A 1 A ' 1 : ! ” 5 a : : n . 1 3 . “ ‘ ~ . 0 u m 4 . . - . M . " W . . . 3 . . . 3 ; 1 . % 1 , , _ _ . , 4 - u n ' m . n A A - < u A 5 - . . ‘ a a - » — “ . a 4 : . : ‘ 1 ‘ . o - 4 “ ” 2 . . . . { 5 . 1 . u . . } 4 : ‘ " # fi M 7 3 " . { ‘ - . ‘ I 3 v a « - . “ ‘ 4 ' a : " . f V a 3 ' 1 n l . a ‘ N ' w . . : o . “ ‘ a » “ M . - . 4 . . _ ‘ 4 . . . . _ - . , 4 . - . . - n ‘ A f r ‘ . 4 . W u . . “ : " ' m p 1 u . ’ ‘ . ; i “ a ‘ 4 k . 5 fl . ’ u u . 1 ‘ " ” 3 F . - 1 0 s ) o ” 1 “ - ~ . “ m A - u . ‘ u 1 . ' . - ” s M . , a . u . n g g , « y u . “ o i - : u d . w . . . . V + 3 . “ : m u m : 4 . . ” W m . u v u a " - A » « m u - ' 3 v T H E B t S U / l " . ' l u v ~ l t T h i s i s t o c e r t i f y t h a t t h e d i s s e r t a t i o n e n t i t l e d m i ! " : 1 . H O W D I S C O U R S E s T R U C T U R E s N O R M S : ‘ A T A L E O F T W O M I D D L E S C H D G L ” M A I H E M A T i c § ‘ C L A S S R O O M S p r e s e n t e d b y B E T H A . H E R B E L - fi i fi fi N M A a n w h a s b e e n a c c e p t e d t o w a r d s f u l fi l l m e n t o f t h e r e q u i r e m e n t s f o r , . C u r r i c u l u m , T e a c h i n g P h - D - d e g r e e i n a n d E d u c a t i o n a l P o l i c y W m g a j o r p r o f e s s o r D a t e l 2 ! l 3 , / O O M S U i s a n A f fi r m a t i v e A c t i o n / E q u a l O p p o r t u n i t y I n s t i t u t i o n 0 — 1 2 7 7 1 l i l c h i B i v z U n R A g e a r n s S i Y a R t t y B a _ _ t e A Y M ' x 1 “ 3 Z : o 9 ’ 0 u - ‘ ; l U Z 3 n a t U W 7 . r t fi H P L A C E I N R E T U R N B o x t o r e m o v e t h i s c h e c k o u t f r o m y o u r r e c o r d . T o A V O I D F I N E S r e t u r n o n o r b e f o r e d a t e d u e . M A Y B E R E C A L L E D w i t h e a r l i e r d u e d a t e i f r e q u e s t e d . D A T E ’ D U E D A T E D U E D A T E D U E F E B 2 5 9 2 0 0 3 ( 7 : ; M 2 0 5 N W n a 2 0 m 6 0 1 0 1 0 8 0 0 3 1 0 0 9 0 9 6 . 5 9 1 5 H i m A l i L E O F T “ U ‘ H O W D I S C O U R S E S T R U C T U R E S N O R M S : A T A L E O F T W O M I D D L E S C H O O L M A T H E M A T I C S C L A S S R O O M S V O L U M E 1 B y B e t h A . H e r b e l - E i s e n m a n n A D I S S E R T A T I O N S u b m i t t e d t o M i c h i g a n S t a t e U n i v e r s i t y i n p a r t i a l f u l fi l l m e n t o f t h e r e q u i r e m e n t s f o r t h e d e g r e e o f D O C T O R O F P H I L O S O P H Y D e p a r t m e n t o f T e a c h e r E d u c a t i o n 2 0 0 0 J o u t l t . r . . . ‘ , ! . 3 . ! 5 1 . ‘ “ “ . . . . / h ) . . 7 . l i l t y : e . 3 $ . 4 . 1 . . 0 . . I . o V . . . . 4 . I 1 K A ' . t . 4 I o J I ! . l ! 5 ! . C ; . . 1 ' 1 p . . ‘ r v . I t . r J . ) . . . » . _ . i 1 . . a ‘ v : . 0 . I » ( ‘ 1 . 1 . - : 2 , E : 2 2 : , . c , t y . . O T T O “ . . . I I I ] I . . ' 5 . l . . o . . . ’ t . 4 l z 4 . / . l v . ‘ . . - a ) v v l . t . . . ( . a t f . . t . . i . . . l . . . . A n . . ‘ 1 . 1 0 ) . i i i n i u . U / z , 2 . , 1 2 , ! f . I 0 " I 1 : . 1 r . 1 . ) ) 9 1 . . . h a . I . i . l ! _ 1 u . . y f . r , / r ( I r v / v . f . 3 4 1 . . . - I : n - v ' 4 ’ v r A B S T R A C T H O W D I S C O U R S E S T R U C T U R E S N O R M S : A T A L E O F T W O M I D D L E S C H O O L M A T H E M A T I C S C L A S S R O O M S B y B e t h A . H e r b e l - E i s e n m a n n M y e x p e r i e n c e s a s a s t u d e n t a n d a t e a c h e r o f m a t h e m a t i c s h a v e l e d m e t o p u r s u e t h e t o p i c o f t h i s d i s s e r t a t i o n — d i s c o u r s e p a t t e r n s a n d n o r m s i n t w o “ r e f o r m - o r i e n t e d " m a t h e m a t i c s c l a s s r o o m s . T h e t w o 8 t h g r a d e c l a s s r o o m s t h a t f o r m t h e f o c u s o f t h i s d i s s e r t a t i o n w e r e u s i n g t h e C o n n e c t e d M a t h e m a t i c s P r o j e c t . a n N S F - f u n d e d c u r r i c u l u m p r o j e c t . I w a s i n t r i g u e d b y t h e t e a c h e r s a n d t h e i r t e a c h i n g b e c a u s e I n o t i c e d t h e s t u d e n t s s e e m e d t o h a v e s i m i l a r u n d e r s t a n d i n g s . b u t e a c h c l a s s r o o m f e l t d i f f e r e n t t o m e a s a p a r t i c i p a n t - o b s e r v e r . T h e s e c l a s s r o o m s o f f e r e d a c o n t e x t t h a t a l l o w e d m e t o s t u d y d i f f e r e n c e s i n t h e c o n t e x t o f s i m i l a r i t y . T h e t e a c h e r s h a d m a n y a t t r i b u t e s i n c o m m o n ( d e t a i l e d i n C h a p t e r 5 ) : s i m i l a r a c a d e m i c b a c k g r o u n d s a n d p r o f e s s i o n a l d e v e l o p m e n t a c t i v i t i e s . s a m e c e r t i f i c a t i o n , s a m e s c h o o l . . s a m e c u r r i c u l u m a n d s i m i l a r e n t h u s i a s m f o r i t , s a m e h e t e r o g e n e o u s g r o u p o f s t u d e n t s . s i m i l a r s t u d e n t - u n d e r s t a n d i n g s . e t c . H o w e v e r . t h e t e a c h i n g i n t h e t w o c l a s s r o o m s w a s d i f f e r e n t . D r a w i n g f r o m t h e s o c i o l i n g u i s t i c s a n d m a t h e m a t i c s e d u c a t i o n l i t e r a t u r e s . I d e s c r i b e t h e s o c i a l a n d s o c i o m a t h e m a t i c a l n o r m s o f t h e t w o c l a s s r o o m s i n t e r m s o f t h e c l a s s r o o m d i s c o u r s e w h i c h t h e y w e r e e m b e d d e d i n a n d c a r r i e d b y . I a l s o i n t e r p r e t s t u d e n t u n d e r s t a n d i n g s w h e n e v e r p o s s i b l e t h r o u g h o u t t h e t h e s i s . t a k i n g a s o c i a l c o n s t r u c t i v i s t p e r s p e c t i v e . f I . t 4 . , . . . c 1 l : . . . . . r t r ‘ . J . I L l t . . l . . . . ( . I ! 0 . ! . I I . . . Q n . t » . b . . ‘ I t u p . 7 . 1 : v . I I . 1 . m 1 - « I 0 . » 6 . . . . . . ) 7 : 0 . 1 . 3 » . > 7 1 . . ’ ( . ( I . H I E - . 1 2 1 . . - . . . . . . 3 . 1 . “ 1 . } . . . . . . . 7 . . . . . r ‘ . l . K . ’ . . ( . v . _ i . 3 1 7 . . . J . . . . 1 . . 1 1 . 1 . . . . . . r v ‘ . . I . v . . a t . . , l . . . , : 2 . . . . . . . . . . _ . . I . : 1 4 . v c . . t . . ( ( ' u ‘ 1 ' . . . i . . 7 L . . . I . . . J I . . r ( . v l f o l l . . . p . l . . w . 4 I . . . . - v o . . . r t ’ 2 0 . ! o f v » . o . 1 I . t ‘ ( o I f . ; . r b . . . 1 . 7 . l . ‘ . p . M I ? . . . L . ( f o ’ l . p . . f / ’ 1 1 . . . . - l _ . . . 0 . » ‘ 0 t r . . . l r . r r M . f . v . . . . . v ) . . ’ . . l . . . . 1 . . . . f . . i t . . t r , ( . . / r . A l ( a . . l : A . i . 9 . ” . v 1 . 1 4 ; \ f . l . i n . I . F v . 5 - . l ) . ( 0 " . ‘ 1 . I . . , c : l . . . i . . 1 . . r . . . ’ / v i ) . \ v I . . . . . . . : h . . 4 I ' l . . o 1 ! . 1 ’ . . . I Z " 1 . l . ( _ _ _ s p . ( r p J r « 1 I . " _ I t ’ 1 : . . . 1 . t . l . ’ . u . M a . v U ( D o u . ( I I n t h e y e a r p r i o r t o c o m m e n c i n g m y d i s s e r t a t i o n s t u d y ( 1 9 9 7 - 1 9 9 8 ) . I c o m p l e t e d c l a s s r o o m o b s e r v a t i o n s a n d s t u d e n t i n t e r v i e w s a s p a r t o f m y p r a c t i c u m w o r k a n d r e s e a r c h a s s i s t a n t s h i p . T h e s e w e r e u s e d t o f o r m p r e l i m i n a r y h y p o t h e s i s a b o u t s t u d e n t u n d e r s t a n d i n g s a n d t h e c l a s s r o o m e n v i r o n m e n t . T h e d a t a u s e d f o r t h i s d i s s e r t a t i o n w a s c o l l e c t e d o v e r t h e n e x t t w o y e a r s ( 1 9 9 8 - 2 0 0 0 ) . D u r i n g t h e fi r s t . I o b s e r v e d a n d a u d i o - a n d v i d e o - t a p e d s t u d e n t s o n a w e e k l y b a s i s . I n a d d i t i o n . s t u d e n t s w e r e i n t e r v i e w e d a b o u t t h e i r a l g e b r a i c u n d e r s t a n d i n g s a n d t h e i r c l a s s r o o m e x p e r i e n c e . T h e s e c o n d y e a r . o n e o f t h e c l a s s r o o m s w a s o b s e r v e d t o t r a c e t h e f o r m a t i o n o f t h e n o r m s i n t h e c l a s s r o o m . T h e t e a c h e r s t o o k p a r t i n f o u r e x t e n s i v e i n t e r v i e w s . i n w h i c h t h e y w e r e a s k e d a b o u t i n fl u e n c i n g e x p e r i e n c e s r e l a t e d t o t h e i r t e a c h i n g a n d t h e n o r m s i n t h e i r c l a s s r o o m ( i n t e r m s o f t h e e x p e c t a t i o n s , r i g h t s a n d r o l e s o f t h e m s e l v e s a n d t h e i r s t u d e n t s ) . T h e y w e r e a l s o a s k e d t o r e a c t t o t r a n s c r i p t s a n d v i d e o f r o m t h e i r c l a s s r o o m . o f f e r i n g t h e i r p e r s p e c t i v e a b o u t t h e i r i n t e n t i o n i n t h e i r l a n g u a g e p a t t e r n s a n d t e a c h i n g . T h e i d e a s I i n v e s t i g a t e i n t h i s d i s s e r t a t i o n i n c l u d e h o w s o c i a l a n d s o c i o m a t h e m a t i c a l n o r m s a r e e m b e d d e d i n a n d c a r r i e d b y t h e c l a s s r o o m d i s c o u r s e i n e a c h c l a s s r o o m ( C h a p t e r s 6 a n d 7 ) . I a l s o d i s c u s s a s p e c t s i n t h e t e a c h e r s ' p r o f e s s i o n a l l i v e s t h a t i n fl u e n c e d t h e w a y s t h e y t h i n k a b o u t a n d w o r k t o e s t a b l i s h a n d m a i n t a i n t h e n o r m s i n t h e i r c l a s s r o o m s ( C h a p t e r 5 ) . I n C h a p t e r 8 . I l o o k a c r o s s t h e t w o c l a s s r o o m s t o o f f e r w h a t I s e e a s b e i n g s i m i l a r a n d d i f f e r e n t . w h i c h h a s a l l o w e d m e t o l o c a t e d i f f e r e n c e s i n : t h e o v e r a l l s t r u c t u r e o f t e a c h e r t a l k , t h e p o s i t i o n i n g o f t h e t e a c h e r w i t h r e s p e c t t o t h e l o c u s o f a u t h o r i t y , t h e w a y e a c h t e a c h e r d r a w s f r o m p o t e n t i a l o t h e r k n o w l e d g e s o u r c e s i n t h e c l a s s r o o m ( i . e . s t u d e n t s a n d t h e t e x t b o o k ) . a n d t h e w a y e a c h t e a c h e r d r a w s a t t e n t i o n t o t h e c o m m o n k n o w l e d g e c o n s t r u c t e d i n t h e c l a s s r o o m . D e d i c a t e d t o m y h u s b a n d . J o e . a n d o u r s o n . K a l e b . f o r a l l t h e i r s u p p o r t . l o v e a n d p a t i e n c e d u r i n g t h i s p r o c e s s . i v . I f . . . o I . . . ‘ . . l _ 1 I . ) I I . . . 1 . ! ! ! p . . ( . . . . I I i t o « a . I . . . . I 1 1 . . . . . y . . . a . . . . l l u . - . . F . . . . 1 $ . v . ’ . J . 1 . . ( l 7 f r . . { . ( ( . l r . . . . . . . . _ _ . , s . L . . 1 . . . r L ! L V I : 2 { o r f » . . L ’ l . J L 1 4 s v fi ” a o b . r , . . . . 7 . . . , . . f A . . I L L . 3 . ! . . ! t . : . . t 4 . . . O . » I ” L » ! ( I s - L ( , . L 3 : 0 . fi . I t : I f . . . p . . o . 7 5 1 o . . . v r . . 1 1 b 3 . . . . r a h , . ( l t { i t " s b o u . _ t . . . . . 1 . 4 . " . ( r ‘ o a r . o / — _ . v t . . . . r T 5 4 - r 7 . . D H " ( I I ' I n g H I . . ; . 1 . 5 . . . . . . 1 1 D . . . . . 0 w } . ( v v 4 : ) l . r ’ h ’ l b ! . 3 . : I . p » . 9 , J . . . . a ' . r p . ” . 1 3 . . . . . . . . . I J v z . . I V . . A C K N O W L E D G E M E N T S M a n y p e o p l e h a v e e n a b l e d a n d a s s i s t e d m y w o r k f o r t h i s d i s s e r t a t i o n . I a m i n d e b t e d t o t h e m a l l a n d t h a n k t h e m f o r a l l t h e i r t i m e . e n c o u r a g e m e n t . w o r d s o f w i s d o m . e t c . T h i s d i s s e r t a t i o n w a s s u p p o r t e d i n p a r t b y a S p e n c e r R e s e a r c h T r a i n i n g G r a n t a n d t h e C o n n e c t e d M a t h e m a t i c s P r o j e c t . I w o u l d l i k e t o t h a n k m y d i s s e r t a t i o n c o m m i t t e e . D a v i d P i m m . C h e r y l R o s a e n . J e n n y D e n y e r . G l e n d a L a p p a n . a n d J a c k S m i t h f o r t h e i r e n c o u r a g e m e n t . g u i d a n c e . e x p e r t i s e a n d t i m e . E a c h o f f e r e d i n s i g h t a n d a d v i c e i n h i s - " h e r a r e a o f e x p e r t i s e d u r i n g t h e d a t a c o l l e c t i o n . a n a l y s i s . a n d w r i t i n g p r o c e s s . I w o u l d l i k e t o t h a n k e a c h o f t h e m f o r w o r k i n g t h r o u g h d r a f t s o f v a r i o u s c h a p t e r s . A s m y a d v i s o r a n d c h a i r o f t h e t h e s i s , D a v i d P i m m a l l o w e d m e t o w o r k t h r o u g h m u l t i p l e i n t e r p r e t a t i o n s o f m y d a t a a n d o f f e r e d d i r e c t i o n t h r o u g h a s o c i o l i n g u i s t i c p e r s p e c t i v e . H e p r o v i d e d d e t a i l e d g u i d a n c e t h r o u g h o u t t h e a n a l y s i s . w r i t i n g a n d e d i t i n g p r o c e s s . H i s k n o w l e d g e a n d i n s i g h t s h a v e b e e n t r u l y h e l p f u l a n d i n s p i r i n g ! C h e r y l R o s a e n p r o v i d e d g u i d a n c e i n d e v e l o p i n g t h o u g h t f u l a n d r i c h t e a c h e r i n t e r v i e w p r o t o c o l s a n d o f f e r e d n e v e r - e n d i n g s u p p o r t i n m y t h i n k i n g a n d w r i t i n g p r o c e s s . S h e a n d J e n n y D e n y e r a s k e d t h o u g h t - p r o v o k i n g q u e s t i o n s t h a t p u s h e d m y t h i n k i n g a b o u t b o t h t h e i n t e r p r e t a t i o n a n d t h e w r i t i n g p r o c e s s . I t h a n k t h e m b o t h f o r t h e d e t a i l e d f e e d b a c k t h e y g a v e o n t h e c a s e s t u d i e s . J e n n y i s a l s o t h e p e r s o n w h o i n t r o d u c e d m e t o a n d e n c o u r a g e d m y i n t e r e s t i n d i s c o u r s e a n a l y s i s , g i v i n g m e a l e n s w i t h w h i c h t o v i e w c l a s s r o o m s t h a t I h a d n o t h a d p r i o r t o t a k i n g h e r c o u r s e . A s a n a u t h o r o f t h e C M P c u r r i c u l u m a n d s o m e o n e w h o V B . . . » 2 % . . . . I ‘ ‘ . . T S ‘ L . 7 . . I 3 . . v 7 . w > I ; . l L r . . t . . t 1 L . . ! . . u 1 . 1 . 3 2 ; v i n t r , . . . l . . . I r . C 3 . . . . . . . ( L I . . . . . I [ 3 | 2 . ! . . ' _ _ ) . v . . . . « I ; . T 2 ? v 6 . . . l ( . 1 . I . . . . . . . " 3 ’ 0 1 . . . « T . . . . l I o v . v l _ t r L . I . . . . . . . . . V _ . . t . ’ . ; l . 7 a . 0 0 ! ; ‘ ( H . — L h . l . p 3 . . A . 1 . . v v . . 9 . c l . . . . . c i r i s / ( 1 2 ; , . , _ . . b . ) g . ‘ A . z . . 1 ‘ . h a , ‘ 1 w a y a { I . I . . . p . c « I n . L a ‘ 4 5 . L 0 . . r . r ( l . a , _ u ‘ n V 4 . . . ( f . . . v . . . I . f l l l n . . . . . . . / . V o I ‘ . v . . 1 1 “ : I ! x 1 1 . a I I : . . . . I » . . _ v 7 . . o . l . , l . . r ( . L w I I I I H : 1 4 . . - . 5 » . . ‘ J . o ' L I i . L . . . . . . . 1 . . . . / . s . 1 a ( I r » . A . I I . c ( I _ . 1 k n e w t h e t e a c h e r s p e r s o n a l l y . G l e n d a L a p p a n o f f e r e d i n s i g h t f u l f e e d b a c k o n t h e t e a c h e r i n t e r v i e w p r o t o c o l s . t h e c a s e s t u d i e s ( r e l a t e d t o m y i n t e r p r e t a t i o n s o f t h e t e a c h i n g ) a n d t h e d e t a i l s I g a v e a b o u t t h e m a t h e m a t i c a l c o n t e n t . J a c k S m i t h h a s s u p p o r t e d m y w o r k s i n c e I h a v e a r r i v e d a t M S U . t a k i n g t h e t i m e t o d i s c u s s m y i d e a s a n d o f f e r i n g f e e d b a c k w h e n e v e r I h a v e r e q u e s t e d i t . H e h a s e s p e c i a l l y p u s h e d m y t h i n k i n g w i t h r e s p e c t t o t h e c o n t e n t a n d a n a l y s i s o f m y d a t a . I g r e a t l y a p p r e c i a t e t h e t i m e m y c o m m i t t e e m e m b e r s h a v e s p e n t t o r e a d . m e e t a n d o f f e r f e e d b a c k o n t h i s t h e s i s . D i s c u s s i o n s w i t h c o l l e a g u e s w e r e e s s e n t i a l i n m y w r i t i n g o f t h i s t h e s i s . C o n v e r s a t i o n s w i t h J o L e s s e r , B r i a n Y u s k o . J o a n H u g h e s . S h a r i L e v i n e - R o s e . C i n d y C a r v e r . R u t h B e r r y a n d o t h e r s i n v o l v e d i n t h e S p e n c e r R T G p r o g r a m h e l p e d m e t o a r t i c u l a t e m y i d e a s a n d m a k e s e n s e o f m y d a t a . T h e y a l s o o f f e r e d s u g g e s t i o n s a b o u t r e a d i n g s t h a t t h e y t h o u g h t m i g h t b e h e l p f u l a n d t o o k t i m e t o d i s c u s s m y w o r k w h e n e v e r I n e e d e d . D a v i d L a b a r e e ‘ s i n s i g h t s i n t o w h a t m y r e s e a r c h c o u l d c o n t r i b u t e t o t h e fi e l d o f e d u c a t i o n w e r e e s p e c i a l l y h e l p f u l . I a m i n d e b t e d t o a l l o f t h e s e p e o p l e f o r t h e i r t i m e . s u p p o r t a n d a s s u r a n c e . I a m d e e p l y t h a n k f u l t o t h e t e a c h e r s a n d s t u d e n t s w h o w e l c o m e d m e i n t o t h e i r c l a s s r o o m s a n d a l l o w e d m e t o v i d e o - a n d a u d i o - t a p e t h e m a t a n y t i m e . T h e y w e r e fl e x i b l e a n d o p e n t o t a l k i n g w i t h m e w h e n e v e r I r e q u e s t e d a n d t o o k p a r t i n o p e n a n d c a n d i d d i s c u s s i o n s a b o u t m a t h e m a t i c s a n d w h a t i t w a s l i k e t o b e a t e a c h e r a n d s t u d e n t i n t h e s e c l a s s r o o m s . I w o u l d a l s o l i k e t o t h a n k E l i z a b e t h P h i l l i p s a n d J a c k S m i t h f o r i n t r o d u c i n g m e t o t h e t e a c h e r s w h o w e r e t h e f o c u s o f t h i s d i s s e r t a t i o n . v i n . . r 0 y 1 r . ' . , 1 1 . . . . . 4 1 . . . 3 _ — p . . 7 . , . . . . _ . . J . . 1 2 . , 3 - . 3 I . . I . . - V I . : . t u b : I I . . . . $ 2 , , 1 1 . : h ! . 1 : 9 . ! c . . ( . l t t . ( v o . . : J ’ J ) / . r . 2 . 4 . l v : . . r » - , / . i . . 1 F t . . . ) , . . C ( I . . r 2 ‘ ; I . . . l ' . I . 1 I 7 a ‘ > . » o I . - u . _ . . . . . . . . . . . 1 : I t h a n k m y h u s b a n d , J o e . f o r e n d u r i n g m y s l e e p l e s s n i g h t s a n d s t r e s s e d o u t d a y s w i t h e n d l e s s s u p p o r t . e n c o u r a g e m e n t . l o v e a n d g u i d a n c e . I t h a n k m y s o n , K a l e b , f o r m a k i n g m e s m i l e a n d g i v i n g m e l i g h t h e a r t e d r e p r i e v e f r o m m y w o r k . H i s n e v e r - e n d i n g c u r i o s i t y i n s p i r e s m e ! I t h a n k m y p a r e n t s a n d f a m i l y f o r t h e m a n y w a y s t h e y h a v e o f f e r e d t h e i r s u p p o r t a n d f o r a l w a y s t e l l i n g m e t h a t I c o u l d d o a n y t h i n g I w a n t e d t o d o . K a t h y L e s s a r d h a s o f f e r e d m u c h s u p p o r t t h r o u g h o u t m y p r o g r a m a n d w r i t i n g . S h e h a s b e e n a g r e a t r e s o u r c e . f r i e n d a n d s o u r c e o f a d v i c e a b o u t a m y r i a d o f t h i n g s . I t h a n k h e r f o r t h e m a n y t h i n g s s h e h a s d o n e f o r m e ! ! v i i h i t t e r i } s : . ( L I i t n e r e a r r s c h i n ' l .1.’ _ J o s h “ a “ : " N d ) i : L i l ‘ . . x D . . ' - ) < . - l ' b - _ ' ~ . . \ . . u ~ § ‘ - u ‘ ? " " ' r l : - \ M A ‘ . \ . 0 . ‘ - i i i p t e r l : I n t r o d u c t i n r r I k ’ v t - F ‘ ; \ . . . . n u b v ~ ' S I ’ ) " I \ T . f t . ; w . . \ ~ . . l “ ' F ‘ : v ~ ~ ‘ v 1 . “ l ' - v \ l n u . . . \ u . . . , ‘ ‘ . . ' - » . \ , . . . L i n } . - \ ) 1 } 8 " “ . a n u » ' V ‘ ' ‘ U s . . . ” l ? l " ' l l . ‘ A \ u l n a . . . ‘ ‘ _ ~ 5 . 1 ‘ \ . _ } A \ ” v . . . . s L n H R x l } . . i ' , ‘ K " . 1 v . . . H b \ » 5 u m _ Y I . . v - z . . ‘ d 7 U n k - L h ‘ “ . \ . , \ ‘ . . V I O t : ' i h " u H . . . . ‘ 5 l - \ ~ ' \ , - l . ‘ ' . . ' . . . k . . . . . u \ . . ' \ “ i t . \ V ' V w a a g “ ‘ l 4 ' u ‘ . ' . I a . _ , L . . ‘ - - \ . \ I _ . . u . S . \ ‘ \ d \ i ' ~ " ‘ j n H i “ ' - u . \ ) a L ) 1 . ( J J ' ) ! u U ) . 0 a L \ T A B L E O F C O N T E N T S L i s t o f T a b l e s L i s t o f F i g u r e s L i s t o f S y m b o l s f o r T r a n s c r i p t i o n C h a p t e r 1 : I n t r o d u c t i o n B a c k g r o u n d S o m e L a y e r s o f C o n t e x t U p c o m i n g C h a p t e r s C h a p t e r 2 : O v e r a r c h i n g F r a m e w o r k K e y C o n c e p t s a n d T e r m s D e fi n e d L i n k t o M y S t u d y C h a p t e r 3 : C a r r y i n g O u t M y S t u d y T h e I n q u i r y G u i d i n g Q u e s t i o n s S i t e D e s c r i p t i o n s D a t a C o l l e c t e d D a t a A n a l y s i s P r o c e d u r e s S u m m a r y C h a p t e r 4 : A n a l y s i s o f T h i n k i n g w i t h M a t h e m a t i c a l M o d e l s S t y l e o f W r i t i n g C o n s t r u c t i o n o f R e a s o n i n g S u m m a r y C h a p t e r 5 : I n t r o d u c t i o n t o t h e T e a c h e r s B a c k g r o u n d G e n e r a l B e l i e f s a b o u t T e a c h i n g a n d T e a c h i n g M a t h e m a t i c s S u m m a r y C h a p t e r 6 : K a r l a ’ s C a s e F o c u s C l a s s P e r i o d s T h e C a s e D i s c o u r s e F o r m s a n d F u n c t i o n s F r o m F o r m s t o N o r m s C h a p t e r 7 : J o s h ’ s C a s e F o c u s C l a s s P e r i o d s T h e C a s e v i i i x i 6 6 6 9 7 7 8 1 8 1 8 4 8 5 1 4 2 I 4 9 1 4 9 1 5 1 P u t t e r s : C r o s s o C a w ‘ l ; - ~ \ fl " ' ~ f “ \ . m - x ‘ . . . . , - . u - , . _ , . ~ " V { ' r a v f w u w - A ' ) - \ . m s J u n - l b » a . ‘ . . - . " , " N I ” . 1 ’ . § v “ ‘ . ‘ . m t u - A : ¥ n i . . \ \ . , I u - \ . p u . i \ . u . . u ‘ _ . ' . . \ l l a m a “ : C o n c l u ~ i u n ‘ h . . _ y ‘ a g a f ‘ h 1 \ - _ ~ , 0 . l u . \ m \ n ‘ ‘ 5 ‘ . . 1 ' ~ I 1 . ; 2 ) ¥ - - ~ - » - ‘ - ~ i “ f . ‘ O : . ' D i s c o u r s e F o r m s a n d F u n c t i o n s F r o m F o r m s t o N o r m s C h a p t e r 8 : C r o s s - C a s e S t u d y C o m p a r i n g N o r m s F i n e - G r a i n e d D i s c o u r s e A n a l y s i s W h a t D i f f e r e n c e M i g h t T h e s e D i f f e r e n c e s M a k e ? C o n c l u s i o n s C h a p t e r 9 : C o n c l u s i o n / S u m m a r y R e s e a r c h Q u e s t i o n s I m p l i c a t i o n s L i m i t a t i o n s o f T h i s S t u d y a n d S u g g e s t i o n s f o r F u t u r e R e s e a r c h i x I l l - i i ” ' o f " I Y ‘ l . ‘ n fl ‘ . " ) ' " ' * . i l k l 5 . - . ; . \ L . J . \ r ' . ' . ‘ ' \ I — \ . § : - | ; U \ L I ' z , fl ‘ T a b l e . § : \ . 1 . : . “ c . ' . . ~ ' r - . , , , . i l ' l t . ‘ \ x b c ' . 1 \ ' . . l l i l l f i F : “ " “ . T I r v - « 5 7 . . _ l l ” “ \ : l ' p : _ ‘ \ i l e k . 1 ‘ ; ‘ . l l 2 0 > “ ‘ i ' u : \ . L I S T O F T A B L E S T a b l e 1 : S o m e K e y D i m e n s i o n s o f D i f f e r e n c e s b e t w e e n t r a d i t i o n a l A l g e b r a I a n d 8 h g r a d e C M P T a b l e 2 : S i x A s p e c t s o n W h i c h O n e M a y F o c u s C l a s s r o o m I n q u i r y T a b l e 3 : N u m b e r o f S t u d e n t P a r t i c i p a n t s i n E a c h C l a s s r o o m b y S e m e s t e r T a b l e 4 : F r e q u e n c y o f Q u e s t i o n s a n d I m p e r a t i v e s b y S e c t i o n o f t h e T e x t T a b l e 5 : F o r m s o f “ Y o u “ i n t h e T e x t T a b l e 6 : F i v e T y p e s o f R e f o r r n u l a t o r s T a b l e 7 : J o s h ‘ s Q u e s t i o n s : F o r m s a n d F u n c t i o n s T a b l e 8 : J o s h ’ s a n d K a r l a ’ s N o r m s T a b l e 9 : C o m m o n F u n c t i o n s U s i n g D i f f e r e n t S u r f a c e F o r m s T a b l e 1 0 : K a r l a ’ s C o n t r o l o f t h e C o m m o n K n o w l e d g e I . t . . 0 o J . a ; ‘ . . l \ 4 M . O y l o . I ‘ — . 2 a L I S T O F F I G U R E S F i g u r e 1 : L e n g t h o f J o s h ‘ s a n d K a r l a ‘ s T u r n s F i g u r e 2 : L e n g t h o f J o s h ’ s S t u d e n t s ‘ v s . K a r l a ‘ s S t u d e n t s ‘ T u r n s F i g u r e 3 : U n d e r s t a n d i n g v s . J u d g i n g x i 4 : ; L . I . . . . . t . 1 : , \ I ( I : v . 4 0 : M a r k : [ i n a u d i b l e ] [ t h e s l o p e ] [ w r i t i n g ] s o / s o / / [ 3 - s e c o n d p a u s e ] S o S o S o - L I S T O F T R A N S C R I P T I O N S Y M B O L S K a r l a ' s t u r n s J o s h ‘ s t u r n s t h e c o d e - n a m e o f t h e s p e a k e r i n d e c i p h e r a b l e s p e e c h t r a n s c r i b e r ' s s i t u a t i o n a l e l u c i d a t i o n s o r c o m m e n t d e s c r i p t i o n o f n o n - l i n g u i s t i c c o m m u n i c a t i o n / i n d i c a t e s a o n e - s e c o n d p a u s e / / i n d i c a t e s a t w o - s e c o n d p a u s e i n d i c a t e s t h e l e n g t h o f p a u s e s o v e r t w o s e c o n d s i n d i c a t e w o r d o r w o r d s s t r e s s e d b y t h e s p e a k e r ( b o l d ) h i g h l i g h t e d b y t h e t r a n s c r i b e r f o r t h e a t t e n t i o n o f t h e r e a d e r ( - ) i n d i c a t e s u t t e r a n c e i n t e r r u p t e d o r n o t c o m p l e t e d x i i v ' . . I . ’ . l \ - . . . . . ' p ' e i t 4 " ! . I ; i . . _ A P . ’ ¢ . ‘ ; I ‘ l b fi . ’ 1 . . . 1 . : I P W ’ . O 0 u . o L - J t p t r . a . » . ” < l i o f . w “ ‘ . ( P L Z u l u ? 4 . : 1 I ( U V I Z I . . . I . . ! J \ l . . : 1 . . . v u _ . 1 1 . . . . . . a . ( f . v o . l ( . l , . . . ’ I . ’ r » . . r I A l J . ' u . . 1 . b ’ u . n o . I “ a ) . / ‘ l ‘ 1 . . . . . 1 i ‘ . l . . ~ . l l f ‘ s - . . . . . . . ; . . . . . . . t . . . 9 . . . . . . 1 . . . . l l l t r . r v . r / ( . 3 l . . . . . . . B a a J . v . ' . o i a o J 4 . . I t . . 1 / . . . - I . . . 3 . . . l z l c l r L ‘ z n P I . . . - . ' D i n - H I o . I I a . I ‘ o fl j i v » . . - ; ( y t o ' u ' . . ( ’ I v , . . c l e ' I D . 1 . 1 ! . . . v . " ' I N 1 . , V l . . . a v p p p u v ‘ . / 4 . 1 , ! . 1 0 ) i J - . c l . . 1 4 t a ; ( I . . a t t i r e 1 / » . . . i a s . ‘ o I ! . . h . : . r ‘ : . . . . o m w g L r . . ( I a n . . , ) v l l . ' . T . . 5 » ” p l a i n ” 4 ‘ a . . u ( n . 1 r ‘ . 1 I . I . . : r . v . . . . n . 1 . . I V a c . » ( . J . : . L t o , , I I . J . I f I . . . I I ” 3 . s . a . . . I 3 . 1 0 3 ' 1 ‘ » L 1 1 4 O . . y r . 0 o ’ i t : C H A P T E R 1 : I N T R O D U C T I O N I n t h i s d i s s e r t a t i o n . I e x p l o r e t h e m a t h e m a t i c a l c u l t u r e o f t w o 8 ‘ h g r a d e c l a s s r o o m s b o t h u s i n g t h e C o n n e c t e d M a t h e m a t i c s P r o j e c t ( C M P ) . I e x a m i n e t h e s o c i a l a n d s o c i o m a t h e m a t i c a l n o r m s t h a t e a c h t e a c h e r e s t a b l i s h e d i n h i s / h e r c l a s s r o o m . M o r e s p e c i f i c a l l y . I d e s c r i b e d i s c o u r s e p a t t e r n s i n b o t h t e a c h e r t a l k a n d t e x t b o o k w r i t i n g ( i . e . t a l k a n d r e p r e s e n t a t i o n i n g e n e r a l a n d a s a s s o c i a t e d w i t h t h e m a t h e m a t i c a l r e g i s t e r ) a n d t h e n o r m s t h a t h a v e b e e n e s t a b l i s h e d b e t w e e n t h e t e a c h e r s a n d s t u d e n t s . I c h o s e t e a c h e r t a l k a n d t e x t b o o k w r i t i n g b e c a u s e t h e y a r e t h e m a i n l a n g u a g e f o r m s o f t h e e x p e r t “ v o i c e s ” s t u d e n t s h e a r a n d s e e i n a c l a s s r o o m . I u n d e r t o o k t h i s s t u d y i n o r d e r t o e x a m i n e m y s e n s e o f d i f f e r e n c e b e t w e e n t w o “ r e f o r m - o r i e n t e d " c l a s s r o o m s w h i c h o n t h e s u r f a c e w e r e r a t h e r s i m i l a r ( s i m i l a r a c a d e m i c b a c k g r o u n d s . s a m e c e r t i f i c a t i o n . s a m e s c h o o l . s a m e c u r r i c u l u m a n d s i m i l a r e n t h u s i a s m f o r i t . s a m e h e t e r o g e n e o u s g r o u p o f s t u d e n t s . s i m i l a r p r o f e s s i o n a l d e v e l o p m e n t a c t i v i t i e s . s i m i l a r s t u d e n t u n d e r s t a n d i n g s ) . I n m a n y d i s c u s s i o n s t h a t h a v e e n s u e d s i n c e t h e r e l e a s e o f t h e N C T M . S ‘ I t ' m d a r c h ' a n d c u r r i c u l a t h a t r e s u l t e d f r o m t h i s p u s h f o r n e w f o r m s o f t e a c h i n g a n d l e a r n i n g . t h e d e b a t e h a s f o c u s e d o n t r a d i t i o n a l i d e a s v s . r e f o r m - o r i e n t e d o n e s . H o w e v e r . l i t t l e a t t e n t i o n h a s b e e n g i v e n t o t h e d i v e r s i t y a m o n g a n d w i t h i n j u s t o n e o f t h e s e p a r a d i g m s ( i . e . r e f o r m - o r i e n t e d o n e s ) . S i n c e t h e r e f o r m s a r e s t i l l f a i r l y n e w . m a n y t e a c h e r s w h o h a v e d e v e l o p e d a r e f o r m - o r i e n t e d s t a n c e a r e s t i l l w o r k i n g t o i m p l e m e n t s u c h p r a c t i c e i n t h e i r c l a s s r o o m s . A l s o , a s w i t h a n y t e x t , i n t e r p r e t a t i o n s o f w h a t i t m e a n s t o i m p l e m e n t s u c h t e a c h i n g i s a m b i g u o u s b e c a u s e t h e r e f o r m s a r e u n d e r d e t e r m i n e d ( B a l l . 1 9 9 7 ) . T h e r e f o r e , t a k i n g a c l o s e r l o o k a t t h e d i f f e r e n c e s a n d s i m i l a r i t i e s i n t w o s u c h “ r e f o r m - o r i e n t e d " c l a s s r o o m s . . . f - 0 . ‘ a J Q O U 1 I . y ’ a l ‘ . r 1 . o - ' o : . o u - . . c s i . a n . ‘ 1 . A L I h . ” . 0 . . z r . | . . w r ( f ‘ . . r F . . I . 4 . . . 0 . 1 - . - t . . V “ w i l l ! . . 7 y r ! ‘ ( . l v . . . a . - _ d . . - y n l ‘ i . 3 ‘ I . : . , . . : 1 . | . . . . . . , , . o . > 7 . . 0 _ I . . ) . I . . . ‘ 1 . . . l e u . . c o i r ! . p e r v . _ ( . . . ‘ u w r w t I . . . . . . F I . D O , I : [ I v . ‘ i n p . l I . , a . u p . . . . ( n I ' . . . I . . . . I P A 0 I f ” ; v . l i t e r s d d . M w } . . . . . . . o r » . I v . I - . L . D , i a ; u l 3 . 7 / n g C . _ 4 . . . . . 1 ; I » ‘ ( p » . r . _ r 1 a ) : . v v t t r 4 / 1 4 4 1 ; . . v i r r . r w r . . 3 4 . . t . [ ( 1 . g . . ~ . ‘ I I . ( r u / o f . A 4 r — . w . 3 . I t . . . I . . . . . — . I . . . 3 ” ' 4 . . I ( 0 9 ( r ' 1 ‘ ‘ 1 I . . : . 1 . I f M . . . - . r y e ! ) . . r a n “ . a . I c u n " . I . 1 ; I ! a O . . . 1 1 1 » : C H I . . 1 1 . . . . e . . . . / . x 4 ; ‘ 1 ‘ , 4 I I t . « I . I . 4 ’ i [ I t . N / i . D l l ’ b I I ' I . ; 4 . . . . y i f . v 4 ! . I r » . A l t . » ( 0 . a . r I l t ‘ . t ' I i . j , ( 1 “ « i t c o u l d p r o v e u s e f u l , a d d i n g s o m e s h a d e s o f g r a y t o t h e l a r g e r s p e c t r u m r e f e r r e d t o a s “ r e f o r m - o r i e n t e d . ” M y s t u d y o f f e r s t o i n f o r m e d t e a c h e r s , t e a c h e r e d u c a t o r s . a n d c u r r i c u l u m d e v e l o p e r s a n a c c o u n t o f d i f f e r e n t t e a c h e r r o u t e s t o a p o s s i b l y s i m i l a r e n d . e n r i c h i n g p e r s p e c t i v e s o n t h e a c t u a l d i v e r s i t y o f w h a t m o n o l i t h i c a l l y m i g h t b e c a l l e d a n " N C T M - r e f o r m c l a s s r o o m . ” I n p a r t i c u l a r . m y s t u d y e x p l o r e s t h e e f f e c t s o f v a r i a t i o n i n d i s c o u r s e p a t t e r n s ( e . g . p r o n o u n u s a g e . v o i c e . e n c o d i n g o f a u t h o r i t y . m i x o f t e c h n i c a l a n d n o n - t e c h n i c a l m a t h e m a t i c a l l a n g u a g e ) o n c l a s s r o o m i n t e r a c t i o n s a n d s t u d e n t u n d e r s t a n d i n g . B a c k g r o u n d I g r e w u p i n a f a m i l y w h e r e m a t h e m a t i c s w a s v a l u e d — m y f a t h e r t a u g h t a l g e b r a a n d g e o m e t r y i n t h e h i g h s c h o o l I a t t e n d e d a n d I h a d h i m f o r b o t h o f t h o s e c l a s s e s . T h e c l e a r e s t m e m o r y I h a v e o f m y 9 ‘ h g r a d e a l g e b r a c l a s s c o n s i s t s o f m e w a t c h i n g m y f a t h e r w r i t e a s e r i e s o f d e fi n i t i o n s a n d p r o p e r t i e s o n t h e b o a r d w h i l e I h u r r i e d t o c o p y t h e m i n t o m y n o t e b o o k . H e t h e n e x p l a i n e d w h a t w e w e r e t o d o w i t h t h o s e p r o p e r t i e s a n d h o w w e w e r e s u p p o s e d t o s o l v e t h e p r o b l e m s . I h a d l e a r n e d h o w t o “ d o s c h o o l " w e l l a n d I d i d e x a c t l y a s I w a s t o l d t o d o - - I m a n i p u l a t e d t h e s y m b o l s i n t h e m a n n e r h e h a d d e s c r i b e d a n d I g o t t h e r i g h t a n s w e r m o s t o f t h e t i m e . I t w a s t h a t y e a r t h a t I w a s fi r s t i n v i t e d t o p a r t i c i p a t e o n t h e " m a t h t e a m . “ A s a p a r t i c i p a n t o n t h i s m a t h t e a m , I a t t e n d e d c o m p e t i t i o n s i n w h i c h w e t o o k i n d i v i d u a l e x a m s a n d t h e n w o r k e d i n s m a l l g r o u p s o n a p p l i c a t i o n p r o b l e m s . I a l w a y s d i d f a i r l y w e l l o n t h e i n d i v i d u a l e x a m s — a l l I h a d t o d o w a s m a n i p u l a t e s y m b o l s . H o w e v e r . I r a r e l y c o n t r i b u t e d a n y t h i n g t o t h e s m a l l g r o u p p o r t i o n o f t h e e x a m b e c a u s e I r e a l l y h a d n o i d e a h o w t o s o l v e t h a t t y p e o f p r o b l e m . N o o n e s e e m e d t o n o t i c e , a n y w a y . I I . n o J . 3 4 1 ; . r L . h . . n . r v r _ ( . _ . 1 . . . . . . . . . o J . v s 9 1 . ; _ . 3 l v 4 . ’ } ! n H i t t i t e 2 . . . K . . . I . . . l . ‘ . . a o J - " . . ) 1 V ’ , t H r . . - ‘ ( ( , l p u t v . f r ; t l I . . t r o l . . . . m 1 u o . v n v u 1 l . . o . . i 1 . 0 : : { a t p - u t v . . ' » . p ‘ . . ( . . 1 a v ” . I . . . . . h . b e . « 1 . . . . . c . . { I » > , r . ’ ( . ( . . { u p r . , r . . ( . I L ) . . . ’ . v o 1 u c o { 0 . 7 . . 0 5 . ! r : r r p o / v r r b V I { . I I s ; 0 : } : , _ . . . a . a n . . . _ q , ” u . I L I - I ! . ‘ h / . ’ l b # . ’ . ( t f y r f / ’ t h I 4 . I . r a v . n " i I D A I ’ V V . . . . I I I . » I H H i n d i . ) . u ’ 1 L . 4 b . . I ’ f i x . 5 " . e r R 7 . ” ) . m y . . U . i n . . - . . . . . 1 ) , . . . I f ‘ Y . 1 . ( I ) ; y e l p / A D \ I J D K . . . , _ - I I [ c u f f / w / / _ . . & , v h - f - 4 v l . . c J ~ L p n a ' o r . l b p . 4 ' ! O P . ' l f ’ 1 1 . I t ? ) - l c I » . . . I 1 ‘ 1 ' 1 4 l l 4 I . . o r . O . . r . . J . . I J ’ 1 ’ ) y 0 , 1 a ! i v . ’ _ . . 1 n I v “ ; A . . . . . I I , ’ / . f l 1 L . t I . 1 ! ; I ‘ fl . . I . . I . . I I , I n 1 . . . 1 ’ r r ’ 1 " . ’ . l I ‘ P T h e r e s t o f m y h i g h s c h o o l e x p e r i e n c e w a s r e a l l y m o r e o f w h a t I j u s t d e s c r i b e d — — t h e t e a c h e r t o l d m e w h a t p r o c e s s t o f o l l o w a n d I d i d . I r a r e l y a s k e d q u e s t i o n s a n d n e v e r q u e s t i o n e d t h e p r o c e s s I w a s b e i n g s h o w n t o s o l v e t h e p r o b l e m s . I w a s c o n s i d e r e d o n e o f t h e t o p f i v e m a t h e m a t i c s s t u d e n t s i n m y s c h o o l a n d a t t e n d e d t h e m a t h c o m p e t i t i o n e v e r y y e a r . H o w e v e r , t h e g r o u p e x a m s s t i l l e l u d e d m e . E v e n t h o u g h I g o t t h e c o r r e c t a n s w e r o n t h e p r o b l e m s t h a t f o c u s e d o n s y m b o l m a n i p u l a t i o n . I w a s p e r p l e x e d b y t h o s e w o r d p r o b l e m s ! M y s e n i o r y e a r , I m e t w i t h t h e s c h o o l c o u n s e l o r t o d i s c u s s w h e r e I w a n t e d t o c o n t i n u e m y e d u c a t i o n a n d i n w h a t I w a s g o i n g t o m a j o r . H e k n e w t h a t I w a s g o o d a t m a t h a n d s i n c e I w a s v e r y p e o p l e - o r i e n t e d , w e t a l k e d a b o u t m y g o i n g i n t o t e a c h i n g . O n e o f t h e b e s t t e a c h e r p r e p a r a t i o n p r o g r a m s i n t h e s t a t e h a d a r e c r u i t e r v i s i t m y h i g h s c h o o l t h e n e x t w e e k . I s p o k e w i t h h i m a n d h e t o l d m e a b o u t a s c h o l a r s h i p f o r w h i c h I c o u l d a p p l y b e c a u s e I h a d a r a t h e r h i g h A C T s c o r e . I a p p l i e d f o r a n d r e c e i v e d i t . T h e d e c i s i o n w a s m a d e — I w o u l d a t t e n d t h i s s m a l l u n i v e r s i t y a n d b e c o m e a h i g h s c h o o l m a t h t e a c h e r . I t o o k t h e m a t h p l a c e m e n t e x a m a n d f o u n d t h a t I c o u l d b e g i n c a l c u l u s m y f i r s t q u a r t e r . I k n e w t h a t I w a n t e d t o t e a c h h i g h s c h o o l a n d d e c i d e d t o t a k e t r i g o n o m e t r y b e c a u s e I h a d n o t h a d a n e n t i r e c o u r s e t h a t f o c u s e d o n t h i s . I n a d d i t i o n . m y o l d e r s i s t e r ( w h o m I t h o u g h t w a s m u c h s m a r t e r t h a n I ) h a d s t a r t e d o u t i n c a l c u l u s h e r f i r s t y e a r a n d f o u n d i t t o b e q u i t e a s t r u g g l e . I d i d v e r y w e l l i n t r i g o n o m e t r y — a g a i n . i t w a s s u b s t i t u t i n g a n d m a n i p u l a t i n g t h i n g s t o f i n d a n a n s w e r a n d I c o u l d d e f i n i t e l y d o t h a t ! C a l c u l u s w e n t w e l l u n t i l t h e l a s t q u a r t e r . I h a d g o t t e n t h r o u g h t h e o t h e r s b y c r a m m i n g f o r o v e r a d o z e n h o u r s p r i o r t o a n e x a m . I c o u l d r e c o g n i z e a “ t y p e " o f p r o b l e m a n d r e c a l l t h e p r o c e s s I w a s s u p p o s e d t o u s e t o s o l v e i t . I n m y l a s t q u a r t e r o f c a l c u l u s . t h e I . . r . 1 . . . . 0 1 “ : u I fl . J V . . . r J a L r . i l . . . . . ( . J . p . . r . . ; 1 4 o 1 4 1 . 2 1 v » , . 3 . - N l c i I D . 1 . . - ! r L I V . . . $ . C r . I . . . . . 1 3 3 . x r . . . . s . . . . . I . { P U M — r a " » ( ‘ s . . 1 . a . . . a . . . / . . 1 . 3 . . . . » F H u n . . . . ' l ‘ t l v u v l r E . . . » . 1 I ) . . # A . ) 1 C L . ” r r E r v m x 2 6 . . . - a . . . 5 3 9 1 ? : 1 . 1 . . u l . : . . r f t t . . l l r . . . . . r . . . 5 1 . 1 . I 9 . . . 0 . . . w z . 1 1 . . I I ’ l l . . K . l r “ ( » o v n . . U : I h ~ . . 3 1 ) . . V o r . . , . 2 “ i o n ! . . o t v , f r . . . . L : . 7 3 » ! 1 ” C w . . . . « 0 1 4 . l v . / 4 ' f l . . . ‘ 1 0 . , p ( I . f . . . . 1 4 1 . o l v y I L . ) . 1 a g . r . . . . ( . 1 r » . ' r r - f r d w ( r . J ’ 4 1 ” ! . v . a — O T . . 0 g r . . . " 9 . . { 2 . 1 . . 1 5 ; . . . - ’ f I “ . t h j a 1 . . . ) . I . . ” ( 5 . 5 . 1 . 1 4 1 1 n . ) L ’ 5 ( n / U m i ‘ a 9 . E L . . . 7 v . . 2 . . a _ t ' 1 I . J L v w ’ o . . o f f £ 9 1 o r i f ? ' ( t r r . ” . W 0 r : . w . . v , . 1 . . . I , : / . . 4 . . . a fl o . 0 ' I 4 . I . . - u . . . J v l t g r L b fl ~ I A . » I . . . . . . O I O r . . ! I n a o f L / A b « J c r . ( . . ’ ' 4 A n t i } . y , . . . / . . . o v 0 1 l . t ( . . . . I . n l - . r . . I I I ‘ I I . . I 1 4 . . f t a l l ( r . . 1 . 1 . . m a n i p u l a t i o n g o t m o r e c o m p l e x a n d I d i d n o t k n o w e x a c t l y w h a t t o d o . I s t i l l e a r n e d a B i n t h e c l a s s , b u t r e a l l y d i d n o t s e e t h e b i g p i c t u r e . I " d i d s c h o o l “ w e l l . t h o u g h . a n d g r a d u a t e d S u m m a C u m L a u d e . O n e c o u l d s a y m y “ a p p r e n t i c e s h i p “ i n t e a c h i n g h a d b e e n a n e f f e c t i v e o n e f o r I b e g a n m y c a r e e r t e a c h i n g t h e w a y I h a d b e e n t a u g h t . I s p e n t t h e m a j o r i t y o f m y t i m e t a l k i n g w h i l e s t u d e n t s l i s t e n e d a n d t o o k n o t e s . I t h o u g h t b r e a k i n g t h e p r o b l e m s i n t o e n o u g h “ s t e p s ” w o u l d a p p e a s e s t u d e n t s a n d h e l p t h e m s u c c e e d . I e v e n r e c a l l h a n d i n g o u t s h e e t s o f p a p e r w i t h a l l o f t h e “ s t e p s ” f o r e a c h t y p e o f p r o b l e m l i s t e d f o r s t u d e n t s t o r e f e r t o w h e n s t u d y i n g f o r a n e x a m . M y s t u d e n t s r e a l l y w e r e n o t v e r y s u c c e s s f u l o r m o t i v a t e d t o c o p y t h e m e t h o d s I w a s p r e s c r i b i n g . H o w e v e r . I d i d n o t k n o w w h a t e l s e t o d o . S p r i n g o f t h a t y e a r I w a s e n c o u r a g e d b y m y u n d e r g r a d u a t e a d v i s o r t o a t t e n d t h e n a t i o n a l N C T M c o n f e r e n c e i n N e w O r l e a n s . I d i d a n d w a s m o r e t h a n i m p r e s s e d w i t h t h e a c t i v i t i e s a n d e x p e r i e n c e s a b o u t w h i c h I h e a r d o t h e r t e a c h e r s t a l k . T h i s w a s t h e k i n d o f a c t i v i t y t h a t I k n e w , d e e p d o w n , m y s t u d e n t s n e e d e d t o e x p e r i e n c e — c h a l l e n g i n g m a t h e m a t i c a l t a s k s t h a t s t u d e n t s c o u l d w o r k o n a n d d i s c u s s i n s m a l l g r o u p s a n d t h e n w e c o u l d t a l k a b o u t a s a c l a s s . I r e t u r n e d t o m y c l a s s r o o m w i t h s o m e g r e a t i d e a s a n d w h e n I i m p l e m e n t e d t h e m , I f o u n d I n o w h a d a n a d d i t i o n a l c o m p l e x i t y t o a t t e n d t o i n m y c l a s s r o o m — m y s t u d e n t s w e r e a c t u a l l y t a l k i n g t o m e ! H o w e v e r . I w a s n o t s u r e w h a t t o d o t o d i r e c t t h a t d i s c u s s i o n i n a m a t h e m a t i c a l l y p o w e r f u l w a y . O n c e t h e s t u d e n t s b e g a n t o t a l k . i t w a s h a r d t o k e e p t h e m o n t a s k a n d 1 f o u n d m y s e l f f a l l i n g b a c k i n t o a m o r e d i d a c t i c f o r m a t — i t w a s e a s i e r a n d I w a s i n c o n t r o l . I i m p l e m e n t e d s o m e a l t e r n a t i v e a c t i v i t i e s , b u t k e p t t h e c o n v e r s a t i o n f a i r l y c o n t r o l l e d . 1 ‘ 2 . - . J . l v u r v : v > o l . u . o - I . . . I : " u v b , I ' l l l » - ! . . . . c . - I . 0 1 ¢ J 1 “ . . “ . 7 ” H . I ? ( C . . . ( I - . . . . . i l l ) ? Q 1 } L i Z . . 7 & 9 . . . 0 1 7 / . 3 ? » r . . I f . I q . . . . I b o - 1 . 1 . . 1 " H W ‘ L . a 1 . I n : I s i s u f . . . p l ‘ . . c I ' . . ~ . 1 . 1 : . _ . 1 1 0 A o o A . . . . . . I 5 . } S T n - r r r f ‘ » . _ r l c r r t r . 1 . A . , . l 1 . C ) c o r ? ” ’ ( . V H fl r / 0 L o r I . f M . u . . . I . o ’ b 1 b . , , . I I t ” . . . L 7 . . . r . . . _ - . . r - r / r » . r . 1 . . . . . L . . . . L 3 1 . a . . v / o - I - . . . . . 4 ) A U r » . . . - f f r / . I . - ‘ n l . - l o I . . / J P ; 3 . 4 I : 0 4 1 i l l ! 4 1 5 . . . . I » . . . E L . V ‘ I . 4 . ‘ A . c . I . _ . 3 . r l . I v . w i t h , . . ( K f . . l _ . . i t . I L ” ’ 4 . o 1 I ~ 1 9 l . . : I . 1 y I ‘ H ’ G u l l / ’ 5 1 ' ! . 1 1 . p u r e 0 . ! . . y o 1 . » ‘ 0 ’ ~ . I L ” I y r » . . . 1 . 1 . I . t A I , ( I I I A . . . I . I . . . . l ‘ r . . r I P V . . / . . 1 . . . 4 l . , I . J u n . J . { p r . I { . V / . , l . ) t . v I I ! I n . . / L I ’ l l , I p . r ' 1 ) i l l » . . l . ‘ I . . I I I I I A ! . ‘ N . . . l I 4 W h e n I l e f t t e a c h i n g m i d d l e s c h o o l t o g e t m y m a s t e r ' s d e g r e e a t N o r t h e r n A r i z o n a U n i v e r s i t y , I b e g a n t e a c h i n g c o n t e n t c o u r s e s t o p r e - s e r v i c e t e a c h e r s . I f o u n d t h a t t h e s e b u d d i n g p r o f e s s i o n a l s h a d m a n y p r o b l e m s t a l k i n g a b o u t t h e m a t h e m a t i c s : e x p l a i n i n g t h e i r t h i n k i n g . a r t i c u l a t i n g t h e i r u n d e r s t a n d i n g . m a k i n g c o n n e c t i o n s a n d i d e n t i f y i n g t h e “ b i g ” i d e a s i n t h e c o n t e n t . I b e g a n t o i n c o r p o r a t e m o r e d i s c u s s i o n s a b o u t “ w h y " a n d “ h o w ” a n d t o t a l k a b o u t m y o w n s t r u g g l e s w i t h t h e s e a s a t e a c h e r . I a l s o g a v e w r i t i n g a s s i g n m e n t s a n d e s s a y e x a m s . p l a n n e d m o r e g r o u p w o r k . e t c . t o g e t s t u d e n t s t o a r t i c u l a t e t h e i r t h i n k i n g . I r e a l l y e n j o y e d w o r k i n g w i t h p r e - s e r v i c e t e a c h e r s a n d d e c i d e d t h a t t h i s w a s w h a t I w a n t e d t o d o w i t h m y l i f e . T h i s d e c i s i o n t o o k m e t o M i c h i g a n S t a t e U n i v e r s i t y . M y fi r s t s e m e s t e r . I c o - t a u g h t t h e m e t h o d s c o u r s e f o r m a t h a n d l a n g u a g e a r t s f o r p r e - s e r v i c e e l e m e n t a r y t e a c h e r s . O n e o f t h e p r o j e c t s i n w h i c h w e h a d o u r s t u d e n t s e n g a g e c o n s i s t e d o f a h y p e r m e d i a i n v e s t i g a t i o n o f D e b o r a h B a l l ’ s 3 r d g r a d e m a t h e m a t i c s c l a s s . T h e h y p e r m e d i a l a b c o n s i s t e d o f a “ v i r t u a l c l a s s r o o m , ” i . e . v i d e o t a p e o f a l l t h e m a t h l e s s o n s t a u g h t . a c c e s s t o s t u d e n t a n d t e a c h e r j o u r n a l s , t r a n s c r i p t s , a n d s t u d e n t w o r k . T h i s v i r t u a l c l a s s r o o m w a s s e t u p t o e n g a g e p r e - s e r v i c e t e a c h e r s i n t h i n k i n g a b o u t a l t e r n a t i v e w a y s t o t e a c h m a t h e m a t i c s . O n e o f t h e p u r p o s e s o f o u r c o u r s e p r o j e c t w a s t o s h o w s t u d e n t s h o w i m p o r t a n t t h e l a n g u a g e a r t s w e r e f o r g e t t i n g s t u d e n t s t o a r t i c u l a t e t h e i r m a t h e m a t i c a l i d e a s . W e d i s c u s s e d t h e N C T M d i s c o u r s e s t a n d a r d s a n d h a d s t u d e n t s p o s e q u e s t i o n s a b o u t t h e d i s c o u r s e i n B a l l ’ s c l a s s r o o m . T h e y t h e n w o r k e d i n s m a l l g r o u p s t o fi n d e v i d e n c e f o r a n s w e r i n g t h e i r q u e s t i o n i n t h e c l a s s r o o m v i d e o t a p e , t e a c h e r ’ s j o u r n a l . s t u d e n t j o u r n a l s . e t c . T h i s c l a s s r o o m a c t i v i t y b e c a m e t h e b u d d i n g s e e d f o r m y c u r r e n t d i s s e r t a t i o n w o r k , b e c a u s e i t w a s m y fi r s t g l i m p s e o f a t e a c h e r o r c h e s t r a t i n g p o w e r f u l . . I ~ I r n i i f i u o . / . . . [ 1 ] . . . < . \ . i m . . l ¥ . r L ( f i t - . . r . _ . _ . . . . . 1 : . g . Q 2 ‘ . : 1 . 5 . . . ? ! . ( r . 7 . 0 . 5 1 a ; . 5 , . o . . , . i n . . . . ) . a . « l o . 1 . 3 , . I . . - L I P . I l i a - r v . . t b r b . ( . . . : > I . . . 3 . . , A S H ” . 5 0 . . 4 2 “ . . “ J i I ‘ _ , v . . . . V a . . . I I . : r . ( ‘ f . . l . . v l 4 / . . . . u . . l . I L . 1 ) . . . . 1 4 . - . i , a . ( t . r f ‘ u . . ( ‘ . ‘ o . . » . ’ 4 1 l . . . I . . l ‘ . . . I . . ' . ’ / / . . _ . . . . I , 0 a . q . 4 . r . y o l . ’ p r l . ( I . l l . . . . k n i t ! 1 ) 1 | 4 " . r I . « I ( ' . : . ( W o p : ( 1 . o . 1 v . . . . . . . ’ c l ’ 1 ' V I n . . J ' I O J . 5 . . . ! » . . I . . c . . t p r b . . . . r . l . “ ‘ . u ‘ l . a I . . . . . l ‘ _ - 4 A , . A l . . I ’ fl U J . ' 0 ’ . . l r f a k l . . b O y . $ . 7 0 . . I : l l . ' 1 . . l 4 - . 4 ‘ c O . ' “ / 9 6 ' 4 v . ” . . r I . . . . a l i _ 1 : I . . . v a p ’ . . . M A l : ’ 1 O r C I . ‘ r ‘ l t b ’ a ) I . . n . f r ’ I H J J i . d . p b > ‘ r ( v / f 1 1 ' \ t . . l I . . _ ‘ : 1 . { o u t I r " 0 1 . . r r ) , I I . ' ' i . ~ 9 1 . . ) . l . . 1 ! 9 1 . 5 0 . . . . r . . . . i . . i . . . o . 9 1 . A . ( r . r . L i . - 2 : 1 H . F . . . p . a _ l . 1 . 7 1 . . . L l . 1 . ! . l I u ! a . 7 . { a n } . . . ‘ I ; m a t h e m a t i c a l d i s c u s s i o n . I t a l s o g a v e m e a t a s t e o f h o w e m p o w e r i n g t h i s t y p e o f d i s c u s s i o n c o u l d b e f o r s t u d e n t s . I h a d n e v e r i m a g i n e d t h i r d g r a d e s t u d e n t s c o u l d e x p l o r e a n d t a l k a b o u t m a t h e m a t i c a l i d e a s i n t h e w a y s t h a t t h e c h i l d r e n i n t h i s c l a s s r o o m w e r e . I t w a s t h r i l l i n g t o m e a s a t e a c h e r a n d a s a r e s e a r c h e r . D u r i n g t h e n e x t t w o a n d a h a l f y e a r s , I w o r k e d i n t w o 8 l h g r a d e m a t h e m a t i c s c l a s s r o o m s a s a g r a d u a t e s t u d e n t r e s e a r c h e r f o r t h e C o n n e c t e d M a t h e m a t i c s P r o j e c t ( C M P ) . T h e t e a c h e r s w i t h w h o m I w o r k e d w e r e e x p e r i e n c e d C M P t e a c h e r s w h o h a d p i l o t e d t h e c u r r i c u l u m . I h a v e t o a d m i t I w a s q u i t e t a k e n a b a c k b y w h a t I o b s e r v e d i n t h e i r c l a s s r o o m s . S t u d e n t s w e r e e n g a g e d i n t h e t y p e s o f p r o b l e m s w i t h w h i c h I h a d s t r u g g l e d w h i l e p a r t i c i p a t i n g i n t h e m a t h t e a m i n j u n i o r h i g h a n d h i g h s c h o o l a n d t h i s m a d e u p t h e m a j o r i t y o f t h e i r e x p e r i e n c e . A n o t h e r u n u s u a l e m p h a s i s t h a t a p p e a r e d i n t h e s e c l a s s r o o m s w a s t h a t t h e y a c t u a l l y s p e n t t i m e t a l k i n g a b o u t t h e g r a p h s a n d t a b l e s . s o m e t h i n g t h a t h a d b e e n v i r t u a l l y i g n o r e d i n m y e x p e r i e n c e a s a s t u d e n t . S t u d e n t s w e r e a l s o t a l k i n g t o t h e t e a c h e r a n d t o o n e a n o t h e r . I f o u n d m y s e l f w i s h i n g t h a t I c o u l d h a v e h a d t h e i r e x p e r i e n c e w h e n I w a s a s t u d e n t a s I m a d e s o m e m a t h e m a t i c a l c o n n e c t i o n s I h a d n o t b e e n a w a r e o f b e f o r e m y o b s e r v a t i o n s . F o r e x a m p l e , I fi n a l l y s a w t h e c o n n e c t i o n b e t w e e n t h e s l o p e o f a l i n e a r e q u a t i o n a n d t h e c h a n g e i n t h e y - v a l u e s ( w h e n t h e x - v a l u e s i n c r e a s e b y o n e ) i n t h e t a b l e . I h a d o n l y b e e n t a u g h t t o l o o k a c r o s s t h e t a b l e ( f r o m t h e x t o t h e y c o l u m n ) a n d n o t i c e t h e r e l a t i o n s h i p b e t w e e n t h e t w o v a r i a b l e s . I h a d n o t n o t i c e d t h a t d o w n t h e t a b l e t h e r e w a s a n a d d i t i v e r a t e t h a t w a s c o n s t a n t w h i c h h a p p e n e d t o b e t h e s l o p e o f t h e l i n e ! I r e m e m b e r t h i n k i n g , “ T h i s i s r e a l l y c o o l ! I w i s h I h a d l e a r n e d m a t h e m a t i c s l i k e t h i s b e f o r e I h a d b e g u n t o t e a c h ! “ u . . . . I . . . . i I 4 1 . . . - n . I 3 . 7 1 : 3 . . 3 : o . . . . I » : r . l a . . I . . I h a . u . 1 1 . . 1 a c . . . 0 . ! l n l . " f . . . . ' o r I . / n a n . 1 . . - . T . . _ . u v ‘ I ’ ‘ . . . ” a W n { D 0 . 1 : . J ) I . . . . . 4 . . . . J 1 . . I . . . l ‘ I ( r . ‘ I ' . . 4 I n , » I . _ . ( ( . u a h r . I . V D - I 1 . o . l l I I . f ; a I l ' 4 I l l . l l l . a s ’ 4 ' I - I I n , , ' . o . l l f l I f . l f 1 l ’ 4 1 ' ; I ‘ ¢ . 1 . . 1 ’ y r . ' T h e w o r k I o r i g i n a l l y d i d i n t h e s e c l a s s r o o m s w a s a s s o c i a t e d w i t h s t u d e n t - u n d e r s t a n d i n g s o f a l g e b r a i c f u n c t i o n s ( f o r a n i n s t a n c e o f t h i s w o r k s e e H e r b e l - E i s e n m a n n , S m i t h , & S t a r , 1 9 9 9 ) . I n f a c t , a l l o f t h e w o r k I d i d i n t h e f i r s t y e a r w a s s o l e l y a b o u t t h e s t u d e n t s . H o w e v e r , b e i n g a t e a c h e r m y s e l f . I c o u l d n o t h e l p b u t n o t i c e t h e t e a c h i n g i n t h e t w o c l a s s r o o m s . I n t u i t i v e l y , I f e l t t h e r e w a s a d i f f e r e n c e i n t h e t e a c h e r s a n d t h e t e a c h i n g i n t h e t w o c l a s s r o o m s . b u t I c o u l d n o t i d e n t i f y e x a c t l y w h a t m i g h t b e c o n t r i b u t i n g t o t h a t s e n s e o f d i f f e r e n c e . W h i l e I s t a r t e d o u t i n v e s t i g a t i n g s t u d e n t u n d e r s t a n d i n g , I f o u n d m y s e l f t h i n k i n g m o r e a n d m o r e a b o u t t h e t e a c h i n g . A t o n e p o i n t i n m y d a t a c o l l e c t i o n , i t b e c a m e c l e a r t h a t I n e e d e d t o c h o o s e b e t w e e n t h e s e t w o f o c i b e c a u s e o n l y o n e c o u l d b e p u r s u e d f o r m y d i s s e r t a t i o n . I h a d c o m e t o a f o r k i n t h e r o a d . A c h o i c e w a s m a d e — m y t r u e i n t e r e s t l a y i n u n d e r s t a n d i n g m o r e a b o u t t h e t e a c h i n g i n t h e t w o c l a s s r o o m s . M y q u e s t i o n s e v o l v e d t o f o c u s o n t h e n o r m s a n d h o w t h e y w e r e r e l a t e d t o t h e d i s c o u r s e p a t t e r n s i n t h e c l a s s r o o m . W h i l e I o r i g i n a l l y i n t e n d e d t o f o c u s b o t h o n t h e s t u d e n t s a n d t h e t e a c h e r s i n t h e c l a s s r o o m . t h i s b e c a m e i m p o s s i b l e b e c a u s e o n e o f t h e t e a c h e r s t o o k a n a d m i n i s t r a t i v e p o s i t i o n t h e y e a r I w o u l d h a v e c o l l e c t e d t h e a d d i t i o n a l d a t a I n e e d e d . T h i s c h a n g e r e q u i r e d m e t o m a k e s i g n i fi c a n t c h a n g e s i n m y i n t e n d e d s t u d y . I w o u l d h a v e l i k e d t o h a v e l o o k e d f o r e v i d e n c e o f e f f c c t s o f b e i n g i n t h e d i f f e r e n t c l a s s r o o m s . U n f o r t u n a t e l y , t h i s w a s n o t p o s s i b l e . M y e m e r g i n g a n a l y s i s s h a p e d t h e q u e s t i o n s t h a t I i n t e n d e d t o p u r s u e f u r t h e r . W h i l e h i g h l i g h t i n g t h e m a t h e m a t i c s t h a t t o o k p l a c e i n t h e d i s c u s s i o n s . I a m n o t a b l e t o m a k e c l a i m s a b o u t s t u d e n t u n d e r s t a n d i n g s a s I h a d o r i g i n a l l y i n t e n d e d . I n s t e a d . m y d i s s e r t a t i o n f o c u s e s s o l e l y o n t h e n o r m s a n d h o w t h o s e w e r e e m b e d d e d a n d c a r r i e d i n t h e c l a s s r o o m d i s c o u r s e . T h i s . i n t u r n . l e d m e t o p u r s u e i s s u e s o f t e a c h e r p o s i t i o n i n g a n d . I . i L c k i s f f I v l L r ‘ C L l ‘ f . . n . ¢ . . r . C . B u . . . . _ . 2 . . . N . I 7 _ v f . . C C . ’ I . . . . . L ! l v a . . . / . . _ . u u f . L r . r - o ‘ . u . : . . . . . . C . . $ 4 3 . 3 1 ; . . . . . S u t : ! w F . . . l ’ . . ( : o l . A l l v v " . c . . I i n . “ . 3 f . 1 . I 4 S t a l l . . K f . . . . ' . > . v h f u ' . 3 » . ( L L a . . . 1 1 . ; K : » I . l . . r L e t ) . I . o . I . F ' l . 1 4 ) . ! . I K . . . . . . . 5 I . u p . . 1 L 3 : . . . . I l l . . . ‘ . . . ' . . . ‘ . « . ‘ l i ; a . . 1 r . . I v ' . ( I l 4 . r r ' . . . . . . . » . p - r h . ’ 1 ) . . I . . ? . l . ‘ : . f r . ‘ . . r / I f . - . . ( r o . J u n - . 5 5 . z . . . . . _ _ : 5 . 7 U . L . 1 . . . . . . I . r . o . . . v . . 1 1 7 ” . . . . l u v a . . 1 - r i . ' u . v . . 9 5 . . . . . ( l l . - . I - . . . a u ! I f . . . . p 1 . l . I . 1 ' . . . T f a K a u t h o r i t y . B y f o c u s i n g o n t h e f o r m s a n d f u n c t i o n s o f t a l k i n t h e t w o f o c u s c l a s s r o o m s . I o f f e r a c l o s e r l o o k a t t w o “ r e f o r m - o r i e n t e d ” c l a s s r o o m s . S o m e L a y e r s o f C o n t e x t T h e N a t i o n a l C o n t e x t : R e f o r m i n g M a t h e m a t i c s T e a c h i n g a n d L e a r n i n g T h e N a t i o n a l R e s e a r c h C o u n c i l ( N R C ) ( 1 9 8 9 ) a n d t h e N a t i o n a l C o u n c i l o f T e a c h e r s o f M a t h e m a t i c s ( N C T M ) ( 1 9 8 9 . 1 9 9 1 ) h a v e r e c e n t l y d e fi n e d n e w g o a l s f o r m a t h e m a t i c s e d u c a t i o n ' . T h e a u t h o r s o f t h e S t a n d a r d s ( 1 9 8 9 . 1 9 9 1 ) p r o p o s e d a v i s i o n o f s t u d e n t s s t u d y i n g m u c h o f t h e s a m e m a t h e m a t i c s a s w h a t w a s g e n e r a l l y b e i n g t a u g h t . b u t w i t h a q u i t e d i f f e r e n t e m p h a s i s . T h e y d e fi n e d m a t h e m a t i c a l l i t e r a c y a s s t u d e n t s d o i n g t h e f o l l o w i n g : l e a r n i n g t o v a l u e m a t h e m a t i c s . b e c o m i n g c o n fi d e n t i n o n e ' s o w n a b i l i t y . b e c o m i n g a m a t h e m a t i c a l p r o b l e m s o l v e r . l e a r n i n g t o c o m m u n i c a t e m a t h e m a t i c a l l y . a n d l e a r n i n g t o r e a s o n m a t h e m a t i c a l l y . T h e S t a n d a r d s d e fi n e " k n o w i n g " m a t h e m a t i c s a s “ d o i n g ” m a t h e m a t i c s . T h e y a l s o e n v i s i o n m a t h e m a t i c s a s p r o b l e m s o l v i n g . c o m m u n i c a t i n g . r e a s o n i n g . a n d c o n n e c t i n g . W i t h t h i s b a c k d r o p r e g a r d i n g t h e N C T M r e f o r m . i t i s i m p o r t a n t t o h i g h l i g h t t h e s t a n c e r e g a r d i n g c o m m u n i c a t i o n t h i s d o c u m e n t t a k e s b e c a u s e i t i s q u i t e d i f f e r e n t f r o m w h a t i s c u r r e n t l y t h e n o r m i n m a t h e m a t i c s c l a s s r o o m s . T h e N C T M r e f o r m m o v e m e n t a d v o c a t e d s e n s e m a k i n g a n d c o n c e p t u a l u n d e r s t a n d i n g b y u s i n g t h e t o o l s o f l a n g u a g e , r e p r e s e n t a t i o n . e t c . D i s c o u r s e w a s s e e n a s a w a y f o r s t u d e n t s t o m a k e s e n s e o f m a t h e m a t i c s ; c o m m u n i c a t i o n w a s v i e w e d a s b e i n g a l a r g e p a r t o f m a t h e m a t i c s . M o r e s p e c i fi c a l l y , d i s c o u r s e w a s d e fi n e d b y N C T M ( 1 9 9 1 ) a s “ w a y s o f r e p r e s e n t i n g , t h i n k i n g , t a l k i n g , a g r e e i n g . a n d d i s a g r e e i n g ” ( p . 3 4 ) . T h e a u t h o r s o f t h i s d o c u m e n t a l s o p o i n t e d o u t t h a t i n h e r e n t i n t h e d i s c o u r s e o f a c l a s s r o o m a r e r e l a t e d i s s u e s o f w h a t i t m e a n s t o “ d o ” a n d “ k n o w ” m a t h e m a t i c s , a s w e l l a s i s s u e s a b o u t p o w e r a n d . . u . ‘ ) _ u 1 ! . . . . . . . . . . l . I . I . v . L . . 1 D ‘ . u 3 . . « a . r z 5 . 4 . r ‘ l . . ( . 1 . . . ! » . . 4 . . 1 ; . J . : 1 . . . s t . . 1 1 . : 1 : 1 . . L . ' — s v ‘ k . 1 : 3 1 ; ! 1 . 4 . . . 1 / I . . } . . . 1 . . . . . . . . L . v v ‘ . 1 ! . ( . ¢ 1 . . : 3 . . , . . _ . ‘ I F . r . r . . : 3 . . . K . ( . / . 7 . . 2 . 1 L . L I . . . I ( ( 1 . . — . I I . r . . . f . . . . . ’ . l a . . 5 . . . . . ( I . . a t d p 3 L . . 1 ( t i n ! k . . . ’ ( 1 . . 3 | : . i . . 1 . . . . . . U f . r t . A L L A . . 0 | - - ‘ 1 C 1 1 , » ! . 2 . ’ ( ’ 7 1 . ) . . . . . l : ' . P , . 1 . . . . ¢ . . . . . y 1 . o . a . . . { I t 1 f _ ? I I I I I 5 . . . . . . a . . . . 2 . I f . . 1 . . v r I . . . I . . 1 ! 3 . . . . . . / 4 . 3 , . v 4 . l . r V 3 . 1 . . L . . . / / , . H v f d ) . . L w . f r ( I . . . f . a . f ( . ~ 1 3 . ” L t » . ” W U . . a . 1 . . J _ . l 1 . . i t 1 1 . 4 . ‘ r ( ( J a u t h o r i t y . I n m a n y m a t h e m a t i c s c l a s s r o o m s . t h e t e x t a n d t e a c h e r a r e t y p i c a l l y v i e w e d a s t h e a u t h o r i t y . H o w e v e r , t h i s d o c u m e n t e n c o u r a g e d r e a s o n i n g a n d e v i d e n c e a s t h e b a s i s f o r w h a t c o u n t e d a s l e g i t i m a t e m a t h e m a t i c a l a c t i v i t y , d r a w i n g t h e l o c u s o f a u t h o r i t y a w a y f r o m t h e t e a c h e r a n d t h e t e x t . T h e t e a c h e r ‘ s r o l e w a s d e s c r i b e d a s t h a t o f a f a c i l i t a t o r . o n e w h o i n i t i a t e d a n d o r c h e s t r a t e d s t u d e n t d i s c o u r s e t o f o s t e r s t u d e n t l e a r n i n g . I n d o i n g s o . t h e t e a c h e r s h o u l d : 0 p o s e q u e s t i o n s a n d t a s k s t h a t e l i c i t . e n g a g e . a n d c h a l l e n g e e a c h s t u d e n t s t h i n k i n g ; 0 l i s t e n c a r e f u l l y t o s t u d e n t s ' i d e a s ; 0 a s k s t u d e n t s t o c l a r i f y a n d j u s t i f y t h e i r i d e a s o r a l l y a n d i n w r i t i n g : 0 d e c i d e w h a t t o p u r s u e i n d e p t h f r o m a m o n g t h e i d e a s t h a t s t u d e n t s b r i n g u p d u r i n g a d i s c u s s i o n ; 0 d e c i d e w h e n t o p r o v i d e i n f o r m a t i o n . w h e n t o c l a r i f y a n i s s u e . w h e n t o m o d e l . w h e n t o l e a d , a n d w h e n t o l e t a s t u d e n t s t r u g g l e w i t h a d i f fi c u l t y : 0 m o n i t o r s t u d e n t s ’ p a r t i c i p a t i o n i n d i s c u s s i o n s a n d d e c i d e w h e n a n d h o w t o e n c o u r a g e e a c h s t u d e n t t o p a r t i c i p a t e ( p . 3 5 ) . T h e C u r r i c u l a r C o n t e x t : T h e C o n n e c t e d M a t h e m a t i c s P r t fl e c t I n a n a t t e m p t t o m a k e t h e S t a n d a r d s m o r e c o n c r e t e . t h e N a t i o n a l S c i e n c e F o u n d a t i o n ( N S F ) a n n o u n c e d f u n d i n g f o r t h e d e v e l o p m e n t o f r e f o r m - o r i e n t e d c u r r i c u l u m . N S F w a n t e d c u r r i c u l u m t o b e d e v e l o p e d t h a t e m b o d i e d t h e i d e a s e x p l i c a t e d i n t h e S t a n d a r d s d o c u m e n t . T h e C o n n e c t e d M a t h e m a t i c s P r o j e c t ( C M P ) ( L a p p a n . F e y . F i t z g e r a l d , F r i e l , & P h i l l i p s , 1 9 9 8 b ) w a s o n e s u c h c u r r i c u l u m t o r e c e i v e f u n d i n g a n d w a s t h e o n e u s e d i n t h e t w o c l a s s r o o m s t h a t w e r e t h e f o c u s o f t h i s d i s s e r t a t i o n . . 0 . 3 . ! 1 . q u ' L ' I I . . . . I . ' l . ! . . ~ t v o . ' r ' > ' l o p ! . l . . . a . i n J ) - . L r . . l l . v h l L . ( . . - . I 1 . 3 1 . 5 1 . . . 1 T . l . . . l . . . . 1 . . ( ‘ 9 ’ 1 h / v v 3 o d o . ( ~ . ' r l . . r t . . I . . ; . J . 3 1 9 r . . : / . v . . . . ( . I . ‘ b u . . . ’ . ’ . : . I ‘ V f ' c . . . . . l . ' I h / u U ‘ v v . . 1 . . . . r . f . . r o " I 1 . . " I t 1 1 4 . ' l i f l . ” i t . . 1 l : . / l . . o . b ‘ . , . . ' 1 ’ . . v . 5 ' I . . u o l p u u . . ( 1 ) u . . * s o u a i . 3 . . . : l u ’ ) . . . y I . c r . ‘ r . . . . . . n . ‘ . . ( I . _ . \ I . . 1 1 . . : I ‘ v . . - / . . . . . . . . . 1 7 : p s v l r b t f ( . . I o . ‘ . . . . L A . . o I ! . I C . y r . 1 . . ) a I . . . r s F ’ i , , 1 I . ’ 4 I . . x . . . d i l l / . i l . . . 1 £ 1 - ‘ . n ' L . 1 a I f . , . b f r 1 ) . . . . . . I A . . . 1 . . . ; T I . I B r o a d l y s p e a k i n g . t h e C M P c u r r i c u l u m i s a m i d d l e s c h o o l p r o b l e m - c e n t e r e d c u r r i c u l u m w h e r e a l m o s t e v e r y p r o b l e m o c c u r s i n a “ r e a l l i f e z " c o n t e x t . T h e m a t h e m a t i c a l g o a l s o f C M P c a n b e s u m m a r i z e d i n t h e f o l l o w i n g s t a t e m e n t : A l l s t u d e n t s s h o u l d b e a b l e t o r e a s o n a n d c o m m u n i c a t e p r o f i c i e n t l y i n m a t h e m a t i c s . T h i s i n c l u d e s k n o w l e d g e a n d s k i l l i n t h e u s e o f v o c a b u l a r y . f o r m s o f r e p r e s e n t a t i o n , m a t e r i a l s , t o o l s , t e c h n i q u e s . a n d i n t e l l e c t u a l m e t h o d s o f t h e d i s c i p l i n e o f m a t h e m a t i c s i n c l u d i n g t h e a b i l i t y t o d e f i n e a n d s o l v e p r o b l e m s w i t h r e a s o n , i n s i g h t , i n v e n t i v e n e s s a n d t e c h n i c a l p r o fi c i e n c y ( p h i l o s o p h y s t a t e m e n t . C M P , r e v i s e d 1 9 9 7 ) . C M P i s o r g a n i z e d i n t o u n i t s c e n t e r i n g o n b i g m a t h e m a t i c a l i d e a s . S t u d e n t s d e v e l o p u n d e r s t a n d i n g a n d r e a s o n i n g b y e x p l o r i n g a s e t o f p r o b l e m s t h a t e m b o d y t h e s e i d e a s . E x t e n s i v e p r o b l e m s e t s a r e i n c l u d e d t h r o u g h o u t e a c h u n i t t h a t h e l p s t u d e n t s p r a c t i c e . a p p l y , a n d e x t e n d t h e i r u n d e r s t a n d i n g a n d r e a s o n i n g . P e r i o d i c r e fl e c t i o n s h e l p s t u d e n t s m a k e c o n n e c t i o n s a m o n g a s e t o f “ b i g " m a t h e m a t i c a l i d e a s a n d a p p l i c a t i o n s . c o n t a i n e d w i t h i n a g i v e n u n i t . F o r e x a m p l e . i n t h e a l g e b r a s t r a n d s t u d e n t s a r e i n t r o d u c e d t o l i n e a r . q u a d r a t i c a n d e x p o n e n t i a l r e l a t i o n s h i p s i n t h r e e r e p r e s e n t a t i o n s : t a b u l a r , g r a p h i c a l . a n d s y m b o l i c . I n t h e s p i r i t o f t h e r e f o r m ( a n d i n a d d i t i o n t o t h e m u l t i - r e p r e s e n t a t i o n a l a p p r o a c h ) . a c h a r a c t e r i s t i c f e a t u r e o f t h i s c u r r i c u l u m i s t h a t i t t a k e s a f u n c t i o n s a p p r o a c h t o t h e t e a c h i n g a n d l e a r n i n g o f a l g e b r a i n s t e a d o f a m o r e t r a d i t i o n a l s y m b o l i c - m a n i p u l a t i o n a p p r o a c h . S t u d e n t s a r e a s k e d t o d e f i n e . o b s e r v e . m o d e l . a n a l y z e . e t c . v a r i a b l e s a n d m a k e p r e d i c t i o n s a b o u t t h e d a t a i n t e r m s o f i n p u t / o u t p u t a n d i n r e l a t i o n s h i p t o h o w o n e v a r i a b l e d e p e n d s o n a n o t h e r . T h e C M P c u r r i c u l u m p l a c e s a n o t a b l e e m p h a s i s o n f o s t e r i n g d i s c o u r s e i n i t s t r a i n i n g s e s s i o n s a n d i n i t s p e d a g o g i c a l m o d e l . I n t h e " I n t r o d u c t i o n t o C M P " w o r k s h o p . o n e o f t h e m a i n p e d a g o g i c a l s t r a t e g i e s t h a t i s a d v o c a t e d i s f o s t e r i n g d i s c o u r s e t o p u l l t h e 1 0 ‘ " . ) ? 2 1 . y . o . . . f l l t r i a / p . . . I r . l l I n u i L § n I . v . A . . . f ) . 4 ; . z - I r c . r ‘ o I . . . J . . 3 - 2 . ! _ n 1 . . . i , . . \ L / I C 1 ; . v t . . . ( . . . ( . r . . l . u . . . . a v . . . J a u . 1 1 . ; 1 4 . 1 : l ~ . r | _ . ' ¢ r a . ’ . » . . ( ( I . . I . . l - . . 1 . n . . : . , . . 1 . 1 . v I . . 1 . | I r . . . ( . v l l r | » / « . . . f l . v . - . . a i . . . z Q J Q U , 1 . I . v . 1 . I . f . . . . . . ~ l ' I . 4 ‘ J . 1 ‘ . . . » 3 4 . . 1 - . i , . 9 . . . u . . i o a 1 . . . . r ‘ p . . . a a T , I L . L 4 . I d 1 4 0 . c I A b s . 1 1 1 5 ‘ D a - 4 . m l c p w n ’ J . ) A ‘ 2 ‘ . , w w , n . . L . ( D ‘ v n ( / . . 4 « H . ’ 0 . I v I . . r r ” / 4 i l l “ ) . d . . . ‘ » . r ” . : . _ 1 r . \ L . ‘ I R I ” I . I 1 0 ! ( w L a . » . I ( o . h i f i l l . . . ( I . ' - . a . f ‘ 1 . J . . . . . z g _ : . L l . . . I I v ( I — m a t h e m a t i c s o u t o f t h e c l a s s r o o m d i s c u s s i o n . T h e p e d a g o g i c a l m o d e l i n t r o d u c e d i s a “ l a u n c h , ” “ e x p l o r e . ” “ s u m m a r i z e ” f o r m a t t h a t u t i l i z e s m a n y p r o m p t s f o r t e a c h e r s t o e n c o u r a g e t h e i r s t u d e n t s t o t a l k i n t h e c l a s s r o o m . F o r e x a m p l e . t e a c h e r s a r e c u e d t o s p u r s t u d e n t d i s c u s s i o n a b o u t m a t h e m a t i c a l t o p i c s ( e . g . “ W h y a r e t h e r e d i f f e r e n c e s a m o n g y o u r p r e d i c t i o n s ? ” ( L a p p a n e t a l . . 1 9 9 7 a . p . 1 4 b ) “ H o w d i d y o u d e t e r m i n e t h e l e n g t h o f t h e r a c e ? W h y i s t h a t l e n g t h r e a s o n a b l e ? " ( L a p p a n e t a l . . 1 9 9 7 a . p . 3 4 H . R e f o r m - O r i e n t e d A l g e b r a C o n t e x t : W h v l t W a r r a n t s S t u d v T o i l l u s t r a t e h o w C M P i s d i f f e r e n t f r o m a m o r e t r a d i t i o n a l v e r s i o n o f a l g e b r a . I w o u l d l i k e t o d i s c u s s b r i e fl y t h e g o a l s d e f i n e d i n t h e t e a c h e r ‘ s g u i d e f o r o n e C M P u n i t . S a y i t w i t h S y m b o l s } ( L a p p a n e t a l . , 1 9 9 8 a ) w i t h r e s p e c t t o t h e d i s c o u r s e i t m a y f o s t e r . T h e g o a l s f o r s t u d e n t s a r e l i s t e d a s s u c h : 1 . R e v i e w a n d s t r e n g t h e n t h e i r u n d e r s t a n d i n g o f t h e c o n v e n t i o n a l o r d e r o f ' o p c r a t i o n r u l e s i n t h e c o n t e x t o f p r a c t i c a l p r o b l e m s ; 2 . E v a l u a t e e x p r e s s i o n s b y a p p l y i n g t h e r u l e s o f o r d e r o f o p e r a t i o n s : 3 . W r i t e s y m b o l i c s e n t e n c e s t h a t c o m m u n i c a t e t h e i r r e a s o n i n g ; 4 . D e v e l o p t o o l s f o r m a n i p u l a t i n g s y m b o l i c e x p r e s s i o n s i n w a y s t h a t a r e b o t h c o n n e c t e d t o a n d i n d e p e n d e n t f r o m t a b u l a r , g r a p h i c a l , a n d c o n t e x t u a l i z e d r e a s o n i n g ; 5 . R e c o g n i z e a p p l i c a t i o n s o f t h e d i s t r i b u t i v e a n d c o m m u t a t i v e p r o p e r t i e s : 6 . R e c o g n i z e a n d i n t e r p r e t e q u i v a l e n t e x p r e s s i o n s : 7 . E x p l a i n t h e r e a s o n i n g u n d e r l y i n g t h e s o l u t i o n o f l i n e a r e q u a t i o n s ; 8 . T o m a k e s e n s e o f s y m b o l i c e x p r e s s i o n s i n v o l v i n g a d d i t i o n . s u b t r a c t i o n . m u l t i p l i c a t i o n . d i v i s i o n . a n d e x p o n e n t s ; 9 . T o j u d g e t h e e q u i v a l e n c y o f t w o o r m o r e e x p r e s s i o n s b y e x a m i n i n g t h e u n d e r l y i n g r e a s o n i n g a n d t h e r e l a t e d t a b l e s a n d g r a p h s ; 1 0 . A p p l y t h e p r o p e r t i e s f o r m a n i p u l a t i n g e x p r e s s i o n s t o s o l v i n g l i n e a r e q u a t i o n s ; 1 1 . ) . L . ‘ . . r ' / e . . . ~ . . . 4 0 ' 2 . 1 . 1 . A _ _ ( 1 ‘ l i ‘ b . ‘ _ . b ' ( . 1 4 . 7 9 1 . u v I I . . . ‘ 4 . I . . . l . . i . r ‘ . ! . . ‘ c l . . . H . . . . . . . . . o . . . . . 3 " . . . 1 1 . v v t v l ‘ . . . . v l ( l s . ( i , 4 h | u . J ’ o . 1 . . I l u . l ; c n . v . . ( ‘ r . . . - r I . . ’ . . . o . : 1 ! fi t ) 0 . : ~ § I T 7 1 . ’ . I / ~ J ! b z . v l l . . f ’ ( . . I l 1 ‘ 1 . I . 1 . 3 . p ( i t . : 0 P . 1 , . . k . / . U . ’ I h ' . l i l _ 1 . . . ! fl a n . u r . _ « ~ 1 1 . [ t i l . 1 i U U 1 9 1 4 , . . . G o r e : J . r i v . . . I ~ . . . . A . 1 f r L . i f : . . fl . 4 ' . ( a . 1 , ( . 1 . ~ . f U I P . ) J r . b I . a p n . . 1 L “ . i U . . I : 1 . t I r . J . . l . . L ' I l l . S o l v e s i m p l e q u a d r a t i c e q u a t i o n s w i t h s o m e s e n s e o f b a s i c f a c t o r i n g a n d “ u n d o i n g " t e c h n i q u e s ( p . 1 g . b o l d f a c e a d d e d ) . S o m e o f t h e e x p e c t a t i o n s a n d t h e n a t u r e o f t h e d i s c o u r s e a s s o c i a t e d w i t h t h i s c u r r i c u l u m a r e h i g h l i g h t e d w h e n f o c u s i n g o n t h e b o l d f a c e d \ \ o r d s a n d p h r a s e s . T h e s e e x p e c t a t i o n s c o u l d l e a d t o a v e r y d i f f e r e n t d i s c o u r s e i n c o m p a r i s o n w i t h a d i s c o u r s e a s s o c i a t e d w i t h a m o r e c o n v e n t i o n a l c u r r i c u l u m . F o r e x a m p l e . i n c r e a s e d a t t e n t i o n t o s t u d e n t e x p l i c a t i o n a n d j u s t i f i c a t i o n e n c o u r a g e s s t u d e n t s t o d i s c u s s , w r i t e . r e a d a n d l i s t e n t o o n e a n o t h e r i n t h e s a m e m a n n e r a s t r a d i t i o n a l c o m m u n i c a t i o n e n c o u r a g e s s t u d e n t s t o l i s t e n t o t h e t e a c h e r . T h e r e i s a l s o a d e c r e a s e d e m p h a s i s o n m e m o r i z a t i o n a n d m a n i p u l a t i o n a n d m o r e e m p h a s i s o n i d e n t i f y i n g . i n t e r p r e t i n g . e x p l o r i n g . r e a s o n i n g . e t c . M o r e g e n e r a l l y , t h e r e a r e a t l e a s t s i x d i m e n s i o n s t h a t a r e d i f f e r e n t i n t h e t w o t y p e s o f c l a s s r o o m s ( C M P v s . a m o r e t r a d i t i o n a l c u r r i c u l u m ) ( S t a r . H e r b e l - E i s e n m a n n & S m i t h , 1 9 9 9 ) , a s o u t l i n e d i n T a b l e 1 . I t i s o b v i o u s f r o m t h e t a b l e t h a t t h e d i s c o u r s e i n t h e t w o t y p e s o f c l a s s r o o m s c o u l d b e v e r y d i f f e r e n t f r o m o n e a n o t h e r . M o r e s p e c i fi c a l l y ( a n d r e l a t e d t o m y p r e v i o u s w o r k ) . o n e d i f f e r e n c e i n t h e d i s c o u r s e o f t h e s e 8 “ 1 g r a d e C M P c l a s s r o o m s a p p e a r e d i n t h e w a y s s t u d e n t s t a l k a b o u t m a t h e m a t i c a l i d e a s . I n m y t r a d i t i o n a l e x p e r i e n c e . I w a s t a u g h t t h a t s l o p e w a s d e f i n e d a s t h e r a t i o o f t h e h o r i z o n t a l c h a n g e w i t h t h e v e r t i c a l c h a n g e . i . e . r i s e / r u n . H o w e v e r . i n t h e s e c l a s s r o o m s s t u d e n t s k n e w a n d a r t i c u l a t e d t h e c o n c e p t o f s l o p e i n m u l t i p l e w a y s : ( 1 ) c o n s t a n t r a t e s . ( 2 ) “ t h e n u m b e r a t t a c h e d t o t h e x ” i n a n e q u a t i o n . ( 3 ) " t h e s l a n t i n e s s " o f t h e l i n e i n a g r a p h . ( 4 ) “ w h a t i t g o e s u p b y " ( " i t " r e f e r s t o t h e c h a n g e i n t h e y - v a l u e s i n a t a b l e ) , e t c . T h e w a y s “ o f t a l k i n g , a c t i n g . i n t e r a c t i n g . v a l u i n g . a n d b e l i e v i n g . a s w e l l a s t h e s p a c e s a n d m a t e r i a l “ p r o p s ” t h e g r o u p u s e s t o c a r r y o u t i t s s o c i a l p r a c t i c e s “ ( G e e . 1 9 9 2 . p . 1 0 7 ) a r e d i f f e r e n t f r o m m o r e c o n v e n t i o n a l c l a s s r o o m s . I a r g u e t h a t t h e d i s c o u r s e s 1 2 . . 1 . u a w v ‘ . . : 1 . T L 9 . . . . . . . . c U V . . 1 . ‘ . I I ; . f . L _ ( r . n 1 . ‘ ! . ‘ 1 . 1 . . b 1 . . i f . . . . ' 1 . 1 . 3 . 5 ; . . a . u ) . . S ‘ L . a l l " 4 . ‘ I V . i n . . . I 5 F o f . . . - . . ' . . 4 . . / . . | 1 L a w . 4 “ s i n . 1 . . I . . . . ( . I P I . . ! . . ' 1 1 . . . . . . . l t h , F u l l . V I " t o 1 . . ‘ . . r . l . n o 1 o ) : v r ! I . " I V I r J ! 3 . 4 I . ' i I t . . ( f r - [ . ( V _ _ J ' 7 ‘ . . ’ 2 ' . 1 . . . A . l ! . . ( . . . v A I L Y . v . I t 1 1 4 . . 7 L 0 f . . 1 4 4 . a . . . r ” c l , . r l . . T I f . . ) . . . h n . l ) . x i I f ! n , . ‘ u o . . I ‘ ( r t / b “ I n l i n t . . r I . t a l o . 1 a I O y r : 1 . 1 ’ 1 5 ” i . l - 1 w i l l ! I I » J l . U 1 . . ( I t i . c y n t l a . a s s o c i a t e d w i t h t h e t w o c l a s s r o o m s t h a t a r e t h e f o c u s o f t h i s d i s s e r t a t i o n a r e d i f f e r e n t f r o m a m o r e c o n v e n t i o n a l c l a s s r o o m a n d w a r r a n t c l o s e r i n v e s t i g a t i o n . A n d . a s I s h o w . t h e s e t w o “ r e f o r m - o r i e n t e d ” c l a s s r o o m s w e r e a l s o d i f f e r e n t f r o m o n e a n o t h e r . T a b l e 1 S o m e K e y D i m e n s i o n s o f D i f f e r e n c e s b e t w e e n t r a d i t i o n a l A l g e b r a I a n d 8 t h g r a d e C M P A l g e b r a I 8 t h g r a d e C M P ] T h e f u n d a m e m a / o b j e c t s i n t h e c u r r i c u l u m E q u a t i o n s & s y m b o l i c e x p r e s s i o n s F u n c t i o n a l r e l a t i o n s h i p s r e p r e s e n t e d i n t a b l e s . g r a p h s . a n d e q u a t i o n s T y p i c a l p r o b / e m s i n t h e c u r r i c u l u m “ S o l v e , ” “ f a c t o r , ” “ m u l t i p l y , ” s y m b o l i c V e r b a l s t a t e m e n t s w i t h t a b l e s . g r a p h s . o r e x p r e s s i o n s o r v e r b a l s t a t e m e n t s w i t h r e q u e s t s y m b o l i c e x p r e s s i o n s w i t h r e q u e s t t o f i n d t o fi n d a n u m e r i c a l v a l u e ( w o r d p r o b l e m s ) v a l u e s a n d d e s c r i b e . e x p l a i n . p r e d i c t . e t c . [ m i c a ] s o l u t i o n m e t h o d s C o m p l e t e t h e c o r r e c t s t e p s i n s y m b o l i c R e l a t e v e r b a l s t a t e m e n t s t o t a b l e s . g r a p h s . p r o c e d u r e s i n t h e c o r r e c t o r d e r o r e q u a t i o n s ; C o m p u t e o r m a n i p u l a t e t h a t r e p r e s e n t a t i o n : I n t e r p r e t t h e r e s u l t s v e r b a l l y T h e r o l e o f p r a c t i c e S i g n i fi c a n t p r a c t i c e o n p a r t i c u l a r p r o b l e m S i m i l a r i t i e s b e t w e e n p r o b l e m s a r e l e s s t y p e s ( i n c l a s s a n d h o m e w o r k ) s a l i e n t ; e x t e n d e d w o r k o n f e w e r . m o r e o p e n p r o b l e m s ( i n c l a s s a n d h o m e w o r k ) T h e r o l e f o r t e c h n o l o g v f o r r e p r e s e n t i n g a n d c a l c u l a t i n g U s e d i n b a l a n c e w i t h p e n c i l & p a p e r S u p p o r t s s t u d e n t s ‘ w o r k o n m o s t a l l c o m p u t a t i o n . w h i c h i s m o r e h i g h l y v a l u e d p r o b l e m s E l e m e n t s i n a t ) p i c a l l e s s o n R e v i e w h o m e w o r k , p r e s e n t n e w c o n t e n t , M o r e v a r i a t i o n a c r o s s l e s s o n s : S o m e m i x p r o v i d e t i m e f o r w o r k o n n e x t a s s i g n m e n t o f t e a c h e r p r e s e n t a t i o n . s m a l l g r o u p w o r k . a n d w h o l e g r o u p d i s c u s s i o n W h e n I b e g a n m y o b s e r v a t i o n s i n t h e s e t w o “ r e f o r m - o r i e n t e d " c l a s s r o o m s . I d i d n o t h a v e a l a n g u a g e t o a r t i c u l a t e t h e d i f f e r e n c e s I f e l t b e t w e e n t h e m . A f t e r m y f i r s t y e a r a n d a h a l f i n t h e c l a s s r o o m s , I e n r o l l e d i n a n i n t r o d u c t o r y d i s c o u r s e a n a l y s i s c l a s s . A f t e r e n g a g i n g i n m a n y o f t h e r e a d i n g s f o r t h i s c l a s s , I f e l t t h a t t h i s w a s t h e l e n s t h r o u g h w h i c h 1 3 . . v I ' . l ; ’ l . . . - r V . ' [ r l . _ # 0 . . . l . . . 1 . 1 I ' C v . ‘ . . 1 H , p 5 - . . . . . 0 o . 1 . 4 . . . o ) . » ‘ 9 r . 2 . . . f a n ; [ . I . / r . . r . . . . . . I . 1 » . ’ . . . / . . . I 7 . . L . ’ . . ( 4 - I . . : ' , . . L ) . . 7 t a r l . ‘ r . . ? r r . . i r . . . . a . . 1 1 . . . 3 . 1 I . . . r . . . . / . I r . ' . I I 3 ’ 1 1 . 0 ' a a i r . ( I I / I . . . ( . . . v ~ I . 1 1 : . . D i 1 » i . 1 . . 1 . . ~ ( l i l . . t . . . . q l a . . 4 . “ a . r . . ‘ . r n l o c . i . . . — v . 1 1 . 7 . . r l r . t . : / . 5 h ’ . ’ a . . . . s p . y . ( I . D r i i i ) » , 7 , . . t . r I x ” I . . : . r v r l n u . 1 3 0 / . 1 " . . r . . I - s . r / _ . # 1 5 o 1 : . . v i r a l . . . l p . 3 . . . I I . { ( V N M . . . “ . 2 . a r t I . . » . 1 : r . . . . 7 r i r : r f . . . , { i f 1 r . . . I . . . . a . . . . . I I r l . L ' l I v A c . 6 . o r . 1 1 | I . I J i l l . ~ . . . . e l . s . 1 . . . . . I . . . _ H . t I . . a f t / z A - . . D . I . ( p . ) . 0 ” . V r t 4 . . 1 ‘ I I p . ’ 1 : . I t 1 . 1 ! . . c r . 4 . , l “ I . . . . . A r i . . a ; ( r - D / i ‘ . . . l o . 1 5 1 : , . I . a } l . 7 . . A ! 0 . . I D ’ I c o u l d v i e w t h e s e t w o c l a s s r o o m s a n d a c t u a l l y a c c o u n t f o r t h e d i f f e r e n c e s I f e l t . I n a s e n s e , t h a t b o d y o f l i t e r a t u r e g a v e m e a “ v o i c e “ w i t h w h i c h t o d e s c r i b e w h a t I w a s f e e l i n g . I n t h e n e x t c h a p t e r ( a n d i n s o m e o f t h e s u b s e q u e n t o n e s ) . I d i s c u s s m a n y o f t h e t e r m s a n d c o n c e p t s t h a t I h a v e a c q u i r e d t h r o u g h t h e l i t e r a t u r e . U p c o m i n g C h a p t e r s I b e g i n t h i s e x p l o r a t i o n o f m a t h e m a t i c a l n o r m s a n d d i s c o u r s e p a t t e r n s b y s h a r i n g t h e o v e r a r c h i n g f r a m e w o r k t h a t g u i d e d m y t h i n k i n g t h r o u g h o u t m y a n a l y s i s ( C h a p t e r 2 ) . I t h e n d e s c r i b e t h e s t u d y b y a r t i c u l a t i n g t h e q u e s t i o n s t h a t g u i d e d i t . t h e d a t a I c o l l e c t e d . a n d m y p r o c e s s o f a n a l y s i s ( C h a p t e r 3 ) . I n C h a p t e r 4 . I o f f e r a m o r e d e t a i l e d a n a l y s i s o f t h e C M P u n i t t h a t w a s t h e f o c u s o f t h e c l a s s r o o m d i s c o u r s e i n t h e t w o c l a s s r o o m s . T h i n k i n g w i t h M a t h e m a t i c a l M o d e / s , b e c a u s e i t a p p e a r e d t o i n t e r a c t w i t h t h e e a c h t e a c h e r ’ s t a l k i n d i f f e r e n t w a y s . I n C h a p t e r 5 . I i n t r o d u c e t h e t e a c h e r s w h o a r e t h e s u b j e c t o f t h e t w o c a s e s t u d i e s i n c l u d e d i n C h a p t e r 6 a n d 7 . I l a y o u t t h e i r b a c k g r o u n d s . p h i l o s o p h y o f t e a c h i n g i n g e n e r a l a n d a b o u t t e a c h i n g m a t h e m a t i c s . h i g h l i g h t i n g t h e s i m i l a r i t i e s a n d d i f f e r e n c e s b e t w e e n t h e t w o t e a c h e r s . E a c h c a s e s t u d y ( C h a p t e r 6 a n d 7 ) f o c u s e s o n d e s c r i b i n g a n d i l l u s t r a t i n g t h e t h r e e m a i n d i s c o u r s e p a t t e r n s i n t h e t a l k e a c h t e a c h e r u s e d . F o r i n s t a n c e . K a r l a ' s p r e d o m i n a n t t a l k p a t t e r n s w e r e “ m e t a c o m m e n t s ” ; J o s h m a i n l y u t i l i z e d s e r i e s o f q u e s t i o n s . B e c a u s e e a c h p a t t e r n w a s p e r v a s i v e i n t h e t e a c h e r t a l k . I c l a i m t h e r e w e r e c e r t a i n n o r m s a s s o c i a t e d w i t h t h e m . T h e s e n o r m s a r e d i s c u s s e d i n t h e s e c o n d s e c t i o n o f e a c h c h a p t e r . T h e t w o c a s e s t u d i e s a r e t h e n c o m p a r e d a n d c o n t r a s t e d i n C h a p t e r 8 . s h o w i n g h o w t h e t a l k p a t t e r n s ( w h i l e u s i n g d i f f e r e n t s u r f a c e f o m i s ) s e r v e d t h e s a m e b r o a d p u r p o s e . H o w e v e r . I c o n t e n d t h a t t h e s e d i f f e r e n t s u r f a c e f o r m s m a y h a v e i m p l i c a t i o n s f o r t h e w a y e a c h t e a c h e r 1 4 . . . { . b a 1 . } . 1 “ I . . I t . . . I . . : : 7 . . f . a u . . . » § . . 7 . . . ‘ . \ ; , . x I . F 1 ( ( 4 . 1 : . . v - v - t ' » " o 1 0 " » I ' ) . i u _ . ( I n . ’ l ( r 1 o v . a I . Z l v r ( . a t . . — _ u . . . . . . . ~ ~ . . ‘ . . L r . . E V K r . . f . . . . t . _ . “ I . . ! o . _ 4 _ ‘ 3 . r . . . . . . ( r . I . . : T ' p o s i t i o n e d h i m / h e r s e l f w i t h r e s p e c t t o t h e e x t e r n a l m a t h e m a t i c a l a u t h o r i t y a n d h i s / h e r e p i s t e m o l o g i c a l s t a n c e . C h a p t e r 9 r e v i s i t s t h e r e s e a r c h q u e s t i o n s a n d s u m m a r i z e s t h e m a i n f i n d i n g s o f t h e s t u d y . I a l s o o f f e r l i m i t a t i o n s a n d i m p l i c a t i o n s o f t h i s w o r k . T h e v a l u e o f t h i s s t u d y i s e x p l o r e d , f o c u s i n g o n p r o f e s s i o n a l d e v e l o p m e n t o f e x p e r i e n c e d t e a c h e r s a n d t h e n o u t l i n i n g a m a s t e r ’ s l e v e l c o u r s e t h a t f o c u s e s o n d i s c o u r s e i n m a t h e m a t i c s c l a s s r o o m s . ' 1 1 w a n t t o a c k n o w l e d g e t h a t t h e r e i s a n e w e r v e r s i o n o f t h e N C T M S t a n d a r d s t h a t w e r e r e l e a s e d i n t h e y e a r 2 0 0 0 . H o w e v e r . s i n c e t h e t e a c h e r s / t e a c h i n g t h a t f o r m ( s ) t h e f o c u s o f t h i s d i s s e r t a t i o n w e r e o p e r a t i n g u n d e r t h e e a r l i e r S t a n d a r d s . t h e s e a r e t h e o n e s t o w h i c h I w i l l r e f e r a n d d r a w o n t h r o u g h o u t m y d i s s e r t a t i o n . 2 “ R e a l L i f e " i s b e i n g u s e d f o r p r o b l e m s b a s e d o n r e a l e x p e r i e n c e s t h a t m a y n o t b e d i r e c t l y r e l a t e d t o t h e s t u d e n t s e v e r y d a y e x p e r i e n c e . S e e B o a l e r ( 1 9 9 7 ) f o r a d i s c u s s i o n o f s o m e o f t h e d i f fi c u l t i e s w i t h t h i s n o t i o n . 3 l c h o s e t h i s u n i t b e c a u s e i t i s o n e t h a t w o u l d b e c o n s i d e r e d a s c l o s e t o t r a d i t i o n a l a l g e b r a a s a n y u n i t i n t h e C M P c u r r i c u l u m . I f d i f f e r e n c e s a p p e a r e d i n t h i s u n i t . o n e c o u l d a s s u m e t h e d i f f e r e n c e s t o b e e v e n g r e a t e r i n t h e u n i t s t h a t w e r e l e s s s y m b o l - d e p e n d e n t . A l s o . t h i s u n i t w a s o n e o f t h e t w o u n i t s t h a t w e r e v i d e o - a n d a u d i o - t a p e d i n t h e t w o c l a s s r o o m s . 1 5 C H A P T E R 2 : O V E R A R C H I N G F R A M E W O R K M y i n i t i a l i n t r o d u c t i o n t o d i s c o u r s e a n a l y s i s g a v e m e a w a y t o a c c o u n t f o r d i f f e r e n c e s I f e l t i n t w o “ r e f o r m - o r i e n t e d " m a t h e m a t i c s c l a s s r o o m s . I b e g a n t o u n d e r s t a n d t h e r o l e o f l a n g u a g e i n t h e c l a s s r o o m a n d h o w i t d i f f e r e d f r o m l a n g u a g e i n s o c i e t y i n g e n e r a l . F o r e x a m p l e , i n C a z d e n ’ s ( 1 9 8 8 ) C l a s s r o o m D i s c o u r s e . I f i r s t r e a d a b o u t t h e p e r v a s i v e I n i t i a t e - R e s p o n d - E v a l u a t e ( I - R - E ) s t r u c t u r e t h a t e x i s t s i n m a n y c l a s s r o o m s . T h i s b o o k a l s o i n t r o d u c e d m e t o t h e r e l a t i o n s h i p b e t w e e n l a n g u a g e a n d a u t h o r i t y s t r u c t u r e s a n d l e d m e t o r e a d o t h e r l i t e r a t u r e r e l a t e d t o t h i s i s s u e . C a z d e n c i t e d m a n y s i g n i f i c a n t p i e c e s o f l i t e r a t u r e t h a t b e c a m e i m p o r t a n t t o m y a r t i c u l a t i o n o f t h e d i f f e r e n c e s I f e l t i n t h e t w o c l a s s r o o m s . M a n y o f t h e s e ( a n d o t h e r s ) w i l l a p p e a r t h r o u g h o u t t h i s d i s s e r t a t i o n ' . I n t h i s c h a p t e r , I i n t r o d u c e s o m e o f t h e r e a d i n g s t h a t I h a v e a d o p t e d f r o m s o c i o l i n g u i s t i c s a n d o t h e r s f r o m m a t h e m a t i c s e d u c a t i o n . K e y C o n c e p t s a n d T e r m s D e fi n e d D i s c o u r s e A n a l y s i s D i s c o u r s e a n a l y s i s i s a n a m b i g u o u s t e r m . T y p i c a l l y i t i n v o l v e s : [ . . . ] n a t u r a l l y o c c u r r i n g c o n n e c t e d s p o k e n o r w r i t t e n d i s c o u r s e [ . . . . ] r e f e r s t o a t t e m p t s t o s t u d y t h e o r g a n i z a t i o n o f l a n g u a g e a b o v e t h e s e n t e n c e o r a b o v e t h e c l a u s e , a n d t h e r e f o r e t o s t u d y l a r g e r l i n g u i s t i c u n i t s . s u c h a s c o n v e r s a t i o n a l e x c h a n g e s o r w r i t t e n t e x t s . I t f o l l o w s t h a t d i s c o u r s e a n a l y s i s i s a l s o c o n c e r n e d w i t h l a n g u a g e i n u s e i n s o c i a l c o n t e x t s . a n d i n p a r t i c u l a r w i t h i n t e r a c t i o n o r d i a l o g u e b e t w e e n s p e a k e r s ( S t u b b s . 1 9 8 3 ) . S c h i f f r i n ( 1 9 9 4 ) r e c e n t l y c o m p a r e d m a n y o f t h e d i f f e r e n t a p p r o a c h e s t o d i s c o u r s e a n a l y s i s , i n c l u d i n g s p e e c h a c t t h e o r y , i n t e r a c t i o n a l s o c i o l i n g u i s t i c s . e t h n o g r a p h y o f c o m m u n i c a t i o n . p r a g m a t i c s . c o n v e r s a t i o n a l a n a l y s i s a n d v a r i a t i o n a n a l y s i s . T h e r o o t s o f t h e s e t r a d i t i o n s c o m e f r o m d i s c i p l i n e s s u c h a s p h i l o s o p h y . s o c i o l o g y . a n d a n t h r o p o l o g y . A l t h o u g h S c h i f f r i n ’ s m a i n g o a l w a s t o d i f f e r e n t i a t e t h e s e a p p r o a c h e s . s h e a l s o a r g u e d t h a t 1 6 . . ! : . , l l . . b _ . . . . A L V ‘ I ) . _ _ . r I . . . l ( a . v . 0 . o ) . . - . 1 a . 1 . I . 3 _ 7 . . 7 1 : : J t r £ 1 6 . . . L . v v f . . . ( . . f . / . - o 1 . . a . _ v . a . ) a c h a r t a { t r 7 - T i t - W . . . A r i ) . . J o v / . 9 ? . 3 1 . : r . . t . ‘ ( ( . 1 . 1 . _ l fl ‘ . . . . l l o I . I v . I . . 1 . . . v i I t o . ! l . . : . 7 ‘ 1 ‘ 4 : . I f ! s 1 4 1 7 1 . 0 : 1 1 . . . 1 : r . s . r . . . / . r . . . I / . r . 3 . . 2 . . . . Z r : . 3 1 1 } ; I ' . u : . . . 1 . 1 . 1 3 4 1 . . . . f ‘ I . n ( v 3 . 7 ' . . ~ . V - ( . ~ 1 . ) . P W . n 1 . 3 . 1 0 1 v . I 5 . } . . . 4 3 L 1 h b h ' . . u ( . . r . . . . ; u . . . . . r c r r : I f . . . C - J . ‘ — . I . _ I . . . . . v . 1 . J D ) . . _ 9 2 1 . 0 3 . 4 . . . r u n ! ! ! . 1 I f ) . . . 1 . fi r m . . . . 1 . 1 5 . . . . . . 1 f . . > . / a : I . . l . . f ! ” . 0 1 . n . . . _ . r p . . . . . ( L » I ; . . l . ! . . r L I . r _ l . A . M l : . i : . 7 . . . I r . _ ( I . [ A l t h o u g h ] t h e s e a p p r o a c h e s o r i g i n a t e d i n d i f f e r e n t d i s c i p l i n e s ( a n d a r e r e l e v a n t t o b r o a d e r t o p i c s w i t h i n e a c h d i s c i p l i n e ) , t h e y a l l a t t e m p t t o a n s w e r s o m e o f t h e s a m e q u e s t i o n s : H o w d o w e o r g a n i z e l a n g u a g e i n t o u n i t s t h a t a r e l a r g e r t h a n s e n t e n c e s ? H o w d o w e u s e l a n g u a g e t o c o n v e y i n f o r m a t i o n a b o u t t h e w o r l d . o u r s e l v e s a n d o u r s o c i a l r e l a t i o n s h i p s ? ( p . v i i i ) A n d s h e c o n c l u d e s t h a t “ a l l t h e a p p r o a c h e s t o d i s c o u r s e v i e w l a n g u a g e a s s o c i a l i n t e r a c t i o n , a n d a l l a r e c o m p a t i b l e w i t h a f u n c t i o n a l i s t r a t h e r t h a n a f o r m a l i s t p a r a d i g m " ( p . 4 1 5 ) . T h e f u n c t i o n a l i s t p a r a d i g m : ( 1 ) v i e w s l a n g u a g e a s p r i m a r i l y a s o c i e t a l p h e n o m e n o n . ( 2 ) e x p l a i n s l i n g u i s t i c u n i v e r s a l s a s d e r i v i n g f r o m t h e u n i v e r s a l i t y o f t h e u s e s t o w h i c h l a n g u a g e i s p u t i n h u m a n s o c i e t y . ( 3 ) e x p l a i n s c h i l d r e n ' s a c q u i s i t i o n o f l a n g u a g e i n t e r m s o f t h e d e v e l o p m e n t o f t h e c h i l d ‘ s c o m m u n i c a t i v e n e e d s a n d a b i l i t i e s i n s o c i e t y . a n d ( 4 ) s t u d i e s l a n g u a g e i n r e l a t i o n t o i t s s o c i a l f u n c t i o n ( p p . 2 1 - 2 2 ) . I h a v e d r a w n o n a n u m b e r o f d i f f e r e n t a c c o u n t s . F o r e x a m p l e . i n C h a p t e r 7 . I u s e t h e T h e o r y o f P o l i t e n e s s t o i n t e r p r e t J o s h ’ s u s e o f t a g - f o r m s . I n C h a p t e r 6 . I u s e t h e i d e a o f i n d i r e c t s p e e c h a c t s 2 t o a d d r e s s t h e i l l o c u t i o n a r y f o r c e o f h e d g e d s t a t e m e n t s t h a t K a r l a a n d h e r s t u d e n t s m a k e . I n m a k i n g i n f e r e n c e s a b o u t t h e n o r m s t h a t a r e c a r r i e d a n d e m b e d d e d i n t h e d i s c o u r s e . I d r a w f r o m e t h n o g r a p h y o f c o m m u n i c a t i o n . S i m i l a r t o M i s h l e r 3 ( 1 9 7 2 ) . I " s h o w h o w d i f f e r e n t [ . . . ] n o r m s a r e c a r r i e d i n t h e l a n g u a g e u s e d . p r i m a r i l y i n t h e s t r u c t u r e o f t h e t e a c h e r s ’ s t a t e m e n t s a n d i n t h e t y p e o f i n t e r c h a n g e d e v e l o p e d b e t w e e n t h e m a n d t h e c h i l d r e n ” ( p . 2 6 7 ) . E t h n o g r a p h y o f c o m m u n i c a t i o n f o c u s e s o n " t h e s o c i a l f u n c t i o n s o f p a r t i c u l a r f o r m s o f l a n g u a g e u s e d i n s p e c i f i c c o n t e x t s " ( p . 2 6 8 ) . T h i s f o r m / f u n c t i o n e m p h a s i s i s c a r r i e d t h r o u g h o u t t h e c a s e s t u d i e s a n d t h e c r o s s - c a s e a c c o u n t . B y a t t e n d i n g t o t h e s e . I h a v e a r g u e d t h a t d i f f e r e n t f o r m s s e r v i n g s i m i l a r p u r p o s e s m a y 1 7 7 1 . 7 1 1 2 1 . . . p r . 1 0 . , r . v . v l . I . 1 . 1 . 3 1 . 1 . . H f ' r C . . . 0 . 1 c r l t } . . . i s > . J L . L . . 1 1 ! . r ? 1 . 1 . ( E r . . ( . , r s ' . . . A . ) . . 1 . u ; . . . . . / / . , ? a f . . - ~ . . . . . l 3 1 . 1 1 . ! . . . . s . » ‘ I . . . . ‘ . . . ( . - 9 r b v . ( r l . . » . I I . . . . . u 1 o I . , . 2 . . I . : 1 . V ¢ d f . . . l . 2 : o ( . . b . . 1 . ’ \ v u i a o . J . 1 4 . » . - . ( U 1 . U 1 . . . 3 . . . n o 4 . c . i t . . . . . . o r p p r u r fi . ( I . 1 . . - . 1 . . . . I a ! . _ I n t . L ‘ 1 0 ) : . i . _ . r f l l . . 2 , “ . 1 » ) . I : ; ( . . 1 . I k e ; . . L I . 1 ) . ! F u s i l r . . . 1 5 . . 2 . I I I : . ( . . . f a . . . 7 . . r . f f J : I . . . u l I r 1 _ . l _ . . . d t u . l . . 1 0 . 0 l ( I . 1 2 . o . . t . . . L : . 4 . I t ! i _ I . . X : I . I 1 : I . 1 7 f > . . J ! . . - . 1 , A I A A . I f . l . . u . A . - r i f . . o I 4 . . u ( . I T o . l v . . . . I ; . 3 . . S w a i n . . . ( c u l t ! 0 . 1 . . » . . 4 . . ( - ; . . . v I « p . ‘ I ‘ I . n , . . . . r _ . t z . . " . 1 . . 1 : h a v e c o n t r i b u t e d t o d i f f e r e n c e s i n p o s i t i o n i n g w i t h r e s p e c t t o t e a c h e r a u t h o r i t y a n d w a y s i n w h i c h t h e t e a c h e r s d r e w o n o t h e r k n o w l e d g e s o u r c e s ( i . e . t h e t e x t b o o k a n d s t u d e n t s ) . S o c i a l a n d S o c i o m a t h e m a t i c a l N o r m s T w o t y p e s o f n o r m s a r e t h e f o c u s o f t h i s d i s s e r t a t i o n — s o c i a l n o r m s a n d s o c i o m a t h e m a t i c a l n o r m s ( Y a c k e l & C o b b , 1 9 9 6 ) . S o c i a l n o r m s a r e g e n e r a l a n d n o t s u b j e c t s p e c i fi c : f o r e x a m p l e , t h e y m a y b e r e l a t e d t o h o w s t u d e n t s a r e e x p e c t e d t o u s e e q u i p m e n t i n t h e c l a s s r o o m ( i n t h i s c a s e . m a y b e h o w t h e y a r e e x p e c t e d t o u s e g r a p h i n g c a l c u l a t o r s ) . h o w s t u d e n t s a r e e x p e c t e d t o w o r k i n g r o u p s . o r h o w s t u d e n t s a r e s u p p o s e d t o e x p l a i n o r j u s t i f y t h e i r t h i n k i n g . S o c i o m a t h e m a t i c a l n o r m s a r e m o r e c o n t e n t s p e c i f i c ; t h e y a r e r e l a t e d t o w a y s o f f u n c t i o n i n g m a t h e m a t i c a l l y t h a t a r e r e c o g n i z e d a n d a c c e p t e d b y t h e l a r g e r m a t h e m a t i c a l c o m m u n i t y . F o r e x a m p l e . w h a t c o u n t s a s “ m a t h e m a t i c a l l y d i f f e r e n t . m a t h e m a t i c a l l y s o p h i s t i c a t e d . m a t h e m a t i c a l l y e f f i c i e n t . a n d m a t h e m a t i c a l l y e l e g a n t ” ( Y a c k e l & C o b b , 1 9 9 6 . p . 4 6 1 ) w o u l d b e c o n s i d e r e d t o f a l l u n d e r t h i s d e f i n i t i o n . O n e m a y c o n s t r u c t a n a r g u m e n t i n a n y d o m a i n . b u t u n d e r s t a n d i n g w h a t c o u n t s a s a n a c c e p t a b l e m a t h e m a t i c a l a r g u m e n t i s a s o c i o m a t h e m a t i c a l n o r m . I n s o m e s e n s e , t h e n o r m s i n t h e c l a s s r o o m a r e i n v i s i b l e . T h e y d o n o t s u r f a c e e x p l i c i t l y a n d t e n d t o s h o w u p w h e n t h e r e i s a b r e a c h o f t h e n o r m t h a t h a s b e e n e s t a b l i s h e d e i t h e r o n t h e p a r t o f t h e t e a c h e r o r t h e s t u d e n t s ( C o b b . Y a c k e l . & W o o d . 1 9 9 3 ) . T h e s e n o r m s c a n b e i d e n t i fi e d b y a n a l y z i n g t h e e v o l v i n g p a t t e r n s a n d r e g u l a r i t i e s t h a t o c c u r i n c l a s s r o o m s o c i a l i n t e r a c t i o n s ( C o b b e t a l . , 1 9 9 3 ) . M y s t u d y h a s p u r s u e d m a n y o f t h e s a m e i d e a s a s C o b b . W o o d . a n d Y a c k e l ‘ s w o r k ; h o w e v e r , t h e r e a r e a l s o d i f f e r e n c e s . S o m e o f t h e s e i n c l u d e : a g e l e v e l o f t h e s t u d e n t s ( t h e i r w o r k f o c u s e s o n p r i m a r y g r a d e s . m i n e o n u p p e r m i d d l e s c h o o l ) . c o n t e n t ( t h e i r f o c u s i s o n o p e r a t i o n s a n d p l a c e v a l u e . m i n e i s o n a l g e b r a ) . l e v e l o f i n t e r v e n t i o n o n 1 8 . . n o 0 1 ‘ V V L . . 1 9 . 2 1 . 1 . h . ( I t i . L v l . r . r p o . v . . t u o v ’ U ‘ J } . . ( . I . . . x ’ l s l . , . w r l . . " . . . . I . V a u } 1 1 l fl / . r o 1 3 . 1 . e r v . r . r . . I . s 1 . . { . . L ‘ ‘ v a l i b i g r 1 - . ~ / ¢ v . 1 a . . . . ¢ . o . . . f r 1 . ! . : v . - . . . . 1 . 1 . — . . l ’ ; . v . . I l l - P . t l t h l r l . ’ 1 » . . . o I I . . . I 5 1 . 1 1 1 1 ; , 1 F : 1 . r . . i C . . ‘ I a : l ’ . 1 2 . J v r . i v > " . l I ; i n f / a v . 1 . : r h > 4 . a . Y ' a r . ( t i p . I . . 4 i f ! I . ” I . . . I V ; I . a l . . . 4 r . . . 1 . _ v . a . . ’ . . . . Y ' v v . . v ( 5 / . s I a I : y o u ) . L I D , I : I I 1 ( 1 . 1 . , 1 . . . ! y . I a ) . u A . r ‘ , ' 1 v t h e p a r t o f t h e r e s e a r c h e r ( t h e i r s e t t i n g w a s a n i n t e n t i o n a l t e a c h i n g e x p e r i m e n t . m y r o l e w a s t h a t o f p a r t i c i p a n t - o b s e r v e r ) . a n d e x i s t e n c e o f a p r i n t e d c u r r i c u l u m ( t h e y h e l p e d i n d e v e l o p i n g l e s s o n s s u i t a b l e f o r t h e c l a s s r o o m s c o n t e x t , t h e c l a s s r o o m s i n m y s t u d y h a v e a d o p t e d a p r e - e x i s t i n g r e f o r m - o r i e n t e d c u r r i c u l u m ) . M y s t u d y e x t e n d e d t h e i r w o r k t o a v e r y d i f f e r e n t c o n t e x t f r o m t h e o n e t h e y s t u d i e d . A n o t h e r d i f f e r e n c e b e t w e e n W o o d e t a l . ' s w o r k a n d m y s t u d y i n c l u d e d t h e r a n g e o f f o c u s f o r t h e a n a l y s i s . T h e y p u r s u e d m a k i n g s e n s e o f s i x a s p e c t s o f t h e c l a s s r o o m ( E . Y a c k e l . p e r s o n a l c o m m u n i c a t i o n , A u g u s t 2 8 . 1 9 9 9 ) a s s h o w n i n T a b l e 2 . M y s t u d y u s e d s i m i l a r t h e m e s , b u t f o c u s e d o n l y o n t h e p o r t i o n s o f t h e t a b l e t h a t a r e i n b o l d p r i n t : t h e s o c i a l n o r m s . s o c i o m a t h e m a t i c a l n o r m s . a n d s t u d e n t s i n d i v i d u a l m a t h e m a t i c a l c o n c e p t i o n s . T a b l e 2 S i x A s p e c t s o n W h i c h O n e M a y F o c u s C l a s s r o o m I n q u i r y S o c i o l o g i c a l P s y c h o l o g i c a l S o c i a l n o r m s I n d i v i d u a l b e l i e f s S o c i o m a t h e m a t i c a l n o r m s I n d i v i d u a l b e l i e f s a b o u t m a t h e m a t i c s T a k e n - a s - s h a r e d c l a s s r o o m m a t h e m a t i c a l S t u d e n t ’ s i n d i v i d u a l m a t h e m a t i c a l p r a c t i c e s c o n c e p t i o n s I n a t t e n d i n g t o t h e s e t h r e e a s p e c t s . m y m a i n f o c u s h a s b e e n o n t h e s o c i a l a n d s o c i o m a t h e m a t i c a l n o r m s a s t h e y a r e e m b e d d e d i n a n d c a r r i e d b y t h e c l a s s r o o m d i s c o u r s e . S t u d e n t ’ s i n d i v i d u a l m a t h e m a t i c a l c o n c e p t i o n s a r e a d d r e s s e d . b u t a r e s e c o n d a r y i n n a t u r e t o t h e n o r m s i n t h e c l a s s r o o m . 1 9 . ! 0 . 1 9 . . ! ] ! . ! D ( J I n ] f ? o . 0 . L » ( . ‘ . . 1 s . . l f r . i 1 f . . . . . a . . . - 5 % . - . 4 5 : . . . 1 5 . 1 1 . 1 ‘ . 1 1 7 . 1 ; v . ( I r . « I . . . L J . L . . 2 ~ i t . " v . r | / ( . . . ( r . 5 . r . . . 1 1 . I . 3 1 . 1 . 1 a . a 1 1 0 1 . . . . 2 i . , f a . . - 1 : E 2 1 . . . . f . . v . s . . . . 1 . . . a . 3 3 . K 7 . C " F ( r : o . . . ) . _ . d . 1 s ‘ ‘ O . 4 . 1 . 1 . 1 ; . I f . . . . . . i r a L I . . . . ( [ 4 I J . . . l . . l ‘ u b ‘ . o . . t . t f r l . I . A » , 4 u . o s . . . ‘ . » . . ' / q . 1 I I . . u I o : r t l l . J J ) ’ ‘ 5 . . . { . 7 ( , 1 , y r . . _ , . _ n . s _ . . . . l . « c f 1 7 . 1 . 1 f i r / ( ” l ( A . u . ) I » . 4 0 . l l . . 4 . . ; ( 4 I . ' . H t » ‘ . ~ . . g ‘ f . I - . h . . v . v I . 3 ! : ' J 4 . s . . $ 1 . 1 . h a I . 1 . 4 _ . ( i n t I r i p . f ~ . 1 . v : 4 . I . A . : . ( . z r . . I . . . ” . r J . - L ‘ A o o r h v I L . . . 3 5 é fl . . . ( I f 1 4 I r . . L b ’ . . ( r . ' . . . I C o m m o n K n o w l e d g e I n t h e p r o c e s s o f w r i t i n g t h i s d i s s e r t a t i o n , i t b e c a m e c l e a r t o m e t h a t s o m e o f t h e i d e a s p r e s e n t e d i n E d w a r d s a n d M e r c e r ’ s ( 1 9 8 7 ) C o m m o n K n o w l e d g e w e r e k e y t o m y a n a l y s i s a n d i n t e r p r e t a t i o n . I n t h i s b o o k , E d w a r d s a n d M e r c e r i n v e s t i g a t e d d i s c o u r s e i n e l e m e n t a r y c l a s s r o o m s a n d f o c u s e d p r i m a r i l y o n s c i e n c e . I n t h e u p c o m i n g c a s e s t u d i e s . t h i s i d e a o f “ c o m m o n k n o w l e d g e " i s v e r y i m p o r t a n t b e c a u s e m a n y o f t h e d i s c o u r s e p a t t e r n s e a c h t e a c h e r u s e d w e r e r e l a t e d t o t h e w a y s u c h c o m m o n k n o w l e d g e w a s e s t a b l i s h e d , d e f i n e d a n d t h e n c o n t i n u a l l y w o v e n t h r o u g h t h e c l a s s s e s s i o n s ( w h i c h I s h o w i n t h e t w o c a s e s t u d i e s p r e s e n t e d ) . M o r e i m p o r t a n t l y ( a n d s i m i l a r t o E d w a r d s a n d M e r c e r ' s fi n d i n g s ) m a n y o f t h e s e d i s c o u r s e p a t t e r n s w e r e a l s o r e l a t e d t o t h e w a y s i n w h i c h t h e c o m m o n k n o w l e d g e w a s b e i n g c o n t r o l l e d i n e a c h c l a s s r o o m , a l t h o u g h t h e t e a c h e r ’ s c h o i c e s 4 d i f f e r e d i n t h e w a y i n w h i c h t h e y c o n t r o l l e d t h a t k n o w l e d g e . 1 e x p l i c a t e . i n d e t a i l , E d w a r d s a n d M e r c e r ‘ s m a i n i d e a s t h a t a r e r e l a t e d t o m y a n a l y s e s a n d i n t e r p r e t a t i o n . T h e s e a r e “ c o m m o n k n o w l e d g e " a n d “ c o n t r o l o f c o m m o n k n o w l e d g e . " C o m m o n K n o w l e d g e , C o n t e x t a n d C o n t i n u i t y E d w a r d s a n d M e r c e r a r e c o n c e r n e d w i t h t h e w a y s i n w h i c h k n o w l e d g e i s " p r e s e n t e d , r e c e i v e d . s h a r e d . c o n t r o l l e d . n e g o t i a t e d . u n d e r s t o o d a n d m i s u n d e r s t o o d [ . . . ] a n d w h a t t h a t k n o w l e d g e m e a n s t o p e o p l e a n d i n h o w a n d t o w h a t e x t e n t i t b e c o m e s p a r t o f t h e i r c o m m o n k n o w l e d g e , t h e i r j o i n t u n d e r s t a n d i n g " ( p . 1 ) . A n o v e r a r c h i n g b e l i e f t h a t t h e y h a v e i s t h a t a l l e d u c a t i o n i s f u n d a m e n t a l l y a b o u t t h e e v o l v e m e n t o f s o m e m u t u a l u n d e r s t a n d i n g . s o m e i n t e r d e p e n d e n c e o f p o s i t i o n s . T h e y d i s c u s s h o w t h i s i s r e l a t e d t o s h a r e d k n o w l e d g e . s o m e t h i n g t h a t d i f f e r e n t i a t e s h u m a n s f r o m o t h e r a n i m a l s . W e a r e t h e o n l y s p e c i e s t h a t c a n s h a r e k n o w l e d g e b y r e p r e s e n t i n g i t o u t s i d e o f t h e c o n t e x t i n w h i c h i t w a s g e n e r a t e d . P e o p l e 2 0 A . Z i a « 7 ‘ . f . . . . . L T . . w r t u v . r / r . . f . . . , . . n o v n . . . u , 1 ‘ b . . H t . . . r r ( ( v . l . r . f v l r l b . . . . . . . 1 . . l p ‘ h » o o . 1 . L D 1 4 ! . . I 1 , . . . . L I I . l . . . t . . . . . 4 : » . . 3 . 1 . 1 ) ; a ) . 1 . . . : : J . . 1 F / . t I . ~ ; . T ~ I v ‘ 1 . . 9 . . . . v . . . 2 . ‘ u . 1 . L I I ¢ L . : . . / 1 I . . . . . . l l » 7 . ' t . . ( > r v r O — > > D I . a » . . . . L | < / . . . “ A , J . v c ) 1 . 1 . : _ - a i r I f r f f . v . . . . . . 3 4 0 I : . 1 4 . . . I . . . z y . . » ( . ( ' t | l v l ' . . 4 : . . . v . 2 . ) 1 ‘ , _ . I I ( I . . . . . . r r o a : E _ l . ; p A . . V ‘ . . . . . ( t r : 7 . 7 . . v , i n l a y - . [ I . . _ . J . . 1 . a , D I ) ; r . , v . 1 - . 4 . . . 1 . . I i a n I ’ . ' . v . I r b a r I . . . I f . X . o r O I 1 . . C . . . V . E . > 5 4 . . 1 . r . . ( . v . . . . L } , 1 0 . . . . v . ” . 4 . . . ’ . r { i . . a / , . L 4 . ] m . - w h y / t n . . c ’ n f . ’ J ) I . » L . . ’ . I l . 1 . . r . . . . 0 . A 7 . . . . , J r . . . t e n d t o d i s c u s s . e x c h a n g e v i e w s . n e g o t i a t e b e l i e f s a n d u n d e r s t a n d i n g s . D i s c o u r s e i s p a r t o f t h e p r o c e s s o f e s t a b l i s h i n g s h a r e d u n d e r s t a n d i n g w h i c h i n f l u e n c e s f u t u r e d i s c o u r s e . S o m e o f t h e e l e m e n t s i n v o l v e d i n t h i s i n c l u d e : " o f f e r i n g n e w i n f o r m a t i o n . r e f e r e n c e t o e x i s t i n g p a s t e x p e r i e n c e . r e q u e s t s f o r i n f o r m a t i o n . a n d t e x t s o r ' c h e c k s ‘ o n t h e v a l i d i t y o f i n t e r p r e t a t i o n s o f i n f o r m a t i o n o f f e r e d " ( p . 6 ) . E d w a r d s a n d M e r c e r c l a i m t h a t u s i n g t h e s e e l e m e n t s a l l o w p e o p l e t o c o n s t r u c t ( t h r o u g h d i s c o u r s e ) a c o n t i n u o u s e x p e r i e n c e g r e a t e r t h a n a n y i n d i v i d u a l o c c u r r e n c e . T h e a u t h o r s c l a i m t o b e c o n c e r n e d m o r e w i t h c o n t e n t t h a n f o r m — i n " w h a t p e o p l e s a y t o e a c h o t h e r , w h a t t h e y t a l k a b o u t . w h a t w o r d s t h e y u s e . w h a t u n d e r s t a n d i n g s t h e y c o n v e y . a n d w i t h t h e p r o b l e m a t i e s o f h o w t h e s e u n d e r s t a n d i n g s a r e e s t a b l i s h e d a n d b u i l t u p o n a s t h e d i s c o u r s e p r o c e e d s " ( p . 1 0 ) . I n t h i s w a y . t h e y i n t e r p r e t p e o p l e ' s m e a n i n g s r a t h e r t h a n j u s t c o d i n g t h e f o r m s o f t h e i r l a n g u a g e s . I n f a c t . t h e y a r e q u i t e c r i t i c a l o f a t t e n d i n g o n l y t o f o r m b e c a u s e o f i t s l i m i t a t i o n s ( e . g . " i t w a s d e v i s e d t o r e v e a l l i n g u i s t i c s t r u c t u r e s , n o t e d u c a t i o n a l o r c o g n i t i v e p r o c e s s e s " ( p . 1 0 ) ) . I n m y a n a l y s i s . I a m u s i n g s o m e o f t h e t o o l s o f d i s c o u r s e a n a l y s i s o f w h i c h t h e y a r e c r i t i c a l . H o w e v e r . i n g o i n g b a c k t o w a r d t h e f o r m a n d f u n c t i o n o f t h e l a n g u a g e . I a m n o t i g n o r i n g m e a n i n g . I a m w o r k i n g i n t h e s a m e s p i r i t a s E d w a r d s a n d M e r c e r . b u t a m e x t e n d i n g t h e i r a n a l y s i s t o a t t e n d c l o s e l y t o f o r m a n d f u n c t i o n a n d t h r o u g h t h e s e ( a l o n g w i t h m y k n o w l e d g e o f t h e s e t e a c h e r s , s t u d e n t s a n d c l a s s r o o m s b ) . l i n t e r p r e t t h e m e a n i n g o f t h e c l a s s r o o m t a l k . T h e y c l a i m t h a t a t t e n t i o n t o c o n t e n t . m e a n i n g a n d c o n t e x t i s i m p o r t a n t t o e x a m i n i n g h o w c o m m o n k n o w l e d g e i s e s t a b l i s h e d . A l s o i m p o r t a n t i s t h e n o t i o n o f " g i v c n a n d n e w i n f o r m a t i o n ” ( p . l l ) - t h e w a y s i n w h i c h t h e i n f o r m a t i o n o f f e r e d b y t h e s p e a k e r i s t a k e n a s k n o w n b y t h e h e a r e r ( “ g i v e n " ) . o r e l s e i s p r e s u m e d t o b e u n k n o w n t o t h e h e a r e r 2 1 I o n . . . I . I A 3 . ” : . . . 1 v } . 5 ‘ . r 3 _ . . . r . . : 5 . ( t . . . . u . . . ‘ - . . ‘ . L . . . L a 4 / . . 3 . . . ~ l r l l . l . $ . ¢ ( . . p . . l . y t b A c . . . 4 . . . . ( . f . ( ( . ( r . . . | 7 . . . : . . . . . . . . . . b . . b . D J . 1 . ) r . r . . t . . . . 3 . . . . 1 a . _ 1 U " t v u I f r r » 5 . 1 . I : I v . ( V . . . 0 4 . : I . a u . . 1 . U ’ o ; o . 9 : ' : r ’ . L “ n r } . i 3 5 8 ” ; b y q . . 3 0 . . I 1 r : I . I o - p f [ J . 0 . » t o ( I I . n 4 . 1 J . . [ f l r _ ( “ 1 . . . ; J . r 5 4 ! : 1 ( “ n e w ” ) . “ G i v e n ” a n d “ n e w ” i n f o r m a t i o n a r e n o t p h e n o m e n a t h a t a r e m e r e l y l o c a t e d i n d i s c o u r s e , t h e y a r e d e v i c e s a v a i l a b l e f o r u s e i n t h e c o n s t r u c t i o n o f c o m m o n k n o w l e d g e a n d a r e r e l a t e d t o i n t e n t i o n s s p e a k e r s m a y h a v e i n s a y i n g w h a t t h e y d o . A r e l a t e d i d e a ( t o “ g i v e n ” a n d “ n e w " i n f o r m a t i o n ) i s t h a t o f c o n t e x t . T h e y d e f i n e c o n t e x t a s “ e v e r y t h i n g t h a t t h e p a r t i c i p a n t s i n a c o n v e r s a t i o n k n o w a n d u n d e r s t a n d . o v e r a n d a b o v e t h a t w h i c h i s e x p l i c i t i n w h a t t h e y s a y . t h a t c o n t r i b u t e s t o h o w t h e y m a k e s e n s e o f w h a t i s s a i d ” ( p . 6 3 ) . T h e u n f o l d i n g o f c o n t e x t t h r o u g h t i m e t h e y c a l l “ c o n t i n u i t y . ” K i n d r e d t o M e a d ’ s ‘ e m e r g e n t p r e s e n t ’ . i t i s s u m m a r i z e d b y G r i f f i n a n d M e h a n ( 1 9 8 1 ) a s “ t h a t w h i c h i s g o i n g o n i n t h e p r e s e n t i n e x o r a b l y b e c o m e s t h e p a s t . i n f o m t i n g a n d r e f o r m i n g t h e p r e s e n t , w h i l e f u t u r e e v e n t s i n f o r m t h e s e n s e o f t h e p r e s e n t " ( p . 1 9 0 ) . A c c o r d i n g t o E d w a r d s a n d M e r c e r . t w o t y p e s o f c o n t e x t a r e p e r t i n e n t t o t h e f o r m a n d c o n t e n t o f a n y d i s c o u r s e : l i n g u i s t i c a n d n o n - l i n g u i s t i c c o n t e x t s . “ T h e l i n g u i s t i c c o n t e x t i s t h e s p e e c h o r t e x t t h a t p r e c e d e s a n d f o l l o w s a n y g i v e n u t t e r a n c e . w h i l e t h e n o n - l i n g u i s t i c c o n t e x t i n c l u d e s t h e t i m e a n d p l a c e . t h e s o c i a l o c c a s i o n . t h e p e r s o n s i n v o l v e d . t h e i r b e h a v i o u r a n d g e s t u r e s , a n d s o o n ” ( p p . 6 3 - 6 4 ) . A l l d i a l o g u e i s d e p e n d e n t u p o n i t s c o n t e x t f o r i t s m e a n i n g , a n d c o n t e x t i s n o t p h y s i c a l b u t m e n t a l . E s s e n t i a l t o t h e l i n k b e t w e e n d i s c o u r s e a n d k n o w l e d g e i s t h e i d e a t h a t c o n t e x t i s n o t p h y s i c a l , b u t i s i n t h e m i n d o f t h e p a r t i c i p a n t s . F r o m a n o u t s i d e r ' s v i e w . c o n t e x t i s u s u a l l y a c t u a l a n d d e f i n a b l e ; f o r t h e p a r t i c i p a n t s . i t i s m o r e a m a t t e r o f i n t e r p r e t a t i o n a n d r e c o l l e c t i o n — “ w h a t t h e y t h i n k h a s b e e n s a i d . w h a t t h e y t h i n k w a s m e a n t . w h a t t h e y p e r c e i v e t o b e r e l e v a n t ” ( p . 6 6 ) . W h a t m a t t e r s i s w h a t t h e p a r t i c i p a n t s i n t h e c o m m u n i c a t i o n u n d e r s t a n d a n d s e e a s r e l e v a n t . T h e y d e s c r i b e e d u c a t i o n t o b e t h e 2 2 1 . . . . 4 ) ) . . . a , I v . . . A r » r 0 . . A n t . . . . J . I , I . a ) 4 1 1 . . . . . l . - . I I . 1 J D . . ‘ . 7 L y r a . . l f . I I . u . ( I 0 ‘ r 1 “ . . t d ) ' 1 I t I 1 J I . u I . a . ‘ 1 c l u t c h . I . I n C ) . 4 . . . . n . . . . I t - . 1 . 1 . . 4 . . ‘ 1 ‘ . . . n u t c l . . . - . I I . 1 ‘ a q q / c l a . . [ 1 . 0 1 . . 4 . n t . . . . . . f a t . . . R . . . i ‘ I . 7 ' 1 . . . ) 4 » . . . . . ( . 1 . 1 1 . . . ! . . ' 1 0 - ) . 1 . . . . H } . . . . v . . v ‘ . o l l . 1 ) . . . . ; ) I . e . 1 1 ; a } . . 1 | . I u . . ’ d 2 1 . . . . . J 2 } . , r . . 1 ( 5 ‘ « L J o f ~ ‘ n 4 1 l l n . . e s t a b l i s h m e n t o f s h a r e d m e n t a l c o n t e x t s ( j o i n t u n d e r s t a n d i n g s ) b e t w e e n t e a c h e r a n d c h i l d r e n w h i c h a l l o w t h e m t o i n t e r a c t i n e d u c a t i o n a l d i s c o u r s e t o g e t h e r s u c c e s s f u l l y . O n e o f t h e p u r p o s e s o f c l a s s r o o m c o m m u n i c a t i o n [ . . . ] i s t o f u r t h e r t h e k n o w l e d g e a n d u n d e r s t a n d i n g o f c h i l d r e n a b o u t t o p i c s w h i c h . h o w e v e r i m p l i c i t l y s t a t e d a n d i l l d e f i n e d . c o n s t i t u t e t h e c u r r i c u l u m . F o r t h i s t o o c c u r a t a l l . a c h i l d a n d t e a c h e r m u s t m u t u a l l y e s t a b l i s h a u n i v e r s e o f d i s c o u r s e . F o r c h i l d r e n . t h i s a m o u n t s t o m o r e t h a n l e a r n i n g h o w t o t a k e p a r t i n l i n g u i s t i c r i t u a l s ( p . 4 9 ) . T h e y a r e m a k i n g a d i s t i n c t i o n b e t w e e n s t u d e n t s m e r e l y s a y i n g w h a t i s r e q u i r e d o f t h e m ( l e a r n i n g w h a t s h o u l d b e s a i d w h e n ) a n d a c t u a l l y u n d e r s t a n d i n g w h a t t h e y a r e s a y i n g . F o r e x a m p l e , w h e n a t e a c h e r a s k s t h e s a m e q u e s t i o n t w i c e . t h e r e s p o n d e n t m a y g i v e a d i f f e r e n t a n s w e r t h e s e c o n d t i m e n o t b e c a u s e s h e h a s c h a n g e d h e r m i n d . b u t b e c a u s e s h e h a s l e a r n e d t h a t b e i n g a s k e d t h e s a m e q u e s t i o n t w i c e i n d i c a t e s t h e a n s w e r s h e g a v e w a s a n i n c o r r e c t o n e ( C a z d e n , 1 9 8 8 ; E d w a r d s & M e r c e r . 1 9 8 7 ) . N o t o n l y d i d E d w a r d s a n d M e r c e r f i n d t h a t t h e t e a c h e r s u s e d l e s s o n s t o c r e a t e t h e c o n t e x t s o f t a l k a n d e x p e r i e n c e ( w h i c h p r e d o m i n a t e d o v e r a n y t a l k o f e v e n t s f r o m t h e “ r e a l ” w o r l d ) . b u t t h e y a l s o f o u n d t h a t s t u d e n t s a p p e a r e d t o o p e r a t e w i t h t h i s g r o u n d r u l e - - “ i f t h e t e a c h e r a s k s a q u e s t i o n r e l a t e d t o w o r k d o n e i n c l a s s . t h e n t h e a n s w e r i s t o b e f o u n d i n w h a t t h e l e s s o n h a s a c t u a l l y c o v e r e d ” ( p . 7 5 ) . R e f e r e n c e s m a d e t o o u t - o f - s c h o o l a c t i v i t y w e r e t y p i c a l l y d i s m i s s e d o r n o t t a k e n u p b y t h e t e a c h e r . u n l e s s t h e y h a p p e n e d t o b e s o m e t h i n g t h a t s h e b e l i e v e d t o b e p a r t o f a l l o f h e r s t u d e n t s o u t - o f - s c h o o l e x p e r i e n c e . W h a t a r e s o m e w a y s t h a t t e a c h e r s e s t a b l i s h a n d d e f i n e c o m m o n k n o w l e d g e ? O n e w a y i s b y t a l k i n g t h r o u g h t h e p r o c e s s : t h a t i s . b y u s i n g w o r d s t o d e f i n e t h e m e a n i n g i n t h e a c t i v i t y . W h e n a t e a c h e r d e m o n s t r a t e s s o m e t h i n g . s h e o f t e n t a l k s h e r w a y t h r o u g h t h e a c t i v i t y . T h i s t a l k s e e m s t o h a v e a t l e a s t t h r e e f u n c t i o n s : ( 1 ) t o d i r e c t a n d h o l d t h e p u p i l s ' a t t e n t i o n t o a c t i v i t y a n d t o a l i g n t h e j o i n t a t t e n t i o n o f t h e g r o u p t o p a r t i c u l a r p i e c e s o f t h e 2 3 . L . I . ) . u m . t a . . . u n i l v u r u l l ‘ l l v y a . ( . . . . C - u 4 ~ , t n o i v y c l v p ‘ t L . a . . r . l . 5 I . I . w . . 1 | 1 ' . T L . . c ‘ . . - 1 t . | I . . r : . ( l f . . . l ” ’ 1 I 1 . E V / . f L . . I . ‘ I . . l f - . I I I . 4 . . . I 1 . , : . . r r f , . i v . » » I ’ . - I ” 1 . . . 1 . v . 4 u I . r ' I I V ] . I . . . . l / b 1 . a . / c i t T 4 . f r » . . . V 1 1 . ! I I I I a . I I t ” . . a . . n a c t i v i t y ; ( 2 ) t o h i g h l i g h t t h e i m p o r t a n t a s p e c t s o f t h e a c t i v i t y — t o p o i n t t o w h a t p u p i l s o u g h t t o b e n o t i c i n g a n d r e m e m b e r i n g ; ( 3 ) t o p r o v i d e a c o m m o n v o c a b u l a r y f o r t h e a c t i o n s n e e d e d t o c o m m u n i c a t e t h e j o i n t u n d e r s t a n d i n g s t o e a c h o t h e r ( p p . 7 9 - 8 0 ) . W h a t b e g i n s a s a c o n c r e t e p h y s i c a l c o n t e x t o f j o i n t a c t i v i t y l a t e r s e r v e s a s a “ s h a r e d m e n t a l c o n t e x t o f e x p e r i e n c e a n d u n d e r s t a n d i n g ” ( p . 8 0 ) . S i n c e t h e t e a c h e r a n d s t u d e n t s w o r k e d t h r o u g h t h e a c t i v i t y t o g e t h e r . a n d h a v e c o n c e i v e d h o w t o t a l k a b o u t t h a t a c t i v i t y . t h e y c a n n o w b e g i n t o e x c h a n g e u n d e r s t a n d i n g s w i t h w o r d s a l o n e . " T h e j o i n t a c t i v i t y a n d d i s c o u r s e o f t h e p a s t b e c a m e a s h a r e d m e n t a l c o n t e x t f o r t h e p r e s e n t " ( p . 8 0 ) . C o n t i n u i t y ( i . e . t h e g r o w t h o f s h a r e d c o n t e x t s t h r o u g h t i m e ) w a s a f e a t u r e t o w h i c h t h e t e a c h e r s t h e m s e l v e s m a d e e x p l i c i t m e n t i o n i n i n t e r v i e w s . H o w e v e r . t h e s e r e f e r e n c e s a c t u a l l y p l a y e d o u t i n i m p l i c i t w a y s i n t h e c l a s s r o o m . T h e y f o u n d t h a t l e s s o n s t y p i c a l l y b e g a n i n s u c h a w a y t h a t t e a c h e r s i n t r o d u c e d s t u d e n t s t o t h e w o r k t o b e d o n e . a n d m a d e c o n t i n u i t y l i n k s w i t h w h a t h a d p r e v i o u s l y t a k e n p l a c e . F o r e x a m p l e . w e h a v e a l l h e a r d t e a c h e r s a s k . “ D o y o u r e m e m b e r w h e n . . . ? " I n a s k i n g s u c h q u e s t i o n s . t h e t e a c h e r i s r e f e r r i n g - b a c k t o b r i n g i d e a s f o r w a r d a n d c o n n e c t t h e m t o t i p - c o m i n g a c t i v i t y . F o r m i n g c o n t i n u i t y i s n o t u n p r o b l e m a t i c ; d i f f i c u l t i e s s o m e t i m e s a r i s e w i t h r e g a r d t o t h e u n d e r s t a n d i n g e s t a b l i s h e d i n l e s s o n s . M e t a c o g n i t i v e a n d m e t a d i s c u r s i v e c o m m e n t s t e n d t o o c c u r a t m o m e n t s w h e n s t u d e n t s “ s e e m e d n o t t o h a v e g r a s p e d s o m e s i g n i f i c a n t p r i n c i p l e , p r o c e d u r e , o r i n s t r u c t i o n t h a t h a d b e e n d e a l t w i t h p r e v i o u s l y " ( p . 8 4 ) . I n t h e a s y m m e t r y o f t e a c h e r - p u p i l c o n v e r s a t i o n s . t h e s e m i s m a t c h e s a r e i m p o r t a n t t o t h e l e a r n i n g p r o c e s s . E d w a r d s a n d M e r c e r c o n t e n d t h a t t h e y o c c u r i n V y g o t s k y ‘ s ' z o n e o f p r o x i m a l 9 , “ d e v e l o p m e n t . a t p r e c i s e l y t h e p o i n t s a t w h i c h c o m m o n k n o w l e d g e i s b e i n g c r e a t e d . 2 4 . I v ) . 4 " 0 | v : > ' . C Q ‘ L ' I I N ] i i i ? ( i i t . i . _ n F . t . l . 7 . . ‘ l l ! o . £ ' v 1 . ! 1 , . . . . . . . u . ’ . ( a n . 4 r a b u ‘ I ) 1 . . . 7 t 7 . . I f : , a 5 5 , 1 . . . . . _ . o v . . . ” . f w . 7 ‘ i . r 1 7 . 1 . ! . w r r f . . l . u ’ ' . y . n « V . . I ’ l l v « 1 . . . . . J . . . . r . £ r n 1 . . h . r I ) . . [ . 0 I ; . I , l . r 1 | ( I r - I L . o . J : 1 : 2 3 . A . . 3 . I . > > " . . . . . J . ) . . 5 . l 4 ' . . v . l ~ 1 I z . . . . . . / / a i r . 0 . . . t . . t . A . . : . k ' . . ; . . o . . . . a t ) . A n d i t i s t h e a d u l t w h o t a k e s t h e l e a d i n g r o l e i n d r a w i n g a t t e n t i o n t o t h e m . t a l k i n g a b o u t t h e m . e s t a b l i s h i n g k n o w l e d g e w h i c h i s b o t h c o m m o n a n d c o m m u n i c a b l e " ( p . 8 4 ) . T h e n o t i o n s o f “ z o n e o f p r o x i m a l d e v e l o p m e n t " a n d " s c a f f o l d i n g " h a v e t w o i d e a s w h i c h a r e i m p o r t a n t t o t h e a n a l y s i s o f c o n t e x t a n d c o n t i n u i t y . F i r s t , t h e y e m b o d y t h e i m p o r t a n t p r i n c i p l e t h a t m u c h o f t h e a c q u i s i t i o n o f c u l t u r e . i n c l u d i n g b o t h f o r m a l a n d i n f o r m a l e d u c a t i o n . t a k e s p l a c e i n t h e c o n t e x t o f g u i d a n c e b y s o m e p e r s o n , w h e t h e r p a r e n t , t e a c h e r o r m o r e c o m p e t e n t p e e r . I t i s a p r o c e s s o f g u i d e d d i s c o v e r y , i n w h i c h a n i n d i v i d u a l ‘ s c o m p e t e n c e b e g i n s a s h i s o r h e r p a r t i n a s o c i a l t r a n s a c t i o n . J o i n t a c t i v i t y a n d s h a r e d c o n c e p t i o n s c a r r i e d b y l a n g u a g e a r e m a j o r c o n s t i t u e n t s . S e c o n d . t h e r e i s t h e n o t i o n o f i n t e r n a l i z a t i o n . i n w h i c h t h e n a t u r a l e n d - p r o d u c t o f t h e l e a r n i n g p r o c e s s i s a c o m p e t e n t i n d i v i d u a l w h o h a s b e c o m e a b l e t o p e r f o r m a l o n e . o r i n n e w c o n t e x t s . a c t i v i t i e s a n d c o n c e p t u a l i z a t i o n s w h i c h c o u l d e a r l i e r b e a c h i e v e d o n l y w i t h t h e t e a c h e r ' s h e l p ( p . 8 6 ) . T h i s l a t t e r i d e a i s c o n n e c t e d t o B r u n e r ‘ s ( 1 9 8 3 ) i d e a o f a ' h a n d o v e r ‘ p r o c e s s : t h a t i s , t h e h a n d i n g o v e r o f k n o w l e d g e a n d p r o fi c i e n c y o f a n a d u l t u l t i m a t e l y t o a c h i l d . T h i s i d e a o f h a n d o v e r d e s e r v e s m o r e c o m m e n t . I n B r u n e r ‘ s i n q u i r y i n t o t o d d l e r s ‘ l e a r n i n g o f g a m e s ( i n c l u d i n g “ l a n g u a g e g a m e s ” ) , h e d e s c r i b e d t h e p r o c e s s a s o n e i n w h i c h a n a d u l t s e t u p a g a m e a n d s c a f f o l d e d i t t o e n s u r e t h e c h i l d ’ s i n a p p r o p r i a t e a c t i o n s / w o r d s c o u l d b e c o r r e c t e d b y i n t e r v e n t i o n . T h e a d u l t r e m o v e d t h e s c a f f o l d p i e c e - b y - p i e c e a s t h e c h i l d ' s r e c i p r o c a l a c t i o n s b e g a n t o s t a n d o n t h e i r o w n . B r u n e r r e l a t e d t h i s p r o c e s s t o h a n d i n g o v e r b o t h k n o w l e d g e a n d a c t i o n s t h r o u g h m o d e l i n g . s c a f f o l d i n g a n d m o n i t o r i n g t h e c h i l d . T h i s t e r m t h a t t h e y h a v e a d o p t e d i s fi l l e d w i t h u n h e l p f u l r e s o n a n c e s i n s u g g e s t i n g a s i m p l e t r a n s m i s s i o n m o d e l o f l e a r n i n g . I n J e a n L a v e ' s w o r d s . " H a n d o v e r i s y e t a n o t h e r e u p h e m i s m f o r t r a n s m i s s i o n - - s a m e o l d . s a m e o l d i n m y b o o k " ( p e r s o n a l c o m m u n i c a t i o n . A u g u s t , 2 4 . 2 0 0 0 ) . T h i s m e t a p h o r f r a m e s k n o w l e d g e a s a p h y s i c a l o b j e c t a n d a s i f i t c a n b e g i v e n f r o m o n e t o a n o t h e r . E v e n t h o u g h I d o n o t a g r e e w i t h a t r a n s m i s s i o n m o d e l o f l e a r n i n g . t h e f a c t o f t h e m a t t e r i s t h a t t e a c h e r s w a n t s t u d e n t s t o 2 5 . . . i . 3 1 . , . v . ‘ ( ‘ v . . . . . . » ( v > . . . - ' v ' . . . . I O I . ) I . . 1 p . 1 t . 1 I , » c . 1 . y . l ( r . i . I h i . I ? v . . 1 . I ' v i » . . . 3 . . A r . o . . » z . ) ‘ M O J o b a I . . Q l v ' v I A t i . I t 0 . I o h ‘ . ‘ . 4 . . — l & : . : . c . _ . ( 4 . I _ , M a l i a - P A o r . a . y . l ( . ( ‘ : f . I . z ‘ . ‘ u . 1 . . . c . “ t . J . . 1 1 . 3 . 4 b " . 5 . . . L i . I . . . . . 1 . 0 . . . . l . I L # 1 1 1 . . . a . i f I . . ! p . u , A v . 0 o : I j r d o . 1 ( b . ‘ : r ; c l h a l v . I r . ( l u u r i j ' J I v ( n . . — . . 4 i I . [ A f t a ‘ I " 4 . I t . ‘ ' . . A t l . ’ ' 4 I . I u . ' 1 ' 0 | , v . . I v . / . I » 4 . 4 1 I . . . . / . r I . v 1 I 1 ‘ . I n t . . . ’ 1 r V ’ . 1 ‘ r A ‘ I I ' 4 1 o r . J ’ / y . . y a . I r ‘ I ( I I , 7 . V " ' ‘ . n r , y d I 5 4 . . l I . , . 1 . t h ’ < [ I I ! . « r . I I , . . l e a r n s o m e t h i n g a n d i n d o i n g s o , t h e y h a v e t o g i v e u p c o n t r o l i n t e r m s o f w h o i s r e s p o n s i b l e a s t h e a c t i v e a g e n t i n c l a s s r o o m a c t i v i t y . I d o n o t l i k e t h e c o n n o t a t i o n s o f t h i s t e r m a n d w i l l n o t u s e i t i n m a k i n g c l a i m s a b o u t w h a t i s h a p p e n i n g i n m y c l a s s r o o m s . A l t h o u g h E d w a r d s a n d M e r c e r c l a i m a l l o f t h e t e a c h e r s i n t h e i r s t u d y a p p e a r e d t o o p e r a t e w i t h s o m e t h i n g l i k e h a n d o v e r i n t h e i r t e a c h i n g . n o n e o f t h e m t a l k e d a b o u t i t i n t h e i r i n t e r v i e w s . T h e t e a c h e r s d i d s o m e t i m e s t e l l s t u d e n t s i n t h e i r c l a s s t h a t t h e y w o u l d b e e x p e c t e d t o d o s o m e o f t h e t h i n g s t h a t t h e y t h e m s e l v e s w e r e d o i n g . H o w e v e r . t h e a u t h o r s c l a i m t h a t n o n e o f t h e l e s s o n s s h o w e d t h e h a n d o v e r p r o c e s s a s b e i n g a c o m p l e t e s u c c e s s . T h e y c i t e t h e t e a c h e r ’ s c o n t i n u i n g t o p e r f o r m t h e a c t i v i t i e s t h e m s e l v e s o r o f f e r i n g s t u d e n t s e a s i e r v e r s i o n s o f t h e d e fi n e d t a s k a s e v i d e n c e t h a t h a n d o v e r d i d n o t r e a l l y t a k e p l a c e — t h a t i n t h e e n d , t h e s t u d e n t s w e r e n o t p e r f o r m i n g t h e a c t i v i t i e s w i t h o u t t h e h e l p o f t h e t e a c h e r . T h e s t u d e n t s “ r e m a i n e d d e p e n d e n t o n t h e t e a c h e r t o s e t t h e a g e n d a . d e fi n e t h e t a s k s a n d c r i t e r i a f o r s u c c e s s , f u r n i s h t h e s i g n i fi c a n t c o n c e p t s . a n d g e n e r a l l y c o n t r o l t h e l e a r n i n g p r o c e s s " ( p . 9 1 ) . I t i s i n t h i s a s y m m e t r y o f p o w e r a n d k n o w l e d g e t h a t E d w a r d s a n d M e r c e r fi n d t h e p r o b l e m s i n a c h i e v i n g h a n d o v e r o f c o m p e t e n c e i n s c h o o l . I n s u m m a r y , c o m m o n k n o w l e d g e i s c o n s t r u c t e d t h r o u g h j o i n t a c t i v i t y a n d d i s c o u r s e a n d b e c o m e s t h e c o n t e x t u a l b a s i s f o r f u t u r e c o m m u n i c a t i o n . C o n t e x t i s t h e c o m m o n k n o w l e d g e o f t h e s p e a k e r s c a l l e d u p b y t h e d i s c o u r s e . I t i s p r o b l e m a t i c b e c a u s e i d e a s o f e a c h o t h e r ' s m e n t a l c o n t e x t m a y b e o n l y p a r t i a l l y r i g h t . o r m a y b e c o m p l e t e l y i n c o r r e c t . S i m i l a r l y , c o n t i n u i t y m a y b e p r o b l e m a t i c s i n c e i t i s c h a r a c t e r i s t i c o f c o n t e x t : i t i s c o n t e x t a s i t d e v e l o p s t h r o u g h t i m e i n t h e p r o c e s s o f j o i n t t a l k a n d a c t i o n . T e a c h e r s h a v e t h e t a s k o f ‘ s c a f f o l d i n g ’ c h i l d r e n i n t o t h e u n i v e r s e o f e d u c a t i o n a l d i s c o u r s e . T h i s i s a c c o m p l i s h e d b y c r e a t i n g , t h r o u g h j o i n t a c t i o n a n d t a l k w i t h t h e c h i l d . a c o n t e x t u a l 2 6 . . 6 o . y I - . v . r . I . . . D . . 0 . . . a n . ‘ . _ . I . g 1 1 2 ' . - . I t , { . s I . 3 1 . . . . a t . 1 ‘ v i . 3 ! f . I ( J 1 1 . L . s . : 7 r . . { f 4 . . . ( I , ; I . r l o | . I r . . I v . c . _ . I H 1 4 . . . . I . . . . . l _ r b a r p r l _ . . . J . . » T . 1 , . I . . ; . . . b . C V : . f I » . I ' m . . . 1 ! h i . . I i 1 . 1 . . . . _ . [ I . . . . . J u ‘ a . ' I I . , I , ‘ L / . J . . . . k . I . I t . I ' l r V . ) v I , . . i t I . . / I i ' I I . l . ( I . v Y J . ' 1 O I I . a b a c k d r o p f o r e d u c a t i o n a l a c t i v i t i e s . O n e o f t h e m a i n p u r p o s e s o f e d u c a t i o n . a c c o r d i n g t o E d w a r d s a n d M e r c e r , i s t h e r e b y t o d e v e l o p a c o m m o n k n o w l e d g e . C o n t r o l o f C o m m o n K n o w l e d g e T h e c r e a t i o n o f j o i n t u n d e r s t a n d i n g s " t a k e s p l a c e i n t h e c o n t e x t o f a p o w e r r e l a t i o n s h i p b e t w e e n t e a c h e r a n d p u p i l s , w i t h t h e t e a c h e r r e p r e s e n t i n g a n d p r o v i d i n g f o r t h e p u p i l s a n a c c e p t e d w i d e r c u l t u r e o f e d u c a t i o n a l i d e o l o g y . k n o w l e d g e a n d p r a c t i c e " ( p . 1 7 ) . T h e t e a c h e r i s i n a r o l e w h i c h a l l o w s h e r t o c o n t r o l t h e d i s c o u r s e . t o d e t e r m i n e w h a t i s r e l e v a n t t o t a l k a b o u t , a n d t o a c t a s m e d i a t o r o f v a l i d k n o w l e d g e . E d w a r d s a n d M e r c e r c o n t e n d t h a t s t u d e n t s s e e m t o a c c e p t t h i s t o b e t h e t e a c h e r ' s r o l e . a l s o . T h e f a c t t h a t c l a s s r o o m s o p e r a t e o n t h e a s s u m p t i o n o f c o m m o n k n o w l e d g e a n d v a l u e s p r o v i d e s a “ p o w e r f u l m e a n s o f e n c o u r a g i n g p u p i l s t o a d o p t t h e m w i t h o u t q u e s t i o n ” ( p . 7 5 ) . T h e y d e l i n e a t e , m o r e s p e c i fi c a l l y . c l a s s r o o m c o m m u n i c a t i o n b a s e d o n t h e e x t e n t t o w h i c h t h e t e a c h e r c o n t r o l s t h e “ n a t u r e . c o n t e n t a n d c o d i n g o f k n o w l e d g e " ( p . I 3 0 ) . T h e ' - I 0 7 f e a t u r e s o f c l a s s r o o m d i s c o u r s e t h e y i n c l u d e : I . E l i c i t a t i o n i a n d n o n - e l i c i t a t i o m o f p u p i l s ' c o n t r i b u t i o n s . E v e n t h o u g h s t u d e n t s s o m e t i m e s o f f e r e d i m p r o m p t u c o n t r i b u t i o n s . t h e y w e r e s t i l l n o t d e v o i d o f t e a c h e r c o n t r o l — “ t h e t e a c h e r s e t t h e a g e n d a . d e fi n e d t h e t o p i c o f d i s c u s s i o n , a n d e s t a b l i s h e d i n a d v a n c e t h e c r i t e r i a o f r e l e v a n c e a n d a p p r o p r i a t e n e s s o f a n y c o n t r i b u t i o n s t h e p u p i l s m i g h t o f f e r " ( p . 1 3 ] ) . ' S p o n t a n e o u s ‘ c o n t r i b u t i o n s w e r e o n e s i n w h i c h s t u d e n t s o f f e r e d i n f o r m a t i o n t h a t h a d n o t b e e n p r e v i o u s l y t a u g h t w i t h o u t b e i n g c a l l e d o n b y t h e t e a c h e r . M o s t c o n t r i b u t i o n s . h o w e v e r . f e l l i n t o t h e ‘ e l i c i t e d ‘ c a t e g o r y a n d f o l l o w e d t h e f a m i l i a r i n i t i a t e - r e s p o n d - f e e d b a c k ( I - R - F ) f o r m a t s . I n t h i s s t r u c t u r e . s t u d e n t c o n t r i b u t i o n s w e r e c o n s t r a i n e d b y t h e t e a c h e r ’ s q u e s t i o n s w h i c h : 2 7 . I . . - o . . v ; ( f i l i l f . . . ( . . 1 . 1 . . . . ‘ 4 4 . I . . . . . 1 ] T . . . . . . . . I . . r I . f n . . . V I ‘ 0 . $ 7 . , 5 . 1 ! . 1 : . 1 » D $ . . / . . l . » . y I . . . r t r v . . . ) t i f . . . . . _ . _ V i . . . r : r . r . ( l l I . » I I I I . I . I . ' ' ' ' 1 . l l l . \ o u ‘ ' - a r . . . . i i . I . . . . i . _ . . I . . ; v . I s u l l y . . . . p . _ l i t / w 1 . 1 I a } ‘ 1 . . i . . . . r r : . u » I . . J 1 . 1 , . . v 1 ’ : . I . m h u . _ . . I . . . 1 . v . ( T f . . ( r h . 1 “ . A I . ’ 1 “ ! A l p — I V . . T . . f . W \ . / I . 1 ; ‘ 1 ' . o r . 7 w . i t . . . . . L . . A n . I . » : 1 . 1 . h v 1 . . . ! - r ! . . H ’ I , r p r u / I : r / . . o n , > r A I L . . . . 1 . ; ( t n n b ' v 0 " . ( . . U . 1 . ( » a F I v . . o . ' 1 . ’ . . 1 ' r ‘ ( 1 . ” . s z a . . l f . > » ( . d l . I . r . . . A . I ; : 1 . . o r r 5 . . . . I " . ' ( A a . . n . : y ‘ 1 ' ; f l i t ; . . ( r . - V 1 . . p . ) b f u n c t i o n [ e d ] a s d i s c u r s i v e d e v i c e s t h r o u g h w h i c h t h e t e a c h e r i s a b l e t o k e e p a c o n t i n u a l c h e c k o n p u p i l s ‘ u n d e r s t a n d i n g s . t o e n s u r e t h a t v a r i o u s c o n c e p t s . i n f o r m a t i o n o r t e r m s o f r e f e r e n c e a r e j o i n t l y u n d e r s t o o d . s o t h a t s u b s e q u e n t d i s c o u r s e m a y b e p r e d i c a t e d o n a d e v e l o p i n g c o n t i n u i t y a n d c o n t e x t o f i n t e r s u b j e c t i v i t y [ . . . t h e y ] a l s o f u n c t i o n [ e d ] i n d e fi n i n g a n d c o n t r o l l i n g w h a t t h a t k n o w l e d g e a n d u n d e r s t a n d i n g w i l l b e ( p . 1 3 2 ) . 2 . S i g n i fi c a n t m a r k e r ; e g . s p e c i a l e n u n c i a t i o n . f o r m u l a i c p h r a s e s . i g n o r i n g p u p i l s ’ c o n t r i b u t i o n s , J o i n t - k n o w l e d g e m a r k e r s . e g . s i m u l t a n e o u s s p e e c h . ‘ r o v a l ‘ p l u r a l s . r e p e a t e d d i s c o u r s e 7 7 f o r m a t s , T e a c h e r s s o m e t i m e s u s e d i s c u r s i v e d e v i c e s t o n o t e t h e i m p o r t a n c e o f w h a t i s b e i n g s a i d . T h e s e d e v i c e s i n c l u d e s u c h t h i n g s a s s p e c i a l e n u n c i a t i o n . t h e u s e o f f o r m u l a i c p h r a s e s , s h i f t s i n i n t o n a t i o n . e t c . S o m e o f t h e s e s e e m e d t o f u n c t i o n a s h i g h l i g h t i n g i m p o r t a n t i n f o r m a t i o n ( m a r k i n g l e s s i m p o r t a n t i n f o r m a t i o n a s ' a s i d e s ‘ ) . m a r k i n g q u e s t i o n s ( a s i n u s e o f r i s i n g i n t o n a t i o n ) o r c o n fi r m a t i o n o f a n s w e r s ( f a l l i n g i n t o n a t i o n ) . a n d d e n o t i n g b o u n d a r i e s o f p e d a g o g i c s i g n i fi c a n c e ( c h a n g e s i n r a t e a n d l o u d n e s s o f s p e e c h ) . I n o n e e x a m p l e g i v e n , t h e i m p o r t a n t c u r r i c u l u m - o r i e n t e d c o n t e n t w a s s t r e s s e d w i t h c a r e f u l . c l e a r e n u n c i a t i o n . w h i l e ‘ a s i d e s ‘ w e r e m a r k e d b y a d r o p i n v o l u m e a n d a s u d d e n i n c r e a s e i n t h e r a t e o f s p e e c h ( p . 1 3 7 ) . F o r m u l a i c p h r a s e s a c t e d a s n o t e w o r t h y g u i d e l i n e s t h r o u g h w h i c h c e r t a i n o b s e r v a t i o n s a n d c o n c l u s i o n s w e r e g i v e n d i s t i n c t i o n . w e r e r e p e a t e d . a n d w e r e i n s t i t u t e d a s e x p r e s s i o n s o f u n d e r s t a n d i n g . T y p i c a l l y . t h e y a r o s e d u r i n g t e a c h e r - p u p i l d i a l o g u e ( s o m e t i m e s o f f e r e d b y s t u d e n t s ) a n d w e r e t a k e n u p a n d e n c o u r a g e d b y t h e t e a c h e r a s c o r r e c t a n d a p p r o p r i a t e . T h e p e d a g o g i c f u n c t i o n t h e s e s e e m e d t o s e r v e w a s a s “ j o i n t l y u n d e r s t o o d e n c a p s u l a t i o n s o f t h e s i g n i fi c a n t e m p i r i c a l fi n d i n g s t h a t t h e p u p i l s h a v e b e e n g u i d e d t o d i s c o v e r ” ( p . 1 4 1 ) . T h e s e p h r a s e s e m b o d y t h e e s s e n t i a l e q u i v a l e n c e o f t h e r e s u l t s d e r i v e d f r o m c l a s s r o o m a c t i v i t y a n d m a r k e d t h e s t a t u s o f c e r t a i n u n d e r s t a n d i n g s a s 2 8 . 1 4 c ; . i t 1 . . . 1 . 1 . ] . G r . . . . . I r s n . 4 . . - . . L o » . . . . . . . u I . L » L . 3 » . J . . . z . . . . . . . . . . t r . . r ( . . I n r . . C O . . 1 . 1 . ; I J / . G a b . J I I . ‘ ( . t . l l l . . . | . . . ' . . . - . o o t l J . . . I » , 1 . ' 1 2 ! . 1 : L ! . . . . . r D r u - o . _ . 3 1 3 1 - ' I I I ' L ' . y . . l I fi l l . 4 : r w . 1 ' 1 > I . . Y I . Y I . » a ( . r ’ l I . I . . L . . . . . . . ‘ I > . t » > t . I . ‘ L r . o . I n f . 4 . . Y . ' l ‘ r a . . a . I n . . 0 I t . . I I ‘ I » I I t , - r I ! I ! J N o I f ; ‘ i f I t ! ” { O r - D . ' 0 I . r . i v . a ‘ - U . V . . 1 . b 4 % ! . I r ’ . . v . . I . . . ’ . . . . I . A . I I l ‘ " i . . . ‘ l . f l u x I . I I I I p t . I f 0 I . c i . . I I I . . I . ‘ / . I i . . ' ' l . I . i ' l I . I . ‘ 1 - I ' l ‘ I . ' I r . " c o m m o n k n o w l e d g e . ” T h e s e w e r e m a r k e d o f t e n b y t h e i r r e p e a t e d u s e t o g e t h e r w i t h o t h e r d e v i c e s , e . g . s i m u l t a n e o u s s p e e c h , t h e t e a c h e r ’ s u s e o f “ w e " ( i m p l y i n g j o i n t u n d e r s t a n d i n g o r n o d i f f e r e n c e b e t w e e n t h e t e a c h e r ' s v e r s i o n a n d t h o s e o f t h e s t u d e n t s ) . A n o t h e r o v e r t m a r k e r o f c o m m o n k n o w l e d g e w a s s p e e c h i n u n i s o n : a r e h e a r s a l o f c o m m o n u n d e r s t a n d i n g w a s p e r f o r m e d t h r o u g h s i m u l t a n e o u s e n u n c i a t i o n o f c o m m o n l a n g u a g e . P e o p l e g a v e v o i c e t o t h e s a m e w o r d s o r m e a n i n g s ( n o t j u s t s p e a k i n g a t t h e s a m e t i m e , a s i n o v e r l a p p i n g s p e e c h ) . T h i s t y p i c a l l y o c c u r r e d “ a t e x a c t l y t h o s e p o i n t s w h e r e i m p o r t a n t i s s u e s o f j o i n t u n d e r s t a n d i n g w e r e a t s t a k e ; w h e r e t h e t e a c h e r w a s a t p a i n s t o e n s u r e [ . . . ] t h a t h e r o w n i n t e r p r e t a t i o n s [ . . . ] s h o u l d p r e v a i l ( p p . 1 4 0 - 1 4 1 ) . 4 . C u e d e l i c i t a t i o n o f p u p i l s ' c o n t r i b u t i o n s . T h i s w a s c h a r a c t e r i z e d b y l - R - E t y p e s o f d i s c o u r s e i n w h i c h t h e t e a c h e r o f f e r e d h e a v y c l u e s t o t h e s t u d e n t s a b o u t t h e i n f o r m a t i o n t h a t w a s r e q u i r e d . I t m a y b e a c c o m p l i s h e d b y t h e w o r d i n g o f a q u e s t i o n . b u t w a s o f t e n a c h i e v e d i n s o m e o t h e r w a y — — “ i n t o n a t i o n . p a u s i n g , g e s t u r e s o r p h y s i c a l d e m o n s t r a t i o n s " ( p . 1 4 2 ) . T h e " b e s t i n t e r p r e t a t i o n " E d w a r d s a n d M e r c e r o f f e r f o r t h e p e d a g o g i c a l f u n c t i o n o f c u e d e l i c i t a t i o n i s t h a t i t “ e m b o d i e s a n e d u c a t i o n a l p r o c e s s i n w h i c h t h e p u p i l s a r e n e i t h e r b e i n g d r a w n o u t o f t h e m s e l v e s [ . . . . ] n o r b e i n g t a u g h t d i r e c t l y i n t h e ‘ t r a n s m i s s i o n ‘ s e n s e " ( p . 1 4 3 ) . I n s t e a d , i t a p p e a r e d t h a t s t u d e n t s w e r e i n c u l c a t e d i n t o w h a t b e c a m e a s h a r e d d i s c o u r s e w i t h t h e t e a c h e r . S t u d e n t s w e r e a c t i v e l y c u e d t o “ c r e a t e " t h e s h a r e d k n o w l e d g e . i n s t e a d o f s i t t i n g a n d l i s t e n i n g t o t h e t e a c h e r t a l k . I n t h i s w a y . i t s e e m e d t o f i t n i c e l y i n t o t h e p r o c e s s d e fi n e d b y V y g o t s k y ' s z o n e o f p r o x i m a l d e v e l o p m e n t . " i n w h i c h p u p i l s ‘ k n o w l e d g e i s a i d e d a n d s c a f f o l d e d b y t h e t e a c h e r ’ s q u e s t i o n s . c l u e s a n d p r o m p t s t o a c h i e v e a d d i t i o n a l i n s i g h t t h a t p u p i l s b y t h e m s e l v e s s e e m e d i n c a p a b l e o f “ ( p . 1 4 3 ) . T h i s 1 0 9 s e e m e d t o c o n s t i t u t e a s o l u t i o n t o t h e ' t e a c h e r ‘ s d i l e m m a . E d w a r d s a n d M e r c e r p o i n t 2 9 o u t t h a t t h e d a n g e r o f c u e d e l i c i t a t i o n i s t h a t “ i t c a n g i v e a f a l s e i m p r e s s i o n o f t h e e x t e n t t o w h i c h p u p i l s u n d e r s t a n d , a n d a r e u l t i m a t e l y r e s p o n s i b l e f o r . w h a t t h e y a r e s a y i n g a n d d o i n g ” ( p . 1 4 3 ) , w h i c h i n t u r n c a n l e a d t o p r o c e d u r a l , r i t u a l u n d e r s t a n d i n g s . 5 . P a r a p h r a s t i c i n t e r p r e t a t i o n s o f p u p i l s ’ c o n t r i b u t i o n s , 6 . R e c o n s t r u c t i v e r e c a p s . a n d 7 . I m p l i c i t a n d p r e s u p p o s e d k n o w l e d g e ( p . 1 3 1 ) . T h e s e t h r e e d i s c u r s i v e d e v i c e s w e r e d e s c r i b e d a s w a y s t h e t e a c h e r m a i n t a i n e d t i g h t c o n t r o l o v e r t h e c o n t e n t o f t h e c o m m o n k n o w l e d g e . W h e n p a r a p h r a s i n g w h a t s t u d e n t s s a i d a n d l a t e r r e c a p p i n g e v e n t s , t h e t e a c h e r w a s a b l e t o r e d e f i n e t h i n g s a s “ a l t o g e t h e r , n e a t e r , n i c e r , a n d c l o s e r t o t h e l e s s o n p l a n " ( p . 1 4 6 ) . S i m i l a r l y , a s s u m i n g c e r t a i n t h i n g s a s “ k n o w n ” o r “ u n d e r s t o o d ” a l l o w e d t h e t e a c h e r t o h i n d e r d i s a g r e e m e n t a n d d i r e c t t h e d i s c o u r s e a n d i n t e r p r e t a t i o n i n t h e w a y m o s t p r o d u c t i v e t o t h e g o a l s o f t h e l e s s o n . T h e s e r e c o n s t r u c t i v e p a r a p h r a s e s p l a y e d a n o t h e r f u n c t i o n i n t h e " f e e d b a c k ’ s t a g e o f t h e I - R - E s e q u e n c e ; “ t h e y p r o v i d e a n o p p o r t u n i t y f o r t h e t e a c h e r n o t o n l y t o c o n f i r m w h a t t h e p u p i l s s a y , b u t t o r e c a s t i t i n a m o r e a c c e p t a b l e f o r m , m o r e e x p l i c i t p e r h a p s . o r s i m p l y c o u c h e d i n a p r e f e r r e d t e r m i n o l o g y “ ( p p . 1 4 6 - 1 4 7 ) . W h a t r e a l l y m a t t e r s d u r i n g a c t i v i t y i s t h e i n t e r p r e t a t i o n o f w h a t i s b e i n g d o n e ; t h e w o r d s t h a t d e fi n e a n d d e c l a r e t h e e x p e r i e n c e a n d t h e p r i n c i p l e s t h a t a r e s u m m a r i z e d i n t h e w o r d s a r e c l e a r l y i m p o r t a n t t o i n t e r p r e t i n g e v e n t s . T y p i c a l l y t e a c h e r s d o t h i s t h r o u g h r e c o n s t r u c t i v e r e c a p p i n g . W h e n p r o v i d i n g t h o s e w o r d s . t h e t e a c h e r s o m e t i m e s e l i m i n a t e s s o m e a n d c h o o s e s o t h e r s f r o m t h e c o m m o n v o c a b u l a r y , m a n a g i n g t h e d i s c u r s i v e p r o c e s s i n w h i c h c e r t a i n d e s c r i p t i o n s a n d v e r s i o n s o f e v e n t s a r e g i v e n a s t h e f o u n d a t i o n o f j o i n t u n d e r s t a n d i n g . . . 2 ‘ . 4 1 4 , . . I ) . L . . « , . I l p . . r . . I I . ‘ . ‘ . . . . 1 n . i . \ 1 4 . 1 . . a . . . v . . ‘ c l . . l ( a . l i f t . J ; a d o : ‘ . . r u b l a . . v . . . : F . _ _ . . J ! . 1 I v ~ . . I e / . . ( a i v i i . ) 4 7 . . . ’ l . “ . J u V . ( I n . . a . ( I _ . 4 . . u . l ' , ‘ I I d . 1 1 . 1 . 1 i n ) ! a I v a r : . . . _ J , ' L r l t . V G ! ) A : I I I ( . b ' . l a v l v l l l . . r “ 1 . . u . m I I . d ’ i . : p : _ . J / Y - . . r b 4 f . I . I fi t ' . P p , n T I P . ' 1 . . B y i m p o s i n g h e r o w n w a y o f i n t e r p r e t i n g a c t i v i t y . t h e t e a c h e r m a y u s e i m p l i c a t i o n a n d p r e s u p p o s i t i o n i n p o w e r f u l l y p e r s u a s i v e w a y s . B y p r e s u m i n g a p a r t i c u l a r v e r s i o n a s c o r r e c t , b y n o t o f f e r i n g i t a s o p e n t o s c r u t i n y . s h e w a s a b l e t o d i r e c t s t u d e n t t h i n k i n g . T h e u s e o f p r e s u p p o s i t i o n a l i m p l i c a t i o n i n e d u c a t i o n a l c o n t e x t s : [ . . . ] s e r v e s t o i n t r o d u c e c e r t a i n i t e m s o f k n o w l e d g e a n d a s s u m p t i o n a s t h i n g s t o b e a c c e p t e d w i t h o u t q u e s t i o n . a s u n d e r s t o o d b u t n o t o n t h e a g e n d a f o r d i s c u s s i o n o r d i s a g r e e m e n t , a n d . i n a m o r e g e n e r a l s e n s e , i s t h e r e f o r e a v a i l a b l e t o t h e t e a c h e r a s a n i n s t r u m e n t o f c o n t r o l o v e r w h a t i s k n o w n a n d u n d e r s t o o d ( p . 1 5 2 ) . A g e n e r a l fi n d i n g t h a t E d w a r d s a n d M e r c e r w e r e s u r p r i s e d b y t h e e x t e n t t o w h i c h t h e t e a c h e r s c o n t r o l l e d t h e c o m m o n k n o w l e d g e i n t h e c l a s s r o o m . T h e s e t e a c h e r s a p p e a r e d t o b e p r o g r e s s i v e a n d f a c i l i t a t i v e o n t h e s u r f a c e . H o w e v e r . o n c l o s e r e x a m i n a t i o n . t h e e x t e n t o f t e a c h e r c o n t r o l b e c a m e m o r e a p p a r e n t — “ t h e f r e e d o m o f p u p i l s t o i n t r o d u c e t h e i r o w n i d e a s w a s l a r g e l y i l l u s o r y ; t h e t e a c h e r r e t a i n e d s t r i c t c o n t r o l o v e r w h a t w a s s a i d a n d d o n e , w h a t d e c i s i o n s w e r e r e a c h e d . a n d w h a t i n t e r p r e t a t i o n s w e r e p u t u p o n e x p e r i e n c e ” ( p . 1 5 6 ) . T h e s e c a t e g o r i e s a r e u s e d t o a r g u e t h a t t h e t e a c h e r ‘ s c o n t r o l o v e r h o w k n o w l e d g e i s e x p r e s s e d o f t e n c r e a t e d a s “ p r o c e d u r a l ” r a t h e r t h a n ‘ p r i n c i p l e d ' " s t u d e n t u n d e r s t a n d i n g s - - [ s t u d e n t s ] f r e q u e n t l y r e m a i n e m b e d d e d i n r i t u a l s a n d p r o c e d u r e s . h a v i n g f a i l e d t o g r a s p t h e o v e r a l l p u r p o s e o f w h a t t h e y h a v e d o n e [ . . . ] s a y i n g a n d d o i n g w h a t s e e m s t o b e r e q u i r e d , r a t h e r t h a n w o r k i n g o u t a p r i n c i p l e d u n d e r s t a n d i n g o f h o w a n d w h y c e r t a i n a c t i o n s , e x p r e s s i o n s a n d p r o c e d u r e s a r e a p p r o p r i a t e o r c o r r e c t ( p . 1 3 0 ) . T h e y b e l i e v e t h a t t h i s c o n t r i b u t e s t o t h e i n e f f e c t i v e n e s s o f e d u c a t i o n ; t h a t t h e r e i s n o fi n a l h a n d o v e r o f k n o w l e d g e a n d c o n t r o l t o t h e s t u d e n t s . : : Z r . l r t . . 5 5 C . E 1 L . 4 F 1 : ; . . r 1 . ~ . . . . . 7 1 5 3 . . . ‘ ‘ v - u ; . h . I . . ¢ . ~ V . I . 0 . : ( V I I c l . l r : l U . . . 1 . 1 . . . ! . J L . . . . . r . . . ‘ > r p r . _ . . . . . . L z . F . l ( . ( / I : . r 0 : . n . I . . . a . . u } : . 1 5 " . f ’ l " . . . y r . . ' » . I A . . . u . . . . 1 0 . . . ) . 9 7 5 . . I n . y f . _ . : . . h : . f . . . v b . 1 - L L l . . . I - w 0 . : 7 . c I t . . i . . . ; 1 . < J c f f l - I p p ' L i n k t o M y S t u d y T h e l i t e r a t u r e I h a v e p r e s e n t e d h e r e w i l l a p p e a r t h r o u g h o u t m a n y o f t h e c h a p t e r s . “ C o m m o n k n o w l e d g e ” i s a n o t i o n t h a t i s p r e v a l e n t i n t h e u p c o m i n g t e x t u a l a n a l y s i s a n d i n t h e c a s e s t u d i e s . I n a d d i t i o n , e a c h t e a c h e r c o n t r o l l e d t h e c o m m o n k n o w l e d g e i n t h e t w o c l a s s r o o m s . T h e s e m e t h o d s o f c o n t r o l a r e i d e n t i fi e d t h r o u g h o u t t h e e x a m p l e s i n t h e t w o c a s e s t u d i e s , u s i n g E d w a r d s a n d M e r c e r ‘ s t e r m i n o l o g y . I n t h e c a s e s t u d i e s . I a l s o m a k e c l a i m s a b o u t t h e n o r m s t h a t a r e c a r r i e d b y a n d e m b e d d e d i n t h e t e a c h e r - t a l k . I u s e s o c i a l a n d s o c i o m a t h e m a t i c a l n o r m s t o d i s t i n g u i s h w i t h w h o m o r w h a t e a c h n o r m i s a s s o c i a t e d : t h e t e a c h e r / t e a c h i n g , t h e s t u d e n t s o r t h e m a t h e m a t i c a l c o n t e n t . I p r e s e n t t h e s e i d e a s a t t h e o u t s e t b e c a u s e t h e y a r e s o p e r v a s i v e . O t h e r l i t e r a t u r e a n d t o o l s / c o n c e p t s o f d i s c o u r s e a n a l y s i s w i l l b e i n c l u d e d a t r e l e v a n t p o i n t s i n t h e c h a p t e r s t h a t f o l l o w . 1 I o n l y m a k e r e f e r e n c e t o a f e w m a i n i d e a s i n t h i s c h a p t e r . M a n y o t h e r r e l e v a n t c o n c e p t s a n d r e f e r e n c e s w i l l b e i n t r o d u c e d a n d d e fi n e d t h r o u g h o u t m y d i s s e r t a t i o n i n a n a t t e m p t t o m a k e t h e t e x t m o r e c o n t i n u o u s a n d c o h e r e n t f o r t h e r e a d e r . 2 T h i s i s d e fi n e d a s “ c a s e s i n w h i c h o n e i l l o c u t i o n a r y a c t i s p e r f o r m e d b y w a y o f p e r f o r m i n g a n o t h e r ( S e a fl e , 1 9 7 5 , p . 6 0 ) 3 M i s h l e r f o c u s e d o n fi r s t g r a d e c l a s s r o o m s a n d n o t o n l y m a d e c l a i m s a b o u t n o r m s c a r r i e d i n t h e l a n g u a g e . b u t a l s o a b o u t c o g n i t i v e s t r a t e g i e s t h a t w e r e v a l u e d . 4 A l t h o u g h t h e w o r d “ c h o i c e ” i m p l i e s a n e x p l i c i t l e v e l o f c o n s c i o u s n e s s . 1 a m n o t s u g g e s t i n g t h a t t h e t e a c h e r s w e r e a l w a y s a w a r e o f t h e d e c i s i o n s t h e y w e r e m a k i n g . I n f a c t . i n t h e i n t e r v i e w s i t w a s q u i t e a p p a r e n t t h a t n e i t h e r t e a c h e r w a s a w a r e o f t h e r e p e a t e d l a n g u a g e p a t t e r n s 1 b r o u g h t t o t h e i r a t t e n t i o n w h e n I a s k e d t h e m a b o u t p a r t i c u l a r e x a m p l e s f r o m t h e c l a s s r o o m t r a n s c r i p t s . 5 E d w a r d s a n d M e r c e r r e c o g n i z e t h a t s o m e p e o p l e c o n s i d e r t h i s a l e s s r i g o r o u s a n d o b j e c t i v e w a y o f a t t e n d i n g t o d i s c o u r s e : h o w e v e r . t h e y c o n t e n d t h a t i t i s i m p e r a t i v e t o a n s w e r i n g t h e q u e s t i o n s t h e y a r e p u r s u i n g . 6 1 w o u l d l i k e t o r e m i n d t h e r e a d e r t h a t l h a v e s p e n t 2 . 5 y e a r s w o r k i n g w i t h t h e t e a c h e r s i n t h e s e c l a s s r o o m s a n d p r i o r t o t h i s a n a l y s i s s p e n t 3 - 5 d a y s e v e r y w e e k i n t h e c l a s s r o o m s w i t h t h e s t u d e n t s ( f o r t h e e n t i r e s c h o o l y e a r ) . 7 T h e m a g n i t u d e o f t e a c h e r c o n t r o l i n c r e a s e s a s o n e d e s c e n d s t h e l i s t . a l t h o u g h E d w a r d s a n d M e r c e r s t a t e t h a t t h e l i s t i s n o t c o m p r e h e n s i v e a n d p r e c l u d e s a n e x a c t n o t i o n o f h i e r a r c h y o r o r d e r . 3 T h i s i s e s s e n t i a l l y t h e s a m e a s t h e i n i t i a t e - r e s p o n d - e v a l u a t e ( l - R - E ) s e q u e n c e t o w h i c h C a z d e n ( 1 9 8 7 ) r e f e r s . I w i l l u s e l - R - E t h r o u g h o u t t h i s d o c u m e n t t o r e f e r t o t h i s s e q u e n c e a n d w i l l n o t d i s t i n g u i s h b e t w e e n t h e f e e d b a c k a s b e i n g a n e v a l u a t i o n o r n o t . 9 F o l l o w i n g E d w a r d s a n d M e r c e r ’ s f o m i a t , I w i l l t r e a t t h e a b o v e t w o c a t e g o r i e s t o g e t h e r i n m y e x p l a n a t i o n : t h i s w i l l a l s o b e t h e c a s e w i t h t h e l a s t t h r e e ( p a r a p h r a s t i c i n t e r p r e t a t i o n s . r e c o n s t r u c t i v e r e c a p s . a n d i m p l i c i t a n d p r e s u p p o s e d k n o w l e d g e ) . ' 0 E d w a r d s a n d M e r c e r d e fi n e t h i s a s t h e s t u d e n t s n e e d i n g t o g e n e r a t e t h e i r o w n u n d e r s t a n d i n g s o f t h i n g s t h a t h a v e b e e n p r e d e t e r m i n e d b y t h e t e a c h e r o r c u r r i c u l u m — ~ s p e c i f t c a c t i v i t i e s t h a t w e r e p l a n n e d a t t h e o u t s e t . ” E d w a r d s a n d M e r c e r p o i n t o u t t h a t c o m m o n k n o w l e d g e c a n b e p r o b l e m a t i c i f s t u d e n t s a r e e n g a g i n g i n r i t u a l k n o w l e d g e . T h e y d e fi n e r i t u a l k n o w l e d g e a s " a p a r t i c u l a r s o r t o f p r o c e d u r a l k n o w l e d g e . k n o w i n g h o w t o d o s o m e t h i n g ” ( p . 9 7 ) . T h e y m a k e a d i s t i n c t i o n b e t w e e n r i t u a l a n d p r i n c i p l e d k n o w l e d g e . w h i l e c l a i m i n g t h a t e a c h h a s i t s p l a c e . F o r e x a m p l e , i t w o u l d b e g r o s s l y i n e f f i c i e n t t o a l w a y s r e t u r n t o f i r s t p r i n c i p l e s i n s o l v i n g p r o b l e m s . R i t u a l k n o w l e d g e p r o d u c e s f a s t a n s w e r s . l e n d i n g i t s e l f a s a g r e a t a i d t o m e m o r y . P r i n c i p l e d k n o w l e d g e i s “ e s s e n t i a l l y e x p l a n a t o r y , o r i e n t e d t o w a r d s a n u n d e r s t a n d i n g o f h o w p r o c e d u r e s a n d p r o c e s s e s w o r k , o f w h y c e r t a i n c o n c l u s i o n s a r e v a l i d . r a t h e r t h a n b e i n g a r b i t r a r y t h i n g s t o s a y b e c a u s e t h e y s e e m t o p l e a s e t h e t e a c h e r ” ( p . 9 7 ) . P e r f o r m a n c e b e c o m e s r i t u a l w h e n t h e c o n d i t i o n s o f k n o w i n g w h a t i s a p p r o p r i a t e o r w h e n o n e m e t h o d m i g h t b e a p p r o p r i a t e o v e r a n o t h e r a r e n ‘ t m e t a n d t h e r e i s n o p r i n c i p l e d u n d e r s t a n d i n g t o f a l l b a c k o n . I h a v e t h o u g h t a b o u t t h e c o m m o n k n o w l e d g e i n t h e s e c l a s s r o o m s i n t e r m s o f i t b e i n g r i t u a l v s . p r i n c i p l e d . I t s e e m s t o m e t h a t b o t h o f t h e s e f o r m s o f k n o w i n g a r e v a l u e d a n d a r e p a r t o f t h e c l a s s r o o m d i s c o u r s e , b u t t h e d a t a t h a t I h a v e c o l l e c t e d d o e s n o t i l l u m i n a t e w h i c h i s p r o m i n e n t i n t e r m s o f t h e t e a c h e r ’ s g o a l s f o r e a c h l e s s o n ( a s E d w a r d s a n d M e r c e r u s e d t e a c h e r i n t e r v i e w s t o d e t e r m i n e s o m e o f t h e g o a l s o f e a c h l e s s o n a n d u s e d t h i s t o c l a r i f y w h i c h f o r m o f k n o w l e d g e w a s b e i n g f o c u s e d o n ) . T h e y a l s o u s e d t h e c l a s s r o o m d i s c u s s i o n t o g e n e r a t e f u r t h e r e x a m p l e s o f g o a l s a n d s t u d e n t i n t e r v i e w s t o m a k e c l a i m s a b o u t s t u d e n t u n d e r s t a n d i n g s . 1 d o h a v e m u c h o f t h i s d a t a a n d w i l l a r g u e i n C h a p t e r 8 t h a t t h e r e a r e d i f f e r e n c e s i n h o w s t u d e n t s i n e a c h c l a s s r o o m e n g a g e w i t h m a t h e m a t i c a l c o n t e n t : h o w e v e r , a m o r e d e t a i l e d a n a l y s i s o f s t u d e n t u n d e r s t a n d i n g s a r e p a r t o f m y r e s e a r c h a g e n d a a n d w i l l n o t b e a d d r e s s e d i n t h i s d i s s e r t a t i o n . 0 0 D J a 2 . . . . fi . . T r t . ‘ l . o l . l o 1 . . . 4 . ( . 6 . 1 . . . I ‘ . , u ‘ o 1 ! . : r , . I t . . 1 . ’ . n o . . l o . . w v / . 5 , : . : T . . ( I ' . ’ ( . l I 4 - V 1 . 3 . 4 i . I I . . 4 . 7 . 1 A . ) I . . . . I ‘ . . f : ( I . . 0 4 . 6 . . . “ 1 1 H . £ 0 1 . 3 5 » ! w . . L ‘ u , h I ‘ * " — J i A . 1 . - . y i a . r . F l i r t . p » . ( 1 . . J o ‘ r . . I I I » ! : E . l ‘ p ' o k ’ g I ’ I f . v . 1 . . . . I L J . . . r . . : . ( . . ' . . . . v V . . - l i 5 7 J a n e . . - ( I . . 0 ! ' 7 . ’ - / . l . . ( o y . . . _ . 1 h o I . 1 o . . ” ' 2 l . . J J D . . . _ 4 ( . f f . H . ” J . . v a c . t n ’ r . I r ] . . . . . _ H I r 5 . . . . v . 1 . . ” I v . . . . . « . v b J A . . r . I 4 . ! . J p n . l a . , ( 1 ‘ A I ! . . Y _ \ u ‘ i , , f . I . H f ! e r . i » C H A P T E R 3 : C A R R Y I N G O U T M Y S T U D Y T h e I n q u i r y I n t h i s c h a p t e r . I d e s c r i b e m y s t u d y b y a t t e n d i n g n o t o n l y t o t h e c o n t e x t o f t h e s t u d y , b u t a l s o t o t h e d a t a c o l l e c t i o n a n d a n a l y s i s p r o c e d u r e s . T h e p r o c e s s 1 d e t a i l a l l o w e d m e t o i n v e s t i g a t e d i f f e r e n c e s I f e l t i n t w o “ r e f o r m - o r i e n t e d ” c l a s s r o o m s . M y i n t e r e s t i n t h i s s t u d y h a s d e v e l o p e d a s a r e s u l t o f m y o w n e x p e r i e n c e s a s a s t u d e n t a n d t e a c h e r o f m a t h e m a t i c s . I a m f a s c i n a t e d b y t h e n e w g e n r e o f c u r r i c u l u m t h a t f o c u s e s o n m a t h e m a t i c s i n c o n t e x t b e c a u s e t h e s e p r o b l e m s e l u d e d m e a s a s t u d e n t o f m a t h e m a t i c s . 1 a m a l s o i n t r i g u e d b y t h e w a y s i n w h i c h t h i s t y p e o f c u r r i c u l u m m a y b e t a u g h t . T h r o u g h d e t a i l e d d i s c o u r s e a n a l y s i s . I h a v e e x p l i c i t l y i d e n t i fi e d t h e n o r m s t h a t w e r e e m b e d d e d i n a n d c a r r i e d b y t h e d i s c o u r s e i n t w o c l a s s r o o m s b y l o c a t i n g t h e t h r e e m o s t p r o m i n e n t d i s c o u r s e p a t t e r n s a n d u s i n g t h e s e t o d e fi n e s o m e o f t h e c l a s s r o o m n o r m s i n t e r m s o f t h e r i g h t s , r o l e s , r e s p o n s i b i l i t i e s a n d e x p e c t a t i o n s t h a t s e e m e d t o b e a t t a c h e d t o t h e s e r e o c c u r r i n g p a t t e r n s . B y d e s c r i b i n g t h e m . I h a v e b e e n a b l e t o l o c a t e s i m i l a r i t i e s i n f u n c t i o n s f o r d i f f e r e n t s u r f a c e f o r m s i n t h e t w o c l a s s r o o m s . T h e s e d i f f e r e n c e s p o i n t t o v a r i a n c e i n l o c u s o f a u t h o r i t y . t e a c h e r p o s i t i o n i n g ( w i t h r e s p e c t t o t h e s t u d e n t s i n t h e c l a s s r o o m ) , a n d w a y s i n w h i c h e a c h t e a c h e r d r a w s f r o m k n o w l e d g e s o u r c e s ( i . e . t h e t e x t b o o k a n d s t u d e n t s ) i n e a c h c l a s s r o o m . G u i d i n g Q u e s t i o n s T h e q u e s t i o n s t h a t g u i d e d t h i s s t u d y i n c l u d e : A . W h a t a r e t h e m o s t p r o m i n e n t d i s c o u r s e p a t t e r n s i n e a c h c l a s s r o o m ? 0 W h a t a r e s o m e o f t h e s o c i a l a n d s o c i o m a t h e m a t i c a l n o r m s e m b e d d e d i n a n d c a r r i e d b y t h e m ? 3 4 . fi m m J 1 3 . [ I . . . I . . . I . ' 5 . _ € 3 . 5 3 . j . l . i l r l l f [ I f a C I . . ! » . r 5 . f 1 . . . . l . c - . . . 9 . . . . . . . . . > . . . . . 2 : 3 3 . 1 1 . . r . L i l . 1 1 5 . . ' v 4 I . . H 1 . U L . » , . . . ‘ 1 n l . _ . 1 . . l . l v " . . p . . . D A . l r p ’ I . 1 . . . r . \ . A I r . . . I ' . I t . I 4 l . z . ' . . { I . v . . f . 1 I . . . . I 4 . O ! u . . I . r 4 0 . ' o W h a t a r e s o m e o f t h e t h i n g s t h a t i n fl u e n c e t h e w a y t h e t e a c h e r s t h i n k a b o u t a n d t h e w a y t h e y w o r k t o e s t a b l i s h a n d m a i n t a i n t h e i r s o c i a l n o r m s a n d s o c i o m a t h e m a t i c a l n o r m s i n t h e i r c l a s s r o o m s ? B . W h a t a r e s o m e o f t h e s i m i l a r i t i e s a n d d i f f e r e n c e s a c r o s s t h e t w o c l a s s r o o m s " ? I n a d d i t i o n t o t h e s e q u e s t i o n s , I c o n s t a n t l y a t t e n d t o t h e s e n s e t h e s t u d e n t s s e e m t o m a k e o f t h e m a t h e m a t i c s i n t h e i n t e r p r e t a t i o n o f t h e c l a s s r o o m t r a n s c r i p t s . W h i l e I h a d i n t e n d e d t o m a k e t h a t a f o c a l p o i n t o f t h e d i s s e r t a t i o n . a c h a n g e o c c u r r e d t h a t d i r e c t e d m y a t t e n t i o n m o r e t o w a r d t h e t e a c h e r s a n d t h e t e a c h i n g . T h i s c h a n g e i n c l u d e d o n e o f t h e t e a c h e r s t a k i n g a n a d m i n i s t r a t i v e p o s i t i o n b e g i n n i n g t h e y e a r I h a d i n t e n d e d t o i n v e s t i g a t e s o m e p r e l i m i n a r y fi n d i n g s f r o m m y e a r l y w o r k i n t h e s e c l a s s r o o m s . T h e s e c h a n g e s w i l l b e d e s c r i b e d i n m o r e d e t a i l l a t e r i n t h i s c h a p t e r . S i t e D e s c r i p t i o n T h e L o c a l C o n t e x t : T h e T o w n . D i s t r i c t . a n d S c h o o l T h i s s t u d y t a k e s p l a c e i n a r u r a l t o w n , P a y s o n . t h a t i s l o c a t e d n e a r a l a r g e u n i v e r s i t y i n t h e m i d w e s t . T h e p o p u l a t i o n o f t h e t o w n i s a p p r o x i m a t e l y 4 0 0 0 p e o p l e . T h e m a j o r i t y o f t h e p o p u l a t i o n i s m i d d l e c l a s s ( b u t n o t a f f l u e n t ) a n d w h i t e . T h e s c h o o l d i s t r i c t c o n s i s t s o f t h r e e e l e m e n t a r y s c h o o l s t h a t f e e d i n t o o n e m i d d l e s c h o o l i n P a y s o n . T h e s t u d e n t s a t t h e m i d d l e s c h o o l a l l a t t e n d t h e s a m e h i g h s c h o o l . T h e d i s t r i c t e n r o l l m e n t i s 2 , 5 1 6 s t u d e n t s . 4 0 0 o f w h i c h a t t e n d t h i s s c h o o l . T h e e t h n i c b r e a k d o w n o f t h e s c h o o l d i s t r i c t i n c l u d e s 9 7 . 7 9 % W h i t e , 1 . 6 3 % H i s p a n i c . 0 . 1 7 % e a c h B l a c k , A s i a n / P a c i fi c I s l a n d e r , a n d O t h e r , a n d 0 . 0 7 % A m e r i c a n I n d i a n / E s k i m o / A l e u t i a n . T h e d i s t r i c t i s a l s o l i s t e d a t 9 . 9 1 % s t u d e n t s i n p o v e r t y . I n 1 9 9 1 t h i s s c h o o l w a s c h o s e n a s o n e o f t h e fi r s t s i t e s ( o u t o f 5 5 d i s t r i c t s / s c h o o l s ) t o p i l o t t h e C M P m a t e r i a l s a s t h e y w e r e b e i n g a u t h o r e d . T h r o u g h o u t t h e p r o c e s s o f . . ( v . 0 . I J T . 5 ” . I . I . . ! r c t / l . 3 , . . . . I J r i t . . a l y v . . : l t z . . . . f 4 . . . ; I : . l l . . - : . J . . . . . . . I r a : n p . , 1 ‘ . . . . J . . . r . . o . . r ' . . . l . - r } . . . . 1 . . I . . 5 £ £ I £ H . A l i ' 3 4 . I 1 7 . 0 o f f i l . . . , I . . ~ I L . i . . 3 . 1 I r , » . I . 9 ' . n ’ ' 1 . ‘ 1 ‘ . r I n . ' 1 : . . . u : 9 4 . . . . I ' . . . V I . ” . . l . e d i t i n g t h e m a t e r i a l s . t h e t e a c h e r s u s e d t h e u n i t s i n t h e c l a s s r o o m a n d o f f e r e d f e e d b a c k t o t h e a u t h o r s a b o u t c h a n g e s t h e y s u g g e s t e d . B e c a u s e o f t h i s i n v o l v e m e n t . t h e t e a c h e r s w h o t e a c h i n t h i s b u i l d i n g a r e n o t o n l y v e r y e x p e r i e n c e d w i t h t h e c u r r i c u l u m . b u t t h e y a r e a l s o v e r y s u p p o r t i v e o f i t a n d t h e a p p r o a c h t o l e a r n i n g m a t h e m a t i c s i t e m b o d i e s . I n s i d e t h e S c h o o l : C l a s s r o o m s . T e a c h e r s ' . a n d S t u d e n t s T w o o f t h e t e a c h e r s i n v o l v e d i n p i l o t i n g t h e C M P m a t e r i a l s w e r e i n v o l v e d i n t h i s s t u d y , J o s h a n d K a r l a . B o t h t a u g h t 8 t h g r a d e m a t h e m a t i c s f o r t h e p a s t t w o y e a r s : J o s h w a s p a r t o f p i l o t i n g t h e 8 ‘ h g r a d e u n i t s a n d t a u g h t t h e m f o r t h e p a s t s i x y e a r s . B e t w e e n t h e t w o t e a c h e r s , t h e y e n c o m p a s s e d t h e e n t i r e 8 t h g r a d e s t u d e n t p o p u l a t i o n . o n e f o r w h i c h t h e r e w a s n o t r a c k e d m a t h e m a t i c s c l a s s e s . I n a d d i t i o n . e a c h t e a c h e r h a d a p a r t i a l t e a c h i n g a s s i g n m e n t a t t h e 7 ‘ h g r a d e l e v e l — i n m a t h f o r J o s h a n d i n s c i e n c e f o r K a r l a . O n e o f e a c h t e a c h e r ’ s c l a s s e s w a s t h e f o c u s o f t h i s s t u d y : J o s h ' s fi r s t h o u r c l a s s a n d K a r l a ’ s s e c o n d h o u r . T h e s e c l a s s r o o m s w e r e c h o s e n b e c a u s e J o s h a n d K a r l a f e l t t h a t t h e y w e r e f a i r l y r e p r e s e n t a t i v e o f t h e 8 t h g r a d e c l a s s a s a w h o l e . A l s o . J o s h a n d K a r l a s h a r e d a p r e p a r a t i o n p e r i o d d u r i n g t h e i r t h i r d h o u r . w h i c h s o m e t i m e s a l l o w e d t h e t h r e e o f u s t o d i s c u s s s c h e d u l i n g ( i . e . w h e n o b s e r v a t i o n s . i n t e r v i e w s . e t c . w o u l d t a k e p l a c e ) a n d t o c a r r y o n c a s u a l c o n v e r s a t i o n s a b o u t c l a s s r o o m e p i s o d e s a n d t h e s t u d e n t s i n t h e c l a s s . T h e s c h e d u l i n g o f c l a s s e s w a s s e t u p o n a q u a r t e r s y s t e m . B e c a u s e t h e r e w a s a s e m e s t e r c a r e e r c o u r s e t h a t w a s r e q u i r e d . t h e c l a s s s c h e d u l e f o r s t u d e n t s c h a n g e d i n J a n u a r y . D u e t o t h i s . t h e r e w e r e d i f f e r e n t p o p u l a t i o n s o f s t u d e n t s i n e a c h c l a s s d u r i n g t h e c o u r s e o f t h e s c h o o l y e a r . T h e n u m b e r o f s t u d e n t s 2 i n e a c h c l a s s a c r o s s t h e y e a r a r e g i v e n i n T a b l e 3 b e l o w . 3 6 2 5 , 5 . . . x , - . . . . - . 1 . ~ 1 1 . I u r f . ( r l . J t l i l . v . : 0 1 0 1 . 5 . ( . l . . f . . . I I . I . u . 1 . I r ! ‘ 1 . . . : 1 ; r e . . t l ‘ l t c . r b . » ( . . l u ‘ fl h f a . ) , . . . 1 . l i l . v 1 . . ‘ v . ( ‘ . . . T a b l e 3 N u m b e r o f S t u d e n t P a r t i c i p a n t s i n E a c h C l a s s r o o m b y S e m e s t e r C l a s s r o o m F a l l s e m e s t e r S p r i n g S e m e s t e r J o s h 1 5 b o y s 1 4 b o y s ( 1 I f r o m F a l l ’ ) 1 2 g i r l s 1 0 g i r l s ( 5 f r o m F a l l ) K a r l a 1 2 b o y s 9 b o y s ( 4 f r o m F a l l ) 6 g i r l s 1 1 g i r l s ( 4 f r o m F a l l ) M a t h e m a t i c a l C o n t e x t : W h a t S t u d e n t s H a v e H a d a n d W h a t T h e y W i l l B e D o i n g T h e 8 ‘ h g r a d e C M P c u r r i c u l u m i s m a d e u p o f e i g h t u n i t s w h i c h m a i n l y f o c u s o n a l g e b r a i c f u n c t i o n s . T h e s c h o o l y e a r b e g i n s w i t h a 7 m g r a d e u n i t . A i m i n g S t r a i g h t A h e a d . T h e c l a s s e s t h e n u s e m a n y o f t h e 8 ‘ h g r a d e u n i t s a n d s t u d y l i n e a r . e x p o n e n t i a l a n d q u a d r a t i c f u n c t i o n s . I n o r d e r t o h e l p t h e r e a d e r m a k e s e n s e o f w h a t t h e c l a s s e s h a v e d o n e ( m a t h e m a t i c a l l y ) a n d w h a t t h e y w e r e d o i n g d u r i n g t h e t i m e t h a t i s t h e f o c u s o f t h i s d i s s e r t a t i o n , I o f f e r a b r i e f d e s c r i p t i o n o f t h e m a t h e m a t i c a l c o n t e x t o f t h e t w o c l a s s r o o m s . T h e P r e v i o u s ( a n d F i r s t ) U n i t : M o v i n g S t r a i g h t A h e a d . A t t h i s p o i n t i n t h e s c h o o l y e a r , s t u d e n t s h a v e c o m p l e t e d t h e C M P u n i t . l l o v i n g S t r a i g h t A h e a d . ( L a p p a n e t a l . , 1 9 9 7 a ) . I n t h a t u n i t . t h e t e a c h e r s a n d s t u d e n t s w o r k e d o n t h e c o n c e p t s o f s l o p e a n d y - i n t e r c e p t i n l i n e a r f u n c t i o n s . T h e y h a v e u s e d t a b l e s . g r a p h s . a n d e q u a t i o n s i n c o n t e x t s t h a t w e r e g i v e n i n t h e t e x t . T h e s e i d e a s b u i l d o n a u n i t s t u d e n t s c o m p l e t e d i n t h e 7 m g r a d e e n t i t l e d V a r i a b l e s a n d P a t t e r n s ( L a p p a n e t a l . . 1 9 9 7 b ) . S o m e o f t h e m a i n p o i n t s g i v e n i n t h e O v e r v i e w i n M o v i n g S t r a i g h t A h e a d a r e a s f o l l o w s : 0 S t u d e n t s m a k e c o n j e c t u r e s a b o u t w h a t r e l a t i o n s h i p i s c h a r a c t e r i s t i c o f s t r a i g h t l i n e s . 0 S t u d e n t s d i s c o v e r t h a t t h e r a t e a t w h i c h y i s c h a n g i n g r e l a t i v e t o x i s t h e c o e f fi c i e n t o f x . 3 7 4 ! . z . . . . r o 3 . . . . . y . . s J . ( . l . I . - p , V 7 . . V I ; ‘ . f . . ~ . ( . v V . r . v i r v “ * 1 . . 7 . . . . r _ 4 . « U ; > ( . o . . r : W . . . ) ( . . ( . 1 m a r ” . 7 2 . h r r a f t s . . I . 4 0 S t u d e n t s l e a r n t o r e c o g n i z e l i n e a r s i t u a t i o n s f r o m c o n t e x t s . t a b l e s . g r a p h s o r e q u a t i o n s . T h e y a l s o s t r e n g t h e n t h e i r u n d e r s t a n d i n g o f t h e c o n n e c t i o n s a m o n g t h e s e r e p r e s e n t a t i o n s . 0 S t u d e n t s e x p l o r e t h e c o n c e p t o f y - i n t e r c e p t i n s e v e r a l c o n t e x t s ( s u c h a s h e a d s t a r t g i v e n t o a p a r t i c i p a n t i n a r a c e o r t h e i n i t i a l c o s t f o r r e n t i n g a n u m b e r o f i t e m s ) . 0 S t u d e n t s i n v e s t i g a t e t h e g e n e r a l f o r m o f a l i n e a r e q u a t i o n . y = r n x + b . T h e y - i n t e r c e p t , b . a n d t h e s l o p e , a t . a r e k e y i d e a s i n d e t e r m i n i n g t h e e q u a t i o n o f a l i n e . 0 S t u d e n t s l e a r n h o w t o d e t e r m i n e t h e s l o p e o f a l i n e g i v e n a n y t w o p o i n t s o n t h e l i n e . T h e y - i n t e r c e p t i s f o u n d b y r e a s o n i n g f r o m t h e r a t e i n a t a b l e o r f r o m a g r a p h . 0 M o r e s o p h i s t i c a t e d m e t h o d s f o r fi n d i n g t h e y - i n t e r c e p t a n d a n e q u a t i o n o f a l i n e a r e d e v e l o p e d i n t h e T h i n k i n g w i t h i l l a t h e m a t i c a l M o d e l s u n i t ( p p . l a - l b . T e a c h e r ' s E d i t i o n ) . T h i s o v e r v i e w i s g i v e n t o d e s c r i b e t h e m a t h e m a t i c a l c o n t e x t o f s t u d e n t s u p t o t h i s p o i n t . S t u d e n t s h a v e b e e n i n t r o d u c e d t o s l o p e . y - i n t e r c e p t a n d l i n e a r i t y . T h e y h a v e e x p l o r e d t h e s e i d e a s u s i n g f o u r r e p r e s e n t a t i o n s : t a b l e s . g r a p h s . e q u a t i o n s a n d r e - o c c u r r i n g c o n t e x t s t h a t t h e c u r r i c u l u m o f f e r s . T h e C u r r e n t U n i t : T h i n k i n g w i t h M a t h e m a t i c a l M o d e l s . I n m o v i n g t o T h i n k i n g w i t h M a t h e m a t i c a l M o d e l s ( L a p p a n e t a l . . 1 9 9 8 c ) s t u d e n t s h a v e p e r f o r m e d e x p e r i m e n t s t o m o d e l v a r i o u s l i n e a r f u n c t i o n s . F r o m t h e p e r s p e c t i v e o f t h e a u t h o r s , t h e f o c u s o f t h i s u n i t i s : [ . . . ] m a t h e m a t i c a l m o d e l s z w h a t t h e y a r e . h o w t h e y a r e c o n s t r u c t e d . a n d w h a t t h e y e n a b l e u s t o d o . [ . . . ] B y c h o o s i n g a p p r o p r i a t e v a r i a b l e s . c o l l e c t i n g a n d g r a p h i n g d a t a , a n d m a n i p u l a t i n g t h e v a r i a b l e s t o s e e h o w r e l a t i o n s h i p s a r e a f f e c t e d . m a t h e m a t i c i a n s c a n p r e d i c t o u t c o m e s . T h e i n v e s t i g a t i o n s i n t h i s u n i t i n t r o d u c e s t u d e n t s t o s e v e r a l k i n d s o f a l g e b r a i c r e l a t i o n s h i p s — i n c l u d i n g l i n e a r r e l a t i o n s h i p s , i n v e r s e r e l a t i o n s h i p s . a n d e x p o n e n t i a l r e l a t i o n s h i p s — u s e d t o m o d e l r e a l - l i f e s i t u a t i o n s . S t u d e n t s a l s o e x p l o r e o t h e r i n t e r e s t i n g r e l a t i o n s h i p s w i t h g r a p h i n g c a l c u l a t o r s [ . . . ] I n t h i s u n i t . t h e y w i l l r e v i e w a n d d e e p e n t h e i r u n d e r s t a n d i n g o f b o t h k i n d s o f l i n e a r ‘ 1 1 e _ . ¢ . L . . . t o . ) I . . . . . . 1 . . . . . . . s o . ‘ l t . \ I I a . e a t - ( T c . t v I . . . 1 a . . . i . . . ~ ‘ I o . . l . a : _ . 1 1 . } ! I . . . . ( I t : . . > . . ( u ! ( L i . . 4 L 1 . 0 . . . I ‘ 1 ! ! - r 1 1 7 . . . v . I 1 v . . . . 3 . . . h i t _ " . . . r . o 1 . . . . l , A . . r f / I r s , I . , . / _ . u I . . _ H . . J . u . . . I I I I . . . . . I . . O . ( . , z r . ( A . . i n f r e l a t i o n s h i p s a n d t h e i r r e p r e s e n t a t i o n i n a l l t h r e e f o r m s : t a b u l a r . g r a p h i c . a n d s y m b o l i c ( p . 1 a , T e a c h e r ’ s E d i t i o n ) . T h i s u n i t e x p l o r e s m o d e l s i n l i n e a r a n d n o n - l i n e a r s i t u a t i o n s . W h e n d o i n g s o . s t u d e n t s s p e n d t i m e b o t h w i t h d a t a t h a t i s g i v e n i n t h e t e x t b o o k a n d w i t h c o l l e c t i n g t h e i r o w n d a t a . T h e d a t a i s o f t e n r e c o r d e d i n a t a b l e a n d s t u d e n t s a r e a s k e d t o g e n e r a t e a " g r a p h m o d e l " f o r t h e d a t a : t h a t i s . t h e y a r e a s k e d t o g e n e r a t e a “ l i n e o f b e s t f i t " t h a t c a n t h e n b e u s e d t o m a k e p r e d i c t i o n s f o r p o i n t s t h a t a r e n o t i n c l u d e d i n t h e d a t a . F o r e x a m p l e . i n t h e fi r s t a n d s e c o n d 4 I n v e s t i g a t i o n s . s t u d e n t s c o l l e c t e d d a t a t o e x a m i n e t h e r e l a t i o n s h i p b e t w e e n t h e s t r e n g t h o f a p a p e r b r i d g e a n d t w o o t h e r v a r i a b l e s t h a t m a y a f f e c t t h e s t r e n g t h - - t h e t h i c k n e s s a n d t h e l e n g t h . r e s p e c t i v e l y . S t u d e n t s c o n s t r u c t p a p e r b r i d g e s o u t o f s t r i p s o f p a p e r a n d p l a c e a n e m p t y c u p i n t h e c e n t e r o f t h e b r i d g e . T h e y t h e n f i l l t h e c u p w i t h p e n n i e s ( t o m e a s u r e t h e b r e a k i n g w e i g h t ) a n d r e c o r d t h e d a t a . A f t e r t h e d a t a h a s b e e n c o l l e c t e d . s t u d e n t s a r e a s k e d t o d e c i d e i f t h e d a t a i s l i n e a r o r n o t b y e x a m i n i n g t a b l e s a n d g r a p h s o f t h e d a t a . T h e y a r e a l s o a s k e d t o d r a w a g r a p h m o d e l a n d t o p r e d i c t w h a t m i g h t h a p p e n a t p o i n t s b e y o n d w h a t t h e y h a d c o l l e c t e d . T h e f o u r I n v e s t i g a t i o n s t h a t m a k e u p T h i n k i n g w i t h M a t h e m a t i c a l i v - l . - I ( ) d t ) l . s ' e x p l o r e d a t a t h a t i s g i v e n a n d c o l l e c t e d t h a t r e s u l t i n l i n e a r . c l o s e t o l i n e a r . a n d n o n - l i n e a r r e l a t i o n s h i p s . I n b e t w e e n I n v e s t i g a t i o n 1 a n d I n v e s t i g a t i o n 2 . s t u d e n t s a r e g i v e n a C h e c k - U p t o a s s e s s w h a t t h e y h a v e l e a r n e d . T h i s C h e c k - U p i s i n c l u d e d i n A p p e n d i x A . D a t a C o l l e c t e d l 9 9 8 - l 9 9 9 S c h o o l Y e a r I c o l l e c t e d d a t a p r i m a r i l y t h r o u g h p a r t i c i p a n t o b s e r v a t i o n a n d i n t e r v i e w i n g . I s o m e t i m e s t o o k p a r t . a s e a c h t e a c h e r d i d , b y m o v i n g a r o u n d t h e c l a s s r o o m . a s k i n g s t u d e n t s q u e s t i o n s a b o u t t h e i r w o r k . r e m i n d i n g t h e m o f d i r e c t i o n s t h a t h a d b e e n g i v e n . . _ . . 1 . . 1 . . 1 . . 1 ) . I ' 5 ‘ : 0 . . . . » . ' y b ' . 1 3 1 . . . ; . 1 , o t l l ' f f L . T u . c . . c . 3 b 4 I A c . z . . . L i l l t i r i f f : a . u l ‘ . I I O . 4 . J 1 1 . v l f , , I . r » . ’ « / . 7 . . . ) - . . 1 ] 1 / . h r f i t . a . . . M y . . . . _ 3 . : i . . J , . J . O . J . v r " I s . r r . I v . . . I C 0 ‘ : a . A - ' - . . ‘ f i f ! , : . r . w . 1 . ( I . _ , 2 ‘ . I n ; . v . ' I . . : N i l . . i t . I I 1 I t ! . 1 . ( I . - . 1 h r ’ 1 . » : ( r a t s . h f 4 u ‘ r : . . f r . 1 . 4 . L I . . . 1 o 1 . . . . . . ’ . 1 t a x ' I ( o r « I . . . ' c l . 1 . 5 1 3 ; . L . p V ; . / " V v 1 4 " : 4 . u 1 ’ 1 9 ‘ a . . . I . ! , . . I I ' A 1 ' a ’ . o — — _ r - . . I u n — R I E W a n d h e l p i n g s t u d e n t s w i t h q u e s t i o n s a b o u t p r o b l e m s t h e y w e r e a s s i g n e d . A t o t h e r t i m e s . I r e m a i n e d a t m y c o m p u t e r a n d v i d e o c a m e r a , t a k i n g f i e l d n o t e s a n d c o l l e c t i n g d a t a . I a l s o e n g a g e d i n c o n v e r s a t i o n s w i t h t h e t e a c h e r s a b o u t s t u d e n t s q u e s t i o n s . t h e c o n t e n t b e i n g s t u d i e d a n d t h e “ l e v e l " s t u d e n t s s e e m e d t o b e a t i n t h e i r u n d e r s t a n d i n g o f t h e c o n t e n t . M a n y o f t h e s e i n t e r a c t i o n s w e r e s u m m a r i z e d a n d d e s c r i b e d i n m y f i e l d n o t e s . O b s e r v a t i o n s P a r t o f t h e d a t a c o l l e c t e d c o n s i s t e d o f t w o y e a r s o f o b s e r v a t i o n s w h e r e d e t a i l e d f i e l d n o t e s w e r e t a k e n i n w h i c h m u c h o f t h e c l a s s r o o m d i s c u s s i o n w a s c a p t u r e d o n a l a p t o p c o m p u t e r a s i t t o o k p l a c e . T h e f i r s t y e a r o f o b s e r v a t i o n s w a s i n c o n j u n c t i o n w i t h a n o t h e r s t u d y a n d w a s u s e d t o g a i n i n s i g h t i n t o t h e c l a s s r o o m i n t e r a c t i o n s a n d s t u d e n t s ‘ a l g e b r a i c u n d e r s t a n d i n g s . Q u e s t i o n s a b o u t t h e c l a s s r o o m e n v i r o n m e n t w e r e f o r m e d d u r i n g t h e s e o b s e r v a t i o n s a n d w e r e u s e d t o g u i d e t h e d i s s e r t a t i o n r e s e a r c h . D u r i n g t h e s e c o n d y e a r o f o b s e r v a t i o n s . t h e a c t u a l d i s s e r t a t i o n d a t a w a s c o l l e c t e d . U s u a l l y w i t h i n 2 4 h o u r s , t h e s e n o t e s w e r e r e - r e a d a n d q u e s t i o n s , c o m m e n t s . s u m m a r i e s . e t c . w e r e t y p e d i n t o t h e n o t e s . A l s o , t h e l a n g u a g e u s e d w h i c h p e r t a i n e d t o f u n c t i o n s w a s c o l o r - c o d e d b a s e d o n t h e c a t e g o r i e s I d e v e l o p e d i n a n e a r l i e r a n a l y t i c m e m o ( s e e A p p e n d i x B ) . I n a d d i t i o n t o t h e fi e l d n o t e s , t w o u n i t s w e r e a u d i o - t a p e d a n d v i d e o t a p e d d u r i n g t h e s e c o n d y e a r o f o b s e r v a t i o n . T h e f i r s t w a s T h i n k i n g w i t h . « l - I a t h e m a t i c a l l l l a c l e l s . t h e s e c o n d u n i t t h e c l a s s e s u s e d . I t c o n s i s t e d o f s i t u a t i o n s t h a t w e r e m o s t l y l i n e a r ( t h e l a t t e r o n e s w e r e n o n - l i n e a r ) i n w h i c h s t u d e n t s w o u l d p e r f o r m a n e x p e r i m e n t . g r a p h t h e d a t a a n d f i n d a l i n e ( o r c u r v e ) o f “ b e s t f i t . " T h i s u n i t w a s a u d i o - t a p e d a n d v i d e o t a p e d i n K a r l a ' s c l a s s r o o m ; J o s h ’ s c l a s s r o o m e p i s o d e s w e r e a u d i o - t a p e d s . I n t h e o t h e r u n i t b , S a y i t w i t h S y m b o l s , c o n t e x t u a l r e p r e s e n t a t i o n s w e r e f e w e r i n n u m b e r a n d l e s s i n f o c u s . M o s t o f t h e u n i t c e n t e r e d o n u n d e r s t a n d i n g a n d r e p r e s e n t i n g 4 0 T o n o . 1 . ) i . a o v . . ; I ? . h r ‘ t . . r . u l . i . J . . . t a . " a i v u v . I . . ! 1 . 1 . . . . « I f p t a . . u . 1 . 1 . 1 L 4 : . r 1 . . . : l . f . t o c . J u l - . 3 1 , o . c . . W i r v . v t / 4 H f . “ n r ’ . . . . . ( H v ) i . u s . c , p . . 7 4 r . t i t . I i t b o l a r " . o / . . I I v ; s i t u a t i o n s w i t h s y m b o l s . S t u d e n t s n o t o n l y l e a r n e d t o d o t h i s . b u t a l s o l e a r n e d t o s o l v e a n d c o m p a r e e q u a t i o n s a n d e x p r e s s i o n s u s i n g t a b l e s . g r a p h s a n d s y m b o l s . T h i s w a s a l s o a u n i t w h e r e o n e w o u l d f i n d p r o p e r t i e s t h a t a r e t y p i c a l l y a s s o c i a t e d w i t h a l g e b r a . e . g . d i s t r i b u t i v e a n d c o m m u t a t i v e p r o p e r t i e s . D u r i n g t h i s u n i t . t h e l a s t t h r e e w e e k s w e r e a u d i o - a n d v i d e o t a p e d i n b o t h c l a s s r o o m s 7 . T h e a u d i o - t a p e w a s u s e d t o c a p t u r e m o r e o f t h e a c t u a l c l a s s r o o m d i s c u s s i o n t h a n f i e l d n o t e s a l l o w e d . W h e n s t u d y i n g t h e l a n g u a g e u s e d p e r t a i n i n g t o m a t h e m a t i c a l c o n c e p t s . f o r e x a m p l e . I f e l t i t i m p o r t a n t t o h a v e e x a c t l y w h a t l a n g u a g e w a s u s e d a n d i n w h a t o r d e r . I n b o t h c l a s s r o o m s . t h e v i d e o t a p e s w e r e u s e d t o o b s e r v e a n y n o n v e r b a l a c t i o n s a s s o c i a t e d w i t h s o m e o f t h e l a n g u a g e t h e c l a s s w a s g e n e r a t i n g f o r m a t h e m a t i c a l c o n c e p t s ( e . g . t h e t e r m “ s w o o p y d o w n ” r e f e r r e d t o a d e c r e a s i n g e x p o n e n t i a l w h i c h w a s s o m e t i m e s a c c o m p a n i e d b y a d o w n w a r d c u r v i n g m o t i o n w i t h t h e h a n d ) . S t u d e n t I n t e r v i e w s S t u d e n t i n t e r v i e w s w e r e h e l d f o u r t i m e s t h r o u g h o u t t h e y e a r . I n t h e f i r s t i n t e r v i e w . s t u d e n t s w e r e p r e s e n t e d w i t h a n o p e n - e n d e d q u e s t i o n ( s e e A p p e n d i x C ) w h i c h a l l o w e d t h e m t o t a l k g e n e r a l l y a b o u t w h a t t h e y k n e w a b o u t l i n e a r f u n c t i o n s a n d t o d e s c r i b e w h a t t h e y c o n s i d e r e d i m p o r t a n t i n d e fi n i n g l i n e a r f u n c t i o n s . T h e s e c o n d t a s k ( s e e A p p e n d i x D ) w a s g i v e n t o a f e w s t u d e n t s t o s e e h o w s t u d e n t s d e a l t w i t h m u l t i p l e r e l a t i o n s h i p s ( i . e . l i n e a r , e x p o n e n t i a l . a n d q u a d r a t i c ) w h e n t h e y w e r e p r e s e n t e d a l l a t t h e s a m e t i m e . O n l y t w o p a i r s w e r e i n t e r v i e w e d i n e a c h c l a s s r o o m d u e t o t i m e c o n s t r a i n t s a n d t h e c h a n g e i n m y d a t a c o l l e c t i o n s c h e d u l e s . A t h i r d t a s k w a s g i v e n a t t h e r e q u e s t o f E l i z a b e t h P h i l l i p s . o n e o f t h e c o - a u t h o r s o f C M P . I n t h i s t a s k . s t u d e n t s w o r k e d i n g r o u p s o f t h r e e a n d w e r e g i v e n a s e t o f s i x p r o b l e m s ( s e e A p p e n d i x E ) . S t u d e n t s w e r e a s k e d t o g e n e r a t e a n d d e f i n e c a t e g o r i e s i n 4 1 . _ . l } . . . - . ) L . r . . : 7 } : ( a t . ( r a . A u . . 1 . . v t 1 . 1 I » . ( 0 . 1 . l r . ‘ 1 . I f . V I C . I I . , b . r ( . l . f . Y . ‘ ( ( o n . J v . . . 1 : 1 w Y \ c i r i t i 1 . ? I . T u A . 2 i . . . ) . 1 . I . I L 1 I . . / b u f f 1 5 . ! . o 9 . . p . . J L 1 r . ; . I . f l . . I . p w 4 i v ] . ; x . . - i c r : r P l . . o J i g . . . : 5 . - . . J A , . . . t . f 1 ! . J P . . . ( . v . 3 . ( P u p . . r _ . . . v . 1 . , I \ b : v . ( : o / . . . i v . . I . 4 ’ : c . ( D i v I I I ; : L w . . . I . ( n J o a [ I , I P ; - ! 1 . . . . . 1 1 . . 1 . 9 L . C 4 " t . I t . a I 1 : l - V . ( 4 . I : . 1 r ! » v . I ) ” ’ 4 F 7 a 1 _ r - i . - w h i c h t h e y c o u l d p l a c e t h e s i x p r o b l e m s . O n c e t h e y h a d t h e i r c a t e g o r i e s e s t a b l i s h e d a n d d e fi n e d , a n a d d i t i o n a l s i x p r o b l e m s ( s e e A p p e n d i x E ) w e r e a d d e d a n d s t u d e n t s h a d t o e i t h e r p l a c e t h e s e p r o b l e m s i n t o o n e o f t h e i r c a t e g o r i e s o r c h a n g e / a d d c a t e g o r i e s t o i n c l u d e t h e n e w p r o b l e m s . A f t e r t h e y d i d t h i s . e a c h s m a l l g r o u p m e t w i t h m e a n d d i s c u s s e d t h e i r c a t e g o r i e s . T h e b r i e f i n t e r v i e w s w e r e f a i r l y s t r u c t u r e d i n t h a t a l l o f t h e g r o u p s w e r e a s k e d a s i m i l a r s e t o f q u e s t i o n s ( s e e A p p e n d i x F ) . T h e p u r p o s e o f t h i s t a s k w a s t o h e l p m e u n c o v e r t h e b i g i d e a s b e h i n d a l g e b r a , f r o m t h e p e r s p e c t i v e o f t h e s t u d e n t . S t u d e n t s a l s o h a d t o a n s w e r q u e s t i o n s t h a t r e q u i r e d t h e m t o a r t i c u l a t e a n d r e f i n e t h e i r d e fi n i t i o n s , c r e a t e m o r e o r l e s s c a t e g o r i e s . j u s t i f y t h e p l a c e m e n t o f t h e i r p r o b l e m s . e t c . T h e l a s t t a s k s t u d e n t s e n g a g e d i n c o n s i s t e d o f t w o p a r t s : t w o p a r t n e r e d w r i t t e n p r o b l e m s a n d a n i n t e r v i e w t h a t f o c u s e d o n a p r o b l e m d i f f e r e n t f r o m t h e t w o t h e y h a d a l r e a d y c o m p l e t e d . T h e t w o p r o b l e m s t h a t s t u d e n t s w o r k e d o n t o g e t h e r i n c l a s s c o n s i s t e d o f N A E P T a b l e P r o b l e m a n d G e n e r a t i n g P a t t e r n s ( s e e A p p e n d i x E ) . A r a n g e o f s t u d e n t s w e r e c h o s e n ( b a s e d o n g e n d e r a n d a b i l i t y l e v e l ) t o b e i n t e r v i e w e d . T h e i n t e r v i e w p r o b l e m w a s t h e P h o n e P l a n s P r o b l e m ( s e e A p p e n d i x E ) . T h i s p r o b l e m f o c u s e d o n a s e t o f p i e c e w i s e - l i n e a r f u n c t i o n s . I t a l l o w e d s t u d e n t s t o t a l k a b o u t f a m i l i a r l i n e a r i d e a s . b u t t h e p r o b l e m w a s a t y p i c a l b e c a u s e e a c h p l a n c o n s i s t e d o f t w o p a r t s . e a c h o f w h i c h c o u l d b e r e p r e s e n t e d b y a l i n e a r f u n c t i o n w i t h d e fi n e d d o m a i n s . A d d i t i o n a l D a t a S o u r c e s I n a d d i t i o n t o t h e o b s e r v a t i o n s a n d i n t e r v i e w s . m a n y w r i t t e n a r t i f a c t s w e r e c o l l e c t e d . B o t h K a r l a a n d J o s h p h o t o c o p i e d p a r t n e r q u i z z e s a n d c h e c k u p s f r o m m o s t o f t h e l i n e a r u n i t s s t u d e n t s c o v e r e d . B e c a u s e K a r l a h a d a s t u d e n t w o r k e r w h o d i d p h o t o c o p y i n g f o r h e r . I a c c u m u l a t e d m o r e w r i t t e n w o r k f o r h e r s t u d e n t s . . j a . . I [ . 1 r t . . . 1 . . 5 1 . ! . 1 T . I l . u l : r l » > . p . l u ' l l ’ , . ' I . I 1 9 9 9 - 2 0 0 0 S c h o o l Y e a r O b s e r v a t i o n s I o b s e r v e d d a i l y i n K a r l a ‘ s c l a s s r o o m d u r i n g t h e fi r s t u n i t , M o v i n g S t r a i g h t A h e a d , t o t r a c e t h e g e n e s i s o f t h e l a n g u a g e p a t t e r n s a n d o b s e r v e h o w n o r m s a n d d i s c o u r s e p a t t e r n s w e r e e s t a b l i s h e d i n t h i s c l a s s r o o m . A g a i n . 1 a u d i o - a n d v i d e o t a p e d e a c h c l a s s p e r i o d t o c a p t u r e m o r e o f t h e v e r b a l a n d n o n v e r b a l d i s c o u r s e i n t h e c l a s s r o o m . T h e c l a s s r o o m t h a t I w o r k e d i n w a s a g a i n a " t y p i c a l " 8 ‘ h g r a d e c l a s s . a s d e t e r m i n e d b y K a r l a . I t c o n s i s t e d o f 2 6 s t u d e n t s : 1 7 g i r l s a n d 9 b o y s . S i n c e t h e r e w a s n o t a c o m p a r a t i v e c l a s s ( b e c a u s e J o s h w a s n o l o n g e r t e a c h i n g ) . I d i d n o t i n t e r v i e w t h e s t u d e n t s f r o m t h i s c o h o r t . M y i n t e n t i o n s w e r e t o o b s e r v e h o w K a r l a e s t a b l i s h e d t h e n o r m s a n d d i s c o u r s e p a t t e r n s i n h e r c l a s s r o o m . T o a c c o m p l i s h t h i s . n o i n t e r v i e w s w i t h s t u d e n t s w e r e n e e d e d . T e a c h e r I n t e r v i e w s I n a d d i t i o n t o t h i s w o r k i n t h e c l a s s r o o m a n d w i t h s t u d e n t s . I c o n d u c t e d a s e r i e s o f f o u r i n t e r v i e w s w i t h K a r l a a n d J o s h g . I n t h e fi r s t i n t e r v i e w . I h a d t h e m t a l k a b o u t t h e n o r m s i n t h e i r c l a s s r o o m s i n t e r m s o f t h e r o l e s a n d r e s p o n s i b i l i t i e s t h e y e x p e c t o f t h e i r s t u d e n t s a n d t h e m s e l v e s . I a l s o h a d t h e m r e a c t t o a v i g n e t t e f r o m m y fi e l d n o t e s i n w h i c h t h r e e b o y s w e r e h a v i n g a s m a l l - g r o u p d i s c u s s i o n : e a c h b o y w a s u s i n g a d i f f e r e n t r e p r e s e n t a t i o n ( i . e . a g r a p h . a t a b l e . a n d a n e q u a t i o n ) a n d w e r e n o t r e a l l y c o l l a b o r a t i n g . l p r o b e d w i t h q u e s t i o n s t h a t r e q u i r e d J o s h a n d K a r l a t o t a l k b o t h a b o u t t h e m a t h e m a t i c a l u n d e r s t a n d i n g s o f t h e s t u d e n t s a n d t h e w a y i n w h i c h t h e y w e r e i n t e r a c t i n g . H o p i n g t o u n d e r s t a n d m o r e a b o u t t h e i r t e a c h i n g p h i l o s o p h y , I a l s o a s k e d t h e m t o t a l k a b o u t h o w t h e i r t h i n k i n g o r p r a c t i c e h a d c h a n g e d i n t h e p a s t t e n y e a r s . T h e s e c o n d i n t e r v i e w a l l o w e d m e t o a s k f o l l o w - u p q u e s t i o n s f r o m t h e fi r s t i n t e r v i e w a n d t o g e t J o s h a n d K a r l a t o t a l k m o r e a b o u t t h e i r e x p e c t a t i o n s f o r s t u d e n t s . 4 3 W 7 3 7 . ” — — ' - * . . r . . . a b w l . . 1 . . . “ C t r , 2 5 3 . . . . . . . . . . . . v . . « J D / L 1 . ) . L { ( 3 I . . . . . r L r . 1 . 2 1 A . 9 1 . 1 . . . I v . ¢ I . . ‘ f ' . . r [ > r | r t . - J / A D Q 1 . . . 1 1 7 3 . I . . . . . r . f h l ' b u . . . r . . 1 . . . I q , 4 4 b 4 i t . 1 . . . : . 7 H , ? A l l o v l r f r r » . “ . o . . . ‘ 1 l ~ ’ l l . ‘ , . . . t . a r . h u . / . . . ; . w P 4 D u / Y ¢ F . r ' ( ( l i t . . . I ’ . ! c . . I j . z « a b - r ” r : 0 1 . : . 1 ) p ( D b D A . Z u i a j i f . i f . . fl i r t l n i l p k l n O U O . ; r : 1 . . . i f . . . 4 r _ 7 n i . . . ) b r Q . I ’ I i t . » . . I r T i . . . . . _ . ' . 0 1 . / I r . . . . a 0 V t . v : I . A . l . . 4 ! . J . a . . : 7 . . I I a W A . . i . D 4 . f . n , . ' : . r U . . . I [ I t 7 ! r . . . . . ( 4 p 1 . . . ! t ‘ l ' i r : T w o i d e a s t h a t I p u r s u e d f r o m t h e fi r s t i n t e r v i e w w e r e r e l a t e d t o : w h a t e a c h c o n s i d e r e d a n “ i d e a l ” c l a s s r o o m t o b e ; a n d w h a t t h e " b i g i d e a s " o f a l g e b r a w e r e a n d h o w t h e y u s e d t h e s e i n t h e i r c l a s s r o o m . T o g e t t h e m t o b e m o r e e x p l i c i t a b o u t t h e i r e x p e c t a t i o n s f o r s t u d e n t s a n d t h e m s e l v e s . I a s k e d t h e m t o l i s t w h a t t h e s e w o u l d b e i f t h e y w e r e t o m a k e a p o s t e r o f t h e m f o r t h e i r c l a s s r o o m s . I n t h i s w a y . I h o p e d t o g e t t h e m t o t a l k m o r e a b o u t w h a t t h e y s a w t h e i r ( a n d t h e i r s t u d e n t s ) r o l e s , r i g h t s a n d r e s p o n s i b i l i t i e s t o b e . I b e g a n t h e t h i r d i n t e r v i e w b y a s k i n g t h e t e a c h e r s t o t a l k a b o u t t h e t h i n g s t h a t h a d i n fl u e n c e d t h e w a y t h e y t a u g h t . A l s o . b y t h e t i m e t h i s i n t e r v i e w t o o k p l a c e . m y a n a l y s i s o f t h e c l a s s r o o m d i s c o u r s e a l l o w e d m e t o u s e s p e c i f i c e x a m p l e s o f e m e r g i n g p a t t e r n s a n d I a s k e d e a c h t e a c h e r t o i n t e r p r e t s o m e o f t h e s e p a t t e r n s f o r m e . T h e n . t o b r i n g t h e s e t w o p a r t s o f t h e i n t e r v i e w t o g e t h e r , I a s k e d t h e m i f t h e y t h o u g h t a n y o f t h e i n f l u e n c i n g f a c t o r s h a d a c t u a l l y e n c o u r a g e d t h o s e p a r t i c u l a r d i s c o u r s e p a t t e r n s . T h e f o u r t h i n t e r v i e w s w e r e t h e l e a s t a l i k e . I d r e w o n p a r t i c u l a r s t a t e m e n t s e a c h t e a c h e r m a d e i n t h e p r e v i o u s i n t e r v i e w a n d a s k e d c l a r i f y i n g q u e s t i o n s . A f t e r w e c o n c l u d e d w i t h t h a t p o r t i o n o f t h e i n t e r v i e w . I s h o w e d e a c h t e a c h e r a s h o r t v i d e o c l i p f r o m t h e c l a s s r o o m o b s e r v a t i o n s m a d e i n t h e i r c l a s s r o o m s . T h e c l i p t h a t I c h o s e t o o k p l a c e d u r i n g t h e l a s t u n i t . S a y i t w i t h S y m b o l s . T h e p o r t i o n o f t h e l e s s o n I f o c u s e d o n w a s a n a c t i v i t y i n w h i c h e a c h t e a c h e r u s e d a b a l a n c e t o m o d e l s o l v i n g e q u a t i o n s . I s e l e c t e d t h i s b e c a u s e b o t h K a r l a a n d J o s h c h o s e t o d o t h i s a c t i v i t y . e v e n t h o u g h t h e a u t h o r s d i d n o t i n c l u d e i t i n t h e fi n a l d r a f t o f t h e t e x t ( i . e . i t w a s p a r t o f t h e p i l o t t e x t b o o k b u t n o t i n t h e p u b l i s h e d t e x t b o o k ) . A l s o . I h a d n o t i c e d a d i f f e r e n c e i n t h e m a n n e r i n w h i c h J o s h a n d K a r l a e a c h e n a c t e d t h i s a c t i v i t y a n d w a s c u r i o u s t o k n o w m o r e a b o u t i t . F o l l o w i n g J o s h ' s m o d e l i n g o f t h e p r o b l e m o n t h e b a l a n c e . 4 4 l . o . . v I ( . . ; { v 5 , . t 1 I . . . . .. . I . J . _ 3 L L / c h ‘ . t I } 0 . 1 , . . v . ( » . 7 3 3 . 1 1 . 1 4 I I I . 2 . . . ! _ . . . J v 1 . , _ 4 2 ! . I [ I . . . . ; . _ . . r . r r , h e h a d a s t u d e n t r e c o r d t h e s y m b o l s o n t h e b o a r d . I n c o n t r a s t . K a r l a w o r k e d b a c k a n d f o r t h — s o m e t i m e s s h e m o d e l e d t h e p r o b l e m fi r s t a n d a t o t h e r t i m e s b e g a n w i t h t h e s y m b o l s . A l s o , b o t h a c t i v i t i e s w e r e v e r y t e a c h e r - d i r e c t e d a n d I w a n t e d t o s e e w h a t e a c h t e a c h e r h a d t o s a y a b o u t t h a t . D u r i n g t h e i n t e r v i e w I f o u n d K a r l a t o b e q u i t e d i s t r e s s e d b y t h e e x a m p l e I h a d c h o s e n b e c a u s e i t w a s o n e t h a t s h e h a d b e e n t h i n k i n g a b o u t f o r q u i t e s o m e t i m e . T h e r e f o r e . w e d i d n o t v i e w t h e e n t i r e t h i n g . S h e a s k e d m e t o t u r n i t o f f a n d w e s p e n t t i m e t a l k i n g a b o u t w h y s h e w a s d i s m a y e d b y t h e a c t i v i t y . S i n c e p a r t o f m y d i s s e r t a t i o n f o c u s e s o n d i f f e r e n c e s i n t h e t w o c l a s s r o o m s . I c o m p l e t e d t h e l a s t i n t e r v i e w b y a s k i n g J o s h a n d K a r l a i f t h e y h a d e v e r o b s e r v e d i n t h e o t h e r ' s c l a s s r o o m . B o t h h a d , b u t a v e r y l i m i t e d n u m b e r o f t i m e s . I a s k e d t h e m h o w t h e y s a w t h e i r c l a s s r o o m s a s b e i n g s i m i l a r a n d d i f f e r e n t . D a t a A n a l y s i s P r o c e d u r e s O v e r a l l , t h e p r o c e s s I u s e d t o e x p l o r e t h e c l a s s r o o m d a t a w a s d i s c o u r s e a n a l y s i s . I f i r s t l i s t e n e d t o t h e e n t i r e s e t o f a u d i o - t a p e s a t o t a l o f t h r e e t i m e s w i t h i n a w e e k ’ s t i m e p e r i o d . W h i l e l i s t e n i n g t o t h e d a t a , I r e c o r d e d ( i n d e p e n d e n t l y e a c h t i m e ) r e p e a t e d w o r d s o r p h r a s e s t h a t t h e t e a c h e r s p o k e o n h a r d c o p i e s o f t h e f i e l d n o t e s t h a t I h a d t a k e n d u r i n g t h e o b s e r v a t i o n s . A f t e r r e c o r d i n g t h e s e w o r d s / p h r a s e s . I c o m p i l e d t h e m a n d b e g a n t o l o o k f o r p o i n t s o f c o n v e r g e n c e i n t h e i r f o r m a n d f u n c t i o n . I n d o i n g s o . I l o c a t e d t h o s e t h a t w e r e m o s t d o m i n a n t i n t e r m s o f s h e e r n u m b e r i n t h e c l a s s r o o m t a l k . I a l s o g r o u p e d w o r d s / p h r a s e s i n t o l a r g e r c a t e g o r i e s b a s e d o n t h e i r f o r m . I t h e n f o u n d l i t e r a t u r e t h a t w o u l d b e u s e f u l f o r i n t e r p r e t i n g e a c h f o r m . F o r e x a m p l e . a f t e r c o m p i l i n g K a r l a ‘ s w o r d s / p h r a s e s I n o t i c e d t h a t s h e o f t e n u s e d m e t a - t a l k a b o u t c l a s s r o o m a c t i v i t i e s . I u s e d ) ‘ U ; L U ; . . . . . . I l . t ( . . a t . . . . . . 1 1 . ; . ‘ I n . . . . - : - ' I . . ' r . : a . o . : r . . : ‘ v - I ' A . _ . . . l : } . . . I . w . ( . j . 1 | . t i t r v ' r l . 1 ) . r . . . 5 , . L ’ 1 I ! " L . 4 s f . I . ’ 1 1 . 5 1 . . l . . ( I . I . . « ( r 1 . _ , . . v ; _ . \ . , l . ' l . . i t I , n : I . . 1 . . { . 4 1 I I . I . I t _ I 4 I 4 . . I / H a r j ! » . . I . I . . ! . t . I ; ) l . I S t u b b ’ s ( 1 9 7 5 ) a n d P i m m ’ s ( 1 9 8 7 ) w o r k t o d e f i n e t h e c a t e g o r y " m e t a c o m m e n t i n g " m o r e p r e c i s e l y a n d t o i n t e r p r e t t h e f u n c t i o n s o f t h e m e t a c o m m e n t i n g i n K a r l a ‘ s c l a s s r o o m . A f t e r i d e n t i f y i n g t h e m o s t p r o m i n e n t d i s c o u r s e p a t t e r n s i n e a c h c l a s s r o o m . I l o c a t e d c l a s s r o o m i n t e r a c t i o n s f o r m y f o c u s c l a s s p e r i o d s . T h i s p r o c e s s b e g a n b y o u t l i n i n g a l a r g e r t i m e l i n e o f t h e d a t a w h i c h c o n s i s t e d o f d e s c r i b i n g t h e l a r g e r a c t i v i t i e s t h a t t o o k p l a c e a n d n a r r o w i n g t h i s d o w n t o m o r e s p e c i f i c e p i s o d e s b a s e d o n i n t e r a c t i o n s i n t h e c l a s s r o o m a n d e v e n t s t h a t s e e m e d s i g n i f i c a n t t o t h e s t u d y p r o p o s e d . I t a l s o a l l o w e d m e t o d i f f e r e n t i a t e b e t w e e n a c t i v i t i e s t h a t i n c l u d e d t h e e n t i r e c l a s s a n d t h o s e t h a t f o c u s e d o n s m a l l - g r o u p o r i n d i v i d u a l w o r k . M y a n a l y s i s f o c u s e d o n l y o n t h e w h o l e - g r o u p d i s c u s s i o n s b e c a u s e I d i d n o t h a v e t h e e q u i p m e n t t o c a p t u r e t h e d i s c u s s i o n t h a t t o o k p l a c e i n s m a l l g r o u p s . T h e f o c u s c l a s s p e r i o d s t h a t w e r e t r a n s c r i b e d w e r e c h o s e n b a s e d o n c o m m o n a c t i v i t i e s a c r o s s t h e t w o c l a s s r o o m s a n d t h e c o n c e p t s t h a t w e r e b e i n g t a u g h t . F o r e x a m p l e . b o t h C l a s s r o o m t r a n s c r i p t s i n c l u d e t h e t e a c h e r h a n d i n g b a c k a n d g o i n g o v e r a C h e c k - u p . i n t r o d u c i n g a n d d i s c u s s i n g a n e x p e r i m e n t i n w h i c h s t u d e n t s h a d t o c o l l e c t d a t a , a n d g o i n g o v e r h o m e w o r k t h a t h a d b e e n a s s i g n e d . T h e p r o c e s s o f d i s c o u r s e a n a l y s i s a l s o h e l p e d t o s e p a r a t e d e s c r i p t i o n f r o m i n t e r p r e t a t i o n . w h i c h w a s p a r t i c u l a r l y u s e f u l i n c h a r a c t e r i z i n g t h e t w o c l a s s r o o m s . O n c e I l o c a t e d p a r t i c u l a r c l a s s r o o m i n t e r a c t i o n s t o b e a n a l y z e d m o r e t h o r o u g h l y . 1 t r a n s c r i b e d t h e l e s s o n s a n d u s e d t h e s e t o d e t a i l t h e f u n c t i o n s o f t h e f o r m s I h a d i d e n t i f i e d . T h e f u n c t i o n s w e r e d e t e r m i n e d b y f i n d i n g e v e r y e x a m p l e o f e v e r y f o r m i n t h e t r a n s c r i p t s . T h e s e f o r m s w e r e f i r s t p u l l e d f r o m t h e t r a n s c r i p t a n d e x a m i n e d a s s e p a r a t e f r o m t h e c o n t e x t a n d t h e n w e r e e x a m i n e d a s p a r t o f t h e c l a s s r o o m c o n t e x t t o i d e n t i f y t h e f u n c t i o n 4 6 1 1 . I . { “ 1 - , I . . L . . . [ r a w . . . . a 1 . 3 . - . . . . I t ’ l . « 1 . 1 V . I . o { p l . . v v . . 7 | . 4 A _ I 1 . ! a . ( ‘ h . D ! 1 1 . 1 . _ ' u r . v . I . a s s o c i a t e d w i t h t h e m . T h e c o n t e x t w a s v e r y i m p o r t a n t t o d e t e r m i n i n g t h e f u n c t i o n o f t h e t a l k . F o r e x a m p l e , u p o n r e a d i n g s u b s e q u e n t i n t e r a c t i o n s . I w a s a b l e t o d e t e r m i n e t h a t m a n y o f J o s h ’ s q u e s t i o n s t h a t a p p e a r e d “ o p e n ” ( i . e . a s h a v i n g m a n y c o r r e c t a n s w e r s ) s o o n b e c a m e “ c l o s e d ” ( i . e . h a d o n e r i g h t a n s w e r ) t h r o u g h h i s s u b s e q u e n t r e f o r m u l a t i o n s o f t h e q u e s t i o n . T h r o u g h o u t t h e i n t e r p r e t a t i o n p r o c e s s . I r e t u r n e d t o t h e t h i r d a n d f o u r t h t e a c h e r i n t e r v i e w s i n w h i c h I a s k e d t h e t e a c h e r s t o t a l k a b o u t s o m e o f t h e e m e r g i n g p a t t e r n s o f d i s c o u r s e . I n t h e s e i n t e r v i e w s I a s k e d e a c h t e a c h e r : ( I ) i f s h e n o t i c e d t h a t t h e y r e p e a t e d l y s a i d t h i s ; ( 2 ) i f t h e y c o u l d n a m e t h i s . w h a t t h e y w o u l d c a l l i t : ( 3 ) w h a t t h e y t h o u g h t t h e y w e r e d o i n g w i t h t h a t t y p e o f s t a t e m e n t ; a n d ( 4 ) w h a t t h e y t h o u g h t t h a t d i d f o r t h e s t u d e n t s i n t h e c l a s s . T h e t e a c h e r s i n t e r p r e t a t i o n i s o f f e r e d a l o n g s i d e m i n e w h e n e v e r p o s s i b l e , o n e w a y t h a t I t r i a n g u l a t e d t h e d a t a . I n t h i s d i s s e r t a t i o n , I u s e d t w o c l a s s p e r i o d s f r o m e a c h c l a s s r o o m t o d o a f i n e - g r a i n e d a n a l y s i s o f t h e f o r m s a n d f u n c t i o n s o f t h e t a l k . I n o r d e r t o c h e c k t h e r e p r e s e n t a t i v e n e s s o f m y c l a i m s f o r t h e l a r g e r d a t a b a s e . I r e t u r n e d t o t h e a u d i o - t a p e s f r o m T h i n k i n g w i t h M a t h e m a t i c a l M o d e l s . A f t e r w r i t i n g t h e t w o c a s e s t u d i e s . I l i s t e n e d t o t h e s e t a p e s a g a i n t o m a k e s u r e t h e f o r m s t h a t I d e s c r i b e d w e r e a p p a r e n t i n e a c h l e s s o n . I f o u n d t h a t a l l o f t h e t h r e e m o s t p r o m i n e n t d i s c o u r s e p a t t e r n s t h a t I d e s c r i b e d i n e a c h c a s e d i d i n d e e d e x i s t i n e v e r y c l a s s s e s s i o n t o w h i c h I l i s t e n e d . I n a d d i t i o n . t h e e x t e n d e d t r a n s c r i p t s ( w h i c h t o o k p l a c e d u r i n g M a r c h o f t h e s a m e s c h o o l y e a r ) i n c l u d e d i n A p p e n d i x 0 a n d P f u r t h e r e v i d e n c e d t h e r e o c c u r r i n g p a t t e r n s I d e s c r i b e d i n e a c h c a s e s t u d y . 4 7 . p u . . r y . 1 . . . . s . . . < P i t . . r 5 . . 1 . . 4 p I . . . . . : L . r . ( L ! . . l - U Q . U I « c L l ' . ( ' v . . . . . : q u . . t . f . r . . . » r . V I I . . . 4 5 1 . 3 . ) . I ’ v v r f r l s r a o . u . 3 ' 2 r 1 ‘ 1 , 4 . L . 9 1 » : . I . ” I e , . ’ ( I n : x . . I ' I t { t r 1 . , 1 ! . . . I v c . . . . ' 5 4 $ . f . . r i I i . . . 4 “ ! l v . A n o t h e r p u r p o s e f o r m y r e v i e w i n g t h e t a p e s w a s t o h e l p t r a c e s o m e o f t h e p a t t e r n s a n d t o l o o k f o r d i s c r e p a n t c a s e s . F o r e x a m p l e . I n e e d e d t o f u r t h e r i n v e s t i g a t e o n e o f t h e f o r m s o f q u e s t i o n i n g J o s h u s e d ( i . e . W h a t ' s t h e r i s e ? . . . t h e r u n ‘ L ’ . . . t h e s l o p e ‘ ? . . . t h e y - i n t e r c e p t ? . . . t h e e q u a t i o n f o r t h e l i n e ? ) t o s e e i f h e w a s u s i n g t h i s l i n e o f q u e s t i o n i n g a s a f o r m o f s c a f f o l d i n g . I n a d d i t i o n . I c h e c k e d t o s e e i f t h i s p a r t i c u l a r f o r m o f q u e s t i o n i n g a p p e a r e d o f t e n o r o n l y a f t e r J o s h h a n d e d b a c k q u i z z e s ( a s i t h a d i n t h e f o c u s c l a s s p e r i o d ) . T h e r e s u l t s o f t h e s e a r e a d d r e s s e d i n J o s h ‘ s c a s e s t u d y . S u m m a r y M y e x p e r i e n c e s a s a s t u d e n t a n d a t e a c h e r o f m a t h e m a t i c s h a v e l e d m e t o p u r s u e t h e t o p i c o f t h i s d i s s e r t a t i o n — d i s c o u r s e p a t t e r n s a n d n o r m s i n t w o “ r e f o r m - o r i e n t e d " m a t h e m a t i c s c l a s s r o o m s . T h e t w o 8 t h g r a d e c l a s s r o o m s t h a t f o r m t h e f o c u s o f t h i s d i s s e r t a t i o n w e r e u s i n g t h e C o n n e c t e d M a t h e m a t i c s P r o j e c t . a n N S F - f u n d e d c u r r i c u l u m p r o j e c t . I w a s i n t r i g u e d b y t h e t e a c h e r s a n d t h e i r t e a c h i n g b e c a u s e I n o t i c e d t h e s t u d e n t s s e e m e d t o h a v e s i m i l a r u n d e r s t a n d i n g s . b u t e a c h c l a s s r o o m f e l t d i f f e r e n t t o m e a s a p a r t i c i p a n t - o b s e r v e r . T h e s e c l a s s r o o m s o f f e r e d a c o n t e x t t h a t a l l o w e d m e t o s t u d y d i f f e r e n c e i n t h e c o n t e x t o f s i m i l a r i t y . T h e t e a c h e r s h a d m a n y a t t r i b u t e s i n c o m m o n ( d e t a i l e d i n C h a p t e r 5 ) . H o w e v e r , t h e t e a c h i n g i n t h e t w o c l a s s r o o m s w a s d i f f e r e n t . D r a w i n g f r o m t h e s o c i o l i n g u i s t i c s a n d m a t h e m a t i c s e d u c a t i o n l i t e r a t u r e s . I d e s c r i b e t h e s o c i a l a n d s o c i o m a t h e m a t i c a l n o r m s o f t h e t w o c l a s s r o o m s i n t e r m s o f t h e c l a s s r o o m d i s c o u r s e w h i c h t h e y w e r e e m b e d d e d i n a n d c a r r i e d b y . I a l s o i n t e r p r e t s t u d e n t u n d e r s t a n d i n g s w h e n e v e r p o s s i b l e t h r o u g h o u t t h e t h e s i s . t a k i n g a s o c i a l c o n s t r u c t i v i s t p e r s p e c t i v e . 4 8 J . Q . 5 1 . . . 1 ! . - . . ( I . r , I - . ! v o . ‘ l I . . 1 . I I I I . 3 . 3 7 1 . . . . . L . . I ‘ . 4 . o . . n . 1 4 , n 1 ! . : [ I f . . . A K I . . . 4 0 . 1 . “ ; . s a : y . : . . r r . 4 ! I L O I V o . l ‘ 2 : . I l r . . l . / . a . - I . . 3 1 . ’ 3 5 : ! ” 1 7 . O 0 . ’ I I t . 1 . ! . . 4 . 1 . . . 1 . b a a ’ 1 . . . r 1 . . . . . , 1 . . 4 . . . . . v . . n . _ o a . I l o ’ 1 ! . o . . v i a v . v « I . . . ( I : . . . . . s , v I . I n t h e y e a r p r i o r t o c o m m e n c i n g m y d i s s e r t a t i o n s t u d y ( 1 9 9 7 - l 0 9 8 ) . I c o m p l e t e d c l a s s r o o m o b s e r v a t i o n s a n d s t u d e n t i n t e r v i e w s a s p a r t o f m y p r a c t i c u m w o r k a n d r e s e a r c h a s s i s t a n t s h i p . T h e s e w e r e u s e d t o f o r m p r e l i m i n a r y h y p o t h e s i s a b o u t s t u d e n t u n d e r s t a n d i n g s a n d t h e c l a s s r o o m e n v i r o n m e n t . T h e d a t a u s e d f o r t h i s d i s s e r t a t i o n w a s c o l l e c t e d o v e r t h e s u b s e q u e n t t w o y e a r s ( 1 9 9 8 - 2 0 0 0 ) . D u r i n g t h e f i r s t . I o b s e r v e d a n d a u d i o - a n d v i d e o - t a p e d s t u d e n t s o n a w e e k l y b a s i s . I n a d d i t i o n . s t u d e n t s w e r e i n t e r v i e w e d a b o u t t h e i r a l g e b r a i c u n d e r s t a n d i n g s a n d t h e i r c l a s s r o o m e x p e r i e n c e . T h e s e c o n d y e a r . o n e o f t h e c l a s s r o o m s w a s o b s e r v e d t o t r a c e t h e f o r m a t i o n o f t h e n o r m s i n t h e c l a s s r o o m . T h e t e a c h e r s t o o k p a r t i n f o u r e x t e n s i v e i n t e r v i e w s . i n w h i c h t h e y w e r e a s k e d a b o u t i n fl u e n c i n g e x p e r i e n c e s r e l a t e d t o t h e i r t e a c h i n g a n d t h e n o r m s i n t h e i r c l a s s r o o m ( i n t e r m s o f t h e e x p e c t a t i o n s . r i g h t s a n d r o l e s o f t h e m s e l v e s a n d t h e i r s t u d e n t s ) . T h e y w e r e a l s o a s k e d t o r e a c t t o t r a n s c r i p t s a n d v i d e o f r o m t h e i r c l a s s r o o m . o f f e r i n g t h e i r p e r s p e c t i v e a b o u t t h e i r i n t e n t i o n i n t h e i r l a n g u a g e p a t t e r n s a n d t e a c h i n g . T h e i d e a s I i n v e s t i g a t e i n t h i s d i s s e r t a t i o n i n c l u d e h o w s o c i a l a n d s o c i o m a t h e m a t i c a l n o r m s a r e e m b e d d e d i n a n d c a r r i e d b y t h e c l a s s r o o m d i s c o u r s e i n e a c h c l a s s r o o m ( C h a p t e r s 6 a n d 7 ) . I a l s o d i s c u s s a s p e c t s i n t h e t e a c h e r s ' p r o f e s s i o n a l l i v e s t h a t i n fl u e n c e d t h e w a y s t h e y t h i n k a b o u t a n d w o r k t o e s t a b l i s h a n d m a i n t a i n t h e n o r m s i n t h e i r c l a s s r o o m s ( C h a p t e r 5 ) . I n C h a p t e r 8 . 1 l o o k a c r o s s t h e t w o c l a s s r o o m s t o o f f e r w h a t I s e e a s b e i n g s i m i l a r a n d d i f f e r e n t . w h i c h h a s a l l o w e d m e t o l o c a t e d i f f e r e n c e s i n : t h e o v e r a l l s t r u c t u r e o f t e a c h e r t a l k , t h e p o s i t i o n i n g o f t h e t e a c h e r w i t h r e s p e c t t o t h e l o c u s o f a u t h o r i t y . t h e w a y e a c h t e a c h e r d r a w s f r o m p o t e n t i a l o t h e r k n o w l e d g e s o u r c e s i n t h e c l a s s r o o m ( i . e . s t u d e n t s a n d t h e t e x t b o o k ) , a n d t h e w a y e a c h t e a c h e r d r a w s a t t e n t i o n t o t h e c o m m o n k n o w l e d g e c o n s t r u c t e d i n t h e c l a s s r o o m . 4 9 ‘ l h a v e c h o s e n t o g i v e a d e t a i l e d a c c o u n t o f t h e t e a c h e r s i n a s e p a r a t e c h a p t e r s o w i l l n o t i n c l u d e t h a t i n f o r m a t i o n h e r e . 3 O n e s t r i k i n g d i f f e r e n c e i n t h e s e n u m b e r s i s t h a t K a r l a h a d a s m a l l e r n u m b e r o f s t u d e n t s i n h e r c l a s s e s . s c h e d u l e d a s s u c h t o a l l o w h e r t o p r e p a r e f o r t e a c h i n g 7 ' h g r a d e s c i e n c e f o r t h e f i r s t t i m e . 3 T h e n u m b e r s i n t h e p a r e n t h e s i s r e p r e s e n t t h e n u m b e r o f s t u d e n t s w h o c a r r i e d o v e r f r o m F a l l s e m e s t e r . ‘ T h i s i n v e s t i g a t i o n i s i n c l u d e d i n C h a p t e r 4 . p p . 5 2 - 5 3 . I t w a s o n e a c t i v i t y t h a t t o o k p l a c e d u r i n g t h e O c t o b e r 1 5 ' h c l a s s p e r i o d . 5 T h i s d i f f e r e n c e i n d a t a c o l l e c t e d i s d u e t o t h e c h a n g i n g n a t u r e o f t h i s s t u d y — w h e n I o r i g i n a l l y p r o p o s e d t h i s w o r k I h a d i n t e n d e d t o m a i n l y s t u d y K a r l a ’ s c l a s s r o o m . I w a s a l s o w o r k i n g i n J o s h ‘ s c l a s s r o o m a s p a r t o f m y a s s i s t a n t s h i p w i t h C M P . A s d i f f e r e n c e s / s i m i l a r i t i e s e m e r g e d . I b e c a m e m o r e i n t e r e s t e d i n l o o k i n g c l o s e l y a t b o t h c l a s s r o o m s a n d v i d e o - a n d a u d i o - t a p e d i n b o t h c l a s s r o o m s l a t e r i n t h e s c h o o l y e a r . 6 T h i s u n i t i s t h e l a s t a l g e b r a u n i t o f t h e s c h o o l y e a r . 7 T h e l a s t t h r e e w e e k s w e r e c a p t u r e d b e c a u s e t h a t i s w h e n J o s h i n f o r m e d m e t h a t h e h a d t a k e n a n e w p o s i t i o n f o r t h e F a l l o f 1 9 9 9 a s A s s i s t a n t P r i n c i p a l / J u n i o r H i g h A t h l e t i c D i r e c t o r . I h a d h i s ( a n d t h e s t u d e n t s ' ) p e r m i s s i o n t o v i d e o t a p e a n d b e g a n t h e d a y a f t e r h e i n f o n n e d m e o f t h i s c h a n g e . 8 A t t h i s t i m e . J o s h i n f o r m e d m e t h a t h e h a d t a k e n a n e w p o s i t i o n t h a t w o u l d b e g i n F a l l . 1 9 9 9 . T o c o l l e c t t h e r e m a i n d e r o f t h e d a t a I n e e d e d i n h i s c l a s s r o o m . I h a d t o a b a n d o n t h e s t u d e n t i n t e r v i e w s t o a u d i o - a n d v i d e o t a p e i n h i s c l a s s r o o m w h i l e t h e y f i n i s h e d t h e i r l a s t a l g e b r a i c u n i t . S a y I t W i t h S t ' t t t h o / s . 9 F o r c o p i e s o f t h e s e f o u r i n t e r v i e w s . s e e A p p e n d i x G . 5 0 C H A P T E R 4 : A N A L Y S I S O F T H I N K I N G W I T H M A T H E M A T I C A L M O D E L S ' I n t h e u p c o m i n g d e s c r i p t i o n a n d a n a l y s i s o f t h e t e a c h i n g a n d d i s c o u r s e . I r e a l i z e t h a t t h e r e i s a n o t h e r f o r c e a t p l a y t h a t i s i n f l u e n t i a l . I n a s e n s e . a n o t h e r “ t e a c h e r " t h a t e x i s t s i n t h e c l a s s r o o m i s t h e t e x t b o o k t h a t i s b e i n g u s e d . f o r " m a t h e m a t i c s t e x t s a r e t h e r e t o b e w o r k e d o n . a n d w h e n s u c h t e x t s a r e p r e s e n t . r e a d e r s h a v e t o s i t u a t e t h e m s e l v e s i n r e l a t i o n t o t h e m ” ( L o v e & P i m m . 1 9 9 6 . p . 3 7 2 ) . F o l l o w i n g t h e a n a l y s i s o f t h e c l a s s r o o m t r a n s c r i p t s . I n o t i c e d t h a t t h e t e a c h e r s u s e d t h e t e x t b o o k s d i f f e r e n t l y . T h e m a n n e r i n w h i c h e a c h t e a c h e r u s e d t h e t e x t b o o k i s a d d r e s s e d i n J o s h ’ s c a s e s t u d y ( C h a p t e r 7 ) a n d t h e c r o s s c a s e ( C h a p t e r 8 ) . I b e c a m e i n t r i g u e d b y h o w t h e t e x t b o o k m a y b e i n t e r a c t i n g w i t h t h e t e a c h e r - t a l k a n d d e c i d e d t o l o o k c l o s e l y a t t h e r e p e a t i n g p a t t e r n s i n t h e t e x t b o o k t h a t w a s u s e d d u r i n g t h e f o c u s c l a s s p e r i o d s . T h i s a n a l y s i s u n c o v e r e d t h a t p a r t i c u l a r a s p e c t s o f t h e t e a c h e r - t a l k w e r e s i m i l a r t o o n e s t h a t a p p e a r e d i n t h e t e x t b o o k . A n d . t h e p a t t e r n s t h a t e a c h t e a c h e r u s e d w e r e d i f f e r e n t . I n t h i s c h a p t e r , I c o n c e n t r a t e o n t h e s t y l e o f t h e w r i t i n g ( a u t h o r i t a t i v e s t r u c t u r e s ) . w i t h i n w h i c h i s e m b e d d e d : ( 1 ) t h e c o n s t r u c t i o n o f t h e r e a d e r a n d t h e a c k n o w l e d g e m e n t o f t h e t e a c h e r . ( 2 ) t h e w a y i n w h i c h t h e t e x t c o n s t r u c t s r e a s o n i n g a n d ( 3 ) t h e u s e o f c o h e s i v e d e v i c e s . I n d o i n g s o , I v i e w t h e t e x t m a t e r i a l a s a n o b j e c t i v e l y - g i v e n s t r u c t u r e . r a t h e r t h a n a s a s u b j e c t i v e s c h e m e ( O t t e , 1 9 8 3 ) . I e m p h a s i z e t h e s e s t r u c t u r e s i n p a r t i c u l a r b e c a u s e t h e y s u r f a c e d a s p r o m i n e n t i n t h e c l a s s r o o m d i s c o u r s e a n a l y s i s . B y i n t r o d u c i n g t h e t e x t b o o k i n t h i s m a n n e r , I h o p e t o p r o v i d e t h e r e a d e r w i t h s o m e i n s i g h t i n t o w a y s i n w h i c h t h e t e x t b o o k m a y b e i n fl u e n c i n g o r i n t e r a c t i n g w i t h t h e c l a s s r o o m d i s c o u r s e . M o r e 4 R 1 1 i . f l . I k l . | . . l . . » 4 I . . L . . ¢ ) 0 4 . 4 . 1 . a n . . v L . . . . . . c . ¢ w u . v u A i t . 3 1 . x . . . ) . . r . p . I t ! r . t . , . . . . l e m . s p e c i f i c d e t a i l s a b o u t t h e l i n g u i s t i c c o n s t r u c t s ( e . g . h e d g i n g . m o d a l e x p r e s s i o n s a n d m o d a l v e r b s ) u s e d i n p a s s i n g h e r e a r e d i s c u s s e d i n t h e u p c o m i n g c a s e s t u d i e s z . S t y l e o f W r i t i n g I n a l l , T h i n k i n g w i t h M a t h e m a t i c a l t l l o a ' e l s 3 c o n s i s t s o f 1 2 . 7 6 6 w o r d s ( n o t i n c l u d i n g t h e T a b l e o f C o n t e n t s ) 4 . W h e n a n a l y z i n g t h e s e w o r d s . t h e r e a r e w a y s t o l o c a t e t h e r e l a t i o n s h i p a n d r o l e s o f a u t h o r a n d r e a d e r i n t h e s t y l e o f w r i t i n g . T h r e e w a y s t o a d d r e s s t h e s e a r e t o f o c u s o n t h e u s e o f i m p e r a t i v e s . p r o n o u n s a n d m o d a l v e r b s a n d e x p r e s s i o n s ( M o r g a n . 1 9 9 6 ) . E a c h o f t h e s e w i l l b e a d d r e s s e d h e r e . I m p e r a t i v e s T w o o f t h e m o s t c o m m o n l y o c c u r r i n g f o r m s t h a t e x i s t i n t h e t e x t b o o k a r e q u e s t i o n s 5 a n d i m p e r a t i v e s ( c o m m a n d s ) . I n f a c t . w i t h i n t h e 7 4 7 s e n t e n c e s / q u e s t i o n s 6 t h a t e x i s t i n t h e t e x t b o o k . t h e r e a r e 1 6 5 q u e s t i o n s a n d 3 3 5 e m b e d d e d i m p e r a t i v e s 7 . w h i c h a r e b r o k e n d o w n b y t y p e o f t e x t s u b - s t r u c t u r e i n T a b l e 4 . T h e q u e s t i o n s i n t h e t e x t m o s t c o m m o n l y b e g a n w i t h h o w ( 6 4 t i m e s ) . w h a t ( 5 7 t i m e s ) a n d w h i c h ( 2 0 t i m e s ) a n d a p p e a r e d i n a l l s e c t i o n s o f t h e t e x t . a l t h o u g h w e r e m o s t p r o m i n e n t i n t h e A C E 8 p r o b l e m s . M a n y o f t h e q u e s t i o n s i n t h e A C E p r o b l e m s w e r e f o l l o w e d b y i n s t r u c t i o n s t o “ e x p l a i n y o u r r e a s o n i n g " o r “ g i v e e v i d e n c e / r e a s o n s . “ T a b l e 4 F r e q u e n c y o f Q u e s t i o n s a n d I m p e r a t i v e s b y S e c t i o n o f t h e T e x t Q u e s t i o n s I m p e r a t i v e s I n t r o d u c t i o n 3 7 # I n v e s t i g a t i o n 1 4 O 4 7 ' A C E p r o b l e m s A 2 2 4 6 M a t h e m a t i c a l R e fl e c t i o n s ? 6 8 I n v e s t i g a t i o n 2 2 5 3 6 A C E p r o b l e m s 2 0 3 6 J ! M a t h e m a t i c a l R e fl e c t i o n s 4 3 } 5 2 I n v e s t i g a t i o n 3 1 2 I 3 0 A C E p r o b l e m s 1 4 Y 3 5 M a t h e m a t i c a l R e fl e c t i o n s 3 4 I n v e s t i g a t i o n 4 7 3 4 A C E p r o b l e m s 9 3 5 M a t h e m a t i c a l R e fl e c t i o n s 9 1 4 T o t a l s 1 6 5 . 3 3 5 O f t e n t h e r e w a s a s t r i n g o f i m p e r a t i v e s g i v e n . F o r e x a m p l e . w h e n d i r e c t i o n s w e r e g i v e n f o r a n e x p e r i m e n t ' 0 a s t r i n g o f i m p e r a t i v e s w o u l d o c c u r ( m y u n d e r l i n i n g o f i m p e r a t i v e v e r b f o r m s ) : 2 . 1 T e s t i n g B r i d g e L e n g t h s I n t h i s p r o b l e m . y o u w i l l e x p e r i m e n t w i t h p a p e r b r i d g e s o f v a r i o u s l e n g t h s . W h a t r e l a t i o n s h i p d o y o u e x p e c t t o f i n d b e t w e e n t h e l e n g t h o f a b r i d g e a n d i t s b r e a k i n g w e i g h t ? D o y o u t h i n k l o n g e r b r i d g e s w i l l b e s t r o n g e r o r w e a k e r t h a n s h o r t e r b r i d g e s ? E q u i p m e n t : e i g h t 4 - i n c h - w i d e s t r i p s o f p a p e r w i t h l e n g t h s 4 . 5 . 6 . 7 . 8 . 9 . I O . a n d 1 1 i n c h e s , t w o b o o k s o f t h e s a m e t h i c k n e s s . a s m a l l p a p e r c u p . a n d a b o u t 5 0 p e n n i e s D i r e c t i o n s : 0 M a k e p a p e r b r i d g e s b y f o l d i n g u p 1 i n c h o n e a c h l o n g s i d e o f t h e p a p e r s t r i p s . 0 S u s p e n d o n e o f t h e b r i d g e s b e t w e e n t h e t w o b o o k s . T h e b r i d g e s h o u l d o v e r l a p e a c h b o o k b y a b o u t 1 i n c h . P l a c e t h e p a p e r c u p i n t h e c e n t e r o f t h e b r i d g e . 0 B u g p e n n i e s i n t h e c u p . o n e a t a t i m e . u n t i l t h e b r i d g e c r u m p l e s . R e c o r d t h e l e n g t h a n d b r e a k i n g w e i g h t o f t h e b r i d g e . 0 R e p e a t t h i s e x p e r i m e n t t o f i n d t h e b r e a k i n g w e i g h t s o f t h e r e m a i n i n g b r i d g e s ( p . 2 6 ) . O t h e r p l a c e s r e p e a t e d i m p e r a t i v e s o c c u r r e d w e r e i n t h e i n v e s t i g a t i o n p r o b l e m s . e . g . - - P r o b l e m 2 . 1 A . _ D p t h e e x p e r i m e n t d e s c r i b e d t o f i n d t h e b r e a k i n g w e i g h t s o f p a p e r b r i d g e s o f l e n g t h s 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 1 0 , a n d 1 1 i n c h e s . O r g a n i z e y o u r d a t a i n a t a b l e . S t u d y t h e 5 3 . . \ h t n . . . t a b l e . a n d l o o k f o r a p a t t e r n . D o y o u t h i n k t h e r e l a t i o n s h i p b e t w e e n b r i d g e l e n g t h a n d b r e a k i n g w e i g h t i s l i n e a r ? B . M a k e a g r a p h o f t h e ( l e n g t h . b r e a k i n g w e i g h t ) d a t a f r o m y o u e x p e r i m e n t . a n d d e s c r i b e t h e p a t t e r n y o u s e e . D o t h e d a t a a p p e a r t o b e l i n e a r ? C . D r a w a s t r a i g h t l i n e t h a t s e e m s t o m o d e l t h e t r e n d i n t h e d a t a . D o y o u t h i n k y o u r g r a p h f i t s t h e d a t a s a t i s f a c t o r i l y ? E x p l a i n . D . E y o u r g r a p h m o d e l t o p r e d i c t b r e a k i n g w e i g h t s f o r b r i d g e s o f l e n g t h s 4 . 5 . 5 . 5 , a n d 6 . 5 i n c h e s . M a k e b r i d g e s o f t h e s e l e n g t h s . a n d t _ e _ s t y o u r p r e d i c t i o n s . E . H o w i s t h e r e l a t i o n s h i p b e t w e e n b r i d g e l e n g t h a n d b r e a k i n g w e i g h t i n t h i s p r o b l e m s i m i l a r t o a n d d i f f e r e n t f r o m t h e l i n e a r r e l a t i o n s h i p s y o u s t u d i e d i n t h e l a s t i n v e s t i g a t i o n ( p . 2 7 ) ? - - a n d i n t h e A C E p r o b l e m s : 3 . S i n c e B e t t y r a i s e d h e r p r i c e s . c o o k i e s a l e s h a v e f a l l e n . B e t t y c a l l s i n a b u s i n e s s c o n s u l t a n t t o h e l p . T h e c o n s u l t a n t s u g g e s t s t h a t B e t t y c o n d u c t a c u s t o m e r s u r v e y . B e t t y ’ s c u s t o m e r s a r e a s k e d w h i c h o f s e v e r a l a m o u n t s t h e y w o u l d b e w i l l i n g t o p a y f o r a c o o k i e . H e r e a r e t h e r e s u l t s : P r i c e 1 3 1 . 7 5 1 5 1 5 1 . 5 0 1 5 : 4 1 . 2 5 1 1 3 1 . 0 0 C u s t o m e r s w i l l i n g t o p a y t h i s p r i c e I 1 0 1 ) l 1 7 1 4 0 1 7 5 a . M a k e a g r a p h o f t h e s e d a t a . a n d d r a w a s t r a i g h t l i n e o r a c u r v e t h e m o d e l s t h e t r e n d . b . y s _ e y o u r g r a p h m o d e l t o p r e d i c t t h e n u m b e r o f c u s t o m e r s w h o w o u l d b e w i l l i n g t o p a y $ 1 . 3 5 a n d t h e n u m b e r w h o w o u l d b e w i l l i n g t o p a y $ 2 . 0 0 . 0 . D o y o u t h i n k p r e d i c t i o n s b a s e d o n y o u r g r a p h m o d e l a r e a c c u r a t e ? E x p l a i n . d . T h e s h a p e o f t h i s g r a p h r e s e m b l e s t h e s h a p e o f a n o t h e r g r a p h y o u h a v e d r a w n . L o o k b a c k a t y o u r w o r k i n t h i s u n i t . W h i c h s i t u a t i o n h a s a g r a p h s i m i l a r t o t h i s o n e ( p p . 4 2 - 4 3 ) ? S o m e o f t h e m o s t c o m m o n v e r b s i n c l u d e : e x p l a i n ( 4 6 t i m e s ) . m a k e ( e . g . m a k e a t a b l e , m a k e a g r a p h ; 3 5 t i m e s ) , u s e ( e . g . u s e t h e g r a p h t o . u s e t h e t a b l e t o ; 2 9 t i m e s ) . w r i t e ( e . g . w r i t e a n e q u a t i o n ; 2 9 t i m e s ) . a n d d e s c r i b e ( 2 8 t i m e s ) . M a n y o f t h e s e i m p e r a t i v e s 5 4 i n v i t e s t u d e n t s t o b e a c t i v e p a r t i c i p a n t s i n t h e e x p e r i m e n t s i n w h i c h t h e y a r e t a k i n g p a r t : o t h e r s r e q u i r e t h e m t o a r t i c u l a t e a n d e x p l a i n t h e i r t h i n k i n g . M o r g a n ( 1 9 9 6 ) c l a i m s t h a t i m p e r a t i v e s i n fl u e n c e t h e r o l e s a n d r e l a t i o n s h i p s b e t w e e n t h e a u t h o r a n d r e a d e r o f t e x t b o o k s . T h e u s e o f i m p e r a t i v e s a n d o f o t h e r c o n v e n t i o n a l a n d s p e c i a l i s t v o c a b u l a r y a n d c o n s t r u c t i o n s c h a r a c t e r i s t i c o f a c a d e m i c m a t h e m a t i c s m a r k s a n a u t h o r ' s c l a i m t o b e a m e m b e r o f t h e m a t h e m a t i c a l c o m m u n i t y w h i c h u s e s s u c h s p e c i a l i s t l a n g u a g e a n d h e n c e e n a b l e s h e r t o s p e a k w i t h a n a u t h o r i t a t i v e v o i c e a b o u t m a t h e m a t i c a l s u b j e c t m a t t e r . A t t h e s a m e t i m e i t c o n s t r u c t s a r e a d e r w h o i s a l s o a m e m b e r o f t h e s a m e c o m m u n i t y a n d i s t h u s i n s o m e s e n s e a c o l l e a g u e ( p . 6 ) . H o w e v e r . g i v e n t h e u n e q u a l r e l a t i o n s h i p b e t w e e n t h e r e a d e r a n d a u t h o r s i n s c h o o l . i t i s p r o b a b l y m o r e l i k e l y t h e c a s e t h a t t h i s t y p e o f l a n g u a g e i s s e e n a s a w a y t o i n c u l c a t e s t u d e n t s i n t o t h e m a t h e m a t i c a l c o m m u n i t y . T h e r o l e s t h a t a r e c o n s t r u c t e d f o r t h e r e a d e r m a y b e d i f f e r e n t d e p e n d i n g o n t h e t y p e o f i m p e r a t i v e t h a t i s u s e d . R o t m a n ( 1 9 8 8 ) d i s t i n g u i s h e s b e t w e e n i n c l u s i v e i m p e r a t i v e s ( e . g . “ l e t ‘ s g o " ) a n d e x c l u s i v e i m p e r a t i v e s ( e . g . “ g o " ) i n m a t h e m a t i c a l w r i t i n g . I n c l u s i v e i m p e r a t i v e s a r e a d d r e s s e d t o w h a t h e c a l l s a “ t h i n k e r " a n d “ d e m a n d t h a t s p e a k e r a n d h e a r e r i n s t i t u t e a n d i n h a b i t a c o m m o n w o r l d o r t h a t t h e y s h a r e s o m e s p e c i f i c a r g u e d c o n v i c t i o n a b o u t a n i t e m i n s u c h a w o r l d ” ( p . 9 ) . T h i s f o r m i s a l s o u s e d t o m a k e s u g g e s t i o n s a n d i s c o n s i d e r e d l e s s d i r e c t t h a n e x c l u s i v e i m p e r a t i v e s . E x c l u s i v e i m p e r a t i v e s c o n s t r u c t t h e r e a d e r a s a “ s c r i b b l e r ” w h o p e r f o r m s a c t i o n s ( e . g . w r i t e , d r a w ) . M o s t o f t h e i m p e r a t i v e s i n t h i s u n i t a r e e x c l u s i v e . c o n s t r u c t i n g t h e r e a d e r t o b e a " s c r i b b l e r . " P r o n o u n s F i r s t p e r s o n p r o n o u n s ( i . e . I a n d w e ) i n d i c a t e t h e " a u t h o r ' s p e r s o n a l i n v o l v e m e n t w i t h t h e a c t i v i t y p o r t r a y e d i n t h e t e x t ” ( M o r g a n , 1 9 9 6 . p . 5 ) . F o r e x a m p l e . “ W e w i l l s h o w . . . ” s u g g e s t s t h a t t h e a u t h o r i s s p e a k i n g w i t h t h e a u t h o r i t y o f t h e m a t h e m a t i c a l c o m m u n i t y . A n o t h e r w a y i n w h i c h “ w e " m a y b e u s e d i s t o i n d i c a t e a s s u m e d m a t h e m a t i c a l a c t i v i t y p e r f o r m e d b y t h e r e a d e r . e . g . " I n t h e l a s t s e c t i o n . w e . . F i r s t p e r s o n ( s i n g u l a r a n d p l u r a l ) p r o n o u n s w e r e e n t i r e l y a b s e n t f r o m t h i s u n i t . T h i s m a y o b s c u r e t h e p r e s e n c e o f h u m a n b e i n g s i n t h e t e x t . a f f e c t i n g " n o t o n l y [ . . . ] t h e p i c t u r e o f t h e n a t u r e o f m a t h e m a t i c a l a c t i v i t y b u t a l s o d i s t a n c l i n g ] t h e a u t h o r f r o m t h e r e a d e r , s e t t i n g u p a f o r m a l r e l a t i o n s h i p b e t w e e n t h e m " ( p . 6 ) . T h e s e c o n d p e r s o n p r o n o u n . “ y o u . " m u s t a l s o b e e x a m i n e d t o u n d e r s t a n d t h i s c o n s t r u c t i o n o f r o l e s a n d r e l a t i o n s h i p s b e t w e e n r e a d e r a n d a u t h o r o f t h e t e x t . A d d r e s s i n g t h e r e a d e r a s y o u m a y i n d i c a t e a c l a i m t o a r e l a t i v e l y c l o s e r e l a t i o n s h i p b e t w e e n a u t h o r a n d r e a d e r o r b e t w e e n r e a d e r a n d s u b j e c t m a t t e r [ . . . . ] O n t h e o t h e r h a n d , s o m e u s e s o f y o u a p p e a r t o b e a t t e m p t s t o p r o v i d e e x p r e s s i o n s o f g e n e r a l p r o c e s s e s r a t h e r t h a n b e i n g a d d r e s s e d t o i n d i v i d u a l r e a d e r s [ . . . ] p a r t i c u l a r l y w h e r e c h i l d r e n a r e s t r u g g l i n g b o t h t o f o r m u l a t e g e n e r a l i s a t i o n s a n d t o c o m m u n i c a t e t h e m ( M o r g a n . 1 9 9 6 . p . 6 ) . I n t h i s u n i t , t h e w o r d “ y o u " o c c u r s 2 6 3 t i m e s ( 3 9 7 w h e n " y o u r " i s a l s o i n c l u d e d ) . T h e r e s e e m t o b e a b o u t f o u r c a t e g o r i e s t h a t " y o u " f a l l s i n t o . w h i c h a r e g i v e n i n T a b l e 5 . T a b l e 5 F o r m s o f " Y o u " i n t h e T e x t F o r m E x a m p l e s 1 N u m b e r o f I n s t a n c e s Y o u + v e r b Y o u f i n d . y o u k n o w . y o u 1 1 6 5 t i m e s t h i n k ‘ Y o u + m o d a l v e r b ' I Y o u w i l l . y o u c a n f i n d . y o u 5 6 t i m e s w o u l d , I n a n i m a t e o b j e c t ( a s T h e g r a p h s h o w s y o u . t h e 3 7 t i m e s s u b j e c t ) + a n i m a t e v e r b + e q u a t i o n t e l l s y o u y o u ( a s d i r e c t o b j e c t ) Y o u + h e d g e d ” v e r b Y o u m i g h t h a v e f o u n d 5 t i m e s T h e f i r s t p a t t e r n ( y o u + v e r b ) i s m o s t a p p a r e n t i n t h e t e x t b o o k . I t s e e m s t h a t t h e a u t h o r s a r e d e fi n i n g w h a t t h e y t h i n k t h e r e a d e r i s d o i n g : t h a t i s . t h e y a r e t e l l i n g " y o u " a b o u t y o u r s e l f . W h e n d o i n g s o . t h e y a r e s o m e t i m e s c o n t r o l l i n g t h e c o m m o n k n o w l e d g e 5 6 b y t e l l i n g t h e r e a d e r w h a t t h e y t h i n k o r k n o w . A t o t h e r t i m e s . t h e y a r e d e fi n i n g a n d d r a w i n g a t t e n t i o n t o t h e c o m m o n k n o w l e d g e b y t e l l i n g t h e r e a d e r w h a t t h e y “ fi n d . " T h e t h i r d f o r m ( i n a n i m a t e o b j e c t ( a s s u b j e c t ) + a n i m a t e v e r b + y o u ( a s d i r e c t o b j e c t ) s t r i k e s m e a s p e c u l i a r . I n a n i m a t e o b j e c t s p e r f o r m a c t i v i t i e s t h a t a r e t y p i c a l l y a s s o c i a t e d w i t h p e o p l e . H a v i n g a n a n i m a t e v e r b w i t h a n i n a n i m a t e o b j e c t i s a l m o s t c o n t r a d i c t o r y . W h e n w o u l d a g r a p h a c t u a l l y " t e l l " y o u s o m e t h i n g ? M o r g a n p o i n t s o u t t h a t a g e n c y c a n b e o b s c u r e d t h r o u g h t h e " u s e o f p r o c e s s e s w i t h o u t a n y i n d i c a t i o n t h a t t h e s e a r e a c t u a l l y p e r f o r m e d b y a n y o n e " ( p . 4 ) . i n d i c a t i n g a n a b s o l u t i s t i m a g e o f m a t h e m a t i c s a s a s y s t e m t h a t c a n a c t i n d e p e n d e n t o f h u m a n s . T h i s a p p e a r e d i n t h i s t h i r d f o r m . O f t e n i n t h i s u n i t . r e p r e s e n t a t i o n a l o b j e c t s w e r e a c t o r s i n v e r b a l p r o c e s s e s . F o r e x a m p l e . “ T e s t i n g p a p e r b r i d g e s t o fi n d o u t h o w t h i c k n e s s a f f e c t s s t r e n g t h a n d t h e n fi t t i n g a s t r a i g h t l i n e t o y o u r e x p e r i m e n t a l d a t a i n t r o d u c e s y o u t o t h e i d e a o f a l i n e a r g r a p h m o d e l " ( p . 4 , i t a l i c s a d d e d ) . I n t h i s c a s e . a l o n g . a b s t r a c t p r o c e s s ( i . e . “ T e s t i n g p a p e r b r i d g e s t o fi n d o u t h o w t h i c k n e s s a f f e c t s s t r e n g t h a n d t h e n fi t t i n g a s t r a i g h t l i n e t o y o u r e x p e r i m e n t a l d a t a ” ) “ i n t r o d u c e s ” — — a n a c t t h a t t h i s c a n n o t . i n r e a l i t y . p e r f o r m . I n a d d i t i o n , t h e t e x t c r e a t e s a n i m a g e o f t h e a u t h o r a s b e i n g a b s e n t . T h e r e i s n o “ v o i c e o f t h e a u t h o r ” p r e s e n t . o n l y s o m e o n e o m n i s c i e n t w h o d i c t a t e s w h a t i s b e i n g d o n e . T h i s i s n o t t o s a y t h a t t h e p r o c e s s e s a r e t h e o n l y a c t o r s i n t h i s t e x t b o o k . I n f a c t . m a n y o f t h e c o n t e x t s h a v e h u m a n a c t o r s i n t h e m . T h e a c t o r s a r e n a m e d b y o c c u p a t i o n ( e . g . c i v i l e n g i n e e r s ) . b y g r o u p ( e . g . r i d e r s o n a b i k e t o u r o r t h e s t u d e n t g o v e r n m e n t a s s o c i a t i o n ) , o r b y n a m e ( e . g . C h a n t a l a n d C h a r l i e ) . T h e a g e o f t h e a c t o r s a l s o v a r i e s . b u t m a n y a r e s c h o o l - a g e d c h i l d r e n . T h e s e p e o p l e t y p i c a l l y p e r f o r m e d a c t i v i t i e s — c o l l e c t e d d a t a . a n a l y z e d i t . r e p r e s e n t e d i t , d r e w c o n c l u s i o n s , m a d e p r e d i c t i o n s . e t c . 5 7 M o d a l i t y ” A n o t h e r w a y i n w h i c h r e l a t i o n s m a y b e l o c a t e d i s i n t h e m o d a l i t y o f t h e t e x t . w h i c h m a y a p p e a r i n m o d a l a u x i l i a r y v e r b s ( e . g . c a n . w i l l . c o u l d ) . a d v e r b s ( e . g . c e r t a i n l y . p r o b a b l y ) , o r a d j e c t i v e s ( e . g . I a m s u r e t h a t . . . ) . M o d a l i t y a l l o w s o n e t o s e e r e l a t i o n s b e t w e e n a u t h o r , r e a d e r a n d s u b j e c t m a t t e r t h r o u g h “ i n d i c a t i o n s o f t h e d e g r e e o f l i k e l i h o o d , p r o b a b i l i t y . w e i g h t o r a u t h o r i t y t h e s p e a k e r a t t a c h e s t o t h e u t t e r a n c e " ( H o d g e a n d K r e s s . 1 9 9 3 . p . 9 ) . A s I s t a t e d a b o v e . t h e r e a r e o n l y l i v e i n s t a n c e s w h e r e " y o u " i s c o m b i n e d w i t h a h e d g e d v e r b . T h i s i s o n e w a y i n w h i c h t h e a u t h o r s m a y a c k n o w l e d g e t h a t t h e a u d i e n c e i s u n k n o w n t o t h e m . F o r e x a m p l e : 2 . 2 K e e p i n g T h i n g s B a l a n c e d T h e p a t t e r n y o u s a w i n t h e l e n g t h , b r e a k i n g w e i g h t ) d a t a s h o w u p i n m a n y o t h e r i m p o r t a n t a n d f a m i l i a r p r o b l e m s . F o r e x a m p l e . y o u 1 1 1 3 ) : h a v e t h o u g h t a b o u t t h i s p r o b l e m w h e n y o u w e r e a c h i l d : H o w d o p e o p l e o f d i f f e r e n t H e i g h t s b a l a n c e o n a t e e t e r - t o n e r ? Y o u p r o b a b l v d i s c o v e r e d t h a t t h e l i g h t e r p e r s o n h a s t o s i t f a r t h e r f r o m t h e b a l a n c e p o i n t ( c a l l e d a f u l c r u m ) t h a n t h e h e a v i e r p e r s o n d o e s . [ c a r t o o n d r a w i n g s o f t w o p a i r s o f p e o p l e s i t t i n g o n t e e t e r - t o t t e r s ] Y o u m i g h t h a v e f o u n d t h e b a l a n c e p o i n t b y t r i a l a n d e r r o r . b u t t h e r e i s a m a t h e m a t i c a l r e l a t i o n s h i p b e t w e e n w e i g h t a n d d i s t a n c e . T h e f o l l o w i n g e x p e r i m e n t w i l l h e l p y o u d i s c o v e r t h i s r e l a t i o n s h i p ( p . 2 8 . u n d e r l i n e a d d e d . i t a l i c s i n o r i g i n a l ) . W i t h i n t h i s . t h r e e o f t h e fi v e “ y o u + h e d g e d v e r b " i n t h e t e x t b o o k t a k e p l a c e . T h e p r o b l e m b e g i n s w i t h t h e a u t h o r s a s s e r t i n g t h a t t h i s e x p e r i e n c e i s " i m p o r t a n t a n d f a m i l i a r , ” a s s u m i n g t h i s t o b e t r u e . T h e n , b e c a u s e t h e y c a n n o t b e c e r t a i n w h e t h e r t h i s i s t h e c a s e , t h e y c o n t i n u e b y h e d g i n g t h e v e r b s i n t h e n e x t t h r e e s e n t e n c e s : " m a y h a v e t h o u g h t . ” “ p r o b a b l y d i s c o v e r e d . " a n d “ m i g h t h a v e f o u n d . ” T h e s e a r e t h i n g s t h e a u t h o r s 5 8 c a n n o t k n o w a b o u t t h e i r r e a d e r a n d o n e w a y t o a c k n o w l e d g e t h i s i s t o m a k e t h e s e s t a t e m e n t s l e s s b a l d l y b y h e d g i n g t h e v e r b s . O t h e r h e d g e s t h a t o c c u r i n t h e t e x t b o o k i n c l u d e : a b o u t ( 1 2 i n s t a n c e s o f t h i s a s b e i n g u s e d t o a p p r o x i m a t e ) , m i g h t ( 7 t i m e s ) . a n d m a y ( 5 t i m e s ) . T h e s e c a n i n d i c a t e c e r t a i n t y a b o u t w h a t i s b e i n g e x p r e s s e d . T h e m o s t p r o m i n e n t m o d a l v e r b s t h a t o c c u r i n t h e t e x t i n c l u d e : w o u l d ( 5 5 t i m e s ) , c a n a n d w i l l ( 4 0 t i m e s e a c h ) . w h i c h a r e f o l l o w e d b y c o u l d ( 1 3 t i m e s ) a n d s h o u l d ( 1 1 t i m e s ) . A s i n d i c a t e d b y t h e m o s t p r o m i n e n t f o r m s ( a n d t h o s e o f w h i c h t h e r e a r e f e w : “ p r o b a b l y . ” “ m i g h t . ” “ m a y ” ) . t h e t e x t r e p r e s e n t s a f a i r l y c e r t a i n v i e w p o i n t ( " m u s t . " “ w o u l d . " “ c a n . " “ w i l l " ) o f m a t h e m a t i c s . A m o r e e x p l i c i t w a y a u t h o r i t y i s e m b e d d e d i n t h e t e x t i s i n c l u d e d i n t h e e x a m p l e s o f w h e n , w h e r e a n d h o w m a t h e m a t i c s i s u s e d i n t h e w o r l d a n d k n o w l e d g e a b o u t t h o s e o c c u p a t i o n s . F o r i n s t a n c e , i n t h e fi r s t t w o i n v e s t i g a t i o n s . t h e r e a r e b o x e s t h a t a s k . " D i d y o u k n o w ? ” W i t h i n e a c h b o x . t h e a u t h o r s d e s c r i b e v a r i o u s t h i n g s e n g i n e e r s h a v e t o t a k e i n t o c o n s i d e r a t i o n w h e n t h e y b u i l d a b r i d g e a n d i n t r o d u c e e n g i n e e r i n g l a n g u a g e f o r t h e s e t h i n g s . e . g . d e a d l o a d a n d l i v e l o a d . S o . n o t o n l y d o e s t h e a u t h o r k n o w t h e m a t h e m a t i c s . b u t t h e y k n o w m u c h m o r e t h a n t h a t — t h e y k n o w d e t a i l e d i n f o r m a t i o n a b o u t o c c u p a t i o n s t h a t u s e m a t h e m a t i c s . t o o ! C o n s t r u c t i o n o f R e a s o n i n g T h e r e w e r e f e w i n s t a n c e s o f “ b e c a u s e " a n d “ s o " ( o n l y 3 a n d 1 2 r e s p e c t i v e l y ) b e i n g u s e d t o e x p r e s s c o n n e c t i v e r e a s o n i n g . T h e w o r d " s o " u s u a l l y c a m e p r i o r t o a m a i n c o n c l u s i o n o r a r e s t a t e m e n t o f i n f o r m a t i o n t h a t h a d b e e n g i v e n . I t s e e m e d t h a t t h e f o c u s f o r r e a s o n i n g c a m e m o r e o f t e n a f t e r s t u d e n t s h a d a n s w e r e d a q u e s t i o n : t h e y t y p i c a l l y . . l 4 . . w e r e a s k e d t o p r o v r d e a n e x p l a n a t i o n o r t o g i v e r e a s o n s f o r t h e i r a n s w e r . 5 9 H o w , t h e n , w a s r e a s o n i n g c o n s t r u c t e d i n t h i s t e x t ? I t s e e m s t o o c c u r m o r e i n a n a r r a t i v e t e l l i n g o f h o w s o m e o n e c a m e t o a p a r t i c u l a r c o n c l u s i o n . F o r e x a m p l e : 1 . 2 D r a w i n g G r a p h M o d e l s A c l a s s i n M a r y l a n d d i d t h e b r i d g e - t h i c k n e s s e x p e r i m e n t . T h e y c o m b i n e d t h e r e s u l t s f r o m a l l t h e g r o u p s a n d f o u n d t h e a v e r a g e b r e a k i n g w e i g h t f o r e a c h b r i d g e . T h e y o r g a n i z e d t h e i r d a t a i n a t a b l e . r T h i c k n e s s ( l a y e r s ) 1 l i 2 3 1 4 1 5 B r e a k i n g w e i g h t ( p e n n i e s ) l 1 0 1 4 2 3 j 3 7 L 4 2 T h e c l a s s t h e n m a d e a g r a p h o f t h e d a t a . T h e y t h o u g h t t h e p a t t e r n l o o k e d s o m e w h a t l i n e a r . s o t h e y d r e w a l i n e t o s h o w t h i s t r e n d . T h i s l i n e i s a g o o d m o d e l f o r t h e r e l a t i o n s h i p b e c a u s e f o r t h e t h i c k n e s s e s t h e c l a s s t e s t e d . t h e p o i n t s o n t h e l i n e a r e c l o s e t o p o i n t s f r o m t h e e x p e r i m e n t . [ g r a p h i s g i v e n ] T h e l i n e t h a t t h e M a r y l a n d c l a s s d r e w i s a g r a p h m o d e l f o r t h e i r d a t a . A g r a p h m o d e l i s a s t r a i g h t l i n e o r a c u r v e t h a t s h o w s a t r e n d i n a s e t o f d a t a . O n c e y o u fi t a g r a p h m o d e l t o a s e t o f d a t a . y o u c a n u s e i t t o m a k e p r e d i c t i o n s a b o u t v a l u e s b e t w e e n a n d b e y o n d t h e v a l u e s i n y o u r d a t a ( p . 7 . b o l d f a c e i n o r i g i n a l ) . I n t h i s p r o b l e m . t h e r e i s s o m e u s e o f t e r m s t h a t c a r r y c o n n e c t e d r e a s o n i n g . e . g . “ s o ” a n d " b e c a u s e . ” H o w e v e r . t h e r e i s a p a r t i c u l a r o r d e r o f e v e n t s t h a t a r e m o d e l e d i n t h i s p r o b l e m . a l s o . T h i s o r d e r i s : ( 1 ) d i d t h e e x p e r i m e n t . ( 2 ) c o m b i n e d t h e r e s u l t s . ( 3 ) f o u n d t h e a v e r a g e . ( 4 ) o r g a n i z e d d a t a i n a t a b l e . ( 5 ‘ ) m a d e a g r a p h . ( 6 ) t h o u g h t a b o u t t h e p a t t e r n ( w h i c h l o o k e d l i n e a r ) . ( 7 ) d r e w i n a l i n e t o s h o w t h e t r e n d . T h e s e e x a c t e v e n t s ( a n d t h e o r d e r i n w h i c h t h e y h a p p e n ) a r e t h o s e i n w h i c h t h e c l a s s e s t h e m s e l v e s j u s t e n g a g e d . I n f a c t . t h e y a g a i n e n g a g e i n t h e s e e x a c t a c t i v i t i e s i n t h e n e x t i n v e s t i g a t i o n w h e n t h e y d o n o n - l i n e a r m o d e l i n g . A l s o . t h i s w a s u s e d a s a m o d e l f o r w h a t f o l l o w e d : s t u d e n t s t h e n m a d e t h e s a m e k i n d o f p r e d i c t i o n s a s t h e s t u d e n t s i n t h i s p r o b l e m . F o l l o w i n g t h i s s t o r y - t y p e p r o b l e m w a s a s e r i e s o f c o m m a n d s i n w h i c h t h e s t u d e n t s w e r e s u p p o s e d t o f o l l o w . M o r g a n ( 1 9 9 6 ) c l a i m s t h a t t h e c o m b i n a t i o n o f 6 0 t e m p o r a l t h e m e s a n d i m p e r a t i v e s w o u l d c o n s t r u c t a n a l g o r i t h m . I n t h i s u n i t . t h e w o r d " t h e n ” i s u s e d t e m p o r a l l y 2 0 t i m e s : i t i s u s e d t o s h o w c a u s e o n l y o n c e . T h e s e s t o r y - f o r m p r o b l e m s a r e a l w a y s f o l l o w e d b y a s e r i e s o f q u e s t i o n s a n d / o r i m p e r a t i v e s . T h e u s e o f a r e - o c c u r r e n c e o f e v e n t s w a s o n e w a y t h e t e x t s e e m e d t o p r e s e r v e c o n t i n u i t y . A n o t h e r w a y t h i s w a s a c h i e v e d w a s t h r o u g h r e f e r r i n g - b a c k t o p a s t e v e n t s ( e i t h e r i n t h i s u n i t o r p r i o r o n e s ) . F o r e x a m p l e . f o l l o w i n g t h e a b o v e p r o b l e m : 1 . 3 F i n d i n g E q u a t i o n M o d e l s I n y o u r e a r l i e r w o r k . y o u s a w t h a t l i n e a r r e l a t i o n s h i p s c a n b e d e s c r i b e d b y e q u a t i o n s o f t h e f o r m y = m x + b . w h e r e m i s t h e s l o p e a n d b i s t h e y - i n t e r c e p t . T h e l i n e d r a w n t o m o d e l t h e d a t a i n t h e M a r y l a n d s t u d e n t s ‘ b r i d g e - t h i c k n e s s e x p e r i m e n t i s s h o w n b e l o w . B y l o o k i n g a t t h e g r a p h a n d c o m p a r i n g v e r t i c a l c h a n g e t o h o r i z o n t a l c h a n g e . t h e s t u d e n t s f o u n d t h a t t h e s l o p e o f t h e l i n e i s a b o u t 8 . 7 . S i n c e t h e l i n e p a s s e s t h r o u g h t h e o r i g i n . i t s y - i n t e r c e p t i s 0 . T h e y w r o t e t h e e q u a t i o n y = 8 . 7 x t o r e p r e s e n t t h e l i n e ( p . 9 . i t a l i c s i n o r i g i n a l ) . I n a s e n s e . t h e a u t h o r s a r e g i v i n g m e a n i n g t o t h e a c t i v i t y a n d r e m i n d i n g s t u d e n t s w h a t t h e y “ s a w ” a t a p r e v i o u s t i m e ( E d w a r d s a n d M e r c e r . 1 9 8 7 ) . S i m i l a r l y . t h e t e x t w o u l d s t a t e w h a t “ y o u f o u n d ” a t t h e b e g i n n i n g o f e a c h n e w I n v e s t i g a t i o n a n d t h e n p r o c e e d t o t e l l s t u d e n t s w h a t “ y o u w i l l ” d o : I n v e s t i g a t i o n 2 : N o n l i n e a r M o d e l s I n t h e l a s t i n v e s t i g a t i o n . y o u t e s t e d p a p e r b r i d g e s o f v a r i o u s t h i c k n e s s e s . Y o u f o u n d t h a t t h i c k e r b r i d g e s a r e s t r o n g e r t h a n t h i n n e r b r i d g e s . a n d y o u d i s c o v e r e d t h a t t h e r e l a t i o n s h i p b e t w e e n t h i c k n e s s a n d b r e a k i n g w e i g h t i s a p p r o x i m a t e l y l i n e a r . I n t h i s i n v e s t i g a t i o n . y o u w i l l e x p l o r e r e l a t i o n s h i p s w i t h d i f f e r e n t t y p e s o f m o d e l s ( p . 2 6 ) . B y t e l l i n g s t u d e n t s w h a t " y o u f o u n d . ” t h e a u t h o r s s e e m t o b e c o n t r o l l i n g s t u d e n t s e n s e - m a k i n g a n d d e fi n i n g w h a t t h e c l a s s s h o u l d h a v e t a k e n a w a y f r o m t h e a c t i v i t y . p o s s i b l y i n a n a t t e m p t t o d e fi n e a n d c o n t r o l t h e c o m m o n k n o w l e d g e i n t h e c l a s s r o o m . I n f a c t , i n s o m e w a y s t h e a u t h o r s n e e d t o d o t h i s b e c a u s e t h e y a r e c o u n t i n g o n a c o m m o n 6 1 r e a d e r s h i p t h a t h a s d o n e a n d f o u n d c e r t a i n t h i n g s i n o r d e r t o p r o c e e d . T h e y a l s o p r e s e r v e c o n t i n u i t y b y c o n n e c t i n g t h e p a s t t o w h a t s t u d e n t s w i l l b e d o i n g : t h a t i s . t h e y w i l l b e e x p l o r i n g r e l a t i o n s h i p s w i t h “ d i f f e r e n t t y p e s o f m o d e l s . ” A n o t h e r w a y c o n t i n u i t y i s p r e s e r v e d i s i n t h e r e p e a t e d u s e o f m a t h e m a t i c a l t e r m i n o l o g y . I n t h e fi r s t i n v e s t i g a t i o n . s t u d e n t s a r e i n t r o d u c e d t o " m o d e l ” a n d " g r a p h m o d e l . ” I t i s i n t h a t i n v e s t i g a t i o n i n w h i c h t h e s e t e r m s a r e h i g h l i g h t e d ( w i t h i t a l i c s f i r s t a n d t h e n b o l d f a c e t y p e ) a n d d e fi n e d . A f t e r t h a t . i t i s a s s u m e d e v e r y o n e n o w k n o w s t h e w o r d a s i t a p p e a r s t h r o u g h o u t t h e r e s t o f t h e t e x t b o o k . S u m m a r y T h e a n a l y s i s o f t h i s u n i t h a s l e d m e t o c o n c l u d e t h a t t h e s t y l e o f w r i t i n g o f t h e t e x t i s p r e t t y a u t h o r i t a t i v e . T h e r e p e a t e d i m p e r a t i v e s i n t h e e x p e r i m e n t s . p r o b l e m s a n d A C E c o n s t r u c t t h e a u t h o r o f t h e t e x t a s h a v i n g a n u n e q u a l r e l a t i o n s h i p w i t h t h e r e a d e r w h o s e r o l e i s t o i n c u l c a t e s t u d e n t s i n t o t h e m a t h e m a t i c a l c o m m u n i t y . B e c a u s e m a n y o f t h e s e i m p e r a t i v e s a r e “ e x c l u s i v e . ” t h e r o l e o f t h e s t u d e n t i s c o n s t r u c t e d a s a " s c r i b b l e r . " T h e t e x t b o o k i s d e v o i d o f f i r s t - p e r s o n ( s i n g u l a r a n d p l u r a l ) p r o n o u n s . i n d i c a t i n g t h a t t h e p r e s e n c e o f h u m a n b e i n g s i s c o n c e a l e d . M o r g a n c l a i m s t h a t t h i s a f f e c t s h o w m a t h e m a t i c a l a c t i v i t y i s p r e s e n t e d a n d s e t s u p a d i s t a n c e r e l a t i o n s h i p b e t w e e n t h e a u t h o r a n d r e a d e r . I n t h e s e c o n d - p e r s o n p r o n o u n s . t h e a u t h o r s : ( a ) s e e m t o d e f i n e w h a t t h e r e a d e r s s h o u l d b e d o i n g . s o m e t i m e s c o n t r o l l i n g a n d d r a w i n g a t t e n t i o n t o t h e c o m m o n k n o w l e d g e o f t h e c l a s s r o o m . a n d ( b ) o b s c u r e a g e n c y b y h a v i n g i n a n i m a t e o b j e c t s p e r f o r m a n i m a t e a c t i v i t i e s . M o r g a n c o n t e n d s t h e l a t t e r i n d i c a t e s a n a b s o l u t i s t i m a g e o f m a t h e m a t i c s a s a s y s t e m t h a t c a n a c t i n d e p e n d e n t o f h u m a n s . 6 2 T h e m o d a l v e r b s i n t h e t e x t b o o k a r e m o r e a p p a r e n t i n t h e p r o b l e m i n w h i c h s h a r e d i n f o r m a t i o n i s a s s u m e d : t h a t i s . w h e r e t h e a u t h o r s d r a w o n a n e x p e r i e n c e t h a t t h e y c a n n o t k n o w i f t h e s t u d e n t s h a v e b e e n a p a r t o f o r n o t ( i . e . b a l a n c i n g o n a t e e t e r - t o n e r ) . T o s o f t e n t h e i r a s s e r t i o n s . t h e y h e d g e t h e v e r b s i n t h e p r o b l e m . T h e m o s t p r o m i n e n t f o r m s o f a s s e r t i n g i n t h e t e x t ( i . e . w o u l d . c a n . w i l l ) i n d i c a t e d t h a t i t r e p r e s e n t s a f a i r l y c e r t a i n v i e w p o i n t o f m a t h e m a t i c s . T h i s i s f u r t h e r a p p a r e n t i n t h e f o r m s o f w h i c h t h e r e a r e f e w . e . g . p r o b a b l y , m i g h t . m a y . R e a s o n i n g w a s m o d e l e d i n a n a r r a t i v e f o r m : t h a t i s . i t a p p e a r e d i n w h a t o t h e r p e o p l e d i d i n t h e t e x t b o o k . M o d e l c l a s s e s w e r e i n t r o d u c e d a s p a r t i c i p a t i n g i n c e r t a i n a c t i v i t i e s w h i c h w e r e d i s c u s s e d a n d f o l l o w e d a s t h e w a y c e r t a i n e v e n t s w o u l d o c c u r . U s u a l l y t h i s m o d e l e x a m p l e w a s f o l l o w e d b y a s e r i e s o f i m p e r a t i v e s . M o r g a n c l a i m s t h a t t h e c o m b i n a t i o n o f t e m p o r a l t h e m e s a n d i m p e r a t i v e s w o u l d c o n s t r u c t a n a l g o r i t h m t o b e f o l l o w e d . A s e r i e s o f r e - o c c u r r i n g e v e n t s s e e m e d t o b e o n e w a y i n w h i c h c o n t i n u i t y w a s p r e s e r v e d i n t h e t e x t b o o k . O t h e r w a y s t h i s w a s a c h i e v e d i n c l u d e : r e f e r r i n g - b a c k t o p a s t e v e n t s , s t a t i n g w h a t “ y o u f o u n d . ” p o i n t i n g t o w h a t " y o u w i l l ” d o a n d i n t r o d u c i n g a n d c o n t i n u i n g t o u s e i n t r o d u c e d m a t h e m a t i c a l t e r m i n o l o g y . A l l o f t h e s e c o u l d b e s e e n a s w a y s t h a t t h e t e x t b o o k a t t e m p t e d t o d e fi n e a n d c o n t r o l t h e c o m m o n k n o w l e d g e o f t h e c l a s s r o o m . T h i s m a k e s s e n s e b e c a u s e t h e a u t h o r s c a n o n l y i m a g i n e a n d d r a w o n a c o m m o n r e a d e r s h i p t h a t h a s d o n e a n d f o u n d c e r t a i n t h i n g s . W i t h o u t t h i s . t h e a c t i v i t y w o u l d n o t b e a b l e t o p r o c e e d . S o m e o f t h e d i s c o u r s e p a t t e r n s I d i s c u s s i n t h e c a s e s t u d i e s ( C h a p t e r s 6 a n d 7 ) a r e s i m i l a r t o t h o s e t h a t h a v e a p p e a r e d i n t h e t e x t b o o k . F o r e x a m p l e . K a r l a p r e s e r v e d c o n t i n u i t y b y r e f e r r i n g b a c k t o a c t i v i t i e s . d i s c u s s i o n s a n d c o n t e x t s i n t h e c l a s s r o o m . T h i s 1 : 1 ’ o v e r l a p p e d w i t h t h e t e x t b o o k s u s e o f “ y o u f o u n d " w h i c h r e f e r r e d b a c k t o a c t i v i t i e s a n d c o n t e x t s . I n a d d i t i o n , K a r l a u s e d n a r r a t i v e s t r u c t u r e s t h a t w e r e s i m i l a r t o t h o s e t h e t e x t b o o k u s e d . I n J o s h ‘ s c l a s s r o o m . t h e m o s t p r o m i n e n t d i s c o u r s e p a t t e r n w a s h i s u s e o f s t r i n g s o f q u e s t i o n s . T h i s a l s o h a p p e n e d t o b e o n e o f t h e m o s t n o t i c e a b l e a s p e c t s o f t h e t e x t b o o k . I h a v e p r e c e d e d t h e c a s e s t u d i e s b y t h i s t e x t u a l a n a l y s i s w i t h t h e i n t e n t o f i n v i t i n g t h e r e a d e r t o c o n t i n u e t o a t t e n d t o t h e a s p e c t s o f t h e t e x t b o o k t h a t a r e s i m i l a r / d i f f e r e n t f r o m t h e f o r m s o f a d d r e s s e a c h t e a c h e r i n c o r p o r a t e s i n h i s / h e r c l a s s r o o m . T h e s e w i l l b e t a k e n u p f u r t h e r i n s o m e o f t h e s e c t i o n s i n f o l l o w i n g c h a p t e r s . ‘ I w a n t t o r e m i n d t h e r e a d e r t h a t t h i s a n a l y s i s i s a p o r t r a y a l o f t h i s p a r t i c u l a r u n i t w i t h i n t h e l a r g e r C M P c u r r i c u l u m . B e c a u s e t h i s u n i t f o c u s e s o n m a t h e m a t i c a l m o d e l i n g . i t h a s s o m e a s p e c t s t o i t t h a t a r e p r o b a b l y n o t a s a p p a r e n t i n s o m e o f t h e o t h e r u n i t s . T h e r e f o r e . o n e s h o u l d n o t c o n c l u d e t h a t t h i s a n a l y s i s i s i n d i c a t i v e o f w h a t a p p e a r s i n o t h e r C M P u n i t s . w i t h t h e e x c e p t i o n t h a t t h e r e i s s t i l l a n e m p h a s i s o n f u n c t i o n a l r e l a t i o n s h i p s i n p r o b l e m - s o l v i n g c o n t e x t s u s i n g m u l t i p l e r e p r e s e n t a t i o n s ( i . e . g r a p h s . t a b l e s a n d e q u a t i o n s ) . 2 T h e s e a r e t o b e f o u n d i n C h a p t e r s 6 a n d 7 . 3 B e f o r e o f f e r i n g t h e d e t a i l e d a n a l y s i s o f t h i s u n i t . I w o u l d l i k e t o p o i n t o u t t h a t t h e t y p e o f t e x t s t h a t t h e N S F c u r r i c u l u m i n t r o d u c e d m a y b e a n e w g e n r e i n t h a t t h e y w e r e t h e f i r s t t o b e w r i t t e n ” i n c o n t e x t . ” B e c a u s e o f t h i s . t h e r e a r e m a n y m o r e w o r d s i n t h e t e x t b o o k s t h a n m o r e t r a d i t i o n a l t e x t b o o k s w h i c h m o r e o f t e n c o n s i s t o f s t r i n g s o f e q u a t i o n s a n d s y m b o l s . T h e l i t e r a t u r e o n t e x t u a l a n a l y s i s f r o m w h i c h 1 a m d r a w i n g w a s b a s e d o n t h e a n a l y s e s o f s t u d e n t t e x t s a n d m o r e t r a d i t i o n a l v e r s i o n s o f m a t h e m a t i c a l t e x t b o o k s . * I h a v e u s e d b o t h a n e l e c t r o n i c c o p y o f t h e t e x t b o o k a n d a p u b l i s h e d c o p y o f t h e t e x t b o o k i n d o i n g t h i s a n a l y s i s . S o m e o f t h e c o u n t s w e r e d o n e b y t h e c o m p u t e r . o t h e r s I d i d b y h a n d . F o r i n s t a n c e . t h e n u m b e r o f w o r d s i n t h e t e x t b o o k w a s c o u n t e d b y t h e c o m p u t e r a n d t h e n u m b e r o f i m p e r a t i v e s w e r e c o u n t e d b y h a n d b e c a u s e t h e r e w a s o f t e n m o r e t h a n o n e i n a g i v e n s e n t e n c e . 3 A d e t a i l e d a c c o u n t o f t h e l i t e r a t u r e p e r t a i n i n g t o t e a c h e r - q u e s t i o n i n g w i l l b e g i v e n i n C h a p t e r 7 . ° I n c o u n t i n g t h e s e . I d i s c o u n t e d l i n e s i n w h i c h t h e r e w e r e h e a d i n g s ( e . g . P r o b l e m ” . 1 ) . s i n g l e - w o r d e n t r i e s ( e . g . D i r e c t i o n s ) a n d h a v e e q u a t i o n s g i v e n w i t h o u t t e x t d e s c r i b i n g t h e e q u a t i o n ( e . . i n t h e A C E p r o b l e m s ) . S e n t e n c e s w e r e u s e d i n c o u n t i n g . 7 B y u s i n g t h e t e r m “ e m b e d d e d i m p e r a t i v e s , " 1 a m a c k n o w l e d g i n g t h a t 1 i n c l u d e d a l l i m p e r a t i v e s i n a s e n t e n c e . n o t j u s t t h e o n e w i t h w h i c h t h e s e n t e n c e b e g a n . F o r e x a m p l e . " M a k e a g r a p h o f t h e ( l e n g t h . b r e a k i n g w e i g h t ) d a t a f r o m y o u r e x p e r i m e n t . a n d d e s c r i b e t h e p a t t e r n y o u s e e “ ( p . 2 7 ) w a s c o u n t e d a s b e i n g t w o i m p e r a t i v e s b e c a u s e t h e r e a d e r w a s b e i n g d i r e c t e d t o “ m a k e a g r a p h " a n d “ d e s c r i b e t h e p a t t e r n . " 3 A C E p r o b l e m s a r e t h o s e t h a t a p p e a r a f t e r t h e I n v e s t i g a t i o n s a n d i s s h o r t f o r A p p l i c a t i o n s . C o n n e c t i o n s a n d E x t e n s i o n s . 9 A n i n t e r e s t i n g p o i n t a b o u t t h e M a t h e m a t i c a l R e f l e c t i o n s i s t h a t e v e n w h e n t h e b o o k s t a t e s . " t h e s e q u e s t i o n s w i l l h e l p y o u . . . ” a b o u t h a l f o f t h e r e fl e c t i o n s ( o r m o r e ) a r e a c t u a l l y i m p e r a t i v e s . ‘ 0 T h e m a j o r i t y o f t h e a c t i v i t y i n t h i s u n i t i s h a v i n g s t u d e n t s e n g a g e i n e x p e r i m e n t s . 1 w o u l d l i k e t o r e c o g n i z e t h a t g i v i n g i n s t r u c t i o n s f o r e x p e r i m e n t s l e n d s i t s e l f t o m o r e i m p e r a t i v e s t h a n t h e u n i t s t h a t h a v e f e w o r n o e x p e r i m e n t s . M o d e l s i s a n e x c e p t i o n t o t h e o t h e r t e x t s b e c a u s e o f i t s e x p e r i m e n t a l e m p h a s i s . ‘ 1 I w i l l c o m m e n t m o r e o n t h e m o d a l v e r b s i n t h e n e x t s e c t i o n . s o t h i s f o r m w i l l n o t b e a d d r e s s e d r i g h t n o w . 1 2 H e d g e s a r e “ l i n g u i s t i c p o i n t e r s t o m o m e n t s o f u n c e r t a i n t y ” ( R o w l a n d . 1 9 9 5 . p . 3 2 8 1 . ‘ 3 D e t a i l s a b o u t m o d a l i t y a n d h e d g i n g a r e g i v e n i n C h a p t e r 6 . 6 4 H E x p l i c i t e x p l a n a t i o n f o r h o w t o d o t h i n g s w a s a l s o a b s e n t f r o m t h e t e x t . H o w e v e r . I d i d n o t a d d r e s s t h a t h e r e b e c a u s e i t i s p o s s i b l e t h a t t h i s h a s m o r e t o d o w i t h t h e f a c t t h a t t h e f o c u s i n t h i s u n i t i s o n m a t h e m a t i c a l m o d e l i n g . I t m a y b e p o s s i b l e t h a t e x p l a n a t i o n s a r e n o t a s p e r t i n e n t t o m a t h e m a t i c a l m o d e l i n g t h a n o t h e r m a t h e m a t i c a l c o n t e n t . s o I d o n o t w a n t t o m a k e i n f e r e n c e s a b o u t t h i s d u e t o t h e f a c t t h a t i t m i g h t b e a t t r i b u t a b l e t o t h e c o n t e n t i n t h i s p a r t i c u l a r u n i t . 6 5 ( I : . . i i . . L 1 w ( L I I ! b . . o . i t c l v ' . 1 . . . t . I ! J I C . d . ) . 1 . . T 7 . . . . f U n u J . I t : 1 . 4 . . V I ( . . ' ‘ . ‘ ‘ . a . . J . I . L . I . . f . . . I . . . ’ 1 . 1 y r i f . ’ . . . . . ' i « I I . r 1 . : . 1 1 . C H A P T E R 5 : I N T R O D U C T I O N T O T H E T E A C H E R S B e f o r e p r o c e e d i n g . I w o u l d l i k e t o i n t r o d u c e t h e t e a c h e r s t h a t a r e t h e f o c u s o f t h e t w o c a s e s t u d i e s b y d e s c r i b i n g t h e i r b a c k g r o u n d s : t h a t i s . I s h a r e d e t a i l s a b o u t t h e i r e d u c a t i o n , e x p e r i e n c e a n d p r o f e s s i o n a l a c t i v i t y . I c o n t i n u e b y d r a w i n g o n t h e i r i n t e r v i e w s t o o f f e r s o m e o f t h e i r p h i l o s o p h y o f t e a c h i n g i n g e n e r a l a n d a b o u t t e a c h i n g m a t h e m a t i c s s p e c i fi c a l l y , h i g h l i g h t i n g t h e m a n y s i m i l a r i t i e s t h a t e x i s t b e t w e e n t h e m . a s w e l l a s s o m e d i f f e r e n c e s . B a c k g r o u n d B o t h K a r l a a n d J o s h g r e w u p i n t h e s a m e s t a t e a n d d e s c r i b e d t h e c o u n t i e s i n w h i c h t h e y g r e w u p a s f a i r l y c o n s e r v a t i v e . T h e y b o t h a t t e n d e d u n i v e r s i t i e s w i t h i n t h e s t a t e w h e n t h e y g r a d u a t e d f r o m h i g h s c h o o l . A l t h o u g h t h e i r a g e s d i f f e r b y a b o u t s e v e n y e a r s , t h e y b o t h e m e r g e d f r o m t h e i r u n d e r g r a d u a t e p r o g r a m s w i t h a B a c h e l o r o f S c i e n c e i n E l e m e n t a r y E d u c a t i o n . K a r l a m i n o r e d i n m a t h e m a t i c s a n d s c i e n c e : . 1 0 i n i n s c i e n c e . J o s h l a t e r r e t u r n e d t o s c h o o l a n d r e c e i v e d h i s M a s t e r ‘ s d e g r e e i n E l e m e n t a r y M a t h e m a t i c s E d u c a t i o n f r o m a u n i v e r s i t y i n t h e S o u t h w e s t . B o t h e a r n e d c e r t i fi c a t i o n t o t e a c h g r a d e s K - 8 i n a l l s u b j e c t a r e a s a n d K - 9 i n s c i e n c e a n d m a t h e m a t i c s . A l t h o u g h J o s h b e g a n h i s t e a c h i n g c a r e e r o u t s i d e o f t h e s t a t e . h e c a m e t o P a y s o n i n 1 9 8 6 t o t e a c h 6 ' h g r a d e a t o n e o f t h e t h r e e f e e d e r e l e m e n t a r y s c h o o l s : K a r l a b e g a n h e r t e a c h i n g c a r e e r a t t h e s a m e s c h o o l i n t h e s a m e y e a r a n d t a u g h t 4 ‘ “ . 5 ‘ " . a n d 6 1 h g r a d e s d u r i n g h e r e i g h t y e a r s t h e r e . J o s h s p e n t fi v e y e a r s a t t h e e l e m e n t a r y l e v e l a n d m o v e d t o P a y s o n M i d d l e S c h o o l i n 1 9 9 1 w h e n a l l s e c t i o n s o f s i x t h - g r a d e s t u d e n t s i n t h e d i s t r i c t w e r e r e l o c a t e d t h e r e . K a r l a m a d e t h e s w i t c h t o t h e m i d d l e s c h o o l i n 1 9 9 3 w h e n s h e 6 6 d e c i d e d t o t e a c h 7 ‘ h a n d 8 ‘ h g r a d e m a t h e m a t i c s a n d s c i e n c e . . 1 0 i n a n d K a r l a h a v e b e e n c o l l e a g u e s a n d f r i e n d s o u t s i d e o f s c h o o l f o r m a n y y e a r s . W h i l e t e a c h i n g 6 ‘ h g r a d e a t t h e e l e m e n t a r y s c h o o l . J o s h b e c a m e i n v o l v e d i n t h e M i d d l e G r a d e s M a t h e m a t i c s P r o j e c t l ( M G M P ) . J o s h i n d i c a t e d t h a t t h i s w a s t h e fi r s t t i m e t h a t h e h a d c o n s i d e r e d t h a t t h e r e w e r e m u l t i p l e w a y s f o r s o l v i n g a g i v e n p r o b l e m : [ . . . ] w h e n y o u t e a c h t r a d i t i o n a l l y a n d w h e n y o u r t e x t s a r e t r a d i t i o n a l i n n a t u r e . t h e r e u s u a l l y i s a w a y o r a c o r r e c t w a y o f d o i n g s o m e t h i n g a n d p r o b a b l y w h e n I s t a r t e d t e a c h i n g M G M P i s w h e n I fi r s t r e a l l y s t a r t e d l o o k i n g a t . w o w . t h a t ‘ s k i n d o f a c o o l w a y o f t h i n k i n g a b o u t i t . o r m a y b e t h a t ‘ s n o t a r e a l e f fi c i e n t w a y o f d o i n g i t . b u t , y o u k n o w . i t m a k e s s e n s e m a t h e m a t i c a l l y a n d I ' l l b e d a r n e d . w e g o t t h e r i g h t a n s w e r . s o [ . . . ] I t h i n k i t ’ s p r o b a b l y b e e n m o r e i n t h e l a s t t e n y e a r s o f m y t e a c h i n g w h e r e I r e a l l y s a w t h e v a l i d i t y o f l o o k i n g a t a l t e r n a t i v e s t r a t e g i e s ( I n t e r v i e w J - l , 1 1 / 2 3 / 9 9 ‘ ) . W i t h t h e s w i t c h t o t h e m i d d l e s c h o o l . J o s h w a s a s k e d t o p i l o t e a r l y v e r s i o n s o f t h e C o n n e c t e d M a t h e m a t i c s P r o j e c t ( C M P ) b e g i n n i n g w i t h t h e 6 l h g r a d e u n i t s a n d c o n t i n u i n g b y m o v i n g i n t o t h e 7 t h a n d t h e n 8 ‘ h g r a d e . S h o r t l y t h e r e a f t e r . K a r l a j o i n e d h i m a t t h e s c h o o l a n d a l s o b e c a m e i n v o l v e d i n p i l o t i n g C M P a t t h e 7 1 1 1 a n d 8 m g r a d e l e v e l s . W h i l e p i l o t i n g C M P , b o t h J o s h a n d K a r l a h a d m a n y p e o p l e w o r k i n g i n t h e i r c l a s s r o o m s t o g e t f e e d b a c k a n d h e l p w i t h i m p l e m e n t a t i o n . I n K a r l a ' s w o r d s : [ . . . ] w e h a d M S U h e r e a l l t h e t i m e a n d h a d c o n s t a n t s u p p o r t . I n f a c t . w e e v e n h a d p e o p l e r u n n i n g i n fi v e m i n u t e s b e f o r e o u r c l a s s s t a r t e d g o i n g . “ H e r e ‘ s t h e n e w l e s s o n . O h . t h a t d i d n ‘ t w o r k o u t ? T r y t h i s o n e o u t . H e r e ' s a n o t h e r o n e . " T h e r e w a s c o n s t a n t f e e d b a c k , w h i c h w a s n i c e . I ‘ v e g r o w n u p w i t h i t ( I n t e r v i e w K - 1 . 1 1 / 2 3 / 9 9 ) . J o s h a n d K a r l a w e r e a l s o p a r t o f a g r o u p o f p i l o t i n g t e a c h e r s w h o m e t a n d d i s c u s s e d t h e u n i t s a t l e a s t t w o o r t h r e e t i m e s p e r m o n t h . I n t h o s e m e e t i n g s . t h e y t a l k e d a b o u t “ w h a t d i d n ’ t w o r k [ . . . ] . t h e o r d e r o f t h e p r o b l e m s [ . . . ] a n d y o u c o u l d n ' t h e l p c o m p a r e t h e d i s c u s s i o n s t h a t h a p p e n e d i n y o u r c l a s s r o o m ” ( I n t e r v i e w J - 4 . 1 / 1 2 / 0 0 ) . 6 7 I n c o n j u n c t i o n w i t h p i l o t i n g t h i s c u r r i c u l u m . t h e c o u n t y s c h o o l d i s t r i c t r e c e i v e d a l a r g e E i s e n h o w e r g r a n t t o o f f e r s u m m e r p r o f e s s i o n a l d e v e l o p m e n t a c t i v i t y r e l a t e d t o t h e N C T M S t a n d a r d s a n d i m p l e m e n t a t i o n o f r e f o r m - o r i e n t e d m a t h e m a t i c s t e a c h i n g . T h e s e w o r k s h o p s t o o k p l a c e f o r o n e w e e k d u r i n g e a c h o f t h e s u m m e r s f r o m 1 9 9 1 t h r o u g h 1 9 9 5 a n d b o t h K a r l a a n d J o s h p a r t i c i p a t e d i n a l l o f t h e m . S o m e o f t h e p r e s e n t e r s a n d o r g a n i z e r s o f t h e s e w o r k s h o p s w e r e c o l l e a g u e s f r o m J o s h a n d K a r l a ’ s s c h o o l . T h e a c t i v i t i e s t h a t t h e y e n g a g e d i n r a n g e d f r o m o b s e r v i n g t e a c h i n g o f C M P l e s s o n s b y m o d e l t e a c h e r s t o d i s c u s s i n g t h e m e a n i n g o f “ d i s c o u r s e ” a s i t w a s p r e s e n t e d i n t h e . S ' t a n d a m l s . B o t h J o s h a n d K a r l a b e c a m e v e r y e n t h u s i a s t i c a b o u t C M P a n d s h o w e d t h i s e n t h u s i a s m b y b e c o m i n g i n v o l v e d i n t h e p r o f e s s i o n a l d e v e l o p m e n t a c t i v i t i e s C M I ’ o f f e r e d f o r i t s t e a c h e r s . J o s h n o t o n l y h e l p e d w i t h t h e i n t r o d u c t i o n w o r k s h o p s f o r C M P . b u t a l s o t r a v e l e d o u t o f s t a t e t o h e l p o t h e r s c h o o l s w h o w e r e i m p l e m e n t i n g t h e p r o g r a m . K a r l a a t t e n d e d b o t h t h e i n t r o d u c t i o n w o r k s h o p a n d t h e U s e r s C o n f e r e n c e 3 a n d b e g a n t o l e a d s o m e o f t h e p r o f e s s i o n a l d e v e l o p m e n t a c t i v i t i e s w h i l e I w a s c o l l e c t i n g t h e d a t a f o r m y d i s s e r t a t i o n . I n a d d i t i o n t o C M P d e v e l o p m e n t . b o t h K a r l a a n d J o s h b e g a n t o a t t e n d w o r k s h o p s t h a t o f f e r e d i n s t r u c t i o n i n t h e u s e o f t e c h n o l o g y . i . e . g r a p h i n g c a l c u l a t o r s a n d c o m p u t e r b a s e d d a t a c o l l e c t i o n d e v i c e s . B o t h w e r e a v i d u s e r s o f g r a p h i n g c a l c u l a t o r s a n d e n c o u r a g e d t h e i r s t u d e n t s t o u s e t h e m w h e n e v e r t h e y f e l t t h e y w a n t e d o r n e e d e d . D u r i n g t h e I 9 9 7 - 1 9 9 8 s c h o o l y e a r . J o s h a n d K a r l a j o i n e d a n a r e a a l g e b r a p r o j e c t l . I n t h e i r a c t i v i t i e s w i t h t h i s p r o j e c t . t h e y w e r e i n v o l v e d i n d i s c u s s i o n s w i t h o t h e r p r o f e s s i o n a l s a b o u t t h e n a t u r e o f a l g e b r a , a s w e l l a s i t s t e a c h i n g a n d l e a r n i n g . I n a d d i t i o n . t h e y w e r e i n v o l v e d i n d i s c u s s i n g a n d e d i t i n g a s e r i e s o f p r o b l e m s t h a t w e r e d e v e l o p e d t o a s s e s s s t u d e n t a l g e b r a l e a r n i n g a t t h e e n d o f t h e 8 ” 1 g r a d e . T h e i r c l a s s r o o m s b e c a m e s i t e s 6 8 f o r t h i s a s s e s s m e n t . T h e s e a s s e s s m e n t m a t e r i a l s a n d c o r r e s p o n d i n g s t u d e n t s o l u t i o n s w e r e t h e n u s e d t o d e v e l o p i n s t r u c t i o n a l m a t e r i a l s f o r p r e - s e r v i c e t e a c h e r s . J o s h a n d K a r l a w e r e a l s o i n v o l v e d i n t h e d e v e l o p m e n t o f t h e s e i n s t r u c t i o n a l m a t e r i a l s . w h i c h i n t e n d e d t o s u p p o r t t e a c h e r s ’ t h i n k i n g a n d u n d e r s t a n d i n g o f : ( I ) t h e n a t u r e o f a l g e b r a a s m a t h e m a t i c a l c o n t e n t . a n d ( 2 ) t h e i r o w n u n d e r s t a n d i n g o f a l g e b r a . a s w e l l a s ( 3 ) h o w t o e x a m i n e a n d e v a l u a t e s t u d e n t s ' r e s p o n s e s t o v a r i o u s a l g e b r a p r o b l e m s . J o s h a n d K a r l a a r e s t r o n g p r o p o n e n t s o f t h e C M P c u r r i c u l u m . T h e y h a v e s h o w n t h e i r e n t h u s i a s m a n d s u p p o r t f o r t h e c u r r i c u l u m i n a t l e a s t t w o w a y s . T h e fi r s t w a s i l l u s t r a t e d a b o v e — t h e y r e p r e s e n t t h e m s e l v e s a s t e a c h e r s o f C M P a t b r o a d e r l e v e l s t h a n j u s t w i t h i n t h e i r b u i l d i n g . I n t h e s e c o n d w a y . t h e y h a v e s h o w n t h e i r s u p p o r t a t l o c a l a n d r e g i o n a l l e v e l s i n d e f e n d i n g t h e c u r r i c u l u m w h e n i t h a s c o m e u n d e r fi r e a t t h e s c h o o l . a s w e l l a s b e y o n d t h e s c h o o l ’ s f o u r w a l l s ( e . g . a t t h e d i s t r i c t a n d r e g i o n a l l e v e l ) . S i n c e t h e C M P u n i t s a r e q u i t e d i f f e r e n t f r o m t r a d i t i o n a l m a t h e m a t i c s t e x t b o o k s . t h e y a l s o c a r r y w i t h t h e m t h e c o n t r o v e r s y a n d a d j o i n i n g c r i t i c i s m t h a t o f t e n a c c o m p a n i e s a n y r e f o r m - o r i e n t e d c u r r i c u l u m ( f o r e x a m p l e s o f s u c h c r i t i c i s m s a n d c o n t r o v e r s y s e e A s k e y . 1 9 9 2 : D i l l o n . 1 9 9 3 : J a c k s o n . 1 9 9 7 a : J a c k s o n . 1 9 9 7 b ) . 1 1 1 o r d e r t o p r e p a r e f o r s u c h b a c k l a s h . J o s h a n d K a r l a s p e n t o n e s u m m e r ( w i t h o t h e r t e a c h e r s i n t h e i r b u i l d i n g ) m a p p i n g t h e C M P c u r r i c u l u m o n t o t h e s t a t e s t a n d a r d s . T h a t w a y . i f t h e y ( t h e t e a c h e r s a n d t e x t b o o k s ) w e r e e v e r a c c u s e d o f n o t p r e p a r i n g t h e i r s t u d e n t s s u f fi c i e n t l y . t h e y c o u l d p o i n t t o a l l o f t h e c o n n e c t i o n s b e t w e e n C M P a n d t h e s t a t e s t a n d a r d s 5 . G e n e r a l B e l i e f s a b o u t T e a c h i n g a n d T e a c h i n g M a t h e m a t i c s B o t h t e a c h e r s h a v e d e s c r i b e d t h e i r i n v o l v e m e n t i n t h e a c t i v i t i e s a s s o c i a t e d w i t h C M P a s h i g h l y s i g n i fi c a n t t o c h a n g e s i n t h e i r t e a c h i n g . W h e n t h e y w e r e a s k e d i f t h e i r 6 9 t e a c h i n g h a d c h a n g e d a t a l l i n t h e p a s t t e n y e a r s . b o t h t e a c h e r s s a i d t h a t i t h a d . T h e y e a c h d e s c r i b e d w h a t t h e i r b e g i n n i n g t e a c h i n g s t y l e h a d b e e n l i k e : I w a s a v e r y t r a d i t i o n a l t e a c h e r f o r t h e fi r s t s i x t o s e v e n y e a r s o f m y t e a c h i n g c a r e e r w h e r e I w a s t h e p e r s o n w h o h a d t h e m a t h k n o w l e d g e a n d i t w a s m y j o b t o t a k e w h a t I k n e w a n d p r e s e n t i t t o t h e k i d s a n d k i n d a r a m i t d o w n t h e i r t h r o a t s ( I n t e r v i e w J - l . 1 1 / 2 3 / 9 9 ) . W h e n I fi r s t s t a r t e d t e a c h i n g . I ’ d s h o w h o w y o u m u l t i p l y t w o - d i g i t n u m b e r s a n d I ’ d d o a f e w e x a m p l e s a n d t h e n g i v e t h e m a w o r k s h e e t a n d t e l l t h e m , n o w d o t h i s a n d I ’ d g o s i t d o w n a n d t h a t w a s l i k e m y d o w n t i m e t o g e t e v e r y t h i n g c a u g h t u p w h e n t h e y w e r e d o i n g t h e i r p r a c t i c e . I c o u l d j u s t c o r r e c t t h e m r e a l l y q u i c k . t h e y w e r e r i g h t o r w r o n g a n s w e r s a n d t h a t w a s i t [ . . . . ] I s e t a l l t h e e x p e c t a t i o n s b e f o r e i n t h a t t o d a y w a s p a g e 7 . t o m o r r o w p a g e 8 . n e x t d a y p a g e 9 a n d t h a t ' s a l l t h e r e w a s t o i t . I f y o u d i d n ‘ t g e t i t . t o o b a d . w e ' l l g o o n t o p a g e 8 [ . . . . ] I t w a s j u s t t h e n e x t p a g e i n t h e b o o k . t h e n e x t c h a p t e r a n d t h a t ' s a l l i t w a s ( I n t e r v i e w K - l . 1 1 / 2 3 / 9 9 ) . W h i l e b o t h t e a c h e r s d e s c r i b e d t h e i r p r e v i o u s t e a c h i n g i n t e r m s o f a t r a d i t i o n a l p a r a d i g m . J o s h a c t u a l l y u s e d t h e w o r d “ t r a d i t i o n a l ” m a n y t i m e s i n e a c h o f t h e f o u r i n t e r v i e w s t o d e s c r i b e h i s e a r l y t e a c h i n g . A f t e r t h e i r i n v o l v e m e n t i n t h e C M P p i l o t i n g a n d p r o f e s s i o n a l d e v e l o p m e n t , h o w e v e r . t h e y b o t h s a i d t h a t t h e y h a d c h a n g e d : ( 1 . ) h o w t h e y t h o u g h t a b o u t t h e m a t h e m a t i c a l c o n t e n t , ( 2 . ) h o w t h e y d e fi n e d t h e i r r o l e a s t e a c h e r i n t h e c l a s s . ( 3 . ) h o w t h e y t h o u g h t s t u d e n t s s h o u l d b e e n g a g e d t o l e a r n “ . M a t h e m a t i c a l C o n t e n t T h e r e w e r e a t l e a s t t w o i d e a s r e l a t e d t o m a t h e m a t i c a l c o n t e n t t h a t a p p e a r e d i m p o r t a n t i n t h e i n t e r v i e w s w i t h t h e t w o t e a c h e r s : ( 1 . ) “ b i g i d e a s " a n d h o w t h e s e i n fl u e n c e d t h e i r t e a c h i n g . a n d ( 2 . ) t h e r o l e o f s o l u t i o n m e t h o d s i n t h e c l a s s r o o m . B i g I d e a s B o t h J o s h a n d K a r l a t a l k e d o f t e n a b o u t “ b i g i d e a s ” i n m a t h e m a t i c s a n d i n a l g e b r a i n p a r t i c u l a r . K a r l a s a i d t h o s e b i g i d e a s c h a n g e d h e r d e fi n i t i o n o f a l g e b r a : “ I s e e a l g e b r a n o w m o r e a s a s t u d y o f r e l a t i o n s h i p s a n d d i f f e r e n t w a y s o f l o o k i n g a t t h i n g s a n d h o w 7 0 t h e y c h a n g e ” ( I n t e r v i e w K - 1 . 1 1 / 2 3 / 9 9 ) . T h e " b i g i d e a s ” r e p e a t e d l y a p p e a r e d w h e n t h e t e a c h e r s t a l k e d a b o u t h o w t h e y m a d e t h e i r t e a c h i n g d e c i s i o n s . K a r l a i n d i c a t e d t h a t t h e b i g i d e a s h e l p e d h e r a n d h e r s t u d e n t s f r o m g e t t i n g l o s t . a s w e l l a s h e l p e d c o n n e c t o n e d a y ’ s l e s s o n t o t h e n e x t : I t r y t o l o o k e v e r y d a y a t w h a t ‘ s t h i s p r o b l e m s u p p o s e d t o b e a b o u t b e c a u s e t h e k i d s a n d I c a n g e t l o s t i n t h e t e x t o f t h e p r o b l e m i f i t ‘ s a b o u t b u g s o r f r o g j u m p i n g . I c a n g e t l o s t i n t h a t v e r s u s i t ‘ s s u p p o s e d t o b e a b o u t l o o k i n g a t s l o p e t h i s t i m e o r l o o k i n g a t s o m e t h i n g g o i n g d o w n a n d c o m i n g b a c k u p a g a i n [ . . . . ] I k n o w w h e n I l o s e t h e b i g i d e a o f w h a t t h a t p r o b l e m i s s u p p o s e d t o b e a b o u t o r e v e n w h a t t h e w h o l e i n v e s t i g a t i o n i s s u p p o s e d t o b e a b o u t . w e c a n g o o f f o n t a n g e n t s a n d t h e n e v e r y b o d y ’ s c o n f u s e d [ . . . . ] W e ’ r e f o c u s e d o n w h a t t h i s m a t h i d e a w a s t h e n t h e n e x t d a y ’ s b i g i d e a c o u l d c o n n e c t w i t h t h e o n e b e f o r e i t ( I n t e r v i e w K - 2 . 1 2 / 1 7 / 0 0 ) . K a r l a a l s o t a l k e d a b o u t h o w t h e b i g i d e a s k e p t h e r q u e s t i o n s f o c u s e d o n t h e g o a l s t h a t s h e w a n t e d t o a c h i e v e m a t h e m a t i c a l l y . J o s h s e e m e d t o u s e t h e s e i n a s i m i l a r m a n n e r ; h o w e v e r , h i s f o c u s w a s o n k e e p i n g h i s o w n p u r p o s e d e f i n e d : [ . . . ] b e f o r e y o u s t a r t a l e s s o n , b e f o r e y o u s t a r t a p a r t i c u l a r p r o b l e m y o u r e a l l y w a n t t o s a y , “ O k a y . w h a t n o w . w h a t d o I r e a l l y w a n t t o g e t o u t h e r e ? ” I m e a n . w h a t d o I r e a l l y w a n t t h e k i d s t o t a k e a w a y f r o m t h i s ? W h a t d o t h e y r e a l l y h a v e t o h a v e a fi r m u n d e r s t a n d i n g ? A n d t h a t s o u n d s r e a l s i m p l e . b u t w i t h C M P t h e r e ‘ s s o m e t i m e s s o m a n y o t h e r i d e a s t h a t a r e . t h a t c o m e u p w i t h t h a t p a r t i c u l a r p r o b l e m . s o m e t i m e s y o u g e t l o s t a n d y o u k i n d o f f o r g e t w h a t t h e r e a l p u r p o s e w a s ( I n t e r v i e w J - 2 . 1 2 / 1 7 / / 9 9 ) . B e f o r e b e i n g i n t r o d u c e d t o m a t h e m a t i c s i n t e r m s o f t h e “ b i g i d e a s . ” b o t h K a r l a a n d J o s h t a l k e d a b o u t t h e t e x t b o o k s e t t i n g t h e i r p a c e . N o w K a r l a l i k e d t h e fl e x i b i l i t y t h a t f o c u s i n g o n t h e b i g i d e a s o f f e r e d t o h e r t e a c h i n g . P r i o r t o t h i n k i n g a b o u t m a t h e m a t i c s i n t h i s m a n n e r . s h e h a d s c h e d u l e d h e r t e a c h i n g t o m o v e p a g e b y p a g e . d a y b y d a y . [ . . . ] i t s fl e x i b l e e n o u g h t h a t i f t h e r e a r e c e r t a i n p a r t s o f a u n i t t h a t w e n e e d t o s l o w d o w n o n . w e c a n o r c e r t a i n t h i n g s c a n s p e e d u p [ . . . ] h o w w e p r o g r e s s o n t h e b i g i d e a s c h a n g e s f r o m d a y t o d a y a l m o s t a n d I d o n ‘ t h a v e t h a t e x p e c t a t i o n a n y m o r e b e c a u s e I s a i d w e ’ r e g o i n g t o b e o n p a g e 7 . w e ‘ r e g o i n g t o b e o n p a g e 7 ( I n t e r v i e w K - l , 1 1 / 2 3 / 9 9 ) . 7 1 S o l u t i o n M e t h o d s A s I m e n t i o n e d e a r l i e r . J o s h ' s b i g g e s t r e p o r t e d c h a n g e w a s l o c a t e d i n t h e f a c t t h a t h e n o w s a w t h a t t h e r e w e r e m u l t i p l e a p p r o a c h e s t o s o l v i n g m a t h e m a t i c s p r o b l e m s a n d b e l i e v e d t h a t t h e s e w e r e i m p o r t a n t t o s t u d e n t l e a r n i n g o f t h e m a t e r i a l . H e d i d s t a t e t h a t h i s t e a c h i n g m e t h o d s w e r e s t i l l “ f a i r l y t r a d i t i o n a l ” ; h o w e v e r . t h e b i g c h a n g e f o r h i m c a m e i n t h e w a y h e t h o u g h t a b o u t t h e c o n t e n t a n d t h a t d i r e c t l y a f f e c t e d t h e w a y t h a t h e t a u g h t . [ S t u d e n t s ] k i n d a k n o w t h a t t h e r e ‘ s m o r e t h a n o n e w a y o f s o l v i n g a p r o b l e m a n d t h a t w e ’ r e l o o k i n g f o r m u l t i p l e s t r a t e g i e s . m u l t i p l e w a y s o f w r i t i n g s o l u t i o n s a n d t h a t w e w a n t t h e m t o t a l k a n d e x p l a i n h o w w e g o t t h o s e s o l u t i o n s . S o . I t h i n k t h e m k n o w i n g t h a t c o m i n g i n m a d e m y j o b a w h o l e l o t e a s i e r a n d I j u s t t r y t o f a c i l i t a t e t h a t i d e a a l i t t l e b i t [ . . . . ] I t r y t o a s k s o m e o f t h e r i g h t q u e s t i o n s . a l t h o u g h , m a n y t i m e s I f o u n d m y q u e s t i o n s w e r e s o m e t i m e s l e a d i n g . m a y b e t o o l e a d i n g , b u t t o m e t h a t w a s t h e w a y ( I n t e r v i e w J - l . 1 1 / 2 3 / 9 9 ) . K a r l a o r i g i n a l l y c h o s e t o t e a c h m a t h b e c a u s e “ i t w o u l d b e e a s y b e c a u s e t h e r e i s a r i g h t a n d a w r o n g a n s w e r a n d t h a t ' s a l l t h e r e i s t o i t ” ( I n t e r v i e w K - 1 . 1 1 . 2 3 / 9 9 ) . H o w e v e r . s h e a l s o n o w b e l i e v e d t h a t t h e r e w a s m o r e t h a n o n e w a y t o t a c k l e a p r o b l e m — — “ i t ‘ s n o t j u s t c u t a n d d r y a n y m o r e ” ( I n t e r v i e w K - 1 . 1 1 / 2 3 / 9 9 ) . S h e s t a t e d t h a t s h e s t i l l b e l i e v e d t h a t t h e r e w a s a “ r i g h t a n s w e r , [ b u t ] t h e w a y k i d s g o a b o u t t h e a n s w e r o r t h e w a y t h e y e x p l a i n t h e a n s w e r c a n b e s o m u c h d i f f e r e n t ” ( I n t e r v i e w K - l . 1 1 / 2 3 / 9 9 ) . T h i s c h a n g e m a d e h e r j o b a s a t e a c h e r m u c h h a r d e r b e c a u s e s h e h a d t o k e e p t r a c k o f e v e r y t h i n g s t u d e n t s w e r e s a y i n g . I n a d d i t i o n t o u s i n g t h e “ b i g i d e a s ” i n t h e i r t e a c h i n g a n d a d d r e s s i n g m u l t i p l e w a y s f o r s o l v i n g p r o b l e m s . b o t h J o s h a n d K a r l a i n d i c a t e d t h a t t h e y . t h e m s e l v e s . h a d l e a r n e d a l o t o f m a t h e m a t i c s w h i l e u s i n g t h e C M P t e x t b o o k s 7 . T h e y b o t h s a i d t h a t t h e t e x t b o o k s h e l p e d t h e m t o u n d e r s t a n d s o m e o f t h e w h y ’ s a n d t o s e e s o m e o f t h e c o n n e c t i o n s . F o r 7 2 e x a m p l e , J o s h s a i d t h a t h e h a d j u s t t a k e n f o r g r a n t e d t h a t d i v i s i o n b y z e r o w a s u n d e fi n e d . A f t e r t e a c h i n g t h e C M P c u r r i c u l u m . h e n o w k n e w w h v i t w a s u n d e f i n e d . R o l e a s T e a c h e r A l t h o u g h b o t h J o s h a n d K a r l a r e c o g n i z e d t h a t m a n y o f t h e c h a n g e s i n t h e i r t e a c h i n g r e s u l t e d f r o m t h e m o r e i n n o v a t i v e c u r r i c u l u m . t h e y w e r e a l s o a w a r e t h a t t h i s a l o n e w a s n o t e n o u g h t o c h a n g e w h a t w a s h a p p e n i n g i n t h e i r c l a s s r o o m s . T h e y r e c o g n i z e d t h a t t h e y n e e d e d m o r e t o c h a n g e t h e i r ' t r a d i t i o n a l ‘ t e a c h i n g : I t w a s p r o b a b l y t w o o r t h r e e y e a r s a f t e r w e h a d s t a r t e d t o l o o k a t c u r r i c u l u m d i f f e r e n t l y w h e n w e s t a r t e d t h i n k i n g . “ O h . m y g o s h . w e c a n ’ t j u s t d o a c u r r i c u l u m d i f f e r e n t l y w i t h o u t t h e t e a c h e r b e i n g d i f f e r e n t ! ” ( I n t e r v i e w K - 2 . 1 2 / 1 7 / 9 9 ) . M G M P w a s s u c h a g i g a n t i c s t e p a n d h u g e c h a n g e f o r m e . t h e t e a c h e r t a l k a t t h a t t i m e I t h o u g h t w a s c r u c i a l . I f y o u w o u l d ‘ v e g i v e n m e [ . . . ] j u s t t h e s t u d e n t m a t e r i a l s , I p r o b a b l y w o u l d ‘ v e b u t c h e r e d t h a t . I w o u l d ‘ v e t a k e n t h a t a n d t a u g h t i t a s t r a d i t i o n a l l y a s p o s s i b l e ( I n t e r v i e w J - 4 . 1 / 0 7 / 0 0 ) . J o s h d e s c r i b e d t h i s “ t e a c h e r - t a l k ” a s b e i n g m o s t i n fl u e n t i a l i n c h a n g e s i n h i s t e a c h i n g . W h e n I a s k e d h i m w h a t h e t h o u g h t t h i s h a d d o n e . h e r e p l i e d : [ . . . ] t h e t e a c h e r t a l k w a s a g r e a t b e n e fi t b e c a u s e t h a t w a s r e a l l y t h e fi r s t t i m e w h e n I r e a l l y s t a r t e d p u s h i n g t h e ‘ w h y ’ s ‘ a n d g e t t i n g a t a l t e r n a t i v e s t r a t e g i e s a n d r e a l l y d e v e l o p i n g a t r u e u n d e r s t a n d i n g a n d a s k i n g t h e r i g h t k i n d s o f q u e s t i o n s [ . . . . ] [ M G M P ] g a v e b i g i d e a s . j u s t l i k e i n C M P . S o y o u k i n d o f k n e w g o i n g i n t o i t w h e r e y o u w a n t t o e v e n t u a l l y g o . b u t i t w o u l d l i t e r a l l y g i v e y o u q u e s t i o n s . s a m p l e q u e s t i o n s t o a s k . A n d , t h e y w o u l d l i s t p o s s i b l e s t u d e n t r e s p o n s e s o f w h i c h t h e r e w e r e m a n y a n d i t w o u l d a s k — i f t h e s t u d e n t w a s l o o k i n g a t i t f r o m t h i s p o i n t . m a y b e a s k t h i s q u e s t i o n ( I n t e r v i e w J - 4 . 1 / 0 7 / 0 0 ) . A l t h o u g h J o s h r e c o g n i z e d t h a t q u e s t i o n s m i g h t h e l p h i m g e t s t u d e n t s t h i n k i n g a b o u t a l t e r n a t i v e s t r a t e g i e s a n d r e a s o n i n g . t h i s a s p e c t o f h i s t e a c h i n g w a s d i f fi c u l t b e c a u s e b e “ m a n y t i m e s f o u n d m y q u e s t i o n s w e r e s o m e t i m e s l e a d i n g . m a y b e t o o l e a d i n g . b u t t o m e t h a t w a s t h e w a y ” ( I n t e r v i e w J - l . 1 1 / 2 3 / 9 9 ) . K a r l a d e s c r i b e d h e r b i g g e s t c h a n g e a s r e s u l t i n g f r o m t h e c o l l e g i a l i n t e r a c t i o n s t h e p i l o t i n g p r o c e s s h a d o f f e r e d h e r . I n p a r t i c u l a r . K a r l a w a s i n fl u e n c e d b y t w o o f h e r c o l l e a g u e s . M a r c i e a n d T a m m y . S h e d e s c r i b e d h e r i n t e r a c t i o n s w i t h M a r c i e a s : i n fi l t r a t [ i n g ] m y l i f e a n d m a k i n g m e t h i n k a b o u t t h i n g s a n d r e a d i n g t h i n g s a n d w o r k i n g w i t h o t h e r c o l l e a g u e s [ . . . ] a n d s t a r t i n g t o t h i n k " O h m y g o s h . I d o n ’ t k n o w w h a t t h e s e k i d s k n o w ! ” T h e n I s t a r t e d t o w o r r y a b o u t t h e f a c t t h a t t h e r e w a s m o r e t h a n j u s t t h e a n s w e r . T h e n I s t a r t e d w o r r y i n g a l l t h e t i m e a b o u t d o t h e y r e a l l y k n o w t h e a n s w e r o r a r e t h e y j u s t c o p y i n g w h a t I ’ m d o i n g ? ( I n t e r v i e w K - l . 1 1 / 2 3 / 9 9 ) . S h e a l s o s a i d k n o w i n g t h i s h a d c h a n g e d t h e w a y t h a t s h e t a u g h t b e c a u s e s h e n o w t r i e d t o l i s t e n t o s t u d e n t s m o r e a n d b a s e h e r l e s s o n o n t h e i r i d e a s : [ . . . ] b e f o r e I f e l t l i k e I h a d t o b e t h e a l l k n o w i n g . a l l p o w e r f u l . I k n o w w h a t ’ s b e s t f o r y o u [ . . . ] j u s t w a t c h m e a n d d o t h i s a g a i n . y o u ’ l l g e t i t [ . N o w ] I l i s t e n t o t h e m s a y t h i n g s l i k e . “ B u t I t r a c e d t h e g r a p h a n d g o t t h a t y - i n t e r c e p t . ” t h a t m a k e s m e g o . “ W e n e e d t o t a l k a b o u t y - i n t e r c e p t s o m e m o r e ” ( I n t e r v i e w K - 1 . 1 1 / 2 3 / 9 9 ) . F o l l o w i n g o b s e r v a t i o n s . M a r c i e a n d K a r l a w o u l d s i t d o w n a n d t a l k a b o u t t h e c l a s s s e s s i o n . M a r c i e w o u l d a s k K a r l a q u e s t i o n s : " W h a t w a s y o u r m a t h e m a t i c a l g o a l t o d a y ? W h a t d o y o u t h i n k t h e k i d s l e a r n e d t o d a y ? ” K a r l a s a i d s h e w o u l d r e s p o n d . “ I d o n ' t k n o w w h a t t h e y l e a r n e d t o d a y . W e w e r e s u p p o s e d t o d o b l a h . b l a h . b l a h . ” W h e n M a r c i e p o i n t e d o u t t h a t K a r l a w a s r e a l l y t a l k i n g a b o u t w h a t t h e y w e r e “ s u p p o s e d ” t o d o . K a r l a r e p l i e d . “ W o w , I n e v e r r e a l l y t h o u g h t a b o u t i t t h a t w a y ” ( I n t e r v i e w K — 2 . 1 2 / 0 2 / 9 9 ) . N o t o n l y d i d K a r l a b e g i n t o t h i n k m o r e a b o u t w h a t s t u d e n t s w e r e u n d e r s t a n d i n g a n d w h a t s h e m i g h t d o w i t h t h a t i n f o r m a t i o n . b u t s h e a l s o b e g a n t o r e a l i z e t h a t s h e n e e d e d t o l e t s t u d e n t s h a v e m o r e c o n t r o l : I k n e w I h a d t o c h a n g e . I c o u l d n ’ t j u s t a n s w e r a l l t h e i r q u e s t i o n s . I s t i l l d o . b u t I t r y n o t t o s a y . “ Y o u ’ r e r i g h t . y o u ’ r e w r o n g t h e a n s w e r ’ s 3 6 . n o w l e t ’ s g o o n t o t h e n e x t o n e . ” I t ’ s , “ W h y d o y o u t h i n k 5 0 ? . ” “ W h a t d o o t h e r p e o p l e t h i n k ? ” I t r y n o t t o b e t h e o v e r a l l j u d g e a l l t h e t i m e . I t r y t o c r e a t e a n a t m o s p h e r e w h e r e t h e y ’ l l d o t h a t . I d o n ’ t a l w a y s . b u t t h a t ’ s m y g o a l [ . . . . ] I f I ’ m t h e a l l - k n o w i n g a n d I g i v e 7 4 a l l t h e a n s w e r s . t h e y d o n ’ t f e e l l i k e t h e y h a v e t o d o a n y t h i n g ( I n t e r v i e w K - 4 . 1 / 0 7 / 0 0 ) . J o s h h a d a s i m i l a r “ e y e o p e n e r ” w h i l e d i s c u s s i n g s t u d e n t w o r k a t s o m e o f t h e d i s t r i c t p r o j e c t m e e t i n g s . H e s a i d h e r e c o g n i z e d t h a t h i s s t u d e n t s w e r e n o t d o i n g s o m e o f t h e t h i n g s t h a t o t h e r t e a c h e r ’ s s t u d e n t s w e r e d o i n g m a d e h i m r e a l i z e h e m a y h a v e b e e n l i m i t i n g t h e m . W h e n I a s k e d h i m h o w t h i s i n fl u e n c e d w h a t h e d i d i n h i s c l a s s r o o m . h e m e n t i o n e d t h a t h e b e g a n t o l i s t e n m o r e c a r e f u l l y t o w h a t s t u d e n t s w e r e s a y i n g : I t h i n k I w a s a l i t t l e m o r e w i l l i n g t o l i s t e n . S o m e t i m e s i f a k i d s t a r t s e x p l a i n i n g h o w h e o r s h e i s l o o k i n g a t a p r o b l e m . w h e n t h e y fi r s t s t a r t t a l k i n g a n d s h o w i n g w h a t t h e y ’ r e d o i n g . i t m a k e s a b s o l u t e l y n o s e n s e . B u t . i f y o u g i v e t h e m a c h a n c e t o r e a l l y g o o n a b o u t i t [ . . . ] d o w n t h e r o a d y o u g e t a l i t t l e g l i m p s e o f h o w t h e p e r s o n i s t h i n k i n g . A n d o f t e n t i m e s . i t ’ l l m a k e s e n s e a n d i f i t d o e s n ’ t a t l e a s t d o w n t h e r o a d i f y o u r e a l l y l i s t e n y o u ’ l l s e e [ . . . ] w h e r e t h e k i d r e a l l y i s o n t r a c k a n d t h e n y o u m a y b e c a n t a k e w h a t t h e y k n o w a n d k i n d a e i t h e r d e v e l o p i t o r r e fi n e i t s o m e w a y ( I n t e r v i e w J - 3 . 1 2 / 1 7 / 9 9 ) . E n g a g i n g S t u d e n t s t o L e a r n K a r l a s a i d t h a t h e r i n c r e a s e d a t t e n t i o n t o l i s t e n i n g t o s t u d e n t s h a d c r e a t e d a d i f f e r e n t v i e w a b o u t s t u d e n t l e a r n i n g f o r h e r . I t m a d e h e r b e l i e v e t h a t s t u d e n t s n e e d e d t o s t r u g g l e t h r o u g h s o m e o f t h e m a t h e m a t i c s t o u n d e r s t a n d i t . T h i s r e a l i z a t i o n s e e m e d t o b e m o r e p r o m i n e n t i n t h e c o n t e x t o f p a c i n g : t h a t i s . w h e n K a r l a t a l k e d a b o u t b e i n g r u s h e d a n d h a v i n g t o p r e s e n t i n f o r m a t i o n m o r e . s h e n o t i c e d t h a t s t u d e n t s d i d n o t s e e m t o u n d e r s t a n d t h e m a t h e m a t i c s a s w e l l b e c a u s e t h e y w e r e n o t e n g a g e d i n i t i n t h e s a m e w a y : [ . . . ] w h e n I f a l l b a c k [ i n t o ] “ D o t h i s a n d d o t h i s a n d c o p y w h a t I h a v e o n t h e b o a r d . ” a n d t h e n I g i v e a q u i z a n d n o o n e k n o w s w h a t t h e y a r e d o i n g a n y m o r e [ . . . . ] I a c t u a l l y e n d u p l o s i n g i n t h e l o n g r u n . I k n o w t h a t t h e r e ’ s b e e n t i m e s w h e n [ . . . ] I f e l t l i k e I d i d t o o m u c h o f i t . I w r o t e i t a l l o n t h e b o a r d a n d . “ O k a y . w r i t e i t i n y o u r n o t e s . ” [ . . . ] i f I a s k t h e m t o m o r r o w . I d o n ’ t k n o w t h a t a n y o n e w o u l d b e a b l e t o d o s o m e t h i n g w i t h a n e w s i t u a t i o n [ . . . ] b e c a u s e I d i d i t a n d t h e y j u s t w a t c h e d m e d o i t a n d I k n o w t h a t i t ’ s n o t a s p o w e r f u l a s w h e n t h e y s t r u g g l e t h r o u g h i t t h e m s e l v e s a n d b e c o m e p a r t o f i t ( I n t e r v i e w K - l , 1 1 / 2 3 / 9 9 ) . 1 . . - . . I . . . t p l r n - l ‘ D U . . . 1 . r f t r u t h ! t o . i . r . . O n e o f t h e w a y s t h a t K a r l a e n c o u r a g e d h e r s t u d e n t s t o t a l k m o r e b y n o t r e q u i r i n g t h e m t o r a i s e t h e i r h a n d s b e c a u s e s h e d i d n o t w a n t t o s u p p r e s s t h e i r i d e a s : I d o n ’ t h a v e a . “ Y o u m u s t r a i s e y o u r h a n d a n d I d e c i d e w h o t a l k s ” t h i n g . I ’ m a f r a i d o f s t i fl i n g a n i d e a w h e n i t ’ s c o m i n g o u t . I t r y t o s e t i t u p t h a t w h e n t h e y a r e d o i n g s o m e t h i n g a n d a n i d e a c o m e s t o y o u . y o u c a n g e t i t o u t o n t h e t a b l e . I t r y t o m a k e i t s o t h e y c a n d i s a g r e e . I ’ m a l w a y s a s k i n g . “ W h a t d o o t h e r p e o p l e t h i n k a b o u t t h a t ? ” w i t h o u t m y s e l f s a y i n g . “ I d o n ’ t a g r e e w i t h t h i s b e c a u s e . ” I d o n ’ t w a n t t h e m t o w a i t f o r m e t o s a y . “ Y e s . i t ’ s r i g h t ” o r t h a t t h e r e i s t h e c o r r e c t a n s w e r [ . . . . ] I h a v e a n e x p e c t a t i o n o f . “ O k a y . t h r e e ’ s t h e a n s w e r . w h y i s i t t h e a n s w e r ? W h e r e d i d y o u g e t t h r e e ? C a n y o u e x p l a i n t o s o m e b o d y e l s e h o w i t ’ s t h r e e ? ” ( I n t e r v i e w K - 1 . 1 1 / 2 3 / 9 9 ) . B e c a u s e J o s h n o w b e l i e v e d t h a t t h e r e w e r e m u l t i p l e s o l u t i o n m e t h o d s f o r m a t h e m a t i c s p r o b l e m s , h e r e c o g n i z e d t h a t t h i s d i r e c t l y a f f e c t e d h o w h e e n g a g e d s t u d e n t s i n l e a r n i n g . F o r e x a m p l e . h e n o w h a d s t u d e n t s w o r k i n g i n s m a l l g r o u p s . f o c u s i n g o n g e n e r a t i n g m u l t i p l e s o l u t i o n s t r a t e g i e s : T w e l v e y e a r s a g o I n e v e r w o u l d h a v e d r e a m e d o f h a v i n g k i d s w o r k i n g r o u p s o f t h r e e o r f o u r f o r a n e n t i r e c l a s s r o o m p e r i o d o n a s e t o f p r o b l e m s . A n d . I l o o k b a c k o n i t a n d I c a n ’ t i m a g i n e w h y I w o u l d n ’ t h a v e d o n e t h a t ( I n t e r v i e w J - l . 1 1 / 2 3 / 9 9 ) . W h i l e J o s h t h o u g h t w o r k i n g i n s m a l l g r o u p s w a s “ w o n d e r f u l . ” h e a l s o s t a t e d t h a t h e “ s t i l l t r i e d t o k e e p a p r e t t y g o o d h a n d l e o n t h e d i r e c t i o n [ . . . b e c a u s e ] I ’ v e a l w a y s f e l t t h a t I h a d t o h a v e c o n t r o l o v e r t h e c l a s s r o o m ” ( I n t e r v i e w J - l . 1 1 / 2 3 / 9 9 ) . S m a l l - g r o u p i n t e r a c t i o n s l e d J o s h t o s e e h o w p o w e r f u l c o - o p e r a t i v e l e a r n i n g c o u l d b e . E a r l y i n h i s i n v o l v e m e n t w i t h C M P . h e fi r s t o b s e r v e d a " t r u l y g i f t e d s t u d e n t ” a n d s t u d e n t s w h o s t r u g g l e d w i t h t h e m a t h e m a t i c a l c o n t e n t b o t h b e n e f i t f r o m w o r k i n g t o g e t h e r — “ [ i t ] o p e n e d m y e y e s t h a t k i d s w i t h m u l t i p l e a b i l i t i e s c o u l d d o w e l l i n t h i s t y p e o f c u r r i c u l u m . T h a t n o t o n l y c o u l d t h e y d o w e l l . b u t t h a t t h e s t r e n g t h o f t h e c u r r i c u l u m w a s h a v i n g h e t e r o g e n e o u s g r o u p i n g ” ( I n t e r v i e w J - 3 . 1 2 / 1 7 . 1 / 9 9 ) . K a r l a h a d a s i m i l a r e x p e r i e n c e t h a t c h a n g e d h e r b e l i e f s a b o u t t r a c k i n g s t u d e n t s . 7 6 ( t r u m r r . J ‘ 9 o v _ . fl I > h r b o . I . . ) . o I U J . . . | 1 M ( . . n . E P r i o r t o C M P . s h e h a d b e e n a p r o p o n e n t o f t r a c k i n g : I u s e d t o b e a h u g e t r a c k i n g p e r s o n . I n m y s e c o n d h o u r ” . I w o u l d h a v e n e v e r s a i d t h a t t h e y c o u l d a t t a c k a l g e b r a a f e w y e a r s a g o . I w o u l d h a v e s a i d t h a t t h e y s t i l l n e e d t o w o r k o n t h e i r m u l t i p l i c a t i o n f a c t s a n d d r i l l t h o s e f r a c t i o n s a n d I w o u l d r e a l l y b e p u s h i n g f o r t h o s e l o w l e v e l k i d s — d o n ’ t e v e n l e t t h e m a t t e m p t a l g e b r a [ . . . ] I t i s t h e m o s t i n c r e d i b l e c l a s s . l i s t e n i n g t o t h e w a y t h e y t a l k t o e a c h o t h e r a n d t h i n g s s o m e o f t h e s e s p e c i a l e d [ u c a t i o n ] k i d s s a y a b o u t a l g e b r a - i t j u s t b l o w s m y m i n d . I t h i n k a l o t d i f f e r e n t l y a b o u t w h a t k i d s c a n d o ( I n t e r v i e w K — 1 . 1 1 / 2 3 / 9 9 ) . N o t o n l y d i d J o s h a n d K a r l a c h a n g e h o w t h e y t h o u g h t a b o u t m a t h e m a t i c a l c o n t e n t . t e a c h i n g a n d l e a r n i n g , b u t t h e y a l s o n o w b e l i e v e d t h a t a l l s t u d e n t s c o u l d b e n e fi t f r o m w o r k i n g t o g e t h e r o n m a t h e m a t i c s a n d t h a t a l l s t u d e n t s c o u l d g a i n a c c e s s t o h i g h e r - l e v e l m a t h e m a t i c s w i t h o u t b e i n g “ f a s t ” w i t h b a s i c f a c t s ( e . g . a d d i n g . s u b t r a c t i n g . m u l t i p l y i n g a n d d i v i d i n g ) . S u m m a r y J o s h a n d K a r l a g r e w u p i n t h e s a m e s t a t e i n w h i c h t h e y b o t h r e c e i v e d a n u n d e r g r a d u a t e d e g r e e i n e l e m e n t a r y e d u c a t i o n . W h i l e J o s h b e g a n h i s t e a c h i n g c a r e e r o u t s i d e o f t h e s t a t e a n d w o r k e d o n h i s M a s t e r ’ s d e g r e e i n e l e m e n t a r y m a t h e m a t i c s e d u c a t i o n . t h e y b o t h e n d e d u p w i t h t h e s a m e c e r t i fi c a t i o n t h a t a l l o w e d t h e m t o t e a c h K - 8 i n a n y s u b j e c t m a t t e r a n d K - 9 i n m a t h e m a t i c s a n d s c i e n c e . T h e y b o t h c a m e t o t h e P a y s o n S c h o o l d i s t r i c t i n t h e s a m e y e a r a n d t a u g h t i n t h e s a m e t w o s c h o o l s t h e r e . A t t h e m i d d l e s c h o o l , t h e y b o t h w e r e h e a v i l y i n v o l v e d i n l p i l o t i n g a n d a d o p t i n g t h e C o n n e c t e d M a t h e m a t i c s P r o j e c t i n s i m i l a r w a y s . W h i l e t e a c h i n g t h i s c u r r i c u l u m . t h e y a t t e n d e d m a n y o f t h e s a m e p r o f e s s i o n a l d e v e l o p m e n t a c t i v i t i e s t h a t h e l p e d t h e m t h i n k a b o u t c h a n g i n g t h e i r t e a c h i n g p r a c t i c e s t o b e c o m e m o r e a l i g n e d w i t h t h e N C T M S t a n d a r d s . T h e s e a c t i v i t i e s a n d e x p e r i e n c e s c h a n g e d t h e w a y J o s h a n d K a r l a t h o u g h t a b o u t m a t h e m a t i c a l c o n t e n t . t h e w a y t h a t m a t h e m a t i c s s h o u l d b e t a u g h t a n d h o w s t u d e n t s 5 2 . . ( . I t . T l fi f r r s h o u l d b e e n g a g e d i n t h e c l a s s r o o m . B o t h n o w s a w t h e m a t h e m a t i c a l c o n t e n t a s b e i n g m a d e u p o f “ b i g i d e a s . ” W h i l e t h e s e b i g i d e a s g u i d e d t e a c h i n g d e c i s i o n s a n d h e l p e d f o c u s c l a s s r o o m a c t i v i t i e s f o r b o t h t e a c h e r s . K a r l a a l s o d e s c r i b e d t h e m a s a l l o w i n g h e r m o r e fl e x i b i l i t y i n h e r p a c i n g . S h e c o u l d n o w b a s e h e r p a c e o n w h a t s h e h e a r d s t u d e n t s s a y i n s t e a d o f m o v i n g p a g e - b y - p a g e . T h e b i g g e s t c h a n g e f o r J o s h r e l a t e d t o c o n t e n t w a s t h a t h i s p e r c e p t i o n a b o u t w h a t a m a t h e m a t i c s s o l u t i o n c o u l d l o o k l i k e h a d c h a n g e d . H e fi r m l y b e l i e v e d t h a t m u l t i p l e s o l u t i o n s w e r e i m p o r t a n t a n d t h i s i n fl u e n c e d m u c h o f w h a t h e d i d i n h i s c l a s s r o o m . K a r l a a l s o b e l i e v e d t h i s t o b e t r u e a n d n o l o n g e r s a w m a t h e m a t i c s a s b e i n g “ c u t a n d d r y . ” E v e n t h o u g h t h e c u r r i c u l u m h a d a n i m p a c t o n t h e i r t e a c h i n g . b o t h J o s h a n d K a r l a r e c o g n i z e d t h e f a c t t h a t t h e y a l s o h a d t o t h i n k d i f f e r e n t l y a b o u t t h e i r r o l e a s t e a c h e r s i n t h e c l a s s r o o m . F o r J o s h . t h i n k i n g a b o u t t e a c h e r - t a l k h a d l e d h i m t o t h i n k h a r d e r a b o u t t h e t y p e s o f q u e s t i o n s h e a s k e d i n t h e c l a s s r o o m a n d h o w t h i s m i g h t b e r e l a t e d t o s t u d e n t u n d e r s t a n d i n g . H e r e c o g n i z e d t h a t t h i s w a s h a r d t o d o a n d t h a t m a n y o f h i s q u e s t i o n s w e r e m a y b e “ t o o l e a d i n g . ” H o w e v e r , h e a l s o b e l i e v e d t h a t t h i s t y p e o f c o n t r o l w a s i m p o r t a n t t o k e e p i n g t h e c o n v e r s a t i o n f o c u s e d o n t h e m a t h e m a t i c s . T h e c o l l e g i a l i n t e r a c t i o n s w i t h w h i c h K a r l a w a s i n v o l v e d m a d e h e r t h i n k d i f f e r e n t l y a b o u t h e r t e a c h i n g . S h e b e g a n t o l i s t e n t o s t u d e n t s m o r e a n d u s e t h a t t o g u i d e h e r t e a c h i n g . S h e a l s o r e c o g n i z e d t h a t s h e n e e d e d t o c h a n g e h e r r o l e i n t h e c l a s s r o o m a n d n o t a l w a y s b e t h e “ a l l - k n o w i n g . ” I n s t e a d o f t e l l i n g s t u d e n t s t h e y w e r e c o r r e c t . s h e b e g a n t o u s e q u e s t i o n s . h o p i n g s t u d e n t s w o u l d b e g i n t o j u d g e s o l u t i o n s a n d i d e a s . T h i s l i s t e n i n g t o s t u d e n t s l e d K a r l a t o b e l i e v e t h a t s t u d e n t s n e e d e d t o s t r u g g l e w i t h t h e m a t h e m a t i c s t o “ t r u l y o w n i t . ” S h e r e c o g n i z e d t h a t w h e n e v e r s h e m o v e d b a c k 7 8 i n t o p r e s e n t i n g i n f o r m a t i o n . s t u d e n t s d i d n o t u n d e r s t a n d t h e m a t h e m a t i c s i n t h e s a m e w a y . J o s h ’ s b e l i e f i n m u l t i p l e s o l u t i o n m e t h o d s l e d h i m t o i n c o r p o r a t i n g c o - o p e r a t i v e l e a r n i n g i n w h i c h s t u d e n t s w o u l d e n g a g e i n fi n d i n g a n d d i s c u s s i n g m u l t i p l e s o l u t i o n s t o p r o b l e m s . J o s h f o u n d t h i s p o w e r f u l f o r s t u d e n t s . e s p e c i a l l y w h e n s t u d e n t s o f m u l t i p l e a b i l i t i e s w e r e a s s i g n e d t o w o r k t o g e t h e r . T h e i d e a o f h a v i n g h e t e r o g e n e o u s g r o u p s w a s a d v o c a t e d b y t h e N C T M . S ’ t a n d a r d s ‘ a s w e l l a s t h e C M P c u r r i c u l u m . B o t h J o s h a n d K a r l a b e l i e v e d t h a t o n e o f t h e s t r e n g t h s o f t h e c u r r i c u l u m w a s h a v i n g s t u d e n t s o f v a r y i n g a b i l i t i e s w o r k t o g e t h e r . I n f a c t . i t h a d c h a n g e d t h e i r v i e w a b o u t t r a c k i n g a n d a b o u t w h a t s t u d e n t s n e e d e d t o k n o w t o e n g a g e i n m o r e c o m p l e x m a t h e m a t i c a l i d e a s . T h e y n o l o n g e r b e l i e v e d t h a t s t u d e n t h a d t o b e " f a s t ” w i t h m a t h e m a t i c a l f a c t s t o m o v e o n t o m o r e a b s t r a c t i d e a s l i k e a l g e b r a . O n e m a y t h i n k t h a t t w o s u c h s i m i l a r t e a c h e r s w h o h a v e h a d s o m a n y s i m i l a r e x p e r i e n c e s a n d w e r e t e a c h i n g s u c h s i m i l a r p o p u l a t i o n s o f s t u d e n t s w o u l d t e a c h v e r y m u c h a l i k e . H o w e v e r . a s a p a r t i c i p a n t - o b s e r v e r i n t h e c l a s s r o o m . I f e l t t h a t t h e r e w e r e d i f f e r e n c e s i n t h e c l a s s r o o m s . I n t h e n e x t t w o c h a p t e r s ( 6 a n d 7 ) . I d e s c r i b e t h e m o s t p r o m i n e n t d i s c o u r s e p a t t e r n s t h a t o c c u r r e d i n e a c h c l a s s r o o m . W h i l e d o i n g s o . I c l a i m t h a t c e r t a i n n o r m s w e r e e m b e d d e d i n a n d c a r r i e d w i t h t h e s e p a t t e r n s b e c a u s e t h e y w e r e s o p e r v a s i v e . I n C h a p t e r 8 . I u s e t h e s e a n a l y s e s t o d i s c u s s s o m e o f t h e d i f f e r e n c e s t h a t e x i s t e d . i n c l u d i n g i s s u e s o f a u t h o r i t y . t e a c h e r p o s i t i o n i n g a n d t h e w a y s i n w h i c h e a c h t e a c h e r d r e w f r o m a n d u s e d o t h e r s o u r c e s o f k n o w l e d g e ( i . e . t h e t e x t b o o k a n d s t u d e n t s ) i n t h e c l a s s r o o m . I M G M P i s t h e p r e d e c e s s o r t o t h e C M P p r o g r a m . 7 9 3 I w o u l d l i k e t o r e m i n d t h e r e a d e r t h a t t h e t e a c h e r - i n t e r v i e w d a t a w a s g a t h e r e d t h e y e a r f o l l o w i n g t h e c l a s s r o o m - o b s e r v a t i o n d a t a . 3 T h i s w o r k s h o p i s d i r e c t e d a t t e a c h e r s w h o a r e e x p e r i e n c e d u s e r s o f C M P . 4 T h i s w a s a g r o u p o f t e a c h e r s . a d m i n i s t r a t o r s . u n i v e r s i t y p r o f e s s o r s a n d g r a d u a t e s t u d e n t s w h o r e c e i v e d E i s e n h o w e r f u n d s t o m e e t a n d d i s c u s s c h a n g e i n t h e t e a c h i n g a n d l e a r n i n g o f A l g e b r a . 5 T h e p r i n c i p a l a t P a y s o n t o l d m e t h i s i n a c a s u a l c o n v e r s a t i o n d u r i n g o n e o f m y v i s i t s t o t h e s c h o o l . 6 A l t h o u g h I r e c o g n i z e t h a t t h e s e a r e i n t i m a t e l y r e l a t e d . I w i l l a d d r e s s e a c h s e p a r a t e l y i n t h e f o l l o w i n g s e c t i o n s . T h e r e w i l l b e s o m e o v e r l a p p i n g i d e a s a c r o s s t h e t h r e e . 7 I d o n o t h a v e a s i m i l a r e x a m p l e f o r K a r l a . T h i s c l a i m c o m e s f r o m c a s u a l c o n v e r s a t i o n s I ’ v e h a d w i t h h e r . 3 T h e c l a s s t o w h i c h K a r l a i s r e f e r r i n g i s h e r s e c o n d h o u r 8 ‘ “ g r a d e m a t h c l a s s d u r i n g t h e 1 9 9 9 - 2 0 0 0 s c h o o l y e a r a n d w a s n o t p a r t o f t h e c l a s s r o o m o b s e r v a t i o n d a t a . 8 0 C H A P T E R 6 : K A R L A ’ S C A S E I n t h i s c h a p t e r , I o f f e r a c a s e s t u d y o f K a r l a ’ s c l a s s r o o m . d i s c u s s i n g t h e t h r e e m a i n t e a c h e r d i s c o u r s e p a t t e r n s a p p a r e n t i n K a r l a ’ s t a l k ' . T h e s e i n c l u d e : ( 1 ) c l a s s r o o m t a l k a n d m a t h e m a t i c a l c o n t e x t s u s e d t o c r e a t e a n d d e fi n e “ c o m m o n k n o w l e d g e . ” ( 2 ) m e t a c o m m e n t i n g . a n d ( 3 ) e x p r e s s i o n s o f u n c e r t a i n t y ( i n c l u d i n g m o d a l v e r b s a n d e x p r e s s i o n s u s e d f o r p o l i t e n e s s a n d h e d g i n g ) . I n e a c h s e g m e n t t h a t f o l l o w s . I d e s c r i b e t h e t o o l o r c o n c e p t o f d i s c o u r s e a n a l y s i s t h a t I h a v e e m p l o y e d a n d o f f e r e x a m p l e s a n d i n t e r p r e t a t i o n o f K a r l a ’ s u s e o f t h e m . I s h o w h o w K a r l a c r e a t e s a n e n v i r o n m e n t w h e r e c o n t i n u i t y a n d c o n t e x t a r e d i s c u s s e d a n d p r e s e r v e d . t a l k a b o u t t a l k a n d a c t i o n s a r e p r e v a l e n t . a n d d i s c u s s i o n s a r e o f t e n f u z z y a n d u n c e r t a i n . A s I e l a b o r a t e o n t h e d i s c o u r s e p a t t e r n s . I a l s o c l a i m t h a t c e r t a i n s o c i a l a n d s o c i o m a t h e m a t h e m a t i c a l n o r m s a r e e m b e d d e d a n d e s t a b l i s h e d i n t h e c l a s s r o o m t h r o u g h t h e s e d i s c o u r s e p a t t e r n s . B e f o r e p r o c e e d i n g w i t h t h e d i s c o u r s e p a t t e r n s . h o w e v e r . I p r e s e n t a l a r g e r c o n t e x t o f t h e c l a s s r o o m s e s s i o n s b y d e s c r i b i n g b o t h t h e a c t i v i t i e s a n d d i s c u s s i o n t h a t t o o k p l a c e 2 i n e a c h o f t h e t w o f o c u s c l a s s p e r i o d s . F o c u s C l a s s P e r i o d s O c t o b e r 1 5 . I 9 9 8 D u r i n g t h i s c l a s s p e r i o d . K a r l a fi r s t r e t u r n e d t h e C h e c k - U p g i v e n a f t e r I n v e s t i g a t i o n 1 . w h i c h s t u d e n t s c o m p l e t e d a d a y e a r l i e r . S h e p r o c e e d e d b y g o i n g t h r o u g h t h e c o r r e c t a n s w e r s w i t h s t u d e n t s . I n s o m e c a s e s . K a r l a g a v e t h e c o r r e c t a n s w e r o r s o l u t i o n ; i n o t h e r s , s h e a s k e d s t u d e n t s t o t a l k a b o u t a n s w e r s / s o l u t i o n s t h e y g e n e r a t e d . K a r l a i n t r o d u c e d I n v e s t i g a t i o n 2 a s a s i m i l a r b r i d g e a c t i v i t y t o t h e o n e s t u d e n t s h a d d o n e i n I n v e s t i g a t i o n 1 . H o w e v e r . i n t h i s I n v e s t i g a t i o n . s t u d e n t s l o o k e d a t t h e 8 1 r e l a t i o n s h i p b e t w e e n t h e l e n g t h o f t h e b r i d g e a n d t h e b r e a k i n g p o i n t . I n t h i s e x p e r i m e n t . t h e r e l a t i o n s h i p t h a t r e s u l t e d w a s n o n - l i n e a r " . T h i s w a s t h e f i r s t t i m e s t u d e n t s w e r e g i v e n a n o n - l i n e a r s i t u a t i o n t o t h i n k a b o u t i n c l a s s . K a r l a r e m i n d e d s t u d e n t s o f t h e l a s t b r i d g e e x p e r i m e n t t h e y d i d i n I n v e s t i g a t i o n 1 a n d t h e n d i s c u s s e d t h e d i f f e r e n c e s i n t h i s s e c o n d i n v e s t i g a t i o n ( e . g . t h a t t h e y w e r e g o i n g t o b e c h a n g i n g t h e l e n g t h o f t h e b r i d g e s . n o t t h e t h i c k n e s s ) . S t u d e n t s g o t i n t o s m a l l g r o u p s a n d c o l l e c t e d a n d r e c o r d e d t h e d a t a i n t a b l e s . W h e n s t u d e n t s fi n i s h e d c o l l e c t i n g t h e i r d a t a . t h e y w e r e a s k e d t o e n t e r t h e i r t a b u l a r v a l u e s i n t o a l a r g e t a b l e o n t h e w h i t e b o a r d i n t h e f r o n t o f t h e c l a s s r o o m . O n c e e v e r y o n e ’ s d a t a w a s e n t e r e d i n t o t h i s t a b l e . K a r l a d i s c u s s e d t h e v a r i a t i o n i n t h e d a t a t h a t w a s w r i t t e n o n t h e b o a r d a n d p o i n t e d o u t s o m e o f t h e d i f f e r e n c e s i n d a t a c o l l e c t i o n s t r a t e g i e s t h a t s h e , h e r s e l f . h a d o b s e r v e d . S h e t h e n p o s e d a q u e s t i o n a b o u t w h i c h a v e r a g e w o u l d a l l o w s t u d e n t s t o e v e n o u t t h e e r r o r s i n t h e i r d a t a — t h e m e a n . t h e m e d i a n . o r t h e m o d e : t h a t i s . w h i c h t y p e o f a v e r a g e w o u l d t a k e t h e e x t r e m e h i g h a n d l o w v a l u e s a n d l e v e l t h e m o u t . A f t e r t h e y d e c i d e d t h a t t h e y s h o u l d fi n d t h e m e a n . K a r l a a s s i g n e d t h i s t a s k a s h o m e w o r k . D u r i n g t h e n e x t c l a s s p e r i o d , t h i s m e a n d a t a w a s d i s c u s s e d . O c t o b e r 2 0 . I 9 9 8 T h e p r e v i o u s d a y , s t u d e n t s w e r e a s k e d t o c o m p l e t e p r o b l e m 1 a n d 3 i n t h e A C E ’ . I n t h e s e t w o p r o b l e m s , s t u d e n t s w e r e a s k e d t o t h i n k a b o u t t h e p r i c e o f c o o k i e s a t B e t t y ’ s B a k e r y . I n p r o b l e m 1 . s t u d e n t s w e r e g i v e n t h r e e p o s s i b l e p l a n s f o r i n c r e a s i n g t h e p r i c e o f c o o k i e s t o h e l p t h e b a k e r y c r e a t e a p r o fi t , b u t t h a t w o u l d n o t s h o c k t h e c u s t o m e r s . T h e y w e r e a s k e d t o g e n e r a t e a n d c o m p a r e a t a b l e a n d g r a p h f o r e a c h p l a n . d e c i d e i f a n y o f t h e p l a n s m i g h t b e l i n e a r , a n d m a k e a r e c o m m e n d a t i o n a s t o w h i c h p l a n B e t t y s h o u l d i n c o r p o r a t e . I n p r o b l e m 3 , s t u d e n t s w e r e t o l d t h a t c o o k i e s a l e s h a d f a l l e n a n d t h e b u s i n e s s c o n s u l t a n t w h o w a s c a l l e d s u g g e s t e d t h a t t h e y c o n d u c t a c u s t o m e r s u r v e y t o d e c i d e h o w 8 2 m u c h t o r a i s e t h e p r i c e . T h e s u r v e y d a t a w a s g i v e n : s t u d e n t s w e r e a s k e d t o m a k e a g r a p h m o d e l a n d t o p r e d i c t t h e n u m b e r o f c u s t o m e r s w h o w o u l d b e w i l l i n g t o p a y v a r i o u s p r i c e s f o r t h e c o o k i e s . S t u d e n t s w e r e a s k e d t o fi n d a n o t h e r g r a p h f r o m t h i s u n i t t h a t w a s s i m i l a r t o t h e g r a p h m o d e l t h e y d r e w . K a r l a b e g a n t h i s c l a s s p e r i o d b y g o i n g t h r o u g h t h e s e p r e v i o u s l y a s s i g n e d p r o b l e m s . A f t e r t h i s , K a r l a i n t r o d u c e d I n v e s t i g a t i o n 3 . 2 b y m o d e l i n g t h e p r o b l e m i n f r o n t o f t h e c l a s s . s e t t i n g u p e i g h t g l a s s b e a k e r s . t h e fi r s t o f w h i c h w a s fi l l e d w i t h w a t e r . K a r l a fi r s t m o d e l e d t h e e x p e r i m e n t w i t h o u t t e l l i n g s t u d e n t s h o w m a n y o u n c e s o f w a t e r t h e r e w e r e i n t h e fi r s t g l a s s . S h e d e s c r i b e d p o u r i n g h a l f o f t h e w a t e r i n t o t h e n e x t g l a s s a n d t h e n t a k i n g t h a t g l a s s a n d p o u r i n g h a l f o f i t s c o n t e n t s i n t o t h e n e x t g l a s s a n d s o o n . H o w e v e r . s h e d i d n o t a c t u a l l y p o u r a n y w a t e r . N e x t . s h e m a d e t h e e x p e r i m e n t m o r e s p e c i fi c b y t e l l i n g s t u d e n t s t h a t t h e r e w e r e 3 2 o u n c e s o f w a t e r i n t h e fi r s t g l a s s a n d p r o c e e d e d t o a c t u a l l y p o u r t h e w a t e r f r o m o n e g l a s s t o t h e n e x t . S t u d e n t s o r a l l y d e s c r i b e d t h e c o n t e n t s b y t e l l i n g h e r t h a t s h e h a d 1 6 . t h e n 8 . t h e n 4 . e t c . o u n c e s i n e a c h g l a s s . A f t e r K a r l a p o u r e d t h e w a t e r i n t o t h e l a s t g l a s s . s h e t o l d h e r s t u d e n t s t h a t t h e y s h o u l d t a l k a b o u t w h a t w a s h a p p e n i n g . A c l a s s d i s c u s s i o n f o l l o w e d a b o u t w h e t h e r t h i s d a t a w a s l i n e a r o r n o t a n d w h y s t u d e n t s t h o u g h t i t m a y b e o n e o r t h e o t h e r . S t u d e n t s g r a p h e d t h e d a t a a n d d i s c u s s e d w h e t h e r t h e y t h o u g h t t h e p o i n t s o n t h e g r a p h s h o u l d b e c o n n e c t e d o r n o t . K a r l a a s k e d s t u d e n t s h o w t h e y w o u l d d e s c r i b e t h e d a t a t o s o m e o n e . I n c o n c l u d i n g t h e c l a s s d i s c u s s i o n . K a r l a r e m i n d e d h e r s t u d e n t s a b o u t w h a t t h e y h a d d o n e s o f a r . i . e . t h a t t h e y h a d l o o k e d a t l i n e a r . “ k i n d a ” l i n e a r . a n d m o d e l s t h a t r e p r e s e n t e d t h e d a t a . S h e a s s i g n e d t h e m m o r e A C E p r o b l e m s ( # 4 - 7 ) t o w o r k o n i n c l a s s . S t u d e n t s w o r k e d o n t h e s e p r o b l e m s i n s m a l l g r o u p s u n t i l t h e c l a s s s e s s i o n e n d e d a n d t h e i r h o m e w o r k w a s t o fi n i s h a n y p r o b l e m s t h e y h a d n o t c o m p l e t e d . T h e C a s e T h e c a s e s t u d y t h a t f o l l o w s i s b r o k e n i n t o t w o m a i n p a r t s . F i r s t . I o f f e r a n a n a l y s i s o f t h e t h r e e d i s c o u r s e p a t t e r n s t h a t w e r e m o s t p r o m i n e n t i n K a r l a ’ s c l a s s r o o m t a l k . T h e s e t h r e e p a t t e r n s i n c l u d e K a r l a ’ s u s e o f : 1 . ) c l a s s r o o m t a l k a n d m a t h e m a t i c a l c o n t e x t s t o c r e a t e a n d d e fi n e “ c o m m o n k n o w l e d g e . ” 2 . ) m e t a c o m m e n t i n g . a n d 3 . ) e x p r e s s i o n s o f u n c e r t a i n t y ( i n c l u d i n g m o d a l v e r b s a n d e x p r e s s i o n s u s e d f o r p o l i t e n e s s a n d h e d g i n g ) . I n e a c h s e g m e n t . I d e s c r i b e t h e t o o l o r c o n c e p t o f d i s c o u r s e a n a l y s i s t h a t I h a v e e m p l o y e d a n d t h e n o f f e r e x a m p l e s a n d i n t e r p r e t a t i o n o f K a r l a ’ s u s e o f t h e m . I s h o w h o w K a r l a c r e a t e s a n e n v i r o n m e n t w h e r e c o n t i n u i t y a n d c o n t e x t a r e d i s c u s s e d a n d p r e s e r v e d . t a l k a b o u t t a l k a n d a c t i o n s a r e p r e v a l e n t . a n d d i s c u s s i o n s a r e o f t e n f u z z y a n d u n c e r t a i n . W i t h i n t h e s u m m a r y o f e a c h s e c t i o n . I h i g h l i g h t h o w t h e s e p a t t e r n s w o r k t o c o n t r o l t h e c o m m o n k n o w l e d g e i n t h e c l a s s r o o m . A s I e l a b o r a t e o n t h e d i s c o u r s e p a t t e r n s , I a l s o c l a i m t h a t c e r t a i n n o r m s a r e e m b e d d e d a n d e s t a b l i s h e d i n t h e c l a s s r o o m b y t h e s e d i s c o u r s e p a t t e r n s . I c o n t e n d t h a t t h e f o l l o w i n g n o r m s a r e e m b e d d e d w i t h i n t h e d i s c o u r s e p a t t e r n s I d e s c r i b e : 0 T h r o u g h D e fi n i n g C o m m o n K n o w l e d g e : 0 T h i s c l a s s r o o m i s a c o m m u n i t y w i t h a c o m m o n h i s t o r y : a n d 0 T h e r e a r e c o n n e c t i o n s i n b o t h t h e c o n t e n t ( e s p e c i a l l y i n t e r m s o f t h e m u l t i p l e r e p r e s e n t a t i o n s t h a t a r e d i s c u s s e d ) a n d t h e c o n t e x t s t h a t m u s t b e r e c o g n i z e d . 0 T h r o u g h M e t a c o m m e n t i n g : 8 4 o P l u r a l i t y s h o u l d b e e n d o r s e d a n d a c c l a i m e d : 0 C o n t r i b u t i o n s w i l l b e v a l u e d a n d c r e d i t e d : 0 M a t h e m a t i c s i s i n t h e m i n d o f t h e b e h o l d e r : o U n c e r t a i n t y i s s o m e t h i n g t h a t s h o u l d b e a c k n o w l e d g e d : o T h e t e a c h e r h a s t h e r i g h t t o s u m m a r i z e a n d c o n t r i b u t e a s s h e s e e s fi t : a n d 0 E v e r y o n e s h o u l d h y p o t h e s i z e t h e p o s s i b i l i t i e s w i t h r e s p e c t t o t h e m a t h e m a t i c s . 0 T h r o u g h M o d a l V e r b s E x p r e s s i o n s a n d H e d g i n g o T h e b i g i d e a s a r e s t a t e d a n d p e o p l e m u s t t a k e r e s p o n s i b i l i t y f o r t h e i r o w n l e a r n i n g ; 0 M i s t a k e s a r e o k a y t o m a k e ( o r I ’ l l p r o t e c t y o u ) : a n d 0 T h e r e a r e r e l a t i o n s h i p s b e y o n d w h a t h a s a l r e a d y b e e n d i s c u s s e d a n d e x p l o r e d . b u t t h e i d e a s f o r t h i n k i n g a b o u t t h e m a r e s i m i l a r ( e . g . y o u s t i l l n e e d t o a s k t h e s a m e q u e s t i o n s o f y o u r s e l f w h e n y o u a r e t r y i n g t o d e c i d e w h a t i s h a p p e n i n g ) . I n t h e s e c o n d p a r t o f t h e c h a p t e r . I b e g i n w i t h t h e n o r m s . I d r a w o n t h e p a t t e r n s o f d i s c o u r s e t o m a k e i n f e r e n c e s a b o u t t h e s o c i a l a n d s o c i o m a t h e m a t i c a l n o r m s K a r l a e s t a b l i s h e d f o r h e r s t u d e n t s i n t e r m s o f e x p e c t a t i o n s . r i g h t s . r o l e s . a n d r e s p o n s i b i l i t i e s . I n a d d i t i o n . I d r a w f r o m t h e t e a c h e r i n t e r v i e w s t o o f f e r K a r l a ’ s p e r s p e c t i v e . D i s c o u r s e F o r m s a n d F u n c t i o n s C o n t e x t a n d C o n t i n u i t y A s I s t a t e d i n C h a p t e r 2 . E d w a r d s a n d M e r c e r ( 1 9 8 7 ) c o n s i d e r w h a t i t m e a n s t o e s t a b l i s h “ c o m m o n k n o w l e d g e ” i n t h e c l a s s r o o m . I n t h e i r d i s c u s s i o n . t h e y h i g h l i g h t t h e i m p o r t a n c e o f c o n t e x t a n d c o n t i n u i t y i n d e v e l o p i n g c o m m o n k n o w l e d g e . T h e y a r g u e t h a t c o n t e x t i s b e s t t h o u g h t o f a s m e n t a l r a t h e r t h a n e i t h e r l i n g u i s t i c o r s i t u a t i o n a l : t h a t i s . a c h a r a c t e r i s t i c o f g e n e r a l u n d e r s t a n d i n g s t h a t e x i s t b e t w e e n p e o p l e w h o c o m m u n i c a t e . C o n t e x t i s r e f e r r e d t o a s “ e v e r y t h i n g t h a t t h e p a r t i c i p a n t s i n a c o n v e r s a t i o n k n o w a n d u n d e r s t a n d . o v e r a n d a b o v e t h a t w h i c h i s e x p l i c i t i n w h a t t h e y s a y . t h a t c o n t r i b u t e s t o h o w t h e y m a k e s e n s e o f w h a t i s s a i d ” ( p . 6 3 ) . T h e c o n t e x t i n c l u d e s n o t o n l y s p o k e n “ 3 . " l a n g u a g e b u t a l s o m e a n i n g s a n d i n t e r p r e t a t i o n s o f w h a t i s s a i d . C o n t i n u i t y i s d e fi n e d a s P A I D - . - ' “ I . “ t h e d e v e l o p m e n t o f s u c h c o n t e x t t h r o u g h t i m e ” ( p . 6 3 ) . F o r t e a c h e r s a n d s t u d e n t s t o b e a b l e t o u n d e r s t a n d e a c h o t h e r a n d d e v e l o p a s h a r e d c o n c e p t i o n o f t h e i r u n d e r t a k i n g . a c c o r d i n g t o E d w a r d s a n d M e r c e r . i t i s a c u t e l y i m p o r t a n t t h a t t h e y c a n r e l a t e d i s c o u r s e t o c o n t e x t . a n d . o v e r t i m e c a n b u i l d a j o i n t f r a m e o f r e f e r e n c e . T h i s s h a r e d c o n c e p t i o n i s t h e “ c o m m o n k n o w l e d g e ” o f t h e c l a s s r o o m . T h e T e l l e r o f S t o r i e s O n e c o m m o n t h r e a d t h a t r a n t h r o u g h K a r l a ’ s c l a s s r o o m d i s c o u r s e w a s h e r r e f e r e n c e t o o c c u r r e n c e s l o c a t e d i n p a s t c l a s s r o o m a c t i v i t y . W h e n d o i n g s o . s h e o f t e n u s e d g e n e r a l t e m p o r a l b a c k - r e f e r e n c e s s u c h a s “ y e s t e r d a y ” o r “ l a s t y e a r ” o r p r o m p t e d m e m o r i e s o f c o m m o n c l a s s r o o m o c c u r r e n c e s b y s a y i n g “ r e m e m b e r . ” A s e c o n d s t r a t e g y s h e u s e d t o r e p l a y a c o m m o n m e m o r y w a s t o r e f e r t o p a s t p r o b l e m s f r o m t h e t e x t s p e c i fi c a l l y b y t h e n a m e o r a c t i v i t y o f t h e p r o b l e m . F o r e x a m p l e . s h e w o u l d r e f e r t o “ C h a n t e l l e ’ s b i r t h d a y m o n e y ” o r “ B e t t y ’ s b a k e r y . ” A l l o f t h e s e s t r a t e g i e s p l a y e d a r o l e i n e s t a b l i s h i n g a n d f o r m u l a t i n g w h a t c o u l d b e c o n s i d e r e d “ c o m m o n k n o w l e d g e ” i n t h i s c l a s s r o o m a n d p l a y e d a r o l e i n d e v e l o p i n g t h e c o n t e x t a n d c o n t i n u i t y o f t h e a c t i v i t y . 9 ‘ u “ Y e s t e r d a y . R e m e m b e r ” : T h i s c l a s s r o o m i s a c o m m u n i t v w i t h a c o m m o n h i s t o r y . I n t h e m o r e g e n e r a l u s e o f K a r l a ’ s l a n g u a g e . e s p e c i a l l y w h e n s h e r e f e r r e d t o w h a t h a p p e n e d t h e d a y 8 6 b e f o r e . t h e r e w a s a t l e a s t o n e s t r i k i n g s i m i l a r i t y . I n e a c h e x a m p l e . K a r l a s u m m a r i z e d w h a t “ w e f o u n d . ” F o r e x a m p l e : E x a m p l e K - I K : S o i t l o o k s l i k e i t ’ s g o i n g u p s i x c e n t s t h i s t i m e . Y e s t e r d a y w e d i d t h a t g i g a n t i c c h a r t w i t h C h a n t e l l e ’ s b i r t h d a y m o n e y a n d w e f o u n d o u t t h a t 8 % w a s n o t t h e s a m e a s 8 d o l l a r s . s o l a s t n i g h t w h e n y o u w e r e l o o k i n g a t t h i s . i t w a s t h e s a m e i d e a , t h a t 5 % i s n o t g o i n g t o b e t h e s a m e a s a d d i n g 5 c e n t s e v e r y t i m e . I s s h e g o i n g t o r e a c h a d o l l a r e i g h t y s o o n e r o r l a t e r ? F o l l o w i n g t h i s s t a t e m e n t ( a n d o t h e r s l i k e i t ) . s t u d e n t s n e v e r r e s p o n d e d . “ N o w e d i d n ’ t ” — — i n d i c a t i n g t h a t t h e y w e r e w i l l i n g t o g o a l o n g w i t h t h e m e m o r y t h a t K a r l a r e p l a y e d a s s h e p o r t r a y e d i t . I n m a k i n g t h i s s t a t e m e n t . K a r l a w a s d o i n g a n u m b e r o f i n t e r e s t i n g t h i n g s . F i r s t . s h e w a s m a k i n g t e m p o r a l r e f e r e n c e i n a n a r r a t i v e m a n n e r . t h u s p o s i n g t h i s a s a s t o r y t o b e t o l d r a t h e r t h a n f a c t s t o b e g i v e n . S h e u s e d w a y s o f t a l k i n g t h a t a r e v a l u e d o f t e n o u t s i d e o f s c h o o l i n g . r a t h e r t h a n “ e m p i r i c a l v e r i fi c a t i o n a n d l o g i c a l r e q u i r e d n e s s ” ( B r u n e r . 1 9 9 1 . p . 4 ) . w h i c h i s m o r e o f t e n u s e d i n m a t h e m a t i c s c l a s s r o o m s ( a n d i n s c h o o l s i n g e n e r a l ) . S e c o n d . h e r u s e o f t h e r o y a l p l u r a l “ w e ” t a c i t l y d o e s n o t a l l o w s t u d e n t s t o d i s a g r e e w i t h w h a t s h e w a s s a y i n g — t h e y m u s t a c c e p t t h e fi n d i n g s a s s h e s t a t e d t h e m ( R o w l a n d . 1 9 9 2 ) . T h e u s e o f ' w e ’ s u g g e s t s a “ j o i n t u n d e r s t a n d i n g i n w h i c h t h e r e w a s n o d i f f e r e n c e b e t w e e n t h e t e a c h e r ’ s i n t e n t i o n s a n d i n t e r p r e t a t i o n s a n d t h o s e o f t h e p u p i l s ” ( E d w a r d s & M e r c e r . 1 9 8 7 . p . 1 4 1 ) . T h i r d . K a r l a r e m i n d e d h e r s t u d e n t s t h a t . m a t h e m a t i c a l l y . d e t e r m i n i n g a n 8 % i n c r e a s e w a s n o t t h e s a m e t h i n g a s c o n s t a n t l y a d d i n g e i g h t e v e r y t i m e . K a r l a w a s r e f e r r i n g b a c k t o t h e f a c t t h a t t h e s e t w o i d e a s w e r e n o t m a t h e m a t i c a l l y e q u i v a l e n t a n d t h a t s t u d e n t s m u s t r e m e m b e r t h i s w h e n t h e y m o v e d o n t o a s i m i l a r p r o b l e m — 5 % v s . 5 c e n t s . 8 7 I n a d d i t i o n , s h e m a d e a c o n n e c t i o n f r o m t h e p a s t ( 8 % i n c r e a s e w a s n o t t h e s a m e a s a n $ 8 i n c r e a s e ) t o a m o r e c u r r e n t p r o b l e m ( 5 % i n c r e a s e i s n o t t h e s a m e a s a $ 5 i n c r e a s e ) . A n o t h e r s t r i k i n g f e a t u r e o f a l l o f t h e e x a m p l e s s i m i l a r t o t h e o n e j u s t g i v e n w e r e t h a t , s i m i l a r t o E d w a r d s a n d M e r c e r ’ s fi n d i n g s . a l m o s t a l l o c c u r r e d i n t h e c o n t e x t o f d i f fi c u l t y . B y “ c o n t e x t o f d i f fi c u l t y . ” I m e a n t h a t t h e y a p p e a r e d a t a t i m e w h e n s t u d e n t s s e e m e d n o t t o r e m e m b e r s o m e t h i n g t h a t t h e t e a c h e r p o s s i b l y c o n s i d e r e d “ c o m m o n k n o w l e d g e . ” I n t h i s c a s e . s t u d e n t s d i d n o t r e m e m b e r t h a t t a k i n g a p e r c e n t i n c r e a s e o f a n u m b e r w a s n o t t h e s a m e a s i n c r e a s i n g a t a c o n s t a n t r a t e . T h e s e b a c k - r e f e r e n c e s a p p e a r e d a t “ m o m e n t s w h e n t h e p u p i l s s e e m e d n o t t o h a v e g r a s p e d s o m e s i g n i fi c a n t p r i n c i p l e . p r o c e d u r e o r i n s t r u c t i o n t h a t h a d b e e n d e a l t w i t h p r e v i o u s l y ” ( E d w a r d s & M e r c e r . 1 9 8 7 . p . 8 5 ) . H o w e v e r . E d w a r d s a n d M e r c e r d e s c r i b e d t h e s e m i s m a t c h e s i n c o m m u n i c a t i o n a s a n i m p o r t a n t p a r t o f t h e l e a r n i n g p r o c e s s . T h e m i s m a t c h e s w e r e d e s c r i b e d a s o c c u r r i n g i n V y g o t s k y ’ s ‘ z o n e o f p r o x i m a l d e v e l o p m e n t ’ . “ a t p r e c i s e l y t h e p o i n t a t w h i c h c o m m o n k n o w l e d g e i s b e i n g c r e a t e d ” ( p . 8 4 ) . T h e a d u l t ’ s r o l e i n t h i s p r o c e s s w a s d e s c r i b e d a s t a k i n g a l e a d i n g r o l e i n “ d r a w i n g a t t e n t i o n t o t h e m . t a l k i n g a b o u t t h e m . e s t a b l i s h i n g k n o w l e d g e w h i c h i s b o t h c o m m o n a n d c o m m u n i c a b l e ” ( p . 8 4 ) . T h i s t y p e o f d i f fi c u l t y a l s o o c c u r r e d w h e n K a r l a u s e d t h e w o r d “ r e m e m b e r . ” F o r e x a m p l e , i n o n e c l a s s s e s s i o n . t h e c l a s s d i s c u s s e d w h e t h e r t h e y s h o u l d c o n n e c t t h e p o i n t s ( w h i c h t h e y c a l l e d “ d o t s ” ) o n a g r a p h t h a t w a s c u r v i l i n e a r ( i . e . i n c r e a s i n g e x p o n e n t i a l i n t h i s p a r t i c u l a r e x a m p l e ) . I n d o i n g s o . a s t u d e n t a s k e d i f h e s h o u l d c o n n e c t t h e p o i n t s u s i n g s t r a i g h t - l i n e s e g m e n t s r a t h e r t h a n t h e c u r v e s t h a t s h e h a d d r a w n o n t h e b o a r d . K a r l a m i g h t h a v e r e a l i z e d t h a t t h e s t u d e n t d i d n o t u n d e r s t a n d t h a t t h e c u r v e w a s n o t o n l y 8 8 r e p r e s e n t a t i v e o f t h e e n t i r e r e l a t i o n s h i p . b u t t h a t i t a l s o o c c u r r e d b e t w e e n e a c h o f t h e p o i n t s t h e y h a d g r a p h e d a s s h e r e s p o n d e d : E x a m p l e K - 2 K : N o t n e c e s s a r i l y . W e a l w a y s a s s u m e t h a t , u m . e v e n o n o u r c o n s t a n t r a t e p r o b l e m s . W e a l w a y s a s s u m e d , l i k e i n b e t w e e n t h i s d o t a n d t h i s d o t . y o u w o u l d c o n n e c t t h e m l i k e t h a t . B u t r e m e m b e r i n V a r i a b l e s a n d P a t t e r n s " . w e l o o k e d a t . w e c o u l d c o n n e c t d o t s t h i s w a y [ d r e w a s t r a i g h t - l i n e s e g m e n t ] o r t h i s w a y [ d r e w a c u r v e d s e g m e n t ] . W e l o o k e d a t t i m e s l i k e w h e n y o u w e r e r i d i n g f r o m t h i s p o i n t t o t h i s p o i n t a n d t h i s i s s h o w i n g t h a t t h e y a r e r i d i n g a t a c o n s t a n t r a t e a l l t h e t i m e [ d r e w a s t r a i g h t - l i n e s e g m e n t b e t w e e n t h e p o i n t s ] . T h i s i s s h o w i n g w h e r e t h e y k i n d a s t a r t e d o u t s l o w a n d t h e n t o o k o f f [ d r e w a c u r v e b e t w e e n t w o p o i n t s - ~ a n i n c r e a s i n g e x p o n e n t i a l ] . T h i s i s s h o w i n g w h e r e t h e y k i n d a s t a r t e d o u t f a s t a n d t h e n s l o w e d d o w n [ d r e w a c u r v e b e t w e e n t w o p o i n t s o n a d e c r e a s i n g e x p o n e n t i a l ] . W e ’ v e a l w a y s c o n n e c t e d w i t h s t r a i g h t - l i n e s ' c u z w e ' v e a s s u m e d t h a t c o n s t a n t r a t e i s g o i n g t o s t a y t h e r e . B u t . i n t h i s c a s e w e k n o w t h e r e i s n ’ t a c o n s t a n t r a t e , s o r e a l l y t h a t c u r v y m a k e s m o r e s e n s e . I n t h i s t u r n . K a r l a r e f e r r e d t o t w o d i f f e r e n t t y p e s o f r e l a t i o n s h i p s t h a t t h e y h a v e e x p l o r e d : l i n e a r a n d e x p o n e n t i a l . S h e r e m i n d e d s t u d e n t s o f t h e s e t w o t y p e s b y r e f e r r i n g b a c k t o a n e x p e r i e n c e t h e y h a d t h e y e a r b e f o r e i n V a r i a b l e s a n d P a t t e r n s a n d c o n t i n u a l l y u s e d “ w e ” t o p o r t r a y t h e e x p e r i e n c e a s s o m e t h i n g t h a t t h e y d e v e l o p e d a n d f o u n d j o i n t l y . I n V a r i a b l e s a n d P a t t e r n s , t h e r e w e r e e x t e n d e d o p p o r t u n i t i e s f o r d i s c u s s i o n a b o u t w h e t h e r s t u d e n t s s h o u l d c o n n e c t t h e p o i n t s o n a g r a p h o r n o t . T h i s w a s t y p i c a l l y d e t e r m i n e d b y w h e t h e r t h e d a t a w a s d i s c r e t e o r c o n t i n u o u s b a s e d o n t h e c o n t e x t ( e . g . i f t h e y w e r e g r a p h i n g t i m e a s t h e i n d e p e n d e n t v a r i a b l e . i t w o u l d b e c o n t i n u o u s b e c a u s e t h e m e a s u r e m e n t w a s c o n t i n u o u s . s o s t u d e n t s w o u l d b e e x p e c t e d t o c o n n e c t t h e p o i n t s t h e y g r a p h e d ) . H o w e v e r , s i n c e V a r i a b l e s a n d P a t t e r n s o n l y d i s c u s s e d l i n e a r r e l a t i o n s h i p s . s t u d e n t s h a d n o t g r a p p l e d w i t h h o w t o c o n n e c t t h e p o i n t s w h e n t h e y a p p e a r e d t o b e c u r v e s i n s t e a d o f l i n e s . K a r l a s e e m e d t o b e r e m i n d i n g t h e m t h a t t h e r e a s o n t h e y c o n n e c t e d l i n e a r f u n c t i o n s w i t h s t r a i g h t - l i n e s e g m e n t s w a s b e c a u s e t h e r a t e w a s c o n s t a n t . 8 9 s o t h e s l o p e w o u l d r e m a i n t h e s a m e t h r o u g h o u t t h e e n t i r e f u n c t i o n . W h e n c o n n e c t i n g p o i n t s i n a c u r v i l i n e a r f u n c t i o n . s t u d e n t s n e e d e d t o a t t e n d t o h o w t h e r a t e w a s c h a n g i n g — i n t h e fi r s t e x a m p l e K a r l a g a v e , t h e r a t e “ s t a r t e d o u t s l o w a n d t h e n t o o k o f f ’ a n d i n t h e s e c o n d . t h e r a t e “ s t a r t e d o u t f a s t a n d t h e n s l o w e d d o w n . ” E v e n t h o u g h s h e w a s n o t m a k i n g t h e e x p l i c i t c o n n e c t i o n b e t w e e n t h e c h a n g e i n r a t e w i t h t h e p h y s i c a l a p p e a r a n c e o f t h e g r a p h . s h e s e e m e d t o b e c o n n e c t i n g t h e s e t w o i d e a s i n h e r e x a m p l e s . T h e s e e x p l i c i t r e f e r e n c e s t o p a s t e x p e r i e n c e s s e e m e d t o f u n c t i o n a s a n a s s u r a n c e t h a t s t u d e n t s h a d d e v e l o p e d a j o i n t u n d e r s t a n d i n g w i t h t h e t e a c h e r o f p a r t i c u l a r i d e a s t h a t t h e t e a c h e r t h o u g h t w e r e s i g n i fi c a n t a n d a p p l i c a b l e t o w h a t w a s c u r r e n t l y b e i n g d i s c u s s e d . I n s o m e w a y s . t h e s e w e r e u n d e r s t a n d i n g s t h a t w e r e f o u n d a t i o n a l f o r s t u d e n t s t o b e a b l e t o d o w h a t t h e t e a c h e r w a s a s k i n g t h e m t o d o : t h a t i s . m a n y w e r e i m p l i c i t a n d p r e s u p p o s e d k n o w l e d g e t h a t K a r l a m a y h a v e b e e n u s i n g t o t a k e s t u d e n t s t o t h e n e x t s t e p m a t h e m a t i c a l l y ( e . g . m o v i n g f r o m d r a w i n g l i n e s t o d r a w i n g c u r v e s ) . “ B e t t y ’ s B a k e r y , ” “ C h a n t e l l e ’ s b i r t h d a v m o n e y ” : T h e r e a r e c o n n e c t i o n s i n b o t h t h e c o n t e n t a n d t h e c o n t e x t s t h a t m u s t b e r e c o g n i z e d . I n a s i m i l a r m a n n e r . K a r l a o f t e n r e f e r r e d t o p a s t p r o b l e m s f r o m t h e t e x t t h a t t h e s t u d e n t s h a d e n g a g e d i n b y t h e n a m e ( e . g . B e t t y ’ s B a k e r y p r o b l e m ) o r b y t h e a c t i v i t y ( e . g . t h e s t a c k i n g b r i d g e p r o b l e m ) i n w h i c h t h e y h a d e n g a g e d . I n t h e s e m o r e s p e c i fi c r e f e r e n c e s , t h e r e w e r e a t l e a s t t w o t h i n g s K a r l a w o u l d d o . I n t h e fi r s t . s h e w o u l d m a k e t h e p a s t t h e p r e s e n t i n s u c h a w a y t h a t s t u d e n t s c o u l d b r i n g t h e m a t h e m a t i c a l i d e a s f r o m t h e p a s t c o n v e r s a t i o n s t o t h e p r e s e n t d i s c u s s i o n . F o r e x a m p l e : E x a m p l e K — 3 K : L e t ’ s b a c k u p a m i n u t e . I ’ m h e a r i n g s o m e t h i n g t h a t w e t r i e d t o d i s c u s s y e s t e r d a y . b u t I t h i n k w e n e e d t o d i s c u s s i t a g a i n . U m . w e d i d C h a n t e l l e ’ s b i r t h d a y m o n e y y e s t e r d a y a n d i t w a s i n c r e a s i n g b y 8 % e a c h t i m e . A n d i t w a s f o u n d t h a t w e ’ d f o r g o t t e n w h a t t o d o t o fi n d a p e r c e n t o f a n u m b e r . S o . i f I w a n t 9 0 t o fi n d fi v e p e r c e n t o f t h i s a n d t h e n a d d i t o n . l i k e w e w e r e d o i n g w i t h s a l e s t a x a n d s t u f f . h o w d o I fi n d fi v e p e r c e n t o f a d o l l a r ? S a m a n t h a ? T h i s r e f e r e n c e t o “ C h a n t e l l e ’ s b i r t h d a y m o n e y ” c a m e a f t e r s t u d e n t s r e p e a t e d a d i f fi c u l t y t h a t K a r l a h a d t h o u g h t t h e y h a d t e n d e d t o t h e d a y b e f o r e . I n t h e p r e v i o u s d a y ' s d i s c u s s i o n , s t u d e n t s s t r u g g l e d t o r e m e m b e r h o w t o fi n d t h e p e r c e n t o f a g i v e n n u m b e r . B y r e m i n d i n g s t u d e n t s e x a c t l y w h i c h p r o b l e m a n d o f t h e e x a c t n u m b e r s t h e y h a d d i s c u s s e d . K a r l a w a s i n c r e a s i n g t h e l i k e l i h o o d t h a t s t u d e n t s w o u l d r e c o l l e c t t h e p r e v i o u s d i s c u s s i o n a n d t h e c o n t e n t i n v o l v e d i n t h a t d i s c u s s i o n . S i m i l a r l y . s h e m o r e g e n e r a l l y r e f e r r e d t o “ s a l e s t a x a n d s t u f f ’ t h a t t h e y h a d d o n e p r e v i o u s l y . h e l p i n g s t u d e n t s c o n n e c t t o o t h e r m a t h e m a t i c a l i d e a s i n w h i c h s i m i l a r p r o c e s s e s w e r e u s e d . W h e n s t u d e n t s c o n t i n u e d t o d i s p l a y d i f fi c u l t i e s w i t h t h e i d e a t h a t i n c r e a s i n g b y a p e r c e n t w a s n o t t h e s a m e a s a n a d d i t i v e i n c r e a s e . K a r l a a g a i n r e p e a t e d t h i s “ c o m m o n k n o w l e d g e ” t h a t s h e t h o u g h t s t u d e n t s s h o u l d h a v e a c q u i r e d . S h e e v e n e n d e d h e r t u r n w i t h a r e f e r e n c e t o w h a t “ w e t h o u g h t . ” t a c i t l y c a p t u r i n g s t u d e n t s i n a g r e e m e n t w i t h w h a t s h e w a s s a y i n g . F u r t h e r m o r e , b y p o s i n g t h e s e a s t h o u g h t s . s h e m o d e l e d w h a t t h e y s h o u l d b e t h i n k i n g a b o u t b y t h i s p o i n t i n t i m e . E x a m p l e K — 4 K : Y o u h a v e t o d o i t t h i s w a y b e c a u s e i t ’ s n o t t h e s a m e p a t t e r n a s t h i s o n e . T h i s o n e w a s i n c r e a s i n g fi v e c e n t s . t h i s o n e i s i n c r e a s i n g fi v e p e r c e n t . A n d r e m e m b e r . w i t h C h a n t e l l e ’ s b i r t h d a y m o n e y . w e fi r s t w a n t e d i t t o g o u p e i g h t d o l l a r s e v e r y t i m e . T h e n w e t h o u g h t . “ G e e i t ’ s m u c h b e t t e r t o g o u p 8 % e v e r y t i m e . s h e ' s g o i n g t o h a v e a l o t m o r e m o n e y i n h e r a c c o u n t . ” A n o t h e r f u n c t i o n t h i s r e f e r e n c i n g o f p r o b l e m s s e e m e d t o h a v e w a s t o a l l o w s t u d e n t s t o m a k e c o n n e c t i o n s a c r o s s t h e c o n t e n t . s i g n a l i n g t h e m t h a t n o t e v e r y d a y i n c l a s s w a s i n i s o l a t i o n o f t h e o t h e r s . 9 1 E x a m p l e K - 5 K : S o i t l o o k s l i k e i t ’ s g o i n g u p s i x c e n t s t h i s t i m e . Y e s t e r d a y w e d i d t h a t g i g a n t i c c h a r t w i t h C h a n t e l l e ’ s b i r t h d a y m o n e y a n d w e f o u n d o u t t h a t 8 % w a s n o t t h e s a m e a s 8 d o l l a r s . s o l a s t n i g h t w h e n y o u w e r e l o o k i n g a t t h i s . i t w a s t h e s a m e i d e a . t h a t 5 % i s n o t g o i n g t o b e t h e s a m e a s a d d i n g 5 c e n t s e v e r y t i m e . I s s h e g o i n g t o r e a c h a d o l l a r e i g h t y s o o n e r o r l a t e r ? I n f a c t . s o m e o f t h e c l a s s r o o m a c t i v i t i e s e n g a g e d s t u d e n t s i n a c t i v e l y fi n d i n g p r o b l e m s t h a t t h e y t h o u g h t w e r e t h e s a m e a n d w r i t i n g a b o u t t h e s i m i l a r i t i e s t h e y o b s e r v e d . H e r e . K a r l a d e s c r i b e d w h a t t h e y w e r e e x p e c t e d t o d o : E x a m p l e K - 6 K : A f t e r y o u ’ v e g o n e t h r o u g h a l l y o u r g r a p h m o d e l s . t h e n y o u w a n t t o r e f e r b a c k t o t h e p r o b l e m s w e ’ v e d o n e a n d i f y o u ’ v e d r a w n a g r a p h m o d e l t h a t y o u t h o u g h t d i d s o m e t h i n g l i k e t h i s , y o u h a v e t o l o o k t h r o u g h a l l t h e p r o b l e m s t h a t w e ’ v e d o n e a n d w r i t e d o w n a p r o b l e m t h a t m i g h t b e s i m i l a r t o t h a t . D i d w e . h a v e w e d o n e a n y t h a t h a v e s w o o s h e d d o w n l i k e t h i s ? 8 5 : Y e a h K : L i k e . w h i c h o n e ? S a m : L i k e t h e o n e w e j u s t d i d K : S o . i f I h a d o n e t h a t h a d t h a t k i n d o f a t r e n d t o i t . I ’ d w r i t e d o w n t h e p r o b l e m 3 . 2 d i d t h a t . a l s o . O r t h e w a t e r p r o b l e m d i d t h a t t y p e o f t h i n g . S o . y o u w a n t t o g o b a c k t h r o u g h a l l o f y o u r p r o b l e m s a n d f i n d s i m i l a r o n e s i f t h e r e a r e a n y f o r t h e m o d e l s t h a t y o u d r a w i n A C E n u m b e r f o u r . A n d t h e n A C E 5 . 6 . a n d 7 . g i v e y o u s i t u a t i o n s . B e t t y ’ s b a k e r y c o m e s b a c k [ . . . ] I n r e f e r r i n g s t u d e n t s t o c o m m o n p a s t e x p e r i e n c e s ( a n d o f t e n n a m i n g t h e m ) . K a r l a m a y h a v e b e e n a t t e m p t i n g t o f o r m a c o n t i n u o u s e x p e r i e n c e f o r h e r s t u d e n t s . S h e w a s a l s o e s t a b l i s h i n g t h a t t h e s e c o n n e c t i o n s w e r e t h i n g s t h a t s t u d e n t s s h o u l d b e t h i n k i n g a b o u t a n d a d d r e s s i n g . T h i s “ h a b i t o f m i n d ” a p p e a r e d t o b e g r a s p e d b y s o m e s t u d e n t s b e c a u s e t h e r e w a s e v i d e n c e o n t a p e a n d i n m y fi e l d n o t e s t h a t s t u d e n t s b e g a n t o e n g a g e i n t h i s t y p e o f r e f e r r i n g - b a c k t a l k . F o r e x a m p l e . i n o n e c l a s s p e r i o d t h e y w e r e d i s c u s s i n g a p r o b l e m a n d X a v i e r o f f e r e d . “ T h i s i s l i k e t h e P i z z a P i r a t e p r o b l e m ” — r e f e r r i n g b a c k t o a p r o b l e m t h e y h a d e n g a g e d i n t h e y e a r b e f o r e . I n s h o r t . X a v i e r a d o p t e d K a r l a ’ s “ h a b i t o f m i n d . ” T h i s 9 2 t y p e o f c o n n e c t e d . c o n t i n u o u s l e a r n i n g e x p e r i e n c e c a n b e v e r y p o w e r f u l . I n t h i s c a s e . i t a p p e a r e d t h a t s t u d e n t s h a v e i n t e r n a l i z e d t h i s h a b i t o f m i n d . S o m e s t u d e n t s h a v e b e g u n t o a s k t h e m s e l v e s w h e r e e l s e t h e y h a d s e e n v a r i o u s f o r m s o f t h e s e p r o b l e m s — m a k i n g c o n n e c t i o n s f o r t h e m s e l v e s a n d v o i c i n g i t t o t h e c l a s s . S u m m a g y I n t h i s s e c t i o n , I h a v e s h o w n h o w K a r l a u s e d g e n e r a l a n d s p e c i fi c r e f e r e n c e s b a c k L t o p a s t c l a s s r o o m p r o b l e m s a n d a c t i v i t i e s . W h e n s h e r e f e r r e d b a c k i n a g e n e r a l m a n n e r . f l u o r i n e : . o a n . . . s h e u s e d t e m p o r a l r e f e r e n c e s s u c h a s “ y e s t e r d a y ” o r “ l a s t y e a r . ” o f t e n e m p l o y i n g w h a t E d w a r d s a n d M e r c e r c a l l e d “ r e c o n s t r u c t i v e r e c a p s . ” M o r e s p e c i f i c b a c k - r e f e r e n c e s o c c u r r e d w h e n s h e r e f e r r e d t o s p e c i fi c p r o b l e m s o r a c t i v i t i e s f r o m t h e t e x t s t h e s t u d e n t s w e r e u s i n g . I n t h e s e r e f e r e n c e s , K a r l a b r o u g h t t h e p a s t i n t o t h e p r e s e n t a n d c r e a t e d a n d c o n t r o l l e d t h e “ c o m m o n k n o w l e d g e ” o f t h e c l a s s r o o m . B y d o i n g s o . s h e d e v e l o p e d t h e c o n t e x t a n d c o n t i n u i t y o f t h e c l a s s r o o m a c t i v i t y t h r o u g h “ r e p e a t e d d i s c o u r s e f o r m a t s . ” T h i s w a s i m p o r t a n t t o s t u d e n t u n d e r s t a n d i n g b e c a u s e t h e c o m m o n k n o w l e d g e w a s m a d e a n o b j e c t t o t a l k a b o u t a n d w a s m a d e l e s s i m p l i c i t t o s t u d e n t s . T h i s a s p e c t o f K a r l a ’ s t a l k . a s I m e n t i o n e d i n C h a p t e r 4 . w a s s i m i l a r t o t h e t e x t b o o k i n t h a t i t a l s o s t a t e d w h a t w a s “ f o u n d . ” H o w e v e r . t h e t e x t b o o k u s u a l l y s t a t e d “ y o u f o u n d ” a n d K a r l a u s u a l l y s a i d . “ w e f o u n d . ” T h i s d i f f e r e n c e i n p r o n o u n u s a g e m a y h a v e p o i n t e d s t u d e n t a t t e n t i o n t o t h e j o i n t c o n s t r u c t i o n o f t h e i d e a s . T h e t e x t b o o k . l i k e K a r l a , a l s o r e f e r r e d b a c k t o p a s t p r o b l e m s a n d r e m i n d e d s t u d e n t s w h a t t h e y h a d d o n e i n p r e v i o u s i n v e s t i g a t i o n s . p o s s i b l y i n a n a t t e m p t t o f o r m a c o n t i n u o u s e x p e r i e n c e f o r s t u d e n t s . A s i n t h e n e x t s e c t i o n o n m e t a - c o m m e n t i n g . K a r l a w a s w e a v i n g t o g e t h e r c e r t a i n a s p e c t s o f t h e c l a s s r o o m t h a t s h e s a w i m p o r t a n t f o r s t u d e n t s t o a t t e n d t o . H e r e s h e s e e m e d 9 3 t o b e s h a p i n g t h e c o m m o n k n o w l e d g e i n t e r m s o f t h e t e x t a n d t h e s p e c i fi c c o n t e x t o f t h e c l a s s r o o m i n w h i c h s h e w a s w o r k i n g b a s e d o n h e r k n o w l e d g e a n d m e m o r y o f a c t i v i t i e s a n d c o n v e r s a t i o n s t h a t o c c u r r e d i n t h e c l a s s r o o m . T h i s w a s a n o t h e r w a y t o c r e a t e a c o n t i n u o u s e x p e r i e n c e f o r s t u d e n t s a n d t o d r a w o n m u l t i p l e t e x t s t o d o s o — t h e t e x t o f c l a s s r o o m d i s c u s s i o n a n d a c t i v i t y a s w e l l a s t h e p r o b l e m s i t u a t i o n s C M P u n i t s o f f e r e d t h r o u g h o u t t h e t h r e e y e a r s o f t h e c u r r i c u l u m . M e t a - c o m m e n t i n g M e t a - c o m m e n t i n g h a s b e e n d e s c r i b e d a s a c h a r a c t e r i s t i c a s p e c t o f c l a s s r o o m d i s c o u r s e ( S t u b b s , 1 9 7 5 ) . I n m e t a - c o m m e n t i n g . a t e a c h e r t a k e s s t u d e n t u t t e r a n c e s a n d t r e a t s t h e m a s a p p r o p r i a t e i t e m s f o r c o m m e n t t h e m s e l v e s . S t u b b s c o n n e c t s t h i s i d e a t o t h a t o f “ f o r m u l a t i n g ” ( G a r fi n k e l & S a c k s , 1 9 7 0 ) i n w h i c h : A m e m b e r m a y t r e a t s o m e p a r t o f t h e c o n v e r s a t i o n a s a n o c c a s i o n t o d e s c r i b e t h a t c o n v e r s a t i o n , t o e x p l a i n i t , o r c h a r a c t e r i s e i t , o r e x p l i c a t e . o r t r a n s l a t e . o r s u m m a r i s e , o r f u r n i s h t h e g i s t o f i t . o r t a k e n o t e o f i t s a c c o r d a n c e w i t h r u l e s . o r r e m a r k o n i t s d e p a r t u r e f r o m t h e r u l e s ( p . 2 3 ) . P i m m ( 1 9 9 4 ) p o i n t s o u t t h a t t h i s s t r a t e g y i s a p p r o p r i a t e f o r t e a c h i n g . I n o n e e x a m p l e . h e d i s c u s s e s h o w t h e t e a c h e r m o n i t o r s w h a t i s g o i n g o n a n d a t t e n d s t o w h e t h e r s t u d e n t s i n t h e c l a s s c a n h e a r w h a t o t h e r s a r e s a y i n g t h r o u g h h e r m e t a - c o m m e n t s . T h e m e t a - c o m m e n t s t h a t t h e t e a c h e r m a k e s i n c l u d e r e b r o a d c a s t i n g s t u d e n t c o n t r i b u t i o n s . O t h e r f u n c t i o n s m e t a - c o m m e n t s c a n h a v e i n c l u d e a v o i d i n g f e e d b a c k ( s o a s n o t t o g e t t r a p p e d i n t h e I - R - E s e q u e n c e ) w h i l e s t i l l t a k i n g a t u r n , p u t t i n g s t u d e n t ’ s c o n t r i b u t i o n s i n t o o p p o s i t i o n w i t h o u t t h e t e a c h e r h a v i n g t o d e c i d e a m o n g t h e m . a n d d r a w i n g t h e c l a s s ’ a t t e n t i o n t o t h e f o r m o f a s t u d e n t ’ s u t t e r a n c e ( p p . 1 4 0 - 1 4 1 ) . M a n y o f t h e s e f u n c t i o n s a r e s i m i l a r t o t h o s e s e r v e d b y “ r e v o i c i n g . ” O ’ C o n n o r a n d M i c h a e l s ( 1 9 9 6 ) d e fi n e r e v o i c i n g a s “ a p a r t i c u l a r k i n d o f r e u t t e r i n g ( o r a l o r w r i t t e n ) o f a 9 4 s t u d e n t ’ s c o n t r i b u t i o n b y a n o t h e r p a r t i c i p a n t i n t h e d i s c u s s i o n ” ( p . 7 1 ) . T h e f u n c t i o n s t h e y e x p l i c a t e i n c l u d e : ( 1 ) r e v o i c i n g f o r r e f o r m u l a t i o n a n d ( 2 ) r e v o i c i n g t o c r e a t e a l i g n m e n t s a n d o p p o s i t i o n s w i t h i n a n a r g u m e n t . I n t h i s p a r t i c u l a r a r t i c l e . O ’ C o n n o r a n d M i c h a e l s l o o k a t t e a c h e r r e v o i c i n g . T h i s g i v e s r i s e t o t w o r e l a t e d p a r t i c i p a t i o n f r a m e w o r k s t h a t t h e y b r i e fl y a d d r e s s a t t h e e n d o f t h e i r a r t i c l e . T h e s e i n c l u d e d b o t h s t u d e n t r e v o i c i n g o f o n e a n o t h e r ’ s c o m m e n t s i n c l a s s r o o m d i s c u s s i o n s i n J a p a n . a n d t h e t e a c h e r a s k i n g a s e c o n d s t u d e n t t o e v a l u a t e a n o t h e r s t u d e n t ’ s u t t e r a n c e . I n t h i s l a t t e r i n s t a n c e . s t u d e n t s a r e c h a l l e n g e d t o e n g a g e w i t h o n e a n o t h e r ’ s i d e a s . W h e n t e a c h e r s r e f o r m u l a t e . t h e y m a y d o s o f o r a v a r i e t y o f r e a s o n s i n c l u d i n g “ c l a r i fi c a t i o n o f c o n t e n t o r r e l e v a n c e o r t h e i n t r o d u c t i o n o f n e w t e r m i n o l o g y f o r f a m i l i a r i d e a s ” o r “ i n o r d e r t o a d v a n c e h e r o w n a g e n d a . c h a n g i n g t h e c o n t r i b u t i o n s l i g h t l y s o a s t o d r i v e t h e d i s c u s s i o n i n a n o t h e r d i r e c t i o n ” o r “ t o r e a c h a w i d e r a u d i e n c e t h a n t h e s t u d e n t r e a c h e d ” ( p p . 7 4 - 7 5 ) . P a r t o f t e a c h i n g s t u d e n t s t o e x p l a i n t h e i r r e a s o n i n g i n c l u d e s h e l p i n g t h e m t o a r t i c u l a t e t h e i r u n d e r s t a n d i n g . T e a c h e r s m a y u s e r e f o r m u l a t i n g t o c l a r i f y . m a k e c o n n e c t i o n s , o r fi l l i n m i s s i n g e l e m e n t s o f a c o n v e r s a t i o n . B y t a k i n g a s t u d e n t ’ s c o n t r i b u t i o n . t h e t e a c h e r i s t a k i n g o n t h e r o l e o f “ a n i m a t o r ” ( p . 7 6 ) . E v e n t h o u g h t h e t e a c h e r i s d o i n g t h e t a l k i n g . t h e s t u d e n t i s s t i l l g e t t i n g c r e d i t f o r h i s / h e r i d e a s . A l s o . e v e n i f t h e t e a c h e r r e u t t e r s o r r e p h r a s e s t h e s t u d e n t ’ s c o n t r i b u t i o n . t h e s t u d e n t i s a l l o w e d t o a g r e e o r d i s a g r e e a n d i s g i v e n c r e d i t f o r t h e r e f o r m u l a t e d v e r s i o n . W h e n a t e a c h e r a d d s o r d e l e t e s m a t e r i a l f r o m a s t u d e n t ’ s u t t e r a n c e . s h e m a y r e fi n e . e m p h a s i z e . o r r e s t a t e a s p e c t s o f t h e s t u d e n t ’ s w o r d s t o p o s i t i o n t h e s t u d e n t i n t e r m s o f t h e c o n t e n t a n d g o a l s s h e i s t r y i n g t o t e a c h . I n E d w a r d s a n d M e r c e r ’ s t e r m s . t h e s e “ p a r a p h r a s t i c i n t e r p r e t a t i o n s o f s t u d e n t c o n t r i b u t i o n s ” m a y s e r v e t o c o n t r o l t h e 9 5 c o m m o n k n o w l e d g e i n t h e c l a s s r o o m b e c a u s e t h e y m a t c h t h e c l a s s r o o m d i s c o u r s e m o r e t o t h e g o a l s o f t h e l e s s o n t h a n w h a t w a s a c t u a l l y s p o k e n . T h e p o s i t i o n i n g t h a t r e v o i c i n g a l l o w s c a n b e u s e d t o s e t u p o p p o s i t i o n s o r c r e a t e a l i g n m e n t s w i t h r e g a r d t o t h e c o n t e n t a n d / o r r e g a r d i n g o t h e r s t u d e n t ’ s i d e a s . I n s u m m a r y . r e v o i c i n g m u s t h a v e t w o p a r t i c i p a n t s . t h e “ i n f e r e n c e m a k e r / a n i m a t o r ” , t h e “ i n f e r e n c e s o u r c e / p r i n c i p a l ” a n d t h e “ p r o p o s i t i o n ” ( p . 8 2 ) w h i c h i s t h e r e f o r m u l a t e d u t t e r a n c e t h a t i s s p o k e n o r w r i t t e n b y t h e a n i m a t o r . O ’ C o n n o r a n d M i c h a e l s a l s o i n c l u d e s o m e l a r g e r p u r p o s e s f o r r e v o i c i n g b a s e d o n s o m e c l a s s r o o m e x c e r p t s t h e y g i v e : t o g u i d e s t u d e n t s t o c o n s i d e r d i f f e r e n t b a s e s o n w h i c h t h e y c a n r e fi n e a r a n d o m g u e s s i n t o o n e s u p p o r t e d b y s o m e s o r t o f e v i d e n c e : a n d t o r e b r o a d c a s t t h e c o n t r i b u t i o n o f a s t u d e n t w h o i s b e i n g o v e r l o o k e d ( w h i c h m a y s e r v e g o a l s f o r t h e s o c i a l o r g a n i z a t i o n o f t h e c l a s s r o o m ) . E v e n t h o u g h t h e f u n c t i o n s f o r m e t a c o m m e n t i n g a n d r e v o i c i n g a r e s i m i l a r a n d o v e r l a p p i n g . t h e f o r m s a r e w h e r e t h e d i s t i n c t i o n b e t w e e n t h e m m a y b e m a d e . M e t a c o m m e n t i n g i s a b r o a d e r l i n g u i s t i c s t r a t e g y t h a n r e v o i c i n g . W h e n a t e a c h e r r e v o i c e s . s / h e t y p i c a l l y r e s t a t e s o r r e f o r m u l a t e s s o m e t h i n g a s t u d e n t s a i d p r i o r t o t h e t e a c h e r ’ s t u r n . I n m e t a c o m m e n t i n g . t h e t e a c h e r ’ s t u r n d o e s n o t n e c e s s a r i l y n e e d t o b e a s s o c i a t e d t o a p a r t i c u l a r i n d i v i d u a l . F o r e x a m p l e . a t e a c h e r m a y r e l a y s o m e t h i n g t h a t a g r o u p o f p e o p l e w e r e i n q u i r i n g a b o u t i n s t e a d o f a s i n g l e p e r s o n . I n d o i n g s o . h e / s h e i s t e l l i n g t h e s t o r y o f a c o l l e c t i v e g r o u p , r a t h e r t h a n o n e p e r s o n a n d m i g h t n o t s a y . “ _ _ _ _ s a i d . ” M e t a c o m m e n t i n g a p p e a r s t o b e a l a r g e r s e t o f w h i c h r e v o i c i n g i s a s u b s e t . A l l o f t h e f o r m s a n d f u n c t i o n s d e l i n e a t e d i n O ’ C o n n o r a n d M i c h a e l s ’ a r t i c l e a r e e n c o m p a s s e d b y t h e o n e s d e s c r i b e d i n P i m m ’ s ( f o l l o w i n g S t u b b s ) m e t a c o m m e n t i n g . H o w e v e r . a s I w i l l 9 6 s h o w . t h e n o t i o n o f m e t a c o m m e n t i n g n e e d s t o b e e x t e n d e d t o i n c l u d e t a l k a b o u t a c t i o n s o r p r o c e s s e s . a n d n o t j u s t t a l k a b o u t w o r d s t h e m s e l v e s . P i m m ( I 9 9 4 ) r a i s e s t h e q u e s t i o n o f h o w a t e a c h e r m a y g o a b o u t r e t u r n i n g t o a n o r m a l c o n v e r s a t i o n o n c e t h e m e t a - c o m m e n t s a r e n o l o n g e r t h e c e n t e r o f t h e c o n v e r s a t i o n . H e i n d i c a t e s t h a t t h e s e t r a n s i t i o n s “ n e e d t o b e h a n d l e d s m o o t h l y i f t h e y a r e n o t t o b e t o o d i s r u p t i v e o f a t t e n t i o n a n d f o c u s . y e t n o t s o s m o o t h l y a s t o p a s s u n n o t i c e d . a s t h e y a r e i m p o r t a n t s i t e s f o r t e a c h i n g a n d . h e n c e . p o t e n t i a l l e a r n i n g ” ( p . 1 4 3 ) . T h e N a r r a t o r o f A c t i v i t y a n d T a l k O n e o f K a r l a ’ s m o s t p r o m i n e n t d i s c o u r s e p a t t e r n s w a s t h a t s h e o f t e n u s e d m e t a - c o m m e n t i n g i n h e r t a l k t o s t u d e n t s . T h e s e m e t a - c o m m e n t s t o o k o n v a r i o u s f o r m s . w h i c h i n c l u d e d s a y i n g “ s o m e p e o p l e . . . o t h e r p e o p l e . ” “ R o b b y s a i d . “ i n o u r m i n d s . . “ y o u l o s t m e . . a n d “ s o . ( t h i s w a s t y p i c a l l y m a r k e d b y a n e l o n g a t e d s s s o o o o r a p u n c t u a t e d S O , e a c h f o l l o w e d b y a p a u s e ) . I n s o m e o f t h e s e c a s e s . s h e e m p l o y e d r e v o i c i n g s t r a t e g i e s t o m a k e a m e t a - c o m m e n t : i n o t h e r s s h e d i d n o t . S o m e o f t h e f u n c t i o n s t h e s e m e t a - c o m m e n t s p l a y e d i n c l u d e : r e f e r r i n g b a c k t o p a s t c o n v e r s a t i o n s a n d a c t i o n s . n a m i n g p a r t i c u l a r s t u d e n t s w h e n r e v o i c i n g w h a t t h e s t u d e n t s a i d . c r e a t i n g c o n v e r s a t i o n s . s i g n a l i n g t h a t t h e r e w a s a b r e a k i n c o m m u n i c a t i o n . s u m m a r i z i n g a c o n v e r s a t i o n . e t c . “ S o m e p e o p l e . . . o t h e r p e o p l e . . . " : P l u r a l i t v s h o u l d b e e n d o r s e d a n d a c c l a i m e d . K a r l a o f t e n r e f e r r e d t o p a s t c o n v e r s a t i o n s o r a c t i o n s o f p e o p l e . H o w e v e r . s h e d i d n o t s t a t e w h o e x a c t l y t h e “ p e o p l e ” w e r e . T h e v a r i o u s v e r s i o n s o f t h i s t y p e o f s t a t e m e n t i n c l u d e : “ m a n y 9 9 6 G p e o p l e , ” “ s o m e p e o p l e . o t h e r p e o p l e . ” “ a c o u p l e o f p e o p l e . ” “ a f e w p e o p l e ” o r s i m i l a r v e r s i o n s w h e r e s h e r e p l a c e d “ p e o p l e ” w i t h “ o f y o u ” ( e . g . m a n y o f y o u ) . T h e r e s e e m e d t o b e t h r e e f u n c t i o n s o f t h e s e t y p e s o f s t a t e m e n t s : t o m a k e t h e i d e a s / s t r a t e g i e s o f a s m a l l e r 9 7 g r o u p o f s t u d e n t s a v a i l a b l e t o t h e e n t i r e c l a s s . t o t a c i t l y l e t s t u d e n t s k n o w t h a t w h a t t h e y w e r e d o i n g w a s w h a t s h e w a n t e d t h e m t o d o . a n d t o t a c i t l y d i s a p p r o v e o f s o m e t h i n g s o m e o n e s a i d / d i d i n c l a s s . W h e n K a r l a u s e d t h e s e s t a t e m e n t s t o m a k e i d e a s / s t r a t e g i e s a v a i l a b l e t o t h e w h o l e c l a s s . s h e s o m e t i m e s r e p l a y e d w h a t a s t u d e n t ( s ) d i d f s a i d . F o r e x a m p l e . i n o n e c l a s s p e r i o d . K a r l a h a n d e d b a c k a q u i z a n d w e n t t h r o u g h t h e a n s w e r s f o r s t u d e n t s . I n d o i n g s o . s h e c a m e t o a p r o b l e m w h e r e s o m e s t u d e n t s h a d a p p r o a c h e d h e r d u r i n g t h e q u i z t o a s k h e r a q u e s t i o n . S h e r e p l a y e d t h i s s t o r y f o r t h e w h o l e c l a s s : E x a m p l e K — 7 K : A n d t h e n a c o u p l e o f p e o p l e c a m e u p t o m e a n d t h e y s a i d . “ T h i s d o e s n ’ t f e e l r i g h t . ” S o t h e n I s u g g e s t e d . “ G r a p h i t . ” S o t h e n w h e n t h e y l o o k e d a t t h e i r g r a p h t h e y s a i d . “ O h t h a t h a s t o b e r i g h t b e c a u s e h e r e ’ s t h a t p o i n t t w o - fi v e . O f c o u r s e i t ’ s g o i n g t o c r o s s h i g h e r t h a n t h a t o n t h e y - a x i s . ” A n d t h e n t h e y s a i d . “ O h y e a h i t h a s t o c r o s s u p t h e r e a r o u n d n i n e ” t h a t i t m a k e s s e n s e . A f e w p e o p l e e v e n s t a p l e d a p i e c e o f g r a p h p a p e r t o t h e i r t e s t w h e r e t h e y a c t u a l l y p u t t h i s o n a l a r g e r s h e e t o f g r a p h p a p e r a n d t h e y c o u l d s e e t h e i r y - i n t e r c e p t . I n t h i s r e p l a y i n g o f t h e c o n v e r s a t i o n . K a r l a w a s m a k i n g a d i s c u s s i o n t h a t s h e h a d w i t h a s m a l l e r g r o u p a v a i l a b l e t o t h e e n t i r e c l a s s . A s t e a c h e r . s h e w a s i n a p o s i t i o n o f p r i v i l e g e t h a t a l l o w e d h e r t o e a v e s d r o p o n t h e g r o u p s i n t h e c l a s s r o o m . I n a s e n s e . s h e w a s a c t i n g a s a n a r r a t o r r e p l a y i n g a s t o r y . I n d o i n g s o . s h e w a s c a s t i n g t h e s t o r y a s “ c o n s t r u c t e d d i a l o g u e ” ( T a n n e n . 1 9 8 9 . p . 2 5 ) . c r e a t i n g c o m p l e x p a r t i c i p a t i o n s t r u c t u r e s t h a t i n v i t e h i g h e r d e g r e e s o f i n v o l v e m e n t o n t h e p a r t o f t h e l i s t e n e r 1 s ) . T a n n e n b e l i e v e s t h a t t h i s “ c r e a t i o n o f v o i c e s o c c a s i o n s t h e i m a g i n a t i o n o f a s c e n e i n w h i c h c h a r a c t e r s s p e a k i n t h o s e v o i c e s . a n d t h a t t h e s e s c e n e s o c c a s i o n t h e i m a g i n a t i o n o f a l t e r n a t i v e . d i s t a n t . o r f a m i l i a r w o r l d s . m u c h a s d o e s a r t i s t i c c r e a t i o n . ” m a k i n g t h e c o n v e r s a t i o n m o r e v i v i d a n d e f f e c t i v e . I n u s i n g a m o r e n a r r a t i v e f o r m . K a r l a w a s c r e a t i n g 9 8 a s t o r y i n w h i c h t h e s t u d e n t s t h e m s e l v e s w e r e a c t o r s a n d h a d a d i a l o g u e w i t h h e r . B y t e l l i n g i t i n t h i s m a n n e r . s t u d e n t s c o u l d a l m o s t i m a g i n e t h e e v e n t a s i t h a p p e n e d ( o r c r e a t e t h e i m a g e b e c a u s e t h e y k n o w t h e p l a y e r s ) a n d c o u l d t h e r e b y r e m e m b e r i t i n a m o r e v i v i d w a y . A n o t h e r t a c i t p o i n t K a r l a w a s m a k i n g i n c l u d e d t h a t s t u d e n t s c a n a n d s h o u l d u s e t h e i r g r a p h i n g c a l c u l a t o r s t o c h e c k t h e i r w o r k . G r a p h i n g c a l c u l a t o r s h a v e b e e n u s e d i n t h e i t c l a s s r o o m s i n c e t h e b e g i n n i n g o f t h e s c h o o l y e a r a n d h e r e s h e w a s s u b t l y p o i n t i n g t o o n e W h y — fl , - f - . . _ w a y t h a t t h e y s h o u l d b e u s e d — a s a t o o l f o r c h e c k i n g t h e i r w o r k ’ . S h e w a s a l s o p o i n t i n g t o w a r d t h e f a c t t h a t s t u d e n t s s h o u l d t h i n k a b o u t w h e t h e r t h e i r a n s w e r m a d e s e n s e o r n o t . I n s h o r t . s h e w a s u s i n g t h i s a s a n e x a m p l e o f w h a t s t u d e n t s s h o u l d d o a n d h o w t h e y s h o u l d t h i n k w h e n w o r k i n g t h r o u g h a p r o b l e m . K a r l a u s e d r e p l a y i n g a l s o t o m a k e s t u d e n t s a w a r e o f t h e a r r a y o f s t r a t e g i e s a n d c o n v e r s a t i o n s t h a t w e r e g o i n g o n i n t h e c l a s s r o o m d u r i n g s m a l l g r o u p w o r k . M a n y o f t h e p r o b l e m s i n t h e c u r r i c u l u m ( e s p e c i a l l y t h e A C E p r o b l e m s ) w e r e d o n e i n s m a l l g r o u p s . B e c a u s e s t u d e n t s d i d n o t a l w a y s d i s c u s s t h e s o l u t i o n s w i t h t h e e n t i r e c l a s s . K a r l a o f t e n m a d e e x p l i c i t w h a t o t h e r g r o u p s h a d d o n e o r s a i d t o m a k e t h e i d e a s a n d s t r a t e g i e s a v a i l a b l e t o t h o s e w h o d i d n o t h a v e h e r “ b i r d s - e y e ” v i e w o f t h e c l a s s r o o m . O f t e n w h e n s h e d i d t h i s . s h e u s e d t h e w o r d s “ s o m e p e o p l e ” f o l l o w e d b y “ o t h e r p e o p l e . ” F o r e x a m p l e . s t u d e n t s h a d w o r k e d i n s m a l l g r o u p s t o b u i l d b r i d g e s a s p a r t o f I n v e s t i g a t i o n 2 . 1 . d e s c r i b e d i n t h e b e g i n n i n g o f t h i s c h a p t e r ” . A f t e r s t u d e n t s p e r f o r m e d t h e e x p e r i m e n t a n d r e c o r d e d t h e d a t a . K a r l a l e d a w h o l e - c l a s s d i s c u s s i o n a b o u t t h e d a t a t h e y h a d c o l l e c t e d . W h e n d o i n g s o . s h e b e g a n b y t a l k i n g a b o u t t h e a c c u r a c y o f t h e d a t a c o l l e c t i o n . 9 9 E x a m p l e K — 8 K : Y o u m a d e y o u r b r i d g e s a l o t m o r e a c c u r a t e . Y o u d i d p l a c e t h e m o n y o u r b o o k s a l o t m o r e a c c u r a t e l y . Y o u w e r e t r y i n g t o d r o p y o u r p e n n i e s i n a l l t h e s a m e . b u t a c o u p l e o f t h i n g s t h a t w e h a d n ’ t t a l k e d a b o u t b u t I s t a r t e d n o t i c i n g a s I w e n t t o l o o k a t y o u r g r o u p s . u m . w h a t y o u c o n s i d e r a b r o k e n b r i d g e w a s d i f f e r e n t f r o m g r o u p t o g r o u p . S o m e g r o u p s c o n s i d e r e d i t a b r o k e n b r i d g e w h e n i t h i t y o u r t a b l e . O t h e r g r o u p s c o n s i d e r e d a b r o k e n b r i d g e w h e n i t j u s t s t a r t e d t o b e n d . S o . t h a t m a k e s a h u g e d i f f e r e n c e i n h o w m a n y p e n n i e s y o u c o u l d p u t i n t h e r e . H o w y o u f o l d e d y o u r s i d e s u p - - s o m e p e o p l e f o l d e d s i d e s u p s o t i g h t i t h e l d t h e e t t p . o t h e r s b a r e l y f o l d e d i t u p . a n d t h a t m i g h t h a v e m a d e a d i f f e r e n c e . A n y t h i n g e l s e ? K a r l a w a s p o i n t i n g o u t t h e d i f f e r e n t w a y s t h a t s t u d e n t s d e fi n e d a “ b r o k e n b r i d g e ” t o h e l p s t u d e n t s s e e w h y t h e r e w a s s o m u c h v a r i a t i o n i n t h e n u m b e r s r e c o r d e d i n t h e t a b l e . T h e r e w a s a l s o a s u b t l e s u g g e s t i o n t h a t i n e x p e r i m e n t a t i o n t a k i n g c a r e t o d e fi n e t h e p r o c e s s w a s p a r t o f c o l l e c t i n g g o o d d a t a . T h e s u b t e x t o f t h i s t y p e o f c o n t r i b u t i o n i n c l u d e d t h e f a c t t h a t t h e r e w a s n o o n e r i g h t a p p r o a c h t o t h e p r o b l e m . T h i s w a s o n e w a y t h a t K a r l a a l l o w e d p l u r a l i t y i n t o t h e p u b l i c d i s c o u r s e . A s i s t h e c a s e i n t h i s e x a m p l e . s o m e o f t h e s e w e r e i n h e r e n t l y c o n t r a s t i v e . K a r l a a l s o u s e d t h e s e t y p e s o f s t a t e m e n t s t o t a c i t l y p o i n t t o a c c e p t a b l e a n d u n a c c e p t a b l e a c t i v i t i e s . I n o t h e r w o r d s . s h e d i s c u s s e d t h i n g s p e o p l e d i d o r s a i d t h a t w e r e w h a t s h e w a s l o o k i n g f o r a n d a l s o f o r w h a t s h e t h o u g h t w a s u n a c c e p t a b l e o r n o t q u i t e w h a t s h e h a d i n t e n d e d t h e m t o d o . A n e x a m p l e o f t h e “ c o r r e c t ” s t r a t e g i e s i n c l u d e d : E x a m p l e K - 9 K : M o s t p e o p l e I c o u l d s e e h a d d r a w n a t a b l e o f f t o t h e s i d e a n d w e r e t r y i n g t o u s e y o u r s l o p e a n d w o r k i t b a c k w a r d s . b e c a u s e y o u d i d t h i s [ d r e w a t a b l e o n t h e b o a r d — x ’ s g i v e n a r e 2 . 1 . 0 a n d y w a s g i v e n a s 5 ] . Y o u k n e w t h a t t h e s l o p e w a s — 2 a n d w e t a l k e d a b o u t t h i s s e v e r a l t i m e s a n d - - i n f a c t y e s t e r d a y r i g h t b e f o r e t h e C h e c k u p y o u g a v e m e s o m e p o i n t s a n d i t j u s t h a p p e n e d t o w o r k o u t t h a t w e h a d a n e g a t i v e s l o p e . s o w e h a d w o r k e d t h r o u g h o n e i n t h e R e fl e c t i o n j u s t b e f o r e t h i s . t o o . I f t h e s l o p e i s — 2 . a s t h e x ’ s g e t b i g g e r . w h a t a r e t h e y ’ s d o i n g ? J o n a h : G e t t i n g s m a l l e r 1 0 0 I n t h i s s e g m e n t . K a r l a i n d i c a t e d w h a t “ m o s t ” o f t h e s t u d e n t s t h a t s h e c o u l d s e e h a d d o n e . S h e r e m i n d e d t h e m t h a t t h i s w a s s o m e t h i n g t h e y h a d d o n e p r i o r t o t a k i n g t h e q u i z ( s o i t s h o u l d b e “ c o m m o n k n o w l e d g e ” ) a n d t h e n p r o c e e d e d t o g o t h r o u g h t h e p r o b l e m b y m o d e l i n g t h e m e t h o d t h a t s h e h a d p r e v i o u s l y s h o w n t h e m — w o r k b a c k w a r d s i n t h e t a b l e ( u s i n g t h e s l o p e ) t o fi n d t h e y - i n t e r c e p t . I n t h e n e x t e x a m p l e . K a r l a m a d e t h i s t y p e o f m e t a - c o m m e n t . b u t t a c i t l y d i s a p p r o v e d o f w h a t s t u d e n t s h a d d o n e . E x a m p l e K - 1 0 K : [ P r o b l e m ] 2 A . I r e c o m m e n d e d u s i n g y o u r g r a p h i n g c a l c u l a t o r . I c o u l d t e l l s o m e o f y o u d i d a n d s o m e o f y o u d i d n o t . T h e y ” p u r p o s e l y s e t t h e e q u a t i o n s u p t h a t w a y . T h e o n l y t w o t h a t w e r e l i n e a r w e r e t h e fi r s t a n d t h e l a s t o n e . T h e m i d d l e t w o . y o u h a d d i v i s i o n [ m e a n i n g t h e e q u a t i o n s w e r e o f t h e f o r m y = c / x w h e r e c w a s s o m e r e a l n u m b e r ] . M a n y p e O p l e i n s t e a d i n t h e i r e x p l a n a t i o n w e r e s a y i n g . “ W e l l b e c a u s e i t ’ s d i v i s i o n a n d d i v i s i o n a n d m u l t i p l i c a t i o n a r e r e l a t e d . i t m u s t b e l i n e a r a l s o . ” H o w e v e r . w h e n y o u t h r e w t h o s e i n y o u r G C a n d h i t g r a p h . w h a t d i d i t l o o k l i k e ? I n t h e p r o b l e m . s t u d e n t s w e r e g i v e n f o u r e q u a t i o n s a n d w e r e a s k e d t o i d e n t i f y w h i c h w e r e l i n e a r a n d e x p l a i n w h y t h o s e w e r e l i n e a r . H o w e v e r . i n t h e t w o m i d d l e p r o b l e m s . t h e e q u a t i o n s w e r e o f t h e f o r m y = c / x + b i n s t e a d o f y = m x + b . K a r l a p o i n t e d o u t t h a t j u s t b e c a u s e s t u d e n t s k n e w t h a t m u l t i p l i c a t i o n a n d d i v i s i o n w e r e r e l a t e d d i d n o t n e c e s s a r i l y m e a n t h a t t h e e q u a t i o n s w e r e a l l l i n e a r . T h e “ i n c o r r e c t n e s s ” o f t h e t h i n k i n g w a s f u r t h e r i n d i c a t e d b y h e r r e m i n d i n g t h e m o f w h a t s h e h a d “ r e c o m m e n d e d ” a n d t o l d t h e m w h a t t h e y d i d “ i n s t e a d . . ( p o i n t i n g t o t h e f a c t t h a t t h e y h a d d o n e s o m e t h i n g i n s t e a d o f d o i n g w h a t w a s c o r r e c t ) . F u r t h e r m o r e , w h e n s h e b e g a n t h e l a s t s e n t e n c e w i t h “ h o w e v e r . ” s h e m a r k e d t h e f a c t t h a t i f t h e y h a d c h e c k e d t h e e q u a t i o n s o n t h e g r a p h i n g c a l c u l a t o r . i t w o u l d h a v e b e e n c l e a r t h a t t h e o t h e r t w o e q u a t i o n s w e r e n o t l i n e a r . 1 0 1 I n e a c h o f t h e s e e x a m p l e s . K a r l a b r o u g h t l a n g u a g e f o r w a r d a s a n o b j e c t o f c o n s i d e r a t i o n . t r a n s f o r m i n g s o m e t h i n g t h a t w a s s t a t e d i n t o a n o b j e c t t o b e t h o u g h t a b o u t . A l s o , i n c h o o s i n g t o u s e t h e w o r d “ p e o p l e . ” K a r l a m a y h a v e b e e n t r y i n g t o p r o t e c t t h e s t u d e n t s w h o w e r e i n c o r r e c t b y “ s h i e l d i n g ” ( R o w l a n d . 1 9 9 5 ’ ) t h e m . I n o t h e r w o r d s . s h e w a s p r o t e c t i n g s t u d e n t s b y n o t e x p l i c i t l y t e l l i n g t h e m t h e y a r e w r o n g i n w h a t t h e y d i d a n d b y n o t n a m i n g w h o i t w a s w h o d i d t h e t h i n g s s h e d e s c r i b e d . S h e p l u r a l i z e d t h e p e O p l e t o 1 : w h o m s h e w a s r e f e r r i n g e i t h e r b e c a u s e s h e d i d n o t w a n t t o o r c o u l d n o t n a m e t h e m a l l . " i s a i d . . . ” : C o n t r i b u t i o n s w i l l b e v a l u e d a n d c r e d i t e d . A n o t h e r w a y K a r l a w o u l d m e t a — c o m m e n t i n c l u d e d n a m i n g w h o s a i d o r d i d s o m e t h i n g . T h i s w a s d i f f e r e n t f r o m t h e l a s t s e c t i o n i n t h a t s h e o f t e n s a i d “ S o - a n d ~ s o s a i d . ” t h e r e f o r e t h e p e r s o n w h o c o n t r i b u t e d ( o r t h e p e r s o n w h o a c t e d ) w a s s p e c i fi c a l l y n a m e d . A n o t h e r w a y t h a t t h i s t y p e o f c o n t r i b u t i o n w a s d i f f e r e n t f r o m t h e l a s t w a s i n i t s p o i n t i n g t o w a r d i d e a s t h a t w e r e c o r r e c t o r i n t h e d i r e c t i o n t h a t K a r l a w a n t e d t h e c o n v e r s a t i o n t o g o . I n t h e l a s t s e g m e n t . I d e s c r i b e d “ p e o p l e ” a s p o s s i b l y b e i n g a s h i e l d t o p o i n t t o t h i n g s t h a t w e r e n o t q u i t e w h a t K a r l a w a n t e d t h e m t o b e ( e i t h e r i n t e r m s o f h o w t h e y w e r e t a l k e d a b o u t o r i n t e r m s o f t h e p r o c e s s b e i n g u s e d ) . I n n a m i n g w h o s a i d ( o r d i d ) w h a t . K a r l a t y p i c a l l y p o i n t e d o n l y t o s t a t e m e n t s a n d p r o c e s s e s t h a t p u s h e d f u r t h e r t h e b i g m a t h e m a t i c a l i d e a t h a t w a s t h e f o c u s o n t h e c o n v e r s a t i o n . T h i s t y p e o f n a m i n g f r e q u e n t l y o c c u r r e d i n K a r l a ’ s r e f o r m u l a t i o n s o f s t u d e n t c o n t r i b u t i o n s . S h e r e p o r t e d i n a n i n t e r v i e w t h a t s h e o f t e n d i d t h i s t o g i v e t h e s t u d e n t s a s e n s e o f o w n e r s h i p f o r t h e i r i d e a s / s t a t e m e n t s ” ) . E x a m p l e K - I I R o b b y : M a y b e b e c a u s e t h e y s e e n [ s i c ] [ i n a u d i b l e ] g o e s u p 4 . a n d t h e n 8 [ i n a u d i b l e ] K : S o r t o f a p a t t e r n t h e r e . i s n ’ t t h e r e ? L i k e R o b b y s a i d t h e r e i s a l m o s t a m u l t i p l i c a t i o n o r d i v i s i o n p a t t e r n t h e r e . S i n c e i t i s n ’ t a c o n s t a n t r a t e p a t t e r n . i t 1 0 2 m a k e s i t n o t l i n e a r . S o . i t d o e s d o s o m e t h i n g k i n d a n e a t t h a t w e w i l l l o o k a t l a t e r i n h e r e . U m . y o u r e x p l a n a t i o n f o r h o w y o u r e c o g n i z e t h i n g s a s l i n e a r f r o m a t a b l e w e r e v e r y g o o d . M o s t o f y o u t a l k e d a b o u t l o o k i n g f o r t h a t c o n s t a n t r a t e o r fi n d i n g w h a t i t ’ s g o i n g u p o r d o w n b y . K a r l a t o o k w h a t R o b b y s a i d a n d r e f o r m u l a t e d i t t o s h o w t h a t t h e p a t t e r n t h a t b e i n d i c a t e d w a s n o t t h e c o n s t a n t r a t e p a t t e r n s t h a t t h e y h a d e x p l o r e d s o f a r . S h e n a m e d t h e p a t t e r n i n a m o r e p r e c i s e a n d a r t i c u l a t e w a y — — — i t w a s n o t j u s t g o i n g t i p b y 4 . t h e n 8 : i t w a s a m u l t i p l i c a t i o n o r d i v i s i o n p a t t e r n . I n r e f o r m u l a t i n g R o b b y ’ s c o n t r i b u t i o n i n t h i s m a n n e r . s h e “ f o r e g r o u n d s a k e y a s p e c t o f t h e a c a d e m i c c o n t e n t ” ( O ’ C o n n o r a n d M i c h a e l s . 1 9 9 6 . p . 7 9 ) : a m u l t i p l i c a t i o n o r d i v i s i o n p a t t e r n d i d n o t r e s u l t i n a l i n e a r s i t u a t i o n b e c a u s e i t w a s n o t a “ c o n s t a n t r a t e p a t t e r n ” ( i . e . o n e i n w h i c h t h e y - v a l u e s o f a t a b l e i n c r e a s e d i n a c o n s t a n t a d d i t i v e m a n n e r a s t h e x - v a l u e s i n c r e a s e d b y o n e ) . S h e w a s a l s o c o n t r o l l i n g t h e c o m m o n k n o w l e d g e b y u s i n g p a r a p h r a s t i c i n t e r p r e t a t i o n s o f s t u d e n t c o n t r i b u t i o n s t h a t w e r e m o r e d e t a i l e d a n d m o r e s p e c i fi c i n t e r m s o f t h e c o n t e n t i n t h e c l a s s r o o m . A t o t h e r t i m e s . K a r l a r e p e a t e d s o m e t h i n g f r o m a g r o u p o f r e s p o n s e s w h e n t h e r e w a s a l o t o f o v e r l a p p i n g t a l k . S h e c h o s e a s t u d e n t a n d g a v e h i m / h e r “ v o i c e . ” T h i s m a y s e r v e t h e p u r p o s e o f “ r e b r o a d c a s t i n g t h e c o n t r i b u t i o n o f a c h i l d w h o i s i n d a n g e r o f b e i n g o v e r l o o k e d ” ( O ’ C o n n o r a n d M i c h a e l s . 1 9 9 6 . p . 8 6 ) . a s w e l l a s t a k i n g t h e c o n v e r s a t i o n i n t h e d i r e c t i o n K a r l a w a n t e d i t t o g o . M a n y t i m e s i n t h e t r a n s c r i p t s t h e r e w a s a s e a o f v o i c e s t a l k i n g a f t e r K a r l a a s k e d a q u e s t i o n f l n f a c t . s o m e t i m e s i t w a s h a r d t o m a k e o u t a l l o f t h e c o n t r i b u t i o n s b y v a r i o u s s t u d e n t s . I n m a n y o f t h e s e i n s t a n c e s . K a r l a f o l l o w e d u p b y p u l l i n g o u t s t a t e m e n t s f r o m s t u d e n t s a n d s a y i n g t h e m a l o u d t o t h e c l a s s . i g n o r i n g s o m e s t u d e n t c o n t r i b u t i o n s . O f t e n . t h e s e s t a t e m e n t s w e r e o n e s t h a t w e r e c o r r e c t a n d t h a t K a r l a t h o u g h t t o b e m o s t r e l e v a n t t o h e r g o a l s o f e m p h a s i z i n g t h e “ b i g m a t h e m a t i c a l i d e a l ' . ” 1 0 3 ! 7 “ ” “ " 7 - o . I ' I I ' E x a m p l e K - 1 2 K : I s S a m a n t h a r i g h t o r w r o n g ? S s : W r o n g / R i g h t [ o v e r l a p p i n g s p e e c h ] K : W r o n g ? A n d R o b b y s a i d i t w a s g o i n g t o b e n o n - l i n e a r b e c a u s e i t w a s n ’ t g o i n g d o w n a t t h e s a m e r a t e e v e r y t i m e . H e s a i d i t w a s n ’ t g o i n g t o b e d e c r e a s i n g b y t h e s a m e a m o u n t e v e r y t i m e b e c a u s e e v e r y t i m e y o u c u t i t i n h a l f . y o u h a d a s m a l l e r a m o u n t t o t a k e i t f r o m . S o . I t h i n k t h a t . t h a t ’ s s h o w i n g u p o n m y t a b l e h e r e b e c a u s e I c a n s e e h e r e t h e r e ’ s a h u g e j u m p . 1 6 . H e r e t h e r e ’ s o n l y e i g h t . [ p o i n t s t o t h e n e x t v a l u e ] F o u r . S o . i t d o e s a p p e a r l i k e i t ’ s n o t g o i n g t o b e l i n e a r . E x a m p l e K - I 3 K : S o . w h a t ’ s t h i s g r a p h g o i n g t o d o ? 8 5 : K e e p g o i n g [ o v e r l a p p i n g s p e e c h ] . B e c k y : G e t c l o s e r a n d c l o s e r t o z e r o . b u t n e v e r c r o s s i t . K : I t ’ s g o n n a [ l a u g h s ] k e e p g e t t i n g c l o s e r a n d c l o s e r a n d c l o s e r t o z e r o . b u t i t ’ s n e v e r g o i n g t o t o u c h i t . t h e o r e t i c a l l y . B e c a u s e . a s M a r k s a i d . I k e e p c u t t i n g i t i n h a l f . c u t t i n g i t i n h a l f . c u t t i n g i t i n h a l f . c u t t i n g i t i n h a l f . I n e a c h o f t h e s e c a s e s . t h e s t u d e n t c o n t r i b u t i o n w a s n o t d i s t i n g u i s h a b l e o n t h e t a p e d u e t o t h e m a n y v o i c e s p r e s e n t a f t e r K a r l a a s k e d a q u e s t i o n . H o w e v e r . K a r l a h e a r d m a n y o f t h e s e s t u d e n t s a n d c h o s e t o r e s t a t e ( o r r e f o r m u l a t e — s i n c e t h e c o n t r i b u t i o n w a s n o t c a p t u r e d . i t c o u l d b e e i t h e r ) w h a t o n e s t u d e n t h a d s a i d a n d g a v e h i m c r e d i t f o r w h a t h e s a i d . I n d o i n g s o s h e w a s s h a p i n g t h e c o n v e r s a t i o n i n t h e w a y t h a t s h e t h o u g h t t o b e m o s t p r o fi t a b l e t o w a r d t h e g o a l s t h a t s h e h a d s e t t o d i s t i n g u i s h l i n e a r f r o m n o n - l i n e a r s i t u a t i o n s . S h e a l s o i g n o r e d s o m e s t u d e n t r e s p o n s e s p o s s i b l y i n a n a t t e m p t t o m a n e u v e r t h e c o n v e r s a t i o n t o w a r d t h e b i g i d e a s i n t h e c l a s s r o o m . “ I t h i n k . . . ” . “ I n m y m i n d . . . ” : M a t h e m a t i c s i s i n t h e m i n d o f t h e b e h o l d e r . I n s o m e 0 1 ‘ K a r l a - S m e t a - c o m m e n t s . s h e f o c u s e d o n t h e m i n d a n d t h i n k i n g — i . e . m e t a r e p r e s e n t a t i o n a l t a l k ( O l s o n & A s h i n g t o n . 1 9 9 3 . p . 9 ) . S h e m a y h a v e i n d i c a t e d t o s t u d e n t s t h a t t h i n k i n g w a s a f o c u s o f w h a t t h e y w e r e d o i n g — t h a t m a t h e m a t i c s w a s m e n t a l a n d t h i n k i n g w a s i n v o l v e d . 1 0 4 E x a m p l e K - 1 4 K : Y e a h . s o w e k n e w t h a t y o u h a d d o n e s o m e t h i n g t o c h e a t . S o w e ’ r e g o i n g t o l o o k a t M a r k ’ s w a y o f d o i n g i t . I n s t e a d o f m a k i n g t h i c k e r b r i d g e s . w e ’ r e g o i n g t o m a k e s h o r t e r b r i d g e s a n d w e a l r e a d y t h i n k i f w e m a k e a s h o r t e r b r i d g e . w e ’ r e g o i n g t o n e e d m o r e p e n n i e s . E x a m p l e K - 1 5 K : E x a c t l y . I d i d n ’ t t h i n k a b o u t i t u n t i l I s t a r t e d l i s t e n i n g t o t h e d i f f e r e n t g r o u p s . Y o u ’ r e r i g h t . I h a d a n i m a g e i n m y m i n d o f w h a t I t h o u g h t a b r o k e n b r i d g e w a s . b u t i t w a s o b v i o u s t h a t e v e r y g r o u p h a d a d i f f e r e n t i d e a o f w h a t a b r o k e n b r i d g e w a s . W E ! a r e " m y ? M a r k : W h a t ’ s y o u r i m a g e ? K : M y i m a g e w a s t h a t j u s t w h e n i t s t a r t e d t o b u c k l e . E x a m p l e K - 1 6 K : A t t h i s p o i n t . i f I t h i n k a b o u t a l l t h e t h i n g s w e ’ v e b e e n d o i n g i n t h i s I n v e s t i g a t i o n . a c t u a l l y i n t h i s w h o l e b o o k . U m . w e s t a r t e d w i t h t h e i d e a o f a g r a p h m o d e l a n d a n e q u a t i o n m o d e l w h e r e w e h a d d a t a . e s p e c i a l l y t h e b r i d g e t h i c k n e s s o n e c o m e s t o m y m i n d . I t w a s n ’ t p e r f e c t . E x a m p l e K - 1 7 K : I w a n t e d t o t a l k a b o u t w h a t y o u g u y s w e r e s a y i n g a b o u t . w a s t h e r e a c o n s t a n t r a t e o r s o m e t h i n g e l s e g o i n g o n . A n d w e ’ r e g o i n g t o l o o k a t a n o t h e r p r o b l e m a n d d e c i d e f i r s t i n o u r m i n d s . w h a t t y p e o f g r a p h i t m i g h t b e a n d t h e n . u m . l o o k a l i t t l e m o r e c a r e f u l l y a t i t . A n d h e r e ’ s t h e s i t u a t i o n . I h a v e e i g h t c u p s o v e r h e r e . A n d I ’ l l j u s t k i n d a t h i n k i t t h r o u g h f o r a m i n u t e . I n E x a m p l e K - l 4 . K a r l a w a s t e l l i n g s t u d e n t s t h a t t h e y “ a l r e a d y t h i n k ” s o m e t h i n g . b a s e d o n p a s t e x p e r i e n c e i n t h e c l a s s r o o m . I n d o i n g s o . s h e w a s p o i n t i n g t o s o m e t h i n g t h a t s h e b e l i e v e d s h o u l d b e c o m m o n k n o w l e d g e b y t h i s p o i n t : t h a t i s . s h e w a s m a k i n g p r e s u p p o s e d k n o w l e d g e e x p l i c i t . S h e u s e d t h i s o p p o r t u n i t y t o t e l l s t u d e n t s w h a t t h e y a l r e a d y t h i n k a n d t o p o i n t t o w a r d t h e f a c t t h a t n o w t h e y w e r e a c t u a l l y g o i n g t o d o t h i s , a c t i v i t y ( m a k i n g t h e b r i d g e s s h o r t e r ) . E x a m p l e K - I S s h o w e d K a r l a s e p a r a t i n g h e r i d e a s f r o m t h e s m a l l g r o u p ’ s i d e a s a n d t h a t s h e h a d a d i f f e r e n t d e fi n i t i o n f o r w h a t i n d i c a t e d a “ b r o k e n b r i d g e . ” I n d o i n g s o . s h e p o i n t e d o u t t h a t s h e h a d h e r i m a g e a n d e v e r y g r o u p s e e m e d t o h a v e a d i f f e r e n t i m a g e f r o m h e r s . B e c a u s e o f t h i s . t h e d a t a t h a t s t u d e n t s c o l l e c t e d w a s n o t a s a c c u r a t e a s i t c o u l d h a v e b e e n . O n e s t u d e n t . M a r k . t o o k u p h e r i d e a o f “ i m a g e . ” a s k i n g h e r t o b e m o r e s p e c i fi c a n d e x p l i c i t w i t h h e r d e fi n i t i o n o f “ b r o k e n b r i d g e . ” I n E x a m p l e K - l 6 . K a r l a w e n t b a c k t o s u m m a r i z e a l l o f t h e a c t i v i t i e s t h a t t h e y h a d d o n e t h u s f a r i n T h i n k i n g w i t h A r l a t h e m a t i c a l M o d e l s . H o w e v e r . s h e b e g a n b y s a y i n g “ i f I t h i n k . . . ” a n d t h e n c o n t i n u e d b y t a l k i n g a b o u t a l l o f t h e a c t i v i t i e s a s t h i n g s “ w e ” d i d . B y s w i t c h i n g p r o n o u n s . s h e m a y I r a v e i n d i c a t e d t h a t t h e s e w e r e t h i n g s t h a t s h e w a s t h i n k i n g a b o u t . b u t a c t i v i t i e s i n w h i c h t h e y a l l t o o k p a r t ( e . g . t h e y w e r e a l l i n v o l v e d i n b u i l d i n g t h e b r i d g e s a n d fi l l i n g t h e c u p s w i t h p e n n i e s t o s e e w h e n t h e b r i d g e s w o u l d b r e a k ) . I n o t h e r w o r d s . s h e m a y h a v e b e e n m o d e l i n g w h a t s t u d e n t s s h o u l d b e t h i n k i n g a b o u t . b u t t h e a c t i v i t y a s s o m e t h i n g t h a t h a d j o i n t l y t a k e n p l a c e . K a r l a w a s m o v i n g s t u d e n t s f o r w a r d i n E x a m p l e K — 1 7 . b e g i n n i n g w i t h s o m e t h i n g t h e y w e r e s a y i n g t h a t m i g h t h a v e b e e n c o n f u s i n g f o r s t u d e n t s . i . e . w h a t t y p e o f p a t t e r n w a s i n t h e d a t a . T h e p r o c e s s t h a t s h e w a s a d v o c a t i n g w a s t h a t t h e y “ d e c i d e fi r s t i n o u r m i n d s . . . a n d t h e n l o o k m o r e c a r e f u l l y a t i t . ” I n p o i n t i n g o u t t h a t t h i s w a s t h e o r d e r t h a t t h e y s h o u l d d o i t i n . s h e w a s s u b t l y t e l l i n g t h e m t h a t w h e n t h e y m e r e l y t h i n k a b o u t s o m e t h i n g d e fi n i t e c o n c l u s i o n s c a n n o t b e d r a w n . I n o r d e r t o d r a w v a l i d c o n c l u s i o n s . s t u d e n t s m u s t t h e n l o o k m o r e c a r e f u l l y a t t h e s i t u a t i o n . C o n v e r s e l y . s h e m a y h a v e w a n t e d s t u d e n t s t o b e a w a r e o f t h e c r i t i c a l n e e d t o t h i n k b e f o r e d o i n g s o m e t h i n g . O l s o n a n d A s h i n g t o n ( 1 9 9 3 ) a s s e r t t h a t t h i s t y p e o f m e t a r e p r e s e n t a t i o n a l t a l k u s e d b y t h e t e a c h e r w i l l l e a d t o s t u d e n t r e fl e c t i o n a n d a r t i c u l a t i o n o f t h e i r t h i n k i n g a n d i t s e x p r e s s i o n . I n a d d i t i o n , t h e y h y p o t h e s i z e t h a t : 1 0 6 t e a c h e r s w h o m a k e m o r e u s e o f m e t a c o g n i t i v e a n d m e t a l i n g u i s t i c l a n g u a g e w i l l h a v e s t u d e n t s w h o d o t h e s a m e . a n d t h e s e s t u d e n t s w i l l b e t t e r b e a b l e t o u n d e r s t a n d t h e i r o w n a n d o t h e r ’ s b e l i e f s a n d i n t e n t i o n s : t h a t i s . h o w t h e i r o w n b e l i e f s a r e h e l d a n d h o w o t h e r s ’ s t a t e m e n t s a r e t o b e t a k e n ( p . 2 0 ) . “ Y o u L o s t M e . . U n c e r t a i n t v i s s o m e t h i n g t h a t s h o u l d b e a c k n o w l e d g e d . A n o t h e r p a t t e r n t h a t a p p e a r e d i n t h e t r a n s c r i p t s i n c l u d e d s e g m e n t s w h e n K a r l a w o u l d v o i c e h e r o w n c o n f u s i o n . W h e n s h e d i d t h i s . s h e e i t h e r d i d i t a s a p e d a g o g i c m o v e o r e l s e s h e w a s g e n u i n e l y c o n f u s e d , w h i c h t r i g g e r e d t h i s t y p e o f p e d a g o g i c m o v e . F o r e x a m p l e . s h e m a y h a v e s a i d , “ Y o u l o s t m e . . . . ” W h e n m a k i n g s t a t e m e n t s l i k e t h i s . K a r l a s u p e r fi c i a l l y 1 : l e s s e n e d h e r r o l e a s a u t h o r i t y a n d s i g n a l e d t h a t t h e r e w a s a b r e a k i n c o m m u n i c a t i o n — t h a t s t u d e n t s n e e d e d t o b a c k u p a n d g o o v e r s o m e t h i n g a g a i n . T h i s t y p i c a l l y a p p e a r e d w h e n s o m e o n e i n t r o d u c e d a p r o c e s s f o r d o i n g s o m e t h i n g t h a t h a d n ’ t b e e n e x p l o r e d i n c l a s s y e t o r t h a t w a s d i f f e r e n t f r o m w h a t o t h e r s t u d e n t s w e r e d o i n g : t h a t i s . i t m a y n o t b e c o n s i d e r e d “ c o m m o n k n o w l e d g e ” i n t h e c l a s s r o o m . T h i s w a s i n d i c a t e d b y t h e f a c t t h a t K a r l a c o n t i n u e d t o a s k c l a r i f y i n g q u e s t i o n s a n d o t h e r s t u d e n t s i n t h e r o o m i n d i c a t e d t h a t t h e y w e r e c o n f u s e d t h r o u g h t h e i r f a c i a l e x p r e s s i o n s ( w h i c h K a r l a p i c k e d u p o n — s e e “ I c o u l d t e l l b y y o u r f a c e ” a t t h e e n d o f E x a m p l e K - 1 8 ) . I n t h e f o l l o w i n g e x a m p l e . s t u d e n t s w e r e g i v e n a p o i n t ( 5 . 9 . 5 ) a n d t h e s l o p e ( 1 . 5 ) o f a l i n e . T h e y w e r e a s k e d t o fi n d t h e y - i n t e r c e p t s o t h e y c o u l d w r i t e t h e e q u a t i o n o f t h e l i n e . D u r i n g t h i s e x t e n d e d t r a n s c r i p t ” , K a r l a m a d e t h i s t y p e o f s t a t e m e n t 1 3 m a n y t i m e s . E x a m p l e K - 1 8 K : T h e p i e c e t h a t w e ’ r e t r y i n g t o fi g u r e o u t i s t h i s b . A n d y o u s a i d t h i s b w a s y o u r u p - f r o n t m o n e y o r y o u r u p - f r o n t s t u f f . o r y o u r s t a r t i n g p o i n t o r y - i n t e r c e p t . I s t h i s [ t h e g i v e n p o i n t ] m y y - i n t e r c e p t ? F s : N o K : N o . H o w d o I k n o w t h i s i s n o t m y y - i n t e r c e p t ? I f i t w a s m y y - i n t e r c e p t - K e i t h : O h . c u z i t ’ d b e t h e fi r s t . t h e 9 . 5 J o n a h : I t ’ d b e a t z e r o 1 0 7 , 9 4 - “ y n a - p - a n u t K : Y e a h . b e c a u s e i f i t w e r e . x i s z e r o [ M s t a l k i n g u n d e r h e r ] K : I d o n ’ t k n o w t h i s [ p o i n t i n g t o t h e y - i n t e r c e p t ] . I ’ v e g o t t o fi n d i t . H o w d o I fi n d i t i f t h i s [ t h e s l o p e a n d o n e g i v e n p o i n t ] i s a l l I k n o w ? [ . . . ] [ K a r l a a d d r e s s e s a s t u d e n t w h o i s o f f t a s k ] B e c k y : Y o u k n o w w h a t y o u c a n d o ? M s . D e l m o n t . b u t y o u c a n p u t a n e q u a t i o n i n t h e g r a p h a n d j u s t c a l c u l a t e i t o u t . K : H o w ? B e c k y : I f y o u p u t y = 1 . 5 x a n d t h e n g o t o t h e t a b l e a n d fi n d w h e r e fi v e i s . M s : Y e a h . b u t t h e n t h e s t a r t i n g p o i n t w o u l d b e z e r o . B e c k y : N o . w h e n fi v e i s x , y o u fi n d w h a t e v e r y i s a n d t h e n w h a t e v e r t h e d i f f e r e n c e i s b e t w e e n y , t h a t y a n d y o u r o t h e r y - M s : 7 . 5 B e c k y : - i s t h e [ i n a u d i b l e ] K : H e l p . [ l a u g h t e r ] S a m : C o m e a g a i n ? B e c k y : Y o u p u t i n y = 1 . 5 x i n t h e g r a p h i n g c a l c u l a t o r K : O k a y B e c k y : A n d y o u g o t o t a b l e K : L e t ’ s d o t h a t b e c a u s e s h e l o s t m e a f t e r t h a t . B u t i f y o u ’ r e p u t t i n g 1 . 5 x i n t o y o u r c a l c u l a t o r a n d y o u k n o w i t ’ s c r o s s i n g a t z e r o . z e r o K e i t h : M s . D e l m o n t . i t ’ s p r e t t y b a d w h e n t h e s t u d e n t s h a v e t o t e a c h y o u K : I k n o w [ S s l a u g h ] M s : M s . D e l m o n t . y o u ’ r e j u s t p l a y i n g d u m b r i g h t n o w . M s : Y e a h . [ . . . ] [ S t u d e n t s g e t g r a p h i n g c a l c u l a t o r s i f t h e y d i d n ’ t a l r e a d y h a v e o n e ] K : S o , y o u s a i d p u t 1 . 5 x i n e v e n t h o u g h y o u k n o w t h a t ’ s n o t t h e r i g h t e q u a t i o n ? B e c k y : Y e a h . K : O k a y . t h e n y o u w a n n a d o w h a t ? B e c k y : G o t o t a b l e a n d l o o k f o r w h e r e fi v e i s . i t ’ s 7 . 5 . r i g h t ? K : Y e a h . B e c k y : A n d t h e n w h a t e v e r t h e d i f f e r e n c e i s b e t w e e n t h a t o n e a n d 9 . 5 i s y o u r [ i n a u d i b l e ] o r y o u r [ i n a u d i b l e ] K : S o , y o u ’ r e s a y i n g t h e y — i n t e r c e p t i s t w o ? B e c k y : Y e p . A n d t h e n y o u c a n [ i n a u d i b l e ] 5 x + 2 a n d w h e r e x i s f i v e K e i t h : M s . D e l m o n t . c a n y o u s a y t h a t i n E n g l i s h s o w e c a n w r i t e t h a t d o w n ? K : I ’ m n o t s u r e t h a t I u n d e r s t a n d h e r . I ’ m g o i n g t o a s k i f I ’ m c o r r e c t . O n h e r c a l c u l a t o r - - a n d y o u c a n l o o k a t i t o n y o u r s - - u m . s h e s a i d s h e p u t i n 1 . 5 x . e v e n t h o u g h s h e k n e w t h a t w a s n ’ t r i g h t . T h a t ’ s a s s u m i n g i t c r o s s e d a t z e r o . z e r o . S h e w e n t d o w n t o fi v e a n d a t t h a t e q u a t i o n . i t w a s a t 7 . 5 . S o . t h e n y o u t o o k t h e d i f f e r e n c e b e t w e e n 9 . 5 a n d 7 . 5 ? A n d s a i d t h e n e w y - i n t e r c e p t s h o u l d b e 2 . 1 0 8 p s e " “ . f : - . - — . r 1 K a r l a b e g a n b y a s k i n g s t u d e n t s h o w t o fi n d t h e y - i n t e r c e p t i f t h e y w e r e g i v e n t h e s l o p e ( 1 . 5 ) a n d a p o i n t ( 5 . 9 . 5 ) t h a t w a s o n t h e l i n e . B e c k y fi r s t o f f e r e d h e r s t r a t e g y — o n e o f u s i n g a n e s t i m a t e d e q u a t i o n a n d t h e g r a p h i n g c a l c u l a t o r t o c o n r e u p w i t h t h e y - i n t e r c e p t . F r o m m y c l a s s r o o m o b s e r v a t i o n s . t h e r e w a s n o i n d i c a t i o n t h a t t h i s s t r a t e g y h a s b e e n t a u g h t i n p r i o r c l a s s s e s s i o n s — t h a t i s . t h i s w o u l d n o t b e r e c o g n i z e d a s a c o m m o n w a y o f fi n d i n g t h e y - i n t e r c e p t . K a r l a a l s o i n d i c a t e d t h i s w h e n s h e s a i d . “ H e l p . ” T h i s w a s a s i g n t o B e c k y t h a t s h e n e e d e d t o b a c k u p a n d e x p l a i n w h a t s h e w a s d o i n g . A f t e r r e p e a t i n g h e r m e t h o d a s e c o n d t i m e . K e i t h r e q u e s t e d t h a t K a r l a “ s a y t h a t i n E n g l i s h . ” I n a s k i n g K a r l a t o d o t h i s i n t h i s m a n n e r . K e i t h m a y h a v e i n d i c a t e d t h a t b e p e r c e i v e d K a r l a ’ s i n t e r p r e t a t i o n o f B e c k y ’ s m e t h o d a s i m p o r t a n t t o h i s a b i l i t y t o u n d e r s t a n d i t . F u r t h e r m o r e . h i s r e q u e s t t h a t K a r l a s a y i t i n “ E n g l i s h . ” m a y h a v e i n d i c a t e d h i s a w a r e n e s s o f t h e d i f f e r e n c e b e t w e e n h i s o w n u n d e r s t a n d i n g s a n d B e c k y ’ s . A l s o . h e m a y h a v e b e l i e v e d t h a t p a r t o f K a r l a ’ s r o l e i n t h e c l a s s r o o m i s t o a c t a s i n t e r p r e t e r o f m a t h e m a t i c a l p r o c e s s e s . t h a t h e r i n t e r p r e t a t i o n w a s i m p o r t a n t t o h i s u n d e r s t a n d i n g o f t h e t o p i c a t h a n d . K a r l a p l a y e d t h i s r o l e t h r o u g h r e - d e s c r i b i n g w h a t B e c k y s a i d a n d a s k e d s t u d e n t s t o f o l l o w a l o n g o n t h e i r o w n g r a p h i n g c a l c u l a t o r . I n d o i n g s o . s h e r e f o r m u l a t e d w h a t B e c k y s a i d a n d t r i e d t o a d d m o r e d e t a i l t o h e r m e t h o d . S h e t h e n c a l l e d o n a n o t h e r s t u d e n t t o h e l p t r a n s l a t e B e c k y ’ s m e t h o d . E x a m p l e K — 1 8 ( c o n t i n u e d ) K : X a v i e r . h e l p u s o u t h e r e . X a v i e r : Y o u d o t h e s a m e t h i n g , e x c e p t t a k e 1 . 5 a n d t i m e s i t b y fi v e a n d t h e n d i v i d e t h a t b y [ i n a u d i b l e ] K : W h y a r e y o u d o i n g t h a t ? X a v i e r : C u z i t ’ s t h e s a m e t h i n g . W h a t s h e d i d w a s s h e f o u n d w h a t 1 . 5 w a s o r 5 , w a i t n o w . [ i n a u d i b l e ] T h e n . s h e d i v i d e d . t h e n s h e t o o k a w a y [ i n a u d i b l e ] K : O h . t h a t ’ s w h a t s h e w a s a c t u a l l y d o i n g ? 1 0 9 X a v i e r : Y e a h . b u t f r o m t h e g r a p h a n d t h e t a b l e i n s t e a d o f [ i n a u d i b l e ] n o t t h e e q u a t i o n . K : W h y i s s h e m u l t i p l y i n g i t b y fi v e ? 8 5 : B e c a u s e [ o v e r l a p p i n g t a l k ] B e c k y : [ i n a u d i b l e ] X a v i e r : T h a t ’ s w h a t i t w o u l d b e o r i g i n a l l y . B e c k y : A n d w e w e r e t r y i n g t o fi n d w h e n y . o r w h e n x i s fi v e . w h a t e v e r y i s . K : O k a y . W h y a r e y o u m u l t i p l y i n g i t b y fi v e , t h o u g h ? B e c k y : Y o u ’ r e fi g u r i n g o u t i f y o u h a v e a n t i p - f r o n t . w h a t i t w o u l d b e w h e n x i s fi v e . X a v i e r : T h e fi v e w o u l d b e b y i t s e l f a n d t h e n t a k e a w a y w h a t ’ s t h e x . T h e 7 . 5 b y i t s e l f a n d 9 . 5 a n d i t w o u l d b e 2 . s o i t ’ d s t a r t a t t w o . K : S o . t h i s i s l i k e y o u t o o k a w a y fi v e g r o u p s o f 1 . 5 ? X a v i e r : Y e a h . [ i n a u d i b l e ] K : R i g h t . I d o n ’ t k n o w , w h a t d o y o u t h i n k [ a s k i n g o t h e r s t u d e n t s i n c l a s s ] ? W h e n K a r l a s t i l l d i d n o t u n d e r s t a n d w h a t B e c k y w a s d o i n g . i n s t e a d o f u s i n g r e v o i c i n g f u r t h e r . s h e c a l l e d o n X a v i e r ( o n e o f t h e m o r e k n o w l e d g e a b l e s t u d e n t s i n c l a s s ) t o a c t a s i n t e r p r e t e r f o r B e c k y . r e l i n q u i s h i n g h e r r o l e a s “ i n t e r p r e t e r . ” W h e n d o i n g t h i s . K a r l a c a l l e d o n X a v i e r t o e x p l i c a t e B e c k y ’ s m e t h o d a n d r e a s o n i n g . d r a w i n g h i m t o i n t e r p r e t t h e t h o u g h t s o f a n o t h e r . X a v i e r d e s c r i b e d w h a t I r e t h o u g h t B e c k y w a s d o i n g . w h i c h s e e m e d t o m a k e m o r e s e n s e t o K a r l a b e c a u s e s h e t h e n b e g a n t o a s k m o r e s p e c i fi c q u e s t i o n s ( e . g . w h y t h e y t o o k a w a y fi v e g r o u p s o f 1 . 5 r a t h e r t h a n s o m e o t h e r n u m b e r ) . I n G o f f m a n ’ s t e r m s ( 1 9 7 4 . 1 9 8 1 ) . K a r l a w a s i n v i t i n g X a v i e r t o “ a n i m a t e ” B e c k y . W h e n e x p l a i n i n g B e c k y ’ s r e a s o n i n g . X a v i e r w a s t a k i n g o n t h e r o l e o f I n f e r e n c e M a k e r ( i . e . m a k i n g i n f e r e n c e s a b o u t w h y a n i n t e r l o c u t o r s a i d o r d i d s o m e t h i n g ) . T h i s w a s t h e “ c o n v e r s e o f e x t e r n a l i z i n g o n e ’ s o w n r e a s o n i n g ” ( O ’ C o n n o r a n d M i c h a e l s . 1 9 9 6 . p . 9 1 ) . B o t h l e a r n i n g t o e l a b o r a t e o n e ’ s o w n r e a s o n i n g a n d t h a t o f o t h e r s w e r e “ n e c e s s a r y a c t i v i t y w i t h i n c o l l a b o r a t i v e i n t e l l e c t u a l w o r k ” ( p . 9 1 ) . A s i n t h e e x c e r p t o f V i c t o r i a B i l l s ( O ’ C o n n o r a n d M i c h a e l s , 1 9 9 6 . p . 9 0 ) . K a r l a w a s “ s k i l l f u l l y b r i n g i n g s t u d e n t s ’ t h i n k i n g i n c o n t a c t w i t h e a c h o t h e r ” a n d i n t o c o n t a c t w i t h h e r o w n t h i n k i n g a n d i d e a s . S h e 1 1 0 t r w r e x t e n d e d a n i n v i t a t i o n t o t h e c l a s s t o j u d g e t h e v a l i d i t y o f t h e s t r a t e g y b y a s k i n g t h e m w h a t t h e y t h o u g h t a b o u t B e c k y ’ s m e t h o d . A f t e r r e c e i v i n g l i t t l e r e s p o n s e t o t h i s r e q u e s t . K a r l a d i d n o t s e e m c o n v i n c e d t h a t t h e m e t h o d m a d e s e n s e t o e v e r y o n e . S h e i n d i c a t e d t h i s b y c a l l i n g o n S a m a n t h a . w h o m s h e t h o u g h t l o o k e d c o n f u s e d . S a m a n t h a c o n fi r m e d h e r p e r c e p t i o n b y s h r u g g i n g h e r s h o u l d e r s . K a r l a t h e n r e d i r e c t e d . d r a w i n g o n “ c o m m o n k n o w l e d g e ” - - w h a t s t u d e n t s a l r e a d y k n e w a b o u t a y - i n t e r c e p t — p o s s i b l y b e c a u s e t h i s p r e s u p p o s e d k n o w l e d g e m a d e t h i n g s “ n i c e r a n d n e a t e r ” t h a n t h e a l t e r n a t i v e p o s s i b i l i t i e s B e c k y h a d s u g g e s t e d . E x a m p l e K - 1 8 ( c o n t i n u e d ) K : S a m a n t h a . w h a t d o y o u t h i n k ? [ S a m a n t h a s h r u g s ] K : I c o u l d t e l l b y y o u r f a c e . [ l a u g h s ] L e t m e a s k t h i s q u e s t i o n - - w h a t d o w e k n o w a b o u t a y - i n t e r c e p t ? T h e s e t y p e s o f “ c o n f u s e d ” s t a t e m e n t s f o l l o w e d b y c o n v e r s a t i o n s d i r e c t e d t o c l a r i f y , s l o w d o w n o r e l a b o r a t e s t u d e n t ’ s i d e a s a l s o a p p e a r e d a f t e r a n a c t i v i t y h a d t a k e n p l a c e a n d K a r l a w a s t r y i n g t o s u m m a r i z e w h a t h a d o c c u r r e d . S t u d e n t s w o u l d g i v e h e r t h e a n s w e r s t h a t t h e y h a d g e n e r a t e d a n d s h e w o u l d u s e t h i s t o s i g n a l t h a t t h e y n e e d e d t o s l o w d o w n a n d t a l k t h r o u g h w h a t t h e y h a d d o n e . E x a m p l e K - 1 9 K : I n t h e fi r s t g l a s s . w e s t a r t e d o u t w i t h 3 2 o z a n d t h e n y o u g u y s a l l s t a r t e d t a l k i n g a l l t h e w a y d o w n a n d I k i n d a g o t l o s t o n a l l t h e n u m b e r s a n d t h a t w a s w h y I w a n t e d t o w r i t e ‘ e m . s o I ’ d g e t a b e t t e r i d e a o f w h a t y o u w e r e s a y i n g . S a m : 3 2 . 1 6 - K : H o l d o n . i f y o u g o t o o f a s t , I g e t l o s t . S a m : 1 6 . 8 . K : S o . o n t h e s e c o n d o n e . y o u ’ r e s a y i n g t h e r e w o u l d b e 1 6 ? S a m : T h e n 8 . t h e n 4 , t h e n 2 . t h e n I . t h e n . 5 . t h e n . 2 5 . 1 1 1 ’ m i n r B e c a u s e K a r l a h a d a p r i v i l e g e d r o l e a s t e a c h e r i n t h e c l a s s r o o m . s h e c a n s a y . “ I ’ m l o s t . ” w i t h o u t a p p e a r i n g t h a t s h e d i d n o t k n o w a n y t h i n g . I n f a c t . i n a c o u p l e o f c l a s s s e s s i o n s . s t u d e n t s r e s p o n d e d t o t h i s b y s a y i n g t h a t s h e d i d . i n f a c t . k n o w w h a t w a s g o i n g o n ( a s i n t h e e x t e n d e d e x a m p l e g i v e n e a r l i e r w h e n o n e s t u d e n t s a i d . “ Y o u ’ r e j u s t p l a y i n g d u m b r i g h t n o w ” ) . T h i s w a s a p o w e r f u l w a y t o g e t s t u d e n t s t o t h i n k a b o u t t h e i r l a n g u a g e S — a n d a r t i c u l a t i o n w i t h o u t a c t u a l l y t e l l i n g t h e m t o d o s o b e c a u s e s h e w a s n o t e x p l i c i t l y s a y i n g t o t h e m . “ y o u n e e d t o e x p l a i n y o u r s e l f f u r t h e r . ” B y i n d i c a t i n g h e r c o n f u s i o n . s h e s i g n a l e d t h a t s t u d e n t s s h o u l d b a c k u p a n d s t a r t a g a i n o r s h o u l d s l o w d o w n a n d g i v e m o r e d e t a i l . I n o t h e r w o r d s . t h e s t u d e n t s i n K a r l a ’ s c l a s s r o o m h a d l e a r n e d t h e c u e t h a t t h i s t y p e o f t a l k i n d i c a t e d a c o m m a n d t o e x p l i c a t e t h e i r t h i n k i n g f u r t h e r . I n t h i s w a y . i t s e e m e d t h a t l e a r n i n g w h a t t o “ d o ” ( i n t e r m s o f d i s c o u r s e p a t t e r n s ) w a s i n t r i c a t e l y i n t e r t w i n e d w i t h a r t i c u l a t i n g p r o c e s s e s a n d u n d e r s t a n d i n g . “ S o . T h e t e a c h e r h a s t h e r i g h t t o s u m m a r i z e a n d c o n t r i b u t e a s s h e s e e s f i t . O n e w o r d t h a t a p p e a r e d f r e q u e n t l y i n K a r l a ’ s t a l k i n t h e c l a s s r o o m w a s t h e w o r d “ s o . ” T y p i c a l l y . w h e n K a r l a s a i d i t . i t w a s d r a w n o u t ( s s s o o o ) o r p u n c t u a t e d ( S O ) a n d w a s f o l l o w e d b y a p a u s e . I n s o m e o c c a s i o n s . t h i s m a d e i t a s i g n i fi c a n t l i n g u i s t i c m a r k e r t o i n d i c a t e t h a t a m e t a - c o m m e n t w a s g o i n g t o f o l l o w . T h e m e t a - c o m m e n t s t h a t f o l l o w e d t h i s w o r d w e r e o f t e n s t a t e m e n t s t h a t s u m m a r i z e d o r c o n c l u d e d a c o n v e r s a t i o n t h a t w a s o n g o i n g i n t h e c l a s s r o o m . O t h e r t i m e s . t h e y i n d i c a t e d a c h a n g e o f d i r e c t i o n ( e . g . a s t u d e n t m a y h a v e b e e n o f f t a s k a n d K a r l a w a n t e d t o d i r e c t t h e a t t e n t i o n b a c k t o w h a t t h e y h a d b e e n d o i n g ) i n t h e d i s c u s s i o n . w e r e u s e d t o m o v e o n t o a n e w t o p i c o r t h e y m a r k e d a c l a r i f y i n g c o m m e n t o r q u e s t i o n a f t e r a s t u d e n t m a d e a c o n t r i b u t i o n . 1 1 2 K a r l a o f t e n t o o k l o n g t u r n s ( s o m e o f h e r l o n g e s t t u r n s r a n a l m o s t 2 5 0 w o r d s l o n g a s c o m p a r e d t o a b o u t 5 0 w o r d s i n s o m e o f t h e s t u d e n t ’ s l o n g e s t t u r n s ) . I n m o s t o f t h e s e t u r n s . s h e u s e d t h e w o r d “ s o ” o f t e n . U n l i k e a “ s o ” t h a t i s u s e d t o m a r k a r e v o i c i n g s t a t e m e n t ( O ’ C o n n o r a n d M i c h a e l s . 1 9 9 6 . p . 8 1 ) . t h i s u s e o f “ s o ” d i d n o t s e e m t o l e n d i t s e l f a s a w a y t o c r e a t e a s l o t f o r s t u d e n t s t o h a v e a t u r n . I n t h i s c o n t e x t . i t w a s s p o k e n a f t e r a s e r i e s o f s t a t e m e n t s r e l a t e d t o t h e o n g o i n g c l a s s r o o m c o n v e r s a t i o n . m a n y o f w h i c h i n d i c a t e d s o m e k i n d o f c o n c l u d i n g o r s u m m a r i z i n g s t a t e m e n t r e l a t e d t o t h e c l a s s r o o m a c t i v i t y o r c o n v e r s a t i o n . I n t h e f o l l o w i n g e x a m p l e . a s t u d e n t fi n i s h e d e x p l a i n i n g a s o l u t i o n m e t h o d . K a r l a e n d e d t h i s e p i s o d e b y r e s t a t i n g s t u d e n t c o n t r i b u t i o n s . u s i n g t h e w o r d “ s o ” t o l e t s t u d e n t s k n o w t h a t s h e w a s n o w d e s c r i b i n g w h a t t h e y w e r e d o i n g . E x a m p l e K - 2 0 K : I f I t a k e 1 . 5 a w a y e v e r y t i m e . h o w m a n y t i m e s a m I t a k i n g 1 . 5 a w a y ? S S : F i v e . K : F i v e . I t t a k e s m e fi v e m o v e s t o g e t d o w n t o t h a t z e r o . S o . r e a l l y w h e n t h e y d i d i t t h i s w a y . t h a t ’ s w h a t t h e y w e r e d o i n g . T h e y w a n t e d t o s e e h o w m a n y t i m e s a r e t h e y g o i n ’ t o b e t a k i n g t h i s a w a y t o g e t h e r b a c k t o z e r o . T h e y ’ r e g o i n g t o d o t h a t fi v e t i m e s f o r a t o t a l o f s e v e n a n d a h a l f t h a t t h e y ’ r e g o i n g t o t a k e a w a y . W e w e r e d o i n g i t t h i s w a y — w h e r e w e t o o k a p o i n t w e k n e w a n d t h e n u s e d o u r s l o p e a n d k i n d a w o r k e d i t b a c k w a r d s . I f I ’ m a t 9 a n d a h a l f a n d w o r k e d b a c k w a r d s . w h e r e a m 1 n o w ? 8 5 : S i x . K : I f I t a k e a w a y o n e a n d a h a l f ? A n d i f I k e e p u s i n g t h a t s a m e s l o p e . A n d t h e n [ 8 5 g i v e n u m b e r s ] a n d t h e n [ S t u d e n t s c o n t i n u e t o g i v e n u m b e r s ] S o . I a m g o i n g t o e n d u p i n t h e s a m e p l a c e t h a t t h e y d i d . W e j u s t t o o k t h e m a w a y o n e a t a t i m e t o g e t b a c k h e r e . T h e y w e r e s a y i n g . “ I k n o w I ’ m g o i n g t o b e t a k i n g i t a w a y a n d I ’ m g o i n g t o h a v e fi v e g r o u p s o f i t . ” s o t h e y d i d i t i n t h a t m a n y s t e p s . B u t m o s t o f u s w o u l d d o i t t h a t w a y [ . . . ] E x a m p l e K - Z l K : W e j u s t h a v e t o b e c a r e f u l t o r e m e m b e r t h i s i s h o w I ’ m r i s i n g . I ’ m r i s i n g f r o m o n e u p t o 1 I . S o , I ’ m r i s i n g a t o t a l o f t e n . I ’ m r u n n i n g f r o m t w o t o s e v e n . s o I ’ m r u n n i n g fi v e . N o w i f I t a k e r i s e d i v i d e d b y r u n . S a m a n t h a . w h a t ’ s t h e s l o p e ? S a m a n t h a : T w o 1 1 3 E x a m p l e K - 2 2 K : Y e a h . i t l o o k s k i n d a f u n k y . I t h a d t h e s e t w o l i t t l e c u r v y t h i n g s . S o . i t d e fi n i t e l y w a s n o t l i n e a r . S o , w h e n y o u d i v i d e b y x . i t ’ s n o t t h e s a n r e t h i n g a s m u l t i p l y i n g b y x . T h a t ’ s w h a t t h o s e t w o w e r e g e t t i n g y o u t o l o o k a t . I n E x a m p l e K - 2 0 . t h e l a s t t w o u s e s o f “ s o ” w e r e u s e d t o m a k e t h e p o i n t t h a t b o t h w a y s w o u l d g e t s t u d e n t s t o t h e s a m e p l a c e — w h e t h e r y o u s u b t r a c t o n e 1 . 5 a t a t i m e u n t i l y o u h a v e s u b t r a c t e d fi v e o f t h e m o r i f y o u t a k e a w a y fi v e 1 5 5 a t o n c e . T h e s e s t a t e m e n t s s u m m a r i z e d t h e m a i n p o i n t s o f t h e t a l k a n d “ s o ” d r e w s t u d e n t a t t e n t i o n t o w h a t h e r p o i n t w a s i n s u m m a r i z i n g : t h a t i s . i t s e r v e d a s a s i g n i fi c a n t m a r k e r t h a t h i g h l i g h t e d t h e i m p o r t a n c e o f t h e s t a t e m e n t t h a t f o l l o w e d . “ S o ” s e r v e d t h e s a m e f u n c t i o n i n E x a m p l e s K - 2 1 a n d K - 2 2 . A f t e r s o m e t a l k a b o u t t h e m a t h e m a t i c s , K a r l a m a d e a p o i n t a b o u t w h a t t h e y w e r e t a l k i n g a b o u t — s h e w a s d r a w i n g t h e i r a t t e n t i o n t o w h a t t h e c o n c l u d i n g p o i n t w a s t h a t t h e y s h o u l d w a l k a w a y f r o m i n t h i s c o n v e r s a t i o n . I n E x a m p l e K - 2 1 . i t w a s t h e r e s u l t o f s u b t r a c t i n g t h e c h a n g e i n t h e y a n d x v a l u e s . I n E x a m p l e K - 2 2 . s i n c e t h e g r a p h i s “ c u r v y , ” s h e l e t s t u d e n t s k n o w t h a t t h e y c a n c o n c l u d e t h a t t h e e q u a t i o n w a s n o t l i n e a r . w h i c h f u r t h e r a l l o w e d t h e m t o d e t e r m i n e t h a t d i v i d i n g b y x w a s n o t t h e s a m e a s m u l t i p l y i n g b y x i n a n e q u a t i o n . I n t h e s e i n s t a n c e s . “ s o ” w a s a c t i n g a s a g i s t m a r k e r : t h a t i s . t h e n e x t t h i n g t o b e s a i d w a s t h e m a i n p o i n t o f h e r t u r n . B y d o i n g t h i s . s h e m a d e a s h i f t i n g e n e r a l i t y b y p o i n t i n g t o a t r u t h t h a t w a s l a r g e r t h a n t h e o t h e r f a c t s s h e h a d s t a t e d s o t ’ a r . I n o t h e r w o r d s . s h e w a s f o r m u l a t i n g t h e c o m m o n k n o w l e d g e t o b e t a k e n a w a y f r o m t h e c o n v e r s a t i o n . A l t h o u g h m a n y o f t h e i d e a s t h a t s h e w a s r e i t e r a t i n g c a m e f r o m s t u d e n t s . K a r l a o f t e n u s e d h e r o w n w o r d s t o s u m m a r i z e . r a t h e r t h a n w o r d s o f s t u d e n t s . B y d o i n g t h i s . s h e m a y h a v e i n d i c a t e d t o s t u d e n t s t h a t t h i s w a s p a r t o f h e r r o l e i n t h e c l a s s r o o m — t o 1 1 4 s u m m a r i z e a n d c l a r i f y t h e a c t i v i t y o f t h e c l a s s r o o m . I n f a c t . i n a c o n v e r s a t i o n w i t h K a r l a . s h e t o l d m e t h a t s h e o f t e n t r i e d t o d o t h i s . S h e a t t r i b u t e d t h i s t o t h e f a c t t h a t h e r o w n m a t h e m a t i c s t e a c h e r s h a d n e v e r d o n e t h i s . O f t e n . s h e f e l t l i k e s h e l e f t t h e c l a s s n o t k n o w i n g w h a t t h e y w e r e d o i n g — n e v e r k n o w i n g t h e p u r p o s e o f w h a t w a s g o i n g o n i n t h e c l a s s r o o m . S h e t o l d m e t h a t s h e n e v e r w a n t e d h e r s t u d e n t s t o f e e l t h a t w a y . I t w a s n o t t h e c a s e t h a t K a r l a a l w a y s u s e d “ s o ” i n t h i s m a n n e r . I n o t h e r i n s t a n c e s . K a r l a s o m e t i m e s u s e d “ s o ” t o d i r e c t s t u d e n t s ’ a t t e n t i o n b a c k t o t h e c o n v e r s a t i o n w h e n t h e i r t a l k b e c a m e o f f t a s k f r o m t h e t o p i c a t h a n d . A n o t h e r w a y K a r l a u s e d “ s o ” w a s t o i n d i c a t e a c h a n g e o f d i r e c t i o n . T h e s e h a p p e n e d m o r e o f t e n i n a n I - R - E s e q u e n c e w h e n K a r l a w o u l d r e p e a t w h a t a s t u d e n t s a i d a n d t h e n m o v e o n t o t h e n e x t q u e s t i o n . E x a m p l e K - 2 3 K : I f t h e s l o p e i s — 2 , a s t h e x ’ s g e t b i g g e r . w h a t a r e y ’ s d o i n g ? J o n a h : G e t t i n g s m a l l e r K : G e t t i n g s m a l l e r . s o i f I g o t h e o t h e r w a y m y x ’ s a r e g e t t i n g s m a l l e r . w h a t s h o u l d m y y ’ s d o ? R o b b y : G e t b i g g e r K : G e t b i g g e r . s o t h i s s h o u l d b e i n c r e a s i n g b y 2 t h i s w a y [ . . . ] I n t h i s e x a m p l e . i t w a s c l e a r t h a t K a r l a w a s c h a n g i n g t h e d i r e c t i o n f r o m w h a t t h e y w e r e t a l k i n g a b o u t t o t h e n e x t . r e l a t e d . i d e a : t h a t i s . s h e w a s m o v i n g t h e c o n v e r s a t i o n a l o n g . S h e t a c i t l y a p p r o v e d w h a t t h e s t u d e n t s a i d b y r e p e a t i n g i t a n d t h e n u s e d “ s o ” t o i n d i c a t e t h a t s h e w a s m o v i n g f o r w a r d . S i m i l a r t o O ’ C o n n o r a n d M i c h a e l s ( 1 9 9 6 ) . t h e l a s t f u n c t i o n t h i s l i n g u i s t i c m a r k e r s e r v e d w a s t o p r e c e d e a c l a r i f y i n g q u e s t i o n . t h r o u g h a r e v o i c i n g o f s o m e t h i n g a s t u d e n t s a i d . F o r e x a m p l e E x a m p l e K - 2 4 R o b b y : L i k e . i t s t a r t s o u t a t 2 K : S o . y o u ’ r e p i c k i n g t h i s p o i n t t o w o r k i t f r o m ? R o b b y : Y e a h K : O k a y R o b b y : [ i n a u d i b l e ] y . n o [ i n a u d i b l e ] K : A n d t h e r a t e . w e k n o w i s t w o ? R o b b y : O k a y . t h e n t h e e q u a t i o n [ i n a u d i b l e ] K : S o . i s i t 2 x - 3 ? A n d y o u w o u l d ’ v e t a k e n t w o g r o u p s o f n e g a t i v e t w o . o r t w o g r o u p s o f t w o a w a y . r i g h t ? Y o u w o u l d ’ v e t a k e n f o u r a w a y f r o m h e r e ? E x a m p l e K - 2 5 K : Y o u d i d n ’ t d o y o u r h o m e w o r k . O k a y . K e i t h . w h a t ’ s i t g o i n g t o d o ? K e i t h : I t ’ s g o i n g t o g o u p b y fi v e s u n t i l l i k e s i x t e e n w e e k s . K : S o I j u s t k e e p a d d i n g fi v e c e n t s ? K e i t h : Y e a h . I n e a c h o f t h e s e e x a m p l e s . K a r l a ’ s u s e o f “ s o ” m a r k e d t h e b e g i n n i n g o f h e r t u r n . f u r t h e r i n d i c a t i n g t h a t s h e w a s r e v o i c i n g t h e s t u d e n t ’ s c o n t r i b u t i o n . A l s o . t h i s m a r k e r p r o v i d e d “ b o t h o p p o r t u n i t y t o r e s p o n d a n d a r e s p o n s i b i l i t y t o r a t i f y o r r e j e c t t h e c o r r e c t n e s s o f t h e r e v o i c e d u t t e r a n c e ” ( O ’ C o n n o r s a n d M i c h a e l s . 1 9 9 6 . p . 8 1 ) . I n r e v o i c i n g . t h e s t u d e n t a n d t e a c h e r . f o r a m o m e n t . w e r e o n a n e q u a l c o n v e r s a t i o n a l f o o t i n g . T h i s f o o t i n g w a s q u i t e d i f f e r e n t f r o m t h e p o s i t i o n i n g a c c o m p l i s h e d w i t h a n I - R - E s e q u e n c e . I n u s i n g r e v o i c i n g . K a r l a w a s “ a c c e p t i n g s t u d e n t s ’ r e s p o n s e f r o m t h e s t a r t . u s i n g i t a s a b a s e f o r t h e w a r r a n t e d i n f e r e n c e . a n d t h e n a l l o w i n g t h e s t u d e n t t h e r i g h t t o e v a l u a t e t h e c o r r e c t n e s s o f t h e t e a c h e r ’ s i n f e r e n c e ” ( p . 8 2 ) . T h e a c c e p t a n c e o f t h e s t u d e n t r e s p o n s e a p p e a r e d i n t h e f a c t t h a t K a r l a u s e d p a r t o f w h a t t h e s t u d e n t s a i d . H o w e v e r . s h e m o d i fi e d t h e c o n t r i b u t i o n s l i g h t l y a n d e n d e d h e r t u r n w i t h r i s i n g i n t o n a t i o n . s i g n a l i n g t h e s t u d e n t t h a t t h e y w e r e t o l e t h e r k n o w i f h e r i n t e r p r e t a t i o n w a s c o r r e c t o r n o t . S u m m a r v I n t h i s s e c t i o n . I h a v e d e s c r i b e d h o w K a r l a u s e d m e t a c o m m e n t i n g t o : r e f e r t o p a s t c o n v e r s a t i o n s o r a c t i o n s o f p e o p l e . r e v o i c e s t u d e n t c o n t r i b u t i o n s . r e f e r t o t h e i m p o r t a n c e o f t h i n k i n g i n m a t h e m a t i c s . s i g n a l a b r e a k d o w n i n c o m m u n i c a t i o n . a n d 1 1 6 s u m m a r i z e / c o n c l u d e t h e m a i n p o i n t s o f t h e c l a s s r o o m c o n v e r s a t i o n . T h e s e m e t a c o m m e n t s w e r e m a r k e d b y p a r t i c u l a r l i n g u i s t i c c u e s ( e . g . “ s o m e p e o p l e . . . o t h e r 9 p e o p l e . . . , ’ “ s o - a n d - s o s a i d . . “ y o u l o s t m e . . a n d “ s o . . . . ” . ) W h e n r e f e r r i n g t o p a s t c o n v e r s a t i o n s o r a c t i o n s o f p e o p l e . K a r l a r e c o g n i z e d t a l k a n d p r o c e s s e s t h a t w e r e b o t h w h a t s h e w o u l d c o n s i d e r c o r r e c t a n d t h o s e t h a t w e r e n o t q u i t e w h a t s h e w a s l o o k i n g f o r . I n E d w a r d s a n d M e r c e r ’ s t e r m s . s h e w a s m a k i n g “ r e c o n s t r u c t i v e r e c a p s ” o f t h i n g s s t u d e n t s s a i d o r d i d . S h e w o u l d a l s o b r o a d c a s t s t r a t e g i e s t h a t s m a l l g r o u p s w e r e u s i n g t o m a k e t h e s e s t r a t e g i e s k n o w n t o t h e l a r g e r c l a s s r o o m . W h e n u s i n g t h i s s t r a t e g y . K a r l a o f t e n a c t e d a s n a r r a t o r o f a s t o r y t o b e t o l d . S h e e v e n u s e d w h a t T a n n e n w o u l d c a l l “ c o n s t r u c t e d d i a l o g u e . ” w h i c h i n v i t e d h i g h e r d e g r e e s o f i n v o l v e m e n t o n t h e p a r t o f t h e l i s t e n e r . S h e o f f e r e d h e r “ b i r d s - e y e ” v i e w o f t h e c l a s s r o o m a s s t o r i e s t o b e t o l d . K a r l a a l s o u s e d t h i s s t r a t e g y a s a w a y o f a l l o w i n g p l u r a l i t y i n t o t h e c l a s s r o o m d i s c o u r s e — i n s o m e c a s e s t h e s e a p p r o a c h e s w e r e i n h e r e n t l y c o n t r a s t i v e . I n n a m i n g s t u d e n t c o n t r i b u t i o n s . K a r l a o f t e n r e v o i c e d s t u d e n t o f f e r i n g s . H o w e v e r . s h e a l s o r e m i n d e d s t u d e n t s o f s t r a t e g i e s t h a t i n d i v i d u a l s h a d o f f e r e d d u r i n g p a s t c l a s s r o o m c o n v e r s a t i o n s . O f t e n . K a r l a u s e d t h i s a s a n o c c a s i o n t o r e f o r m u l a t e i n m o r e m a t h e m a t i c a l l y c o r r e c t a n d p r e c i s e w a y s — s o m e t i m e s u s i n g l a n g u a g e t h a t w o u l d b e c o n s i d e r e d m o r e o f fi c i a l . O t h e r t i m e s . K a r l a u s e d t h i s s t r a t e g y a s a w a y t o c r e d i t s t u d e n t s f o r t h e i r i d e a s . g i v i n g t h e m o w n e r s h i p o f t h e i r c o n t r i b u t i o n s . A c c o r d i n g t o E d w a r d s a n d M e r c e r . t h e s e “ p a r a p h r a s t i c i n t e r p r e t a t i o n s o f p u p i l c o n t r i b u t i o n s ” c o n t r o l t h e c o m m o n k n o w l e d g e b y m a k i n g s t u d e n t c o n t r i b u t i o n s a d h e r e m o r e c l o s e l y t o t h e b i g i d e a s t h e t e a c h e r m a y b e t r y i n g t o v e e r t h e c o n v e r s a t i o n t o w a r d . 1 1 7 T h e m e t a - r e p r e s e n t a t i o n a l t a l k K a r l a u s e d i n d i c a t e d t h a t t h i n k i n g w a s a f o c u s o f m a t h e m a t i c s . I n s o m e c a s e s . s h e r e f e r r e d b a c k t o i d e a s a s s o c i a t e d w i t h c o m m o n k n o w l e d g e — r e m i n d i n g s t u d e n t s o f w h a t “ w e a l r e a d y t h i n k . ” m a k i n g p r e s u p p o s e d k n o w l e d g e m o r e e x p l i c i t . S h e a l s o f o c u s e d o n t h i n k i n g t h r o u g h s t r a t e g i e s a n d p r o c e s s e s b e f o r e e v e n a p p l y i n g t h e m t o t h e p r o b l e m s t h a t w e r e b e i n g d i s c u s s e d . H o w e v e r . s h e p u s h e d t h i s f u r t h e r b y r e m i n d i n g s t u d e n t s t h a t t h e y n e e d e d t o a c t u a l l y d o t h e p r o c e s s e s b e f o r e d e c i d i n g w h e t h e r t h e i r c o n c l u s i o n s w e r e v a l i d o r n o t . I n a s e n s e . s h e e n c o u r a g e d t h e m t o b e r e fl e c t i v e b o t h b e f o r e a n d a f t e r t h e y w o r k e d t h r o u g h a p r o b l e m b e c a u s e s h e e m p h a s i z e d t h a t t h e y t h i n k t h r o u g h i t fi r s t a n d t h e n c o n t i n u a l l y a s k e d t h e m t o c h e c k t h e i r w o r k t o m a k e s u r e t h e s o l u t i o n m a d e s e n s e a f t e r t h e y h a d c o m p l e t e d t h e p r o b l e m ( m o s t o f t e n b y u s i n g a g r a p h i n g c a l c u l a t o r ) . K a r l a a l s o u s e d m e t a - c o m m e n t s t o t a c i t l y s i g n a l a b r e a k i n c o m m u n i c a t i o n . O f t e n . t h i s s t r a t e g y a p p e a r e d w h e n s t u d e n t s i n t r o d u c e d w a y s o f s o l v i n g p r o b l e m s t h a t w e r e n o t l i k e t h o s e t h a t K a r l a ( a n d p o s s i b l y t h e o t h e r s t u d e n t s i n c l a s s ) c o n s i d e r e d c o m m o n w a y s o f d o i n g s o m e t h i n g . T h i s p e d a g o g i c m o v e w a s e i t h e r g e n u i n e o r w a s t r i g g e r e d w h e n K a r l a s e n s e d s o m e s t u d e n t s m a y h a v e b e e n c o n f u s e d . I n t h i s t y p e o f m o v e . K a r l a w o u l d s o m e t i m e s b r i n g o t h e r s t u d e n t s i n t o a c t a s i n t e r p r e t e r . I n u s i n g t h i s s t r a t e g y . K a r l a g o t s t u d e n t s t o a r t i c u l a t e t h e m s e l v e s m o r e f u l l y b y s i g n a l i n g t h e m t o d o s o . P o s s i b l y , t h e m o s t e x p l i c i t m a r k e r t h a t K a r l a e m p l o y e d w a s t h a t o f u s i n g t h e w o r d “ s o ” t o s i g n a l t h a t a m e t a - c o m m e n t w a s t o f o l l o w . I n u s i n g t h i s d e v i c e . K a r l a w a s l e t t i n g s t u d e n t s k n o w t h a t a s u m m a t i v e p o i n t w a s g o i n g t o b e m a d e t h a t t r a n s c e n d e d o t h e r s s t a t e d p r i o r t o t h a t o n e . T h e s e t y p e s o f “ s o ” w e r e m a r k e d f u r t h e r b y t h e i r i n t o n a t i o n — t h e y w e r e e i t h e r p u n c t u a t e d o r d r a w n o u t a n d w e r e f o l l o w e d b y a p a u s e . B y u s i n g t h i s 1 1 8 “ s i g n i fi c a n t m a r k e r ” i n t h i s m a n n e r . K a r l a w a s i m p l i c i t l y p o i n t i n g t o a n d d e fi n i n g t h e c o m m o n k n o w l e d g e a s i t w a s b e i n g d e v e l o p e d i n t h e c l a s s r o o m . I n d e s c r i b i n g K a r l a ’ s u s e o f t h e s e f o r m s . I h a v e b r o a d e n e d t h e n o t i o n o f m e t a c o m m e n t i n g t o i n c l u d e c o m m e n t s o n a c t i o n s . n o t j u s t w o r d s . W h e n K a r l a c o m m e n t e d o n p e o p l e ’ s a c t i o n s o r p r o c e s s e s . t h e t a l k h a d a s i m i l a r f u n c t i o n a s m e t a c o m m e n t i n g i n t h a t i t w a s s t i l l c o m m e n t i n g o n s o m e t h i n g a t a m e t a - l e v e l . H o w e v e r . i n P i m m ’ s d i s c u s s i o n a b o u t m e t a c o m m e n t i n g . a l l o f t h e t e a c h e r ’ s m e t a c o m m e n t s f o c u s e d o n w o r d s t h a t w e r e s p o k e n . n o t a c t i o n s t h a t w e r e t a k e n . I h a v e s h o w n t h a t K a r l a a l s o u s e d m e t a c o m m e n t s t o b r i n g a c t i o n s a n d p r o c e s s e s t o s t u d e n t ’ s a t t e n t i o n . E x p r e s s i o n s o f U n c e r t a i n t y . P o s s i b i l i t y a n d v a o t h e t i c a l L a n g u a g e t h a t i n d i c a t e s v a g u e n e s s o r u n c e r t a i n t y c a n b e i d e n t i fi e d i n m a n y w a y s . O n e c o m m o n w a y i s t h r o u g h e x a m i n i n g m o d a l i t y . S t u b b s ( 1 9 9 6 ) d e fi n e s m o d a l i t y a s : w a y s i n w h i c h l a n g u a g e i s u s e d t o e n c o d e m e a n i n g s s u c h a s d e g r e e s o f c e r t a i n t y a n d c o m m i t m e n t . o r a l t e r n a t i v e l y v a g u e n e s s a n d l a c k o f c o m m i t m e n t s . p e r s o n a l b e l i e f s v e r s u s g e n e r a l l y a c c e p t e d o r t a k e n f o r g r a n t e d k n o w l e d g e . S u c h l a n g u a g e f u n c t i o n s t o e x p r e s s g r o u p m e m b e r s h i p . a s s p e a k e r s a d o p t p o s i t i o n s . e x p r e s s a g r e e m e n t a n d d i s a g r e e m e n t w i t h o t h e r s . m a k e p e r s o n a l a n d s o c i a l a l l e g i a n c e s a n d c o n t r a c t s ( p . 2 0 2 ) . W h e n w e s p e a k o r w r i t e . w e a r e o f t e n v a g u e . i n d i r e c t a n d u n c l e a r a b o u t t o w h a t w e a r e c o m m i t t e d . T h i s h a s m a n y u s e s . t w o o f w h i c h a r e p o l i t e n e s s a n d h e d g i n g . P o l i t e n e s s B r o w n a n d L e v i n s o n ( 1 9 7 8 ) d e fi n e p o l i t e n e s s i n t e r m s o f m u t u a l s o c i a l m o t i v a t i o n w h e r e i n t e r l o c u t o r s a d d r e s s e a c h o t h e r ’ s n e e d t o p r e s e r v e f a c e . T h e t e r m “ f a c e ” c o m e s f r o m G o f f m a n ’ s ( 1 9 6 7 ) n o t i o n w h i c h t i e s i t t o : [ . . . ] n o t i o n s o f b e i n g e m b a r r a s s e d o r h u m i l i a t e d . o r ‘ l o s i n g f a c e ’ . T h u s f a c e i s s o m e t h i n g t h a t i s e m o t i o n a l l y i n v e s t e d a n d t h a t c a n b e l o s t . m a i n t a i n e d . o r e n h a n c e d . a n d m u s t b e c o n s t a n t l y a t t e n d e d t o i n i n t e r a c t i o n ( B r o w n & L e v i n s o n . 1 9 8 7 . p . 6 1 ) 1 1 9 I t i s a d v a n t a g e o u s t o a t t e n d t o o n e a n o t h e r ’ s f a c e b e c a u s e i t w o r k s i n e v e r y o n e ’ s b e s t i n t e r e s t . B r o w n a n d L e v i n s o n c o n t e n d t h a t r e c o g n i t i o n o f f a c e a n d t h e n e c e s s i t y t o p a y a t t e n t i o n t o i t i s u n i v e r s a l . “ F a c e ” c o n s i s t s o f a p u b l i c s e l f - i m a g e w i t h t w o w a n t s : - p o s i t i v e f a c e : a s p i r a t i o n t o b e a p p r e c i a t e d a n d v a l u e d b y o t h e r s o r t h e n e e d f o r s o c i a l a p p r o v a l . a n d - n e g a t i v e f a c e : c o n c e r n f o r p e r s o n a l r i g h t s a n d f r e e d o m s . s u c h a s f r e e d o m t o c h o o s e o n e ’ s o w n a c t i o n s a n d t o a v o i d i m p o s i t i o n . S o m e a c t s ( i . e . “ f a c e t h r e a t e n i n g a c t s ” o r F T A ’ s ) i n t r i n s i c a l l y t h r e a t e n f a c e . F o r e x a m p l e . r e q u e s t i n g t h a t s o m e o n e s h a r e h i s / h e r s o l u t i o n t o a m a t h e m a t i c a l p r o b l e m b e c a u s e i t i s u n i q u e . i n t e r e s t i n g . c o n c i s e . e t c . w o u l d t h r e a t e n h i s / h e r n e g a t i v e f a c e . C r i t i c i z i n g o r d i s a g r e e i n g w i t h s o m e o n e ’ s s o l u t i o n w o u l d t h r e a t e n t h e i r p o s i t i v e f a c e . C a z d e n ( 1 9 8 8 ) t r a n s l a t e s t h i s m o d e l t o s c h o o l c l a s s r o o m s m o r e s p e c i fi c a l l y . S h e c l a i m s t h a t : 1 . ) T e a c h e r s i n e v i t a b l y e n g a g e i n F T A s . T h e y c o n s t r a i n s t u d e n t s ’ f r e e d o m a n d c r i t i c i z e t h e i r b e h a v i o r a n d t h e i r w o r k . o f t e n i n p u b l i c . 2 . ) T e a c h e r s c a n s o f t e n t h e e f f e c t s o f s u c h a c t s b y v a r i o u s p o l i t e n e s s s t r a t e g i e s . T w o i m p o r t a n t s t r a t e g i e s e x p r e s s i n t i m a c y ( “ p o s i t i v e ” p o l i t e n e s s ) o r d e f e r e n c e a n d r e s p e c t ( “ n e g a t i v e ” p o l i t e n e s s ) . N o t e t h a t . i n t h i s m o d e l . “ p o s i t i v e ” a n d “ n e g a t i v e ” a r e t e r m s o f d e s c r i p t i o n . n o t e v a l u a t i o n . 3 . ) T h e s e r i o u s n e s s o f a n y a c t . t o t e a c h e r o r s t u d e n t . d e p e n d s o n t h e i r p e r c e p t i o n s o f s o c i a l d i s t a n c e ( D ) . r e l a t i v e p o w e r ( P ) . a n d a r a n k i n g ( R ) o f t h e i m p o s i t i o n o f t h e t e a c h e r ’ s a c t a t a p a r t i c u l a r m o m e n t ( p . 1 6 2 ) . W h i l e a n y s i n g l e t e a c h e r w i l l u s e a c o m b i n a t i o n o f n e g a t i v e a n d p o s i t i v e p o l i t e n e s s f o r m s . h o w t h e y a r e u s e d w i l l d e p e n d o n t h e D . P . a n d R . T e a c h e r s b y v i r t u e o f t h e i r i n s t i t u t i o n a l p o s i t i o n h a v e t h e i r r o l e d e fi n e d a s a n a u t h o r i t y i n t h e c l a s s r o o m . A 1 2 0 m a t h e m a t i c s t e a c h e r , i n p a r t i c u l a r . d e a l s w i t h c l a i m s m a d e r e g u l a r l y . N a t u r a l l y . a m a t h e m a t i c s t e a c h e r m a y b e e x p e c t e d t o s a y “ r i g h t ” o r “ w r o n g . ” b a s e d o n t h e i r r o l e a s a m o r e k n o w l e d g e a b l e o t h e r a n d r e p r e s e n t a t i v e o f t h e d i s c i p l i n e o f m a t h e m a t i c s . M o r e s p e c i fi c t o m a t h e m a t i c s e d u c a t i o n . B i l l s ( 2 0 0 0 ) r e c e n t l y l o o k e d a t t h e s t r a t e g i e s f o r r e d r e s s i v e a c t i o n t o F T A ’ s i n o n e - o n - o n e i n t e r a c t i o n s w i t h t w o s e c o n d a r y m a t h e m a t i c s s t u d e n t s . T h e h i e r a r c h y f o r t h e s e s t r a t e g i e s i n c l u d e : I . ) d o F T A w i t h o u t r e d r e s s i v e a c t i o n : 2 . ) d o F T A o n - r e c o r d w i t h p o s i t i v e p o l i t e n e s s : 3 . ) d o F T A o n - r e c o r d w i t h n e g a t i v e p o l i t e n e s s : 4 . ) d o F T A o f f - r e c o r d — t h e s a f e s t s t r a t e g y i d e n t i fi e d b y B r o w n a n d L e v i n s o n . i n c l u d e s g i v i n g h i n t s a n d c l u e s . u n d e r - a n d o v e r s t a t i n g . b e i n g i r o n i c a n d u s i n g r h e t o r i c a l q u e s t i o n s . t o w h i c h B i l l s a d d s a s k i n g a q u e s t i o n r a t h e r t h a n m a k i n g a s t a t e m e n t ; 5 . ) d o n ’ t d o t h e F T A ( p . 4 1 ) . V S h e f o u n d t h a t t h e v a s t m a j o r i t y o f t h e F T A s w e r e o c c a s i o n s w h e r e t h e t e a c h e r w a n t e d t o “ c o r r e c t ’ s o m e t h i n g t h a t t h e s t u d e n t h a d w r i t t e n o r s a i d o r s e e m e d t o b e t h i n k i n g . S h e a l s o p r o p o s e s t h a t “ a m a j o r i n fl u e n c e o n t h e t e a c h e r i n h e r w i d e s p r e a d u s e o f p o l i t e n e s s s t r a t e g i e s w a s h e r w i s h t o d o w n g r a d e t h e a p p a r e n t r e l a t i o n s h i p b e t w e e n t e a c h e r a n d s t u d e n t ” ( p . 4 6 ) . A l t h o u g h B i l l s s u g g e s t s t h a t t h e t e a c h e r ’ s f o r m a l p o w e r ( i . e . t h e p o w e r e n d o w e d b y t h e c u l t u r e ) i s n o t u n d e r t h r e a t . s h e p o s i t s t h a t h e r s a p i e n t i a l p o w e r ( i . e . p o w e r d u e t o t h e t e a c h e r ’ s g r e a t e r k n o w l e d g e o f t h e m a t h e m a t i c a l c u l t u r e ) a p p e a r s r e d u c e d t h r o u g h h e r p o l i t e n e s s s t r a t e g i e s b y “ g i v i n g w e i g h t t o t h e s t u d e n t s ’ o p i n i o n s . w i s h e s a n d c o g n i t i v e c o n c e r n s ” ( p . 4 6 ) . 1 2 1 H e d g i n g A n o t h e r f u n c t i o n o f m o d a l v e r b s a n d e x p r e s s i o n s i s t o h e d g e . H e d g e s a r e “ w o r d s o r p h r a s e s w h o s e j o b i t i s t o m a k e t h i n g s f u z z i e r ” ( L a k o f f , 1 9 7 2 ) . I n a d d i t i o n t o u s i n g m o d a l s t o h e d g e . t h e r e a r e m a n y o t h e r f o r m s t h a t c a n a l l o w a s p e a k e r t o m a k e t h e i r a s s e r t i o n s a n d i d e a s f u z z i e r . M o r e p a r t i c u l a r t o t h i s s t u d y . R o w l a n d ( 1 9 9 5 ) h a s l o o k e d a t h o w h e d g i n g i s u s e d i n m a t h e m a t i c a l c o n v e r s a t i o n s i n i n t e r v i e w s w i t h s t u d e n t s . I n d o i n g s o , h e d e l i n e a t e s t w o m a i n c a t e g o r i e s o f h e d g e s : S h i e l d s a n d A p p r o x i m a t o r s . S h i e l d s a r e d e s c r i b e d a s “ i d e n t i fi a b l e f u z z y p r e l u d e s ” ( p . 3 3 4 ) t h a t l i e o u t s i d e t h e p r o p o s i t i o n . T h e i r e f f e c t i s o n e t h a t d i s t a n c e s t h e s p e a k e r f r o m t h e p r o p o s i t i o n . b u t d o e s n o t m o d i f y t h e p r o p o s i t i o n . A n e x a m p l e o f a S h i e l d w o u l d i n c l u d e “ I t h i n k t h a t . A n A p p r o x i m a t o r . i n c o n t r a s t . l i e s i n s i d e t h e p r o p o s i t i o n a n d a l t e r s i t b y m a k i n g t h e p r o p o s i t i o n m o r e v a g u e . E x a m p l e s o f A p p r o x i m a t o r s i n c l u d e “ s o r t o f . ” “ a b o u t ” a n d “ a l i t t l e b i t . ” E a c h o f t h e s e t w o c a t e g o r i e s i s b r o k e n d o w n f u r t h e r i n t o t w o s u b c a t e g o r i e s . S h i e l d s c a n b e s u b d i v i d e d i n t o P l a u s i b i l i t y S h i e l d s ( P S ) a n d A t t r i b u t i o n S h i e l d s ( A S ) . P S ( e . g . “ I t h i n k . ” “ m a y b e ” “ p r o b a b l y ” ) i n v o l v e a p o s i t i o n h e l d o r a b e l i e f c o n s i d e r e d a n d d e s i g n a t e s d o u b t t h a t i t w i l l b e f u l fi l l e d b y e v e n t s o r w i l l s t a n d u p t o i n s p e c t i o n . A S ( e . g . “ A c c o r d i n g t o . . . ” ) i m p l i c a t e s o m e d e g r e e o r q u a l i t y o f k n o w l e d g e t o a t h i r d p a r t y . T h i s t y p e o f S h i e l d w a s d e s c r i b e d a s b e i n g u s e d m o s t o f t e n b y t h e i n t e r v i e w e r ( i . e . R o w l a n d ) a s a “ t e a c h e r - l i k e d e v i c e f o r m e t a - c o m m e n t [ i n g ] o n t h e a c t i v i t y ” ( p . 3 3 5 ) . I n o n e e x a m p l e , R o w l a n d d e s c r i b e d h i s u s e o f t h i s t y p e o f S h i e l d a s a “ p l o y f o r b e i n g n o n - c o m m i t t a l a b o u t t h e c o n t r i b u t i o n o f o n e c h i l d . i n o r d e r t o o b s c u r e e v a l u a t i o n o f h e r a n s w e r a n d t o e n c o u r a g e p a r t i c i p a t i o n o f t h e o t h e r c h i l d ” ( p . 3 3 5 ) . I n d o i n g t h i s , h e r e s t a t e d w h a t o n e s t u d e n t s a i d w i t h t h e i n t e n t i o n o f n o t e v a l u a t i n g t h e c o m m e n t a n d p u t t i n g i t o u t f o r i n s p e c t i o n t o t h e o t h e r c h i l d i n t h e i n t e r v i e w . 1 2 2 T h e t w o t y p e s o f A p p r o x i m a t o r s t h a t a r e d e l i n e a t e d a r e A d a p t o r s a n d R o u n d e r s . A d a p t o r s a t t a c h v a g u e n e s s t o n o u n s . v e r b s o r a d j e c t i v e s t h r o u g h w o r d s o r p h r a s e s l i k e “ a l i t t l e b i t . ” “ s o m e w h a t , ” “ k i n d o f . ” a n d “ f a i r l y . ” T h e y e x e m p l i f y t h e h e d g e s w h e r e t h e i s s u e i s c l a s s m e m b e r s h i p a n d s u g g e s t . b u t d o n o t d e fi n e . t h e e x t e n s i o n o f t h e c a t e g o r y . e x a m p l e , e t c . R o w l a n d d e s c r i b e s h o w t h i s t y p e o f A p p r o x i r n a t o r t e n d e d t o b e s o m e t h i n g h e u s e d a s t h e i n t e r v i e w e r t o c o m m e n t o n c h i l d r e n ’ s c o n t r i b u t i o n s t o m a k e i n d i r e c t c o m m e n t s o n t h e i r p r e d i c t i o n s . g e n e r a l i z a t i o n s . a n d e x p l a n a t i o n s . R o u n d e r s a r e m o r e c o m m o n i n t h e d o m a i n o f m e a s u r e m e n t s a n d q u a n t i t a t i v e d a t a . T h e y a c t a s a q u a l i fi e r t o t h e n u m b e r b e i n g g i v e n ( e . g . “ i t w a s a b o u t / a r o u n d / a p p r o x i r n a t e l y 2 0 ” ) . D e fi n i n g w o r d s a n d p h r a s e s t h a t fi t i n t o t h e s e c a t e g o r i e s a r e n o t e a s i l y d o n e . I n f a c t . o n e a r g u m e n t R o w l a n d m a d e i n t h i s a r t i c l e w a s t h a t t h e s t u d e n t s h e i n t e r v i e w e d w e r e u s i n g s o m e o f t h e s e h e d g e s t o c r e a t e t i m e t o t h i n k a n d t o “ s h i e l d ” t h e m s e l v e s f r o m a c c u s a t i o n o f e r r o r . H e a l s o a r g u e s t h a t t h e h e d g e “ a b o u t . ” w h i c h i s c l a s s i fi e d a s a n A p p r o x i m a t o r . w a s u s e d b y s t u d e n t s t o s e r v e S h i e l d - l i k e e n d s . S o . t h e c o n t e x t i s i m p o r t a n t a n d m u s t b e c o n s i d e r e d w h e n d e fi n i n g t h e f u n c t i o n o f v a r i o u s h e d g e s . T h e F u z z y T a l k e r T h e t h i r d d i s c o u r s e p a t t e r n t h a t w a s p r o m i n e n t i n K a r l a ’ s c l a s s r o o m w a s h e r u s e o f t h i s l a n g u a g e o f u n c e r t a i n t y . p o s s i b i l i t y . a n d t h e h y p o t h e t i c a l . M a n y o f h e r e x p r e s s i o n s u s e d m o d a l i t y ( S t u b b s . 1 9 8 6 . 1 9 9 6 ) f o r t h e s e t w o p u r p o s e s : t o h e d g e a n d t o b e p o l i t e . L a n g u a g e t h a t e x p r e s s e s u n c e r t a i n t y a n d v a g u e n e s s h a v e b e c o m e o f i n t e r e s t t o t h e m a t h e m a t i c s e d u c a t i o n c o m m u n i t y r e c e n t l y ( e . g . R o w l a n d . 1 9 9 5 : 1 9 9 9 ) . H o w e v e r . i n m a n y o f t h e a r t i c l e s t h a t h a v e a p p e a r e d i n j o u r n a l s , t h e f o c u s h a s b e e n o n s t u d e n t ’ s u s e o f t h i s v a g u e l a n g u a g e . I n t h i s s e c t i o n . I w i l l f o c u s o n h o w K a r l a u s e s m o d a l v e r b s a n d e x p r e s s i o n s a n d h e d g i n g t o c r e a t e e x p r e s s i o n s o f u n c e r t a i n t y . p o s s i b i l i t y a n d 1 2 3 h y p o t h e t i c a l . I n t h e c l a s s r o o m t r a n s c r i p t s . t h e u s e o f m o d a l v e r b s ( e . g . c o u l d . w o u l d . s h o u l d . m i g h t ) a n d h e d g e s a l l o w e d K a r l a t o o f f e r a d v i c e . m a k e c o n t e n t e x p e c t a t i o n s e x p l i c i t . a n d m a k e a l i n k f r o m w h a t s t u d e n t s a l r e a d y k n o w t o w h a t t h e y w i l l b e c o m i n g t o k n o w . I n o f f e r i n g a d v i c e . K a r l a t o l d s t u d e n t s w h a t s h e “ w o u l d ” d o . I n s e t t i n g e x p e c t a t i o n s . s h e e x p r e s s e d w h a t s t u d e n t s “ w i l l ” a n d “ c a n ” d o i n t e r m s o f t h e m a t h e m a t i c a l c o n t e n t . W h e n m o v i n g p a s t t h e r e l a t i o n s h i p s a b o u t w h i c h s t u d e n t s w e r e a l r e a d y k n o w l e d g e a b l e ( i . e . l i n e a r i t y ) , K a r l a u s e d f u z z y l a n g u a g e t o c r e a t e a c o n t r a s t t o n e w i d e a s a n d r e l a t i o n s h i p s ( i . e . m o d e l i n g a n d n o n - l i n e a r r e l a t i o n s h i p s ) . ” I w o u l d : ” I c o u l d " : E v e r y o n e s h o u l d h y p o t h e s i z e t h e p o s s i b i l i t i e s w i t h r e s p e c t t o t h e m a t h e m a t i c s . O n e m o d a l v e r b t h a t K a r l a u s e d f r e q u e n t l y i n c o m b i n a t i o n w i t h “ I ” w a s “ w o u l d . ” I n u s i n g t h i s c o m b i n a t i o n . s h e o f t e n s a i d w h a t “ I w o u l d ” d o — g i v i n g i n d i r e c t a d v i c e t o s t u d e n t s . S h e d i d n o t o f f e r t h i s a s s o m e t h i n g t h a t t h e y ( i . e . t h e s t u d e n t s ) h a d t o d o . b u t a s a p o s s i b l e w a y o f d o i n g o r t h i n k i n g a b o u t s o m e t h i n g — b a s e d o n w h a t s h e w o u l d d o . g i v e n t h e c h o i c e . T h e a d v i c e a p p e a r e d t o b e a s u g g e s t i o n . n o t a m a n d a t e . H o w e v e r . g i v e n t h e p r i v i l e g e d r o l e K a r l a h a d a s t e a c h e r i n t h e c l a s s r o o m . t h i s a d v i c e m a y h a v e b e e n i n t e r p r e t e d a s a m a n d a t e b y s t u d e n t s i n h e r c l a s s . I n t h i s w a y . i t a p p e a r e d a s i f K a r l a w a s t a c i t l y c o n t r o l l i n g t h e c o m m o n k n o w l e d g e t h r o u g h u s i n g t h e m o d a l v e r b “ w o u l d ” t o s u g g e s t w h a t s t u d e n t s m i g h t d o . F o r e x a m p l e . a f t e r a d i s c u s s i o n a b o u t t h e t y p e o f a v e r a g e ( i . e . m e a n , m e d i a n o r m o d e ) t o u s e t o e v e n o u t e r r o r s i n t h e d a t a s t u d e n t s h a d c o l l e c t e d . K a r l a s u m m a r i z e d t h e d i s c u s s i o n b y s a y i n g : E x a m p l e K - 2 6 K : A n d t h a t ’ s w h a t i t ’ s [ i . e . t h e m e a n a v e r a g e ] g o i n g t o d o . I t ’ s g o i n g t o t a k e s o m e o f t h e h i g h p i e c e s a n d p u t t h e m w i t h t h e l o w - - t r y a n d m a k e e v e r y b o d y e q u a l . S o . I w o u l d a g r e e . t h e m e a n m a k e s t h e m o s t s e n s e t o m e b e c a u s e w e w a n t t o t r y t o e q u a l o u t e v e r y b o d y a n d w h e n I fi n d t h e m e a n . t h a t ’ s r e a l l y w h a t I ’ m d o i n g . I ’ m t r y i n g t o m a k e a l l t h e d a t a p i e c e s e q u a l . i f t h e y c o u l d b e . 1 2 4 M a r k : I f t h e y c o u l d b e e q u a l K : S o . I w o u l d fi n d t h e m e a n f o r e a c h o n e . I n t h i s e x a m p l e . K a r l a s u m m a r i z e d t h e d i s c u s s i o n b y t e l l i n g h e r s t u d e n t s t h a t s h e a g r e e d w i t h t h e m . t h a t t h e “ m e a n m a k e s t h e m o s t s e n s e . ” S h e c o n t i n u e d b y s a y i n g t h a t w h a t t h e y w e r e “ t r y i n g ” t o d o w a s m a k e a l l t h e d a t a p i e c e s e q u a l a n d q u a l i fi e d t h i s b y s a y i n g “ i f t h e y c o u l d b e . ” T h i s t y p e o f s t a t e m e n t w a s a m b i g u o u s . K a r l a m a y h a v e b e e n t a c i t l y c l a i m i n g t h a t “ m a k i n g a l l t h e d a t a p i e c e s e q u a l ” c a n n o t b e d o n e i n a l l i n s t a n c e s . “ C o u l d ” m i g h t b e u s e d i n t h e s e n s e t h a t t h e s e d a t a p i e c e s w e r e t r y i n g t o b e e q u a l : o r i n t h e s e n s e t h a t i t w a s a l o g i c a l p o s s i b i l i t y . I n t h i s l a s t i n t e r p r e t a t i o n . K a r l a m a y h a v e b e e n s a y i n g . “ I f . i n m y i m a g i n a t i o n . I m a k e a l l o f m y d a t a p i e c e s e q u a l . w h a t w o u l d t h e y b e e q u a l t o ? ” I n t h i s c a s e . t h e a n s w e r w o u l d b e t h e m e a n . A f t e r M a r k r e f o r m u l a t e d K a r l a ’ s “ c o u l d ” s t a t e m e n t . K a r l a c o n c l u d e d b y t e l l i n g h e r s t u d e n t s t h a t s h e " w o u l d ” fi n d t h e m e a n f o r e a c h r o w o f d a t a c o l l e c t e d b y t h e v a r i o u s g r o u p s i n c l a s s . T h e s h i f t f r o m “ c o u l d ” t o “ w o u l d ” m o v e d f r o m l e s s t o m o r e c o m m i t m e n t ( S t u b b s . 1 9 8 6 ) t o t h e i d e a s t h a t w e r e b e i n g e x p r e s s e d . T h i s i n d i r e c t l y t e l l s s t u d e n t s t h a t t h i s w a s w h a t t h e y s h o u l d h a v e b e e n d o i n g ; h o w e v e r . i t l e f t i t o p e n a s t o w h e t h e r t h e r e w e r e o t h e r d e f e n s i b l e s t r a t e g i e s f o r d e a l i n g w i t h t h e e r r o r i n t h e d a t a c o l l e c t e d . T h i s s h i f t f r o m “ c o u l d ” t o “ w o u l d ” d e s e r v e s m o r e c o m m e n t . M a r k p i c k e d u p o n t h i s u n c e r t a i n l a n g u a g e a n d c a s t i t b a c k t o K a r l a . d r a w i n g h e r a t t e n t i o n t o t h e v a g u e n e s s o f h e r c l a i m . I n o t h e r c l a s s r o o m s e s s i o n s . s t u d e n t s a p p r o p r i a t e d “ c o u l d . ” F o r e x a m p l e . t h e d a y a f t e r t h e a b o v e d i s c u s s i o n . s t u d e n t s r e c o r d e d t h e i r m e a n d a t a o n t h e b o a r d ( g i v e n b e l o w ) a n d K a r l a a s k e d t h e m w h e t h e r t h e d a t a a p p e a r e d l i n e a r o r n o t . L e n g t h P e n n i e s 4 7 6 5 5 3 1 2 5 6 4 0 7 l 8 8 l 2 9 9 1 0 7 l l 6 I n t h e d i s c u s s i o n t h a t f o l l o w e d . a t l e a s t t h r e e ' 4 a r g u m e n t s w e r e p o s e d b y s t u d e n t s f o r w h y t h i s d a t a “ c o u l d ” b e l i n e a r . I n t h e fi r s t a r g u m e n t . B e c k y t o l d K a r l a t h a t i t c o u l d b e l i n e a r i f o n l y o n e g r o u p h a d c o l l e c t e d t h e d a t a . i n s t e a d o f m a n y g r o u p s c o l l e c t i n g t h e d a t a . H e r r e a s o n i n g i n c l u d e d t h a t t h e r e w o u l d b e f e w e r e r r o r s a n d m o r e c o n s i s t e n c y i n t h e d a t a c o l l e c t i o n . h e n c e . m a k i n g t h e d a t a “ m o r e l i n e a r ” t h a n i t a p p e a r e d . W h e n K a r l a p o i n t e d o u t t h a t t h e y e l i m i n a t e d s o m e o f t h e e r r o r s b y t a k i n g t h e m e a n o f t h e d a t a c o l l e c t e d . B e c k y a n d S a m t h e n s a i d . “ Y o u c o u l d m a k e t h i s l i n e a r ” a n d s u g g e s t e d t h a t t h e y c o u l d “ fi n d t h e a v e r a g e o f t h e d i f f e r e n c e s ” a n d t h e n u s e t h e a v e r a g e a s t h e c o n s t a n t r a t e f o r t h e e n t i r e t a b l e . T h e y r e c o m m e n d e d t h a t t h e y fi n d t h e fi r s t d i f f e r e n c e s i n t h e t a b l e ( w h i c h w o u l d b e 2 3 . I 3 . 2 2 . 6 . 3 . 2 . l ) a n d t h e n d e t e r m i n e t h e a v e r a g e o f t h e s e d i f f e r e n c e s . T h i s a v e r a g e c o u l d b e u s e d a s t h e c o n s t a n t r a t e f o r t h e e n t i r e t a b l e . K a r l a p o i n t e d o u t t h a t t h i s w o u l d n o t m a k e s e n s e b e c a u s e t h e r e w a s a h u g e d i s c r e p a n c y b e t w e e n t h e fi r s t d i f f e r e n c e . 2 3 . a n d t h e a v e r a g e d i f f e r e n c e o f t e n . T h i s d i s c r e p a n c y w o u l d n o t a l l o w a n y o n e t o u s e t h e m o d e l t o p r e d i c t a n y t h i n g b e c a u s e i t w a s t o o f a r f r o m t h e a c t u a l d i f f e r e n c e . K a r l a t h e n a s k e d . “ W h y a r e y o u t r y i n g t o m a k e t h i s l i n e a r w h e n i t ’ s o b v i o u s l y n o t ? ” E v e n a f t e r t w o i n s t a n c e s o f “ c o u l d ” w e r e e x p l i c i t l y d i s m i s s e d . S a m p r o c e e d e d t o p u s h f o r o n e m o r e w a y t h a t t h e y “ c o u l d ” m a k e t h e d a t a l i n e a r . I n t h i s a r g u m e n t . S a m d i s c u s s e d t h e i d e a o f d i v i d i n g t h e n u m b e r o f p e n n i e s b y t h e n u m b e r o f i n c h e s . i . e . fi n d “ h o w m a n y ( p e n n i e s ) p e r i n c h . ” T h i s “ p e n n i e s p e r i n c h ” w o u l d h a v e r e s u l t e d i n a 1 2 6 d i f f e r e n t r a t e f o r e a c h d a t a p o i n t . G i v e n t h e c o n t e x t o f t h e c l a s s r o o m . t h i s s u g g e s t i o n c o u l d h a v e m a d e s e n s e t o t h e s t u d e n t s i n a t l e a s t t w o w a y s . I n t h e fi r s t . s t u d e n t s w e r e u s i n g l a n g u a g e t h a t t h e y h a d c o m e t o a s s o c i a t e w i t h s l o p e a s a r a t e . i . e . s o m e t h i n g “ p e r ” s o m e t h i n g e l s e ( e . g . m i l e s p e r h o u r a n d d o l l a r s p e r m o n t h " ) . A l s o . fi n d i n g p e n n i e s p e r i n c h a l l o w e d a “ s t a n d a r d i z a t i o n ” t h r o u g h o u t t h e e n t i r e t a b l e . I n s t e a d o f e a c h l i n e s h o w i n g a r e l a t i o n s h i p b e t w e e n a d i f f e r e n t n u m b e r o f i n c h e s w i t h a m e a s u r e d n u m b e r o f p e n n i e s . t h e y h a d f o u n d a p a t t e r n f o r t h e e n t i r e t a b l e i n t e r m s o f p e n n i e s p e r i n c h . T h i s e x e m p l i fi e d t h e i r u n d e r s t a n d i n g o f s l o p e ( i n a l i n e a r r e l a t i o n s h i p ) a s a r a t e . I n t h i s c a s e . t h e y w e r e c a l l i n g t h a t r a t e “ p e n n i e s p e r i n c h . ” H o w e v e r . t h i s i d e a o f h a v i n g a r a t e f o r e a c h d a t a p o i n t w a s n o t m a t h e m a t i c a l l y c o r r e c t . a s K a r l a p o i n t e d o u t w h e n s h e a g a i n a s k e d . “ W h y a r e y o u t r y i n g t o m a k e t h i s l i n e a r w h e n i t ’ s o b v i o u s l y n o t ? ” T h i s w a s a c l e a r e x a m p l e o f s t u d e n t s a p p r o p r i a t i n g t h e h y p o t h e t i c a l u s e o f “ c o u l d ” f o r t h e i r o w n m e a n s . T h e y m a y h a v e b e e n u s i n g i t t o s t a l l f o r t i m e o r t o r e s i s t K a r l a ’ s a u t h o r i t y i n t h e c l a s s r o o m o r t o s i g n a l h e r t h a t t h e y w e r e n o t r e a d y t o m o v e o n t o a n o t h e r m a t h e m a t i c a l r e l a t i o n s h i p . I t a p p e a r e d t h a t “ c o u l d ” h a d b e c o m e a w a y o f t r y i n g t o m a k e i d e a s fi t i n t o w h a t s t u d e n t s a l r e a d y k n e w . i n s t e a d o f t h i n k i n g a b o u t t h e r a n g e o f p o s s i b i l i t i e s t h a t m i g h t e x i s t . T h e t y p e o f l a n g u a g e b e i n g u s e d w a s h y p o t h e t i c a l . c r e a t i n g a n e n v i r o n m e n t w h e r e s t u d e n t s c o u l d p u t t h e i r i d e a s o u t t h e r e f o r d i s c u s s i o n . O n e w a y f o r t h e m t o d o t h i s w a s t o o f f e r w h a t “ c o u l d ” b e . I n t h e n e x t e x a m p l e . K a r l a j u s t fi n i s h e d h a v i n g s t u d e n t s g r a p h d a t a f r o m a n e x p e r i m e n t s h e h a d d e m o n s t r a t e d . I n t h e d e m o n s t r a t i o n . s h e p o u r e d w a t e r f r o m o n e g l a s s c o n t a i n e r i n t o a n o t h e r . i n t o a n o t h e r . e t c . E a c h t i m e . s h e p o r r r e d h a l f o f t h e w a t e r f r o m t h e c o n t a i n e r i n t o t h e n e x t c o n t a i n e r . b e g i n n i n g w i t h 3 2 o u n c e s . t h e n 1 6 . t h e n 8 . e t c . A f t e r 1 2 7 s t u d e n t s g r a p h e d t h e d a t a . t h e y d i s c u s s e d w h e t h e r t h e g r a p h a p p e a r e d l i n e a r o r n o n - l i n e a r a n d t h e n K a r l a a s k e d s t u d e n t s i f t h e y s h o u l d c o n n e c t t h e d o t s ( i . e . p o i n t s ) o r n o t . E x a m p l e K — 2 7 K : I t d o e s d o a s w o o p y . S h o u l d I c o n n e c t t h e d o t s ? S a m : Y e a h . i t s e e m s l i k e i t . y e a h . K : I n V a r i a b l e s & P a t t e r n s w e d e c i d e d w h e t h e r t o c o n n e c t t h e d o t s o r n o t . w e a s k e d o u r s e l f [ s i c ] i f t h e r e w a s d a t a i n b e t w e e n - - i n s t e a d o f t h i s i d e a o f j u s t s h o w i n g a t r e n d . I s t h e r e d a t a i n b e t w e e n ? I s t h e r e a g l a s s 1 . 5 ? $ 5 : N o . K : T h e r e p r o b a b l y c o u l d b e . b u t t h a t w o u l d b e k i n d a w e i r d . I d o n ’ t t h i n k I w o u l d c o n n e c t t h e d o t s o n t h i s o n e . I f y o u d i d . w i t h t h a t i d e a t h a t y o u w a n t t o s h o w t h e t r e n d o f t h e d a t a . I g u e s s t h a t ’ s o k a y . B u t . t h e r e r e a l l y i s n ’ t d a t a i n b e t w e e n o n t h e s e . T h i s e x a m p l e b e g a n w i t h a c o m m o n o c c u r r e n c e i n K a r l a ’ s c l a s s r o o m : K a r l a u s e d a f o r m u l a i c w o r d t h a t t h e c l a s s a s s o c i a t e d w i t h a n e x p o n e n t i a l g r a p h . “ s w o o p y . ” I n d i s c u s s i o n s I h a v e h a d w i t h K a r l a . s h e i n d i c a t e d t h a t s t u d e n t s i n t r o d u c e d t h i s w o r d a l m o s t e v e r y y e a r w h e n t h e y d i d e x p o n e n t i a l f u n c t i o n s . S h e u s e d t h i s l a n g u a g e t o r e f e r t o t h e g r a p h s b e c a u s e s t u d e n t s u s e d t h i s w o r d . S h e d i d t h i s p a r t i a l l y b e c a u s e s h e b e l i e v e d t h a t i t w a s i m p o r t a n t t o v a l u e s t u d e n t w a y s o f t a l k i n g . S h e a l s o d i d t h i s b e c a u s e s h e r e a l i z e d t h a t s t u d e n t s e n j o y e d h a v i n g t h e i r o w n w a y s t o t a l k a b o u t t h e m a t h e m a t i c a l i d e a s b e c a u s e t h e y f e l t “ o w n e r s h i p ” f o r t h e m . I n i n t e r v i e w s w i t h s t u d e n t s . m a n y s t u d e n t s d e s c r i b e d K a r l a ’ s c l a s s a s “ f u n . ” O n e s t u d e n t i n p a r t i c u l a r t o l d m e t h a t h e t h o u g h t o n e o f t h e r e a s o n s t h e c l a s s w a s f u n w a s b e c a u s e K a r l a u s e d w o r d s l i k e “ s w o o p y . ” i n d i c a t i n g t h a t K a r l a ’ s i n t u i t i o n a b o u t t h i s w a s c o r r e c t ( a t l e a s t f o r t h i s s t u d e n t ) . A f t e r K a r l a a s k e d i f t h e y s h o u l d c o n n e c t t h e d o t s . S a m r e s p o n d e d a f fi r m a t i v e l y . a l t h o u g h a p p e a r e d t e n t a t i v e i n h e r d e c i s i o n ( i . e . “ i t s e e m s l i k e i t ” ) . K a r l a r e s p o n d e d . u s i n g a “ r e c o n s t r u c t i v e r e c a p . ” p o i n t i n g o u t t h a t t h e y h a d d e c i d e d a b o u t t h i s i n a u n i t t h e y c o m p l e t e d t h e p r e v i o u s y e a r — V a r i a b l e s a n d P a t t e r n s . B y d o i n g s o . s h e i n d i c a t e d t h a t 1 2 8 A / — ' S a m ’ s r e s p o n s e h a d n o t b e e n c o r r e c t . S h e r e m i n d e d t h e m t h a t t h e y w e r e s u p p o s e d t o a s k t h e m s e l v e s i f t h e r e w a s d a t a i n b e t w e e n t h e g r a p h e d p o i n t s o r n o t ( h e n c e d i s t i n g u i s h i n g b e t w e e n d i s c r e t e a n d c o n t i n u o u s d a t a ) . S h e a p p l i e d t h i s s t r a t e g y s p e c i fi c a l l y t o t h e d a t a t h e y j u s t c o l l e c t e d w h e n s h e a s k e d . “ I s t h e r e a g l a s s 1 . 5 ? ” K a r l a h e d g e d h e r a n s w e r t w i c e w i t h “ p r o b a b l y c o u l d b e ” a n d r e m o v e d h e r s e l f f r o m t h e p o s s i b i l i t y e v e n f u r t h e r b y s t a t i n g ( i n a m o r e d e fi n i t e m a n n e r ) t h a t “ t h a t w o u l d b e k i n d a w e i r d . ” T h e p e r v a s i v e u s e o f h e d g i n g i n h e r r e s p o n s e m a y b e a t t r i b u t e d t o t h e f a c t t h a t s h e w a s i n t h e m i d s t o f a f a c e - t h r e a t e n i n g a c t w i t h S a m . w h o h a d g i v e n a n i n c o r r e c t a n s w e r . S h e o f f e r e d s t u d e n t s i n d i r e c t a d v i c e b y h e d g i n g t h e p r o p o s i t i o n “ 1 w o u l d c o n n e c t t h e d o t s ” w i t h “ I d o n ’ t t h i n k . ” “ P r o b a b l y , ” “ I d o n ’ t t h i n k . ” a n d “ I g u e s s ” a r e a l l P l a u s i b i l i t y S h i e l d s . B y u s i n g t h e s e . K a r l a w a s c a s t i n g d o u b t o n t h e i d e a t h a t t h e p o i n t s s h o u l d b e c o n n e c t e d i n t h i s s i t u a t i o n — g i v e n t h e f a c t t h a t i t w o u l d n o t m a k e s e n s e t o h a v e h a l f g l a s s e s ( o r s o m e s i z e g l a s s t h a t w o u l d b e i n b e t w e e n t h e g l a s s e s t h a t s h e u s e d ) i n t h e e x p e r i m e n t . T h i s u s e o f h e d g i n g s e e m e d t o i n d i c a t e a t e n s i o n i n K a r l a ’ s t e a c h i n g - r e f e r r e d t o a s t h e “ d i d a c t i c t e n s i o n ” ( M a s o n , 1 9 8 8 ) . S h e a p p e a r e d t o w a n t t o l e a v e t h e O p t i o n t o o f f e r i d e a s o p e n a s l o n g a s s t u d e n t s j u s t i fi e d t h e i r c h o i c e . b u t a l s o w a n t e d t h e m t o k n o w a b o u t h o w s h e w a s t h i n k i n g a b o u t i t . I n d o i n g t h i s . s h e w a s s u b t l y t e l l i n g s t u d e n t s t h a t s h e w a s o p e n t o d i f f e r e n t a n s w e r s . H o w e v e r . s h e m i g h t b e c l o s i n g t h e d o o r t o t h e i r i n t e r p r e t a t i o n s b y t e l l i n g t h e m w h a t s h e w o u l d d o — a s t h e a u t h o r i t y i n t h e c l a s s r o o m . E x a m p l e K - 2 8 K : Y o u ’ r e fi r s t g o i n g t o d e c i d e . “ D o e s i t l o o k l i k e t h i s m i g h t b e t r y i n g t o g o l i n e a r ? ” : “ D o e s i t l o o k l i k e i t ’ s t r y i n g t o b e o n e o f t h o s e s w o o p y t h i n g s ? . ” e t c . A f t e r y o u ’ v e d r a w n t h e g r a p h m o d e l s i n t h a t y o u c a n d r a w . t h e n g o b a c k t o a n y 1 2 9 t h a t y o u m i g h t ’ v e d o n e t h a t w e r e l i n e a r . I f y o u d r e w s o m e t h i n g t h a t w a s l i n e a r . fi n d t h e s l o p e o f t h e l i n e t h a t y o u d r e w . C a n y o u fi n d s l o p e o f a l i n e ? S s : Y e a h . s u r e . K : H o w ? A d a m : D i v i d e t h e r i s e b y t h e r u n . K : T h e r i s e a n d t h e r u n . D r a w t h a t s t a i r s t e p i n . t h a t ’ s p r o b a b l y h o w I w o u l d d o i t . B u t . t h e n i t a l s o s a y s t h i s . s o a l l o f y o u w i t h h i g h l y o r g a n i z e d n o t e b o o k s . t h i s w o u l d b e v e r y s i m p l e . A n d i f y o u d o n ’ t h a v e a h i g h l y o r g a n i z e d n o t e b o o k . y o u m i g h t h a v e t o p a n i c a n d g o t h r o u g h y o u r u m . p r o b l e m s a l i t t l e b i t . I n t h i s e x a m p l e . K a r l a w a s g o i n g t h r o u g h t h e d i r e c t i o n s f o r p a r t o f t h e h o m e w o r k f o r t h e n e x t d a y . S h e w a s o r d e r i n g t h e t h i n g s t h a t s t u d e n t s w e r e g o i n g t o d o — fi r s t . d e c i d e i f t h e g r a p h w a s l i n e a r o r n o t ( a g a i n u s i n g t h e s t u d e n t w o r d “ s w o o p y ” ) . t h e n d r a w i n g r a p h m o d e l s . t h e n g o b a c k t o a n y g r a p h m o d e l s t h a t a r e l i n e a r a n d fi n d t h e s l o p e o f t h e l i n e . H o w e v e r . i n d e s c r i b i n g t h e t a s k . s h e p h r a s e d i t a s q u e s t i o n s t h e y m i g h t a s k t h e m s e l v e s . “ D o e s i t l o o k l i k e t h i s m i g h t b e t r y i n g t o g o l i n e a r ? ” o r “ D o e s i t l o o k l i k e i t ’ s t r y i n g t o b e o n e o f t h o s e s w o o p y t h i n g s ? ” I n p o s i n g i t i n t h i s m a n n e r . s h e w a s d e s i g n a t i n g t h e d e c i s i o n a s t e n t a t i v e ( e . g . “ m i g h t ” a n d “ t r y i n g t o ” ) b e c a u s e t h e y w e r e o n l y l o o k i n g a t a g r a p h a n d t h e d a t a w a s b a s e d o n e x p e r i m e n t a l d a t a . s o i t w a s l e s s r e l i a b l e . I n u s i n g “ m i g h t . ” s h e m a y h a v e i n d i c a t e d t h a t t h e r e c o u l d b e a r a n g e o f p o s s i b i l i t i e s . I n t h e l a s t p a r t o f h e r i n s t r u c t i o n s . s h e a s k e d s t u d e n t s i f t h e y c o u l d fi n d t h e s l o p e o f a l i n e ( i . e . d o t h e y k n o w h o w t o fi n d t h e s l o p e ) . A f t e r A d a m t o l d h e r t h e y c a n fi n d i t b y d i v i d i n g r i s e b y t h e r u n . K a r l a r e p e a t e d p a r t o f w h a t h e s a i d a n d t h e n t o l d t h e m t h a t d r a w i n g i n a s t a i r s t e p w a s “ p r o b a b l y h o w I w o u l d d o i t . ” A g a i n . s h e w a s s p e c i f y i n g a p o s s i b l e w a y t o fi n d t h e s l o p e — d r a w i n t h e “ s t a i r s t e p s ” ( i . e . t h e h o r i z o n t a l a n d v e r t i c a l c h a n g e s l o o k l i k e s t a i r s w h e n t h e y a r e d r a w n i n — s u b s e q u e n t o b s e r v a t i o n s s h o w e d t h i s t o b e c o m e a f o r m u l a i c p h r a s e f o r d e t e r m i n i n g t h e s l o p e o f a l i n e f r o m t h e g r a p h i c a l r e p r e s e n t a t i o n ) . B y u s i n g “ p r o b a b l y . ” a g a i n . s h e w a s s t a t i n g t h e p o s i t i o n t h a t s h e h e l d f o r 1 3 0 h o w t h i s s h o u l d b e d o n e . H o w e v e r . s h e w a s a l s o p o i n t i n g o u t t h a t t h e r e w e r e o t h e r p o s s i b i l i t i e s t h a t s t u d e n t s h a v e u s e d i n t h i s c l a s s r o o m . i n c l u d i n g s u b t r a c t i n g t h e x - v a l u e s a n d t h e y - v a l u e s i n t w o p a i r s o f p o i n t s t h a t w e r e o n t h e l i n e . B y u s i n g “ p r o b a b l y . ” s h e i n d i c a t e d t h a t t h e r e w e r e o t h e r w a y s t o d o i t . b u t t h e w a y t h a t s h e . h e r s e l f . w o u l d d o i t w a s t o u s e t h e g r a p h a n d d r a w i n t h e s t a i r s t e p . “ Y o u c a n . . . ’ : Y o u w i l l . . . ” : T h e b i g i d e a s a r e s t a t e d a n d p e g g l e m u s t t a k e r e s p o n s i b i l i t y f o r t h e i r o w n l e a r n i n g . I n v a r i o u s p o r t i o n s o f t h e c l a s s r o o m c o n v e r s a t i o n . K a r l a w o u l d b e m o r e e x p l i c i t a b o u t w h a t h e r e x p e c t a t i o n s w e r e o f s t u d e n t s . W h e n p u t t i n g f o r t h t h e s e e x p e c t a t i o n s , s h e m o r e o f t e n u s e d “ c a n ” a n d “ w i l l . ” S t u b b s ( 1 9 9 6 ) a s s e r t e d t h a t “ c a n ” i s a s s o c i a t e d w i t h “ u n i v e r s a l t r u t h ” ( p . 2 2 0 ) . H e a l s o a r g u e d t h a t “ w i l l ” e x p r e s s e s i n f e r e n c e : i t i s h y p o t h e t i c a l a n d p r e d i c t i v e ( p . 2 2 2 ) . T h i s w a s d i f f e r e n t f r o m h e r u s e o f “ c o u l d ” a n d “ w o u l d ” i n a t l e a s t t w o w a y s . W h e n u s i n g " c a n ” a n d “ w i l l . ” K a r l a t e n d e d t o e m p h a s i z e s p e c i fi c c o n c e p t s s t u d e n t s w e r e s u p p o s e d t o u n d e r s t a n d : t h a t i s . r a t h e r t h a n f o c u s o n t h e p r o c e s s t h a t s t u d e n t s c o u l d h a v e u s e d t o fi n d a n a n s w e r . t h i s t y p e o f t a l k f o c u s e d o n t h e a c t u a l m a t h e m a t i c a l i d e a s t h a t s h e e x p e c t e d s t u d e n t s t o u n d e r s t a n d . I n t h i s w a y . i t m a d e m o r e e x p l i c i t w h a t k n o w l e d g e K a r l a w a s n o w g o i n g t o c o n s i d e r “ i m p l i c i t a n d p r e s u p p o s e d . ” A l s o , i t w a s d i f f e r e n t o n i t s l e v e l o f d e fi n i t i v e n e s s . A f t e r g r a d i n g t h e fi r s t u n i t t e s t ( c a l l e d a “ C h e c k - u p ” ) . K a r l a d e s c r i b e d w h a t h e r e x p e c t a t i o n s f o r s t u d e n t s w e r e a t t h i s p o i n t : E x a m p l e K - 2 9 K : T h e r e ’ s s t i l l s o m e v e r y l o w g r a d e s . t h o u g h . I f y o u r g r a d e i s c o n t i n u i n g t o f a l l y o u ’ v e g o t t o d o s o m e t h i n g a b o u t i t n o w b e c a u s e a t t h i s p o i n t I ’ m e x p e c t i n g t h a t y o u c a n fi n d s l o p e , y o u c a n fi n d y - i n t e r c e p t a n d I ’ m m o v i n g o n . I ’ m n o t g o i n g b a c k t h e r e a g a i n . I s p e n t e i g h t w e e k s o n s l o p e a n d y - i n t e r c e p t a n d t h a t ’ s p l e n t y . I f y o u r g r a d e i s s t i l l b e l o w a “ C ” t h e n i t ’ s u p t o y o u t o d o s o m e t h i n g . T h e r e ’ s t o n s o f o p p o r t u n i t i e s h e r e a t s c h o o l f o r y o u t o d o t h a t . i t ’ s j u s t . w h e n a r e y o u g o i n g t o t a k e t h a t r e s p o n s i b i l i t y ? M a t h l a b i s h e r e . Y o u c a n t a l k t o M r s . G r e g s o n . T h e r e 1 3 1 a r e t u t o r s a v a i l a b l e . T h e N a t i o n a l H o n o r S o c i e t y s t u d e n t s a t t h e h i g h s c h o o l g e t c r e d i t f o r t u t o r i n g y o u f o r f r e e . Y o u c a n e v e n g e t y o u r s e l f a t u t o r b y s p e a k i n g t o M r s . G i b s o n . s o y o u ’ v e g o t t o d e c i d e . “ H o w a m I g o i n g t o fi x t h i s f o r m y s e l f b e c a u s e t h e c l a s s i s m o v i n g o n w i t h o u t m e . ” L e t ’ s s e e [ . . . ] [ c a l l s o u t e a c h s t u d e n t ’ s n a m e a n d h a n d s b a c k C h e c k - u p ] I n K a r l a ’ s i n t e r v i e w s . I a s k e d h e r a b o u t t h i s t y p e o f t a l k . S h e l a u g h e d a s s h e r e a d t h i s q u o t e a n d s a i d t h a t s h e s o u n d e d “ b i t c h y . ” I n s t a t i n g t h a t s h e “ s p e n t e i g h t w e e k s o n s l o p e a n d y - i n t e r c e p t a n d t h a t ’ s p l e n t y . ” s h e w a s p o i n t i n g t o a t e n s i o n s h e f e l t ~ t h a t o f t i m e a n d p a c i n g . S h e h a d e x p r e s s e d c o n c e r n f o r a l w a y s b e i n g a t l e a s t t w o d a y s ( a n d s o m e t i m e s t i p t o a w e e k ) b e h i n d J o s h . S h e f e l t t h a t s h e n e e d e d t o c o n t i n u e t e a c h i n g a t t h e s a m e o r a f a s t e r p a c e s o t h a t s h e c o u l d c o v e r w h a t s h e w a s e x p e c t e d t o c o v e r . I n s o m e s e n s e t h e m o d a l v e r b s t h a t s h e h a s c h o s e n b r e a c h p o l i t e n e s s — s h e t o l d t h e m w h a t s h e e x p e c t e d t h e m t o b e a b l e t o d o a t t h i s p o i n t a n d i f t h e y c a n n o t d o t h e s e t h i n g s . t h e y n e e d e d t o t a k e r e s p o n s i b i l i t y f o r w h a t t h e y d i d n o t k n o w . A f t e r d i s c u s s i n g t h e a n s w e r s t o t h e c h e c k - u p . s h e r e i t e r a t e d h e r e x p e c t a t i o n s . a g a i n u s i n g “ c a n ” a n d “ w i l l ” : E x a m p l e K — 3 0 K : W e ’ r e g o i n g t o m o v e o n n o w . A n d i t ’ s g o i n g t o b e a s s u m e d f r o m t h i s p o i n t o n . i f s o m e t h i n g ’ s l i n e a r . t h a t y o u w i l l r e c o g n i z e t h a t i t ’ s l i n e a r i n a t a b l e . g r a p h o r e q u a t i o n . Y o u c a n t e l l m e a b o u t t h e s l o p e o r t h e r a t e a n d t h e n t e l l m e a b o u t t h e s t a r t i n g p o i n t o r t h e y - i n t e r c e p t . I f y o u ’ r e s t i l l s t r u g g l i n g w i t h t h o s e m a i n i d e a s . n o w i t ’ s u p t o y o u t o c a t c h u p b e c a u s e I ’ m g o i n g t o a s s u m e f r o m t h i s p o i n t t h a t e v e r y o n e c a n t a l k a b o u t t h o s e t h r e e t h i n g s . A n d . i f y o u s t i l l a r e w o r r i e d t h a t y o u ’ r e n o t q u i t e s u r e h o w t o d o s o m e p i e c e s o f t h a t . y o u c a n c o m e t o m e a n d I c a n g i v e y o u s o m e s u g g e s t i o n s a b o u t w h a t y o u c a n d o t h a t w i l l h e l p y o u c a t c h u p . [ . . . ] I n d e fi n i n g t h e e x p e c t a t i o n s i n t h i s m a n n e r , s h e w a s e x p l i c i t l y p o i n t i n g o u t w h a t s h e r e q u i r e d s t u d e n t s t o k n o w a n d d o a t t h i s p o i n t o f t h e s c h o o l y e a r . S h e u s e d “ w i l l ” w h i c h i n d i c a t e d h e r f u t u r e i n f e r e n c e s a b o u t w h a t t h e y k n o w a b o u t l i n e a r r e l a t i o n s h i p s i n t e r m s o f t a b l e s . g r a p h s . a n d e q u a t i o n s . 1 3 2 A n o t h e r w a y s h e u s e d “ w i l l ” w a s t o p r o j e c t w h a t s h e w a n t e d s t u d e n t s t o c o m e t o c l a s s w i t h t h e n e x t d a y . T h i s w a s d i f f e r e n t i n t h a t i t d i d n o t f o c u s o n t h e c o n t e n t . p e r s e . b u t w h a t s h e e x p e c t e d t h e m t o p h y s i c a l l y p r o d u c e o r d o i n t e r m s o f t h e i r h o m e w o r k . T h i s w a s t y p i c a l l y u s e d a f t e r a n a s s i g n m e n t h a d b e e n g i v e n . E x a m p l e K - 3 I K : Y e p , y o u ’ r e g o i n g t o n e e d t o g e t t h a t d a t a c o p i e d d o w n b e f o r e y o u l e a v e b e c a u s e y o u ’ r e r u n n i n g o u t o f t i m e s o y o u ’ l l n e e d t o t a k e i t h o m e t o d o y o u r a v e r a g e s . . . t h e m e a n a v e r a g e . I f y o u h a v e n ’ t h a d t i m e t o g e t a l l o f t h i s c o p i e d . I ’ l l l e a v e i t u p a n d y o u c a n r u n i n h e r e b e f o r e y o u g o t o l u n c h a n d c o p y i t d o w n M s : T h a n k s K : W h e n y o u c o m e t o c l a s s t o m o r r o w . y o u ’ l l h a v e c o m p u t e d a l l o f t h e s e m e a n a v e r a g e s . Y o u ’ l l h a v e a g r a p h w h e r e y o u h a v e n ’ t c o n n e c t e d t h e d o t s b e c a u s e c . d . e a r e g o i n g t o a s k y o u t o d o s o m e t h i n g w i t h y o u r g r a p h . S o . d o n ’ t c o n n e c t y o u r d o t s u n t i l y o u r e a d t h r o u g h c . d . a n d e . L e n g t h i s h e r e a n d p e n n i e s i s g o i n g u p a n d d o w n . I ’ l l l e a v e t h e t a b l e u p u n t i l a f t e r l u n c h s o y o u c a n c o p y i t d o w n . I n t h i s e x a m p l e . K a r l a t o l d h e r s t u d e n t s t h a t t h e y n e e d e d t h e c l a s s a v e r a g e s t o d o t h e i r h o m e w o r k t h a t n i g h t — t h e y “ w i l l ” n e e d t o c o p y t h e m d o w n s o t h e y c o u l d t a k e i t h o m e . S h e l e f t t h i s a s a n o p t i o n b y s a y i n g t h e y “ c a n ” r u n i n b e f o r e l u n c h . I n h e r l a s t t u r n . s h e t o l d t h e m w h a t t h e y n e e d t o h a v e d o n e b e f o r e c l a s s t o m o r r o w — c o m p u t e a l l t h e m e a n a v e r a g e s a n d h a v e a g r a p h t h a t d o e s n o t h a v e t h e d o t s c o n n e c t e d . “ P r o b a b l y ” “ S e e m e d ” : M i s t a k e s a r e o k a v t o m a k e ( o r I ’ l l p r o t e c t v o u ) . O n e o f t h e w a y s K a r l a m a d e h e r t a l k m o r e v a g u e w a s t h r o u g h h e d g i n g . I n t h e a b o v e e x a m p l e s . K a r l a u s e d w o r d s l i k e “ p r o b a b l y ” a n d “ s e e m e d . ” O f t e n . t h i s w a s u s e d i n t h e c o n t e x t o f p o i n t i n g o u t m i s t a k e s s t u d e n t s h a d m a d e — p o s s i b l y t o s o f t e n t h e a s s e r t i o n . F o r e x a m p l e . a f t e r h a n d i n g b a c k t h e C h e c k - u p d e s c r i b e d e a r l i e r , K a r l a w e n t t h r o u g h s o m e o f t h e m i s t a k e s s t u d e n t s m a d e a n d t r i e d t o a c c o u n t f o r w h y s h e t h o u g h t t h e y g o t s o m e o f t h e p r o b l e m s i n c o r r e c t . 1 3 3 E x a m p l e K - 3 2 K : Y o u s a i d t h i n g s l i k e : “ I k n e w i t w a s a n e q u a t i o n t h a t w a s l i n e a r b e c a u s e i t h a d t h e n u m b e r m u l t i p l i e d t i m e s x a n d t h e s o m e t h i n g a d d e d o n ” — r e a l l y y o u w e r e t a l k i n g a b o u t y = m x + b . y o u j u s t d e s c r i b e d i t i n a l i t t l e m o r e d e t a i l . T h o s e w e r e t h e k i n d s o f t h i n g s I l o o k e d f o r i n 2 8 . 3 A h a d f o u r p o i n t s . Y o u fi r s t h a d t o d e c i d e w h i c h t w o w e r e l i n e a r a n d t h e n w r i t e t h e e q u a t i o n s f o r t h e m . S o m e p e o p l e s e e m e d t o s l i d e r i g h t t h r o u g h a n d m i s s e d w h e r e i t s a i d t o w r i t e t h e e q u a t i o n s . G r a p h A a n d B a r e l i n e a r . E x a m p l e K - 3 3 K : S o m e p e o p l e j u s t s e e m e d t o s k i p i t . Y o u t a l k e d a b o u t h o w i t h a d t o b e a s t r a i g h t - l i n e a n d n o t a c u r v y t h i n g — o n t h e b a c k . # 4 . fi n d t h e e q u a t i o n . S o m e p e o p l e d r e w t h e l i n e i n a n d t h a t w a s r e a l l y h e l p f u l f o r p e o p l e t o s e e t h a t i t h a d a n e g a t i v e s l o p e . T h e y s a w t h i s d e c r e a s i n g s o t h e y k n e w t h e y h a d t o e n d u p w i t h a — 2 i n s t e a d o f a p o s i t i v e 2 . A n d t h e n u s i n g t h e s l o p e t o w o r k i t b a c k w a r d s . y o u f o u n d t h e y - i n t e r c e p t . I f y o u m i s s e d i t . h a l f a p o i n t o n f o u r . t h a t ’ s p r o b a b l y w h e r e i t w a s . p r o b a b l y o n t h e y - i n t e r c e p t . B e c a u s e I c o u l d s e e t h a t m a n y p e O p l e w e r e t r y i n g t o fi n d t h e i r y - i n t e r c e p t t h e y j u s t u s e d t h e i r s l o p e b a c k w a r d s . I n E x a m p l e K - 3 2 . K a r l a w a s d o i n g a n u m b e r o f i n t e r e s t i n g t h i n g s . F i r s t . s h e w a s r e p l a y i n g a c o m m o n a n s w e r . H o w e v e r , m a t h e m a t i c a l l y s p e a k i n g . t h i s c o m m o n a n s w e r w a s n o t s t a n d a r d . S t u d e n t s d e s c r i b e d a l i n e a r e q u a t i o n i n t e r m s o f i t b e i n g a “ n u m b e r m u l t i p l i e d t i m e s x a n d t h e s o m e t h i n g a d d e d o n . ” S h e r e l a t e d t h i s t o t h e m o r e o f fi c i a l w a y o f t a l k i n g a b o u t l i n e a r e q u a t i o n s — i t w a s a n e q u a t i o n o f t h e f o r m y = m x + b . H o w e v e r . s h e s e e m e d t o b e v a l u i n g t h e i r r e s p o n s e m o r e t h a n t h i s o f fi c i a l f o r m w h e n s h e s a i d “ y o u j u s t d e s c r i b e d i t i n a l i t t l e m o r e d e t a i l . ” T h i s m a y b e r e l a t e d t o K a r l a ’ s u s e o f w o r d s l i k e “ s w o o p y ” : t h a t i s . s h e w a s v a l u i n g t h e w a y i n w h i c h s t u d e n t s w e r e d e s c r i b i n g t h e e q u a t i o n . B y d o i n g s o . s h e m a y h a v e i n d i c a t e d t o s t u d e n t s t h a t t h e i r w a y s o f c o m m u n i c a t i n g w e r e j u s t a s ( o r m o r e ) i m p o r t a n t t h a n m o r e m a t h e m a t i c a l w a y s o f t a l k i n g . K a r l a w a s n o t v e r y s p e c i fi c a b o u t w h a t s h e w a s l o o k i n g f o r w h e n s h e e n d e d t h i s p a r t w i t h “ t h o s e w e r e t h e k i n d s o f t h i n g s I l o o k e d f o r . ” l e a v i n g t h e i n t e r p r e t a t i o n u p t o s t u d e n t s a s t o w h a t d i d n o t f a l l i n t o t h e c a t e g o r y o f “ t h o s e k i n d s o f t h i n g s . ” B y u s i n g 1 3 4 t h e s e f o r m s o f A d a p t o r s . K a r l a w a s l e a v i n g t h e r a n g e o f p o s s i b l e a n s w e r s o p e n . S t u d e n t s w e r e t o i n t e r p r e t t h e i r a n s w e r s i n t e r m s o f t h e s e b r o a d c a t e g o r i e s . K a r l a t h e n m o v e d i n t o t a l k i n g a b o u t w h y s t u d e n t s g o t t h e n e x t p r o b l e m w r o n g — s o m e j u s t “ s e e m e d ” t o s l i d e t h r o u g h i t . T h i s u s e o f p a s t t e n s e i n d i c a t e d p o l i t e n e s s ( S t u b b s , 1 9 9 6 . p . 2 2 2 ) b e c a u s e i t s i g n a l e d r e m o t e n e s s . I n u s i n g p a s t t e n s e . t h e s p e a k e r s h i f t e d b a c k i n t i m e . d i s t a n c i n g t h e s p e a k e r f r o m t h e h e a r e r a n d p u t t i n g a h e d g e o n t h e i l l o c u t i o n a r y f o r c e . I n h e d g i n g t h i s . K a r l a m a y h a v e i n d i c a t e d t h a t s h e d i d n o t t h i n k s t u d e n t s w o u l d h a v e s k i p p e d t h e s e p r o b l e m s i n t e n t i o n a l l y — t h u s . r e d u c i n g t h e f a c e t h r e a t e n i n g a c t . I n a d d i t i o n . t h e r e w a s a d e l i b e r a t e v a g u e n e s s r e g a r d i n g t o w h o m s h e w a s r e f e r r i n g — “ s o m e p e o p l e ” r a t h e r t h a n t e l l i n g t h e c l a s s e x a c t l y t o w h o m s h e w a s r e f e r r i n g . t h u s s h i e l d i n g t h e p e o p l e w h o s k i p p e d t h e p r o b l e m . I n E x a m p l e K - 3 3 . K a r l a d i d s o m e t h i n g s i m i l a r t o t h i s l a s t p o i n t . S h e l e t s t u d e n t s k n o w t h a t s h e t h o u g h t t h e y “ s e e m e d ” t o s k i p t h e p r o b l e m b e c a u s e i f t h e y h a d s e e n i t . t h e y w o u l d h a v e c o m p l e t e d i t . S h e a l s o p o i n t e d o u t . t h a t o n t h e n e x t p r o b l e m . i f p e o p l e m i s s e d h a l f a p o i n t i t w a s “ p r o b a b l y ” b e c a u s e t h e y d i d n o t h a v e t h e y - i n t e r c e p t . I n s a y i n g i t i n t h i s m a n n e r . s h e s u b t l y p o i n t e d o u t t h e m o s t c o m m o n r e a s o n f o r g e t t i n g p o i n t s o f f o n t h i s p r o b l e m — b u t . d o i n g s o w i t h o u t p o i n t i n g fi n g e r s a t a n y s p e c i fi c s t u d e n t . S h e a l s o s o f t e n e d h e r i n t e r p r e t a t i o n b y u s i n g h e d g e s l i k e “ s e e m e d ” a n d “ p r o b a b l y . ” A l s o . i n h e r l a s t s t a t e m e n t . s h e m a d e h e r p o i n t e v e n l e s s h a r s h b y s a y i n g t h a t s h e c o u l d s e e t h a t m a n y p e o p l e w e r e “ t r y i n g t o ” fi n d t h e y - i n t e r c e p t . t h e y j u s t d i d n o t s u c c e e d ( a l t h o u g h s h e l e f t t h i s l a s t p a r t o f f c o m p l e t e l y ) . B y m a k i n g a l l o f t h e s e s t a t e m e n t s l e s s h a r s h t h r o u g h h e d g i n g . K a r l a m a y h a v e b e e n r e d r e s s i n g t h e F T A s t o s t u d e n t ’ s p o s i t i v e f a c e . + “ K i n d a . ” “ S o r t a ” : T h e r e a r e r e l a t i o n s h i p s b e v o n d w h a t h a s a l r e a d y b e e n d i s c u s s e d a n d e x p l o r e d . b u t t h e i d e a s f o r t h i n k i n g a b o u t t h e m a r e s i m i l a r . K a r l a u s e d t h e h e d g e s “ s e e m e d ” a n d ” p r o b a b l y ” 1 3 5 f r e q u e n t l y w a s d u r i n g d i s c u s s i o n s a b o u t n o n — l i n e a r s i t u a t i o n s a n d d i s c u s s i o n s a b o u t d a t a t h a t h a d b e e n c o l l e c t e d ( o r w a s g i v e n ) f r o m “ r e a l ” s i t u a t i o n s . T h e f o r m s o f t h e s e h e d g e s w e r e t h e s a m e . b u t t h e f u n c t i o n h e r e w a s m o r e l i k e a n A p p r o x i m a t o r ( e . g . t h e f u n c t i o n “ s e e m e d ” t o b e p e r f e c t l y l i n e a r ) . T h e s e h e d g e s w e r e d i r e c t l y r e l a t e d t o t h e m a t h e m a t i c a l r e l a t i o n s h i p r a t h e r t h a n t h e w r i t t e n o r o r a l a n s w e r s s t u d e n t s o f f e r e d . M a n y t i m e s a d d i t i o n a l A p p r o x i m a t o r s l i k e “ k i n d o f ’ a n d “ s o r t o f ’ a p p e a r e d a l o n g s i d e t h e s e . I n t h e p r e v i o u s u n i t . s t u d e n t s s p e n t a m p l e t i m e w o r k i n g w i t h a n d d i s c u s s i n g l i n e a r r e l a t i o n s h i p s . M o s t s t u d e n t s ( i n c l a s s a n d i n i n t e r v i e w s ) c o u l d i d e n t i f y a l i n e a r t a b l e . g r a p h , a n d e q u a t i o n b a s e d o n fi n d i n g t h e r a t e o f c h a n g e ( i . e . t h e s l o p e ) a n d t h e s t a r t i n g p o i n t ( i . e . t h e y - i n t e r c e p t ) . I n T h i n k i n g w i t h i l l a t h e m a t i c a l . ‘ l ' l o d e l s . s t u d e n t s w e r e i n t r o d u c e d t o o n e r e l a t e d i d e a — l i n e a r m o d e l i n g . T h i s w a s d i f f e r e n t f r o m l i n e a r i n t h a t t h e r a t e o f c h a n g e w a s n o t e x a c t l y t h e s a m e e v e r y s i n g l e t i m e b e c a u s e o f e r r o r i n d a t a c o l l e c t i o n o r b e c a u s e t h e e v e n t w a s h a p p e n i n g i n t h e “ r e a l ” w o r l d . S t u d e n t s w e r e a l s o i n t r o d u c e d t o n o n - l i n e a r r e l a t i o n s h i p s i n t e r m s o f m o d e l i n g . I n t h i s c a s e . s t u d e n t s w e r e a s k e d t o t h i n k a b o u t a n o n — e x a c t r a t e o f c h a n g e t h a t w a s n o t a d d i t i v e l y c o n s t a n t ( i . e . t h e y - v a l u e s i n t h e t a b l e d o n o t i n c r e a s e a d d i t i v e l y f o r e a c h c h a n g e o f o n e i n t h e x - v a l u e s ) . I n d e a l i n g w i t h t h e s e n e w i d e a s , K a r l a u s e d a n e x t e n s i v e n u m b e r o f h e d g e s t o s o f t e n t h e t r a n s i t i o n f r o m “ p e r f e c t l y ” l i n e a r s i t u a t i o n s t o m o d e l i n g l i n e a r . E x a m p l e K — 3 4 K : T h e p o t a t o p r o b l e m . t h e y g a v e m o r e i n f o r m a t i o n t h a n w e n e e d e d t o k n o w . I ’ v e h e a r d t h i s - - t o t r y t o g e t y o u t o s o r t t h r o u g h t h e i n f o r m a t i o n t h a t w a s n e c e s s a r y . A l l t h e y w a n t e d t o k n o w w a s t h a t i f I p l a n t a n o l d p o t a t o . a b o u t h o w m a n y n e w p o t a t o e s a r e g o i n g t o g r o w f r o m i t ? A l l t h a t s t u f f a b o u t c u t t i n g i t u p a n d d i v i d i n g s o m e f r o m e a c h p i e c e a n d a l l t h a t . t h a t w a s j u s t s o m e b a c k g r o u n d i n f o r m a t i o n a b o u t h o w i f y o u w a n t e d t o g o h o m e a n d d o t h i s . y o u c o u l d d o t h i s . M s : I t w a s e a s y . S a m : I w a s c o n f u s e d . 1 3 6 K : I k n o w [ t h i s w a s d i r e c t e d t o S a m ] . [ 8 5 c o m m e n t — o v e r l a p p i n g s p e e c h ] K : 2 0 p o t a t o e s . S o t h e n 2 p o t a t o e s a n d w e c o u l d g e t f o r t y a n d t h r e e . h o p e f u l l y s i x t y . S o . y o u r t a b l e i s g o i n g t o i n c r e a s e t h a t w a y . W h y d i d t h e y u s e t h e w o r d g r a p h m o d e l w h e n t h e d a t a s e e m e d p e r f e c t l y l i n e a r ? [ . . . ] [ d e a l i n g w i t h s t u d e n t b e h a v i o r ] K : T h e y u s e d t h e w o r d g r a p h m o d e l w h e n i t s e e m e d t o b e a p e r f e c t fi t . W h y d i d i t s a y t h a t ? I n t h i s e x a m p l e . K a r l a w a s r e f e r r i n g t o t h e p r o b l e m 7 i n A p p e n d i x A . t h e “ p o t a t o p r o b l e m . ” T h e i n f o r m a t i o n t h a t w a s g i v e n s h o w e d a c o n s t a n t i n c r e a s e o f 2 0 . b u t s t u d e n t s w e r e a s k e d t o m a k e a t a b l e a n d a “ g r a p h m o d e l . ” T h i s s e e m e d c o n t r a d i c t o r y b e c a u s e o t h e r e x p e r i m e n t s t h a t w e r e g i v e n d i d n o t g i v e a n e x a c t c o n s t a n t i n c r e a s e w h e n s t u d e n t s e i t h e r c o l l e c t e d t h e i r o w n d a t a o r t h e d a t a w a s g i v e n f r o m a n e x p e r i m e n t . I t w a s o b v i o u s . f r o m S a m ’ s c o n t r i b u t i o n . t h a t t h i s w a s c o n f u s i n g t o s o m e s t u d e n t s . K a r l a t r i e d t o s o f t e n t h e t r a n s i t i o n b y s a y i n g t h e y “ c o u l d ” g e t f o r t y a n d t h a t b y t h r e e i t w a s “ h o p e f u l l y ” s i x t y . H o w e v e r . t h e p r o b l e m i t s e l f c o n t r a d i c t e d K a r l a ’ s i n t e r p r e t a t i o n — i t w a s s t a t i n g t h a t e a c h p o t a t o s e g m e n t w i l l y i e l d 2 0 p o t a t o e s . n o t “ a b o u t ” 2 0 p o t a t o e s . H o w e v e r . s t u d e n t s m a y h a v e c o m e t o u n d e r s t a n d “ g r a p h m o d e l s ” a s n o t b e i n g c o m p l e t e l y r e g u l a r o r p r e c i s e . I n c o m p a r i n g t h e l a n g u a g e K a r l a u s e d i n t h e t r a n s c r i p t t o t h e l a n g u a g e t h e t e x t u s e d . a n i n t e r e s t i n g c o n t r a s t w a s t a k i n g p l a c e . T h e l a n g u a g e t h a t K a r l a u s e d w a s v e r y h y p o t h e t i c a l ( “ i f . ” “ c o u l d ” ) a n d v a g u e ( “ s e e m e d ” ) w h e n s h e r e f e r r e d t o t h e p o t a t o p r o b l e m . H o w e v e r . t h e l a n g u a g e t h a t t h e t e x t u s e d w a s v e r y a b s o l u t e ( “ w i l l p r o d u c e . ” “ w i l l y i e l d . . . ” , ) n o t a l l o w i n g s t u d e n t s t o t h i n k a b o u t t h e f a c t t h a t t h e d a t a m a y d e v i a t e f r o m t h e i n c r e a s e o f 2 0 e v e r y t i m e . T h i s w a s c o n t r a d i c t o r y t o t h e i d e a o f ’ “ m o d e l ” t h a t h a d b e e n e s t a b l i s h e d i n t h e c l a s s r o o m a s o n e o f b e i n g t e n t a t i v e a n d n o t “ p e r f e c t . ” I n f a c t . “ p e r f e c t ” h a d b e c o m e K a r l a ’ s w a y o f d i s t i n g u i s h i n g f r o m d a t a t h a t w a s e x a c t l y l i n e a r 1 3 7 ( e s p e c i a l l y i n h y p o t h e t i c a l a n d p r e s e n t e d d a t a . r a t h e r t h a n m o d e l i n g d a t a o r d a t a t h a t w a s c o l l e c t e d b y s t u d e n t s ) . A n o t h e r i n t e r e s t i n g t h i n g K a r l a w a s d o i n g h e r e w a s u s i n g t h e w o r d “ t h e y ” t o r e f e r t o t h e t e x t . I n d o i n g s o . s h e s e e m e d t o b e u s i n g t h i s a s a n A t t r i b u t i o n S h i e l d . d i s t a n c i n g h e r s e l f f r o m t h e l a n g u a g e o f t h e t e x t . W h e n s h e d i d t h i s . s h e w a s i d e n t i f y i n g t h e a u t h o r s o f t h e t e x t a s a t h i r d p a r t y t h a t w a s s e p a r a t e f r o m h e r a n d t h e c l a s s r o o m . T h i s a l l o w e d K a r l a t o p l a y t h e r o l e o f i n t e r p r e t e r o f t h e t e x t — d i s t a n c i n g h e r s e l f f r o m t h e a u t h o r i t y . T h e l a n g u a g e o f t h e t e x t w a s a b s o l u t e . w h i c h w a s n o t t h e t y p e o f l a n g u a g e t h a t s t u d e n t s h a d c o m e t o a s s o c i a t e w i t h t h e m a t h e m a t i c a l m o d e l s w i t h w h i c h t h e y h a d b e e n d e a l i n g . T o i n t e r p r e t t h i s d i f f e r e n c e . K a r l a u s e d “ t h e y ” a s a n A t t r i b u t i o n S h i e l d . T h i s s a m e t y p e o f f u z z y l a n g u a g e w a s u s e d w h e n s t u d e n t s w e r e b e g i n n i n g t o b e e x p o s e d t o n o n - l i n e a r m o d e l i n g p r o b l e m s . S i t u a t i o n s t h a t w e r e n o n - l i n e a r w e r e j u s t b e i n g i n t r o d u c e d a n d t h e i r d e fi n i n g c h a r a c t e r i s t i c s d i d n o t fi t w i t h w h a t s t u d e n t s a l r e a d y k n e w a b o u t l i n e a r ( e . g . t h e f a c t t h a t t a b l e s w e n t u p i n a c o n s t a n t a d d i t i v e p a t t e r n a n d h a d a s t a r t i n g p o i n t w h i c h m a y o r m a y n o t b e z e r o ) . I n o r d e r t o c u s h i o n t h i s n e w t y p e o f r e l a t i o n s h i p . K a r l a u s e d a l o t o f u n c e r t a i n l a n g u a g e a b o u t w h a t w a s “ k i n d a ” h a p p e n i n g . E x a m p l e K - 3 5 K : A n d t h e n i f y o u ’ r e n o t q u i t e s u r e j w h e t h e r i t ’ s l i n e a r o r n o t b e c a u s e i t m i g h t n o t t u r n o u t p e r f e c t . r e m e m b e r t h e t h i c k n e s s d i d n ’ t q u i t e t u r n o u t p e r f e c t . T h e s e c o n d t h i n g y o u ’ r e g o i n g t o d o i s g r a p h i t . E x a m p l e K - 3 6 K : T h i s i s s h o w i n g w h e r e t h e y k i n d a s t a r t e d o u t s l o w a n d t h e n t o o k o f f . T h i s i s s h o w i n g w h e r e t h e y k i n d a s t a r t e d o u t f a s t a n d t h e n s l o w e d d o w n . W e ’ v e a l w a y s c o n n e c t e d w i t h s t r a i g h t - l i n e s c u z w e ’ v e a s s u m e d t h a t c o n s t a n t r a t e i s g o i n g t o s t a y t h e r e . B u t . i n t h i s c a s e w e k n o w t h e r e i s n ’ t a c o n s t a n t r a t e . s o r e a l l y t h a t c u r v y m a k e s m o r e s e n s e . 1 3 8 E x a m p l e K - 3 7 K : Y o u r x i s i n c r e a s i n g a n d y o u r y i s d e c r e a s i n g a n d n o t a t a c o n s t a n t r a t e . I s t h e r e s o m e s o r t o f a p a t t e r n g o i n g o n t h o u g h ? E x a m p l e K - 3 8 K : S o . i f I h a d o n e t h a t h a d t h a t k i n d o f a t r e n d t o i t . I ’ d w r i t e d o w n t h e p r o b l e m 3 . 2 d i d t h a t . a l s o . O r t h e w a t e r p r o b l e m d i d t h a t t y p e o f t h i n g . E x a m p l e K - 3 9 K : S o r t o f a p a t t e r n t h e r e . i s n ’ t t h e r e ? L i k e R o b b y s a i d t h e r e i s a l m o s t a m u l t i p l i c a t i o n o r d i v i s i o n p a t t e r n t h e r e . S i n c e i t i s n ’ t a c o n s t a n t r a t e p a t t e r n . i t m a k e s i t n o t l i n e a r . S o . i t d o e s d o s o m e t h i n g k i n d a n e a t t h a t w e w i l l l o o k a t l a t e r i n h e r e [ . . . ] E x a m p l e [ ( 4 0 K : Y e a h . i t l o o k s k i n d a f u n k y . I t h a d t h e s e t w o l i t t l e c u r v y t h i n g s . S o . i t d e fi n i t e l y w a s n o t l i n e a r . S o . w h e n y o u d i v i d e b y x . i t ’ s n o t t h e s a m e t h i n g a s m u l t i p l y i n g b y x . T h a t ’ s w h a t t h o s e t w o w e r e g e t t i n g y o u t o l o o k a t [ . . . ] I n e a c h o f t h e s e e x a m p l e s . K a r l a w a s i n d i c a t i n g a d i f f e r e n t r a t e o r t r e n d t h a n t h o s e t o w h i c h s t u d e n t s h a d b e c o m e a c c u s t o m e d . T h e o n e s t h a t t h e y h a d b e e n d e a l i n g w i t h w e r e l i n e a r p a t t e r n s — o n e s t h a t i n c r e a s e d a t a c o n s t a n t a d d i t i v e r a t e i n t h e y v a l u e s f o r e a c h s i n g l e i n c r e a s e i n t h e x v a l u e s . H o w e v e r . t h e s e c o n s t a n t i n c r e a s e s h a d b e c o m e o n e s t h a t w e r e “ p e r f e c t ” a n d n o w t h e y w e r e m o v i n g o n t o o n e s t h a t w e r e n o t p e r f e c t . T o d i f f e r e n t i a t e t h i s n e w t y p e o f p a t t e r n f u r t h e r . K a r l a s o f t e n e d t h e d i f f e r e n c e s b y h e d g i n g t h e m — t h e y “ a r e n ’ t q u i t e p e r f e c t ” o r t h e y n o w “ k i n d a s t a r t o u t s l o w a n d t h e n t o o k o f f ’ o r t h e y w e r e “ s o m e s o r t o f p a t t e r n . ” T h e s e A d a p t o r s a l l o w K a r l a t o s u g g e s t s o m e t y p e o f c l a s s m e m b e r s h i p d i f f e r e n t f r o m l i n e a r w i t h o u t a c t u a l l y d e fi n i n g t h e d i f f e r e n c e . I n d o i n g s o . s h e m a y h a v e b e e n h o p i n g t h a t s t u d e n t s w o u l d c o m e t o a p o i n t w h e r e t h e y t h e m s e l v e s c a n d i s c o v e r t h e d i f f e r e n c e a n d a r t i c u l a t e i t t o h e r . i n s t e a d o f h a v i n g t o v o c a l i z e t h i s d i f f e r e n c e h e r s e l f . K a r l a a l s o s t a t e d t h a t t h e y “ l o o k k i n d a f u n k y ” b e c a u s e t h e y a r e “ l i t t l e 1 3 9 c u r v y t h i n g s . ” T h e s e m o r e i n f o r m a l w a y s o f t a l k i n g a b o u t n o n - l i n e a r f u n c t i o n s w e r e n o t o n l y u s e d b y K a r l a . b u t w e r e o f t e n o f f e r e d . r e p e a t e d a n d u s e d b y s t u d e n t s i n t h e c l a s s . A c c o r d i n g t o S t u b b s ( 1 9 9 6 ) . f o r m s t h a t e n d i n — y e n c o d e i n f o r m a l i t y a n d v a g u e n e s s . t h e r e f o r e e x h i b i t i n g l e s s t h a n f u l l c o m m i t m e n t t o t h e p r o p o s i t i o n . S u m m a r y I n t h i s s e c t i o n , I h a v e s h o w n h o w K a r l a u s e d m o d a l v e r b s a n d e x p r e s s i o n s b o t h t o b e p o l i t e a n d t o h e d g e . W h e n s h e u s e d m o d a l v e r b s . s h e s h i f t e d b a c k a n d f o r t h f r o m “ w o u l d ” t o “ c o u l d ” — o f f e r i n g a d v i c e i n t h e fi r s t c a s e . a n d a l l o w i n g t h e c l a s s r o o m t a l k t o b e h y p o t h e t i c a l i n t h e l a t t e r . W h e n o f f e r i n g a d v i c e , s h e d i d s o p o l i t e l y s o a s n o t t o f o r c e s t u d e n t s i n t o a p a r t i c u l a r w a y o f d o i n g s o m e t h i n g . K a r l a m a y h a v e b e e n m o r e p o l i t e b e c a u s e s h e w a n t e d s t u d e n t s t o d o m o r e a n d s h a r e m o r e . B y n o t p u t t i n g h e r m e t h o d o u t t h e r e a s t h e o n l y w a y t o d o s o m e t h i n g . s h e a l l o w e d s t u d e n t s s p a c e t o s h a r e t h e i r i d e a s a n d e x p l o r e t h e c o n t e n t t h r o u g h t h e i r t a l k . S h e u s e d p o l i t e n e s s a s o n e w a y o f g e t t i n g s t u d e n t s t o c o n t r i b u t e t h e i r i d e a s a n d t o s h o w r e s p e c t t o t h e i d e a s t h a t s t u d e n t s w e r e s h a r i n g . H o w e v e r , i n d o i n g s o s h e w a s n o t a l w a y s e x p l i c i t a b o u t t h e m a t h e m a t i c a l p r o c e s s e s s h e w a n t e d s t u d e n t s t o u s e . W h e n d e fi n i n g t h e a c t u a l b i g i d e a s s t u d e n t s n e e d e d t o k n o w . K a r l a w a s n r u c h m o r e e x p l i c i t a n d u s e d m o r e d e fi n i t i v e m o d a l v e r b s — “ c a n ” a n d “ w i l l . ” S h e o u t l i n e d t h e k n o w l e d g e t h a t w a s g o i n g t o b e p r e s u p p o s e d a n d i m p l i c i t i n f u t u r e c o n v e r s a t i o n s t h r o u g h t e l l i n g s t u d e n t s w h a t s h e w a s g o i n g t o “ a s s u m e ” t h e y “ c a n ” d o . T h e s e w e r e t y p i c a l l y d e fi n e d b y w h a t h e r e x p e c t a t i o n s w e r e i n t e r m s o f t h e m a t h e m a t i c a l c o n t e n t . B y t h e fi f t h w e e k i n h e r c l a s s t h e y “ c a n ” t a l k a b o u t b o t h t h e s l o p e a n d t h e y - i n t e r c e p t i n l i n e a r r e l a t i o n s h i p s . T h e y “ c a n ” w o r k w i t h t h e s e c o n c e p t s i n a l l t h r e e r e p r e s e n t a t i o n s ( i . e . t h e g r a p h . t a b l e a n d e q u a t i o n ) . I b e l i e v e t h a t t h i s c o n n e c t e d w i t h K a r l a ’ s p u s h t o w a r d t h e b i g 1 4 0 m a t h e m a t i c a l i d e a s t h a t g u i d e h e r t e a c h i n g . W h e r e a s w i t h t h e a b o v e . s h e w a n t e d s t u d e n t s t o d e fi n e h o w t h e y g e t t o t h e m a t h e m a t i c a l i d e a s ( i . e . t h e p r o c e s s e s ) . s h e a c t u a l l y d e fi n e d t h e m a t h e m a t i c a l c o n t e n t t o b e l e a r n e d . B y e x p l i c i t l y t e l l i n g s t u d e n t s w h a t h e r e x p e c t a t i o n s w e r e . s h e s h a r e d h e r g o a l s w i t h h e r s t u d e n t s a n d t o l d t h e m w h a t s h e r e q u i r e d a t c e r t a i n p o i n t s o f t h e s c h o o l y e a r . I n t h e l a s t t w o s u b - s e c t i o n s . I d e s c r i b e d s i m i l a r s u r f a c e f o r m s ( i . e . “ p r o b a b l y . ” “ s e e m e d . ” “ s o r t o f ” a n d “ k i n d o f j ’ ) t h a t s e r v e d d i f f e r e n t f u n c t i o n s . T h e fi r s t s e t o f e x a m p l e s s h o w e d K a r l a u s i n g t h e s e f o r r r r s t o p r o t e c t s t u d e n t s a s s h e d i s c u s s e d i n c o r r e c t s o l u t i o n s t h e y h a d g i v e n o n a q u i z s h e h a n d e d b a c k . I n t h e o t h e r s e t . t h e s e w o r d s w e r e u s e d t o b r i d g e t o t h e n e w c o n t e n t t h a t s t u d e n t s w e r e e x p l o r i n g . T h e s a m e s u r f a c e f o r m s w e r e u s e d t o m a k e t h e i d e a s o f l i n e a r a n d n o n - l i n e a r m a t h e m a t i c a l m o d e l i n g a p p e a r d i f f e r e n t f r o m “ p e r f e c t l y ” l i n e a r . I t w a s d i f fi c u l t t o s a y e x a c t l y w h e n t h e s e m o d a l v e r b s a n d e x p r e s s i o n s w e r e b e i n g u s e d t o h e d g e a n d w h e n t h e y w e r e b e i n g u s e d t o b e p o l i t e . I n f a c t , t h e s e d i f f e r e n t f u n c t i o n s m a y b e u n d e t e c t a b l e t o s t u d e n t s . W h e n s t u d e n t s h e a r d . “ s o m e j u s t s e e m e d t o s k i p i t ” o r “ t h e s e s e e m e d t o b e l i n e a r . ” t h e y m a y n o t h a v e b e e n a b l e t o d i s t i n g u i s h b e t w e e n t h e t w o d i f f e r i n g f u n c t i o n s . I n t h e fi r s t . K a r l a w a s b e i n g p o l i t e a n d i n t h e o t h e r s h e w a s h e d g i n g t h e m a t h e m a t i c a l c o n t e n t . S i n c e p o l i t e n e s s a n d h e d g i n g w e r e d i f f e r e n t - - y e t o v e r l a p p i n g - f u n c t i o n s . t h i s s a m e s u r f a c e f o r m m i g h t h a v e b e e n c o n f u s i n g t o s t u d e n t s . I n f a c t . i f s t u d e n t s w e r e i n t e r p r e t i n g t h e f u n c t i o n o f t h i s l a n g u a g e a s t h e w a y t h a t K a r l a w a s b e i n g p o l i t e . t h e y m a y n o t a t t e n d t o i t i n t h e s a m e m a n n e r . T h e y m a y h a v e i g n o r e d t h e i m p o r t a n c e o f t h e c o n t e n t - r e f e r r i n g f u n c t i o n : t h a t i s . w h e n K a r l a w a s s a y i n g s o m e t h i n g “ s e e m e d ” l i n e a r , s t u d e n t s m a y h a v e o n l y h e a r d “ l i n e a r ” b e c a u s e t h e y t h o u g h t t h a t s h e w a s j u s t b e i n g p o l i t e . W h a t K a r l a m a y h a v e b e e n 1 4 1 t r y i n g t o d o w a s t o d i f f e r e n t i a t e b e t w e e n t h e o r e t i c a l m a t h e m a t i c s i n w h i c h “ p e r f e c t l y ” l i n e a r r e p r e s e n t a t i o n s e x i s t a n d r e a l l i f e ( a n d n o t s o p e r f e c t ) e x p e r i e n c e . I t a p p e a r e d t h a t a t l e a s t t w o n o r m s w e r e a p p a r e n t i n t h i s f u z z y t a l k — a p o l i t e n e s s n o r m a n d a h e d g i n g n o r m . T h e p o l i t e n e s s n o r m c r e a t e d a m o r e o p e n e n v i r o n m e n t t h a t a l l o w e d s t u d e n t s t o c o n t r i b u t e t h e i r i d e a s . T h e h e d g i n g n o r m e s t a b l i s h e d t a l k f r o m K a r l a t h a t m a y h a v e a p p e a r e d l e s s a u t h o r i t a t i v e i n n a t u r e . A t t h i s t i m e . I b e l i e v e t h a t I a m n o t i n a p o s i t i o n t o s a y t h a t o n e f o r m l i n k s w i t h a c e r t a i n f u n c t i o n o r a n o t h e r . H o w e v e r . i f I h a v e h a d d i f fi c u l t y m a k i n g t h i s d i s t i n c t i o n a f t e r c a r e f u l d e l i b e r a t i o n o f t h e t r a n s c r i p t s . t h i s m a y s a y s o m e t h i n g a b o u t s t u d e n t ’ s i n t e r p r e t a t i o n o f t h i s f u z z y t a l k : i t m a y b e a c o n f u s i n g e n v i r o n m e n t t o b e i n . A s p a r t o f m y r e s e a r c h a g e n d a . I i n t e n d t o u s e s t u d e n t i n t e r v i e w s t o t r y t o d i s t i n g u i s h h o w s t u d e n t s m a k e s e n s e o f t h e s e b y t h e w a y s t h a t t h e y d e s c r i b e w h a t i s h a p p e n i n g i n t h e m a t h e m a t i c a l s i t u a t i o n s . C l a s s r o o m o b s e r v a t i o n s i n d i c a t e d t h a t s t u d e n t s d o u s e t h e f u z z y l a n g u a g e t o d i f f e r e n t i a t e “ p e r f e c t l y ” l i n e a r s i t u a t i o n s f r o m “ k i n d a ” l i n e a r s i t u a t i o n s . H o w e v e r . I w o u l d l i k e t o g a t h e r m o r e e v i d e n c e a b o u t s t u d e n t - t a l k b e f o r e i n f e r r i n g h o w t h e y s e e m t o m a k e s e n s e o f t h e f u n c t i o n o f t h e s e l a n g u a g e f o r m s . F r o m F o r m s t o N o r m s I n t h e i n t r o d u c t i o n t o t h i s c a s e . I p u t f o r t h t h a t e a c h o f t h e f o r m s t h a t I w a s a b o u t t o d e s c r i b e c a r r i e d w i t h i t a n o r m r e l a t e d t o w h a t i t m e a n t t o “ b e ” i n K a r l a ’ s c l a s s r o o m : t h a t i s . t h e r e p e a t e d d i s c o u r s e f o r m s c a r r y w i t h t h e m c e r t a i n e x p e c t a t i o n s . r i g h t s . r o l e s a n d r e s p o n s i b i l i t i e s . I n o w r e t u r n t o t h e l i s t o f t h e n o r m s t h a t I d e s c r i b e d . b u t d i s c u s s t h e m a s t h e y w e r e r e l a t e d t o t h e m a t h e m a t i c a l c o n t e n t . t h e t e a c h e r a n d t h e s t u d e n t s i n t h e c l a s s r o o m . 1 4 2 T h o s e n o r m s t h a t w e r e a s s o c i a t e d w i t h m a t h e m a t i c a l c o n t e n t i n c l u d e d : 0 T h e r e a r e c o n n e c t i o n s i n b o t h t h e c o n t e n t ( e s p e c i a l l y i n t e r m s o f t h e m u l t i p l e r e p r e s e n t a t i o n s t h a t a r e d i s c u s s e d ) a n d t h e c o n t e x t s t h a t m u s t b e r e c o g n i z e d : o P l u r a l i t y s h o u l d b e e n d o r s e d a n d a c c l a i m e d : 0 E v e r y o n e s h o u l d h y p o t h e s i z e t h e p o s s i b i l i t i e s w i t h r e s p e c t t o t h e m a t h e m a t i c s : 0 M a t h e m a t i c s i s i n t h e m i n d o f t h e b e h o l d e r ; a n d 0 T h e r e a r e r e l a t i o n s h i p s b e y o n d w h a t h a s a l r e a d y b e e n d i s c u s s e d a n d e x p l o r e d . b t r t t h e i d e a s f o r t h i n k i n g a b o u t t h e m a r e s i m i l a r ( e . g . y o u s t i l l n e e d t o t h i n k a b o u t t h e s a m e t h i n g s w h e n y o u ’ r e t r y i n g t o d e c i d e w h a t i s h a p p e n i n g ) . E a c h o f t h e s e n o r m s i s r e l a t e d t o t h e w a y s t h e m a t h e m a t i c a l c o n t e n t w a s t o b e v i e w e d a n d e x p l o r e d . I n a d d i t i o n . t h e fi r s t f o u r o n t h e l i s t w e r e d i s c o u r s e p a t t e r n s t h a t s t u d e n t s s e e m e d t o r e c o g n i z e a n d i n c o r p o r a t e i n t o t h e i r o w n t a l k . S t u d e n t s v e r b a l l y m a d e c o n n e c t i o n s b e t w e e n l i k e p r o b l e m s t h a t t h e y h a d a l r e a d y e n c o u n t e r e d a n d o n e s t o w h i c h t h e y w e r e b e i n g i n t r o d u c e d . N o t o n l y d i d t h e y m a k e c o n n e c t i o n s b e t w e e n p r o b l e m s b a s e d o n t h e p r o c e s s t h a t t h e y u s e d t o s o l v e t h e p r o b l e m . b u t t h e y a l s o r e l a t e d t h e c o n t e x t s a c r o s s i n v e s t i g a t i o n s a n d p a s t u n i t s . T h i s “ h a b i t o f m i n d ” w a s a l s o r e q u e s t e d b y s o m e 0 1 ’ t h e p r o b l e m s i n t h e t e x t b o o k . S t u d e n t s a l s o o f f e r e d m u l t i p l e s o l u t i o n m e t h o d s a n d t o o k p a r t i n d i s c u s s i o n s a b o u t t h e s e p r o c e s s e s . t a c i t l y a c k n o w l e d g i n g t h a t p a r t o f w h a t i t m e a n t t o “ d o ” m a t h e m a t i c s i n t h e c l a s s r o o m c o n s i s t e d o f g e n e r a t i n g m o r e t h a n o n e w a y t o s o l v e a p r o b l e m . O f t e n . s t u d e n t s h y p o t h e s i z e d t h e i r i d e a s a b o u t t h e m a t h e m a t i c a l p r o b l e m s b e i n g d i s c u s s e d . T h i s w a s p a r t i c u l a r l y a p p a r e n t i n t h e i r u s e o f “ c o u l d ” ; s t u d e n t s o f t e n h y p o t h e s i z e d w h a t “ c o u l d ” b e t h e c a s e . f o l l o w i n g K a r l a ’ s m o d e l i n g o f s u c h t a l k . 1 4 3 H o w e v e r . a s I s h o w e d i n t h a t s e c t i o n . t h e y s o m e t i m e s a p p r o p r i a t e d t h e u s e o f t h i s w o r d f o r t h e i r o w n m e a n s . R e c o g n i z i n g t h a t t h i n k i n g p r o c e s s e s w e r e i m p o r t a n t w h e n d o i n g m a t h e m a t i c s a p p e a r e d i n s t u d e n t s c o n t r i b u t i o n s a b o u t “ t h i n k i n g ” a n d “ i m a g e s . ” S t u d e n t s o f f e r e d w h a t t h e y t h o u g h t b u t a l s o p i c k e d u p K a r l a ’ s l a n g u a g e f o r t h e s e n o t i o n s . T h e l a s t n o r m s e e m e d l e s s a p p a r e n t f o r s t u d e n t s a n d t h e r e w e r e c o n fl i c t s i n t h e w a y s t h e t e x t b o o k a d d r e s s e d t h e s e r e l a t i o n s h i p s a n d t h e w a y t h e c l a s s t a l k e d a b o u t t h e m . T h e t e x t b o o k p o r t r a y e d t h e m o d e l i n g r e l a t i o n s h i p s i n w h i c h d a t a w a s c o l l e c t e d a s n o t b e i n g a n e x a c t c o n s t a n t a d d i t i v e r e l a t i o n s h i p . H o w e v e r , t h e l a n g u a g e t h e t e x t b o o k u s e d w a s a b s o l u t e a n d e x a c t . K a r l a a t t e m p t e d t o s h o w s t u d e n t s t h a t t h e y w e r e s u p p o s e d t o t h i n k a b o u t t h e c o n t e n t i n t h e s a m e m a n n e r . b u t u s e d m u c h “ f u z z i e r ” l a n g u a g e f o r t a l k i n g a b o u t t h e s i t u a t i o n s . M a t h e m a t i c a l l y l i n e a r s i t u a t i o n s w e r e “ p e r f e c t l y ” l i n e a r : t h o s e t h a t w e r e b a s e d o n a n e x p e r i m e n t i n a m o d e l i n g s i t u a t i o n w e r e “ k i n d a ” l i n e a r . H o w e v e r . K a r l a s e e m e d t o w a n t s t u d e n t s t o k n o w t h a t t h e y n e e d e d t o t h i n k a b o u t t h e s i t u a t i o n s i n t h e s a m e w a y . e v e n t h o u g h t h e y w e r e s l i g h t l y d i f f e r e n t . I n a s e n s e . s h e w a s a g a i n t r y i n g t o i n s t i l l a “ h a b i t o f m i n d ” t h a t e n c o u r a g e d s t u d e n t s t o i n s p e c t a n d e x p l o r e t h e r e l a t i o n s h i p s i n t h e s a m e w a y . e . g . t h e y w e r e s u p p o s e d t o l o o k c a r e f u l l y a t t h e r a t e o f i n c r e a s e i n t h e t a b l e t o d e t e r m i n e i f t h e r e l a t i o n s h i p w a s l i n e a r o r n o t . O n l y o n e n o r m s e e m e d a s s o c i a t e d w i t h t h e t e a c h e r a l o n e : 0 T h e t e a c h e r h a s t h e r i g h t t o s u m m a r i z e a n d c o n t r i b u t e a s s h e s e e s fi t . K a r l a ’ s r o l e i n t h e c l a s s r o o m s e e m e d t o b e k e e p i n g s t u d e n t s a p p r i s e d o f t h e a c t i v i t y . S h e s u m m a r i z e d t h e c l a s s r o o m d i s c u s s i o n a n d c o n t r i b u t e d a s s h e s a w fi t . T h i s w a s e s p e c i a l l y a p p a r e n t i n h e r u s e o f t h e w o r d “ s o . ” w h i c h i n d i c a t e d s h e w a s a b o u t t o m e t a c o m n r e n t o n t h e t a l k o r a c t i v i t y i n t h e c l a s s r o o m . I n f a c t . K a r l a t o l d m e t h a t d u r i n g h e r e x p e r i e n c e a s a 1 4 4 s t u d e n t . s h e o f t e n f e l t l o s t o r a s i f s h e d i d n o t k n o w w h a t t h e b i g p o i n t w a s . I n a n a t t e m p t t o h e l p h e r s t u d e n t s n o t f e e l t h i s w a y . s h e o f t e n s u m m a r i z e d w h a t w a s o c c u r r i n g i n t h e c l a s s r o o m a n d b e l i e v e d t h a t t h i s w a s p a r t o f h e r r o l e a s t e a c h e r i n t h e c l a s s r o o m . T h e n o r m s t h a t s e e m e d a s s o c i a t e d w i t h s t u d e n t ’ s r i g h t s . r o l e s . r e s p o n s i b i l i t i e s a n d e x p e c t a t i o n s ( a l t h o u g h t h e s e w e r e m o d e l e d b y a n d s e e m e d t o b e a s s o c i a t e d w i t h K a r l a h e r s e l f . t o o ) : 0 M i s t a k e s a r e o k a y t o m a k e ( o r I ’ l l p r o t e c t y o u ) : 0 T h e b i g i d e a s a r e s t a t e d a n d p e o p l e m u s t t a k e r e s p o n s i b i l i t y f o r t h e i r o w n l e a r n i n g : 0 C o n t r i b u t i o n s w i l l b e v a l u e d a n d c r e d i t e d : o U n c e r t a i n t y i s s o m e t h i n g t h a t s h o u l d b e a c k n o w l e d g e d : a n d o T h i s c l a s s r o o m i s a c o m m u n i t y w i t h a c o m m o n h i s t o r y . K a r l a u s e d h e d g i n g t o p r o t e c t s t u d e n t s f r o m b l a m e w h e n t h e y p r o v i d e d i n c o r r e c t a n s w e r s . F o r i n s t a n c e . w h e n s h e d i s c u s s e d i n c o r r e c t a n s w e r s . s h e t o l d h e r s t u d e n t s w h a t t h e y “ s e e m e d ” t o b e “ t r y i n g t o ” d o . S h e s t a t e d i n o n e o f h e r i n t e r v i e w s t h a t s h e s t i l l “ c o d d l e d ” s t u d e n t s a n d t h a t s h e w a s c o n t i n u a l l y a w a r e t h a t i t w a s d i f fi c u l t f o r s t u d e n t s t h i s a g e t o s h a r e a n s w e r s . S h e w a n t e d s t u d e n t s t o b e a b l e t o c o n t r i b u t e a n d o n e w a y t h a t s h e m i g h t h a v e e n c o u r a g e d t h i s w a s t o n o t s i n g l e o u t p a r t i c u l a r s t u d e n t s b y a v o i d i n g e x p l i c i t c o r r e c t i o n s a n d b y h e d g i n g t h e c o r r e c t s o l u t i o n m e t h o d . I n t e r m s o f t h e “ b i g i d e a s . ” K a r l a s a i d t h a t s h e s o m e t i m e s t o l d s t u d e n t s w h a t s h e e x p e c t e d t h e y “ c a n ” d o t o “ h o l d t h e m a c c o u n t a b l e a n d a g a i n t r y t o l e t t h e m k n o w t h a t t h e r e a r e b i g i d e a s t h a t t h e y h a v e t o k n o w t o m o v e o n ” ( K - I n t e r v i e w 4 . 1 / 0 7 / 0 0 ) . S t u d e n t s n e e d e d t o b e r e s p o n s i b l e f o r t h e i r o w n l e a r n i n g . t o o , a n d s h e t o l d t h e m w h a t t h e y n e e d e d 1 4 5 1 ” g r a d e : . ‘ B y 8 ’ h g r a d e t h e y s e e m m o r e r e s p o n s . b r l e f o r t h e . r i o w n l e a r n . i n g . t o k n o w a n d w h a t t h e i r o p t i o n s w e r e f o r g e t t i n g a d d i t i o n a l h e l p i f t h e y n e e d e d . S h e a l s o r e c o g n i z e d t h a t s t u d e n t s s e e m e d t o b e m o r e r e s p o n s i b l e f o r t h e i r o w n l e a r n i n g t h a n w h e n t h e y w e r e i n 7 ‘ I ’ v e g o t t o d o s o m e t h i n g o r I ’ m n o t g o i n g t o b e a b l e t o u s e a [ i n a u d i b l e ] o r k n o w w h a t ’ s g o i n g o n . I ’ v e g o t t a s o m e h o w b e i n v o l v e d . w h e t h e r t h a t m e a n s j u s t s i t t i n g h e r e a n d l i s t e n i n g a n d t a k i n g n o t e s o r s p e a k i n g o u t i n c l a s s ’ ” ( I n t e r v i e w K - 2 . 1 2 / 0 2 / 9 9 ) . K a r l a o f t e n r e v o i c e d s t u d e n t c o n t r i b u t i o n s . s t a t i n g t h e n a m e o f t h e p e r s o n w h o c o n t r i b u t e d t h e i d e a . I n d o i n g s o . s h e l e t s t u d e n t s k n o w t h a t t h e i r i d e a s w e r e v a l u e d . S h e a l s o w a n t e d s t u d e n t s t o h a v e o w n e r s h i p f o r t h e i r i d e a s . S h e a l s o w a n t e d s t u d e n t s t o k n o w “ t h a t m a t h i s s o m e t h i n g t h a t e a c h p e r s o n c a n d o a n d c o m e u p w i t h t h e s e t h i n g s . I t i s n ’ t j u s t . ‘ t h e n e x t p a g e h a s a n e x a m p l e a n d a d e fi n i t i o n t o w r i t e d o w n : I c a n c o m e u p w i t h t h e s e t h i n g s . t o o ’ ” ( I n t e r v i e w K - 3 . 1 2 / 1 7 / 9 9 ) . K a r l a w a n t e d s t u d e n t s t o k n o w t h a t t h e y h a d t h e “ p o w e r ” t o g e n e r a t e m a t h e m a t i c a l i d e a s t h e m s e l v e s : i t w a s n o t a p r o c e s s i n w h i c h o n l y m a t h e m a t i c i a n s a n d t e x t b o o k s c o u l d p a r t a k e : I g u e s s I j u s t t r y t o p e r s o n a l i z e i t a n d g i v e t h e m o w n e r s h i p . I t i s n ’ t j u s t s o m e m a t h e m a t i c i a n o u t t h e r e t h a t d e c i d e d t h a t m u l t i p l i c a t i o n a n d d i v i s i o n p a t t e r n s w e r e n o n - l i n e a r . R o b b y . y o u f o u n d t h a t a n d w e a l l a g r e e w i t h R o b b y . O r . M a r k ’ s w a y o f d o i n g i t . i f i t ’ s m a k i n g i t s h o r t e r . w h a t d i d t h a t d o t o t h e d a t a . i n s t e a d o f . “ t h e b o o k s a y s n o w w e ’ r e g o i n g t o m a k e i t s h o r t e r . ” S o . I g u e s s b y p e r s o n a l i z i n g i t , i t ’ s g i v i n g t h e m m o r e o w n e r s h i p i n w h a t ’ s g o i n g o n ( I n t e r v i e w K - 3 . 1 2 / 1 7 / 9 9 ) . S t u d e n t s s e e m e d t o r e c o g n i z e t h i s a s t h e y o f t e n s h a r e d t h e i r i d e a s a n d s o m e t i m e s c r e d i t e d e a c h o t h e r f o r i d e a s . U n c e r t a i n t y w a s a c k n o w l e d g e d b y K a r l a w h e n e v e r s t u d e n t s i n t r o d u c e d n o v e l w a y s o f s o l v i n g p r o b l e m s o r w e n t f a s t e r t h a n s h e t h o u g h t t h e y s h o u l d . S h e w a n t e d s t u d e n t s t o k n o w t h a t i t w a s o k a y t o n o t b e s u r e o f s o m e t h i n g . I n f a c t . t h i s w a s a n o t h e r 1 4 6 a t t r i b u t e t h a t a p p e a r e d t o b e a d o p t e d b y s t u d e n t s a s t h e y s o m e t i m e s s t a t e d t h a t t h e y w e r e “ c o n f u s e d ” o r t h a t t h e y n e e d e d K a r l a t o “ s a y t h a t i n E n g l i s h . ” C l a s s r o o m c o m m u n i t y b u i l d i n g w a s i m p o r t a n t t o K a r l a . I n f a c t . t h e m a i n r o l e s h e i d e n t i fi e d f o r h e r s t u d e n t s w a s t o “ b e a m e m b e r o f t h e c l a s s ” ( I n t e r v i e w K - 2 . 1 2 / 0 2 / ‘ 9 9 ) . T h e w a y t h a t s h e d e fi n e d t h i s i n c l u d e d “ b e t h e o n e s m a k i n g d e c i s i o n s . t h e o n e s t h a t a r e g o i n g t o g i v e a n i d e a . o r r e s p o n d t o a n i d e a . ” K a r l a a l s o a t t r i b u t e d h e r n o t w a n t i n g t o b e t h e “ a l l - k n o w i n g ” b e c a u s e s h e b e l i e v e d t h a t w h e n s t u d e n t s m a d e d e c i s i o n s a b o u t t h e c o n t e n t . i t h e l p e d i n t h e “ c o m m u n i t y b u i l d i n g . ” H o w e v e r . s h e a l s o a c k n o w l e d g e d t h a t s t u d e n t s d i d n ’ t a l w a y s b u y i n t o t h e r o l e s h e w a n t e d t o p l a y i n t h e c l a s s r o o m : “ B u t I d o n ’ t k n o w i f t h e y f e e l t h a t t h e i r r o l e i s t o s a y s o m e t h i n g . d i s a g r e e . t o b e t h e j u d g e . T h e y s t i l l s e e m e a s d o i n g t h a t ” ( I n t e r v i e w K - 2 . 1 2 / 0 2 / 9 9 ) . M u c h o f K a r l a ’ s e m p h a s i s i n t h e i n t e r v i e w s f o c u s e d o n s t u d e n t s a n d h o w t h e y i n t e r a c t e d . I t a p p e a r e d t h a t m a n y o f t h e s e w e r e a l s o c a r r i e d b y a n d e m b e d d e d i n h e r t a l k . a s m a n y o f t h e n o r m s t h a t I h a v e u n c o v e r e d a r e a s s o c i a t e d w i t h h e r s t u d e n t s a n d w h a t s h e e x p e c t e d o f t h e m . D u r i n g t h e t e a c h e r i n t e r v i e w s . I f o u n d m a n y o f t h e a n s w e r s K a r l a g a v e f o c u s e d o n t h e s t u d e n t s fi r s t a n d t h e m a t h e m a t i c s s e c o n d . F o r e x a m p l e . I g a v e b o t h s h e a n d J o s h t h e s a m e v i g n e t t e o f t h r e e s t u d e n t s w o r k i n g t o g e t h e r t o s o l v e a p r o b l e m ( s e e A p p e n d i x H f o r t h i s s c e n a r i o ) . K a r l a ’ s i n i t i a l r e a c t i o n w a s . “ I w i s h s t u d e n t t h r e e w o u l d s a y s o m e t h i n g m o r e t o s t u d e n t o n e a n d t w o . P e r s o n a l i t i e s a r e p r o b a b l y a p a r t o f t h i s . . ( I n t e r v i e w K - 1 . 1 1 / 2 3 / 9 9 ) . M u c h o f w h a t s h e s a i d a n d d i d f o c u s e d o n s t u d e n t s a n d t h e w a y s t h a t t h e y w e r e e x p e c t e d t o i n t e r a c t a n d p a r t i c i p a t e i n c l a s s . 1 F o r a m o r e e x t e n d e d t r a n s c r i p t f r o m K a r l a ’ s c l a s s r o o m . s e e A p p e n d i x N . 1 4 7 3 S e e A p p e n d i x I f o r a t i m e l i n e o f e v e n t s a n d w h e r e t h e e x a m p l e s t o o k p l a c e w i t h i n t h o s e e v e n t s . 3 M o r e s p e c i fi c a l l y . t h i s r e l a t i o n s h i p e n d s u p b e i n g h y p e r b o l i c . H o w e v e r . t h i s f u n c t i o n a l r e l a t i o n s h i p i s n o t r e a l l y e x p l o r e d i n d e p t h b e c a u s e t h e f o c u s a t t h i s p o i n t i s g e t t i n g s t u d e n t s t o d i f f e r e n t i a t e b e t w e e n r e l a t i o n s h i p s t h a t a r e l i n e a r a n d t h o s e t h a t a r e n o t . 4 T h e s e t w o p r o b l e m s h a v e b e e n i n c l u d e d i n A p p e n d i x J . 5 T h i s i s t h e n a m e o f a u n i t t h a t s t u d e n t s c o m p l e t e d i n t h e b e g i n n i n g o f t h e i r 7 ’ ” g r a d e s c h o o l y e a r . 6 I a m u s i n g t h i s t e r m i n a D e w e y a n s e n s e ( D e w e y . l 9 3 8 ) — i t g o e s b e y o n d a h a b i t a n d b e c o m e s p a r t o f a p e r s o n ’ s d i s p o s i t i o n : t h a t i s . X a v i e r i s s e e k i n g a c o n t i n u o u s e x p e r i e n c e f o r h i m s e l f b y a c t i v e l y e n g a g i n g i n l o o k i n g f o r c o n n e c t i o n s b e t w e e n t h e p r o b l e m s i n w h i c h h e h a s e n g a g e d . 7 T h i s i n f e r e n c e w a s n o t b a s e d o n e x p l i c i t s t a t e m e n t s b y K a r l a a b o u t h o w t h e G C s h o u l d b e u s e d i n c l a s s . I n s t e a d . i t w a s b a s e d o n r e p e a t e d l y o b s e r v i n g K a r l a r e q u e s t i n g t h a t s t u d e n t s u s e a G C t o c h e c k t h e i r w o r k i n a l m o s t e v e r y c l a s s s e s s i o n I a t t e n d e d . I t w a s a l m o s t h a b i t u a l i n t h a t e v e r y t i m e a s o l u t i o n w a s w o r k e d o u t . K a r l a r e q u e s t e d t h a t s t u d e n t s t a k e o u t t h e i r G C t o c h e c k t h e i r s o l u t i o n s . 8 T h i s a c t i v i t y i s g i v e n i n C h a p t e r 4 . p p . 5 2 - 5 3 . 9 K a r l a u s e d t h e w o r d “ t h e y ” t o r e f e r t o t h e a u t h o r s o f t h e t e x t b o o k . H e r u s e h e r e s e e m e d t o i n d i c a t e t h a t s h e w a s i n t e r p r e t i n g w h a t t h e y h a d i n t e n d e d i n w r i t i n g t h e p r o b l e m . i n d i c a t i n g t h a t p a r t o f h e r r o l e a s t e a c h e r w a s t o o f f e r o r i n t e r p r e t t h e a u t h o r ’ s i n t e n t i o n s . ‘ 0 K a r l a t o l d m e i n h e r i n t e r v i e w s t h a t s h e n a m e d t h e p e r s o n w h o t a l k e d b e c a u s e s h e b e l i e v e d t h a t i t w a s i m p o r t a n t f o r h e r s t u d e n t s t o h a v e o w n e r s h i p o f t h e i r i d e a s . “ T h i s i n t e r p r e t a t i o n i s i n f e r r e d b a s e d o n t h e f a c t t h a t . i n a n i n t e r v i e w . K a r l a t o l d m e t h a t t h e b i g m a t h e m a t i c a l i d e a w a s v e r y i m p o r t a n t f o r h e r i n d e v e l o p i n g a n d p u s h i n g t h e c l a s s r o o m c o n v e r s a t i o n . S h e s a i d t h a t s h e o f t e n r e - r e a d t h e t e a c h e r n o t e s i n t h e T e a c h e r ’ s E d i t i o n t o r e m i n d h e r s e l f o f t h e “ b i g m a t h e m a t i c a l i d e a ” s o t h a t s h e c o u l d k e e p t h e c o n v e r s a t i o n f o c u s e d o n t h i s a n d s o t h a t i t w o u l d n ’ t d i v e r g e t o o m u c h a w a y f r o m t h i s g o a l . ‘ 2 T h e e x t e n d e d t r a n s c r i p t t o o k p l a c e i n a b o u t a 1 5 m i n u t e s e g m e n t . I t h a s b e e n b r o k e n u p i n t o p a r t s t o i n c l u d e m y d e s c r i p t i o n a n d i n t e r p r e t a t i o n o f w h a t w a s h a p p e n i n g i n e a c h p a r t o f t h e t r a n s c r i p t . S h o r t p o r t i o n s w e r e e x c l u d e d t h a t w e r e n ’ t r e l a t e d t o t h e m a t h e m a t i c a l c o n v e r s a t i o n ( i . e . o n e s r e l a t e d t o c l a s s r o o m m a n a g e m e n t a n d a b o u t g e t t i n g g r a p h i n g c a l c u l a t o r s w e r e d e l e t e d ) . 1 3 S e e b o l d f a c e d t e x t . ' 4 I r e c o g n i z e d t h e s e t h r e e a r g u m e n t s b u t t h e y w e r e n o t m a d e a n e x p l i c i t p a r t o f t h e c o n v e r s a t i o n . " ’ T h i s i s l a n g u a g e I ’ v e h e a r d t h e m u s e i n c l a s s t o r e f e r t o o t h e r s i t u a t i o n s a n d t h a t p e r t a i n e d t o s l o p e . 1 4 8 C H A P T E R 7 : J O S H ’ S C A S E I n t h i s c h a p t e r . I o t ’ f e r a c a s e s t u d y o f J o s h ’ s c l a s s r o o m . d i s c u s s i n g t h e t h r e e m a i n t e a c h e r d i s c o u r s e p a t t e r n s a p p a r e n t i n J o s h ’ s t a l k ' . T h e s e i n c l u d e : ( 1 ) q u e s t i o n i n g . ( 2 ) e x p r e s s i o n s e s t a b l i s h i n g a u t h o r i t y . a n d ( 3 ) s t a t e m e n t s a b o u t k n o w i n g . I n e a c h s e g m e n t t h a t f o l l o w s , I g i v e a b r i e f a c c o u n t o f t h e t o o l o r c o n c e p t o f d i s c o u r s e a n a l y s i s t h a t I h a v e e m p l o y e d a n d t h e n o f f e r e x a m p l e s a n d i n t e r p r e t a t i o n o f J o s h ’ s u s e o f t h e m . I s h o w I r o w J o s h c r e a t e s a n e n v i r o n m e n t w h e r e q u e s t i o n s a r e a b u n d a n t . t h e m a t h e m a t i c a l a u t h o r i t y r e s i d e s w i t h J o s h a n d t h e t e x t . a n d k n o w i n g i s a t t r i b u t e d t o t h e t e a c h e r . t h e t e x t b o o k a n d a s c h a r a c t e r i s t i c o f a “ m o d e l ” s t u d e n t . A s I e l a b o r a t e o n t h e d i s c o u r s e p a t t e r n s . I a l s o c l a i m t h a t c e r t a i n n o r m s a r e e m b e d d e d a n d e s t a b l i s h e d i n t h e c l a s s r o o m b y t h e s e d i s c o u r s e p a t t e r n s . I n e a c h s u m m a r y s e c t i o n . I u s e E d w a r d s a n d M e r c e r ’ s c a t e g o r i e s t o p o i n t o u t h o w t h e d i s c o u r s e p a t t e r n s a r e a s s o c i a t e d w i t h J o s h ’ s c o n t r o l o f t h e c o m m o n k n o w l e d g e i n t h e c l a s s r o o m . B e f o r e p r o c e e d i n g . h o w e v e r . I p r e s e n t a l a r g e r c o n t e x t o f t h e c l a s s r o o m s e s s i o n s b y d e s c r i b i n g b o t h t h e a c t i v i t i e s a n d d i s c u s s i o n t h a t t o o k p l a c e i n e a c h o f t h e t w o f o c u s c l a s s p e r i o d s z . F o c u s C l a s s P e r i o d s O c t o b e r Q 1 9 9 8 P r i o r t o t h i s c l a s s p e r i o d , s t u d e n t s h a d c o m p l e t e d c o l l e c t i n g d a t a f o r I n v e s t i g a t i o n 1 . I n t h a t i n v e s t i g a t i o n . s t u d e n t s m e a s u r e d t h e b r e a k i n g w e i g h t o f a b r i d g e . T h i s v a r i a b l e w a s c o m p a r e d w i t h t h e t h i c k n e s s o f t h e b r i d g e — i . e . s t u d e n t s i n c r e a s e d t h e t h i c k n e s s o f t h e b r i d g e a n d t h e n m e a s u r e d i t s b r e a k i n g w e i g h t t o d e t e r m i n e h o w t h e s t r e n g t h o f t h e b r i d g e c h a n g e d a s t h e b r i d g e g o t t h i c k e r . A t t h e b e g i n n i n g o f t h e c l a s s p e r i o d . J o s h h a d e a c h g r o u p r e p o r t o r a l l y t h e d a t a a s h e r e c o r d e d i t o n t h e w h i t e b o a r d . 1 4 9 A f t e r t h e d a t a w a s r e c o r d e d . t h e r e w a s a w h o l e - g r o u p d i s c u s s i o n a b o u t t h e d a t a . J o s h a s k e d s t u d e n t s i f t h e y n o t i c e d a n y c o n s i s t e n c y i n t h e d a t a a n d s t u d e n t s t a l k e d a b o u t w h y e a c h g r o u p ’ s d a t a w a s n o t e x a c t l y t h e s a m e . S t u d e n t s t h e n g a v e t h e a v e r a g e s f o r t h e d a t a ( w h i c h h a d b e e n a s s i g n e d a s h o m e w o r k t h e d a y b e f o r e ) a n d t h e r e w a s a b r i e f d i s c u s s i o n a b o u t w h y h e h a d a s k e d t h e m t o d o t h a t . A t t h e e n d o f t h i s d i s c u s s i o n . J o s h a s k e d t h e c l a s s i f t h e y t h o u g h t t h e d a t a a p p e a r e d t o b e l i n e a r o r n o t . T o “ fi n d o u t , ” s t u d e n t s w e r e a s k e d t o o p e n t h e i r b o o k s t o P r o b l e m 1 2 " . “ D r a w i n g G r a p h M o d e l s ” a n d J o s h g a v e t h e m g r a p h p a p e r t o g r a p h t h e c l a s s a v e r a g e d a t a p o i n t s . S t u d e n t s d i d t h i s w i t h t h e i r s e a t p a r t n e r . J o s h d r e w a c o - o r d i n a t e s y s t e m o n t h e b o a r d a n d t h e y d i s c u s s e d t h e s c a l e t h e y h a d c h o s e n . A f t e r J o s h d r e w a g r a p h o f t h e a v e r a g e s o n t h e b o a r d . t h e r e w a s a d i s c u s s i o n a b o u t w h e t h e r s t u d e n t s t h o u g h t t h e g r a p h w a s l i n e a r o r n o t . T h i s d i s c u s s i o n e n d e d w h e n J o s h a s k e d . “ H o w a r e w e g o i n g t o s h o w t h e l i n e a r p a t t e r n ? ” a n d c a l l e d o n C o r y t o r e a d P r o b l e m 1 . 2 f r o m t h e t e x t b o o k . P r o b l e m 1 . 2 i n t r o d u c e d a g r o u p o f s t u d e n t s f r o m M a r y l a n d w h o w e r e c l a i m e d t o h a v e d o n e t h e s a m e b r i d g e p r o b l e m a n d g a v e t h e i r d a t a . I n t h i s p r o b l e m . s t u d e n t s a r e i n t r o d u c e d t o t h e t e r m s “ g r a p h m o d e l ” a n d “ l i n e o f b e s t fi t . ” A f t e r J o s h r e i t e r a t e d t h e m e a n i n g o f t h e s e t e r m s . h e c a l l e d o n a s t u d e n t t o c o m e t o t h e b o a r d t o d r a w i n w h a t s h e t h o u g h t w a s a “ l i n e o f b e s t fi t ” f o r t h e d a t a . T h e c l a s s t h e n t u r n e d t o d i s c u s s i n g w h e t h e r t h e r e w e r e o t h e r o p t i o n s f o r t h e " l i n e o f b e s t fi t ” a n d w h a t t h o s e m i g h t l o o k l i k e . T h e y a l s o t a l k e d a b o u t u s i n g t h i s l i n e t o p r e d i c t v a l u e s t h a t w e r e n o t i n c l u d e d o n t h e g r a p h . J o s h h a n d e d o u t a w o r k s h e e t o n w h i c h t h e r e w e r e n i n e g r a p h s . S t u d e n t s w e r e a s k e d t o d r a w i n t h e l i n e o r c u r v e o f b e s t fi t f o r e a c h . I n d i v i d u a l s t u d e n t s w e r e c a l l e d u p t o t h e o v e r h e a d a n d d r e w e a c h . T h e r e w a s a 1 5 0 ” ” 1 ' 0 1 . } M A ” C fl ] ‘ 4 2 . F c l a s s d i s c u s s i o n a b o u t w h e t h e r e a c h i s t h e l i n e / c u r v e o f “ b e s t ” fi t . J o s h r e m i n d e d t h e c l a s s t h a t t h e g r a p h n e e d e d t o b e d r a w n s o t h a t p r e d i c t i o n s c o u l d b e m a d e . J o s h c a l l e d o n a s t u d e n t t o r e a d a b o u t “ e q u a t i o n m o d e l s ” i n P r o b l e m 1 . 3 a n d a s k e d s t u d e n t s t o g o b a c k t o t h e c l a s s a v e r a g e d a t a f r o m t h e b e g i n n i n g o f t h e c l a s s p e r i o d . S t u d e n t s w o r k e d i n s m a l l g r o u p s t o c o m e u p w i t h a n e q u a t i o n t h a t w e n t w i t h t h e l i n e o f b e s t fi t t h e y d r e w . T h e c l a s s d i s c u s s e d t h e s e e q u a t i o n s a s a g r o u p a n d J o s h b r o u g h t t h e d i s c u s s i o n t o a c l o s e b y g o i n g t h r o u g h h i s o w n a p p r o x i m a t i o n a n d t e l l i n g s t u d e n t s w h i c h e q u a t i o n s s e e m r e a s o n a b l e t o h i m . N o h o m e w o r k w a s a s s i g n e d . O c t o b e r 1 3 . 1 9 9 8 T h e p r e v i o u s d a y . s t u d e n t s h a d t a k e n t h e C h e c k - u p g i v e n b e t w e e n I n v e s t i g a t i o n 1 a n d 2 . J o s h b e g a n t h i s c l a s s p e r i o d b y r e t u r n i n g t h i s a n d g o i n g t h r o u g h t h e a n s w e r s w i t h t h e c l a s s . S t u d e n t s w e r e t h e n a s k e d t o o p e n t h e i r b o o k s t o I n v e s t i g a t i o n 2 . f o c u s i n g o n n o n - l i n e a r m o d e l s . A s t u d e n t w a s c h o s e n t o r e a d t h i s b r i d g e p r o b l e m i n w h i c h t h e c l a s s w a s a s k e d t o e x p l o r e h o w t h e b r i d g e l e n g t h a f f e c t e d t h e s t r e n g t h o f t h e b r i d g e . S t u d e n t s t h e n g o t i n t o s m a l l g r o u p s a n d w o r k e d t o g e t h e r t o c o l l e c t d a t a a n d r e c o r d i t i n t a b l e s . A l a r g e t a b l e w a s p u t o n t h e w h i t e b o a r d i n w h i c h e a c h g r o u p r e c o r d e d i t s d a t a . A f t e r e a c h g r o u p p u t t h e i r d a t a i n t h i s l a r g e t a b l e . J o s h a s k e d t h e m t o o p e n t h e i r b o o k s t o P r o b l e m 2 . 1 a n d d o p a r t s A , B . a n d C a s h o m e w o r k . S t u d e n t s c o n t i n u e d t o w o r k i n s m a l l g r o u p s u n t i l t h e y e i t h e r fi n i s h e d t h e p r o b l e m o r t h e c l a s s p e r i o d e n d e d . T h e C a s e T h e c a s e s t u d y t h a t f o l l o w s i s b r o k e n i n t o t w o m a i n p a r t s . I n P a r t I . I o f f e r a n a n a l y s i s o f t h e t h r e e d i s c o u r s e p a t t e r n s t h a t w e r e m o s t p r o m i n e n t i n J o s h ’ s c l a s s r o o m t a l k . T h e s e t h r e e p a t t e r n s i n c l u d e J o s h ’ s u s e o f : ( 1 ) q u e s t i o n i n g . ( 2 ) e x p r e s s i o n s t h a t e s t a b l i s h a u t h o r i t y . a n d ( 3 ) r e f e r e n c e s t o “ k n o w i n g . ” I n e a c h s e g m e n t . I g i v e a b r i e f 1 5 1 - ” : 0 7 : 6 7 T 7 3 ' 1 “ Y r e c o u n t o f t h e t o o l o r c o n c e p t o f d i s c o u r s e a n a l y s i s t h a t I h a v e e m p l o y e d a n d t h e n o f f e r e x a m p l e s a n d i n t e r p r e t a t i o n o f J o s h ’ s u s e o f t h e m . I s h o w h o w J o s h c r e a t e s a n e n v i r o n m e n t w h e r e q u e s t i o n s a r e a s k e d f r e q u e n t l y . t h e a u t h o r i t y e x i s t s w i t h J o s h a n d t h e t e x t b o o k , a n d t h e s o u r c e s o f k n o w l e d g e a r e “ m o d e l ” s t u d e n t s . J o s h a n d t h e t e x t b o o k . A s I e l a b o r a t e o n t h e d i s c o u r s e p a t t e r n s , I a l s o c l a i m t h a t c e r t a i n n o r m s a r e e m b e d d e d a n d e s t a b l i s h e d i n t h e c l a s s r o o m b y t h e s e d i s c o u r s e p a t t e r n s . I c o n t e n d t h a t t h e f o l l o w i n g n o r m s a r e e m b e d d e d w i t h i n t h e d i s c o u r s e p a t t e r n s I d e s c r i b e . 0 T h r o u g h Q u e s t i o n i n g : 0 P a y a t t e n t i o n t o a n d a g r e e w i t h t h e c o m m o n k n o w l e d g e : 0 T h e r e a r e s u b - q u e s t i o n s t h a t a l l o w y o u t o f o c u s i n o n t h e c o n t e n t : 0 K n o w t h e r e a s o n s f o r t h e c o m m o n k n o w l e d g e : 0 S t r o n g l y e s t a b l i s h e d c o m m o n k n o w l e d g e i s a d e c i s i o n t o b e m a d e : a n d o P l u r a l i t y i s i m p o r t a n t i n d e t e r m i n i n g w h a t i s m a t h e m a t i c a l l y r e a s o n a b l e a n d w h a t i s n o t . 0 T h r o u g h R e f e r e n c e t o R e a s o n a b l e n e s s a n d A g r e e m e n t : 0 A s a n a u t h o r i t y o f m a t h e m a t i c a l k n o w l e d g e . o n e o f t h e t e a c h e r ’ s r o l e s i s t o c l a r i f y t h e c o n t e n t : 0 T h e t e x t b o o k i s p a r t o f t h e m a t h e m a t i c a l a u t h o r i t y a n d s h o u l d b e d r a w n f r o m i n m a n y w a y s : a n d o T h e t e a c h e r h a s t h e r i g h t t o j u d g e t h e r e a s o n a b l e n e s s o f a s o l u t i o n . 0 T h r o u g h t a l k a b o u t “ k n o w i n g ” 0 M o d e l s t u d e n t s w a n t t o k n o w ; a n d 0 “ K n o w i n g ” s o m e t i m e s r e s i d e s i n t h e t e x t b o o k . 1 5 2 I n t h e s e c o n d p a r t o f t h i s c h a p t e r , I s u m m a r i z e t h e d i s c o u r s e p a t t e r n s i n t e r m s o f t h e n o r m s t h a t a r e e m b e d d e d w i t h i n t h e m . I d r a w o n t h e p a t t e r n s o f d i s c o u r s e t o m a k e i n f e r e n c e s a b o u t t h e s o c i a l a n d s o c i o m a t h e m a t i c a l n o r m s J o s h e s t a b l i s h e d f o r h i s s t u d e n t s i n t e r m s o f t e a c h e r a n d s t u d e n t e x p e c t a t i o n s . r i g h t s . r o l e s . a n d r e s p o n s i b i l i t i e s . I a l s o o f f e r J o s h ’ s i n t e r p r e t a t i o n s b a s e d o n t h e i d e a s h e o f f e r e d i n h i s i n t e r v i e w s . D i s c o u r s e F o r m s a n d F u n c t i o n s Q u e s t i o n i n g O r d i n a r i l y , t e a c h i n g i n v o l v e s t h e a s k i n g o f p r o l o n g e d s e q u e n c e s o f q u e s t i o n s ( B e l l a c k . K l i e b a r d , H y m a n , & S m i t h . 1 9 6 6 ; H o e t k e r & A h l b r a n d . 1 9 6 9 ) t h a t p e r m i t a t e a c h e r t o c o n t r o l t h e d i r e c t i o n a n d c o n t i n u a t i o n o f a d i s c u s s i o n w h i l e a s s u m i n g a n e c e s s a r y d e g r e e o f a t t e n t i o n a n d m a i n t a i n i n g o r d e r ( W e s t b u r y . 1 9 7 3 ) . A l a r g e r a n g e o f l i t e r a t u r e h a s f o c u s e d o n c l a s s i f y i n g q u e s t i o n s b a s e d o n t h e t y p e o f i n f o r m a t i o n t h e y e l i c i t ( f o r a r e v i e w o f s o m e o f t h i s w o r k . s e e H a r g i e . 1 9 8 3 ) . O t h e r s ( e . g . G o o d y . 1 9 7 8 ) h a v e f o c u s e d o n c l a s s i f y i n g q u e s t i o n s b a s e d o n r e l a t i o n s h i p s : t h a t i s . t h e r e a r e c e r t a i n t y p e s o f q u e s t i o n s t h a t a r e a p p r o p r i a t e t o a s k ( o r n o t ) b a s e d o n t h e r e l a t i o n s h i p t h a t y o u h a v e w i t h t h e p e r s o n t o w h o m y o u a r e a d d r e s s i n g t h e q u e s t i o n . T h i s i s e s p e c i a l l y t r u e w h e r e t h e r e a r e i s s u e s o f p o w e r a n d a u t h o r i t y a t p l a y , w h i c h i s d e fi n i t e l y t h e c a s e i n r e l a t i o n s h i p s e s t a b l i s h e d b e t w e e n t e a c h e r s a n d s t u d e n t s i n s c h o o l . A l t h o u g h m u c h o f t h e l i t e r a t u r e d o e s n o t a d d r e s s t h e d i f fi c u l t i e s a s s o c i a t e d w i t h c l a s s i f y i n g t e a c h e r q u e s t i o n s ” , C h u r c h i l l ( 1 9 7 8 ) d e v o t e s a s e c t i o n i n h e r b o o k t o d i s c u s s i n g p r o b l e m s w i t h d e t e r m i n i n g w h e t h e r a q u e s t i o n h a s b e e n a s k e d o r n o t . S h e a s s o c i a t e s t h i s d i f fi c u l t y w i t h t h e i n t e r p l a y b e t w e e n t h e f o r m s a n d f u n c t i o n s o f q u e s t i o n s . F o r e x a m p l e . i f I s a y . “ I w o n d e r i f t h i s i s a s q u a r e . ” s t u d e n t s m a y t r e a t t h i s a s a q u e s t i o n a n d “ a n s w e r ” i t . I m a y a c t u a l l y b e w o n d e r i n g a l o u d . d e m o n s t r a t i n g w o n d e r i n g a b o u t t h e 1 5 3 “ ( R I - T a m . s i t u a t i o n a t h a n d . T h i s f o r m c a n s e r v e a s a q u e s t i o n . e v e n i f i t d o e s n o t e n d w i t h r i s i n g i n t o n a t i o n . I f I s a y t o a s t u d e n t . “ W o u l d y o u p l e a s e g o t o t h e b o a r d a n d p u t u p y o u r s o l u t i o n ? ” t h e f o r m d e n o t e s a q u e s t i o n . b u t t h e i n t e n d e d f u n c t i o n i s a d i r e c t i v e o r c o m m a n d : t h a t i s . a s t u d e n t d o e s n o t r e s p o n d b y a n s w e r i n g . s / h e r e s p o n d s b y g o i n g t o t h e b o a r d . C o u l t h a r d ( 1 9 8 5 ) i n d i c a t e s t h a t d i s t i n g u i s h i n g f o r m s f r o m f u n c t i o n s ’ i s i m p o r t a n t w h e n a n a l y z i n g d i s c o u r s e f o r s i m i l a r r e a s o n s . B o t h t h e f o r m s a n d f u n c t i o n s o f t e a c h e r q u e s t i o n s h a v e b e e n h i g h l i g h t e d i n e d u c a t i o n a l l i t e r a t u r e . S i n c e t h e r e i s a p l e t h o r a o f l i t e r a t u r e r e l a t e d t o q u e s t i o n s i n t h e t e a c h i n g / l e a r n i n g e n v i r o n m e n t . I s h a l l e x p l i c a t e t h o s e f o r m s a n d f u n c t i o n s p e r t i n e n t t o t h e c a s e s t u d y I w i l l p r e s e n t . A f t e r I d i s c u s s s o m e o f t h e f o r m s a n d f u n c t i o n s o f q u e s t i o n s . I w i l l d e l i n e a t e s o m e t e a c h e r s t r a t e g i e s i d e n t i fi e d i n t h e l i t e r a t u r e t h a t a r e u s e d t o h e l p s t u d e n t s a n s w e r t h e q u e s t i o n s i n a n “ a p p r o p r i a t e ” m a n n e r . O f t e n w h e n a t e a c h e r a s k s a q u e s t i o n t h a t i s o p e n - e n d e d . s t u d e n t s c o u l d p r o d u c e m a n y d i f f e r e n t a n s w e r s . H o w e v e r . t y p i c a l l y t h e t e a c h e r h a s i n m i n d e x a c t l y w h i c h a n s w e r s / h e w i l l a c c e p t . I w i l l d i s c u s s s o m e o f t h e w a y s t e a c h e r s t r y t o f o c u s t h e q u e s t i o n s t h e y a s k t o h e l p s t u d e n t s “ s u c c e s s f u l l y ” a n s w e r t h e i r q u e s t i o n s . F o r m s o f Q u e s t i o n s B a r n e s ( 1 9 6 9 ) a n a l y z e d t e a c h e r q u e s t i o n s a s f a l l i n g i n t o t h e f o l l o w i n g t ’ o u r c a t e g o r i e s b a s e d o n t h e f o r m o f t h e q u e s t i o n . 1 . F a c t u a l ( “ W h a t ? ” q u e s t i o n s ) i . n a m i n g i i . i n f o r m a t i o n 2 . R e a s o n i n g ( “ H o w ? ” a n d “ W h y ? ” q u e s t i o n s ) i . ‘ c l o s e d ’ r e a s o n i n g — r e c a l l e d s e q u e n c e s i i . ‘ c l o s e d ’ r e a s o n i n g — n o t r e c a l l e d i i i . ‘ o p e n ’ r e a s o n i n g i v . o b s e r v a t i o n 1 5 4 I V 2 1 " . } . ! . 1 . I . . ' l ' . z l n ’ 3 . ‘ O p e n ’ q u e s t i o n s n o t c a l l i n g / o r r e a s o n i n g " ( e . g . W h a t c a n y o u t e l l m e a b o u t t h e s e t w o f u n c t i o n s ? ) 4 . S o c i a l i . c o n t r o l ( ‘ W o n ’ t y o u . . . ? ” q u e s t i o n s ) i i . a p p e a l ( “ A r e n ’ t w e . . . ? ” q u e s t i o n s ) i i i . o t h e r ( p . 1 7 . i t a l i c s i n o r i g i n a l ) . D u r i n g t h e 1 9 6 0 5 a n d 1 9 7 0 3 . t h e v a s t m a j o r i t y o f t e a c h e r q u e s t i o n s w e r e s h o w n t o b e “ f a c t u a l ” o r “ r e c a l l ” i n n a t u r e ( B a r t o l o m e . 1 9 6 9 ; D a v i s & T i n s l e y . 1 9 6 7 : G a l l . 1 9 7 0 : [ G a l l a g h e r . 1 9 6 5 ) . M o r e r e c e n t s t u d i e s h a v e n o t b e e n c a r r i e d o u t t o s e e i f t h i s i s s t i l l t h e c a s e . T e a c h e r s a s k i n g t h i s t y p e o f q u e s t i o n w i l l fi n d o u t w h e t h e r t h e i r s t u d e n t s k n o w r s p e c i fi c m a t h e m a t i c a l f a c t s . b u t t h e y w i l l g a i n l i t t l e . i f a n y . i n f o r m a t i o n a b o u t w h e t h e r t h e s t u d e n t s a c t u a l l y u n d e r s t o o d a g i v e n c o n c e p t . R e a s o n i n g q u e s t i o n s r e q u i r e p u p i l s t o “ t h i n k a l o u d ” ( p . 1 7 ) : t h a t i s . t h e y r e q u i r e s t u d e n t s t o c o n s t r u c t . o r r e c o n s t r u c t , ( f r o m m e m o r y ) l o g i c a l l y o r g a n i z e d i n f o r m a t i o n . T h e s e q u e s t i o n s m a y b e “ o p e n ” o r “ c l o s e d ” i n n a t u r e : t h a t i s . t h e y m a y h a v e a n u m b e r o f d i f f e r e n t a c c e p t a b l e a n s w e r s . o r t h e y m a y h a v e o n l y o n e . I n o r d e r t o d e t e r m i n e w h e t h e r a q u e s t i o n i s “ o p e n ” o r n o t . w e n e e d t o e x a m i n e t h e t e a c h e r ’ s r e a c t i o n t o s t u d e n t r e s p o n s e s ( E d w a r d s & F u r l o n g . 1 9 7 8 ' ) . O f t e n a t e a c h e r a s k s a s e e m i n g l y o p e n q u e s t i o n . b u t w i l l o n l y a c c e p t o n e a n s w e r . F o r e x a m p l e . “ W h a t c o u l d b e a n e q u a t i o n f o r t h a t l i n e ? ” m a y b e a n ‘ o p e n ’ q u e s t i o n . i n v i t i n g e x p l o r a t i o n o f p o s s i b i l i t i e s . H o w e v e r . i f t h e t e a c h e r w i l l o n l y w e l c o m e t h e s i m p l e s t f o r m o f t h e e q u a t i o n . t h e q u e s t i o n i s n o l o n g e r “ o p e n ” — t h e r e i s o n l y o n e a c c e p t a b l e a n s w e r . B a r n e s c a l l s q u e s t i o n s t h a t a p p e a r o p e n “ p s e u d o - q u e s t i o n s ” ( p . 1 7 ) . R e a s o n i n g q u e s t i o n s m a y a l s o p e r t a i n t o w h a t s t u d e n t s o b s e r v e . i . e . o b s e r v a t i o n q u e s t i o n s . T h e s e q u e s t i o n s a r e a s s o c i a t e d w i t h p h e n o m e n a t h a t a r e i m m e d i a t e l y p r e s e n t t o s t u d e n t s a n d f o c u s o n t h e i r i n s i g h t r e l a t e d t o t h e p h e n o m e n a . S o c i a l q u e s t i o n s a r e r e l a t e d t o i m p o s i t i o n . I f a c o n t r o l q u e s t i o n i s a s k e d . a t e a c h e r i s d i r e c t l y i m p o s i n g h i s / h e r w i s h e s o n a s t u d e n t . T h e l e s s d i r e c t i v e f o r m . a p p e a l q u e s t i o n s . a s k p u p i l s t o “ a g r e e . o r s h a r e a n a t t i t u d e , o r r e m e m b e r a n e x p e r i e n c e ” ( p . 1 8 ) . B a r n e s c o n s i d e r s a n a p p e a l q u e s t i o n t o b e l e s s d i r e c t i v e b e c a u s e i t i s p o s s i b l e f o r s t u d e n t s t o r e j e c t t h e m w i t h o u t n e c e s s a r i l y o f f e n d i n g t h e t e a c h e r . H o w e v e r . t h e w o r d i n g o f a q u e s t i o n s o m e t i m e s m a k e s i t d i f fi c u l t f o r s t u d e n t s t o d i s a g r e e . O n e c o m m o n l y u s e d f o r m t h a t t h i s p a r t i c u l a r t y p e o f q u e s t i o n m a y t a k e i s t h a t o f a “ t a g - q u e s t i o n . ” A t a g . i n i t s “ u s a g e a s w e l l a s i t s s y n t a c t i c s h a p e i s m i d w a y b e t w e e n a n o u t r i g h t s t a t e m e n t a n d a y e s - n o q u e s t i o n : i t i s l e s s a s s e r t i v e t h a n t h e f o r m e r . b u t m o r e c o n fi d e n t t h a n t h e l a t t e r ” ( L a k o f f . 1 9 7 5 . p . 1 5 ) . T h e r e f o r e . t h i s f o r m i s o f t e n u s e d i n a s i t u a t i o n i n w h i c h n e i t h e r a s t a t e m e n t n o r a q u e s t i o n i s a p p r o p r i a t e . A t a g q u e s t i o n i s u s e d “ w h e n t h e s p e a k e r i s s t a t i n g a c l a i m . b u t l a c k s f u l l c o n fi d e n c e i n t h e t r u t h o f t h e c l a i m ” ( p . 1 5 ) . T h e w a y t h a t a t a g q u e s t i o n i s w o r d e d f a v o r s p o s i t i v e o r c o n fi r m i n g r e s p o n s e s . F o r e x a m p l e . i f I a s k . “ I s t h i s a l i n e a r f u n c t i o n ? ” I a m l e s s l i k e l y t o r e c e i v e a n a f fi r m a t i v e a n s w e r t h a n i f I s a y . “ T h i s i s a l i n e a r f u n c t i o n . i s n ’ t i t ? . ” I n s o m e s i t u a t i o n s . t a g g i n g a s t a t e m e n t o r q u e s t i o n i s m o r e l e g i t i m a t e t h a n m a k i n g a n o u t r i g h t s t a t e m e n t . F o r e x a m p l e . i f I h a v e h e a r d / s e e n s o m e t h i n g o n l y i n d i s t i n c t l y . a n d h a v e r e a s o n t o b e l i e v e t h a t s o m e o n e e l s e h a s h a d a b e t t e r v i e w . I m a y a s k h i m / h e r a b o u t i t i n t a g f o r m . A n e x a m p l e o f t h i s w o u l d i n c l u d e : “ T h e t e a c h e r s a i d t h e q u i z i s T u e s d a y . d i d n ’ t h e ? ” W e a l s o fi n d t a g s w h e n t h e s p e a k e r k n o w s a s w e l l a s t h e a d d r e s s e e w h a t t h e a n s w e r m u s t b e . a n d d o e s n ’ t n e e d c o n fi r m a t i o n . F o r e x a m p l e . w h e n m a k i n g s m a l l t a l k : “ I t ’ s a n i c e d a y . i s n ’ t i t ? ” I n s o m e c a s e s , t a g s a r e u s e d t o s e e k c o r r o b o r a t i o n w i t h t h e s p e a k e r ’ s O p i n i o n s . T h e r e a r e m a n y p o s s i b l e i n t e r p r e t a t i o n s o f t a g s l i k e t h e s e . O n e 1 5 6 i n c l u d e s t h e p o s s i b i l i t y t h a t t h e s p e a k e r h a s a p a r t i c u l a r a n s w e r i n m i n d — y e s o r n o — b u t i s h e s i t a n t t o s t a t e i t b o l d l y . W h e n a t a g f o r m i s p r e s e n t i t d o e s n o t n e c e s s a r i l y m e a n t h a t t h e i n f o r m a t i o n t h a t p r o c e e d s i t i s a q u e s t i o n . I t m a y . i n f a c t . b e a t a g g e d p r o p o s i t i o n : t h a t i s . a p r o p o s i t i o n f o l l o w e d b y a t a g . I f t h e r e i s n o t a r a i s e d i n t o n a t i o n w i t h t h e t a g . t h e h e a r e r m a y r e s p o n d w i t h s o m e t h i n g l i k e “ M m m . ” m a r k i n g t h a t t h e y a r e m e r e l y t a k i n g t h e i r t u r n a n d n o t r e a l l y e n g a g i n g i n a n s w e r i n g a q u e s t i o n . J u d g i n g w h e t h e r a t a g i s a q u e s t i o n o r n o t i s i n t e r p r e t a t i v e a n d p a r t i a l l y d e p e n d s o n t h e p r e s e n c e ( o r i n t h e c a s e o f a p r o p o s i t i o n . a b s e n c e ) o f a r a i s e d i n t o n a t i o n . I n t e r p r e t a t i o n o f t a g f o r m s a l s o r e l i e s o n t h e l a r g e r c o n t e x t o f t h e s i t u a t i o n . I n s c h o o l s t h e r e a r e i s s u e s o f p o w e r a n d i m p o s i t i o n t h a t m a y n o t b e a s fi r m l y p r e s e n t i n o t h e r c o n t e x t s a n d t h i s m u s t b e c o n s i d e r e d w h e n e x p l a i n i n g t a g s . L a k o f f c l a i m s t h a t t a g s a r e m u c h m o r e l i k e l y t o b e u s e d b y w o m e n t h a n m e n b e c a u s e t h e y p r o v i d e “ a m e a n s w h e r e b y a s p e a k e r c a n a v o i d c o m m i t t i n g h i m s e l f . a n d t h e r e b y a v o i d c o m i n g i n t o c o n fl i c t w i t h t h e a d d r e s s e e ” ( p p . 1 6 - 1 7 ) . T h e p r o b l e m s h e a s s o c i a t e d w i t h t h i s i s “ a s p e a k e r m a y a l s o g i v e t h e i m p r e s s i o n o t ’ n o t b e i n g r e a l l y s u r e o f h i m s e l f . o f l o o k i n g t o t h e a d d r e s s e e f o r c o n fi r m a t i o n . e v e n o f h a v i n g n o v i e w s o f h i s o w n ” ( p . 1 7 ) . T h i s l a s t c r i t i c i s m . L a k o f f a r g u e s . i s t h e o n e m o s t o f t e n l e v e l e d a t w o m e n . B r i t t o n ( I 9 6 9 ) r e l a t e s t a g q u e s t i o n s a n d s i m i l a r e x p r e s s i o n s ( e . g . ' s o r t o f ’ . ' y o u k n o w " ) t o w h a t B e r n s t e i n ( 1 9 7 1 ) c a l l e d ‘ s y m p a t h e t i c c i r c u l a r i t y " . “ T h e y c o n s t i t u t e a n a p p e a l t o t h e o p i n i o n s a n d s e n t i m e n t s h e l d i n c o m m o n b y t h e g r o u p ” ( p . 1 0 8 ) . T a g q u e s t i o n s a r e a p p e a l s f o r c o n fi r m a t i o n . O n e m a y t h i n k t h a t t h e s e e x p r e s s i o n s o f s y m p a t h e t i c c i r c u l a r i t y a p p e a r o n l y i n m u t u a l l y s u p p o r t i v e s p e e c h ( p . 1 0 8 ) . B e r n s t e i n . h o w e v e r . s u . e s t s t h a t w h e n s e a k e r s o f ‘ a r e s t r i c t e d c o d e ” a r e u t i n t h e c o n t e x t o f g g P P 1 5 7 e x p l a i n i n g d i f f e r e n c e s . t h e y w i l l t e n d t o u s e t h e q u e s t i o n t a g s t o m i n i m i z e ‘ s o c i o l o g i c a l s t r a i n ’ — t h e s t r e s s . p e r h a p s , t h e y f e e l w h e n g r o u p s o l i d a r i t y w a s r e d u c e d . B r i t t o n p o i n t s o u t t h a t “ a s t h e a r g u m e n t w a r m s u p . ‘ l i k e ’ , ‘ s o r t o f . ‘ I m e a n ’ . ‘ y o u k n o w ’ . ' d o n ’ t y o u ’ . a n d s o o n t e n d t o b e r e p l a c e d b y t h e m o r e e m p h a t i c f o r m o f a p p e a l . ' r i g h t [ ? ] ” ’ ( p . 1 0 9 ) . T h i s ‘ s o c i o l o g i c a l s t r a i n ’ c o u l d b e i n t e r p r e t e d b y p o l i t e n e s s p h e n o m e n a a s f a c e - t h r e a t e n i n g a c t s . S t r a t e g i e s f o r p o s i t i v e p o l i t e n e s s a r e t h o s e w h i c h e x p r e s s a p p r o v a l o f t h e b e a r e r o r a p p r o v a l o f o r c o n c e r n f o r t h e h e a r e r ’ s w a n t s . o r c o n v e y i n - g r o u p m e m b e r s h i p ( w h i c h a r e s i m i l a r t o s y m p a t h e t i c c i r c u l a r i t y ) . B i l l s ( 2 0 0 0 ) i n d i c a t e s t h a t i n c l u s i o n i s a p r e v a l e n t s t r a t e g y t h a t t e a c h e r s e m p l o y t o h e l p s t u d e n t s s a v e p o s i t i v e f a c e . T h i s m a y b e d o n e b y u s i n g ‘ w e ’ o r ‘ u s ’ ( w h a t E d w a r d s a n d M e r c e r c a l l “ r o y a l p l u r a l s ” ) t o i n c l u d e t h e s p e a k e r a n d h e a r e r o r b y u s i n g t a g q u e s t i o n s t o s e e k t h e h e a r e r ’ s a g r e e m e n t o r a p p r o v a l . F u n c t i o n s o f Q u e s t i o n s A i n l e y ( 1 9 8 8 ) f o c u s e s o n t h e p u r p o s e s o f t e a c h e r q u e s t i o n s . n a m i n g t a g q u e s t i o n s “ p s e u d o - q u e s t i o n s . ” S h e c l a i m s t h a t t h e s e q u e s t i o n s a r e u s e d t o “ e s t a b l i s h a c c e p t a b l e b e h a v i o r . a n d s o c i a l c o n t a c t ” ( p . 9 3 ) . T h e o t h e r p u r p o s e s s h e d e l i n e a t e s f o r t e a c h e r q u e s t i o n s i n c l u d e : t o g e t i n f o r m a t i o n ( “ ‘ g e n t r i r r e ” q u e s t i o n s ) . t o fi n d o u t i f t h e s u b j e c t k n o w s t h e a n s w e r ( “ t e s t i n g ” q u e s t i o n s ) . a n d t o p r o v o k e t h e s u b j e c t t o t h i n k f u r t h e r a b o u t a p r o b l e m ( “ d i r e c t i n g ” q u e s t i o n s ) ( p . 9 3 ) . O n e m a i n d i f f e r e n c e b e t w e e n g e n u i n e q u e s t i o n s a n d t e s t i n g q u e s t i o n s i s t h a t i n t h e fi r s t t h e t e a c h e r d o e s n o t k n o w t h e a n s w e r : i n t h e l a t t e r . t h e t e a c h e r d o e s k n o w t h e a n s w e r a n d s t u d e n t s a r e a w a r e o f t h i s f a c t . D i r e c t i n g q u e s t i o n s a r e b r o k e n i n t o t h e f o l l o w i n g t h r e e s u b - c a t e g o r i e s : a . ) s t r u c t u r i n g q u e s t i o n s . t y p i c a l l y a s e q u e n c e o f q u e s t i o n s w h i c h ‘ a c t i v a t e ’ t h e s u b j e c t ’ s e x i s t i n g k n o w l e d g e i n s u c h a w a y t h a t n e w c o n n e c t i o n s b e c o m e c l e a r , b . ) o p e n i n g - u p q u e s t i o n s w h i c h s u g g e s t n e w a r e a s o f e x p l o r a t i o n . s u c h a s ‘ W h a t w o u l d h a p p e n i f . . . ’ , ‘ W h y d o y o u t h i n k . . . ? ’ 1 5 8 c . ) c h e c k i n g q u e s t i o n s w h i c h e n c o u r a g e p u p i l s t o t h i n k a g a i n a b o u t a s t a t e m e n t . s u c h a s ‘ A r e y o u s u r e ? ’ . ‘ 1 5 t h a t r i g h t ? ’ . ‘ D o y o u a g r e e ? ’ ( p . 9 3 ) . D i f fi c u l t y m a y a r i s e w h e n i n t e r p r e t i n g a q u e s t i o n a s “ g e n u i n e ” o r “ t e s t i n g . ” O n e w a y t o h e l p d i f f e r e n t i a t e t h e s e i s b y u s i n g M i s h l e r ’ s ( 1 9 7 2 ) “ s t r u c t u r e o f a l t e r n a t i v e s ” ( i . e . t h e n u m b e r s a n d t y p e s o f a l t e r n a t i v e a n s w e r s a q u e s t i o n m i g h t a l l o w a n d t h e s t r u c t u r e t h a t t h e s e m i g h t h a v e ) . M i s h l e r d e l i n e a t e s t h r e e w a y s t h a t t e a c h e r s m a y d i s t i n g u i s h t h e o p t i o n s t h e y a l l o w : 1 . ) a s e t o f a l t e r n a t i v e s o r g a n i z e d a s a “ t r e e ” w i t h e a r l i e r a n s w e r s b r a n c h i n g i n t o l a t e r p o s s i b i l i t i e s . 2 . ) a n a r r a y o f p o i n t s s c a t t e r e d a b o u t a t o p o l o g i c a l “ r e g i o n . ” a n d 3 . ) a “ m a t r i x ” w i t h i n w h i c h t h e a n s w e r i s t o b e f o u n d ( p p . 2 8 2 - 2 8 3 ) . I n t h e fi r s t . t h e q u e s t i o n s a r e m o r e d i v e r g e n t a n d t h e c o n v e r s a t i o n i s l i k e a t r e e i n t h a t e a c h n e w q u e s t i o n d e p e n d s o n a p r e v i o u s a n s w e r . T h i s b r a n c h i n g p r o c e s s d o e s n o t a p p e a r t o h a v e a p r e d e t e r m i n e d e n d . T h e s e c o n d f o c u s e s s t u d e n t s o n a r e g i o n o f p o s s i b i l i t i e s : t h a t i s . t h e p o i n t s i n t h e r e g i o n a r e n o t c o n n e c t e d o r d i v i d e d i n t o c l u s t e r s . b u t t h e c o r r e c t a n s w e r l i e s s o m e w h e r e i n t h e r e g i o n . T h e l a s t a r r a n g e s a fi x e d s e t o f a l t e r n a t i v e s . a m o n g w h i c h l i e s t h e c o r r e c t a n s w e r . T h e fi r s t t w o c a t e g o r i e s s e e m t o b e e n v e l o p e d i n w h a t A i n l e y c a l l s “ g e n u i n e ” : t h e l a s t s e e m s t o b e s i m i l a r t o t h e “ t e s t i n g ” q u e s t i o n s b e c a u s e t h e r e i s o n e r i g h t a n s w e r . B i l l s ( 2 0 0 0 ) . d r a w i n g o n A i n l e y a n d u s i n g t h e f r a m e w o r k o f p o l i t e n e s s p h e n o m e n a , i n d i c a t e s t h a t w h a t i s i n t e n d e d w h e n a s k i n g a q u e s t i o n m a y n o t b e i n t e r p r e t e d i n t h e s a m e m a n n e r . F o r e x a m p l e . a t e a c h e r m a y b e a s k i n g a q u e s t i o n t o a s s e s s w h a t a s t u d e n t k n o w s o r t o fi n d o u t w h e r e a s t u d e n t i s i n t e r m s o f t h e c o n t e n t , b u t t h e s t u d e n t m a y i n t e r p r e t t h i s s t r a t e g y a s a w a y t h a t a t e a c h e r i s b e i n g p o l i t e . S t u d e n t s 1 5 9 m a y “ s e e t h e t e a c h e r ’ s q u e s t i o n s a s a n a t t e m p t t o s a v e t h e i r f a c e . w h i l s t p o i n t i n g o u t t h e i r m i s t a k e . r a t h e r t h a n a s a n y s o r t o f p e d a g o g i c s t r a t e g y ” ( p . 4 4 ) . B i l l s c o n t e n d s t h a t t h i s m a y m e a n t h a t s t u d e n t s s e e q u e s t i o n s p r e d o m i n a n t l y a s i n t e n d e d t o c o n v e y t h a t a s t u d e n t h a s m a d e a m i s t a k e . T h e s t u d e n t . i n t u m . m a y r e s p o n d b y a s s u m i n g a m i s t a k e h a s b e e n m a d e a n d t h e n s e c o n d g u e s s i n g h i m / h e r s e l f i n s t e a d o f a t t e n d i n g t o t h e l i t e r a l c o n t e n t o f t h e q u e s t i o n . T h i s m a y b e p r o b l e m a t i c b e c a u s e “ t h e s t u d e n t w i l l ' p o l i t e l y ’ c o r r e c t i t [ t h e m i s t a k e ] w i t h o u t e n g a g i n g w i t h t h e r e a s o n w h y t h e c o r r e c t i o n w a s n e e d e d ” ( p . 4 4 ) . A i n l e y ( 1 9 8 7 ) d i s c u s s e s t h e r e l a t i o n s h i p b e t w e e n q u e s t i o n i n g a n d t e l l i n g . S h e p o i n t s o u t t h a t : a n y t y p e o f q u e s t i o n i n g c o n v e y s i n f o r m a t i o n . B y a s k i n g q u e s t i o n s y o u i n d i c a t e w h a t i s o f i n t e r e s t t o y o u . [ . . . ] t h i s i s e m p h a s i z e d b y t h e f a c t t h a t t h e s t u d e n t b e l i e v e s t h a t t h e t e a c h e r a l r e a d y k n o w s t h e a n s w e r ( s ) . O n e r e a s o n f o r a s k i n g q u e s t i o n s i s p r e c i s e l y t o d r a w a t t e n t i o n t o s o m e t h i n g ( p . 2 6 . i t a l i c s i n o r i g i n a l ) . F u r t h e r m o r e . t h e s e t y p e s o f “ f o c u s i n g ” q u e s t i o n s ( i . e . o n e s t h a t d r a w a t t e n t i o n t o s o m e t h i n g ) ( L o v e & M a s o n . 1 9 9 5 ) a r e c o m m o n t o t e a c h i n g s i t u a t i o n s . I n f a c t . i n s o m e w a y s . b y p o i n t i n g o u t c e r t a i n a s p e c t s a n d n o t o t h e r s . t h e t e a c h e r m a y b e c o n t r o l l i n g t h e d i r e c t i o n o f a l e s s o n a l o n g a p r e - d e t e r m i n e d r o u t e . T h i s “ p r e d e t e r m i n e d r o u t e ” m a y b e s i m i l a r t o w h a t E d w a r d s a n d M e r c e r r e f e r t o w h e n t h e y c l a i m t h a t m o s t q u e s t i o n s d o n o t s e r v e t h e p u r p o s e o f g e t t i n g i n f o r m a t i o n . I n s t e a d . t h e y s e e t e a c h e r q u e s t i o n s a s “ p a r t o f t h e d i s c u r s i v e w e a p o n r y a v a i l a b l e t o t e a c h e r s f o r c o n t r o l l i n g t o p i c s o f d i s c u s s i o n . d i r e c t i n g p u p i l s ’ t h o u g h t a n d a c t i o n . a n d e s t a b l i s h i n g t h e e x t e n t o f s h a r e d a t t e n t i o n . j o i n t a c t i v i t y a n d c o m m o n k n o w l e d g e ” ( p . 4 6 ) . B y a s k i n g q u e s t i o n s . t e a c h e r s a r e l e t t i n g s t u d e n t s k n o w w h a t i s i m p o r t a n t i n t h e a c t i v i t y i n w h i c h t h e y a r e e n g a g i n g . c o n t r o l l i n g w h a t s t u d e n t s a t t e n d t o a n d e s t a b l i s h i n g w a y s o f 1 6 0 t a l k i n g a n d n o t i c i n g . T h e y h e l p t o d e fi n e a n d c o n t r o l t h e c o m m o n k n o w l e d g e i n t h e c l a s s r o o m b e c a u s e t h e y s h o w s t u d e n t s w h a t i s i m p o r t a n t ( f r o m t h e t e a c h e r ’ s v i e w p o i n t ) . T e a c h e r - S t r a t e g i e s f o r H e l p i n g S t u d e n t s A n s w e r Q u e s t i o n s A s w e h a v e s e e n , t e a c h e r s a s k m a n y t y p e s o f q u e s t i o n s f o r m a n y p u r p o s e s . I n m o s t c a s e s . t h e t e a c h e r a l r e a d y h a s a n a n s w e r t o h i s / h e r q u e s t i o n i n m i n d . e v e n i f t h e q u e s t i o n i s o f t h e “ o p e n ” f o r m ( i . e . a q u e s t i o n f o r w h i c h t h e r e a r e m a n y p o s s i b l e a n s w e r s ) . H o w e v e r . t h e s u c c e s s t h a t s t u d e n t s h a v e i n a n s w e r i n g t h e s e q u e s t i o n s v a r i e s . I n m a n y c a s e s . t h e s t u d e n t s d o n o t p r o d u c e a n “ a c c e p t a b l e ” a n s w e r a n d i n o t h e r s t h e y p r o d u c e n o a n s w e r a t a l l . A n a l y z i n g d i s c u s s i o n i n p r e s c h o o l c l a s s r o o m s . F r e n c h a n d M a c L u r e ( 1 9 8 3 ) h a v e o u t l i n e d t w o i n t e r a c t i v e s t r a t e g i e s t h a t t e a c h e r s m a y u s e t o h e l p s t u d e n t s p r o d u c e t h e a n s w e r s t h e y a r e s e e k i n g : p r e f o r r n u l a t i n g ( P F ) a n d r e f o r m u l a t i n g ( R F ) . P r e f o r m u l a t i n g “ i s a s t r a t e g y w h i c h t e a c h e r s u s e . i n a d v a n c e o f a s k i n g s o m e q u e s t i o n . w h i c h o r i e n t s c h i l d r e n t o . o r p r o v i d e s t h e m w i t h . m a t e r i a l p r e r e q u i s i t e t o t h e p r o v i s i o n o f a n a p p r o p r i a t e a n s w e r ” ( p . 2 0 1 ) . T h e r e a r e m u l t i p l e t y p e s o f P F q u e s t i o n s t h a t r e l a t e t o t h e f o c u s q u e s t i o n s ( c a l l e d n u c l e a r u t t e r a n c e s o r N U ) . I n s o m e . t h e m a t e r i a l t h a t t h e t e a c h e r e s t a b l i s h e s a s s h a r e d k n o w l e d g e i s p h y s i c a l l y p r e s e n t a n d a n a n s w e r i s n o t e x p e c t e d b e c a u s e t h e P F i s d i r e c t i n g s t u d e n t a t t e n t i o n . I n o t h e r s . t h e t e a c h e r d o e s r e q u i r e t h e c h i l d r e n t o g i v e a n a n s w e r t o t h e P F . t h u s e n a b l i n g h e r t o c h e c k t h a t t h e y h a v e o r i e n t e d t o t h e s h a r e d m a t e r i a l ( w h i c h i s a p a s t e v e n t o r s o m e t h i n g t h e t e a c h e r s u p p o s e d t o b e “ c o m m o n k n o w l e d g e ” a n d n o t p e r c e p t u a l l y p r e s e n t ) . b e f o r e s h e a s k s t h e q u e s t i o n . W h e n t e a c h e r s i n t r o d u c e n e w i n t e r p r e t a t i v e r e c i p e s a n d b o d i e s o f k n o w l e d g e . a P F t h e n r e f e r s t o i n f o r m a t i o n t o b e k n o w n o n l y t o t h e t e a c h e r . a s t h e b a s i s f o r a n s w e r i n g h e r n u c l e a r q u e s t i o n ( p p . 1 9 8 - 2 0 1 ) . 1 6 1 W h a t d o t e a c h e r s d o w h e n t h e i r i n i t i a l a t t e m p t t o h e l p s t u d e n t s “ a p p r o p r i a t e l y ” a n s w e r t h e i r q u e s t i o n s h a s f a i l e d ? O n e s t r a t e g y t h e y e m p l o y i s t h a t o f r e f o r m u l a t i n g ( R F ) t h e q u e s t i o n . m a k i n g t h e r a n g e o f p o s s i b l e a n s w e r s s m a l l e r . T h e t h r e e - p a r t o r g a n i z a t i o n o f a r e f o r m u l a t i n g s e q u e n c e i s : 1 . ) N u c l e a r U t t e r a n c e ( N U ) f r o m t h e t e a c h e r ( e r - ( o r s o m e t i m e s h o w - ) q u e s t i o n ) . 2 . ) N o / I n a p p r o p r i a t e a n s w e r f r o m t h e s t u d e n t s . 3 . ) R e f o r r n u l a t o r ( w h i c h m a k e s t h e t e a c h e r ’ s q u e s t i o n m o r e s p e c i fi c ) . T h e r e a r e fi v e t y p e s o f r e f o r r n u l a t o r s ( p p . 2 0 4 - 2 0 7 ) g i v e n i n T a b l e 6 . T h e s e a r e g i v e n i n t e r m s o f h o w m u c h t h e y T a b l e 6 F i v e T y p e s o f R e f o r r n u l a t o r s T y p e o f R F D e fi n i t i o n E x a m p l e T y p e 1 T e a c h e r i n d i c a t e s t h a t t h e a p p r o p r i a t e ( N U ) W h a t p o l y g o n i s v a l u e f o r t h e v a r i a b l e l i e s w i t h i n a r a n g e t h a t ? o f a s u b s e t o f v a l u e s : e . g . " q u a d r i l a t e r a l ” ( n o r e s p o n s e ) i s a s u b s e t o f “ p o l y g o n ” ( R F ) W h a t q u a d r i l a t e r a l i s t h a t ? T y p e 2 A y e s / n o q u e s t i o n i s u s e d t o m a k e t h e ( N U ) W h a t t y p e o f o r i g i n a l q u e s t i o n m o r e s p e c i fi c . T h e r e l a t i o n s h i p i s t h a t ? t e a c h e r s e l e c t s o n e p a r t i c u l a r v a l u e f o r ( R F ) W a s i t a L I N E A R t h e v a r i a b l e t h a t i s i n a p p r o p r i a t e a n d r e l a t i o n s h i p ? e x p r e s s e s i t a s a y e s / n o q u e s t i o n . T h e p r e f e r r e d a n s w e r i s a n e g a t i v e o n e a n d i s t y p i c a l l y a m e m b e r o f t h e s a m e s e m a n t i c s e t a s t h e d e s i r e d ' r i g h t ’ a n s w e r , a n d o f t e n i s i t s p o l a r o p p o s i t e o r a n t o n y m . T y p e 3 S u p e r fi c i a l l y l i k e T y p e 2 i n t h a t t h e y ( N U ) W h a t e l s e d i d y o u h a v e y e s / n o f o r m . a l s o . H o w e v e r . h e r e s e e ? ( n o r e s p o n s e ) t h e p r e f e r r e d a n s w e r i s t h e p o s i t i v e ( R F ) D i d y o u s e e a l i n e a r c h o i c e — t h e t e a c h e r p r e s e n t s a n p a t t e r n ? a p p r o p r i a t e v a l u e . T y p e 4 T h e t e a c h e r p r e s e n t s a p a i r o f v a l u e s f o r ( N U ) H o w d i d t h e y t h e v a r i a b l e . H o w e v e r . o n e o f t h e m i s p r e f e r r e d a n d a p p r o p r i a t e a n d o n e i s d e c i d e ? ( n o r e s p o n s e ) 1 6 2 i n a p p r o p r i a t e . I ( R F ) D i d t h e y l o o k a t t h e g r a p h o r t h e t a b l e ? T y p e 5 T h e t e a c h e r a c t u a l l y s t a t e s t h e c o r r e c t ( N U ) W h a t ’ s t h e r e a s o n a n s w e r a n d m e r e l y r e q u i r e s t h e c h i l d t o f o r d o i n g g r a p h m o d e l s ? c o n fi r m i t . T h e t e a c h e r h a s d o n e s o m u c h ( n o r e s p o n s e ) i n s p e c i f y i n g h e r o r i g i n a l q u e s t i o n t h a t ( R F ) I s i t j u s t t o s e e t h e t h e r e i s l i t t l e l e f t f o r c h i l d t o d o — s / h e p a t t e r n ? ( n o r e s p o n s e ) o n l y h a s t o c o n fi r m w h a t t h e t e a c h e r s a i d . ( R F ) I t ’ s t o h e l p m a k e p r e d i c t i o n s . i s n ’ t i t ? n a r r o w t h e r a n g e o f a p p r o p r i a t e a n s w e r s ( t y p e 1 n a r r o w i t t h e l e a s t . . . t y p e 5 t h e m o s t ) s t u d e n t s h a v e t o c h o o s e f r o m w h e n a n s w e r i n g t h e t e a c h e r . W h e t h e r s u c h s i m p l i fi c a t i o n s d o m o r e i n t h e e n d t o h e l p a c h i l d a n s w e r a p a r t i c u l a r q u e s t i o n i s a n i m p o r t a n t e m p i r i c a l q u e s t i o n . H o w e v e r . o n e p a r a d o x o f t h e t e a c h e r - q u e s t i o n - s t u d e n t - a n s w e r s t r u c t u r e i s t h a t p u p i l ’ s a n s w e r s a r e i m p o r t a n t t o t h e l e s s o n a d v a n c i n g . a n d y e t t h e a n s w e r a n t i c i p a t e d b y t h e t e a c h e r i s o f t e n n o t a p p a r e n t ( C a z d e n . 1 9 8 8 ) . T h u s . e v e n t h o u g h a t e a c h e r m a y a s k q u e s t i o n s t o m o v e a l e s s o n a l o n g i t m a y a c t u a l l y p r o l o n g t h e l e s s o n b e c a u s e s t u d e n t s m a y n o t b e g i v i n g t h e a n s w e r t h a t t h e t e a c h e r i s e x p e c t i n g . T h e s e “ g u e s s i n g g a m e s ” t h a t t e a c h e r s p l a y w i t h s t u d e n t s . E d w a r d s a n d F u r l o n g ( 1 9 7 8 ) c o n t e n d . a r e j u s t o n e w a y o f c o n t r o l l i n g k n o w l e d g e a n d c h i l d r e n — “ o n e c a n a s k m o r e d i r e c t q u e s t i o n s . f o r e x a m p l e . o r i n s i s t o n s i l e n t a t t e n t i v e n e s s a n d r e c i t a t i o n o f r i t u a l s ” ( E d w a r d s a n d M e r c e r . 1 9 8 7 . p . 3 0 ) . T h e A s k e r o f Q u e s t i o n s T h e p r e d o m i n a n t d i s c o u r s e p a t t e r n i n J o s h ’ s c l a s s r o o m w a s t h a t h e a s k e d m a n y q u e s t i o n s . I n f a c t . s o m e o f h i s t u r n s h a d a s m a n y a s fi v e q u e s t i o n s i n a r o w . T h e s e q u e s t i o n s h a d m a n y o f t h e f o r m s d e s c r i b e d a n d s e r v e d m a n y d i f f e r e n t f u n c t i o n s . A b o u t 1 6 3 t w o o r t h r e e t i m e s p e r c l a s s p e r i o d . h e e v e n e x p l i c i t l y s a i d t h a t h e w a s g o i n g t o a s k a q u e s t i o n , d r a w i n g s t u d e n t a t t e n t i o n t o t h e q u e s t i o n t h r o u g h a m e t a c o m m e n t 8 E x a m p l e J - l O k a y — l e t m e a s k t h i s q u e s t i o n a g a i n . H o w m a n y o f y o u g u y s t h i n k t h i s i s a l i n e a r r e l a t i o n s h i p b e t w e e n b r i d g e t h i c k n e s s a n d t h e b r e a k i n g w e i g h t ? H o w m a n y t h i n k i t ’ s n o t ? H o w m a n y a r e n ’ t s u r e ? O f t e n t h e s e q u e s t i o n s w e r e “ a s s e s s i n g ” i n n a t u r e ; t h e y c h e c k e d t o s e e h o w m a n y s t u d e n t s d i d / t h o u g h t p a r t i c u l a r t h i n g s . p o s s i b l y a l l o w i n g J o s h t o s t a y i n t o u c h w i t h a w i d e r r a n g e o f s t u d e n t s t h a n j u s t t h o s e w h o o f t e n c o n t r i b u t e d t o c l a s s d i s c u s s i o n . T a b l e 7 s u m m a r i z e s t h e f o r m s a n d f u n c t i o n s o f m a n y o f J o s h ’ s q u e s t i o n s i n c l a s s . I n t h i s s e c t i o n . I s h a l l d e s c r i b e m o r e f u l l y t h e f u n c t i o n s o f t h e s e r e c u r r i n g f o r m s i n J o s h ’ s c l a s s r o o m . T a b l e 7 J o s h ’ s Q u e s t i o n s : F o r m s a n d F u n c t i o n s [ F o r m F u n c t i o n E x a m p l e [ O t h e r A t t r i b u t e s z F T a g q u e s t i o n s T o e s t a b l i s h W h e n i t g o e s u p b y ' M a y h a v e u s e d t h i s I 1 c o m m o n k n o w l e d g e a n d t o c h e c k t o s e e i f s t u d e n t s w e r e a c o n s t a n t r a t e i t ’ s l i n e a r , i s n ’ t i t ? f o r m t o b e p o l i t e w h e n s t u d e n t s a n s w e r s w e r e n o t l i s t e n i n g p r e c i s e e n o u g h ( P r o p o s i t i o n ) + B a r e T o d r a w a t t e n t i o n t o W h e n w e s e e a l i n e M a n y q u e s t i o n s “ W h y ” q u e s t i o n s t h e c o m m o n t h a t s l a n t s d o w n . t h e b e g a n “ o p e n ” a n d k n o w l e d g e a n d s l o p e i s n e g a t i v e . b e c a m e “ c l o s e d ” r e a s o n s f o r i t W h y ? t h r o u g h f o l l o w - u p q u e s t i o n s l l l l F o c u s i n g q u e s t i o n s I m p o r t a n t s u b - q u e s t i o n s t h a t g e t t o t h e c o m m o n W h a t ’ s t h e r i s e ? . . . W h a t ’ s t h e r u n ? . . . W h a t ’ s t h e A p p e a r e d m a i n l y w h e n a s s e s s m e n t s w e r e r e t u r n e d t o k n o w l e d g e s l o p e ? . . . W h a t ’ 5 t h e s t u d e n t s — y - i n t e r c e p t ? S c a f f o l d i n g d i d n o t 1 . . . W h a t ’ s t h e a p p e a r t o t a k e p l a c e e q u a t i o n f o r t h e l i n e ? D i c h o t o m o u s T o m a k e a I s i t l i n e a r o r n o t ? P a r t o f f i r m l y q u e s t i o n s m a t h e m a t i c a l e s t a b l i s h e d c o m m o n 1 6 4 [ d e c i s i o n T k n o w l e d g e 1 Q u e s t i o n s t h a t A l i m i t e d i n v i t a t i o n D o e s a n y o n e h a v e “ L i m i t e d ” b e c a u s e a l l o w e d v a r i o u s t o d i v e r s i t y s o m e t h i n g e l s e ? J o s h w a s j u d g e a n d s o l u t i o n m e t h o d s j u r y o f i d e a s “ ( p r o p o s i t i o n ) . i s n ’ t i t ? . ” “ ( p r o p o s i t i o n L r i g h t ? " : P a y a t t e n t i o n t o a n d a g r e e w i t h t h e c o m n r o n k n o w l e d g e . M a n y o f t h e t u r n s J o s h t o o k b e g a n w i t h t a g q u e s t i o n s ( L a k o f f . 1 9 7 5 ) t h a t o f t e n f u n c t i o n e d a s p s e u d o - q u e s t i o n s ( A i n l e y . 1 9 8 8 ) . I n f a c t . t h e s e q u e s t i o n s s e e m e d . m o r e p a r t i c u l a r l y . t o s e r v e t w o i m p o r t a n t f u n c t i o n s i n J o s h ’ s c l a s s r o o m : 1 . ) a s a w a y t h a t J o s h p o l i t e l y a d d e d t o s t u d e n t c o n t r i b u t i o n s . a n d 2 . ) a s a w a y f o r J o s h t o h i g h l i g h t a n d d e m a r c a t e t h e f o r m a t i o n o f c o m m o n k n o w l e d g e i n h i s c l a s s r o o m . M o s t o f J o s h ’ s t a g s b e g a n i n a s i m i l a r w a y t o a r e f o r m u l a t o r ( R F ) : t h a t i s . t h e y w e r e p r e f a c e d b y a w h - o r h o w q u e s t i o n . H o w e v e r , t h e f o r m d e v i a t e d f r o m t h e s t r u c t u r e o f a r e f o r m u l a t o r i n t h a t s t u d e n t s a c t u a l l y a n s w e r e d t h e q u e s t i o n . I n r e s p o n s e . J o s h t h e n r e v o i c e d t h e a n s w e r . e n d i n g w i t h a t a g . F o r e x a m p l e : E x a m p l e J - 2 J : W e l l , h o w m a n y t h i n k t h e c l a s s r o o m a v e r a g e i s g o n n a b e m o r e a c c u r a t e t h a n j u s t l o o k i n g a t o n e o f t h e g r o u p s ? W h y ? L a u r i e . w h y d o y o u t h i n k t h i s i s g o n n a b e p r o b a b l y a m o r e a c c u r a t e p i c t u r e t h a n l o o k i n g a t a n y o n e o f t h e s e ? L a u r i e : ‘ C u z y o u g o t i t o v e r a s e r i e s o f d a t a J : I t ’ s a l o t m o r e d a t a t o l o o k a t . i s n ’ t i t ? S s : M m - h m m E x a m p l e J - 3 J : W h y d o e s t h a t g i v e y o u t h e r u n ? ( 4 s e c o n d p a u s e ) W h y ? T h a t ’ s w h e r e o n e o f y o u g u y s - C o r y : T h a t ’ s w h a t ’ s o n t h e x - a x i s J : T h a t ’ s w h a t ’ s o n t h e x - a x i s , i s n ’ t i t ? Y o u ’ r e g o i n g f r o m z e r o o n t h e x - a x i s / t o f o u r o n t h e x - a x i s . T h a t ’ s t h e r u n . T h a t ’ s t h e h o r i z o n t a l c h a n g e . S o i f t h e r u n i s f o u r , w h a t ’ s t h e r i s e ? / Y o u ’ r e g o i n g f r o m n e g a t i v e t h r e e o n t h e y u p t o / o n e / w h i c h i s ? 1 6 5 I n E x a m p l e J - 2 . J o s h b e g a n b y a s k i n g “ h o w m a n y t h i n k ” t h e c l a s s r o o m a v e r a g e w i l l b e m o r e a c c u r a t e t h a n j u s t l o o k i n g a t a n i n d i v i d u a l g r o u p ’ s d a t a . I n f r a m i n g t h e q u e s t i o n i n t h i s m a n n e r . h e a s s e s s e d h o w m a n y p e o p l e a g r e e d w i t h s o m e t h i n g t h a t h a d b e e n d i s c u s s e d t h e p r e v i o u s d a y . H o w e v e r . h e m o v e d b e y o n d t h e a s s e s s m e n t t o p u s h i n g s t u d e n t s t o j u s t i f y b y a s k i n g “ W h y ? ” ( t h e w h - q u e s t i o n ) . A f t e r n o r e s p o n s e . J o s h r e f o r m u l a t e d ( T y p e 1 ) t h e q u e s t i o n , d i r e c t i n g i t t o o n e s t u d e n t a n d m a k i n g i t m o r e p r e c i s e ( i . e . h e i n c l u d e d t h e p r o p o s i t i o n t h e “ w h y ” q u e s t i o n w a s a c t u a l l y a b o u t — W h y i s i t m o r e a c c u r a t e ? ) L a u r i e r e s p o n d e d w i t h a s o m e w h a t v a g u e a n s w e r a n d J o s h r e v o i c e d . m a k i n g t h e c o n t r i b u t i o n m o r e e x a c t . W h e n h e r e v o i c e d . h e t a g g e d t h e p r o p o s i t i o n . I n d o i n g s o . h e a p p e a r e d t o b e d o i n g a t l e a s t t w o t h i n g s . F i r s t . h e m a y h a v e b e e n c h e c k i n g t o s e e i f s t u d e n t s w e r e l i s t e n i n g t o w h a t L a u r i e s a i d . T h e y s h o w e d t h a t t h e y w e r e . i n d e e d . l i s t e n i n g w h e n t h e y r e s p o n d e d w i t h “ m m - h m m . ” A n o t h e r p o s s i b i l i t y w a s t h a t t h e y h a v e l e a r n e d w h a t w a s e x p e c t e d o f t h e m f o l l o w i n g t h i s t y p e o f q u e s t i o n a n d t h e y “ c u e d ” t h e e x p e c t e d r e s p o n s e . I n o t h e r w o r d s . t h e y m a y h a v e t u n e d i n t o t h e i r s l o t i n t h e I - R - E s e q u e n c e s o o f t e n e s t a b l i s h e d i n c l a s s r o o m s . T h i s f o r m a t i s v e r y e v i d e n t i n t h i s e x c h a n g e ( a n d m a n y o t h e r s ) i n J o s h ’ s c l a s s r o o m — h e a s k s a q u e s t i o n . a s t u d e n t a n s w e r s i t . a n d ( i n t h i s e x c h a n g e ) J o s h o f f ’ e r s a p o s i t i v e e v a l u a t i o n b y r e v o i c i n g w h a t t h e s t u d e n t s a i d . B y c h o o s i n g a T y p e 5 r e f o r m u l a t o r . J o s h m e r e l y r e q u i r e d s t u d e n t s t o c o n fi r m t h e i d e a s t h a t w e r e p u t f o r t h . A n o t h e r f u n c t i o n t h i s t a g g e d p r o p o s i t i o n m a y h a v e h a d w a s t o i n d i c a t e a n d f o c u s s t u d e n t a t t e n t i o n o n p a r t o f t h e c o m m o n k n o w l e d g e t h a t h a d b e e n e s t a b l i s h e d i n t h i s c l a s s r o o m . T h i s i s s i m i l a r t o A i n l e y ’ s i n t e r p r e t a t i o n o f p s e u d o - q u e s t i o n s i n t h a t s o m e t h i n g “ a c c e p t a b l e ” i s t h e f o c u s . H o w e v e r . i n s t e a d o f f o c u s i n g o n “ a c c e p t a b l e 1 6 6 b e h a v i o r . ” J o s h f o c u s e d o n a n “ a c c e p t a b l e a n s w e r . ” I n u s i n g a t a g . h e s o f t e n e d t h e p r o p o s i t i o n r a t h e r t h a n s t a t i n g i t b a l d l y . I n E x a m p l e J - 3 . J o s h a s k e d w h y t h e h o r i z o n t a l c h a n g e ( r e f e r r e d t o a s “ ‘ t h a t ” ) g a v e t h e r u n . A f t e r a f o u r s e c o n d p a u s e a n d n o r e s p o n s e . h e s h o r t e n e d h i s q u e s t i o n t o j u s t . “ W h y ? ” H e a p p e a r e d t o b e g i n t o t a l k a b o u t t h e r u n s p e c i fi c a l l y i n t e r m s o f a n a n s w e r g i v e n o n t h e q u i z w h e n C o r y a n s w e r e d h i s q u e s t i o n . J o s h r e v o i c e d w h a t C o r y s a i d a n d t a g g e d t h i s w i t h . “ i s n ’ t i t ? ” A g a i n . t h i s e x c h a n g e f o l l o w e d a n I - R - E f o r m a t . B y t a g g i n g C o r y ’ s r e s p o n s e . J o s h a p p e a r e d t o b e c h e c k i n g t o s e e i f s t u d e n t s a g r e e d w i t h s o m e t h i n g t h a t h e a s s u m e d t o b e p a r t o f t h e c o m m o n k n o w l e d g e o f t h e c l a s s r o o m a t t h i s p o i n t i n t i m e a s w e l l a s a f fi r m i n g C o r y ’ s c o r r e c t r e s p o n s e . T h e “ r u n ” o f a l i n e w a s i n t r o d u c e d i n t h e p r e v i o u s u n i t ( i l l o v i n g S t r a i g h t A h e a d ) a n d h a d b e e n t h e t o p i c o f d i s c u s s i o n n u m e r o u s t i m e s i n t h e p a s t m o n t h . A f t e r J o s h r e p e a t e d C o r y ’ s c o n t r i b u t i o n . h e c o n t i n u e d b y d e t a i l i n g t h e p r o c e s s f o r t h i n k i n g a b o u t t h e “ r u n ” — — y o u “ g o f r o m ” z e r o o n t h e x - a x i s t o f o u r . H e t h e n a s k e d w h a t t h e r i s e w a s a n d a l m o s t i m m e d i a t e l y b r o k e t h i s i d e a d o w n i n t e r m s o f m o v i n g f r o m t h e n e g a t i v e t h r e e t o o n e o n t h e y - a x i s . R e l a t e d t o t h i s u s e . J o s h a l s o r e f o r m u l a t e d a s t u d e n t c o n t r i b u t i o n . a n d t h e n a d d e d i n f o r m a t i o n a n d t a g g e d t h i s a d d i t i o n . I n d o i n g s o . h e m a y h a v e b e e n a t t e m p t i n g t o l e s s e n t h e i m p a c t o f c h a n g i n g t h e s t u d e n t ’ s r e s p o n s e . I n t a g g i n g t h e a d d i t i o n a l i n f o r m a t i o n . J o s h m a y b e t r y i n g t o b e p o l i t e t o t h e s t u d e n t — a l l o w i n g t h e i r i d e a s t o c o m e f ’ o r t h w i t h o u t h i s c o n t r i b u t i o n a p p e a r i n g t o “ c o r r e c t ” w h a t t h e s t u d e n t h a s s a i d . E x a m p l e J - 4 J : [ . . . ] H a l f o f t h i s c l a s s / I b e t a t l e a s t h a l f o f t h i s c l a s s c i r c l e d / t h e t h i r d t a b l e [ 6 s e c o n d p a u s e - w r i t i n g o n t h e b o a r d ] I s t h a t l i n e a r ? [ h i g h e r t o n e ] S s : N o [ o v e r l a p p i n g o n e a n o t h e r ] J : T h e r e ’ s a p a t t e r n / W h a t ’ s h a p p e n i n g ? / 1 6 7 A b r a m : I t ’ s d o u b l i n g J : I t ’ s d o u b l i n g e a c h t i m e / I t g o e s u p b y t w o . t h e n i t g o e s u p b y f o u r . t h e n i t g o e s u p b y e i g h t , s u r e t h e r e ’ s a p a t t e r n i t ’ s d o u b l i n g . b u t t h a t ’ s n o t l i n e a r [ 3 s e e ] I f y o u g r a p h t h a t . y o u ’ r e n o t g o i n g t o g e t a l i n e , y o u ’ r e g o n n a g e t s o m e k i n d o f a c u r v e t h a t ’ s g e t t i n g s t e e p e r a s t h e x i n c r e a s e s [ 3 s e c ] a r e n ’ t y o u ? S s : M m - h m m E x a m p l e J - 5 J : N o t b a d ? 1 7 . 4 . 1 7 ? [ 8 5 c o m m e n t . o v e r l a p p i n g s o t a l k i s i n a u d i b l e ] J : 2 3 . 2 . 2 3 . S s : N o t b a d J : N o t b a d a t a l l ? L a s t p o i n t g e t s a l i t t l e w a y s a w a y f r o m o u r d a t a . b u t w h e n w e g r a p h e d i t o n o u r l i n e , t h a t p o i n t w a s a w a y f r o m o u r d a t a . t o o . r i g h t ? A b r a m : Y e p E x a m p l e J - 6 J : W h a t ’ s t h e s l o p e o f t h a t l i n e ? F i r s t o f a l l . p o s i t i v e o r n e g a t i v e s l o p e ? 8 5 . N e g a t i v e J : I t ’ s g o i n g d o w n . r i g h t ? M s : Y e p J : S o . t a k e a l o o k a t t h i s . w h a t i s t h e r i s e ? Y o u ’ r e a t fi v e / o n t h e y / a n d y o u e n d u p a t / o n e a t t h e y ? W h a t ’ s t h e r i s e ? S s : F o u r ; N e g a t i v e f o u r [ o v e r l a p p i n g e a c h o t h e r ] J : I t ’ s n e g a t i v e f o u r . Y o u ’ r e g o i n g d o w n . a r e n ’ t y o u ? S s : Y e a h E x a m p l e J - 4 b e g a n w i t h J o s h s t a t i n g t h a t h a l f o f t h e c l a s s m a d e t h e m i s t a k e t h a t h e w a s g o i n g t o a d d r e s s . T h e t a b l e t h a t s t u d e n t s w e r e g i v e n h a d a p a t t e r n . b u t i t w a s n o t a l i n e a r p a t t e r n ” ; i t w a s d o u b l i n g . J o s h s e e m e d t o b e t r y i n g t o m a k e t h e p o i n t t h a t t h e p a t t e r n h a d t o b e a p a r t i c u l a r t y p e t o b e l i n e a r . I n t h i s c a s e . h e a s k e d s t u d e n t s w h a t t h i s t a b l e w a s d o i n g — i t w a s d o u b l i n g . n o t g o i n g u p a d d i t i v e l y . J o s h e x p a n d e d A b r a m ’ s c o n t r i b u t i o n b y a d d i n g “ e a c h t i m e . ” i n d i c a t i n g p o s i t i v e f e e d b a c k t o A b r a m ’ s r e s p o n s e . H e t h e n c o n t i n u e d h i s t u r n b y d e t a i l i n g t h e p a t t e r n i n t e r m s o f a d d i t i o n . T h e a d d i t i v e p a t t e r n + 2 . + 4 . + 8 . w h i c h i s n o t c o n s t a n t ( a l t h o u g h h e d o e s n o t s t a t e t h i s l a t t e r f a c t ) . T h e p o i n t w a s m a d e a g a i n w h e n J o s h s a i d . “ s u r e t h e r e ’ s a p a t t e r n . i t ’ s d o u b l i n g . b u t t h a t ’ s n o t 1 6 8 l i n e a r . ” A n a d d i t i o n a l r e p r e s e n t a t i o n ( i . e . t h e g r a p h ) w a s t h e n b r o u g h t i n t o t h e d i s c u s s i o n t o f u r t h e r s u b s t a n t i a t e h i s p o i n t : “ i f y o u g r a p h t h a t . y o u ’ r e n o t g o i n g t o g e t a l i n e . y o u ’ r e g o n n a g e t s o m e k i n d o f a c u r v e . ” W h e n s t u d e n t s f a i l e d t o r e s p o n d ( d e n o t e d b y t h e t h r e e s e c o n d p a u s e ) . J o s h c h e c k e d t o s e e i f t h e y a g r e e d b y t a g g i n g h i s p r o p o s i t i o n . H e a p p e a r e d t o b e c h e c k i n g t o s e e i f s t u d e n t s a g r e e d w i t h w h a t h e w a s p u t t i n g f o r t h a s p a r t o f t h e “ c o m m o n k n o w l e d g e ” — t h a t a d o u b l i n g p a t t e r n w a s a p a t t e r n . b u t n o t a l i n e a r o n e . H e a l s o s e e m e d t o b e f o c u s i n g s t u d e n t a t t e n t i o n o n t h e c o m m o n k n o w l e d g e . H o w e v e r . b y c h o o s i n g a t a g f o r m . J o s h c u e d a p o s i t i v e r e s p o n s e . w h i c h m a y n o t h a v e a l l o w e d h i m t h e i n s i g h t t h a t h e s o u g h t : D o s t u d e n t s t h i n k _ ? T h e c o n n e c t i o n b e t w e e n t h e t a b l e a n d g r a p h a g a i n s u r f a c e d i n E x a m p l e J - 5 . I n t h i s e x a m p l e . J o s h c o m p a r e d d a t a f ’ r o m t h e t a b l e o f v a l u e s t h a t t h e s t u d e n t s c o l l e c t e d a n d t h e t a b l e a s s o c i a t e d w i t h t h e e q u a t i o n m o d e l s t u d e n t s a p p r o x i m a t e d ; t h a t i s . i n c l a s s t h e y g o t 1 7 . 4 f o r o n e y v a l u e a n d t h e i r e q u a t i o n m o d e l t h e y w r o t e g e n e r a t e d a v a l u e o f 1 7 ( s i m i l a r l y , t h e c l a s s g o t 2 3 . 2 a n d t h e e q u a t i o n m o d e l g e n e r a t e d a v a l u e o f 2 3 ) . H e a s k e d s t u d e n t s i f t h e y t h o u g h t t h e a p p r o x i m a t i o n w a s a g o o d o n e o r n o t . i n d i c a t e d b y “ N o t b a d ? . ” W h e n J o s h r e a d o f f t h e v a l u e s 2 ’ 2 a n d 2 3 . s t u d e n t s v e r i fi e d t h a t t h i s w a s a g o o d e s t i m a t e ( " N o t b a d ” ) . J o s h e x p a n d e d t h i s b y a d d i n g “ a t a l l ” a n d t h e n c o n n e c t e d t h e t a b l e t h e y o b s e r v e d t o t h e g r a p h t h e y h a d e x p l o r e d p r e v i o u s l y . W h e n t h e y d r e w i n t h e g r a p h m o d e l . t h e l a s t p o i n t o n t h e m o d e l d e v i a t e d s l i g h t l y a w a y f r o m t h e l i n e o f b e s t fi t . J o s h p o i n t e d o u t t h a t i t m a k e s s e n s e t h a t t h e l a s t p o i n t o n t h e t a b l e w o u l d b e f u r t h e r a w a y t h a n t h e o t h e r s b e c a u s e i t h a d b e e n o n t h e g r a p h . A t t h i s p o i n t i n t h e d i s c u s s i o n . t h e r e w e r e m u l t i p l e r e f e r e n c e s t o t h e f a c t t h a t t h e g r a p h . t a b l e a n d e q u a t i o n m o d e l s a r e c o n n e c t e d . I n e n d i n g h i s t u r n w i t h “ r i g h t ? ” J o s h a p p e a r e d t o c h e c k t o s e e i f t h i s i d e a w a s c o m m o n 1 6 9 k n o w l e d g e a n d t o a s s e s s w h e t h e r s t u d e n t s w e r e l i s t e n i n g . A b r a m s u g g e s t e d h e w a s l i s t e n i n g b y r e s p o n d i n g “ Y e p . ” I n E x a m p l e J - 6 . J o s h t a g g e d a d d i t i o n a l i n f o r m a t i o n t w i c e . A c t u a l l y . t h e a d d i t i o n a l i n f o r m a t i o n t h a t h e t a g g e d w a s e x a c t l y t h e s a m e ( b u t t a k e s p l a c e i n t w o d i f f e r e n t p l a c e s i n t h e d i s c u s s i o n ) . T h e p r o p o s i t i o n t h a t J o s h a s s e r t e d e a c h t i m e w a s t h a t i f t h e s l o p e o f t h e l i n e w a s n e g a t i v e . t h e n t h e l i n e w o u l d b e “ g o i n g d o w n ” : t h a t i s . i f s t u d e n t s n o t i c e d t h a t t h e l i n e w a s s l a n t i n g d o w n w a r d ( f r o m t h e l e f t t o t h e r i g h t i n t h e g r a p h ) . t h e s l o p e w o u l d b e a n e g a t i v e r e a l n u m b e r . T h e fi r s t t i m e t h a t J o s h t a g g e d t h i s . h e a s k e d s t u d e n t s i f t h e S I O p e w a s p o s i t i v e o r n e g a t i v e . W h e n s t u d e n t s r e p l i e d t h a t i t w a s n e g a t i v e . h e c h e c k e d t o m a k e s u r e t h a t s t u d e n t s t h o u g h t t h i s b e c a u s e t h e l i n e w a s g o i n g d o w n . A t l e a s t o n e m a l e s t u d e n t a g r e e d w i t h t h i s . H o w e v e r , i t a p p e a r e d t h a t s o m e s t u d e n t s d i d n o t g r a s p t h i s p a r t o f t h e “ c o m m o n k n o w l e d g e ” b e c a u s e i n t h e n e x t t u r n J o s h a s k e d t h e q u e s t i o n a g a i n a n d s o m e s t u d e n t s r e p l i e d w i t h a p o s i t i v e r e s p o n s e . e v e n t h o u g h t h e l i n e w a s g o i n g d o w n . J o s h p i c k e d u p t h e c o r r e c t a n s w e r t h a t h e h e a r d ( i g n o r i n g t h e o n e t h a t w a s i n c o r r e c t ) a n d t h e n f o l l o w e d t h i s w i t h . “ Y o u ’ r e g o i n g d o w n . a r e n ’ t y o u ? ” A g a i n . h e a p p e a r e d t o b e c h e c k i n g t o s e e i f s t u d e n t s w e r e p a y i n g a t t e n t i o n a n d w a s a l s o d e fi n i n g p a r t o f t h e c o m m o n k n o w l e d g e b y a s s e r t i n g t h e p r o p o s i t i o n p r i o r t o t h e t a g . B y t a g g i n g t h e p r o p o s i t i o n . h e w a s a t t e m p t i n g t o b e p o l i t e t o t h o s e w h o g o t t h e a n s w e r i n c o r r e c t . I n e a c h o f t h e s e e x a m p l e s . a f t e r J o s h i n i t i a t e d a r e s p o n s e t h r o u g h a s k i n g a q u e s t i o n , h e r e s t a t e d o r r e f o r m u l a t e d s o m e t h i n g a s t u d e n t s a i d a n d t h e n a d d e d f u r t h e r d e t a i l t o t h e c o n t r i b u t i o n . E a c h t i m e h e t a g g e d t h i s a d d i t i o n a l i n f o r m a t i o n . T h i s m a y b e o n e w a y t h a t J o s h w a s p o l i t e t o s t u d e n t s . I n s t e a d o f a s k i n g t h e m t o b e m o r e e x a c t o r f ’ o r m o r e d e t a i l . h e r e s t a t e d / r e f o r m u l a t e d t h e s t u d e n t - c o n t r i b u t i o n a n d t h e n t a g g e d t h e 1 7 0 p e r t i n e n t d e t a i l t h a t h e a d d e d . I n d o i n g s o . J o s h s t i l l p r o c l a i m e d h i s i d e a s . b t l t w a s d o i n g s o l e s s b a l d l y . I n t h i s w a y h e m a y h a v e a d d e d c r e d i b i l i t y t o t h e s t u d e n t r e s p o n s e . b u t m a d e i t m o r e d e t a i l e d a n d e x a c t . I n E d w a r d s a n d M e r c e r ’ s l a n g u a g e . I r e m a y h a v e b e e n u s i n g t h i s f o r m a s a w a y o f “ i n t e r p r e t i n g s t u d e n t c o n t r i b u t i o n s ” t o m a k e t h e m m o r e m a t h e m a t i c a l l y c o r r e c t a n d r e l a t e d t o t h e m a t h e m a t i c a l g o a l s o f t h e l e s s o n . I n l i g h t o f L a k o f f ’ s c l a i m t h a t t a g s a r e m o r e o f t e n u s e d b y w o m e n . t h i s s e e m s a a r p e c u l i a r l a n g u a g e p a t t e r n f o r J o s h w h o i s a m a t h e m a t i c a l l y k n o w l e d g e a b l e . c o n fi d e n t . 2 e x p e r i e n c e d m a l e t e a c h e r . I c o n t e n d t h a t h e u s e d t h i s t y p e o f l a n g u a g e t o h e l p s t u d e n t s I s a v e f a c e : t h a t i s . t o b e p o l i t e a n d n o t e m b a r r a s s s t u d e n t s w h e n t h e y g a v e a n a n s w e r t h a t w a s n o t a s p r e c i s e o r d e t a i l e d a s J o s h m i g h t w a n t i t t o b e . T h e l a r g e r c o n t e x t o f “ s c h o o l ” i s c r i t i c a l t o t h i s i s s u e . W i t h i n s c h o o l t h e r e a r e m a n y i s s u e s r e l a t e d t o p o w e r a n d i m p o s i t i o n . T h e t e a c h e r . b y t h e v e r y n a t u r e o f h i s r o l e i n t h e c l a s s r o o m . i s c o n t i n u o u s l y t h r e a t e n i n g s t u d e n t s ’ f a c e “ c o n s t r a i n i n g t h e i r f r e e d o m o f a c t i o n ; e v a l u a t i n g . o f t e n n e g a t i v e l y . a h i g h p r o p o r t i o n o f s t u d e n t a c t s a n d u t t e r a n c e s : a n d o f t e n i n t e r r u p t i n g s t u d e n t w o r k a n d s t u d e n t t a l k ” ( C a z d e n . 1 9 8 8 . p . 1 6 3 ) . T e a c h e r s w i l l m i t i g a t e t h e i r f a c e t h r e a t e n i n g a c t s w i t h s o m e f o r m o f r e d r e s s i v e a c t i o n : i n t h i s c a s e . J o s h r e l i e d o n t h e s o f t e n i n g e f f e c t o f a t a g f o r m . O n e a s p e c t t h a t d e t e r m i n e s t h e p a r t i c i p a n t s ’ a s s e s s m e n t o f f a c e t h r e a t e n i n g a c t s i s t h e i s s u e o f p o w e r ’ “ . T h e p e r c e p t i o n o f p o w e r i s d e p e n d e n t u p o n “ t e a c h e r ’ s c o n fi d e n c e i n h e r a u t h o r i t y . a n d o n f a m i l y a n d p e e r - g r o u p r e s p e c t f o r t h a t a u t h o r i t y ” ( p . 1 6 4 ) . I n J o s h ’ s c a s e . h e a p p e a r e d t o h a v e t h e u t m o s t c o n fi d e n c e i n h i s r o l e a s a u t h o r i t y i n t h e c l a s s r o o m . N o t o n l y d i d t a g g i n g p l a y a r o l e i n J o s h ’ s b e i n g p o l i t e . b u t i t m a y a l s o a i d i n e s t a b l i s h i n g c o m m o n k n o w l e d g e i n t h e c l a s s r o o m b e c a u s e w h a t p r o c e e d e d t h e t a g s w e r e 1 7 1 i m p o r t a n t p r o p o s i t i o n s t h a t p o i n t e d t o c o n n e c t i o n s ( b e t w e e n r e p r e s e n t a t i o n s i n t h e s e e x a m p l e s ) a n d d e t a i l s a s s o c i a t e d w i t h b i g g e r m a t h e m a t i c a l i d e a s ( e . g . l i n e a r f u n c t i o n s ) . J o s h m a y h a v e b e e n u s i n g t h i s f o r m a s “ j o i n t k n o w l e d g e m a r k e r ” — d r a w i n g s t u d e n t a t t e n t i o n t o t h e c o m m o n k n o w l e d g e o f t h e c l a s s r o o m . “ P r o p o s i t i o n ” + “ W h v ? ” : K n o w t h e r e a s o n s f o r t h e c o m m o n k n o w l e d g e . A n o t h e r q u e s t i o n t y p e J o s h u s e d w a s s i m i l a r t o t h e t a g f o r m . I n t h i s f o r m . J o s h w o u l d a l s o b e g i n b y s t a t i n g a n i m p o r t a n t m a t h e m a t i c a l p r o p o s i t i o n . H o w e v e r . i n s t e a d o f e n d i n g t h e p r o p o s i t i o n w i t h a t a g . J o s h w o u l d o f t e n f o l l o w u p w i t h a b a r e w h y - q u e s t i o n . T h i s f o r m s e e m e d t o h a v e a s i m i l a r f u n c t i o n t o t h e t a g - f o r m : i t s e r v e d t o d r a w s t u d e n t a t t e n t i o n t o i m p o r t a n t c o m m o n k n o w l e d g e a n d t o p o i n t o u t t h a t k n o w i n g t h e r e a s o n s f o r t h a t c o m m o n k n o w l e d g e w a s i m p o r t a n t . T h e p r o p o s i t i o n w a s s o m e t i m e s s t a t e d b y J o s h a n d a t o t h e r t i m e s w a s s t a t e d b y a s t u d e n t w h e n s / h e a n s w e r e d a q u e s t i o n J o s h h a d a s k e d . I n t h e f o l l o w i n g e x a m p l e . J o s h d i s c u s s e d t h e i n c o n s i s t e n c i e s i n t h e d a t a s t u d e n t s h a d c o l l e c t e d i n t h e b r i d g e a c t i v i t y . H e t h e n t u r n e d t o t a l k i n g a b o u t t h e a v e r a g e s t h a t t h e y t o o k . I n t h e e x t e n d e d e x a m p l e , a p r o p o s i t i o n i s s t a t e d ( b y J o s h ) a n d i s a c c o m p a n i e d b y “ W h y ? ” L a t e r . a p r o p o s i t i o n i s s t a t e d b y a s t u d e n t a n d J o s h f o l l o w e d u p w i t h “ W h y ? ” E x a m p l e J - 7 J : T h e s e [ i . e . t h e y - v a l u e s t h a t e a c h g r o u p h a d c o l l e c t e d ] a r e p r e t t y c o n s i s t e n t . a g a i n t h i s g r o u p f o r s o m e r e a s o n h a d s o m e p r e t t y l o w n u m b e r s u n t i l t h e y g o t t o t h e b r e a k i n g p a r t o f [ i n a u d i b l e ] t h e s e I t h i n k w e r e a c t u a l l y v e r y c o n s i s t e n t . u m . I w o u l d n ’ t e x p e c t i t t o b e a l l e x a c t l y t h e s a m e . W h y n o t ? W h y d i d w e g e t a l l . w h y d i d n ’ t a l l t h e g r o u p s g e t t h e s a m e d a t a f o r e a c h a n d e v e r y l a y e r ? A b r a m ? A b r a m : C u z , l i k e . m a y b e , l i k e . t h e y d i d n ’ t h a v e a n e x a c t i n c h [ o v e r l a p ] o r s o m e t h i n g . J : Y e a h , t h e r e ’ s o k a y - - A b r a m : T h e y m i g h t h a v e [ i n a u d i b l e ] J : T h a t m i g h t h a v e a f f e c t e d . n o w I t r i e d t o m a k e s u r e y o u g u y s w e r e o n l y h a v i n g a o n e i n c h o v e r l a p . b u t . a s I w a s w a l k i n g a r o u n d , s o m e o f y o u m a y b e d i d n ’ t c o n t r o l t h a t v e r y w e l l . A n y t h i n g e l s e t h a t m i g h t e f f e c t t h e d a t a ? 1 7 2 . . 1 ‘ . ' U ' ‘ ‘ L t ' n . . . U P J : P e o p l e m a y h a v e u s e d t h e s a m e p a p e r o v e r a n d o v e r a g a i n a n d t h e p a p e r g o t w e a k e r J : Y o u d o n ’ t t h i n k s o ? D i d y o u h e a r w h a t h e s a i d ? S a y t h a t a g a i n . P J P J : T h a t g r o u p p r o b a b l y [ i n a u d i b l e ] J : W h y ? W h a t m a k e s y o u t h i n k t h a t ? P J : W e l l . m a y b e t h e y g o t t h e p a p e r [ i n a u d i b l e ] J : S o . o n c e i t s n a p p e d . t h e p a p e r w a s w e a k e n e d . s o i t d o e s n ’ t h o l d a s m a n y p e n n i e s w h e n y o u u s e i t ? A b r a m : L o o k s l i k e t h a t g r o u p d r o p p e d i t f r o m h i g h e r o r s o m e t h i n g . p t i t l i k e m o r e p r e s s u r e o n i t J : I d o n ’ t k n o w . I d o n ’ t k n o w . W e l l . l e t m e a s k t h i s q u e s t i o n b e f o r e w e l o o k a t t h e a v e r a g e s . U m . o r , l e t ’ s g o a h e a d a n d l o o k a t t h e a v e r a g e s fi r s t . W h a t ’ d y o u g u y s g e t ? W h a t w a s t h e a v e r a g e b r e a k i n g w e i g h t f o r a b r i d g e w i t h t h i c k n e s s o f o n e l a y e r ? C a r l , w h a t ’ d y o u fi n d ? ' ' . . , “ , ‘ . ' ¢ - ) . ‘ \ . R e f e r r i n g b a c k t o t h i s e x a m p l e s h o w s h o w t h e I - R - E s t r u c t u r e a p p e a r e d i n J o s h ’ s r c l a s s r o o m t a l k . I n t h e e x a m p l e . J o s h b e g a n b y i n i t i a t i n g w i t h a q u e s t i o n : “ \ K - " h y d i d a l l t h e g r o u p s g e t t h e s a m e d a t a f o r e a c h a n d e v e r y l a y e r ? ” H e t h e n c a l l e d o n A b r a m t o a n s w e r h i s q u e s t i o n a n d A b r a m r e s p o n d e d . J o s h p r o c e e d e d b y e v a l u a t i n g A b r a m ’ s r e s p o n s e — h e s a i d t h a t “ m i g h t ” h a v e a f f e c t e d t h e d a t a a n d t h e n i n d i c a t e d t h a t t h i s p r o b a b l y w a s n o t t h e r e a s o n b e c a u s e h e h a d a t t e n d e d t o t h a t a s h e h a d w a l k e d a r o u n d . J o s h t h e n i n i t i a t e d t h e n e x t r e s p o n s e b y a s k i n g , “ A n y t h i n g e l s e t h a t m i g h t e f f e c t t h e d a t a ? ” P J r e s p o n d e d a n d J o s h a s k e d h i m t o r e p e a t w h a t h e s a i d s o t h a t e v e r y o n e c o u l d h e a r i t . T h i s w o u l d b e c o n s i d e r e d a d e v i a t i o n f r o m t h e I - R - E s t r u c t u r e b e c a u s e i n s t e a d o f e v a l u a t i n g t h e a n s w e r r i g h t a w a y , J o s h a s k e d P J t o r e p e a t i t s o e v e r y - o n e e l s e i n t h e c l a s s c o u l d h e a r i t . I n s t e a d o f e v a l u a t i n g P J ’ s r e p e a t e d r e s p o n s e . J o s h a s k e d h i m w h y h e t h o u g h t t h a t m i g h t b e a r e a s o n . P J r e s p o n d e d a n d J o s h i n d i c a t e d t h a t t h i s w a s a v a l i d r e a s o n b y r e p e a t i n g w h a t h e s a i d . A b r a m t h e n o f f e r e d a n a d d i t i o n a l r e a s o n w i t h o u t J o s h i n i t i a t i n g i t a n d J o s h d i d n o t r e c o g n i z e t h e c o n t r i b u t i o n . I n s t e a d . h e c o n t r o l l e d t h e p a c e a n d d i r e c t i o n o f t h e c o n v e r s a t i o n b y s a y i n g . “ I d o n ’ t k n o w . I d o n ’ t k n o w . W e l l . T h e p h r a s e “ I d o n ’ t 1 7 3 k n o w ” s e e m e d t o f u n c t i o n a s a w a y f o r J o s h t o d i s e n g a g e . T h a t J o s h w a s r e a d y t o m o v e o n t o a n o t h e r t o p i c w a s f u r t h e r i n d i c a t e d b y . “ W e l l . l e t m e a s k . . I n t h e fi r s t p a r t o f t h i s e x t e n d e d e x a m p l e . J o s h b e g a n b y s t a t i n g t h a t h e d i d n o t e x p e c t t h e d a t a e a c h g r o u p h a d c o l l e c t e d t o c o m e o u t t h e s a m e . T h i s a s s e r t i o n w a s f o l l o w e d b y “ W h y ? ” H e r e p h r a s e d t h e q u e s t i o n b y p u t t i n g t h e “ w h y ” i n f r o n t o f t h e p r e v i o u s a s s e r t i o n , p o s s i b l y b e c a u s e s t u d e n t s h a d n o t i m m e d i a t e l y r e s p o n d e d . A b r a m b e g a n t o e x p l a i n t h i s d i f f e r e n c e i n t e r m s o f h o w m u c h o v e r l a p e a c h g r o u p ’ s b r i d g e m i g h t h a v e h a d . I n t h e d i r e c t i o n s . s t u d e n t s w e r e a s k e d t o h a v e t h e b r i d g e s o v e r l a p t h e b o o k s b y o n e i n c h o n e a c h e n d . I f s t u d e n t s h a d n o t b e e n c a r e f u l . t h e y w o u l d h a v e h a d v a r i a t i o n i n t h e l e n g t h o f t h e b r i d g e . w h i c h i n t u r n w o u l d a f f e c t t h e s t r e n g t h o f t h e b r i d g e . J o s h m a y h a v e i n d i c a t e d t h a t t h i s a n s w e r w a s n o t r e a l l y t h e r e a s o n f o r w h i c h h e w a s s e a r c h i n g w h e n h e p o i n t e d o u t t h a t h e “ t r i e d t o m a k e s u r e y o u g u y s w e r e o n l y h a v i n g o n e i n c h o v e r l a p . ” I n o t h e r w o r d s . h e h a d a t t e n d e d t o t h a t . s o i t p r o b a b l y w a s n o t t h e r e a s o n t h e y h a d s o m u c h v a r i a t i o n i n t h e i r d a t a c o l l e c t i o n . W h e n J o s h a s k e d f o r a d d i t i o n a l r e a s o n s . P J o f f e r e d t h e p o s s i b i l i t y t h a t s o m e g r o u p s m a y h a v e u s e d t h e s a m e p a p e r o v e r a n d o v e r . a s s e r t i n g t h a t t h i s m i g h t h a v e m a d e t h e p a p e r w e a k e r . J o s h a s k e d P J t o s t a t e t h a t p r o p o s i t i o n a g a i n a n d t h e n r e q u e s t e d t h a t P J e x p l a i n h i s t h i n k i n g . I n d o i n g 5 0 . J o s h i s “ m e t a c o m m e n t i n g . ” p o i n t i n g t o t h e f a c t t h a t P J h a s s a i d s o m e t h i n g t o w h i c h o t h e r s s h o u l d a t t e n d . A l s o . b y c u e i n g P J t o r e p e a t w h a t h e s a i d . J o s h c o n t r o l l e d w h o s a i d w h a t w h e n . a c t i n g a s t h e m e d i u m t h r o u g h w h i c h a l l c l a s s r o o m c o n v e r s a t i o n s h o u l d p a s s ( E d w a r d s a n d M e r c e r . 1 9 8 7 ; C a z d e n . 1 9 8 8 ) : t h a t i s . h e “ r e t r o s p e c t i v e l y e l i c i t e d ” ( E d w a r d s a n d M e r c e r . p . 1 3 2 ) P J ’ s r e s p o n s e . i n v i t i n g a s t u d e n t r e s p o n s e a f t e r i t h a d a l r e a d y b e e n m a d e . T h e f a c t t h a t J o s h d i d n o t r e q u i r e A b r a m 1 7 4 Y ' f ‘ f ‘ f " " — ~ . ‘ 7 . ‘ T I . “ - r m . J 3 L fl ' K ‘ . - . P . . 9 ' C ‘ - _ t o e x p l a i n w h y h e t h o u g h t t h e o v e r l a p w o u l d m a t t e r . b u t d i d a s k P J t o j u s t i f y h i s t h i n k i n g m a y i n s i n u a t e t h a t P J ’ s a n s w e r w a s n o v e l o r t h a t h i s r e a s o n w a s n o t a p p a r e n t o r w e l l a r t i c u l a t e d . T h i s w a s f u r t h e r a p p a r e n t i n J o s h ’ s a m p l i fi c a t i o n o f P J ’ s r e s p o n s e . J o s h d e e m e d h i s r e s p o n s e i m p o r t a n t e n o u g h t o r e p e a t i t a l o u d . A b r a m a d d e d a n o t h e r p o s s i b l e e x p l a n a t i o n t o t h e o r i g i n a l q u e s t i o n a n d J o s h r e p l i e d , “ I d o n ’ t k n o w . I d o n ’ t k n o w . W e l l . l e t m e a s k y o u t h i s q u e s t i o n . I n r e s p o n d i n g i n t h i s m a n n e r . i t a p p e a r e d t h a t J o s h h a s I h a d e n o u g h r e a s o n s a n d w a s r e a d y t o m o v e o n . “ I d o n ’ t k n o w . I d o n ’ t k n o w ” s e e m e d t o s i g n a l J o s h ’ s d i s e n g a g e m e n t f r o m t h e c o n v e r s a t i o n . T h e s e s t a t e m e n t s r e a l l y d o n o t m e a n t h a t J o s h “ d o e s n ’ t k n o w ” a n d t h e y a r e s a i d a t a m u c h l o w e r v o l u m e t h a n t h e o t h e r s t a t e m e n t s t h a t J o s h h a s m a d e . T h e w o r d “ W e l l ” i n d i c a t e d t h a t J o s h w a s c h a n n e l i n g t h e d i r e c t i o n o f t h e c o n v e r s a t i o n t o t a l k a b o u t t h e c l a s s a v e r a g e . I n d o i n g s o . h e c o n t r o l l e d t h e p a c e o f t h e c l a s s r o o m c o n v e r s a t i o n a n d m a r k e d t h e f a c t t h a t h e w a s r e a d y t o m o v e o n t o t h e n e x t t o p i c o f d i s c u s s i o n . E x a m p l e . 1 - 7 ( c o n t i n u e d ) [ . . . ] [ a f e w m i n u t e s l a t e r — a f t e r g o i n g t h r o u g h t h e t a b l e o f a v e r a g e v a l u e s t h a t t h e c l a s s c a l c u l a t e d ] J : 3 3 ? C h r i s t y . t h a t ’ s w h a t y o u g o t f o r t h e a v e r a g e ? Y o u r o u n d e d t o t h e n e a r e s t p e n n y ? O k a y , n o w . w h y d i d w e t a k e a c l a s s r o o m a v e r a g e ? [ S s a r e q u i e t ] C u z I j u s t w a n t e d t o m a k e y o u g u y s w o r k ? W h y t h e c l a s s r o o m a v e r a g e ? P J ? P J : C u z t h o s e a r e - - n o t a l l o f t h e m a r e c o r r e c t s o w e t o o k a l l o f t h e m a n d a v e r a g e t h e m J : W e l l , h o w m a n y t h i n k t h e c l a s s r o o m a v e r a g e i s g o n n a b e m o r e a c c u r a t e t h a n j u s t l o o k i n g a t o n e o f t h e g r o u p s ? W h y ? L a u r i e . w h y d o y o u t h i n k t h i s [ t h e a v e r a g e v a l u e ] i s g o n n a b e p r o b a b l y a m o r e a c c u r a t e p i c t u r e t h a n l o o k i n g a t a n y o n e o f t h e s e ? L a u r i e : ‘ C u z y o u g o t i t o v e r a s e r i e s o f d a t a J : I t ’ s a l o t m o r e d a t a t o l o o k a t . i s n ’ t i t ? S s : M m - h m m D u r i n g t h i s p a r t o f t h e c o n v e r s a t i o n . J o s h w a n t e d s t u d e n t s t o t h i n k a b o u t w h y t h e y w e r e fi n d i n g a v e r a g e s ( r a t h e r t h a n u s i n g t h e a c t u a l v a l u e s t h a t e a c h g r o u p h a d c o l l e c t e d ) . 1 7 5 , ” y M » 1 ' ‘ . “ a n n a W J o s h a p p e a r e d i m p a t i e n t w i t h t h e l a c k o f s t u d e n t r e s p o n s e w h e n h e a n s w e r e d h i s o w n q u e s t i o n w i t h a n o n v i a b l e r e a s o n : “ C u z I j u s t w a n t e d t o m a k e y o u g u y s w o r k ? ” I n d o i n g s o . J o s h w a s n o t a s k i n g a r h e t o r i c a l q u e s t i o n . b u t c l e a r l y t h e o p p o s i t e : h e r e s p o n d e d t o h i s o w n q u e s t i o n w i t h a s o m e w h a t r i d i c u l o u s a n s w e r ( i n q u e s t i o n f o r m ) a n d t h e n r e p e a t e d h i s o r i g i n a l q u e s t i o n . P J ’ s r e s p o n s e a p p e a r e d t o b e n o t w h a t J o s h w a s l o o k i n g f ’ o r b e c a u s e h e r e f o r m u l a t e d h i s q u e s t i o n a n d i n t h e p r o c e s s d i d n o t i n c o r p o r a t e a n y o f P J ’ s w o r d s ( a s h e o f t e n d o e s w h e n h e e v a l u a t e s a s t u d e n t c o n t r i b u t i o n ) . I n a s e n s e . t h i s r e f o r m u l a t i o n w a s a n e g a t i v e s a n c t i o n f o r P J ’ s c o n t r i b u t i o n . J o s h r e w o r d e d t h e q u e s t i o n t o m a k e i t m o r e a s s e s s m e n t - l i k e ( “ h o w m a n y t h i n k . . . ” ) a n d m o r e f o c u s e d — h e n o l o n g e r w a n t e d t o k n o w w h y t h e y t o o k t h e a v e r a g e . b u t n o w w a n t e d t o k n o w h o w m a n y t h o u g h t t h e a v e r a g e w a s “ m o r e a c c u r a t e ” t h a n a n y i n d i v i d u a l g r o u p ’ s d a t a . B y r e f o r m u l a t i n g t h e q u e s t i o n i n t h i s w a y . t h e p o s s i b l e r a n g e o f a n s w e r s a p p e a r e d t o b e s i m i l a r t o t h o s e a T y p e 3 r e f o r m u l a t o r a l l o w e d . S t u d e n t s n o w k n e w p a r t o f w h y t h e a v e r a g e w a s t a k e n — i t w a s m o r e a c c u r a t e . H o w e v e r . J o s h d i d n o t e n d t h e d i s c u s s i o n h e r e . I n s t e a d . h e p u s h e d f u r t h e r b y a s k i n g w h y s t u d e n t s t h o u g h t t h e a v e r a g e w a s m o r e a c c u r a t e . L a u r i e a n s w e r e d t h i s q u e s t i o n w i t h a s o m e w h a t v a g u e a n s w e r l l a n d J o s h r e f o r m u l a t e d a n d t a g g e d h e r c o n t r i b u t i o n . c h e c k i n g t o s e e t h a t s t u d e n t s w e r e l i s t e n i n g a n d d r a w i n g t h e i r a t t e n t i o n t o a n i m p o r t a n t m a t h e m a t i c a l i d e a : a v e r a g i n g a l a r g e s e t o f d a t a w i l l g i v e y o u a m o r e a c c u r a t e r e p r e s e n t a t i o n t h a n j u s t t a k i n g d a t a f r o m o n e c o l l e c t i o n . J o s h d i d n o t a l w a y s r e f o r m u l a t e h i s “ w h y ” q u e s t i o n s t o h e l p s t u d e n t s a n s w e r t h e m i n t h e m a n n e r t h a t h e w a s s e e k i n g . I n t h e f o l l o w i n g e x a m p l e . J o s h d i s c u s s e d t h e v a l u e s t h a t s t u d e n t s w e r e g o i n g t o u s e o n t h e x - a n d y - a x i s w h e n g r a p h i n g t h e d a t a i n t h e 1 7 6 p r e v i o u s e x a m p l e . D u r i n g t h e d i s c u s s i o n . h e a s k e d t h e s a m e q u e s t i o n t w i c e . T h i s e x a m p l e w a s c o m p l i c a t e d a n d u n u s u a l i n t h a t t h e r e w a s a t e n t a t i v e n e s s i n J o s h ’ s v o i c e t h a t w a s q u i t e u n c o m m o n a n d t h a t c o n t r a s t s w i t h J o s h ’ s o f t e n s t r o n g “ ” 1 v o i c e . I t a p p e a r e d t h a t J o s h w a s t r y i n g t o m a k e a s m a l l p o i n t a b o u t s o m e t h i n g t h a t w a s n o t p a r t o f t h e c o m m o n k n o w l e d g e . H o w e v e r . s i n c e J o s h ’ s I v o i c e w a s n o r m a l l y v e r y s t r o n g . h e n e e d e d t o s o f t e n h i s a s s e r t i o n s a l o t . a d d i n g m a n y h e d g e s t o h i s n o r m a l p a t t e r n o f t a l k . E x a m p l e J - 8 J : F i v e i s — t h e w a y y o u w a n t t o g o . O k a y . u m . I d o n ’ t n e c e s s a r i l y a g r e e w i t h t h e s c a l e s . I f I w a s g o n n a d o t h i s . I m i g h t , I t h i n k a s c a l e o f 2 m i g h t h a v e s h o w n a l i t t l e b e t t e r o n t h e y - a x i s a n d I p o s s i b l y w o u l d h a v e g o n e b y a s c a l e o f . 5 o n t h e x a x i s t o o . w h y ? P J : W h y ? I t g o e s u p b y o n e s J : I t d o e s g o u p b y o n e s . s o w h y w o u l d I e v e n t h i n k a b o u t u s i n g a s c a l e o f . 5 o n t h e x ? M s : [ q u i e t l y ] T o s p r e a d i t o u t ? J : [ n o r e s p o n s e r i g h t a w a y ] Y o u g u y s d o n ’ t h a v e t o a g r e e w i t h m e . I ’ m j u s t s a y i n g t h a t t h a t ’ s w h a t I w o u l d h a v e d o n e . W h y w o u l d I h a v e c h o s e n a s c a l e o f p o i n t 5 i n s t e a d o f - - L i s a : T o s p r e a d i t o u t J : R i g h t . t o s p r e a d t h e d a t a o u t . t o g e t a l i t t l e b e t t e r p i c t u r e i n s t e a d o f c r a m m i n g a l l y o u r d a t a i n t o o n e l i t t l e c o r n e r o f y o u r g r a p h . b u t . u m . a n y h o w s o t h i s i s w h a t y o u g u y s w a n t e d t o d o . s o . I ’ l l d o i t t h a t w a y . [ g r a p h s p o i n t s ] S o . o n e l a y e r ’ s g o i n g t o h o l d fi v e p e n n i e s ? T w o i s g o n n a h o l d 1 1 . J u s t a b o u t t o 1 0 . T h r e e i s g o i n g t o h o l d 1 7 . L e t ’ s s e e . 1 5 . s o m e . r i g h t a r o u n d t h e r e ? F s : Y e a h I n t h i s e x a m p l e . J o s h a s k e d s t u d e n t s w h a t v a l u e s t h e y u s e d w h e n t h e y g r a p h e d t h e d a t a f r o m t h e i r t a b l e . S t u d e n t s i n d i c a t e d t h a t t h e y u s e d a s c a l e o f o n e o n t h e x - a x i s a n d a s c a l e o f 5 o n t h e y - a x i s . J o s h s t a t e d t h a t h e d i d n o t “ n e c e s s a r i l y a g r e e ” w i t h w h a t t h e y h a d d o n e a n d s h a r e d t h e n u m b e r s t h a t h e “ t h i n k s ” h e “ m i g h t ” h a v e “ p o s s i b l y ” u s e d . “ i t ” I r e w e r e g o i n g t o d o t h i s . I n h e d g i n g i n t h i s m a n n e r . J o s h m a y h a v e s u g g e s t e d t o s t u d e n t s t h a t h e w a s n o t v e r y c e r t a i n a b o u t t h e n u m b e r s h e h a d c h o s e n . T h e s e h e d g e s m a y h a v e b e e n a n a t t e m p t t o s o f t e n J o s h ’ s p r o p o s i t i o n b e c a u s e I r e w a s m a k i n g a p o i n t t h a t w a s n o t 1 7 7 F . “ ' . " ‘ “ “ " ‘ ” . . " 3 ' 7 ? 3 3 . 5 - c e n t r a l t o t h e m a t h e m a t i c a l g o a l s o f t h e l e s s o n ” . I n f a c t . t h e v a l u e s t h a t t h e s t u d e n t s h a d o f f e r e d m a d e m o r e s e n s e t o t h e g i v e n c o n t e x t a n d w e r e a c t u a l l y m o r e s i m i l a r t o v a l u e s t h e y h a d u s e d f o r g r a p h s t h e y h a d m a d e i n t h e p a s t . P J s e e m e d t o p i c k u p o n J o s h ’ s u n c e r t a i n t y b e c a u s e h e q u e s t i o n e d J o s h e x p l i c i t l y . I n d o i n g s o , P J c r o s s e d i n t o t h e r e a l m o f s o m e t h i n g t h a t h a s b e e n d e s i g n a t e d a s p a r t o f t h e t e a c h e r ’ s r o l e i n t h i s c l a s s r o o m : h e a s k e d a d i r e c t w h y - q u e s t i o n . R a t h e r t h a n a d d r e s s P J ’ s a q u e s t i o n . J o s h r e s t a t e d p a r t o f P J ’ s p o i n t . i m p l y i n g a g r e e m e n t . H e t h e n r e - s e i z e d t h e i n i t i a t i v e a n d s u g g e s t e d t h a t l _ 1 § r o l e w a s t o a s k t h e q u e s t i o n s : h e a g a i n a s k e d t h e q u e s t i o n i w i t h w h i c h h e b e g a n t h i s c o n v e r s a t i o n . T h i s m a y h a v e h i n t e d t h a t P J ’ s r e s p o n s e w a s n o t a c c e p t a b l e . I t w a s p r e t t y c l e a r t h a t J o s h ’ s r o l e w a s t o a s k t h e q u e s t i o n s : h e w a n t e d t h e s t u d e n t s t o d o t h e t h i n k i n g . H e m a y h a v e i n d i c a t e d t h a t o t h e r s t u d e n t s i n c l a s s n e e d e d t o t h i n k a b o u t t h e q u e s t i o n h e h a d p o s e d a n d w a n t e d t h e m t o a n s w e r P J ’ s q u e s t i o n . A f t e r J o s h ’ s a t t e m p t t o g e t a r e s p o n s e f a i l e d . h e b e g a n h i s n e x t t u r n w i t h . “ Y o u g u y s d o n ’ t h a v e t o a g r e e w i t h m e . ” B y m a k i n g t h i s e x p l i c i t s t a t e m e n t . i t w a s e v i d e n t t h a t t y p i c a l l y s t u d e n t s d _ o n e e d t o a g r e e w i t h h i m . T h i s d e c l a r a t i o n c o n n o t e d a b r e a k d o w n i n t h e w a y t h i n g s a r e n o r m a l l y d o n e i n t h i s c l a s s r o o m . S t u d e n t s m a y b e e n t h i n k i n g . “ Y e a h . b u t t h a t m e a n s w e ’ r e s u p p o s e d t o u s e t h o s e v a l u e s . ” T h e r e w a s f u r t h e r e v i d e n c e t h a t t h i s i n t e r a c t i o n w a s n o t t y p i c a l i n t h e u n u s u a l a m o u n t o f h e d g i n g J o s h w a s d o i n g : “ I I I w a s g o n n a d o t h i s . I m i g h t . I t h i n k . . . m i g h t h a v e s h o w n a l i t t l e b e t t e r . . . I p o s s i b l y w o u l d h a v e . . “ I ’ m j u s t s a y i n g . . “ t h a t ’ s w h a t I w o u l d h a v e d o n e ” ( i f I h a d d o n e i t ) . L a u r i e i n t e r r u p t e d J o s h ’ s r e s t a t e d q u e s t i o n w i t h t h e c o r r e c t a n s w e r . J o s h fi n i s h e d t h e I - R - E s e q u e n c e w i t h a n e x p l i c i t e v a l u a t i o n o f h e r r e s p o n s e . H e t h e n r e f o r m u l a t e d h e r c o n t r i b u t i o n t o i n c l u d e t h e f a c t t h a t s p r e a d i n g o u t t h e d a t a w i l l a l l o w a b e t t e r p i c t u r e o f 1 7 8 m s v — — . } T , ’ . W — fi — r h “ t h e g r a p h t h a n t h e o n e t h a t t h e s t u d e n t s h a d r e c o m m e n d e d . I n d o i n g s o . h e o f f e r e d h i s i n t e r p r e t a t i o n o f L a u r i e ’ s c o n t r i b u t i o n . m a k i n g t h e r e a s o n i n g m o r e e x p l i c i t a n d c o n t r o l l i n g t h e j o i n t u n d e r s t a n d i n g s t h a t w e r e b e i n g f o r m e d . I n s o m e i n s t a n c e s . i t b e c a m e a p p a r e n t t o m e a s a n o b s e r v e r t h a t t h e r e w a s a s p e c i fi c a n s w e r t h a t J o s h w a s s e a r c h i n g f o r t h r o u g h h i s r e p e a t e d “ w h y ” q u e s t i o n s . I n t h e f o l l o w i n g e x a m p l e , t h e c l a s s d i s c u s s e d g r a p h m o d e l s a n d r e a d a s e c t i o n i n t h e t e x t a b o u t t h i s . J o s h m o v e d t h e c o n v e r s a t i o n t o w h y t h e y w e r e d o i n g g r a p h m o d e l s . E x a m p l e J - 9 J : [ . . . ] R e m e m b e r w h a t a g r a p h m o d e l i s — i t ’ s a l i n e o r a c u r v e t h a t s h o w s t h e t r e n d i n t h e d a t a , i t f i t s t h e d a t a . S o t h a t a l l t h e p o i n t s a r e p r e t t y c l o s e . U m . I d o n ’ t k n o w . W h y d o w e d o t h i s ? W h a t ’ s t h e p u r p o s e o f a g r a p h m o d e l ? A b r a m . w h a t ’ s t h e p u r p o s e ? [ A b r a m ’ s h a n d g o e s u p r i g h t a w a y ] A b r a m : T o s h o w t h e l i n e a r r e l a t i o n s h i p J : Y e a h . I c o u l d m a y b e s e e t h a t i t ’ s l i n e a r j u s t f r o m l o o k i n g a t t h e t a b l e o r i f j u s t l o o k i n g a t t h e w a y t h e p l o t s a r e p o i n t e d . W h y d i d I d r a w t h e l i n e i n ? J u s t t o s h o w t h e p a t t e r n ? C h r i s t y ? C h r i s t y : T o g e t a b e t t e r l o o k a t w h a t t h e d a t a i s t r y i n g t o t e l l y o u J : W e l l . m a y b e t h a t ’ s p a r t o f i t . L o o k b a c k a t y o u r d e fi n i t i o n f o r a g r a p h m o d e l . L o o k a t y o u r d e fi n i t i o n o f a g r a p h m o d e l . W h a t d o e s i t s a y ? R e a d t h a t l a s t p a r a g r a p h t o y o u r s e l f o n p a g e 7 . L a n c e . w h a t ’ s t h e p u r p o s e h e r e ? W h y d o w e e v e n b o t h e r d o i n g t h i s ? L a n c e : S o y o u c a n m a k e p r e d i c t i o n s [ r e a d i n g t h i s d i r e c t l y f ’ r o m h i s n o t e b o o k ] v a l u e s b e t w e e n v a l u e s i n t h e d a t a J : O h , s o i f I w a n t t o p r e d i c t h o w m a n y p e n n i e s o f t h i c k n e s s n i n e i s g o n n a h o l d ? H o w m a n y ? Y o u t e l l m e . U s e y o u r g r a p h m o d e l . u s e y o u r g r a p h . t o p r e d i c t h o w m a n y p e n n i e s a b r i d g e t h i c k n e s s n i n e i s g o i n g t o h o l d . H o w m a n y ? R a i s e y o u r h a n d . h o w m a n y p e n n i e s a b r i d g e o f t h i c k n e s s n i n e l a y e r s i s g o n n a h o l d ? C o r y . w h a t ’ d y o u s a y ? J o s h b e g a n b y p r e f o r m u l a t i n g h i s u p c o m i n g q u e s t i o n . r e a d i n g t h e d e fi n i t i o n o f g r a p h m o d e l f r o m t h e t e x t b o o k . H e t h e n t u r n s t h e d i s c u s s i o n t o a d d r e s s w h y t h e y d o g r a p h m o d e l s — w h i c h h e r e p h r a s e d t h r e e t i m e s i n a r o w . H e m o v e d f ’ r o m “ w h y d o w e d o . . . ” t o “ w h a t ’ s t h e p u r p o s e o f . . t o d i r e c t i n g t h i s q u e s t i o n t o a s t u d e n t t h a t r a i s e d h i s 1 7 9 h a n d . T h i s s h i f t f r o m a w h y - q u e s t i o n t o a w h a t - q u e s t i o n w a s c o m m o n i n J o s h ’ s r e f o r m u l a t o r s . I n B a r n e s ’ t e r m s . t h i s s h i f t r e p r e s e n t s m o v e m e n t f r o m a “ r e a s o n i n g ” q u e s t i o n t o a “ f a c t u a l ” q u e s t i o n . p o s s i b l y l o w e r i n g t h e c o g n i t i v e s t r a i n o n s t u d e n t s . H o w e v e r . i t a l s o s e e m e d t o s u g g e s t a s h i f t t o a T y p e I r e f o r m u l a t o r . w h i c h r e d u c e d t h e r a n g e o f a n s w e r s b y i n d i c a t i n g a n a p p r o p r i a t e s u b s e t f r o m w h i c h s t u d e n t s m a y d r a w . J o s h h e d g e d h i s r e f o r m u l a t i o n o f A b r a m ’ s c o n t r i b u t i o n t o h e l p i n d i c a t e t h a t t h i s w a s n o t w h a t h e w a s l o o k i n g f o r ( " I c o u l d m a y b e s e e . . . ” ) a n d t o l d h i m t h a t h e c o u l d h a v e g o t t e n t h a t s a m e a n s w e r f r o m t h i n g s o t h e r t h a n t h e g r a p h m o d e l . H e t h e n u s e d s o m e t h i n g s i m i l a r t o a c o m b i n a t i o n o f a T y p e 1 a n d a T y p e 2 r e f o r m u l a t o r . F i r s t . b e n a r r o w e d t h e r a n g e o f p o s s i b l e a n s w e r s t o a s u b s e t : i t w a s n o t j u s t a b o u t a g r a p h m o d e l . b u t a b o u t w h y t h e y d r e w i n t h e l i n e . S e c o n d . h i s T y p e 2 r e f o r m u l a t o r t h a t i m m e d i a t e l y f o l l o w e d h i n t e d a t a n a n s w e r t h a t w a s n o t c o r r e c t : t h e l i n e w a s n o t d r a w n i n “ j u s t t o s h o w a p a t t e r n . ” I n t h e e x c e r p t f r o m t h e t e x t b o o k t h a t h e h a d j u s t r e a d . h e h a d s t a t e d t h a t t h e g r a p h m o d e l “ s h o w s t h e t r e n d i n t h e d a t a . ” H o w s t u d e n t s i n t e r p r e t “ t r e n d ” m a y b e p r o b l e m a t i c — t o t h e m , i t m a y b e j u s t a p a t t e r n a n d i t m i g h t n o t b e c o n s i d e r e d t h a t a t r e n d u s u a l l y c o n t i n u e d i n a s i m i l a r m a n n e r . T h i s w o u l d b e i m p o r t a n t t o u n d e r s t a n d i n g a “ g r a p h m o d e l ” a n d t o u n d e r s t a n d i n g e x a c t l y w h a t J o s h w a s l o o k i n g f o r . J o s h p o s e d t h i s “ w h y ” q u e s t i o n a t h i r d t i m e — r e f o r m u l a t i n g i t a s . “ W h y d o w e e v e n b o t h e r d o i n g t h i s ? ” B y a s k i n g t h e q u e s t i o n i n t h i s m a n n e r . J o s h s e e m e d t o b e s a y i n g t h a t w e d o b o t h e r w i t h t h i s . s o t h e r e m u s t b e a r e a s o n . I n t h i s c l a s s r o o m . t h e f o c u s w a s n o t j u s t o n h o w t o d o s o m e t h i n g . b u t a l s o t h e r e a s o n s f o r d o i n g t h e m . W h a t w a s v a l u e d w e r e a c t i o n s w i t h r e a s o n s . 1 8 0 A d d i t i o n a l l y . J o s h d i r e c t e d s t u d e n t a t t e n t i o n t o t h e r e a s o n g i v e n i n t h e t e x t b o o k . i n d i c a t i n g t h a t s p e c i fi c r e a s o n s c a n s o m e t i m e s b e f o u n d i n t h e b o o k ( i . e . t h e b o o k i s a s o u r c e o f “ r e a s o n s ” ) . L a n c e r e a d t h e p u r p o s e d i r e c t l y f r o m t h e n o t e s t h a t h e h a d t a k e n : “ S o y o u c a n m a k e p r e d i c t i o n s f o r v a l u e s b e t w e e n v a l u e s i n t h e d a t a . ” T h i s w a s d e fi n i t e l y t h e a n s w e r J o s h w a s l o o k i n g f o r . a n n o u n c e d b y h i s d r a w n o u t “ O h . ” f o l l o w e d b y . “ s o i f I p w a n t t o p r e d i c t . J o s h w a s n o w r e a d y t o m o v e o n t o a m o r e s p e c i fi c q u e s t i o n t h a t r e q u i r e d s t u d e n t s t o p r e d i c t a v a l u e b a s e d o n t h e g r a p h m o d e l t h e y h a d j u s t d r a w n . 4 ' I n u s i n g t h e f o r m “ p r o p o s i t i o n ” + “ w h y , ” J o s h s e e m e d t o p u s h s t u d e n t t h i n k i n g . 9 ' H o w e v e r . m a n y o f t h e q u e s t i o n s t h a t a p p e a r e d “ o p e n ” i n n a t u r e s o o n b e c a m e “ c l o s e d ” i n t h a t t h e y w e r e a s k e d r e p e a t e d l y r e f o r m u l a t e d u n t i l s t u d e n t s c a m e u p w i t h w h a t J o s h h a d i n m i n d . I n t h i s w a y . J o s h m a y h a v e “ c u e d [ t h e ] e l i c i t a t i o n o f s t u d e n t c o n t r i b u t i o n s . ” T h i s w a s c h a r a c t e r i z e d n o t o n l y b y t h e l - R - E f o r m a t t h a t t o o k p l a c e . b u t a l s o b y t h e c o n t i n u e d r e f o r m u l a t i n g o f q u e s t i o n s u n t i l s t u d e n t s p r o d u c e d t h e a n s w e r f ’ o r w h i c h J o s h w a s s e a r c h i n g . o f f e r i n g “ h e a v y c l u e s a b o u t t h e i n f o r m a t i o n t h a t w a s r e q u i r e d . ” B y p u s h i n g o n t h e “ w h y ” J o s h e s t a b l i s h e d t h e f a c t t h a t r e a s o n s f o r a c t i o n s w e r e i m p o r t a n t . I n f a c t . i n h i s i n t e r v i e w s h e s a i d t h a t f o l l o w i n g u p w i t h “ w h y ” q u e s t i o n s g a v e h i m “ a p r e t t y g o o d i d e a a b o u t w h e t h e r t h e k i d r e a l l y h a d a g r a s p o f w h a t w e w e r e d o i n g ” ( I n t e r v i e w J - 3 . 1 2 / 1 7 / 9 9 ) . I n m a n y c a s e s t h i s n o r m a p p e a r e d t r a n s p a r e n t t o s t u d e n t s b e c a u s e t h e y d i d n o t v e r i f y t h e i r r e a s o n i n g w i t h o u t J o s h e x p l i c i t l y a s k i n g f o r i t . A n o t h e r p o s s i b l e i n t e r p r e t a t i o n f o r t h i s m a y b e t h a t i t w a s s o m u c h p a r t o f J o s h ’ s r o l e t o a s k “ w h y ” t h a t s t u d e n t s d i d n o t s e e a n e e d t o g i v e t h e i r r e a s o n i n g r i g h t a w a y . T h e y m a y h a v e k n o w n t h a t J o s h w o u l d a s k t h a t s o o n . s o t h e y w a i t e d t o r e s p o n d u n t i l a f t e r t h e j u s t i fi c a t i o n h a d b e e n p u r s u e d . 1 8 1 “ W h a t ’ s t h e r i s e ? . . . t h e r u n ? . . . t h e s l g p e ? . . . t h g y - i n t e r c e p t ? . . . t h e e q u a t i o n ? : T h e r e a r e s u b - q u e s t i o n s t h a t a l l o w y o u t o f o c u s i n o n t h e c o n t e n t . I n s o m e o f J o s h ’ s q u e s t i o n i n g . t h e s a m e f o r m f u n c t i o n e d a s a p r o m p t t o s h o w s t u d e n t s t h a t t h e r e w e r e s u b - q u e s t i o n s t h e y n e e d e d t o a d d r e s s t o e n g a g e i n a l a r g e r t a s k . T h e s e q u e s t i o n s s e e m e d t o s e r v e a s a w a y f o r J o s h t o m o d e l k e y q u e s t i o n s t h a t s t u d e n t s s h o u l d a s k t h e m s e l v e s w h e n e n g a g i n g i n t h e m a t h e m a t i c a l a c t i v i t y . I n t h i s p a r t i c u l a r e x a m p l e . t h e l a r g e r t a s k w a s t o fi n d a l i n e a r e q u a t i o n . J o s h s e e m e d t o i n d i c a t e t h a t i n o r d e r t o fi n d t h e e q u a t i o n o f a l i n e . s t u d e n t s n e e d e d t o k n o w p a r t i c u l a r i n f o r m a t i o n : t h e r i s e . t h e r u n . t h e s l o p e a n d t h e y - i n t e r c e p t . E x a m p l e . I - 1 0 J : [ . . . ] G i v e m e t w o p o i n t s t h a t a r e o n t h e l i n e i n g r a p h B . J a y l e n H a r t z . g i v e m e t w o p o i n t s o n t h e l i n e f o r g r a p h B . J a y l e n : U h / / 0 , 0 / a n d u h / / 4 . 1 J : O k a y / / 0 . 0 a n d 4 . 1 / G r e a t / W h a t ’ s t h e s l o p e ? / W h a t ’ s t h e r i s e ? Y o u ’ r e g o i n g f r o m z e r o o n t h e y u p t o o n e ? W h a t ’ s t h e r i s e ? S s : O n e J : O n e . W h a t ’ s t h e r u n ? Y o u ’ r e g o i n g f r o m z e r o t o f o u r o n t h e x ? S s t o u r J : S o t h e s l o p e i s ? . 2 5 ? / / S s : . 2 5 [ i n u n i s o n ] J : A n d t h e y - i n t e r c e p t i : : s ? / S s : Z e r o J : S o . y = 1 / 4 x ? O r y = . 2 5 x w o u l d b e y o u r e q u a t i o n [ 3 s e c ] A n y q u e s t i o n s o n t h e fi r s t p a g e ? / / [ . . . ] T h i s e x c e r p t o c c u r r e d a f t e r J o s h h a d h a n d e d b a c k a q u i z . I n f ’ a c t . t h i s s e q u e n c e o f q u e s t i o n s w a s r e p e a t e d t h r e e t i m e s ( w i t h s l i g h t v a r i a t i o n e a c h t i m e ) i n t h e 1 5 m i n u t e s t h a t J o s h w e n t t h r o u g h t h e p r o b l e m s o n t h e q u i z . T h e e x a m p l e t h a t I g a v e w a s t h e s e c o n d t i m e t h i s s e q u e n c e o c c u r r e d . D u r i n g t h e fi r s t o n e . J o s h b e g a n b y a s k i n g w h a t t h e s l o p e b e t w e e n t w o g i v e n p o i n t s w a s a n d a s t u d e n t r e p l i e d b y s u b t r a c t i n g t h e x - v a l u e s i n e a c h o f t h e t w o o r d e r e d p a i r s . T h e s t u d e n t w h o r e p l i e d h a d d i f fi c u l t y t e l l i n g J o s h w h a t t h o s e v a l u e s g a v e h i m : t h a t i s , h e h a d d i f fi c u l t y n a m i n g t h e p r o c e s s t h a t h e w a s d o i n g a s 1 8 2 “ fi n d i n g t h e r u n . ” J o s h p r o c e e d e d b y a s k i n g a b o u t t h e r i s e . t h e s l o p e a n d t h e y - i n t e r c e p t i n a n I - R - E f o r m a t s i m i l a r t o t h o s e i n E x a m p l e J - I O . I n E x a m p l e J - I O . J o s h b e g a n b y a s k i n g J a y l e n f o r t w o p o i n t s o n t h e l i n e . J a y l e n t o l d h i m t w o o r d e r e d p a i r s a n d J o s h u s e d t h e s e t w o o r d e r e d p a i r s a s a l a u n c h i n t o fi n d i n g t h e r i s e . r u n a n d s l o p e . T h e r e w a s v e r y l i t t l e h e s i t a t i o n b e t w e e n t h e t i m e J o s h a s k e d w h a t L t h e s l o p e w a s a n d t h e t i m e h e b r o k e t h i s i d e a d o w n b y a s k i n g a b o u t t h e c o m p o n e n t s o f L s l o p e : t h e r i s e a n d t h e n t h e r u n . F u r t h e r m o r e . J o s h m a r k e d t h e v a l u e s t h a t w e r e u s e d f r o m 2 e a c h p o i n t a n d t h e m o v e m e n t t h a t t o o k p l a c e o n t h e r e s p e c t i v e a x i s t o g e t f r o m o n e p o i n t L t o t h e o t h e r ( i . e . “ Y o u ’ r e g o i n g f r o m z e r o o n t h e y u p t o o n e ? ” ) . I n a s k i n g t h e s e . J o s h w a s m o d e l i n g t h e t y p e o f q u e s t i o n s s t u d e n t s s h o u l d a s k t h e m s e l v e s a b o u t t h e s i t u a t i o n . H e w a s s t r u c t u r i n g t h e i n t e r a c t i o n a s a g u i d e f o r h o w s t u d e n t s s h o u l d t h i n k . A t t h e e n d . h e s h o w e d s t u d e n t s w h a t t h e y t h e n d o w i t h t h e s e c o m p o n e n t s : t h e y w r i t e t h e m i n t h e i r r e s p e c t i v e p o s i t i o n i n t h e e q u a t i o n ( i n t h i s c a s e y = 1 / 4 x o r y = . 2 5 x ) . I t w a s i m p o r t a n t t o t r a c e t h i s “ r e p e a t e d d i s c o u r s e f o r m a t ” a c r o s s t i m e . J o s h m a y h a v e b e e n u s i n g “ d i s c o u r s e a s s c a f f o l d ” ( C a z d e n . 1 9 8 8 . p . 1 0 1 ) . F o r t h e s e q u e s t i o n s t o b e s c a f f o l d e d i n s t r u c t i o n . t h e a s s i s t a n c e w o u l d n e e d t o b e g r a d u a l l y w i t h d r a w n u n t i l s t u d e n t s h a d l e a r n e d t o a s k t h e m s e l v e s t h e s e q u e s t i o n s i n d e p e n d e n t l y . J o s h m a y h a v e f e l t t h a t h e n e e d e d t o c o n t i n u e t o a s k t h e s e g u i d i n g q u e s t i o n s t h r o u g h o u t t h e l e s s o n b e c a u s e s t u d e n t s w e r e n o t a n s w e r i n g t h e q u e s t i o n s e a s i l y ( o r q u i c k l y ) . s u g g e s t i n g t h a t t h e y w e r e n o t r e a d y t o t a k e o n t h i s t a s k b y t h e m s e l v e s . I n a d d i t i o n . p r i o r t o t h e c l a s s p e r i o d . J o s h h a d t o l d m e t h a t h e w a s q u i t e d i s a p p o i n t e d b y t h e g r a d e s s t u d e n t s h a d r e c e i v e d o n t h e q u i z . B y r e p e a t e d l y a s k i n g t h i s s e q u e n c e . J o s h m a y h a v e p r o v i d e d a m o d e l . t h e r e b y s u g g e s t i n g t h e k i n d o f i n f o r m a t i o n t h a t s h o u l d b e i n c l u d e d w h e n t r y i n g t o w r i t e a l i n e a r e q u a t i o n . 1 8 3 T h r e e i m p o r t a n t f e a t u r e s o f s c a f t ’ o l d i n c l u d e : m a k i n g i t p o s s i b l e f ’ o r t h e n o v i c e t o p a r t i c i p a t e i n t h e m a t u r e t a s k f r o m t h e v e r y b e g i n n i n g : a n d d o i n g t h i s b y p r o v i d i n g s u p p o r t t h a t i s b o t h a d j u s t a b l e a n d t e m p o r a r y ( C a z d e n . 1 9 8 8 . p . 1 0 7 ) . T h i s t y p e o f s c a f f o l d i n g c a n p l a y a n i m p o r t a n t r o l e f o r p r o v i d i n g s u p p o r t i n g u i d i n g s t u d e n t s i n t h e i r z o n e o f p r o x i m a l d e v e l o p m e n t . I f . i n f a c t . t h e n o v i c e t a k e s o v e r m o r e a n d m o r e r e s p o n s i b i l i t y f ’ o r t h e t a s k a t h a n d . [ . . . ] . t h e n w e c a n i n f e r . r e t r o s p e c t i v e l y . t h a t o u r h e l p w a s w e l l t i m e d a n d w e l l t u n e d . a n d t h a t t h e n o v i c e w a s f u n c t i o n i n g i n h i s o r h e r z o n e o f p r o x i m a l d e v e l o p m e n t , d o i n g a t fi r s t w i t h h e l p w h a t h e o r s h e c o u l d v e r y s o o n d o a l o n e ( p . 1 0 7 ) . A n i n t e r e s t i n g q u e s t i o n r e m a i n s : d o e s J o s h f a d e o u t o r n o t ? A f t e r r e t r a c i n g J o s h ’ s q u e s t i o n i n g s t r a t e g i e s t h r o u g h t h e M o d e l s u n i t . i t s e e m e d t h a t t h i s e x a c t f o r m o f q u e s t i o n i n g o n l y a p p e a r e d w h e n J o s h r e t u r n e d a s s e s s m e n t s . O n O c t o b e r 2 2 . J o s h h a n d e d b a c k a p a r t n e r q u i z a n d s c a f f o l d e d i n t h e s a m e m a n n e r : t h a t i s . h e d i d n o t f a d e o u t a n d [ l . 4 ’ . T h i s f o r m t a l k e d s t u d e n t s t h r o u g h t h e s t e p s a s h e d i d i n t h e t r a n s c r i p t f r o m O c t o b e r 6 d i d n o t s e e m t o b e a s c a f f o l d i n t h e s e n s e t h a t J o s h c o n t i n u e d t o u s e i t a n d h a d s t u d e n t s e v e n t u a l l y t a k e o v e r t h e p r o c e s s . I n s t e a d . i t i n d i c a t e d t h a t J o s h w a s a n n o y e d b e c a u s e s t u d e n t s d i d n o t k n o w w h a t t h e y “ s h o u l d ” k n o w ( i . e . t h e “ c o m m o n k n o w l e d g e ” ) . J o s h s a i d t h a t h e t h o u g h t h e w a s “ h o l d i n g t h e i r h a n d s a l i t t l e t o o m u c h ” ( I n t e r v i e w . 1 - 3 . 1 2 / 1 7 / 9 9 ) w h e n h e r e a d t h e s e e x a m p l e s . H o w e v e r . h e s a i d t h a t t h i s w a s “ s o m e t h i n g t h a t t h e y r e a l l y s h o u l d k n o w ” a n d t h a t h e “ m i g h t [ . . . ] h a v e b e e n p i s s e d o f ’ f [ . . . ] ‘ c u z l ’ r n r e a l l y r a c i n g t h r o u g h t h i s [ r e f e r r i n g t o t h e p a c e h e a s k e d t h e q u e s t i o n s ] ” ( I n t e r v i e w J - 3 . 1 2 / 1 7 / 9 9 ) . H e a l s o s a i d t h a t h e t h o u g h t h e d i d t h i s m o r e o f t e n w h e n h e w a s : r e a l l y t r y i n g t o h a m m e r s o m e t h i n g [ . . . . ] t h i s i s a v e r y t r a d i t i o n a l w a y o f t e a c h i n g . T h i s i s t h i s . t h i s i s t h i s . a n d y o u k n o w o n c e i n a w h i l e I w i l l t u r n a r o u n d a n d s n a p [ s n a p s h i s fi n g e r s . . . ] I h o p e I d i d n ’ t d o t h i s a l l t h e t i m e . B u t . a l t h o u g h . m a y b e t h e r e ’ s s o m e v a l u e i n d o i n g i t t h i s w a y a s w e l l . I t h i n k . w h e n y o u ’ r e r e a l l y t r y i n g 1 8 4 t o h a m m e r s o m e t h i n g i n t o k i d s . W h e n y o u r e a l l y fi r e i t o f f a t t h e m i t r e a l l y k i n d a k e e p s t h e m o n t a s k a s t o w h a t y o u ’ r e t r y i n g t o d o . I w o u l d c e r t a i n l y h o p e I d i d n ’ t d o t h i s t h a t m u c h , b u t I ’ m s u r e I d i d [ l a u g h s ] ( I n t e r v i e w J - 3 . 1 2 1 ’ 1 7 / 9 9 ) . W h e n r e v i e w i n g t h e t a p e s . I n o t i c e d t h a t t h e r e w a s a t l e a s t o n e o t h e r f o r m t h a t m a y h a v e a l l o w e d J o s h t o u s e d i s c o u r s e a s s c a f f o l d i n g . W h e n e v e r a g r a p h w a s d r a w n . J o s h u s e d t h e s a m e fl o w o f q u e s t i o n s t o g e t s t u d e n t s t o s e t t i p a n d l a b e l t h e g r a p h . T h i s s e q u e n c e o f q u e s t i o n s i n c l u d e d : H o w d i d y o u l a b e l y o u r x - a x i s ? [ . . . ] H o w d i d y o u l a b e l y o u r y - a x i s ? [ . . . ] W h a t s c a l e d i d y o u u s e ? [ . . . ] F o r y o u r x - a x i s ? [ . . . ] F o r y o u r y - a x i s ? T y p i c a l l y . t h i s w a s f o l l o w e d b y J o s h l e a d i n g t h e c l a s s t h r o u g h t h e d a t a f o r t h e t a b l e . I a l s o t r a c e d t h i s s u c c e s s i o n o f q u e s t i o n s a n d f o u n d t h a t J o s h a s k e d t h e m i n a t l e a s t h a l f o f t h e c l a s s s e s s i o n s . A s w i t h t h e p r e v i o u s s e q u e n c e o f q u e s t i o n s . J o s h ’ s r o l e d i d n o t c h a n g e a n d h e p o s e d t h e s a m e s e r i e s o f q u e s t i o n s a c r o s s t i m e . I n i n t e r v i e w s w i t h s t u d e n t s . i t w a s q u i t e a p p a r e n t t h a t t h e y t h o u g h t a b o u t t h e e q u a t i o n o f a l i n e i n t e r m s o f t h e s e c o m p o n e n t s . A l s o . w h e n t h e y d r e w t h e i r g r a p h s i t w a s o b v i o u s t h a t t h e y k n e w t h a t t h e y h a d t o l a b e l t h e a x e s a n d d e fi n e t h e s c a l e s f o r e a c h . I n a d d i t i o n . I h e a r d s t u d e n t s h a v e c o n v e r s a t i o n s d u r i n g m y o b s e r v a t i o n s t h a t i n d i c a t e d t h a t s t u d e n t s a l s o u s e d t h e s e s m a l l e r s t e p s t o c o m p l e t e t h e s e t a s k s i n c l a s s s e s s i o n s . S o . e v e n t h o u g h J o s h ’ s q u e s t i o n i n g d i d n o t a c t a s a s c a f f o l d a c r o s s t h i s t i m e p e r i o d . s t u d e n t s s e e m e d t o h a v e r e c o g n i z e d t h a t t h e s e s m a l l e r s t e p s n r a d e u p t h e l a r g e r p r o c e s s o r r e s u l t . I n o t h e r w o r d s . J o s h ’ s m o d e l i n g o f q u e s t i o n s t o a s k o n e s e l f ’ ( w h e n c o m p l e t i n g t h e s e t w o t a s k s ) s e e m e d t o h a v e b e e n t a k e n u p b y s t u d e n t s . “ I s i t l i n e a r o r n o t ? ” : S t r o n g l y e s t a b l i s h e d c o m m o n k n o w l e d g e i s a d e c i s i o n t o b e m a d e . D u r i n g t h e fi r s t u n i t , M o v i n g S t r a i g h t A h e a d . s t u d e n t s e x p l o r e d l i n e a r r e l a t i o n s h i p s f o r s e v e n w e e k s . I t i s p o s s i b l e t h a t J o s h b e l i e v e d t h a t k n o w i n g w h e t h e r s o m e t h i n g w a s l i n e a r o r n o t w a s s o m u c h p a r t o f t h e c o m m o n k n o w l e d g e . t h a t s t u d e n t s s h o u l d n o t e v e n h a v e t o t h i n k a b o u t i t a n y m o r e : t h a t i s . h e c o n s i d e r e d t h i s k n o w l e d g e t o b e “ p r e s u p p o s e d a n d i m p l i c i t . ” I n f a c t . h e e x p l i c i t l y s t a t e d s u c h e x p e c t a t i o n s a f t e r h e r e t u r n e d t h e C l r e c k - u p t o s t u d e n t s : E x a m p l e J - 1 0 J : O k a y / g u y s . l e t ’ s / l l e t ’ s / t a k e a l o o k a t t h i s C h e c k - u p . U m / I ’ m n o t g o i n g t o . I d o n ’ t w a n t t o / s t a n d u p h e r e a n d l e c t u r e y o u g u y s a g a i n . b u t / l i k e I m e n t i o n e d y e s t e r d a y f o r s e v e n w e e k s w e ’ v e d o n e n o t h i n g b u t l i n e a r p a t t e r n s . l i n e a r r e l a t i o n s h i p s . l i n e a r e q u a t i o n s f o r s e v e n w e e k s . A n d t h e r e a r e s o m e t h i n g s / q u i t e h o n e s t l y / t h a t y o u s h o u l d n ’ t e v e n h a v e t o t h i n k a b o u t r i g h t n o w / I f y o u a r e g i v e n t w o p o i n t s o n a n y l i n e . y o u s h o u l d b e a b l e t o fi n d a n e q u a t i o n . y o u s h o u l d b e a b l e t o fi n d s l o p e . y o u s h o u l d b e a b l e t o e i t h e r / w o r k b a c k w a r d s i n a t a b l e o r u s e a s y m b o l i c m e t h o d t o f i n d y - i n t e r c e p t / Y o u s h o u l d b e a b l e t o d o a l l t h a t s t u f f . O f t e n . J o s h b e g a n t h e d i s c u s s i o n a b o u t a n e w p r o b l e m b y a s k i n g i f t h e r e l a t i o n s h i p w a s l i n e a r o r n o t . I n d o i n g s o . h e s e e m e d t o i m p l y t h a t t h i s w a s a m a t h e m a t i c a l d e c i s i o n t o b e m a d e ( i . e . t h a t i t ’ s s o m e t h i n g t h a t t h e y “ s h o u l d n ’ t e v e n h a v e t o t h i n k a b o u t ” b y n o w ) . r a t h e r t h a n a m a t h e m a t i c a l a c t i v i t y t o b e e x p l o r e d . A l s o . h e f o l l o w e d u p m a n y o f t h e s e w i t h “ w h y . ” a g a i n i n d i c a t i n g t h a t r e a s o n s w e r e i m p o r t a n t . E x a m p l e J - I I J : S o . i f o n e g r o u p m a k e s a . k i n d a a . s c r e w s t i p a s f a r a s c o l l e c t i n g t h e i r d a t a . i t ’ s n o t g o n n a a f f e c t t h i n g s a s m u c h s i n c e w e ’ r e a v e r a g i n g s i x g r o u p s . U m . l i n e a r o r n o t l i n e a r ? P J : I t ’ s l i n e a r u n t i l t h e l a s t o n e [ l a s t p o i n t o n t h e g r a p h m o d e l ] . I d o n ’ t k n o w , o n t h e a v e r a g e A b r a m : I t ’ s p r e t t y l i n e a r J : P r e t t y l i n e a r ? L e t ’ s fi n d o u t . U h . w h a t I ’ d l i k e y o u g u y s t o d o i s t h i s : I f y o u l o o k i n y o u r b o o k s o n p a g e 7 . ( 5 5 o p e n b o o k s ) P r o b l e m 1 . 2 i s c a l l e d d r a w i n g g r a p h m o d e l s . A n d w h a t i t h a s y o u l o o k a t . i s i t h a s y o u l o o k a t a c l a s s r o o m s e t o f d a t a f r o m M a r y l a n d . A n d . t h e y p l o t t e d t h e d a t a a n d t h e y t r i e d t o d e c i d e i f i t ’ s l i n e a r o r n o t . N o w . w e ’ r e g o n n a l o o k a t t h a t i n a c o u p l e o f m i n u t e s . b u t I ’ d r a t h e r l o o k a t o u r d a t a . S o . w h a t I ’ m g o n n a d o i s I ’ m g o n n a g i v e y o u a s h e e t o f g r a p h p a p e r a n d I ’ d l i k e y o u a n d y o u r s e a t p a r t n e r t o t a l k t h i s o v e r . A n d I ’ d l i k e y o u t o g r a p h t h e c l a s s r o o m a v e r a g e . 1 8 6 I n t h i s e x a m p l e . J o s h c o n c l u d e d t h e d i s c u s s i o n a b o u t t h e d a t a c o l l e c t e d b y a s k i n g s t u d e n t s t o p r e d i c t w h e t h e r t h e y t h o u g h t t h e r e l a t i o n s h i p i n t h e g r a p h a p p e a r e d l i n e a r o r n o t . P J t h o u g h t i t w a s l i n e a r t i p u n t i l t h e l a s t p o i n t t h e y h a d g r a p h e d o n t h e i r m o d e l . A b r a m t h o u g h t i t w a s “ p r e t t y ” l i n e a r . A s w i t h K a r l a ’ s c l a s s r o o m . " p r e t t y l i n e a r ” b e c a m e a w a y t o i n d i c a t e l i n e a r m o d e l s — t h e y w e r e n o t “ p e r f e c t l y ” l i n e a r b e c a u s e t h e p e r f e c t r e l a t i o n s h i p o n l y e x i s t s i n t h e t e x t b o o k - g e n e r a t e d l i n e a r r e l a t i o n s h i p s . n o t i n t h e m o d e l i n g o n e s . J o s h r e s p o n d e d . t e l l i n g t h e m t h e y w e r e g o i n g t o l o o k a t t h i s s o o n . b u t r e f e r r e d t o a g r o u p o f s t u d e n t s f r o m M a r y l a n d w h o h a d e n g a g e d i n t h e s a m e b r i d g e a c t i v i t y . I n a s e n s e , t h e y w e r e b e i n g r e f e r r e d t o a s a “ m o d e l ” g r o u p w h o h a d d o n e t h e s a m e t h i n g a n d w h o a l s o h a d t o d e c i d e i f t h e i r r e l a t i o n s h i p w a s l i n e a r . S i n c e t h i s g r o u p o f s t u d e n t s h a d h a d t o d e c i d e t h i s . J o s h w a s g o i n g t o h a v e t h e m e n g a g e i n t h e s a m e a c t i v i t y . H e t t r r n e d s t u d e n t a t t e n t i o n t o t h e d a t a t h e y c o l l e c t e d fi r s t . I n o t h e r e x a m p l e s w h e r e J o s h p o i n t e d o u t t h a t t h e y n e e d e d t o d e c i d e i f t h e r e l a t i o n s h i p w a s l i n e a r o r n o t , h e o f t e n f o l l o w e d u p w i t h a q u e s t i o n t h a t p u s h e d s t u d e n t s t o a r t i c u l a t e w h y i t w a s / w a s n o t l i n e a r . E x a m p l e J - 1 2 J : O k a y . U m . i s t h a t l i n e a r ? S s : Y e a h / N o / S u r e [ a l l t h r e e a n s w e r s a r e c o m i n g f ’ r o m S s ] [ J l a u g h s a n d s h a k e s h i s h e a d b a c k a n d f o r t h ] J : I h e a r a y e a h . I h e a r a n o . I h e a r a s u r e . F s : N o [ S s l a u g h ] J : L i n e a r o r n o t ? L i s a : Y e a h . M s : Y e s J : L i s a . y o u s a y i t ’ s l i n e a r ? L i s a : Y e a h J : W h a t m a k e s t h a t l i n e a r ? 1 8 7 E x a m p l e J - I 3 J : Z e r o / O k a y . t h a t ’ s l i n e a r . C i r c l e i t / L o o k a t t h e s e c o n d o n e [ 3 s e c ] y e q u a l s f o u r d i v i d e d b y x . W e h a v e n ’ t l o o k e d a t a n y o f t h o s e k i n d s o f e q u a t i o n s . b u t y o u s h o u l d s t i l l b e a b l e t o t e l l i f i t ’ s l i n e a r o r n o t / H o w c o u l d y o u t e l l i f t h a t ’ s l i n e a r ? C o r y : I t ’ s n o t i n s t a n d a r d f o r m / I n b o t h o f t h e s e e x a m p l e s . J o s h a s k e d s t u d e n t s t o j u s t i f y h o w t h e y k n e w i t w a s l i n e a r . I n E x a m p l e J - 1 2 . t h e r e a p p e a r e d t o b e d i s a g r e e m e n t f r o m s t u d e n t s a s t o w h e t h e r t h e m o d e l w a s l i n e a r — J o s h v e r i fi e d t h i s b y t e l l i n g t h e m t h a t h e w a s h e a r i n g “ y e a h . n o a n d s u r e ” f r o m s t u d e n t s . H e a s k e d . a g a i n . w h e t h e r t h e y t h o u g h t t h e r e l a t i o n s h i p w a s l i n e a r . L i s a b e l i e v e d t h a t i t w a s a n d J o s h c a l l e d o n h e r t o j u s t i f y h e r r e a s o n i n g . I n E x a m p l e J - l 3 . s t u d e n t s h a d b e e n g i v e n a f o r m o f a n e q u a t i o n w i t h w h i c h t h e y w e r e u n f a m i l i a r . y = 4 / x . J o s h r e c o g n i z e d t h a t t h e y h a d n o t d i s c u s s e d t h i s t y p e o f e q u a t i o n , b u t t o l d t h e m t h a t t h e y s h o u l d “ s t i l l b e a b l e t o t e l l i f i t ’ s l i n e a r o r n o t . ” J o s h m a y h a v e b e e n s a y i n g t h a t t h e d e fi n i t i o n o f “ l i n e a r ” w a s s o m u c h p a r t o f t h e c o m m o n k n o w l e d g e i n t h e c l a s s r o o m t h a t s t u d e n t s s h o u l d b e a b l e t o u s e t h i s k n o w l e d g e t o d i s t i n g u i s h w h e t h e r a n u n f a m i l i a r e q u a t i o n fi t t h a t c r i t e r i a . N o t o n l y s h o u l d s t u d e n t s b e a b l e t o j u d g e t h i s . b u t t h e y s h o u l d a l s o b e a b l e t o j u s t i f y t h e i r d e c i s i o n . I a l s o f o u n d a t l e a s t t w o o t h e r f o r m s o f t h i s t y p e o f “ d e c i s i o n ” q u e s t i o n i n g . S t u d e n t s w e r e e x p e c t e d t o b e a b l e t o d e t e r m i n e w h e t h e r s o m e t h i n g w a s t h e r i s e o r r u n a n d i f a s l o p e w a s p o s i t i v e o r n e g a t i v e . I n E x a m p l e J - 1 4 . a f t e r a s t u d e n t h a d t o l d J o s h t o s u b t r a c t t w o x - v a l u e s a s p a r t o f fi n d i n g t h e s l o p e b e t w e e n t w o g i v e n p o i n t s . J o s h a s k e d h i m w h e t h e r t h a t g a v e h i m t h e r i s e o r t h e r u n . I n d o i n g s o . J o s h s e e m e d t o a d v o c a t e t h e n e e d t o k n o w t h e n a m e o f t h e p r o c e s s t h a t t h e s t u d e n t d e s c r i b e d . 1 8 8 E x a m p l e J - 1 4 ( s e e a l s o E x a m p l e J - 3 ” ) J : W h a t d o e s t h a t g i v e y o u . t h e r i s e o r r u n ? A b r a m : U m / t h e r i s e J : B a d g u e s s A b r a m : T h e r u n J : W h y d o e s t h a t g i v e y o u t h e r u n ? [ 4 s e c ] W h y ? T h a t ’ s w h e r e o n e o f y o u g u y s - C o r y : T h a t ’ s w h a t ’ s o n t h e x - a x i s . J o s h i n d i c a t e d t h a t A b r a m d i d n o t t h i n k a b o u t h i s r e s p o n s e w h e n h e s a i d . “ B a d g u e s s . ” J o s h t h e n p o s e d a q u e s t i o n t o t h e c l a s s t h a t f o r c e d t h e m n o t t o g u e s s . b u t t o j u s t i f y w h y t h a t g a v e t h e m t h e r u n . A f t e r a f o u r s e c o n d p a u s e . J o s h a s k e d t h e q u e s t i o n a g a i n a n d b e g a n t o m a k e a p o i n t a b o u t s o m e t h i n g h e h a d o b s e r v e d i n a s t u d e n t ’ s a n s w e r . C o r y i n t e r r u p t e d w i t h t h e c o r r e c t a n s w e r . h e l p i n g J o s h m o v e o n t o t h e n e x t p h a s e — f i n d i n g t h e r i s e f o r t h e e q u a t i o n . I n t h e n e x t e x a m p l e . J o s h b e g a n t h e d i s c u s s i o n a b o u t a g r a p h b y a s k i n g w h a t t h e s l o p e o f t h e l i n e w a s . H e t h e n b a c k e d u p t o s o m e t h i n g t h a t w a s o b s e r v a b l e f r o m t h e p i c t u r e — d e c i d i n g w h e t h e r t h e s l o p e w a s p o s i t i v e o r n e g a t i v e . T h i s d e c i s i o n c o u l d b e m a d e b y l o o k i n g a t t h e s l a n t o f t h e l i n e . I f t h e l i n e s l a n t e d u p w a r d . t h e s l o p e w a s p o s i t i v e : i f i t s l a n t e d d o w n w a r d . i t w a s n e g a t i v e . J o s h w a n t e d s t u d e n t s t o r e c o g n i z e t h i s a n d m a k e t h i s d e c i s i o n b e f o r e t h e y e v e n t h o u g h t a b o u t fi n d i n g t h e s I O p e . O f t e n i n t h e d i s c u s s i o n s . s t u d e n t s f o r g o t t o p u t a n e g a t i v e i n f r o n t o f t h e s l o p e . H e r e . h e i s p o i n t i n g o u t t h a t t h e y n e e d t o d e c i d e t h i s “ fi r s t o f a l l . ” E x a m p l e J - 1 5 J : W h a t ’ s t h e s l o p e o f t h a t l i n e ? F i r s t o f a l l , p o s i t i v e o r n e g a t i v e s l o p e ? 8 3 . N e g a t i v e . J : I t ’ s g o i n g d o w n . r i g h t ? M s : Y e p . 1 8 9 F u r t h e r m o r e . a f t e r J o s h a s k e d t h e m w h e t h e r i t w a s p o s i t i v e o r n e g a t i v e . h e a d d e d w h y i t w a s n e g a t i v e : “ i t ’ s d o i n g d o w n . ” T h i s p o i n t w a s t a g g e d . r e q u i r i n g a p o s i t i v e r e s p o n s e . W h e n J o s h r e a d t h e s e e x a m p l e s . h e s a i d t h a t h e h a d n o t b e e n a w a r e t h a t h e s o m e t i m e s p o s e d q u e s t i o n s i n t h i s m a n n e r . H i s i n t e r p r e t a t i o n o f t h e s e q u e s t i o n s w a s “ t h a t c o u l d b e k i n d a l i m i t i n g . I ’ m n o t s u r e i f l d o t h a t i n t e n t i o n a l l y a s m u c h a s m a y b e I a c t u a l l y d o i t t o o m u c h s o m e t i m e s . I k i n d a l i m i t t h e m i n t o t h e i r p a t h s t h a t t h e y a c t u a l l y t a k e ” ( I n t e r v i e w J - 3 . 1 2 / 1 7 / 9 9 ) . T h i s t y p e o f q u e s t i o n i n g , f r o m J o s h ’ s p e r s p e c t i v e . m a y h a v e b e e n a w a y t o d i r e c t t h e c o n v e r s a t i o n b e c a u s e t h e f o r m o n l y a l l o w e d c e r t a i n p o s s i b i l i t i e s . T h i s m a y h a v e a l l o w e d J o s h t o m a i n t a i n c o n t r o l o f t h e d i r e c t i o n o f t h e c o n v e r s a t i o n . “ D o e s a n y o n e h a v e s o m e t h i n g e l s e ? . ” “ H o w m a n v h a v e . . . ” : P l u r a l i t v i s i m p o r t a n t i n d e t e r m i n i n g w h a t i s m a t h e m a t i c a l l y r e a s o n a b l e a n d w h a t i s n o t ( L i m i t e d I n v i t a t i o n t o D i v e r s i t y ) . T h e r e s e e m e d t o b e t w o m a j o r f u n c t i o n s f o r q u e s t i o n s t h a t f o c u s e d o n a l l o w i n g s t u d e n t s t o p r e s e n t m u l t i p l e w a y s f o r s o l v i n g p r o b l e m s . O n e o f t h e s e i n c l u d e d g e t t i n g p r o c e s s e s o r a n s w e r s o u t f o r d i s c u s s i o n . T h e o t h e r w a s u s e d m o r e a s a n i n f o r m a l a s s e s s m e n t o f t h e a n s w e r s p e o p l e w e r e g e t t i n g . T o g e t s t u d e n t s t o o f f ’ e r t h e i r p r o c e s s e s f ’ o r s o l v i n g p r o b l e m s . J o s h o f t e n a s k e d q u e s t i o n s l i k e , “ W h a t d o y o u t h i n k ? ” o r “ W h a t d i d y o u s a y ? ” F o r e x a m p l e . a l ’ t e r s t u d e n t s h a d fi l l e d i n t h e a v e r a g e c l a s s v a l u e ” f o r t h e b r i d g e - t h i c k n e s s p r o b l e m i n I n v e s t i g a t i o n 1 . J o s h t u r n e d t h e d i s c u s s i o n t o d e t e r m i n i n g w h e t h e r s t u d e n t s t h o u g h t t h e d a t a w a s l i n e a r . E x a m p l e J - 1 6 J : L a u r i e . y o u s a y i t ’ s l i n e a r ? L a u r i e : Y e a h J : W h a t m a k e s t h a t l i n e a r ? L a u r i e : [ i n a u d i b l e ] J : S a y t h a t s o w e c a n a l l h e a r L a u r i e : I t ’ s p r e t t y m u c h g o i n g u p l i k e s t r a i g h t — [ s t o p s ] J : O k a y . I t ’ s p r e t t y m u c h g o i n g u p a t t h e s a m e s t e e p n e s s . P J . w h a t d o y o u t h i n k ? 1 9 0 , . a ‘ 2 I " E r l . 3 E ' 3 1 . P J : I t h i n k n o b e c a u s e t h e l a s t p o i n t i s n o t l i k e . f o l l o w i n g w i t h t h e p a t t e r n . T o b e l i n e a r i t h a s t o g o u p l i k e i n a c o n s i s t e n t p a t t e r n . J : L a u r i e . w h a t ’ d y o u s a y ? L a u r i e : B u t i t ’ s e x p e r i m e n t a l d a t a . P J : Y e a h . b u t [ i n a u d i b l e ] J : S o . u h . I t h i n k w e h a v e t w o s c h o o l s o f t h o u g h t h e r e . O n e i s t h a t i t ’ s e x p e r i m e n t a l d a t a s o i t m a y n o t b e a p e r f e c t l i n e . A n d t h e o t h e r s c h o o l o f t h o u g h t i s t h a t i t ’ s n o t l i n e a r b e c a u s e o n e o f t h e p i e c e s o f d a t a i s k i n d a a w a y f r o m t h e r e s t o f t h e p a t t e r n . A b r a m : F o r m e . t o b e l i n e a r i t d o e s n ’ t h a v e t o b e e x a c t . i t c a n b e o f ’ f a l i t t l e b i t . J : O k a y — l e t m e a s k t h i s q u e s t i o n a g a i n . H o w m a n y o f y o u g u y s t h i n k t h i s i s a l i n e a r r e l a t i o n s h i p b e t w e e n b r i d g e t h i c k n e s s a n d t h e b r e a k i n g w e i g h t ? H o w m a n y t h i n k i t ’ s n o t ? H o w m a n y a r e n ’ t s u r e ? [ a b o u t 2 / 3 o f t h e S s r a i s e t h e i r h a n d s t o s h o w t h a t t h e y t h i n k i t i s l i n e a r ] J : W e l l . I t e l l y o u w h a t . I k i n d a a g r e e w i t h w h a t L a u r i e j u s t s a i d . T h a t t h i s i s e x p e r i m e n t a l d a t a a n d i n e x p e r i m e n t a l d a t a y o u ’ r e n o t a l w a y s g o n n a g e t t h i s p e r f e c t p a t t e r n . I f I l o o k e d a t t h i s g r a p h , I w o u l d s a y t h e r e l o o k s t o b e a l i n e a r r e l a t i o n s h i p . I t l o o k s t o b e p r e t t y c l o s e t o b e i n g i n a l i n e . I a g r e e . P J . t h a t l a s t p o i n t k i n d a s c r e w s t h i n g s u p a l i t t l e b i t b e c a u s e i t ’ s a w a y f r o m t h e r e s t o f t h e d a t a a l i t t l e b i t . B u t . I t h i n k t h a t t h e r e i s a l i n e a r p a t t e r n h e r e . S o . h o w a r e w e g o i n g t o s h o w t h e l i n e a r p a t t e r n ? L e t ’ s g o a h e a d a n d t a k e a l o o k a n d r e a d p r o b l e m 1 . 2 w h e r e i t s a y s . “ D r a w i n g g r a p h m o d e l s . ” C o r y . w o u l d y o u r e a d t h a t p l e a s e o n p . 7 . I n t h i s e x a m p l e . J o s h a s k e d t h e c l a s s i f a n e q u a t i o n w a s l i n e a r o r n o t . L a u r i e a n s w e r e d i n t h e a f fi r m a t i v e a n d J o s h a s k e d h e r h o w s h e k n e w t h a t i t w a s l i n e a r . S h e b e g a n t o a n s w e r h i s q u e s t i o n a n d t h e n q u i t i n m i d - s e n t e n c e . J o s h p a r a p h r a s e d h e r c o n t r i b u t i o n a n d c a l l e d o n P J t o s e e w h a t h e t h o u g h t . P J ’ s i d e a c o n t r a d i c t e d L a u r i e ’ s a s s e r t i o n a n d d r e w o n t h e f a c t t h a t h e t h o u g h t l i n e a r r e l a t i o n s h i p s m u s t i n c r e a s e b y a c o n s t a n t a d d i t i v e v a l u e — w h a t h e c a l l e d a “ c o n s i s t e n t p a t t e r n . ” J o s h o f f e r e d h i s r e c o n s t r u c t i v e r e c a p o f t h e “ t w o s c h o o l s o f t h o u g h t ” i n t h e c o n v e r s a t i o n . m a k i n g t h i s i n s t a n c e q u i t e n o v e l ” f o r t h i s c l a s s r o o m . L a u r i e a r g u e d t h a t t h e r e l a t i o n s h i p w a s l i n e a r a n d t h a t t h e l i n e w i l l n o t b e “ p e r f e c t ” b e c a u s e t h e d a t a w a s b a s e d o n t h e e x p e r i m e n t a l d a t a t h a t t h e y c o l l e c t e d . P J . i n c o n t r a s t . t h o u g h t t h e r e l a t i o n s h i p w a s n o t l i n e a r b e c a u s e t h e l a s t p o i n t d i d n o t f o l l o w t h e l i n e a r p a t t e r n . H e d r e w o n h i s 1 9 1 : D ' I - n Z “ I ‘ l f u W k n o w l e d g e o f w h a t “ l i n e a r ” h a s m e a n t : t h e p a t t e r n m u s t i n c r e a s e a d d i t i v e l y b y t h e s a m e a m o u n t e v e r y t i m e . L a u r i e s e e m e d t o b e d r a w i n g o n h e r k n o w l e d g e o f a “ g r a p h m o d e l ” : t h e a d d i t i v e p a t t e r n i s g o i n g t o b e L O S E t o l i n e a r b e c a u s e e x p e r i m e n t a l e r r o r s m a y o c c u r . J o s h s t e p p e d i n a n d t o o k L a u r i e ’ s a n d P J ’ s a s s e r t i o n s a n d c r e a t e d a c o n t r a s t b e t w e e n t h e t w o i d e a s . j u x t a p o s i n g t h e i r a r g u m e n t s a n d p o s i t i o n i n g t h e s t u d e n t s i n o p p o s i t i o n . T h i s p a r t i c i p a n t f r a m e w o r k , t h e n . “ c o n t a i n s t w o h y p o t h e s e s a b o u t a n e v e n t a n d e n t a i l s t w o o r i g i n a t o r s o f t h e s e h y p o t h e s e s ” ( O ' C o n n o r & M i c h a e l s . 1 9 9 6 . p . 7 8 ) . I n s e t t i n g u p t h i s d i s c o r d , J o s h h a s a c c o m p l i s h e d m a n y t h i n g s . H e i n d u c t e d L a u r i e a n d P J : [ . . . ] i n t o p u b l i c v e r s i o n s o f k e y i n t e l l e c t u a l r o l e s [ . . . ] t h e o r i z e r . p r e d i c t o r . h y p o t h e s i z e r [ . . . w h i c h m u s t b e ] s t a t e d i n t e r m s o f o t h e r p a r t i c i p a n t s i n t h e o n g o i n g a c t i v i t y a n d i n t e r m s o f t h e a c t u a l p r o p o s i t i o n a l c o n t e n t u n d e r d i s c u s s i o n . H e r e t h e t e a c h e r h a s c r e a t e d a d r a m a t i c l a n d s c a p e f o r t h i s e v e n t . f e a t u r i n g t w o p r o t a g o n i s t s . T h i s p r o v i d e s a n o p p o r t u n i t y f o r o t h e r c h i l d r e n ( p e r h a p s s i l e n t l y . p e r h a p s v o c a l l y ) t o p l a c e t h e m s e l v e s i n r e l a t i o n t o t h e [ . . . ] h y p o t h e s e s . t h r o u g h [ L a u r i e a n d P J ] a s p r o x i e s ( p . 7 8 ) . T h i s o c c a s i o n w a s t a k e n v o c a l l y b y A b r a m . w h o a r t i c u l a t e d h o w h e d e f i n e d t h e s i t u a t i o n : t h a t i s . h e s e e m e d t o b e p l a c i n g h i m s e l f i n r e l a t i o n t o L a u r i e ’ s h y p o t h e s i s i n t h a t i t c a n b e “ o f f a l i t t l e b i t ” a n d s t i l l b e l i n e a r . J o s h t o o k t h i s o p p o r t u n i t y t o a s s e s s w h a t s t u d e n t s w e r e t h i n k i n g b y a s k i n g t h e m . “ H o w m a n y t h i n k i t ’ s l i n e a r ? . . . n o t ? . . . n o t s u r e ? ” a n d s t u d e n t s r e s p o n d e d b y a s h o w o f h a n d s . T h i s f o r m , “ H o w m a n y t h i n k . . . ? ” s e r v e d t h e o t h e r f u n c t i o n I r e f e r r e d t o a t t h e b e g i n n i n g o f t h i s s e c t i o n . J o s h u s e d t h i s q u e s t i o n - f o r m a s a w a y o f c h e c k i n g w h a t a l a r g e r g r o u p o f s t u d e n t s t h o u g h t . I n t h i s c a s e . t h e r e w e r e “ t w o s c h o o l s o f t h o u g h t ” a n d J o s h w a n t e d t o k n o w w h e r e t h e r e s t o f t h e c l a s s s t o o d i n r e l a t i o n t o t h e m . I n t h i s w a y . h e i n f o r m a l l y a s s e s s e d t h o s e s t u d e n t s w h o w e r e n o t v o c a l l y i n v o l v e d i n t h e d i s c u s s i o n . 1 9 2 T h e d i s c u s s i o n i n t h i s e x a m p l e t h e n t o o k a n i n t e r e s t i n g t u r n t h a t w i l l b e d i s c u s s e d m o r e i n t h e f o l l o w i n g s e c t i o n r e l a t e d t o i s s u e s o f a u t h o r i t y . J o s h t o l d s t u d e n t s w h a t h e t h o u g h t a b o u t t h e d i s a g r e e m e n t I r e a g r e e d w i t h L a u r i e . B e c a u s e J o s h i s i n p o s i t i o n o f a u t h o r i t y . i t a p p e a r e d t h a t h e h a s n o w e s t a b l i s h e d t h e “ c o r r e c t ” a n s w e r b y t e l l i n g s t u d e n t s t h a t h e t h o u g h t i t w a s l i n e a r a n d w h y h e a g r e e d w i t h L a u r i e . H e r e c o g n i z e d t h a t P J m a d e a v a l i d p o i n t ( t h e l a s t p o i n t i s o f f ’ a l i t t l e b i t ) . b u t t o l d t h e c l a s s t h a t h e t h o u g h t t h e p a t t e r n w a s p r e t t y l i n e a r . T h e c o n fl i c t w a s r e s o l v e d a n d J o s h m o v e d o n b y t u r n i n g s t u d e n t ’ s a t t e n t i o n t o t h e t e x t b o o k s o t h a t t h e y c o u l d t a l k a b o u t h o w t o “ s h o w a l i n e a r p a t t e r n . ” S u m m a r v I n t h i s s e c t i o n , I h a v e s h o w n h o w J o s h u s e d m a n y d i f f e r e n t f o r m s o f ’ q u e s t i o n s f o r m a n y d i f f e r e n t f u n c t i o n s . I h a v e a l s o s h o w n h o w . i n s o m e c a s e s . h e u s e d R e f o r m u l a t o r s t o h e l p s t u d e n t s a n s w e r t h e q u e s t i o n a s h e e x p e c t e d . A l t h o u g h m a n y o f h i s q u e s t i o n i n g s e q u e n c e s b e g a n w i t h a w h - o r h o w q u e s t i o n a s r e f o r m u l a t o r s d o . o n l y s o m e o f t h e s e w e r e r e f o r m u l a t e d a f t e r s t u d e n t s w e r e u n s u c c e s s f u l i n p r o d u c i n g t h e r e a s o n s f o r w h i c h J o s h w a s s e a r c h i n g . R a t h e r t h a n c o n t r o l l i n g t h e c o m m o n k n o w l e d g e t h r o u g h n o n v e r b a l s . J o s h “ c u e d e l i c i t a t i o n ” b y c o n t i n u a l l y n a r r o w i n g d o w n t h e r a n g e o f ’ a n s w e r s . a n d i n s o m e c a s e s . e v e n d i r e c t i n g s t u d e n t a t t e n t i o n t o w h a t t h e t e x t b o o k s t a t e d . T h r o u g h h i s q u e s t i o n s . J o s h e s t a b l i s h e d p a r t o f t h e c o m m o n k n o w l e d g e o f t h e c l a s s r o o m . T h e s e w e r e e s p e c i a l l y a p p a r e n t i n t h e p r o p o s i t i o n s t h a t p r e c e d e d a t a g a n d t h o s e t h a t p r e c e d e d h i s “ w h y ” q u e s t i o n s , w h i c h b o t h s e e m e d t o f u n c t i o n a s j o i n t k n o w l e d g e m a r k e r s b e c a u s e t h e y w e r e r e p e a t e d d i s c o u r s e f o r m a t s . T h e t a g s t h a t J o s h o f t e n f o l l o w e d h i s p r o p o s i t i o n s w i t h s e e m t o b e h i s w a y o f b e i n g p o l i t e t o s t u d e n t s . e s p e c i a l l y w h e n s t u d e n t s w e r e n o t a n s w e r i n g q u e s t i o n s i n t h e m a n n e r t h a t h e h o p e d t h e y 1 9 3 w o u l d . H e a l s o s e e m e d t o u s e t a g s t o s o f t e n a d d i t i o n a l i n f o r m a t i o n h e g a v e w h e n a n s w e r s w e r e n o t a s p r e c i s e a s h e s e e m e d t o w a n t t h e m t o b e . W h e n J o s h f o l l o w e d a p r o p o s i t i o n w i t h “ w h y . ” h e s o m e t i m e s h a d a p a r t i c u l a r r e a s o n i n m i n d . W h e n s t u d e n t s d i d n o t o f f e r t h e r e a s o n t h a t h e h a d i n m i n d . h e o f t e n u s e d a r e f o r m u l a t o r t o d i r e c t s t u d e n t t h i n k i n g . I n t h i s w a y . s o m e o f t h e q u e s t i o n s t h a t a p p e a r e d i n o p e n a t fi r s t b e c a m e m o r e c l o s e d i n n a t u r e . S o m e o f J o s h ’ s q u e s t i o n s a p p e a r e d t o f u n c t i o n a s a w a y f o r J o s h t o l e t s t u d e n t s I ” k n o w t h e k i n d s o f s u b - q u e s t i o n s t h e y s h o u l d b e a s k i n g t h e m s e l v e s a s h e a s k e d t h e m a ’ s e r i e s o f q u e s t i o n s t h a t w e r e s u b c o m p o n e n t s o f a l a r g e r t a s k . W h e n d o i n g s o . h e m a y ' h a v e b e e n h o p i n g t h a t s t u d e n t s w o u l d e v e n t u a l l y i n t e r n a l i z e t h e s e q u e s t i o n s a n d a n s w e r t h e m i n d e p e n d e n t l y . I f J o s h c o n t i n u e d t h e s c h o o l y e a r b y s l o w l y w i t h d r a w i n g h i s v o c a l i z a t i o n o f t h e s e q u e s t i o n s a n d s t u d e n t s b e g a n t o a s k t h e m s e l v e s t h e s e q u e s t i o n s . J o s h m a y h a v e b e e n h e l p i n g s t u d e n t s w o r k i n t h e i r z o n e o f p r o x i m a l d e v e l o p m e n t . S u b s e q u e n t o b s e r v a t i o n a n d i n t e r v i e w s w i t h s t u d e n t s h a v e s h o w n t h a t s t u d e n t s d o e v e n t u a l l y t h i n k a b o u t t h e s e s m a l l e r c o m p o n e n t s t h a t m a k e u p l i n e a r r e l a t i o n s h i p s . e v e n t h o u g h J o s h d i d n o t r e a l l y r e l i n q u i s h h i s r o l e i n a s k i n g t h o s e p a r t i c u l a r q u e s t i o n s . S o m e o f t h e q u e s t i o n s J o s h a s k e d i m p l i e d t h a t t h e r e w e r e c e r t a i n p a r t s o f t h e c o m m o n k n o w l e d g e t h a t w e r e f u l l y e s t a b l i s h e d a n d w e r e n o w d e c i s i o n s t o b e m a d e r a t h e r t h a n m a t h e m a t i c a l a c t i v i t y i n w h i c h t o b e e n g a g e d : t h a t i s . t h e s e i d e a s w e r e p r e s u p p o s e d a n d i m p l i c i t . T h e m o s t p r e v a l e n t a p p e a r e d t o b e w h e t h e r a r e l a t i o n s h i p w a s l i n e a r o r n o t . R e l a t e d t o t h i s . s t u d e n t s w e r e e x p e c t e d t o b e a b l e t o d e t e r m i n e w h e t h e r a l i n e ’ s s l o p e w a s p o s i t i v e o r n e g a t i v e j u s t b y l o o k i n g a t i t . T h e t h i r d t h i n g t h a t a p p e a r e d t o b e a d e c i s i o n a t t h i s p o i n t ( a n d n o t m a t h e m a t i c a l a c t i v i t y ) w a s w h e t h e r t h e r i s e o r r u n h a d b e e n f o u n d : 1 9 4 , . . l . — a r ’ h a A . - ’ ’ W M # 4 p . x . u A - a ‘ t h a t i s . w h e n t h e p r o c e s s f o r fi n d i n g t h e r i s e o r r u n w a s b e i n g e n g a g e d i n . s t u d e n t s s h o u l d h a v e b e e n a b l e t o n a m e t h a t p r o c e s s . T h r o u g h s o m e o f h i s f o r m s o f q u e s t i o n i n g . J o s h a l l o w e d s t u d e n t s t o s h a r e t h e i r i d e a s . b u t a s I w i l l d e t a i l i n t h e f o l l o w i n g s e c t i o n . h e b e c a m e t h e j u d g e o f w h e t h e r t h e i d e a s w e r e a g r e e a b l e o r r e a s o n a b l e i n t e r m s o f t h e m a t h e m a t i c s . S t u d e n t s s h a r e d t h e i r i d e a s . b u t t h e i n v i t a t i o n t o d i s c u s s t h e s e i d e a s w a s l i m i t e d b y t h e f a c t t h a t J o s h t y p i c a l l y e n d e d t h e c o n v e r s a t i o n b y t e l l i n g s t u d e n t s w h o h e a g r e e d w i t h o r b y t e l l i n g t h e m w h i c h a n s w e r s w e r e r e a s o n a b l e . O n e o f J o s h ’ s p r i m a r y f u n c t i o n s a s a t e a c h e r i n t h i s c l a s s r o o m w a s t h a t h e w a s t h e “ a s k e r o f q u e s t i o n s . ” I n t a k i n g o n t h i s r o l e . i t b e c a m e t h e s t u d e n t ’ s j o b t o r e s p o n d t o t h e s e q u e s t i o n s . A s I m e n t i o n e d i n C h a p t e r 4 . t h i s w a s a l s o o n e o f t h e m o s t a p p a r e n t a s p e c t s o f t h e t e x t b o o k . J o s h a n d t h e t e x t b o o k s e e m e d t o s h a r e t h i s c o m m o n i n t e r r o g a t i v e v o i c e . G o o d y ( 1 9 7 8 ) s p e c u l a t e s t h a t q u e s t i o n s f r o m t h e t e a c h e r t o t h e s t u d e n t a r e l i k e l y t o b e i n t e r p r e t e d a s ‘ e x a m i n a t i o n ’ q u e s t i o n s . h o l d i n g t h e s t u d e n t r e s p o n s i b l e f o r k n o w i n g t h e r i g h t a n s w e r . s e e k i n g t o c o n t r o l h i m b y p u t t i n g h i m p u b l i c l y o n t r i a l . S h e i n d i c a t e s t h a t c o n t r o l m e s s a g e s t e n d t o b e a t t r i b u t e d t o t h e q u e s t i o n s o f a s u p e r i o r . e v e n w h e n i t w a s c o m p l e t e l y u n i n t e n t i o n a l . E v e n t h o u g h I h a v e n o t a d d r e s s e d s t u d e n t ’ s p e r c e p t i o n s o f J o s h ’ s q u e s t i o n s h e r e . w h a t G o o d y s p e c u l a t e s c o u l d h a v e i n t e r e s t i n g i m p l i c a t i o n s f o r c l a s s r o o m d y n a m i c s . I n a d d i t i o n . t h e v e r y f a c t t h a t J o s h u s e s p o l i t e n e s s s t r a t e g i e s i n t h e f o r m s o f h i s q u e s t i o n s h i g h l i g h t s a u t h o r i t y i s s u e s i n h i s c l a s s r o o m a n d t h e w a y t h a t h e m i t i g a t e s h i s s t r o n g a u t h o r i t y . I n t h e n e x t s e c t i o n . I w i l l s h o w h o w J o s h m a k e s h i s a u t h o r i t y e v e n m o r e e x p l i c i t t h r o u g h t h e u s e o f p a r t i c u l a r m a r k e r s s u c h a s “ a g r e e . ” “ r e a s o n a b l e ” a n d s t a t e m e n t s t h a t f o l l o w “ b u t . ” 1 9 5 A u t h o r i t y i n T e a c h e r T a l k T e a c h e r s a n d s t u d e n t s h a v e g r o s s l y u n e q u a l p o w e r i n t h e c l a s s r o o m . T h e t e a c h e r i s t h e r e p r e s e n t a t i v e o f a d u l t a u t h o r i t y . a n d b a c k e d u p . a t l e a s t i n t h e o r y . b y t h e p o w e r o f f o r c e a s w e l l a s b y t h e t r a d i t i o n s o f s c h o o l s . T h a t d i f f e r e n c e i n p o w e r e x t e n d s t o c o n t r o l o f t h e d i a l o g u e i t s e l f . b o t h i t s f ’ o r m a n d i t s c o n t e n t . t h a t i s . b o t h t h e a c t i v i t y s t r u c t u r e a n d t h e t h e m a t i c s . T h e t e a c h e r h a s t h e p o w e r t o d e c i d e w h a t w i l l a n d w i l l n o t b e t a l k e d a b o u t . w h o h a s t h e r i g h t t o s p e a k a t a n y g i v e n t i m e . P a n d w h a t i s t h e “ c o r r e c t ” w a y t o b e h a v e a n d t o t a l k a b o u t t h e s u b j e c t ( L e m k e . l ; 1 9 9 0 , p p . 4 4 - 4 5 ) . L : M u c h o f t h e l i t e r a t u r e r e l a t e d t o i s s u e s o f a u t h o r i t y i n e d u c a t i o n m a k e a s i m i l a r i d i s t i n c t i o n b e t w e e n b e i n g a n a u t h o r i t y b e c a u s e o f o n e ’ s k n o w l e d g e a n d b e i n g a n ' a u t h o r i t y b e c a u s e o f o n e ’ s p o s i t i o n . T h i s d i s t i n c t i o n h a s t a k e n o n m a n y d i f f e r e n t n a m e s . f o r e x a m p l e . “ r a t i o n a l a u t h o r i t y ” a n d “ t r a d i t i o n a l a u t h o r i t y ” ( P e t e r s . 1 9 6 6 ) o r “ s a p i e n t i a l ( o r “ k n o w l e d g e ” ) a u t h o r i t y ” a n d “ s t r u c t u r a l ( o r “ p o s i t i o n a l ” ) a u t h o r i t y ” ( S k e m p . 1 9 7 9 , f o l l o w i n g P a t e r s o n . I 9 6 6 ) . B a s i c a l l y . “ a t e a c h e r i s a n a u t h o r i t y i n a u t h o r i t y ” ( R u s s e l l . 1 9 8 3 . p . 3 0 , i t a l i c s i n o r i g i n a l ) . S k e m p a r g u e s t h a t t h e s e t w o t y p e s o f a u t h o r i t y a r e l a r g e l y i n c o m p a t i b l e . H e b e l i e v e s t h e a u t h o r i t y b y p o s i t i o n t o b e l i k e t h a t o f a “ s c h o o l e r ” : t h a t i s . t h e a u t h o r i t y i s t h e r e s u l t o f t h e r o l e o n e p l a y s a n d i s i m p o s e d . I n t h i s p o s i t i o n . t h e t e a c h e r c o m m a n d s . s t u d e n t s o b e y ; i n s t r u c t i o n s a r e p e r c e i v e d a s o r d e r s . I n d i r e c t c o n t r a s t . a u t h o r i t y b y k n o w l e d g e i s m o r e l i k e a “ m e n t o r . ” T h e a u t h o r i t y i s v e s t e d i n t h e p e r s o n b y v i r t u e o f h i s o w n k n o w l e d g e : h i s i n s t r u c t i o n i s s o u g h t a n d i s p e r c e i v e d a s a d v i c e . T h i s i n c o m p a t i b i l i t y . S k e m p c l a i m s . c a n c a u s e r o l e c o n f u s i o n a n d c o n fl i c t . M o r e r e c e n t l y , F o r m a n . M c C o r m i c k , a n d D o n a t o ( 1 9 9 8 ) h a v e a p p l i e d i d e a s f r o m W e r t s c h ( f o l l o w i n g B a h k t i n ) t o d i s c u s s a u t h o r i t y p a t t e r n s i n r e f o r m - o r i e n t e d c l a s s r o o m s . T h e y fi n d e v i d e n c e t h a t t h e “ v o i c e o f d e c o n t e x t u a l i z e d r a t i o n a l i t y ” w a s p r i v i l e g e d i n o n e 1 9 6 fl x e fi ' fl r - r a z n s - m - T [ - . . . » . . . 3 ‘ t e a c h e r ’ s c l a s s r o o m . d e s p i t e t h e t e a c h e r w a n t i n g t o t e a c h t o t h e N C T M S t a n d a r d s . T h a t i s . t h e s t u d e n t - t a l k t h a t w a s v a l u e d i n c l u d e d m a i n l y a b s t r a c t t a l k t h a t c o u l d b e u n d e r s t o o d a p a r t f r o m t h e p a r t i c u l a r c o n t e x t i n w h i c h i t i s t a k i n g p l a c e . T h e a u t h o r s a r g u e t h a t t h e t e a c h e r a s s e r t s h e r a u t h o r i t y t h r o u g h u s e o f o v e r l a p p i n g s p e e c h . v o c a l s t r e s s . r e p e t i t i o n a n d e x p a n s i o n . T h e t e a c h e r w a s s h o w n t o o v e r l a p s t u d e n t e x p l a n a t i o n s o n l y w h e n t h e s t u d e n t w a s n o t u s i n g t h e p r o c e d u r e t h a t t h e t e a c h e r h a d r e c e n t l y t a u g h t . S h e a l s o p r i v i l e g e d t h e e x p l a n a t i o n o f o n e s t u d e n t w h o u s e d m o r e “ t i m e l e s s . s p a c e l e s s . i m p e r s o n a l . a n d a l g e b r a i c ” ( p . 3 3 2 ) t a l k . e v e n t h o u g h t w o o t h e r s t u d e n t s g a v e m a t h e m a t i c a l l y e q u i v a l e n t m e t h o d s f o r s o l v i n g t h e p r o b l e m . A n A u t h o r i t y I n A u t h o r i t y I n J o s h ’ s c l a s s r o o m . t h e p a t t e r n s o f a u t h o r i t y i n h i s t a l k w e r e m o r e a p p a r e n t t h a n t h e t e a c h e r d i s c u s s e d i n F o r m a n e t a l . ’ s a r t i c l e : t h a t i s . t h e r e w e r e a t l e a s t t w o w o r d s t h a t w e r e o n l y “ t e a c h e r ” w o r d s : a g r e e a n d r e a s o n a b l e . I w i l l s h o w h o w t h e s e w o r d s p l a y e d a r o l e i n l o c a t i n g J o s h a s p a r t o f t h e l o c u s o f a u t h o r i t y . A n o t h e r w o r d t h a t f u n c t i o n e d a s a w a y f o r J o s h t o a s s e r t h i s a u t h o r i t y w a s t h e w o r d “ b u t . ” O f t e n . J o s h w o u l d u s e t h e w o r d “ b u t ” t o a n n o u n c e t h a t h e w a s e i t h e r a b o u t t o m a k e a m a t h e m a t i c a l p o i n t o r t h a t h e w a s g o i n g t o c o n t r a d i c t s o m e t h i n g p r o p o s e d b y a s t u d e n t . I n a d d i t i o n . J o s h a s s e r t e d t h e t e x t a s p a r t o f t h e l o c u s o f a u t h o r i t y i n o f t e n r e f e r r i n g t o a n d e x p l i c i t l y d r a w i n g f r o m i t a s a r e g u l a r p a r t o f t h e l e s s o n . “ I a g r e e . . . ” “ T h a t s o u n d s r e a s o n a b l e t o m e . . . ” : T h e t e a c h e r h a s t h e r i g h t t o j u d g e t h e r e a s o n a b l e n e s s o f a s o l u t i o n . I n t h e p r e v i o u s s e c t i o n , I h a d m e n t i o n e d t h a t I w o u l d r e t u r n t o t h e i s s u e s o f a u t h o r i t y t h a t a p p e a r e d a t t h e e n d o f E x a m p l e J - 1 6 . I n t h a t e x a m p l e . t h e r e w a s a d i s a g r e e m e n t b e t w e e n t w o s t u d e n t s a n d J o s h u s e d r e v o i c i n g t o s e t u p e a c h h y p o t h e s i s a s a n o p p o s i n g v i e w p o i n t . I n d o i n g s o . h e w a s d o i n g s o m e v e r y c o m p l e x 1 9 7 t h i n g s i n t e r m s o f t h e p a r t i c i p a t i o n s t r u c t u r e s i n t h e c l a s s r o o m . H o w e v e r . I t h e n p o i n t e d o u t t h a t t h e c o n v e r s a t i o n t o o k a n i n t e r e s t i n g t u r n : E x a m p l e J - 1 6 ( R e v i s i t e d ) J : W e l l . I t e l l y o u w h a t . I k i n d a a g r e e w i t h w h a t L a u r i e j u s t s a i d : t h a t t h i s i s e x p e r i m e n t a l d a t a a n d i n e x p e r i m e n t a l d a t a y o u ’ r e n o t a l w a y s g o n n a g e t t h i s p e r f e c t p a t t e r n . I f I l o o k e d a t t h i s g r a p h . I w o u l d s a y t h e r e l o o k s t o b e a l i n e a r r e l a t i o n s h i p . I t l o o k s t o b e p r e t t y c l o s e t o b e i n g i n a l i n e . I a g r e e . P J . t h a t l a s t p o i n t k i n d a s c r e w s t h i n g s u p a l i t t l e b i t b e c a u s e i t ’ s a w a y f r o m t h e r e s t o f t h e d a t a a l i t t l e b i t . B u t . I t h i n k t h a t t h e r e i s a l i n e a r p a t t e r n h e r e . S o . h o w a r e w e g o i n g t o s h o w t h e l i n e a r p a t t e r n ? L e t ’ s t o a h e a d a n d t a k e a l o o k a n d r e a d p r o b l e m 1 . 2 w h e r e i t s a y s , “ d r a w i n g g r a p h m o d e l s . ” C o r y . w o u l d y o u r e a d t h a t p l e a s e o n p . 7 . T h i s c o n c l u d i n g s t a t e m e n t t o t h e o n g o i n g d i s c u s s i o n w a s f a i r l y t y p i c a l i n J o s h ’ s c l a s s r o o m . H e o f t e n a s s e r t e d h i s v i e w p o i n t i n t e r m s o f w h a t h e a g r e e d / d i s a g r e e d w i t h w h e n o p p o s i n g v i e w p o i n t s w e r e g i v e n b y s t u d e n t s ( e i t h e r w i t h r e s p e c t t o e a c h o t h e r ’ s v i e w s a s a b o v e . o r w i t h r e s p e c t t o s o m e t h i n g J o s h h a s s a i d ) . H o w e v e r . J o s h h e d g e d ( e . g . “ k i n d a . ” “ I t h i n k ” ) a n d u s e d m o d a l v e r b s ( e . g . “ w o u l d ” ) t o s o f t e n h i s a u t h o r i t a t i v e c o m m e n t s . T h i s m a y i n d i c a t e t h a t J o s h ’ s a u t h o r i t y w a s s o s t r o n g t h a t h e t a c i t l y t h o u g h t i t r e q u i r e d w o r d s t h a t s o f t e n e d h i s a s s e r t i o n . I n f a c t . J o s h r e v i s i t e d h i s v i e w p o i n t o n t h i s s a m e i s s u e a f e w m i n u t e s l a t e r . A f t e r a s t u d e n t w e n t t o t h e b o a r d a n d d r e w i n t h e g r a p h m o d e l t h a t h e t h o u g h t b e s t fi t t h e d a t a . J o s h r e p e a t e d t h a t h e “ w o u l d a g r e e ” a n d a f fi r m e d t h a t t h e r e w a s a l i n e a r p a t t e r n t o t h e d a t a . I n a s s e r t i n g h i s a u t h o r i t y . J o s h a g a i n h e d g e d a n d u s e d m o d a l v e r b s t o s o f t e n h i s p r o p o s i t i o n . E x a m p l e J - I 7 J : I w o u l d . I f I s a w t h a t d a t a p l o t t e d f r o m a n e x p e r i m e n t . I w o u l d s a y t h e r e ’ s c e r t a i n l y a l i n e a r p a t t e r n t o i t . N o w l o o k w h e r e h e d r e w i n h i s l i n e o f b e s t fi t . N o w . fi r s t o f a l l . i s t h a t a l i n e ? M s : Y e a h . i t ’ s s u p p o s e d t o b e . J : I t ’ s s u p p o s e d t o b e a l i n e ? U r n . o f c o u r s e i f y o u d r a w y o u r l i n e t h i c k e n o u g h . I g u e s s i t ’ s g o n n a h i t m o s t o f t h e d o t s . b u t . u m . i f I l o o k e d a t t h i s . I w o u l d a g r e e . I t h i n k t h i s o n e p o i n t . s o m e t i m e s w h e n y o u g a t h e r d a t a s o m e t h i n g g o e s w r o n g a n d 1 9 8 s o m e t i m e s t h e r e ’ s l i k e o n e p i e c e o f d a t a t h a t ’ s l i k e a w a y f r o m t h e r e s t o f t h e d a t a . a n d t h a t h a p p e n s . B u t . i f y o u t a k e o u t t h a t p o i n t . t h e r e ’ s v e r y m u c h a l i n e a r p a t t e r n . A g a i n . L a u r i e m e n t i o n e d a b o u t e x p e r i m e n t a l d a t a . i t ’ s n o t g o i n g t o b e t h i s p e r f e c t l i n e , b u t d o e s t h a t l i n e s e e m t o fi t t h e d a t a ? A r e a l l t h e p o i n t s f a i r l y c l o s e t o t h a t l i n e ? S s : Y e a h J : I w o u l d s a y t h a t ’ s a p r e t t y g o o d l i n e o f b e s t fi t . H o w a b o u t i n b ? W o u l d y o u g o u p p l e a s e . A b r a m . a n d d r a w i n w h a t y o u t h i n k i s a g r a p h m o d e l f o r b . I n t h i s e x a m p l e . a s t u d e n t w a s c a l l e d t o t h e b o a r d t o d r a w i n a g r a p h m o d e l f o r t h e d a t a t h e c l a s s h a d g a t h e r e d d u r i n g t h e b r i d g e p r o b l e m . A s t h e s t u d e n t w a s d r a w i n g . J o s h p o i n t e d o u t ( f r o m l o o k i n g a t t h e t a b l e o f d a t a ) t h a t h e w o u l d s a y t h e r e w a s “ c e r t a i n l y ” a l i n e a r p a t t e r n t o i t . I n d o i n g s o . h e a s s e r t e d a t r u t h — t h e r e i s c e r t a i n l y a l i n e a r p a t t e r n . T h i s w a s f u r t h e r i n d i c a t e d i n h i s u s e o f p r e s e n t t e n s e “ i s ” — t h i s i s a f ’ a c t . W h e n d r a w i n g t h e l i n e . t h e s t u d e n t w a n t e d i t t o g o t h r o u g h t h e o n e p o i n t t h a t a p p e a r e d t o b e o f f a l i t t l e a n d d r e w i n a n u n u s u a l l y t h i c k b l a c k l i n e ( t h u s . J ’ s r e a c t i o n s o f : I t ’ s s u p p o s e d t o b e a l i n e ? ) . J o s h a g a i n s t a t e d t h a t h e a g r e e d t h a t t h e p a t t e r n w a s l i n e a r . H e c o n t i n u e d b y t e l l i n g t h e m w h y h e w o u l d c a t e g o r i z e t h i s m o d e l a s a l i n e a r o n e — s o m e t i m e s t h e r e a r e e r r o r s i n t h e d a t a c o l l e c t i o n a n d o n e p i e c e o f d a t a c a n b e a w a y f r o m t h e o t h e r s . H e r e m i n d e d t h e c l a s s a b o u t w h a t L a u r i e h a d s a i d a n d t h e n d i f f e r e n t i a t e d “ g r a p h m o d e l ” l i n e a r f r o m " p e r f e c t l y ” l i n e a r . T h e h e d g e s i n t h e n e x t t w o q u e s t i o n s ( “ s e e m t o fi t ” a n d “ f a i r l y c l o s e ” ) s e e m t o b e p a r t o f d i f f e r e n t i a t i n g “ g r a p h m o d e l ” l i n e a r f r o m p e r f e c t l y l i n e a r ( a s w a s t h e c a s e i n K a r l a ’ s c l a s s r o o m ) . J o s h w a s p o i n t i n g o u t t h a t t h e l i n e w a s n o t g o i n g t o fi t t h e p o i n t s e x a c t l y a n d t h a t t h e y s h o u l d j u s t t r y t o g e t a s n e a r t o t h e m a s p o s s i b l e w h e n t h e y d r e w i n t h e g r a p h m o d e l . A f t e r s t u d e n t s a g r e e d w i t h J o s h . h e r e p e a t e d h i s a f fi r m a t i o n : I r e b e l i e v e d t h e l i n e t o b e a “ p r e t t y g o o d " l i n e o f b e s t fi t . a g a i n i m p l y i n g h i s r i g h t t o j u d g e t h e c o r r e c t n e s s o f a n a n s w e r . 1 9 9 I n t h e n e x t e x a m p l e . i n s t e a d o f e n d i n g a d i s p u t e b e t w e e n t w o s t u d e n t s . J o s h a s s e r t e d h i s p o s i t i o n r e l a t e d t o a n a n s w e r w i t h w h i c h h e d i s a g r e e d . A b r a m h a d d r a w n w h a t h e t h o u g h t t o b e a “ c u r v e o f b e s t fi t ” f o r a g r o u p o f p o i n t s . H o w e v e r . J o s h w a n t e d h i m t o t h i n k a b o u t t h e f a c t t h a t t h i s c u r v e n e e d e d t o b e a b l e t o c o n t i n u e i n a p a t t e r n t h a t w o u l d b e u s e f u l f o r p r e d i c t i o n p u r p o s e s . J o s h a s k e d A b r a m a b o u t h o w t h e c u r v e s h o u l d c o n t i n u e a n d h o w h e k n e w t h a t i t w o u l d k e e p c o n t i n u i n g i n t h e s a m e m a n n e r . E x a m p l e J - 1 8 J : W h e r e d o y o u — i t d o e s w h a t ? I t l e v e l s o f f l i k e h e r e ? A b r a m : Y e a h . i t - j u s t l i k e t h a t J : T h e n i t g o e s b a c k u p ? A b r a m : Y e p J : I d o n ’ t k n o w . I ’ m n o t s o s u r e i f I c a n s a y t h a t w i t h a l o t o f c e r t a i n t y . A b r a m . S e e w h a t I ’ m g e t t i n g a t ? A b r a m : I c a n J : I t ’ s g o t t a b e a c u r v e o r a l i n e o r a c u r v e t h a t I c a n e x t e n d t h a t ’ s g o n n a h e l p m e p r e d i c t t h e p a t t e r n . F i r s t o f a l l . I d o n ’ t e v e n k n o w i f I a g r e e t h e r e ’ s g o n n a b e a c u r v e t h e r e . H e r e J o s h b e g a n w i t h t h e c u r v e o f b e s t fi t t h a t A b r a m h a d d r a w n a n d a s k e d A b r a m h o w t h e c u r v e w o u l d c o n t i n u e . i f i t w e r e d r a w n i n f u r t h e r . A b r a m h a d d r a w n i n w h a t l o o k e d l i k e a s e r i e s o f r o l l i n g h i l l s u p w a r d a n d d o w n w a r d ( s i n u s o i d a l i n n a t u r e ) a n d s u g g e s t e d t h a t J o s h p r e d i c t e d t h e c o n t i n u i n g c u r v e a s h e h a d i m a g i n e d ( “ j u s t l i k e t h a t ” ) . J o s h m a i n t a i n e d t h a t t h i s c o n t i n u a t i o n i s n o t s o m e t h i n g t h a t t h e y c o u l d s a y w i t h m u c h c e r t a i n t y . J o s h ’ s u s e o f “ I ” ( r a t h e r t h a n t h e r o y a l p l u r a l " ‘ w e ” ) f u r t h e r a s s e r t e d h i s p o s i t i o n a s b e i n g s e p a r a t e f r o m A b r a m ’ s , a l t h o u g h h e s u f fi c i e n t l y h e d g e d t h e d i s a g r e e m e n t s o a s n o t t o i n s u l t A b r a m . T h e u n d e r l y i n g m e s s a g e t o A b r a m i s . “ T h i s c u r v e i s n o t c o r r e c t . ” J o s h r e f e r r e d b a c k t o t h e d e fi n i t i o n t h e y h a d r e a d i n t h e b o o k w h e n h e r e l a y e d w h a t a g r a p h m o d e l w a s . u s i n g t h i s a s f u r t h e r e v i d e n c e t o c o n v i n c e A b r a m t h a t t h e m o d e l h e 2 0 0 d r e w w o u l d n o t a l l o w p r e d i c t i o n . H e t h e n a s s e r t e d t h a t h e d i d n o t e v e n k n o w i f t h e d a t a g e n e r a t e d a c u r v e m o d e l . A n o t h e r e x a m p l e o f J o s h a s s e r t i n g h i s a u t h o r i t y w h e n h e d i s a g r e e d w i t h a n a n s w e r a s t u d e n t g a v e i n c l u d e d t h e f o l l o w i n g : E x a m p l e J - I 9 J : O h . o k a y . G o i n g . u m . I d o n ’ t k n o w . J e n n i f e r . I c e r t a i n l y t h i n k t h a t . t h a t i f t h e r e i s a p a t t e r n I t h i n k t h i s c u r v e m o d e l s i t b e t t e r t h a n t h e l i n e d o e s . I m e a n t h e r e ’ s a c o u p l e o f p o i n t s t h a t a r e n ‘ t e v e n c l o s e t o b e i n g o n y o u r m o d e l . U m . b u t t h e r e s t o f t h e m s e e m t o fi t p r e t t y w e l l . H o w m a n y d i d n ' t d r a w a n y t h i n g o n [ l e t t e r ] i - s a i d t h e r e w a s n o p a t t e r n ? [ A b o u t 6 - 7 h a n d s g o u p ] A l a n : I g o t k i n d a a p a t t e r n . I d i d n ’ t r e a l l y k n o w w h a t t o d o b e c a u s e l i k e . I w a s t h i n k i n g a b o u t t h a t b u t t h e n t h e r e ’ s t h a t o n e p o i n t r i g h t . l i k e o n t h e l o w e r p a r t o f t h e g r a p h J : R i g h t h e r e ? A l a n : I t j u s t d i d n ’ t m a k e a n y s e n s e t o m e J : Y e a h ? Y e a h . s o m e t i m e s y o u c a n . s o m e t i m e s y o u c a n a l m o s t f o r c e a g r a p h m o d e l o n a s e t o f d a t a . A n d I d o n ’ t t h i n k t h a t ’ s w h a t w e w a n t t o d o . I t h i n k y o u w a n n a . i f t h e r e ’ s a n o b v i o u s p a t t e r n . y o u c a n d r a w i n a g r a p h m o d e l . B u t , I a g r e e J e n n i f e r , i f t h e r e i s a p a t t e r n . t h a t ’ s g o n n a b e p r o b a b l y a b o u t a s c l o s e a s y o u ’ r e g o n n a g e t . A n y q u e s t i o n s o n t h a t ? O k a y , l e t ’ s k e e p g o i n g t h e n . A n d . t h a t ’ s a l l t h e r e i s i n p r o b l e m 1 . 2 . b y t h e w a y . S o . l e t ’ s g o a h e a d a n d t a k e a l o o k a t p r o b l e m 1 . 3 T h e g r a p h t h a t w a s b e i n g d i s c u s s e d c o n s i s t e d o f t w o g r o u p s o f s o m e w h a t v e r t i c a l l y c l u s t e r e d p o i n t s a b o u t a c e n t i m e t e r a p a r t . J o s h b e g a n t h e d i s c u s s i o n o f t h i s b y s t a t i n g : “ I d o n ' t k n o w . M a y b e I d o n ' t h a v e m u c h f o r e s i g h t h e r e . I d o n ' t - l g o t t a r e a l l y p u s h m y s e l f t o s e e a n y p a t t e r n i n t h a t d a t a a t a l l . " J e n n i f e r v o l u n t e e r e d a n d t o l d h i m t h a t s h e h a d a n i d e a . S h e w e n t t o t h e o v e r h e a d a n d d r e w a p a r a b o l a ( o p e n i n g d o w n w a r d ) t h a t w e n t t h r o u g h m a n y o f t h e d a t a p o i n t s ( i n m y o b s e r v a t i o n n o t e s I h a d w r i t t e n t h a t I t h o u g h t s h e h a d a c t u a l l y c o m e u p w i t h a p r e t t y n i c e fi t o f t h e d a t a ) . J o s h ' s r e s p o n s e w a s o n e t h a t h i n t e d t h a t J e n n i f e r h a d a g o o d i d e a . b u t h e u s e d h y p o t h e t i c a l w o r d i n g “ i f ’ t o i n d i c a t e t h a t t h e r e r e a l l y w a s n o t a p a t t e r n . W h e n J o s h c o n t i n u e d b y s a y i n g . “ I m e a n 2 0 1 — _ . _ _ ~ — v a a - — t h e r e ’ s a c o u p l e o f p o i n t s t h a t a r e n ’ t e v e n c l o s e t o b e i n g o n y o u r m o d e l . " h e s e e m e d t o f u r t h e r a s s e r t h i s o w n v i e w . e s p e c i a l l y g i v e n t h e c o n v e r s a t i o n e a r l i e r t h a t t o o k p l a c e b e t w e e n P J a n d L a u r i e ( s e e E x a m p l e J - l 6 ) . T h e c o n v e r s a t i o n i n E x a m p l e J - l 6 e n d e d w i t h J o s h s t a t i n g t h a t h e a g r e e d t h a t t h e g r a p h t h e y d i s c u s s e d s h o u l d h a v e a l i n e a r m o d e l . e v e n t h o u g h o n e o f t h e p o i n t s d i d n o t f a l l o n t h e l i n e t h a t t h e y d r e w . H e e n d e d t h e d i s c u s s i o n a b o u t t h i s g r a p h b y t e l l i n g J e n n i f e r t h a t h e a g r e e d . i f t h e r e w a s a p a t t e r n ( b u t t h e r e w a s n o t ) , t h a t w a s p r o b a b l y ( b u t n o t r e a l l y ) g o i n g t o b e a s c l o s e a s y o u w e r e g o i n g t o g e t . T h u s . t h e u n d e r l y i n g m e s s a g e i s c l e a r t h a t J e n n i f e r h a s m a d e a n i c e a t t e m p t . b u t t h e r e i s , n o g r a p h m o d e l t h a t c a n b e d r a w n i n f o r t h i s d a t a . ’ T h e o t h e r f o r m t h a t J o s h u s e d t o i n t e r j e c t h i s a u t h o r i t y w a s t y p i c a l l y h e a r d a t t h e e n d o f a c l a s s d i s c u s s i o n . “ R e a s o n a b l e ” f u n c t i o n e d i n s u c h a w a y t h a t i t a l l o w e d J o s h t o j u d g e s t u d e n t c o n t r i b u t i o n s . I n t h e f o l l o w i n g e x a m p l e . J o s h a s k e d s t u d e n t s t o g e n e r a t e e q u a t i o n m o d e l s f o r t h e g r a p h m o d e l s t h e y h a d d r a w n . A f t e r t h e y h a d . h e c a l l e d o n i n d i v i d u a l s t u d e n t s a n d r e c o r d e d t h e i r e q u a t i o n s o n t h e b o a r d . S t u d e n t s g e n e r a t e d s l o p e s t h a t r a n g e d f r o m 4 t o 6 . H e t h e n t u r n e d t o t h e g r a p h m o d e l t h a t h e h i m s e l f h a d d r a w n a n d d e t e r m i n e d t h e s l o p e o f t h e l i n e o n h i s g r a p h . E x a m p l e J — 2 0 J : O f c o u r s e . i t a l l d e p e n d s w h e r e y o u d r a w y o u r l i n e . O n m i n e . a n d I ’ m n o t s a y i n g m y l i n e o f b e s t fi t i s t h e p e r f e c t m a t c h . b u t o n m i n e i t l o o k s l i k e 1 0 i s a b o u t . w h a t . 5 9 ? A n d 5 9 d i v i d e d b y 1 0 i s 5 . 9 s l o p e ? A n y b o d y e l s e ? I w o u l d s a y t h i s [ e q u a t i o n w i t h s l o p e o f 5 . 8 ] i s a r e a s o n a b l e l i n e o f b e s t fi t . I ' d s a y t h i s [ e q u a t i o n w i t h s l o p e o f 6 ] i s a r e a s o n a b l e l i n e o f b e s t fi t . [ c i r c l e s t h o s e o n t h e b o a r d ] U r n . I ’ d s a y t h i s [ e q u a t i o n w i t h s l o p e o f 4 ] i s n o t . [ c r o s s e s o u t t h a t e q u a t i o n ] R o b e r t , w h e r e d i d y o u g e t y = 4 x ? R o b e r t : I w e n t b y 2 ’ s . u m . o n y [ R o b e r t s h a k e s h i s h e a d n o ] J : Y o u w e n t b y 2 o n t h e y ? I s t h a t g o n n a m a k e a n y d i f f e r e n c e t h o u g h o n t h e s l o p e o f y o u r l i n e ? F s : N o 2 0 2 J : [ Y o u ’ r e ] s t i l l g o n n a n e e d a r i s e d i v i d e d b y t h e r u n t o fi n d t h e s l o p e . I d o n ’ t t h i n k t h i s i s r e a s o n a b l e . I t h i n k t h i s o n e ’ s g o n n a b e a l i t t l e b i t t o o s t e e p . I t h i n k t h i s o n e ’ s g o n n a b e a l i t t l e t o o s t e e p . t h i s o n e ’ s g o n n a b e a l i t t l e i f f y . H o w m a n y g o t a s l o p e s o m e w h e r e a r o u n d 5 . 7 , 5 . 8 , 5 . 9 . 6 . 6 . 1 , d e p e n d i n g o n w h e r e y o u d r e w y o u r l i n e o f b e s t fi t ? A f t e r t h e e q u a t i o n s w e r e p u t o n t h e b o a r d , J o s h c a l c u l a t e d t h e s l o p e f o r h i s o w n g r a p h m o d e l . U s i n g h i s e q u a t i o n a s a n e x e m p l a r t o t e s t t h e o t h e r e q u a t i o n s . h e t h e n t o l d s t u d e n t s w h i c h e q u a t i o n s w e r e r e a s o n a b l e a n d w h i c h w e r e n o t . H e q u a l i f i e d t h i s l 3 s t a t e m e n t w i t h , “ I ’ m n o t s a y i n g m y l i n e o f b e s t fi t i s a p e r f e c t m a t c h . " m a k i n g t h e : j u d g e m e n t l e s s b a l d . J o s h t h e n c a l l e d o n R o b e r t t o t e l l h i m h o w h e c a m e u p w i t h t h e e q u a t i o n o f y = 4 x , w h i c h J o s h h a d d e e m e d u n r e a s o n a b l e . R o b e r t s t a t e d t h a t h e u s e d a H d i f f e r e n t s c a l e o n t h e y - a x i s t h a n J o s h h a d — a s c a l e o f t w o i n s t e a d o f o n e . J o s h a s k e d i f t h a t w o u l d m a k e a n y d i f f e r e n c e a n d a f e m a l e s t u d e n t s a i d i t w o u l d n o t . J o s h c o n t i n u e d b y t e l l i n g R o b e r t t h a t h e w a s s t i l l g o i n g t o n e e d r i s e d i v i d e d b y r u n t o fi n d t h e s l o p e ( s u g g e s t i n g , a l t h o u g h n o t e x p l i c i t l y . t h a t t h e r a t i o w o u l d s t i l l c o m e o u t t h e s a m e . n o m a t t e r w h i c h r i s e a n d r u n y o u c h o s e ) . J o s h e n d e d t h i s p a r t o f t h e c o n v e r s a t i o n b y a g a i n p o i n t i n g o u t w h i c h e q u a t i o n s h e t h o u g h t w e r e r e a s o n a b l e a n d w h y t h e o t h e r s m i g h t n o t b e ( e . g . “ t h i s o n e ’ s g o n n a b e a l i t t l e b i t t o o s t e e p ” ) . I n f a c t . h e c h a n g e d t h e f o c u s o f t h e d i s c u s s i o n w h e n h e a s k e d , “ H o w m a n y g o t a s l o p e s o m e w h e r e a r o u n d . . i m p l y i n g t h a t h e w a s n o w a s s e s s i n g w h a t p e O p l e h a d d o n e . w h i c h h e . a s t h e t e a c h e r . h a d t h e r i g h t t o d o . . . B u t . . . . ” : A s a n a u t h o r i t y o f m a t h e m a t i c a l k n o w l e d g e . o n e o f m y r o l e s i s t o c l a r i f y t h e c o n t e n t . J o s h o f t e n u s e d t h e w o r d “ b u t ” t o g e t h e r w i t h “ I t h i n k / w o u l d / a m . ” I n d o i n g s o . h e s e t u p a r o a d b l o c k d u r i n g t h e d i s c u s s i o n t o i n d i c a t e t h a t h e h a d s o m e t h i n g h e n e e d e d t o c l a r i f y . W h e n t h i s o c c u r r e d . J o s h e i t h e r c o n t r a d i c t e d a s t u d e n t i d e a o r m a d e a m a t h e m a t i c a l p o i n t . T h e f o l l o w i n g e x a m p l e s s h o w h o w J o s h u s e d “ b u t ” t o c u t o f f a m a t h e m a t i c a l l y i n c o r r e c t i d e a t h a t w a s p o s e d b y a s t u d e n t . B y a s s e r t i n g h i m s e l f i n t h i s m a n n e r . h e 2 0 3 s e e m e d t o b e d r a w i n g o n h i s a u t h o r i t y o f t h e k n o w l e d g e o f m a t h e m a t i c s . H e s o m e t i m e s u s e d t h i s w o r d t o s u g g e s t t h a t h e w a s g o i n g t o c l a r i f y h i m s e l f . a s i n E x a m p l e J - 2 l b e l o w . E x a m p l e J - 2 1 J : H o w m a n y h a v e a g r a p h m o d e l t h a t l o o k s s o m e t h i n g l i k e w h a t C h r i s t y j u s t d i d ? [ a f e w s t u d e n t s r a i s e h a n d s ] D o e s a n y o n e h a v e o n e t h a t ' s d i f f e r e n t ? S s : U m m [ i n a u d i b l e ] J : D o e s a n y b o d y h a v e o n e t h a t ’ s g o n n a b e a l i t t l e b i t s t e e p e r ? W h y ? L a u r i e : I u s e d a s c a l e o f t w o [ r e f e r r i n g t o t h e f a c t t h a t h e r l i n e i s s t e e p e r t h a n C h r i s t y ’ s . a l t h o u g h i t o n l y a p p e a r s t o b e b e c a u s e s h e u s e d a d i f f e r e n t s c a l e ] J : O h . u s e d a s c a l e o f t w o . o h . t h a t w o u l d c e r t a i n l y m a k e a d i f f e r e n c e a s f a r a s h o w s t e e p y o u r l i n e i s . y e a h . B u t . w h a t I ’ m s a y i n g i s . e v e n g i v e n t h i s . t h e s e s c a l e s . d o e s a n y b o d y h a v e o n e t h a t ’ s a l i t t l e b i t s t e e p t h a t m a y b e i s a l i t t l e c l o s e r t o t h i s p o i n t ? S s : Y e a h J : I ’ m n o t s u r e . M s : O h [ i n a u d i b l e ] J : I ’ m n o t s u r e . O k a y . R o b e r t ’ s i s a l i t t l e b i t s t e e p e r s o t h a t t h i s p o i n t i s j u s t s l i g h t l y b e l o w t h e l i n e a n d t h i s p o i n t h e r e i s a l i t t l e b i t c l o s e r t o t h e l i n e ? R e m e m b e r w h a t a g r a p h m o d e l i s — i t ’ s a l i n e o r a c u r v e t h a t s h o w s t h e t r e n d i n t h e d a t a . i t fi t s t h e d a t a . S o t h a t a l l t h e p o i n t s a r e p r e t t y c l o s e . U m . I d o n ' t k n o w . W h y d o w e d o t h i s ? W h a t ’ s t h e p u r p o s e o f a g r a p h m o d e l ? A b r a m . w h a t ’ s t h e p u r p o s e ? I n t h i s e x a m p l e , J o s h h a d a s k e d s t u d e n t s i f a n y o n e h a d d r a w n i n a l i n e o f b e s t fi t t h a t w a s s t e e p e r t h a n t h e o n e t h a t w a s o n t h e b o a r d s o t h a t i t w e n t c l o s e r t o t h e l a s t p o i n t ( t h e p o i n t r e f e r r e d t o i n E x a m p l e J - l 6 ) . O n e s t u d e n t s a i d t h a t s h e h a d a n d s h o w e d J o s h h e r d r a w i n g . I n s t e a d o f u s i n g t h e s c a l e t h a t w a s o n t h e b o a r d ( w h i c h w e n t u p b y o n e s o n t h e x - a x i s ) . t h i s s t u d e n t h a d u s e d a s c a l e o f t w o ’ s o n t h e x - a x i s . B y d o i n g s o . t h e g r a p h l o o k e d s t e e p e r b e c a u s e t h e c h a n g e o f s c a l e a l l o w e d t h e x - v a l u e s t o a p p e a r t o i n c r e a s e m o r e r a p i d l y . H o w e v e r . t h e g r a p h w a s r e a l l y t h e s a m e g r a p h a s t h e o n e t h a t w a s g i v e n o n t h e b o a r d : t h a t i s . t h e g r a p h w a s n o t a n y c l o s e r t o t h e o u t l y i n g p o i n t . J o s h p o s s i b l y r e a l i z e d t h a t t h e s t u d e n t d i d n o t u n d e r s t a n d t h i s a n d t o l d h e r t h a t t h i s d i d m a k e t h e g r a p h a p p e a r s t e e p e r . H o w e v e r . t h a t w a s n o t w h a t J o s h h a d i n t e n d e d b y h i s q u e s t i o n — h e h a d w a n t e d a g r a p h m o d e l t h a t w e n t " a l i t t l e b i t c l o s e r ” t o t h e l a s t p o i n t u s i n g " t h e s e s c a l e s ” ( i . e . t h e o n e s t h a t h e h a d o n t h e o v e r h e a d ) . B e f o r e m o v i n g o n t o a n o t h e r t o p i c , J o s h p o i n t e d o u t t h a t R o g e r d i d h a v e a g r a p h m o d e l t h a t w a s c l o s e r t o t h a t l a s t p o i n t . H e t h e n r e m i n d e d s t u d e n t s o f t h e d e fi n i t i o n o f a g r a p h m o d e l a n d p o i n t e d o u t t h a t t h e l i n e o f b e s t fi t w a s c l o s e t o t h e s e t o f p o i n t s w i t h w h i c h t h e y h a d b e e n w o r k i n g . I n d o i n g s o . h e m a y h a v e b e e n i n d i c a t e d t h a t t h e l i n e t h a t w a s c l o s e r t o t h e l a s t p o i n t w a s r e a l l y a b e t t e r l i n e o f b e s t fi t b e c a u s e i t w a s c l o s e r t o t h e l a s t p o i n t . H o w e v e r . t h i s w a s n o t m a d e e x p l i c i t . J o s h t h e n i n d i c a t e d t h a t h e w a s r e a d y t o m o v e o n t o t h e r e a s o n f o r d o i n g g r a p h m o d e l s b y q u i e t l y s a y i n g . " I d o n ’ t k n o w . . J o s h a l s o u s e d t h e w o r d “ b u t " t o i n d i c a t e t h a t h e w a s m a k i n g a c o n t r a s t i v e p o i n t t o w h a t a s t u d e n t h a d a s s e r t e d . I n E x a m p l e J - 2 2 . A b r a m h a d d r a w n i n a g r a p h m o d e l t h a t h e t h o u g h t b e s t fi t t h e d a t a . H o w e v e r . J o s h k n e w t h a t i t w o u l d b e d i f fi c u l t t o u s e t h i s g r a p h m o d e l t o m a k e p r e d i c t i o n s . a n i m p o r t a n t a s p e c t i n m a t h e m a t i c a l m o d e l i n g . S o . r a t h e r t h a n s t a t e w h y A b r a m ’ s g r a p h w a s n o t t h e c u r v e o f b e s t fi t . J o s h d r e w a g r a p h t h a t s t u d e n t s w e r e f a m i l i a r w i t h ( a n i n c r e a s i n g e x p o n e n t i a l ) a n d s h o w e d t h a t h e c o u l d e x t e n d i t t o p r e d i c t f u t u r e v a l u e s . H e t h e n d r e w a n o t h e r c u r v e t h a t w e n t u p . t h e n d o w n a n d t h e n b a c k u p a g a i n a t a f a s t e r r a t e a n d a s k e d A b r a m i f t h a t o n e c o u l d b e e x t e n d e d . E x a m p l e J - 2 2 J : M a y b e a l i t t l e l i k e t h a t [ e x t e n d s t h e i n c r e a s i n g e x p o n e n t i a l h e h a d d r a w n ] ? S s : Y e a h . J : B u t . I c o u l d e x t e n d i t . [ d r a w s a c u r v e t h a t g o e s u p . t h e n d o w n a n d t h e n u p a t a s t e e p e r r a t e t h a n t h e fi r s t p a r t o f t h e c u r v e ] C o u l d I e x t e n d t h a t ? S s : N o . B y u s i n g a c u r v e w i t h w h i c h A b r a m w a s a l r e a d y f a m i l i a r a n d s h o w i n g h i m t h a t t h e g r a p h c o u l d b e e x t e n d e d a n d t h e n p r o v i d i n g a c o n t r a s t i n g c u r v e t h a t c o u l d n o t b e 2 0 5 e x t e n d e d . J o s h c r e a t e d a c o n t r a s t t o a l l o w A b r a m t o o b s e r v e a n i m p o r t a n t a s p e c t o f m a t h e m a t i c a l m o d e l i n g : t h e c u r v e o f b e s t fi t h a d t o b e d r a w n s o t h a t i t c o u l d b e e x t e n d e d t o a l l o w p r e d i c t i o n s . I f a c u r v e o f t h i s t y p e c a n n o t b e d r a w n . t h e n a g r a p h m o d e l c a n n o t b e d r a w n t o fi t t h e d a t a . R a t h e r t h a n s t a t i n g t h i s p r o p e r t y e x P l i c i t l y . J o s h i l l u s t r a t e d i t . c u e i n g t h e r e s p o n s e f o r w h i c h h e w a s s e a r c h i n g . A l s o . t h e u s e o f “ b u t " s e p a r a t e d a n i m p o r t a n t c o n t r a s t i n g p r o p o s i t i o n . " 1 c o u l d e x t e n d i t . " T h e o t h e r f u n c t i o n “ b u t ” s e e m e d t o h a v e w a s t o m a r k t h e f a c t t h a t J o s h w a s a b o u t t o m a k e a m a t h e m a t i c a l p o i n t r e l a t e d t o t h e c l a s s d i s c u s s i o n . A g a i n . J o s h s e e m e d t o b e a s s e r t i n g h i s p o i n t o f v i e w a s a n a u t h o r i t y o n t h e s u b j e c t o f m a t h e m a t i c s . E x a m p l e J - 2 3 J : [ . . . ] T a k e a l o o k a t w h a t t h e y d i d . N o w . t h e i r d a t a w a s a l i t t l e b i t s c a t t e r e d . a l i t t l e m o r e s c a t t e r e d t h a n o u r s w a s . B u t . t h e y s t i l l w e r e a b l e t o d r a w a l i n e t h a t s e e m e d t o fi t t h e d a t a p r e t t y w e l l . N o p o i n t i s r e a l l y f a r a w a y f r o m t h e l i n e . t h e r e ’ s a c o u p l e o f p o i n t s b e l o w . y o u k n o w . o n e o r t w o s l i g h t l y a b o v e . T h a t i s s o m e t i m e s c a l l e d a l i n e o f b e s t fi t . W e ’ r e g o n n a u s e t h a t t e r m a n a w f u l l o t . C o r y r e a d o n . I n t h i s e x a m p l e . J o s h h i g h l i g h t e d t h e i d e a t h a t t h e p o i n t s o n t h e g r a p h ( i n t h e b o o k ) a p p e a r s c a t t e r e d . b u t t h a t a l i n e o f b e s t fi t c o u l d b e d r a w n i n t o fi t t h e d a t a . H i s m a t h e m a t i c a l p o i n t a p p e a r e d t o b e t h a t e v e n t h o u g h t h e d a t a d o e s n o t l o o k " p e r f e c t l y " l i n e a r . a l i n e o f “ b e s t ” fi t c a n b e d r a w n t h a t “ fi t s t h e d a t a p r e t t y . w e l l . " J o s h m a y h a v e t h o u g h t t h i s a n i m p o r t a n t p o i n t t o m a k e g i v e n t h e e a r l i e r d i s c u s s i o n i n w h i c h P J t h o u g h t t h e d a t a t h e y h a d g r a p h e d w a s n o t l i n e a r b e c a u s e o n e p o i n t a p p e a r e d t o b e a w a y f r o m t h e o t h e r s ( s e e E x a m p l e J - 1 6 ) . T o P J . t h i s s c a t t e r i n g m a y h a v e i m p l i e d t h a t t h e d a t a w a s n o t l i n e a r b e c a u s e s o m e o f t h e p o i n t s w e r e o f f . J o s h m a y h a v e s e e n t h a t a r e l a t e d i d e a m i g h t b e p r o b l e m a t i c t o s t u d e n t s : o n c e I e x t e n d t h e d a t a . I c a n r e a d p r e d i c t i o n s f r o m t h e l i n e o f b e s t fi t . H o w e v e r . J o s h s e e m e d t o " : 7 : m m r = ~ < - - * - : ' v - r € ' W w a n t t o m a k e t h e p o i n t t h a t t h i s w o u l d g i v e a p r e d i c t i o n . b u t n o t i n d i c a t e w h a t w o u l d a c t u a l l y h a p p e n i f t h e y t e s t e d t h e d a t a . E x a m p l e J - 2 4 J : O k a y . N o w . h o w d i d y o u g u y s - h o w m a n y j u s t e x t e n d e d t h e i r l i n e ? [ a b o u t 6 h a n d s g o u p ] I f y o u e x t e n d y o u r g r a p h m o d e l l i n e o r y o u r l i n e o f b e s t fi t . t h a t w i l l h e l p y o u m a k e a p r e d i c t i o n . N o w . i f I g o a h e a d a n d t e s t t h a t d a t a . a r e w e g o n n a g e t e x a c t l y 5 1 ? P r o b a b l y n o t . b u t i t ' s a p r e d i c t i o n . O k a y . w h a t I ' d l i k e t o d o n o w i s t h i s [ . . . ] A g a i n . J o s h p o i n t e d o u t t h a t t h e l i n e s o f b e s t fi t t h a t t h e y d r e w a l l o w e d t h e m t o m a k e p r e d i c t i o n s . b u t t h e p r e d i c t i o n s d i d n o t r e p r e s e n t w h a t m i g h t a c t u a l l y h a p p e n . M o r e t h a n l i k e l y t h e y w o n ’ t g e t “ e x a c t l y “ 5 1 . A n o t h e r w a y J o s h u s e d “ b u t " w a s t o s u g g e s t a m o r e p r e c i s e w a y o f u s i n g t h e t e x t b o o k . I n t h i s e x a m p l e . J o s h a s k e d t h e c l a s s h o w t h e s t u d e n t s f r o m M a r y l a n d h a d g e n e r a t e d t h e s l o p e f o r t h e e q u a t i o n m o d e l t h e y w r o t e ( w h i c h w a s g i v e n i n t h e b o o k ) . O n e s t u d e n t o f f e r e d t h a t h e t h o u g h t t h e y h a d u s e d “ r i s e d i v i d e d b y r u n . " J o s h a g r e e d w i t h t h i s . b u t w a n t e d t h e c l a s s t o p a y p a r t i c u l a r a t t e n t i o n t o t h e a c t u a l p o i n t s t h e M a r y l a n d s t u d e n t h a d u s e d . E x a m p l e J — 2 5 J : Y e a h . r i s e d i v i d e d b y r u n . b u t w h a t p o i n t s d i d t h e y c h o o s e ? D i d t h e y c h o o s e t w o o f t h e d a t a p o i n t s t h a t w e r e a c t u a l l y i n t h e . i n t h e M a r y l a n d c l a s s d a t a ? B y d r a w i n g s t u d e n t s a t t e n t i o n t o t h e a c t u a l p o i n t s t h e s t u d e n t s i n t h e t e x t h a d u s e d . J o s h d i r e c t e d s t u d e n t s t o a t t e n d t o s o m e t h i n g t h a t h e b e l i e v e d t o b e i m p o r t a n t a n d b e i n d i c a t e d t h a t t h i s s t a t e m e n t w a s i m p o r t a n t b y u s i n g t h e w o r d " b u t . " J o s h m a y h a v e t a c i t l y s h o w n t h a t i t w a s i m p o r t a n t t o p a y a t t e n t i o n t o t h e d e t a i l s i n t h e t e x t b o o k b e c a u s e t h e y c a n h e l p u s t h i n k a b o u t w h a t w e a r e d o i n g — i n t h i s c a s e . fi n d i n g t h e e q u a t i o n m o d e l f o r a g r a p h m o d e l . T h e w o r d “ b u t ” o f t e n a p p e a r e d w h e n J o s h w a s t r y i n g t o g e t s t u d e n t s t o a t t e n d t o d e t a i l s t h a t h e m a y h a v e t h o u g h t t h e y w e r e m i s s i n g . I n t h e f o l l o w i n g e x a m p l e . s t u d e n t s h a d p r a c t i c e d d r a w i n g w h a t t h e y t h o u g h t w a s t h e “ l i n e o f b e s t fi t " f o r e a c h s e t o f d a t a p o i n t s t h e y w e r e g i v e n o n a w o r k s h e e t . I t a p p e a r e d t h a t J o s h w a n t e d t o m a k e t h i s d e fi n i t i o n m o r e s p e c i fi c t o h e l p s t u d e n t s b e m o r e p r e c i s e i n t h e i r d r a w i n g w h e n h e s a i d : E x a m p l e J - 2 6 " . 3 J : N o w . I ’ m n o t s o s u r e i f t h a t ’ s g o n n a b e m y l i n e o f b e s t fi t . I t ’ s a l i n e . b u t d o e s ; i t b e s t fi t t h e d a t a ? M s : N o J : C u z i f l d r a w t h a t l i n e a h e a d . I ' m j u s t g o n n a h a v e t h i s p o i n t o n i t . i t ' s g o n n a i h a v e t h i s p o i n t o n i t . b u t a l l t h e s e p o i n t s a r e g o n n a b e q u i t e a b i t b e l o w i t . L a u r i e . w h a t ' d y o u d o ? J o s h fi r s t u s e d “ b u t ” t o i n d i c a t e t h a t t h e r e w a s a p a r t i c u l a r p i e c e o f i n f o r m a t i o n t h a t n e e d e d t o b e a t t e n d e d t o : a l i n e o f b e s t fi t w a s n o t j u s t a n y l i n e . b u t a l i n e t h a t " b e s t ” fi t s t h e d a t a . I n h i s n e x t t u r n . J o s h u s e d “ b u t " t o c o n t r a s t s o m e t h i n g t h a t a s t u d e n t h a d d r a w n i n f o r h i s l i n e o f b e s t fi t . H e p o i n t e d o u t t h a t A l a n d r e w a l i n e . b u t t h a t m a n y o f t h e p o i n t s i n t h e d a t a w e r e “ q u i t e a b i t b e l o w i t . " s u g g e s t i n g t h a t t h e l i n e A l a n h a d d r a w n w a s n o t t h e l i n e o f “ b e s t ” fi t . H e c a l l e d o n L a u r i e t o s e e i f h e r l i n e fi t t h e d a t a m o r e c l o s e l y . T h e w o r d “ b u t ” a p p e a r e d t o b e s i m i l a r t o K a r l a ' s “ s o " i n t h a t b o t h w e r e r e p e a t e d d i s c o u r s e f o r m a t s t h a t w e r e m a r k e d w i t h s p e c i a l e n u n c i a t i o n . O f t e n w h e n J o s h u s e d t h e w o r d “ b u t . " i t w a s f o l l o w e d b y “ I " B y c h o o s i n g a c o n t r a s t i v e w o r d r a t h e r t h a n a c o n n e c t i v e o n e . J o s h m a y b e s e t t i n g u p a n e n v i r o n m e n t w h e r e s t u d e n t s v i e w h i m a s b e i n g a n “ e x t e r n a l a u t h o r i t y ” t o t h e c o m m u n i t y o f t h e c l a s s r o o m . H e w a s c o n t r a s t i n g h i s o w n v i e w w i t h t h e i d e a s t h a t s t u d e n t s s h a r e d . " R e a d o n p a g e . . . ” “ L o o k i n y o u r b o o k . . . " : T h e t e x t b o o k i s p a r t o f t h e m a t h e m a t i c a l a u t h o r i t y a n d s h o u l d b e d r a w n f r o m i n m a n fl ’ a v s . J o s h r e f e r r e d t o t h e t e x t b o o k i n a t l e a s t t h r e e d i f f e r e n t 2 0 8 w a y s t h a t h e l p e d d e fi n e t h e r o l e o f t h e t e x t i n c l a s s . I n t h e fi r s t . h e w o u l d e x p l i c i t l y c a l l o n a s t u d e n t t o r e a d d i r e c t l y f r o m t h e t e x t b o o k o r h e h i m s e l f w o u l d r e a d s o m e t h i n g f r o m t h e t e x t b o o k — s o m e t i m e s t h i s d e fi n e d t h e a c t i v i t y i n t h e c l a s s r o o m . S e c o n d l y . J o s h w o u l d r e f e r b a c k t o t h e t e x t w h e n s t u d e n t s h a d d i f fi c u l t y a n s w e r i n g a q u e s t i o n — a l l o w i n g s t u d e n t s t o s e e t h a t t h e t e x t c o u l d b e u s e d a s a r e s o u r c e w h e n s t u d e n t s w e r e u n c e r t a i n o r u n a b l e t o a n s w e r a q u e s t i o n . F i n a l l y . h e w o u l d s o m e t i m e s r e f e r s t u d e n t s t o t h e t e x t t o d e fi n e w h a t t h e h o m e w o r k w a s a n d w h a t h e e x p e c t e d s t u d e n t s t o d o — a s k i n g t h e m t o p a y p a r t i c u l a r a t t e n t i o n t o t h e d i r e c t i o n s t h a t w e r e g i v e n . E x a m p l e J - 2 7 J : P r e t t y l i n e a r ? L e t ’ s fi n d o u t . U h . w h a t I ’ d l i k e y o u g u y s t o d o i s t h i s : I f y o u l o o k i n y o u r b o o k s o n p a g e 7 . [ 8 5 O p e n b o o k s ] P r o b l e m 1 . 2 i s c a l l e d d r a w i n g g r a p h m o d e l s . A n d w h a t i t h a s y o u l o o k a t . i s i t h a s y o u l o o k a t a c l a s s r o o m s e t o f d a t a f r o m M a r y l a n d . A n d . t h e y p l o t t e d t h e d a t a a n d t h e y t r i e d t o d e c i d e i f i t ’ s l i n e a r o r n o t . N o w . w e ’ r e g o n n a l o o k a t t h a t i n a c o u p l e o f m i n u t e s . b u t I ’ d r a t h e r l o o k a t o u r d a t a . S o . w h a t I ’ m g o n n a d o i s I ’ m g o n n a g i v e y o u a s h e e t o f g r a p h p a p e r a n d I ’ d l i k e y o u a n d y o u r s e a t p a r t n e r t o t a l k t h i s o v e r . A n d I ’ d l i k e y o u t o g r a p h t h e c l a s s r o o m a v e r a g e . I n t h i s e x a m p l e . J o s h u s e d t h e t e x t t o d r a w s t u d e n t ’ s a t t e n t i o n t o w h a t t h e y w e r e g o i n g t o d o n e x t . I t s i g n a l e d t h a t t h e y w e r e m o v i n g f r o m t a l k i n g a b o u t t h e d a t a t h e y h a d c o l l e c t e d t o a c t u a l l y l o o k i n g a t h o w t o d r a w g r a p h m o d e l s . N o t o n l y d i d J o s h i n d i c a t e w h a t p a g e s t u d e n t s s h o u l d h a v e t h e i r t e x t b o o k o p e n t o . b u t h e a l s o i n t e r p r e t e d t h e p r o b l e m f o r s t u d e n t s . B y p l a y i n g t h e r o l e o f i n t e r p r e t e r . J o s h m a y h a v e p o s i t i o n e d h i m s e l f a s a n a u t h o r i t a t i v e s o u r c e t h a t h a s t h e r i g h t t o i n t e r p r e t w h a t t h e t e x t s a y s f o r h i s s t u d e n t s . T h i s m a y b e a n o t h e r w a y t h a t J o s h c o n t r o l l e d t h e c o m m u n i c a t i o n s y s t e m i n t h e c l a s s r o o m . I n E x a m p l e J — 7 . I h a d a r g u e d t h a t J o s h d i r e c t e d P J t o “ s a y t h a t a g a i n . ” a c t i n g a s a m e d i a t o r t h r o u g h w h i c h a l l i d e a s m u s t p a s s . H e m a y h a v e a l s o t h o u g h t t h i s w a s h i s r o l e i n t e r m s o f h e l p i n g s t u d e n t s m a k e s e n s e o f t h e t e x t . I n s t e a d o f s o m e t i m e s r e a d i n g 2 0 9 f r o m t h e t e x t b o o k , J o s h i n t e r p r e t e d i t . a s h e i s i n E x a m p l e J - 2 7 . A l s o . h e d e v i a t e d f r o m t h e t e x t a n d i n h i s r o l e a s t e a c h e r . h e h a s t h e r i g h t t o r e d e fi n e t h e t a s k i n t e r m s o f t h e d a t a t h e y c o l l e c t e d fi r s t ( e v e n t h o u g h t h e t e x t b o o k m a y n o t i n d i c a t e d t h i s ) . I n t h e n e x t e x a m p l e , J o s h c a l l e d o n s t u d e n t s t o r e a d a l o u d f r o m t h e t e x t b o o k . E x a m p l e J - 2 8 ( s e e a l s o E x a m p l e J - 2 3 ) J : [ . . . ] S o . h o w a r e w e g o i n g t o s h o w t h e l i n e a r p a t t e r n ? L e t ’ s g o a h e a d a n d t a k e a l o o k a n d r e a d p r o b l e m 1 . 2 w h e r e i t s a y s , “ d r a w i n g g r a p h m o d e l s . ” C o r y . w o u l d y o u r e a d t h a t p l e a s e o n p . 7 . C o r y : Y e a h . A c l a s s i n M a r y l a n d [ . . . ] [ r e a d s f r o m t e x t b o o k ] J : O k a y . fi r s t o f a l l l o o k a t t h e i r c l a s s a v e r a g e a n d t h e n l o o k a t o u r c l a s s a v e r a g e . H o w d o t h e y c o m p a r e ? C o r y : T h e i r s i s l i k e h e a v i e r o r s o m e t h i n g J : O k a y . L o o k s l i k e o n e v e r y s i n g l e l a y e r . t h e r e ’ s n o t i c e a b l y m o r e p e n n i e s t h a n o u r s . M s : [ i n a u d i b l e ] J : M a y b e . M a y b e i t w a s t h i c k e r M s : M a y b e t h e i r [ i n a u d i b l e ] w a s t h i c k e r [ i n a u d i b l e ] J : I d o n ’ t k n o w , m a y b e t h e y u s e d c o n s t r u c t i o n p a p e r o r s o m e t h i n g . I d o n ’ t k n o w . M s : L o o k s l i k e [ i n a u d i b l e ] J : L e t ’ s g o a h e a d . r e a d o n C o r y : T h e c l a s s t h e n m a d e a g r a p h o f t h e d a t a [ . . . ] [ r e a d s f r o m t e x t b o o k ] J : O k a y . n o w . l e t ’ s l o o k a t t h a t l i n e a g a i n — [ r e a d i n g f r o m t h e t e x t b o o k ] T h i s l i n e i s a g o o d M O D E L f o r t h e r e l a t i o n s h i p b e c a u s e f o r t h e t h i c k n e s s e s t h e c l a s s t e s t e d , t h e p o i n t s o n t h e l i n e a r e c l o s e t o t h e p o i n t s f r o m t h e e x p e r i m e n t [ r e - r e a d s p a r t o f w h a t C o r y j u s t r e a d ] . T a k e a l o o k a t w h a t t h e y d i d . N o w . t h e i r d a t a w a s a l i t t l e b i t s c a t t e r e d . a l i t t l e m o r e s c a t t e r e d t h a n o u r s w a s . B u t , t h e y s t i l l w e r e a b l e t o d r a w a l i n e t h a t s e e m e d t o fi t t h e d a t a p r e t t y w e l l . N o p o i n t i s r e a l l y f a r a w a y f r o m t h e l i n e . t h e r e ’ s a c o u p l e o f p o i n t s b e l o w . y o u k n o w . o n e o r t w o s l i g h t l y a b o v e . T h a t i s s o m e t i m e s c a l l e d [ r e a d s f r o m t e x t b o o k ] a l i n e o f b e s t f i t . W e ’ r e g o n n a u s e t h a t t e r m a n a w f u l l o t . C o r y r e a d o n . C o r y : T h e l i n e t h a t t h e M a r y l a n d c l a s s d r e w w a s a g r a p h m o d e l [ . . . ] [ r e a d s f r o m t e x t b o o k ] J : O k a y , I d o n ’ t h a v e a v o c a b u l a r y c h a r t y e t [ t y p i c a l l y h a s t h e s e h a n g i n g o n t h e w a l l f o r e a c h u n i t ] , I f o r g o t t o p u t i t u p . I ’ l l g e t i t u p l a t e r . B u t . t h e r e ’ s a g o o d d e f i n i t i o n f o r a g r a p h m o d e l . i t ’ s o n e o f y o u r v o c a b u l a r y w o r d s . I t ’ s a s t r a i g h t l i n e o r c u r v e t h a t s h o w s a t r e n d i n a s e t o f d a t a . I t m o d e l s t h e d a t a . i t s h o w s t h e p a t h . N o w , w h a t I ’ d l i k e y o u g u y s t o d o . i s I ’ d l i k e y o u . t h e r e ’ s a r u l e r o n e a c h t a b l e . I ’ d l i k e y o u , i f y o u t h i n k t h i s i s l i n e a r . i f y o u d o n ’ t t h i n k i t ’ s l i n e a r . y o u c o u l d d r a w s o m e t h i n g e l s e . b u t i f y o u t h i n k t h i s i s a l i n e a r r e l a t i o n s h i p . I ’ d l i k e y o u t o d r a w a l i n e t h a t y o u t h i n k fi t s t h a t d a t a . I t ’ s g o n n a b e a g r a p h m o d e l t h a t i s a l i n e t h a t fi t s t h e d a t a . D r a w w h e r e y o u t h i n k i t s h o u l d g o . 2 1 0 I n t h i s r a t h e r e x t e n d e d e x a m p l e , J o s h c a l l e d o n C o r y t o r e a d t h e p a g e h e h a d i n t e r p r e t e d e a r l i e r . J o s h a s k e d s t u d e n t s t o c o m p a r e t h e i r c l a s s a v e r a g e w i t h t h e c l a s s a v e r a g e i n M a r y l a n d . B y d o i n g s o . h e m a y h a v e i n d i c a t e d t h a t t h e n u m b e r s i n t h e t e x t b o o k w e r e s o m e t h i n g b y w h i c h t h e y c a n c o m p a r e t h e i r o w n w o r k — i t m a y b e a s t a n d a r d t o j u d g e w h e t h e r t h e a n s w e r s t h e y c a m e u p w i t h w e r e r e a s o n a b l e o r n o t . e s p e c i a l l y i n J o s h ’ s a b s e n c e . A f t e r s t u d e n t s s h a r e d w h y t h e y t h o u g h t t h e d a t a w a s d i f f e r e n t . J o s h a s k e d C o r y t o r e a d o n . J o s h p o i n t e d o u t t h e i m p o r t a n t i d e a s t u d e n t s s h o u l d t a k e a w a y f r o m t h e t e x t b o o k b y r e - r e a d i n g a p o r t i o n o f t h e t e x t t h a t C o r y j u s t c o m p l e t e d : u r n - . - p l a q u e s - g m “ : W e . a . a . “ ' - v . _ . . 5 a > ' l “ t h i s l i n e i s a g o o d M O D E L f o r t h e r e l a t i o n s h i p b e c a u s e f o r t h e t h i c k n e s s e s t h e c l a s s t e s t e d . t h e p o i n t s o n t h e l i n e a r e c l o s e t o t h e p o i n t s f r o m t h e e x p e r i m e n t . ” A f t e r J o s h t a l k e d a b o u t h o w t h i s i d e a r e l a t e d t o t h e M a r y l a n d s t u d e n t ’ s d a t a . h e t o l d s t u d e n t s t h a t t h i s i s s o m e t i m e s c a l l e d “ a l i n e o f b e s t fi t . ” H e t h e n e x p l i c i t l y e s t a b l i s h e d t h i s a s h o w s t u d e n t s s h o u l d t a l k a b o u t t h i s i d e a — i t w a s s o m e t h i n g t h a t “ W e ’ r e g o n n a u s e . . . a n a w f u l l o t . ” A t t h i s p o i n t . s t u d e n t s s h o u l d k n o w t h a t t h e y w i l l b e h e a r i n g t h i s w o r d a n d w i l l b e e x p e c t e d t o u s e i t . a l s o . J o s h t h e n c a l l e d o n C o r y t o r e a d m o r e o f t h e t e x t s o t h a t J o s h c o u l d i n t r o d u c e t h e n e x t a c t i v i t y . J o s h p o i n t e d o u t t h a t t h e y h a v e a n e w v o c a b u l a r y w o r d n o w ( t h a t w o u l d u s u a l l y b e h a n g i n g o n t h e c l a s s r o o m w a l l b e f o r e t h e u n i t b e g a n ) a n d g a v e a “ g o o d d e fi n i t i o n ” a s i t w a s s t a t e d i n t h e t e x t b o o k . T h e n e x t a c t i v i t y i n v o l v e d s t u d e n t s i n a p p l y i n g t h i s “ g o o d d e fi n i t i o n ” t o t h e c l a s s a v e r a g e t h a t t h e y h a d c o m p u t e d . I n E x a m p l e J - 2 9 . J o s h a g a i n a c t e d a s i n t e r p r e t e r f o r t h e t e x t b o o k a n d t o l d s t u d e n t s t h a t h e w a n t e d t o m a k e s u r e “ w e ” u n d e r s t o o d w h a t t h e c l a s s i n M a r y l a n d h a d d o n e . H e w a s p o i n t i n g o u t t h a t s t u d e n t s s h o u l d n o t i c e t h e l i n e o f b e s t fi t ( w h i c h h e t h e n r e n a m e s a s 2 1 1 a g r a p h m o d e l ) a n d . m o r e s p e c i fi c a l l y . t h e y s h o u l d n o t i c e w h e r e t h e l i n e w a s d r a w n i n — t h a t i t m a t c h e d t h e d a t a " p r e t t y w e l l . ” E x a m p l e J - 2 9 J : W o u l d y o u r e a d w h e r e i t s a y s fi n d i n g a n e q u a t i o n m o d e l . W o u l d y o u r e a d t h a t p l e a s e . J e n n i f e r w o u l d y o u r e a d p l e a s e ? J e n n i f e r : I n y o u r e a r l y w o r k [ i n a u d i b l e ] y = m x + b . . . [ r e a d s f r o m t e x t b o o k ] J : N o w l e t ’ s m a k e s u r e w e u n d e r s t a n d w h a t t h e y . w h a t t h i s c l a s s i n M a r y l a n d j u s t d i d . T h e y d r e w i n a l i n e o f b e s t fi t . t h e y d r e w i n a g r a p h m o d e l . L o o k w h e r e t h e y d r e w t h e i r l i n e . D o e s t h a t s e e m t o m a t c h d a t a p r e t t y w e l l ? A s t h e d i s c u s s i o n e n s u e d . J o s h t u r n e d t o t h e t e x t t o d i s c u s s t h e p u r p o s e o f t h e m o d e l s t h a t t h e y w e r e m a k i n g . E x a m p l e J — 3 0 ( s e e a l s o E x a m p l e J - 2 1 ) J : I ’ m n o t s u r e . O k a y . R o b e r t ’ s a l i t t l e b i t s t e e p e r s o t h a t t h i s p o i n t i s j u s t s l i g h t l y b e l o w t h e l i n e a n d t h i s p o i n t h e r e i s a l i t t l e b e c l o s e r t o t h e l i n e ? R e m e m b e r w h a t a g r a p h m o d e l i s — i t ’ s a l i n e o r a c u r v e t h a t s h o w s t h e t r e n d i n t h e d a t a . i t f i t s t h e d a t a . S o t h a t a l l t h e p o i n t s a r e p r e t t y c l o s e . U m . I d o n ’ t k n o w . W h y d o w e d o t h i s ? W h a t ’ s t h e p u r p o s e o f a g r a p h m o d e l ? A b r a m . w h a t ’ s t h e p u r p o s e ? [ A b r a m ’ s h a n d g o e s u p r i g h t a w a y ] A b r a m : T o s h o w t h e l i n e a r r e l a t i o n s h i p J : Y e a h . I c o u l d m a y b e s e e t h a t i t ’ s l i n e a r j u s t f r o m l o o k i n g a t t h e t a b l e o r i f j u s t l o o k i n g a t t h e w a y t h e p l o t s a r e p o i n t e d . W h y d i d I d r a w t h e l i n e i n ? J u s t t o s h o w t h e p a t t e r n ? C h r i s t y ? C h r i s t y : T o g e t a b e t t e r l o o k a t w h a t t h e d a t a i s t r y i n g t o t e l l y o u J : W e l l . m a y b e t h a t ’ s p a r t o f i t . L o o k b a c k a t y o u r d e f i n i t i o n f o r a g r a p h m o d e l . L o o k a t y o u r d e fi n i t i o n o f a g r a p h m o d e l . W h a t d o e s i t s a y ? R e a d t h a t l a s t p a r a g r a p h t o y o u r s e l f o n p a g e 7 . L a n c e . w h a t ’ s t h e p u r p o s e h e r e ? W h y d o w e e v e n b o t h e r d o i n g t h i s ? T w i c e J o s h a s k e d a b o u t t h e p u r p o s e o f g r a p h m o d e l s . E a c h t i m e . h e d e fi n e d t h e q u e s t i o n m o r e s p e c i fi c a l l y ( s e e d i s c u s s i o n p e r t a i n i n g t o E x a m p l e J - 9 ) . W h e n s t u d e n t s d i d n o t r e s p o n d t h e w a y t h a t h e h a d h o p e d . h e e x p l i c i t l y t o l d s t u d e n t s t o l o o k b a c k a t t h e d e fi n i t i o n o f a g r a p h m o d e l . W h e n t h e r e w a s n o t a n i m m e d i a t e r e s p o n s e . h e t o l d t h e m t h e e x a c t p a g e a n d p a r a g r a p h t o l o o k o n t o a n s w e r t h e q u e s t i o n i n t h e “ c o r r e c t ” m a n n e r . I n 2 1 2 d o i n g s o , h e m a y h a v e t a c i t l y l e t s t u d e n t s k n o w t h a t t h e y s h o u l d r e f e r t o t h e t e x t w h e n t h e y w e r e u n c e r t a i n o f s o m e t h i n g . I n t h i s c a s e . t h e t e x t b o o k e s t a b l i s h e d w h y t h e y w e r e e n g a g i n g i n t h e a c t i v i t y a t a l l ! O n a m o r e s i m p l i s t i c l e v e l . J o s h r e f e r r e d t o t h e t e x t e x p l i c i t l y w h e n t h e u p c o m i n g a c t i v i t y w a s b e i n g d e t e r m i n e d . H e p o i n t e d o u t t h a t t h e d i r e c t i o n s w e r e i m p o r t a n t a n d t h e n r e f e r r e d b a c k t o a s i m i l a r a c t i v i t y i n w h i c h t h e y h a d e n g a g e d e a r l i e r i n t h e u n i t . E x a m p l e J - 3 1 J : I f y o u g o o v e r t h e M a c a l l i s t e r b r i d g e . i t h a s t h o s e c e n t e r s p a n s . W e w o u l d a l l a g r e e t h a t t h i s b r i d g e r i g h t h e r e i s n o t g o i n g t o b e a s s t r o n g a s t h i s b r i d g e r i g h t h e r e . L e t ’ s t e s t t o s e e w h a t k i n d o f r e l a t i o n s h i p t h e r e i s . I f y o u l o o k a t t h e d i r e c t i o n s , i t s a y s w e ’ r e . y o u ’ r e g o n n a n e e d e i g h t f o u r i n c h w i d e s t r i p s o f p a p e r w i t h l e n g t h s 4 i n c h e s . 5 i n c h e s . 6 , 7 . 8 . 9 . 1 0 . a n d l 1 i n c h e s . t w o b o o k s o f t h e s a m e t h i c k n e s s . a s m a l l p a p e r c u p a n d a b o u t fi f t y p e n n i e s . N o w t h i s s o u n d s v e r y f a m i l i a r t o t h e p r o b l e m w e d i d a b o u t a w e e k a n d a h a l f a g o . r i g h t ? T h i s t i m e e v e r y b r i d g e y o u m a k e i s o n l y g o i n g t o b e o n e l a y e r t h i c k . o n e s h e e t o f p a p e r . W h a t w e ’ r e g o i n g t o v a r y a r e t h e l e n g t h s . O n e t h i n g y o u ’ r e g o i n g t o c h a n g e o n t h i s r i g h t n o w . I n s t e a d o f b r i d g e t h i c k n e s s . y o u ’ r e g o i n g t o h a v e b r i d g e l e n g t h . Y o u ’ r e s t i l l g o i n g t o h a v e b r e a k i n g w e i g h t . T h e b o o k s a y s t o s t a r t w i t h a b r i d g e f o u r i n c h e s l o n g . w e ’ r e g o i n g t o s t a r t w i t h b r i d g e t h a t i s 5 i n c h e s l o n g b e c a u s e w h e n y o u d o t h e o n e i n c h o v e r l a p s . y o u o n l y h a v e t w o i n c h e s i n t h e m i d d l e a n d I ’ m n o t p o s i t i v e y o u r c u p s w o u l d e v e n fi t o n t h a t . S o . s t a r t w i t h b r i d g e fi v e i n c h e s a n d t h e n g o s i x . s e v e n . e i g h t . w h e r e d o w e 5 1 0 p ? M s : 1 l J : I 1 i n c h e s ? O k a y y o u ’ r e g o i n g t o n e e d t o d o s o m e m e a s u r i n g . a n d a c o u p l e t h i n g s t o w a t c h : m a k e s u r e t h e o n l y t h i n g t h a t d i f f e r s f r o m o n e t e s t t o t h e n e x t i s t h e l e n g t h o f t h e b r i d g e . m a k e s u r e y o u p l a c e y o u r c u p s i n t h e m i d d l e . m a k e s u r e y o u p l a c e t h e p e n n i e s i n . m a k e s u r e y o u h a v e o n e i n c h o v e r l a p o n y o u r b o o k s . M o s t p e o p l e w h o s c r e w e d u p l a s t t i m e . t h a t ’ s w h a t y o u s c r e w e d u p . A l r i g h t . a n y q u e s t i o n s ? C o r y : Y e a h . u m . w h a t ’ s t h e w i d t h o f t h a t [ b r i d g e ] ? J : T h e w i d t h i s j u s t l i k e l a s t t i m e . m a k e s u r e y o u r e a d y o u r d i r e c t i o n s t h e w i d t h i s f o u r i n c h e s a n d y o u ’ r e g o i n g t o f o l d i t u p o n e i n c h o n e a c h s i d e s o t h e b r i d g e i t s e l f i s o n l y t w o i n c h e s w i d e . Q u e s t i o n s ? O k a y . I ’ l l l e t y o u g u y s g e t i n t o y o u r g r o u p s . I ’ l l l a y o u t m a t e r i a l s [ . . . ] I n J o s h ’ s fi r s t t u r n i n t h i s e x a m p l e . i t i s i n t e r e s t i n g t o n o t e t h e p r o n o u n s J o s h u s e d . H e s e p a r a t e d t h e a c t i v i t y t h e y h a d a l r e a d y e n g a g e d i n b y s a y i n g “ w e w o u l d a l l a g r e e ” 2 1 3 ( p o i n t i n g t o a j o i n t u n d e r s t a n d i n g t h a t t h e y h a d a l r e a d y c o m e t o a g r e e u p o n ) f r o m t h e a c t i v i t y t h a t s t u d e n t s w o u l d s o o n e n g a g e i n a s “ y o u ’ r e g o n n a . . I n a d d i t i o n . t h i s w a s s e p a r a t e f r o m t h e “ b o o k ” b e c a u s e i t s r o l e w a s g i v i n g d i r e c t i o n t o t h e a c t i v i t y . H o w e v e r . h e a g a i n a s s e r t e d h i s a u t h o r i t y i n d e v i a t i n g f r o m t h e t a s k a s i t w a s d e fi n e d i n t h e t e x t b o o k — “ t h e b o o k s a y s . . . . ” b u t “ w e ’ r e g o i n g t o . . J o s h s e e m e d t o b e c h e c k i n g t o s e e i f s t u d e n t s w e r e l i s t e n i n g w h e n h e a s k e d w h e r e t h e y w e r e t o s t o p . A m a l e s t u d e n t i m p l i e d t h a t h e w a s l i s t e n i n g b y a n s w e r i n g t h i s t e a c h e r - q u e s t i o n . W h e n a s t u d e n t t h e n a s k e d a q u e s t i o n t h a t J o s h h a d a l r e a d y a n s w e r e d . J o s h r e f e r r e d t o t h e t e x t b o o k a g a i n — “ m a k e s u r e y o u r e a d t h e d i r e c t i o n s . ” S u m m a r v I n t h i s s e c t i o n . I h a v e s h o w n h o w J o s h e s t a b l i s h e d h i m s e l f a s p a r t o f t h e m a t h e m a t i c a l a u t h o r i t y t h r o u g h t h e u s e o f t w o w o r d s t h a t a r e “ t e a c h e r - w o r d s ” : " a g r e e ” a n d “ r e a s o n a b l e . ” I n u s i n g t h e s e t w o w o r d s . h e e s t a b l i s h e d w h a t w a s c o r r e c t a n d v o i c e d h i s o p i n i o n r e g a r d i n g s t u d e n t i d e a s . H e f u r t h e r e s t a b l i s h e d h i m s e l f a s a s e p a r a t e “ k n o w e r ” f r o m h i s s t u d e n t s b y u s i n g t h e f o r m “ b u t ” w h i c h i s c o n t r a s t i v e . r a t h e r t h a n c h o o s i n g a c o n n e c t i v e f o r m w h e n h e w a s m a k i n g i m p o r t a n t m a t h e m a t i c a l p o i n t s . F u r t h e r m o r e . J o s h l o c a t e d t h e t e x t b o o k a s p a r t o f t h e a u t h o r i t y f r o m w h i c h s t u d e n t s c o u l d d r a w w h e n t h e y n e e d e d . T h i s w a s d o n e b y h i s e x p l i c i t u s e o f t h e t e x t b o o k . w h i c h d e fi n e d t h e t a s k s i n t h e c l a s s . o f f e r e d c o m m o n w a y s o f t a l k i n g ( t o w h i c h J o s h d r e w e x p l i c i t a t t e n t i o n ) a n d d e fi n i n g m a t h e m a t i c a l t e r m s . a n d d i r e c t e d s t u d e n t s i n w h a t t h e y s h o u l d d o o u t s i d e o f c l a s s . A s L o v e a n d P i m m ( 1 9 9 6 ) p o i n t o u t . t h e r e i s a n i n h e r e n t a u t h o r i t y t o t h e t e x t t h a t c a n n o t b e i g n o r e d . “ t h o u g h [ t h e t e a c h e r ’ s ] r e s p o n s e t o i t m a y r a n g e f r o m t a k i n g i t f o r g r a n t e d t o s e e i n g t h e i r r o l e a s c h a l l e n g i n g a n d c r i t i c i s i n g i t ” ( p . 2 1 4 - u i t i r T - t l u a v 3 8 0 ) . I t a p p e a r e d t h a t J o s h h a d t a k e n h i s r o l e t o b e a g u i d e f o r s t u d e n t s i n h o w t o i n t e r p r e t a n d u s e t h e t e x t b o o k a s p a r t o f t h e a u t h o r i t y o n w h a t a n d h o w t o d o m a t h e m a t i c s . S o u r c e s o f K n o w i n g C l o s e l y r e l a t e d t o i s s u e s o f a u t h o r i t y i n J o s h ’ s c l a s s r o o m w a s r e c o g n i t i o n o f " k n o w i n g . ” A s I m a i n t a i n e d e a r l i e r . i t a p p e a r e d i n J o s h ’ s u s e o l ’ “ b u t ” i n w h i c h h e m a y h a v e i n d i c a t e d t h a t h e w a s a s e p a r a t e " k n o w e r ” f r o m t h e c l a s s r o o m . T h e r e w e r e a t l e a s t t h r e e p a r t i c u l a r s o u r c e s o f k n o w i n g t h a t w e r e i m p l i c i t i n J o s h ’ s t a l k : " m o d e l ” s t u d e n t s . t h e t e a c h e r a n d t h e t e x t b o o k . K n o w i n g i s C h a r a c t e r i s t i c o f “ M o d e l ” S t u d e n t s . t h e T e a c h e r a n d t h e T e x t b o o k “ . . . i t ’ l w a n t e d t o k n o w . . . ” : M o d e l S t u d e n t s W a n t t o K n o w . I n J o s h ’ s c l a s s r o o m . t h e w o r d “ k n o w ” a p p e a r e d t o b e a t e a c h e r - w o r d : t h a t i s . J o s h w a s t h e o n l y p e r s o n t o u s e t h e w o r d “ k n o w ” w i t h w o r d s o t h e r t h a n “ I d o n ’ t [ k n o w ] . ” T h e o n l y e x c e p t i o n I h a v e b e e n a b l e t o l o c a t e w a s i n c l u d e d i n E x a m p l e J - 3 9 w h e n A l a n e x p l a i n e d s o m e t h i n g a n d t o l d J o s h . “ y o u k n o w . t h e 3 3 . . . ” a s h e p o i n t e d t o t h e l a s t p o i n t t h a t w a s g r a p h e d o n t h e b o a r d . O f t e n w h e n J o s h u s e d t h e w o r d “ k n o w ” i t w a s i n c o n j u n c t i o n w i t h “ i f I w a n t e d t o [ k n o w ] . ” T h i s p h r a s e s e e m e d t o a c t a s J o s h s p e a k i n g a s a “ m o d e l ” s t u d e n t w h o w o u l d d o c e r t a i n t h i n g s . I n t h e f o l l o w i n g e x a m p l e . a s t u d e n t ( A b r a m ) d r e w i n w h a t h e b e l i e v e d t o b e a c u r v e o f b e s t fi t f o r a s e t o f d a t a p o i n t s . I n d r a w i n g i n t h i s c u r v e . h e d r e w s o m e t h i n g t h a t J o s h b e l i e v e d w o u l d n o t a l l o w h i m t o m a k e p r e d i c t i o n s . D u r i n g t h e d i s c u s s i o n . J o s h o f f e r e d s o m e e v i d e n c e t o t r y t o g e t s t u d e n t s t o s e e t h a t t h e y w e r e n o t t h i n k i n g a b o u t t h e i d e a c o r r e c t l y . W h i l e d o i n g s o . h e u s e d t h e w o r d s “ w a n t e d t o k n o w ” m a n y t i m e s . E x a m p l e J - 3 8 J : Y o u k n o w , w h e n y o u ’ r e t a l k i n g a b o u t a c u r v e . I ’ v e - w e ’ r e t a l k i n g - m a n y o f y o u h a v e s e e n g r a p h s t h a t h a v e c u r v e s t h a t h a v e s o m e t h i n g l i k e t h i s [ d r a w s a n i n c r e a s i n g e x p o n e n t i a l - l i k e c u r v e ] . 2 1 5 — S s : Y e a h / Y e s [ o v e r l a p p i n g m a n y s t u d e n t s r e s p o n d ] J : O r a c u r v e t h a t m i g h t l o o k s o m e t h i n g l i k e t h i s [ d r a w s a d e c r e a s i n g e x p o n e n t i a l - l i k e c u r v e ] . O k a y . t h o s e a r e . t h o s e I c o u l d e x t e n d . r i g h t ? I f I e x t e n d e d m y g r a p h . w o u l d y o u k n o w w h e r e t o — h e r e . l e t m e g i v e y o u a n e x a m p l e . I f I d r e w t h a t m u c h o f a c u r v e a n d I w a n t e d t o k n o w . w h a t t h e — i f y o u ’ r e t a l k i n g a b o u t b r e a k i n g w e i g h t o r s o m e t h i n g . s u p p o s e I w a n t e d t o k n o w w h a t t h e d a t a w a s f o r t h i s n u m b e r r i g h t h e r e [ c h o o s e s a v a l u e t h a t i s b e y o n d t h e c u r v e t h a t h a s b e e n d r a w n ] o n m y x - a x i s . w h a t e v e r i t w a s . C o u l d y o u e x t e n d t h i s g r a p h [ t h e o n e t h a t A b r a m h a d d r a w n ] t o h e l p y o u p r e d i c t w h a t t h e y - w o u l d b e f o r t h i s x - v a l u e ? I f I w a n t e d t o k n o w w h a t t h e y - w a s f o r t h i s x - v a l u e ? A b r a m : Y e a h . y o u c o u l d . J : H o w ? M s : I d o n ’ t k n o w . A b r a m : Y o u j u s t g o r i g h t u p a g a i n . M s : Y o u j u s t k e e p g o i n g l i k e t h a t . J : H o w d o I k n o w I g o u p ? H o w d o I k n o w I d o n ’ t k e e p g o i n g l i k e t h i s ? I n t h i s e x a m p l e . J o s h a p p e a r e d t o b e r e v e a l i n g w h a t h e k n e w a b o u t t h e m a t h e m a t i c s t h r o u g h t h e v o i c e o f a m o d e l s t u d e n t . I n s t e a d o f t e l l i n g s t u d e n t s t h a t A b r a m ’ s g r a p h c o u l d n o t b e e x t e n d e d i n a w a y t h a t “ I k n o w " w i l l k e e p g o i n g . J o s h m a s k e d h i s c o m m e n t s t h r o u g h s a y i n g . “ I f I w a n t e d t o k n o w . ” J o s h ’ s " I ” m a y b e r e f e r r i n g t o a n y o n e w h o “ w a n t e d ” t o k n o w . H o w e v e r . t h e “ I ” u s i n g t h i s p r o n o u n ( i . e . J o s h ) w a s m o d e l i n g t h e t y p e o f w o n d e r i n g h e w o u l d l i k e s t u d e n t s t o b e d o i n g : t h a t i s . h e w a s w o n d e r i n g a l o u d p o s s i b l y i n a n a t t e m p t f o r s t u d e n t s t o s e e t h e k i n d o f k n o w i n g t h e y s h o u l d “ w a n t ” t o b e d o i n g . J o s h m a y h a v e h o p e d t h a t s t u d e n t s w o u l d t a k e o n “ w a n t i n g t o k n o w ” a n d r e v e a l e d h o w h e w a s t h i n k i n g a b o u t t h e s i t u a t i o n . T h e m a t h e m a t i c a l m e s s a g e u n d e r l y i n g h i s w o n d e r i n g w a s t h a t a g r a p h m o d e l m u s t b e d r a w n n o t o n l y t o " b e s t fi t ” t h e d a t a . b u t i t m u s t a l s o a l l o w t h e g r a p h t o b e e x t e n d e d s o t h a t s t u d e n t s c a n p r e d i c t f u t u r e v a l u e s . I f a s e t o f d a t a p o i n t s d i d n o t a l l o w b o t h o f t h e s e t h i n g s t o h a p p e n . t h e n a g r a p h m o d e l c a n n o t b e d r a w n . A n o t h e r w a y t h a t J o s h u s e d “ w a n t t o k n o w ” w a s i n d e fi n i n g t h e c o m p o n e n t s o f a t a s k . I n t h e f o l l o w i n g e x a m p l e . s t u d e n t s g e n e r a t e d a n e q u a t i o n m o d e l f o r t h e i r i n d i v i d u a l 2 1 6 L a . . . — . ‘ _ — ~ . . _ l . g r a p h m o d e l s a n d J o s h a s k e d t h e m t o t a l k a b o u t h o w t h e y g o t t h e e q u a t i o n a t w h i c h t h e y a r r i v e d . H e r e m i n d e d t h e m t h a t t h e y n e e d e d t o k n o w t h e s l o p e o f a l i n e t o w r i t e t h e e q u a t i o n , w h i c h i s t h e fi r s t t h i n g h e a d v o c a t e d fi n d i n g i n w r i t i n g t h e e q u a t i o n m o d e l . E x a m p l e J - 3 9 J : A n d w e w a n t t o k n o w t h e s l o p e o f t h a t l i n e . W h a t d i d y o u d o ? A l a n . w h a t d i d y o u d o ? _ - A l a n : U h , I t o o k 3 3 a s t h e r i s e a n d d i v i d e d i t b y fi v e . ; . J : N o w w h e r e d i d y o u g e t 3 3 f r o m ? I : A l a n : F r o m l i k e o u r , u m . t h e . b r i - t h e p a p e r . y o u k n o w . t h e 3 3 . I t w a s t h e [ 3 h i g h e s t [ p o i n t ] . ’ J : R i g h t h e r e ? f ‘ ; A l a n : Y e a h . i : - I n a s e n s e , J o s h w a s a g a i n m o d e l i n g f o r s t u d e n t s t h e t y p e o f t h i n g t h e y s h o u l d " w a n t t o k n o w ” a b o u t fi n d i n g a n e q u a t i o n m o d e l : t h a t i s . t h e y n e e d e d t o k n o w t h e S I O p e . A l a n r e s p o n d e d b y t e l l i n g h i s w h a t h e u s e d a s t h e r i s e a n d t h e r u n ( a l t h o u g h d i d n o t n a m e t h e r u n a s s u c h ) . H e u s e d 3 3 a s t h e r i s e a n d fi v e a s t h e r u n . J o s h p r o b e d f u r t h e r b y a s k i n g A l a n w h e r e h e g o t 3 3 . I n t h e g r a p h m o d e l , t h e l a s t p o i n t o n t h e t a b l e w a s ( 5 . 3 3 ) . I m p l i c i t i n A l a n ’ s e x p l a n a t i o n w a s t h a t h e u s e d t h e o r i g i n ( 0 . 0 ) a s h i s s e c o n d p o i n t t o d e t e r m i n e t h e r i s e a n d t h e r u n ( i . e . r i s e / r u n = ( c h a n g e i n y - v a l u e s ) / ( c h a n g e i n x - v a l u e s ) = ( y : — y l ) / ( x 2 — x 1 ) = ( 3 3 — 0 ) / ( 5 — 0 ) = 3 3 . / 5 ) . H o w e v e r . A l a n d i d n o t e x p l a i n t h a t s o J o s h p u s h e d h i s e x p l a n a t i o n t o d i s c u s s w h e r e h i s v a l u e s c a m e f r o m . W h e n A l a n r e p l i e d . h e m a y h a v e t h o u g h t t h a t t h e v a l u e h e h a d c h o s e n w a s o b v i o u s b e c a u s e h e s a i d “ y o u k n o w . t h e 3 3 . ” J o s h c l a r i fi e d t h i s f u r t h e r b y p o i n t i n g t o t h e v a l u e o n t h e b o a r d s o s t u d e n t s c o u l d s e e w h e r e A l a n h a d g o t t e n t h e 3 3 h e h a d u s e d . T h e o t h e r t w o f u n c t i o n s t h e w o r d “ k n o w ” p l a y e d f o r J o s h a p p e a r i n E x a m p l e J - 4 0 . I n t h e fi r s t ( r e f e r r e d t o i n o t h e r e x a m p l e s ) , J o s h w o u l d a s s e s s h o w m a n y s t u d e n t s w e r e t h i n k i n g / d o i n g s o m e g i v e n t h i n g . T h e s e c o n d u s e a p p e a r e d i n f o u r o f J o s h ’ s t u r n s 2 1 7 d u r i n g t h e t w o c l a s s p e r i o d s . D u r i n g t h i s u s e . J o s h s a i d “ s h o u l d k n o w ” d u r i n g a m o n o l o g u e . T h i s t y p i c a l l y t o o k p l a c e w h e n J o s h w a s t e l l i n g s t u d e n t s w h a t h e e x p e c t e d t h e m t o k n o w a t t h a t p o i n t i n t h e s c h o o l y e a r : t h a t i s . d u r i n g t i m e s w h e n J o s h w a s b e i n g e x p l i c i t a b o u t p a r t s o f t h e c o m m o n k n o w l e d g e o f t h e c l a s s r o o m . E x a m p l e J - 4 0 ( s e e a l s o E x a m p l e J - 1 0 ) J : R i g h t t h e r e . i s n ’ t i t ? [ w r i t e s e q u a t i o n y = l x + - 3 ] . S o . y = l x o r j u s t x p l u s a n e g a t i v e t h r e e o r m i n u s t h r e e i s g o n n a b e y o u r e q u a t i o n . T h a t ’ s s o m e t h i n g y o u a l l s h o u l d b e a b l e t o d o b y n o w . I n f a c t . i t s h o u l d n ’ t e v e n b e t h a t h a r d . H o w m a n y k n o w t h a t i f a s l o p e o f o n e . i f t h e s c a l e i s a s t a n d a r d s c a l e g o i n g u p b y o n e s o n t h e x a n d y , h o w m a n y k n o w t h a t a s l o p e o f o n e i s a 4 5 d e g r e e a n g l e g o i n g u p ? S h o u l d n ’ t y o u k n o w t h a t a S I O p e o f o n e ; o v e r o n e u p o n e . o v e r t w o . u p t w o : o v e r t h r e e u p t h r e e ; i s a 4 5 d e g r e e a n g l e g o i n g u p ? T h a t ’ s s o m e t h i n g y o u g u y s s h o u l d k n o w b y n o w . H o w a b o u t g r a p h B ? T h e y g a v e y o u t w o p o i n t s o n t h e l i n e i n g r a p h b . J a y l e n , h e r e . g i v e m e t w o p o i n t s o n t h e l i n e f o r g r a p h B . T h i s e x a m p l e t o o k p l a c e a s J o s h w a s g o i n g t h r o u g h t h e C h e c k - u p w i t h s t u d e n t s . B y t h i s p o i n t i n t h e s c h o o l y e a r . J o s h w a s d e fi n i n g w h a t s t u d e n t s " s h o u l d b e a b l e t o d o b y n o w . ” T h e y s h o u l d b e a b l e t o fi n d t h e e q u a t i o n o f a l i n e . H e c h a n g e d d i r e c t i o n a b i t w h e n h e a s k e d h i s s t u d e n t s . “ h o w m a n y k n o w t h a t . . . a s l o p e o f o n e . . . [ i s a l i n e t h a t g o e s u p a t a ] 4 5 d e g r e e a n g l e ? ” H e w a s n o l o n g e r a s k i n g a b o u t fi n d i n g t h e e q u a t i o n o f a l i n e ; h e w a s n o w a s k i n g a b o u t a s p e c i fi c l i n e a n d h o w t h a t l i n e a p p e a r e d o n t h e g r a p h . H e r e m i n d e d s t u d e n t s a b o u t w h a t t h e y “ s h o u l d ” k n o w . I n c h o o s i n g t h e m o d a l v e r b “ s h o u l d . ” t h e u n d e r l y i n g m e s s a g e m a y b e “ s h o u l d , b u t d o n ’ t [ k n o w ] . ” W h e n J o s h r e a d t h i s b i t o f t r a n s c r i p t ( a n d t w o o t h e r s l i k e i t ) d u r i n g o u r i n t e r v i e w s . h e t o l d m e . “ T h i s i s m e b e i n g p i s s e d o f f . ” H e i n d i c a t e d t h a t h e w a s u p s e t b e c a u s e h e d i d n o t t h i n k s t u d e n t s w e r e w h e r e t h e y s h o u l d b e a t i n t e r m s o f w h a t t h e y k n e w a b o u t t h e m a t h e m a t i c s t h e y h a d c o v e r e d . 2 1 8 “ . . . w h a g o u k n o w . . . ” : K n o w i n g s o m e t i m e s r e s i d e s i n t h e t e x t b o o k . T h e o t h e r p l a c e ” k n o w ” a p p e a r e d w a s i n J o s h ’ s u t t e r a n c e s w h e n h e r e f e r r e d t o i n f o r m a t i o n t h a t w a s g i v e n t o s t u d e n t s i n t h e t e x t b o o k . E x a m p l e J - 4 I J : [ . . . ] O k a y . l e t ’ s t a k e a l o o k . S o . w h a t n e g a t i v e t w o m e a n s i s i f x i n c r e a s e s b y o n e . y d r o p s b y t w o . S o . i f y o u k n o w x i s 3 , w h a t ’ s y ? S s : [ i n a u d i b l e ] J : T h r e e . T h r e e . R i g h t . x i n c r e a s e s b y l . y d e c r e a s e s b y 2 . I f y o u w a n t t o d o i t i n t h e t a b l e . y o u s h o u l d d o i t i n a t a b l e . I k n o w t h a t a t 2 . 5 s l o p e i s — 2 . s o t h r e e w o u l d b e t h r e e . f o u r w o u l d b e w h a t ? E x a m p l e J — 4 2 J : T h i r t e e n . i s n ’ t i t ? O r y o u c o u l d d o i t l i k e t h i s . F o r t h o s e o f y o u w h o u n d e r s t o o d p r o b l e m l . 5 - t h a t s t a n d a r d f o r m o f l i n e a r e q u a t i o n [ w r i t e s y = m x + b o n t h e b o a r d ] . Y o u k n o w t h a t p o i n t i s o n t h e l i n e [ c i r c l e s 4 . 5 i n t h e t a b l e h e j u s t w o r k e d t h r o u g h ] . T e l l m e w h a t y o u k n o w . G i v e m e a y - . a n m . o r a n x - v a l u e . W h a t d o y o u k n o w ? T e l l m e s o m e t h i n g . J a s o n N o r m i n g t o n . t e l l m e s o m e t h i n g . W h a t a r e y o u g i v e n ? W h a t d o y o u k n o w i n p r o b l e m s i x ? D o y o u k n o w t h e s l o p e ? [ . . . ] [ c o n v e r s a t i o n c o n t i n u e d a b o u t w h a t i s g i v e n ] J : S o I p u t i n w h a t I k n o w . S o , l e t ’ s s e e . w h a t ’ s n e g a t i v e 2 t i m e s f o u r ? S s : N e g a t i v e e i g h t I n b o t h o f t h e s e e x a m p l e s . J o s h u s e d e i t h e r “ y o u k n o w ” o r “ I k n o w . ” H o w e v e r . t h e s e s t a t e m e n t s b o t h s e e m t o i n d i c a t e t h e s a m e g r o u p o f p e o p l e — “ I ” s e e m e d t o b e u s e d a s i f i t w e r e “ y o u . ” H o w e v e r . i n u s i n g “ I ” J o s h m a y b e g i v i n g t h e s t a t e m e n t o f k n o w l e d g e a d d i t i o n a l a u t h o r i t y . I n a l l o f t h e s e e x a m p l e s . t h e p l a c e t h e i n f o r m a t i o n t h a t w a s “ k n o w n ” c a m e f r o m w a s t h e t e x t b o o k . I n e a c h o f t h e e x a m p l e s . J o s h s e e m e d t o b e p o i n t i n g s t u d e n t s t o w h a t t h e y “ k n o w ” a b o u t t h e s i t u a t i o n a s d e f i n e d b y t h e t e x t b o o k a n d t h e n u s e d w h a t t h e y k n e w t o fi n d s o m e t h i n g e l s e . I n E x a m p l e J - 4 1 , t h e x - v a l u e w a s k n o w n . s o t h e y - v a l u e c o u l d b e d e t e r m i n e d b e c a u s e t h e s l o p e a n d a p o i n t o n t h e l i n e w e r e g i v e n i n t h e t e x t b o o k . I n E x a m p l e J - 4 2 . J o s h i n d i c a t e d t h a t s t u d e n t s a g a i n k n o w a p o i n t o n t h e l i n e . h e t h e n r e q u e s t e d t h a t t h e 2 1 9 s t u d e n t s ( fi r s t g e n e r a l l y a n d t h e n m o r e p a r t i c u l a r l y c a l l s o n J a s o n ) t o n a m e t h e o b j e c t s t h a t t h e y k n e w . I n d o i n g s o . J o s h m a y b e t r y i n g t o m a k e a c o n n e c t i o n b e t w e e n t h e i n f o r m a t i o n t h a t w a s g i v e n t o t h e s t a n d a r d f o r m o f a l i n e a r e q u a t i o n . T h e r e w a s e v i d e n c e t h a t t h i s c o n n e c t i o n w a s b e i n g d r a w n i n t h e l a n g u a g e t h a t J o s h u s e d . A f t e r h e w r o t e y = m x + b o n t h e b o a r d . h e t h e n a s k e d w h a t w a s g i v e n i n t e r m s o f t h e s e v a l u e s “ g i v e m e a y . a n m . o r a n x - v a l u e . ” e a c h o f w h i c h h o l d s a “ s l o t ” i n t h i s g e n e r a l e q u a t i o n . J o s h u s e d a T y p e I r e f o r m u l a t o r t o m a k e t h e q u e s t i o n m o r e p r e c i s e a n d p o r t r a y e d t h e m a s r e l a t e d t o t h e t e r m s i n t h e e q u a t i o n . H e c a l l e d o n J a s o n t o t e l l h i m w h a t h e w a s “ g i v e n ” a n d t h e n e q u a t e d t h i s w i t h w h a t “ y o u k n o w . ” W h e n J a s o n d o e s n o t r e s p o n d r i g h t a w a y . J o s h u s e d w h a t a p p e a r e d t o b e a T y p e 2 r e f o r m u l a t o r t o i n d i c a t e t h e i n c o r r e c t c h o i c e . H o w e v e r . t h i s r e f o r m u l a t o r w a s m o r e c l o s e d t h a n i t a p p e a r e d b e c a u s e J o s h h a d p r e v i o u s l y n a r r o w e d d o w n t h e r a n g e o f r e s p o n s e s t o i n c l u d e t h r e e p o s s i b l e v a l u e s : a n x - . a n m . o r a y - v a l u e . A f t e r t h e v a l u e s w e r e r e c o g n i z e d . J o s h i n d i c a t e d w h a t s t u d e n t s w e r e t o d o w i t h t h e m : “ p u t i n w h a t I k n o w . ” t h a t i s . s u b s t i t u t e t h e v a l u e s w h e r e t h e y b e l o n g i n t h e e q u a t i o n . S u m m a r v K n o w i n g w a s a t t r i b u t e d t o J o s h a n d t o t h e t e x t b o o k . T h e s e ‘ v o i c e s ’ o f k n o w i n g h a d c o m m o n w a y s o f a d d r e s s i n g t h e s t u d e n t s t h r o u g h a s k i n g s t u d e n t s m u l t i p l e q u e s t i o n s . “ K n o w i n g ” w a s s o m e t h i n g t h a t a m o d e l s t u d e n t “ w a n t s ” t o d o . J o s h w a s a s s o c i a t e d a s s o m e o n e w h o “ k n o w s ” a s h e w a s t h e o n l y p e r s o n t o u s e t h e w o r d “ k n o w . ” T h e t e x t b o o k a p p e a r e d a s a s o u r c e o f “ k n o w i n g ” b y v i r t u e o f t h e f a c t t h a t w h e n s t u d e n t s w e r e a s k e d . “ W h a t d o y o u k n o w ? ” t h e a n s w e r w a s t o b e f o u n d i n w h a t t h e y w e r e g i v e n b y t h e t e x t b o o k . W h a t w a s i n t h e t e x t b o o k w a s a b s o l u t e k n o w l e d g e . 2 0 F r o m F o r m s t o N o r m s T h r o u g h o u t t h e c h a p t e r . I h a v e d e s c r i b e d t h e f o r m s a n d f u n c t i o n s o f v a r i o u s d i s c o u r s e p a t t e r n s i n J o s h ’ s c l a s s r o o m . a s s e r t i n g t h a t c e r t a i n n o r m s e x i s t i n t h e c l a s s r o o m a s a r e s u l t o f t h e p e r v a s i v e n a t u r e o f t h e s e p a t t e r n s . I n o w b r i e fl y a d d r e s s t h e n o r m s i n t e r m s o f t h e r o l e s . r i g h t s , r e s p o n s i b i l i t i e s a n d e x p e c t a t i o n s t h e t e a c h e r . s t u d e n t s a n d t h e c o n t e n t p l a y i n t h e c l a s s r o o m . T h e b r o a d e r f o r m s t h a t J o s h h a s i m p l e m e n t e d i n c l u d e d : a s k i n g q u e s t i o n s . e x p r e s s i o n s t h a t e s t a b l i s h h i s a u t h o r i t y a n d a t t r i b u t i n g t h i n k i n g t o s h a r i n g i d e a s a n d k n o w i n g t o m o d e l s t u d e n t s , h i m s e l f . a n d t h e t e x t b o o k . T h r o u g h t h e s e J o s h h a s e s t a b l i s h e d h i s r o l e a s t h e “ a s k e r o f q u e s t i o n s ” : s t u d e n t s a r e e x p e c t e d t o a n s w e r t h e m a n d g i v e r e a s o n s f o r t h e i r a n s w e r s . J o s h h a s e s t a b l i s h e d h i s r o l e a s b e i n g p a r t o f t h e l o c u s o f a u t h o r i t y . a s a s o u r c e o f “ k n o w i n g ” ; s t u d e n t s a r e e x p e c t e d t o g e n e r a t e i d e a s . J o s h h a s a l s o i n d i c a t e d t h a t t h e t e x t b o o k i s a n i m p o r t a n t s o u r c e o f k n o w i n g : s t u d e n t s a r e e x p e c t e d t o u s e a n d r e f e r t o i t i n m a n y w a y s . I n t h e m o r e s p e c i fi c f o r m s t h a t J o s h u s e d . m a n y o f t h e n o r m s i n h i s c l a s s r o o m s e e m t o b e d i r e c t l y r e l a t e d t o t h e m a t h e m a t i c a l c o n t e n t : 0 P a y a t t e n t i o n t o a n d a g r e e w i t h t h e c o m m o n k n o w l e d g e : 0 T h e r e a r e s u b - q u e s t i o n s t h a t a l l o w y o u t o f o c u s i n o n t h e c o n t e n t : 0 S t r o n g l y e s t a b l i s h e d c o m m o n k n o w l e d g e i s a d e c i s i o n t o b e m a d e : a n d o P l u r a l i t y i s i m p o r t a n t i n d e t e r m i n i n g w h a t i s m a t h e m a t i c a l l y r e a s o n a b l e a n d w h a t i s n o t ( l i m i t e d i n v i t a t i o n t o d i v e r s i t y ) ; a n d 0 K n o w t h e r e a s o n s f o r t h e c o m m o n k n o w l e d g e . 2 2 1 T h e fi r s t t h i n g J o s h m e n t i o n e d a s i m p o r t a n t i n i n f l u e n c i n g w h a t h e d i d i n h i s c l a s s r o o m w a s h i s o w n c o n t e n t k n o w l e d g e . H e a l s o s a i d t h a t t h e n o r m s t h a t h e t r i e d t o e s t a b l i s h i n h i s c l a s s r o o m w e r e e m b e d d e d i n t h e m a t h e m a t i c a l g o a l s o f t h e l e s s o n . T h i s s e e m e d t o a l s o b e q u i t e a p p a r e n t i n t h e n o r m s o f h i s t a l k . T h e fi r s t t h r e e n o r m s i n t h i s g r o u p h a v e t o d o w i t h w h a t s t u d e n t s s h o u l d k n o w : t h e y a r e s t r o n g l y a s s o c i a t e d w i t h d e fi n i n g a n d d r a w i n g a t t e n t i o n t o t h e c o m m o n k n o w l e d g e . O n e o f t h e m o s t i m p o r t a n t e x p e c t a t i o n s J o s h s e t r e l a t e d t o t h e c o n t e n t w a s t h a t s t u d e n t s s h o u l d b e a b l e t o g e n e r a t e m u l t i p l e s o l u t i o n m e t h o d s . I ’ d a l w a y s t r y t o a t l e a s t g i v e t h e o p p o r t u n i t y f o r k i d s t o k i n d o f t a l k a b o u t o t h e r w a y s t h a t t h e y m i g h t h a v e s o l v e d t h e s a m e p r o b l e m s . I t h i n k t h a t ’ s e x t r e m e l y i m p o r t a n t [ . . . ] I ’ m n o t r e a l l y s u r e i f t h e r e w a s e v e r a t i m e w h e n I e x p l a i n e d t h a t t o t h e m . t h a t I w a n t y o u g u y s t o d o t h i s . I t h i n k i t w a s m o r e o f a n u n d e r s t o o d s o r t o f t h i n g a n d I t r i e d t o d e v e l o p t h a t b y j u s t p u s h i n g t h e m a l i t t l e b i t . e s p e c i a l l y i n t h e b e g i n n i n g t o c o m e u p w i t h d i f f e r e n t i d e a s . [ . . . ] I t h i n k k i d s r e a l i z e d t h a t h o w t h e y d i d t h i n g s w a s e v e r y b i t a s i m p o r t a n t a s t h e e n d p r o d u c t a n d t h e w h y s w e r e v e r y . v e r y i m p o r t a n t . [ . . . ] T h e y h a d t o u n d e r s t a n d t h a t t h e r e w a s a p u r p o s e t o a l l t h i s a n d t h e r e w e r e s o m e r e a l k e y i s s u e s a n d k e y c o n c e p t s t h a t w e w e r e g o i n g t o d e a l w i t h . I t r i e d t o g i v e t h e m a p i c t u r e . a b i g g e r p i c t u r e o f w h e r e w e w e r e g o i n g ( I n t e r v i e w J - l . 1 1 / 2 3 / 9 9 ) . I n t h e a b o v e q u o t a t i o n f r o m J o s h ’ s fi r s t i n t e r v i e w . h e a l s o s a i d t h a t k n o w i n g t h e r e a s o n s f o r y o u r i d e a s w e r e “ v e r y . v e r y i m p o r t a n t . ” T h i s w a s s o m e t h i n g t h a t h e o f t e n i n s i s t e d s t u d e n t s d o . H e n o t o n l y p u s h e d s t u d e n t s t o j u s t i f y t h e i r a n s w e r s . b u t i t a p p e a r e d t h a t s t u d e n t s a l s o f e l t t h a t t h i s w a s s o m e t h i n g t h e y n e e d e d t o b e c u e d t o d o . O f t e n . t h e y w o u l d g i v e a n a n s w e r b u t r a r e l y d i d t h e y g i v e r e a s o n s w i t h o u t J o s h a s k i n g t h e m t o d o s o . O n e n o r m w a s a s s o c i a t e d w i t h J o s h ’ s e x p e c t a t i o n s f o r s t u d e n t s a n d w h a t h e b e l i e v e d t h e i r r e s p o n s i b i l i t y t o b e : 0 M o d e l s t u d e n t s w a n t t o k n o w . 2 2 2 J o s h a l s o s e e m e d t o a l l u d e t o t h e f a c t t h a t i f s t u d e n t s w e r e “ m o d e l ” t h e y s h o u l d “ w a n t t o k n o w . ” H e o f t e n p h r a s e d h i s q u e s t i o n s i n s u c h a m a n n e r a s t o l e t s t u d e n t s k n o w t h a t t h i s i s s o m e t h i n g t h e y s h o u l d d o — “ w a n t ” t o k n o w . T h e l a s t s e t o f n o r m s t h a t a p p e a r e d i n t h e c l a s s r o o m d i s c o u r s e w e r e d i r e c t l y r e l a t e d t o J o s h ’ s a n d t h e t e x t b o o k ’ s r o l e s i n t h e c l a s s r o o m : 0 A s a n a u t h o r i t y o f m a t h e m a t i c a l k n o w l e d g e . o n e o f t h e t e a c h e r ’ s r o l e s i s t o c l a r i f y t h e c o n t e n t ; 0 T h e t e x t b o o k i s p a r t o f t h e m a t h e m a t i c a l a u t h o r i t y a n d s h o u l d b e d r a w n f r o m i n m a n y w a y s ; 0 “ K n o w i n g ” s o m e t i m e s r e s i d e s i n t h e t e x t b o o k ; a n d o T h e t e a c h e r h a s t h e r i g h t t o j u d g e t h e r e a s o n a b l e n e s s o f a s o l u t i o n . T h e i s s u e s a s s o c i a t e d w i t h t h e l o c u s o f a u t h o r i t y w e r e n o t d i r e c t l y a d d r e s s e d i n t h e i n t e r v i e w s w i t h J o s h . H o w e v e r , h e d i d t a l k a b o u t h i s r o l e w a s i n t h e c l a s s r o o m : Y o u c o u l d u s e t h a t t e r m ‘ f a c i l i t a t o r . ’ I g u e s s . B u t a t l e a s t o n p a p e r I b e l i e v e m y r o l e a s , b u t a g a i n t h e r e w e r e t i m e s w h e n I f o u n d m y s e l f c r o s s i n g t h e l i n e a n d a g a i n b e i n g t h e p r e s e n t e r . “ D i d y o u g u y s t h i n k a b o u t d o i n g i t t h i s w a y ? T h i s w a y ? T h i s w a y ? ” - a s o p p o s e d t o l e t t i n g t h e k i d s g e n e r a t e t h e i r o w n i d e a s ( I n t e r v i e w J - l , 1 1 / 2 3 / 9 9 ) . W h i l e J o s h r e c o g n i z e d t h a t h e p u s h e d s t u d e n t s t h i n k i n g . h e a l s o r e c o g n i z e d t h a t h e d i d n o t a l w a y s l e t s t u d e n t s g e n e r a t e t h e i r o w n i d e a s . H e s a i d t h a t h i s y e a r s o f t e a c h i n g h a d o f f e r e d m a n y a l t e r n a t i v e s t r a t e g i e s a n d t h a t h e o f t e n o f f e r e d t h e s e w h e n h e s t r u g g l e d t o g e t s t u d e n t s t o t a l k . G e t t i n g s t u d e n t s t o t a l k w a s m o r e o f a p r o b l e m i n t h i s c l a s s t h a n h e r e m e m b e r e d i n o t h e r c l a s s e s . s o h e f e l t t h a t h e e n d e d u p c o n t r i b u t i n g l i k e h e w o u l d h a v e l i k e d t h e s t u d e n t s t o d o : 2 2 3 ‘ 2 . " - . fl I f o u n d m y s e l f b e c o m i n g a m e m b e r o f t h e c l a s s a n d m e s a y i n g . “ G e e z . h o w a b o u t , I m e a n , l o o k a t i t t h i s w a y , ” o r “ l o o k a t i t t h i s w a y ” ( I n t e r v i e w J - l . 1 1 / 2 3 / 9 9 ) . I n f a c t , t h e o n l y s t a t e m e n t J o s h m a d e a b o u t h i s o w n a u t h o r i t y w a s m o r e r e l a t e d t o h o w i t m a y h a v e a f f e c t e d s t u d e n t s : I r e a l l y l i k e t o t h i n k t h a t I t r y t o m a k e k i d s f e e l t h i s s u c c e s s f u l a n d i f t h e s t u d e n t s g a v e a n i n c o r r e c t a n s w e r I ’ m r e a l l y - I r e a l l y d o n ’ t t h i n k . a t l e a s t I h o p e I d i d n ’ t a d d t o t h e i r n e g a t i v i s m a b o u t m a t h e m a t i c s . I h o p e I d i d n ’ t e m b a r r a s s t h e m a n d I h o p e t h a t i n m y c l a s s r o o m t h a t g e t t i n g a n a n s w e r t h a t w a s m a y b e i n c o r r e c t . w a s n o t a l l t h a t b a d . T h a t m a n y t i m e s t h a t t h e a n s w e r w a s i n c o r r e c t t h a t m a y b e i f I l o o k e d h a r d e n o u g h a n d a s k e d f o l l o w u p q u e s t i o n s t h a t I c o u l d g e t a h a n d l e o n s o m e i d e a s t h a t w e r e a c t u a l l y r i g h t o n t a r g e t ( I n t e r v i e w J - 2 . 1 2 / 0 2 / 9 9 ) . T h e i s s u e s o f a u t h o r i t y w e r e f a i r l y e x p l i c i t i n J o s h ’ s c l a s s r o o m t a l k . H e h a d s t u d e n t s c o n t r i b u t e i d e a s a n d j u s t i f y t h e m t h r o u g h e l i c i t i n g i d e a s . O n c e t h e i d e a s w e r e o n t h e t a b l e , h o w e v e r , h e u s e d h i s a u t h o r i t y o f t h e s u b j e c t m a t t e r t o d e t e r m i n e w h i c h a n s w e r s w e r e r e a s o n a b l e . H e a l s o s o m e t i m e s e n d e d s e g m e n t s o f t o p i c a l l y r e l a t e d s e q u e n c e s b y t e l l i n g s t u d e n t s w i t h w h a t i d e a s h e a g r e e d a n d d i s a g r e e d . J o s h a l s o e x p l i c i t l y d r e w f r o m t h e t e x t b o o k a n d o f f e r e d i t a s a s o u r c e o f k n o w i n g i n t h e c l a s s r o o m . T h e t e x t w a s u s e d t o d e t e r m i n e c l a s s r o o m a c t i v i t i e s . i n t r o d u c e a n d d e fi n e m a t h e m a t i c a l l a n g u a g e a n d a s a r e f e r e n c e s o u r c e i n w h i c h a n s w e r s t o J o s h ’ s q u e s t i o n s w e r e s o m e t i m e s f o u n d . I n a d d i t i o n . t h e i n f o r m a t i o n t h a t w a s g i v e n i n t h e t e x t b o o k w a s a s s o c i a t e d w i t h w h a t s t u d e n t s m i g h t “ k n o w . ” J o s h ’ s i n i t i a l r e a c t i o n t o t h e v i g n e t t e I o f f e r e d i n t h e fi r s t t e a c h e r i n t e r v i e w ( s e e A p p e n d i x H ) s h o w e d m a n y o f t h e s e s a m e f a c e t s t o w h i c h I h a v e r e f e r r e d a b o v e : [ . . . ] i t ’ s e x t r e m e l y p o w e r f u l b e i n g a b l e t o fi n d t h e y - i n t e r c e p t i n s o m a n y d i f f e r e n t w a y s a n d r e a l i z i n g t h e r e l a t i o n s h i p b e t w e e n a l l t h e r e p r e s e n t a t i o n s . b e t w e e n g r a p h , t a b l e . a n d e q u a t i o n , u m , t h a t ’ s o n e o f t h e b i g i d e a s i n t h e e n t i r e u n i t i s b e i n g a b l e t o t i e a l l t h a t t o g e t h e r [ . . . . ] I w o u l d m a y b e t a k e a m i n u t e t o p u l l e v e r y o n e t o g e t h e r a n d s a y , y o u k n o w . i s t h a t r i g h t ? I s t h a t h o w y o u d i d i t ? N o . b u t i s i t s t i l l r i g h t ? ” ( I n t e r v i e w J - l , 1 1 / 2 3 / 9 9 ) . 2 2 4 I I a k I n t h i s r e a c t i o n . J o s h fi r s t f o c u s e d o n t h e m a t h e m a t i c s i n w h i c h t h e s t u d e n t s w e r e e n g a g e d . H e s a i d t h a t h e w o u l d b r i n g e v e r y o n e t o g e t h e r a n d f o c u s o n w h e t h e r t h e a n s w e r s w e r e “ r i g h t . ” T h i s r e s p o n s e i s a n i c e i n s t a n c e o f t w o o f J o s h ’ s c e n t r a l f o c i : t h e m a t h e m a t i c a l c o n t e n t a n d t h e d e t e r m i n i n g o f c o r r e c t a n s w e r s . 1 F o r a m o r e e x t e n d e d l o o k a t a t r a n s c r i p t f r o m J o s h ’ s c l a s s r o o m t a l k . s e e A p p e n d i x O . 2 F o r a t i m e l i n e o f t h e s e t w o d a y s a n d t h e l o c a t i o n o f e a c h e x a m p l e w i t h i n t h o s e c l a s s p e r i o d s . s e e A p p e n d i x K . I T h i s p r o b l e m i s i n c l u d e d i n A p p e n d i x L . 4 C a z d e n ( I 9 8 6 ) c o n s i d e r e d t h e d i f fi c u l t i e s t h a t r e s e a r c h e r s h a v e d i s c u s s e d a s s o c i a t e d w i t h c l a s s i f y i n g q u e s t i o n s b a s e d o n t h e i r p r e s u m e d c o g n i t i v e l e v e l . H o w e v e r . s i n c e I a m n o t f o c u s i n g o n t h e c o g n i t i v e d i f fi c u l t y o f t h e q u e s t i o n s . I w i l l n o t e x p l i c a t e s o m e o f t h e s e h e r e . " T h e d i s t i n c t i o n b e i n g m a d e h e r e i s t h a t t h i s t y p e o f ‘ q u e s t i o n c o u l d b e p e r c e i v e d a s b e i n g f a c t u a l b e c a u s e i t e l i c i t s p r e v i o u s l y l e a r n e d k n o w l e d g e . H o w e v e r . i t i s o p e n b e c a u s e a w i d e r a n g e o f a n s w e r s m a y b e a c c e p t a b l e . A q u e s t i o n o f t h i s n a t u r e p r e s e n t s a n o p p o r t u n i t y f o r s t u d e n t s t o d e s c r i b e o b s e r v e d p h e n o m e n a f o r w h i c h t h e y h a v e n o t y e t l e a r n e d a n a m e . ° V a c c ( I 9 9 3 ) e x p l i c a t e s t h e s e f u r t h e r i n t o e a c h o f t h e s u b s e c t i o n s . S h e d e f i n e s c l o s e d r e a s o n i n g - r e c a l l e d s e q u e n c e s a s t h o s e t h a t “ r e q u i r e s t u d e n t s t o d e v e l o p o n e a c c e p t a b l e . l o g i c a l l y o r g a n i z e d r e s p o n s e b a s e d o n p r e v i o u s l y a c q u i r e d k n o w l e d g e ” ( p . 9 0 ) : w h e r e a s n o n - r e c a l l e d a r e n o t b a s e d o n p r e v i o u s l y l e a r n e d k n o w l e d g e . 7 T h i s i s a “ f o r m o f l a n g u a g e w h i c h t e n d s t o b e a s s o c i a t e d w i t h t h e e x p r e s s i o n o f s h a r e d a t t i t u d e s a n d o p i n i o n s r a t h e r t h a n o f i n d i v i d u a l d i f f e r e n c e s ” ( B r i t t o n . p p . 1 0 8 - I O 9 ) . 8 I n t h i s p a r t i c u l a r e x a m p l e . t h i s i s a c t u a l l y a m e t a r e q u e s t . 9 T h i s i s s o m e t h i n g t h a t I h a v e n o t i c e d i n b o t h c l a s s r o o m s — s t u d e n t s s e e m t o b e c o m e c o m f o r t a b l e w i t h " a ” p a t t e r n m e a n i n g t h a t t h e f u n c t i o n i s l i n e a r . H o w e v e r . t h e p a t t e r n h a s t o b e o f a p a r t i c u l a r t y p e t o b e l i n e a r — i t h a s t o b e a c o n s t a n t a d d i t i v e p a t t e r n i n t h e t a b l e . T h a t i s . a s t h e x v a l u e s i n t h e t a b l e i n c r e a s e b y o n e . t h e y v a l u e s i n c r e a s e b y t h e s a m e a m o u n t a d d i t i v e l y . I t i s p o s s i b l e t h a t s t u d e n t s t a k e a l l p a t t e r n s t o b e l i n e a r a t t h i s p o i n t b e c a u s e t h e y h a v e n o t d i s c u s s e d m a n y c o n t r a s t s a n d w i l l s o o n g e t t o n o n - l i n e a r i n t h e n e x t I n v e s t i g a t i o n . 1 0 T h e o t h e r t w o a r e s o c i a l d i s t a n c e a n d r a n k o f i m p o s i t i o n s . H o w e v e r . i t a p p e a r s t h a t p o w e r i s p l a y i n g a l a r g e r r o l e h e r e . s o t h a t i s m y f o c a l p o i n t . " I a m l a b e l i n g t h i s a s “ v a g u e ” b e c a u s e e v e n a s a n o b s e r v e r i n t h e c l a s s r o o m . I a m u n s u r e w h a t s h e m e a n t b y t h e a n s w e r t h a t s h e g a v e . ' 3 I n t h i s l e s s o n . s t u d e n t s a r e b e i n g i n t r o d u c e d t o l i n e a r g r a p h m o d e l s . S o m e o t ’ t h e m a i n m a t h e m a t i c a l i d e a s t h a t s t u d e n t s f o c u s e d o n i n t h e l e s s o n i n c l u d e d r a w i n g g r a p h m o d e l s ( o r l i n e s o f b e s t fi t ) . T h i s i s n o t t o s a y t h a t i s s u e s a s s o c i a t e d w i t h s c a l e a r e n o t i m p o r t a n t . t h e y j u s t w e r e n ’ t c e n t r a l t o t h e t o p i c o f d i s c u s s i o n a t h a n d . 1 3 S o m e e x a m p l e s c o m e f r o m t h e s a m e s e g m e n t o f t r a n s c r i p t o r a r e o v e r l a p p i n g . W h e r e t h i s i s t h e c a s e . I w i l l i n d i c a t e t h e o t h e r e x a m p l e i n t h i s m a n n e r . 1 4 T h e v a l u e s s t u d e n t s g o t i n t h e t a b l e w e r e : B r i d g e t h i c k n e s s : l 2 3 4 B r e a k i n g w e i g h t : 5 l I I 7 2 3 ‘ 5 T h i s c l a i m i s m a d e b a s e d o n t h e f a c t t h a t t h e r e a r e n o o t h e r i n s t a n c e s o f t h i s t y p e o f j u x t a p o s i n g o f s t u d e n t i d e a s o c c u r r i n g i n J o s h ’ s c l a s s r o o m i n t h e d a t a t h a t I h a v e a n a l y z e d . 2 2 5 n M . . a c ? m u ? “ Q 2 A . . : . k 2 « . « _ . x fi A . . 3 . . . . . . 4 5 2 r : . . . . 2 . 1 2 . > . . , a 5 . # 3 % . 3 ¥ 3 . . . . . . . . . k “ 1 6 . 3 . “ 3 " ! a m . k n fi I a fi u 3 h . J w a v b k . h x n a . fi . . " . . . “ " . 3 » . x . . . a a , . w 7 . 3 . . p u . . . 3 5 d 3 2 i 3 . 5 K . . . . . a M - ; A i ? n i i : } . 7 . . ‘ . s . 2 f . 3 5 I 3 : . 4 Q . 5 3 3 4 . . £ T . 2 4 . . . 4 2 ( . 1 . . ‘ 1 L . 5 . . x : 2 7 . 4 1 . 0 . 3 . 5 . 5 9 ~ 3 3 ‘ . I Q 3 . 2 ‘ 1 ~ ‘ ‘ 1 \ J C . . . 2 7 4 O . . . Y 3 — A 3 7 J — A . . ) . . . t i I m f « . . 4 r : F . . . . n W . i W t . M 3 « . 1 . T H E S I S l I O f ) l L I B R A R Y M i c h i g a n S t a t e U n i v e r s i t y P L A C E I N R E T U R N B O X t o r e m o v e t h i s c h e c k o u t f r o m y o u r r e c o r d . T O A V O I D F I N E S r e t u r n o n o r b e f o r e d a t e d u e . M A Y B E R E C A L L E D w i t h e a r l i e r d u e d a t e i f r e q u e s t e d . D A T E D U E D A T E D U E D A T E D U E 1 . 4 . $ 0 0 ? 8 Z d j S " ’ _ fl 0 9 o 7 o 6 F 1 2 3 3 2 5 2 0 0 « A C D n n n c L U U U 5 ) , » ! 0 I 3 0 3 ? ? N O V , 0 3 8 2 0 0 5 w - 1 ' 4 - . [ ‘ 1 ’ b Q 2 1 9 1 6 6 / 0 1 c J C I R C / D fl a D u a W — n 1 5 A T A L E 0 H O W D I S C O U R S E S T R U C T U R E S N O R M S : A T A L E O F T W O M I D D L E S C H O O L M A T H E M A T I C S C L A S S R O O M S V O L U M E I I B y B e t h A . H e r b e l - E i s e n m a n n A D I S S E R T A T I O N S u b m i t t e d t o M i c h i g a n S t a t e U n i v e r s i t y i n p a r t i a l f u l fi l l m e n t o f t h e r e q u i r e m e n t s f o r t h e d e g r e e o f D O C T O R O F P H I L O S O P H Y D e p a r t m e n t o f T e a c h e r E d u c a t i o n 2 0 0 0 4 ’ . u d H v r 4 . . a A I . . . 4 . ; M 4 3 0 . t w i n I l r L r . ( J I — ’ G D . “ . r d ‘ . . ‘ . m u n / I r ! ( F : r { . J — a . 1 g D U c fl r W r ' fi D r L . ( Y r 2 1 . . . . . . J . , o . . e r . u r F Q w i n . I 0 1 ” . F 5 9 0 8 a 7 . w a s : d a a . . L 4 ! — . 1 c . . Y ~ I ¢ 1 L . ( Q . W H O M : L . C H A P T E R 8 : C R O S S - C A S E S T U D Y I n t h e p a s t t w o c h a p t e r s . I d e s c r i b e d a n d i n t e r p r e t e d t h e t h r e e m o s t p e r v a s i v e d i s c o u r s e p a t t e r n s i n K a r l a ’ s a n d J o s h ’ s c l a s s r o o m t a l k . I n t h i s c h a p t e r . I l o o k a c r o s s t h e t w o c a s e s t u d i e s w i t h t h e i n t e n t o f p o i n t i n g o u t s i m i l a r i t i e s a n d d i f f e r e n c e s . I n C h a p t e r 5 . I s h o w e d t h a t o n t h e s u r f a c e J o s h a n d K a r l a a r e a m a z i n g l y s i m i l a r i n t e r m s o f t h e i r b a c k g r o u n d , e x p e r i e n c e , e d u c a t i o n a n d p r o f e s s i o n a l d e v e l o p m e n t a c t i v i t y a n d i n t e r m s o f t h e i r s t u d e n t s ’ u n d e r s t a n d i n g . T h e y h a v e e v e n d e s c r i b e d t h e i m p a c t o f t h e i r i n v o l v e m e n t w i t h C M P a s h a v i n g s i m i l a r i m p l i c a t i o n s f o r t h e i r t e a c h i n g . H o w e v e r . a c l o s e r l o o k a t t h e d i s c o u r s e p a t t e r n s i n t h e i r c l a s s r o o m s r e v e a l s t w o d i f f e r e n t e n v i r o n m e n t s i n w h i c h s t u d e n t s a r e l e a r n i n g . A l t h o u g h I r e c o g n i z e t h a t c l a s s r o o m f o r m a t s c h a n g e t h r o u g h o u t a n y g i v e n l e s s o n a n d t h a t s o m e t i m e s t h e a c t i v i t y t h a t i s b e i n g e n g a g e d i n d e t e r m i n e s t h e f o r m a t ( C a z d e n , 1 9 8 8 ) , I w i l l a r g u e t h a t i n K a r l a ’ s c l a s s r o o m s t u d e n t s s e e m t o b e t a k i n g p a r t i n m o r e d i s c u s s i o n s . I n J o s h ’ s c l a s s r o o m , t h e s t u d e n t s o f t e n p a r t i c i p a t e i n a r e c i t a t i o n . T h e i m p l i c a t i o n s t h i s m i g h t h a v e f o r h o w s t u d e n t s a r e e n g a g i n g w i l l b e e x p l o r e d f r o m a t h e o r e t i c a l p e r s p e c t i v e a t t h e e n d o f t h i s c h a p t e r . C o m p a r i n g N o r m s I b e g i n b y e x p l i c i t l y c o m p a r i n g t h e n o r m s i n t h e t w o c l a s s r o o m s ( s e e T a b l e 8 ) . T h e m o s t n o t i c e a b l e a s p e c t o f t h i s t a b l e i s w h e r e t h e m a j o r i t y o f t h e n o r m s f a l l . B o t h J o s h a n d K a r l a s e e m t o c a r r y i n t h e i r d i s c o u r s e m a n y s o c i o m a t h e m a t i c a l n o r m s . S o m e o f t h e s e n o r m s a r e v e r y s i m i l a r . F o r e x a m p l e , b o t h t e a c h e r s v a l u e m u l t i p l e s o l u t i o n m e t h o d s . I n a d d i t i o n , t h e y b o t h a d d r e s s t h e f a c t t h a t t h e r e a r e l a r g e r w a y s o f a d d r e s s i n g m u l t i p l e p r o b l e m s . J o s h u s e d s u b - q u e s t i o n s t o g e t s t u d e n t s t o f o c u s o n t h e c o m p o n e n t s o f t h e i r 2 2 6 3 7 3 3 6 3 1 . 2 3 1 . : F o c u s o f N o T h e l l a t h e r r C o n t e n t t h i n k i n g ; K a r l a u s e d A p p r o x i m a t o r s t o i n d i c a t e c l a s s m e m b e r s h i p . p o s s i b l y h o p i n g s t u d e n t s w o u l d s e e t h a t s o m e o f t h e w a y s t h e y a d d r e s s e d e a c h m a t h e m a t i c a l r e l a t i o n s h i p w a s g o i n g t o b e s i m i l a r . I n t h i s w a y . i t s e e m e d t h a t J o s h f o c u s e d h i s q u e s t i o n s o n p a s t m a t h e m a t i c a l p r o c e s s e s ; K a r l a a p p e a r e d t o b e w o r k i n g a c r o s s t i m e . r e f e r r i n g t o p a s t . p r e s e n t , a n d f u t u r e c l a s s m e m b e r s h i p s t h e y h a v e l e a r n e d o r m a y b e w o r k i n g w i t h s o o n . T a b l e 8 J o s h ‘ s a n d K a r l a ‘ s N o r m s F o c u s o f N o r m ' J o s h ’ s N o r m s K a r l a ’ s N o r m s T h e M a t h e m a t i c a l C o n t e n t P a y a t t e n t i o n t o a n d a g r e e w i t h t h e c o m m o n k n o w l e d g e ; T h e r e a r e s u b - q u e s t i o n s t h a t a l l o w y o u t o f o c u s i n o n t h e c o n t e n t ; S t r o n g l y e s t a b l i s h e d c o m m o n k n o w l e d g e i s a d e c i s i o n t o b e m a d e ; P l u r a l i t y i s i m p o r t a n t i n d e t e r m i n i n g w h a t i s m a t h e m a t i c a l l y r e a s o n a b l e a n d w h a t i s n o t ( l i m i t e d i n v i t a t i o n t o d i v e r s i t y ) ; a n d K n o w t h e r e a s o n s f o r t h e c o m m o n k n o w l e d g e . T h e r e a r e c o n n e c t i o n s i n b o t h t h e c o n t e n t ( e s p e c i a l l y i n t e r m s o f t h e m u l t i p l e r e p r e s e n t a t i o n s t h a t a r e d i s c u s s e d ) a n d t h e c o n t e x t s t h a t m u s t b e r e c o g n i z e d : P l u r a l i t y s h o u l d b e e n d o r s e d a n d a c c l a i m e d : E v e r y o n e s h o u l d h y p o t h e s i z e t h e p o s s i b i l i t i e s w i t h r e s p e c t t o t h e m a t h e m a t i c s ; M a t h e m a t i c s i s i n t h e m i n d o f t h e b e h o l d e r ; a n d T h e r e a r e r e l a t i o n s h i p s b e y o n d w h a t h a s a l r e a d y b e e n d i s c u s s e d a n d e x p l o r e d . b u t t h e i d e a s f o r t h i n k i n g a b o u t t h e m a r e s i m i l a r ( e . g . y o u s t i l l n e e d t o t h i n k a b o u t t h e s a m e t h i n g s w h e n y o u ‘ r e t r y i n g t o d e c i d e w h a t i s h a p p e n i n g ) . 2 2 7 S t u d e n t s a n d C l a s s M o d e l s t u d e n t s w a n t t o k n o w T h e b i g i d e a s a r e s t a t e d a n d p e O p l e m u s t t a k e r e s p o n s i b i l i t y f o r t h e i r o w n l e a r n i n g : C o n t r i b u t i o n s w i l l b e v a l u e d a n d c r e d i t e d ; U n c e r t a i n t y i s s o m e t h i n g t h a t s h o u l d b e a c k n o w l e d g e d ; M i s t a k e s a r e o k a y t o m a k e ( o r I ’ l l p r o t e c t y o u ) ; a n d T h i s c l a s s r o o m i s a c o m m u n i t y w i t h a c o m m o n h i s t o r y . T h e T e a c h e r / T e a c h i n g A s a n a u t h o r i t y o f m a t h e m a t i c a l k n o w l e d g e . o n e o f t h e t e a c h e r ’ s r o l e s i s t o c l a r i f y t h e c o n t e n t ; T h e t e x t b o o k i s p a r t o f t h e m a t h e m a t i c a l a u t h o r i t y a n d s h o u l d b e d r a w n f r o m i n m a n y w a y s : “ K n o w i n g ” s o m e t i m e s r e s i d e s i n t h e t e x t b o o k ; a n d T h e t e a c h e r h a s t h e r i g h t t o j u d g e t h e r e a s o n a b l e n e s s o f a s o l u t i o n . T h e t e a c h e r h a s t h e r i g h t t o s u m m a r i z e a n d c o n t r i b u t e a s s h e s e e s fi t . T h e e m p h a s e s t h a t a p p e a r i n t h e r e m a i n i n g s o c i o m a t h e m a t i c a l n o r m s i n d i c a t e a f e w d i f f e r e n c e s b e t w e e n J o s h a n d K a r l a . F o r i n s t a n c e . J o s h f o c u s e d o n t h e h o w ' s a n d w h y ’ s o f t h e c o n t e n t ; K a r l a f o c u s e d m o r e o n h y p o t h e s i z i n g t h e p o s s i b i l i t i e s o f t h e 2 2 8 . . n u . v r H 1 t . i o f . L “ . r J r ) . : u ( . r J i T t . Q z o fi 4 7 j . . ; . ( - 1 / E m a c s M 5 3 , $ 5 . 9 3 . 7 . 2 . . p 2 t 9 — . ! 5 . 2 3 . 3 5 % a : L ' . » ( l » H .. > ” . 5 " . B r 3 1 3 . , 5 r r v v _ . 0 x , D 2 8 . . a . , a t . . . . a . . v 3 o w a v y - J o . . . ” r u f f “ : u r a f b p - p p a n s - p f » , _ a A ( I . > n . . p r ‘ ( . r . . ” I r / J , 4 . . . , . C f . . . » I . v ; r _ . F r 1 4 1 L J r a n d . 1 ’ L ~ ” I m a t h e m a t i c a l c o n t e n t . J o s h u s e d q u e s t i o n f o r m s t o i d e n t i f y a n d d r a w a t t e n t i o n t o t h e c o m m o n k n o w l e d g e o f t h e c l a s s r o o m . K a r l a d e v e l o p e d t h e c o n t e x t a n d c o n t i n u i t y o f t h e c o m m o n k n o w l e d g e t h r o u g h t e l l i n g s t o r i e s a b o u t c l a s s r o o m e v e n t s . K a r l a a l s o d r e w s t u d e n t a t t e n t i o n t o t h e i m a g e s a n d t h i n k i n g p r o c e s s e s i n w h i c h t h e y w e r e e n g a g e d . T h e d i f f e r e n c e s t h a t a p p e a r i n t h e s o c i a l n o r m s a r e q u i t e i n t e r e s t i n g . M o s t o f J o s h ‘ s s o c i a l n o r m s s e e m t o b e a s s o c i a t e d w i t h t h e t e x t b o o k a n d h i s o w n r o l e i n t h e c l a s s r o o m . K a r l a ’ s a t t e n t i o n s e e m e d t o b e m o r e d i r e c t e d a t s t u d e n t s a n d w h a t s h e e x p e c t e d o f t h e m . T h i s i s c o n s o n a n t n o t o n l y w i t h t h e t e a c h e r i n t e r v i e w s ( e . g . J o s h ‘ s c o n c e r n w i t h c o n t r o l ; K a r l a ’ s c o n c e r n w i t h l i s t e n i n g t o s t u d e n t s ) b u t a l s o a p p e a r e d t o b e e v i d e n t i n a c l o s e r l o o k a t t h e d i s c o u r s e f o r m s i n t h e c l a s s r o o m . F o r i n s t a n c e . t h e w a y s i n w h i c h t h e t w o t e a c h e r s v i e w e d a n d d r e w o n s o u r c e s o f k n o w l e d g e i n t h e c l a s s r o o m d i f f e r e d . I n a d d i t i o n , t h e w a y s i n w h i c h t h e y d e f i n e d t h e i r o w n r o l e s i n t h e c l a s s r o o m w e r e d i f f e r e n t . T h e s e a s p e c t s ( a s w e l l a s o t h e r s ) a r e a d d r e s s e d f u r t h e r i n t h e f o l l o w i n g s e c t i o n s . F i n e - G r a i n e d D i s c o u r s e A n a l y s i s T u r n L e n g t h a n d F r e q u e n c y P r o c e e d i n g t o a m i c r o - l e v e l o f a n a l y s i s . t h e r e i s l i t t l e d i f f e r e n c e i n t h e l e n g t h a n d f r e q u e n c y o f t u r n s e a c h t o o k i n t h e t w o f o c u s c l a s s p e r i o d s . F o r a r e p r e s e n t a t i o n o f t h e s e l e n g t h s , s e e A p p e n d i x P . A c r o s s t h e t w o c l a s s p e r i o d s , J o s h t o o k 2 8 9 t u r n s a n d K a r l a t o o k 2 6 9 . J o s h ’ s l o n g e s t t u r n w a s 3 7 5 w o r d s ; K a r l a ’ s l o n g e s t t u r n w a s 2 4 3 w o r d s . T h e l a r g e s t d i f f e r e n c e i n f r e q u e n c y ( i . e . l 2 ) e x i s t s i n t h e 3 1 - 3 4 w o r d r a n g e . f o l l o w e d b y t h e l - 1 0 w o r d r a n g e ( i . e . 1 1 t u r n d i f f e r e n c e ) . I n e a c h o f t h o s e c a t e g o r i e s . J o s h t o o k m o r e t u r n s . I n t h e t h r e e c a t e g o r i e s i n w h i c h K a r l a t o o k m o r e t u r n s ( i . e . 2 1 - 2 0 w o r d s . 6 6 - 1 0 0 . 1 5 1 - 3 7 5 2 2 9 . I I } V _. . L I Q W . . r . 7 . ‘ ; » n 9 / I . . . ) , I . . I E ( ; 4 M . L 4 C . I 2 . . . 1 ! ; U Q . 1 , 1 ' . 1 1 1 . J L . . i O J I l D . a w U . r n l fl f y . F J r ‘ . . 1 e t 4 . ) . . : I f . z 1 . 3 . . . v ! » a 1 . o w . c J ' . ' . fi J f . m m ; < ~ . 4 . 1 . 1 . v . ~ . m . I I u 0 ; ) U L 7 . 2 2 . . . } . » v . F l ’ t \ ; o H I I n “ t . , L . 1 . _ . £ I v r i } A . . . I < _ u n v ‘ o v b — . I r . t r 1 : 7 2 r . £ . 3 > 1 1 h r o . F . r . _ . u n v . . n . \ _ ‘ A . ’ . . ‘ o : 1 . “ 3 r . “ J . : 1 : v ” « u L . ” ‘ 5 . r . . . . . a » . _ . v . > K I . . a . . . . ; L . . 5 3 . , 5 w o r d s ) , t h e d i f f e r e n c e s w e r e s i x , n i n e , a n d t w o r e s p e c t i v e l y . O v e r a l l . t h e r e i s v e r y l i t t l e d i f f e r e n c e 2 b e t w e e n t h e l e n g t h a n d f r e q u e n c y o f J o s h ' s v s . K a r l a ’ s t u r n s . W h e n c o m p a r i n g t h e l e n g t h s a n d f r e q u e n c i e s o f s t u d e n t t u r n s ( s e e A p p e n d i x Q ) i n t h e t w o c l a s s r o o m s t h e r e a p p e a r e d t o b e a l a r g e r d i f f e r e n c e b e t w e e n t h e n u m b e r o f s h o r t a n d l o n g t u r n s ’ . T h e l o n g e s t t u r n o n e o f J o s h ‘ s s t u d e n t s t o o k c o n s i s t e d o f 3 4 w o r d s . I n K a r l a ’ s c l a s s r o o m , t h e r e w e r e t w o s t u d e n t t u r n s t h a t c o n s i s t e d o f 5 0 w o r d s . T h i s d i d n o t i n c l u d e t u r n s i n w h i c h s t u d e n t s w e r e e x p l i c i t l y a s k e d t o r e a d f r o m t h e t e x t b o o k “ . J o s h ‘ s s t u d e n t s h a d a l m o s t t w i c e a s m a n y l - w o r d t u r n s a s K a r l a ‘ s s t u d e n t s . I n f a c t . J o s h ‘ s s t u d e n t s o u t n u m b e r K a r l a ’ s i n o n e . t w o . t h r e e . f o u r . a n d f i v e w o r d c o u n t s ( w h e r e t h e t o t a l d i f f e r e n c e c a m e o u t t o b e 2 1 3 - 1 5 1 = 6 2 t u r n s ) . W h e n f o c u s i n g o n t h e l o n g e r t u r n s . K a r l a h a d 3 5 s t u d e n t t u r n s t h a t w e r e 1 5 + w o r d s l o n g c o m p a r e d w i t h J o s h ‘ s 1 4 . I n t h e m i d d l e r a n g e ( 6 t o 1 4 w o r d s ) . K a r l a ’ s s t u d e n t h a d m o r e t u r n s i n e v e r y c a t e g o r y e x c e p t a t 9 w o r d - t u m s . A g a i n , K a r l a ’ s s t u d e n t s t o o k m o r e t u r n s i n t h i s r a n g e ( 8 7 c o m p a r e d w i t h 5 0 i n J o s h ‘ s c l a s s ) . O v e r a l l , t h e a c t u a l n u m b e r o f t u r n s s t u d e n t s t o o k i n e a c h c l a s s w a s n o t v e r y d i f f e r e n t ( 2 7 8 i n J ’ s c l a s s r o o m v s . 2 7 3 i n K S ) . J o s h ’ s s t u d e n t s t o o k m o r e s h o r t t u r n s a n d K a r l a ’ s s t u d e n t s t o o k m o r e l o n g t u r n s s . N o t s u r p r i s i n g l y , h o w e v e r . t h e i r c l a s s r o o m s w e r e d i f f e r e n t p l a c e s t o b e a s I f e l t q u i c k l y i n m y w o r k i n t h e m . I n t h e n e x t s e c t i o n . I a d d r e s s t h e s e d i f f e r e n c e s . I n d o i n g s o . I o f f e r w h a t I s e e i n t h e p r e v i o u s t w o c h a p t e r s a s " m e t a - d a t a . " b e g i n n i n g a t a l a r g e r s t r u c t u r a l l e v e l a n d t h e n p r o c e e d i n g t o f o c u s o n p a r t i c u l a r f o r m s e a c h t e a c h e r u s e d . I w i l l t h e n t u r n t o e x p l o r i n g w h a t d i f f e r e n c e t h e s e d i f f e r e n c e s m i g h t m e a n f o r s t u d e n t s . 2 3 0 S t i m s o n . . . . . 0 2 : i i 6 ' . i ‘ I I I I . J o e l . . \ l v > . « v > I u - - m x 1 r . . 9 . l a I : l - l a s s o . \ . . ‘ L a ' I I ; 3 : } : F A J \ N . ‘ 4 I ! . e I . ‘ 0 . l e m o n : “ 1 A h - T h i s 1 2 X ; . . ' ” I ; “ " l . ' s ) . K ‘ T . m - “ - a t [ I x 5 t . _ - ' g L . N . 4 - 4 x c I n “ ‘ I " ( “ I I 1 _ ‘ A d u “ k . h “ . g . , _ ‘ “ ” 1 : I t ‘ \ i t ” 1 ; . 2 " " ? . — . . . \ A 1 . 3 L \ t i _ . . . \ - _ , \ 4 £ \ \ . ~ i _ , : \ L a r g e r S t r u c t u r e o f D i s c o u r s e F o r m a t O n e d i f f e r e n c e b e t w e e n K a r l a ‘ s a n d J o s h ’ s c l a s s r o o m t a l k o c c u r r e d o n a l a r g e r l e v e l . M o s t o f t h e t a l k i n J o s h ' s c l a s s r o o m w a s o f a n I - R - E f o r m a t w i t h l i t t l e d e v i a t i o n ( f o r a d e t a i l e d e x a m p l e s e e E x a m p l e J — 7 . p p . 1 7 2 - 1 7 3 ) . T h r o u g h o u t J o s h ' s c a s e , I p o i n t e d o u t m a n y i n s t a n c e s o f t h e I - R - E s e q u e n c e . W h e n I r e a l i z e d h o w p e r v a s i v e i t w a s i n J o s h ‘ s t a l k , I u s e d M e h a n ‘ s c a t e g o r i z a t i o n o f T o p i c a l l y R e l a t e d S e t s ( s e e C a z d e n . 1 9 8 8 . p p . 3 2 - 3 5 ) a n d p l a c e J o s h ’ s t r a n s c r i p t s i n t o t h i s s t r u c t u r e . I w a s q u i t e s u r p r i s e d a t h o w e a s i l y t h e c l a s s r o o m t a l k fi t . T o s e e a p o r t i o n o f t h i s c a t e g o r i z a t i o n f r o m t h e O c t o b e r 6 ‘ " t r a n s c r i p t . s e e A p p e n d i x M . T h i s t h r e e - p a r t s e q u e n c e i s t h e m o s t p r e v a l e n t s t y l e o f c l a s s r o o m d i s c o u r s e a t a l l g r a d e l e v e l s . C a z d e n ( 1 9 8 8 ) c l a i m s t h a t t h i s p a t t e r n i s m o s t o b v i o u s i n a t e a c h e r - l e d l e s s o n o r r e c i t a t i o n . " i n w h i c h t h e t e a c h e r c o n t r o l s b o t h t h e d e v e l o p m e n t o f a t o p i c ( a n d w h a t c o u n t s a s r e l e v a n t t o i t ) a n d w h o g e t s a t u r n t o t a l k " ( p . 3 0 ) . T h i s i d e a o f c o n t r o l o f t o p i c a n d t u r n a p p e a r e d i n m y i n t e r v i e w s w i t h J o s h . J o s h s a i d t h a t h e e v e n t h o u g h h e w a n t e d s t u d e n t s t o o f f e r “ m u l t i p l e o r v a r y i n g p a t h s . " t h a t h e : s t i l l h a d t h e i d e a o f w h e r e I w a n t e d t h e k i d s t o g o [ . . . ] t h e r e w a s k i n d o f a n e n d p o i n t . A n d I t h i n k s o m e C M P t e a c h e r s a r e a l i t t l e m o r e s t u d e n t d i r e c t e d a s t o t h e d i r e c t i o n t h e y w a n t t o g o a n d t h a t ’ s w o n d e r f u l . I j u s t d o n ‘ t k n o w t h a t I c o u l d g o t h a t r o u t e a n d I h a v e t h e e n d p r o d u c t i n m i n d ( I n t e r v i e w J - l . 1 1 / 2 3 / 9 9 ) . J o s h r e c o g n i z e d t h a t o t h e r t e a c h e r s l e t s t u d e n t s d i r e c t t h e c o n v e r s a t i o n : h o w e v e r . h e f e l t t h a t h e s t i l l n e e d e d t o m a i n t a i n c o n t r o l o f t h e c l a s s r o o m t a l k . I n f a c t . w h e n I a s k e d h i m w h a t h e t h o u g h t w a s i m p o r t a n t t o e s t a b l i s h e a r l y i n t h e s c h o o l y e a r . h e s a i d . I t h i n k I k i n d a w a n t e d t o g e t a g e n e r a l c o n t r o l o f t h e c l a s s r o o m a n d u n d e r s t a n d t h a t i t ‘ s y o u r c l a s s r o o m 4 9 % o f t h e t i m e a n d m i n e 5 1 % . 1 t h i n k t h a t ' s i m p o r t a n t t h e fi r s t c o u p l e o f w e e k s . A n d t h e n . g r a d u a l l y . b r i n g i n g o u t t h e j o i n t o w n e r s h i p o f t h e c l a s s r o o m ( I n t e r v i e w J - l . 1 1 / 2 3 / 9 9 ) . 2 3 1 - — — . . . ‘ _ _ . . _ _ “ 4 # ” y o u . . . ( J P / p m ” m m L . n . . o . “ D e n s e : . 5 . . _ 4 . J . r J 0 . 1 . . 2 2 . m . . w . 5 ( 5 . » > ' . 4 1 1 , L ‘ . l A p p n u fl l ( " y / 2 a s J x v ‘ . t . . - . v . . H 3 o . L e k 7 : “ l e U . . . o f : H u g o ? 2 . W m ; i n . J P . ) 0 ’ 0 . 1 r K . r p V r fi r h . ( “ H F 2 . . L : . e a 2 . . . “ . . . ( E . . . . u 4 I . a 4 a n m i n . . . _ . . . M I C o u ’ l 1 “ . F r . a . o . 5 i t I n 1 3 1 . . C l 5 . . l u t f . . p e l t . 4 . » ( . . ; H ) A H . A J e . . . I . 5 1 ; e I H u t \ . O n e w a y t h a t h e m i g h t h a v e a t t e m p t e d t o d o t h i s w a s t o u s e ( a l t h o u g h p r o b a b l y n o t c o n s c i o u s l y ) a n I - R - E s t r u c t u r e . J o s h s t a t e d t h a t h e b e l i e v e d t h a t t h i s w a s h i s " t e a c h i n g s t y l e ” a n d h e f e l t t h a t h e “ h a d t o h a v e c o n t r o l o v e r t h e c l a s s r o o m . " T h i s w a s n o t t o s a y t h a t K a r l a d i d n o t h a v e a n l - R - E f o r m a t i n s o m e s e g m e n t s o f h e r c l a s s e s . I n f a c t , i t a p p e a r e d t y p i c a l l y d u r i n g t i m e s w h e n s h e w a s g o i n g t h r o u g h h o m e w o r k o r a f t e r s h e r e t u r n e d s o m e t h i n g s h e h a d g r a d e d . H o w e v e r . K a r l a o f t e n u s e d a n o t h e r s t r u c t u r e t h a t J o s h r a r e l y u s e d " - - s h e a l s o u s e d a l o t o f n a r r a t i v e s t o r y t e l l i n g . I n s o m e c a s e s t h i s a p p e a r e d i n t h e f o r m o f r e c o n s t r u c t e d d i a l o g u e ( e . g . s e e E x a m p l e K - 7 . p . 9 8 ) . I n o t h e r c a s e s . K a r l a t o l d s t o r i e s a b o u t c l a s s r o o m h a p p e n i n g s w i t h o u t u s i n g d i a l o g u e ( e . g . s e e E x a m p l e K - 2 . p . 8 9 ) . T h i s t y p e o f n a r r a t i v e s t r u c t u r e i s m o r e i n d i c a t i v e o f t h e t y p e o f t a l k t h a t i s v a l u e d o u t s i d e o f s c h o o l ( E d w a r d s a n d M e r c e r . 1 9 8 7 ) . I n f a c t . C a z d e n c o n t e n d s t h a t t h e r e i s a h i d d e n c u r r i c u l u m i n s o m e c l a s s r o o m s w h i c h " d e n i g r a t e s u c h n a r r a t i v e s a n d p r e s s f o r t h e s u b s t i t u t i o n o f o t h e r f o r m s o f e x p l a n a t i o n a n d j u s t i f i c a t i o n " ( p . 1 8 5 ) . T h i s d i d n o t s e e m t o b e t h e c a s e f o r K a r l a a s s h e o f t e n r e p l a y e d s t o r i e s a n d c o n v e r s a t i o n s i n h e r c l a s s r o o m . C o m m o n F u n c t i o n s U s i n g D i f f e r e n t S u r f a c e F o r m s A l t h o u g h m a n y o f J o s h a n d K a r l a ‘ s s u r f a c e f o r m s w e r e d i f f e r e n t f r o m o n e a n o t h e r 7 i n t h e t w o c a s e s , s o m e o f t h e s e f o r m s f u l fi l l e d s i m i l a r f u n c t i o n s . F o r e x a m p l e . b o t h J o s h a n d K a r l a v a l u e d p l u r a l i t y . H o w e v e r . J o s h u s e d a n i n t e r r o g a t i v e f o r m : “ W h a t d o y o u t h i n k ? ” o r “ D o e s a n y o n e h a v e s o m e t h i n g e l s e ? " w h e r e a s K a r l a u s e d n a r r a t i v e m e t a c o m m e n t i n g , p o i n t i n g o u t w h a t “ s o m e p e o p l e " d i d a n d w h a t " w e f o u n d . " I n a d d i t i o n , t h e w a y i n w h i c h t h e y r e s p o n d e d t o t h e m u l t i p l e i d e a s a s s e r t e d a n d e s t a b l i s h e d 2 3 2 2 : I . . . r 3 [ ‘ D « l u . V p s 3 J o . ‘ I r u u r . . . _ » . . f 3 . . . a r n ‘ 1 . . 2 o . I I . . I . r . . . ( 3 . t . 1 I a u < K u a i - V . 7 i r A . . 1 c . 2 . w e . . r u n ) “ l 2 . $ 0 3 f U _ I / M : u . v . l r ‘ . . r . . > . . ‘ . r / . . ” P a i n . H ” ) . r ' I . n e , 3 i . r ) 0 : / . 2 7 . ( f i 4 . . r . r . . , I . I : C C f j b s u . . . ‘ r 7 7 3 7 ; } . . . . 1 I I I I a I . ) « 4 7 v C i r : L ; H O 3 5 3 . O 3 . . . a n : m 2 r ) ! . . . . . / I r : 4 / . N U J W I t o : . . } 4 . . ; I . > . . r . v ' V . I . . . I _ t I . J I . I 7 . . . . 3 1 / . f . I t fl w w l . ) . - . _ I r _ . w 1 ) ¢ ‘ I . » r v ( . y r : r I . ” . . . I J I . l l . « f f : . I A ’ . i t } ; 2 A r r / O . d i f f e r e n t p a t t e r n s o f a u t h o r i t y . W h e r e J o s h o f t e n c o n c l u d e d t h e o f f e r i n g o f s t r a t e g i e s b y d i r e c t l y t e l l i n g s t u d e n t s w h a t h e “ a g r e e d " w i t h o r w h a t h e c o n s i d e r e d " r e a s o n a b l e . ” K a r l a t o l d s t u d e n t s w h a t s h e “ w o u l d " d o a n d s h i e l d e d s t u d e n t s f r o m i n c o r r e c t r e s p o n s e s b y u s i n g w o r d s l i k e “ p e o p l e . " “ p r o b a b l y ” a n d " s e e m e d . " I n t h i s s e c t i o n . I d i s c u s s h o w t h e s e d i f f e r e n t s u r f a c e f o r m s ( w h i l e s e r v i n g s i m i l a r f u n c t i o n s ) m a y h a v e h e l p e d t o c o n t r i b u t e t o T a b l e 9 C o m m o n F u n c t i o n s u s i n g D i f f e r e n t S u r f a c e F o r m s C o m m o n D i s c o u r s e K a r l a ’ s F o r m s J o s h ’ s F o r m s F u n c t i o n P l u r a l i t y a n d T e a c h e r 0 " S o m e p e o p l e . . . o t h e r 0 “ D o e s a n y o n e h a v e A u t h o r i t y p e o p l e ” : “ W e f o u n d " ; s o m e t h i n g e l s e ? : 0 “ I w o u l d " ; " P r o b a b l y " : 0 " I a g r e e . . . " ; " S e e m e d " " R e a s o n a b l e " S o u r c e o f V a l u e d “ T h e y " : o " R e a d o n p a g e . . . " ; K n o w l e d g e 0 “ I f y o u g o t o o f a s t . I g e t " L o o k b a c k i n t h e l o s t ” ; " H e l p u s o u t b o o k . " W h a t d o y o u h e r e " ; k n o w ? " 0 " S w o o p y " - M u l t i p l e Q u e s t i o n s ; O p e n - ) C l o s e d q u e s t i o n s 0 M o r e o f f i c i a l m a t h e m a t i c a l l a n g u a g e D r a w i n g a t t e n t i o n t o t h e " S o ” ; 0 " B u t " : c o m m o n k n o w l e d g e 0 “ Y e s t e r d a y . . . ” ; 0 T a g q u e s t i o n s : “ R e m e m b e r . . . . ” “ W e P r o p o s i t i o n + " W h y ‘ ? " : f o u n d ” ; 0 “ S h o u l d " 0 “ C a n " d i f f e r e n t c o n t e x t s i n w h i c h s t u d e n t s w e r e l e a r n i n g . T h e d i f f e r e n t s u r f a c e f o r m s I d i s c u s s a r e s u m m a r i z e d i n T a b l e 9 . 2 3 3 P l u r a l i t y a n d T e a c h e r A u t h o r i t v K a r l a a n d J o s h b o t h v a l u e d w h e n s t u d e n t s o f f e r e d m u l t i p l e s o l u t i o n m e t h o d s . B o t h e n c o u r a g e d s t u d e n t s t o s h a r e t h e i r s o l u t i o n s . J o s h e l i c i t e d t h e s e b y a s k i n g q u e s t i o n s . e . g . “ D o e s a n y o n e h a v e s o m e t h i n g e l s e ? ” T h e f o r m h e c h o s e ( i n k e e p i n g w i t h m u c h o f h i s t e a c h i n g s t y l e ) w a s i n t e r r o g a t i v e . K a r l a s o m e t i m e s a s k e d q u e s t i o n s . b u t s h e m o r e o f t e n u s e d m e t a c o m m e n t i n g t o p o i n t o u t t h e d i f f e r e n t w a y s s t u d e n t s w e r e t h i n k i n g . t a l k i n g a n d s o l v i n g p r o b l e m s . I - I e r u s e o f f o r m s l i k e " s o m e p e o p l e . . . o t h e r p e o p l e . " o f f e r e d w h a t v a r i o u s g r o u p s w e r e d o i n g . S o m e o f t h e i n s t a n c e s o f t h i s f o r m m a y h a v e b e e n u s e d t o “ s h i e l d ” s t u d e n t s e i t h e r b e c a u s e t h e y w e r e i n c o r r e c t o r b e c a u s e s h e k n e w t h a t t h e y w e r e n o t c o m f o r t a b l e s h a r i n g t h e i r i d e a s . K a r l a a l s o o f t e n a n n o u n c e d p a s t c o n c l u s i o n s b y t e l l i n g s t u d e n t s w h a t " w e f o u n d . " T h i s f o r m m a y h a v e s h o w n a j o i n t c o n s t r u c t i o n o f i d e a s a n d f i n d i n g s o r i t c o u l d h a v e b e e n a w a y f o r K a r l a t o a s s e r t t h e c o m m o n k n o w l e d g e . u s i n g h e r r o l e a s a u t h o r i t y i n t h e c l a s s r o o m t o t e l l s t u d e n t s w h a t t h e y " k n o w . ” I n c o n t r a s t . J o s h ‘ s " W h a t d o y o u t h i n k ? " s e e m e d t o b e m o r e a b o u t m a k i n g p r i v a t e i d e a s p u b l i c . A n o t h e r f o r m t h a t K a r l a e m p l o y e d ( t h a t s t u d e n t s a l s o u s e d ) w a s t o h y p o t h e s i z e p o s s i b i l i t i e s b y o f f e r i n g w h a t “ c o u l d ” b e . I n h e r i n t e r v i e w , K a r l a s a i d t h a t s h e u s e d t h i s t y p e o f m e t a c o m m e n t i n g t o : [ . . . ] b r i n g o u t w h a t a c e r t a i n g r o u p o f k i d s m i g h t h a v e s a i d [ . . . ] s o m e t i m e s I t h i n k I d o i t b e c a u s e I k n o w t h e k i d s a r e n ‘ t g o i n g t o s a y i t [ . . . . ] I t r y t o p a r a p h r a s e w h a t t h i s g r o u p d i d . w h a t t h a t g r o u p d i d . t o t r y t o h e l p a n o t h e r g r o u p . O r . s o m e t i m e s I u s e i t j u s t a s a w a y t o g e t t h i n g s s t a r t e d . i n s t e a d o f “ T h e r i g h t a n s w e r i s : p u t t h e s e t w o t h i n g s t o g e t h e r a n d d r a w a l i n e . ” y o u k n o w . i t ' s " T h i s g r o u p d i d t h i s t y p e o f t h i n g ” [ . . . ] a l o t o f t i m e s t h a t I d o i t [ p a r a p h r a s i n g o f t a l k o r p r o c e s s ] . I t h i n k I ' v e f o u n d a g r o u p t h a t ’ s r e a l l y d o n e a l o t o f d i f f e r e n t t h i n g s w i t h i t [ a p r o b l e m ] . a n d s o I w a n t t o m a k e s u r e e v e r y b o d y s e e s t h a t . b u t . I t r y n o t t o m a k e i t . " I t h i n k y o u s h o u l d d o i t t h i s w a y ” a n d “ I t h i n k t h a t y o u s h o u l d d o t h a t ” a n d “ N o w t h i s i s t h e r i g h t w a y . ” I j u s t p r e s e n t a s i t u a t i o n t h a t o c c u r r e d — t h i s i s w h a t t h e y s a i d . “ W h a t d o y o u t h i n k ? ” O r , “ D o y o u a g r e e ? ” ( I n t e r v i e w K - 3 . 1 2 / 1 7 / 9 9 ) . 2 3 4 I n t h i s q u o t a t i o n , K a r l a t a l k e d a b o u t a m y r i a d o f t h i n g s . S h e s h a r e d s t u d e n t s o l u t i o n s a n d i d e a s b e c a u s e s h e k n e w s t u d e n t s i n t h e c l a s s w e r e n o t c o m f o r t a b l e d o i n g t h i s . S h e a l s o d i d i t i n t h e m a n n e r t h a t s h e d i d t o a v o i d t e l l i n g s t u d e n t s t h e r i g h t a n s w e r : t h a t i s . s h e w a n t e d t o e n c o u r a g e s t u d e n t s t o m a k e d e c i s i o n s a n d j u d g e m e n t s a b o u t w h a t o t h e r s t u d e n t s i n t h e c l a s s w e r e d o i n g . I n a s e n s e . s h e m a y h a v e b e e n t r y i n g t o d o w n p l a y h e r r o l e a s m a t h e m a t i c a l a u t h o r i t y i n t h e c l a s s r o o m . d r a w i n g s t u d e n t s i n t o d o i n g t h i s f o r t h e m s e l v e s . I n f a c t , i n a t l e a s t t h r e e o f K a r l a ’ s f o u r i n t e r v i e w s . s h e t a l k e d a b o u t t h i s : I c o u l d n ’ t j u s t a n s w e r a l l t h e i r q u e s t i o n s . I s t i l l d o , b u t I t r y n o t t o s a y . " Y o u ' r e r i g h t , y o u ’ r e w r o n g — t h e a n s w e r ’ s 3 6 . n o w l e t ’ s g o o n t o t h e n e x t o n e . ” I t ’ s . “ W h y d o y o u t h i n k 5 0 ? , ” “ W h a t d o o t h e r p e o p l e t h i n k ? ” I t r y n o t t o b e t h e o v e r a l l j u d g e a l l t h e t i m e . I t r y t o c r e a t e a n a t m o s p h e r e w h e r e t h e y ’ l l d o t h a t . I d o n ’ t a l w a y s , b u t t h a t ’ s m y g o a l [ . . . . ] I f I ’ m t h e a l l - k n o w i n g a n d I g i v e a l l t h e a n s w e r s . t h e y d o n ’ t f e e l l i k e t h e y h a v e t o d o a n y t h i n g ( I n t e r v i e w K - 4 . 1 / 0 7 / 0 0 ) . I ’ m a l w a y s a s k i n g , “ W h a t d o o t h e r p e o p l e t h i n k a b o u t t h a t ? ” w i t h o u t m y s e l f s a y i n g . “ I d o n ’ t a g r e e w i t h t h i s b e c a u s e . ” I d o n ’ t w a n t t h e m t o w a i t f o r m e t o s a y . “ Y e s . i t ’ s r i g h t ” o r t h a t t h e r e i s t h e c o r r e c t a n s w e r [ . . . ] I h a v e a n e x p e c t a t i o n o f . “ O k a y , t h r e e ’ s t h e a n s w e r . w h y i s i t t h e a n s w e r ? W h e r e d i d y o u g e t t h r e e ? C a n y o u e x p l a i n t o s o m e b o d y e l s e h o w i t ’ s t h r e e ? ” ( I n t e r v i e w K - 1 . 1 1 / 2 3 / 9 9 ) . I n J o s h ’ s c a s e , h e s t a t e d m a n y t i m e s t h a t s t u d e n t ’ s i d e a s w e r e i m p o r t a n t . b u t t h a t h e d i d n o t w a n t t h e c o n v e r s a t i o n t o s t r a y t o o m u c h . I t w a s m o r e i m p e r a t i v e t h a t h e s t a y f o c u s e d o n t h e m a t h e m a t i c a l i d e a s h e d e e m e d s i g n i f i c a n t . T h e r e a r e m a n y t i m e s w h e r e w e ’ l l b e g o i n g o f f o n a t a n g e n t . b u t I k i n d o f m a y b e g r a b t h e m b y t h e h a n d a n d k i n d a p u l l t h e m b a c k o n t r a c k a n d I ' m n o t s a y i n g t h a t ’ s c o m p l e t e l y r i g h t o r w r o n g , t h a t ’ s m o r e o f a t e a c h i n g s t y l e ( I n t e r v i e w J - l . 1 1 / 2 3 / 9 9 ) . T y p i c a l l y , i t w a s a f t e r t h e s h a r i n g o f i d e a s t h a t a d e v i a t i o n b e t w e e n K a r l a ’ s a n d J o s h ’ s a p p r o a c h e s t o a u t h o r i t y b e g a n . I n K a r l a ’ s c l a s s r o o m . o n c e s t u d e n t s o f f e r e d i d e a s s h e s o m e t i m e s t o l d s t u d e n t s w h a t s h e “ p r o b a b l y w o u l d ” d o ( e . g . E x a m p l e K - 2 8 ) . O t h e r 2 3 5 t i m e s . s h e c a l l e d o n s t u d e n t s t o i n t e r p r e t w h a t o t h e r s t u d e n t s w e r e s a y i n g . b r i n g i n " ' C s t u d e n t s i n t o u c h w i t h e a c h o t h e r s t h i n k i n g . a s i n t h e f o l l o w i n g e x a m p l e : E x a m p l e K - 1 8 ( c o n t i n u e d — s e e p p . 1 0 7 - 1 1 1 ) K : X a v i e r , h e l p u s o u t h e r e . X a v i e r : Y o u d o t h e s a m e t h i n g . e x c e p t t a k e 1 . 5 a n d t i m e s i t b y f i v e a n d t h e n d i v i d e t h a t b y [ i n a u d i b l e ] K : W h y a r e y o u d o i n g t h a t ? X a v i e r : C u z i t ’ s t h e s a m e t h i n g . W h a t s h e d i d w a s s h e f o u n d w h a t 1 . 5 w a s o r 5 . w a i t n o w . [ i n a u d i b l e ] T h e n . s h e d i v i d e d . t h e n s h e t o o k a w a y [ i n a u d i b l e ] K : O h , t h a t ’ s w h a t s h e w a s a c t u a l l y d o i n g ? [ . . . ] J o s h ’ s a u t h o r i t y w a s m o r e e x p l i c i t t h a n t h i s — h e t y p i c a l l y e n d e d p r e s e n t a t i o n s o f s t u d e n t i d e a s b y t e l l i n g t h e m w h a t h e " a g r e e d ” w i t h ( e . g . s e e E x a m p l e J - 1 6 . p . 1 9 1 ) o r w h a t h e t h o u g h t w a s " r e a s o n a b l e . ” E x a m p l e J - 2 0 ( s e e p p . 2 0 2 - 2 0 3 ) J : [ . . . ] I w o u l d s a y t h i s [ e q u a t i o n w i t h s l o p e o f 5 . 8 ] i s a r e a s o n a b l e l i n e o f b e s t fi t . I ’ d s a y t h i s [ e q u a t i o n w i t h s l o p e o f 6 ] i s a r e a s o n a b l e l i n e o f b e s t f i t . [ c i r c l e s t h o s e o n t h e b o a r d ] U m , I ’ d s a y t h i s [ e q u a t i o n w i t h s l o p e o f 4 ] i s n o t . [ c r o s s e s o u t t h a t e q u a t i o n ] R o b e r t , w h e r e d i d y o u g e t y = 4 x ? R o b e r t : I w e n t b y 2 ’ s , u m . o n y [ R o b e r t s h a k e s h i s h e a d n o ] I : Y o u w e n t b y 2 o n t h e y ? I s t h a t g o n n a m a k e a n y d i f f e r e n c e t h o u g h o n t h e s l o p e o f y o u r l i n e ? F s : N o I : [ Y o u ’ r e ] s t i l l g o n n a n e e d a r i s e d i v i d e d b y t h e r u n t o f i n d t h e s l o p e . I d o n ’ t t h i n k t h i s i s r e a s o n a b l e . I t h i n k t h i s o n e ’ s g o n n a b e a l i t t l e b i t t o o s t e e p . I t h i n k t h i s o n e ’ s g o n n a b e a l i t t l e t o o s t e e p , t h i s o n e ’ s g o n n a b e a l i t t l e i f f y . H o w m a n y g o t a s l o p e s o m e w h e r e a r o u n d 5 . 7 . 5 . 8 . 5 . 9 , 6 . 6 . 1 . d e p e n d i n g o n w h e r e y o u d r e w y o u r l i n e o f b e s t f i t ? K a r l a ’ s u s e o f p r o b a b l y w o u l d ” i s s u g g e s t i v e . g i v e n h e r p o s i t i o n i n t h e c l a s s r o o m . H o w e v e r . i t d o e s n o t i n d i c a t e t h e s a m e t y p e o f c e r t a i n t y a n d f o r c e a s J o s h ' s s t a t e m e n t s . 9 “ I a g r e e w i t h w h a t _ s a i d . . . ’ o r ( s i m p l y a n a s s e r t i o n t h a t ) “ t h i s i s r e a s o n a b l e . ” 2 3 6 4 I H 2 . “ L C . : . I Q 5 . 3 ? S E a u . . . a J . a ) . { F . I H n b m w s u t r » : 4 _ . I n s u f f i u . Z I r r e l r t r r . . . . . C h a n ? ” D a n s . m a s s . 1 . . f . r . - O . . o . r r . . . . . 1 w . C L ” n a h r . . . F . 1 L r w a / r 5 . . . W v u 1 I . o . I . . . r - M U I V V W A ' H a w » . , . : I C I . . . ” ( « fi r m n j c l ‘ < I I I . I . 1 3 . . . ( L 7 . . . “ . L . . . , ‘ r . t u ’ u ; / ’ . . I t . . . . f / . v 7 ~ . ( u } . , n b r 7 “ , . 4 . . . A W V L J . . . . . . I L 1 . ! « W m . . . 4 . 1 . C r : . . r o v . 1 . . . O H H L . “ # 1 . . T . 4 . . . v r e v 1 I I n - / / I » , L . ) . ( « : 7 1 Q . . . J . . 4 L p . . . . . . . , ” . r r j ) . y r . » r , 0 3 l I 0 \ I n a d d i t i o n , t h e r e w a s n o t t h e s a m e ‘ s h i e l d i n g ’ i n J o s h ’ s c l a s s r o o m f o r i n c o r r e c t a n s w e r s t h a t t h e r e w a s i n K a r l a ’ s c l a s s r o o m . N o t i c e i n E x a m p l e J - 2 O a b o v e . J o s h e x p l i c i t l y a s k e d R o b e r t w h e r e h e g o t h i s S I O p e f r o m a n d t h e n t o l d h i m t h a t h i s a n s w e r w a s n o t r e a s o n a b l e . T h i s w a s i n c o n t r a s t t o K a r l a ' s u s e o f “ p e o p l e . " w h i c h d i d n o t i n d i c a t e s p e c i f i c a l l y w h o w a s i n c o r r e c t w h e n s o m e o n e ( o r a g r o u p ) w a s w r o n g — " s h i e l d i n g ” s t u d e n t s f r o m b l a m e . A l s o . s h e h e d g e d h e r t a l k a b o u t i n c o r r e c t a n d m i s s e d a n s w e r s : E x a m p l e K - 3 3 K : S o m e p e o p l e j u s t s e e m e d t o s k i p i t [ . . . ] I f y o u m i s s e d i t . h a l f a p o i n t o n f o u r . t h a t ’ s p r o b a b l y w h e r e i t w a s , p r o b a b l y o n t h e y - i n t e r c e p t . B e c a u s e I c o u l d s e e t h a t m a n y p e o p l e w e r e t r y i n g t o fi n d t h e i r y - i n t e r c e p t t h e y j u s t u s e d t h e i r s l o p e b a c k w a r d s . I n h e r i n t e r v i e w s . K a r l a h a d s a i d t h a t w h e n s h e t a u g h t e l e m e n t a r y s c h o o l s h e l i k e " t o c o d d l e s t u d e n t s ” a n d t h a t s h e “ [ . . . ] s t i l l d o [ e s ] t h a t ” ( I n t e r v i e w K - 2 . 1 2 / 0 2 / 9 9 ) . O n e w a y t h a t s h e m a y h a v e “ c o d d l e d ” s t u d e n t s w a s t o s h i e l d t h e m . p r o t e c t i n g t h e m f r o m t h e e m b a r r a s s m e n t o f b e i n g w r o n g o r s h a r i n g t h e i r i d e a s . T h i s w a s a f a c t t o w h i c h s h e r e f e r r e d m u l t i p l e t i m e s i n i n t e r v i e w s — t h e f a c t t h a t e i g h t h g r a d e w a s h a r d f o r s t u d e n t s b e c a u s e t h e y w e r e s o a w a r e o f t h e i r p e e r s a n d w h a t t h e i r p e e r s t h o u g h t a b o u t t h e m . I n s u m m a r y . e v e n t h o u g h b o t h K a r l a a n d J o s h v a l u e d a n d s o u g h t m u l t i p l e s o l u t i o n s . t h e f o r m s t h e y u s e d t o e l i c i t t h e m w e r e d i f f e r e n t . E v e n m o r e v a r i a t i o n e x i s t e d i n t h e w a y t h a t t h e s e o f f e r i n g s w e r e c o n c l u d e d — J o s h o f t e n e n d e d w i t h g i v i n g h i s o p i n i o n a b o u t w h a t w a s m a t h e m a t i c a l l y v a l i d o r r e a s o n a b l e ; K a r l a s o m e t i m e s d i d t h i s . b u t o f t e n h a d s t u d e n t s d i s c u s s a n d i n t e r p r e t o n e a n o t h e r ’ s c o n t r i b u t i o n s . A l s o . i n s t e a d o f t e l l i n g s t u d e n t s w h a t w a s r e a s o n a b l e . s h e s t a t e d w h a t s h e “ w o u l d ” d o . o f f e r i n g p r o c e s s e s w i t h l e s s f o r c e . T h u s . i n J o s h ’ s c l a s s r o o m h i s r o l e w a s p o s i t i o n e d m o r e a s p a r t o f t h e l o c u s o f a u t h o r i t y . I n K a r l a ’ s c l a s s r o o m . h e r r o l e a n d a u t h o r i t y d i d n o t s e e m q u i t e a s a p p a r e n t . S o u r c e s o f V a l u e d K n o w l e d g e I n a d d i t i o n t o t h e t e a c h e r ’ s k n o w l e d g e a n d a u t h o r i t y . t h e r e w e r e o t h e r s o u r c e s o f k n o w l e d g e f r o m w h i c h c a n b e d r a w n i n t h e c l a s s r o o m . T w o o t h e r p o s s i b l e s o u r c e s i n c l u d e d t h e t e x t b o o k a n d t h e s t u d e n t s . I n J o s h ’ s a n d K a r l a ’ s c l a s s r o o m s . t h e m a n n e r i n w h i c h t h e s e s o u r c e s w e r e u s e d a n d r e f e r r e d t o v a r i e d q u i t e a b i t . T h e T e x t b o o k . A s I s h o w e d i n J o s h ’ s c a s e . h e o f t e n d r e w e x p l i c i t l y f r o m t h e t e x t b o o k t o : 1 . ) d e f i n e t h e a c t i v i t y o f t h e c l a s s r o o m ( e . g . s e e E x a m p l e J - 2 8 . p p . 2 1 0 - 2 1 1 : " r e a d o n p a g e . . . " . ) 2 . ) o f f e r t h e t e r m i n o l o g y t h a t w o u l d b e u s e d ( a l s o s e e E x a m p l e J - 2 8 . p p . 2 1 0 - 2 1 1 : “ t h i s i s s o m e t i m e s c a l l e d a l i n e o f b e s t f i t " ) . a n d 3 . ) d e f i n e t e r m s a n d w h a t t h e y m e a n t t o t h e a n s w e r s s t u d e n t s g e n e r a t e d ( e . g . s e e E x a m p l e J - 3 0 . p p . 2 l _ - 2 1 3 : " W h a t d o e s i t s a y ? ” ) . I n a d d i t i o n . J o s h a t t r i b u t e d " k n o w i n g " t o t h e t e x t b o o k t h r o u g h h i s u s e o f “ W h a t d o y o u k n o w ? ” : t h a t i s . w h e n s t u d e n t s w e r e g i v e n s o m e t h i n g i n t h e t e x t b o o k . J o s h w o u l d r e f e r t o t h e s e a s t h i n g s s t u d e n t s “ k n e w . ” I n J o s h ' s c l a s s r o o m . t h e t e x t b o o k w a s v i e w e d a s a n a u t h o r i t y a n d a s a s o u r c e o f k n o w i n g . A f t e r c o m p l e t i n g m y t e x t b o o k a n a l y s i s . I s e e t h a t J o s h a n d t h e t e x t b o o k h a v e m a n y s i m i l a r i t i e s i n t h e i r s t y l e o f a d d r e s s . I n f a c t . t h e t e x t b o o k u s e d p r o l o n g e d s e q u e n c e s o f q u e s t i o n s a n d i m p e r a t i v e s a n d s o d i d J o s h . T h i s s i m i l a r i t y m a y h a v e a t t r i b u t e d t o t h e w a y t h a t J o s h u s e d t h e t e x t b o o k : t h a t i s . b e c a u s e t h e t e x t b o o k s o u n d e d a l o t l i k e J o s h . h e m a y h a v e f e l t c o m f o r t a b l e h a v i n g s t u d e n t s r e a d f r o m i t . S t y l i s t i c a l l y . J o s h a n d t h e t e x t b o o k h a v e a c o m m o n " v o i c e . ” p o s s i b l y c o n t r i b u t i n g t o t h e m a n n e r i n w h i c h J o s h u s e d t h e t e x t b o o k . 2 3 8 J o s h h a d s a i d ( s e e p p . 7 1 - 7 2 . C h a p t e r 5 ) t h a t t h e “ t e a c h e r - t a l k " i n t h e M G M P b o o k s w a s t h e m o s t i n f l u e n t i a l a s p e c t i n h i s c h a n g e s a s a t e a c h e r b e c a u s e : i t w o u l d l i t e r a l l y g i v e y o u q u e s t i o n s , s a m p l e q u e s t i o n s t o a s k . A n d . t h e y w o u l d l i s t p o s s i b l e s t u d e n t r e s p o n s e s o f w h i c h t h e r e w e r e m a n y a n d i t w o u l d a s k - i f t h e s t u d e n t w a s l o o k i n g a t i t f r o m t h i s p o i n t . m a y b e a s k t h i s q u e s t i o n ( I n t e r v i e w J - l . 1 1 / 2 3 / 9 9 ) . S o . t h e r e i s t h e p o s s i b i l i t y t h a t t h e e a r l i e r v e r s i o n s o f t h e t e x t m a y h a v e i n fl u e n c e d J o s h t o t h e p o i n t t h a t h e h a d b e g u n t o s o u n d l i k e t h e t e x t b e c a u s e h e b e l i e v e d t h a t t h e t y p e s o f q u e s t i o n s t h e y h a d s u g g e s t e d h e l p e d i n " d e v e l o p i n g a t r u e u n d e r s t a n d i n g " a n d t h a t o n e w a y t o d o t h i s w a s t o a s k “ t h e r i g h t k i n d s o f q u e s t i o n s . ” E i t h e r w a y . t h e a u t h o r i t a t i v e d i s c o u r s e a p p e a r e d q u i t e u n i f o r m : t h a t i s . b o t h J o s h a n d t h e t e x t b o o k w e r e p o r t r a y e d a s p a r t o f t h e l o c u s o f a u t h o r i t y a n d t h e y h a d c o m m o n w a y s o f t a l k i n g . I n c o n t r a s t . K a r l a r a r e l y h a d s t u d e n t s r e f e r t o t h e t e x t b o o k i n t h e s e w a y s . O n e p o s s i b l e r e a s o n f o r t h i s w a s t h a t t h e a u t h o r i t a t i v e v o i c e o f t h e t e x t b o o k w a s n o t l i k e t h e v o i c e w i t h w h i c h K a r l a w a s m o r e c o m f o r t a b l e : t h a t i s . K a r l a s e e m e d m o r e c o n t e n t u s i n g s t o r i e s a n d m e t a c o m m e n t i n g . I n m o s t o f t h e s e e x a m p l e s K a r l a m o r e o f t e n i n t e r p r e t e d w h a t t h e t e x t s a i d a n d o r a l l y t a l k e d t h r o u g h t h e a c t i v i t i e s w i t h o u t r e f e r r i n g s t u d e n t s t o t h e w r i t t e n t e x t i n t h e b o o k ( e x c e p t w h e n g o i n g t h r o u g h o r a s s i g n i n g h o m e w o r k ) . T h i s w a s n o t t o s a y t h a t K a r l a d i d n o t r e f e r t o t h e t e x t b o o k . I n f a c t . t h e m a n n e r i n w h i c h s h e o f t e n r e f e r r e d t o t h e t e x t w a s q u i t e u n u s u a l . R a t h e r t h a n r e f e r t o t h e t e x t b o o k a s “ t h e b o o k . " K a r l a o f t e n u s e d t h e p r o n o u n “ t h e y ” t o r e f e r t o t h e b o o k . F o r e x a m p l e : E x a m p l e K - l 0 ( s e e p . 1 0 1 ) K : [ P r o b l e m ] 2 A . I r e c o m m e n d e d u s i n g y o u r g r a p h i n g c a l c u l a t o r . I c o u l d t e l l s o m e o f y o u d i d a n d s o m e o f y o u d i d n o t . T h e y p u r p o s e l y s e t t h e e q u a t i o n s u p t h a t w a y [ . . . ] 2 3 9 B y r e f e r r i n g t o t h e a u t h o r s o f t h e t e x t b o o k i n t h i s m a n n e r . K a r l a p o s i t i o n e d h e r s e l f a s s e p a r a t e f r o m t h e e x t e r n a l m a t h e m a t i c a l a u t h o r i t y . E v e n t h o u g h s h e m a y h a v e s e p a r a t e d h e r s e l f f r o m t h e l o c u s o f a u t h o r i t y . s h e s o m e t i m e s s e e m e d t o b e p l a y i n g t h e r o l e o f i n t e r p r e t e r w h o h a d a c c e s s t o t h e i r i n t e n t i o n s . S h e c a l l e d o n a n o n - s p e c i f i c “ t h e y . ” r a t h e r t h a n u s i n g t h e m e t o n o m y “ t h e b o o k g a v e y o u . . ” o r t h e a g e n t l e s s . p a s s i v e “ t h e s l o p e w a s g i v e n . p o r t r a y i n g t h e a u t h o r i t y a s a f a c e l e s s e n t i t y t h a t e x i s t e d o u t s i d e o f t h e c l a s s r o o m . W h e n I a s k e d K a r l a a b o u t h e r u s e o f " t h e y . ” s h e h a d n o t r e a l i z e d t h a t s h e u s e d t h i s w o r d t o r e f e r t o t h e t e x t b o o k . S h e a s s u m e d s h e h a d p r o b a b l y s a i d s o m e t h i n g l i k e “ t h e b o o k . . . ” a n d t h o u g h t s h e s a i d " t h e y ” b e c a u s e s h e k n e w t h e a u t h o r s . W h e n I a s k e d h e r a b o u t h e r r e l a t i o n s h i p w i t h “ t h e y . ” s h e s a i d : I t h i n k i n u s i n g C M P I ’ m a l w a y s t h i n k i n g a b o u t . n o t h i n g i s a r b i t r a r y . t h a t t h e a u t h o r s h a d a r e a s o n f o r e v e r y t h i n g t h a t ’ s i n t h e r e a n d s o w h e n I ’ m l o o k i n g a t s o m e t h i n g I ’ m t h i n k i n g a b o u t t h a t [ . . . ] I k n o w t h e y h a d a r e a s o n f o r i t a n d I ’ v e g o t t o f i g u r e o u t w h a t t h a t w a s [ . . . ] b e c a u s e t h e y ’ l l c o m e b a c k a n d a s k m e q u e s t i o n s . t o o . S o , i t h o l d s m e a c c o u n t a b l e . I f e e l l i k e t h e y d o h o l d m e a c c o u n t a b l e a n d C M P i s s u c h a p o w e r f u l c u r r i c u l u m t h a t I ’ m a f r a i d o f n o t d o i n g w h a t t h e a u t h o r s i n t e n d e d [ . . . . ] I h a v e s o m u c h r e s p e c t f o r t h e m a n d k n o w w h a t w e n t i n t o c r e a t i n g t h i s [ . . . . ] I k n o w t h a t i t w a s w e l l t h o u g h t o u t . m u c h m o r e t h a n I ’ v e t h o u g h t a b o u t i t . e v e n b e g a n t o t h i n k a b o u t i t ( I n t e r v i e w K - 4 . 1 / 0 7 / 0 0 ) . I n a s e n s e . i t a p p e a r e d t h a t K a r l a v i e w e d " t h e y ” a s b e i n g a n a u t h o r i t y t o w h i c h s h e m u s t r e n d e r — “ I f e e l t h a t m u c h r e s p e c t f o r t h e m t h a t I w o r r y a b o u t . a m I r e a l l y t r y i n g t o h o l d t r u e t o w h a t t h e i r i n t e n t w a s ? ” ( I n t e r v i e w K — 4 . 1 / 0 7 / 0 0 ) . I n f a c t . i t a l m o s t s e e m e d a s i f s h e u s e d “ t h e y ” a s a n A t t r i b u t i o n S h i e l d : t h a t i s . s h e a t t r i b u t e d t h e " k n o w i n g ” t o t h e a u t h o r s - - a n a m e l e s s g r o u p o f p e o p l e t h a t s h e c a l l s “ t h e y . ” B y a t t r i b u t i n g t h i s k n o w i n g t o t h e a u t h o r s . K a r l a s e e m e d t o b e l e t t i n g s t u d e n t s k n o w t h a t t h e r e w a s a m u c h b i g g e r 2 4 0 . . . T . . ‘ . Q A V J . f . b u t » ? . . . . w I F . I Q . U W L S C Z M . H 1 i I . . . ; f o w b ‘ b H . . . l u l . ( . y . ( » ( . f . i . r . ’ . : . . I s _ . ‘ n W L \ v a g q u v u u L I L . . ( . . . . r r . . . . ( . . . . o C 3 I 2 . . . v . 5 } . . . u a , r T u b ) h a 2 3 i . L ‘ l o . H | \ . I P . V . . I n i n ” . . . . . . . . . . . c ‘ . r . . . . 2 t . r . . f r | 4 1 * a I I ] . L L 3 C . p H ” r » r . » - ’ I - F a m . . . 7 . . . . J L . . 3 7 4 . . S r : J r c r v a fi y l r 3 . ) ) I ; I . I K . I B r M H » r V fl n . J . . { I ( 1 . ” . . . . ( . r f : . . r . . J I I O ’ . I I 1 ' 1 5 ” » . a u t h o r i t y t o w h i c h t h e y a l l m u s t a n s w e r . I n d o i n g s o . s h e m a y h a v e d o w n - p l a y e d h e r r o l e a s a u t h o r i t y i n t h e c l a s s r o o m . T h e S t u d e n t s . I n a d d i t i o n t o t h e d i f f e r e n c e s i n t h e u s e o f t h e t e x t b o o k . t h e r e w e r e a l s o d i f f e r e n c e s i n t h e w a y s t h e t e a c h e r s d r e w f r o m a n o t h e r s o u r c e o f k n o w l e d g e i n t h e c l a s s r o o m — t h e s t u d e n t s . T h e r e w e r e a t l e a s t t w o w a y s i n w h i c h J o s h a n d K a r l a d i f f e r e d i n t h e m a n n e r i n w h i c h t h e y d r e w f r o m s t u d e n t s . T h e f i r s t w a y i n c l u d e d h o w t h e y e n g a g e d s t u d e n t s w i t h t h e i r o w n a n d e a c h o t h e r ’ s i d e a s . I n t h e s e c o n d . t h e y e a c h a t t e n d e d t o s t u d e n t ’ s w a y s o f t a l k i n g a b o u t m a t h e m a t i c s i n d i f f e r e n t w a y s . W h e n e n g a g i n g s t u d e n t s , J o s h a s k e d m u l t i p l e q u e s t i o n s a n d m a n y t h a t a p p e a r e d “ o p e n ” w e r e r e f o r m u l a t e d a n d b e c a m e m o r e “ c l o s e d ” p o s s i b l y b e c a u s e h e h a d a p a r t i c u l a r a n s w e r i n m i n d . I n c o n t r a s t , K a r l a d r e w s t u d e n t s i n t o a r t i c u l a t i n g t h e i r t h i n k i n g b y s a y i n g t h a t s h e w a s “ l o s t . ” I n a d d i t i o n , s h e a s k e d s t u d e n t s t o s o m e t i m e s i n t e r p r e t e a c h o t h e r ’ s t h i n k i n g w h e n s t u d e n t s w e r e o f f e r i n g n o n - c o n v e n t i o n a l w a y s o f t h i n k i n g a b o u t o r s o l v i n g m a t h e m a t i c s p r o b l e m s . I n e v e r y o n e o f J o s h ’ s i n t e r v i e w s . h e s t a t e d t h a t h e w a s n o t a s s t u d e n t - d i r e c t e d a s o t h e r t e a c h e r s . H e v a l u e d w h a t s t u d e n t s h a d t o s a y . b u t a l s o m a d e t h e p o i n t t h a t t h e r e w e r e c e r t a i n i d e a s t h a t h e n e e d e d t o g e t t o a n d t h a t t h e s e w e r e t h e p r i o r i t y i n t h e c l a s s r o o m . I t h i n k g o i n g i n t o a p r o b l e m I k i n d a k n e w t h e d i r e c t i o n w e w a n t e d t o g o a n d I ’ d l e t t h e k i d s t h r o w s o m e o t h e r i d e a s o u t t h e r e . b u t I w a s s t i l l p r e t t y . p r e t t y z e r o e d i n . I t h i n k m y t u n n e l v i s i o n w a s m a y b e m o r e i n p l a c e [ . . . . ] I k n o w w h e r e I w a n t t o g o a n d I k n o w w h e r e I t h i n k t h e k i d s n e e d t o b e a n d s o m e t i m e s I d o n ’ t h a v e t h e f a i n t e s t i d e a h o w w e ’ r e g o i n g t o g e t t h e r e . S o m e t i m e s I f e e l l i k e I r e a l l y h a v e t o d r a g t h e m a l o n g a n d s o m e t i m e s I d o n ’ t . w e d o n ’ t . A n d . i t k i n d a d e p e n d s o n w h a t y o u ’ r e d o i n g a s t o h o w y o u g e t t h e r e , i f t h a t m a k e s a n y s e n s e [ . . . . ] Y o u j u s t k i n d a h a v e t o s e e w h a t h a p p e n s a n d k n o w w h a t y o u w a n t t o g e t a c r o s s t o k i d s a n d k n o w w h a t y o u t h i n k i s i m p o r t a n t ( I n t e r v i e w J - 3 . 1 2 / 1 7 / 9 9 ) . 2 4 1 A g a i n . e v e n t h o u g h J o s h v a l u e d s t u d e n t - c o n t r i b u t i o n s . h e s t i l l f e l t h e n e e d e d t o k e e p a t i g h t e r l e a s h o n t h e d i r e c t i o n o f t h e c o n v e r s a t i o n . I n f a c t . h e s a i d t h a t h e h a d s e e n s o m e i n t e n s e m a t h e m a t i c a l c o n v e r s a t i o n s t h a t w e r e v e r y s t u d e n t - c e n t e r e d . b u t t h a t h e j u s t c o u l d n o t d o t h a t — i t j u s t w a s n o t a c o m f o r t a b l e t h i n g f o r h i m t o d o . H e n e e d e d m o r e c o n t r o l t h a n t h a t . O n e m e t h o d o f c o n t r o l t h a t h e i n c o r p o r a t e d t h a t I h a v e a l r e a d y m e n t i o n e d w a s t o u s e a n I - R - E s e q u e n c e . A n o t h e r w a y t h a t h e c o n t r o l l e d t h e c l a s s r o o m d i r e c t i o n w a s t h r o u g h h i s q u e s t i o n i n g . A s I s h o w e d i n C h a p t e r 7 ( J o s h ’ s C a s e S t u d y ) . J o s h u s e d m a n y d i f f e r e n t f o r m s o f q u e s t i o n s i n h i s t e a c h i n g s . H o w e v e r . I a l s o s h o w e d t h a t a l t h o u g h m a n y o f h i s q u e s t i o n s a p p e a r e d “ o p e n . ” s u b s e q u e n t d i s c u s s i o n p r o v e d t h a t h e h a d a p r e d e t e r m i n e d a n s w e r i n m i n d . O f t e n h e r e f o r m u l a t e d h i s q u e s t i o n s u n t i l s t u d e n t s c a m e u p w i t h t h e a n s w e r f o r w h i c h h e w a s s e a r c h i n g . T h i s m a y h a v e m a d e m a n y o f h i s q u e s t i o n s a p p e a r t e s t - l i k e i n n a t u r e b e c a u s e t h e r e w a s o n l y o n e a c c e p t a b l e a n s w e r . T h e u s e o f q u e s t i o n s i n K a r l a ’ s t a l k w a s r e a l l y p r e t t y s l i m . e x c e p t w h e n s h e r e t u r n e d s o m e t h i n g t h a t s h e h a d g r a d e d a n d w a s g o i n g t h r o u g h i t . I n t h a t c a s e . h e r c l a s s r o o m f o r m a t w a s f a i r l y I - R - E i n n a t u r e . K a r l a m o r e o f t e n t a l k e d t h a n i n q u i r e d . A n d . w h e n s h e d i d a s k a q u e s t i o n s h e h a r d l y e v e r r e f o r m u l a t e d i t ( a p p r o x i m a t e l y o n c e i n e a c h o f t h e t w o f o c u s l e s s o n s s h e d i d t h i s ) . A l s o . i n t h e t w o f o c u s l e s s o n s s h e o n l y o n c e s t r u n g a s e r i e s o f q u e s t i o n s t o g e t h e r ( w h i c h J o s h o f t e n d i d ) . T h i s s t r i n g o f q u e s t i o n s o c c u r r e d w h e n s t u d e n t s b e g a n t o g e t o f f t a s k f r o m t h e c o n v e r s a t i o n a n d t h e y s e e m e d t o f u n c t i o n a s a w a y t o d r a w s t u d e n t ’ s a t t e n t i o n t o w h a t s h e w a n t e d t h e m t o b e t h i n k i n g a b o u t . E x a m p l e [ ( 4 1 ( n o t i n c l u d e d i n t h e c a s e s t u d y ) K : [ . . . ] w e ’ v e g o t t a d e c i d e w h i c h k i n d o f a v e r a g e m a k e s t h e m o s t s e n s e . a m e a n . m e d i a n o r a m o d e . A l e x ? 2 4 2 2 0 % o f h e r q u e s t i o n s ) i n w h i c h s h e w o u l d r e s t a t e p a r t o f w h a t t h e s t u d e n t s a i d a n d e n d i n g A l e x : T h e m e a n w o u l d m a k e t h e m o s t s e n s e . K : W h y w o u l d t h e m e a n m a k e t h e m o s t s e n s e ? A l e x : I t ’ s t h e o n e i n t h e m i d d l e K : A r e n ’ t t h e y a l l i n t h e m i d d l e , I g e t c o n f u s e d . A l e x : N a w , b e c a u s e t h e m e a n i s l i k e t h e t o p o f s o m e t h i n g a n d s o m e t h i n g a n d y o u k n o w , w h a t e v e r . A n d I t h i n k y o u s h o u l d d o i t t h a t w a y b e c a u s e I s a i d s o a n d I ’ m a l o t s m a r t e r [ s t u d e n t s l a u g h ] . K : B a c k u p t o s i x t h g r a d e K e v i n : W h y d o t h e y c a l l i t s u c h s t u p i d n a m e s ? W h y d o n ’ t t h e y c a l l i t t h e m i d d l e ? K : T h a t ’ s n o t v e r y h e l p f u l . [ s t u d e n t s t a l k i n g ] M y q u e s t i o n i s . i f w e a r e g o i n g t o fi n d a n a v e r a g e , w e ’ v e g o t t o t a k e t h e a v e r a g e t h a t m a k e s t h e m o s t s e n s e . W h a t w e w a n t t o l o o k a t i s w h a t i s t h e t r e n d o f t h e d a t a . I s i t a s e t o f l i n e a r d a t a ? I s i t n o t a s e t o f l i n e a r d a t a ? D o e s i t h a v e s o m e k i n d o f p a t t e r n ? S o . w e ’ r e t r y i n g t o f i g u r e o u t a s w e s h o r t e n t h e b r i d g e , w h a t h a p p e n s t o t h e b r e a k i n g p o i n t ? S o i f w e w a n t t o d e c i d e i f t h a t - w h a t w e ’ r e l o o k i n g f o r . w o u l d a m e a n a v e r a g e m a k e t h e m o s t s e n s e ? W o u l d a m o d e a v e r a g e m a k e t h e m o s t s e n s e ? O r a m e d i a n ? K a r l a b e g a n b y t e l l i n g h e r c l a s s t h a t t h e y n e e d e d t o d e c i d e w h a t t y p e o f a v e r a g e t h e y n e e d e d t o f i n d t o t a k e c a r e o f t h e d i f f e r e n c e s t h a t h a d o c c u r r e d i n t h e b r i d g e d a t a t h e y h a d j u s t c o l l e c t e d . A l e x o f f e r e d t h e c o r r e c t a n s w e r . b u t c o u l d n o t t e l l K a r l a w h y h e s u g g e s t e d t h e m e a n a v e r a g e . I n f a c t , h e g a v e a r a t h e r r i d i c u l o u s r e a s o n — “ b e c a u s e I s a i d s o a n d I ’ m a l o t s m a r t e r . ” W h e n K a r l a t r i e d t o r e d i r e c t t h e c o n v e r s a t i o n b y r e f e r r i n g b a c k t o s o m e t h i n g t h e y h a d l e a r n e d i n s i x t h g r a d e . K e n c h i m e d i n w i t h a s k i n g w h y " t h e y ” c a l l e d i t s u c h s t u p i d n a m e s . K a r l a p o i n t e d o u t t h a t t h i s w a s n o t v e r y h e l p f u l t o t h e d i s c u s s i o n t h e y w e r e t r y i n g t o h a v e a n d t h e n p r o c e e d e d t o r e f o c u s t h e c o n v e r s a t i o n . I n d o i n g s o . s h e p o s e d a s e r i e s o f q u e s t i o n s s t u d e n t s s h o u l d b e c o n s i d e r i n g . S h e d i d n o t s e e m t o w a n t s t u d e n t s t o a n s w e r t h e s e . s h e s e e m e d t o w a n t t h e m t o k n o w a b o u t w h a t t h e y s h o u l d b e t h i n k i n g . M a n y o f K a r l a ’ s o t h e r q u e s t i o n s w e r e r e v o i c i n g s o f s t u d e n t c o n t r i b u t i o n s ( a b o u t 2 4 3 a e p x p t e e a n r d t h a t s h e o f t e n t r e d E x a m p l e K - 1 i 8 e d ( t o m a p p . 1 0 k 7 e - 1 s 1 e 1 n ) s . e K o a f r p r l a o s c o e s s e s m e t i m s e t u d e s s t n a t t s e o d f t f h e a r t e d s . h A s e w a I s s h c o o n w f e u d s e i d n t h e t o w i t h r i s i n g i n t o n a t i o n . I t w a s a s i f s h e w a n t e d t o c o n fi r m h e r i n t e r p r e t a t i o n o f w h a t t h e s t u d e n t s a i d c o r r e c t l y o r w a n t e d t o i n d i c a t e t h a t t h e y n e e d e d t o e x p l a i n w h a t t h e y s a i d . K a r l a m e n t i o n e d t h i s w a s o n e w a y s h e a p p r o a c h e d l i s t e n i n g t o s t u d e n t s . S h e s a i d t h a t s h e b e g a n t h i n k i n g a b o u t w h e t h e r s h e w a s l i s t e n i n g c a r e f u l l y t o s t u d e n t s d u r i n g h e r i n v o l v e m e n t i n p i l o t i n g C M P . I n f a c t . M a r c i e 9 h a d i n t e n s e l y p u s h e d h e r t h i n k i n g a b o u t t h i s : I t h i n k M a r c i e p u s h i n g a t m e a t g o i n g f o r w h e r e t h e k i d s a r e . k n o w w h a t y o u w a n t i n t e r m s o f a m a t h g o a l . b u t u s e w h e r e t h e y ’ r e a t a n d t h e n m o v e t h e m t o y o u r g o a l s . S o . s h e u s e d t o s a y t h a t a l l t h e t i m e , “ Y e s . y o u h a v e a g o a l i n m i n d . b u t y o u ’ v e g o t t o fi g u r e o u t w h e r e t h e y a r e . ” A n d . i f t h e y ’ r e u s i n g a w o r d l i k e “ s w o o p i n g ” o r i f J o n a h s a y s t h i s s l i g h t l y d i f f e r e n t . t r y t o t a k e t h e i r w o r d s a n d p u s h i t f a r t h e r . S o t h a t k i n d o f s t a r t e d w i t h p r o b a b l y M a r c i e m o r e a n d w a n t i n g t o h a v e t h a t i d e a l c l a s s r o o m t h a t t h e S t a n d a r d s h a v e s e t u p . t o m e t h a t w a s p a r t o f i t [ . . . ] i n p e e r c o a c h i n g t h a t ’ s w h a t I a l w a y s l o o k f o r : a m I r e a l l y l i s t e n i n g t o w h a t t h e y ’ r e s a y i n g o r a m I s a y i n g . “ t h i s i s - - . n o w d o i t ” o r a m I l i s t e n i n g t o t h e y ’ r e s a y i n g “ i t ’ s s w o o p i n g u p ” a n d m o v e t o w a r d t h e w o r d [ . . . ] ( I n t e r v i e w K - 4 . 1 / 0 7 / 0 0 ) . L i s t e n i n g w a s s o m e t h i n g K a r l a s a i d s h e w a s s t i l l i m p r o v i n g . W h e n w e t a l k e d a b o u t h e r “ i d e a l ” c l a s s r o o m , s h e m e n t i o n e d s h e h a d b e e n p e e r c o a c h i n g w i t h a s e v e n t h g r a d e t e a c h e r , T a m m y , t o w o r k o n l i s t e n i n g t o s t u d e n t s b e c a u s e s h e f e l t T a m m y d i d s u c h a g r e a t j o b o f i t . I n f a c t , K a r l a s t a t e d t h a t T a m m y ’ s c l a s s w a s h e r " i d e a l ” c l a s s b e c a u s e : S h e r e a l l y l i s t e n s t o w h a t k i d s a r e s a y i n g a n d b e c a u s e s h e k n o w s t h e b i g i d e a o f w h a t w e ’ r e s u p p o s e d t o b e d o i n g t h a t d a y . s h e l i s t e n s t o t h e m a n d k n o w s w h a t t h e n e x t q u e s t i o n i s g o i n g t o b e , w h e r e i t ’ s s u p p o s e d t o b e . w h a t [ . . . ] s h e ’ s r e a l l y g o o d a t i s h e a r i n g w h a t t h e y ’ r e s a y i n g [ . . . ] a n d s h e ’ s r e a l l y g o o d a t t a k i n g w h a t t h e y ’ r e s a y i n g a n d p u s h i n g i t t o w h e r e i t ’ s s u p p o s e d t o b e ( I n t e r v i e w K - 2 . 1 2 / 1 7 / 9 9 ) . A l t h o u g h K a r l a f e l t t h a t s h e d i d n o t l i s t e n a s w e l l a s s h e t h o u g h t s h e s h o u l d . i t d i d 2 4 4 g e t s t u d e n t s t o a r t i c u l a t e t h e m s e l v e s m o r e c l e a r l y . A n d . w h e n s h e s t i l l d i d n o t u n d e r s t a n d w h a t s t u d e n t s w e r e s a y i n g . s h e a l s o c a l l e d o n o t h e r s t u d e n t s t o e x p l i c a t e . p u t t i n g t h e m i n t h e p o s i t i o n o f i n t e r p r e t i n g e a c h o t h e r ’ s t h o u g h t s . I n J o s h ’ s c l a s s r o o m . h e m o r e o f t e n i n t e r p r e t e d w h a t s t u d e n t s w e r e s a y i n g a n d m o n i t o r e d t h e i d e a s t h a t w e r e b e i n g p r e s e n t e d t o k e e p t h e l e s s o n f o c u s e d o n t h e b i g m a t h e m a t i c a l i d e a s . T h e s e c o n d w a y J o s h a n d K a r l a d i f f e r e d i n t h e i r u s e o f s t u d e n t c o n t r i b u t i o n s w a s a s s o c i a t e d w i t h t h e w a y s t h e y t a l k e d a b o u t t h e m a t h e m a t i c a l c o n t e n t . T h r o u g h m y o b s e r v a t i o n s a n d a n a l y s i s , I h a v e a t t e n d e d t o t h e m u l t i p l e w a y s t h a t t h e t e a c h e r s a n d s t u d e n t s t a l k a b o u t i m p o r t a n t m a t h e m a t i c a l i d e a s . I n d o i n g s o . I h a v e d e v e l o p e d c a t e g o r i e s f o r t h e l a n g u a g e t h e s e c l a s s r o o m s h a v e u s e d p e r t a i n i n g t o l i n e a r a n d n o n - l i n e a r r e l a t i o n s h i p s . T h e s e c a t e g o r i e s i n c l u d e o f fi c i a l m a t h e m a t i c a l l a n g u a g e ( O M L ) . b r i d g i n g l a n g u a g e ( B L ) , a n d c o n t e x t u a l l a n g u a g e ( C L ) ” . I w i l l b r i e fl y d e f i n e t h e s e c a t e g o r i e s a n d i l l u s t r a t e t h e m b y o f f e r i n g e x a m p l e s o f t h e l a n g u a g e t h a t h a s a p p e a r e d i n t h e c l a s s r o o m . I w i l l t h e n o f f e r s o m e d i f f e r e n c e s I s e e i n t h e w a y s t h a t t h i s r a n g e o f l a n g u a g e i s u s e d i n e a c h o f t h e t w o c l a s s r o o m s . H a l l i d a y ( 1 9 7 5 ) d e fi n e s a r e g i s t e r a s " a s e t o f m e a n i n g s t h a t i s a p p r o p r i a t e t o a p a r t i c u l a r f u n c t i o n o f l a n g u a g e . t o g e t h e r w i t h t h e w o r d s a n d s t r u c t u r e s w h i c h e x p r e s s t h e s e m e a n i n g s ” ( p . 1 9 5 ) . H e g o e s o n t o d e fi n e t h e m a t h e m a t i c a l r e g i s t e r . t h e n . a s b e i n g m a d e u p o f t h e “ m a t h e m a t i c a l u s e o f n a t u r a l l a n g u a g e a n d m e a n i n g s a l a n g u a g e m u s t e x p r e s s i f i t i s b e i n g u s e d f o r m a t h e m a t i c a l p u r p o s e s ” ( p . 1 9 6 ) . I n s h o r t . t h e s e a r e t h e w a y s o f t a l k i n g a n d f u n c t i o n i n g m a t h e m a t i c a l l y t h a t w o u l d b e e x p e c t e d a n d a p p r e c i a t e d b y t h e m a t h e m a t i c a l c o m m u n i t y . P i m m ( 1 9 8 7 ) e x t e n d s t h i s d e fi n i t i o n t o i n c l u d e m e t a p h o r i c a l m e a n i n g s t h a t p e o p l e c o n s t r u c t t o m a k e s e n s e o f m a t h e m a t i c a l i d e a s . F o r 2 4 5 e x a m p l e . h e r e f e r s t o a c o m m o n m e t a p h o r e m p l o y e d i n m a n y a l g e b r a c l a s s e s : “ a f u n c t i o n i s a m a c h i n e . ” O M L c o n s i s t s o f l a n g u a g e i n c l u d e d i n t h e m a t h e m a t i c a l r e g i s t e r . T h i s t y p e o f l a n g u a g e i s u n i v e r s a l — i t w o u l d b e r e c o g n i z e d b y a n y o n e i n t h e m a t h e m a t i c a l c o m m u n i t y . L i n e . s l o p e . y - i n t e r c e p t . r i s e a n d r u n w o u l d b e e x a m p l e s o f t h i s t y p e o f l a n g u a g e . T w o t y p e s o f l a n g u a g e m a k e u p B L : c l a s s r o o m g e n e r a t e d l a n g u a g e ( C G L ) a n d t r a n s i t i o n a l m a t h e m a t i c a l l a n g u a g e ( T M L ) . T h e fi r s t . C G L . c o n s i s t s o f l a n g u a g e t h a t i s s t u d e n t - o r t e a c h e r - g e n e r a t e d ; i t _ i s m o r e i d i o s y n c r a t i c i n n a t u r e t h a n O M L . I t s t i l l p e r t a i n s t o t h e m a t h e m a t i c a l o b j e c t . b u t i s p a r t o f t h e l a n g u a g e o f t h i s c l a s s r o o m c o m m u n i t y . F o r e x a m p l e , K a r l a ’ s c l a s s c a l l e d d e c r e a s i n g e x p o n e n t i a l s " s w o o p y d o w n c u r v e s . ” T M L w o u l d b e l a n g u a g e t h a t d e s c r i b e s a l o c a t i o n o r p r o c e s s t h a t i s a s s o c i a t e d w i t h t h e O M L . T M L i n c l u d e c e r t a i n s e t p h r a s e s w h i c h a r e r e p e a t e d o f t e n i n t h e s e c l a s s r o o m s , e . g . “ t h e n u m b e r t i m e s x ” ( s l o p e a s i t s l o c a t i o n i n t h e e q u a t i o n ) . “ w h a t i t g o e s u p b y ” ( s l o p e a s c h a n g e i n t h e y v a l u e s i n a l i n e a r t a b l e ) . o r " t h e c o n s t a n t r a t e ” ( s l o p e r e f e r r e d t o i n b o t h t h e g r a p h a n d t h e t a b l e a s w h a t m a k e s t h e r e l a t i o n s h i p l i n e a r ) . C L i s t h e l a n g u a g e t h a t s t u d e n t s u s e t h a t i s d e p e n d e n t o n s p e c i f i c c o n t e x t s o r s i t u a t i o n s t h e s t u d e n t s h a v e b e c o m e f a m i l i a r w i t h t h r o u g h u s i n g t h i s s p e c i fi c c u r r i c u l u m . T h e c u r r i c u l u m i s p r o b l e m c e n t e r e d a n d s t u d e n t s w o r k w i t h r e - o c c u r r i n g c o n t e x t s . T h e s e i n c l u d e p l a n n i n g b i k e t r i p s , b e i n g a p a r t o f f u n d - r a i s e r s . s a v i n g m o n e y . e t c . E x a m p l e s o f t h e l a n g u a g e s t u d e n t s h a v e u s e d t h a t w o u l d f a l l i n t o t h i s c a t e g o r y w o u l d i n c l u d e r a t e s s u c h a s “ c o s t p e r p e r s o n . ” “ d o l l a r s p e r m o n t h . ” “ m e t e r s p e r s e c o n d ” ( a l l r e l a t e d t o s l o p e ) o r “ t h e u p - f r o n t m o n e y . ” “ t h e d o w n p a y m e n t . ” a n d " t h e h e a d s t a r t ” ( a l l r e l a t e d t o y - i n t e r c e p t ) . 2 4 6 B o t h t e a c h e r s d r a w o n a r a n g e o f l a n g u a g e t o t a l k a b o u t m a t h e m a t i c a l i d e a s a n d s o m e t i m e s d o t h i s i n a s t r i n g . F o r e x a m p l e : E x a m p l e K - I 8 ( s e e p p . [ 0 7 - 1 1 1 ) K : T h e p i e c e t h a t w e ’ r e t r y i n g t o fi g u r e o u t i s t h i s b . A n d y o u s a i d t h i s b w a s y o u r u p - f r o n t m o n e y o r y o u r u p - f r o n t s t u f f . o r y o u r s t a r t i n g p o i n t o r y - i n t e r c e p t . I s t h i s [ t h e g i v e n p o i n t ] m y y - i n t e r c e p t ? [ . . . ] E x a m p l e J - 4 3 ( n o t i n t h e c a s e s t u d y ) J : S u r e i t i s . T h e c o e f f i c i e n t i s n e g a t i v e f o u r / / t h e s l o p e / a n d t h e y - i n t e r c e p t a g a i n i s z e r o / [ . . . ] S o m e k i d s s a i d / l i k e J a c o b s a i d t h e r e i s n o s t a n d a r d f o r m . t h e r e w a s n ’ t a c o e f fi c i e n t , t h e r e w a s n ’ t a n u m b e r m u l t i p l y i n g b y x / s o m e t h i n g o f t h a t n a t u r e / / I n e a c h o f t h e s e e x a m p l e s , J o s h a n d K a r l a w e r e u s i n g m u l t i p l e p h r a s e s t o r e f e r t o t h e S I O p e ( c o e f fi c i e n t , a n u m b e r m u l t i p l y i n g b y x , s l o p e ) a n d t o r e f e r t o t h e y - i n t e r c e p t ( t h e u p - f r o n t m o n e y , t h e u p - f r o n t s t u f f . t h e b . t h e s t a r t i n g p o i n t . t h e y - i n t e r c e p t ) . H o w e v e r . a c l o s e r l o o k a t t h e t y p e o f l a n g u a g e t h e y u s e i n d i c a t e s a d i f f e r e n c e . I n J o s h ’ s r e f e r e n c e s t o s l o p e . h e u s e d t w o t e r m s t h a t w e r e o f fi c i a l m a t h e m a t i c a l l a n g u a g e ( O M L ) : t h a t i s . “ s l o p e ” a n d “ c o e f fi c i e n t ” w o u l d b e c o n s i d e r e d p a r t o f t h e m a t h e m a t i c a l r e g i s t e r a n d w o u l d b e r e c o g n i z e d b y t h e l a r g e r m a t h e m a t i c a l c o m m u n i t y . I n c o n t r a s t . K a r l a r e f e r r e d t o t h e y - i n t e r c e p t b y d r a w i n g o n t h e s t o r y p r o b l e m c o n t e x t s s t u d e n t s h a d u s e d ( i . e . “ u p - f r o n t m o n e y ” o r “ u p - f r o n t s t u f f ’ ) , r e l a t i n g t h e c o n c e p t t o m o r e c o n c r e t e s i t u a t i o n s w i t h w h i c h s t u d e n t s w e r e f a m i l i a r . I n a d d i t i o n . s h e u s e d T M L ( i . e . " s t a r t i n g p o i n t . ” “ t h e b ” ( l o c a t i o n i n t h e e q u a t i o n ) ) a n d t h e n o n e t e r m t h a t w o u l d b e c o n s i d e r e d O M L : “ y - i n t e r c e p t . ” T h e r e w e r e m u l t i p l e t i m e s i n C h a p t e r 6 t h a t I r e f e r r e d a l s o t o K a r l a ’ s u s e o f u n c o n v e n t i o n a l m a t h e m a t i c a l t e r m s ; t h a t i s w h e n K a r l a u s e d C G L . F o r e x a m p l e 2 4 7 E x a m p l e K - 2 7 ( s e e p . 1 2 8 ) K : I t d o e s d o a s w o o p y . S h o u l d I c o n n e c t t h e d o t s ? [ . . . ] K a r l a i n d i c a t e d t h a t s h e w a s n o t s u r e i f s h e i n t r o d u c e d “ s w o o p y ” o r i f s t u d e n t s h a d , s o d u r i n g t h e 1 9 9 9 - 2 0 0 0 s c h o o l y e a r s h e m a d e s u r e t h a t s h e d i d n o t s a y i t a n d s t u d e n t s s t i l l s u g g e s t e d i t . S h e r e a l i z e d t h a t i t a p p e a r e d e v e r y y e a r w h e n t h e y b e g a n t o s t u d y e x p o n e n t i a l c u r v e s : s h e t o l d m e t h a t t y p i c a l l y s t u d e n t s d e s c r i b e d e x p o n e n t i a l c u r v e s a s l o o k i n g l i k e a “ N i k e s w o o s h . ” T h i s p h r a s e , i n t u r n , b e c a m e “ s w o o s h ” a n d t h e n “ s w o o s h y ” a n d t h e n “ s w o o p y ” ( I n t e r v i e w K - 3 , 1 2 / 1 7 / 9 9 ) . W h e n I a s k e d K a r l a a b o u t t h i s a t y p i c a l l a n g u a g e f o r m a t h e m a t i c a l i d e a s s h e s a i d : I t h i n k t h e y [ t h e s t u d e n t s ] n e e d c o m m o n w o r d s , a c o m m o n l a n g u a g e a n d t h e n b u i l d t o w a r d s t h a t [ a l g e b r a i c f o r m a l i s m ] . L i k e s l a n t i n e s s l ' . t h e y d o n ’ t u s e t h a t a n y m o r e . O n c e i n a w h i l e i t ’ l l s t i l l c o m e u p . [ . . . ] I t h i n k t h e y n e e d e d i t a t fi r s t s o t h e y h a d s o m e t h i n g t o t a l k a b o u t w h a t w a s g o i n g o n . T o g i v e t h e m s l o p e fi r s t a n d t h e n w h a t w a s g o i n g o n I t h i n k w o u l d s q u a s h a n y t h i n g t h a t t h e y c o u l d d o w i t h i t . [ . . . ] I h o p e i t g i v e s t h e m a c o m m o n l a n g u a g e t o s t a r t l o o k i n g a t t h i n g s d i f f e r e n t l y , e s p e c i a l l y l i k e s w o o p i e s . B e c a u s e t h e n t h e y c a n b u i l d f r o m s w o o p i e s t o k n o w t h a t t h i s g r a p h i s s w o o p i n g , i t ’ s n o n - l i n e a r . i t ’ s n o t a . I d o n ’ t k n o w w h a t t h e y w e r e c a l l i n g t h e m l a s t y e a r , h i l l s a n d u ’ s 1 2 f o r q u a d r a t i c s a n d t h i n g s . T o fi r s t j u s t r e c o g n i z e t h a t t h e r e a r e d i f f e r e n t p a t t e r n s a n d h o w t o d e s c r i b e t h e m u s i n g t h e i r l a n g u a g e a n d t h e n l o o k a t h o w a l g e b r a i c a l l y w e c a n d e s c r i b e t h e s a m e t h i n g . I t h i n k t h e y n e e d t h o s e b u i l d i n g b l o c k s i n t h e r e ( I n t e r v i e w K - 3 , 1 2 / 1 7 / 9 9 ) . T h i s a p p r o p r i a t i o n o f s t u d e n t l a n g u a g e f o r m a t h e m a t i c a l t e r m s w a s q u i t e c o m m o n i n K a r l a ’ s c l a s s r o o m . I n J o s h ’ s c l a s s r o o m , t h e f o c u s w a s m o r e o n u s i n g o f fi c i a l m a t h e m a t i c a l l a n g u a g e . I n f a c t , I h a v e n o i n s t a n c e s o f t h e t y p e o f c l a s s r o o m g e n e r a t e d l a n g u a g e i n J o s h ’ s c l a s s r o o m t h a t I h a v e i n K a r l a ’ s c l a s s r o o m . W h i l e J o s h a n d K a r l a b o t h d r e w o n s o u r c e s o f k n o w l e d g e i n t h e c l a s s r o o m ( i . e . t h e t e x t b o o k a n d t h e s t u d e n t s ) , t h e y e a c h d i d s o d i f f e r e n t l y . J o s h e x p l i c i t l y d r e w o n t h e t e x t b o o k t o d e fi n e a c t i v i t y i n t h e c l a s s r o o m . i n t r o d u c e a n d d e fi n e m a t h e m a t i c a l l a n g u a g e . 2 4 8 a n d a s a p l a c e t o f i n d a n s w e r s . H e a l s o l o c a t e d t h e t e x t a s a p l a c e o f " k n o w i n g . ” O n e o f t h e r e a s o n s t h e w a y h e i n t e r a c t e d w i t h t h e t e x t m a d e s e n s e w a s t h a t t h e y h a v e a c o m m o n s t y l e o f a d d r e s s i n g s t u d e n t s — u s i n g m u l t i p l e q u e s t i o n s a n d i m p e r a t i v e s . I n c o n t r a s t , K a r l a r a r e l y h a d s t u d e n t s r e a d d i r e c t l y f r o m t h e t e x t b o o k ( e x c e p t w h e n g i v i n g o r g o i n g t h r o u g h a n a s s i g n m e n t ) . M o r e o f t e n K a r l a u s e d s t o r i e s t o i n t e r p r e t t h e a c t i v i t y i n w h i c h t h e c l a s s e n g a g e d . A l s o . s h e r e f e r r e d t o t h e t e x t b o o k i n a n u n u s u a l w a y — a s “ t h e y . ” I h a v e a r g u e d t h a t t h i s w o r d m a y h a v e f u n c t i o n e d a s a n A t t r i b u t i o n S h i e l d : t h a t i s . h e r r e v e r e n c e f o r t h e a u t h o r s a s m o r e k n o w l e d g e a b l e o t h e r s a b o u t t e a c h i n g a n d m a t h e m a t i c s a l l o w e d h e r t o a t t r i b u t e “ k n o w i n g ” t o t h e a u t h o r s o f t h e t e x t b o o k . T h e y a u t h o r s w e r e a n u n n a m e d . k n o w i n g e n t i t y i n h e r c l a s s r o o m . J o s h r e p e a t e d l y s t a t e d i n h i s i n t e r v i e w s t h a t . w h i l e i t w a s i m p o r t a n t t o h a v e s t u d e n t s s h a r e i d e a s , h e n e e d e d t o m a i n t a i n c o n t r o l o f t h e d i r e c t i o n o f t h e t a l k i n t h e c l a s s r o o m . H e a l l o w e d s t u d e n t s t o o f f e r a n s w e r s t o h i s m u l t i p l e q u e s t i o n s . b u t i n s e e k i n g a p a r t i c u l a r a n s w e r h e r e f o r m u l a t e d m a n y o f h i s q u e s t i o n s u n t i l t h e y w e r e c l o s e d i n n a t u r e . B y d o i n g s o . h e m a y h a v e i n d i c a t e d t o s t u d e n t s t h a t h i s q u e s t i o n s w e r e r e a l l y “ t e s t ” q u e s t i o n s r a t h e r t h a n g e n u i n e i n q u i r y i n t o t h e i r t h i n k i n g . K a r l a ’ s w a y s o f d r a w i n g o n s t u d e n t s w a s q u i t e d i f f e r e n t f r o m J o s h ’ s . I n h e r i n t e r v i e w s . s h e s a i d s h e t r i e d t o l i s t e n t o s t u d e n t s . t a k e w h a t t h e y k n e w a n d p u s h t h e i r t h i n k i n g f u r t h e r . S h e w a n t e d t o g i v e u p s o m e o f t h e c o n t r o l a n d h a v e s t u d e n t s j u d g e t h e s o l u t i o n s t h a t w e r e b e i n g d i s c u s s e d . T h i s w a s w h a t s h e v a l u e d i n h e r “ i d e a l ” c l a s s r o o m . W h e n s t u d e n t s o f f e r e d n o v e l m a t h e m a t i c a l p r o c e s s e s , s h e p u s h e d t h e m t o a r t i c u l a t e t h e i r t h i n k i n g b y s a y i n g t h a t s h e w a s l o s t . S h e a l s o e n g a g e d o t h e r s t u d e n t s i n i n t e r p r e t i n g s t u d e n t c o n t r i b u t i o n s . p u t t i n g t h e m i n t o u c h w i t h e a c h o t h e r ’ s t h o u g h t s . 2 4 9 . v . » . ( r . 1 : 4 . . . P . ( r h f J 1 1 » . . . . . a l . » . A » . ’ D , ¢ I a I f . . . . . . u . . . . J I I i . . . r r r . : . . r > ( . 1 . 7 . 4 a ? H I . I I 1 v a . I . . . . . r . ( 7 . . . . I . . . l a . r a v e t p u f u . 4 1 } I . . I . . . . . r . i n . . . I . i . 4 4 . . I . w . . . o . . 1 . . . r . 2 . . . . . I ' . . r . _ _ . J . . r » v i . l . . 1 . . ' 7 ” . . . U . _ . . l . 7 1 . . I a ! . l 1 . , A n o t h e r w a y t h a t K a r l a s h o w e d s t u d e n t s t h a t s h e v a l u e d t h e i r i d e a s w a s b y a p p r o p r i a t i n g t h e l a n g u a g e t h e y u s e d f o r m a t h e m a t i c a l c o n t e n t . " S w o o p y . " " s l a n t y . " " h i l l s ” a n d “ U ’ s ” w e r e t h e c l a s s e s ‘ c o m m o n w a y s o f t a l k i n g a b o u t e x p o n e n t i a l f u n c t i o n s , s l o p e . a n d q u a d r a t i c f u n c t i o n s . I n J o s h ‘ s c l a s s r o o m . t h e s e f o r m s o f t a l k i n g d i d n o t e x i s t : t h a t i s . o f fi c i a l m a t h e m a t i c a l l a n g u a g e a n d t r a n s i t i o n a l m a t h e m a t i c a l l a n g u a g e d o m i n a t e d t h e m a t h e m a t i c a l t a l k . T h e s e w a y s o f t a l k i n g a r e v a l u e d b y t h e m a t h e m a t i c a l c o m m u n i t y . p o i n t i n g o u t w a r d t o e x t e r n a l s o u r c e s a s b e i n g v a l u e d . D r a w i n g A t t e n t i o n t o C o m m o n K n o w l e d g e T h e l a s t s e t o f s u r f a c e f o r m s t h a t h a d a s h a r e d f u n c t i o n i n t h e t w o c l a s s r o o m s w e r e t h e o n e s t h a t d r e w a t t e n t i o n t o t h e c o m m o n k n o w l e d g e o f t h e c l a s s r o o m . I n J o s h ‘ s c a s e s t u d y . I d e l i n e a t e d a t l e a s t f o u r f o r m s t h a t s e r v e d t h i s p u r p o s e : “ B u t " : T a g q u e s t i o n s ; p r o p o s i t i o n + “ W h y ' ? " ; a n d “ S h o u l d . " I n K a r l a ' s c l a s s r o o m . t h e r e w e r e a t l e a s t fi v e s u c h f o r m s : “ S o " ; " Y e s t e r d a y . . . " : " R e m e m b e r . . . " : “ W e f o u n d . . . " ; a n d “ C a n . ” B e g i n n i n g w i t h c o m p a r i n g " b u t " a n d " s o . " e a c h w a s u s e d a s a m a r k e r t o i n d i c a t e a n i m p o r t a n t m a t h e m a t i c a l p o i n t t h a t w a s b e i n g m a d e b y t h e t e a c h e r . I n t h e c a s e o f " b u t . " t h e w o r d w a s i n h e r e n t l y c o n t r a s t i v e . I t s e t a s i d e w h a t h a d b e e n s a i d a n d c o n t r a s t e d i t w i t h t h e p h r a s e t h a t f o l l o w e d . F o r e x a m p l e . i f I s a y . " I l o v e y o u . b u t . . w h e t h e r I l o v e y o u o r n o t w a s c o n d i t i o n a l ; i t w a s b a s e d o n t h e c o n d i t i o n t h a t f o l l o w e d t h e w o r d “ b u t . " W h e n J o s h s a i d . “ I t ' s a l i n e . b u t d o e s i t b e s t f i t t h e d a t a ? " i n E x a m p l e J - 2 6 ( p . 2 0 8 ) . h e c o n t r a d i c t e d t h e a n s w e r t h e s t u d e n t g a v e . B e c a u s e h i s u s e o f " b u t “ w a s c o n t r a s t i v e . i t m a y h a v e s e t J o s h ’ s v i e w p o i n t a p a r t f r o m t h e s t u d e n t s . I n d o i n g s o . i t m a y h a v e f u r t h e r 2 5 0 s L w a g . 5 . . E 2 3 . . . : ‘ 4 £ 5 2 3 % . H l _ . . . . . . . . 1 . c r a b o . i s : . . . - . 3 g , L s o : 5 . g , . . . 3 5 2 3 . . . . . . u 3 . . . . . . L 7 3 L e r . . . a n . “ i n a s . . . “ , L . 5 5 5 . . . . . . . . , a a m a n a : 2 . , . . . m b T . 2 . 4 L 1 . . . h , z " ; 2 r . r . . r . . L a o r , . w o r m . . r 9 7 % 8 . F A : _ I ; I , J . . 5 . , q u P v fl l j d p r . v ( r 4 . . - . 1 . . ( . . . : . 1 . . . ? . . l l . 3 3 , : 1 . : . h l fi fl v / m l w . - I a n , . . . . . . . . A 1 b 7 . { 4 ! ( L . / s e p a r a t e d J o s h f r o m t h e c o m m u n i t y o f t h e c l a s s r o o m . a l i g n i n g h i m m o r e w i t h t h e e x t e r n a l l o c u s o f a u t h o r i t y . “ S o ” w a s i n h e r e n t l y c o n n e c t i v e . W h e n K a r l a u s e d " s o . " s h e l e t s t u d e n t s k n o w t h a t s h e , t o o . w a s g o i n g t o m a k e a n i m p o r t a n t m a t h e m a t i c a l p o i n t . H e r i m p o r t a n t m a t h e m a t i c a l p o i n t s c a m e a f t e r a s e r i e s o f c o n t r i b u t i o n s f r o m s t u d e n t s a n d t h e t e a c h e r a n d w e r e m o r e s u m m a t i v e i n n a t u r e . T h e y d i d n o t c o n t r a s t : t h e y c o n d e n s e d t h e c l a s s r o o m t a l k . f o r m u l a t i n g w h a t s t u d e n t s s h o u l d t a k e a w a y f r o m t h e c o n v e r s a t i o n . K a r l a s a i d t h a t s h e d i d t h i s b e c a u s e s h e d i d n o t w a n t s t u d e n t s t o g e t l o s t o r t o f e e l l i k e t h e y d i d n o t s e e t h e b i g g e r p i c t u r e . I n a s e n s e . s h e w a s d r a w i n g t h e m i n t o t h e c o m m o n k n o w l e d g e o f t h e c l a s s r o o m . m a k i n g i t m o r e c o n c i s e a n d s u c c i n c t t h a n t h e e n t i r e c l a s s r o o m c o n v e r s a t i o n t h a t h a d o c c u r r e d . B o t h J o s h a n d K a r l a a l s o s t r e s s e d t h e c o m m o n k n o w l e d g e t h r o u g h o t h e r f o r m s . I n d o i n g s o . J o s h u s e d t a g f o r m s a n d p r o p o s i t i o n s f o l l o w e d b y " w h y ‘ ? . " T h e t a g f o r m w a s n o t a s a s s e r t i v e a s a s t a t e m e n t . b u t w a s m o r e a s s e r t i v e t h a n a s k i n g a n o u t r i g h t y e s - n o q u e s t i o n . T a g s f a v o r p o s i t i v e r e s p o n s e s , m a k i n g i t e a s i e r f o r s t u d e n t s t o c o n f i r m w h a t t h e p e r s o n w a s s a y i n g a n d r e q u i r i n g e x p l i c i t c o n t r a d i c t i o n o f w h a t w a s b e i n g s t a t e d . W h e n J o s h w o u l d s t a t e a p r o p o s i t i o n a n d t h e n a s k . " w h y . " h e w a s l e t t i n g s t u d e n t s k n o w t h a t j u s t i fi c a t i o n w a s i m p o r t a n t i n m a t h e m a t i c s . T h e f o r m s t h a t K a r l a u s e d t o d i r e c t s t u d e n t a t t e n t i o n t o t h e c o m m o n k n o w l e d g e o f t h e c l a s s r o o m w e r e m o r e n a r r a t i v e i n n a t u r e . S h e t o l d s t o r i e s a b o u t " y e s t e r d a y " o r a s k e d s t u d e n t s t o “ r e m e m b e r " o r r e m i n d e d t h e m w h a t “ w e f o u n d . " T h e c o m m o n k n o w l e d g e o f t h e c l a s s r o o m w e r e s t o r i e s t o b e t o l d a b o u t t h i n g s i n w h i c h t h e c l a s s r o o m c o m m u n i t y h a d e n g a g e d . I n u s i n g p h r a s e s l i k e “ w e f o u n d . " s t u d e n t s a l s o h a d t o t a c i t l y a g r e e w i t h t h e 2 5 1 f L i n d i n g s k s s m o m c o m m o i e s z b s m t i a t r c n e h : o m : i t s d :: ' 3 1 : ~ . 1 , i w x l l l ) l l i d . \ _ : ‘ I 5 n o t o n l x 3 L D u r i n g i 3 0 9 1 3 1 1 5 5 O f " 5 g u i d e d " b i t : i \ i l ‘ M 1 | k A . " “ i f " ’ 7 ‘ . 4 t h ” ‘ r e d L ~ . _ ‘ ‘ 1 ' . ) E a l ‘ n . J n ~ ‘ M 1 5 . l i e : I f ) “ ‘ . i ‘ \ , P t . c o n t r a s t i v e ( “ b u t ” ) a n d t h a t r e q u i r e d a f f i r m a t i o n ( t a g f o r m s ) a n d r e a s o n i n g . K a r l a u s e d f i n d i n g s K a r l a s t a t e d . H o w e v e r . t h e w o r d " w e " p o i n t e d t o j o i n t c o n s t r u c t i o n . o f f e r i n g t h e c l a s s r o o m c o m m u n i t y c r e d i t f o r t h e i d e a s s u m m a r i z e d . T h u s . K a r l a m a y h a v e f o r m u l a t e d t h e c o m m o n k n o w l e d g e a s s o m e t h i n g s h e a n d t h e c l a s s d i d t o g e t h e r . T h i s i s f u r t h e r s u b s t a n t i a t e d i n h e r u s e o f q u e s t i o n f r a m e s “ t h a t i n v i t e c h i l d r e n t o i n t r o d u c e t h e i r o w n r e a s o n s a n d e x p e r i e n c e s ” ” a n d “ h e r t e r m i n a t i n g s t a t e m e n t [ s ] t h a t [ . . . ] m a k e i t c l e a r t h a t i t i s n o t o n l y a d e c i s i o n t h e y h a v e a r r i v e d a t t o g e t h e r b u t t h a t i t i s n o w t o a p p l y t o a l l o f t h e m , i n c l u d i n g h e r s e l f ’ ( M i s h l e r . 1 9 7 2 . p . 2 9 2 ) ” . D u r i n g i n t e r v i e w s , I s h o w e d e a c h t e a c h e r e x c e r p t s o f K a r l a ' s u s e o f " c a n " a n d J o s h ’ s u s e o f “ s h o u l d . ” B o t h r e a c t e d i n s i m i l a r w a y s t o t h e t r a n s c r i p t s — K a r l a s a i d s h e s o u n d e d “ b i t c h y ” a n d J o s h s a i d h e w a s " p i s s e d o f f . " T h e i r c h o i c e o f m o d a l v e r b s a c t u a l l y b r e a c h e d p o l i t e n e s s . W h e n I a s k e d t h e m w h a t t h e y w e r e h o p i n g t o d o w i t h t h e s e s t a t e m e n t s . t h e y b o t h s t a t e d t h a t t h e y n e e d e d t o l e t s t u d e n t s k n o w w h a t t h e y w e r e r e s p o n s i b l e f o r k n o w i n g a t t h a t p o i n t i n t i m e . S o . t h e s e t w o f o r m s f u n c t i o n e d i n s i m i l a r w a y s : t h a t i s . t h e y i n d i c a t e d w h a t w o u l d b e c o n s i d e r e d “ p r e s u p p o s e d k n o w l e d g e " f r o m t h a t p o i n t i n t i m e o n . O n c l o s e r i n s p e c t i o n o f t h e f o r m s . h o w e v e r . t h e r e a r e i n t e r e s t i n g d i f f e r e n c e s a g a i n . K a r l a ‘ s “ c a n " i n d i c a t e d a n a b i l i t y t o d o s o m e t h i n g — s h e w a s g o i n g t o a s s u m e t h a t y o u c a n . " I m p l i c i t i n J o s h ' s “ s h o u l d k n o w " w a s " b u t y o u d o n o t . " I n o t h e r w o r d s , u s i n g “ s h o u l d ” o f f e r e d a n u n d e r l y i n g m e s s a g e t h a t a c t u a l l y i n d i c a t e d t h a t a n e x p e c t a t i o n w a s n o t b e i n g r e a c h e d . I t o f f e r e d a m o r e n e g a t i v e c o n n o t a t i o n o f s t u d e n t r e l a t i o n s h i p t o t h e c o m m o n k n o w l e d g e i n t h e c l a s s r o o m . B o t h J o s h a n d K a r l a h i g h l i g h t e d t h e c o m m o n k n o w l e d g e o f t h e c l a s s r o o m . H o w e v e r , t h e s u r f a c e f o r m s t h e y c h o s e w e r e d i f f e r e n t . J o s h u s e d w o r d s t h a t w e r e 2 5 2 s t u d e n t s t o s l o w d o w n a n d a r t i c u l a t e t h e m s e l v e s a n d o t h e r s i d e a s . S h e a l i g n e d h e r s e l f w o r d s t h a t w e r e c o n n e c t i v e ( “ s o ” ) a n d t h a t i n d i c a t e d t h a t t h e c o m m o n k n o w l e d g e w a s a j o i n t l y c o n s t r u c t e d s t o r y t o b e t o l d . W h e n s t u d e n t s w e r e s t r u g g l i n g w i t h t h e c o m m o n k n o w l e d g e . b o t h J o s h a n d K a r l a u s e d m o d a l s t h a t b r e a c h e d p o l i t e n e s s . K a r l a u s e d " c a n " w h i c h i n d i c a t e d a n a b i l i t y t o d o s o m e t h i n g ; J o s h u s e d " s h o u l d " w h i c h i n h e r e n t l y p o i n t e d o u t w h a t s t u d e n t s w e r e n o t d o i n g . T h r o u g h t h e s e f o r m s . K a r l a m a y h a v e v a l u e d s t u d e n t w a y s o f t a l k i n g ( i . e . n a r r a t i v e ) . p o i n t e d t o t h e f a c t t h a t t h e i d e a s i n t h e c l a s s r o o m w e r e j o i n t l y c o n s t r u c t e d ( r e l a t e d t o f o r m i n g c o m m u n i t y ) a n d l e t s t u d e n t s k n o w w h a t s h e t h o u g h t t h e y w e r e a b l e t o d o . I n c o n t r a s t . J o s h m a y h a v e a l i g n e d h i m s e l f w i t h t h e e x t e r n a l a u t h o r i t y b y p o s i t i o n i n g h i s i d e a s a s c o n t r a s t i v e t o s t u d e n t s . c o n s t r u c t e d t h e c o m m o n k n o w l e d g e a s s o m e t h i n g w h i c h s h o u l d b e a g r e e d w i t h . a n d l e t s t u d e n t s k n o w w h a t t h e y w e r e n o t d o i n g . D i s c u s s i o n A l t h o u g h t h e f u n c t i o n s o f t h e w o r d s / s t a t e m e n t s I d i s c u s s e d w e r e t h e s a m e . t h e s u r f a c e f o r m s i n d i c a t e d v a r i o u s i n t e r p r e t a t i o n s t h a t c o u l d b e m a d e . I n f a c t . I b e l i e v e t h a t m a n y o f t h e s e s u r f a c e f o r m s c o n t r i b u t e d t o t h e d i f f e r e n c e I f e l t w h e n I s a t i n J o s h ‘ s a n d K a r l a ’ s c l a s s r o o m . I t h i n k t h e s e v a r i a t i o n s s e t u p d i s t i n c t e n v i r o n m e n t s i n w h i c h s t u d e n t s l e a r n e d . T h e r o l e e a c h t e a c h e r p l a y e d . t h e w a y e a c h i n t e r a c t e d a n d d r e w f r o m s t u d e n t s a n d t h e t e x t b o o k a n d t h e m a n n e r i n w h i c h t h e y h i g h l i g h t e d c o m m o n k n o w l e d g e w a s d i f f e r e n t . K a r l a s e e m e d t o t a k e o n t h e r o l e o f p r o t e c t o r a n d g u i d e . S h e p r o t e c t e d s t u d e n t s t h r o u g h s h i e l d i n g t h e i r i n c o r r e c t a n s w e r s a n d s h a r i n g t h e i r i d e a s i f t h e y w e r e t o o i n s e c u r e t o d o s o . S h e u s e d s t u d e n t c o n t r i b u t i o n s t o g u i d e t h e t a l k i n t h e c l a s s r o o m . s i g n a l i n g 2 5 3 w i t h t h e s t u d e n t s i n t h e c l a s s r o o m t h r o u g h u s i n g n a r r a t i v e s t o r y t e l l i n g . a p p r o p r i a t i n g s t u d e n t w a y s o f t a l k i n g a b o u t t h e m a t h e m a t i c a l c o n t e n t . o f f e r i n g j o i n t l y c o n s t r u c t e d k n o w l e d g e a s i d e a s t h a t w e r e f o r m u l a t e d t o g e t h e r . m a k i n g c o n n e c t i v e . s u m m a t i v e s t a t e m e n t s . T h e t e x t b o o k a u t h o r s w e r e l o c a t e d a s a n e x t e r n a l a u t h o r i t y t o w h i c h t h e y a l l ( i n c l u d i n g K a r l a h e r s e l f ) m u s t b e a c c o u n t a b l e . J o s h d i d m a n y o f t h e s e s a m e t h i n g s . b u t h i s f o r m s m a y h a v e c o n t r i b u t e d t o a d i f f e r e n t e n v i r o n m e n t . T h e i n t e r p r e t a t i o n o f J o s h ' s f o r m s m a y h a v e l e d t o d i f f e r e n t p o s i t i o n i n g a n d a u t h o r i t y p a t t e r n s . I n J o s h ' s c l a s s r o o m . h e a n d t h e t e x t b o o k w e r e v i e w e d a s a p a r t o f t h e e x t e r n a l a u t h o r i t y t h a t m a d e d e c i s i o n s a b o u t w h a t w a s c o r r e c t a n d w h a t w a s m a t h e m a t i c a l l y r e a s o n a b l e . U s i n g m u l t i p l e q u e s t i o n s t h a t b e g a n o p e n a n d w e r e r e f o r m u l a t e d u n t i l t h e y w e r e c l o s e d m a y h a v e i n d i c a t e d t h a t t h e s t u d e n t s w e r e b e i n g t e s t e d o n t h e i r m a t h e m a t i c a l k n o w l e d g e . T h e f o c u s o n u s i n g m o r e m a t h e m a t i c a l l y a p p r o p r i a t e t e r m s a l s o a l i g n e d J o s h m o r e w i t h t h e m a t h e m a t i c a l a u t h o r i t y . r a t h e r t h a n p o s i t i o n i n g h i m a s p a r t o f t h e c l a s s r o o m c o m m u n i t y . T h e c o m m o n k n o w l e d g e i n J o s h ’ s c l a s s r o o m w a s s o m e t h i n g t o b e j u s t i f i e d a n d w i t h w h i c h s t u d e n t s w e r e r e q u i r e d t o a g r e e . W h a t D i f f e r e n c e M i g h t T h e s e D i f f e r e n c e s M a k e ? I n t h i s s e c t i o n . I e x p l o r e w h a t d i f f e r e n c e t h e s e d i f f e r e n c e s m i g h t m a k e i n t e r m s o f h o w s t u d e n t s a r e e n g a g e d w i t h m a t h e m a t i c a l i d e a s . I d o t h i s i n t w o p a r t s . I n t h i s f i r s t s e c t i o n . I d r a w f r o m t h e l i t e r a t u r e t o d i s c u s s s o m e o f t h e d i f f e r e n c e s t h a t m i g h t e x i s t i n t h e t w o c l a s s r o o m s . H o w e v e r , t h e d a t a t h a t I h a v e c o l l e c t e d d o e s n o t a d d r e s s m a n y o f t h e s e d i f f e r e n c e s s o I d o n o t m a k e c l a i m s a b o u t w h a t i s b u t a b o u t w h a t m i g h t b e . I n t h e s e c o n d s e c t i o n I o f f e r : ( 1 ) c o m p a r e / c o n t r a s t o f t h e t w o e x t e n d e d t r a n s c r i p t s i n c l u d e d i n A p p e n d i x N a n d O ; a n d ( 2 ) r e s u l t s f r o m m y p r e l i m i n a r y a n a l y s i s o f s t u d e n t i n t e r v i e w s . 2 5 4 p e r f o r m a n c e s . r a t h e r t h a n [ . . . ] t r y i n g t o r e l a t e n e w k n o w l e d g e t o o l d " ( p . 1 1 I ) . ) 1 1 k U U F r o m a T h e o r e t i c a l P e r s p e c t i v e K a r l a ' s d o m i n a n t r o l e s e e m e d t o b e m o r e l i k e " R e p l y i n g " : J o s h ' s r o l e m a y h a v e b e e n m o r e l i k e " A s s e s s i n g " ( B a r n e s . 1 9 7 6 . p . l 1 2 ) . W h e n R e p l y i n g . t h e t e a c h e r t a k e s t h e s t u d e n t s w h e r e t h e y w e r e . e v e n t h o u g h s / h e m a y w i s h t o b r o a d e n a n d s h a p e t h e u n d e r s t a n d i n g ; w h e r e a s w h e n a t e a c h e r A s s e s s e s . s / h e h o l d s t h e s t u d e n t u p t o e x t e r n a l s t a n d a r d s . B a r n e s c o n t e n d s t h a t r e p l y i n g s e t s u p a m o r e c o l l a b o r a t i v e e n v i r o n m e n t a n d g i v e s t h e l e a r n e r c o n f i d e n c e i n a c t i v e l y i n t e r p r e t i n g s u b j e c t m a t t e r . T h i s d i s t i n c t i o n o f R e p l y a n d A s s e s s . B a r n e s r e c o g n i z e s . s e e m t o b e i d e n t i c a l t o S i m o n a n d B o y e r ‘ s ( 1 9 6 7 a n d 1 9 7 0 ) u n d e r s t a n d v s . j u d g e . T h e s e d i m e n s i o n s a r e d e f i n e d b y t h e f o l l o w i n g ( B a r n e s . 1 9 7 6 . p . 1 1 2 ) : F i g u r e 3 U n d e r s t a n d i n g v s . J u d g i n g U N D E R S T A N D I N G ( - - - - - - - - V E R S U S - - - - - - - - - ) J U D G I N G - a c c e p t s i d e a - p o s i t i v e e v a l u a t i o n ( f g o o d ’ ) - c l a r i fi e s u n d e r s t a n d i n g - n e g a t i v e e v a l u a t i o n ( ‘ w r o n g ‘ ) - r e fl e c t s o r p a r a p h r a s e s i d e a s - c o u n t e r p r o p o s a l s . s u g g e s t - C X p a n d s o n s o m e o n e ‘ s i d e a s - i m p l i e s j u d g e m e n t s ( s h o u l d . s h o u l d n e v e r . y o u a l w a y s . e v e r y b o d y o u g h t ) A c c o r d i n g t o B a r n e s . t h e s e r o l e s a r e e s s e n t i a l p a r t s o f t e a c h i n g b e c a u s e o n e v a l u e s t h e s t u d e n t ’ s i d e a s a n d h i s a t t e m p t t o m a k e s e n s e o f t h e w o r l d : t h e o t h e r p u t s h i s i d e a s u p a g a i n s t t h e l a r g e r c o m m u n i t y ' s s t a n d a r d s . H o w e v e r . h e a l s o r e c o g n i z e s t h a t i f a t e a c h e r s t r e s s e s a s s e s s m e n t o v e r r e p l y i n g . t h e s t u d e n t s m a y f o c u s o n “ e x t e r n a l l y a c c e p t a b l e B a r n e s c o n n e c t s t h e s e t e a c h i n g r o l e s t o t h e r o l e s t h a t s t u d e n t s p l a y i n c o m m u n i c a t i o n . T e a c h e r s w h o a s s e s s / j u d g e m o r e o f t e n h a v e s t u d e n t s w h o " p r e s e n t " ; t e a c h e r s w h o r e p l y / u n d e r s t a n d t e n d t o f i n d s t u d e n t s “ s h a r i n g . " T h e d i f f e r e n c e i s i n t h e p r e d o m i n a n t f o r m o f c o m m u n i c a t i o n s t u d e n t s m a y e m p l o y . W h e n s t u d e n t s “ p r e s e n t . " t h e y u s e “ f i n a l d r a f t " t a l k . F i n a l d r a f t i s t h e s t y l e s t u d e n t s u s e w h e n t h e y a r e s h o w i n g t h e t e a c h e r t h a t t h e y h a v e t h e “ r i g h t " a n s w e r — i t i s “ a f o r m a l c o m p l e t e d p r e s e n t a t i o n f o r a t e a c h e r ' s a p p r o v a l “ ( p . 1 0 8 ) . I n c o n t r a s t , s t u d e n t s w h o " s h a r e " u s e “ e x p l o r a t o r y t a l k " w h i c h i s m o r e i m p r o v i s e d b e c a u s e s t u d e n t s a r e r e a r r a n g i n g t h o u g h t s . B a r n e s c o n t e n d s t h a t e x p l o r a t o r y t a l k w a s i m p o r t a n t i n s t u d e n t p r o b l e m s o l v i n g b e c a u s e “ t e n t a t i v e n e s s m a y f o r m a n y c h i l d r e n b e a n e c e s s a r y c o n d i t i o n f o r a c h i e v i n g h y p o t h e s i s f o r m i n g a n d t e s t i n g ” ( p . 1 0 8 ) . T h e A s s e s s m e n t r o l e o f t e a c h i n g i s a l i g n e d w i t h t h e d o m i n a t i o n o f r e c i t a t i o n i n t h e c l a s s r o o m . I n r e c i t a t i o n : t h e t e a c h e r f o l l o w s a p r e - s c r i p t e d c h e c k l i s t o f q u e s t i o n s . i n f o r m a t i o n a n d c o n c e p t s . s t i c k s c l o s e l y t o a p r e p l a n n e d l i s t o f t e s t q u e s t i o n s r a t h e r t h a n r e s p o n d i n g t o t h e s u b s t a n c e o f w h a t s t u d e n t s s a y [ . . . ] s t u d e n t s t y p i c a l l y g i v e s h o r t . f r e q u e n t l y t e n t a t i v e a n s w e r s [ . . . ] t o p i c s s h i f t s c a n b e a b r u p t a s t h e t e a c h e r m o v e s d o w n a c h e c k l i s t o f i m p o r t a n t p o i n t s . a s i t w e r e . m a k i n g s u r e s t u d e n t s r e m e m b e r t h e m . . . d i s c o u r s e i s f r e q u e n t l y c h o p p y a n d l a c k s c o h e r e n c e ( N y s t r a n d . 1 9 9 5 . p p . 1 5 - 1 6 ) . I n c o n t r a s t , d i s c u s s i o n i s d e f i n e d b y i t s t i g h t l y i n t e r w o v e n c o m m e n t s a n d r e s p o n s e s . T e a c h e r s m a k e s p a c e f o r s t u d e n t i d e a s a n d t h e d i s c o u r s e i s m o r e b a l a n c e d . a l t h o u g h t h e t e a c h e r ’ s v o i c e i s s t i l l c r u c i a l . D i a l o g i c i n s t r u c t i o n i n v o l v e s f e w e r t e a c h e r q u e s t i o n s a n d m o r e c o n v e r s a t i o n a l t u r n s a s t e a c h e r s a n d s t u d e n t s c o n t r i b u t e i d e a s . m a k e p o i n t s , a n d a s k q u e s t i o n s . I t i s “ l e s s p r e s c r i p t i v e s i n c e t h e a c t u a l c o n d u c t . d i r e c t i o n . a n d s c o p e o f t h e d i s c u s s i o n d e p e n d o n w h a t s t u d e n t s a s w e l l a s t e a c h e r s c o n t r i b u t e a n d 2 5 6 e s p e c i a l l y o n t h e i r i n t e r a c t i o n " ( p . 1 7 ) . K n o w l e d g e t e n d s t o u n f o l d a s t h e d i s c u s s i o n p r o c e e d s ; b o t h p e r s o n a l a n d s c h o o l k n o w l e d g e a r e r e c o g n i z e d a n d d r a w n u p o n . S t u d e n t o w n e r s h i p i s i m p o r t a n t . M o r e s p e c i f i c t o m a t h e m a t i c s e d u c a t i o n . P i r i e a n d S c h w a r z e n b c r g e r ( 1 9 8 8 ) o u t l i n e w h a t t h e y b e l i e v e t o b e t h e c o m p o n e n t s o f a m a t h e m a t i c a l d i s c u s s i o n . T h e y d e f i n e t h i s a s : I t i s p u r p o s e f u l t a l k i . e . . t h e r e a r e w e l l - d e f i n e d g o a l s e v e n i f n o t e v e r y p a r t i c i p a n t i s a w a r e o f t h e m . T h e s e g o a l s m a y h a v e b e e n s e t b y t h e g r o u p o r b y t h e t e a c h e r b u t t h e y a r e . i m p l i c i t l y o r e x p l i c i t l y . a c c e p t e d b y t h e g r o u p a s a w h o l e . o n a m a t h e m a t i c a l s u b j e c t i . e . . e i t h e r t h e g o a l s t h e m s e l v e s . o r a s u b s i d i a r y g o a l w h i c h e m e r g e s d u r i n g t h e c o u r s e o f t h e t a l k i n g . a r e e x p r e s s e d i n t e r m s o f m a t h e m a t i c a l c o n t e n t o r p r o c e s s . i n w h i c h t h e r e a r e g e n u i n e p u p i l c o n t r i b u t i o n s i . e . . i n p u t f r o m a t l e a s t s o m e o f t h e p u p i l s w h i c h a s s i s t s t h e t a l k o r t h i n k i n g t o m o v e f o r w a r d s . W e a r e a t t e m p t i n g h e r e t o d i s t i n g u i s h b e t w e e n t h e i n t r o d u c t i o n o f n e w e l e m e n t s t o t h e d i s c u s s i o n a n d m e r e p a s s i v e r e s p o n s e . s u c h a s f a c t u a l a n s w e r s . t o t e a c h e r s ’ q u e s t i o n s . a n d i n t e r a c t i o n i . e . . i n d i c a t i o n s t h a t t h e m o v e m e n t w i t h i n t h e t a l k h a s b e e n p i c k e d u p b y o t h e r p a r t i c i p a n t s . T h i s m a y b e e v i d e n c e d b y c h a n g e s o f a t t i t u d e w i t h i n t h e g r o u p . b y l i n g u i s t i c c l u e s o f m e n t a l a c k n o w l e d g e m e n t . o r b y p h y s i c a l r e a c t i o n s w h i c h s h o w t h a t c r i t i c a l l i s t e n i n g h a s t a k e n p l a c e . b u t n o t b y m e r e i n s t r u m e n t a l r e a c t i o n t o b e i n g t o l d w h a t t o d o b y t h e t e a c h e r o r b y a n o t h e r p u p i l ( p . 4 6 1 . i t a l i c s i n o r i g i n a l ) . T h e a u t h o r s u s e t h i s d e f i n i t i o n t o l o c a t e m a t h e m a t i c a l d i s c u s s i o n s a n d t o m a k e i n f e r e n c e s a b o u t t h e m a t h e m a t i c a l u n d e r s t a n d i n g t h a t t h e s t u d e n t s a r e d i s p l a y i n g i n t h e t a l k . L a t e r i n t h i s c h a p t e r . I l o o k a c r o s s t h e t w o e x t e n d e d t r a n s c r i p t s t h a t w e r e p r o v i d e d i n A p p e n d i x N a n d 0 . u s i n g t h e i d e a s o f d i s c u s s i o n a n d m a t h e m a t i c a l d i s c u s s i o n t o d i f f e r e n t i a t e t h e t a l k t h a t o c c u r r e d i n e a c h c l a s s r o o m . W h i l e n e i t h e r J o s h n o r K a r l a f i t “ n e a t l y ” i n t o o n e o f t h e s e t w o c a t e g o r i e s ( i . e . r e c i t a t i o n v s . c o n v e r s a t i o n ) . K a r l a t e n d e d t o h a v e m o r e o f t h e " d i s c u s s i o n " a t t r i b u t e s i n h e r c l a s s r o o m a n d J o s h t e n d e d t o f o l l o w m o r e o f t h e “ r e c i t a t i o n " f o r m a t . F o r e x a m p l e . K a r l a m a d e s p a c e f o r s t u d e n t c o m m e n t s , b u t t h e d i s c o u r s e w a s n o t m o r e b a l a n c e d . K a r l a t a l k e d m a r k e d l y m o r e t h a n s t u d e n t s d i d i n h e r c l a s s r o o m . T h e r e w e r e f e w e r t e a c h e r q u e s t i o n s i n K a r l a ’ s c l a s s r o o m t h a n i n J o s h ‘ s . b u t t h e “ b i g i d e a s " i n K a r l a ' s c l a s s r o o m w e r e u s e d t o g u i d e t h e d i s c u s s i o n . I n J o s h ‘ s c l a s s r o o m . t h e I - R - E f o r m a t w a s p e r v a s i v e b u t t h e a c t u a l f l o w o f t h e l e s s o n w a s n o t c o m p l e t e l y d e f i n e d . J o s h a c k n o w l e d g e d t h a t h e d i d n o t a l w a y s k n o w h o w h e w a s g o i n g t o g e t w h e r e h e w a s g o i n g . b u t h e d i d k n o w w h e r e h e w a n t e d t o e n d u p . A s a n o b s e r v e r . e v e n t h o u g h J o s h p r o c e e d e d t h r o u g h a “ c h e c k l i s t " o f t o p i c s . t h e d i s c o u r s e d i d n o t f e e l c h o p p y a n d i n c o h e r e n t — i t w a s a l l t i e d t o t h e b i g i d e a t h a t w a s t h e f o c u s o f t h e l e s s o n . W h e n t h e o r g a n i z a t i o n o f i n s t r u c t i o n i s e x a m i n e d , w e c a n f i n d p e d a g o g i c a l “ c o n t r a c t s ” w h i c h d e f i n e r o l e s i n t h e c l a s s r o o m . T h e s e i n s t r u c t i o n a l a r r a n g e m e n t s . G u t i e r r e z ( 1 9 9 2 ) s h o w s . d e t e r m i n e t h e “ d i s c o u r s e p a t t e r n s . r u l e s o f p a r t i c i p a t i o n . a n d t h e n a t u r e o f c l a s s r o o m i n t e r a c t i o n " ( p . 1 5 ) . I n r e c i t a t i o n . t h e l - R - E e x c h a n g e s o c o m m o n i n c l a s s r o o m s h a s s e v e r a l k e y p r o v i s i o n s : t h e s o u r c e o f k n o w l e d g e i s t h e t e x t b o o k a n d t h e t e a c h e r — i t i s g i v e n ; t h e t e a c h e r m o n i t o r s a n s w e r s . i n i t i a t e s a l l t o p i c s . d e t e r m i n e s w h a t i s w o r t h k n o w i n g : k n o w l e d g e i s f i x e d . o b j e c t i v e . a u t o n o m o u s : t h e e p i s t e m i c r o l e o f s t u d e n t s i s l i m i t e d t o r e m e m b e r i n g w h a t o t h e r s h a v e s a i d . n o t f i g u r i n g t h i n g s o u t o r g e n e r a t i n g a n y k n e w k n o w l e d g e . T h e d i s c o u r s e “ c o n t r a c t " o f d i s c u s s i o n i n v o l v e s : o n - t h e - s p o t g r a p p l i n g w i t h i d e a s a n d p r o b l e m s w h i c h w e r e n o t d e t e r m i n e d b y t h e t e a c h e r : k n o w l e d g e m a y c o m e f r o m s t u d e n t s ( a n d f r o m t h e i r e x p e r i e n c e s ) a n d i s g e n e r a t e d . a n d c o - c o n s t r u c t e d 2 5 8 a m o n g p a r t i c i p a n t s i n t h e c o n v e r s a t i o n : s t u d e n t s fi g u r e t h i n g s o u t : t h e t e a c h e r ' s r o l e i s t o f a c i l i t a t e . g u i d e . e x p l o r e . a n t i c i p a t e . a n d a n a l y z e s t u d e n t r e s p o n s e s . H o w d o t h e s e t w o t h i n g s a f f e c t w h a t s t u d e n t s c a n l e a r n ? N y s t r a n d c l a i m s t h a t i n r e c i t a t i o n s t u d e n t s a r e “ m e r e l y d o i n g s c h o o l " ( p . 1 7 ) . g o i n g t h r o u g h t h e m o t i o n s o f t r i t e a n d p r o c e d u r a l i n t e r a c t i o n s . T h i s s e e m s t o b e s i m i l a r t o E d w a r d s a n d M e r c e r ‘ s " r i t u a l u n d e r s t a n d i n g " : s t u d e n t s l e a r n t h e r i t u a l s o f w h a t t h e y a r e s u p p o s e d t o d o a n d s a y r a t h e r t h a n t a k i n g a w a y t h e r e a s o n s f o r w h a t t h e y a r e d o i n g . R e l a t e d t o t h i s p o i n t a b o u t h o w e a c h p o r t r a y s k n o w l e d g e d i f f e r e n t l y . B a r n e s r e c o g n i z e s t h a t e x p l o r a t o r y t a l k a n d fi n a l d r a f t t a l k a r e : e s s e n t i a l l y a d i s t i n c t i o n b e t w e e n d i f f e r e n t w a y s i n w h i c h s p e e c h c a n f u n c t i o n i n r e h e a r s i n g k n o w l e d g e — i n e x p l o r a t o r y t a l k . t h e l e a r n e r h i m s e l f t a k e s r e s p o n s i b i l i t y f o r t h e a d e q u a c y o f h i s t h i n k i n g ; fi n a l d r a f t l o o k s t o w a r d e x t e r n a l c r i t e r i a a n d d i s t a n t . u n k n o w n a u d i e n c e s ( p . 1 1 3 ) . H e . t o o . c o n t e n d s t h a t w h a t i s l e a r n e d i s d i f f e r e n t i n e a c h m o d e . m a k i n g t h e d i f f e r e n c e b e t w e e n r o t e l e a r n i n g a n d u n d e r s t a n d i n g ( i . e . r i t u a l a n d p r i n c i p l e d u n d e r s t a n d i n g ) . I b e l i e v e o n e o f t h e m o s t i n t e r e s t i n g a s p e c t s a s s o c i a t e d w i t h K a r l a u s i n g m o r e d i s c u s s i o n s i s t h e f a c t t h a t . a c c o r d i n g t o E d w a r d s a n d M e r c e r ‘ s ‘ s c a l e ' o f c o n t r o l . K a r l a a c t u a l l y a s s e r t e d m o r e c o n t r o l o v e r t h e c o m m o n k n o w l e d g e t h a n J o s h . I n f a c t . t h e i r c a t e g o r i z a t i o n w o u l d i n t e r p r e t J o s h ‘ s I - R - E s t r u c t u r e a s l e s s c o n t r o l l i n g t h a n m a n y o f K a r l a ’ s d i s c o u r s e t o o l s ( s e e T a b l e 1 0 b e l o w ) . S o . e v e n t h o u g h s t u d e n t s a r e d i s c u s s i n g m a t h e m a t i c a l i d e a s , i t a p p e a r s t h a t K a r l a a c t u a l l y m a i n t a i n e d t i g h t c o n t r o l o v e r t h e c o m m o n k n o w l e d g e i n t h e c l a s s r o o m . D i s c u s s i o n a n d c o n t r o l a p p e a r t o b e n o t m u t u a l l y e x c l u s i v e — t h e y c a n . i n d e e d . c o e x i s t . 2 5 9 T a b l e 1 0 K a r l a ' s C o n t r o l o f t h e C o m m o n K n o w l e d g e K a r l a ’ s D i s c o u r s e “ T o o l s ” E & M ’ s M e t h o d o f C o n t r o l o f t h e C o m m o n K n o w l e d g e M e t a c o m m e n t i n g ( o f w h i c h r e v o i c i n g P a r a p h r a s t i c i n t e r p r e t a t i o n s o f i s a s u b s e t ) ; N a r r a t i v e r e t e l l i n g o f s t u d e n t - c o n t r i b u t i o n s a n d s t o r i e s r e c o n s t r u c t i v e r e c a p s P r o n o u n s — “ w e ” J o i n t k n o w l e d g e m a r k e r C l a s s r o o m - g e n e r a t e d l a n g u a g e — F o r m u l a i c p h r a s e s “ s w o o p y ” “ S o ” t o i n d i c a t e i m p o r t a n t S i g n i fi c a n t m a r k e r w i t h s p e c i a l m a t h e m a t i c a l p o i n t e n u n c i a t i o n T e l l i n g s t u d e n t s w h a t t h e y “ c a n ” a n d P r e s u p p o s e d k n o w l e d g e “ w i l l ” d o R e f e r e n c e t o r e - o c c u r r i n g p r o b l e m R e p e a t e d d i s c o u r s e f o m i a t s c o n t e x t s T h e u s e o f t h i s t y p e o f d i s c u s s i o n i n K a r l a ‘ s c l a s s r o o m w a s n o t u n p r o b l e m a t i c . I n f a c t . t h e r e w e r e m a n y t i m e s w h e n K a r l a h a d t o r e m i n d s t u d e n t s t o b e o n t a s k . S h e s t r u g g l e d n o t t o l e t s o m e s t u d e n t s d o m i n a t e t h e c o n v e r s a t i o n . W h i l e m a n y s t u d e n t s w e r e a c t i v e l y e n g a g e d i n t h e c o n v e r s a t i o n . t h e r e w e r e a l w a y s a f e w w h o w e r e o f f t a s k . T h i s w a s a p p a r e n t w h e n s t u d e n t s a s k e d i n a p p r o p r i a t e q u e s t i o n s ( e . g . K e v i n o n c e a s k e d . “ D o y o u w a n t t o h e a r w h a t I d r e a m e d a b o u t l a s t n i g h t ? ” a n d “ W h y d o n ’ t w e j u s t t a l k i n h e r e l i k e w e d i d l a s t y e a r [ d u r i n g h o m e r o o m ] ? ” ) o r e n g a g e d i n o f f - t a s k b e h a v i o r ( e . g . m a k i n g f a c e s a t o t h e r s t u d e n t s a c r o s s t h e r o o m . d r a w i n g p i c t u r e s u n r e l a t e d t o m a t h e m a t i c s ) . A n o t h e r c r u c i a l a s p e c t i n t h e t e a c h e r ‘ s a b i l i t y t o l e a d d i s c u s s i o n s i n t h e c l a s s r o o m i s t h a t o f a d e q u a t e a n d a p p r o p r i a t e s u b j e c t m a t t e r k n o w l e d g e . B o t h J o s h a n d K a r l a t a l k e d a b o u t h o w i m p o r t a n t t h e i r s u b j e c t m a t t e r k n o w l e d g e w a s i n t h e i r t e a c h i n g . I n f a c t . K a r l a t o l d m e t h a t s h e t h o u g h t J o s h ‘ s b e t t e r s u b j e c t m a t t e r k n o w l e d g e a l l o w e d h i m t o : 2 6 0 [ . . . ] s e e a l o t m o r e , I t h i n k . H e k n o w s m o r e m a t h t h a n I d o a n d i f a k i d s a i d s o m e t h i n g , s o m e t i m e s I w o u l d n ‘ t e v e n g e t w h a t t h e k i d w a s s a y i n g a n d h e w o u l d . H e w o u l d u n d e r s t a n d i t b e t t e r o r h e w o u l d s e e w h e r e i t c o u l d l e a d a n d s o h e c o u l d d o t h a t s o m u c h b e t t e r t h a n I c o u l d . I ‘ v e l e a r n e d a l o t m o r e m a t h f r o m h i m b e c a u s e I ‘ d g o t o h i m w i t h . “ S o a n d s o s a i d t h i s a n d t h a t w a s s o s t u p i d ” a n d t h e n h e ’ d s a y . “ N o . t h i s i s w h a t t h e y ‘ r e s a y i n g . T h i s i s w h e r e i t ‘ s g o i n g . " A n d s o I t h i n k h e ’ s s o m u c h b e t t e r a t k n o w i n g t h o s e k i n d s o f t h i n g s — w h e r e e v e r y t h i n g g o e s , h o w e v e r y t h i n g c o n n e c t s a n d I l e a r n e d t o n s f r o m h i m t h a t w a y ( I n t e r v i e w K - 4 , 1 / 0 7 / 0 0 ) . W h i l e a l l o f t h e a u t h o r s I h a v e c i t e d r e c o g n i z e t h e d i f f e r e n c e s i n t h e t e a c h e r ' s r o l e . t h e s t u d e n t s r o l e , t h e b a s i s o f k n o w l e d g e . e t c . . t h e y a l s o a l l p o i n t o u t t h a t m o s t c l a s s r o o m s o p e r a t e s o m e w h e r e b e t w e e n t h e s e t w o p a r a d i g m s . A l s o . a s C a z d e n c o n t e n d s . o n e l e s s o n c a n m o v e f r o m r e c i t a t i o n t o c o n v e r s a t i o n w i t h i n a m a t t e r o f m o m e n t s a n d s o m e t i m e s t h e a c t i v i t y t h a t i s b e i n g e n g a g e d i n d e t e r m i n e s t h e f o r m a t i n w h i c h t h e l e s s o n e x i s t s . F o r e x a m p l e , p r a c t i c i n g t i m e s t a b l e s w o u l d r e q u i r e a d i f f e r e n t f o r m a t t h a n e x p l o r i n g t h e c o n c e p t o f m u l t i p l i c a t i o n i n t e r m s o f r e p e a t e d s e t s . a r e a . e t c . T h e s e t w o c a s e s t u d i e s o f f e r i l l u s t r a t i o n s o f s o m e o f t h e s h a d e s o f g r a y t h a t e x i s t b e t w e e n d i s c u s s i o n a n d r e c i t a t i o n . E m p i r i c a l F i n d i n g s I n o w d r a w f r o m b o t h t h e o b s e r v a t i o n s a n d t h e s t u d e n t - i n t e r v i e w s t o s u g g e s t s i m i l a r i t i e s a n d d i f f e r e n c e s r e l a t e d t o s t u d e n t s i n t h e c l a s s r o o m s . I w i l l u s e t h e e x t e n d e d c l a s s r o o m e x c e r p t s f r o m K a r l a ’ s a n d J o s h ‘ s c l a s s r o o m s ( g i v e n i n A p p e n d i x N a n d O ) t o s h o w t h e t y p e o f m a t h e m a t i c a l e n g a g e m e n t t h a t a p p e a r e d i n e a c h c l a s s r o o m . B y d r a w i n g o n t h e s t u d e n t i n t e r v i e w s . I w i l l s h a r e s o m e o f t h e f i n d i n g s I h a v e f r o m m y p r e l i m i n a r y a n a l y s i s o f s t u d e n t m a t h e m a t i c a l u n d e r s t a n d i n g s a n d w a y s o f t a l k i n g a b o u t m a t h e m a t i c a l c o n c e p t s . 2 6 1 C l a s s r o o m O b s e r v a t i o n s I n t h i s s e c t i o n , I l o o k a c r o s s A p p e n d i x N a n d O . w h i c h I i n c l u d e d t o a l l o w t h e r e a d e r a m o r e e x t e n s i v e v i e w o f t h e t a l k i n t h e t w o c l a s s r o o m s . I n t h i s s e c t i o n . I d r a w o n t h o s e a n a l y s e s t o o f f e r s o m e o f t h e d i f f e r e n c e s I s e e i n t h e t w o c l a s s r o o m s i n t e r m s o f t h e l e v e l s o f “ d i s c u s s i o n ” a n d “ c o n t r o l . ” R e t u r n i n g t o E d w a r d s a n d M e r c e r ‘ s i d e a o f “ c o m m o n k n o w l e d g e . " t h e r e i s e v i d e n c e t h a t K a r l a w a s u s i n g s o m e a s p e c t s o f c o n t r o l i n t h i s e x p l o r a t i o n o f s u b j e c t m a t t e r . I n s o m e c a s e s , s h e i g n o r e d s t u d e n t c o n t r i b u t i o n s ( e . g . C h a r i t y ‘ s “ z e r o . z e r o a n d t h e n e g a t i v e z e r o ” ) t o c o n t i n u e w i t h h e r s u m m a r y a n d i n o t h e r c a s e s r e v o i c e d s t u d e n t c o n t r i b u t i o n s t o m a k e t h e m m o r e p r e c i s e m a t h e m a t i c a l l y ( e . g . M a r k ‘ s c o n t r i b u t i o n b e c a m e “ o p p o s i t e o f t h a t c o e f fi c i e n t o f x " ) . S h e o f t e n u s e d " w e " t o p u t f o r t h j o i n t u n d e r s t a n d i n g s . H o w e v e r . w h a t s h e c o n t r o l l e d l e s s w a s s t u d e n t o p t i o n s t o s p e a k a n d o f f e r i d e a s . I n f a c t , s h e m a d e t h e s e i d e a s s o m e t h i n g t o b e e x p l o r e d a n d e n c o u r a g e d s t u d e n t s t o i d o s o . S h e o f t e n i g n o r e d l a n g u a g e t h a t w a s n o t p r e c i s e . T h i s m a y h a v e a l l o w e d s t u d e n t s t o o f f e r t h e i r i d e a s a s t h e y w e r e o c c u r r i n g : t h a t i s . s t u d e n t s w e r e a l l o w e d t o e n g a g e i n e x p l o r a t o r y t a l k . r a t h e r t h a n p r e s e n t i n g t h e i r i d e a s i n f i n a l d r a f t f o r m f o r K a r l a ‘ s a p p r o v a l . A l s o . a s w i t h m u c h o f h e r t e a c h i n g . m a n y o f t h e i d e a s w e r e a t t r i b u t e d t o t h e s t u d e n t f r o m w h o m t h e y c a m e . I n J o s h ‘ s c l a s s r o o m m a n y o f t h e s a m e c o n t r o l m e c h a n i s m s e x i s t e d . H e . t o o . r e v o i c e d s t u d e n t c o n t r i b u t i o n s t o m a k e t h e m m o r e m a t h e m a t i c a l l y p r e c i s e . T h i s w a s e s p e c i a l l y t r u e r e l a t e d t o t h e l a n g u a g e t h a t s t u d e n t s u s e d t o e x p r e s s t h e i r i d e a s . T h e r e w a s a l s o a l a r g e a m o u n t o f c o n t r o l l i n g w h o g o t t o s p e a k a n d a b o u t w h a t . T h i s w a s m o s t a p p a r e n t i n t h e I - R - E s e q u e n c i n g o f t h e t a l k . I n a d d i t i o n . J o s h i n t r o d u c e d e v e r y t o p i c a l l y 2 6 2 r e l a t e d s e q u e n c e . O f t e n h e d i d t h i s b y c a l l i n g o n s t u d e n t s t o r e a d a b o u t w h a t t h e y w e r e “ s u p p o s e d ” t o d o . J o s h a l s o s o m e t i m e s u s e d t h e p r o n o u n " w e . " e s p e c i a l l y w h e n h e r e f e r r e d b a c k t o p r e v i o u s “ c o m m o n k n o w l e d g e . ” F o r e x a m p l e . h e s a i d . " I n t h e M o v i n g S t r a i g h t A h e a d u n i t w e s a i d a y - i n t e r c e p t w a s w h e r e x w a s z e r o . r i g h t ? " T h e w e " p o i n t e d t o j o i n t u n d e r s t a n d i n g s . T h e o p t i o n t o d i s a g r e e w i t h t h e s e w a s f u r t h e r d i s c o u r a g e d b y J o s h ’ s u s e o f a t a g - f o r m . w h i c h r e q u i r e d a f fi r m a t i o n f r o m s t u d e n t s . F r o m t h e m o r e g e n e r a l p e r s p e c t i v e o f “ d i s c u s s i o n ” a n d “ r e c i t a t i o n . " i t a p p e a r e d t h a t s t u d e n t s w e r e e n g a g i n g i n d i s c u s s i o n w i t h t h e i r p e e r s i n K a r l a ' s c l a s s r o o m . K a r l a h a s t a k e n o n t h e r o l e o f s u m m a r i z i n g a n d r e c o r d i n g s t u d e n t i d e a s . S h e e n c o u r a g e d t h e c l a s s t o c h e c k t h e i r a n s w e r s o n t h e g r a p h i n g c a l c u l a t o r . u s i n g t h e t a b l e a n d t h e g r a p h f o r v e r i fi c a t i o n . T h e a c t i v i t y a n d d i s c o u r s e b o u n d a r i e s i n t h i s e x c e r p t a r e s i g n i fi c a n t l y r e l a x e d a s s t u d e n t s t a l k b o t h t o K a r l a a n d t o e a c h o t h e r . S t u d e n t r e s p o n s e s a l s o b u i l d o n p r e v i o u s s t u d e n t r e s p o n s e s . A g a i n . K a r l a s t i l l d o e s n o t k e e p h e r u t t e r a n c e s a n d i n t e r v e n t i o n t o a m i n i m u m , b u t s h e d o e s n o t e x p l i c i t l y a s s e r t w h i c h i d e a s a r e c o r r e c t . T h e t o p i c s t h a t w e r e d i s c u s s e d i n t h i s e x c e r p t w e r e o f t e n i n t r o d u c e d b y s t u d e n t s . E a c h o f t h e c a s e s w e r e o f f e r e d fi r s t b y s t u d e n t s a n d t h e n t a k e n u p b y K a r l a t o b e d i s c u s s e d . H o w e v e r , I m u s t a l s o p o i n t o u t t h a t t h e y d i d n o t a l w a y s t a k e p l a c e a s q u i c k l y a s s o m e s t u d e n t s w o u l d h a v e l i k e d . M a r k a d v a n c e d r a p i d l y a n d c o n t i n u e d t o s h a r e c a s e s t h a t w e r e a h e a d o f t h e c l a s s d i s c u s s i o n . A t l e a s t t w o o f M a r k s c o n t r i b u t i o n s w e r e n o t r e c o g n i z e d b y K a r l a w h i l e s h e w o r k e d w i t h t h e c l a s s t o e x p l o r e a n d e v a l u a t e e a r l i e r i d e a s . S t u d e n t s , i n t h i s d i s c u s s i o n . w e r e fi n d i n g m a n y c a s e s o f q u a d r a t i c s a n d e x p l o r i n g t h e m . T h e y w e r e h y p o t h e s i z i n g t h e s o l u t i o n s a n d u s i n g t w o r e p r e s e n t a t i o n s o n t h e i r g r a p h i n g c a l c u l a t o r s t o v a l i d a t e t h e i r c h o i c e s . T h e y w e r e w o r k i n g t o g e t h e r t o a r t i c u l a t e 2 6 3 w h a t t h e y w e r e t h i n k i n g . T h e y w e r e s o m e t i m e s q u e s t i o n i n g e a c h o t h e r . o f f e r i n g o t h e r w a y s t o t h i n k a b o u t t h e m a t h e m a t i c a l i d e a s . a n d h e l p i n g e a c h o t h e r u n d e r s t a n d w h a t t h e y w e r e s a y i n g . I n l i n e w i t h K a r l a ’ s r o l e i n “ r e p l y i n g ” t o s t u d e n t s . s t u d e n t s s e e m t o b e “ s h a r i n g ” r a t h e r t h a n “ p r e s e n t i n g . ” e s p e c i a l l y b e f o r e K a r l a s a i d s h e n e e d e d t o o r g a n i z e t h e i d e a s . I n c o n t r a s t , J o s h ’ s r o l e s e e m e d t o b e “ a s s e s s i n g / j u d g i n g . ” T h i s r o l e b e c a m e a p p a r e n t i n J o s h ’ s c o n s i s t e n t e v a l u a t i o n s o f s t u d e n t r e s p o n s e s . h i s c o u n t e r p r o p o s a l s a n d s u g g e s t i o n s a n d h i s u s e o f “ s h o u l d . ” I n r e s p o n s e . s t u d e n t s " p r e s e n t e d " fi n a l d r a f t t a l k . J o s h ’ s r o l e w a s t o o f f e r t o p i c s , e v a l u a t e r e s p o n s e s . a s k q u e s t i o n s . m a k e c o n n e c t i o n s ( e . g . i n h i s s t a t e m e n t s a b o u t w h a t t h e y I e a m e d i n t h i s a n d o t h e r u n i t s ) . e t c . S t u d e n t s s e e m e d t o u n d e r s t a n d t h a t t h e t e x t b o o k w a s a p l a c e t h a t a l s o d e fi n e d t h e a c t i v i t y i n t h e c l a s s r o o m a n d t h a t t h i s w a s a p l a c e i n w h i c h t o fi n d a n s w e r s . S t u d e n t ’ s r o l e s e e m e d t o b e o n e o f a n s w e r i n g q u e s t i o n s a n d o f f e r i n g c o n fi r m a t i o n . T h e y a l s o d e s c r i b e d h o w t o d o t h i n g s a n d w h y . H o w e v e r , t h e s e w e r e n o t o f f e r e d u n t i l J o s h r e q u e s t e d t h e m . I n t h a t s e n s e . s t u d e n t s s e e m e d t o h a v e I e a m e d t h e “ a p p r o p r i a t e ” w a y t o r e s p o n d . T h i s a l s o w a s t r u e w h e n J o s h u s e d t a g - f o r m s ; s t u d e n t s o f f e r e d a f fi r m a t i o n w h e n e v e r J o s h p o s e d a t a g - q u e s t i o n . s h o w i n g t h a t t h e y k n e w t h a t t h i s w a s t h e a p p r o p r i a t e t h i n g t o s a y . T h e d i s c o u r s e b o u n d a r i e s w e r e n o t a s r e l a x e d a s K a r l a ' s b e c a u s e J o s h f u n c t i o n e d w i t h i n t h e I - R - E s e q u e n c e m o s t o f t h e t i m e . J o s h s e e m e d t o c o n t r o l t h e t O p i c a n d w h o g o t t o s p e a k . A t l e a s t t h r e e t i m e s h e c a l l e d o u t t h e n a m e s o f s t u d e n t s w h o h a d t h e i r h a n d s r a i s e d . A t t h e e n d o f e a c h o f t h e s e t u r n s . J o s h w a s t h e p e r s o n w h o s e l e c t e d w h o s p o k e . r a t h e r t h a n s t u d e n t s s e l f - s e l e c t i n g a s t h e y s o m e t i m e s d i d i n K a r l a ’ s c l a s s r o o m . R a t h e r 2 6 4 t h a n d r a w i n g o n s t u d e n t s a s a s o u r c e o f k n o w l e d g e . J o s h a n d t h e t e x t b o o k w e r e d e fi n e d i n t h i s m a n n e r . I n f a c t . l a t e r i n t h e c o n v e r s a t i o n C h u c k o f f e r e d a g e n e r a l i z a t i o n : E x a m p l e J - 4 5 ( C o n t i n u e d — b e y o n d A p p e n d i x 0 ) J : O k a y , C h u c k . w h a t d o y o u t h i n k ? C h u c k : S o t h e o n e [ i n a u d i b l e ] y o u ’ r e s u b t r a c t i n g . i t ‘ l l b e a p o s i t i v e h e r e . a n d i f y o u ’ r e a d d i n g . i t ’ s g o n n a b e n e g a t i v e ? J : Y o u c a n f o r m u l a t e y o u r o w n r u l e s i f y o u w a n t t o . y e a h . I m e a n . t h a t ' s o n e w a y o f t h i n k i n g a b o u t i t . I f t h i s , i f t h i s x , i f i t ’ s 4 + x , w h a t w o u l d i t h a v e t o b e . t h o u g h ? C h u c k : I t ’ s g o n n a b e — I t ’ d b e n e g a t i v e f o u r J : N e g a t i v e f o u r b e c a u s e f o u r p l u s n e g a t i v e f o u r i s z e r o . W h a t e v e r x v a l u e s e t s i t e q u a l t o z e r o . [ . . . ] I n t h i s e x a m p l e , C h u c k n o t i c e d t h a t t o fi n d t h e x ’ s . o f t e n y o u h a d t o t a k e t h e o p p o s i t e o f t h e o p e r a t i o n g i v e n ( e . g . i n x + 3 y o u a r e a d d i n g . s o i t w o u l d r e s u l t i n — 3 ) . J o s h r e s p o n d e d b y t e l l i n g C h u c k h e c o u l d “ f o r m u l a t e y o u r o w n r u l e s i f y o u w a n t t o . ” H o w e v e r . u n l i k e K a r l a ’ s e x p l o r a t i o n o f t h e r u l e s M a r k o f f e r e d . J o s h s e e m e d t o t r y t o p r o v i d e a n e x a m p l e w h e r e C h u c k ‘ s m e t h o d d i d n o t w o r k . T h e e x a m p l e t h a t h e g a v e . h o w e v e r . d i d w o r k a n d a f fi r m e d C h u c k ' s r u l e . I t h i n k J o s h m e a n t t o s a y 4 — x a s h e t r i e d t o g e t C h u c k t o f o c u s o n “ w h a t e v e r x - v a l u e s e t s i t e q u a l t o z e r o ” r a t h e r t h a n e m p h a s i z i n g t h e r u l e C h u c k h a d o f f e r e d w h e r e o n e m i g h t o n l y a t t e n d t o t h e o p e r a t i o n t h a t w a s g i v e n i n t h e p r o b l e m . M o r e p a r t i c u l a r l y . i n K a r l a ’ s t r a n s c r i p t . a l l t h e c o m p o n e n t s f o r a “ m a t h e m a t i c a l d i s c u s s i o n ” o u t l i n e d b y P i r i e a n d S c h w a r z e n b e r g e r ( 1 9 8 8 ) e x i s t . I n t h e e x a m p l e . t h e t a l k i s c e n t e r e d o n a m a t h e m a t i c a l s u b j e c t : s o l v i n g q u a d r a t i c f u n c t i o n s b y u s i n g t h e e x p a n d e d f o r m o f t h e e q u a t i o n . W h i l e t h e i d e a o f s o l v i n g q u a d r a t i c s w a s i n t r o d u c e d b y t h e t e a c h e r . t h e p r o c e s s o f u s i n g t h e e x p a n d e d f o r m t o fi n d t h e s o l u t i o n w a s i n t r o d u c e d b y o n e s t u d e n t , M a r k . I n t h i s w a y , i t a p p e a r e d t h a t t h e c o n t e n t w a s d e fi n e d b y K a r l a . w h i l e t h e p r o c e s s w a s d e fi n e d b y M a r k . M a n y s t u d e n t s p r o c e e d e d b y o f f e r i n g a n d t h e n e x p l o r i n g 2 6 5 a n d d i s c u s s i n g m u l t i p l e c a s e s t h a t w e r e t a k e n u p b y o t h e r s t u d e n t s a s w e l l a s t h e t e a c h e r . I n d o i n g s o , t h e r e w e r e “ g e n u i n e p u p i l c o n t r i b u t i o n s ” a n d “ i n t e r a c t i o n . ” I n f a c t , a f e w t i m e s “ c r o s s d i s c u s s i o n ” ( L e m k e , 1 9 9 0 ) t o o k p l a c e : t h a t i s . s t u d e n t s a c t u a l l y t a l k e d t o o n e a n o t h e r i n s t e a d o f a l l o f t h e c l a s s r o o m t a l k b e i n g a d d r e s s e d a t t h e t e a c h e r . I n J o s h ’ s c l a s s r o o m . i t a p p e a r e d t h a t m a n y o f t h e c o m p o n e n t s f o r a m a t h e m a t i c a l d i s c u s s i o n a l s o e x i s t . T h e t a l k i n h i s c l a s s r o o m i s a l s o f o c u s e d o n s o l v i n g q u a d r a t i c f u n c t i o n s . H o w e v e r , t h e t e x t b o o k s e e m e d t o d e fi n e w h a t t h e y w e r e “ s u p p o s e d ” t o d o . J o s h a n d t h e t e x t b o o k s e e m e d t o d e fi n e b o t h t h e c o n t e n t a n d t h e p r o c e s s e s t h a t w o u l d b e u s e d . T h i s w a s d i f f e r e n t f r o m K a r l a ‘ s s t u d e n t s d e fi n i n g t h e p r o c e s s e s t o b e d i s c u s s e d . W h e n l o o k i n g a t J o s h ’ s t r a n s c r i p t i n t e r m s o f " g e n u i n e p u p i l c o n t r i b u t i o n s " a n d “ i n t e r a c t i o n , ” t h e r e a p p e a r e d t o b e f u r t h e r d i s t i n c t i o n b e t w e e n w h a t h a p p e n e d i n J o s h ‘ s c l a s s r o o m a s c o m p a r e d t o K a r l a ’ s . W h i l e s t u d e n t s w e r e c o n t r i b u t i n g a n d a n s w e r i n g J o s h ’ s q u e s t i o n s , t h e y s o m e t i m e s s e e m e d t o b e r e s p o n d i n g t o r h e t o r i c a l q u e s t i o n s o r t a g - q u e s t i o n s . I n b o t h i n s t a n c e s , i t s e e m e d t h a t a m e r e “ o k a y ” o r “ y e p " w a s r e q u i r e d . O t h e r q u e s t i o n s r e q u i r e d s t u d e n t s t o f o c u s o n t h e “ b o w s ” a n d " w h y s " o f t h e c o n t e n t . T h e s e a r e o n e s a b o u t w h i c h I a m u n s u r e . I w o u l d n o t c o n s i d e r t h e s e “ m e r e p a s s i v e r e s p o n s e . " y e t t h e y d i d n o t n e c e s s a r i l y a l l o w f o r t h e " i n t r o d u c t i o n o f n e w e l e m e n t s t o t h e d i s c u s s i o n . " T h e a n s w e r s t o t h i s t y p e o f q u e s t i o n i n g d i d h e l p t h e “ t a l k o r t h i n k i n g t o m o v e f o r w a r d s . ” b u t t h e y s e e m d i f f e r e n t f r o m t h e c o n t r i b u t i o n s i n K a r l a ' s c l a s s r o o m w h e r e s t u d e n t s w e r e o f f e r i n g m a n y d i f f e r e n t c a s e s o f q u a d r a t i c s . O n e d i f f e r e n c e m a y b e t h a t J o s h ' s s t u d e n t — t a l k w a s f o c u s e d m o r e o f t e n o n o p e r a t i o n a l s t a t e m e n t s : K a r l a ' s s t u d e n t - t a l k m o v e d b a c k a n d f o r t h b e t w e e n o p e r a t i o n a l a n d r e fl e c t i v e . I n J o s h ‘ s c l a s s r o o m . I o n l y h a v e e v i d e n c e o f 2 6 6 h i m m a k i n g r e f l e c t i v e s t a t e m e n t s ; s t u d e n t s m e r e l y c o n fi r m e d t h e s t a t e m e n t s t h a t h e m a d e . T h e m o v e m e n t o f t h e t a l k i n J o s h ’ s c l a s s r o o m w a s p i c k e d u p b y o t h e r s t u d e n t s . s o t h e r e w e r e “ i n t e r a c t i o n s . ” H o w e v e r , m a n y o f t h e s e i n t e r a c t i o n s w e r e n o t i n s t a n c e s o f “ c r i t i c a l l i s t e n i n g ” t a k i n g p l a c e ; i n s t e a d , t h e y w e r e c u e d e l i c i t a t i o n s ( i . e . t h e a n s w e r s w e r e c u e d b e c a u s e t h e f o r m o f t h e q u e s t i o n o n l y e n c o u r a g e d a p o s i t i v e r e s p o n s e ) . I n a d d i t i o n . t h e r e w e r e n o i n s t a n c e s o f c r o s s d i s c u s s i o n . a s t h e r e w e r e i n K a r l a ’ s c l a s s r o o m . S t u d e n t r e s p o n s e s w e r e m o r e o f t e n c h a n n e l e d t h r o u g h J o s h . A t o n e p o i n t . J o s h m a y h a v e w a n t e d M i n d y t o r e s p o n d t o C h u c k . b u t i t w a s u n c l e a r t o m e w h e t h e r M i n d y u n d e r s t o o d t h a t a n d w a s t r y i n g t o e x p l i c a t e C h u c k ’ s i d e a o r i f s h e w a s i n t r o d u c i n g h e r o w n t h i n k i n g a b o u t fi n d i n g t h e s o l u t i o n s t o t h e q u a d r a t i c e q u a t i o n . R e c i t a t i o n i s m o r e l i k e w h a t L o t m a n ( 1 9 8 8 ) c a l l s “ u n i v o c a l ” i n w h i c h t h e f o c u s i s o n t h e “ a c c u r a t e t r a n s m i s s i o n o f i n f o r m a t i o n . ” I n c o n t r a s t . d i s c u s s i o n t r e a t s u t t e r a n c e s a s “ t h i n k i n g d e v i c e s . ” I n s c h o o l s . t h i s m e a n s t h a t t e a c h e r s w o u l d u s e s t u d e n t s t a t e m e n t s f o r e n g a g i n g a n d g u i d i n g t h e c l a s s d i s c u s s i o n . r a t h e r t h a n a s a m e a n s f o r t r a n s m i t t i n g k n o w l e d g e . W h a t c o u n t s “ i s h o w t e a c h e r s o r g a n i z e i n s t r u c t i o n ” ( p . 9 ) . A c c o r d i n g t o N y s t r a n d , t h e e p i s t e m o l o g y t h a t a c c o m p a n i e s t h e s e d i f f e r e n t f o r m a t s o f c l a s s r o o m i n t e r a c t i o n a r e t h a t o f “ d i a l o g i s m ” a n d t h a t o f “ o b j e c t i v i s m . ” I n d i a l o g i s m “ k n o w l e d g e e m e r g e s f r o m t h e i n t e r a c t i o n o f v o i c e s ” ( p . 1 9 ) a n d t h e s o u r c e o f v a l u e d k n o w l e d g e i n c l u d e s s t u d e n t s ’ i n t e r p r e t a t i o n a n d p e r s o n a l e x p e r i e n c e . I n t h i s c a s e . t h e f o c u s i s o n t h e “ t r a n s f o r m a t i o n o f u n d e r s t a n d i n g s . ” I n “ o b j e c t i v i s m ” k n o w l e d g e i s “ g i v e n . ” T h e s o u r c e s o f k n o w l e d g e i n t h e c l a s s r o o m a r e t h e t e x t b o o k a n d t h e t e a c h e r . T h e f o c u s i s o n “ t r a n s m i s s i o n ” o f k n o w l e d g e f r o m t h o s e w h o “ k n o w . ” 2 6 7 S t u d e n t I n t e r v i e w s D u r i n g t h e c o u r s e o f m y d a t a c o l l e c t i o n . I s p e n t t i m e w i t h s t u d e n t s i n s m a l l g r o u p s , i n t e r v i e w i n g t h e m a b o u t t h e m a t h e m a t i c s t h a t t h e y w e r e l e a r n i n g . A f t e r a p r e l i m i n a r y a n a l y s i s o f s t u d e n t i n t e r v i e w s " . i t a p p e a r e d t h a t o n t h e s u r f a c e t h e i r m a t h e m a t i c a l u n d e r s t a n d i n g s w e r e q u i t e s i m i l a r . G e n e r a l l y . t h e r e a p p e a r e d t o b e a f e w p a i r s t h a t d i d v e r y w e l l , a l a r g e n u m b e r o f s t u d e n t s w h o w e r e s t i l l s t r u g g l i n g w i t h a f e w a s p e c t s o f l i n e a r i t y ( e . g . fi n d i n g t h e s l o p e g i v e n t h e g r a p h o f a l i n e ) . a n d a f e w p a i r s w h o s t r u g g l e d w i t h m a n y a s p e c t s o f l i n e a r i t y . A l l s t u d e n t s p r o v e d t o b e q u i t e p r o fi c i e n t i n t h e i r u s e a n d i n t e r p r e t a t i o n o f t h e t a b u l a r r e p r e s e n t a t i o n . M o s t s t u d e n t s a l s o d i d w e l l w h e n a s k e d t o u s e a n d i n t e r p r e t g r a p h i c a l r e p r e s e n t a t i o n s . T h e a r e a t h a t p r o v e d d i f fi c u l t f o r s o m e s t u d e n t s w a s t h e u s e o f e q u a t i o n s . e s p e c i a l l y t h e s y m b o l i c m a n i p u l a t i o n o f e q u a t i o n s a n d e x p r e s s i o n s . A n o t h e r i n t e r e s t i n g f e a t u r e o f t h e i n t e r v i e w s w a s t h a t s t u d e n t s u s e d v e r y s i m i l a r l a n g u a g e t o t a l k a b o u t t h e s l o p e a n d y - i n t e r c e p t i n l i n e a r r e l a t i o n s h i p s . O n l y o n e o r t w o p a i r s f r o m e a c h c l a s s r o o m a c t u a l l y u s e d t h e w o r d " s l o p e ” w i t h o u t e x p l i c i t l y b e i n g a s k e d t o d o s o . T h e y m o r e o f t e n r e f e r r e d t o t h e s l o p e a s ” w h a t i t [ t h e y - v a l u e s i n t h e t a b l e ] g o e s u p b y . ” H o w e v e r . a l l s t u d e n t s u s e d t h e w o r d " y - i n t e r c e p t ” w i t h o u t b e i n g p r o b e d f o r i t . T h e s e s i m i l a r i t i e s w e r e s o m e w h a t s u r p r i s i n g t o m e . a l t h o u g h I h a v e o b s e r v e d t h i s s a m e p h e n o m e n a i n p a s t w o r k w i t h J o s h ’ s a n d K a r l a ’ s s t u d e n t s . G i v e n t h e f a c t t h a t r e p e t i t i o n i s s o i m p o r t a n t t o p e o p l e a c q u i r i n g w a y s o f t a l k i n g ( T a n n e n , 1 9 8 9 ) . I w o u l d h a v e e x p e c t e d s t u d e n t s i n J o s h ’ s c l a s s r o o m t o a l l u s e t h e w o r d “ s l o p e . ” H o w e v e r . t h e y d i d n o t a n d a b o u t t h e s a m e n u m b e r o f K a r l a ’ s s t u d e n t s d i d n o t u s e t h e w o r d s l o p e . A t a l a t e r t i m e I 2 6 8 h o p e t o a n a l y z e t h e s e i n t e r v i e w s t o m a k e m o r e d e t a i l e d a n d s p e c i f i c c l a i m s a b o u t s t u d e n t u n d e r s t a n d i n g s a n d a r t i c u l a t i o n s a c r o s s t h e t w o c l a s s r o o m s . C o n c l u s i o n s I t a p p e a r e d t h a t o n e d i f f e r e n c e b e t w e e n t h e t w o t e a c h e r s m a y b e d e s c r i b e d i n t e r m s o f " s t y l e . ” J o s h h a d a n i n t e r r o g a t i v e s t y l e ; K a r l a a d i s c u r s i v e o n e . J o s h c o n s i d e r e d h i m s e l f t o b e m o r e e q u a l t o t h e e x t e r n a l a u t h o r i t y a n d s o p o s i t i o n e d h i m s e l f w i t h i t . I n c o n t r a s t . K a r l a w a s m o r e d e f e r e n t i a l t o i t a n d l o c a t e d h e r s e l f a s c l o s e r t o h e r s t u d e n t s . T h i s w a s p a r t i c u l a r l y a p p a r e n t i n h e r f o r m s o f t a l k i n g ; s h e o f t e n a p p r o p r i a t e d s t u d e n t w a y s o f t a l k i n g a n d c h o s e n a r r a t i v e a s o n e o f h e r p r e d o m i n a n t m o d e s o f e x p r e s s i o n . T h e w a y t h a t J o s h a n d K a r l a t a u g h t r e fl e c t e d t h e s e d i f f e r e n c e s — i t w a s p a r t a n d p a r c e l o f t h e w a y t h e y p r e s e n t e d t h e m s e l v e s t o t h e c l a s s e s t h e y t a u g h t . B o t h t e a c h e r s u s e d c o n t r o l b u t t h e e l e m e n t s t h e i r c o n t r o l e m p h a s i z e d w a s d i f f e r e n t — J o s h ' s e m p h a s i z e d c o n t r o l o f t u r n a n d t o p i c : K a r l a ’ s e m p h a s i z e d c o n t r o l o f t h e c o m m o n k n o w l e d g e . ' T h e fi r s t r o w 1 l a b e l e d " s o c i o m a t h e m a t i c a l n o r m s ” b e c a u s e t h e y p e r t a i n t o p a r t i c u l a r w a y s e a c h c l a s s r o o m w o r k s w i t h t h e m a t h e m a t i c a l c o n t e n t . t h e l a s t t w o r o w s a r e c o n s i d e r e d “ s o c i a l n o r m s . ” 3 I a m n o t u s i n g t h e w o r d “ d i f f e r e n c e ” t o i n d i c a t e s t a t i s t i c a l s i g n i fi c a n c e . " W h e n c o u n t i n g t u r n s t h e r e w e r e i n s t a n c e s w h e r e t h e r e w e r e s o m a n y o v e r l a p p i n g v o i c e s t h a t m a k i n g a w o r d - c o u n t w a s i m p o s s i b l e . I n K a r l a ’ s c l a s s r o o m . t h i s d i s c o u n t e d 4 0 t u r n s : i n J o s h ’ s c l a s s r o o m . 1 5 t u r n s f e l l i n t o t h i s c a t e g o r y . 4 I n K a r l a ’ s c l a s s r o o m t h i s c o n s i s t e d o f o n e s t u d e n t t u r n c o n s i s t i n g o f 2 8 w o r d s ; i n J o s h ’ s c l a s s r o o m . i t c o n s i s t e d o f fi v e s t u d e n t t u r n s t h a t r a n g e d f r o m 3 0 t o 6 0 w o r d s e a c h . ’ “ L o n g ” r e l a t i v e l y s p e a k i n g . T h e s e t u r n l e n g t h s a r e s t i l l f a i r l y s h o r t c o n s i d e r i n g t h e l e n g t h o f t h e t e a c h e r ' s t u r n s . ° T h e o n l y i n s t a n c e o f t h i s t h a t I ’ v e b e e n a b l e t o fi n d i n m y c l a s s r o o m r e c o r d i n g s w e r e w h e n J o s h a s k e d s t u d e n t s i f t h e y h a d e v e r d r i v e n o v e r a b r i d g e t h a t w a s w e l l k n o w n i n t h e a r e a a n d r e c o u n t e d a s t o r y a b o u t t h a t b r i d g e . 7 T h i s d o e s n o t s u g g e s t t h a t t h e r e a r e n o t a l s o c o m m o n f o r m s w i t h d i f f e r e n t f u n c t i o n s . F o r e x a m p l e . b o t h J o s h a n d K a r l a u s e “ _ s a i d . ” I n i n t e r v i e w s . K a r l a i m m e d i a t e l y s a i d s h e d i d t h i s t o g i v e s t u d e n t s o w n e r s h i p 2 6 9 f o r t h e i r i d e a s a n d t h i n k i n g . J o s h fi r s t s a i d t h a t h e o f t e n d i d t h i s t o k e e p s t u d e n t s o n t a s k a n d l a t e r i n c l u d e d t h a t h e s o m e t i m e s d i d t h i s b e c a u s e s t u d e n t s a p p r e c i a t e d b e i n g c r e d i t e d f o r t h e i r i d e a s . 8 I n t h e t w o d a y s w o r t h o f t r a n s c r i p t . J o s h a s k e d a p p r o x i m a t e l y 3 9 4 q u e s t i o n s . T h i s i n c l u d e d f o r m s t h a t d i d n o t e n d w i t h r i s i n g i n t o n a t i o n . b u t d i d r e q u i r e a r e s p o n s e f r o m s t u d e n t s . e . g . o n e s w h e r e h e r e s t a t e d p a r t o f a n a n s w e r a n d e n d e d w i t h a d r a w n o u t w o r d , i n d i c a t i n g t h a t s t u d e n t s s h o u l d fi n i s h w h a t h e w a s s a y i n g . I n c o n t r a s t , a c r o s s t h e t w o c l a s s p e r i o d s K a r l a a s k e d a b o u t 1 0 0 q u e s t i o n s . ° M a r c i e w a s a c o l l e a g u e ( m e n t i o n e d i n C h a p t e r 5 ) w i t h w h o m K a r l a h a d c o l l a b o r a t e d w h i l e p i l o t i n g t h e C M P c u r r i c u l u m . S h e w a s a l s o i n v o l v e d i n d i r e c t i n g m u c h o f t h e p r o f e s s i o n a l d e v e l o p m e n t a c t i v i t y i n w h i c h K a r l a w a s i n v o l v e d . ' 0 F o r a m o r e d e t a i l e d d e s c r i p t i o n a n d m o r e e x a m p l e s o f t h e s e c a t e g o r i e s . s e e A p p e n d i x B . ” T h i s w o r d w a s c o m m o n l y u s e d t o r e f e r t o s l o p e b e c a u s e t h e s l o p e w a s t h e “ s l a n t i n e s s ” o f t h e l i n e w h e n y o u g r a p h e d i t . I t r e f e r s t o t h e a n g l e a t w h i c h t h e l i n e l i e s o n t h e g r a p h . ' 2 “ H i l l s ” r e f e r r e d t o q u a d r a t i c s w i t h a n e g a t i v e t e r m i n f r o n t o f t h e x 2 b e c a u s e t h e p a r a b o l a w o u l d o p e n d o w n w a r d . l o o k i n g l i k e a h i l l . “ U ’ s ” r e f e r r e d t o q u a d r a t i c s w i t h a p o s i t i v e t e r m i n f r o n t o f t h e s q u a r e d t e r m b e c a u s e t h e p a r a b o l a w o u l d o p e n u p w a r d , l o o k i n g l i k e a U . E v e n t h o u g h s t u d e n t s b e g a n b y s a y i n g t h i s w a s w h a t t h e g r a p h “ l o o k e d l i k e , ” t h e y e v e n t u a l l y d r o p p e d t h e l o o k l i k e a n d j u s t r e f e r r e d t o t h e g r a p h a s U ’ s a n d h i l l s . ' 3 E v e n t h o u g h K a r l a ’ s u s e o f q u e s t i o n s w a s m u c h l e s s t h a t J o s h ’ s . w h e n s h e u s e d t h e m a l m o s t h a l f ( 4 3 % ) w e r e o f t h e t y p e t h a t e i t h e r p u s h e d s t u d e n t s t o c l a r i f y ( a s i n t h e r e v o i c i n g e x a m p l e s I m e n t i o n e d e a r l i e r ) o r e l s e a l l o w e d s t u d e n t s t o o f f e r t h e i r o w n p e r s p e c t i v e ( e . g . W h a t d o y o u t h i n k . . . ? H o w c o u l d y o u h a v e . . . ? ) . ' 4 I n t h i s c h a p t e r . M i s h l e r i s l o o k i n g c l o s e l y a t t a l k i n fi r s t g r a d e c l a s s r o o m s a n d s h o w i n g h o w d i f f e r e n t c o g n i t i v e s t r a t e g i e s a s w e l l a s d i f f e r e n t v a l u e s a n d n o r m s a r e c a r r i e d i n t h e l a n g u a g e u s e d b y t e a c h e r s ( a n d t h e i n t e r a c t i o n s b e t w e e n t e a c h e r s a n d s t u d e n t s ) . I n t h e s e c t i o n I ’ v e q u o t e d . h e i s c l a i m i n g t h a t o n e p a r t i c u l a r fi r s t g r a d e t e a c h e r “ s h a r e d r e s p o n s i b i l i t y f o r d e v e l o p i n g a n d c o n fi r m i n g n o r m s f o r b e h a v i o r . " H o w e v e r , I b e l i e v e t h a t t h i s t y p e o f s h a r i n g o f r e s p o n s i b i l i t y c a n a l s o t a k e p l a c e i n d e v e l o p i n g a n d c o n fi r m i n g w h a t h a s b e e n e s t a b l i s h e d a s c o m m o n k n o w l e d g e i n t h e c l a s s r o o m . W h e n K a r l a u s e d t h e w o r d “ w e . ” s h e n e v e r d i f f e r e n t i a t e d h e r o w n p o i n t o f v i e w f r o m t h e “ w e . ” I n s t e a d . t h e " w e ” s e e m e d t o b e u s e d a s M i s h l e r i s d e s c r i b i n g i t — a s s o m e t h i n g i n w h i c h t h e y a l l t o o k p a r t . I n a d d i t i o n . h e r u s e o f " t h e y ” s e e m s t o f u r t h e r p o s i t i o n h e r s e l f a s p a r t o f t h e c l a s s r o o m c o m m u n i t y i n w h i c h j o i n t a c t i v i t y t a k e s p l a c e b e c a u s e s h e d e f e r s h e r s e l f t o t h i s f a c e l e s s e x t e r n a l a u t h o r i t y , m a k i n g h e r s e l f s e e m t o b e m o r e p a r t o f t h e c l a s s r o o m c o m m u n i t y r a t h e r t h a n p a r t o f t h e e x t e r n a l a u t h o r i t y w h o a s s e s s e s t h e a c t i v i t y i n w h i c h t h e y t o o k p a r t . " T h i s p r e l i m i n a r y a n a l y s i s c o n s i s t e d o f t r a n s c r i b i n g m o s t o f t h e s t u d e n t i n t e r v i e w s f r o m t h e F a l l a n d b e g i n n i n g t o l o o k a t t h e c o n t e n t i n w h i c h s t u d e n t s d i d w e l l a n d w h e r e t h e y s t r u g g l e d . 1 a l s o a t t e n d e d t o a n d c a t e g o r i z e d t h e l a n g u a g e t h a t t h e y u s e d f o r s l o p e a n d y - i n t e r c e p t a n d b e g a n t o w r i t e c o m p a r i s o n s o f t h e s t u d e n t u n d e r s t a n d i n g s t o f u l fi l l c l a s s r e q u i r e m e n t s i n t h e s o m e o f t h e c o u r s e w o r k t h a t I c o m p l e t e d i n m y p r o g r a m . I t i s n o t a c o m p r e h e n s i v e a n a l y s i s . b u t I i n t e n d t o p u r s u e t h a t a s p a r t o f m y r e s e a r c h a g e n d a . 2 7 0 C H A P T E R 9 : C O N C L U S I O N / S U M M A R Y M a n k i n d l i k e s t o t h i n k i n t e r m s o f e x t r e m e o p p o s i t e s . I t i s g i v e n t o f o r m u l a t i n g i t s b e l i e f s i n t e r m s o f E i t h e r - O r s . b e t w e e n w h i c h i t r e c o g n i z e s n o i n t e r m e d i a t e p o s s i b i l i t i e s . W h e n f o r c e d t o r e c o g n i z e t h a t t h e e x t r e m e s c a n n o t b e a c t e d u p o n . i t i s s t i l l i n c l i n e d t o h o l d t h a t t h e y a r e a l l r i g h t i n t h e o r y b u t t h a t w h e n i t c o m e s t o p r a c t i c a l m a t t e r s c i r c u m s t a n c e s c o m p e l u s t o c o m p r o m i s e . E d u c a t i o n a l p h i l o s o p h y i s n o e x c e p t i o n . [ . . . ] A t p r e s e n t . t h e o p p o s i t i o n . s o f a r a s p r a c t i c a l a f f a i r s o f s c h o o l a r e c o n c e r n e d , t e n d s t o t a k e t h e f o r m o f c o n t r a s t b e t w e e n t r a d i t i o n a l a n d p r o g r e s s i v e e d u c a t i o n . - J o h n D e w e y . 1 9 3 8 f r o m E x p e r i e n c e a n d E d u c a t i o n T h e d i s t i n c t i o n b e t w e e n t r a d i t i o n a l a n d p r o g r e s s i v e ( o r . w h a t I h a v e b e e n c a l l i n g " r e f o r m - o r i e n t e d ” ) h a s b e e n a f o c u s f o r e d u c a t i o n s i n c e l o n g b e f o r e D e w e y . T h i s d i s s e r t a t i o n h a s t r u l y b e e n o n e f o c u s e d o n t h e “ c o m p r o m i s e s " t o w h i c h D e w e y r e f e r r e d . W e c r e a t e c a t e g o r i e s i n w h i c h t o p u t t h i n g s . p a i n t i n g t h e w o r l d a s i f i t w e r e b l a c k a n d w h i t e . T h e c l a s s r o o m s i n w h i c h I h a v e b a s e d m y s t u d y b o t h h o l d c r e d e n t i a l s a s “ r e f o r m - o r i e n t e d ” - t h e t e a c h e r s i n t h e s e c l a s s r o o m s n o t o n l y a g r e e w i t h t h e r e f o r m p r o p o s e d b y t h e N C T M S t a n d a r d s , b u t a l s o p i l o t e d a n d u s e d a c u r r i c u l u m t h a t w a s d e v e l o p e d i n t h e s p i r i t o f t h i s r e f o r m — t h e C o n n e c t e d M a t h e m a t i c s P r o j e c t ( C M P ) . H o w e v e r . c l o s e r i n s p e c t i o n o f t h e d i s c o u r s e p a t t e r n s i n t h e s e c l a s s r o o m s s h o w e d t h a t t h e y w e r e d i f f e r e n t f r o m o n e a n o t h e r . I n a d d i t i o n , f u r t h e r s h a d e s o f g r a y a p p e a r e d w h e n l o o k i n g a t t h e s e c l a s s r o o m s t h r o u g h d i s c u s s i o n v s . r e c i t a t i o n . N e i t h e r c l a s s r o o m fi t n e a t l y i n t o o n e o f t h e s e t w o c a t e g o r i e s ( a s C a z d e n a n d o t h e r s h a v e r e c o g n i z e d ) . H o w e v e r . t h e t w o c l a s s r o o m s o f f e r e d i n s t a n c e s o f s o m e s h a d e s o f t h e s e d i c h o t o m o u s c a t e g o r i e s . S i n c e t h e r e l e a s e o f t h e N C T M S t a n d a r d s . t h i s d e b a t e o v e r r e f o r m - o r i e n t e d v s . t r a d i t i o n a l p e d a g o g y h a s b e e n m u c h m o r e v o l a t i l e . e s p e c i a l l y i n C a l i f o r n i a . T h e s e “ M a t h W a r s ” ( a s d u b b e d b y a r t i c l e s i n t h e N o t i c e s o f t h e A m e r i c a n . l l a t h e m a t i c a l S o c i e t y . s e e J a c k s o n . l 9 9 7 a . 1 9 9 7 b ) h a v e o n c e a g a i n b r o u g h t t h i s d i c h o t o m y t o t h e f o r e f r o n t o f t h e 2 7 1 d i s c u s s i o n , i g n o r i n g t h e r e a l i t y o f c l a s s r o o m s a n d t h e p o s s i b i l i t y t h a t t h e r e a r e s h a d e s o f g r a y w i t h i n e a c h o f t h e s e t w o p a r a d i g m s . I n c a l l i n g a c l a s s r o o m “ r e f o r m - o r i e n t e d , ” w e a l m o s t e x p e c t t h e m a l l t o l o o k t h e s a m e . O n c l o s e r i n s p e c t i o n . h o w e v e r . d i f f e r e n c e s w i l l a n d d o a p p e a r w i t h i n e a c h o f t h e s e p a r a d i g m s . I h a v e o f f e r e d c a s e s t u d i e s o f d i f f e r e n c e i n t h e c o n t e x t o f s i m i l a r i t y . I h a v e n o t a r g u e d t h a t o n e i s b e t t e r t h a n t h e o t h e r : I h a v e m a d e t h e p o i n t t h a t t h e y a r e d i f f e r e n t . I n d o i n g s o , I a r g u e a g a i n s t t h e m o n o l i t h i c r e f o r m - o r i e n t e d t e a c h e r / c l a s s r o o m t h a t i s s o o f t e n p o r t r a y e d i n t h e m e d i a a n d i n t h e l i t e r a t u r e . T h e r e i s n o u n i f o r m e n t i t y c a l l e d a “ r e f o r m - o r i e n t e d ” t e a c h e r / c l a s s r o o m . I r e - i n t r o d u c e t h e n o t i o n o f “ r e f o r m - o r i e n t e d . ” t a k i n g i n t o a c c o u n t t h e s u b t l e t i e s o f a c t u a l c l a s s r o o m p r a c t i c e . I n t h i s c o n c l u d i n g c h a p t e r , I a d d r e s s f o u r t o p i c s r e l a t e d t o t h i s s t u d y . I r e v i s i t m y o r i g i n a l r e s e a r c h q u e s t i o n s a n d t h e n d i s c u s s w h i c h o f t h e s e I a c t u a l l y a d d r e s s e d i n t h i s d i s s e r t a t i o n . I t h e n c o n s i d e r t h i s w o r k ’ s i m p l i c a t i o n s . l i m i t a t i o n s a n d o u t l i n e f u t u r e r e s e a r c h q u e s t i o n s t h a t t h i s s t u d y h a s r a i s e d . R e s e a r c h Q u e s t i o n s I b e g i n t h i s s e c t i o n b y o f f e r i n g t h e o r i g i n a l q u e s t i o n s I h a d i n t e n d e d t o a n s w e r i n d o i n g t h i s d i s s e r t a t i o n . I t h e n r e c a p o n t h e e v e n t s t h a t t o o k p l a c e a n d h o w t h o s e s h a p e d t h e q u e s t i o n s t h a t I a c t u a l l y a n s w e r e d i n t h i s d i s s e r t a t i o n . M y o r i g i n a l i n t e n t w a s t o a n s w e r t h e f o l l o w i n g q u e s t i o n s : A . W h a t a r e t h e s o c i a l a n d s o c i o m a t h e m a t i c a l n o r m s o f t h e t w o c l a s s r o o m s ? o H o w a r e t h e y e x p l i c i t l y ( a n d i m p l i c i t l y ) e s t a b l i s h e d a n d m a i n t a i n e d ? 0 H o w a r e t h e y e m b e d d e d a n d c a r r i e d i n t h e c l a s s r o o m d i s c o u r s e ? o W h a t u n d e r s t a n d i n g s a b o u t m a t h e m a t i c a l c o n t e n t d o t h e y s e e m t o e n c o u r a g e ? 2 7 2 o W h a t k i n d s o f d i s p o s i t i o n s a b o u t l e a r n i n g a n d d o i n g m a t h e m a t i c s d o t h e y s e e m t o e n c o u r a g e , a s l a i d o u t i n t h e N C T M S t a n d a r d s ? B . W h a t a r e t h e t h i n g s t h a t i n fl u e n c e t h e w a y t h e t e a c h e r s t h i n k a b o u t a n d t h e w a y t h e y w o r k t o e s t a b l i s h a n d m a i n t a i n t h e i r n o r m s a n d s o c i o m a t h e m a t i c a l n o r m s i n t h e i r c l a s s r o o m s ? C . W h a t a r e t h e s i m i l a r i t i e s a n d d i f f e r e n c e s a c r o s s t h e t w o c l a s s r o o m s ( s p e c i fi c s w i l l f a l l o u t o f t h e a b o v e a n a l y s e s ) ? T h e q u e s t i o n s w i t h w h i c h I b e g a n t h i s s t u d y s o u g h t t o m a k e s e n s e o f a t l e a s t t h r e e a s p e c t s o f t h e c l a s s r o o m : s o c i a l n o r m s . s o c i o m a t h e m a t i c a l n o r m s . a n d i n d i v i d u a l s t u d e n t u n d e r s t a n d i n g s . T h e n o r m s f o c u s e d o n s t u d e n t a n d t e a c h e r r i g h t s . r e s p o n s i b i l i t i e s . e x p e c t a t i o n s a n d r o l e s . S o c i a l n o r m s a r e n o t s u b j e c t s p e c i fi c : t h e y c o u l d e x i s t i n a n y c l a s s r o o m . S o c i o m a t h e m a t i c a l n o r m s a r e o n e s t h a t p e r t a i n s p e c i fi c a l l y t o t h e m a t h e m a t i c a l c o n t e n t : f o r e x a m p l e . h o w s t u d e n t s a r e e x p e c t e d t o j u s t i f y t h e i r a n s w e r s o r f o r m a m a t h e m a t i c a l a r g u m e n t a r e r e l a t e d t o h o w t h e s e t h i n g s a r e d o n e i n t h e l a r g e r m a t h e m a t i c a l c o m m u n i t y . D u r i n g t h e c o u r s e o f t h i s s t u d y I e n c o u n t e r e d t w o c r i t i c a l d e c i s i o n p o i n t s . I n t h e fi r s t , I b e g a n t o s e e t h a t m y f o c u s b o t h o n s t u d e n t u n d e r s t a n d i n g s a n d o n t h e n o r m s i n t h e c l a s s r o o m c o u l d c o n c l u d e a s t w o s e p a r a t e d i s s e r t a t i o n s . A t t h a t p o i n t . I h a d t o d e c i d e w h i c h w a s a c t u a l l y m o s t i n t r i g u i n g t o m e a n d c h o s e t o f o c u s o n t h e n o r m s t h a t w e r e e m b e d d e d a n d c a r r i e d i n t h e c l a s s r o o m d i s c o u r s e . W h i l e I i l l u s t r a t e d a n d i n t e r p r e t e d s t u d e n t c o n t r i b u t i o n s i n t e r m s o f t h e m a t h e m a t i c a l c o n t e n t o f w h i c h t h e y w e r e s p e a k i n g . s t u d e n t u n d e r s t a n d i n g s w e r e n o l o n g e r a p r i m a r y f o c a l p o i n t o f t h i s d i s s e r t a t i o n . 2 7 3 O r i g i n a l l y , I h a d a l s o p l a n n e d t o s p e n d f a l l s e m e s t e r , 1 9 9 9 . i n b o t h t e a c h e r ’ s c l a s s r o o m s t o c o l l e c t d a t a o n w h i c h t o b a s e m y d i s s e r t a t i o n . I n t h a t d a t a . t h e f o c u s w o u l d h a v e b e e n o n t h e s t u d e n t s a n d t h e i r p e r c e p t i o n s o f t h e d i s c o u r s e p a t t e r n s . H o w e v e r . d u r i n g s p r i n g s e m e s t e r , 1 9 9 9 . J o s h i n f o r m e d m e t h a t h e h a d t a k e n a n a d m i n i s t r a t i v e p o s i t i o n t h a t w o u l d b e g i n t h e n e x t s c h o o l y e a r . D u e t o t h i s c h a n g e . m y d a t a c o l l e c t i o n a n d f o c u s h a d t o c h a n g e a b r u p t l y . I s t i l l s o u g h t t o u n d e r s t a n d t h e d i s c o u r s e p a t t e r n s a n d t h e n o r m s i n t h e c l a s s r o o m s b u t c h a n g e d m y f o c u s t o t h e t e a c h e r ' s p e r c e p t i o n s o f t h e s e r a t h e r t h a n t h o s e fi l t e r e d t h r o u g h s t u d e n t b e l i e f s a n d u n d e r s t a n d i n g s . I a l s o c o n t i n u e d t o p u r s u e s i m i l a r i t i e s a n d d i f f e r e n c e s i n t h e t w o c l a s s r o o m s . T h e q u e s t i o n s t h a t I h a v e a c t u a l l y a d d r e s s e d i n t h i s d i s s e r t a t i o n i n c l u d e : A * . W h a t a r e t h e m o s t p r o m i n e n t d i s c o u r s e p a t t e r n s i n e a c h c l a s s r o o m ? 0 W h a t a r e s o m e o f t h e s o c i a l a n d s o c i o m a t h e m a t i c a l n o r m s e m b e d d e d i n a n d c a r r i e d b y t h e m ? 0 W h a t a r e s o m e o f t h e t h i n g s t h a t i n fl u e n c e t h e w a y t h e t e a c h e r s t h i n k a b o u t a n d t h e w a y t h e y w o r k t o e s t a b l i s h a n d m a i n t a i n t h e i r s o c i a l n o r m s a n d s o c i o m a t h e m a t i c a l n o r m s i n t h e i r c l a s s r o o m s ? B * . W h a t a r e s o m e o f t h e s i m i l a r i t i e s a n d d i f f e r e n c e s a c r o s s t h e t w o c l a s s r o o m s ? I n u n d e r t a k i n g t h i s s t u d y . I h a v e i d e n t i fi e d a n d a n a l y z e d s o m e o f t h e d i f f e r e n c e s b e t w e e n t h e s e t w o t e a c h e r s a n d t h e i r t e a c h i n g a s i t a p p e a r e d i n t h e p r e d o m i n a n t d i s c o u r s e p a t t e r n s i n t h e c l a s s r o o m . C e r t a i n n o r m s w e r e a p p a r e n t w h e n d i s c o u r s e p a t t e r n s w e r e c a r e f u l l y c o n s i d e r e d . I f o c u s e d o n d e s c r i b i n g a n d i l l u s t r a t i n g t h e d i s c o u r s e p a t t e r n s a n d t h e n o r m s t h a t w e r e e m b e d d e d a n d c a r r i e d i n t h e m . 2 7 4 I n C h a p t e r 5 . I d e s c r i b e d m a n y a s p e c t s o f t h e t e a c h e r ' s b e l i e f s a b o u t s u b j e c t m a t t e r . t e a c h i n g a n d l e a r n i n g . W h i l e t h e C M P t e x t b o o k s t h e m s e l v e s i n fl u e n c e d b o t h t e a c h e r s . J o s h s e e m e d t o b e i m p a c t e d m o r e b y t h e s e t h a n K a r l a . I n f a c t . h e d e s c r i b e d h i m s e l f a s “ c u r r i c u l u m d r i v e n ” i n o n e o f t h e i n t e r v i e w s a n d s a i d t h a t t h e " t e a c h e r - t a l k " i n t h e e a r l i e r v e r s i o n s o f C M P h a d m o s t i n fl u e n c e d h i s t e a c h i n g . T h e t e a c h e r - t a l k c o n s i s t e d o f a s e r i e s o f q u e s t i o n s t h e t e a c h e r m i g h t a s k t o e n c o u r a g e m a t h e m a t i c a l u n d e r s t a n d i n g . J o s h s a i d t h a t u s i n g t h i s t y p e o f q u e s t i o n i n g c a u s e d a h u g e c h a n g e i n h i s t e a c h i n g a n d a l l o f t h e p r o f e s s i o n a l d e v e l o p m e n t t h a t f o l l o w e d m e r e l y h e l p e d h i m t o “ r e fi n e ” h i s t e c h n i q u e s . H e b e l i e v e d t h a t . b y t h e t i m e h e fi n i s h e d h i s t e a c h i n g c a r e e r . h i s c l a s s r o o m w a s a s c l o s e t o h i s “ i d e a l ” c l a s s r o o m a s h e m a y h a v e a c h i e v e d . T h e f a c t o r t h a t p l a y e d ( a n d c o n t i n u e s t o p l a y ) a l a r g e r o l e i n K a r l a ’ s s h i f t i n t h i n k i n g a b o u t h e r t e a c h i n g ( a n d s t u d e n t - l e a r n i n g ) h a p p e n e d t h r o u g h h e r p e e r i n t e r a c t i o n s w i t h o t h e r t e a c h e r s . K a r l a c o l l a b o r a t e d w i t h t w o o t h e r t e a c h e r s i n s c h o o l . t a k i n g t u r n s d o i n g p e e r o b s e r v a t i o n s . W h e n o b s e r v i n g . K a r l a ’ s c o l l e a g u e s f o c u s e d o n h e r t e a c h e r - t a l k a n d h o w s h e l i s t e n e d t o s t u d e n t s . T h e y p o s e d q u e s t i o n s ( e . g . W h a t d o y o u r s t u d e n t s u n d e r s t a n d ? ) t h a t p u s h e d K a r l a ’ s t h i n k i n g a b o u t h e r t e a c h i n g a n d a b o u t w h a t h e r s t u d e n t s w e r e I e a m i n g . K a r l a w a s s t i l l w o r k i n g o n l i s t e n i n g t o h e r s t u d e n t s a n d c o n t i n u e d t o t h i n k a b o u t h e r r o l e i n t h e c l a s s r o o m i n t e r m s o f h o w s h e c o u l d g e t s t u d e n t s t o t a l k m o r e a n d n o t c o n s i d e r h e r t o b e t h e “ a l l - k n o w i n g . ” I n C h a p t e r 6 . I d e s c r i b e d t h e t h r e e m o s t p r o m i n e n t d i s c o u r s e p a t t e r n s i n K a r l a ’ s c l a s s r o o m : p h r a s e s t h a t c r e a t e d c o n t e x t a n d c o n t i n u i t y f o r t h e c o m m o n k n o w l e d g e . m e t a c o m m e n t i n g . a n d e x p r e s s i o n s o f u n c e r t a i n t y . T h r o u g h t h e s e r e p e a t e d p a t t e r n s . K a r l a t a c i t l y e s t a b l i s h e d m a n y s o c i a l a n d s o c i o m a t h e m a t i c a l n o r m s ( f o r t h e e n t i r e l i s t . s e e p p . 8 4 - 8 5 o r 1 4 3 - 1 4 5 ) . K a r l a s e e m e d t o d e fi n e h e r r o l e a s s o m e o n e w h o t o l d s t o r i e s . s u m m a r i z e d a n d c o n t r i b u t e d a s s h e f e l t n e c e s s a r y . S h e e n c o u r a g e d s t u d e n t s t o s h a r e m u l t i p l e s o l u t i o n m e t h o d s , c o n t r i b u t e w h e n e v e r p o s s i b l e . a c k n o w l e d g e u n c e r t a i n t y . h y p o t h e s i z e p o s s i b i l i t i e s a n d b e r e s p o n s i b l e f o r t h e i r o w n l e a r n i n g . T h e c l a s s r o o m w a s s e e n a s a c o m m u n i t y w i t h a c o m m o n h i s t o r y a n d t h e c o n t e n t w a s r e p r e s e n t e d i n a c o n n e c t e d w a y ( b o t h i n t e r m s o f t h e r e p r e s e n t a t i o n s a n d t h e c o n t e x t s i n t h e t e x t b o o k s ) . J o s h ’ s m o s t p r o m i n e n t d i s c o u r s e p a t t e r n s w e r e d i s c u s s e d i n C h a p t e r 7 . i n c l u d i n g : q u e s t i o n i n g . e x p r e s s i o n s e s t a b l i s h i n g a u t h o r i t y . a n d t a l k a b o u t k n o w i n g . T h r o u g h t h e s e r e p e a t e d p a t t e r n s . J o s h a l s o e s t a b l i s h e d c e r t a i n s o c i a l a n d s o c i o m a t h e m a t i c a l n o r m s i n h i s c l a s s r o o m ( f o r t h e e n t i r e l i s t . s e e p . 1 5 2 o r 2 2 1 - 2 2 3 ) . J o s h s e e m e d t o d e fi n e h i s o w n r o l e i n t h e c l a s s r o o m a s s o m e o n e w h o " k n e w ” a n d h e l p e d t o d e t e r m i n e c o r r e c t a n d r e a s o n a b l e a n s w e r s t o t h e p r o b l e m s . S o m e o f h i s f o r m s d r e w a t t e n t i o n t o t h e c o m m o n k n o w l e d g e o f t h e c l a s s r o o m ( e . g . t a g s , s u b - q u e s t i o n s ) . S t u d e n t s w e r e e x p e c t e d t o k n o w t h e r e a s o n s f o r t h e a n s w e r s t h e y g a v e a n d t o o f f e r m u l t i p l e s o l u t i o n m e t h o d s . I f t h e y w e r e " m o d e l ” s t u d e n t s . t h e n t h e y s h o u l d “ w a n t t o k n o w . ” T h e r o l e o f t h e t e x t b o o k i n t h e c l a s s r o o m w a s s o m e t h i n g t o b e r e f e r r e d t o a s a s o u r c e o f k n o w l e d g e . I n C h a p t e r 8 . I b e g a n b y c o m p a r i n g t h e f o c u s o f t h e n o r m s i n t h e c l a s s r o o m . W h i l e m o s t o f t h e n o r m s w e r e s o c i o m a t h e m a t i c a l i n b o t h c l a s s r o o m s . t h e d i f f e r e n c e s s e e m e d t o a p p e a r m a i n l y i n t h e s o c i a l n o r m s . K a r l a ’ s a t t e n t i o n s e e m e d t o f o c u s o n t h e s t u d e n t s , w h e r e a s J o s h w a s m o r e c o n c e r n e d w i t h h i s r o l e i n t h e c l a s s r o o m . I c o n t i n u e d t o h i g h l i g h t t h e s e d i f f e r e n c e s ( a n d o t h e r s ) b y t u r n i n g m y f o c u s t o d i f f e r e n t s u r f a c e f o r m s t h a t s e r v e d s i m i l a r p u r p o s e s i n t h e t w o c l a s s r o o m s . D i f f e r e n c e s i n p a t t e r n s o f a u t h o r i t y . h o w t h e t e a c h e r s d r e w o n s o u r c e s o f k n o w l e d g e a n d d i r e c t e d a t t e n t i o n t o t h e c o m m o n 2 7 6 k n o w l e d g e o f t h e c l a s s r o o m w e r e d i s c u s s e d . I n J o s h ’ s c l a s s r o o m . h e a n d t h e t e x t b o o k w e r e v i e w e d a s p a r t o f t h e l o c u s o f a u t h o r i t y b e c a u s e t h e y w e r e d r a w n o n a s s o u r c e s o f k n o w l e d g e . T h e c o m m o n k n o w l e d g e w a s h i g h l i g h t e d t h r o u g h h i s u s e o f : t a g f o r m s . “ b u t , ” p r o p o s i t i o n s f o l l o w e d b y “ w h y ? ” a n d “ s h o u l d . " T h e s e v a r i o u s f o r m s s e e m e d t o a l i g n J o s h m o r e c l o s e l y w i t h t h e l o c u s o f a u t h o r i t y a n d s e p a r a t e d h i m f r o m t h e c o m m u n i t y o f t h e c l a s s r o o m . I n c o n t r a s t , K a r l a s e e m e d t o a l i g n h e r s e l f m o r e w i t h t h e c l a s s r o o m c o m m u n i t y t h r o u g h h e r u s e o f : n a r r a t i v e s t o r y t e l l i n g . “ w e ” a s j o i n t l y c o n s t r u c t e d k n o w l e d g e , s h i e l d i n g o f s t u d e n t s t h r o u g h u s e o f h e d g i n g a n d m o d a l s , a n d a p p r o p r i a t i o n o f s t u d e n t l a n g u a g e ( i . e . C O L ) . I n a d d i t i o n . s h e m a y h a v e d o w n p l a y e d h e r r o l e a s a u t h o r i t y b y r e n d e r i n g t o t h e t e x t b o o k a u t h o r i t y b y u s i n g “ t h e y ” a s a n A t t r i b u t i o n S h i e l d a n d b y o f f e r i n g w h a t “ I w o u l d ” d o ( w h i c h w a s n o t a s f o r c e f u l a s J o s h ’ s e x p l i c i t c o n t r i b u t i o n s o f w h a t w a s “ r e a s o n a b l e ” ) . S h e d r e w o n s t u d e n t k n o w l e d g e a n d a l l o w e d s t u d e n t s t o c o n t r o l a n d o f f e r t h e t o p i c w h i c h t h e n b e c a m e t h e f o c a l p o i n t o f t h e d i s c u s s i o n . H e r w a y s o f p o i n t i n g t o t h e c o m m o n k n o w l e d g e w e r e m o r e c o n n e c t i v e ( i . e . “ 5 0 ” ) a n d w e r e o f t e n i n t h e f o r m o f a s t o r y . W h e n s h e d i s c u s s e d p r e s u p p o s e d k n o w l e d g e . s h e u s e d “ c a n ” a m o d a l v e r b t h a t i n d i c a t e d s t u d e n t s h a d a n a b i l i t y t o d o m a t h e m a t i c s . T h e d i s c o u r s e a n a l y s e s h a v e h e l p e d m e t o i d e n t i f y p r o m i n e n t d i s c o u r s e p a t t e r n s i n t h e t w o c l a s s r o o m s i n w h i c h d i f f e r e n t s o c i a l a n d s o c i o m a t h e m a t i c a l n o r m s w e r e e n c o u r a g e d . T h e y h a v e s h o w n s o m e o f t h e w a y s t h a t t w o “ r e f o r m - o r i e n t e d ” c l a s s r o o m s m a y b e d i f f e r e n t . A s J o s h s a i d ( s e e p . 2 3 1 ) , s o m e o f t h e s e d i f f e r e n c e s m a y b e a t t r i b u t e d t o t e a c h e r “ s t y l e . ” H e f e l t m o r e c o m f o r t a b l e b e i n g i n c o n t r o l o f t h e c l a s s r o o m . K a r l a . i n c o n t r a s t , d i d n o t w a n t t o b e t h e “ a l l - k n o w i n g ” a n d t h i s s u r f a c e d i n h e r d i s c o u r s e f o r m s . E v e n t h o u g h t h e s e t w o t e a c h e r s h a v e h a d m a n y i d e n t i c a l e x p e r i e n c e s i n t e r m s o f 2 7 7 p r o f e s s i o n a l d e v e l o p m e n t , e d u c a t i o n . c e r t i fi c a t i o n a n d t e a c h i n g a s s i g n m e n t a n d v e r y s i m i l a r s t u d e n t u n d e r s t a n d i n g s . t h e r e w e r e t h i n g s f r o m w h i c h t h e y h a d d r a w n t h a t m a y h a v e a t t r i b u t e d t o t h e d i f f e r e n t e n v i r o n m e n t s i n t h e t w o c l a s s r o o m s . J o s h d r e w m a i n l y f r o m t h e t e a c h e r - t a l k a n d t h i s m a y h a v e a f f e c t e d h i s t e a c h i n g i n w a y s d i f f e r e n t f r o m t h e p e e r c o a c h i n g i n w h i c h K a r l a p a r t i c i p a t e d . I m p l i c a t i o n s T h i s w o r k h a s v a l u e f o r b o t h p r a c t i c a l a n d t h e o r e t i c a l r e a s o n s . A t a p r a c t i c a l l e v e l . t h i s d i s s e r t a t i o n c a n i n f o r m p r o f e s s i o n a l d e v e l o p m e n t a n d t e a c h e r e d u c a t i o n p r o g r a m s . c u r r i c u l u m d e v e l o p e r s , a n d p a r e n t s . A t a t h e o r e t i c a l l e v e l . t h i s w o r k m i g h t c o n t r i b u t e a n a d d i t i o n a l d i m e n s i o n t o t h e k n o w l e d g e b a s e o f t e a c h i n g ( ' S h u l m a n . 1 9 8 7 ) a n d o f f e r i n s i g h t s i n t o t h e w a y t h a t s h a r e d i n t e n t ( e . g . b o t h t e a c h e r s a r e d e d i c a t e d t o t h e n e w c u r r i c u l u m a n d w h a t i t s t a n d s f o r ) d o e s n o t n e c e s s a r i l y t r a n s l a t e i n t o s h a r e d p r a c t i c e . P r a c t i c a l I m p l i c a t i o n s T e a c h e r e d u c a t o r s a n d p r o f e s s i o n a l d e v e l o p m e n t l e a d e r s c a n u s e t h i s i n f o r m a t i o n t o i n c r e a s e t e a c h e r a w a r e n e s s a b o u t t h e a r r a y o f l a n g u a g e t h a t c o u l d b e u s e d i n t h e s e r v i c e o f t e a c h i n g m a t h e m a t i c s . s t r e s s i n g n o t j u s t m u l t i p l e s o l u t i o n m e t h o d s . b u t a l s o m u l t i p l e w a y s o f t a l k i n g a b o u t m a t h e m a t i c a l c o n c e p t s ( e . g . c l a s s r o o m g e n e r a t e d l a n g u a g e . t r a n s i t i o n a l m a t h e m a t i c a l l a n g u a g e ) . M o r e i m p o r t a n t l y . t h i s a n a l y s i s c o u l d a l s o b e u s e d t o i n c r e a s e t e a c h e r u n d e r s t a n d i n g o f t h e i m p a c t o f t a c i t l a n g u a g e p a t t e r n s o n t h e c l a s s r o o m i n h e l p i n g / h i n d e r i n g c e r t a i n p o s i t i o n i n g . I n t h e c o n t e x t o f a m a t h e m a t i c s c l a s s r o o m . l a n g u a g e i s n o t s o m e t h i n g t o w h i c h t e a c h e r s t y p i c a l l y a t t e n d . W h e n I w a s a b e g i n n i n g j u n i o r h i g h m a t h e m a t i c s t e a c h e r . I w o u l d h a v e n e v e r c o n s i d e r e d h o w m y l a n g u a g e m i g h t b e p r o m o t i n g o r u n d e r m i n i n g g o a l s t h a t I w a n t e d t o a c c o m p l i s h i n m y c l a s s r o o m . I n t h e t e a c h e r i n t e r v i e w s . w h e n I 2 7 8 o f f e r e d p a r t i c u l a r p a t t e r n s I h a d n o t i c e d i n e a c h c l a s s r o o m . t h e r e s p o n s e w a s o n e o f s u r p r i s e . B o t h J o s h a n d K a r l a . w h o w e r e e x p e r i e n c e d t e a c h e r s . d i d n o t s e e m t o n o t i c e t h e y w e r e r e p e a t i n g t h e s e p a t t e r n s o f t a l k a n d f o u n d i t d i f fi c u l t t o a r t i c u l a t e w h a t t h e y t h o u g h t t h e t a l k p a t t e r n s w e r e a c c o m p l i s h i n g i n t h e c l a s s r o o m . I t h i n k t h e y w o u l d b e s o m e w h a t s u r p r i s e d a t h o w t h e s e p a t t e r n s m a y h a v e i n fl u e n c e d t h e c l a s s r o o m e n v i r o n m e n t . p a r t i c u l a r l y a r o u n d i s s u e s o f c o n t r o l a n d a u t h o r i t y . I b e l i e v e b r i n g i n g a d i s c o u r s e p e r s p e c t i v e t o t h e m a t h e m a t i c s c l a s s r o o m c a n h e l p t e a c h e r s t h i n k a b o u t m a n y t h i n g s . F o r e x a m p l e . i f w e r e f e r b a c k t o t h e N C T M P r o f e s s i o n a l T e a c h i n g S t a n d a r d s ( 1 9 9 1 ) d o c u m e n t . i t s t a t e s : T h e d i s c o u r s e e m b e d s f u n d a m e n t a l v a l u e s a b o u t k n o w l e d g e a n d a u t h o r i t y . I t s n a t u r e i s r e fl e c t e d i n w h a t m a k e s a n a n s w e r r i g h t a n d w h a t c o u n t s a s l e g i t i m a t e m a t h e m a t i c a l a c t i v i t y . a r g u m e n t a n d t h i n k i n g . T e a c h e r s . t h r o u g h t h e w a y s i n w h i c h t h e y o r c h e s t r a t e d i s c o u r s e . c o n v e y m e s s a g e s a b o u t w h o s e k n o w l e d g e a n d w a y s o f t h i n k i n g a r e v a l u e d . w h o i s c o n s i d e r e d a b l e t o c o n t r i b u t e a n d w h o h a s s t a t u s i n t h e g r o u p ( p . 2 0 . i t a l i c s a d d e d ) . “ E m b e d s ” — w h a t d o e s t h a t m e a n ? W h a t d o e s i t l o o k l i k e ? T h e d i s c o u r s e a n a l y s i s t h a t I h a v e o f f e r e d m a d e e v i d e n t h o w i s s u e s o f p o s i t i o n i n g w i t h r e s p e c t t o a u t h o r i t y a n d e p i s t e m o l o g y m i g h t b e “ e m b e d d e d " i n t e a c h e r t a l k . I t c a n h e l p t e a c h e r s s e e m o r e c l e a r l y h o w u s i n g p a r t i c u l a r l a n g u a g e f o r m s i n s p e c i fi c w a y s m a y b e u n d e r m i n i n g o r p r o m o t i n g t h e k i n d o f d i s c o u r s e t h e y m a y w a n t t o e s t a b l i s h i n t h e i r c l a s s r o o m . T h i s t y p e o f a n a l y s i s g i v e s u s a l e n s t o t h i n k a b o u t h o w t h e s e t h i n g s a r e i n h e r e n t i n t h e d i s c o u r s e . C u r r e n t l y . I a m c o n s t r u c t i n g a c o u r s e t o e n g a g e e x p e r i e n c e d t e a c h e r s l i n t h i n k i n g a b o u t s o m e o f t h e s e i s s u e s . T o d o s o . I w i l l d r a w f r o m s o m e o f t h e r e a d i n g s I h a v e d o n e f o r t h i s d i s s e r t a t i o n t h a t f o c u s o n s t u d e n t s ( e . g . T i m R o w l a n d ( 1 9 9 9 ) ) a n d t h a t f o c u s o n t e a c h e r s ( e . g . t h e l i t e r a t u r e o n q u e s t i o n s ) . I p l a n t o h a v e t h e t e a c h e r s r e a d t h e a r t i c l e s a n d 2 7 9 u s e t h e m a s a l e n s t o v i e w . d i s c u s s a n d a n a l y z e c l a s s r o o m d a t a a n d / o r i n t e r v i e w s i t u a t i o n s f r o m m y d a t a b a s e . M y i n t e n t i s t o h a v e t h e m fi r s t t h i n k a b o u t t h e s e i s s u e s a s a n o u t s i d e r . f o c u s i n g o n h o w t h e y r e l a t e t o s o m e o n e e l s e ’ s c l a s s r o o m . A s t h e y b e c o m e a t t u n e d t o l a n g u a g e p a t t e r n s a n d s o m e o f t h e i s s u e s I h a v e d e a l t w i t h i n m y d i s s e r t a t i o n . I w i l l e n c o u r a g e t h e m t o u s e t h e s e t o e n g a g e i n a c t i o n r e s e a r c h i n t h e i r o w n c l a s s r o o m s . T h e y w i l l b e a s k e d t o c h o o s e a n a s p e c t i n t h e i r c l a s s r o o m ( e . g . s t u d e n t l a n g u a g e o r t h e i r o w n ) a n d fi r s t s t u d y t h a t a s p e c t a s i t e x i s t s . c o l l e c t i n g a u d i o a n d / o r v i d e o o f t h e i r o w n t e a c h i n g ( o r i n t e r v i e w i n g s t u d e n t s . d e p e n d i n g o n t h e f o c u s o f t h e i r i n q u i r y ) . A f t e r t h e y s t u d y i t a s i t e x i s t s . I w i l l e n c o u r a g e t h e m t o c o m p a r e t h e n o r m s t h e y t h i n k t h e e x i s t i n g p a t t e r n s a r e f o s t e r i n g t o t h o s e t h a t t h e y w o u l d l i k e t o o c c u r i n t h e i r c l a s s r o o m . T h i s c o m p a r i s o n w i l l a l l o w t h e m t o t h i n k a b o u t w h a t t h e i r l a n g u a g e p a t t e r n s m i g h t b e d o i n g a n d w i l l o f f e r e v i d e n c e o f h o w t h e i r l a n g u a g e p a t t e r n s a r e p l a y i n g o u t i n t h e c l a s s r o o m . T h e y w i l l r e fi n e t h e i r t a l k p a t t e r n s t o a l i g n t h e m w i t h t h e g o a l s t h e y h o p e t o p r o m o t e , s t u d y i n g t h e c l a s s r o o m e n v i r o n m e n t t h r o u g h o u t t h e s e c h a n g e s . F o r p u b l i s h e r s a n d c u r r i c u l u m d e v e l o p e r s . a t t e n t i o n t o s p e c i fi c l a n g u a g e p a t t e r n s ( b o t h p e r t a i n i n g t o t h e c o n t e n t a n d t o t e a c h e r p o s i t i o n i n g ) c o u l d m a k e t h e c u r r i c u l u m m o r e e f f e c t i v e a n d c a n h e l p t e a c h e r s u n d e r s t a n d t h a t m u l t i p l e w a y s o f t a l k i n g m a y a l l o w s t u d e n t s g r e a t e r a c c e s s t o m a t h e m a t i c a l i d e a s a n d c o n c e p t s . T h i s s t u d y c o u l d a l s o h e l p p a r e n t s b e c o m e b e t t e r “ e d u c a t e d ” a b o u t t h e v a r i a t i o n i n t e a c h i n g i n g e n e r a l . d r a w i n g t h e f o c u s a w a y f r o m d i c h o t o m i z i n g r e f o r m a n d t r a d i t i o n a l i d e a s a b o u t t e a c h i n g a n d l e a r n i n g . T h e o r e t i c a l I m p l i c a t i o n s F r o m a t h e o r e t i c a l p e r s p e c t i v e , t h i s s t u d y c a n c o n t r i b u t e t o i d e n t i f y i n g a s p e c t s o f t h e k n o w l e d g e b a s e o f t e a c h i n g a n d m a y o f f e r i n s i g h t i n t o w h y t e a c h e r s w h o w e n t t h r o u g h s i m i l a r e d u c a t i o n a l a n d p r o f e s s i o n a l d e v e l o p m e n t e x p e r i e n c e s c a n c o m e t o 2 8 0 d e v e l o p d i f f e r e n t p r a c t i c e s . T h i s l a t t e r c o n t r i b u t i o n i s n o t a p p a r e n t f r o m a q u i c k g l i m p s e i n t o c l a s s r o o m s a n d p o i n t s t o t h e i m p o r t a n c e o f l o o k i n g a t t e a c h i n g f r o m a d e t a i l e d p e r s p e c t i v e a s i t a p p e a r e d t h a t t h e s e t w o c l a s s r o o m s c o u l d h a v e b e e n v e r y m u c h a l i k e . T h e k n o w l e d g e b a s e o u t l i n e d b y S h u l m a n ( 1 9 8 7 ) b e g a n t o s p e c i f y w h a t t e a c h e r s n e e d t o k n o w t o d o t h e i r j o b e f f e c t i v e l y . H o w e v e r . h e a l s o a c k n o w l e d g e d t h a t “ m u c h . i f n o t m o s t . o f t h e p r o p o s e d k n o w l e d g e b a s e r e m a i n s t o b e d i s c o v e r e d . i n v e n t e d . a n d r e fi n e d ” ( p . 1 2 ) . T h e w o r k t h a t I h a v e o f f e r e d h e r e a d d s t o t h e k n o w l e d g e b a s e i n t h a t k n o w l e d g e o f t a c i t l a n g u a g e p a t t e r n s u s e d i n t h e s c h o o l t e a c h i n g o f m a t h e m a t i c s d o e s n o t e x i s t i n t h e c a t e g o r i e s h e d e s c r i b e s . F o r t e a c h e r s t o d o t h e i r j o b e f f e c t i v e l y . t h e y c o u l d a l s o b e d r a w i n g f r o m s o c i o l i n g u i s t i c s t o t h i n k a b o u t t h e i r c h o i c e o f w o r d s a n d h o w t h a t m a y a f f e c t w h a t i s h a p p e n i n g i n t h e i r c l a s s r o o m s . H a v i n g k n o w l e d g e o f t h i s l i t e r a t u r e c o u l d e m p o w e r t e a c h e r s a t y e t a n o t h e r l e v e l . h e l p i n g t h e m u t i l i z e t h e i r w o r d s a n d m a k e c h o i c e s a b o u t w h a t t h e y s a y . I t c o u l d h e l p t h e m b e c o m e a w a r e o f t h e i m p l i c i t n o r m s i n t h e i r c l a s s r o o m a n d a l l o w t h e m t o a l i g n t h e i r w o r d s w i t h t h e g o a l s t h e y h a v e s e t . S h u l m a n a r g u e d t h a t t h e r e w e r e “ f e w d e s c r i p t i o n s o r a n a l y s e s o f t e a c h e r s t h a t g i v e c a r e f u l a t t e n t i o n [ . . . ] t o t h e m a n a g e m e n t o f i d e a s w i t h i n c l a s s r o o m d i s c o u r s e [ . . . a n d a r e ] n e e d e d i f o u r p o r t r a y a l s o f g o o d p r a c t i c e a r e t o s e r v e a s s u f fi c i e n t g u i d e s o f b e t t e r e d u c a t i o n ” ( p . I ) . T h i s d i s s e r t a t i o n o f f e r s a l o o k a t t h e w a y s t h a t i d e a s w e r e d e a l t w i t h i n t h e t w o c l a s s r o o m s a n d h o w t h o s e w e r e d i f f e r e n t . T h e s e d i f f e r e n c e s w e r e e m b e d d e d i n a n d c a r r i e d b y t h e c l a s s r o o m d i s c o u r s e . T h i s “ p e d a g o g i c a l d i s c o u r s e k n o w l e d g e . ” w h i c h s c a r c e l y o v e r l a p s p e d a g o g i c a l c o n t e n t k n o w l e d g e a p a r t f r o m a w a r e n e s s o f t h e m a t h e m a t i c s r e g i s t e r . i s a n o t h e r b a s e f r o m w h i c h I b e l i e v e t e a c h e r s n e e d t o d r a w t o d o 2 8 1 t h e i r j o b e f f e c t i v e l y . a l l o w i n g t h e m t o a l i g n t h e i r p r a c t i c e m o r e c l o s e l y w i t h t h e i r e d u c a t i o n a l g o a l s . L i m i t a t i o n s o f T h i s S t u d y S u g g e s t i o n s f o r F u t u r e R e s e a r c h A s w i t h a n y q u a l i t a t i v e r e s e a r c h . t h e fi n d i n g s i n t h i s d i s s e r t a t i o n a r e n o t g e n e r a l i z a b l e t o a n y o t h e r p o p u l a t i o n . T h e t e a c h e r s w e r e c h o s e n a s o n e s t h a t w o u l d b e c o n s i d e r e d “ m o d e l ” f o r t h i s c u r r i c u l u m b y t h e a u t h o r s ( a s e v i d e n c e d b y t h e i r s t r o n g i n v o l v e m e n t i n t h e d e v e l o p m e n t o f o t h e r t e a c h e r s u s i n g t h e c u r r i c u l u m ) . W h i l e t h e c a s e s t u d i e s h a v e o f f e r e d i n s i g h t i n t o t h e p l a u s i b l e r e l a t i o n s h i p b e t w e e n l a n g u a g e p a t t e r n s a n d t h e e n v i r o n m e n t a t e a c h e r m a y e s t a b l i s h . i t i s n o t c a u s a l i n n a t u r e . T h e r e a r e o t h e r a s p e c t s a b o u t t h e c l a s s r o o m t h a t a r e c o n f o u n d i n g v a r i a b l e s a n d m a k e i t i m p o s s i b l e f o r m e t o d r a w c a u s a l r e l a t i o n s h i p s . H o w e v e r . t h e r e d o e s a p p e a r t o b e s t r o n g e v i d e n c e t h a t t h e f o r m s t h e t e a c h e r s u s e d d i d c r e a t e i m p l i c i t s t r u c t u r e s t h a t m a y h a v e a l l o w e d f o r d i f f e r e n t p a t t e r n s o f a u t h o r i t y a n d p o s i t i o n i n g . F u r t h e r m o r e . s o m e o f t h e t a l k i n K a r l a ' s c l a s s r o o m o f t e n s e e m e d t o e n g a g e s t u d e n t s i n d i s c u s s i o n s r a t h e r t h a n r e c i t a t i o n s . A s I h a v e t a l k e d t o m a n y p e o p l e a b o u t m y w o r k . t h e y h a v e a l m o s t a l w a y s a s k e d . “ D i d i t m a k e a n y d i f f e r e n c e t o w h a t t h e s t u d e n t s l e a r n e d ? ” T h e w o r k t h a t I h a v e d o n e t h u s f a r c a n n o t a n s w e r t h i s q u e s t i o n . C o n n e c t i n g p a r t i c u l a r t e a c h i n g s t r a t e g i e s t o f a c e t s o f s t u d e n t u n d e r s t a n d i n g i s d i f fi c u l t i n g e n e r a l . H o w e v e r . I d o i n t e n d t o a n a l y z e a n d d r a w c o n c l u s i o n s a b o u t s t u d e n t u n d e r s t a n d i n g i n m y f u t u r e r e s e a r c h . W h e t h e r I c a n e v e r c l a i m t h a t t h e r e a r e d i r e c t c o n n e c t i o n s b e t w e e n t h e s e t w o t h i n g s o r n o t r e m a i n s t o b e s e e n . M y s e n s e o f t h e t w o c l a s s r o o m s . i n f o r m e d b y a s u r f a c e a n a l y s i s o f t h e s t u d e n t i n t e r v i e w s I c a r r i e d o u t , w a s t h a t s t u d e n t s w a l k e d a w a y w i t h a m a z i n g l y s i m i l a r u n d e r s t a n d i n g s o f l i n e a r a n d n o n - l i n e a r f u n c t i o n s . H o w e v e r . a s I b e g a n t o i l l u s t r a t e i n t h e 2 8 2 e x t e n d e d e x a m p l e s i n A p p e n d i x N a n d O , t h e r e w a s a d i f f e r e n t f e e l t o t h e t y p e o f i n t e r a c t i o n i n w h i c h K a r l a ’ s s t u d e n t s w e r e e n g a g e d . T h e d i s c u s s i o n s i n w h i c h s t u d e n t s t o o k p a r t s e e m e d t o h a v e a q u a l i t y t h a t I a m u n s u r e h o w t o q u a n t i f y . T h i s w a s o n e o f t h e r e a s o n s I f o u n d t h e s e t w o c l a s s r o o m s s o i n t e r e s t i n g a n d u s e d t h e m a s s i t e s f o r m y r e s e a r c h . I h a v e n o t b e g u n t o e x p l o r e t h e s t u d e n t i n t e r v i e w d a t a a t t h e d e p t h t h a t i t d e s e r v e s t o b e i n v e s t i g a t e d . W h i l e I h a v e g e n e r a l l y l o o k e d a t h o w s t u d e n t s t a l k a b o u t t h e c o n t e n t a n d w h a t t h e y s e e m t o e x c e l a t ( a n d n o t ) . I h a v e n o t l o o k e d a t w h e t h e r t h e s t u d e n t ’ s d i s p o s i t i o n s o r d i s c o u r s e p a t t e r n s w e r e d i f f e r e n t i n t h e i n t e r v i e w s e t t i n g . T h i s i s o n e r o u t e t h a t I i n t e n d t o t a k e w i t h t h e i n t e r v i e w s : l o o k i n g a t l i n g u i s t i c p a t t e r n s t o s e e i f t h e r e a r e c o n g r u e n c i e s i n t h e t e a c h e r ’ s f o r m s w i t h t h e s t u d e n t ’ s f o r m s . T h e r e i s e v i d e n c e t o s u g g e s t t h a t . a t l e a s t i n K a r l a ’ s c l a s s r o o m . s t u d e n t s d o c a n ' y t h e c l a s s r o o m - g e n e r a t e d l a n g u a g e ( C G L ) t h a t h a s b e e n i n t r o d u c e d a n d a p p r o p r i a t e d i n t h e c l a s s r o o m t o t h e i n t e r v i e w s e t t i n g . A r e t h e r e o t h e r f o r m s t h a t s t u d e n t s a l s o c a r r y o u t o f t h e c l a s s r o o m ? I f s o , w h a t a r e t h e y ? W h a t d o t h o s e f o r m s s e e m t o s a y a b o u t t h e m a t h e m a t i c a l u n d e r s t a n d i n g s a n d d i s p o s i t i o n s t h e s t u d e n t s h a v e d e v e l o p e d ? A n o t h e r a r e a I h a v e b e g u n t o c o n s i d e r i s t h e i m p a c t o f t e x t b o o k m a t e r i a l s o n t e a c h e r d i s c o u r s e p a t t e r n s . J o s h s a i d t h a t t h e “ t e a c h e r t a l k ” h a d a s t r o n g i n fl u e n c e o n t h e c h a n g e s h e m a d e i n h i s t e a c h i n g . I a l s o f o u n d t h a t J o s h a n d t h e C M P t e x t c h o s e s i m i l a r w a y s o f a d d r e s s i n g t h e s t u d e n t s i n t h e c l a s s r o o m . I a m c u r i o u s t o k n o w h o w t e x t b o o k s d i r e c t l y i m p a c t t h e d i s c o u r s e f o r m s t e a c h e r s u s e . T h i s d i s s e r t a t i o n i n d i c a t e s t h a t . f o r J o s h a t l e a s t , i t c o u l d h a v e a v e r y s t r o n g i m p a c t . T h e q u e s t i o n a l s o r e m a i n s r e g a r d i n g w h e t h e r t h e t e x t b o o k i n fl u e n c e d t h e w a y J o s h a d d r e s s e d s t u d e n t s o r i f J o s h h a d a l r e a d y e s t a b l i s h e d t h e w a y s t h a t h e i n t e r a c t e d w i t h s t u d e n t s a n d d r e w f r o m t h e t e x t b o o k i n t h e 2 8 3 m a n n e r t h a t h e d i d b e c a u s e t h e t e x t ' s o u n d e d ’ l i k e h i m . T h e l i n k s b e t w e e n f e a t u r e s o f t h e t e x t b o o k a n d t h e w a y t e a c h e r s d r a w f r o m i t ( e s p e c i a l l y a t a l i n g u i s t i c l e v e l ) c o u l d o f f e r i n t e r e s t i n g i n s i g h t s i n t o t h e i m p a c t t e x t b o o k s c o u l d h a v e o n t e a c h e r - t a l k . A t h i r d a r e a t h a t n e e d s f u r t h e r s t u d y i s t h a t o f i n t e n t i o n i n t e a c h e r t a l k . W h e n a t e a c h e r u s e s a p a r t i c u l a r f o r m f o r a p a r t i c u l a r f u n c t i o n . i s t h a t h o w i t i s b e i n g i n t e r p r e t e d b y t h e s t u d e n t ? W h a t d o e s t h e l i t e r a t u r e s a y ? H o w a w a r e a r e t e a c h e r s o f t h e ( a c t u a l a n d p o t e n t i a l ) i m p a c t o f t h e i r f o r m s o n e s t a b l i s h i n g e n v i r o n m e n t s ? I a d d r e s s e d t h i s m i n i m a l l y w h e n I a s k e d J o s h a n d K a r l a t o t a l k a b o u t s o m e o f t h e p a t t e r n s t h a t e m e r g e d f r o m m y e a r l y a n a l y s i s . H o w e v e r . i t w a s n o t a d d r e s s e d t o t h e p o i n t t h a t i t c o u l d h a v e b e e n . I f m y a n a l y s i s h a d b e e n f u r t h e r a l o n g p r i o r t o t h e t e a c h e r i n t e r v i e w s . I c o u l d h a v e o f f e r e d a l o t m o r e o f t h e t e a c h e r ' s i n t e r p r e t a t i o n o f t h e p a t t e r n s . T h i s i s s u e a l s o r a i s e s i n t e r e s t i n g i m p l i c a t i o n s f o r p r o f e s s i o n a l d e v e l o p m e n t o f p r a c t i c i n g t e a c h e r s a n d i s o n e t h a t I i n t e n d t o p u r s u e . F i n a l l y , I a m a g a i n c o n t i n u a l l y a w a r e o f t h e f a c t t h a t s t u d e n t p e r c e p t i o n s h a v e o n c e a g a i n b e e n i g n o r e d . A s E r i c k s o n a n d S c h u l t z ( 1 9 9 2 ) a r g u e d a l m o s t a d e c a d e a g o . s t u d e n t ’ s e x p e r i e n c e i s v i r t u a l l y i g n o r e d i n t h e l i t e r a t u r e . I h a d i n t e n d e d t o o f f e r a s m a l l c o n t r i b u t i o n t o t h i s s p a r s e b o d y o f l i t e r a t u r e . D u e t o c i r c u m s t a n c e s . I h a v e h a d t o p u t t h a t o n m y l i s t o f “ t h i n g s t o d o . ” T h i s i s o n e a r e a t h a t I fi n d c o m p l e t e l y i n t r i g u i n g . H o w d o s t u d e n t s m a k e s e n s e o f t h e d i s c o u r s e p a t t e r n s i n t h e c l a s s r o o m ? A r e t h e y a w a r e o f . t a c i t l y i n fl u e n c e d b y , a n d d o t h e y a t t e n d t o t h e s u b t l e t i e s i n t h e t a l k ? D o t h e p a t t e r n s s e e m t o m a t t e r t o t h e s t u d e n t s ? H o w a r e s t u d e n t i n t e r p r e t a t i o n s s i m i l a r a n d d i f f e r e n t f r o m t h e w a y s t h e t e a c h e r s i n t e r p r e t t h e m ? F r o m t h e w a y t h e l i t e r a t u r e i n t e r p r e t s t h e m ? 2 8 4 A i n l e y ( 1 9 8 8 ) h a s a l r e a d y s h o w n t h a t t h e r e m a y b e a m i s m a t c h b e t w e e n h o w t e a c h e r s a n d s t u d e n t s i n t e r p r e t q u e s t i o n s . I s t h i s t r u e o f o t h e r l a n g u a g e f o r m s ? A n o t h e r i s s u e r e l a t e d t o s t u d e n t s t h a t I w o u l d l i k e t o i n v e s t i g a t e i s h o w t h e y i n t e r p r e t l a n g u a g e f o r m s i n t h e t e x t b o o k . T h e o b j e c t i v e t e x t u a l a n a l y s i s t h a t I o f f e r e d i n C h a p t e r 4 s h o w e d t h e u n i t T h i n k i n g w i t h . ‘ l l u t h e m a t i c ' a l . l l o d c l s a s h a v i n g a f a i r l y a u t h o r i t a t i v e v o i c e . I t a l s o c o n s t r u c t e d t h e s t u d e n t a s a " s c r i b b l e r " ( ’ R o t m a n . 1 9 8 8 ) a n d t h e a u t h o r s a s a f a c e l e s s p r e s e n c e . O n e m a y t h i n k t h a t t h e s e m i g h t i m p a c t w h a t t h e s t u d e n t s d o i n t h e c l a s s r o o m . H o w e v e r . m y c l a s s r o o m o b s e r v a t i o n s i n d i c a t e d t h a t s t u d e n t s w e r e e n g a g e d a n d a c t i v e i n t h e c l a s s r o o m — t h e y i n v e s t i g a t e d a n d p e r f o r m e d t h e e x p e r i m e n t s a n d s e e m e d t o e n j o y d o i n g t h e m . T h e y d i d n o t s e e m t o b e a f f e c t e d b y t h e r e l a t i o n s h i p s a n d v o i c e t h a t t h e a n a l y s i s u n c o v e r e d . T h e a n a l y s i s t h a t l h a v e p r e s e n t e d h e r e d i d n o t a d d r e s s t h i s . b u t i t w o u l d b e i n t e r e s t i n g t o p u r s u e : a d d r e s s i n g t h e s e i s s u e s f r o m t h e s t u d e n t ’ s p e r s p e c t i v e w o u l d o f f e r a s u b j e c t i v e a n a l y s i s o f t h e m a t e r i a l s . D o s t u d e n t s n o t i c e w h a t t h e t e x t u a l a n a l y s i s s h o w e d ? H o w d o t h e y i n t e r p r e t t h e l a n g u a g e f o r m s i n t h e t e x t b o o k ? D o e s i t s e e m t o a f f e c t t h e e n v i r o n m e n t a n d t h e w a y s s t u d e n t s e n g a g e i n t h e c l a s s r o o m ? I t a p p e a r s t h a t I h a v e r a i s e d m o r e q u e s t i o n s t h a n I h a v e a n s w e r e d . H o w e v e r . I b e l i e v e t h a t t h i s i s o n e o f t h e m a i n p u r p o s e s o f a n y i n q u i r y . I n r a i s i n g t h e q u e s t i o n s t h a t I h a v e . I a m a l s o d e fi n i n g t h e p a t h o f m y f u t u r e r e s e a r c h a g e n d a . 1 I w o u l d l i k e t o r e c o g n i z e t h a t I h a v e c h o s e n t o f o c u s o n e x p e r i e n c e d t e a c h e r s b e c a u s e I b e l i e v e p r e s e r v i c e a n d b e g i n n i n g t e a c h e r s h a v e m a n y o t h e r c o n c e r n s w i t h w h i c h t o a t t e n d . T h e t y p e o f i n t r o s p e c t i v e a n a l y s i s I a m a d v o c a t i n g h e r e w o u l d b e b e t t e r s u i t e d t o t e a c h e r s w h o a r e e s t a b l i s h e d a n d d e v e l o p m e n t a l l y r e a d y t o t a k e a d e t a i l e d l o o k a t t h e i r p r a c t i c e . 2 8 5 A P P E N D I X A C H E C K - U P F R O M T H I N K I N G W I T H M A T H E r l - I A T 1 ( ' A I . . 1 [ O D E / . 5 2 8 6 Q I J D C H E C K - U P a . C i r c l e t h e t a b l e o r t a b l e s t h a t s h o w a l i n e a r r e l a t i o n s h i p . x v x y x y l 4 l 4 1 2 2 2 2 2 2 4 3 1 . 3 3 3 0 3 8 4 l 4 - 2 4 1 6 b . E x p l a i n h o w y o u c a n r e c o g n i z e a l i n e a r r e l a t i o n s h i p f r o m a t a b l e . a . C i r c l e t h e e q u a t i o n o r e q u a t i o n s t h a t s h o w a l i n e a r r e l a t i o n s h i p . y = 1 M x y = 4 / x y = 4 / x + 3 j ' = - - l . \ ' b . E x p l a i n h o w y o u c a n r e c o g n i z e a l i n e a r r e l a t i o n s h i p f r o m a n e q u a t i o n . a . C i r c l e t h e n a m e o f t h e g r a p h o r g r a p h s t h a t s h o w a l i n e a r r e l a t i o n s h i p , a n d w r i t e t h e i r e q u a t i o n s . b . E x p l a i n h o w y o u c a n r e c o g n i z e a l i n e a r r e l a t i o n s h i p f r o m a g r a p h . F i n d a n e q u a t i o n o f t h e l i n e t h a t p a s s e s t h r o u g h p o i n t s A a n d B . F i n d a n e q u a t i o n o f t h e l i n e t h a t p a s s e s t h r o u g h t h e p o i n t ( 0 . 5 ) a n d h a s s l o p e 4 . F i n d a n e q u a t i o n o f t h e l i n e t h a t p a s s e s t h r o u g h t h e p o i n t ( 4 . 5 ) a n d h a s s l o p e - 2 . T o p l a n t p o t a t o e s . a f a r m e r c u t s e a c h p o t a t o i n t o a b o u t 4 p i e c e s . m a k i n g s u r e e a c h p i e c e h a s a n “ e y e . ” T h e e y e c o n t a i n s b u d s t h a t w i l l b e c o m e t h e n e w p l a n t s . E a c h n e w p l a n t w i l l p r o d u c e 5 p o t a t o e s . T h u s . a s i n g l e p o t a t o w i l l y i e l d 2 0 p o t a t o e s . a . M a k e a t a b l e a n d a g r a p h m o d e l t h a t s h o w h o w t h e n u m b e r o f p o t a t o e s g r o w n d e p e n d s o n t h e n u m b e r o f p o t a t o e s c u t a n d p l a n t e d . b . W r i t e a n e q u a t i o n t h a t d e s c r i b e s t h i s s i t u a t i o n . A P P E N D I X B A N A L Y T I C M E M O F O R T Y P E S O F M A T H E M A T I C A L L A N G U A G E A n a l y t i c M e m o 1 O c t o b e r , 1 9 9 8 W o r k i n g d e fi n i t i o n s o f m a t h e m a t i c a l l a n g u a g e ( M L ) , b r i d g i n g l a n g u a g e ( B L ) . a n d c o n t e x t u a l l a n g u a g e ( C L ) . R i g h t n o w , m y t h i n k i n g i s “ d e fi n i t i o n b y e x a m p l e ” . . . I h a v e a c o u p l e p h r a s e s / w o r d s t h a t I a m n o t s u r e w h e r e t o p u t ( i . e . c o e f fi c i e n t , s t a i r s t e p ) b u t h a v e t e m p o r a r i l y p l a c e i n e i t h e r M L o r B L . I w i l l b r e a k u p t h e t w o B L s i n t o c l a s s r o o m g e n e r a t e d l a n g u a g e ( C G L ) a n d t r a n s i t i o n a l m a t h e m a t i c a l l a n g u a g e ( T M L ) M a t h e m a t i c a l T r a n s i t i o n a l C l a s s r o o m C o n t e x t u a l L a n g u a g e M a t h e m a t i c a l G e n e r a t e d L a n g u a g e L a n g u a g e L a n g u a g e S l o p e - D i f f e r e n c e o f o S w o o p e d d o w n 0 U p - f r o n t m o n e y Y - i n t e r c e p t t h e x ’ s / a l i t t l e 0 D o w n p a y m e n t R i s e d i f f e r e n c e o f t h e o S l a n t i n e s s . D o l l a r s p e r R u n Y 5 0 S t r a i g h t a c r o s s m o n t h o r w e e k L i n e a r ‘ S t a r t i n g p o i n t 0 L i t t l e c r i s s c r o s s 0 M e t e r s p e r P a r a b o l a G o e s u p / d o w n t h i n g “ s e c o n d b y 0 S t u p i d s t o r e s * 0 H e a d s t a r t R a t e 0 M c D o n a l d 0 S t a i r s t e p s C o e f fi c i e n t a r c h e s ” S t e e p n e s s I n c r e a s e s / D e e r e a s e s b y W h e r e i t c r o s s e s t h e y C o n s t a n t P l u s s o m e t h i n g W h e r e x i s z e r o W h a t y o u a d d W h e r e i t h i t s t h e y — a x i s 0 N u m b e r w i t h t h e x * T h e s e e x a m p l e s a r e n ’ t r e f e r r i n g t o s l o p e a n d y - i n t e r c e p t . b u t a r e e x a m p l e s o f t h i s t y p e o f l a n g u a g e a r i s i n g i n K ’ s c l a s s r o o m . M T h i s e x a m p l e i s t h e o n l y t y p e o f C G L I c o u l d fi n d i n J ’ s c l a s s r o o m . I t w a s i n t r o d u c e d b y J t o r e l a t e a p i c t u r e o f a p a r a b o l a t o s o m e t h i n g 5 5 w e r e f a m i l i a r w i t h . I t t o o k p l a c e d u r i n g M o d e l s . n o t d u r i n g M S A . I t w a s n o t s u r p r i s i n g t o m e t h a t a l l b u t t h e M c D o n a l d a r c h e s c a m e f r o m K ’ s c l a s s r o o m i n t h e C G L c o l u m n . T h e T M L c o m e s f r o m b o t h c l a s s r o o m s . b u t w a s m o r e f r e q u e n t i n K S c l a s s r o o m , t o o . J ’ s c l a s s r o o m w o r k e d m o r e f r e q u e n t l y i n t h e M L d o m a i n . I a m n o t s u r e i f a l l o f t h e o n e s I h a v e i n c l u d e d i n t h e T M L s h o u l d b e i n c l u d e d . I n a s e n s e . s o m e o f t h e m f e e l m o r e l i k e d e s c r i b i n g w h e r e t h e s l o p e / y - i n t e r c e p t a r e f o u n d i n v a r i o u s r e p r e s e n t a t i o n s ( e . g . “ p l u s s o m e t h i n g ” i s w h e r e y o u fi n d t h e y - i n t e r c e p t i n a n e q u a t i o n ) . H o w e v e r . d o 8 5 s e e m t o u s e t h i s l a n g u a g e j u s t w h e n d e s c r i b i n g w h e r e t o fi n d t h e s e n u m e r i c a l v a l u e s o r d o t h e y u s e t h e s e t e r m s m e t o n y m i c a l l y ( s p ? ) f o r t h e s e c o n c e p t s ? I n o t h e r w o r d s . d o t h e y u s e i t a s a r e f e r e n c e p o i n t o r a s t h e " w h a t y o u a d d ” a s a c t u a l l y m e a n i n g “ y - i n t e r c e p t ” w h e n t h e y r e f e r t o i t ? N o w t h a t b o t h c l a s s e s h a v e s t a r t e d w o r k i n g w i t h M o d e l s . I a m n o t s u r e i f I s h o u l d c l a s s i f y s o m e t h i n g l i k e “ l i n e o f b e s t fi t ” a n d “ g r a p h m o d e l ” . E v e n t h o u g h t h e y d o n o t h a v e t o d o w i t h s l o p e a n d y - i n t e r c e p t . I f e e l l i k e t h e y s h o u l d b e i n c l u d e d . A t t h i s p o i n t . I a m n o t r e a l l y s u r e I k n o w w h y — i t i s j u s t a f e e l i n g I h a v e . B o t h o f t h e s e p h r a s e s w e r e i n t r o d u c e d b y t h e t e x t a n d J h a s u s e d t h e m f r e q u e n t l y i n t h e c o u p l e o f l e s s o n s I h a v e o b s e r v e d f r o m t h i s u n i t . I h a v e n o t c l a s s i fi e d t h e m . b u t h a v e h i g h l i g h t e d t h e m t o k e e p t r a c k o f w h a t h a p p e n s w i t h t h e m . . . A s f o r t h e b e g i n n i n g q u e s t i o n s . h e r e a r e m y t h o u g h t s s o f a r : W h o g e n e r a t e s t h e b r i d g i n g l a n g u a g e ? I t s e e m s . a t t h i s p o i n t . t h a t i t m i g h t b e c o m i n g f r o m t h e t e a c h e r s . t h e t e x t s . a n d t h e s t u d e n t s . I n t h e c a s e o f T M L , i t i s m o r e f r e q u e n t l y i n t r o d u c e d b y t h e t e a c h e r s a n d t h e t e x t s . I n s o m e c a s e s . i t i s a r e s u l t o f r e a d i n g s o m e t h i n g i n t h e t e x t a n d i t w a s p i c k e d u p o n a n d u s e d b y t h e t e a c h e r . M o s t o f t e n . t h r o u g h q u e s t i o n i n g . t h e t e a c h e r s a r e g e t t i n g s t u d e n t s t o a d o p t t h i s l a n g u a g e ( e s p e c i a l l y i n t h e e x a m p l e s t h a t s e e m m o r e l i k e d e s c r i p t i o n s o f w h e r e t o fi n d t h i n g s i n d i f f e r e n t r e p r e s e n t a t i o n s ) . T h e C G L s e e m s t o b e g e n e r a t e d b y 8 5 , a l t h o u g h t h i s h a s n o t o c c u r r e d d u r i n g a n y o f t h e o b s e r v a t i o n s . 1 a m c o n j e c t u r i n g o n t h i s b e c a u s e o f h o w I h a v e s e e n K g i v e c r e d i t t o s t u d e n t s f o r t h e i r l a n g u a g e u s e o r i n t r o d u c t i o n o f p r o c e s s e s . I t m a y b e i n t r o d u c e d b y h e r a t s o m e p o i n t s . t o o . b u t I w i l l h a v e t o w a t c h f o r t h e s e . . . H o w d o e s t h e t e a c h e r / s t u d e n t s m a k e t h i s p a r t o f t h e c l a s s r o o m ’ s w a y o f t a l k i n g a b o u t t h e m a t h e m a t i c a l c o n c e p t s ? N o t o n l y d o e s K u s e t h e l a n g u a g e . b u t s h e a l s o c r e d i t s w h o e v e r c r e a t e d i t w h e n s h e u s e s i t ( e s p e c i a l l y d u r i n g t h e e a r l i e r s t a g e s o f i n t r o d u c t i o n ) . N e e d t o l o o k a t t h i s m o r e . W h a t o r d e r d o e s t h e l a n g u a g e a p p e a r i n w h e n a c o m b i n a t i o n o f l a n g u a g e s e x i s t ? H o w d o e s t h i s d i f f e r ( i f i t d o e s ) b e t w e e n t h e t w o t e a c h e r s ? I n e e d t o l o o k i n t o t h i s m o r e . I d i d p o i n t o u t a c o u p l e o f d i f f e r e n c e s I n o t i c e d e a r l i e r w h i c h a d d r e s s e a r l y p a t t e r n s i n t h e l a n g u a g e . b u t w i t h o u t e x a c t c o u n t s . I h a v e n o t l o o k e d a t a l l f o r i n s t a n c e s w h e n c o m b i n a t i o n s o f l a n g u a g e e x i s t . I n e e d t o d o t h a t . . . A P P E N D I X C S T U D E N T I N T E R V I E W T A S K l T a s k O n e A n e w s t u d e n t h a s r e c e n t l y j o i n e d y o u r c l a s s . R i g h t n o w . y o u a r e t a l k i n g a l o t a b o u t n o n - l i n e a r r e l a t i o n s h i p s . b u t t h i s s t u d e n t h a s n e v e r s e e n l i n e a r o n e s . S h e f e e l s r e a l l y l o s t a n d c o n f u s e d . M s . D e l m o n t ( M r . M u c h i n s o n ) h a s a s k e d y o u t o w o r k w i t h t h i s s t u d e n t t o fi l l h e r i n o n w h a t y o u k n o w a b o u t l i n e a r r e l a t i o n s h i p s . W h a t w o u l d y o u t e l l h e r a b o u t l i n e a r r e l a t i o n s h i p s ? 2 9 2 A P P E N D I X D S T U D E N T I N T E R V I E W T A S K 2 T a s k T w o T h e M i c h i g a n D e p a r t m e n t o f N a t u r a l R e s o u r c e s h a s b e e n c o l l e c t i n g d a t a o n t h r e e d i f f e r e n t s p e c i e s o f a n i m a l s . T h e y f o u n d t h a t t h e s e s p e c i e s s h o w d i f f e r e n t p a t t e r n s o f p o p u l a t i o n g r o w t h . T h e i r g r o w t h p a t t e r n s a r e g i v e n b e l o w . P r e p r e s e n t s t h e n u m b e r o f a n i m a l s o f e a c h s p e c i e s a f t e r x y e a r s . S p e c i e s 1 S p e c i e s 2 S p e c i e s 3 P ] : 1 0 . 0 0 0 ‘ I ' 5 x P 3 : I O I Z ‘ ) P 3 : 7 0 0 + I O ) " 1 . D e s c r i b e t h e p a t t e r n o f g r o w t h o f e a c h s p e c i e s . E x p l a i n h o w t h e s e p a t t e r n s d i f f e r f r o m e a c h o t h e r . 2 . P i c k a n y t w o s p e c i e s . I s i t p o s s i b l e t h a t a f t e r s o m e n u m b e r o f y e a r s t h e p o p u l a t i o n s o f t h e s e t w o s p e c i e s w o u l d b e e q u a l i n n u m b e r ? I f s o . w h e n ? I f n o t . w h y n o t ? E x p l a i n h o w y o u w o u l d g o a b o u t a n s w e r i n g t h i s q u e s t i o n . 2 9 4 A P P E N D I X E 1 2 T A S K S U S E D I N C A R D S O R T A N D O T H E R I N T E R V I E W S T a s k s N A E P T a b l e P r o b l e m O b s e r v e t h e p a t t e r n i n t h e f o l l o w i n g t a b l e : A . I f t h e p a t t e r n i n t h e t a b l e w e r e c o n t i n u e d . w h a t n u m b e r w o u l d a p p e a r i n t h e b o x a t t h e b o t t o m o f c o l u m n B n e x t t o 1 4 ? B . D e s c r i b e t h e p a t t e r n i n w o r d s . C . W r i t e a n e q u a t i o n t h a t r e p r e s e n t s t h e p a t t e r n . E x p l a i n w h a t t h e v a r i a b l e s a n d n u m b e r s i n t h e e q u a t i o n m e a n . T i m ’ s P r o b l e m s I . I f m r e p r e s e n t s a p o s i t i v e n u m b e r . w h i c h o f t h e s e i s e q u i v a l e n t t o m + m + m + m ? A . m + 4 B . 4 m C . m 4 D . 4 ( m + 1 ) A n s w e r : 2 . W h i c h o n e o f t h e f o l l o w i n g i s F A L S E w h e n a . b . a n d c a r e d i f f e r e n t r e a l n u m b e r s ? A . ( a + b ) + c = a + ( b + c ) B . a b = b a C . a + b = b + a D . ( a b ) c = a ( b c ) E . a — b = b — a 3 . F i n d x i f l e — 1 5 = 5 x + 1 0 . + 7 " “ ? 5 x — 4 4 . l f x = 2 . w h a t i s t h e v a l u e o f F o u r C a r s P r o b l e m J e r r y , A l i c i a . C a l v i n , a n d M a r i s a w a n t e d t o t e s t t h e i r c a r s ‘ g a s m i l e a g e . A f t e r fi l l i n g t h e i r c a r s w i t h g a s , t h e y d r o v e t h e m o n a t e s t t r a c k a t 6 5 m i l e s p e r h o u r u n t i l t h e y e a c h r a n o u t o f g a s . T h e g r a p h s g i v e n b e l o w s h o w h o w t h e a m o u n t o f g a s i n t h e i r c a r s c h a n g e d o v e r t i m e . V o u m e o f G a g g a l l o m ) C T i m e A n s w e r e a c h q u e s t i o n b e l o w a n d e x p l a i n h o w y o u u s e d t h e g r a p h s t o d e c i d e y o u r a n s w e r . A . W h o s e c a r h a d t h e l a r g e s t g a s t a n k ? B . W h o s e c a r r a n o u t o f g a s fi r s t ? C . W h o s e c a r w e n t t h e f a r t h e s t ? D . W h o s e c a r g e t s t h e w o r s t g a s m i l e a g e ? S l o p e & P o i n t P r o b l e m P a r t o f a l i n e a r g r a p h i s s h o w n b e l o w . i t h a s a s l o p e _ o f 1 . 5 a n d g o e s t h r o u g h t h e p o i n t ( 3 . 4 ) . A . F i n d t h e c o o r d i n a t e s o f t h r e e o t h e r p o i n t s o n t h e l i n e w h o s e x a n d y - c o o r d i n a t e s a r e b o t h p o s i t i v e . H o w d o y o u k n o w t h a t t h e s e p o i n t s a r e o n t h e l i n e ? B . F i n d t h e c o o r d i n a t e s o f t h e y - i n t e r c e p t . E x p l a i n y o u r m e t h o d s . C . F i n d t h e y - c o o r d i n a t e o f t h e p o i n t w h o s e x c o o r d i n a t e i s — 4 . E x p l a i n y o u r m e t h o d s . D . H o w w o u l d c h a n g i n g t h e s l o p e o f t h e l i n e t o 2 a f f e c t t h e y - i n t e r c e p t ? E x p l a i n y o u r r e a s o n i n g . E . H o w w o u l d t h e e q u a t i o n f o r C a l v i n ' s g r a p h c o m p a r e t o t h e e q u a t i o n f o r M a r i s a ' s g r a p h ? l n t e r s e c t i n g L i n e s P r o b l e m T h r e e l i n e s . L i n e 1 , L i n e 2 . a n d L i n e 3 . a r e s h o w n b e l o w o n a t w o d i m e n s i o n a l c o o r d i n a t e g r a p h . “ i s A L i n e 2 L i n e 3 4 . 1 1 > _ _ , X C L i n e 1 W V Y A . W r i t e a n e q u a t i o n f o r e a c h l i n e . L i n e 1 : L i n e 2 : L i n e 3 : B . E x p l a i n h o w y o u fi g u r e d o u t t h e e q u a t i o n f o r L i n e 1 . C . F i n d t h e p e r i m e t e r o f t r i a n g l e A B C . E x p l a i n y o u r r e a s o n i n g . R e c e p t i o n C o s t s P r o b l e m T h e h i g h s c h o o l s e n i o r c l a s s w a n t s t o h a v e a r e c e p t i o n f o r p a r e n t s a n d f r i e n d s a f t e r g r a d u a t i o n . T h e y h e l d f u n d - r a i s e r s d u r i n g t h e y e a r f r o m 1 2 t h g r a d e s t u d e n t s t o r a i s e m o n e y f o r t h i s e v e n t . O n e l o c a l r e s t a u r a n t t o l d t h e s t u d e n t s t h a t t h e y c h a r g e $ 1 5 0 f o r t h e r o o m a n d $ 1 0 p e r p e r s o n f o r f o o d a n d d r i n k s . A . W r i t e a n e q u a t i o n f o r t h e c o s t o f t h e e v e n t i n t e r m s o f t h e n u m b e r o f p e o p l e a t t e n d i n g . E x p l a i n h o w y o u r e q u a t i o n m a t c h e s t h e i n f o r m a t i o n t h e s t u d e n t s r e c e i v e d f r o m t h e r e s t a u r a n t . B . I f t h e c l a s s h a s $ 1 6 2 0 t o s p e n d . h o w m a n y p e o p l e c o u l d c o m e t o t h e r e c e p t i o n ? D e s c r i b e a t l e a s t 1 w m e t h o d s y o u c o u l d u s e t o a n s w e r t h i s q u e s t i o n . 2 9 8 C . A s e c o n d r e s t a u r a n t t o l d t h e s t u d e n t s t h e y c h a r g e g r o u p s a c c o r d i n g t o t h e f o l l o w i n g e q u a t i o n : C = 2 5 N C = c o s t a n d N = n u m b e r o f p e o p l e a t t e n d i n g . E x p l a i n w h a t t h i s e q u a t i o n m e a n s i n t h i s c o n t e x t . D . W h i c h r e s t a u r a n t s h o u l d t h e c l a s s c h o o s e i f t h e y w a n t t o k e e p t h e i r c o s t s a s l o w a s p o s s i b l e ? E x p l a i n y o u r r e a s o n i n g . E . I s i t p o s s i b l e t h a t a t h i r d r e s t a u r a n t c o u l d c h a r g e t h e s t u d e n t s a c c o r d i n g t o t h e f o l l o w i n g e q u a t i o n , C = - 1 5 0 + 1 5 N ? E x p l a i n w h y o r w h y n o t . C o n t r a c t o r P r o b l e m T h o m a s i s a fl o o r i n g c o n t r a c t o r . H e s e t s fl o o r t i l e i n p e o p l e ' s h o m e s . A s a c o n t r a c t o r , h e h a s t o s u b m i t a “ b i d ” f o r e a c h n e w j o b . E a c h t i m e h e b i d s o n a j o b . h e m e a s u r e s t h e a r e a o f t h e f l o o r t h a t h e w i l l t i l e a n d t h e n fi g u r e s o u t h o w m u c h m a t e r i a l h e w i l l n e e d . H e r e a r e t h e p r i c e s f o r t h e m a t e r i a l s t h a t h e u s e s r e g u l a r l y . S u b - F l o o r i n g : $ 1 . 1 2 p e r s q u a r e f o o t ( S u b - fl o o r i n g i s t h e w o o d t h a t h e l a y s d o w n u n d e r t h e t i l e . ) T i l e : $ 4 . 2 9 p e r s q u a r e f o o t A d h e s i v e : $ 2 1 . 5 9 f o r o n e b u c k e t ( e n o u g h f o r a t y p i c a l h o m e ) G r o u t : $ 3 4 . 9 5 f o r o n e b a g ( e n o u g h f o r a t y p i c a l h o m e ) L a b o r : $ 1 2 5 p l u s $ 0 . 6 8 p e r s q u a r e f o o t A . T h o m a s w a n t s a f o r m u l a t o h e l p h i m c o m p u t e t h e t o t a l c o s t o f h i s m a t e r i a l s a n d l a b o r f o r a t y p i c a l h o m e . W r i t e a f o r m u l a f o r T h o m a s ' t o t a l c o s t . E x p l a i n w h a t t h e n u m b e r s a n d s y m b o l s i n y o u r f o r m u l a m e a n . B . W r i t e a f o r m u l a t h a t s i m p l i fi e s T h o m a s ’ c o s t c a l c u l a t i o n s . E x p l a i n h o w y o u r f o r m u l a s i m p l i fi e s h i s c a l c u l a t i o n s . C . S u p p o s e T h o m a s w a n t s t o m a k e a 1 5 % p r o fi t o n e a c h j o b . ( I n o t h e r w o r d s . h e w a n t s t o c h a r g e e a c h c u s t o m e r a n a d d i t i o n a l 1 5 % o f t h e t o t a l c o s t s t o m a k e a p r o fi t . ) W r i t e a f o r m u l a t h a t T h o m a s c o u l d u s e t o c o m p u t e h o w m u c h h e c h a r g e s h i s c u s t o m e r s . i n c l u d i n g h i s p r o fi t . P h o n e P l a n s P r o b l e m Y o u r p h o n e c o m p a n y o f f e r s t h r e e d i f f e r e n t m o n t h l y b i l l i n g o p t i o n s f o r l o c a l p h o n e s e r v i c e . O p t i o n 1 : $ 1 0 . 0 0 f o r u p t o 3 0 c a l l s , p l u s $ 0 . 2 0 f o r e a c h a d d i t i o n a l c a l l . O p t i o n 1 1 : $ 3 0 . 0 0 f o r a n u n l i m i t e d n u m b e r o f c a l l s . O p t i o n 1 1 1 : $ 1 8 . 0 0 f o r u p t o 6 0 c a l l s . p l u s $ 0 . 0 5 f o r e a c h a d d i t i o n a l c a l l . A . I f K e l l y m a k e s a b o u t 2 3 l o c a l c a l l s e a c h m o n t h . w h a t w o u l d b e t h e b e s t o p t i o n f o r h i m ? E x p l a i n y o u r t h i n k i n g . B . I f T a m i k a m a k e s a b o u t 1 0 0 l o c a l c a l l s e a c h m o n t h . w h i c h w o u l d b e t h e b e s t o p t i o n f o r h e r ? E x p l a i n y o u r t h i n k i n g . . C . S u p p o s e y o u w a n t t o h e l p o t h e r p e o p l e d e c i d e w h i c h i s t h e b e s t o p t i o n f o r t h e m . M a k e a t a b l e . a g r a p h . 9 _ r w r i t e a s e t o f t h e e q u a t i o n s f o r O p t i o n s I — I I I . E x p l a i n h o w y o u w o u l d u s e y o u r t a b l e , g r a p h . o r e q u a t i o n s t o s e l e c t t h e b e s t o p t i o n f o r d i f f e r e n t p e o p l e . P u m p i I L L W a t e r P r o b l e m S u p p o s e y o u t u r n a p u m p o n a n d l e t i t r u n t o e m p t y t h e w a t e r o u t o f a p o o l . T h e a m o u n t o f w a t e r i n t h e p o o l ( W , m e a s u r e d i n g a l l o n s ) a t a n y t i m e ( T . m e a s u r e d i n h o u r s ) i s g i v e n b y t h e f o l l o w i n g e q u a t i o n : W = — - 3 5 0 ( T - — 4 ) . A n s w e r e a c h q u e s t i o n b e l o w a n d s h o w h o w y o u u s e d t h e e q u a t i o n t o d o s o . A . H o w m a n y g a l l o n s o f w a t e r a r e b e i n g p u m p e d o u t e a c h h o u r ? B . H o w m u c h w a t e r w a s i n t h e p o o l w h e n t h e p u m p i n g s t a r t e d ? C . H o w l o n g w i l l i t t a k e f o r t h e p u m p t o e m p t y t h e p o o l c o m p l e t e l y ? D . W r i t e a n e q u a t i o n t h a t i s e q u i v a l e n t t o W = — 3 5 0 ( T — 4 ) . W h a t d o e s t h i s s e c o n d e q u a t i o n t e l l y o u a b o u t t h e s i t u a t i o n ? E . D e s c r i b e w h a t t h e g r a p h o f t h e r e l a t i o n s h i p b e t w e e n W a n d T l o o k s l i k e . S o d a M a c h i n e P r o b l e m L i n c o l n H i g h S c h o o l h a s a p o p m a c h i n e n e a r t h e i r a t h l e t i c fi e l d s . I t a u t o m a t i c a l l y c o u n t s h o w m a n y c a n s o f p o p p e o p l e b u y e a c h h a l f - h o u r o f t h e d a y . O n e S a t u r d a y i n M a y . L i n c o l n h a s a F i e l d D a y w h e r e s t u d e n t s . p a r e n t s . a n d t e a c h e r s p a r t i c i p a t e i n s p o r t s a c t i v i t i e s . T h e t a b l e b e l o w s h o w s h o w m u c h p e o p l e u s e d t h e m a c h i n e i n t h e m o r n i n g ( 8 a m t o 1 1 : 3 0 a m ) o n F i e l d D a y . T i m e 8 t o 8 : 3 0 t o 9 t o 9 : 3 0 1 0 a m 1 0 : 3 0 1 1 a m t o 1 1 : 3 0 1 2 n o o n 1 2 : 3 0 t o 8 : 3 0 9 a m 9 : 3 0 t o t o t o 1 1 1 1 : 3 0 t o 1 2 t o 1 2 : 3 0 1 : 0 0 p m a m a m 1 0 a m 1 0 : 3 0 a m n o o n C a n s 4 9 1 3 1 8 2 4 2 8 3 4 o f P o p A . G r a p h t h e d a t a c a r e f u l l y o n t h e a t t a c h e d g r i d p a p e r . A l l o w e n o u g h r o o m t o g r a p h d a t a f r o m 1 1 : 3 0 t o 1 : 0 0 p m . B . F i t a g r a p h o r e q u a t i o n t o t h e d a t a . E x p l a i n h o w t h e g r a p h o r e q u a t i o n fi t s t h e d a t a . I n w h a t w a y ( s ) d o e s t h e m o d e l n _ o _ t fi t t h e d a t a ? C . U s e y o u r m o d e l t o p r e d i c t h o w m a n y c a n s w o u l d b e b o u g h t b e t w e e n 1 1 : 3 0 a n d 1 2 n o o n . D . l f t h e d a t a t u r n e d o u t t o b e 4 4 c a n s f o r 1 1 : 3 0 t o 1 2 n o o n . 5 8 c a n s f o r 1 2 n o o n t o 1 2 : 3 0 p m . a n d 7 6 c a n s f o r 1 2 : 3 0 t o 1 : 0 0 p m . w o u l d y o u c h a n g e y o u r m o d e l ? E x p l a i n w h y o r w h y n o t . I f y o u t h i n k c h a n g e i s n e c e s s a r y . e x p l a i n h o w y o u w o u l d c h a n g e y o u r m o d e l . G a s o l i n e P r o b l e m T h e t a b l e s b e l o w s h o w t h e a m o u n t o f g a s o l i n e u s e d b y ( d e m a n d ) a n d t h e a m o u n t o f g a s o l i n e a v a i l a b l e ( s u p p l y ) t o d r i v e r s o f c a r s a n d t r u c k s t h e U S . f o r t h e y e a r s 1 9 9 3 - 1 9 9 7 . D e m a n d f o r g a s o l i n e G a s G a s Y e a r ( b i l l i o n s o f g a l l o n s ) Y e a r ( b i l l i o n s o f g a l l o n s ) 1 9 9 3 5 0 1 9 9 3 2 0 0 1 9 9 4 6 0 1 9 9 4 2 3 0 1 9 9 5 7 2 1 9 9 5 2 6 0 1 9 9 6 8 6 . 4 1 9 9 6 2 9 0 1 9 9 7 1 0 3 . 7 1 9 9 7 3 2 0 3 0 0 S u p p l y o f g a s o l i n e a v a i l a b l e A . D e s c r i b e t h e p a t t e r n o f c h a n g e f o r d e m a n d . B . D e s c r i b e t h e p a t t e r n o f c h a n g e f o r s u p p l y . C . I n w h a t y e a r w i l l t h e d e m a n d b e g r e a t e r t h a n s u p p l y ? E x p l a i n y o u r r e a s o n i n g . P o p u l a t i o n s P r o b l e m T h e M i c h i g a n D e p a r t m e n t o f N a t u r a l R e s o u r c e s h a s b e e n c o l l e c t i n g d a t a o n t h r e e d i f f e r e n t s p e c i e s o f a n i m a l s . T h e y f o u n d t h a t t h e s e s p e c i e s s h o w d i f f e r e n t p a t t e r n s o f p o p u l a t i o n g r o w t h . T h e i r g r o w t h p a t t e r n s a r e g i v e n b e l o w . P r e p r e s e n t s t h e n u m b e r o f a n i m a l s o f e a c h s p e c i e s a f t e r x y e a r s . S p e c i e s 1 S p e c i e s 2 S p e c i e s 3 P 1 = 1 0 , 0 0 0 + 5 x P 3 = 1 0 ( 2 X ) P 3 = 7 0 0 + 1 0 x 2 A . D e s c r i b e t h e p a t t e r n o f g r o w t h o f e a c h s p e c i e s . E x p l a i n h o w t h e s e p a t t e r n s d i f f e r f r o m e a c h o t h e r . B . P i c k a n y t w o s p e c i e s . I s i t p o s s i b l e t h a t a f t e r s o m e n u m b e r o f y e a r s t h e p o p u l a t i o n s o f t h e s e t w o s p e c i e s w o u l d b e e q u a l i n n u m b e r ? E x p l a i n h o w y o u w o u l d g o a b o u t a n s w e r i n g t h a t q u e s t i o n . 3 0 1 A P P E N D I X F S E M I - S T R U C T U R E D I N T E R V I E W F O R C A R D S O R T S e m i - s t r u c t u r e d I n t e r v i e w Q u e s t i o n s S o r t i n g T a s k ( s i m i l a r q u e s t i o n s w e r e a s k e d o f a l l g r o u p s ; s o m e d e v i a t i o n d e p e n d i n g o n t h e i n t e r v i e w ; s o m e a d d i t i o n a l q u e s t i o n s m a y h a v e b e e n a s k e d o f s o m e g r o u p s ) W h a t a r e t h e c a t e g o r i e s t h a t y o u d e c i d e d o n ? H o w d i d y o u c h o o s e t h e m ? D i d y o u c o n s i d e r a n y o t h e r c a t e g o r i e s ? C o u l d t h e r e h a v e b e e n a n y o t h e r p o s s i b i l i t i e s ? W h a t w e r e / a r e s o m e o f t h e o t h e r p o s s i b i l i t i e s ? E x p l a i n y o u r c a t e g o r i e s . ( d e fi n e t h e m ) H o w d i d y o u d e c i d e w h i c h p r o b l e m s t o p u t w h e r e ? W h y d i d y o u p u t t h e p r o b l e m s y o u d i d i n e a c h c a t e g o r y ? D i d y o u r c a t e g o r i e s c h a n g e w h e n t h e s e c o n d g r o u p o f p r o b l e m s w e r e i n t r o d u c e d ? - W h y / w h y n o t ? - I f t h e y d i d . h o w ? I f s o m e o n e c a m e i n a n d s a w y o u r p o s t e r w i t h y o u r c a t e g o r i e s o n i t a n d t h e y h a d n e v e r t a k e n a l g e b r a b e f o r e . w h a t d o y o u t h i n k y o u r c a t e g o r i e s w o u l d t e l l t h e m a b o u t w h a t a l g e b r a i s ? D o y o u t h i n k y o u r c a t e g o r i e s w o u l d b e h e l p f u l t o s o m e o n e w h o h a d n e v e r t a k e n a l g e b r a b e f o r e ? W h y / w h y n o t ? W h a t d o y o u t h i n k t h e c a t e g o r i e s w o u l d h e l p t h e m u n d e r s t a n d a b o u t a l g e b r a ? 3 0 3 A P P E N D I X G T E A C H E R I N T E R V I E W S 1 - 4 T e a c h e r I n t e r v i e w s # 1 - 4 T e a c h e r I n t e r v i e w — J o s h I n t e r v i e w # 1 1 . H o w h a s y o u r t e a c h i n g d e v e l o p e d o r c h a n g e d o v e r t h e l a s t t e n y e a r s ? W h a t h a s p l a y e d a r o l e i n t h i s d e v e l o p m e n t o r c h a n g e ? 2 . Y o u ’ v e t a u g h t m a n y s e c t i o n s o f s t u d e n t s . T e l l m e a b o u t y o u r fi r s t f e w w e e k s o f s c h o o l . . . a . W h a t m a t h e m a t i c a l i d e a s d i d y o u t h i n k w e r e i m p o r t a n t f o r s t u d e n t s t o u n d e r s t a n d ? H o w d i d y o u t r y t o g e t s t u d e n t s t o u n d e r s t a n d t h e m a t h e m a t i c s ? W h a t d i f fi c u l t i e s d i d y o u r u n i n t o ? 0 W h a t d i d y o u f e e l w e n t s m o o t h l y ? 0 W e r e a n y o f t h e s e ( d i f fi c u l t i e s / n o t ) u n e x p e c t e d ? b . W h a t e x p e c t a t i o n s a n d g o a l s d o y o u s e t f o r y o u r s t u d e n t s ? H o w d o y o u e s t a b l i s h t h e s e c l a s s r o o m e x p e c t a t i o n s a n d g o a l s w i t h y o u r s t u d e n t s ? W h a t d i f fi c u l t i e s d i d y o u r u n i n t o ? W h a t d i d y o u f e e l w e n t s m o o t h l y ? W e r e a n y o f t h e s e ( d i f fi c u l t i e s / n o t ) u n e x p e c t e d ? c . W h a t e x p e c t a t i o n s a n d g o a l s d o y o u s e e C M P s e t t i n g “ ? A r e t h e s e e v e r h e l p f u l o r i n c o n fl i c t w i t h w h a t y o u w a n t t o a c c o m p l i s h i n y o u r c l a s s r o o m ? a 3 . T h i n k i n g a b o u t t h e t w o y e a r s o f s t u d e n t s I h a v e w o r k e d w i t h i n y o u r c l a s s . . . H o w i s t h i s y e a r ' s c l a s s d i f f e r e n t f r o m / s i m i l a r t o l a s t y e a r ' s ? W h y d o y o u t h i n k t h o s e d i f f e r e n c e s / s i m i l a r i t i e s e x i s t ? 4 . I f y o u w e r e w o r k i n g w i t h a n e w t e a c h e r a n d h e / s h e u n d e r s t o o d t h e m a t h e m a t i c s a n d k n e w C M P . w h a t i s s u e s w o u l d y o u t h i n k w e r e i m p o r t a n t f o r h e r t o k n o w a b o u t t e a c h i n g m i d d l e s c h o o l m a t h e m a t i c s ? 0 A s a t e a c h e r , w h a t r o l e w o u l d y o u w a n t t o s e e h e r p l a y i n t h e c l a s s r o o m ? 0 W h a t r o l e d o y o u w a n t h e r t o h e l p s t u d e n t s p l a y ? 0 W h a t d o y o u w a n t h e r t o s e e h e r r e s p o n s i b i l i t i e s t o b e w i t h r e s p e c t t o h e r s t u d e n t s ? T o t h e m a t h e m a t i c s ? T o t h e c u r r i c u l u m ? 0 W h a t k i n d s o f e x p e c t a t i o n s w o u l d y o u w a n t h e r t o s e t w i t h h e r s t u d e n t s ? 4 . I k n o w t h a t y o u a l s o u s e d t o t e a c h s c i e n c e c l a s s e s . C o u l d y o u t e l l m e h o w y o u r s c i e n c e c l a s s e s w e r e s i m i l a r / d i f f e r e n t f r o m y o u r m a t h c l a s s e s ? D i d y o u t r y t o m a k e t h e s e c l a s s e s d i f f e r e n t ? W h y / w h y n o t ? T e a c h e r I n t e r v i e w s - - K a r l a I n t e r v i e w # 1 ( a p p r o x i m a t e l y 5 0 m i n u t e s ? ) 1 . H o w h a s y o u r t e a c h i n g d e v e l o p e d o r c h a n g e d o v e r t h e l a s t t e n y e a r s ? W h a t h a s p l a y e d a r o l e i n t h i s d e v e l o p m e n t o r c h a n g e ? 2 . T e l l m e a b o u t t h e s e fi r s t f e w w e e k s o f s c h o o l . . . a . W h a t m a t h e m a t i c a l i d e a s d i d y o u t h i n k w e r e i m p o r t a n t f o r s t u d e n t s t o u n d e r s t a n d ? H o w d i d y o u t r y t o g e t s t u d e n t s t o u n d e r s t a n d t h e m a t h e m a t i c s ? W h a t d i f fi c u l t i e s d i d y o u r u n i n t o ? W h a t d i d y o u f e e l w e n t s m o o t h l y ? W e r e a n y o f t h e s e ( d i f fi c u l t i e s / n o t ) u n e x p e c t e d ? b . W h a t e x p e c t a t i o n s a n d g o a l s d o y o u s e t f o r y o u r s t u d e n t s ? H o w d o y o u e s t a b l i s h t h e s e c l a s s r o o m e x p e c t a t i o n s a n d g o a l s w i t h y o u r s t u d e n t s ? W h a t d i f fi c u l t i e s d i d y o u r u n i n t o ? W h a t d i d y o u f e e l w e n t s m o o t h l y ? W e r e a n y o f t h e s e ( d i f fi c u l t i e s / n o t ) u n e x p e c t e d ? c . W h a t e x p e c t a t i o n s a n d g o a l s d o y o u s e e C M P s e t t i n g ? A r e t h e s e e v e r h e l p f u l o r i n c o n fl i c t w i t h w h a t y o u w a n t t o a c c o m p l i s h i n y o u r c l a s s r o o m ? 3 . H o w i s t h i s y e a r ’ s c l a s s d i f f e r e n t f r o m / s i m i l a r t o l a s t y e a r ‘ s ? W h y d o y o u t h i n k t h o s e d i f f e r e n c e s / s i m i l a r i t i e s e x i s t ? 4 . I f y o u w e r e w o r k i n g w i t h a n e w t e a c h e r a n d h e / s h e u n d e r s t o o d t h e m a t h e m a t i c s a n d k n e w C M P . w h a t i s s u e s w o u l d y o u t h i n k w e r e i m p o r t a n t f o r h e r t o k n o w a b o u t t e a c h i n g m i d d l e s c h o o l m a t h e m a t i c s ? 0 A s a t e a c h e r . w h a t r o l e w o u l d y o u w a n t t o s e e h e r p l a y i n t h e c l a s s r o o m ? 0 W h a t r o l e d o y o u w a n t h e r t o h e l p s t u d e n t s p l a y ? 0 W h a t d o y o u w a n t h e r t o s e e h e r r e s p o n s i b i l i t i e s t o b e w i t h r e s p e c t t o h e r s t u d e n t s ? T o t h e m a t h e m a t i c s ? T o t h e c u r r i c u l u m ? 0 W h a t k i n d s o f e x p e c t a t i o n s w o u l d y o u w a n t h e r t o s e t w i t h h e r s t u d e n t s ? 5 . I k n o w t h a t y o u a l s o u s e d t o t e a c h s c i e n c e c l a s s e s . C o u l d y o u t e l l m e h o w y o u r s c i e n c e c l a s s e s w e r e s i m i l a r / d i f f e r e n t f r o m y o u r m a t h c l a s s e s ? D i d y o u t r y t o m a k e t h e s e c l a s s e s d i f f e r e n t ? W h y / w h y n o t ? I n t e r v i e w # 2 — F o l l o w u p t o # 1 M o s t o f t h e q u e s t i o n s I w o u l d l i k e t o t a l k t o y o u a b o u t t o d a y a r e f o l l o w u p s f r o m t h e f i r s t i n t e r v i e w . I . I n t a l k i n g w i t h y o u t h e fi r s t t i m e . y o u t a l k e d a b o u t " b i g i d e a s " q u i t e f r e q u e n t l y t h r o u g h o u t t h e i n t e r v i e w . I ‘ m w o n d e r i n g i f y o u c o u l d t e l l m e : - W h a t t h e “ b i g i d e a s " o f a l g e b r a a r e t h a t y o u a r e t r y i n g t o g e t y o u r 8 5 t o u n d e r s t a n d ? - W h a t r o l e t h e s e b i g i d e a s p l a y i n t e r m s o f y o u t h i n k i n g a b o u t y o u r c l a s s r o o m e n v i r o n m e n t ? - H o w d o y o u d e c i d e i f S s u n d e r s t a n d t h e s e " b i g i d e a s " ? 2 . W h a t w o u l d Y O U R i d e a l m a t h e m a t i c s c l a s s r o o m l o o k l i k e i n t e r m s o f t h e c l a s s r o o m e n v i r o n m e n t y o u w a n t t o e s t a b l i s h ? W h a t w o u l d T H E i d e a l m a t h e m a t i c s c l a s s r o o m l o o k l i k e ? W h a t a r e t h e d i f f e r e n c e s / s i m i l a r i t i e s b e t w e e n t h e s e ? W h y ? 3 . W e ’ v e b e e n t a l k i n g a l o t a b o u t t h e c l a s s r o o m e n v i r o n m e n t i n t e r m s o f y o u r a n d y o u r s t u d e n t ’ s r o l e s . r e s p o n s i b i l i t i e s . r i g h t s . e x p e c t a t i o n s . e t c . A s w e d i d s o i n t h e l a s t i n t e r v i e w . y o u s t a t e d t h a t y o u d o n ‘ t r e a l l y m a k e t h e s e e x p l i c i t t o y o u r s t u d e n t s . L e t ' s s a y t h a t y o u d e c i d e t h a t y o u w a n t t o d o t h i s a n d t h a t y o u w i l l b e h a n g i n g a c l a s s r o o m p o s t e r o n y o u r w a l l t h a t d e l i n e a t e s w h a t y o u w a n t y o u r s t u d e n t s R O L E S . R I G H T S . R E S P O N S I B I L I T I E S t o b e . - W h a t w o u l d y o u l i s t u n d e r e a c h o f t h e s e h e a d i n g s ? - I f y o u r s t u d e n t s w e r e a s k e d t o d o t h i s i n d e p e n d e n t o f y o u r l i s t . h o w d o y o u t h i n k y o u r s t u d e n t s w o u l d b e s i m i l a r ? D i f f e r e n t ? 4 . N o w t h a t w e ’ v e d e l i n e a t e d s o m e o f t h e s e e x p e c t a t i o n s . d o y o u t h i n k t h a t t h e s e a r e a p p r o p r i a t e f o r o t h e r s u b j e c t m a t t e r c l a s s r o o m s o r d o y o u t h i n k s o m e / a l l o f t h e m a r e p a r t i c u l a r t o m a t h e m a t i c s c l a s s r o o m s ? - E x . S t u d e n t s i n y o u r c l a s s e s w o r k w i t h “ b i g i d e a s " a n d o f f e r " m u l t i p l e s o l u t i o n s " . D o y o u t h i n k t h e s e a r e s p e c i fi c t o m a t h e m a t i c s o r w o u l d t h e y b e a p p r o p r i a t e t o o t h e r s u b j e c t m a t t e r c l a s s e s ? J o s h ‘ s i n t e r v i e w # 3 1 . W h a t a r e s o m e o f t h e t h i n g s t h a t i n fl u e n c e t h e w a y t h a t y o u h a v e c o m e t o t e a c h ? - - h a s m e n t i o n e d : C M P ; S s ( l i s t e n i n g t o t h e i r i d e a s : a l s o . w h e r e t h e y w i l l b e g o i n g n e x t y e a r ) ; o w n u n d e r s t a n d i n g o f m a t h e m a t i c s 3 0 7 2 . A r e t h e r e p a r t i c u l a r t h i n g s t h a t i n fl u e n c e d t h i s t h i s p a s t y e a r ( w o r k i n g w i t h t h a t p a r t i c u l a r c l a s s o r t h i n g s t h a t h a p p e n e d t h a t i n fl u e n c e d i t ( e . g . h i g h s c h o o l 1 ) ? 3 . S o m e o f t h e t h i n g s t h a t I ’ v e n o t i c e d t h a t y o u d o i n c l u d e : « c r e d i t i n g s t u d e n t s - - E x p l i c i t n e s s a b o u t w h e r e S s a r e s u p p o s e d t o b e - - a o r b - - r i s e / r u n / s l o p e / y - i n t e r c e p t / e q u a t i o n s c a f f o l d - H a v e y o u n o t i c e d t h a t y o u d o t h i s ? - I f y o u w e r e n a m i n g t h i s s t r a t e g y . w h a t w o u l d y o u c a l l i t ? ( e . g . e n g a g i n g s t u d e n t s . g e t t i n g s t u d e n t s t o l i s t e n ) - W h a t i s i t y o u a r e h o p i n g t h i s s t r a t e g y w i l l d o i n y o u r c l a s s r o o m ? 4 . H o w d o t h e s e s t r a t e g i e s t i e b a c k w i t h t h e t h i n g s t h a t y o u s a i d h a v e i n fl u e n c e d t h e w a y t h a t y o u t e a c h ? K a r l a ’ s I n t e r v i e w 3 1 . W h a t a r e s o m e o f t h e t h i n g s t h a t i n fl u e n c e t h e w a y y o u h a v e c o m e t o t e a c h ? « h a s m e n t i o n e d : c o l l e a g u e s ( Y . M B . T K ) ; N C T M S t a n d a r d s : C M P : S s ( d e v e l o p m e n t a l l e v e l a n d l i s t e n i n g t o t h e i r i d e a s ; a l s o . w h e r e t h e y w i l l b e g o i n g n e x t y e a r ) ; o w n u n d e r s t a n d i n g o f m a t h e m a t i c s 2 . A r e t h e r e p a r t i c u l a r t h i n g s t h a t i n fl u e n c e d t h i s t h i s p a s t y e a r ( w o r k i n g w i t h t h a t p a r t i c u l a r c l a s s o r t h i n g s t h a t h a p p e n e d t h a t i n fl u e n c e d i t ( e . g . h i g h s c h o o l ) ) ? 3 . S o m e o f t h e t h i n g s t h a t I ' v e n o t i c e d t h a t y o u d o i n c l u d e : « r e c r e a t i n g s t o r i e s - - c r e d i t i n g s t u d e n t s « C G L - - E x p l i c i t n e s s a b o u t w h e r e 8 3 a r e s u p p o s e d t o b e « u s i n g “ t h e y ” ( W h o ’ s ‘ t h e y ’ ? W h o d o y o u t h i n k 5 5 p e r c e i v e ' t h e y ‘ t o b e ? W h y u s e ‘ t h e y ’ ? H o w d o e s ‘ t h e y ’ r e l a t e t o y o u ? D o y o u u s e ' t h e y ' t o r e f e r i n t h i s m a n n e r w h e n t e a c h s c i e n c e ? W h y / w h y n o t ? ) - H a v e y o u n o t i c e d t h a t y o u d o t h i s ? - I f y o u w e r e n a m i n g t h i s s t r a t e g y . w h a t w o u l d y o u c a l l i t ? ( e . g . e n g a g i n g s t u d e n t s . g e t t i n g s t u d e n t s t o l i s t e n ) - W h a t i s i t y o u a r e h o p i n g t h i s s t r a t e g y w i l l d o i n y o u r c l a s s r o o m ? 4 . H o w d o t h e s e s t r a t e g i e s t i e b a c k w i t h t h e t h i n g s t h a t y o u s a i d h a v e i n fl u e n c e d t h e w a y t h a t y o u t e a c h ? 3 0 8 J o s h ’ s I n t e r v i e w # 4 P A R T O N E — f o l l o w u p q u e s t i o n s f r o m l a s t i n t e r v i e w 1 . W h e n t h i n k i n g a b o u t y o u r o w n p r e p a r a t i o n f o r t e a c h i n g a n d t h e n w o r k i n g t h r o u g h o u t t h e l a u n c h . e x p l o r e . s u m m a r i z e o f t h e l e s s o n . w h a t d o e s y o u r k n o w l e d g e o f t h e s u b j e c t m a t t e r h e l p y o u d o a s y o u t e a c h ? H o w i s a s t r o n g m a t h e m a t i c a l b a c k g r o u n d h e l p f u l t o y o u a s a t e a c h e r ? 2 . H o w d i d t h e M G M P ’ s “ t e a c h e r t a l k " i n fl u e n c e y o u r t e a c h i n g ? E x a m p l e s ? 3 . I n a c o u p l e p l a c e s i n o u r l a s t i n t e r v i e w . y o u m e n t i o n e d s l i g h t c h a n g e s a n d r e fi n e m e n t s i n y o u r t e a c h i n g w h i c h c a m e a f t e r t h e i n i t i a l b i g s t e p o f b e i n g i n v o l v e d i n M G M P a n d C M P . C o u l d y o u t e l l m e m o r e a b o u t t h e s e s l i g h t c h a n g e s a n d r e fi n e m e n t s ? W h a t d o y o u t h i n k t h e s e s l i g h t c h a n g e s a n d r e fi n e m e n t s h a v e b e e n ? H a v e t h e y b e e n m o r e a m a t t e r o f c h a n g e s i n h o w y o u t h i n k a b o u t t h e s u b j e c t m a t t e r ? H o w s t u d e n t s i n t e r a c t ? H o w y o u i n t e r a c t w i t h s t u d e n t s ? Y o u r e x p e c t a t i o n s o f y o u r s t u d e n t s ? E X A M P L E S ? J ‘ s r e s p o n s e s f r o m l a s t i n t e r v i e w : I t h i n k . y o u k n o w t h e M G M P i s s o c l o s e l y a l i g n e d w i t h t h e C M P . l i k e I s a i d t h a t w a s t h e r e a l b i g s t e p a n d y o u k n o w i f I c o u l d l o o k b a c k . 1 0 y e a r s w h e n I fi r s t s t a r t e d t e a c h i n g t h e M G M P a n d t h e n l o o k a t w h e n l w a s t e a c h i n g w i t h C M P l a s t y e a r . w o u l d t h e r e h a v e b e e n s o m e c h a n g e s ? Y e a h . I m e a n p r o b a b l y n o t i n c r e d i b l y d r a s t i c c h a n g e s . b u t I t h i n k t h e w a y I . w h a t I e x p e c t e d o f t h e k i d s i n g r o u p s i t u a t i o n s m a y b e c h a n g e d a l i t t l e b i t . ( E X A M P L E S ? ) A n d . h o w I i n t e r a c t e d w i t h t h e s t u d e n t s i n t h e g r o u p s i t u a t i o n s p r o b a b l y c h a n g e d a l i t t l e b i t ( E X A M P L E S ? ) . I t h i n k i t w a s . I s a i d i t w a s a g r a d u a l p r o c e s s . b u t I g u e s s t h a t n o w t h a t I t h i n k b a c k . i t r e a l l y w a s n ’ t a s g r a d u a l — t h e r e w a s t h a t r e a l b i g b u m p w h e n I w e n t f r o m A W t o . a n d t h a t w a s m o r e c o n t e n t d r i v e n , I u n d e r s t a n d t h a t . b u t i t g r e w w i t h M G M P . I t w a s s u c h a . s u c h a l e a p u m . t h a t w a s t h e b i g s t e p . A n d I t h i n k f r o m t h e r e , i t ’ s b e e n m o r e a m a t t e r o f r e f i n i n g . 4 . Y o u m e n t i o n e d t h e M a t h p r o j e c t i n v o l v e m e n t i n o u r l a s t i n t e r v i e w . C o u l d y o u t e l l m e a l i t t l e m o r e a b o u t t h i s ? i - - W h a t k i n d s o f a c t i v i t i e s w e r e y o u i n v o l v e d i n ? E x a m p l e s ? Y o u m e n t i o n e d “ g o i n g o v e r u n i t s ” . W h a t d i d t h a t e n t a i l ? « D i d M B i n fl u e n c e y o u r t e a c h i n g a t a l l ? H o w ? - - W h a t d i d y o u t h i n k o f t h e d i s c u s s i o n s t h a t w e r e h e l d ? « D i d t h e s e e x p e r i e n c e s i n fl u e n c e y o u r t e a c h i n g a t a l l ? I f s o . h o w ? E x a m p l e s ? I f n o t . w h y n o t ? 3 0 9 P A R T T W O W a t c h v i d e o o f u s i n g b a l a n c e s d u r i n g S a y I t w i t h S y m b o l s . A s k J o s h t o t a l k a b o u t « t h e m a t h e m a t i c a l i d e a s / p r o c e d u r e s b e i n g t a u g h t « t h e t e a c h i n g s t r a t e g i e s t h a t h e i s u s i n g « t h e g o a l s t h a t h e h a s f o r h i s s t u d e n t s — w h a t h e w a n t s t h e m t o l e a r n a b o u t t h e m a t h e m a t i c s a n d a b o u t w o r k i n g i n t h e c l a s s r o o m e n v i r o n m e n t h e h a s e s t a b l i s h e d ( A S K M O R E G E N E R A L L Y A B O U T H I S E X P E C T A T I O N S O F T H E S E B Y T H I S P O I N T O F T H E S C H O O L Y E A R ) E N D I N G Q U E S T I O N : ( i f I h a v e t i m e ) I ’ m a s s u m i n g t h a t t h r o u g h o u t t h e p i l o t i n g a n d w o r k i n g w i t h t h e t w o n e w t e a c h e r s t h a t y o u h a v e h i r e d i n t h e l a s t t w o y e a r s t h a t y o u ’ v e a l s o w o r k e d w i t h a n d o b s e r v e d K a r l a t e a c h . C o u l d y o u d e s c r i b e h o w y o u s e e h e r c l a s s r o o m a s b e i n g s i m i l a r a n d / o r d i f f e r e n t f r o m y o u r s ? K a r l a ‘ s I n t e r v i e w # 4 P A R T O N E : F i n i s h l a s t i n t e r v i e w ! P A R T T W O — a s k a b o u t t h e s e a s f o l l o w u p t o t h e fi r s t p a r t o f t h e l a s t i n t e r v i e w : 1 . W h e n y o u f o c u s e d o n t h e w o r d “ d i s c o u r s e " i n s u m m e r w o r k s h o p s : « W h a t d o e s t h e w o r d m e a n t o y o u ? « W h a t a b o u t d i s c o u r s e d i d y o u r f o c u s o n i n t h e w o r k s h o p s ? « H o w d i d s t u d y i n g t h i s a f f e c t y o u r t e a c h i n g ? E x ? 2 . Q u e s t i o n I a s k e d : S o . w h a t k i n d s o f t h i n g s d o y o u t h i n k t h o s e k i n d s o f q u e s t i o n s d o f o r k i d s ? Y o u r r e s p o n s e : P u t s m o r e r e s p o n s i b i l i t y o n t h e m . I t m a k e s m o r e o f a c o n v e r s a t i o n i n s t e a d o f I ' m t h e o n e t a l k i n g . w r i t e i t a l l d o w n . o n c e i n a w h i l e . s a y s o m e t h i n g . I t b u i l d s a n a c t u a l t r u e c o n v e r s a t i o n b e t w e e n p a r t i c i p a n t s . W h y d o y o u t h i n k t h i s i s i m p o r t a n t ? D o y o u t h i n k i t a f f e c t s y o u r c l a s s r o o m e n v i r o n m e n t ? W h y / w h y n o t ? 3 . I n o u r l a s t i n t e r v i e w . y o u t a l k e d a l i t t l e a b o u t t h e t e x t b o o k s . Y o u s a i d : 3 1 0 W e s t a r t e d w i t h s t a t i s t i c s w i t h U s e N u m b e r s a n d t h e n M ’ s u n i t f o r f r a c t i o n s a n d f r a c t i o n s e n s e a n d s i n c e f r a c t i o n s e n s e w a s r e a l l y t h e . t h e c u r r i c u l u m w a s s l i g h t l y d i f f e r e n t . b u t t h e W A Y t h a t y o u w e r e g o i n g t o u s e t h a t c u r r i c u l u m w a s g o i n g t o b e c o m p l e t e l y d i f f e r e n t . w e h a d t o a d d p e e r c o a c h i n g . B e c a u s e . M a n d Y k n e w t h a t w i t h o u t i t y o u c o u l d s t i l l g o b a c k w i t h t h a t a n d t e a c h l i k e y o u d i d i f y o u h a d A W . W e c o u l d n ' t fi n d a n y t h i n g w e p u t o u r h a n d s o n . e s p e c i a l l y i f y o u w e r e n ’ t a m a t h p e r s o n . T o a s k t h e m t o t h i n k d i f f e r e n t l y a b o u t i t . i t w a s n ‘ t g o i n g t o h a p p e n w i t h A W . I n e a c h o f t h e s e . i t s o u n d s l i k e y o u ’ r e d e s c r i b i n g a c o n n e c t i o n b e t w e e n h o w s o m e o n e t e a c h e s a n d t h e t e x t b o o k t h a t t h e y u s e . H o w d o y o u t h i n k t h e t e x t b o o k i n fl u e n c e s b o t h W H A T a n d H O W y o u t e a c h ? D o y o u t h i n k i t ‘ s s i m i l a r / d i f f e r e n t f o r s o m e o n e w h o h a s a s t r o n g m a t h b a c k g r o u n d v s . s o m e o n e w h o d o e s n ‘ t ? H o w ? P A R T T H R E E : W a t c h v i d e o o f u s i n g b a l a n c e s d u r i n g S a y I t w i t h S y m b o l s . A s k K a r l a t o t a l k a b o u t « t h e m a t h e m a t i c a l i d e a s / p r o c e d u r e s b e i n g t a u g h t « t h e t e a c h i n g s t r a t e g i e s t h a t s h e i s u s i n g « t h e g o a l s t h a t s h e h a s f o r h e r s t u d e n t s — w h a t s h e w a n t s t h e m t o l e a r n a b o u t t h e m a t h e m a t i c s a n d a b o u t w o r k i n g i n t h e c l a s s r o o m e n v i r o n m e n t s h e h a s e s t a b l i s h e d ( A S K M O R E G E N E R A L L Y A B O U T H E R E X P E C T A T I O N S O F T H E S E B Y T H I S P O I N T O F T H E S C H O O L Y E A R ) E N D I N G Q U E S T I O N : ( i f l h a v e t i m e ) I ‘ m a s s u m i n g t h a t t h r o u g h o u t t h e p i l o t i n g a n d w o r k i n g w i t h t h e t w o n e w t e a c h e r s t h a t y o u h a v e h i r e d i n t h e l a s t t w o y e a r s t h a t y o u ‘ v e a l s o w o r k e d w i t h a n d o b s e r v e d J o s h t e a c h . C o u l d y o u d e s c r i b e h o w y o u s e e h i s c l a s s r o o m a s b e i n g s i m i l a r a n d / o r d i f f e r e n t f r o m y o u r s ? 3 1 1 3 a r t . A l l . - . m u n - s a w . . C ‘ . 1 ' . 1 ) ) . 9 g I A P P E N D I X H S T U D E N T V I G N E T T E F O R T E A C H E R I N T E R V I E W S ) ) b H D V i g n e t t e f o r I n t e r v i e w # 1 P a y s o n M i d d l e S c h o o l 1 1 / 1 6 / 9 9 V i g n e t t e # 1 A f t e r c o m p l e t i n g I n v e s t i g a t i o n 3 . 4 i n M o v i n g S t r a i g h t A h e a d ( o n s t a n d a r d f o r m o f a l i n e ) , y o u h a v e a s s i g n e d s o m e A C E p r o b l e m s f o r s t u d e n t s t o w o r k o n i n s m a l l g r o u p s . A s y o u a r e m o v i n g a r o u n d t h e r o o m . y o u s e e a g r o u p o f t h r e e s t u d e n t s w h o a r e t r y i n g t o fi n d t h e y - i n t e r c e p t o f a g i v e n e q u a t i o n . E a c h s t u d e n t w a s s u g g e s t i n g t h a t t h e y u s e a d i f f e r e n t r e p r e s e n t a t i o n a n d t h e y w e r e d i s a g r e e i n g a b o u t w h i c h o n e w o u l d w o r k t o fi n d t h e y - i n t e r c e p t . S t u d e n t # 1 w a s u s i n g t h e g r a p h . H e q u i c k l y l o c a t e d w h e r e t h e l i n e i n t e r s e c t e d t h e y - a x i s a n d p o i n t e d t o t h e g r a p h . t e l l i n g t h e o t h e r t w o s t u d e n t s t h a t t h e y n e e d e d t o fi n d w h e r e t h e l i n e s t a r t e d . S t u d e n t # 2 p o i n t e d t o t h e e q u a t i o n a n d s a i d t h a t h e u s e d t h e n u m b e r t h a t t h e r e w a s n o x a t t a c h e d t o . I n p o i n t i n g t h i s o u t . h e m e n t i o n e d t h a t t h e fi r s t e q u a t i o n t h a t t h e y h a d d o n e d i d n ’ t h a v e a y - i n t e r c e p t b e c a u s e y o u w e r e n ‘ t a d d i n g a n y t h i n g t o t h e x . S t u d e n t # 2 l i s t e n e d t o w h a t S t u d e n t # 1 w a s s a y i n g a n d a g r e e d w i t h h i m . s o h e e n d e d u p u s i n g t h e g r a p h a n d a n s w e r t h a t S t u d e n t # 1 h a d g i v e n h i m . T h e r e w a s n o d i s c u s s i o n b e t w e e n t h e s e t w o s t u d e n t s . e x c e p t a n e x c h a n g e o f a n s w e r s . I n t h e m i d s t o f t h i s . S t u d e n t # 3 m e n t i o n e d t h a t t h e y c o u l d u s e t h e t a b l e a n d w h e n t h e o t h e r t w o s t u d e n t s t o l d h i m h e c o u l d n ’ t . h e a p p e a r e d t o d i s e n g a g e f r o m t h e c o n v e r s a t i o n . E v e n t h o u g h S t u d e n t # 3 w a s n ’ t t a l k i n g t o t h e o t h e r t w o . h e c o n t i n u e d t o w o r k o n h i s g r a p h i n g c a l c u l a t o r . H e e n t e r e d t h e e q u a t i o n a n d t h e n b e g a n t o s c r o l l o n t h e t a b l e ( a w a y f r o m w h e r e x = 0 ) . S t u d e n t # 2 t o l d h i m t h a t h e w a s g o i n g t h e w r o n g w a y b e c a u s e h e n e e d e d t o k n o w w h e r e x w a s z e r o . S t u d e n t # 3 s a i d “ O h . t h a t ’ s e a s y " a n d w r o t e t h e n u m b e r d o w n o n h i s p a p e r . A P P E N D I X I K A R L A ’ S T I M E L I N E S d e - r m C n . o r h e a a l s f k h e e o 3 s h b - . r 7 e r 2 t y m t K t e l t o f s e h l e e w o e k h t l a g s l t n s e a a o s n p p . g p d u o e . d i n o m a ) a n t g n k a l r 5 n a i i r t r 3 o r e d s g x fi g o o a E - d v s a i s w l s a e l a m m n o o S H K t d a ( K A E a l K e e - e n r o i l i l . g r l i s e r p d e t p . n s h 8 l o m a h i s i e r p s h t l e - t e a e l e b u p K e t m t x n e r c h i e E h s e e e n w e w h i w d h e t l d e o h o t t e S p e h h d g ( s r e r v m e w n n i o n t t o o e o n u r n t h . a o g i r e x r n i r c a h o a e k t . o i a s d i p . e E d n t e g d r e m e d ( i s t ( t a ) s m i n r i c i y l o c u d c . g i u e e s f e t h o r y l n " e s e c l r s e d b n i a l n t o h m T h o o w e c e n . c l s l o c a t a D : n o i h d t a a r o . e k u ) o o o 6 m e b l u p a y d s t b r c e r t e r o ) 2 c s c a y a h b h u r c e 5 o - a o e l h b C a t K “ b t a d p w 1 t m a K t c t t f t d o e e a t c o h u i c y a l a f d e o y g r s h o e n t . r e e b i n e r h h b b l r t e ) g s s a h e u h w m n S a p 4 l t w e t ‘ p e t r c t p 1 o d t s L l c e . o n e n - a n e e c . m o a e t o K a l g a h o e 6 s h e r m i t t 2 n e h s e t a h s e 6 l t s l 2 i s i l n t m h h n l b s i n f o . p . 2 e r l p t r t e t o u i o g e g e p u a e d c w n n r p n g m t g o a t o u e n n s d i p k a n i t i x i n r p u o n w u e e o i g d x i n a t S a o b a e d n a l t h e r u t g E t e d c i r h s o i s s c g h d ( e t l r d d . l s t i s t n b o l t a I e k s y t k r n i h y o n m d s a l b e d o e s s e c a k e s g l n m g m h n i i i a n a t b n t t o h s h e a e l d i w a r t l e e l p r l r c y a e i d i e . M e v d e r s e e t e a p r p p r a t s a d a r r a a r e t r n l b a b A . i i s i fi t i n I a a h h h h i e h h a a f x x o h a K t d t t d w w e t o e d K K h b t o e - . g K h . o 9 f . t 3 o s S t 2 p u e e y 2 - d - e n o K e l a . h k a K t h m p w . ) c r d t o a e m s n h z 3 h b a 3 t g e n . d e e m 4 h 3 e h e t i e - t l l n o s i - x 2 l m a C o - t h r K s u K h f a E t n t c c t o n t e t q K ( s e e . s n i h . h d s e e d n 4 t e o 0 g s t u d r o 2 v n r e k h 1 p m n e e h m g e u l \ r t a i - r e - e l t l l a s i a t k p d s w K f s s t e l K g l c n u e ) m e t s i ) o 0 . 9 t l t a a . b J 1 s o t i t n h r o s b 2 7 u o 3 n n m a . i t n h r r o s s y - - - m t p e l s r b b K e ( u h f d s - r K o K a E d 2 l u n e s a e x 3 r a m i s b o t K a c d e a h o e m a E n t w e s s S K m / a l s s k . m t s d c f e e t r e e l l e o C u h m d s s h l n d p p p t p n e 1 G A N a a g . . o m e l 1 a o m m x n d u a t u ) ) n l e e l o e 2 0 i c t a b - h c p a a r r 3 v 4 n e x o t K m p x x e e n a h h E r - , - e a E E i o e h h o K S t ( p g 9 t h r K m K ( c s c ( n o i t a z i n e a g m r i O T 1 U K a r l a ’ s T i m e l i n e O c t o b e r 1 5 . 1 9 9 8 E d g - C K n n n i e h h t c n e s o e r e w n a 8 A a t o . o s i n s f m o k 6 m s a d 7 e n - h l - s e r g 4 w b b e K o p i b . w u e s s s ) o o o e l r s d l n k n t r r K e e l a l e i w - m a h e p b i p 3 g p t l b h a c y l s d r o t x s e a . e u l n i u t . l m r s l e r e 8 d o w e m o H s n o i t c a r E e 8 h h m t n n o 9 K i S p t 2 s u h 9 d t ( 1 , m 3 1 r e - k a K a l l b s o t l u i e t o t o w l y c s u p e d n h m a i t p h e a a t t O m u s - p a s a . l x r n e r . o o o . E g r e n s h t i T e c ( f r h a . a o h f t e T t l u . s s t W : . j n n r u o n f r o i a s t s a a u d e c n s e i h . d r i a d t o s t b s u a o e l b h C a t l n o n ' e 8 g n 9 n i 9 l 1 e i l m . e o ) d r a i 3 . 6 b n x l e a - d e t w a e 3 e h o - K t - n t x n n K e y o o r e e r e e o h i c i . h l s s s w 7 p t s s s i 2 m t s u u d t - a n s c c u K i s s o o d x o i i r b n E . p 2 d a d a c ( 0 r e l x t e l t r m h T . 0 2 - K d n a 8 d 1 n e i 0 a T 2 o 4 e h n e o t l . t e n h d r e h e k e c k h a h t a M p f m r u s c s r ’ e o t i u a i e d K h m b s b a e e S e n n h n r o e a t k . a : o e e b e p t t w . s e t h t f d o s b x - K e . g l n l n m . p ) a p o x s i e o u o t r o e r y x o o r g r e t t t fi d n r h n n a s r s a s e f e e n e l u m b a i K s e l o r e e c i h b s l O d a e h h d m k p c y t f e n r h u x e e n h t e o n t t b o E L h . s n a e h t e t i a m a d m e l s g o e — w e e e b t e t n — o h t m a i t s e e d e e t w e r r ) ) t s h t l r t b n a m i h r a n e b v 6 7 a ‘ e e e s e p i t s t e i 1 1 d s n y n n o a e a f r o P h t e s h u a - - e o s o e s s w t s w t c h e K c K h e e r t d a s s n n o n h l o d i a k o h t t s m e o e m 1 a l i r . g g s u e e e m t m f i u e f t n l e l l 0 e n e s o e r c s h T l r a r t 4 p p c t e i h e d o s I . a n r r r r s h 3 W u p e a a d a m m l . s o 2 b i n t m l e e o h e t n i t r m c t t t r e s e d x x o w w u e c n a o h m E E e e h a a a a a o d n b n i S w m h w t h h ( d ( ( e a w K i a M t . . t t g e u a S n h o h . ) . e i t ) s h s - b c o n s ' s o Z i w i o k r a s a t K s o . S r a e h c n d e u l c u f n e i h t t o f n o e s r e a l ‘ - n m r n e . y c o r e a h p t e % a t b t K s c 4 r i e e - t h o s 5 d a o e r l y n K h t l s f r B p t v u a m l a x m e u y y e e p E s m o b c t h c k a u d t s t b o 3 e h h . e u r c e m C e u w a n s p c x i p - w a t K n o x | . o a d E d u A b u y h e d t r s l ( . w o e e n r s a a a u g g u l h a d a e e l m o l l a s n r o s n s o - t r o a h e s e l e l c d a b a o i e b t s i a s i K w a w c a e n r c 1 d K i s n g a c o o n u o g g e k t x m a l a p l l l s i s , t a n r n i d e r r . s l e r p i s a e p a e a d t s t s e G P A y e p l i c n s e l h m r r i h i e r n b a c e y y e h k s t n d d e o m e e x i k e c o i a u p e r a h E a h h h a o h l t a r i e l w e P B m y e c ( T T w T w p S p s p n o i t a z i n e a g m r i O T i e t h t e s e e h t s u a n c I e 1 b S m a l l g r o u p s w o r k o n a s s i g n e d . 3 K a r l a r e c o r d s t h e n u m b e r o f o u n c e s f r o m e a c h p o u r o n t h e b o a r d . S t u d e n t s d i s c u s s w h e t h e r t h e y t h i n k t h e d a t a i s l i n e a r o r n o t ( E x a m p l e K - 1 2 . K - 3 7 ) . K a r l a h a s s t u d e n t s t a l k h e r t h r o u g h g r a p h i n g t h e d a t a . T h e y d i s c u s s w h a t t o u s e f o r t h e s c a l e s o n t h e x - a n d y - a x i s . A f t e r t h e y g r a p h t h e p o i n t s . K a r l a a s k s t h e m i f t h e y s h o u l d c o n n e c t t h e A P P E N D I X J A C E P R O B L E M S I A N D 3 : B E T T Y ‘ S B A K E R Y 3 1 7 1 . B e t t y ’ s B a k e r y s e l l s g i a n t c o o k i e s f o r $ 1 . 0 0 e a c h . T h i s p r i c e i s n o l o n g e r h i g h e n o u g h t o c r e a t e a p r o fi t . s o B e t t y d e c i d e s t o r a i s e t h e p r i c e . S h e d o e s n ' t w a n t t o s h o c k h e r c u s t o m e r s b y r a i s i n g t h e p r i c e t o o s u d d e n l y o r t o o d r a m a t i c a l l y . S h e c o n s i d e r s t h e s e t h r e e p l a n s : 0 P l a n 1 : R a i s e t h e p r i c e b y $ 0 . 0 5 e a c h w e e k u n t i l t h e p r i c e r e a c h e s $ 1 . 8 0 . 0 P l a n 2 : R a i s e t h e p r i c e b y 5 % e a c h w e e k u n t i l t h e p r i c e r e a c h e s $ 1 . 8 0 . 0 P l a n 3 : R a i s e t h e p r i c e b y t h e s a m e a m o u n t e a c h w e e k f o r 8 w e e k s . s o t h a t i n t h e e i g h t h w e e k t h e p r i c e r e a c h e s $ 1 . 8 0 . a . M a k e a t a b l e f o r e a c h p l a n . H o w m a n y w e e k s w i l l i t t a k e t h e p r i c e t o r e a c h $ 1 . 8 0 u n d e r e a c h p l a n ? b . O n t h e s a m e s e t o f a x e s . g r a p h t h e d a t a f o r e a c h p l a n . C o m p a r e t h e s h a p e s o f t h e g r a p h s a n d w h a t t h e y m e a n i n t e r m s o f t h e c h a n g i n g c o o k i e p r i c e p a i d b y c u s t o m e r s . c . A r e a n y o f t h e g r a p h s t h a t y o u d r e w l i n e a r ? E x p l a i n . ( 1 . W h i c h p l a n d o y o u t h i n k B e t t y s h o u l d i m p l e m e n t ? G i v e r e a s o n s f o r y o u r c h o i c e ( p . 4 1 ) . 3 . S i n c e B e t t y r a i s e d h e r p r i c e s . c o o k i e s a l e s h a v e f a l l e n . B e t t y c a l l s i n a b u s i n e s s c o n s u l t a n t t o h e l p . T h e c o n s u l t a n t s u g g e s t s t h a t B e t t y c o n d u c t a c u s t o m e r s u r v e y . B e t t y ’ s c u s t o m e r s a r e a s k e d w h i c h o f s e v e r a l a m o u n t s t h e y w o u l d b e w i l l i n g t o p a y f o r a c o o k i e . H e r e a r e t h e r e s u l t s : P r i c e $ 1 . 7 5 $ 1 . 5 0 1 3 3 1 . 2 5 l $ l . 0 0 C u s t o m e r s w i l l i n g t o p a y t h i s p r i c e 1 0 0 1 1 7 1 4 0 l 1 7 5 a . M a k e a g r a p h o f t h e s e d a t a . a n d d r a w a s t r a i g h t l i n e o r a c u r v e t h a t m o d e l s t h e t r e n d . b . U s e y o u r g r a p h m o d e l t o p r e d i c t t h e n u m b e r o f c u s t o m e r s w h o w o u l d b e w i l l i n g t o p a y $ 1 . 3 5 a n d t h e n u m b e r w h o w o u l d b e w i l l i n g t o p a y $ 2 . 0 0 . c . D o y o u t h i n k p r e d i c t i o n s b a s e d o n y o u r g r a p h m o d e l a r e a c c u r a t e ? E x p l a i n . d . T h e s h a p e o f t h i s g r a p h r e s e m b l e s t h e s h a p e o f a n o t h e r g r a p h y o u h a v e d r a w n . L o o k b a c k a t y o u r w o r k i n t h i s u n i t . W h i c h s i t u a t i o n h a s a g r a p h s i m i l a r t o t h i s o n e ( p . 4 3 ) ? A P P E N D I X K . l O S H ‘ S T I M E L I N E S 3 1 9 : w m ; I : r 3 o e - r o e f . 1 h J f e . . - o H ) ) t J t t s x o 6 e e 2 n e l 7 n m o b e n r h - . e s e 8 l p o t i a i l . 1 y h s a r r . t s t e t t e o l s p a m a t s s b t m a m e a l d d a . l b h o h a o u r a n h m u 1 T c e e t x y q 2 l r o c e u t x ( d E e - r e b P n J f E t s a l l . c h u ( a a n e t a ( t c h e t n n n d o r e n s n a o r a o a i k s l g o i o l o h t d s s e t e e o d o s h a t l r e i n n J o t p a i f a d t t i a m t e a u a n r u a a l w a s o d a h l s n s u l fi c p x y s t t u q w o q o r . u u M d q w e e l q e h i a a e c r n e r e E c s o e - e e r n r h a t . a n d e e ( a e s i 3 d h f o r e d g s g o h t ) i e r f . o i o d i s v i t b s i d i s t e o e m h s 1 m s n e i e a u n t k h t s a g h e t t a o h t 0 2 - d n m a e n c e a s t u h t h u h t a t a t J o s J o r d . u a u e p t m i i b e q s d o n h h e a e s S l t d d b n t n h e - E t t n e o t h r a n s e t n i i J h a t e e o g o s a o u d n e h a e t t w t n e g r s r d s f a e t t a s a e r q n s o g u n h l R P e a l e a l g g n e w a i t o q s s t i u r p u n u i e l k i g g s t e n e e e c a m t l H S o i f a n s s d s i g d t u e o M n o i t a u h d h a n h c d i . . t i e d m x i s v n s u s u s e e c ) ) x e r e r p a o i n o q i t h o h e 8 h 5 e o o E J F 2 t 2 J t e d i s J m c d t t ( q o e t t a m . l h t E a h e - t t 4 o s ) e t o - J e r g n i t d g n n s h p e 2 t s d I s t - o g e l f b n m h a e i J s n l a o i i - w s s t r e t l p i p g h i p c s h t a i g n e n u a h p n v p m z e i w i e d i l s a w d n r . m b a i i a 2 p e l d r r e u p s a a a s r o x ) . r e 1 k u g W l t d c d w u m e i o d f o e - x c e r p u r o h J ( d o o t J n E e n n l l l e m m t s o a s E ( a h s g h s 2 r r o d d c a l r e t r r m g 2 x g a h f p E n i d t a p n s h t h o e i . s ( a e i a v r n s e u o s / o i 9 h h . c t t d s l r r l l P g C a a a a e 8 n 9 i 9 l e d l 1 o e M m . i 6 h T r s e ' b p a r h o G s t o c J O n n i o w i s r s 1 s t a . h d t W g s d n n t i c e e i i o - l t u l n l e h e n h n v e m J d h i t d t d j . i e e o e e a u o s d ) t f r u . e d d t r d t a o n n f u o r e 7 h o x o t h S p o m J p p o i t d m e t m s 1 8 1 : 2 h n e . - J 2 - p h t - e h p s t t d r t t h i 6 f m e n c g y . h t - h c e s a t s t l s t J u l a e a t e p e y l o r H e e r p i s i p x i d g a J a 1 J o r u . a c b s t l h e r g . h m m r e n o e u a n p . a o h r e t 2 t o s n “ t l t h r d d D o o r m t o l r s s x e - i s k a x C p C k c e n s l r E s J P h g i n g u E h e s o i l e ( l t ( z t h . c e d l e s a h o o e r t i f t : n h 7 a s a n I p J e h s t i c s p l o o m p a s k o d o h l . v t a d l a o p t o m a t a s r a h d a h r r m s r i . n b t s s y c p a e s a s a g l o C t e L e h t o t s s t g e h u e e o p x h t l o h h x s d m p h J E s a e b s t g h e i a u e t e a s l t ( . d a o n t r n e r k c h s h t ) o a d J l i g e t t i 9 o M e n d h - n f p l h e e o i h n h o a t 1 e g a . s a s t i b t r i ) e s s d h s . 1 s d e g t r o i u ) u n h s t r p k m w f o n e l c o e n a o p u a t b - 2 r a s p s o l 8 p r c a J - r t a d r n r e a m i o G y d d r r f s 1 r a d h e d I n g i o a d a e e b r s g p n o l ' d e s 7 . s o x u o s 7 o r t a a n ” a p t u a J 2 . n S n i e ( p p c m - l e n w m a e h s e J d d d l n t y . . i d u e a l x ) d e . u l n u a a 8 a e ) e e e t b t f E 3 w o i r E t t c h e e - s . o h 9 a i S t D s J ( l r . i m o t S t 2 v n a M p u e g t d d u n i p r a . t h s s d c a o v b t e k e I b i s t r m o e s n s f l e u u s t t i a r S d P d n o t s i o t u e o J s e a b c a r n g o d a h t s a r - r e a o y s d h s e v c c h t i e a g r a g e s n n l e i r o e h i e r u p y J t s t u q h l e m o c g n s t l h J . i i i e a a k s l ) f x b d . n l 7 o d E r n - d o o s o e ( a t t c r c J n i v a n a a t a z i n e a m a e y e o n e t . s a i s ) t h l d e b e d ) t a t n d e s g t p u h m e ‘ t t e t h s p a d t u r u a r h n y t o u o c o x s e i g e i h t b n r a v ( E f h r O T S t a o g a h ( w o 7 ) b s t . m n e a e h d 1 e t n u . h i 2 s t t s l s t l r m a f e s o e t e h l t f c l n s s e u b e s r o g a e h t t s t r a l c u n p r n e e i e i H e v h m h t a t s e . 5 o l c 1 p J a a e h t . t d n . t m d t c h o n e s e t c g a s i a a l t l l o . o a o W c b t t d c 1 . 2 m e l b o r P n o g n i l e r o t n d o i k a o W M r a e n i s p d u n r o e a h o r t g b l y e e h s l p a h t l u m T n o o t r c s n o n . N e t t g i a a o t 8 l l o l a a l d k d c a m r o r r i . i 9 n w s s e e e e n 9 h o t h l i i n t n s b t 1 i “ - n o n a - t a h r 3 5 l t e d a e c . m 3 u u e t e t a l d o g t a n d t t e r c i S l d 1 d u c r o o t e a T r r s t e ‘ n b h I S r c l r o 2 n i e s r y y t e i h s o g t i o v o t c : J n O o n o i t i h n t t o c c e n a a l 1 i h g o . i d " . n h s e s o e s a s g s t w g s d J h e s ) o e i t t l l y i e i t t u e h t i . a o v u r , L c s t s e n e i h v e d n o t d w s g t b m I o n b e a M e g t i - d t ) e i ‘ s h n n s d t I m d i f n r d a e o a p d r a t 6 n s i e J ‘ a a ( e 2 o r v L e e b i n ’ s t l r e n s I 1 r e a g i s m g i e e b l r e e 2 x R # e a e d I n i a M y e r a u l r n r t i n a p n c o c r o s d r o d s x ‘ r o i n N t h e n i I C o s s “ d a D d l h - s y t . g k u o r p u b n w e c o p d e u n u h f h t - C s y o k b c t s t t u e w a h o h h o g b C w i n a t - k s c e e o h G C ) p u n s - o i t a z i n a g d k n c a e h h ( C e k m c r i a O T B . ) 5 4 1 . s k g h n 4 l 4 e g n o c i i i " u s d h 1 s . d l s s o u e u u r o c c m t h s s n i s i o I d d “ S 0 1 - J . 6 w 5 3 u p : d o u b l i n g i s a p a t t e r n ( E x a m p l e J - 4 ) . b u t n o t a l i n e a r o n e ; h o w t o t e l l i f s o m e t h i n g i s l i n e a r o r n o t ( f r o m t h e t a b l e a n d g r a p h X E x a m p l e J - l 1 ) ; w r i t i n g t h e e q u a t i o n f o r a l i n e ( f r o m t w o p o i n t s a n d t h e n fi n d i n g r i s e . r u n . s l o p e a n d y - i n t e r c e p t ) ( E \ a m p l e 1 - 3 . . 1 - - m a 0 - d i n E I 5 : f A P P E N D I X L P R O B L E M 1 . 2 F R O M T H I N K I N G I I ' I T H . l l x l T H E M - 1 T l t ' A L M O D E L S * ~ — ~ « - v — - — - - r P R O B L E M 1 . 2 D r a w i n g G r a p h M o d e l s A c l a s s i n M a r y l a n d d i d t h e b r i d g e - t h i c k n e s s e x p e r i m e n t . T h e y c o m b i n e d t h e r e s u l t s f r o m a l l t h e g r o u p s a n d f o u n d t h e a v e r a g e b r e a k i n g w e i g h t f o r e a c h b r i d g e . T h e y o r g a n i z e d t h e i r d a t a i n a t a b l e . T h i c k n e s s ( l a y e r s ) 1 l , 7 I B r e a k i n g w e i g h t ( p e n n i e s ) l 1 0 j 1 4 l - ' - 3 ~ 3 7 4 ' l T h e c l a s s t h e n m a d e a g r a p h o f t h e d a t a . T h e y t h o u g h t t h e p a t t e r n l o o k e d s o m e w h a t l i n e a r . s o t h e y d r e w a l i n e t o s h o w t h i s t r e n d . T h i s l i n e i s a g o o d m o d e l f o r t h e r e l a t i o n s h i p b e c a u s e . f o r t h e t h i c k n e s s e s t e s t e d . t h e p o i n t s o n t h e l i n e a r e c l o s e t o p o i n t s f r o m t h e e x p e r i m e n t . [ g r a p h o f t h e d a t a i s g i v e n ] T h e l i n e t h a t t h e M a r y l a n d c l a s s d r e w i s a g r a p h m o d e l f o r t h e i r d a t a . A g r a p h m o d e l i s a s t r a i g h t l i n e o r a c u r v e t h a t s h o w s a t r e n d i n a s e t o f d a t a . O n c e y o u f i t a g r a p h m o d e l t o a s e t o f d a t a . y o u c a n u s e i t t o m a k e p r e d i c t i o n s a b o u t v a l u e s i n b e t w e e n a n d b e y o n d t h e v a l u e s i n y o u r d a t a . P r o b l e m 1 . 2 A . D r a w a s t r a i g h t l i n e t h a t s e e m s t o fi t t h e p a t t e r n i n t h e ( t h i c k n e s s . b r e a k i n g w e i g h t ) d a t a y o u g r a p h e d i n P r o b l e m 1 . 1 . B . B a s e d o n y o u r g r a p h m o d e l . w h a t b r e a k i n g w e i g h t s w o u l d y o u p r e d i c t f o r b r i d g e s 6 l a y e r s t h i c k a n d 7 l a y e r s t h i c k ? C . S u p p o s e y o u c o u l d u s e h a l f - l a y e r s o f p a p e r t o b u i l d t h e b r i d g e s . W h a t b r e a k i n g w e i g h t s w o u l d y o u p r e d i c t f o r b r i d g e s 2 . 5 l a y e r s t h i c k a n d 3 . 5 l a y e r s t h i c k ? A P P E N D I X M J O S H ‘ S T R A N S C R I P T F R O M O C T O B E R 6 T ” n o i t a u l a v E / k c a b d e e F t p i r c s e s n n / / g n i o g p e e k . y a k O y a k / / O 4 y 3 ? y ? a a . 6 7 k K 3 O 2 ‘ 0 4 3 2 . 3 3 5 . . 4 2 . 7 ) 7 2 1 2 . 2 3 7 . 1 6 4 . 6 . . 3 a o 3 o . 6 R 1 . 7 1 I 1 2 . 2 . 4 1 . 1 . . . 0 1 1 l 1 9 . 5 0 2 6 3 I . . 6 . 6 . 4 4 I : a a . : : 3 r p T s m e o r s : c r : a d d n n s : : : a a a y i e e l C s ’ h s o r r g l d s s a a a a n o y e m m K K A J R A A K J d d e s k n s t l o a e e x i s a . g ) p m t e e h h c i e p s s u ’ e t v u s e a l i g r e h t . s ? p e r d e h : d o o a t n w w r U g h y e : v d a 3 o w h ) r c u b n a k e i c s o u . e t o i m o t a h ? p Y u a n B 3 o y b e r ( u e . g S w « d - ? p u 0 o n r . u . u g 2 o o y 3 y r g r s . ‘ a s t a w r “ u - a e I d h o n n t . ‘ i r m n n n d a d t h e o e r r t / t ’ t i g d a u e k t a n o n v n c a n i a o o i b h a i t u l h m e i n q w e y I a k h r . e n a t a t e I l s h c g g a r n e u a t e n h t o A i d f l z u n i o r ? j B k k a e o g ? K g k e a d a h a t p n e i a I y n n v c M t t u l a r h / ? h d i t d e n t / 0 a ? h a 1 k A a n n h I a u c o s s ? . r i s M h D s t o a t c w J z n b a d i i s s h e u a g a o d 4 u d p i y p a . / . m a / u u s d p s w m : ? e n o o e e o ‘ y t h t q i r r J t p r I d n p t s ‘ ‘ i a a h g g t a g w d i e e t e u a o n h y A c h G o g h t r r o / h s t y s r g g e e ? ? w s d i n h p r h h l t w ‘ p . i s g t o a h i : b s e g ’ s u t o r t t e n u e e t t e o e S i c g y e a o o r o l b b e h e o h R n n r y c n o h o ( a T L g t t t I A A g R K A T F 3 2 5 O c t o b e r 6 . 1 9 9 8 S s o v e r l a p p i n g : F o r 3 7 3 5 ? / e a 4 . t ) ? a / g s e d ) d d a 5 a n i 6 w t m a e a h h e d r n b s / t e a s r y h 1 c " s e r e e i 7 i l g h 3 h h h i n t h t a t r e i w h a . h y t m w t w s n o ’ 9 a a i o i l e g l a r d w l r t h p t e ( a o e d h 5 f h r l h c t s ( e r t t ’ u o e l 1 u a 1 i . i p w m e b g : e u : d r a g T o s l h / h o y t t s h h o / n g i ‘ h t a / s e t t x ’ c ? e e r e l i n n n 0 4 u P L o o s m a o 1 l h a e Y ) e l b i d u a n i ( s ' t h a a e Y h t : : s s s : M S M / t n 1 y ? / / u _ r y I e ] h g / e b t t : t _ s _ t a : l o . s i _ u c y w s n J o o N c / r o u d ? . o y 1 o t n m f l u i y i h h / ] t g p n W t u u o u n e o r s t c / r s / g s / w i y e 5 e m n : a o s i 5 s b i s m i n a e e h H u y 9 t e o c h . ? ? h m o s t c u l n b e n y h t y e t t n i n g o k e w i d a i r t e d a o t o t a a e : g v u y s t l t : t l l r s j e u p i a s y o m u s n a e w g o k c r ‘ t d a o a n s e . 1 c e n i r i e | e h t y g t n t x o w o o e g t g a t d t e f f t t o o / l r w n t e v ( r w a t h i [ h e g , i y h u a k u t : t t s s y a o a w s a e o h / n t M ? W y y e a g . 2 - n e e w n : r i e n a ‘ e e h t h r t o t g o I n d 3 t d a e t c e o e k s / l i s S e a r f o t t e i m u n m . 7 R h m e o e o h l o h o i o 3 T W b w n l I T I s g t w K r c a f e h w r e d n i y r p b a / x n k o n : e e s : i c n a y i / h d n e e p a s m W i e e o s o g ) e p m u b a p t ? e h / r l m s c e o t p s h o i n b d h y t s n a t t g o c a u e t t d d s g u l f e e r a n a a u s s s ? a i t t s t / i e k e m / o d t r a r p r t e g e a e h r e i a . t t t s r i p y l l a u s r l r s e n e a a r o 3 2 6 K r i s t e n : I t p r e t t y m u c h s t a y s t h e s a m e . T h a n k s . O k a y . s o w e h a d 6 d i f f e r e n t g r o u p ’ s d g t _ a h e r e a n d u m . ) u e u y a o p / o n o a / y o y s S s d l t a d ? e / e w a f i / a d r e v d e c u o n e s s e l ( i f a m o t I r o h t D / g ? d / i a I 1 g n s Q 9 S 1 ? a 1 s g I 1 p C 1 p L 1 t i f e v / o r s o L y t a a k t E u s i a / s h n e k e a t u e o k h s a o w y o b c n v y m d a l i t n o J n s l n c d s / u t h t n ‘ ’ o p o e n h a t h A a o o e h h a w r e t g r h g a e l g i r r d / t w . . i r l ’ n o t w r i S h ' e g d l n e t a e i g n a s e o p w e s e e g v n . i h a m w I o d b . a y p e i h t h y o s k n a y l a r c u a e d n w y u t e n e h h u a h o a o k e o a Y n g T i y w m v Y t O t i p t , . e g n b a v b n n e u y a a e a i p a h e b h a t p v e d l g y e h t o d e g t s r y o h p m v a e t i i g m . m h e o k t s l ‘ n r . d o z i h r o a t e r h e v h o t e y b p a y d u r m n o a ) e p e y a r m e g a l . u p b . d e ) c l n . C y n l d p t l i ‘ T e e b o l a u i a r e h e i . h / i e r h a e p m g : t d : y . y t u c a d e d a n k n i x i n A e l ( A P a e T a a n W s k r i ( p : e . : e a : e I J h v h . e J . A w t o A t A . t e g s p u o r ? g y d e n h t A l l ? a r _ t _ ‘ e y n a _ d l _ i l _ c y r e y v h e w d . n l l a a / t h e c g a e e r w o d i a d t a y d h e W m f m a I s e t l e g n a h W y h d g n i A h a h i / / s ? 3 e 9 h 9 t t y n A ? y h W t i m n o o r e f r u t s i s e d _ e r _ p p p o e r r d o m p u e o k i r l ? t a h g ? a t a d e h t t c e f t a h t e t l f h a t h g i u o y m s t k n i e k l t l u u p l [ . e g k n i i h s t k e o m o o l s t r o r : 3 2 7 / / I d o n ' t k n o w ( q u i e t l y ) / I d o n ‘ t k n o w ( l o u d e r ) / / ? p e o ) t d i n b k a o a e v fi ? o t t l e _ / p t / _ s t y u i ‘ ? p t g q a n i p s s a i e s d h s a e e o n g ‘ i m e i ? d o e s o d r l c 1 e e e / 1 . x 8 h s g t e o 1 t n l / n r 2 3 i i d e b ( o p p p e d r a n u . u D a s h / n u t r / ? a o y e 2 ' 6 r h 9 s c . a e e g . 1 o o o 0 e v 1 l i F R S 1 1 r e l h t o g 6 . I 0 1 t a 8 . 8 o w . t h 6 4 g h 0 t t s 1 6 a I e o e e 1 o ‘ . g t 1 r g I : i d o Y [ : : a 1 : : y y s s : d d a d d r : n n y y h a a T g a 1 : n i s n i s a C A A L M L K S e f h o t t a s u e s o e h e h t k t n y o d k t ’ n d i d I o d d ' t / t ‘ a n / . h d e w W i h d o z t t o ‘ u s c ? a l a t c i t k t g d w a ‘ h e n ) u t s e o ‘ i s t o ? o u y n t h w g a n u a o a f d i h l a t h i n p o . i . w h y d n y y h e W w a e w e e p d t d n e . t d s . h n n g y e t A ? m h g ? ‘ o t c n i a I n d a d _ d s t o e i a / ( r e t s o s ) s r a J 3 e l ( t o ? r o f o g n r e r k h g b fi c s e s e s b a e i y W a y a h u g t ? u t ‘ n s s n t r o a e g z o y s e s r l z i r h e e e ? a d s f n r ( d e t u t ) f d e v o y s r ‘ e r h t e e y ? s o u o r fi a e y e t t t a g l a r u t h a e s q d h t s a p g h d f n w i w ’ i t e u ( _ t h a w o . t s o i f d t y u ? t e g a s o l r p o e y p e y e u a d r s l ' h . t a t i r h r / o g d / d o b k W r o . t / e e u . . / e r a o . ? r h g n o s t b : a . . y I e w z h z e o r n / i C ? : w a . k o y i / m t t w f a n t a e o t d r f . g r u s k s e U ? n ' r h a t o e a o o r o t t m fi r r a o w e / b u f H w a y f e u y t a y o h I y o L s s e t d e l e e e e g g g l a ) o r s w i g a b / w k d b l o i a n fi l e : . a a a e . b ? t h w t a w e d s d u y s r u r S r r r l l e e e R o o n a n n a e v v v f o o i o h h T W K A H y T t a a a w A H fi ( d Y 3 2 8 1 0 . 6 . w h i c h i s g o n n a r o u n d 1 0 2 1 / l l ' . ’ / t ’ n s e o D ) e s u a p u o y u o t a t Y h w ? s e r g s a ? g ? 5 ' e t n a s . d r r 6 n e 1 y o c a . h e e y t h v a a k t a . a / ) l / t e h e g r i h r e s t 3 ( ? o g u e o e ( i t h r t r / d a r e ? C o d y t f k 5 o n n / r o t . y ? ? u n o o o 6 f 3 3 o e F l 1 I 2 3 g p r t x t i t e g t ' n d i d e n e h t t a s a I s . w 5 . / e y 1 6 1 1 1 I 1 1 . . 3 . h / h a : O 3 m n a d r o l . 6 e u l Y : : c c / e i i : : r r n s s E E F S o 3 3 : e i r r a C ? s r . s i h t d i d ? 7 1 o t d n u o r a p e o y _ a y l . i d o C / ? s e v fi r o f t n : r n e : o g s ‘ t i . o s o l t i / u / k / o t g o f / h u o y u a o l b a w o l I . h a e y ? e g a ? r c e i v r a E ? a b a e r s a e w e r e o g o h D A H I 3 2 9 S s : Y e s . C o d i : 1 1 1 1 . 2 3 1 3 s : Y e a h D i d n ' t g e _ t i t ? W h y p p t ? / N O c a l c u l a t o r a t h o m e ? M W J . H W ; ) ) a l b O A P P E N D I X N E X T E N D E D T R A N S C R I P T F R O M K A R L A ' S C L A S S R O O M W fi ‘ 1 — . ‘ T h e e x c e r p t I h a v e c h o s e n t o i l l u s t r a t e s t u d e n t s ’ m a t h e m a t i c a l e n g a g e m e n t i n K a r l a ’ s c l a s s r o o m o c c u r r e d i n M a r c h o f t h e s c h o o l w h i l e s t u d e n t s w e r e w o r k i n g i n S a y 1 1 w i t h S y m b o l s . I c h o s e t h i s i n s t a n c e b e c a u s e i t i s f a i r l y r e p r e s e n t a t i v e o f t h e t y p e o f d i s c u s s i o n s t h a t t o o k p l a c e w h e n e v e r t h e c l a s s w a s “ e x p l o r i n g ' ” s o m e t h i n g . I n t h i s u n i t . s t u d e n t s h a v e c o v e r e d : 1 . ) o r d e r o f o p e r a t i o n s . 2 . ) e q u i v a l e n t e x p r e s s i o n s ( u s i n g a n a r e a m o d e l . w h i c h i n t r o d u c e s t h e t e r m s “ f a c t o r e d f o r m ” a n d “ e x p a n d e d f o r m " ) . 3 . ) a l g e b r a i c 3 p r o p e r t i e s ( i . e . d i s t r i b u t i v e . c o m m u t a t i v e ) . a n d 4 . ) w r i t i n g q u a d r a t i c e x p r e s s i o n s . D u r i n g t h e s e c t i o n i n w h i c h t h i s o b s e r v a t i o n t o o k p l a c e . s t u d e n t s h a d j u s t fi n i s h e d s o l v i n g l i n e a r e q u a t i o n s a n d w e r e b e g i n n i n g t o s o l v e q u a d r a t i c e q u a t i o n s . W h i l e t h e c l a s s a c t u a l l y s p e n t o v e r t w o c l a s s p e r i o d s o n t h i s t o p i c . I h a v e c h o s e n o n e " b r i e f z " s e g m e n t o f t r a n s c r i p t t o i l l u s t r a t e t h e d i s c u s s i o n t h a t t o o k p l a c e . P r i o r t o t h e t r a n s c r i p t b e l o w . K a r l a h a d s t u d e n t s u s i n g t h e t a b l e s a n d g r a p h s o n t h e g r a p h i n g c a l c u l a t o r t o fi n d w h e r e y = 0 ( o r t h e x - i n t e r c e p t s o r s o l u t i o n s ) f o r q u a d r a t i c e q u a t i o n s . T h e y w e n t t h r o u g h a c o u p l e o f t h e s e a s a c l a s s . S t u d e n t s s h a r e d h o w t h e y f o u n d t h e s o l u t i o n s u s i n g t h e g r a p h a n d / o r t a b l e . d e p e n d i n g o n w h i c h r e p r e s e n t a t i o n t h e y f o u n d m o s t h e l p f u l . D u r i n g t h i s d i s c u s s i o n . M a r k t o l d K a r l a t h a t h e c o u l d fi n d t h e x - i n t e r c e p t s u s i n g j u s t t h e e x p a n d e d f o r m o f t h e e q u a t i o n . E x a m p l e K - 4 2 : E x p l o r i n g S o l u t i o n s t o Q u a d r a t i c s U s i n g t h e E x p a n d e d F o r m o f a n E q u a t i o n 3 K : [ . . . ] M a r k h a s n o w t h r o w n s o m e t h i n g o u t o n t a b l e - t h i n k i n g a b o u t . i s t h e r e a w a y t o d o w i t h o u t t h e t a b l e a n d g r a p h s i n c e t h e p o i n t o f t h i s u n i t . M a x . i s s y m b o l s . M a r k . y o u r i d e a w a s ? M a r k : T h a t t h e 5 x i s . y o u . i f y o u m a k e t h a t j u s t t h e o p p o s i t e . t h e n t h a t c o u l d b e o n e o f y o u r y — i n t e r c e p t s . I f i t w a s — 5 x t h e n t h a t w o u l d b e f i v e . K : S o , y o u ’ r e w o n d e r i n g i f m a y b e t h e r e ’ s s o m e w a y o f l o o k i n g f r o m t h e e q u a t i o n . y o u c o u l d h a v e g o t t e n t h i s [ t h e s o l u t i o n ] . [ w r i t i n g o n t h e b o a r d ] D a l e ? 3 3 1 ) ) ) . s b b I D a l e : I n t h e x 2 4 . s i n c e t h e r e ’ s l i k e n o n u m b e r [ m e a n i n g t h e c o e f fi c i e n t o f t h e t e r m w a s o n e ] . y o u c a n k i n d a a s s u m e i t ’ s z e r o . z e r o . K : [ w r i t i n g o n t h e b o a r d ] S i n c e t h e r e ’ s n o n u m b e r . y o u ' r e a s s u m i n g t h e n t h a t [ o n e o f t h e x - i n t e r c e p t s ] m i g h t b e z e r o ? D a l e : Y e a h [ i n a u d i b l e ] e q u a t i o n x 2 t h a t ’ s [ i n a u d i b l e ] K : C a n y o u s a y t h a t a g a i n ? D a l e : W h e n i t ’ s l i k e y = x 2 . j u s t t h a t e q u a t i o n . t h a t ’ s t h e o n l y s p o t w h e r e i t w e n t [ i n a u d i b l e ] [ F r o m fi e l d n o t e s : D a l e i s a d d i n g t h e f a c t t h a t t h e r e n e e d s t o b e a n o t h e r x - i n t e r c e p t ( i n a d d i t i o n t o t h e o n e M a r k j u s t g a v e ) . H e k n o w s t h i s f r o m h i s e x p e r i e n c e o f w o r k i n g w i t h t h e g r a p h o f y = x 0 2 ] . M a r k : I t w o u l d h a v e t o b e [ o v e r l a p p i n g - i n a u d i b l e ] K : O h . y e a h . W e g r a p h e d t h i s o n e a l o t . j u s t t h e b a s i c o l d p a r a b o l a [ i . e . y = x A 2 ] . W h e n i t w a s j u s t t h a t x - s q u a r e d . i t d i d c r o s s a t z e r o . z e r o . T h a t ’ s t h e o n e I m a d e y o u g r a p h b y h a n d b e f o r e w e g o t t h e g r a p h i n g c a l c u l a t o r s o u t a g a i n . H h m m [ p a u s e ] L e t ' s t r y s o m e m o r e a n d s e e i f D a l e a n d M a r k a r e o n t o s o m e t h i n g h e r e . t v ‘ t . l 1 W i t h o u t K a r l a e l i c i t i n g t h e s u g g e s t i o n . M a r k o f f e r e d t h a t h e h a d a w a y t o fi n d t h e s o l u t i o n s w i t h o u t u s i n g t h e g r a p h i n g c a l c u l a t o r . M a r k g r o u n d e d h i s i d e a i n t h e e q u a t i o n y = x " 2 + 5 x a n d s t a t e d t h a t t h e o p p o s i t e o f t h e 5 x g a v e a s o l u t i o n . I n d o i n g s o . M a r k s t a t e d t h a t o n e o f t h e “ y r - i n t e r c e p t s " w o u l d b e t h e o p p o s i t e o f “ 5 x . ” T e c h n i c a l l y . h e s h o u l d h a v e u s e d t h e t e r m " i t - i n t e r c e p t s ” a n d t h e s o l u t i o n s h o u l d h a v e b e e n t h e o p p o s i t e o f 5 . n o t 5 x . H o w e v e r . s i n c e s t u d e n t s w e r e i n i n i t i a l s t a g e s o f t r y i n g t o m a k e s e n s e o f s o l v i n g q u a d r a t i c s . K a r l a m a y n o t h a v e t h o u g h t i t w a s a n a p p r o p r i a t e t i m e t o b e c o n c e r n e d w i t h t h e l a n g u a g e b e c a u s e s h e w a s t r y i n g t o u n d e r s t a n d M a r k ’ s i d e a s . K a r l a r e c a s t w h a t M a r k s a i d . m a k i n g t h e s t a t e m e n t m o r e g e n e r a l — w h a t h e w a s a c t u a l l y d o i n g w a s t r y i n g t o fi g u r e o u t a w a y t o g e t t h e a n s w e r f r o m t h e e q u a t i o n . D a l e o f f e r e d a n o t h e r . r e l a t e d . i d e a . H e r e m e m b e r e d m a n i p u l a t i n g t h e e q u a t i o n y = x " 2 a n d t h a t t h e r e w a s a l s o a n o t h e r s o l u t i o n . T h a t s o l u t i o n w a s ( 0 . 0 ) . A f t e r K a r l a a s k e d h i m t o “ s a y t h a t a g a i n . “ D a l e r e m i n d e d t h e c l a s s t h a t w h e n t h e e q u a t i o n w a s y = x " 2 . t h e o n l y x - i n t e r c e p t w a s ( 0 . 0 ) . b u t n o w b e c a u s e t h e r e w a s s o m e t h i n g b e i n g a d d e d o n ( i . e . + b x . w h e r e b = Z + ) . t h e y n e e d e d t o c o n s i d e r t h a t t h e r e m i g h t b e a s e c o n d x - i n t e r c e p t o f ( 0 . 0 ) . K a r l a J J J D D D r e f o r m u l a t e d w h a t D a l e s a i d a n d t h e n e n d e d w i t h a d r a w n o u t " H h m m . . . L e t ’ s t r y s o m e m o r e a n d s e e i f D a l e a n d M a r k a r e o n t o s o m e t h i n g h e r e . ” E s s e n t i a l l y . c o n s o n a n t w i t h h e r u s e o f “ c o u l d . ” s h e s e e m e d t o b e i n v i t i n g s t u d e n t s t o e x p l o r e p o s s i b i l i t i e s . C h a r i t y b e c a m e e x c i t e d a n d e x c l a i m e d : ( C o n t i n u e d ) — E x p l o r i n g Q u a d r a t i c s o f t h e F o r m x " 2 + b x C h a r i t y : T h e y a r e ! M s . D e l m o n t . t h e y a r e . K : W h a t ? W h y a r e t h e y o n t o s o m e t h i n g ? C h a r i t y : C u z I j u s t t r i e d t h e s a m e t h i n g b u t w i t h 3 x a n d i t ’ s t h e s a m e t h i n g K : S o . l e t ’ s g o t o o u r y = a n d l e t ’ s t r y C h a r i t y ’ s [ x A 2 + 3 x ] [ b r i e f d i s c u s s i o n a b o u t t h i s b e i n g a p a r a b o l a w h i c h i n d i c a t e d t h a t t h e f u n c t i o n w a s a q u a d r a t i c ] . . . W i t h t h a t i n m i n d . M a r k a n d D a l e . t e l l m e w h e r e y o u t h i n k i t ’ s g o n n a c r o s s “ * 1 b e f o r e I l o o k a t i t . M a r k : ~ 4 x a n d z e r o . z e r o . [ M a r k c o n t i n u e d b y s a y i n g t h a t h e h a d g o n e o n t o a n o t h e r a n d t h e n a n s w e r e d t h e o r i g i n a l q u e s t i o n ] . . . 0 . 0 a n d 0 . - 3 A r i e l : . M s . D e l m o n t [ i n a u d i b l e ] z e r o . z e r o [ i n a u d i b l e ] s q u a r e d K : T h a t ' s w h a t D a l e ’ s s u g g e s t i n g . W e ' v e g o t j u s t a p l a i n o l d x - s q u a r e d . D a l e ’ s s u g g e s t i n g i t ’ s g o n n a c r o s s a t z e r o . z e r o . A n d M a r k ’ s s a y i n g i t ’ s g o n n a d o t h e o p p o s i t e o f t h i s o n e [ p o i n t s t o t h e c o e f fi c i e n t " b ” i n t h e e q u a t i o n ] . s o w e ' r e g u e s s i n g , z e r o . z e r o a n d n e g a t i v e t h r e e . z e r o ? A n d . M a r k . y o u ' r e a l s o t r y i n g t h i s o n e ? [ . . . ] [ M a r k t o l d h e r h e h a d a l r e a d y d o n e t h a t o n e a n d m o v e d o n t o x 0 2 — b x « K a r l a s t a y e d w i t h t h e x " 2 + b x f o r m a n d h a d s t u d e n t s c h e c k t h e i r g u e s s e s o n t h e g r a p h a n d t a b l e o f t h e i r g r a p h i n g c a l c u l a t o r s . S t u d e n t s c o n fi r m e d t h a t t h e i r g u e s s e s w e r e c o r r e c t ] I n “ I t ’ d " . m u . “ " . Q I * 2 : " I n t h i s s e g m e n t o f d i s c u s s i o n . C h a r i t y t o l d K a r l a t h a t t h e t w o b o y s w e r e . i n d e e d . o n t o s o m e t h i n g b e c a u s e s h e t r i e d a n o t h e r e q u a t i o n o f t h a t f o r m a n d t h e i r m e t h o d w o r k e d f o r t h a t o n e . t o o . K a r l a t o l d t h e c l a s s t h a t t h e y w e r e g o i n g t o s t a r t w i t h C h a r i t y ’ s e x a m p l e a n d a s k e d M a r k a n d D a l e t o t e l l h e r w h e r e i t w a s g o i n g t o c r o s s b e f o r e t h e y a c t u a l l y p u t t h e e q u a t i o n i n t o t h e g r a p h i n g c a l c u l a t o r . M a r k a p p e a r e d t o g i v e t h e w r o n g a n s w e r . b u t t h e n c l a r i fi e d t h a t h e h a d a l r e a d y m o v e d o n t o a n o t h e r p r o b l e m o f t h a t s a m e f o r m . H e t o l d t h e c l a s s t h a t h e d i d g e t - 3 a n d ( 0 . 0 ) f o r C h a r i t y ’ s e q u a t i o n a n d w h e n h e d i d x 0 2 + 4 x t h a t i t w o r k e d t h e r e , t o o . M a r k t h e n t o l d h e r h e h a d m o v e d o n t o a n o t h e r f o r m . x " 2 — b x . ; J J 2 3 D D . K a r l a a p p e a r e d t o i g n o r e M a r k ’ s l a s t c o m m e n t a s s h e w e n t b a c k t o t h e fi r s t f o r m ( i . e . x 0 2 + b x ) . S h e a s k e d s t u d e n t s t o u s e e i t h e r t h e i r g r a p h o r t a b l e t o c h e c k t h e i r a n s w e r . S t u d e n t s c o n fi r m e d t h a t t h e a n s w e r w a s c o r r e c t . A t t h a t p o i n t . C h a r i t y i n d i c a t e d t h a t . l i k e M a r k . s h e h a d b e g u n t o e x p l o r e t h e n e x t f o r m o f q u a d r a t i c s . T h i s b e c a m e t h e n e x t t o p i c o f d i s c u s s i o n : ( C o n t i n u e d ) — E x p l o r i n g Q u a d r a t i c s o f t h e F o r m x " 2 — b x . M a r k : I f y o u ’ r e a d d i n g a n e g a t i v e x - C h a r i t y : I f a d d i n g n e g a t i v e x . x w i l l b e p o s i t i v e M a r k : M s . D e l m o n t - [ o t h e r s t u d e n t s t a l k i n g . t o o - i n a u d i b l e ] K : T e l l m e a b o u t n e g a t i v e s . C h a r i t y ? C h a r i t y : I f y o u a d d - [ K i n t e r r u p t e d a n d a s k e d K e v i n t o b e o n t a s k ] C h a r i t y : I f i t ’ s a n e g a t i v e x . i t ’ s g o n n a b e a p o s i t i v e . K : G i v e m e a n e x a m p l e s o I k n o w w h a t y o u ’ r e - C h a r i t y : U m . x 2 + - 3 x . K : A n d . w h e r e i s t h i s o n e g o n n a c r o s s ? C h a r i t y : U m . w h e n y i s a t z e r o . i t w o u l d b e a t 3 . c r o s s a t p o s i t i v e 3 K : A t p o s i t i v e t h r e e ? C h a r i t y : Y e s . K : W h a t a b o u t t h i s x - s q u a r e d i d e a t h a t D a l e g a v e u s ? I s i t s t i l l a t z e r o . z e r o ? C h a r i t y / M a r k : Y e a h / M m h m m . K : L e t ’ s s e e i f i t d o e s . C h a r i t y ' s p r o b a b l y r i g h t . I j u s t i n s e r t e d a n e g a t i v e a n d l e f t e v e r y t h i n g e l s e t h e s a m e [ i n h e r e q u a t i o n o n t h e o v e r h e a d g r a p h i n g c a l c u l a t o r ] . I t ’ s s t i l l a p a r a b o l a ? F s : Y e a h M a x : Y o u c a n ’ t s e e u n t i l y o u g r a p h i t . K : C h a r i t y t h i n k s i t ’ s g o n n a c r o s s a t z e r o . z e r o a n d p o s i t i v e t h r e e . B a r b i e : I t d o e s ! K : L o o k s l i k e i t . I ’ m g o i n g t o c h e c k i t o n m y t a b l e j u s t t o b e s u r e . [ S t u d e n t s t a l k i n g ] K : H h h m m . i t d o e s . C h a r i t y b e g a n t h i s s e g m e n t o f d i s c u s s i o n b y t e l l i n g K a r l a t h a t “ i f i t ’ s a n e g a t i v e x . i t ’ s g o n n a b e p o s i t i v e . " K a r l a a s k e d h e r t o g r o u n d h e r c l a i m i n a n e x a m p l e . s o t h a t s h e w o u l d h a v e a b e t t e r i d e a w h a t C h a r i t y m e a n t . C h a r i t y o f f e r e d a n e x a m p l e a n d t h e n g a v e o n e o f t h e s o l u t i o n s . p o s i t i v e t h r e e . K a r l a r e t u r n e d t o D a l e ’ s i d e a a n d a s k e d i f z e r o . z e r o r a t - 1 J J } D D U w a s a s o l u t i o n . t o o . B o t h C h a r i t y a n d M a r k o f f e r e d a n a f fi r m a t i v e a n s w e r . K a r l a u s e d t h e o v e r h e a d g r a p h i n g c a l c u l a t o r a n d c h e c k e d t h e s o l u t i o n o n b o t h t h e g r a p h a n d t h e t a b l e . S t u d e n t s a g r e e d t h a t t h e i r s o l u t i o n s w e r e c o r r e c t . M a r k t h e n m o v e d t h e c o n v e r s a t i o n t o a n o t h e r c a s e : ( C o n t i n u e d ) — E x p l o r i n g Q u a d r a t i c s o f t h e F o r m — x " 2 + b x M a r k : I f y o u h a v e l i k e a n e g a t i v e x - s q u a r e d p l u s j u s t a p o s i t i v e 4 x . i t ’ s g o n n a b e a p o s i t i v e 4 a n d z e r o ? M a x : T h e n w h y i s i t a z e r o w i t h t h e x s q u a r e d ? M a r k : P l u s 5 x . i t ' l l s t i l l b e a p o s i t i v e 5 x K : I t j u s t d o e s n ’ t d o t h e o p p o s i t e ? M a r k : M m - m m . K : L e t ’ s l o o k a t t h a t o n e M a x : C o u l d y o u j u s t w r i t e d o w n w h a t s h e j u s t s a i d ? C h a r i t y : I t ' s g o i n g t o b e a n u p s i d e d o w n . l i k e t h i n g y m a j i g g e r M s : N e g a t i v e [ i n a u d i b l e ] K : W h a t d o y o u m e a n . a n u p s i d e d o w n t h i n g a m a j i g g e r ? C h a r i t y : U p s i d e d o w n [ m o t i o n s w i t h fi n g e r ] B a r b i e : P a r a b o l a ? C h a r i t y : Y e a h . [ o t h e r s t a l k i n g . i n a u d i b l e ] M a r k : A h i l l t h i n g . K : H o w d o y o u k n o w i t ’ s g o n n a b e a h i l l t h i n g ? B a r b i e : B e c a u s e - M a r k : [ i n a u d i b l e ] C h a r i t y : [ l a u g h s ] K : Y e p . l i k e t h i s h i l l t h i n g ? F s : Y e p K : T h e y d i d s o m e t h i n g d i f f e r e n t , t h o u g h . F s : I t c r o s s e s a t z e r o . z e r o a n d - M s : [ i n a u d i b l e ] C h a r i t y : Z e r o . K e v i n : T h e t a b l e . l o o k a t t h e t a b l e . i t ’ s w a y d i f f e r e n t . K : T e l l m e a b o u t t h e t a b l e K e v i n : I t ’ s l i k e w a y d i f f e r e n t F s : Y e p D a r l a : S o i f i t ’ s a n e g a t i v e x - s q u a r e d . t h e n [ i n a u d i b l e ] B y t h i s p o i n t . K a r l a h a s h a d s t u d e n t s m a k e g u e s s e s a b o u t s o l u t i o n s f r o m v a r i o u s f o r m s o f q u a d r a t i c e q u a t i o n s a n d t h e n c h e c k t h e m o n t h e i r g r a p h i n g c a l c u l a t o r . S h e J J D D 0 r e p e a t e d t h i s p a t t e r n w i t h t h e n e x t q u a d r a t i c c a s e t h a t M a r k o f f e r e d : t h a t i s . t h e c a s e — x ” 2 + b x . M a r k o f f e r e d t h i s b y a s k i n g K a r l a i f t h e s o l u t i o n w a s g o i n g t o b e p o s i t i v e t h i s t i m e . i n s t e a d o f t h e o p p o s i t e l i k e t h e y h a d f o u n d i n t h e o t h e r c a s e s . K a r l a d i d n o t o f f e r a n e x p l a n a t i o n . I n s t e a d . s h e p r o p o s e d a q u e s t i o n t h a t m a d e M a r k ’ s c l a i m m o r e g e n e r a l : t h a t i s . i n s t e a d o f t h i n k i n g a b o u t t h e s o l u t i o n s o n l y i n t e r m s o f w h e t h e r t h e y w e r e p o s i t i v e o r n e g a t i v e . s h e p u s h e d t h e m t o t h i n k a b o u t t h e s o l u t i o n a s n o l o n g e r b e i n g t h e " O p p o s i t e ” o f t h e c o e f fi c i e n t . S h e t o l d s t u d e n t s t o " l o o k a t t h a t o n e . " C h a r i t y n o t i c e d r i g h t a w a y t h a t t h e g r a p h w a s d i f f e r e n t — i t w a s n o w a n " u p s i d e d o w n t h i n g y m a j i g g e r . " K a r l a a s k e d h e r t o c l a r i f y w h a t s h e m e a n t . C h a r i t y u s e d h e r fi n g e r s t o m o t i o n t h e s h a p e a n d a n o t h e r f e m a l e s t u d e n t o f f e r e d t h e w o r d “ p a r a b o l a . ” C h a r i t y c o n fi r m e d t h a t t h a t w a s w h a t s h e h a d m e a n t . M a r k r e - n a m e d t h e s h a p e a s “ a h i l l t h i n g " a n d K a r l a u s e d t h i s p h r a s e i n h e r n e x t q u e s t i o n . T h i s w o r d a p p e a r e d i n p a s t c l a s s o b s e r v a t i o n s t o i n d i c a t e o n e t y p e o f q u a d r a t i c s ( i . e . t h o s e w i t h n e g a t i v e x - s q u a r e d t e r m s ) . T h i s m a y h a v e b e e n t h e r e a s o n K a r l a a p p r o p r i a t e d t h i s i n s t e a d o f “ p a r a b o l a . ” o r s h e m a y n o t h a v e h e a r d t h e f e m a l e s t u d e n t o f f e r “ p a r a b o l a . ” K a r l a t h e n t u r n e d t h e c o n v e r s a t i o n t o o r g a n i z i n g a l l t h e c a s e s t h a t t h e y h a d p r e s e n t e d s o t h a t t h e y c o u l d d i s c u s s t h e m : ( C o n t i n u e d ) — 0 r g a n i z i n g a n d E x p l o r i n g t h e C a s e s K : I t h i n k I g o t t a fi g u r e a l l o f t h i s o u t . L e t m e w r i t e d o w n w h a t y o u g u y s f o u n d . [ o v e r h e a d s c r e e n i s p u t u p s o s h e c a n w r i t e o n t h e b o a r d ] I t ’ s k i n d a a l l o v e r t h e p l a c e . l e t ' s t r y t o p u t i t a l l t o g e t h e r . w h a t w e ’ v e g o t . L e t ' s s e e . h o w a b o u t w e l o o k a t t h e o n e s t h a t h a d p o s i t i v e x - s q u a r e d p l u s a p o s i t i v e x a n d fi n d o u t w h a t w e ‘ v e g o t C h a r i t y : Z e r o . z e r o a n d t h e n e g a t i v e K : A n x - s q u a r e d a n d 3 x . x - s q u a r e d a n d 4 x . x - s q u a r e d a n d 5 x [ w r i t i n g o n b o a r d ] . I t h i n k t h o s e a r e t h e o n e s t h a t w e l o o k e d i t . i s n ’ t i t ? M s : Y e a h K : A n d w h e n t h o s e w e r e e q u a l t o z e r o [ w r i t i n g - s e t s a l l t h r e e e q u a t i o n s e q u a l t o z e r o ] . t h e x - i n t e r c e p t s . w e a l w a y s h a d a z e r o . z e r o [ w r i t i n g ] . W h y d i d w e t h i n k w e w e r e a l w a y s g o i n g t o h a v e a z e r o . z e r o ? i s I . J J J D D \ D a l e : B e c a u s e o f t h e x - s q u a r e d . K : B e c a u s e o f t h e x - s q u a r e d ? [ w r i t i n g ] A n d w e a l r e a d y k n e w t h e x — s q u a r e d w a s g o n n a c r o s s r i g h t t h e r e [ w r i t e s i n t e r c e p t ] ? A n d t h e n M a r k . y o u s t a r t e d u s o u t t h i n k i n g a b o u t t h i s o n e [ t h e e x a m p l e s w h e r e t h e e q u a t i o n w a s o f t h e f o r m x " 2 + b x ] . H o w d i d y o u g e t t h o s e n e g a t i v e 3 ’ s . n e g a t i v e 4 ’ s a n d n e g a t i v e 5 5 ? M a r k : U m . i f i t s a y s n e g a t i v e . i f i t ’ s x - s q u a r e d p l u s n e g a t i v e ? [ M a r k w a s w o r k i n g o n h i s g r a p h i n g c a l c u l a t o r a n d a p p e a r e d n o t t o b e p a y i n g a t t e n t i o n t o w h a t K a r l a w a s d o i n g . K a r l a b r i e fl y l e t M a r k k n o w w h i c h c a s e i t w a s t h a t t h e y w e r e d i s c u s s i n g a t t h a t m o m e n t ] . . . K : W h a t d i d y o u s a y w o u l d h a p p e n ? M a r k : T h e . o n e o f t h e y - i n t e r c e p t s . o r t h e x - i n t e r c e p t s . w o u l d b e a t t h e o p p o s i t e o f , l i k e i f i t w a s a p o s i t i v e . l i k e x . p o s i t i v e n u m b e r a n d x . i t ’ l l b e a t n e g a t i v e t h a t n u m b e r x . K : [ w r i t i n g o n b o a r d ] O p p o s i t e o f t h a t c o e f fi c i e n t o f x ? M a r k : Y e a h [ . . . ] [ o n e s t u d e n t d e fi n e d “ c o e f fi c i e n t " f o r a n o t h e r ] K : T h e n C h a r i t y s t a r t e d l o o k i n g a t t h i s F s : [ i n a u d i b l e ] K : A n o t h e r g r o u p w e m i g h t s a y . w a s x s q u a r e d p l u s a n e g a t i v e c o e f fi c i e n t i n f r o n t o f x ? A n d w h a t d i d w e fi n d o u t t h e r e f o r t h e x i n t e r c e p t s ? [ w r i t i n g o n t h e b o a r d ] A m I g o i n g t o o f a s t ? S s : N O K : I ' m j u s t - y o u g u y s c a m e u p w i t h s o m e i n t e r e s t i n g t h i n g s t h a t k e p t h a p p e n i n g . b u t I h a d i t a l l o v e r t h e b o a r d a n d I n e e d e d t o p u l l i t a l l t o g e t h e r s o m e h o w t o s e e w h a t w e f o u n d . C h a r i t y s t a r t e d l o o k i n g a t w h a t i f w e d i d n ' t a d d a p o s i t i v e x n u m b e r f o r x s q u a r e d . w h a t i f w e h a d a n e g a t i v e x n u m b e r ? A n d . C h a r i t y . w h a t d i d y o u fi n d w a s h a p p e n i n g t o t h e x i n t e r c e p t s t h a t w a y ? C h a r i t y : U m . w e l l . i t ’ s g o n n a b e z e r o . z e r o a n d t h e n . u m . i t ’ s g o n n a b e . p o s i t i v e . l i k e . i t ’ s n o t g o n n a b e n e g a t i v e n u m b e r s K : S o k i n d a l i k e M a r k ’ s t h i n g o v e r h e r e . t o o ? C h a r i t y : Y e a h K : I t ’ s g o n n a b e t h e o p p o s i t e o f t h a t ? T h i s a g a i n w a s b e c a u s e o f t h e x - s q u a r e d . [ w r i t e s ( 0 . 0 ) o n t h e b o a r d ] A n d t h e n w e f o u n d t h i s . [ w r i t i n g o n b o a r d ] B u t t h e n t h e w e i r d t h i n g t h a t h a p p e n e d w a s w h e n w e t h r e w a n e g a t i v e i n f r o n t o f t h e x - s q u a r e d . M a x : I t t u r n e d i t o v e r K : Y e a h . [ s t u d e n t w h i s t l e s ] W e o n l y l o o k e d a t o n e o f t h o s e . [ w r i t e s — x ” ‘ 2 + 5 x = 0 ] . M a x s a i d i t fl i p p e d o v e r w h e n t h e n e g a t i v e x - s q u a r e d w a s t h e r e . t h e p a r a b o l a b e c a m e a h i l l . F 5 : O h . K : S o . t h e i d e a s t h a t C h a r i t y a n d M a r k w e r e b r i n g i n g u p w i t h t h i s o p p o s i t e c o e f fi c i e n t s t u f f f e l l a p a r t r i g h t h e r e . I t w a s n ' t t h e o p p o s i t e o f t h i s c o e f fi c i e n t . b u t t h e s a m e . C h a r i t y : W e l l . s o t h a t m e a n s t h e 5 x w o u l d h a v e t o c h a n g e . t o o b e c a u s e n o r m a l l y t h a t . n o r m a l l y . i n y o u r i n t e r c e p t s i t w o u l d b e n e g a t i v e fi v e . z e r o J J 0 D D 0 K : T h a t ’ s [ i n a u d i b l e ] . y o u ' r e r i g h t . M a y b e i t w a s j u s t t h a t o n e . w h a t i f i t w a s l i k e — x - s q u a r e d a n d 6 x ? F s : T r y i t a n d s e e . K : T r y i t a n d s e e ? [ . . . ] K a r l a m a y h a v e f e l t t h e r e w e r e t o o m a n y s t r a t e g i e s b e i n g o f f e r e d a n d d e c i d e d t o t r y t o o r g a n i z e a l l o f t h e s u g g e s t i o n s . I n d o i n g s o . s h e h a d s t u d e n t s g o t h r o u g h t h e t y p e o f p r o b l e m t h e y h a d d i s c u s s e d . t h e e x a m p l e s t h e y h a d u s e d . a n d t h e s o l u t i o n s t h e y h a d f o u n d . E a c h t i m e . K a r l a o f f e r e d h e r o w n " p a r a p h r a s t i c i n t e r p r e t a t i o n " o f w h a t s t u d e n t s o f f e r e d . c o n t r o l l i n g t h e c o m m o n k n o w l e d g e o f t h e c l a s s r o o m . T h i s c o n t i n u i n g d i s c u s s i o n l a s t e d f o r o v e r t w o e n t i r e c l a s s p e r i o d s . D u r i n g t h a t s p a n o f t i m e . K a r l a ( a n d s o m e s t u d e n t s ) o f f e r e d o t h e r f o r m s o f q u a d r a t i c s t h a t i n c l u d e d a x " 2 + b x a n d a x " 2 + b x + c ( w h e r e a . b . a n d c w e r e a l l n o n z e r o i n t e g e r s ) . I n f o l l o w i n g t h e t e x t b o o k s l e a d a n d k e e p i n g i n l i n e w i t h w h a t s t u d e n t s w o u l d n e e d t o k n o w i n a l g e b r a t h e f o l l o w i n g y e a r . K a r l a t r i e d t o r e t u r n t o fi n d i n g t h e s o l u t i o n s f r o m t h e f a c t o r e d f o r m . H o w e v e r . s t u d e n t s c o n t i n u e d t o e x p l o r e t h e s o l u t i o n s t h r o u g h u s i n g t h e e x p a n d e d f o r m o f t h e e q u a t i o n s . W h a t m a t h e m a t i c a l u n d e r s t a n d i n g s d o s t u d e n t s s e e m t o d i s p l a y ? U s i n g t h e p a r a m e t e r s P i r i e a n d S c h w a r z e n b c r g e r h a v e o u t l i n e d . 1 w i l l a t t e n d t o : t h e f o c u s o f t h e d i s c u s s i o n . t h e k i n d o f l a n g u a g e u s e d . a n d t h e t y p e o f s t a t e m e n t s b e i n g m a d e . T h e s t u d e n t s h a v e e x p l o r e d a n d d i s c u s s e d q u a d r a t i c f u n c t i o n s i n a p r e v i o u s u n i t a n d a g a i n e a r l i e r i n t h i s u n i t . T h e y h a v e s o m e u n d e r s t a n d i n g o f t h e s e f u n c t i o n s a n d t h i s g i v e s t h e m s o m e t h i n g t o t a l k a b o u t . T h e t a s k t h a t K a r l a h a s s e t b e f o r e t h e m i s t o t h i n k a b o u t p a r t i c u l a r p o i n t s o n t h e g r a p h — n o t t h e e n t i r e g r a p h . T h e p o i n t s t h e y a r e t o f o c u s o n a r e w h e n t h e x - v a l u e s a r e z e r o w h i c h a r e t h e s o l u t i o n s o r x - i n t e r c e p t s o f t h e f u n c t i o n . S t u d e n t s u s e s o m e i n f o r m a t i o n t h a t t h e y a l r e a d y k n e w ( e . g . t h a t t h e e q u a t i o n y = x " 2 h a s J J 0 D D \ o n e x - i n t e r c e p t o f ( 0 . 0 ) ) a n d u s e t h e i r k n o w l e d g e o f t e c h n o l o g y ( e . g . h o w t o fi n d p o i n t s o n a t a b l e o r g r a p h ) t o m a k e i n f e r e n c e s a b o u t t h e s o l u t i o n s f r o m t h e e x p a n d e d f o r m o f t h e e q u a fi o n . T h e l e v e l o f l a n g u a g e v a r i e s q u i t e a b i t . S t u d e n t s s e e m t o u s e t h e e n t i r e r a n g e o f m a t h e m a t i c a l l a n g u a g e t h a t I i n t r o d u c e d e a r l i e r i n t h i s c h a p t e r . S o m e o f t h e ( ) M L s t u d e n t s u s e i n c l u d e d x - i n t e r c e p t s . n e g a t i v e s . x - s q u a r e d . e q u a t i o n a n d p a r a b o l a . I n a d d i t i o n . K a r l a r e v o i c e d m a n y o f t h e s t u d e n t c o n t r i b u t i o n s a n d u s e d t e r m s l i k e c o e f fi c i e n t . p a r a b o l a . a n d q u a d r a t i c . S h e d i d n o t c o r r e c t s t u d e n t s w h o c h o s e t o u s e C G L . S o m e e x a m p l e s o f t h i s i n c l u d e d t h e p h r a s e s " x 2 ” a n d “ h i l l - t h i n g . ” W h e n a s t u d e n t u s e d a w o r d t h a t d i d n o t h a v e a s c o m m o n a m e a n i n g a s t h e s e t w o p h r a s e s ( i . e . u p s i d e d o w n t h i n g y m a j i g g e r ) . K a r l a p u s h e d h e r t o s a y w h a t s h e m e a n t . I n r e s p o n s e . C h a r i t y s h o w e d h e r u s i n g h e r fi n g e r s b y t r a c i n g a p a r a b o l a t h a t o p e n e d u p w a r d i n t h e a i r . B a r b i e t h e n h e l p e d C h a r i t y n a m e w h a t s h e w a s t a l k i n g a b o u t i n O M L : a p a r a b o l a . T h e l a n g u a g e e a r l y i n t h e d i s c u s s i o n i s v e r y m u c h e x p l o r a t o r y t a l k . S t u d e n t s a r e t r y i n g t o fi g u r e o u t w h a t i s g o i n g o n i n t h e m a t h e m a t i c s . W h e n K a r l a t u r n e d t o " f i g u r e a l l t h i s o u t . " s t u d e n t t a l k b e c a m e m o r e fi n a l d r a f t . F o r e x a m p l e . D a l e n o l o n g e r u s e d x 2 : h e n o w u s e d x - s q u a r e d . I n a d d i t i o n . M a r k a g a i n m a d e t h e m i s t a k e a n d s a i d " y - i n t e r c e p t ” f o r x - i n t e r c e p t . H o w e v e r . a t t h i s p o i n t h e c o r r e c t e d h i m s e l f a n d m a d e h i s s t a t e m e n t m o r e m a t h e m a t i c a l l y c o r r e c t . K a r l a a g a i n h e l p e d s t u d e n t s m a k e t h e i r c o n t r i b u t i o n s m o r e m a t h e m a t i c a l l y c o r r e c t a n d g e n e r a l w h e n s h e r e v o i c e d M a r k ’ s s t a t e m e n t . " i f i t w a s a p o s i t i v e . l i k e x . p o s i t i v e n u m b e r a n d x . i t ’ l l b e a t n e g a t i v e t h a t n u m b e r ” t o “ o p p o s i t e o f t h a t c o e f fi c i e n t o f x ? ” K a r l a a l s o p o i n t e d o u t t h e d i s c r e p a n t e v e n t t h a t t o o k p l a c e w h e n t h e s q u a r e d v a l u e w a s n e g a t i v e : t h a t i s . t h e “ o p p o s i t e c o e f fi c i e n t s t u f f f e l l a p a r t r i g h t h e r e . " A s t h e , . - . - y a n ; H n a F d i s c u s s i o n e n s u e d . s t u d e n t s m o v e d i n a n d o u t o f a l l l e v e l s o f l a n g u a g e . I n s o m e c a s e s . s o m e s t u d e n t s l a c k e d a p p r o p r i a t e l a n g u a g e . W h e n t h e y d i d . K a r l a s o m e t i m e s r e v o i c e d m a k i n g t h e c o n t r i b u t i o n s m o r e a p p r o p r i a t e a n d m a t h e m a t i c a l l y c o r r e c t . I n o t h e r i n s t a n c e s . s t u d e n t s o f f e r e d t h e w o r d s o r d e fi n i t i o n s . I n o t h e r c a s e s . s t u d e n t s u s e d o r d i n a r y l a n g u a g e a n d m a t h e m a t i c a l l a n g u a g e . T h e t y p e o f s t a t e m e n t s b e i n g m a d e w e r e n e v e r " i n c o h e r e n t ” ( P i r i e a n d S c h w a r z e n b c r g e r . 1 9 8 8 . p . 4 6 7 ) : t h a t i s . t h e y d i d n o t a p p e a r t o n o t m a k e s e n s e t o o t h e r p a r t i c i p a n t s i n t h e c o n v e r s a t i o n . S o m e s t a t e m e n t s w e r e " o p e r a t i o n a l " o r w e r e a b o u t w h a t t o d o o r h o w t o d o i t . E x a m p l e s o f t h e s e w o u l d i n c l u d e s e g m e n t s o f t r a n s c r i p t t h a t w e r e g r o u n d e d i n p a r t i c u l a r e q u a t i o n s . r a t h e r t h a n g e n e r a l i z i n g a r u l e . F o r i n s t a n c e . w h e n C h a r i t y s u g g e s t e d D a l e a n d M a r k w e r e o n t o s o m e t h i n g b e c a u s e s h e t r i e d t h e i r m e t h o d w i t h a n o t h e r e q u a t i o n . T h i s m a y h a v e i n d i c a t e d t h a t C h a r i t y t h o u g h t s h e c o u l d g e n e r a l i z e f r o m j u s t t w o e q u a t i o n s . A l s o . K a r l a a s k e d C h a r i t y t o g r o u n d h e r i d e a " i f i t ’ s a n e g a t i v e x . i t ' s g o n n a b e p o s i t i v e ” i n a n e x a m p l e . T h i s w o u l d b e m o r e o p e r a t i o n a l . O t h e r s t a t e m e n t s w e r e “ r e fl e c t i v e ” i n t h a t t h e y o f f e r e d e x p l a n a t i o n s o r a t t e m p t e d t o m o v e b e y o n d t h e i m m e d i a t e t a s k . D a n ' s s u g g e s t i o n t h a t t h e y n e e d e d t o c o n s i d e r t h e s o l u t i o n ( 0 . 0 ) w h e n t h e c o e f fi c i e n t w a s o n e w o u l d b e a n e x a m p l e o f t h i s . H e c o n n e c t e d w h a t t h e y w e r e d o i n g t o p r e v i o u s k n o w l e d g e a n d s u g g e s t e d w h y t h a t s o l u t i o n m a d e s e n s e . A l s o . s t u d e n t s e v e n t u a l l y 5 a b s t r a c t e d " r u l e s ” t h a t t h e y c o u l d f o l l o w f o r v a r i o u s f o r m s o f t h e e q u a t i o n . F o r e x a m p l e , w h e n t h e y d i s c u s s e d e q u a t i o n s o f t h e f o r m y = a x ” * 2 + b x . M a r k s a i d t h a t t h e y c o u l d t a k e t h e o p p o s i t e o f t h e n u m b e r w i t h t h e x a n d d i v i d e i t b y t h e n u m b e r i n f r o n t o f t h e x 0 2 . K a r l a h e l p e d t o c o n n e c t t h i s t o t h e g e n e r a l f o r m o f t h e e q u a t i o n a n d s h o w e d t h e m t h a t t h e y c o u l d w r i t e t h i s a s — b / a . I a m u n s u r e i f t h e y e v e r g o t n I - . M - . . . . a ” I I t o a p o i n t i n t h e i r d i s c u s s i o n . h o w e v e r . w h e r e t h e y c o n t e m p l a t e d w h y t h i s m e t h o d w o r k e d . T h e y d i d e v e n t u a l l y c o n n e c t t h e s e m e t h o d s w i t h f a c t o r i n g t h e e x p a n d e d f o r m t o fi n d t h e s o l u t i o n s . K a r l a a n d I t a l k e d a t l e n g t h a f t e r e a c h o f t h e t h r e e c l a s s p e r i o d s . I n i t i a l l y . s h e w a s q u i t e s u r p r i s e d b y t h e s t u d e n t s u g g e s t i o n s . S h e h a d p u r s u e d s t u d e n t i d e a s a n d t h e n t r i e d t o o f f e r o t h e r c a s e s i f s t u d e n t s h a d n o t c o n s i d e r e d t h e m . S h e t o l d m e t h a t s h e w a s n o t a l w a y s s u r e w h a t t o d o w i t h t h e s t u d e n t c o n t r i b u t i o n s a n d h a d t r i e d r e t u r n i n g m u l t i p l e t i m e s t o t h e f a c t o r e d f o r m o f t h e e q u a t i o n b e c a u s e s h e k n e w t h a t s h e w a s a l r e a d y m o r e t h a n t w o d a y s b e h i n d J o s h a n d d i d n o t w a n t t o f a l l f u r t h e r b e h i n d . I n f a c t . a c c o r d i n g t o t h e T e a c h e r ’ s G u i d e . t h i s l e s s o n s h o u l d h a v e t a k e n o n l y o n e d a y . P a c i n g w a s a l w a y s a n i s s u e f o r K a r l a w h e n s h e a l l o w e d s t u d e n t s t o e x p l o r e t h e i r i d e a s . A n o t h e r i s s u e K a r l a o f t e n h a d t o c o n f r o n t d u r i n g t h e s e d i s c u s s i o n s w a s t h a t o f h e r o w n m a t h e m a t i c a l c o n t e n t k n o w l e d g e . D u r i n g t h e c l a s s p e r i o d t h a t f o l l o w e d t h i s E x a m p l e K - 4 2 . I h a d w r i t t e n i n m y fi e l d n o t e s : “ I ’ m n o t e x a c t l y s u r e w h y M a r k ’ s m e t h o d i s w o r k i n g r i g h t n o w a n d I ’ m n o t h a v i n g t o o r c h e s t r a t e t h i s d i s c u s s i o n l i k e K a r l a i s ! ” T h e i d e a t o w h i c h I w a s r e f e r r i n g w a s M a r k ’ s s u g g e s t i o n t h a t . g i v e n a q u a d r a t i c O f t h e f o r m a x " 2 + b x . a l l I h a d t o d o w a s “ t a k e t h e o p p o s i t e o f t h e x ’ s n u m b e r a n d d i v i d e i t b y t h e n u m b e r i n f r o n t o f t h e x - s q u a r e d . ” I r e t u r n e d t o m y o f f i c e l a t e r t h a t d a y a n d e x p l o r e d t h i s b y p l a y i n g w i t h t h e q u a d r a t i c f o r m u l a . I r e a l i z e d t h a t M a r k ’ s s t r a t e g y w o r k e d b e c a u s e w h e n c = 0 . t h e q u a d r a t i c f o r m u l a c a n b e r e d u c e d t o — b ; ’ a . H o w e v e r . s t u d e n t s a l s o w e n t o n t o c o n s i d e r c a s e s w h e r e c w a s n o t e q u a l t o 0 . I n t h a t c a s e . K a r l a t o l d m e s h e r e a l i z e d d u r i n g t h e d i s c u s s i o n t h a t s t u d e n t s w e r e m e r e l y s h i f t i n g t h e p a r a b o l a s b e c a u s e a d d i n g / s u b t r a c t i n g n u m b e r s c a u s e d t h e g r a p h t o s h i f t . H o w e v e r . I » J ) . D J k s p e n t m o r e t i m e l o o k i n g t h r o u g h s o m e a l g e b r a t e x t s a n d r e a l i z e d t h a t t h e s h i f t s o n l y t o o k p l a c e w h e n t h e e q u a t i o n w a s o f a p a r t i c u l a r f o r m : ( a x + b ) ' “ 2 + k . S o . t h e r e w a s s t i l l a r a n g e o f c a s e s t h a t h a d n o t b e e n e x p l o r e d ! . J J : D 4 D , A P P E N D I X O E X T E N D E D T R A N S C R I P T F R O M J O S H ’ S C L A S S R O O M T h e s e g m e n t o f t r a n s c r i p t t h a t I c h o s e f r o m J o s h ’ s c l a s s r o o m i s a n i n s t a n c e o f J o s h t e a c h i n g t h e s a m e l e s s o n a s t h e o n e t h a t w a s t h e f o c u s i n K a r l a ’ s a p p e n d i x . A g a i n . t h i s e x a m p l e i s f a i r l y r e p r e s e n t a t i v e o f t h e w a y s t u d e n t s w e r e e n g a g e d w i t h t h e m a t h e m a t i c a l c o n t e n t d u r i n g t h e " e x p l o r e ” s e g m e n t o f t h e l e s s o n . T h e m a t h e m a t i c a l g o a l o f t h i s l e s s o n . l i k e K a r l a ’ s . w a s t o s o l v e q u a d r a t i c e q u a t i o n s . T h e t r a n s c r i p t b e g a n a t t h e b e g i n n i n g o f t h e c l a s s p e r i o d a n d s t u d e n t s i n t h i s c l a s s h a v e c o v e r e d t h e s a m e m a t e r i a l a s w h a t I d e s c r i b e d i n K a r l a ’ s a p p e n d i x . E x a m p l e J - 4 4 : S o l v i n g Q u a d r a t i c E q u a t i o n s J : [ . . . b e g i n n i n g o f t a p e . . . J o s h i s r e v i e w i n g w h a t t h e y h a v e b e e n d o i n g i n t h i s u n i t u p t o t h i s p o i n t ] T h o s e w e r e a l l l i n e a r . e q u a t i o n s . s o l v i n g l i n e a r e q u a t i o n s : t a k i n g t w o l i n e a r e q u a t i o n s . s e t t i n g t h e m e q u a l t o e a c h o t h e r a n d f i n d i n g t h e v a l u e f o r x i n w h i c h t h e y ' r e t h e s a m e . r i g h t ? W e ’ r e d o i n g t h i s a l l s y m b o l i c a l l y . Y o u ’ v e a l w a y s h a d g r a p h i n g c a l c u l a t o r s y o u c a n f a l l b a c k o n t o h e l p y o u m a k e s e n s e o f t h i n g s . U m . b u t t h e r e ’ s a l o t m o r e t h a n j u s t l i n e a r . T h e r e ’ s a l s o [ i n a u d i b l e ] q u a d r a t i c s . I f y o u l o o k a t P r o b l e m 4 . 4 . l e t ’ s t a k e a l o o k a t i t . W o u l d y o u r e a d . p l e a s e . w h e r e i t s a y s . “ S o l v i n g Q u a d r a t i c E q u a t i o n s ” ? I t ’ s o n p a g e 5 7 . W o u l d y o u r e a d t h a t p l e a s e . S a n d y w o u l d y o u r e a d t h a t p l e a s e ? S a n d y : [ r e a d s a l o u d ] J : O k a y l e t ’ s s t o p t h e r e f o r a s e c o n d . ( I - R - E ‘ ) H o w d o y o u k n o w . fi r s t o f a l l h o w d o y o u k n o w i t ’ s a q u a d r a t i c e q u a t i o n “ ? S s : X - s q u a r e d [ m u l t i p l e r e s p o n s e s o f t h i s ] J : A n x - s q u a r e d . I f l g r a p h e d i t . I ’ m p r o b a b l y g o n n a g e t a p a r a b o l a h e r e . I t ’ s g o n n a g o u p a n d c o m e d o w n o r c o m e d o w n a n d g o b a c k u p . I n t h e M o v i n g S t r a i g h t A h e a d u n i t . w e s a i d a y - i n t e r c e p t w a s w h e r e x w a s z e r o . r i g h t " ? S s : M m - h m m J : W h e r e a r e t h e x i n t e r c e p t s f o r t h i s ? S O . i n o t h e r w o r d s i f I s e t t h i s e q u a l t o z e r o . i f y [ i n a u d i b l e ] o v e r o n t h i s s i d e b e c a u s e i t ’ s a y . i t d o e s n ’ t m a k e a n y d i f f e r e n c e [ r e f e r r i n g t o w r i t i n g t h e e q u a t i o n e i t h e r a s y = t h e e q u a t i o n o r t h e e q u a t i o n = y — p o i n t i n g o u t t h a t t h e o r d e r o n e w r i t e s i t i n d o e s n ’ t a f f e c t t h e e q u a t i o n ] . W h a t a r e y o u r x - i n t e r c e p t s ? T h e r e m i g h t b e o n e . t h e r e m i g h t b e t w o o r t h e r e m i g h t b e z e r o . U s e y o u r g r a p h i n g c a l c u l a t o r . ( I - R - E ) W h e r e a r e t h e x - i n t e r c e p t s ? I n o t h e r w o r d s . w h e r e i s t h e p a r a b o l a g o i n g t o c r o s s x - a x i s ? A l i c i a : I t ’ s i n t h e b o o k . J : P a r d o n ? R o b e r t : 0 a n d — 5 . J : Y o u l o o k e d t h a t f a r a h e a d a l r e a d y [ t o A l i c i a ] ? R o b e r t ? R o b e r t : 0 a n d — 5 . J : ( I - R - E ) H o w d i d y o u k n o w t h a t R o b e r t ? , a m i L . . . 1 : “ r o . s ' 4 2 2 u - L I { . “ t 4 ' I . . J r } D J U R o b e r t : C u z I l o o k e d a t z e r o a n d t h e y ’ r e b o t h z e r o a n d a t — 5 . i t ’ s z e r o . J : O k a y . s o . h o w m a n y e n t e r e d t h e e q u a t i o n i n t o t h e i r g r a p h i n g c a l c u l a t o r s a n d t a b l e d i t a n d l o o k e d t o s e e w h a t x w a s w h e n y w a s z e r o ? N o w . i f y o u d i d n ' t d o t h a t . o b v i o u s l y i t ’ s r i g h t i n y o u r b o o k r i g h t t h e r e . ( I - R - E ) I f y o u l o o k a t t h e t a b l e i n y o u r b o o k . w h e r e a r e t h e t w o x - i n t e r c e p t s a g a i n ? S s : Z e r o a n d n e g a t i v e 5 [ T h e y g o t h r o u g h w h a t t h e m i n i m u m . m a x i m u m a n d l i n e o f s y m m e t r y a r e u s i n g t h e g r a p h i n g c a l c u l a t o r a n d e x p l o r i n g t h e g r a p h a n d t a b l e — J o s h t e l l s t h e m t h a t t h e y k n o w m u c h m o r e t h a n t h e y t h i n k . H e a l s o h a s t h e m r e a d t h a t t h e x - i n t e r c e p t i s t h e s a m e t h i n g a s fi n d i n g t h e " r o o t ” o r t h e s o l u t i o n t o t h e q u a d r a t i c e q u a t i o n s . J o s h r e m i n d s t h e m t h a t t h e f o c u s o f t h i s b o o k i s t o d o t h i n g s w i t h s y m b o l s a n d c h a n g e s t h e t o p i c t o t h i s s u b j e c t a t t h i s p o i n t . A p p r o x i m a t e l y 5 - 1 0 m i n u t e s o f t a l k a r e o m i t t e d t o g e t t o t h e p o i n t w h e r e t h e y a r e d i s c u s s i n g s o l v i n g q u a d r a t i c s ] T h e c l a s s p e r i o d b e g a n w i t h J o s h t e l l i n g s t u d e n t s t h a t t h e y h a v e a l r e a d y s o l v e d 1 _ l i n e a r f u n c t i o n s s y m b o l i c a l l y . H e r e m i n d e d t h e m t h a t t h e r e w e r e o t h e r f u n c t i o n s t h a t t h e y h a d d o n e t h a t w e r e n o n - l i n e a r t h a t t h e y w e r e g o i n g t o s o l v e s y m b o l i c a l l y . T o d o t h i s . h e a s k e d S a n d y t o r e a d f r o m t h e t e x t b o o k . S a n d y w a s a s k e d t o s t o p t o m a k e s u r e s t u d e n t s r e m e m b e r e d w h a t d e t e r m i n e d a q u a d r a t i c e q u a t i o n : t h a t i s . t h e e q u a t i o n h a d t o h a v e a n x - s q u a r e d t e r m . J o s h r e f e r r e d b a c k t o r e m i n d s t u d e n t s w h a t a y - i n t e r c e p t w a s . c o n n e c t i n g t h i s t o t h e t e r m x - i n t e r c e p t . A l i c i a s e e m e d t o u n d e r s t a n d t h a t t h e t e x t b o o k w a s a p l a c e t o fi n d a n s w e r s a s s h e t o l d J o s h t h a t t h e a n s w e r t o h i s q u e s t i o n w a s i n t h e b o o k . R o b e r t g a v e t h e a n s w e r f o r w h i c h J o s h w a s s e a r c h i n g . H o w e v e r . J o s h fi r s t r e s p o n d e d t o A l i c i a . a s k i n g h e r i f s h e h a d l o o k e d t h a t f a r a h e a d a n d t h e n c a l l e d o n R o b e r t t o r e s p o n d . R o b e r t g a v e t h e s a m e p o i n t s h e h a d m e n t i o n e d e a r l i e r a n d J o s h a s k e d h i m t o e x p l i c a t e h o w h e k n e w t h a t w a s t h e a n s w e r . R o b e r t u s e d t h e g r a p h i n g c a l c u l a t o r a n d d e s c r i b e d t h a t t h e s e n u m b e r s w e r e w h e r e t h e y - v a l u e s w e r e z e r o . J o s h o f f e r e d a p o s i t i v e e v a l u a t i o n t o R o b e r t ( i . e . “ o k a y ” ) a n d a s k e d h o w m a n y o t h e r s u s e d g r a p h i n g c a l c u l a t o r s t o fi n d t h e a n s w e r o n t h e t a b l e . H e r e f e r r e d b a c k t o A l i c i a ’ s e a r l i e r c o m m e n t a n d t o l d s t u d e n t s t h a t t h e y a l s o c o u l d h a v e s e e n i t “ r i g h t i n y o u r b o o k r i g h t t h e r e . ” H e t h e n d r e w f r o m t h e t e x t b o o k a n d d i r e c t e d s t u d e n t a t t e n t i o n t o t h e t a b l e t h a t w a s g i v e n t h e r e . S t u d e n t s r e p l i e d b y g i v i n g t h e s a m e a n s w e r R o b e r t h a d g i v e n s . J o s h p r o c e e d e d b y h a v i n g s t u d e n t s t a l k a b o u t w h a t t h e n k n e w a b o u t p a r a b o l a s . d i r e c t i n g t h e f o c u s t o w h a t t h e p a r a b o l a l o o k e d l i k e b y i n q u i r i n g a b o u t t h e m i n i m u m . m a x i m u m a n d l i n e o f s y m m e t r y . A f t e r t h e y h a d g o n e t h r o u g h t h e s e . J o s h a s k e d S a n d y t o c o n t i n u e r e a d i n g t h e d e fi n i t i o n o f a “ r o o t . ” H e m o v e d t h e t a l k t o f o c u s o n w h a t h e h a d d e fi n e d t h e c l a s s r o o m a c t i v i t y t o b e e a r l i e r : s o l v i n g q u a d r a t i c s s y m b o l i c a l l y . ( C o n t i n u e d ) : S o l v i n g Q u a d r a t i c s S y m b o l i c a l l y — W r i t i n g E x p a n d e d F a r m i n F a c t o r e d F o r m J : O k a y . s y m b o l i c . L e t ’ s t a k e a l o o k a t P r o b l e m 4 . 4 . I f y o u l o o k o n p a g e 5 8 . w e ’ r e g o n n a l o o k a t a n o t h e r q u a d r a t i c . I n t h a t . y o u l o o k a t « x - s q u a r e d + 3 x i s a n e x p a n d e d f o r m . W o u l d y o u w r i t e t h a t i n f a c t o r e d f o r m . I n f a c t e v e r y o n e s h o u l d b e a b l e t o d o b y n o w . [ Q u i e t o v e r l a p p i n g t a l k w h i l e s t u d e n t s w o r k e d o n t h i s ] J : I f I w a s g o n n a d r a w a r e c t a n g l e a n d t h e a r e a o f x - s q u a r e d p l u s 3 x . h o w c o u l d y o u d o t h a t [ r e f e r r i n g b a c k t o t h e a r e a m o d e l t h e y u s e d t o f a c t o r q u a d r a t i c s i n t h e F r o g s u n i t ] ? [ S s t a l k i n g q u i e t l y ] J : T h i s i s i n e x p a n d e d f o r m ? I ’ d l i k e t o h a v e a n e q u i v a l e n t e x p r e s s i o n i n f a c t o r e d f o r m . S o . w h a t c o u l d y o u f a c t o r o u t o f b o t h t e r m s ? ( I - R - E ) W h o h a s [ i n a u d i b l e ] . J e n n i f e r . w h a t d i d y o u d o ? J e n n i f e r : I . I . u m . I k n o w t h a t x t i m e s x i s x s q u a r e d . J : O k a y . J e n n i f e r : A n d 3 t i m e s x i s 3 x . s o p u t x + 3 i n p a r e n t h e s i s . J : O k a y . h o w m a n y h a v e x t i m e s t h e q u a n t i t y x + 3 ? [ w r i t e s o n t h e b o a r d ] S o . t h i s i s i n f a c t o r e d f o r m ? ( I - R - E ) C o u l d I d r a w a n x b y x + 3 r e c t a n g l e ? S s : Y e a h . J o s h b e g a n t h i s s e g m e n t b y fi r s t r e d i r e c t i n g t h e c o n v e r s a t i o n t o i n c l u d e w h a t t h e f o c u s w a s s u p p o s e d t o b e ( i . e . u s i n g s y m b o l s ) a n d t h e n h e a g a i n r e f e r r e d t o t h e t e x t b o o k . i n d i c a t i n g t h a t t h e t e x t b o o k w a s d e fi n i n g t h e i r c l a s s r o o m a c t i v i t y . H e a s k e d s t u d e n t s t o l o o k a t p a g e 5 8 a n d t h e n e x t q u a d r a t i c t h e y w e r e g o i n g t o s o l v e . H e r e m i n d e d t h e m t h i s e q u a t i o n w a s i n “ e x p a n d e d f o r m ” a n d r e q u e s t e d t h a t t h e y w r i t e i t i n “ f a c t o r e d f o r m . ” t e l l i n g s t u d e n t s t h a t t h i s w a s s o m e t h i n g t h e y " s h o u l d b e a b l e t o d o b y n o w ” b e c a u s e i t h a d b e e n c o v e r e d i n t h e F r o g s . F l e u s a n d P a i n t e d ( ' u b e s u n i t . T o a i d t h e i r m e m o r y . J o s h r e f o r m u l a t e d h i s q u e s t i o n a n d r e f e r r e d b a c k t o t h e r e c t a n g l e m o d e l s t h a t t h e y h a d d o n e w h e n t h e y I e a m e d h o w t o f a c t o r q u a d r a t i c s i n F r o g s . H e f u r t h e r r e f o r m u l a t e d h i s q u e s t i o n b y a s k i n g s t u d e n t s w h a t t h e y c o u l d f a c t o r o u t o f b o t h t e r m s . H e c a l l e d o n J e n n i f e r t o d e s c r i b e w h a t s h e h a d d o n e . W h i l e J e n n i f e r w a s a n s w e r i n g t h e q u e s t i o n . J o s h o f f e r e d a p o s i t i v e e v a l u a t i o n o f h e r r e s p o n s e t o t h e fi r s t p a r t o f h e r s o l u t i o n a n d a l s o t o t h e s e c o n d p a r t o f t h e s o l u t i o n . H e d r e w t h e r e c t a n g l e a n d a g a i n r e m i n d e d t h e c l a s s t h a t t h e d i m e n s i o n s o f t h e r e c t a n g l e g a v e t h e m t h e f a c t o r e d f o r m o f t h e e q u a t i o n . T h e e x c e r p t c o n t i n u e d w i t h J o s h r e f e r r i n g t o t h e b o o k a g a i n t o d e fi n e w h a t “ e l s e w e a r e s u p p o s e d t o d o ” : ( C o n t i n u e d ) : S o l v i n g Q u a d r a t i c E q u a t i o n s — F i n d i n g t h e S o l u t i o n s J : [ D r a w s i t o n t h e b o a r d ] S o m e t h i n g l i k e t h a t ? S o I ’ v e g o t a n x - s q u a r e d p i e c e a n d t h e 3 x p i e c e i n e x p a n d e d f o r m ? O k a y ? T h a t ’ s n o b i g d e a l . W h a t e l s e a r e w e s u p p o s e d t o d o ? I t s a y s . [ r e a d i n g f r o m b o o k ] “ fi n d a l l p o s s i b l e s o l u t i o n s t o t h e e q u a t i o n x " 2 + 3 x = 0 . ” ( I - R - E ) T r a n s l a t e t h a t f o r u s . w h a t a r e t h e y a s k i n g f o r ? S a n d y : T h e s o l u t i o n s . J : T h e r o o t s o r t h e x - i n t e r c e p t s . I n o t h e r w o r d s , I ’ m s e t t i n g y e q u a l t o z e r o . W h a t v a l u e s o f x . v a l u e o r v a l u e s o f x g i v e y o u a y - v a l u e o f z e r o ? W h o c a n a n s w e r t h i s f o r m e ? I d o n ’ t c a r e h o w [ m e a n i n g t h e y c o u l d u s e t h e g r a p h i n g c a l c u l a t o r o r n o t ] . I ’ d j u s t l i k e a n a n s w e r . W h a t a r e t h e x - i n t e r c e p t s . w h a t a r e t h e r o o t s ? A r e t h e r e a n y ? T h e r e m i g h t n o t b e . Y o u m i g h t . s o m e t i m e s y o u g e t a n e q u a t i o n w h e r e t h e p a r a b o l a l o o k s s o m e t h i n g l i k e t h i s a n d i t n e v e r d o e s c r o s s t h e x - a x i s . P J h a s a n a n s w e r ; A b r a m h a s a n a n s w e r : C h u c k h a s a n a n s w e r . [ n a m i n g a l l t h e p e o p l e w h o h a v e t h e i r h a n d s r a i s e d ] [ l o n g p a u s e ] H o w a r e y o u fi n d i n g . M a t t y o u k n o w h o w t o fi n d t h e x - i n t e r c e p t s ? M a t t : U m m . J : W h e r e a r e t h e y ? A l i c i a . J e n n i f e r . R o b e r t h a v e a n a n s w e r . ( I - R - E ) C a r l . J a y l e n . h o w ? J a y l e n . w h a t a r e t h e x - i n t e r c e p t s ? J a y l e n : Z e r o a n d n e g a t i v e t h r e e . J : ( I - R - E ) H o w ’ d y o u g e t t h a t . J a y l e n ? J a y l e n : I p u t i t i n t h e g r a p h i n g c a l c u l a t o r a n d f o u n d t h e z e r o s . 3 4 7 J : O k a y . m a k e s u r e y o u a l l c a n d o t h a t a n y h o w . ( I - R - E ) W h a t e q u a t i o n d i d y o u e n t e r i n t o y o u r g r a p h i n g c a l c u l a t o r ? J a y l e n : I p u t x ( x + 3 ) . J : W h i c h o n e ? J a y l e n : [ I n a u d i b l e — J o s h p u l l e d d o w n t h e o v e r h e a d s c r e e n ] J : S o , y o u d i d t h e o n e t h a t w a s i n f a c t o r e d f o r m ? J a y l e n : Y e a h . J : D o e s n ’ t m a k e a n y d i f f e r e n c e . L e t ’ s c l e a r t h i s o u t . A n d . i f y o u d o n ’ t m i n d . I ’ l l d o t h e fi r s t o n e . s o x - s q u a r e d p l u s 3 x ? O o p s . t r y a g a i n . M s : Y o u p u s h e d t h e [ i n a u d i b l e ] . J : Y e a h . I k n o w . X - s q u a r e d p l u s t h r e e x . ( I - R - E ) O k a y . s o . y o u w e n t t o t h e t a b l e ? J a y l e n : Y e a h . J : O k a y . o h . g e e z . I u s e d t h i s o n e . ( I - R - E ) S o . I ’ m l o o k i n g f o r . w h a t a r e y o u l o o k i n g f o r . J a y l e n ? J a y l e n : T h e x - i n t e r c e p t i s z e r o . J : O k a y . ( I - R - E ) A g r e e ? S s : Y e p . J : T h e x - i n t e r c e p t i s w h a t x i s w h e n y i s z e r o ? S o t h e r e ’ s o n e . b u t — M s : N e g a t i v e [ i n a u d i b l e ] J : T h e r e ’ s a n o t h e r o n e . t o o . r i g h t ? C h u c k : Y e p J : S o . h o w m a n y h a v e t h e x - i n t e r c e p t s a s b e i n g a t — 3 a n d 0 ? O k a y . e a s y e n o u g h ? [ p u t s t h e o v e r h e a d s c r e e n b a c k u p ] W h a t e l s e w e r e w e s u p p o s e d t o d o ? W e ’ r e g o n n a k i n d a w a l k o u r s e l v e s t h r o u g h t h i s p r o b l e m . ( I - R - E ) W h a t e l s e w e r e w e s u p p o s e d t o d o ? J o n a h : I t s a y s fi n d t h e y - i n t e r c e p t [ i n a u d i b l e ] . J : O k a y . l o o k i n g a t q u e s t i o n b a n d q u e s t i o n c . I ’ m a l i t t l e c o n f u s e d . F s : [ i n a u d i b l e ] J : A r e n ’ t t h e y t h e s a m e t h i n g ? T h e y ’ r e a s k i n g f o r a l l t h e p o s s i b l e s o l u t i o n s t o t h a t e q u a t i o n . u m . a n d t h e n t h e y ’ r e a l s o s a y i n g t h e y ’ r e a s k i n g f o r t h e x - i n t e r c e p t s . i s n ’ t t h a t t h e s a m e t h i n g ? S s : Y e a h . J : U m . q u e s t i o n ( I . t h o u g h . s a y s “ w h i c h f o r m m a k e s i t e a s i e r t o fi n d t h e r o o t s ” ? O r t h e x - i n t e r c e p t s . W h a t d o y o u t h i n k ? I s t h e r e o n e t h a t m a k e s i t e a s i e r ? A b r a m : I c a n s e e i t . w e l l . i n t h i s p r o b l e m - - J : ( I - R - E ) D o e s m a k e a n y d i f f e r e n c e i f y o u u s e y o u r g r a p h i n g c a l c u l a t o r ? F s : N o . J o s h u s e d t h e b o o k t e x t a g a i n t o d e fi n e w h a t t h e y w e r e s u p p o s e d t o d o : fi n d a l l p o s s i b l e s o l u t i o n s t o t h e e q u a t i o n . H e c a l l e d o n s t u d e n t s t o " t r a n s l a t e ” w h a t " t h e y ” w e r e a s k i n g . B y s t a t i n g i t i n t h i s m a n n e r . h e fi r s t d r e w s t u d e n t a t t e n t i o n t o t h e f a c t t h a t t h e y s h o u l d b e a b l e t o t a k e w h a t t h e t e x t b o o k s a i d a n d t r a n s l a t e i t i n t o t h e i r o w n l a n g u a g e . 3 4 8 : W i n - . . . . . . ” « i , T h i s m a y h a v e g i v e n t h e i m p r e s s i o n t h a t s t u d e n t s n e e d t o b e a b l e t o t a k e t e x t b o o k l a n g u a g e a n d i n t e r p r e t i t i n t o t h e i r o w n . H e p o s s i b l y f u r t h e r i n d i c a t e d t h e s e d i f f e r e n t w a y s o f t a l k i n g b y r e f e r r i n g t o t h e t e x t b o o k a s “ t h e y . ” S a n d y . o n e o f t h e m o r e s u c c e s s f u l s t u d e n t s i n c l a s s . O f f e r e d t h a t t h e y w e r e l o o k i n g f o r t h e s o l u t i o n s t o t h e p r o b l e m . J o s h r e v o i c e d h e r r e s p o n s e b y s t a t i n g t h e o t h e r t w o w a y s o f r e f e r r i n g t o t h e s o l u t i o n : t h e r o o t s o r t h e x - i n t e r c e p t s . H e t h e n o u t l i n e d t h e p r o c e s s o n e w o u l d g o t h r o u g h t o d o t h i s — “ s e t t i n g y e q u a l t o z e r o . w h a t v a l u e s o f x . v a l u e o r v a l u e s o f x g i v e y o u a y - v a l u e o f z e r o ? ” E v e n t h o u g h J o s h h a d s t a t e d e a r l i e r t h a t t h e y w e r e g o i n g t o u s e s y m b o l s n o w . h e t o l d s t u d e n t s t h a t h e d i d n o t c a r e h o w t h e y a n s w e r e d h i s q u e s t i o n . I n o t h e r w o r d s . t h e y c o u l d u s e a g r a p h i n g c a l c u l a t o r i f t h e y h a d w a n t e d . H e m a y h a v e t h o u g h t t h e y w e r e n o t r e a d y t o m o v e t o s y m b o l s a t t h a t p o i n t a n d w a n t e d m o r e s t u d e n t s t o b e s u c c e s s f u l d o i n g w h a t h e a s k e d . M a t t m a y n o t h a v e a p p e a r e d t o b e a t t e n d i n g t o t h e q u e s t i o n a s J o s h c a l l e d o n h i m a n d h e r e s p o n d e d w i t h o n l y “ U m m . ” J o s h c o n t i n u e d b y p o i n t i n g o u t w h o d i d h a v e a n a n s w e r . c a l l i n g o u t t h e n a m e s o f s t u d e n t s w h o h a d h i s x ' h e r h a n d r a i s e d . H e c h o s e J a y l e n t o g i v e t h e a n s w e r a n d J o s h r e q u e s t e d a n e x p l a n a t i o n . w h i c h . l a y l e n a l s o s u p p l i e d . . I a y l e n h a d u s e d t h e g r a p h i n g c a l c u l a t o r . J o s h e v a l u a t e d J a y l e n ’ s a n s w e r b y r e s p o n d i n g “ o k a y . ” b u t m a y h a v e i n d i c a t e d t h a t h e w o u l d h a v e l i k e d t h e m t o u s e s y m b o l s w h e n h e s a i d “ m a k e s u r e y o u a l l c a n d o t h a t a n y h o w . ” T h i s s e e m e d t o s e n d t h e m e s s a g e t h a t t h i s w a s t h e “ l e a s t ” o f w h a t t h e y w o u l d b e d o i n g . J o s h h a d J a y l e n d e t a i l t h e p r o c e s s h e w e n t t h r o u g h o n t h e g r a p h i n g c a l c u l a t o r a n d r e m i n d e d s t u d e n t s t h a t o n t h e g r a p h i n g c a l c u l a t o r . i t d i d n o t m a t t e r w h e t h e r t h e y u s e d t h e e x p a n d e d o r f a c t o r e d f o r m . J o s h w e n t t h r o u g h t h e p r o c e s s o n t h e g r a p h i n g c a l c u l a t o r a n d t h e n d i d a q u i c k c h e c k o f h o w m a n y p e O p l e c a m e . a « w . J I D U O u p w i t h t h a t a n s w e r . H e a g a i n r e f e r r e d t o t h e t e x t b o o k u s i n g " t h e y " a n d a s k e d s t u d e n t s w h a t t h e y w e r e “ s u p p o s e d ” t o d o . W h e n h e r e a d q u e s t i o n d . . b e a s k e d s t u d e n t s " w h i c h f o r m m a k e s i t e a s i e r t o f i n d t h e r o o t s ? ” ( C o n t i n u e d ) : S o l v i n g Q u a d r a t i c F a u c t i o n s — W i t h o u t U s i n g t h e G r a p h i n g C a l c u l a t o r J : I t d o e s n ’ t m a k e a n y d i f f e r e n c e . d o e s i t ? [ i n a u d i b l e ] i n t o y o u r y e q u a l s . t a b l e i t a n d l o o k t o s e e w h a t x i s w h e n y i s z e r o . B u t h o w a b o u t i f y o u d o n ’ t h a v e a g r a p h i n g c a l c u l a t o r t o u s e ? P J : I ’ m d e a d . J : W e t o u c h e d o n t h i s a l i t t l e b i t i n t h e F r o g s u n i t . S e e h o w g o o d y o u r m e m o r y i s . D o y o u r e m e m b e r s o m e t h i n g ? F s : [ i n a u d i b l e ] J : I k n o w i t w a s a l o n g t i m e a g o . o v e r a m o n t h . A l i c i a r e m e m b e r s s o m e t h i n g : S a n d y r e m e m b e r s s o m e t h i n g : C h u c k r e m e m b e r s s o m e t h i n g . C h u c k . w h a t d o y o u r e m e m b e r ? C h u c k : U h . w h a t y o u n e e d t o g e t t o g e t z e r o a t y t h e t h r e e i s z e r o a n d t h e x i s z e r o J : H o l d o n a s e c o n d . ( I - R - E ) F i r s t o f a l l . I k n o w J a y l e n s a i d t h e x i n t e r c e p t s a r e - w h a t w e r e t h e y « 3 a n d 0 ? [ w r i t i n g o n t h e b o a r d ] C h u c k : Y e a h . J : O r n e g a t i v e t h r e e . z e r o a n d z e r o . z e r o a s f a r a s p o i n t s a r e c o n c e r n e d . ( I - R - E ) C h u c k . w h a t d i d y o u . s a y w h a t y o u s a i d a g a i n . w h a t ’ d y o u s a y ? C h u c k : U h , w h a t y o u n e e d t o g e t t o z e r o [ i n a u d i b l e ] y o u g o t t h e t h r e e a n d t h e x J : H t h i n k I u n d e r s t a n d w h a t y o u ’ r e s a y i n g . b u t I ’ m n o t s u r e a n y b o d y e l s e d o e s . W h a t y o u n e e d t o g e t t o z e r o . O k a y . D o y o u u n d e r s t a n d w h a t h e ’ s s a y i n g ? ( I - R - E ) J o n a h . d o y o u u n d e r s t a n d w h a t h e ’ s s a y i n g . " w h a t y o u n e e d t o g e t t o z e r o ” ? J o n a h : N o t r e a l l y . J : O k a y , I d i d n ’ t t h i n k s o . I d o n ’ t t h i n k m o s t p e o p l e d o . C h u c k . C a n y o u c l e a r i t u p . w h a t d o y o u m e a n . “ w h a t y o u n e e d t o g e t t o z e r o ” ? C h u c k : T h e n u m b e r y o u n e e d t o g e t t o z e r o . L i k e 3 t i m e s w h a t t o g e t t o z e r o . T h r e e t i m e s z e r o i s z e r o a n d n e g a t i v e t h r e e . z e r o i s z e r o J : W h a t a r e y o u l o o k i n g a t . t h e e x p a n d e d f o r m o r t h e f a c t o r e d f o r m ? M s : 1 h a v e n o i d e a C h u c k : I l o o k e d a t t h e e x p a n d e d f o r m [ O t h e r s t u d e n t s t a l k i n g ] J : F o r b o t h o f t h e m [ t o C h u c k ] ? O k a y . ( I - R - E ) M i n d y . w h a t d o y o u t h i n k ? M i n d y : [ i n a u d i b l e ] t h i n k a b o u t w h a t n u m b e r y o u t a k e t i m e s t o g e t t o b e z e r o [ i n a u d i b l e ] w h a t e v e r t h e t h r e e t i m e s w h a t e q u a l s z e r o . J : [ i n a u d i b l e ] f o r e x p a n d e d f o r m , I d i d n ’ t h e a r t h a t ? M i n d y : L i k e t h e n u m b e r t h r e e t i m e s w h a t e v e r [ i n a u d i b l e ] . 2 7 F “ . J ‘ 3 . ” W W Q a I ’ 3 ‘ 4 . 1 6 0 ‘ 2 . 3 J : ‘ K a y . B u t . w h a t i f d i d n ’ t k n o w w h a t t h e x - i n t e r c e p t s w e r e . H o w c o u l d y o u s o l v e o n e o f t h e s e q u e s t i o n s f o r z e r o ? N o w . s y m b o l i c a l l y y o u c o u l d s o l v e - b e c a u s e o f t h e l i n e a r p r o b l e m . w e c o u l d s o l v e i t . r i g h t ? W e c o u l d s o l v e i t s y m b o l i c a l l y ? M s : Y e a h J : H o w c o u l d y o u d o t h a t h e r e ? ( I - R - E ) Y o u d o a n x - s q u a r e d t i m e s z e r o ? S a n d y : I n f a c t o r e d f o r m . u m . i n t h e p a r e n t h e s i s . x t i m e s z e r o . o r x + 0 i s z e r o a n d t h e n x + - 3 e q u a l s z e r o . S o y o u n e e d t o u s e t h e n e g a t i v e o r p o s i t i v e o f t h a t n u m b e r . J : I t ’ s a m u l t i p l i c a t i o n p r o b l e m . i s n ’ t i t ? Y o u ’ r e m u l t i p l y i n g x t i m e s t h e q u a n t i t y x p l u s t h r e e ? I s n ’ t a n y n u m b e r t i m e s z e r o . z e r o ? S s : [ o v e r l a p p i n g ] Y e a h J : J u s t a l i t t l e t i n y b i t a b o u t t h i s . I f y o u c a n g e t e i t h e r o f t h e s e t e r m s e q u a l t o z e r o . s i n c e a n y t h i n g t i m e s z e r o i s z e r o . ( l - R - E ) h o w c a n y o u g e t t h a t t e r m e q u a l t o z e r o . P J . w h a t w o u l d y o u p u t i n f o r x t o g e t t o e q u a l z e r o ? P J : - 3 J : B e c a u s e - 3 + 3 i s z e r o a n d t h e n n e g a t i v e t h r e e t i m e s z e r o i s z e r o . ( I - R - E ) H o w c a n I g e t t h a t t e r m e q u a l t o z e r o ? S s : Z e r o J : Z e r o . ( I - R - E ) w h a t ’ s z e r o p l u s t h r e e ? S s : T h r e e J : B u t w h a t ’ s z e r o t i m e s t h r e e ? S s : Z e r o J : D o y o u r e m e m b e r t h a t ? S s : Y e a h J : S o . i f I g e t e i t h e r o f t h e s e t w o t e r m s . t h e s e a r e a c t u a l l y l i n e a r t e r m s . e q u a l t o z e r o . t h e n y w i l l e q u a l z e r o ? A n d o n c e y o u h a v e y o u r x - i n t e r c e p t s . y o u c a n d o a n a w f u l l o t . Y o u c a n fi n d a m i n i m u m . a m a x i m u m v a l u e . t h e l i n e o f s y m m e t r y i s h a l f w a y b e t w e e n . L e t ’ s t r y i t . T a k e a l o o k a t p r o b l e m . fi r s t o f a l l . l e t ’ s fi n i s h t h i s o n e . W h a t I ’ d l i k e y o u t o d o i t t h i s . I ’ d l i k e y o u t o . u m . h o w s h o u l d I a s k t h i s ? W e l l . I ’ l l l e t y o u u s e g r a p h i n g c a l c u l a t o r s t h i s t i m e . I ’ d l i k e y o u t o s k e t c h w h a t t h e g r a p h o f t h a t l o o k s l i k e . W h e r e a r e t h e x - i n t e r c e p t s . F s : F o r w h a t ? J : A n d w h a t i s t h e m i n i m u m o r m a x i m u m v a l u e f o r t h i s q u a d r a t i c e q u a t i o n . L e t ’ s d o t h a t i n y o u r j o u r n a l , p l e a s e . W o u l d y o u s k e t c h a g r a p h . g i v e t h e x - i n t e r c e p t s a n d t h e n g i v e o r s h o w e i t h e r t h e m i n i m u m o r t h e m a x i m u m v a l u e . D o e s i t g o u p t o a p o i n t ? D o e s i t c o m e d o w n t o a p o i n t b e f o r e i t s t a r t s g o i n g b a c k u p . [ S s w o r k q u i e t l y o n t h i s — m i n i m a l t a l k i n g w h i l e t h e y w o r k ] J o s h r e f e r r e d b a c k f o r t h e F r a g s u n i t a g a i n i n a s k i n g s t u d e n t s w h a t t h e y r e m e m b e r e d a b o u t i t . I n d o i n g s o . h e o f f e r e d a v e r y o p e n q u e s t i o n : " D o y o u r e m e m b e r s o m e t h i n g ? ” T h r e e s t u d e n t s r a i s e d t h e i r h a n d s a n d J o s h r e c o g n i z e d t h e m a l l a n d t h e n c a l l e d o n C h u c k t o t e l l h i m w h a t h e r e m e m b e r e d . C h u c k m a y h a v e o f f e r e d a s o m e w h a t c r y p t i c r e s p o n s e a s J o s h a s k e d h i m t o “ h o l d o n a s e c o n d . ” H e t h e n a s k e d J a y l e n w h a t h i s x - i n t e r c e p t s w e r e a n d w r o t e t h e m o n t h e b o a r d . C h u c k a g r e e d t h a t t h e s e w e r e t h e x - i n t e r c e p t s . J o s h r e f o r m u l a t e d t h e m i n t o o r d e r e d p a i r s . m a k i n g t h e a n s w e r m o r e m a t h e m a t i c a l l y c o r r e c t . H e t h e n l e t t h e c l a s s k n o w t h a t h e t h o u g h t h e u n d e r s t o o d w h a t C h u c k w a s d o i n g . b u t t h a t h e d i d n o t t h i n k o t h e r s t u d e n t s k n e w w h a t h e m e a n t . H e a s k e d t h e r e s t o f t h e c l a s s i f t h e y u n d e r s t o o d w h a t h e w a s s a y i n g a n d t h r e e t i m e s r e s t a t e d w h a t C h u c k s a i d . “ w h a t y o u n e e d t o g e t z e r o . ” J o n a h t o l d J o s h t h a t h e d i d n o t r e a l l y k n o w w h a t C h u c k w a s s a y i n g a n d J o s h a s k e d C h u c k t o “ c l e a r i t u p . ” C h u c k h a d a d i f fi c u l t t i m e " « ' 1 s t a t i n g w h a t i t w a s h e w a s d o i n g . J o s h t r i e d t o h e l p h i m m a k e h i s r e s p o n s e m o r e c l e a r b y a s k i n g h i m i f h e w a s l o o k i n g a t t h e e x p a n d e d o r f a c t o r e d f o r m . O n e m a l e s t u d e n t s a i d h e h a d “ n o i d e a . ” i n d i c a t i n g t h a t h e w a s l o s t . C h u c k s a i d h e w a s l o o k i n g a t t h e e x p a n d e d f o r m . w h i c h m a y h a v e s u r p r i s e d J o s h b e c a u s e h e r e s p o n d e d w i t h t h e q u e s t i o n . " f o r b o t h o f t h e m ? ” I n s t e a d o f a s k i n g C h u c k t o a r t i c u l a t e h i s p r o c e s s f u r t h e r . J o s h a s k e d M i n d y w h a t s h e t h o u g h t . M i n d y m u s t h a v e r e f e r r e d t o u s i n g t h e a n s w e r s t h a t w e r e a l r e a d y g i v e n ( m u c h o f h e r t u r n w a s i n a u d i b l e b e c a u s e s h e s p o k e v e r y q u i e t l y ) b e c a u s e J o s h s a i d . “ b u t w h a t i f I d i d n ’ t k n o w w h a t t h e x - i n t e r c e p t s w e r e ? ” J o s h c h a n n e l e d t h e d i s c u s s i o n t o f o c u s o n t h e s y m b o l i c m e t h o d a n d r e f e r r e d b a c k t o t h e f a c t t h a t t h e y a l r e a d y k n e w h o w t o s o l v e l i n e a r p r o b l e m s . H e m a y h a v e b e e n h o p i n g t h a t t h e p r o c e s s f o r s o l v i n g l i n e a r h a d b u i l t a f o u n d a t i o n f o r s t u d e n t s t o s e e h o w t h e y c o u l d s o l v e q u a d r a t i c s . S a n d y o f f e r e d a w a y t o s o l v e t h e p r o b l e m b y l o o k i n g a t t h e f a c t o r e d f o r m . H o w e v e r . h e r d e s c r i p t i o n w a s n o t c l e a r t o m e a s a n o b s e r v e r . I t m a y n o t h a v e b e e n c l e a r t o J o s h . e i t h e r . a s h e d i d n o t i n c o r p o r a t e a n y o f h e r s u g g e s t i o n i n t o h i s n e x t t u r n . H e u s e d a t a g - q u e s t i o n t o s u g g e s t t h a t t h e p r o b l e m w a s a m u l t i p l i c a t i o n p r o b l e m a n d t o r e m i n d s t u d e n t s t h a t a n y n u m b e r t i m e s z e r o i s z e r o . H e t h e n s c a f f o l d e d t h e p r o c e s s b y g o i n g i n t o a “ t i n y b i t a b o u t t h i s . ” H e a s k e d P J w h a t h e c o u l d p u t i n t o m a k e ( x + 3 ) e q u a l t o z e r o . P J g a v e t h e c o r r e c t r e s p o n s e a n d J o s h r e v o i c e d t h e r e s p o n s e t o s h o w t h e p r o c e s s i n v o l v e d : t h a t i s . w h e n y o u s u b s t i t u t e d « 3 i n f o r x . t h e r e s u l t c a m e o u t t o b e z e r o a n d — 3 t i m e s z e r o g a v e t h e m z e r o . J o s h c o n t i n u e d t h e p r o c e s s b y a s k i n g r s t u d e n t s h o w t o g e t t h e o t h e r t e r m t o b e z e r o . S t u d e n t s t a l k h i m t h r o u g h t h i s o n e a s a c l a s s a n d w h e n J o s h a s k s . “ D o y o u r e m e m b e r t h a t ? . ” s t u d e n t s r e s p o n d i n t h e a f fi r m a t i v e . m m I b u - . _ n u n s - F . ~ J o s h s e e m e d t o b e s u m m a r i z i n g t h e c o n v e r s a t i o n i n h i s n e x t t e r m . H e r e v i e w e d t h e f a c t t h a t i f e i t h e r o f t h e t w o t e r m s e q u a l z e r o . t h e y w o u l d e q u a l z e r o . H e a l s o c o n n e c t e d t h e p a r t s o f t h e f a c t o r e d f o r m o f t h e e q u a t i o n t o t h e f a c t t h a t t h e y w e r e r e a l l y j u s t d e a l i n g w i t h l i n e a r t e r m s . I n o t h e r w o r d s . I c o u l d t h i n k a b o u t s o l v i n g a q u a d r a t i c a s b r e a k i n g t h e q u a d r a t i c d o w n i n t o t w o l i n e a r e q u a t i o n s . e a c h o f w h i c h m u s t e q u a l z e r o . B y m a k i n g t h i s s t a t e m e n t . h e m a y h a v e b e e n h o p i n g t h a t s t u d e n t s w o u l d c o n n e c t t h e i r s y m b o l i c m e t h o d f o r l i n e a r f u n c t i o n s t o t h e q u a d r a t i c f u n c t i o n s t h e y w e r e n o w t a c k l i n g . H e a l s o t o l d t h e m w h a t t h e y c o u l d fi n d o n c e t h e y h a v e t h e i r x - i n t e r c e p t s : t h e m i n i m u m o r m a x i m u m a n d t h e l i n e o f s y m m e t r y . T h e n . t o g i v e s t u d e n t s f u r t h e r p r a c t i c e w i t h d o i n g t h i s . J o s h a s k e d t h e m t o fi n i s h t h e p r o b l e m b y l o c a t i n g t h e s e o n t h e p r o b l e m t h e y w e r e c u r r e n t l y d o i n g . W h a t m a t h e m a t i c a l u n d e r s t a n d i n g s d o s t u d e n t s s e e m t o d i s p l a y " ? A g a i n . I a t t e n d t o : t h e f o c u s o f t h e d i s c u s s i o n . t h e k i n d o f l a n g u a g e u s e d . a n d t h e t y p e o f s t a t e m e n t s b e i n g m a d e . T h e f o c u s o f t h e d i s c u s s i o n i s m a d e w h e n J o s h c a l l e d o n S a n d y t o r e a d f r o m t h e t e x t b o o k . A f t e r S a n d y r e a d . J o s h i n q u i r e d a b o u t t h i n g s t h e y h a d a l r e a d y l e a r n e d a b o u t q u a d r a t i c s i n p r e v i o u s u n i t s ( i . e . M o v i n g S t r a i g h t A h e a d a n d F r o g s . F l e a s . a n d P a i n t e d C a b e s ) . B y d o i n g s o . J o s h d e fi n e d t h e p a r a m e t e r s o f t h e c l a s s r o o m t a l k . u s i n g t h e t e x t b o o k t o d e t e r m i n e w h a t w o u l d b e t a l k e d a b o u t a n d w h e n . T h e t a l k m o v e d f r o m r e m e m b e r i n g w h a t t h e y h a d l e a r n e d a b o u t q u a d r a t i c s i n o t h e r u n i t s t o f a c t o r i n g q u a d r a t i c s u s i n g a n a r e a m o d e l t o s o l v i n g q u a d r a t i c s t o b e i n g f o c u s e d o n u s i n g s y m b o l i c m a n i p u l a t i o n t o s o l v e t h e p r o b l e m s . E a c h o f t h e s e t o p i c s w a s d e fi n e d a n d i n t r o d u c e d b y J o s h . I n s o m e c a s e s . h e a l s o d e fi n e d t h e p r o c e s s f o r d o i n g w h a t h e r e q u e s t e d . F o r e x a m p l e . w h e n h e a s k e d s t u d e n t s t o f a c t o r . h e r e f o r m u l a t e d t h e q u e s t i o n t o a s k t h e m w h a t t h e r e c t a n g l e ’ s d i m e n s i o n s w o u l d b e . S o m e o f t h e p r o c e s s e s w e r e d e fi n e d b y s t u d e n t s . F o r i n s t a n c e . J o s h a s k e d s t u d e n t s t o fi n d t h e x - i n t e r c e p t s o r r o o t s a n d t o l d t h e m . “ I d o n ’ t c a r e h o w . ” i n s i n u a t i n g t h a t t h e y c o u l d s o l v e i t s y m b o l i c a l l y . u s e t h e g r a p h i n g c a l c u l a t o r . e t c . J a y l e n u s e d t h e g r a p h i n g c a l c u l a t o r a n d d e s c r i b e d w h a t h e d i d t o s o l v e t h e p r o b l e m . T h e r a n g e o f l a n g u a g e u s e d i n t h i s t r a n s c r i p t i s f a i r l y c o n s i s t e n t . J o s h a n d t h e s t u d e n t s t y p i c a l l y u s e d o f fi c i a l m a t h e m a t i c a l l a n g u a g e ( O M L ) . I n f a c t . J o s h m a y h a v e s e t t h i s s t a g e b y i m m e d i a t e l y r e f e r r i n g t o t h e t e x t b o o k a n d b y m o d e l i n g t h i s t y p e o f l a n g u a g e r i g h t a w a y b y a s k i n g . “ H o w d o y o u k n o w i t ’ s a q u a d r a t i c ? ” S o m e e x a m p l e s o f t h i s t y p e o f l a n g u a g e i n c l u d e d : q u a d r a t i c . l i n e a r . p a r a b o l a . y - i n t e r c e p t . x - i n t e r c e p t . m i n i m u m . m a x i m u m . l i n e o f s y m m e t r y . r o o t . s o l u t i o n . e x p a n d e d f o r m . f a c t o r e d f o r m . I n f a c t . J o s h f u r t h e r s u p p o r t e d t h i s t y p e o f t a l k i n h i s r e v o i c i n g o f s t u d e n t c o n t r i b u t i o n s . F o r i n s t a n c e . w h e n J e n n i f e r s a i d . " A n d 3 t i m e s x i s 3 x . s o p u t x + 3 i n p a r e n t h e s i s . ” J o s h r e v o i c e d h e r a n s w e r a s . “ . . . x t i m e s t h e q u a n t i t y x + 3 . ” m a k i n g h e r c o n t r i b u t i o n m o r e m a t h e m a t i c a l l y p r e c i s e . A n o t h e r e x a m p l e o f t h i s w o u l d i n c l u d e w h e n o n e s t u d e n t g a v e t h e x - i n t e r c e p t s a s — 3 a n d 0 . J o s h fi r s t r e s t a t e d w h a t h e s a i d a n d t h e n r e v o i c e d h i m s e l f . s a y i n g . “ O r 3 5 4 1 I J J I D 1 L n e g a t i v e t h r e e . z e r o a n d z e r o . z e r o a s f a r a s p o i n t s a r e c o n c e r n e d . ” T h e r e w e r e a l s o m a n y t i m e s w h e n J o s h u s e d O M L a n d t h e n c o n t i n u e d b y d e s c r i b i n g t h e p r o c e s s o r d e fi n i t i o n t h a t w e n t w i t h t h e t e r m . F o r e x a m p l e . a f t e r h e a s k e d s t u d e n t s t o “ t r a n s l a t e t h e b o o k . ” S a n d y o f f e r e d t h a t t h e y w e r e t r y i n g t o fi n d t h e " s o l u t i o n s . ” J o s h r e v o i c e d t h i s a s “ t h e r o o t s o r x — i n t e r c e p t s ” f o l l o w e d b y w h a t t h a t m e a n t : " I n o t h e r w o r d s . I ’ m s e t t i n g y e q u a l t o z e r o . ” I n a t t e n d i n g t o t h e t y p e o f s t a t e m e n t s b e i n g m a d e . t h e r e i s o n e i n s t a n c e O f a n " i n c o h e r e n t ” s t a t e m e n t . W h e n C h u c k t r i e d t o d e s c r i b e h o w h e h a d c o m e u p w i t h t h e s o l u t i o n h e s a i d . “ U h . w h a t y o u n e e d t o g e t z e r o a t y . t h e t h r e e i s z e r o a n d t h e x i s z e r o . ” H o w e v e r . t h e s t a t e m e n t a p p e a r e d t o o n l y b e i n c o h e r e n t t o o t h e r p a r t i c i p a n t s . b u t n o t t o J o s h . I n f a c t . J o s h p o i n t e d t h i s f a c t o u t w h e n h e s a i d . " M t h i n k I u n d e r s t a n d w h a t y o u a r e s a y i n g . b u t I ’ m n o t s u r e a n y b o d y e l s e d o e s . ” H e c o n fi r m e d h i s s u s p i c i o n s b y c a l l i n g o n J o n a h a n d a s k e d C h u c k t o “ c l e a r i t u p . ” C h u c k t r i e d t o d o t h i s o n c e a n d t h e n J o s h t r i e d t o h e l p h i m m a k e h i s c o n t r i b u t i o n m o r e c l e a r b y a s k i n g a d i r e c t i v e q u e s t i o n ( e . g . W h a t a r e y o u l o o k i n g a t . t h e e x p a n d e d o r t h e f a c t o r e d f o r m ? ” ) . J o s h m a y h a v e a t t e m p t e d t o h a v e a n o t h e r s t u d e n t h e l p w i t h t h e e x p l i c a t i o n o f t h i s m e t h o d w h e n h e b r o u g h t M i n d y i n t o t h e c o n v e r s a t i o n b y a s k i n g h e r w h a t s h e t h o u g h t . I t w a s n o t c l e a r t o m e w h e t h e r M i n d y w a s t r y i n g t o h e l p J o s h u n d e r s t a n d C h u c k ’ s c o n t r i b u t i o n o r i f s h e w e r e o f f e r i n g h e r o w n m e t h o d f o r s o l v i n g t h e e q u a t i o n . H o w e v e r . i t w a s c l e a r t h a t b o t h M i n d y a n d C h u c k w e r e a t t e m p t i n g t o u s e t h e e x p a n d e d f o r m t o d e s c r i b e t h e i r s o l u t i o n . J o s h p o i n t e d o u t t h a t t h e y n e e d e d t o t h i n k a b o u t h o w t o s o l v e w h e n t h e y d i d n o t k n o w w h a t t h e x - i n t e r c e p t s w e r e a n d p r o c e e d e d b y a s k i n g s t u d e n t s t o u s e w h a t t h e y k n e w a b o u t s o l v i n g l i n e a r f u n c t i o n s s y m b o l i c a l l y . H e t a l k e d t h e m t h r o u g h t h e p r o c e s s . fi l t e r i n g o u t t h e p r e v i o u s s o l u t i o n s m e t h o d s t h a t h a d b e e n o f f e r e d b y s t u d e n t s . H e d i r e c t e d t h e i r a t t e n t i o n t o t h e f a c t o r e d f o r m a n d u s i n g t h a t t o s o l v e t h e q u a d r a t i c e q u a t i o n s . I n f a c t . a t o n e p o i n t . J o s h r e a d a q u e s t i o n f r o m t h e t e x t b o o k t h a t a s k e d . “ W h i c h f o r m m a k e s i t e a s i e r t o fi n d t h e r o o t s ? ” A l t h o u g h t h e q u e s t i o n i s n e v e r a n s w e r e d e x p l i c i t l y . i t b e c a m e f a i r l y c l e a r t h a t t h e f a c t o r e d f o r m w a s t h e a p p r o v e d m e t h o d . M a n y o f t h e s t u d e n t s t a t e m e n t s w e r e “ o p e r a t i o n a l ” i n t h a t t h e y f o c u s e d o n h o w t o d o s o m e t h i n g . T h e s e g m e n t o f t r a n s c r i p t t h a t f o l l o w e d t h e a b o v e e x a m p l e w o u l d b e a n i n s t a n c e o f t h i s . S a n d y ’ s r e s p o n s e t o J o s h . i n f a c t . w a s a b o u t h o w t o s o l v e a n d o n l y f o c u s e d o n t h e f a c t o r e d f o r m a s J o s h h a d i n d i c a t e d i t s h o u l d . I n m a n y c a s e s . t h e p r o c e s s o f h o w t o s o l v e t h e p r o b l e m w a s t h e f o c u s o f t h e c o n v e r s a t i o n . T h e r e w e r e a l s o s o m e “ r e fl e c t i v e ” s t a t e m e n t s m a d e b y J o s h . A t l e a s t t h r e e t i m e s . J o s h t r i e d t o g e t s t u d e n t s t o . u s e w h a t t h e y h a d l e a r n e d i n p r e v i o u s u n i t s . a t t e m p t i n g t o m a k e t h e c o m m o n k n o w l e d g e m o r e c o n n e c t e d f o r s t u d e n t s . H e r e f e r r e d b a c k t o : h o w t h e y k n e w t h e e q u a t i o n w a s q u a d r a t i c . h o w t h e y h a d s o l v e d l i n e a r e q u a t i o n s s y m b o l i c a l l y . h o w t h e y c o u l d u s e t h e x - i n t e r c e p t s t o fi n d t h e m i n i m u m o r m a x i m u m a n d t h e l i n e o f s y m m e t r y . S o m e o f t h i s i n f o r m a t i o n w a s r e l a t e d t o w h a t s t u d e n t s h a d l e a r n e d i n p r e v i o u s u n i t s ; o t h e r i n f o r m a t i o n w a s c o v e r e d m o r e r e c e n t l y i n t h e c u r r e n t u n i t . I n a d d i t i o n . e x p l a n a t i o n s w e r e g i v e n w h e n e v e r J o s h r e q u e s t e d t h e m . ' “ E x p l o r e " i s p a r t o f t h e e x p l i c i t p e d a g o g i c a l m o d e l t h a t C M P e n c o u r a g e s t e a c h e r s t o u s e : l a u n c h . e x p l o r e . t h e n s u m m a r i z e . T h e t y p e o f c l a s s r o o m t a l k t h a t i s i n t h i s e x a m p l e w a s s o m e t h i n g t h a t 1 o b s e r v e d o f t e n w h e n K a r l a w a s i n t h e “ e x p l o r e ” p o r t i o n o f t h e l e s s o n . 3 I u s e t h e w o r d “ b r i e f ’ b e c a u s e t h e t r a n s c r i p t s t ’ o r t h i s o n e o b s e r v a t i o n w a s o v e r 2 0 p a g e s l o n g . T h e a c t u a l d i s c u s s i o n a b o u t t h i s t o p i c t o o k p l a c e o v e r t w o a n d a h a l f c l a s s p e r i o d s a n d i t w a s d i f fi c u l t t o c h o o s e a o r t i o n t o b e r e p r e s e n t a t i v e o f t h e r i c h d i s c u s s i o n t h a t t o o k p l a c e . " T h i s e x a m p l e i s c o n t i n u o u s e x c e p t w h e r e I ’ v e n o t e d o t h e r w i s e . 1 h a v e s e c t i o n e d i t o f f i n t o t o p i c a l l y r e l a t e d s e q u e n c e s f o r i n t e r p r e t a t i o n p u r p o s e s . " I n t h i s c l a s s r o o m . s t u d e n t s s a y x - t w o a n d x - s q u a r e d t o b o t h m e a n x t o t h e s e c o n d p o w e r . I h a v e d i f f e r e n t i a t e d t h i s f o r t h e r e a d e r b y u s i n g x 2 a n d x - s q u a r e d . T h i s w o u l d b e a n o t h e r e x a m p l e o t ’ C G L t h a t i s 3 5 6 u s e d i n K a r l a ’ s c l a s s r o o m . N o t i c e t h i s i s n o t " c o r r e c t e d ” b y K a r l a . e v e n t h o u g h D a l e i s o n e o f t h e h i g h e s t a c h i e v i n g s t u d e n t s i n t h e c l a s s . 5 D u e t o t h e l e n g t h o f t h i s e x t e n d e d d i s c u s s i o n . I w a s u n a b l e t o c o n t i n u e t o i n c l u d e t h e s e g e n e r a l i z a t i o n s . 6 I e n c o u r a g e t h e r e a d e r t o a g a i n n o t e t h e p e r v a s i v e l - R - E p a t t e r n i n t h i s t r a n s c r i p t . w h i c h b e g i n s a t t h i s p o i n t . J o s h a s k e d a q u e s t i o n . s t u d e n t s a n s w e r e d i t a n d J o s h a f fi r m e d t h e a n s w e r b y r e p e a t i n g i t . T o s h o w t h i s . I h a v e i n c l u d e d ( I - R - E ) a t t h e b e g i n n i n g o f e a c h o f t h e e x c h a n g e s t h a t fi t t h i s p a t t e r n . 7 T h i s e x c h a n g e c o u l d b e c o n s i d e r e d I - R - E i n n a t u r e . H o w e v e r . s i n c e t h e t a g - f o r m r e a l l y e n c o u r a g e d m e r e l y a n a f fi r m a t i o n f r o m s t u d e n t s . I w i l l n o t l a b e l t h e s e a s s u c h . 8 T h i s w a s t h e l a s t t h i n g I i n c l u d e d i n t h a t s e g m e n t o f c l a s s r o o m t a l k s o I c o u l d s k i p t o t h e s e g m e n t w h i c h f o c u s e d o n t h e m a t h e m a t i c a l p o i n t o f t h e l e s s o n ( i . e . s o l v i n g q u a d r a t i c s s y m l m l i c a l l y ) . 3 5 7 A P P E N D I X P T E A C H E R T U R N C O M P A R I S O N S D O U ] C D 5 ' - T S P 5 1 J o s h ' s a n d K a r l a ' s T u r n s I J o s h l I K a r l a 1 - 1 0 1 1 - 2 0 2 1 - 3 0 3 1 - 4 5 4 6 4 3 - 5 6 6 - 1 0 0 L e n g t h o f T u r n ( i n w o r d s ) 2 1 1 - 1 5 0 1 A P P E N D I X Q S T U D E N T T U R N C O M P A R I S O N 3 6 0 m m - l . ‘ 0 . . ‘ ‘ i - m v m a r g i n - c 1 _ ' r ' ' J ' s S t u d e n t s v s . K ' s S t u d e n t s T u r n s ‘ I J o s h ' s S s ‘ ‘ I K a r l a ' s S s « m u r m u r - 0 0 ¢ L e n g t h o f T u r n ( i n w o r d s ) 3 6 1 R E F E R E N C E S A i n l e y . J . ( 1 9 8 7 ) . T e l l i n g q u e s t i o n s . M a t h e m a t i c s T e a c h i n g . 1 1 8 . 2 4 - 2 7 . A i n l e y . J . ( 1 9 8 8 . A u g u s t ) . P e r c e p t i o n s o f t e a c h e r s ' q u e s t i o n i n g s t y l e s . P a p e r p r e s e n t e d a t t h e P s y c h o l o g y o f M a t h e m a t i c s E d u c a t i o n . V a s z p r e m . H u n g a r y . A s k e y . R . ( 1 9 9 2 ) . S o m e c o m m e n t s o n E d u c a t i o n . N o t i c e s o f t h e A m e r i c a n M a t h e m a t i c a l S o c i e t y . 3 9 ( 5 ) , 4 2 4 - 4 2 6 . B a l l , D . L . ( 1 9 9 7 ) . D e v e l o p i n g m a t h e m a t i c s r e f o r m : W h a t d o n ' t w e k n o w a b o u t t e a c h e r l e a m i n g « b u t w o u l d m a k e g o o d w o r k i n g h y p o t h e s e s . I n S . F r i e l & G . B r i g h t ( E d s ) . R e fl e c t i n g o n o u r w o r k : N S F T e a c h e r E n h a n c e m e n t i n K - 6 m a t h e m a t i c s ( p p . 7 7 - 1 I 1 ) . L a n h a m . M D : U n i v e r s i t y P r e s s . B a r n e s . D . ( 1 9 6 9 ) . L a n g u a g e i n t h e s e c o n d a r y c l a s s r o o m . L a n g u a g e . t h e l e a r n e r a n d t h e s c h o o l ( p p . 1 1 - 7 7 ) . B a l t i m o r e . M D : P e n g u i n B o o k s . B a r n e s . D . ( 1 9 7 6 ) . T h e t e a c h e r ' s c o n t r o l o f k n o w l e d g e . F r o m c o m m u n i c a t i o n t o c u r r i c u l u m ( p p . 1 0 8 - 1 3 8 ) . L o n d o n : P e n g u i n B o o k s . B a r t o l o m e , P . ( 1 9 6 9 ) . T e a c h e r s ' o b j e c t i v e s a n d q u e s t i o n s i n p r i m a r y r e a d i n g . T _ h _ e R e a d i n g T e a c h e r . 2 3 ( 1 ) . 2 7 - 3 3 . B e l l a c k . A . , K l i e b a r d , H . . H y m a n . R . . & S m i t h . F . ( 1 9 6 6 ) . T h e l a n g u a g e o f t h e c l a s s r o o m . N e w Y o r k : T e a c h e r s C o l l e g e P r e s s . B e r n s t e i n . B . B . ( 1 9 7 1 ) . C l a s s . c o d e s a n d c o n t r o l : T h e o r e t i c a l s t u d i e s t o w a r d s a s o c i o l o g y o f l a n g u a g e . ( V o l . 1 ) . L o n d o n : R o u t l e d g e a n d K e g a n P a u l . B i l l s . L . ( 2 0 0 0 ) . P o l i t e n e s s i n t e a c h e r - s t u d e n t d i a l o g u e i n m a t h e m a t i c s : A s o c i o - l i n g u i s t i c a n a l y s i s . F o r t h e L e a r n i n g o f M a t h e m a t i c s . 2 0 ( 2 ) . 4 0 - 4 7 . B o a l e r . J . ( 1 9 9 7 ) . E x p e r i e n c i n g s c h o o l m a t h e m a t i c s . B r i s t o l . P A : O p e n U n i v e r s i t y P r e s s . B r i t t o n . J . ( 1 9 6 9 ) . T a l k i n g t o L e a r n . I n D . B a r n e s ( E d ) . L a n g u a g e . t h e l e a r n e r a n d t h e s c h o o l ( p p . 8 1 - 1 1 5 ) . B a l t i m o r e . M D : P e n g u i n B o o k s . B r o w n . P . . & L e v i n s o n . S . ( 1 9 7 8 ) . U n i v e r s a l s i n l a n g u a g e u s e : P o l i t e n e s s p h e n o m e n a . I n E . N . G o o d y ( E d . ) . Q u e s t i o n s a n d p o l i t e n e s s : S t r a t e g i e s i n s o c i a l i n t e r a c t i o n ( p p . 5 6 - 2 6 4 ) . N e w Y o r k : C a m b r i d g e U n i v e r s i t y P r e s s . B r o w n . R . & L e v i n s o n . S . ( 1 9 8 7 ) . P o l i t e n e s s : S o m e u n i v e r s a l s i n l a r g u a g e u s a g e . C a m b r i d g e : C a m b r i d g e U n i v e r s i t y P r e s s . B r u n e r . J . ( 1 9 8 3 ) . C h i l d ' s t a l k . L o n d o n : O x f o r d U n i v e r s i t y P r e s s . B r u n e r . J . ( 1 9 9 1 ) . T h e n a r r a t i v e c o n s t r u c t i o n o f r e a l i t y . C r i t i c a l I n q u i r y . 1 8 . 1 - 2 1 . C a z d e n . C . ( 1 9 8 6 ) . C l a s s r o o m d i s c o u r s e . I n M . C . W i t t r o c k ( E d ) . H a n d b o o k o f r e s e a r c h o n t e a c h i n g . t h i r d e d i t i o n ( p p . 4 3 2 - 4 6 3 ) . N e w Y o r k : M a c m i l l a n P u b l i s h i n g C o m p a n y . C a z d e n . C . ( 1 9 8 8 ) . C l a s s r o o m d i s c o u r s e : T h e l a n g u a g e o f t e a c h i n g a n d l e a r n i n g . P o r t s m o u t h . N H : H e i n e m a n n . C h u r c h i l l . L . ( 1 9 7 8 ) . Q u e s t i o n i n g s t r a t e g i e s i n s o c i o l i n g u i s t i c s . R o w l e y . M A : N e w b u r y H o u s e P u b l i s h e r s . I n c . C o b b . P . . Y a c k e l . E . . & W o o d . T . ( 1 9 9 3 ) . T h e o r e t i c a l o r i e n t a t i o n . I n T . \ l v ' t i o d . P . C o b b . E . Y a c k e l . & D . D i l l o n ( E d s ) . R e t h i n k i n g e l e m e n t a r y s c h o o l m a t h e m a t i c s : I n s i g h t s a n d i s s u e s . m o n o g r a p h # 6 . R e s t o n . V A : N C T M . C o u l t h a r d . M . ( 1 9 8 5 ) . A n i n t r o d u c t i o n t o d i s c o u r s e a n a l y s i s . L o n d o n : L o n g m a n . 0 3 0 \ D J D a v i s . 0 . . & T i n s l e y . D . ( 1 9 6 7 ) . C o g n i t i v e o b j e c t s r e v e a l e d b y c l a s s r o o m q u e s t i o n s a s k e d b y s o c i a l s t u d i e s s t u d e n t t e a c h e r s . P e a b o d y J o u r n a l o f E d u c a t i o n . 4 5 ( 1 ) . 2 1 - 2 6 . D e w e y . J . ( 1 9 3 8 ) . E x p e r i e n c e a n d e d u c a t i o n . N e w Y o r k : T o u c h s t o n e . D i l l o n . D . R . ( 1 9 9 3 ) . T h e w i d e r s o c i a l c o n t e x t o f i n n o v a t i o n i n m a t h e m a t i c s e d u c a t i o n . I n T . W o o d . P . C o b b . E . Y a c k e l . & D . D i l l o n ( E d s ) . R e t h i n k i n g e l e m e n t a L v s c h o o l m a t h e m a t i c s : I n s i g h t s a n d i s s u e s ( p p . 7 1 - 9 6 ) . R e s t o n . V A : N C T M . E d w a r d s . A . , & F u r l o n g . J . ( 1 9 7 8 ) . T h e l a n g u a g e o f t e a c h i n g : M e a n i n g i n c l a s s r o o m i n t e r a c t i o n . L o n d o n : H e i n e m a n n . E d w a r d s . D . . & M e r c e r . N . ( 1 9 8 7 ) . C o m m o n k n o w l e d g e . N e w Y o r k : M e t h u e n . E r i c k s o n . F . . & S h u l t z . J . ( 1 9 9 2 ) . S t u d e n t s ' e x p e r i e n c e o f t h e c u r r i c u l u m . I n P . J a c k s o n ( E d . ) . H a n d b o o k f o r r e s e a r c h o n c u r r i c u l u m ( p p . 4 6 5 - 4 8 5 ) . N e w Y o r k : M a c M i l l a n P u b l i s h i n g C o . F o r r n a n . E . A . . M c C o r m i c k . D . E . . & D o n a t o . R . ( 1 9 9 8 ) . L e a r n i n g w h a t c o u n t s a s a m a t h e m a t i c a l e x p l a n a t i o n . L i n g u i s t i c s a n d E d u c a t i o n . 9 ( 4 ) . 3 1 3 - 3 3 9 . F r e n c h . P . . & M a c L u r e . M . ( 1 9 8 3 ) . T e a c h e r s ' q u e s t i o n s . p u p i l s ' a n s w e r s : a n i n v e s t i g a t i o n o f q u e s t i o n s a n d a n s w e r s i n t h e i n f a n t c l a s s r o o m . I n M . S t u b b s & H . H i l l i e r ( E d s ) . R e a d i n g s o n l a n g u a g e . s c h o o l s a n d c l a s s r o o m s ( p p . 1 9 3 - 2 1 1 ) . N e w Y o r k : M e t h u e n . G a l l . M . D . ( 1 9 7 0 ) . T h e u s e o f q u e s t i o n s i n t e a c h i n g . R e v i e w o f E d u c a t i o n a l R e s e a r c h . 4 0 ( 5 ) . 7 0 7 - 7 2 1 . G a l l a g h e r . J . ( 1 9 6 5 ) . E x p r e s s i v e t h o u g h t b y g i f t e d c h i l d r e n i n t h e c l a s s r o o m . E l e m e n t a r y E n g l i s h . 4 2 ( 5 ) . 5 5 9 - 5 6 8 . G a r fi n k e l . H . . & S a c k s . H . ( 1 9 7 0 ) . O n f o r m a l s t r u c t u r e s o f p r a c t i c a l a c t i o n . I n C . M c K i n n e y & E . T i r y a k i a n ( E d s ) . T h e o r e t i c a l s o c i o l o g y ( p p . 3 3 7 - 3 6 6 ) . N e w Y o r k : A p p l e t o n C e n t u r y C r o f t s . G e e . J . P . ( 1 9 9 2 ) . T h e s o c i a l m i n d . N e w Y o r k : B e r g i n a n d G a r v e y . G o f f m a n . E . ( 1 9 6 7 ) . I n t e r a c t i o n r i t u a l : E s s a y s o n f a c e t o f a c e b e h a v i o r . G a r d e n C i t y . N Y : A n c h o r . G o f f m a n . E . ( 1 9 7 4 ) . F r a m e a n a l y s i s . C a m b r i d g e . M A : H a r v a r d U n i v e r s i t y P r e s s . G o f f m a n . E . ( 1 9 8 1 ) . F o r m s o f t a l k . P h i l a d e l p h i a : U n i v e r s i t y o f P e n n s y l v a n i a P r e s s . G o o d y . E . N . ( 1 9 7 8 ) . T o w a r d s a t h e o r y o f q u e s t i o n s . I n E N . G o o d y ( E d ) . Q u e s t i o n s a n d p o l i t e n e s s ( p p . 1 7 - 4 3 ) . N e w Y o r k : C a m b r i d g e U n i v e r s i t y P r e s s . G r i f fi n . P . . & M e h a n . H . ( 1 9 8 1 ) . S e n s e a n d r i t u a l i n c l a s s r o o m d i s c o u r s e . I n F . C o u l m a s ( E d . ) . C o n v e r s a t i o n a l r o u t i n e : E x p l o r a t i o n s i n s t a n d a r d i z e d c o m m u n i c a t i o n s i t u a t i o n s a n d p r e p a t t e r n e d s p e e c h . T h e H a g u e : M o u t o n . G u t i e r r e z . K . ( 1 9 9 2 . A p r i l ) . T h e s o c i a l c o n t e x t s o f l i t e r a c y i n s t r u c t i o n f o r L a t i n o c h i l d r e n . P a p e r p r e s e n t e d a t t h e A m e r i c a n E d u c a t i o n a l R e s e a r c h A s s o c i a t i o n . S a n F r a n c i s c o . H a l l i d a y . M . ( 1 9 7 5 ) . L e a r n i n g h o w t o m e a n . L o n d o n : E d w a r d A r n o l d . H a r g i e . O . D . W . ( 1 9 8 3 ) . T h e i m p o r t a n c e o f t e a c h e r q u e s t i o n s i n t h e c l a s s r o o m . I n M . S t u b b s & H . H i l l i e r ( E d s ) . R e a d i n g s o n l a n g u a g e . s c h o o l s a n d c l a s s r o o m s ( p p . 1 8 5 - 1 9 2 ) . N e w Y o r k : M e t h u e n . H e r b e l - E i s e n m a n n . B . A . . S m i t h . J . P . . & S t a r . J . ( 1 9 9 9 . A p r i l ) . M i d d l e s c h o o l S t u d e n t s ' a l g e b r a l e a r n i n g : U n d e r s t a n d i n g l i n e a r r e l a t i o n s h i p s i n c o n t e x t . P a p e r p r e s e n t e d a t t h e A m e r i c a n E d u c a t i o n a l R e s e a r c h A s s o c i a t i o n . M o n t r e a l . Q u e b e c . H o d g e . R . & K r e s s . G . ( 1 9 9 3 ) . L a n g u a g g a s i d e o l o g y . 2 n d E d i t i o n . L o n d o n : R o u t l e d g e & K e g a n P a u l . H o e t k e r . J . . & A h l b r a n d . W . . J r . ( 1 9 6 9 ) . T h e p e r s i s t e n c e o f t h e r e c i t a t i o n . A m e r i c a n E d u c a t i o n a l R e s e a r c h J o u r n a l . 6 . 1 4 5 - 1 6 7 . J a c k s o n . A . ( 1 9 9 7 a ) . T h e m a t h w a r s : C a l i f o r n i a b a t t l e s i t o u t o v e r m a t h e m a t i c s e d u c a t i o n r e f o r m . p a r t 1 . N o t i c e s o f t h e A M S . 4 4 ( 6 ) . 6 9 5 - 7 0 2 . J a c k s o n . A . ( I 9 9 7 b ) . T h e m a t h w a r s : C a l i f o r n i a b a t t l e s i t o u t o v e r m a t h e m a t i c s e d u c a t i o n r e f o r m . p a r t I I . N o t i c e s o f t h e A M S . 4 4 ( 7 ) . 8 1 7 - 8 2 3 . L a k o f f . G . ( 1 9 7 2 ) . ' H e d g e s : A s t u d y i n m e a n i n g c r i t e r i a a n d t h e l o g i c o f f u z z y g o n c e p t s ' . P a p e r p r e s e n t e d a t t h e E i g h t h R e g i o n a l M e e t i n g o f t h e C h i c a g o L i n g u i s t i c s S o c i e t y , C h i c a g o . L a k o f f . R . ( 1 9 7 5 ) . L a n g u a g e a n d w o m a n ' s p l a c e . L a n g u a g e a n d w o m a n ' s p l a c e ( p p . 3 - 5 0 ) . N e w Y o r k : O c t a g o n B o o k s . L a p p a n . G . . F e y . J . . F i t z g e r a l d . W . . F r i e l . S . . & P h i l l i p s . E . ( I 9 9 7 a ) . M o v i n g s t r a i g h t a h e a d . M e n l o P a r k . C A : D a l e S e y m o u r P u b l i c a t i o n s . L a p p a n . G . . F e y . J . . F i t z g e r a l d . W . . F r i e l . S . . & P h i l l i p s . E . ( 1 9 9 7 b ) . V a r i a b l e s a n d p a t t e r n s . P a l o A l t o . C A : D a l e S e y m o u r P u b l i c a t i o n s . L a p p a n . G . . F e y . J . . F i t z g e r a l d . W . . F r i e l . S . . & P h i l l i p s . E . ( 1 9 9 8 a ) . S a v i t w i t h s v m b o l s . M e n l o P a r k . C A : D a l e S e y m o u r P u b l i c a t i o n s . r e s s . I n e M l o a r n g d a P . n I O L : f m W a a t v h c 9 . 6 ) . " T ( 1 9 C e . x e m a t i c s t t s . F o r t h e h L e e a l r a n n i g n u g a g o e f o f m a t h e m a t i c s M a t h e m a t i c s . " 6 1 : ( T . o w 2 - a 1 r 0 d . 3 ) s a c r i t i c a l a n a l y s i s L a p p a n . G . . F e y . J . . F i t z g e r a l d . W . . F r i e l . S . . & P h i l l i p s . E . ( I 9 9 8 b ) . T _ h _ e c o n n e c t e d m a t h e m a t i c s p r o j e c t . P a l o A l t o . C A : D a l e S e y m o u r P u b l i c a t i o n s . L a p p a n . G . . F e y . J . . F i t z g e r a l d . W . . F r i e l . S . . & P h i l l i p s . E . ( _ 1 9 9 8 c ) . T h i n k i n g w i t h m a t h e m a t i c a l m o d e l s . M e n l o P a r k . C A : D a l e S e y m o u r P u b l i c a t i o n s . L e m k e . J . ( 1 9 9 0 ) . T a l k i n g s c i e n c e : L a n g u a g e . l e a r n i n g . a n d v a l u e s . N o r w o o d . N J : A b l e x P u b l i s h i n g C o r p o r a t i o n . L o t m a n . Y . ( 1 9 8 8 ) . T e x t w i t h i n a t e x t . S o v i e t P s y c h o l o g y . 2 6 . 3 2 - 5 1 . L o v e . E . . & M a s o n . J . ( 1 9 9 5 ) . F r a m e s f o r t e a c h i n g . T e a c h i n g m a t h e m a t i c s : A c t i o n a n d a w a r e n e s s . M i l t o n K e y n e s . B u c k s : O p e n U n i v e r s i t y . L o v e . E . . & P i m m . D . ( 1 9 9 6 ) . ' T h i s i s s o ' : A t e x t o n t e x t s . I n A . J . B i s h o p . K . C l e m e n t s . C . K e i t e l . J . K i l p a t r i c k . & C . L a b o r d e ( E d s ) . I n t e r n a t i o n a l h a n d b o o k o f m a t h e m a t i c s . p a r t I . B o s t o n : K l u w e r A c a d e m i c P u b l i s h i n g . M a s o n . J . ( 1 9 8 8 ) . T e n s i o n s . I n D . P i m m ( E d . ) . l v l a t h e m a t i c s . t e a c h e r s . a n d M r } . L o n d o n : H o d d e r a n d S t o u g h t o n . M i s h l e r . E . G . ( 1 9 7 2 ) . I m p l i c a t i o n s o f t e a c h e r s t r a t e g i e s f o r l a n g u a g e a n d C o g n i t i o n : O b s e r v a t i o n s i n fi r s t - g r a d e c l a s s r o o m s . I n C . B . C a z d e n . V . P . J o h n . & D . H y m e s ( E d s ) . F u n c t i o n s o f l a n g u a g e i n t h e c l a s s r o o m ( p p . 2 6 7 - 2 9 8 ) . P r o s p e c t H e i g h t s . N C T M . ( 1 9 8 9 ) . C u r r i c u l u m a n d e v a l u a t i o n s t a n d a r d s . R e s t o n . V A : T h e C o u n c i l . N C T M . ( 1 9 9 1 ) . P r o f e s s i o n a l s t a n d a r d s . R e s t o n . V A : T h e C o u n c i l . N R C . ( 1 9 8 9 ) . E v e r y b o d y c o u n t s : A r e p o r t t o t h e n a t i o n o n t h e f u t u r e o f m a t h e m a t i c s e d u c a t i o n . W a s h i n g t o n . D . C . : N a t i o n a l A c a d e m y P r e s s . N y s t r a n d . M . ( 1 9 9 5 ) . D i a l o g i c i n s t r u c t i o n : W h e n r e c i t a t i o n b e c o m e s c o n v e r s a t i o n . O p e n i n g d i a l o g u e : U n d e r s t a n d i n g t h e d y n a m i c s o f l a n g u a g e a n d l e a r n i n g i n t h e E n g l i s h c l a s s r o o m . N e w Y o r k : T e a c h e r s C o l l e g e P r e s s . O ' C o n n o r . M . C . . & M i c h a e l s . S . ( 1 9 9 6 ) . S h i f t i n g p a r t i c i p a n t f r a m e w o r k s : O r c h e s t r a t i n g t h i n k i n g p r a c t i c e s i n g r o u p d i s c u s s i o n . I n D . H i c k s ( E d ) . D i s c o u r s e . l e a r n i n g a n d s c h o o l i n g ( p p . 6 3 - 1 0 3 ) . N e w Y o r k : C a m b r i d g e U n i v e r s i t y P r e s s . O l s o n . D . R . . & A s h i n g t o n . J . W . ( 1 9 9 3 ) . T h i n k i n g a b o u t t h i n k i n g : L e a r n i n g h o w t o t a k e s t a t e m e n t s a n d h o l d b e l i e f s . E d u c a t i o n a l P s y c h o l o g i s t . 2 8 ( 1 ) . 7 - 2 3 . O t t e . M . ( 1 9 8 3 ) . ' T e x t u a l s t r a t e g i e s ' . F o r t h e L e a r n i n g o f M a t h e m a t i c s . 3 ( 3 ) . 1 5 - P e t e r s . R . ( 1 9 6 6 ) . E t h i c s a n d e d u c a t i o n . L o n d o n : G e o r g e A l l e n & U n w i n . P i m m . D . ( 1 9 8 7 ) . S p e a k i n g m a t h e m a t i c a l l y . L o n d o n a n d N e w Y o r k : R o u t l e d g e a n d K e g a n P a u l . P i m m . D . ( 1 9 9 4 ) . S p o k e n m a t h e m a t i c a l c l a s s r o o m c u l t u r e : A r t i fi c e a n d a r t i fi c i a l i t y . I n S . L e r m a n ( E d ) . C u l t u r a l p e r s p e c t i v e s o n t h e m a t h e m a t i c s c l a s s r o o m ( p p . 1 3 3 - 1 4 7 ) . B o s t o n : K l u w e r A c a d e m i c P u b l i s h e r s . P i r i e . S . E . B . , & S c h w a r z e n b c r g e r . R . L . E . ( 1 9 8 8 , ) . M a t h e m a t i c a l d i s c u s s i o n a n d m a t h e m a t i c a l u n d e r s t a n d i n g . E d u c a t i o n a l S t u d i e s i n M a t h e m a t i c s . 1 9 ( 4 ) . 4 5 9 - 4 7 0 . R o t m a n . B . ( 1 9 8 8 ) . T o w a r d s a s e m i o t i c s o f m a t h e m a t i c s . S e r n i o t i c a . 7 2 ( 1 / 2 ) . l - 3 5 . R o w l a n d . T . ( 1 9 9 2 ) . P o i n t i n g w i t h p r o n o u n s . F o r t h e L e a r n i n g o f M a t h e m a t i c s . 1 3 ( 2 ) . 4 4 - 4 8 . R o w l a n d . T . ( 1 9 9 5 ) . H e d g e s i n m a t h e m a t i c s t a l k : L i n g u i s t i c p o i n t e r s t o u n c e r t a i n t y . E d u c a t i o n a l S t u d i e s i n M a t h e m a t i c s . 2 9 . 3 2 7 - 3 5 3 . R o w l a n d . T . ( 1 9 9 9 ) . P r o n o u n s i n m a t h e m a t i c a l t a l k : P o w e r . v a g u e n e s s . a n d g e n e r a l i s a t i o n . F o r t h e L e a r n i n g o f M a t h e m a t i c s . 1 9 ( 2 ) . 1 9 - 2 6 . R u s s e l l . T . ( 1 9 8 3 ) . A n a l y z i n g a r g u m e n t s i n s c i e n c e c l a s s r o o m d i s c o u r s e : C a n t e a c h e r s ' q u e s t i o n s d i s t o r t s c i e n t i fi c a u t h o r i t y " ? J o u r n a l o f R e s e a r c h i n S c i e n c e T e a c h i n g . 2 . 9 ( 1 ) . 2 7 - 4 5 . S c h i f f r i n . D . ( 1 9 9 4 ) . A p p r o a c h e s t o d i s c o u r s e . C a m b r i d g e . M A : B l a c k w e l l P u b l i s h e r s L t d . S e a r l e . J . R . ( 1 9 7 5 ) . I n d i r e c t s p e e c h a c t s . I n P . C o l e 8 ; J . L . M o r g a n ( E d s ) . S y n t a x a n d s e m a n t i c s : V o l u m e 3 s p e e c h a c t s ( p p . 5 9 - 8 2 ) . N e w Y o r k : A c a d e m i c P r e s s . S h u l m a n . L . S . ( 1 9 8 7 ) . K n o w l e d g e a n d t e a c h i n g : F o u n d a t i o n s o f t h e n e w r e f o r m . H a r v a r d E d u c a t i o n a l R e v i e w . 5 7 . 1 - 2 2 . S i m o n . A . , & B o y e r . F . G . ( E d s ) . ( 1 9 6 7 a n d 1 9 7 0 ) . M i r r o r s f o r b e h a v i o u r . ( S u m m a r y V o l u m e ) : R e s e a r c h f o r B e t t e r S c h o o l s I n c . S k e m p . R . ( 1 9 7 9 ) . S c h o o l i n g a n d e d u c a t i o n . I n t e l l i g e n c e . l e a r n i n g a n d a c t i o n ( P P . 2 6 5 - 3 0 7 ) . N e w Y o r k : J o h n W i l e y a n d S o n s . S t a r . J . R . . H e r b e l - E i s e n m a n n . B . A . . & S m i t h . J . P . ( 1 9 9 9 ) . C h a n g i n g c o n c e p t i o n s o f a l g e b r a : W h a t ' s r e a l l y n e w i n n e w c u r r i c u l a ? M a t h e m a t i c s T e a c h i n g i n t h e M i d d l e S c h o o l . 5 ( 7 ) . 4 4 6 - 4 5 1 . S t u b b s . M . ( 1 9 7 5 ) . O r g a n i z i n g c l a s s r o o m t a l k ( O c c a s i o n a l p a p e r 1 9 ) . U n i v e r s i t y o f E d i n b u r g h : C e n t r e f o r R e s e a r c h i n t h e E d u c a t i o n a l S c i e n c e s . S t u b b s , M . ( 1 9 8 3 ) . D i s c o u r s e a n a l y s i s . C h i c a g o : U n i v e r s i t y o f C h i c a g o P r e s s . S t u b b s , M . ( 1 9 8 6 ) . ' A m a t t e r o f p r o l o n g e d fi e l d w o r k ' : N o t e s t o w a r d s a m o d a l g r a m m a r o f E n g l i s h . A p p l i e d L i n g u i s t i c s , 7 ( 1 ) . 1 - 2 5 . S t u b b s . M . ( 1 9 9 6 ) . T o w a r d s a m o d a l g r a m m a r o f E n g l i s h : A m a t t e r o f p r o l o n g e d f i e l d w o r k . T e x t a n d c o r p u s a n a l y s i s ( p p . 1 9 6 - 2 2 9 ) . C a m b r i d g e . M A : B l a c k w e l l . T a n n e n . D . ( 1 9 8 9 ) . T a l k i n g v o i c e s : R e p e t i t i o n . d i a l o g u e . a n d i m a g e r y i n c o n v e r s a t i o n a l d i s c o u r s e . N e w Y o r k : C a m b r i d g e U n i v e r s i t y P r e s s . V a c c . N . N . ( 1 9 9 3 ) . Q u e s t i o n i n g i n t h e m a t h e m a t i c s c l a s s r o o m . A r i t h m e t i c T e a c h e r . 4 1 ( 2 ) . 8 8 - 9 1 . W e s t b u r y . I . ( 1 9 7 3 ) . C o n v e n t i o n a l c l a s s r o o m s . " o p e n " c l a s s r o o m s . a n d t h e t e c h n o l o g y o f t e a c h i n g . J o u r n a l o f C u r r i c u l u m S t u d i e s . 5 . 9 9 - 1 2 1 . Y a c k e l . E . . & C o b b . P . ( 1 9 9 6 ) . S o c i o m a t h e m a t i c a l n o r m s . a r g u m e n t a t i o n . a n d a u t o n o m y i n m a t h e m a t i c s . J o u r n a l f o r R e s e a r c h i n M a t h e m a t i c s E d u c a t i o n . 2 7 ( 4 ) . 4 5 8 - 4 7 7 .