T H E A S Y M P T O T I C R A D I A T I O N F I E L D A N D P R O P E R P R O P A G A T I O N M O D E S P E C T R A O F T H E O P E N P L A N A R W A V E G U I D E V O L U M E I B y J e o n g - S e o g L e e A D I S S E R T A T I O N S u b m i t t e d t o M i c h i g a n S t a t e U n i v e r s i t y i n p a r t i a l f u l fi l l m e n t o f t h e r e q u i r e m e n t s f o r t h e d e g r e e o f D O C T O R O F P H I L O S O P H Y D e p a r t m e n t o f E l e c t r i c a l a n d C o m p u t e r E n g i n e e r i n g 2 0 0 2 A B S T R A C T T H E A S Y M P T O T I C R A D I A T I O N F I E L D A N D P R O P E R P R O P A G A T I O N M O D E S P E C T R A O F T H E O P E N P L A N A R W A V E G U I D E B y J e o n g - S e o g L e e T h e r a d i a t i o n fi e l d o f t h e a s y m m e t r i c p l a n a r d i e l e c t r i c w a v e g u i d e i s e v a l u a t e d u s i n g t h e s t e e p e s t - d e s c e n t m e t h o d f o r b o t h T E a n d T M e x c i t a t i o n s . C o n t i n u o u s s p e c t r u m c u r r e n t s / fi e l d s o f i n t e g r a t e d O p e n w a v e g u i d e s t r u c t u r e s h a s b e e n ' u n t i l r e c e n t l y n e i t h e r c o n c e p t u a l i z e d t h e o r e t i c a l l y n o r q u a n t i fi e d n u m e r i c a l l y . T h a t s p e c t r u m c a n b e i d e n t i fi e d a s t h e b r a n c h c u t c o n t r i b u t i o n t o s i n g u l a r i t y e x p a n s i o n O f t h o s e c u r r e n t s / fi e l d s i n t h e c o m p l e x a x i a l t r a n s f o r m p l a n e . S i n g u l a r i t i e s i n t h a t p l a n e i n c l u d e p o l e s a s s o c i a t e d w i t h t h e g u i d i n g s t r u c t u r e a n d b r a n c h p o i n t s c o n t r i b u t e d b y l a y e r e d b a c k g r o u n d e n v i r o n m e n t s . T h e m a n n e r i n w h i c h s i n g u l a r i t i e s i n b a c k g r o u n d e n v i r o n m e n t s m a n i f e s t t h e m s e l v e s a s b r a n c h p o i n t s i n t h e c o m p l e x a x i a l t r a n s f o r m p l a n e i s r e v i e w e d . B a s e d o n t r a n s f o r m d o m a i n i n t e g r a l e q u a t i o n f o r m u l a t i o n , a p p r o x i m a t e a n d a n a l y t i c a l e x p r e s s i o n f o r s p e c t r a l d o m a i n m i c r o s t r i p c u r r e n t i s o b t a i n e d . T h e d e l t a - g a p f e e d m o d e l i s e x p l o i t e d . T h a t a p p r o x i m a t i o n i s b a s e d o n M a x w e l l i a n d i s t r i b u t i o n f o r t h e t r a n s v e r s e c u r r e n t p r o fi l e . T h e s p e c t r a l d o m a i n c u r r e n t i s i n v e r t e d i n t o s p a c e d o m a i n b y i n t e g r a t i o n c o n t o u r d e f o r m a t i o n i n t h e t o p s h e e t o f t h e a x i a l t r a n s f o r m p l a n e . T h i s r e s u l t i s t h e r e p r e s e n t a t i o n o f c u r r e n t s i n t e r m s o f p r o p e r p r o p a g a t i o n m o d e s p e c t r a . T h a t s p e c t r a “ S m m m i s t o f h o t p fi m l m 3 5 8 0 m n m c n t s . f o r m P 1 3 “ i d t n t i i i c d a n d ’ o t t r a H p T O C C d c o n t i n u o u s S P ‘ i n t e g r a t i o n i n t c i r c u i t fi e l d s , h o u n d m o d N u m e r i e c i s a l c o n t r i b u t i o n W W e e l T o h w e n l i n t o C i ‘ e n point a n d d e c a y c o n t i n u o u s l o n e fi e l d s s p c t a r e . M m p t o t i c a c h i e v e d [ M o r e m s m ’ t d tha M i m e ) » ; T m e a r c h . c o n s i s t O f b o u n d p r o p a g a t i o n m o d e s a s s o c i a t e d w i t h p o l e s i n g u l a r i t i e s a n d c o n t i n u o u s s p e c t r u m a s s o c i a t e d w i t h i n t e g r a t i o n a r o u n d b r a n c h c u t s c o n t r i b u t e d b y b a c k g r o u n d e n v i r o n m e n t s . D u r i n g i n t e g r a t i o n a r o u n d b r a n c h c u t s , s i n g u l a r i t i e s i n t h e t r a n s v e r s e t r a n s f o r m p l a n e m i g r a t e i n a c o m p l i c a t e d m a n n e r . T h e t r a j e c t o r i e s O f t h i s m i g r a t i o n a r e i d e n t i fi e d a n d s u i t a b l y a c c o m m o d a t e d d u r i n g t h e r e a l a x i s i n t e g r a t i o n i n t h a t p l a n e . T h i s o v e r a l l p r o c e d u r e l e a d s t o a d e c o m p o s i t i o n o f t h e t o t a l c u r r e n t s i n t o b o u n d m o d e s a n d c o n t i n u o u s s p e c t r u m c o n t r i b u t i o n s . T h i s r e p r e s e n t a t i o n i s v a l i d a t e d b y r e a l a x i s i n t e g r a t i o n i n t h e a x i a l t r a n s f o r m p l a n e . S i m i l a r a n a l y s i s l e a d s t o n e a r a n d m o d e r a t e z o n e e l e c t r i c fi e l d s O f t h e g u i d i n g s t r u c t u r e . T h e q u a s i T E M c h a r a c t e r i s t i c i m p e d a n c e o f b o u n d m o d e i s c a l c u l a t e d . N u m e r i c a l r e s u l t s a r e o b t a i n e d , w h i c h c o m p a r e b o u n d m o d e a n d c o n t i n u o u s s p e c t r u m c o n t r i b u t i o n t o m i c r o s t r i p c u r r e n t s . I t i s f o u n d t h a t c u r r e n t i s d o m i n a t e d b y t h a t o f b o u n d m o d e . T h e c h a r a c t e r i s t i c i m p e d a n c e o f b o u n d m o d e i s v a l i d a t e d b y c o m p a r i s o n w i t h w e l l - k n o w n e m p i r i c a l f o r m u l a . T h e c o n t i n u o u s s p e c t r u m c u r r e n t i s m a x i m a l n e a r f e e d p o i n t a n d d e c a y s r a p i d l y w i t h a x i a l d i s t a n t f r o m t h e f e e d . T h e n e a r fi e l d i s d o m i n a t e d b y c o n t i n u o u s s p e c t r u m c o n t r i b u t i o n . T h e e x t e n s i v e n u m e r i c a l r e s u l t s f o r n e a r a n d m o d e r a t e z o n e fi e l d s a r e o b t a i n e d . A s y m p t o t i c a p p r o x i m a t i o n t o t h e fi e l d o f a n o p e n i n t e g r a t e d m i c r o s t r i p w a v e g u i d e i s a c h i e v e d t h e o r e t i c a l l y u s i n g t h e s t e e p e s t - d e s c e n t m e t h o d ( s a d d l e p o i n t a p p r o x i m a t i o n ) . I t i s o b s e r v e d t h a t t h e f a r z o n e c o v e r fi e l d d e c a y s a l g e b r a i c a l l y a s r — ( a + 3 / 2 ) ( a $ 0 ) t r a n s v e r s e l y . T h e a l g e b r a i c d e c a y i n g f a c t o r a s t i l l r e m a i n s t o b e d e t e r m i n e d i n f u t u r e r e s e a r c h . C o p y n ' g h t ° b y J e o n g - S e o g L e e A l l R i g h t s R e s e r v e d 2 0 0 2 l b : m o ' r t g a r d f u l a n I w o u l d 1 1 1 ‘ : N y q u i s t . u h a c a d e m i c t a l a p p r e c i a t i o n A C K N O W L E D G E M E N T T h e m o s t m e m o r a b l e m o m e n t s d u r i n g m y a c a d e m i c y e a r s r e m i n d m e o f s i n c e r e a n d r e g a r d f u l a p p r e c i a t i o n t o t h o s e w h o h a v e s u p p o r t e d m e t h r o u g h o u t m y s t u d y . F i r s t o f a l l , I w o u l d l i k e t o e x t e n d r e g a r d f u l a p p r e c i a t i o n t o m y m a j o r p r o f e s s o r , D r . D e n n i s P . N y q u i s t , w h o h a s l e d m e t o t r u e a c a d e m i c a c c o m p l i s h m e n t w i t h h i s u n p r e c e d e n t e d a c a d e m i c t a l e n t a n d t h o u g h t f u l c o n s i d e r a t i o n . I a l s o w o u l d l i k e t o e x t e n d s i n c e r e a p p r e c i a t i o n t o D r . E d w a r d J . R o t h w e l l w h o h a s s u p p o r t e d m e w i t h h i s g e n e r o u s g u i d a n c e . I w o u l d l i k e t o e x t e n d s i n c e r e a p p r e c i a t i o n t o D r . L e o C . K e m p e l w h o h a s ‘ e n c o u r a g e d m e w i t h h i s c a r e f u l c o n c e r n . I w o u l d l i k e t o e x t e n d s i n c e r e a p p r e c i a t i o n t o D r . B y r o n D r a c h m a n w h o h a s a d v i s e d m e w i t h h i s m a t h e m a t i c a l t a l e n t . I a l s o w a n t t o s h a r e m u c h a p p r e c i a t i o n w i t h m y c o l l e a g u e s ; B e n j a m i n W i l m h o f f , C h a r l e s M a c o n , J e f f r e y M e e s e , J o n g O h , a n d M i c h a e l J . H a v r i l l a . F i n a l l y , I a l w a y s a p p r e c i a t e m y l o v e l y w i f e , J i n - Y a n g P a r k , w h o h a s s u p p o r t e d m e u n c o n d i t i o n a l l y w i t h h e r l o v e t h r o u g h o u t m y s t u d y . I h a v e b e e n t r u l y b l e s s e d t o h a v e t h r e e b e a u t i f u l d a u g h t e r s ; G r a c e , R a c h e l , a n d C h r i s t i n e . T h e y h a v e b e e n m y c o n s o l a t i o n t h r o u g h o u t m y s t u d y . I a l s o a p p r e c i a t e m y m o t h e r , b r o t h e r , f a t h e r - i n - l a w , a n d m o t h e r - i n - l a w w h o h a v e a l w a y s c a r e d a b o u t m e . I a l w a y s a p p r e c i a t e m y s i n c e r e b r o t h e r s a n d s i s t e r s i n C h r i s t w h o h a v e b e e n m y f r i e n d s . H o w c a n I e x t e n d m y u n l i m i t e d a p p r e c i a t i o n t o m y L o r d , J e s u s C h r i s t , w h o h a s r e s t o r e d m y s o u l a n d l e d m e i n t o H i s g r a c e a n d p e a c e ? A s a m a n w h o o w e H i m e v e r y t h i n g b e l o n g e d t o m e t h r o u g h o u t m y l i f e , I w o u l d l i k e t o e x t e n d u l t i m a t e a p p r e c i a t i o n t o H i m w i t h a l l m y h e a r t . L I S T O F F l C C H A P T E R 1 C H A P T E R 2 2 . ! N i l 1 1 ‘ 0 ' . S P E I ‘ 1 1 i n k . . . . . . T A B L E O F C O N T E N T S L I S T O F F I G U R E S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i x C H A P T E R 1 I N T R O D U C T I O N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 C H A P T E R 2 S P E C T R A L A N A L Y S I S A N D A S Y M P T O T I C R A D I A T I O N F I E L D F O R T E M O D E S O F T H E A S Y M M E T R I C P L A N A R O P E N W A V E - G U I D E . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 2 . 1 I N T R O D U C T I O N A N D G E O M E T R I C A L C O N F I G U R A T I O N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 2 . 2 S P E C T R A L F I E L D F O R M U L A T I O N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2 . 2 . 1 C O V E R F I E L D F O R M U L A T I O N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2 . 2 . 2 F I L M F I E L D F O R M U L A T I O N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2 . 2 . 3 S U B S T R A T E F I E L D F O R M U L A T I O N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 p 2 . 3 I D E N T I F I C A T I O N O F T H E S T E E P E S T - D E S C E N T P A T H . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 0 2 . 3 . 1 S T E E P E S T - D E S C E N T P A T H I N T H E C O M P L E X A X I A L T R A N S - F O R M P L A N E ( D I R E C T M E T H O D ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 3 2 . 3 . 2 T R A N S F O R M A T I O N O F S D P F R O M T H E C O M P L E X ¢ - P L A N E T O T H E C O M P L E X 4 ’ - P L A N E ( I N D I R E C T M E T H O D ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 6 2 . 4 T H E B R A N C H C U T . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2 2 . 5 A L T E R N A T I V E I N T E G R A T I O N P A T H . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 6 2 . 6 S T E E P E S T - D E S C E N T E V A L U A T I O N O F C O V E R F I E L D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 0 2 . 7 S T E E P E S T — D E S C E N T E V A L U A T I O N O F S U B S T R A T E F I E L D . . . . . . . . . . . . . . . 4 1 2 . 8 N U M E R I C A L R E S U L T S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 7 2 . 9 C O N C L U S I O N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 3 C H A P T E R 3 S P E C T R A L A N A L Y S I S A N D A S Y M P T O T I C R A D I A T I O N F I E L D F O R T M M O D E S O F A N A S Y M M E T R I C P L A N A R O P E N W A V E - G U I D E . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 4 3 . 1 I N T R O D U C T I O N A N D G E O M E T R I C A L C O N F I G U R A T I O N . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 4 3 . 2 S P E C T R A L F I E L D F O R M U L A T I O N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 7 3 . 2 . 1 S P E C T R A L C O V E R F I E L D F O R M U L A T I O N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 9 3 . 2 . 2 S P E C T R A L F I L M F I E L D F O R M U L A T I O N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 0 3 . 2 . 3 S P E C T R A L S U B S T R A T E F I E L D F O R M U L A T I O N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 0 3 . 2 . 4 S P E C T R A L G R E E N ’ S D Y A D R E P R E S E N T A T I O N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1 3 . 2 . 5 S T E E P E S T - D E S C E N T P A T H I N T H E C O M P L E X A X I A L T R A N S F O R M P L A N E ( D I R E C T M E T H O D ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 5 3 . 2 . 6 T R A N S F O R M A T I O N O F S D P F R O M T H E C O M P L E X ¢ - P L A N E T O T H E C O M P L E X 4 ’ - P L A N E ( I N D I R E C T M E T H O D ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 8 3 . 3 T H E B R A N C H C U T . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 0 3 . 4 A L T E R N A T I V E I N T E G R A T I O N P A T H . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 0 v i 3 . 5 S T E E P E S T - D E S C E N T E V A L U A T I O N O F C O V E R F I E L D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 3 3 . 6 S T E E P E S T - D E S C E N T E V A L U A T I O N O F S U B S T R A T E F I E L D . . . . . . . . . . . . . . . 8 0 3 . 7 C O N C L U S I O N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 4 C H A P T E R 4 E L E C T R O M A G N E T I C S O F I N T E G R A T E D O P E N P L A N A R L A Y E R - E D E L E C T R O N I C S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 6 4 . 1 I N T R O D U C T I O N A N D G E O M E T R I C A L C O N F I G U R A T I O N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 6 4 . 2 S P E C T R A L E L E C T R I C F I E L D I N T E G R A L E Q U A T I O N F O R M U L A T I O N F O R A N I N T E G R A T E D O P E N W A V E G U I D E S T R U C T U R E I N A P L A N A R - L A Y E R E D B A C K G R O U N D E N V I R O N M E N T . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 9 4 . 3 P L A N A R - L A Y E R E D B A C K G R O U N D E N V I R O N M E N T S I N G U L A R I T I E S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 3 4 . 3 . 1 L O G A R I T H M I C - T Y P E B R A N C H P O I N T . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 5 4 . 3 . 2 S Q U A R E - R O O T T Y P E B R A N C H P O I N T . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 0 6 4 . 3 . 3 R E G U L A R O R A N A L Y I I C P O I N T . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 7 4 . 4 P H Y S I C A L I N T E R P R E T A T I O N O F L O G A R I T H M I C A N D S Q U A R E - R O O T T Y P E B R A N C H P O I N T S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2 1 4 . 5 C O N C L U S I O N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2 4 C H A P T E R 5 T H E P R O P E R C U R R E N T S P E C T R U M O F A N O P E N I N T E G R A T E D M I C R O S T R I P W A V E G U I D E . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2 6 5 . 1 I N T R O D U C T I O N A N D G E O M E T R I C A L C O N F I G U R A T I O N . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2 6 5 . 2 M I C R O S T R I P C U R R E N T F O R M U L A T I O N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 3 0 5 . 3 C O N T I N U O U S S P E C T R U M C U R R E N T . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 3 9 5 . 4 D I S C R E T E S P E C T R U M C U R R E N T . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 6 9 5 . 5 M I C R O S T R I P C U R R E N T S P E C T R U M . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 7 8 5 . 6 N U M E R I C A L R E S U L T S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 8 9 5 . 7 C O N C L U S I O N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 9 8 C H A P T E R 6 T H E P R O P E R E M F I E L D S P E C T R U M O F A N O P E N I N T E G R A T E D M I C R O S T R I P W A V E G U I D E . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 9 9 6 . 1 I N T R O D U C T I O N A N D G E O M E T R I C A L C O N F I G U R A T I O N . . . . . . . . . . . . . . . . 1 9 9 6 . 2 E M F I E L D F O R M U L A T I O N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 0 2 6 . 2 . 1 C O V E R F I E L D F O R M U L A T I O N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 0 3 6 . 2 . 2 F I L M F I E L D F O R M U L A T I O N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2 2 6 . 2 . 3 N O R M A L B O U N D A R Y C O N D I T I O N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 3 2 6 . 3 N U M E R I C A L R E S U L T S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 3 6 6 . 4 C O N C L U S I O N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 0 7 C H A P T E R 7 A S Y M P T O T I C A P P R O X I M A T I O N T O T H E E M F I E L D O F A N O P E N I N T E G R A T E D M I C R O S T R I P W A V E G U I D E . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 0 8 7 . 1 I N T R O D U C T I O N A N D G E O M E T R I C A L C O N F I G U R A T I O N . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 0 8 7 . 2 I D E N T I F I C A T I O N O F T H E S T E E P E S T - D E S C E N T P A T H . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1 1 7 . 3 T H E A S Y M P T O T I C A P P R O X I M A T I O N T O T H E C O V E R F I E L D . . . . . . . . . . 3 1 9 7 . 4 C O N C L U S I O N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 2 8 v i i A P P E N D I X A P P E N D I X B I B L I O G R A P } C H A P T E R A . l 4 . 2 T — ‘ t — l m l n A P P E N D I X A P P E N D I X E l G E O L A Y E 2 B O L E 3 E L F } E 4 I M P I A P P E N D I X F 0 . 2 F I L M C H A P T E R 8 C O N C L U S I O N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 2 9 A P P E N D I X A S P E C T R A L T E E M F I E L D F O R M U L A T I O N F O R A S Y M M E T R I C P L A N A R D I E L E C T R I C S L A B W A V E G U I D E U S I N G I N T E G R A L T R A N S F O R M T E C H N I Q U E . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 3 1 A . 1 S P E C T R A L H E R T Z I A N P O T E N T I A L R E P R E S E N T A T I O N O F E M F I E L D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 3 1 A . 2 T H E S P E C T R A L E M F I E L D R E P R E S E N T A T I O N I N T H E C O V E R L A Y E R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 3 2 A P P E N D I X B I D E N T I F I C A T I O N O F T H E S T E E P E S T - D E S C E N T P A T H I N T H E C O M P L E X A X I A L T R A N S F O R M P L A N E . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 3 8 A P P E N D I X C S P E C T R A L G R E E N ’ S D Y A D R E P R E S E N T A T I O N O F R A D I A T I O N F I E L D F O R T M M O D E S O F T H E A S Y M M E T R I C P L A N A R O P E N W A V E G U I D E . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 4 0 C I S P E C T R A L G R E E N ’ 8 D Y A D F O R M U L A T I O N W I T H U N D E T E R M I N E D C O E F F I C I E N T S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 4 0 C . 2 I M P L E M E N T A T I O N O F M A T C H I N G B O U N D A R Y C O N D I T I O N S . . 3 4 6 ' A P P E N D I X D G R E E N ’ S D Y A D I N T E G R A L R E P R E S E N T A T I O N O F R A D I A T I O N F I E L D F O R T M M O D E S O F T H E A S Y M I V I E T R I C P L A N A R O P E N W A V E G U I D E . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 4 9 A P P E N D I X E E L E C T R I C H E R T Z I A N P O T E N T I A L F O R M U L A T I O N O F T H E A S Y M M E T R I C T R I P L A N A R - L A Y E R E D D I E L E C T R I C W A V E - G U I D E . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 5 3 E . 1 G E O M E T R I C A L C O N F I G U R A T I O N O F A S Y M M E T R I C T R I P L A N A R - L A Y E R E D D I E L E C T R I C W A V E G U I D E . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 5 3 E 2 B O U N D A R Y C O N D I T I O N S F O R E L E C T R I C H E R T Z I A N P O T E N T I A L S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 5 4 E 3 E L E C T R I C H E R T Z I A N P O T E N T I A L F O R M U L A T I O N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 5 6 E 4 I M P L E M E N T A T I O N O F B O U N D A R Y C O N D I T I O N S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 6 1 A P P E N D I X F C U T - O F F C R I T E R I O N F O R T H E S U R F A C E — W A V E O F A N O P E N I N T E G R A T E D M I C R O S T R I P W A V E G U I D E . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 8 3 A P P E N D I X G E L E C T R O M A G N E T I C F I E L D S F O R M U L A T I O N O F A N O P E N I N T E G R T E D M I C R O S T R I P W A V E G U I D E I N T H E C O M P L E X x i - P L A N E . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 8 8 G . l C O V E R F I E L D F O R M U L A T I O N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 8 8 G 2 F I L M F I E L D F O R M U L A T I O N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 9 4 B I B L I O G R A P H Y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 9 7 v i i i F F F F i i i i g g g g u u u u r r r r c r t e 2 2 2 2 . . . . 3 3 3 3 . 1 . . . 2 3 4 F i g u r e 2 . 4 . 1 T P P M : H a h e I n ; o l a r h a a p s p c i c c i I : < o 8 : m n d r i l l F u m m 2 . 4 . 3 C o m p ] 2.5.1 S i n g u l . k a a s b l m u i ; .. i t s t r F l t u r n 2 . 5 . 2 C o m p ] F i g u r r 2 . 1 . l G r o m c u a x w a r r c o n F r o 1 o u r : 4 4 . 2 B r a n t ? F i g u r e 2 . 1 . ] F i g u r e 2 . 3 . 1 F i g u r e 2 . 3 . 2 F i g u r e 2 . 3 . 3 F i g u r e 2 . 3 . 4 F i g u r e 2 . 4 . 1 F i g u r e 2 . 4 . 2 F i g u r e 2 . 4 . 3 F i g u r e 2 . 5 . 1 F i g u r e 2 . 5 . 2 F i g u r e 2 . 6 . 1 F i g u r e 2 . 6 . 2 L I S T O F F I G U R E S G e o m e t r i c a l c o n fi g u r a t i o n o f a n a s y m m e t r i c p l a n a r d i e l e c t r i c s l a b w a v e g u i d e w i t h T E l i n e - s o u r c e e x c i t a t i o n . C o v e r , fi l m , a n d s u b s t r a t e l a y e r s a r e c o n s i d e r e d i n t h e l o w l o s s l i m i t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 T h e m a p p i n g f r o m t h e c o m p l e x C ~ p l a n e t o t h e c o m p l e x A - p l a n e . . . . . . . . . . 1 2 P o l a r c o o r d i n a t e t r a n s f o r m a t i o n s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 3 P h a s e c o r r e c t i o n d i a g r a m i n t h e c o v e r l a y e r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 4 M a p p i n g t o t h e s t e e p e s t — d e s c e n t p a t h i n t h e c o m p l e x ¢ = 0 ' + j ? ) p l a n e : [ 0 | < 7 2 / 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 0 H y p e r b o l i c b r a n c h c u t c o n s t r u c t i o n e m a n a t i n g f r o m t h e b r a n c h p o i n t s : t k l a n d i k 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 3 B r a n c h c u t c o n s t r u c t i o n i n t h e l o w - l o s s l i m i t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 4 C o m p l e x - p h a s o r d i a g r a m i n t h e c o m p l e x 6 - p l a n e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 5 S i n g u l a r i t i e s a n d a l t e r n a t i v e i n t e g r a t i o n p a t h i n t h e c o m p l e x C - p l a n e o n t o p R i e m a n n S h e e t f o r t h e c o m p l e t e p r o p e r p r o p a g a t i o n s p e c t r u m . C o v e r a n d s u b s t r a t e l a y e r s a r e p r e s u m a b l y c o n s i d e r e d t o b e i n t h e l o w - l o s s l i m i t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 9 C o m p l e x - p h a s o r d i a g r a m w i t h a p o l e S i n g u l a r i t y a n d R e { § } - a x i s i n t e g r a t i o n p a t h i n t h e c o m p l e x { f - p l a n e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 0 T h e s t e e p e s t - d e s c e n t p a t h s f o r t h e c o v e r l a y e r fi e l d c a l c u l a t i o n o n v a r i o u s o b s e r v a t i o n a s p e c t a n g l e s i n t h e c o m p l e x a x i a l t r a n s f o r m p l a n e . T h e a s y m m e t r i c p l a n a r d i e l e c t r i c w a v e g u i d e c o n s i s t s o f c o v e r , g u i d i n g a n d s u b s t r a t e l a y e r w i t h i n d i c e s 7 1 1 = 1 . , n 2 = 3 . 2 , a n d n 3 = 3 r e s p e c t i v e l y . 3 6 P r o p e r c l o s u r e o f R e { § } - a x i s i n v e r s i o n c o n t o u r C i n t o S D P f o r 9 < 9 , : n 1 = 1 . , n 2 = 3 . 2 , n 3 = 3 . , t 9 , = 1 9 . 5 ° . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 7 i x m e Z J J F i g u r r 2 . 6 . fi g m l fi . fi g m l j d 5 . 9 m 2 . 7 . 3 fi g u r e 2 . 8 . 1 S F i g u r e 2 . 8 . 3 1 S } F i g “ 2 . 8 . 4 T S I F i g u r e 2 . 8 . 5 7 , S I : F l g l l r c 3 1 . ] G : W e l a ; fi fl m l z F i g u r e 2 . 6 . 3 A p p r o p r i a t e c l o s u r e o f S D P i n t o c o v e r l a y e r b r a n c h c u t f o r 6 > 9 , : n 1 = 1 . , n 2 = 3 . 2 , n 3 = 3 . , 6 , = 1 9 . 5 o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 8 F i g u r e 2 . 6 . 4 P r o p e r c l o s u r e o f R e { § } - a x i s i n v e r s i o n c o n t o u r C i n t o S D P a n d s u b s t r a t e b r a n c h c u t f o r 9 > 6 , : n 1 = 1 . , 7 1 2 = 3 . 2 , n 3 = 3 . , 6 , = 1 9 . 5 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 9 F i g u r e 2 . 6 . 5 P r o p e r c l o s u r e o f R e { C } - a x i s i n v e r s i o n c o n t o u r C i n t o S D P a n d p a r t i a l C D 3 f o r 9 > 9 t z n 1 = 1 . , n 2 = 3 . 2 , n 3 = 3 . , 6 , = 1 9 . 5 ° . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 0 F i g u r e 2 . 7 . 1 T h e s t e e p e s t - d e s c e n t p a t h s f o r t h e s u b s t r a t e l a y e r fi e l d c a l c u l a t i o n a t v a r i o u s O b s e r v a t i o n a s p e c t a n g l e s i n t h e c o m p l e x 4 ' - p l a n e . T h e a s y m m e t r i c p l a n a r d i e l e c t r i c w a v e - g u i d e c o n s i s t s o f c o v e r , g u i d i n g a n d s u b s t r a t e l a y e r s w i t h i n d i c e s n 1 = 1 . , n 2 = 3 . 2 , a n d n 3 = 3 . r e s p e c t i v e l y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 4 F i g u r e 2 . 7 . 2 C l o s u r e O f R e { § } - a x i s i n v e r s i o n c o n t o u r C i n t o S D P a n d f u l l c o v e r l a y e r b r a n c h o u t f o r 6 > 9 , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 5 F i g u r e 2 . 7 . 3 P r o p e r c l o s u r e o f R e { § } — a x i s i n v e r s i o n c o n t o u r C i n t o S D P a n d p a r t i a l c o v e r l a y e r b r a n c h c u t f o r 9 > 9 , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 6 F i g u r e 2 . 8 . 1 T r a n s v e r s e d e p e n d e n c e o f t h e r e f l e c t e d c o n t i n u o u s s p e c t r u m i n t h e c o v e r l a y e r : t h e s t e e p e s t - d e s c e n t n u m e r i c a l c a l c u l a t i o n a n d s a d d l e - p o i n t a p p r o x i m a t i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 8 F i g u r e 2 . 8 . 2 T r a n s v e r s e d e p e n d e n c e o f t h e c o n t i n u o u s s p e c t r u m i n t h e c o v e r l a y e r : s t e e p e s t - d e s c e n t n u m e r i c a l a n d s a d d l e - p 0 i n t a p p r o x i m a t i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 9 F i g u r e 2 . 8 . 3 T r a n s v e r s e d e p e n d e n c e o f t h e c o n t i n u o u s S p e c t r u m i n t h e c o v e r l a y e r : s t e e p e s t - d e s c e n t n u m e r i c a l a n d t h e s u b s t r a t e l a y e r b r a n c h c u t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 0 F i g u r e 2 . 8 . 4 T r a n s v e r s e d e p e n d e n c e o f t h e t r a n s m i t t e d s p e c t r u m i n t h e s u b s t r a t e l a y e r : s t e e p e s t — d e s c e n t n u m e r i c a l a n d t h e c o r r e s p o n d i n g b r a n c h c u t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1 F i g u r e 2 . 8 . 5 T r a n s v e r s e d e p e n d e n c e o f t h e t r a n s m i t t e d s p e c t r u m i n t h e s u b s t r a t e l a y e r : s t e e p e s t - d e s c e n t n u m e r i c a l a n d t h e p a r t i a l c o v e r l a y e r b r a n c h c u t . . . . . . . . . . . . . 5 2 F i g u r e 3 . 1 . 1 G e o m e t r i c a l c o n fi g u r a t i o n o f a n a s y m m e t r i c p l a n a r d i e l e c t r i c S l a b w a v e g u i d e w i t h T M l i n e - s o u r c e e x c i t a t i o n . C o v e r , fi l m , a n d s u b s t r a t e l a y e r s a r e c o n s i d e r e d i n t h e l o w - l o s s l i m i t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 6 F i g u r e 3 . 2 . 1 P o l a r c o o r d i n a t e t r a n s f o r m a t i o n s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 6 F i g . 1 “ 3 H 4 F i g u r e 3 . 5 . : F i g u r e 3 . 5 . 3 F i g u r e 3 . 6 . 1 H fl m 4 i g l 1 1 n g f t 4 . 3 2 ( H g “ ? 4 3 . 3 F i g u r e 3 . 4 . 1 S i n g u l a r i t i e s a n d a l t e r n a t i v e i n t e g r a t i o n p a t h i n t h e c o m p l e x C - p l a n e o n t o p R i e m a n n S h e e t f o r t h e c o m p l e t e p r o p e r p r o p a g a t i o n s p e c t r u m . C o v e r a n d s u b s t r a t e l a y e r s a r e p r e s u m a b l y c o n s i d e r e d t o b e i n t h e l o w - l o s s l i m i t . . . . . 7 1 F i g u r e 3 . 5 . 1 T h e s t e e p e s t - d e s c e n t p a t h s i n t h e c o m p l e x 6 - p l a n e f o r t h e c o v e r l a y e r fi e l d c a l c u l a t i o n a t v a r i o u s o b s e r v a t i o n a s p e c t a n g l e s . T h e a s y m m e t r i c p l a n a r d i e l e c t r i c w a v e g u i d e c o n s i s t s o f c o v e r , g u i d i n g a n d s u b s t r a t e l a y e r s w i t h i n d i c e s n 1 = 1 . , n 2 = 3 . 2 a n d n 3 = 3 . r e s p e c t i v e l y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 4 F i g u r e 3 . 5 . 2 P r o p e r c l o s u r e o f R e { { } - a x i s i n v e r s i o n c o n t o u r C i n t o S D P a n d s u b s t r a t e b r a n c h c u t f o r 6 > 6 1 3 n 1 = l . , n 2 = 3 . 2 , r 1 3 = 3 . , 9 t = 1 9 . 5 o . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 8 F i g u r e 3 . 5 . 3 P r o p e r c l o s u r e o f R e { § } - a x i s i n v e r s i o n c o n t o u r C i n t o S D P a n d p a r t i a l C b 3 f o r 0 > 0 , : n 1 = 1 . , n 2 = 3 . 2 , n 3 = 3 . , t 9 , = 1 9 . 5 ° . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 9 F i g u r e 3 . 6 . 1 T h e s t e e p e s t - d e s c e n t p a t h s i n t h e c o m p l e x 4 ‘ : - p l a n e f o r t h e s u b s t r a t e l a y e r fi e l d c a l c u l a t i o n a t v a r i o u s o b s e r v a t i o n a s p e c t a n g l e s . T h e a s y m m e t r i c p l a n a r d i e l e c t r i c w a v e g u i d e c o n s i s t s o f c o v e r , g u i d i n g , a n d s u b s t r a t e l a y e r w i t h i n d i c e s n 1 = 1 . , n 2 2 3 . 1 3 , a n d r 1 3 = 3 . r e s p e c t i v e l y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1 F i g u r e 3 . 6 . 2 P r o p e r c l o s u r e o f R e { § } - a x i s i n v e r s i o n c o n t o u r C i n t o S D P a n d p a r t i a l c o v e r l a y e r b r a n c h c u t f o r 9 > 6 , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 3 F i g u r e 4 . 1 . 1 G e o m e t r i c a l c o n fi g u r a t i o n o f i n t e g r a t e d o p e n m i c r o s t r i p s t r u c t u r e i m m e r s e d i n l a y e r e d b a c k g r o u n d e n v i r o n m e n t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 8 F i g u r e 4 . 1 . 2 C r o s s - s e c t i o n a l v i e w O f i m m e r s e d i n t e g r a t e d m i c r o s t r i p s t r u c t u r e . . . . . . . . . . . 8 8 F i g u r e 4 . 3 . 1 S i n g u l a r i t i e s i n t h e c o m p l e x { . 7 - p l a n e c o n t r i b u t e d b y t h e p l a n a r - l a y e r e d b a c k g r o u n d e n v i r o n m e n t . T h e b r a n c h p o i n t i k l t o t h e b r a n c h p o i n t i k l m a p p i n g a n d t h e p o l e i l l , t o t h e b r a n c h p o i n t t i p m a p p i n g i n t h e l o w — l o s s l i m i t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 4 F i g u r e 4 . 3 . 2 C o m p l e x - p h a s o r d i a g r a m w i t h a p a t h i n t h e c o m p l e x 4 ’ - p l a n e , m a k i n g o n e r o u n d t r i p a b o u t t h e p o i n t k 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 5 F i g u r e 4 . 3 . 3 P a t h t r a j e c t o r y i n t h e c o m p l e x g " - p l a n e , e n c i r c l i n g t w i c e a r o u n d t h e p o i n t ; = k 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 0 0 x i F i g u r e 4 . 3 . 5 F i g u r e 4 . 3 . 6 E Q R 4 4 I “ E m s s i H E R S J Q H P R S 3 3 H W R 5 3 4 F i g u r e 4 . 3 . 4 F i g u r e 4 . 3 . 5 F i g u r e 4 . 3 . 6 F i g u r e 4 . 4 . 1 F i g u r e 5 . 1 . 1 F i g u r e 5 . 1 . 2 F i g u r e 5 . 3 . 1 F i g u r e 5 . 3 . 2 F i g u r e 5 . 3 . 3 F i g u r e 5 . 3 . 4 P a t h t r a j e c t o r y i n t h e c o m p l e x 4 ’ - p l a n e , e n c i r c l i n g t w i c e a r o u n d t h e p o i n t { z ’ I Y M o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 0 P a t h t r a j e c t o r y i n t h e c o m p l e x 6 - p l a n e , e n c i r c l i n g t w i c e a r o u n d t h e p o i n t 4 : = 1 7 7 m ) a f t e r v i o l a t i n g t h e b r a n c h c u t t w i c e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 3 P a t h t r a j e c t o r y i n t h e c o m p l e x { I - p l a n e , e n c i r c l i n g o n c e a r o u n d t h e p o i n t { I = 3 7 7 " 0 a f t e r v i o l a t i n g t h e b r a n c h c u t o n c e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 9 B r a n c h c u t s a s s o c i a t e d w i t h a l o g a r i t h m i c t y p e b r a n c h p o i n t k 1 a n d a s q u a r e - r o o t t y p e b r a n c h p o i n t ’ I ’ I M O i n t h e c o m p l e x 4 ’ - p l a n e a n d t h e c o n t i n u o u s s p e c t r u m c o n t r i b u t e d b y t h o s e b r a n c h c u t i n t e g r a t i o n . . . . . . . . . . . . 1 2 3 G e o m e t r i c a l c o n fi g u r a t i o n o f o p e n m i c r o s t r i p s t r u c t u r e i m m e r s e d i n l a y e r e d b a c k g r o u n d e n v i r o n m e n t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2 9 C r o s s - s e c t i o n a l v i e w o f i m m e r s e d m i c r o s t r i p s t r u c t u r e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2 9 S i n g u l a r i t i e s i n t h e c o m p l e x 5 - p l a n e c o n t r i b u t e d b y t h e p l a n a r - l a y e r e d b a c k g r o u n d e n v i r o n m e n t . T h e b r a n c h p o i n t s i s = i k l t o t h e b r a n c h p o i n t s : t k l m a p p i n g a n d t h e p o l e s i s = i l l - M 0 t O t h e b r a n c h p o i n t s i ’ I ’ I M O m a p p i n g i n t h e l o w l o w - l o s s l i m i t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 4 0 D e f o r m a t i o n o f R e { § } - a x i s i n v e r s i o n c o n t o u r i n t o t h e U p p e r H a l f P l a n e ( U H P ) a n d t h e L o w e r H a l f P l a n e ( L H P ) i n t h e c o m p l e x 4 ’ - p l a n e . B r a n c h c u t s a s s o c i a t e d w i t h b r a n c h - p o i n t s i n g u l a r i t i e s c o n t r i b u t e d b y a b a c k g r o u n d l a y e r e n v i r o n m e n t a r e c o n s i d e r e d t o b e i n t h e l o w - l o s s l i m i t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 4 2 B r a n c h c u t s a s s o c i a t e d w i t h a l o g a r i t h m i c t y p e b r a n c h p o i n t k 1 a n d a s q u a r e - r o o t t y p e b r a n c h p o i n t 1 7 3 1 0 i n t h e c o m p l e x 4 ; - p l a n e a n d t h e p r o p e r c o n t i n u o u s s p e c t r u m c o n t r i b u t e d b y t h o s e b r a n c h c u t i n t e g r a t i o n s f o r l o w - l o s s l i m i t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 4 3 M i g r a t i o n o f c o m p l e x t r a n s v e r s e t r a n s f o r m p l a n e ( c o m p l e x 5 - p 1 a n e ) b r a n c h - p o i n t s i n g u l a r i t i e s i g k ‘ i n c o n j u n c t i o n w i t h c h a n g i n g S p a t i a l - f r e q u e n c y C a l o n g b r a n c h c u t s a s s o c i a t e d w i t h a l o g a r i t h m i c t y p e b r a n c h p o i n t k 1 a n d a s q u a r e - r o o t t y p e b r a n c h p o i n t 1 7 3 1 0 i n t h e c o m p l e x 4 : - p l a n e i n t h e l o w - l o s s l i m i t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 4 4 x i i F i g u r e 5 . 3 . 7 F i g u r e 5 . 3 . 8 F i g u r e 5 . 3 . 9 F i g u r e 5 . 3 . 5 O p p o s i t e R e { € } - a x i s i n v e r s i o n c o n t o u r s c o r r e s p o n d i n g t o p o i n t s 2 a n d 5 o n t h e b r a n c h - c u t c o n t o u r i n t h e c o m p l e x 6 - p l a n e a s d e p i c t e d i n F i g . 5 . 3 . 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 5 1 F i g u r e 5 . 3 . 6 C o m p l e x - p h a s o r d i a g r a m f o r b r a n c h - p o i n t S i n g u l a r i t i e s i ' é k l i n t h e c o m p l e x 5 - p l a n e f o r c o r r e s p o n d i n g p o i n t s 2 a n d 5 i n t h e c o m p l e x 4 : - p l a n e i n F i g . 5 . 3 . 3 a n d e v o l u t i o n o f C 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 5 2 F i g u r e 5 . 3 . 7 C u r r e n t a m p l i t u d e l o n g i t u d i n a l p r o fi l e c o n t r i b u t e d b y R e { { j - a x i s i n v e r s i o n c o n t o u r e x c l u d i n g s u r f a c e - w a v e p o l e s i n g u l a r i t i e s w i t h i n t e g r a t i n g 4 : a b o u t t h e b r a n c h - c u t c o n t o u r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 5 3 F i g u r e 5 . 3 . 8 C u r r e n t p h a s e l o n g i t u d i n a l p r o fi l e c o n t r i b u t e d b y R e { § } - a x i s i n v e r s i o n c o n t o u r e x c l u d i n g s u r f a c e - w a v e p o l e s i n g u l a r i t i e s w i t h i n t e g r a t i n g 6 a b o u t t h e b r a n c h - c u t c o n t o u r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 5 4 , F i g u r e 5 . 3 . 9 M i g r a t i o n O f c o m p l e x t r a n s v e r s e t r a n s f o r m p l a n e ( c o m p l e x { , 1 - p l a n e ) s u r f a c e - w a v e p o l e S i n g u l a r i t i e s t i m e i n c o n j u n c t i o n w i t h c h a n g i n g s p a t i a l - f r e q u e n c y { I a l o n g b r a n c h c u t s a s s o c i a t e d w i t h a l o g a r i t h m i c t y p e b r a n c h p o i n t k 1 a n d a s q u a r e - r o o t t y p e b r a n c h p o i n t 3 7 5 4 0 i n t h e c o m p l e x I - p l a n e i n t h e l o w - l o s s l i m i t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 6 0 F i g u r e 5 . 3 . 1 0 F u l l r e s i d u e e v a l u a t i o n c o n t r i b u t e d b y t h e s u r f a c e - w a v e p o l e s i n g u l a r i t y f p = — € m o ( 2 ) = g m o ( 5 ) w i t h c o r r e s p o n d i n g b r a n c h p o i n t s i n g u l a r i t i e s i f “ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 6 1 F i g u r e 5 . 3 . 1 1 C u r r e n t a m p l i t u d e l o n g i t u d i n a l p r o fi l e c o n t r i b u t e d b y s u r f a c e - w a v e p o l e S i n g u l a r i t i e s i n t h e c o m p l e x 5 - p 1 a n e w i t h i n t e g r a t i n g 4 ’ a b o u t t h e b r a n c h - c u t c o n t o u r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 6 2 F i g u r e 5 . 3 . 1 2 C u r r e n t p h a s e l o n g i t u d i n a l p r o fi l e c o n t r i b u t e d b y s u r f a c e - w a v e p o l e s i n g u l a r i t i e s i n t h e c o m p l e x 6 - p l a n e w i t h i n t e g r a t i n g 6 a b o u t t h e b r a n c h - c u t c o n t o u r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 6 3 F i g u r e 5 . 3 . 1 3 C o n t i n u o u s c u r r e n t a m p l i t u d e p r o fi l e c o n t r i b u t e d b y b r a n c h c u t c o n t o u r i n t e g r a t i o n : R e { § } - a x i s i n v e r s i o n c o n t o u r i n t e g r a t i o n i n c l u d i n g s u r f a c e - w a v e p o l e s i n g u l a r i t i e s i n t h e c o m p l e x 5 - p l a n e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 6 6 x i i i F i g u r e 5 . 3 . ? F i g u r t 5 . - 1 . l F i g u r e 5 . 3 . 1 4 C o n t i n u o u s c u r r e n t p h a s e p r o fi l e c o n t r i b u t e d b y b r a n c h c u t c o n t o u r i n t e g r a t i o n : R e { § } - a x i s i n v e r s i o n c o n t o u r i n t e g r a t i o n i n c l u d i n g s u r f a c e - w a v e p o l e s i n g u l a r i t i e s i n t h e c o m p l e x 4 , : - p l a n e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 6 7 F i g u r e 5 . 4 . 1 T h e d i s c r e t e s p e c t r u m c u r r e n t c o n t r i b u t e d b y a f u l l r e s i d u e e v a l u a t e d a b o u t a p o l e - e x c l u d i n g c o n t o u r C { p e n c i r c l e d a b o u t a b o u n d - o r g u i d e d - m o d e p o l e S i n g u l a r i t y { p i n t h e c o m p l e x 4 ’ - p l a n e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 6 9 F i g u r e 5 . 4 . 2 D i s c r e t e c u r r e n t a m p l i t u d e p r o fi l e c o n t r i b u t e d b y a b o u n d - o r a g u i d e d - m o d e p o l e s i n g u l a r i t y f p i n t h e c o m p l e x C - p l a n e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 7 3 F i g u r e 5 . 4 . 3 D i s c r e t e c u r r e n t p h a s e p r o fi l e c o n t r i b u t e d b y a b o u n d - o r a g u i d e d - m o d e p o l e s i n g u l a r i t y 4 ’ p i n t h e c o m p l e x 4 ' - p l a n e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 7 4 F i g u r e 5 . 4 . 4 V o l t a g e d e c o m p o s i t i o n d i a g r a m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 7 5 F i g u r e 5 . 4 . 5 T h e d i s p e r s i o n o f t h e f u n d a m e n t a l s u r f a c e - w a v e p o l e s i n g u l a r i t y 1 7 7 1 4 0 a n d t h e b o u n d o r g u i d e d - m o d e p o l e s i n g u l a r i t y C p t h r o u g h o p e r a t i n g f r e q u e n c y r a n g e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 7 6 F i g u r e 5 . 4 . 6 T h e c h a r a c t e r i s t i c i m p e d a n c e o f t h e m i c r o s t r i p w a v e g u i d e c a l c u l a t e d b y t h e l o n g i t u d i n a l d i s c r e t e o r b o u n d - m o d e c u r r e n t s p e c t r u m t h r o u g h O p e r a t i n g f r e q u e n c y r a n g e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 7 7 F i g u r e 5 . 5 . 1 T o t a l m i c r o s t r i p c u r r e n t a m p l i t u d e p r o fi l e c o n t r i b u t e d b y t h e c o n t i n u o u s s p e c t r u m c u r r e n t a n d t h e d i s c r e t e s p e c t r u m c u r r e n t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 8 1 F i g u r e 5 . 5 . 2 T o t a l m i c r o s t r i p c u r r e n t p h a s e p r o fi l e c o n t r i b u t e d b y t h e c o n t i n u o u s S p e c t r u m c u r r e n t a n d t h e d i s c r e t e s p e c t r u m c u r r e n t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 8 2 F i g u r e 5 . 5 . 3 R e { § } - a x i s i n v e r s i o n c o n t o u r C § a n d t h e h a l f r e s i d u e c o n t r i b u t i o n a b o u t { = 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 8 3 F i g u r e 5 . 5 . 4 M i g r a t i o n o f c o m p l e x t r a n s v e r s e t r a n s f o r m p l a n e ( c o m p l e x 6 - p l a n e ) b r a n c h - p o i n t s i n g u l a r i t i e s 2 1 : 5 k l a n d s u r f a c e - w a v e p o l e s i n g u l a r i t i e s i é m o i n c o n j u n c t i o n w i t h c h a n g i n g s p a t i a l - f r e q u e n c y g “ o n R e { § ’ } - a x i s i n v e r s i o n c o n t o u r i n t h e l o w - l o s s l i m i t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 8 4 x i v F i g u r t 5 . 5 . 6 I P S F i g u r e 5 . 5 . 7 1 ~ ‘ - - . . ' . F i g u r e 5 . 5 . 5 F i g u r e 5 . 5 . 6 F i g u r e 5 . 5 . 7 F i g u r e 5 . 5 . 8 F i g u r e 5 . 6 . 1 F i g u r e 5 . 6 . 2 F i g u r e 5 . 6 . 3 F i g u r e 5 . 6 . 4 F i g u r e 5 . 6 . 5 F i g u r e 5 . 6 . 6 F i g u r e 5 . 6 . 7 F i g u r e 5 . 6 . 8 F i g u r e 6 . 1 . 1 F i g u r e 6 . 1 . 2 R e { § } - a x i s i n v e r s i o n c o n t o u r v a l i d a t i o n o f m i c r o s t r i p c u r r e n t a m p l i t u d e p r o fi l e c o n t r i b u t e d b y t h e c o n t i n u o u s S p e c t r u m c u r r e n t a n d t h e d i s c r e t e S p e c t r u m c u r r e n t f o r n e a r z o n e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 8 5 R e { C } - a x i s i n v e r s i o n c o n t o u r v a l i d a t i o n o f m i c r o s t r i p c u r r e n t p h a s e p r o fi l e c o n t r i b u t e d b y t h e c o n t i n u o u s s p e c t r u m c u r r e n t a n d t h e d i s c r e t e S p e c t r u m c u r r e n t f o r n e a r z o n e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 8 6 R e { { } - a x i s i n v e r s i o n c o n t o u r v a l i d a t i o n o f m i c r o s t r i p c u r r e n t a m p l i t u d e p r o fi l e c o n t r i b u t e d b y t h e c o n t i n u o u s s p e c t r u m c u r r e n t a n d t h e d i s c r e t e s p e c t r u m c u r r e n t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 8 7 R e { § } - a x i s i n v e r s i o n c o n t o u r v a l i d a t i o n o f m i c r o s t r i p c u r r e n t p h a s e p r o fi l e c o n t r i b u t e d b y t h e c o n t i n u o u s s p e c t r u m c u r r e n t a n d t h e d i s c r e t e s p e c t r u m c u r r e n t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 8 8 N e a r z o n e m i c r o s t r i p c u r r e n t a m p l i t u d e p r o fi l e w i t h v a r i o u s e l e c t r i c a l s t r i p w i d t h s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 9 0 M i c r o s t r i p c u r r e n t a m p l i t u d e p r o fi l e w i t h v a r i o u s e l e c t r i c a l s t r i p w i d t h s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 9 1 M i c r o s t r i p c o n t i n u o u s a n d d i s c r e t e S p e c t r u m c u r r e n t a m p l i t u d e - r a t i o w i t h v a r i o u s e l e c t r i c a l s t r i p w i d t h s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 9 2 M i c r o s t r i p c o n t i n u o u s a n d d i s c r e t e S p e c t r u m c u r r e n t a m p l i t u d e - r a t i o v e r s u s e l e c t r i c a l fi l m t h i c k n e s s w i t h v a r i o u s e l e c t r i c a l s t r i p w i d t h s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 9 3 M i c r o s t r i p c o n t i n u o u s S p e c t r u m c u r r e n t a m p l i t u d e v e r s u s e l e c t r i c a l fi l m t h i c k n e s s w i t h v a r i o u s e l e c t r i c a l s t r i p w i d t h s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 9 4 M i c r o s t r i p c o n t i n u o u s s p e c t r u m c u r r e n t a m p l i t u d e v e r s u s e l e c t r i c a l s t r i p w i d t h . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 9 5 M i c r o s t r i p c u r r e n t a m p l i t u d e v e r s u s e l e c t r i c a l fi l m t h i c k n e s s w i t h e l e c t r i c a l s t r i p w i d t h s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 9 6 M i c r o s t r i p c u r r e n t a m p l i t u d e v e r s u s e l e c t r i c a l s t r i p w i d t h s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 9 7 G e o m e t r i c a l c o n fi g u r a t i o n o f o p e n m i c r o s t r i p s t r u c t u r e i m m e r s e d i n l a y e r e d b a c k g r o u n d e n v i r o n m e n t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 0 1 C r o s s - s e c t i o n a l V i e w o f i m m e r s e d m i c r o s t r i p s t r u c t u r e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 0 1 X V “ g u m 6 . 2 . 8 F ’ g m c 6 . 3 . 1 1 F i g u r c 6 . 2 . 1 fi g m é l A F i g u r e 6 . 2 . 5 F i g u r e 6 . 2 . 6 “ F m s z n F i g u r e 6 . 3 3 . F i g u r e 6 . 2 . 1 F i e l d a m p l i t u d e l o n g i t u d i n a l p r o fi l e c o n t r i b u t e d b y R e { § } - a x i s i n v e r s i o n c o n t o u r e x c l u d i n g s u r f a c e - w a v e p o l e s i n g u l a r i t i e s w i t h i n t e g r a t i n g 6 a b o u t t h e b r a n c h - c u t c o n t o u r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1 1 F i g u r e 6 . 2 . 2 F i e l d p h a s e l o n g i t u d i n a l p r o fi l e c o n t r i b u t e d b y R e { § } - a x i s i n v e r s i o n c o n t o u r e x c l u d i n g s u r f a c e - w a v e p o l e S i n g u l a r i t i e s w i t h i n t e g r a t i n g C a b o u t t h e b r a n c h - c u t c o n t o u r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1 2 F i g u r e 6 . 2 . 3 F i e l d a m p l i t u d e l o n g i t u d i n a l p r o fi l e c o n t r i b u t e d b y R e { § } - a x i s i n v e r s i o n c o n t o u r e x c l u d i n g s u r f a c e - w a v e p o l e s i n g u l a r i t i e s w i t h i n t e g r a t i n g 4 ’ a b o u t t h e b r a n c h - c u t c o n t o u r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1 3 F i g u r e 6 . 2 . 4 F i e l d p h a s e l o n g i t u d i n a l p r o fi l e c o n t r i b u t e d b y R e { § } - a x i s i n v e r s i o n c o n t o u r e x c l u d i n g s u r f a c e - w a v e p o l e s i n g u l a r i t i e s w i t h i n t e g r a t i n g I a b o u t t h e b r a n c h - c u t c o n t o u r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1 4 F i g u r e 6 . 2 . 5 F i e l d a m p l i t u d e l o n g i t u d i n a l p r o fi l e c o n t r i b u t e d b y t h e r e s i d u e e v a l u a t e d a t t h e s u r f a c e - w a v e p o l e S i n g u l a r i t y w i t h i n t e g r a t i n g 6 a b o u t t h e b r a n c h - c u t c o n t o u r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1 5 F i g u r e 6 . 2 . 6 F i e l d p h a s e l o n g i t u d i n a l p r o fi l e c o n t r i b u t e d b y t h e r e s i d u e e v a l u a t e d a t t h e s u r f a c e - w a v e p o l e S i n g u l a r i t y w i t h i n t e g r a t i n g C a b o u t t h e b r a n c h - c u t c o n t o u r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1 6 F i g u r e 6 . 2 . 7 F i e l d a m p l i t u d e l o n g i t u d i n a l p r o fi l e c o n t r i b u t e d b y t h e r e s i d u e e v a l u a t e d a t t h e s u r f a c e - w a v e p o l e s i n g u l a r i t y w i t h i n t e g r a t i n g 4 ’ a b o u t t h e b r a n c h - c u t c o n t o u r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1 7 F i g u r e 6 . 2 . 8 F i e l d p h a s e l o n g i t u d i n a l p r o fi l e c o n t r i b u t e d b y t h e r e s i d u e e v a l u a t e d a t t h e s u r f a c e - w a v e p o l e s i n g u l a r i t y w i t h i n t e g r a t i n g Q “ a b o u t t h e b r a n c h - c u t c o n t o u r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1 8 F i g u r e 6 . 2 . 9 M a x w e l l i a n t r a n s v e r s e d i s t r i b u t i o n t o b e m a t c h e d w i t h t h e n o r m a l e l e c t r i c fi e l d c o m p o n e n t d i f f e r e n c e a t t h e i n t e r f a c e y = O . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 3 5 F i g u r e 6 . 3 . 1 T r a n s v e r s e c o n t i n u o u s a n d d i s c r e t e e l e c t r i c c o v e r fi e l d s p e c t r u m a m p l i t u d e s p r o fi l e i n t h e l o w - l o s s l i m i t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 4 1 F i g u r e 6 . 3 . 2 T r a n s v e r s e c o n t i n u o u s e l e c t r i c c o v e r fi e l d s p e c t r u m p h a s e p r o fi l e i n t h e l o w - l o s s l i m i t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 4 2 F i g u r e 6 . 3 . 3 T r a n s v e r s e d i s c r e t e e l e c t r i c c o v e r fi e l d s p e c t r u m p h a s e p r o fi l e i n t h e l o w - x v i F i g u l t 6 . 3 . 4 F i g u r e 6 . 3 . 5 F i g u r e 6 . 3 . 6 F i g u l t 6 . 3 . 7 E l g u r r 6 . 3 . 8 F i g u r e 6 . 3 . 9 F l S u r e 6 . 3 . l r ‘ . P i g u r c 6 . 3 . l l F I E U r c 6 . 3 . 1 3 F i g u r e 6 . 3 . 1 3 F i g u r e 6 . 3 . 1 4 n g m 6 3 . 1 5 5 3 ” " 6 - 3 - 1 6 H fl m 6 j l 7 — : » m u r - u q . ; 3 1 4 6 1 “ ; - . « l o s s l i m i t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 4 3 F i g u r e 6 . 3 . 4 T r a n s v e r s e t o t a l e l e c t r i c c o v e r fi e l d s p e c t r u m p h a s e p r o fi l e i n t h e l o w - l o s s l i m i t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 4 4 F i g u r e 6 . 3 . 5 T r a n s v e r s e c o n t i n u o u s a n d d i s c r e t e c o v e r e l e c t r i c fi e l d s p e c t r u m a m p l i t u d e p r o fi l e s i n t h e l o w - l o s s l i m i t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 4 5 F i g u r e 6 . 3 . 6 T r a n s v e r s e c o n t i n u o u s e l e c t r i c c o v e r fi e l d s p e c t r u m p h a s e p r o fi l e i n t h e l o w - l o s s l i m i t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 4 6 F i g u r e 6 . 3 . 7 T r a n s v e r s e d i s c r e t e e l e c t r i c c o v e r fi e l d s p e c t r u m p h a s e p r o fi l e i n t h e l o w - l o s s l i m i t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 4 7 F i g u r e 6 . 3 . 8 T r a n s v e r s e t o t a l e l e c t r i c c o v e r fi e l d S p e c t r u m p h a s e p r o fi l e i n t h e l o w - l o s s l i m i t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 4 8 F i g u r e 6 . 3 . 9 V e r t i c a l c o n t i n u o u s a n d d i s c r e t e e l e c t r i c c o v e r fi e l d s p e c t r u m a m p l i t u d e s p r o fi l e i n t h e l o w - l o s s l i m i t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 4 9 F i g u r e 6 . 3 . 1 0 V e r t i c a l c o n t i n u o u s e l e c t r i c c o v e r fi e l d s p e c t r u m p h a s e p r o fi l e i n t h e l o w - l o s s l i m i t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 5 0 F i g u r e 6 . 3 . 1 1 V e r t i c a l d i s c r e t e e l e c t r i c c o v e r fi e l d S p e c t r u m p h a s e p r o fi l e i n t h e l o w — l o s s l i m i t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 5 1 F i g u r e 6 . 3 . 1 2 V e r t i c a l t o t a l e l e c t r i c c o v e r fi e l d S p e c t r u m p h a s e p r o fi l e i n t h e l o w - l o s s l i m i t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 5 2 F i g u r e 6 . 3 . 1 3 V e r t i c a l c o n t i n u o u s a n d d i s c r e t e e l e c t r i c c o v e r fi e l d s p e c t r u m a m p l i t u d e s p r o fi l e i n t h e l o w - l o s s l i m i t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 5 3 F i g u r e 6 . 3 . 1 4 V e r t i c a l c o n t i n u o u s e l e c t r i c c o v e r fi e l d S p e c t r u m p h a s e p r o fi l e i n t h e l o w - l o s s l i m i t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 5 4 F i g u r e 6 . 3 . 1 5 V e r t i c a l d i s c r e t e e l e c t r i c c o v e r fi e l d s p e c t r u m p h a s e p r o fi l e i n t h e l o w - l o s s l i m i t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 5 5 F i g u r e 6 . 3 . 1 6 V e r t i c a l t o t a l e l e c t r i c c o v e r fi e l d s p e c t r u m p h a s e p r o fi l e i n t h e l o w - l o s s l i m i t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 5 6 F i g u r e 6 . 3 . 1 7 L o n g i t u d i n a l c o n t i n u o u s a n d d i s c r e t e e l e c t r i c c o v e r fi e l d s p e c t r u m a m p l i t u d e s p r o fi l e i n t h e l o w - l o s s l i m i t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 5 7 F i g u r e 6 . 3 . 1 8 L o n g i t u d i n a l c o n t i n u o u s e l e c t r i c c o v e r fi e l d S p e c t r u m p h a s e p r o fi l e i n t h e l o w - l o s s l i m i t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 5 8 x v i i ‘ o l o 3 : 1 ‘ 3 . 3 o . . . . - 1 1 ) . J ) J . ‘ 1 l \ F i g u r e 6 . 3 . 2 1 F l g u r c 6 . 3 . 2 1 F i g u r e 6 . 3 . 2 : F i g u r e 6 . 3 . 2 6 F i g u r e 6 . F l e u r : 6 . 3 . 2 8 fi g “ ! 6 3 3 0 F l g l l r c 6 1 3 ] “ E u r : 6 . 3 . 3 4 . F i g u r e 6 . 3 . 1 9 L o n g i t u d i n a l d i s c r e t e e l e c t r i c c o v e r fi e l d S p e c t r u m p h a s e p r o fi l e i n t h e l o w - l o s s l i m i t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 5 9 F i g u r e 6 . 3 . 2 0 L o n g i t u d i n a l t o t a l e l e c t r i c c o v e r fi e l d S p e c t r u m p h a s e p r o fi l e i n t h e l o w - l o s s l i m i t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 6 0 F i g u r e 6 . 3 . 2 1 L o n g i t u d i n a l c o n t i n u o u s a n d d i s c r e t e e l e c t r i c c o v e r fi e l d s p e c t r u m a m p l i t u d e s p r o fi l e i n t h e l o w - l o s s l i m i t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 6 1 F i g u r e 6 . 3 . 2 2 L o n g i t u d i n a l c o n t i n u o u s e l e c t r i c c o v e r fi e l d s p e c t r u m p h a s e p r o fi l e i n t h e l o w - l o s s l i m i t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 6 2 F i g u r e 6 . 3 . 2 3 L o n g i t u d i n a l d i s c r e t e e l e c t r i c c o v e r fi e l d s p e c t r u m p h a s e p r o fi l e i n t h e l o w - l o s s l i m i t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 6 3 F i g u r e 6 . 3 . 2 4 L o n g i t u d i n a l t o t a l e l e c t r i c c o v e r fi e l d s p e c t r u m p h a s e p r o fi l e i n t h e l o w - l o s s l i m i t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 6 4 F i g u r e 6 . 3 . 2 5 R e { ; } — a x i s i n v e r s i o n c o n t o u r v a l i d a t i o n o f m i c r o s t r i p c o v e r fi e l d a m p l i t u d e p r o fi l e c o n t r i b u t e d b y t h e c o n t i n u o u s s p e c t r u m fi e l d a n d t h e d i s c r e t e s p e c t r u m fi e l d i n t h e n e a r z o n e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 6 5 F i g u r e 6 . 3 . 2 6 R e { § } - a x i s i n v e r s i o n c o n t o u r v a l i d a t i o n o f m i c r o s t r i p c o v e r fi e l d p h a s e p r o fi l e c o n t r i b u t e d b y t h e c o n t i n u o u s s p e c t r u m fi e l d a n d t h e d i s c r e t e s p e c t r u m fi e l d i n t h e n e a r z o n e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 6 6 F i g u r e 6 . 3 . 2 7 R e { § ’ } - a x i s i n v e r s i o n c o n t o u r v a l i d a t i o n o f m i c r o s t r i p c o v e r fi e l d a m p l i t u d e p r o fi l e c o n t r i b u t e d b y t h e c o n t i n u o u s s p e c t r u m fi e l d a n d t h e d i s c r e t e s p e c t r u m fi e l d . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 6 7 F i g u r e 6 . 3 . 2 8 R e { § } - a x i s i n v e r s i o n c o n t o u r v a l i d a t i o n o f m i c r o s t r i p c o v e r fi e l d p h a s e p r o fi l e c o n t r i b u t e d b y t h e c o n t i n u o u s s p e c t r u m fi e l d a n d t h e d i s c r e t e S p e c t r u m fi e l d . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 6 8 F i g u r e 6 . 3 . 2 9 T r a n s v e r s e c o n t i n u o u s a n d d i s c r e t e e l e c t r i c fi l m fi e l d S p e c t r u m a m p l i t u d e s p r o fi l e i n t h e l o w - l o s s l i m i t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 6 9 F i g u r e 6 . 3 . 3 0 T r a n s v e r s e c o n t i n u o u s e l e c t r i c fi h n fi e l d s p e c t r u m p h a s e p r o fi l e i n t h e l o w - l o s s l i m i t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 7 0 F i g u r e 6 . 3 . 3 1 T r a n s v e r s e d i s c r e t e e l e c t r i c fi l m fi e l d s p e c t r u m p h a s e p r o fi l e i n t h e l o w - l o s s l i m i t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 7 1 F i g u r e 6 . 3 . 3 2 T r a n s v e r s e t o t a l e l e c t r i c fi l m fi e l d s p e c t r u m p h a s e p r o fi l e i n t h e l o w - l o s s x v i i i F i g u r e 6 . 3 . 3 3 ' 1 I F i g u r e 6 . 3 . 3 - 1 ' F l g u l t 6 . 3 . 3 5 F i g u r r 6 . 3 . 3 6 H u m o s i i F u m 6 3 3 8 H H m 6 3 3 9 F i g u r e 6 . 3 . 4 ! ) F i g ” : 6 . 3 . 4 1 F I E - W t 6 . 3 . 4 3 H m n 6 3 4 3 F 1 6 1 " : ( 5 3 4 4 F i g u " 6 . 3 . 4 5 F l o c u r t 6 W 3 ~ 1 f fi g u r e 6 3 4 _ F i g u r e 6 . 3 . 3 3 l i m i t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 7 2 T r a n s v e r s e c o n t i n u o u s a n d d i s c r e t e e l e c t r i c fi l m fi e l d S p e c t r u m a m p l i t u d e s p r o fi l e i n t h e l o w - l o s s l i m i t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 7 3 F i g u r e 6 . 3 . 3 4 T r a n s v e r s e c o n t i n u o u s e l e c t r i c fi l m fi e l d s p e c t r u m p h a s e p r o fi l e i n t h e l o w - 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a x i s i n v e r s i o n c o n t o u r v a l i d a t i o n o f m i c r o s t r i p c o v e r fi e l d p h a s e p r o fi l e c o n t r i b u t e d b y t h e c o n t i n u o u s S p e c t r u m fi e l d a n d t h e d i s c r e t e s p e c t r u m fi e l d . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 9 0 F i g u r e 6 . 3 . 5 1 L o n g i t u d i n a l c o n t i n u o u s a n d d i s c r e t e e l e c t r i c fi l m fi e l d s p e c t r u m a m p l i t u d e s p r o fi l e i n t h e l o w - l o s s l i m i t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 9 1 F i g u r e 6 . 3 . 5 2 L o n g i t u d i n a l c o n t i n u o u s e l e c t r i c fi l m fi e l d S p e c t r u m p h a s e p r o fi l e i n t h e l o w - l o s s l i m i t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 9 2 F i g u r e 6 . 3 . 5 3 L o n g i t u d i n a l d i s c r e t e e l e c t r i c fi e l d s p e c t r u m p h a s e p r o fi l e i n t h e l o w - 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l o s s l i m i t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 9 9 F i g u r e 6 . 3 . 6 0 L o n g i t u d i n a l c o n t i n u o u s e l e c t r i c fi l m fi e l d s p e c t r u m p h a s e p r o fi l e i n t h e l o w - l o s s l i m i t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 0 0 F i g u r e 6 . 3 . 6 1 L o n g i t u d i n a l d i s c r e t e e l e c t r i c fi l m fi e l d s p e c t r u m p h a s e p r o fi l e i n t h e l o w - l o s s l i m i t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 0 1 F i g u r e 6 . 3 . 6 2 L o n g i t u d i n a l t o t a l e l e c t r i c fi l m fi e l d s p e c t r u m p h a s e p r o fi l e i n t h e l o w - l o s s X X F i g u r r 6 . 3 6 F i g u r e 6 . 3 . ( E g m 6 3 t l i m i t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 0 2 F i g u r e 6 . 3 . 6 3 R e { 5 } - a x i s i n v e r s i o n c o n t o u r v a l i d a t i o n O f m i c r o s t r i p fi l m fi e l d a m p l i t u d e p r o fi l e c o n t r i b u t e d b y t h e c o n t i n u o u s S p e c t r u m fi e l d a n d t h e d i s c r e t e s p e c t r u m fi e l d i n t h e n e a r z o n e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 0 3 F i g u r e 6 . 3 . 6 4 R e { 5 } - a x i s i n v e r s i o n c o n t o u r v a l i d a t i o n o f m i c r o s t r i p fi l m fi e l d p h a s e p r o fi l e c o n t r i b u t e d b y t h e c o n t i n u o u s s p e c t r u m fi e l d a n d t h e d i s c r e t e s p e c t r u m fi e l d i n t h e n e a r z o n e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 0 4 F i g u r e 6 . 3 . 6 5 R e { 5 } - a x i s i n v e r s i o n c o n t o u r v a l i d a t i o n o f m i c r o s t r i p fi l m fi e l d a m p l i t u d e p r o fi l e c o n t r i b u t e d b y t h e c o n t i n u o u s s p e c t r u m fi e l d a n d t h e d i s c r e t e s p e c t r u m fi e l d . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 0 5 F i g u r e 6 . 3 . 6 6 R e { 5 } - a x i s i n v e r s i o n c o n t o u r v a l i d a t i o n o f m i c r o s t r i p fi l m fi e l d p h a s e p r o fi l e c o n t r i b u t e d b y t h e c o n t i n u o u s s p e c t r u m fi e l d a n d t h e d i s c r e t e S p e c t r u m fi e l d . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 0 6 F i g u r e 7 . 1 . 1 G e o m e t r i c a l c o n fi g u r a t i o n o f O p e n m i c r o s t r i p s t r u c t u r e i m m e r s e d i n l a y e r e d b a c k g r o u n d e n v i r o n m e n t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1 0 F i g u r e 7 . 1 . 2 C r o s s — s e c t i o n a l v i e w O f i m m e r s e d m i c r o s t r i p s t r u c t u r e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1 0 F i g u r e 7 . 2 . 1 B r a n c h - p o i n t S i n g u l a r i t i e s i 5 k l a n d s u r f a c e - w a v e p o l e s i n g u l a r i t i e s i 5 T M 0 i n t h e c o m p l e x 5 - p l a n e f o r a c o r r e s p o n d i n g p o i n t o n R e { 5 } - a x i s i n v e r s i o n c o n t o u r i n t h e c o m p l e x 5 - p l a n e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1 3 F i g u r e 7 . 2 . 2 P o l a r c o o r d i n a t e t r a n s f o r m a t i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1 5 F i g u r e 7 . 2 . 3 I d e n t i fi c a t i o n o f t h e s t e e p e s t - d e s c e n t p a t h i n t h e c o m p l e x 5 - p 1 a n e f o r a n o b s e r v a t i o n a s p e c t a n g l e 6 l e s s t h a n a t h r e s h o l d a s p e c t a n g l e 0 , a n d b r a n c h c u t s c o n t r i b u t e d b y t h e b a c k g r o u n d l a y e r e n v i r o n - m e n t i n t h e l o w - l o s s l i m i t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1 8 F i g u r e 7 . 3 . 1 C o m p l e x p h a s o r d i a g r a m o f t h e s t e e p e s t - d e s c e n t p a t h i n t h e c o m p l e x 5 - p l a n e w i t h i n t e r v a l s I , I I , I I I , a n d I V a n d l o g a r i t h m i c b r a n c h c u t s i n t h e l o w - l o s s l i m i t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 2 2 F i g u r e 7 . 3 . 2 M i g r a t i o n o f c o m p l e x 5 - p l a n e b r a n c h p o i n t s i n g u l a r i t i e s 1 1 : 5 k 1 i n t h e l o w — l o s s l i m i t w i t h v a r i o u s 5 c o n t o u r i n g a l o n g t h e s t e e p e s t - d e s c e n t p a t h i n t h e c o m p l e x 5 - p l a n e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 2 3 x x i F i r u r c 7 . 3 . 3 M i g F i g u r r F l g u n : A A l . 1 G l l P 0 m a } p , 5 H 2 E “ ” A 2 , : I d a W ? E . l . 1 A “ g a } . n t h e 1 c o m 1 c o n t t h e g ' F i g u r e E 4 1 G T a g O d d 5 F I E - 3 1 1 1 ? E 4 2 c m : 5 3 _ C U m I U I C r F l g U I t 6 . 1 ] T r a r F i g u r e 0 . 1 2 P r o ; b O U r F i g u r e 7 . 3 . 3 M i g r a t i o n o f c o m p l e x 5 - p l a n e s u r f a c e - w a v e p o l e S i n g u l a r i t i e s i 5 T M 0 i n t h e l o w - l o s s l i m i t w i t h v a r i o u s 5 a l o n g t h e s t e e p e s t - d e s c e n t p a t h i n t h e c o m p l e x 5 - p l a n e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 2 4 F i g u r e A . 1 . 1 G e o m e t r i c a l c o n fi g u r a t i o n o f a s y m m e t r i c p l a n a r d i e l e c t r i c S l a b w a v e g u i d e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 3 1 F i g u r e A . 2 . l P o l e S i n g u l a r i t i e s i n t h e c o m p l e x 5 - p l a n e t o b e c h o s e n f o r p l ( 5 ) o n t h e t o p R i e m a n n s h e e t o f t h e c o m p l e x 5 - p l a n e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 3 3 F i g u r e A . 2 . 2 I d e n t i fi c a t i o n o f p o l e s i n g u l a r i t i e s b y p a t h d e f o r m a t i o n o f F o u r i e r i n v e r s i o n c o n t o u r i n t h e c o m p l e x 5 - p l a n e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 3 4 F i g u r e E . 1 . l A s y m m e t r i c t r i p l a n a r - l a y e r e d d i e l e c t r i c w a v e g u i d e w i t h t h e z - a x i s a s t h e w a v e g u i d i n g a x i s a n d w i t h t h e x - a x i s t a n g e n t i a l a n d t h e y - a x i s n o r m a l t o t h e p l a n a r i n t e r f a c e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 5 3 F i g u r e E . 4 . 1 G r a p h i c a l s o l u t i o n t o d e t e r m i n e t h e c u t - o f f c r i t e r i o n f o r t h e n ’ t h e v e n o r O d d s u r f a c e - w a v e m o d e s o f t h e m i c r o s t r i p w a v e g u i d e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 8 5 F i g u r e E . 4 . 2 C r o s s - s e c t i o n a l v i e w o f t h e i n t e g r a t e d m i c r o s t r i p w a v e g u i d e w i t h 8 3 — ) - j ° ° . P e r p e n d i c u l a r T M 0 e v e n - a n d p a r a l l e l T E l O d d - m o d e c u r r e n t s a n d t h e i r i m a g e s a r e m i r r o r e d w i t h r e s p e c t t o t h e y = — t i n t e r f a c e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 8 7 F i g u r e G . l . 1 T r a n s f o r m a t i o n o f ( x , z — z ’ ) i n t o ( r , 9 ) a n d ( 5 , 5 ) i n t o ( / 1 , ¢ ) . . . . . . 3 8 9 F i g u r e G . 1 . 2 P r o p e r s p e c t r u m i n t h e c o m p l e x x 1 . — p l a n e w i t h t h e b r a n c h - p o i n t a n d t h e b o u n d - m o d e p o l e s i n g u l a r i t i e s i n t h e l o w - l o s s l i m i t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 9 2 x x i i m b O e d C S f o r O m f u a n a n l a t e d i A f u l l - F a s t ? m i c r o s t r i p w a v e ; t e e n d e v e l o p e d 1 p h y s i c s i n e l e c t r n e i t h e r c o n c e p t u t h e b a c k g r o u n d s t r u c t u r e i s r l g n m l f g r a t e d m i c r r C h a p t e r 2 ( C H A P T E R 1 I N T R O D U C T I O N A f u l l - w a v e i n t e g r a l o p e r a t o r f o r m u l a t i o n f o r e l e c t r o m a g n e t i c fi e l d s i n a n i n t e g r a t e d m i c r o s t r i p w a v e g u i d e c o n fi g u r a t i o n i n a p l a n a r l y l a y e r e d b a c k g r o u n d e n v i r o n m e n t h a s b e e n d e v e l o p e d t o a n a l y z e a s s o c i a t e d E M p h e n o m e n a [ 1 ] - [ 6 ] . H o w e v e r , t h e n a t u r e o f t h e p h y s i c s i n e l e c t r o m a g n e t i c fi e l d s o f t h e i n t e g r a t e d m i c r o s t r i p w a v e g u i d e c o n fi g u r a t i o n i s n e i t h e r c o n c e p t u a l i z e d n o r q u a n t i fi e d a d e q u a t e l y . A c o n t i n u o u s s p e c t r u m c o n t r i b u t e d b y t h e b a c k g r o u n d l a y e r e n v i r o n m e n t a n d a d i s c r e t e s p e c t r u m c o n t r i b u t e d b y t h e g u i d i n g ‘ s t r u c t u r e i s r i g o r o u s l y r e v e a l e d a n d m o r e p h y s i c a l i n s i g h t i n t o t h e E M b e h a v i o u r s o f t h e i n t e g r a t e d m i c r o s t r i p w a v e g u i d e c o n fi g u r a t i o n i s O b t a i n e d . C h a p t e r 2 d e s c r i b e s t h e s t e e p e s t - d e s c e n t e v a l u a t i o n O f t h e r a d i a t i o n fi e l d f o r T E m o d e s o f a n a s y m m e t r i c p l a n a r O p e n w a v e g u i d e . T h e c o v e r , fi l m a n d s u b s t r a t e fi e l d w i l l b e f o r m u l a t e d i n t h e S p e c t r a l d o m a i n . T h e s t e e p e s t - d e s c e n t p a t h i n t h e c o m p l e x a x i a l t r a n s f o r m p l a n e ( 5 - p l a n e ) i s i d e n t i fi e d a s a d i r e c t m e t h o d a n d t h a t i n t h e c o m p l e x ¢ ~ p l a n e ( ¢ = 0 ' + 1 ' 7 7 : c o m p l e x p o l a r c o o r d i n a t e ) i s a l s o i d e n t i fi e d a s a n i n d i r e c t m e t h o d i n o r d e r t o v a l i d a t e t h e s t e e p e s t - d e s c e n t p a t h i n t h e c o m p l e x a x i a l t r a n s f o r m p l a n e ( 5 - p l a n e ) . T h e b r a n c h c u t i n t e g r a t i o n w i l l b e r i g o r o u s l y a n a l y z e d t h r o u g h c o m p l e x - p h a s o r d i a g r a m s . A n a l t e r n a t i v e i n t e g r a t i o n p a t h w i l l b e a l s o i d e n t i fi e d s i n c e i t i s a n e f f e c t i v e m e t h o d t o v a l i d a t e t h e s t e e p e s t - d e s c e n t a n d b r a n c h o u t i n t e g r a t i o n s . T h e n , t h e s t e e p e s t - d e s c e n t e v a l u a t i o n o f c o v e r a n d s u b s t r a t e fi e l d s a n d n u m e r i c a l r e s u l t s w i l l b e p r e s e n t e d . C h a p t e r 3 d e s c r i b e s t h e s t e e p e s t - d e s c e n t e v a l u a t i o n o f t h e r a d i a t i o n fi e l d f o r T M m o - t f s t 3 v e a i s m W c i c s o f a o t r e h e . a v l a m T e A i l w i l l u l a P C S E n d a t e t u b a e C h a I c a l i a p g n i t e n l 3 d f ‘ 2 1 l l “ ‘ d fi s c l a s t ( e e h o n c c t r e a l . m f o e . s é 0 1 n d ~‘ I ] r t y e f r . i r t a n t r i t i n u p o n g a v n p v d r n e C c m C e S r a n a u a u t e l i h g e p p h g . o m i e a o 1 1 ‘ W fi s a d u o e e a l g p i p i u r t d t d u z l 0 h g ( e c r e . c m n u d i n e x t c n S I V Q n d e s o f a n a s y m m e t r i c p l a n a r o p e n w a v e g u i d e . T h e c o v e r , fi l m a n d s u b s t r a t e fi e l d w i l l b e f o r m u l a t e d i n t h e s p e c t r a l d o m a i n t h e n t h e s p e c t r a l g r e e n ’ s d y a d s a r e r e p r e s e n t e d . T h e s t e e p e s t - d e s c e n t p a t h i n t h e c o m p l e x a x i a l t r a n s f o r m p l a n e ( 5 - p l a n e ) i s i d e n t i fi e d a s f o r t h e T B c a s e . T h e b r a n c h c u t i n t e g r a t i o n i s a n a l y z e d i n a f a s h i o n s i m i l a r t o t h a t i n C h a p t e r 2 . A n a l t e r n a t i v e i n t e g r a t i o n p a t h w i l l b e a l s o i d e n t i fi e d s i n c e i t i s a n e f f e c t i v e m e t h o d t o v a l i d a t e t h e s t e e p e s t - d e s c e n t a n d b r a n c h c u t i n t e g r a t i o n s . T h e n , t h e s t e e p e s t - d e s c e n t e v a l u a t i o n o f c o v e r a n d s u b s t r a t e fi e l d s w i l l b e p r e s e n t e d . N u m e r i c a l i m p l e m e n t a t i o n w i l l b e a c c o m m o d a t e d i n t h e f u t u r e r e s e a r c h . C h a p t e r 4 d i s c u s s e s t h e S p e c t r a l e l e c t r i c fi e l d i n t e g r a l e q u a t i o n ( E F T E ) f o r m u l a t i o n f o r a n i n t e g r a t e d O p e n w a v e g u i d e s t r u c t u r e i n a p l a n a r - l a y e r e d b a c k g r o u n d e n v i r o n m e n t . I t , i m p o r t a n t l y , i n t r o d u c e s t h e c o n c e p t O f l o g a r i t h m i c — a n d s q u a r e - r o o t t y p e b r a n c h — p o i n t S i n g u l a r i t i e s c o n t r i b u t e d b y t h e l a y e r e d b a c k g r o u n d e n v i r o n m e n t [ 7 H 9 ] . T h e p h y s i c a l m e a n i n g o f t h o s e S i n g u l a r i t i e s w i l l b e i n t e r p r e t e d . C h a p t e r 5 d i s c u s s e s t h e f o r m u l a t i o n f o r c u r r e n t i n a n o p e n i n t e g r a t e d m i c r o s t r i p w a v e g u i d e . T h e n , t h e p h y s i c s o f c u r r e n t s o n t h e m i c r o s t r i p w a v e g u i d e c o n fi g u r a t i o n i s c o n c e p t u a l i z e d a n d q u a n t i fi e d n u m e r i c a l l y . S i n c e t h e m i c r o s t r i p c u r r e n t s a r e r e p r e s e n t e d i n p r o p e r ( c o n t i n u o u s a n d d i s c r e t e ) s p e c t r a , t h e n n o l e a k y - m o d e s n e e d t o b e c o n s i d e r e d . C h a p t e r 6 d i s c u s s e s t h e e l e c t r o m a g n e t i c fi e l d s i n a n o p e n i n t e g r a t e d m i c r o s t r i p w a v e g u i d e . B a s e d u p o n t h e i d e n t i t y o f c o m p l e x a n a l y s i s f o r t h e m i c r o s t r i p c u r r e n t s a n d fi e l d s , m u c h o f t h e a n a l y s i s w a s a l r e a d y c a r r i e d o u t i n C h a p t e r 5 . T h e p h y s i c s o f fi e l d s s u r r o u n d i n g t h e o p e n m i c r o s t r i p c o n fi g u r a t i o n a r e s u b s e q u e n t l y c o n c e p t u a l i z e d a n d e x t e n s i v e n u m e r i c a l r e s u l t s a r e p r e s e n t e d . C h a p t e r fi e l d s o f a r C O V C T fi e l d z o n e . T h e . i s n o t i n c l a c c o m m o d a F i n a l l } . t h e n u m e r i c C h a p t e r 7 d i s c u s s e s t h e a s y m p t o t i c a p p r o x i m a t i o n t o t h e f a r z o n e e l e c t r o m a g n e t i c fi e l d s O f a n O p e n i n t e g r a t e d m i c r o s t r i p w a v e g u i d e . I t i s O b s e r v e d t h a t t h e a s y m p t o t i c c o v e r fi e l d b e h a v e s a l g e b r a i c a l l y l i k e r _ ( a + 3 / 2 ) ( 0 : ¢ 0 ) w h e n a p p r o a c h i n g t o t h e f a r z o n e . T h e a s y m p t o t i c f o r m o f t h e fi l m fi e l d c a n b e a l s o o b t a i n e d i n a s i m i l a r f a s h i o n b u t i s n o t i n c l u d e d i n t h i s c h a p t e r . T h e r i g o r o u s n u m e r i c a l i m p l e m e n t a t i o n w i l l b e a c c o m m o d a t e d i n t h e f u t u r e r e s e a r c h . F i n a l l y , C h a p t e r 8 c o m m e n t s o n a g e n e r a l r e v i e w o f t h e d i s s e r t a t i o n a n d e m p h a s i z e s t h e n u m e r i c a l i m p l e m e n t a t i o n o f C h a p t e r s 3 a n d 7 i n f u t u r e r e s e a r c h . S P E C I t 1 1 I N " . T h e s t t o d c t e r m t o t h e i n t : p l a n a r t e a i n t h e c o n “ ' a ‘ i ' c g u i d e p l a n a r l a } . b r a n c h p o i T i t S t e e p c l a m m a i n l S t T U C I U r c u n 0 ” ‘ I ’ C m o v ; F o r t h e “ P l a c e s t h e n a i l e d ) . t h e r e ” R a i n i n g S h e m p , ” . ” W i n i n g C r C H A P T E R 2 S P E C T R A L A N A L Y S I S A N D A S Y M P T O T I C R A D I A T I O N F I E L D F O R T E M O D E S O F T H E A S Y M M E T R I C P L A N A R O P E N W A V E G U I D E 2 . 1 I N T R O D U C T I O N A N D G E O M E T R I C A L C O N F I G U R A T I O N T h e s t e e p e s t - d e s c e n t m e t h o d i n t h e c o m p l e x ¢ - p l a n e h a s b e e n e x t e n s i v e l y d e v e l o p e d t o d e t e r m i n e t h e a s y m p t o t i c r a d i a t i o n fi e l d o f p l a n a r w a v e g u i d e s t r u c t u r e s [ 1 0 ] - [ 1 3 ] . D u e t o t h e i n t r i n s i c n a t u r e O f c o m p l e x i t y i n t h e c o m p l e x ¢ - p l a n e , t h e r a d i a t i o n fi e l d s o f o p e n p l a n a r w a v e g u i d e s a r e i d e n t i fi e d a n d c l a s s i fi e d h e r e t h r o u g h t h e s t e e p e s t - d e s c e n t m e t h o d . i n t h e c o m p l e x a x i a l t r a n s f o r m p l a n e [ 1 4 ] , [ 1 5 ] . A n d , t h e s p e c t r a l fi e l d s o f p l a n a r O p e n w a v e g u i d e s t r u c t u r e s p o s s e s s m u l t i p l e b r a n c h p o i n t s a s s o c i a t e d w i t h e a c h O f t h e t h r e e p l a n a r l a y e r s . T h e b r a n c h p o i n t a s s o c i a t e d w i t h t h e fi l m l a y e r i s r e m o v a b l e a n d t h e b r a n c h p o i n t s a s s o c i a t e d w i t h t h e c o v e r l a y e r a n d t h e s u b s t r a t e l a y e r s a r e n o n - r e m o v a b l e . T h e s t e e p e s t - d e s c e n t e v a l u a t i o n o f r a d i a t i o n fi e l d s i n b o t h t h e c o v e r a n d t h e s u b s t r a t e l a y e r m a i n t a i n e d b y T E e l e c t r i c s o u r c e s i n p r o x i m i t y t o t h e s i m p l e s t c a n o n i c a l w a v e g u i d e s t r u c t u r e w i l l b e p e r f o r m e d w h e n s p e c t r a l r e p r e s e n t a t i o n s o f t h o s e fi e l d s p o s s e s s m u l t i p l e n o n - r e m o v a b l e b r a n c h p o i n t s i n t h e c o m p l e x a x i a l t r a n s f o r m p l a n e . F o r t h e c o v e r fi e l d , t h e s t e e p e s t - d e s c e n t p a t h i n t h e c o m p l e x a x i a l t r a n s f o r m p l a n e r e p l a c e s t h e c o v e r l a y e r b r a n c h o u t w h i l e t h e s u b s t r a t e l a y e r b r a n c h c u t i s r e t a i n e d . A l t e r - n a t i v e l y t h e c o v e r a n d t h e i n c o m p l e t e s u b s t r a t e l a y e r b r a n c h c u t a r e r e p l a c e d w h i l e t h e r e m a i n i n g s u b s t r a t e l a y e r b r a n c h c u t i s r e t a i n e d . H o w e v e r , i n t h e s u b s t r a t e l a y e r , t h e i n c o m p l e t e c o v e r a n d t h e c o m p l e t e s u b s t r a t e l a y e r b r a n c h c u t a r e r e p l a c e d w h i l e t h e r e m a i n i n g c o v e r l a y e r b r a n c h c u t i s r e t a i n e d . T h e p l a n a r V t p e r m - l a y e r e d b a l l d l l o m o g e n e o l l a y e r s . A c o o r d i a x i s n o r m a l t o t l e x t e n t p a r a l l e l t o T h e p l a n a r w a v e g u i d e s t r u c t u r e c o n s i s t s O f a d i e l e c t r i c g u i d i n g r e g i o n i m m e r s e d i n a p l a n a r - l a y e r e d b a c k g r o u n d e n v i r o n m e n t . E a c h p l a n a r l a y e r i s n o n - m a g n e t i c , i s o t r o p i c , a n d h o m o g e n e o u s w i t h c o m p l e x p e r m i t t i v i t y 8 1 , 1 = 1 , 2 , 3 f o r c o v e r , fi l m , a n d s u b s t r a t e l a y e r s . A c o o r d i n a t e s y s t e m i s c h o s e n w i t h t h e z a x i s a s t h e w a v e g u i d i n g a x i s a n d t h e x a x i s n o r m a l t o t h e p l a n a r i n t e r f a c e s a s d e p i c t e d i n F i g . 2 . 1 . 1 . T h e s t r u c t u r e i s o f i n fi n i t e e x t e n t p a r a l l e l t o t h e y — z p l a n e . l l l l l l l l l l l X : - j r i g u r e . . . . . . . . . 2 , 2 S P T h e : f o n n u l a t : t h e w a v e q u a n t i t i e s S i n c e w i t h t h e t f . 5 i s t h e 1 1 1 1 1 1 I l n c C n e g , S U b S e q U C m H e l t h I I Z 1 2 . 2 S P E C T R A L F I E L D F O R M U L A T I O N T h e a n a l y s i s o f l a y e r e d w a v e g u i d e c o n fi g u r a t i o n s p r o c e e d t y p i c a l l y f r o m a s p e c t r a l f o r m u l a t i o n f o r c u r r e n t s / fi e l d s i n t h e c o m p l e x a x i a l t r a n s f o r m p l a n e . U n i f o r m i t y a l o n g t h e w a v e g u i d i n g a x i s 2 : p r o m p t s a c o m p l e x a x i a l F o u r i e r t r a n s f o r m a t i o n o f a l l fi e l d q u a n t i t i e s w i t h r e s p e c t t o t h e z v a r i a b l e . S i n c e t h e S p e c t r a l fi e l d s a r e T E w i t h r e s p e c t t o t h e w a v e g u i d i n g a x i s i n a g r e e m e n t w i t h t h e p r e s c r i b e d y - i n v a r i a n c e , t h e g u i d e d w a v e fi e l d s a r e E ( x , § ' ) = y e , ( x , 5 ) I I ( x , C ) = i h x ( x , 5 ) + t h ( x , 5 ) w h e r e ( 2 . 2 . 1 ) E ( x , z ) < — > é ( x , ( , ’ ) H ( x . z ) < — — > l i ( x , é " ) w a r e t r a n s f o r m p a i r s 5 i s t h e c o m p l e x a x i a l t r a n s f o r m v a r i a b l e a n d e x c i t a t i o n b y a ( 6 1 ” t i m e d e p e n d e n c e ) u n i t l i n e c u r r e n t s o u r c e i s a s s u m e d . T h e s p e c t r a l M a x w e l l e q u a t i o n s f o r t h e 1 ’ t h l a y e r b e c o m e C E ( x , 6 ) = w r l o l i r ( x , § ) a _ _ _ , _ e y ( : § ) = — I w # o h ( x 6 ' ) 1 4 7 6 0 6 " ) a h ( : € — — — ) w h e r e j , ( r , ; ) = 6 ( x — r ' ) e - i 4 2 ’ S u b s e q u e n t m a n i p u l a t i o n u n c o u p l e s t h e S p e c t r a l M a x w e l l e q u a t i o n s t o y i e l d t h e s p e c t r a l — j y ( x , 5 ) + j a r e l e y ( x , 5 ) ( 2 . 2 . 2 ) H e l m h o l t z e q u a t i o n . I I I : S p a C c h m T h e i n ' s u b s e q u e n t 2 . 2 . ] C O ‘ D r e a m “ b e i t ) a z ' é , x 2 3 : § ) - P 1 2 ( § ) é . v ( x ’ § ) = j w % j ” y ( x ’ € ) w h e r e ( 2 2 3 ) P l ( § ) = \ / § 2 - k 1 2 " ' l = 1 ’ 2 ’ 3 k l = W l 1 0 8 1 = " z k o " ' " 1 : « 1 1 9 1 / 8 0 T h e i n t e g r a l r e p r e s e n t a t i o n f o r t h e c o m p l e t e e l e c t r o m a g n e t i c fi e l d i s r e c o v e r e d b y s u b s e q u e n t i n v e r s e t r a n s f o r m a t i o n o f t h e s p e c t r a l fi e l d s . 2 . 2 . 1 C O V E R F I E L D F O R M U L A T I O N D e c o m p o s i t i o n i n t o p r i n c i p a l a n d r e f l e c t e d S p e c t r a l fi e l d s i n t h e c o v e r l a y e r l e a d s t o 5 1 y ( x , 4 ’ ) : 5 1 1 ; , ( x , 5 ) + C 1 3 . ( x , 4 ’ ) ( 2 . 2 4 ) E q n . ( 2 . 2 . 4 ) s u p e r p o s e s t h e p r i m a r y a n d r e fl e c t e d s o l u t i o n i n a g r e e m e n t w i t h E q n . ( 2 . 2 . 3 ) ( s e e A p p e n d i x A ) ~ . ( M i l l e r - x i _ ( z , 6 1 3 ( x ’ § ) = — 1 0 ) # 0 ‘ 3 J 2 1 0 1 ( 6 ) , ( 2 . 2 . 5 ) " ' ( 6 ’ ) ' M p g — M m ” ) - I c z ' e x , = — j a ) p 0 1 y I 2 P 1 “ ) w h e r e R ( 5 ) d e n o t e s t h e r e fl e c t i o n c o e f fi c i e n t g i v e n b y ( P i - P 3 ) p 2 + p l p 3 _ p % t a m u l e t ) R ( 4 , “ ) = ( ) ( 2 . 2 . 6 ) 2 ( P 1 + P 3 ) P 2 + ( P 1 P 3 + P 2 ) t a n h ( P z t ) T h e s p a c e - d o m a i n fi e l d r e p r e s e n t a t i o n i s r e c o v e r e d f r o m i t s s p e c t r a l c o u n t e r p a r t s u c h a s E l y ( x , z ) < — > E l y ( x , 5 ) - - - T r a n s f o r m P a i r H [ ' 1 1 I h e s p r f l e l t i s t s e e . T h e n t h e S F u s i n g t h e i n v E 2 . ) 1 ’ 6 z T h e S P C C I I . . e - l P l ( - é ' ] x x + R ( § ’ ) e - P 1 ( C ) ( x + 1 " ) 4 ” P 1 ( § ) E l y ( x , z ) = — j a ) fl o _ o o [ K R - Z 3 0 1 ; ( 2 . 2 . 7 ) 2 . 2 . 2 F I L M F I E L D F O R M U L A T I O N T h e S p e c t r a l fi e l d i n t h e fi l m l a y e r i s d e c o m p o s e d i n t o t h e t r a n s m i t t e d a n d r e f l e c t e d fi e l d s ( s e e A p p e n d i x A ) . ( 4 ) 1 5 3 2 , ; ( x 5 ) = — j a ) I I O C ( 5 ) [ e p 2 ( § ) x + R ( 5 ) e - ” ( 0 ( “ 2 0 1 3 - g m e - M Z ’ ( 2 ' 2 8 ) w h e r e C ( 5 ) i s t h e c o u p l i n g a n d R ( 5 ) i s t h e i n t e r f a c i a l r e fl e c t i o n c o e f fi c i e n t g i v e n b y _ 2 P 1 ( P 2 ' 1 ' P 3 ) C ( 0 — ( 1 + e ’ 2 p 2 ’ ) Z ( § ) R ( 5 ) _ _ _ p 2 " _ _ p _ 3 ( 2 . 2 . 9 ) P 2 ‘ 1 ' P 3 w h e r e Z ( § ) = ( P 1 + P a ) p 2 + ( m m + P § ) t a n h ( p 2 t ) T h e n , t h e s p a c e - d o m a i n fi e l d r e p r e s e n t a t i o n i s r e c o v e r e d f r o m i t s s p e c t r a l c o u n t e r p a r t u s i n g t h e i n v e r s e F o u r i e r t r a n s f o r m . E z y ( x 2 ) = - J ' w fl o l : C a l e P u m a ) M 2 4 w e “ “ d a z z l e 4 7 1 : p 1 2 . 2 . 3 S U B S T R A T E F I E L D F O R M U L A T I O N T h e s p e c t r a l fi e l d i n t h e s u b s t r a t e l a y e r i s t h e t r a n s m i t t e d fi e l d ( s e e A p p e n d i x A ) . w h e r e I ( T h e n . t h e s 2 3 m l : 5 ( 5 ) 5 ( C o ) ~ ( 4 7 - C o ) — - — + - - , 6 " — > § ’ 0 ( 2 . 3 . 3 ) P l ( C ) x ' " , — — a ) T ” m m “ [ 1 5 5 ( 2 . 2 . 1 1 ) 6 3 } ( x g ) — J # 0 ( 5 ) 6 2 p 1 ( ; ) e w h e r e T ( 5 ) i s t h e t r a n s m i s s i o n c o e f fi c i e n t d e fi n e d b y 2 1 9 1 1 7 2 T 2 : ( ) c o s h ( p z t ) Z ( 5 ) w h e r e ( 2 . 2 . 1 2 ) Z ( § ) = ( H + P 3 ) P 2 + ( P 1 P 3 + P i ) t a n h ( P 2 1 ) T h e n , t h e s p a c e - d o m a i n fi e l d r e p r e s e n t a t i o n i s r e c o v e r e d a s n e w a n ( x a z ) = - j w # o l : T ( € ) e ” 3 ( “ ( “ ’ ) : — — fl : W e ) e 7 4 “ ” d c “ ( 2 2 1 3 ) 2 . 3 I D E N T I F I C A T I O N O F T H E S T E E P E S T - D E S C E N T P A T H T h e m e t h o d o f s t e e p e s t - d e s c e n t s i n v e s t i g a t e s t h e a s y m p t o t i c e v a l u a t i o n O f a n i n t e g r a l o f t h e g e n e r i c t y p e [ 1 6 ] , [ 1 7 ] I = I C f ( § ) e " 5 ( § ) d § ( 2 . 3 . 1 ) w h e r e C i s a n i n fi n i t e c o n t o u r i n t h e c o m p l e x 5 - p 1 a n e . I f 5 ( 5 ) h a s a s t a t i o n a r y p o i n t a t 5 = 5 0 , t h e n 5 & 6 ) : 0 ( 2 . 3 . 2 ) E q n . ( 2 . 3 . 2 ) i m p l i e s 2 5 ' _ ( _ _ § o ) 1 0 c r i e s - l l 7 S I I ‘ l C C 6 ( 5 E q n . . A l o n g t h e h a s a c o n s F u n h e r r n c c o m p l e x c ’ O n t h e c o n C h e w [ 1 7 ] s u g g e s t e d a c h a n g e O f v a r i a b l e t o X . s u c h t h a t — 4 2 = 6 < ; ) — 6 o : . ) m e s i n c e 5 ( 5 ) — 5 ( 5 0 ) i s q u a d r a t i c a r o u n d t h e s t a t i o n a r y p o i n t 5 0 . E q n . ( 2 . 3 . 4 ) m a p s t h e c o m p l e x 5 - p l a n e t o t h e c o m p l e x d - p l a n e i n F i g u r e 2 . 3 . 1 . 2 A l o n g t h e r e a l a x i s o f t h e z i - p l a n e ( t h e p a t h P ’ ) , t h e f u n c t i o n e r g “ ) = 6 4 1 + r 6 ( 5 0 ) h a s a c o n s t a n t p h a s e . A c c o r d i n g t o t h i s t r a n s f o r m a t i o n , P a l s o i s a c o n s t a n t p h a s e p a t h . 5 ( 5 ) F u r t h e r m o r e , e r i s a m a x i m u m a t 1 1 = O o n t h e c o m p l e x A - p 1 a n e o r 5 = 5 0 o n t h e c o m p l e x 5 - p l a n e a n d b e c o m e s e x p o n e n t i a l l y s m a l l a l o n g t h e p a t h P , a w a y f r o m x i . = O o n t h e c o m p l e x d - p l a n e o r 5 = 5 0 o n t h e c o m p l e x 5 - p l a n e . O n t h e o t h e r h a n d , a l o n g t h e i m a g i n a r y a x i s o f t h e 1 - p l a n e ( 2 . ” ) , 6 6 ( 5 ) b e c o m e s e x p o n e n t i a l l y l a r g e f r o m 4 : 0 o n t h e c o m p l e x x i - p l a n e o r 5 = 5 0 o n t h e c o m p l e x 5 - p l a n e . H e n c e , t h e f u n c t i o n e r 6 ( § ) l o o k s l i k e a s a d d l e a t t h e p o i n t i = 0 o n t h e c o m p l e x x i — p l a n e o r 5 = 5 0 o n t h e c o m p l e x 5 - p l a n e . T h e c o n s t a n t - p h a s e p a t h o n w h i c h t h e f u n c t i o n e r 6 ( { ) d e s c e n d s s t e e p l y a w a y f r o m t h e s a d d l e p o i n t i s k n o w n a s t h e s t e e p e s t - d e s c e n t p a t h ( S D P ) . l l F i g u r e 2 . 3 . 1 T h e m a p p i n g f r o m t h e c o m p l e x 5 - p l a n e t o t h e c o m p l e x 2 . - p l a n e . 1 2 2 . 3 . 1 S T P L T r a n s f c r t p r e s c n t a t F o r s u b g m n e / / / / / / / / / ............ 2 . 3 . 1 S T E E P E S T - D E S C E N T P A T H I N T H E C O M P L E X A X I A L T R A N S F O R M P L A N E ( D I R E C T M E T H O D ) T r a n s f o r m a t i o n t o s p a t i a l p o l a r c o o r d i n a t e s ( 7 3 0 ) i n b o t h t r a n s v e r s e a n d l o n g i t u d i n a l r e p r e s e n t a t i o n s i s i m p l e m e n t e d a s d e p i c t e d i n F i g . 2 . 3 . 2 . ( M ) F i g u r e 2 . 3 . 2 P o l a r c o o r d i n a t e t r a n s f o r m a t i o n s . A s d e p i c t e d i n F i g . 2 . 3 . 3 , f o r t h e p h a s e - c o r r e c t e d c o v e r l a y e r fi e l d , I x - x ’ l = r 0 0 8 6 — J c ' c o s 2 6 x + x ' = r c o s O + x ' c o s z fl ( 2 . 3 . 5 ) z — z ' = r s i n 0 F o r s u b s t r a t e l a y e r fi e l d , x + t = — r c o s l 9 ( 2 . 3 . 6 ) z — z ' z r s i n fi 1 3 S u b s t i t u t i n g E ] ) ( x g z ) - r e - 0 " “ Z I x — x ’ | = r i c o s fl x + x ' = r 2 0 0 8 6 F i g u r e 2 . 3 . 3 P h a s e c o r r e c t i o n d i a g r a m i n t h e c o v e r l a y e r . S u b s t i t u t i n g E q n . ( 2 . 3 . 5 ) i n t o E q n . ( 2 . 2 . 7 ) y i e l d s E l y ( x 9 Z ) _ C o r 9 M i l l ) ! * 4 + R ( 5 ) e P 1 ( € ) ( x ) - J § ( z 2 2 d ; ‘ ° ° P 1 ( 5 ) 0 ° e — p 1 ( § ) ( r c o s a — x ’ c o s 2 + 0 ) + R e ( 5 ) — p 1 ( 5 ) ( r c o s fl + x ' c 0 5 2 0 ) _ . . “ C O ! e J 5 r s m 0 d ; " ° ° , P 1 ( 9 ’ ) _ C o o o j - 1 _ _ _ + R ( § : ) e ’ z p l ( { ) x c o s 0 e r [ - J ' C s i n B — p l ( § ) c o s a ] d ; ( 2 . 3 . 7 ) - ° ° P 1 ( 9 ' ) w h e r e R ’ ( § ) = “ 0 6 - 2 , , “ n g ” C O = - 2 9 9 2 4 7 1 ' a n d R , ( 5 ) i s t h e c o r r e c t e d r e fl e c t i o n c o e f fi c i e n t . 1 4 W h e r e [ h e 0 S u b s t i t u E q n . ( 2 W h e r e 1 : T h 6 S t a t i m P l a n e . L ‘ s j = _ ° a J ’ l ‘ o T . L . o ( 4 ) 6 ‘ P 3 ( § ) 7 C 0 5 9 ’ - 7 5 P 1 e 4 1 9 ( 1 § ) ( x 4 ) e . 5 ~ J r s . m t 9 d 5 ( 2 . 3 . 8 ) S u b s t i t u t i n g E q n . ( 2 . 3 . 6 ) i n t o E q n . 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T h e s t e e p e s t - d e s c e n t p a t h s f o r t h e c o v e r a n d s u b s t r a t e l a y e r fi e l d o n v a r i o u s o b s e r v a t i o n a s p e c t a n g l e s a r e d e p i c t e d i n F i g . 2 . 6 . 1 a n d F i g . 2 . 7 . 1 . 2 1 i s n e c e s c o m p l e l f m m E q H o w c v c T h ” ( f i b r e R i e n { { p p l , ( ( 5 ; ) ) } } > 0 > " o ° . . f . r o f o a l m l a g z “ ; ” ( 0 = . / C 2 - k 2 ’ , z = 1 , 2 , 3 . . W + 1 . 5 r + j k 2 l i 6 k I l : = = g k r l 3 1 , ( 2 ' 4 ' 3 ) 2 . 4 T H E B R A N C H C U T I t i s o b s e r v e d t h a t i s n e c e s s a r y t o s a t i s f y t h e r a d i a t i o n c o n d i t i o n . A n d p l ( 5 ) i s m u l t i - v a l u e d o n o n e o f t h e c o m p l e x R i e m a n n s h e e t s . I t t a k e s t h e o p p o s i t e s i g n t o t h e v a l u e o n t h e o t h e r s h e e t , h e n c e , f r o m E q n . ( 2 . 4 . 1 ) , t h e s e s h e e t s a r e s e p a r a t e d b y t h e b r a n c h c u t d e fi n e d b y R e { p , ( 4 ’ ) } = 0 ( 2 . 4 . 2 ) H o w e v e r , S i n c e t h e i n t e g r a n d s o f i n t e g r a l r e p r e s e n t a t i o n s a r e e v e n i n p z ( ) 1 ) , t h e n t h e b r a n c h p o i n t s c o n t r i b u t e d b y t h e fi l m l a y e r a r e r e m o v a b l e [ 1 7 ] . B u t , t h e i n t e g r a n d s o f i n t e g r a l r e p r e s e n t a t i o n s a r e n o t e v e n i n p 1 ( / i ) a n d p 3 ( 5 ) t h e r e f o r e t h e b r a n c h p o i n t s c o n t r i b u t e d b y t h e c o v e r a n d t h e s u b s t r a t e l a y e r a r e n o n - r e m o v a b l e . I t i s r e c o g n i z e d t h a t P 1 2 ( 6 ) : { 2 _ k l 2 = ( : 3 — { 1 2 ) — ( k g - k l % ) + j 2 ( § r § i — k l r k l i ) w h e r e T h e r e f o r e , t h e c o n d i t i o n s f o r R e { p l ( 5 ) } = 0 a r e R e { p , 2 ( 5 ) } < O I m { p 1 2 ( § ) } = 0 ( 2 . 4 . 4 ) 2 2 “ fl m t t E q n . ( 2 . 4 . 4 ) l e a d s t o C r g v i = k l r k l i ( 2 . 4 . 5 ) e - e < e - a E q n . ( 2 . 4 . 5 ) c o n s t r u c t s h y p e r b o l i c b r a n c h c u t s e m a n a t i n g f r o m 5 i : k l i a t 5 , = k 1 , . w i t h 5 , - — 9 0 0 a s 5 , — > 0 a s d e p i c t e d i n F i g . 2 . 4 . 1 . F i g u r e 2 . 4 . 1 H y p e r b o l i c b r a n c h c u t c o n s t r u c t i o n e m a n a t i n g f r o m t h e b r a n c h p o i n t s i k l a n d i k 3 . 2 3 A s I p a i n s . i c u t s f o r o f t h e 1 c l a r i f i e d A s l 5 r l d e c r e a s e s f r o m 5 r = i k l ( 1 = 1 , 3 ) m o v i n g i n w a r d f r o m t h e p a i r o f b r a n c h p o i n t s , | 5 i | m u s t i n c r e a s e , h e n c e t h e b r a n c h c u t c o n t o u r i s s u b s e q u e n t l y g e n e r a t e d . T h e c u t s f o r t h e l i m i t i n g c a s e o f l o w - l o s s a r e d e p i c t e d i n F i g . 2 . 4 . 2 , i . e . , : 1 : i n — ) 0 : . P o r t i o n s o f t h e v a r i o u s c u t s c o a l e s c e u p o n o n e a n o t h e r b u t t h e y a r e a l i t t l e e x a g g e r a t e d t o b e c l a r i fi e d i n F i g . 2 . 4 . 2 F i g u r e 2 . 4 . 2 B r a n c h c u t c o n s t r u c t i o n i n t h e l o w - l o s s l i m i t . 2 4 d e p i c t i n v e r s t h e 1 0 1 a p p r o r t h e c o r I t i s r e q u i r e d t o a n a l y z e a c o m p l e x - p h a s o r d i a g r a m i n t h e c o m p l e x 5 ~ p l a n e a s d e p i c t e d i n F i g . 2 . 4 . 3 t o i m p l e m e n t t h e i n t e g r a t i o n a l o n g t h e b r a n c h c u t . T h e r e a l a x i s i n v e r s i o n c o n t o u r c a n b e d e f o r m e d t o t h e i n fi n i t e s e m i c i r c l e i n t h e u p p e r h a l f p l a n e o r i n t h e l o w e r h a l f p l a n e w i t h a p p r o p r i a t e d e t o u r a b o u t t h e b r a n c h c u t s a s s h o w n . A n d a l s o a p p r o p r i a t e c h o i c e o f b r a n c h c u t s c o n s e q u e n t l y l e a d s t o a 4 - s h e e t e d R i e m a n n s u r f a c e i n t h e c o m p l e x 5 - p l a n e . F i g u r e 2 . 4 . 3 C o m p l e x - p h a s o r d i a g r a m i n t h e c o m p l e x 5 - p l a n e . 2 5 F o r a ] S i m i l a A n d a l S i m i l a r l t t s n o d u r i n g P 1 ( 9 ' [ ) 1 ( § ) ) = J P + = \ / p + P p ‘ ’ e j ( ” + ‘ ” e j ( ’ ” + " ° " ) ’ ) / 2 = j | P 1 ( ; X / 2 = — j l p 1 ( g “ ) | ( ( 2 . 4 . 7 ) 2 . 4 . 9 ) C fi C a n ] — C b 3 — C p - C m ‘ 1 1 ] ( x ’ Z I ( ) 1 ; = 0 ( 2 . 5 . 1 ) F o r a p o i n t 1 i n F i g . 2 . 4 . 3 , P 1 ( 5 ) = \ / P + P - e j ( — ” W — W ) / 2 = ‘ 1 i m ( 5 ) ( 2 A 6 ) S i m i l a r l y , f o r a n o p p o s i t e p o i n t o n t h e l e f t p a r t o f t h e n e g a t i v e i m a g i n a r y b r a n c h c u t , A n d a l s o f o r a p o i n t 2 i n F i g . 2 . 4 . 3 , P 1 ( § ) = \ / P + P ' e j ( ” + O ) / 2 = J ' I P 1 ( § ) I ( 2 . 4 . 8 ) S i m i l a r l y , f o r a n o p p o s i t e p o i n t o n t h e l o w e r p a r t o f t h e p o s i t i v e r e a l b r a n c h c u t , I t i s n o t e d t h a t t h e p r e v i o u s c o m p l e x - p h a s o r d i a g r a m a n a l y s i s c a n b e c o m p l i e d w i t h t h a t d u r i n g t h e i n t e g r a t i o n a l o n g t h e s u b s t r a t e l a y e r b r a n c h c u t a n d b r a n c h p o i n t s i k 3 . 2 . 5 A L T E R N A T I V E I N T E G R A T I O N P A T H D e f o r m i n g R e { 5 } - a x i s i n v e r s i o n c o n t o u r i n t o u p p e r ( z < z ’ ) o r l o w e r ( z > z ’ ) h a l f p l a n e , a s d e p i c t e d i n F i g . 2 . 5 . 1 a n d a p p l y i n g C a u c h y ’ s i n t e g r a l t h e o r e m l e a d s t o w h e r e ‘ 1 ’ , ( x , z : 5 ) s t a n d s f o r t h e i n t e g r a n d o f t h e i n v e r s e t r a n s f o r m fi e l d r e p r e s e n t a t i o n i n t h e 1 ’ t h l a y e r . D i s c r e t e g u i d e d s u r f a c e w a v e m o d e s a r e a s s o c i a t e d w i t h s i m p l e - p o l e s i n g u l a r i t i e s l o c a t e d a t 5 = i 5 p i n t h e c o m p l e x 5 — p l a n e . P o l e s i 5 p a r e d e t e r m i n e d b y 2 6 “ C i t a t i o n w h k i C O H S C q 1 P e r f o r m T h e I I . a . a I Y d e t e t k 3 a I O n g S i n C e ( P 1 + P 3 ) P 2 + ( P 1 P 3 + p % ) t a n h ( p 2 t ) = 0 ( 2 . 5 . 2 ) P 1 ( 5 ) = \ / P + p _ e j ( 0 + O ) / 2 = I p 1 ( g ' ) l ( 2 . 5 . 4 ) w h i c h i s i m p l i c a t e d i n E q n . ( 2 . 2 . 6 ) , E q n . ( 2 . 2 . 9 ) , a n d E q n . ( 2 . 2 . 1 2 ) . F o r t h e f a r z o n e [ 1 9 ] , ( C I ) ‘ 1 ’ , ( x , z : 5 ) 1 5 — > 0 ( 2 . 5 . 3 ) I t i s o b s e r v e d t h a t t h e b o u n d m o d e c o m p o n e n t o f t h e p r o p a g a t i o n s p e c t r u m i s c o n t r i b u t e d b y t h e f u l l r e s i d u e a b o u t p o l e e x c l u d i n g c o n t o u r C p i n E q n . ( 2 . 5 . 3 ) . H o w e v e r , f o r t h e b o u n d m o d e p o l e s i n g u l a r i t y o n t h e p o s i t i v e R e { 5 } - a x i s i n v e r s i o n c o n t o u r d e p i c t e d i n F i g . 2 . 5 . 2 , i t s s p e c t r u m i s c o n t r i b u t e d b y t h e h a l f r e s i d u e a b o u t p o l e - e x c l u d i n g c o n t o u r R P ( P o l e s o n t h e n e g a t i v e R e { 5 } - a x i s i n v e r s i o n c o n t o u r a r e i m p l i c a t e d ) . A n d i t ’ s a l s o c o n s e q u e n t l y c r i t i c a l t o a n a l y z e t h e c o m p l e x - p h a s o r d i a g r a m a s d e p i c t e d i n F i g . 2 . 4 . 3 t o p e r f o r m t h e r e a l a x i s i n t e g r a t i o n . A n y p o i n t s l e s s t h a n t h e b r a n c h p o i n t k 1 a l o n g t h e R e { 5 } - a x i s i n v e r s i o n c o n t o u r a s d e p i c t e d i n F i g . 2 . 4 . 3 a r e d e t e r m i n e d b y E q n . ( 2 . 4 . 8 ) . T h e n , a n y p o i n t s b e y o n d t h e b r a n c h p o i n t k 1 a l o n g t h e R e { 5 } - a x i s i n v e r s i o n c o n t o u r a r e d e t e r m i n e d b y A n d , i t c a n b e s i m i l a r l y c o m p l i e d w i t h a n y p o i n t s l e s s t h a n o r b e y o n d t h e b r a n c h p o i n t k 3 a l o n g t h e R e { 5 } - a x i s i n v e r s i o n c o n t o u r a s r e q u i r e d b y E q n . ( 2 . 4 . 8 ) a n d E q n . ( 2 . 5 . 4 ) . S i n c e t h e c o n t r i b u t i o n s f r o m t h e i n fi n i t e s e m i c i r c l e s v a n i s h f o r T B p r o p e r m o d e e x c i t a t i o n ( p o i n t s o n t h e t o p R i e m a n n s h e e t ) , J G ” ‘ 1 ’ , ( x , z : 4 ’ ) d § — 5 0 ( 2 . 5 . 5 ) 2 7 F i n a l l } 1 1 1 q u T h e b r a t h e r e g w e r e c c m w m h f r o m t h e i n d e p e m F i n a l l y , E q n . ( 2 . 5 . 1 ) r e d u c e s ( f o r t h e r a d i a t i o n - z o n e fi e l d ) i n a g r e e m e n t w i t h E q n . ( 2 . 5 . 3 ) a n d E q n . ( 2 . 5 . 5 ) t o ) C ‘ I ’ , ( x , z : 5 ) l 5 = I C b l ‘ P l ( x , z : 5 fl 5 + I C b 3 ‘ l ’ , ( x , z : 5 ) d 5 ( 2 . 5 . 6 ) T h e b r a n c h c u t c o n t r i b u t i o n s c o n s t i t u t e t h e r a d i a t i o n fi e l d w i t h a c o n t i n u o u s s p e c t r u m a n d t h e r e s u l t f r o m d i r e c t R e { 5 } - a x i s i n v e r s i o n c o n t o u r a n d t h e b r a n c h c u t d e f o r m a t i o n w e r e c o m p a r e d a n d f o u n d t o b e i d e n t i c a l a s d e p i c t e d i n F i g . 2 . 6 . 2 . T h e R e { 5 } - a x i s i n v e r s i o n c o n t o u r i n t e g r a t i o n i s p e r f o r m e d i n o r d e r t o v a l i d a t e n u m e r i c a l r e s u l t s o b t a i n e d f r o m t h e s t e e p e s t — d e s c e n t m e t h o d i n t h e c o m p l e x 5 - p l a n e a n d h a s a n a d v a n t a g e o f b e i n g i n d e p e n d e n t o f t h e t h r e s h o l d a s p e c t a n g l e . 2 8 n g u r e 2 ; Z > z , + 4 u " . c a a ' z < i s ‘ ~ - - . _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ F i g u r e 2 . 5 . 1 S i n g u l a r i t i e s a n d a l t e r n a t i v e i n t e g r a t i o n p a t h i n t h e c o m p l e x 5 - p l a n e o n t o p R i e m a n n s h e e t f o r t h e c o m p l e t e p r o p e r p r o p a g a t i o n s p e c t r u m . C o v e r a n d s u b s t r a t e l a y e r s a r e p r e s u m a b l y c o n s i d e r e d t o b e i n t h e l o w - l o s s l i m i t . 2 9 fi g u r ( 2 0 m m C ' . ~ T . ; . . t a - t a w t : 3 3 1 3 5 3 # - t - r a o r ; p i r ’ O ‘ F i g u r e 2 . 5 . 2 C o m p l e x - p h a s o r d i a g r a m w i t h a p o l e s i n g u l a r i t y a n d R e { 5 } - a x i s i n t e g r a t i o n p a t h i n t h e c o m p l e x 5 - p l a n e . 2 . 6 S T E E P E S T - D E S C E N T E V A L U A T I O N O F C O V E R F I E L D M a p p i n g t o t h e c o m p l e x ¢ - p l a n e d e f o r m s t h e p a t h o f i n t e g r a t i o n , i n w h i c h c a s e t h e s i m p l e r e p r e s e n t a t i o n i n t e r m s o f a d i s c r e t e ( b o u n d ) a n d c o n t i n u o u s s p e c t r u m i s s e v e r e l y c o m p r o m i s e d d u e t o t h e c o m p l i c a t e d b r a n c h c u t m a p p i n g . I t i s c o n s e q u e n t l y m o r e c o n v e n i e n t t o u s e t h e s t e e p e s t - d e s c e n t p a t h i n t h e c o m p l e x 5 - p l a n e s i n c e a l l t h e fi e l d q u a n t i t i e s a r e r e p r e s e n t e d o n t h e s a m e s p e c t r a l d o m a i n . T h e s t e e p e s t - d e s c e n t p a t h o n t h e c o m p l e x 5 - p l a n e i s e x p l i c i t l y d e r i v e d f r o m E q n . ( 2 . 3 . 1 5 ) s u c h t h a t ( s e e A p p e n d i x B ) C = : ’ + j § ’ = ( : 2 ? ) w h e r e ( 2 . 6 . 1 ) ' 5 ' — k , s i n B l l k , — 5 ' s i n 0 | r m : c o s 6 J ( 5 ’ c o s 6 ) 2 + ( k , — 5 ’ s i n 6 ) 2 3 O T m t h e s a d d e t e r m i L ' H P a p l a n e . e o m p l e f i l m . a t r e S p e e t A s c u t C b ‘ i n t e r c q i t C a n b T h e m T w o 5 ’ - i n t e r c e p t s a r e f o u n d i n E q n . ( 2 . 6 . 1 ) a n d o n e o f t h e m , 5 ' = k l S i n 9 m a t c h e s t h e s a d d l e p o i n t o b t a i n e d b y E q n . ( 2 . 3 . 1 0 ) . T h e s i g n o f t h e o b s e r v a t i o n a s p e c t a n g l e 9 i s d e t e r m i n e d b y E q n . ( 2 . 3 . 1 1 ) a s { z > z ’ ( L H P ) : e > 0 ( 2 . 6 . 2 ) z < z ' ( U H P ) : 6 < 0 U H P a n d L H P i n d i c a t e t h e U p p e r H a l f P l a n e a n d L o w e r H a l f P l a n e i n t h e c o m p l e x 5 - p l a n e . F i g . 2 . 6 . 1 d e p i c t s t h e s t e e p e s t - d e s c e n t p a t h s f o r t h e c o v e r l a y e r fi e l d i n t h e c o m p l e x 5 - p l a n e f o r v a r i o u s o b s e r v a t i o n a s p e c t a n g l e s . T h e i n d i c e s o f t h e c o v e r , t h e fi l m , a n d t h e s u b s t r a t e l a y e r r e g i o n s a r e c h o s e n t o b e t h a t n 1 = 1 , n 2 = 3 . 2 , a n d n 3 = 3 r e s p e c t i v e l y . A s d e p i c t e d i n F i g . 2 . 6 . 1 , t h e s t e e p e s t - d e s c e n t p a t h a l w a y s v i o l a t e s t h e c o v e r b r a n c h c u t C b l a n e v e n n u m b e r o f t i m e s . S i m i l a r l y , t h e s u b s t r a t e b r a n c h c u t C b 3 i s v i o l a t e d a n e v e n n u m b e r o f t i m e s f o r 0 < 9 , ( 0 , = t h r e s h o l d a s p e c t a n g l e ) w h e r e o n e o f t w o 5 ’ - i n t e r c e p t s i n E q n . ( 2 . 6 . 1 ) , 5 ' = k l / S i n 9 , c r o s s e s t h e p o i n t ( k 3 , 0 ) i n F i g . 2 . 6 . 1 . T h e n , i t c a n b e d e fi n e d b y k . 1 = k 3 s m 6 , T h e n , . _ n 7 1 ' _ n 0 , = s 1 n 1 - — 1 = — — c o s 1 — 1 — ( 2 . 6 . 3 ) " 3 2 " 3 I n a g r e e m e n t w i t h E q n . ( 2 . 6 . 2 ) , 9 , > O - - - z > z ' ( L H P ) 3 1 w h e r e i m p l i e s [ W t h e c t i m e s f o r H e n c e b o t h e n d s o f t h e s t e e p e s t - d e s c e n t p a t h l i e o n t h e t o p s h e e t a n d i t d o e s n ’ t n e e d t o b e d e f o r m e d a b o u t a n y o f t h e b r a n c h c u t s b u t c a n b e d i r e c t l y c o n n e c t e d t o t h e R e { 5 } - a x i s i n v e r s i o n c o n t o u r o n t h e t o p s h e e t o f t h e 4 - s h e e t e d R i e m a n n s u r f a c e a s d e p i c t e d i n F i g . 2 . 6 . 2 . C a u c h y ’ s i n t e g r a l t h e o r e m l e a d s t o x 9 : i : 0 2 . 6 . 4 ( fi e - S D P — C p — C . . . { 1 ( z ( ) 1 ; ( ) w h e r e " I ’ l ( x , z t 5 ) s t a n d s f o r t h e i n t e g r a n d o f t h e c o v e r l a y e r fi e l d r e p r e s e n t a t i o n . T h e s p e c i fi c a t i o n o f a r a d i a t i o n c o n d i t i o n t h a t i s m o s t c o n v e n i e n t l y s t i p u l a t e d a s R e { p l ( 5 ) } = R e g / 5 2 - k 1 2 } > 0 ( 2 . 6 . 5 ) i m p l i e s t h a t i f t h e i n t e g r a t i o n p a t h s t a y s o n t h e t o p s h e e t i n t h e c o m p l e x 5 - p l a n e , d e fi n e d b y t h e c o v e r a n d t h e s u b s t r a t e b r a n c h c u t s , t h e n ( C ‘ 1 ' l ( x , z ( ) 1 ; — > 0 ( 2 . 6 . 6 ) I t i s a l s o o b s e r v e d t h a t t h e s u r f a c e w a v e m o d e a r i s e s f r o m p o l e s i n g u l a r i t i e s o n t h e t o p R i e m a n n s h e e t . C o n v e r s e l y , t h e l e a k y w a v e m o d e p o l e s l i e o n t h e l o w e r R i e m a n n s h e e t s [ 2 0 ] , [ 2 1 ] . S i n c e t h e i n t e g r a t i o n p a t h d o e s n o t p a s s t o t h e l o w e r s h e e t s , t h e l e a k y w a v e p o l e s a r e n o t c a p t u r e d a n d t h e fi e l d r e p r e s e n t a t i o n i s e n t i r e l y p r o p e r . T h e d i s c r e t e m o d e s u l t i m a t e l y v a n i s h i n t h e f a r z o n e a s p r e v i o u s l y d i s c u s s e d . T h e n , [ C 4 1 , ( x , z : 5 ) l 5 = [ S D P w l ( x , z ; ; ) d ; = i c b = c a + c a w , ( x , z : 5 ) l 5 ( 2 . 6 . 7 ) a n d t h e S D P c o n t r i b u t i o n r e p l i c a t e s t h e r a d i a t i o n fi e l d . S i n c e t h e s t e e p e s t - d e s c e n t p a t h v i o l a t e s t h e s u b s t r a t e b r a n c h c u t a n o d d n u m b e r o f t i m e s f o r 0 . . > . 9 , , t h e l e f t s i d e o f t h e s t e e p e s t - d e s c e n t p a t h l i e s o n t h e t o p s h e e t o f t h e 3 2 s u b s B ) t h a n d t h f O r e e s t h a t h o 2 . 6 . 4 , S h e e t c S a l i s fi C c i t ( x . s u b s t r a t e l a y e r R i e m a n n s u r f a c e w h i l e i t s r i g h t s i d e e n d s o n t h e b o t t o m s h e e t . T h e r e f o r e , i t i s n e c e s s a r y t o d e f o r m t h e i n t e g r a t i o n p a t h , s u c h t h a t t h e r i g h t s i d e o f t h e s t e e p e s t - d e s c e n t p a t h o n c e m o r e v i o l a t e s t h e s u b s t r a t e l a y e r b r a n c h c u t , w h i c h l e a d s t h e s t e e p e s t - d e s c e n t i n t e g r a t i o n p a t h t o b e e q u i v a l e n t t o t h e c o v e r l a y e r b r a n c h c u t a s d e p i c t e d i n F i g . 2 . 6 . 3 . C a u c h y ’ s t h e o r e m f o r t h e c o m p l e x i n t e g r a t i o n c o n t o u r l e a d s t o ‘ I ’ x , : = 0 2 . 6 . 8 ( fi S D P — C b l — C p — C . , . , 1 ( Z ( ) 4 ; ( ) B y t h e s a m e a r g u m e n t s g i v e n a b o v e , j ‘ P t ( x 9 2 3 § ’ ) d 5 — 9 0 C P 1 C ‘ I ’ i ( x , z = € ) 1 § — - > O ( 2 . 6 . 9 ) T h e r e f o r e , l s o p w 1 ( x ’ Z : § ) j § = J C b 1 \ P I ( x , z : § y ; ( 2 . 6 . 1 0 ) a n d t h e S D P c o n t r i b u t e s t h e c o v e r r a d i a t i o n fi e l d . T h e p r o p e r c l o s u r e o f t h e s t e e p e s t - d e s c e n t p a t h t o t h e R e { 5 } - a x i s i n v e r s i o n c o n t o u r f o r c e s t h e i n t e g r a t i o n p a t h t o b e d e f o r m e d f u l l y a r o u n d t h e s u b s t r a t e l a y e r b r a n c h c u t s o t h a t b o t h e n d s o f t h e s t e e p e s t - d e s c e n t p a t h l i e o n t h e t o p R i e m a n n s h e e t a s d e p i c t e d i n F i g . 2 . 6 . 4 . E v e n i f t h e s u b s t r a t e l a y e r w a v e n u m b e r , p 3 ( 5 ) , s t a y s o n t h e b o t t o m R i e m a n n s h e e t d u r i n g t h e i n t e g r a t i o n p a t h d e f o r m a t i o n , t h e c o n t o u r f r o m t h e o n e e n d o f t h e s t e e p e s t - d e s c e n t p a t h t o t h e s u b s t r a t e l a y e r b r a n c h c u t , C 0 ° , t h e c l o s u r e c o n d i t i o n i s s t i l l s a t i s fi e d . T h i s i s b e c a u s e t h e e x p o n e n t s i n t h e i n t e g r a n d o f t h e fi e l d r e p r e s e n t a t i o n , ‘ P l ( x , z : 5 ) , o n l y c o n t a i n s t h e c o v e r l a y e r w a v e n u m b e r , p l ( 5 ) , o n t h e t o p s h e e t o f 4 - s h e e t e d R i e m a n n s u r f a c e s o t h a t i t c a n s t i l l c o n v e r g e . 3 3 ‘ ) l . ‘ f l _ _ ‘ - T H I T . l e a k y \ H e n c e t E q n c o n t r i b t t h e c m - C U t C 0 1 1 f r o m T l h I ‘ E S h c T C S O c h A n i n v m i S i n c e C O V e r " e m a i l C O U T O I S k i t e < L : ? T P C - S W 1 D ( P — C b x ’ z r : c p - C ; ) d . § . W 1 0 5 , z : 5 ) 1 ; = 0 _ ) 0 ( 2 . 6 . 1 1 ) C fi C - — S D P — p a r t i a l { C b 3 } — C p _ C m \ P 1 ( x ’ Z I 5 ) “ : = 0 ( 2 . 6 . 1 3 ) ) C m ‘ 1 ’ 1 ( x , z : 5 ) l 5 — > O L e a k y w a v e p o l e s c a p t u r e d o n t h e l o w e r s h e e t d o n o t c o n t r i b u t e t o t h e r a d i a t i o n fi e l d . H e n c e t h e c o v e r r a d i a t i o n fi e l d b e c o m e s ) C ‘ I ’ 1 ( x , z : 5 ) l § ’ = I S D P ‘ P 1 ( x , Z : 5 ) l 5 + I C b 3 ‘ P 1 ( x , z : 5 ) d 5 ( 2 . 6 . 1 2 ) E q n . ( 2 . 6 . 1 2 ) r e d u c e s i d e n t i c a l l y t o E q n . ( 2 . 6 . 7 ) w h e n t h e s u b s t r a t e l a y e r b r a n c h c u t c o n t r i b u t i o n v a n i s h e s f o r 9 < 9 , . M o r e o v e r t h e s u b s t r a t e l a y e r b r a n c h c u t c o n t r i b u t i o n t o t h e c o v e r l a y e r fi e l d i s a n n u l l e d i n t h e f a r z o n e b u t i n t h e n e a r z o n e , t h e s u b s t r a t e b r a n c h c u t c o n t r i b u t i o n s t i l l r e m a i n s . H o w e v e r , i n t h e n e a r z o n e , t h e c o r r e s p o n d i n g w a v e a r i s i n g f r o m p a t h d e f o r m a t i o n a r o u n d t h e s u b s t r a t e l a y e r b r a n c h c u t i s n e g l i g i b l e n e a r t h e t h r e s h o l d a s p e c t a n g l e , t h e fi e l d d i s c o n t i n u i t y d u e t o t h e b r a n c h c u t c o n t r i b u t i o n i s r e s o l v e d s o t h a t t h e t o t a l r a d i a t i o n fi e l d i s c o n t i n u o u s o v e r t h a t r e g i o n . A n o t h e r p o s s i b l e p r o p e r c l o s u r e o f t h e s t e e p e s t — d e s c e n t p a t h i n t o t h e R e { 5 } - a x i s i n v e r s i o n c o n t o u r i s t h e p a r t i a l i n t e g r a t i o n p a t h d e f o r m a t i o n a s d e p i c t e d i n F i g . 2 . 6 . 5 . S i n c e t h e p a r t i a l p a t h d e f o r m a t i o n f o r c e s t h e s t e e p e s t - d e s c e n t ' p a t h t o v i o l a t e b o t h t h e c o v e r a n d s u b s t r a t e l a y e r b r a n c h c u t a n e v e n n u m b e r o f t i m e s , i t s e x t r e m i t i e s c a n s t i l l r e m a i n o n b o t h t h e t o p R i e m a n n s h e e t s , w h i c h a l l o w s a n y p o r t i o n o f t h e i n t e g r a t i o n c o n t o u r t o s a t i s f y t h e c l o s u r e c o n d i t i o n . S i n c e 3 4 E q n . t i m e s . i t c a n C O T l T O l i j T 1 ( x , z : § ) d ; — > 0 ) C w ‘ l ’ 1 ( x , z : 5 fl 5 — ) O E q n . ( 2 . 6 . 1 3 ) r e d u c e s t o ) C ‘ P l ( x , z : 5 ) 1 5 = J ’ S D P ‘ P I ( x , z : 5 ) l 5 + J p a r fi a l { c b 3 } ‘ 1 ’ 1 ( x , z : 5 ) 1 5 ( 2 . 6 . 1 4 ) T h e s t e e p e s t - d e s c e n t p a t h o n l y v i o l a t e s t h e s u b s t r a t e l a y e r b r a n c h c u t a n o d d n u m b e r o f t i m e s , t h e r e f o r e i t m u s t b e d e f o r m e d p a r t i a l l y a b o u t t h e s u b s t r a t e l a y e r b r a n c h c u t s o t h a t i t c a n s t i l l r e m a i n o n t h e t o p R i e m a n n s h e e t t h e n t e r m i n a t e t o t h e R e { 5 } - a x i s i n v e r s i o n c o n t o u r p r o p e r l y . 3 5 1 — 1 q k 0 “ _ _ _ — / / _ / . 7 ‘ _ / / / ~ - \ \ 0 / / — ‘ \ \ \ / / / ) ' l \ \ n , L / 1 \ 3 i T T 1 1 T v ) fi l a fi — y J ) : L _ , — I “ ‘ \ ‘ { — j C / k o - 3 - 2 ' 1 A l l / / / 1 \ 2 \ \ 3 / / / 7 v ( | \ \ / / / / / I I / \ 9 = 0 ° _ , . . / " / / / l ' / \ _ _ _ _ _ / / _ 1 | ' / \ / / / / / / I } \ / / / I \ 9 = 1 5 ° / / / ~ 5 1 n = 1 \ / / / ” I 1 ' \ S D P / / _ L / J : I ” 2 : 3 . 2 \ / - 2 _ \ I = O \ 9 : 3 0 3 / / _ . 1 9 1 9 - 5 \ / / / l l \ / / / l l \ _ _ _ _ l l \ / / 3 I ' \ / C b l l : / _ l 9 = 6 0 ° , 1 / | C / _ 4 _ _ b 3 F i g u r e 2 . 6 . 1 T h e s t e e p e s t - d e s c e n t p a t h s f o r t h e c o v e r l a y e r fi e l d c a l c u l a t i o n o n v a r i o u s o b s e r v a t i o n a s p e c t a n g l e s i n t h e c o m p l e x a x i a l t r a n s f o r m p l a n e . T h e a s y m m e t r i c p l a n a r d i e l e c t r i c w a v e g u i d e c o n s i s t s o f c o v e r , g u i d i n g a n d s u b s t r a t e l a y e r w i t h i n d i c e s n ] = 1 , n 2 = 3 . 2 , a n d n 3 = 3 r e s p e c t i v e l y . 3 6 H g l m ‘ T c / k o 2 / , , “ C , S D P x . \ C . . . ) n / / n 1 ” 3 l I I V / _ _ ’ _ 4 . . . . . - _ _ L — — - ' — ‘ ? a - v — F l l ) 1 , , , , , l l g l k 0 - a 2 1 j " 1 2 3 8 > / I / l l C P / / l l C ; > 0 / / / 1 I ! C ° ° _ / ’ 1 ' / , / ’ 9 = 1 5 < 9 1 : : t O C b - 2 — 4 I I I I ( I _ 1 ' C 0 0 1 ' I ! - 3 _ | ' l l t O C b l l _ 1 ' _ I C b — C b l + C b 3 l _ 4 _ F i g u r e 2 . 6 . 2 P r o p e r c l o s u r e o f R e { 5 } - a x i s i n v e r s i o n c o n t o u r C i n t o S D P f o r 6 < 6 , : n 1 = 1 . , n 2 = 3 . 2 , n 8 = 3 . , a , = 1 9 . 5 ° . 3 7 P l s u r e F i g u r e 2 . 6 . 3 A p p r o p r i a t e c l o s u r e o f S D P i n t o c o v e r l a y e r b r a n c h c u t f o r 0 > 6 , : n 1 = 1 . , n 2 = 3 . 2 , n 3 = 3 . , 6 , = 1 9 . 5 ° . 3 8 “ s u r e F i g u r e 2 . 6 . 4 P r o p e r c l o s u r e O f R e { 5 } - a x i s i n v e r s i o n c o n t o u r C i n t o S D P a n d s u b s t r a t e b r a n c h c u t f o r 0 > 9 , : n 1 = 1 . , n 2 = 3 . 2 , n 3 = 3 . , 6 , = 1 9 . 5 ° . 3 9 — C / n ‘ \ S D P D l T T ' l ' v 1 ’ 1 4 . ’ 4 ’ — — * L " l " 3 } : ' C / k o C - 3 - 2 1 " I 1 2 ‘ \ 3 ° ° _ r t \ \ 1 8 > / / I I \ \ p F i g u r e 2 . 6 . 5 P r o p e r c l o s u r e o f R e { 5 } - a x i s i n v e r s i o n c o n t o u r C i n t o S D P a n d p a r t i a l C b 3 f o r 0 ) 9 , : n , = 1 . , n 2 = 3 . 2 , n 3 = 3 . , 0 , = 1 9 . 5 ° . a g n e e t d e s e e t s i n g u l t e p r e s p o i n t . l a y e r 1 a s p e c t f o r 6 < b e d e h m e r s i t a n q u n f 0 1 0 < , 2 . 7 S T E E P E S T - D E S C E N T E V A L U A T I O N O F S U B S T R A T E F I E L D T h e s t e e p e s t - d e s c e n t p a t h i n t h e c o m p l e x 5 - p l a n e i s o b t a i n e d f r o m E q n . ( 2 . 3 . 1 5 ) i n a g r e e m e n t w i t h 1 : 3 f o r t h e s u b s t r a t e l a y e r i n d e x . T h e s a d d l e p o i n t o f t h e s t e e p e s t - d e s c e n t p a t h i n t h e c o m p l e x 5 - p l a n e d e n o t e d b y k 3 S i n 9 e x i s t s n e a r g u i d e d - m o d e p o l e s i n g u l a r i t i e s f o r c e r t a i n a s p e c t a n g l e s . H e n c e , t h e i n t e g r a n d o f i n v e r s e t r a n s f o r m fi e l d r e p r e s e n t a t i o n i n t h e s u b s t r a t e l a y e r , ‘ 1 ’ 3 ( x , z : 5 ) , d o e s n ’ t v a r y s l o w l y n e a r t h e s a d d l e p o i n t , w h i c h f o r c e s t h e s a d d l e p o i n t a p p r o x i m a t i o n t o f a i l a t t h e s e a n g l e s i n t h e s u b s t r a t e l a y e r r e g i o n . T h e s t e e p e s t - d e s c e n t p a t h s i n t h e c o m p l e x 5 - p l a n e o n v a r i o u s o b s e r v a t i o n a s p e c t a n g l e s a r e d e p i c t e d i n F i g . 2 . 7 . 1 . T h e s t e e p e s t - d e s c e n t p a t h ( S D P ) v i o l a t e s b o t h b r a n c h c u t s a n e v e n n u m b e r o f t i m e s f o r 9 < 9 , ( 9 , = t h r e s h o l d a s p e c t a n g l e ) h e n c e t h e s t e e p e s t - d e s c e n t p a t h d o e s n ‘ t n e e d t o b e d e f o r m e d a b o u t e i t h e r o f t h e b r a n c h c u t s a n d i s c o n n e c t e d t o t h e R e { 5 } - a x i s i n v e r s i o n c o n t o u r o n t h e t o p s h e e t a s d e p i c t e d i n F i g . 2 . 7 . 1 . C a u c h y ’ s t h e o r e m y i e l d s ( fi C — S D P - C p — C m W 3 ( x ’ Z 2 ( fl : = 0 ( 2 . 7 . 1 ) w h e r e a s p r e v i o u s l y I ‘ I ’ 3 ( X . z : 5 ) 1 5 — > 0 C P I C W 3 ( X , Z 1 5 fl 5 — ) 0 ( 2 . 7 . 2 ) a n d E q n . ( 2 . 7 . 1 ) l e a d s t o t h e r a d i a t i o n fi e l d . J C ‘ P 3 ( x , z : ( ) 1 ; = J S D P ‘ P 3 ( x , z : 0 d ; ( 2 . 7 . 3 ) f o r 9 < 9 , . 4 1 n u m h e ‘ . d e p i e t e s t a y o n F i r . a t c u t 1 c a n n o t l a y e r 1 * t r a n s f o p a t h ( 1 5 0 m m d i h ' C T g : 1 1 6 m e C o n d i t a n d a g S i r ” U m b e C a “ S t i C i fi C — S D P — p a r t ‘ i a l { C b l } — C P _ C ° ° W 3 ( x 9 Z i ( ) 1 ; = 0 ( 2 . 7 . 4 ) O n t h e o t h e r h a n d , t h e s t e e p e s t - d e s c e n t p a t h v i o l a t e s c o v e r l a y e r b r a n c h c u t a n o d d n u m b e r o f t i m e s a n d s u b s t r a t e l a y e r b r a n c h c u t a n e v e n n u m b e r o f t i m e s f o r 9 2 9 , a s d e p i c t e d i n F i g . 2 . 7 . 1 t h e r e f o r e i t m u s t b e d e f o r m e d a b o u t t h e c o v e r l a y e r b r a n c h o u t t o s t a y o n t h e t o p R i e m a n n s h e e t . F i r s t o f a l l , i t ’ s p r o m p t e d t o a t t e m p t t o p e r f o r m a f u l l i n t e g r a t i o n p a t h d e f o r m a t i o n a b o u t t h e c o v e r l a y e r b r a n c h c u t a s d e p i c t e d i n F i g . 2 . 7 . 2 . I t s e e m s t o b e l o g i c a l b u t c a n n o t s a t i s f y t h e c l o s u r e c o n d i t i o n d u r i n g t h e p a t h d e f o r m a t i o n f r o m i n fi n i t y t o c o v e r l a y e r b r a n c h c u t , a l o n g C o o . A n d s i n c e o n e o f t h e e x p o n e n t s i n t h e i n t e g r a n d o f i n v e r s e t r a n s f o r m fi e l d r e p r e s e n t a t i o n , ‘ I ’ 3 ( x , z : 5 ) , i n c l u d e s p l ( 5 ) a n d d u r i n g t h e s p e c i fi c p a t h d e f o r m a t i o n ( C w ) , c o v e r l a y e r w a v e n u m b e r p l ( 5 ) r e m a i n s o n t h e b o t t o m s h e e t , S o m m e r f e l d r a d i a t i o n c o n d i t i o n i s v i o l a t e d t o c a u s e t h e i n t e g r a n d , ‘ 1 ’ 3 ( x , z : 5 ) , t o d i v e r g e . T h e r e f o r e , a s p r e v i o u s l y d i s c u s s e d i n S e c t i o n 2 . 6 , i t i s o b s e r v e d t h a t a p a r t i a l p a t h d e f o r m a t i o n a r o u n d t h e c o v e r l a y e r b r a n c h c u t c a n b e i n t r o d u c e d t o s a t i s f y t h e c l o s u r e c o n d i t i o n a s d e p i c t e d i n F i g . 2 . 7 . 3 . C a u c h y ’ s t h e o r e m t h e n l e a d s t o a n d a g a i n a s i n E q n . ( 2 . 7 . 2 ) , t h e r a d i a t i o n fi e l d b e c o m e s [ C W 3 ( m : ( ) 1 ; = ( m e , ( x , a : 0 1 ; + l a m - a 1 { C M { 1 1 , ( x , z : ( y ; ( 2 . 7 . 5 ) S i n c e t h e s t e e p e s t - d e s c e n t p a t h o n l y v i o l a t e s t h e c o v e r l a y e r b r a n c h c u t a n o d d n u m b e r o f t i m e s , i t m u s t b e d e f o r m e d p a r t i a l l y a b o u t t h e c o v e r l a y e r b r a n c h c u t s o t h a t i t c a n s t i l l r e m a i n o n t h e t o p R i e m a n n s h e e t t h e n v i o l a t e s t h e s u b s t r a t e l a y e r b r a n c h c u t a n 4 2 o n t C O l l l s t i l l e v e n n u m b e r o f t i m e s t o t e r m i n a t e a g a i n o n t h e t o p R i e m a n n s h e e t . T h e p a r t i a l p a t h d e f o r m a t i o n a l l o w s a n y p o r t i o n o f t h e i n t e g r a t i o n c o n t o u r t o s a t i s f y t h e c l o s u r e c o n d i t i o n , w h i c h m e a n s b o t h t h e c o v e r a n d s u b s t r a t e l a y e r w a v e n u m b e r , p l ( 5 ) a n d p 3 ( 5 ) , s t a y o n t h e t o p R i e m a n n s h e e t . T h e fi e l d d i s c o n t i n u i t y e v e n d u e t o t h e p a r t i a l d e f o r m a t i o n o f t h e i n t e g r a t i o n c o n t o u r a b o u t t h e c o v e r l a y e r b r a n c h o u t i s c o n s i d e r a b l e n e a r a t h r e s h o l d a s p e c t a n g l e b u t t h e c o m p l e x fi e l d p h a s e c o m p e n s a t e s f o r t h e d i s c o n t i n u i t y s o t h a t t h e t o t a l r a d i a t i o n fi e l d i s s t i l l c o n t i n u o u s o v e r t h a t r e g i o n t h r o u g h t h a t a n g l e . 4 3 3 — 7 e / k o . , , , . . _ _ - n , = 1 . _ . / / ’ / n 2 = 3 . 1 3 / / _ _ _ _ _ / I ” - ‘ ‘ — ~ _ / / / 7 ‘ T n 3 - 0 — / / / / / . - . — 3 : 1 9 . 5 0 / / / / ’ \ \ \ \ / / / \ / / T \ / / / ~ \ l G . — " " i i _ . f — “ ' 7 ' 2 1 T \ \ i \ ‘ i I r / ‘ V " / / T / , 1 \ i i U k o - 2 / 1 2 / 2 / l i \ Q 6 / 1 / / I 1 / / / : l / / l ‘ \ \ / / / / / i / / l l \ / o / / | / \ 9 : 0 / / 1 ' / I l \ / I / l / 9 = 1 5 0 / l I / l l \ / ' C b 3 ’ \ / I / 1 \ - 3 — — 1 | l / / l / l i \ / 0 : 3 0 0 I / \ 2 | / l ‘ l ' / , 1 9 : 8 5 0 \ " ’ 9 = 6 0 ° ' ‘ I V 1 l / / l / C b l - 6 — F i g u r e 2 . 7 . 1 T h e s t e e p e s t - d e s c e n t p a t h s f o r t h e s u b s t r a t e l a y e r fi e l d c a l c u l a t i o n a t v a r i o u s o b s e r v a t i o n a s p e c t a n g l e s i n t h e c o m p l e x 5 - p l a n e . T h e a s y m m e t r i c p l a n a r d i e l e c t r i c w a v e - g u i d e e o n s i s t s o f c o v e r , g u i d i n g a n d s u b s t r a t e l a y e r s w i t h i n d i c e s n 1 = 1 , n 2 = 3 . 1 3 , a n d n 3 = 3 r e s p e c t i v e l y . fi g “ , F i g u r e 2 . 7 . 2 C l o s u r e o f R e { 5 } - a x i s i n v e r s i o n c o n t o u r C i n t o S D P a n d f u l l c o v e r l a y e r b r a n c h c u t f o r 9 > 9 , . 4 5 n g r 1 j _ C n / I \ \ - ( L I , z ’ / ® \ ; 0 \ ' / P - 1 _ I l / \ | \ 1 I ’ \ I / o I I / / \ 6 : 6 0 C o o \ M , ’ n 2 = 3 . 1 3 \ \ I 1 / 1 1 3 : 3 . \ - 3 fl 1 / o \ / \ L / \ : l / \ - 4 — 4 I l \ C 1 “ 0 ° l | l 5 4 / : I / I , I l e 3 / l I - g — 1 1 l l / I / C b l ' / - 7 _ _ _ . F i g u r e 2 . 7 . 3 P r o p e r c l o s u r e o f R e { 5 } - a x i s i n v e r s i o n c o n t o u r c i n t o S D P a n d p a r t i a l c o v e r l a y e r b r a n c h c u t f o r 9 > 9 , . 4 6 W - C O V E p a r t 1 ; t h e f r e s o l l h r e s l 2 . 8 N U M E R I C A L R E S U L T S T h e a s y m p t o t i c r a d i a t i o n fi e l d o f g u i d i n g s t r u c t u r e s i s d e t e r m i n e d t h r o u g h t h e s a d d l e - p o i n t a p p r o x i m a t i o n f o r f a r z o n e . B u t , i n t h e n e a r z o n e , t h e s a d d l e - p o i n t m e t h o d f a i l s . T h e s t e e p e s t - d e s c e n t m e t h o d i n t h e c o m p l e x 5 - p l a n e i s v a l i d t o d e t e r m i n e t h e r a d i a t i o n fi e l d f o r b o t h n e a r a n d f a r z o n e . A s d e p i c t e d F i g . 2 . 3 . 2 , t h e s m a l l o b s e r v a t i o n a s p e c t a n g l e 9 c o r r e s p o n d s t o t h e f a r z o n e a n d t h e l a r g e o n e d o e s t o t h e n e a r z o n e . T h e r e f o r e , a s d e p i c t e d i n F i g . 2 . 8 . 1 , i t i s o b s e r v e d t h a t t h e s a d d l e - p o i n t a p p r o x i m a t i o n m a t c h e s t o t h e s t e e p e s t - d e s c e n t m e t h o d i n t h e f a r z o n e b u t , d e v i a t e s f r o m t h e s t e e p e s t - d e s c e n t m e t h o d i n t h e n e a r z o n e . A s d e p i c t e d i n F i g . 2 . 6 . 3 , t h e s t e e p e s t - d e s c e n t i n t e g r a t i o n p a t h i s e q u i v a l e n t t o t h e c o v e r l a y e r b r a n c h c u t f o r 9 2 9 , . T h e n u m e r i c a l r e s u l t i s d e p i c t e d i n F i g . 2 . 8 . 2 . D u r i n g t h e s t e e p e s t - d e s c e n t c o n t o u r i n t h e c o v e r l a y e r , i t i s o b s e r v e d t h a t b o t h t h e p a r t i a l a n d t h e f u l l s u b s t r a t e l a y e r b r a n c h c u t d e f o r m a t i o n s a r e a c c e p t a b l e f o r 9 2 9 , a n d t h e fi e l d d i s c o n t i n u i t y d u e t o t h e f u l l s u b s t r a t e b r a n c h c u t c o n t r i b u t i o n o v e r 9 , c a n b e r e s o l v e d i n t h e c o v e r l a y e r s i n c e t h e f u l l b r a n c h c u t c o n t r i b u t i o n i s n e g l i g i b l e n e a r t h e t h r e s h o l d a s p e c t a n g l e 9 , . T h e n u m e r i c a l r e s u l t i s d e p i c t e d i n F i g . 2 . 8 . 3 . I n t h e s u b s t r a t e l a y e r , i n a g r e e m e n t w i t h E q n . ( 2 . 7 . 5 ) , t h e s t e e p e s t - d e s c e n t c o n t o u r i s e q u i v a l e n t t o t h e r e m a i n i n g c o v e r a n d f u l l s u b s t r a t e b r a n c h - c u t d e f o r m a t i o n s a s d e p i c t e d i n F i g . 2 . 8 . 4 . M o r e o v e r , t h e p a r t i a l c o v e r b r a n c h c u t c o n t r i b u t i o n i s c o n s i d e r a b l e n e a r 9 , b u t t o t a l fi e l d i s s t i l l c o n t i n u o u s o v e r t h a t a n g l e s i n c e t h e fi e l d p h a s e c o m p e n s a t e t h e d i s c r e p a n c y a n d v a l i d a t e d b y R e { 5 } - a x i s i n v e r s i o n c o n t o u r i n t e g r a t i o n a s d e p i c t e d i n F i g . 2 . 8 . 5 . 4 7 u A > p m : o u 3 _ _ o E < D E E 0 . . . : o o ‘ m 5 0 0 0 h 4 0 0 0 ’ 3 I J J v a : ' O , 3 3 0 0 0 ' 5 . E < E . 9 2 0 0 0 L L . 9 h . e — r o 2 “ J 1 0 0 0 0 F i g u r e 2 . 8 . 1 — ( E M ) , d n ( s t e e p e s t - d e s c e n t n u m e r i c a l ) 4 _ — — — — ( E m ) S I D ( s a d d l e - p o i n t a p p r o x i m a t i o n ) — l 2 w o e - , 5 x ’ / A , = . 2 5 / / — z ’ / 2 , = . O O / / o — 2 0 0 : 2 . 5 / ’ 0 ° _ — / / O E / / O E / O 4 / / O / O 2 / / o / O . 3 / / o _ / O / o E / O _ _ 0 / ” 1 : 1 _ _ 0 / 0 “ n , = 3 2 r p / n 3 = 3 5 l l l l l l l l l l l i T T T l l l i l l l l l T l l l l l l l l T I T l l l l l l l T ] 0 1 0 2 0 3 0 4 0 5 0 6 0 7 O 8 0 9 0 o b s e r v a t i o n a s p e c t a n g l e 6 ( d e g r e e ) T r a n s v e r s e d e p e n d e n c e o f t h e r e f l e c t e d c o n t i n u o u s s p e c t r u m i n t h e c o v e r l a y e r : t h e s t e e p e s t - d e s c e n t n u m e r i c a l c a l c u l a t i o n a n d s a d d l e - p o i n t a p p r o x i m a t i o n . 4 8 A r m : O U J E Q E < D E E o E o o E P l E u r ) , 3 1 E ( e d u t i l p m A d l e i F c i r t c e l E 5 0 0 0 — o o o o o ( E , y ) s d n = ( E , y p ) s d n + ( E , y , ) s d n ( s t e e p e s t - d e s c e n t n u m e r i c a l ) _ — — — — ( E , y ) , , c , , , = ( E , y , , ) b c , , , + ( E , y , ) b c n 1 ( k 1 - b r a n c h o u t n u m e r i c a l ) 4 0 0 0 — — : ” 1 0 : . 5 X ' / 2 \ 1 = . 2 5 1 0 ’ ’ 0 , ~ 0 — e \ e \ Q = 1 9 , 5 ° Z ’ / 2 . , = . 0 0 - , e ’ a \ 2 0 0 : 5 . 3 0 0 0 — , 0 Q . . e a . . / , o ’ b \ . . o \ “ 0 2 0 0 0 — “ 1 : 1 . \ 0 : ” 2 : 3 . 2 \ Q _ n 3 = 3 . \ q “ b 1 0 0 0 — — \ _ b _ ( 0 l l l l r l l T T T l l l l l l l l T I I T T l l l l l l l l l l l I 2 0 3 0 4 o 5 0 s o 7 0 3 0 9 0 o b s e r v a t i o n a s p e c t a n g l e 9 ( d e g r e e ) F i g u r e 2 . 8 . 2 T r a n s v e r s e d e p e n d e n c e o f t h e c o n t i n u o u s s p e c t r u m i n t h e c o v e r l a y e r : s t e e p e s t - d e s c e n t n u m e r i c a l a n d s a d d l e - p o i n t a p p r o x i m a t i o n . 4 9 3 A m : o p : : _ o E < D E E o E o o m F l g l l r _ ° ° ° ° ° ( E 1 y ) = ( E 1 y ) s d n + ( E 1 y r ) b c n 3 8 0 0 0 ’ 3 v - 6 0 0 0 L U v G ) ' O 3 fl : ‘ 5 ‘ < 4 0 0 0 ' 2 . 9 L I . . 9 . b 0 Q 2 0 0 0 L L I 0 F i g u r e 2 . 8 . 3 — — — — — ( E 1 y ) s d n = ( E 1 y p ) s m + ( E 1 y , ) s d n ( s t e e p e s t - d e s c e n t n u m e r i c a l ) ~ 0 0 0 0 ( E m ) b c n a ( k 3 b r a n c h - c u t n u m e r i c a l ) _ o 0 ~ 0 o 9 / 9 \ o _ o b — l a / O / \ o p / _ n = 1 . x ’ / = 2 5 ‘ e _ n P , t / A o — . 5 n 1 : 3 2 2 7 : “ : _ 0 0 ‘ 0 o Q = 1 9 . 5 ° 2 ' " \ o ‘ / 0 3 : 3 . Z / } O = 5 . \ _ ° \ C 0 1 0 2 0 3 0 4 0 5 0 6 0 7 0 8 0 9 0 o b s e r v a t i o n a s p e c t a n g l e 9 ( d e g r e e ) T r a n s v e r s e d e p e n d e n c e o f t h e c o n t i n u o u s s p e c t r u m i n t h e c o v e r l a y e r : s t e e p e s t - d e s c e n t n u m e r i c a l a n d t h e s u b s t r a t e l a y e r b r a n c h c u t . 5 0 A > m m m v G U : £ 9 : < D . 0 E 0 . 3 0 0 . m 2 ° 0 0 ’ 7 — - — — ( a n ) s d n ( s t e e p e s t - d e s c e n t n u m e r i c a l ) J 0 0 0 ° ( a n ) b c n = ( E 3 y ) b c n 1 ' ( a n ) p a r t i a l b c n 1 + ( E 3 y ) b c n 3 E 1 5 0 0 — N e 4 3 a / ‘ = / l o . _ , \ E / 0 r < 1 0 0 0 — A / ” 1 0 : 5 x / l , = . 2 5 : 9 J / / i ? n 1 = 1 _ z ’ / 7 \ 1 = . O O i } : 4 / ° \ n 2 = 3 . 1 3 2 0 0 : 5 . _ 9 — ° n 3 = 3 . ( 3 4 : 1 9 . 5 o : s ~ l l o 3 3 5 0 0 A 0 L U _ b _ ° \ 0 4 ‘ 0 a ° N » e g Q * F o — o ~ 9 _ a _ A o - l l l l l l l T T I T T T l l l T T l l l l l T T T T T T I I l l l l T l l l l l l ‘ l l ] 0 1 o 2 0 3 0 4 0 s o s o 7 0 s o 9 0 o b s e r v a t i o n a s p e c t a n g l e 9 ( d e g r e e ) F i g u r e 2 . 8 . 4 T r a n s v e r s e d e p e n d e n c e o f t h e t r a n s m i t t e d s p e c t r u m i n t h e s u b s t r a t e l a y e r : s t e e p e s t - d e s c e n t n u m e r i c a l a n d t h e c o r r e s p o n d i n g b r a n c h c u t s . 5 1 2 0 0 0 m 1 0 0 0 w p t n n y A z u w v Q U D E Q E < 0 . 0 . “ . O r z o o m . . ‘ . \ r “ fl m z s . ° ° ° ° ° ( E 3 y ) s d n + ( E 3 y ) p a r t i a l b c n t “ ‘ - - ( a n ) b c n : ( E 3 y ) b c n 1 + ( E 3 y ) b c n 3 < > < > < > < > R e { § } — a x i s i n v e r s i o n c o n t o u r 8 8 L l J l l n 3 = 3 . 2 0 0 : 5 ‘ 8 ” l ’ 3 ‘ 1 5 0 0 A L U v _ J 0 ‘ G ) - o 7 p i t . 3 — fi ‘ \ 2 J a ” l < 1 0 0 0 — / b 2 _ 5 ’ o m f g , n 1 = 1 . £ 0 5 . 2 5 1 % _ ’ o a = 1 9 . 5 ° n 2 = 3 . 1 3 z ’ / A . , = . 0 0 . 2 “ ( ' 5 i ) L I J 3 l : A » — + $ 9 \ \ A 4 ! $ 0 M " M . “ l g g x , 0 : , : 0 “ 0 l l l l l l l l l l l l j l l l l l l l l l T T I l l l T I l l T T l l l l l I l I T T ‘ I 0 1 0 2 0 3 0 4 0 5 0 6 0 7 0 8 0 9 0 o b s e r v a t i o n a s p e c t a n g l e 9 ( d e g r e e ) F i g u r e 2 . 8 . 5 T r a n s v e r s e d e p e n d e n c e o f t h e t r a n s m i t t e d s p e c t r u m i n t h e s u b s t r a t e l a y e r : s t e e p e s t - d e s c e n t n u m e r i c a l a n d t h e p a r t i a l c o v e r l a y e r b r a n c h c u t . 5 2 2 . 9 C T h e : < : - ' M d O r ( a 6 i < l a n t l o s p p s ( c H I P . s t d c s i d e n t i fi e d a s d c s c c n t p a i l B o t h m c S l c c p c s l d c a r a d i a t i o n fi c ‘ S W P C S I d c x d t f o n n c d i n t h e R e g } . r m i l l i o n c o r m o d e S p e c t n 2 . 9 C O N C L U S I O N T h e r a d i a t i o n fi e l d o f t h e a s y m m e t r i c p l a n a r o p e n w a v e g u i d e f o r z > z , ( 6 > O ) a n d z < z , ( 0 < 0 ) a s d e p i c t e d i n F i g . 2 . 3 . 2 c a n b e d e t e r m i n e d b y c l o s i n g t h e l o w e r h a l f p l a n e ( L H P ) a n d t h e u p p e r h a l f p l a n e ( U H P ) i n t h e c o m p l e x C - p l a n e r e s p e c t i v e l y . T h e s t e e p e s t - d e s c e n t p a t h i n t h e c o m p l e x 6 - p l a n e i n b o t h t h e c o v e r a n d s u b s t r a t e l a y e r s w a s i d e n t i fi e d a s a d i r e c t m e t h o d a n d c o n fi r m e d i t u s i n g t h e t r a n s f o r m a t i o n o f t h e s t e e p e s t - d e s c e n t p a t h i n t h e c o m p l e x ( I i - p l a n e d e fi n e d b y ( D : 0 ’ + j n a s a n i n d i r e c t m e t h o d . B o t h m e t h o d s y i e l d e d t h e i d e n t i c a l r e s u l t a n d r e c o n fi r m e d t h e v a l i d i t y . U s i n g t h e s t e e p e s t - d e s c e n t m e t h o d i n t h e c o m p l e x 6 - p l a n e , t h e n u m e r i c a l e v a l u a t i o n o f t h e r a d i a t i o n fi e l d c a n b e i m p l e m e n t e d i n b o t h t h e c o v e r a n d t h e s u b s t r a t e l a y e r . D u r i n g t h e s t e e p e s t - d e s c e n t i m p l e m e n t a t i o n i n t h e c o m p l e x g - p l a n e , t h e i n t e g r a l p a t h m u s t b e d e f o r m e d i n o r d e r t o m e e t t h e c l o s u r e c o n d i t i o n s o t h a t i t c a n b e p r o p e r l y c o n n e c t e d t o t h e R e { ; } - a x i s i n v e r s i o n c o n t o u r . T h e n , t h e r a d i a t i o n fi e l d c a n s a t i s f y S o m m e r f e l d ’ s r a d i a t i o n c o n d i t i o n ( c l o s u r e c o n d i t i o n ) a n d c a n b e n u m e r i c a l l y v a l i d a t e d b y R e { C } - a x i s i n v e r s i o n c o n t o u r i n t e g r a t i o n . S i n c e t h e f a r - z o n e fi e l d i s t h e m a i n c o n c e r n , t h e d i s c r e t e - m o d e s p e c t r u m c o n t r i b u t e d b y g u i d e d - p o l e s i n g u l a r i t y h a s b e e n l e s s e m p h a s i z e d . 5 3 C H A P T E R 3 S P E C T R A L A N A L Y S I S A N D A S Y M P T O T I C R A D I A T I O N F I E L D F O R T M M O D E S O F A N A S Y M M E T R I C P L A N A R O P E N W A V E G U I D E 3 . 1 I N T R O D U C T I O N A N D G E O M E T R I C A L C O N F I G U R A T I O N S i m i l a r l y a s i n C h a p t e r 2 , t h e a s y m p t o t i c T M r a d i a t i o n fi e l d o f t h e o p e n p l a n a r w a v e g u i d e c a n b e i d e n t i fi e d a n d c l a s s i fi e d t h r o u g h t h e s t e e p e s t - d e s c e n t m e t h o d i n t h e c o m p l e x a x i a l t r a n s f o r m p l a n e . A s p r e v i o u s l y d i s c u s s e d i n S e c t i o n 2 . 1 , t h e s p e c t r a l fi e l d s o f p l a n a r o p e n w a v e g u i d e s t r u c t u r e s p o s s e s s m u l t i p l e b r a n c h p o i n t s a s s o c i a t e d w i t h e a c h o f t h e t h r e e p l a n a r l a y e r s . T h e b r a n c h p o i n t a s s o c i a t e d w i t h t h e fi l m l a y e r i s r e m o v a b l e a n d t h e b r a n c h p o i n t s a s s o c i a t e d w i t h t h e c o v e r l a y e r a n d t h e s u b s t r a t e l a y e r a r e n o n - r e m o v a b l e . U n l i k e i n C h a p t e r 2 , w h e r e t h e G r e e n ’ s f u n c t i o n w a s s c a l a r , t h e s t e e p e s t - d e s c e n t e v a l u a t i o n o f G r e e n ’ s d y a d f o r r a d i a t i o n fi e l d s i n b o t h t h e c o v e r a n d t h e s u b s t r a t e l a y e r s i s p e r f o r m e d . T h o s e fi e l d s a r e m a i n t a i n e d b y T M e l e c t r i c s o u r c e s i n p r o x i m i t y t o t h e s i m p l e s t c a n o n i c a l w a v e g u i d e s t r u c t u r e . A n d s p e c t r a l r e p r e s e n t a t i o n s o f G r e e n ’ s d y a d s f o r t h o s e fi e l d s p o s s e s s m u l t i p l e n o n - r e m o v a b l e b r a n c h p o i n t s i n t h e c o m p l e x a x i a l t r a n s f o r m p l a n e . T h e f u n d a m e n t a l d i s t i n c t i o n f r o m C h a p t e r 2 i s t h a t d u e t o t h e i n t r i n s i c n a t u r e o f T M m o d e e x c i t a t i o n , n o t o n l y t h e c u r r e n t b u t a l s o t h e c h a r g e c o n t r i b u t e s t o t h e e l e c t r i c fi e l d s w i t h i n t h e s o u r c e r e g i o n s i n c e c h a r g e s i s r e q u i r e d b y t h e c o n t i n u i t y e q u a t i o n . H o w e v e r , t h e m a g n e t i c fi e l d s a r e n o t c o n t a m i n a t e d b y c h a r g e s w i t h i n t h e s o u r c e r e g i o n s i n c e p h y s i c a l l y n o r e a l m a g n e t i c c h a r g e e x i s t s . 5 4 L i k e i n C h a p t e r 2 , f o r t h e c o v e r fi e l d , t h e s t e e p e s t - d e s c e n t p a t h i n t h e c o m p l e x a x i a l t r a n s f o r m p l a n e r e p l a c e s t h e c o v e r l a y e r b r a n c h o u t w h i l e t h e s u b s t r a t e l a y e r b r a n c h o u t i s r e t a i n e d . A l t e r n a t i v e l y t h e c o v e r a n d t h e i n c o m p l e t e s u b s t r a t e l a y e r b r a n c h c u t s a r e r e p l a c e d w h i l e t h e r e m a i n i n g s u b s t r a t e l a y e r b r a n c h c u t i s r e t a i n e d . H o w e v e r , i n t h e s u b s t r a t e l a y e r , t h e i n c o m p l e t e c o v e r a n d t h e c o m p l e t e s u b s t r a t e l a y e r b r a n c h c u t s a r e r e p l a c e d w h i l e t h e r e m a i n i n g c o v e r l a y e r b r a n c h c u t i s r e t a i n e d . T h e p l a n a r w a v e g u i d e s t r u c t u r e c o n s i s t s o f a d i e l e c t r i c g u i d i n g r e g i o n i m m e r s e d i n a p l a n a r - l a y e r e d b a c k g r o u n d e n v i r o n m e n t . E a c h p l a n a r l a y e r i s n o n - m a g n e t i c , i s o t r o p i c , a n d h o m o g e n e o u s w i t h c o m p l e x p e r m i t t i v i t y 8 , , l = 1 , 2 , 3 f o r c o v e r , fi l m , a n d s u b s t r a t e l a y e r s . A c o o r d i n a t e s y s t e m i s c h o s e n w i t h t h e z a x i s a s t h e w a v e g u i d i n g a x i s a n d t h e x a x i s n o r m a l t o t h e p l a n a r i n t e r f a c e s a s d e p i c t e d i n F i g . 3 . 1 . 1 . T h e s t r u c t u r e i s o f i n fi n i t e e x t e n t p a r a l l e l t o t h e y - z p l a n e . 5 5 3 : . 2 . . . . . . . / / . . . . . . 2 . . 2 . . . \ 5 5 1 1 ( x 9 € ( 5 6 ) ) = : fi é S ’ fi u l ( x ’ y ( L § C ) ) + 5 § 1 z ( x ’ § ) w P k h 1 , e 2 = r ( e § ) a " k 1 2 ) = # § 0 2 8 , ( 3 . 2 . 3 ) 3 . 2 S P E C T R A L F I E L D F O R M U L A T I O N S i n c e t h e s p e c t r a l fi e l d s a r e T M w i t h r e s p e c t t o t h e w a v e g u i d i n g a x i s z ( 3 . 2 . 1 ) e 1 0 ” t i m e w h e r e g i s t h e c o m p l e x a x i a l t r a n s f o r m v a r i a b l e a n d e x c i t a t i o n b y a ( d e p e n d e n c e ) y ~ i n v a r i a n t c u r r e n t s o u r c e i s a s s u m e d . T h e s p e c t r a l M a x w e l l e q u a t i o n s f o r t h e l ’ t h ( 1 = 1 , 2 , 3 f o r c o v e r , fi l m a n d s u b s t r a t e ) l a y e r b e c o m e e e l - m a c r o ‘ 3 ' ” ) w h e r e 9 , : x — a - + y — a — a n d j ( x , ( : ) = x j ( x , § ) + Z i ( x , ( f ) 8 1 : B y x Z T h e t r a n s v e r s e / l o n g i t u d i n a l d e c o m p o s i t i o n o f i n d e p e n d e n t M a x w e l l e q u a t i o n s y i e l d s [ 2 2 ] e a ( x ’ C ) : _ j fl t é l z + j a ¥ 1 0 2 x v t fi l z + 1 3 % ? » p 1 2 1 ( § ) ( h . ( x . 2 0 : - ( - j w e , 2 x i . é . + 1 5 7 . 5 . — 1 4 2 x 1 2 ) M I G ) i t ( 5 5 ) : ) ? ? 1 : ( x 5 ) 5 7 t h e fi x ; T h e a b o v e b e c o m e s 5 , , ( x , 4 ' ) = — 7 ( j § V , e , z + j w y o s z h , z + j w p o j x ) z ( 3 . 2 . 4 ) i i . ( x , < : ) = 7 1 2 + — j a r , 2 > < i 7 . ' é . + 1 6 7 2 » . - j é z ‘ x i i x ) I T h e n , f o r t h e 1 ’ t h l a y e r t h e t r a n s v e r s e T M fi e l d s a r e . . 1 . B E ( 1 , ; ) . — . . e ( 1 , 4 ) : - — - [ J § i — + 1 6 % } . 0 , 0 ] L x 1 7 2 ( 4 ) a x B E ( x ; ) + ( 3 . 2 . 5 ) h l ( X , [ . m l — _ l _ _ _ z + j § j x ( X 6 ) ] y l e ( € ) a x S u b s e q u e n t m a n i p u l a t i o n [ 2 2 ] u n c o u p l e s t h e s p e c t r a l M a x w e l l e q u a t i o n s t o o b t a i n t h e s p e c t r a l H e l m h o l t z e q u a t i o n s . V 6 1 . ( x C ) - 1 9 : ( 5 ) 6 1 . ( ) 6 C ) = - : — [ C P O C ) + 1 6 0 / 1 0 1 . ( x Q " ) V 7 3 5 . ( x , ; ) — m m . ( x . ; ) = — 2 « { V , x i . ( x , c ) } ( 3 . 2 . 6 ) A n d s p e c t r a l c o n t i n u i t y e q u a t i o n € 7 0 } ( x , { ) + j a x ' i ( L C ) = 0 a l l o w s E q n . ( 3 . 2 . 4 ) t o b e e x p r e s s e d a s " ' 2 . . 2 . . " ' A . “ J . 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( 2 . 3 . 1 5 ) . 3 . 2 . 6 T R A N S F O R M A T I O N O F S D P F R O M T H E C O M P L E X ¢ - P L A N E T O T H E C O M P L E X 4 , “ - P L A N E ( I N D I R E C T M E T H O D ) A s p r e v i o u s l y d i s c u s s e d i n S e c t i o n 2 . 3 . 2 , t h e s t e e p e s t - d e s c e n t s a d d l e - p o i n t m e t h o d c a n b e i m p l e m e n t e d i n t h e c o m p l e x ( : 1 - p l a n e d e fi n e d b y ¢ = 0 + i n ( 3 . 2 . 2 2 ) T h e s u b s e q u e n t t r a n s f o r m a t i o n i n ( p , , ; ) i s f o l l o w e d b y P 1 : J k 1 0 0 5 ¢ I : = k , s i n ¢ 6 8 1 fl / 2 + J . ° ° h l m z y x ( k l 5 ° 1 1 W ) e r ( " J ° k 1 S i n ‘ l ’ S i “ 9 ‘ 1 7 ” ° ° S ¢ C 0 8 0 ) k , c o s W M 1 = 1 , m = 1 : k 1 s i n 0 c £ k + , [ _ § * ] _ k , - 1 5 3 9 2 o - s h ( j k 1 x ' _ { 5 & 2 , k c fl o s g ) e j k l z ' s i n 0 ) } * ( _ § _ , k — 0 : 1 2 9 8 2 5 ) ( 3 2 ' 2 ' T h e n , t h e i n t e g r a l r e p r e s e n t a t i o n b e c o m e s n g y x ( x , z l x ’ , z ' ) 2 7 : - n / 2 - j o o k 1 c o s ¢ = i ( k l J I fl / 2 + j ° ° Z ? m y x ( k l S i n ¢ ) e — j k 1 r c o s ( ¢ — 6 ) d ¢ — 2 x I : - 7 t / 2 - j ° ° w h e r e 2 i ' m y x ( k l S i n ¢ ) 1 = 1 . m = 1 : k 1 s i n ¢ c o s h ( j k 1 x ' c o s ¢ ) e fl ‘ l z ’ s m ¢ l : 3 , m = 1 : 8 2 8 3 1 i ( k 3 S i n ¢ ) k 3 S i n ¢ e — j k 1 x ' c o s ¢ e j k 3 z ' s i n ¢ C o m p a r i n g w i t h E q n . ( 2 . 3 . 3 1 ) , i t i s o b s e r v e d f r o m S e c t i o n 2 . 3 . 2 t h a t t h e s a d d l e - p o i n t a s y m p t o t i c f o r m f o r t h e f a r z o n e fi e l d i n t h e l ’ t h l a y e r b e c o m e s , — ' k r — I r / 4 ) h 1 k , ] , 2 h . e 1 “ G l m y x ( r 1 6 ) z — E ; ( E E z l m y x ( l e I H Q ) J k l r w h e r e 2 5 ' . . . ” ( k , s i n a ) l = 3 , m = 1 : 8 2 6 3 A ( k 3 s i n 6 ) k 3 s i n 0 6 1 7 ‘ ! " 0 ° 8 9 e 1 k 3 2 8 ‘ " ‘ 9 w h e r e ( I ) = 9 i s t h e s a d d l e p o i n t . I n a c c o r d a n c e w i t h E q n s . ( 2 . 3 . 2 7 ) a n d ( 3 . 2 . 2 3 ) , ( 3 . 2 . 2 4 ) T h e a b o v e i d e n t i fi e s t h e s t e e p e s t - d e s c e n t p a t h i n t h e c o m p l e x C - p l a n e a s i l l u s t r a t e d i n E q n . ( 2 . 3 . 3 5 ) , w h i c h a l s o c o n fi r m s E q n . ( 2 . 3 . 1 5 ) . 6 9 I C _ C b l - C b 3 — C p — C a n V i e w } ? ( x , Z x ’ , Z ’ : { P C = 0 ( 3 - 4 - 1 ) 3 . 3 T H E B R A N C H C U T T h e a p p r o p r i a t e b r a n c h c u t s w e r e p r e v i o u s l y i d e n t i fi e d i n S e c t i o n 2 . 4 . 3 . 4 A L T E R N A T I V E I N T E G R A T I O N P A T H A s d e p i c t e d i n F i g . 3 . 4 . 1 a n d a p p l y i n g C a u c h y ’ s i n t e g r a l t h e o r e m l e a d s t o a n d ‘ s z fl ( x , z | x ’ , z ’ : § ) r e p r e s e n t s t h e i n t e g r a n d o f G r e e n ’ s d y a d f o r t h e m a g n e t i c fi e l d G l i ’ n a fl ( x , z l x ' , z ' : C ) f o r 1 = 1 , 2 , 3 a n d m = 1 , 2 ( s e e A p p e n d i x D ) . T h e d i s c r e t e g u i d e d - m o d e i s a s s o c i a t e d w i t h I = i ; p a s p r e v i o u s l y d i s c u s s e d i n C h a p t e r 2 . 5 . T h o s e p o l e s a r e d e t e r m i n e d b y T M c h a r a c t e r i s t i c e i g e n v a l u e e q u a t i o n 8 8 2 8 ( 4 1 9 1 + 1 2 3 ] ! ) 2 + ( 4 1 2 2 + i p 1 p 3 ] t a n h ( P z t ) = 0 ( 3 - 4 - 2 ) w h i c h i s i m p l i c a t e d f r o m z e r o s i n t h e d e n o m i n a t o r o f 1 1 ( 6 ) . F o r t h e f a r z o n e , t h e p o l e r e s i d u e c o n t r i b u t i o n I C P W i l m a fl ( x , z | x ' , z ' : ( ) 1 ; — > 0 ( 3 . 4 . 3 ) A s d i s c u s s e d i n S e c t i o n 2 . 5 , t h e b o u n d m o d e p r o p a g a t i o n s p e c t r u m i s c o n t r i b u t e d t o b y t h e f u l l r e s i d u e a b o u t C p i n E q n . ( 3 . 4 . 3 ) . H o w e v e r , t h e b o u n d - m o d e s p e c t r u m o n t h e R e { ; } - a x i s i n v e r s i o n i n F i g . 2 . 5 . 2 i s c o n t r i b u t e d b y h a l f r e s i d u e a b o u t R p . D u e t o t h e i n t r i n s i c n a t u r e o f T M m o d e e x c i t a t i o n , n o t o n l y c u r r e n t s b u t a l s o c h a r g e s c o n t r i b u t e t o t h e e l e c t r i c fi e l d s i n c e c h a r g e s a r e i m p l i c a t e d b y t h e c o n t i n u i t y e q u a t i o n . S o , 7 0 - . " o . 0 a z < 0 z > 0 F i g u r e 3 . 4 . 1 S i n g u l a r i t i e s a n d a l t e r n a t i v e i n t e g r a t i o n p a t h i n t h e c o m p l e x 9 ’ - p l a n e o n t o p R i e m a n n s h e e t f o r t h e c o m p l e t e p r o p e r p r o p a g a t i o n s p e c t r u m . C o v e r a n d s u b s t r a t e l a y e r s a r e p r e s u m a b l y c o n s i d e r e d t o b e i n t h e l o w - l o s s l i m i t . 7 1 = y a ( . - . ) s ( . - 2 ) + 1 c b 2 . . . . ( a z l x 2 z v c d : " ° ” M i s 5 s — > i l _ I e C s . . . ( P ‘ I ’ f m a fi ( m x l x t z , z I x ’ , z ’ v : n ’ 4 z c ) d ; } - d l x ' a d i f m r o x l x ' m ' z fl i ( 3 . 4 . 6 ) z ' s i n c e i n t e g r a n d s o f e l e c t r i c G r e e n ’ s d y a d s d o n o t v a n i s h w h e n I C I — - ) 0 ° f o r x = x ’ a n d z = z ’ . A 5 - s i n g u l a r i t y i s c o n s e q u e n t l y n e e d e d a t p o i n t s i n s o u r c e r e g i o n [ 2 6 ] , [ 2 7 ] f o r c o n v e r g e n c e . 1 6 1 1 : . . . ) ( c a n a r y ; = C b l + C b 3 + l e ‘ P i m a p ( x , z l x ’ . 2 ' I C ) 1 ; ( 3 . 4 . 4 ) w h e r e 1 = 1 , 2 , 3 m = l , 2 [ I ’ f m a fl ( x , z l x ' , z ' : C ) r e p r e s e n t s t h e i n t e g r a n d o f G 5 1 1 a fl ( x ’ z i x , ’ z ’ ) f o r a , , 6 = x o r 2 : ( s e e A p p e n d i x D ) . T o d e t e r m i n e t h e u n k n o w n c o n s t a n t 2 ’ , i n t e g r a t i o n o v e r ( x ' , z ' ) i n a s m a l l c r o s s s e c t i o n s 3 w h i c h c o n t a i n s t h e fi e l d p o i n t ( x , z ) i s p e r f o r m e d [ 2 6 ] , [ 2 7 ] , [ 5 6 , 1 6 ( 1 ) : — x ' ) 6 ( z _ z ' fl x ’ d z ' : I 5 3 { l c q l f m a fl ( x , Z " Z " 5 ) 4 ; - J G ) , W i m p ( x . Z I X ' . z ' : 4 ’ ) 1 ; ( 3 . 4 . 5 ) — I C P ‘ I ’ f m a fl ( x , z l x ’ , z ' : 4 ' ) 1 5 } d x ’ d z ’ H e n c e , a n d t h e u n k n o w n c o n s t a n t I c a n b e d e t e r m i n e d n u m e r i c a l l y . 7 2 i c o n W i l m a } ? ( X , z | x ' , Z , 3 ( ) 2 ; — ) 0 ( 3 . 4 . 7 ) H o w e v e r , t h e m a g n e t i c G r e e n ’ s d y a d s a r e n e v e r c o n t a m i n a t e d b y t h e c o n t i n u i t y e q u a t i o n t h e n \ P l ' m a fl ( x , z | x ' , z ’ : C ) s t i l l c o n v e r g e s e v e n i f ' 5 ' — ) 0 ° f o r x = x , a n d z = 1 ’ . F i n a l l y , E q n . 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( ) 8 ) r a c n I ( fi C — S D P — C w — C p — C m “ l l a m a / 9 ( x 1 l e ” Z , 3 5 ) 1 ; = 0 T h e r e f o r e , i t i s o b s e r v e d t h a t t h e s t e e p e s t - d e s c e n t c o n t r i b u t i o n s t o t h e i n t e g r a n d s o f t h e e l e c t r i c o r m a g n e t i c G r e e n ’ s d y a d s a r e e q u i v a l e n t t o t h e p r o p e r b r a n c h o u t c o n t r i b u t i o n s f o r 6 < 0 , . A s p r e v i o u s l y d i s c u s s e d i n S e c t i o n 2 . 6 , i t i s o b s e r v e d t h a t t h e e x p o n e n t s i n b o t h t h e e l e c t r i c a n d m a g n e t i c G r e e n ’ s d y a d s o n l y c o n t a i n t h e c o v e r l a y e r w a v e n u m b e r , [ 7 1 ( 5 ) , o n t h e t o p R i e m a n n s h e e t . H e n c e , t h e c l o s u r e c o n d i t i o n c a n b e s a t i s fi e d . T h e r e f o r e , f o r 9 2 9 , a s d e p i c t e d i n F i g . 3 . 5 . 2 h I , ( 3 . 5 . 9 ) ‘ I ’ l m a fl ( x , z l x , z 2 § y § = 0 C fi C - S D P — C w — C p — C , , F o r t h e e l e c t r i c G r e e n ’ s d y a d , I C ‘ I ’ f m / g ( x , z l x ’ , z ' : ( ) 1 ; = 1 6 ( x — x ' ) 5 ( z — z ' ) + ( S D P ‘ m e a fi ( x , z l x ’ , z ' : C ) d é ’ ( 3 . 5 . 1 0 ) + l e 3 ‘ l e a fl ( x , z l x ’ , z ' : ( ) 1 ; + I C P \ l e a fi ( x , z x ' , z ' : ( ) 1 ; T h e p o l e a n d 5 - f u n c t i o n c o n t r i b u t i o n s v a n i s h i n t h e f a r z o n e . F o r t h e m a g n e t i c G r e e n ’ s 7 6 = 1 . , » h . . . ( m u I m ’ 2 1 4 4 . 2 h 1 4 1 . . . . , . . ’ m ( 3 . 5 . 1 1 ) C . fi C — S D P — p a r t i a n b 3 } _ C P _ C m 6 ’ e \ l a fi ( X , Z I X I , Z I . . ( ) 1 ; _ _ 0 ( 3 . 5 . 1 2 ) , I I I ( 3 . 5 . 1 4 ) = l s n p w l ' m a fi ( x , z l x , z i ; ) 1 ; + J p a r t i a l { C b 3 } \ P ? m fi ( x , z l x , z : ( ) 1 ; d y a d , J C ‘ P l I m a fi ( x , z | x ’ , z ' : § ’ ) d § ’ S i m i l a r l y a s i n S e c t i o n 2 . 6 , a n o t h e r p o s s i b l e p r o p e r c l o s u r e o f t h e s t e e p e s t - d e s c e n t p a t h t o t h e R e { { } - a x i s i n v e r s i o n c o n t o u r i s t h e p a r t i a l p a t h d e f o r m a t i o n a r o u n d t h e s u b s t r a t e l a y e r b r a n c h c u t a s d e p i c t e d i n F i g . 3 . 5 . 3 . T h e s t e e p e s t - d e s c e n t p a t h o n l y v i o l a t e s t h e s u b s t r a t e l a y e r b r a n c h c u t a n o d d n u m b e r o f t i m e s t h e r e f o r e i t m u s t b e d e f o r m e d p a r t i a l l y a b o u t t h e s u b s t r a t e l a y e r b r a n c h o u t s o t h a t i t c a n s t i l l r e m a i n o n t h e t o p R i e m a n n s h e e t , w h i c h a l l o w s i t t e r m i n a t e p r o p e r l y t o t h e R e { § ’ } - a x i s i n v e r s i o n C O U I O U I ‘ . h I I . _ @ C — S D P — p a r t i a q q fl } _ C P — C ° ° \ l e a fl ( x ’ l e a Z - ( ) 2 ; — O F o r t h e e l e c t r i c G r e e n ’ s d y a d , 1 . 1 1 : . . . ( a 2 1 x : a = : 1 4 : = 1 6 ( x — x ’ ) 5 ( z - z ' ) + J S D P T f m fl ( x , z l x ’ , z ' : ( y ; ( 3 . 5 . 1 3 ) d r e a m f a c t / 3 0 4 1 4 5 4 1 1 0 l g ‘ 1 1 : . . . ) ( m o r ; T h e p o l e a n d 5 - f u n c t i o n c o n t r i b u t i o n s v a n i s h i n t h e f a r z o n e . F o r t h e m a g n e t i c G r e e n ’ s d y a d , I C ‘ l e a a ( x , z I x ’ . z ’ : € ) I § 7 7 F i g u r e 3 . 5 . 2 P r o p e r c l o s u r e o f R e { § ' } - a x i s i n v e r s i o n c o n t o u r C i n t o S D P a n d s u b s t r a t e b r a n c h c u t f o r 9 > 9 , : n 1 = 1 . , n 2 = 3 2 , n 3 = 3 . , 6 , = 1 9 . 5 ° . 7 8 — - > - * C / / n \ \ S \ D P _ _ _ , _ , 9 ‘ 3 r I l ' l ' " l ' j ‘ , 2 - — - L ' “ l ' € f e ’ 7 § / k o C a . - 3 - 2 1 o i l ' / 1 2 ‘ \ 3 ® F i g u r e 3 . 5 . 3 P r o p e r c l o s u r e o f R e { { } - a x i s i n v e r s i o n c o n t o u r C i n t o S D P a n d p a r t i a l C b 3 f o r 0 > 9 , : n 1 = 1 . , n 2 = 3 . 2 , n 3 = 3 . , 9 , = 1 9 . 5 ° . 7 9 ( I n a g r e e m e n t w i t h E q n fi . C — ( 3 S . D P 4 . 3 - ) C a p n T h e n , l s c p ’ p l ‘ ’ l i ’ m i a m fi a l ( “ p ( x 1 1 x l 3 e 2 7 5 ” Z " 5 — d ) h ’ ( m / 3 . 4 3 . C w “ I E q n . ( x , z | x 7 ) , 4 P ; = 5 l = c b = J ' C c b b = l + c C b 1 + , C , , a C , z ‘ I V ’ i i m b 3 y m _ - O ; ( 3 - 6 . 1 ) fi ( / 3 x ( , Z | X ' a Z x , z | x ’ , z ’ ' : = 9 W ’ e ) " 1 ; ( ( 1 6 3 . 6 3 . ) 4 ) 3 . 6 S T E E P E S T - D E S C E N T E V A L U A T I O N O F S U B S T R A T E F I E L D T h e s t e e p e s t - d e s c e n t p a t h i n t h e c o m p l e x C - p l a n e i s o b t a i n e d f r o m E q n . ( 3 . 2 . 2 1 ) i n a g r e e m e n t w i t h l : 3 f o r t h e s u b s t r a t e l a y e r i n d e x . A s p r e v i o u s l y d i s c u s s e d i n S e c t i o n 2 . 7 , t h e s t e e p e s t - d e s c e n t s a d d l e - p o i n t m e t h o d f a i l s i f t h e s a d d l e p o i n t k 3 s i n 9 e x i s t s n e a r g u i d e d - m o d e p o l e s i n g u l a r i t i e s , w h i c h c a u s e s t h e i n t e g r a n d o f t h e G r e e n ’ s d y a d i n t h e s u b s t r a t e l a y e r t o v a r y r a p i d l y n e a r t h a t p o i n t . T h e s t e e p e s t - d e s c e n t p a t h s i n t h e c o m p l e x 4 ’ - p l a n e a t v a r i o u s o b s e r v a t i o n a s p e c t a n g l e s a r e d e p i c t e d i n F i g . 3 . 6 . 1 . I t w a s o b s e r v e d i n S e c t i o n 2 . 7 t h a t t h e s t e e p e s t - d e s c e n t p a t h d o e s n ’ t n e e d t o b e d e f o r m e d t o o n e o f t h e b r a n c h c u t s b u t i s c o n n e c t e d t o t h e R e { § } - a x i s i n v e r s i o n c o n t o u r o n t h e t o p R i e m a n n s h e e t f o r 9 < 9 , . F o r t h e m a g n e t i c G r e e n ’ s d y a d , _ l c ‘ i ’ l m p ( x , z l x ' , z ' : 4 ’ fl ; = ( S D P ‘ I ’ Z w / g ( x , z x ’ , z ’ : 9 ' ) 1 ; ( 3 . 6 . 2 ) I t i s p r e v i o u s l y o b s e r v e d t h a t i n t e g r a n d s o f e l e c t r i c G r e e n ’ s d y a d s a r e c o n t r i b u t e d t o b y t h e e l e c t r i c c h a r g e d i s t r i b u t i o n i m p l i c a t e d b y t h e c o n t i n u i t y e q u a t i o n w i t h i n a s o u r c e r e g i o n [ 2 6 ] , [ 2 7 ] . H o w e v e r , s i n c e x i f : x ' a n d z i z , i n t h e s u b s t r a t e l a y e r t h e s u b s t r a t e e l e c t r i c G r e e n ’ s d y a d i s n o t r e l e v a n t t o t h e c o n t i n u i t y e q u a t i o n . S i n c e 8 0 “ a k a n 1 : . — / , ’ ” 2 : 3 . 1 3 / / _ _ _ _ _ / I f ~ ~ ‘ ~ _ / / / T n 3 — 3 . 4 / / , Q = 1 9 . 5 ° / / / / / / ” fl ~ § ‘ \ \ \ / 1 / \ \ / _ \ l l 8 “ * 3 — 1 - f " ‘ ; f \ ‘ 1 l \ 1 l r / ‘ V " / / / , 1 \ a k a - 2 / 1 ) 2 / 1 ‘ \ t k 6 / | / / 1 \ / / / I / / l i \ / / / / I V / , 1 \ 9 : 0 0 / / / | l / 1 l \ \ , / / T | : / 1 \ \ S D P / / l / e = 1 5 0 / l ' / l ‘ \ / | 1 \ / _ _ l / - 3 l 1 ‘ \ \ / 0 l l l i / / \ l _ I 1 | | / / 1 1 9 : 8 5 0 \ l l ' V ’ 9 = 6 0 ° ’ I 1 ‘ 7 " ' / | / - e — J C b 3 / ( : b l F i g u r e 3 . 6 . 1 T h e s t e e p e s t - d e s c e n t p a t h s i n t h e c o m p l e x 4 ' - p l a n e f o r t h e s u b s t r a t e l a y e r fi e l d c a l c u l a t i o n a t v a r i o u s o b s e r v a t i o n a s p e c t a n g l e s T h e a s y m m e t r i c p l a n a r d i e l e c t r i c w a v e g u i d e c o n s i s t s o f c o v e r , g u i d i n g , a n d s u b s t r a t e l a y e r w i t h i n d i c e s n 1 = 1 , n 2 = 3 . l 3 , a n d n 3 = 3 r e s p e c t i v e l y . 8 1 0 0 ( 3 . 6 . 5 ) C — p C — C ° p — C ° w \ w p I l i e a n d / fi 3 ( ( x x 9 ’ a r t i a l { C b l Z l } e \ I x , ’ a ’ Z Z ’ , : i 6 5 ) ) 1 1 m e a / 3 ( x , z | ; ; x = = , ’ z ’ : g “ ) F o r t h e ( ( c W m I fi fi C C G a ’ i — - m e m r fl f i f ‘ c e S l c ‘ r P y t e D s o p w l ’ m S S ( a p e a e i + l ( l = : p a r t D D n M p P P ’ — s — ( I ( p x X x a d ' , y z , z } 1 1 ( : _ ) } ! 1 i , ’ a ’ a , , , n b l l { z : z § ' ’ b ) t C : , r t i a | d x z l x ' , z 4 1 ; ; + + ( 3 . 6 . 6 ) ( 3 . 6 . 7 ) 1 ’ ; ; fi ( x , | x , z 3 ; ) “ , , J ' p a r t i a l { C b 1 } ‘ P ; 1 m a fl ( x , z | x , z : 5 ) H e n c e , i t i s n o t e d t h a t t h e s t e e p e s t - d e s c e n t c o n t r i b u t i o n i s e q u i v a l e n t t o t h e b r a n c h o u t r a d i a t i o n fi e l d c o n t r i b u t i o n f o r 9 < 6 , . I t i s a l s o o b s e r v e d i n S e c t i o n 2 . 7 t h a t f o r 0 2 9 , , o n l y t h e p a r t i a l i n t e g r a t i o n p a t h d e f o r m a t i o n a r o u n d t h e c o v e r l a y e r b r a n c h o u t c a n s a t i s f y t h e c l o s u r e c o n d i t i o n f o r t h e s u b s t r a t e l a y e r a s d e p i c t e d i n F i g . 3 . 6 . 2 ( p r e v i o u s l y d e p i c t e d i n F i g . 2 . 7 . 3 ) T h e p o l e c o n t r i b u t i o n v a n i s h e s i n t h e f a r z o n e b u t s t i l l r e m a i n s i n t h e n e a r z o n e . F o r t h e m a g n e t i c G r e e n ’ s d y a d , h I I . J C ’ s z a p ( x r z l x . Z ( ) 1 ; 8 2 1 ‘ 7 C n / ’ \ \ fi 1 I ’ I ’ T [ l 7 , / T ® \ \ [ x ) Q / k o i f ( i ’ 2 ’ 2 C \ 4 6 ' l I P \ / - 1 _ l : I / \ I I / \ \ 1 I / \ l / \ C I V : , ’ n 2 = 3 . 1 3 \ \ I / 0 : 3 . \ - 3 — 1 ' / 3 o \ l I / a = 1 9 . 5 \ N ' I \ / | l / \ . 4 — ~ I \ C 0 0 : / 1 ' I - 5 — 1 / : I / I I ' l e 3 / ' I - g — I 1 / I I , ’ C b l l / _ 7 _ _ . F i g u r e 3 . 6 . 2 P r o p e r c l o s u r e o f R e { § } - a x i s i n v e r s i o n c o n t o u r C i n t o S D P a n d p a r t i a l c o v e r l a y e r b r a n c h c u t f o r 1 9 > 6 , . 8 3 3 . 7 C O N C L U S I O N D u e t o t h e i n t r i n s i c n a t u r e o f T M m o d e e x c i t a t i o n , G r e e n ’ s d y a d s f o r r a d i a t i o n fi e l d s c a n b e f o r m u l a t e d i n b o t h t h e c o v e r a n d t h e s u b s t r a t e l a y e r s u s i n g t h e s t e e p e s t - d e s c e n t m e t h o d i n t h e c o m p l e x 4 : - p l a n e . I t i s o b s e r v e d t h a t t h e s t e e p e s t - d e s c e n t p a t h i n t h e c o m p l e x 6 - p l a n e i s i n d e p e n d e n t o f t h e s o u r c e e x c i t a t o r y m o d e b u t i s d e p e n d e n t o f t h e g e o m e t r i c a l s t r u c t u r e o f t h e w a v e g u i d e . D u r i n g t h e s t e e p e s t - d e s c e n t i m p l e m e n t a t i o n i n t h e c o m p l e x C - p l a n e , t h e i n t e g r a t i o n p a t h m u s t b e d e f o r m e d i n o r d e r t o m e e t t h e c l o s u r e c o n d i t i o n s o t h a t i t c a n b e p r o p e r l y c o n n e c t e d t o t h e R e { § } - a x i s i n v e r s i o n c o n t o u r . T h e r e f o r e , G r e e n ’ s d y a d f o r t h e r a d i a t i o n fi e l d c a n s a t i s f y S o m m e r f e l d ’ s r a d i a t i o n c o n d i t i o n a n d c a n b e n u m e r i c a l l y v a l i d a t e d b y t h e r e a l a x i s i n t e g r a t i o n . S i n c e t h e f a r - z o n e f i e l d i s t h e m a i n c o n c e r n , t h e d i s c r e t e - m o d e s p e c t r u m c o n t r i b u t e d b y g u i d e d - p o l e s i n g u l a r i t y w a s l e s s e m p h a s i z e d ( i t s c o n t r i b u t i o n v a n i s h e s t h e r e ) . H o w e v e r , t h e d i s c r e t e - m o d e s p e c t r u m f o r t h e e l e c t r i c G r e e n ’ s d y a d m u s t b e c o n s i d e r e d s i g n i fi c a n t w i t h i n t h e n e a r fi e l d a n d s o u r c e r e g i o n s . C h a r g e s c o n t r i b u t e t o t h e e l e c t r i c G r e e n ’ s d y a d l e a d i n g t o a s i n g u l a r i t y t e r m . A n d a n i m p o r t a n t o b s e r v a t i o n i s t h a t T M m o d e e x c i t a t i o n c a n n o t c o n t r i b u t e t o G r e e n ’ s d y a d s i n g u l a r i t y f o r t h e m a g n e t i c fi e l d w i t h i n t h e s o u r c e r e g i o n s i n c e n o m a g n e t i c c h a r g e e x i s t s t h e r e . D u r i n g t h e s t e e p e s t - d e s c e n t c o n t o u r d e f o r m a t i o n i n b o t h t h e c o v e r a n d t h e s u b s t r a t e l a y e r s , i t i s o b s e r v e d t h a t t h e c o r r e s p o n d i n g b r a n c h c u t d e f o r m a t i o n f o r e a c h l a y e r i s i d e n t i c a l f o r 9 Z 9 , a s i n S e c t i o n 2 . 6 a n d 2 . 7 . T h e i n t e g r a t i o n p a t h d e f o r m a t i o n w a s r e v i e w e d i n S e c t i o n s 3 . 5 a n d 3 . 6 . S i n c e n o n u m e r i c a l r e s u l t s a r e p r e s e n t e d i n C h a p t e r 3 , i t i s o b s e r v e d t h a t t h e a p p a r e n t fi e l d d i s c o n t i n u i t y d u e t o t h e b r a n c h c u t c o n t r i b u t i o n p a s t t h e t h r e s h o l d a s p e c t a n g l e 8 4 c a n n o t b e r e s o l v e d n u m e r i c a l l y . H o w e v e r , b a s e d u p o n t h e r e s u l t s i n S e c t i o n s 2 . 6 a n d 2 . 7 , i t c a n b e c o n j e c t u r e d t h a t e i t h e r t h e b r a n c h c u t c o n t r i b u t i o n i s n e g l i g i b l e o r t h e p h a s e c o m p e n s a t i o n f o r G r e e n ’ s d y a d n e a r t h e t h r e s h o l d a s p e c t a n g l e c a n r e s o l v e t h e fi e l d d i s c o n t i n u i t y i n b o t h t h e c o v e r a n d t h e s u b s t r a t e l a y e r s . T h e r i g o r o u s n u m e r i c a l i m p l e m e n t a t i o n f o r G r e e n ’ s d y a d o f t h e r a d i a t i o n fi e l d i n b o t h t h e n e a r a n d f a r z o n e s a n d a l s o w i t h i n t h e s o u r c e r e g i o n w i l l b e a c c o m m o d a t e d i n f u t u r e r e s e a r c h . 8 5 C H A P T E R 4 E L E C T R O M A G N E T I C S O F I N T E G R A T E D O P E N P L A N A R L A Y E R E D E L E C T R O N I C S 4 . 1 I N T R O D U C T I O N A N D G E O M E T R I C A L C O N F I G U R A T I O N T h e t r a n s f o r m - d o m a i n i n t e g r a l - o p e r a t o r m e t h o d o l o g y f o r c u r r e n t s / fi e l d s o f g u i d i n g s t r u c t u r e s c o n t r i b u t e s t o t h e f o r m u l a t i o n o f t h e s p e c t r a l e l e c t r i c fi e l d i n t e g r a l e q u a t i o n ( E F I E ) o f i n t e g r a t e d o p e n w a v e g u i d e s t h r o u g h a s i n g u l a r i t y e x p a n s i o n o f fi e l d s i n t h e c o m p l e x a x i a l t r a n s f o r m p l a n e ( c o m p l e x ; - p l a n e ) [ 2 8 ] , [ 2 9 ] . I t i s r e c o g n i z e d t h a t c o m p l e x a n a l y s i s i n t h e c o m p l e x { . 7 - p l a n e i s b a s e d u p o n t h e t r a n s f o r m - d o m a i n i n t e g r a l e q u a t i o n f o r m u l a t i o n f o r c u r r e n t s / fi e l d s o f t h e g u i d i n g s t r u c t u r e . S e c t i o n 2 i l l u s t r a t e s t h e i n t e g r a l r e p r e s e n t a t i o n f o r t h e r e q u i r e d G r e e n ’ s d y a d k e r n e l a n d i d e n t i fi e s i t s s i n g u l a r i t i e s i n t h a t p l a n e . S i n g u l a r i t i e s i n t h a t p l a n e a r e i d e n t i fi e d a s p o l e s a s s o c i a t e d w i t h t h e g u i d i n g s t r u c t u r e a n d b r a n c h p o i n t s c o n t r i b u t e d b y l a y e r e d b a c k g r o u n d e n v i r o n m e n t s . T h e m a n n e r i n w h i c h s i n g u l a r i t i e s i n b a c k g r o u n d e n v i r o n m e n t s m a n i f e s t t h e m s e l v e s a s b r a n c h p o i n t s i n t h e c o m p l e x 4 ’ - p l a n e i s d e m o n s t r a t e d . T h r o u g h S e c t i o n 3 , t h o s e b r a n c h p o i n t s a r e c a t e g o r i z e d a s l o g a r i t h m i c - t y p e a n d s q u a r e - r o o t t y p e a c c o r d i n g t o t h e i r c o m p l i c a t e d m a n n e r o f m i g r a t i o n i n t w o r e l e v a n t c o m p l e x t r a n s f o r m p l a n e s , i . e . c o m p l e x t r a n s v e r s e ( 5 - p l a n e ) a n d l o n g i t u d i n a l ( 4 , " - p l a n e ) p l a n e s [ 7 ] - [ 9 ] . P h y s i c a l s i g n i fi c a n c e o f t h o s e l o g a r i t h m i c - t y p e a n d s q u a r e - r o o t t y p e o f b r a n c h p o i n t s w i l l b e b r i e fl y i n t e r p r e t e d i n t e r m s o f a s s o c i a t e d b r a n c h c u t s [ 9 ] , [ 3 0 ] . T h e g e o m e t r i c a l c o n fi g u r a t i o n o f i n t e g r a t e d m i c r o s t r i p w a v e g u i d e i m m e r s e d i n a p l a n a r - l a y e r e d b a c k g r o u n d e n v i r o n m e n t i s d e p i c t e d i n F i g . 4 . 1 . 1 a n d i t s c r o s s - s e c t i o n a l 8 6 v i e w i s a l s o d e p i c t e d i n F i g . 4 . 1 . 2 . T h e w a v e g u i d i n g a x i s i s c h o s e n t o b e 2 — a x i s w i t h t h e x - a x i s t a n g e n t i a l a n d y - a x i s n o r m a l t o t h e p l a n a r i n t e r f a c e s . E a c h o f t h e p l a n a r l a y e r s i s a s s u m e d t o b e n o n - m a g n e t i c , i s o t r o p i c a n d h o m o g e n e o u s w i t h c o m p l e x p e r m i t t i v i t y 8 1 , 1 = 1 , 2 , 3 f o r t h e c o v e r , fi l m , a n d s u b s t r a t e l a y e r s w i t h 8 3 — ) - j ° ° o r 0 ' - — ) 0 ° . T h e g u i d i n g s t r u c t u r e i s e m b e d d e d i n t h e c o v e r l a y e r a d j a c e n t t o t h e c o v e r / fi h n i n t e r f a c e . 8 7 c c c c c c c c c c W h ( fl o ) ' \ \ \ \ \ \ F i g u r e 4 . 1 . 2 C r o s s - s e c t i o n a l v i e w o f i m m e r s e d i n t e g r a t e d m i c r o s t r i p s t r u c t u r e . 4 . 2 S P E C T R A L E L E C T R I C F I E L D I N T E G R A L E Q U A T I O N F O R M U L A T I O N F O R A N I N T E G R A T E D O P E N W A V E G U I D E S T R U C T U R E I N A P L A N A R - L A Y E R E D B A C K G R O U N D E N V I R O N M E N T T o t a l e l e c t r i c fi e l d E ( r ) i n t h e c o v e r l a y e r l e s s t h e s c a t t e r e d e l e c t r i c fi e l d E s ( r ) m a i n t a i n e d b y t h e i n d u c e d c u r r e n t o n t h e c o n d u c t i n g m i c r o s t r i p i s e q u a l t o t h e i m p r e s s e d e l e c t r i c fi e l d E i ( r ) m a i n t a i n e d b y a n ( t y p i c a l l y a 6 - g a p ) e l e c t r i c fi e l d f e e d m o d e l . i . E ( r ) = i . [ E ‘ ( r ) + E s ( r ) ] = o - . . r e s ( 4 2 1 ) { - E ‘ ( r ) = — f o E i ( r ) - - - r e S . . w h e r e f i s t h e u n i t t a n g e n t v e c t o r t o t h e s u r f a c e o f t h e c o n d u c t i n g m i c r o s t r i p a n d S i s i t s s u r f a c e . I t i s n o t e d t h a t E q n . ( 4 . 2 . 1 ) y i e l d s t h e b o u n d a r y c o n d i t i o n a t t h e s t r i p a n d t h e f u n d a m e n t a l e l e c t r i c fi e l d i n t e g r a l e q u a t i o n ( E F I E ) . E l e c t r i c fi e l d i n t h e c o v e r l a y e r o f a p l a n a r - l a y e r e d c o n d u c t o r / fi l m / c o v e r e n v i r o n m e n t , m a i n t a i n e d b y t h e i n d u c e d m i c r o s t r i p s u r f a c e c u r r e n t i n t h a t c o v e r l a y e r , b e c o m e s E 1 ( r ) = ( k 1 2 + V V - ) I I l ( r ) ( 4 . 2 2 ) w h e r e k 1 = n l k o , n 1 = # 8 1 / 8 0 a n d s u b s c r i p t 1 d e n o t e s t h e c o v e r l a y e r . T h e e l e c t r i c H e r t z i a n p o t e n t i a l H 1 ( r ) m a i n t a i n e d b y t h e i n d u c e d s u r f a c e c u r r e n t I ( r ' ) i n t h e c o v e r l a y e r i s o b t a i n e d b y ( s e e A p p e n d i x E ) - I J ’ r 1 1 1 ( r ) = J ' V G l ( r | r H a i g d v ( 4 . 2 . 3 ) w h e r e 6 1 ( r I r ' ) i s t h e e l e c t r i c H e r t z i a n p o t e n t i a l G r e e n ’ s d y a d i n t h e c o v e r l a y e r a n d V i s t h e v o l u m e o f t h e s o u r c e r e g i o n i m m e r s e d i n t h e c o v e r l a y e r . T h e G r e e n ’ s d y a d i n t h e c o v e r l a y e r i s r e p r e s e n t e d a s s h o w n b e l o w . T h u s , t h e G r e e n ’ s d y a d i s d e c o m p o s e d a s 8 9 7 L - , t r n l l ] ; G G G - I ’ ' ) ) ) ( r I r ( ( r r l l r r = 1 ] m ' _ t R C h , ( , r 1 l 1 ( ( l ’ ) 1 1 1 ) ) - 8 j / I o ( r — r ' 2 ( 2 7 + ) " ) ) 5 — p e ) 2 1 P ( / 1 1 0 ) ( 1 y ) d Z / l ( 4 . 2 7 ) 5 1 ( r l r ' ) = 5 1 " ( r l r ' ) + 5 f ( r r ’ ) ( 4 . 2 . 4 ) w h e r e 6 1 " = T G I P _ M M A 3 6 " A A 8 0 ’ A ( 4 . 2 . 5 ) 0 1 ' = ( x x + z z ) G l r , + y a : x + G 1 n y + — a z l c z T h e n , G l p ( r l r ’ ) i s t h e p r i n c i p a l G r e e n ’ s d y a d ( i t y i e l d s t h e p r i n c i p a l w a v e m a i n t a i n e d b y J ( 1 ’ ) ) a n d h a s t h e s c a l a r 2 - D S o m m e r f e l d - t y p e i n t e g r a l r e p r e s e n t a t i o n 1 ' 1 4 " " ) ~ P 1 ( 1 ) | y - y ' l G l p ( r l r ) z fl e e 2 0 ° 2 ( 2 7 1 ' ) p l ( 1 ) w h e r e ( 4 . 2 . 6 ) P 1 ( ’ 1 ) = \ / ’ 1 2 ‘ k 1 2 ( 1 : 5 5 5 4 ' 5 2 ) G 1 : ( r l r ’ ) i s t h e r e fl e c t e d c o m p o n e n t ( w h i c h y i e l d s t h e r e fl e c t e d w a v e d u e t o i n t e r a c t i o n ( 1 2 , 1 o f t h e p r i n c i p a l w a v e w i t h t h e l a y e r e d m e d i a ) y i e l d i n g t a n g e n t i a l c o m p o n e n t s o f p o t e n t i a l m a i n t a i n e d b y t a n g e n t i a l c o m p o n e n t s o f t h e i n d u c e d c u r r e n t , G l r n ( r l r ’ ) i s t h e r e fl e c t e d c o m p o n e n t y i e l d i n g n o r m a l c o m p o n e n t o f p o t e n t i a l m a i n t a i n e d b y n o r m a l c o m p o n e n t o f t h e c u r r e n t , a n d G l r c ( r l r ’ ) i s t h e r e fl e c t e d c o m p o n e n t y i e l d i n g n o r m a l c o m p o n e n t o f p o t e n t i a l m a i n t a i n e d b y c o u p l i n g t o t a n g e n t i a l c o m p o n e n t s o f t h e c u r r e n t . 9 O R e fl e c t i o n c o e f fi c i e n t s R 1 , ( 3 . ) , R 1 , , ( 2 ) a n d c o u p l i n g c o e f fi c i e n t C 1 , ( 2 . ) d e p e n d o n d i e l e c t r i c p r o p e r t i e s o f t h e l a y e r e d b a c k g r o u n d e n v i r o n m e n t s i n c e , u , = # 0 f o r 1 = 1 , 2 . p 1 ( / 1 ) - P 2 ( 1 ) 0 0 t h [ p 2 ( 1 ) 1 ] Z ” ( 1 ) N 2 2 1 P 1 ( ’ 1 ) " P 2 ( l ) t a n h [ p 2 ( 1 ) 1 ] 2 8 ( 1 ) ( N 2 2 1 ‘ 1 ) 1 ’ 1 “ ) 2 " ( 1 ) 2 3 0 1 ) l b ( ’ 1 ) : P 1 ( 3 ' ) + P 2 ( A ) C O m [ P 2 ( ’ U ‘ ] w h e r e p z ( l ) = \ / 2 _ k , 2 . . . 1 = 1 , 2 ’ 1 2 = 6 2 + § 2 N 2 2 1 = ( " z / " 1 ) 2 T h e s c a t t e r e d e l e c t r i c fi e l d m a i n t a i n e d b y t h e i n d u c e d s t r i p s u r f a c e c u r r e n t b e c o m e s R u ( 2 ' ) : R 1 n ( ’ 1 ) = 2 C l r ( A ) : E f ( r ) = — l g l ( k 1 2 + V V o ) I S C - } 1 ( r | r ’ ) - J ( r ’ ) d 5 ’ ( 4 . 2 . 9 ) 1 w h e r e 7 ] ] = 4 # 1 / £ 1 = J [ l o / 8 1 . T h e r e f o r e , s u b s t i t u t i n g E q n . ( 4 . 2 . 9 ) i n t o E q n . ( 4 . 2 . 1 ) y i e l d s A — I I I k A ° t - ( k E W V - M S G I U W O ) d s = - ’ , , 1 ‘ t - E i ( r ) - - - r e s ( 4 . 2 . 1 0 ) A I ° ° — I I I I I k A ' t o ( k 1 2 + V V - ) c h l j _ m 6 1 ( p l p : z — z ) - J ( p , z z = — J m l t - E i ( p , z ) w h e r e r = p + E z a n d p = i x + 5 ) ) ? i s t h e 2 - D p o s i t i o n v e c t o r . 9 1 w h e r e ( . Z . ) 0 0 o L P g P , I l e i + ) ? . x | p ’ 1 z z ) : l ' ) = § g 1 t 5 + 0 - ' 1 . 4 y 1 R ’ 2 3 5 ( ) 7 " , ( 8 - 0 P I P ' ) + x . l + y 1 a x P 1 c ( 2 1 ” l ) p . Y § 8 - y 1 ’ ; ( 1 1 r g 6 n ’ 5 1 ) ‘ 7 _ g 8 2 , 1 1 r g ; f , : = 2 ; 8 ( 0 : 4 ( . 9 1 x p l p ’ ) ( 4 . 2 . 1 2 ) c 3 8 1 a 2 z . z + ( 4 . 2 . 1 3 ) A x i a l u n i f o r m i t y o f t h e w a v e g u i d i n g s y s t e m p r o m p t s F o u r i e r t r a n s f o r m a t i o n o f a l l fi e l d q u a n t i t i e s w i t h r e s p e c t t o t h e z v a r i a b l e . T h e a x i a l i n t e g r a l i s c o n v o l u t i o n a l i n t h e a x i a l v a r i a b l e 2 " . T h e n s p e c t r a l E F I E f o r t h e i n d u c e d s u r f a c e c u r r e n t i ; ( p ’ , C ) c o n s e q u e n t l y b e c o m e s A " ' " — I ‘ 3 ' I I k A ~ ' " ( k 3 + V V ' ) L ~ g 1 : ( P I P ) 1 : ( p . 0 1 1 = - ’ n ‘ t ° e 3 : ( p , s " ) ~ ~ p e 0 4 - 2 - 1 1 ) 1 w h e r e V = V , + Z i ; i s t h e s p e c t r a l d i f f e r e n t i a l o p e r a t o r a n d § 1 ( ( p | p ' ) i s a 2 - D s p e c t r a l H e r t z i a n p o t e n t i a l G r e e n ’ s d y a d . T h u s , t h e s p e c t r a l G r e e n ’ s d y a d ( t h e a x i a l t r a n s f o r m o f t h e 3 - D d y a d ) b e c o m e s d 5 A V 1 6 ( x - x ' ) - m ( l ) ( Y + > " ) r n I = ° ° R n [ I e e 8 1 ’ ; ( p l p ’ h L ” 1 ( A ) 4 7 t p 1 ( / 1 ) L g l g ' c ( p p ) J t l e ( ) . I t i s o b s e r v e d t h a t s p e c t r a l G r e e n ’ s d y a d a r g u m e n t s a r e ( p l p ’ ) a n d c o e f f i c i e n t s R 1 , ( 2 . ) , R 1 , , ( 2 . ) , a n d C 1 , ( , 1 ) a r e d e t a i l e d i n E q n . ( 4 . 2 . 8 ) . 9 2 4 . 3 P L A N A R - L A Y E R E D B A C K G R O U N D E N V I R O N M E N T S I N G U L A R I T I E S W a v e n u m b e r p a r a m e t e r s p l ( 3 . ) = ‘ l 1 1 2 - k l z = J ] . - k l ‘ f I I + k l , a s s o c i a t e d w i t h v a r i o u s l a y e r s o f t h e p l a n a r b a c k g r o u n d e n v i r o n m e n t , y i e l d b r a n c h p o i n t s i n g u l a r i t i e s a t I 1 = i i i , [ 3 1 ] . S i n c e t h e i n t e g r a n d s o f G r e e n ’ s d y a d i n t e g r a l r e p r e s e n t a t i o n s a r e e v e n i n p z ( 1 ) , t h e n t h e b r a n c h p o i n t c o n t r i b u t e d b y t h e fi l m l a y e r i s r e m o v a b l e [ 1 7 ] . T h e i n t e g r a n d s o f G r e e n ’ s d y a d i n t e g r a l r e p r e s e n t a t i o n s a r e , h o w e v e r , n o t e v e n i n p 1 0 1 ) a n d t h e r e f o r e t h e b r a n c h p o i n t c o n t r i b u t e d b y t h e c o v e r l a y e r i s n o n - r e m o v a b l e . P o l e s i n g u l a r i t i e s [ 3 1 ] o f t h e r e fl e c t i o n a n d c o u p l i n g c o e f fi c i e n t s i n G r e e n ’ s d y a d i n t e g r a l r e p r e s e n t a t i o n s c o n t r i b u t e s i m p l e - p o l e s i n g u l a r i t i e s a s s o c i a t e d w i t h t h e p l a n a r - l a y e r e d b a c k g r o u n d e n v i r o n m e n t . S o , Z h ( / 1 ) = O i n E q n . ( 4 . 2 . 8 ) l e a d s t o s i m p l e p o l e s s h a r e d b y R 1 , ( 1 ) a n d C ] , ( I t ) a t x i = i l p a s s o c i a t e d w i t h T E - o d d s u r f a c e w a v e s [ 3 1 ] a n d 2 8 ( 1 ) : 0 i n E q n . ( 4 . 2 . 8 ) l e a d s t o s i m p l e p o l e s s h a r e d b y R 1 , , ( 1 ) a n d C 1 , ( 2 . ) a t A = i l l , a s s o c i a t e d w i t h T M - e v e n s u r f a c e w a v e s . H e n c e , c o m p l e x l - p l a n e s i n g u l a r i t i e s o f t h e i n t e g r a n d s i n G r e e n ’ s d y a d i n t e g r a l r e p r e s e n t a t i o n s c o n s i s t o f b r a n c h p o i n t s a t I 1 = i k l a n d p o l e s I 1 = i l p . I t i s o b s e r v e d t h a t s i n c e I 1 2 = 5 2 + { 2 , A } = 5 3 + { 2 f o r i s = i k l , i l l ) . A n d g e n e r i c a l l y , I 1 3 d e n o t e s Z - p l a n e s i n g u l a r i t i e s a n d 6 5 t h e c o r r e s p o n d i n g 6 - p l a n e s i n g u l a r i t i e s f o r a n y 4 ’ . : 4 3 z : 1 " ] ; - / 1 n g + A s ( 4 . 2 . 1 4 ) w h i c h c l e a r l y i m p l i c a t e s t h e b r a n c h p o i n t s a t C = i / l s i n t h e c o m p l e x 4 ’ - p l a n e a s d e p i c t e d i n F i g . 4 . 3 . 1 . M o r e o v e r i n o r d e r t o s a t i s f y t h e r a d i a t i o n c o n d i t i o n , i t i s n e c e s s a r y 9 3 t h a t I m { f s } < 0 , i . e . , t h e s i n g u l a r i t y p o i n t m u s t n o t m i g r a t e a c r o s s t h e R e { § } - a x i s . A s i n d i c a t e d i n C h a p t e r 2 , t h i s r e q u i r e m e n t i s a p p r o p r i a t e l y i m p l e m e n t e d b y c h o i c e o f t h e h y p e r b o l i c S o m m e r f e l d b r a n c h c u t s a s d e p i c t e d i n t h e F i g . 2 . 4 . 1 . F i g u r e 4 . 3 . 1 S i n g u l a r i t i e s i n t h e c o m p l e x C - p l a n e c o n t r i b u t e d b y t h e p l a n a r - l a y e r e d b a c k g r o u n d e n v i r o n m e n t . T h e b r a n c h p o i n t i k l t o t h e b r a n c h p o i n t i k l m a p p i n g a n d t h e p o l e i l l , t o t h e b r a n c h p o i n t i l p m a p p i n g i n t h e l o w - l o s s l i m i t . 9 4 4 . 3 . 1 L O G A R I T H M I C - T Y P E B R A N C H P O I N T T o d e t e r m i n e p o i n t s 1 , “ = i k l a s l o g a r i t h m i c t y p e b r a n c h p o i n t s i n t h e c o m p l e x 6 - p l a n e , i t i s r e q u i r e d t o e x a m i n e t h e m i g r a t i o n o f t h e b r a n c h p o i n t s i é k l i n t h e c o m p l e x 6 - p l a n e a s 6 m o v e s a r o u n d p o i n t s g = i k l i n t h e c o m p l e x 4 ’ - p l a n e a s d e p i c t e d i n F i g . 4 . 3 . 2 . F i g u r e 4 . 3 . 2 C o m p l e x - p h a s o r d i a g r a m w i t h a p a t h i n t h e c o m p l e x 5 - p l a n e , m a k i n g o n e r o u n d t r i p a b o u t t h e p o i n t k 1 . 9 5 5 k , = ( 7 + 7 — e j ( - 7 t + 5 7 t / 2 + 0 ) / 2 = — l J + ? ] 5 ] ; 1 ( 4 . 2 . 1 8 ) C h o o s i n g 5 5 = 5 k ] a s t h e f o u r t h - q u a d r a n t s i n g u l a r i t y , . + _ _ j — z r + e + + 1 9 " 2 § k 1 = — ] J ; — k 1 ‘ / ; + k l = ‘ / } ’ y e ( ) / ( 4 . 2 . 1 5 ) F o r p o i n t 1 a p p r o a c h i n g i n fi n i t e s i m a l l y c l o s e t o t h e r e a l a x i s i n t h e c o m p l e x 6 - p l a n e a s d e p i c t e d i n F i g . 4 . 3 . 2 , ( 9 * = 7 r / 2 . T h e r e f o r e , ’ . . ' _ 1 - ° 6 k ] _ _ _ 7 + 7 e J ( n + 7 t / 2 + 0 ) / 2 = _ J § : ] l g k l l ( 4 . 2 . 1 6 ) F o r p o i n t 2 a p p r o a c h i n g i n fi n i t e s i m a l l y c l o s e t o t h e r e a l a x i s i n t h e c o m p l e x 5 - p l a n e , 0 + = 3 7 t / 2 a n d t h e r e f o r e . I - ' _ 1 ° 6 k ] = 7 + 7 e J ( 7 t + 3 7 r / 2 + 0 ) / 2 _ _ _ ‘ 7 5 ] ! n g ( 4 . 2 . 1 7 ) F i n a l l y , s i n c e p o i n t 3 i s r e a c h e d a f t e r o n e c o m p l e t e e v o l u t i o n a r o u n d t h e p o i n t C = k 1 , f o r p o i n t 3 i n fi n i t e s i m a l l y c l o s e t o t h e r e a l a x i s , 0 + = 2 7 1 ' + 7 1 / 2 = S i r / 2 a n d t h e r e f o r e , H e n c e , i t i s o b s e r v e d t h a t a s C m o v e s t o w a r d f r o m p o i n t 1 t o p o i n t 2 a s d e p i c t e d i n F i g . 4 . 3 . 2 , t h e b r a n c h p o i n t s 1 5 k ] c r o s s t h e r e a l a x i s i n t h e c o m p l e x 5 - p l a n e . T h e r e f o r e , t h e b r a n c h p o i n t s : t é k l w i l l c r o s s t h e r e a l a x i s i n t h e c o m p l e x 5 - p l a n e w h e n e v e r { I c r o - s s e s t h e r e a l a x i s i n t h e c o m p l e x 5 - p l a n e t o t h e l e f t o f t h e p o i n t k 1 . C m o v e s f r o m p o i n t 2 t o p o i n t 3 , t h e b r a n c h p o i n t s i f k l c r o s s t h e i m a g i n a r y a x i s i n t h e c o m p l e x 5 - p l a n e . T h e r e f o r e , i t i s r e c o g n i z e d t h a t t h e b r a n c h p o i n t s i é k l w i l l c r o s s t h e i m a g i n a r y 9 6 a x i s i n t h e c o m p l e x 5 - p l a n e w h e n e v e r g “ c r o s s e s t h e r e a l a x i s i n t h e c o m p l e x 5 - p l a n e t o t h e r i g h t o f t h e p o i n t k 1 . I t i s n e c e s s a r y t o e s t a b l i s h t h e b e h a v i o r o f t h e s p e c t r a l G r e e n ’ s d y a d [ 9 ] i n t h e c o m p l e x < 5 - p l a n e a s 5 m o v e s a r o u n d p o i n t s : t k l i n t h e c o m p l e x 9 ' - p l a n e a s d e p i c t e d i n F i g . 4 . 3 . 3 . M u c h r i g o r o u s r e s e a r c h o n l e a k y — m o d e s o f o p e n m i c r o s t r i p h a s l e d [ 9 ] t o a fi r m u n d e r s t a n d i n g o f t h i s b e h a v i o u r . A n i m p o r t a n t r e a s o n t o i n t r o d u c e t h e b e h a v i o u r o f t h e b r a n c h p o i n t i s t o a t t e m p t t o o b t a i n m o r e i n s i g h t i n t o t h e n e c e s s a r y c o m p l e x a n a l y s i s . C h a p t e r s 5 , 6 , a n d 7 w i l l d i s c u s s t h e p r o p e r c o n t i n u o u s s p e c t r u m o f o p e n i n t e g r a t e d m i c r o s t r i p w a v e g u i d e , f o r w h i c h a n a l y s e s i n b o t h t h e c o m p l e x 6 - a n d 4 ’ - p l a n e s b e c o m e v e r y c o m p l i c a t e d a n d a r e s t r o n g l y i n fl u e n c e d b y t h e s i n g u l a r i t y m i g r a t i o n . I t i s c o n v e n i e n t t o d e fi n e t h e s p e c t r a l G r e e n ’ s d y a d t o b e Y T ; ) a s a g e n e r a l f o r m i n a g r e e m e n t w i t h E q n . ( 4 . 2 . 1 4 ) . 1 ‘ ( § ’ ) = I C g ( 1 4 5 , 5 ) 1 ; ( 4 . 2 . 1 9 ) w h e r e ( 1 3 ( 5 , 4 , " ) d e n o t e s t h e i n t e g r a n d s o f t h e s p e c t r a l G r e e n ’ s d y a d s a n d C ; d e n o t e s t h e R e { § } - a x i s c o n t o u r i n t h e c o m p l e x 5 - p l a n e . T h e n , i f ; ) c h a n g e s s m o o t h l y a s C e n c i r c l e s t h e p o i n t ; = k 1 i n t h e c o m p l e x 5 - p l a n e . T h e r e q u i r e d s m o o t h n e s s c o n d i t i o n i n c h a n g e s o f T “ : ) i m p o s e s t h e c o n t i n u o u s p a t h d e f o r m a t i o n i n t h e e v o l u t i o n o f C 5 . P o i n t 1 i n F i g . 4 . 3 . 3 d e p i c t s F i g . 4 . 3 . 3 a . T h e b r a n c h p o i n t s i é k l a r e l o c a t e d i n t h e s e c o n d a n d t h e f o u r t h q u a d r a n t s o f t h e c o m p l e x 6 - p l a n e a n d t h e b r a n c h c u t s h a v e b e e n c h o s e n t o b e S o m m e r f e l d o n e s , w h i c h a r e h y p e r b o l a s a s p r e v i o u s l y d i s c u s s e d . 9 7 A s C m o v e s t o w a r d p o i n t 2 a s d e p i c t e d i n F i g . 4 . 3 . 3 , i n a g r e e m e n t w i t h E q n . ( 4 . 3 . 3 ) a n d E q n . ( 4 . 3 . 4 ) , t h e b r a n c h p o i n t s i C k l i n t h e c o m p l e x C - p l a n e c r o s s t h e r e a l a x i s a s d e p i c t e d i n F i g . 4 . 3 . 3 b . I t i s o b s e r v e d t h a t t h e i n t e g r a t i o n p a t h g o e s t h r o u g h a n i m p r o p e r z o n e d e n o t e d b y I a s d e p i c t e d i n F i g . 4 . 3 . 3 b . T h e i m p r o p e r z o n e I i s d e t e r m i n e d b y I m k 3 — [ 1 2 = I k a I 2 — 5 2 — { 2 > 0 ( 4 . 2 . 2 0 ) T h e r e f o r e , F i g . 4 . 3 . 3 b i s e q u i v a l e n t t o F i g . 4 . 3 . 3 c b y c h o o s i n g t h e S o m m e r f e l d b r a n c h c u t s . I n o t h e r w o r d s , n u m e r i c a l e v a l u a t i o n a l o n g t h e i n t e g r a l p a t h i n F i g . 4 . 3 . 3 b i s e x a c t l y e q u i v a l e n t t o o n e i n F i g . 4 . 3 . 3 c . I t m e a n s t h a t c h a n g i n g t h e s h a p e o f t h e b r a n c h c u t s d o e s n o t c h a n g e t h e v a l u e o f ( D ( C , C ) a l o n g t h e p a t h i n F i g . 4 . 3 . 3 b b u t s i m p l y c h a n g e s w h i c h R i e m a n n s h e e t t h e p o i n t s i n t h e c o m p l e x C - p l a n e s t a y o n f o r t h o s e p o i n t s a l o n g t h e p a t h i n t h e i m p r o p e r z o n e I . T h e s o l i d l i n e i n F i g . 4 . 3 . 3 c s t a y s o n t h e t o p R i e m a n n s h e e t a n d t h e d a s h e d l i n e d o e s o n t h e l o w e r o n e . A p a t h o n t h e t o p R i e m a n n s h e e t b e t w e e n t h e b r a n c h p o i n t s i C k l h a s b e e n a d d e d a n d s u b t r a c t e d a s d e p i c t e d i n F i g . 4 . 3 . 3 d . I n F i g . 4 . 3 . 3 c , t h e p a t h s h a v e b e e n c o n n e c t e d t o a r e a l a x i s o n t h e t o p R i e m a n n s h e e t a n d a r o u n d - t r i p p a t h b e t w e e n t h e b r a n c h p o i n t s i C k l , h a l f o n t h e t o p a n d h a l f o n t h e l o w e r R i e m a n n s h e e t . A s C m o v e s t o w a r d p o i n t 3 a s d e p i c t e d i n F i g . 4 . 3 . 3 , i n a g r e e m e n t w i t h E q n . ( 4 . 3 . 4 ) a n d E q n . ( 4 . 3 . 5 ) , t h e b r a n c h p o i n t s i C k l i n t h e c o m p l e x C - p l a n e c r o s s t h e i m a g i n a r y a x i s a s d e p i c t e d i n F i g . 4 . 3 . 3 f . S i n c e t h e p a t h s C ; d e p i c t e d i n F i g . 4 . 3 . 3 a a n d F i g . 4 . 3 . 3 f , w h i c h c o r r e s p o n d t o p o i n t s 1 a n d 3 d e p i c t e d i n F i g . 4 . 3 . 3 , a r e d i f f e r e n t e a c h o t h e r . T h e n P o i n t s i k l a r e b r a n c h p o i n t s i n t h e c o m p l e x C - p l a n e . 9 8 A s C m o v e s t o w a r d p o i n t 4 a s d e p i c t e d i n F i g . 4 . 3 . 3 , t h e b r a n c h p o i n t s i C k l c r o s s t h e r e a l a x i s a g a i n . T h e i n t e g r a t i o n p a t h g o e s a g a i n t h r o u g h a n i m p r o p e r z o n e I d e fi n e d b y E q n . ( 4 . 3 . 7 ) a s d e p i c t e d i n F i g . 4 . 3 . 3 g . I t i s o b s e r v e d t h a t F i g . 4 . 3 . 3 b i s e q u i v a l e n t t o F i g . 4 . 3 . 3 g b y c h o o s i n g t h e S o m m e r f e l d b r a n c h c u t s . T h e n , t h e p a t h o n t h e t o p R i e m a n n s h e e t i n t h e i m p r o p e r z o n e I s t a y s o n t h e l o w e r R i e m a n n s h e e t a n d v i c e v e r s a a s d e p i c t e d i n F i g . 4 . 3 . 3 b . I n F i g . 4 . 3 . 3 i , a n o t h e r p a t h o n t h e t o p R i e m a n n s h e e t b e t w e e n t h e b r a n c h p o i n t s i C k l h a s b e e n a d d e d a n d s u b t r a c t e d . T h e n , t h e p a t h s h a v e b e e n c o n n e c t e d t o t h e r e a l a x i s o n t h e t o p R i e m a n n s h e e t a n d t w o r o u n d - t r i p p a t h s b e t w e e n t h e b r a n c h p o i n t s i C k l , h a l f o n t h e t o p a n d h a l f o n t h e l o w e r R i e m a n n s h e e t a s d e p i c t e d i n F i g . 4 . 3 . 3 j . A s C m o v e s t o w a r d p o i n t 5 a s d e p i c t e d i n F i g . 4 . 3 . 3 , t h e b r a n c h p o i n t s i C k l c r o s s t h e i m a g i n a r y a x i s a g a i n a s d e p i c t e d i n F i g . 4 . 3 . 3 k . T h e p a t h s C C d e p i c t e d i n F i g . 4 . 3 . 3 f a n d F i g . 4 . 3 . 3 k , w h i c h c o r r e s p o n d t o p o i n t s 3 a n d 5 d e p i c t e d i n F i g . 4 . 3 . 3 , a r e d i f f e r e n t b y t h e a d d i t i o n o f a n e x t r a l o o p b e t w e e n t h e b r a n c h p o i n t s i C k l . T h e r e f o r e , e a c h r o u n d t r i p a r o u n d t h e b r a n c h p o i n t s i k l i n t h e c o m p l e x C - p l a n e w i l l a d d a n e x t r a l o o p i n t h e t o t a l p a t h . H e n c e , t h e b r a n c h p o i n t s C = i k l a r e l o g a r i t h m i c t y p e b r a n c h p o i n t s , h a v i n g a n i n fi n i t e n u m b e r o f R i e m a n n s h e e t s . T h e i n fi n i t e R i e m a n n s h e e t s c o r r e s p o n d i n g t o t h e b r a n c h p o i n t s i k l a r e d e n o t e d b y - - - , S N , - - - , S _ 1 , S O , S I , - - - , S N , - - - , w h e r e N r e f e r s t 0 t h e n u m b e r o f l o o p s b e t w e e n t h e b r a n c h p o i n t s i C k l a n d t h e s i g n d e s i g n a t e s t h e s e n s e i n W h i c h t h e l o o p s a r e t r a v e r s e d . A t p o i n t # 2 , t h e R i e m a n n s h e e t i s d e s i g n a t e d b y S _ 1 . A 4 > 9 3 F i g u r e 4 . 3 . 3 P a t h t r a j e c t o r y i n t h e c o m p l e x C - p l a n e , e n c i r c l i n g t w i c e a m u n d t h e p o i n t C = k 1 . # 1 F i g u r e 4 . 3 . 3 a E v o l u t i o n o f C 5 f o r a p o i n t 1 i n F i g . 4 . 3 . 3 . 1 0 0 # 2 I C : A 7 5 r F i g u r e 4 . 3 . 3 b E v o l u t i o n o f C ; f o r a p o i n t 2 i n F i g . 4 . 3 . 3 . F i g u r e 4 . 3 . 3 c E v o l u t i o n o f C 9 : f o r a p o i n t 2 i n F i g . 4 . 3 . 3 . 1 0 1 V 5 r F i g u r e 4 . 3 . 3 d E v o l u t i o n o f C 6 f o r a p o i n t 2 i n F i g . 4 . 3 . 3 . 5 . - A # 2 C > ' 5 » 6 , F i g u r e 4 . 3 . 3 c E v o l u t i o n o f C 5 f o r a p o i n t 2 i n F i g . 4 . 3 . 3 . 1 0 2 # 3 C : F i g u r e 4 . 3 . 3 f E v o l u t i o n o f C . 5 f o r a p o i n t 3 i n F i g . 4 . 3 . 3 . F i g u r e 4 . 3 . 3 g E v o l u t i o n o f C 9 ‘ f o r a p o i n t 4 i n F i g . 4 . 3 . 3 . 1 0 3 F i g u r e 4 . 3 . 3 b E v o l u t i o n o f C 5 f o r a p o i n t 4 i n F i g . 4 . 3 . 3 . F i g u r e 4 . 3 . 3 i E v o l u t i o n o f C 5 f o r a p o i n t 4 i n F i g . 4 . 3 . 3 . 1 0 4 ’ g r H ) : A # 4 C ‘ L ) 7 5 F 6 r F i g u r e 4 . 3 . 3 j E v o l u t i o n o f C 5 f o r a p o i n t 4 i n F i g . 4 . 3 . 3 . 5 1 A # 5 4 _ 1 s “ C \ $ g > C , — f > F i g u r e 4 . 3 . 3 k E v o l u t i o n o f C 5 f o r a p o i n t S i n F i g . 4 . 3 . 3 . 1 0 5 4 . 3 . 2 S Q U A R E - R O O T T Y P E B R A N C H P O I N T W i t h z i p = A T M O b e i n g t h e f u n d a m e n t a l p r o p e r s u r f a c e - w a v e m o d e o f t h e g r o u n d e d s u b s t r a t e , F i g . 4 . 3 . 4 d e p i c t s t w o r o u n d - t r i p e n c i r c l e m e n t s a r o u n d t h e p o i n t C = 3 . 7 3 4 0 i n t h e c o m p l e x C - p l a n e . A t p o i n t 1 i n F i g . 4 . 3 . 4 , t h e s h e e t i s d e s i g n a t e d b y S O o f t h e b r a n c h p o i n t s : t k l a s d e p i c t e d i n F i g . 4 . 3 . 4 a . T h e p a t h s t a y s o n t h e t o p R i e m a n n s h e e t a n d d o e s n o t d e t o u r a r o u n d t h e p o l e s a t i C T M O i n t h e c o m p l e x C - p l a n e . A s C m o v e s t o w a r d p o i n t 2 a s d e p i c t e d i n F i g . 4 . 3 . 4 , t h e p o l e s i C T M O c r o s s t h e r e a l a x i s a n d t h e b r a n c h p o i n t s i C k l d o t h e i m a g i n a r y a x i s a s d e p i c t e d i n F i g . 4 . 3 . 4 b . T h u s , p a t h s a r o u n d t h e p o l e s a r e e q u i v a l e n t t o r e s i d u e c o n t r i b u t i o n s . A t p o i n t 3 , b o t h t h e p o l e s i C T M O a n d t h e b r a n c h p o i n t s i C k l c r o s s t h e i m a g i n a r y a x i s t o r e t u r n t o t h e s a m e q u a d r a n t s a t p o i n t 1 . H o w e v e r , t h e t o t a l p a t h i n F i g . 4 . 3 . 4 c i s d i f f e r e n t t h a n t h e o n e i n F i g . 4 . 3 . 4 a d u e t o r e s i d u e c o n t r i b u t i o n s . T h e r e f o r e , t h e p o i n t C = i 1 ” , 0 i s t h e b r a n c h p o i n t i n t h e c o m p l e x C - p 1 a n e . A s C m o v e s t o w a r d p o i n t 4 i n F i g . 4 . 3 . 4 , t h e p o l e s i C T M O c r o s s t h e r e a l a x i s a g a i n a s d e p i c t e d i n F i g . 4 . 3 . 4 d . B u t , t h e r e s i d u e c o n t r i b u t i o n i s a n n u l l e d s i n c e t h e r e s i d u e - p a t h s c o a l e s c e u p o n t h e r e a l a x i s . F i n a l l y , a t p o i n t 5 i n F i g . 4 . 3 . 4 , a g a i n b o t h t h e p o l e s i C T M O a n d t h e b r a n c h p o i n t s i C k l c r o s s t h e i m a g i n a r y a x i s t o r e t u r n t o t h e s a m e q u a d r a n t s a t p o i n t 1 , w h i c h d o e s n o t a l t e r t h e r e a l a x i s i n t e g r a t i o n C g i n t h e c o m p l e x C — p l a n e a s d e p i c t e d i n F i g . 4 . 3 . 4 c . I t i s , 1 0 6 t h e r e f o r e , c o n c l u d e d t h a t t h e p o i n t s C = i 1 ” , 0 a r e s q u a r e - r o o t t y p e b r a n c h p o i n t s s i n c e t h e r e a r e o n l y t w o R i e m a n n s h e e t s a s s o c i a t e d w i t h t h o s e p o i n t s . S i n c e t h e R i e m a n n s h e e t S O i s n o t c h a n g e d i n t h e c o m p l e x C - p 1 a n e , t h e p o i n t s C = i ’ I T M O a r e s q u a r e - r o o t t y p e o f b r a n c h p o i n t s o n t h e R i e m a n n s h e e t 5 0 o f t h e b r a n c h p o i n t s i k l . S i n c e t h e r e a r e i n fi n i t e n u m b e r o f R i e m a n n s h e e t s a s s o c i a t e d w i t h t h e b r a n c h p o i n t s C = i k l , t h e i n v e s t i g a t i o n a b o u t t h e p o i n t s C = 1 1 2 7 7 1 1 0 s h o u l d b e c o m p l e t e d w i t h r e s p e c t t o t h e o t h e r R i e m a n n s h e e t s o f t h o s e b r a n c h p o i n t s . T h e r e f o r e , A t p o i n t 1 i n F i g . 4 . 3 . 5 , t h e s h e e t i s d e s i g n a t e d b y S O o f t h e b r a n c h p o i n t s i k l a s d e p i c t e d i n F i g . 4 . 3 . 5 a . T h e p a t h s t a y s o n t h e t o p R i e m a n n s h e e t a n d d o e s n o t d e t o u r a r o u n d t h e p o l e s a t i C T M O i n t h e c o m p l e x C - p l a n e . A s C m o v e s t o w a r d p o i n t 2 b y v i o l a t i n g t h e b r a n c h c u t o n c e a s d e p i c t e d i n F i g . 4 . 3 . 5 , b o t h t h e p o l e s i C T M O a n d t h e b r a n c h p o i n t s i C k l c r o s s t h e r e a l a x i s a s d e p i c t e d i n F i g . 4 . 3 . 5 b . T h e p o l e s g a i n r e s i d u e c o n t r i b u t i o n s a s d i s c u s s e d i n F i g . 4 . 3 . 4 b a n d t h e i n t e g r a l p a t h d e f o r m a t i o n i n t h e c o m p l e x C - p l a n e d u e t o t h e b r a n c h p o i n t s : t k l w a s p r e v i o u s l y i l l u s t r a t e d f r o m F i g . 4 . 3 . 3 b t o F i g . 4 . 3 . 3 c . A t p o i n t 3 , t h e p o l e s i C T M O c r o s s t h e r e a l a x i s t o a n n u l r e s i d u e c o n t r i b u t i o n s a n d t h e b r a n c h p o i n t s i C k l c r o s s t h e i m a g i n a r y a x i s a s d e p i c t e d i n F i g . 4 . 3 . 5 c . A s C m o v e s t o w a r d p o i n t 4 a f t e r v i o l a t i n g t h e b r a n c h c u t t w i c e b y e n c i r c l i n g t h e b r a n c h p o i n t C = k 1 a s d e p i c t e d i n F i g . 4 . 3 . 5 , b o t h t h e p o l e s i C T M O a n d t h e b r a n c h p o i n t s i C k l c r o s s t h e r e a l a x i s a g a i n a s d e p i c t e d i n F i g . 4 . 3 . 5 d . A s p r e v i o u s l y d i s c u s s e d , 1 0 7 t h e p o l e s g a i n r e s i d u e c o n t r i b u t i o n s a n d t h e i n t e g r a l p a t h d e f o r m a t i o n i n t h e c o m p l e x C - p l a n e d u e t o t h e b r a n c h p o i n t s i k l w a s i l l u s t r a t e d f r o m F i g . 4 . 3 . 3 f t o F i g . 4 . 3 . 3 j . I t i s o b s e r v e d t h a t o n e e x t r a l o o p w a s a d d e d b e t w e e n t h e b r a n c h p o i n t s : t k l , w h i c h d e s i g n a t e s t h e R i e m a n n s h e e t b y S _ 2 o f t h e b r a n c h p o i n t s i k l . A s C m o v e s t o w a r d p o i n t 5 a s d e p i c t e d i n F i g . 4 . 3 . 5 , b o t h t h e p o l e s i C T M O a n d t h e b r a n c h p o i n t s i C k l c r o s s t h e i m a g i n a r y a x i s a s d e p i c t e d i n F i g . 4 . 3 . 5 c . A s t h e p o l e s i C T M o c r o s s t h e i m a g i n a r y a x i s , t h e y c r o s s l o o p p a t h s b e t w e e n t h e b r a n c h p o i n t s i C k l . S i n c e t h e p o l e s s t a y o n t h e t o p R i e m a n n s h e e t , t h e y a r e n o t a f f e c t e d b y t h e c r o s s i n g t h e d a s h e d l o o p p a t h o n t h e l o w e r R i e m a n n s h e e t . H o w e v e r , c r o s s i n g t h e s o l i d l o o p p a t h o n t h e t o p R i e m a n n s h e e t a f f e c t s r e s i d u e c o n t r i b u t i o n s . S i n c e t h e p o l e s i C T M O c r o s s t h e d o u b l e s o l i d l o o p p a t h s a s d e p i c t e d i n F i g . 4 . 3 . 5 e , t h e y a n n u l r e s i d u e c o n t r i b u t i o n s w h e n t h e y c r o s s t h e s o l i d l o o p p a t h o n c e a n d r e g a i n t h e m w h e n t h e y c r o s s a s e c o n d t i m e . A s C m o v e s t o w a r d p o i n t 6 a s d e p i c t e d i n F i g . 4 . 3 . 5 , t h e p o l e s i C T M O c r o s s t h e r e a l a x i s a n d t h e b r a n c h p o i n t s : L ' C k 1 c r o s s t h e i m a g i n a r y a x i s t o r e t u r n t o t h e s a m e q u a d r a n t s a t p o i n t 4 . H o w e v e r , t h e t o t a l p a t h i n F i g . 4 . 3 . 5 f i s d i f f e r e n t t h a n t h e o n e i n F i g . 4 . 3 . 5 d . T h e n , t h e p o i n t C = i 1 1 7 " 0 i s t h e b r a n c h p o i n t i n t h e c o m p l e x C ~ p l a n e . A s C m o v e s t o w a r d p o i n t 7 a s d e p i c t e d i n F i g . 4 . 3 . 5 , b o t h t h e p o l e s i C T M O a n d t h e b r a n c h p o i n t s i C k l c r o s s t h e i m a g i n a r y a x i s a s d e p i c t e d i n F i g . 4 . 3 . 5 g . S i n c e t h e p o l e s c r o s s t h e d o u b l e s o l i d l o o p p a t h s a g a i n , t h e y g a i n r e s i d u e c o n t r i b u t i o n s w h e n t h e y c r o s s t h e s o l i d l o o p p a t h o n c e a n d a n n u l t h e m w h e n o n t h e s e c o n d c r o s s i n g . 1 0 8 F i n a l l y , a t p o i n t 8 i n F i g . 4 . 3 . 5 , t h e p o l e s i C T M O c r o s s t h e r e a l a x i s t o g a i n r e s i d u e c o n t r i b u t i o n s a n d t h e b r a n c h p o i n t s i C k 1 c r o s s t h e i m a g i n a r y a x i s a s d e p i c t e d i n F i g . 4 . 3 . 5 h , w h i c h d o e s n o t a l t e r t h e r e a l a x i s i n t e g r a t i o n C ; i n t h e c o m p l e x C - p l a n e a s d e p i c t e d i n F i g . 4 . 3 . 5 d . T h e r e f o r e , t h e p o i n t s C = i 1 7 7 ” 0 a r e s q u a r e - r o o t t y p e b r a n c h p o i n t s o n t h e R i e m a n n s h e e t S _ 2 o f t h e b r a n c h p o i n t s i k l . H e n c e , i t c a n b e e x p l i c i t l y d e d u c e d t h a t t h e p o i n t s C = 2 1 : 1 7 “ 0 a r e s q u a r e - r o o t t y p e b r a n c h p o i n t s o n t h e e v e n R i e m a n n s h e e t s S 2 N o f t h e b r a n c h p o i n t s i k l . 1 0 9 # 1 A A k 1 X 2 7 ” + 6 . V _ _ 2 — 1 4 > F i g u r e 4 . 3 . 4 P a t h t r a j e c t o r y i n t h e c o m p l e x C - p l a n e , e n c i r c l i n g t w i c e a r o u n d t h e p o i n t C = 1 7 3 4 0 . F i g u r e 4 . 3 . 4 a E v o l u t i o n o f C . 5 f o r a p o i n t 1 i n F i g . 4 . 3 . 4 . 1 1 0 ’ 6 5 3 ‘ 1 # 2 F i g u r e 4 . 3 . 4 b E v o l u t i o n o f C 5 f o r a p o i n t 2 i n F i g . 4 . 3 . 4 5 . - # 3 A A ( ~ — 6 9 C ; > > C _ _ , \ g r F i g u r e 4 . 3 . 4 c E v o l u t i o n o f C 4 : f o r a p o i n t 3 i n F i g . 4 . 3 . 4 . 1 1 1 — ‘ X X } _ _ 9 « V i “ 9 3 # 4 F i g u r e 4 . 3 . 4 d E v o l u t i o n o f C 6 f o r a p o i n t 4 i n F i g . 4 . 3 . 4 # 5 t F i g u r e 4 . 3 . 4 c E v o l u t i o n o f C § f o r a p o i n t 5 i n F i g . 4 . 3 . 4 . 1 1 2 X ’ t . F i g u r e 4 . 3 . 5 P a t h t r a j e c t o r y i n t h e c o m p l e x C - p l a n e , e n c i r c l i n g t w i c e a r o u n d t h e p o i n t C = 2 . 7 3 4 0 a f t e r v i o l a t i n g t h e b r a n c h c u t t w i c e . # 1 F i g u r e 4 . 3 . 5 a E v o l u t i o n o f C 5 f o r a p o i n t 1 i n F i g . 4 . 3 . 5 . 1 1 3 # 2 F i g u r e 4 . 3 . 5 b E v o l u t i o n o f C 6 f o r a p o i n t 2 i n F i g . 4 . 3 . 5 . # 3 F i g u r e 4 . 3 . 5 c E v o l u t i o n o f C 5 f o r a p o i n t 3 i n F i g . 4 . 3 . 5 . 1 1 4 # 4 t f ’ ’ 6 . F i g u r e 4 . 3 . 5 d E v o l u t i o n o f C 5 f o r a p o i n t 4 i n F i g . 4 . 3 . 5 . # 5 F i g u r e 4 . 3 . 5 e E v o l u t i o n o f C 5 f o r a p o i n t 5 i n F i g . 4 . 3 . 5 . 1 1 5 # 6 F i g u r e 4 . 3 . 5 f E v o l u t i o n o f C g f o r a p o i n t 6 i n F i g . 4 . 3 . 5 . # 7 F i g u r e 4 . 3 . 5 g E v o l u t i o n o f C ; f o r a p o i n t 7 i n F i g . 4 . 3 . 5 . 1 1 6 # 8 F i g u r e 4 . 3 . 5 h E v o l u t i o n o f C 5 f o r a p o i n t 8 i n F i g . 4 . 3 . 5 . 4 . 3 . 3 R E G U L A R O R A N A L Y T I C P O I N T T h e r e m a i n i n g i n v e s t i g a t i o n o f t h e p o i n t C = A T M O o n t h e o d d s h e e t s S 2 N + 1 o f t h e b r a n c h p o i n t s : t k l c a n b e a l s o d e d u c e d f r o m c o n s i d e r i n g t h e S _ 1 R i e m a n n s h e e t a s d e p i c t e d i n F i g . 4 . 3 . 6 . A t p o i n t 1 i n F i g . 4 . 3 . 6 , t h e s h e e t i s d e s i g n a t e d b y S O o f t h e b r a n c h p o i n t s i k l a s d e p i c t e d i n F i g . 4 . 3 . 6 a . T h e p a t h s t a y s o n t h e t o p R i e m a n n s h e e t a n d d o e s n o t d e t o u r a r o u n d t h e p o l e s a t i C T M O i n t h e c o m p l e x C - p l a n e . A s C m o v e s t o w a r d p o i n t 2 b y v i o l a t i n g t h e b r a n c h c u t o n c e a s d e p i c t e d i n F i g . 4 . 3 . 6 , b o t h t h e p o l e s i C T M O a n d t h e b r a n c h p o i n t s i C k l c r o s s t h e r e a l a x i s a s d e p i c t e d i n F i g . 1 1 7 4 . 3 . 6 b . S o , t h e p o l e s g a i n r e s i d u e c o n t r i b u t i o n s a n d t h e i n t e g r a l p a t h d e f o r m a t i o n i n t h e c o m p l e x C - p l a n e w a s p r e v i o u s l y i l l u s t r a t e d f r o m F i g . 4 . 3 . 3 b t o F i g . 4 . 3 . 3 c . A s C m o v e s t o w a r d p o i n t 3 a s d e p i c t e d i n F i g . 4 . 3 . 6 , b o t h t h e p o l e s i C T M O a n d t h e b r a n c h p o i n t s i C k l c r o s s t h e i m a g i n a r y a x i s a s d e p i c t e d i n F i g . 4 . 3 . 6 c . S i n c e t h e p o l e s c r o s s t h e s o l i d l o o p p a t h o n t h e t o p R i e m a n n s h e e t , t h e y a n n u l r e s i d u e c o n t r i b u t i o n s w h e n t h e y c r o s s i t . F i n a l l y , a t p o i n t 4 i n F i g . 4 . 3 . 6 , t h e p o l e s i C T M O c r o s s t h e r e a l a x i s t o g a i n r e s i d u e c o n t r i b u t i o n s a n d t h e b r a n c h p o i n t s i C k l c r o s s t h e i m a g i n a r y a x i s a s d e p i c t e d i n F i g . 4 . 3 . 6 d , w h i c h d o e s n o t a l t e r t h e r e a l a x i s i n t e g r a t i o n C 1 5 i n t h e c o m p l e x C - p l a n e a s d e p i c t e d i n F i g . 4 . 3 . 6 b . T h e r e f o r e , t h e p o i n t s C = t a n “ ) a r e r e g u l a r o r a n a l y t i c p o i n t s o n t h e s h e e t S _ 1 o f t h e b r a n c h p o i n t s i ’ k l . S i m i l a r l y a s i n F i g . 4 . 3 . 5 , t h e i n v e s t i g a t i o n o f t h e p o i n t s C = i ’ i ’ I M O o n t h e R i e m a n n s h e e t S _ 3 , f o r e x a m p l e , c a n b e i m p l e m e n t e d b y v i o l a t i n g t h e b r a n c h c u t t h r e e t i m e s , i . e . , e n c i r c l i n g t h e b r a n c h p o i n t C = k 1 t h r e e t i m e s , a n d t h e n a t u r e o f t h e p o i n t s C = i 3 7 1 “ ) i s c o m p l e t e l y e q u i v a l e n t t o t h a t o n t h e R i e m a n n s h e e t S _ 1 . W i t h o u t l o s s o f a n y g e n e r a l i t y , i t c a n b e e x p l i c i t l y d e d u c e d t h a t t h e p o i n t s C = i A ' I M O a r e r e g u l a r o r a n a l y t i c p o i n t s o n t h e o d d R i e m a n n s h e e t s S 2 N + 1 o f t h e b r a n c h p o i n t s i k l . 1 1 8 ’ 5 , F i g u r e 4 . 3 . 6 P a t h t r a j e c t o r y i n t h e c o m p l e x C - p l a n e , e n c i r c l i n g o n c e a r o u n d t h e p o i n t C = 1 7 1 4 0 a f t e r V i o l a t i n g t h e b r a n c h c u t o n c e . # 1 F i g u r e 4 . 3 . 6 a E v o l u t i o n o f C 5 f o r a p o i n t 1 i n F i g . 4 . 3 . 6 . 1 1 9 # 2 F i g u r e 4 . 3 . 6 b E v o l u t i o n o f C 5 f o r a p o i n t 2 i n F i g . 4 . 3 . 6 . # 3 F i g u r e 4 . 3 . 6 c E v o l u t i o n o f C 5 f o r a p o i n t 3 i n F i g . 4 . 3 . 6 . 1 2 0 # 4 F i g u r e 4 . 3 . 6 d E v o l u t i o n o f C 5 f o r a p o i n t 4 i n F i g . 4 . 3 . 6 . 4 . 4 P H Y S I C A L I N T E R P R E T A T I O N O F L O G A R I T H I V I I C A N D S Q U A R E - R O O T T Y P E B R A N C H P O I N T S I t i s o b s e r v e d t h a t t h e b r a n c h p o i n t s a t C = i k l a r e o f a l o g a r i t h m i c t y p e w h i c h l e a d t o i n f i n i t e n u m b e r o f R i e m a n n s h e e t s [ 9 ] . T h e l o g a r i t h m i c t y p e b r a n c h p o i n t s C = i k l a r e a s s o c i a t e d w i t h p o w e r l o s s d u e t o r a d i a t i o n i n t o t h e c o v e r l a y e r [ 3 0 ] . I t i s a l s o o b s e r v e d t h a t t h e b r a n c h p o i n t s a t C = i 3 7 3 “ a r e o f a s q u a r e - r o o t t y p e w h i c h l e a d t o t w o R i e m a n n s h e e t s [ 9 ] . T h e s q u a r e - r o o t t y p e b r a n c h p o i n t s C = z i t / 1 7 M 0 a r e p h y s i c a l l y a s s o c i a t e d w i t h c o u p l i n g o f p o w e r i n t o t h e t r a n s v e r s e l y - p r o p a g a t i n g p r i n c i p a l T M 0 s u r f a c e - w a v e m o d e o f t h a t b a c k g r o u n d e n v i r o n m e n t . S i m p l e - o r g u i d e d - p o l e s i n g u l a r i t i e s d i s c u s s e d i n S e c 4 . 3 c o n s e q u e n t l y l e a d t o s u r f a c e - w a v e l e a k a g e i n t o t h e b a c k g r o u n d l a y e r w h e n t h e s q u a r e - r o o t t y p e b r a n c h c u t s a r e v i o l a t e d [ 3 0 ] . 1 2 1 A s d e p i c t e d i n F i g . 4 . 4 . 1 , t h e b r a n c h c u t p a t h p a s s e s c o u n t e r — c l o c k w i s e a r o u n d t h e l o g a r i t h m i c a n d s q u a r e - r o o t t y p e b r a n c h c u t s a r i s i n g f r o m t h e k 1 b r a n c h p o i n t a n d t h e p r o p e r b a c k g r o u n d p o l e s . T h e b r a n c h c u t p a t h i n F i g . 4 . 4 . 1 d e fi n e s t h e p r o p e r a n d c o n t i n u o u s s p e c t r u m s i n c e i t n e v e r v i o l a t e s t h o s e c u t s . P r o p e r c o n t i n u o u s s p e c t r u m c u r r e n t a n d fi e l d w i l l b e r i g o r o u s l y a n a l y z e d i n C h a p t e r s 5 , 6 , a n d 7 . 1 2 2 m . . - . . . . _ - o - _ f . - C ; i r l o g a r i t h m i c t y p e b r a n c h p o i n t k ] ’ C r a t , s q u a r e - r o o t t y p e b r a n c h p o i n t 1 7 7 1 4 0 n n F i g u r e 4 . 4 . 1 B r a n c h c u t s a s s o c i a t e d w i t h a l o g a r i t h m i c t y p e b r a n c h p o i n t k 1 a n d a s q u a r e - r o o t t y p e b r a n c h p o i n t a n ! 0 i n t h e c o m p l e x C - p l a n e a n d t h e c o n t i n u o u s s p e c t r u m c o n t r i b u t e d b y t h o s e b r a n c h c u t i n t e g r a t i o n s . 1 2 3 4 . 5 C O N C L U S I O N T h e t r a n s f o r m - d o m a i n i n t e g r a l - o p e r a t o r m e t h o d o l o g y f o r c u r r e n t s / fi e l d s o f g u i d i n g s t r u c t u r e s c o n t r i b u t e s t o t h e f o r m u l a t i o n o f t h e s p e c t r a l e l e c t r i c fi e l d i n t e g r a l e q u a t i o n ( E F I E ) o f i n t e g r a t e d o p e n w a v e g u i d e s t h r o u g h a s i n g u l a r i t y e x p a n s i o n o f fi e l d s i n t h e c o m p l e x a x i a l t r a n s f o r m p l a n e ( c o m p l e x C - p l a n e ) . C o m p l e x a n a l y s i s i n t h e C - p l a n e i s b a s e d u p o n t h e t r a n s f o r m - d o m a i n i n t e g r a l e q u a t i o n f o r m u l a t i o n f o r c u r r e n t s / fi e l d s o f t h e g u i d i n g s t r u c t u r e . S i n g u l a r i t i e s i n t h a t p l a n e w e r e i d e n t i fi e d a s p o l e s a s s o c i a t e d w i t h t h e g u i d i n g s t r u c t u r e a n d b r a n c h p o i n t s c o n t r i b u t e d b y l a y e r e d b a c k g r o u n d e n v i r o n m e n t s t h r o u g h t h e i n t e g r a l r e p r e s e n t a t i o n f o r t h e r e q u i r e d G r e e n ’ s d y a d k e r n e l . T h e m a n n e r i n w h i c h s i n g u l a r i t i e s i n b a c k g r o u n d e n v i r o n m e n t s m a n i f e s t t h e m s e l v e s a s b r a n c h p o i n t s i n t h e C - p l a n e [ 7 ] , [ 8 ] i s d e m o n s t r a t e d . S e c t i o n 3 r i g o r o u s l y a n a l y z e s t h o s e b r a n c h p o i n t s a s l o g a r i t h m i c - t y p e a n d s q u a r e - r o o t t y p e d u e t o t h e i r c o m p l i c a t e d m i g r a t i o n p a t t e r n i n t h e C - p l a n e i n c o n j u n c t i o n w i t h p o i n t s i n t h e C - p l a n e [ 9 ] . A n d , t h e l o g a r i t h m i c t y p e b r a n c h p o i n t s a r e a s s o c i a t e d w i t h p o w e r l o s s d u e t o r a d i a t i o n i n t o t h e c o v e r l a y e r [ 3 0 ] . M e a n w h i l e , t h e s q u a r e - r o o t t y p e b r a n c h p o i n t s a r e p h y s i c a l l y a s s o c i a t e d w i t h c o u p l i n g o f p o w e r i n t o t h e t r a n s v e r s e l y - p r o p a g a t i n g p r i n c i p a l T M 0 s u r f a c e - w a v e m o d e o f t h a t b a c k g r o u n d e n v i r o n m e n t . M o r e o v e r , S i m p l e - o r g u i d e d - p o l e s i n g u l a r i t i e s C p d i s c u s s e d i n S e c 4 . 3 c o n s e q u e n t l y l e a d t o s u r f a c e - w a v e l e a k a g e i n t o t h e b a c k g r o u n d l a y e r w h e n t h e s q u a r e - r o o t t y p e b r a n c h c u t s a r e v i o l a t e d [ 3 0 ] . I t i s o b s e r v e d t h a t t h e b r a n c h c u t p a t h d e t o u r s a r o u n d , i n a c o u n t e r - c l o c k w i s e s e n s e , t h e l o g a r i t h m i c a n d s q u a r e - r o o t t y p e b r a n c h c u t s a r i s i n g f r o m t h e k 1 b r a n c h p o i n t a n d t h e p r o p e r b a c k g r o u n d m o d e s a s d e p i c t e d i n F i g . 4 . 4 . 1 . A n d , t h e b r a n c h c u t p a t h i n F i g . 4 . 4 . 1 1 2 4 d e fi n e s t h e p r o p e r a n d c o n t i n u o u s s p e c t r u m s i n c e i t n e v e r v i o l a t e s t h e b r a n c h c u t . P r 0 p e r c o n t i n u o u s s p e c t r u m c u r r e n t s / fi e l d s w i l l b e r i g o r o u s l y a n a l y z e d i n C h a p t e r s 5 , 6 , a n d 7 . 1 2 5 C H A P T E R 5 T H E P R O P E R C U R R E N T S P E C T R U M O F A N O P E N I N T E G R A T E D M I C R O S T R I P W A V E G U I D E 5 . 1 I N T R O D U C T I O N A N D G E O M E T R I C A L C O N F I G U R A T I O N T h e e x i s t e n c e o f l e a k y m o d e s o n t h e i n t e g r a t e d o p e n w a v e g u i d e s t r u c t u r e h a s r e c e n t l y r e c e i v e d c o n s i d e r a b l e a t t e n t i o n [ 3 2 ] - [ 4 5 ] . H o w e v e r , t h e p r o p e r c o n t i n u o u s a n d d i s c r e t e s p e c t r u m c u r r e n t s o f t h e i n t e g r a t e d o p e n m i c r o s t r i p w a v e g u i d e h a v e b e e n u n t i l r e c e n t l y n e i t h e r c o n c e p t u a l i z e d n o r q u a n t i fi e d a d e q u a t e l y . T h a t s p e c t r u m c a n b e i d e n t i fi e d a s t h e b r a n c h c u t c o n t r i b u t i o n t o a s i n g u l a r i t y e x p a n s i o n o f t h o s e c u r r e n t s i n t h e c o m p l e x a x i a l t r a n s f o r m p l a n e ( C - p l a n e ) . A s d i s c u s s e d i n C h a p t e r 4 , s i n g u l a r i t i e s i n t h a t p l a n e i n c l u d e p o l e s a s s o c i a t e d w i t h t h e g u i d i n g s t r u c t u r e a n d b r a n c h p o i n t s c o n t r i b u t e d b y l a y e r e d b a c k g r o u n d e n v i r o n m e n t s . T h e m a n n e r i n w h i c h s i n g u l a r i t i e s i n b a c k g r o u n d e n v i r o n m e n t s m a n i f e s t t h e m s e l v e s a s b r a n c h p o i n t s i n t h e c o m p l e x C - p 1 a n e i s r e v i e w e d . B a s e d o n a s p e c t r a l E F I E ( e l e c t r i c fi e l d i n t e g r a l e q u a t i o n ) f o r m u l a t i o n [ 4 6 ] - [ 4 8 ] , b o t h a p p r o x i m a t e a n d a n a l y t i c a l e x p r e s s i o n s f o r t h e s p e c t r a l m i c r o s t r i p c u r r e n t a r e o b t a i n e d . A 5 - g a p fi e l d f e e d m o d e l i s e x p l o i t e d a s a n e x c i t a t o r y s o u r c e [ 4 9 ] - [ 5 2 ] . I t i s n o t e d t h a t t h e c u r r e n t a p p r o x i m a t i o n i s b a s e d o n t h e M a x w e l l i a n d i s t r i b u t i o n f o r t h e t r a n s v e r s e c u r r e n t p r o fi l e . M i c r o s t r i p c u r r e n t s a r e r e c o v e r e d f r o m t h e s p e c t r a l r e p r e s e n t a t i o n b y i n t e g r a t i o n c o n t o u r d e f o r m a t i o n o n t h e t o p s h e e t o f t h e c o m p l e x C - p l a n e . A s a r e s u l t , m i c r o s t r i p c u r r e n t s a r e o b t a i n e d i n t e r m s o f t h e p r o p e r p r o p a g a t i o n m o d e s p e c t r u m . T h a t s p e c t r u m c o n s i s t s o f b o u n d p r o p a g a t i o n m o d e s a s s o c i a t e d w i t h p o l e s i n g u l a r i t i e s a n d a c o n t i n u o u s s p e c t r u m [ 3 1 ] , [ 5 3 ] w h i c h i s a s s o c i a t e d w i t h i n t e g r a t i o n a r o u n d b r a n c h c u t s 1 2 6 c o n t r i b u t e d b y b a c k g r o u n d l a y e r e n v i r o n m e n t s . D u r i n g i n t e g r a t i o n a r o u n d t h e b r a n c h c u t s , s i n g u l a r i t i e s i n t h e c o m p l e x t r a n s v e r s e t r a n s f o r m p l a n e ( C - p l a n e ) t e n d t o m i g r a t e i n a c o m p l i c a t e d m a n n e r . T h e t r a j e c t o r i e s o f C - p l a n e m i g r a t i o n a r e i d e n t i fi e d a n d s u i t a b l y a c c o m m o d a t e d d u r i n g t h e r e a l a x i s i n t e g r a t i o n i n t h e c o m p l e x C - p 1 a n e . T h i s o v e r a l l p r o c e d u r e l e a d s t o a d e c o m p o s i t i o n o f t h e t o t a l c u r r e n t s i n t o b o u n d m o d e a n d c o n t i n u o u s s p e c t r u m c o n t r i b u t i o n s . T h e r e s u l t i s n u m e r i c a l l y v a l i d a t e d b y r e a l a x i s i n t e g r a t i o n i n t h e c o m p l e x C - p l a n e . T h e q u a s i T E M c h a r a c t e r i s t i c i m p e d a n c e o f b o u n d m o d e s a s s o c i a t e d w i t h p o l e s i n g u l a r i t i e s i s c a l c u l a t e d a n d i s v a l i d a t e d b y c o m p a r i s o n w i t h w e l l - k n o w n e m p i r i c a l f o r m u l a s [ 5 4 ] . E x t e n s i v e n u m e r i c a l r e s u l t s a r e o b t a i n e d , w h i c h c a n c o m p a r e b o u n d m o d e a n d c o n t i n u o u s s p e c t r u m c o n t r i b u t i o n s t o m i c r o s t r i p c u r r e n t s . I t i s r e c o g n i z e d t h a t c u r r e n t s a r e d o m i n a t e d b y b o u n d p r o p a g a t i o n m o d e s . P h y s i c a l l y , i t i s a c c e p t a b l e s i n c e t h e m i c r o s t r i p c u r r e n t i s d i r e c t l y a s s o c i a t e d w i t h t h e c o n d u c t i n g m i c r o s t r i p r a t h e r t h a n t h e b a c k g r o u n d l a y e r e n v i r o n m e n t . E v e n i f t h e c o n t i n u o u s c u r r e n t s p e c t r u m i s m a x i m a l n e a r t h e f e e d p o i n t a n d d e c a y s r a p i d l y w i t h a x i a l d i s t a n c e f r o m t h e f e e d , i t c o n t r i b u t e s n e g l i g i b l y t o t h e t o t a l s p e c t r u m s i n c e t h e d o m i n a n t c o n t r i b u t i o n c o m e s f r o m t h e d i s c r e t e c u r r e n t s p e c t r u m c o n t r i b u t e d b y t h e b o u n d p r o p a g a t i o n m o d e . H o w e v e r , t h e s t r e n g t h s o f c o n t i n u o u s a n d d i s c r e t e s p e c t r u m fi e l d c o n t r i b u t i o n s i n t h e b a c k g r o u n d l a y e r e n v i r o n m e n t a r e r e v e r s e d , w h i c h w i l l b e d i s c u s s e d i n C h a p t e r 6 . T h e g e o m e t r i c a l c o n fi g u r a t i o n o f i n t e g r a t e d m i c r o s t r i p w a v e g u i d e i m m e r s e d i n a p l a n a r - l a y e r e d b a c k g r o u n d e n v i r o n m e n t i s d e p i c t e d i n F i g . 5 . 1 . 1 a n d i t s c r o s s - s e c t i o n a l v i e w i s a l s o d e p i c t e d i n F i g . 5 . 1 . 2 . T h e w a v e g u i d i n g a x i s i s c h o s e n t o b e z - a x i s w i t h t h e x - a x i s t a n g e n t i a l a n d y - a x i s n o r m a l t o t h e p l a n a r i n t e r f a c e s . E a c h o f t h e p l a n a r l a y e r s 1 2 7 i s a s s u m e d t o b e n o n - m a g n e t i c , i s o t r o p i c a n d h o m o g e n e o u s w i t h c o m p l e x p e r m i t t i v i t y 8 , , l = 1 , 2 , 3 f o r t h e c o v e r , fi l m , a n d s u b s t r a t e l a y e r s w i t h E 3 — ) — j o o o r 0 ' — ) 0 ° . T h e g u i d i n g s t r u c t u r e i s e m b e d d e d i n t h e c o v e r l a y e r a d j a c e n t t o t h e c o v e r / fi l m i n t e r f a c e . 1 2 8 m e i L a ( # 0 ) - - - - - - fi l m t h G e o m e c a l c o g u m i c r o s t r i p s t r u c t u m m e r s e d r e d c k g r o n n r e e r y e L a r 8 1 ( # 0 ) \ \ \ \ \ \ \ \ . . . . . . . . . . \ \ F i g u r e 5 . 1 . 2 C r o s s - s e c t i o n a l v i e w o f i m m e r s e d m i c r o s t r i p s t r u c t u r e . 5 . 2 M I C A s d i s c t h e m i c r o s t w h e n : T ( . t a k e s t h e C W h i c h l e a t 5 . 2 M I C R O S T R I P C U R R E N T F O R M U L A T I O N A s d i s c u s s e d i n C h a p t e r 4 , a 5 - g a p fi e l d f e e d i s e x p l o i t e d a s a n e x c i t a t i o n s o u r c e o n t h e m i c r o s t r i p . T h e r e f o r e , a n i m p r e s s e d fi e l d c a n b e r e p r e s e n t e d b y E f z ( x , z ) = T ( x ) L g ( z ) ( 5 . 2 . 1 ) w h e r e T ( x ) t a k e s u n i t y f o r l x l < w / 2 a n d t h e l o n g i t u d i n a l 5 - g a p f u n c t i o n L 8 ( 2 ) t a k e s t h e G a u s s i a n f o r m [ 5 2 ] o f ‘ — - — — - 5 . 2 . 2 g ( ) d J 2 3 ( ) w h i c h l e a d s t o f a s t e r c o n v e r g e n c e , w h e r e d i s t h e e f f e c t i v e g a p w i d t h . 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S o , i 5 k 1 = ~ 7 j x l § ’ / 1 s \ / § ’ + I l ~ s = ¥ J \ / § ’ k 1 \ / § + k 1 : 5 7 . . . a w e / w . " + 1 . = : j , / § - 2 m , J ; + 2 . . . . ( 5 . 2 . 2 2 ) w h i c h c l e a r l y i m p l i c a t e s t h e b r a n c h p o i n t s a t I = i l s i n t h e c o m p l e x Q 9 - p l a n e w i t h A P = l i q - M O b e i n g t h e f u n d a m e n t a l p r o p e r s u r f a c e - w a v e m o d e a s d e p i c t e d i n F i g . 5 . 3 . 1 . I t i s a s s u m e d t h a t k 0 ! i s s u f fi c i e n t l y s m a l l t h a t t h e T M 0 p o l e i s t h e o n l y o n e o n t h e t o p s h e e t o f t h e c o m p l e x x i - p l a n e . 1 3 9 F l g u r e > , _ k l { r F i g u r e 5 . 3 . 1 S i n g u l a r i t i e s i n t h e c o m p l e x 4 , " - p l a n e c o n t r i b u t e d b y t h e p l a n a r - l a y e r e d b a c k g r o u n d e n v i r o n m e n t . T h e b r a n c h p o i n t s i s = i k l t o t h e b r a n c h p o i n t s i k l m a p p i n g a n d t h e p o l e s i s = i d ” , 0 t o t h e b r a n c h p o i n t s $ 1 7 3 4 0 m a p p i n g i n t h e l o w l o w - l o s s l i m i t . 1 4 0 ( . . . ) i s a n i n t e g r a n d o f d 4 ’ i n E q n . ( 5 . 2 . 2 1 ) . D u e t o S o m m e r f e l d ’ s r a d i a t i o n c o n d i t i o n , S i n g u l a r i t i e s a s s o c i a t e d w i t h t h e b a c k g r o u n d l a y e r e n v i r o n m e n t c o n s i s t o f b r a n c h p o i n t s i n t h e c o m p l e x 5 - p l a n e . T h e a s s o c i a t e d S o m m e r f e l d b r a n c h c u t s l e a d t o I m { 5 s } < O a n d t h e p r o p e r s p e c t r u m a s s h o w n i n C h a p t e r 4 . T h e r e a l a x i s i n v e r s i o n c o n t o u r c a n b e d e f o r m e d i n t o t h e u p p e r ( z > 0 ) h a l f a n d t h e l o w e r ( z < 0 ) h a l f o f t h e c o m p l e x C - p l a n e a s d e p i c t e d i n F i g . 5 . 3 . 2 . U s i n g C a u c h y ’ s i n t e g r a l t h e o r e m , E q n . ( 5 . 2 . 2 1 ) b e c o m e s i . . . ( . . . y ; + L t . ( . . . y ; + J ‘ C b ( . . . y ; + J G ” ( . . . y ; = 0 ( 5 . 3 . 2 ) J G . . . ( - - M g “ — 9 0 ( 5 . 3 . 3 ) 8 0 , t h e c o n t i n u o u s s p e c t r u m i s c o n t r i b u t e d b y d e t o u r i n g a b o u t l o g a r i t h m i c a n d s q u a r e - r o o t t y p e b r a n c h c u t s a r i s i n g f r o m t h e k 1 b r a n c h p o i n t a n d t h e p r o p e r b a c k g r o u n d p o l e A T M O a s d e p i c t e d i n F i g . 5 . 3 . 3 . T h e n , a s e v i d e n t f r o m E q n . ( 5 . 3 . 1 ) , s i n g u l a r i t i e s i n t h e c o m p l e x 6 - p l a n e m i g r a t e i n c o n j u n c t i o n w i t h c h a n g i n g s p a t i a l - f r e q u e n c y 4 ’ a l o n g b r a n c h c u t s a s s o c i a t e d w i t h a l o g a r i t h m i c t y p e b r a n c h p o i n t k 1 a n d a s q u a r e - r o o t t y p e b r a n c h p o i n t k m o i n t h e c o m p l e x 6 - p l a n e a s d e p i c t e d i n F i g . 5 . 3 . 3 . F o r b r a n c h - p o i n t s i n g u l a r i t i e s i n t h e c o m p l e x 5 - p l a n e ( s e e F i g . 2 . 4 . 3 i n C h a p t e r 2 ) , I _ k 1 = P + e j 0 + C + k 1 = [ r e j o — { — p + p _ e j ( - n + 9 + + 9 “ ) / 2 \ [ — — p + p _ e j ( z + 0 + + 9 ‘ ) / 2 ( 5 . 3 . 4 ) F 1 4 1 z > 0 F i g u r e 5 . 3 . 2 D e f o r m a t i o n o f R e { 4 ’ } - a x i s i n v e r s i o n c o n t o u r i n t o t h e U p p e r H a l f P l a n e ( U H P ) a n d t h e L o w e r H a l f P l a n e ( L H P ) i n t h e c o m p l e x 9 ' - p l a n e . B r a n c h c u t s a s s o c i a t e d w i t h b r a n c h - p o i n t s i n g u l a r i t i e s c o n t r i b u t e d b y a b a c k g r o u n d l a y e r e n v i r o n m e n t a r e c o n s i d e r e d t o b e i n t h e l o w - l o s s l i m i t . 1 4 2 F i g u r e 5 . 3 . 3 B r a n c h c u t s a s s o c i a t e d w i t h a l o g a r i t h m i c t y p e b r a n c h p o i n t k 1 a n d a s q u a r e - r o o t t y p e b r a n c h p o i n t 1 7 M 0 i n t h e c o m p l e x C - p l a n e a n d t h e p r o p e r c o n t i n u o u s s p e c t r u m c o n t r i b u t e d b y t h o s e b r a n c h c u t i n t e g r a t i o n s f o r l o w - l o s s l i m i t . 1 4 3 F i g u r e 5 . 3 . 4 M i g r a t i o n o f c o m p l e x t r a n s v e r s e t r a n s f o r m p l a n e ( c o m p l e x 5 - p l a n e ) b r a n c h - p o i n t s i n g u l a r i t i e s $ k a i n c o n j u n c t i o n w i t h c h a n g i n g s p a t i a l - f r e q u e n c y C a l o n g b r a n c h c u t s a s s o c i a t e d w i t h a l o g a r i t h m i c t y p e b r a n c h p o i n t [ C l a n d a s q u a r e - r o o t t y p e b r a n c h p o i n t 2 7 3 , 0 i n t h e c o m p l e x { - p l a n e i n t h e l o w - l o s s l i m i t . 1 4 4 F o r a p o i n F o r a p o i n F o r p o i n t s F o r a p o i n F o r a p o ' m T h e a r t f o r e . i n “ W C o r f I O m ‘ j N l O S S l i m i t S i n g u l a r i t ) i n t h e C o m g ‘ p l a n e . E F o r a p o i n t 1 i n F i g . 5 . 3 . 3 , _ ' _ - _ 2 _ 6 1 . 1 = i n p e “ ” W W = - p + p F o r a p o i n t 2 i n F i g . 5 . 3 . 3 , - ' _ _ 2 _ 6 1 . . = W P e " ” ” V = - p + p F o r p o i n t s 3 a n d 4 i n F i g . 5 . 3 . 3 , _ . 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T h e s u p e r s c r i p t + d e n o t e s t h e p o s i t i v e b r a n c h - p o i n t s i n g u l a r i t y 6 k ] a n d t h e n u m b e r d o e s i t s c o r r e s p o n d i n g p o s i t i o n o n t h e b r a n c h - c u t c o n t o u r i n t h e c o m p l e x 4 ’ ~ p l a n e . F o r e x a m p l e , 1 + i m p l i e s t h a t a p o i n t 1 i n t h e c o m p l e x 6 ~ p l a n e a s d e p i c t e d i n F i g . 5 . 3 . 3 m a p s i n t o a p o s i t i v e b r a n c h - p o i n t s i n g u l a r i t y 5 k ] i n t h e c o m p l e x 5 - p l a n e . S i m i l a r l y , t h e o t h e r b r a n c h - p o i n t s i n g u l a r i t y ( n e g a t i v e b r a n c h - p o i n t s i n g u l a r i t y ) , 1 4 5 c o m p l p l a n e . F o i n v e r s S i n g u l i s i n a t h e c c e a c h ( c a C h . c o m p ] S i n g u l P l a n e . " C g a u R C g a r c P 1 ( € ’ § ) = \ 5 / 5 2 + k ] = - § j 2 J - k 1 2 = J 3 + € k l J é - é k , § - k 1 J § + k 1 ( ( 5 5 . . 3 3 . . 6 7 ) ) - C k l , m i g r a t e s f r o m 0 0 t o 0 o n R e { C } - a x i s , f r o m 0 t o j - \ / p + p - a n d f r o m j p + p _ t o 0 o n I m { C } - a x i s , a n d f r o m 0 t o - ° ° o n R e { C } - a x i s i n F i g . 5 . 3 . 4 . T h e r e f o r e , t h e r e i s a c o n t i n u o u s m i g r a t i o n o f b r a n c h - p o i n t s i n g u l a r i t i e s i C k l i n t h e c o m p l e x C - p l a n e f o r c o r r e s p o n d i n g p o i n t s a l o n g b r a n c h - c u t c o n t o u r i n t h e c o m p l e x C - p l a n e . F o r a p o i n t a l o n g a b r a n c h c u t c o n t o u r i n t h e c o m p l e x C - p l a n e , R e { C } - a x i s i n v e r s i o n c o n t o u r i n t e g r a t i o n i s i m p l e m e n t e d f o r i t s c o r r e s p o n d i n g b r a n c h - p o i n t s i n g u l a r i t i e s : L ' C k l . T h e i n t e g r a t i o n d e t o u r a b o u t b r a n c h c u t s f r o m a p o i n t 4 t o a p o i n t 6 i s i n a n o p p o s i t e s e n s e t o t h a t f r o m a p o i n t 1 t o a p o i n t 3 a s d e p i c t e d i n F i g . 5 . 3 . 3 . T h u s , t h e c o r r e s p o n d i n g R e { C } - a x i s i n v e r s i o n c o n t o u r C 5 ’ s a r e a l s o i n a n o p p o s i t e s e n s e t o e a c h o t h e r a s d e p i c t e d i n F i g . 5 . 3 . 5 , b u t t h e i r i n t e g r a l c o n t r i b u t i o n s a r e n o t a n n u l l e d b y e a c h o t h e r s i n c e p 1 ( Q C ) t a k e s d i f f e r e n t v a l u e s a l o n g t h e m o n t h e t o p s h e e t o f t h e c o m p l e x C - p l a n e a n d m u s t b e e v a l u a t e d w i t h r e s p e c t t o d i f f e r e n t b r a n c h - p o i n t s i n g u l a r i t i e s i n t h e c o m p l e x C - p l a n e f o r c o r r e s p o n d i n g d i f f e r e n t C ’ s i n t h e c o m p l e x C - p l a n e . F o r e x a m p l e , C k ] ( 2 ) a n d — C k l ( 2 ) i n F i g . 5 . 3 . 5 a n d 5 . 3 . 6 i m p l y p o s i t i v e a n d n e a t i v e b r a n c h - p o i n t s i n g u l a r i t i e s a n d — r e s e c t i v e l y f o r a o i n t 2 i n F i . 5 . 3 . 3 . g k ] k l P P g R e g a r d i n g C k ] a s a f o u r t h - q u a d r a n t s i n g u l a r i t y l e a d s t o 1 4 6 F c F 0 F 0 F 0 1 F o r F 0 1 - 7 1 = \ / [ R e { 5 + ( ” k § ( 2 H : 2 2 m { [ I + 2 2 y , = \ / [ R . { : + ¢ - . ( 5 ) ( 2 } : ] 2 2 [ + 2 m I : { 3 : § . ( 2 ) } ] 2 § + 1 k 1 . = 1 + ) a . W ( 5 ) } ] 2 . . . ) F o r 7 1 ' 1 i n F i g . 5 . 3 . 6 . 7 : 1 = 5 + 5 “ ( 2 ) : y l e j ‘ P - ( 5 . 3 . 8 ) F o r £ 2 i n F i g . 5 . 3 . 6 , 7 : 2 = 5 + 6 k ] ( 5 ) : h e ” ; ( 5 . 3 . 9 ) F o r E 3 i n F i g . 5 . 3 . 6 , 7 : 3 = 5 — 4 5 k ! 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H o w e v e r t h e i n t e g r a t i o n p a t h s h a v e a n o p p o s i t e s e n s e t o e a c h o t h e r s o t h e c o r r e s p o n d i n g R e { § } - a x i s i n v e r s i o n c o n t o u r C ; ’ s a r e a l s o o p p o s i t e l y d i r e c t e d . S i n c e t h e c o v e r w a v e n u m b e r p l ( 6 , ; ) i s d e fi n e d 1 4 8 l g ; ( 2 H C § ( 5 ) fi ( § ) = { 1 0 ( § ( w W ) 1 € = I Q : ( 2 ) / 2 ) m f o r w / ( t I g C § ( m ) ( " fl : = J i 1 C 6 ( m ) ( ' ° fi ° " ) 1 § - _ [ C § ( 5 ) ( - - ) 1 § ( 5 . 3 . 1 8 ) < 2 g " I i i ? ( m ) ( ~ - ) d § ( 5 . 3 . 1 9 ) w i t h r e s p e c t t o b r a n c h - p o i n t s i n g u l a r i t i e s i n t h e c o m p l e x 5 - p l a n e f o r c o r r e s p o n d i n g d i f f e r e n t g ’ s i n t h e c o m p l e x 4 ’ - p l a n e , R e { § } ~ a x i s i n v e r s i o n c o n t o u r i n t e g r a l c o n t r i b u t i o n s a r e n o t a n n u l l e d b y e a c h o t h e r . S o , t h e o v e r a l l p r o c e d u r e f o r R e { f } - a x i s i n v e r s i o n c o n t o u r C 6 ’ s f o r p o i n t s 2 a n d 5 i n F i g . 5 . 3 . 3 y i e l d s w h e r e C ; ( 2 ) a n d C ; ( 5 ) a r e R e { § } - a x i s i n v e r s i o n c o n t o u r s f o r p o i n t s 2 a n d 3 i n F i g . 5 . 3 . 3 r e s p e c t i v e l y a n d ( - ° - ) i s i n a g r e e m e n t w i t h E q n . ( 5 . 2 . 2 1 ) s u c h t h a t ( - ~ > = 1 7 2 ( ¢ ) [ " 7 ’ f — 5 . . ( 5 4 ) ] w h e r e s i n c ( § w / 2 ) ~ - - f o r w / 1 2 2 . k fi — g z 5 2 1 » . N d — 1 C “ ( 5 " ) : ( # 0 5 1 0 ) * 2 . " ( $ 2 1 2 4 ) Z " ( : , ; ) = p 1 ( : . : ) + p 2 ( § , : ) c o t h [ p 2 ( : . ; ) t ] 2 6 4 9 5 ; ) : N § 1 p 1 ( § , § ) + p 2 ( § , § ) t a n h [ p 2 ( 5 . 0 ] p , ( : , : ) = J ¢ 2 + ; 2 — k f - ~ I = 1 , 2 N § 1 = ( n 2 / n r ) 2 T h u s , t h r o u g h o u t t h e i n t e g r a t i o n d e t o u r a b o u t b r a n c h c u t s f r o m a p o i n t 1 t o 6 i n F i g . 5 . 3 . 3 , t h e c o r r e s p o n d i n g o v e r a l l p r o c e d u r e f o r R e { § } - a x i s i n v e r s i o n c o n t o u r C 5 ’ 5 l e a d s t o 1 4 9 w h e r e C : ( m ) i n d i c a t e s R e { § } - a x i s i n v e r s i o n c o n t o u r f o r a c o r r e s p o n d i n g p o i n t m i n F i g . 5 . 3 . 3 . E q n . ( 5 . 3 . 1 9 ) i m p l i c a t e s R e { § } - a x i s i n v e r s i o n c o n t o u r i n t e g r a l c o n t r i b u t i o n e x c l u d i n g s u r f a c e - w a v e p o l e s i n g u l a r i t i e s o n R e { § } - a x i s d e fi n e d b y E q n . ( 5 . 3 . 1 ) . T h e n , F i g . 5 . 3 . 7 a n d F i g . 5 . 3 . 8 d e p i c t t h e c u r r e n t a m p l i t u d e a n d p h a s e l o n g i t u d i n a l p r o fi l e s r e s p e c t i v e l y c o n t r i b u t e d b y R e { § } - a x i s i n v e r s i o n c o n t o u r e x c l u d i n g s u r f a c e - w a v e p o l e s i n g u l a r i t i e s i n t h e c o m p l e x 6 - p l a n e w i t h c h a n g i n g ; a b o u t t h e b r a n c h - c u t c o n t o u r i n F i g . 5 . 3 . 3 . T h e c o v e r a n d fi l m l a y e r s a r e n o n - m a g n e t i c , i s o t r o p i c a n d h o m o g e n e o u s w i t h i n d i c e s r 1 1 = 1 . , n 2 = 3 . 0 5 7 8 a n d w i t h i n t e g r a t e d m i c r o s t r i p d i m e n s i o n s a s f o l l o w s . m i c r o s t r i p w i d t h : w : . 1 0 1 6 m m = > w / Z O = . 0 0 5 1 e f f e c t i v e g a p w i d t h : d = w / l O m m = > d / l i o = ( w / 1 0 ) / 1 0 fi l m t h i c k n e s s : t = 1 . 2 7 m m = > t / 1 0 = . 0 6 o p e r a t i n g f r e q u e n c y : f = 1 5 G H z 1 5 0 F i g u r e 5 . 3 . 5 O p p o s i t e R e { § } - a x i s i n v e r s i o n c o n t o u r s c o r r e s p o n d i n g t o p o i n t s 2 a n d 5 o n t h e b r a n c h - c u t c o n t o u r i n t h e c o m p l e x 4 ' - p l a n e a s d e p i c t e d i n F i g . 5 . 3 . 3 . 1 5 1 r F i g u r e 5 . 3 . 6 C o m p l e x - p h a s o r d i a g r a m f o r b r a n c h - p o i n t s i n g u l a r i t i e s i g k l i n t h e c o m p l e x 5 - p l a n e f o r c o r m p o n d i n g p o i n t s 2 a n d 5 i n t h e c o m p l e x 4 ’ - p l a n e i n F i g . 5 . 3 . 3 a n d e v o l u t i o n o f C 4 : . 1 5 2 0 . 0 2 — ‘ 0 . 0 1 5 - — < . 4 E d n 1 = 1 . w / 2 0 = . 0 0 5 1 7 , ; _ ( n 3 = 3 . 0 5 7 8 d / i o = ( w / A o ) / 1 0 . g g \ \ i = 1 5 G H z t / A O = . 0 6 i 0 . 0 1 A X E _ g \ < \ fl _ \ c \ 9 ‘ \ \ s n \ . 0 0 . 0 0 5 — 7 ‘ \ \ 0 1 1 1 1 j 1 T 1 1 1 1 n 1 1 1 2 3 N o r m a l i z e d L o n g i t u d i n a l D i s t a n c e z / A 0 F i g u r e 5 . 3 . 7 C u r r e n t a m p l i t u d e l o n g i t u d i n a l p r o fi l e c o n t r i b u t e d b y R e { f } - a x i s i n v e r s i o n c o n t o u r e x c l u d i n g s u r f a c e - w a v e p o l e s i n g u l a r i t i e s w i t h i n t e g r a t i n g 6 a b o u t t h e b r a n c h - c u t c o n t o u r . 1 5 3 i i l l l l i l l l l l l l l l l l l l l l l ) e e l r i l g l e l l d l ( e s a h P / J l l l l l l l l l l l l l t l n l l e l r r l l l l u l C l i l l l l l l l l l l l i l l l l l 3 6 0 n , = 1 . w / 7 1 0 = . 0 0 5 1 n 3 = 3 . 0 5 7 8 d / ) O = ( w / ) r o ) / 1 0 . f = 1 5 G H z t / A o = . 0 6 3 0 0 2 4 0 1 8 0 1 2 0 6 0 - 1 2 0 - 1 8 0 - 2 4 0 ' 3 5 0 1 1 1 1 l 1 1 1 1 1 T T 1 1 . . . . L N C O N o r m a l i z e d L o n g i t u d i n a l D i s t a n c e z / A o F i g u r e 5 . 3 . 8 C u r r e n t p h a s e l o n g i t u d i n a l p r o fi l e c o n t r i b u t e d b y R e { § } - a x i s i n v e r s i o n c o n t o u r e x c l u d i n g s u r f a c e - w a v e p o l e s i n g u l a r i t i e s w i t h i n t e g r a t i n g 4 ’ a b o u t t h e b r a n c h - c u t c o n t o u r . 1 5 4 g T M O : / p + p — e j ( — 7 r — 7 r + w — w ) / 2 : _ p + p _ 5 W D = 1 / ' 0 + p - e j ( - 7 r + 7 r + 1 , / — . / / ) / 2 = , 0 + p _ A s e v i d e n t f r o m E q n . ( 5 . 3 . 1 ) , i n a d d i t i o n t o b r a n c h - p o i n t s i n g u l a r i t i e s i c s k l , t h e r e e x i s t s u r f a c e - w a v e p o l e s i n g u l a r i t i e s i é m o i n t h e c o m p l e x 6 - p l a n e f o r c o r r e s p o n d i n g p o i n t s o n a b r a n c h - c u t c o n t o u r i n F i g . 5 . 3 . 3 . F o r s u r f a c e — w a v e p o l e s i n g u l a r i t i e s i n t h e c o m p l e x 5 - p 1 a n e ( s e e F i g . 2 . 4 . 3 i n C h a p t e r 2 ) , g — A T M O : p + e j 6 + { + A I ' M O = p - e j 0 — T h e n , s e e m , = 1 } J § ‘ 4 7 M 0 \ / § + 4 7 M 0 = < ( 5 . 3 . 2 0 ) r W e d - “ 9 + + 1 9 ‘ ) / 2 ( 5 . 3 . 2 1 ) k \ l ' t fi j e j p w e fi t e ‘ ) / 2 E q n . ( 5 . 3 . 2 1 ) m a p s p o i n t s a s d e p i c t e d i n F i g . 5 . 3 . 3 i n t o s u r f a c e - w a v e p o l e s i n g u l a r i t i e s i é m o . F o r a p o i n t 1 i n F i g . 5 . 3 . 3 , F o r p o i n t s 2 a n d 3 i n F i g . 5 . 3 . 3 , 5 7 1 1 4 0 = 4 , 0 0 0 - 6 ’ 1 4 “ ” ) / 2 = - 1 0 + ! ) — F o r p o i n t s 4 a n d 5 i n F i g . 5 . 3 . 3 , 6 m g = P + p ' e j ( ’ ” + ” ) / 2 = p + p F o r a p o i n t 6 i n F i g . 5 . 3 . 3 , 1 5 5 T h e r e f o r e , a s t h e i n t e g r a t i o n c o n t o u r d e t o u r s f r o m a p o i n t 1 t o a p o i n t 6 a b o u t b r a n c h c u t s i n t h e c o m p l e x 4 : - p l a n e a s d e p i c t e d i n F i g . 5 . 3 . 3 , o n e o f s u r f a c e - w a v e p o l e s i n g u l a r i t i e s , g T M o , i n t h e c o m p l e x 5 - p l a n e , m i g r a t e s f r o m — ° ° t o 0 0 o n R e { § } - a x i s i n t h e l o w - l o s s l i m i t a s d e p i c t e d i n F i g . 5 . 3 . 9 . T h e s y m b o l X d e n o t e s t h e s u r f a c e - w a v e p o l e s i n g u l a r i t y i n t h e c o m p l e x 6 - p l a n e f o r a c o r r e s p o n d i n g p o i n t o n b r a n c h c u t s i n t h e c o m p l e x 6 - p l a n e . T h e s u p e r s c r i p t + d e n o t e s t h e p o s i t i v e s u r f a c e - w a v e p o l e s i n g u l a r i t y é T M O a n d t h e n u m b e r d o e s i t s c o r r e s p o n d i n g p o s i t i o n o n t h e b r a n c h - c u t c o n t o u r i n t h e c o m p l e x 5 - p l a n e . F o r e x a m p l e , 1 + i m p l i e s t h a t a p o i n t 1 i n t h e c o m p l e x 4 : - p l a n e a s d e p i c t e d i n F i g . 5 . 3 . 3 m a p s i n t o a p o s i t i v e s u r f a c e - w a v e p o l e s i n g u l a r i t y § T M 0 i n t h e c o m p l e x 5 - p l a n e . S i m i l a r l y , t h e o t h e r s u r f a c e - w a v e p o l e s i n g u l a r i t y ( n e g a t i v e s u r f a c e - w a v e p o l e s i n g u l a r i t y ) , ' " é T M O , m i g r a t e s e x a c t l y c o n v e r s e l y f r o m 0 0 t o — ° ° o n R e { § } - a x i s a s d e p i c t e d i n F i g . 5 . 3 . 9 . T h e r e f o r e , t h e r e i s a c o n t i n u u m o f s u r f a c e - w a v e p o l e s i n g u l a r i t i e s i n t h e c o m p l e x 5 - p l a n e f o r c o r r e s p o n d i n g p o i n t s o n t h e b r a n c h - c u t c o n t o u r i n t h e c o m p l e x g - p l a n e . T h e l o c a t i o n o f a s u r f a c e - w a v e p o l e s i n g u l a r i t y i s a l i t t l e e x a g g e r a t e d f o r c l a r i t y i n F i g . 5 . 3 . 9 . I n t h e l o w - l o s s l i m i t , a p o s i t i v e s u r f a c e - w a v e p o l e s i n g u l a r i t y § T M 0 a p p r o a c h e s i n fi n i t e s i m a l l y c l o s e t o R e { § } - a x i s f r o m t h e b e l o w a s d e p i c t e d i n F i g . 5 . 3 . 9 s i n c e i t i s n e c e s s a r y t h a t I m { § 7 - M o } < 0 t o s a t i s f y t h e r a d i a t i o n c o n d i t i o n . C o n v e r s e l y , a n e g a t i v e s u r f a c e - w a v e p o l e s i n g u l a r i t y — ‘ § T M 0 a p p r o a c h e s i n f m i t e s i m a l l y c l o s e t o R e { § } - a x i s 1 5 6 f r o m t h e a b o v e i n F i g . 5 . 3 . 9 s i n c e i t i s n e c e s s a r y t h a t I m { — § T M O } > 0 . A n d , i f p h y s i c a l c o n t i n u i t y o f t h e s u r f a c e - w a v e i s t o b e m a i n t a i n e d d u r i n g R e { § } - a x i s i n v e r s i o n c o n t o u r i n t e g r a t i o n , R e { € } - a x i s i n v e r s i o n c o n t o u r m u s t r e m a i n d i s p o s e d a b o v e t h e p o s i t i v e s u r f a c e - w a v e p o l e s i n g u l a r i t y § T M 0 ° T h e n , t h e h a l f r e s i d u e c o n t r i b u t e d b y é m o l e a d s t o a s u r f a c e - w a v e c o n t r i b u t i o n . F r o m a p o i n t 1 t o a p o i n t 3 a b o u t t h e b r a n c h o u t i n t h e c o m p l e x 1 ; - p l a n e a s d e p i c t e d i n F i g . 5 . 3 . 3 , t h e c o r r e s p o n d i n g p o s i t i v e s u r f a c e - w a v e p o l e s i n g u l a r i t i e s 1 + , 2 + , 3 + i n F i g . 5 . 3 . 9 a r e i n a c l o c k w i s e s e n s e h o w e v e r f r o m a p o i n t 4 t o a p o i n t 6 a b o u t t h e b r a n c h c u t i n F i g . 5 . 3 . 3 , t h e c o r r e s p o n d i n g p o s i t i v e s u r f a c e - w a v e p o l e . . . + + . . . . . s m g u l a r 1 t 1 e s 4 , 5 , 6 + i n F r g . 5 . 3 . 9 a r e 1 n a c o u n t e r ~ c l o c k w r s e s e n s e S i n c e t h e b r a n c h c u t i n t e g r a t i o n c o n t o u r f r o m a p o i n t 4 t o a p o i n t 6 i n F i g . 5 . 3 . 3 i s i n a n o p p o s i t e s e n s e t o t h a t f r o m a p o i n t 1 t o a p o i n t 3 . C o n v e r s e l y , R e { § } - a x i s i n v e r s i o n c o n t o u r m u s t r e m a i n d i s p o s e d b e l o w t h e n e g a t i v e s u r f a c e - w a v e p o l e s i n g u l a r i t y _ g T M O a n d t h e h a l f r e s i d u e c o n t r i b u t e d b y ' 5 T M 0 l e a d s t o a s u r f a c e - w a v e c o n t r i b u t i o n . F r o m a p o i n t 1 t o a p o i n t 3 a b o u t t h e b r a n c h o u t i n t h e c o m p l e x 4 , “ - p l a n e a s d e p i c t e d i n F i g . 5 . 3 . 3 , t h e c o r r e s p o n d i n g n e g a t i v e s u r f a c e - w a v e p o l e s i n g u l a r i t i e s 1 — , 2 — , 3 _ a s d e p i c t e d i n F i g . 5 . 3 . 9 a r e i n a c o u n t e r - c l o c k w i s e s e n s e h o w e v e r f r o m a p o i n t 4 t o a p o i n t 6 a b o u t t h e b r a n c h c u t i n F i g . 5 . 3 . 3 , t h e c o r r e s p o n d i n g n e g a t i v e s u r f a c e - w a v e p o l e s i n g u l a r i t i e s 4 - , 5 — , 6 _ a s d e p i c t e d i n F i g . 5 . 3 . 9 a r e i n a c l o c k w i s e s e n s e . H e n c e t h e o v e r a l l p r o c e d u r e l e a d s t o a f u l l r e s i d u e c o n t r i b u t i o n f o r t w o c o r r e s p o n d i n g p o i n t s o n t h e b r a n c h c u t c o n t o u r i n F i g . 5 . 3 . 3 . F o r e x a m p l e , a s d e p i c t e d i n F i g . 5 . 3 . 9 , b o t h a n e g a t i v e s u r f a c e - w a v e p o l e s i n g u l a r i t y 2 — a n d 1 5 7 Z h ( 4 : , 4 ’ ) : 0 a n d 2 " ( 6 , 4 ’ ) = 0 r e s p e c t i v e l y . F o r a s u r f a c e - w a v e p o l e s i n g u l a r i t y 5 p a p o s i t i v e s u r f a c e - w a v e p o l e s i n g u l a r i t y 5 + l e a d t o a f u l l r e s i d u e c o n t r i b u t i o n i n t h e f a s h i o n d i s c u s s e d a b o v e . M o r e i m p o r t a n t l y , s i n c e a l l t h e r e s i d u e s o n a p o s i t i v e R e { 5 } - a x i s a r e i n a c o u n t e r - c l o c k w i s e s e n s e a n d t h o s e o n a n e g a t i v e R e { § } - a x i s i n a c l o c k w i s e s e n s e t h e o v e r a l l r e s i d u e c o n t r i b u t i o n w i l l n o t b e a n n u l l e d . S i n c e 5 ( g , ; ) _ ( k 3 — : 2 ) + ( 2 1 0 1 0 1 2 2 1 - 1 ) a ’ 2 " ( 6 , 5 ) 2 " ( 5 , 6 ) ? ( 5 , 4 ) z ” ( : . ; ) = p r ( 5 . : ) + p 2 ( 5 . ; ) c o t h [ p 2 ( ¢ . r ) t ] Z e ( § , € ) = N 2 2 1 p 1 ( < 5 , 4 ) + p 2 ( € . § ) t a n h [ p 2 ( § . € ) t ] T E - o d d a n d T M - e v e n s u r f a c e - w a v e s a r e s u p p o r t e d b y p o l e s i n g u l a r i t i e s a s s o c i a t e d W i t h a s d e p i c t e d i n F i g . 5 . 3 . 1 0 , i t i s n o t e d t h a t 5 p = - € m 0 ( 2 ) : 5 7 7 1 4 0 ( 5 ) i n t h e l o w - l o s s l i m i t s i n c e I m { — § T M O ( 2 ) } - > 0 + a n d I r n { § m 0 ( 5 ) } — ) 0 ‘ . — § m 0 ( 2 ) d e n o t e s a n e g a t i v e s u r f a c e - w a v e p o l e s i n g u l a r i t y f o r a c o r r e s p o n d i n g p o i n t 2 o n t h e b r a n c h c u t c o n t o u r i n F i g . 5 . 3 . 3 . S i m i l a r l y , 5 1 M 0 ( 5 ) d o e s a p o s i t i v e s u r f a c e - w a v e p o l e s i n g u l a r i t y f o r a c o r r e s p o n d i n g p o i n t 5 o n t h e b r a n c h c u t c o n t o u r i n F i g . 5 . 3 . 3 . T h e r e f o r e , f o r a f u l l r e s i d u e e v a l u a t e d a t 6 = 6 p < 1 L e i d 5 C 6 ” l e g ! ) C g ” Z e ( é p ’ ; ) + z e ’ ( § p ’ € ) ( § — § p ) + " ' \ _ ‘ , . _ . J = 0 w h e r e ( 5 . 3 . 2 2 ) z ” ( m ) = j — 5 z e ( é . r ) | , = § p 1 5 8 d 6 ¢ C § p Z e ’ ( € p ’ ; ) ( § — § p ) = Z e ’ ( 1 § 2 n j e e , { ) J ‘ O g e j j w l d i / I l ’ _ — Z e ’ 1 ( . § 2 7 p 5 , { ) ( 5 . 3 . 2 3 ) I t i s n o t e d t h a t C 6 , , i s t h e p o l e - e x c l u d i n g c o n t o u r . U s i n g 2 4 - p 1 ( 6 r 6 ) = - § - ( 1 : 1 2 ) 5 5 W § ) t ] = — _ _ 5 6 0 h 2 [ 1 9 2 ( § { ) 1 ] P 2 ( 6 6 ) l e a d s t o N 2 2 1 5 1 : fi p t a n h [ p 2 ( M y ] s e c h z p 1 ( 6 , 6 ) + p 2 ( , . . r ) + 6 ” [ W W W Z " ( 6 . 5 ) : T h e n , l e t t i n g 5 — 5 , , = e e j ' ” a s d e p i c t e d i n F i g . 5 . 3 . 1 0 , E q n . 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U s i n g t h e s a m e d i m e n s i o n o f a n i n t e g r a t e d m i c r o s t r i p w a v e g u i d e d e t a i l e d p r e v i o u s l y , t h e c u r r e n t a m p l i t u d e a n d p h a s e l o n g i t u d i n a l p r o fi l e s c o n t r i b u t e d b y s u r f a c e - w a v e p o l e s i n g u l a r i t i e s w i t h c h a n g i n g 9 ' a b o u t t h e b r a n c h - c u t c o n t o u r i n F i g . 5 . 3 . 3 a r e d e p i c t e d i n F i g . 5 . 3 . 1 1 a n d F i g . 5 . 3 . 1 2 . C o n s e q u e n t l y , a s r e q u i r e d b y E q n . ( 5 . 3 . 2 ) a n d E q n . 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I t i s n o t e d t h a t t h e s a m e c o n fi g u r a t i o n o f a n i n t e g r a t e d m i c r o s t r i p w a v e g u i d e d e t a i l e d p r e v i o u s l y i s a s s u m e d . n 1 6 5 0 . 1 5 - — n 1 = 1 . w / A o = . 0 0 5 1 — n 2 = 3 . 0 5 7 8 d / A o = ( w / A o ) / 1 0 . - — i = 1 5 G H z t / A o = . 0 6 C o n t i n u o u s C u r r e n t A m p l i t u d e ( m A ) I fl _ ‘ \ _ _ , \ \ \ — \ \ 0 0 5 — l \ ‘ \ \ \ \ ‘ d ‘ “ “ ~ ~ ~ g g g g g 0 1 1 1 1 I 1 1 1 1 I 1 1 1 1 I 1 2 3 4 N o r m a l i z e d L o n g i t u i d a l D i s t a n c e 2 0 1 0 F i g u r e 5 . 3 . 1 3 C o n t i n u o u s c u r r e n t a m p l i t u d e p r o fi l e c o n t r i b u t e d b y b r a n c h c u t c o n t o u r i n t e g r a t i o n : R e { 5 } - a x i s i n v e r s i o n c o n t o u r i n t e g r a t i o n i n c l u d i n g s u r f a c e - w a v e p o l e s i n g u l a r i t i e s i n t h e c o m p l e x 6 - p l a n e . 1 6 6 l L l l l l l l l l l l l l l l l l l J l l l l l L l l l l l l l l l l l l l i l l l l l l l l l l l l l l l L l l l l i l l l l l l l l l l l 3 6 0 n 1 = 1 . w / 7 1 0 = . 0 0 5 1 n 3 = 3 . 0 5 7 8 d / A o = ( w / A O ) / 1 O . 1 0 1 0 : . 0 6 3 0 0 2 4 0 1 8 0 1 2 0 6 0 I / ~ 6 0 / / / - 1 2 0 / / / - 1 8 0 - 2 4 0 C o n t i n u o u s C u r r e n t P h a s e ( d e g r e e ) ' 3 6 0 1 1 1 1 I 1 1 1 1 I 1 1 1 1 _ L N ( A ) N o r m a l i z e d L o n g i t u d i n a l D i s t a n c e z / A 0 F i g u r e 5 . 3 . 1 4 C o n t i n u o u s c u r r e n t p h a s e p r o fi l e c o n t r i b u t e d b y b r a n c h c u t c o n t o u r i n t e g r a t i o n : R e { § } - a x i s i n v e r s i o n c o n t o u r i n t e g r a t i o n i n c l u d i n g s u r f a c e - w a v e p o l e s i n g u l a r i t i e s i n t h e c o m p l e x 5 - p l a n e . 1 6 7 A d d i t i o n a l l y , i t i s n e c e s s a r y t o c o n s i d e r t h e c u t - o f f c r i t e r i o n f o r t h e s u r f a c e - w a v e . 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( 5 . 2 . 2 1 ) , a c h a r a c t e r i s t i c e i g e n v a l u e e q u a t i o n f o r b o u n d - m o d e p o l e s i n g u l a r i t i e s { p i s i ” ” ( 6 1 1 2 - 5 , , ( : . : , , ) ] d : = o w h e r e ~ _ J o ( § w / 2 ) - - - f o r w / t < 2 ( 5 . 4 . 1 ) n ( ; ) — { s i n c ( r § w / 2 ) m f o r w / t 2 2 ( k 1 2 - C p ) + p P 1 ( N 2 1 ‘ 1 ) T h e n , f o r a f u l l r e s i d u e e v a l u a t i o n a t 5 = 4 ’ p w h e r e I 6 ’ ( 5 ’ § P ) : E 1 6 ( § ’ ; 4 ; = ; p ( 5 . 4 . 2 ) D u e t o c o m p l e x i t y o f é z z ( 5 , ; ) w i t h r e s p e c t t o { I , i t i s c o n v e n i e n t t o e x p l o i t a fi n i t e - d i f f e r e n c e s c h e m e f o r 1 ; , ( 6 , { p ) . W i t h a r e a s o n a b l e c h o i c e o f A ; , d ~ I ; ( 6 . 6 + A r ) 5 6 1 5 ( 5 0 1 % : ~ A Z " ( 5 . 4 . 3 ) 1 7 0 C ‘ ( p = 8 3 1 V . E q n . 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U s i n g t h e s a m e m i c r o s t r i p c o n fi g u r a t i o n d e t a i l e d p r e v i o u s l y , n u m e r i c a l r e s u l t s f o r t h e d i s c r e t e c u r r e n t p r o fi l e a r e d e p i c t e d i n F i g . 5 . 4 . 2 a n d F i g . 5 . 4 . 3 . E i g e n v a l u e e q u a t i o n ( 5 . 4 . 1 ) i s s o l v e d f o r { p b y a N e w t o n ’ s m e t h o d r o o t s e a r c h . I t i s n o t e d t h a t t h e c h a r a c t e r i s t i c i m p e d a n c e o f t h e m i c r o s t r i p w a v e g u i d e i s n o t u n i q u e s i n c e i t s u p p o r t s q u a s i T E M - m o d e s . H o w e v e r , a m e a n i n g f u l c h a r a c t e r i s t i c i m p e d a n c e c a n b e c a l c u l a t e d b y e x p l o i t i n g t h e d i s c r e t e ( b o u n d - m o d e ) s p e c t r u m c u r r e n t . A s d e p i c t e d i n F i g . 5 . 4 . 4 a o f F i g . 5 . 4 . 4 , t h e d i s c r e t e c u r r e n t I D i s p r o p a g a t i n g l o n g i t u d i n a l l y w i t h a v o l t a g e V . T h e v o l t a g e c a n b e d e c o m p o s e d i n t o h a l f o f t h e v o l t a g e a s d e p i c t e d i n F i g . 1 7 1 5 . 4 . 4 b o f F i g . 5 . 4 . 4 . T h e u p w a r d a n d d o w n w a r d d i s c r e t e c u r r e n t s a n n u l e a c h o t h e r a t z = 0 b u t a s d e p i c t e d i n F i g . 5 . 4 . 4 c o f F i g . 5 . 4 . 4 , i n fi n i t e s i m a l l y s e p a r a t e d u p w a r d a n d d o w n w a r d d i s c r e t e c u r r e n t s c a n fl o w a t 2 = 0 . T h e r e f o r e , t h e c h a r a c t e r i s t i c i m p e d a n c e Z c i s d e r i v e d b y Z : V / 2 _ _ _ v C I D ( Z = O ) 2 1 0 ( Z = 0 ) ( 5 . 4 . 7 ) w h e r e I D ( z = 0 ) i s t h e d i s c r e t e ( b o u n d - m o d e ) c u r r e n t a t 2 = 0 . T h e f u n d a m e n t a l p r o p e r s u r f a c e - w a v e m o d e 1 7 7 % ) a n d t h e b o u n d - o r g u i d e d - m o d e p o l e s i n g u l a r i t y 4 ’ p a r e d i s p e r s e d t h r o u g h o p e r a t i n g f r e q u e n c y r a n g e s ( 1 ~ 3 8 G H z ) a s d e p i c t e d i n F i g . 5 . 4 . 5 . F o r a 5 - g a p f e e d m o d e l , t h e v o l t a g e i s s e t t o b e u n i t y . T h u s , 1 Z = C 2 1 0 ( Z = 0 ) ( 5 . 4 . 8 ) U s i n g t h e s a m e c o n fi g u r a t i o n d e t a i l e d p r e v i o u s l y , t h e c h a r a c t e r i s t i c i m p e d a n c e Z C o f t h e m i c r o s t r i p w a v e g u i d e t h r o u g h o p e r a t i n g f r e q u e n c y r a n g e s ( 1 ~ 3 8 G H z ) i s , i n a g r e e m e n t w i t h E q n . ( 5 . 4 . 8 ) , d e p i c t e d i n F i g . 5 . 4 . 6 a n d c o m p a r e d w i t h t h e w e l l - k n o w n e m p i r i c a l f o r m u l a [ 5 4 ] . 1 7 2 l ) A m ( e d u t i l p m A t n e r r u C e t e r c s i D _ n , = 1 . w / A o = . 0 0 5 1 _ . n 3 = 3 . 0 5 7 8 d / A o = ( w / A , , ) / 1 0 . 4 f = 1 5 G H z t / A O = . 0 6 N o r m a l i z e d L o n g i t u d i n a l D i s t a n c e z / A o F i g u r e 5 . 4 . 2 D i s c r e t e c u r r e n t a m p l i t u d e p r o fi l e c o n t r i b u t e d b y a b o u n d - o r a g u i d e d - m o d e p o l e s i n g u l a r i t y ( p i n t h e c o m p l e x C - p l a n e . 1 7 3 J l L L l l i L l i l l J L l l J l l l l ) e e r g e J d l L ( L l J e i s l l a h P t i l l l l l i l l n i e l L r L r u C e l L l L L i L l t L e l i r i c l l s l i l l D l l l l l l i l i l l l m ( A ) O ) O n , = 1 . w / x , , = . 0 0 5 1 n , = 3 . 0 5 7 8 d / A , = ( w / A , ) / 1 o . f = 1 5 G H z m a c e 0 . ) O O 2 4 0 1 8 0 7 ‘ 1 2 0 6 0 - 1 2 0 - 1 8 0 - 2 4 0 - 3 0 0 g ' 3 6 0 I r I I i I I I I i I I I I A N 0 ) N o r m a l i z e d L o n g i t u d i n a l D i s t a n c e z / A o F i g u r e 5 . 4 . 3 D i s c r e t e c u r r e n t p h a s e p r o fi l e c o n t r i b u t e d b y a b o u n d - o r a g u i d e d - m o d e p o l e s i n g u l a r i t y { p i n t h e c o m p l e x 4 ’ - p l a n e . 1 7 4 I _ I , 0 O + e 0 ' = 0 0 F i g u r e 5 . 4 . 4 a Q . . . [ 0 : 0 0 " : 0 0 F i g u r e 5 . 4 . 4 h Y . 2 K 2 y ( 7 : 0 0 F i g u r e 5 . 4 . 4 c F i g u r e 5 . 4 . 4 V o l t a g e d e c o m p o s i t i o n d i a g r a m . 1 7 5 [ 1 J l L l l L L l l L l l l l l l l l l I [ l L l l l i l i i l l L l l l i L i L L L l i l l l l l l n , = 1 . w = . 1 0 1 6 m m - d = w / 1 0 . n 2 — 3 . 0 5 7 8 t = 1 . 2 7 m m N o r m a l i z e d P h a s e C o n s t a n t t ; / k o 2 / / / / A T M O / / 1 _ _ _ _ _ _ _ , _ . O T T i i i i i T T l i l l i l l T T T I T l l T T T T i i I l i i l l l i l l ] 0 1 O 2 0 3 0 4 0 F r e q u e n c y ( G H z ) F i g u r e 5 . 4 . 5 T h e d i s p e r s i o n o f t h e f u n d a m e n t a l s u r f a c e - w a v e p o l e s i n g u l a r i t y 1 7 3 , 0 a n d t h e b o u n d o r g u i d e d - m o d e p o l e s i n g u l a r i t y { p t h r o u g h o p e r a t i n g f r e q u e n c y r a n g e s . 1 7 6 5 0 0 _ : / A : C D 4 0 0 _ — E E a . c j 0 ‘ / j ; 3 n , = 1 . w = . 1 0 1 6 m m , Q : n 2 = 3 , 0 5 7 8 d = W / 1 0 . / g 3 0 0 _ 3 t = 1 . 2 7 m m 1 3 a ( D A , C L : / E — / . 9 — , 3 5 2 0 0 — : / h : / / a ) a / 4 d / 0 j , ’ m _ , — / / h — J _ _ _ _ , _ . . - - : ’ _ : _ _ _ . - _ _ - . _ - _ _ . . _ _ _ . _ — m e — — — — — — . . . c 1 0 0 — : E m p i r i c a l F o r m u l a 0 _ . Z 0 I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I T W T I I I I I I I I I I I H ] O 1 0 2 0 3 0 4 0 F r e q u e n c y ( G H z ) F i g u r e 5 . 4 . 6 T h e c h a r a c t e r i s t i c i m p e d a n c e o f t h e m i c r o s t r i p w a v e g u i d e c a l c u l a t e d b y t h e l o n g i t u d i n a l d i s c r e t e o r b o u n d - m o d e c u r r e n t s p e c t r u m t h r o u g h o p e r a t i n g f r e q u e n c y r a n g e s . 1 7 7 5 . 5 M I C R O S T R I P C U R R E N T S P E C T R U M T h e m i c r o s t r i p c u r r e n t i s c o m p o s e d o f t h e c o n t i n u o u s s p e c t r u m c u r r e n t c o n t r i b u t e d b y t h e b a c k g r o u n d l a y e r e n v i r o n m e n t ( b r a n c h p o i n t s ) a n d t h e d i s c r e t e s p e c t r u m c u r r e n t c o n t r i b u t e d b y t h e g u i d i n g s t r u c t u r e ( p o l e s ) . A s d e p i c t e d i n F i g . 5 . 5 . 1 , t h e m i c r o s t r i p c u r r e n t i s d o m i n a t e d b y t h e d i s c r e t e s p e c t r u m c u r r e n t r a t h e r t h a n t h e c o n t i n u o u s s p e c t r u m c u r r e n t . I t i s n o t e d t h a t p h y s i c a l l y , t h e m i c r o s t r i p c u r r e n t i s a s s o c i a t e d w i t h t h e g u i d i n g s t r u c t u r e r a t h e r t h a n t h e b a c k g r o u n d l a y e r e n v i r o n m e n t . T h e r e f o r e , t h e m i c r o s t r i p c u n ' e n t i s l e s s d o m i n a t e d b y t h e c o n t i n u o u s s p e c t r u m c u r r e n t c o n t r i b u t e d b y t h e t h a t b a c k g r o u n d . I n a g r e e m e n t w i t h E q n . ( 5 . 3 . 2 5 ) , t h e m i c r o s t r i p c u r r e n t s p e c t r u m c a n b e v a l i d a t e d b y R e { § } - a x i s i n v e r s i o n c o n t o u r i n t e g r a t i o n a s d e p i c t e d i n F i g . 5 . 5 . 3 . S i n c e t h e i n t e g r a n d o f d ; i n E q n . ( 5 . 2 . 2 1 ) i s e v e n i n C 9 J Z ( z ) : 2 L : 0 0 f i g ( 4 ; ) - c o s ( § ’ z ) d § ( 5 . 5 . 1 ) L 1 7 2 ( : ) [ — ’ , - ’ : i c z z ( : , r ) } a : T h e r e f o r e , e v e n t h o u g h F i g . 5 . 5 . 3 d e p i c t s t h e e n t i r e R e { ; } - a x i s i n t e g r a t i o n f r o m — ° ° t o 0 0 , t h e m i g r a t i o n o f 6 - p l a n e s i n g u l a r i t i e s w i t h c h a n g i n g Q “ n e e d s t o b e c o n s i d e r e d o n l y a l o n g t h e p o s i t i v e R e { § } - a x i s i n v e r s i o n c o n t o u r a s d e p i c t e d i n F i g . 5 . 5 . 4 . M o r e i m p o r t a n t l y , t h e c u t - o f f c r i t e r i o n f o r t h e n t h s u r f a c e - w a v e m o d e m u s t b e c a r e f u l l y c o n s i d e r e d . I n t h e i n t e r v a l 1 , a s d i s c u s s e d i n S e c t i o n 5 . 3 , 5 k , = ' 5 1 : , l e fl ’ fi fl / 2 = ' 5 1 : , I : m , = | : m 0 | e ’ ( ‘ ” * ” ) / 2 = | : m , | I n t h e i n t e r v a l 2 , 1 7 8 é m o = l g m o l ‘ j l g m o l i 5 k , = I é k , I t e j w t y 2 = ‘ 1 1 n g 5 m m , = l é m o | 9 j ( _ fl + fl ) / 2 = l g m o ‘ I n t h e i n t e r v a l 3 , 5 k , = I Q , I e j ( _ ” ) / 2 = - J ' | 5 k , l e j ( - 7 r ) / 2 z I t i s o b s e r v e d t h a t l g T M O I > | € k l l f o r a n y C a l o n g t h e p o s i t i v e R e { § } - a x i s i n v e r s i o n c o n t o u r . H e n c e , i n t h e l o w - l o s s l i m i t , a s t a n d a r d s q u a r e - r o o t f u n c t i o n c a n b e e x p l o i t e d i n p 1 ( i é m o , é ’ ) ( n o c o m p l e x - p h a s o r d i a g r a m i s r e q u i r e d ) . I n t h e i n t e r v a l 1 i n F i g . 5 . 5 . 3 , t o 6 " ! , t h e p o s i t i v e b r a n c h - p o i n t s i n g u l a r i t y i n t h e c o m p l e x 4 : - p l a n e , m i g r a t e s f r o m 5 k , 0 o n R e { § } - a x i s . I n t h e i n t e r v a l s 2 a n d 3 , g 1 m i g r a t e s f r o m 0 t o — j 0 0 o n I m { § } - a x i s a s d e p i c t e d i n F i g . 5 . 5 . 4 . S i m i l a r l y , i n t h e i n t e r v a l 1 , t h e n e g a t i v e b r a n c h - p o i n t t o 0 o n R e { § } - a x i s a n d i n t h e i n t e r v a l s 2 a n d 3 , s i n g u l a r i t y — § k l m i g r a t e s f r o m - | § k l m i g r a t e s f r o m O t o j o o o n I m { § } - a x i s . A s d e p i c t e d i n F i g . 5 . 5 . 4 , t h e p o s i t i v e s u r f a c e - w a v e p o l e s i n g u l a r i t y 6 W D m i g r a t e s f r o m l é m o l t o O o n R e { f } - a x i s i n t h e i n t e r v a l s 1 a n d 2 . I n t h e i n t e r v a l 3 , é T M O m i g r a t e s f r o m 0 t o — j 0 0 o n I m { § } - a x i s . S i m i l a r l y , t o 0 o n R e { € } - a x i s a n d i n t h e i n t h e i n t e r v a l s 1 a n d 2 , ' é T M O m i g r a t e s f r o m — | € m 0 i n t e r v a l 3 , m i g r a t e s f r o m 0 t o f e e o n I m { t f } - a x i s . A n d a l s o R e { § } - a x i s i n v e r s i o n c o n t o u r i n t e g r a t i o n a n d t h e s u r f a c e - w a v e r e s i d u e c o n t r i b u t i o n i n t h e c o m p l e x 5 - p l a n e a r e 1 7 9 ’ : ( 5 ’ 5 p + 1 5 9 " ) : i : ’ 7 2 ( 5 ) [ m - k — ‘ C e ( § , € ) ] d € | s i m i l a r l y c a l c u l a t e d a s d i s c u s s e d i n S e c t i o n 5 . 3 . O n t h e o t h e r h a n d , m o r e c a r e f u l l y , i n t h e i n t e r v a l 3 i n F i g . 5 . 5 . 3 , t h e b o u n d - o r g u i d e d - m o d e p o l e s i n g u l a r i t y C p c o n t r i b u t e s t o t h e h a l f r e s i d u e a s d e p i c t e d i n t h e d o t t e d b o x . T h e r e f o r e , i n a g r e e m e n t w i t h E q n . ( 5 . 4 . 6 ) a n d E q n . ( 5 . 5 . 1 ) , t h e h a l f r e s i d u e a b o u t 6 = C p i s e v a l u a t e d b y 2 i . : < _ _ _ ) . . . A d d s ) , 8 ( fi c g p 1 6 ( 6 C ) 8 ( { Z ) d ; = ” 1 : 6 2 9 ; + A C ) 0 ( n g ) w h e r e ( 5 . 5 . 2 ) € = § p + A g U n l i k e i n E q n . ( 5 . 4 . 6 ) , t h e m i n u s s i g n d e n o t e s t h a t C § p i s i n a c l o c k w i s e s e n s e . T h e n , E q n s . 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( 5 . 3 . 2 5 ) c a n b e v a l i d a t e d n u m e r i c a l l y a s d e p i c t e d i n F i g s . 5 . 5 . 5 , 5 . 5 . 6 , 5 . 5 . 7 a n d 5 . 5 . 8 f o r a n d a w a y f r o m n e a r z o n e s . 1 8 0 ) A m ( e d u t i l p m A t n e r r u C l a t o T < > < > < > < > I , ( C o n t i n u o u s S p e c t r u m ) ® ® ® I , ( D i s c r e t e S p e c t r u m ) — — — — I , ( T o t a l C u r r e n t ) n , = 1 . w / A o = . 0 0 5 1 n , = 3 . 0 5 7 8 d / 7 \ 0 = ( w / 2 0 ) / 1 0 . f = 1 5 G H z t / A o = . 0 6 4 i 3 ’ 5 ‘ 8 ‘ fl £ « 0 ‘ 9 ‘ 8 ~ 0 — ® ~ ® — 0 ‘ ® — 8 — — ® — O — 0 — 0 — 0 — - _ J — _ l 2 — % F i g u r e 5 . 5 . 1 N o r m a l i z e d L o n g i t u d i n a l D i s t a n c e z / 7 t O T o t a l m i c r o s t r i p c u r r e n t a m p l i t u d e p r o fi l e c o n t r i b u t e d b y t h e c o n t i n u o u s s p e c t r u m c u r r e n t a n d t h e d i s c r e t e s p e c t r u m c u r r e n t . 1 8 1 3 6 0 3 0 0 n , = 1 . 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I t i s n o t e d t h a t p h y s i c a l l y , t h e m i c r o s t r i p c u r r e n t i s a s s o c i a t e d w i t h t h e g u i d i n g s t r u c t u r e r a t h e r t h a n t h e b a c k g r o u n d l a y e r e n v i r o n m e n t . T h e r e f o r e , t h e m i c r o s t r i p c u r r e n t i s l e s s d o m i n a t e d b y t h e c o n t i n u o u s s p e c t r u m c u r r e n t c o n t r i b u t e d b y t h a t b a c k g r o u n d l a y e r . I n F i g . 5 . 6 . 5 , t h e d e p e n d e n c e o f c o n t i n u o u s s p e c t r u m c u r r e n t a m p l i t u d e u p o n e l e c t r i c a l fi l m t h i c k n e s s w i t h v a r i o u s e l e c t r i c a l s t r i p w i d t h s i s d e p i c t e d . T h e d e p e n d e n c e o f c o n t i n u o u s s p e c t r u m c u r r e n t a m p l i t u d e u p o n e l e c t r i c a l s t r i p w i d t h i s d e p i c t e d i n F i g . 5 . 6 . 6 . 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O F i g u r e 5 . 6 . 5 M i c r o s t r i p c o n t i n u o u s s p e c t r u m c u r r e n t a m p l i t u d e v e r s u s e l e c t r i c a l fi l m t h i c k n e s s w i t h v a r i o u s e l e c t r i c a l s t r i p w i d t h s . 1 9 4 0 . 3 5 I A 0 . 3 — , ’ / < — ‘ / / / é : x a ) i , / ’ U 0 . 2 5 — / / 3 “ I / / 3 : _ / o . — , / ’ E 0 . 2 — / / / d — o — , / c : — / a ) _ / t z X 3 0 . 1 5 ' — 1 / 0 j / g : n , = 1 . d / } O = ( W / 2 t o ) / 1 O . g 0 . 1 — I n , = 3 . 0 5 7 8 U 7 . O = . 0 6 3 5 c _ _ , 3 j f _ 1 5 ( 3 H z 2 0 . 0 - 4 . c — I o q 0 0 . 0 5 — ~ 0 T I T I I I I T I I I I I I I I I I I I I I I I I l l I l I l l l l I l l l l I I I I l I 0 . 0 1 0 . 0 2 0 . 0 3 0 . 0 4 0 . 0 5 0 . 0 6 0 . 0 7 0 . 0 8 0 . 0 9 0 . 1 N o r m a l i z e d M i c r o s t r i p W i d t h w / A o F i g u r e 5 . 6 . 6 M i c r o s t r i p c o n t i n u o u s s p e c t r u m c u r r e n t a m p l i t u d e v e r s u s e l e c t r i c a l s t r i p w i d t h . 1 9 5 1 5 — n , = 1 . d / A o = ( w / 7 I O ) / 1 O . n , = 3 . 0 5 7 8 2 0 0 : 4 . f = 1 5 G H z A — < E 1 0 — 4 V G ) _ = . ' 0 w / A 0 0 6 2 2 3 , 4 : a Q . E a \ < r - a \ w / 2 , = . 0 2 5 4 4 - 0 j k x C \ \ 9 T - ~ x . s 5 “ T r - ‘ * - ~ — . . _ 2 ~ w / = . 0 0 5 1 o e ~ ~ ~ ~ ~ ~ ‘ 9 . _ _ _ _ _ _ 0 I I I I I I I I I I I I 0 . 0 5 0 . 0 6 0 . 0 7 0 . 0 8 N o r m a l i z e d F i l m T h i c k n e s s t / A 0 F i g u r e 5 . 6 . 7 M i c r o s t r i p c u r r e n t a m p l i t u d e v e r s u s e l e c t r i c a l fi l m t h i c k n e s s w i t h e l e c t r i c a l s t r i p w i d t h s . 1 9 6 C u r r e n t A m p l i t u d e ( m A ) 1 5 % _ n , = 1 . d / 2 , = ( w / 2 , , ) / 1 0 . n , = 3 . 0 5 7 8 t / A o = . 0 6 3 5 “ f = 1 5 G H z 2 0 0 : 4 . 1 0 — — , 1 ” fl / / / , 5 — / / / O F I T I I I I l l I l l l l I l l l e l l l l I I l l [ I l l e I l l - I I I I T T I I 0 . 0 1 0 . 0 2 0 . 0 3 0 . 0 4 0 . 0 5 0 . 0 6 0 . 0 7 0 . 0 8 0 . 0 9 0 . 1 N o r m a l i z e d M i c r o s t r i p W i d t h w / A o F i g u r e 5 . 6 . 8 M i c r o s t r i p c u r r e n t a m p l i t u d e v e r s u s e l e c t r i c a l s t r i p w i d t h s . 1 9 7 5 . 7 C O N C L U S I O N I t i s o b s e r v e d t h a t s i n g u l a r i t i e s i n t h e c o m p l e x 5 - p l a n e i n c l u d e p o l e s a s s o c i a t e d w i t h t h e g u i d i n g s t r u c t u r e a n d b r a n c h p o i n t s c o n t r i b u t e d b y t h e l a y e r e d b a c k g r o u n d e n v i r o n m e n t . S i n g u l a r i t i e s a s s o c i a t e d w i t h t h e b a c k g r o u n d l a y e r e n v i r o n m e n t m a n i f e s t t h e m s e l v e s a s b r a n c h p o i n t s i n t h e c o m p l e x { I - p l a n e . T h e c o n t i n u o u s s p e c t r u m c u r r e n t i s c o n t r i b u t e d b y t h e i n t e g r a t i o n c o n t o u r a b o u t b r a n c h c u t s a s s o c i a t e d w i t h t h o s e b r a n c h p o i n t s . T h e d i s c r e t e s p e c t r u m c u r r e n t i s c o n t r i b u t e d b y r e s i d u e s a t p o l e s i n g u l a r i t i e s a s s o c i a t e d w i t h t h e g u i d i n g s t r u c t u r e . T h e c h a r a c t e r i s t i c i m p e d a n c e o f t h e m i c r o s t r i p w a s o b t a i n e d u s i n g t h e d i s c r e t e - o r b o u n d - m o d e s p e c t r u m c u r r e n t a n d w a s v a l i d a t e d b y c o m p a r i s o n w i t h a w e l l - k n o w n e m p i r i c a l f o r m u l a . M i c r o s t r i p c u r r e n t i s c o m p o s e d o f t h e c o n t i n u o u s s p e c t r u m c u r r e n t a n d t h e d i s c r e t e s p e c t r u m c u r r e n t . N u m e r i c a l l y i t i s o b s e r v e d t h a t t h e t o t a l m i c r o s t r i p c u r r e n t i s d o m i n a t e d b y t h e d i s c r e t e s p e c t r u m c u r r e n t r a t h e r t h a n t h a t o f t h e c o n t i n u o u s s p e c t r u m . T h e m i c r o s t r i p c u r r e n t w a s v a l i d a t e d b y c o m p a r i s o n w i t h R e { § } - a x i s i n v e r s i o n c o n t o u r i n t e g r a t i o n . T h e 3 D - E M fi e l d s i n t h e b a c k g r o u n d l a y e r e n v i r o n m e n t w i l l b e c a l c u l a t e d i n C h a p t e r 6 b a s e d u p o n t h e m i c r o s t r i p c u r r e n t f o u n d h e r e . 1 9 8 N I H . I u I H F ’ A I - ‘ I L ‘ : 3 1 2 9 3 0 2 3 2 7 0 9 9 8 V I I H I I I - ‘ r l . : . I t I I I . I ; - . u - u . " . 4 . r . L I B R A R Y M i c h i g a n S t a t e U n i v e r s i t y P L A C E I N R E T U R N B O X t o r e m o v e t h i s c h e c k o u t f r o m y o u r r e c o r d . T O A V O I D F I N E S r e t u r n o n o r b e f o r e d a t e d u e . M A Y B E R E C A L L E D w i t h e a r l i e r d u e d a t e i f r e q u e s t e d . D A T E D U E D A T E D U E D A T E D U E A m m 2 % M A Y 0 3 2 0 0 7 0 2 0 9 . , F 6 / 0 1 c J C I R C / D a t e D u o . p G S - p . 1 5 T H E A S Y M P T O T I C R A D I A T I O N F I E L D A N D P R O P E R P R O P A G A T I O N M O D E S P E C T R A O F T H E O P E N P L A N A R W A V E G U I D E V O L U M E I I B y J e o n g - S e o g L e e A D I S S E R T A T I O N S u b m i t t e d t o M i c h i g a n S t a t e U n i v e r s i t y i n p a r t i a l f u l fi l l m e n t o f t h e r e q u i r e m e n t s f o r t h e d e g r e e o f D O C T O R O F P H I L O S O P H Y D e p a r t m e n t o f E l e c t r i c a l a n d C o m p u t e r E n g i n e e r i n g 2 0 0 2 T H " 6 . ] w a v e a d c q t e x p a t i n C h . S t r u c t r r e c a l l s t h e m e A : S o u r c e [ h f i n t : c o n i c . ” r b a C k g r O S P C C t n m S i n g u l a n ‘ b r a n c h C r b r a n c h c : l d c " " l C a i i C H A P T E R 6 T H E P R O P E R E M F I E L D S P E C T R U M O F A N O P E N I N T E G R A T E D M I C R O S T R I P W A V E G U I D E 6 . 1 I N T R O D U C T I O N A N D G E O M E T R I C A L C O N F I G U R A T I O N L i k e i n C h a p t e r 5 f o r i t s c u r r e n t , t h e c o n t i n u o u s s p e c t r u m fi e l d s o f i n t e g r a t e d o p e n w a v e g u i d e s t r u c t u r e s h a v e b e e n u n t i l r e c e n t l y n e i t h e r c o n c e p t u a l i z e d n o r q u a n t i fi e d a d e q u a t e l y . T h a t s p e c t r u m w a s i d e n t i fi e d a s t h e b r a n c h c u t c o n t r i b u t i o n t o s i n g u l a r i t y e x p a n s i o n o f t h o s e fi e l d s i n t h e c o m p l e x a x i a l t r a n s f o r m p l a n e ( 4 ’ - p l a n e ) . A s d i s c u s s e d i n C h a p t e r s 4 a n d 5 , s i n g u l a r i t i e s i n t h a t p l a n e i n c l u d e p o l e s a s s o c i a t e d w i t h t h e g u i d i n g s t r u c t u r e a n d b r a n c h p o i n t s c o n t r i b u t e d b y l a y e r e d b a c k g r o u n d e n v i r o n m e n t s . I t i s a l s o r e c a l l e d t h a t s i n g u l a r i t i e s a s s o c i a t e d w i t h t h e b a c k g r o u n d l a y e r e n v i r o n m e n t s m a n i f e s t t h e m s e l v e s a s b r a n c h p o i n t s i n t h e c o m p l e x 4 : - p l a n e . A s d i s c u s s e d i n C h a p t e r 5 , a 5 - g a p fi e l d f e e d m o d e l w a s e x p l o i t e d a s a n e x c i t a t o r y s o u r c e [ 4 9 ] - [ 5 2 ] . U s i n g t h e r e s u l t i n g s p e c t r a l m i c r o s t r i p c u r r e n t f r o m C h a p t e r 5 , fi e l d s o f t h e i n t e g r a t e d o p e n w a v e g u i d e a r e r e c o v e r e d f r o m t h e s p e c t r a l d o m a i n b y i n t e g r a t i o n c o n t o u r d e f o r m a t i o n o n t h e t o p s h e e t o f t h e c o m p l e x 5 — p l a n e . A s a r e s u l t , fi e l d s i n t h e b a c k g r o u n d l a y e r e n v i r o n m e n t s a r e o b t a i n e d i n t e r m s o f t h e p r o p e r p r o p a g a t i o n m o d e s p e c t r u m . T h a t s p e c t r u m c o n s i s t s o f b o u n d p r o p a g a t i o n m o d e s a s s o c i a t e d w i t h p o l e s i n g u l a r i t i e s a n d a c o n t i n u o u s s p e c t r u m [ 3 1 ] , [ 5 3 ] a s s o c i a t e d w i t h i n t e g r a t i o n a r o u n d b r a n c h c u t s c o n t r i b u t e d b y l a y e r e d b a c k g r o u n d e n v i r o n m e n t s . D u r i n g i n t e g r a t i o n a r o u n d b r a n c h c u t s , s i n g u l a r i t i e s i n t h e t r a n s v e r s e c o m p l e x t r a n s f o r m p l a n e ( 5 - p l a n e ) m i g r a t e i d e n t i c a l l y a s i n C h a p t e r 5 . T h e r e f o r e , t h e o v e r a l l p r o c e d u r e l e a d s t o a d e c o m p o s i t i o n o f 1 9 9 t h e t o t n u m e r E r c o n t i n t r e c o g n c o n t i n t l a y e r s c o n d u c s p e c t r u T h e p l a n a r - l “ C W i s a x i s t a n “ S u m e c 1 : ] , 2 t h e t o t a l fi e l d s i n t o b o u n d m o d e s a n d c o n t i n u o u s s p e c t r u m c o n t r i b u t i o n s . T h e r e s u l t i s n u m e r i c a l l y v a l i d a t e d b y r e a l a x i s i n t e g r a t i o n i n t h e c o m p l e x ; - p l a n e . E x t e n s i v e n u m e r i c a l r e s u l t s a r e o b t a i n e d , w h i c h c a n c o m p a r e b o u n d m o d e a n d c o n t i n u o u s s p e c t r u m c o n t r i b u t i o n s t o fi e l d s i n t h e l a y e r e d b a c k g r o u n d e n v i r o n m e n t s . I t i s r e c o g n i z e d , u n l i k e i n C h a p t e r 5 , t h a t m o s t fi e l d s i n b o t h l a y e r s a r e d o m i n a t e d b y t h e c o n t i n u o u s s p e c t r u m . H o w e v e r , p h y s i c a l l y , i t i s a c c e p t a b l e s i n c e fi e l d s i n b a c k g r o u n d l a y e r s a r e d i r e c t l y a s s o c i a t e d w i t h t h o s e e n v i r o n m e n t s b r a n c h p o i n t s r a t h e r t h a n t h e c o n d u c t i n g m i c r o s t r i p p o l e s . T h e c o n t i n u o u s s p e c t r u m d o m i n a t e s o v e r t h e d i s c r e t e s p e c t r u m n e a r t h e f e e d p o i n t . T h e g e o m e t r i c a l c o n fi g u r a t i o n o f i n t e g r a t e d m i c r o s t r i p w a v e g u i d e i m m e r s e d i n a p l a n a r - l a y e r e d b a c k g r o u n d e n v i r o n m e n t i s d e p i c t e d i n F i g . 6 . 1 . 1 w h i l e i t s c r o s s - s e c t i o n a l v i e w i s d e p i c t e d i n F i g . 6 . 1 . 2 . T h e w a v e g u i d i n g a x i s i s c h o s e n t o b e z - a x i s w i t h t h e x - a x i s t a n g e n t i a l a n d y - a x i s n o r m a l t o t h e p l a n a r i n t e r f a c e s . E a c h o f t h e p l a n a r l a y e r s i s a s s u m e d t o b e n o n - m a g n e t i c , i s o t r o p i c a n d h o m o g e n e o u s w i t h c o m p l e x p e r m i t t i v i t y 8 , , 1 = 1 , 2 , 3 f o r t h e c o v e r , fi l m , a n d s u b s t r a t e l a y e r s w i t h 8 3 - — ) — j ° ° o r 0 ' — > 0 0 . T h e g u i d i n g s t r u c t u r e i s e m b e d d e d i n t h e c o v e r l a y e r a d j a c e n t t o t h e c o v e r / fi l m i n t e r f a c e . 2 0 0 W M ( # 0 ) \ \ \ \ \ \ . . . . . . . . . . . \ \ v i w e o f i e m m r s e d m i e r o s t r i p 6 . 2 E T h e i n d u c e d W h e r e I W h e r e 5 f , : x j . T h 6 “ . [ h t 6 . 2 E M F I E L D F O R M U L A T I O N T h e e l e c t r i c t y p e H e r t z i a n p o t e n t i a l i n t h e l ’ t h ( 1 : 1 a n d 2 ) l a y e r m a i n t a i n e d b y t h e i n d u c e d s u r f a c e c u r r e n t k ( r 1 y = 0 5 ) i m m e r s e d i n t h e c o v e r l a y e r ( 1 : 1 ) s a t i s fi e s V 2 1 ' 1 1 ( r ) + k 1 2 l T , ( r ) = — P ( r ) ( 6 . 2 . 1 ) 5 1 w h e r e P ( r ) = k ( r ) / j ( 0 a n d k } = ( 0 2 8 , “ ) . T h e n , { M y ( 6 . 2 . 2 ) 1 0 1 3 1 ” I ( r ) = I 5 6 1 w h e r e S d e n o t e s t h e c o n d u c t i n g s u r f a c e o f t h e m i c r o s t r i p . S i n c e k ( r ' ) = fi k z ( r ’ ) f o r r ' = 3 : 5 5 + 0 5 7 + z fi i n a c c o r d a n c e w i t h E q n . ( 5 . 2 . 1 2 ) , n , ( r ) = j : i W / 2 G ( l 3 * “ ; M m d x ’ ( 6 2 - 3 ) — w / 2 T h e n , t h e E M fi e l d s a r e d e r i v e d f r o m E , ( r ) = ( k , 2 + v v . ) n , ( r ) ( 6 . 2 . 4 ) ” 1 0 . ) : J ' G J E I V X H I ( ’ ) T h e r e f o r e , t h e e l e c t r i c fi e l d s f o r t h e 1 ’ t h l a y e r a r e 2 3 E u ( r ) : ’ 9 n i x ( ’ ) + $ [ V ' n 1 0 ‘ fl a E l y ( r ) : k i l l — [ 1 y ( r ) + $ [ V - H , ( r ) 1 ( 6 2 5 ) a . ( 0 4 , 2 1 1 , . ( r ) + § z - [ v - n , ( r ) ] w h e r e r = i x + y y + 2 z . 2 0 2 ( ’ } . F o r t h e [ 1 1 ( r ) = L 0 0 J _ ‘ o . w : a 2 / f 2 fi { x A y - 1 2 B ( C ; 1 8 5 2 h 7 e ? ’ j ( ) [ I “ I " Z 2 ( - Z ' P x 1 - : § ) ) ( x + e ) ] ' 5 A Z [ G l p ( r l r - + , P § § 1 ) ( ( Z i - . Z 5 ' y ) ) l e - , n ) + G ] r : M r , H } J 2 : I 2 2 : 1 0 I ) d x I d z I ( M b F o r t h e m a g n e t i c fi e l d s , p a n l y ( r ) _ 3 U 1 x ( r ) l a x 8 y _ F a n l z ( r ) _ B I L ) , ( r ) l _ a , a z l p a n z x ( ’ ) _ 3 1 1 1 2 0 ) - _ d z a x J l e ( r ) = j a £ l l — H , x ( r ) = j w e , ( 6 . 2 . 6 ) H l y ( r ) : 1 0 0 $ ] 6 . 2 . 1 C O V E R F I E L D F O R M U L A T I O N S i n c e I ( z ' ) = 2 1 2 ( 5 ) ( s e e A p p e n d i x E ) , 3 6 ’ ' r ' ) - 2 = 5 3 l e a ? " ) + 2 [ G l p ( r l r ’ ) + G 1 : ( r l r ’ ) : l ( 6 . 2 . 7 ) 6 1 ( r T h e r e f o r e , e x p l o i t i n g E q n . ( 6 . 2 . 3 ) d § d § 0 6 0 1 / ) : H R 1 , ( € , § ) 2 ( 2 7 t ) 2 p 1 ( § C ) ( 1 5 " ; a s ] ; ( r l r ’ ) . 3 1 1 : 5 ( ” E E C ( k a l e - P l ( é J ) y = C C r 5 , 4 " ‘ ( 1 : 2 1 ; d z { 3 ‘ } 1 ( I 2 ( 2 1 t ) 2 p 1 ( § , § ) ( 6 . 2 . 8 ) T h e c o e f f i c i e n t s R 1 , ( 6 , ; ) a n d C 1 , ( 5 , ; ) a r e d e t e r m i n e d b y 2 0 3 m a r ) — p 2 ( r : . § ) c o t h [ p 2 ( 5 , § ) t ] - “ Z ' d ' l j ‘ z n —- ( [ : 1 n 2 1 e 2 < e > ' - ; ) = - j ; ; + e l 1 i i ( i p ) K . ~ n 1 . % 0 _ 0 i . { i = a f c n < x ) 1 ~ . 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T h e n i t i s o b s e r v e d t h a t t h e fi l m f i e l d i s c o m p o s e d b y t h e c o n t i n u o u s s p e c t r u m c o n t r i b u t e d b y t h e b a c k g r o u n d l a y e r e n v i r o n m e n t a n d t h e d i s c r e t e s p e c t r u m c o n t r i b u t e d b y t h e g u i d i n g s t r u c t u r e . N u m e r i c a l r e s u l t s f o r t h e fi l m fi e l d w i l l b e p r e s e n t e d i n S e c t i o n 6 . 3 a n d i t i s o b s e r v e d t h a t t h e fi l m fi e l d i s a l s o m o s t l y d o m i n a t e d b y t h e c o n t i n u o u s s p e c t r u m r a t h e r t h a n t h e d i s c r e t e s p e c t r u m . M e a n w h i l e o n l y t h e l o n g i t u d i n a l p r o fi l e o f fi l m fi e l d i s d o m i n a t e d b y t h e d i s c r e t e s p e c t r u m a w a y f r o m t h e n e a r z o n e s i n c e t h e d i s c r e t e s p e c t r u m i s c o n s t a n t w h i l e t h e c o n t i n u o u s s p e c t r u m i s d e c r e a s i n g w i t h l o n g i t u d i n a l d i s p l a c e m e n t a w a y f r o m t h e s o u r c e . I t i s a l s o o b s e r v e d , i n a g r e e m e n t w i t h E q n . ( 6 . 2 . 4 3 ) , t h a t t h e fi l m fi e l d c a n b e v a l i d a t e d b y R e { g ’ } - a x i s i n v e r s i o n c o n t o u r i n t e g r a t i o n a s d i s c u s s e d p r e v i o u s l y i n S e c t i o n 5 . 5 . T h i s a l l o w s o n e t o c o n fi r m t h e p h y s i c s 2 3 0 J : fi ( § ) i ( N 2 1 ’ 1 ) ( 5 + . . 5 ” , , “ ) " ( 6 N a { z ) i 2 1 — " ) ( Z ” ( ( o 6 s 6 2 h + ( p 6 6 ) c § a 2 + ) 1 2 t + ) ) z 1 6 " ( 1 h 6 ) s i n 1 [ 1 2 ( 5 5 ) } 2 2 6 ( 2 6 ( 6 € ) 9 ’ ) 1 ] o f t h e fi l m fi e l d . S i n c e t h e i n t e g r a n d o f d ; i n E q n . ( 6 . 2 . 4 2 ) i s o d d i n g “ , I Z J J d C 0 ° 2 fl a g ) 7 ’ ” 2 1 L y ? ( 6 ’ ) C z z ( 6 1 6 ) 6 1 6 ’ a . ~ ( s z l — l ) ( 5 2 + 4 2 + ) 1 1 7 2 ( 5 9 ? ) i i i — 6 6 1 7 ( 6 ) h e h z ( 6 6 ) 2 ( 6 6 ) c o s h ( p 2 t ) z ( 6 6 ) s i n h [ p 2 ( 6 6 ) : ] c o s h [ p 2 ( y + t ) ] e j § x d § E z y ( r ) : s i n ( § z ) A g a i n , t h e m i g r a t i o n o f 5 - p l a n e s i n g u l a r i t i e s w i t h t h e c o r r e s p o n d i n g c h a n g i n g o f 5 a l o n g t h e p o s i t i v e R e { § } - a x i s i n v e r s i o n c o n t o u r i s i d e n t i c a l t o t h a t d i s c u s s e d i n S e c t i o n 5 . 5 . A l s o t h e b o u n d - o r g u i d e d - m o d e p o l e s i n g u l a r i t y C p c o n t r i b u t e s t o t h e h a l f r e s i d u e a s d e p i c t e d i n F i g . 5 . 5 . 3 . T h e r e f o r e , t h e h a l f r e s i d u e i n a c l o c k w i s e s e n s e a b o u t { , 9 = C p i s e v a l u a t e d b y 6 5 . ( 6 ) : 6 2 ( 6 ) 6 6 ( 6 2 6 ) 6 1 6 ' s i n ( ( 2 ) z " ( 6 6 ) 2 6 ( 6 6 ) c o s h ( p a t ) 2 " ( 6 6 ) s i n h [ p 2 ( 6 0 t ] c o s h [ p 2 ( y + t ) ] e j ; x d § = _ 1 2 m { 1 7 : 3 n g ( 9 9 1 2 ) s i n ( ( p z ) ” 2 1 ( “ 1 7 2 6 3 6 4 6 2 6 , + A 6 ) d 6 ’ c o s h [ p 2 ( y + t ) ] e j § x § = § p 2 3 1 N u n 0 m a t e . L C O m p a l o n g - a l o n g . T h e n , t h e fi l m fi e l d c o n t r i b u t e d b y R e { § } - a x i s i n v e r s i o n c o n t o u r i n t e g r a t i o n b e c o m e s 1 n ' s z l 6 1 3 g ( 6 " ) £ 0 1 7 2 ( 5 ) 6 2 2 ( 5 1 4 " ) ‘ 1 5 ' ( N g l - l ) ( 5 2 + 4 2 ) + 1 p 2 ( § , C ) : Z ” ( § , § ) Z e ( 6 , § ) c o s h ( P 2 t ) 2 " ( 6 . 6 ) s i n h [ p 2 ( 6 6 ) t ] c o s h [ p 2 ( y + t ) ] e j § x d § _ I é r 1 2 ~ A § f ‘ g ( 5 p ) N 2 2 1 1 3 2 6 3 6 . . ( 6 2 6 , , + A 6 ) d 6 ' ( N 2 2 1 - 1 ) ( 6 2 + 6 2 ) + 1 1 2 2 0 5 6 ) . 2 " ( 6 6 ) ? ( 6 , 6 ) c o s h ( p 2 t ) 2 ” ( 6 . 6 ) s i n h [ p 2 ( 6 , 6 ) t ] c o s h [ p 2 ( y + t ) ] e j € x E z y ( r ) : g o d ; s i n ( { z ) I : fi ( § ) S i n ( C P Z ) fl d é fi fl f ) ( 2 ; ! ) N u m e r i c a l r e s u l t s f o r v a l i d a t i n g E q n . ( 6 . 2 . 4 3 ) w i l l b e p r e s e n t e d i n S e c t i o n 6 . 3 . A l t e r n a t i v e l y , t h e fi l m fi e l d c a n a l s o b e f o r m u l a t e d i n t h e c o m p l e x x i - p l a n e r a t h e r t h a n i n t h e c o m p l e x 5 - a n d 4 : - p l a n e s ( s e e A p p e n d i x G ) . 6 . 2 . 3 N O R M A L B O U N D A R Y C O N D I T I O N O n e o f t h e r e a s o n s t o c h o o s e t h e y — c o m p o n e n t e l e c t r i c fi e l d i s t h a t i t i s c o n v e n i e n t t o m a t c h t h e b o u n d a r y c o n d i t i o n f o r t h a t n o r m a l fi e l d a t t h e i n t e r f a c e y = O , i . e . , t h e n o r m a l c o m p o n e n t d i f f e r e n c e a t t h e i n t e r f a c e y = 0 i s p r o p o r t i o n a l t o t h e c h a r g e d i s t r i b u t i o n a l o n g t h e i n t e r f a c e . T h e c h a r g e d i s t r i b u t i o n i s a l s o d e t e r m i n e d b y t h e c u r r e n t d i s t r i b u t i o n a l o n g t h e i n t e r f a c e . S i n c e t h e M a x w e l l i a n t r a n s v e r s e c u r r e n t d i s t r i b u t i o n i s a s s u m e d , 2 3 2 [ { i 2 2 + 5 ( N 2 2 5 1 2 5 ‘ — 1 ) ( § 5 2 + 0 § _ 2 P Z 2 ) + 1 ” 2 ( ( § 6 a 6 § ’ ) ) } p r P 2 ( } 6 1 c _ § ) o s h ( p 2 t ) ] _ 2 P Z 1 h 6 é v ; ) " ) ( fi { _ 2 p 2 Z ” ( § , ( § , § ’ ) c o ; ) t h [ P 2 ( § a § ) 5 ] } ( ( e _ _ J _ 7 p _ r ) 1 X : o e 1 " f _ § — _ ( j : 6 d 6 { Z ] ) { : + p ” 2 ( = é ( 2 6 Z 6 " 5 ) " 6 ( ( ) 6 ) o 6 c 6 6 1 5 5 ( 6 6 6 4 ) ) t 6 h [ 0 p 4 2 ( 6 6 : ) ) 5 5 6 ) t ] ” 7 ! 7 , 1 6 5 5 ) ; 5 ” € 1 E 1 y ( ’ ) ‘ 3 2 5 2 y ( ’ j y = 0 = 5 0 [ " 1 2 5 1 y 0 ) " " g E z y 0 ) ] y = 0 = _ j : _ , _ n , 2 6 6 ( 6 ) 5 5 5 7 E ) : 7 7 2 ( 6 ) 5 ’ a ( 6 6 ) d 6 ’ : 5 5 ' 7 “ ) Z h Z " c o s h ( p 2 t ) Z h s i n h ( p 2 t ) 6 1 6 3 * } ; n g = _ , _ _ : , n , 2 6 6 ( 6 ) d 5 5 7 ] : t h ( 6 ) 5 ( 6 6 M 6 : J 5 W ) 8 1 5 1 * ] ? n g : _ j : _ 0 n _ 2 1 _ J : I : ( L g ( g ) J ' ° ° 5 1 ; , ” ( 5 ) ~ 2 ( 6 ’ ) 5 a ( 6 6 ) d 6 8 1 6 2 5 1 ; 2 3 3 F i n a l l y t h i s l e a d s [ 1 8 ] t o . 2 0 0 i 0 ° 5 8 1 E 1 y ( r ) — 8 2 E 2 y ( r j y = 0 : 1 3 } ? _ o o I “ 7 7 2 ( : ) Z E ( ; ( : , ( > 6 1 5 , I m fi ( § ) e 1 5 x d § e j g z d é ' f j 8 0 " 1 2 7 7 ( x ) r ° . . . i i i “ ) e j ; z d { - - - | x | < w / 2 = 6 ‘ ° ° L fi z ( 6 ' ) C z a ( 6 ' . 6 ) d 6 ' L 0 - - ~ | x | > w / 2 w h e r e ' 1 - - w / t < 2 " ( x ) = 5 7 L ' ( w / 2 ) \ / 1 - [ x / ( w / 2 ) : | 2 T : - w / t 2 2 5 ( 6 . 2 . 4 8 ) I t c a n a l s o b e n u m e r i c a l l y v a l i d a t e d a s d e p i c t e d i n F i g . 6 . 2 . 9 . I t i s n o t e d t h a t x / w = i 5 l o c a t e s e a c h t r a n s v e r s e e d g e o f t h e c o n d u c t i n g m i c r o s t r i p a n d t h e w e l l - k n o w n e d g e c o n d i t i o n i s o b s e r v e d t o b e s a t i s fi e d . 2 3 4 l \ 8 : a 8 e d u t i l p m A O : - § £ / ) y 2 E 2 £ - y 1 E 1 ; ¢ . 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F i g . 6 . 3 . 1 d e p i c t s t h e c o n t i n u o u s , d i s c r e t e a n d t o t a l c o v e r fi e l d a m p l i t u d e s , r e s p e c t i v e l y , t r a n s v e r s e l y i n t h e n e a r z o n e . T h e t o t a l c o v e r fi e l d i s d o m i n a t e d t r a n s v e r s e l y b y t h e c o n t i n u o u s fi e l d a n d d e c a y s s l o w l y . T h e d i s c r e t e c o v e r fi e l d c o n t r i b u t i o n i s t r a n s v e r s e l y a h n o s t n e g l i g i b l e . F i g s . 6 . 3 . 2 , 6 . 3 . 3 a n d 6 . 3 . 4 d e p i c t t h e c o n t i n u o u s , d i s c r e t e a n d t o t a l c o v e r fi e l d p h a s e s , r e s p e c t i v e l y , t r a n s v e r s e l y i n t h e n e a r z o n e . S i m i l a r l y , F i g . 6 . 3 . 5 d e p i c t s t h e c o n t i n u o u s , d i s c r e t e a n d t o t a l c o v e r fi e l d a m p l i t u d e s , r e s p e c t i v e l y , t r a n s v e r s e l y a w a y f r o m t h e n e a r z o n e . T h e t o t a l c o v e r fi e l d i s s t i l l d o m i n a t e d t r a n s v e r s e l y b y t h e c o n t i n u o u s c o v e r fi e l d a n d d e c a y s s l o w l y . F i g s . 6 . 3 . 6 , 6 . 3 . 7 a n d 6 . 3 . 8 d e p i c t t h e c o n t i n u o u s , d i s c r e t e a n d t o t a l c o v e r fi e l d p h a s e s , r e s p e c t i v e l y , t r a n s v e r s e l y a w a y f r o m t h e n e a r z o n e . F i g . 6 . 3 . 9 d e p i c t s t h e c o n t i n u o u s , d i s c r e t e a n d t o t a l c o v e r fi e l d a m p l i t u d e s , r e s p e c t i v e l y , v e r t i c a l l y i n t h e n e a r z o n e . T h e t o t a l c o v e r fi e l d i s d o m i n a t e d v e r t i c a l l y b y t h e c o n t i n u o u s fi e l d a n d d e c a y s e x p o n e n t i a l l y . F i g s . 6 . 3 . 1 0 , 6 . 3 . 1 1 a n d 6 . 3 . 1 2 d e p i c t t h e c o n t i n u o u s , d i s c r e t e a n d t o t a l c o v e r fi e l d p h a s e s , r e s p e c t i v e l y , v e r t i c a l l y i n t h e n e a r z o n e . A s d e p i c t e d i n F i g . 6 . 3 . 1 1 , t h e d i s c r e t e c o v e r fi e l d i n t h e n e a r z o n e a s c e n d s v e r t i c a l l y u p f r o m t h e c o n d u c t i n g m i c r o s t r i p a n d r e v e r s e s i t s d i r e c t i o n t o d e s c e n d d o w n t o t h e c o n d u c t i n g m i c r o s t r i p . T h e t o t a l fi e l d p h a s e i s d e p i c t e d i n F i g . 6 . 3 . 1 2 . F i g . 6 . 3 . 1 3 d e p i c t s t h e c o n t i n u o u s , d i s c r e t e a n d t o t a l c o v e r fi e l d a m p l i t u d e s v e r t i c a l l y a w a y f r o m t h e n e a r z o n e . T h e t o t a l c o v e r fi e l d i s d o m i n a t e d v e r t i c a l l y b y t h e c o n t i n u o u s fi e l d a n d d e c a y s e x p o n e n t i a l l y . F i g s . 6 . 3 . 1 4 , 6 . 3 . 1 5 a n d 6 . 3 . 1 6 d e p i c t t h e c o n t i n u o u s , d i s c r e t e a n d t o t a l c o v e r fi e l d p h a s e s , r e s p e c t i v e l y , v e r t i c a l l y a w a y f r o m t h e n e a r z o n e . A s d e p i c t e d i n F i g . 6 . 3 . 1 4 , t h e c o n t i n u o u s c o v e r fi e l d i s v e r t i c a l l y p r o p a g a t i n g , w h i l e t h e p h a s e o f t h e d i s c r e t e c o v e r fi e l d i s v e r t i c a l l y c o n s t a n t 2 3 6 c o r I O U e x p c o v fi c l t fi c l t d c p i a m p l o n g o f d i C o v e I o t a ] V a l i d ; d e p i c 1 0 1 ' ) n g I m p s , b y t h 0 6 p 1 C . i n F i g . 6 . 3 . 1 5 . T h e t o t a l fi e l d p h a s e i s d e p i c t e d i n F i g . 6 . 3 . 1 6 . F i g . 6 . 3 . 1 7 d e p i c t s t h e c o n t i n u o u s , d i s c r e t e a n d t o t a l c o v e r fi e l d a m p l i t u d e s l o n g i t u d i n a l l y i n t h e n e a r z o n e . T h e t o t a l c o v e r fi e l d i s d o m i n a t e d l o n g i t u d i n a l l y b y t h e c o n t i n u o u s fi e l d a n d d e c a y s e x p o n e n t i a l l y . F i g s . 6 . 3 . 1 8 , 6 . 3 . 1 9 a n d 6 . 3 . 2 0 d e p i c t t h e c o n t i n u o u s , d i s c r e t e a n d t o t a l c o v e r fi e l d p h a s e s , r e s p e c t i v e l y , l o n g i t u d i n a l l y i n t h e n e a r z o n e . T h e c o n t i n u o u s c o v e r fi e l d i s s l o w l y l o n g i t u d i n a l l y l a g g i n g a s d e p i c t e d i n F i g . 6 . 3 . 1 8 a n d t h e d i s c r e t e c o v e r fi e l d i s l o n g i t u d i n a l l y p r o p a g a t i n g a s d e p i c t e d i n F i g . 6 . 3 . 1 9 . T h e t o t a l fi e l d p h a s e i s d e p i c t e d i n F i g . 6 . 3 . 2 0 . F i g . 6 . 3 . 2 1 d e p i c t s t h e c o n t i n u o u s , d i s c r e t e a n d t o t a l c o v e r fi e l d a m p l i t u d e s l o n g i t u d i n a l l y a w a y f r o m t h e n e a r z o n e . T h e t o t a l c o v e r fi e l d i s d o m i n a t e d l o n g i t u d i n a l l y b y t h e c o n t i n u o u s c o v e r fi e l d a n d d e c a y s o s c i l l a t o r i l y d u e t o i n t e r f e r e n c e o f d i s c r e t e a n d c o n t i n u o u s s p e c t r a a n d e x p o n e n t i a l l y . B o t h o f t h e c o n t i n u o u s a n d d i s c r e t e c o v e r fi e l d s a r e l o n g i t u d i n a l l y p r o p a g a t i n g a s d e p i c t e d i n F i g s . 6 . 3 . 2 2 a n d 6 . 3 . 2 3 a n d t h e t o t a l fi e l d p h a s e i s d e p i c t e d i n F i g . 6 . 3 . 2 4 . M o r e i m p o r t a n t l y , t h e t o t a l c o v e r fi e l d i s v a l i d a t e d b y t h e R e { { } - a x i s i n v e r s i o n i n t e g r a t i o n l o n g i t u d i n a l l y i n t h e n e a r z o n e a s d e p i c t e d i n F i g s . 6 . 3 . 2 5 a n d 6 . 3 . 2 6 a n d b y t h e R e { { } - a x i s i n v e r s i o n i n t e g r a t i o n l o n g i t u d i n a l l y a w a y f r o m t h e n e a r z o n e a s d e p i c t e d i n F i g s . 6 . 3 . 2 7 a n d 6 . 3 . 2 8 . F i g . 6 . 3 . 2 9 d e p i c t s t h e c o n t i n u o u s , d i s c r e t e a n d t o t a l fi l m fi e l d a m p l i t u d e s , r e s p e c t i v e l y , t r a n s v e r s e l y i n t h e n e a r z o n e . T h e t o t a l fi l m fi e l d i s d o m i n a t e d t r a n s v e r s e l y b y t h e c o n t i n u o u s fi e l d . F i g s . 6 . 3 . 3 0 , 6 . 3 . 3 1 a n d 6 . 3 . 3 2 d e p i c t t h e c o n t i n u o u s , d i s c r e t e a n d t o t a l fi l m fi e l d p h a s e s , r e s p e c t i v e l y , t r a n s v e r s e l y i n t h e n e a r z o n e . F i g . 6 . 3 . 3 3 d e p i c t s t h e c o n t i n u o u s , d i s c r e t e a n d t o t a l fi l m fi e l d a m p l i t u d e s , r e s p e c t i v e l y , t r a n s v e r s e l y a w a y f r o m t h e n e a r z o n e . E v e n i f t h e c o n t i n u o u s a n d d i s c r e t e fi l m fi e l d s a r e t r a n s v e r s e l y c o m p a r a b l e e a c h o t h e r , t h e t o t a l fi l m fi e l d i s d o m i n a t e d t r a n s v e r s e l y b y t h e c o n t i n u o u s 2 3 7 P 3 b e t C O T fi l m fi e l d . F i g s . 6 . 3 . 3 4 , 6 . 3 . 3 5 a n d 6 . 3 . 3 6 d e p i c t t h e c o n t i n u o u s , d i s c r e t e a n d t o t a l fi l m fi e l d p h a s e s , r e s p e c t i v e l y , t r a n s v e r s e l y a w a y f r o m t h e n e a r z o n e . T h e t o t a l fi e l d p h a s e i s d e p i c t e d i n F i g . 6 . 3 . 3 6 . F i g . 6 . 3 . 3 7 d e p i c t s t h e c o n t i n u o u s , d i s c r e t e a n d t o t a l fi l m fi e l d a m p l i t u d e s , r e s p e c t i v e l y , v e r t i c a l l y i n t h e n e a r z o n e . T h e c o n t i n u o u s fi l m fi e l d i s i n i t i a l l y v e r t i c a l l y d e c r e a s i n g e x p o n e n t i a l l y b u t s u b s e q u e n t l y i n c r e a s i n g s t e a d i l y , w h i l e t h e d i s c r e t e fi l m fi e l d i s v e r t i c a l l y d e c r e a s i n g . A s d e p i c t e d i n F i g . 6 . 3 . 3 7 , t h e t o t a l fi l m fi e l d i s d o m i n a t e d v e r t i c a l l y b y t h e c o n t i n u o u s fi e l d . F i g s . 6 . 3 . 3 8 , 6 . 3 . 3 9 a n d 6 . 3 . 4 0 d e p i c t t h e c o n t i n u o u s , d i s c r e t e a n d t o t a l fi l m fi e l d p h a s e s , r e s p e c t i v e l y , v e r t i c a l l y i n t h e n e a r z o n e . T h e c o n t i n u o u s fi l m fi e l d u n d e r g o e s 1 8 0 o p h a s e s h i f t a t t h e p o i n t w h e r e a m p l i t u d e p a s s e s t h r o u g h a m i n i m u m a s d e p i c t e d i n F i g s . 6 . 3 . 3 7 a n d 6 . 3 . 3 8 . T h e t o t a l fi l m fi e l d b e h a v e s s i m i l a r l y a s d e p i c t e d i n F i g s 6 . 3 . 3 7 a n d 6 . 3 . 4 0 . F i g . 6 . 3 . 4 1 d e p i c t s t h e c o n t i n u o u s , d i s c r e t e a n d t o t a l fi l m fi e l d a m p l i t u d e s , r e s p e c t i v e l y , v e r t i c a l l y a w a y f r o m t h e n e a r z o n e . T h e c o n t i n u o u s fi l m fi e l d i s v e r t i c a l l y d e c r e a s i n g f o l l o w e d b y a s l i g h t i n c r e a s e , w h i l e t h e d i s c r e t e fi l m fi e l d i s d e c r e a s i n g v e r t i c a l l y . A s d e p i c t e d i n F i g . 6 . 3 . 4 1 , i t i s n o t q u i t e c l e a r w i t h i n y / 2 0 z . 0 3 t h a t t h e t o t a l fi l m fi e l d i s d o m i n a t e d v e r t i c a l l y b y t h e c o n t i n u o u s fi e l d b u t b e y o n d t h a t r e g i o n t h e c o n t i n u o u s fi e l d d o m i n a t e s . F i g s . 6 . 3 . 4 2 , 6 . 3 . 4 3 a n d 6 . 3 . 4 4 d e p i c t t h e c o n t i n u o u s , d i s c r e t e a n d t o t a l fi l m fi e l d p h a s e s , r e s p e c t i v e l y , v e r t i c a l l y a w a y f r o m t h e n e a r z o n e . T h e c o n t i n u o u s fi l m fi e l d p h a s e i s v e r t i c a l l y s m o o t h l y c h a n g i n g w h e r e t h e a m p l i t u d e b e g i n s t o i n c r e a s e s l i g h t l y a s d e p i c t e d i n F i g s . 6 . 3 . 4 1 a n d 6 . 3 . 4 2 . T h e t o t a l fi l m fi e l d b e h a v e s s i m i l a r l y a s d e p i c t e d i n F i g s 6 . 3 . 4 1 a n d 6 . 3 . 4 4 . A g a i n , F i g . 6 . 3 . 4 5 d e p i c t s t h e c o n t i n u o u s , d i s c r e t e a n d t o t a l fi l m fi e l d a m p l i t u d e s , r e s p e c t i v e l y , v e r t i c a l l y a l i t t l e m o r e a w a y f r o m t h e n e a r z o n e . T h e c o n t i n u o u s fi l m fi e l d i s s t e a d i l y i n c r e a s i n g v e r t i c a l l y w h i l e t h e d i s c r e t e fi e l d i s d e c r e a s i n g . A s i n d i c a t e d i n F i g . 2 3 8 v c s t : fi t : i s ( t h e F i g . i n t 1 fi c l c C 0 1 1 1 z o n e t h e ( 1 fi e l d I O t a l c o x - c t h c d 6 . 3 . 4 5 , t h e t o t a l fi l m fi e l d i s d o m i n a t e d v e r t i c a l l y b y t h e c o n t i n u o u s fi e l d . F i g s . 6 . 3 . 4 6 , 6 . 3 . 4 7 a n d 6 . 3 . 4 8 d e p i c t t h e c o n t i n u o u s , d i s c r e t e a n d t o t a l fi l m fi e l d p h a s e s , r e s p e c t i v e l y , v e r t i c a l l y a l i t t l e m o r e a w a y f r o m t h e n e a r z o n e . S i n c e t h e c o n t i n u o u s fi l m fi e l d i s s t e a d i l y i n c r e a s i n g v e r t i c a l l y ( t h e r e f o r e s o i s t h e t o t a l fi l m fi e l d ) a n d t h e d i s c r e t e fi l m fi e l d i s d e c r e a s i n g , t h e c o r r e s p o n d i n g p h a s e s a r e r e l a t i v e l y c o n s t a n t . T h e t o t a l fi e l d p h a s e i s d e p i c t e d i n F i g . 6 . 3 . 4 8 . A d d i t i o n a l l y , t h e t o t a l fi l m fi e l d i n F i g . 6 . 3 . 4 5 i s v a l i d a t e d b y t h e R e { { } - a x i s i n v e r s i o n i n t e g r a t i o n v e r t i c a l l y a s d e p i c t e d i n F i g s . 6 . 3 . 4 9 a n d 6 . 3 . 5 0 . F i g . 6 . 3 . 5 1 d e p i c t s t h e c o n t i n u o u s , d i s c r e t e a n d t o t a l fi l m fi e l d a m p l i t u d e s l o n g i t u d i n a l l y i n t h e n e a r z o n e . T h e t o t a l fi l m fi e l d i s d o m i n a t e d l o n g i t u d i n a l l y b y t h e c o n t i n u o u s fi l m fi e l d a n d d e c a y s r a p i d l y a n d e x p o n e n t i a l l y . F i g s . 6 . 3 . 5 2 , 6 . 3 . 5 3 a n d 6 . 3 . 5 4 d e p i c t t h e c o n t i n u o u s , d i s c r e t e a n d t o t a l fi l m fi e l d p h a s e s , r e s p e c t i v e l y , l o n g i t u d i n a l l y i n t h e n e a r z o n e . T h e c o n t i n u o u s fi l m fi e l d i s l a g g i n g l o n g i t u d i n a l l y a s d e p i c t e d i n F i g . 6 . 3 . 5 2 a n d t h e d i s c r e t e fi l m fi e l d i s l o n g i t u d i n a l l y p r o p a g a t i n g a s d e p i c t e d i n F i g . 6 . 3 . 5 3 . T h e t o t a l fi e l d p h a s e i s d e p i c t e d i n F i g . 6 . 3 . 5 4 . F i g . 6 . 3 . 5 5 d e p i c t s t h e c o n t i n u o u s , d i s c r e t e a n d t o t a l fi l m fi e l d a m p l i t u d e s l o n g i t u d i n a l l y a w a y f r o m t h e n e a r z o n e . U n l i k e i n t h e t o t a l c o v e r fi e l d a t l o c a t i o n s l o n g i t u d i n a l l y , t h e t o t a l fi l m fi e l d i s d o m i n a t e d l o n g i t u d i n a l l y b y t h e d i s c r e t e fi e l d r a t h e r t h a n b y t h e c o n t i n u o u s fi e l d a n d p r o p a g a t e s l o n g i t u d i n a l l y a n d o s c i l l a t o r i l y d u e t o i n t e r f e r e n c e o f d i s c r e t e a n d c o n t i n u o u s s p e c t r a . S i n c e t h e c o n t i n u o u s f i l m fi e l d a m p l i t u d e i s r e l a t i v e l y s m a l l e r i n t h e fi l m l a y e r t h a n t h a t i n t h e c o v e r l a y e r a n d l o n g i t u d i n a l l y d e c a y i n g e x p o n e n t i a l l y w h i l e t h e d i s c r e t e fi l m fi e l d i s l o n g i t u d i n a l l y c o n s t a n t , i t i s o b s e r v e d t h a t a p p r o x i m a t e l y b e y o n d z / 1 0 = 1 . t h e d i s c r e t e fi l m fi e l d b e g i n s t o d o m i n a t e t h e t o t a l fi e l d l o n g i t u d i n a l l y . T h e c o n t i n u o u s a n d d i s c r e t e fi l m fi e l d s a r e l o n g i t u d i n a l l y p r o p a g a t i n g a s d e p i c t e d i n F i g s . 6 . 3 . 5 6 a n d 6 . 3 . 5 7 a n d t h e t o t a l fi e l d 2 3 9 p h a s e i s d e p i c t e d i n F i g . 6 . 3 . 5 8 . F i g . 6 . 3 . 5 9 d e p i c t s t h e c o n t i n u o u s , d i s c r e t e a n d t o t a l fi l m fi e l d a m p l i t u d e s , r e s p e c t i v e l y , l o n g i t u d i n a l l y a p p r o a c h i n g t h e f a r z o n e ( z / X O = 1 0 . ) . T h e t o t a l fi l m fi e l d i s c l e a r l y d o m i n a t e d l o n g i t u d i n a l l y b y t h e d i s c r e t e fi l m fi e l d a n d p r o p a g a t e s a l i t t l e l e s s o s c i l l a t o r i l y . T h e c o n t i n u o u s a n d d i s c r e t e fi l m fi e l d s a r e l o n g i t u d i n a l l y p r o p a g a t i n g a s d e p i c t e d i n F i g s . 6 . 3 . 6 0 a n d 6 . 3 . 6 1 a n d t h e t o t a l fi l m fi e l d p h a s e i s d e p i c t e d i n F i g s . 6 . 3 . 6 2 . I m p o r t a n t l y , t h e t o t a l fi l m fi e l d i s v a l i d a t e d b y t h e R e { f } - a x i s i n v e r s i o n i n t e g r a t i o n l o n g i t u d i n a l l y i n t h e n e a r z o n e a s d e p i c t e d i n F i g s . 6 . 3 . 6 3 a n d 6 . 3 . 6 4 a n d b y t h e R e { § } - a x i s i n v e r s i o n c o n t o u r l o n g i t u d i n a l l y a w a y f r o m t h e n e a r z o n e a s d e p i c t e d i n F i g s . 6 . 3 . 6 5 a n d 6 . 3 . 6 6 . 2 4 0 n : c z : : . c E < E c E o t fi o m I 0 5 1 ° 5 0 m ) w E ( e d u t i l p m A d l e i F c i r t c e l E 6 — 6 6 - 7 ) 6 + e — 6 2 , = n n f - e . . = = 1 1 3 5 0 G 5 H — 7 z 8 e w m 6 + 6 — e / / ) a 2 O , c = = ( e . w 0 / 0 ; 5 1 \ 0 ) / 6 / / y z 6 A A O , = = . - — O . 1 1 e 6 — 1 o . 1 5 0 7 0 0 0 0 c o n t i n u o u s s p e c t r u m _ e e e d i s c r e t e s p e c t r u m — — — — c o n t i n u o u s a n d d i s c r e t e s p e c t r a — - i - — - t 0 0 . 1 0 . 2 0 . 3 0 . 4 0 . 5 0 . 6 0 . 7 0 . 8 0 . 9 1 ( T r a n s v e r s e D i s t a n c e x / M i c r o s t r i p W i d t h w ) F i g u r e 6 . 3 . 1 T r a n s v e r s e c o n t i n u o u s a n d d i s c r e t e e l e c t r i c c o v e r fi e l d s p e c t r u m a m p l i t u d e s p r o fi l e i n t h e l o w - l o s s l i m i t . 2 4 1 § § ) u 5 " 5 E ( e § s a h P d l § e a i F c 6 i r t c e l E s u o u n i t n o C § § ‘ 2 3 - 1 2 0 § : — n 1 : 3 n 2 = 3 . 0 5 7 8 _ f f = 1 5 G H z j — w / z , , = . 0 0 5 1 y / A o = . 0 1 g t / A O = . 0 6 z / A o z - J — ; d / 2 . , = ( w / i , ) / 1 o . E _ T T T T I T l l l [ l T l l l T l l l l l l l T l l l l l l l l l l l l l T l l l l l l l l l l l ] o 0 . 1 0 . 2 0 . 3 0 . 4 0 . 5 0 . 6 0 . 7 0 . 8 0 . 9 1 ( T r a n s v e r s e D i s t a n c e x / M i c r o s t r i p W i d t h w ) F i g u r e 6 . 3 . 2 T r a n s v e r s e c o n t i n u o u s e l e c t r i c c o v e r fi e l d s p e c t r u m p h a s e p r o fi l e i n t h e l o w - l o s s l i m i t . 2 4 2 . . I F L ( + C L C U . . 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S i n c e t h e m i c r o s t r i p fi e l d s a r e r e p r e s e n t e d i n p r o p e r ( c o n t i n u o u s a n d d i s c r e t e ) s p e c t r a , t h e r e f o r e n o l e a k y - m o d e s n e e d t o b e c o n s i d e r e d . I t i s r e c o g n i z e d t h a t b o t h t h e c o v e r a n d fi l m fi e l d s o f t h e m i c r o s t r i p w a v e g u i d e a r e d o m i n a t e d b y t h e c o n t i n u o u s s p e c t r u m i n t h e n e a r z o n e . H o w e v e r , s i n c e t h e c o n t i n u o u s fi l m fi e l d a m p l i t u d e i s r e l a t i v e l y s m a l l e r i n t h e fi l m l a y e r t h a n t h a t i n t h e c o v e r l a y e r a n d t h e d i s c r e t e fi l m fi e l d i s l o n g i t u d i n a l l y c o n s t a n t , a p p r o x i m a t e l y b e y o n d z / X O = = " 1 . , t h e d i s c r e t e fi l m fi e l d b e g i n s t o d o m i n a t e t h e t o t a l fi l m fi e l d l o n g i t u d i n a l l y . T h e t o t a l fi e l d s a r e m e a n i n g f u l l y v a l i d a t e d b y R e { § } - a x i s i n v e r s i o n i n t e g r a t i o n i n t h e c o m p l e x a x i a l t r a n s f o r m p l a n e . A n a s y m p t o t i c a p p r o x i m a t i o n t o f a r z o n e E M fi e l d s w i l l b e d i s c u s s e d i n C h a p t e r 7 . 3 0 7 C H A P T E R 7 A S Y M P T O T I C A P P R O X I M A T I O N T O T H E E M F I E L D O F A N O P E N I N T E G R A T E D M I C R O S T R I P W A V E G U I D E 7 . 1 I N T R O D U C T I O N A N D G E O M E T R I C A L C O N F I G U R A T I O N T h e c o n t i n u o u s a n d d i s c r e t e s p e c t r u m fi e l d s o f a n o p e n i n t e g r a t e d m i c r o s t r i p h a v e b e e n r i g o r o u s l y d i s c u s s e d i n C h a p t e r 6 , b o t h t h e o r e t i c a l l y a n d n u m e r i c a l l y . I t i s o b s e r v e d t h a t n e a r fi e l d s i n t h e c o v e r a n d fi l m l a y e r s a r e d o m i n a t e d b y t h e c o n t i n u o u s s p e c t r u m r a t h e r t h a n t h e d i s c r e t e s p e c t r u m . O n l y t h e fi l m fi e l d i s d o m i n a t e d b y t h e d i s c r e t e s p e c t r u m a t l o c a t i o n s l o n g i t u d i n a l l y a w a y f r o m t h e n e a r z o n e . H o w e v e r , i t i s e x t r e m e l y d i f fi c u l t t o c o m p u t e t h e f a r z o n e fi e l d s d u e t o n u m e r i c a l c o m p l e x i t y . I t i s u s e f u l t o e m p l o y t h e m e t h o d o f s t e e p e s t - d e s c e n t s o r s a d d l e - p o i n t a p p r o x i m a t i o n t o r e s o l v e t h e p r o b l e m . T h i s m e t h o d c a n b e a p p l i e d s i m u l t a n e o u s l y i n b o t h t h e c o m p l e x t r a n s v e r s e ( 5 - ) a n d l o n g i t u d i n a l ( 4 ’ - ) p l a n e s . S i n c e m o s t c o n t r i b u t i o n t o S D P ( S t e e p e s t - D e s c e n t P a t h ) a r i s e s f r o m t h e s a d d l e p o i n t , o n l y o n e p o i n t i n t h e c o m p l e x a x i a l t r a n s f o r m p l a n e ( C - p l a n e ) n e e d s t o b e c o n s i d e r e d i n s t e a d o f a l l p o i n t s a l o n g S D P . T h e r e f o r e t h e r e e x i s t o n l y o n e p a i r o f b r a n c h - p o i n t a n d s u r f a c e — w a v e p o l e s i n g u l a r i t i e s i n t h e c o m p l e x t r a n s v e r s e p l a n e ( 6 - p l a n e ) , w h i c h a l l o w s t h e c o m p l e x i t y o f n u m e r i c a l c o m p u t a t i o n f o r t h e f a r z o n e fi e l d s i n b o t h t h e c o v e r a n d fi l m l a y e r s t o b e s i g n i fi c a n t l y r e d u c e d . O n l y t h e t h e o r e t i c a l f o u n d a t i o n f o r t h e c o v e r fi e l d ( t h e a p p r o x i m a t e fi l m fi e l d c a n b e o b t a i n e d i n a s i m i l a r m a n n e r ) i s p r e s e n t e d i n t h i s c h a p t e r . T h e r e f o r e , t h e n u m e r i c a l i m p l e m e n t a t i o n w i l l b e a c c o m m o d a t e d i n f u t u r e r e s e a r c h . 3 0 8 T h e g e o m e t r i c a l c o n fi g u r a t i o n o f a n i n t e g r a t e d c o n d u c t i n g m i c r o s t r i p w a v e g u i d e i m m e r s e d i n a p l a n a r - l a y e r e d b a c k g r o u n d e n v i r o n m e n t i s d e p i c t e d i n F i g . 7 . 1 . 1 , w h i c h t h e c r o s s — s e c t i o n a l v i e w i s d e p i c t e d i n F i g . 7 . 1 . 2 . T h e w a v e g u i d i n g a x i s i s c h o s e n t o b e z - a x i s w i t h x - a x i s t a n g e n t i a l a n d y - a x i s n o r m a l t o t h e p l a n a r i n t e r f a c e s . 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F o r t h e c o v e r fi e l d , 3 2 1 C : F i g u r e 7 . 3 . 1 C o m p l e x p h a s o r d i a g r a m o f t h e s t e e p e s t - d e s c e n t p a t h i n t h e c o m p l e x 4 ’ - p l a n e w i t h i n t e r v a l s I , I I , I I I , a n d I V a n d l o g a r i t h m i c b r a n c h c u t s i n t h e l o w - l o s s l i m i t 3 2 2 E h I - o o o o o o o u . _ I I ‘ 1 1 1 - I V " I V ' ‘ i " ' " " " " > " “ ' " " " ) " - " " " " > " " " " 4 “ ' " " " ) - " " “ " “ > ' " " “ “ “ > ' “ “ " ' " ) " “ o l l a l ’ o o o o o o - - - < - - - - - - - - < - - - - - - - - - - - < - - - - - - - - - - - < - - - - - - u “ : f ; - - - - - - < - - - - - - - - - - - < - - - - - - - - - - - < - - - - - - a ? “ I V + I V + ‘ . . 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( 7 . 2 . 7 ) , 1 1 2 ( x ’ § 0 ) : I d o [ f ( s ’ € 0 1 s e c é b l _ f ( s ’ ; 0 1 s e c ¢ b 2 : l e s x d s ( 7 3 4 ) A s d e p i c t e d i n F i g . 7 . 2 . 1 , t h e b r a n c h c u t c o n t o u r s C 5 1 7 1 a n d C 4 3 ” a r e v e r t i c a l p a t h s a n d t h o s e p a t h s c o r r e s p o n d t o o t h e r S D P s i n t h e c o m p l e x 5 - p l a n e [ 5 6 ] . T h e s a m e a r g u m e n t c a n b e a p p l i e d f o r S D P s i n t h e c o m p l e x 5 ’ — p l a n e , w h i c h m e a n s t h a t t h e c o m p l e x a n a l y s i s i n t h e c o m p l e x 6 ’ - p l a n e a s w e l l a s i n t h e c o m p l e x 5 - p l a n e c a n b e s i m i l a r l y i m p l e m e n t e d . 3 2 5 a n d d e t e i f o r t i l t ( 7 . 3 . 4 ( 7 . 3 . 4 : I t i s n o “ [ 5 5 ] , A s d i s c u s s e d e a r l i e r , t h e p r i m a r y S D P i n t e g r a l c o n t r i b u t i o n c o m e s f r o m t h e s a d d l e p o i n t a n d i n a g r e e m e n t w i t h E q n . ( 7 . 2 . 3 ) t h e s a d d l e p o i n t 6 0 i n t h e c o m p l e x 6 - p l a n e i s d e t e r m i n e d b y 5 0 = 5 1 . , ( 7 . 3 . 5 ) T h e a b o v e e q u a t i o n l e a d s t o s = 0 ( 7 . 3 . 6 ) f o r t h e s a d d l e p o i n t . I t i s n o t e d t h a t W a t s o n ’ s l e m m a c a n b e i n v o k e d [ 5 7 ] t o e v a l u a t e E q n . ( 7 . 3 . 4 ) a s y m p t o t i c a l l y a n d t o d e t e r m i n e t h e a s y m p t o t i c b e h a v i o u r o f t h e i n t e g r a l i n E q n . ( 7 . 3 . 4 ) f o r S — - ) 0 . T h e n , i f i t i s k n o w n t h a t W ( s , § 0 ) z A s a s — — ) 0 w h e r e ( 7 . 3 . 7 ) W ( s ’ § 0 ) : f ( s ’ § 0 ) i s e c g b l — f ( 5 , § 0 ) i ‘ 6 C é b z A s r e q u i r e d b y E q n . ( 7 . 3 . 7 ) , i f C l i o , t h e f u n c t i o n W ( s , § 0 ) — > O f o r S - — ) 0 s i n c e P 1 ( 5 k 1 ’ § 0 ) = 0 . I t i s n o t e d . t h a t p l ( 5 4 0 1 5 : 5 1 : ] — j s l S m u l t i - v a l u e d o n e i t h e r S i d e o f b r a n c h c u t s C 5 “ a n d C 5 1 7 2 . T h e n , c h a n g i n g t h e v a r i a b l e s — t = s x y i e l d s ° ° s x ( 1 ) a + 1 A e — t I O W ( s , § 0 ) e d S ~ — _ x _ ( c — Z + — 1 ) _ J ‘ O e t a d t ( 7 . 3 . 8 ) I t i s n o t e d t h a t x < O f o r L H P i n t h e c o m p l e x 5 - p l a n e . T h e r e f o r e , E q n . ( 7 . 3 . 8 ) b e c o m e s [ 5 5 ] . ( _ 1 ) a + 1 A I ° ° a - t ~ ( _ 1 ) a + A x 0 1 “ ) I 0 I e d t ~ — — F ( a + 1 ) ( 7 . 3 . 9 ) x ( a + l ) 3 2 6 F i n a l l y . S i m F i t E X ! ) i T h e d i s c O f E p r fi t s M E ‘ F f ’ ” ( 5 5 ) 0 1 2 1 . ( 5 ) ( ( 2 : . 3 2 1 5 a 0 ” 0 ) 5 0 5 : 5 ( 5 o ) d 5 M ) F ( ’ 9 { 0 ) d 6 ( : 0 ) ' I 9 . 0 m a c — j a r J M ) + 1 ) A [ f a i r - 7 5 8 0 m 6 5 r 0 8 7 2 , C 0 3 6 “ ) s 7 ) e ’ j ( k l ’ — fl / 4 ) 1 z 5 ( ) 5 ” ; y g r i : F [ ( 5 , 4 ) e j 5 x d § ] e j 5 z d g r ) é z £ 2 4 j ‘ / — a ; r ] _ 2 7 7 2 ( " _ L ! 4 7 4 0 C C p J : fi 2 ( + - { 5 0 1 : ) 5 0 5 ( 5 § F i n a l l y , _ 1 0 + 1 A 1 1 2 ( x , § 0 ) z - ( - — ( ) ; ; fi — I ‘ ( a + l ) ( 7 . 3 . 1 0 ) x S i m i l a r l y , j a ( g ) 5 5 - w ( 5 p , 5 ) e " § ’ ” ° " e j “ d 5 4 " S D P ] : fi n e ( 5 ” ) 5 5 ( 7 . 3 . 1 1 ) F i n a l l y , i n a c c o r d a n c e w i t h E q n s . ( 7 . 2 . 8 ) a n d ( 7 . 3 . 1 ) , U s i n g x = — r C 0 8 9 y i e l d s E l y ( r ~ — ( a + 3 / 2 ) . T h e a s y m p t o t i c c o v e r fi e l d d e c a y s a l g e b r a i c a l l y a s r T h e a l g e b r a i c f a c t o r a ( ¢ O ) a n d t h e a m p l i t u d e A w i l l r e m a i n t o b e d e t e r m i n e d i n f u t u r e r e s e a r c h . T h e d i s c r e t e fi e l d s p e c t r u m w a s p r e v i o u s l y d i s c u s s e d i n S e c t i o n 6 . 2 . 1 . S i n c e t h e c o v e r fi e l d i s o f g r e a t c o n c e r n f o r t h e f a r z o n e , t h e a s y m p t o t i c a p p r o x i m a t i o n o f t h e fi l m fi e l d i s n o t p r e s e n t e d h e r e b u t i t c a n b e a c h i e v e d i n a s i m i l a r m a n n e r . 3 2 7 7 . 4 C T h e A l t h o u g c a n b c : o f b r a r c o n e s p b r a n c h c o r r e s p o b s e r v : T h e n , i D u m e r i 7 . 4 C O N C L U S I O N T h e a s y m p t o t i c a p p r o x i m a t i o n t o t h e c o v e r fi e l d h a s b e e n d i s c u s s e d i n t h i s c h a p t e r . A l t h o u g h t h e a s y m p t o t i c a p p r o x i m a t i o n o f t h e fi l m fi e l d h a s n o t b e e n d i s c u s s e d h e r e , i t c a n b e a c h i e v e d i n a s i m i l a r m a n n e r . O n e i m p o r t a n t c o n t r i b u t i o n i d e n t i fi e s t h e m i g r a t i o n o f b r a n c h p o i n t a n d s u r f a c e - w a v e p o l e s i n g u l a r i t i e s i n t h e c o m p l e x 6 - p 1 a n e f o r t h e c o r r e s p o n d i n g p o i n t s a l o n g S D P i n t h e c o m p l e x C - p l a n e . T h i s e n a b l e s o n e t o fi n d t h e b r a n c h p o i n t a n d s u r f a c e - w a v e p o l e s i n g u l a r i t i e s i n t h e c o m p l e x 5 - p l a n e f o r t h e c o r r e s p o n d i n g p o i n t ( s a d d l e - p o i n t ) i n t h e c o m p l e x 5 - p l a n e . T h e o t h e r i m p o r t a n t o b s e r v a t i o n i n d i c a t e s t h a t t h e a s y m p t o t i c c o v e r fi e l d d e c a y s a l g e b r a i c a l l y a s r — ( a + 3 / 2 ) . T h e n , i n o r d e r t o v a l i d a t e t h e a s y m p t o t i c t r a n s v e r s e b e h a v i o u r o f t h e c o v e r fi e l d , r i g o r o u s n u m e r i c a l i m p l e m e n t a t i o n i s r e q u i r e d i n f u t u r e r e s e a r c h . 3 2 8 T m i c r c c o n t i i s p e c t : i n s i g 1 o b t a i i m o d e C O V C r n u n “ : T M r T h e r e i n b o t f u n “ - e I n a n e ! c o n C e b a c k g C H A P T E R 8 C O N C L U S I O N T h e n a t u r e o f t h e p h y s i c s i n e l e c t r o m a g n e t i c c u r r e n t s / fi e l d s o f a n o p e n i n t e g r a t e d m i c r o s t r i p w a v e g u i d e c o n fi g u r a t i o n i s c o n c e p t u a l i z e d a n d q u a n t i fi e d n u m e r i c a l l y . T h e c o n t i n u o u s s p e c t r u m c o n t r i b u t e d b y t h e b a c k g r o u n d l a y e r e n v i r o n m e n t a n d t h e d i s c r e t e s p e c t r u m c o n t r i b u t e d b y t h e g u i d i n g s t r u c t m ' e a r e r i g o r o u s l y r e v e a l e d , a n d m o r e p h y s i c a l i n s i g h t i n t o t h e E M b e h a v i o u r s o f t h e i n t e g r a t e d m i c r o s t r i p w a v e g u i d e c o n fi g u r a t i o n i s o b t a i n e d . T h e s t e e p e s t - d e s c e n t t h e o r e t i c a l a n d n u m e r i c a l e v a l u a t i o n o f t h e r a d i a t i o n fi e l d f o r T E m o d e s o f a n a s y m m e t r i c p l a n a r o p e n w a v e g u i d e w a s i m p l e m e n t e d i n C h a p t e r 2 . B o t h t h e c o v e r a n d s u b s t r a t e fi e l d d i s c o n t i n u i t i e s n e a r t h e t h r e s h o l d a s p e c t a n g l e a r e r e s o l v e d n u m e r i c a l l y . H o w e v e r , o n l y t h e s t e e p e s t - d e s c e n t t h e o r e t i c a l e v a l u a t i o n o f t h e r a d i a t i o n fi e l d f o r T M m o d e s o f a n a s y m m e t r i c p l a n a r o p e n w a v e g u i d e w a s i m p l e m e n t e d i n C h a p t e r 3 . T h e r e f o r e , t h e r i g o r o u s n u m e r i c a l i m p l e m e n t a t i o n f o r G r e e n ’ s d y a d o f t h e r a d i a t i o n fi e l d i n b o t h t h e n e a r a n d f a r z o n e s a n d a l s o w i t h i n t h e s o u r c e r e g i o n w i l l b e a c c o m m o d a t e d i n f u t u r e r e s e a r c h . I n C h a p t e r 4 , t h e s p e c t r a l e l e c t r i c fi e l d i n t e g r a l e q u a t i o n ( E F I E ) f o r a n i n t e g r a t e d o p e n w a v e g u i d e s t r u c t u r e i n a p l a n a r - l a y e r e d b a c k g r o u n d e n v i r o n m e n t w a s f o r m u l a t e d . T h e c o n c e p t o f l o g a r i t h m i c a n d s q u a r e - r o o t t y p e b r a n c h p o i n t s i n g u l a r i t i e s c o n t r i b u t e d b y t h e b a c k g r o u n d l a y e r e n v i r o n m e n t [ 7 ] - [ 9 ] w a s i n t r o d u c e d . T h e l o g a r i t h m i c t y p e b r a n c h p o i n t s i n g u l a r i t i e s a r e a s s o c i a t e d w i t h p o w e r l o s s d u e t o r a d i a t i o n i n t o t h e c o v e r l a y e r [ 3 0 ] . 3 2 9 M e a n w l c o u p l i n g o f t h a t l I n 1 c o n fi g L t h e m i c S i n c e t s p e c t r a I n i n t e g r ; l i k e r r i g o m E M f a c c o n M e a n w h i l e , t h e s q u a r e - r o o t t y p e b r a n c h p o i n t s i n g u l a r i t i e s a r e p h y s i c a l l y a s s o c i a t e d w i t h c o u p l i n g o f p o w e r i n t o t h e t r a n s v e r s e l y - p r o p a g a t i n g p r i n c i p a l T M 0 s u r f a c e - w a v e m o d e o f t h a t b a c k g r o u n d e n v i r o n m e n t . I n C h a p t e r s 5 a n d 6 , c u r r e n t s / fi e l d s i n a n o p e n i n t e g r a t e d m i c r o s t r i p w a v e g u i d e c o n fi g u r a t i o n w e r e f o r m u l a t e d i n t h e s p e c t r a l d o m a i n . T h e p h y s i c s o f c u r r e n t s / fi e l d s o n t h e m i c r o s t r i p w a v e g u i d e c o n fi g u r a t i o n w a s c o n c e p t u a l i z e d a n d q u a n t i fi e d n u m e r i c a l l y . S i n c e t h e m i c r o s t r i p c u r r e n t s / fi e l d s w e r e r e p r e s e n t e d i n p r o p e r ( c o n t i n u o u s a n d d i s c r e t e ) s p e c t r a , t h e n n o l e a k y - m o d e s n e e d e d t o b e c o n s i d e r e d . I n C h a p t e r 7 , t h e a s y m p t o t i c a p p r o x i m a t i o n t o e l e c t r o m a g n e t i c fi e l d s o f a n o p e n i n t e g r a t e d m i c r o s t r i p w a v e g u i d e w a s o b t a i n e d . T h e c o v e r fi e l d b e h a v e d a l g e b r a i c a l l y l i k e r — ( a + 3 / 2 ) ( a # 0 ) w h e n a p p r o a c h i n g t o t h e f a r z o n e t r a n s v e r s e l y . H o w e v e r , a r i g o r o u s n u m e r i c a l i m p l e m e n t a t i o n i s s t i l l r e q u i r e d i n o r d e r t o u n d e r s t a n d t h e a s y m p t o t i c E M fi e l d b e h a v i o u r i n b o t h t h e c o v e r a n d fi l m l a y e r s m o r e f u l l y ; t h i s w i l l b e a c c o m m o d a t e d i n f u t u r e r e s e a r c h . 3 3 0 l ' t h r e c l e c t r i . W h e r e I ’ I h r e . C o v e r L a y e r ( 8 1 9 / 1 0 ) ' J y ( x , z ) : 6 ( x — x ’ ) 6 ( z — Z I ) A P P E N D I X A S P E C T R A L T E E M F I E L D F O R M U L A T I O N F O R A S Y M M E T R I C P L A N A R D I E L E C T R I C S L A B W A V E G U I D E U S I N G I N T E G R A L T R A N S F O R M T E C H N I Q U E A . 1 S P E C T R A L H E R T Z I A N P O T E N T I A L R E P R E S E N T A T I O N O F E M F I E L D G i v e n t h e g e o m e t r y d e p i c t e d i n F i g . 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C h e w , “ S o m e o b s e r v a t i o n s o n t h e s p a t i a l a n d e i g e n f u n c t i o n r e p r e s e n t a t i o n s o f d y a d i c G r e e n ’ s f u n c t i o n s , ” I E E E T r a n s . M i c r o w a v e T h e o r y a n d T e c h n i q u e s , M I T - 3 7 . P p . 1 3 2 2 — 1 3 2 7 , 1 9 8 9 . Y . R a h m a t - S a m i i , “ O n t h e q u e s t i o n o f c o m p u t a t i o n o f d y a d i c G r e e n ’ s f u n c t i o n a t t h e s o u r c e r e g i o n i n w a v e g u i d e s a n d c a v i t i e s , ” I E E E T r a n s . M i c r o w a v e T h e o r y a n d T e c h n i q u e , M I T - 2 3 , 1 9 7 5 . A . D . Y a g h j i a n , “ E l e c t r i c d y a d i c G r e e n ’ s f u n c t i o n s i n t h e s o u r c e r e g i o n , ” P r o c . I E E E , v o l . 6 8 , 1 9 8 0 . J . S . B a g b y , D . P . N y q u i s t , a n d B . C . D r a c h m a n , “ I n t e g r a l F o r m u l a t i o n f o r a n a l y s i s o f i n t e g r a t e d d i e l e c t r i c w a v e g u i d e s , ” I E E E T r a n s . M i c r o w a v e T h e o r y a n d T e c h n i q u e s , M I T - 3 3 , p p . 9 0 6 - 9 1 5 , 1 9 8 5 . 3 9 8 [ 2 9 ] [ 3 0 ] [ 3 1 ] [ 3 2 1 [ 3 3 ] [ 3 4 ] [ 3 5 ] [ 3 6 ] [ 3 7 ] [ 3 8 1 [ 3 9 1 [ 4 0 ] J . M . G r i m m a n d D . P . N y q u i s t , “ S p e c t r a l A n a l y s i s C o n s i d e r a t i o n s r e l e v a n t t o R a d i a t i o n a n d L e a k y M o d e s o f M i c r o s t r i p T r a n s m i s s i o n L i n e , ” I E E E T r a n s . M i c r o w a v e T h e o r y a n d T e c h n i q u e s , M I T - 4 1 , p p . 1 5 0 - 1 5 3 , 1 9 9 3 . D . P . N y q u i s t , J . M . G r i m m , D . J . I n f a n t e , a n d H . B r a u n i s c h , “ C l a s s i fi c a t i o n o f t h e P r o p e r P r o p a g a t i o n - M o d e S p e c t r u m a n d L e a k y - W a v e M o d e s o n O p e n P l a n a r W a v e g u i d e s , ” E l e c t r o m a g n e t i c s , v o l 1 7 , p p . 1 0 5 - 1 3 0 , 1 9 9 7 . R . E . C o l l i n , F i e l d T h e o r y o f G u i d e d W a v e s , 2 " d e d . , N e w Y o r k , I E E E P r e s s , 1 9 9 1 . A A . O l i n e r , “ L e a k a g e f r o m h i g h e r m o d e s o n m i c r o s t r i p l i n e w i t h a p p l i c a t i o n t o a n t e n n a s , ” R a d i o S c i . , v o l . 2 2 , p p . 9 0 7 - 9 1 2 , N o v . 1 9 8 7 . H . S h i g e s a w a , M . T s u j i , a n d A . A . O l i n e r , “ C o n d u c t o r - b a c k e d s l o t l i n e a n d c o p l a n a r w a v e g u i d e : D a n g e r s a n d f u l l - w a v e a n a l y s i s , ” i n P r o c . I E E E I n t . M i c r o w a v e S y m p . D i g . , p p . 1 9 9 - 2 0 2 , J u n e 1 9 8 8 . K . A . M i c h a l s k i a n d D . Z h e n g , “ R i g o r o u s a n a l y s i s o f o p e n m i c r o s t r i p l i n e s o f a r b i t r a r y c r o s s s e c t i o n i n b o u n d a n d l e a k y r e g i m e s , ” I E E E T r a n s . M i c r o w a v e T h e o r y a n d T e c h n i q u e s , M I T - 3 7 , p p . 2 0 0 5 - 2 0 1 0 , D e c . 1 9 8 9 . N . K . D a s a n d D . M . P o z a r , “ F u l l - w a v e s p e c t r a l - d o m a i n c o m p u t a t i o n o f m a t e r i a l , r a d i a t i o n , a n d g u i d e d w a v e l o s s e s i n i n fi n i t e m u l t i l a y e r e d p r i n t e d t r a n s m i s s i o n l i n e s , ” I E E E T r a n s . M i c r o w a v e T h e o r y a n d T e c h n i q u e s , M I T - 3 9 , p p . 5 4 - 6 3 , J a n . 1 9 9 1 . H . S h i g e s a w a , M . T s u j i , a n d A . A . O l i n e r , , “ D o m i n a n t m o d e p o w e r l e a k a g e f r o m p r i n t e d - c i r c u i t w a v e g u i d e ” R a d i o s c i . , v o l . 2 6 , p p . 5 5 9 - 5 6 4 , M a n - A p r . 1 9 9 1 . J . M . G r i m m a n d D . P . N y q u i s t , “ S p e c t r a l a n a l y s i s c o n s i d e r a t i o n s r e l e v a n t t o r a d i a t i o n a n d l e a k y m o d e s o f o p e n - b o u n d a r y m i c r o s t r i p t r a n s m i s s i o n l i n e , ” I E E E T r a n s . M i c r o w a v e T h e o r y a n d T e c h n i q u e s , M I T - 4 1 , p p . 1 5 0 - 1 5 3 , J a n . 1 9 9 3 . D . N g h i e m , J . T . W i l l i a m s , D . R . J a c k s o n , a n d A . A . O l i n e r , “ P r o p e r a n d i m p r o p e r d o m i n a n t m o d e s o l u t i o n s f o r s t r i p l i n e w i t h a n a i r g a p , ” R a d i o S c i . , v o l . 2 8 , n o . 6 , p p . 1 1 6 3 - 1 1 8 0 , N o v . - D e c . 1 9 9 3 . F . M e s a a n d R . M a r q u e s , , “ I n t e g r a l r e p r e s e n t a t i o n o f s p a t i a l G r e e n ’ s f u n c t i o n a n d s p e c t r a l d o m a i n a n a l y s i s o f l e a k y c o v e r e d s t r i p - l i k e l i n e s , ” I E E E T r a n s . M i c r o w a v e T h e o r y a n d T e c h n i q u e s , M I T - 4 3 , p p . 8 2 8 - 8 3 7 , A p r . 1 9 9 5 . D . N g h i e m , J . T . W i l l i a m s , D . R . J a c k s o n , a n d A . A . O l i n e r , “ L e a k a g e o f t h e d o m i n a n t m o d e o n s t r i p l i n e w i t h a s m a l l a i r g a p , ” I E E E T r a n s . M i c r o w a v e T h e o r y a n d T e c h n i q u e s , M I T - 4 3 , p p . 2 5 4 9 - 2 5 5 6 , N o v . 1 9 9 5 . 3 9 9 [ 4 1 ] [ 4 2 ] [ 4 3 ] [ 4 4 ] [ 4 5 ] [ 4 6 ] [ 4 7 ] [ 4 8 1 [ 4 9 ] [ 5 0 1 [ 5 1 ] H . S h i g e s a w a , M . T s u j i , a n d A . A . O l i n e r , , “ A s i m u l t a n e o u s p r o p a g a t i o n o f b o u n d a n d l e a k y d o m i n a n t m o d e s o n p r i n t e d - c i r c u i t l i n e s : A n e w g e n e r a l e f f e c t , ” I E E E T r a n s . M i c r o w a v e T h e o r y a n d T e c h n i q u e s , M I T - 4 3 , p p . 3 0 0 7 - 3 0 1 9 , D e c . 1 9 9 5 . F . M e s a a n d R . M a r q u e s , , “ P o w e r b a s e d c o n s i d e r a t i o n s o n t h e s p e c t r a l d o m a i n a n a l y s i s o f l e a k y w a v e s i n c o v e r e d s t r i p - l i k e t r a n s m i s s i o n l i n e s , ” P r o c . I n s t . E l e c . E n g . , v o l . 1 4 3 , p p . 2 5 - 3 0 , J a n . 1 9 9 6 . N . K . D a s , “ M e t h o d s o f s u p p r e s s i o n o r a v o i d a n c e o f p a r a l l e l - p l a t e p o w e r l e a k a g e f r o m c o n d u c t o r - b a c k e d t r a n s m i s s i o n l i n e s , ” I E E E T r a n s . M i c r o w a v e T h e o r y a n d T e c h n i q u e s , M T T - 4 4 , p p . 1 6 9 - 1 8 1 , F e b . 1 9 9 6 . D . N g h i e m , J . T . W i l l i a m s , D . R . J a c k s o n , a n d A . A . O l i n e r , “ E x i s t e n c e o f a l e a k y d o m i n a n t m o d e o n m i c r o s t r i p l i n e w i t h a n i s o t r o p i c s u b s t r a t e : T h e o r y a n d m e a s u r e m e n t , ” I E E E T r a n s . M i c r o w a v e T h e o r y a n d T e c h n i q u e s , M I T - 4 4 , p p . 1 7 1 0 - 1 7 1 5 , O c t . 1 9 9 6 . F . M e s a , D . R . J a c k s o n , a n d M . J . F r e i r e , “ E v o l u t i o n o f L e a k y M o d e s o n P r i n t e d - C i r c u i t L i n e s , ” I E E E T r a n s . M i c r o w a v e T h e o r y a n d T e c h n i q u e s , M T T - 5 0 , p p . 9 4 - 1 0 4 , J a n . 2 0 0 2 . J . B o u k a m p a n d R . H . J a n s e n , “ S p e c t r a l d o m a i n i n v e s t i g a t i o n o f s u r f a c e w a v e e x c i t a t i o n a n d r a d i a t i o n b y m i c r o s t r i p l i n e s a n d m i c r o s t r i p d i s k r e s o n a t o r , ” i n P r o c 1 3 r d E u r o p e a n M i c r o w a v e C o n f . , p p . 7 2 1 - 7 2 6 , S e p t . 1 9 8 3 . J . S . B a g b y , C . - H . L e e , D . P . N y q u i s t , a n d Y . Y u a n , “ I d e n t i fi c a t i o n o f p r o p a g a t i o n r e g i m e s o n i n t e g r a t e d m i c r o s t r i p t r a n s m i s s i o n l i n e s , ” I E E E T r a n s . M i c r o w a v e T h e o r y a n d T e c h n i q u e s , M I T - 4 1 , p p . 1 8 8 7 - 1 8 9 3 , N o v . 1 9 9 3 . H . S h i g e s a w a , M . T s u j i , a n d A . A . O l i n e r , “ T h e n a t u r e o f t h e s p e c t r a l - g a p b e t w e e n b o u n d a n d l e a k y s o l u t i o n w h e n d i e l e c t r i c l o s s i s p r e s e n t i n p r i n t e d - c i r c u i t l i n e s , ” R a d i o s c i . , v o l . 2 8 , n o . 6 , p p . 1 2 3 5 - 1 2 4 3 , N o v . - D e c . 1 9 9 3 . J . L . C i n a a n d L . C a r i n , “ M o d e C o n v e r s i o n a n d L e a k y - W a v e E x c i t a t i o n a t O p e n - E n d C o u p l e d - M i c r o s t r i p D i s c o n t i n u i t i e s , ” I E E E T r a n s . M i c r o w a v e T h e o r y a n d T e c h n i q u e s , M I T - 4 3 , p p . 2 0 6 6 - 2 0 7 1 , S e p t . 1 9 9 5 . N . K . D a s , “ P o w e r L e a k a g e , C h a r a c t e r i s t i c I m p e d a n c e a n d L e a k a g e - T r a n s i t i o n B e h a v i o u r o f F i n i t e - L e n g t h S t u b S e c t i o n o f L e a k y P r i n t e d T r a n s m i s s i o n L i n e s , ” I E E E T r a n s . M i c r o w a v e T h e o r y a n d T e c h n i q u e s , M T T - 4 4 , p p . 5 2 6 - 5 3 6 , A p r . 1 9 9 6 . G . — J . C h o u a n d C . — K . C . T z u a n g , “ O s c i l l a t o r - T y p e A c t i v e - I n t e g r a t e d A n t e n n a : T h e L e a k y M o d e A p p r o a c h , ” I E E E T r a n s . M i c r o w a v e T h e o r y a n d T e c h n i q u e s , M I T - 4 4 , p p . 2 2 6 5 - 2 2 7 2 , D e c . 1 9 9 6 . [ 5 2 1 [ 5 3 ] [ 5 4 1 [ 5 5 ] [ 5 6 ] [ 5 7 ] C . D . N a l l o , F . M e s a , D . R . J a c k s o n , “ E x c i t a t i o n o f L e a k y M o d e s o n M u l t i l a y e r S t r i p l i n e S t r u c t u r e s , ” I E E E T r a n s . M i c r o w a v e T h e o r y a n d T e c h n i q u e s , M I T - 4 6 , p p . 1 0 6 2 - 1 0 7 1 , A u g . 1 9 9 8 . L . B . F e l s e n a n d N . M a r c u v i t z , R a d i a t i o n a n d S c a t t e r i n g o f W a v e s , P r e n t i c e - H a l l , E n g l e w o o d C l i f f s , N . J . , C h a p t e r 5 , 1 9 7 3 . P o z a r , M i c r o w a v e E n g i n e e r i n g , A d d i s o n - W e s l e y P u b l i s h i n g C o m p a n y , I n c , p p . 1 8 5 , 1 9 9 0 . M . A b r a m o w i t z a n d I . A . S t e g u n , H a n d b o o k o f M a t h e m a t i c a l F u n c t i o n s W i t h F o r m u l a s , G r a p h s , a n d M a t h e m a t i c a l T a b l e s , U S . G o v e r n m e n t P r i n t i n g O f fi c e , W a s h i n g t o n , D C , J u n e 1 9 6 4 . D . R . J a c k s o n , F . M e s a , M . J . F r e i r e , D . P . N y q u i s t , a n d C . D . N a l l o , “ A n e x c i t a t i o n t h e o r y f o r b o u n d m o d e s , l e a k y m o d e s , a n d r e s i d u a l - w a v e c u r r e n t s o n s t r i p l i n e s t r u c t u r e s , ” R a d i o S c i . , v o l . 3 5 , p p . 4 9 5 - 5 1 0 , M a n - A p r . 2 0 0 0 . N . B l e i s t e i n a n d R . A . H a n d e l s m a n , A s y m p t o t i c E x p a n s i o n s o f I n t e g r a l s , H o l t R i n e h a r t a n d W i n s t o n , N e w Y o r k , 1 9 7 5 . 4 0 1 " 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 0 2 3 2 7 0 9 8 0 1 1 . 1 . 1 1