x p l o r e n e g a t i v e i n t e g e r s a n d o p e r a t i o n s w i t h i n t e g e r s . W h e n I r e p e a t e d ” t h e r m o m e t e r t h i n g y ” q u e s t i o n i n g l y , T e r i c l a r i fi e d , " U m , t h e w h a t c h a m a c a l l i t . U m , n e g a t i v e n u m b e r s . . . I d o n ’ t g e t t h e n e g a t i v e t h i n g . H o w t o g e t ’ e m . ” P r o d d e d f o r a n e x a m p l e o f a t h e r m o m e t e r p r o b l e m , T e r i s a i d , ” W e l l , I d o n ’ t e v e n k n o w h o w t o m a k e o n e ” ( p . 3 ) . I d r a w t h e r e a d e r ’ s a t t e n t i o n t o t w o a s p e c t s o f t h i s e x c h a n g e . J u s t a s s h e d i d h e r e , t h r o u g h o u t t h e i n t e r v i e w s T e r i d i s p a r a g e d h e r m a t h e m a t i c a l k n o w l e d g e a n d u n d e r s t a n d i n g ; w h e n p u s h e d t o e x p l a i n h e r a c t i o n s a n d r e a s o n i n g i n h e r w o r k o n a p r o b l e m , s h e f r e q u e n t l y d e c l i n e d b y a s s e r t i n g l a c k o f k n o w l e d g e o f h e r o w n m o t i v a t i o n o r d e c i s i o n - m a k i n g . S e c o n d l y , T e r i a p p a r e n t l y m a d e s o m e i d e n t i fi c a t i o n b e t w e e n t h e o b j e c t 1 2 0 ( t h e t h e r m o m e t e r ) t h e c l a s s u s e d t o e x p l o r e a p a r t i c u l a r m a t h e m a t i c a l t o p i c a n d t h e t o p i c i t s e l f ( n e g a t i v e i n t e g e r s ) . T h e t h e r m o m e t e r s e e m e d t o r e p r e s e n t a n a s p e c t o f m a t h e m a t i c s a b o u t w h i c h s h e f e l t u n c o m f o r t a b l e , a n a s p e c t t h a t m a d e h e r f e e l s h e d i d n o t ” r e a l l y g e t i t . ” S e v e r a l t i m e s d u r i n g t h e i n t e r v i e w s , a r e c a l l e d p h y s i c a l o b j e c t t r i g g e r e d a f f e c t i v e r e s p o n s e s t o a n a s s o c i a t e d a b s t r a c t m a t h e m a t i c a l c o n c e p t o r o b j e c t . T h e p h y s i c a l o b j e c t s w e r e n o t e x a c t l y m n e m o n i c s a s T e r i d i d n o t c h o o s e t h e m t o a i d h e r m e m o r y . H o w e v e r , t h e y h a d a s i m i l a r e f f e c t . I n l i e u o f a t h e r m o m e t e r p r o b l e m T e r i o f f e r e d w h a t t h e y h a d b e e n w o r k i n g o n m o r e r e c e n t l y i n c l a s s a s a n e x a m p l e o f ” o n e I r e a l l y d o n ’ t g e t ” : 4 6 - 2 8 ( T , 1 1 , p . 3 ) . 6 2 D u r i n g t h e c l a s s ’ e x t e n d e d ( s e v e r a l d a y s ) w o r k o n t h e p r o b l e m , s o m e s t u d e n t s h a d n o t e d t h a t , i f t h e n u m b e r s w e r e r e v e r s e d ( 2 8 - 4 6 ) , t h e a n s w e r w a s t h e s a m e n u m b e r , 1 8 , o n l y n e g a t i v e . T h i s s i t u a t i o n p u z z l e d T e r i b e c a u s e , ” Y o u h a v e t w o a n s w e r s , ’ 1 8 ’ a n d ’ n e g a t i v e 1 8 ’ . " I n a d d i t i o n t o t h e p r o b l e m a t i c e x i s t e n c e o f t w o a n s w e r s , T e r i w a s p u z z l e d " b e c a u s e I n e v e r k n e w w h a t a n e g a t i v e n u m b e r w a s . I a l w a y s t h o u g h t i t w a s , l i k e , a s e v e n w i t h a l i t t l e m i n u s t h i n g n e x t t o i t " ( p . 3 ) . S h e s a i d s h e n o w r e l a t e d i t t o t h e n u m b e r c h a r t t h e y h a d i n c l a s s : A ” n e g a t i v e n u m b e r ” i s ” j u s t a n u m b e r a n d I g e t a n u m b e r a n d g o u p i n t o n e g a t i v e s / ’ 6 3 S h e s a i d t h a t s h e o f t e n u s e d t h e n u m b e r c h a r t t o s o l v e p r o b l e m s . U s i n g a s m a l l v e r s i o n o f a n u m b e r c h a r t I o f f e r e d ( b u t w h i c h d i d n o t i n c l u d e ” 0 ” o r n e g a t i v e i n t e g e r s ) , T e r i s h o w e d h o w s h e w o u l d t a k e 4 6 f r o m 2 8 . S h e c o u n t e d f r o m t h e 2 8 o n t h e c h a r t , p o i n t i n g a t 2 8 a s s h e s a i d ” 1 ” , a t 2 7 a s s h e “ T h e y h a d b e e n e x p l o r i n g t w o - d i g i t s u b t r a c t i o n w i t h r e g r o u p i n g . T h e o r i g i n a l p r o b l e m w a s a b o u t b i r d s o n a w i r e : ” 4 6 b i r d s w e r e o n a w i r e a n d 2 8 fl e w a w a y . H o w m a n y w e r e l e f t ? ” I n h e r d e s c r i p t i o n o f t h e p r o b l e m , T e r i d i d n o t m e n t i o n t h i s c o n t e x t , s h e o n l y i d e n t i fi e d t h e n u m b e r s a n d o p e r a t i o n s g r o w i n g o u t o f i t . “ P o s t e d n e x t t o t h e b l a c k b o a r d i n h e r c l a s s w a s a s t a n d a r d n u m b e r c h a r t w i t h 1 - 1 0 0 i n r o w s O f t e n n u m b e r s . T h e t o p l e f t n u m b e r w a s 1 a n d t h e b o t t o m r i g h t n u m b e r w a s 1 0 0 . P h y s i c a l l y a t t a c h e d t o t h i s c h a r t w a s a h a n d m a d e ” n e g a t i v e n u m b e r s ” c h a r t . T h i s h a d i t s ” fi r s t " n u m b e r , 0 , i n t h e l o w e r r i g h t c o m e r a n d i t s l a s t , - 9 9 , i n t h e u p p e r l e f t c o m e r . 1 2 1 s a i d " 2 ” , e t c . W h e n s h e r e a c h e d 1 o n t h e c h a r t , s h e n o t e d , ” h e r e ’ s t h e n e g a t i v e ” , a n d c o n t i n u e d o n t o 4 6 b y m a k i n g a t a l l y f o r e a c h n u m b e r s p o k e n . C o u n t i n g t h e t a l l i e s , s h e s h o w e d t h e a n s w e r w o u l d b e " n e g a t i v e 1 8 . ” S h e t h e n s i m i l a r l y s h o w e d 4 6 - 2 8 , d e s c r i b i n g i t a s " w h a t K a N e s h a ’ s w a s ” , i . e . , h o w h e r c l a s s m a t e K a N e s h a h a d s o l v e d t h e p r o b l e m . T h u s , T e r i u s e d t h e p h y s i c a l n u m b e r c h a r t t o r e c a l l K a N e s h a ’ s w o r k . I n a s e n s e , t h i s i s a c o n t e x t — s h e r e c a l l e d K a N e s h a a n d t h e n u m b e r c h a r t . H o w e v e r , i t w a s n o t a c o n n e c t i o n t o t h e c o n t e x t p r e s e n t e d a s t h e o r i g i n a l s t o r y : s h e m a d e n o m e n t i o n o f b i r d s , w i r e s , a n d s o f o r t h . S h e O b t a i n e d a n s w e r s t o t h e p r o b l e m s s t r i c t l y u s i n g n u m b e r s . I n f a c t , T e r i s e l d o m m a d e r e f e r e n c e s t o t h e s t o r i e s i n w h i c h p r o b l e m s w e r e p r e s e n t e d . S h e s e e m e d t o v i e w t h e s e s t o r i e s a s s h e l l s c o n t a i n i n g t h e e l e m e n t s o f t h e m a t h e m a t i c s . W h e n r e f e r r i n g t o p a s t e x p e r i e n c e s , s o m e t h i n g a s s o c i a t e d w i t h t h e w o r k o n t h e p r o b l e m s ( e . g . , t h e t h e r m o m e t e r ) a c t e d a s r e m i n d e r s t o h e r o f t h e m a t h e m a t i c s , t h e n u m b e r s a n d o p e r a t i o n s . T e r i f o l l o w e d h e r d e s c r i p t i o n o f t h e t w o m e t h o d s o f s o l u t i o n — a n d t w o a n s w e r s - b y a g a i n e x p r e s s i n g c o n f u s i o n : W e l l , s e e , I d o n ’ t k n o w w h i c h o n e t o b e l i e v e . A n ” 1 8 " o r a ” n e g a t i v e 1 8 . ” . . . I j u s t w a n n a [ k n o w ] w h i c h o n e I w a n t t o b e l i e v e . . . . W e l l , t h e y ’ r e [ t h e t w o p r o b l e m s a r e ] n o t r e a l l y d i f f e r e n t , i t ’ s j u s t t h e y ’ r e [ t h e n u m b e r s a r e ] s w i t c h e d a r o u n d . ( T , 1 1 , p . 4 ) A t n o t i m e d i d T e r i r e f e r b a c k t o t h e c o n t e x t . S h e i n t r o d u c e d 4 6 - 2 8 a s a n e x a m p l e o f a p r o b l e m w h i c h c o n f u s e d h e r . H e r i n t r o d u c t i o n i n c l u d e d n o m e n t i o n o f t h e c o n t e x t a n d s h e w o r k e d t h e w h o l e t i m e u s i n g o n l y n u m b e r s — t h e n u m b e r s w e r e n o u n s . S h e s e e m e d c o n v i n c e d n e g a t i v e i n t e g e r s f i t i n m a t h e m a t i c s s o m e w h e r e , t h e y c a m e f r o m s o m e w h e r e a n d s h o u l d h a v e a r a t i o n a l r o l e . B u t , t h e s i m i l a r i t y b e t w e e n t h e a b s t r a c t v e r s i o n s o f t h e p r o b l e m s a n d t h e n e a r i d e n t i t y o f t h e a n s w e r s , c o n f u s e d h e r . J u s t a s s h e h a d a p p a r e n t l y 1 2 2 f o u n d l i t t l e l o n g t e r m h e l p i n t h e t h e r m o m e t e r , t h e b i r d s t o r y c o n t e x t p r o v i d e d h e r l i t t l e h e l p i n c h o o s i n g w h a t t o d o . T e r i n a m e d t h i n k i n g " r e a l l y h a r d ” a n d l i s t e n i n g a s w h a t m a k e a p e r s o n ” g o o d a t m a t h . ” S h e d e s c r i b e d a c l a s s m a t e a s g o o d a t m a t h e m a t i c s b e c a u s e ” s h e l i s t e n s m a y b e j u s t a t a d h a r d e r t h a n I d o . B e c a u s e a f t e r a w h i l e I l o s e i n t e r e s t . M y m i n d w a n d e r s s o m e t i m e s i f I d o n ’ t l i k e t h e p r o b l e m ” ( T , I 1 , p . 7 ) . U n l i k e B e r t , T e r i d i d n o t m e n t i o n t h e ” p o w e r ” o f m a t h e m a t i c s o r t h a t i t s t i m u l a t e d h e r m e n t a l l y . C o r r e s p o n d i n g l y u o r c o n s e q u e n t l y - s h e d i d n o t m a i n t a i n i n t e r e s t i n c l a s s r o o m m a t h e m a t i c a l d i s c u s s i o n s a s B e r t d i d . I t s e e m s p l a u s i b l e t h a t T e r i ’ s l o s s o f i n t e r e s t m a y h a v e s t e m m e d f r o m h e r c o n f u s i o n ; w h e n o t h e r s e n t e r e d t e r r a i n t h a t c o n f u s e d h e r ( e . g . , t h e 4 6 - 2 8 a n d 2 8 - 4 6 p r o b l e m s ) , h e r ” m i n d w a n d e r l e d ] . ” I n o w t u r n a d e s c r i p t i o n o f T e r i a s a p e r s o n a n d a s a d o e r o f m a t h e m a t i c s . A n a l y t i c D e s c r i p t i o n T e r i ’ s i n t e r v i e w s w e r e t h e s h o r t e s t o f t h e c h i l d r e n i n t h i s s t u d y . T h i s w a s i n p a r t b e c a u s e s h e w a s o n t a s k , c o n c i s e , a n d p r e c i s e . H o w e v e r , i t w a s a l s o t r u e t h a t s h e s e l d o m e l a b o r a t e d o n m a t h e m a t i c a l i s s u e s o r o n h e r w o r k . W h e n I q u e s t i o n e d h e r a b o u t h e r e x p r e s s e d a r e a s o f c o n f u s i o n o r h e r u n s t a t e d r e a s o n i n g , s h e o f t e n p l e d i g n o r a n c e , r e s p o n d i n g w i t h ” I d o n ’ t k n o w . ” o r t h e e q u i v a l e n t . N o r d i d s h e m a k e t h e k i n d s o f f o r a y s i n t o h e r s o c i a l l i f e t h a t t h e o t h e r g i r l s i n t h e s t u d y d i d . W h i l e B e r t e a g e r l y e x p l o r e d t h e t e r r a i n o f i s s u e s t h a t p u z z l e d h i m , T e r i i d e n t i fi e d w h a t s h e d i d n o t u n d e r s t a n d a n d r e m o v e d i t f r o m d i s c u s s i o n . H e r m a t h e m a t i c s w a s o f t e n c o r r e c t a n d s u c c i n c t b u t a p p a r e n t l y a c c o m p l i s h e d i n t u i t i v e l y o r t a c i t l y r e a s o n e d . 1 2 3 T e r i i n i t i a l l y s e e m e d a b i t r e t i c e n t b u t a f t e r a b r i e f t i m e s h e w a r m e d u p , b e c o m i n g m o r e o p e n , f r i e n d l y , r e l a x e d . A t t i m e s s h e w a s q u i t e p l a y f u l . S h e c e r t a i n l y a c t e d s i l l y a t t i m e s - a s e l f - c o n s c i o u s s o r t o f s i l l i n e s s . I t w a s a s i f s h e w e r e t r y i n g t o e s t a b l i s h a r e l a t i o n s h i p i n w h i c h w e w e r e c o - p a r t i c i p a n t s i n h e r b e i n g s i l l y ( G o f f m a n , 1 9 7 4 ) . I t m a y b e t h a t b y b e i n g s i l l y , s h e a t t e m p t e d t o r e d u c e b o t h t h e s i g n i f i c a n c e o f t h e s i t u a t i o n a n d a n y e x p e c t a t i o n b y m e t h a t s h e w o u l d b e ” g o o d a t m a t h . ” S h e w a s v e r y h a p p y w h e n e v e r s h e f e l t t h a t s h e h a d f i g u r e d o u t s o m e t h i n g t h a t w a s p u z z l i n g . S h e w o u l d s m i l e , w a v e h e r h a n d s , a n d / o r u s e a f f e c t e d v o i c e s o r e x p r e s s i o n s . S h e h a d a l a r g e r e p e r t o i r e o f u n c o m m o n e x p r e s s i o n s : ” P o o e y , ” ” w h a t c h a m a c a l l i t , ” ” t h i n g y , ” ” i c k y , ” a n d s o f o r t h . T h e s e s e e m e d t o b e o f t w o s o r t s : s o m e s u b s t i t u t e d f o r a r t i c u l a t e r e s p o n s e s a n d s o m e w e r e v o c a l i z a t i o n s o f h e r f e e l i n g s . I t a k e u p t h i s a s p e c t o f h e r d i s c o u r s e i n c h a p t e r 4 . T e r i l i k e d o t h e r s a n d s o c i a l i z e d f r e e l y . S h e w a s n o t a l e a d e r , s e e m i n g l y p r e f e r r i n g t o p a r t i c i p a t e i n b o t h s o c i a l a n d m a t h e m a t i c a l a c t i v i t i e s r a t h e r t h a n o v e r t l y l e a d o r s h a p e t h e m . U n l i k e B e r t , T e r i d i d n o t a c t t o w a r d m e a s a n e q u a l i n t h e c o n v e r s a t i o n . S h e f r e q u e n t l y l o o k e d f o r m y a p p r o v a l o r v a l i d a t i o n o f h e r w o r k . N o r w a s s h e c o n f i d e n t i n h e r u n d e r s t a n d i n g o r a b i l i t y . S h e o f t e n a v o w e d a l a c k o f k n o w l e d g e o r u n d e r s t a n d i n g . B e r t s e e m e d t o v i e w t h i s a s a t e m p o r a r y s t a t e , a t e n t a t i v e n e s s o f h i s e x t a n t k n o w l e d g e , a l l t h e w h i l e a s s u m i n g u n d e r s t a n d i n g w o u l d c o m e w i t h t i m e a n d e f f o r t . T e r i s e e m e d t o h o l d a v i e w t h a t k n o w l e d g e w a s o n o r o f f - s h e e i t h e r k n e w o r n o t . S h e s e e m e d t o h o l d s o m e e x p e c t a t i o n o f c o m i n g t o k n o w n e w t h i n g s . I f s h e d i d n o t u n d e r s t a n d , s h e a p p e a r e d t o h o l d l i t t l e e x p e c t a t i o n o f b e i n g a b l e t o d o s o i n t i m e . T e r i s e e m e d t o h a v e r e c o n c i l e d h e r s e l f t o b e i n g n o t a s s m a r t i n m a t h e m a t i c s a s m a n y o f h e r p e e r s . R a t h e r t h a n b e i n g u p s e t b y t h i s , s h e s e e m e d 1 2 4 t o a c c e p t i t a s f a c t . H e r n e g a t i v e s e l f - c o m p a r i s o n w a s e x e m p l i fi e d , i f n o t r o o t e d , i n h e r e x p e r i e n c e o f c o n f u s i o n d u r i n g o t h e r s ’ d i s c u s s i o n s o f m a t h e m a t i c a l a b s t r a c t i o n s a n d g e n e r a l i z a t i o n s . S h e m a y h a v e p e r c e i v e d t h e s e d i s c u s s i o n s a s t a n g e n t s f r o m t h e p a r t i c u l a r p r o b l e m a s s i g n e d . T h e d i s c u s s i o n o f t h e p a i r o f p r o b l e m s , 4 6 - 2 8 a n d 2 8 - 4 6 , o f f e r s a n e x a m p l e o f h e r r e a c t i o n t o s u c h d i s c u s s i o n s . Y e t w h e n I p r e s e n t e d h e r w i t h a n a l t e r n a t e s o l u t i o n t o t h e C a n d y B a r p r o b l e m ( s e e d e s c r i p t i o n b e l o w ) , a s o l u t i o n q u i t e d i f f e r e n t f r o m h e r s , “ T e r i w a s a b l e t o m a k e a r e a s o n a b l e a r g u m e n t f o r u s i n g t h e r e p r e s e n t a t i o n t o s o l v e t h e p r o b l e m . O v e r a l l , T e r i g a v e t h e i m p r e s s i o n o f a c h i l d w h o a c c e p t e d h e r s e l f - p e r c e i v e d l i m i t a t i o n s - l i r n i t a t i o n s t h a t d i d n o t e x a c t l y f i t w i t h h e r a b i l i t y t o d o m a t h e m a t i c s i n t h e i n t e r v i e w s — w i t h o u t f a n f a r e . I n o w t u r n t o a d e s c r i p t i o n o f T e r i s o l v i n g p r o b l e m s . T w o E x a m p l e s o f D o i n g M a t h e m a t i c s W h i l e t h e t w o e x a m p l e s I p r e s e n t a r e q u i t e d i f f e r e n t s o r t s o f p r o b l e m s - o n e c o n t e x t u a l , o n e a b s t r a c t — t h e i m a g e o f T e r i a s a d o e r O f m a t h e m a t i c s i s c o n s i s t e n t a c r o s s t h e m . T e r i w a s m o s t l y s u c c e s s f u l i n d o i n g t h e m a t h e m a t i c s t h r o u g h o u t t h e i n t e r v i e w s . S h e w o r k e d o n t h e s e , a s o n t h e o t h e r i n t e r v i e w t a s k s , a l m o s t e x c l u s i v e l y i n t h e a b s t r a c t . S h e e x p r e s s e d n o c o n n e c t i o n s w i t h r e a l w o r l d c o n t e x t s a n d s e l d o m s h o w e d e v i d e n c e o f c o n n e c t i n g w i t h o t h e r m a t h e m a t i c a l o b j e c t s , c o n c e p t s , o r e x p e r i e n c e s . S h e s h o w e d l i t t l e s e l f - c o n fi d e n c e i n h e r w o r k o r a n s w e r s . W h i l e s h e h a d g o o d " i n t u i t i o n s ” a b o u t h o w t o a p p r o a c h t a s k s , s h e e i t h e r c o u l d n o t o r c h o s e n o t t o a r t i c u l a t e h e r r e a s o n i n g b e h i n d t h e s e c h o i c e s . S h e s e e m e d t o v i e w k n o w l e d g e a s e i t h e r ” o n " o r ” o f f . ” T h a t i s , s h e w o u l d e i t h e r “ W e l l , i t w a s n o t l i k e h e r s i n t h a t i t w a s m e r e l y a l i s t o f n u m b e r s ; t h e r e w e r e n o p i c t o r i a l r e p r e s e n t a t i o n s a n d n o r e f e r e n c e t o t h e c h i l d r e n . 1 2 5 s a y " I g o t i t ” o r ” I d o n ’ t g e t i t . ” T h u s , s h e o f t e n e x p r e s s e d l a c k o f k n o w l e d g e b u t , u n l i k e B e r t , s e e m e d t o h a v e l i t t l e s e n s e o f p a r t i a l u n d e r s t a n d i n g , t e n t a t i v e n e s s o f u n d e r s t a n d i n g , o r m o v e m e n t t o w a r d u n d e r s t a n d i n g . S h e d i d n o t u s e m e t a p h o r s o r a n a l o g i e s t o g e t a t m a t h e m a t i c s t h a t s h e p a r t i a l l y u n d e r s t o o d . T h i s d e s c r i p t i o n a p p l i e s t o T e r i ’ s w o r k o n b o t h t h e c o n t e x t u a l p r o b l e m - t h e C a n d y B a r p r o b l e m — a n d t h e m o r e a b s t r a c t o n e — t h e O p e r a t i o n s t a s k s . I t u r n f i r s t t o a d e s c r i p t i o n o f t h e f o r m e r . W I n n a r r a t i n g t h e C a n d y B a r p r o b l e m , a s I c a m e t o t h e l i n e , ” S o , I g o t t h e m a b o x O f c a n d y b a r s t h a t h a d 3 0 c a n d y b a r s i n i t . N o w . . . " , I n o t i c e d T e r i ’ s e y e b r o w s g o u p a n d h e r e y e s w i d e n . I d r e w o u t ” N o w ” a n d t h e n p a u s e d , a l l o w i n g t i m e b o t h f o r h e r a p p a r e n t t h i n k i n g a n d f o r m y d e c i s i o n a b o u t h o w t o r e a c t . W i t h i n t w o o r t h r e e s e c o n d s T e r i h a d c l e a r l y w i t h d r a w n h e r a t t e n t i o n f r o m m e . S h e a p p e a r e d t o b e c o n c e n t r a t i n g w h i l e m a n i p u l a t i n g t h e fi n g e r s o n h e r r i g h t h a n d . W h e n I a s k e d w h a t s h e w a s d o i n g , s h e r e s p o n d e d , " 1 3 0 [ p a u s e ] c a n d y b a r s . ” I a s k e d w h a t s h e m e a n t . S h e t o l d m e t h a t I h a d " 1 3 0 c a n d y b a r s a l t o g e t h e r . " W h e n I s t i l l e x p r e s s e d u n c e r t a i n t y , T e r i a s k e d , ” U m . . . y o u h a d f o u r b o x e s o f c a n d y b a r s , r i g h t ? " B e f o r e I c o u l d r e s p o n d , s h e c o n t i n u e d , e x p l a i n i n g t h a t e a c h c h i l d r e c e i v e d 3 0 b a r s a n d s h o w i n g h e r c o m p u t a t i o n s f r o m t h a t a s s u m p t i o n . S h e u s e d b o t h w o r d s a n d fi n g e r s t o d e m o n s t r a t e : ” 3 0 , 6 0 , 8 0 , 9 0 , 1 0 0 , a n d o n e m o r e k i d , 1 3 0 . ” S e v e r a l a s p e c t s o f t h i s e p i s o d e a r e i m p o r t a n t t o t h i s s t u d y . F i r s t , T e r i o b v i o u s l y m a d e a p r o j e c t i o n a b o u t t h e n a t u r e o f t h e p r o b l e m . A s I n a r r a t e d t h e s t o r y , s h e m u s t h a v e b e e n a n a l y z i n g i t , c o m p a r i n g i t w i t h p r i o r e x p e r i e n c e , a n d c o n c l u d i n g t h a t I h a d g i v e n e a c h c h i l d a b o x a n d w o u l d a s k h e r t o c o m p u t e t h e 1 2 6 t o t a l n u m b e r o f b a r s . W h i l e s h e w a s w o n t t o l o o k a h e a d m a t h e m a t i c a l l y i n t h i s f a s h i o n d u r i n g t h e i n t e r v i e w s , T e r i d i d n o t s h a r e B e r t ’ s p r o c l i v i t y f o r e x p e c t i n g m y q u e s t i o n s a b o u t d e c i s i o n - m a k i n g o r a b o u t m e a n i n g s o f w o r d s . H e r p r o j e c t i o n s w e r e a b o u t t h e s u b s t a n c e o f t h e t a s k , n o t t h e p r o c e s s . A s e c o n d a s p e c t w o r t h n o t i n g i s t h a t t h e t h i r d b o x w a s t h e o n l y o n e t h a t s h e a p p a r e n t l y f e l t s h e n e e d e d t o c o u n t b y t e n s ; f o r t h e o t h e r s , s h e a d d e d t h e 3 0 d i r e c t l y . T h i r d , i n c o u n t i n g o n f r o m 6 0 b y t e n , s h e m i s s e d 7 0 ; s h e a d d e d t e n t o 6 0 a n d g o t 8 0 . F i n a l l y , s h e i n i t i a l l y d e t e r m i n e d t h e t o t a l n u m b e r o f b a r s b y c o m p u t i n g i n h e r h e a d w h i l e u s i n g h e r f i n g e r s t o d o s o m e r e c o r d i n g . T h i s i s e v i d e n t b e c a u s e s h e g a v e a n a n s w e r O f 1 3 0 b a r s a f t e r p h y s i c a l a c t i o n s t h a t c o n s i s t e d s o l e l y o f s h o w i n g o n e , t w o , t h e n t h r e e fi n g e r s o n h e r r i g h t h a n d a n d s a y i n g h e r a n s w e r . W h e n I a s k e d h o w s h e h a d g o t t e n 1 3 0 , T e r i d i d n o t s a y " T h i s i s w h a t I d i d ” ; r a t h e r , s h e p r e s e n t e d a s o m e w h a t m o r e a r t i c u l a t e d - a m o r e p h y s i c a l l y d e m o n s t r a t i v e - v e r s i o n o f t h e r e p r e s e n t a t i o n . S h e : ( a ) a d d e d 3 0 a n d 3 0 w h i l e k e e p i n g t r a c k o f t h e t w o b o x e s ( 3 0 5 ) w i t h h e r l e f t h a n d f i n g e r s , ( b ) a d d e d 3 0 m o r e b y c o u n t i n g o n b y t e n s u s i n g h e r r i g h t h a n d f i n g e r s a n d i n c r e m e n t i n g t h e l e f t h a n d b y o n e , ( c ) a d d e d 3 0 t o t h e 1 0 0 u s i n g m e n t a l a d d i t i o n a n d i n c r e m e n t i n g t h e l e f t h a n d , a n d ( d ) s h o w e d f o u r f i n g e r s t o i n d i c a t e s h e h a d c o u n t e d a l l f o u r b o x e s . T h u s , i n t h e s e c o n d v e r s i o n s h e p h y s i c a l l y r e c o r d e d t h e n u m b e r o f b o x e s w i t h h e r l e f t h a n d - s o m e t h i n g s h e m u s t h a v e d o n e m e n t a l l y i n h e r o r i g i n a l s o l u t i o n . O r i g i n a l l y , t h e o n l y p h y s i c a l m a n i f e s t a t i o n o f h e r m e n t a l w o r k w a s t h e s e q u e n t i a l e x t e n s i o n O f t h e t h r e e fi n g e r s o f h e r r i g h t h a n d w h i c h r e c o r d e d t h e t h r e e t e n s o f t h e t h i r d b o x . T h r o u g h o u t t h i s p r e l i m i n a r y s o l u t i o n , w i t h t h e e x c e p t i o n o f s a y i n g , " a n d o n e m o r e k i d , ” T e r i m a d e m e n t i o n o f b a r s , c h i l d r e n , o r b o x e s o n l y i n v e r i f y i n g t h e e l e m e n t s o f t h e p r o b l e m a n d i n p r o v i d i n g t h e a n s w e r . O f c o u r s e , w e c a n n o t 1 2 7 k n o w h o w s h e w a s t h i n k i n g a s s h e c o u n t e d s i l e n t l y . T h e s o l u t i o n T e r i p r e s e n t e d w a s a m i x t u r e o f a b s t r a c t c o m p u t a t i o n a l a c t i o n s . S h e m o s t l y r e p l i c a t e d h e r i n i t i a l s o l u t i o n r a t h e r t h a n p r e s e n t i n g a c o m p l e t e l y d i f f e r e n t o n e a s t h e c h i l d r e n o f t e n d i d . T h a t i s , w i t h t h e e x c e p t i o n O f r e c o r d i n g t h e n u m b e r o f b o x e s o f b a r s o n h e r l e f t h a n d , s h e a p p e a r e d t o h a v e f a i t h f u l l y r e — p r e s e n t e d h e r o r i g i n a l s o l u t i o n . T h i s s o l u t i o n m a d e l i t t l e r e f e r e n c e t o c o n t e x t . W i t h o u t e v a l u a t i n g h e r s o l u t i o n , I c l a r i fi e d m y i n t e n t f o r t h e p r o b l e m s a y i n g , ” A h , I s e e w h a t y o u d i d . B u t a c t u a l l y , t h a t ’ s n o t w h a t h a p p e n e d . ” T e r i s e e m e d a b a s h e d a t t h i s b u t w h e n I w e n t o n , ” B e c a u s e I g o t o n e b o x f o r a l l f o u r o f t h e m t o s p l i t , ” h e r f a c e b r i g h t e n e d . S h e s e e m e d t o r e a l i z e t h a t I w a s n o t p o i n t i n g o u t a n ” e r r o r " i n h e r m a t h e m a t i c s b u t i n h e r i n t e r p r e t a t i o n o f t h e p r o b l e m . O n c e m y i n t e n d e d q u e s t i o n w a s p o s e d , T e r i r e s p o n d e d w i t h a h u m m e d , ” I d o n ’ t k n o w ” b u t , w i t h v i r t u a l l y n o p a u s e , s t a r t e d d r a w i n g c i r c l e s , c o u n t i n g a s s h e d i d s o . S h e s p o r a d i c a l l y w h i s p e r e d , q u i e t l y k e e p i n g t r a c k o f h o w m a n y c i r c l e s s h e h a d d r a w n . A f t e r s h e h a d t h r e e r o w s o f t e n c i r c l e s ( F i g u r e 1 2 ) , T e r i d r e w f o u r ” s m i l e y f a c e s ” s a y i n g , ” O n e k i d , t w o k i d , t h r e e k i d , f o u r k i d ” a s s h e d i d s o . S h e c o u n t e d t h e n u m b e r o f r o w s o f c i r c l e s , s a i d ” P o o e y , ” a n d t h e n , w i t h o u t h e s i t a t i o n , s a i d " s i x ” a n d d r e w a v e r t i c a l l i n e i s o l a t i n g t h e l e f t t w o c o l u m n s o f t h r e e c i r c l e s e a c h ( F i g u r e 1 2 ) . W h e n I a s k e d , T e r i r e s p o n d e d t h a t s h e h a d s a i d " P o o e y ” b e c a u s e , " I f o u n d i t w a s f o u r k i d s [ b u t ] , i f i t w a s t h r e e , ” s h e c o u l d h a v e p u t a l i n e b e t w e e n e a c h p a i r o f r o w s a n d t h e p r o b l e m w o u l d e s s e n t i a l l y b e s o l v e d . H e r c h o i c e o f t h e w o r d " f o u n d ” a r g u e s t h a t s h e , l i k e B e r t , d i d n o t m o n i t o r t h e f u n c t i o n a l i t y o f h e r r e p r e s e n t a t i o n a s s h e p l a n n e d o r c o n s t r u c t e d i t . T h a t i s , s h e f o l l o w e d a p l a n f o r i n s t a n t i a t i n g t h e d a t a . T h a t s h e m o n i t o r e d t h e c o r r e l a t i o n b e t w e e n i n s t a n t i a t i o n a n d p l a n i s e v i d e n t b y h e r 1 2 8 c o u n t i n g a n d w h i s p e r e d k e e p i n g t r a c k . O n c e c r e a t e d , s h e c o m p a r e d h e r r e p r e s e n t a t i o n o f t h e d a t a w i t h t h e s t a t e m e n t o f w h a t t o d o w i t h i t . A s s h e d i d s o , s h e n o t e d h o w o n e d i f f e r e n t d a t u m — t h r e e c h i l d r e n i n s t e a d o f f o u r — w o u l d h a v e s i m p l i f i e d t h e p r o b l e m . 0 O O O O O 0 0 0 0 0 O O o O O 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 o O O O O O O O F i g u r e 1 2 : T e r i ' s f i r s t r e p r e s e n t a t i o n A f t e r d r a w i n g o n e v e r t i c a l l i n e , T e r i n o t e d t h a t i t w o u l d b e h a r d t o c o n t i n u e p a r t i t i o n i n g c i r c l e s i n g r o u p s o f s i x b e c a u s e h e r r o w s o f c i r c l e s d i d n o t l i n e u p w e l l a s c o l u m n s . T h i s i s a n e x a m p l e o f m o n i t o r i n g t h e u s e f u l n e s s o f t h e r e p r e s e n t a t i o n f o r t h i s p r o b l e m . S h e d e c i d e d t h i s w a s a s a t i s f a c t o r y p l a n b u t o n e s h e c o u l d n o t c a r r y o u t w i t h t h e r e p r e s e n t a t i o n a s d r a w n . M W T e r i s t a r t e d a n e w d r a w i n g , w r i t i n g ” c a n d y b a r s 3 0 ” a n d " 4 k i d s ” f u r t h e r d o w n t h e s a m e s h e e t o f p a p e r ( F i g u r e 1 3 ) . S h e a g a i n d r e w 3 0 c i r c l e s b u t t h i s t i m e s h o w e d c a r e f o r h e r i n t e n d e d u s e : s h e d r e w t h e m a s a d j a c e n t c o l u m n s o f t h r e e i n s t e a d o f a s r o w s o f 1 0 . T h e r e s u l t i n g fi g u r e w a s t h e ” s a m e " - t h r e e r o w s o f 1 0 c i r c l e s — e x c e p t t h a t n o w t h e c i r c l e s w e r e e a s i l y p a r t i t i o n a b l e i n t o g r o u p s o f s i x b y d r a w i n g a v e r t i c a l l i n e b e t w e e n a l t e r n a t e p a i r s o f c o l u m n s . T e r i d r e w f o u r n e w s m i l e y f a c e s a n d t h e n d i v i d e d t h e c i r c l e s i n t o g r o u p s o f s i x . W h e n I a s k e d w h y s h e h a d d o n e t h i s , s h e s a i d s h e w a s n o t d o n e b u t t h a t " e a c h k i d g e t s a t l e a s t s i x . ” 1 2 9 S h e t h e n c o n n e c t e d e a c h O f t h e l e f t m o s t f o u r g r o u p s o f s i x t o o n e o f t h e s m i l e y f a c e s . T e r i d i s t r i b u t e d f o u r o f t h e r e m a i n i n g s i x c i r c l e s c o n n e c t i n g t h e m v i a l i n e s t o i n d i v i d u a l f a c e s , s a y i n g a s s h e d i d s o , ” T h i s o n e g e t s o n e . ” S h e n o t e d t h e r e w e r e t w o b a r s l e f t , r e - d r e w t h e m a s l a r g e r c i r c l e s , h a l v e d e a c h w i t h a h o r i z o n t a l l i n e , a n d d i s t r i b u t e d a h a l f t o e a c h f a c e ( F i g u r e 1 3 ) . W h e n I a s k e d h o w m a n y e a c h c h i l d r e c e i v e d , T e r i s a i d , " e i g h t a n d a h a l f " w i t h o u t p a u s e o r e v i d e n t w o r k t o d e t e r m i n e t h i s . W h e n I a s k e d h o w s h e d e c i d e d t h e a n s w e r w a s e i g h t a n d a h a l f , s h e s e l e c t e d a n u n u s e d a r e a o f t h e p a p e r a n d d r e w c i r c l e s d e m o n s t r a t i n g w h a t o n e p a r a d i g m a t i c c h i l d r e c e i v e d i d e n t i f y i n g t h e s o u r c e a s s h e d i d s o ( F i g u r e 1 4 ) . S h e s a i d e a c h c h i l d r e c e i v e d : s i x ( f r o m t h e l e f t - h a n d f o u r g r o u p s o f s i x ) ; t w o ( f r o m t h e f o u r c i r c l e s d i s t r i b u t e d a s w h o l e s o u t o f t h e r i g h t - h a n d g r o u p o f s i x ) ; a n d a h a l f ( w i t h o u t e x p l i c i t l y i d e n t i f y i n g i t s s o u r c e ) . T e r i c o u n t e d ” s i x , s e v e n , e i g h t , a n d a h a l f . " T h u s , s h e s h o w e d t h e p a r a d i g m a t i c c h i l d a s g e t t i n g t w o a n d a h a l f b a r s f r o m t h e fi f t h g r o u p o f s i x b a r s . W h e n I s a i d I w a s c o n f u s e d , T e r i e x p l a i n e d t h a t ” e a c h k i d g o t o n e o f t h e s e f o u r a n d . . . e a c h k i d g o t a h a l f . ” I s a i d t h a t i t l o o k e d l i k e i n o n e p l a c e s h e s a i d t h e y e a c h g o t o n e f r o m t h e g r o u p o f f o u r a n d i n a n o t h e r t h a t t h e y g o t t w o . S h e p a u s e d a n d t h e n s a i d , ” O o p s i e s " a n d c h a n g e d h e r a n s w e r t o ” s e v e n a n d a h a l f . ” W h e n I a s k e d i f s h e w a s s u r e , s h e w e n t t h r o u g h t h e c o l l e c t i o n o f q u a n t i t i e s a g a i n a n d r e v i e w e d h e r c o u n t i n g o f s i x , o n e , o n e h a l f . S h e d i d n o t c h e c k w h e t h e r t h e d i s t r i b u t i o n p r o c e s s i t s e l f w a s a c c u r a t e . S h e c o n c l u d e d t h e a n s w e r w a s s e v e n a n d a h a l f . 1 3 0 C a n d y B a r s S O 4 K i d s F i g u r e 1 3 : T e r i ' s s e c o n d r e p r e s e n t a t i o n 1 3 1 T e r i ’ s s o l u t i o n t o t h i s p r o b l e m s w a s c o n c i s e . S h e m a d e p h y s i c a l c o n n e c t i o n s b e t w e e n b a r s a n d c h i l d r e n b u t b e c a u s e o f h e r g r o u p i n g s t r a t e g y , d i d n o t e n c o u n t e r t h e c o n f u s i n g w e l t e r o f l i n e s t h a t B e r t h a d . S h e s h o w e d n o e v i d e n c e o f a n e e d t o c o n f i r m t h a t e a c h c h i l d r e c e i v e d t h e s a m e a m o u n t . N o r d i d s h e r e - e v a l u a t e h e r p r o c e s s o f d i s t r i b u t i o n i n t h e f a c e o f q u e s t i o n i n g . 1 1 1 . 1 5 ] . W h e n I s h o w e d T e r i w h a t I d e s c r i b e d a s a n o t h e r c h i l d ' s s o l u t i o n ( F i g u r e 1 5 ) , s h e s t u d i e d i t b r i e fl y a n d t h e n d e m o n s t r a t e d h o w t h e c o l u m n s o f n u m b e r s i n t h e r e p r e s e n t a t i o n c o u l d ” b e ” t h e b a r s e a c h c h i l d g o t - ” e a c h r o w [ c o l u m n ] h a s s e v e n i n i t " - a n d t h e n t h e 2 9 t h a n d 3 0 t h b a r s w o u l d b e d i v i d e d i n h a l f . T h u s , s h e s a w h o w a n o t h e r m i g h t u s e a d i f f e r e n t r e p r e s e n t a t i o n t h a n s h e h a d a n d t h a t i t w o u l d g i v e t h e s a m e a n s w e r a s s h e h a d g o t t e n . A t t h i s p o i n t I m o v e d i n t o t h e C a n d y C a n e p r o b l e m . S u m m a r y T e r i s o l v e d t h e p r o b l e m i n a f a i r l y a b s t r a c t w a y ; s h e o n l y m e n t i o n e d t h e r e a l w o r l d o b j e c t s i n v e r i f y i n g i t s e l e m e n t s — f o u r c h i l d r e n a n d 3 0 c a n d y b a r s - a n d i n g i v i n g h e r a n s w e r . H e r r e p r e s e n t a t i o n w a s n o t a p i c t o r i a l r e p r e s e n t a t i o n o f t h e s t o r y : s h e u s e d c i r c l e s n o t r e c t a n g l e s t o r e p r e s e n t t h e c a n d y b a r s a n d m a d e n o m e n t i o n o f t h e b o x fi 5 S h e d i d d r a w s m i l e y f a c e s f o r t h e c h i l d r e n , g i g g l i n g a s s h e d i d s o . H o w e v e r s h e m a d e n o d i s t i n c t i o n s a m o n g t h e c h i l d r e n . S h e m a d e c o n n e c t i o n s f r o m e a c h o f t h e t h r e e s i z e s o f g r o u p s o f b a r s ( s i x , o n e , o n e h a l f ) t o a n i n d i v i d u a l c h i l d . S h e t h e n u s e d a n e x e m p l a r c h i l d t o c o m p u t e h o w m a n y b a r s 6 5 W h i l e s o m e c a n d y d o e s c o m e i n c i r c u l a r f o r m — P e p p e r m i n t P a t t i e s c o m e t o m i n d - m o s t c a n d y b a r s c o m e i n r e c t a n g u l a r f o r m ( m o r e p r e c i s e l y , i n a r e c t a n g u l a r p r i s m ) . 1 3 2 e a c h r e c e i v e d . E v e n t h i s l a s t w a s h y p o t h e t i c a l - s h e d i d n o t c o u n t h o w m a n y a p a r t i c u l a r ” k i d ” r e c e i v e d b u t g a t h e r e d b a r s ( o v o i d o b j e c t s l a r g e r t h a n h e r o r i g i n a l b a r s ) a s r e p r e s e n t a t i v e s o f e a c h g r o u p i n a s e p a r a t e l o c a t i o n . H e r c r e a t i o n o f f a c e s r a t h e r t h a n m e r e l y c i r c l e s s e e m s m o r e s o m e t h i n g s h e f o u n d f u n t o d r a w t h a n a c o n n e c t i o n w i t h t h e r e a l w o r l d t h a t s h e e n v i s i o n e d a s s u p p o r t i n g h e r w o r k . S h e w a s a l s o a b l e t o d e m o n s t r a t e a w a y t h a t t h e e v e n m o r e a b s t r a c t r e p r e s e n t a t i o n o f t h e h y p o t h e t i c a l s o l u t i o n c o u l d b e u s e d t o s o l v e t h e p r o b l e m . O f c o u r s e , t h i s w a s a f t e r h a v i n g w i s h e d s h e c o u l d s o l v e t h e p r o b l e m i n a s i m i l a r w a y — h a d h e r n u m b e r o f r o w s o f c i r c l e s m a t c h e d t h e n u m b e r o f " k i d s . ” S h e s a i d , ” P o o e y ” t o e x p r e s s d i s a p p o i n t m e n t i n d i s c o v e r i n g t h e d i s p a r i t y b e t w e e n t h e n u m b e r o f r o w s i n h e r r e p r e s e n t a t i o n a n d t h e n u m b e r o f c h i l d r e n b u t m a d e n o u s e o f t h i s r e c o g n i t i o n i n c r e a t i n g a s e c o n d r e p r e s e n t a t i o n ; s h e a g a i n d r e w t h r e e r o w s o f c i r c l e s . I t u r n n o w t o a d e s c r i p t i o n o f T e r i ’ s w o r k o n t h e O p e r a t i o n s t a s k s . W I n t h e O p e r a t i o n s t a s k s , T e r i a s s e r t e d t h a t s h e d i d n o t k n o w h o w t o d o ” t a k e a w a y . ” I c o n t r a d i c t e d t h i s s a y i n g s h e h a d d o n e ” t a k e a w a y ” e a r l i e r . H e r r e s p o n s e w a s : T h a t ’ s c a u s e I d i d t h e l i t t l e l i n e s t h i n g s . 6 6 W h a t ’ s w r o n g w i t h t h a t ? C a u s e t h a t ’ s t h e o n l y w a y I f i g u r e d o u t t h e a n s w e r . W e l l , t h a t ’ s o k a y , I d i d n ’ t s a y y o u c o u l d n ’ t d o t h a t . I d o n ’ t k n o w h o w t o t a k e a w a y . ( T , I 2 , p . 1 0 ) “ I n t h e E a s t e r E g g p r o b l e m ( A p p e n d i x B ) , s h e h a d d r a w n 3 6 t a l l i e s a n d t h e n s u b t r a c t e d b y c r o s s i n g t h e a p p r o p r i a t e n u m b e r o f f . 1 3 3 G O O 0 0 0 0 0 U F i g u r e 1 4 : T e r i ’ s s o l u t i o n f o r p a r a d i g m a t i c c h i l d . 9 1 0 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 1 7 1 8 1 0 2 0 2 1 2 2 2 3 2 4 2 5 2 6 2 7 2 8 2 9 , 3 0 7 ; — c a n d y b a r s e a c h F i g u r e 1 5 : H y p o t h e t i c a l s o l u t i o n s h o w n T e r i . 1 3 4 T h u s , s h e e s s e n t i a l l y a g r e e d t h a t s h e h a d d o n e ” t a k e a w a y s ” b u t d e n i e d h e r a b i l i t y t o d o s o i n t h i s t a s k b y d i s c o u n t i n g t h e p r o c e s s s h e h a d u s e d i n t h e e a r l i e r t a s k . W h e n I v a l i d a t e d t h a t p r o c e s s , s h e r e v e r t e d t o s a y i n g t h a t s h e d i d n o t k n o w h o w t o s u b t r a c t . H o w e v e r , g i v e n t h e s e t s o f n u m b e r s s h e s p o n t a n e o u s l y o f f e r e d t o u s e i n t h e t a s k u f i r s t , 1 0 0 , 2 0 0 , 3 0 0 , 4 0 0 , a n d t h e n , 1 9 0 , 2 9 0 , 3 9 0 , 4 9 0 — i t m a y b e t h a t s h e e x p e c t e d s u b t r a c t i o n o n t h i s s c a l e a n d w a s n o t e a g e r t o u s e t a l l i e s f o r s u c h l a r g e n u m b e r s . T h i s s e e m s a r e a s o n a b l e i n t e r p r e t a t i o n a s , w h e n I g a v e h e r t h e n u m b e r s o f t h e t a s k , t w o , t h r e e , f o u r , a n d f i v e , s h e a l m o s t i m m e d i a t e l y i n s e r t e d t h e m i n p o s i t i o n s t h a t r e s u l t e d i n t h e l a r g e s t o u t c o m e . T h u s , e x p e c t i n g l a r g e n u m b e r s , T e r i h a d a g a i n b e e n p r o j e c t i n g w h a t t h e t a s k w o u l d r e q u i r e o f h e r . S h e f i l l e d t h e l a s t t w o p o s i t i o n s w i t h fi v e a n d o n e 6 7 a n d t h e n p u t f o u r a n d t h r e e i n t h e fi r s t t w o p o s i t i o n s . ( F i g u r e 1 6 s h o w s h e r p l a c e m e n t s a n d t h e o r d e r i n w h i c h s h e w r o t e t h e m . ) W h e n I a s k e d h o w s h e h a d d e c i d e d t o p o s i t i o n t h e n u m b e r s a s s h e h a d , T e r i r e s p o n d e d b y d o i n g t h e c o m p u t a t i o n s : " C a u s e fi v e m i n u s o n e e q u a l s f o u r . T h r e e m i n u s . . . [ s t o p p i n g a n d s t a r t i n g t h e s e c o n d s u b t r a c t i o n o v e r ] f o u r m i n u s t h r e e e q u a l s o n e . ” S h e c o n c l u d e d t h e a n s w e r w a s ” F o u r t e e n " T h i s r e s u l t e d f r o m h e r j u x t a p o s i n g t h e a n s w e r s t o t h e t w o s u b t r a c t i o n p r o b l e m s r a t h e r t h a n s u m m i n g t h e m . T h a t i s , s h e h a d w r i t t e n ” 1 ” a n d ” 4 " o v e r e a c h s u b t r a c t i o n b u t d i d n o t i n c l u d e a n i n t e r m e d i a t e ” + " ( F i g u r e 1 7 ) . 6 8 6 7 ' I ‘ e r i l a t e r n o t i c e d t h a t s h e h a d s u b s t i t u t e d " 1 ” f o r ” 2 ” a n d i n s i s t e d o n c o r r e c t i n g t h i s e v e n t h o u g h I s a i d i t w a s o k a y ( s i n c e m a t h e m a t i c a l l y , t h e s u b s t i t u t i o n h a d n o i n fl u e n c e o n p l a c e m e n t ) . ‘ 3 O f c o u r s e , d o i n g e a c h s u b t r a c t i o n p r o b l e m f i r s t v i o l a t e s o r d e r O f o p e r a t i o n s . 1 3 5 l Z l - E + E - l l l t h i r d f o u r t h fi r s t s e c o n d F i g u r e 1 6 : T h e fi r s t O p e r a t i o n s t a s k , fi n d i n g t h e l a r g e s t o u t c o m e . 4 1 Z l - E M E - E ] t h i r d f o u r t h fi r s t s e c o n d F i g u r e 1 7 : T h e f i r s t t a s k w i t h t h e t w o s u b t r a c t i o n p r o b l e m s r e c o r d e d . E N E - [ E N E ] fi r s t s e c o n d t h i r d f o u r t h F i g u r e 1 8 : F i n d i n g t h e l a r g e s t o u t c o m e . E + Z l - E I + E I t h i r d fi r s t s e c o n d f o u r t h F i g u r e 1 9 : F i n d i n g t h e s m a l l e s t O u t c o m e . [ E l - D U B F i g u r e 2 0 : F i n d i n g t h e s m a l l e s t o u t c o m e . 1 3 6 W h e n I r e p e a t e d m y q u e r y a b o u t h o w s h e d e c i d e d w h e r e t o p u t t h e n u m b e r s , T e r i r e s p o n d e d , ” I w a n t e d t o p u t t h e f o u r t h e r e , I g o t m i x e d u p . I d o n ’ t k n o w , [ p a u s e ] I j u s t t h o u g h t o f s o m e t h i n g I c o u l d p u t i n t h e r e t h a t l o o k e d r i g h t . ” W h e n I a s k e d w h y i t ” l o o k e d r i g h t , ” s h e b e c a m e m o r e u n c o m f o r t a b l e a n d s a i d , ” I t j u s t d i d ! ” I t h e n g a v e h e r t h e n e x t s l i p w h i c h h a d t h e o p e r a t i o n s r e v e r s e d . T e r i a g a i n q u i c k l y f i l l e d i n t h e p o s i t i o n s i n a w a y t h a t r e s u l t e d i n t h e l a r g e s t o u t c o m e ( F i g u r e 1 8 ) . T e r i a g a i n e x p l a i n e d h e r r e a s o n i n g b y d o i n g t h e a r i t h m e t i c ( a l b e i t w i t h s o m e t r o u b l e s r e l a t e d t o t h e ” 2 ” b e i n g b o t h a d d e d a n d s u b t r a c t e d ) . W h e n p u s h e d o n h e r d e c i s i o n - m a k i n g r e g a r d i n g t h e o r d e r o f n u m b e r s , s h e m e e k l y o f f e r e d t h a t i t w a s b e c a u s e t h e fi r s t p a i r s o f a d d e n d s , 5 + 4 , ” e q u a l e d a n i n e - t h a t ’ s a b i g n u m b e r ” a n d t h e s e c o n d p a i r , 2 + 3 , ” e q u a l e d fi v e . " I n b o t h fi n d i n g t h e l a r g e s t o u t c o m e t a s k s , T e r i q u i c k l y p r o d u c e d a c o r r e c t s o l u t i o n . H o w e v e r , s h e e i t h e r c o u l d n o t s u p p l y h e r r e a s o n i n g , d i d n o t f e e l h e r r e a s o n i n g w a s v a l i d , o r d i d n o t f e e l h e r r e a s o n i n g w a s w o r t h e x p r e s s i n g . T h i s s u g g e s t s t h a t , w h i l e s h e w a s q u i t e a d e p t a t t h e m a t h e m a t i c s o f t h e t a s k , s h e l a c k e d s e l f - c o n f i d e n c e i n h e r r e a s o n i n g a n d w o r k . 6 9 T h i s a l s o s u g g e s t s w h y h e r " m i n d w a n d e r e d " w h e n o t h e r s e x p l a i n e d t h e i r r e a s o n i n g . U n a b l e t o e x p l a i n h e r o w n i n t u i t i v e t h i n k i n g , T e r i m a y h a v e b e e n c h a g r i n e d b y o t h e r s ’ a b i l i t y t o e x p r e s s t h e i r s . W h e n w e s w i t c h e d t o l o o k i n g f o r t h e s m a l l e s t o u t c o m e , h e r fi r s t r e a c t i o n w a s , ” T h a t ’ s m e a n . ” H o w e v e r , w h e n I s a i d s h e d i d n o t h a v e t o a c t u a l l y c o m p u t e t h e a n s w e r , s h e s t a r t e d i n a n d q u i c k l y s a i d , " I g o t i t , g o t i t , g o t i t . " P a u s i n g a f t e r 5 9 I d i d n o t p u r s u e h o w s h e d e c i d e d t h i s w a s t h e l a r g e s t p o s s i b l e o u t c o m e o r w h e t h e r o t h e r s o l u t i o n s m i g h t a l s o p r o v i d e t h e s a m e s o l u t i o n b e c a u s e o f h e r a p p a r e n t f r u s t r a t i o n i n a n s w e r i n g t h e q u e s t i o n s I d i d a s k . 1 3 7 e a c h n u m b e r , s h e fi l l e d i n t h e p o s i t i o n s i n a w a y t h a t w o u l d y i e l d t h e s m a l l e s t o u t c o m e ( F i g u r e 1 9 ) . A f t e r i n s e r t i n g t h e 2 a n d 5 , s h e s a i d , ” T w o m i n u s f i v e [ p a u s e ] , y e a h , t h a t ’ s a l i t t l e n u m b e r , l i t t l e , l i t t l e . ” F e a r f u l t h a t I w o u l d f r u s t r a t e h e r a s b e f o r e , I d i d n o t p u r s u e w h y s h e h a d o r d e r e d t h e n u m b e r s a s s h e h a d . W h e n I b r o u g h t o u t t h e f i n a l t a s k o f t h i s s e t ( F i g u r e 2 0 ) , T e r i a g a i n s a i d s h e d i d n o t k n o w h o w t o d o ” t a k e a w a y s . ” S h e t h e n b e g a n t o w o r k a t t h e t a s k s a y i n g : U m , . . . f i v e m i n u s f o u r p l u s t w o m i n u s t h r e e . N o w , w h y d i d y o u d e c i d e t o d o t h a t ? C a u s e f i v e m i n u s f o u r e q u a l s o n e , [ w r i t i n g t h e n u m b e r s e n t e n c e 5 - 4 = 1 o n s c r a p p a p e r , l o o k i n g b a c k a t t h e s l i p a n d c h a n g i n g t h e o r d e r o n t h e s l i p ] N o w y o u s w i t c h e d t h e t h r e e a n d t h e t w o , w h y ’ d y o u d o t h a t ? [ p a u s e , w r i t i n g o n s c r a p p a p e r ] C a u s e t h r e e d o e s n ’ t h a v e , t w o d o e s n ’ t , t h r e e c a n ’ t t a k e , t h r e e c a n ’ t t a k e t h r e e a w a y f r o m t w o . I d o n ’ t g e t i t , I r e a l l y d o n ’ t g e t i t . ( T , 1 2 , p . 1 4 ) A t f i r s t g l a n c e , T e r i w o u l d s e e m n o t a t a l l s u c c e s s f u l o n t h i s l a s t O p e r a t i o n s t a s k . I f s u b t r a c t i o n w e r e t o o n l y i n c l u d e t a k i n g s m a l l e r n u m b e r s f r o m l a r g e r o n e s ( a n d w e a c c e p t o r d e r o f o p e r a t i o n s a s c o m p u t i n g 5 - 4 , 3 - 2 , f o l l o w e d b y a d d i t i o n o f t h e r e s u l t s ) , t h e n 5 - 4 + 3 - 2 w o u l d b e t h e s m a l l e s t p o s s i b l e o u t c o m e . O n t h e o t h e r h a n d , h e r s o l u t i o n t o t h e t h i r d t a s k i n c l u d e d t a k i n g a l a r g e r n u m b e r f r o m a s m a l l e r a n d h e r f i r s t v e r s i o n o f t h i s f o u r t h t a s k i n c l u d e d 2 - 3 - b o t h o f w h i c h w o u l d h a v e r e s u l t e d i n a n e g a t i v e i n t e g e r h a d s h e c a r r i e d o u t t h e O p e r a t i o n s . H e r a r g u m e n t t h a t ” t h r e e c a n ’ t t a k e t h r e e a w a y f r o m t w o ” s u g g e s t s s h e w a s a t t h e e d g e o f n e g a t i v e i n t e g e r s b u t c h o s e t o s t e p b a c k . Y e t r e c a l l f r o m h e r V i g n e t t e t h a t s h e s o l v e d 2 8 - 4 6 r e s u l t i n g i n a n a n s w e r o f - 1 8 . S h e w a s n o t c o m f o r t a b l e w i t h t h a t a n s w e r - - i n p a r t , t h a t w a s w h y s h e i n t r o d u c e d t h e 1 3 8 p r o b l e m n t h o u g h , s h e c l e a r l y k n e w h o w t o t a k e a l a r g e r f r o m a s m a l l e r i n s o m e c i r c u m s t a n c e s , w i t h s o m e r e p r e s e n t a t i o n s . W h e n s e e k i n g t h e s m a l l e s t o u t c o m e i n t h e O p e r a t i o n s t a s k s , T e r i n o t e d t h a t s h e d i d n o t ” l i k e ” p l u s s i g n s b e c a u s e w i t h ” p l u s s e s ” t h e a n s w e r " w i l l g e t b i g g e r a n d b i g g e r . ” T h i s s u g g e s t s s h e h a d a t l e a s t a n i n c i p i e n t i m a g e o f t h e b i g g e r p i c t u r e o f t h e m a t h e m a t i c s i n v o l v e d i n t h i s t a s k . F u r t h e r , i n t h e f i r s t t h r e e o f t h e t a s k s T e r i f i l l e d i n p o s i t i o n s i n p a i r s . S h e s e e m e d t o l o o k f o r a p a i r o f n u m b e r s t h a t , w h e n p l a c e d o n e i t h e r s i d e o f o n e o f t h e o p e r a t i o n s , w o u l d p r o v i d e a n a p p r o p r i a t e r e s u l t ( a ” l a r g e ” o r " s m a l l ” n u m b e r ) . ( S h e t h e n c o m p u t e d h e r a n s w e r s i n t h e s a m e w a y . ) T h i s o f c o u r s e i s v e r y s i m i l a r t o B e r t ’ s a p p r o a c h , t h o u g h w i t h o u t t h e s y s t e m a t i c s o l u t i o n o f a l l p o s s i b l e s u b t r a c t i o n p r o b l e m s . I n t h e f o u r t h t a s k i t i s n o t c l e a r i f T e r i w a s e n t e r i n g t h e n u m b e r s i n p a i r s . S h e w r o t e t h e m s e q u e n t i a l l y f r o m l e f t t o r i g h t b u t p a u s e d l o n g e r b e f o r e w r i t i n g a n y n u m b e r s t h a n s h e h a d w i t h t h e e a r l i e r o n e s . I t s h o u l d b e n o t e d t h a t , g i v e n h e r m a t h e m a t i c a l b a c k g r o u n d a n d k n o w l e d g e , h e r s w e r e e f fi c i e n t a n d a p p r o p r i a t e s t r a t e g i e s f o r t a c k l i n g t h e t a s k s . S u m m a r y I n b o t h p r o b l e m s , T e r i w a s s u c c e s s f u l i n f i n d i n g a p p r o p r i a t e s o l u t i o n s f o r t h e m o s t p a r t . S h e o p e r a t e d i n a n a b s t r a c t r e a l m i n s o l v i n g b o t h c o n t e x t u a l a n d a b s t r a c t p r o b l e m s . S h e m a d e f e w c o n n e c t i o n s w i t h t h e r e a l w o r l d b u t d i d w o r k i n c o n c e r t w i t h t h e c o n t e x t i n t h e C a n d y B a r p r o b l e m . I n t h a t c a s e , s h e c o n fi r m e d t h e d a t a O f t h e s t o r y a n d p r e s e n t e d a n s w e r s u s i n g s o m e o f t h e n o u n s o f t h e s t o r y - n o t a b l y , ” k i d [ s ] ” - w h i l e g e n e r a l l y e l i d i n g o t h e r s , e . g . , ” c a n d y b a r s . " H e r w o r k s e e m e d m o r e c o n n e c t e d w i t h n u m b e r s t h a n c o n t e x t . S h e u s e d h e r r e p r e s e n t a t i o n s t o o b t a i n a n s w e r s t o t h e s p e c i f i c p r o b l e m s ; s h e s h i e d a w a y f r o m 1 3 9 l e g n a l a r g e l l o v o u t c t h i s p a r h e : g e h a r e T r C C l a r g e r i s s u e s o r m a t h e m a t i c s t h a t m i g h t g r o w f r o m a m o r e g e n e r a l p e r s p e c t i v e . H o w e v e r , h e r b e l i e f t h a t ” p l u s s e s ” w e r e b a d i n t r y i n g t o g e t t h e s m a l l e s t o u t c o m e s u g g e s t s s h e h a d a s e n s e o f t h e b i g g e r p i c t u r e w h i l e s t i l l w o r k i n g o n t h i s p r o b l e m . I n c o n t r a s t w i t h B e r t , m o s t o f h e r l a n g u a g e w a s g e a r e d t o t h e p a r t i c u l a r . S h e m i r r o r e d h i m i n a n a l y z i n g t h e w h o l e o f t h e p r o b l e m . S h e d r e w h e r c i r c l e s i n t h e C a n d y B a r p r o b l e m a n d t h e n n o t e d w h a t m i g h t h a v e b e e n h a d t h e r e b e e n t h r e e c h i l d r e n . S h e n o t e d t h a t ” p l u s s i g n s ” w e r e d e t r i m e n t a l t o g e t t i n g s m a l l n u m b e r s i n t h e s e c o n d p a r t o f t h e O p e r a t i o n s t a s k s . T e r i a v o i d e d h a r d m a t h e m a t i c s b y s a y i n g t h i n g s l i k e , ” I c a n ’ t ” o r ” I d o n ’ t k n o w h o w t o . ” S u m m a r y o f T e r i T e r i ’ s l a c k o f s e l f - c o n f i d e n c e i n h e r a b i l i t y t o d o m a t h e m a t i c s a n d e s p e c i a l l y t o u n d e r s t a n d a b s t r a c t O b j e c t s a n d c o n c e p t s o f m a t h e m a t i c s p e r m e a t e d t h e i n t e r v i e w s . T h i s l a c k o f s e l f - c o n f i d e n c e i n fl u e n c e d t h e r e a s o n i n g i n w h i c h T e r i w a s w i l l i n g t o e n g a g e . I n c o n t r a s t w i t h B e r t , s h e a p p e a r e d t o s h y a w a y f r o m i n v e s t i g a t i o n s o f a b s t r a c t o r m o r e g e n e r a l m a t h e m a t i c a l o b j e c t s a n d c o n c e p t s - s h e s t a y e d t i e d t o p a r t i c u l a r p r o b l e m s w h i l e r e c o g n i z i n g t h e p r e s e n c e O f t h e s e l a r g e r i s s u e s . H e r l a c k o f c o n fi d e n c e a p p e a r e d a l s o t o s h a p e h o w s h e v i e w e d h e r r e a s o n i n g ; s h e a p p e a r e d t o t r e a t h e r r e a s o n i n g a s i n t u i t i o n S h e s e e m e d e i t h e r r e t i c e n t t o t a l k a b o u t h e r t h i n k i n g o r u n a b l e t o a r t i c u l a t e h e r d e c i s i o n - m a k i n g . I t m a y b e t h a t d e c i s i o n - m a k i n g w a s t r a n s p a r e n t f o r h e r , t h a t h e r d e c i s i o n s w e r e s o r a p i d l y t a k e n t h a t s h e c o u l d n o t i d e n t i f y t h e m a s d e c i s i o n s ? o A t t h e s a m e t i m e , T e r i w a s v e r y s u c c e s s f u l i n d o i n g t h e t a s k s I p r e s e n t e d . T h i s h e l d t r u e f o r b o t h c o m p u t a t i o n a l a c t i v i t i e s a n d t h o s e r e q u i r i n g m o r e a n a l y s i s o f t h e s i t u a t i o n S h e 7 0 O n e o f t h e g o a l s o f fi n d i n g t h e b o u n d a r i e s o f t h e i r u n d e r s t a n d i n g a n d d e s i g n i n g t a s k s t h a t e n g a g e d t h e c h i l d r e n a t t h e s e s i t e s w a s t o a v o i d j u s t t h i s s i t u a t i o n . M y p a r t i a l l y p l a n n e d f o u r t h i n t e r v i e w o f T e r i w a s i n t e n d e d t o e x p o s e h e r d e c i s i o n - m a k i n g . 1 4 0 5 9 ‘ s e e m e d t o h a v e s u c h l o w s e l f - c o n f i d e n c e r e l a t i v e t o m a t h e m a t i c s t h a t s h e p u t h e r m a n i f e s t l y v a l i d i n t u i t i o n s O f f a s m e r e g u e s s e s . F o r b o t h B e r t a n d T e r i , d o i n g t h e r e a s o n i n g o f m a t h e m a t i c s w a s t h e t o o l f o r l e a r n i n g ; r e p r e s e n t a t i o n s w e r e t o o l s f o r e n a b l i n g t h e r e a s o n i n g . H o w e v e r , t h e y h e l d s i g n i f i c a n t l y d i f f e r e n t v i e w s o f t h e i r a b i l i t y t o u s e t h e t o o l s . T e r i ’ s f r a m e w a s s i m i l a r t o B e r t ’ s i n s o m e w a y s . S h e t o o s a w m a t h e m a t i c s a s a d i s c i p l i n e s e p a r a t e f r o m t h e r e a l w o r l d . S h e t o o s a w t h e a b s t r a c t i d e a s o r c o n c e p t s u n d e r l y i n g m a t h e m a t i c s a s w h a t w a s i m p o r t a n t . C o n s e q u e n t l y , c o n t e x t s i n w h i c h p r o b l e m s w e r e p r e s e n t e d w e r e m e r e p r e t e x t s f o r s e r v i n g u p t h e r e a l w o r k o f m a t h e m a t i c s . W h a t i s u s e d t o d e v e l o p a n d t o e x p l a i n o n e ’ s u n d e r s t a n d i n g i s a t o o l f o r l e a r n i n g t h e d i s c i p l i n e . I n c o n t r a s t w i t h B e r t , T e r i t e n d e d n o t t o e x p l a i n h e r r e a s o n i n g u n l e s s p r o d d e d t o - a n d t h e n s h e o f t e n s t i l l d e m u r r e d . I t s e e m s t h a t s h e p e r c e i v e d h e r s e l f a s u n a b l e o r w e a k l y a b l e t o u n d e r s t a n d h e r o w n d e c i s i o n - m a k i n g . T e r i w a s n o t a t a l l c o n fi d e n t t h a t s h e c o u l d r e a l l y u n d e r s t a n d t h e c o n c e p t s t h a t s h e b e l i e v e d l a y b e h i n d t h e c o n t e x t s . S h e r e c o g n i z e d t h a t s h e h a d l i m i t e d u n d e r s t a n d i n g o f c o n c e p t s b u t h e l d e q u a l l y l i m i t e d e x p e c t a t i o n o f f l e s h i n g o u t t h a t u n d e r s t a n d i n g . S h e s e e m e d t o b e l i e v e t h a t h e r l a c k o f e x t e n d e d c o n c e n t r a t i o n o n p r o b l e m s — p o s s i b l y c a u s e d b y h e r c o n f u s i o n a t o t h e r s ’ w o r d s - k e p t h e r f r o m b e i n g a m e m b e r o f t h e c l a s s i fi c a t i o n , " g o o d a t m a t h . " T h u s , u n l i k e B e r t , T e r i d i d n o t w o r k a t p u z z l i n g o v e r c o n c e p t s s h e s a w a s p a r t i a l l y u n d e r s t o o d . I n o u r c o n v e r s a t i o n , s h e q u i c k l y c h a n g e d h e r b e l i e f a b o u t w h e t h e r z e r o w a s a n u m b e r r a t h e r t h a n e x p l o r e t h e a p p a r e n t p a r a d o x t h a t a r o s e . I n c o n t r a s t , B e r t s e e m e d t o l o o k f o r s u c h p a r a d o x e s a s s i t e s f o r p o t e n t i a l l e a r n i n g . 1 4 1 T e r i s e e m e d t o e n v i s i o n h e r s e l f a s a s o l v e r o f p r o b l e m s ; o t h e r s w e r e c a p a b l e o f u n d e r s t a n d i n g a b s t r a c t m a t h e m a t i c a l c o n c e p t s a n d o b j e c t s . W h i l e t h i s u n d e r s t a n d i n g w a s t h e " r e a l ” v a l u e o f m a t h e m a t i c s i n T e r i ’ s v i e w , s h e w a s r e s t r i c t e d t o s o l v i n g i n d i v i d u a l p r o b l e m s . S i n c e s h e a p p a r e n t l y v i e w e d k n o w l e d g e a s e i t h e r " o n ” o r ” o f f , " e i t h e r s h e h a d i t o r n o t , T e r i f r e q u e n t l y p l e d , ” I d o n ’ t k n o w . ” I t i s a n o p e n q u e s t i o n w h e t h e r t h i s l e d h e r t o s e l f - c i r c u m s c r i b e w h a t s h e r e a s o n e d a b o u t a n d c o n s e q u e n t l y , h e r p o t e n t i a l l e a r n i n g , o r v i c e v e r s a . D A N I E L L E D a n i e l l e o f f e r s c o n t r a s t s w i t h t h e p r e v i o u s t w o c h i l d r e n . R a t h e r t h a n v i e w i n g m a t h e m a t i c s a s s o m e t h i n g s e p a r a t e f r o m t h e r e a l w o r l d , s h e m a d e e v e r y e f f o r t t o i n t e r t w i n e t h e t w o . S h e u s e d c o n n e c t i o n s w i t h h e r p e r s o n a l a n d c l a s s r o o m l i f e a l o n g w i t h c o n n e c t i o n s w i t h m a t h e m a t i c s t o c r e a t e a w e b t h a t b o u n d m a t h e m a t i c s a n d t h e ” r e a l w o r l d . ” B e r t l i k e d t h e c h a l l e n g e o f d i f fi c u l t m a t h e m a t i c a l c o n c e p t s ; T e r i o p t e d o u t o f e n g a g i n g w i t h t h e m . D a n i e l l e d i s p l a y e d b o t h r e a c t i o n s . S h e l i k e d t h e c h a l l e n g e o f ” t r i c k y ” p r o b l e m s , p r o b l e m s d e s i g n e d b y a m o r e k n o w l e d g e a b l e o t h e r t o l e a d o n e t o c o n c l u d e t h e ” w r o n g t h i n g . ” A t t h e s a m e t i m e , s h e f e n c e d O f f " h a r d ” m a t h e m a t i c s , t h e c o m p l e x m a t h e m a t i c a l c o n c e p t s B e r t f o u n d c h a l l e n g i n g . D a n i e l l e t r e a t e d t h e i n t e r v i e w s a s a c o n v e r s a t i o n i n w h i c h s h e w a s a n e q u a l p a r t n e r . S h e r e s p o n d e d t o m y q u e s t i o n i n g b u t a l s o a s k e d q u e s t i o n s o f m e , i n t e r r u p t e d m y t u r n s , m o c k e d m e ( a n d h e r s e l f ) , a n d o p e n l y a d m i t t e d c o n f u s i o n a n d l a c k o f u n d e r s t a n d i n g . S h e d i s p a r a g e d h e r m a t h e m a t i c a l a b i l i t i e s i n t h e f a c e o f o t h e r s ’ h i g h e r a s s e s s m e n t o f t h e m . O n m o s t o f t h e c o n t e x t u a l i z e d p r o b l e m s I p o s e d , D a n i e l l e ’ s m a t h e m a t i c a l r e a s o n i n g w a s s o u n d . S h e h a d m o r e d i f fi c u l t y w i t h t h e d e - c o n t e x t u a l i z e d p r o b l e m s . 1 4 2 V i g n e t t e A s I w a s g i v i n g m y g e n e r a l i n t r o d u c t i o n t o t h e f i r s t i n t e r v i e w , D a n i e l l e i n t e r r u p t e d m e t w i c e . N o n e o f t h e o t h e r c h i l d r e n i n t e r r u p t e d t h e s e i n t r o d u c t o r y r e m a r k s . T h e y m e r e l y s m i l e d a n d n o d d e d o r s h o o k t h e i r h e a d s a p p r o p r i a t e l y . I w o u l d s o o n c o m e t o e x p e c t i n t e r r u p t i o n s f r o m D a n i e l l e i n a l l c o n t e x t s a n d o f a l l f o r m s . S h e i n t e r r u p t e d a s I p r e s e n t e d t h e p r o b l e m s a n d a s I q u e s t i o n e d h e r . S h e e v e n i n t e r r u p t e d h e r o w n m o n o l o g u e s . H e r i n t e r r u p t i o n s i n c l u d e d : m a k i n g c o n n e c t i o n s t o h e r c l a s s o r h e r p e r s o n a l l i f e , a s k i n g q u e s t i o n s o f m e , a s k i n g q u e s t i o n s a b o u t t h e p r o b l e m s , m a k i n g c o m m e n t s a b o u t t h e m a t h e m a t i c s . H e r i n t e r r u p t i o n s s e e m e d u n c o n t r o l l a b l e ; t h e y s e e m e d a i m e d a t e s t a b l i s h i n g a r e l a t i o n s h i p w i t h m e a n d a c o m f o r t l e v e l w i t h t h e s u b s t a n c e . I n t h e s e f i r s t i n t e r r u p t i o n s , s h e n o t e d t h a t " o t h e r t e a c h e r s ” f r o m a l o c a l U n i v e r s i t y h a d v i s i t e d h e r c l a s s r o o m . W h e n I s a i d I w o u l d a s k h o w s h e t h o u g h t a b o u t m a t h e m a t i c s a n d s t a r t e d e x p l a i n i n g t h a t I w a s m o r e i n t e r e s t e d i n h o w s h e w a s t h i n k i n g t h a n i n ” g e t t i n g t h e r i g h t a n s w e r , ” D a n i e l l e i n t e r r u p t e d , b e g i n n i n g t o a n s w e r , ” W e l l , a t f i r s t I d i d n ’ t r e a l l y l i k e m a t h b e c a u s e . . . ” S i n c e I w a n t e d t o p r e s e n t a l l o f t h e u s u a l h u m a n s u b j e c t s c a v e a t s b e f o r e w e s t a r t e d t h e a c t u a l i n t e r v i e w , I p o l i t e l y a s k i n g h e r t o w a i t u n t i l I f i n i s h e d m y i n t r o d u c t i o n . M y i n i t i a l q u e s t i o n , i f s h e l i k e d s c h o o l , e l i c i t e d a y e s q u i c k l y q u a l i fi e d b y , ” I d o n ’ t a l w a y s l i k e s c h o o l . " S h e w e n t o n t o s a y t h a t s h e h a d n o t l i k e d m a t h e m a t i c s i n f i r s t g r a d e b e c a u s e , t h o u g h s h e g o t h e r a n s w e r s r i g h t , h e r ” t e a c h e r t h o u g h t I w a s p o k e y a n d w e n t t o o s l o w " ( D , 1 1 , p . 2 ) . S h e p r o v i d e d a l o n g n a r r a t i v e a b o u t h e r f i r s t g r a d e c l a s s c o n c l u d i n g w i t h c o m m e n t a r y a b o u t h e r y o u n g e r b r o t h e r a n d t h e t e a c h e r ( s ) t h a t h e r m o t h e r w o u l d l i k e f o r h i m . D a n i e l l e ’ s s t r e a m o f c o n s c i o u s n e s s p r o d u c e d a p r o g r e s s i o n f r o m l i k i n g s c h o o l , t o fi r s t g r a d e , t o t e a c h e r s , t o h e r b r o t h e r . 1 4 3 S h e h a d a l s o s a i d t h a t s h e l i k e d w r i t i n g . W h e n I a s k e d w h y , s h e i n d i c a t e d t h a t , a m o n g o t h e r t h i n g s , s h e l i k e d w r i t i n g p o e m s a b o u t h e r c a t . T h i s l e d h e r t o a d e s c r i p t i o n o f h e r c a t ’ s f e e d i n g h a b i t s . T h e s e t w o e p i s o d e s g i v e t h e i m p r e s s i o n o f D a n i e l l e a l w a y s d i v e r t i n g t h e c o n v e r s a t i o n i n t o t a n g e n t s . G e n e r a l l y , t h i s w a s t h e c a s e i n t h e f i r s t i n t e r v i e w . H o w e v e r , w h i l e e n g a g e d w i t h m a t h e m a t i c a l t a s k s , t h o u g h s h e a l s o p u r s u e d s u c h t a n g e n t s , s h e u s u a l l y r e t u r n e d t o t h e t o p i c o n h e r o w n S h e w o u l d w a n d e r s e e m i n g l y f a r o f f t o p i c b u t t h e n , i n a s p l i t s e c o n d , w o u l d r e t u r n t o e x a c t l y w h e r e s h e h a d l e f t o f f . S h e d i d n o t s e e m t o p u r s u e t h e s e t a n g e n t s t o e s c a p e f r o m o r a v o i d d e a l i n g w i t h t h e c o n t e n t ; t h e y s e e m e d a n i n t e g r a l p a r t o f h e r r e a s o n i n g a n d c o m m u n i c a t i n g . I w i l l h a v e m o r e t o s a y o n t h i s l a t e r . I t u r n e d t o i n q u i r i n g a b o u t w h y s h e l i k e d m a t h e m a t i c s . D a n i e l l e r e s p o n d e d : W e l l , w h a t g o t m e i n t e r e s t e d i n m a t h w a s , I t h i n k , w h e n I s t a r t e d b e c o m i n g i n t e r e s t e d i n m a t h i s w h e n I g o t [ h e r c u r r e n t t e a c h e r ] . S h e r e a l l y , l i k e , i m p r o v e d m y m a t h s k i l l s a n d e v e r y t h i n g a n d u m , I j u s t l i k e t h e p r o b l e m s a n d t i m e t o s o l v e t h e m a n d l i s t e n i n g t o o t h e r k i d s ’ i d e a s a n d k n o w i n g h o w t h e y t h i n k a b o u t m a t h . S o I j u s t l i k e m a t h , i t ’ s o n e o f m y f a v o r i t e s u b j e c t s . ( D , 1 1 , p . 3 ) D a n i e l l e r e s p o n d e d b y s t a r t i n g t o e x p l a i n w h a t g o t h e r " i n t e r e s t e d i n ” m a t h e m a t i c s . S h e a t t r i b u t e d h e r i n t e r e s t t o h e r c u r r e n t t e a c h e r a n d t h e n e n u m e r a t e d w h a t m a d e t h i s m a t h e m a t i c s c l a s s i n t e r e s t i n g f o r h e r : ( a ) i t i m p r o v e d h e r ” m a t h s k i l l s , ” ( b ) t h e p r o b l e m s t h e m s e l v e s , ( c ) t i m e t o s o l v e p r o b l e m s , ( d ) l i s t e n i n g t o o t h e r s a n d k n o w i n g h o w t h e y t h i n k . T h e l a s t t h r e e i n p a r t i c u l a r c o n t r a s t e d w i t h h e r d e s c r i p t i o n o f h e r e x p e r i e n c e i n f i r s t g r a d e . I t w a s t h i s e x p e r i e n c e o f m a t h e m a t i c s t h a t l e d h e r t o l i k e t h e s u b j e c t — e s p e c i a l l y w h e n c o n t r a s t e d w i t h h e r p r i o r e x p e r i e n c e s . N o t i c e t h a t h e r p o i n t s a r e n o t a b o u t t h e s u b s t a n c e o f m a t h e m a t i c s ; r a t h e r , t h e y a r e a b o u t t h e p r o c e s s o r h e r e x p e r i e n c e o f 1 4 4 i t . W h e r e B e r t l i k e d m a t h e m a t i c s f o r i t s p o w e r , D a n i e l l e l i k e d i t f o r i t s a f f e c t i v e a s p e c t s i n t h i s c l a s s r o o m . S h e l i k e d t h e p r o c e s s o f d o i n g m a t h e m a t i c s m o r e t h a n s h e l i k e d t h e c o n t e n t i t s e l f o f m a t h e m a t i c s . A s t h i s p r o f i l e w i l l d e m o n s t r a t e , t h e s e i s s u e s p l a y e d o u t i n o u r i n t e r v i e w s i n v a r i o u s w a y s . D a n i e l l e a t t e n d e d t o h e r a b i l i t y t o c o m p u t e , v i e w i n g a c c u r a t e c o m p u t a t i o n a s p a r t o f b e i n g " g o o d a t m a t h . ” S h e e n j o y e d e n g a g i n g w i t h p r o b l e m s t h a t w e r e p r e s e n t e d w i t h i n a c o n t e x t t o w h i c h s h e c o u l d r e l a t e . S h e w o v e e l a b o r a t e w e b s O f m a t h e m a t i c a l a n d s o c i a l c o n n e c t i o n s w i t h e a c h s t o r y l i n e . S h e n e v e r s e e m e d i n a h u r r y t o s o l v e p r o b l e m s . S h e d e v e l o p e d c o n n e c t i o n s l i n k i n g d i s p a r a t e t o p i c s i n t h i s l u x u r i a t i o n o f t i m e . F i n a l l y , s h e s e v e r a l t i m e s g a v e s p e c i fi c e x a m p l e s o f l e a r n i n g a b o u t p a r t i c u l a r m a t h e m a t i c a l o b j e c t s a n d c o n c e p t s t h r o u g h l i s t e n i n g t o o t h e r s ’ i d e a s a b o u t t h e m a n d a b o u t t h e p r o b l e m s w i t h w h i c h t h e c l a s s w a s e n g a g e d . I n o w t u r n t o a d e s c r i p t i o n o f D a n i e l l e . S i n c e s h e w a s t h e m o s t e x p r e s s i v e a n d l o q u a c i o u s o f t h e c h i l d r e n , t h i s p a r t o f h e r p r o f i l e i s t h e m o s t e x t e n s i v e . T h i s v e r y e x t e n s i v e n e s s r e fl e c t s b o t h h e r m o d u s o p e r a n d i a n d h e r c h a r m . T h e r e i s m u c h o v e r l a p i n t h e p e r s o n a l a n d m a t h e m a t i c a l a s D a n i e l l e t e n d e d t o b i n d t h e m . A n a l y t i c D e s c r i p t i o n D a n i e l l e w a s e x t r e m e l y g r e g a r i o u s . S h e s e e m e d c o m p l e t e l y a t e a s e t a l k i n g w i t h o t h e r s , w h e t h e r i n d i v i d u a l s o r g r o u p s , p e e r s o r a d u l t s . S h e a p p e a r e d t o b e c o n s t a n t l y r e l a t i n g , c o m p a r i n g , a n d c o n t r a s t i n g - e i t h e r s i l e n t l y o r , m o r e o f t e n , a l o u d - w h a t s h e w a s c u r r e n t l y e n g a g e d i n d o i n g w i t h t h e r e s t O f h e r w o r l d . T h i s i s n o t t o s u g g e s t i n c o h e r e n c e o r s c a t t e r d n e s s o n h e r p a r t ; h e r t a l k w i t h m e w a s g e n e r a l l y o n t a s k . W h e n s h e d i d s t r a y , s h e u s u a l l y r e t u r n e d t o t h e q u e s t i o n o r i s s u e a t h a n d o f h e r o w n v o l i t i o n . D a n i e l l e s e e m e d t o h o l d m y q u e s t i o n o r h e r 1 4 5 p o i n t i n m i n d w h i l e f o l l o w i n g a p p a r e n t l y d i v e r g e n t p a t h s . S h e w a s e n g a g i n g a n d e n g a g e d . B e r t s h o w e d l i t t l e e x p r e s s i o n b e y o n d i n t e n s i t y a n d o c c a s i o n a l b u r s t s o f e x c i t e m e n t ; T e r i w a s o f t e n s i l l y a n d o c c a s i o n a l l y f r u s t r a t e d . D a n i e l l e s h o w e d a w i d e r a n g e o f a f f e c t . I n f a c t , s o m e o f h e r a f f e c t a p p e a r e d i n t e n t i o n a l l y e x a g g e r a t e d - e s p e c i a l l y h e r n e g a t i v e e m o t i o n s . D a n i e l l e s e e m e d a n i n v e t e r a t e p e r f o r m e r . S h e w a s n o t c o n v i n c e d t h a t o t h e r s ' a s s e s s m e n t o f h e r a b i l i t i e s w a s c o r r e c t . Y e t s h e s e e m e d n o t o v e r l y c o n c e r n e d w i t h t h e i m p r e s s i o n s h e m a d e o n o t h e r s . r e a i n 3 D a n i e l l e w a s a v e r y s o c i a l l y o r i e n t e d p e r s o n . S h e i n t e r a c t e d w i t h m e a t m a n y l e v e l s : j o k i n g , t e a s i n g , t e l l i n g a b o u t h e r p e r s o n a l l i f e a n d a s k i n g a b o u t m i n e , e n g a g i n g v o l u n t a r i l y a n d o t h e r w i s e a r o u n d t h e p a r t i c u l a r c o n t e n t O f p r o b l e m s a n d t h e l a r g e r o r m o r e a b s t r a c t m a t h e m a t i c a l i s s u e s e v o k e d b y w o r k o n p r o b l e m s , a n d i s s u e s r e l a t e d t o t h e n a t u r e o f m a t h e m a t i c s . S h e a l m o s t c o n s t a n t l y v e r b a l i z e d c o n n e c t i o n s a c r o s s c o n t e x t s : t o m a t h e m a t i c s , t o p r e v i o u s i n t e r v i e w s , t o h e r c l a s s r o o m , t o h e r p e r s o n a l w o r l d , t o h e r p o t e n t i a l f u t u r e . H e r t a l k w a s s c a t t e r e d w i t h r e f e r e n c e s t o o t h e r s - b o t h a d u l t s a n d c h i l d r e n . D a n i e l l e t r e a t e d s o c i a l i n t e r a c t i o n s a s p l e a s u r a b l e i n a n d o f t h e m s e l v e s . A t t h e s a m e t i m e , s h e s e e m e d t o v i e w s o c i a l i n t e r a c t i o n a s n e c e s s a r y f o r l e a r n i n g . S h e r e p e a t e d l y q u e s t i o n e d a n y o n e w i t h w h o m s h e c a m e i n c o n t a c t — i n c l u d i n g h e r s e l f — a b o u t t h e i d e a s w i t h w h i c h s h e w a s s t r u g g l i n g . T h i s l a s t i s r e m i n i s c e n t o f B e r t a n d h i s a p p r o a c h t o s o c i a l i n t e r a c t i o n s . H o w e v e r , w h e r e B e r t s e e m e d t o v a l u e d i s c u s s i o n f o r p o t e n t i a l s o c i a l c o n s t r u c t i o n o f k n o w l e d g e , D a n i e l l e s e e m e d t o e x p e c t t o r e c e i v e k n o w l e d g e f r o m o t h e r s . W h i l e t r e a t i n g o t h e r s a s e q u a l p a r t n e r s i n c o n v e r s a t i o n s , m a t h e m a t i c a l o r n o t , s h e s a w h e r s e l f a s e l i c i t i n g m a t h e m a t i c a l k n o w l e d g e f r o m o t h e r s r a t h e r t h a n c o - c o n s t r u c t i n g i t . 1 4 6 D a n i e l l e w a s a l s o s o c i a l l y o r i e n t e d w i t h i n m a t h e m a t i c s c l a s s . S h e s a i d t h a t ” p a y i n g a t t e n t i o n a n d l i s t e n i n g t o o t h e r c h i l d r e n ’ s i d e a s ” h e l p s p e o p l e b e g o o d a t m a t h e m a t i c s ( D , 1 1 , p . 1 0 ) . W h e n I a s k e d w h a t s h e t h o u g h t o f w h e n I s a i d ” m a t h e m a t i c s , ” D a n i e l l e i n d i c a t e d t w o O f h e r m a l e c l a s s m a t e s w h o f r e q u e n t l y g o t i n t r o u b l e f o r ” c a l l i n g o u t ” ( p . 4 ) . P r i o r t o h e r t e a c h e r c h a n g i n g t h e r u l e s f o r c h i l d r e n a t t h e c h a l k b o a r d c a l l i n g o n o t h e r s , t h i s ” c a l l i n g o u t ” h a d s e e m e d m e r e l y d i s r u p t i v e t o D a n i e l l e . U n d e r t h e n e w r u l e ( b o y s c a l l o n g i r l s a n d v i c e v e r s a ) , s h e c a l l e d o n t h e m , r a t h e r t h a n h e r f e m a l e f r i e n d s . S h e ” c a l l e d o n t h e m a n d t h e y s h a r e d t h e i r i d e a s a n d h e l p e d ” h e r u n d e r s t a n d ” b o r r o w i n g . " T h o u g h t h e y h a d p r e v i o u s l y b e e n i r r i t a t i n g , s h e n o l o n g e r e x c l u d e d t h e m a s l e a r n i n g o p p o r t u n i t i e s . S h e d e s c r i b e d w a y s t h e y h a d h e l p e d h e r u n d e r s t a n d a p a r t i c u l a r p r o b l e m ( t h e s a m e 4 6 - 2 8 w i t h w h i c h T e r i s t r u g g l e d ) a n d s a i d t h e y c o n t i n u e d t o h e l p h e r u n d e r s t a n d m a t h e m a t i c s m o r e g e n e r a l l y ( p . 4 ) . D a n i e l l e ’ s d e s c r i p t i o n o t h e r p e e r s s u g g e s t s t h a t s h e s a w t h e m a s h a v i n g m u c h t o c o n t r i b u t e t o h e r l e a r n i n g . E E E ' . D a n i e l l e s e e m e d t o m a i n t a i n a n o p e r a t i o n a l d i s t i n c t i o n b e t w e e n h e r s o c i a l a n d a c a d e m i c e f fi c a c y . S h e a c t e d a s o n e w h o w a s q u i t e s u c c e s s f u l s o c i a l l y ; s h e a p p a r e n t l y h a d f e w q u a l m s a b o u t h o w s h e i n t e r a c t e d w i t h o t h e r s . S h e s h o w e d a ” f r i e n d s h i p r i n g " w h i c h s h e s h a r e d w i t h h e r t e a c h e r . S h e d e s c r i b e d s u c c e s s f u l i n t e r a c t i o n s w i t h v a r i o u s c l a s s m a t e s . M y O b s e r v a t i o n s o f h e r i n o t h e r c o n t e x t s c o n f i r m h e r t o b e a p o p u l a r m e m b e r o f t h e c l a s s . S h e s e e m e d e n t i r e l y a t e a s e w i t h m e . A t t h e s a m e t i m e , D a n i e l l e d o u b t e d h e r s e l f m a t h e m a t i c a l l y ; s h e d i s c o u n t e d b o t h h e r m o t h e r ' s a n d h e r t e a c h e r ' s p o s i t i v e e v a l u a t i o n o f h e r m a t h e m a t i c a l a b i l i t i e s . S h e s a i d s h e w a s n o t c o n v i n c e d s h e w a s g o o d a t m a t h e m a t i c s b e c a u s e , 1 4 7 ” I ’ m n o t v e r y f o n d o f b o r r o w i n g a n d n e g a t i v e n u m b e r s . I g e t c o n f u s e d w i t h i t , c o n f u s e d a n d f r u s t r a t e d w i t h i t ” ( D , 1 1 , p . 1 0 ) . S h e d e s c r i b e d f r a c t i o n s — w h i c h t h e y h a d r e c e n t l y s t a r t e d w o r k i n g o n i n h e r c l a s s - a s ” s c a r y ” ( D , 1 3 , p . 5 ) . I n c i d e n t a l l y , s h e a l s o c l a i m e d t o b e a p o o r s p e l l e r w h i l e g e n e r a l l y s p e l l i n g q u i t e w e l l d u r i n g t h e i n t e r v i e w s . T h e c o n c e p t s a n d O b j e c t s s h e s a i d s h e w a s ” n o t f o n d O ” a r e t y p i c a l l y t r o u b l i n g t o p i c s f o r t h i r d g r a d e r s . H e r c l a s s s p e n t c o n s i d e r a b l e t i m e o n e a c h o f t h e s e a n d m a n y o f h e r p e e r s s e e m e d e q u a l l y u n c e r t a i n a b o u t t h e m . I n c l a s s d i s c u s s i o n s , s o m e s p o k e a u t h o r i t a t i v e l y b u t c o n t r a d i c t o r i l y a b o u t t h e m . T h u s , i t i s n o t s u r p r i s i n g t h a t D a n i e l l e w o u l d f i n d t h e s e d i f f i c u l t , c o n f u s i n g , a n d a b i t f r u s t r a t i n g . O d d l y , w h i l e t h i n k i n g s h e w a s n o t v e r y g o o d a t i t , D a n i e l l e l i k e d t h e c h a l l e n g e a n d m e n t a l s t r u g g l e s o f t h e m a t h e m a t i c s s h e e n c o u n t e r e d i n t h e i n t e r v i e w s a n d i n h e r c l a s s r o o m . D a n i e l l e , w h o s a i d s h e w a n t e d t o b e a t e a c h e r , c o m m e n t e d , ” T h i s [ t h e i n t e r v i e w s ] i s r e a l l y h e l p i n g m e o u t w i t h m y m a t h , b e c a u s e i f I g r o w u p a n d I ' m h o r r i b l e i n m a t h , I ' l l p r o b a b l y s a y , ’ T w o p l u s t w o i s s i x . ’ t o m y k i d s . T h a t w o u l d b e h o r r i b l e ” ( D , 1 2 , p . 1 0 ) . T h i s c o n n e c t i o n , p a r t o f h e r w e b s p i n n i n g , o c c u r r e d i n t h e f o r m o f a n i n t e r r u p t i o n ; o n e o f s e v e r a l d u r i n g m y i n t r o d u c t i o n t o t h e L u n c h M e n u p r o b l e m . B e y o n d t h i s s e e m i n g m e r c e n a r y v a l u e t h e i n t e r v i e w s h e l d f o r h e r , s h e e n j o y e d w h a t s h e s a w a s a b a t t l e o f w i t s . T h i s i s a d d r e s s e d i n t h e C o m p e t i t i o n s e c t i o n o f t h i s p r o f i l e a n d f u r t h e r e x a m i n e d i n c h a p t e r 4 . D a n i e l l e ’ s d i s p a r a g i n g o f h e r m a t h e m a t i c a l a b i l i t i e s s e e m s a m i s r e a d i n g o f h e r s e l f . F o r e x a m p l e , s h e m e n t i o n e d d i v i s i o n a t t h e e n d o f t h e t h i r d i n t e r v i e w . S h e s a i d s h e h a d t a u g h t h e r b r o t h e r ( w h o w a s a y e a r y o u n g e r ) h o w t o d i v i d e b u t t h o u g h t h e w a s n o w b e t t e r a t i t t h a n s h e . H e m a y h a v e b e e n b u t D a n i e l l e a l s o h a d h e r o w n a b i l i t y t o t h i n k m a t h e m a t i c a l l y i n d i v i s i o n — e v e n t h o u g h h e r c l a s s 1 4 8 h a d n o t y e t w o r k e d o n t h i s t o p i c . W h e n I a s k e d i f s h e c o u l d d i v i d e 1 0 0 b y 1 0 , s h e a n s w e r e d ” t e n ” i m m e d i a t e l y . S h e f i r s t r e s p o n d e d t o m y q u e s t i o n a b o u t h o w s h e d i d i t b y c o u n t i n g b y t e n s w h i l e r e c o r d i n g o n h e r f i n g e r s ( t h e s a m e m e t h o d s h e u s e d i n p a r t o f t h e C a n d y B a r p r o b l e m u s e e b e l o w ) . W h e n I s a i d s h e h a d a n s w e r e d m u c h q u i c k e r t h a n t h a t , s h e s a i d ” W e l l , i t ' s e a s y . I f t h e r e ' s a z e r o o n t h e e n d , t h e n m o s t o f t h e t i m e s o m e t h i n g w i t h a z e r o i s t h e a n s w e r ” ( D , 1 3 , p . 2 5 ) . I t h e n a s k e d " h o w m a n y t i m e s d o e s fi v e g o i n t o 1 0 0 ? " S h e p a u s e d , w i s h e d h e r b r o t h e r w e r e t h e r e , a n d t h e n a n s w e r e d 2 0 . H e r r e a s o n i n g w a s : ” Y o u h a v e t o d o u b l e i t . D o u b l e t h e n u m b e r s i n c e , y o u c u t h a l f w a y i n t o 1 0 , l i k e y o u c u t , y o u j u s t w e n t h a l f w a y t o 1 0 , n u m b e r h a l f w a y t o 1 0 , n o t c o m p l e t e l y 1 0 . I t ' s p r e t t y e a s y I g u e s s ” ( p . 2 6 ) . I n t h i s q u o t e s h e a r g u e d t h a t , s i n c e t h e n e w d i v i s o r , fi v e , i s " h a l f w a y ” t o t h e fi r s t d i v i s o r , 1 0 , t h e a n s w e r w o u l d b e ” d o u b l e t h e n u m b e r , ” d o u b l e t h e p r e v i o u s a n s w e r , 1 0 . T h i s r e p r e s e n t s f a i r l y s o p h i s t i c a t e d t h i n k i n g f r o m a t h i r d g r a d e r w h o d i d n o t t h i n k s h e w a s g o o d a t m a t h e m a t i c s a n d h a d h a d l i t t l e f o r m a l e x p o s u r e t o d i v i s i o n . I t a l s o r e p r e s e n t s a b s t r a c t r e a s o n i n g w i t h n o c o n t e x t f o r s u p p o r t . W h i l e s h e d i d m a k e a s o r t o f c o n n e c t i o n t o t h e r e a l w o r l d b y w i s h i n g f o r h e r b r o t h e r , t h i s w a s n o t a t o o l f o r h e r d o i n g t h e m a t h e m a t i c s . S h e m a d e n o a t t e m p t t o b u i l d o r c o n n e c t t o a r e a l w o r l d c o n t e x t . T h u s , h e r e s h e w a s a l s o a b l e t o d o m a t h e m a t i c s w i t h o u t t h e e l a b o r a t e w e b t h a t c o n t e x t u a l p r o b l e m s e n a b l e d h e r t o b u i l d . T h i s c o n t r a s t s s h a r p l y w i t h t h e s i t u a t i o n i n t h e O p e r a t i o n s t a s k s . T h e r e , s h e e n c o u n t e r e d n e g a t i v e i n t e g e r s ; h e r e , s h e e n c o u n t e r e d o n l y w h o l e n u m b e r s . B o t h w e r e ” p u r e l y ” a b s t r a c t b u t o n e l e d h e r o n a p a t h m a d e t h r e a t e n i n g b y t h e u n c e r t a i n t y o f b o t h n e g a t i v e i n t e g e r s a n d p u r e a b s t r a c t i o n ; t h e o t h e r i n c l u d e d a b s t r a c t i o n b u t a l s o o f f e r e d t h e f i r m g r o u n d o f w h o l e n u m b e r s . 1 4 9 R o l e - P l a y i n g D a n i e l l e s e e m e d t o t r y o n d i f f e r e n t e m o t i o n a l r o l e s i n s o c i a l i n t e r a c t i o n s . I n o n e t a s k , s h e d e s c r i b e d h e r s e l f a s ” d e a d m e a t ” b u t d e c l i n e d m y o f f e r t o m o v e t o a d i f f e r e n t t a s k ( D , 1 2 , p . 1 8 ) . O n o t h e r o c c a s i o n s , s h e e x p r e s s e d a n t i c i p a t i o n , a s w h e n s h e c o o e d h a p p i l y , ” O o o h , t h i s i s g o i n g t o c o m e o u t n e g a t i v e ” ( p . 1 6 ) . D a n i e l l e p l a y e d w i t h e x p r e s s i o n o f h e r e m o t i o n s , ” I ’ m g o i n g t o g e t m a d a t t h e p e o p l e f o r h a v i n g b a c k y a r d s . ” a n d ' T w o u l d k i l l m y d a d i f [ h e r f r i e n d ] l i v e s t h a t f a r [ f o u r b l o c k s ] a w a y [ a n d h e w o u l d n ’ t d r i v e h e r t h e r e ] . I w o u l d m a k e h i m d r i v e m e e v e r y w h e r e " ( D , 1 3 , p . 1 0 ) . S e v e r a l t i m e s s h e f e i g n e d a n g e r a t m e . S h e e v e n s a i d s h e w a s " m a d a t " 2 6 b e c a u s e s h e h a d f o r g o t t e n t o i n c l u d e i t a s s h e w a s t r y i n g t o s o l v e t h e C a n d y B a r p r o b l e m . N o d o u b t s o m e o f t h e s e e m o t i o n s s h e d i d f e e l ; m y c l a i m i s t h a t h e r e x p r e s s i o n o f t h e m w a s e x a g g e r a t e d f o r e f f e c t . I n a d d i t i o n t o e n a c t i n g d i f f e r e n t e m o t i o n a l r o l e s i n r e l a t i o n t o m a t h e m a t i c s , s h e r e s p o n d e d t o m y s u c c e s s i o n O f q u e s t i o n s a b o u t w h a t s h e w o u l d t h i n k o f i f c e r t a i n f o l k s s a i d t h e w o r d ” m a t h e m a t i c s ” w i t h d i f f e r e n t " l i f e r o l e s ” ( G o f f m a n , 1 9 7 4 ) : 0 I f I s a i d ” m a t h e m a t i c s ” : s h e r e s p o n d e d a s D a n i e l l e t h e l e a r n e r - s h e t a l k e d a b o u t c l a s s m a t e s a n d a b o u t h o w s h e h a d b e e n h e l p e d t o l e a r n ; 0 I f h e r t e a c h e r s a i d ” m a t h e m a t i c s " : s h e r e s p o n d e d a s D a n i e l l e t h e s t u d e n t - s h e t a l k e d a b o u t t h e s c h o o l a n d e d u c a t i o n a l c o n t e x t , s a y i n g s h e t h o u g h t o f l u n c h b e c a u s e m a t h e m a t i c s i s a f t e r l u n c h , a n d o f t e s t s — b e c a u s e t h e y w e r e p r e p a r i n g f o r u p c o m i n g s t a n d a r d i z e d t e s t s ; 0 I f o t h e r a d u l t s s a i d ” m a t h e m a t i c s " : s h e r e s p o n d e d a s D a n i e l l e t h e t e a c h e r - s h e t a l k e d a b o u t h o w s h e t a u g h t h e r b r o t h e r , t e l l i n g a s t o r y a b o u t t y i n g h i m t o c h a i r a n d f e e d i n g h i m p e a n u t b u t t e r t o t e a c h h i m m a t h e m a t i c s . ( D , 1 1 , p p . 4 - 5 ) S h e s e e m e d t o b e t r y i n g t o d r a w m e i n t o c o l l u s i o n w i t h h e r ( G o f f m a n , 1 9 7 4 ) . D a n i e l l e h a d t h e w i d e s t r a n g e o f e x p r e s s i o n s o f t h e c h i l d r e n i n t h e s t u d y , f r e e l y l e t t i n g t h e m s h o w , e v e n e x a g g e r a t i n g t h e m . O f c o u r s e , t h i s l e a d s t o s o m e 1 5 0 d a n g e r s i n i n t e r p r e t a t i o n . I n w h a t i n s t a n c e s w a s D a n i e l l e e x p r e s s i n g h e r ” t r u e ” e m o t i o n s ? W h a t w a s t h e i n t e n s i t y l e v e l O f t h a t a f f e c t ? T h e s e n s e o f e x a g g e r a t i o n e s p e c i a l l y o c c u r r e d w h e n D a n i e l l e w a s e x p r e s s i n g n e g a t i v e e m o t i o n s — b e i n g ” m a d ” a t h e r f a t h e r , a t ” 2 6 " - a n d w h e n e x p r e s s i n g a s o r t o f h o p e l e s s n e s s — ” I ’ m d e a d m e a t . ” I t r e a d c a r e f u l l y i n a r g u m e n t s d e p e n d e n t o n t h e d e p t h o f h e r e m o t i o n s . D a n i e l l e a n d T e r i ’ s d i s c o u r s e w a s d i f f e r e n t t h a n B e r t ’ 5 ; t h e i r c o n v e r s a t i o n w a s s p r i n k l e d ( T e r i ) o r l i t t e r e d ( D a n i e l l e ) w i t h e x p r e s s i o n s o f a f f e c t . W h e r e T e r i s e e m e d t o u s e v a g u e w o r d s t o e x p r e s s h e r f e e l i n g s , D a n i e l l e e x a g g e r a t e d h e r f e e l i n g s w i t h b o t h w o r d s a n d b o d y l a n g u a g e . S h e fl i p p a n t l y e x p r e s s e d a n g e r a t m e , a t n u m b e r s , e v e n a t h e r f a t h e r . H e r e x p l o r a t i o n s w i t h e m o t i o n s s e e m e d m o r e p a r t O f h e r d e v e l o p i n g i m a g e o f h e r s e l f t h a n d i r e c t l y a b o u t d o i n g o r u n d e r s t a n d i n g m a t h e m a t i c s . C m . . F o r D a n i e l l e , c o m p e t i t i o n w a s s t i m u l a t i n g — s h e c o m p e t e d a g a i n s t t h e p r o b l e m o r t h e p e r s o n w h o s e t - u p t h e p r o b l e m . S h e d e s c r i b e d s o m e p r o b l e m s a s ” t r i c k y . " S h e l i k e d t h e s e a s l o n g a s t h e y w e r e n o t ” t o o , t o o t r i c k y . " W h i l e s h e h a d s o m e d i f fi c u l t y a r t i c u l a t i n g t r i c k y - e s p e c i a l l y d i s t i n g u i s h i n g i t f r o m ” h a r d ” a n o t h e r a d j e c t i v e s h e u s e d , s h e d e s c r i b e d ” t r i c k y ” p r o b l e m s a s d e s i g n e d t o m i s l e a d o n e : ” U m . . . i f i t , w h e n s o m e b o d y , l i k e . . . w h e n t h e p r o b l e m . Y o u ' r e t h i n k i n g o n e t h i n g , b u t t h a t ' s n o t t h e r i g h t t h i n g a n d y o u k n o w i t ' s n o t t h e r i g h t t h i n g , b u t y o u j u s t w a n t t o t h i n k i t i s t h e r i g h t t h i n g ” ( D , 1 4 , p . 4 ) . S h e d e s c r i b e d p a r t o f t h e r o l e o f t e a c h e r a s t r y i n g t o ” t r i c k " t h e s t u d e n t ; s h e i d e n t i f i e d a c o m p e t i t i v e r e l a t i o n s h i p u w h i c h s h e l i k e d - w i t h t h e t e a c h e r . 1 5 1 S h e o f t e n c o u c h e d h e r l i k i n g o f m a t h e m a t i c s i n e x p r e s s i o n s o f l o v e - h a t e ; s h e p r e - a s s e s s e d t a s k s s a y i n g s h e w a s ” i n t r o u b l e , ” ” O h , n o , " a n d t h e l i k e . H o w e v e r , t h e s e o s t e n s i b l y n e g a t i v e a s s e s s m e n t s w e r e O f t e n a c c o m p a n i e d b y a s m i l e a n d i m m e d i a t e e n g a g e m e n t w i t h t h e t a s k . U p o n c o m p l e t i o n o f s u c h t a s k s , s h e g e n e r a l l y r e a c t e d a s o n e w h o h a d v a n q u i s h e d a f o e . S h e s e e m e d t o g e t p l e a s u r e o u t o f t h e b a t t l e o f w i t s , l i k i n g t h e c h a l l e n g e o f s o m e o n e t r y i n g t o ” t r i c k ” h e r a n d s u c c e s s f u l l y f i g u r i n g o u t t h e ” t r i c k . ” C o n t e x t p l a y e d a n i m p o r t a n t r o l e f o r D a n i e l l e i n d o i n g m a t h e m a t i c s . I n p a r t , i t w a s t h e v e r y c o n t e x t u a l p r o b l e m s s h e h a d b e e n d o i n g f o r t h e l a s t t w o y e a r s t h a t d r e w h e r i n t o m a t h e m a t i c s a f t e r t h e d i s c o u r a g e m e n t o f fi r s t g r a d e . S h e t e n d e d t o b e l e s s s u r e o f h e r s e l f w h e n e n c o u n t e r i n g a b s t r a c t o b j e c t s a n d c o n c e p t s . P r o b l e m s t h a t w e r e p r o v i d e d i n t h e c o n t e x t o f r e a l w o r l d s i t u a t i o n s e n a b l e d D a n i e l l e t o w e a v e t h e m a t h e m a t i c s i n t o h e r l i f e . T h i s s e e m e d t o t a k e t h e e d g e o f f s o m e o f h e r f e a r . M o r e o v e r , i t w a s t h e t e a c h e r ’ s u s e o f c o n t e x t w h i c h c r e a t e d t h e c o m p e t i t i o n ; t h r o u g h c o n t e x t , t h e t e a c h e r c o u l d a t t e m p t t o r n i s d i r e c t t h e s t u d e n t . D a n i e l l e ’ s c o m p e t i t i v e o r i e n t a t i o n i s c o n s i d e r e d f u r t h e r i n c h a p t e r 4 w h e n I e x a m i n e h e r u s e o f " h a r d ” a n d ” t r i c k y . ” M g t s - A w s r e n g s s F o r D a n i e l l e r e p r e s e n t a t i o n s w e r e t o o l s . H o w e v e r , t h e y s e e m e d t o o p e r a t e a t a d i f f e r e n t l e v e l t h a n f o r B e r t a n d T e r i . F o r D a n i e l l e , r e p r e s e n t a t i o n s w e r e o f p r i m a r y i n t e r e s t . S h e a t t e n d e d c l o s e l y t o t h e c r e a t i o n a n d u s e o f h e r r e p r e s e n t a t i o n s , s e e m i n g t o s e e t h e m a s t h e t o o l s f o r h e r l e a r n i n g . B e r t a n d T e r i s e e m e d t o s e e t h e i r r e a s o n i n g o r u s e o f r e p r e s e n t a t i o n s a s t h e t o o l f o r l e a r n i n g ( B e r t ) o r d o i n g ( T e r i ) m a t h e m a t i c s . L i k e B e r t a n d T e r i , a s D a n i e l l e c r e a t e d a n d u s e d r e p r e s e n t a t i o n s , s h e r e p e a t e d l y " s t e p p e d b a c k ” t o O b s e r v e w h e t h e r t h e t o o l 1 5 2 w a s d e v e l o p i n g a s s h e p l a n n e d ; b u t D a n i e l l e a l s o c o n s i d e r e d w h e t h e r i t m a i n t a i n e d i t s s u i t a b i l i t y f o r t h e t a s k . B e r t a n d T e r i w a i t e d u n t i l t h e y h a d c o m p l e t e d t h e i r i n s t a n t i a t i o n o f t h e d a t a b e f o r e a n a l y z i n g s u i t a b i l i t y ; t h e y d r e w 3 0 a n d t h e n f o u r O b j e c t s b e f o r e c o n s i d e r i n g t h e u s e f u l n e s s o f t h a t w a y o f p i c t u r i n g t h e m . M a n y o f t h e c o n n e c t i o n s D a n i e l l e m a d e w e r e o f a s o r t t h a t s e e m e d t o h e l p h e r w o r k b o t h w i t h i n t h e r e p r e s e n t a t i o n a n d a t a l e v e l a b o v e i t ; s h e s e e m e d t o b o t h c r e a t e a n d r e v i e w t h e r e p r e s e n t a t i o n s i m u l t a n e o u s l y . F o r e x a m p l e , i n t h e C a n d y B a r p r o b l e m w h e n D a n i e l l e e x p l a i n e d w h y t w o q u a r t e r s w a s t h e s a m e a s a h a l f , s h e a t t e m p t e d t o d r a w t w o c i r c l e s . R e a l i z i n g t h a t t h e s e w e r e n o t c i r c u l a r — a n d t h u s w h e n d i v i d e d w i t h a c r o s s w o u l d n o t c r e a t e q u a r t e r s , s h e t o l d m e , ” T h e s e a r e c i r c l e s . ” T h i s c o n t r a s t w i t h T e r i ’ s d r a w i n g o f c i r c l e s f o r t h e s a m e p r o b l e m . O n c e a l l 3 0 c i r c l e s w e r e d r a w n , s h e a t t e m p t e d t o d i v i d e t h e m a n d t h e n r e a l i z e d t h e d i f f i c u l t i e s p r e s e n t e d b y h e r ” s l o p p i n e s s ” ( s e e T e r i ’ s p r o fi l e ) . S u m m a r y D a n i e l l e v i e w e d h e r s e l f a s ” n o t v e r y g o o d a t ” v a r i o u s m a t h e m a t i c a l t o p i c s ( e . g . , m u l t i p l i c a t i o n , f r a c t i o n s , n e g a t i v e i n t e g e r s ) . H e r b e l i e f s a b o u t h e r s e l f a s a d o e r o f m a t h e m a t i c s a n d a b o u t w h a t i t t a k e s t o b e g o o d a t m a t h e m a t i c s s u g g e s t t h a t h e r u s e o f t h e r e a l w o r l d a s a m e d i a t o r i s i m p o r t a n t i n u n d e r s t a n d i n g h e r . S h e f o u n d t h e a b s t r a c t r e a l m o f m a t h e m a t i c s s o m e w h a t t h r e a t e n i n g . T h e r e a l w o r l d c o n n e c t i o n s e a s e d t h e t e n s i o n o f w o r k i n g i n t h i s r e a l m b y p r o v i d i n g h e r ” c o n c r e t e ” a n d f a m i l i a r p l a c e s t o w o r k . ” R e a l w o r l d ” c o n t e x t s a l l o w e d h e r t o u s e f a m i l i a r O b j e c t s a n d r e l a t i o n s t o g r a p p l e w i t h a b s t r a c t i s s u e s o f m a t h e m a t i c s . S h e a s s e r t e d d i f f i c u l t i e s w i t h v a r i o u s m a t h e m a t i c a l c o n c e p t s a n d o b j e c t s . Y e t , w h e n e n c o u n t e r i n g t h e m , s h e o f t e n t r e a t e d t h e m a s a c h a l l e n g e w h i c h s h e e n j o y e d — o r s o m e t i m e s , i n i t i a l l y a s a c h a l l e n g e a n d , i n t h e f o l l o w i n g b r e a t h , a s b e y o n d h e r 1 5 3 a b i l m a d o i C O l p r : C 0 4 I n ; D a a t f o r 0 n m a ; m a t a b i l i t i e s . l i k e T e r i , D a n i e l l e ’ s s e l f - e v a l u a t i o n s e e m e d t o r n i s - r e p r e s e n t h e r m a t h e m a t i c a l a b i l i t i e s . S h e s a w v a l u e i n m a t h e m a t i c s ; s h e g a i n e d p l e a s u r e f r o m d o i n g m a t h e m a t i c s ; s h e f e l t s o m e w h a t t h r e a t e n e d b y a b s t r a c t o b j e c t s a n d c o n c e p t s o f m a t h e m a t i c s . F o r D a n i e l l e , c o m p e t i t i o n w a s s t i m u l a t i n g — s h e c o m p e t e d a g a i n s t t h e p r o b l e m o r t h e p e r s o n w h o s e t - u p t h e p r o b l e m . B e r t w a s o r i e n t e d t o w a r d c o o p e r a t i o n i n l e a r n i n g m a t h e m a t i c s ; T e r i s e e m e d t o o p t o u t o f c o m p e t i t i o n i n m a t h e m a t i c s b u t d i d n o t c o m p e n s a t e b y f o l l o w i n g B e r t ’ s c o o p e r a t i v e r o u t e . D a n i e l l e e x p r e s s e d l e s s c o n fi d e n c e t h a n B e r t i n h e r a b i l i t y t o c o m p r e h e n d m a n y o f t h e O b j e c t s a n d c o n c e p t s o f m a t h e m a t i c s l i k e f r a c t i o n s , n e g a t i v e i n t e g e r s , a n d m u l t i p l i c a t i o n . I n t h i s , s h e w a s m u c h l i k e T e r i . B e r t a n d D a n i e l l e s e e m e d t o e n g a g e w i t h t h e a c t i v i t i e s b e c a u s e t h e y e n j o y e d t h e c h a l l e n g e o f t h e m ; t h e i r i d e a o f t h e s o u r c e o f t h e c h a l l e n g e c o n t r a s t e d - B e r t b e i n g c h a l l e n g e d b y t h e g o a l O f d e v e l o p i n g u n d e r s t a n d i n g ( i n a c o o p e r a t i v e f a s h i o n ) , D a n i e l l e b y c o m p e t i n g a g a i n s t a n d o u t w i t t i n g t h e c h a l l e n g e r . B e r t w o u l d t a k e t a n g e n t s m a t h e m a t i c a l , D a n i e l l e t a n g e n t s ” n o n - m a t h e m a t i c a l ” - — b u t b o t h r e t u r n e d t o t h e p a t h b y c h o i c e . T h e y b o t h s e e m e d t o m a i n t a i n t h e i r s e n s e o f t h e p a t h w h i l e t h e y w a n d e r e d O f f i t . T e r i s e e m e d t o f e a r g e t t i n g l o s t e v e n w h e n s h e s t a y e d o n w h a t s h e p e r c e i v e d a s t h e p a t h ; s h e d i d n o t p u r s u e t a n g e n t s . T h e L u n c h M e n u p r o b l e m w a s s i t u a t e d i n t h e r e a l w o r l d a n d a b s e n t a b s t r a c t m a t h e m a t i c a l a s p e c t s ; t h e r e w e r e n o n u m b e r s o r a p p a r e n t n e e d f o r t h e f o u r o p e r a t i o n s . D a n i e l l e m a d e o n l y n o n - m a t h e m a t i c a l c o n n e c t i o n s i n w o r k i n g o n t h i s p r o b l e m - - b u t p l e n t y o f t h e m . W h e n I p o s e d a p r o b l e m a b s e n t a n y r e a l w o r l d c o n t e x t ( t h e O p e r a t i o n s t a s k s ( s e e b e l o w ) ) , D a n i e l l e d i d n o t w e a v e a n o n - m a t h e m a t i c a l w e b . W i t h t w o e x c e p t i o n s ( o n e b o r d e r l i n e a t b e s t ) , s h e m a d e o n l y m a t h e m a t i c a l c o n n e c t i o n s - a n d r e l a t i v e l y f e w o f t h o s e . I n n e i t h e r i n s t a n c e , t h e 1 5 4 L u n c h M e n u p r o b l e m o r t h e O p e r a t i o n t a s k s , w a s s h e v e r y s u c c e s s f u l w i t h t h e m a t h e m a t i c s . W h e n p r o b l e m s w e r e o f f e r e d t h a t i n c l u d e d b o t h c o n t e x t a n d a b s t r a c t i o n , D a n i e l l e w o v e h e r w e b s g r a d u a l l y a n d c o n s t a n t l y , m a t h e m a t i c a l a n d n o n - m a t h e m a t i c a l , w h i l e f i n d i n g h e r p a t h t o a s o l u t i o n . S h e u s e d c o n t e x t u a l c u e s a n d k n o w l e d g e t o s o l v e p r o b l e m s . T h e s e w e b s c o n n e c t e d t o h e r h o m e l i f e , h e r s c h o o l l i f e , m a t h e m a t i c s c l a s s , a n d t h e s u b j e c t m a t t e r o f m a t h e m a t i c s . T h e s e c o n n e c t i o n s f u n c t i o n e d a s t o o l s f o r e n a b l i n g h e r t o b e c o m f o r t a b l e w i t h a n d t o d o m a t h e m a t i c a l w o r k . N e x t , I t u r n t o e x a m p l e s o f D a n i e l l e ’ s w o r k o n t w o o f t h e t a s k s f r o m t h e s e c o n d i n t e r v i e w . T w o E x a m p l e s o f D o i n g M a t h e m a t i c s J u x t a p o s i n g t h e w o r k t h a t D a n i e l l e d i d o n t h e t w o p r o b l e m s I d e s c r i b e h e r e — t h e C a n d y B a r p r o b l e m a n d t h e O p e r a t i o n s t a s k s - o f f e r s i n s i g h t i n t o h e r t h i n k i n g a n d m a n e u v e r i n g i n m a t h e m a t i c a l c o n t e x t s . T h e fi r s t p r o v i d e s a n e x a m p l e o f t h e t y p e o f p r o b l e m D a n i e l l e g r e w t o l o v e i n s e c o n d a n d t h i r d g r a d e , t h e k i n d o f p r o b l e m t h a t l e d h e r t o s a y m a t h e m a t i c s w a s o n e o f h e r f a v o r i t e s u b j e c t s . I t s h o w s D a n i e l l e m a k i n g c o m p l e x c o n n e c t i o n s w i t h t h e r e a l w o r l d , m a t h e m a t i c s , a n d e v e r y t h i n g i n b e t w e e n . T h e l a t t e r p r o v i d e s i n s i g h t i n t o h e r w o r k i n a m o r e a b s t r a c t c o n t e x t . I n w o r k i n g o n t h i s t a s k , o n e I p r e s e n t e d w i t h o u t a n y r e a l w o r l d t i e s , s h e m a d e c o n n e c t i o n s w i t h m a t h e m a t i c s a s a s u b j e c t a n d f r e q u e n t r e f e r e n c e t o s p e c i f i c m a t h e m a t i c a l t o p i c s t h a t s h e f e l t s h e w a s ” n o t g o o d a t ” o r d i d n o t l i k e . T h e s i m i l a r i t i e s a n d c o n t r a s t s b e t w e e n h e r w o r k o n t h e s e t w o s h e d l i g h t o n h e r o r i e n t a t i o n t o w a r d m a t h e m a t i c s . 1 5 5 F i g u r e 2 1 : D a n i e l l e ’ s f i n i s h e d r e p r e s e n t a t i o n f o r t h e C a n d y B a r p o b l e m . 1 5 6 T h n A s I n e a r e d t h e c o n c l u s i o n o f m y n a r r a t i o n o f t h e C a n d y B a r p r o b l e m , I s a i d , ” S o , t h e r e a r e f o u r c h i l d r e n a n d I b o u g h t t h e m a b o x t h a t h a d 3 0 c a n d y b a r s i n i t . ” A t t h e e n d o f t h i s s e n t e n c e , D a n i e l l e s a i d , " O h , n o . " W h e n I a s k e d w h y s h e h a d s a i d ” O h , n o , " s h e s m i l e d a n d s a i d t h a t s h e " w o u l d h a v e t o fi n d o u t h o w m a n y e v e r y b o d y g e t s ” ( D , 1 2 , p . 1 ) . L i k e T e r i , D a n i e l l e p r o j e c t e d w h a t q u e s t i o n I w o u l d p o s e . ' n h r e n a t i o n W h e n I c o n f i r m e d h e r p r o j e c t i o n w a s c o r r e c t , s h e s a i d , ” M a k e a b i g b o x f i r s t . ” a n d s t a r t e d t o d r a w a s q u a r e ( F i g u r e 2 1 7 1 ) . I a g a i n a s k e d w h y s h e h a d s a i d , ” O h , n o . ” a n d s h e s t a r t e d t o a n s w e r d i r e c t l y , ” B e c a u s e i t ' s t o o . . . ” b u t s t o p p e d ; s h e a p p e a r e d t o b e c o n c e n t r a t i n g o n h e r d r a w i n g n o t i g n o r i n g m e a s p a r t o f a n i n t e n t i o n a l s t a n c e . W h e n I f o l l o w e d u p m y q u e s t i o n , s h e s a i d , a n s w e r i n g i n d i r e c t l y , ” I t w o u l d b e e a s y i f i t w a s a fi v e , f o r f i v e c h i l d r e n , b u t t h e r e ' s o n l y f o u r c h i l d r e n ” ( D , 1 2 , p . 2 ) . A t m y r e q u e s t , D a n i e l l e d e m o n s t r a t e d t h e e a s e w i t h w h i c h s h e c o u l d s o l v e fi v e c h i l d r e n s h a r i n g t h e 3 0 b a r s . S h e f i r s t e s t i m a t e d t h e a n s w e r w o u l d b e a b o u t n i n e b a r s p e r c h i l d a n d t h e n c o u n t e d o r a l l y b y fi v e s k e e p i n g t r a c k o f t h e n u m b e r o f f i v e s o n h e r fi n g e r s . S h e c o n c l u d e d , ” I t h i n k t h e y ' d e a c h g e t s i x c a n d y b a r s , o r s o m e t h i n g l i k e t h a t ” ( p . 2 ) . S h e s h o w e d t h i s p e r f u n c t o r i l y , a t t e n d i n g m o r e t o t h e p r o b l e m a s p o s e d , d r a w i n g t h e 3 0 c a n d y b a r s w i t h i n t h e b o x . T o t h i s p o i n t , D a n i e l l e ’ s d r a w i n g a p p r o x i m a t e d ” r e a l i t y . " W i t h o u t e x p l i c i t l y s a y i n g s o , s h e d i s p l a y e d t h e ” c a n d y b a r s " i n a ” b o x . ” S a y i n g t h a t s h e w a s n o t s u r e h o w m a n y s h e h a d d r a w n , s h e c o u n t e d t h e b a r s . A t m y r e q u e s t , ” T h i s fi g u r e i s a s c a n n e d c o p y o f h e r c o m p l e t e d w o r k . 1 5 7 s h e r e - c o u n t e d . S h e m a d e s e v e r a l a b b r e v i a t e d a t t e m p t s s e e m i n g l y g e t t i n g d i s t r a c t e d o r q u e s t i o n i n g h e r a c c u r a c y e a c h t i m e . W h i l e h e r ” b o x " h a d e i g h t b a r s i n t h e f i r s t r o w , o n h e r f i r s t c o u n t i n r e s p o n s e t o m y r e q u e s t , D a n i e l l e h a d c o u n t e d n i n e . O n h e r s e c o n d c o u n t , s h e l a b e l e d t h e f i f t h b a r ” 5 ” b u t c o u n t e d t h e r e s t s u b - v o c a l l y . A f t e r g e t t i n g t o t h e e n d o f t h e f i r s t r o w , s h e a g a i n s t a r t e d o v e r ; t h i s t i m e s h e n u m b e r e d e a c h b a r c o n s e c u t i v e l y . T h e l a s t b a r O f t h e fi r s t r o w w a s n u m b e r e d ” 8 ” . W h i l e s h e d i d n o t a p p e a r t o h e s i t a t e o r t a k e n o t i c e o f t h e d i f f e r e n c e ( ” 8 ” i n s t e a d o f t h e " 9 ” O f h e r f i r s t c o u n t ) a t t h e t i m e , a f t e r l a b e l i n g t h e f i r s t b a r o f t h e s e c o n d r o w ” 9 ” , s h e p a u s e d . T h e n , a f t e r c o u n t i n g a n d l a b e l i n g t h r o u g h t h e 1 3 t h b a r , s h e s t o p p e d a n d a d d e d a b a r t o t h e e n d O f t h e b o x ; s h e t h e n r e s u m e d c o u n t i n g a n d l a b e l i n g f r o m t h e 1 4 t h b a r t o t h e e n d . A s s h e d i d s o , s h e o m i t t e d ” 2 6 ” r e s u l t i n g i n l a b e l i n g t h e f i r s t n u m b e r o f t h e l a s t r o w " 2 7 " ( F i g u r e 2 1 s h o w s t h e 2 6 t h b a r w h i c h s h e a d d e d l a t e r ) . W h e n s h e r e a c h e d t h e s e c o n d l a s t b a r , l a b e l i n g i t ” 3 0 ” , s h e a p p e a r e d t o h a v e o n e t o o m a n y b a r s a n d , e r a s i n g t h e l a s t b a r - t h e o n e s h e h a d a d d e d i n t h e m i d s t o f t h i s c o u n t - s a i d , " I h a d i t r i g h t a l l a l o n g . W h y ’ d I a d d o n e ? " ( D , 1 2 , p . 2 ) . D a n i e l l e t h e n d r e w a h e a d a n d t o r s o f o r e a c h O f t h e f o u r c h i l d r e n i n t h e p r o b l e m . T h i s e p i s o d e p r o v i d e s o n e e x a m p l e o f a c o n s i s t e n t c h a r a c t e r i s t i c o f D a n i e l l e ’ s w o r k w i t h r e p r e s e n t a t i o n s . S h e m o n i t o r e d t h e c r e a t i o n t h r o u g h o u t , e x h i b i t i n g m u c h m o r e a w a r e n e s s o f w h a t s h e w a n t e d t h e r e p r e s e n t a t i o n t o d o a n d h o w i t w a s p r o g r e s s i n g t h a n t h e o t h e r c h i l d r e n h a d . S h e f r e q u e n t l y ” s t e p p e d o u t ” o f t h e a c t u a l c r e a t i o n p r o c e s s t o s e e h o w t h e g r o w i n g r e p r e s e n t a t i o n fi t w i t h h e r p l a n s . S h e s t a r t e d b y m e r e l y c o u n t i n g t h e b a r s o r a l l y , t h e n a p p e a r e d p o i s e d t o l a b e l e v e r y fi v e b a r s , a n d f i n a l l y l a b e l e d e v e r y b a r f u r t h e r s u p p o r t i n g h e r c o u n t i n g . A s s h e m a d e h e r f i n a l c o u n t , s h e d e c i d e d t h a t t h e r e w a s o n e f e w e r b a r i n t h e f i r s t r o w t h a n s h e h a d e x p e c t e d . S h e c o m p e n s a t e d b y d r a w i n g a n 1 5 8 a d d i t i o n a l b a r a t t h e b o t t o m o f t h e b o x . T h i s s u g g e s t s t h a t s h e b o t h s t o r e d i n m e m o r y h o w m a n y s h e e x p e c t e d t o b e i n t h e fi r s t r o w a n d m o n i t o r e d w h e t h e r s u b s e q u e n t c o u n t s m a t c h e d h e r m e m o r y . B o t h T e r i a n d B e r t a l s o s h o w e v i d e n c e O f m o n i t o r i n g o f t h e i r r e p r e s e n t a t i o n s . H o w e v e r , t h e y s e e m e d t o a t t e n d t o a r e p r e s e n t a t i o n ’ s c o n f o r m i t y t o p l a n a s t h e y c r e a t e d i t a n d i t s f u n c t i o n a l i t y a s t h e y u s e d i t ; D a n i e l l e s e e m e d t o c o m b i n e m o n i t o r i n g o f b o t h c o n f o r m i t y t o p l a n a n d f u n c t i o n a l i t y d u r i n g t h e p r o c e s s o f c r e a t i o n . D a n i e l l e w a s a t t e n t i v e t o h e r r e p r e s e n t a t i o n ’ s u t i l i t y b o t h a s s h e c r e a t e d i t a n d a s s h e u s e d i t . p " ] ° “ : 1 1 “ D a n i e l l e c i r c l e d t h e c a n d y b a r s i n g r o u p s o f f o u r w o r k i n g f r o m t h e " b o t t o m o f t h e b o x " u p , i . e . , t h e f i r s t g r o u p s h e c i r c l e d i n c l u d e d t h e 2 7 t h t h r o u g h 3 0 t h b a r s . A s s h e s t a r t e d t h i s , s h e a s k e d t h e c h i l d r e n ’ s n a m e s a n d w r o t e o n e b e n e a t h e a c h t o r s o . A f t e r a l l b u t o n e b a r w e r e g r o u p e d ( r e c a l l t h a t s h e h a d d r a w n 2 9 b a r s ) , s h e q u a r t e r e d t h a t l a s t b a r i n a f a s h i o n c o m m o n w i t h c h i l d r e n o f t h i s a g e : s h e d r e w a c r o s s i n t h e r e c t a n g l e . S h e d i d n o t l a b e l t h e q u a r t e r s . T w o o f h e r g r o u p s o f f o u r w e r e " v i r t u a l l y ” c o n n e c t e d : i n a s i n g l e g r o u p s h e i n c l u d e d m e m b e r s f r o m t w o d i f f e r e n t r o w s , e n c l o s i n g t h e m s e p a r a t e l y . F o r e x a m p l e , t h e 1 4 t h t h r o u g h 1 6 t h b a r s w e r e c i r c l e d i n o n e r o w a n d t h e 1 7 t h i n t h e n e x t . S h e t h e n m a d e ” v i r t u a l ” c o n n e c t i o n s b e t w e e n t h e b a r s a n d t h e c h i l d r e n b y l a b e l i n g e a c h b a r w i t h a b b r e v i a t i o n s o f a c h i l d ’ s n a m e , a n i n i t i a l o r i n i t i a l p a i r ( ” 8 ” f o r B i l l , ” M ” f o r M e g h a n , " J e " f o r J e n n y , ” i ” f o r J i m ) . S i n c e e a c h g r o u p h e l d f o u r b a r s , i t w a s m a t h e m a t i c a l l y u n n e c e s s a r y f o r D a n i e l l e t o l a b e l e a c h b a r i n e a c h g r o u p . Y e t , u n l i k e T e r i , D a n i e l l e c h o s e t o c o u n t 1 5 9 t h e n u m b e r o f b a r s s h e d i s t r i b u t e d t o e a c h c h i l d ; e a c h c h i l d r e c e i v e d s p e c i f i c b a r s . H a v i n g a l r e a d y u s e d n u m b e r s t o l a b e l t h e e n t i r e s e t o f b a r s , l e t t e r s s e e m a n o b v i o u s c h o i c e f o r t h i s d i s t r i b u t i o n . H a v i n g s a t i s fi e d h e r c u r i o s i t y a b o u t t h e g e n d e r s o f t h e c h i l d r e n , s e e k i n g n a m e s f o r i d e n t i f i c a t i o n p u r p o s e s s e e m s a s h o r t s t e p . O n t h e o t h e r h a n d , s h e h a d d e m o n s t r a t e d t h e e a s e O f c o u n t i n g b y f i v e s t o s o l v e t h e a l t e r n a t e p r o b l e m ( 3 0 b a r s a m o n g f i v e c h i l d r e n ) . O n c e s h e h a d t h e b a r s c i r c l e d i n g r o u p s o f f o u r , s h e c o u l d h a v e s o l v e d t h i s v e r s i o n i n l i k e f a s h i o n , b y c o u n t i n g t h e n u m b e r o f g r o u p s a n d t h e n d e a l i n g w i t h t h e l e f t - o v e r b a r . N o t t a k i n g t h i s a p p r o a c h s u g g e s t s t h a t s h e m a y n o t h a v e b e e n c o m p l e t e l y s a t i s f i e d w i t h t h e p r o c e s s b y w h i c h s h e s o l v e d t h e e a r l i e r p r o b l e m . H e r c a s u a l a p p r o a c h t o i t s s o l u t i o n m a y i n d i c a t e t h a t s h e d i d n o t c o u n t i t a s a v a l i d s o l u t i o n ; i t w a s m e r e l y a s k e t c h o f a w a y t o s o l v e t h e p r o b l e m . T h u s , i t i s p o s s i b l e t o a r g u e t h i s i s a c a s e o f D a n i e l l e n o t m a k i n g a c o n n e c t i o n , n o t c o n n e c t i n g b e t w e e n t h e m a t h e m a t i c s o f t h e f i r s t s o l u t i o n a n d o f t h i s o n e . H o w e v e r , I i n t e r p r e t t h i s m o r e a s a s y m p t o m o f h e r l a c k o f c o n f i d e n c e i n h e r m a t h e m a t i c a l a b i l i t y . S u c h a n i n t e r p r e t a t i o n i s c o n s i s t e n t w i t h h e r s t a t e m e n t s a n d a c t i o n s t h r o u g h o u t t h e i n t e r v i e w s ; n o t m a k i n g a c o n n e c t i o n w i t h o t h e r p a r t s O f p r o b l e m s o r t h e i n t e r v i e w s i s i n c o n s i s t e n t . T h e e x t r e m e e x a m p l e o c c u r r e d i n h e r f o u r t h i n t e r v i e w ( i n J u l y ) w h e n s h e r e c a l l e d w h a t s h e s a i d i n h e r s e c o n d i n t e r v i e w ( i n A p r i l ) b e f o r e w e w a t c h e d i t o n t a p e . D a n i e l l e ’ s " v i r t u a l ” a p p r o a c h t o d i s t r i b u t i o n p a i d s i g n i fi c a n t d i v i d e n d s . B e r t h a d a b a n d o n e d h i s f i r s t r e p r e s e n t a t i o n b e c a u s e c o n n e c t i n g i n d i v i d u a l b a r s t o i n d i v i d u a l c h i l d r e n r e s u l t e d i n a c h a o t i c a n d i n d e c i p h e r a b l e p i c t u r e . I t i s l i k e l y t h a t t h e s a m e r e s u l t w o u l d h a v e O b t a i n e d h a d D a n i e l l e m a d e p h y s i c a l c o n n e c t i o n s . G i v e n t h e d e t a i l a n d c o m p l e x i t y o f h e r r e p r e s e n t a t i o n , t h i s w o u l d h a v e b e e n ” e x p e n s i v e ” i n d e e d . O n t h e o t h e r h a n d , T e r i c o n n e c t e d g r o u p s o f b a r s 1 6 0 t o i n d i v i d u a l c h i l d r e n . T h i s r e d u c e d t h e n u m b e r o f c o n n e c t i n g l i n e s i n h e r r e p r e s e n t a t i o n t o 1 2 ( f o u r c h i l d r e n e a c h h a d t h r e e l i n e s t o t h e m ) . D a n i e l l e h a d n o c o n n e c t i n g l i n e s . F i r s t S Q l i i t i d r i T o d e t e r m i n e h o w m a n y b a r s e a c h c h i l d r e c e i v e d , D a n i e l l e c o u n t e d e a c h b a r ( o n e p e r g r o u p o f f o u r ) l a b e l e d w i t h t h e c o r r e s p o n d i n g i n i t i a l ( s ) . A f t e r c o u n t i n g " J e n ’ s ” a n d " B i l l ’ s , ” D a n i e l l e d r e w f o u r p a i r e d r e c t a n g l e s a t t h e b o t t o m o f t h e p a g e a n d , i n s i d e t h e t o p r e c t a n g l e o f e a c h p a i r w r o t e a c h i l d ' s " n i c k n a m e " : B , J e n , J i m , M e g . W h i l e w r i t i n g ” M e g , ” D a n i e l l e m a d e o n e o f h e r n o n - m a t h e m a t i c a l c o n n e c t i o n s . S h e c o m m e n t e d t h a t h e r t e a c h e r c a l l e d t h e M e g h a n i n t h e i r r o o m , ” M e g . ” S h e w r o t e " 7 " i n t h e r e c t a n g l e s b e l o w " B " a n d " J e n " - a n d d i d l i k e w i s e i n t h e c o r r e s p o n d i n g r e c t a n g l e s o n c e s h e h a d c o u n t e d ” M e g ’ s ” a n d ” J i m ’ s ” b a r s . D a n i e l l e a d d e d a q u a r t e r f r o m t h e 2 9 t h b a r m a k i n g t h e t o t a l ” s e v e n a n d a f o u r t h ” a n d w r i t i n g ” / 4 " i n e a c h b o x a f t e r t h e ” 7 ” ( F i g u r e 2 1 s h o w s ” 7 / 2 " w h i c h w a s h e r fi n a l s o l u t i o n — s h e m a d e c h a n g e s t w i c e , e r a s i n g t h e p r e v i o u s s o l u t i o n e a c h t i m e ) . B e r t a n d T e r i d e t e r m i n e d t h e s o l u t i o n b y c o u n t i n g t h e n u m b e r o f b a r s t h a t o n e c h i l d r e c e i v e d . T o d e t e r m i n e t h e t o t a l f o r o n e c h i l d , b o t h u s e d t h e i r g r o u p d i s t r i b u t i o n — B e r t s t a r t e d h i s c o u n t i n g w i t h f o u r , T e r i w i t h s i x . D a n i e l l e c o u n t e d e a c h b a r f o r e a c h c h i l d . A s s h e c o u n t e d ” J e n ’ s " b a r s , s h e c o m m e n t e d t h a t ’ t h e y b e t t e r a l l c o m e o u t t h e s a m e a m o u n t o r I ’ m g o n n a b e r e a l l y m a d " ( D , 1 2 , p . 3 ) . I a s k e d " W h y i s t h a t ? " e x p e c t i n g a r e s p o n s e r e l a t e d t o e q u a l d i s t r i b u t i o n , i . e . , t h e m a t h e m a t i c s o f t h e s i t u a t i o n . D a n i e l l e r e s p o n d e d , " B e c a u s e I ' m n o t g o o d a t t h i s " , i . e . , t h e p r o c e s s o f s o l v i n g t h e p r o b l e m , s h e p r o c e e d e d t o c o u n t t h e b a r s e a c h c h i l d r e c e i v e d . H e r 1 6 1 r e s p o n s e s e e m s r o o t e d i n h e r a s s e s s m e n t o f h e r a b i l i t y t o g e t t h e p r o c e s s r i g h t . T h a t i s , s h e a s s u m e d e q u a l d i s t r i b u t i o n a n d t h a t a n y d i f fi c u l t y s h e m i g h t h a v e w a s r o o t e d i n c a r r y i n g t h e p r o c e s s o u t s a t i s f a c t o r i l y . ” I t s u g g e s t s t h a t s h e s a w c o m p u t a t i o n a l a c c u r a c y a s p a r t O f d o i n g m a t h e m a t i c s . A s h e r g r o u p s w e r e v i r t u a l , s o w a s h e r d i s t r i b u t i o n . S h e d i d n o t p h y s i c a l l y c o n n e c t t h e b a r s t o e i t h e r s e t o f r e p r e s e n t a t i o n s o f c h i l d r e n , s h e m e r e l y l a b e l e d t h e b a r s w i t h a b b r e v i a t i o n s o f t h e i r n a m e s . U n l i k e B e r t a n d T e r i , t h e r e p r e s e n t a t i o n s e e m s t o b e a m o d e l o f t h e s i t u a t i o n ; t h e r e a r e c a n d y b a r s l a i d o u t i n a b o x a n d t o r s o s - - o n e o f w h i c h e v e n i n c l u d e d l o n g h a i r — o f r e c i p i e n t s i d e n t i f i e d b y n a m e . A l s o , i n c o n t r a s t w i t h B e r t a n d T e r i , D a n i e l l e u s e d ” b a r ( s ) " a n d ” k i d s ” f r e q u e n t l y , s e l d o m e l i d i n g t h e s e n o u n s . 2 m m ) S i n c e D a n i e l l e a p p e a r e d d o n e I p o i n t e d o u t t h a t h e r n u m b e r s w e n t f r o m ” 2 5 ” t o ” 2 7 . ” S h e i m m e d i a t e l y r e c o g n i z e d t h a t s h e h a d m i s s e d 2 6 . S h e d r e w a n d q u a r t e r e d a n o t h e r b a r i n i t s a p p r o p r i a t e l o c a t i o n w i t h i n t h e ” b o x ” o f ” c a n d y b a r s ” a n d q u i c k l y c h a n g e d h e r a n s w e r t o ” s e v e n a n d a n e i g h t h , ” e r a s i n g t h e ” 4 ” o f ” 7 / 4 ” a n d m a k i n g i t ” 7 / 8 ” . D a n i e l l e e x p l a i n e d t h a t a n e i g h t h i s t h e " n e x t o n e u p f r o m a f o u r t h . " B y t h i s , I b e l i e v e s h e m e a n t t h a t t h e n e x t f r a c t i o n ” u p ” f r o m a q u a r t e r w a s a n e i g h t h . W h e t h e r s h e t h o u g h t a n e i g h t h w a s l a r g e r t h a n a q u a r t e r o r w a s c o n f u s e d a b o u t w h e t h e r t o m a k e t h e q u a n t i t y l a r g e r o r s m a l l e r , i s i m p o s s i b l e t o k n o w a t t h i s t i m e . I t c o u l d b e t h a t , s i n c e t h e r e w e r e n o w e i g h t f r a c t i o n a l p i e c e s , s h e w a s i n fl u e n c e d t o c h o o s e t h a t f r a c t i o n S h e e x p r e s s e d a n g e r a t ” 2 6 ” f o r h a v i n g c a u s e d h e r s u c h t r o u b l e . 7 2 T h i s i s a l m o s t 1 8 0 d e g r e e s f r o m J i m - w h o , w h i l e h i s w o r k h a d s e r i o u s t e c h n i c a l p r o b l e m s , a s s u m e d t h e e r r o r l a y e l s e w h e r e . I t i s a l s o a n a c c u r a t e a s s e s s m e n t i n t h i s i n s t a n c e : D a n i e l l e ’ s r e a s o n i n g w a s c o r r e c t w h i l e s h e m i s s e d o n e b a r r e s u l t i n g i n a n i n c o r r e c t a n s w e r a t fi r s t . 1 6 2 W h e n I a s k e d h e r t o s h o w m e w h a t e a c h c h i l d r e c e i v e d , s h e l a b e l e d e a c h O f t h e q u a r t e r s o f t h e t w o b a r s a s s h e h a d t h e w h o l e b a r s . I n t h e p r o c e s s o f l a b e l i n g t h e q u a r t e r s s h e s e e m e d t o c o m e t o a c o n c l u s i o n w h i c h d e l i g h t e d h e r ; s h e f i r s t s m i l e d a n d t h e n l a u g h e d V i c t o r i o u s l y , s a y i n g t h a t t h e a m o u n t e a c h c h i l d r e c e i v e d w o u l d b e ” s e v e n a n d a h a l f . " S h e s h o w e d ( a t m y r e q u e s t ) w h y t h e f r a c t i o n w a s a h a l f ( r a t h e r t h a n a n e i g h t h ) . T o d o s o , s h e d r e w t w o ” c i r c l e s ” a n d q u a r t e r e d t h e m ( F i g u r e 2 2 a . S h e t h e n s h o w e d h o w t w o q u a r t e r s , o n e f r o m e a c h c i r c l e , w o u l d c o m b i n e t o b e a h a l f ( F i g u r e 2 2 b ) . A s s h e d r e w t h e t w o c i r c l e s , D a n i e l l e i n s t r u c t e d m e t h a t ” t h e s e a r e c i r c l e s . ” I e x a m i n e h e r i n s t r u c t i o n t o t r e a t t h e r e p r e s e n t a t i o n s a s i d e a l o b j e c t s i n c h a p t e r 4 . I n c h a p t e r 5 , I e x a m i n e t h e i m p l i c a t i o n s o f h e r a t t e m p t t o d r a w t h e s e o n t h e c h a l k b o a r d i n s t e a d o f p a p e r a n d h e r u s e o f c i r c l e s i n s t e a d o f r e c t a n g l e s . B r i e fl y , I s e e t h e s e a s i n d i c a t i o n s t h e s e r e p r e s e n t a t i o n s w e r e d o i n g d i f f e r e n t w o r k f o r h e r t h a n t h a t o f h e r ” m a i n ” r e p r e s e n t a t i o n . I n a s e n s e s h e s a w t h i s a s a s e p a r a t e i s s u e , n o t a s p a r t o f s o l v i n g t h e p r o b l e m . D a n i e l l e c h a n g e d t h e a m o u n t s a t t h e b o t t o m o f t h e p a g e t o " 7 / 2 " a f t e r a s k i n g h e r s e l f ( b u t n o t a n s w e r i n g o u t l o u d ) h o w t o w r i t e a h a l f . A t t h i s p o i n t D a n i e l l e c o m m e n t e d a b o u t t h e l e n g t h o f t i m e t h e p r o b l e m t o o k a n d t h a t I w a s " n o t s u p p o s e d t o g i v e ” h e r " h a r d a n d t r i c k y p r o b l e m s . " I a n a l y z e h e r u s e o f t h e s e w o r d s i n c h a p t e r 4 . A f t e r t h a t d i s c u s s i o n , w e m o v e d t o t h e n e x t p r o b l e m i n t h e p r o t o c o l . 1 6 3 2 2 A ' - F i g u r e 2 2 : R e p r e s e n t a t i o n s s h o w i n g t h a t t w o q u a r t e r s i s t h e s a m e a s a h a l f . 2 2 8 S u m m a r y A s s h e w o r k e d o n t h i s p r o b l e m , D a n i e l l e m a d e f r e q u e n t c o n n e c t i o n s w i t h b o t h m a t h e m a t i c a l a n d n o n - m a t h e m a t i c a l e x p e r i e n c e s . S h e s e e m e d t o c r e a t e a w e b a l m o s t c o m p u l s i v e l y . T h e c o m p l e x c o n n e c t i o n s s e e m e d i n t e n d e d — l i k e a s n o t , s u b - c o n s c i o u s l y — t o h e l p h e r b a l a n c e t h e t h r e a t e n i n g a b s t r a c t m a t h e m a t i c s w i t h t h e c o m f o r t o f h e r w o r l d a s s h e w o r k e d . E v e n s o , s h e e n c o u n t e r e d m a t h e m a t i c a l t e r r a i n i n w h i c h s h e f e l t a p t t o g e t l o s t , a s w h e n s h e a r g u e d t h a t s h e w a s n o t g o o d a t e x p l a i n i n g d i v i s i o n o f b a r s . T h i s s e l f - d e p r e c a t i o n w a s b e l i e d b y h e r a c t u a l e x p l a n a t i o n . T h e r ' T I m a d e t h e t r a n s i t i o n t o t h i s t a s k b y s a y i n g , ” O k a y , l e t ' s t r y s o m e t h i n g c o m p l e t e l y d i f f e r e n t . ” B e f o r e I l a i d o u t t h e fi r s t s l i p w i t h e m p t y s q u a r e s a l t e r n a t i n g w i t h O p e r a t i o n s y m b o l s , D a n i e l l e u t t e r e d a n ” U h , o h . ” I s a i d c o a x i n g l y , ” Y o u d o n ' t m e a n ’ u h - o h ’ a t a l l . ” S h e r e s p o n d e d , " Y e s I d o ! I ' m n o t s a y i n g ’ u h - o h ’ b e c a u s e u h - O h ' s a f u n w o r d , I ' m s a y i n g ’ u h - o h ’ b e c a u s e I ' m i n t r o u b l e ” ( D , 1 2 , p . 1 4 ) . S h e d i d n o t e l a b o r a t e . H e r e D a n i e l l e ’ s p r o j e c t i o n — o n t h e b a s i s o f n o i n f o r m a t i o n o t h e r t h a n m y s t a t e m e n t t h a t w e w o u l d t r y s o m e t h i n g 1 6 4 ” d i f f e r e n t ” - O f a n e g a t i v e e x p e r i e n c e i n t h e u p c o m i n g m a t h e m a t i c a l t a s k , c o n fi r m s h e r s t a t e m e n t s a b o u t h e r l a c k o f s e l f - c o n f i d e n c e i n m a t h e m a t i c s . W h e n I p u t o u t o n e O f t h e s l i p s , I a s k e d h e r i f s h e r e c o g n i z e d t h e s y m b o l s . S h e i d e n t i fi e d t h e m a s ” a d d ” a n d " s u b t r a c t . ” I s t a r t e d t o d e s c r i b e t h e t a s k s a y i n g I w o u l d g i v e h e r n u m b e r s t o p u t i n t h e b o x e s a n d , m a k i n g a p r o j e c t i o n a b o u t m y q u e s t i o n , s h e fi n i s h e d m y s e n t e n c e : ” t h e n y o u f i n d o u t w h a t t h e y c o m e o u t t o ? ” I e x p l a i n e d t h a t I w a s n ’ t i n t e r e s t e d i n w h a t t h e y ” c o m e o u t t o " ; r a t h e r , " I w a n t y o u t o a r r a n g e i t s o t h a t y o u g e t t h e b i g g e s t p o s s i b l e n u m b e r , i f y o u d i d fi g u r e i t o u t . ” W h e n D a n i e l l e c o n f i r m e d s h e u n d e r s t o o d , I t o l d h e r t h e n u m b e r s s u g g e s t i n g s h e w r i t e t h e m d o w n . S h e c o m m e n t e d s o m e w h a t s a r c a s t i c a l l y , ” T h a t w a s r e a l h a r d . ” T h i s s e e m e d a f r i e n d l y , n o t a n a n g r y s a r c a s m . S h e s e e m e d t o b e i m p l y i n g ” T h o s e a r e e a s y t o r e m e m b e r , I d i d n ’ t n e e d t o w r i t e t h e m d o w n . " C l e a r l y , s h e f e l t c o m f o r t a b l e p o i n t i n g o u t t o m e w h e n I w a s d i s c o u n t i n g h e r a b i l i t i e s . F ' k - i n h L a r e m D a n i e l l e s t a r t e d t h e t a s k b y s a y i n g " o n e ” b u t q u i c k l y c o r r e c t e d h e r s e l f a n d fi l l e d i n p o s i t i o n s a s s h e s a i d , ” fi v e p l u s f o u r m i n u s t w o p l u s t h r e e . ” N o t w i t h s t a n d i n g h e r c o m m e n t s a b o u t t h e e a s e o f r e m e m b e r i n g t h e n u m b e r s I h a d g i v e n h e r , s h e l o o k e d o v e r a t t h e p a p e r w h e r e s h e h a d w r i t t e n ” 2 ” , " 3 ” , ” 4 ” , * 5 ” , a f t e r w r i t i n g b o t h t h e ” 4 ” a n d t h e ” 2 ” s e e m i n g l y m a k i n g u s e o f t h e r e c o r d o f t h e m . D a n i e l l e w a s w i l l i n g t o u s e e v e n r e s o u r c e s s h e h a d d i s p a r a g e d . O n c e a l l p o s i t i o n s w e r e f i l l e d , s h e c o m p u t e d t h e a n s w e r w o r k i n g f r o m l e f t t o r i g h t a n d c o n c l u d e d t h e t o t a l w a s 1 0 . S h e a d d e d t h e f i v e a n d f o u r i n h e r h e a d a n d l i k e w i s e s u b t r a c t e d t h e 2 . S h e s a i d , " T h e n y o u a d d 3 . ” S h e d i d t h e a d d i n g b y c o u n t i n g o n o r a l l y w h i l e k e e p i n g t r a c k w i t h h e r f i n g e r s . H a v i n g fi n i s h e d 1 6 5 c o m p u t i n g t h e s o l u t i o n t o t h i s a r r a n g e m e n t , s h e s t o p p e d , s e e m i n g t o b e d o n e . I a s k e d w h y s h e t h o u g h t t h a t a r r a n g e m e n t g a v e h e r t h e l a r g e s t n u m b e r . S h e l e a n e d b a c k , s a y i n g , ” I d o n ’ t k n o w . ” S h e p a u s e d t h e n s t a r t e d w r i t i n g o n t h e t o p s h e e t o f t h e s t a c k o f p a p e r o n t h e i n t e r v i e w t a b l e . A s I l e a n e d f o r w a r d t o s e e w h a t s h e w a s w r i t i n g , s h e d i d l i k e w i s e a n d s a i d , ” W h a t a m I w r i t i n g ? ” W h e n I s a w t h a t s h e s e e m e d t o b e m a k i n g a n e w v e r s i o n o f t h e t a s k , I o f f e r e d h e r m o r e b l a n k s l i p s t o u s e . D a n i e l l e p a u s e d a n d c o m m e n t e d t h a t ” t h e r e ’ s f o u r d i f f e r e n t w a y s y o u c a n d o t h i s , m a y b e . ” S h e t h e n w r o t e o u t a n d c o m p u t e d t h e t o t a l f o r 4 + 2 - 5 + 3 , s a i d s h e w o u l d t r y a n o t h e r , a n d w r o t e 2 + 3 - 4 + 5 . W i t h e a c h , s h e w r o t e t h e n u m b e r s a n d t h e n c o m p u t e d m e n t a l l y s t e p - b y - s t e p f r o m l e f t t o r i g h t . S h e p a u s e d a g a i n . A s s h e w a s w o r k i n g t h r o u g h h e r t h i r d a r r a n g e m e n t , D a n i e l l e m a d e t w o c o m m e n t s : " I ’ m g o i n g t o u s e u p a l l y o u r s l i p s . ” a n d ” T h e r e ’ s t o o m a n y w a y s y o u c a n d o i t . O h , m a n . ” T h e f i r s t c o m m e n t i n t e r r u p t e d h e r o w n s t a r t a t d e s c r i b i n g h e r t h i r d s o l u t i o n a n d w a s a s o r t o f c o n n e c t i o n s h e m a d e t o t h e r e a l w o r l d — o n e o f o n l y t w o , m a r g i n a l l y ” r e a l w o r l d ” c o n n e c t i o n s s h e m a d e t h r o u g h o u t t h e O p e r a t i o n s t a s k s . T h i s w a s c e r t a i n l y n o t t h e s o r t o f c o n n e c t i o n s h e m a d e i n o t h e r t a s k s — w h e r e s h e r e l a t e d t o p e o p l e a n d h e r o w n e x p e r i e n c e s . I t s e e m s m o r e a c o m m e n t a b o u t t h e n u m b e r o f p o s s i b l e a r r a n g e m e n t s . o r c o m p l e x i t y a n d d i f f i c u l t y o f t h e t a s k . H e r s e c o n d c o m m e n t c a m e i n t h e m i d s t o f h e r c o m p u t i n g t h e a n s w e r f o r o n e o f h e r a r r a n g e m e n t s . A c o m m e n t t h a t i s a b o u t t h e n u m b e r O f p o s s i b l e a r r a n g e m e n t s , i t i s a s u b j e c t m a t t e r s p e c i f i c c o n n e c t i o n I t s e e m s t o c o n t r a d i c t h e r p r e v i o u s O b s e r v a t i o n o f ” f o u r d i f f e r e n t w a y s y o u c a n d o t h i s . " N e i t h e r c o m m e n t , t h o u g h i n t e r r u p t i n g w o r k i n p r o g r e s s , s e e m e d t o d i s r u p t h e r t r a i n o f t h o u g h t . S h e c o n t i n u e d t o p u r s u e t h e t a s k a f t e r t h e c o m m e n t s . 1 6 6 D a n i e l l e p a u s e d a f t e r h e r s e c o n d a n d t h i r d a r r a n g e m e n t s r e s u l t e d i n t w o a n s w e r s s m a l l e r t h a n t e n , h e r f i r s t s o l u t i o n . I a g a i n t r i e d t o r e t u r n t o t h a t s o l u t i o n s a y i n g , ” B u t y o u p u t t h e s e i n p r e t t y q u i c k l y [ p o i n t i n g t o t h e fi r s t s l i p ] . Y o u w e r e p r e t t y s u r e t h a t t h i s w a s t h e r i g h t w a y t o d o i t ” ( D , I 2 , p . 1 5 ) . D a n i e l l e p u t m e O f f b y s a y i n g t h a t , ” t h i s i s t h e l a s t . I h a v e n ' t s t a r t e d w i t h t h e t h r e e y e t ” ( p . 1 5 ) . T h i s s u g g e s t s t h e o r i g i n o f h e r c l a i m o f f o u r a r r a n g e m e n t s : t h e r e c o u l d b e o n e a r r a n g e m e n t s t a r t i n g w i t h e a c h n u m b e r . S h e n e x t t r i e d , 3 + 4 - 2 + 5 . W h e n t h i s a l s o c a m e o u t 1 0 , s h e c o m m e n t e d , ” w e h a v e a t i e h e r e ” ( p . 1 5 ) . I p o s t u l a t e d t h a t t h e r e m u s t b e m o r e t h a n o n e w a y t o g e t 1 0 a n d s h e a g r e e d e x t e n d i n g i t t o ” T h e r e ' s s o m a n y m o r e w a y s t o d o i t ” ( p . 1 5 ) . S h e s a t b a c k a n d f o l d e d h e r a r m s l o o k i n g s o m e w h a t d i s t r e s s e d a s s h e p o n d e r e d t h e p r o s p e c t . S h e a p p a r e n t l y r e c o g n i z e d t h e r e w e r e m o r e p o s s i b l e w a y s t o a r r a n g e t h e n u m b e r s . T h i s t h e n f i t s w i t h h e r c o m m e n t s a b o u t ” u s i n g u p a l l ” m y s l i p s a n d t h e r e b e i n g ” t o o m a n y w a y s y o u c a n g e t i t . ” I t s e e m s l i k e l y t h a t s h e r e a l i z e d a s s h e w a s c r e a t i n g t h e s e f o u r a r r a n g e m e n t s , t h a t m a n y o t h e r s w e r e p o s s i b l e . O n c e m o r e , I q u e s t i o n e d h o w s h e d e c i d e d t o o r d e r t h e n u m b e r s a s s h e h a d i n t h e f i r s t i n s t a n c e ” a n d t o b e s o s u r e t h a t t h a t w o u l d g i v e y o u t h e g r e a t e s t n u m b e r . ” S h e p o i n t e d o u t t h a t i t h a d n o t g i v e n h e r t h e g r e a t e s t n u m b e r : ” W e l l , i t d i d n ' t , b e c a u s e a n o t h e r t h i n g [ a r r a n g e m e n t ] g a v e m e t h e s a m e n u m b e r ” ( D , 1 2 , p . 1 5 ) . S h e i n d i c a t e d t h a t s h e w a s n o t s u r e w h a t I e x p e c t e d h e r t o d o n e x t s a y i n g , ” S o , y o u w a n t m e t o . . . ” h e r v o i c e t r a i l e d o f f a n d s h e p u t h e r h e a d i n h e r a r m s . F o r D a n i e l l e , t h e r e d i d n o t s e e m a c l e a r o b j e c t i v e . S h e h a d t r i e d s e v e r a l a r r a n g e m e n t s a n d c o m p u t e d t h e t o t a l s a n d g o t t e n n o c l e a r l a r g e s t o u t c o m e . Y e t I w a s s t i l l q u e s t i o n i n g h e r . M y q u e s t i o n s w e r e n o t a b o u t h e r c o m p u t a t i o n , t h e y w e r e a b o u t d e c i s i o n - m a k i n g , s o m e t h i n g t h a t m a y h a v e b e e n i n v i s i b l e o r u n i m p o r t a n t t o h e r i n t h i s i n s t a n c e . I t m a y a l s o b e t h a t s h e d i d n o t s e e a s t r a t e g y 1 6 7 f o r d e c i d i n g w h a t w a s t h e l a r g e s t p o s s i b l e o u t c o m e o t h e r t h a n t r y i n g a l l t h e m a n y p o s s i b l e a r r a n g e m e n t s - s o m e t h i n g s h e c l e a r l y h a d n o i n t e r e s t i n d o i n g . W h a t i s p a r t i c u l a r l y n o t i c e a b l e i s t h a t D a n i e l l e w a s a t a l o s s f o r w o r d s . U n l i k e v i r t u a l l y a l l o t h e r t i m e s , s h e b e c a m e s i l e n t . S h e h a d c o m e t o a d e a d e n d m a t h e m a t i c a l l y a n d h a d n o ” r e a l w o r l d ” c o n t e x t w i t h w h i c h t o m a k e s u p p o r t i v e o r r e a s s u r i n g c o n n e c t i o n s . I c h a n g e d t h e q u e s t i o n b y a s k i n g w h e t h e r s h e t h o u g h t t h a t s h e c o u l d a r r a n g e t h e s e n u m b e r s i n a w a y t h a t w o u l d y i e l d a l a r g e r o u t c o m e . S h e t h o u g h t n o t ” b e c a u s e y o u o n l y h a v e t h o s e l i t t l e , s k i m p y n u m b e r s . S e e [ c o n t i n u i n g i n a w h i n i n g t o n e ] , t h e m o s t y o u c a n h a v e i s p r o b a b l y f i v e p l u s f o u r . T h a t c o m e s o u t t o n i n e . A n d y o u o n l y w a n t t o t a k e a w a y t w o a t t h e m o s t ” ( D , 1 2 , p . 1 5 ) . H e r t o n e s u g g e s t e d f r u s t r a t i o n - a n i n d i c a t i o n t h a t s h e f e l t s t u c k a n d u n a b l e t o p r o c e e d . I n f a c t , l a t e r i n t h e t a s k s h e d e s c r i b e d h e r s e l f a s ” s t u c k ” - w h i c h f e e l i n g w o u l d n o t t h e n c a u s e r e a l u p s e t o r i m p e d e h e r f r o m c o n t i n u i n g t o w o r k o n i t . A t t h i s t i m e , w h i l e f e e l i n g f r u s t r a t e d , s h e c o n c i s e l y a n a l y z e d t h e p r o b l e m . S h e d i d n o t e x p l i c i t l y m a k e t h e g e n e r a l c a s e u a d d t h e l a r g e s t n u m b e r s a n d s u b t r a c t t h e s m a l l e s t ( a d m i t t e d l y , r e d u n d a n t ) - - b u t t h e s e e d s w e r e p r e s e n t . T h i s i s c l e a r f r o m h e r r e s p o n s e w h e n I a s k e d w h y s h e w o u l d o n l y w a n t t o t a k e t w o a w a y . S h e r e s p o n d e d , ” b e c a u s e i t ’ s t h e l o w e s t n u m b e r ” ( p . 1 5 ) . A t t h i s p o i n t , t h e a u d i o t a p e s t o p p e d a n d s o d i d D a n i e l l e - w a i t i n g f o r i t t o b e r e - s t a r t e d . 7 3 W h e n s h e c o n t i n u e d , D a n i e l l e g a v e a n e x a m p l e t o s h o w w h y o n e w o u l d n ’ t w a n t t o s u b t r a c t a n y o f t h e o t h e r n u m b e r s . S h e d i d 2 + 3 - 5 + 4 o r a l l y . S h e w a s s t r u c k s o m e h o w b y t h i s o n e s a y i n g , ” W o w ! I s h o u l d h a v e d o n e t h a t p r o b l e m ! " ( p . 1 6 ) . I t s e e m e d s h e l i k e d t h e s t r u c t u r e , f e e l , o r fl o w o f t h e p r o b l e m u t h a t 2 + 3 - 5 g a v e z e r o w a s 7 3 N o t o n l y d i d D a n i e l l e m o n i t o r h e r r e p r e s e n t a t i o n s a s s h e d i d m a t h e m a t i c s b u t s h e m o n i t o r e d t h e e n v i r o n m e n t t o o . S h e d i d n o t w a n t m e t o l o s e h e r c o m m e n t s a s I s w i t c h e d s i d e s o f t h e t a p e . 1 6 8 ” n i c e . ” R e t u r n i n g f r o m t h i s t a n g e n t o n h e r o w n , s h e r e f e r r e d b a c k t o h e r o r i g i n a l s o l u t i o n a n d c o m p u t e d i t a g a i n t o s h o w h o w ( o r w h y ) i t " c a m e o u t " a s t e n . S e g g n d T a s k - S e e k i n g t h e L a r g e s t Q g t c g m e I s u g g e s t e d w e " t r y a n o t h e r o n e ” - i n t e n d i n g a d i f f e r e n t t a s k , a d i f f e r e n t a r r a n g e m e n t o f o p e r a t i o n s . S h e a p p a r e n t l y t h o u g h t I w a s g o i n g t o s u g g e s t i n s e r t i n g t h e s a m e n u m b e r s i n a n o t h e r o r d e r . S h e f i r s t a g r e e d t o t r y ” a n o t h e r o n e . " I p u t a s i d e t h e s l i p s s h e h a d b e e n w o r k i n g w i t h a n d , t e l l i n g h e r t o u s e t h e s a m e n u m b e r s , p u t o u t w h a t m a y h a v e a p p e a r e d t o h e r q u i c k g l a n c e l i k e a n o t h e r c o p y o f t h e s a m e s l i p ( b u t w h i c h h a d t h e o p e r a t i o n s r e v e r s e d ) . S h e a s k e d , ” T h e s a m e n u m b e r s ? ” A t m y c o n f i r m a t i o n o f t h i s s h e t u r n e d s i d e w a y s i n h e r c h a i r a n d a s k e d , ” B u t h o w d o I k n o w w h a t a r e t h e n u m b e r s I d i d n ' t u s e ? ” W h e n I a s k e d w h a t s h e m e a n t , D a n i e l l e e x p l a i n e d , " I m e a n l i k e t h e n u m b e r s , t h e s e n t e n c e s I d i d n o t d o . ” S h e s e e m e d t o m e a n t h a t s h e t h o u g h t I e x p e c t e d h e r t o c r e a t e m o r e c o m b i n a t i o n s b u t s h e d i d n o t w a n t t o r e p e a t t h o s e s h e h a d a l r e a d y d o n e . S h e s e e m e d t o s e e t h i s a s a c o n t i n u a t i o n o f t h e p r e v i o u s t a s k , r e q u i r i n g h e r t o t r y a l l p o s s i b l e a r r a n g e m e n t s . W h e n I p o i n t e d o u t t h a t w e w e r e e s s e n t i a l l y ” s t a r t i n g o v e r " w i t h ” m i n u s , p l u s , m i n u s , ” D a n i e l l e s a t u p h a p p i l y : " T h i s o n e ' s g o i n g t o b e t r i c k y . N o w t h i s i s g o i n g t o b e h a r d ” ( D , 1 2 , p . 1 6 ) . S h e c o n t i n u e d t a l k i n g a s s h e s t a r t e d p u t t i n g n u m b e r s i n : O h , n o . [ P a u s e ] T h i s p r o b a b l y w i l l b e t h e h i g h e s t [ p o s s i b l e o u t c o m e ] . F i v e m i n u s t w o p l u s f o u r . [ p a u s e ] O h n o , o k a y . [ 5 - 2 + 4 - 3 ] T h r e e [ p o i n t i n g t o t h e 5 - 2 ] a n d o n e [ p o i n t i n g t o t h e 4 - 3 ] , t h a t ' s t h e l o w e s t p r o b a b l y o f t h e w h o l e t h i n g . I ' m m a d a t m y s e l f . ” ( D , I 2 , p . 1 6 ) W h e n I a s k e d w h y s h e w a s m a d a t h e r s e l f , s h e s h r u g g e d a n d s a i d ” B e c a u s e t h i s o n l y w o r k s o u t t o f o u r ! ” S i n c e t h i s a n s w e r w a s f o u r — t h e s a m e a s 1 6 9 t h e s m a l l e s t o u t c o m e o f t h e p r e v i o u s s l i p , D a n i e l l e s e e m e d t o t h i n k s h e w a s ” w r o n g . ” S h e ” w a n t [ e d ] t h e h i g h e s t ! ” D a n i e l l e ’ s e m o t i o n s s w u n g r a p i d l y a s s h e e n g a g e d w i t h t h i s t a s k . T h i s e p i s o d e a l s o O f f e r s a m p l e e v i d e n c e o f h e r m o n i t o r i n g o f h e r t h i n k i n g a s s h e w o r k e d o n a p r o b l e m . I n t h i s i n s t a n c e , s h e w a s n o t c r e a t i n g a r e p r e s e n t a t i o n b u t w a s u s i n g t h e s t r u c t u r e I h a d d e s i g n e d f o r t h e t a s k . H e r c o m m e n t s w e r e i n a t o n e a n d v o l u m e t h a t s u g g e s t t h e y w e r e d i r e c t e d a t h e r s e l f . A s I a s k e d i f s h e t h o u g h t t h a t w a s n ’ t t h e h i g h e s t , s h e w a s a l r e a d y s t a r t i n g t o w o r k o n a n e w a r r a n g e m e n t . T r y i n g 3 - 2 + 5 - 4 a n d g e t t i n g a s m a l l e r a n s w e r , D a n i e l l e s t o p p e d a n d a s k e d i f s h e h a d t o ” u s e a l l t h e s e f o u r n u m b e r s i n e a c h s e n t e n c e . ” I c o n f i r m e d s h e d i d a n d s h e p a u s e d a n d l o o k e d a t t h e s l i p s f o r a w h i l e . T h i s w a s a r a r e i n s t a n c e w h e n h e r w o r k o n a r e p r e s e n t a t i o n w a s n o t r e a d i l y a p p a r e n t ; w h e r e s h e w a s s i l e n t l y a n a l y z i n g a s i t u a t i o n . S h e t h e n g o t e x c i t e d , ” O o o h , t h i s i s g o i n g t o c o m e o u t n e g a t i v e . ” S h e q u i c k l y t u r n e d t h i s p o s i t i v e a f f e c t i v e r e a c t i o n o n i t s e a r s a y i n g , ” I ' m i n t r o u b l e , I d o n ' t k n o w n e g a t i v e n u m b e r s t h a t w e l l . ” H o w e v e r , s h e c o n t i n u e d w o r k i n g o n t h e t a s k : ” T h r e e t a k e a w a y f o u r , i m p o s s i b l e , i t ' s g o i n g t o b e n e g a t i v e o n e . ” T h e n , w h i n i n g b u t a l s o s m i l i n g - - f o r D a n i e l l e , s e e m i n g l y e x q u i s i t e a g o n y , ” I d o n ' t k n o w w h a t t o d o , I d o n ’ t k n o w n e g a t i v e n u m b e r s , a n d n o w I ' m s t u c k ! . . . I s n e g a t i v e o n e a n u m b e r ? I s n e g a t i v e o n e a n u m b e r ? . . . I s n e g a t i v e o n e a n u m b e r ? I t s h o u l d n ' t b e ” ( D , 1 2 , p . 1 6 ) . T h i s s t r i n g o f q u e s t i o n s w a s u t t e r e d i n a d i s t r a c t e d , s e l f - a b s o r b e d f a s h i o n . S h e w a s n o t a s k i n g m e b u t h e r s e l f . A f t e r t h e fi r s t q u e s t i o n , s h e l o o k e d O f f t o t h e s i d e a s s h e p o n d e r e d . I a s k e d " w h y n o t ? ” a n d D a n i e l l e s a i d , ” B e c a u s e i t ' s n e g a t i v e . W e d o n ' t w a n t n e g a t i v e t h i n g s i n o u r s c h o o l . I ’ m s t u c k . [ p u t t i n g h e a d o n t a b l e ] W h y ’ d I d o t h i s ? ” ( p . 1 6 ) . D a n i e l l e w a s p o n d e r i n g a n i s s u e l a r g e r t h a n t h e p a r t i c u l a r p r o b l e m . B u t , s e e m i n g n o t t o m a k e h e a d w a y i n h e r 1 7 0 a n a l y s i s , s h e f e n c e d o f f t h e t e r r i t o r y w i t h h u m o r b y e q u a t i n g i t w i t h ” r e a l w o r l d ” n e g a t i v e t h i n g s . T h i s i s d i s c u s s e d i n c h a p t e r 4 . I a s k e d i f s h e t h o u g h t t h e a n s w e r t o t h i s n e w a r r a n g e m e n t w o u l d b e l a r g e r t h a n t h e p r e v i o u s o n e . S h e r e s p o n d e d , " N o w a y , n o t w i t h t h a t n e g a t i v e n u m b e r i n t h e r e ” a n d e r a s e d t h e ” 3 ” a n d ” 4 ” i n t h e s l i p . D a n i e l l e t h e n w e n t o n t o a n e w a r r a n g e m e n t . T h e s e s e e m e d t o b e t r i a l s i n c o n t r a s t w i t h T e r i a n d B e r t . T e r i q u i c k l y - a n d a p p a r e n t l y i n t u i t i v e l y — c r e a t e d t h e a r r a n g e m e n t s h e t h o u g h t w o u l d p r o v i d e t h e l a r g e s t ( s m a l l e s t ) o u t c o m e . B e r t s y s t e m a t i c a l l y l o o k e d a t a l t e r n a t i v e s b y c o m p u t i n g e a c h o f t h e p o s s i b l e s u b t r a c t i o n p r o b l e m s l o o k i n g f o r t h e l a r g e s t d i f f e r e n c e . D a n i e l l e s e e m e d t o b e h a p h a z a r d l y t r y i n g a r r a n g e m e n t s — e v e n i n t h e f a c e o f h e r a s s e r t i o n f r o m t h e f i r s t t a s k ( t h a t s h e w a n t e d t o a d d t h e l a r g e r n u m b e r s a n d s u b t r a c t t h e s m a l l e r ) . S h e s o l v e d 4 - 2 + 5 - 3 c o m i n g u p w i t h a n a n s w e r o f ” 5 . ” I a s k e d h o w s h e g o t t h i s a n d s h e s t a r t e d t o e x p l a i n , s a y i n g t h a t 4 - 2 w a s t w o a n d , w h e n s h e m o v e d t o t h e n e x t s t e p , s h e p a u s e d , p u t h e r p e n c i l d o w n , c r o s s e d h e r a r m s a n d l o o k e d a n g r y , t h e n p u t h e r h e a d i n h e r a r m s o n t h e t a b l e . W h e n I a s k e d w h a t t h e m a t t e r w a s , D a n i e l l e s a i d , " I ’ m c o n f u s e d a g a i n . ” S h e s a i d t h i s w a s b e c a u s e s h e h a d g o t t e n a n a n s w e r o f 3 4 . 7 4 W h e n I a s k e d a b o u t t h i s , D a n i e l l e w a s s u r p r i s e d t o h e a r s h e h a d s a i d ” 3 4 ” a n d s a i d t h a t s h e m e a n t ” 4 " . I a s s u r e d h e r t h a t I t h o u g h t s h e h a d j u s t r n i s s p o k e n . H o w e v e r , s h e a p p a r e n t l y l i k e d t h i s t u r n o f e v e n t s - p o s s i b l y s e e i n g i t a s a w a y o f ” t r i c k i n g ” m e . S h e s u d d e n l y s a i d , ” I k n o w w h i c h o n e ’ s t h e h i g h e s t . . . . T h i s o n e [ i s ] e v e n h i g h e r t h a n t h i s o n e ” ( D , 1 2 , p . 1 7 ) . S h e s a i d i t w a s h i g h e r b e c a u s e i t h a d f o u r a n d t h e o t h e r o n e h a d s i x . T o w h i c h I s a i d , ” I a l w a y s t h o u g h t s i x w a s h i g h e r t h a n f o u r . " S h e a g r e e d , ” O h , I d i d t o o u n t i l " S h e h a d b e e n w r i t i n g t h e t o t a l s f o r t h e s e c o n d o p e r a t i o n s t a s k n e x t t o t h e r i g h t m o s t b o x . [ E l - [ 2 3 + E I - E J 4 . T h u s , s h e h a d " 3 ” a n d " 4 ” j u x t a p o s e d . F o r e x a m p l e , 1 7 1 n o w . [ B u t i t ’ s h i g h e r ] b e c a u s e 3 4 i s h i g h e r t h a n 2 6 ” ( p . 1 7 ) . T h e t e n s d i g i t o f 3 4 a n d 2 6 w e r e t h e l a s t n u m b e r s s h e h a d w r i t t e n i n t h e b o x e s o f t h e t w o s l i p s s h e w a s c o n s i d e r i n g a n d t h e 4 a n d 6 w e r e t h e a n s w e r s w r i t t e n n e x t t o t h o s e s a m e b o x e s . I p o i n t e d o u t a n o t h e r s i m i l a r l y c r e a t e d 3 4 a n d D a n i e l l e s a i d t h e t w o 3 4 5 w e r e t i e d a s t h e ” h i g h e s t . ” O n t h i s o c c a s i o n , s h e d i d n o t r e t u r n s p o n t a n e o u s l y t o t h e s e r i o u s t o p i c . - i n h 1 1 I a s k e d h o w s h e w o u l d a r r a n g e t h e n u m b e r s t o g e t t h e s m a l l e s t o u t c o m e . S h e s i g h e d a n d t u r n e d h e a d a n d b o d y t o o n e s i d e s a y i n g , " I a l r e a d y g o t t h a t . ” I a s k e d w h e n . S h e r e s p o n d e d , ” O o o h . . . d o w e h a v e t o u s e t h o s e s a m e n u m b e r s ? ” I s a i d y e s a n d s h e s u g g e s t e d u s i n g ” 5 " i n e a c h b o x . S h e w r o t e t h i s o n a s h e e t o f p a p e r ( n o t u s i n g a s l i p ) a s s h e t a l k e d t h r o u g h t h e s t e p s . S h e t h e n s a i d , " T h a t ' s t h e l o w e s t n u m b e r p o s s i b l e / ’ 7 5 J u s t a s i n t h e C a n d y B a r p r o b l e m , w h e n D a n i e l l e u s e d a d i f f e r e n t r e p r e s e n t a t i o n ( c i r c l e s ) i n a d i f f e r e n t l o c a t i o n ( c h a l k b o a r d a n d t h e n s e p a r a t e s h e e t o f p a p e r ) , s h e s e e m e d t o t r e a t t h i s a d j u n c t s o l u t i o n d i f f e r e n t l y . W h e n I q u e s t i o n e d w h e t h e r t h a t w a s t h e s m a l l e s t o u t c o m e b y a s k i n g a b o u t ” t h e s e n e g a t i v e n u m b e r s , ” D a n i e l l e p u t h e r h e a d i n h e r a r m s s a y i n g , ” O h , n o . I d o n ’ t l i k e n e g a t i v e n u m b e r s . . . . I ' m d e a d m e a t ” ( D , 1 2 , p . 1 8 ) . I s u g g e s t e d w e d o s o m e t h i n g e l s e b u t D a n i e l l e i n t e r r u p t e d s a y i n g , ” N o p e , n o p e , n o p e . " W h e n I i n q u i r e d , ” N o ? ” , s h e w e n t o n , " I w a n t t o t r y n e g a t i v e n u m b e r s s o I c a n s u r p r i s e m y t e a c h e r ? 6 I ' m g o i n g t o m a k e m y b r o t h e r l e a r n n e g a t i v e n u m b e r s a n d g i v e h i m a s p o o n f u l O f p e a n u t b u t t e r " ( p . 1 8 ) . H e r b r o t h e r w a s i n fi r s t g r a d e 7 5 I u s e d ” l a r g e s t " a n d ” s m a l l e s t ” w h e n a s k i n g h e r t h e t a s k s - e x c e p t w h e n I w a s r e p e a t i n g h e r w o r d s b a c k t o h e r . S h e c o n s i s t e n t l y u s e d ” h i g h e s t ” a n d ” l o w e s t . ” 7 R e c a l l f r o m T e r i ’ s p r o f i l e t h a t t h e c l a s s h a d w o r k e d w i t h n e g a t i v e n u m b e r s e a r l i e r i n t h e y e a r . T h i s h a d b e e n w h i l e e x p l o r i n g t e m p e r a t u r e s o n a t h e r m o m e t e r . 1 7 2 a n d s h e s e v e r a l t i m e s m e n t i o n e d h e r e x p e r i e n c e s w i t h a n d p l a n s t o t e a c h h i m m a t h e m a t i c s . A t t h i s p o i n t , w e d i d m o v e t o t h e n e x t t a s k n o t a c t u a l l y p u r s u i n g n e g a t i v e i n t e g e r s i n t h e O p e r a t i o n s t a s k s . S u m m a r y D a n i e l l e d i d n o t m a k e h e r u s u a l ” r e a l w o r l d ” c o n n e c t i o n s i n t h i s a c t i v i t y . S h e s e e m e d t o s u b s t i t u t e e x p r e s s i o n s o f d i f f i c u l t y o r b e i n g ” s t u c k . ” O n t h e o n e h a n d , s h e s e e m e d t o h a v e a n u n d e r s t a n d i n g ( a t l e a s t i n s e a r c h i n g f o r t h e l a r g e s t o u t c o m e ) o f a g e n e r a l a p p r o a c h : a d d t h e l a r g e s t n u m b e r s a n d s u b t r a c t t h e s m a l l e s t . H o w e v e r , s h e d i d n o t p u r s u e t h i s a t a l l c o n s i s t e n t l y . D a n i e l l e ’ s u n d e r s t a n d i n g o f w h a t t h e p r o b l e m a s k e d o f h e r a p p e a r e d s h a k y . G i v e n t h a t , i t m u s t h a v e b e e n h a r d f o r h e r t o d e c i d e w h e n s h e h a d a c o r r e c t o r s a t i s f a c t o r y a n s w e r . S u m m a r y o f D a n i e l l e D a n i e l l e w a s a v e r y s o c i a l p e r s o n . S h e s a w l e a r n i n g m a t h e m a t i c s a s t a k i n g p l a c e i n a s o c i a l c o n t e x t , o n e i n w h i c h t h e s t u d e n t s c o m p e t e d a g a i n s t t h e t e a c h e r ’ s e f f o r t s t o ” t r i c k ” t h e m . O n t h e o n e h a n d , s h e v i e w e d c o n t e x t s a s t o o l s t h e t e a c h e r c o n t r i v e d t o m i s l e a d t h e s t u d e n t s . O n t h e o t h e r , s h e a v i d l y u s e d t h e m h e r s e l f t o p r o v i d e s u p p o r t a n d f a m i l i a r i t y f o r h e r s o l v i n g p r o b l e m s . S h e w o r k e d h a r d t o s i t u a t e m a t h e m a t i c s p r o b l e m s i n c o n t e x t s t h a t w e r e f a m i l i a r a n d s u p p o r t i v e . D a n i e l l e h a d s e r i o u s f e a r s a b o u t h e r a b i l i t y t o d o a n d u n d e r s t a n d m a t h e m a t i c s . S h e e x p e c t e d t h e w o r s t i n m a n y c a s e s . A t t i m e s , s h e f e n c e d o f f t e r r i t o r y t h a t s h e w a s u n w i l l i n g t o e x p l o r e b e c a u s e o f h e r f e a r o f g e t t i n g l o s t , o f n o t b e i n g a b l e t o r e s o l v e q u e s t i o n s . W h i l e B e r t f o u n d ” h a r d ” m a t h e m a t i c s t o b e 1 7 3 a c h a l l e n g e , D a n i e l l e f o u n d ” t r i c k y ” t o b e a c h a l l e n g e a n d ” h a r d ” t o b e , w e l l , j u s t h a r d . N I C O L E U n l i k e t h e o t h e r c h i l d r e n , f o r N i c o l e ’ s v i g n e t t e I d o n o t p r e s e n t o n l y t h e i n i t i a l p a r t o f h e r f i r s t i n t e r v i e w . I s t a r t t h e r e b u t a l s o e x a m i n e h e r r e a s o n i n g d u r i n g t h e c a r d s o r t s . N i c o l e i n t e r p r e t e d t h e a c t i v i t i e s o f t h e c a r d s o r t s d i f f e r e n t l y t h a n t h e o t h e r c h i l d r e n . I p r e s e n t h e r i n t e r p r e t a t i o n s a n d c o n t r a s t t h e m w i t h t h e o t h e r s ’ . I d o s o b e c a u s e i t i s n e c e s s a r y t o p r o v i d e a r o u n d e d p i c t u r e O f h e r . T h u s , t h i s v i g n e t t e p r e s e n t s a s o m e w h a t m o r e c o m p l e t e d e s c r i p t i o n o f t h e fi r s t i n t e r v i e w t h a n t h e p r e v i o u s v i g n e t t e s . V i g n e t t e N i c o l e s a i d t h a t s h e l i k e d s c h o o l b e c a u s e o f a l l t h e ” d i f f e r e n t i d e a s ” s h e l e a r n e d a b o u t . I n f a c t , s h e s a i d t h e r e w a s n o t h i n g s h e d i d n o t l i k e a b o u t s c h o o l . 7 7 H e r e x c i t e m e n t a b o u t s c h o o l w a s c l e a r w h e n s h e r e s p o n d e d t o m y q u e r y a b o u t w h e t h e r s h e e v e r s p o k e o f m a t h e m a t i c s w i t h h e r p a r e n t s o r o t h e r g r o w n - u p s : Y e a h , . . . m y m o m p i c k m e u p [ f r o m s c h o o l ] a n d e v e r y d a y I r u n t o m y m o m s a y i n g a b o u t m a t h a n d w h a t w e d i d a n d h o w w e l e a r n e d a n d I t a l k t o m y a u n t s a n d m y u n c l e s a n d m y d a d a n d m y s i s t e r . . . w e l i e o n t h e f l o o r t o g e t h e r a n d I t a l k a b o u t p e o p l e w i t h d i f f e r e n t i d e a s . 7 8 ( N , 1 1 , p . 5 - e m p h a s i s a d d e d ) N i c o l e ’ s r e s p o n s e i n t h e a b o v e q u o t e i n d i c a t e s t h e i m p o r t a n c e o f m a t h e m a t i c s t o h e r , s h e d e s c r i b e d i t a s t h e f i r s t t h i n g s h e s p o k e t o h e r m o t h e r a b o u t w h e n s h e w a s p i c k e d u p f r o m s c h o o l . S h e a l s o r e f e r r e d t o t h e v a r i e t y o f i d e a s s h e e n c o u n t e r e d , a t h e m e t h a t fi l l e d t h i s fi r s t i n t e r v i e w . S h e d i d n o t s e e m t o 7 7 A l l t h e o t h e r c h i l d r e n f o u n d a t l e a s t s o m e t h i n g t o d i s l i k e a b o u t s c h o o l . F o r e x a m p l e , D a n i e l l e d i d n o t l i k e l u n c h , J i m d i d n o t l i k e m a t h e m a t i c s . ” N i c o l e w a s t h e o n l y m e m b e r o f t h e s t u d y a n d o n e o f f e w i n h e r c l a s s w i t h p r o n o u n c e d u s e o f B l a c k E n g l i s h V e r n a c u l a r . 1 7 4 v i e w m a t h e m a t i c s a s b o u n d b y f o r m a l c o n t e x t s ; s h e l a y o n t h e f l o o r a n d t a l k e d w i t h h e r s i s t e r a b o u t m a t h e m a t i c s a n d o t h e r s ’ i d e a s . T h i s c o n t r a s t s s h a r p l y w i t h B e r t w h o d i s t i n g u i s h e d b e t w e e n r e c e s s a n d m a t h e m a t i c s , b e t w e e n p l a y a n d t h e s e r i o u s n e s s O f m a t h e m a t i c s . B e y o n d t h e s e a f f e c t i v e a s p e c t s , t h e r e a r e s u b s t a n t i v e i s s u e s t h a t e m e r g e . S h e a t t e n d e d t o b o t h ” h o w w e l e a r n e d ” a n d ” w h a t w e d i d . ” T h i s d o e s n o t a p p e a r t o b e a m e r e s l i p o r i n t e n d e d r e d u n d a n c y o n h e r p a r t . A t t e n t i o n t o b o t h p r o c e s s a n d p r o d u c e - w h e r e p r o c e s s i s t h i n k i n g o r r e a s o n i n g a b o u t m a t h e m a t i c s ( t h e h o w o f l e a r n i n g ) a n d p r o d u c t i s d o i n g m a t h e m a t i c s ( t h e w h a t o f l e a r n i n g ) - - w a s a h a l l m a r k O f N i c o l e . S h e d i d , h o w e v e r , s e e m m o r e a t t r a c t e d t o p r o c e s s . N i c o l e s a i d t h a t m a t h e m a t i c s w a s i m p o r t a n t b e c a u s e , ” y o u d o n ’ t k n o w w h a t y o u ’ r e f u t u r e i s , a n d y o u p r o b a b l y n e e d , l i k e i f y o u g e t a j o b a n d y o u d o n ’ t k n o w m a t h e m a t i c s a n d y o u d i d n ’ t g o t o s c h o o l a n d y o u ’ v e g o t t o q u i t b e c a u s e y o u d o n ’ t k n o w t h e m a t h ” ( N , I 1 , p . 5 ) . S h e t h o u g h t t h a t p e o p l e ” n e e d ” a n d ” u s e ” m a t h e m a t i c s ” e v e r y d a y . ” S h e g a v e a n e x a m p l e o f t h i s i n t h e f o r m o f a h y p o t h e t i c a l e x c h a n g e b e t w e e n a c u s t o m e r a n d a s t o r e c l e r k o v e r t h e a m o u n t o f c h a n g e d u e : ” I f y o u ’ v e 2 0 d o l l a r s , t h e y g a v e y o u 1 9 , y o u ’ v e g o t t o k n o w h o w t o a d d o r t o s u b t r a c t b e c a u s e h o w m u c h y o u g o t , o r h o w m u c h . . . y o u g o t f r o m t h a t p e r s o n t h a t g a v e y o u , o r h o w m u c h y o u g o t t h a t p e r s o n g a v e y o u ” ( p . 5 ) . W h i l e t h e p h r a s i n g i s a w k w a r d , N i c o l e w a s a r g u i n g t h e v a l u e o f m a t h e m a t i c s i n b u s i n e s s t r a n s a c t i o n s , i n t h i s c a s e , t o k n o w i f o n e r e c e i v e d t h e r i g h t c h a n g e . W h e n I a s k e d h o w t h e c l e r k a n d c u s t o m e r w o u l d d e c i d e w h o w a s r i g h t , N i c o l e r e s p o n d e d , ” e v e r y b o d y t h i n k s t h e y r i g h t . . . e v e r y b o d y t h i n k s t h e y a d d t h e r i g h t a m o u n t , b e c a u s e e v e r y o n e t h i n k s t h e y r i g h t " ( N , 1 1 , p . 5 ) . W h e n I p u s h e d h e r o n h o w h e r c h a r a c t e r s m i g h t r e s o l v e t h i s , s h e r e s p o n d e d : 1 7 5 W e l l , e v e r y b o d y h a s d i f f e r e n t i d e a s , b u t o n e p e r s o n s a y s h e g o t o n e a m o u n t a n d y o u s a y g o t t w o a m o u n t s [ a s e c o n d , d i f f e r e n t a m o u n t ] , I t h i n k t h a t y o u t h i n k y o u ’ r e r i g h t , b u t s o m e b o d y e l s e m i g h t d i s a g r e e w i t h y o u . . . b u t i f y o u t a l k i t o v e r , c o m e t h r o u g h i t , a n d i t p r o b a b l y , y o u [ c a n ] p r o b a b l y w o r k i t o u t b u t i f y o u f i g h t i t w o n ’ t w o r k o u t . ( N , I 1 , p . 5 ) N i c o l e ’ s i m p l i c a t i o n s e e m e d t o b e t h a t m a t h e m a t i c s i s i m p o r t a n t f o r t r a n s a c t i n g b u s i n e s s ( f r o m t h e c l e r k ’ s p e r s p e c t i v e ) a n d f o r f u n c t i o n i n g i n d a i l y l i f e ( f r o m t h e c u s t o m e r ’ s p e r s p e c t i v e ) . I n t h i s c a s e a d d i n g w a s t h e m a t h e m a t i c a l a c t i v i t y N i c o l e i d e n t i f i e d b u t t h e p r o c e s s o f d e c i d i n g , t a l k i n g i t o v e r , w a s h o w s h e s a w t h e i s s u e b e i n g r e s o l v e d . S h e d i d n o t r e f e r t o i n s p e c t i n g t h e m a t h e m a t i c s a s a p o s s i b l e k e y t o r e s o l v i n g t h e i s s u e . S h e s e e m e d t o s u g g e s t t h a t t h e w h a t o f m a t h e m a t i c s , t h e p r o d u c t , i s i m p o r t a n t f o r f u n c t i o n i n g o r d o i n g t h e w o r k o f i n o n e ’ s d a i l y l i f e a n d j o b . T h e h o w o f m a t h e m a t i c s , t h e p r o c e s s , h e l p s o n e r e s o l v e d i f f e r e n c e s t h a t a r i s e i n t h e i n t e r a c t i o n s o f d a i l y l i f e a n d j o b . N i c o l e s a w h e r r o l e i n m a t h e m a t i c s c l a s s a s a f a c i l i t a t o r . S h e s a i d s h e t r i e d ” t o h e l p k i d s o u t ” w h e n w o r k i n g i n h e r g r o u p . T h i s a g a i n s u g g e s t s N i c o l e ’ s f o c u s o n t h e p r o c e s s o f l e a r n i n g o v e r t h e p r o d u c t . H e r i n t e r e s t a p p e a r e d t o b e i n p r o v i d i n g a l l t h e s t u d e n t s a n o p p o r t u n i t y t o s h a r e t h e i r r e a s o n i n g . N i c o l e s a i d t h a t t o h e r , " m a t h e m a t i c s " m e a n t ” g o i n g u p t o t h e b o a r d a n d s h a r i n g i d e a s , ” ” l i s t e n i n g t o o t h e r p e o p l e ’ s i d e a s , ” a n d ” l e a r n [ i n g ] h o w t o d o . . . d i f f e r e n t t h i n g s . " T h i s d e f i n i t i o n o f m a t h e m a t i c s i n c l u d e s b o t h p r o c e s s - ” s h a r i n g ” a n d ” l i s t e n i n g ” - a n d p r o d u c t - - ” h o w t o . . . " A s d i d B e r t a n d D a n i e l l e , N i c o l e v a l u e d o t h e r s ’ i d e a s a s m u c h a s h e r o w n . S h e l i k e d g o i n g t o t h e c h a l k b o a r d a n d s h a r i n g h e r i d e a s b u t ” i f I d o n ’ t g e t c a l l e d o n , I d o n ’ t g e t ” m a d — a s s h e s a i d s o m e o f h e r c l a s s m a t e s d i d ( N , 1 1 , p . 2 ) . H o w e v e r , i n v a l u i n g t h e p r o c e s s o f s h a r i n g a t t h e b o a r d N i c o l e s e e m e d t o v a l u e t h e p e o p l e f o r h a v i n g a n d s h a r i n g i d e a s r a t h e r t h a n t h e i d e a s t h e m s e l v e s a s t o o l s f o r l e a r n i n g . S h e f o u n d i n t r i n s i c p l e a s u r e i n h e a r i n g o t h e r s ’ i d e a s n o t i n t h e i r r o l e i n j o i n t l y c o n s t r u c t i n g k n o w l e d g e . 1 7 6 G i v e n t h e a l i g n m e n t O f h e r v i e w s o f d o i n g m a t h e m a t i c s a n d t h e e m p h a s i s o n s h a r i n g a n d c h i l d r e n ’ s d i s c o u r s e i n h e r c l a s s r o o m , i t i s n o t s u r p r i s i n g t h a t s h e s a i d m a t h e m a t i c s w a s h e r f a v o r i t e s u b j e c t : I l i k e m a t h b e c a u s e w e g e t t o h a v e d i f f e r e n t p e o p l e ’ s i d e a s b e c a u s e j u s t c a n ’ t h a v e , y o u j u s t c a n ’ t h a v e o n e i d e a , ’ c a u s e k i d s w o u l d g e t t i r e d o f t h a t i d e a . . . I l i k e r e a d i n g a n d r e c e s s a n d s t u f f l i k e t h a t b u t m y m a i n t h i n g , c o m i n g t o s c h o o l , i s l e a r n i n g a b o u t t h i n g s y o u l e a r n a b o u t m a t h . ( N , I 1 , p . 2 ) T h i s i s s i m i l a r t o B e r t a n d D a n i e l l e . A l l t h r e e v a l u e d m a t h e m a t i c s a n d l i s t e n i n g t o o t h e r s ’ i d e a s i n m a t h e m a t i c s ; T e r i r e c o g n i z e d t h e s e i d e a s w e r e b e i n g s h a r e d a r o u n d h e r b u t o f t e n t u n e d t h e m o u t . H o w e v e r , N i c o l e d i f f e r e d f r o m B e r t a n d D a n i e l l e i n t h a t s h e s e e m e d t o v a l u e t h e v a r i e t y o f i d e a s f o r i t s o w n s a k e r a t h e r t h a n f o r h e l p i n g h e r s o l v e p r o b l e m s ; s h e t h o u g h t o n e i d e a w o u l d b e b o r i n g . T h e o t h e r s s e e m e d t o v a l u e v a r i e t y f o r h e l p i n g t h e m u n d e r s t a n d t h e s p e c i f i c p r o b l e m o r m a t h e m a t i c s m o r e g e n e r a l l y . U n l i k e t h e o t h e r c h i l d r e n o f t h e s t u d y , i n t h e c a r d s o r t N i c o l e d e c i d e d w h e t h e r a n a c t i v i t y i n v o l v e d m a t h e m a t i c s b a s e d o n r e a s o n i n g s h e p e r c e i v e d t o l i e b e h i n d t h e a c t i v i t y . F o r e x a m p l e , t h e o t h e r s c o n c l u d e d t h a t ” S l i c i n g a c a k e " d i d n o t i n v o l v e m a t h e m a t i c s b e c a u s e o n e i s " j u s t c u t t i n g c a k e . ” N i c o l e a r g u e d , " i f y o u ’ v e g o t a l i t t l e c a k e a n d t h e k i d s w h o ’ s a t t h a t p a r t y a n d y o u h a v e t o a d d u p h o w m a n y p i e c e s o f c a k e w i l l t h a t p e r s o n e a t ” ( N , 1 1 , p . 7 ) . F o r h e r , t h e s e a c t i v i t i e s , a s s e s s i n g t h e s i z e o f t h e c a k e , t h e n u m b e r o f c h i l d r e n a t t h e p a r t y , a n d t h e n u m b e r o f p i e c e s o f c a k e p e r c h i l d , w o u l d i n v o l v e m a t h e m a t i c s . W h i l e o t h e r s a t t i m e s c o n s i d e r e d s i m i l a r m a t h e m a t i c a l r e a s o n i n g , t h e y e v e n t u a l l y r e j e c t e d i t i n t h e i r s o r t s ; N i c o l e w a s t h e o n l y c h i l d i n t h e s t u d y w h o r e a s o n e d t h a t t h e d e c i s i o n - m a k i n g p r o c e s s b e h i n d t h e a c t i o n s i m p l i e d n e a r l y a l l t h e c a r d s o r t a c t i v i t i e s i n v o l v e d m a t h e m a t i c s . T h u s , w h e r e t h e o t h e r s s t a y e d f o c u s e d o n - o r , a t l e a s t c o n c l u d e d b y a t t e n d i n g o n l y t o — t h e a c t i o n s l i s t e d i n t h e c a r d s o r t , N i c o l e b a s e d 1 7 7 h e r d e c i s i o n s o n t h e r e a s o n i n g l e a d i n g t o t h e a c t i o n s . G i v e n h e r v a l u i n g o f t h e s h a r i n g o f i d e a s , t h i s a t t i t u d e i s n o t s u r p r i s i n g . F u r t h e r , i t r e fl e c t s N i c o l e ’ s r e a l w o r l d a p p r o a c h t o m a t h e m a t i c s . S h e w a s t h e s t u d y p a r t i c i p a n t w h o w a s m o s t i n c l i n e d t o u s e t h e r e a l w o r l d c o n t e x t s o f p r o b l e m s t o s u p p o r t h e r m a t h e m a t i c a l r e a s o n i n g . I t a p p e a r s t h a t , f o r h e r , t h e p u r p o s e o f m a t h e m a t i c s w a s t o h e l p o n e f u n c t i o n i n t h e r e a l w o r l d . N i c o l e e x p r e s s e d s o m e c o n f u s i o n a b o u t t h e p a i r o f p r o b l e m s , 4 6 - 2 8 a n d 2 8 - 4 6 , j u s t a s T e r i h a d . W h e r e T e r i h a d a r g u e d t h a t s h e w a s n o t s u r e w h i c h o f t h e t w o a n s w e r s , 1 8 o r - 1 8 , w a s c o r r e c t , N i c o l e s a i d s h e t h o u g h t t h a t t h e r e w a s n o s u c h n u m b e r a s w o u l d r e s u l t f r o m 2 8 - 4 6 . S h e t h o u g h t h e r p e e r s c h a n g e d t h e p r o b l e m b e c a u s e t h e y w e r e t i r e d o f d e a l i n g w i t h t h e s a m e p r o b l e m . U n l i k e T e r i w h o m I i n t e r v i e w e d t h e s a m e d a y , N i c o l e c o u n t e d t h e s e a s t w o d i s t i n c t l y d i f f e r e n t p r o b l e m s a n d r e j e c t e d o u t o f h a n d t h e p o s s i b i l i t y o f a n a n s w e r t o t h e s e c o n d . I n c o n t r a s t , T e r i e x p r e s s e d p u z z l e m e n t a b o u t w h a t s h e ” w a n t e d ” t o b e l i e v e w a s t h e a n s w e r . W h e r e T e r i s e e m e d c h r o n i c a l l y u n s u r e t h r o u g h o u t t h e i n t e r v i e w s , N i c o l e s e e m e d c o m f o r t a b l e w i t h w h a t e v e r d e c i s i o n s h e m a d e . S h e s e l d o m s e e m e d t o w o r r y a b o u t b e i n g ” w r o n g . ” S h e t o l d m e h e r t e a c h e r s a i d ” t h e r e ’ s n o w r o n g o r r i g h t " a n s w e r s b e c a u s e ” e v e r y b o d y h a s g r e a t i d e a s . ” N i c o l e s a i d t h a t i t w a s a p p r O p r i a t e t o ” d i s a g r e e a n d g o u p a n d s h o w y o u r i d e a s b u t d o n ’ t s a y , ’ H e ’ s w r o n g . ’ b e c a u s e , b e c a u s e a l l , a l l p r o b l e m s h a v e d i f f e r e n t a n s w e r s ” ( N , I 1 , p . 4 ) . S h e s a i d t h a t h e r t e a c h e r h a d t o l d t h e m t h a t , i n c a s e s o f d i s a g r e e m e n t , i n d i v i d u a l s ” j u s t d e c i d e ” f o r t h e m s e l v e s w h i c h t h e y b e l i e v e i s r i g h t . 7 9 A s s h e s a w a v a r i e t y O f i d e a s a s v a l u a b l e , s h e s a w a v a r i e t y o f a n s w e r s t o ” T h i s p l a y e d o u t i n t h e s e c o n d i n t e r v i e w w h e n N i c o l e a r g u e d t h a t m a n y p r o b l e m s c a n h a v e m u l t i p l e a n s w e r s . S h e t h e n r e p r i s e d 4 6 - 2 8 , a r g u i n g i t c o u l d h a v e b o t h ” 2 2 ” a n d ” 1 8 " a s a n s w e r s . S h e u s e d t h i s t o s u p p o r t h e r a r g u m e n t t h a t t h e C a n d y C a n e p r o b l e m m i g h t h a v e m u l t i p l e a n s w e r s d e p e n d i n g o n t h e s i z e o f t h e c h i l d r e n ’ s h a n d s . A v e r s i o n o f t h e a r g u m e n t a l s o s h o w e d u p i n t h e t h i r d i n t e r v i e w w h e n N i c o l e d i s c o u n t e d m y s t a t e m e n t t h a t s o m e c h i l d r e n 1 7 8 i n d i v i d u a l p r o b l e m s a s p o s s i b l e . F o r N i c o l e , o n o n e h a n d , c a l m a n d r a t i o n a l d i s c o u r s e c o u l d r e s o l v e a l l p r o b l e m s i n m a t h e m a t i c s , o n t h e o t h e r , p e o p l e d e c i d e f o r t h e m s e l v e s w h i c h a n s w e r t o b e l i e v e i s r i g h t . L i k e T e r i , N i c o l e s a w t h e i n d i v i d u a l a s d e c i s i o n - m a k e r . L i k e B e r t a n d D a n i e l l e , s h e s a w t h e c l a s s r o o m a s a c o m m u n i t y f o r s h a r i n g i d e a s . W h e r e T e r i d i d n o t m u c h a t t e n d t o o t h e r s ’ i d e a s , N i c o l e d i d ; w h e r e B e r t p r e a c h e d c o n s e n s u s a s t h e r o u t e t o m a t h e m a t i c a l d e c i s i o n - m a k i n g , N i c o l e p r e a c h e d i t f o r h a r m o n i o u s l i v i n g ; w h e r e D a n i e l l e e x p e c t e d t o l e a r n f r o m o t h e r s , N i c o l e s a w o t h e r s ’ i d e a s a s i n t r i n s i c a l l y i n t e r e s t i n g . W h e n I a s k e d i f s h e k n e w a n y o n e w h o w a s g o o d a t m a t h e m a t i c s , N i c o l e s a i d t h a t ” A l o t o f k i d s [ i n h e r c l a s s ] i s g o o d a t m a t h " ( N , I 1 , p . 6 ) . W h e n I a s k e d w h a t m a k e s s o m e o n e g o o d a t m a t h e m a t i c s , s h e r e s p o n d e d , ” m o s t o f t h e k i d s l i s t e n , t h e y w a n t t o c o m e u p a n d s h o w t h e i r i d e a s t h e y h a v e g r e a t , g r e a t i d e a s a n d . . . t h e y c o o p e r a t e ” ( p . 6 ) . T h o u g h N i c o l e d i d n o t i d e n t i f y w h a t m a k e s a n i d e a " g r e a t , ” s h e s e e m e d t o i m p l y t h a t c h i l d r e n w h o a r e ” m o d e l s t u d e n t s , ” w h o p a y a t t e n t i o n a n d t r y , a r e g o o d a t m a t h e m a t i c s . S h e d e fi n e d h e r s e l f a s ” s o r t 0 " g o o d a t m a t h e m a t i c s — b u t d i d n o t i n d i c a t e w h a t m i g h t m a k e h e r l e s s t h a n ” f u l l y ” g o o d a t m a t h e m a t i c s . A g a i n t h o u g h , i t w a s p r o c e s s — h e r e , b e h a v i o r — a n d n o t t h e s u b s t a n c e o f m a t h e m a t i c s o n w h i c h N i c o l e b a s e d h e r d e fi n i t i o n . I n o w t u r n t o a d e s c r i p t i o n o f N i c o l e a s a p e r s o n a n d a s a d o e r o f m a t h e m a t i c s . w o u l d s a y t h e y w e r e " n i n e a n d a h a l f " y e a r s o l d : ” I t d o n ’ t m a t t e r t o m e " w h a t o t h e r s c a l l t h e m s e l v e s b e c a u s e s h e c a l l e d h e r s e l f " n i n e . " 1 7 9 A n a l y t i c D e s c r i p t i o n N i c o l e w a s t h e l e a s t a r t i c u l a t e o f t h e c h i l d r e n i n t h i s s t u d y — t h o u g h n e i t h e r t h e l e a s t n o r m o s t v e r b a l . D a n i e l l e w a s a f o u n t o f d e s c r i p t i o n a n d r e a s o n i n g . Y e t t h e v o l u m e o f h e r w o r d s s e l d o m o b s c u r e d h e r m e a n i n g . S h e m i g h t s e e m t o w a n d e r f r o m t h e t o p i c b u t s h e u s u a l l y r e t u r n e d a n d a d d r e s s e d m y q u e s t i o n s O f h e r o w n a c c o r d . B e r t w a s a m o r e p a r s i m o n i o u s s p e a k e r , t h o u g h t f u l a n d a r t i c u l a t e . W h e n h e d i d s t r u g g l e w i t h a r t i c u l a t i o n , h i s s t r u g g l e s r e v o l v e d a r o u n d m a t h e m a t i c a l a b s t r a c t i o n s a n d c o n c e p t s w h i c h h e w a s s t r u g g l i n g t o u n d e r s t a n d , n o t a r o u n d a n s w e r s t o i n d i v i d u a l p r o b l e m s h e h a d s o l v e d . T e r i w a s e v e n l e s s t a l k a t i v e b u t u s u a l l y p r e s e n t e d t h e i d e a s s h e c o u l d r e c o g n i z e a b o u t s o l v i n g p a r t i c u l a r p r o b l e m s i n a n o r g a n i z e d a n d c l e a r f a s h i o n . S h e s e l d o m s t r a y e d f r o m m y q u e s t i o n s t h o u g h s h e m i g h t d e c l i n e t o a n s w e r t h e m , o s t e n s i b l y b e c a u s e s h e d i d n o t ” g e t i t . ” I n c o n t r a s t , N i c o l e c o n s i s t e n t l y m a d e s t a r t s a n d s t o p s i n h e r a t t e m p t s t o d e s c r i b e h e r t h i n k i n g o n a n y s o r t o f t o p i c . N i c o l e w o u l d s t a r t n u m e r o u s s e n t e n c e s b e f o r e c o m p l e t i n g o n e . T h e s e p a r t i a l s e n t e n c e s o f t e n s e e m e d t o b e a b o u t t o p r e s e n t c o n fl i c t i n g s t a t e m e n t s . ‘ 3 0 I n a d d i t i o n , s h e s o m e t i m e s a p p e a r e d t o s t r a y f r o m t h e t o p i c b u t , u n l i k e B e r t a n d D a n i e l l e , d i d n o t t h e n r e t u r n t o i t o n h e r o w n . N i c o l e s e e m e d t o s e e h e r s e l f a s a n a d v o c a t e f o r e q u i t y . S h e w a s v e r y a t t e n t i v e t o i s s u e s o f f a i r n e s s . T h i s a t t e n t i v e n e s s a p p e a r e d i n t w o c o n t e x t s . O n n u m e r o u s o c c a s i o n s , s h e s h o w e d c o n c e r n f o r e q u a l s h a r i n g i n m a t h e m a t i c a l c o n t e x t s ( f o r e x a m p l e , i n t h e C a n d y B a r p r o b l e m d e s c r i b e d b e l o w ) . S h e a l s o d e m o n s t r a t e d h e r s u p p o r t f o r e q u i t y b y v i r t u e o f h e r s e l f - d e c l a r e d r o l e ” t o h e l p k i d s o u t ” w h e n w o r k i n g i n h e r g r o u p . S h e d e s c r i b e d e v e r y o n e , e v e n t h o s e w h o 8 0 S o m e O f N i c o l e ’ s a p p a r e n t i n a r t i c u l a t e n e s s c o u l d b e p e r c e p t i o n o n t h e p a r t o f t h e i n t e r v i e w e r , i t c o u l d i n p a r t b e a m a t t e r o f d i f f e r i n g c u l t u r a l s t y l e s o f c o m m u n i c a t i o n r e s u l t i n g f r o m h e r u s e o f B l a c k E n g l i s h V e r n a c u l a r a n d m y l i m i t e d f a m i l i a r i t y w i t h i t . 1 8 0 w e r e c o n f u s e d a t t i m e s , a s h a v i n g g o o d i d e a s . 8 1 S h e d i d n o t e v a l u a t e p e e r s w h o w e r e ” c o n f u s e d ” a b o u t m a t h e m a t i c a l i d e a s . S i n c e s h e s a w m a t h e m a t i c s a s i m p o r t a n t k n o w l e d g e t o w h i c h e v e r y o n e n e e d e d a c c e s s , t h i s a s s i s t a n c e m a y b e v i e w e d a s a n i s s u e o f e q u i t y . S h e s a w h e r s e l f a s h e l p i n g o t h e r s g a i n a c c e s s t o i m p o r t a n t m a t h e m a t i c a l k n o w l e d g e n e c e s s a r y f o r e v e r y d a y l i v i n g , a c c e s s t o t h e p r o d u c t s o f m a t h e m a t i c s c l a s s . I n o u r e a r l y c o n v e r s a t i o n , N i c o l e s a i d t h a t s h e t h o u g h t s o m e o f h e r p e e r s d i d n o t u n d e r s t a n d h e r b e c a u s e s h e ” t a l k e d t o o f a s t . " O c c a s i o n a l l y , h e r w o r d s d i d c o m e o u t i n a r u s h . P a r t o f t h e d i f f i c u l t y i n u n d e r s t a n d i n g N i c o l e m a y a l s o h a v e s t e m m e d f r o m h e r s t a r t i n g a n d a b a n d o n i n g m u l t i p l e s e n t e n c e s a l o n g w i t h f r e q u e n t l y a w k w a r d c o n s t r u c t i o n s o f t h o s e s h e d i d c o m p l e t e . N i c o l e o f t e n s e e m e d t o s t a r t r e a c t i n g a l o u d , d e v e l O p i n g h e r i d e a s a s s h e s p o k e . I n a d d i t i o n t o h e r n o n - s t a n d a r d o r g a n i z a t i o n o f s e n t e n c e s , h e r v o c a l i z a t i o n o f t e n m a d e i t d i f f i c u l t t o r e c o g n i z e t h e w o r d s s h e u t t e r e d . O f t e n , t h o u g h I u n d e r s t o o d t h e w o r d s s h e s p o k e w h i l e s i t t i n g a c r o s s f r o m h e r d u r i n g t h e i n t e r v i e w , t h e y a r e h a r d t o u n d e r s t a n d o n t a p e . G i v e n t h e e x t r a n e o u s n o i s e a l w a y s p r e s e n t i n c l a s s r o o m s a n d h e r f r e q u e n t c h a n g e s o f m i n d w h i l e s p e a k i n g , i t m a y b e t h a t s o m e o f h e r p e e r s c o u l d n o t u n d e r s t a n d h e r w o r d s a n d / o r h e r m e a n i n g f o r o n e o f t h e s e r e a s o n s r a t h e r t h a n m e r e l y b e c a u s e s h e s p o k e r a p i d l y . W h i l e o b v i o u s l y c o n c e r n e d a b o u t h e r p e e r s ’ u n d e r s t a n d i n g o f h e r / N i c o l e m a d e n o m e n t i o n o f h a v i n g a s i m i l a r d i f f i c u l t y u n d e r s t a n d i n g t h e m . S i n c e s h e v a l u e d t h e s h a r i n g a n d m u l t i p l i c i t y o f i d e a s f o r t h e m s e l v e s , s h e d i d n o t f e e l c o m p e l l e d t o u s e t h o s e i d e a s t o s o l v e p r o b l e m s h e r s e l f . 8 1 T h e w o r d s s h e u s e d a r e r e m i n i s c e n t o f h e r t e a c h e r ’ 5 l a n g u a g e . H o w e v e r , N i c o l e ’ s t o n e d o e s n o t s u g g e s t m e r e r e p e t i t i o n o f a p a r t y l i n e . R a t h e r , s h e s e e m e d t o h a v e a d o p t e d t h e b e l i e f a s h e r s . 1 8 1 U n l i k e t h e o t h e r c h i l d r e n i n t h e s t u d y , N i c o l e o f t e n p a u s e d a f t e r I h a d f i n i s h e d p r e s e n t i n g t h e p r o b l e m a n d b e f o r e s h e s t a r t e d t o d r a w o r p r o v i d e a n a n s w e r . S h e u s u a l l y f o l l o w e d t h e s e p a u s e s w i t h q u e s t i o n s a b o u t t h e c o n t e x t . F o r e x a m p l e , i n t h e C a n d y B a r p r o b l e m , s h e w a n t e d t o k n o w a b o u t s i z e s o f t h e b a r s , i n t h e C a n d y C a n e p r o b l e m , a b o u t t h e s i z e o f t h e c a n e s a n d l a t e r a b o u t t h e a g e s O f t h e c h i l d r e n . M a t h e m a t i c a l l y , t h e s e s e e m i s s u e s e x t r a n e o u s t o t h e p r o b l e m s — t h o u g h N i c o l e c l e a r l y d i d n o t s e e t h e m a s s u c h . A s w e w i l l s e e b e l o w , t h e s i z e o f t h e c a n d y c a n e s w o u l d b e i m p o r t a n t g i v e n h e r i n t e r p r e t a t i o n o f t h e p r o b l e m . I n c o n t r a s t , i f t h e o t h e r c h i l d r e n a s k e d q u e s t i o n s , t h e y w e r e i n t h e n a t u r e o f c o n f i r m i n g t h e n u m b e r s i n v o l v e d ( e . g . , ” H o w m a n y c a n d y b a r s ? " ) . W h i l e N i c o l e d i d a l s o a s k t h e s e k i n d s o f d a t a c l a r i f i c a t i o n q u e s t i o n s , h e r q u e s t i o n s a b o u t i s s u e s o t h e r s t o o k f o r g r a n t e d p r o v i d e i n s i g h t i n t o h e r u n u s u a l i n t e r p r e t a t i o n s o f p r o b l e m s . T h e y s u g g e s t a d i f f e r e n t a p p r o a c h t o r e a s o n i n g a b o u t a n d s o l v i n g p r o b l e m s . S h e c o n s i d e r e d d i f f e r e n t i s s u e s a n d a n a l y z e d p r o b l e m s b e f o r e p h y s i c a l l y e n g a g i n g i n s o l v i n g t h e m . N i c o l e w a s a t t r a c t e d m o r e t o t h e p r o c e s s o f d o i n g m a t h e m a t i c s t h a n t o t h e p r o d u c t s . S h e e n j o y e d h e a r i n g t h e v a r i e t y o f i d e a s p r e s e n t e d i n h e r c l a s s r o o m b u t d i d n o t s e e m a s f o c u s e d o n t h e r o l e t h a t t h e c o n v e r s a t i o n p l a y e d i n l e a r n i n g m a t h e m a t i c s . A t t h e s a m e t i m e , s h e a r g u e d t h e p r o d u c t s o f m a t h e m a t i c s w e r e i m p o r t a n t f o r d a i l y l i v i n g a n d w o r k i n g . W h e r e B e r t a n d T e r i v i e w e d m a t h e m a t i c s a s a d i s c i p l i n e s e p a r a t e u n t o i t s e l f , N i c o l e s a w i t a s a t o o l f o r h e l p i n g h e r , a n d e v e r y o n e , b e c o m e a f u n c t i o n i n g m e m b e r o f s o c i e t y . ( T h i s d i f f e r e n c e b e t w e e n B e r t a n d T e r i o n o n e h a n d a n d N i c o l e o n t h e o t h e r r e fl e c t s t h e t w o s e e m i n g l y c o n fl i c t i n g a i m s o f t h e N C T M S t a n d a r d s d e s c r i b e d i n c h a p t e r 1 : h a v i n g c h i l d r e n l e a r n t h e d i s c i p l i n e b u t g r o u n d i n g t h a t l e a r n i n g i n c o n s t r u c t i v i s t t h e o r y . ) A s a r e s u l t , h e r r e p r e s e n t a t i o n s m o d e l e d t h e r e a l w o r l d 1 8 2 s i t u a t i o n s p o r t r a y e d i n c o n t e x t u a l i z e d p r o b l e m s . T O h e r , t h e s t o r i e s w e r e n o t p r e t e n s e s f o r g e t t i n g a t t h e u n d e r l y i n g m a t h e m a t i c s . R a t h e r , t h e y w e r e a n a l o g s o f r e a l w o r l d s i t u a t i o n s . C o n s e q u e n t l y , w h e r e B e r t u s e d m a n y m e t a p h o r s t o e x p l o r e a n d e x p l a i n h i s t e n t a t i v e u n d e r s t a n d i n g s , N i c o l e u s e d a n a l o g i e s t o e x p l a i n t h e r e l a t i o n s h i p s p o r t r a y e d i n t h e s t o r i e s . N i c o l e w a s t h e o n e c h i l d i n t h e s t u d y w h o b a s e d h e r c a r d s o r t d e c i s i o n s o n t h e r e a s o n i n g b e h i n d t h e a c t i v i t i e s . T h i s f i t s w i t h h e r o v e r a l l s t a n c e t o w a r d m a t h e m a t i c s ; r e a s o n i n g w a s w h a t s h e l i k e d m o s t a b o u t m a t h e m a t i c s . Y e t , h e r v i e w o f t h e p r o c e s s o f m a t h e m a t i c s w a s d i f f e r e n t t h a n B e r t ’ s . H e v a l u e d t h e c o m i n g t o c o n s e n s u s f o r t h e p u r p o s e o f u n d e r s t a n d i n g m a t h e m a t i c a l c o n c e p t s . N i c o l e v a l u e d c o n s e n s u s f o r i t s r e s o l u t i o n o f p r a c t i c a l c o n f l i c t s ( l i k e t h a t b e t w e e n t h e c u s t o m e r a n d s t o r e c l e r k ) . B e y o n d t h i s , s h e j u s t e n j o y e d h e a r i n g a v a r i e t y o f i d e a s . T o c o m m u n i c a t e o n e ’ s m a t h e m a t i c a l r e a s o n i n g , i t i s n e c e s s a r y t o m a i n t a i n a c e r t a i n a r t i c u l a t e n e s s . I t i s i r o n i c t h a t N i c o l e , w h o s o v a l u e d t h i s s h a r i n g o f i d e a s , w a s t h e l e a s t s k i l l e d o f t h e s e f o u r c h i l d r e n a t c o m m u n i c a t i n g h e r s . I t u r n n o w t o a d e s c r i p t i o n a n d a n a l y s i s o f N i c o l e ’ s w o r k o n t h e fi r s t t w o p r o b l e m s f r o m t h e s e c o n d i n t e r v i e w . T w o E x a m p l e s o f D o i n g M a t h e m a t i c s U n l i k e t h e p r e v i o u s c h i l d r e n , I h a v e c h o s e n n o t t o d e s c r i b e N i c o l e ’ s w o r k o n t h e O p e r a t i o n s t a s k s . W h e n I i n t r o d u c e d t h e fi r s t o n e , s h e s a i d s h e d i d n o t u n d e r s t a n d w h a t t h e p r o b l e m w a s a s k i n g o f h e r . S h e d i d n o t h a v e t r o u b l e w i t h a b s t r a c t p r o b l e m s i n w h i c h I a s k e d h e r t o a d d o r s u b t r a c t p a i r s o f n u m b e r s . H o w e v e r , t h i s p r o b l e m , w i t h a s e r i e s o f o p e r a t i o n s a n d n o e q u a l s s i g n , w a s u n l i k e a n y s h e w o u l d h a v e s e e n i n h e r c l a s s r o o m . S h e s e e m e d n o t t o u n d e r s t a n d 1 8 3 m y e x p l a n a t i o n s o f t h e p r o b l e m . T h u s , h e r ” w o r k ” o n t h e p r o b l e m w a s a s e r i e s o f g u e s s e s a b o u t w h a t t o d o . W h i l e p r o v i d i n g i n s i g h t i n t o t h e n a t u r e o f o u r a t t e m p t s t o c o m m u n i c a t e , i t i s l e s s h e l p f u l i n u n d e r s t a n d i n g h e r m a t h e m a t i c a l r e a s o n i n g . T h e r e a r e a l s o a f fi r m a t i v e r e a s o n s t o e x a m i n e t h e C a n d y C a n e p r o b l e m . l i k e t h e C a n d y B a r p r o b l e m , i t w a s a c o n t e x t u a l i z e d , r e a l w o r l d p r o b l e m , t h e k i n d o f p r o b l e m t o w h i c h N i c o l e w a s p a r t i c u l a r l y a t t r a c t e d . S h e m a d e u s e o f t h e c o n t e x t i n s o l v i n g p r o b l e m s . I n f a c t , t h e c o n t e x t o f t e n c o n s t r a i n e d , e v e n c o n t r o l l e d , w h a t s h e w a s w i l l i n g o r a b l e t o e n g a g e w i t h m a t h e m a t i c a l l y . T h i s i s h i g h l i g h t e d i n h e r w o r k o n t h e C a n d y C a n e p r o b l e m . A d d i t i o n a l l y , i n t h i s p r o b l e m , w e e x p l o r e h e r t h o u g h t s a b o u t m u l t i p l e a n s w e r s t o p r o b l e m s . T h e n B 1 U n l i k e t h e o t h e r c h i l d r e n , w h e n I c o n c l u d e d m y n a r r a t i v e o f t h i s p r o b l e m , N i c o l e j u s t s a t . A f t e r a 1 4 s e c o n d p a u s e , I a s k e d w h a t s h e w a s t h i n k i n g . A f t e r a n o t h e r p a u s e o f 2 2 s e c o n d s , s h e r e s p o n d e d , ” W e l l [ b r i e f p a u s e ] , i t d e p e n d s o n h o w b i g t h e y a r e ” ( N , I 2 , p . 1 ) . A s s h e c o n t i n u e d , s h e h a d d i f f i c u l t y a r t i c u l a t i n g t h e e x a c t n a t u r e o f t h i s c o n t i n g e n c y . S h e f i r s t s e e m e d t o f o c u s o n t h e s i z e o f a l l t h e b a r s s a y i n g h o w m u c h e a c h c h i l d r e c e i v e d d e p e n d e d o n h o w l a r g e t h e b a r s w e r e . H o w e v e r , a s I a s k e d f o r c l a r i f i c a t i o n , s h e s a i d t h a t ” i f o n e p e r s o n g o t o n e c a n d y b a r a n d a n o t h e r p e r s o n g o t m o r e t h a n t h a t p e r s o n ’ s c a n d y b a r , ” t h e y w o u l d g e t d i f f e r e n t a m o u n t s o f c a n d y . S h e w e n t o n , " i f o n e o f t h e k i d s g o t t h i s b i g o f a c a n d y b a r [ d r a w i n g a r e c t a n g l e r o u g h l y 1 % i n c h e s b y - g - i n c h ] t h e n a n o t h e r k i d g o t t h i s b i g o f a c a n d y b a r [ d r a w i n g a r e c t a n g l e ; - i n c h b y ' } i n c h ] a n d h e g o t m o r e c a n d y b a r s t h a n t h i s k i d , t h e n t h i s p e r s o n , w e l l i f t h e y ’ r e a l l t h e s a m e s i z e , a r e t h e y a l l [ t r a i l i n g o f f ] ” ( p . 1 ) . N i c o l e s e e m e d t o h a v e t r o u b l e d i s t i n g u i s h i n g f o r h e r s e l f w h e t h e r s h e w a s c o n c e r n e d a b o u t t h e n u m b e r o f b a r s 1 8 4 e a c h c h i l d r e c e i v e d o r t h e s i z e o f t h e b a r s . E v e n a f t e r d r a w i n g b a r s o f d i f f e r e n t s i z e s , s h e s t a r t e d t o d e s c r i b e h e r c o n c e r n a s w h e t h e r ” h e g o t m o r e c a n d y b a r s t h a n t h i s k i d . ” W o r t h y O f n o t e i s t h a t N i c o l e d i d n o t e l i d e ” c a n d y b a r s ” w h e n t a l k i n g a b o u t h e r u n d e r s t a n d i n g a n d c o n f u s i o n r e l a t i v e t o t h e p r o b l e m . S h e m a i n t a i n e d c l o s e c o n t a c t w i t h t h e c o n t e x t t h r o u g h o u t h e r w o r k o n s u c h p r o b l e m s . W h e n I c o n f i r m e d t h e b a r s w e r e a l l t h e s a m e s i z e , N i c o l e a s k e d i f s h e c o u l d u s e t h e p a p e r t o " l i k e d r a w t h e s e p i c t u r e s ” - e v e n t h o u g h a s s h e s t r u g g l e d t o a r t i c u l a t e h e r c o n t i n g e n c y I h a d s u g g e s t e d s h e ” d r a w m e a n e x a m p l e . ” S h e t h e n a s k e d h o w m a n y b a r s w e r e i n t h e ” b a g ” a n d , w h e n I s a i d i t w a s 3 0 , p r o c e e d e d t o d r a w F i g u r e 2 3 . A f t e r d r a w i n g 3 0 r e c t a n g l e s a n d f o u r c i r c l e s , s h e s a i d , ” O k a y , t h e r e a r e 3 0 h e r e a n d t h e r e w a s f o u r k i d s ” ( N , 1 2 , p . 2 ) . S h e t h e n d r e w a r e c t a n g l e b e n e a t h e a c h ” k i d ” a n d s t a r t e d d i s t r i b u t i n g t h e b a r s : ” E a c h k i d h a s a b o x , e a c h p e r s o n g o t a b o x [ t h e f o u r r e c t a n g l e s ] . Y o u w e n t w i t h [ d e s c r i b i n g h o w I d i s t r i b u t e d t h e b a r s ] t h i s o n e g o t t h i s o n e , a n d t h i s o n e g o t t h i s o n e , a n d t h i s o n e g o t t h i s o n e ” ( p . 2 ) . A s s h e s a i d e a c h p h r a s e , s h e p u t a l i n e t h r o u g h a b a r a n d d r e w a n a p p r o x i m a t i o n o f a c i r c l e i n a c h i l d ’ s ” b o x ” - - d o l i n g o u t b a r s o n e a t a t i m e f r o m l e f t t o r i g h t . S h e c o n t i n u e d t h i s u n t i l 2 8 b a r s h a d b e e n d i s t r i b u t e d ( F i g u r e 2 4 ) . S h e h a d g i v e n e a c h c h i l d a ” b o x ” a n d t r a n s f o r m e d m y ” b o x ” i n t o a ” b a g . " T h i s t r a n s f o r m a t i o n s u g g e s t s o n e r e a s o n c l a s s m a t e s m i g h t s t r u g g l e t o u n d e r s t a n d N i c o l e . 1 8 5 N i c o l e ’ s d i s t r i b u t i o n l i e s s o m e w h e r e b e t w e e n v i r t u a l a n d p h y s i c a l c o n n e c t i o n . L i k e B e r t , s h e e n d e d w i t h t h e b a r s d r a w n i n f o u r s e p a r a t e l o c a t i o n s . I n h e r s o l u t i o n , t h e b a r s a r e t r a n s p o r t e d f r o m t h e l a y o u t t o e a c h c h i l d ’ s b o x b y c r o s s i n g t h e m O f f a n d r e - d r a w i n g t h e m ( a s c i r c l e s , n o t r e c t a n g l e s ) . T h e y a c h i e v e a p h y s i c a l p r e s e n c e w i t h i n t h e c h i l d r e n ’ s b o x e s ( u n l i k e T e r i a n d D a n i e l l e ) b u t a r e n o t p h y s i c a l l y c o n n e c t e d w i t h t h e c h i l d ( u n l i k e T e r i ) . I n a s e n s e , N i c o l e ’ s r e p r e s e n t a t i o n m o s t m o d e l s t h e r e a l w o r l d a c t i o n . T h e c a n d y b a r s s t a r t i n o n e l o c a t i o n ( s h e c r e a t e d a l a y o u t ) , a r e r e m o v e d f r o m t h e r e ( s h e c r o s s e d t h e m o u t ) , a n d a r e t r a n s p o r t e d t o t h e c h i l d r e n ( s h e r e - d r e w t h e m i n t h e c h i l d r e n ’ s b o x e s ) . S h e c o u n t e d t h e n u m b e r o f c i r c l e s i n e a c h ” b o x ” a n d s a i d , ” e a c h p e r s o n g o t s e v e n ” ( N , 1 2 , 2 ) . L i k e T e r i , N i c o l e u s e d a g e n e r i c p r o n o u n f o r t h e c h i l d r e n , " p e r s o n , ” a n d i n t h i s i n s t a n c e u s e d t h e n u m b e r s e v e n a s a n o u n . H o w e v e r , s h e d i d n o t g o a s f a r i n t o t h e a b s t r a c t a s T e r i . N i c o l e d r e w t h e o r i g i n a l b a r s a s r e c t a n g l e s , s h e d r e w a c i r c l e t o r e p r e s e n t e a c h c h i l d , a n d t h e n a d d e d a b o x f o r e a c h . L i k e D a n i e l l e ( b u t n o t T e r i a n d B e r t ) , N i c o l e a p p a r e n t l y f e l t t h e n e e d t o c o u n t t h e n u m b e r o f b a r s e a c h c h i l d r e c e i v e d . O f c o u r s e , h e r m e t h o d o f d i s t r i b u t i o n - b a r - b y - b a r t r a n s f e r f r o m o n e l o c a t i o n t o a n o t h e r — o f f e r e d m o r e p o t e n t i a l f o r e r r o r ( w h i c h s h e s u c c e s s f u l l y o v e r c a m e ) . W h e n I a s k e d a b o u t t h e 2 9 t h a n d 3 0 t h b a r s , N i c o l e d r e w t h r e e h o r i z o n t a l l i n e s a c r o s s e a c h o f t h e m a n d a d d e d t w o c i r c l e s t o e a c h ” b o x ” ( F i g u r e 2 5 ) . S h e m a d e n o a p p a r e n t d i s t i n c t i o n b e t w e e n t h e o r i g i n a l s e v e n w h o l e b a r s a n d t h e s e t w o n e w ” p i e c e s . ” 1 8 7 S h e a g a i n c o u n t e d t h e c i r c l e s i n e a c h c h i l d ’ s ” b o x " a n d s a i d : ” I t a l l e q u a l s n i n e . ” I n r e s p o n s e t o m y q u e s t i o n , s h e c l a r i f i e d t h i s s a y i n g s h e m e a n t e a c h c h i l d r e c e i v e d n i n e b a r s . H e r o r i g i n a l s t a t e m e n t i m p l i e d e a c h c h i l d r e c e i v e d n i n e b u t e l i d e d t h e n o u n s , " k i d s ” a n d ” b a r s . ” H e r p h r a s i n g s u g g e s t s a n a t t e m p t t o p r e s e n t t h e s o l u t i o n i n m a t h e m a t i c a l f o r m , l i k e a n u m b e r s e n t e n c e . W h e n I a s k e d w h a t s h e m e a n t , h e r c l a r i f i c a t i o n i n c l u d e d t h e n o u n s . W h e n I c o n t r a s t e d t h i s a n s w e r w i t h h e r p r e v i o u s a n s w e r , s e v e n , s h e e x p l a i n e d w h a t s h e h a d d o n e : W e l l , I g o t b o t h o f t h o s e c a n d y b a r s , t h e n I d i v i d e d t h o s e t w o i n e q u a l p a r t s , l i k e i f t h i s c a n d y b a r h a d [ p a u s e ] l i k e y o u k n o w t h o s e l i t t l e S n i c k e r s , t h e y g o t o n e , t w o , t h r e e , f o u r , t h e s e f o u r d o w n ? 8 2 W e l l , i t ’ s j u s t l i k e i f t h e y h a v e o n e , t w o , t h r e e , f o u r , o n e , t w o , t h r e e , f o u r [ d r a w i n g t w o n e w b a r s a n d q u a r t e r i n g t h e m ] . S o I g a v e e a c h p e r s o n o n e o f t h e s e [ p i e c e s ] a n d I g a v e t h i s . A n d t h a t ’ s h o w t h e y g o t n i n e . B e c a u s e t w o p l u s , s e v e n p l u s t w o e q u a l s n i n e . ( N , I 2 , p . 2 ) S h e fi r s t d r e w a n a n a l o g y w i t h r e a l c a n d y b a r s , S n i c k e r s ( T w i x ) . S h e t h e n n a r r a t e d h e r p h y s i c a l a c t i o n s o f r e - d r a w i n g a n d d i v i d i n g t h e b a r s . S h e s a i d t h a t t h e f o u r p a r t s o f a ” S n i c k e r s ” c o r r e s p o n d e d w i t h t h o s e o f t h e q u a r t e r e d r e c t a n g l e s s h e h a d d r a w n . N i c o l e t h e n a s s e r t e d t h a t t h e o r i g i n a l s e v e n p l u s t h e t w o p i e c e s f r o m t h e 2 9 t h a n d 3 0 t h b a r s m e a n t e a c h c h i l d ” g o t n i n e . ” B e f o r e I c o u l d q u e s t i o n h e r a b o u t e a c h c h i l d n o w g e t t i n g n i n e b a r s , s h e s t a r t e d t o w r i t e o n t h e p a p e r n e x t t o t h e p i c t u r e . W h e n I a s k e d w h a t s h e w a s d o i n g , s h e s a i d s h e d i d n ’ t k n o w w h a t " n u m b e r s e n t e n c e ” w o u l d d e s c r i b e w h a t e a c h c h i l d r e c e i v e d ( F i g u r e 2 6 ) . N i c o l e s a i d s h e w a s " k i n d o f c o n f u s e d ” b e c a u s e i f s h e a d d e d , s h e g o t 3 4 a n d ” t h e k i d s c a n ’ t g e t 3 4 c a n d y b a r s ” b e c a u s e i t w o u l d b e t o o m a n y . S h e t h e n e x p l a i n e d h o w s h e h a d d o n e t h e s u b t r a c t i o n t o s e e i f t h a t w o r k e d b e t t e r : " T a k e 8 2 S h e a p p e a r e d a c t u a l l y t o b e d e s c r i b i n g T w i x b a r s . S h e a l s o i n d i c a t e d v e r t i c a l p i e c e s w h i l e h e r r e p r e s e n t a t i o n s — t h a t i n h e r l a y o u t a n d t h e o n e s h e w a s a b o u t t o d r a w - b o t h h a d h o r i z o n t a l p i e c e s . 1 8 9 a w a y , 3 0 t a k e a w a y f o u r t h a t ’ s 3 4 , i t ’ s n o t g o i n g t o b e 3 4 ” ( N , I 2 , p . 2 ) . H e r f i r s t t r i a l t o s e e i f s u b t r a c t i o n w o u l d g i v e t h e a p p r o p r i a t e ” n u m b e r s e n t e n c e ” a l s o p r o d u c e d 3 4 a s a n a n s w e r ; s h e s u b t r a c t e d t h e s m a l l e r d i g i t , 0 , f r o m t h e l a r g e r , 4 . H o w e v e r , w h e n I a s k e d w h a t s h e h a d d o n e , s h e s h o w e d a n o t h e r w a y t o d o t h e s u b t r a c t i o n : I t a k e a w a y , 3 0 t a k e a w a y f o u r , u n l e s s I b o r r o w , t h e s e t w o r i g h t t h e r e [ t h e ” 3 ” a n d ” 0 ” ] b e c o m e a o n e a n d t w o [ ” 1 0 ” a n d ” 2 ” ] . T a k e a w a y f o u r [ f r o m 1 0 ] , s i x , t h e n t w o t a k e a w a y n o t h i n g i s t w o , b e c a u s e y o u c a n ’ t t a k e n o t h i n g a w a y f r o m t w o . Y o u g e t t w o . ( N , 1 2 , p . 2 ) N i c o l e p e r f o r m e d t h e s u b t r a c t i o n w i t h b o r r o w i n g fl a w l e s s l y — a l b e i t , a r g u i n g t h a t ” y o u c a n ’ t ” s u b t r a c t z e r o f r o m t w o w h i c h h a s t h e s a m e o u t c o m e b u t i s l o g i c a l l y d i f f e r e n t t h a n s a y i n g , ” T w o t a k e a w a y z e r o i s t w o b e c a u s e t h e r e i s n o t h i n g t o t a k e a w a y . ” W h e n I a s k e d h e r w h a t t h e s e c o m p u t a t i o n s h a d t o d o w i t h t h e p i c t u r e , N i c o l e a p p a r e n t l y t o o k t h i s a s i m p l y i n g t h e y d i d n o t d e s c r i b e h e r p i c t u r e . S h e a g r e e d : " T h a t ’ s w h a t I ’ m s a y i n g , w h a t t h i s g o t t o d o w i t h t h i s , b e c a u s e i t a i n ’ t g o i n g t o e q u a l t h a t n u m b e r ” ( N , I 2 , p . 2 ) . S h e w a s ” a g r e e i n g " t h a t t h e ” n u m b e r s e n t e n c e s ” s h e h a d c o m e u p w i t h g a v e a n s w e r s t h a t d i d n o t c o r r e s p o n d w i t h t h e o n e f r o m h e r p i c t o r i a l s o l u t i o n . I h a d i n t e n d e d t o q u e s t i o n t h e r e l a t i o n s h i p b e t w e e n s o l u t i o n v i a m a t h e m a t i c a l c o m p u t a t i o n s a n d t h e a c t i o n s a n d r e s u l t s r e p r e s e n t e d i n h e r p i c t u r e . I t s e e m s t h a t N i c o l e w a s t r y i n g t h e s t a n d a r d a l g o r i t h m s w i t h w h i c h s h e w a s f a m i l i a r b e c a u s e s h e e x p e c t e d s u c h p r o b l e m s t o h a v e n u m b e r s e n t e n c e s t h a t c o r r e s p o n d e d w i t h p i c t o r i a l s o l u t i o n s . 8 3 3 3 “ s e e m s r e a s o n a b l e t o b e l i e v e t h a t t h i s g r e w o u t o f h e r t e a c h e r ’ s p r a c t i c e o f a s k i n g t h e s t u d e n t s t o b o t h s o l v e p r o b l e m s a n d w r i t e n u m b e r s e n t e n c e s t o g o w i t h t h e i r s o l u t i o n . 1 9 0 O O W N W / [ W a r m g / H W Z a w e B Z H M Z M E Q 0 0 0 0 0 0 0 % ? ) 0 0 0 8 9 0 0 0 0 0 0 0 3 o . 0 0 0 F i g u r e 2 5 : N i c o l e ’ s r e p r e s e n t a t i o n a f t e r d i s t r i b u t i n g t h e 2 9 t h a n d 3 0 t h b a r s . 3 0 + 4 3 4 a d d i n g t a k e a w a y 2 3 0 - 4 2 6 F i g u r e 2 6 : N i c o l e ’ s a t t e m p t s t o f i n d a ” n u m b e r s e n t e n c e ” t o f i t h e r p i c t o r i a l s o l u t i o n . 1 9 2 I r e t u r n e d t h e c o n v e r s a t i o n t o h e r c h a n g e i n a n s w e r f r o m s e v e n t o n i n e b a r s p e r c h i l d . I a s k e d i f t h e f i r s t s e v e n c i r c l e s r e p r e s e n t e d w h o l e b a r s . N i c o l e w a s n o w t h e o n e k e e p i n g i n m i n d t h e 2 9 t h a n d 3 0 t h b a r s . S h e a g r e e d t h e ” k i d s ” d i d e a c h r e c e i v e s e v e n ; s h e w r o t e ” 7 ” u n d e r n e a t h e a c h ” b o x . ” A t t h e s a m e t i m e , s h e d i s a g r e e d : ” B u t , i f l p u t s e v e n d o w n h e r e . . . " ( N , I 2 , p . 3 ) . T h e n s h e p r e s e n t e d a n a l t e r n a t i v e w a y o f d i s t r i b u t i n g t h e 2 9 t h a n d 3 0 t h b a r s , t o d e m o n s t r a t e w h y s e v e n c o u l d n o t b e t h e a n s w e r . S h e d r e w a r e c t a n g l e n e x t t o e a c h o f t h e t w o " 7 ” s o n t h e l e f t ( F i g u r e 2 7 ) . l — l G O O G O O 3 c ? $ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ] ‘ o o o \ l \ 1 D 7 D 7 F i g u r e 2 7 : N i c o l e ’ s a l t e r n a t e d i s t r i b u t i o n o f t h e 2 9 t h a n d 3 0 t h b a r s . I s a i d t h a t t h e o t h e r t w o c h i l d r e n w o u l d n o t l i k e t h a t a n d N i c o l e a g r e e d s a y i n g , ” t h e y h a v e t o d i v i d e i t , t h e y h a v e t o d o i t i n e q u a l p a r t s . " S h e e r a s e d t h e t w o a d d e d r e c t a n g l e s a s s h e s a i d t h i s . H e r a r g u m e n t w a s t h a t t h e f o u r c h i l d r e n w o u l d n e e d t o d i v i d e t h e c a n d y b a r s i n t o e q u a l p i e c e s . S h e h a d u s e d t h e t e m p o r a r y a d d i t i o n o f t h e t w o r e c t a n g l e s t o d e m o n s t r a t e a n u n f a i r s o l u t i o n . I a g r e e d t h a t w o u l d b e u n f a i r b u t t h e n t r i e d t o d i s t i n g u i s h b e t w e e n p a r t s a n d w h o l e b a r s a g a i n . N i c o l e r e t u r n e d t o t h e s t o r y c o n t e x t w i t h o u t o u t r i g h t r e j e c t i n g t h e p o s i t i o n i m p l i e d b y m y q u e s t i o n s ; s h e m o d i fi e d t h e s t o r y 1 9 3 a p p a r e n t l y t o b e t t e r e x p l a i n h e r p o s i t i o n . S h e a r g u e d t h a t , i f m y s i s t e r h a d fi v e c h i l d r e n , a n d t w o r e c e i v e d t h e e x t r a w h o l e b a r s , t h e r e w o u l d b e t h r e e w h o w e r e u p s e t . S h e s e e m e d t o b e e x a g g e r a t i n g t h e d i s p a r i t y b e t w e e n t h e n u m b e r o f ” h a v e s ” a n d ” h a v e n o t s ” i n a n e f f o r t t o h e l p m e s e e t h e u n f a i r n e s s o f s u c h a m e t h o d o f d i s t r i b u t i o n . T h a t i s , i f I d i d n ’ t u n d e r s t a n d h e r a r g u m e n t w i t h f o u r c h i l d r e n , m a y b e I w o u l d " g e t i t ” i f t h e r e w e r e m o r e c h i l d r e n w h o d i d n o t r e c e i v e t h e e x t r a c a n d y . 8 4 N i c o l e s p o n t a n e o u s l y r e t u r n e d t o t h e c o n t e x t o f t h e p r o b l e m a n d m o d i f i e d i t f o r h e r p u r p o s e , t o e x p l i c a t e w h a t s h e t h o u g h t . N o o n e e l s e r e t u r n e d t o c o n t e x t s a n d m o d i f i e d t h e m ; t h e r e w e r e s e l d o m o c c a s i o n s w h e n t h e o t h e r c h i l d r e n r e f e r r e d t o t h e s t o r y a t a l l t o m a k e o r j u s t i f y t h e i r a r g u m e n t s . “ I r e s p o n d e d t o h e r a r g u m e n t b y t r y i n g t o d r a w a n a n a l o g y b e t w e e n t h e f o u r c h i l d r e n s h a r i n g o n e c a n d y b a r a n d s h e a n d I s h a r i n g o n e : " B u t i f I h a d a c a n d y b a r , i f I h a d o n e c a n d y b a r , a n d y o u a n d I s p l i t i t . . . ” B e f o r e I c o u l d c o n t i n u e , N i c o l e d r e w a r e c t a n g l e a n d d i v i d e d i t i n h a l f w i t h a h o r i z o n t a l l i n e s a y i n g , ” T h a t w o u l d b e l i k e t h a t . ” W h e n I a s k e d h o w m u c h w e w o u l d g e t , s h e r e s p o n d e d t h a t w e w o u l d e a c h g e t ” a h a l f . " I t h e n a s k e d i f m y n i e c e s a n d n e p h e w s w o u l d g e t ” a s m u c h a s t h a t . " S h e p o i n t e d t o e a c h o f t h e f o u r p i e c e s o f o n e O f t h e t w o b a r s s h e h a d d r a w n s a y i n g , ” t h i s e q u a l o n e p i e c e ” a s s h e d i d s o . S h e t h e n c o n n e c t e d e a c h p i e c e t o a d i f f e r e n t c h i l d ’ s " b o x " a n d c o m m e n t e d , ” d o t h e s a m e w i t h t h e o t h e r c a n d y b a r ” ( F i g u r e 2 8 ) . T h u s , h e r ” a n s w e r ” t o m y q u e s t i o n w a s t o p h y s i c a l l y c o n n e c t t h e p i e c e s o f o n e o f t h e t w o b a r s s h e h a d p r e v i o u s l y d r a w n a n d q u a r t e r e d a n d i m p l y t h e c o n n e c t i o n o f t h e o t h e r b a r . S h e e s s e n t i a l l y a r g u e d t h a t t h e d i s t r i b u t i o n o f t h e o t h e r b a r w a s a n a l o g o u s . T h i s f o r m $ 4 I t c o u l d a l s o b e t h a t s h e w a n t e d a s o l u t i o n t h a t h a d a d i f f e r e n t n u m b e r O f h a v e s a n d h a v e n o t s . R a t h e r t h a n t w o c h i l d r e n r e c e i v i n g t h e e x t r a b a r s a n d t w o n o t , t h i s v e r s i o n h a d t w o a n d t h r e e c h i l d r e n . 8 5 “ T h o u g h i t w a s n o t u n u s u a l f o r t h e m t o r e f e r t o t h e s t o r i e s t o p r e s e n t t h e i r a n s w e r s ” i n c o n t e x t . ” F o r e x a m p l e , g i v i n g s o l u t i o n s a l o n g t h e l i n e s o f , ” E a c h c h i l d r e c e i v e d s e v e n a n d a h a l f c a n d y b a r s . ” 1 9 4 o f a n s w e r i s h a r d t o i n t e r p r e t . S h e m a y h a v e b e e n d i s a g r e e i n g b y s h o w i n g t h a t e a c h c h i l d r e c e i v e d t w o p i e c e s i n s t e a d o f t h e o n e s h e a n d I r e c e i v e d . I t m a y a l s o b e t h a t s h e w a s u n s u r e h o w t o a n s w e r m y q u e s t i o n a n d , r e c o g n i z i n g i t a s a r e t u r n t o t h e c o n t e x t , d e c i d e d t o f i n i s h w h a t s h e h a d s t a r t e d e a r l i e r . I n t h i s p r o c e s s N i c o l e m a d e s e v e r a l a n a l o g i e s o r a n a l o g y - l i k e m o v e s . H e r c o m p a r i s o n O f t h e d i v i d e d r e c t a n g l e s w i t h a S n i c k e r s ( T w i x ) b a r i s o n e a n a l o g y . H e r c h a n g i n g o f t h e p r o b l e m t o m y s i s t e r h a v i n g f i v e c h i l d r e n h a d s o m e a s p e c t s o f a n a n a l o g y ; s h e d i d n o t c r e a t e a t r u l y a n a l o g o u s s i t u a t i o n b u t m o d i f i e d t h e s i t u a t i o n t o c l a r i f y h e r i n t e r p r e t a t i o n o f t h e o r i g i n a l s i t u a t i o n . I t h e n c r e a t e d a s i m i l a r " p s e u d o - a n a l o g y ” t h a t r e fl e c t e d h e r m o v e ; I c h a n g e d t h e n u m b e r s a n d s i t u a t i o n b y h y p o t h e s i z i n g s h a r i n g o n e b a r b e t w e e n h e r a n d m e . I h a d i n t e n d e d t h i s t o i l l u s t r a t e d i f f e r e n c e s i n s i z e a m o n g a w h o l e , a h a l f , a n d a q u a r t e r . N i c o l e s e e m e d t o r e s p o n d a s i f i t ( f a l s e l y ) i l l u s t r a t e d t h e n a t u r e o f d i v i d i n g i n d i v i d u a l o b j e c t s . S h e f o l l o w e d m y p s e u d o - a n a l o g y w i t h a n o t h e r o f h e r o w n S h e d e s c r i b e d a s e r i e s o f p r o b l e m s t h e y h a d d o n e i n c l a s s t h a t w e r e c l u s t e r e d a r o u n d t h e s h a r i n g o f a b r o w n i e . T h e fi r s t o f t h e p r o b l e m s i n v o l v e d s h a r i n g o n e b r o w n i e a m o n g f i v e c l a s s m a t e s : T h e r e w a s , o k a y , t h e r e w a s M e l a n i e , t h e r e w a s m e , t h e r e w a s J i m , A r t , a n d D e n i s e . T h o s e f i v e , a n d t h e r e w a s a c a n d y b a r . N o w h o w , y o u k n o w s o m e b o d y g e t a c a n d y b a r a n d t h e r e w e r e fi v e , h o w w o u l d d e c i d e w h o g o t o n e , w e l l i t w a s a c t u a l l y a b r o w n i e . H o w y o u c a n , h o w w o u l d y o u k n o w t h a t p e r s o n , w o u l d M e l a n i e g e t o n e ? F o u r p e o p l e s a y " n o . ” W o u l d N i c o l e g e t o n e ? T h e o t h e r p e o p l e s a y ” n o . ” W o u l d J i m g e t o n e ? T h e o t h e r p e O p l e s a y ” n o . ” W o u l d A r t g e t o n e ? T h e o t h e r p e r s o n s a y " n o . " W o u l d D e n i s e g e t o n e ? T h e o t h e r p e r s o n s a y ” n o . " E v e r y b o d y w a n t t h a t , u m , t h a t b r o w n i e i t w o n ’ t b e f a i r t o t h e r e s t o f t h e k i d s . W e g o t t a s p l i t i t i n h a l f [ d i v i d i n g t h e b a r i n t o f i v e s e g m e n t s - s e e F i g u r e 2 9 ] . O k a y . N o w e v e r y b o d y ’ s h a p p y b e c a u s e [ e n t e r i n g n a m e s i n t h e s e g m e n t s ] M e l a n i e g o t a p i e c e , N i c o l e g o t a p i e c e , J i m g o t a p i e c e , A r t g o t a p i e c e , a n d D e n i s e g o t a p i e c e . T h a t w a s M o n d a y . T h e n o n T u e s d a y . . . t h e r e w a s M e l a n i e , N i c o l e , J i m , A r t . ( N , 1 2 , p p . 3 - 4 ) 1 9 5 O O 0 0 0 0 0 0 F i g u r e 2 8 : T h e f i n a l v e r s i o n o f N i c o l e ’ s r e p r e s e n t a t i o n . M e l N i c J i m A r t D e n i s e F i g u r e 2 9 : N i c o l e ’ s f i r s t e x a m p l e , f i v e c h i l d r e n s h a r i n g o n e b r o w n i e . F i g u r e 3 0 : N i c o l e ’ s e x a m p l e o f t w o p e o p l e s h a r i n g t w o b a r s . 1 9 7 S h e c o n t i n u e d i n t h i s f a s h i o n w i t h f o u r c h i l d r e n a n d t h e n t h r e e s h a r i n g a b r o w n i e , d r a w i n g a p i c t u r e f o r e a c h . T h e s e p r o b l e m s , a s N i c o l e s t r u c t u r e d t h e m , a r e a r g u m e n t s f o r t h e n e c e s s i t y o f s h a r i n g a b r o w n i e e q u a l l y — i f t h e r e a r e fi v e c h i l d r e n t o s h a r e , t h e b r o w n i e s h o u l d b e d i v i d e d i n f i v e e q u a l p i e c e s . N i c o l e m a d e n o m e n t i o n o f f r a c t i o n s o r f r a c t i o n n a m e s . S h e s a i d t h a t o n W e d n e s d a y , w h e n M e l a n i e , N i c o l e , a n d J i m s h a r e d t h e b r o w n i e , M e l a n i e g o t t h e l a r g e s t p i e c e . W h e n I a s k e d w h y s h e d i d , N i c o l e a r g u e d : j B e c a u s e i t ’ s , y o u h a v e t h e b r o w n i e , y o u c o u l d n ’ t h e l p i t i f o n e p e r s o n g o t t h e b i g g e s t p i e c e . . . . Y o u c a n ’ t d i v i d e i t u p i n t o , i f t h e r e w a s t h r e e p e o p l e y o u c a n ’ t d i v i d e d i t u p [ p a u s e ] o n e p e r s o n , t h a t p e r s o n h a s t o g e t t h e b i g g e s t p i e c e . ( N , 1 2 , p . 4 ) l W h e n I a s k e d w h y i t c o u l d n ’ t b e d i v i d e d e v e n l y , N i c o l e p o i n t e d a t h e r p i c t u r e o f o n e b r o w n i e d i v i d e d a m o n g t h r e e c h i l d r e n a n d a s k e d w h i c h w a s t h e b i g g e s t p i e c e . W h e n I i n d i c a t e d t h a t I c o u l d n o t t e l l , s h e e m p h a t i c a l l y c o n fi r m e d t h i s a s h e r p o i n t , " S e e , n o b o d y k n o w . " W h e n I a s k e d i f t h e y h a d b e e n t r y i n g t o d i v i d e t h e m e q u a l l y , N i c o l e s a i d t h e y h a d b u t t h e y c o u l d n ’ t ” b e c a u s e M e l a n i e w o u l d ’ v e g o t t h e b i g g e s t p i e c e . " T h i s i n a b i l i t y t o d i f f e r e n t i a t e t h e l a r g e s t p i e c e c o u l d j u s t a s e a s i l y b e i n t e r p r e t e d a s m e a n i n g t h a t a l l p i e c e s w e r e e q u a l . T h u s , h e r r e s p o n s e t o m y q u e s t i o n a b o u t w h a t ” t h e y , " t h e p a r t i c i p a n t s i n t h e s t o r y , h a d b e e n t r y i n g t o d o e l i c i t e d a r e s p o n s e t h a t n o m i n a l l y a g r e e d b u t s i m u l t a n e o u s l y c o n t r a d i c t e d m y i m p l i c a t i o n b y p o i n t i n g o u t w h a t t h e o u t c o m e m u s t b e . I e x p r e s s e d m y c o n f u s i o n a n d N i c o l e m a d e a m o v e m u c h l i k e s h e h a d w i t h c h a n g i n g t h e C a n d y B a r c o n t e x t t o f i v e c h i l d r e n , s h e e x a g g e r a t e d t h e d i f f e r e n c e . S h e d r e w a ” k i n d o f s m a l l ” r e c t a n g l e a n d t h e n d i s t r i b u t e d i t a m o n g ” l e t ’ s s a y , s i x p e O p l e . ” S h e c o n c l u d e d , ” t h e r e ’ s t o o m u c h p e o p l e f o r t h e s m a l l e r b r o w n i e ” ( N , 1 2 , p . 4 ) . I a s k e d w h e t h e r h e r a r g u m e n t w a s a l w a y s t r u e , i f i t m a t t e r e d ” w h e t h e r t h e r e a r e f o u r p e o p l e o r t w o p e o p l e o r s i x p e o p l e . ” S h e 1 9 8 r e s p o n d e d b y s a y i n g ” I t d o n ’ t m a t t e r . ” S h e d r e w a n o t h e r b a r , a r g u i n g t h a t i f t h e r e w e r e 1 9 p e o p l e ” i f y o u s q u e e z e i n , [ n o m a t t e r ] h o w s m a l l y o u c a n g e t i t a n d t h a t ’ s s t i l l n o t e n o u g h ” f o r e v e r y b o d y t o g e t a p i e c e ( p . 5 ) . T h a t i s , s h e c o u l d n o t d i v i d e t h e b r o w n i e e n o u g h t i m e s t o O b t a i n 1 9 p i e c e s . T h i s s e e m s a c h a n g e i n h e r a r g u m e n t f r o m a q u e s t i o n o f e q u a l d i v i s i o n o f a b r o w n i e t o w h e t h e r i t w o u l d b e p o s s i b l e f o r a s i n g l e b r o w n i e t o b e d i v i d e d a m o n g a l a r g e n u m b e r o f p e o p l e . A g a i n , t h i s s e e m s a m i s - m a t c h b e t w e e n t h e i n t e n t b e h i n d m y q u e s t i o n — c o u l d a n y n u m b e r o f p e o p l e e v e n l y d i s t r i b u t e a b r o w n i e - a n d h e r i n t e r p r e t a t i o n o f m y q u e s t i o n — t h e r e i s a l i m i t t o h o w m a n y p e o p l e c o u l d s h a r e a s i n g l e b r o w n i e . T h i s s e r i e s o f p r o b l e m s i n w h i c h f i v e , f o u r , a n d t h e n t h r e e p e o p l e s h a r e a s i n g l e b r o w n i e s e e m s s i m i l a r t o h e r ” m i n i - s e r i e s ” o f t w o p r o b l e m s i n w h i c h f o u r a n d t h e n fi v e c h i l d r e n s h a r e t w o b a r s , T h a t i s , i t s e e m s t h a t s h e m a y h a v e u s e d t h i s c l a s s r o o m s e q u e n c e o f p r o b l e m s a s a m o d e l w h e n s h e c h a n g e d t h e s t o r y f r o m m y s i s t e r h a v i n g f o u r c h i l d r e n t o h a v i n g fi v e . I n e a c h i n s t a n c e , t h e r e i s a s e q u e n c e o f n u m b e r s o f p e O p l e s h a r i n g t h e s a m e q u a n t i t y o f f o o d . I n b o t h i n s t a n c e s , N i c o l e s e e m e d t o b e t r y i n g t o d e m o n s t r a t e a n e e d f o r a n d w a y o f e q u i t a b l e s h a r i n g . T h i s a g a i n i s a n e x a m p l e o f h e r a t t e n t i o n t o a n d a f fi n i t y f o r t h e p r o c e s s o f d o i n g m a t h e m a t i c s . S h e h a d e x t r a p o l a t e d a p u r p o s e f o r t h e s e q u e n c e O f c l a s s r o o m p r o b l e m s a n d u s e d t h a t a s a m o d e l f o r h e r o w n a r g u m e n t s a b o u t m a t h e m a t i c s i n a r e a l w o r l d c o n t e x t . R a t h e r t h a n a t t e n d i n g t o t h e c o n t e n t o f t h e l e s s o n s — f r a c t i o n s - s h e a t t e n d e d t o t h e p a t t e r n o f t h e p r o b l e m s . T r y i n g a g a i n t o f o c u s o n t h e i s s u e o f h o w m a n y w h o l e s a n d h o w m a n y p i e c e s e a c h c h i l d r e c e i v e d , I a s k e d w h e t h e r t w o p e o p l e s h a r i n g o n e b r o w n i e c o u l d g e t e q u a l p i e c e s . S h e s a i d t h a t t w o p e o p l e c o u l d s h a r e a b r o w n i e e q u a l l y . C r e a t i n g a p r o b l e m w h e r e t w o o f h e r t e a c h e r s s h a r e d o n e , s h e s a i d e a c h c o u l d 1 9 9 — : g e t h a l f o f a b r o w n i e , d r a w i n g a r e c t a n g l e a n d s p l i t t i n g i t w i t h a h o r i z o n t a l l i n e a s s h e d i d s o . L i k e B e r t a n d D a n i e l l e , s h e n o t e d t h a t h e r d r a w i n g w a s n o t p e r f e c t s a y i n g s h e d i d n o t ” k n o w h o w t o d r a w s t r a i g h t l i n e s . ” S h e a r g u e d t h a t i n t h e i d e a l , s h a r i n g a b r o w n i e e q u a l l y i s p o s s i b l e f o r t w o p e o p l e , i t w a s j u s t h e r i n a d e q u a t e d r a w i n g t h a t k e p t h e r p i c t u r e f r o m d e m o n s t r a t i n g t h i s . Y e t h e r p r e v i o u s a r g u m e n t w a s t h a t t h e r e w o u l d b e n o w a y t o a c h i e v e a n i d e a l d i v i s i o n f o r m o r e t h a n t w o p e o p l e . T h u s , h e r a r g u m e n t w a s t h a t , e v e n t h o u g h s h e c o u l d l n o t r e p r e s e n t i t , a b a r c o u l d b e e v e n l y d i v i d e d i n t w o . A t t h e s a m e t i m e , s h e u s e d 1 m i n “ t h e i n a b i l i t y t o r e p r e s e n t d i v i s i o n o f r e c t a n g l e s i n t o e q u a l n u m b e r s o f p i e c e s , i f t h e n u m b e r w a s l a r g e r t h a n t w o - - a s e v i d e n c e t h a t s u c h a d i v i s i o n i s i m p o s s i b l e i n t h e ” r e a l w o r l d . ” S h e t h e n s a i d t h a t i f t h e r e w e r e t w o b r o w n i e s a n d e a c h w a s d i v i d e d i n f o u r ( F i g u r e 3 0 ) , t h e t w o t e a c h e r s " c o u l d ” e a c h ” g e t f o u r b u t i t w o u l d s t i l l b e o n e h a l f . ” T h o u g h t h i s t i m e s h e d i d n o t p o i n t o u t t h e i n a c c u r a c y o f h e r p i c t u r e , i t a l s o f a i l e d t o e q u a l l y d i v i d e t h e b a r s . H e r e o f c o u r s e , s h e h a s c h a n g e d w h a t o n e w h o l e w o u l d b e ; t h e t e a c h e r s w o u l d r e c e i v e a h a l f o f t w o b a r s . A g a i n , s h e s e e m e d t o h a v e a s o l i d g r a s p o n t h e p r o c e s s o f s h a r i n g b u t m i s s s o m e o f t h e c r u c i a l m a t h e m a t i c a l a s p e c t s . I t h e n a s k e d w h y t w o p e o p l e c o u l d g e t t h e s a m e a m o u n t w h e r e a s t h r e e c o u l d n o t . N i c o l e s a i d , ” B e c a u s e t h e r e w a s l e s s p e o p l e t h a n d o w n h e r e ” p o i n t i n g t o t h e r e c t a n g l e d i v i d e d i n t o t h r e e p i e c e s . I a s k e d h o w t h a t m a d e a d i f f e r e n c e a n d s h e s a i d , " B e c a u s e , l i k e i f i t w a s m e , y o u a n d [ h e r t e a c h e r ] , t h e n w e c o u l d s a y t h a t , w h o g o t t h e b i g g e s t p i e c e , w h i c h p i e c e i s b i g g e s t ? ” ( N , 1 2 , p . 5 ) . A s s h e s a i d t h i s s h e d r e w a n e w r e c t a n g l e a n d d i v i d e d i t i n t o t h r e e p a r t s . I s a i d t h a t I t h o u g h t t h e m i d d l e p i e c e w a s a l i t t l e l a r g e r a n d s h e a g r e e d e m p h a t i c a l l y , s a y i n g t h a t , n o m a t t e r " h o w e q u a l y o u g e t i t o n e p e r s o n h a s g o t t o g e t t h e b i g g e s t p i e c e . " I s a i d 2 0 0 b u t t h a t d i d n o t h a p p e n w h e n t w o p e o p l e s h a r e d a n d s h e a g r e e d ” b e c a u s e t h e r e ’ s o n l y t w o p e o p l e ” ( p . 5 ) . T h i s s e e m s t o c o n t r a d i c t h e r p r e v i o u s a r g u m e n t . P r e v i o u s l y , w h e n I s a i d I c o u l d n o t t e l l w h i c h p i e c e w a s l a r g e s t , s h e u s e d t h i s t o s u p p o r t h e r a r g u m e n t t h a t s o m e o n e w o u l d h a v e t o g e t t h e l a r g e s t p i e c e ; h e r e s h e u s e d m y i d e n t i f i c a t i o n o f o n e p i e c e a s l a r g e s t t o m a k e t h e s a m e c l a i m . I w a s n o t c l e a r a b o u t h e r r e a s o n i n g b u t d e c i d e d t h a t i t w a s t i m e t o m o v e t o t h e n e x t t a s k , t h e C a n d y C a n e p r o b l e m . T h e a n d a n P r 1 W h i l e a l l t h e o t h e r c h i l d r e n s o l v e d t h i s p r o b l e m q u i c k l y a n d w i t h l i t t l e L : d i f f i c u l t y , N i c o l e s t r u g g l e d t o u n d e r s t a n d i t . A f t e r I fi n i s h e d n a r r a t i n g t h e p r o b l e m , s h e p a u s e d a s w i t h o t h e r p r o b l e m s a n d t h e n a s k e d i f ” t h e y ” g a v e m e s o m e c a n d y b a r s . I r e p e a t e d t h a t t h e O l d e r c h i l d r e n h a d g i v e n m e a b a g w i t h t w o d o z e n a n d a s k e d i f s h e k n e w w h a t a d o z e n w a s . S h e n o d d e d a n d s a i d , ” U m , h m m . ” I c o n t i n u e d , ” A n d t h e n t h e o t h e r k i d s j u s t g a v e m e a h a n d f u l o f c a n d y c a n e s . A n d a l t o g e t h e r I h a d 4 0 . ” S h e l o o k e d c o n f u s e d a n d a s k e d , ” W i t h t h e o t h e r . . . " I t h o u g h t s h e w a s c o n t i n u i n g m y p r e v i o u s s e n t e n c e a n d s o , w h e n s h e p a u s e d , I c o m p l e t e d i t : " w i t h t h e c a n d y b a r s a n d c a n d y c a n e s p u t t o g e t h e r . S o h o w m a n y c a n d y c a n e s w e r e t h e r e ? " N i c o l e p a u s e d f o r 1 3 s e c o n d s , d r e w a c a n d y c a n e a b o u t a n i n c h t a l l , p a u s e d 4 0 s e c o n d s , a n d t h e n a s k e d , ” H o w b i g w a s t h e h a n d ? ” S u r p r i s e d , I a s k e d t w i c e w h a t s h e w a s r e q u e s t i n g a n d s h e f i r s t r e p e a t e d t h e q u e s t i o n v e r b a t i m a n d t h e n c h a n g e d i t t o , ” H o w b i g w a s t h e h a n d f u l . ” I s a i d , ” W e l l , t h a t ’ s t h e q u e s t i o n . ” I t h e n e l a b o r a t e d s a y i n g t h e y h a d p u t a l l t h e c a n d y i n a n u n l a b e l e d b a g . 2 0 1 i i i 8 F i g u r e 3 1 : N i c o l e ’ s p a i r o f ” h a n d s " w i t h c a n d y c a n e s . w — — _ _ — — — _ i l ' F i g u r e 3 2 : N i c o l e ’ s s e c o n d r e p r e s e n t a t i o n , a ” h a n d ” t h a t w a s n ’ t ” t h a t s m a l l . ” T h e r e w a s F i g u r e 3 3 : N i c o l e ’ s s e c o n d r e p r e s e n t a t i o n w i t h c a n d y c a n e s . 2 0 2 N i c o l e r e s p o n d e d b y s t a r t i n g t o d r a w b u t q u a l i f i e d t h i s s a y i n g s h e d i d n o t k n o w h o w t o d r a w a h a n d . S h e c o n t i n u e d t o d r a w a n y w a y , c r e a t i n g t w o ” h a n d s ” w i t h f o u r c a n d y c a n e s " i n " e a c h ( F i g u r e 3 1 ) . T h e h a n d s a n d t h e s e t s o f c a n e s w e r e u n e q u a l i n s i z e . A s s h e d r e w I a s k e d w h a t s h e w a s d o i n g a n d N i c o l e r e s p o n d e d t h a t s h e w a s d r a w i n g c a n d y c a n e s a n d t h e n s a i d , ” I t h i n k t h e r e w a s e i g h t , p r o b a b l y e i g h t c a n d y c a n e s , b e c a u s e , I d o n ’ t k n o w h o w b i g w a s t h e i r h a n d , l i k e , w a s t h e r e l i k e . . . h o w o l d w a s t h e c h i l d r e n ? ” ( N , 1 2 , p . 6 ) . E v e n t h o u g h I d i d n o t q u e s t i o n h e r a n s w e r ( s h e h a d n o t y e t p r o v i d e d o n e ) , N i c o l e s e e m e d u n c o m f o r t a b l e w i t h o r u n c e r t a i n a b o u t h e r w o r k . S h e s e e m e d t o f e e l s h e l a c k e d e n o u g h d a t a t o s o l v e t h e p r o b l e m . I t o l d h e r t h a t o n e c h i l d w a s 1 2 a n d o n e , 9 . N i c o l e d e c i d e d ” t h e i r h a n d s w e r e n ’ t t h a t s m a l l t h e n ” a n d c r o s s e d o u t h e r f i r s t d r a w i n g . S h e d r e w a s i n g l e , o n l y s l i g h t l y l a r g e r , h a n d ( F i g u r e 3 2 ) . S h e t h e n a s k e d ” w e r e t h e c a n d y c a n e s s m a l l o r b i g ? " I s a i d t h e y w e r e s m a l l a n d s h e d r e w 1 3 i n t h e n e w ” h a n d " ( F i g u r e 3 3 ) . N i c o l e c o n c l u d e d , ” I t h i n k t h e y g o t 2 6 c a n d y c a n e s ” ( N , 1 2 , p . 6 ) . S h e w r o t e ” T h e r e w a s ” o n o n e s i d e o f t h e " h a n d ” a n d ” = 2 6 ” o n t h e o t h e r . I a s k e d w h y s h e t h o u g h t 2 6 w a s t h e a n s w e r a n d s h e r e s p o n d e d : B e c a u s e y o u s a i d t h e y w e r e s m a l l . S o , a s m a l l [ p a u s e ] , s m a l l c a n d y c a n e w o u l d f i t [ p a u s e ] , y o u c o u l d h a v e . W e l l , I h a d , i n t h e h a n d t h e r e w e r e . . . 1 3 , s o 1 3 p l u s 1 3 i s , t h r e e p l u s t h r e e , s i x , o n e p l u s o n e i s t w o , s o i t e q u a l s 2 6 . ( N , 1 2 , p . 7 ) N i c o l e s l i g h t l y s c a l e d h e r c a n d y c a n e s a n d h a n d i n r e s p o n s e t o t h e n e w i n f o r m a t i o n s h e h a d e l i c i t e d f r o m m e : a l a r g e r h a n d a n d s m a l l e r c a n d y c a n e s . T h o u g h t h e c h i l d r e n w e r e d i f f e r e n t a g e s , s h e d r e w b u t o n e h a n d t o r e p r e s e n t b o t h . S h e s e e m e d t o s t a r t a n a r g u m e n t g r o u n d e d i n t h e s i z e o f t h e c a n e s b u t 2 0 3 s w i t c h e d t o o n e b a s e d o n h e r p i c t u r e : s i n c e h e r o n e h a n d h e l d 1 3 c a n e s , t w o m u s t h o l d 2 6 . S h e s h o w e d t h a t 1 3 + 1 3 w a s e q u a l t o 2 6 b y c o l u m n a d d i t i o n ( s h e o b v i o u s l y h a d o r i g i n a l l y a d d e d m e n t a l l y ) , w a l k i n g t h r o u g h t h e s t e p s a s s h e d i d s o . U n l i k e i n t h e C a n d y B a r p r o b l e m , N i c o l e s e e m e d q u i t e u n c e r t a i n a b o u t h e r w o r k . I a s k e d i f t h e r e w e r e a w a y t o ” f i g u r e i t o u t ” w i t h o u t k n o w i n g t h e s i z e o f p t h e c a n e s o r h a n d s . N i c o l e r e s p o n d e d : ' W e l l , [ p a u s e ] n o , b e c a u s e i f w e d o n ’ t , l i k e i n c l a s s k i d s a s k [ t h e i r t e a c h e r ] , ” W a s t h e k i d s , h o w b i g w a s t h e b r o w n i e ? ” S h e s a i d , ” Y o u h a d t o fi g u r e i t o u t y o u r s e l f . ” S O i f y o u h a d t h a t c a n d y c a n e a n d t h e n i t w a s i n a b i g b a g , a n d t h e c a n d y c a n e s a n d i t s a i d ” k i d s , ” b e c a u s e i f t h a t ’ s w r o n g , t h e n t h e y h a v e t h e c a n d y , t h e y h a v e , w a i t . . . t h e r e w a s f o u r d o w n h e r e [ r e f e r r i n g t t O t h e b o t t o m r o w o f c a n e s s h e h a d d r a w n i n t h e " h a n d ” a n d r e - d r a w i n g t h e m i n a r e c t a n g l e ] , t h e r e w a s , o n e , t w o , t h r e e , f o u r . . . n i n e u p h e r e [ t h e t w o u p p e r r o w s ] . T h e r e ’ s m a n y w a y s t o e q u a l 1 3 . S e e t h i s a n d t h a t , t h e y ’ r e _ , y o u c a n c o u n t h o w m a n y . I t d o n ’ t m a t t e r h o w b i g t h i s c a n d y c a n e s w e r e b e c a u s e y o u h a v e t o m a k e y o u r o w n [ m i n d u p a b o u t ] h o w b i g t h e c a n d y c a n e w a s . Y o u j u s t p u t s m a l l c a n d y c a n e s , a n d t h e n , u m , t h e r e w a s n i n e u p h e r e a n d f o u r d o w n h e r e , a n d t h a t a d d s u p t o g e t h e r , 1 3 . ( N , 1 2 , p . 7 ) T h i s i s q u i t e a c o m p l e x r e s p o n s e . N i c o l e s a i d t h e r e w a s n o w a y t o ” f i g u r e i t o u t ” w i t h o u t k n o w i n g h o w o l d t h e ” k i d s ” w e r e o r t h e s i z e o f t h e c a n d y c a n e s . T h e n , a p p a r e n t l y c o n t i n u i n g t h i s t h o u g h t , s h e s a i d t h a t h e r t e a c h e r h a d t o l d t h e c l a s s t h e y s h o u l d f i g u r e s i z e s o u t f o r t h e m s e l v e s . S h e s e e m e d t o m e a n t h a t a s a p r o b l e m s o l v e r , s h e d i d n o t n e e d t o k n o w w h a t s i z e t h e h a n d s a n d c a n d y c a n e s " r e a l l y ” w e r e ; s h e c o u l d d e c i d e f o r h e r s e l f . S h e t h e n m o v e d i n t o a j u s t i fi c a t i o n o f h e r s o l u t i o n o f 1 3 c a n d y c a n e s i n o n e h a n d . A g a i n , s h e s e e m e d t o r e v e r t t o h e r p i c t u r e t o m a k e a n a r g u m e n t a b o u t h o w s h e h a d s o l v e d t h e p r o b l e m a u s i n g t h e f a c t o f h e r s o l u t i o n ( h e r r e p r e s e n t a t i o n ) t o j u s t i f y h e r s o l u t i o n ( h e r r e p r e s e n t a t i o n ) . 2 0 4 I a s k e d h o w s h e k n e w i t s h o u l d b e 1 3 r a t h e r t h a n 1 2 o r 1 4 . N i c o l e r e s p o n d e d t h a t s h e h a d t h o u g h t a b o u t t h e s i z e o f t h e i r h a n d s . W h e n I a s k e d w h a t s h e w o u l d h a v e d o n e h a d I s a i d t h e y g a v e m e a b a g o f c a n e s , N i c o l e s a i d s h e w a s n ’ t v e r y g o o d a t d r a w i n g b a g s b u t s t a r t e d t o d o s o . S h e s a i d t h e ” b a g w a s t h i s b i g ” a n d t h e n t a l k e d a b o u t p u t t i n g c a n d y c a n e s i n i t a s s h e d r e w a n u m b e r O f l i t t l e o n e s . A s h e r t e a c h e r a u t h o r i z e d t h e s t u d e n t s t o d e c i d e h o w l a r g e a b r o w n i e t o d r a w , N i c o l e d e c i d e d t h e s i z e o f t h e b a g f O r h e r s e l f . S h e t h e n s t o p p e d d r a w i n g w h e n t h e b a g w a s a b o u t a q u a r t e r f u l l a n d s a i d , ” I t h i n k s o m e p r o b l e m s c a n h a v e m o r e t h a n o n e a n s w e r ” ( N , 1 2 , p . 7 ) . I a s k e d w h y t h i s m a t t e r e d h e r e a n d N i c o l e a g a i n r e f e r r e d b a c k t o t h e c l a s s p r o b l e m O f 4 6 - 2 8 . T h i s t i m e , i n s t e a d o f t h e p a i r e d p r o b l e m s , 4 6 - 2 8 a n d 2 8 - 4 6 , N i c o l e p o n d e r e d t h e p a i r e d a n s w e r s , 2 2 a n d 1 8 , t o 4 6 - 2 8 . T h e a n s w e r 2 2 c a m e f r o m a c o m m o n e r r o r i n s u b t r a c t i o n : a l w a y s s u b t r a c t s m a l l e r n u m b e r s f r o m l a r g e r . N i c o l e w a s c o n s i d e r i n g t h e s a m e p r o b l e m s o l v e d t w o w a y s - - w i t h a n d w i t h o u t ” b o r r o w i n g . ” S h e u s e d t h i s e x a m p l e t o j u s t i f y h e r c l a i m t h a t ” o n e p r o b l e m c a n h a v e t w o a n s w e r s . ” T h i s a l s o s e e m e d t o b e h e r j u s t i f i c a t i o n f o r m a k i n g t h e h a n d s , b a g , a n d c a n e s o f t h e i n t e r v i e w p r o b l e m t h e s i z e o f h e r c h o i c e . A t t h i s p o i n t , I o f f e r e d a p r o b l e m I t h o u g h t a n a l o g o u s t o t h e C a n d y C a n e p r o b l e m u s i n g s m a l l e r n u m b e r s : ” I f I g a v e y o u f o u r p i e c e s o f c a n d y a n d y o u a l r e a d y h a d s o m e i n y o u r p o c k e t , a n d y o u l o o k e d i n , y o u p u t m i n e i n y o u r p o c k e t a n d y o u f o u n d t h a t y o u h a d n i n e p i e c e s a l t o g e t h e r , c o u l d y o u f i g u r e o u t h o w m a n y y o u a l r e a d y h a d i n y o u r p o c k e t ? " N i c o l e v e r y q u i c k l y k n e w t h e m i s s i n g a d d e n d w a s fi v e . S h e s p o n t a n e o u s l y r e t u r n e d t o t h e s t o r y i t s e l f t o f i g u r e t h i s o u t . E v e n s o , i t t o o k h e r a c o u p l e t r i e s t o s a y w h a t t h e f i v e m e a n t : ” Y o u g a v e m e f o u r [ p a u s e ] , y o u h a d fi v e 2 0 5 p i e c e s , w a i t [ p a u s e ] , y o u h a d f i v e p i e c e s [ p a u s e ] , s o t h a t e q u a l s n i n e [ p a u s e ] , y o u g a v e m e [ p a u s e ] , n i n e , s o y o u g a v e m e f o u r a n d I h a d f i v e . . . " ( N , 1 2 , p . 8 ) . I t s e e m s l i k e l y t h a t p a s t e x p e r i e n c e w i t h s i n g l e d i g i t a d d i t i o n ” t o l d h e r ” t h a t 4 + 5 = 9 a n d t h a t , c o n s e q u e n t l y , f i v e s h o u l d b e t h e o t h e r n u m b e r i n t h i s p r o b l e m . S h e s e e m e d t o ” w a n t ” 8 6 b o t h t h e f o u r a n d f i v e c o l l e c t i o n s o f c a n d y t o b e f r o m m e ( ” y o u ” ) . T h i s c o u l d b e b e c a u s e , i n a w a y , a l l t h e c a n d y d i d c o m e f r o m F . m e : I t o l d t h e s t o r y . Y e t , s o m e t h i n g a l s o t o l d h e r t h i s w a s i n c o r r e c t . S h e t a l k e d h e r w a y t h r o u g h t h e s t o r y t o d e c i d e t h a t t h e fi v e p i e c e s w e r e o r i g i n a l l y h e r s . W h e n I a s k e d h e r h o w s h e h a d g o t t e n t h e a n s w e r fi v e , N i c o l e s a i d s h e c o u n t e d u p : 5 I c o u n t e d u p t h a t n u m b e r . I n s t e a d o f c o u n t i n g d o w n , I w o u l d g e t f o u r , t h r e e , t w o , o n e , z e r o . . . B u t y o u d i d n ’ t h a v e n o c h o i c e s i f y o u w e n t d o w n y o u w o u l d h a v e b e e n s t u c k . S O y o u h a d t o g o u p a n d t h e n t h a t e q u a l s n i n e . ( N , 1 2 , p . 8 ) T h u s , N i c o l e a p p e a r e d t o t h i n k t h a t t h e r e w e r e t w o m e t h o d s f o r s o l v i n g t h e p r o b l e m : c o u n t i n g u p o r c o u n t i n g d o w n — b o t h f r o m t h e o r i g i n a l n u m b e r o f p i e c e s O f c a n d y , f o u r . S i n c e t h e l a t t e r m e t h o d r e s u l t e d i n z e r o , s h e " w o u l d h a v e b e e n s t u c k . ” I a r g u e t h a t s h e m e a n t t h a t z e r o c o u l d n o t h a v e b e e n t h e a n s w e r ; s o w h a t c o u l d s h e d o ? S h e t r i e d t h e o t h e r m e t h o d , s h e c o u n t e d u p , r e c o r d i n g fi v e n u m b e r s b y t h e t i m e s h e r e a c h e d n i n e u t h e o n l y o t h e r n u m b e r i n t h e s t o r y . T h i s , o f c o u r s e , i s r e m i n i s c e n t o f h e r s e a r c h f o r " n u m b e r s e n t e n c e s ” i n t h e C a n d y B a r p r o b l e m . I n t h a t i n s t a n c e , s h e f i r s t t r i e d a d d i t i o n , t h e n s u b t r a c t i o n — W h i c h s h e t r i e d w i t h o u t a n d t h e n w i t h b o r r o w i n g . S h e o f t e n a p p r o a c h e d c o l u m n a d d i t i o n a n d s u b t r a c t i o n i n t h i s f a s h i o n ; s h e w o u l d u s e o n e f o r m o f a n O p e r a t i o n ( w i t h o u t ” b o r r o w i n g ” ) a n d t h e n d e c i d e i f t h e a n s w e r m a d e s e n s e . I f i t d i d n o t , s h e w o u l d t r y t h e s a m e O p e r a t i o n , w i t h ” b o r r o w i n g . ” 8 6 T h i s m i g h t b e w h a t D a n i e l l e w o u l d c o n s i d e r t o b e ” t r i c k y . ” H o w e v e r , n e i t h e r N i c o l e n o r a n y o f t h e o t h e r c h i l d r e n m e n t i o n e d s u c h a v i e w o f p r o b l e m s . 2 0 6 T h e r e a s o n i n g s h e u s e d t o s o l v e t h e p r o b l e m d i d n o t s e e m t o p r o v i d e t h e a n a l o g y I h a d h o p e d . T h i s m a y b e a r e s u l t o f d i f f e r e n c e s b e t w e e n t h e t w o p r o b l e m s t h a t w e a k e n t h e a n a l o g y . W h i l e t h e t w o p r o b l e m s a r e s i m i l a r f r o m a m a t h e m a t i c a l p e r s p e c t i v e - - b o t h a r e a b o u t m i s s i n g a d d e n d s , t h e r e a r e a l s o n u m e r o u s d i f f e r e n c e s . O n e p r o b l e m i s a s t o r y a b o u t s t r a n g e r s ( m y s i s t e r ’ s f a m i l y ) , o n e a b o u t N i c o l e ( a n d m e ) ; o n e p r e s e n t s d a t a i n b o t h n u m e r i c a l a n d n o n - n u m e r i c a l f a s h i o n ( t w o d o z e n , 4 0 ) a n d o n e u s e s n u m b e r s o n l y ( f o u r , n i n e ) ; t h e r e i s a n o r d e r o f m a g n i t u d e d i f f e r e n c e b e t w e e n t h e q u a n t i t i e s ( t h e C a n d y C a n e p r o b l e m i n v o l v e s a l l n u m b e r s w i t h t e n s a n d o n e s , t h e ” a n a l o g y ” i n v o l v e s o n l y s i n g l e d i g i t n u m b e r s ) ; o n e r e f e r s t o h o w t h e u n k n o w n q u a n t i t y w a s g e n e r a t e d ( ” h a n d f u l s ” ) a n d o n e d o e s n o t . I d e c i d e d t o p r o c e e d t o t h e n e x t t a s k , t h e E a s t e r E g g p r o b l e m , a t t h i s p o i n t . M y N i c o l e h a d l i m i t e d s u c c e s s w i t h b o t h o f t h e p r o b l e m s d e s c r i b e d . I n t h e C a n d y C a n e p r o b l e m , s h e s e e m e d u n s u r e o f h e r s e l f a n d h e r w o r k . S h e n e v e r s e e m e d c e r t a i n a b o u t h o w t o a p p r o a c h t h e p r o b l e m . T h i s m a y h a v e b e e n b e c a u s e s h e d i d n o t k n o w w h a t ” t w o d o z e n ” m e a n t o r h o w t o c o n v e r t i t t o a n u m e r i c a l q u a n t i t y . I n t h i s e x a m p l e , s h e a r r i v e d a t a n a n s w e r t h a t w a s b a s e d o n h e r e s t i m a t i o n a b o u t p h y s i c a l d i m e n s i o n s o f t h e e l e m e n t s o f t h e s t o r y c o n t e x t , n o t o n t h e q u a n t i t i e s i n d i r e c t l y g i v e n I n t h e C a n d y B a r p r o b l e m , N i c o l e f o l l o w e d a m o r e ” c o n v e n t i o n a l ” p a t h t O h e r s o l u t i o n . S h e c r e a t e d a r e p r e s e n t a t i o n b e a r i n g s i m i l a r i t i e s t o t h o s e o f t h e o t h e r c h i l d r e n . A f t e r d i s t r i b u t i n g t h e b a r s , s h e a r r i v e d a t a c o n c l u s i o n a b o u t t h e n u m b e r o f w h o l e b a r s e a c h p e r s o n r e c e i v e d , s e v e n , t h a t w a s c o n s i s t e n t w i t h a l l t h e o t h e r c h i l d r e n o f t h e s t u d y . L i k e w i s e , s h e d i v i d e d 2 0 7 j l l ' l . £ 1 . 1 1 a n d d i s t r i b u t e d t h e ” e x t r a ” b a r s m u c h a s t h e o t h e r s h a d . H o w e v e r , s h e w a s n o t a s s u c c e s s f u l a s t h e o t h e r s a t q u a n t i f y i n g t h e t o t a l a m o u n t e a c h c h i l d r e c e i v e d . S h e i d e n t i f i e d t h e q u a n t i t y a s n i n e p i e c e s , e s s e n t i a l l y n i n e ” u n i t s . ” S h e m a d e n o a p p a r e n t d i s t i n c t i o n b e t w e e n w h o l e s a n d q u a r t e r s i n t h i s t o t a l . U n l i k e T e r i , N i c o l e s e e m e d i n c l i n e d t o w a n d e r f r o m t h e m a t h e m a t i c a l p a t h s u g g e s t e d b y t h e p r o b l e m s . H o w e v e r , t h e e x p l o r a t i o n s s h e p u r s u e d o n t h e s e t a n g e n t s w e r e m o r e l i k e m e a n d e r i n g s t h a n B e r t a n d D a n i e l l e ’ s g o a l - o r i e n t e d t a n g e n t s . D a n i e l l e w e n t ” o f f t r a i l ” i n m a n y " d i r e c t i o n s . " S h e p u r s u e d c o n n e c t i o n s w i t h h e r p e r s o n a l l i f e , w i t h h e r c l a s s r o o m , e x p e r i e n c e s , a n d w i t h m a t h e m a t i c s . I h a v e a r g u e d t h e s e t a n g e n t s w e r e a i m e d a t h e l p i n g h e r f e e l c o m f o r t a b l e w i t h a n d u n d e r s t a n d t h e p r o b l e m . S h e m a d e f r e q u e n t b u t s o m e w h a t b r i e f e x c u r s i o n s a n d g e n e r a l l y r e t u r n e d t o t h e p a t h b y h e r o w n m e t h o d s . B e r t p u r s u e d t a n g e n t s f r o m t h e p a t h t h a t w e r e i n t e n t i o n a l l y a i m e d a t m a t h e m a t i c a l i s s u e s t h a t h e h a d b e e n s t r u g g l i n g t o u n d e r s t a n d a c r o s s t i m e . T h e s e w e r e t a n g e n t s t h a t t r a n s c e n d t h e s p e c i f i c s o f t h e p r o b l e m . T h e y w e r e s i g n i f i c a n t e x c u r s i o n s b o t h i n t e r m s o f ” d i s t a n c e f r o m t h e p a t h ” a n d l e n g t h o f t i m e a w a y f r o m i t . W h a t b e c a m e N i c o l e ’ s t a n g e n t s w e r e i n i t i a l l y h e r e f f o r t s t o d e m o n s t r a t e p o i n t s a b o u t t h e p r o b l e m s . T h e y s t a r t e d a s h e r a t t e m p t s t o h e l p m e u n d e r s t a n d h e r r e a s o n i n g . H o w e v e r , a s N i c o l e w o r k e d w i t h t h e a n a l o g i e s s h e d e v e l o p e d o n t h e s e t a n g e n t s , s h e m o v e d e v e r f a r t h e r f r o m t h e p a t h , o f t e n a r g u i n g s e e m i n g l y c o n t r a d i c t o r y p o i n t s w h i l e o n t h e s a m e t a n g e n t . N i c o l e s e e m e d t o g e t l o s t i n w h a t h e r p o i n t s w e r e , t o t r u l y g o ” o f f t r a i l . ” N i c o l e d i d n o t c h a s e c o n c e p t s o r o b j e c t s s h e s p i e d o f f t h e t r a i l ; r a t h e r , s h e f o l l o w e d h e r n o s e w i t h o u t m o n i t o r i n g h o w s u c h s i d e t r i p s r e l a t e d t o r e a c h i n g t h e t r a i l ’ s e n d . 2 0 8 S u m m a r y o f N i c o l e N i c o l e l i k e d m a t h e m a t i c s a l o t . S h e l i k e d p r o c e s s m o r e t h a n p r o d u c t t h o u g h s h e v a l u e d b o t h . S h e s a w h e r s e l f a s a n a d v o c a t e f o r e q u i t y w h i c h w a s a n i m p o r t a n t p a r t o f t h i n k i n g a b o u t m a t h e m a t i c s . N i c o l e v a l u e d o t h e r s ’ i d e a s f o r t h e i r i n t r i n s i c v a l u e . S i n c e e v e r y o n e h a d g o o d i d e a s — i n c l u d i n g h e r - w h e n q u e s t i o n e d b y m e , s h e s e l d o m r e t r e a t e d o r r e - t h o u g h t h e r s o l u t i o n R a t h e r , s h e O f f e r e d a n e w a r g u m e n t t o s u p p o r t h e r a n s w e r o r r e a s o n i n g . N i c o l e o f t e n s t a r t e d t o e x p r e s s h e r s e l f b e f o r e h a v i n g d e c i d e d w h a t s h e t h o u g h t . H e r a n s w e r s a t t i m e s w e r e a s e r i e s o f i n c o m p l e t e a n d s e e m i n g l y c o n t r a d i c t o r y s e n t e n c e s . T h i s t h i n k i n g o u t l o u d m a y h a v e b e e n t h e s o u r c e o f h e r c l a s s m a t e s ’ d i f f i c u l t i e s i n u n d e r s t a n d i n g h e r r a t h e r t h a n , a s s h e s u p p o s e d , h e r r a p i d s p e e c h . T h u s N i c o l e , w h o v a l u e d t h e p r o c e s s o f d o i n g m a t h e m a t i c s , t h e s h a r i n g o f e a c h o t h e r s ' i d e a s , s e e m e d t o h a v e d i f f i c u l t y a r t i c u l a t i n g h e r s - w h i c h u n d o u b t e d l y c u r t a i l e d t h e e x t e n t t o w h i c h t h e y c o u l d b e c o n s i d e r e d ” s h a r e d . " N i c o l e ’ s v a l u i n g o f t h e s h a r i n g o f i d e a s s e e m e d t o r e s u l t i n h e r r e s p o n d i n g t o m y q u e s t i o n s b y e x p l a i n i n g h o w s h e w a s t h i n k i n g a b o u t a p a r t i c u l a r s o l u t i o n . T h e o t h e r c h i l d r e n O f t e n r e - c o n s i d e r e d t h e i r w o r k w h e n I p r o b e d t h e i r s t a t e m e n t s . N i c o l e w a s m o r e i n c l i n e d t o u s e a l t e r n a t i v e a p p r o a c h e s t o r e - s t a t e h e r s o l u t i o n o r w o r k . F o r e x a m p l e , s h e w o u l d o f f e r a n a l o g o u s s i t u a t i o n s t o t r y t o d e m o n s t r a t e w h a t s h e t h o u g h t . C O N C L U S I O N I n t h i s c h a p t e r , I i n t r o d u c e d B e r t , D a n i e l l e , T e r i , a n d N i c o l e , d e s c r i b i n g e a c h a s a p e r s o n a n d a s a d o e r o f m a t h e m a t i c s . T h e v i g n e t t e s l a y t h e 2 0 9 g r o u n d w o r k f o r a v i v i d i m a g e o f e a c h c h i l d . T h e m a t h e m a t i c a l a c t i v i t i e s s h e d l i g h t o n t h e i r o r i e n t a t i o n s t o w a r d m a t h e m a t i c s , p r o b l e m s o l v i n g , a n d r e a s o n i n g . O n e o f t h e d i s t i n c t i o n s I m a d e i n c h a p t e r 1 w a s b e t w e e n w o r k i n g o n t h i s p r o b l e m a n d w o r k i n g i n m a t h e m a t i c s . I d e s c r i b e d t h i s a s a n e x t e n s i o n o f t h e d i l e m m a p o s e d t e a c h e r s b y t h e S t a n d a r d s : h e l p i n g s t u d e n t s d e v e l o p m a t h e m a t i c s t h r o u g h p e d a g o g y g r o u n d e d i n c o n s t r u c t i v i s t l e a r n i n g t h e o r y . B a l a c h e f f ( 1 9 8 6 , a s c i t e d i n S i e r p i n s k a , 1 9 9 4 ) m a k e s t h e d i s t i n c t i o n s l i g h t l y d i f f e r e n t l y : m o s t o f t h e t i m e t h e p u p i l d o e s n o t a c t a s a t h e o r e t i c i a n b u t a s a p r a c t i c a l m a n . H i s j o b i s t o g i v e a s o l u t i o n t o t h e p r o b l e m a t e a c h e r h a s g i v e n h i m , a s o l u t i o n t h a t w i l l b e a c c e p t a b l e i n t h e c l a s s r o o m s i t u a t i o n . I n s u c h a c o n t e x t t h e m o s t i m p o r t a n t t h i n g i s t o b e e f f e c t i v e . T h e p r o b l e m o f a p r a c t i c a l m a n i s t o b e e f f i c i e n t , n o t t o b e r i g o r o u s . I t i s t o p r o d u c e a s o l u t i o n , n o t t o p r o d u c e k n o w l e d g e . ( p . 1 9 ) T h i s s e e m s t o d e s c r i b e w e l l t h e s i t u a t i o n i n t r a d i t i o n a l c l a s s r o o m s . Y e t , t h e s e c h i l d r e n h a d s p e n t n e a r l y t w o y e a r s t o g e t h e r i n a r e f o r m - o r i e n t e d c l a s s r o o m i n w h i c h t h e i r g o a l s a s s t u d e n t s w a s f a i r l y c l e a r l y t h e d e v e l o p m e n t o f k n o w l e d g e . S e l d o m d i d t h e t e a c h e r ( i n ) v a l i d a t e a n s w e r s . ” M e t h o d s o f s o l u t i o n w e r e v a l u e d o v e r a n s w e r s . I n l i g h t o f t h i s , i t i s i n t e r e s t i n g t o n o t e t h a t B e r t w a s r e a l l y t h e o n l y c h i l d o f t h i s s t u d y w h o a c t e d a s a t h e o r e t i c i a n . N i c o l e w a s c l e a r l y f o c u s e d o n l y o n t h i s p r o b l e m - - i n f a c t , r e c o g n i z i n g t h e e x i s t e n c e o f i d e a l f r a c t i o n s , s h e d i s c o u n t e d t h e i r u s e i n t h e C a n d y B a r p r o b l e m b e c a u s e o f t h e i r i n a p p l i c a b i l i t y i n r e a l w o r l d c o n t e x t s . T e r i d i s c o u n t e d h e r a b i l i t y t o b e a t h e o r e t i c i a n - - t h o u g h s h e a l l o w e d t h a t o t h e r s w e r e g o o d e n o u g h a t m a t h e m a t i c s t o e n g a g e i n s u c h p r a c t i c e . D a n i e l l e s e e m e d w i s t f u l a s s h e s p i e d t h e o r e t i c a l i s s u e s i n t h e n e i g h b o r h o o d o f h e r w o r k . A t t h e s a m e t i m e , s h e , t o o , b e l i e v e d s u c h r e a s o n i n g b e y o n d h e r . M e a n w h i l e B e r t w a s f a s c i n a t e d b y t h e t h e o r e t i c a l i s s u e s - a n d s o m e t i m e s s t r u g g l e d w i t h t h e p r a c t i c a l . 8 7 T h e e x c e p t i o n o c c u r r e d w h i l e t h e t e a c h e r h e l p e d t h e s t u d e n t s p r e p a r e f o r s t a n d a r d i z e d t e s t s . I n t h i s c o n t e x t , s h e w a s h e l p i n g t h e s t u d e n t s l e a r n h o w t o r e s p o n d t o m u l t i p l e c h o i c e q u e s t i o n s . 2 1 0 " I l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l _ . . . — L . 1 - _ — - ' l ' l ' l ' l ' l l l l i l u l t . . . g a W ) 3 3 5 . ) 1 ‘ T ( L c U I h n B g v i i R a e r A s n R S i t t Y a y t e ' - 1 > " M i l l l l ” N i l H H I I H I I H H H I U l l l l l l l l l U I I H U I I H I I U I I H W H 2 9 3 0 2 0 5 8 6 3 0 5 r P L A C E I N R E T U R N B O X t o r e m o v e t h i s c h e c k o u t f r o m y o u r r e c o r d . T o A V O I D F I N E S r e t u r n o n o r b e f o r e d a t e d u e . M A Y B E R E C A L L E D w i t h e a r l i e r d u e d a t e i f r e q u e s t e d . D A T E D U E D A T E D U E . D A T E D U E w o o c h l R C / D a t o O m . w 5 - p . t 4 C H I L D R E N , L E A R N I N G T H E O R Y , A N D M A T H E M A T I C S : A N A N A L Y S I S O F T H E R O L E O F L A N G U A G E A N D R E P R E S E N T A T I O N S I N C H I L D R E N ’ S M A T H E M A T I C A L R E A S O N I N G V O L U M E H B y S t e p h e n P . S m i t h A D I S S E R T A T I O N S u b m i t t e d t o M i c h i g a n S t a t e U n i v e r s i t y i n p a r t i a l f u l f i l l m e n t o f t h e r e q u i r e m e n t s f o r t h e d e g r e e o f D O C T O R O F P H I L O S O P H Y D e p a r t m e n t o f T e a c h e r E d u c a fi o n 1 9 9 9 C H A P T E R F O U R F U N C T I O N S O F L A N G U A G E I N D O I N G M A T H E M A T I C S T h i s c h a p t e r e x a m i n e s h o w c h i l d r e n ’ s l a n g u a g e f u n c t i o n s i n d o i n g m a t h e m a t i c s . A n o b v i o u s f u n c t i o n o f l a n g u a g e i s f o r s o l v i n g p r o b l e m s . T h e s e c h i l d r e n u s e d l a n g u a g e i n b o t h e x p l a n a t o r y a n d n o n - e x p l a n a t o r y w a y s t o d o s o . C o n s i d e r i n g t h e c h i l d r e n ’ s n o n - e x p l a n a t o r y u s e s f i r s t , I s h o w l a n g u a g e f o r : ( a ) r e l a t i o n s h i p b u i l d i n g ; ( b ) d e s c r i b i n g — b o t h e n u m e r a t i o n a n d n a r r a t i o n ; ( c ) e x p r e s s i n g a f f e c t ; a n d ( d ) d i s e n g a g i n g . N e x t , I a n a l y z e t h e i r e x p l a n a t o r y u s e o f l a n g u a g e . T h e r e , I d e s c r i b e t h e c h i l d r e n ’ s e x p l a n a t o r y l a n g u a g e a b o u t s y m b o l s t h e y u s e d a n d i n r e s p o n s e t o m y q u e s t i o n s . A s e c o n d m a i n f u n c t i o n o f l a n g u a g e w a s t o e x p l o r e m a t h e m a t i c s b e y o n d t h e p a r t i c u l a r t a s k s I p o s e d . I n t h a t s e c t i o n , I d e s c r i b e t h e i r u s e o f l a n g u a g e f o r e x p l o r i n g m a t h e m a t i c a l c o n c e p t s a n d o b j e c t s a n d f o r d e s c r i b i n g t h e p r o c e s s o f d o i n g m a t h e m a t i c s . F i n a l l y , I d i s c u s s h o w t h i s a n a l y s i s o f c h i l d r e n ’ s l a n g u a g e p o s e s q u e s t i o n s a n d d i l e m m a s f o r t e a c h e r s . H a v i n g c h o s e n t o p r e s e n t t h e c h i l d r e n ’ s f u n c t i o n s o f l a n g u a g e i n d i s c r e e t s e c t i o n s , I o f f e r a c a v e a t . A s W e r t s c h ( 1 9 9 1 ) a r g u e d , ” I b e l i e v e i t i s o f t e n d i f f i c u l t i f n o t m e a n i n g l e s s t o i s o l a t e v a r i o u s a s p e c t s o f m e n t a l p r o c e s s e s f o r s e p a r a t e a n a l y s e s " ( p . 1 4 ) . T h u s , w h i l e I d e s c r i b e f u n c t i o n s a s i f d i s c r e e t , i t i s f o r p u r p o s e s o f p r e s e n t a t i o n o n l y . T h e a n a l y s i s t h a t g a v e r i s e t o t h e s e s e c t i o n s e x a m i n e d e a c h c h i l d i n t o t o . A l l t h e c h i l d r e n n a r r a t e d t h e i r w o r k t o s o m e e x t e n t . A t t i m e s t h e y n e e d e d p r o m p t i n g t o s t a r t o r c o n t i n u e t h e s e n a r r a t i v e s . B e y o n d w a n t i n g t o u n e a r t h t h e i r p e r c e p t i o n s o f w h a t t h e y w e r e d o i n g , I s o u g h t t h e i r r e a s o n i n g a n d d e c i s i o n - 2 1 1 m a k i n g . A l m o s t a l w a y s , t o e l i c i t r e a s o n i n g o r d e c i s i o n - m a k i n g , I n e e d e d t o a s k d i r e c t o r i n d i r e c t q u e s t i o n s . A s o n e w o u l d e x p e c t , t h e c o n s i s t e n c y a n d d e t a i l o f n a r r a t i o n v a r i e d a c r o s s t h e c h i l d r e n . D a n i e l l e m a i n t a i n e d a n e x t e n s i v e m o n o l o g u e a l m o s t t h r o u g h o u t t h e s e q u e n c e o f i n t e r v i e w s . U n l e s s p r o m p t e d , T e r i s e l d o m v e r b a l i z e d m o r e t h a n c o u n t i n g o r o c c a s i o n a l o n e w o r d , a f f e c t i v e e x p r e s s i o n s . E v e n m y p r o b e s e l i c i t e d d i f f e r i n g q u a n t i t y a n d q u a l i t y o f d e t a i l . I t u r n n o w t o t h e c h i l d r e n ’ s l a n g u a g e a s i t r e l a t e s t o w o r k o n s p e c i f i c p r o b l e m s . F U N C T I O N S O F L A N G U A G E — S O L V I N G P R O B L E M S I n t h i s s e c t i o n I e x a m i n e t h e c h i l d r e n ’ s l a n g u a g e a r o u n d p a r t i c u l a r p r o b l e m s . B u i l d i n g o n m y a n a l y s i s i n t h e p r o f i l e s , I f o c u s m o s t a t t e n t i o n o n t h e i r w o r k o n t h e C a n d y B a r p r o b l e m a n d t h e O p e r a t i o n s t a s k s b u t a l s o d r a w o n w o r k o n o t h e r i n t e r v i e w t a s k s . T h e s e c t i o n e x a m i n e s w a y s t h e c h i l d r e n u s e d l a n g u a g e f o r b o t h n o n - e x p l a n a t o r y a n d e x p l a n a t o r y p u r p o s e s . N o n e x p l a n a t o r y L a n g u a g e F o c u s i n g o n l a n g u a g e n o t u s e d f o r e x p l a n a t o r y p u r p o s e s , I d i s t i n g u i s h f o u r f u n c t i o n s a i m e d a t s o l v i n g p r o b l e m s : e s t a b l i s h m e n t o f r e l a t i o n s h i p w i t h t h e p r o b l e m ; d e s c r i p t i o n ; e x p r e s s i o n o f a f f e c t ; d i s e n g a g e m e n t . T h e s e f u n c t i o n s e m e r g e d t h r o u g h t h e a n a l y s i s . I s t a r t w i t h e s t a b l i s h m e n t o f r e l a t i o n s h i p s . n e E t 1 i h T h e c h i l d r e n d e m o n s t r a t e d s i g n i f i c a n t v a r i a t i o n i n t h e i r m e t h o d s o f d e v e l o p i n g a r e l a t i o n s h i p w i t h t h e p r o b l e m . A l l s o u g h t c l a n fi c a t i o n . H o w e v e r , s u c h c l a r i f i c a t i o n o c c u r r e d a t d i f f e r e n t p o i n t s i n t h e i r w o r k . I e x p l o r e t h r e e t y p e s 2 1 2 o f c l a r i f i c a t i o n i n t h a t s e c t i o n . T h e c h i l d r e n a l s o m a d e p r o j e c t i o n s a b o u t t a s k s a s I p o s e d t h e m ; s o m e p r o j e c t i o n s w e r e v e r b a l i z e d a n d s o m e I i n f e r f r o m t h e i r a c t i o n s . T h e y a p p e a r e d t o u s e t h e s e t o c o n n e c t t h e d e v e l o p i n g s t o r y w i t h t h e i r o w n s i m i l a r e x p e r i e n c e s . F i n a l l y , D a n i e l l e f r e q u e n t l y i n t e r r u p t e d m y p r e s e n t a t i o n s o f p r o b l e m s m a k i n g s e e m i n g l y i r r e l e v a n t c o n n e c t i o n s . T h e s e n o n - m a t h e m a t i c a l c o m m e n t s a n d q u e s t i o n s p e r f o r m e d a n i m p o r t a n t f u n c t i o n f o r h e r , i t w a s j u s t a s v a l u a b l e t o s i t u a t e t h e p r o b l e m w i t h i n h e r w o r l d a s w i t h i n m a t h e m a t i c s . B e r t , D a n i e l l e , a n d T e r i u s u a l l y d o v e r i g h t i n t o d r a w i n g a r e p r e s e n t a t i o n ( o r u s i n g o n e I o f f e r e d , a s i n t h e L u n c h M e n u p r o b l e m ) a s t h e y w o r k e d t o s o l v e p r o b l e m s . W h e n I d e s c r i b e t h e i r p r o j e c t i o n s , I a r g u e t h i s w a s n o t a p r e c i p i t o u s e n g a g e m e n t . T h e y w e r e d e v e l o p i n g t h e i r r e l a t i o n s h i p - a n d s o l u t i o n s t r a t e g i e s - a s I p r e s e n t e d t h e t a s k s ; t h e y w e r e m a k i n g p r o j e c t i o n s a b o u t t h e n a t u r e o f t h e t a s k a s m y n a r r a t i v e o f i t d e v e l o p e d . O n s e v e r a l o c c a s i o n s , t h e t h r e e m a d e o r a l p r o j e c t i o n s a b o u t w h a t t h e p r o b l e m w o u l d a s k , s t a r t i n g w o r k o n t h e t a s k , o r f i n i s h i n g s e n t e n c e s f o r m e . N i c o l e m a y h a v e m a d e t h e s a m e s o r t o f p r o j e c t i o n s b u t t h e y a r e n o t a p p a r e n t f r o m h e r a c t i o n s . I n s t e a d o f d i v i n g r i g h t i n t o a r e p r e s e n t a t i o n , N i c o l e a l w a y s p a u s e d b e f o r e t a k i n g p h y s i c a l a c t i o n . T h e s e p a u s e s w e r e u s u a l l y f o l l o w e d b y q u e s t i o n s o f m e r a t h e r t h a n c r e a t i n g r e p r e s e n t a t i o n s . W h e t h e r s t a r t i n g w o r k i m m e d i a t e l y o r n o t , t h e c h i l d r e n o f t e n s o u g h t f u r t h e r i n f o r m a t i o n o r c l a r i f i c a t i o n a b o u t t h e p r o b l e m . I s t a r t b y d e s c r i b i n g t h e s e e f f o r t s t o c l a r i f y . C l c d fl g a t i c n A l l t h e c h i l d r e n s o u g h t c l a r i f i c a t i o n a b o u t p r o b l e m s s e v e r a l t i m e s d u r i n g t h e i n t e r v i e w s . A t v a r i o u s p o i n t s i n w o r k i n g o n a p r o b l e m , t h e c h i l d r e n 2 1 3 c o n f i r m e d t h e d a t a o f t h e s t o r y : a t t h e e n d m y n a r r a t i o n o f t h e s t o r y ; a s t h e y c r e a t e d a n d w o r k e d w i t h r e p r e s e n t a t i o n s ; a n d i n r e s p o n s e t o p r o b e s a b o u t t h e i r w o r k . C l a r i f i c a t i o n a t t h e e n d o f n a r r a t i o n . W h e n I c o m p l e t e d n a r r a t i o n o f a p r o b l e m , t h a t i s , w h e n I p o s e d t h e a c t u a l q u e s t i o n , t h e c h i l d r e n o f t e n r e - s t a t e d t h e n u m b e r s i n a q u e s t i o n i n g t o n e . T h e y s o u g h t c o n f i r m a t i o n o f t h e d a t a . A t o t h e r t i m e s , t h e y a s k e d m e t o r e - s t a t e t h e n u m b e r s . I p r e s e n t e d m o s t p r o b l e m s o r a l l y w h i l e i n t h e i r c l a s s r o o m s u c h p r o b l e m s w e r e u s u a l l y w r i t t e n o n t h e c h a l k b o a r d a n d t h u s r e a d i l y a v a i l a b l e f o r r e f e r e n c e . T h u s , i t i s n o t s u r p r i s i n g t h a t t h e y w o u l d w a n t o r n e e d t o c o n f i r m d a t a . A t y p i c a l e x a m p l e o c c u r r e d a s I p r e s e n t e d t h e E a s t e r E g g p r o b l e m t o B e r t . A f t e r I s a i d t h a t e a c h o f t h e c h i l d r e n a t e t w o o f t h e e g g s ( s e e A p p e n d i x B f o r t e x t o f t h e p r o b l e m ) , B e r t s a i d , ” O h , t h a t ’ s e a s y . T h e r e w e r e h o w m a n y [ o r i g i n a l l y i n t h e b a g ] ? " ( B , 1 2 , p . 5 ) . H e c l e a r l y f e l t h e k n e w w h a t t h e p r o b l e m w a s a s k i n g a n d t h a t h e c o u l d r e a d i l y s o l v e i t — b u t n e e d e d c o n f i r m a t i o n o f t h e q u a n t i t i e s i n v o l v e d t o d o s o . S i m i l a r l y , T e r i a s k e d , ” H o w m a n y d i d y o u h a v e a l t o g e t h e r ? ” a f t e r I p r e s e n t e d t h e C a n d y C a n e s t o r y a n d b e f o r e s h e s t a r t e d t o s o l v e i t ( T , 1 2 , p . 5 ) . T h e n , i n t h e E a s t e r E g g p r o b l e m , b e f o r e s t a r t i n g w o r k , T e r i a s k e d , ” H o w m a n y d i d t h e y e a t ? " a n d ” H o w m a n y k i d s ? ” ( p . 5 ) . A f t e r s t a r t i n g t o d r a w , T e r i a l s o a s k e d , ” H o w m a n y d i d y o u h a v e , 3 6 ? ” W i t h t h e e x c e p t i o n o f a s k i n g , ” H o w m a n y k i d s ? ” , s h e d i d n o t u s e n o u n s t o i d e n t i f y t h e o b j e c t s o f t h e s t o r y . H a d s h e s u b s t i t u t e d ” H o w m a n y , w e r e t h e r e ? ” f o r t h e l a s t q u e s t i o n , I w o u l d n o t h a v e b e e n a b l e t o d i s t i n g u i s h t h e r e f e r e n t . T h u s , t h e n o u n " k i d s ” w a s n e c e s s a r y . H o w e v e r , w h e n e v e r n o u n s w e r e n o t n e c e s s a r y , s h e e l i d e d t h e m - - r e s u l t i n g i n t h e n u m b e r s b e c o m i n g n o u n s . T h i s a n a l y s i s s u g g e s t s t h a t T e r i h a d s o m e s e n s e o f a n a p h o r a ( t h a t i s , t h e " l i n g u i s t i c r e l a t i o n s h i p b e t w e e n r e f e r r i n g e x p r e s s i o n s . . . w h i c h m a k e s i t p o s s i b l e t o 2 1 4 i d e n t i f y " r e f e r e n t s ( W e r t s c h , 1 9 9 1 , p . 4 0 ) ) . S h e h a d a t l e a s t a n i n t u i t i v e s e n s e o f w h e n n o u n s m a y b e e l i d e d a l l o w i n g n u m b e r s t o a c t a s n o u n s t h e m s e l v e s . 8 8 T h i s i s s u e i s e x p l o r e d f u r t h e r i n t h e n e x t c h a p t e r . N i c o l e a s k e d h o w m a n y ” k i d s ” t h e r e w e r e i n t h e E a s t e r E g g p r o b l e m a n d c o n f i r m e d t h e o t h e r d a t a : ” T h e y e a c h a t e t w o o f t h e m , t h e r e w a s 3 0 [ s i c ] i n t h e b a g ? ” ( N , 1 2 , p . 8 ) . T h u s , N i c o l e s o u g h t c o n f i r m a t i o n o f d a t a — j u s t a s t h e o t h e r t h r e e c h i l d r e n . H o w e v e r , i n c o n t r a s t w i t h t h e o t h e r s , s h e a l w a y s p a u s e d b e f o r e t a k i n g a n y p h y s i c a l a c t i o n , b e f o r e d r a w i n g , p i c k i n g u p a p e n c i l , o r s p e a k i n g . H e r m o r e e x t e n d e d p a u s e s w e r e b r o k e n b y m y a s k i n g w h a t s h e w a s t h i n k i n g . I n s u c h i n s t a n c e s , s h e e i t h e r r e s p o n d e d b y a s k i n g m e t o r e p e a t s o m e o f t h e q u a n t i t i e s a s i n t h e e x a m p l e w i t h t h e E a s t e r E g g p r o b l e m o r b y a s k i n g m e t o p r o v i d e s o m e o t h e r i n f o r m a t i o n . A n e x a m p l e o f t h e l a t t e r s o r t o c c u r r e d i n t h e C a n d y B a r p r o b l e m w h e n s h e r e s p o n d e d t o t h e q u e s t i o n I p o s e d ( a f t e r h e r e x t e n d e d p a u s e ) b y s e e k i n g i n f o r m a t i o n a b o u t t h e s i z e o f t h e b a r s . ' n i n h r e s s f r k i n r . T h e s e c o n d f o r m o f c l a r i f i c a t i o n p r o d u c e d l a n g u a g e a t t e n d a n t u p o n w o r k i n g t o w a r d a s o l u t i o n . I n t h i s s e c t i o n I d e s c r i b e b o t h v o c a l i z a t i o n s t h a t s e e m e d s o l e l y f o r t h e i r o w n p u r p o s e s - a s w h e n c h i l d r e n e n u m e r a t e d b a r s t h e y w e r e d r a w i n g - a n d t h o s e a i m e d a t m e — a s w h e n c h i l d r e n t o l d m e w h a t s p e c i f i c e l e m e n t s o f t h e i r p i c t u r e w e r e i n t e n d e d t o r e p r e s e n t . T h e r e a d e r w i l l n o d o u b t r e c o g n i z e t h a t I u s e d t h e p h r a s e ” w o r k i n g t o w a r d a s o l u t i o n ” ; I c h o s e t h i s p h r a s e b o t h b e c a u s e n o t a l l o f t h e c h i l d r e n ’ s w o r k o n p r o b l e m s e n d e d w i t h s o l u t i o n s a n d b e c a u s e m y f o c u s h e r e i s o n ” i n p r o c e s s ” l a n g u a g e . T h a t i s , I e x a m i n e t h e p r o c e s s o f s o l v i n g p r o b l e m s . I a l s o e x a m i n e t h e i r 3 3 ' 1 ” e r i ’ s s e e m i n g g r a s p o f a n a p h o r a a t a g e n i n e c o n t r a d i c t s W e r t s c h ' s ( 1 9 9 1 ) c l a i m t h a t ” m a s t e r y . . . i s a r e l a t i v e l y l a t e a c h i e v e m e n t i n c h i l d h o o d , n o t b e i n g c o m p l e t e d u n t i l e a r l y a d u l t h o o d " ( p . 4 0 ) . H e a r g u e d m a s t e r y i s d e p e n d e n t o n d e v e l o p m e n t o f i n n e r s p e e c h . O f c o u r s e , I d o n ’ t c l a i m T e r i ” m a s t e r e d ” a n a p h o r a . Y e t , i t s e e m s i r o n i c t h a t , c o m p a r e d w i t h a t l e a s t D a n i e l l e a n d N i c o l e , s h e a p p e a r e d t o h a v e m o r e c o n c e p t o f a n a p h o r a b u t l e s s i n n e r s p e e c h . 2 1 5 r e a c t i o n s t o d i f f i c u l t i e s w i t h i n p r o b l e m s ; s o m e w e r e t e m p o r a r y d i f f i c u l t i e s - a s w h e n T e r i n o t e d w i t h d i s a p p o i n t m e n t t h a t t h e n u m b e r o f r o w s o f c a n d y b a r s s h e h a d d r a w n w a s n o t t h e s a m e a s t h e n u m b e r o f c h i l d r e n - a n d s o m e r e s u l t e d i n a h a l t t o w o r k o n t h e t a s k - - a s w h e n T e r i s a i d t h a t o n e c o u l d n o t t a k e n i n e a w a y f r o m f i v e . E v e n w h e n B e r t , T e r i , a n d D a n i e l l e i m m e d i a t e l y s t a r t e d s o l v i n g a p r o b l e m , t h e y o f t e n s o u g h t c l a r i f i c a t i o n i n l a t e r s t a g e s o f w o r k . I n t h e C a n d y C a n e p r o b l e m , D a n i e l l e s t a r t e d t o e s t i m a t e t h e n u m b e r o f c a n e s , a d d i n g 2 4 ( t h e n u m b e r i n a b a g o f ” f u n s i z e ” b a r s ) a n d 2 0 t o g e t 4 4 . S h e t h e n c o n f i r m e d t h a t I h a d 4 0 t o t a l . F r o m t h i s d a t a , s h e e s t i m a t e d t h a t I r e c e i v e d a b o u t 1 5 c a n d y c a n e s . A f t e r c o m p l e t i n g h e r e s t i m a t e , s h e w o r k e d o u t a n e x a c t s o l u t i o n . A s s h e s t a r t e d t h i s w o r k , s h e c o n f i r m e d t h a t t h e r e w e r e i n i t i a l l y 2 4 ” f u n s i z e ” b a r s ( D , 1 2 , p p . 8 - 9 ) . S h e w r o t e t h e n u m b e r s f r o m 2 4 t o 4 0 a n d t h e n a s k e d i f s h e h a d ” s k i p p e d a n y n u m b e r s . ” T h i s a p p e a r s t o h a v e b e e n a r e f e r e n c e t o t h e C a n d y B a r p r o b l e m i n w h i c h s h e s k i p p e d ” 2 6 ” i n h e r l a b e l i n g o f b a r s ( D , 1 2 , p . 9 ) . T h i s a l s o p r o v i d e s a n e x a m p l e o f D a n i e l l e ’ s c o n n e c t i o n s a c r o s s i n t e r v i e w t a s k s . A d i f f e r e n t f o r m o f c l a r i f i c a t i o n w a s s o l i c i t e d b y T e r i . I n t h e C a n d y C a n e p r o b l e m , s h e c o m p u t e d t w o d o z e n a s e q u i v a l e n t w i t h 2 4 b a r s . W h e n I a s k e d h o w s h e f i g u r e d t h a t o u t , T e r i s t a r t e d t o s h o w t h e f i r s t 1 2 o n h e r f i n g e r s . S i n c e s h e d i d n o t h a v e e n o u g h f i n g e r s , s h e d e c i d e d , ” N o , t u r n i t t o a d d i t i o n p r o b l e m . ” S h e w r o t e a c o l u m n a d d i t i o n p r o b l e m o n t h e p a p e r a n d t h e n a s k e d m e , ” W h a t d i d I s a y i t w a s b e f o r e ? ” ( T , 1 2 , p . 4 ) . H e r e , r a t h e r t h a n s e e k i n g m y d a t a , s h e c o n f i r m e d h e r p r i o r a n s w e r . A l l t h e c h i l d r e n s o u g h t t o c o n f i r m w h e t h e r t h e y h a d p r e v i o u s l y f o r m e d a p a r t i c u l a r m e a l i n t h e L u n c h M e n u p r o b l e m . M o s t o f t h e m g o t c o n f u s e d a s t h e y 2 1 6 c r e a t e d m e a l s i n t h i s p r o b l e m a n d a s k e d m e i f t h e y w e r e r e p e a t i n g a c e r t a i n m e a l . F o r e x a m p l e , T e r i a s k e d , ” I a l r e a d y h a d t h i s o n e t o g e t h e r , d i d n ’ t I ? ” ( T , 1 2 , p . 7 ) . A f t e r h a v i n g m a d e s e v e r a l m e a l s u s i n g t w o o f t h e m a i n c o u r s e s — t h e t h i r d h a v i n g b e e n l e f t a b i t t o t h e s i d e , T e r i a s k e d , ” C a n I d o t h i s o n e , t o o ? ” ( p . 7 ) . O n c e s h e t h o u g h t s h e h a d t h e m a l l , s h e p l a y f u l l y m a d e a m e a l w i t h t w o m a i n c o u r s e s s a y i n g , ” T h e r e ’ s t h e s e . ” ( p . 7 ) . I n t h e L u n c h M e n u p r o b l e m , a l l t h e c h i l d r e n e x c e p t N i c o l e s o u g h t i n f o r m a t i o n a b o u t t h e f o o d . T e r i w a n t e d t o k n o w w h a t k i n d o f c o o k i e s a n d w h a t f l a v o r o f j u i c e t h e r e w a s ( T , 1 2 , p . 6 ) . W h i l e n o t e x a c t l y a c l a r i f i c a t i o n a b o u t t h e p r o b l e m , t h e y h i g h l i g h t t h e c o n t r a s t w i t h N i c o l e . M y a n s w e r s t o T e r i m a d e n o p e r c e p t i b l e i m p a c t o n h e r w o r k . I n c o n t r a s t , N i c o l e ’ s q u e s t i o n s i n t h e C a n d y C a n e p r o b l e m a b o u t t h e a g e o f t h e c h i l d r e n a n d t h e s i z e o f t h e c a n e s s t r u c t u r e d h e r w o r k . T h e n u m e r i c a l d a t a p l a y e d n o a p p a r e n t r o l e i n h e r s o l u t i o n . S i n c e t h e c h i l d r e n o f t h e s t o r y t u r n e d o u t t o b e o l d e r t h a n s h e h a d e x p e c t e d , s h e a b a n d o n e d h e r o r i g i n a l r e p r e s e n t a t i o n ; s h e d r e w a b i g g e r h a n d a n d c o n c l u d e d t h a t I r e c e i v e d m o r e c a n d y c a n e s t h a n s h e f i r s t t h o u g h t . T h e i n f o r m a t i o n s h e e l i c i t e d i n t h e C a n d y B a r p r o b l e m w a s t h a t a l l t h e c a n d y b a r s w e r e t h e s a m e s i z e , t h e r e p r e s e n t a t i o n s h e c r e a t e d w a s s i m i l a r t o t h e o t h e r c h i l d r e n ’ s . T h e ” r e a l w o r l d ” d a t a a l l o w e d h e r t o o p e r a t e w i t h t h e n u m e r i c a l d a t a m u c h a s t h e o t h e r s h a d . S h e u s e d t h i s ” r e a l w o r l d ” i n f o r m a t i o n t o r e a c h h e r a n s w e r . W h i l e N i c o l e d i d n o t a s k a b o u t t h e k i n d s o f f o o d s a s t h e o t h e r s d i d , s h e c o m m e n t e d t h a t , ” I t h i n k i t ’ s n o t i m p o r t a n t t o h a v e d e s s e r t ” ( N , 1 2 , p . 1 1 ) . D u r i n g t h e L u n c h M e n u p r o b l e m , D a n i e l l e c o n f i r m e d w h a t m i g h t c o m p r i s e a c o m p l e t e m e a l . S h e d i d t h i s b y p o s i t i n g m e a l s w i t h m u l t i p l e m a i n c o u r s e s , w i t h o u t d e s s e r t s , a n d s o f o r t h . S h e a p p e a r e d t o b e t e s t i n g m y d e f i n i t i o n o f a m e a l . I n t h e O p e r a t i o n s t a s k s , a s D a n i e l l e w a s s t a r t i n g t h e s e c o n d t a s k - 2 1 7 l o o k i n g f o r t h e l a r g e s t o u t c o m e w i t h s e c o n d o r d e r o f o p e r a t i o n s - s h e a s k e d : " O h , c a n I u s e t w o n u m b e r s i n . . . d o I h a v e t o u s e a l l t h e s e f o u r n u m b e r s i n e a c h s e n t e n c e ? ” ( D , 1 2 , p . 1 6 ) . T h i s i s p a r a l l e l w i t h t h e L u n c h M e n u p r o b l e m w h e n c h i l d r e n c r e a t e d ” a l t e r n a t i v e ” m e a l s t o t e s t t h e l i m i t s o f t h e d e f i n i t i o n . H e r e , s h e s e e m e d t o b e d e t e r m i n i n g w h e t h e r I w a s t r y i n g t o ” t r i c k ” h e r , w h e t h e r i n f a c t o t h e r w a y s o f i n s e r t i n g t h e n u m b e r s m i g h t b e p e r m i s s i b l e . I n t h e O p e r a t i o n t a s k s B e r t s t a r t e d t o m a k e a n a r g u m e n t a b o u t w h e r e t o p u t n u m b e r s : ” I ' d p u t t h e m . . . b i g g e s t p o s s i b l e n u m b e r s o u t . . . a n y w a y . B e c a u s e t h e y ' r e a l l t h e s a m e n u m b e r s . N o , w e l l , b e c a u s e y o u h a v e t h e p l u s a n d m i n u s s o m a y b e i f y o u t o o k , t h e s l i g h t e s t n u m b e r ” ( B , 1 2 , p . 8 ) . I n t h i s p a s s a g e , B e r t s t a r t e d t o a r g u e i t d i d n o t m a t t e r w h e r e h e p l a c e d t h e n u m b e r s , i t w o u l d h a v e t h e s a m e r e s u l t . H o w e v e r , w h e n h e r e a l i z e d t h e r e w e r e ” r n i n u s e s , ” h e f e l t o r d e r w o u l d m a t t e r . C o n s e q u e n t l y , h e n e x t c o n f i r m e d t h e n u m b e r s I h a d s p e c i f i e d . T h e r e a r e t w o t h i n g s o f n o t e h e r e . F i r s t , B e r t d i d n o t f o l l o w t h i s b y u s i n g h i s k n o w l e d g e a b o u t w h a t t o d o i n t h e g e n e r a l c a s e , w h e r e t o p u t t h e ” s l i g h t e s t n u m b e r ” ; w h e n h e h a d c o n f i r m e d t h e n u m b e r s , h e w o r k e d o u t e v e r y p o s s i b l e s o l u t i o n f o r t w o t e r m s u b t r a c t i o n p r o b l e m s w i t h p o s i t i v e a n s w e r s ( g i v e n h i s v e r s i o n o f t h e o p e r a t i o n ) . T h e s e c o n d p o i n t i s t h a t t h i s d e m o n s t r a t e s B e r t ’ s p r o c l i v i t y t o m o n i t o r h i s s t a t e m e n t s a n d s e l f - c o r r e c t . H e s t a r t e d t o s a y o n e t h i n g - t h a t l o c a t i o n o f t h e n u m b e r s d i d n o t m a t t e r , b u t c h a n g e d h i s m i n d i n m i d - s t a t e m e n t . B e r t a p p e a r s t o h a v e b e e n e n g a g e d i n ” m o n o l o g i c a l d i a l o g u e ” ( M a r k o v a , 1 9 9 0 ) . T h a t i s , h e w a s o r i e n t e d ” t o w a r d s a n i n t e r n a l c o n v e r s a t i o n w i t h " h i m s e l f ( p . 9 ) . T h i s w i l l b e t a k e n u p i n m o r e d e t a i l i n t h e n e x t c h a p t e r . W I n t h i s s e c t i o n , I e x p l o r e t h e f u n c t i o n o f l a n g u a g e i n r e s p o n s e t o q u e s t i o n s . T h e s e o f t e n c a m e a f t e r t h e c h i l d h a d c o n c l u d e d w o r k o n a p r o b l e m u h a v i n g r e a c h e d a s o l u t i o n o r n o t . M y u s u a l g o a l f o r t h e s e 2 1 8 q u e s t i o n s w a s a s c e r t a i n i n g r e a s o n i n g a n d d e c i s i o n - m a k i n g . A t t i m e s t h o u g h , I f i r s t s o u g h t t o u n d e r s t a n d t h e s t e p s t a k e n . T h e s e q u e s t i o n s p r o d u c e d a v a r i e t y o f r e s p o n s e s , f o r e x a m p l e , n a r r a t i o n o f t h e s t e p s , a n a l t e r n a t i v e m e t h o d o f s o l v i n g t h e p r o b l e m , o r a r e c o n s i d e r a t i o n o f t h e i r w o r k ( t h e s e a r e t a k e n u p l a t e r ) . S o m e t i m e s , t h e c h i l d r e n s o u g h t c l a r i f i c a t i o n o f t h e o r i g i n a l d a t a i n r e s p o n s e t o m y q u e s t i o n s . F o r e x a m p l e , i n t h e C a n d y C a n e p r o b l e m , w h i l e I w a s t r y i n g t o e l i c i t N i c o l e ’ s r e a s o n i n g , s h e r e s p o n d e d b y s e e k i n g i n f o r m a t i o n a b o u t t h e a g e o f t h e c h i l d r e n a n d a b o u t t h e s i z e o f t h e c a n d y c a n e s . I n t h e L u n c h M e n u p r o b l e m w h e n i t s e e m e d t o m e t h a t N i c o l e h a d r e p e a t e d a m e a l , I a s k e d , ” N o w , a r e y o u s u r e y o u d i d n ’ t a l r e a d y h a v e t h a t o n e ? ” S h e r e t u r n e d t o t h e b e g i n n i n g o f t h e p r o b l e m , c o n s t r u c t e d t w o m e a l s , a n d a s k e d i f t h a t w a s w h a t I i n t e n d e d : ” L i k e y o u h a v e t h e h a m b u r g e r s a n d j u i c e a n d c o o k i e s , [ a n d ] c h i c k e n n u g g e t s , i c e c r e a m , a n d m i l k . [ I s t h a t w h a t ] y o u m e a n ? ” ( N , 1 2 , p . 1 1 ) . L i k e w i s e , w h e n I a s k e d D a n i e l l e h o w s h e k n e w s h e h a d a l l t h e m e a l s , s h e a p p a r e n t l y t o o k t h i s a s a s u g g e s t i o n t h a t s h e d i d n o t . S h e p o s t u l a t e d a n o t h e r w a y t o c o n s t r u c t m e a l s : s h e c o u l d m a k e m e a l s w i t h o u t a l l t h r e e ” c o u r s e s . " T h i s w a s a f o r m o f c l a r i f i c a t i o n - - s h e m a d e s u r e t h e r u l e s w e r e fi x e d b y m y o r i g i n a l p r e s e n t a t i o n : ” 5 0 , I t h i n k i t ' s p r o b a b l y s e v e n d i f f e r e n t m e a l s . U n l e s s t h e y d o n ' t w a n t a n y m i l k , o r j u i c e , o r c o o k i e s . . . ” ( D , 1 2 , p . 1 2 ) . W h e n I s a i d t h a t t h e y h a d t o t a k e e v e r y i t e m , s h e a t t r i b u t e d u n f a i r n e s s d u e t o p e e r p r e s s u r e : ” T h a t ' s n o t f a i r , t h a t ' s p e e r p r e s s u r e ” - a n o t h e r o f D a n i e l l e ’ s m a n y c o n n e c t i o n s w i t h o t h e r a s p e c t s o f l i f e . I n t h e A g e c o n v e r s a t i o n , B e r t a s k e d m e t o c o n f i r m h i s b e l i e f t h a t D e c e m b e r w a s t h e t w e l f t h m o n t h w a s c o r r e c t : ” H e r e ' s o n e m o n t h , t w o m o n t h s , D e c e m b e r i s t h e l a s t m o n t h , s o i t ' s t h e 1 2 t h m o n t h , r i g h t ? ” H e a l s o a s k e d w h a t t h e t h e n c u r r e n t m o n t h w a s : ” I t ' s , w h a t m o n t h i s t h i s ? ” ( B , 1 3 , p . 4 ) . I n t h e s e 2 1 9 e x a m p l e s , h e w a s n o t c o n f i r m i n g d a t a I p r o v i d e d i n t h e p r o b l e m b u t w a s c o n f i r m i n g r e a l w o r l d d a t a i m p l i c i t l y m a d e n e c e s s a r y b y m y q u e s t i o n i n g . r ' e i n O f t e n , t h e c h i l d r e n ’ s p l a n n i n g o f t h e i r r e p r e s e n t a t i o n s e e m e d i n s t a n t a n e o u s ; a l l b u t N i c o l e u s u a l l y s t a r t e d c r e a t i n g r e p r e s e n t a t i o n s i m m e d i a t e l y u p o n t h e c o m p l e t i o n o f m y p r e s e n t a t i o n o f t h e p r o b l e m . T h i s i m p l i e s t h e y p r o j e c t e d w h a t t h e t a s k m i g h t b e ; b e f o r e I c o n c l u d e d n a r r a t i o n , t h e y p r e s u m e d t o k n o w w h a t 1 w o u l d a s k . S o m e o f t h e s e p r o j e c t i o n s w e r e v o i c e d a n d s o m e I i n f e r ; s o m e w e r e a c c u r a t e , s o m e n o t . B o t h v o c a l i z e d a n d i n f e r r e d p r o j e c t i o n s s e e m g r o u n d e d i n t h e c h i l d r e n ’ s o n - g o i n g c o m p a r i s o n o f t h e t a s k a t h a n d w i t h t h e i r e x p e r i e n c e s — m a t h e m a t i c a l a n d " r e a l w o r l d . ” S o m e t i m e s t h e p r o j e c t i o n s e m e r g e d a s p r e m a t u r e a n d i n a c c u r a t e c o n c l u s i o n s a b o u t t h e q u e s t i o n I w a s a b o u t t o p o s e - - a s i n t h e C a n d y B a r p r o b l e m w h e n T e r i t h o u g h t w o u l d I a s k h e r t o c o m p u t e t h e t o t a l o f f o u r b o x e s o f 3 0 b a r s . S h e l i k e w i s e p r o j e c t e d t h a t I w o u l d s u g g e s t l a r g e n u m b e r s f o r h e r t o u s e i n t h e O p e r a t i o n s t a s k s . S h e w o r r i e d a b o u t d o i n g " t a k e a w a y s ” w i t h n u m b e r s s u c h a s " 1 0 0 , 2 0 0 , 3 0 0 , 4 0 0 " a n d ” 1 9 0 , 2 9 0 , 3 9 0 , 4 9 0 ” ( T , 1 2 , p . 1 0 ) . D a n i e l l e a l s o p r o j e c t e d w h a t I w o u l d a s k f o r t h e C a n d y B a r p r o b l e m . A f t e r I s a i d t h e r e w e r e f o u r c h i l d r e n a n d 3 0 c a n d y b a r s , s h e s a i d " O h , n o . " A t m y r e q u e s t , s h e e x p l a i n e d h e r r e a c t i o n , ” I h a v e t o f i n d o u t h o w m a n y e v e r y b o d y g e t s . " S o m e o f B e r t ’ s p r o j e c t i o n s s u g g e s t e d p r e s c i e n c e . A s I s t a r t e d t o s e g u e f r o m t h e C a n d y C a n e t o t h e E a s t e r E g g p r o b l e m s a y i n g , ” O k a y , s o t h e n , t h i s E a s t e r . . . ” , B e r t f i n i s h e d m y s e n t e n c e : " T h e y g a v e y o u m o r e . ” I a g r e e d a n d c o n t i n u e d t h e s t o r y . W h e n 1 s a i d , " B u t , 1 w a s a b i t l a t e g e t t i n g t h e r e , " b e f o r e I c o u l d c o n t i n u e , B e r t s a i d , ” U m - h u m , s o t h e y a t e s o m e " ( B , 1 2 , p . 5 ) . B e r t ’ s 2 2 0 I ! c o m m e n t d u r i n g t h e C a n d y B a r p r o b l e m t h a t h e d i d " a l o t o f p r o b l e m s l i k e t h i s i s e v i d e n c e o f h i s c o m p a r i n g t h e p r o b l e m w i t h p a s t e x p e r i e n c e s . T h i s s t a t e m e n t w a s m a d e a l m o s t i m m e d i a t e l y f o l l o w i n g m y c o n c l u s i o n o f t h e s t o r y , s i m u l t a n e o u s w i t h h i s s t a r t i n g t o d r a w . N i c o l e i n e v i t a b l y p a u s e d f o r a s i g n i f i c a n t p e r i o d b e f o r e d o i n g o r s a y i n g a n y t h i n g . T h e s e p a u s e s w e r e o f t e n f o l l o w e d b y q u e s t i o n s a b o u t t h e c o n t e x t . U n l i k e t h e o t h e r s , N i c o l e d i d n o t e x h i b i t e v i d e n c e o f p r o j e c t i o n . S h e s a t q u i e t l y w i t h a p p r o p r i a t e s m i l e s , n o d s , o r m u r m u r s i n d i c a t i n g s h e w a s a t t e n d i n g a n d f o l l o w i n g m y p r e s e n t a t i o n . I n f a c t , N i c o l e s a t s i l e n t l y e v e n a f t e r I c o n c l u d e d m y p r e s e n t a t i o n s . I t m a y b e t h a t s h e j u s t d i d n o t g i v e v o i c e t o t h e p r o j e c t i o n s s h e m a d e b u t s h e d i d n o t p r o v i d e e v i d e n c e o f h a v i n g m a d e t h e m . W h e n , a f t e r t h e y h a d c o n c l u d e d w o r k i n g o n a p r o b l e m , I t r i e d t o e l i c i t d e s c r i p t i o n s o f t h e c h i l d r e n ’ s p l a n n i n g , I w a s s e l d o m s u c c e s s f u l . O f t e n , t h e y r e s p o n d e d b y s t a t i n g t h e s t e p s t h e y h a d t a k e n a n d n o t t h e d e c i s i o n s t h a t l e d t o t h o s e s t e p s . E v e n w h e n I a t t e m p t e d s u c h q u e s t i o n i n g e a r l i e r i n t h e i r w o r k o n a p r o b l e m , I h a d l i t t l e s u c c e s s . F o r e x a m p l e , I a s k e d T e r i h o w s h e h a d d e c i d e d t o g r o u p t h e " c a n d y b a r s " i n s i x e s f o r d i s t r i b u t i o n a n d s h e r e s p o n d e d b y t e l l i n g m e s h e w a s n o t d o n e b u t t h a t " e a c h k i d g e t s a t l e a s t s i x . " C o n s e q u e n t l y , I h a v e l i t t l e d a t a o n t h e p r o c e s s o f p l a n n i n g r e p r e s e n t a t i o n s . L n t e r m p t i o n A s n o t e d i n h e r p r o f i l e , D a n i e l l e o f t e n i n t e r r u p t e d m y p r e s e n t a t i o n o f a p r o b l e m w i t h q u e s t i o n s a b o u t t h e s t o r y i t s e l f o r w i t h s e e m i n g l y i r r e l e v a n t c o m m e n t s . A s I s t a r t e d t h e C a n d y C a n e p r o b l e m , s h e i n t e r r u p t e d m e t o a s k " I s t h i s t r u e ? " W h e n a s k e d , s h e s a i d t h a t i t d i d n o t m a t t e r w h e t h e r i t w a s . L i k e T e r i , s h e q u i c k l y c o m p u t e d t h e n u m b e r o f " f u n s i z e " b a r s i n t w o d o z e n , i n t e r j e c t i n g 2 2 1 " A h , 2 4 . " w i t h o u t a n y q u e s t i o n f r o m m e . A s I s t a r t e d t o c o n t i n u e , " A n d t h e y o u n g e r o n e s . . . ” , D a n i e l l e i n t e r r u p t e d a g a i n , r e f e r r i n g b a c k t o t h e f u n - s i z e b a r s , " B u t y o u a t e t h e m a l l , s o y o u g o t 2 4 , r i g h t ? ” T h i s i s b o t h a n i n t e r r u p t i o n a n d a c l a r i f i c a t i o n — s h e c o n f i r m e d t h a t I d i d r e c e i v e a l l 2 4 b a r s . I s a i d t h e y o u n g e r c h i l d r e n h a d g i v e n m e c a n d y a l s o , a n d D a n i e l l e s a i d , " O h , n o . ” W h e n I c o n t i n u e d , i n d i c a t i n g t h a t t h e y h a d g i v e n m e a h a n d f u l o f c a n d y c a n e s , s h e a s k e d h o w m a n y t h a t w a s . T h e n , b e f o r e a c t u a l l y s t a r t i n g h e r s o l u t i o n , s h e c o m m e n t e d t h a t , " t h e y m u s t h a v e h a d b i g h a n d s " ( D , 1 2 , p p . 7 - 8 ) . H e r i n t e r r u p t i o n s w e r e m o s t e x t e n s i v e i n t h e L u n c h M e n u p r o b l e m . W h e n I s a i d t h e s c h o o l p l a n n e d t o h a v e t h e s a m e m e n u e v e r y d a y , D a n i e l l e c o m m e n t e d , " E w g h . ” I p o i n t e d o u t t h a t t h i s w o u l d b e e a s i e r f o r t h e c o o k s a n d f o r t h e c h i l d r e n a s t h e y w o u l d a l w a y s k n o w w h a t w a s a v a i l a b l e . D a n i e l l e r e s p o n d e d , " T h a t w o u l d b e g r o s s . " W h e n I s a i d , " L e t ’ s s e e , " D a n i e l l e s a i d s h e w o u l d b r i n g c o l d l u n c h e v e r y d a y . A s I s t a r t e d t o p u t o u t t h e s l i p s o f p a p e r w i t h t h e m e n u i t e m s o n t h e m , D a n i e l l e s a i d , " Y u m ! " t o e a c h m a i n c o u r s e . S h e d e c i d e d , " T h a t ’ s a l l y u m m y . I w o u l d t a k e i t . ” A s I t h e n p u t o u t t h e m i l k a n d j u i c e s l i p s , s h e c o m m e n t e d t h a t t h e y d o n ’ t g e t j u i c e a t h e r s c h o o l e x c e p t a t " b r e a k f a s t t i m e . Y o u h a v e t o p a y f o r i t , t h o u g h . ” I s a i d t h a t " t h i s i s a d i f f e r e n t s c h o o " a n d l a i d o u t t h e d e s s e r t i t e m s . D a n i e l l e c o m m e n t e d : " W e d o n ' t h a v e d e s s e r t , t h e y o n l y h a v e d e s s e r t a t t h e m i d d l e s c h o o l , w h e r e m y m o m w o r k s . " I s a i d , " W e l l , t h i s i s n o t i n L a n s i n g , s o m a y b e a d i f f e r e n t s c h o o l d i s t r i c t . ” T o w h i c h D a n i e l l e c o u n t e r e d b y a g a i n a s k i n g , " I s t h i s a t r u e s t o r y ? ” W h e n I a s k e d i f t h a t m a t t e r e d , s h e s a i d , " N o , b u t i f t h e f o o d ' s t r u e , I ' l l g o t o t h a t s c h o o l . ” I c o n t i n u e d , d e s c r i b i n g a t h i r d g r a d e c l a s s t h a t d i s c u s s e d w h e t h e r t h i s w o u l d o f f e r f e w o r m a n y c h o i c e s . I n t e r r u p t i n g , D a n i e l l e d i s a g r e e d w i t h t h e f e w c h o i c e s s i d e , " b e c a u s e y o u c a n b r i n g c o l d l u n c h 2 2 2 e v e r y d a y . ” I t o o k h e r t o m e a n t h a t , b e c a u s e o n e c o u l d b r i n g c o l d l u n c h , m a n y c h o i c e s w o u l d b e p o s s i b l e . W h i l e t h i s p r o b l e m e v i n c e d t h e m o s t s u c h n o n - m a t h e m a t i c a l i n t e r r u p t i o n s f r o m D a n i e l l e , i t w a s h a r d l y u n c h a r a c t e r i s t i c . A s d e s c r i b e d i n h e r p r o f i l e , f r o m b e g i n n i n g t o e n d s h e m a d e c o n n e c t i o n s b e t w e e n t a s k s a n d h e r p e r s o n a l w o r l d . T h e s o l e e x c e p t i o n o c c u r r e d d u r i n g t h e O p e r a t i o n s t a s k s . ( T h i s a n d h e r l a c k o f m a t h e m a t i c a l c o n n e c t i o n s i n t h e L u n c h M e n u p r o b l e m a r e e x a m i n e d i n t h e n e x t c h a p t e r . ) T h e s e i n t e r r u p t i o n s a n d o n g o i n g c o m m e n t a r i e s o n t h e p a r t o f D a n i e l l e s e e m e d b e y o n d h e r c o n t r o l . S h e s e e m e d t o h a v e a h o s t o f t h o u g h t s s w i r l i n g i n h e r h e a d . T h e s e c o n n e c t i o n s s e e m e d i m p o r t a n t f o r h e r t o f e e l c o m f o r t a b l e i n e n g a g i n g w i t h t h e m a t h e m a t i c s . S h e h a d f e e l i n g s o f t r e p i d a t i o n a b o u t h e r m a t h e m a t i c a l a b i l i t i e s a n d , t o s o l i d i f y t h i n g s , t o g r o u n d t h e a b s t r a c t , s h e c r e a t e d a w e b c o n n e c t i n g m a t h e m a t i c a l a n d n o n - m a t h e m a t i c a l w o r l d s . m a r C l a r i f i c a t i o n , p r o j e c t i o n , a n d i n t e r r u p t i o n d e s c r i b e t h r e e ( n o t m u t u a l l y e x c l u s i v e ) t e c h n i q u e s t h e c h i l d r e n e m p l o y e d f o r e s t a b l i s h i n g r e l a t i o n s h i p w i t h a n d u n d e r s t a n d i n g o f p r o b l e m s . T h e y u s e d c l a r i f i c a t i o n t o s o l i d i f y t h e i r u n d e r s t a n d i n g o f w h a t t h e p r o b l e m i n v o l v e d . T h e i r p r o j e c t i o n s h e l p e d t h e m m a k e c o n n e c t i o n s w i t h t h e i r m a t h e m a t i c a l e x p e r i e n c e s . D a n i e l l e ’ s i n t e r r u p t i o n s h e l p e d h e r d e v e l o p c o m f o r t w i t h t h e m a t h e m a t i c s , e s p e c i a l l y t h e a b s t r a c t a s p e c t s o f m a t h e m a t i c s b y c o n n e c t i n g t h e c o n t e x t w i t h h e r p e r s o n a l w o r l d . M y a n a l y s i s e s t a b l i s h e s t h e c h i l d r e n a s a c t i v e l y m a k i n g s e n s e o f t a s k s . E v e n a s t h e y s a t a p p a r e n t l y p a s s i v e ( m o s t l y m e r e l y n o d d i n g o r m u r m u r i n g u n d e r s t a n d i n g a s I p r e s e n t e d t h e t a s k ) , t h e y w e r e p o n d e r i n g c o n n e c t i o n s w i t h t h e i r e x p e r i e n c e s . F o r 2 2 3 t h e m o s t p a r t , m a t h e m a t i c a l c o n n e c t i o n s w e r e t h e o n l y t y p e v o i c e d - D a n i e l l e ’ s i n t e r r u p t i o n s f o r m t h e e x c e p t i o n . T h e f i r s t t w o p a r t s o f t h i s s e c t i o n a d d r e s s e d w h a t m a y b e c o n s i d e r e d t h e l a n g u a g e o f e l e m e n t a r y c h i l d r e n i n t h e s e r v i c e o f f u l f i l l i n g i m p o r t a n t f u n c t i o n s o f d o i n g m a t h e m a t i c s . T h i s l a n g u a g e u s a g e w a s c o n s i s t e n t a c r o s s t h e c h i l d r e n — a n d p r o b a b l y a c r o s s m o s t c h i l d r e n d o i n g m a t h e m a t i c s . 8 9 D a n i e l l e ’ s i n t e r r u p t i o n s a r e p r o b a b l y a l s o f a m i l i a r t o t e a c h e r s . W h i l e ” v e r b a l e x p r e s s i o n [ i s ] s e e n a s a n i m p o r t a n t p a r t o f t e a c h i n g a n d l e a r n i n g m a t h e m a t i c s ” i n c l a s s r o o m s ( F i r m , 1 9 8 7 , p . 4 8 ) , i n t e r r u p t i o n s a r e s e l d o m s e e n a s f u n c t i o n i n g i n t h i s s e r v i c e . R a t h e r , t h e y a r e l i k e l y v i e w e d a s d i s r u p t i v e . Y e t , f o r D a n i e l l e , t h e y s e e m e d a n e q u a l l y i m p o r t a n t p a r t o f d o i n g m a t h e m a t i c s ; s h e s e e m e d t o f i n d c o m f o r t i n c o m e d i a n s w i t h h e r o w n w o r l d . T h u s , w h i l e t e a c h e r s m a y s e e s u c h i n t e r r u p t i o n s a s i n a p p r o p r i a t e , " n o n i n s t r u c t i o n a l ” s t a t e m e n t s ( W e r t s c h , 1 9 9 1 , p . 1 2 9 ) , t h i s m i x i n g o f l a n g u a g e g e n r e s s e e m e d e s s e n t i a l f o r D a n i e l l e . L a n g u a g e U s e d t o D e s c r i b e I n t h i s s e c t i o n I p r e s e n t t w o w a y s i n w h i c h t h e c h i l d r e n u s e d l a n g u a g e f o r w o r k i n g t o w a r d s o l u t i o n s t o p r o b l e m s . B o t h a r e d e s c r i p t i v e u s e s o f l a n g u a g e . I s t a r t w i t h e n u m e r a t i o n a n d f o l l o w t h a t w i t h t h e i r u s e o f n a r r a t i o n . E n u m e m i o n A l l t h e c h i l d r e n g e n e r a l l y c o u n t e d a l o u d a s t h e y d r e w r e p r e s e n t a t i o n s . T h i s m o n i t o r i n g w a s a n i m p o r t a n t p a r t o f t h e c r e a t i o n o f r e p r e s e n t a t i o n s . A g o o d e x a m p l e o f t h e s i m p l i c i t y b u t i m p o r t a n c e o f e n u m e r a t i o n o c c u r r e d d u r i n g 8 9 A n d p r o b a b l y t y p i c a l o f m o s t a d u l t s d o i n g m a t h e m a t i c s - « i n c l u d i n g p r o s p e c t i v e t e a c h e r s i n m a t h e m a t i c s a n d m a t h e m a t i c s m e t h o d s c o u r s e s a n d p r a c t i c i n g t e a c h e r s i n s t a f f d e v e l o p m e n t e x p e r i e n c e s o f a l l s t r i p e s . 2 2 4 B e r t ’ s c r e a t i o n o f h i s f i r s t C a n d y B a r p r o b l e m r e p r e s e n t a t i o n . A s h e d r e w r e c t a n g l e s , h e d i s c u s s e d w i t h m e t h e s i m i l a r i t i e s b e t w e e n t h i s p r o b l e m a n d h i s c l a s s r o o m e x p e r i e n c e s . W h i l e t h u s e n g a g e d , h e d r e w o n e t o o m a n y r e c t a n g l e s , i m m e d i a t e l y r e c o g n i z e d h e h a d o v e r s h o t , e r a s e d t h e e x t r a , a n d p r o c e e d e d w o r k i n g . A n o t h e r e x a m p l e o f e n u m e r a t i o n t h a t p l a y e d a n i m p o r t a n t f u n c t i o n i n a c h i e v i n g a s o l u t i o n o c c u r r e d i n D a n i e l l e ’ s w o r k o n t h e s a m e p r o b l e m . R e c a l l f r o m h e r p r o f i l e h e r r e p e a t e d a t t e m p t s c o u n t i n g t h e n u m b e r o f b a r s i n h e r " b o x . " S h e a p p e a r e d t o V i e w t h i s c o u n t i n g a s a p r o f o r m a a c t i v i t y f o r m y b e n e f i t ; s h e " k n e w " w h a t n u m b e r s s h o u l d b e i n c e r t a i n l o c a t i o n s ( a t l e a s t t h e " 9 ” a t t h e e n d o f t h e f i r s t r o w ) a n d t h u s w a s c o m p a r i n g t h i s n e w c o u n t w i t h t h e " s t a n d a r d " s h e h a d i n h e r h e a d . W h e n t h e c o u n t s s e e m e d n o t t o m a t c h , s h e c h o s e t o n u m b e r e a c h b a n - o s t e n s i b l y g u a r a n t e e i n g a c c u r a c y . T e r i a n d N i c o l e m u s t a l s o h a v e p e r f o r m e d s u c h e n u m e r a t i o n , t h o u g h m o s t l y s i l e n t l y . B o t h d r e w e x a c t l y 3 0 o b j e c t s i n t h e C a n d y B a r p r o b l e m — a n d s i m i l a r a p p r o p r i a t e n u m b e r s o f o b j e c t s i n o t h e r t a s k s . I n c o n t r a s t w i t h B e r t a n d D a n i e l l e , t h e y d r e w t h e i r 3 0 o b j e c t s i n r o w s o f t e n w h i c h w o u l d r e d u c e t h e m o n i t o r i n g l o a d . O c c a s i o n a l l y , e v e n t h e s e t w o d i d v o c a l i z e t h e i r c o u n t i n g , a s w h e n T e r i s a i d , " O n e k i d , t w o k i d , . . . ” i n t h e C a n d y B a r p r o b l e m . T h e e n u m e r a t i o n t h a t I h a v e d e s c r i b e d i n t h i s s e c t i o n c o n s t i t u t e s a f o r m o f s e l f - m o n i t o r i n g . A s t h e y c r e a t e d a r e p r e s e n t a t i o n , t h e y m o n i t o r e d i t s m a t c h w i t h t h e i r ( m e n t a l ) p l a n s a n d t h e p r o b l e m ’ s n e e d s . M o n i t o r i n g i s e x a m i n e d i n t h e n e x t c h a p t e r . 2 2 5 N a r r a t i o n A s t h e c h i l d r e n w o r k e d o n p r o b l e m s , t h e y s o m e t i m e s n a r r a t e d t h e i r a c t i o n s . T h i s d i f f e r s f r o m e n u m e r a t i o n w h i c h w a s f o r t h e c h i l d r e n ’ s o w n p u r p o s e s , t o m o n i t o r c r e a t i o n o f a r e p r e s e n t a t i o n . N a r r a t i o n o c c u r r e d w h e n a c h i l d c a r r i e d o n a n a r r a t i v e o f a c t i o n s f r o m s t e p t o s t e p . A s a n a r r a t i v e , i t d i d n o t e x p l a i n w h y c e r t a i n s t e p s w e r e t a k e n ; i t m e r e l y d e s c r i b e d t h e m . A s w i t h h e r i n c o n s i s t e n t o r a l e n u m e r a t i o n , T e r i w a s a n i n c o n s i s t e n t n a r r a t o r . F o r e x a m p l e , a s s h e d i s t r i b u t e d c a n d y b a r s , s h e s a i d , " e a c h k i d g e t s a t l e a s t s i x . ” T h i s w a s f o l l o w e d b y , ” T h i s o n e g e t s o n e . ” f o r e a c h d i s t r i b u t i o n o f i n d i v i d u a l b a r s . A f t e r d i s t r i b u t i n g f o u r g r o u p s o f s i x a n d f o u r i n d i v i d u a l b a r s , t h e r e r e m a i n e d t w o u n d i s t r i b u t e d b a r s . S h e s a i d , " S o t h e s e t w o c a n d y b a r s a r e l e f t , " r e - d r e w t h e m , d i v i d e d t h e m e a c h i n h a l f , a n d d i s t r i b u t e d t h e m a l l w i t h o u t c o m m e n t . B e r t a n d D a n i e l l e h a d a t e n d e n c y t o n a r r a t e t h e w o r k o f c r e a t i n g r e p r e s e n t a t i o n s - t h o u g h s o m e t i m e s a n a r r a t i o n s e e m e d a i m e d a t m e a n d s o m e t i m e s i t s e e m e d i n t e n d e d s o l e l y f o r t h e n a r r a t o r . R e c a l l t h a t B e r t t a l k e d h i s w a y t h r o u g h s e v e r a l o f t h e p r o b l e m s . I n t h e A g e c o n v e r s a t i o n h e s a i d " o n e m o n t h , t w o m o n t h s , . . . " a s h e d r e w t a l l i e s . H e t h e n e x p l a i n e d t o m e t h a t t h e y w e r e t o b e c o n s i d e r e d a s m o n t h s . A f t e r t h i s , a s h e w o r k e d t o d e m o n s t r a t e t h a t h e w a s s e v e n a n d a h a l f , h e t a l k e d t h r o u g h h i s c o u n t i n g a n d p a r t i t i o n i n g o f t h e " m o n t h s . ” N i c o l e a n d T e r i v o l u n t e e r e d l i t t l e n a r r a t i v e d e s c r i p t i o n . T h e y m i g h t o c c a s i o n a l l y c o u n t a l o u d a s t h e y d r e w o b j e c t s b u t s e l d o m e l a b o r a t e d o n t h e s t e p s t h e y t o o k . T h e e p i s o d e s o f n a r r a t i o n f o r o n e s e l f m a y b e r e fl e c t e d i n — o r a 2 2 6 r e f l e c t i o n o f - a m o n i t o r i n g o f t h e r e p r e s e n t a t i o n b e i n g c r e a t e d u a l b e i t m o n i t o r i n g o f a d i f f e r e n t s o r t t h a n e n u m e r a t i o n ( s e e n e x t c h a p t e r ) . L a n g u a g e U s e d t 9 E x p r e s s A f f e g t S o f a r , 1 h a v e d e s c r i b e d t h e c h i l d r e n ’ s u s e o f l a n g u a g e t o e n u m e r a t e a n d t o n a r r a t e t h e i r w o r k . N o t s u r p r i s i n g l y , t h e r e w e r e t i m e s w h e n t h e c h i l d r e n u s e d l a n g u a g e t h a t d i d n o t i l l u m i n a t e t h e i r r e p r e s e n t a t i o n s o r t h e m a t h e m a t i c s t h e y w e r e d o i n g — n o r d i d t h e c h i l d r e n i n t e n d i t t o . F o r t h e m o s t p a r t , t h i s i n c l u d e d i m m e d i a t e r e a c t i o n s t o t h e i r o w n w o r k e x p r e s s e d i n e m o t i o n a l l a n g u a g e . D a n i e l l e a n d T e r i o f t e n p r o d u c e d s p o n t a n e o u s o u t b u r s t s o f n e g a t i v e e m o t i o n . T h e s e d i d n o t s e e m t o r e fl e c t a r e l u c t a n c e t o p u r s u e t h e t a s k a t h a n d — t h e y u s u a l l y c o n t i n u e d b u t o f t e n h a d t o c h a n g e a p p r o a c h e s . R e c a l l T e r i ’ s u s e o f ” P o o e y ” i n a s s e s s i n g h e r f i r s t r e p r e s e n t a t i o n a s s h e w o r k e d o n t h e C a n d y B a r p r o b l e m . W h e n s h e r e a l i z e d t h e n u m b e r o f r o w s o f c i r c l e s d i d n o t m a t c h t h e n u m b e r o f c h i l d r e n , s h e w a s d i s a p p o i n t e d a n d s a i d , " P o o e y . ” S h e w a s e x p r e s s i n g d i s a p p o i n t m e n t t h a t t h e r e p r e s e n t a t i o n w a s n o t c o n d u c i v e t o a r e a d y s o l u t i o n o f t h e p r o b l e m . O f c o u r s e , m y i n t e r p r e t a t i o n o f h e r r e a c t i o n w a s a f t e r - t h e - f a c t . I n t h e m o m e n t s h e m e r e l y p r o v i d e d a n e x c l a m a t i o n s i g n a l i n g h e r d i s a p p o i n t m e n t , n o t a n e x p l a n a t i o n o f h e r t h i n k i n g . A t t h e s a m e t i m e , s h e f o l l o w e d h e r " P o o e y " w i t h c o n t i n u e d w o r k o n t h e p r o b l e m . S h e d i d n o t u s e t h i s e x c l a m a t i o n a s a t o o l f o r d i s e n g a g i n g . D a n i e l l e a l s o u s e d a f f e c t i v e l a n g u a g e . A f t e r q u i c k l y , c o r r e c t l y , a n d m e n t a l l y s o l v i n g b o t h 9 - 5 a n d 5 - 9 , w e d i s c u s s e d t h e s i m i l a r i t y o f h e r a n s w e r s - ” 4 " a n d " - 4 . ” A s I q u e s t i o n e d h e r , s h e r e v i s e d , d e c i d i n g t h e t w o a n s w e r s w o u l d b e t h e s a m e , " 4 . ” S i n c e s h e s e e m e d u n a b l e t o e x p l a i n h e r t h i n k i n g , I a s k e d i f s h e c o u l d s h o w 5 - 9 w i t h a p i c t u r e . A s s h e e x p l a i n e d ( s h e h a d d r a w n f i v e c i r c l e s a n d 2 2 7 w a n t e d t o t a k e n i n e a w a y ) , s h e g o t t a n g l e d b e t w e e n t h e t w o p r o b l e m s a n d e n d e d u p s a y i n g t h a t f o r 9 - 5 t h e r e w e r e n o t e n o u g h c i r c l e s . I s a i d , " I a l w a y s t h o u g h t n i n e t a k e a w a y f i v e m e a n t y o u ' v e g o t n i n e a n d y o u t a k e a w a y f i v e . " S h e r e s p o n d e d , " A r g h h ! " b u t q u i c k l y w e n t o n t o c o r r e c t h e r w o r k a n d c o n c l u d e c o n f i d e n t l y t h a t " 4 " a n d ” - 4 " w e r e t h e a n s w e r s t o 9 - 5 a n d 5 - 9 r e s p e c t i v e l y ( D , 1 3 ; p p . 1 6 - 1 7 ) . D a n i e l l e f r e q u e n t l y e x p r e s s e d s u c h n e g a t i v e e m o t i o n s - u s u a l l y , i n a n e x a g g e r a t e d f o r m . F o r e x a m p l e , d u r i n g t h e A g e c o n v e r s a t i o n , s h e s a i d t h a t s h e " h a t e s f r a c t i o n s ” b e c a u s e t h e y a r e " s c a r y . ” W h e n I a s k e d w h y s h e t h o u g h t t h e y w e r e s c a r y , s h e r e s p o n d e d : W e l l , I d o n ' t k n o w h o w s c a r y i t i s , w e l l , ' c a u s e i t ' s s c a r y . Y o u h a v e l i k e , " W h a t i n t h e w o r l d i s t h i s n u m b e r ? ” [ w r i t i n g a f r a c t i o n ( b u t e r a s i n g i t i m m e d i a t e l y ) ] I d o n ' t e v e n k n o w h o w t o w r i t e t h e m . L i k e , w e h a d o n e [ p r o b l e m ] t h e o t h e r d a y : " C o r n b r e a d c u t i n t o s i x t e e n t h s a n d t h e f a m i l y a t e s e v e n a t l u n c h , s i x a t d i n n e r , a n d t h e y w e r e l e f t w i t h t h r e e . ” Y o u s h a d e i n , a n d s e e , t h e y [ h e r c l a s s m a t e s ] c u t i t u p i n 1 6 p i e c e s . I t w a s r e a l l y s t u p i d t h a t t h i s n u m b e r [ 1 6 , t h e t o t a l n u m b e r o f p i e c e s ] m e a n s h o w m a n y s h a d e i n . Y o u s h a d e i n 1 6 p i e c e s a n d t h e r e ' s n o n e l e f t a n d y o u m a k e t h r e e s q u a r e s . I t s h o u l d h a v e b e e n y o u c u t i t u p i n t o 1 6 a n d y o u s h a d e i n 1 3 . ( D , 1 3 , p - 5 ) I n t h i s m o n o l o g u e D a n i e l l e s t a r t e d t o q u a l i f y h e r s t a t e m e n t t h a t f r a c t i o n s w e r e s c a r y b u t q u i c k l y r e a f f i r m e d t h a t t h e y w e r e . S h e a r g u e d t h a t i f s h e d i d n ' t e v e n k n o w h o w t o w r i t e a f r a c t i o n , i t m u s t b e s c a r y . S h e f o l l o w e d t h i s a s s e r t i o n b y d e s c r i b i n g a p r o b l e m w o r k e d o n i n c l a s s a r o u n d t h a t t i m e . T h e c l a s s w a s t o d e c i d e w h a t f r a c t i o n o f c o r n b r e a d r e m a i n e d a f t e r t h e f a m i l y h a d e a t e n 1 3 p i e c e s . A p p a r e n t l y , o n e s t u d e n t h a d s h a d e d t h e w h o l e p a n a n d t h e n d r a w n t h r e e s q u a r e s t o r e p r e s e n t t h e r e m a i n i n g p i e c e s . D a n i e l l e e x p l a i n e d w h a t s h e t h o u g h t t h e p i c t u r e s h o u l d l o o k l i k e . S h e s e e m e d f a i r l y s u r e h o w t o r e p r e s e n t t h e s t o r y - a n d t h e f r a c t i o n s - w i t h a p i c t u r e . H e r i n t e n t w h e n s h e s t a r t e d w a s t o t e l l t h e 2 2 8 s t o r y o f t h i s p r o b l e m t o i l l u s t r a t e h e r d i f f i c u l t y u n d e r s t a n d i n g f r a c t i o n s — t o s h o w w h y t h e y w e r e s c a r y . H e r a n a l y s i s b e l i e s h e r s u p p o s e d i n a b i l i t y . L a n g u a g e U s e d t e D i s e n g a g e F i n a l l y , i n t h i s s e c t i o n o n t h e c h i l d r e n ’ s n o n - e x p l a n a t o r y l a n g u a g e , I e x a m i n e o c c a s i o n s w h e n t h e c h i l d r e n i n t e n t i o n a l l y a v o i d e d e x p l a i n i n g t h e i r r e a s o n i n g . T e r i w a s m o s t l i k e l y t o i n v o k e t h i s r a t h e r r a r e u s e o f l a n g u a g e i n w h i c h c h i l d r e n s e e m i n g l y t r i e d t o " f e n c e o f f " m a t h e m a t i c a l t e r r i t o r y t h e y f e l t u n a b l e t o u n d e r s t a n d o r f o u n d t h r e a t e n i n g . R e s p o n s e w a s o f t e n o f t h e f o r m , " I d o n ’ t k n o w . ” I t a l s o c a m e o u t i n e v a l u a t i v e s t a t e m e n t s s u c h a s " Y o u c a n ’ t d o t h a t . ” o r " I m p o s s i b l e ! " A b r i e f e x a m p l e f r o m T e r i ’ s c a s e i s i l l u s t r a t i v e . T e r i o f t e n u s e d w o r d s t h a t e v a l u a t e d t h e s i t u a t i o n . F o r e x a m p l e , s h e s a i d ” I c k y ” w h e n I a s k e d h e r t o d o " F i v e t a k e a w a y n i n e " d u r i n g t h e t h i r d i n t e r v i e w . W h e n I a s k e d w h y s h e t h o u g h t i t " i c k y , ” s h e s a i d , " Y o u c a n ' t d o t h a t . ” W h e n I a s k e d w h y n o t , s h e s a i d i t " e q u a l s z e r o . " W h e n I a s k e d w h y i t w a s z e r o , T e r i a r g u e d s i m i l a r l y a s s h e h a d i n t h e O p e r a t i o n s t a s k s : " Y o u [ c a n ] t a k e f i v e a w a y f r o m n i n e b u t y o u c a n ' t t a k e n i n e a w a y f r o m f i v e . N i n e t a k e a w a y [ p a u s e ] , f i v e d i d n ' t h a v e n i n e " ( T , 1 3 , p . 1 3 ) . G i v e n T e r i ’ s c h a n g i n g , b u t e q u a l l y n o n - i n f o r m a t i v e , r e s p o n s e s t o e a c h o f m y q u e s t i o n s , i t s e e m s l i k e l y t h a t s h e d i d n o t f e e l h e r u n d e r s t a n d i n g w a s s o l i d - - a n d c o n s e q u e n t l y m y q u e s t i o n s p u s h e d h e r t o a l t e r n a t e p o s s i b i l i t i e s i n t h e h o p e o f g e t t i n g i t r i g h t o r a t l e a s t s t a v i n g m e o f f . W h e r e B e r t t o o k s u c h o p p o r t u n i t i e s t o f u r t h e r p o n d e r n e g a t i v e i n t e g e r s , T e r i d e s c r i b e d t h e s i t u a t i o n a s ” i c k y ” a n d p r o v i d e d a l t e r n a t i v e r e s p o n s e s t h a t w e r e e v a l u a t i v e , n o t e x p l o r a t o r y . T h i s c o n t r a s t s w i t h t h e f i r s t i n t e r v i e w i n w h i c h T e r i u s e d t h e n u m b e r c h a r t t o s o l v e 2 8 - 4 6 , g e t t i n g a n e g a t i v e a n s w e r . I n n e i t h e r 2 2 9 i n s t a n c e d i d s h e d r a w o n h e r e x p e r i e n c e s w i t h a t h e r m o m e t e r f o r s o l v i n g p r o b l e m s i n v o l v i n g n e g a t i v e i n t e g e r s . S u m m a r y T h e c h i l d r e n o f t h i s s t u d y u s e d l a n g u a g e i n a v a r i e t y o f w a y s a s t h e y w o r k e d t o w a r d a s o l u t i o n t o i n t e r v i e w t a s k s . N o t i c e t h a t t h e f i r s t s e c t i o n , o n u s e o f l a n g u a g e t o e s t a b l i s h a r e l a t i o n s h i p w i t h t h e p r o b l e m , w a s t h e m o s t c o m p l e x a n d d i v e r s e . G i v e n t h e n e c e s s i t y o f t h i s f u n c t i o n f o r p r o d u c t i v e w o r k , i t i s n o t s u r p r i s i n g . A t t h e s a m e t i m e , i t s e e m s a r a t h e r u n d e r v a l u e d a s p e c t o f d o i n g m a t h e m a t i c s . O f t e n , e v e n i n r e f o r m - o r i e n t e d c l a s s r o o m s , p r o b l e m s a r e i n t r o d u c e d w i t h m e r e l y a n i n q u i r y a b o u t s t u d e n t s ’ u n d e r s t a n d i n g o f w h a t a t a s k i s a s k i n g . S u c h u n d e r s t a n d i n g i s e s s e n t i a l . H o w e v e r , t h e e f f o r t t h e s e c h i l d r e n p u t i n t o r e l a t i n g t o e a c h p r o b l e m s u g g e s t s t e a c h e r s m a y b e w i s e t o a l l o w m o r e t i m e a n d e x p l i c i t a t t e n t i o n t o i t . A t t h e s a m e t i m e , t h e s e c h i l d r e n — w i t h t w o y e a r s o f r e f o r m - o r i e n t e d m a t h e m a t i c s u n d e r t h e i r b e l t s u r a r e l y u s e d l a n g u a g e t o a v o i d e x p l a i n i n g t h e i r w o r k . W h i l e t h e y h a d s o m e n e g a t i v e f e e l i n g s , t h e y s e l d o m a l l o w e d t h e s e t o k e e p t h e m f r o m e n g a g i n g . L a n g u a g e U s e d t o E x p l a i n S o f a r , I h a v e d e s c r i b e d t h e c h i l d r e n ’ s u s e o f n o n - e x p l a n a t o r y l a n g u a g e i n d o i n g m a t h e m a t i c s . O f c o u r s e , a n e s s e n t i a l p a r t o f m a t h e m a t i c a l c o m m u n i c a t i o n i s e x p l a n a t i o n . I p r e s e n t t w o t y p e s o f c h i l d r e n ’ s e x p l a n a t o r y l a n g u a g e : t h a t u s e d a b o u t s y m b o l s t h a t f o r m p a r t o f r e p r e s e n t a t i o n s a n d t h a t u s e d i n r e s p o n s e t o q u e s t i o n s . 2 3 0 E x p l a n a t o r y L a n g u a g e a b o u t S y m b g l s T h e p i c t u r e s t h e c h i l d r e n d r e w t o s o l v e p r o b l e m s v a r i e d i n m o d e l i n g r e a l i t y ( o f w h i c h , m o r e i n t h e n e x t c h a p t e r ) . C o n s e q u e n t l y , n o t a l l e l e m e n t s o f r e p r e s e n t a t i o n s h a d o b v i o u s r e f e r e n t s . W h e n r e p r e s e n t i n g t h e e l e m e n t s o f a c o n t e x t u a l s t o r y - - w h e t h e r a s m o d e l s o f r e a l i t y o r a s g e n e r i c r e p r e s e n t a t i o n s , t h e c h i l d r e n s o m e t i m e s i d e n t i f i e d t h e o b j e c t s t h e y w e r e d r a w i n g . F o r e x a m p l e , a f t e r p r o j e c t i n g w h a t I w o u l d a s k h e r t o d o i n t h e C a n d y B a r p r o b l e m , D a n i e l l e s a t f o r w a r d a n d , a s s h e b e g a n t o d r a w , s a i d , " M a k e a b i g b o x f i r s t . ” P o s s i b l y a s m u c h t o h e r s e l f a s t o m e , s h e i d e n t i f i e d w h a t s h e w o u l d d r a w . T h r o u g h o u t t h e c r e a t i o n o f h e r r e p r e s e n t a t i o n , s h e m a i n t a i n e d a c o m m e n t a r y o n w h a t s h e w a s d r a w i n g , f r o m i d e n t i f y i n g t h e t o r s o s t o i d e n t i f y i n g t h e a b b r e v i a t i o n s s h e u s e d f o r l a b e l i n g e a c h b a r . B e y o n d s u c h n a r r a t i v e s , t h e c h i l d r e n a t t i m e s t o l d m e w h a t m e a n i n g t h e y i n t e n d e d f o r c e r t a i n e l e m e n t s o f t h e i r p i c t u r e s . F o r e x a m p l e , d u r i n g t h e A g e c o n v e r s a t i o n B e r t d r e w t a l l i e s t o , a s h e s a i d , " c h e c k ” t h e d i s c r e p a n c y I p o s i t e d b e t w e e n h i s s t a t e d a g e a n d w h a t I p r o v i d e d a s B e n n i e ’ s . A s B e r t d r e w t h e t a l l i e s , h e s a i d , " h e r e ' s o n e m o n t h , t w o m o n t h s . . . ” A s n o t e d a b o v e , t h i s e n u m e r a t i o n s e e m s a f o r m o f m o n i t o r i n g t h e a c c u r a c y o f t h e r e p r e s e n t a t i o n . A f t e r d r a w i n g t h e t a l l i e s , B e r t t o l d m e t o , ” p r e t e n d e a c h l i n e i s o n e m o n t h , r i g h t ? ” T h i s s h o w s B e r t t a l k i n g t o h i m s e l f a n d t h e n t o m e ; i t j u x t a p o s e s a n e x a m p l e o f e n u m e r a t i o n w i t h o n e o f s y m b o l e x p l i c a t i o n . H i s i n i t i a l k e e p i n g t r a c k s e e m e d t o b e f o r h i m s e l f , a l m o s t a s i f h e d i d n o t r e a l i z e h e w a s s p e a k i n g a l o u d . 9 ° H i s s u b s e q u e n t u s e o f " p r e t e n d " c a l l s t o m i n d t h e r e q u e s t o f r e a d e r s o f n o v e l s t o " s u s p e n d d i s b e l i e f . ” T o u n d e r s t a n d h i s a r g u m e n t , I n e e d e d t o e n t e r h i s " s t o r y . ” 9 ( ’ I t m a y b e t h a t i n a c l a s s r o o m w h e r e m a n y c h i l d r e n a r e c o n v e r s i n g w i t h t h e i r p e e r s a s t h e y d o m a t h e m a t i c s , s o m e c h i l d r e n m a i n t a i n c o n c e n t r a t i o n b y t a l k i n g a l o u d a s t h e y c r e a t e r e p r e s e n t a t i o n s . 2 3 1 T h e d e s c r i p t i o n j u s t a t t r i b u t e d t o B e r t i s b o t h s i m i l a r t o a n d d i f f e r e n t f r o m h i s w o r k o n t h e C a n d y B a r p r o b l e m . R e c a l l t h a t i n t h a t i n s t a n c e h e d e c i d e d t o a b a n d o n h i s f i r s t r e p r e s e n t a t i o n b e c a u s e i t w a s t o o m e s s y ( s e e F i g u r e 2 ) . A s h e d i d s o , h e r e m a r k e d o n h a v i n g t o d r a w p i c t u r e s m u l t i p l e t i m e s t o g e t t h e s i z e r i g h t . I n t h i s c a s e t h o u g h , h e d i d n o t a s k m e t o p r e t e n d t h e c i r c l e s o f h i s s e c o n d r e p r e s e n t a t i o n w e r e c a n d y b a r s . H e a p p a r e n t l y a s s u m e d t h a t t h e c o r r e s p o n d e n c e w o u l d b e n a t u r a l o r o b v i o u s . T h u s , h e e x p l a i n e d b o t h t h a t h e w a s a n d w h y h e w a s c r e a t i n g a n e w r e p r e s e n t a t i o n b u t h e d i d n o t i d e n t i f y t h e e l e m e n t s o f h i s r e p r e s e n t a t i o n . A t h i r d w a y B e r t e x p l a i n e d s y m b o l s a r o s e a s h e c r e a t e d a r e p r e s e n t a t i o n t o e x a m i n e a p o r t i o n o f t h e B a s e b a l l C a r d p r o b l e m . A t t h e s t a r t o f t h e t h i r d i n t e r v i e w , B e r t a n d I d i s c u s s e d a p r o b l e m t h e y h a d b e e n w o r k i n g o n i n c l a s s j u s t p r i o r t o t h e i n t e r v i e w : 9 1 L a k e i s h a a n d R u s s c o l l e c t b a s e b a l l c a r d s i n s e t s o f 1 6 . T h e y e a c h h a v e o n e s e t . L a k e i s h a d i v i d e d h e r s e t i n t o t w o e q u a l p a r t s a n d g a v e o n e p a r t t o C o r r i n a . R u s s s h a r e d h i s s e t e v e n l y w i t h 3 f r i e n d s . H o w m a n y d o e s L a k e i s h a h a v e l e f t ? H o w m a n y d o e s R u s s h a v e l e f t ? W h a t f r a c t i o n w o u l d y o u u s e t o d e s c r i b e t h e p a r t L a k e i s h a h a d l e f t ? W h a t f r a c t i o n w o u l d y o u u s e t o d e s c r i b e t h e p a r t R u s s h a d l e f t ? D u r i n g o u r d i s c u s s i o n , I q u e s t i o n e d w h e t h e r h e a g r e e d w i t h a n o t h e r s t u d e n t ’ s a r g u m e n t t h a t " a h a l f o f a h a l f i s a q u a r t e r . " A s h e s t a r t e d t o d r a w a p i c t u r e , B e r t r e s p o n d e d : " W e l l , h a l f o f e i g h t . . . o f e i g h t , t h a t ' s , I ' m j u s t t a l k i n g a b o u t t h a t h e s a i d , ’ E i g h t , ’ a n d h a l f o f t h a t i s f o u r " ( B , 1 3 , p . 3 ) . B e r t w a n t e d m e t o u n d e r s t a n d t h a t h e w a s i n t e n t i o n a l l y c i r c u m s c r i b i n g t h e p r o b l e m , t h a t h e k n e w , a n d I s h o u l d u n d e r s t a n d , t h a t t h i s w a s m e r e l y a p a r t o f t h e p r o b l e m t h a t h e w a s r e p r e s e n t i n g . 9 1 1 o f t e n v i d e o t a p e d m a t h e m a t i c s c l a s s e s o n d a y s I i n t e r v i e w e d . I n t h i s i n s t a n c e , B e r t a n d I l e f t t h e c l a s s r o o m s h o r t l y b e f o r e t h e e n d o f c l a s s f o r t h e i n t e r v i e w . 2 3 2 T h u s , B e r t i d e n t i f i e d h i s c h o i c e s o f s y m b o l s i n t h r e e w a y s : h e i d e n t i f i e d h o w I s h o u l d i n t e r p r e t a n o n - o b v i o u s r e p r e s e n t a t i o n ; h e d e m a r c a t e d h i s m o v e f r o m o n e r e p r e s e n t a t i o n t o a n o t h e r ; h e m a d e e x p l i c i t t h e c i r c u m s c r i p t i o n o f a p r o b l e m v i a a p a r t i a l r e p r e s e n t a t i o n . B e r t n e e d e d t o i d e n t i f y t h e s e t o m e f o r d i f f e r e n t r e a s o n s . I n t h e f i r s t c a s e , b e c a u s e I n e e d e d t o u n d e r s t a n d t h a t t h e t a l l i e s r e p r e s e n t e d m o n t h s s i n c e t h e r e w a s n o o b v i o u s c o n n e c t i o n b e t w e e n t h e m . I n t h e s e c o n d , h e e x p l a i n e d h i s s u d d e n s h i f t o f e m p h a s i s . F i n a l l y , t h e t h i r d r e p r e s e n t a t i o n m a y h a v e b e e n n o n - o b v i o u s b e c a u s e h e w a s c o n s i d e r i n g — a n d c o n s e q u e n t l y , r e - c r e a t i n g - - o n l y p a r t o f t h e p r o b l e m . A n o t h e r t y p e o f e x p l a n a t i o n o f p i c t o r i a l s y m b o l s o c c u r r e d w h e n D a n i e l l e s h o w e d t h a t , " t w o q u a r t e r s i s t h e s a m e a s a h a l f " ( F i g u r e 2 2 A ) . A s s h e d r e w s h e f i r s t e x p l a i n e d t h e s y m b o l s i n t h e p i c t u r e a n d t h e n t h e m a t h e m a t i c s . S h e d r e w t w o " c i r c l e s " s a y i n g , " T h e r e ' s a c i r c l e a n d y o u c u t i t u p i n t o f o u r . A n d t h e r e ' s a n o t h e r . T h e s e a r e c i r c l e s . " T h e t h i r d s e n t e n c e r e f l e c t s h e r r e c o g n i t i o n t h a t t h e p i c t u r e s s h e d r e w w e r e n o t n e a r l y c i r c u l a r ; s h e w a s l e t t i n g m e k n o w t h a t w e w e r e t o " p r e t e n d " t h e y w e r e c i r c l e s . T h i s a l l o w e d h e r t o d i v i d e t h e m b y d r a w i n g a c r o s s t h a t i d e a l l y w o u l d c r e a t e f o u r e q u a l p o r t i o n s . A s I a g r e e d t o p r e t e n d , s h e g r o u n d e d t h e p r e t e n d i n g i n r e a l l i f e a n d c l a s s r o o m p r a c t i c e s a y i n g , " l i k e c o o k i e s . " S h e t h e n g a v e h e r m a t h e m a t i c a l e x p l a n a t i o n . D a n i e l l e r e c o g n i z e d t h a t t h e o b j e c t s s h e d r e w w e r e n o t n e a r l y c i r c u l a r b u t t h a t t h e y n e e d e d t o b e t o w a r r a n t h e r p o i n t . T h u s , s h e a s k e d m e t o p r e t e n d w h a t s h e d r e w w e r e i d e a l c i r c l e s . T h i s i s a d i f f e r e n t s o r t o f " p r e t e n d " t h a n B e r t ’ s r e q u e s t t h a t I p r e t e n d t h e t a l l i e s w e r e m o n t h s ; h e a s k e d m e t o p r e t e n d t h a t t h e y w e r e d i f f e r e n t o b j e c t s , D a n i e l l e a s k e d m e t o p r e t e n d t h a t h e r s y m b o l s w e r e i d e a l o b j e c t s . A n o t h e r p o i n t o f i n t e r e s t i s t h a t D a n i e l l e u s e d c i r c l e s f o r t h i s p o r t i o n o f h e r a r g u m e n t . S h e h a d b e e n u s i n g r e c t a n g l e s t o r e p r e s e n t t h e c a n d y b a r s a n d 2 3 3 h a d q u a r t e r e d r e c t a n g l e s f o r t h e 2 9 t h a n d 3 0 t h b a r s . M o r e o v e r , s h e f i r s t a t t e m p t e d t o s h o w t h e e q u i v a l e n c e o n t h e c h a l k b o a r d r a t h e r t h a n o n p a p e r . T h i s s u g g e s t s a p e r c e p t i o n t h a t t h i s w a s a n a r g u m e n t o f a d i f f e r e n t l e v e l o r c a t e g o r y . O n t h e o n e h a n d , s h e m a y h a v e v i e w e d i t a s a m o r e g e n e r a l a r g u m e n t , a n a r g u m e n t a b o u t t h e n a t u r e o f f r a c t i o n s i n g e n e r a l ( i t i s a l w a y s t r u e t h a t t w o q u a r t e r s i s e q u a l t o a h a l f ) . U n l i k e t h e a c t u a l d i s t r i b u t i o n o f b a r s , t h i s w a s a b o u t t h e n a t u r e o f t h e r e l a t i o n s h i p o f f r a c t i o n s . A l t e r n a t i v e l y , s h e m a y h a v e v i e w e d i t a s a n a r g u m e n t a b o u t s o m e t h i n g s h e h a d a s s u m e d b e c a u s e i t h a d a l r e a d y b e e n e s t a b l i s h e d i n h e r c l a s s r o o m . A s s u c h , t e c h n i c a l l y i t w a s n o t p a r t o f h e r s o l u t i o n t o t h e p r o b l e m . E x p l a n e t e r y L a n g p a g e i n R e s p o n s e t 9 Q p e s t j p m ’ n g S i n c e t h e c h i l d r e n o f t e n d i d n o t d e s c r i b e t h e i r r e a s o n i n g a s t h e y w o r k e d , I a s k e d q u e s t i o n s a f t e r t h e f a c t . I a s k e d q u e s t i o n s b o t h w h e n I t h o u g h t I u n d e r s t o o d a n d w h e n I d i d n o t . T h i s s e c t i o n f o c u s e s o n t h e c h i l d r e n ’ s r e s p o n s e s t o q u e s t i o n s a b o u t t h e i r s o l u t i o n s . I h o p e d f o r e x p l a n a t i o n o f r e a s o n i n g b u t o f t e n r e c e i v e d n a r r a t i o n o f s t e p s . 9 2 T h i s s e c t i o n b r i e fl y d e s c r i b e s B e r t , T e r i , a n d D a n i e l l e ’ s u s e o f l a n g u a g e i n t h i s c o n t e x t a n d e x a m i n e s N i c o l e ’ s i n m o r e d e p t h . O f t e n , i n h e r a t t e m p t s t o a r t i c u l a t e h e r r e a s o n i n g , s h e d e v i s e d a n a l o g i e s . I a n a l y z e t w o o f t h e s e a n a l o g i e s . P i m m ( 1 9 8 7 ) d e s c r i b e d b o t h a n a l o g y a n d m e t a p h o r ( B e r t ’ s u s e o f t h e l a t t e r i s p r e s e n t e d i n a s u b s e q u e n t s e c t i o n ) a s " p o w e r f u l l i n g u i s t i c t e c h n i q u e s f o r c r e a t i n g n e w m e a n i n g s " ( p . 9 3 ) . I n d i v i d u a l s u s e t h e m t o u n d e r s t a n d b y p r e s e n t i n g t h e l e s s f a m i l i a r i n t e r m s o f t h e m o r e f a m i l i a r . 9 2 O f c o u r s e , f o r t h e c h i l d r e n t h e s e m a y h a v e b e e n o n e a n d t h e s a m e . 2 3 4 O n e k i n d o f s t i m u l u s I e m p l o y e d t o e l i c i t e x p l a n a t i o n s w a s q u e s t i o n i n g . A s e c o n d g r e w f r o m a l t e r n a t e s o l u t i o n s : h y p o t h e t i c a l s o l u t i o n s I p r e s e n t e d a s p r o d u c e d b y o t h e r c h i l d r e n , s o l u t i o n s I r e c a l l e d f r o m t h e i r o w n c l a s s , a n d s o l u t i o n s f r o m t h e i r c l a s s t h a t t h e c h i l d r e n t h e m s e l v e s s p o n t a n e o u s l y i n t r o d u c e d . A t m y r e q u e s t T e r i n a r r a t e d h e r s o l u t i o n t o t h e p r o b l e m t h a t s h e p r o j e c t e d I w o u l d a s k f o r t h e C a n d y B a r p r o b l e m ( f o u r b o x e s o f 3 0 c a n d y b a r s ) . T h e s o l u t i o n T e r i d e s c r i b e d w a s a m i x o f a b s t r a c t c o m p u t a t i o n a l a c t i o n s . S h e s e e m s t o h a v e n e a r l y r e p l i c a t e d h e r o r i g i n a l , u n v o c a l i z e d m e t h o d . T h a t i s , w i t h t h e e x c e p t i o n o f r e c o r d i n g t h e n u m b e r o f b o x e s o f b a r s o n h e r l e f t h a n d , h e r o r a l s o l u t i o n s e e m s a r e - p r e s e n t a t i o n o f h e r m e n t a l o n e ( P i m m , 1 9 9 5 ) . T h i s s o l u t i o n m a d e l i t t l e r e f e r e n c e t o c o n t e x t e x c e p t i n a f f i r m i n g t h e e l e m e n t s o f t h e s t o r y a n d s t a t i n g t h e r e s u l t s . I n r e s p o n s e t o m y q u e s t i o n , T e r i r e p l i c a t e d w h a t s h e h a d d o n e a l m o s t e x a c t l y . I q u e s t i o n e d B e r t a b o u t h o w h e h a d d e c i d e d t o d i s t r i b u t e b a r s i n g r o u p s o f f o u r , w h y h e " p u t f o u r b a r s i n e a c h o n e " o f t h e s i t e s . H e s a i d t h a t h e d i d n o t w a n t t o p u t " t o o m a n y a n d g o o v e r t h e a m o u n t t h e y h a v e . ” H e r e s p o n d e d t o m y r e q u e s t f o r h i s r e a s o n i n g w i t h a n e x p l a n a t i o n o f t h a t r e a s o n i n g . A p p a r e n t l y a s a d e m o n s t r a t i o n o f h i s s t r a t e g y , B e r t c o u n t e d a l l t h e b a r s h e h a d d i s t r i b u t e d . W h i l e T e r i d e s c r i b e d w h a t s h e h a d d o n e , B e r t a p p e a r e d t o u s e h i s e x p l a n a t i o n t o v e r i f y h i s a n s w e r f o r m e . H e w a s d e m o n s t r a t i n g t h e c o r r e c t n e s s o f h i s a n s w e r u s i n g h i s r e p r e s e n t a t i o n i n a w a y d i f f e r e n t t h a n h i s i n i t i a l m e t h o d . W h e n I o f f e r e d T e r i w h a t I d e s c r i b e d a s a n o t h e r c h i l d ' s s o l u t i o n t o t h e C a n d y B a r p r o b l e m ( s e e F i g u r e 1 5 ) , s h e w i l l i n g l y s o u g h t a n d ' f o u n d a n e x p l a n a t i o n o f t h e " o t h e r ’ s " s o l u t i o n . S h e s t u d i e d t h e h y p o t h e t i c a l s o l u t i o n b r i e fl y a n d t h e n d e m o n s t r a t e d h o w t h e c o l u m n s o f n u m b e r s i n t h e 2 3 5 r e p r e s e n t a t i o n c o u l d ” b e " t h e b a r s e a c h c h i l d g o t — ” e a c h r o w [ c o l u m n ] h a s s e v e n i n i t " - a n d t h e n t h e 2 9 t h a n d 3 0 t h b a r s w o u l d b e d i v i d e d i n h a l f . T h u s , s h e e n v i s i o n e d a n d e x p l a i n e d h o w a d i f f e r e n t r e p r e s e n t a t i o n c o u l d g i v e t h e s a m e a n s w e r a s s h e h a d g o t t e n . B e r t r e a c t e d s i m i l a r l y t o t h e h y p o t h e t i c a l s o l u t i o n s I p o s e d ; h e f o u n d w a y s t o e x p l a i n a n a l t e r n a t e s o l u t i o n t o a p a r t i c u l a r p r o b l e m . U n l i k e T e r i w h o u s e d t h e " o t h e r ’ s " r e p r e s e n t a t i o n , B e r t c o n f i r m e d t h e a n s w e r w i t h h i s o w n p i c t o r i a l r e p r e s e n t a t i o n ( s e e F i g u r e 7 ) . H e a l s o s e e m e d i n t r i g u e d w i t h a n d s o p u r s u e d t h e s e e m i n g c o n t r a d i c t i o n i n h i s a n d B e n n i e ’ s a g e . A g a i n , u s i n g h i s o w n r e p r e s e n t a t i o n , h e d e v e l o p e d a n e x p l a n a t i o n f o r t h e a p p a r e n t d i s c r e p a n c y . L i k e w i s e , a t t i m e s I i n t r o d u c e d s o l u t i o n s f r o m t h e c h i l d r e n ' s c l a s s r o o m e x p e r i e n c e s . F o r e x a m p l e , a t t h e s t a r t o f t h e t h i r d i n t e r v i e w , w h e n B e r t a n d I d i s c u s s e d t h e B a s e b a l l C a r d p r o b l e m , h e w o r k e d h a r d t o u n d e r s t a n d M a r k ’ s s o l u t i o n . I n c l a s s , B e r t h a d a r g u e d t h a t 1 3 6 ' w a s t h e a n s w e r w h e r e a s M a r k h a d I a r g u e d E w a s . I n t h i s i n s t a n c e , B e r t s e e m e d u n a b l e t o b u i l d a n u n d e r s t a n d i n g o f t h e o t h e r ’ s s o l u t i o n . T h e c h i l d r e n a l s o s p o n t a n e o u s l y i n t r o d u c e d c l a s s r o o m p r o b l e m s . F o r e x a m p l e , D a n i e l l e s p o n t a n e o u s l y i n t r o d u c e d t h e " c o r n b r e a d " p r o b l e m ( s e e a b o v e ) i n h e r a t t e m p t t o s h o w w h y f r a c t i o n s a r e " s c a r y . " I n o w t u r n t o a n e x t e n d e d l o o k a t N i c o l e i n r e l a t i o n t o h e r l a n g u a g e a b o u t s o l u t i o n s . W h i l e s h e w a s f o r t h c o m i n g i n n a r r a t i n g t h e s t e p s s h e t o o k , s h e s t r u g g l e d a r t i c u l a t i n g h e r r e a s o n i n g a n d d e c i s i o n - m a k i n g p r o c e s s e s . N i c o l e ’ s e x t e n s i v e u s e o f a n a l o g i e s w a s u n i q u e . S h e u s e d a n a l o g i e s t o e x p l a i n h e r r e a s o n i n g . I n t h e A g e c o n v e r s a t i o n , s h e r e f e r r e d t o h e r c o u s i n a s s h e s t r u g g l e d t o a r t i c u l a t e h e r o w n t e n t a t i v e u n d e r s t a n d i n g o f a g e b e f o r e o n e ' s f i r s t b i r t h d a y . 2 3 6 N i c o l e h a d a s e c o n d u s e f o r a n a l o g i e s . W h i l e B e r t u s e d m e t a p h o r s t o d e s c r i b e t h e c o n c e p t s h e s t r u g g l e d t o u n d e r s t a n d ( s e e b e l o w ) , N i c o l e u s e d a n a l o g i e s t o e x p l a i n c o n c e p t s t h a t s h e p e r c e i v e d m e n o t t o u n d e r s t a n d . T h e s e c o n d a n a l o g y I d e s c r i b e i s a n e x a m p l e o f s u c h a n u s a g e . W h e r e t h e o t h e r t h r e e c h i l d r e n u s u a l l y r e a c t e d t o m y p r o b e s b y r e - c o n s i d e r i n g t h e i r w o r k , N i c o l e r a r e l y d i d s o . S h e s e e m e d c o m f o r t a b l e w i t h h e r t h i n k i n g a n d h e r w o r k . S h e u s e d a n a l o g i e s t o r e c t i f y w h a t s h e p e r c e i v e d a s m y c o n f u s i o n a b o u t h e r t h i n k i n g . S h e s e e m e d q u i t e c o n f i d e n t t h a t , s i n c e h e r a n s w e r s w e r e b a s e d o n h e r " t h i n k i n g h a r d ” a n d h a v i n g ” g o o d i d e a s , " s h e s h o u l d s t a n d b y h e r i d e a s — o n l y p r e s e n t i n g c l a r i fi c a t i o n w h e n I f a i l e d t o u n d e r s t a n d . i I I I I - I I a 1 N i c o l e e x h i b i t e d i n - p r o c e s s r e a s o n i n g t h r o u g h u s e o f a n a l o g y d u r i n g t h e A g e c o n v e r s a t i o n w h e n I a s k e d : " H o w o l d a r e y o u b e f o r e y o u ' r e o n e ? " T h i s c o n t e x t u a l q u e s t i o n h a d p o t e n t i a l t o i n t r o d u c e f r a c t i o n s , a t o p i c h e r c l a s s h a d r e c e n t l y b e g u n t o e x p l o r e f o r m a l l y . S h e r e s p o n d e d w i t h a n e x a m p l e : U m , m y a u n t , h e r b a b y , s h e j u s t h a d h e r b a b y , h e ' s s t i l l o n e m o n t h . I t h i n k h e ' s g o i n g t w o , t h e n t h r e e . W h e n h e g e t s t o a c e r t a i n n u m b e r , h e g o n n a b e , u m , l i k e h e ' l l b e a t o d d l e r , l i k e m y l i t t l e s i s t e r b e , t h e n h e ' l l g r o w u p . B u t , I d o n ’ t r e a l l y k n o w . ( N , 1 3 , p . 4 ) N i c o l e ’ s r e s p o n s e , w h i l e r e c a p i t u l a t i n g o n t o g e n y , d i d n o t q u a n t i f y a g e p r i o r t o o n e y e a r . R a t h e r t h a n r e s p o n d i n a m a t h e m a t i c a l ” s p e e c h g e n r e , " N i c o l e a t t e m p t e d t o u s e h e r a u n t ’ s ” s p e e c h g e n r e ” t o e x p l a i n h e r o w n u n d e r s t a n d i n g ( W e r t s c h , 1 9 9 1 , p . 1 3 8 ) . T h i s i s a c o n s i s t e n t a p p r o a c h o f N i c o l e ; s h e a t t e m p t e d r e a l w o r l d r e s p o n s e s t o r e a s o n a n d t o e x p l a i n h e r r e a s o n i n g a b o u t m a t h e m a t i c a l c o n t e x t s . 2 3 7 I t r i e d t o e l i c i t a r e s p o n s e a b o u t h i s s p e c i f i c a g e : " S o , y o u c o u l d s a y t h a t h e w a s o n e m o n t h o l d o r t h a t h e w a s a c o u p l e o f m o n t h s o l d ? ” N i c o l e s e e m e d t o a t t e m p t a m o r e m a t h e m a t i c a l r e s p o n s e b u t i t s t i l l w a s n o t q u a n t i t a t i v e : W e l l , I w o u l d s a y h e w a s o n e m o n t h o l d , b e c a u s e s h e j u s t h a d h i m a f e w m o n t h s a g o , a n d h i s b i r t h d a y d o n ' t c o m e , I d o n ’ t k n o w w h e n h i s b i r t h d a y c o m e , b u t . S o m e t i m e s t h e y h a v e t h e b a b y a n n i v e r s a r y , a n d t h a t ' s w h e n h e g o o u t a n d g o w i t h h i s m o m d i f f e r e n t p l a c e s . . . . L i k e , s h e ' d s a y , " H e t u r n e d , h e t u r n e d , u m , h e w o u l d t u r n t w o m o n t h s , i n t h i s y e a r . ” B u t s h e r e a l l y s a y i n g t h a t , h e g o n n a t u r n , h i s b i r t h d a y ’ s c o m i n g a n d h e ' s g o n n a t u r n h i s , u m , a g e . ( N , 1 3 , p . 4 ) T h i s l e d m e t o i n q u i r e a b o u t t h e n u m b e r o f b i r t h d a y s o n e h a s . I p o i n t e d o u t t h a t e v e n t h o u g h h e r c o u s i n w a s n o t o n e , h e h a d h a d a b i r t h d a y t h o u g h n o t t h e o n e u s u a l l y c a l l e d h i s f i r s t b i r t h d a y . N i c o l e a g r e e d : ” U m , I t h i n k , c a u s e h e [ d o e s n ’ t ] h a v e h i s b i r t h d a y y e t , s o I t h i n k t h a t i s h i s b i r t h d a y . B e c a u s e t h a t ' s w h a t y e a r h e w a s b o r n a n d t h a t ’ s t h e y e a r h i s b i r t h d a y . S o , y o u s h o u l d , p e o p l e s h o u l d s a y t h a t ’ s h i s b i r t h d a y ” ( N , 1 3 , p . 4 ) . W h e n I a s k e d h o w m a n y b i r t h d a y s s h e h a d h a d , N i c o l e r e s p o n d e d p r o v i d i n g t h e n u m b e r f o r b o t h h e r a n d h e r c o u s i n : " N i n e . A n d h e o n l y h a d o n e b i r t h d a y . ” W h e n I t h e n a s k e d h o w m a n y h e w o u l d h a v e h a d w h e n h e w a s n i n e , N i c o l e s a i d " n i n e " b u t c o n t i n u e d , e x p l a i n i n g w h y i t w o u l d b e t h e s a m e : ” T h a t ' s c o u n t i n g h o w m a n y y e a r s y o u h a v e . L i k e , y o u r b i r t h d a y , i f y o u j u s t t u r n e d n i n e , t h a t m e a n s h o w m a n y y e a r s y o u ' v e b e e n a l i v e . " T h u s , c l e a r l y s h e s a w t h a t a d i s t i n c t i o n w a s n e e d e d b e t w e e n n u m b e r o f b i r t h d a y s a n d y e a r s a l i v e . I p r o b e d d e e p e r a s k i n g a b o u t h e r c o u s i n , ” S o w h e n h e ' s o n e , o n h i s f i r s t b i r t h d a y , h o w m a n y b i r t h d a y s w i l l h e h a v e h a d ? ” T w o . I t h i n k e v e r y b o d y w i l l h a v e a e x t r a b i r t h d a y b e c a u s e t h a t ' s t h e d a y t h e y w a s b o r n . S o , I r e a l l y h a d t e n b i r t h d a y s , c a u s e t h a t ’ s w h e n I w a s b o r n . A n d , u m , t h a t ’ s h o w m a n y y e a r s I h a v e t o l i v e . T o o , t h a t ’ s h o w m a n y y e a r s , I b e e n b o r n , s o , I h a v e h a d t e n y e a r s . H e b e o n e a n d w h e n 2 3 8 h i s b i r t h d a y c o m e , h e ' l l h a v e t w o . ' C a u s e e v e r y b o d y , e v e r y b o d y h a v e a b i r t h d a y w h e n t h e y ' r e b o r n . ( N , 1 3 , p . 5 ) I n r e f e r e n c i n g h e r a u n t ’ s b a b y , N i c o l e t r i e d t o e x p l a i n h e r u n d e r s t a n d i n g o f a g e b e f o r e t h e f i r s t y e a r o f b i r t h t h r o u g h a n a n a l o g o u s s i t u a t i o n w i t h w h i c h s h e w a s f a m i l i a r . I n t h i s c a s e , I h a d n o t q u e s t i o n e d h e r w o r k o r a n s w e r b u t i n t r o d u c e d a n e w q u e s t i o n . ” 1 , 1 3 $ 1 . ? ! D u r i n g t h e C a n d y B a r p r o b l e m , N i c o l e m a d e a s e r i e s o f a n a l o g i e s o r a n a l o g y - l i k e m o v e s . R e c a l l t h a t s h e i n d i v i d u a l l y d i s t r i b u t e d s e v e n b a r s t o e a c h c h i l d a n d t h e n , w h e n I a s k e d a b o u t t h e 2 9 t h a n d 3 0 t h b a r s , s h e q u a r t e r e d e a c h . H e r r e - d r a w i n g o f t h e s e q u a r t e r s a n d h e r s u b s e q u e n t i n d i c a t i o n t h a t e a c h c h i l d n o w r e c e i v e d " n i n e , " l e d m e t o q u e s t i o n h e r a b o u t t h e d i f f e r e n c e b e t w e e n w h o l e b a r s a n d " p i e c e s . ” W h e n I d i d s o , N i c o l e r e t u r n e d t o t h e s t o r y c o n t e x t . S h e m o d i fi e d t h e s t o r y a r g u i n g t h a t , i f m y s i s t e r h a d fi v e c h i l d r e n , a n d t w o r e c e i v e d t h e e x t r a w h o l e b a r s , t h e r e w o u l d b e t h r e e w h o w e r e u p s e t . S h e s e e m e d t o i n t e n d t h i s t o h e l p m e s e e t h e u n f a i r n e s s o f s u c h a m e t h o d o f d i s t r i b u t i o n . S i n c e , t o h e r , I a p p a r e n t l y d i d n ’ t u n d e r s t a n d h e r o r i g i n a l a r g u m e n t , m a y b e I w o u l d u n d e r s t a n d a s i m i l a r o n e . T h i s i s a n i n t e r e s t i n g s t r a t e g y i n i t s e l f . I t s e e m s p a r a l l e l w i t h h e r e x p e r i e n c e o f t h e s e r i e s o f p r o b l e m s d e s c r i b i n g d i f f e r e n t n u m b e r s o f c h i l d r e n s h a r i n g a s i n g l e b r o w n i e ( s e e h e r p r o f i l e ) . T h a t i s , s h e c r e a t e d a t w o - p r o b l e m s e r i e s o f p e o p l e s h a r i n g t w o b a r s . I t s h o u l d a l s o b e n o t e d t h a t N i c o l e s p o n t a n e o u s l y r e t u r n e d t o t h e c o n t e x t a n d m o d i f i e d i t f o r h e r p u r p o s e s . N o n e o f t h e o t h e r s t o o k s u c h a n a p p r o a c h i n t h e i n t e r v i e w s . I n t h i s p r o c e s s N i c o l e m a d e a l o t o f a n a l o g i e s o r a n a l o g y - l i k e m o v e s . H e r c o m p a r i s o n o f t h e d i v i d e d r e c t a n g l e s w i t h a S n i c k e r s ( T w i x ) b a r i s o n e a n a l o g y - 2 3 9 s h e o f f e r e d a r e a l w o r l d e x a m p l e t o m a k e h e r p o i n t . H e r m o v e t o m y s i s t e r h a v i n g f i v e c h i l d r e n w a s n o t e x a c t l y a n a n a l o g y b u t h a d s o m e a s p e c t s o f o n e ; r a t h e r t h a n c r e a t e a n a n a l o g o u s s i t u a t i o n s h e m o d i f i e d t h e o r i g i n a l o n e t o c l a r i f y i t . I t h e n c r e a t e d a s i m i l a r " p s e u d o - a n a l o g y " ; 1 c h a n g e d t h e n u m b e r s a n d s i t u a t i o n b y h y p o t h e s i z i n g s h e a n d I s h a r e o n e b a r . I h a d i n t e n d e d t o i l l u m i n a t e d i f f e r e n c e s i n s i z e a m o n g a w h o l e , a h a l f , a n d a q u a r t e r . N i c o l e s e e m e d t o r e s p o n d a s i f i t w e r e i n s t e a d a b o u t t h e n a t u r e o f d i v i d i n g i n d i v i d u a l o b j e c t s . S h e f o l l o w e d m y ” a n a l o g y ” w i t h a n o t h e r o f h e r o w n . S h e d e s c r i b e d t h e a f o r e m e n t i o n e d i n - c l a s s s e r i e s o f p r o b l e m s t h a t w e r e c l u s t e r e d a r o u n d t h e s h a r i n g o f a s i n g l e b r o w n i e . I n t h i s , h e r f o c u s c o n t i n u e d t o b e o n t h e n e e d t o d i v i d e i n d i v i d u a l b a r s . N i c o l e u s e d a n a l o g i e s t o c l a r i f y h e r r e a s o n i n g f o r m e r a t h e r t h a n t o u n d e r s t a n d m i n e o r r e - e x a m i n e h e r o w n . T h e s e a n a l o g i e s d i d n o t h e l p N i c o l e d o m a t h e m a t i c s . T h e y w e r e g o o d i d e a s b u t , l e f t i n t h e r e a l w o r l d c o n t e x t , t h e y w e r e n o t m a t h e m a t i c a l t h i n k i n g n o r d i d t h e y h e l p h e r i n a w a y t h a t e n a b l e d h e r t o s o l v e p r o b l e m s . I n t h i n k i n g a b o u t h e r c o u s i n ’ s a g e , N i c o l e s e e m e d l o c k e d i n t h e v a g u e n e s s o f b e i n g ” a f e w m o n t h s o l d . ” S h e k n e w o f a n e v e n t c a l l e d t h e " b a b y a n n i v e r s a r y ” b u t n o t i t s s p e c i f i c r e l a t i o n t o a g e a s m a t h e m a t i c a l l y c o m p u t e d i n o u r c u l t u r e . I n t h e C a n d y B a r p r o b l e m a n a l o g i e s , t h e p r a c t i c a l d i f f i c u l t i e s o f d i v i s i o n o f f o o d p r e v e n t e d h e r f r o m c o n s i d e r i n g t h e d i v i s i o n o f o b j e c t s i n a m a t h e m a t i c a l ( i d e a l , t h e o r e t i c a l ) w a y . S e m i n a r y W h e n B e r t a n d T e r i c r e a t e d e x p l a n a t i o n s o f o t h e r ’ s s o l u t i o n s , t h e y d i d s o f o r t h e m s e l v e s ( t h o u g h B e r t ’ s a p p e a r e d t o b e m o t i v a t e d b y i n t r i n s i c i n t e r e s t , T e r i ’ s m o r e i n r e s p o n s e t o m y r e q u e s t ) . T h a t i s , t h e y t r i e d t o u n d e r s t a n d w h a t 2 4 0 t h e o t h e r m i g h t h a v e b e e n t h i n k i n g . I n c o n t r a s t , w h e n p r e s e n t e d w i t h p o t e n t i a l l y d i f f e r e n t a p p r o a c h e s i n t h e f o r m o f m y q u e s t i o n i n g , N i c o l e p r o v i d e d e x p l a n a t i o n s o f h e r s o l u t i o n s . T h a t i s , s h e t r i e d t o h e l p m e u n d e r s t a n d w h a t s h e w a s t h i n k i n g r a t h e r t h a n s h e t r y i n g t o u n d e r s t a n d m y t h i n k i n g . B o t h w o r k i n g t o u n d e r s t a n d o t h e r s ’ r e a s o n i n g a n d c o m m u n i c a t i n g o n e ’ s o w n a r e h a l l m a r k s o f t h e N C T M S t a n d a r d s . B e r t r e a d i l y d i d b o t h - s e e m i n g l y f r o m i n t r i n s i c m o t i v a t i o n . T e r i r e a d i l y e x p l o r e d o t h e r s ’ r e a s o n i n g b u t n o t h e r o w n . H e r s t a t e d l a c k o f c o n f i d e n c e i n h e r m a t h e m a t i c a l a b i l i t y m a y h a v e d i s s u a d e d h e r f r o m s u c h e x p l o r a t i o n s . I t m a y a l s o b e t h a t s h e d i d n o t r e c o g n i z e r e a s o n i n g b e h i n d h e r i n t u i t i v e l e a p s . C o n f i d e n c e w a s a l m o s t i r r e l e v a n t f o r N i c o l e . S h e s a w " t h i n k i n g h a r d ” a s v a l u e d . T h u s , h e r r e a s o n i n g w a s i n t r i n s i c a l l y w o r t h y a n d s h e n e e d n o t q u e s t i o n i t . I h a d f e w e r o c c a s i o n s t o p r e s e n t o t h e r s ’ t h i n k i n g t o D a n i e l l e . T h e o n e t i m e t h i s d i d h a p p e n , i n t h e J o s h u a a n d J a c o b s t o r y ( s e e A p p e n d i x C ) , s h e s e e m e d t o u n d e r s t a n d J a c o b ’ s r e a s o n i n g . S h e a s s e r t e d f o r c e f u l l y t h a t h e w a s w r o n g , a p p e a l i n g t o c o r r u n o n u s a g e a s h e r w a r r a n t . S u m m a r y o f F u n c t i o n s o f L a n g u a g e — S o l v i n g P r o b l e m s R e g a r d l e s s o f t h e s p e c i f i c c h o i c e o f w o r d s , d e t a i l , a n d i n t e n t , a l l o f t h e c h i l d r e n d i d t h e f o l l o w i n g r e p e a t e d l y : ( a ) e l i c i t e d i n f o r m a t i o n b y a s k i n g q u e s t i o n s a b o u t t h e d e t a i l s o f t h e p r o b l e m a n d b y r e s t a t i n g t h e e l e m e n t s o f t h e p r o b l e m t o v e r i f y t h e y u n d e r s t o o d t h e m p r o p e r l y ; ( b ) p e r f o r m e d r o u t i n e I I I I c o u n t i n g a n d o p e r a t i o n s b y u s i n g n u m b e r s , ” p l u s , m i n u s , ” ” t a k e a w a y , " a n d s o f o r t h ; a n d ( c ) n a r r a t e d t h e s t e p s t h e y t o o k t o s o l v e a p r o b l e m b y d e s c r i b i n g t h e p h y s i c a l a c t i o n s t h e y t o o k i n a c h i e v i n g t h e i r s o l u t i o n . I n o t h e r w o r d s a l l t h e c h i l d r e n u s e d l a n g u a g e t y p i c a l f o r t h e p u r p o s e o f d o i n g e l e m e n t a r y 2 4 1 m a t h e m a t i c s . B e y o n d t h i s , N i c o l e m a d e u s e o f a n a l o g i e s t o s u p p o r t a n d e x p l a i n h e r r e a s o n i n g . F U N C T I O N S O F L A N G U A G E - - B E Y O N D S P E C I F I C P R O B L E M S I n a d d i t i o n t o w o r k i n g o n s p e c i f i c p r o b l e m s , t h e c h i l d r e n a t t i m e s e n g a g e d i n m o r e g e n e r a l m a t h e m a t i c a l p u r s u i t s . T h i s o c c u r r e d w h e n t h e y e n g a g e d w i t h m a t h e m a t i c a l c o n c e p t s o r o b j e c t s t h a t t h e y d i d n o t f u l l y u n d e r s t a n d . T h e s e i n c l u d e d T e r i ’ s p u z z l i n g a b o u t f i n d i n g t w o a n s w e r s t o ” o n e p r o b l e m ” ( 4 6 - 2 8 a n d 2 8 - 4 6 ) , N i c o l e ’ s p u z z l i n g o v e r z e r o a n d ” b o r r o w i n g , ” a n d B e r t ’ s f a s c i n a t i o n w i t h w h e t h e r z e r o i s p o s i t i v e o r n e g a t i v e . I i n c l u d e t h e i r u s e o f l a n g u a g e f o r a r t i c u l a t i n g t h i n k i n g a b o u t t h e p r o c e s s o f d o i n g m a t h e m a t i c s - a l s o a f o r m o f g e n e r a l i z a t i o n . B e r t t r i e d t o e x p l a i n w h y h e s a w m a t h e m a t i c s a s " p o w e r f u l . " D a n i e l l e s t r u g g l e d t o d i s t i n g u i s h a n d e x p l a i n h e r p e r c e p t i o n o f d o i n g m a t h e m a t i c s a s ” t r i c k y ” a n d ” h a r d . ” N i c o l e t r e a t e d " k n o w i n g " a n d ” c o n f u s i o n ” a s a n t o n y m s . W h e r e T e r i s e e m e d t o h a v e a v i e w o f m a t h e m a t i c s a s e i t h e r k n o w n o r n o t - " o n o r o f f , ” N i c o l e s e e m e d t o h a v e a m u c h " f u z z i e r " v i e w o f t h e d i s c i p l i n e . 1 t u r n f i r s t t o t h e c h i l d r e n ’ s e x p l o r a t i o n o f m a t h e m a t i c a l c o n c e p t s a n d o b j e c t s . E x p l o r i n g M a t h e m a t i c a l C o n c e p t s a n d O b j e c t s I n t h i s s e c t i o n I d e s c r i b e h o w t h e c h i l d r e n r e a c t e d t o m a t h e m a t i c a l c o n c e p t s o r o b j e c t s t h e y f e l t t h e y d i d n o t f u l l y u n d e r s t a n d . 1 h a v e c o n j o i n e d m a t h e m a t i c a l c o n c e p t s a n d o b j e c t s f o r a n a l y s i s b e c a u s e t h e c h i l d r e n t h e m s e l v e s s e e m e d t o m a k e l i t t l e d i s t i n c t i o n b e t w e e n t h e m . F o r e x a m p l e , w h e n d e s c r i b i n g t h e s t a t e o f h e r u n d e r s t a n d i n g , D a n i e l l e s e e m e d t o m a k e n o c a t e g o r y d i s t i n c t i o n b e t w e e n " m u l t i p l i c a t i o n ” a n d ” n e g a t i v e n u m b e r s . ” 2 4 2 T e r i T e r i ’ s e x a m p l e i s d r a w n f r o m h e r p u z z l e m e n t o v e r t h e t w i n p r o b l e m s , 4 6 - 2 8 a n d 2 8 - 4 6 , a l o n g w i t h t h e i r t w o s o l u t i o n s , 1 8 a n d - 1 8 . R e c a l l t h a t s h e r a i s e d t h i s , t o h e r , p a r a d o x i n a n a t t e m p t t o d e s c r i b e w h y s h e d i d n ’ t l i k e m a t h e m a t i c s ” t h a t m u c h . " S h e d e s c r i b e d a p o r t i o n o f h e r c o n f u s i o n , s a y i n g , ” I d o n ’ t g e t t h e n e g a t i v e t h i n g . " U s i n g a n u m b e r c h a r t , T e r i w o r k e d o u t t h e t w o s o l u t i o n s . S h e t h e n e x p l a i n e d t h a t s h e w a s p u z z l e d a b o u t w h i c h a n s w e r t o b e l i e v e . T e r i s e e m e d t o w a n t t o e x p l a i n t h e m a t h e m a t i c a l r o l e o f n e g a t i v e n u m b e r s . S h e i d e n t i f i e d t h e s o u r c e o f t h e c o n c e p t w i t h w h i c h s h e w a s s t r u g g l i n g - - t h e t w i n p r o b l e m s — b u t w a s u n a b l e t o o f f e r e v e n t e n t a t i v e t h o u g h t s a b o u t h o w t h e p a r a d o x m i g h t b e r e s o l v e d . A f t e r e x p l a i n i n g t h e s t i m u l u s o f h e r c o n f u s i o n , s h e w a s l e f t w i t h , ” I d o n ’ t k n o w w h i c h t o b e l i e v e . ” T e r i s e e m e d c o n f u s e d b y t h e c o m b i n a t i o n o f t w o i d e a s : ( a ) i n a d d i t i o n w e m a y d i s r e g a r d o r d e r o f a d d e n d s ( i t i s c o m m u t a t i v e ) b u t t h i s d o e s n ’ t s e e m t o w o r k i n s u b t r a c t i o n , a n d ( b ) t h e c o n c e p t o f n e g a t i v e i n t e g e r s . T h e l a t t e r i d e a a r i s e s a g a i n i n t h e O p e r a t i o n s t a s k s w h e n T e r i s a i d s h e d i d n o t k n o w h o w t o ” d o t a k e a w a y s . " N i c o l e I n t h e f i r s t i n t e r v i e w I a s k e d N i c o l e w h a t s h e k n e w a b o u t z e r o . T h e t o n e o f h e r r e s p o n s e i m p l i e d c o n f i d e n c e i n h e r u n d e r s t a n d i n g e v e n i f s h e s t u m b l e d a b i t i n h e r l a n g u a g e : ” I t h i n k z e r o i s t h e n u m b e r , w e l l i t ’ s n o t a n u m b e r b u t I t h i n k t h e z e r o h e l p n u m b e r s o u t ” ( N , 1 1 , p . 1 5 ) . S h e s u p p o r t e d t h i s w i t h a n a r g u m e n t a b o u t " b o r r o w i n g . ” S h e d e s c r i b e d a c l a s s r o o m p r o b l e m i n w h i c h s h e h a d t h o u g h t t h a t ” 3 0 t a k e a w a y 1 7 w a s 2 7 . ” 9 3 W h e n s h e e x p r e s s e d h e r c o n f u s i o n i n 9 3 T h i s w a s a r r i v e d a t w i t h t h e b u g g y a l g o r i t h m : ” A l w a y s t a k e t h e s m a l l e r n u m b e r f r o m t h e l a r g e r . " 2 4 3 c l a s s , a c l a s s m a t e s h o w e d h e r t h a t s h e ” h a d t o b o r r o w / ’ 9 4 N i c o l e t h o u g h t t h a t m o s t o f t h e " k i d s ” i n t h e c l a s s ” k n o w h o w , w h e n t o b o r r o w a n d w h e n n o t t o b o r r o w " b u t ” s o m e k i d s g e t c o n f u s e d ” ( N , 1 1 , p . 1 5 ) . S e v e r a l t i m e s d u r i n g t h e i n t e r v i e w s , N i c o l e d e m o n s t r a t e d t h a t s h e w a s a d e p t a t ” b o r r o w i n g . " Y e t s h e a l s o s h o w e d c o n f u s i o n a b o u t w h e n t o b o r r o w . F o r e x a m p l e , i n t h e C a n d y B a r p r o b l e m s h e t r i e d t o f i n d ” n u m b e r s e n t e n c e s ” ( t r a d i t i o n a l a l g o r i t h m i c s o l u t i o n s ) t o c o r r e s p o n d w i t h h e r p i c t o r i a l s o l u t i o n . I n d o i n g t h i s , N i c o l e f i r s t t r i e d t h e a l g o r i t h m w i t h o u t b o r r o w i n g a n d t h e n , w h e n t h e a n s w e r d i d n o t s e e m r i g h t , s h e t r i e d t h e p r o c e d u r e a g a i n u s i n g i t . S h o r t l y a f t e r s h e a s s e r t e d h e r u n d e r s t a n d i n g o f z e r o , I p o s e d t h e p r o b l e m , 1 8 - 1 2 . N i c o l e s o l v e d i t a s ” 0 6 ” a n d t h e n e x p r e s s e d c o n f u s i o n : " I d o n ’ t r e a l l y g e t i t . ” S h e s a i d t h a t s h e d i d n o t u n d e r s t a n d w h a t ” 0 6 ” w a s . S h e d i d n ’ t ” k n o w i f i t ’ s a ’ 6 ’ o r i s i t a d i f f e r e n t n u m b e r . ” W h e n t h e m a t h e m a t i c a l o b j e c t , z e r o , w a s p u t i n t h i s ( a b s t r a c t ) c o n t e x t , s h e s e e m e d t o b e i n a p o s i t i o n l i k e t h a t j u s t d e s c r i b e d f o r T e r i : N i c o l e k n e w s h e s t r u g g l e d w i t h u n d e r s t a n d i n g b u t h a d f e w r e s o u r c e s t o e x t e n d b e y o n d i d e n t i f y i n g t h e s o u r c e o f h e r p u z z l e m e n t . O n t h e o t h e r h a n d , w i t h b o r r o w i n g s h e s e e m e d t o f e e l s h e u n d e r s t o o d a n d a t t e m p t e d t o e x p l a i n t h e d e v e l o p m e n t o f i t . Y e t t h i s " u n d e r s t a n d i n g " s e e m e d fl a w e d i n h e r c o n f u s i o n a b o u t k n o w i n g w h e n t o a p p l y i t ; s h e k n e w h o w t o a p p l y t h e a l g o r i t h m b u t w a s c o n f u s e d a b o u t w h e n t o a p p l y i t . D a n i e l l e I d e s c r i b e h e r e D a n i e l l e ’ s p u z z l e m e n t t h a t s u r f a c e d i n h e r e n c o u n t e r w i t h ” n e g a t i v e o n e ” i n t h e O p e r a t i o n s t a s k s . W h e n s t a r t i n g w o r k o n t h e s e c o n d t a s k ( l o o k i n g f o r t h e l a r g e s t o u t c o m e i f t h e s e q u e n c e o f o p e r a t i o n s w a s m i n u s , p l u s , 9 4 1 h a p p e n e d t o b e i n c l a s s d u r i n g t h i s a n d h e r r e p o r t r e fl e c t s m y n o t e s q u i t e a c c u r a t e l y . 2 4 4 m i n u s ) , s h e f i l l e d t h e f i r s t t w o p o s i t i o n s w i t h ” 3 ” a n d ” 4 ” y i e l d i n g 3 - 4 . S h e e x p r e s s e d a m i x t u r e o f p l e a s u r e - ” O o o h , t h i s i s g o i n g t o c o m e o u t n e g a t i v e . ” - a n d a n x i e t y - " I ' m i n t r o u b l e , I d o n ' t k n o w n e g a t i v e n u m b e r s t h a t w e l l . ” H e r w o r d s a n d t o n e - ~ t h o u g h p o s s i b l y e x a g g e r a t e d — i n d i c a t e s h e f e l t t h e p r o b l e m , w h i l e e n t i c i n g , e x p e c t e d m o r e t h a n s h e m i g h t b e c a p a b l e o f u n d e r s t a n d i n g . P e r s e v e r i n g a n y w a y , s h e s a i d , " T h r e e t a k e a w a y f o u r , i m p o s s i b l e , i t ' s o n l y n e g a t i v e o n e . I d o n ' t k n o w w h a t t o d o w i t h t h o s e n e g a t i v e n u m b e r s , a n d n o w I ' m s t u c k ! ” T h i s l a s t s e n t e n c e w a s i n a r i s i n g t o n e o f f r u s t r a t i o n . T h i s ( e x a g g e r a t e d ) e x p r e s s i o n s e e m s t o i m p l y s h e f e l t s h e w a s a t a d e a d e n d . H o w e v e r , s h e d i d n o t q u i t ; r a t h e r , t h i s s e e m e d m e r e l y t o s i g n i f y h e r r e c o g n i t i o n o f m a t h e m a t i c a l t e r r i t o r y , " n e g a t i v e n u m b e r s , ” t h a t w a s b o t h t i t i l l a t i n g a n d t h r e a t e n i n g . S h e t u r n e d s i d e w a y s i n h e r c h a i r , d i d n o t l o o k a t m e , a n d , i n a t o n e s u g g e s t i n g t h o u g h t f u l q u e s t i o n i n g o f h e r s e l f , a s k e d , ” I s n e g a t i v e o n e a n u m b e r ? N e g a t i v e o n e a n u m b e r ? [ p a u s e ] I s n e g a t i v e o n e a n u m b e r ? ” A f t e r a n o t h e r p a u s e , s h e a n s w e r e d h e r s e l f : ” I t s h o u l d n ' t b e . " I a s k e d w h y n o t a n d s h e t u r n e d t o m e a n d s a i d , ” B e c a u s e i t ' s n e g a t i v e . W e d o n ' t w a n t n e g a t i v e t h i n g s i n o u r s c h o o l . T h i s [ 3 - 4 ] w a s n o t a s m a r t i d e a . ” E n c o u n t e r i n g n e g a t i v e i n t e g e r s i n t h i s t a s k , D a n i e l l e d e s c r i b e d t h e m a s ” i r n p o s s i b l e " a n d o b j e c t e d t h a t s h e d i d n ’ t " k n o w w h a t t o d o w i t h ” t h e m . S h e t u r n e d f r o m t h e p a r t i c u l a r s o l u t i o n ( w h i c h s h e c o r r e c t l y g a v e a s " n e g a t i v e o n e ” ) t o a l a r g e r q u e s t i o n u w h e t h e r n e g a t i v e o n e w a s a n u m b e r . O n c e s h e i d e n t i fi e d i t a s a q u e s t i o n w o r t h c o n s i d e r i n g , s h e d i d n o t s e e m a b l e t o p u r s u e i t i n a n a b s t r a c t m a t h e m a t i c a l c o n t e x t . H o w e v e r , s h e c r e a t e d a s o r t o f m e t a p h o r f r o m t h e r e a l w o r l d ; s h e e q u a t e d t h e n e g a t i v e o f " n e g a t i v e o n e ” w i t h ” b a d . " H e r t o n e s u g g e s t s a c e r t a i n f a c e t i o u s n e s s — w h i c h m a y h a v e b e e n i n t e n d e d t o d e fl e c t t h e n e e d t o a n s w e r h e r o w n q u e s t i o n i n a s e r i o u s f a s h i o n . T h e f u n c t i o n o f h e r 2 4 5 ” m e t a p h o r ” c o n t r a s t s w i t h t h a t I w i l l a r g u e f o r B e r t ; h i s r e c o u r s e t o r e a l w o r l d m e t a p h o r s w a s t o e x p l a i n h i s i d e a s , h o w e v e r t e n t a t i v e . D a n i e l l e ’ s e x c u s e d h e r f r o m a n e e d t o e x p l a i n n e g a t i v e o n e a s a m a t h e m a t i c a l o b j e c t ; h e r m e t a p h o r d i s m i s s e d n e g a t i v e i n t e g e r s a s , f o r h e r , c o m p r e h e n s i b l e m a t h e m a t i c a l o b j e c t s . J u s t a s T e r i a n d N i c o l e , D a n i e l l e s e e m e d u n a b l e t o e x t e n d b e y o n d i d e n t i f y i n g h e r s o u r c e o f c o n f u s i o n . A s s h e p o n d e r e d w h e t h e r n e g a t i v e o n e i s a n u m b e r , D a n i e l l e m a y b e c o n s i d e r e d t o h a v e e n g a g e d i n ” m o n o l o g i c a l d i a l o g u e ” ( M a r k o v a , 1 9 9 0 ) . T h a t i s , D a n i e l l e p a i d l i t t l e a t t e n t i o n t o m e , s h e w a s o r i e n t e d ” t o w a r d s a n i n t e r n a l c o n v e r s a t i o n w i t h ” h e r s e l f ( p . 9 ) . T e r i a n d N i c o l e o f f e r l i t t l e e v i d e n c e o f s u c h m o n o l o g u e s . B e r t s e e m e d t o m a i n t a i n a n i n t e r n a l d i a l o g u e w h i l e s i m u l t a n e o u s l y c a r r y i n g o n a n e x t e r n a l o n e w i t h m e . B e r t I n o w t u r n t o t h e m e t a p h o r s B e r t e n l i s t e d a s h e s t r u g g l e d w i t h c o m m u n i c a t i n g i d e a s h e p a r t i a l l y u n d e r s t o o d . I n e a c h i n t e r v i e w h e p u z z l e d o v e r t h e n a t u r e a n d r o l e o f n e g a t i v e i n t e g e r s . H e r a i s e d q u e s t i o n s a b o u t t h e m a n d d e s c r i b e d h i s t e n t a t i v e u n d e r s t a n d i n g s o f t h e m . T h e s e q u e s t i o n s a n d d e s c r i p t i o n s s e e m e d p a r t o f a n e f f o r t t o c l a r i f y a n d e x t e n d h i s u n d e r s t a n d i n g . H e c o m m e n t e d a b o u t t h e i r l a c k o f u s e i n m o s t o f t h e m a t h e m a t i c s p r o b l e m s o n w h i c h t h e y h a d w o r k e d i n h i s c l a s s r o o m . H e c r e a t e d t w o m e t a p h o r s t o e x p l a i n h i s u n d e r s t a n d i n g o f t h e m : ( a ) n e g a t i v e i n t e g e r s a r e l i k e " s e r v a n t s t o a k i n g ” — s e r v a n t s w h o d o n o t h i n g , a n d ( b ) n e g a t i v e i n t e g e r s a r e l i k e ” p i l l o w s " o r " c u s h i o n s " f o r l a r g e p o s i t i v e i n t e g e r s t h a t g o ” u p a n d u p ” — s o t h e l a r g e n u m b e r s d o n ’ t d i s a p p e a r i n t o ” t h i n a i r ” w h e n t h e y c a m e b a c k d o w n v i a s u b t r a c t i o n . H i s m e t a p h o r s f a l l i n t h e c a t e g o r y " e x t r a - m a t h e m a t i c a l ” ( P i m m , 1 9 8 7 , p . 9 5 ) . T h e y 2 4 6 " a t t e m p t t o e x p l a i n o r i n t e r p r e t m a t h e m a t i c a l i d e a s a n d p r o c e s s e s i n t e r m s o f r e a l - w o r l d e v e n t s ” ( p . 9 5 ) . N e g a t i y e I n t e g e r s a s S e r v a n t s B e r t ’ s i n t r o d u c t i o n o f t h e m e t a p h o r o f " s e r v a n t s ” a n d h i s i n i t i a l m e n t i o n o f t h e s e c o n d m e t a p h o r , ” c u s h i o n s , ” g r e w o u t o f o u r d i s c u s s i o n o f z e r o n e a r t h e e n d o f t h e f i r s t i n t e r v i e w . I a s k e d h i m w h a t h e c o u l d t e l l m e a b o u t z e r o a n d h e r e s p o n d e d : ” Z e r o i s a n u m b e r t h a t d o e s n ’ t d o a n y t h i n g . I t d o e s s o m e t h i n g , b u t z e r o i s a n u m b e r t h a t d o e s n ’ t h a v e a n y n u m b e r s i n i t . L i k e , z e r o p l u s s e v e n e q u a l s s e v e n b e c a u s e z e r o d o e s n ’ t h a v e a n u m b e r i n t h e r e ” ( B , 1 1 , p . 1 8 ) . I n t h i s p a s s a g e , B e r t m o n i t o r s h i s s t a t e m e n t s . H e r e a l i z e s , t h r o u g h i n t e r n a l d i a l o g u e ( M a r k o v a , 1 9 9 0 ) , t h a t h i s i n i t i a l s t a t e m e n t d o e s n o t r e p r e s e n t h i s b e l i e f . F r o m a m a t h e m a t i c a l p e r s p e c t i v e , h e f i r s t o f f e r e d a n i m a g e o f n u m b e r s - i n t h e p e r s o n o f z e r o - - a s o p e r a t o r s . H e a r g u e d t h a t z e r o d o e s n ’ t d o a n y t h i n g . W h a t h e s e e m e d t o m e a n w a s t h a t , i f z e r o i s o n e a d d e n d , t h e s u m i s t h e s a m e a s t h e o t h e r a d d e n d ; z e r o d o e s n ’ t c h a n g e - " d o e s n ’ t d o a n y t h i n g [ t o ] ” - t h e v a l u e o f t h e s e c o n d a d d e n d . H e r a t h e r q u i c k l y a m e n d e d t h i s t o a n i m a g e o f n u m b e r s a s r e p r e s e n t a t i v e s o f q u a n t i t y ; z e r o ” d o e s n ’ t h a v e a n y n u m b e r s i n i t . ” W e m i g h t a s s u m e t h a t h i s v i e w o f , s a y , s e v e n i s t h a t i t i s t h e n a m e f o r a g r o u p , c o l l e c t i o n , o r s e t w i t h s e v e n o b j e c t s i n i t . L i k e N i c o l e , B e r t s t a r t e d f r o m a s u p p o s e d s o l i d u n d e r s t a n d i n g o f z e r o . A s h e e x p o u n d e d o n t h i s ” u n d e r s t a n d i n g , " h e , t o o , e x p r e s s e d c o n c u r r e n t u n c e r t a i n t y a b o u t w h a t k i n d o f n u m b e r i t i s : ” W h a t I w a n t t o k n o w i s , i s z e r o a n e g a t i v e o r a p o s i t i v e ? ” ( B , 1 1 , p . 1 8 ) . W h e n I a s k e d w h a t h e t h o u g h t , h e s t a r t e d b y a r g u i n g t h a t z e r o m u s t b e b o t h n e g a t i v e a n d p o s i t i v e . H i s a r g u m e n t c e n t e r e d a r o u n d a n e x p e c t a t i o n o f s e t e q u a l i t y . H e s a i d t h e r e o u g h t t o b e a n e q u a l n u m b e r o f p o s i t i v e a n d n e g a t i v e i n t e g e r s a n d , i f z e r o w e r e o n e o r 2 4 7 t h e o t h e r , t h a t s e t w o u l d h a v e o n e m o r e e l e m e n t . 9 5 H e a r g u e d t h a t ” n u m b e r s g o d o w n a n d u p . . . . A n d . . . i t ’ l l n e v e r s t o p g o i n g d o w n , i t ’ l l n e v e r s t o p g o i n g u p . B u t i f y o u h a v e t h e z e r o o n o n e s i d e , o n e p a r t w i l l h a v e m o r e , u m , o n e , n e g a t i v e o r p o s i t i v e , w i l l h a v e m o r e , w i l l h a v e m o r e n u m b e r s ” ( p . 1 8 ) . A s h e m a d e t h i s a r g u m e n t h e d r e w t h e p i c t u r e i n F i g u r e 3 4 . B e r t h a d a l r e a d y g o n e b e y o n d t h e o t h e r t h r e e c h i l d r e n . H e a d m i t t e d c o n f u s i o n a s t h e y d i d b u t b e y o n d m e r e l y i d e n t i f y i n g t h e s o u r c e o f h i s c o n f u s i o n , h e t r i e d a r g u m e n t s t h a t w o u l d h e l p h i m e x p l a i n h i s t h e o r i e s a b o u t t h e c o n f u s i n g r e l a t i o n s h i p . H e r e a s o n e d m a t h e m a t i c a l l y , t r y i n g t o m a k e s e n s e o f t h i s a p p a r e n t p a r a d o x . H i s p i c t u r e , i n c o n j u n c t i o n w i t h h i s w o r d s , s u g g e s t s h e h a d a n i m a g e o f p o s i t i v e i n t e g e r s " g o i n g u p , ” n e g a t i v e i n t e g e r s " g o i n g d o w n , " a n d z e r o i n t h e m i d d l e . J u s t a s h e w a s a b o u t t o g i v e a w a r r a n t f o r h i s c l a i m t h a t z e r o i s b o t h p o s i t i v e a n d n e g a t i v e b e c a u s e o f t h e n e c e s s i t y o f s e t e q u a l i t y , h e r e v i s e d : " B e c a u s e , w e l l , n o w t h a t I t h i n k o f i t , 1 t h i n k i t ’ s m o r e a n e g a t i v e t h a n a p o s i t i v e ” ( p . 1 8 ) . H e d e c i d e d i n m i d - s e n t e n c e t h a t z e r o s e e m e d m o r e l i k e a n e g a t i v e n u m b e r . A g a i n , t h i s o f f e r s e v i d e n c e o f B e r t ’ s o n - g o i n g i n t e r n a l d i a l o g u e ( M a r k o v a , 1 9 9 0 ) . J u s t a s N i c o l e h a d m i g r a t e d t h e c o n v e r s a t i o n f r o m t h e i s s u e o f z e r o t o t h a t o f b o r r o w i n g , B e r t m i g r a t e d f r o m z e r o t o t h e r e l a t i o n b e t w e e n n e g a t i v e a n d p o s i t i v e i n t e g e r s . H e s t a r t e d h i s n e w a r g u m e n t s a y i n g t h a t ” n e g a t i v e s a r e l i k e z e r o . " H e f o l l o w e d t h i s b y s a y i n g a n d w r i t i n g t h e n u m b e r s e n t e n c e - 7 + 7 = 7 ( s i c ) . H e s p o n t a n e o u s l y d e c i d e d t o d r a w a r e p r e s e n t a t i o n u s i n g c i r c l e s f o r 9 5 0 f c o u r s e , i n c l u d i n g z e r o i n o n e o f t h e s e i n f i n i t e s e t s d o e s n o t p r e c l u d e a o n e - t o - o n e c o r r e s p o n d e n c e b e t w e e n t h e m . H o w e v e r , o n e w o u l d n o t e x p e c t a t h i r d g r a d e r t o m a k e s u c h a c o n j e c t u r e o r r e a c h s u c h a c o n c l u s i o n o n h i s o w n . 2 4 8 N e g t i v P o s t i f ” ” 0 0 0 V F i g u r e 3 4 : B e r t ’ s r e p r e s e n t a t i o n s h o w i n g t h a t n u m b e r s ” g o d o w n a n d u p . ” / \ ‘ \ J ) \ I \ / \ I I 7 — ( , - _ . / c . / F i g u r e 3 5 : B e r t ’ s r e p r e s e n t a t i o n f o r - 7 + 7 = 7 ( s i c ) . 2 4 9 t h e s e v e n a n d ” d a s h e d c i r c l e s ” f o r t h e n e g a t i v e s e v e n ( F i g u r e 3 5 , ” d a s h e d ” o b j e c t s w e r e a c o m m o n r e p r e s e n t a t i o n o f n e g a t i v e u n i t s i n h i s c l a s s r o o m ) a s h e p r e p a r e d t o e x p l a i n h i s t h i n k i n g . H o w e v e r , o n c e c r e a t e d , h e d i d n o t a c t u a l l y m a k e u s e o f t h i s p i c t u r e . I n s t e a d , h e p u r s u e d a n o r a l a r g u m e n t : n e g a t i v e s " a r e l i k e z e r o s b e c a u s e t h e y d o n ’ t m e a n a n y t h i n g . A n d t h e y d o n ’ t m e a n a n y t h i n g b e c a u s e n e g a t i v e s , t h e y ’ r e s u p p o s e d t o b e u n d e r t h e z e r o . A n d z e r o m e a n s ’ n o t h i n g ’ " ( B , 1 1 , p . 1 8 ) . R e c a l l t h a t B e r t h a d c l a i m e d t h a t z e r o i s ” m o r e a n e g a t i v e ” n u m b e r . Y e t h e a t t e m p t e d t o s h o w h o w n e g a t i v e i n t e g e r s w e r e l i k e z e r o , n o t t h e r e v e r s e . 9 6 H i s a r g u m e n t w e n t l i k e t h i s : C l a i m : N e g a t i v e n u m b e r s d o n ’ t m e a n a n y t h i n g . A r g u m e n t : N e g a t i v e n u m b e r s a r e u n d e r z e r o . Z e r o m e a n s n o t h i n g . I m p l i c i t C l a i m : A n y t h i n g ( n e g a t i v e n u m b e r s ) ” u n d e r ” s o m e t h i n g t h a t m e a n s " n o t h i n g " ( z e r o ) , c a n n o t m e a n m o r e t h a n t h a t t h i n g . C o n c l u s i o n : N e g a t i v e n u m b e r s m e a n n o t h i n g . T h u s , s i n c e n e i t h e r z e r o n o r n e g a t i v e i n t e g e r s ” m e a n a n y t h i n g , ” t h e y m u s t b e l o n g t o t h e s a m e c a t e g o r y . D e d u c i n g h o w n e g a t i v e i n t e g e r s w o r k f r o m t h e n u m b e r s e n t e n c e , - 7 + 7 = 7 , i t w o u l d s e e m t r u e t h a t n e g a t i v e s e v e n d o e s n o t m e a n a n y t h i n g : j u s t a s z e r o , i t h a d n o e f f e c t o n t h e o t h e r a d d e n d . H o w e v e r , B e r t d i d n o t a p p e a r t o u s e t h i s a s t h e b a s i s o f h i s a r g u m e n t . R a t h e r , b e c a u s e o f t h e i r p h y s i c a l r e l a t i o n t o z e r o ( b e i n g ” u n d e r ” z e r o ) a n d b e c a u s e z e r o " m e a n s n o t h i n g , ” s o t o o m u s t n e g a t i v e i n t e g e r s . 9 7 9 6 S e t i n c l u s i o n i s n o t a u t o m a t i c a l l y r e v e r s i b l e : n e g a t i v e i n t e g e r s c a n " b e l i k e , " c a n s h a r e t r a i t s w i t h , z e r o w i t h o u t t h a t i m p l y i n g t h a t z e r o m u s t b e a n e g a t i v e n u m b e r . 9 7 ' I ' h i s a s s o c i a t i o n o f n e g a t i v e i n t e g e r s ” u n d e r ” p o s i t i v e o n e s m a y s t e m f r o m t h e c l a s s ’ e x p l o r a t i o n o f i n t e g e r s v i a t h e t h e r m o m e t e r . 2 5 0 B e r t m o v e d o n t o h i s p e r c e p t i o n o f t h e p h y s i c a l r e l a t i o n o f n u m b e r s . T h e y s t a r t " f r o m w a y u p h i g h , I d o n ’ t k n o w i f , i t d o e s n ’ t s t o p w a y u p t h e r e d o w n f r o m t h e b i g n u m b e r g o i n g d o w n t o t h e l i t t l e n u m b e r z e r o . ” H e d e m o n s t r a t e d t h i s w i t h a p e n c i l h e l d u p v e r t i c a l l y a n d d e s c e n d i n g a s h e s p o k e . T h e n , s t i l l c o n f r o n t e d w i t h w h a t t o s a y a b o u t n e g a t i v e n u m b e r s , h e c r e a t e d a m e t a p h o r : ” S o , 1 t h i n k i t c a n o n l y , i t g o e s t o z e r o , o k a y ? A n d t h e n t h e s e n u m b e r s b e h i n d z e r o a r e l i k e z e r o , l i k e , z e r o i s t h e k i n g o f n e g a t i v e s ” ( 8 , 1 1 , p . 1 8 ) . T o e x p l o r e h i s c o n j e c t u r e d m a t h e m a t i c a l ( a b s t r a c t ) r e l a t i o n s h i p , B e r t s t a r t e d w i t h a p h y s i c a l r e l a t i o n s h i p b e t w e e n t h e n u m b e r s — r e l a t i v e h e i g h t . H e t r a n s l a t e d t h i s p h y s i c a l ” o v e r - u n d e r ” r e l a t i o n s h i p t o a s o c i a l o n e o f s u p e r i o r i t y - i n f e r i o r i t y w h i c h s o o n b e c a m e o n e o f s e r v i t u d e . H e c o n t i n u e d : A n d i t [ t h e s e q u e n c e o f n u m b e r s ] g o e s d o w n a n d , l i k e t h e n e g a t i v e s a r e s e r v a n t s o r s o m e t h i n g , a n d u m , a n d t h e s e r v a n t s l i k e , g i v e h i m f o o d a n d s t u f f . S o a n y w a y , s o l i k e t h e y ’ r e j u s t , t h e s e [ n e g a t i v e i n t e g e r s ] d o n ’ t m e a n a n y t h i n g b e c a u s e t h e y d o n ’ t , l e t ’ s s a y t h e y d o n ’ t d o a n y t h i n g f o r t h e i r k i n g . ( B , 1 1 , p . 1 9 ) B e r t ’ s s t a t e m e n t a b o u t s e r v a n t s p r o v i d i n g t h e i r k i n g w i t h f o o d w a s s a i d a b i t p l a y f u l l y ; h e a p p a r e n t l y w a s i n t e n t i o n a l l y e x a g g e r a t i n g o r p l a y i n g w i t h t h e s t o r y . Y e t h e c l e a r l y m a i n t a i n e d t h e s u b s e r v i e n c e r e l a t i o n i t s e l f a s h e r e v e r t e d t o t h e s i m p l e r , " t h e y d o n ’ t d o a n y t h i n g f o r t h e i r k i n g . ” F o r B e r t , l a c k o f m e a n i n g - i . e . , n o t c h a n g i n g t h e o t h e r a d d e n d u w a s e q u i v a l e n t w i t h n o t d o i n g a n y t h i n g . I a s k e d w h y w e h a v e n e g a t i v e s i f t h e y d o n ’ t m e a n o r d o a n y t h i n g . B e r t s t a r t e d s e v e r a l s e n t e n c e s a s i f h e w e r e g o i n g t o p r o v i d e r e a s o n s b u t , a p p a r e n t l y u n a b l e t o f i n d a n a n s w e r t h r o u g h i n t e r n a l d i a l o g u e ( M a r k o v a , 1 9 9 0 ) t h a t s a t i s fi e d h i m , c o n c l u d e d , ” I h a v e n o r e a s o n w h y w e h a v e n e g a t i v e s ” a n d a s k e d m e i f I k n e w w h y t h e y e x i s t e d ( B , 1 1 , p . 1 9 ) . I n s t e a d o f a n s w e r i n g , I r e m i n d e d h i m o f t h e i r w o r k e a r l i e r i n t h e w i n t e r w i t h n e g a t i v e i n t e g e r s o n t h e r m o m e t e r s . I n r e s p o n s e , B e r t , l i k e T e r i , d i d n o t m e n t i o n t h e t h e r m o m e t e r ; h e s a i d t h a t m o s t o f t h e 2 5 1 p r o b l e m s t h e y d i d i n c l a s s h a d b e e n s o l v a b l e w i t h " h i g h e r n u m b e r s " - n u m b e r s a b o v e z e r o . I n t h e m i d s t o f t h i s n a r r a t i v e r e c o l l e c t i o n , h e s t o p p e d i n m i d - s e n t e n c e . H e h a d s u d d e n l y - ~ a g a i n , 1 a r g u e , a s a r e s u l t o f h i s i n t e r n a l m o n i t o r i n g o r d i a l o g u e ( M a r k o v a , 1 9 9 0 ) — c o m e u p w i t h a r e a s o n f o r n e g a t i v e i n t e g e r s t o e x i s t : A n d w e h a d n o t h i n g t o d o w i t h o u r n u m b e r s e n t e n c e s o r a n y t h i n g w i t h n e g a t i v e s b e c a u s e w e a l w a y s u s e d , a c t u a l l y , l i k e y o u k n o w a t i g h t r o p e o r s o m e t h i n g l i k e t h e y w a l k o n i n t h e c i r c u s ? l i k e , t h e n e g a t i v e s a r e a p i l l o w b e c a u s e p i l l o w s , t h e y [ t i g h t r o p e w a l k e r s ] f a l l o n s o m e t i m e s , a n d t h e n e g a t i v e s a r e a p i l l o w , b e c a u s e i f w e h a d a ” t a k e a w a y ” s i g n a n d w e w e n t d o w n p a s t z e r o , n o b o d y w o u l d k n o w w h a t w e d o , s o . A n d t h e n w e g o d o w n a n d i t h i t s t h e n e g a t i v e s a n d i t c o u l d b e n e g a t i v e s e v e n , n e g a t i v e , a l l t h e w a y d o w n n e g a t i v e s . S o t h a t ’ s I t h i n k w h y w e h a v e n e g a t i v e s . I t w o u l d b e t h i n a i r i f w e h a d n o n e g a t i v e s . ( B , 1 1 , p . 1 9 ) I n m o v i n g f r o m t h e r e l a t i o n b e t w e e n n e g a t i v e a n d p o s i t i v e n u m b e r s , B e r t c h a n g e d m e t a p h o r s f r o m s e r v a n t s o f " k i n g z e r o " t o p i l l o w s t h a t p r o t e c t t h e l a r g e p o s i t i v e n u m b e r s u n d e r t h e o p e r a t i o n o f s u b t r a c t i o n . O f c o u r s e , i n a w a y t h i s i s t r u e : w e c o u l d n o t s u b t r a c t a l a r g e r n u m b e r f r o m a s m a l l e r w i t h o u t t h e n e g a t i v e i n t e g e r s . B e r t a l s o m a i n t a i n e d t h e r e l a t i o n s h i p o f s e r v i t u d e i n t h e p r e v i o u s m e t a p h o r ; n e g a t i v e s n o w s e r v e p o s i t i v e s a s t h e y o n c e s e r v e d z e r o . T o s u m m a r i z e t h e B e r t ’ s m e a n d e r i n g p a t h : ( a ) h e q u e s t i o n e d w h e t h e r z e r o w a s a n e l e m e n t o f t h e p o s i t i v e o r n e g a t i v e i n t e g e r s , ( b ) h e a r g u e d t h a t z e r o a n d n e g a t i v e i n t e g e r s w e r e a l i k e , a n d ( c ) h e p o n d e r e d t h e r e l a t i o n s h i p b e t w e e n p o s i t i v e a n d n e g a t i v e i n t e g e r s - - w h i c h h e p u r s u e d v i a s e r v a n t a n d p i l l o w m e t a p h o r s . l l . I 1 2 1 1 : 1 . B e r t i n t r o d u c e d h i s s e c o n d m e t a p h o r , t h a t o f a p i l l o w , t o e x p l a i n h i s u n d e r s t a n d i n g o f t h e r e l a t i o n s h i p b e t w e e n n e g a t i v e a n d p o s i t i v e i n t e g e r s i n t h e f i r s t i n t e r v i e w . D u r i n g b o t h t h e s e c o n d a n d t h i r d i n t e r v i e w s h e s p o n t a n e o u s l y 2 5 2 r e p r i s e d i t . I n t h e s e l a t t e r i n s t a n c e s , B e r t d e s c r i b e d n e g a t i v e i n t e g e r s a s " c u s h i o n s . " T h i s i s s i m i l a r t o h i s m e t a p h o r o f p i l l o w s b u t w i t h a s o m e w h a t d i f f e r e n t s p i n . R e c a l l B e r t ’ s a p p r o a c h t o s u b t r a c t i o n i n t h e O p e r a t i o n s t a s k s . H e t r e a t e d ” t a k e a w a y ” a s ” t a k e a w a y f r o m . ” I n d e m o n s t r a t i n g t h i s , h e t o o k o v e r t h e p e n c i l s t h a t I s t a r t e d t o u s e t o m o d e l t h e p r o b l e m , 3 - 2 . H o w e v e r , a s w h e n h e c h a n g e d w h a t h e w a s a r g u i n g a b o u t - ~ f r o m t o w h a t s e t z e r o b e l o n g s t o t h e r o l e o f n e g a t i v e n u m b e r s , B e r t h e r e c h a n g e d t h e p o i n t o f h i s a r g u m e n t i n m i d - s t r e a m : I f y o u h a v e t h r e e p e n c i l s a n d y o u h a v e t w o r i g h t h e r e [ f o r m i n g a g r o u p o f t w o p e n c i l s i n a d d i t i o n t o t h e g r o u p o f t h r e e ] , a n d y o u t o o k a w a y t h r e e f r o m h e r e [ t h e g r o u p o f t w o ] , y o u d o n ' t h a v e t h r e e , s o i t w o u l d b e n e g a t i v e o n e b e c a u s e , i f w e h a d , i f w e d i d n ’ t h a v e n e g a t i v e o n e , w e w o u l d . . . O k a y [ s t a r t i n g e x p l a n a t i o n o v e r ] . I f s o m e t h i n g w a s f a l l i n g , r i g h t ? T h e n e g a t i v e n u m b e r s a r e , i f n u m b e r s w e r e f a l l i n g , t h e n e g a t i v e n u m b e r s w o u l d [ b e ] j u s t l i k e c u s h i o n s , b e c a u s e l i k e , i f y o u h a d t h r e e t a k e a w a y t w o , n o o n e w o u l d k n o w w h a t i t w a s , t h e y w o u l d j u s t s a y " z e r o " b e c a u s e i t g o e s , u m , b e c a u s e n o o n e w o u l d k n o w t h a t n e g a t i v e s , a n y t h i n g a b o u t n e g a t i v e s . T h e y w o u l d n ' t h a v e e v e n t h o u g h t a b o u t i t . ( B , 1 2 , p . 9 ) T h u s , B e r t j u s t i f i e d t h e n e e d f o r n e g a t i v e n u m b e r s a f t e r t h e b r i e f e s t ” p r o o f " t h a t 3 - 2 r e s u l t s i n a n u m b e r b e l o w z e r o . S i n c e h e d i d n o t s e e m t o h a v e a n a b s t r a c t m a t h e m a t i c a l w a y t o a r g u e t h i s , h e r e s o r t e d t o a " r e a l w o r l d ” m e t a p h o r : n e g a t i v e n u m b e r s a s c u s h i o n s f o r t h e " f a l l i n g " p o s i t i v e s . T h i s w a s h i s o n l y r e f e r e n c e t o c u s h i o n s d u r i n g t h i s t a s k . I n t h e t h i r d i n t e r v i e w B e r t p e r f o r m e d t h e s o l e p a i r o f s u b t r a c t i o n p r o b l e m s I o f f e r e d ( 9 - 5 a n d 5 - 9 ) c o n v e n t i o n a l l y . T h a t i s , h e s o l v e d t h e f i r s t a s ” f o u r . ” W h e n I a s k e d h i m a b o u t t h e s e c o n d , h e r e s p o n d e d , " y o u c o u l d n ' t d o t h a t , b e c a u s e y o u h a v e , i t w o u l d b e i n t h e n e g a t i v e s ” ( B , 1 3 , p . 1 3 ) . I a s k e d , " w h y c a n ' t y o u d o t h a t ? ” a n d B e r t m o d i f i e d h i s a s s e r t i o n : ” y o u c a n d o i t , b u t i t ' s n o t r e a l l y e v e n a n a n s w e r , n o t , i t i s a n a n s w e r , b u t n o t r e a l l y , i t ' s l i k e a n a n s w e r y o u w o u l d n o t u s u a l l y u s e , l i k e , u s u a l l y y o u w o u l d n o t u s e a n e g a t i v e n u m b e r , b u t 2 5 3 f i v e t a k e a w a y n i n e w o u l d b e , I w o u l d t h i n k . . . n e g a t i v e s i x . " T h u s , h e f i r s t d i s c o u n t e d t h e a n s w e r f o r i t s u n u s u a l n e s s a n d t h e n e s t i m a t e d w h a t i t w o u l d b e . W h e n a s k e d , h e m a d e a n a t t e m p t t o e x p l a i n h o w h e h a d s o l v e d i t b u t s e e m e d n o t v e r y c l e a r i n h i s o w n h e a d . ( I e x a m i n e t h i s i n t h e n e x t s e c t i o n . ) A t m y i n v i t a t i o n , h e t r i e d t o e x p l a i n w i t h a p i c t u r e . B e r t d r e w f i v e s q u a r e s a n d 1 4 d a s h e d s q u a r e s . H e s a i d : O k a y . N o w , t a k e a w a y n i n e f r o m f i v e , s o y o u h a v e t o t a k e a w a y a s m u c h a s y o u c a n f r o m h e r e . . . t a k e a w a y f i v e , a n d t h e n y o u g o , f i v e , s i x , s e v e n , e i g h t , n i n e , s o i t w o u l d b e ” n e g a t i v e 9 , ” I w o u l d g u e s s , n o t n e g a t i v e , y e a h , i t w o u l d b e n e g a t i v e n i n e . ( B , 1 3 , p . 1 4 ) B e r t f i r s t c r o s s e d o f f t h e f i v e s o l i d s q u a r e s a n d f i v e d a s h e d o n e s t o m a t c h u p w i t h t h e s o l i d o n e s . H e t h e n c o u n t e d t h e r e m a i n i n g d a s h e d s q u a r e s — o f w h i c h t h e r e w e r e n i n e . I t a p p e a r s c o i n c i d e n t a l t h a t h e d r e w a n u m b e r o f " n e g a t i v e s q u a r e s ” r e s u l t i n g i n a n a n s w e r o f ” n e g a t i v e n i n e , " w h i c h h e w r o t e a s , ” 9 - " . 9 3 W h e n I a s k e d w h y n e g a t i v e n i n e w o u l d b e t h e a n s w e r , B e r t s t a r t e d t o e x p l a i n b u t , i n m i d - e x p l a n a t i o n , c h a n g e d h i s m i n d . H e d e c i d e d t h e a n s w e r w a s n e g a t i v e t h r e e . 9 9 Y e t a g a i n , w e s e e t h e e f f e c t o f B e r t ’ s i n t e r n a l d i a l o g u e m o n i t o r i n g h i s s t a t e m e n t s ( M a r k o v a , 1 9 9 0 ) . I a s k e d , ” S o w h y d i d y o u d r a w a l l t h e s e ? ” i n d i c a t i n g t h e " e x t r a " d a s h e d s q u a r e s . H e s a i d : N e g a t i v e s a r e c u s h i o n s f o r t h e b i g n u m b e r s t h a t g o u n d e r z e r o . L i k e , i t ' s l i k e a c u s h i o n b e c a u s e , w h e n y o u g o , l e t m e g e t a n o t h e r p e n c i l . W h e n y o u g o u n d e r z e r o , u n d e r o n e , z e r o a n d t h e n n e g a t i v e o n e . . . n e g a t i v e o n e . A n d s o , t h e n , a n d t h e n , i t ' s l i k e a c u s h i o n i f y o u g o d o w n t o o m a n y , i f y o u 9 8 I n a d d i t i o n t o h i s d o i n g s u b t r a c t i o n ” b a c k w a r d s , ” B e r t w r o t e a n u m b e r o f n u m e r a l s b a c k w a r d s ( e . g . , a n d o f t e n w r o t e t h e ” n e g a t i v e s i g n ” t o t h e r i g h t r a t h e r t h a n t h e l e f t o f t h e n u m e r a l . 9 9 I t i s n o t c l e a r b u t a p p e a r s t h a t h e a s s o c i a t e d a d a s h e d s q u a r e w i t h t h e n u m b e r z e r o . T h a t i s , h e n o w o n l y c o n s i d e r e d n i n e d a s h e d s q u a r e s , a s s o c i a t e d a d a s h e d s q u a r e w i t h e a c h o f fi v e s o l i d o n e s , a n d t h e n o n e w i t h e a c h o f t h e n u m b e r s , 0 , - 1 , - 2 , - 3 ( w i t h o u t w r i t i n g t h o s e n u m b e r s ) . 2 5 4 g o d o w n p a s t o n e , p a s t z e r o , i t ' d b e , w e l l I g e t m i x e d u p w i t h t h e z e r o s o m e t i m e s , b e c a u s e I g o o n e , i f y o u g o p a s t o n e , a n d I ' m n o t t r y i n g t o c o u n t t h a t t h i s [ z e r o ] i s a n e g a t i v e o r a p o s i t i v e , s o I d o n ' t k n o w . B e c a u s e i t ' s t h e m i d d l e o f a l l n u m b e r s , s o I d o n ' t e v e n t h i n k i t ' s a n e g a t i v e o r a p o s i t i v e . I t h i n k i t ' s s o m e t h i n g e l s e . ( B , 1 3 , p . 1 4 ) N o t i c e t h a t h e a g a i n s h i f t e d t h e i s s u e . I a s k e d a b o u t a s p e c i f i c s i t u a t i o n i n t h e p r o b l e m , h i s d r a w i n g o f e x t r a d a s h e d s q u a r e s . H e r e s p o n d e d w i t h t h e n a t u r e o r r o l e o f n e g a t i v e n u m b e r s w h i c h h e m i g r a t e d t o h i s u n d e r s t a n d i n g o f z e r o ( a r e v e r s a l o f t h e c h a n g e o f i s s u e s d e s c r i b e d i n t h e p r e v i o u s s e c t i o n ) . H e a l s o p o i n t e d o u t w h a t h e ” g e t [ s ] m i x e d u p ” b y , b u t s t i l l m a n a g e d t o m a k e h i s a r g u m e n t . W h e n I a s k e d i f z e r o w a s a n u m b e r , h e a s s e r t e d i t w a s b e c a u s e " i f i t w a s n ' t a n u m b e r , w h y w o u l d i t h o l d 2 0 ? ” ( B , 1 3 , p . 1 5 ) . H e t h e n q u i c k l y r e t u r n e d t o t h e i s s u e o f t h e d a s h e d s q u a r e s , ” a n d I p u t t h o s e t h e r e , b e c a u s e I , b e c a u s e t h e y w o u l d b e t h e c u s h i o n f o r t h a t , b e c a u s e I w a n t e d t o g o , p u t t h e s e d o w n h e r e , s o I c o u l d h a v e t h e s e f o r n u m b e r s . . . ” ( p . 1 5 ) . T h u s , h e d r e w l o t s o f d a s h e d s q u a r e s s o t h a t h e w o u l d b e s u r e t o h a v e e n o u g h t o s o l v e t h e p r o b l e m . I t s e e m s a s i f h e u s e d ” c u s h i o n ” i n t w o w a y s s i m u l t a n e o u s l y : n e g a t i v e s p r o v i d e a c u s h i o n f o r t h e p o s i t i v e s ( a s n o t e d b e f o r e ) b u t t h e y a l s o p r o v i d e a c u s h i o n i n t h i s p r o b l e m t o e n s u r e h e h a d e n o u g h . T h i s l a t t e r i n t e r p r e t a t i o n c o m e s a c r o s s m o r e c l e a r l y i n h i s r e s p o n s e t o m y f o l l o w - u p q u e s t i o n a s t o w h e t h e r h e n e e d e d a l l o f t h e d a s h e d s q u a r e s : ” N o . I d i d n ' t k n o w w h a t t h a t e x a c t n u m b e r w a s , s o I p u t , i t ' s b e t t e r t o h a v e m o r e t h a n t o o l e s s ” ( B , 1 3 , p . 1 5 ) . H e t h e n a r g u e d t h a t n e g a t i v e n u m b e r s a r e n o t " n o r m a l l y " t h e a n s w e r : B e c a u s e n o r m a l l y y o u d o n ' t , b e c a u s e u s u a l l y , b e c a u s e u s u a l l y i f y o u , u n l e s s y o u ' r e y o u n g e r o r s o m e t h i n g , i f y o u ' r e j u s t s t a r t i n g , I ' m n o t j u s t s a y i n g j u s t f o r s t a r t e r s , b u t u s u a l l y f o r l i t t l e k i d s t o h a v e o n e p l u s o n e l i k e t h a t , a n d , o n e p l u s o n e w o u l d e q u a l t w o . A n d t h e n , a n d t h e n , s o , w h a t w a s I t a l k i n g a b o u t a g a i n ? [ I r e m i n d e d h i m a n d h e c o n t i n u e d : ] Y e a h , a n d s o , l i k e o n e p l u s o n e , t h a t d o e s n ' t g o i n t o z e r o , t h a t ' s , 1 m e a n , o n e t a k e 2 5 5 a w a y o n e , i t g o e s u n d e r z e r o , b u t l i k e i f y o u ' r e i n t h e h i g h n u m b e r s , l i k e 5 0 , 5 0 p l u s , I m e a n t a k e a w a y 2 0 , m a y b e . . . t a k e a w a y 2 0 , y o u d o n ' t u s u a l l y p u t 5 0 t a k e a w a y 1 6 0 . ( B , 1 3 , p . 1 5 ) H e h e r e a r g u e d t h a t c h i l d r e n l e a r n i n g m a t h e m a t i c s d o n ’ t n e e d n e g a t i v e n u m b e r s b e c a u s e t h e y a r e l e a r n i n g a d d i t i o n a n d s u b t r a c t i o n w i t h s m a l l n u m b e r s . W i t h h i s r e c e n t e x p e r i e n c e s w i t h l a r g e r n u m b e r s , h e r e c o g n i z e d t h e p o s s i b i l i t y o f t a k i n g a l a r g e r n u m b e r f r o m a s m a l l e r . H o w e v e r , h e s a w t h i s a s a r a r e o c c u r r e n c e . W h e n I a s k e d w h y ” y o u d o n ' t u s u a l l y p u t 5 0 t a k e a w a y 1 6 0 , " B e r t r e s p o n d e d : Y o u d o n ' t u s u a l l y d o t h a t , b e c a u s e , u s u a l l y y o u w a n t t o , l i k e , I ' m n o t . . . p o s i t i v e t h a t a l w a y s t h e y d o n ' t , t h e y u s u a l l y d o n ' t , b u t I ' m t h i n k i n g t h a t , b e c a u s e , l i k e u s u a l l y a l l , u s u a l l y w e d o n ' t h a v e n u m b e r s e n t e n c e s t h a t g o u n d e r z e r o . B u t s o m e t i m e s t h e y d o a n d s o m e t i m e s w e d o n ' t , b u t m o s t o f t h e t i m e w e d o n ' t . S o t h a t ' s w h y I ' m t h i n k i n g t h a t . ( B , 1 3 , p . 1 5 ) B e r t e x t r a p o l a t e d f r o m h i s p a s t e x p e r i e n c e s , r e c o g n i z i n g h e w a s d o i n g s o . S i n c e h i s c l a s s h a d r a r e l y t a k e n l a r g e r n u m b e r s f r o m s m a l l e r o n e s , h e w a s d o u b t f u l o f i t s f r e q u e n c y i n m a t h e m a t i c s g e n e r a l l y . A t t h e s a m e t i m e , h e a d m i t t e d h e c o u l d n o t b e s u r e w h a t ” t h e y ” ( m a t h e m a t i c i a n s ) d i d . T h i s m e t a p h o r r e v e a l s t h a t f o r B e r t n e g a t i v e i n t e g e r s w e r e n o t m a t h e m a t i c a l o b j e c t s , t h e y d i d n o t p e r f o r m m a t h e m a t i c a l f u n c t i o n s . T h e y w e r e i n v e n t e d t o p r o v i d e a s a f e t y n e t f o r t h e p o s i t i v e i n t e g e r s u n d e r s u b t r a c t i o n . P o s i t i v e n u m b e r s d o t h e w o r k o f m a t h e m a t i c s ; n e g a t i v e n u m b e r s p r o v i d e s u p p o r t u e i t h e r l a b o r i n g a s s e r v a n t s o r b e i n g c u s h i o n s . C l e a r l y , h e w a s s e e k i n g ” f u n c t i o n i n g i m a g e s . . . [ t o ] c o n n e c t t h e i d e a s o f m a t h e m a t i c s w i t h o b j e c t s a n d p r o c e s s e s ” h e f e l t h e k n e w a n d u n d e r s t o o d ( P i m m , 1 9 8 7 , p . 9 7 ) . 2 5 6 S u m m a r y o f E x p l o r i n g M a t h e m a t i c a l C o n c e p t s a n d i j e e t s D a n i e l l e , N i c o l e , a n d T e r i a l l e x p l a i n e d w h a t s t i m u l a t e d t h e i r f e e l i n g s o f c o n f u s i o n . T h e y s e e m e d u n a b l e t o g e t b e y o n d t h i s a n d e x p l a i n t h e i r t e n t a t i v e o r p a r t i a l u n d e r s t a n d i n g o f t h e o b j e c t s o r c o n c e p t s . R a t h e r , o n c e t h e s t i m u l u s w a s e x p l a i n e d , o n c e t h e i r l o c u s o f c o n f u s i o n w a s i n v i e w , e a c h o f t h e t h r e e a p p e a r e d t o e n c o u n t e r a n o p a q u e a n d i n s u r m o u n t a b l e w a l l . T h e y s e e m e d u n a b l e t o m o v e b e y o n d t h e e x p l a n a t i o n o f t h e s t i m u l u s a n d i n t o t h e t e r r a i n o f t h e p u z z l i n g o b j e c t o r c o n c e p t . T h i s m a y b e a r e s u l t o f t r y i n g t o a r t i c u l a t e f e e l i n g s o f c o n f u s i o n . D a n i e l l e a n d T e r i a s s o c i a t e d t h e i r c o n f u s i o n w i t h s e l f - d e s c r i b e d i n a d e q u a c y . N i c o l e l a c k e d a r e a l w o r l d c o n t e x t f o r t h i n k i n g a b o u t t h e r o l e o f z e r o i n t h e a b s t r a c t . I n c o n t r a s t , B e r t w a s a b l e t o e x p l a i n b o t h t h e s t i m u l u s o f h i s c o n f u s i o n a n d w h a t h e u n d e r s t o o d a t t h e t i m e - ~ t h e f o r m e r i n w a y s s i m i l a r t o t h e o t h e r s , t h e l a t t e r v i a m e t a p h o r s . H i s m e t a p h o r s a r e e s s e n t i a l l y c o n j e c t u r e s a b o u t h o w a s p e c t s o f m a t h e m a t i c s w o r k . T h e m e t a p h o r s o f f e r a n i m a g e o f h o w h e u n d e r s t o o d t h e r e l a t i o n s h i p b e t w e e n n e g a t i v e a n d p o s i t i v e i n t e g e r s . B e r t ’ s u n d e r s t a n d i n g a s r e p r e s e n t e d i n h i s m e t a p h o r s m a y n o t h a v e b e e n e n t i r e l y c o r r e c t o r s a t i s f a c t o r y f o r m a t h e m a t i c s e d u c a t o r s b u t t h e m e t a p h o r s d o o f f e r i n s i g h t i n t o h i s t h i n k i n g . I n a d d i t i o n , t h e y s i g n a l h i s w i l l i n g n e s s t o e x p r e s s t e n t a t i v e u n d e r s t a n d i n g s a n d h i s e a g e r n e s s t o e x p l o r e t h i s t e r r i t o r y i n d e p t h . T h e y a r e a b i t s u r p r i s i n g i n t h a t , w h e n d o i n g t h e c o n t e x t u a l m a t h e m a t i c a l p r o b l e m s I p o s e d , B e r t s e l d o m u s e d t h e " r e a l w o r l d ” c o n t e x t s , h e s t r i p p e d t h e m a w a y . Y e t , w h e n h e e n c o u n t e r e d a b s t r a c t m a t h e m a t i c a l t e r r a i n h e f o u n d c o n f u s i n g , h e r e v e r t e d t o t h e r e a l w o r l d t o t r y t o i n t e r p r e t i t . 2 5 7 E x p l a i n i n g t h e P r o c e s s o f D o i n g M a t h e m a t i c s B o t h B e r t a n d D a n i e l l e e s s a y e d e x p l a n a t i o n s o f t h e p r o c e s s o f d o i n g m a t h e m a t i c s . D a n i e l l e e x p l a i n e d h o w s h e p e r c e i v e d b o t h h e r r e l a t i o n s h i p w i t h h e r t e a c h e r ( o r a n y m o r e k n o w l e d g e a b l e o t h e r ) a n d h e r r e l a t i o n s h i p w i t h m a t h e m a t i c s i t s e l f . B e r t e x p l a i n e d h i s i d e a s a b o u t w h a t m a d e m a t h e m a t i c s h i s ” b e s t t h i n g , ” w h a t h e m e a n t w h e n h e s a i d m a t h e m a t i c s w a s ” p o w e r f u l . " I n c o n t r a s t , T e r i m a d e l i t t l e r e f e r e n c e t o t h e p r o c e s s o f d o i n g m a t h e m a t i c s . H e r l o n e d i r e c t c o m m e n t i n d i c a t e d t h a t s h e t u n e d o u t o f c o n v e r s a t i o n s r e l a t e d t o i n t e r p r e t i n g c o m p l e x m a t h e m a t i c a l i d e a s . O n e m i g h t i n f e r f r o m t h e m a n y i n s t a n c e s s h e s e e m e d u n a b l e t o r e s p o n d t o m y q u e s t i o n s a b o u t h e r m e n t a l p r o c e s s e s t h a t s h e a t t e n d e d t o t h e m b u t l i t t l e , a l s o . N i c o l e s e e m e d a w a r e o f t h e p r o c e s s e s b u t s p o k e m o r e a b o u t o t h e r s ’ m e n t a l p r o c e s s e s t h a n a b o u t h e r o w n . T e r i T e r i ’ s i m a g e o f t h e w o r k o f m a t h e m a t i c i a n s i n c l u d e d ” a d d i n g a n d t e a c h i n g p e o p l e h o w t o d o m a t h , a n d a d d i n g a n d s u b t r a c t i n g . . . . t h e y ’ r e t e a c h i n g p e o p l e a n d t h i n k i n g a b o u t o t h e r t h i n g s , [ a b o u t ] h o w t o w o r k . . . o u t t h e p r o b l e m ” ( T , 1 1 , p p . 1 7 - 1 8 ) . T h i s i m a g e o f m a t h e m a t i c i a n s s e e m s m o d e l e d o n h e r o w n s e c o n d a n d t h i r d g r a d e t e a c h e r . T h i s t e a c h e r o f t e n p a r t i c i p a t e d i n t h e c l a s s ’ m a t h e m a t i c a l d i s c u s s i o n s o s t e n s i b l y a s a n e q u a l ; s h e p r e s e n t e d t h e a p p e a r a n c e o f ” d o i n g m a t h " w i t h h e r s t u d e n t s . T e r i a p p a r e n t l y s a w m a t h e m a t i c i a n s s o l v i n g p r o b l e m s b y e n g a g i n g i n t h e s a m e s o r t s o f a c t i o n s a s s h e , h e r c l a s s m a t e s , a n d h e r t e a c h e r e n g a g e d . S h e s a w h e r p e e r s a t t i m e s d i s c u s s i n g m a t h e m a t i c a l i s s u e s t h a t s h e d i d n o t " g e t . ” T h i s a r o s e i n t h e fi r s t i n t e r v i e w w h e n I a s k e d T e r i w h e t h e r z e r o w a s a n u m b e r . S h e a r g u e d t h a t i t w a s b e c a u s e o t h e r w i s e t h e r e w o u l d b e n o 1 0 , 2 0 , e t c . S h e a l s o n o t e d t h a t z e r o i s " i n 2 5 8 t h e n u m b e r s y s t e m ” a n d p o i n t e d t o t h e n u m b e r c h a r t w e h a d b e e n u s i n g . S h e c o n c l u d e d , ” S o , t h a t w o u l d b e a n u m b e r ” ( p . 2 0 ) . H o w e v e r , s h e c o m m e n t e d t h a t s o m e o f h e r p e e r s d i d n o t t h i n k i t w a s a n u m b e r . L a t e r , I w r o t e t h e p r o b l e m 4 3 a n d a s k e d h e r t o s o l v e i t . T e r i c o u n t e d b a c k t o g e t " 6 " i n t h e o n e ’ s p l a c e a n d t h e n ” o n e t a k e a w a y [ p a u s e ] o n e , w o u l d e q u a l z e r o . ” S h e w r o t e " 0 " n e x t t o l 8 t h e " 6 ” i n t h e t e n ’ s p l a c e : ' 1 1 ) : I a s k e d w h a t t h e z e r o w a s f o r a n d T e r i , i n a r u s h , e r a s e d i t s a y i n g ” O h , h u m , i t ’ s n o t t h e r e . ” I a s k e d h o w s h e k n e w s h e c o u l d ” j u s t t h r o w i t a w a y l i k e t h a t . ” S h e r e s p o n d e d , " ’ C a u s e ! U h - o h , z e r o ’ s n o t a n u m b e r ! [ l a u g h i n g ] B e c a u s e i t w o u l d b e ’ o h - s i x ’ a n d ’ o h - s i x ’ i s n o t a n u m b e r . ” M y q u e s t i o n , ” W h y i s n ’ t [ ’ o h - s i x ’ ] a n u m b e r ? ” r e s u l t e d i n a n u n c e r t a i n r e s p o n s e , " B e c a u s e z e r o i s n o t a n u m b e r . ” S h e s e e m e d d i s t r e s s e d a t t h i s a p p a r e n t c o n t r a d i c t i o n o f h e r p r e v i o u s c l a i m ; s h e s a i d , " N o w I ’ m c o n f u s e d ” ( p . 2 3 ) . 1 0 0 I n r e s p o n s e t o p r o b e s , T e r i i n d i c a t e d t h a t t h e c l a s s o f t e n d i s a g r e e d a b o u t m a t h e m a t i c a l i d e a s . I a s k e d h o w s h e d e c i d e d w h a t w a s t h e r i g h t a n s w e r i n s u c h i n s t a n c e s . S h e s a i d t h a t s h e , ” l e t t h e o t h e r p e o p l e d e c i d e . ” W h e n I a s k e d i f s h e t h e n w e n t a l o n g w i t h t h a t d e c i s i o n , s h e r e f e r r e d b a c k t o a n e a r l y p a r t o f t h e i n t e r v i e w s a y i n g , " I f i g u r e i t o u t i n m y j o u r n a l ” ( p . 2 4 ) . H e r r e f e r e n c e w a s t o h e r d e s c r i p t i o n o f u s i n g t h e n u m b e r c h a r t t o s o l v e p r o b l e m s o n h e r o w n ( s e e h e r p r o f i l e ) . I n r e s p o n s e t o p r i o r q u e s t i o n s a b o u t w h a t m a k e s s o m e o n e " g o o d a t m a t h , ” s h e h a d i d e n t i f i e d a c l a s s m a t e w h o ” t h i n k s r e a l l y h a r d a n d l i s t e n s . ” T e r i h a d a l e s s p o s i t i v e v i e w o f h e r s e l f a s a d o e r o f m a t h e m a t i c s : ” I t h i n k s h e l i s t e n s m a y b e j u s t a t a d h a r d e r t h a n I d o . B e c a u s e a f t e r a w h i l e I l o s e i n t e r e s t . . . s o m e t i m e s i f I d o n ’ t l i k e t h e p r o b l e m ” ( p . 7 ) . A s n o t e d i n h e r p r o fi l e , T e r i h a d 1 0 0 1 s u s p e c t s h e k n e w t h a t 6 0 w a s , w e l l , 6 0 . I n c l a s s , t h e y h a d d i s c u s s e d w h e t h e r n u m b e r s c o u l d b e r e v e r s e d - a n d w h i c h o n e s c o u l d . ( T h i s c a m e u p i n a d i s c u s s i o n o f s u b t r a c t i o n w i t h r e - g r o u p i n g : w h e n d i d o n e h a v e t o r e g r o u p a n d w h e n n o t ? ) T h u s , 3 5 , 7 8 , e t c . c o u l d b e r e v e r s e d ; 3 3 , 7 7 , 3 , 7 c o u l d n o t . T h i s w a s t h e c o n s e n s u s o f t h e c l a s s . B u t , w h a t o f 6 0 o r 7 0 ? S o m e a r g u e d t h a t 0 6 w a s n o t a n u m b e r s i n c e i t w a s o n l y u s e d i n c o u n t d o w n s a n d g a m e s ( i r o n i c a l l y , i n " r e a l w o r l d ” s i t u a t i o n s ) . 2 5 9 m i x e d f e e l i n g s a b o u t m a t h : ” I l i k e m a t h b u t n o t t h a t m u c h . I d o n ’ t r e a l l y g e t i t . ” S h e d i d n o t m e n t i o n t h e ” p o w e r ” o f m a t h e m a t i c s a n d d i d n o t m a i n t a i n i n t e r e s t i n p r o b l e m s . I t s e e m s p l a u s i b l e t h a t T e r i ’ s w a n i n g o f i n t e r e s t s t e m m e d f r o m c o n f u s i o n ; w h e n o t h e r s p u r s u e d a r e a s s h e f e l t s h e c o u l d n o t f o l l o w ( e . g . , 4 6 - 2 8 a n d 2 8 - 4 6 ) , h e r ” m i n d w a n d e r [ e d ] . ” W h i l e o t h e r s p a r t i c i p a t e d i n t h e p r o c e s s o f b u i l d i n g u n d e r s t a n d i n g a r o u n d c o m p l e x m a t h e m a t i c a l i d e a s , T e r i c o n f i n e d h e r s e l f t o t h e s o l v i n g o f i n d i v i d u a l p r o b l e m s . S i n c e s h e c o u l d n o t ” g e t ” t h e m o r e c o m p l e x i d e a s , s h e c o n f i n e d h e r s e l f t o t h e ” o n / o f f ” r e a l m o f d o i n g m a t h e m a t i c s . S h e w a s q u i t e s u c c e s s f u l i n t h i s r e a l m d u r i n g t h e i n t e r v i e w s . N i c o l e N i c o l e t r e a t e d t h e w o r d s ” k n o w ” a n d " c o n f u s e d ” a s a n t o n y m s . U n l i k e T e r i w h o s e e m e d t o v i e w w h a t s h e p e r s o n a l l y w a s a b l e t o k n o w a s " o n / o f f , ” N i c o l e a p p a r e n t l y h a d a l e s s d i s c r e t e v i e w o f k n o w i n g . C o n f u s i o n s u g g e s t s o n e h a s i d e a s a b o u t s o m e t h i n g b u t l a c k s c e r t a i n t y a b o u t w h i c h i d e a s a r e c o r r e c t o r h o w t h e i d e a s o n e h a s r e l a t e . C o n c u r r e n t w i t h t h i s d i s t i n c t i o n b e t w e e n k n o w i n g a n d c o n f u s i o n a r o s e N i c o l e ’ s s e e m i n g u n c e r t a i n t y w h e t h e r s h e t h o u g h t c h i l d r e n k n e w h o w t o b o r r o w o r w h e n t o b o r r o w . A s d e s c r i b e d i n h e r p r o f i l e , s h e s e l f - c o r r e c t e d h e r c l a i m t h a t h e r p e e r s d i d n o t k n o w h o w t o b o r r o w t o o n e t h a t t h e y d i d n o t k n o w w h e n t o b o r r o w . T h e e v i d e n c e f r o m t h e i n t e r v i e w s s u g g e s t s t h a t N i c o l e h e r s e l f k n e w h o w t o ” b o r r o w ” b u t t h a t s h e d e t e r m i n e d w h e n b y fi r s t s o l v i n g a p r o b l e m w i t h o u t ” b o r r o w i n g " a n d t h e n , i f t h a t a n s w e r d i d n o t s e e m t o f i t , s h e t r i e d w i t h ” b o r r o w i n g . ” U s i n g h e r t e r m s , o n e m i g h t s a y t h a t s h e t o o w a s c o n f u s e d a b o u t w h e n t o b o r r o w b u t k n e w h o w t o d o s o . T h i s o f f e r s a n i n t e r e s t i n g p a r a l l e l w i t h t h e w a y N i c o l e s o l v e d c o n t e x t u a l a n d a b s t r a c t p r o b l e m s . O n t h e o n e 2 6 0 h a n d , s h e c o u l d m a n i p u l a t e h e r p i c t o r i a l a n d a b s t r a c t r e p r e s e n t a t i o n s w i t h r e l a t i v e s k i l l — s h e k n e w h o w t o u s e t h e m . O n t h e o t h e r , f r o m a m a t h e m a t i c a l p e r s p e c t i v e s h e w a s l e s s a d e p t a t m a k i n g d e c i s i o n s a b o u t h o w t o r e p r e s e n t s o m e p r o b l e m s - - s h e w a s s o m e t i m e s c o n f u s e d a b o u t w h a t t o r e p r e s e n t . U n l i k e T e r i , N i c o l e w a s a t t r a c t e d t o t h e s o c i a l p r o c e s s o f d o i n g m a t h e m a t i c s ; s h e l i k e d s h a r i n g i d e a s a n d h e l p i n g h e r p e e r s . A t t h e s a m e t i m e , s h e f o u n d t h e m a t h e m a t i c a l p r o c e s s e s c o n f u s i n g , j u s t l i k e T e r i . B e r t B e r t o f f e r s a d i f f e r e n t i m a g e o f t h e p r o c e s s o f d o i n g m a t h e m a t i c s . W h i l e T e r i a n d N i c o l e s u g g e s t i n d i v i d u a l s e n g a g e d i n m a k i n g d e c i s i o n s , B e r t m i g h t b e c o n s i d e r e d a s o c i a l c o n s t r u c t i v i s t . I n e l a b o r a t i n g o n t h e p o w e r o f m a t h e m a t i c s , h e s p o k e o f p a r t i c i p a t i n g i n ” b i g d i s c u s s i o n s . ” H e t h o u g h t t h e s e d i s c u s s i o n s i m p o r t a n t b e c a u s e " i t ’ s g o o d t o h a v e p e o p l e , k n o w w h a t p e o p l e , o t h e r p e o p l e m e a n . . . a n d i t ’ s r e a l l y f u n t o t e l l p e o p l e w h a t y o u t h i n k a n d s t u f f l i k e t h a t ” ( B , 1 1 , p . 3 ) . B e r t ’ s v i e w s a b o u t s h a r i n g i d e a s w e n t b e y o n d N i c o l e ’ s . S h e f o u n d i n t r i n s i c p l e a s u r e i n h e a r i n g e v e r y o n e ’ s i d e a s . W h i l e B e r t l i k e l y a l s o f o u n d t h e m i n t r i n s i c a l l y i n t e r e s t i n g , h e s a w t h e s h a r i n g o f i d e a s a s a t o o l f o r h i s l e a r n i n g . H e r e i t e r a t e d h i s i n t e r e s t i n d i s c u s s i o n s i n r e s p o n s e t o w h a t h e t h o u g h t o f w h e n 1 s a i d " m a t h e m a t i c s ” : I t h i n k o f d i s c u s s i o n a n d b e i n g s e r i o u s . W h e n I t h i n k o f m a t h e m a t i c s a n d I ’ m b e i n g p l a y f u l . . . I s t a r t b e i n g r e a l l y s e r i o u s , b e c a u s e l i k e , w h e n I c o m e i n f r o m l u n c h , w e ’ r e r e a l l y p l a y f u l . A n d t h e n w h e n t h e y s a y , ” I t ’ s t i m e t o s t a r t m a t h , " I ’ m s i t t i n g d o w n , s e r i o u s . ( B , 1 1 , p . 3 ) A s n o t e d i n h i s p r o f i l e , B e r t d e s c r i b e d m a t h e m a t i c s a s h i s ” b e s t t h i n g . . . b e c a u s e i t ’ s i n t e r e s t i n g ” ( B , 1 1 , p . 2 ) . H e c o n t i n u e d , " a n d w h e n 1 t h i n k ’ i n t e r e s t i n g , ’ I t h i n k i t ’ s , l i k e , v e r y , l i k e p o w e r f u l , i t , y o u c a n s e e i t i n y o u r h e a d ” 2 6 1 ( p . 3 ) . I a s k e d w h a t h e m e a n t b y ” p o w e r f u l ” a n d B e r t t r i e d ” a r g u e f u l ” b u t t h e n r e s o r t e d t o a m e t a p h o r : ” I t b r i g h t s u p m y h e a d ” ( p . 3 ) . D u r i n g t h e i n t e r v i e w s , B e r t w a s v e r y i n t e n s e w h e n e x p l a i n i n g h i s i d e a s a b o u t c o m p l e x , a b s t r a c t c o n c e p t s a n d o b j e c t s o f m a t h e m a t i c s , e . g . , t h e r e l a t i o n s h i p a m o n g z e r o , n e g a t i v e i n t e g e r s , a n d p o s i t i v e i n t e g e r s . H e s e e m e d t o r e c o g n i z e a n d e n j o y t h i s i n t e n s i t y w i t h i n h i m s e l f : " Y o u ’ r e b e i n g s e r i o u s , y o u ’ r e n o t l a u g h i n g a n d p l a y i n g . . . . i t ’ s h a r d t o e x p l a i n , u m . . . l i k e , I l i k e t o b e s e r i o u s a t o n e t i m e , y o u h a v e t o b e s e r i o u s a t o n e t i m e , y o u h a v e t o b e p l a y f u l [ a t a n o t h e r ] t i m e . . . . I p l a y a t o n e t i m e a n d I b e s e r i o u s a t o n e t i m e . S o I l i k e b o t h o f t h o s e t h i n g s ” ( p . 3 ) . B e r t l i k e d t h e c h a l l e n g e o f d o i n g m a t h a n d h a d a s e n s e o f i t s p o w e r . H e e n j o y e d t h e c h a l l e n g e o f d e v e l o p i n g t h a t p o w e r w i t h i n h i m s e l f . H i s u s e o f " a r g u e f u l ” r e c a l l s t h e c o n v e r s a t i o n s i n w h i c h h e r e v e l e d . H e e n j o y e d ” b i g d i s c u s s i o n s ” b e c a u s e " i t ’ s g o o d t o . . . k n o w w h a t . . . o t h e r p e o p l e m e a n ” ( p . 3 ) . H i s u s e o f " b r i g h t ” s u g g e s t s t h e i n c r e a s e i n i n t e n s i t y t h a t h e e x p e r i e n c e d p a r t i c i p a t i n g i n t h e s e d i s c u s s i o n s w h i c h h e t h o u g h t o f a s p a r t o f d o i n g m a t h e m a t i c s . D u r i n g t h e t h i r d i n t e r v i e w , B e r t a g a i n h a d d i f fi c u l t y e x p r e s s i n g h i s t h o u g h t p r o c e s s e s , t h i s t i m e r e l a t e d t o s o l v i n g p r o b l e m s . I a s k e d h i m w h a t 5 - 9 w a s a n d h e e s t i m a t e d , " 6 . ” W h e n I a s k e d h o w h e h a d c o m e t o t h i s e s t i m a t e , B e r t s a i d : ” I t h o u g h t a b o u t n i n e t a k e a w a y f i v e , a n d i t w a s f o u r , a n d i t w a s g o i n g u p t h i s t i m e , s o I t h o u g h t ” s i x ” b e c a u s e , b e c a u s e , i t j u s t , I c a n ' t r e a l l y e x p l a i n i t w h e n i t ' s i n m y h e a d ” ( B , 1 3 , p . 1 4 ) . W h e n I s a i d t h a t I w o u l d l i k e h i m t o t r y v e r y h a r d t o e x p l a i n , h e r e s p o n d e d , ” I d o t r y , b u t i t ' s h a r d , r e a l l y h a r d t o e x p l a i n . " B e r t w a s c l e a r l y a w a r e o f m e n t a l p r o c e s s e s t h a t h e c o u l d n o t c o m m u n i c a t e . T e r i f e n c e d s u c h t e r r i t o r y o f f b y a s s e r t i n g h e r o w n l a c k o f a w a r e n e s s o f h e r r e a s o n i n g . O n o c c a s i o n , B e r t w a s 2 6 2 n o m o r e c o m m u n i c a t i v e a b o u t h i s t h i n k i n g b u t t h i s s e e m e d a p r o b l e m o f e x p r e s s i o n , n o t a v o i d a n c e o r a l a c k o f a w a r e n e s s o f h i s o w n m e n t a l p r o c e s s e s . B e r t a s a d o e r o f m a t h e m a t i c s m a y b e c h a r a c t e r i z e d b y t h e n o t i o n o f c o o p e r a t i o n . H e a t t e n d e d t o w h a t h a p p e n e d i n h i s h e a d a s h e e n g a g e d i n t h e m a t h e m a t i c a l d i s c o u r s e o f h i s c l a s s r o o m . H e s a w t h i s d i s c o u r s e a s a n i n t r i n s i c p a r t o f d o i n g m a t h e m a t i c s , a s d e v e l o p i n g h i s ( a n d h i s p e e r s ’ ) u n d e r s t a n d i n g o f t h e s u b j e c t m a t t e r . D a n i e l l e D a n i e l l e a s d o e r o f m a t h e m a t i c s m a y b e s t b e c h a r a c t e r i z e d b y t h e n o t i o n o f f r i e n d l y c o m p e t i t i o n . S h e a t t e n d e d t o a n d c o m p e t e d w i t h o u t s i d e f o r c e s - m o r e k n o w l e d g e a b l e o t h e r s a n d t h e s u b j e c t m a t t e r o f m a t h e m a t i c s - a n d w h a t t h e y s o u g h t t o i m p o s e u p o n h e r . S h e d i d n o t r e a c t t o t h e s e p e r c e i v e d a t t e m p t s a t i m p o s i t i o n n e g a t i v e l y . J u s t a s B e r t l i k e d c o o p e r a t i v e d e v e l o p m e n t o f u n d e r s t a n d i n g , D a n i e l l e s a w t h i s c o m p e t i t i o n a s i m p o r t a n t f o r f o s t e r i n g m a t h e m a t i c a l u n d e r s t a n d i n g . T o D a n i e l l e , a t e a c h e r i s , ” s u p p o s e d t o l e t t h e k i d s f i n d o u t o n t h e i r o w n . . . b e c a u s e t h e y n e e d t o l e a r n ” ( D , 1 2 , p . 7 ) . F o r h e r , t h e m o r e ” k i d s ” h a v e t o w o r k t o f i g u r e s o m e t h i n g o u t , t h e m o r e t h e y l e a r n . D a n i e l l e v i e w e d c o m p e t i t i o n w i t h h e r t e a c h e r a s a p a t h t o u n d e r s t a n d i n g m a t h e m a t i c s . O n e w a y D a n i e l l e e x p l a i n e d t h e c o m p e t i t i v e n a t u r e o f h e r r e l a t i o n s h i p w i t h m a t h e m a t i c s a n d o t h e r s w a s t h r o u g h t h e w o r d s ” t r i c k y " a n d ” h a r d . " R e c a l l f r o m h e r p r o f i l e t h a t , a t t h e e n d o f t h e C a n d y B a r p r o b l e m , D a n i e l l e s a i d t h a t I w a s ” n o t s u p p o s e d t o g i v e [ h e r ] h a r d a n d t r i c k y p r o b l e m s ” ( D , 1 2 , p . 5 ) . I n o w e x a m i n e D a n i e l l e ’ s u s e o f e a c h . 2 6 3 M y D a n i e l l e l i k e d p r o b l e m s s h e d e s c r i b e d a s ” t r i c k y ” a s l o n g a s t h e y w e r e n o t ” t o o , t o o t r i c k y . ” A s B e r t h a d w i t h ” a r g u e f u l , ” D a n i e l l e s t r u g g l e d t o a r t i c u l a t e w h a t s h e m e a n t b y ” t r i c k y ” a n d ” h a r d . ” S h e o f t e n u s e d t h e t w o w o r d s t o g e t h e r b u t i n d i c a t e d t h e y h e l d d i f f e r e n t m e a n i n g s f o r h e r . H e r e x p l a n a t i o n s s u g g e s t s h e f e l t ” t r i c k y ” p r o b l e m s w e r e d e s i g n e d t o i n t e n t i o n a l l y m i s l e a d s t u d e n t s - f o r t h e p u r p o s e o f m a k i n g t h e m ” t h i n k h a r d ” a n d , a s a r e s u l t , l e a r n . S h e s a i d h e r t e a c h e r t r i c k e d t h e c l a s s , " T o m a k e y o u l e a r n . T o f i g u r e o u t , s h e w a n t s y o u t o l e a r n h o w t o fi g u r e o u t a n s w e r s t h a t a r e t r i c k y ” ( D , 1 4 , p . 3 ) . W h e n D a n i e l l e f i r s t t r i e d t o p i n d o w n t h e n o t i o n o f ” t r i c k y ” i n t h e s e c o n d i n t e r v i e w , s h e g a v e a n e x a m p l e o f a p r o b l e m h e r t e a c h e r h a d p o s e d t o h e l p t h e c l a s s p r e p a r e f o r u p c o m i n g s t a n d a r d i z e d t e s t i n g . D a n i e l l e h a d d i f f i c u l t y r e c a l l i n g t h e e x a c t w o r d i n g u a n d , i n f a c t , c i t e d t h a t a s e v i d e n c e f o r t h e " t r i c k i n e s s " o f t h e t e a c h e r a n d t a s k . H e r t e a c h e r u s e d D a n i e l l e ’ s p e e r s a s t h e s u b j e c t s i n t h e s t o r y : I t w a s a b o u t r e a d i n g . A n d ” A r t r e a d m o r e p a g e s t h a n M e l a n i e . ” S o , A r t w o u l d b e u p h e r e , h e w o u l d b e t h e h i g h e s t b e c a u s e h e r e a d m o r e . . . . A r t a n d t h e n M e l a n i e w a s n e x t , a n d t h e n i t s a i d , " M e l a n i e r e a d m o r e t h a n N i c o l e . ” B u t [ m y t e a c h e r ] j u s t p u t N i c , a n d t h e n , " N i c o l e r e a d m o r e t h a n C u r t , N i c o l e r e a d m o r e t h a n C u r t b u t f e w e r t h a n K a N e s h a . " N i c o l e r e a d m o r e t h a n C u r t b u t f e w e r t h a n K a N e s h a . I k n o w t h i s i s [ c o n f u s i n g ] . O k a y , s h e r e a d , r e a d m o r e t h a n C u r t b u t s h e r e a d f e w e r t h a n K a N e s h a a n d K a N e s h a w a s b e l o w C u r t . S o , C u r t c a m e b e f o r e h e r , w a i t . S h e r e a d m o r e t h a n C u r t b u t f e w e r t h a n K a N e s h a , s o K a N e s h a w o u l d c o m e f i r s t , a n d s e e e v e r y b o d y g o t c o n f u s e d . ( D , 1 2 , p p . 6 - 7 ) O n e c a n c e r t a i n l y s y m p a t h i z e w i t h D a n i e l l e ’ s p e r c e p t i o n t h a t t h i s p r o b l e m - f u l l o f ” m o r e t h a n [ s ] ” a n d ” f e w e r t h a n l s l , ” w i t h t h e c h i l d r e n p r e s e n t e d i n s e e m i n g l y r a n d o m o r d e r - w a s ” t r i c k y . ” 1 0 1 I n t h e f o u r t h i n t e r v i e w D a n i e l l e r e c a l l e d t h i s s a m e p r o b l e m a n d e x p l a i n e d w h y i t w a s t r i c k y : " Y o u ' r e t h i n k i n g 1 0 1 I n f a c t , s o m e a r g u e t h a t s t a n d a r d i z e d t e s t s p o s e s u c h p r o b l e m s i n a n e f f o r t t o s o r t s t u d e n t s . 2 6 4 o n e t h i n g , b u t t h a t ' s n o t t h e r i g h t t h i n g a n d y o u k n o w i t ' s n o t t h e r i g h t t h i n g , b u t y o u j u s t w a n t t o t h i n k i t i s t h e r i g h t t h i n g ” ( D , 1 4 , p . 2 ) . D a n i e l l e s a w p a r t o f t h e r o l e o f a t e a c h e r a s b e i n g t o ” t r i c k ” s t u d e n t s ; s h e i d e n t i f i e d a c o m p e t i t i v e r e l a t i o n s h i p — w h i c h s h e l i k e d u w i t h t h e t e a c h e r . D a n i e l l e a l s o v i e w e d o u r i n t e r a c t i o n s a s c o n t a i n i n g g o o d n a t u r e d c o m p e t i t i o n . S e v e r a l t i m e s , s h e c o m p l a i n e d w f a c e t i o u s l y — t h a t I h a d t r i c k e d o r w a s t r y i n g t o t r i c k h e r . I n t h e L u n c h M e n u p r o b l e m s h e s a i d t h a t t h e p r o c e s s o f ” c o u n t i n g t h e m e a l s , l i k e t h e n s w i t c h t h e m a l l a r o u n d ” w a s t r i c k y ( D , 1 2 , p . 1 4 ) . T h i s w a s a t a s k i n w h i c h s h e h a d o n l y m o d e r a t e s u c c e s s . S h e w a s s u c c e s s f u l a t c o n s t r u c t i n g a n u m b e r o f m e a l s b u t f o u n d n o m o r e t h a n t h r e e ( o f f o u r p o s s i b l e ) f o r a n y o n e m a i n c o u r s e a n d t h a t o n l y a f t e r s i g n i f i c a n t p r o b i n g f r o m m e . S h e h a d n o s y s t e m a t i c w a y o f a r r a n g i n g t h e s l i p s t o f i n d a n d k e e p t r a c k o f m e a l s . S h e a l s o t h o u g h t t h e G e o m e t r y t a s k w a s t r i c k y b e c a u s e ” t h e r e w a s h i d d e n s h a p e s ” ( D , 1 2 , p . 2 1 ) . H e r c h o i c e o f t h e w o r d ” h i d d e n " s u p p o r t s m y i n t e r p r e t a t i o n o f h e r m e a n i n g o f t r i c k y ; b y i n c l u d i n g h i d d e n s h a p e s , 1 w a s a t t e m p t i n g t o m i s l e a d , t o t r i c k , h e r . I n t h e t h i r d i n t e r v i e w , w h e n I p o u r e d m o r e w a t e r i n t o o n e m u g t o l e v e l t h e t w o m u g s , D a n i e l l e a c c u s e d m e o f ” c h e a t i n g ” b e c a u s e ” y o u c a n ' t . . . c h a n g e t h e p r o b l e m ” ( D , 1 3 , p . 1 3 ) . H o w e v e r , t h i s w a s r e p a r t e e ; s h e f o l l o w e d h e r c o m p l a i n t b y r e s p o n d i n g s e r i o u s l y a n d s u b s t a n t i v e l y t o m y q u e s t i o n . S h e w a s h a p p y w h e n s h e t h o u g h t s h e h a d f o u n d w a y s o f g e t t i n g a r o u n d p a r t i c u l a r d i f f i c u l t i e s o f a p r o b l e m o r t h o u g h t s h e h a d ” s e e n t h r o u g h ” a p r o b l e m s h e s u p p o s e d I h a d d e s i g n e d t o ” t r i c k ” h e r . L a t e i n t h e t h i r d i n t e r v i e w I a s k e d t h e c h i l d r e n t o d o " n i n e t a k e a w a y f i v e ” a n d , w h e n f i n i s h e d , t o d o ” f i v e t a k e a w a y n i n e . ” B y t h i s t i m e i n o u r r e l a t i o n s h i p , D a n i e l l e w a s q u i t e p l a y f u l , e s p e c i a l l y 2 6 5 d u r i n g t r a n s i t i o n s b e t w e e n t a s k s . I s t a r t e d t o i n t r o d u c e t h e f i r s t o f t h e s e , s a y i n g I w a s g o i n g t o a s k h e r t o d o a p r o b l e m . B e f o r e I a r t i c u l a t e d t h e f i r s t , s h e c r e a t e d h e r o w n ( F i g u r e 3 6 ) . T h e s e n s e o f l e v i t y w i t h w h i c h s h e d i d t h i s s e t t h e t o n e f o r t h e s u b s e q u e n t c o n v e r s a t i o n . O n c e p o s e d , s h e q u i c k l y w r o t e a n d s o l v e d b o t h o f m y p r o b l e m s ( F i g u r e 3 7 ) . S h e r e s p o n d e d t o m y q u e s t i o n a b o u t h o w s h e d i d t h e f i r s t b y s a y i n g s h e k n e w ” f i v e a n d f o u r e q u a l n i n e . ” T o t h e s e c o n d s h e r e s p o n d e d , ” I d o n ' t k n o w i t . I ’ m j u s t t h i n k i n g t h a t . ” W h e n I a s k e d w h y , s h e s a i d I w a s ” t r i c k i n g [ h e r ] a g a i n ! " W h e n I a s k e d h o w I w a s t r i c k i n g h e r , s h e a s k e d i f t h e p r o b l e m w a s ” t a k e a w a y . ” T e l l i n g m e , " y o u ' r e c o n f u s i n g m e a n d I ' m t e l l i n g t o o , " s h e c h a n g e d h e r s e c o n d a n s w e r f r o m " - 4 ” t o ” 4 ” . W h e n I c o m m e n t e d t h a t s h e h a d c h a n g e d h e r m i n d , s h e r e - w r o t e t h e s e c o n d p r o b l e m w i t h h e r o r i g i n a l a n s w e r . S h e t h e n d r e w n i n e c i r c l e s . S a y i n g " y o u t a k e a w a y f i v e , " s h e d r e w l i n e s t h r o u g h fi v e c i r c l e s a n d c o n c l u d e d , ” y o u ' v e g o t f o u r l e f t , s o i t ' s f o u r a n d I t r i c k e d y o u ” ( D , 1 3 , p . 1 6 ) . I a s k e d w h e t h e r s h e t h o u g h t i t ” k i n d o f f u n n y " t o g e t t h e s a m e a n s w e r f o r b o t h p r o b l e m s . S h e d i d n o t t a k e u p t h e c h a l l e n g e , r e s p o n d i n g " E v e r y t h i n g ' s f u n n y . ” I a s k e d i f s h e c o u l d ” s h o w n i n e t a k e a w a y fi v e w i t h c i r c l e s . ” A s b e f o r e , D a n i e l l e r e - w r o t e t h e p r o b l e m 9 - 5 ( a s i n F i g u r e 3 7 ) . S h e t h e n s o l v e d t h e p r o b l e m w i t h c i r c l e s ( F i g u r e 3 8 - - u s i n g d a s h e d o u t l i n e s t o i n d i c a t e n e g a t i v e s ) s a y i n g : Y o u c a n ' t t r i c k m e l i k e t h a t . I ' l l t e l l f o r r e a l . Y o u g o t n i n e a n d y o u g o t fi v e a n d y o u w a n t t o t a k e a w a y n i n e . W e t a k e a w a y t h i s o n e [ d r a w i n g a n ” X ” t h r o u g h a c i r c l e ] , b y e , w e t a k e a w a y t h i s o n e , b y e , a n d t h i s o n e , b y e a n d t h i s o n e , b y e , a n d o n e l a s t , b y e . A n d t h e n y o u s t i l l h a v e f o u r y o u n e e d t o t a k e a w a y , s o I t r i c k e d y o u . I w a n t a p i e c e o f c a n d y . ( D , 1 3 , p . 1 6 ) 2 6 6 F i g u r e 3 6 : D a n i e l l e ’ s s p o n t a n e o u s p r o b l e m . 9 5 5 9 \ i ’ 4 - 4 F i g u r e 3 7 : D a n i e l l e ’ s s o l u t i o n s t o a p a i r o f p r o b l e m s . B y e B y e B y e B y e B y e F i g u r e 3 8 : D a n i e l l e ’ s s o l u t i o n t o ” n i n e t a k e a w a y fi v e [ s i c ] " . 2 6 7 W h e n I s a i d t h a t , ” I a l w a y s t h o u g h t n i n e t a k e a w a y f i v e m e a n t y o u ' v e g o t n i n e a n d y o u t a k e a w a y f i v e , ” D a n i e l l e f i r s t u t t e r e d a c r y o f f r u s t r a t i o n . S h e q u i c k l y r e c o v e r e d a n d c h a n g e d h e r a n s w e r : ” T h i s i s n e g a t i v e f o u r . I w a s r i g h t i n t h e f i r s t p l a c e . I n e e d t h r e e p i e c e s o f c a n d y ” ( D , 1 3 , p . 1 7 ) . T h a t i s , D a n i e l l e r e v e r t e d t o h e r o r i g i n a l p a i r o f ( c o r r e c t ) a n s w e r s a n d a s s e r t e d t h a t m y r e p e a t e d q u e s t i o n s u s i n g ” n i n e ” a n d ” f i v e ” a n d a s k i n g h e r t o d o ” t a k e a w a y ” w e r e a t t e m p t s t o t r i c k h e r . S i n c e s h e h a d t h e c o r r e c t a n s w e r s ” i n t h e f i r s t p l a c e , " s h e f e l t s h e h a d t r i c k e d m e a n d d e s e r v e d a r e w a r d a s a r e s u l t . A s w e c o n c l u d e d t h e s e c o n d i n t e r v i e w , D a n i e l l e s a i d t h a t t h e r e w e r e a l o t o f t r i c k y p a r t s t o i t s o I a s k e d i f s h e d i d n o t l i k e t h a t . S h e r e s p o n d e d , ” N o , i t w a s f u n . I l i k e t r i c k y t h i n g s " ( D , 1 2 , p . 2 1 ) . H e r v e r b a l t e a s i n g , s m i l i n g f a c e , e x a g g e r a t e d a n g u i s h , a n d s u s t a i n e d e n g a g e m e n t w i t h ” t r i c k y " p r o b l e m s a t t e s t t o h e r a s s e r t i o n . H a r d D a n i e l l e h a d m o r e d i f f i c u l t y e x p l a i n i n g o r p r e s e n t i n g e x a m p l e s o f w h a t s h e m e a n t b y s o m e t h i n g b e i n g ” h a r d . ” W h e n s h e f i r s t i n t r o d u c e d t h e t e r m ” h a r d , " s h e s a i d i t w a s " w h e n y o u c a n ' t f i g u r e i t o u t ” i n a t o n e s u g g e s t i n g t h i s d e f i n i t i o n w a s o b v i o u s . S i n c e s h e s a i d t h i s a f t e r j u s t c o m p l e t i n g a s o l u t i o n t o t h e C a n d y B a r p r o b l e m , I a s k e d i f t h a t p r o b l e m c o u l d t h e n b e c o n s i d e r e d h a r d . S h e r e s p o n d e d w i t h a s l i g h t l y a d a p t e d d e f i n i t i o n : ” W e l l , . . . W h a t m a k e s t h i s h a r d i s i t ’ s t o o c o m p l i c a t e d ” ( D , 1 2 , p . 6 ) . W e r e v i s i t e d h e r u s e o f " h a r d " i n t h e f o u r t h i n t e r v i e w . I n a t t e m p t i n g t o g i v e a d e f i n i t i o n o r e x p l a n a t i o n , s h e f i r s t s h o w e d a p r o b l e m t h a t s h e s a i d , " i s c a l l e d e a s y ” : 6 0 + 2 = 6 2 ( D , 1 4 , p . 2 ) . S h e t h o u g h t " n e g a t i v e n u m b e r s a n d b o r r o w i n g ” w e r e ” m o r e h a r d t h a n t r i c k y ” ( p . 1 2 ) . T h e s o l e s p e c i f i c e x a m p l e o f s o m e t h i n g " h a r d ” s h e p r o d u c e d w a s f i g u r i n g o u t h o w 2 6 8 m a n y n u m b e r s o n e c o u l d m a k e w i t h a f o u r d i g i t n u m b e r , i . e . , h o w m a n y d i f f e r e n t w a y s o n e c o u l d a r r a n g e f o u r d i g i t s . T h i s p r o b l e m t u r n e d o u t n o t t o c a p t u r e " h a r d ” w e l l ; s h e f a i r l y q u i c k l y s h o w e d h o w t o s o l v e t h e p r o b l e m . J u x t a p o s i n g h e r e x p l a n a t i o n o f ” t r i c k y ” a n d " h a r d ” s u g g e s t s t r i c k y w a s e m b e d d e d i n t h e w a y t h e p r o b l e m w a s p r e s e n t e d w h i l e h a r d w a s a n i n h e r e n t a t t r i b u t e o f ( s o m e a s p e c t o f ) m a t h e m a t i c s . ” T r i c k i n e s s ” w a s a t r a i t o f p r o b l e m s t h a t w a s i m p a r t e d b y a n o t h e r - h e r t e a c h e r , t h e i n t e r v i e w e r . ” H a r d n e s s " w a s a t r a i t o f m a t h e m a t i c s . T r i c k i n e s s d e s c r i b e s t h e d e s i g n o f s p e c i fi c p r o b l e m s , h a r d n e s s d o e s n o t . B o t h a d j e c t i v e s a r e a t t r i b u t e s i m p o s e d f r o m t h e o u t s i d e ( o n e b y p e r s o n s , t h e o t h e r b y t h e d i s c i p l i n e i t s e l f ) t h a t i m p a c t e d D a n i e l l e - a n d a l l d o e r s o f m a t h e m a t i c s . U n d e r t h e s e d e f i n i t i o n s , t r i c k y p r o b l e m s w o u l d b e a s u b s e t o f c o n t e x t u a l i z e d p r o b l e m s w h i l e h a r d p r o b l e m s c o u l d b e e i t h e r a b s t r a c t o r c o n t e x t u a l i z e d . A p r o b l e m w i t h o u t c o n t e x t , l i k e t h e O p e r a t i o n s t a s k , m i g h t b e " h a r d ” b u t w o u l d n o t b e ” t r i c k y ” a s i t w o u l d n o t h a v e a c o n t e x t d e s i g n e d t o m i s l e a d t h e s t u d e n t . S u m m a r y o f F u n c t i o n s o f L a n g u a g e — B e y o n d S p e c i f i c P r o b l e m s A s I h a v e a r g u e d , a n i m p o r t a n t p a r t o f m a t h e m a t i c a l r e a s o n i n g i s l o o k i n g b e y o n d t h e s p e c i f i c . A s a c o n s e q u e n c e , t h e r o l e o f l a n g u a g e t h a t t a k e s c h i l d r e n b e y o n d p a r t i c u l a r p r o b l e m s i s a k e y i n d e v e l o p i n g a d i s c i p l i n e - b a s e d m a t h e m a t i c a l u n d e r s t a n d i n g . I h a v e a r g u e d i n t h i s s e c t i o n t h a t o n l y B e r t t o o k s u c h s t e p s w i t h a n y c o n s i s t e n c y o r p e r s i s t e n c e . A l l o f t h e c h i l d r e n s e e m e d t o p e r c e i v e t h e e x i s t e n c e o f i s s u e s b e y o n d t h e s o l v i n g o f i n d i v i d u a l p r o b l e m s . D a n i e l l e a n d T e r i , d e c l i n e d t o e n g a g e w i t h t h e s e i s s u e s o u t o f f e e l i n g s o f i n a b i l i t y . N i c o l e d e c l i n e d t o t a c k l e a l a r g e r c o n t e x t b e c a u s e i t w a s n o t ” r e a l w o r l d . " 2 6 9 _ I r o n i c a l l y , w h i l e B e r t s e e m e d t h e m o s t e n a m o r e d o f t h e a b s t r a c t m a t h e m a t i c a l r e a s o n i n g , w h e n c o n f r o n t e d w i t h c o n c e p t s t h a t w e r e c o n f u s i n g o r f u z z y , h e r e s o r t e d t o ” r e a l w o r l d ” m e t a p h o r s t o t r y t o c a p t u r e h i s t h i n k i n g . D i s c o u r s e a b o u t t h e p r o c e s s o f d o i n g m a t h e m a t i c s p r o m p t s o t h e r s p e c u l a t i o n s . I n s o m e w a y s , B e r t a n d N i c o l e w e r e q u i t e s i m i l a r . B o t h v i e w e d m a t h e m a t i c s a s a v e r y s o c i a l e n d e a v o r . H o w e v e r , N i c o l e v a l u e d s h a r i n g f o r i t s e l f , s e e m i n g l y f o r t h e a t t e n t i o n i t g a v e a n d f o r t h e f e e l i n g s o f s e l f — w o r t h i t f o s t e r e d . B e r t a l s o v i e w e d m a t h e m a t i c s a s a s o c i a l e n d e a v o r . F o r h i m t h o u g h , t h e s h a r i n g o f i d e a s w a s f o r t h e s a k e o f l e a r n i n g t h e m a t h e m a t i c s , t h e s h a r i n g i n h i s c l a s s r o o m w a s t h e t e a c h i n g . C o n v e r s e l y , T e r i a n d D a n i e l l e m a k e a s i m i l a r ” o d d c o u p l e . ” B o t h v i e w e d t h e i n d i v i d u a l a s p i t t e d a g a i n s t t h e c o n t e n t . D a n i e l l e s a w t h i s a s a ( p l e a s u r a b l e ) s t r u g g l e a g a i n s t t h e t e a c h e r a n d a s t r u g g l e ( b o t h a t t r a c t i v e a n d t h r e a t e n i n g ) a g a i n s t t h e s u b j e c t m a t t e r . T e r i s a w h e r s e l f a s p i t t e d a g a i n s t t h e c o n t e n t - a n d d i d n o t f i n d i t a l l t h a t p l e a s u r a b l e . D I S C U S S I O N T h e c h i l d r e n e m p l o y e d l a n g u a g e f o r a n u m b e r o f r e a s o n s — t o k e e p t r a c k o f t h e i r w o r k , t o r e s p o n d t o m y q u e s t i o n s , t o c h a n g e t o p i c s , t o n a r r a t e s t e p s t a k e n , t o e x p l a i n t h e i r r e a s o n i n g . T h e N C T M S t a n d a r d s s u g g e s t t h a t p a r t i c i p a t i o n i n d i s c o u r s e f o s t e r s t h e d e v e l o p m e n t o f r e a s o n i n g . T h i s i s a l s o a r g u e d b y s o c i a l c o n s t r u c t i v i s t s ( e . g . , C o b b , 1 9 9 4 ; W e r t s c h , 1 9 9 1 ) . T e r i , w i t h t h e l e a s t s e l f - c o n f i d e n c e , s p o k e t h e l e a s t . S h e s e e m e d t o h o p e t h a t I w o u l d a l l o w h e r r e p r e s e n t a t i o n t o s p e a k f o r i t s e l f . H e r u s u a l l y s u c c e s s f u l r e p r e s e n t a t i o n s o f t e n c o u l d s p e a k f o r t h e m s e l v e s - t o a k n o w l e d g e a b l e o t h e r . I n a c l a s s r o o m s t r u c t u r e d a r o u n d s t u d e n t m a t h e m a t i c a l d i s c o u r s e , T e r i ’ s a p p r o a c h m a y n o t b e a s v a l u e d , s h e m a y n o t p o s s e s s t h e ” c o i n o f t h e r e a l m . ” N o t o n e t o t a l k m u c h a b o u t 2 7 0 m a t h e m a t i c s , T e r i s e e m e d t h e l e a s t i n t o u c h w i t h h e r o w n r e a s o n i n g . S h e d e m o n s t r a t e d s o u n d m a t h e m a t i c a l i n t u i t i o n s i n m o s t i n s t a n c e s b u t c o u l d o f f e r l i t t l e d e s c r i p t i o n o f t h e t h i n k i n g t h a t p r o m p t e d t h o s e i n t u i t i o n s . T e r i s e e m e d t o s k i p a l o n g h e r p a t h , i g n o r i n g m a n y s t e p s a l o n g w i t h a n y t h i n g t o e i t h e r s i d e . T e r i ’ s c a s e r a i s e s - - t h o u g h , s i n c e t h i s s t u d y p r o v i d e s b u t a s n a p s h o t , c a n n o t a n s w e r — a c a u s a t i o n v e r s u s c o r r e s p o n d e n c e q u e s t i o n . D i d T e r i ’ s l a c k o f p a r t i c i p a t i o n i n t h e d i s c o u r s e i m p e d e d e v e l o p m e n t o f h e r m a t h e m a t i c a l r e a s o n i n g ? M a y b e i t f i r s t i m p e d e d h e r v a l u i n g o f h e r r e a s o n i n g ? O r , d i d h e r l a c k o f s e l f - c o n f i d e n c e d i s s u a d e h e r f r o m p a r t i c i p a t i o n i n t h e d i s c o u r s e ? P e r h a p s h e r p o o r s e l f - e s t e e m a n d h e r d i s e n g a g e m e n t w i t h t h e d i s c o u r s e f u n c t i o n e d i t e r a t i v e l y t o r e i n f o r c e e a c h o t h e r . N i c o l e ’ s a p p r o a c h t o m a t h e m a t i c s m i t i g a t e d t h e r o l e o f s e l f - c o n f i d e n c e . S i n c e , f o r h e r , e v e r y b o d y ’ s i d e a s w e r e g o o d , t h e r e w a s l i t t l e r e a s o n t o c o m p a r e h e r o w n w i t h o t h e r s ’ . S i n c e , f o r h e r , t h e s u b s t a n c e o f t h e s h a r i n g t a k i n g p l a c e i n t h e c l a s s r o o m t o o k a b a c k s e a t t o t h e e x p e r i e n c e o f i t , s h e m a y h a v e s p e n t l i t t l e t i m e w o r k i n g t o u n d e r s t a n d t h e c o n t e n t . I n t h a t c a s e , t h e d i s c o u r s e w o u l d n o t h e l p h e r h o n e h e r a b i l i t y t o c o m m u n i c a t e m a t h e m a t i c a l i d e a s . S h e s e e m s n o t t o h a v e a r t i c u l a t e d f o r h e r s e l f t h e d i f f e r e n c e b e t w e e n s o c i a l s h a r i n g a n d a n a l y t i c a l d i s c o u r s e a b o u t m a t h e m a t i c s . F r o m a V y g o t s k i a n p e r s p e c t i v e , ” o n l y w h e n s p e e c h h a s b e c o m e e x t e r n a l l y e s t a b l i s h e d , f o r o t h e r s , c a n i t t h e n a l s o b e c o m e i n t e r n a l i z e d , i . e . , f o r o n e s e l f ” ( M a r k o v a , 1 9 9 0 , p . 1 0 , e m p h a s i s i n t h e o r i g i n a l ) . T h i s " i n n e r s p e e c h i s i n t r i n s i c a l l y s o c i a l ” ( p . 1 0 ) . T h i s s u g g e s t s t h a t , b y h e r l i m i t e d p a r t i c i p a t i o n i n t h e i n t e r m e n t a l a n a l y s i s o f m a t h e m a t i c s , N i c o l e l i m i t e d d e v e l o p m e n t o f a c o r r e s p o n d i n g i n t r a m e n t a l d i a l o g u e . F o r N i c o l e , e a c h p e r s o n d e v e l o p e d t h e i r o w n p a t h s u p p o r t e d b y s o c i a l i n t e r a c t i o n s . H e r r o l e w a s t o e x p l i c a t e h e r o w n p a t h a n d s u p p o r t o t h e r s i n d o i n g l i k e w i s e . I n a d d i t i o n , N i c o l e 2 7 1 s a w m a t h e m a t i c s a s a w a y o f i n t e r p r e t i n g t h e ” r e a l w o r l d . ” V i e w i n g c o n t e x t u a l i z e d p r o b l e m s f r o m t h e m a t h e m a t i c a l i d e a l t o o k a b a c k s e a t t o c o n s t r a i n t s i m p o s e d b y t h e ” r e a l w o r l d . ” C o n s e q u e n t l y , f r o m a m a t h e m a t i c a l s t a n d p o i n t , s h e s t r u g g l e d w i t h t h e t a s k s I p o s e d . T h i s r a i s e s t h e q u e s t i o n , " O f w h a t p u r p o s e d i s c o u r s e ? ” N i c o l e ’ s c a s e m a k e s c l e a r t h a t i t i s i n s u f f i c i e n t t o a s s u m e t h a t p a r t i c i p a t i o n i n t h e d i s c o u r s e l e a d s t o m a t h e m a t i c a l r e a s o n i n g ( a s t h e d i s c i p l i n e d e f i n e s i t ) . I t r a i s e s a q u e s t i o n a b o u t t h e l o c a t i o n o f t h e i n t e r s e c t i o n o f s o c i a l a n d d i s c i p l i n a r y g o a l s o f c l a s s r o o m d i s c o u r s e . B e r t w a s c o n f i d e n t t h a t h e c o u l d c o m e t o u n d e r s t a n d m o s t a n y m a t h e m a t i c a l c o n c e p t o r o b j e c t . T h i s w a s n o t a b o a s t f u l s e l f - c o n f i d e n c e . L i k e N i c o l e , h e b e l i e v e d t h a t e v e r y o n e h a d g o o d i d e a s . E v e r y o n e c o u l d l e a r n m a t h e m a t i c s a s h e w a s . I n f a c t , I s u s p e c t t h a t h e a s s u m e d t h a t e v e r y o n e w a s l e a r n i n g e s s e n t i a l l y t h e s a m e m a t h e m a t i c s a n d e n g a g e d i n t h e s a m e r e a s o n i n g p r o c e s s e s a s h e ( a l b e i t m a k i n g d i f f e r e n t a s s u m p t i o n s a n d d i f f e r e n t l o g i c a l c o n n e c t i o n s , y i e l d i n g d i f f e r e n t s o l u t i o n s ) . T h i s s e l f - c o n fi d e n c e l e d h i m t o t a k e c h a n c e s t h e o t h e r s s e e m e d r e l u c t a n t t o t a k e . H e o f t e n l o o k e d o f f t h e p a t h a n d , i n t r i g u e d , p u r s u e d t h e s h a d o w y o b j e c t s h e s a w i n t h e u n k n o w n . I t w a s w h e n h e w a s p u r s u i n g t h e s e s h a d o w s t h a t h e s t r u g g l e d t o c o m m u n i c a t e . I n s u c h i n s t a n c e s , h e r e v e r t e d t o t h e r e a l w o r l d . B e r t ’ s a v i d i n t e r e s t i n t h e s h a d o w s c a u s e d h i m o f t e n t o t r i p o v e r i n d i v i d u a l s t e p s - a s w h e n h i s i n t e r e s t i n n e g a t i v e i n t e g e r s o v e r s h a d o w e d h i s k n o w l e d g e o f t h e c o n v e n t i o n s o f s u b t r a c t i o n . T h i s h i g h l i g h t s t h e i m p o r t a n c e o f a t t e n d i n g t o b o t h d e t a i l s a n d a b s t r a c t i o n s . D o e s B e r t ’ s a s s u m p t i o n t h a t e v e r y o n e i s r e a s o n i n g i n a s i m i l a r w a y c o n s t r a i n h i s i n t r a m e n t a l d i a l o g u e ? D o e s B e r t h e a r o t h e r s ’ r e a s o n i n g t h r o u g h o n l y o n e l e n s , r e s u l t i n g i n d e e p e n i n g b u t n o t b r o a d e n i n g h i s i n t r a m e n t a l u n d e r s t a n d i n g o f m a t h e m a t i c a l a n a l y s i s ? 2 7 2 D a n i e l l e h a d a n a i r o f c o n f i d e n c e i n h e r s o c i a l i n t e r a c t i o n s . T h i s b e l i e d h e r u n c e r t a i n t y a b o u t h e r m a t h e m a t i c a l a b i l i t i e s . S h e u s e d l a n g u a g e a s a t o o l f o r m a k i n g s a f e t e r r i t o r y t o e n g a g e w i t h m a t h e m a t i c a l c o n c e p t s a n d o b j e c t s s h e p e r c e i v e d a s t h r e a t e n i n g . B y w e a v i n g a t i g h t w e b b e t w e e n t h e m a t h e m a t i c a l c o n t e x t a n d h e r o w n w o r l d , s h e m i t i g a t e d t h e t h r e a t o f t h e a b s t r a c t . A s l o n g a s s h e w a s o n t h e b e a t e n p a t h , D a n i e l l e f e l t c o n f i d e n t a n d e n j o y e d d o i n g m a t h e m a t i c s . S h e l o o k e d s o m e w h a t w i s t f u l l y a t t h e s h a d o w s a m i d t h e t r e e s j u s t o f f t h e p a t h . T h e s h a d o w y c o n c e p t s l i k e n e g a t i v e o n e i n t r i g u e d b u t f r i g h t e n e d h e r . L i k e B e r t , s h e h a d d i f f i c u l t y e x p r e s s i n g h e r s e n s e o f t h e p r o c e s s o f d o i n g m a t h e m a t i c s . L i k e N i c o l e a n d T e r i , s h e s t r u g g l e d t o c o n c e p t u a l i z e , a n d t h u s e x p r e s s , h e r i d e a s a b o u t a b s t r a c t m a t h e m a t i c a l o b j e c t s l i k e n e g a t i v e i n t e g e r s . L o o k e d a t f r o m t h e p e r s p e c t i v e o f t h e N C T M S t a n d a r d s , D a n i e l l e a p p e a r e d a n i d e a l s t u d e n t . S h e w a s e n g a g e d , c u r i o u s , l i k e d t h e h a r d w o r k o f l e a r n i n g , a n d s a w s t u d e n t s m a k i n g s e n s e o f m a t h e m a t i c a l s i t u a t i o n s a s k e y t o u n d e r s t a n d i n g . I n t h e i n t e r v i e w s , s h e w a s r e l a t i v e l y s u c c e s s f u l a t t a s k s i n t e n d e d t o p u t h e r o n t h e b o u n d a r i e s o f h e r k n o w l e d g e . S h e p e r c e i v e d m a n y p o t e n t i a l f o r a y s i n t o t h e a b s t r a c t i o n s o f m a t h e m a t i c s . F o r a l l t h i s — a n d i n t h e f a c e o f s i g n i fi c a n t e v i d e n c e s h e w a s , D a n i e l l e d i d n o t b e l i e v e h e r s e l f t o b e g o o d a t m a t h e m a t i c s . P i m m ( 1 9 8 7 ) a r g u e d t h a t i n m a t h e m a t i c s c l a s s r o o m s t h e r e a r e t w o m a i n v a l u e s f o r c h i l d r e n ’ s t a l k : ” c o m m u n i c a t [ i n g ] w i t h o t h e r s a n d t a l k i n g f o r t h e m s e l v e s ” ( p . 2 3 ) . I h a v e a s c r i b e d t h e s a m e r o l e s t o t h e t a l k o f t h e s e c h i l d r e n . A f u r t h e r r e a s o n h e c i t e s i s f o r t h e t e a c h e r t o ” g a i n a c c e s s t o a n d i n s i g h t i n t o t h e w a y s o f t h i n k i n g " o f s t u d e n t s ( p . 2 3 ) . T h i s w a s t h e g o a l o f t h e i n t e r v i e w s o f t h i s s t u d y . I n a c c o r d w i t h P i m m ’ s a r g u m e n t , B e r t a n d D a n i e l l e s e e m e d t o t a l k f o r t h e m s e l v e s t o " h e l p o r g a n i z e t h e i r o w n t h o u g h t s ” ( p . 2 4 ) . T h e c h i l d r e n u s e d t a l k t o c o m m u n i c a t e w i t h m e i n t w o w a y s : b y u s i n g t a l k t o u n d e r s t a n d m y ( o r a 2 7 3 h y p o t h e t i c a l o t h e r ’ s ) t h i n k i n g a n d b y e x p l a i n i n g t h e i r o w n . T h i s , o f c o u r s e , i s n o t s u r p r i s i n g . H o w e v e r , w h i l e B e r t a n d T e r i u s e d t a l k i n b o t h t h e s e w a y s , N i c o l e u s e d i t o n l y t o e x p l a i n h e r o w n . I t a p p e a r s t h a t h e r b e l i e f t h a t " t h i n k i n g h a r d ” d e fi n e s h e r a s " g o o d a t m a t h e m a t i c s ” ( i m p l i c i t l y ) j u s t i f i e d r e a c t i n g t o a l t e r n a t i v e s o l u t i o n s b y c l a r i f y i n g h e r o w n . L i k e w i s e , w h i l e t h e o t h e r s o f t e n r e s p o n d e d t o m y q u e s t i o n s b y r e - e x a m i n i n g t h e i r w o r k , N i c o l e r e s p o n d e d b y o f f e r i n g a l t e r n a t i v e e x p l i c a t i o n o f h e r s a m e r e a s o n i n g . P i m m ( 1 9 8 7 ) a l s o n o t e d t h a t l a n g u a g e " p e r m i t s . . . r e fl e c t i o n o n o n e ’ s o w n t h i n k i n g ” a n d t h a t ” a r t i c u l a t i n g a s p e c t s o f a s i t u a t i o n c a n h e l p t h e s p e a k e r t o c l a r i f y t h o u g h t s a n d m e a n i n g s , a n d h e n c e t o a c h i e v e a g r e a t e r u n d e r s t a n d i n g " ( p . 2 4 ) . T h e p a u c i t y o f T e r i ’ s t a l k ( a t l e a s t , c o m p a r e d w i t h t h e o t h e r c h i l d r e n o f t h e s t u d y ) s u g g e s t s a r e d u c e d o p p o r t u n i t y f o r t h i s r e fl e c t i o n a n d c l a r i f i c a t i o n T h i s s e e m s e n a c t e d i n h e r d i s i n c l i n a t i o n t o p a r t i c i p a t e i n c l a s s r o o m e x p l o r a t i o n s o f c o n fl i c t i n g s o l u t i o n s . H o w a r e t e a c h e r s t o r e s p e c t a c h i l d ’ s d e s i r e n o t t o p a r t i c i p a t e w h e n t h e y r e c o g n i z e t h e v a l u e o f v e r b a l i z i n g ? B r o w n ( 1 9 8 2 ) h a s l o o k e d a t l a n g u a g e d i f f e r e n t l y , d e s c r i b i n g i t a s m e s s a g e - o r i e n t e d a n d l i s t e n e r - o r i e n t e d . U s i n g t h e f o r m e r , t h e s p e a k e r i n t e n d s t o e x p r e s s p a r t i c u l a r m e s s a g e s , t o ” c h a n g e t h e s t a t e o f t h e l i s t e n e r ’ s k n o w l e d g e ” ; t h e p u r p o s e o f t h e l a t t e r i s ” e s t a b l i s h m e n t a n d m a i n t a i n a n c e o f g o o d s o c i a l r e l a t i o n s w i t h t h e l i s t e n e r ” ( p . 7 6 ) . W h i l e g r a n t i n g t h e s e f u n c t i o n s o v e r l a p , a m o n g t h e c h i l d r e n o n l y D a n i e l l e m a d e e x t e n s i v e u s e o f l i s t e n e r — o r i e n t e d l a n g u a g e . I n f a c t , D a n i e l l e s e e m e d t o w o r k e q u a l l y h a r d a t e s t a b l i s h i n g a r e l a t i o n s h i p w i t h t h e p r o b l e m a n d w i t h m e a s w i t h d o i n g t h e m a t h e m a t i c s . A s n o t e d , t h i s w o r k m a y o f t e n a p p e a r a s u s e o f a n i n a p p r o p r i a t e s p e e c h g e n r e a n d b e s u p p r e s s e d b y t e a c h e r s . 2 7 4 I h a v e s e v e r a l t i m e s n o t e d t h e m o n o l o g i c d i a l o g u e s o f t h e s e c h i l d r e n ( M a r k o v a , 1 9 9 0 ) . A t t h i s p o i n t , I l o o k a c r o s s t h e c h i l d r e n u s i n g t h i s l e n s . N e i t h e r T e r i n o r N i c o l e p r e s e n t e d e v i d e n c e o f a s i g n i f i c a n t r o l e f o r i n t e r n a l d i a l o g u e i n t h e i r i n t e r v i e w s . T h e i r c o n v e r s a t i o n s e e m e d a l w a y s a n i n t e r a c t i o n w i t h m e , n o t o n e w i t h t h e m s e l v e s . W h i l e t h i s s u g g e s t s a l a c k o f i n t e r n a l i z a t i o n o f o t h e r v o i c e s o n b o t h t h e i r p a r t s , I b e l i e v e t h e c a u s e d i f f e r s f o r e a c h . T e r i d i d n o t v a l u e h e r o w n a b i l i t y t o r e a s o n a n d , t h u s , i g n o r e d m a n y o f t h e a r g u m e n t s a b o u t r e a s o n i n g i n h e r c l a s s r o o m . O n t h e o t h e r h a n d , N i c o l e s e e m s a l s o t o h a v e i g n o r e d t h e d e t a i l s o f t h e r e a s o n i n g i n h e r v a l u i n g o f t h e s o c i a l , b u t n o t m a t h e m a t i c a l , a s p e c t s o f t h e c l a s s r o o m . V y g o t s k y ( 1 9 3 4 / 1 9 6 2 ) a r g u e d t h a t i n t e r n a l i z a t i o n o f s p e e c h o c c u r s ” b y m e a n s o f t r a n s f e r r i n g s o c i a l , c o l l a b o r a t i v e f o r m s o f b e h a v i o r t o t h e s p h e r e o f t h e i n d i v i d u a l ’ s p s y c h o l o g i c a l f u n c t i o n i n g ” ( p . 4 5 ) . I f w e a c c e p t t h a t t h e s e d i s c u s s i o n s s h a p e c h i l d r e n ’ s l e a r n i n g o f w a r r a n t s i n m a t h e m a t i c s , t h e l a c k o f p a r t i c i p a t i o n b y T e r i a n d N i c o l e o n t h e i n t e r m e n t a l p l a n e w o u l d s e e m t o s h a r p l y c u r t a i l w h a t w a s a v a i l a b l e t o t h e m o n t h e i n t r a m e n t a l p l a n e . I a d m i t s o m e h e s i t a t i o n h e r e . T e r i w a s g e n e r a l l y t h e m o s t s u c c e s s f u l c h i l d a t r e a c h i n g c o r r e c t a n s w e r s t o t h e t a s k s p o s e d . T h u s , t h e l a c k j u s t d e s c r i b e d d i d n o t h a v e a h a r m f u l e f f e c t r e l a t i v e t o t h e o t h e r c h i l d r e n i n t e r m s o f s o l v i n g t h e p r o b l e m s . H o w e v e r , T e r i d e m o n s t r a t e d n o t i c e a b l y l e s s a r t i c u l a t i o n o f h e r r e a s o n i n g , o f m a t h e m a t i c a l c o m m u n i c a t i o n t h a n t h e o t h e r s . T h i s m a y h a v e s e r i o u s c o n s e q u e n c e s f o r h e r i n t h e l o n g r u n . U s i n g t h e s a m e l e n s t o c o n s i d e r B e r t a n d D a n i e l l e , I h a v e s h o w n t h a t t h e y c a r r i e d o n a n a c t i v e d i a l o g u e w i t h t h e m s e l v e s . B e r t d e m o n s t r a t e d a n i n t e r n a l d i a l o g u e m o s t w h e n h e w a s e x p l o r i n g m a t h e m a t i c a l i s s u e s b e y o n d s p e c i f i c p r o b l e m s . O f t e n , h e u s e d h i s r e a l w o r l d e x p e r i e n c e s t o t r y t o m a k e s e n s e o f i s s u e s . I n c o n t r a s t , D a n i e l l e d e m o n s t r a t e d a n i n t e r n a l d i a l o g u e m o s t w h e n s h e 2 7 5 w a s d e v e l o p i n g r e l a t i o n s h i p s . S h e u s e d r e a l w o r l d e x p e r i e n c e s t o t r y t o e a s e h e r f e a r s a n d e n a b l e h e r t o r e a s o n i n c o m f o r t . O v e r a l l , i t s e e m s t h a t N i c o l e ’ s p a t h s t a y e d i n a r e a l w o r l d f o r e s t , T e r i ’ s s t a y e d i n a d i s c i p l i n a r y o n e , w h i l e B e r t a n d D a n i e l l e ’ s f o r e s t s c o n t a i n e d e l e m e n t s o f b o t h r e a l m s . T h u s , a n y d i s c u s s i o n i n w h i c h a l l o f t h e s e c h i l d r e n ( o r , l i k e l y , a n y g r o u p o f s t u d e n t s ) p a r t i c i p a t e d w o u l d b e p e r c e i v e d b y t h e c h i l d r e n a s g r o u n d e d i n d i f f e r e n t t e x t u a l w o r l d s . T h i s p o s e s q u i t e a d i l e m m a f o r t e a c h e r s . 2 7 6 C H A P T E R F I V E F U N C T I O N S O F R E P R E S E N T A T I O N S I N D O I N G M A T H E M A T I C S W h a t a r e r e p r e s e n t a t i o n s ? P e o p l e - - s t u d e n t s , a r t i s t s , e n g i n e e r s , m a t h e m a t i c i a n s - - c r e a t e a n d u s e r e p r e s e n t a t i o n s t o a s s i s t t h e m i n a c h i e v i n g g o a l s . A s t u d e n t ’ s g o a l m a y b e t o s o l v e a m a t h e m a t i c s p r o b l e m p o s e d b y a t e a c h e r , a n a r t i s t t o f i g u r e o u t h o w t o s h a p e a b l o c k o f m a r b l e i n t o a s t a t u e , a n e n g i n e e r t o d e s i g n a b r i d g e , a n d a m a t h e m a t i c i a n t o p r o v e a c o n j e c t u r e . R e p r e s e n t a t i o n s d e s i g n e d b y p e o p l e t o h e l p t h e m p r o g r e s s t o w a r d g o a l s m a y t a k e a v a r i e t y o f f o r m s : p i c t u r e s , s k e t c h e s , g r a p h s , c h a r t s , a l g o r i t h m s , a n d s o f o r t h . T h e y m a y a l s o c o m b i n e f o r m s . A g r a p h m a y b e s u p p l e m e n t e d w i t h a p i c t u r e t h a t s h o w s a c l o s e - u p v i e w o f a n a r e a o f i n t e r e s t ; a n a l g o r i t h m m a y b e s u p p l e m e n t e d w i t h m a n i p u l a t i v e s f o r c o u n t i n g . A l l a r e a c c o m p a n i e d b y w o r d s - w h e t h e r u t t e r e d o r t h o u g h t . A c a n d y b a r i s i t s e l f b u t m a y b e u s e d a s a r e p r e s e n t a t i o n o f t h e c o n c e p t ” c a n d y b a r , ” o r , i n t h e f o r m o f a p i c t u r e o n a w o r k s h e e t , a s a u n i t o b j e c t i n a s e t o f c a n d y b a r s t o b e c o u n t e d . I n t h e l a s t e x a m p l e t h e c a n d y b a r i s n o t s p e c i f i c a l l y a s y m b o l o f s o m e t h i n g ” c a n d y b a r . ” Y e t , s y m b o l s a r e s y m b o l s o f s o m e t h i n g . B y t h e i r v e r y n a t u r e , s y m b o l s r e - p r e s e n t s o m e t h i n g e l s e : o b j e c t , i d e a , r e l a t i o n s h i p , c o n c e p t , e t c . T o p a r a p h r a s e a c o m m o n s a y i n g , o n e m a n ’ s o b j e c t i s a n o t h e r m a n ’ s r e p r e s e n t a t i o n ( o f s o m e o t h e r o b j e c t ) . T h u s , i n t e n t s e p a r a t e s ” r e p r e s e n t a t i o n ” f r o m ” o b j e c t i t s e l f ” ; u n d e r s t a n d i n g t h e u s e r ’ s i n t e n t i s n e c e s s a r y t o d i s t i n g u i s h b e t w e e n c o n s i d e r i n g t h e c a n d y b a r ” a s i t s e l f ” o r a s a r e p r e s e n t a t i o n o f s o m e t h i n g e l s e . V o n G l a s e r s f e l d ( 1 9 8 7 a ) p u t i t t h i s w a y : ” A r e p r e s e n t a t i o n d o e s n o t r e p r e s e n t b y i t s e l f — i t n e e d s i n t e r p r e t i n g a n d , t o b e i n t e r p r e t e d , i t n e e d s a n i n t e r p r e t e r ” ( p . 2 1 6 ) . O f c o u r s e , u n d e r s t a n d i n g i n t e n t - o i n t e r p r e t i n g — d e p e n d s 2 7 7 u p o n c o m m u n i c a t i o n b e t w e e n c r e a t o r a n d a u d i e n c e ( a n d , o n e c a n b e o n e ’ s o w n a u d i e n c e ) . I n t h i s v i e w , r e p r e s e n t a t i o n s a r e t o o l s b o t h f o r t h e w o r k o f d o i n g m a t h e m a t i c s a n d f o r t h e p r o c e s s o f c o m m u n i c a t i n g t h a t w o r k . T h e s e c o n d f o r m o f t o o l i s o n e l e v e l u p f r o m t h e f i r s t ; i t u s e s r e p r e s e n t a t i o n s ( s y m b o l s ) t o c o r r u n u n i c a t e a b o u t r e p r e s e n t a t i o n s . L e t u s b r i e fl y c o n s i d e r a c o n c r e t e e x a m p l e f r o m t h i s s t u d y . B e r t s o l v e d t h e O p e r a t i o n s t a s k s u s i n g a b s t r a c t m a t h e m a t i c a l s y m b o l s . H i s u s e w a s a n t i - c o n v e n t i o n a l ( i . e . , 3 - 2 = - 1 a n d 2 - 3 = 1 ) s o I i n i t i a t e d a n e x p l o r a t i o n o f h i s r e a s o n i n g a b o u t s u b t r a c t i o n w i t h ” t h r e e t a k e a w a y t w o ” a s a n e x a m p l e . I s t a r t e d , ” I f I h a v e t h r e e p e n c i l s . . . ” ( s e e B e r t ’ s p r o f i l e f o r d e t a i l s ) . 1 h a d p l a n n e d t o t a k e t w o p e n c i l s f r o m t h r e e p e n c i l s . H o w e v e r , B e r t q u i c k l y a p p r o p r i a t e d m y r e p r e s e n t a t i o n . H e r e - i r n a g e d t h e p e n c i l s i n t o r e - p r e s e n t a t i o n s o f " r e a l i t y . " F i r s t , h e p r e t e n d e d t h e p e n c i l s w e r e f r i e n d s , t h e n f r i e n d s o f c o l o r ( ” r e d f r i e n d s ” a n d ” b l u e f r i e n d s ” ) , a n d f i n a l l y , t h e y w e r e f r i e n d s w h o w a n t e d t o p l a y c a r d s a n d n e e d e d ” a f o u r t h . ” I n e x p l a i n i n g h i s r e a s o n i n g , B e r t d e v e l o p e d a s t o r y o r s e q u e n c e o f s t o r i e s t h a t e m b e d d e d t h e p r o b l e m i n t h e r e a l w o r l d . W h e r e I i n t e n d e d t h e p e n c i l s m e r e l y a s p h y s i c a l o b j e c t s t o b e m a n i p u l a t e d , B e r t m o v e d t h e m a n o t h e r s t e p f r o m a b s t r a c t n u m b e r s . I i n t e n d e d p e n c i l s t o r e p r e s e n t q u a n t i t i e s ; h e h a d t h e p e n c i l s r e p r e s e n t p e o p l e i n t h e p r o c e s s o f n e g o t i a t i n g l o y a l t i e s . D a n i e l l e o f f e r s a n e x a m p l e o f t h e a r b i t r a r i n e s s o f s o m e r e p r e s e n t a t i o n s . D u r i n g t h e D i c e G a m e , h a v i n g r e a c h e d z e r o o n o n e t u r n , s h e l o s t a p o i n t ( i . e . , s h e n o w h a d ” n e g a t i v e o n e ” p o i n t s ) . T o r e c o r d t h i s , D a n i e l l e d i d n o t u s e t h e m a t h e m a t i c a l t e r m " n e g a t i v e o n e ” b u t i n s t e a d c r e a t e d a c o l u m n f o r s u c h p o i n t s l a b e l e d , " S a v e - L o s e . ” 1 0 2 L a t e r , w h e n I a s k e d a b o u t c a l l i n g t h e m ” n e g a t i v e u n i t i s n o t c l e a r w h e t h e r s h e m e a n t t h i s c o l u m n s a v e d h e r f r o m l o s i n g a t t h a t p o i n t o r i t w a s a 2 7 8 n u m b e r s , ” s h e s a i d w e c o u l d b u t t h a t , s i n c e I k n e w w h a t s h e m e a n t b y ” S a v e - L o s e , ” t h e r e w a s n o r e a s o n t o d o s o . S h e w a s ” r e - p r e s e n t i n g ” ( o r , ” p r e s e n t i n g ” ) t h e i d e a o f s c o r e s l e s s t h a n z e r o w i t h t h e s a m e o b j e c t s — t a l l i e s — a s t h o s e a b o v e z e r o ; s h e c r e a t e d a s e p a r a t e c o l u m n t o d i s t i n g u i s h t h e o t h e r w i s e i n d i s t i n g u i s h a b l e t y p e s - ” p o s i t i v e ” a n d ” n e g a t i v e ” — o f t a l l i e s . I n m a t h e m a t i c s , a s i n a l l c o m m u n i c a t i o n , w o r k i s d o n e t h r o u g h r e p r e s e n t a t i o n s . T h e w o r d s c h i l d r e n u s e a r e s y m b o l s r e p r e s e n t i n g o b j e c t s o r a c t i o n s , t h e p i c t u r e s t h e y d r a w r e - p r e s e n t t h e s t o r y , p h y s i c a l o b j e c t s s t a n d i n f o r t h e s t o r y d a t a , a n d s o f o r t h . C h i l d r e n d o i n g m a t h e m a t i c s a r e e n g a g e d i n c o m m u n i c a t i n g w i t h t h e m s e l v e s ( M a r k o v a , 1 9 9 0 ; V y g o t s k y , 1 9 3 4 / 1 9 6 2 ; W e r t s c h , 1 9 9 1 ) . O f c o u r s e , t h e y a r e a l s o o f t e n a s k e d t o c o m m u n i c a t e t h e i r i d e a s , r e a s o n i n g , a n d s o l u t i o n s — e s p e c i a l l y i n c l a s s r o o m s w h e r e t h e t e a c h e r t r i e s t o f o s t e r t h e k i n d s o f d i s c o u r s e a n d e n v i r o n m e n t a d v o c a t e d i n t h e N C T M ’ s P r o f e s s i o n a l S t a n d a r d s f o r T e a c h i n g M a t h e m a t i c s ( 1 9 9 1 ) . C o m m u n i c a t i o n t a k e s p l a c e t h r o u g h t h e u s e o f s y m b o l s . I n t h i s c h a p t e r I a n a l y z e c h i l d r e n ’ s c r e a t i o n a n d u s e o f r e p r e s e n t a t i o n s f o r s o l v i n g p r o b l e m s . I n a l m o s t a l l c a s e s , t h e c h i l d r e n c r e a t e d r e p r e s e n t a t i o n s — m e n t a l a n d / o r p h y s i c a l - t o w o r k o n t h e m a t h e m a t i c a l t a s k s 1 p o s e d . I a l s o d e s c r i b e p o s t - s o l u t i o n u s e o f r e p r e s e n t a t i o n s f o r e x p l a i n i n g r e a s o n i n g i n r e s p o n s e t o q u e s t i o n i n g . O n a f e w o c c a s i o n s ( e . g . , s i n g l e d i g i t a d d i t i o n p r o b l e m s ) , t h e c h i l d r e n ” j u s t k n e w ” t h e a n s w e r s . S i n c e r e a s o n i n g w a s n o t d o n e t o s o l v e t h e p r o b l e m , n o r e p r e s e n t a t i o n w a s c r e a t e d . 1 0 3 W h e n I a s k e d h o w t h e y k n e w s u c h a n s w e r s , t h e c h i l d r e n s o m e t i m e s r e s p o n d e d t h a t t h e y j u s t k n e w t h e m ; a t o t h e r s , t h e y s h o w e d p l a c e t o s a v e ( k e e p t r a c k o f ) p o i n t s l o s t ( b e l o w z e r o ) . 1 % R a t h e r t h a n r e a s o n i n g u s i n g r e p r e s e n t a t i o n s , t h e w o r k w a s m o r e l i k e a ” s t i m u l u s - r e s p o n s e " r e a c t i o n a s p o s t u l a t e d b y T h o r n d i k e . 2 7 9 w h y t h e a n s w e r w a s c o r r e c t . I n t h e l a t t e r c a s e s , t h e y u s e d r e p r e s e n t a t i o n s b u t t h e s e d i d n o t r e p r e s e n t h o w t h e y o r i g i n a l l y o b t a i n e d t h e i r a n s w e r . G i v e n t h e r a n g e - - o f b o t h t y p e a n d d i f f i c u l t y — i n t h e p r o b l e m s a n d t h e r a n g e o f c h i l d r e n ’ s a b i l i t i e s a n d v i e w s o f m a t h e m a t i c s , i t i s n o t s u r p r i s i n g t h a t t h e r e p r e s e n t a t i o n s t h e y u s e d v a r i e d i n c o m p l e x i t y . T h e e x t e n t t o w h i c h t h e c h i l d r e n m a d e t h e m v i s i b l e a l s o v a r i e d . A s t h e p r e v i o u s c h a p t e r m a d e c l e a r , v a r i a t i o n s i n n a r r a t i o n a n d e x p l a n a t i o n o c c u r r e d b o t h i n s p o n t a n e o u s a n d q u e s t i o n s t i m u l a t e d r e s p o n s e s . F i n a l l y , t h e r e p r e s e n t a t i o n s v a r i e d i n t h e d e g r e e t o w h i c h t h e y s i m u l a t e d ” r e a l - l i f e ” s i t u a t i o n s d e s c r i b e d i n p r o b l e m s . F o r e x a m p l e , i n w o r k i n g o n t h e C a n d y B a r p r o b l e m o n e c h i l d m i g h t d r a w ” t h e b o x ” a n d t h e ” c a n d y b a r s i n s i d e ” w h i l e a n o t h e r m i g h t m a k e t a l l y m a r k s t o r e p r e s e n t t h e b a r s w i t h n o s i g n o f a b o x . T h e r e w a s a l s o v a r i a t i o n i n t h e e x t e n t t o w h i c h a s i n g l e c h i l d r e p r e s e n t e d t h e r e a l w o r l d a c r o s s t a s k s . A f t e r D a n i e l l e h a d s o l v e d t w o p r o b l e m s w i t h e l a b o r a t e p i c t u r e s , f o r t h e n e x t s h e s a i d s h e w a s t i r e d o f d r a w i n g a n d c r e a t e d a m i n i m a l i s t r e p r e s e n t a t i o n , d r a w i n g t a l l i e s a n d n o c h i l d r e n . 1 0 4 I n s o m e c a s e s , t h e c h i l d r e n w o r k e d o n a p r o b l e m m e n t a l l y a n d t h e n d e m o n s t r a t e d a d i f f e r e n t r e p r e s e n t a t i o n w h e n l a s k e d h o w t h e y s o l v e d i t . F o r e x a m p l e , r e c a l l D a n i e l l e ’ s w o r k o n d i v i s i o n a t t h e e n d o f t h e t h i r d i n t e r v i e w . S h e o r i g i n a l l y s o l v e d ” 1 0 0 d i v i d e d b y 1 0 ” m e n t a l l y w i t h a ” t r i c k ” b u t d e m o n s t r a t e d h o w t o s o l v e i t u s i n g a n o n - t r a d i t i o n a l m e t h o d g r o u n d e d i n s o u n d m a t h e m a t i c a l r e a s o n i n g . W r i t i n g p r o b l e m s i n a f o r m d i f f e r e n t t h a n t h e y s a i d t h e y s o l v e d t h e m w a s e s p e c i a l l y c o m m o n i n t h e ” e a s y ” p r o b l e m s s o l v e d m e n t a l l y . E a c h c h i l d , a t l e a s t 1 0 “ O f c o u r s e , t h i s a l s o s u g g e s t s t h a t D a n i e l l e m a y n o t h a v e c r e a t e d t h e e a r l i e r e l a b o r a t e r e p r e s e n t a t i o n s o u t o f a s e n s e o f t h e i r n e c e s s i t y f o r s o l v i n g t h e p r o b l e m s . T h e y m a y h a v e b e e n f o r t h e p l e a s u r e o f d r a w i n g , t h e c o n n e c t i o n s s h e c o u l d m a k e , a n d t h e t i m e t h e y a l l o w e d h e r t o t h i n k . 2 8 0 o n c e d u r i n g t h e i n t e r v i e w s , w r o t e t h e t r a d i t i o n a l h o r i z o n t a l o r v e r t i c a l f o r m o f a p r o b l e m a f t e r h a v i n g s o l v e d i t i n a d i f f e r e n t w a y . A s w i t h t e x t b o o k s , t h e y d e m o n s t r a t e d s o l u t i o n s i n a c o m p a c t , s c h o o l m a t h e m a t i c s f o r m t h a t s h o w e d n o n e o f t h e i r r e a s o n i n g . F o r i n s t a n c e , w h e n q u e s t i o n e d T e r i w r o t e t h e s t a n d a r d v e r t i c a l f o r m f o r 9 - 5 b u t s a i d s h e m e n t a l l y p i c t u r e d n i n e o f h e r f i n g e r s a n d t h e n t o o k f i v e a w a y . A f t e r d i s c u s s i n g t h e n a t u r e o f r e p r e s e n t a t i o n s , I a n a l y z e t h e c h i l d r e n ’ s r e p r e s e n t a t i o n s , d e s c r i b i n g h o w t h e y f u n c t i o n e d i n t h e i n t e r v i e w t a s k s , m u l t i p l e r e p r e s e n t a t i o n s , a n d c r e a t i o n a n d u s e o f t h e m . A t t h e e n d o f t h e c h a p t e r , I e x p l o r e i s s u e s o f m o n i t o r i n g a n d o f t h e r o l e o f r e p r e s e n t a t i o n s i n c o n s t r a i n i n g a n d e n a b l i n g t h e s e c h i l d r e n ’ s m a t h e m a t i c a l w o r k . R E P R E S E N T A T I O N S A s n o t e d i n c h a p t e r 1 , r e f o r m s c a l l f o r c h i l d r e n d o i n g m a t h e m a t i c s t o s h a r e s o l u t i o n s w i t h t h e i r c l a s s m a t e s — b e i t i n s m a l l g r o u p s o r w h o l e c l a s s d i s c u s s i o n s ( e . g . , B a l l , 1 9 9 3 ; B r e n n e r , e t a l . , 1 9 9 7 ; L a m p e r t , 1 9 9 0 , 1 9 9 2 ; N C T M , 1 9 9 1 ) . I n c l a s s r o o m s w h e r e t e a c h e r s b a s e t h e i r p e d a g o g y o n c h i l d r e n ’ s d i s c o u r s e a b o u t m a t h e m a t i c s , c h i l d r e n s h a r e a n d d i s c u r s i v e l y a n a l y z e t h e n a t u r e o f p r o b l e m s , m e t h o d s o f s o l u t i o n , a n d a l t e r n a t i v e s o l u t i o n s . T h e l a t t e r t w o t r e a t r e p r e s e n t a t i o n s a s o b j e c t s o f d i s c o u r s e . T h e r e s u l t i n g a b u n d a n c e o f r e p r e s e n t a t i o n s i s t r e a t e d a s i n h e r e n t l y g o o d u b u t , i s i t ? B e f o r e a d d r e s s i n g t h i s q u e s t i o n t h r o u g h e x a m i n a t i o n o f t h e w o r k o f t h e c h i l d r e n o f t h i s s t u d y , I c o n s i d e r w h a t r e p r e s e n t a t i o n s a r e . 2 8 1 D e f i n i n g R e p r e s e n t a t i o n s A r e v i e w o f t h e l i t e r a t u r e f i n d s t h a t m a n y a u t h o r s d o n o t f o r m a l l y d e f i n e ” r e p r e s e n t a t i o n s . " E v e n s o , j u s t a s r e p r e s e n t a t i o n s a b o u n d i n r e f o r m - o r i e n t e d c l a s s r o o m s , t h e r e a r e n u m e r o u s d e f i n i t i o n s f o r ” r e p r e s e n t a t i o n s ” i n t h e l i t e r a t u r e . I o f f e r s e v e r a l h e r e a n d b r i e fl y d i s c u s s t h e m t o p r o v i d e g r o u n d i n g f o r t h e a n a l y s i s p r e s e n t e d i n t h i s c h a p t e r . P i m m ’ s ( 1 9 9 5 ) s t a t e m e n t t h a t r e p r e s e n t a t i o n s " r e - p r e s e n t s o m e t h i n g o f t h e w o r l d u s i n g s o m e t h i n g e l s e ” ( p . 1 1 9 ) r e c a l l s v o n G l a s e r s f e l d ’ s ( 1 9 8 7 a ) c l a i m t h a t a p e r s o n ’ s i n t e r n a l e x p e r i e n c e s a r e t h e i r w o r l d . A s s u c h , m a n i f e s t a t i o n o f t h e s e e x p e r i e n c e s a r e " p r e s e n t a t i o n s . ” I n t h i s v i e w , ( r e ) p r e s e n t a t i o n s a r e c o n c r e t e m a n i f e s t a t i o n s o f a p e r s o n ’ s i n t e r n a l c o n s t r u c t i o n o f t h e e x t e r n a l w o r l d - - a r e p r e s e n t a t i o n ” i s c r e a t i v e , c o n s t r u c t i v e , s e l f - g e n e r a t e d ” ( v o n G l a s e r s f e l d , 1 9 8 7 b , p . 1 0 5 ) . B r i n k e r ( 1 9 9 6 ) o f f e r e d a m o r e o b j e c t o r i e n t e d d e f i n i t i o n : R e p r e s e n t a t i o n s h e r e r e f e r t o s t u d e n t s ’ n o t a t i o n s a n d p i c t u r e s , a l r e a d y - m a d e d r a w i n g s s u c h a s p i c t u r e s o f p a r t i t i o n e d o b j e c t s , a n d s t r u c t u r e d m a t e r i a l s s u c h a s f r a c t i o n s t r i p s a n d C u i s e n a i r e r o d s . S t r u c t u r e d i n t h i s c a s e r e f e r s t o m a t e r i a l s t h a t h a v e b e e n d e s i g n e d f o r i n s t r u c t i o n o f p a r t i c u l a r m a t h e m a t i c a l c o n c e p t s . ( p . 1 , e m p h a s i s i n t h e o r i g i n a l ) I n t h i s d e f i n i t i o n a g e n t s s e e m c u r i o u s l y a b s e n t . R e p r e s e n t a t i o n s a r e m e r e l y p h y s i c a l e m b o d i m e n t s . I n s t r u c t i o n a l m a t e r i a l s ( e . g . , C u i s e n a i r e r o d s ) a r e o f t e n i n t r o d u c e d b y t e a c h e r s i n v e s t i n g t h e m w i t h m e a n i n g f o r t h e e n t i r e c l a s s a n d f o r u s e a c r o s s c o n t e x t s . I n c o n t r a s t , i n d i v i d u a l l y d e s i g n e d r e p r e s e n t a t i o n s ( ” s t u d e n t s ’ n o t a t i o n s a n d p i c t u r e s ” ) a r e i n v e s t e d b y o n e i n d i v i d u a l ( o r a s m a l l g r o u p ) f o r l o c a l i z e d u s e , f o r s o l u t i o n o f p a r t i c u l a r p r o b l e m s . S u c h a d e f i n i t i o n o m i t s t h e i n t e n t o f t h e c r e a t o r w h i c h I a r g u e d a b o v e i s n e c e s s a r y f o r u n d e r s t a n d i n g r e p r e s e n t a t i o n s . 2 8 2 K a p u t ( 1 9 8 5 ) o f f e r e d a m o r e s e m i o t i c - o r i e n t e d d e f i n i t i o n : I n i t s b r o a d e s t s e n s e a r e p r e s e n t a t i o n i s s o m e t h i n g t h a t s t a n d s f o r s o m e t h i n g e l s e , a n d s o m u s t i n h e r e n t l y i n v o l v e s o m e k i n d o f r e l a t i o n s h i p b e t w e e n s y m b o l a n d r e f e r e n t , a l t h o u g h e a c h m a y i t s e l f b e a c o m p l e x e n t i t y . . . . a r i g o r o u s s p e c i f i c a t i o n o f a r e p r e s e n t a t i o n s h o u l d i n c l u d e t h e f o l l o w i n g e n t i t i e s : 0 T h e r e p r e s e n t e d w o r l d . 0 T h e r e p r e s e n t i n g w o r l d . 0 W h a t a s p e c t s o f t h e r e p r e s e n t e d w o r l d a r e b e i n g r e p r e s e n t e d . ' W h a t a s p e c t s o f t h e r e p r e s e n t i n g w o r l d a r e d o i n g t h e r e p r e s e n t i n g . 0 T h e c o r r e s p o n d e n c e b e t w e e n t h e t w o w o r l d s . ( p p . 3 8 3 - 3 8 4 ) H e r e a g a i n , t h e c r e a t o r o r a g e n t i s n o t i c e a b l y a b s e n t . T h i s d e f i n i t i o n t r e a t s t h e r e p r e s e n t a t i o n a s d o i n g t h e w o r k ; p e o p l e g a i n v a l u e f r o m t h e m t h r o u g h t h e ” c o r r e s p o n d e n c e b e t w e e n t h e t w o w o r l d s . ” Y e t , a s r e p r e s e n t a t i o n s a r e o f t e n d i f f e r e n t l y i n t e r p r e t e d , i t i s c l e a r t h a t t h e r e m a y b e m u l t i p l e c o r r e s p o n d e n c e s . T o u n d e r s t a n d w h a t " s o m e t h i n g e l s e ” a r e p r e s e n t a t i o n " s t a n d s f o r , " o n e m u s t d i v i n e ( o r i n v e s t ) i n t e n t i o n . L e s h , P o s t , a n d B e h r ( 1 9 8 7 ) g a v e a d e f i n i t i o n a c k n o w l e d g i n g t h e c r e a t i v e r o l e : ” T h e t e r m r e p r e s e n t a t i o n h e r e i s i n t e r p r e t e d i n a n a i v e a n d r e s t r i c t e d s e n s e a s e x t e r n a l ( a n d t h e r e f o r e o b s e r v a b l e ) e m b o d i m e n t s o f s t u d e n t s ’ i n t e r n a l c o n c e p t u a l i z a t i o n s - - a l t h o u g h t h i s e x t e r n a l / i n t e r n a l d i c h o t o m y i s a r t i fi c i a l ” ( p . 3 3 , e m p h a s i s i n t h e o r i g i n a l ) . W h i l e t h e i r t e x t d o e s n o t m a k e i t c l e a r , o n e m i g h t i n t e r p r e t t h e f i n a l c l a u s e a s i n d i c a t i n g t h e n e c e s s i t y o f u n d e r s t a n d i n g t h e c r e a t o r ’ s i n t e n t . S u c h a d e f i n i t i o n m o v e s c l o s e r t o c a p t u r i n g t h e w a y s o f d o i n g m a t h e m a t i c s o f t h e c h i l d r e n o f t h i s s t u d y . J a n v i e r ( 1 9 8 7 a ) o f f e r e d a d e f i n i t i o n m o r e o r i e n t e d t o w a r d a n i n d i v i d u a l ’ s m e n t a l a c t i v i t y : 2 8 3 t h e w o r d r e p r e s e n t a t i o n h a s r o u g h l y t h r e e d i f f e r e n t a c c e p t a t i o n s i n t h e p s y c h o l o g y l i t e r a t u r e . . . . [ 1 ] s o m e m a t e r i a l o r g a n i z a t i o n o f s y m b o l s . . . w h i c h r e f e r s t o o t h e r e n t i t i e s o r ” m o d e l i z e s ” v a r i o u s m e n t a l p r o c e s s e s . . . . ; [ 2 ] a c e r t a i n o r g a n i z a t i o n o f k n o w l e d g e i n t h e h u m a n m e n t a l " s y s t e m ” . . . ; [ 3 ] m e n t a l i m a g e s [ w h i c h ] i s a " s p e c i a l c a s e ” o f [ 2 ] . ( p . 1 4 8 , e m p h a s i s i n t h e o r i g i n a l ) F i n a l l y , J a n v i e r ( 1 9 8 7 c ) c a p t u r e d t h e u s e r ’ s r o l e w h i l e i n c o r p o r a t i n g t h e p h y s i c a l m a n i f e s t a t i o n : " A r e p r e s e n t a t i o n m a y b e a c o m b i n a t i o n o f s o m e t h i n g w r i t t e n o n p a p e r , s o m e t h i n g e x i s t i n g i n t h e f o r m o f p h y s i c a l o b j e c t s a n d a c a r e f u l l y c o n s t r u c t e d a r r a n g e m e n t o f i d e a i n o n e ’ s m i n d ” ( p . 6 8 ) . T h i s d e f i n i t i o n v a l u e s t h e c r e a t o r a n d t h e c o n n e c t i o n b e t w e e n t h e c r e a t o r ’ s i d e a s a n d t h e r e s u l t a n t o b j e c t . F u r t h e r , i t a l l o w s f o r v a l u i n g o f t h e u s e r / i n t e r p r e t e r ; i t a l l o w s f o r o n e ’ s c r e a t i o n a n d a n o t h e r ’ s u s e / i n t e r p r e t a t i o n . 1 0 5 T h i s d e f i n i t i o n w i l l a d e q u a t e l y s e r v e t h i s s t u d y . E x a m i n i n g R e p r e s e n t a t i o n s M u c h r e s e a r c h h a s e x a m i n e d m a t h e m a t i c a l r e p r e s e n t a t i o n s ( e . g . , J a n v i e r , 1 9 8 7 b ) . S u c h r e s e a r c h h a s i n v o l v e d m a p p i n g o u t o f d i s c i p l i n a r y r e p r e s e n t a t i o n a l s y s t e m s ( e . g . , C a r p e n t e r , e t a l . , 1 9 9 3 a ; G o l d i n , 1 9 8 7 ; K a p u t , 1 9 8 7 b , 1 9 8 7 c ; L e s h , e t a l . , 1 9 8 7 ) . M a s o n ( 1 9 8 7 a ) p o r t r a y e d s u c h a u t h o r s a s " p r o c e e d [ i n g ] f r o m t h e o u t s i d e ” ( p . 2 0 7 ) w h i l e h e f o u n d i t ” m o r e e n g a g i n g a n d r e a l i s t i c t o t r y t o c a p t u r e e x p e r i e n c e o f t h e i n n e r w o r l d f r o m t h e i n s i d e a s i t w e r e , b y u s i n g m e t a p h o r a n d d e s c r i p t i v e f r a m e w o r k s t h a t r e s o n a t e w i t h o t h e r p e o p l e ’ s e x p e r i e n c e ” ( p p . 2 0 7 - 2 0 8 ) . B y p r o c e e d i n g f r o m t h e o u t s i d e , h e m e a n s r e s e a r c h e r s s t a r t f r o m t h e p e r s p e c t i v e o f t h e d i s c i p l i n e o f m a t h e m a t i c s . T h i s i s a p p a r e n t i n s t a t e m e n t s s u c h a s : M a t h e m a t i c s p r o p e r m a y b e d e s c r i b e d a s t h e s c i e n c e o f s i g n i f i c a n t s t r u c t u r e . T h u s m a t h e m a t i c s s t u d i e s t h e r e p r e s e n t a t i o n o f o n e s t r u c t u r e 1 0 5 H a v i n g s e e n m a n y c h i l d r e n p r e s e n t s o l u t i o n s u s i n g t h e i r ( o f t e n p a i n f u l l y c r a f t e d ) r e p r e s e n t a t i o n s , o n e d o u b t s t h e y a l l h a v e a ” c a r e f u l l y c o n s t r u c t e d a r r a n g e m e n t ” o f t h e i r i d e a s . 2 8 4 b y a n o t h e r , a n d m u c h o f t h e a c t u a l w o r k o f m a t h e m a t i c s i s t o d e t e r m i n e e x a c t l y w h a t s t r u c t u r e i s p r e s e r v e d i n t h a t r e p r e s e n t a t i o n . T h i s r e p r e s e n t a t i o n i s f o r m a l l y i n d e p e n d e n t o f t h e f o r m o f t h e e x t e r n a l s y m b o l s u s e d b e c a u s e t h e s t r u c t u r e i t s e l f i s t r e a t e d a s a n a b s t r a c t i o n o r i d e a l i z a t i o n . ( K a p u t , 1 9 8 7 b , p . 2 3 ) W h i l e K a p u t ’ s c l a i m s m a y h o l d f o r m a t h e m a t i c i a n s , t h e y c l e a r l y d i d n o t f o r t h e c h i l d r e n o f m y s t u d y . I n f a c t , t h e s e c h i l d r e n w e r e m u c h m o r e l i k e l y t o t r e a t t h e r e p r e s e n t a t i o n s t h e y u s e d a s i n s t a n t i a t i o n s , c o n c r e t i z a t i o n s o f t h e p r o b l e m s t o r y . T h i s i s i n i t s m o s t e x t r e m e f o r m i n N i c o l e ’ s d i s m i s s a l o f i d e a l f r a c t i o n s a s a p p l i c a b l e i n t h e r e a l w o r l d c o n t e x t o f s h a r i n g c a n d y b a r s . K a p u t ( 1 9 8 7 b ) a r g u e d t h a t ” t h e i d e a o f r e p r e s e n t a t i o n i s c o n t i n u o u s w i t h m a t h e m a t i c s i t s e l f ” ( p . 2 5 , e m p h a s i s i n t h e o r i g i n a l ) . H e c o n t i n u e d t h a t r e s e a r c h e r s ’ n e x t g o a l s h o u l d b e ” t o s t u d y t h e v a r i e t i e s o f m a t e r i a l l y r e a l i z a b l e f o r m s , a n d t h e p s y c h o l o g i c a l a s p e c t s o f t h o s e f o r m s , b y w h i c h r e p r e s e n t a t i o n s a r e a c h i e v e d ” ( p . 2 5 ) . K a p u t ( 1 9 8 7 b ) s e e k s a t h e o r y t h a t : w o u l d d e fi n e g e n e r a l p r o p e r t i e s o f s y m b o l a n d r e p r e s e n t a t i o n a l s y s t e m s t h e m s e l v e s . . . I t w o u l d p r o v i d e s y s t e m a t i c c r i t e r i a a n d v o c a b u l a r y f o r d i s c u s s i n g h o w t h e d i f f e r e n t r e p r e s e n t a t i o n s y s t e m s v a r y i n t h e i r a b i l i t y t o e n c o d e c e r t a i n m a t h e m a t i c a l i d e a s a n d s u p p o r t t h e s o l v i n g o f c e r t a i n c l a s s e s o f p r o b l e m s . T h e s e w o u l d b e c h a r a c t e r i z e d i n t e r m s o f p s y c h o l o g i c a l l y i d e n t i f i a b l e s t r u c t u r e s a n d p r o c e s s e s . . . T h e t h e o r y w o u l d e v e n t u a l l y p r o v i d e a d e v e l o p m e n t a l t r a j e c t o r y f o r r e p r e s e n t a t i o n a l s k i l l s t h a t w o u l d i n t e r f a c e w i t h d e s c r i p t i o n s o f t h e o t h e r s y m b o l i c c o m p e t e n c e s s y n c h r o n i c a l l y d e v e l o p i n g w i t h i n t h e s t u d e n t . . . ( p . 2 0 ) A g a i n , t h i s i s a n o u t s i d e - i n a p p r o a c h t h a t t r e a t s r e p r e s e n t a t i o n s a s a c h i e v e m e n t s . O f c o u r s e , t h e r e i s n o t h i n g w r o n g w i t h t h i s a p p r o a c h . H o w e v e r , i t i s l i m i t i n g . T h i s p e r s p e c t i v e a s s u m e s c h i l d r e n d o i n g m a t h e m a t i c s a r e e n g a g e d i n u s i n g m a t h e m a t i c a l r e p r e s e n t a t i o n s y s t e m s ( t h o u g h , K a p u t ( 1 9 8 7 b ) d o e s r e c o g n i z e t h e n e c e s s i t y o f " t r a n s l a t i o n b e t w e e n n o n m a t h e m a t i c a l r e p r e s e n t a t i o n s a n d m a t h e m a t i c a l o n e s ” ( p . 2 1 ) ) . 2 8 5 I n K a p u t ’ s h a n d s , r e p r e s e n t a t i o n s y s t e m s s e e m g l o b a l a n d d i s c i p l i n e - b a s e d ( e . g . , t h e ” b a s e - t e n p l a c e h o l d e r r e p r e s e n t a t i o n s y s t e m ” ( K a p u t , 1 9 8 7 b , p . 1 6 2 ) ) . I n c o n t r a s t , L e s h ( 1 9 8 7 ) a c c e p t e d a m o r e l o c a l v e r s i o n a s w e l l . H e s a w c h i l d r e n e n g a g e d i n s o l v i n g i n d i v i d u a l p r o b l e m s a s ” t r y i n g t o g e t t h i n g s i n t o a s i n g l e c o h e r e n t r e p r e s e n t a t i o n a l s y s t e m s o t h e y c a n " s o l v e t h e p r o b l e m ( p . 1 0 0 ) . K a p u t ( 1 9 8 7 a ) a r g u e d t h a t b y l o o k i n g a t ” w h a t t h e c h a r a c t e r i s t i c s a r e o f p a r t i c u l a r r e p r e s e n t a t i o n s , ” m a t h e m a t i c s e d u c a t o r s c a n d e t e r m i n e w h y t h e y a r e ” e f f e c t i v e i n s o m e c a s e s a n d i n e f f e c t i v e i n o t h e r s ” ( p . 1 0 1 ) . H e r e c o g n i z e d t h e d i f f i c u l t y o f a p p l y i n g t h e t h e o r y o f r e p r e s e n t a t i o n s h e c a l l e d f o r ” i n a m e s s y c o n t e x t l i k e a p p l i e d p r o b l e m s o l v i n g ” ( p . 1 0 2 ) . I ’ m n o t s u r e i t w o r k s t h a t w a y - t h a t s o m e t h i n g c a n b e a p p l i e d t o c h i l d r e n ’ s w a y s o f k n o w i n g a n d l e a r n i n g . H e a r g u e d ( 1 9 8 7 c ) t h a t h i s " p o s i t i o n i s t h a t d i r e c t k n o w l e d g e o f a n e x t e r n a l w o r l d i s a n e p i s t e m i c i m p o s s i b i l i t y — h e n c e c o g n i t i v e r e p r e s e n t a t i o n o f a n e x t e r n a l w o r l d m a k e s n o s e n s e ” ( p . 1 7 6 ) . W h i l e t h i s i s f i n e a n d g o o d f o r K a p u t ( a n d t h i s a u t h o r ) , i t d o e s n o t n e c e s s a r i l y r e fl e c t c h i l d r e n ’ s b e l i e f s . A s r e s e a r c h e r s , w e m u s t l o o k a t t h e i r a c t i o n s a n d r e a s o n i n g f r o m i n s i d e t h e i r b e l i e f s y s t e m . W h a t i s n e e d e d t o c o m p l e m e n t t h e o u t s i d e - i n r e s e a r c h i s t h e o p p o s i t e a p p r o a c h — « h a t p r e s e n t e d i n t h i s s t u d y . T h e c h i l d r e n o f m y s t u d y g e n e r a l l y d i d n o t t r e a t r e p r e s e n t a t i o n s a s p a r t o f a r e p r e s e n t a t i o n a l s y s t e m . W h i l e t h e y m a y h a v e s e e n m a t h e m a t i c s a s a s y s t e m a t i c , c o h e r e n t s u b j e c t , i t i s n o t c l e a r t h e y s a w r e p r e s e n t a t i o n s i n a s i m i l a r l i g h t . F u r t h e r , t h e r e w a s p r e c i o u s l i t t l e c o n s i s t e n c y a c r o s s c h i l d r e n i n t e r m s o f e n c o d i n g m a t h e m a t i c a l i d e a s . I t i s h a r d t o s e e h o w a g e n e r a l d e v e l o p m e n t a l t r a j e c t o r y f o r s t u d e n t s m i g h t h o l d . T h e c h i l d r e n o f t h i s s t u d y t r e a t e d r e p r e s e n t a t i o n s a s t o o l s , n o t a c h i e v e m e n t s w h i c h s u p p o r t s M a s o n ’ s ( 1 9 8 7 b ) a r g u m e n t f o r r e s e a r c h t o f o c u s o n " s y m b o l i z i n g a s a p r o c e s s ” ( p . 7 3 ) . H e r e , 2 8 6 ” s y m b o l i z i n g i s s e e n a s a p a s s a g e b e t w e e n w o r l d s , e i t h e r b y t r a i l - b l a z i n g . o r b y f o l l o w i n g s o m e o n e e l s e s [ s i c ] m a r k i n g s ” ( p . 7 3 ) . A s a r g u e d i n c h a p t e r 1 , t h e S t a n d a r d s u r g e b o t h c o n n e c t i o n a n d a b s t r a c t i o n . F r o m t h e p e r s p e c t i v e o f t h e d i s c i p l i n e o f m a t h e m a t i c s , r e p r e s e n t a t i o n s a r e v a l u e d f o r t h e i r a b s t r a c t n e s s , t h e i r f r e e d o m f r o m t h e c o n s t r a i n t s o f p a r t i c u l a r c o n t e x t . O n t h e o t h e r h a n d , f r o m t h e p e r s p e c t i v e o f l e a r n i n g t h e o r y , r e p r e s e n t a t i o n s a r e v a l u e d f o r o f f e r i n g t h e l e a r n e r s o m e t h i n g ” c o n c r e t e ” t o h o l d o n t o , a p a r t i c u l a r c o n t e x t i n w h i c h t o e x p l o r e a p a r t i c u l a r p r o b l e m . T h u s , ” r e p r e s e n t a t i o n ” r e f e r s t o t w o i m p o r t a n t , o v e r l a p p i n g a s p e c t s o f m a t h e m a t i c s . O n e r e f e r s t o r e p r e s e n t a t i o n a l s y s t e m s w i t h i n t h e d i s c i p l i n e ; t h e o t h e r , t o p r o b l e m s o l v i n g t o o l s . R e s e a r c h b a s e d o n M a s o n ’ s ( 1 9 8 7 a ) a n d v o n G l a s e r s f e l d ’ s ( 1 9 8 7 a , 1 9 8 7 b ) a r g u m e n t s f o r a n i n s i d e - o u t a p p r o a c h w o u l d e n h a n c e o u r u n d e r s t a n d i n g o f t h e d i c h o t o m y e m b e d d e d i n t h e S t a n d a r d s . H O W R E P R E S E N T A T I O N S F U N C T I O N F O R D O I N G M A T H E M A T I C S I n t h i s s e c t i o n I p a r s e r e p r e s e n t a t i o n s i n s e v e r a l w a y s . F i r s t , I m a k e a m a j o r d i v i s i o n b e t w e e n u s i n g r e p r e s e n t a t i o n s f o r a d h o c a n d f o r d i s c i p l i n e - b a s e d p u r p o s e s . B y a d h o c p u r p o s e s , 1 m e a n r e p r e s e n t a t i o n s c r e a t e d a n d u s e d f o r m o d e l i n g o r s o l v i n g p a r t i c u l a r p r o b l e m s ; r e p r e s e n t a t i o n s f o r w o r k i n g o n t h i s p r o b l e m . I n c o n t r a s t , I u s e d i s c i p l i n e - b a s e d t o d e s c r i b e u s e s o f r e p r e s e n t a t i o n s f o r m o r e g e n e r a l m a t h e m a t i c a l i s s u e s . T h e s e c a t e g o r i e s a r e b a s e d o n t h e i n t e n t o f t h e u s e r n o t o n t y p e s o f r e p r e s e n t a t i o n s . I n t e n t o f t h e c h i l d c r e a t i n g a n d / o r u s i n g r e p r e s e n t a t i o n s i s i m p o r t a n t f o r u n d e r s t a n d i n g c h i l d r e n ’ s m a t h e m a t i c a l r e a s o n i n g . T h i s i s n o t m e a n t t o i m p l y t h a t t h e c h i l d r e n d i s t i n g u i s h e d b e t w e e n a d h o c a n d d i s c i p l i n e - b a s e d r e p r e s e n t a t i o n s . R a t h e r , w h e n t h e y l o o k e d b e y o n d 2 8 7 p a r t i c u l a r p r o b l e m s , t h e y w e r e e n g a g i n g i n t h e s o r t o f p r a c t i c e v a l u e d i n t h e d i s c i p l i n e . H a v i n g d i s t i n g u i s h e d r e p r e s e n t a t i o n s b y i n t e n t , I s u b d i v i d e a d h o c u s e s o f r e p r e s e n t a t i o n s i n t o t h o s e r e p r e s e n t i n g p r o b l e m s a n d t h o s e r e p r e s e n t i n g e x p l a n a t i o n s . I n t h e f o r m e r , t h e c h i l d r e n w o r k e d t o s o l v e o r d e m o n s t r a t e a s o l u t i o n . T h e s e o f t e n d i d n o t i n c l u d e a n y e x p l a n a t i o n o f r e a s o n i n g . A t t i m e s I w a s s u b s e q u e n t l y a b l e t o e l i c i t r e a s o n i n g - - w h i c h w a s o f t e n p r e s e n t e d t h r o u g h r e p r e s e n t a t i o n s . B o t h o f t h e s e a r e d i v i d e d a g a i n ( F i g u r e 3 9 ) . I t s h o u l d b e e m p h a s i z e d t h a t I d o n o t a s s u m e t h a t t h i s i s t h e ” c o r r e c t ” w a y t o p a r s e r e p r e s e n t a t i o n s . I t i s o n e w a y t o v i e w t h e m t h a t i s u s e f u l f o r t h e p u r p o s e s o f t h i s s t u d y . T h e s e c a t e g o r i e s a r o s e f r o m t h e a n a l y s i s o f t h e d a t a . H o w e v e r , t h e y a r e a r t i f i c i a l d i v i s i o n s ; i t i s l i k e l y t h e c h i l d r e n w o u l d n o t h a v e r e c o g n i z e d t h e m o r s o p a r s e d t h e i r u s e o f r e p r e s e n t a t i o n s . N o r d o t h e d i v i s i o n s f o r m m u t u a l l y e x c l u s i v e s e t s . I t r e a t t h e m a s d i s t i n c t s o l e l y f o r t h e p u r p o s e s o f a n a l y s i s . A d H o c U s e s o f R e p r e s e n t a t i o n s R e p r e s e n t i n g P r o b l e m s R e p r e s e n t i n g E x p l a n a t i o n s $ 0 1 t h M o d e l i n g E x p l a n a t i o n s E x p l a n a t i o n s o f S p e c i fi c P a r t i c u l a r P a r t i c u l a r o f R e a s o n i n g S t e p s i n S o l u t i o n s P r o b l e m s P r o b l e m s F i g u r e 3 9 : A d h o c p u r p o s e s f o r r e p r e s e n t a t i o n s . 2 8 8 A d H o c P u r p o s e s f o r R e p r e s e n t a t i o n s A l l o f t h e c h i l d r e n u s e d r e p r e s e n t a t i o n s f o r a d h o c p u r p o s e s t o r e p r e s e n t p r o b l e m s a n d t o e x p l a i n m a t h e m a t i c a l r e a s o n i n g . T h i s s e c t i o n d e m o n s t r a t e s t h e c h i l d r e n u s i n g r e p r e s e n t a t i o n s a s t o o l s i n a v a r i e t y o f w a y s . T h e a d h o c u s e o f r e p r e s e n t a t i o n s v a r i e d a c r o s s c h i l d r e n a n d w i t h i n c h i l d a c r o s s t y p e s o f p r o b l e m s . R e p r e s e n t a t i o n s o f P r o b l e m s F o r t h e s e c h i l d r e n c r e a t i o n a n d u s e o f r e p r e s e n t a t i o n s h a d t w o m a i n f u n c t i o n s : t o m o d e l a p r o b l e m a n d t o s o l v e a p r o b l e m . T h e y c r e a t e d r e p r e s e n t a t i o n s t o m o d e l a p r o b l e m w h e n t h e y a l r e a d y k n e w t h e a n s w e r a n d w e r e s h o w i n g m e h o w t h e y o t h e r w i s e m i g h t f i n d i t o r h o w t h e y c o u l d s h o w a n a n s w e r w a s c o r r e c t . T h e c h i l d r e n c r e a t e d r e p r e s e n t a t i o n s t o s o l v e a p r o b l e m w h e n t h e y d i d n o t k n o w t h e a n s w e r w i t h o u t d o i n g s o . i n ‘ u l a r P r b l e m s I t s o m e t i m e s h a p p e n e d t h a t t h e c h i l d r e n k n e w t h e a n s w e r t o a p r o b l e m ” i m m e d i a t e l y , ” a t a l m o s t t h e i n s t a n t I c o n c l u d e d p o s i n g i t , t h e y g a v e a n a n s w e r . I n t h i s c a s e , w h e n c r e a t i n g a r e p r e s e n t a t i o n , t h e y w e r e n o t t r y i n g t o s o l v e t h e p r o b l e m b u t t o c r e a t e a m o d e l o f t h e p r o b l e m t o d e m o n s t r a t e h o w t h e y a c h i e v e d t h e i r a n s w e r . S u c h m o d e l s i n c l u d e d a b s t r a c t , a l g o r i t h m i c s o l u t i o n s a n d p h y s i c a l o r v e r b a l p i c t o r i a l s o l u t i o n s . T h e m o s t c o m m o n e x a m p l e s a r o s e i n t h e t h i r d i n t e r v i e w w h e n I a s k e d t h e c h i l d r e n t o t a k e fi v e a w a y f r o m n i n e . T h i s m o d e l i n g d i d n o t o c c u r o f t e n e n o u g h — o r t h e s i t u a t i o n s w e r e n o t c o m p l e x e n o u g h - t o m a k e i n f e r e n c e s w i t h c o n f i d e n c e . T h u s , I i n c l u d e t h i s t o n o t e s u c h a u s e a s o n e f u n c t i o n o f r e p r e s e n t a t i o n s . I t d o e s s u g g e s t t h a t t h e s e c h i l d r e n k n e w t h e y c o u l d 2 8 9 p r o v i d e m a t h e m a t i c a l r e a s o n i n g e v e n f o r p r o b l e m s s o l v e d ” a u t o m a t i c a l l y . ” T h a t i s , t h e y k n e w t h a t r e a s o n i n g l a y b e h i n d s o l u t i o n s . g z l y i n g P e r t i g u l a r P r o b l e m s A l l t h e c h i l d r e n u s e d r e p r e s e n t a t i o n s t o s o l v e m o s t o f t h e p r o b l e m s t h a t I p o s e d . F o r e x a m p l e , n o n e o f t h e c h i l d r e n s e e m e d t o k n o w t h e a n s w e r t o t h e C a n d y B a r p r o b l e m i m m e d i a t e l y a n d t h u s c r e a t e d r e p r e s e n t a t i o n s t o s o l v e i t . E a c h c h i l d d r e w a p i c t u r e a n d d i s t r i b u t e d t h e 3 0 b a r s i n s o m e w a y . A l l u s e d r e p r e s e n t a t i o n s w i t h s u r f a c e s i m i l a r i t i e s : 3 0 " c a n d y b a r s " ( r e c t a n g l e s , c i r c l e s , t a l l i e s ) a n d f o u r ” c h i l d r e n ” ( s q u a r e s , c i r c l e s , s q u a r e s w i t h c i r c l e s i n s i d e , t o r s o s ) . T w o i n c l u d e d a ” b o x ” f o r t h e b a r s . E v e n w i t h t h i s s u r f a c e s i m i l a r i t y , d i s t r i b u t i o n o f 3 0 o b j e c t s a m o n g f o u r l o c a t i o n s , t h e r e w a s a n i m p r e s s i v e v a r i e t y o f s o l u t i o n s . I b r i e fl y r e c a l l D a n i e l l e , T e r i , a n d B e r t ’ s r e p r e s e n t a t i o n s i n s o l v i n g t h e C a n d y B a r p r o b l e m a n d N i c o l e ’ s i n s o l v i n g t h e C a n d y C a n e p r o b l e m . I n a d d i t i o n t o v a r i e t y o f d e s i g n a n d u s e , I m a k e a f u r t h e r d i s t i n c t i o n i n t h i s s e c t i o n . I a r g u e t h a t f o r D a n i e l l e a n d N i c o l e , r e p r e s e n t a t i o n s w e r e u s e d t o m o d e l t h e ” r e a l w o r l d ” c o n t e x t ; f o r B e r t a n d T e r i , t h e y w e r e t o m o d e l t h e m a t h e m a t i c s o f t h e s i t u a t i o n . A s I d e m o n s t r a t e t h e v a r i e t y o f r e p r e s e n t a t i o n s a n d s o l u t i o n s , I n o t e t h e c h i l d r e n ’ s m o n i t o r i n g o f t h e i r r e p r e s e n t a t i o n s a l o n g w i t h i s s u e s o f c o n s t r a i n t s i m p o s e d u b y r e p r e s e n t a t i o n s , b y t h e ” r e a l w o r l d , ” a n d b y t h e d i s c i p l i n e o f m a t h e m a fi c s - - o n t h e c h i l d r e n ’ s r e a s o n i n g . M o n i t o r i n g a n d c o n s t r a i n t s a r e d i s c u s s e d i n d e t a i l l a t e r i n t h e c h a p t e r . D a n i e l l e . I n s o l v i n g t h e C a n d y B a r p r o b l e m , D a n i e l l e c r e a t e d a r e p r e s e n t a t i o n t h a t s e e m e d a c o n s c i o u s r e p l i c a t i o n o f r e a l i t y . S h e l a i d o u t b a r s i n a ” b o x ” a n d d r e w t o r s o s f o r t h e c h i l d r e n . W i t h i n t h i s p r o c e s s , h e r r e p e a t e d c o u n t i n g o f t h e b a r s i s e m b l e m a t i c o f m o n i t o r i n g o f h e r w o r k . 2 9 0 S h e d i s t r i b u t e d t h e b a r s i n a v i r t u a l b u t c o m m o n s e n s e w a y . O n e w a y t o i n t e r p r e t h e r c i r c l i n g a n d l a b e l i n g i n g r o u p s o f f o u r i s t h a t s h e , v i r t u a l l y , g r a b b e d h a n d f u l s o f f o u r b a r s a n d p a s s e d o u t o n e p e r c h i l d . W i t h o u t h a v i n g 3 0 m o v e a b l e o b j e c t s , h e r r e p r e s e n t a t i o n o f f e r s a f a c s i m i l e o f t h i s p r o c e s s . S h e f o r m e d h e r g r o u p s b y ( v i r t u a l l y ) t a k i n g t h e r e m a i n i n g u n g r o u p e d b a r s f r o m o n e r o w a n d w h a t e v e r w a s n e c e s s a r y f r o m t h e r o w a b o v e t o f o r m a g r o u p . S h e c o l l e c t e d b a r s f o r d i s t r i b u t i o n i n a n o r d e r l y , s e q u e n t i a l f a s h i o n . W h e t h e r h e r d e c i s i o n t o g r o u p i n f o u r s w a s i n fl u e n c e d b y h e r o r a l s o l u t i o n t o t h e ” e a s y ” v e r s i o n o f t h e p r o b l e m ( i f t h e r e h a d b e e n fi v e c h i l d r e n - w h i c h s h e s o l v e d b y c o u n t i n g o r a l l y b y f i v e s , i . e . , b y g r o u p i n g t h e b a r s i n f i v e s ) , w e c a n n o t t e l l . I n f a c t , e v e n a t t h e t i m e , D a n i e l l e m i g h t n o t h a v e b e e n a b l e t o a n s w e r t h a t q u e s t i o n . R e g a r d l e s s , t h e s o l u t i o n s b e a r s t r o n g s i m i l a r i t y . I n e a c h c a s e , D a n i e l l e c r e a t e d g r o u p s o f b a r s e q u i v a l e n t i n m a g n i t u d e t o t h e n u m b e r o f c h i l d r e n . H e r f i r s t s o l u t i o n ( f i v e c h i l d r e n s h a r i n g ) i n c l u d e d a n e n t i r e l y i m p l i e d d i s t r i b u t i o n ; b y a t t a c h i n g i d e n t i f i e r s ( i n i t i a l s ) t o e a c h b a r , h e r s e c o n d s o l u t i o n ( f o u r c h i l d r e n ) w a s c l o s e r t o a c t u a l d i s t r i b u t i o n b u t , u n l i k e t h e o t h e r c h i l d r e n ’ s s o l u t i o n s , t h e b a r s n e v e r ” l e f t t h e b o x . ” D a n i e l l e c o u n t e d t h e b a r s i n t h e b o x a n d r e c o r d e d t o t a l s u s i n g n u m b e r s . A s s h e d r e w t h e t o r s o s , D a n i e l l e a s k e d w h e t h e r m y s i s t e r h a d a l l b o y s . I r e s p o n d e d , p o i n t i n g a t t h e t o r s o s f r o m h e r l e f t t o r i g h t , t h a t s h e h a d a ” g i r l , b o y , g i r l , b o y . ” S u c h a p p a r e n t l y i r r e l e v a n t i n f o r m a t i o n s u g g e s t s t h e e x t e n t t o w h i c h D a n i e l l e k e p t t h e s t o r y c o n t e x t i n m i n d a s s h e c r e a t e d h e r r e p r e s e n t a t i o n . A s s h e g r o u p e d i n f o u r s , s h e a s k e d t h e n a m e s o f m y n i e c e s a n d n e p h e w s . A s I t o l d h e r t h e e l d e s t c h i l d ’ s n a m e , " J e n n y , ” s h e s t a r t e d t o w r i t e t h a t n a m e u n d e r t h e l e f t m o s t t o r s o — t h e o n e 1 h a d i d e n t i f i e d a s t h e e l d e s t — b u t d e c i d e d " t h a t ’ s t h e w r o n g p e r s o n " a n d l a b e l e d t h e c h i l d o n t h e o p p o s i t e e n d o f t h e r o w , t h e o n e s h e 2 9 1 h a d d r a w n w i t h l o n g h a i r , ” J e n n y ” i n s t e a d . M o v i n g h e r p e n c i l a n d f o c u s f r o m t h e a d j a c e n t t o r s o t o t h e l e f t m o s t , b a c k t o t h e r i g h t , a n d b a c k a g a i n t o t h e l e f t , s h e w a v e r e d b e t w e e n c o n t i n u i n g t o l a b e l f r o m r i g h t t o l e f t ( t h e o p p o s i t e o f m y i d e n t i f i c a t i o n f r o m l e f t t o r i g h t ) o r s t a r t i n g t h e s e c o n d o l d e s t c h i l d a t t h e f a r l e f t . S h e c h o s e t h e l a t t e r a p p r o a c h a n d p r o c e e d e d t o l a b e l t h e r e s t o f t h e p i c t u r e s . T h u s , h e r l a b e l i n g d i d n o t m a t c h m y i d e n t i f i c a t i o n o f t h e t o r s o s . T h i s s e e m e d o f l i t t l e n o t e t o h e r n o r i s i t o f n o t e m a t h e m a t i c a l l y . H o w e v e r , I i n t e r p r e t t h i s e p i s o d e a s D a n i e l l e m a k i n g s u r e t h e t o r s o w i t h l o n g h a i r w a s ” c o r r e c t l y ” l a b e l e d a s a f e m a l e . 1 0 6 T h i s i n t e r p r e t a t i o n s u g g e s t s s h e v i e w e d t h e t o r s o s a s i m a g e s o f t h e c h i l d r e n o f t h e s t o r y ; t h e r e p r e s e n t a t i o n w a s a m o d e l o f ” r e a l i t y . ” H e r a t t e n t i o n t o l a b e l ” p r o p e r l y " a l s o r e p r e s e n t s a f o r m o f m o n i t o r i n g ; w h i l e d e v e l o p i n g h e r r e p r e s e n t a t i o n s h e a t t e n d e d t o t h e n e e d f o r p i c t u r e s t o b e l a b e l e d c o r r e c t l y . A s s h e c o n t i n u e d , s h e ” d i s t r i b u t e d ” t h e b a r s b y l a b e l i n g e a c h , n o t i n g ( f o r e x a m p l e ) , ” T h a t ' s f o r M e g h a n . ” L i k e w i s e , a s s h e t a l l i e d t h e n u m b e r e a c h c h i l d r e c e i v e d s h e m a d e c o m m e n t s o f t h e f o r m , ” B i l l y g o t s e v e n . ” S u c h s t a t e m e n t s a s s o c i a t e d w i t h h e r d i s t r i b u t i o n s u g g e s t a c l o s e c o n n e c t i o n w i t h t h e s t o r y i n w h i c h I p r e s e n t e d t h e p r o b l e m , a n a t t a c h m e n t w i t h t h e ” r e a l w o r l d ” c o n t e x t . A s s h e c o u n t e d " J e n n y ’ s " b a r s , s h e c o m m e n t e d t h a t " t h e y b e t t e r a l l c o m e o u t t h e s a m e a m o u n t o r I ’ m g o n n a b e r e a l l y m a d . ” I a s k e d " W h y i s t h a t ? " e x p e c t i n g a r e s p o n s e r e l a t e d t o e q u a l d i s t r i b u t i o n , i . e . , t h e m a t h e m a t i c s o f t h e s i t u a t i o n . D a n i e l l e r e s p o n d e d , " b e c a u s e I ' m n o t g o o d a t t h i s " a n d c o u n t e d t h e b a r s t h e o t h e r c h i l d r e n r e c e i v e d . H e r r e s p o n s e s e e m s r o o t e d i n h e r a s s e s s m e n t o f h e r a b i l i t i e s — h e r g e n e r a l m a t h e m a t i c a l a b i l i t i e s , h e r p e r c e p t i o n o f h e r a b i l i t y t o g e t t h e p r o c e s s r i g h t , o r a c o m b i n a t i o n o f t h e t w o . T h a t i s , i f s h e q u e s t i o n e d h e r ‘ 1 0 6 N o n e o f h e r m a l e c l a s s m a t e s h a d s h o u l d e r l e n g t h h a i r . 2 9 2 a b i l i t y t o a c c u r a t e l y c a r r y o u t h e r p l a n n e d s o l u t i o n , i t w o u l d s u g g e s t s h e a s s u m e d e q u a l d i s t r i b u t i o n , s h e a s s u m e d s h e h a d t h e m a t h e m a t i c s c o r r e c t , t h a t a n y d i f f i c u l t y w a s m e r e l y r o o t e d i n c a r r y i n g t h e p r o c e s s o u t . S h e k n e w s h e n e e d e d b o t h r e a s o n i n g a n d c o m p u t a t i o n a l a c c u r a c y t o b e ” g o o d ” a t m a t h e m a t i c s , t o g e t t h e r i g h t a n s w e r . A s i t t u r n e d o u t , D a n i e l l e ’ s r e a s o n i n g a n d c o m p u t a t i o n w e r e a c c u r a t e t h o u g h h e r r e p r e s e n t a t i o n w a s n o t ( s h e m i s s e d o n e b a r ) . H e r c o m m e n t a l s o d e m o n s t r a t e s h e r m a i n t e n a n c e o f a ” m e t a - a w a r e n e s s . ” S h e a t t e n d e d t o t h e l a r g e r p i c t u r e a s s h e c a r r i e d o u t t h e d e t a i l s . T h i s m e t a - a w a r e n e s s , o f c o u r s e , i s t h e e s s e n c e o f m o n i t o r i n g . L a t e r i n t h i s p r o b l e m , I a s k e d D a n i e l l e h o w s h e k n e w t h a t t w o q u a r t e r s w a s t h e s a m e a s a h a l f . A s s h e c r e a t e d a r e p r e s e n t a t i o n i n t e n d e d t o w a r r a n t t h i s , D a n i e l l e e x p l a i n e d t h e p i c t u r e s h e d r e w . S h e d r e w t w o " c i r c l e s " a n d e x p l a i n e d , " T h e r e ' s a c i r c l e a n d y o u c u t i t u p i n t o f o u r . A n d t h e r e ' s a n o t h e r . T h e s e a r e c i r c l e s " ( F i g u r e 2 2 ) . A s n o t e d e a r l i e r , t h e t h i r d s e n t e n c e r e fl e c t s a r e c o g n i t i o n t h a t t h e p i c t u r e s w e r e m a r g i n a l l y c i r c u l a r a t b e s t . I t a l s o d e m o n s t r a t e s a n o t h e r f o r m o f m o n i t o r i n g o f h e r w o r k ; a s s h e c r e a t e d t h e r e p r e s e n t a t i o n , s h e n o t e d i t a s a p o o r i n s t a n t i a t i o n o f t h e c o n c e p t ” c i r c l e . ” T h i s n o t i n g o f t h e q u a l i t y o f h e r m o d e l i s a n e x a m p l e b o t h o f h e r m o n i t o r i n g ( s h e r e c o g n i z e d t h e p o o r q u a l i t y o f t h e d r a w i n g ) a n d t h a t s h e w a s a t t e m p t i n g t o m o d e l t h e r e a l w o r l d ( s h e t o l d m e t o p r e t e n d t h e y w e r e c o o k i e s ) . S h e d i d n o t l e t h e r i n a d e q u a t e d r a w i n g c o n s t r a i n h e r ; s h e i n s t r u c t e d m e t o p r e t e n d t h e y w e r e i d e a l . D a n i e l l e w a s c o n s t r a i n e d b y h e r p e r c e p t i o n o f h e r o w n a b i l i t y — a n d , o f c o u r s e , b y t h e a c c u r a t e n e s s o f h e r r e p r e s e n t a t i o n . W h e n s h e f a i l e d t o i n c l u d e 3 0 b a r s , s h e n a t u r a l l y o b t a i n e d a n i n c o r r e c t a n s w e r . H o w e v e r , h e r m o n i t o r i n g a l m o s t o v e r c a m e t h a t . S h e s e e m e d t o r e a l i z e t h a t h e r b o x c o n t a i n i n g 3 0 b a r s w a s d e p e n d e n t , i n p a r t , o n t h e f i r s t r o w h a v i n g n i n e ( s i n c e s h e a p p a r e n t l y r e c a l l e d 2 9 3 h a v i n g d r a w n i t t h a t w a y ) . O n r e c o u n t , s h e f o u n d i t h a d e i g h t . H a d s h e n o t m i s s e d ” 2 6 ” i n h e r c o u n t , h e r a d d i t i o n o f a b a r w o u l d h a v e c r e a t e d a n a c c u r a t e r e p r e s e n t a t i o n . D u r i n g h e r w o r k o n t h i s a n d o t h e r t a s k s , D a n i e l l e o f t e n ” s a t b a c k ” a n d t o o k s t o c k o f t h e s i t u a t i o n . A t t i m e s , t h i s s i t t i n g b a c k w a s l i t e r a l , a t o t h e r s , v i r t u a l . D u r i n g e i t h e r , s h e w o u l d p a u s e a n d m a k e c o m m e n t s a b o u t t h e s t a t u s o f h e r r e p r e s e n t a t i o n o r r e c o l l e c t t h e e l e m e n t s o f t h e c o n t e x t a s s h e m o v e d t o t h e n e x t s t e p . T e r i . T e r i s t a r t e d w o r k i n g b e f o r e I c o m p l e t e d n a r r a t i n g t h e C a n d y B a r p r o b l e m . S h e a s s u m e d t h a t s h e k n e w w h a t I w o u l d a s k . C l e a r l y , s h e w a s m o n i t o r i n g m y p r e s e n t a t i o n o f t h e p r o b l e m , c o m p a r i n g i t w i t h h e r p a s t e x p e r i e n c e s , a n d p r o j e c t i n g t h e l i k e l y q u e s t i o n . S h e c r e a t e d m e n t a l r e p r e s e n t a t i o n s t o s o l v e t h e p r o b l e m : a c o m b i n a t i o n o f a d d i t i o n , c o u n t i n g b y t e n s , a n d r e c o r d i n g w i t h h e r f i n g e r s . A s s h e s o l v e d h e r v e r s i o n o f t h e p r o b l e m ( H o w m a n y b a r s i n f o u r b o x e s o f 3 0 ? ) , T e r i m o n i t o r e d h e r e n u m e r a t i o n o f b o x e s a n d b a r s — i . e . , s h e m o n i t o r e d t h e n u m e r i c a l d a t a o f t h e p r o b l e m . W h e r e D a n i e l l e m o n i t o r e d b o t h ” r e a l w o r l d ” c o n n e c t i o n s a n d t h e m a t h e m a t i c s , T e r i s e e m e d t o i g n o r e t h e c o n t e x t u a l a s p e c t s . T h e m a t h e m a t i c s s h e d e m o n s t r a t e d i n t h i s s o l u t i o n u t h r o u g h h e r u s e o f m u l t i p l e i n t e g r a t e d r e p r e s e n t a d o n s — c o r r e s p o n d s w i t h s o u n d m a t h e m a t i c a l p r a c t i c e s . T e r i u s e d h e r f i n g e r s t o k e e p t r a c k o f e l e m e n t s o f t h e s t o r y a s s h e w o r k e d o r a l l y . I n a d d i t i o n o f i n t e g e r s , b y v i r t u e o f t h e d i s t r i b u t i v e p r o p e r t y o n e m a y a d d w h o l e n u m b e r s , o n e m a y p a r t i t i o n n u m b e r s a n d a d d t h e p a r t s , o r o n e m a y p a r t i t i o n s o m e o f t h e n u m b e r s w h i l e a d d i n g t h e o t h e r s w i t h o u t p a r t i t i o n i n g t h e m . T e r i e m p l o y e d t h e l a s t ; s h e a d d e d s o m e b o x e s 3 0 a t a t i m e a n d o n e b o x b y 2 9 4 p a r t i t i o n i n g i n t o t e n s , u s i n g h e r r i g h t h a n d t o k e e p t r a c k o f t h e t e n s . S h e u s e d h e r l e f t h a n d t o m a k e s u r e s h e a c c o u n t e d f o r a l l f o u r b o x e s . H e r r e c o r d i n g o f b o x e s m a y h a v e b e e n m o r e t o s h o w m e s h e h a d a c c o u n t e d f o r t h e b o x e s a s s h e h a d o r i g i n a l l y u s e d o n l y t h e f i n g e r s o f o n e h a n d t o r e a c h a n a n s w e r . D a n i e l l e ’ s e r r o r a r o s e d u r i n g t h e c r e a t i o n o f h e r r e p r e s e n t a t i o n u a r e s u l t o f i m p e r f e c t m o n i t o r i n g ; T e r i ’ s a r o s e f r o m h e r u s e o f t h e r e p r e s e n t a t i o n - a l s o a r e s u l t o f i m p e r f e c t m o n i t o r i n g . J u s t a s D a n i e l l e h a d s k i p p e d " 2 6 ” a s s h e l a b e l e d b a r s , T e r i s k i p p e d " 7 0 " a s s h e c o u n t e d o n . A f t e r I c o r r e c t e d h e r i n t e r p r e t a t i o n o f t h e q u e s t i o n , T e r i , l i k e D a n i e l l e , m o n i t o r e d h e r r e p r e s e n t a t i o n . A s s h e d r e w , T e r i f o c u s e d o n h a v i n g t h e p i c t u r e m a t c h h e r p l a n f o r t h e r e p r e s e n t a t i o n . S h e u s e d g e n e r i c o b j e c t s t o r e p r e s e n t t h e c a n d y a n d ” k i d s , ” m a k i n g s u r e s h e h a d 3 0 c i r c l e s a n d f o u r ” k i d s . ” A f t e r t h e f i r s t v e r s i o n o f h e r r e p r e s e n t a t i o n w a s d r a w n , s h e m o n i t o r e d i t f o r u s e f u l n e s s - s h e c o m p a r e d t h e r e p r e s e n t a t i o n w i t h t h e p r o b l e m s t a t e m e n t . A t t h i s p o i n t , s h e n o t e d t h e d i f f e r e n c e b e t w e e n t h e n u m b e r o f r o w s a n d t h e n u m b e r o f c h i l d r e n , c o r r u n e n t i n g , ” P o o e y . ” S h e a b a n d o n e d t h i s r e p r e s e n t a t i o n f o r a n e w o n e , o n e w h i c h s h e a d a p t e d o n l y a l o n g a c o s m e t i c ( a l b e i t i m p o r t a n t f o r h e r m e t h o d o f s o l u t i o n ) d i m e n s i o n ( n e a t n e s s - - s h e d r e w c i r c l e s i n c o l u m n s f o r p a r t i t i o n i n g ) . S h e d i d n o t a d a p t i t a l o n g a d i m e n s i o n o f c o n n e c t i o n b e t w e e n c o n t e x t a n d m a t h e m a t i c s ; s h e d i d n o t m a k e f o u r r o w s t h o u g h s h e h a d n o t e d t h a t a c o r r e s p o n d e n c e b e t w e e n n u m b e r o f r o w s a n d n u m b e r o f c h i l d r e n w o u l d h a v e m a d e h e r s o l u t i o n e a s i e r . U n l i k e D a n i e l l e , T e r i m a d e n o d i s t i n c t i o n a m o n g t h e f o u r c h i l d r e n n o r d i d s h e a s k f o r i d e n t i f y i n g c h a r a c t e r i s t i c s o f t h e m . I n f a c t , s h e o n l y m a d e t h e c i r c l e s i n t o f a c e s a f t e r s h e h a d a l r e a d y d r a w n a l l f o u r , i d e n t i f y i n g t h e m g e n e r i c a l l y a s " o n e k i d , t w o k i d , . . . " S i n c e s h e g i g g l e d a f t e r h e r c r e a t i o n o f s m i l e y f a c e s a n d 2 9 5 d i d n o t d i s t i n g u i s h i n d i v i d u a l c h i l d r e n t h r o u g h o u t o u r e n g a g e m e n t w i t h t h e p r o b l e m , I b e l i e v e t h a t s h e m a d e ” s m i l e y f a c e s ” s i m p l y b e c a u s e s h e l i k e d t o d o s o . T e r i t r e a t e d t h e c h i l d r e n a s i d e n t i c a l - c o u n t i n g t h e n u m b e r o f b a r s a s i n g l e e x e m p l a r c h i l d r e c e i v e d w i t h o u t a n y c o n n e c t i o n w i t h t h e f o u r ” s r n i l e y f a c e s . ” S h e d i d n o t s e e k s o l i d i f i c a t i o n o r c o n n e c t i o n t o t h e r e a l w o r l d o f f e r e d b y n a m e s , g e n d e r s , o r p i c t u r e s . T e r i ’ s s t a t e m e n t t h a t , ” I t w o u l d b e e a s i e r i f t h e r e w e r e o n l y t h r e e c h i l d r e n , ” s u g g e s t s s h e d i d n o t d r a w t h e ” b a r s " w i t h a s p e c i f i c s o l u t i o n s t r a t e g y i n m i n d ; h e r i n t e n t i o n w a s t o r e p r e s e n t t h e o b j e c t s o f t h e s t o r y — t o d r a w 3 0 c i r c l e s a n d f o u r ” k i d s " - - a n d t h e n s o l v e t h e p r o b l e m f r o m t h e r e . I t s e e m s t h a t , a s s h e m a d e t h e 3 0 c i r c l e s , s h e f o c u s e d o n t h e n u m b e r t o m a k e r a t h e r t h a n o n h o w t o d i s t r i b u t e t h e m ; s h e w a s n o t l o o k i n g a h e a d t o t h e s o l v i n g p a r t o f t h e w o r k . T h i s a l s o a r g u e s t h a t , f o r T e r i , w e c a n d i s t i n g u i s h b e t w e e n c r e a t i o n a n d u s e : p r i o r t o a p a u s e a f t e r d r a w i n g o b j e c t s , s h e w a s c r e a t i n g t h e r e p r e s e n t a t i o n - s h e w a s r e p r e s e n t i n g t h e e l e m e n t s o f t h e s t o r y n a f t e r t h e p a u s e s h e w a s u s i n g i t — s h e w a s s o l v i n g t h e p r o b l e m . T h e r e i s a l s o a d i f f e r e n c e b e t w e e n T e r i ’ s a n d D a n i e l l e ’ s , " I t w o u l d b e e a s i e r i f . . . " c o m m e n t s . D a n i e l l e ’ s ” e a s i e r ” i n v o l v e d a c h a n g e t o t h e p r o b l e m , h e r " e a s i e r ” w o u l d a d j u s t t h e n u m b e r o f c h i l d r e n r e l a t i v e t o t h e n u m b e r o f b a r s i n t h e s t o r y . T e r i a l s o c o n s i d e r e d c h a n g i n g t h e p r o b l e m b u t s h e w o u l d a d j u s t t h e n u m b e r o f c h i l d r e n t o m o r e e a s i l y w o r k w i t h t h e a r r a n g e m e n t o f b a r s i n h e r r e p r e s e n t a t i o n . D a n i e l l e w o u l d u s e a d i f f e r e n t r e p r e s e n t a t i o n , T e r i t h e s a m e r e p r e s e n t a t i o n . A f t e r T e r i h a d c o m p l e t e d w o r k o n t h e p r o b l e m , I a s k e d h o w m a n y e a c h c h i l d r e c e i v e d . S h e fi r s t r e s p o n d e d , " e i g h t a n d a h a l f " w i t h o u t p a u s e o r e v i d e n t 2 9 6 w o r k t o d e t e r m i n e t h i s s o l u t i o n . W h e n I a s k e d h o w s h e d e c i d e d t h a t , w i t h o u t h e s i t a t i o n s h e e x p l a i n e d t h a t e a c h c h i l d r e c e i v e d ” s i x , " ” t v v o ” [ s i c ] , a n d ” a h a l f ” b a r s . T h i s s u g g e s t s t h a t s h e w a s m o n i t o r i n g h e r s o l u t i o n a s s h e w a s u s i n g t h e r e p r e s e n t a t i o n . S i n c e h e r r e s p o n s e o f a t o t a l w a s v i r t u a l l y i n s t a n t a n e o u s , a p p a r e n t l y s h e h a d b e e n a c c u m u l a t i n g t h e q u a n t i t i e s a t e a c h s t e p o f d i s t r i b u t i o n . O f c o u r s e , s i n c e s h e c o u n t e d t w o b a r s f r o m t h e f o u r i n d i v i d u a l b a r s , s h e d i d n o t m o n i t o r a c c u r a t e l y . S h e t r e a t e d t h e g r o u p o f s i x b a r s a s a s i n g l e e n t i t y u b o t h c a l l i n g i t " o n e o f t h e s e " a n d c o u n t i n g o n f r o m s i x . T e r i w a s t h e o n l y c h i l d t o t r e a t a p i c t o r i a l g r o u p a s a u n i t i n t h i s w a y . N i c o l e d i s t r i b u t e d t h e b a r s o n e a t a t i m e . B e r t , i n h i s s e c o n d r e p r e s e n t a t i o n d i d d r a w f o u r b a r s a t a t i m e i n e a c h s i t e b u t h e t r e a t e d t h e m i n d i v i d u a l l y a s h e c r e a t e d a n d u s e d t h e m . D a n i e l l e ’ s g r o u p s o f f o u r w e r e d i s t r i b u t e d a s i n d i v i d u a l s . S h e d i d c o u n t b y f i v e s f o r h e r s o l u t i o n t o t h e ” e a s i e r ” p r o b l e m . H o w e v e r , t h i s w a s n o t a p i c t o r i a l s o l u t i o n . F u r t h e r , w e c a n n o t d i v i n e h e r i n t e n t i o n : w a s s h e t h i n k i n g o f t h e m a s u n i t s o r i n t h e s a m e f a s h i o n a s h e r p i c t o r i a l s o l u t i o n - a s c r e a t i n g g r o u p s f r o m w h i c h t h e i n d i v i d u a l c h i l d r e n e a c h r e c e i v e d a s i n g l e b a r ? T h e r e p r e s e n t a t i o n T e r i u s e d s h a r e d m a n y c h a r a c t e r i s t i c s w i t h t h e o t h e r c h i l d r e n ’ s . W h a t d i s t i n g u i s h e s h e r s l i e s i n h o w s h e u s e d t h e r e p r e s e n t a t i o n , b o t h h e r m e t h o d o f d i s t r i b u t i n g t h e c a n d y b a r s a n d h e r a n a l y s i s o f t h e r e s u l t s . H e r s w a s l e a s t l i k e a m o d e l o f t h e ” r e a l w o r l d ” c o n t e x t o f t h e p r o b l e m . S h e u s e d c i r c l e s f o r b a r s . H e r u s e o f ” s m i l e y f a c e s ” s t e m s f r o m h e r p l e a s u r e i n t h e m r a t h e r t h a n a n i n t e n t i o n t o c r e a t e i m a g e s o f c h i l d r e n . E v e n m o r e t h a n B e r t , t h e s i z e o f t h e i n i t i a l g r o u p s s h e d i s t r i b u t e d w a s a r b i t r a r y , a n a r t i f a c t o f h o w s h e h a d d r a w n t h e c i r c l e s . H a d s h e d r a w n f i v e r o w s o f s i x , s h e m i g h t h a v e p a r t i t i o n e d o f f f o u r c o l u m n s , r e s u l t i n g i n d i s t r i b u t i o n o f f i v e b a r s t o e a c h c h i l d i n h e r f i r s t p a s s 2 9 7 ( F i g u r e 4 0 ) . T e r i ’ s d i s t r i b u t i o n b o r e n o t i e t o t h e n u m b e r o f c h i l d r e n ( a s D a n i e l l e ’ s d i d ) n o r w a s i t a n i n d i v i d u a l d i s t r i b u t i o n ( a s w a s N i c o l e ’ s ) . A c r o s s t h e i n t e r v i e w s , w h e n I p r e s e n t e d c o n t e x t u a l i z e d p r o b l e m s , T e r i c o n s i s t e n t l y c r e a t e d a r e p r e s e n t a t i o n o f t h e o b j e c t s o f t h e s t o r y a n d t h e n d e t e r m i n e d w h a t t o d o w i t h t h o s e o b j e c t s . S h e s o l v e d i n d i v i d u a l p r o b l e m s m a k i n g n o a p p a r e n t e f f o r t t o l o o k b e y o n d t h e m . S h e a l s o c o n s i s t e n t l y s t r i p p e d a w a y t h e c o n t e x t w h i l e w o r k i n g . ” S e l e c t i v e l y s t r i p p e d o f t h e n u a n c e a n d c o m p l e x i t y , ” T e r i f o u n d i t e a s i e r t o s o l v e p r o b l e m s ( K a p u t , 1 9 8 7 c , p . 1 6 0 ) . 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 C 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 F i g u r e 4 0 : H o w T e r i m i g h t h a v e s o l v e d t h e C a n d y B a r p r o b l e m . B e r t . U n l i k e t h e o t h e r s , B e r t d i d t e n d t o l o o k b e y o n d p a r t i c u l a r p r o b l e m s . H e s o l v e d p r o b l e m s b u t s o l u t i o n s o f t e n s e e m e d s t e p p i n g s t o n e s . H e c o m p a r e d t h e C a n d y B a r p r o b l e m w i t h o t h e r s f r o m h i s c l a s s r o o m : " W e d o l o t s o f p r o b l e m s l i k e t h i s . " I n a d d i t i o n t o a n e x a m p l e o f l o o k i n g b e y o n d t h e s p e c i f i c , t h i s i s a f o r m o f m o n i t o r i n g . T o c o m p a r e w i t h p a s t p r o b l e m s , B e r t m u s t h a v e c o n s i d e r e d w h a t k i n d o f p r o b l e m i t w a s . H e e v i d e n t l y c a t e g o r i z e d p r o b l e m s i n s o m e w a y . D a n i e l l e h a d h e r e y e s f i x e d a h e a d - - o n t h e s o l v i n g p a r t o f t h e p r o b l e m . B e r t s e e m e d t o . O v e r l o o k t h a t ; h e a t t e n d e d t o t h e s a m e d e t a i l s a s T e r i - g e t t i n g t h e o b j e c t s d r a w n b e f o r e s o l v i n g n b u t a l s o l o o k e d a t t h e w a y t h e p r o b l e m f i t w i t h i n h i s e x p e r i e n c e s 2 9 8 o f m a t h e m a t i c s . H e h a d o n e e y e f o c u s e d l o c a l l y ( a t h i s f e e t , i f y o u w i l l ) a n d o n e o n t h e h o r i z o n . T e r i k e p t b o t h e y e s l o c a l l y f o c u s e d w h i l e D a n i e l l e h a d o n e e y e f o c u s e d l o c a l l y , o n e o n t h e i n t e r m e d i a t e d i s t a n c e . M a s o n ( 1 9 8 7 b ) t a l k e d a b o u t ” e x p l i c i t a t t e n t i o n [ b e i n g ] s p l i t b e t w e e n l o c a l a n d g l o b a l d e t a i l ” ( p . 7 5 ) . M y c l a i m s a b o v e s u g g e s t t h a t t h i s i s t o o c o a r s e a d i s t i n c t i o n . W h a t o n e c h i l d t r e a t s a s g l o b a l m a y b e f a r b e y o n d a n o t h e r , w h a t o n e t r e a t s a s g l o b a l m a y b e s k i p p e d o v e r b y a n o t h e r . I n t h e p r o c e s s o f e x p l a i n i n g h i s c o m p a r i s o n o f t h i s p r o b l e m w i t h t h o s e o f h i s c l a s s , B e r t d r e w m o r e t h a n 3 0 b a r s . M o n i t o r i n g h i s w o r k , h e q u i c k l y r e a l i z e d t h e s i t u a t i o n a n d e r a s e d t h e e x t r a . R e m a r k i n g t h a t h e s o m e t i m e s h a d t o d r a w p i c t u r e s m u l t i p l e t i m e s t o g e t t h e s i z e r i g h t ( a g a i n , c o n n e c t i n g p r e s e n t w i t h p a s t ) , h e a b a n d o n e d h i s f i r s t r e p r e s e n t a t i o n a n d s t a r t e d a n e w o n e n w h i c h w a s n o t o f a d i f f e r e n t s i z e b u t o f a d i f f e r e n t t y p e . T h i s s u g g e s t s B e r t d i s t i n g u i s h e d c r e a t i o n a n d u s e - d i s t r i b u t i o n o f t h e b a r s m e a n t h e w a s u s i n g t h e r e p r e s e n t a t i o n . H e c r e a t e d t h e r e p r e s e n t a t i o n b y i n s t a n t i a t i n g t h e d a t a o f t h e s t o r y . A s h e u s e d t h e r e p r e s e n t a t i o n , a s h e d i s t r i b u t e d t h e b a r s , h e n o t i c e d t h e d i f fi c u l t i e s t h e c o n s t r u c t i o n p o s e d a n d d e s i g n e d a n e w r e p r e s e n t a t i o n i n r e s p o n s e . T h u s , c r e a t i o n a n d u s e h a d t h e s a m e a r t i c u l a t i o n p o i n t a s f o r T e r i . H e d i d n o t s e e m p a r t i c u l a r l y s u r p r i s e d b y h i s n e e d t o r e - d r a w ; h e t r e a t e d i t a s j u s t s o m e t h i n g t h a t h a p p e n s i n t h e p r o c e s s o f d o i n g m a t h e m a t i c s . B e r t ’ s s e c o n d r e p r e s e n t a t i o n w a s s i g n i f i c a n t l y d i f f e r e n t t h a n h i s fi r s t : H e s t a r t e d b y d r a w i n g t h e c h i l d r e n a n d t h e n d i s t r i b u t e d b a r s i n t h e p r o c e s s o f c r e a t i n g t h e m . T h i s i s e v i d e n c e o f b o t h m o n i t o r i n g u s e a n d a n e x p e c t a t i o n t h a t s u c h m o n i t o r i n g w a s a n e c e s s a r y c o m p o n e n t o f d o i n g m a t h e m a t i c s . U n l i k e T e r i , h i s s e c o n d r e p r e s e n t a t i o n i n v o l v e d a s t r u c t u r a l c h a n g e , n o t a c o s m e t i c o n e . O n t h e o t h e r 2 9 9 h a n d , t h e i m p e t u s t o c h a n g e t h e r e p r e s e n t a t i o n w a s o f t h e s a m e s o r t a s T e r i ’ s . I n b o t h c a s e s , t h e f o r m i n w h i c h t h e r e p r e s e n t a t i o n h a d b e e n c r e a t e d l e d t o d i f fi c u l t i e s i n c a r r y i n g o u t i t s i n t e n d e d u s e . J u s t a s T e r i , B e r t m o n i t o r e d b o t h t h e c r e a t i o n — h e e n d e d w i t h t h e c o r r e c t n u m b e r o f b a r s a n d c h i l d r e n u a n d t h e u s e . W h e r e T e r i n o t e d t h e d i f f i c u l t y i m m e d i a t e l y u p o n t u r n i n g t o u s e o f h e r r e p r e s e n t a t i o n , B e r t n o t e d i t l a t e r , i n t h e p r o c e s s o f u s i n g i t . A f t e r h a v i n g d i s t r i b u t e d 2 8 b a r s i n h i s s e c o n d s o l u t i o n , B e r t d r e w t h e 2 9 t h a n d 3 0 t h b a r s i n a s e p a r a t e l o c a t i o n . T h e s e w e r e l a r g e r t h a n t h e fi r s t 2 8 . H e q u a r t e r e d t h e t w o b a r s a n d d i s t r i b u t e d a q u a r t e r f r o m e a c h s a y i n g , " t h i s p i e c e g o e s t o t h i s g u y ” a n d m a d e a d o t i n t h e p i e c e b e f o r e r e - d r a w i n g i t i n o n e o f t h e s i t e s . T h e s e p i e c e s , p r o p o r t i o n a t e t o t h e s i z e o f t h e 2 9 t h a n d 3 0 t h b a r s , w e r e a p p r o x i m a t e l y t h e s a m e s i z e a s t h e o r i g i n a l b a r s h e h a d d r a w n i n t h e s i t e s . A t f i r s t , h e c o n c l u d e d t h a t t w o o f t h e s e p i e c e s , t w o ” o n e — h a l f s ” ( s i c ) , m a d e a w h o l e — " t h e s e t w o m a k e o n e . " H e s t a r t e d d r a w i n g a n o t h e r w h o l e b a r i n e a c h s i t e . H o w e v e r , B e r t q u i c k l y c h a n g e d h i s m i n d s a y i n g , ” A c t u a l l y , y o u c a n ’ t d o t h a t . . . b e c a u s e t h e s e a r e q u a r t e r s . ” T h i s l a s t s e n t e n c e i s a n o t h e r e x a m p l e o f B e r t h a v i n g c a r r i e d o n a n i n t e r n a l d i a l o g u e ( M a r k o v a , 1 9 9 0 ) . M o r e e v i d e n c e o f B e r t m o n i t o r i n g h i s s t a t e m e n t s s u r f a c e d i n h i s t h i r d r e p r e s e n t a t i o n . A f t e r d i s t r i b u t i n g 2 8 b a r s a g a i n , h e h a d t w o l e f t o v e r . I a s k e d i f t h e r e w a s a n y w a y t o s p l i t t h e b a r s u p s o e a c h c h i l d w o u l d g e t a h a l f a s i n t h e h y p o t h e t i c a l s o l u t i o n w h i c h i n i t i a t e d t h i s p a r t o f t h e c o n v e r s a t i o n . B e r t r e s p o n d e d , ” N o . B e c a u s e i f y o u s p l i t t h e m u p l i k e t h i s . . . y e a h , y e s , y e s , y e s t h e r e i s . " T h e l a s t w a s i n a v e r y e x c i t e d t o n e . H e d r e w t w o r e c t a n g l e s a n d c u t e a c h i n h a l f . H e w e n t o n t o e x p l a i n t h a t t h e r e w e r e ” m a n y d i f f e r e n t w a y s ” o n e c o u l d d i v i d e t h e r e m a i n i n g t w o b a r s . 3 0 0 T e r i h a d r e p r e s e n t e d ” a c t u a l ” d i s t r i b u t i o n a n d s o d i d B e r t . T h a t i s , h e p h y s i c a l l y c o n n e c t e d b a r s t o s i t e s i n h i s f i r s t r e p r e s e n t a t i o n ; d r e w b a r s d i r e c t l y i n t o s i t e s i n t h e s e c o n d ; i n h i s t h i r d , h e d i s t r i b u t e d b a r s a s h a d N i c o l e . W h e r e s h e c r o s s e d o u t a b a r ( r e c t a n g l e s ) i n o n e p l a c e a n d r e - d r e w i t i n t h e a p p r o p r i a t e s i t e , h e c i r c l e d a b a r ( t a l l y ) a n d r e - d r e w i t . J u s t a s T e r i h a d , B e r t ’ s s e c o n d r e p r e s e n t a t i o n i n v o l v e d g r o u p d i s t r i b u t i o n a n d s e e m i n g l y u s e d a s i m i l a r r a t i o n a l e : D o n ’ t d i s t r i b u t e t o o m a n y i n t h e f i r s t r o u n d . H o w e v e r , h i s r e a s o n i n g w a s f u n d a m e n t a l l y d i f f e r e n t . B e r t h a d t o e s t i m a t e o r c o m p u t e t h e i n i t i a l g r o u p s i z e - p o s s i b l y b a s e d o n w h a t h e h a d a c c o m p l i s h e d b e f o r e a b a n d o n i n g h i s f i r s t r e p r e s e n t a t i o n . T e r i ’ s d e t e r m i n a t i o n o f t h e s i z e o f a g r o u p s e e m e d b a s e d o n p a r t i t i o n i n g o f h e r p i c t u r e . - i . e . , h i s w a s m e n t a l , h e r s p i c t o r i a l ; h i s r e a s o n e d f r o m d a t a , h e r s i n fl u e n c e d b y h e r r e p r e s e n t a t i o n o f t h e d a t a . B e r t s h o w e d l i t t l e r e l i a n c e o n c o n n e c t i o n s t o t h e r e a l w o r l d . H e d r e w n o b o x ; h e s e l d o m m a d e m e n t i o n o f t h e ” c h i l d r e n ” o r t h e ” b a r s ” ; h e u s u a l l y e l i d e d n o u n s o r u s e d a g e n e r i c p r o n o u n ( e . g . , ” T h e s e t w o m a k e o n e ” ) . I n c o n t r a s t , w h e n w o r k i n g w i t h t h e 2 9 t h a n d 3 0 t h b a r s h e m a d e o c c a s i o n a l ” r e a l w o r l d ” r e f e r e n c e s , s u c h a s , " T h i s p i e c e g o e s t o h i m . ” T h i s r a r e c o n n e c t i n g t o c o n t e x t i s s i m i l a r t o T e r i b u t c o n t r a s t s w i t h D a n i e l l e a n d N i c o l e w h o f r e q u e n t l y u s e d ” c h i l d , ” ” k i d , ” ” c a n d y b a r s , " a n d t h e l i k e - f o r t h e m , n u m b e r s s e l d o m w e r e n o u n s . E v e n i n h i s c o n c l u s i o n ( a f t e r h i s s e c o n d r e p r e s e n t a t i o n ) , B e r t o n l y s a i d , " T h e y g e t e i g h t a n d a h a l f . ” H e u s e d g e n e r i c p r o n o u n s f o r t h e c h i l d r e n , d i d n o t s e e k i n f o r m a t i o n ( s u c h a s g e n d e r ) a b o u t t h e m , 1 0 7 a n d m a d e n o u s e o f ” b a r s . ” H i s c o n v e r s a t i o n w a s v i r t u a l l y d e - c o n t e x t u a l i z e d . H i s c o n n e c t i o n t o h i s m a t h e m a t i c s 1 0 7 Y e t m o s t p r o b l e m s i n h i s c l a s s r o o m w e r e c o n t e x t u a l i z e d u s i n g n a m e s o f h i s p e e r s . 3 0 1 c l a s s a t t h e s t a r t o f t h e t a s k w a s t o t h e c o n t e n t o f t h e m a t h e m a t i c s i n w h i c h t h e c l a s s h a d e n g a g e d , n o t t o o t h e r c h i l d r e n , t h e i r i d e a s , o r s o c i a l a s p e c t s o f c l a s s . B e r t u s e d r e p r e s e n t a t i o n s i n t h i s t a s k a s t o o l s . A s h e a b a n d o n e d h i s f i r s t r e p r e s e n t a t i o n , h e c o m m e n t e d a b o u t h a v i n g t o t r y m u l t i p l e p i c t u r e s a s h e s o l v e d p r o b l e m s i n c l a s s . H e d i d s o i n a t o n e o f ” t h i s i s r o u t i n e b e h a v i o r . " H e u s e d h i s t o o l s t o s o l v e t h e p a r t i c u l a r p r o b l e m w h i l e n o t i n g i t s s i m i l a r i t y w i t h o t h e r s , f i t t i n g i t i n t o t h e c o n t e x t o f h i s m a t h e m a t i c a l e x p e r i e n c e s . B e r t p l a n n e d h i s w o r k — e s p e c i a l l y i n h i s s e c o n d r e p r e s e n t a t i o n . W h e n I t u r n e d t o h i s p r o c e s s o f s o l u t i o n , a s k i n g h o w h e h a d d e c i d e d t o " p u t f o u r b a r s i n e a c h o n e . " H e s a i d t h a t h e d i d n o t w a n t t o p u t ” t o o m a n y a n d g o o v e r t h e a m o u n t t h e y h a v e . " H e h a d p r o j e c t e d t h a t f o u r b a r s p e r c h i l d w o u l d a d d u p t o f e w e r t h a n 3 0 . H e m o n i t o r e d u s e o f h i s f i r s t r e p r e s e n t a t i o n , a b a n d o n i n g i t i n t h e m i d s t o f d i s t r i b u t i o n . H e f o l l o w e d w i t h a s e c o n d a p p r o a c h t h a t w a s a d i f f e r e n t m e t h o d . T h e e x p e r i e n c e o f f e r e d b y t h e f i r s t i n f o r m e d h i s a c t i o n s i n t h e s e c o n d . M a t h e m a t i c a l l y , h e l e a r n e d h e c o u l d d i s t r i b u t e a g r o u p o f b a r s a t o n e t i m e ; t a c t i c a l l y , h e l e a r n e d t h a t h e n e e d n o t d r a w a l l t h e b a r s a n d t h e n p h y s i c a l l y a l l o c a t e t h e m . O f c o u r s e , t h i s b e g s t h e q u e s t i o n : W h y d i d h e r e t u r n t o a s t r a t e g y o f d r a w i n g a l l t h e b a r s f i r s t f o r h i s t h i r d r e p r e s e n t a t i o n ? T h e a n s w e r i s n o t c l e a r . O n e m i g h t c o n j e c t u r e t h a t h e s a w l i m i t e d c h o i c e s f o r r e p r e s e n t i n g t h e p r o b l e m a n d , r e c a l l i n g t h e f i r s t u n f i n i s h e d m e t h o d , u s e d a m o d i fi c a t i o n o f t h a t r a t h e r t h a n r e p e a t t h e s e c o n d a p p r o a c h . R e g a r d l e s s , o n e s h o u l d n o t e t h a t h e f o u n d a n a l t e r n a t i v e t o m a k i n g p h y s i c a l c o n n e c t i o n s — a m e t h o d w h i c h w o u l d h a v e o b s c u r e d t h e p i c t u r e a s i n t h e f i r s t . B y e s s e n t i a l l y i g n o r i n g t h e c o n t e x t i n w h i c h t h e p r o b l e m w a s e m b e d d e d , B e r t w a s n o t c o n s t r a i n e d b y i t . N o r w a s h e c o n s t r a i n e d b y e i t h e r h i s f i r s t 3 0 2 a b a n d o n e d r e p r e s e n t a t i o n o r h i s f i r s t s o l u t i o n . H e w a s i n t r i g u e d b y o t h e r s o l u t i o n s a n d a b l e t o a s c e r t a i n t h e i r v a l i d i t y i n t h e f a c e o f h i s o w n s o l u t i o n t h a t s e e m i n g l y c o n fl i c t e d w i t h t h e m . M e . I n c o n t r a s t w i t h t h e o t h e r t h r e e c h i l d r e n , N i c o l e w a s s t r o n g l y i n fl u e n c e d b y t h e c o n t e x t i n w h i c h I e m b e d d e d p r o b l e m s . B e f o r e t u r n i n g t o h e r w o r k i n t h e C a n d y C a n e p r o b l e m , I w i l l m a k e o n e c o m m e n t o n h e r w o r k w i t h t h e C a n d y B a r p r o b l e m t o i n d i c a t e t h e c o n s i s t e n c y o f N i c o l e ’ s b e h a v i o r , t h a t t h e C a n d y B a r p r o b l e m d o e s n o t p r o v i d e c o n t r a d i c t o r y e v i d e n c e . I n t h a t p r o b l e m , N i c o l e d e c l i n e d t o w o r k o n t h e f r a c t i o n a l d i s t r i b u t i o n o f b a r s b e c a u s e s h e p e r c e i v e d m a k i n g e q u a l p o r t i o n s i n t h e r e a l w o r l d a s a n i m p o s s i b i l i t y . H e r v i e w o f t h e r e a l w o r l d , t h a t i t i s i m p o s s i b l e t o d i v i d e a b r o w n i e i n t o e q u a l p i e c e s f o r m o r e t h a n t w o p e o p l e , s e e m i n g l y k e p t h e r f r o m e n g a g i n g i n t h e m a t h e m a t i c s o f f r a c t i o n s . A s n o t e d , t h e o t h e r c h i l d r e n s e e m e d t o m o n i t o r a p r o b l e m a s I n a r r a t e d i t , t h e y i n i t i a t e d a c t i o n i m m e d i a t e l y u p o n m y c o n c l u s i o n . N i c o l e p a u s e d b e f o r e t a k i n g a c t i o n - « w h e t h e r h e r s u b s e q u e n t a c t i o n w a s s o l i c i t i n g c l a r i fi c a t i o n o r s t a r t i n g a r e p r e s e n t a t i o n . T h i s s u g g e s t s t h a t s h e m o n i t o r e d m o r e p a s s i v e l y d u r i n g m y n a r r a t i o n ; s h e l i s t e n e d b u t w a i t e d t i l l I h a d c o n c l u d e d m y s t a t e m e n t b e f o r e s t a r t i n g w o r k . A t t h a t p o i n t , s h e b e g a n t o t r y t o m a k e s e n s e o f t h e p r o b l e m ; s h e b e g a n t o m o n i t o r h e r u n d e r s t a n d i n g o f t h e p r o b l e m a n d c o n t e x t . F o r e x a m p l e , i n t h e C a n d y C a n e p r o b l e m , N i c o l e r e m a i n e d m o t i o n l e s s a f t e r m y c o n c l u s i o n o f t h e s t o r y a n d p a u s e d s e v e r a l t i m e s a s s h e p o s e d q u e s t i o n s a i m e d a t c l a r i f y i n g h e r u n d e r s t a n d i n g . S h e s e e m e d t o h a v e c o n s i d e r a b l e d i f fi c u l t y g r a s p i n g w h a t t h e p r o b l e m w a s a s k i n g . S h e s o u g h t c l a r i fi c a t i o n b y a s k i n g i f " t h e y ” h a d g i v e n m e s o m e b a r s , q u e s t i o n i n g t h e e x i s t e n c e o f c a n d y 3 0 3 b a r s i n t h e p r o b l e m . S h e s o o n i g n o r e d o r f o r g o t t h a t a s p e c t o f t h e s t o r y . S h e f o c u s e d o n t h e s i z e o f t h e c h i l d r e n ’ s h a n d s a n d o f t h e c a n d y c a n e s t h e m s e l v e s . S h e t w i c e e x p r e s s e d a d e s i r e t o k n o w t h e s i z e o f t h e ” h a n d ” b e f o r e s w i t c h i n g t o t h e s i z e o f t h e " h a n d f u l s ” a f t e r m y r e p e a t e d l a c k o f u n d e r s t a n d i n g a s e v i d e n c e d b y m y p u z z l e d l o o k s a n d q u e s t i o n s . F r o m t h i s p o i n t o n , N i c o l e i g n o r e d t h e c a n d y b a r s a n d w o r k e d o n l y o n t h e c a n d y c a n e s . S h e d i d t h i s i n a " r e a l w o r l d ” c o n t e x t . S h e d r e w c a n e s , " h a n d s , ” a n d ” b a g s . ” S h e a d j u s t e d t h e s i z e o f t h e h a n d s b a s e d o n i n f o r m a t i o n a b o u t t h e a g e o f t h e c h i l d r e n . S h e a d j u s t e d t h e s i z e o f t h e c a n d y c a n e s i n r e s p o n s e t o s o l i c i t e d i n f o r m a t i o n . T h e s e a r e a f o r m o f m o n i t o r i n g . S h e k n e w t h a t , i n t h e ” r e a l w o r l d , ” t h e s i z e o f t h e c a n e s a n d o f t h e c h i l d r e n ’ s h a n d s w o u l d g o a l o n g w a y t o d e t e r m i n i n g t h e n u m b e r i n a h a n d f u l . I n a d d i t i o n , s h e c o m m e n t e d t h a t , i n w h a t s h e d e e m e d a c o m p a r a b l e c o n t e x t , h e r t e a c h e r h a d s a i d t h a t t h e s t u d e n t s s h o u l d d e t e r m i n e f o r t h e m s e l v e s t h e s i z e o f a b r o w n i e t o d r a w . S h e w a s m o n i t o r i n g c o n n e c t i o n s w i t h h e r m a t h e m a t i c a l e x p e r i e n c e s j u s t a s t h e o t h e r s h a d . Y e t , f o r N i c o l e , w h a t c o n s t i t u t e d t h e m a t h e m a t i c s , w h a t w a s t h e r o l e o f t h e r e p r e s e n t a t i o n , s e e m s m a r k e d l y d i f f e r e n t . A s i n t h e C a n d y B a r p r o b l e m w h e r e t h e r e a l w o r l d l i m i t e d t h e p o s s i b i l i t i e s o f e q u a l d i v i s i o n , s o h e r e , t h e r e a l w o r l d c o n s t r a i n e d h e r r e a s o n i n g a b o u t p a r t - w h o l e r e l a t i o n s h i p s . T h e r e p r e s e n t a t i o n r a t h e r t h a n t h e l o g i c o f t h e s t o r y b e c a m e t h e d e t e r m i n a n t o f p o s s i b l e m a t h e m a t i c a l r e a s o n i n g . R e p r e s e n t a t i e n s p f E x p l a n a t i e n s A s i n a l l p r o b l e m s o l v i n g , t h e c h i l d r e n m a d e a s s u m p t i o n s i n p r o c e e d i n g f r o m s t e p t o s t e p . T h e y c r e a t e d r e p r e s e n t a t i o n s t o j u s t i f y u a t m y r e q u e s t — c l a i m s t h e y m a d e . T h e r e p r e s e n t a t i o n s t h e y u s e d t o w a r r a n t s t e p s a r e d i s t i n g u i s h e d f r o m r e p r e s e n t a t i o n s f o r s o l v i n g p r o b l e m s . J u s t i f i c a t i o n o f c l a i m s w o u l d b e 3 0 4 s i m i l a r t o a s k i n g a t e x t b o o k a u t h o r t o v e r i f y c l a i m s m a d e i n s t a t e m e n t s l i k e , " C l e a r l y , . . . " o r ” T h e r e a d e r c a n e a s i l y s e e . . . ” T h e s e a r e r e p r e s e n t a t i o n s o f p a r t s o f s o l u t i o n s o r a r g u m e n t s . F r o m a n o u t s i d e r ’ s p e r s p e c t i v e , t h e s e a s s u m p t i o n s a n d r e p r e s e n t a t i o n s o f t e n c o u l d b e c o n s t r u e d a s t r a n s c e n d i n g t h e p a r t i c u l a r p r o b l e m ; h o w e v e r , t h e c h i l d r e n ’ s i n t e n t i o n s w e r e s e l d o m t r a n s c e n d e n t , t h e y w e r e u s e d t o j u s t i f y t h e p a r t i c u l a r s t e p I h a d q u e s t i o n e d . F o r e x a m p l e , i n t h e C a n d y B a r p r o b l e m D a n i e l l e d r e w t w o c i r c l e s t o j u s t i f y h e r s t a t e m e n t t h a t t w o q u a r t e r s i s t h e s a m e a s a h a l f . T h e c l a i m s h e m a d e w a s a b o u t w h a t ” a l w a y s ” h a p p e n s , a c l a i m t h a t t r a n s c e n d e d t h e p r o b l e m a t h a n d . I n h e r j u s t i f i c a t i o n , s h e u s e d a d i f f e r e n t r e p r e s e n t a t i o n — a r o u n d c o o k i e r a t h e r t h a n a r e c t a n g u l a r c a n d y b a r - - t o s h o w h o w i t " i s . ” S h e a l s o a t t e m p t e d t o s e p a r a t e t h i s f r o m t h e d i r e c t w o r k o f s o l v i n g t h e p r o b l e m b y d o i n g i t o n t h e c h a l k b o a r d r a t h e r t h a n o n t h e p a p e r . Y e t h e r i n t e r e s t w a s n o t i n t h e l a r g e r i s s u e o f t h e r e l a t i o n b e t w e e n q u a r t e r s a n d h a l v e s b u t t h e p a r t i c u l a r i s s u e o f h o w m u c h c a n d y t h e s e c h i l d r e n r e c e i v e d . H a d I n o t r a i s e d t h e q u e s t i o n , i t i s u n l i k e l y s h e w o u l d h a v e j u s t i f i e d t h e c l a i m . A s w i t h D a n i e l l e , B e r t m a d e a n a r g u m e n t a b o u t h o w i t " i s ” d u r i n g w o r k o n t h e O p e r a t i o n s t a s k s . R e c a l l t h a t h e r e a s o n e d t h a t 3 - 2 = - 1 a n d 2 - 3 = 1 . W h i l e h i s a r g u m e n t w a s l o g i c a l , c o n s i s t e n t , a n d " a n t i - c o n v e n t i o n a l , " i t w a s a l s o g e a r e d d i r e c t l y t o t h e p a r t i c u l a r p r o b l e m . R e s p o n d i n g t o m y i n i t i a t i o n , h e u s e d a p a r t i c u l a r e x a m p l e t o e x p l a i n h i s b e l i e f a b o u t h o w s u b t r a c t i o n w o r k s . A g a i n a s w i t h D a n i e l l e , h e w a s n o t f o c u s e d o n t h e l a r g e r i s s u e s b u t , i n r e s p o n s e t o m e , m e r e l y j u s t i f y i n g h i s c l a i m a b o u t t h e c a s e a t h a n d . I n a d d i t i o n t o e x p l a n a t i o n o f s p e c i f i c s t e p s , t h e c h i l d r e n u s e d r e p r e s e n t a t i o n s t o e x p l a i n t h e i r r e a s o n i n g . F o r e x a m p l e , B e r t u s e d 3 0 5 r e p r e s e n t a t i o n s t o d e m o n s t r a t e o r e x p l a i n w h e n h e r e p l a y e d t h e s o l u t i o n h e o b t a i n e d w i t h h i s s e c o n d r e p r e s e n t a t i o n o f t h e C a n d y B a r p r o b l e m . H e h a d d r a w n b a r s d i r e c t l y i n t o s i t e s ; f i r s t h e d r e w a g r o u p o f f o u r i n e a c h , t h e n a g r o u p o f t h r e e , t h e n h e d i v i d e d t h e r e m a i n i n g b a r s a n d d i s t r i b u t e d t h e m . T h e r e i s n o e v i d e n c e h e c o u n t e d o n w h e n h e o r i g i n a l l y d r e w b a r s y e t t h a t w a s h o w h e s h o w e d h i s s o l u t i o n . T h u s , a s h e p r o c e e d e d f r o m c o u n t i n g t h e g r o u p s o f f o u r t o t h e g r o u p s o f t h r e e , B e r t s e e m e d t o c r o s s f r o m s h o w i n g h i s s t r a t e g y f o r s o l v i n g t h e p r o b l e m t o s h o w i n g t h a t h i s a n s w e r w a s r i g h t . T o h i g h l i g h t e x p l a n a t i o n o f a n o t h e r f o r m , I r e c a l l T e r i ’ s r e f e r e n c e s t o 2 8 - 4 6 a n d 4 6 - 2 8 . S h e o f f e r e d t h e s e p r o b l e m s t o d e m o n s t r a t e h e r c o n f u s i o n a b o u t m a t h e m a t i c s i n t h e f o r m o f t h e ” n e g a t i v e t h i n g y . ” I n t h e p r o c e s s , s h e s h o w e d h o w t h e s e a l m o s t i d e n t i c a l p r o b l e m s r e s u l t e d i n q u i t e d i f f e r e n t a n s w e r s . S h e c o u l d e x p l a i n t h e s t e p s t a k e n t o g e t e a c h a n s w e r b u t d i d n o t u n d e r s t a n d w h y t h e r e w e r e t w o a n s w e r s . N i c o l e a l s o u s e d r e p r e s e n t a t i o n s t o e x p l a i n . R e c a l l t h a t s h e u s e d t h e s e r i e s o f p r o b l e m s a b o u t s h a r i n g a b r o w n i e a m o n g f i v e , f o u r , t h r e e , a n d t w o c h i l d r e n t o e x p l a i n t h a t o n e c a n n o t ” r e a l l y ” d i v i d e b r o w n i e s e v e n l y t o j u s t i f y h e r a n s w e r o f ” 9 p i e c e s ” f o r e a c h c h i l d . U n l i k e B e r t a n d D a n i e l l e w h o a r g u e d a b o u t h o w i t ” i s " i n m a t h e m a t i c s , N i c o l e a r g u e d h o w i t " i s " i n t h e " r e a l w o r l d . ” U n l i k e T e r i w h o w a s s h o w i n g w h a t s h e d i d n o t u n d e r s t a n d , N i c o l e w a s u s i n g t h i s r e p r e s e n t a t i o n t o e x p l a i n b e t t e r s o m e t h i n g I d i d n o t u n d e r s t a n d . F i n a l l y , a s s h e r e - c r e a t e d t h e r e p r e s e n t a t i o n s h e c o r r e c t e d h e r s e l f , ” w e l l , a c t u a l l y i t w a s a b r o w n i e ” i n a t o n e t h a t i m p l i e d i t m a d e n o " r e a l ” d i f f e r e n c e w h e t h e r i t w a s a b r o w n i e o r a c a n d y b a r . S i n c e , a s a r g u e d i n t h e p r e v i o u s c h a p t e r , t h i s w a s e s s e n t i a l l y a n a n a l o g y , N i c o l e u s e d t h i s r e p r e s e n t a t i o n o f s i m i l a r o b j e c t s a n d 3 0 6 a c t i o n s t o m a k e h e r a r g u m e n t . U n l i k e t h e o t h e r c h i l d r e n , h e r r e p r e s e n t a t i o n w a s n o t b r a c k e t e d ; s h e i n t e n d e d t h e c o n n e c t i o n t o t h e o t h e r p a r t s o f t h e p r o b l e m . I n r e s p o n s e t o m y q u e s t i o n s , B e r t a n d D a n i e l l e j u s t i f i e d c l a i m s m a t h e m a t i c a l l y . W i t h m a t h e m a t i c a l a r g u m e n t , t h e y s h o w e d w h y a s p e c i f i c a s s u m p t i o n o f t h e i r p r o b l e m s o l v i n g , a n a s s u m p t i o n t o t h e m p e r i p h e r a l o r t a k e n f o r g r a n t e d , i s t r u e . N i c o l e l i k e w i s e j u s t i f i e d h e r c l a i m . H o w e v e r , s h e u s e d t h e " r e a l w o r l d ” t o j u s t i f y n o t c o n s i d e r i n g t h e m a t h e m a t i c s o f t h e s i t u a t i o n . S h e a p p e a r e d t o h a v e a s e n s e t h a t i n m a t h e m a t i c s , o n e m i g h t b e a b l e t o a c t i n t h e i d e a l b u t , s i n c e t h e c o n t e x t w a s " r e a l ” a n d n o t i d e a l , s u c h c o n s i d e r a t i o n s w e r e m o o t . S u m T h e c h i l d r e n o f t h i s s t u d y u s e d a l a r g e n u m b e r a n d w i d e r a n g e o f r e p r e s e n t a t i o n s . T h e y u s e d t h e m t o m o d e l p r o b l e m s , t o s o l v e p r o b l e m s , a n d t o e x p l a i n t h i n k i n g . T h i s e x a m i n a t i o n o f i n d i v i d u a l p r o c e s s e s o f s o l v i n g p r o b l e m s w i t h r e p r e s e n t a t i o n s y i e l d s a c o u p l e s t r i k i n g o b s e r v a t i o n s . F i r s t , f o r s o m e d o e r s o f m a t h e m a t i c s , h o w t h e y e n g a g e w i t h a p r o b l e m a n d r e p r e s e n t a t i o n c a n b e u s e d t o d i s t i n g u i s h c r e a t i o n o f a r e p r e s e n t a t i o n f r o m u s e o f i t . S e c o n d l y , t h i s d i s t i n c t i o n b e t w e e n c r e a t i o n a n d u s e i s i n t e r t w i n e d w i t h t h e c h i l d r e n ’ s f o r m a n d f o c u s o f m o n i t o r i n g o f t h e i r w o r k . W h a t a n d f o r w h a t p u r p o s e t h e y m o n i t o r i n fl u e n c e w h a t i s c r e a t i o n a n d w h a t u s a g e . I n b o t h c a s e s , i n t e n t i o n i s a k e y t o u n d e r s t a n d i n g r e p r e s e n t a t i o n s i n t h e i r h a n d s . F i n a l l y , r e p r e s e n t a t i o n s s o m e t i m e s a p p e a r a s s e t s o f n o t p a r t i c u l a r l y r e l a t e d r e p r e s e n t a t i o n s c r e a t e d t o a d d r e s s d i s t i n c t p a r t s o f t h e p r o b l e m ( s e r i a l u s e o f r e p r e s e n t a t i o n s ) ; a t t i m e s r e p r e s e n t a t i o n s a p p e a r a s y s t e m d e s i g n e d t o w o r k i n c o n j u n c t i o n ( c o m p l e m e n t a r y u s e o f r e p r e s e n t a t i o n s ) . I a d d r e s s t h e s e i s s u e s f o l l o w i n g t h e n e x t s e c t i o n . 3 0 7 D i s c i p l i n e - B a s e d P u r p o s e s f o r R e p r e s e n t a t i o n s I s t a r t t h i s s e c t i o n b r i e fl y d e s c r i b i n g t h e g o a l s o f m a t h e m a t i c i a n s i n s o l v i n g p r o b l e m s a n d u s i n g r e p r e s e n t a t i o n s . I f t h e N C T M S t a n d a r d s w o u l d h a v e c h i l d r e n b e e n c u l t u r a t e d i n t o t h e d i s c i p l i n e o f m a t h e m a t i c s ( B i s h o p , 1 9 8 8 ) , i t s e e m s v a l u a b l e t o c o n s i d e r t h e n a t u r e o f t h a t c u l t u r e . I d o n o t s u g g e s t t h a t t h e N C T M w o u l d h a v e t e a c h e r s c r e a t e ” l i t t l e m a t h e m a t i c i a n s . ” Y e t I h a v e a r g u e d t h a t o n e o f t h e g o a l s o f t h e S t a n d a r d s i s f o r c h i l d r e n t o d e v e l o p t h e a b i l i t y t o c a r r y o n r e a s o n e d d i s c o u r s e w i t h i n a m a t h e m a t i c a l c o n t e x t . S u c h d i s c o u r s e i s g r o u n d e d i n t h e s u b s t a n c e a n d s y n t a x o f t h e d i s c i p l i n e . T h u s , i t s e e m s w o r t h c o n s i d e r i n g t h e n a t u r e a n d g o a l s o f d i s c o u r s e f r o m t h e p e r s p e c t i v e o f t h e d i s c i p l i n e . I d o s o e v e r s o c u r s o r i l y n o w . T h e g o a l o f a m a t h e m a t i c i a n w h o ” s o l v e s a p r o b l e m ” i s d i f f e r e n t t h a n m a n y o t h e r p r o b l e m s o l v e r s . M a t h e m a t i c i a n s d o n o t i n t e n d s o l e l y t o c o m p u t e t h e s o l u t i o n u s i n g a p a r t i c u l a r s e t o f d a t a i n a p a r t i c u l a r c o n t e x t . 1 0 8 W h e n m a t h e m a t i c i a n s " s o l v e a p r o b l e m , " e . g . , w h e n t h e y p r o v e a t h e o r e m , t h e i r g o a l a n d a c h i e v e m e n t i s t o a d d t o t h e i r c o m m u n i t y ’ s u n d e r s t a n d i n g o f t h e s t r u c t u r e o f m a t h e m a t i c s , t h e r e l a t i o n s h i p a m o n g m a t h e m a t i c a l o b j e c t s . T h e y e x p a n d t h e k n o w l e d g e a n d u n d e r s t a n d i n g o f t h e d i s c i p l i n e o f m a t h e m a t i c s . A n o t h e r f u n c t i o n o f t h e i r p r o b l e m s o l v i n g m a y b e t o a d v a n c e t h e i r o w n a n d t h e i r p e e r s ’ m a t h e m a t i c a l r e a s o n i n g . W h e n A n d r e w W i l e s p r o v e d F e r m a t ’ s L a s t T h e o r e m , i t s g r e a t e s t v a l u e d i d n o t o b t a i n f r o m h i s c o n f i r m a t i o n o f t h e s t a t e m e n t o f t h e t h e o r e m i t s e l f u t h e t h e o r e m h a d l o n g b e e n a s s u m e d t o b e t r u e a n d i t s c o n c l u s i o n 1 0 8 O f c o u r s e , t h e r e a r e e x c e p t i o n s i n a l l f i e l d s . S o m e e n g i n e e r s , f o r e x a m p l e , d e s i g n b e t t e r c o n c r e t e o r b e t t e r p o l y m e r s t h a t h a v e a p p l i c a t i o n a c r o s s c o n t e x t s . T h e s e a r e f a r r a r e r t h a n t h o s e w h o " s o l v e " i n d i v i d u a l p r o b l e m s , w h o d e s i g n t h i s b r i d g e f o r t h i s l o c a t i o n . I a r g u e t h i s i s t h e o p p o s i t e o f m a t h e m a t i c i a n s w h o b y t r a i n i n g l o o k b e y o n d t h e p a r t i c u l a r . C o n v e r s e l y , i n t h e p r o c e s s o f f o r m u l a t i n g a p r o o f , m a t h e m a t i c i a n s o f t e n s o l v e i n d i v i d u a l p r o b l e m s a s a b y - p r o d u c t . 3 0 8 h a s l i t t l e i n t r i n s i c s i g n i f i c a n c e f o r t o d a y ’ s m a t h e m a t i c i a n . W i l e s d i d m o r e t h a n c o n f i r m F e r m a t ’ s c o n j e c t u r e a n d t h e r e b y a d v a n c e h i s o w n p e r s o n a l s t a n d i n g . S i n c e t h e t h e o r e m t u r n s o u t t o b e a s p e c i a l c a s e o f t h e T a n i y a m a C o n j e c t u r e , " a n o v e r a r c h i n g m a t h e m a t i c a l i d e a ” ( K o l a t a , 1 9 9 5 ) , t h e p r o o f i s v a l u a b l e f o r o f f e r i n g a p o s s i b l e a p p r o a c h t o p r o v i n g t h i s m a t h e m a t i c a l l y m o r e i m p o r t a n t c o n j e c t u r e . S u c h a p r o o f w o u l d b e o f v a l u e f o r a l g e b r a i c g e o m e t e r s . B e y o n d t h i s , a g r o u p o f m a t h e m a t i c i a n s w o r k i n g o n t h e L a n g l a n d s p r o g r a m , a p r o g r a m i n v e s t i g a t i n g r e l a t i o n s b e t w e e n a l g e b r a a n d a n a l y s i s , s e e t h e p r o o f a s t h e g r e a t e s t a d v a n c e s o f a r i n t h a t p r o g r a m ( K o l a t a , 1 9 9 5 ) . T h e v a l u e i n W i l e s ’ p r o o f , a n d a l l i m p o r t a n t m a t h e m a t i c a l p r o o f s , i s s u e s f r o m c r e a t i o n o f n e w t e c h n i q u e s , t h e r e - c o m b i n a t i o n o f k n o w n t e c h n i q u e s i n n e w w a y s , t h e n e w m a t h e m a t i c s l e a r n e d , a l o n g w i t h t h e c r e a t i o n o f a m o d e l f o r f u r t h e r e x t e n s i o n o f t h e p r o o f i t s e l f . W i t h i n a s h o r t t i m e , o t h e r m a t h e m a t i c i a n s u s e d W i l e s ’ t e c h n i q u e s t o e x t e n d h i s p r o o f ( K o l a t a , 1 9 9 5 ) . F o r m a t h e m a t i c i a n s , p r o b l e m s o l v i n g i s a b o u t m a t h e m a t i c a l r e a s o n i n g a n d l e a r n i n g , n o t a b o u t f i n d i n g a n a n s w e r t h a t h a s v a l u e i n o n l y o n e s e t o f c i r c u m s t a n c e s . F o r t h e m o s t p a r t , t h e c h i l d r e n d i d n o t t r e a t p r o b l e m s o r r e p r e s e n t a t i o n s i n s u c h a f a s h i o n . G e n e r a l l y , t h e y u s e d r e p r e s e n t a t i o n i n a n a d h o c f a s h i o n . H o w e v e r , a t l e a s t o n e c h i l d , B e r t , d i d t r e a t r e p r e s e n t a t i o n s i n a m a t h e m a t i c i a n - l i k e f a s h i o n - « a s t o o l s f o r e x p l o r i n g m a t h e m a t i c a l r e a s o n i n g a n d f o r l e a r n i n g t h e s t r u c t u r e o f m a t h e m a t i c s . 1 0 9 I n o w c o n s i d e r o c c a s i o n s i n w h i c h B e r t p u r s u e d w h a t h e s a w a s h e l o o k e d g l o b a l l y . I n s o m e w a y s , a l l t h e c h i l d r e n s a w s o l v i n g p r o b l e m s a s p a t h w a y s t h r o u g h e x o t i c m a t h e m a t i c a l t e r r a i n . O n l y B e r t a p p e a r e d t o c h o o s e t o s t e p o f f t h e p a t h . F o r h i m , t h e p r o b l e m s t h e m s e l v e s w e r e d e s i g n e d b y m o r e k n o w l e d g e a b l e 1 0 9 A d d i t i o n a l l y , o n e o f t h e p i l o t c h i l d r e n t r e a t e d p r o b l e m s a n d r e p r e s e n t a t i o n s s i m i l a r l y . 3 0 9 o t h e r s t o h e l p s t u d e n t s r e a s o n ; u n d e r s t a n d i n g ( t h r o u g h ” b i g d i s c u s s i o n s ” ) o t h e r s ’ w a y s o f r e a s o n i n g a b o u t a n d s o l v i n g p r o b l e m s f o s t e r e d l e a r n i n g . D a n i e l l e b e l i e v e d s i m i l a r l y b u t l i m i t e d h e r r e a s o n i n g t o s o l v i n g t h i s p r o b l e m ; s h e c h o s e n o t t o s t r a y f r o m t h e p a t h a s B e r t d i d . I n t h e O p e r a t i o n s t a s k s , D a n i e l l e e n c o u n t e r e d " - 1 " a n d t r i e d t o d e c i d e i f i t w a s a n u m b e r . T h i s i s c e r t a i n l y a m a t h e m a t i c a l c o n c e p t w o r t h y o f e x a m i n a t i o n a n d a b o v e t h e l e v e l o f t h e p a r t i c u l a r p r o b l e m . Y e t , i n t h e s e c o n d i n t e r v i e w , s h e f e n c e d i t o f f f r o m s e r i o u s c o n s i d e r a t i o n b y a s s o c i a t i n g i t w i t h b e i n g ” b a d . ” I n t h e f o u r t h i n t e r v i e w , s h e c o n t i n u e d t o f e n c e i t ( a n d f r a c t i o n s ) o f f b y f o c u s i n g o n t h e a d j e c t i v e " n e g a t i v e ” o r o n t h e " l i t t l e m i n u s s i g n . ” B e c a u s e o f t h e s e , s h e r e a s o n e d , ” n e g a t i v e s " a r e n o t n u m b e r s . S h e s e e m e d t h r e a t e n e d b y t h e n a t u r e o f s o m e o b j e c t s a n d c o n c e p t s . B e r t ’ s v i e w o f t h e p u r p o s e o f r e p r e s e n t a t i o n s w a s m o r e ” d i s c i p l i n e - b a s e d ” t h a n t h a t o f t h e o t h e r c h i l d r e n . L i k e m a t h e m a t i c i a n s , h e u s e d r e p r e s e n t a t i o n s a s t o o l s t o s o l v e p a r t i c u l a r p r o b l e m s b u t t h i s w a s o n l y a p a r t o f h i s a g e n d a . M o r e i m p o r t a n t f o r B e r t w a s t h e e x p l o r a t i o n o f a b s t r a c t a n d g e n e r a l m a t h e m a t i c s m a d e v i s i b l e t h r o u g h t h e p r o c e s s o f s o l v i n g p r o b l e m s . H e e a g e r l y t o o k u p t h e c h a l l e n g e o f a b s t r a c t i o n . T h i s i s c l e a r i n t w o w a y s . F i r s t , h e p e r s i s t e n t l y w o r k e d t o u n d e r s t a n d l a r g e r m a t h e m a t i c a l i s s u e s - - f o r e x a m p l e , t h e r e l a t i o n a m o n g p o s i t i v e i n t e g e r s , z e r o , a n d n e g a t i v e i n t e g e r s . S e c o n d , B e r t e x p l o r e d o t h e r s ’ r e p r e s e n t a t i o n s a s a l t e r n a t i v e w a y s o f s o l v i n g p r o b l e m s ( p o s s i b l y r e s u l t i n g i n d i f f e r e n t a n s w e r s ) ; h e t o o k s e r i o u s l y r e p r e s e n t a t i o n s 1 p r o f f e r e d a s h a v i n g b e e n c r e a t e d b y o t h e r c h i l d r e n . H e w o r k e d a t t r y i n g t o u n d e r s t a n d m a t h e m a t i c s a s c o h e r e n t , a s a d i s c i p l i n e . H e s e e m e d c o n f i d e n t t h a t t h i n k i n g h a r d , e x p r e s s i n g t h a t t h i n k i n g a l o u d , a n d e n g a g i n g w i t h o t h e r s ’ r e a s o n i n g c o u l d h e l p h i m u n d e r s t a n d . R e a s o n i n g m a t h e m a t i c a l l y w a s B e r t ’ s m e c h a n i s m f o r l e a r n i n g . A s a r g u e d i n c h a p t e r 4 , h e v a l u e d s h a r e d d i s c o u r s e a b o u t m a t h e m a t i c s . H e s a w t h e ” b i g 3 1 0 d i s c u s s i o n s ” i n w h i c h h i s c l a s s e n g a g e d a s a n i m p o r t a n t s i t e f o r l e a r n i n g m a t h e m a t i c s . P a r t i c i p a t i n g i n t h e s e c o n v e r s a t i o n s ” b r i g h t s u p [ B e r t ’ s ] h e a d . " H e t r e a t e d r e p r e s e n t a t i o n s a s t o o l s t o e n a b l e t h e r e a s o n i n g h e e n g a g e d i n w i t h h i s c l a s s m a t e s . H e p o i n t e d o u t t h a t t h e r e w e r e t i m e s h e h a d t o r e - d r a w r e p r e s e n t a t i o n s i n o r d e r t o f o s t e r t h i s n e c e s s a r y c o m m u n i c a t i o n . N e i t h e r B e r t n o r t h e o t h e r s u s e d t h e w o r d " r e p r e s e n t a t i o n . ” H o w e v e r , h e c r e a t e d t h e m b o t h f o r h i s o w n s o l u t i o n s a n d i n s e r v i c e o f c o m m u n i c a t i n g w i t h o t h e r s . H e b u i l t h i s c o n c e p t i o n o f t h e n a t u r e o f m a t h e m a t i c s o n t h e s h a r i n g o f r e p r e s e n t a t i o n s . T h e y f u n c t i o n e d a s t o o l s f o r d o i n g t h e w o r k o f ( l e a r n i n g ) m a t h e m a t i c s . B e r t e m p l o y e d t h e m f o r t h e p a r t i c u l a r a n d t h e y a l l o w e d h i m t o i d e n t i f y a n d c h a s e o b j e c t s a n d c o n c e p t s o f t h e d i s c i p l i n e v i s i b l e a b o v e t h e p a r t i c u l a r . B e r t g e n e r a l l y u s e d g e n e r i c r e p r e s e n t a t i o n s . T h a t i s , h i s r e p r e s e n t a t i o n s w e r e n o t i m a g e s r e p l i c a t i n g t h e r e a l l i f e o b j e c t s o f t h e s t o r y - l i n e . H e d i d n o t d r a w a b o x f o r c a n d y b a r s , h e d i d n o t d r a w c a n d y c a n e s , h e s e l d o m i n c o r p o r a t e d t h e n o u n s o f t h e s t o r i e s - - c h i l d r e n , c a n d y b a r s , c a n d y c a n e s , e t c — i n h i s s e n t e n c e s a n d q u e s t i o n s a b o u t t h e p r o b l e m s . O n t h e o t h e r h a n d , a s h e s t r u g g l e d t o m a k e s e n s e o f t h e c o n c e p t s a n d o b j e c t s h e e s p i e d o f f t h e t r a i l , h e c r e a t e d m e t a p h o r s g r o u n d e d i n t h e r e a l w o r l d . T h e p h y s i c a l r e l a t i o n b e t w e e n p o s i t i v e a n d n e g a t i v e n u m b e r s o f o v e r a n d u n d e r s e e m e d t h e s o u r c e o f h i s a t t r i b u t i o n o f s e r v a n t s t a t u s t o n e g a t i v e n u m b e r s . I n s o m e r e s p e c t s , w h e t h e r t h e t o o l ( r e p r e s e n t a t i o n ) w a s c o n c r e t e , r e a l w o r l d , o r a b s t r a c t , w a s i r r e l e v a n t f o r B e r t . H e g r a v i t a t e d t o t h e m o r e a b s t r a c t r e p r e s e n t a t i o n s b u t s e e m e d c o m f o r t a b l e e x p l o r i n g o t h e r s ’ r e p r e s e n t a t i o n s t h a t w e r e m o r e t i e d t o t h e ” r e a l w o r l d ” c o n t e x t . F o r B e r t , t h e t o o l w a s j u s t a t o o l ; w h a t e v e r w o r k e d b e s t f o r t h e p e r s o n u s i n g i t o n a p a r t i c u l a r p r o b l e m , w a s t h e a p p r o p r i a t e t o o l . 3 1 1 T e r i a n d D a n i e l l e s e e m e d t o s h a r e w i t h B e r t t h e s e n s e t h a t t h e c o n v e r s a t i o n s o f t h e i n t e r v i e w s a n d o f t h e i r m a t h e m a t i c s c l a s s e s o f f e r e d p o t e n t i a l f o r e n g a g e m e n t w i t h l a r g e r i s s u e s - - b u t t h e y d e c l i n e d t o s o e n g a g e . F o r e x a m p l e , T e r i w o n d e r e d h o w h e r c l a s s m a t e s c o u l d g e t t w o d i f f e r e n t a n s w e r s ( 1 8 a n d - 1 8 ) t o ” a l m o s t ” t h e s a m e p r o b l e m ( 4 6 - 2 8 a n d 2 8 - 4 6 ) . B u t , u s i n g c o m m e n t s l i k e , " I d o n ’ t g e t i t , " s h e g e n e r a l l y a v o i d e d e x p l o r i n g t h e s e i d e a s h e r s e l f . S h e s e e m e d t o e x p e c t m a t h e m a t i c s t o b e r e a s o n a b l e a n d m a k e s e n s e b u t d i d n o t h a v e B e r t ’ s s e l f - c o n f i d e n c e t o e x p l o r e . D a n i e l l e s i m i l a r l y d e p r e c a t e d h e r m a t h e m a t i c a l a b i l i t i e s , d e s c r i b i n g h e r s e l f a s n o t g o o d a t v a r i o u s m a t h e m a t i c a l t o p i c s : f r a c t i o n s , m u l t i p l i c a t i o n , d i v i s i o n , n e g a t i v e n u m b e r s . W h e n e n c o u n t e r i n g " - 1 , ” s h e e x p e c t e d i t t o m a k e s e n s e , f o r m a t h e m a t i c s t o h o l d a c o h e r e n t p l a c e f o r t h i s o b j e c t b u t , l i k e T e r i , s h e s t a y e d o n t h e p a t h r a t h e r t h a n r i s k p u r s u i n g t h i s i d e a . T h i s p a i r i n g o f D a n i e l l e a n d T e r i i s i n t e r e s t i n g b e c a u s e i t s e e m s c o u n t e r - i n t u i t i v e . T e r i t r e a t e d m a t h e m a t i c s a s a n e n t i t y s e p a r a t e f r o m t h e " r e a l w o r l d ” a s d i d B e r t — s h e m e r e l y d i d n o t h a v e t h e s e l f - c o n f i d e n c e t o r e a s o n a s h e d i d . D a n i e l l e h o w e v e r , d i d n o t s e e m a t h e m a t i c s a s s e p a r a t e . S h e t r e a t e d i t a s a t o o l f o r f u n c t i o n i n g i n t h e r e a l w o r l d a n d t i g h t l y i n t e r w o v e n w i t h t h a t s a m e w o r l d . H o w t h e n d o e s s h e a l s o e n d u p e n v i s i o n i n g p r o b l e m s a s e n t r e e s t o l a r g e r m a t h e m a t i c a l r e a s o n i n g ? I f m a t h e m a t i c s i s a b o u t f u n c t i o n i n g i n t h e r e a l w o r l d a n d r e c o r d s t h e r e a l w o r l d , D a n i e l l e r e a s o n e d , t h e n m a t h e m a t i c a l o b j e c t s ( e . g . , z e r o , n e g a t i v e i n t e g e r s ) s h o u l d h a v e r e a l w o r l d a n a l o g s . I n t h e f o u r t h i n t e r v i e w I a s k e d h e r i f s h e c o u l d " m a k e u p a s t o r y t o g o w i t h ” t h e p r o b l e m , " f o u r t a k e a w a y n i n e . " D a n i e l l e t h o u g h t f o r a b i t a n d t h e n c a m e u p w i t h a s t o r y a b o u t a g i r l w h o h a d $ 4 . 0 0 b u t o w e d h e r b r o t h e r $ 9 . 0 0 . H e r p u z z l e m e n t a b o u t t h e l a r g e r m a t h e m a t i c a l i s s u e s s e e m e d t o b e o v e r h o w t h e y f i t w i t h t h e r e a l w o r l d ; B e r t ’ s 3 1 2 s e e m e d a b o u t h o w t h e y f i t w i t h i n m a t h e m a t i c s . W h e r e B e r t l o o k e d f o r a w a y h i s n a s c e n t u n d e r s t a n d i n g s a b o u t m a t h e m a t i c a l c o n c e p t s o r o b j e c t s f i t i n a l a r g e r c o h e r e n t d i s c i p l i n e ; D a n i e l l e l o o k e d f o r a w a y h e r u n d e r s t a n d i n g s f i t i n a c o h e r e n t r e a l w o r l d . N i c o l e s e e m e d e v e n m o r e c l o s e l y b o u n d t o t h e p a t h a s a " r e a l w o r l d ” p a t h . F o r h e r , t h e f u n c t i o n o f m a t h e m a t i c s w a s t o a i d h e r i n d a i l y l i f e . W h i l e t o s o m e e x t e n t s h e a c k n o w l e d g e d a n i d e a l , a b s t r a c t d i s c i p l i n e - s h e a d m i t t e d t h a t t h e o r e t i c a l l y o n e m i g h t b e a b l e t o t a l k a b o u t d i v i d i n g a n o b j e c t i n t o e q u a l p o r t i o n s u t h i s p l a y e d l i t t l e r o l e f o r h e r . S h e n e e d e d t o k n o w h o w t o d o t h i n g s i n t h e p r a c t i c a l a s p e c t s o f d a y - t o - d a y l i v i n g , n o t i n a n i d e a l w o r l d . T h e r e f o r e , w h a t w a s o f f t h e t r a i l o f ” r e a l w o r l d m a t h e m a t i c s ” w a s l e s s i m p o r t a n t t o i n v e s t i g a t e . S h e e x p l o r e d t h e r e a l w o r l d u s i n g a s p e c t s o f m a t h e m a t i c s , n o t m a t h e m a t i c s u s i n g a s p e c t s o f t h e r e a l w o r l d . S u m m a r y A l l t h e c h i l d r e n u s e d r e p r e s e n t a t i o n s f o r a d h o c p u r p o s e s . O n l y B e r t m a d e a n y e x t e n s i v e d i s c i p l i n e - b a s e d u s e o f r e p r e s e n t a t i o n s . B o t h T e r i a n d D a n i e l l e i m p l i e d t h a t s u c h u s e w a s c o n c e i v a b l e a n d e v e n d e s i r a b l e . H o w e v e r , t h e y d i d n o t s e e t h e m s e l v e s a s c a p a b l e o f u n d e r s t a n d i n g i n t h a t a b s t r a c t r e a l m . N i c o l e s a w s u c h u s e s o f r e p r e s e n t a t i o n s a s t h e o r e t i c a l l y p o s s i b l e b u t n o t a s t h e p u r p o s e o f m a t h e m a t i c s f o r c h i l d r e n . F o r h e r , m a t h e m a t i c s w a s a b o u t t h e r e a l w o r l d a n d l e a r n i n g t o f u n c t i o n t h e r e i n ; p r o b l e m s w e r e m o d e l s o f r e a l w o r l d a c t i o n s . T h i s m a y h a v e b e e n b e c a u s e o f h e r o r i e n t a t i o n t o w a r d t h e ” r e a l w o r l d ” r a t h e r t h a n t o w a r d m a t h e m a t i c s . I n h e r o r i e n t a t i o n , p r o b l e m s w e r e s p e c i fi c c a s e s , n o t g e n e r a l i z a b l e m a t h e m a t i c a l s i t u a t i o n s . T h i s i s n o t a c l a i m t h a t p e o p l e w h o u s e 3 1 3 r e p r e s e n t a t i o n s f o r a d h o c p u r p o s e s d o n o t r e a s o n m a t h e m a t i c a l l y o r l e a r n . M e r e l y t h a t t h e i r g o a l s d o n o t p r e s u m e t h e s e b e h a v i o r s . H a v i n g d e s c r i b e d t h e u s e s t o w h i c h t h e s e c h i l d r e n p u t r e p r e s e n t a t i o n s , 1 s t e p b a c k a n d l o o k a t w a y s t o c h a r a c t e r i z e t h e i r d e v e l o p m e n t . B e f o r e e x a m i n i n g i s s u e s o f c r e a t i o n a n d u s e , I e x p l o r e w a y s m u l t i p l e r e p r e s e n t a t i o n s w o r k i n c o n j u n c t i o n . D E V E L O P M E N T O F R E P R E S E N T A T I O N S T h e p r e v i o u s s e c t i o n d e s c r i b e d t h e f u n c t i o n s o f r e p r e s e n t a t i o n s i n s o l v i n g p r o b l e m s . I n t h i s s e c t i o n I e x a m i n e w a y s m u l t i p l e r e p r e s e n t a t i o n s w e r e c o n j o i n e d b y t h e c h i l d r e n t o a c c o m p l i s h t h e i r g o a l s . M u l t i p l e R e p r e s e n t a t i o n s A s m a n y o f t h e e x a m p l e s i n t h e p r o f i l e s d e m o n s t r a t e , t h e c h i l d r e n o f t e n u s e d m u l t i p l e r e p r e s e n t a t i o n s i n a s i n g l e t a s k ; t h e i r s o l u t i o n s i n c l u d e d r e p r e s e n t a t i o n s c o m p o s e d o f m u l t i p l e , d i f f e r e n t r e p r e s e n t a t i o n s . I n t h e s e c a s e s , s e p a r a t e e l e m e n t s o f t h e i r s o l u t i o n u s e d r e p r e s e n t a t i o n s o f d i s p a r a t e s o r t s . 1 c a l l t h i s s e r i a l u s e o f r e p r e s e n t a t i o n s . A s e c o n d f o r m o f m u l t i p l e r e p r e s e n t a t i o n s , w h i c h I c a l l c o m p l e m e n t a r y , o c c u r r e d w h e n t h e y c r e a t e d n e w r e p r e s e n t a t i o n s a s a r e s u l t o f m o n i t o r i n g o f t h e i r o w n w o r k o r a s a r e s u l t o f m y i n q u i r i n g a b o u t t h e i r w o r k . I n t h e s e s i t u a t i o n s t h e y o f t e n u t i l i z e d n e w , d i f f e r e n t , o r m o d i f i e d r e p r e s e n t a t i o n s . T h e y a l s o e m p l o y e d c o m p l e m e n t a r y r e p r e s e n t a t i o n s i n o r d e r t o c o m p a r e t h e i r a n s w e r s , u s i n g a s e c o n d r e p r e s e n t a t i o n t o c o n f i r m r e s u l t s o b t a i n e d v i a t h e f i r s t . I u s e T e r i a n d B e r t t o d e m o n s t r a t e s e r i a l r e p r e s e n t a t i o n s . I u s e B e r t , D a n i e l l e , a n d N i c o l e t o e x a m i n e c o m p l e m e n t a r y r e p r e s e n t a t i o n s . 3 1 4 S e r i a l R e p r e s e n t a t i o n s T h e c h i l d r e n u s e d s e r i a l r e p r e s e n t a t i o n s i n t w o w a y s . I n o n e , a c h i l d a b a n d o n e d a f i r s t r e p r e s e n t a t i o n i n f a v o r o f a m o r e c a r e f u l l y c r a f t e d v e r s i o n o f t h e s a m e o n e . A n o t h e r t y p e a r o s e w h e n a c h i l d w o u l d s t a r t a r e p r e s e n t a t i o n , a b a n d o n i t , a n d t h e n c r e a t e a d i f f e r e n t o n e . T e r i p r o v i d e s a n e x a m p l e o f r e - c r a f t i n g t h e s a m e r e p r e s e n t a t i o n ; B e r t o f u s i n g d i f f e r e n t r e p r e s e n t a t i o n s t o s o l v e t h e s a m e p r o b l e m . T e r i R e c a l l t h a t T e r i s e e m e d t o k n o w i m m e d i a t e l y h o w s h e w a n t e d t o s o l v e t h e C a n d y B a r p r o b l e m . H a v i n g d r a w n t h r e e r o w s o f t e n c i r c l e s a n d f o u r ” s m i l e y f a c e s , ” s h e e x p r e s s e d d i s a p p o i n t m e n t t h a t t h e r e w e r e t h r e e , n o t f o u r r o w s . H a d t h e r e b e e n t h r e e c h i l d r e n , s h e c o u l d h a v e p u t a h o r i z o n t a l l i n e b e t w e e n e a c h p a i r o f r o w s a n d t h e p r o b l e m w o u l d e s s e n t i a l l y b e s o l v e d . W h e n h e r a d j u s t e d s t r a t e g y o f u s i n g v e r t i c a l l i n e s f a i l e d b e c a u s e h e r r o w s w e r e t o o i r r e g u l a r , s h e a b a n d o n e d t h e r e p r e s e n t a t i o n a n d r e - c r e a t e d i t w i t h n e a t r o w s o f c i r c l e s . S h e t h e n e a s i l y p a r t i t i o n e d a n d d i s t r i b u t e d t h e c a n d y b a r s . I n t h i s e x a m p l e , T e r i c r e a t e d a s i n g l e r e p r e s e n t a t i o n w i t h t w o v e r s i o n s . T h e s e c o n d d r a w i n g i s a n e a t ( a n d t h e r e f o r e a m e n a b l e t o t h e a p p r o a c h s h e e n v i s i o n e d ) v e r s i o n o f t h e s a m e r e p r e s e n t a t i o n ; s h e u s e d t h e s a m e o b j e c t s i n t h e s a m e w a y i n b o t h v e r s i o n s . S h e e a s i l y u s e d h e r p i c t u r e t o s o l v e t h i s p r o b l e m . H a v i n g n o t e d t h a t a c o r r e s p o n d e n c e b e t w e e n t h e n u m b e r o f n i e c e s a n d n e p h e w s a n d t h e n u m b e r o f r o w s o f c a n d y b a r s w o u l d h a v e m a d e t h e p r o b l e m e a s y , w e m i g h t h a v e e x p e c t e d T e r i t o i n t r o d u c e a n e w r e p r e s e n t a t i o n — o n e w i t h f o u r r o w s o f c a n d y b a r s ( a n d t w o l e f t o v e r s ) . 3 1 5 B e r t F o r t h e s a m e p r o b l e m , B e r t ’ s d i s t r i b u t i o n o f 3 0 c a n d y b a r s ( a r r a y e d i n t w o u n e q u a l r o w s ) t o f o u r c h i l d r e n ( r e c t a n g l e s a r r a y e d b e n e a t h ) r e s u l t e d i n a c o n f u s i n g m e s s . H e r e c o g n i z e d t h e d i f f i c u l t y a n d s t a r t e d a n e w r e p r e s e n t a t i o n d r a w i n g f o u r n e w c h i l d r e n ( l a r g e r e c t a n g l e s ) a n d d r a w i n g f o u r c a n d y b a r s ( s m a l l r e c t a n g l e s ) i n e a c h . H e c o n t i n u e d s i m i l a r l y t h r o u g h d i s t r i b u t i o n o f 2 8 b a r s . B e r t t h e n d r e w t w o b a r s n e a r t h e b o t t o m o f t h e p a g e , q u a r t e r e d t h e m , a n d a d d e d a q u a r t e r f r o m e a c h t o e a c h c h i l d . I n t h i s p r o c e s s , B e r t u s e d m u l t i p l e r e p r e s e n t a t i o n s - b u t , u n l i k e T e r i , h e u s e d d i f f e r e n t r e p r e s e n t a t i o n s . L i k e T e r i , h e s e e m e d t o h a v e a n i m m e d i a t e s e n s e t h a t t h e p r o b l e m w a s o n e o f e q u a l d i s t r i b u t i o n a n d h o w h e w o u l d s o l v e i t . H e s t a r t e d b y c r e a t i n g t h e 3 0 o b j e c t s t o b e s h a r e d , d r a w i n g t h e m a s r e c t a n g l e s — t h e t y p i c a l s h a p e o f c a n d y b a r s . S t a r t i n g t o p a s s t h e m o u t i n d i v i d u a l l y , h i s a p p r o a c h b r o k e d o w n . U n d e t e r r e d , h e u s e d t h e s a m e o b j e c t s ( c i r c l e s , s m a l l a n d l a r g e r e c t a n g l e s ) i n a n e w w a y . H e c r e a t e d 3 0 c a n d y b a r s i n t h e p r o c e s s o f d i s t r i b u t i n g t h e m - w h i c h h e d i d i n g r o u p s r a t h e r t h a n i n d i v i d u a l l y . U i s g u s s i e n p f g r i a l R e p r e s e n t a t i o n s B o t h T e r i a n d B e r t , m o n i t o r i n g t h e m s e l v e s , a b a n d o n e d w o r k s i n p r o g r e s s a n d , t y p i c a l o f e a c h t h r o u g h o u t t h e i n t e r v i e w s , r e f i n e d t h e i r a p p r o a c h b y c r e a t i n g a d i f f e r e n t r e p r e s e n t a t i o n ( B e r t ) o r b y r e p r o d u c i n g t h e s a m e r e p r e s e n t a t i o n ( T e r i ) . E l s e w h e r e i n t h e i n t e r v i e w s B e r t e x p r e s s e d c o n f i d e n c e i n h i s m a t h e m a t i c a l r e a s o n i n g w h i l e T e r i s a i d t h e o p p o s i t e . I r o n i c a l l y , T e r i w a s t h e m o s t s u c c e s s f u l i n a r r i v i n g a t c o r r e c t a n s w e r s t o s o m e o f t h e m o r e d i f f i c u l t m a t h e m a t i c s o f t h e i n t e r v i e w s ; s h e s e e m e d a s k i l l e d i f i n t u i t i v e m a t h e m a t i c a l r e a s o n e r . B e r t , m e a n w h i l e , n o t o n l y i m p r o v e d h i s w o r k t h r o u g h c o n s i d e r i n g p o s s i b i l i t i e s b e y o n d 3 1 6 h i s i n i t i a l r e p r e s e n t a t i o n b u t o f t e n l o o k e d a t l a r g e r m a t h e m a t i c a l i s s u e s . B e r t t e n d e d t o r i s k e x p o s i n g h i s l a c k o f u n d e r s t a n d i n g w h i l e T e r i t e n d e d t o p l a y i t s a f e . C o m p l e m e n t a r y R e p r e s e n t a t i o n s A n o t h e r v e r s i o n o f m u l t i p l e r e p r e s e n t a t i o n s a r o s e i n t h e f o r m o f s o l u t i o n s c o m p o s e d o f m u l t i p l e , d i f f e r e n t r e p r e s e n t a t i o n s . A t t i m e s , t h e c h i l d r e n r e p r e s e n t e d s e p a r a t e e l e m e n t s o f a s i n g l e s o l u t i o n w i t h d i s t i n c t r e p r e s e n t a t i o n s . B e r t i I n a d d i t i o n t o B e r t ’ s u s e o f s e r i a l r e p r e s e n t a t i o n s , h i s s o l u t i o n ( h i s s e c o n d r e p r e s e n t a t i o n ) i n c l u d e d s l i g h t l y d i f f e r e n t c o m p l e m e n t a r y r e p r e s e n t a t i o n s . W h e n h e d r e w t h e t w o ” l e f t o v e r " b a r s , t h e y w e r e m u c h l a r g e r t h a n t h e o r i g i n a l 2 8 . T h i s r e s u l t e d i n s o m e c o n f u s i o n f o r h i m , a s t h e q u a r t e r s o f t h e s e b a r s w e r e n e a r l y t h e s i z e o f t h e o r i g i n a l w h o l e s . W h e n fi r s t d i s t r i b u t i n g , B e r t c a l l e d t h e m w h o l e b a r s b u t , m o n i t o r i n g h i s w o r k a s u s u a l , h e q u i c k l y c o r r e c t e d h i s e r r o r . N o w , t o a k n o w l e d g e a b l e o b s e r v e r , t h e d i f f e r e n c e i s s m a l l . H o w e v e r , t o a p e e r s t r u g g l i n g t o u n d e r s t a n d B e r t ’ s m e t h o d s ( p o s s i b l y a n a p p r o a c h d i f f e r e n t q u i t e t h a n t h e p e e r ’ s ) , t h i s m i g h t s e e m s i g n i f i c a n t l y d i f f e r e n t . D a n i e l l e D a n i e l l e d r e w q u i t e a n e l a b o r a t e p i c t u r e i n s o l v i n g t h e C a n d y B a r p r o b l e m ( s e e F i g u r e 2 1 ) . U s i n g i t , s h e s a i d e a c h c h i l d r e c e i v e d s e v e n a n d a n e i g h t h b a r s . W h e n I a s k e d h e r t o s h o w m e w h a t e a c h c h i l d r e c e i v e d , s h e l a b e l e d t h e q u a r t e r s o f t h e 2 9 t h a n d 3 0 t h b a r s a n d , s m i l i n g t h e n l a u g h i n g , c h a n g e d h e r a n s w e r t o s e v e n a n d a h a l f . I a s k e d w h y i t w a s a h a l f a n d n o t a n e i g h t h . I n r e s p o n s e , s h e c r e a t e d a r e p r e s e n t a t i o n d i s t i n c t f r o m t h a t u s e d t o s o l v e t h e p r o b l e m i t s e l f . S h e f i r s t s t a r t e d t o d r a w o n t h e c h a l k b o a r d i n s t e a d o f t h e p a p e r . W h e n I a s k e d h e r t o 3 1 7 u s e p a p e r ( s o I w o u l d h a v e a n a r t i f a c t ) , s h e s e l e c t e d a n e w s h e e t a n d d r e w c i r c l e s t o r e p r e s e n t t h e s a m e o b j e c t s s h e h a d b e e n r e p r e s e n t i n g w i t h r e c t a n g l e s . W h e r e B e r t u s e d a l a r g e r s i z e o f t h e s a m e r e p r e s e n t a t i o n f o r e a s e o f p a r t i t i o n i n g , D a n i e l l e u s e d a d i f f e r e n t s h a p e a n d p a p e r t o d i f f e r e n t i a t e f r o m h e r ” m a i n ” r e p r e s e n t a t i o n . N i c e l e N i c o l e d e m o n s t r a t e d y e t a t h i r d v e r s i o n o f c o m p l e m e n t a r y r e p r e s e n t a t i o n s . S h e e m p l o y e d m u l t i p l e r e p r e s e n t a t i o n s c o n s e c u t i v e l y i n o r d e r t o c o m p a r e t h e i r a n s w e r s ; u s i n g t r a d i t i o n a l a l g o r i t h m s , s h e a t t e m p t e d t o c o n fi r m r e s u l t s o b t a i n e d f r o m h e r p i c t o r i a l a p p r o a c h . N i c o l e t r i e d t o f i g u r e o u t a ” n u m b e r s e n t e n c e ” t h a t w o u l d m a t c h t h e s o l u t i o n s h e h a d o b t a i n e d w i t h h e r p i c t o r i a l r e p r e s e n t a t i o n . A f t e r o b t a i n i n g a n a n s w e r o f n i n e b a r s p e r c h i l d w i t h h e r d r a w i n g , 1 1 0 s h e u s e d t r a d i t i o n a l a l g o r i t h m s t o a d d 3 0 a n d f o u r a n d t h e n t o s u b t r a c t f o u r f r o m 3 0 ( t h e l a t t e r w i t h o u t a n d t h e n w i t h ” b o r r o w i n g ” ) . 1 1 1 C l e a r l y , N i c o l e u s e d m u l t i p l e , d i f f e r e n t r e p r e s e n t a t i o n s . D i s e p s s i p n p f g o m p l e m e n t a r y R e p r e s e n t a t i g n s A s w i t h B e r t a n d T e r i , D a n i e l l e a n d N i c o l e m o n i t o r e d t h e i r w o r k — a l b e i t i n d i f f e r e n t w a y s t h a n t h e o t h e r s - - r e s u l t i n g i n g e n e r a t i o n o f c o m p l e m e n t a r y r e p r e s e n t a t i o n s . D a n i e l l e b y r e f e r r i n g b a c k t o t h e s t o r y - m a k i n g s u r e h e r p i c t u r e r e fl e c t e d t h e s t o r y ; N i c o l e b y ” c h e c k i n g " h e r a n s w e r . S o m e t i m e s , t h e y c r e a t e d c o m p l e m e n t a r y r e p r e s e n t a t i o n s s p o n t a n e o u s l y a s t h e y s o l v e d t h e p r o b l e m ( a s w i t h B e r t ’ 5 e x a m p l e ) . O n o t h e r o c c a s i o n s , r e v i e w i n g s o l u t i o n s - g e n e r a t e d i n “ 0 N i c o l e c o n f u s e d t h e t w o q u a r t e r s o b t a i n e d f r o m t h e ” l e f t o v e r ” b a r s w i t h t h e s e v e n w h o l e b a r s . 1 1 1 O n e e x p l a n a t i o n f o r t h e s e a d d i t i o n a l r e p r e s e n t a t i o n s w a s t h a t t h e s h e w a s c o n d i t i o n e d t o ” c h e c k h e r w o r k . ” A l t e r n a t i v e l y , t h i s m a y h a v e b e e n a r e s u l t o f h e r t e a c h e r o f t e n a s k i n g s t u d e n t s t o w r i t e n u m b e r s e n t e n c e s t o g o w i t h p i c t o r i a l s o l u t i o n s . 3 1 8 r e s p o n s e t o m y q u e s t i o n s ( a s w i t h D a n i e l l e ) o r t h e i r o w n m o n i t o r i n g ( a s w i t h N i c o l e ) - r e s u l t e d i n c r e a t i o n o f n e w r e p r e s e n t a t i o n s . T h e r e p r e s e n t a t i o n s g e n e r a t e d t o c o n f i r m o f t e n b o r e l i t t l e s u r f a c e r e s e m b l a n c e t o t h e " m a i n ” o r o r i g i n a l r e p r e s e n t a t i o n . O n e m i g h t c o n s i d e r t h e c h i l d r e n ’ s s o l u t i o n s a s c o n s i s t i n g o f s e t s o f r e p r e s e n t a t i o n s . S a m m y J a n v i e r ( 1 9 8 7 d ) t o o k m a t h e m a t i c s e d u c a t o r s t o t a s k f o r ” o v e r l o o k i n g " t h e ” p s y c h o l o g i c a l p r o c e s s e s i n v o l v e d i n g o i n g f r o m o n e m o d e o f r e p r e s e n t a t i o n t o a n o t h e r , f o r e x a m p l e , f r o m a n e q u a t i o n t o a g r a p h ” ( p . 2 7 ) . L e s h , e t a l . ( 1 9 8 7 ) l i s t e d f i v e t y p e s o f ” r e p r e s e n t a t i o n s y s t e m s ” : ” ( 1 ) e x p e r i e n c e - b a s e d ’ s c r i p t s ’ . . . k n o w l e d g e . . . b a s e d a r o u n d ’ r e a l w o r l d ’ e v e n t s t h a t s e r v e a s g e n e r a l c o n t e x t s . . . ; ( 2 ) m a n i p u l a b l e m o d e l s - - l i k e C u i s e n a i r e r o d s . . . ; ( 3 ) p i c t u r e s o r d i a g r a m s . . . ; ( 4 ) s p o k e n l a n g u a g e s . . . ; ( 5 ) w r i t t e n s y m b o l s . . . " ( p p . 3 3 - 3 4 ) . T h e y a r g u e d t h a t t h e s e " s y s t e m s ” a r e ” i m p o r t a n t i n t h e i r o w n r i g h t s " b u t t h a t " t r a n s l a t i o n s a m o n g t h e m , a n d t r a n s f o r m a t i o n s w i t h i n t h e m , a l s o a r e i m p o r t a n t ” ( p . 3 4 , e m p h a s i s i n t h e o r i g i n a l ) . N e i t h e r s e r i a l n o r c o m p l e m e n t a r y u s e o f r e p r e s e n t a t i o n s i n v o l v e d t r a n s l a t i o n b y t h e s e c h i l d r e n . C o m p l e m e n t a r y u s e d i d i n v o l v e u n l i k e r e p r e s e n t a t i o n s b u t t h e c h i l d r e n d i d n o t s e e m t o t r a n s l a t e b e t w e e n t h e m . R a t h e r , i n t h e i r m o d e o f s o l v i n g t h i s p r o b l e m , t h e c h i l d r e n u s e d d i f f e r e n t r e p r e s e n t a t i o n s i n a n a d h o c m a n n e r . T h e y u s e d a n e w r e p r e s e n t a t i o n t o a c c o m p l i s h a c e r t a i n t a s k , t h e y d i d n o t t r a n s l a t e b e t w e e n r e p r e s e n t a t i o n s . T h i s m a y b e s t b e s e e n i n D a n i e l l e ’ s i n t e n t i o n a l d i s t a n c i n g o f t h e ” t w o q u a r t e r s i s t h e s a m e a s a h a l f " a r g u m e n t f r o m t h e r e s t o f h e r s o l u t i o n . O n t h e o t h e r h a n d , s o m e t i m e s t h e c h i l d r e n d i d m a k e t r a n s f o r m a t i o n s w i t h i n r e p r e s e n t a t i o n s . T h i s m o s t l y o c c u r r e d i n a b a n d o n i n g a fi r s t r e p r e s e n t a t i o n 3 1 9 i n f a v o r o f a n o t h e r . B o t h D a n i e l l e ( e . g . , i n a d d i n g ” S a v e - L o s e ” t o a c c o m m o d a t e n e g a t i v e s c o r e s i n t h e D i c e G a m e ) a n d B e r t ( e . g . , i n c h a n g i n g f r o m f i r s t c r e a t i n g a l l 3 0 b a r s t o c r e a t i n g i n t h e p r o c e s s o f d i s t r i b u t i o n ) t r a n s f o r m e d r e p r e s e n t a t i o n s . N e i t h e r T e r i n o r N i c o l e t r a n s f o r m e d t h e i r r e p r e s e n t a t i o n s . T e r i s e e m s n o t t o h a v e b e c a u s e o f h e r l a c k o f s e l f - c o n f i d e n c e ; t r a n s f o r m i n g h e r c h o s e n r e p r e s e n t a t i o n m i g h t r a i s e m o r e d i f f i c u l t i e s . N i c o l e s e e m s n o t t o h a v e b e c a u s e s h e s a w l i t t l e r e a s o n t o d o s o ; d o i n g m a t h e m a t i c s w a s a b o u t t h i n k i n g h a r d a n d e x p r e s s i n g y o u r i d e a s . C r e a t i o n o r U s e o f R e p r e s e n t a t i o n s B e y o n d i s s u e s o f m u l t i p l i c i t y o f r e p r e s e n t a t i o n s a r e i s s u e s p e r t a i n i n g t o d i s t i n c t i o n b e t w e e n t h e r e p r e s e n t a t i o n a n d u s e o f t h e r e p r e s e n t a t i o n . I f a c h i l d u s e s a p i c t u r e t o r e p r e s e n t a p r o b l e m , d o e s t h e r e p r e s e n t a t i o n i n c l u d e o p e r a t i o n s o n t h e p i c t u r e o r j u s t t h e p i c t u r e ? I n o t h e r w o r d s , w h a t c o n s t i t u t e s t h e c r e a t i o n o f t h e r e p r e s e n t a t i o n a n d w h a t t h e u s e o f t h e r e p r e s e n t a t i o n ? F o r e x a m p l e , w h e n D a n i e l l e s o l v e d t h e C a n d y B a r p r o b l e m , s h e d r e w " a b i g b o x , " b a r s w i t h i n t h e b o x , a n d t o r s o s t o r e p r e s e n t m y n i e c e s a n d n e p h e w s . I s t h a t t h e r e p r e s e n t a t i o n ? T h i s " r e p r e s e n t s ” t h e p r o b l e m b e f o r e d i s t r i b u t i o n . T h i s i s s i m i l a r t o h a v i n g c r e a t e d , s a y i n t h e b a s e m e n t o f a t h e a t e r , t h e f u r n i t u r e , b a c k d r o p s , a n d o t h e r e l e m e n t s f o r t h e s e t o f a p l a y . D a n i e l l e c i r c l e d g r o u p s o f f o u r b a r s . I s t h a t p a r t o f t h e r e p r e s e n t a t i o n o r i s i t u s e o f , a n o p e r a t i o n o n , t h e r e p r e s e n t a t i o n ? H a v i n g a s k e d m e t h e n a m e s o f m y n i e c e s a n d n e p h e w s , s h e i n i t i a l e d o n e b a r o f e a c h g r o u p o f f o u r t o s h o w w h o r e c e i v e d i t a n d t h e n q u a r t e r e d t h e r e m a i n i n g b a r s . W h i l e a t t h i s p o i n t s h e h a d n o t r e a c h e d a s o l u t i o n , t h e ” r e p r e s e n t a t i o n ” m i g h t n o w b e c o n s i d e r e d t o r e fl e c t t h e b a r s a s r e a d y t o b e d i s t r i b u t e d . I s t h i s t h e r e p r e s e n t a t i o n ? A f t e r a l l , s h e h a d n o t 3 2 0 " s o l v e d ” t h e p r o b l e m — s h e h a d y e t t o c o u n t a n d r e c o r d t h e n u m b e r o f b a r s e a c h c h i l d r e c e i v e d . C o n t i n u i n g t h e p r e v i o u s a n a l o g y , t h i s w o u l d b e s i m i l a r t o h a v i n g a s s e m b l e d t h e s e t o n t h e s t a g e p r i o r t o t h e s t a r t o f t h e p l a y . N e x t , D a n i e l l e c o u n t e d t h e n u m b e r o f b a r s e a c h c h i l d r e c e i v e d a n d r e c o r d e d h e r a n s w e r i n a n e w l o c a t i o n . T h i s c o u l d a l s o b e c o n s i d e r e d t h e r e p r e s e n t a t i o n ; t h e p i c t u r e n o w r e p r e s e n t e d h e r s o l u t i o n . T h i s w o u l d b e c o m p a r a b l e t o t h e s c e n e o f t h e p l a y i n w h i c h t h e d e n o u e m e n t o c c u r s . J u s t a s I p r e v i o u s l y a r g u e d r e p r e s e n t a t i o n i s i n t h e m i n d o f t h e c r e a t o r , 1 s u g g e s t , i n D a n i e l l e ’ s h a n d s , i t i s a l s o i n t h e m i n d o f t h e u s e r . W a t c h i n g D a n i e l l e s o l v e p r o b l e m s p r o v i d e s n o c l e a r - c u t d i s t i n c t i o n b e t w e e n c r e a t i o n a n d u s e . I n c o n t r a s t , B e r t a n d T e r i o f f e r a r e a d y d i s t i n c t i o n b e t w e e n c r e a t i o n a n d u s e . T h e i r l o c a l f o c u s m e a n t i n s t a n t i a t i o n o f d a t a w a s c r e a t i o n . O n c e c r e a t i o n w a s c o m p l e t e d , t h e y c o n s i d e r e d h o w t h e y w o u l d u s e t h e p i c t o r i a l r e p r e s e n t a t i o n . W h i l e t h i s m a y b r i n g t o m i n d S c h o e n f e l d ’ s ( 1 9 8 3 ) n o v i c e p r o b l e m s o l v e r s , t h r o u g h o u t t h e i n t e r v i e w s t h e s e c h i l d r e n d i d n o t p l o w a h e a d b l i n d l y w i t h i l l - c o n c e i v e d o r i n a p p r o p r i a t e r e p r e s e n t a t i o n s . T h e y p a u s e d a f t e r c r e a t i o n t o a s s e s s t h e u s e f u l n e s s o f t h e i r r e p r e s e n t a t i o n . T h e s e a s s e s s m e n t s ( a n d t h o s e o f D a n i e l l e ) s p a w n e d a d a p t a t i o n s t h a t p r o m o t e d s u c c e s s f u l p r o b l e m s o l u t i o n . T h u s , t h r e e o f t h e f o u r c h i l d r e n o f t h e s t u d y a p p e a r t o h a v e l e a r n e d t h a t a n a l y s i s o f r e p r e s e n t a t i o n s i s a n i m p o r t a n t c o m p o n e n t o f d o i n g m a t h e m a t i c s . D i s c u s s i o n A s n o t e d p r e v i o u s l y , m a t h e m a t i c i a n s u s e e l e m e n t s o f k n o w n r e p r e s e n t a t i o n a l s y s t e m s t o s o l v e n e w p r o b l e m s ( p r o v e t h e o r e m s ) . I n m a n y w a y s , t h e y d o n o t c r e a t e r e p r e s e n t a t i o n s . T h e y c e r t a i n l y m a k e t r a n s l a t i o n s b e t w e e n s y s t e m s ( e . g . , W i l e s ’ p r o o f o f F e r m a t ) a n d t r a n s f o r m a t i o n s w i t h i n 3 2 1 s y s t e m s ( e . g . , w h e n f u n c t i o n s b e c a m e o b j e c t s i n r i n g s , f i e l d s , e t c . ) . H o w e v e r , i t i s n o t c l e a r t h a t , i n t h i s d a y a n d a g e , r e p r e s e n t a t i o n s a r e c r e a t e d w i t h a n y f r e q u e n c y . M a t h e m a t i c i a n s a r e a l s o e n a m o r e d o f e l e g a n t p r o o f s ( G e i s t & S m i t h , 1 9 9 1 ) . W h e n s e a r c h i n g f o r m o r e e l e g a n t a n d r e v e a l i n g p r o o f s , t h e y m a y d r a w o n d i f f e r e n t r e p r e s e n t a t i o n a l s y s t e m s . A l l t h i s i s a r e s u l t o f m a t h e m a t i c i a n s ’ u s e o f t h e i m p o s e d s y s t e m s o f r e p r e s e n t a t i o n s a l r e a d y e x t a n t i n m a t h e m a t i c s . I n c o n t r a s t , t h e s e c h i l d r e n ( a n d p r e s u m a b l y t h e i r c l a s s m a t e s ) t e n d e d t o w o r k f r o m t h e g r o u n d u p ; w o r k i n g f r o m t h e p r o b l e m c o n t e x t , i t w a s n e c e s s a r y t o c r e a t e r e p r e s e n t a t i o n s b e f o r e t h e y c o u l d u s e t h e m . F u r t h e r , t h e i r t r a n s l a t i o n s a n d t r a n s f o r m a t i o n s w e r e ( w i t h t h e e x c e p t i o n o f B e r t ’ s e x c u r s i o n s i n t o a b s t r a c t m a t h e m a t i c s ) w i t h i n t h e r e a l m o f t h e s e c r e a t e d r e p r e s e n t a t i o n s . I t s e e m s t h a t D a n i e l l e , N i c o l e , a n d T e r i w e r e n o t i n c l i n e d t o w o r k t o w a r d b r i d g i n g t h e g a p f r o m t h e l e a r n i n g t h e o r e t i c a l g r o u n d i n g t o t h e m a t h e m a t i c a l g o a l s o f t h e N C T M S t a n d a r d s . I n g e n e r a l , w h e n s o l v i n g p r o b l e m s t h e c h i l d r e n s e e m e d t o c r e a t e s e t s o f r e p r e s e n t a t i o n s t h a t w o r k e d t o g e t h e r a n d s u p p o r t e d e a c h o t h e r . W h e n c h e c k i n g t h e i r w o r k t h e y t e n d e d t o u s e r e p r e s e n t a t i o n s f r o m d i s p a r a t e s e t s ; t h e y w e r e n o t u s e d t o s u p p o r t o t h e r r e p r e s e n t a t i o n s b u t t o c h e c k o n t h e m . T h i s l a t t e r u s e i s a m o r e i m p o s e d s o r t o f w o r k , a r e s u l t o f r e p e a t e d e x p o s u r e t o t h e i r t e a c h e r a s k i n g t h e m t o f i n d o t h e r w a y s t o v e r i f y t h e i r a n s w e r s . W e m i g h t l o o k a t t h i s p r o p o r t i o n : S o l v i n g t h i s p r o b l e m i s t o d o i n g m a t h e m a t i c s a s c h i l d r e n ’ s s e t s o f r e p r e s e n t a t i o n s a r e t o r e p r e s e n t a t i o n a l s y s t e m s . W h e n s o l v i n g a p a r t i c u l a r p r o b l e m , t h e s e s t u d e n t s o f a r e f o r m - o r i e n t e d c l a s s r o o m w e r e i n c l i n e d t o u s e a c o h e r e n t s e t o f m u t u a l l y s u p p o r t i v e r e p r e s e n t a t i o n s . W h e n t h e y w e r e e n g a g e d i n m o r e g e n e r a l m a t h e m a t i c a l w o r k 3 2 2 ( e . g . , D a n i e l l e s h o w i n g w h y t w o f o u r t h s i s t h e s a m e a s o n e h a l f , B e r t e x p l o r i n g n e g a t i v e i n t e g e r s ) , t h e y o p t e d f o r c o m p l e m e n t a r y b u t u n r e l a t e d r e p r e s e n t a t i o n s . M O N I T O R I N G H a v i n g d e s c r i b e d h o w t h e c h i l d r e n e m p l o y e d r e p r e s e n t a t i o n s , 1 t u r n n o w t o a t h e m e h i g h l i g h t e d a l o n g t h e w a y , m o n i t o r i n g . A l l t h e c h i l d r e n m o n i t o r e d t h e i r c r e a t i o n a n d u s e o f r e p r e s e n t a t i o n s . B y m o n i t o r i n g , 1 m e a n t h a t w h i l e t h e y w o r k e d o n t h e i r r e p r e s e n t a t i o n s t h e y m a i n t a i n e d a n i n t e r n a l d i a l o g u e a b o u t t h e i r w o r k ( M a r k o v a , 1 9 9 0 ) . T h a t i s , t h e y w a t c h e d w h a t t h e y w e r e d o i n g a s t h e y d i d i t . T h i s i s r e m i n i s c e n t o f B r u n e r ’ s ( 1 9 9 0 ) n o t i o n o f ” g o i n g m e t a ” e x c e p t t h e s e c h i l d r e n s e e m e d t o b e a l w a y s p a r t i a l l y m e t a - a w a r e , t o c o n s t a n t l y m o n i t o r . A l l m o n i t o r e d i n s t a n t i a t i o n o f t h e d a t a ; a l l b u t T e r i a l s o m o n i t o r e d m u l t i p l e c o n t e x t u a l f a c t o r s i n t h e i r w o r k w i t h t h e s e p r o b l e m s . C o n t e x t u a l f a c t o r s i n c l u d e : t h e p r o b l e m , t h e r e p r e s e n t a t i o n , s p e c i f i c m a t h e m a t i c a l c o m p u t a t i o n s , m a t h e m a t i c s a s a d i s c i p l i n e , o b j e c t s a n d c o n c e p t s o f m a t h e m a t i c s , t h e p r o b l e m c o n t e x t , ” r e a l w o r l d ” c o n n e c t i o n s , e t c . U n d e r s t a n d i n g t h e n a t u r e a n d f o c i o f t h e i r m o n i t o r i n g p r o v i d e s b o t h a r e fl e c t i o n o f a n d a m e a s u r e o f t h e e x t e n t t o w h i c h t h e y f e l t t h e y w e r e t h e i r o w n a u t h o r i t y f o r m a t h e m a t i c a l k n o w l e d g e . T e r i a n d D a n i e l l e — S e l f - R e s t r i c t e d D o m a i n s I p a i r D a n i e l l e a n d T e r i n o t b e c a u s e t h e i r m o n i t o r i n g a t t e n d e d t o t h e s a m e c o n t e x t u a l f a c t o r s - - i t d i d n o t . T e r i ’ s m o n i t o r i n g w a s " l o c a l , ” a t t e n d i n g t o f a c t o r s i m m e d i a t e l y a t h a n d . S h e m o n i t o r e d t h e c r e a t i o n o f t h e o b j e c t s i n h e r r e p r e s e n t a t i o n . W h e n s h e r e - c r e a t e d t h e r e p r e s e n t a t i o n , s h e m o n i t o r e d i t f o r n e a t n e s s . S h e l o o k e d a h e a d n e i t h e r t o h e r u s e o f t h e c i r c l e s a s s h e c r e a t e d t h e f i r s t r e p r e s e n t a t i o n n o r t o a n a l t e r n a t i v e g r o u p i n g o f c i r c l e s t o e a s e s o l u t i o n w i t h h e r s e c o n d r e p r e s e n t a t i o n . T h u s , s h e p l a n n e d a t a s k a n d m o n i t o r e d t h a t t a s k 3 2 3 w e l l — s h e w a s p r o b a b l y t h e b e s t o f t h e f o u r c h i l d r e n a t i m p l e m e n t i n g h e r p l a n s . T e r i w a s a d e p t a t c r e a t i n g r e p r e s e n t a t i o n s s h e c o u l d u s e t o s u c c e s s f u l l y s o l v e t h e s e p r o b l e m s . Y e t , s h e s e e m e d n o t t o g a i n a s m u c h a s B e r t a n d D a n i e l l e f r o m h e r m a t h e m a t i c a l e x p e r i e n c e s . T h i s m a y b e a t t r i b u t e d t o h e r l a c k o f s e l f - c o n f i d e n c e . H o w e v e r , i t m a y a l s o b e t h a t s h e w a s b o t h s m a r t a n d c o n f u s e d b y t h e w e l t e r o f r e a s o n i n g p r e s e n t e d i n h e r c l a s s r o o m . A n a l t e r n a t i v e t o m y a n a l y s i s i s t h a t T e r i w a s s o a d e p t a t t h e s e p r o b l e m s , s h e c o u l d n o t e x p r e s s r e a s o n i n g s h e d i d n o t c o n s c i o u s l y c a r r y o u t . ( H a d I e n g a g e d h e r i n a f o u r t h i n t e r v i e w t h a t m o r e s u c c e s s f u l l y p u t h e r o n t h e b o u n d a r y o f h e r u n d e r s t a n d i n g a n d k n o w l e d g e , w e w o u l d h a v e a b e t t e r s e n s e o f w h i c h a n a l y s i s b e s t d e s c r i b e s T e r i . ) I f t h e s e t a s k s w e r e ” e a s y ” f o r h e r , s h e w o u l d h a v e t o b e d e s c r i b e d a s b e y o n d m a n y o f h e r c l a s s m a t e s i n t e r m s o f m a t h e m a t i c a l s k i l l s . I f s o , w h y d i d s h e " t u n e o u t ” d u r i n g d i s c u s s i o n s o f c o n fl i c t i n g i n t e r p r e t a t i o n s o f m a t h e m a t i c s ? I t m a y b e t h a t t h e v e r y m u l t i p l e r e p r e s e n t a t i o n s ( a n d t h e i r c o n c o m i t a n t e x p l a n a t i o n s f r o m l e s s a r t i c u l a t e s t u d e n t s l i k e N i c o l e ) a c t u a l l y c o n f u s e d r a t h e r t h a n s u p p o r t e d T e r i . T e r i m o n i t o r e d r e p r e s e n t a t i o n s i n u s e . B u t , r a t h e r t h a n m o n i t o r i n g t o f i n d c o n n e c t i o n s t o t h e m a t h e m a t i c a l t e r r a i n o f f t h e p a t h , T e r i m o n i t o r e d h e r f e e l i n g s a l o n g t h e p a t h . W h e n a d e s i g n t u r n e d o u t l e s s t h a n o p t i m a l o r w h e n s h e f e l t s h e h a d m i s s e d t h e p o i n t , s h e e x p r e s s e d f e e l i n g s o f f r u s t r a t i o n a n d / o r d i s a p p o i n t m e n t i n h e r s e l f . T h i s m o n i t o r i n g w a s c l o s e l y t i e d t o t h e s p e c i fi c p o i n t i n t h e p r o b l e m ; i t w a s a r e a c t i o n t o t h i s p o i n t i n h e r w o r k . D a n i e l l e m a i n t a i n e d b o t h a l o c a l a n d p r o b l e m - w i d e v i e w o f t h e t e r r a i n . L i k e T e r i , s h e m o n i t o r e d i n s t a n t i a t i o n o f d a t a ( a l b e i t , l e s s s u c c e s s f u l l y ) b u t s i m u l t a n e o u s l y k e p t a n e y e o n t h e r e p r e s e n t a t i o n ’ s u s e f u l n e s s f o r s o l v i n g t h e p r o b l e m . D a n i e l l e m a d e s m a l l a d j u s t m e n t s t o h e r r e p r e s e n t a t i o n s a s s h e c r e a t e d 3 2 4 t h e m , a s s h e k e p t i n m i n d f u t u r e d i r e c t i o n s . S h e w a s q u i t e p a t i e n t d e v e l o p i n g r e p r e s e n t a t i o n s . S h e s e e m e d t o r e l i s h t h e p r o c e s s o f c r e a t i o n w h i l e s i m u l t a n e o u s l y m o n i t o r i n g f o r f u n c t i o n a l i t y a n d a c c u r a t e p o r t r a y a l o f t h e c o n t e x t . S h e f r e q u e n t l y ” s a t b a c k ” f r o m t h e p r o c e s s a n d a n a l y z e d h e r w o r k . D a n i e l l e s e e m e d a l m o s t c o n s t a n t l y a w a r e t h a t p a r t o f h e r g o a l w a s f i g u r i n g o u t w h a t w a s t h e s t o r y . S h e n o t i c e d t h i n g s a b o u t t h e m a t h e m a t i c s , t h e r e p r e s e n t a t i o n , a n d t h e c o n t e x t . S h e l i k e d a n d u s e d t h e i r s u p p o r t f o r h e r w o r k . E v e n w h i l e n o t e n g a g e d i n s o l v i n g p r o b l e m s , s h e f r e q u e n t l y d r e w p i c t u r e s w h i l e w e t a l k e d . S h e r e c o r d e d t h e r e s u l t s o f t h e c a r d s s o r t s o n c h a r t s s h e d e v i s e d . S h e m e n t i o n e d t h a t s h e h a d s t a r t e d t h e p r a c t i c e a m o n g m a n y o f h e r c l a s s m a t e s o f r e c o r d i n g i n h e r j o u r n a l a s m u c h a s p o s s i b l e o f t h e c l a s s r o o m m a t h e m a t i c a l c o n v e r s a t i o n s . I n o n e s e n s e , D a n i e l l e ’ s p e r s p e c t i v e w a s " g l o b a l ” ; s h e i n t e g r a t e d t h e c o n t e x t w i t h h e r w o r l d . S h e m a i n t a i n e d a c o n s t a n t a t t e n t i o n t o t h e i n t e r s e c t i o n b e t w e e n t h e p r o b l e m c o n t e x t a n d h e r w o r l d . O n e m i g h t a l s o s a y s h e s h o w e d s i g n s o f a g l o b a l v i e w o f m a t h e m a t i c s . S h e w o r r i e d a b o u t i s s u e s b e y o n d s p e c i fi c p r o b l e m s , a b o u t n e g a t i v e n u m b e r s , f r a c t i o n s , a n d s o f o r t h , b u t d i d n o t p u r s u e t h e m . H o w e v e r , w i t h t h e e x c e p t i o n o f p o n d e r i n g w h e t h e r n e g a t i v e o n e w a s a n u m b e r , s h e d i d n o t s h o w s i g n s o f a c t i v e l y l o o k i n g f o r i s s u e s t h a t l a y b e y o n d t h e p r o b l e m a t h a n d . F u r t h e r , w i t h a d i s m i s s i v e m e t a p h o r , s h e c h o s e t o a b s t a i n f r o m a c t u a l l y e n g a g i n g w i t h t h e i s s u e o f n e g a t i v e o n e . D a n i e l l e m o n i t o r e d v a l i d i t y i n h e r w o r l d . S h e d i d n o t l o o k f o r r e a s o n a b l e n e s s i n t h e " r e a l w o r l d ” t o d e t e r m i n e w h a t t o d o m a t h e m a t i c a l l y a s N i c o l e d i d . R a t h e r , D a n i e l l e m o n i t o r e d t h e ” r e a l w o r l d ” c o n t e x t t o s e e i f i t w a s a r e a s o n a b l e c o n t e x t . T h a t i s , h e r i n t e r e s t w a s i n t h e c o n t e x t ’ s a u t h e n t i c i t y a n d i t s 3 2 5 f i t w i t h h e r w o r l d . S h e e s t a b l i s h e d c o n n e c t i o n s t o i n t e g r a t e r e a l w o r l d a n d m a t h e m a t i c a l c o n t e x t s . D a n i e l l e d i d m u c h t h a t m a t h e m a t i c s e d u c a t o r s v a l u e . S h e s u p p o r t e d h e r r e a s o n i n g w i t h h e r r e a l w o r l d u n d e r s t a n d i n g . S h e v a l u e d o t h e r s ’ r e a s o n i n g . S h e w a s c o m f o r t a b l e e x p r e s s i n g h e r c o n f u s i o n . U n f o r t u n a t e l y , l i k e T e r i , s h e l a c k e d c o n f i d e n c e i n h e r m a t h e m a t i c a l a b i l i t i e s . C o n s e q u e n t l y , s h e f e l t h e r s e l f u n a b l e t o m a k e t h e t r a n s i t i o n f r o m t h e l e a r n i n g t h e o r y g r o u n d i n g t o t h e d i s c i p l i n e o f m a t h e m a t i c s . T e r i m o n i t o r e d h e r i m m e d i a t e m a t h e m a t i c a l s u r r o u n d i n g s o n l y . C o n t e x t u a l l y , D a n i e l l e m a i n t a i n e d a g l o b a l m o n i t o r i n g ; m a t h e m a t i c a l l y , s h e m a i n t a i n e d a n i n t e r m e d i a t e m o n i t o r i n g w h i l e k e e p i n g h e r p u r s u i t s o n t h e p a t h o f p r o b l e m s o l v i n g . N e i t h e r T e r i n o r D a n i e l l e f e l t c o n f i d e n t e n o u g h t o p u r s u e w h a t t h e i r e y e s p e r c e i v e d o f f t h e p a t h . T h e y r e c o g n i z e d t h e r e e x i s t e d m o r e t o m a t h e m a t i c s t h a n s o l v i n g t h i s p r o b l e m . Y e t , n e i t h e r o f t h e s e c h i l d r e n f e l t t h e c o n f i d e n c e t o l e a v e t h e p a t h o f f e r e d b y t h e p a r t i c u l a r p r o b l e m . T h e y k n e w t h e m a t h e m a t i c s w a s o u t t h e r e b u t c o u l d n o t b r i n g t h e m s e l v e s t o p u r s u e i t . B e r t a n d N i c o l e — E y e s o n a L a r g e r D o m a i n C o u l d B e r t a n d N i c o l e b e a p a i r ? B e r t l o v e d t h e a b s t r a c t a n d q u i c k l y d i s c a r d e d t h e r e a l w o r l d c o n t e x t . N i c o l e h u g g e d c l o s e t h e c o n t e x t a n d d i s d a i n e d t h e a b s t r a c t . I t c o u l d n o t b e s a i d t h e s e t w o i n t e r a c t e d w i t h p r o b l e m s s i m i l a r l y . N i c o l e , l i k e t h e o t h e r s , m o n i t o r e d t h e d e v e l o p m e n t o f h e r r e p r e s e n t a t i o n s . S h e w a s s u c c e s s f u l i n c r e a t i n g t h e c o r r e c t n u m b e r o f o b j e c t s f o r p r o b l e m s — w h e n s h e w a s a b l e t o m a k e s e n s e o f t h e m . I n t h e C a n d y C a n e p r o b l e m s h e d i d n o t c r e a t e 2 4 c a n d y b a r s o r 4 0 t o t a l o b j e c t s - n o t b e c a u s e s h e w a s 3 2 6 n o t m o n i t o r i n g b u t b e c a u s e o f h e r i n t e r p r e t a t i o n o f t h e p r o b l e m . N i c o l e h a d a s e n s e t h a t i d e a l m a t h e m a t i c a l o b j e c t s a n d c o n c e p t s e x i s t e d o r m i g h t b e t r e a t e d a s i f t h e y d i d . S h e d i d n o t s h y a w a y f r o m p u r s u i n g t h e m b e c a u s e o f t h e i r t h r e a t e n i n g n a t u r e ; s h e d i d n o t l a c k t h e s e l f - c o n f i d e n c e o f T e r i o r D a n i e l l e . S h e s a w h e r s e l f a s h a v i n g ” g r e a t i d e a s ” a n d ” t h i n k i n g h a r d . ” F o r h e r , t h e r e w a s n o r e a s o n t o p u r s u e t h e m - ~ a t l e a s t i n t h e i n t e r v i e w s . N i c o l e m o n i t o r e d m y u n d e r s t a n d i n g o f h e r a r g u m e n t . S h e o f t e n i n t e r p r e t e d ( c o r r e c t l y ) m y q u e s t i o n s a s e v i d e n c e o f n o t u n d e r s t a n d i n g . U n l i k e t h e o t h e r s , s h e d i d n o t t a k e t h i s a s a q u e s t i o n o f t h e c o r r e c t n e s s o f h e r a n s w e r . R a t h e r , s h e s a w i t a s a n i n v i t a t i o n t o m a k e h e r r e a s o n i n g m o r e c l e a r . T h i s f i t s w i t h h e r v i e w o f e v e r y o n e h a v i n g g o o d i d e a s . M y i d e a s w e r e n o t s u p e r i o r t o h e r s t h e r e f o r e t h e r e w a s n o p a r t i c u l a r r e a s o n f o r h e r t o q u e s t i o n h e r s e l f . S h e k n e w w h a t s h e t h o u g h t , s h e u n d e r s t o o d t h e p r o b l e m c o n t e x t w i t h i n h e r o w n ( ” r e a l w o r l d ” ) c o n t e x t a n d t h a t p r o v i d e d ( i n t e r n a l ) v a l i d i t y . B y v i r t u e o f p e r s o n a l k n o w l e d g e o f h e r w o r l d a n d a d h e r e n c e t o t h e m o t t o o f ” t h i n k i n g h a r d a n d h a v i n g g r e a t i d e a s , ” N i c o l e h a d h e r e y e s o n t h e i n t e r s e c t i o n o f t h e w o r l d a n d m a t h e m a t i c s - - w i t h t h e l a t t e r a f a c t o t u m o f t h e f o r m e r . N i c o l e p e r c e i v e d t h e s e p r o b l e m s , p r e s e n t e d i n a ” r e a l w o r l d ” c o n t e x t , a s c o n s t r a i n e d b y t h a t s a m e " r e a l w o r l d . " W h e t h e r t h e r e w e r e m a t h e m a t i c a l o b j e c t s o f f t h e t r a i l m a t t e r e d n o t a t a l l . N i c o l e d i d n o t s h i e l d h e r e y e s b e c a u s e o f t h e t h r e a t o f a b s t r a c t m a t h e m a t i c a l o b j e c t s a n d c o n c e p t s ; s h e h a d n o r e a s o n t o l o o k a t o r p u r s u e t h e m b e c a u s e t h e s e p r o b l e m s w e r e a b o u t t h e c o n c r e t e , a b o u t t h e ” r e a l w o r l d , " n o t a b o u t a b s t r a c t c o n c e p t s a n d o b j e c t s . L i k e t h e o t h e r s , B e r t m o n i t o r e d t h e c r e a t i o n o f h i s r e p r e s e n t a t i o n s . H e m o n i t o r e d t h e l o c a l t e r r a i n . U n l i k e D a n i e l l e , h e d i d n o t s e e m t o k e e p a n e y e o n 3 2 7 t h e e n d o f t h e t r a i l , t h e p r o b l e m ’ s s o l u t i o n . H e d i d h o w e v e r , k e e p a n e y e o f f t h e p a t h . H e w a s i n t e r e s t e d i n a n d s o l o o k e d f o r a b s t r a c t o b j e c t s a n d c o n c e p t s h e e x p e c t e d t o b e l u r k i n g i n t h e w o o d s a s h e t r a v e l e d t h e p a t h o f p r o b l e m s o l v i n g . B e r t p e r c e i v e d t h e s e - a n d a l l s e r i o u s m a t h e m a t i c s p r o b l e m s - a s d e s i g n e d s p e c i f i c a l l y t o p r o v i d e t h e o p p o r t u n i t y t o e x p l o r e t h e m a t h e m a t i c a l o b j e c t s a n d c o n c e p t s v i s i b l e o f f t h e t r a i l . B e r t m o n i t o r e d h i s o w n s t a t e m e n t s a l o n g w i t h t h e a c c u r a c y o f h i s r e p r e s e n t a t i o n . H e m o n i t o r e d t h e c o n t e n t o f h i s s e n t e n c e s e v e n a s h e u t t e r e d t h e m . T h i s w a s a m o n i t o r i n g o f s t a t e m e n t s ’ f i t w i t h m a t h e m a t i c s , a r e c o g n i t i o n o f t h e f i t w i t h i n t h e l a r g e r p i c t u r e o f m a t h e m a t i c s . B e r t a n d N i c o l e f o r m a p a i r b y v i r t u e o f a t t e n d i n g t o w h a t e x i s t e d o f f t h e t r a i l . N i c o l e k e p t a n e y e f o c u s e d o n t h e ” r e a l w o r l d ” w o o d s . S h e l o o k e d f o r t h e i s s u e s , t h e p o s s i b i l i t i e s a n d p r o b l e m s i m p o s e d b y t h e w o r l d . " W a s t h i s p r o b l e m a s k i n g m e a s e n s i b l e q u e s t i o n ? W h a t d o I k n o w a b o u t t h i s f r o m m y o w n e x p e r i e n c e o u t s i d e o f m a t h e m a t i c s ? ” B e r t k e p t a n e y e p e e r i n g o u t i n t o t h e m a t h e m a t i c a l w o o d s . H e e a g e r l y p u r s u e d t h e a b s t r a c t i o n s f e a r e d b y T e r i a n d D a n i e l l e . B o t h N i c o l e a n d B e r t l o o k e d l o c a l l y a s t h e y b u i l t a n d u s e d t h e i r r e p r e s e n t a t i o n s . S i m u l t a n e o u s l y , t h e y l o o k e d f o r h o w t h e p r o b l e m f i t i n t h e l a r g e r p i c t u r e : N i c o l e f o r w h a t t h e r e a l w o r l d c o u l d t e l l h e r a b o u t w h a t t o d o i n t h e p r o b l e m ; B e r t f o r w h a t t h e p r o b l e m c o u l d t e l l h i m a b o u t t h e m a t h e m a t i c a l w o r l d . S u m m a r y A t t h e s t a r t o f t h i s s e c t i o n , I c l a i m e d t h a t u n d e r s t a n d i n g t h e n a t u r e a n d f o c i o f m o n i t o r i n g p r o v i d e s b o t h a r e fl e c t i o n o f a n d a m e a s u r e o f t h e e x t e n t t o 3 2 8 w h i c h t h e c h i l d r e n f e l t t h e y w e r e t h e i r o w n a u t h o r i t y f o r m a t h e m a t i c a l k n o w l e d g e . I e l a b o r a t e h e r e . T h e a n a l y s i s o f T e r i a n d D a n i e l l e s u g g e s t s t h e y d i d n o t f e e l t h e y w e r e t h e i r o w n a u t h o r i t y f o r d e c i s i o n - m a k i n g i n m a t h e m a t i c s . T e r i w a s v e r y s u c c e s s f u l i n s o l v i n g p r o b l e m s ; m a n y o f h e r d e c i s i o n s s e e m e d t h e r e s u l t o f i n t u i t i o n r a t h e r t h a n a r t i c u l a t e d o r a r t i c u l a b l e r e a s o n i n g . D a n i e l l e w a s a l m o s t a s s u c c e s s f u l b u t b e t t e r a t a r t i c u l a t i n g h e r r e a s o n i n g . N e i t h e r a p p e a r e d c o n f i d e n t i n t h e i r s o l u t i o n s t o m a n y o f t h e p r o b l e m s . N o r d i d t h e y f e e l c o n f i d e n t t o p u r s u e m o r e g e n e r a l a n d a b s t r a c t m a t h e m a t i c a l o b j e c t s a n d c o n c e p t s . J u s t a s T e r i w a s g e n e r a l l y a l i t t l e m o r e s u c c e s s f u l w i t h t h e s e t a s k s t h a n D a n i e l l e , s h e a p p e a r e d a l i t t l e m o r e c o n f i d e n t i n s o m e o f h e r s o l u t i o n s . A s n o t e d , T e r i ’ s m o n i t o r i n g w a s l o c a l , D a n i e l l e ’ s a n i n t e r m e d i a t e m o n i t o r i n g . B o t h m a i n t a i n e d t h e i r a t t e n t i o n w i t h i n t h e p r o b l e m . U n c e r t a i n o f t h e i r a b i l i t y t o d e a l w i t h a b s t r a c t c o n c e p t s a n d o b j e c t s , t h e y r e s t r i c t e d t h e d o m a i n t h e y m o n i t o r e d . L o c a l m o n i t o r i n g a n d l a c k o f c o n f i d e n c e g o h a n d - i n — h a n d . T h e a n a l y s i s o f B e r t a n d N i c o l e s u g g e s t s t h e y f e l t t h e m s e l v e s t o b e t h e i r o w n a u t h o r i t y o v e r m a t h e m a t i c a l d e c i s i o n - m a k i n g . Y e t , t h e y w e r e l e s s s u c c e s s f u l t h a n D a n i e l l e a n d T e r i i n o b t a i n i n g c o r r e c t s o l u t i o n s . B e r t h a d a n a n t i - c o n v e n t i o n a l v i e w o f s u b t r a c t i o n , l i m i t i n g h i s s u c c e s s w i t h t h a t O p e r a t i o n . H i s c o n f u s i o n o v e r f r a c t i o n s s i m i l a r l y l i m i t e d h i s s u c c e s s . N i c o l e w a s t h e l e a s t s u c c e s s f u l o n t h e i n t e r v i e w t a s k s . S h e d i d n o t ” g e t ” t h e q u e s t i o n s p o s e d i n s o m e p r o b l e m s , t h o s e s h e d i d u n d e r s t a n d s h e s t r u g g l e d w i t h . I n s p i t e o f t h e i r s t r u g g l e s , b o t h B e r t a n d N i c o l e w e r e e n g a g e d a n d d i d n o t s e e m t r o u b l e d w i t h q u e s t i o n s a b o u t t h e c o r r e c t n e s s o f t h e i r w o r k o r s o l u t i o n s . T h e y r e v e a l e d l i t t l e s e l f - d o u b t . B o t h a r t i c u l a t e d t h e i r r e a s o n i n g ; B e r t t o e x p l o r e m a t h e m a t i c s , N i c o l e t o e x p l a i n t o m e . 3 2 9 B e r t m a i n t a i n e d a m o n i t o r i n g e y e o n t h e m a t h e m a t i c a l h o r i z o n , h e w a t c h e d f o r o p p o r t u n i t i e s t o e x p l o r e u n k n o w n m a t h e m a t i c a l t e r r i t o r y . B e r t w a s c o n fi d e n t i n h i s r e a s o n i n g b u t a l s o o p e n t o r e v i s i o n b a s e d o n o t h e r s ’ . I n c o n t e x t u a l p r o b l e m s , N i c o l e ’ s g l o b a l m o n i t o r i n g w a s o n t h e r e a l w o r l d h o r i z o n , s h e w a t c h e d f o r h o w t h e r e a l w o r l d l i m i t e d p o s s i b l e a c t i o n . N i c o l e w a s a l m o s t a s c o n f i d e n t a s B e r t b u t w a s l i t t l e i n fl u e n c e d b y o t h e r s ’ r e a s o n i n g . G l o b a l m o n i t o r i n g a n d c o n f i d e n c e g o h a n d - i n - h a n d . H o w e v e r , t h e s e r e p r e s e n t s i g n i f i c a n t l y d i f f e r e n t f o r m s o f g l o b a l m o n i t o r i n g . G l o b a l m o n i t o r i n g t h a t a t t e n d s t o m a t h e m a t i c s r e fl e c t s e n g a g e m e n t w i t h s u b s t a n t i v e m a t h e m a t i c a l i d e a s ; g l o b a l m o n i t o r i n g o f t h e r e a l w o r l d r e fl e c t s a c i r c u m s c r i p t i o n o f m a t h e m a t i c a l r e s p o n s i b i l i t y . I S S U E S O F E N A B L I N G A N D C O N S T R A I N I N G T h a t a l l h u m a n u n d e r s t a n d i n g i s u n d e r s t a n d i n g i n a c o n t e x t i s o f t e n d e s c r i b e d b y s a y i n g t h a t t h e r e i s n o a b s o l u t e f r a m e o f r e f e r e n c e f r o m w h i c h o t h e r f r a m e s c a n b e j u d g e d ; t h e r e i s n o w a y t o s t e p b a c k f r o m o u r o w n p r e - u n d e r s t a n d i n g s a n d s e e t h e w o r l d ( i n p a r t i c u l a r , o u r s e l v e s a n d o u r v i e w p o i n t s ) t o t a l l y o b j e c t i v e l y . A s w e p e r c e i v e a n d m a k e s e n s e o f o u r w o r l d , w e d o s o a l w a y s a l r e a d y i n a c e r t a i n c o n t e x t a n d w i t h a c e r t a i n v i e w p o i n t . ( W i l l i a m s , 1 9 9 3 , p . 3 , e m p h a s i s i n t h e o r i g i n a l ) W h e n w e s e t t h e p r o b l e m , w e s e l e c t w h a t w e w i l l t r e a t a s t h e " t h i n g s ” o f t h e s i t u a t i o n , w e s e t t h e b o u n d a r i e s o f o u r a t t e n t i o n t o i t , a n d w e i m p o s e u p o n i t a c o h e r e n c e w h i c h a l l o w s u s t o s a y w h a t i s w r o n g a n d i n w h a t d i r e c t i o n s t h e s i t u a t i o n n e e d s t o b e c h a n g e d . P r o b l e m s e t t i n g i s a p r o c e s s i n w h i c h , i n t e r a c t i v e l y , w e n a m e t h e t h i n g s t o w h i c h w e w i l l a t t e n d a n d f r a m e t h e c o n t e x t i n w h i c h w e w i l l a t t e n d t o t h e m . ( S c h o n , 1 9 8 3 , p . 4 0 , e m p h a s i s i n t h e o r i g i n a l ) C h i l d r e n T e r i c r e a t e d r e p r e s e n t a t i o n s t h a t w e r e a b s t r a c t a n d p a r s i m o n i o u s . H e r u s e o f l a n g u a g e w a s t h e s a m e . H e r r e p r e s e n t a t i o n s r e fl e c t e d a s t r i p p i n g a w a y o f c o n t e x t . S h e t r e a t e d m a t h e m a t i c s a s a n a b s t r a c t d i s c i p l i n e s e p a r a t e f r o m t h e ” r e a l 3 3 0 w o r l d . " H e r m o n i t o r i n g a l l o w e d h e r t o c r e a t e a c c u r a t e r e p r e s e n t a t i o n s o f t h e d a t a . A l l o f t h i s s h o u l d h a v e s e t T e r i u p f o r e n g a g i n g i n s i g n i f i c a n t m a t h e m a t i c a l r e a s o n i n g . H o w e v e r , b e c a u s e s h e l a c k e d c o n f i d e n c e , s h e c o n s t r a i n e d h e r s e l f f r o m a n a l y z i n g m a t h e m a t i c a l r e a s o n i n g — h e r o w n a s w e l l a s o t h e r s ’ . S h e f e n c e d o f f a b s t r a c t a n d g e n e r a l m a t h e m a t i c a l t e r r i t o r y t o m i n i m i z e t h r e a t . S h e w a s h e r o w n a u t h o r i t y f o r h o w t o d o m a t h e m a t i c s ( f o r h e r , s o l v i n g i n d i v i d u a l p r o b l e m s ) , s h e w a s n o t h e r o w n a u t h o r i t y f o r d e v e l o p i n g u n d e r s t a n d i n g o f m a t h e m a t i c s . I n f a c t , s h e s e e m e d t o h a v e l i t t l e h o p e o f u n d e r s t a n d i n g t h e c o m p l e x i t i e s o f a b s t r a c t m a t h e m a t i c s . Y e t , s h e d i d n o t i n v e s t a u t h o r i t y s o l e l y i n t h e t e a c h e r e i t h e r . R a t h e r , s h e i n v e s t e d a u t h o r i t y f o r m a t h e m a t i c a l u n d e r s t a n d i n g i n h e r l e a r n i n g c o m m u n i t y . T e r i w a s e n a b l e d b y h e r s t r i p p i n g a w a y c o n t e x t . S h e u s e d g e n e r i c r e p r e s e n t a t i o n s t h a t b o r e l i t t l e s i m i l a r i t y t o t h e p r o b l e m c o n t e x t . B y d o i n g s o , s h e w a s a b l e t o m i n i m i z e e x t r a n e o u s , c o n fl i c t i n g i n f o r m a t i o n . T h e m i n i m a l i s t r e p r e s e n t a t i o n s s h e c r e a t e d a l l o w e d h e r t o b e q u i t e s u c c e s s f u l a t s o l v i n g t h e p r o b l e m s . W h a t i s l e s s c l e a r i s w h a t s h e u n d e r s t o o d a b o u t t h e n a t u r e o f u n d e r l y i n g n u m b e r s y s t e m s . S h e w a s a f r a i d t o p u r s u e c o n c e p t s a n d o b j e c t s w i t h w h i c h s h e d i d n o t a l r e a d y h a v e f a c i l i t y . S h e l e f t c o n c e p t u a l a r g u m e n t s t o h e r p e e r s t o r e s o l v e . B e r t a l s o s t r i p p e d a w a y c o n t e x t , c r e a t e d a b s t r a c t r e p r e s e n t a t i o n s , a n d t r e a t e d m a t h e m a t i c s a s a s e p a r a t e d i s c i p l i n e . H o w e v e r , h e v i e w e d s o l v i n g i n d i v i d u a l p r o b l e m s a s a p a t h w a y i n t o e x p l o r a t i o n o f m a t h e m a t i c a l r e a s o n i n g . H i s c o n s t r u c t i o n o f n u m b e r s y s t e m s w a s f a u l t y w h i c h c o n s t r a i n e d h i s a b i l i t y t o s o l v e p r o b l e m s a c c u r a t e l y . H o w e v e r , h e a c t i v e l y e n g a g e d i n t r y i n g t o c o n s t r u c t o r e x t e n d h i s n u m b e r s y s t e m s . H i s v i e w o f t h e r o l e o f p r o b l e m s e n a b l e d B e r t t o 3 3 1 d o m a t h e m a t i c s ; h i s r e p r e s e n t a t i o n s e n a b l e d h i m t o w o r k o n p r o b l e m s w h i l e o p e n i n g d o o r s t o a b s t r a c t m a t h e m a t i c a l r e a s o n i n g . B e r t ’ s l a n g u a g e , w h e n o n s o l i d m a t h e m a t i c a l f o o t i n g , w a s g e n e r a l a n d a b s t r a c t . W h e n e n t e r i n g u n c h a r t e d o r p o o r l y c h a r t e d t e r r i t o r y , h i s l a n g u a g e w a s g r o u n d e d i n h i s ” r e a l w o r l d ” e x p e r i e n c e s . H e e n g a g e d w i t h t h e m a t h e m a t i c s i n b o t h i n d i v i d u a l a n d s o c i a l c o n t e x t s . H e w a s h i s o w n a u t h o r i t y f o r m a t h e m a t i c a l k n o w l e d g e — w h i c h h e s a w a s b e s t d e v e l o p e d i n t h e s o c i a l c o n t e x t . S u c h a n a p p r o a c h e n a b l e d h i m t o p u r s u e c o n c e p t s a n d o b j e c t s w i t h w h i c h h e d i d n o t a l r e a d y h a v e f a c i l i t y . A t t h e s a m e t i m e , t h e p h y s i c a l ( ” o v e r - u n d e r ” ) r e l a t i o n s h i p h e e n v i s i o n e d b e t w e e n p o s i t i v e a n d n e g a t i v e i n t e g e r s c o n s t r a i n e d h i s a b i l i t y t o i n c o r p o r a t e n e g a t i v e i n t e g e r s i n t o a d e v e I O p i n g n u m b e r s y s t e m . I n c o n t r a s t w i t h T e r i a n d B e r t , D a n i e l l e c r e a t e d r e p r e s e n t a t i o n s t h a t w e r e m a n y f a c e t e d p o r t r a y a l s o f t h e c o n t e x t . H e r l a n g u a g e a n d r e p r e s e n t a t i o n s r e fl e c t e d h e r c o m p l e x w e b s u n i t i n g t h e c o n t e x t , t h e m a t h e m a t i c s , a n d h e r w o r l d . H e r w e b s e n a b l e d h e r t o e n g a g e w i t h o t h e r w i s e t h r e a t e n i n g c o n t e n t . S h e r e c o g n i z e d a n d a v o i d e d a b s t r a c t i o n s t h a t s h e c o u l d n o t w e a v e i n t o t h e w e b . I n t h e i n t e r v i e w s , D a n i e l l e i n t e n t i o n a l l y f e n c e d t h i s t e r r i t o r y o f f t o a v o i d e n g a g i n g w i t h t h e t h r e a t . I n h e r l e a r n i n g c o m m u n i t y , D a n i e l l e w a s m o r e o p e n t o p u r s u i t o f a b s t r a c t c o n c e p t s a n d o b j e c t s . H o w e v e r , e v e n t h e n , h e r p u r s u i t w a s n o t i n t h e f o r m o f o n e w h o w a s h e r o w n a u t h o r i t y f o r m a t h e m a t i c a l u n d e r s t a n d i n g ; s h e i n v e s t e d t h a t a u t h o r i t y i n h e r l e a r n i n g c o m m u n i t y . D a n i e l l e ’ s l a c k o f c o n f i d e n c e c o n s t r a i n e d h e r f r o m e n g a g i n g i n m a t h e m a t i c a l r e a s o n i n g o n h e r o w n b u t , u n l i k e T e r i , s h e d i d f e e l s h e c o u l d u n d e r s t a n d m a t h e m a t i c s w i t h o t h e r s ’ a s s i s t a n c e . H e r v i e w o f l e a r n i n g 3 3 2 m a t h e m a t i c s , a s a c h a l l e n g e s h e w a s e a g e r t o a c c e p t , e n a b l e d h e r t o s t a y p o s i t i v e a n d e n g a g e d w i t h p r o b l e m s f o r e x t e n d e d p e r i o d s . N i c o l e c r e a t e d r e p r e s e n t a t i o n s t h a t w e r e p i c t o r i a l i m a g e s o f p r o b l e m c o n t e x t s . H e r l a n g u a g e w a s g r o u n d e d i n t h e ” r e a l w o r l d . " S h e i n t e n t i o n a l l y f e n c e d o f f m a t h e m a t i c a l t e r r i t o r y b u t n o t i n t h e s a m e s e n s e a s T e r i a n d D a n i e l l e . F o r N i c o l e , t h e l i m i t a t i o n s o f t h e w o r l d o n t h e i d e a l o b v i a t e d t h e n e e d t o e n t e r t a i n m a t h e m a t i c a l a s p e c t s o f p r o b l e m s ; s h e d i d n o t a v o i d t h e m b e c a u s e o f p e r c e i v e d t h r e a t . O n t h e s u r f a c e , s h e a p p e a r e d t o e n g a g e i n t h e s o c i a l c o n t e x t i n t h e m a n n e r o f B e r t . H o w e v e r , h e r i n t e r a c t i o n w a s m o r e o n t h e i n d i v i d u a l m o d e l o f T e r i ; N i c o l e p r e s e n t e d h e r r e a s o n i n g r a t h e r t h a n c o n j o i n t l y b u i l d i n g u n d e r s t a n d i n g o f r e l a t i o n s a m o n g d i f f e r e n t r e a s o n i n g . S h e w a s h e r o w n a u t h o r i t y f o r a v e r y l i m i t e d f o r m o f m a t h e m a t i c s . F o r N i c o l e , r e p r e s e n t a t i o n s s e e m e d t o h a v e d i f f e r e n t f u n c t i o n s d e p e n d i n g o n w h e t h e r t h e c o n t e x t w a s ” r e a l w o r l d ” o r ” a b s t r a c t . ” I n t h e f o r m e r c a s e , r e p r e s e n t a t i o n s m o d e l e d t h e r e a l w o r l d ; i n t h e l a t t e r , t h e y r e c o r d e d q u a n t i f i c a t i o n . R e p r e s e n t a t i o n s t h a t m o d e l e d t h e r e a l w o r l d w e r e c o n s t r a i n e d b y t h a t s a m e r e a l w o r l d . M o r e o v e r , e a c h p e r s o n e n g a g e d w i t h a m a t h e m a t i c s p r o b l e m h a s t h e fl e x i b i l i t y o f c r e a t i n g h i s o r h e r o w n p i c t u r e w h i c h m a y i n fl u e n c e t h e o u t c o m e . W h e n N i c o l e c r e a t e d r e p r e s e n t a t i o n s f o r p r o b l e m s t h a t w e r e n o t b a s e d o n r e a l w o r l d c o n t e x t s , s h e u s e d a b s t r a c t n u m e r i c a l r e p r e s e n t a t i o n s a n d e x p e c t e d a s i n g l e c o r r e c t a n s w e r . H e r e , r a t h e r t h a n a s s u m i n g v a r i a b i l i t y i n t h e s t r u c t u r e o f t h e p r o b l e m ( i . e . , t h a t d i f f e r e n t p i c t u r e s m i g h t l e a d t o d i f f e r e n t s o l u t i o n s ) , N i c o l e e x p e c t e d s i n g l e r i g h t a n s w e r s . I n t h i s c a s e , r e p r e s e n t a t i o n s w e r e a l s o c o n s t r a i n e d b y t h e r e a l w o r l d b u t i n a s t r i k i n g l y d i f f e r e n t w a y . T h e r e a l w o r l d c o n s t r a i n e d n o t t h e f o r m o f t h e r e p r e s e n t a t i o n b u t i t s u s e . S h e h a d a c l e a r s e n s e t h a t s o m e a n s w e r s o b t a i n e d u s i n g a b s t r a c t 3 3 3 r e p r e s e n t a t i o n s w e r e w r o n g . I n t h i s c a s e , r e p r e s e n t a t i o n s w e r e t o o l s t h a t c o u l d b e u s e d i n c o r r e c t l y r e s u l t i n g i n a w r o n g a n s w e r . O n t h e o t h e r h a n d , p i c t o r i a l r e p r e s e n t a t i o n s i n c o n t e x t u a l p r o b l e m s c o u l d r e s u l t i n m u l t i p l e c o r r e c t a n s w e r s . I t i s n o t a p p a r e n t t h a t s h e t h o u g h t t h e r e c o u l d b e a n i n c o r r e c t w a y o f u s i n g t h e r e p r e s e n t a t i o n i n t h i s c a s e . T h i s c o n t r a s t s w i t h E r l w a n g e r ’ s ( 1 9 7 5 ) B e n n y w h o b e l i e v e d : ” t h a t a n s w e r s w o r k l i k e ’ m a g i c , b e c a u s e r e a l l y t h e y ’ r e j u s t d i f f e r e n t a n s w e r s w h i c h w e t h i n k t h e y ’ r e d i fl e r e n t , b u t r e a l l y t h e y ’ r e t h e s a m e ’ " ( p . 1 8 , e m p h a s i s i n t h e o r i g i n a l ) . N i c o l e b e l i e v e d a n s w e r s o b t a i n e d w i t h p i c t o r i a l r e p r e s e n t a t i o n s w e r e d i f f e r e n t ; s h e b e l i e v e d t h a t a n s w e r s o b t a i n e d t h r o u g h a b s t r a c t r e p r e s e n t a t i o n s s h o u l d b e t h e s a m e . N i c o l e w a s e n a b l e d b y h e r a b i l i t y t o s e e p a r a l l e l s a n d m a k e a n a l o g i e s a c r o s s p r o b l e m s . H o w e v e r , h e r a n a l o g i e s d i d n o t h e l p h e r d o m a t h e m a t i c s . N i c o l e w a s c o n s t r a i n e d b y t h e r e a l w o r l d . H e r a n a l o g i e s w e r e i n t e r e s t i n g a n d p o t e n t i a l l y h e l p f u l b u t , l e f t i n r e a l w o r l d , t h e y d i d n o t h e l p h e r d o m a t h e m a t i c s . R e p r e s e n t a t i o n s R e p r e s e n t a t i o n s e n a b l e u s t o d o m a t h e m a t i c s . W i t h o u t r e p r e s e n t a t i o n s s o p h i s t i c a t e d m a t h e m a t i c s w o u l d b e i m p o s s i b l e . T h e r e p r e s e n t a t i o n s y s t e m s o f m a t h e m a t i c s a l l o w a b s t r a c t i o n , c o m p a c t i o n , a n d g e n e r a l i z a t i o n . N o n - m a t h e m a t i c a l r e p r e s e n t a t i o n s o f f e r i m a g e s o f r e a l w o r l d c o n t e x t s t h a t a l l o w l e a r n e r s t o s t a r t o n t h e r o a d t o a b s t r a c t i o n w h i l e p r o v i d i n g a c o n t e x t f o r s e n s e - m a k i n g . H o w e v e r , s u c h s t a t e m e n t s d o n o t t e l l u s w h a t p a r t i c u l a r r e p r e s e n t a t i o n s e n a b l e a p e r s o n t o d o , w h a t r e p r e s e n t a t i o n s i n p a r t i c u l a r c o n t e x t s e n a b l e a p e r s o n t o d o , o r w h a t r e p r e s e n t a t i o n s i n c o n t e x t s e n a b l e a p a r t i c u l a r p e r s o n t o d o . A t t h e s a m e t i m e t h e y e n a b l e m a t h e m a t i c a l r e a s o n i n g a n d c o m m u n i c a t i o n , r e p r e s e n t a t i o n s c o n s t r a i n i t . A s W i l l i a m s ( 1 9 9 3 ) a r g u e d , t h e w a y w e r e p r e s e n t 3 3 4 s o m e t h i n g f r a m e s o u r s e e i n g i t ; b y v i r t u e o f e m p l o y i n g t h i s r e p r e s e n t a t i o n , w e a r e i n fl u e n c e d t o l o o k a t c e r t a i n a s p e c t s a n d n o t o t h e r s . T h i s r e p r e s e n t a t i o n h i g h l i g h t s d i f f e r e n t a s p e c t s o f c o n t e x t a n d / o r m a t h e m a t i c s t h a n t h a t r e p r e s e n t a t i o n . R e p r e s e n t a t i o n s , b y f r a m i n g t h e p e r s p e c t i v e f r o m w h i c h w e e x a m i n e a s i t u a t i o n , o v e r l a y a c o n t e x t o n t h e c o n t e x t o f ” s t o r y ” p r o b l e m s . I t i s a l s o t r u e t h a t o n e ’ s f r a m e ( B a r n e s , 1 9 9 2 ) m a y i n fl u e n c e t h e r e p r e s e n t a t i o n s o n e u s e s . F o r i n s t a n c e , N i c o l e f r a m e d s o l v i n g c o n t e x t u a l i z e d p r o b l e m s a s r e s o l v i n g t h e r e a l w o r l d i s s u e s i n a r e a l w o r l d f a s h i o n . T h i s l e d h e r t o e x c l u d e u s i n g t h e i d e a l r e p r e s e n t a t i o n s o f m a t h e m a t i c s o r i d e a l i z i n g h e r p i c t o r i a l r e p r e s e n t a t i o n s . I n c o n t r a s t , B e r t f r a m e d p r o b l e m s o l v i n g a s a n o p p o r t u n i t y t o e n g a g e w i t h a b s t r a c t m a t h e m a t i c s . H e q u i c k l y s t r i p p e d a w a y c o n t e x t . P o s s i b l y m o v i n g t o o q u i c k l y t o a b s t r a c t i o n , h i s a s s i m i l a t i o n o f m a t h e m a t i c a l c o n v e n t i o n s w a s f a u l t y . T e r i a n d D a n i e l l e b o t h h e l d f r a m e s t h a t t h e y w e r e ” n o t g o o d a t m a t h . " C o n s e q u e n t l y , t h e y r e c u s e d t h e m s e l v e s f r o m e n g a g i n g w i t h a b s t r a c t i o n s e v e n s h o u l d r e p r e s e n t a t i o n s m a k e t h e m v i s i b l e . B y s u c h a r g u m e n t s , g e n e r a l s t a t e m e n t s a b o u t h o w r e p r e s e n t a t i o n s e n a b l e o r c o n s t r a i n m a s k i n d i v i d u a l l e a r n e r s ’ i n t e r a c t i o n s . Y e t , i t i s e x a c t l y t h e s e i n t e r a c t i o n s , a c c o r d i n g t o c o n s t r u c t i v i s t l e a r n i n g t h e o r i e s , t h a t s h a p e w h a t a c h i l d m a y l e a r n . O n e a p p r o a c h t o l e a r n i n g a b o u t t h e e n a b l i n g a n d c o n s t r a i n i n g c h a r a c t e r i s t i c s o f r e p r e s e n t a t i o n s m i g h t h a v e b e e n t o a n a l y z e t h e m a t h e m a t i c s o f a t a s k , c o m p a r e t h a t w i t h t h e r e p r e s e n t a t i o n , a n d a r g u e w h a t t h e r e p r e s e n t a t i o n c o u l d h a v e e n a b l e d t h e c h i l d t o d o . “ 2 I n a s e n s e , t h i s c o m p a r e s t h e c h i l d ’ s a c t u a l a n d p o t e n t i a l a c t i o n s . H o w e v e r , t h i s a l s o m i n i m i z e s d i f f e r e n c e s i n v a l u e s o f ( t y p e s o f ) r e p r e s e n t a t i o n s f r o m c h i l d t o c h i l d - s o m e t h i n g I w a n t e d t o h i g h l i g h t . T h a t i s , ” t h e s a m e " p r o b l e m d o e s n o t g e n e r a t e t h e s a m e r e p r e s e n t a t i o n a c r o s s 1 1 2 I n f a c t , I d i d d o s o m e o f t h i s s o r t o f a n a l y s i s a s I f i r s t a n a l y z e d a n d i n t e r p r e t e d t h e d a t a . 3 3 5 c h i l d r e n . W h a t a p p e a r s t o a d u l t s t o b e t h e s a m e r e p r e s e n t a t i o n o f t e n d o e s n o t m e a n o r d o t h e s a m e t h i n g m a t h e m a t i c a l l y f o r d i f f e r e n t c h i l d r e n . W e o f t e n s e e e x a m p l e s o f t h e f o r m e r w h e n c h i l d a f t e r c h i l d g o e s u p t o t h e b l a c k b o a r d i n c l a s s a n d d r a w s w h a t a p p e a r s t o t h e t e a c h e r t o b e t h e s a m e r e p r e s e n t a t i o n . P a r t o f t h i s r e p e t i t i o n m a y i n h e r e i n t h e p r o c e s s o f c r e a t i n g i t — t h e c h i l d i n v e s t s m o r e i n t h e r e p r e s e n t a t i o n t h a n j u s t t h e p i c t u r e s c r e a t e d . H o w e v e r , s o m e d i f f e r e n c e m a y r e s u l t f r o m t h e p r e v i o u s c h i l d ’ s a t t a c h m e n t o f a n e x p l a n a t i o n t o t h e r e p r e s e n t a t i o n . A c h i l d d e s c r i b e s h o w h e o r s h e u s e d a r e p r e s e n t a t i o n — a n d t h u s fi x e s i t a s d i f f e r e n t t h a n t h e p r e v i o u s o r n e x t c h i l d ’ s . B e r t a n d T e r i w e r e a b l e t o i m a g i n e h o w o t h e r s ’ r e p r e s e n t a t i o n s c o u l d s o l v e a p r o b l e m t h e y h a d a l s o s o l v e d . H o w e v e r , t h e r e p r e s e n t a t i o n s I o f f e r e d t h e m w e r e n o t a c c o m p a n i e d b y t h e o t h e r ’ s e x p l a n a t i o n — t h e y m a y n o t h a v e b e e n f i x e d . M a t h e m a t i c s e d u c a t i o n w o u l d b e n e f i t f r o m f u r t h e r e x a m i n a t i o n o f t h i s . W e r e B e r t a n d T e r i e x c e p t i o n s ? D o m a n y s t u d e n t s i m m e r s e d i n c l a s s r o o m s o r i e n t e d t o w a r d a n a l y s i s a n d u n d e r s t a n d i n g o f m u l t i p l e r e p r e s e n t a t i o n s l e a r n t o s e e a n d u s e s i m i l a r i t i e s a c r o s s r e p r e s e n t a t i o n s ? T h a t i s , d o s u c h s t u d e n t s l e a r n o n e o f t h e i m p o r t a n t a s p e c t s o f m a t h e m a t i c s b y s e e i n g h o w r e a s o n i n g b e h i n d d i f f e r e n t p h y s i c a l m a n i f e s t a t i o n s o f a p r o b l e m c o m p a r e s a n d c o n t r a s t s ? C O N C L U S I O N I h a v e a r g u e d i n t h i s c h a p t e r t h a t t h e c h i l d r e n c r e a t e d a n d u s e d r e p r e s e n t a t i o n s i n a v a r i e t y o f w a y s . T h e y h a d v a r i e d i n t e n t i o n s f o r t h e w o r k o f t h e i r r e p r e s e n t a t i o n s . I n a d d i t i o n , I h a v e a r g u e d t h a t e a c h c h i l d m o n i t o r e d t h e w o r k o f c r e a t i n g t h o s e r e p r e s e n t a t i o n s . 1 t h e n c o n t r a s t e d t h e d i f f e r e n t w a y s i n w h i c h t h e y m o n i t o r e d , a r g u i n g t h a t t h e f o r m o f m o n i t o r i n g r e fl e c t s t h e i r v i e w o f t h e m s e l v e s i n r e l a t i o n t o t h e m a t h e m a t i c s . M o r e o v e r , c h i l d r e n ’ s m o n i t o r i n g 3 3 6 r e fl e c t s t h e i r v i e w o f t h e r o l e o f p r o b l e m s a n d p r o b l e m s o l v i n g i n l e a r n i n g m a t h e m a t i c s . F i n a l l y , a n a l y s i s o f t h i s s o r t i l l u m i n a t e s i n w h a t w a y s t h e y a r e t h e i r o w n a u t h o r i t i e s f o r k n o w i n g i n m a t h e m a t i c s . I n s i g h t s g a i n e d f r o m s u c h a n a l y s e s c a n i n f o r m t e a c h e r s o f h o w m i s l e a d i n g t h e a p p e a r a n c e o f s i m i l a r a c t i v i t y c a n b e i n i n t e r p r e t i n g t h e t h i n k i n g i n w h i c h t h e i r s t u d e n t s ’ a r e e n g a g e d . T e a c h e r s c a n a l s o b e f o r e w a r n e d o f t h e r o l e o f a t t i t u d e s t o w a r d m a t h e m a t i c s a n d s e l f . A r m e d w i t h s u c h k n o w l e d g e , t e a c h e r s i n r e f o r m - o r i e n t e d c l a s s r o o m s c a n b e o n t h e l o o k o u t f o r , s a y , s t u d e n t s w h o t r e a t c l a s s r o o m d i s c o u r s e a s a s o c i a l r a t h e r t h a n a l e a r n i n g a c t i v i t y . T h i s s t u d y p a i n t s a m i x e d p i c t u r e o f t h e m a t h e m a t i c a l b e h a v i o r o f t h e s e c h i l d r e n o f r e f o r m - o r i e n t e d p e d a g o g y . T h e y w i l l i n g l y e n g a g e d w i t h m a t h e m a t i c a l t a s k s t h a t w e r e u n f a m i l i a r t o t h e m . T h e y w e r e g e n e r a l l y s u c c e s s f u l a t a c h i e v i n g s o l u t i o n s . T h e y u s e d b o t h r o u t i n e a n d i n n o v a t i v e r e p r e s e n t a t i o n s t o a c h i e v e t h e i r s o l u t i o n s . Y e t , a s p e c t s o f t h e i r e n g a g e m e n t a l s o r a i s e c o n c e r n s . G o l d i n ( 1 9 8 7 ) a r g u e d : t h e m a j o r g o a l o f m a t h e m a t i c s e d u c a t i o n s h o u l d b e t o f o s t e r t h e d e v e l o p m e n t o f s u c h c o g n i t i v e r e p r e s e n t a t i o n a l s y s t e m s . T h a t i s , w e s h o u l d n o t m e r e l y d e f i n e t h e o b j e c t i v e s o f m a t h e m a t i c s i n s t r u c t i o n a s t e a c h i n g s t u d e n t s t o b e a b l e t o s o l v e c e r t a i n c l a s s e s o f p r o b l e m s ; w e s h o u l d i n s t e a d c h o o s e p r o b l e m - s o l v i n g a c t i v i t i e s w h i c h c o n t r i b u t e t h e m o s t t o w a r d t h e d e v e l o p m e n t o f a l l o f t h e r e p r e s e n t a t i o n a l s y s t e m s , i n d i v i d u a l l y a n d c o l l e c t i v e l y . ( p . 1 4 3 , e m p h a s i s i n t h e o r i g i n a l ) T h e r e i s l i t t l e d o u b t t h a t t h e s e c h i l d r e n w e r e d e v e l o p i n g " c o g n i t i v e r e p r e s e n t a t i o n a l s y s t e m s . " I t i s c l e a r ( a n d n o t s u r p r i s i n g — t h e y w e r e t h i r d g r a d e r s ) t h a t t h e s e s y s t e m s w e r e i n c o m p l e t e a n d f a u l t y . W h a t i s o f c o n c e r n i s t h a t , t o a g r e a t e x t e n t , t h e y d i d n o t s e e m t o c o n n e c t p r o b l e m s o l v i n g a n d t h e i r r o l e i n i t t o c o n s t r u c t i o n o f m a t h e m a t i c a l r e p r e s e n t a t i o n s y s t e m s . T h e N C T M S t a n d a r d s ( 1 9 8 9 ) p r e s e n t e d f i v e g o a l s f o r s t u d e n t s o f m a t h e m a t i c s : 3 3 7 ( 1 ) t h a t t h e y l e a r n t o v a l u e m a t h e m a t i c s , ( 2 ) t h a t t h e y b e c o m e c o n f i d e n t i n t h e i r a b i l i t y t o d o m a t h e m a t i c s , ( 3 ) t h a t t h e y b e c o m e m a t h e m a t i c a l p r o b l e m s o l v e r s , ( 4 ) t h a t t h e y l e a r n t o c o m m u n i c a t e m a t h e m a t i c a l l y , a n d ( 5 ) t h a t t h e y l e a r n t o r e a s o n m a t h e m a t i c a l l y . ( p . 5 ) F u r t h e r , t h e N C T M ( 1 9 8 9 ) d e f i n e d m a t h e m a t i c a l p o w e r a s : ” a b i l i t i e s t o e x p l o r e , c o n j e c t u r e , a n d r e a s o n l o g i c a l l y , a s w e l l a s t h e a b i l i t y t o u s e a v a r i e t y o f m a t h e m a t i c a l m e t h o d s e f f e c t i v e l y t o s o l v e n o n - r o u t i n e p r o b l e m s ” ( p . 5 ) . E a c h c h i l d d e v e l o p e d a m a j o r i t y o f b o t h t h e N C T M ’ s g o a l s f o r a l l s t u d e n t s a n d t r a i t s o f m a t h e m a t i c a l p o w e r u t h e y r e a s o n e d l o g i c a l l y , m o n i t o r e d t h e i r w o r k , u s e d t h e m e a n i n g s o f t h e p r o b l e m c o n t e x t s , t r i e d m u l t i p l e a p p r o a c h e s , a n d / o r c o m m u n i c a t e d t h e i r t h i n k i n g . H o w e v e r , i n m a n y w a y s t h e s e c h i l d r e n w e r e n o t m a t h e m a t i c a l l y p o w e r f u l . H a v i n g s p e n t t w o y e a r s i n a r e f o r m - o r i e n t e d m a t h e m a t i c s l e a r n i n g e n v i r o n m e n t , t h e y e x h i b i t e d t h e p a r a d o x I c l a i m e d u n d e r g i r d e d t h e N C T M S t a n d a r d s . T h e c h i l d r e n w e r e m o s t l y u n s u c c e s s f u l b r i d g i n g b e t w e e n s u p p o r t i v e c o n t e x t s a n d a b s t r a c t m a t h e m a t i c s . T h e y m a d e u s e o f p r o b l e m c o n t e x t s t o s o l v e p a r t i c u l a r p r o b l e m s a n d , f o r t h e m o s t p a r t , w e r e s a t i s f i e d h a v i n g d o n e s o . E v e n w h e n e x a m p l e s o f m a t h e m a t i c a l a b s t r a c t i o n w e r e p e r c e i v e d ( a s w i t h , s a y , n e g a t i v e o n e ) , t h e v e r y u n r e a l i t y o f s u c h a b s t r a c t i o n s w a s t o o t h r e a t e n i n g f o r i n s e c u r e c h i l d r e n t o e n g a g e w i t h . A s w i t h m a n y s t u d e n t s o f m a t h e m a t i c s , a b s t r a c t i o n w a s t h r e a t e n i n g - e s p e c i a l l y t o t h e f e m a l e s o f t h e s t u d y . C e r t a i n l y , t h e c h i l d r e n h a d m o r e m a t h e m a t i c a l t o o l s t h a n m a n y t r a d i t i o n a l l y e d u c a t e d s t u d e n t s . T h e y w e r e i n a b e t t e r p o s i t i o n t o d e v e l o p m a t h e m a t i c a l l i t e r a c y a n d p o w e r . A t t h e s a m e t i m e , t h e y h a d n o t ( y e t ) d e v e l o p e d t h e c o n n e c t i o n s - a c r o s s m a t h e m a t i c a l t O p i c s o r a c r o s s t h e d i v i d e b e t w e e n t h e c o n t e x t o f p r o b l e m s a n d t h e a b s t r a c t i o n o f m a t h e m a t i c s - n e c e s s a r y t o b e m a t h e m a t i c a l l y l i t e r a t e a n d p o w e r f u l . 3 3 8 I n t h e f i n a l c h a p t e r I r e v i s i t s o m e o f t h e f i n d i n g s a n d q u e s t i o n s r a i s e d b y t h i s s t u d y . I s u g g e s t m e t h o d s f o r e x t e n d i n g t h e s t u d y a n d f u r t h e r e x p l o r i n g t h e s e i s s u e s . 3 3 9 C H A P T E R S I X : C O N C L U S I O N T h e s t u d y r e p o r t e d h e r e s t a r t s f r o m a n a s s u m p t i o n t h a t c h i l d r e n c o n s t r u c t t h e i r u n d e r s t a n d i n g s o f m a t h e m a t i c s a n d m a t h e m a t i c a l c o n c e p t s . T h i s c o n s t r u c t i o n o c c u r s w h e n l e a r n e r s m a k e c o n n e c t i o n s b e t w e e n n e w e x p e r i e n c e s a n d c u r r e n t u n d e r s t a n d i n g s . T h u s , u n d e r s t a n d i n g i s c o n s t a n t l y d e v e l o p i n g , i t i s n o t a f i x e d s t a t e . T h i s a s s u m p t i o n a b o u t l e a r n i n g r a i s e s q u e s t i o n s a b o u t t h e n a t u r e o f t h e c o n n e c t i o n s b e t w e e n l e a r n e r s ’ e x p e r i e n c e s a n d t h e i r e x t a n t k n o w l e d g e . W h a t k i n d o f m a t h e m a t i c a l k n o w l e d g e i s v a l u a b l e f o r s t u d e n t s i n e l e m e n t a r y c l a s s r o o m s a s w e e n t e r t h e 2 1 5 t c e n t u r y ? H o w s h o u l d t h a t k n o w l e d g e b e ” p a c k a g e d ” ? W h a t k i n d s o f e x p e r i e n c e s a r e a p p r o p r i a t e f o r f o s t e r i n g m a t h e m a t i c a l k n o w l e d g e f o r t o d a y ’ s — a n d t o m o r r o w ’ s — w o r l d ? R e c e n t l y , s o m e u n i v e r s i t y - b a s e d m a t h e m a t i c i a n s a n d p a r e n t s o f s c h o o l - a g e d c h i l d r e n h a v e q u e s t i o n e d t h e f e a s i b i l i t y a n d w i s d o m o f f o s t e r i n g s u c h a c o m b i n a t i o n o f c o n c e p t u a l u n d e r s t a n d i n g a n d t e c h n i c a l s k i l l i n s t u d e n t s i n t h e K - 1 2 e d u c a t i o n a l s y s t e m . O n t h e o t h e r h a n d , a l m o s t a c e n t u r y a g o D e w e y ( 1 9 0 2 / 1 9 5 6 ) d e s c r i b e d t h e s e a s t w o e n d s o f a c o n t i n u u m . H e s a w t h e r o l e o f t h e t e a c h e r a s h e l p i n g t h e c h i l d , t h r o u g h " c o n t i n u o u s r e c o n s t r u c t i o n ” o f t h e s u b j e c t m a t t e r , m o v e f r o m " p r e s e n t e x p e r i e n c e o u t i n t o t h a t r e p r e s e n t e d b y t h e o r g a n i z e d b o d i e s o f t r u t h t h a t w e c a l l ” m a t h e m a t i c s ( p . 1 1 ) . T h e N C T M S t a n d a r d s d o c u m e n t s ( 1 9 8 9 , 1 9 9 1 , 1 9 9 5 ) f o l l o w f r o m t h e D e w e y e n p e r s p e c t i v e . T o d a t e , t h e r e h a s b e e n l i t t l e r e s e a r c h t h a t e x p l o r e s t h e n a t u r e o f t h e s e c o n n e c t i o n s o r h o w t h e y d e v e l o p i n a n i n d i v i d u a l s t u d e n t ’ s e x p e r i e n c e . T h e g o a l o f t h i s s t u d y h a s b e e n t o a d d r e s s , i n p a r t , s u c h i s s u e s b y e x a m i n i n g a n d i l l u m i n a t i n g t h e c o m p l e x i t y o f d o i n g m a t h e m a t i c s , d e s c r i b i n g t h e w a y s o f u s i n g t o o l s i n d o i n g m a t h e m a t i c s , a n d e x a m i n i n g t h e d e c i s i o n - m a k i n g o f 3 4 0 c h i l d r e n d o i n g m a t h e m a t i c s . C h i l d r e n ’ s ” r e a l w o r l d ” e x p e r i e n c e s a n d k n o w l e d g e i m p a c t t h e i r m a t h e m a t i c s . L e a r n e r s c o m m u n i c a t e t h e i r r e a s o n i n g u s i n g l a n g u a g e . Y o u n g c h i l d r e n ’ s l a n g u a g e i s g e n e r a l l y m o r e c o n n e c t e d ( f o r t h e m ) t o t h e i r ” r e a l w o r l d ” t h a n t o t h e w o r l d o f m a t h e m a t i c s . C o n s e q u e n t l y , t h e y o f t e n d o n o t h a v e o r u s e l a n g u a g e i n a m a t h e m a t i c a l l y c o n v e n t i o n a l w a y . W h e n t h e y s t r u g g l e t o c o m m u n i c a t e c o n c e p t s a n d o b j e c t s t h a t t h e y d o n o t f u l l y u n d e r s t a n d , t h e y r e s o r t t o t h e i r ” r e a l w o r l d ” e x p e r i e n c e s b y i n t r o d u c i n g a n a l o g i e s a n d m e t a p h o r s . T h e f o u r c h i l d r e n o f t h i s s t u d y w e r e s t e e p e d i n a c l a s s r o o m e n v i r o n m e n t i n w h i c h c o n t e x t u a l i z e d p r o b l e m s w e r e t h e n o r m . T h e y w e r e a s k e d t o m a k e s e n s e o f m a t h e m a t i c s t h r o u g h i n t e r p r e t a t i o n o f ” r e a l w o r l d ” c o n t e x t s . A s a c o n s e q u e n c e , t h e i r i n t e r p r e t a t i o n s w e r e s t r o n g l y i n fl u e n c e d b y t h e i r o w n w o r l d — - t h e i r e x p e r i e n c e s i n fl u e n c e d h o w t h e y m a d e s e n s e o f t h e w o r l d l y s i t u a t i o n s p r e s e n t e d i n t h e i n t e r v i e w t a s k s . H o w t h e y m a d e s e n s e o f t h e w o r l d i n fl u e n c e d h o w t h e y m a d e s e n s e o f t h e m a t h e m a t i c s . T h e i r v i e w o f m a t h e m a t i c s a c t e d a s a c o n t e x t ( i n W i l l i a m s ’ ( 1 9 9 3 ) s e n s e ) t h a t f r a m e d t h e i r d o i n g o f m a t h e m a t i c s . T h e i r v i e w o f m a t h e m a t i c s f r a m e d t h e i r u s e o f l a n g u a g e a n d t h e i r u s e o f r e p r e s e n t a t i o n s . T h i s s t u d y d o e s n o t a s s u m e t h a t a n y o r a l l o f t h e s e c h i l d r e n s h o u l d h a v e d e v e l o p e d ” p e r f e c t ” u n d e r s t a n d i n g o f o p e r a t i o n s ( e . g . , s u b t r a c t i o n , d i v i s i o n ) o r n u m b e r s y s t e m s . N o r d o e s i t a s s u m e t h e y s h o u l d h a v e ” p e r f e c t ” u n d e r s t a n d i n g o f t h e p r o c e s s o f l e a r n i n g e n v i s i o n e d b y t h e i r t e a c h e r — t h a t a n a l y s i s o f o n e ’ s o w n a n d o n e ’ s p e e r s ’ s o l u t i o n s i s p a r t o f m a t h e m a t i c a l r e a s o n i n g . R a t h e r , t h e s t u d y e x p l o r e d w h a t t h e c h i l d r e n d i d u n d e r s t a n d b y a t t e m p t i n g t o fi n d t h e b o u n d a r i e s o f t h a t u n d e r s t a n d i n g . I n t h i s c h a p t e r , I r e p r i s e i m p o r t a n t f i n d i n g s o f a n d 3 4 1 q u e s t i o n s r a i s e d b y t h i s s t u d y . I t h e n p r o p o s e m e t h o d o l o g i c a l e x t e n s i o n s f o r i n v e s t i g a t i o n a n d f u r t h e r i l l u m i n a t i o n o f t h e s e i s s u e s . V A R Y I N G T O O L S I n t h i s s t u d y , t h e p h y s i c a l m a t e r i a l s a v a i l a b l e t o t h e p a r t i c i p a n t s ( p a p e r a n d p e n c i l s ) a l i g n e d w i t h t h a t o f t h e i r c l a s s r o o m e x p e r i e n c e s . I n d o i n g s o , t h e s t u d y i l l u m i n a t e d c h i l d r e n ’ s r e a s o n i n g a n d d e c i s i o n - m a k i n g w i t h f a m i l i a r t o o l s . T h a t i s , t w o y e a r s w i t h t h e s a m e t e a c h e r a n d p e e r s i n w h i c h p i c t o r i a l r e p r e s e n t a t i o n s w e r e t h e c o i n o f t h e r e a l m f o s t e r e d d e v e l o p m e n t o f c o m f o r t w i t h p i c t u r e s a s s o l u t i o n s t o p r o b l e m s . T h i s w a s e q u a l l y t r u e o f t h e u s e o f c o n t e x t u a l i z e d p r o b l e m s i n t h e i n t e r v i e w s ; t h e y w e r e c o n g r u e n t , i n f o r m a n d i n l a n g u a g e , w i t h t h e s t a n d a r d o f t h e c l a s s r o o m . T h e c h i l d r e n s e l e c t e d f o r t h i s s t u d y w e r e s u c c e s s f u l p a r t i c i p a n t s i n t h a t l e a r n i n g c o m m u n i t y ; t h e y h a d d e m o n s t r a t e d s o m e f a c i l i t y w i t h t h e t o o l s a n d t a s k s . T h e s t u d y s u g g e s t s t h a t s t u d e n t s i m m e r s e d i n a l e a r n i n g e n v i r o n m e n t g r o u n d e d i n t h e N C T M S t a n d a r d s ’ l e a r n i n g t h e o r y a p p r o a c h t o m a t h e m a t i c s m i g h t d e v e l o p l i t t l e i n n a t e d r i v e t o u s e t h e r e p r e s e n t a t i o n s o f t h e d i s c i p l i n e . S t e e p e d i n u s e o f e m e r g e n t r e p r e s e n t a t i o n s f o r s o l v i n g p r o b l e m s , t h e y h a v e l i t t l e m o t i v a t i o n t o u s e t h o s e i m p o s e d b y t h e d i s c i p l i n e . I n f a c t , t h e y m a y f i n d d i s c i p l i n a r y r e p r e s e n t a t i o n s t h r e a t e n i n g o r c o n f u s i n g . I t m a y a l s o o c c u r t h a t t h e i r l a c k o f f a c i l i t y w i t h t h e s e r e p r e s e n t a t i o n s c o n s t r a i n s t h e i r s u c c e s s w h e n t h e y d o u s e t h e m . F u r t h e r , s i m i l a r i t i e s a c r o s s p i c t o r i a l r e p r e s e n t a t i o n s t h a t a r e c l e a r t o a d u l t s w h o a l r e a d y u n d e r s t a n d t h e m a t h e m a t i c s , m a y s e e m q u i t e d i f f e r e n t — e v e n c o n f u s i n g — t o c h i l d r e n s t r u g g l i n g t o u n d e r s t a n d a n d s y n t h e s i z e n e w i d e a s . N o t o n l y a r e t h e r e a m u l t i p l i c i t y o f r e p r e s e n t a t i o n s a f o o t i n c l a s s r o o m s s t r u c t u r e d a r o u n d s t u d e n t d i s c o u r s e b u t e a c h c h i l d m a y u s e m u l h ' p l e 3 4 2 r e p r e s e n t a t i o n s a s t h e y e x p l o r e a n d s o l v e p r o b l e m s . T h e s e t a k e d i f f e r e n t f o r m s . S e r i a l r e p r e s e n t a t i o n s r e fl e c t m u l t i p l e , i t e r a t i v e a p p r o a c h e s t o a s i n g l e p r o b l e m . H o w a c h i l d m o v e s f r o m r e p r e s e n t a t i o n t o r e p r e s e n t a t i o n c a n i n f o r m a t e a c h e r o r r e s e a r c h e r o f t h e fl e x i b i l i t y o f h e r e n g a g e m e n t , o f h e r s e l f - c o n f i d e n c e , a n d o f h e r m o n i t o r i n g . C o m p l e m e n t a r y r e p r e s e n t a t i o n s m a y r e fl e c t m u l t i p l e s o l u t i o n s t o a s i n g l e t a s k . S u c h u s e c a n i n f o r m a t e a c h e r o f a s t u d e n t ’ 3 c o n f i d e n c e i n h e r r e a s o n i n g u s i n g p a r t i c u l a r t o o l s . R e p r e s e n t a t i o n s m a y a l s o b e u s e d i n c o m p l e m e n t a r y f a s h i o n t o w o r k o n d i f f e r e n t p a r t s o f t h e s a m e t a s k . A g a i n , t h i s d e m o n s t r a t e s a c h i l d ’ s fl e x i b i l i t y , r a n g e o f a v a i l a b l e t o o l s , a n d m o n i t o r i n g o f t h e s i t u a t i o n . A s n o t e d , r e f o r m - o r i e n t e d m a t h e m a t i c s t e a c h e r s o f t e n e x p e c t s t u d e n t s t o a n a l y z e o t h e r s ’ r e p r e s e n t a t i o n s . T h i s s t u d y c o n t a i n e d l i m i t e d o p p o r t u n i t i e s f o r t h e p a r t i c i p a n t s t o e x a m i n e a n d a t t e m p t t o i n t e r p r e t t h e w o r k o f o t h e r s . H o w e v e r , e v e n t h e s e f e w i n s t a n c e s w e r e i n s t r u c t i v e a n d s u g g e s t o t h e r s i t e s f o r d e v e l o p i n g u n d e r s t a n d i n g o f c h i l d r e n ’ s m a t h e m a t i c a l t h i n k i n g . I t a p p e a r s t h a t c h i l d r e n w h o a r e i n c l i n e d t o s t r i p a w a y c o n t e x t a n d w o r k i n m o r e a b s t r a c t w a y s a r e i n c l i n e d t o a n d s u c c e s s f u l a t i n t e r p r e t i n g o t h e r s ’ w o r k . M i g h t t h i s h o l d g e n e r a l l y f o r s t u d e n t s w h o s t r i p a w a y t h e c o n t e x t ? M i g h t i t h o l d o n l y f o r s t u d e n t s w h o a r e g e n e r a l l y s u c c e s s f u l i n m a t h e m a t i c s ? O r , m i g h t i t h o l d f o r s t u d e n t s w h o t e n d t o w o r k i n t h e a b s t r a c t b e c a u s e w o r k i n g i n t h e a b s t r a c t m a k e s v i s i b l e u n d e r l y i n g s i m i l a r i t i e s ? W h a t k i n d o f r e s p o n s e m i g h t w e e x p e c t f r o m s t u d e n t s w h o s t a y c l o s e l y b o n d e d w i t h ” r e a l w o r l d ” c o n t e x t s ? M i g h t p r o v i d i n g t h e m a n o p p o r t u n i t y t o e n g a g e w i t h o t h e r s ’ s o l u t i o n s i l l u m i n a t e h e r e t o f o r e h i d d e n a n a l y t i c a l c a p a b i l i t i e s ? S u c h q u e s t i o n s d e s e r v e f u r t h e r s t u d y . T h e s t u d y a l s o d e m o n s t r a t e s w a y s i n w h i c h r e p r e s e n t a t i o n s b o t h c o n s t r a i n a n d e n a b l e s t u d e n t s ’ w o r k o n m a t h e m a t i c a l t a s k s . A t t h e m o s t 3 4 3 f u n d a m e n t a l , c o m m u n i c a t i o n , l e t a l o n e m a t h e m a t i c s , i s e n a b l e d b y r e p r e s e n t a t i o n s . T h e a b i l i t y t o s o l v e p r o b l e m s u s i n g p i c t o r i a l , e m e r g e n t r e p r e s e n t a t i o n s a l l o w s s o m e c h i l d r e n t o a v o i d d i s c i p l i n a r y e n g a g e m e n t . M o r e o v e r , e m e r g e n t r e p r e s e n t a t i o n s m a y r e i n f o r c e t h e s e n s e t h a t w h a t i s p o s s i b l e i n t h e ” r e a l w o r l d ” i s w h a t s h a p e s o n e ’ s w o r k o n a t a s k . C o n v e r s e l y , r e a l w o r l d c o n t e x t s a n d a s s o c i a t e d r e p r e s e n t a t i o n s e n a b l e c h i l d r e n t o r e a s o n i n a c o m f o r t a b l e w a y a b o u t o t h e r w i s e t h r e a t e n i n g c o n c e p t s . F o r s o m e c h i l d r e n , t h i s c o m f o r t a b l e u s e o f e m e r g e n t r e p r e s e n t a t i o n s o f f e r s o p p o r t u n i t i e s t o m a i n t a i n a v i g i l f o r a b s t r a c t m a t h e m a t i c s - a n d t h e s a m e r e p r e s e n t a t i o n s o f f e r g r o u n d s f o r d e v e 1 0 p i n g m e t a p h o r s i n t e n d e d t o d e c i p h e r a b s t r a c t i o n s . T h e s t u d y a l s o s h e d l i g h t o n c h i l d r e n ’ s u s e o f l a n g u a g e i n m a t h e m a t i c s . T h a t l e a r n e r s m a y o r m a y n o t s t r i p a w a y c o n t e x t s d o e s n o t g u a r a n t e e a c e r t a i n f o r m o f i n t e r a c t i o n w i t h a p r o b l e m . C h i l d r e n w h o a d h e r e c l o s e l y t o t h e c o n t e x t m a y b e d o i n g s o f o r c o n t r a s t i n g r e a s o n s ; s t u d e n t s w h o s t r i p c o n t e x t a w a y m a y h a v e d i f f e r i n g g o a l s . T h e l a n g u a g e o f e m o t i o n m a y b e u s e d t o d i v e r t o r e x c u s e o n e s e l f f r o m a t a s k ; i t m a y b e u s e d f o r t h e p l e a s u r e o f f e e l i n g t h e e m o t i o n . T h e f o r m e r c o n s t r a i n s a s t u d e n t f r o m e n g a g e m e n t , t h e l a t t e r d r a w s h e r i n t o i t . S t u d e n t s m a y u s e e x p l a n a t i o n t o f u r t h e r u n d e r s t a n d t h e i r o w n o r a n o t h e r ’ 5 r e a s o n i n g ; t h e y m a y r e i t e r a t e t h e i r o w n t h i n k i n g t h a t t h e y p e r c e i v e o t h e r s n o t t o u n d e r s t a n d . T h e f o r m e r e n c o u r a g e s i n t e r a c t i o n w i t h o t h e r s ’ i d e a s a n d t h e c o n s e q u e n t c o n s t r u c t i o n o f k n o w l e d g e ; t h e l a t t e r , b y n o t r e - c o n s i d e r i n g , r e s t r i c t s t h e p o s s i b i l i t y o f k n o w l e d g e c o n s t r u c t i o n . A s n o t e d , t h e p h y s i c a l t o o l s t h i s s t u d y m a d e a v a i l a b l e ( p a p e r a n d p e n c i l ) a l i g n e d w i t h t h o s e t y p i c a l l y u s e d i n t h e c h i l d r e n ’ s c l a s s r o o m . T h i s s u p p o r t e d t h e c h i l d r e n ’ s r e a s o n i n g b y p r o v i d i n g a k n o w n , c o m f o r t a b l e c o n t e x t . A n y r e s e a r c h o f t h e s o r t c a r r i e d o u t i n t h i s s t u d y i s d e p e n d e n t u p o n t h e d e v e l o p m e n t o f t r u s t b e t w e e n p a r t i c i p a n t s a n d r e s e a r c h e r . T h u s , i t i s n e c e s s a r y t o fi r s t e s t a b l i s h t r u s t , a s w a s d o n e i n t h i s s t u d y , t h r o u g h s a f e c o n v e r s a t i o n s a n d u s e o f f a m i l i a r t o o l s . O n l y t h e n , h a v i n g e s t a b l i s h e d a r e l a t i o n s h i p , m i g h t a l t e r n a t i v e r e p r e s e n t a t i o n a l t o o l s b e i m p o s e d . F o r e x a m p l e , i n t e r v i e w e e s u s e d t o p i c t o r i a l s o l u t i o n s m i g h t b e r e q u e s t e d t o w o r k o n c e r t a i n t a s k s u s i n g p h y s i c a l m a n i p u l a t i v e s . F o r s o m e t a s k s , a r e s e a r c h e r m i g h t i n t r o d u c e m a n i p u l a t i v e s t h a t e m b e d m a t h e m a u ' c a l i d e a s f a i r l y d i r e c t l y ( e . g . , f r a c t i o n s t r i p s , b a s e t e n b l o c k s ) ; f o r o t h e r s , m o r e f r e e - f o r m m a n i p u l a t i v e s ( e . g . , i n t e r l o c k i n g c u b e s , g e n e r i c c o u n t e r s ) m i g h t b e p r o p o s e d . T h e c h i l d r e n m i g h t a l s o b e r e q u e s t e d t o w o r k o n t a s k s u s i n g c o n v e n t i o n a l m a t h e m a t i c s ; t h e y m i g h t b e e n c o u r a g e d t o u s e a l g o r i t h m s . T h e y m i g h t b e a s k e d t o d o s o i n w r i t i n g a t t i m e s b u t t o u s e o n l y o r a l o r m e n t a l m e t h o d s o n p a r t i c u l a r t a s k s . A t t h e s a m e t i m e t h i s e x p l o r e s l e a r n e r s ’ u s e o f t o o l s , i t m a y o f f e r i n s i g h t i n t o t h e i r r e p e r t o i r e o f d i s c i p l i n a r y t o o l s . A n o t h e r a v e n u e f o r e x t e n s i o n o f t h i s s t u d y w o u l d b e t h e s e l e c t i o n o f s t u d e n t s e n c u l t u r a t e d w i t h d i f f e r e n t t o o l s f o r s o l v i n g p r o b l e m s ( e . g . , p h y s i c a l m a n i p u l a t i v e s ) . A g a i n , t h e y m i g h t f i r s t b e e n c o u r a g e d t o u s e t o o l s a l i g n e d w i t h t h e i r c l a s s r o o m e x p e r i e n c e . A s s u c h , i t w o u l d f u r t h e r i l l u m i n a t e t h e i d e a s r a i s e d i n t h i s s t u d y . B u t , a s j u s t a r g u e d , p a r t i c i p a n t s c o u l d t h e n b e a s k e d t o u s e t o o l s n o t c o n g r u e n t w i t h t h e i r e x p e r i e n c e . S t u d e n t s w i t h d i f f e r e n t c o i n o f t h e r e a l m t o o l e x p e r i e n c e s m i g h t e x h i b i t d i f f e r e n t w a y s o f b e i n g c o n s t r a i n e d / e n a b l e d . T h e y m i g h t a l s o d e m o n s t r a t e a d i f f e r e n t a m o u n t o f o r r e l a t i o n t o d o i n g m a t h e m a t i c s a s e n v i s i o n e d b y m a t h e m a t i c i a n s a n d m a t h e m a t i c s e d u c a t o r s . P r o v i d i n g c h i l d r e n o p p o r t u n i t i e s t o u s e n o n - c o n g r u e n t t o o l s ( t h o s e n o t c o m m o n t o t h e i r l e a r n i n g e n v i r o n m e n t ) s h o u l d p r o m p t d e c i s i o n — m a k i n g i n a v i s i b l e f o r m . A s c h i l d r e n s t r u g g l e t o m a k e s e n s e o f a t o o l c o i n c i d e n t w i t h m a k i n g s e n s e o f t h e t a s k i t s e l f , t h e i r r e a s o n i n g a n d a v a i l a b l e r e s o u r c e s a r e l i k e l y t o b e 3 4 5 e x h i b i t e d . I . e . , t h e p a r t i c i p a n t s w o u l d e s s e n t i a l l y b e o n t h e b o u n d a r y o f t h e i r r e p r e s e n t a t i o n a l k n o w l e d g e . O n t h e b o u n d a r y o f k n o w l e d g e , c h i l d r e n d e v i s e r e p r e s e n t a t i o n s w i t h l e s s v i s i o n o f t h e e n d . T h e y d o m o r e c o b b l i n g o f r e p r e s e n t a t i o n s , h a v e m o r e f a i l u r e s , a n d s o f o r t h . S u c h a c t i o n s i l l u m i n a t e w h a t c h i l d r e n s e e a n d v a l u e a s p r o b l e m s o l v i n g t o o l s . P U R S U I N G B O U N D A R I E S W h i l e t h i s s t u d y a c h i e v e d l i m i t e d s u c c e s s i n fi n d i n g a n d e x p l o r i n g t h e c h i l d r e n ’ s b o u n d a r i e s , t h e c l o s e r t h e y a p p r o a c h e d , t h e m o r e v i s i b l e r e a s o n i n g b e c a m e . T h u s , t h e s t u d y s e e m s t o c o n fi r m t h e h y p o t h e s i s t h a t p l a c i n g l e a r n e r s o n o r n e a r t h e b o u n d a r i e s o f t h e i r k n o w l e d g e a n d u n d e r s t a n d i n g c r e a t e s a s i t u a t i o n i n w h i c h t h e y m a k e a v a i l a b l e t h e i r t h i n k i n g . S i n c e s t u d e n t d i s c o u r s e i s o n e o f t h e t e n e t s o f t h e N C T M S t a n d a r d s , i t s e e m s r e a s o n a b l e t o c o n c l u d e t h a t m a n y c h i l d r e n o f r e f o r m - o r i e n t e d m a t h e m a t i c s w o u l d b e s i m i l a r l y o p e n t o d e s c r i b i n g t h e i r t h i n k i n g a s i t t a k e s p l a c e . A r t i c u l a t e n e s s o f s u c h d e s c r i p t i o n i s l i k e l y t o v a r y a c r o s s c h i l d r e n b u t m o s t w o u l d t r y t o s t a t e t h e i r r e a s o n i n g . C e r t a i n l y , w h e n s t u d e n t s d o n o t f e a r t h e p o t e n t i a l m a t h e m a t i c s o f t a s k s , t h e y m a y f r e e l y e x p r e s s t h e i r m e n t a l p r o c e s s e s t o t h e e x t e n t t h e y a r e a w a r e o f t h e m . T h i s s t u d y m a k e s c l e a r t h a t t h e s e w i l l o f t e n b e d e s c r i p t i o n s o f s t e p s r a t h e r t h a n t h e r e a s o n i n g b e h i n d t h e s t e p s . L a c k o f c o n fi d e n c e p r e - e m p t s e n g a g e m e n t w i t h c e r t a i n m a t h e m a t i c a l i d e a s . H o w e v e r , i t d o e s n o t p r e - e m p t c h i l d r e n f r o m t a l k i n g a b o u t t h e t h i n k i n g a n d d e c i s i o n - m a k i n g i n w h i c h t h e y d o e n g a g e . I n l i g h t o f t h e e n t h u s i a s h ' c p a r t i c i p a t i o n o f t h e c h i l d r e n o f t h i s s t u d y , o n e i s t e m p t e d t o b e l i e v e a l l c h i l d r e n w o u l d m a k e r e a d y p a r t i c i p a n t s i n s u c h s t u d i e s . T h a t , i f a r e s e a r c h e r j u s t s e l e c t s a p p r o p r i a t e t a s k s , h e c a n g e t c h i l d r e n m o t i v a t e d a n d e n g a g e d ; a s o n e g r o u p o f t e a c h e r s ( r e p o r t e d i n P f e i f f e r a n d F e a t h e r s t o n e , 3 4 6 1 9 9 8 ) p u t i t , ” T h e d i s c o u r s e i s i n t h e t a s k . ” Y e t , s o m e s t u d e n t s d o e n g a g e m o r e t h a n o t h e r s , s o m e a r e m o r e t a l k a t i v e t h a n o t h e r s . I n t h i s s t u d y , e v e n h a v i n g c a r e f u l l y c h o s e n c h i l d r e n , i n p a r t , f o r t h e l i k e l i h o o d t h e y w o u l d b e r e s p o n s i v e , o n e c h i l d ’ s e n g a g e m e n t w i t h t h e t a s k s a n d r e s p o n s e t o t h e r e s e a r c h e r w e r e s u f fi c i e n t l y d i f f e r e n t t h a n h i s i n - c l a s s p a r a l l e l s t h a t h e w a s e x c l u d e d i n t h e r e p o r t o n t h i s s t u d y . I t i s p o s s i b l e , e v e n l i k e l y , t h a t s o m e c h i l d r e n i n a n y c l a s s w i l l b e s i m i l a r l y r e l u c t a n t . T h i s r e fi c e n c e m a y r e s u l t f r o m a m i s m a t c h b e t w e e n p a r t i c i p a n t a n d r e s e a r c h e r , i n t h i s s t u d y , a w h i t e m a l e a d u l t i n t e r v i e w i n g a n A f r i c a n A m e r i c a n c h i l d . G e n d e r a n d c u l t u r a l ( e . g . , i n t e r v i e w s o f c h i l d r e n o f r e c e n t i m m i g r a n t s ) d i f f e r e n c e s m a y p r o d u c e s i m i l a r r e t i c e n c e . R e t i c e n c e m a y a l s o b e a p r o d u c t o f i n n a t e s h y n e s s o r d i f fi d e n c e . E f f o r t s t o d r a w o u t t h e r e a s o n i n g o f a l l s t u d e n t s a r e w a r r a n t e d a s e v e n t h i s l i m i t e d s t u d y o f ” s i m i l a r ” c h i l d r e n d e m o n s t r a t e s t h a t e n g a g e m e n t w i t h t h e m e d i a t i o n a l t o o l s o f t h e m a t h e m a t i c s c l a s s r o o m h a s s i g n i fi c a n t v a r i a t i o n . A s p a r t i c i p a n t s i n a r e f o r m - o r i e n t e d l e a r n i n g e n v i r o n m e n t , t h e s e c h i l d r e n s e e m u n l i k e l y t o b e u n i q u e . W h i l e o t h e r r e s e a r c h e r s h a v e n o t d e l v e d i n t h e w a y o f o r f o r p u r p o s e s l i k e t h o s e o f t h i s s t u d y , s e v e r a l h a v e f o u n d s t u d e n t s t o b e q u i t e t a l k a t i v e a n d w i l l i n g t o e n g a g e i n m a t h e m a t i c a l a c t i v i t i e s ( e . g . , B a l l , 1 9 9 1 , 1 9 9 3 ; C o b b , W o o d , 8 : Y a c k e l , 1 9 9 3 ; C o b b , Y a c k e l , 8 : W o o d , 1 9 8 9 , 1 9 9 2 ; R i c h a r d s , 1 9 9 1 ) . T h e s e e x a m p l e s a l s o s u g g e s t t h a t s t u d i e s o f t h i s s o r t w o u l d n o t b e d e p e n d e n t s o l e l y o n a p a r t i c u l a r r e s e a r c h e r ’ s a b i l i t y t o c o n n e c t w i t h c h i l d r e n . I n p a r t , f o s t e r i n g s u c h c o n v e r s a t i o n s w i t h c h i l d r e n i s a m a t t e r o f ” s e e k a n d y e s h a l l f i n d " - r e s e a r c h e r s w h o l o o k w i t h a n h o n e s t c u r i o s i t y a n d a p p r o p r i a t e t a s k s f o r t h e k i n d o f c o n v e r s a t i o n s d e s c r i b e d i n t h i s s t u d y a r e l i k e l y t o p r o d u c e t h e m w i t h m a n y c h i l d r e n . O f c o u r s e , s u c h a s i m p l e a p h o r i s m d o e s n o t i m p l y s u c h r e s e a r c h i s s i m p l e , e a s y , o r b r i e f . 3 4 7 C a r r y i n g o u t s u c h a s t u d y d u r i n g t h e a c a d e m i c y e a r m e a n s b o u n d a r i e s a r e c o n s t a n t l y s h i f t i n g a s c h i l d r e n c o n t i n u e t o l e a r n m a t h e m a t i c s . R e s e a r c h e r s n e e d t o p l a n a c t i v i t i e s t h a t c a p t u r e s t u d e n t s ’ c u r r e n t a t t i t u d e s , u n d e r s t a n d i n g , a n d t o o l s . R e s e a r c h e r s m u s t l i k e w i s e d e v e l o p a c t i v i t i e s t h a t e n a b l e t h e m t o p r o j e c t t r a j e c t o r i e s f o r t h e a t t i t u d e s , u n d e r s t a n d i n g , a n d t o o l s o f t h e i r s u b j e c t s . O n e c a n n o t n a r r o w t h e m a t h e m a t i c a l s c o p e o f i n t e r v i e w s t o o m u c h l e s t o n e b e u n a b l e t o p r o j e c t f u t u r e c o n t e n t b o u n d a r i e s . N o r c a n o n e l i m i t e x p l o r a t i o n o f a t t i t u d e s t o w a r d a n d b e l i e f s a b o u t m a t h e m a t i c s e l s e o n e m i s s c r u c i a l n o n - c o n t e n t b o u n d a r i e s . H e n c e , n u m e r o u s a n d l e n g t h y i n t e r a c t i o n s a r e t o b e e x p e c t e d . W h i l e o n e m i g h t s e e k t o o b v i a t e s o m e o f t h e s e r e q u i r e m e n t s b y c a r r y i n g o u t t h e r e s e a r c h d u r i n g s u m m e r r e c e s s ( w h e n t h e c h i l d r e n ’ s b o u n d a r i e s a r e l i k e l y t o s h o w l e s s c h a n g e ) , t h e t i m e r e q u i r e d t o a n a l y z e d a t a , d e t e r m i n e b o u n d a r i e s , a n d d e s i g n n e w i n t e r v i e w s a l s o p l a c e s e v e r e r e s t r i c t i o n s . F u r t h e r m o r e , t h e d i f f e r e n c e s a c r o s s t h e s e f o u r c h i l d r e n ( w h o a r e n o t p r e s u m e d t o r e p r e s e n t a l l p o s s i b i l i t i e s ) m a k e c l e a r t h a t s t u d y i n g a l a r g e r c r o s s - s e c t i o n o f a s i n g l e r e f o r m - o r i e n t e d c l a s s i s r e q u i s i t e . T h u s , o n e d i r e c t i o n o f f u t u r e r e s e a r c h i n t h i s v e i n v i r t u a l l y r e q u i r e s m u l t i p l e r e s e a r c h e r s , e a c h a t t e n d i n g t o a d i f f e r e n t c h i l d w i t h i n t h e s a m e c l a s s r o o m c o n t e x t . C o l l e c t i n g a n d a n a l y z i n g d a t a f r o m m u l t i p l e c h i l d r e n s i m u l t a n e o u s l y i s f r a n k l y o n e r o u s . H a v i n g o t h e r s a n a l y z i n g d a t a ( f o r t i m e ’ s s a k e ) m i g h t s e e m r e a s o n a b l e y e t i s i m p r a c t i c a l . I t i s i m p o r t a n t f o r t h e i n t e r v i e w e r t o k n o w a n d d e v e l o p t h e o r i e s a b o u t e a c h c h i l d f r o m w h i c h t o o p e r a t e . T h a t i s , t h e r e s e a r c h e r m a k e s c o n j e c t u r e s a b o u t e a c h c h i l d ’ s l a n g u a g e a n d r e p r e s e n t a t i o n u s e , a t t i t u d e s , b o u n d a r i e s , e t c . Q u e s t i o n s m a y t h e n b e t a i l o r e d t o t e s t t h e c o n j e c t u r e s . W h i l e g e n e r a l q u e s t i o n s m i g h t b e j o i n t l y d e s i g n e d , p r o b e s m u s t g r o w o u t o f a n i n t e r v i e w e r ’ s l e a r n i n g t r a j e c t o r y b a s e d o n w h a t h e a l r e a d y k n o w s a b o u t t h e 3 4 8 c h i l d ; c u r r e n t c o n j e c t u r e s a b o u t t h e s u b j e c t h e l p t h e i n t e r v i e w e r m a k e d e c i s i o n s a b o u t d i r e c t i o n s t h a t h e m i g h t p u r s u e i n i n t e r v i e w s . I n a d d i t i o n t o s u c h s t r u c t u r a l c o n s t r a i n t s , i t i s l i k e l y t h a t e a c h c h i l d h a s a m u l t i t u d e o f m a t h e m a t i c a l b o u n d a r i e s . F o r e x a m p l e , t h i r d g r a d e r s m i g h t h a v e s e v e r a l b o u n d a r i e s c l u s t e r e d a r o u n d e x p a n d i n g n u m b e r s y s t e m s ( e . g . , t h e n a t u r e o f z e r o , h o w z e r o r e l a t e s t o c o u n t i n g n u m b e r s , t h e r e l a t i o n s h i p b e t w e e n p o s i t i v e a n d n e g a fi v e i n t e g e r s ) . T h i s s t u d y a l s o d e m o n s t r a t e s t h a t b o u n d a r i e s m a y n o t b e s t r i c t l y m a t h e m a t i c a l . S o m e c h i l d r e n m a y b e c o n c e r n e d w i t h r e l a t i o n s b e t w e e n m a t h e m a t i c s a n d t h e ” r e a l w o r l d . ” O n s u c h a v i e w , a b o u n d a r y m a y a r i s e i n r e l a t i n g t h e r o l e s o f m a t h e m a t i c s a n d t h e r e a l w o r l d , i n d e v e l o p i n g a n u n d e r s t a n d i n g o f w h a t e a c h c o n t r i b u t e s t o t h e o t h e r i n t h e p r o b l e m s o l v i n g p r o c e s s . Y e t , a c h i l d f o c u s e d o n d i s t i n c t i o n s b e t w e e n ” r e a l w o r l d ” a n d m a t h e m a t i c a l r e a l i t i e s m a y n o t r e a c h t h o s e b o u n d a r i e s i n c e r t a i n c o n t e x t s . I n c a s e s w h e r e t h e c h i l d a s s u m e s t h a t t h e r e a l w o r l d c o n s t r a i n s t h e p o s s i b l e , w e m i g h t s a y t h a t b o u n d a r y c o n t r o l s h e r a c t i o n s . S i m i l a r l y , a n o t h e r c h i l d ’ s l a c k o f c o n fi d e n c e m a y c o n s t r a i n w h a t h e i s w i l l i n g ( a n d c o n s e q u e n t l y , a b l e ) t o e x p l o r e . S o m e c h i l d r e n e a g e r l y p u r s u e t h e i r b o u n d a r i e s ; o t h e r s , l a c k i n g s e l f - c o n fi d e n c e , s h y a w a y f r o m t h e m . C e r t a i n b o u n d a r i e s , l i k e r e p r e s e n t a t i o n s , c o n s t r a i n a n d / o r e n a b l e w h a t i s p o s s i b l e . H e n c e , i t m a y b e a p p r o p r i a t e t o t a l k a b o u t " m a i n ” o r " c o n t r o l l i n g ” b o u n d a r i e s . T h e s t u d y h y p o t h e s e s p r e s u m e d b o u n d a r i e s w o u l d b e m a t h e m a t i c a l a n d w o u l d l i e n e a r t h e c h i l d r e n ’ s c u r r e n t c l a s s r o o m m a t h e m a t i c a l e x p l o r a t i o n s . N e i t h e r o f t h e s e w a s e n t i r e l y a c c u r a t e . T h e s t u d y s h o w s t h a t b o u n d a r i e s m a y b e n o n - m a t h e m a t i c a l a n d m a y l i e i n s u r p r i s i n g m a t h e m a t i c a l l o c a l e s . I n f u t u r e s t u d i e s , a b r o a d e r a p p r o a c h a n d d i f f e r e n t e x p e c t a t i o n i s n e e d e d ; r e s e a r c h e r s m u s t s e e k a n d e x p e c t o t h e r b o u n d a r y p o s s i b i l i t i e s . 3 4 9 T h u s , e x p l o r a t o r y i n t e r v i e w s d e l v i n g i n t o a w i d e r r a n g e o f c o n t e n t a r e w a r r a n t e d . T h e s e s h o u l d a l s o o f f e r m o r e r a n g e o f p r o b l e m s t r u c t u r e s . T h a t i s , m o r e v a r i e t y a c r o s s t y p e s o f c o n t e x t a l o n g w i t h a l a r g e r n u m b e r o f d e c o n t e x t u a l i z e d p r o b l e m s a r e w a r r a n t e d . E x t e n s i o n a l s o c a l l s f o r t a s k s a i m e d a t e x p l o r i n g c o n n e c t i o n s b e t w e e n m a t h e m a t i c a l t o p i c s , a r e a s w h e r e s t u d e n t s m a y b e a t t e m p t i n g t o s y n t h e s i z e d i s p a r a t e c o n c e p t s ( e . g . , r e l a t i n g d i v i s i o n a n d f r a c t i o n s ) . S i n c e s o m e b o u n d a r i e s m a y n o t b e p u r e l y m a t h e m a t i c a l , m o r e a c t i v i t i e s t h a t i l l u m i n a t e c h i l d r e n ’ s p e r c e p h ' o n s o f r e l a t i o n s h i p s b e t w e e n m a t h e m a t i c s a n d o t h e r a s p e c t s o f t h e i r w o r l d a r e w a r r a n t e d . F i n a l l y , p r o m p fi n g c h i l d r e n t o u s e a w i d e r v a r i e t y o f t o o l s , i n c l u d i n g t o o l s w i t h w h i c h t h e y m a y n o t h a v e p r i o r e x p e r i e n c e , m a y i l l u m i n a t e t h e i r d e c i s i o n - m a k i n g , e s s e n t i a l l y , p u t t i n g t h e m o n t h e b o u n d a r y o f t h e i r k n o w l e d g e o f t o o l s . T h i s i s p u r s u e d i n t h e n e x t s e c t i o n . P R O C E S S I N G M A T H E M A T I C S T h i s s t u d y a s k e d c h i l d r e n t o e n g a g e i n m a t h e m a t i c a l a c t i v i t i e s . F o r t h e m o s t p a r t , t h e c h i l d r e n s e e m e d t o e q u a t e s o l v i n g p r o b l e m s a n d ” d o i n g m a t h e m a t i c s . " M a t h e m a t i c i a n s v a l u e p r o b l e m s o l v i n g a s a t o o l f o r e x p a n d i n g t h e i r u n d e r s t a n d i n g o f t h e s t r u c t u r e o f m a t h e m a t i c s a n d a s a p a t h w a y t o a b s t r a c t i o n a n d g e n e r a l i z a t i o n . I n m a n y w a y s , o n e m i g h t s a y t h e r e i s a p o o r f i t b e t w e e n c h i l d r e n ’ s v i e w s o f w h a t i t m e a n s t o ” d o m a t h e m a t i c s ” a n d t h o s e h e l d b y r e f o r m - o r i e n t e d m a t h e m a t i c s e d u c a t o r s ( a n d m a n y t e a c h e r s ) . T h i s s t u d y s u g g e s t s c h i l d r e n m a y v i e w t h e i r r o l e i n d o i n g m a t h e m a t i c s a s s o l v i n g t h i s p r o b l e m , t h a t p r o b l e m s o l v i n g i s t h e g o a l r a t h e r t h a n a t o o l . O n e m i g h t a r g u e t h a t t h e a p p r o a c h d e t a i l e d i n t h i s r e s e a r c h w a s n o t s t r u c t u r e d s u c h t h a t p a r t i c i p a n t s w o u l d d e m o n s t r a t e a v i s i o n o f d o i n g 3 5 0 m a t h e m a t i c s t h a t a l i g n s w i t h t h a t o f m a t h e m a t i c i a n s a n d m a t h e m a t i c s e d u c a t o r s . T h i s i s c o n t r o v e r t e d b y t h e e v i d e n c e o f c h i l d r e n a c t i v e l y d e m u r r i n g f r o m , d i s m i s s i n g t h e n e c e s s i t y f o r , o r a t t e m p t i n g t o s o e n g a g e i n d o i n g m a t h e m a t i c s . T h a t i s , t w o c h i l d r e n a s s e r t e d a l a c k o f c o n fi d e n c e i n t h e i r a b i l i t i e s t o p u r s u e a b s t r a c t c o n c e p t s b u t s a w t h e e x i s t e n c e a n d r e c o g n i z e d t h e p o s s i b i l i t y o f p u r s u i t ( b y o t h e r s ) o f s u c h c o n c e p t s . O n e c h i l d d i s m i s s e d t h e r o l e o f i d e a l m a t h e m a t i c a l o b j e c t s f o r ” r e a l w o r l d ” p r o b l e m s b u t r e c o g n i z e d t h e y m a y b e u s e d i n d e c o n t e x t u a l i z e d p r o b l e m s . O n e c h i l d d i d p u r s u e a b s t r a c t i o n s a n d g e n e r a l i z a t i o n s w h e n o p p o r t u n i t i e s p r e s e n t e d t h e m s e l v e s . S t u d e n t s m a y n o t b e i n c l i n e d t o s e e p r o b l e m s o l v i n g a s a n e x a m p l e o f t h e g e n e r a l c a s e , a s a m e t h o d o f e x p l o r i n g m a t h e m a t i c a l r e l a t i o n s h i p s , a s a t o o l f o r d e v e l o p i n g u n d e r s t a n d i n g o f t h e s t r u c t u r e s o f m a t h e m a t i c s , f o r c o n s t r u c t i n g t h e i r u n d e r s t a n d i n g o f m a t h e m a t i c s . O c c a s i o n a l s t u d e n t s m a y a d h e r e t o o n e o f t h e s e b e l i e f s b u t m o s t m a y h o l d n a r r o w e r g o a l s . C h i l d r e n i m m e r s e d i n a m a t h e m a t i c a l e n v i r o n m e n t a l i g n e d w i t h t h e l e a r n i n g t h e o r y b a s e d v i e w s o f t h e N C T M S t a n d a r d s m a y s e e l i t t l e r e a s o n t o s e e k c o n n e c t i o n s b e t w e e n p a r t i c u l a r c o n t e x t s a n d t o t h e a b s t r a c t i o n a n d g e n e r a l i z a fi o n v a l u e d i n t h e d i s c i p l i n e o f m a t h e m a t i c s . A t t h e s a m e t i m e t h e g o a l s o f s t u d e n t s i n r e f o r m - o r i e n t e d c l a s s e s m a y b e a t o d d s w i t h e d u c a t o r s , m a n y o f t h e a c t i v i t i e s t h e y e n g a g e i n r e fl e c t t h o s e o f r e s e a r c h m a t h e m a t i c i a n s . I n t h e p r o c e s s o f p r o b l e m s o l v i n g , t h e y a n a l y z e t h e t a s k , i n t u i t , e n v i s i o n , a n d / o r r e a s o n t h r o u g h a l t e r n a t e a p p r o a c h e s , s e l e c t a n d u s e a v a r i e t y o f t o o l s , m o n i t o r t h e i r a c t i o n s , c o m m u n i c a t e a b o u t t h e i r w o r k . T h i s s t u d y s u g g e s t s t h a t i n d i v i d u a l c h i l d r e n d e v e l o p a n d r e l y o n t h e s e e l e m e n t s o f d o i n g m a t h e m a t i c s d i f f e r e n t i a l l y . P e r s o n a l s t r e n g t h s a n d i n c l i n a t i o n s m a y d r a w t h e m t o t h e u s e o f , a n d c o n s e q u e n t e n h a n c e m e n t o f t h e i r f a c i l i t y w i t h , s e l e c t e d 3 5 1 a s p e c t s o f t h e p r o c e s s o f d o i n g m a t h e m a t i c s ; p e r s o n a l t a s t e s m a y d e t e r u s e o f , a n d t h u s s t u n t d e v e l o p m e n t o f , o t h e r a s p e c t s o f t h e p r o c e s s . O n e o f t h e t o o l s r e f o r m - o r i e n t e d t e a c h e r s u s e t o h e l p s t u d e n t s l e a r n t o r e a s o n m a t h e m a t i c a l l y i s i n - c l a s s , s t u d e n t a n a l y s i s o f s o l u t i o n s t o t a s k s . T h i s m a y b e a n a l y s i s o f i n d i v i d u a l s o l u t i o n s o r c o m p a r i s o n a c r o s s m u l t i p l e s t u d e n t s ’ w o r k . Y e t , w h a t a p p e a r s t o t e a c h e r s a n d m a t h e m a t i c s e d u c a t o r s a s a n a l y s i s o f m a t h e m a t i c a l r e a s o n i n g , m a y b e e x p e r i e n c e d b y s t u d e n t s m e r e l y a s d e s c r i p t i o n o r e x p l a n a t i o n o f s t e p s t a k e n . W h a t s t u d e n t s v a l u e a b o u t a n d l e a m f r o m " m a t h e m a t i c a l a n a l y s i s ” m a y n o t b e a n a l y t i c a l . T h e y m a y v a l u e t h e s o c i a l n a t u r e o f t h e i n t e r a c t i o n , t h e a t t e n t i o n , t h e b o o s t i n s e l f - e s t e e m g e n e r a t e d f r o m t h e e q u a l a c c e p t a n c e o f e v e r y o n e ’ s i d e a s . I t s e e m s a t r u i s m t h a t s t u d e n t s w h o l i k e m a t h e m a t i c s a r e m o r e l i k e l y t o a c t i v e l y e x p l o r e a n d c o n s t r u c t k n o w l e d g e t h a n t h o s e w h o d o n ’ t . T h i s s t u d y e l i c i t e d r e s p o n s e s t o d i r e c t q u e s t i o n s i n d i c a t i n g t h a t m a n y s t u d e n t s i n r e f o r m - o r i e n t e d c l a s s r o o m s l i k e t h e i r e x p e r i e n c e o f m a t h e m a t i c s . T h e s e d i r e c t s t a t e m e n t s a r e s u p p o r t e d b y e n t h u s i a s t i c e n g a g e m e n t w i t h m a t h e m a t i c a l t a s k s — b o t h i n a n d o u t o f c l a s s . B u t , w h a t c o n c e p t i o n o f m a t h e m a t i c s d o t h e y p o s s e s s w h e n t h e y ” l i k e m a t h e m a t i c s ” ? D o e s l i k i n g m a t h e m a t i c s e n c o u r a g e s t u d e n t s t o e n v i s i o n i t i n w a y s v a l u e d b y t h e d i s c i p l i n e ? C h i l d r e n w h o p r o f e s s ( a n d a c t i n a c c o r d w i t h t h a t p r o f e s s i o n ) t o l i k e m a t h e m a t i c s m a y n o t b e e n g a g e d i n , o r e n j o y e n g a g i n g i n , a s p e c t s o f m a t h e m a t i c s v a l u e d i n t h e d i s c i p l i n e . L a c k o f s e l f - c o n fi d e n c e l e a d s s o m e l e a r n e r s w h o ” l i k e ” m a t h e m a t i c s t o d e f e r ( i n t e n t i o n a l l y ) f r o m e n g a g i n g w i t h m a t h e m a t i c s b e y o n d s o l e l y s o l v i n g p a r t i c u l a r p r o b l e m s . V i e w i n g t h e w o r l d a s 3 5 2 " “ * “ ’ - ' ; Z _ _ ; _ _ ; W ' L . E L . t h e r e l e v a n t o r l i m i t i n g c o n t e x t l e a d s s o m e s t u d e n t s w h o ” l i k e ” m a t h e m a t i c s t o d i s m i s s ( u n i n t e n t i o n a l l y ) i t s r o l e i n s o l v i n g p r o b l e m s . W h a t i t i s t h a t c h i l d r e n l i k e w h e n t h e y s a y t h e y ” l i k e m a t h e m a h ' c s ” m a y n o t b e c o n s i s t e n t w i t h t h e v a l u e s o f m a t h e m a t i c i a n s a n d m a t h e m a t i c s e d u c a t o r s . N o r m a y t h e m a t h e m a t i c s t h e y l i k e b e t h e s a m e a s t h a t l i k e d b y t h e i r p e e r s . M a n y c h i l d r e n l i k e t h e s o c i a l e n v i r o n m e n t o f r e f o r m o r i e n t e d m a t h e m a t i c s c l a s s e s ; t h e y l i k e t h e l a c k o f t i m e p r e s s u r e ; t h e y l i k e t h a t t h e i r i d e a s ( a n d t h u s , t h e m s e l v e s ) a r e v a l u e d b y t h e i r t e a c h e r a n d p e e r s ; t h e y l i k e s o l v i n g p r o b l e m s v i a t h e i r o w n r e s o u r c e s . A l l o f t h e s e a r e l a u d a b l e a n d m a y b e n e c e s s a r y f o r s u c c e s s f u l e n c u l t u r a t i o n i n t o t h e d i s c i p l i n e - b u t a r e t h e y s u f fi c i e n t ? C r e a t i n g a c l a s s o f h a p p y s t u d e n t s e n g a g e d i n s o l v i n g p r o b l e m s m a y b e a n e x p e c t e d o u t c o m e o f r e f o r m - o r i e n t e d t e a c h i n g . I t m a y a l s o b e n e c e s s a r y t o e n a b l e s t u d e n t s t o d e v e l o p a b e l i e f t h a t m a t h e m a t i c s i s a s o c i a l a c t i v i t y t h a t s h o u l d b e i n t r i n s i c a l l y s e n s i b l e . H o w e v e r , s u c h n e c e s s i t i e s m a y n o t b e s u f fi c i e n t f o r f o s t e r i n g t h e g r o w t h o f m a t h e m a t i c a l r e a s o n i n g i n m a n y s t u d e n t s . E X P A N D I N G P A R T I C I P A N T S T h i s w a s a s t u d y o f a s m a l l n u m b e r o f c a r e f u l l y c h o s e n c h i l d r e n f r o m a s i n g l e c l a s s r o o m . T h e c h i l d r e n f o r m e d a s e t ( t h o u g h i n m a n y w a y s t h e y h a r d l y s e e m s o ) b e y o n d m e r e l y s h a r e d m e m b e r s h i p i n a r e f o r m - o r i e n t e d m a t h e m a t i c s c l a s s . A l l o f t h e m l i k e d m a t h e m a t i c s , a l l e n g a g e d w i t h t h e t a s k s I p o s e d , a l l w e r e c o g n i z a n t o f s o c i a l a s p e c t s o f l e a r n i n g m a t h e m a t i c s i n t h e i r c l a s s , a l l e x p e c t e d m a t h e m a t i c s t o m a k e s e n s e . E v e n s o , t h e y r e p r e s e n t a v a r i e t y o f v i e w s a b o u t m a t h e m a t i c s a n d t h e m s e l v e s — a n d a v a r i e t y o f w a y s i n w h i c h t h o s e v i e w s i n t e r a c t e d . T h u s , e v e n c h i l d r e n w h o i n m a n y w a y s a p p e a r t o u s e s i m i l a r m a t h e m a t i c a l r e p r e s e n t a t i o n s a n d h a v e s i m i l a r o r i e n t a t i o n s t o w a r d l e a r n i n g 3 5 3 m a t h e m a t i c s , m a y s i m u l t a n e o u s l y r e fl e c t a m i x o f v a l u e s p r o m o t e d a n d r e j e c t e d b y t h e N C T M S t a n d a r d s . D e v e l o p i n g c o n fi d e n c e t h a t t h e s e w e r e n o t m e r e l y u n i q u e c h i l d r e n w h o d o n o t i n f o r m u s a b o u t l e a r n e r s o f m a t h e m a t i c s i n a n y g e n e r a l s e n s e i s b e g g e d . T h a t s u c h v a r i a t i o n o b t a i n s i n t h i s c o n t e x t s u g g e s t s i d e a s f o r f u r t h e r r e s e a r c h . R e f o r m - o r i e n t e d m a t h e m a t i c s h a s b e e n e n a c t e d i n a v a r i e t y o f f o r m s . G i v e n t h e d i v e r s i t y o f c h i l d r e n w h o s h a r e t h e a t t r i b u t e s d e s c r i b e d a b o v e , w h a t m i g h t w e e x p e c t o f c h i l d r e n w h o d o n o t ? W h a t i s s u e s m i g h t b e r e p r e s e n t e d b y s t u d e n t s n o t a l s o m e m b e r s o f t h e ” s e t ” d e s c r i b e d i n t h i s s t u d y ? W h a t m i g h t w e e x p e c t o f s t u d e n t s w h o d o n o t l i k e m a t h e m a t i c s , w h o a r e l e s s s o c i a l l y o r i e n t e d , w h o d o n o t a l w a y s w i l l i n g l y e n g a g e w i t h t a s k s ( a n d o f t e n s e e m l e s s e n t h u s i a s t i c w h e n t h e y d o ) ? W h a t o f l e a r n e r s w h o m a y n o t e x p e c t m a t h e m a t i c s t o m a k e s e n s e ? O r , c o n s i d e r i n g a n o t h e r s o r t o f d i f f e r e n c e , h o w m i g h t a r e s e a r c h e r l e a r n a b o u t a c h i l d ’ s r e l a t i o n s h i p w i t h m a t h e m a t i c s i f t h e c h i l d i s r e l u c t a n t t o i n t e r a c t ” n a t u r a l l y ” w i t h t h e r e s e a r c h e r ( i . e . , i n a m a n n e r c o n g r u e n t w i t h t h e c h i l d ’ s i n - c l a s s m a t h e m a t i c a l b e h a v i o r ) ? A r e t h e m u l h ' p l e a p p r o a c h e s t o m a t h e m a t i c s a n d m a t h e m a t i c a l r e a s o n i n g d e t a i l e d h e r e i n d e p e n d e n t o f p a r t i c u l a r r e f o r m - o r i e n t e d p e d a g o g i e s ? M a y b e t h e r e a r e d i f f e r e n t s e t s o f m u l t i p l e a p p r o a c h e s f o r c h i l d r e n w i t h d i f f e r e n t r e f o r m - o r i e n t e d e x p e r i e n c e s ? M i g h t w e e x p e c t v a r i a t i o n a c r o s s t a s k s a n d / o r a c r o s s c h i l d r e n t o i n c r e a s e w i t h l e n g t h e n e d i m m e r s i o n i n r e f o r m - o r i e n t e d m a t h e m a t i c s ? W o u l d c h i l d r e n o f t r a d i t i o n a l c l a s s r o o m s h a v e e n o u g h e x p e r i e n c e d i s c o u r s i n g a b o u t m a t h e m a t i c s t o e n g a g e w i t h p r o b l e m s t h a t e l i c i t r e a s o n i n g a s t h e s e d i d ? W o u l d t h e y u n d e r s t a n d a n d m a k e v i s i b l e t h e i r o w n m e n t a l p r o c e s s e s e n o u g h t o r e t u r n t h e p r o fi t t h e c h i l d r e n o f t h i s s t u d y d i d ? 3 5 4 I n e x t e n d i n g t h e i n v e s t i g a t i o n o f t h e h y p o t h e s e s o f t h i s s t u d y t o c h i l d r e n w i t h e x p e r i e n c e s o n l y i n t r a d i t i o n a l m a t h e m a t i c s c l a s s r o o m s w e m i g h t e x p e c t a d o m i n a n c e o f c o n v e n t i o n a l , i m p o s e d r e p r e s e n t a t i o n s o f t h e d i s c i p l i n e . W e m i g h t a l s o e x p e c t l e s s v a r i e t y a c r o s s c h i l d r e n a n d a c r o s s t a s k s f o r i n d i v i d u a l s . W e m i g h t e x p e c t l e s s m o n i t o r i n g a n d p r o j e c t i o n . A l l t h e s e m i g h t b e e x p e c t e d a s s u c h s t u d e n t s m a y b e c o n d i t i o n e d t o u s e p r o v i d e d t o o l s r a t h e r t h a n t o c r e a t e t h e i r o w n . A t t h e s a m e t i m e , i t i s u n l i k e l y t h i s n a r r o w i n g w o u l d i n c l u d e a l l s t u d e n t s o f t r a d i t i o n a l p e d a g o g y s i n c e o r i g i n a l t h i n k e r s a r i s e o u t o f a l l c o n t e x t s . W h a t v a r i a t i o n s m i g h t w e e x p e c t f r o m s u c h l e a r n e r s ? M i g h t t h e y p r o v i d e i n s i g h t i n t o h o w t o h e l p c h i l d r e n o f r e f o r m c o n n e c t b e t w e e n t h e r e a l w o r l d a n d t h e d i s c i p l i n e ? A g e v a r i a t i o n c o u l d a l s o b e a n i m p o r t a n t v a r i a b l e . M i g h t s o m e o f t h e c o n s t r a i n t s d e t a i l e d i n t h i s s t u d y a c t u a l l y e n a b l e i n d i v i d u a l s i n t h e l o n g r u n ? F o r e x a m p l e , m i g h t a c h i l d w h o , e a r l y i n h e r m a t h e m a t i c a l c a r e e r , s p e n d s s i g n i fi c a n t t i m e d i s t i n g u i s h i n g t h e r e a l w o r l d a n d m a t h e m a t i c s l a t e r b e f r e e d f r o m c o n s t r a i n t s o f t h e r e a l w o r l d t o e x p l o r e a b s t r a c t m a t h e m a fi c a l c o n c e p t s ( e . g . , m u l t i p l e d i m e n s i o n s ) ? W e l c h ( 1 9 7 8 ) f o u n d t r a d i t i o n a l m a t h e m a t i c s c l a s s e s t o b e h i g h l y u n i f o r m . Y e t , s u c h u n i f o r m e n v i r o n m e n t s d e v e l o p e d a v a r i e t y o f m a t h e m a t i c a l a b i l i t i e s . O n e m i g h t e x p e c t t h a t r e f o r m - o r i e n t e d p e d a g o g y , b y i t s v e r y n a t u r e , m i g h t e x p a n d s u c h v a r i a t i o n . T e a c h e r s w o u l d b e h e l p e d b y a n e x p a n d e d u n d e r s t a n d i n g o f t h e v a r i a t i o n t h e y m i g h t e x p e c t i n t h e i r s t u d e n t s . F o r e x a m p l e , t e a c h e r s a n d r e s e a r c h e r s c a n e x p l o r e w a y s t o f o s t e r i n t e l l e c t u a l e n g a g e m e n t b y s t u d e n t s o t h e r w i s e m e r e l y t a k i n g p a r t i n a s o c i a l a c t i v i t y . E d u c a t o r s c a n e x p l o r e w a y s t o h e l p s t u d e n t s b r i d g e f r o m s o l u t i o n o f i n d i v i d u a l p r o b l e m s t o t h e a b s t r a c t i o n a n d g e n e r a l i z a t i o n o f m a t h e m a fi c s . 3 5 5 E X P A N D I N G C O N T E X T S N o t o n l y w a s t h e s c o p e o f t h i s s t u d y s m a l l , b u t i t w a s c o n d u c t e d i n a n a r t i fi c i a l e n v i r o n m e n t r a t h e r t h a n i n t h e c h i l d r e n ’ s n o r m a l m a t h e m a t i c a l l e a r n i n g c o n t e x t . A s a r g u e d i n c h a p t e r 2 , i t w i l l b e i m p o r t a n t t o s t u d y t h e i s s u e s t h a t h a v e a r i s e n f r o m t h i s s t u d y i n s i t u ; e x p l o r i n g s t u d e n t l a n g u a g e , r e p r e s e n t a t i o n s , a n d d e c i s i o n - m a k i n g u n d e r t h e a f f o r d a n c e s a n d c o n s t r a i n t s o f p e e r s o c i a l c o n t e x t s i s w a r r a n t e d . F u r t h e r , s t u d e n t s d o m o s t o f t h e i r m a t h e m a t i c a l l e a r n i n g i n s u c h c o n t e x t s . I h a v e s u g g e s t e d s e v e r a l t i m e s t h a t c h i l d r e n ’ s r e a s o n i n g a n d d e c i s i o n - m a k i n g e v i d e n t i n i n t e r v i e w s m a y t a k e a d i f f e r e n t f o r m i n c l a s s r o o m c o n t e x t s . W h a t m i g h t s t u d e n t s b e w i l l i n g t o e n g a g e w i t h m a t h e m a t i c a l l y a m o n g p e e r s - w h o l e c l a s s o r s m a l l g r o u p - t h a t t h e y m a y n o t i n i n d i v i d u a l i n t e r v i e w s ? M i g h t c o n fi d e n c e p l a y o u t d i f f e r e n t l y i n t h e s e c o n t e x t s ? T h a t i s , m i g h t s o m e o n e w h o i s c o n fi d e n t s o c i a l l y b u t l e s s s o m a t h e m a t i c a l l y o v e r c o m e t h e l a t t e r t h r o u g h h e r w i l l i n g n e s s t o q u e s t i o n p e e r s ? M i g h t s o m e o n e w h o , i n t h e w h o l e c l a s s , i s w i l l i n g t o l e t o t h e r a r g u e a n d d e c i d e t h e m e r i t s o f c o m p l e x m a t h e m a t i c s , h a v e t h e c o n fi d e n c e i n s m a l l g r o u p s t o v o i c e h e r o w n r e a s o n i n g ? A d i f fi c u l t y r e s u l t i n g f r o m i n - c l a s s i n v e s t i g a t i o n o f t h e q u e s t i o n s p o s e d i n t h i s s t u d y i s t h a t r e s e a r c h e r p u r s u i t o f c h i l d r e n ’ s r e a s o n i n g a n d d e c i s i o n - m a k i n g c a n n o t a c h i e v e t h e d e p t h o f i n d i v i d u a l i n t e r v i e w s . T h a t i s , t h e t e a c h e r h a s m a n y o b l i g a t i o n s a n d i n t e n t i o n s . S h e m a y n o t p r o v i d e s t u d e n t s o p p o r t u n i t i e s t o d e s c r i b e , e x p l a i n , e x a m i n e , a n d b e e x a m i n e d b y o t h e r s t o t h e e x t e n t o r i n a p a r t i c u l a r d i r e c t i o n t h a t a r e s e a r c h e r w o u l d d e s i r e . O n e e x t e n s i o n o f t h i s r e s e a r c h t h a t m i g h t b r i d g e t h e g a p b e t w e e n c l a s s r o o m a n d i n d i v i d u a l c o n t e x t s i s c r e a t i o n o f m a t h e m a t i c a l a c t i v i t i e s c a r e f u l l y c h o s e n f o r u s e w i t h s m a l l g r o u p s o u t s i d e o f t h e c l a s s r o o m . W h i l e t h i s d o e s n o t 3 5 6 o b v i a t e t h e n e e d f o r e i t h e r i n d i v i d u a l i n t e r v i e w s o r i n - c l a s s r e s e a r c h , s m a l l g r o u p s a l l o w r e s e a r c h e r s t o p u r s u e b o u n d a r i e s a n d p a r t i c u l a r m a t h e m a t i c a l t o p i c s f u r t h e r t h a n i n - c l a s s c o n t e x t s b u t i n a l e a r n i n g c o n t e x t m o r e c o n g r u e n t w i t h a r e f o r m - o r i e n t e d c l a s s r o o m e n v i r o n m e n t . A c o m b i n a t i o n o f i n - c l a s s o b s e r v a t i o n s , s m a l l g r o u p a c t i v i t i e s , a n d i n d i v i d u a l i n t e r v i e w s w o u l d a l l o w t h e ” a u t h e n t i c ” l e a r n i n g c o n t e x t o f t h e c l a s s r o o m , e x p a n d e d e x p l o r a t i o n i n s o c i a l c o n t e x t s , a n d i n d i v i d u a l d e p t h a f f o r d e d b y o n e - t o - o n e c o n t a c t . S u c h a m u l t i f a c e t e d a p p r o a c h m i g h t a l l o w a c h i l d , t h r e a t e n e d i n i n d i v i d u a l c o n t e x t s , t o d e m o n s t r a t e a n i n c l i n a t i o n t o p u r s u e t h r e a t e n i n g m a t h e m a t i c s . I t m i g h t b e t t e r i l l u s t r a t e w h y a c h i l d t u n e s o u t - w h e t h e r t h e t a s k s a r e t o o e a s y o r r e a l l y b e y o n d h e r a b i l i t i e s . I t m i g h t d i s t i n g u i s h s t u d e n t s w h o d o v i e w t h e s t u d e n t d i s c o u r s e o f r e f o r m - o r i e n t e d c l a s s e s a s e x p l a i n i n g o n e ’ s o w n t h i n k i n g f r o m t h o s e w h o v i e w i t a s p a r t o f d e v e l o p i n g m a t h e m a t i c a l u n d e r s t a n d i n g . T h a t i s , e n g a g e d i n c o n v e r s a t i o n w i t h p e e r s ( r a t h e r t h a n w i t h a n a d u l t ) , l e a r n e r s m i g h t d e m o n s t r a t e a b e l i e f t h a t p r o b l e m s a r e s i t e s f o r j o i n t c o n s t r u c t i o n . C O N C L U D I N G T H O U G H T S T h i s s t u d y p r e s e n t s a r e s e a r c h m e t h o d o l o g y u n i q u e i n i t s a b i l i t y t o e l i c i t t h e r e a s o n i n g o f c h i l d r e n a s t h e y d o m a t h e m a t i c s . B y p r o b i n g t h e i r u n d e r s t a n d i n g a n d t h e n d e s i g n i n g t a s k s t h a t d r a w c h i l d r e n n e a r t h e b o u n d a r i e s o f t h e i r u n d e r s t a n d i n g , t h e i r d e c i s i o n - m a k i n g a n d t o o l s , t h e i r l a n g u a g e a n d r e p r e s e n t a t i o n s , b e c o m e v i s i b l e . T h e r e a s o n i n g a n d d e c i s i o n - m a k i n g d e s c r i b e d i n t h i s s t u d y i s s i g n i fi c a n t f o r t h i r d g r a d e r s . P e r h a p s , a s t h e y m a t u r e , t h e s e s t u d e n t s w i l l g o b e y o n d e v e n t h o s e S c h o e n f e l d ( 1 9 9 1 ) a t t r i b u t e s t o h i s a n d F a w c e t t ’ s c l a s s r o o m w h e r e ” t h e 3 5 7 n a m e o f t h e g a m e . . . w a s u n d e r s t a n d i n g ; t h e c o i n o f t h e r e a l m w a s a r g u m e n t a t i o n . . . . e a c h c o u r s e . . . m a d e i t n a t u r a l t o t h i n k m a t h e m a t i c a l l y . . . . t h e p r e d i l e c t i o n t o a n a l y z e a n d u n d e r s t a n d w a s s i m p l y p a r t o f t h e a t m o s p h e r e ” ( p . 3 3 8 ) . T h e c h i l d r e n o f t h i s s t u d y d e m o n s t r a t e n o s m a l l a c h i e v e m e n t w h e n c o m p a r e d w i t h , s a y , B e n n y o f E r l w a n g e r ’ s ( 1 9 7 5 ) s t u d y . D e l v i n g i n t o t h e a b s t r a c t i o n a n d g e n e r a l i z a t i o n o f m a t h e m a t i c s m a y d e v e l o p o v e r t i m e f o r l e a r n e r s s o l i d l y g r o u n d e d i n r e a l w o r l d r e a s o n i n g . I t m i g h t b e v a l u a b l e i n t h e l o n g r u n f o r y o u n g l e a r n e r s t o b e e n c u l t u r a t e d i n t o m a t h e m a t i c s a s s o l v i n g t h i s p r o b l e m f o r t h i s c o n t e x t . T h i s i s , a f t e r a l l , n o d i f f e r e n t t h a n t r a d i t i o n a l m a t h e m a t i c s e d u c a t i o n i n w h i c h l e a r n e r s s e e s o l v i n g t h i s d e c o n t e x t u a l i z e d p r o b l e m a s m e r e l y s o l v i n g a p a r t i c u l a r p r o b l e m . T h e s e c h i l d r e n , r a t h e r t h a n b e i n g e n c u l t u r a t e d i n t o m a t h e m a t i c s a s a s e t o f r u l e s t h e y w i l l n e v e r u n d e r s t a n d , v i e w e d m a t h e m a t i c s a s a s e n s e - m a k i n g a c t i v i t y . A t t h e s a m e t i m e , i f o n e o f t h e r o l e s o f s u b j e c t m a t t e r c l a s s e s i s t o e n c u l t u r a t e s t u d e n t s ( t o h o w e v e r l i m i t e d a n e x t e n t ) i n t o v a r i o u s d i s c i p l i n e s ( B i s h o p , 1 9 8 8 ) , t h e p r e v i o u s s e c t i o n c a l l s i n t o q u e s fi o n t h e i m a g e o f t h e c u l t u r e o f m a t h e m a t i c s t h a t t h e s e c h i l d r e n w e r e d e v e l o p i n g . S e e i n g m a t h e m a t i c s o c c u r i n s o c i a l e n v i r o n m e n t s i s n o t n e c e s s a r i l y s e e i n g t h e s o c i a l p r o c e s s a s n e c e s s a r y f o r t h e c o n s t r u c t i o n o f m a t h e m a t i c a l k n o w l e d g e . S e e i n g p e e r s t a l k a b o u t s o l u t i o n s i s n o t t h e s a m e a s a n a l y z i n g s o l u t i o n s . T h u s , a s P i m m ( 1 9 8 7 ) a r g u e d : m e r e l y i n c r e a s i n g t h e a m o u n t o f p u p i l d i s c o u r s e i n m a t h e m a fi c s c l a s s r o o m s m a y n o t , b y i t s e l f , p r o v e b e n e fi c i a l . . . . p u p i l t a l k p e r s e i s n o t n e c e s s a r i l y a g o o d t h i n g . . . . t h e d e s i r e d a t t r i b u t e s f o r t h e t e a c h e r t o a i m f o r a r e t h a t p u p i l t a l k s h o u l d b e f o c u s e d , e x p l i c i t , d i s e m b o d i e d a n d m e s s a g e o r i e n t e d . ( p . 4 2 ) 3 5 8 T h i s s t u d y s u g g e s t s t h a t w h a t m a y b e i n t e r p r e t e d b y t e a c h e r s o r r e s e a r c h e r s a s a n a l y t i c d i s c o u r s e , m a y r e s u l t i n s o m e s t u d e n t s d e v e l o p i n g a v e r y d i f f e r e n t i n t e r p r e t a t i o n o f t h e r o l e o f d i s c o u r s e i n m a t h e m a t i c s c l a s s e s . F u r t h e r , d i s c o u r s e m a y a c t u a l l y p l a y a r o l e i n c o n f u s i n g s o m e s t u d e n t s t h r o u g h c o n fl i c t i n g a n d s e e m i n g l y i n c o h e r e n t p r e s e n t a t i o n s o f t h e i r p e e r s . S o m e s t u d e n t s m a y c o n f u s e t h e v a l u i n g o f a l l s t u d e n t i d e a s w i t h a l l i d e a s b e i n g e q u a l l y v a l i d o r u s e f u l . F i n a l l y , d e s p i t e e x t e n d e d p a r t i c i p a t i o n i n t h e s a m e s u p p o r t i v e , n o n - e v a l u a t i v e l e a r n i n g e n v i r o n m e n t , s o m e s t u d e n t s m a y n o t b e a b l e t o o v e r c o m e a l a c k o f s e l f - c o n f i d e n c e ; t o d e v e l o p s e l f - c o n f i d e n c e n e c e s s a r y f o r e x p l o r i n g d i f fi c u l t a n d a b s t r a c t m a t h e m a t i c a l c o n c e p t s . W h i l e c h i l d r e n m a y m o n i t o r a s t h e y p u r s u e s o l u t i o n s t o p r o b l e m s , t h e i r p a t h s m a y c a r r y t h e m t h r o u g h d i f f e r e n t t e r r i t o r i e s . P r o b l e m s g r o u n d e d i n t h e ” r e a l w o r l d ” a l l o w s o m e s t u d e n t s t o e x p l o r e m a t h e m a t i c s w h i l e o t h e r s e x p l o r e t h e p h e n o m e n a d e s c r i b e d i n t h e c o n t e x t . C o n t e x t u a l p r o b l e m s p r o v i d e s a f e - h a v e n s . A s a h a v e n , t h e c o n t e x t m a y a l l o w s t u d e n t s t o d e m u r f r o m e n g a g i n g w i t h t h e a b s t r a c t i o n a n d g e n e r a l i z a t i o n o f m a t h e m a t i c s . T h e h a v e n m a y e v e n d e n y t h e n e c e s s i t y o f s u c h e n g a g e m e n t . I t m a y a l s o p r o v i d e g r o u n d i n g f o r e x p l o r a t i o n o f m a t h e m a t i c s . S t u d e n t s ’ a t t i t u d e s t o w a r d t h e m s e l v e s a n d t h e i r b e l i e f s a b o u t t h e n a t u r e o f t h e d i s c i p l i n e l a r g e l y s h a p e t h e r o l e o f t h e h a v e n . N o t w i t h s t a n d i n g t h e s e n e g a t i v e fi n d i n g s , t h e s e t h i r d g r a d e r s a p p e a r t o h a v e s u r p a s s e d m o s t s t u d e n t s i n s i g n i fi c a n t w a y s . T h e y w e r e e n t h u s i a s t i c a b o u t m a t h e m a t i c s a n d s o l v i n g p r o b l e m s . T h e y v i e w e d m a t h e m a t i c s a s a s e n s i b l e . T h e y v i e w e d s t u d e n t d i s c o u r s e a s a n i m p o r t a n t p i e c e o f t h e m a t h e m a t i c s c l a s s r o o m . F i n a l l y , t h e s e t h i r d g r a d e r s w e r e i n v e t e r a t e m o n i t o r s o f t h e i r w o r k ; t h e y w e r e h i g h l y m e t a c o g n i t i v e . S u c h a s t a n c e i s i n v a l u a b l e i n a l l d i s c i p l i n e s a s w e l l a s i n t h e ” r e a l w o r l d . " P e r h a p s t h e l o n g t e r m f u t u r e o f e a c h o f t h e s e c h i l d r e n 3 5 9 i s b r i g h t d e s p i t e i n d i v i d u a l w e a k n e s s e s m a d e a p p a r e n t b y t h e f i n e - g r a i n e d a n a l y s i s o f t h i s s t u d y . 3 6 0 A P P E N D I C E S 3 6 1 A P P E N D D ( A P R O T O C O L O F F I R S T I N T E R V I E W 3 6 2 P R O T O C O L O F F I R S T I N T E R V I E W 1 1 3 G o o d m o r n i n g [ i n s e r t n a m e ] . A s y o u k n o w m y n a m e i s M r . S m i t h a n d I a m a g r a d u a t e s t u d e n t a t M i c h i g a n S t a t e U n i v e r s i t y . A s I h a v e w a t c h e d a n d l i s t e n e d t o y o u r m a t h c l a s s e s o v e r t h e l a s t c o u p l e o f w e e k s I h a v e b e e n v e r y i n t e r e s t e d i n h o w a l l o f y o u t h i n k a n d d o m a t h e m a t i c s . J u s t l i k e y o u I a m a s t u d e n t a n d I a m t r y i n g t o l e a r n a b o u t h o w c h i l d r e n t h i n k w h e n t h e y a r e d o i n g m a t h e m a t i c s . W h i l e I w o u l d l i k e t o b e a b l e t o t a l k i n d i v i d u a l l y w i t h e v e r y m e m b e r o f t h e c l a s s , I j u s t d o n ’ t h a v e t h a t m u c h t i m e . D u r i n g t h i s i n t e r v i e w I a m g o i n g t o a s k y o u s o m e q u e s t i o n s a b o u t h o w y o u t h i n k a b o u t a n d f e e l a b o u t m a t h a n d d o i n g m a t h . T h e n I a m g o i n g t o a s k y o u t o d o a f e w p r o b l e m s . S i n c e I w a n t t o l e a r n a b o u t h o w y o u t h i n k a b o u t m a t h , I a m n o t i n t e r e s t e d i n r i g h t a n s w e r s b u t i n w h a t y o u t h i n k a b o u t a n d d o t o g e t t o t h o s e a n s w e r s . B e c a u s e o f t h i s i n t e r e s t , I w o u l d l i k e y o u t o t h i n k o u t l o u d , t o t e l l m e w h a t y o u c o n s i d e r e v e n i f y o u d e c i d e n o t t o a p p r o a c h t h e p r o b l e m t h a t w a y . I f y o u d o n ’ t u n d e r s t a n d a q u e s t i o n y o u m i g h t t r y t o t e l l m e w h a t y o u t h i n k I a m a s k i n g . I f y o u c a n ’ ; t d o t h a t , j u s t t e l l m e a n d I w i l l b y t o r e - p h r a s e t h e q u e s t i o n . I w i l l p r o b a b l y a s k y o u ” W h y ? ” a n d ” T e l l m e m o r e . ” q u i t e a b i t . T h e s e d o n o t m e a n t h a t I t h i n k w h a t y o u s a i d i s w r o n g , I j u s t w a n t t o u n d e r s t a n d h o w y o u a r e t h i n k i n g . O f c o u r s e , y o u d o n o t h a v e t o a n s w e r a n y q u e s t i o n s y o u d o n o t w a n t t o . I f y o u a r e f e e l i n g u n c o m f o r t a b l e t e l l m e a n d w e c a n s t o p o r fl y s o m e t h i n g d i f f e r e n t . O k a y ? D o y o u h a v e a n y q u e s t i o n s n o w ? 1 1 3 I d i d n o t r e a d t h e s e d o c u m e n t s s o m y a c t u a l w o r d s i n e a c h i n t e r v i e w v a r i e d s o m e w h a t f r o m t h e t e x t h e r e . I n a d d i t i o n , I a s k e d p r o b e s b a s e d o n t h e c h i l d r e n ’ s r e s p o n s e s w h i c h , o f c o u r s e , v a r i e d a c c o r d i n g t o t h e a c t u a l r e s p o n s e s o f e a c h c h i l d . 3 6 3 D o y o u l i k e s c h o o l ? W h y ? / W h y n o t ? I s t h e r e s o m e t h i n g y o u e s p e c i a l l y l i k e ? W h a t i s y o u r f a v o r i t e s u b j e c t ? W h y d o y o u l i k e i t ? I s t h e r e a s u b j e c t y o u d o n o t l i k e ? W h y n o t ? W h e n I s a y m a t h e m a t i c s , w h a t c o m e s t o y o u r m i n d ? W h a t a b o u t w h e n y o u r t e a c h e r s a y s m a t h e m a t i c s ? W h a t a b o u t w h e n y o u r p a r e n t s o r a n o t h e r a d u l t s a y s m a t h e m a t i c s ? W h e n y o u ’ r e d o i n g a p r o b l e m i n s c h o o l h o w d o y o u k n o w i f w h a t y o u h a v e d o n e i s o k a y ? H o w d o y o u k n o w w h e n y o u h a v e t h e r i g h t a n s w e r ? W h a t a b o u t r e a l l i f e s i t u a t i o n s , d o y o u e v e r d o m a t h i n t h o s e ? C a n y o u t e l l m e a b o u t a t i m e w h e n y o u d i d ? H o w d i d y o u k n o w w h a t y o u h a d d o n e m a d e s e n s e ? D o y o u t a l k w i t h y o u r m o m o r d a d o r o t h e r g r o w n - u p s a b o u t m a t h ? C o u l d y o u t e l l m e a b o u t t h e l a s t t i m e y o u d i d ? D o y o u t h i n k m a t h i s i m p o r t a n t t o l e a r n ? W h y ? / W h y n o t ? D o y o u k n o w a n y o n e y o u w o u l d s a y i s g o o d a t m a t h ? W h a t m a k e s t h e m g o o d ? W h a t d o t h e y d o t h a t h e l p s t h e m b e g o o d a t m a t h ? D o y o u t h i n k y o u a r e g o o d a t m a t h ? W h y ? / W h y n o t ? D o y o u h a v e a n y h o b b i e s t h a t i n v o l v e m a t h ? F i r s t C a r d S o r t : I h a v e s o m e c a r d s h e r e . I ' d l i k e y o u t o s o r t i n t o 2 p i l e s - - o n e p i l e t h a t c o n t a i n s a c t i v i t i e s t h a t i n v o l v e m a t h i n s o m e w a y a n d 1 p i l e t h a t d o e s n ' t i n v o l v e m a t h . I w o u l d l i k e y o u t o d o i s t a l k a b o u t i t a s y o u ' r e d o i n g i t u h o w y o u a r e d e c i d i n g , w h a t y o u a r e t h i n k i n g a b o u t . 0 A d d i n g 3 2 a n d 2 5 0 B u i l d i n g a f o r t w i t h b l o c k s 0 T a k i n g o u t t h e t r a s h 0 F i n d i n g o u t w h o i s o l d e r 0 C h e w i n g g u m 0 S l i c i n g a c a k e 0 C o m p u t i n g 6 t i m e s 1 5 0 F i n d i n g o u t h o w l o n g i t t a k e s t o fl y t o W a s h i n g t o n , D . C . 0 B r u s h i n g a d o g 0 F i n d i n g o u t w h i c h b r a n d o f c e r e a l i s p r e f e r r e d b y s t u d e n t s a t y o u r s c h o o l 0 P l a n n i n g a b a t h r o o m fl o o r t i l e p a t t e r n 0 G r o c e r y s h o p p i n g 0 M a k i n g a c a k e 0 F i g u r i n g o u t y o u r c h a n c e s o f w i n n i n g a p r i z e i n a d r a w i n g . 0 R e a d i n g a b o o k 0 S e e i n g h o w m a n y d i f f e r e n t d o u b l e d i p i c e c r e a m c o n e s y o u c a n g e t a t Q u a l i t y D a i r y a n d a t B a s k i n R o b b i n s . 0 S w i m m i n g S e c o n d C a r d S o r t : O k a y , n o w w e ' r e g o i n g t o d o s o m e t h i n g s i m i l a r . T h e s e a r e o c c u p a t i o n s o r j o b s t h a t p e o p l e h a v e . I w o u l d l i k e y o u t o p u t t h e m i n p i l e s a s y o u d i d w i t h t h e a c t i v i t i e s — o n e p i l e f o r t h e j o b s w h i c h i n v o l v e m a t h a n d o n e f o r t h o s e t h a t d o n ’ t . A g a i n , p l e a s e t e l l m e h o w y o u a r e d e c i d i n g a s y o u d o i t . 3 6 5 0 A i r p l a n e p i l o t 0 A r c h i t e c t 0 A u t h o r o f c h i l d r e n ’ s b o o k s 0 B a s e b a l l p l a y e r 0 C a r m e c h a n i c 0 C u s t o d i a n 0 D i s h w a s h e r 0 E n g i n e e r 0 F i r e m a n 0 G a s s t a t i o n a t t e n d a n t 0 M a t h e m a t i c i a n 0 P a p e r b o y o r p a p e r g i r l 0 P r e s i d e n t o f t h e U n i t e d S t a t e s 0 S a l e s p e r s o n 0 S e c r e t a r y 0 T e a c h e r 0 A r t t e a c h e r 0 M u s i c t e a c h e r Y o u s a i d a m a t h e m a t i c i a n d o e s m a t h . W h a t d o y o u t h i n k t h e y d o ? W h e n y o u p i c t u r e a m a t h e m a t i c i a n a t w o r k , w h a t d o y o u s e e ? M a t h e m a t i c a l t a s k s ( w h i c h o f t h e s e I a s k e d d e p e n d e d o n t h e a m o u n t o f t i m e a v a i l a b l e ) W h a t d o y o u k n o w a b o u t a d d i t i o n ? W o u l d y o u m a k e u p a n a d d i t i o n p r o b l e m f o r m e ? 3 6 6 H o w w o u l d y o u a d d 9 a n d 7 ? H o w a b o u t 3 2 a n d 2 5 ? H o w a b o u t 1 7 a n d 2 5 ? H o w a b o u t 1 2 a n d 5 ? Y o u r c l a s s h a s t a l k e d a b o u t z e r o q u i t e a b i t l a t e l y . W h a t c a n y o u t e l l m e a b o u t z e r o ? 0 D o y o u t h i n k o t h e r m e m b e r s o f t h e c l a s s h a v e d i f f e r e n t i d e a s a b o u t z e r o ? W h a t a r e t h e y ? D o y o u t h i n k t h e y t h i n k t h e i r i d e a s a r e b e t t e r t h a n y o u r s ? W h y m i g h t t h e y t h i n k t h a t ? W h a t c a n y o u t e l l m e a b o u t e v e n a n d o d d n u m b e r s ? 0 D o y o u t h i n k o t h e r m e m b e r s o f t h e c l a s s h a v e d i f f e r e n t i d e a s a b o u t e v e n a n d o d d n u m b e r s ? W h a t a r e t h e y ? D o y o u t h i n k t h e y t h i n k t h e i r i d e a s a r e b e t t e r t h a n y o u r s ? W h y m i g h t t h e y t h i n k t h a t ? W h a t c a n y o u t e l l m e a b o u t s u b t r a c t i o n ? W o u l d y o u m a k e u p a n s u b t r a c t i o n p r o b l e m f o r m e ? H o w w o u l d y o u s u b t r a c t 4 f r o m 9 ? H o w a b o u t 4 f r o m 1 3 ? H o w a b o u t 1 3 f r o m 2 1 ? H o w a b o u t 1 2 f r o m 1 8 ? W h a t c a n y o u t e l l m e a b o u t m u l t i p l i c a t i o n ? W o u l d y o u m a k e u p a m u l t i p l i c a t i o n p r o b l e m f o r m e ? H o w w o u l d y o u m u l t i p l y 6 t i m e s 4 ? H o w a b o u t 6 t i m e s 1 5 ? H o w a b o u t 1 0 t i m e s 6 ? H o w a b o u t 1 0 t i m e s 1 6 ? W h a t c a n y o u t e l l m e a b o u t f r a c t i o n s ? C a n y o u m a k e u p a p r o b l e m i n v o l v i n g f r a c t i o n s ? 3 6 7 W h a t c a n y o u t e l l m e a b o u t d i v i s i o n ? W o u l d y o u m a k e u p a n d i v i s i o n p r o b l e m f o r m e ? T h a n k s , e t c . 3 6 8 A P P E N D I X B P R O T O C O L O F S E C O N D I N T E R V I E W 3 6 9 P R O T O C O L O F S E C O N D I N T E R V I E W 1 1 4 L a s t t i m e , i f y o u r e m e m b e r , I a s k e d y o u s e v e r a l q u e s t i o n s a b o u t m a t h a n d h o w y o u t h i n k a b o u t a n d w h e n y o u d o m a t h . I a l s o a s k e d y o u t o s o r t s o m e c a r d s i n t o w h a t y o u t h o u g h t i n v o l v e d m a t h e m a t i c s a n d w h a t d i d n o t i n v o l v e m a t h e m a t i c s . T h i s t i m e , I a m g o i n g t o a s k y o u t o a c t u a l l y d o s o m e m a t h e m a t i c s . I ' v e c r e a t e d s o m e t a s k s t h a t I ' m g o i n g t o a s k y o u t o d o a n d w h a t I w a n t y o u t o d o i s t o t e l l m e h o w y o u ’ r e t h i n k i n g a b o u t t h e m a s y o u ' r e d o i n g t h e m . b e c a u s e t h a t ' s w h a t ' s r e a l l y i m p o r t a n t t o m e . I ’ m n o t i n t e r e s t e d i n w h e t h e r y o u g e t t h e r i g h t a n s w e r , b u t h o w y o u ' r e t h i n k i n g a b o u t t h e m a s y o u d o t h e m . D o y o u h a v e a n y q u e s t i o n s b e f o r e w e s t a r t ? C a n d y B a r p r o b l e m : I h a v e a s i s t e r w h o l i v e s o u t s i d e o f D e n - c i t . S h e h a s f o u r c h i l d r e n , a n d I a l w a y s s t r u g g l e d e c i d i n g w h a t t o g e t t h e m f o r C h r i s t m a s b e c a u s e I d o n ' t h a v e l o t s o f m o n e y , b u t I w a n t t o g e t t h e m s o m e t h i n g t h e y w i l l l i k e . S o o n e y e a r I g o t t h e m a b o x o f n i c e c a n d y b a r s , y o u k n o w e x p e n s i v e , f a n c y c a n d y , b e c a u s e I k n o w t h a t t h e y a l l l i k e c a n d y . I b o u g h t t h e f o u r o f t h e m o n e b o x o f c a n d y b a r s a n d i t h a d 3 0 b a r s i n i t . W h e n t h e y s p l i t t h e m u p , h o w m u c h d o y o u t h i n k t h e y e a c h g o t ? I a l s o p r e p a r e d h y p o t h e t i c a l s o l u t i o n s t h a t I t o l d t h e c h i l d r e n I h a d s e e n o t h e r s d o t s o l v e t h e p r o b l e m ( F i g u r e s 4 1 , 4 2 , 4 3 ) . I u s e d s o m e o f t h e s e t o a s k t h e c h i l d r e n w h a t t h e y t h o u g h t t h e c h i l d r e n h a d b e e n t h i n k i n g a b o u t t h e p r o b l e m . 1 1 4 1 1 4 1 d i d n o t r e a d t h e s e d o c u m e n t s s o m y a c t u a l w o r d s i n e a c h i n t e r v i e w v a r i e d s o m e w h a t f r o m t h e t e x t h e r e . I n a d d i t i o n , I a s k e d p r o b e s b a s e d o n t h e c h i l d r e n ’ s r e s p o n s e s w h i c h , o f c o u r s e , v a r i e d a c c o r d i n g t o t h e a c t u a l o f e a c h c h i l d . 3 7 0 1 5 + 1 5 = 3 0 7 ' 1 2 - c a n d y b a r s e a c h 7 + 7 = 1 4 F i g u r e 4 1 : F i r s t h y p o t h e t i c a l s o l u t i o n . 1 0 + 1 0 + 1 0 = 3 0 7 % c a n d y b a r s e a c h _ 1 l - 5 + 5 — 1 0 2 2 + 2 2 — 5 F i g u r e 4 2 : S e c o n d h y p o t h e t i c a l s o l u t i o n . 1 2 3 5 6 7 9 1 0 1 1 1 3 1 4 1 5 1 7 1 8 1 0 2 1 2 2 2 3 2 5 2 6 2 7 2 9 , 3 0 7 é c a n d y b a r s e a c h 4 8 1 2 1 6 2 0 2 4 2 8 F i g u r e 4 3 : T h i r d h y p o t h e t i c a l s o l u t i o n . 3 7 1 C a n d y C a n e p r o b l e m : M y s i s t e r ’ s c h i l d r e n k n o w t h a t I a l s o l i k e c a n d y . S o , l a s t y e a r t h e y g o t m e s o m e . T h e o l d e r t w o c h i l d r e n w e n t t o g e t h e r a n d g a v e m e a b a g o f t w o d o z e n b i t e s i z e c a n d y b a r s . T h e y o u n g e r t w o d i d n ’ t h a v e m u c h m o n e y s o t h e y g a v e m e a h a n d f u l o f c a n d y c a n e s . W h e n I g o t h o m e , I c o u n t e d a l l t h e c a n d y a n d f o u n d I h a d 4 0 p i e c e s o f c a n d y . H o w m a n y c a n d y c a n e s d o y o u t h i n k t h e y o u n g e r c h i l d r e n g a v e m e ? E a s t e r E g g p r o b l e m : A t E a s t e r , t h e y a l l g a v e m e a b a g o f l i t t l e c h o c o l a t e E a s t e r e g g s . T h e y w e r e g o i n g t o g i v e m e t h e w h o l e b a g b u t I w a s l a t e g e t t i n g t h e r e a n d t h e y c o u l d n o t r e s i s t e a t i n g s o m e t h e m s e l v e s b e f o r e I g o t t h e r e . I f t h e b a g s a i d i t c o n t a i n e d 3 6 e g g s a n d t h e y a t e 2 e a c h , h o w m a n y d i d t h e y g i v e m e ? P r o b a b i l i t y t a s k : I h a v e t w o p l a s t i c t u b s h e r e a n d i n e a c h t u b t h e r e a r e s o m e S k i t t l e s . A s y o u c a n s e e [ S h o w t h e t u b s a n d c o n t e n t s ] , i n t h i s t u b t h e r e a r e f o u r g r e e n o n e s a n d t w o r e d o n e s , a n d i n t h i s t u b t h e r e a r e t h r e e g r e e n o n e s a n d o n e r e d o n e . O k a y ? [ H o l d t u b s u p i n t h e a i r . ] I f y o u h a d o n e c h a n c e t o d r a w a S k i t t l e o u t , a n d y o u w e r e g o i n g t o g e t a p r i z e f o r d r a w i n g a g r e e n S k i t t l e o u t , w h i c h t u b w o u l d y o u r a t h e r c h o o s e f r o m ? L u n c h M e n u p r o b l e m : I v i s i t a l o t o f s c h o o l s b e c a u s e I w o r k w i t h a n u m b e r o f d i f f e r e n t t e a c h e r s . I v i s i t e d a s c h o o l r e c e n t l y w h e r e t h e y c r e a t e d a n e w l u n c h m e n u . N o w , t h e y h a v e t h e s a m e l u n c h m e n u e v e r y d a y o f t h e w e e k . T h e s t u d e n t s h a v e t o c h o o s e o n e m a i n c o u r s e u t h e y g e t t o c h o o s e f r o m c h i c k e n n u g g e t s , h a m b u r g e r s , a n d p i z z a [ S h o w i n g c a r d s w i t h o n e m e n u i t e m p r i n t e d o n e a c h . ] . T h e y h a v e t o c h o o s e s o m e t h i n g t o d r i n k : m i l k o r j u i c e . T h e y h a v e t o c h o o s e o n e d e s s e r t : c o o k i e s o r i c e c r e a m . W h e n t h e y fi r s t a d o p t e d t h i s m e n u , t h e s t u d e n t s i n o n e t h i r d g r a d e h a d a d i s a g r e e m e n t a b o u t h o w m a n y d i f f e r e n t l u n c h e s y o u c o u l d h a v e . S o m e t h o u g h t t h e r e w o u l d b e a l o t o f c h o i c e s a n d s o m e 3 7 2 t h o u g h t n o t v e r y m a n y . T h e y d e c i d e d t o h a v e a d i f f e r e n t o n e e a c h d a y u n t i l t h e y h a d a l l p o s s i b l e c o m b i n a t i o n s . H o w m a n y d a y s d i d t h e y g o b e f o r e t h e y h a d t o h a v e a r e p e a t ? O p e r a t i o n s t a s k s : D o y o u r e c o g n i z e t h e s e s y m b o l s ? [ S h o w F i g u r e 4 4 . ] I ’ m g o i n g t o g i v e y o u f o u r n u m b e r s a n d w h a t I w o u l d l i k e y o u t o d o i s fi g u r e o u t h o w t o a r r a n g e t h e m o n e i n e a c h b o x s o t h a t y o u g e t t h e l a r g e s t p o s s i b l e n u m b e r . W h a t i f y o u w a n t e d t o g e t t h e l a r g e s t p o s s i b l e o u t c o m e w i t h t i p s s l i p ? [ S h o w F i g u r e 4 5 . ] W h a t a b o u t i f y o u w a n t e d t o g e t t h e s m a l l e s t n u m b e r ? | u - u + u - n F i g u r e 4 4 : F i r s t s l i p o f p a p e r . D + D - D + D L F i g u r e 4 5 : S e c o n d s l i p o f p a p e r . G e o m e t r y t a s k : H o w m a n y t r i a n g l e s o n t h a t c a r d ? [ S h o w i n g c a r d w i t h o n e e q u i l a t e r a l t r i a n g l e o n i t ] H o w m a n y t r i a n g l e s a r e t h e r e o n t h i s c a r d ? [ S h o w i n g c a r d w i t h o n e e q u i l a t e r a l t r i a n g l e s u b d i v i d e d i n t o 4 e q u i l a t e r a l t r i a n g l e s w i t h t h e s m a l l e r t r i a n g l e s t h e s a m e s i z e a s t h e t r i a n g l e o n t h e fi r s t s l i p . ] H o w m a n y t r i a n g l e s a r e t h e r e o n t h i s c a r d ? [ S h o w i n g c a r d w i t h o n e e q u i l a t e r a l t r i a n g l e s u b d i v i d e d t o c r e a t e 9 o f t h e s m a l l e q u i l a t e r a l t r i a n g l e s ] S o i f y o u l o o k a t t h i s . . . [ S h o w i n g c a r d w i t h 1 6 s m a l l s q u a r e s f o r m i n g a l a r g e r s q u a r e ] H o w m a n y s q u a r e s a r e t h e r e ? 3 7 3 G e n e r a l c o n c l u d i n g q u e s t i o n s : W h a t d i d y o u t h i n k o f t h i s i n t e r v i e w ? H o w d i d i t c o m p a r e w i t h l a s t t i m e ? 3 7 4 A P P E N D I X C P R O T O C O L O F T H I R D I N T E R V I E W 3 7 5 P R O T O C O L O F T H I R D I N T E R V I E W 1 1 5 A g e C o n v e r s a t i o n : H o w o l d a r e y o u ? W h e n i s y o u r b i r t h d a y ? I f t h e y s a y , ” I ’ m a l m o s t 9 . ” , r e s p o n d w i t h : I k n o w s o m e o n e w h o w a s b o r n a b o u t t h e s a m e t i m e a n d s h e s a y s s h e i s 8 2 ' . D o e s t h a t m a k e s e n s e t o y o u ? I f t h e y s a y , ” I ’ m 8 % - . ” , r e s p o n d w i t h : W h e n d i d y o u b e c o m e 8 % - ? I k n o w s o m e o n e b o r n a b o u t t h e s a m e t i m e a n d w h e n I a s k e d h e r i f s h e w a s 8 % s h e s a i d , ” N o , t h e r e ’ s n o s u c h t h i n g a s a h a l f - b i r t h d a y . ” W h a t w o u l d y o u s a y t o h e r ? I f t h e y s a y , ” I ’ m 8 ? ” I d o n ’ t u n d e r s t a n d . H o w c a n y o u s t i l l b e 8 w h e n y o u r b i r t h d a y w a s m o n t h s a g o ? I k n o w s o m e o n e w h o w a s b o r n a b o u t t h e s a m e t i m e a n d s a y s t h a t s h e i s 8 % . J o s h u a a n d J a s o n A g e c o n v e r s a t i o n s u b - t a s k : I h a v e a f r i e n d w h o h a s t w o s o n s . M y f r i e n d a s k e d h e r s o n J o s h u a , w h o i s 5 , h o w o l d h i s l i t t l e b r o t h e r w o u l d b e o n h i s n e x t b i r t h d a y . J o s h u a s a i d t h a t J a c o b , h i s l i t t l e b r o t h e r , w a s o n e o n h i s fi r s t b i r t h d a y , h e w a s o n e a n d a h a l f o n h i s s e c o n d b i r t h d a y , a n d h e w i l l b e t w o o n h i s t h i r d b i r t h d a y . W h a t d o y o u t h i n k a b o u t t h i s ? I f J o s h u a w a s y o u r b r o t h e r , w h a t w o u l d y o u s a y t o h i m a b o u t t h i s ? H o w o l d a r e y o u b e f o r e y o u r fi r s t b i r t h d a y ? D i s t a n c e c o n v e r s a t i o n : H o w f a r a w a y d o s o m e o f t h e m l i v e ? C o u l d y o u d r a w a p i c t u r e o f t h e r e l a t i o n s h i p b e t w e e n y o u r h o u s e a n d y o u r f r i e n d ’ s ? 1 1 5 1 1 5 1 d i d n o t r e a d t h e s e d o c u m e n t s s o m y a c t u a l w o r d s i n e a c h i n t e r v i e w v a r i e d s o m e w h a t f r o m t h e t e x t h e r e . I n a d d i t i o n , I a s k e d p r o b e s b a s e d o n t h e c h i l d r e n ’ s r e s p o n s e s w h i c h , o f c o u r s e , v a r i e d a c c o r d i n g t o t h e a c t u a l r e s p o n s e s o f e a c h c h i l d . 3 7 6 T h i s p i c t u r e i s l i k e a n e i g h b o r h o o d w i t h t h e s e l i n e s m a r k i n g t h e r o a d s . [ S h o w s h e e t o f p a p e r c o v e r e d w i t h s q u a r e s ( l i k e g r i d p a p e r ) . ] I f y o u r f r i e n d l i v e d 5 b l o c k s a w a y f r o m y o u , c o u l d y o u s h o w m e w h e r e e a c h o f y o u m i g h t l i v e ? I f y o u l i v e d h e r e a n d y o u r f r i e n d h e r e , h o w f a r a p a r t w o u l d y o u l i v e ? C r e a t e t h e f o l l o w i n g s i t u a t i o n s : 0 s t r a i g h t l i n e d i s t a n c e - - c o r n e r t o c o r n e r , 0 s t r a i g h t l i n e u m i d d l e o f b l o c k ( f i r s t o n e c h i l d t h e n b o t h ) , 0 a r o u n d c o r n e r - c o r n e r s o n l y a n d m i d d l e o f b l o c k , { U s i n g a p r e v i o u s e x a m p l e ] W h a t i f y o u c u t t h r o u g h y a r d s a n d w e n t a c r o s s o n e b l o c k t h i s w a y ? H o w f a r w o u l d t h a t b e t h e n ? L e t ’ 3 l o o k a t a d i f f e r e n t n e i g h b o r h o o d n o w . [ U s i n g a s h e e t o f p a p e r w i t h r e c t a n g l e s , a s k s i m i l a r q u e s t i o n s ] L i q u i d m e a s u r e c o n v e r s a t i o n : P o u r w a t e r i n t o t w o c l e a r c o f f e e c u p s f r o m P y r e x 6 - c u p m e a s u r i n g c u p . H o w w o u l d y o u d e s c r i b e h o w m u c h w a t e r t h a t i s ? [ P o u r a b o u t h a l f o f o n e m u g b a c k i n t o P y r e x . ] A b o u t h o w m u c h w o u l d y o u s a w i s t h e r e n o w ? [ P o u r a l i t t l e m o r e b a c k i n t o t h e p i t c h e r . ] A b o u t h o w m u c h w o u l d y o u s a w i s t h e r e n o w ? C o n t i n u e t o a d j u s t t h e a m o u n t — b o t h b e t w e e n % a n d 1 a n d b e t w e e n - 1 2 - a n d 0 . P r o b e w h a t m a k e s n a m e d i f f e r e n t , h o w d e c i d e w h e n t o c h a n g e t h e n a m e o f t h e a m o u n t . C o n t r a s t w i t h m y t h i c a l c h i l d w h o c a l l s i t h a l f t i l l i t ’ s f u l l , c a l l s i t h a l f a n d h a l f o f t h a t , e t c . 9 - 5 a n d 5 - 9 ” W o u l d y o u d o t h i s p r o b l e m f o r m e : ” 9 t a k e a w a y 5 ” ? H o w a b o u t t h i s o n e ? ” 5 t a k e a w a y 9 ” ? 3 7 7 D i c e G a m e : I w o u l d l i k e t o p l a y a g a m e w i t h y o u n o w . I h a v e a p a i r o f d i c e h e r e . A r e y o u f a m i l i a r w i t h d i c e ? D o y o u k n o w w h a t n u m b e r s y o u c o u l d g e t i f y o u r o l l b o t h ? I n t h e g a m e I w a n t t o p l a y w e t a k e t u r n s r o l l i n g t h e d i c e a n d i f t h e t o t a l i s s i x o r l e s s , w e a d d a p o i n t t o o u r s c o r e , i f i t i s s e v e n o r g r e a t e r , w e s u b t r a c t o n e f r o m o u r s c o r e . W e w i l l e a c h s t a r t w i t h 3 p o i n t s , O K ? W i l l y o u k e e p s c o r e f o r u s s o I c a n m a k e n o t e s a b o u t w h a t h a p p e n s ? N u m b e r l i n e q u e s t i o n s : D o y o u k n o w w h a t a n u m b e r l i n e i s ? [ I f n o t , I c o u l d d r a w a l i n e a n d a s k w h e r e 5 / h e m i g h t p u t z e r o . I f s t i l l n o , I p u t z e r o a n d a s k f o r 1 , e t c . ] C a n y o u d r a w a n u m b e r l i n e ? P o s s i b l e q u e s t i o n s : W h e r e d o e s z e r o g o ? W h e r e d o e s o n e g o ? t w o ? t h r e e ? A r e t h e r e n u m b e r s o n t h e o t h e r s i d e o f z e r o ? A r e t h e r e n u m b e r s b e t w e e n 0 a n d 1 ? 1 a n d 2 ? - 1 a n d 0 ? G e n e r a l c o n c l u d i n g q u e s t i o n s : W h a t d i d y o u t h i n k o f t h i s i n t e r v i e w ? H o w d i d i t c o m p a r e w i t h l a s t t i m e ? 3 7 8 A P P E N D I X D P R O T O C O L O F F O U R T H I N T E R V I E W 3 7 9 P R O T O C O L O F D A N I E L L E ’ S F O U R T H I N T E R V I E W 1 1 6 1 ) Y o u s a i d i n o u r s e c o n d c o n v e r s a t i o n t h a t y o u t h o u g h t m a t h w a s ” t r i c k y ” b u t t h a t y o u l i k e d t r i c k y . [ S h o w v i d e o f r o m s e c o n d i n t e r v i e w a b o u t ” t r i c k y ” a n d ” h a r d ” a n d a s k h e r w h a t s h e m e a n s ] W h a t m a k e s m a t h t r i c k y ? [ M a k e s u r e t o p r o b e f o r h e r d e f i n i t i o n o f t r i c k y . ] D o y o u t h i n k i t h a s t o b e ? I s i t j u s t t h e k i n d s o f p r o b l e m s I g i v e y o u ? D o y o u t h i n k t h a t t h e o t h e r s u b j e c t s y o u s t u d y a r e e v e r t r i c k y ? ( I f s o ) H o w ? ( I f n o t ) W h a t i s t h e d i f f e r e n c e — w h y i s m a t h t r i c k y a n d t h e o t h e r s n o t ? 2 ) D a n i e l l e , y o u s a i d y o u w e r e n o t v e r y g o o d a t m a t h b e c a u s e y o u a r e n o t g o o d a t n e g a fi v e n u m b e r s a n d b o r r o w i n g ( l s t i n t e r v i e w ) o r m u l t i p l i c a t i o n ( 2 n d i n t e r v i e w ) . D o y o u s t i l l t h i n k t h a t ? P r o b e s : D o y o u t h i n k y o u w e r e n o t g o o d b e f o r e , s a y w h e n l e a r n i n g a d d i n g ? T h i n k a b o u t w h a t y o u h a v e l e a r n e d t h e l a s t t w o y e a r s , d o e s t h a t m a k e y o u g o o d a t m a t h ? W h a t w o u l d i t t a k e f o r y o u t o b e g o o d a t m a t h ? I k n o w t h a t y o u h a v e s a i d y o u g o t g o o d g r a d e s i n m a t h i n 2 n d a n d 3 r d g r a d e . S h o u l d n ’ t t h a t m e a n y o u a r e g o o d a t m a t h ? W h a t d o y o u t h i n k y o u w i l l h a v e t o l e a r n o r k n o w t o b e g o o d a t m a t h ? H o w w i l l y o u k n o w w h e n y o u a r e g o o d a t m a t h ? Y o u s a i d t h a t C a l v i n a n d B e n n i e w e r e g o o d a t m a t h . W h a t i s t h e d i f f e r e n c e b e t w e e n t h e m a n d y o u ? 1 1 ‘ 5 1 d i d n o t r e a d t h e s e d o c u m e n t s s o m y a c t u a l w o r d s i n e a c h i n t e r v i e w v a r i e d s o m e w h a t f r o m t h e t e x t h e r e . I n a d d i t i o n , I a s k e d p r o b e s b a s e d o n t h e c h i l d r e n ’ s r e s p o n s e s w h i c h , o f c o u r s e , v a r i e d a c c o r d i n g t o t h e a c t u a l r e s p o n s e s o f e a c h c h i l d . 3 8 0 [ P o s s i b l y z ] Y o u s a i d , ” K i d s s h o u l d f i g u r e o u t t h e p r o b l e m b e c a u s e t h a t ’ 5 h o w t h e y l e a r n . ” Y o u a l s o s a i d w h a t y o u l i k e a b o u t m a t h i s s h a r i n g i d e a s , t h a t i d e a s a r e w h a t c o u n t . H o w d o e s t h i s f i t w i t h w h a t y o u h a v e b e e n s a y i n g ? 3 ) A f r i e n d o f m i n e h a d a b i g p a r t y . I w e n t w i t h 1 5 f r i e n d s i n t w o v a n s . W h e n w e g o t t h e r e , t h e r e w e r e a l r e a d y 2 8 p e o p l e p r e s e n t . H o w m a n y w e r e t h e r e a l t o g e t h e r ? O n e d a y I c o u n t e d a l l t h e r o s e s o n m y r o s e b u s h e s . T h e r e w e r e 2 8 . T h e n e x t d a y I c o u n t e d a l l t h e p e o n i e s I h a d , t h e r e w e r e 1 5 . H o w m a n y fl o w e r s d i d I h a v e a l t o g e t h e r ? 3 ) W h e n I w a s o n C h r i s t m a s v a c a t i o n o n e y e a r w e w e r e u p n o r t h . O n e m o r n i n g t h e r a d i o s a i d t h e t e m p e r a t u r e w a s 2 0 d e g r e e s . L a t e r , t h e r a d i o s a i d t e m p e r a t u r e d r o p p e d 1 2 d e g r e e s . W h a t w a s t h e t e m p e r a t u r e t h e n ? A c o u p l e w e e k s l a t e r , I g o t b a c k h o m e a n d t h e d a y t i m e t e m p e r a t u r e w a s 1 2 d e g r e e s . A t n i g h t i t d r o p p e d 2 0 d e g r e e s . W h a t w a s t h e n e w t e m p e r a t u r e ? P r o b e s : I n o t i c e d t h a t t h e a n s w e r s c a m e o u t t h e s a m e i n b o t h t h e ( f i r s t t w o ) p r o b l e m s . W h y d o y o u t h i n k t h a t w a s ? I n o t i c e d t h a t t h e y w e r e d i f f e r e n t i n t h e s e c o n d c a s e . W h y d i d t h e y n o t a l s o c o m e o u t t h e s a m e , t h e n u m b e r s w e r e a l s o t h e s a m e ? O r , p r o b e a b o u t n e g a t i v e n u m b e r s , e t c . D i s c u s s w h y t h e a n s w e r s t u r n o u t t h e s a m e f o r a d d i t i o n a n d d i f f e r e n t f o r s u b t r a c t i o n . 4 ) A s k D a n i e l l e t o w r i t e a s t o r y p r o b l e m t o g o w i t h t h e s e n u m b e r s e n t e n c e s : 1 2 + 2 6 = 1 8 - 4 = 3 8 1 4 - 9 = 5 ) A r e f r a c t i o n s n u m b e r s ? W h y / W h y n o t ? W h a t a b o u t ” - 1 ” [ W r i t i n g i t . ] , i s t h a t a n u m b e r ? 3 8 2 ’ i ‘ " " 1 A P P E N D I X E L E T T E R T O D Y L A N 3 8 3 D e a r D y l a n , I h a v e b e e n l i s t e n i n g t o a n d t h i n k i n g a b o u t t h e t w o i n t e r v i e w s t h a t I d i d w i t h y o u l a s t y e a r . I r e a l l y e n j o y e d o u r t a l k s a n d a p p r e c i a t e y o u r w i l l i n g n e s s t o t a k e t h e t i m e t o h e l p m e t h i n k a b o u t m a t h e m a t i c s a n d a b o u t h o w y o u t h i n k a b o u t m a t h e m a t i c s . Y o u r o p e n n e s s a n d f r a n k n e s s h a v e h e l p e d m e a l o t . I w a n t t o t a k e t h i s o p p o r t u n i t y t o t e l l y o u h o w I a m t h i n k i n g a b o u t , h o w I a m m a k i n g s e n s e o f w h a t w e d i s c u s s e d . I r e a l i z e t h a t y o u h a v e c h a n g e d a l o t i n o n e y e a r a n d t h a t w h a t y o u w o u l d s a y n o w m i g h t b e m u c h d i f f e r e n t . T h e f i r s t t h i n g t h a t s t u c k m e a b o u t o u r c o n v e r s a t i o n s w a s h o w w i d e l y y o u i n t e r p r e t e d m a t h e m a t i c s . Y o u f o u n d m a t h i n n e a r l y e v e r y a c t i v i t y o r o c c u p a t i o n t h a t I s h o w e d y o u i n t h e t w o c a r d s o r t s . I a m n o t t r y i n g t o s u g g e s t t h a t y o u w e r e w r o n g . T h e i n t e r p r e t a t i o n s y o u m a d e o f t h e s e w o u l d l i k e w i s e c a u s e m e t o c l a s s i f y t h e m a s b e i n g o r i n c l u d i n g m a t h — e . g . , t h e c r e a t i n g , p l a n n i n g , m e a s u r i n g o f a p a t t e r n w h e n t i l i n g a fl o o r o r t h e r h y t h m s , n o t e s , a n d b e a t s a b o u t w h i c h a m u s i c t e a c h e r m u s t k n o w . M y g u e s s i s t h a t m a n y p e o p l e w o u l d n o t c a s t s u c h a w i d e n e t . D o y o u h a v e a s e n s e f o r w h y o r h o w y o u r e a c h e d s u c h a v i e w o f m a t h e m a t i c s ? H o w d o y o u t h i n k s u c h a v i e w a f f e c t s t h e w a y y o u a p p r o a c h m a t h p r o b l e m s ? W h a t p r o b a b l y s u r p r i s e d m e m o s t w a s t h a t y o u r e j e c t e d w h a t m o s t p e o p l e w o u l d t y p i c a l l y a s s o c i a t e w i t h m a t h e m a t i c s - 3 2 + 2 5 a n d 6 x 5 . I t s e e m s t o m e t h a t y o u w e r e s a y i n g t h a t w h a t y o u d i d i n s c h o o l w a s n o t r e a l l y m a t h b e c a u s e i t d i d n o t h a v e a n y t h i n g t o d o w i t h t h e r e a l w o r l d . Y o u r i d e a s a b o u t t h i s — - t h a t m a t h w a s ” r e a l w o r l d ” s t u f f — s e e m s t o h a v e b e e n i n f l u e n c e d b y y o u r f a t h e r a n d b y ” S q u a r e O n e . ” Y o u s e e m t o h a v e b e e n t r y i n g t o a d o p t a v i e w o f m a t h c o n s i s t e n t w i t h t h e i r s . T h e e x a m p l e y o u g a v e o f t h e p r o b l e m y o u r f a t h e r a s k e d y o u o n c e — ” I f y o u w e n t t o t h e s t o r e 5 d i f f e r e n t t i m e s a n d e a c h t i m e b o u g h t 2 3 i t e m s , h o w m a n y i t e m s w o u l d y o u h a v e b o u g h t ? ” - i n t e r e s t e d m e . Y o u c o n t r a s t e d t h i s w i t h t h e t y p i c a l s c h o o l s t o r y p r o b l e m ” J o e h a s 5 s h e l l s a n d J a c k h a s 7 s h e l l s , h o w m a n y d o t h e y h a v e t o g e t h e r ? ” Y o u s a i d t h a t y o u p r o b a b l y d i d n o t k n o w J o e a n d J a c k a n d w h o c a r e d h o w m a n y s h e l l s t h e y h a d a n y w a y . T h i s a l l m a k e s a l o t o f s e n s e t o m e . W h a t p u z z l e s m e i s t h a t w h e n y o u s o l v e d t h e p r o b l e m y o u r f a t h e r h a d g i v e n , y o u d i d s o i n t h e v e r y t r a d i t i o n a l w a y t h a t s c h o o l s t e a c h f o r d o i n g c o l u m n a d d i t i o n . S o , i t s e e m s t o m e t h a t y o u h a d m a d e s o m e s e l e c t i o n s o f s t u f f y o u l e a r n e d i n s c h o o l t h a t y o u t h e n w o u l d u s e f o r w o r k i n g o n ” r e a l ” m a t h p r o b l e m s . I w o n d e r i f I a m c o r r e c t i n s a y i n g t h i s . M o r e i m p o r t a n t , h o w i s i t t h a t y o u m a k e d e c i s i o n s a b o u t w h a t t o u s e f r o m s c h o o l ? H o w d o y o u d e c i d e w h a t i s v a l u a b l e - 4 n s c h o o l , o n ” S q u a r e O n e , ” o r f r o m y o u r f a t h e r ? D o e s t h i s j u s t h a p p e n o n a n a d h o c b a s i s - - y o u j u s t s o r t o f s t o r e t h e m i n y o u r m e m o r y a n d t h e n t h e y c o m e t o m i n d w h e n y o u a r e t r y i n g t o s o l v e a p a r t i c u l a r p r o b l e m ? O r , d o y o u t h i n k a b o u t t h e s e k i n d s o f t h i n g s a s y o u a r e l e a r n i n g t h e m ? O r , m a y b e y o u l e a r n t h e m , f i n d t h e m u s e f u l i n a ” r e a l ” p r o b l e m , a n d t h e n s t o r e t h e m a s a u s e f u l t o o l f o r l a t e r , s i m i l a r s i t u a t i o n s ? I a l s o w o n d e r i f y o u h a v e b e e n g r o c e r y s h o p p i n g s i n c e o u r i n t e r v i e w s . Y o u s a i d y o u w e r e u n a b l e t o d e c i d e w h e t h e r t h a t a c t i v i t y i n c l u d e d m a t h b e c a u s e y o u h a d n e v e r r e a l l y b e e n g r o c e r y s h o p p i n g . T h e r e a s o n I a m c u r i o u s a b o u t t h i s i s t h a t y o u w e r e i n c l i n e d t o s a y i t w a s n o t m a t h b e c a u s e i t w a s j u s t a d d i n g u p a b u n c h o f n u m b e r s . H o w e v e r , I k n o w p e o p l e w h o w o u l d a r g u e t h a t g r o c e r y s h o p p i n g i s o n e o f t h e m o r e a u t h e n t i c u s e s o f m a t h f o r t h e m a j o r i t y o f p e o p l e . T h u s , f o r m e i t s e e m s t o b e a p l a c e w h e r e w h a t I i n t e r p r e t a s t w o o f y o u r 3 8 5 r e q u i r e m e n t s f o r c l a s s i f y i n g s o m e t h i n g a s b e i n g m a t h e m a t i c a l - - d i f fi c u l t y a n d a u t h e n t i c i t y — c o m e i n t o c o n fl i c t w i t h e a c h o t h e r . L e t m e e x p l a i n w h a t I m e a n . 0 O n t h e o n e h a n d , y o u s e e m e d a t t i m e s t o s a y t h a t p r o b l e m s n e e d t o b e d i fi ‘ i e u l t t o b e m a t h e m a t i c a l f o r y o u . ( T h i s c a m e u p w h e n y o u t a l k e d a b o u t c o m p u t i n g t h e e x a c t a g e [ y e a r s , m o n t h s , d a y s , h o u r s ] o f s o m e o n e 5 . 2 y e a r s o l d . T h i s a l s o r a i s e s a q u e s t i o n o f a d i f f e r e n t s o r t f o r m e . I t m a k e s m e w o n d e r i f y o u w o u l d s t i l l s a y t h a t s o m e o f t h e p r o b l e m s y o u f o u n d t o b e ” r e a l ” m a t h w h e n w e t a l k e d a y e a r a g o a r e m a t h o r a r e t h e y n o w j u s t l i k e t h e s i m p l e l t h i n g s t h a t y o u d o i n s c h o o l a n d t h e r e f o r e y o u w o u l d n o l o n g e r c o n s i d e r 1 1 . ) , t h e m m a t h ? ) A m o n g t h e i m p l i c a t i o n s I d r e w f r o m y o u r c o m m e n t s a b o u t g r o c e r y s h o p p i n g w a s t h a t t h e a d d i n g o f p r i c e s i n v o l v e d w o u l d n o t b e d i f f i c u l t a n d t h e r e f o r e y o u w o u l d b e i n c l i n e d n o t t o i n c l u d e s u c h a n a c t i v i t y a s m a t h e m a t i c s . 0 A n o t h e r c h a r a c t e r i s t i c t h a t y o u a s s o c i a t e d w i t h m a k i n g s o m e t h i n g m a t h e m a t i c a l w a s y o u r c o n c e r n f o r a u t h e n t i c i t y i n p r o b l e m s . T h i s a l s o s e e m s t o t r u e o f t h e a c t i v i t y o f g r o c e r y s h o p p i n g — i t i s a ” r e a l l i f e ” a c t i v i t y . Y e t , t h i s d i d n o t s e e m t o b e s o m e t h i n g y o u c o n s i d e r e d a s y o u t h o u g h t a b o u t w h e t h e r g r o c e r y s h o p p i n g w a s m a t h e m a t i c a l . I s a w a n o t h e r i n s t a n c e o f t h e s e t w o r e q u i r e m e n t s c o m i n g i n t o c o n fl i c t ( w i t h d i f fi c u l t y a g a i n a p p a r e n t l y b e i n g m o r e i m p o r t a n t ) i n y o u r r e j e c t i o n o f t h e s i m p l e c o m p u t a t i o n o f fl i g h t t i m e f o r a d i r e c t fl i g h t t o W a s h i n g t o n , D C w h i l e a c c e p t i n g a s m a t h e m a t i c a l a h y p o t h e t i c a l fl i g h t w i t h m u l t i p l e s t o p s , r e f u e l i n g , e t c . w h i c h y o u c r e a t e d d u r i n g t h e i n t e r v i e w . H o w e v e r , I a m n o t s u r e w h y o n e w o u l d b e ” r e a l ” a n d t h e o t h e r n o t . 3 8 6 y o u ; i n t e s u g w h d e t m c “ h a n y o a u d c s h S E t o d c V l t m a m a I w o n d e r , h a v e I c o r r e c t l y i n t e r p r e t e d d i f fi c u l t y a n d a u t h e n t i c i t y a s t w o o f y o u r c h a r a c t e r i s t i c s f o r c o n s i d e r i n g s o m e t h i n g m a t h e m a t i c s ? W a s I c o r r e c t i n i n t e r p r e t i n g y o u r r e a s o n i n g a b o u t g r o c e r y s h 0 p p i n g a n d fl i g h t t i m e a s s u g g e s t i n g t h a t d i f fi c u l t y i s m o r e i m p o r t a n t t h a n a u t h e n t i c i t y i n d e t e r m i n i n g w h a t i s m a t h e m a t i c a l ? D o y o u ( s t i l l ) s e e d i fi i c u l t y a s a c r u c i a l a s p e c t i n d e t e r m i n i n g i f a n a c fi v i t y i n c l u d e s m a t h e m a t i c s ? I f s o , i s y o u r d e fi n i t i o n t h e n a m o v i n g t a r g e t u d o e s w h a t y o u c o n s i d e r m a t h c h a n g e a s y o u r a b i l i t y t o d o ” h a r d e r ” p r o b l e m s g r o w s ? S i m i l a r l y , d o e s y o u r d e fi n i t i o n o f w h a t c o u n t s a s a n a u t h e n t i c a c t i v i t y c h a n g e w i t h y o u r c h a n g i n g v i e w o f t h e w o r l d ( f o r e x a m p l e , a s y o u h a v e e x p e r i e n c e s g r o c e r y s h o p p i n g o r fl y i n g ) . D o e s w h a t y o u v i e w a s a n a u t h e n t i c a c t i v i t y c h a n g e a s y o u r k n o w l e d g e o f w h a t p e o p l e d o i n t h e w o r l d g r o w s ( f o r e x a m p l e , a s y o u l e a r n m o r e a b o u t w h a t a c u s t o d i a n o r a s a l e s p e r s o n d o e s ) ? A n o t h e r i s s u e t h a t s e e m e d t o b e i m p o r t a n t f o r y o u i n d e t e r m i n i n g w h a t s h o u l d b e c o n s i d e r e d a s m a t h w a s p r e c i s i o n . T h i s c a m e u p i n t w o w a y s . F i r s t , y o u s e e m e d t o d i s p a r a g e t h e r o u n d i n g a c t i v i t i e s y o u w e r e d o i n g i n s c h o o l . Y o u w e r e n e i t h e r s p e c i fi c a b o u t w h a t t h e s e w e r e n o r w h y y o u d i d n o t v i e w t h e m a s m a t h . I a m n o t s u r e w h e t h e r t h i s w a s b e c a u s e y o u w e r e i n t e n t o n r e j e c t i n g a l l o f ” s c h o o l m a t h ” o r r a t h e r f o r r e a s o n s r e l a t e d t o t h e a c t i v i t y i t s e l f u b e c a u s e y o u d i d n o t a s s o c i a t e t h e t h i n k i n g i n v o l v e d i n r o u n d i n g w i t h m a t h e m a fi c s . I a m i n c l i n e d t o t h i n k i t w a s t h e l a t t e r b a s e d o n y o u r c o m m e n t s a b o u t c o m p u t i n g fl i g h t t i m e - d o w n t o t h e s e c o n d — a s a ” r e a l ” m a t h p r o b l e m . I t s e e m s t o m e t h a t y o u w e r e v i e w i n g d i f fi c u l t y a s o n e p r e r e q u i s i t e f o r c o n s i d e r i n g a p r o b l e m m a t h a n d a r g u i n g t h a t p r e c i s i o n m a k e s t h i n g s m o r e d i f fi c u l t , t h e r e f o r e m o r e l i k e l y t o b e m a t h . W a s i t t h e i s s u e o f p r e c i s i o n t h a t m a d e o n e c o m p u t a t i o n o f fl i g h t t i m e m a t h e m a t i c a l a n d t h e o t h e r n o t ? I f p r e c i s i o n i s i n f a c t a n i m p o r t a n t c o m p o n e n t 3 8 7 o f m a t h i n h e r e n o u r i n t e e s t i m a t a c t i v i t i s o l v e ' a p p r c a b l e t t o h a h a v e o u t < p r o t s e l e o f m a t h f o r y o u , i s i t b e c a u s e i t c r e a t e s t h e n e c e s s a r y d i f fi c u l t y ? O r , i s i t s o m e t h i n g i n h e r e n t i n b e i n g p r e c i s e t h a t m a k e s t h e a c t i v i t y ” r e a l ” m a t h ? I w o n d e r i f , s i n c e o u r i n t e r v i e w , y o u r f a t h e r o r ” S q u a r e O n e ” h a s s u g g e s t e d t h e v a l u e o f e s t i m a t i n g a n d r o u n d i n g . I f s o , w h a t a r e y o u r c u r r e n t b e l i e f s a b o u t w h e t h e r s u c h a c t i v i t i e s c o n t r i b u t e t o w h a t i s m a t h ? I w a s s t r u c k b y h o w c o n s c i o u s y o u w e r e o f t h e s t r a t e g i e s t h a t y o u u s e d t o s o l v e p r o b l e m s . Y o u f r e e l y t a l k e d ( o f t e n w i t h o u t p r o m p t i n g ) a b o u t w h a t a p p r o a c h y o u w e r e g o i n g t o u s e a n d w h y . O n t h e o t h e r h a n d , y o u s e l d o m w e r e a b l e t o s a y w h e r e o r h o w y o u l e a r n e d t h e s e a p p r o a c h e s . T h e y s o m e h o w s e e m e d t o h a v e b e c o m e p a r t o f y o u r r e p e r t o i r e w i t h o u t y o u r n o t i c i n g i t . T h i s s e e m s t o h a v e b e e n t h e c a s e f o r b o t h s t r a t e g i e s y o u g l e a n e d f r o m s c h o o l ( e . g . , fi g u r i n g o u t c o m b i n a t i o n s ) a n d t h o s e y o u d e v e l o p e d o n y o u r o w n ( s o l v i n g d i v i s i o n p r o b l e m s ) . T h e s e m u s i n g s o n m y p a r t r a i s e d a s e r i e s o f q u e s t i o n s a b o u t y o u r s e l e c t i o n a n d u s e o f s t r a t e g i e s : 0 W h e n y o u a r e l e a r n i n g h o w t o s o l v e p r o b l e m s i n s c h o o l , d o y o u c o n s c i o u s l y a t t e n d t o t h e s t r a t e g i e s ? 0 W h e n y o u a r e l e a r n i n g t h e m , c a n y o u t e l l w h i c h s t r a t e g i e s y o u w i l l b e a b l e t o u s e i n ” r e a l ” m a t h , w h i c h o n l y i n ” s c h o o ” m a t h , w h i c h i n b o t h , a n d w h i c h i n n e i t h e r ? 0 H o w d o y o u d e c i d e w h i c h s t r a t e g i e s f r o m s c h o o l t o u s e w h e n s o l v i n g ” r e a l ” p r o b l e m s ? 0 W h e n y o u a r e s o l v i n g ” r e a l ” p r o b l e m s , a r e y o u e v e r c o n s c i o u s o f c r e a t i n g y o u r o w n s t r a t e g i e s ? 0 H o w d o y o u d e c i d e w h e n s c h o o l - b a s e d s t r a t e g i e s w i l l w o r k b e t t e r t h a n t h o s e y o u m i g h t h a v e c r e a t e d y o u r s e l f o r a c q u i r e d e l s e w h e r e ? 3 8 8 1 p r o b l e m c a n d y I t h a t % t p o s s i b ‘ t e a c h , p r o b l t n e x t . A : y c s o l v i s u b s y o u s o l e i n 3 8 0 b a P l i n t m e w h M t h e a n d I a l s o n o t i c e d t h a t y o u m a d e u s e o f t h i n g s y o u l e a r n e d i n o n e p a r t o f a p r o b l e m t o s o l v e o t h e r p a r t s . F o r i n s t a n c e , w h e n y o u w e r e w o r k i n g o n t h e c a n d y b a r p r o b l e m , a s y o u w o r k e d o n 9 % c a n d y b a r s p e r c h i l d y o u d i s c o v e r e d I . . t h a t 5 f o u r t i m e s m a d e t w o c a n d y b a r s . W h e n y o u t r i e d o t h e r n u m b e r s a s p o s s i b l e s o l u t i o n s , y o u a s s u m e d t h a t f a c t . I h a v e n o t i c e d m a n y t i m e s w h e n I t e a c h , t h a t p e o p l e t e n d t o r e p e a t s u c h c o m p u t a t i o n s m a n y t i m e s i n t h e s a m e p r o b l e m , t h e y d o n ’ t s e e m t o m a k e a c o n n e c t i o n b e t w e e n o n e i n s t a n c e a n d t h e n e x t . H o w d o y o u k n o w w h e n s u c h p r e v i o u s w o r k t o w a r d a s o l u t i o n i s h e l p f u l ? A s y o u d o i t , a r e y o u a w a r e o f i t a s v a l u a b l e f o r m u l t i p l e s i m i l a r s t e p s t o w a r d s o l v i n g t h e p r o b l e m ? D o e s t h a t a w a r e n e s s o n l y c o m e a f t e r t h e f a c t - - w h e n m a k i n g s u b s e q u e n t u s e o f t h e t h i n g y o u ’ v e fi g u r e d o u t ? ( I n t h i s c a s e , d i d y o u t h i n k , a s y o u d i d t h e fi r s t a d d i t i o n o f % f o u r t i m e s , t h a t y o u w o u l d b e a b l e t o u s e t h e s o l u t i o n i n t h e n e x t i t e r a t i o n i f i t d i d n o t w o r k t h e n ? ) A n o t h e r t h i n g I h a v e s e e n i n s i m i l a r p r o b l e m s i s t h a t s o m e a b a n d o n a n a p p r o a c h a f t e r t h e fi r s t u n s u c c e s s f u l s o l u t i o n . Y o u c o n t i n u e d w i t h t h e s a m e s t r a t e g y . H o w d i d y o u d e c i d e t h i s a p p r o a c h w o u l d b e w o r t h c o n t i n u i n g ? A n o t h e r t h i n g I f o u n d i n t r i g u i n g w a s t h a t w h i l e y o u w e r e c o n fi d e n t i n y o u r a b i l i t y t o s o l v e p r o b l e m s — e v e n t h o s e o f a t y p e y o u h a d n e v e r s e e n p r e v i o u s l y - - y o u w o u l d o f t e n h e d g e y o u r b e t s a b o u t t h e a n s w e r . Y o u o f t e n s a i d ” I t h i n k ” a f t e r g i v i n g a n a n s w e r . I r e a l i z e t h a t , a s y o u s t a t e d d u r i n g t h e i n t e r v i e w , t h i s i s j u s t s o m e t h i n g y o u s a y a n d t h a t y o u f e e l , i n e f f e c t , i t i s n o t m e a n t t o q u a l i f y y o u r a n s w e r . H o w e v e r , c o m b i n e d w i t h t h e f o l l o w i n g e x a m p l e s w h e r e y o u c l e a r l y a r e q u a l i f y i n g y o u r a n s w e r s , I t h i n k i t d o e s h a v e s i g n i fi c a n c e . W h e n y o u w e r e w o r k i n g o n t h e l u n c h c o m b i n a t i o n s p r o b l e m , y o u fi g u r e d o u t t h e n u m b e r o f m e a l s t h a t o n e c o u l d h a v e w i t h h a m b u r g e r a s t h e m a i n c o u r s e a n d t h e n s a i d , ” I g u e s s t h a t w o u l d b e f o u r . ” O n o t h e r o c c a s i o n s y o u u s e d t h e 3 8 9 w o r d ” p r o b a b l y ” i n q u a l i f y i n g y o u r a n s w e r s . I a m c u r i o u s w h e t h e r y o u s e e t h i s a s h e d g i n g y o u b e t s o r j u s t fi l l e r - - a s w h e n p e o p l e s a y ” y o u k n o w ” o r ” l i k e . ” W h e n y o u p r o v i d e a n a n s w e r , d o e s ” I t h i n k ” m e a n y o u a r e o n l y 9 0 % s u r e ? A r e t h e r e e v e r t i m e s w h e n y o u a r e c o m p l e t e l y s u r e ? I s t h e r e a d i f f e r e n c e b e t w e e n t i m e s w h e n y o u a r e p r e t t y s u r e a n d t i m e s y o u a r e v e r y s u r e ? O n e p a r t o f t h e i n t e r v i e w w a s p a r t i c u l a r l y s t r i k i n g t o m e u w h e n w e w e r e t a l k i n g a b o u t n e g a t i v e n u m b e r s a n d h o w t o s u b t r a c t t h e m . Y o u h a d e x p l a i n e d t o m e w h a t y o u u n d e r s t o o d h a p p e n s w h e n y o u a d d t w o p o s i t i v e n u m b e r s , w h e n y o u a d d a p o s i t i v e a n d a n e g a t i v e , a n d w h e n y o u s u b t r a c t a p o s i t i v e f r o m a p o s i t i v e . T h e n I a s k e d y o u w h a t s u b t r a c t i o n o f a n e g a t i v e f r o m a p o s i t i v e w o u l d b e . Y o u t h o u g h t t h a t i t m i g h t b e l i k e a d d i n g a p o s i t i v e - i . e . , t h a t i t w o u l d b e t h e o p p o s i t e o f s u b t r a c t i n g a p o s i t i v e . I t h o u g h t t h a t y o u w e r e s e e i n g a n d u s i n g t h e l o g i c o f m a t h e m a t i c s . L e t m e e x p l a i n w h a t I b e l i e v e y o u w e r e t h i n k i n g : Y o u b e l i e v e d t h a t m a t h e m a t i c s i s i n h e r e n t l y l o g i c a l . B u i l d i n g o n t h i s a s s u m p t i o n , y o u r e a s o n e d t h a t s i n c e a d d i t i o n a n d s u b t r a c t i o n o f p o s i t i v e s w o r k i n o p p o s i t e w a y s u o n e a d d i n g t o a n d t h e o t h e r t a k i n g a w a y f r o m a n o r i g i n a l a m o u n t - ~ t h e n t h e s a m e s h o u l d h o l d t r u e f o r p o s i t i v e a n d n e g a t i v e n u m b e r s . Y o u t h e n w e n t o n , a r g u i n g ( t o y o u r s e l f ) t h a t s i n c e a d d i t i o n o f n e g a t i v e s ” t a k e s a w a y , ” s u b t r a c t i o n o f n e g a t i v e s s h o u l d a d d t o t h e o r i g i n a l a m o u n t . D o e s t h i s s e e m t o b e h o w y o u w e r e t h i n k i n g a b o u t i t ? I n o t i c e d t h a t y o u d i d t h o u g h , q u a l i f y y o u r a n s w e r - s a y i n g , ” M a y b e ? . . . I d o n ’ t k n o w . ” W h e n y o u s t a r t e d t o e x p l a i n i t a g a i n , y o u g o t c o n f u s e d a n d ” f o r g o t ” w h a t y o u w e r e a b o u t t o s a y . I w o n d e r a t w h i c h 1 e v e l ( s ) y o u r u n c e r t a i n t y w a s d e v e l o p i n g . T h a t i s , d i d y o u q u e s t i o n y o u r a s s u m p t i o n t h e r e w a s a l o g i c a l b a s i s o f m a t h e m a t i c s - t h a t y o u c o u l d r e a s o n a b o u t i t ? M a y b e i n s t e a d o f q u e s t i o n i n g t h e l o g i c o f m a t h e m a t i c s , y o u w e r e q u e s t i o n i n g y o u r o w n l o g i c - u n s u r e w h e t h e r y o u h a d k e p t t h e t h r e a d s o f y o u r a r g u m e n t s t r a i g h t a s y o u p r o c e e d e d t h r o u g h i t ? O r , w e r e y o u q u e s t i o n i n g t h e e x i s t e n c e o f a p a r a l l e l b e t w e e n o p e r a t i o n s o n p o s i t i v e a n d 3 9 0 “ I ? “ n e g a t i v e n u m b e r s - - w e r e y o u w o n d e r i n g i f i t w a s s a f e t o a s s u m e t h a t b e c a u s e p o s i t i v e n u m b e r s w o r k e d t h a t w a y , t h e n n e g a t i v e s s h o u l d , t o o ? T h e r e w a s o n e m o r e t h i n g t h a t w a s v e r y s t r i k i n g t o m e d u r i n g o u r c o n v e r s a t i o n a b o u t n e g a t i v e n u m b e r s . A s w e t a l k e d a b o u t t h e r m o m e t e r s i n A l a s k a , y o u c o m m e n t e d o n t h e w a y n e g a t i v e n u m b e r s w o r k - - b o t h g e t u ' n g b i g g e r a n d s m a l l e r a t t h e s a m e t i m e . A t t h e t i m e , I t h o u g h t y o u h a d n o t i c e d o r fi g u r e d o u t t h a t a s t h e t e m p e r a t u r e g o e s f r o m - 2 0 t o - 2 i t i s g e t t i n g w a r m e r - w h i c h y o u c o n n e c t e d t o - 2 b e i n g a l a r g e r n u m b e r t h a n - 2 0 . Y o u c o m m e n t e d o n h o w t h i s w a s t h e o p p o s i t e o f t h e r e l a t i o n b e t w e e n t h e 2 0 a n d t h e 2 ” p a r t s ” o f t h e n u m b e r s , 2 0 i s l a r g e r t h a n 2 . N o w I w o n d e r , h a d y o u r f a t h e r t o l d y o u t h i s ? O r , d i d y o u m a k e t h e o b s e r v a t i o n o n y o u r o w n ? I a m c u r i o u s a b o u t h o w y o u t h i n k a b o u t n e g a t i v e n u m b e r s n o w . A t t h e t i m e y o u i n d i c a t e d t h a t e v e n 5 t h g r a d e r s i n y o u r s c h o o l t h o u g h t t h a t y o u c o u l d n o t s u b t r a c t 1 0 f r o m 9 . H o w e v e r , y o u r f a t h e r h a d t a u g h t y o u a b o u t n e g a t i v e n u m b e r s s o y o u ” k n e w b e t t e r . ” A s w e e n d e d t h e i n t e r v i e w y o u s a i d t h a t y o u h a d l e a r n e d s o m e a b o u t n e g a t i v e n u m b e r s d u r i n g t h e i n t e r v i e w . I w o n d e r i f y o u s t i l l f e e l t h a t w a y . H o w w o u l d y o u n o w e x p l a i n t h e f u n n y r e l a t i o n s h i p a m o n g n e g a t i v e n u m b e r s t h a t y o u n o t i c e d i n o u r i n t e r v i e w ( t h a t I t a l k e d a b o u t i n t h e p r e v i o u s p a r a g r a p h ) ? I a l s o w o n d e r w h e t h e r l e a r n i n g a b o u t n e g a t i v e n u m b e r s i n t h i s w a y h a s i n fl u e n c e d y o u r t h i n k i n g i n o r a b o u t m a t h e m a t i c s . W h a t I a m t h i n k i n g a b o u t i s t h a t y o u r p r e v i o u s e x p e r i e n c e s w i t h l e a r n i n g m a t h s e e m e d t o h a v e c o m e t h r o u g h s c h o o l , ” S q u a r e O n e , ” o r y o u r f a t h e r . I f y o u h a d b e e n l i m i t e d t o a n y o n e o f t h e s e y o u m i g h t h a v e h a d a m u c h d i f f e r e n t v i e w o f m a t h ( e . g . , i f y o u h a d b e e n l i m i t e d t o l e a r n i n g m a t h i n s c h o o l y o u m i g h t b e l i e v e t h a t m a t h e m a t i c s d o e s 3 9 1 n o t h a v e t o m a k e s e n s e , t h a t i t i s j u s t a b u n c h o f r u l e s , e t c . ) . S o , I a m c u r i o u s i f t h i s e x p e r i e n c e s t a r t e d y o u t h i n k i n g a n y d i f f e r e n t l y a b o u t w h a t m a t h i s a b o u t - - h o w m a t h e m a t i c i a n s r e a s o n , h o w m a t h e m a t i c s w o r k s , e t c . T h e fi n a l t h i n g I w a n t t o t a l k a b o u t i s y o u r s e l f c o n fi d e n c e i n t h i n k i n g a b o u t m a t h e m a t i c s . Y o u s e l d o m a s k e d f o r c o n f i r m a t i o n o f y o u r w o r k o r s o l u t i o n s f r o m m e . Y o u s e e m e d c o n fi d e n t i n t h e t h i n k i n g t h a t y o u d i d a s y o u s o l v e d p r o b l e m s - e v e n g i v e n t h e t e n d e n c y I n o t i c e d f o r y o u t o q u a l i f y s o m e o f y o u r a n s w e r s . D i d y o u t h i n k t h e p r o b l e m s w e r e j u s t t o o e a s y ? D i d y o u t h i n k t h e y w e r e h a r d b u t w e r e s u r e o f y o u r a b i l i t y t o r e a s o n w h e n d o i n g m a t h ? I t h i n k i t w a s p r o b a b l y t h e l a t t e r . B u t t h i s r a i s e s a n e w ( a n d l a s t ) q u e s t i o n f o r m e : H o w d i d y o u d e v e l o p s u c h c o n fi d e n c e ? I t s e e m s t h a t m o s t p e o p l e a r e m u c h m o r e t e n t a t i v e a s t h e y w o r k i n m a t h e m a t i c s . I w o u l d l i k e t o u n d e r s t a n d h o w y o u c a m e t o t h i s w a y o f a p p r o a c h i n g m a t h . F i n a l l y , I w a n t t o t h a n k y o u a g a i n f o r y o u r h e l p i n g m e i n t h i n k i n g a b o u t t h i s . 3 9 2 L I S T O F R E F E R E N C E S 3 9 3 . . . " 1 A - 9 ' J R E F E R E N C E S A m e r i c a n A s s o c i a fi o n o f U n i v e r s i t y W o m e n E d u c a t i o n a l F o u n d a t i o n . ( 1 9 9 2 ) . H o w s c h o o l s s h o r t c h a n g e g i r l s : T h e A A L I W r e p o r t . N e w Y o r k : M a r l o w e . B a l l , D . L . ( 1 9 9 1 ) . W h a t ’ 5 a l l t h i s t a l k a b o u t ” D i s c o u r s e ” ? A r i t h m e t i c T e a c h e r , N o v e m b e r , 1 9 9 1 . 4 4 - 4 8 B a l l , D . L . ( 1 9 9 3 ) . H a l v e s , i e c e s , a n d t w o t h s : C o n s t r u c t i n g a n d u s i n g r e p r e s e n t a t i o n a l c o n t e x t s i n t e a c h i n g f r a c t i o n s . I n T . P . C a r p e n t e r , E . F e n e m a , & T . A . R o m b e r g ( E d s ) , R a t i o n a l n u m b e r s : A n i n t e g r a t i o n o f r e s e a r c h ( p p . 1 5 7 - 1 9 5 ) . H i l l s d a l e , N ] : E r l b a u m . - 1 ! B a r n e s , D . ( 1 9 9 2 ) . T h e s i g n i fi c a n c e o f t e a c h e r s ' f r a m e s f o r t e a c h i n g . I n T . R u s s e l l , 8 : H . M u n b y ( E d s ) , T e a c h e r s a n d t e a c h i n g : F r o m c l a s s r o o m t o r e fl e c t i o n ( p p . 9 - 3 2 ) . N e w Y o r k : T h e F a l m e r P r e s s . B e n - Z e e v , T . ( 1 9 9 6 ) . W h e n e r r o n e o u s m a t h e m a t i c a l t h i n k i n g i s j u s t a s ” c o r r e c t ” : T h e o x y m o r o n o f r a t i o n a l e r r o r s . I n R . J . S t e r n b e r g & T . B e n - Z e e v ( E d s ) , T h e n a t u r e o f m a t h e m a t i c a l t h i n k i n g ( p p . 5 5 - 7 9 ) . H i l l s d a l e , N J : E r l b a u m . B i s h o p , A . J . ( 1 9 8 8 ) . M a t h e m a t i c a l e n c u l t u r a t i o n : A c u l t u r a l p e r s p e c t i v e o n m a t h e m a t i c s e d u c a t i o n . B o s t o n : K l u w e r . B l u m e r , H . ( 1 9 6 9 ) . S y m b o l i c i n t e r a c t i o n i s m : P e r s p e c t i v e a n d m e t h o d s . E n g l e w o o d C l i f f s , N J : P r e n t i c e H a l l . B o a l e r , I , ( 1 9 9 3 ) . T h e r o l e o f c o n t e x t s i n t h e m a t h e m a t i c s c l a s s r o o m : D o t h e y r e a l l y m a k e m a t h e m a t i c s m o r e ’ r e a l ’ ? I n F o r t h e L e a r n i n g o f M a t h e m a t i c s , 1 3 , 2 , 1 2 - 1 7 . B r e n n e r , M . E . , M a y e r , R . E . , M o s e l e y , B . , B r a r , T . , D u r a n , R . , R e e d , B . S . , W e b b , D . ( 1 9 9 7 ) . L e a r n i n g b y u n d e r s t a n d i n g : T h e r o l e o f m u l t i p l e r e p r e s e n t a t i o n s i n l e a r n i n g a l g e b r a . A m e r i c a n E d u c a t i o n a l R e s e a r c h I o u r n a l , 3 4 , 2 , 6 6 3 - 6 8 9 . B r i n k e r , L . ( 1 9 9 6 ) R e p r e s e n t a t i o n s a n d s t u d e n t s ’ r a t i o n a l n u m b e r r e a s o n i n g . U n p u b l i s h e d d o c t o r a l d i s s e r t a t i o n , U n i v e r s i t y o f W i s c o n s i n , M a d i s o n . B r o w n , C . ( 1 9 8 2 ) . T h e s p o k e n l a n g u a g e . I n R . C a r t e r ( E d . ) , L i n g u i s t i c s a n d t h e t e a c h e r . L o n d o n : R o u t l e d g e & K e g a n P a u l . B r o w n , J . S . 8 : B u r t o n , R . R . ( 1 9 7 8 ) . D i a g n o s t i c m o d e l s f o r p r o c e d u r a l b u g s i n b a s i c m a t h e m a t i c a l s k i l l . C o m p u t e r S c i e n c e , 2 , 1 5 5 - 1 0 2 . B r o w n , J . S . & V a n L e h n , K . ( 1 9 8 2 ) . T o w a r d s a g e n e r a t i v e t h e o r y o f ” b u g s . ” I n T . P . C a r p e n t e r , J . M . M o s e r , 8 r T . A . R o m b e r g ( E d s ) , A d d i t i o n a n d s u b t r a c t i o n : A c o g n i t i v e p e r s p e c t i v e . H i l l s d a l e , N J : E r l b a u m . 3 9 4 B r o w n , M . ( 1 9 8 1 ) . P l a c e v a l u e a n d d e c i m a l s . I n , K . M . H a r t ( E d . ) , C h i l d r e n ’ s u n d e r s t a n d i n g s o f m a t h e m a t i c s : ( p p . 1 1 - 1 6 ) . L o n d o n : J o h n M u r r a y . B r u n e r , J . ( 1 9 9 0 ) . A c t s o f m e a n i n g . C a m b r i d g e : H a r v a r d U n i v e r s i t y P r e s s . C a r p e n t e r , T . P . , F e n e m a , E . , & R o m b e r g , T . A . ( 1 9 9 3 a ) . R a t i o n a l n u m b e r s : A n i n t e g r a t i o n o f r e s e a r c h . H i l l s d a l e , N J : E r l b a u m . C a r p e n t e r , T . P . , F e n e m a , E . , & R o m b e r g , T . A . ( 1 9 9 3 b ) . T o w a r d a u n i fi e d d i s c i p l i n e o f s c i e n t i f i c i n q u i r y . I n T . P . C a r p e n t e r , E . F e n e m a , 8 : T . A . R o m b e r g ( E d s ) , R a t i o n a l n u m b e r s : A n i n t e g r a t i o n o f r e s e a r c h ( p p . 1 - 1 1 ) . H i l l s d a l e , N J : E r l b a u m . C a r p e n t e r , T . P . , L i n d q u i s t , M . M . , M a t t h e w s , W . , & S i l v e r , E . A . ( 1 9 8 3 ) . R e s u l t s o f t h e t h i r d N A E P m a t h e m a t i c s a s s e s s m e n t : S e c o n d a r y s c h o o l . M a t h e m a t i c s T e a c h e r , 7 6 , 9 , 6 5 2 - 6 5 9 . C o b b , P . ( 1 9 9 0 ) . M u l t i p l e p e r s p e c t i v e s . I n L . P . S t e f f e & T . W o o d ( E d s ) , T r a n s f o r m i n g c h i l d r e n ’ s m a t h e m a t i c s e d u c a t i o n : I n t e r n a t i o n a l p e r s p e c t i v e s ( p p . 2 0 0 - 2 1 5 ) . H i l l s d a l e , N J : E r l b a u m . C o b b , P . ( 1 9 9 4 ) . W h e r e i s t h e m i n d ? C o n s t r u c fi v i s t a n d s o c i o c u l t u r a l p e r s p e c t i v e s o n m a t h e m a t i c a l d e v e l o p m e n t . E d u c a t i o n a l R e s e a r c h e r , 2 3 , 7 , 1 3 - 2 0 . C o b b , R , W o o d , T . , 8 : Y a c k e l , E . ( 1 9 9 3 ) . D i s c o u r s e , m a t h e m a t i c a l t h i n k i n g , a n d c l a s s r o o m p r a c t i c e . I n E . A . F o r m a n , N . M i n i c k , & C . A . S t o n e ( E d s ) , C o n t e x t s f o r l e a r n i n g ( p p . 9 1 - 1 1 9 ) . N e w Y o r k : O x f o r d U n i v e r s i t y P r e s s . C o b b , P . , Y a c k e l , E . , 8 : W o o d , T . ( 1 9 8 9 ) . Y o u n g c h i l d r e n ’ s e m o t i o n a l a c t s w h i l e d o i n g m a t h e m a t i c a l p r o b l e m s o l v i n g . I n D . B . M c L e o d 8 : V . M . A d a m s ( E d s ) , A f f e c t a n d m a t h e m a t i c a l p r o b l e m s o l v i n g ( p p . 1 1 7 - 1 4 8 ) . N e w Y o r k : S p r i n g e r - V e r l a g . C o b b , P . , Y a c k e l , E . , 8 : W o o d , T . ( 1 9 9 2 ) . I n t e r a c t i o n a n d l e a r n i n g i n m a t h e m a t i c s c l a s s r o o m s i t u a t i o n s . E d u c a t i o n a l S t u d i e s i n M a t h e m a t i c s , 2 3 , 9 9 - 1 2 2 . C o l e , M . & G r i f f e n , P . ( E d s ) . ( 1 9 8 7 ) . C o n t e x t u a l f a c t o r s i n e d u c a t i o n . M a d i s o n , W I : W i s c o n s i n C e n t e r f o r E d u c a t i o n R e s e a r c h . D a v i s , P . J . & H e r s h , R . ( 1 9 8 1 ) . T h e m a t h e m a t i c a l e x p e r i e n c e . B o s t o n : H o u g h t o n M i f fl i n . D a v i s , R . B . , M a h e r , C . A . , & N o d d i n g s , N . ( E d s ) . ( 1 9 9 0 a ) . C o n s t r u c t i v i s t v i e w s o n t h e t e a c h i n g a n d l e a r n i n g o f m a t h e m a t i c s . ( J o u r n a l f o r R e s e a r c h i n M a t h e m a t i c s E d u c a t i o n M o n o g r a p h N o . 4 ) . R e s t o n , V A : N a t i o n a l C o u n c i l o f T e a c h e r s o f M a t h e m a t i c s . 3 9 5 D a v i s , R . B . , M a h e r , C . A . , 8 : N o d d i n g s , N . ( 1 9 9 0 b ) . I n t r o d u c t i o n : C o n s t r u c t i v i s t v i e w s o n t h e t e a c h i n g a n d l e a r n i n g o f m a t h e m a t i c s . I n R . B . D a v i s , C . A . M a h e r , 8 : N . N o d d i n g s ( E d s ) , C o n s t r u c t i v i s t v i e w s o n t h e t e a c h i n g a n d l e a r n i n g o f m a t h e m a t i c s ( p p . 1 - 3 ) . ( J o u r n a l f o r R e s e a r c h i n M a t h e m a t i c s E d u c a t i o n M o n o g r a p h N o . 4 ) . R e s t o n , V A : N a t i o n a l C o u n c i l o f T e a c h e r s o f M a t h e m a t i c s . D e V a u l t , M . V . 8 : W e a v e r , J . F . ( 1 9 7 0 ) . F o r c e s a n d i s s u e s r e l a t e d t o c u r r i c u l u m a n d i n s u ' u c t i o n , K - 6 . I n A h i s t o r y o f m a t h e m a t i c s e d u c a t i o n i n t h e U n i t e d S t a t e s a n d C a n a d a ( p p . 9 3 - 1 5 2 ) . W a s h i n g t o n D . C . : N a t i o n a l C o u n c i l o f T e a c h e r s o f M a t h e m a t i c s . D e w e y , J . ( 1 9 0 2 , 1 9 5 6 ) . T h e c h i l d a n d t h e c u r r i c u l u m . C h i c a g o : U n i v e r s i t y o f C h i c a g o P r e s s . D i e n e s , Z . P . ( 1 9 6 0 ) . B u i l d i n g u p m a t h e m a t i c s . L o n d o n : H u t c h i n s o n E d u c a t i o n a l . E r l w a n g e r , S . H . ( 1 9 7 5 ) B e n n y ’ s c o n c e p t i o n o f r u l e s a n d a n s w e r s i n I P I m a t h e m a t i c s . J o u r n a l o f M a t h e m a t i c a l B e h a v i o r , 1 , 7 - 2 5 . F e n n e m a , E . 8 : L e d e r , G . C . ( E d s ) . ( 1 9 9 0 ) . M a t h e m a t i c s a n d g e n d e r . N e w Y o r k : T e a c h e r s C o l l e g e P r e s s . F r a n k , M . L . ( 1 9 8 8 ) . P r o b l e m s o l v i n g a n d m a t h e m a t i c a l b e l i e f s . A r i t h m e t i c T e a c h e r , 3 5 , 3 2 - 3 4 . - G a r o f a l o , J . ( 1 9 8 9 ) . B e l i e f s a n d t h e i r i n fl u e n c e o n m a t h e m a t i c a l p e r f o r m a n c e . M a t h e m a t i c s T e a c h e r , 8 2 , 5 0 2 - 5 0 5 . G e i s t , P . 8 : S m i t h , S . P . ( 1 9 9 1 ) . E x p l o r i n g m a t h e m a t i c a l w a y s o f k n o w i n g f r o m t h e p e r s p e c t i v e o f t h e r e s e a r c h m a t h e m a t i c i a n . U n p u b l i s h e d m a n u s c r i p t , M i c h i g a n S t a t e U n i v e r s i t y a t E a s t L a n s i n g . G i n s b u r g , H . P . , J a c o b s , S . F . , 8 : L o p e z , L . S . ( 1 9 9 3 ) . A s s e s s i n g m a t h e m a t i c a l t h i n k i n g a n d l e a r n i n g p o t e n t i a l i n p r i m a r y g r a d e c h i l d r e n . I n M . N o s s ( E d . ) , I n v e s t i g a t i o n s i n t o a s s e s s m e n t i n m a t h e m a t i c s e d u c a t i o n ( p p . 1 4 3 - 1 5 6 ) . D o r d r e c h t , N e t h e r l a n d s : K l u w e r . G o f f m a n , E . ( 1 9 7 4 ) . F r a m e a n a l y s i s : A n e s s a y o n t h e o r g a n i z a t i o n o f e x p e r i e n c e . N e w Y o r k : H a r p e r 8 : R o w . G o l d i n , G . A . ( 1 9 8 7 ) . C o g n i t i v e r e p r e s e n t a t i o n a l s y s t e m s f o r m a t h e m a fi c a l p r o b l e m s o l v i n g . I n C . J a n v i e r ( E d . ) , P r o b l e m s o f r e p r e s e n t a t i o n i n t h e t e a c h i n g a n d l e a r n i n g o f m a t h e m a t i c s ( p p . 1 2 5 - 1 4 5 ) . H i l l s d a l e , N J : E r l b a u m . G r o s s m a n , A . S . ( 1 9 8 3 ) . D e c i m a l n o t a t i o n : A n i m p o r t a n t r e s e a r c h fi n d i n g . A r i t h m e t i c T e a c h e r , 3 9 ( 9 ) , 3 2 - 3 3 . 3 9 6 H a l m o s , P . R . ( 1 9 8 5 ) . I w a n t t o b e a m a t h e m a t i c i a n : A n a u t o b i o g r a p h y i n t h r e e p a r t s . N e w Y o r k : S p r i n g e r - V e r l a g . H a r e l , G . 8 : B e h r , M . ( 1 9 8 9 ) . S t r u c t u r e a n d h i e r a r c h y o f m i s s i n g - v a l u e p r o p o r t i o n p r o b l e m s a n d t h e i r r e p r e s e n t a t i o n s . J o u r n a l o f M a t h e m a t i c a l B e h a v i o r , 8 , 7 7 - 1 1 9 . H a r t , L . E . ( 1 9 8 9 ) . D e s c r i b i n g t h e a f f e c t i v e d o m a i n : S a y i n g w h a t w e m e a n . I n D . B . M c L e o d 8 : V . M . A d a m s ( E d s ) , A fl e c t a n d m a t h e m a t i c a l p r o b l e m s o l v i n g ( p p . 3 7 — 4 5 ) . N e w Y o r k : S p r i n g e r - V e r l a g . H i e b e r t , J . 8 : B e h r , M . ( E d s ) . ( 1 9 8 8 ) . N u m b e r c o n c e p t s a n d o p e r a t i o n s i n t h e m i d d l e g r a d e s . R e s t o n , V A : N a t i o n a l C o u n c i l o f T e a c h e r s o f M a t h e m a t i c s . H i e b e r t , J . 8 : C a r p e n t e r , T . P . ( 1 9 9 2 ) . L e a r n i n g a n d t e a c h i n g w i t h u n d e r s t a n d i n g . I n D . A . G r o u w s ( E d . ) , H a n d b o o k o n r e s e a r c h o n m a t h e m a t i c s t e a c h i n g a n d l e a r n i n g ( p p . 6 5 - 9 8 ) . N e w Y o r k : M a c m i l l a n . H i e b e r t , J . , C a r p e n t e r , T . P . , F e n n e m a , E . , F u s o n , K . , H u m a n , P . , M u r r a y , H . , O l i v i e r , A . , 8 : W e a r n e , D . ( 1 9 9 6 ) . P r o b l e m s o l v i n g a s a b a s i s f o r r e f o r m i n c u r r i c u l u m a n d i n s t r u c t i o n : T h e C a s e o f M a t h e m a t i c s . E d u c a t i o n a l R e s e a r c h e r , 2 5 , 4 , 1 2 - 2 1 . H i e b e r t , J . 8 : W e a r n e , D . ( 1 9 8 5 ) . A m o d e l o f c h i l d r e n ’ s d e c i m a l c o m p u t a t i o n p r o c e d u r e s . C o g n i t i o n 8 I n s t r u c t i o n , 2 , 1 7 5 - 2 0 5 . H o y l e s , C . 8 : N 0 5 5 , R . ( 1 9 8 9 ) . T h e c o m p u t e r a s a c a t a l y s t i n c h i l d r e n ’ s p r o p o r t i o n s t r a t e g i e s . J o u r n a l o f M a t h e m a t i c a l B e h a v i o r , 8 , 5 3 - 7 5 . H u g h e s , M . ( 1 9 8 3 ) . W h a t i s d i f fi c u l t a b o u t l e a r n i n g a r i t h m e t i c ? I n M . D o n a l d s o n , R . G r i e v e , 8 : C . P r a t t ( E d s ) , E a r l y c h i l d h o o d d e v e l o p m e n t a n d e d u c a t i o n ( p p . 2 0 4 - 2 2 1 ) . N e w Y o r k : G u i l f o r d . J a n v i e r , C . ( 1 9 8 7 a ) . C o n c e p t i o n s a n d r e p r e s e n t a t i o n s : T h e c i r c l e a s a n e x a m p l e . I n C . J a n v i e r ( E d . ) , P r o b l e m s o f r e p r e s e n t a t i o n i n t h e t e a c h i n g a n d l e a r n i n g o f m a t h e m a t i c s ( p p . 1 4 7 - 1 5 8 ) . H i l l s d a l e , N J : E r l b a u m . J a n v i e r , C . ( 1 9 8 7 b ) . P r o b l e m s o f r e p r e s e n t a t i o n i n t h e t e a c h i n g a n d l e a r n i n g o f m a t h e m a t i c s . H i l l s d a l e , N J : E r l b a u m . J a n v i e r , C . ( 1 9 8 7 c ) . R e p r e s e n t a fi o n a n d u n d e r s t a n d i n g : T h e n o t i o n o f f u n c t i o n a s a n e x a m p l e . I n C . J a n v i e r ( E d . ) , P r o b l e m s o f r e p r e s e n t a t i o n i n t h e t e a c h i n g a n d l e a r n i n g o f m a t h e m a t i c s ( p p . 6 7 - 7 1 ) . H i l l s d a l e , N J : E r l b a u m . J a n v i e r , C . ( 1 9 8 7 d ) . T r a n s l a t i o n p r o c e s s e s i n m a t h e m a t i c s e d u c a t i o n . I n C . J a n v i e r ( E d . ) , P r o b l e m s o f r e p r e s e n t a t i o n i n t h e t e a c h i n g a n d l e a r n i n g o f m a t h e m a t i c s ( p p . 2 7 - 3 2 ) . H i l l s d a l e , N J : E r l b a u m . 3 9 7 J o n e s , P . S . 8 : C o x f o r d , A . F . ( 1 9 7 0 ) . M a t h e m a t i c s i n t h e e v o l v i n g s c h o o l s . I n A h i s t o r y o f m a t h e m a t i c s e d u c a t i o n i n t h e U n i t e d S t a t e s a n d C a n a d a ( p p . 1 1 - 9 0 ) . W a s h i n g t o n D . C . : N a t i o n a l C o u n c i l o f T e a c h e r s o f M a t h e m a t i c s . K a p u t , J . J . ( 1 9 8 5 ) . R e p r e s e n t a t i o n a n d r o b l e m s o l v i n g : M e t h o d o l o g i c a l i s s u e s r e l a t e d t o m o d e l i n g . I n E . A . S i l v e r ( E d i T e a c h i n g a n d l e a r n i n g m a t h e m a t i c a l p r o b l e m s o l v i n g : M u l t i p l e r e s e a r c h p e r s p e c t i v e s . H i l l s d a l e , N J : E r l b a u m . K a p u t , J . J . ( 1 9 8 7 a ) . M e s s y c o n t e x t . I n C . J a n v i e r ( E d . ) , P r o b l e m s o f r e p r e s e n t a t i o n i n t h e t e a c h i n g a n d l e a r n i n g o f m a t h e m a t i c s ( p p . 1 0 1 - 1 0 2 ) . H i l l s d a l e , N J : E r l b a u m . K a p u t , J . J . ( 1 9 8 7 b ) . R e p r e s e n t a t i o n s y s t e m s a n d m a t h e m a t i c s . I n C . J a n v i e r ( E d . ) , P r o b l e m s o f r e p r e s e n t a t i o n i n t h e t e a c h i n g a n d l e a r n i n g o f m a t h e m a t i c s ( p p . 1 9 - 2 6 ) . H i l l s d a l e , N J : E r l b a u m . K a p u t , J . J . ( 1 9 8 7 c ) . T o w a r d a t h e o r y o f s y m b o l u s e i n m a t h e m a t i c s . I n C . J a n v i e r ( E d . ) , P r o b l e m s o f r e p r e s e n t a t i o n i n t h e t e a c h i n g a n d l e a r n i n g o f m a t h e m a t i c s ( p p . 1 5 9 - 1 9 5 ) . H i l l s d a l e , N J : E r l b a u m . K l o o s t e r r n a n , P . 8 : C o o g a n , M . C . ( 1 9 9 4 ) S t u d e n t s ’ b e l i e f s a b o u t l e a r n i n g s c h o o l m a t h e m a t i c s . E l e m e n t a r y S c h o o l J o u r n a l , 9 4 , 4 , 3 7 5 - 3 8 8 . K o l a t a , G . ( 1 9 9 5 , J a n u a r y , 3 1 ) . H o w a g a p i n t h e F e r m a t p r o o f w a s b r i d g e d T h e N e w Y o r k T i m e s . p p . B 5 , B 8 . K o u b a , V . L . 8 : M c D o n a l d , J . L . ( 1 9 9 1 ) . W h a t i s m a t h e m a t i c s t o c h i l d r e n ? J o u r n a l o f M a t h e m a t i c a l B e h a v i o r , 1 0 , 1 0 5 - 1 1 3 . K r u t e t s k i i , V . A . ( 1 9 6 8 / 1 9 7 6 ) . T h e p s c h o l o g y o f m a t h e m a t i c a l a b i l i t i e s i n s c h o o l c h i l d r e n ( J . T e l l e r , T r a n s ) . C h i c a g o : T e U n i v e r s i t y o f C h i c a g o P r e s s . L a m p e r t , M . ( 1 9 9 0 ) . W h e n t h e p r o b l e m i s n o t t h e q u e s t i o n a n d t h e s o l u t i o n i s n o t t h e a n s w e r : M a t h e m a t i c a l k n o w i n g a n d t e a c h i n g . A m e r i c a n E d u c a t i o n a l R e s e a r c h J o u r n a l , 2 7 , 1 , 2 9 — 6 3 . L a m p e r t , M . ( 1 9 9 2 ) . T e a c h i n a n d l e a r n i n g l o n g d i v i s i o n f o r u n d e r s t a n d i n g i n s c h o o l . I n G . L e ' a r d t , R . P u m a m , 8 : R . A . H a t t r u p ( E d s ) , A n a l y s i s o f a r i t h m e t i c f o r m a t h e m a t i c s t e a c h i n g . H i l l s d a l e , N J : E r l b a u m . L a p p a n , G . 8 : B o u c k , M . K . ( 1 9 9 8 ) . D e v e l o p i n g a l g o r i t h m s f o r a d d i n g a n d s u b t r a c t i n g f r a c fi o n s . I n L . J . M o r r o w 8 : M . J . K e n n e y ( E d s ) , T h e t e a c h i n g a n d l e a r n i n g o f a l g o r i t h m s i n s c h o o l m a t h e m a t i c s ( p p . 1 8 3 - 1 9 7 ) . R e s t o n , V A : N a t i o n a l C o u n c i l o f T e a c h e r s o f M a t h e m a t i c s . L a v e , J . ( 1 9 8 8 ) . C o g n i t i o n i n p r a c t i c e . N e w Y o r k : C a m b r i d g e U n i v e r s i t y P r e s s . L a v e , J . 8 : W e n g e r , E . ( 1 9 9 1 ) . S i t u a t e d l e a r n i n g : L e g i t i m a t e p e r i p h e r a l p a r t i c i p a t i o n . N e w Y o r k : C a m b r i d g e U n i v e r s i t y P r e s s . 3 9 8 _ L e s h , R . ( 1 9 8 7 ) . C l u s t e r o f r e p r e s e n t a t i o n s . I n C . J a n v i e r ( E d . ) , P r o b l e m s o f r e p r e s e n t a t i o n i n t h e t e a c h i n g a n d l e a r n i n g o f m a t h e m a t i c s ( p . 1 0 0 ) . H i l l s d a l e , N J : E r l b a u m . L e s h , R . , P o s t , T . , 8 : B e h r , M . ( 1 9 8 7 ) . R e p r e s e n t a t i o n s a n d t a n s l a t i o n s a m o n g r e p r e s e n t a t i o n s i n m a t h e m a t i c a l l e a r n i n g a n d p r o b l e m s o l v i n g . I n C . J a n v i e r ( E d . ) , P r o b l e m s o f r e p r e s e n t a t i o n i n t h e t e a c h i n g a n d l e a r n i n g o f m a t h e m a t i c s ( p p . 3 3 - 4 0 ) . H i l l s d a l e , N J : E r l b a u m . L e s t e r , F . K . , J r . , ( 1 9 8 0 ) . R e s e a r c h o n m a t h e m a t i c a l p r o b l e m s o l v i n g . I n R . J . S h u m w a y ( E d . ) , R e s e a r c h i n m a t h e m a t i c s e d u c a t i o n ( p p . 2 8 6 - 3 2 3 ) . R e s t o n , V A : N a t i o n a l C o u n c i l o f T e a c h e r s o f M a t h e m a t i c s . L e s t e r , F . K . , G a r o f a l o , J . , 8 : K r o l l , D . L . ( 1 9 8 9 ) . S e l f - c o n f i d e n c e , i n t e r e s t , " ' b e l i e f s , a n d m e t a c o g n i fi o n : K e y i n fl u e n c e s o n p r o b l e m s o l v i n g b e h a v i o r . I n D . B . M c L e o d 8 : V . M . A d a m s ( E d s ) , A f f e c t a n d m a t h e m a t i c a l p r o b l e m s o l v i n g ( p p . 7 5 - 8 8 ) . N e w Y o r k : S p r i n g e r - V e r l a g . M a n d l e r , G . ( 1 9 8 9 ) . A f f e c t a n d l e a r n i n g : C a u s e s a n d c o n s e q u e n c e s o f e m o t i o n a l i n t e r a c t i o n s . I n D . B . M c L e o d 8 : V . M . A d a m s ( E d s ) , A fl e c t a n d m a t h e m a t i c a l p r o b l e m s o l v i n g ( p p . 3 - 1 9 ) . N e w Y o r k : S p r i n g e r - V e r l a g . M a r k o v a , I . ( 1 9 9 0 ) . I n t r o d u c t i o n . I n I . M a r k o v a 8 : K P o p p a ( E d s ) , T h e d y n a m i c s o f d i a l o g u e ( p p . 1 — 2 2 ) . N e w Y o r k : S p r i n g e r - V e r l a g . M a r s h a l l , S . P . ( 1 9 9 3 ) . A s s e s s m e n t o f r a t i o n a l n u m b e r u n d e r s t a n d i n g : A s c h e m a - b a s e d a p p r o a c h . I n T . P . C a r p e n t e r , E . F e n n e m a , 8 : T . A . R o m b e r g ( E d s ) , R a t i o n a l n u m b e r s : A n i n t e g r a t i o n o f r e s e a r c h ( p p . 2 6 1 - 2 8 8 ) . H i l l s d a l e , N J : E r l b a u m . M a s o n , J . ( 1 9 8 7 a ) . R e p r e s e n t i n g r e p r e s e n t i n g : N o t e s f o l l o w i n g t h e c o n f e r e n c e . I n C . J a n v i e r ( E d . ) , P r o b l e m s o f r e p r e s e n t a t i o n i n t h e t e a c h i n g a n d l e a r n i n g o f m a t h e m a t i c s ( p p . 2 0 7 - 2 1 4 ) . H i l l s d a l e , N J : E r l b a u m . M a s o n , J . ( 1 9 8 7 b ) . W h a t d o s y m b o l s r e p r e s e n t ? I n C . J a n v i e r ( E d . ) , P r o b l e m s o f r e p r e s e n t a t i o n i n t h e t e a c h i n g a n d l e a r n i n g o f m a t h e m a t i c s ( p p . 7 3 - 8 1 ) . H i l l s d a l e , N J : E r l b a u m . M a u r e r , S . B . ( 1 9 8 7 ) . N e w k n o w l e d g e a b o u t e r r o r s a n d n e w v i e w s a b o u t l e a r n e r s : W h a t t h e y m e a n t o e d u c a t o r s a n d m o r e e d u c a t o r s w o u l d l i k e . I n A . H . S c h o e n f e l d ( E d . ) , C o g n i t i v e S c i e n c e a n d m a t h e m a t i c s e d u c a t i o n ( p p . 1 6 5 - 1 8 7 ) . H i l l s d a l e , N J : E r l b a u m . M c L e o d , D . B . ( 1 9 8 9 a ) . B e l i e f s , a t t i t u d e s , a n d e m o t i o n s : N e w v i e w s o f a f f e c t i n m a t h e m a t i c s e d u c a t i o n . I n D . B . M c L e o d 8 : V . M . A d a m s ( E d s ) , A fi ‘ e c t a n d m a t h e m a t i c a l p r o b l e m s o l v i n g ( p p . 2 4 5 - 2 5 8 ) . N e w Y o r k : S p r i n g e r - V e r l a g . M c L e o d , D . B . ( 1 9 8 9 b ) . T h e r o l e o f a f f e c t i n m a t h e m a t i c a l p r o b l e m s o l v i n g . I n D . B . M c L e o d 8 : V . M . A d a m s ( E d s ) , A fl ' e c t a n d m a t h e m a t i c a l p r o b l e m s o l v i n g ( p p . 2 0 - 3 6 ) . N e w Y o r k : S p r i n g e r - V e r l a g . 3 9 9 M e l l i n - O l s e n , S . ( 1 9 9 3 ) . A c r i t i c a l v i e w o f a s s e s s m e n t i n m a t h e m a t i c s e d u c a t i o n : W h e r e i s t h e s t u d e n t a s u b j e c t ? I n M . N o s s ( E d . ) , I n v e s t i g a t i o n s i n t o a s s e s s m e n t i n m a t h e m a t i c s e d u c a t i o n ( p p . 1 4 3 - 1 5 6 ) . D o r d r e c h t , N e t h e r l a n d s : K l u w e r . M e r s e t h , K . K . ( 1 9 9 3 ) . H o w o l d i s t h e s h e p h e r d ? A n e s s a y a b o u t m a t h e m a t i c s e d u c a t i o n . P h i D e l t a K a p p a n , M a r c h 1 9 9 3 , 5 4 8 - 5 5 4 . N a t i o n a l C o u n c i l o f T e a c h e r s o f M a t h e m a t i c s ( 1 9 7 6 ) . A h i s t o r y o f m a t h e m a t i c s e d u c a t i o n i n t h e U n i t e d S t a t e s a n d C a n a d a . T h i r t y - s e c o n d Y e a r b o o k . W a s h i n g t o n D . C . : N a t i o n a l C o u n c i l o f T e a c h e r s o f M a t h e m a t i c s . N a t i o n a l C o u n c i l o f T e a c h e r s o f M a t h e m a t i c s . ( 1 9 8 9 ) . C u r r i c u l u m a n d e v a l u a t i o n s t a n d a r d s f o r s c h o o l m a t h e m a t i c s . R e s t o n , V A : A u t h o r . N a t i o n a l C o u n c i l o f T e a c h e r s o f M a t h e m a t i c s . ( 1 9 9 1 ) . P r o f e s s i o n a l s t a n d a r d s f o r t e a c h i n g m a t h e m a t i c s . R e s t o n , V A : A u t h o r . N a t i o n a l C o u n c i l o f T e a c h e r s o f M a t h e m a t i c s . ( 1 9 9 5 ) . A s s e s s m e n t s t a n d a r d s f o r s c h o o l m a t h e m a t i c s . R e s t o n , V A : A u t h o r . N a t i o n a l R e s e a r c h C o u n c i l . ( 1 9 8 9 ) . E v e r y b o d y c o u n t s : A r e p o r t o n t h e f u t u r e o f m a t h e m a t i c s e d u c a t i o n . W a s h i n g t o n , D C : N a t i o n a l A c a d e m y P r e s s . N e s h e r , P . ( 1 9 8 9 ) . M i c r o w o r l d s i n m a t h e m a t i c a l e d u c a t i o n : A p e d a g o g i c a l r e a l i s m . I n L . B . R e s n i c k ( E d . ) , K n o w i n g , l e a r n i n g , a n d i n s t r u c t i o n : E s s a y s i n h o n o r o f R o b e r t G l a s e r ( p p . 1 8 7 - 2 1 5 ) . H i l l s d a l e , N J : E r l b a u m . N o d d i n g s , N . ( 1 9 9 0 ) . C o n s t r u c t i v i s m i n m a t h e m a t i c s e d u c a t i o n . I n R . B . D a v i s , C . A . M a h e r , 8 : N . N o d d i n g s ( E d s ) , C o n s t r u c t i v i s t v i e w s o n t h e t e a c h i n g a n d l e a r n i n g o f m a t h e m a t i c s ( p p . 7 - 1 8 ) . ( J o u r n a l f o r R e s e a r c h i n M a t h e m a t i c s E d u c a t i o n M o n o g r a p h N o . 4 ) . R e s t o n , V A : N a t i o n a l C o u n c i l o f T e a c h e r s o f M a t h e m a t i c s . N u n e s , T . , S c h l i e m a n n , A . D . 8 : C a r r a h e r , D . W . ( 1 9 9 3 ) . S t r e e t m a t h e m a t i c s a n d s c h o o l m a t h e m a t i c s . N e w Y o r k : C a m b r i d g e U n i v e r s i t y P r e s s . O s b o r n e , A . R . 8 : C r o s s w h i t e , F . I . ( 1 9 7 0 ) . F o r c e s a n d i s s u e s r e l a t e d t o c u r r i c u l u m a n d i n s t r u c t i o n , 7 - 1 2 . I n A h i s t o r y o f m a t h e m a t i c s e d u c a t i o n i n t h e U n i t e d S t a t e s a n d C a n a d a ( p p . 1 5 5 - 2 9 7 ) . W a s h i n g t o n D . C . : N a t i o n a l C o u n c i l o f T e a c h e r s o f M a t h e m a t i c s . P a c k e r , M . J . ( 1 9 9 3 ) . C o m m e n t a r y : A w a y f r o m i n t e r n a l i z a t i o n . I n E . A . F o r m a n , N . M i n i c k , 8 : C . A . S t o n e ( E d s ) , C o n t e x t s f o r l e a r n i n g ( p p . 2 5 4 - 2 6 5 ) . N e w Y o r k : O x f o r d U n i v e r s i t y P r e s s . P f e i f f e r , L . C . 8 : F e a t h e r s t o n e , H . J . ( M a r c h , 1 9 9 8 ) . ” T o t o , I d o n ’ t t h i n k w e ’ r e i n K a n s a s a n y m o r e ” : E n t e r i n g t h e l a n d o f p u b l i c d i s a g r e e m e n t i n l e a r n i n g t o t e a c h . P a p e r p r e s e n t e d a t t h e P e n n E t h n o g r a p h y F o r u m , P h i l a d e l p h i a , P A . 4 0 0 s r o o m P P e m a t s i i i . m m c s , , m m N , e 1 w D D 3 . . , 1 o F ( ( , Y 1 9 r 3 e 8 5 k b 7 - : . ) 3 . 8 R 1 S o p u e t 9 3 ) 9 . c M l a a t s h a l . k e g g d i T n h e e m a 8 s t : i h K l e e m e n a g i t a c n a l P l a y u : l c e o f t h e . b C o m m u o d y . n F i o c r a t i o n t h e L e i a n r m a t h n i n g e o m f a t i c s P i m m , D . ( 1 9 9 5 ) . S y m b o l s a n d m e a n i n g s i n s c h o o l m a t h e m a t i c s . N e w Y o r k : R o u t l e d g e . P u m a m , R . T . , L a m p e r t , M . 8 : P e t e r s o n , P . L . ( 1 9 9 0 ) . A l t e r n a t i v e p e r s p e c t i v e s o n k n o w i n g m a t h e m a t i c s i n e l e m e n t a r y s c h o o l s . I n C . C a z d e n ( E d . ) , R e v i e w o f r e s e a r c h i n e d u c a t i o n , 1 6 . W a s h i n g t o n : A m e r i c a n E d u c a t i o n a l R e s e a r c h A s s o c i a t i o n . R e s n i c k , L . B . ( 1 9 8 2 ) . S y n t a x a n d s e m a n fi c s i n l e a r n i n g t o s u b t r a c t . I n T . P . C a r p e n t e r , J . M . M o s e r , 8 : T . A . R o m b e r g ( E d s ) , A d d i t i o n a n d s u b t r a c t i o n : A c o g n i t i v e p e r s p e c t i v e . H i l l s d a l e , N J : E r l b a u m . R i c h a r d s , J . ( 1 9 9 1 ) . M a t h e m a t i c a l d i s c u s s i o n s . I n E . v o n G l a s e r s f e l d ( E d . ) , R a d i c a l c o n s t r u c t i v i s m i n m a t h e m a t i c s e d u c a t i o n ( p p . 1 3 - 5 1 ) . D o r d r e c h t , T h e N e t h e r l a n d s : K l u w e r . R o b e r t , A . 8 : S c h w a r z e n b e r g e r , R . ( 1 9 9 3 ) . R e s e a r c h i n t e a c h i n g a n d l e a r n i n g m a t h e m a t i c s a t a n a d v a n c e d l e v e l . I n D . T a l l ( e d . ) , A d v a n c e d m a t h e m a t i c a l t h i n k i n g ( p p . 1 2 7 - 1 3 9 ) . B o s t o n : K l u w e r . R u s s e l l , B . 8 : W h i t e h e a d , A . N . ( 1 9 1 0 ) . P r i n c i p i a m a t h e m a t i c a , C a m b r i d g e : C a m b r i d g e U n i v e r s i t y P r e s s . S a d k e r , M . 8 : S a d k e r , D . ( 1 9 9 4 ) . F a i l i n g a t f a i r n e s s : H o w o u r s c h o o l s c h e a t g i r l s . N e w Y o r k : T o u c h s t o n e . S a x e , G . B . ( 1 9 9 1 ) . C u l t u r e a n d c o g n i t i v e d e v e l o p m e n t : S t u d i e s i n m a t h e m a t i c a l u n d e r s t a n d i n g . H i l l s d a l e , N J : E r l b a u m . S c h o e n f e l d , A . H . ( 1 9 8 3 ) . E p i s o d e s a n d e x e c u t i v e d e c i s i o n s i n m a t h e m a t i c a l p r o b l e m s o l v i n g . I n R . L e s h 8 : M . L a n d a u ( E d s ) , A c q u i s i t i o n o f m a t h e m a t i c s c o n c e p t s a n d p r o c e s s e s . N e w Y o r k : A c a d e m i c P r e s s . S c h o e n f e l d , A . H . ( 1 9 8 7 ) . W h a t ’ 3 a l l t h i s f u s s a b o u t m e t a c o g n i t i o n ? I n A . H . S c h o e n f e l d ( E d . ) , C o g n i t i v e S c i e n c e a n d m a t h e m a t i c s e d u c a t i o n ( p p . 1 8 9 - 2 1 6 ) . H i l l s d a l e , N J : E r l b a u m . S c h o e n f e l d , A . H . ( 1 9 9 1 ) . O n m a t h e m a t i c s a s s e n s e - m a k i n g : A n i n f o r m a l a t t a c k o n t h e u n f o r t u n a t e d i v o r c e o f f o r m a l a n d i n f o r m a l m a t h e m a t i c s . I n J . F . V o s s , D . N . P e r k i n s , 8 : J . W . S e g a l ( E d s ) , I n f o r m a l r e a s o n i n g a n d e d u c a t i o n ( p p . 3 1 1 - 3 4 3 ) . H i l l s d a l e , N J : E r l b a u m . 4 0 1 S c h r o e d e r , T . L . 8 : L e s t e r , F . K . , ( 1 9 8 9 ) . D e v e l o p i n g u n d e r s t a n d i n g i n m a t h e m a t i c s v i a p r o b l e m s o l v i n g . I n P . T r a f t o n 8 : A . S h u l t e ( E d s ) , N e w d i r e c t i o n s f o r e l e m e n t a r y s c h o o l m a t h e m a t i c s ( p p . 3 1 - 4 2 ) . R e s t o n , V A : N a t i o n a l C o u n c i l o f T e a c h e r s o f M a t h e m a t i c s . S c h o n , D . A . ( 1 9 8 3 ) . T h e r e fl e c t i v e p r a c t i t i o n e r : H o w p r o f e s s i o n a l s t h i n k i n a c t i o n . S c r i b n e r , S . 8 : C o l e , M . ( 1 9 8 1 ) . T h e p s y c h o l o g y o f l i t e r a c y . C a m b r i d g e : H a r v a r d U n i v e r s i t y P r e s s . S f a r d , A . ( 1 9 9 8 ) . O n t w o m e t a p h o r s f o r l e a r n i n g a n d t h e d a n g e r s o f c h o o s i n g j u s t o n e . E d u c a t i o n a l R e s e a r c h e r , 2 7 , 2 , 4 - 1 3 . S i e r p i n s k a , A . ( 1 9 9 4 ) . U n d e r s t a n d i n g i n m a t h e m a t i c s . L o n d o n : F a l m e r P r e s s . S i l v e r , E . A . ( 1 9 8 5 ) . T e a c h i n g a n d l e a r n i n g m a t h e m a t i c a l p r o b l e m s o l v i n g : M u l t i p l e r e s e a r c h p e r s p e c t i v e s . H i l l s d a l e , N J : E r l b a u m . S i l v e r , E . A . 8 : M e t z g e r , W . ( 1 9 8 9 ) . A e s t h e t i c i n fl u e n c e s o n e x p e r t m a t h e m a t i c a l p r o b l e m s o l v i n g . I n D . B . M c L e o d 8 : V . M . A d a m s ( E d s ) , A f f e c t a n d m a t h e m a t i c a l p r o b l e m s o l v i n g ( p p . 5 9 - 7 4 ) . N e w Y o r k : S p r i n g e r - V e r l a g . S k e m p , R . R . ( 1 9 8 7 ) . T h e p s y c h o l o g y o f l e a r n i n g m a t h e m a t i c s . H i l l s d a l e , N J : E r l b a u m . S p a n g l e r , D . A . ( 1 9 9 2 ) . A s s e s s i n g s t u d e n t s ’ b e l i e f s a b o u t m a t h e m a t i c s . A r i t h m e t i c T e a c h e r , 4 0 , 3 , 1 4 5 - 1 5 2 . S t r e e fl a n d , L . ( 1 9 9 0 ) . R e a l i s t i c m a t h e m a t i c s e d u c a t i o n : W h a t d o e s i t m e a n ? I n K . G r a v e m e i j e r , M . v a n d e n H e u v e l , 8 : L . S t r e e fl a n d ( E d s ) , C o n t e x t f r e e p r o d u c t i o n s t e s t s a n d g e o m e t r y i n r e a l i s t i c m a t h e m a t i c s e d u c a t i o n ( p p . 1 - 9 ) . C u l e m b o r g : T e c h n i p r e s s . S t e f f e , L . P . 8 : G a l e , J . ( E d s ) . ( 1 9 9 5 ) . C o n s t r u c t i v i s m i n E d u c a t i o n . H i l l s d a l e , N J : E r l b a u m . S t e f f e , L . P . , N e s h e r , P . , C o b b , P . G o l d i n , G . A . , 8 : G r e e r , B . ( E d s ) . ( 1 9 8 6 ) . T h e o r i e s o f m a t h e m a t i c a l l e a r n i n g . H i l l s d a l e , N J : E r l b a u m . S t i f f , L . V . ( 1 9 9 0 ) . A f r i c a n - A m e r i c a n s t u d e n t s a n d t h e p r o m i s e o f t h e C u r r i c u l u m a n d E v a l u a t i o n S t a n d a r d s . I n T . J . C o o n e y ( E d . ) , T e a c h i n g a n d l e a r n i n g m a t h e m a t i c s i n t h e 1 9 9 0 5 ( p p . 1 5 2 - 1 5 8 ) . R e s t o n , V A : N a t i o n a l C o u n c i l o f T e a c h e r s o f M a t h e m a t i c s . . T h o m p s o n , A . G . 8 : T h o m p s o n , P . W . ( 1 9 8 9 ) . A f f e c t a n d p r o b l e m s o l v i n g i n a n e l e m e n t a r y s c h o o l m a t h e m a t i c s c l a s s r o o m . I n D . B . M c L e o d 8 : V . M . A d a m s ( E d s ) , A f f e c t a n d m a t h e m a t i c a l p r o b l e m s o l v i n g ( p p . 1 6 2 - 1 7 6 ) . N e w Y o r l c S p r i n g e r - V e r l a g . 4 0 2 V a n B e n d e g e m , J . P . , ( 1 9 9 3 ) . F o u n d a t i o n s o f m a t h e m a t i c s o r m a t h e m a t i c a l p r a c t i c e : I s o n e f o r c e d t o c h o o s e ? I n S . R e s t i v o , J . P . V a n B e n d e g e m , 8 : R . F i s c h e r ( E d s ) , M a t h w o r l d s : P h i l o s o p h i c a l a n d s o c i a l s t u d i e s o f m a t h e m a t i c s a n d m a t h e m a t i c s e d u c a t i o n ( p p . 2 1 - 3 8 ) . A l b a n y : S U N Y P r e s s . V a n L e h n , K . ( 1 9 8 3 ) . O n t h e r e p r e s e n t a t i o n o f p r o c e d u r e s i n r e p a i r t h e o r y . I n H . P . G i n s b u r g ( E d . ) , T h e d e v e l o p m e n t o f m a t h e m a t i c a l t h i n k i n g , ( p p . 1 9 7 — 2 5 2 ) . N e w Y o r k : A c a d e m i c P r e s s . V e r g n a u d , G . ( 1 9 8 2 ) . C o g n i t i v e a n d d e v e l o p m e n t a l p s y c h o l o g y a n d r e s e a r c h i n m a t h e m a t i c s e d u c a t i o n : S o m e t h e o r e t i c a l a n d m e t h o d o l o g i c a l i s s u e s . F o r t h e L e a r n i n g o f M a t h e m a t i c s , 3 , 2 , 3 1 - 4 1 . v o n G l a s e r s f e l d , E . ( 1 9 8 7 a ) . L e a r n i n g a s a c o n s t r u c t i v e a c t i v i t y . I n C . J a n v i e r ( E d . ) , P r o b l e m s o f r e p r e s e n t a t i o n i n t h e t e a c h i n g a n d l e a r n i n g o f m a t h e m a t i c s ( p p . 3 — 1 8 ) . H i l l s d a l e , N J : E r l b a u m . v o n G l a s e r s f e l d , E . ( 1 9 8 7 b ) . P r e s e n t a t i o n v e r s u s r e p r e s e n t a t i o n . I n C . J a n v i e r ( E d . ) , P r o b l e m s o f r e p r e s e n t a t i o n i n t h e t e a c h i n g a n d l e a r n i n g o f m a t h e m a t i c s ( p p . 1 0 4 - 1 0 5 ) . H i l l s d a l e , N J : E r l b a u m . v o n G l a s e r s f e l d , E . ( E d . ) . ( 1 9 9 1 ) . R a d i c a l c o n s t r u c t i v i s m i n m a t h e m a t i c s e d u c a t i o n . B o s t o n : K l u w e r . V y g o t s k y , L . S . ( 1 9 3 4 , 1 9 6 2 ) . T h o u g h t a n d l a n g u a g e . E . H a n f m a n n 8 : G . V a k a r , ( E d s . 8 : t r a n s ) . C a m b r i d g e : M I T P r e s s . V y g o t s k y , L . S . ( 1 9 7 8 ) . M i n d i n S o c i e t y : T h e d e v e l o p m e n t o f h i g h e r p s y c h o l o g i c a l p r o c e s s e s . C a m b r i d g e : H a r v a r d U n i v e r s i t y P r e s s . W a l k e r , E . V . S . ( 1 9 9 2 ) . F a l l i n g a s l e e p a n d f a i l u r e a m o n g A f r i c a n - A m e r i c a n s t u d e n t s : R e t h i n k i n g a s s u m p t i o n s a b o u t p r o c e s s t e a c h i n g . T h e o r y i n t o P r a c t i c e , 3 1 , 4 , 3 2 1 - 3 2 7 . W e l c h , W . ( 1 9 7 8 ) . S c i e n c e e d u c a fi o n i n U r b a n v i l l e : A c a s e s t u d y . I n R . S t a k e 8 : J . E a s l e y ( E d s ) , C a s e s t u d i e s i n s c i e n c e e d u c a t i o n . U r b a n a , I L : U n i v e r s i t y o f I l l i n o i s P r e s s . W e r t s c h . J . V . ( 1 9 9 1 ) . V o i c e s o f t h e m i n d : A s o c i o c u l t u r a l a p p r o a c h t o m e d i a t e d a c t i o n . C a m b r i d g e : H a r v a r d U n i v e r s i t y P r e s s . W i l l i a m s , S . R . ( 1 9 9 3 ) . M a t h e m a t i c s a n d b e i n g i n t h e w o r l d : T o w a r d a n i n t e r p r e t i v e f r a m e w o r k . F o r t h e L e a r n i n g o f M a t h e m a t i c s , 1 3 , 2 , 2 - 7 . 4 0 3 llllllttltllt H I C H I S R