) ? f i _ , . 9 : 1 ‘ c i w fl l A . . . m . r T ” r T ” ? . 4 1 . ~ ' - h ‘ V V ‘ . I . . - ' 0 4 ’ - t n I ” ” . y . o u ‘ u v . A - “ A . ‘ . . - . - v A ” f 1 .. 4 " . ; M - I . 0 ' “ ? ? ? " 5 ‘ . “ 4 . 1 L “ - ~ ‘ 9 ' 4 ’ V V . . . - . . ~ . : 1 2 , “ U N ’ . fi g : d " + : r : i . A r fl d i fl - ” ' fi r z é f , ‘ ' : 1 . . f . E r ¢ . ‘ . - L . - w w n ‘ r h j ‘ . l fi g fl ‘ fi l u p ' ' ; . ' . ‘ 7 f H . , m t { a ¢ ' a ‘ o ‘ ! . ~ \ ' : . ' . - . ‘ fl I fi i fi ‘ g ’ h " - . L 0 I 2 ? . : : 5 " ' ~ 3 ¢ € ‘ g 1 } § ; 3 ‘ - r - - - 1 & 2 4 ' . V . ‘ 1 ' 1 , . ' _ ‘ ; fl ; ‘ . ‘ H 3 3 L “ 1 _ . t M " 5 9 % ' . o r 1 b “ ? { F i g 5 I f 4 ‘ h ' fl N g q f ‘ l ‘ fi ' : w e $ 5 3 8 1 : - n ’ “ H i “ v . 1 L n . ‘ F ? « 1 ‘ v . H O } 5 a : ’ T H S \ / . l P L A C E I N R E T U R N B O X t o r e m o v e t h i s c h e c k o u t f r o m y o u r r e c o r d . T o A V O I D F I N E S r e t u r n o n o r b e f o r e d a t e d u e . M A Y B E R E C A L L E D w i t h e a r l i e r d u e d a t e i f r e q u e s t e d . D A T E D U E D A T E D U E D A T E D U E W I N N O K G W W L H E D G E A T P A R N D O S P R E E C A T S I O V N E I N G T E A C I H N E M A T H E M A T R S B R I N G I T A C O L T P E M E A C G H O E G R ' Y E : D U C A T I O N V o l u - e I 3 7 D e b o r a h L o e w e n b e r g B a l l A D I S S E R T A T I O N S u l l i t t e d t o M i c h i g a n S t a t e U n i v e r s i t y i n p a r t i a l f u l f i l l - a n t o f t h e r e q u i r e m e n t s f o r t h e d e g r e e o f D O C T O R O F P H I L O S O P H Y D e p a r t n e n t o f T e a c h e r E d u c a t i o n 1 9 8 8 A B S T R A C T K N O W L E D G E A N D R E A S O N I N G I N M A T H E M A T I C A L P E D A C O G Y : E X A H I R I N C H E A T P R O S P E C T I V E T E A C H E R S B R I N G T 0 T E A C H E R E D U C A T I O N B Y D e b o r a h L o e w e n b e r g B a l l T h i s s t u d y f o c u s e s o n t h e k n o w l e d g e a n d b e l i e f s a b o u t m a t h e m a t i c s a n d t h e t e a c h i n g o f m a t h e m a t i c s h e l d b y p r o s p e c t i v e t e a c h e r s w h e n t h e y e n t e r t e a c h e r e d u c a t i o n . I t o f f e r s f r a m e w o r k s f o r t h i n k i n g a b o u t t h e r o l e a n d r e l a t i o n s h i p o f d i f f e r e n t k i n d s o f k n o w l e d g e i n t e a c h i n g m a t h e m a t i c s . G r o u n d e d i n a v i s i o n o f a p a r t i c u l a r m a t h e m a t i c a l p e d a g o g y , t h e s e f r a m e w o r k s a r e c o n s t r u c t e d a r o u n d t e a c h e r k n o w l e d g e , b e l i e f s , a n d d i s p o s i t i o n s i n t h e d o m a i n s o f s u b j e c t m a t t e r , t e a c h i n g a n d l e a r n i n g , s t u d e n t s , a n d c o n t e x t . A t w o - p a r t i n t e r v i e w w a s d e s i g n e d t o e x p l o r e p r o s p e c t i v e t e a c h e r s ' i d e a s a n d t h i n k i n g a b o u t m a t h e m a t i c s a n d t h e t e a c h i n g a n d l e a r n i n g o f m a t h e m a t i c s . N i n e t e e n p r o s p e c t i v e t e a c h e r s w e r e i n t e r v i e w e d . T h e s t u d y ' s r e s u l t s i n c l u d e d e s c r i p t i o n a n d a p p r a i s a l o f t h e p a r t i c i p a n t s ' u n d e r s t a n d i n g s a n d w a y s o f t h i n k i n g a b o u t t h e s u b j e c t m a t t e r , t e a c h i n g a n d l e a r n i n g , t h e t e a c h e r ' s r o l e , a n d s t u d e n t s . T h e s e r e s u l t s s u g g e s t c a t e g o r i e s u s e f u l f o r e x a m i n i n g w h a t p r o s p e c t i v e t e a c h e r s b r i n g w i t h t h e m t o t h e i r p r o f e s s i o n a l p r e p a r a t i o n t o t e a c h m a t h e m a t i c s . F o c a l s u b j e c t m a t t e r k n o w l e d g e c a t e g o r i e s i n c l u d e d t h e e x p l i c i t n e s s a n d c o n n e c t e d n e s s o f s u b s t a n t i v e u n d e r s t a n d i n g s , a s w e l l a s i d e a s a b o u t t h e j u s t i f i c a t i o n a n d n a t u r e o f m a t h e m a t i c a l k n o w l e d g e a n d a c t i v i t y . W i t h r e s p e c t t o t e a c h i n g a n d l e a r n i n g , c e n t r a l c a t e g o r i e s w e r e t h e t e a c h e r ' s r o l e , h o w l e a r n i n g o c c u r s a n d , w i t h r e s p e c t t o l e a r n e r s , i d e a s a b o u t t h e s o u r c e s o f s u c c e s s a n d f a i l u r e i n m a t h e m a t i c s , k n o w l e d g e o f a n d d i s p o s i t i o n s t o l e a r n a b o u t s t u d e n t s . T h e a n a l y s i s a l s o h i g h l i g h t e d t h e i m p o r t a n c e o f c l a r i f y i n g t e r m s s u c h a s " c o n c e p t " a n d " e x p l a n a t i o n " w h i c h m a y b e u s e d i n b o t h p r o f e s s i o n a l a n d c o m m o n s e n s e w a y s . T e a c h i n g m a t h e m a t i c s i s m o r e t h a n a s u m o f d i f f e r e n t c o m p o n e n t s o f k n o w l e d g e ; t e a c h e r s ' u n d e r s t a n d i n g s a n d b e l i e f s i n o n e d o m a i n i n t e r a c t w i t h t h e i r u n d e r s t a n d i n g s a n d b e l i e f s i n o t h e r s t o s h a p e t h e i r p e d a g o g i c a l r e a s o n i n g . T h e r e f o r e , a s e c o n d t h e o r e t i c a l f r a m e w o r k w a s d e v e l o p e d t o a p p r a i s e t e a c h e r s ' i n s t r u c t i o n a l r e p r e s e n t a t i o n s o f m a t h e m a t i c s . E x a m i n i n g t e a c h e r s ' p e d a g o g i c a l r e a s o n i n g i n t e r m s o f t h e t a c i t o r e x p l i c i t w a r r a n t s t h e y u s e t o j u s t i f y t h e i r r e p r e s e n t a t i o n s o f t h e s u b j e c t b r i n g s t h e c o m p o n e n t s o f t e a c h e r k n o w l e d g e b a c k t o g e t h e r . T h e f r a m e w o r k o f w a r r a n t s a l s o o f f e r s a n o t h e r p e r s p e c t i v e f o r e x a m i n i n g w h a t p r o s p e c t i v e t e a c h e r s b r i n g , f o c u s i n g o n t h e p a t t e r n s o f t h i n k i n g a n d j u s t i f i c a t i o n t h a t t h e y a s s u m e a s t h e y e n t e r t e a c h e r e d u c a t i o n . . e c S 3 $ u { - h g u H . f ‘ “ . n u . c a . . n 2 . . . . . . . 3 . o u t fi t : “ W H “ ‘ h a s a r r i v e d . T h e w e “ i s n o t C h . “ b i n d I . “ - ' r ‘ : ‘ u ' . ' 1 ' s i n e H e n d t r w f m u o n e c a n t r u l y t e n ; o f a n . ” p a g e ; c o m e s a { u s e i n t h e s t o p s a u l p t i n g m ; ~ 1 ‘ u c h u m “ ; a t ( L a p u t . c o m b s h e : I . I h a v e a m o m e n t ' r . m » . “ t - d w r " . I fi n d m y s e l f t h i n k i n g b a c k 5 n . v ' v g ' o t i . . u u v p e c p l : a h a r a n - r ‘ ~ ~ p a s t 3 : : t h s s a d . 0 . ‘ . * < § " ° " ‘ W s i g n i f i c s n u j - : . . I . — ' ~ " ' " < - 4 . = ' - ' 5 , ' ! " I - u f r i e n d a n d h u s b a n d , x s t a r : s t c h 9 . “ : y . ' fi t s “ . m y i n t e n s i t y i n o r " a “ ' K b m \ e . . “ s p a m . h a l f m y ‘ I i x . h a s v W e T o ” i “ b i g - n d s m a l l . L o a f - t e n 1 y . : p ; l . u t . h e h a s n u r t u r e d a & . - - . ; , . . : l i , o h s r d S a r a h , s n d m y p s r s s t s ‘ I “ . w h i c h g r o u n d s m e a n d h . 2 . . . a t t o u n i - u 1 " “ p a ; s p s c t i v s . } M ( o r ‘ a a w w e l l i n u « a s : « i s a s a n d h e l p s s c u n d e r s t a n d A l ‘ l o r » C ! f o r t h e r o o m a n d i n o c u - l m u m s i s s y . h a d t o g r o w . e t o h i s I c a n n o t o v e n p u t i n 0 w o r d s t h i s d l b s e l t a t i o n h a s f i n e d t o o b i g a f o r s I n t - H a a d } . - ‘ A " ‘ 5 ‘ “ ! “ fl . a l s o s t n i n e ” i f h e r y o u n g l i f e A l t h o u g h s h e w a s . i f s h e h a s h a s ” 4 t h fl ‘ & m o t h s : s t t b s o d d e s t h o u r s w , ' . E V ; E W ' a t e v e n t u r n . S h e s I u h o l s “ « c a n , a s » q n a h . . ‘ ’ 1 ' } . 2 ; “ . “ fi c t i v e s h e r a n s p h o a s m a n n i n g m s o M Q « I ‘ m m r y h t m y m o t h s : c a n ' t - w a s ” 3 0 “ ” . , . 4 . » ; ‘ 3 ~ ‘ a i m t b s c a r d s o r t m y . W w i t h - v . 1 “ N a : - 3 " 1 . ; u s e d i s t h e [ s c e n t s - Q s u m ” J a g - 1 ‘ " “ . 2 “ a * ‘ ‘ m u u x c y m m u m w ‘ — A C K N O W L E D G M E N T S T h e t i m e t o b i n d t h i s t o m e h a s a r r i v e d . T h e w o r k i s n o t f i n i s h e d ; n o w o r k t h a t s o f u l l y a b s o r b s a n d t r a n s f o r m s o n e c a n t r u l y e n d . A n d y e t , w i t h t h e b i n d i n g o f t h e s e p a g e s c o m e s a p a u s e i n t h e b u b b l i n g a n d c h u r n i n g o f t h e p a s t m o n t h s . A s I s t o p s c u l p t i n g t h i s t e x t , I h a v e a m o m e n t t o b r e a t h e d e e p l y . I f i n d m y s e l f t h i n k i n g b a c k o v e r t h e p a s t m o n t h s a n d y e a r s t o t h e m a n y p e o p l e w h o h a v e c o n t r i b u t e d s i g n i f i c a n t l y t o m y g r o w t h . I s t a r t w i t h m y f a m i l y : R i c h a r d , m y s p e c i a l f r i e n d a n d h u s b a n d , w i t h w h o m I h a v e n o w s p e n t h a l f m y l i f e , h a s s u p p o r t e d m y i n t e n s i t y i n w a y s b o t h b i g a n d s m a l l . C o n s i s t e n t l y s u p p o r t i v e , h e h a s n u r t u r e d a f a m i l y l i f e w h i c h g r o u n d s m e a n d h e l p s m e t o m a i n t a i n p e r s p e c t i v e . I a m g r a t e f u l f o r h o w w e l l h e u n d e r s t a n d s m e a n d h e l p s m e u n d e r s t a n d m y s e l f , a n d f o r t h e r o o m a n d f r e e d o m I h a v e a l w a y s h a d t o g r o w . A l l t h a t I o w e t o h i m I c a n n o t e v e n p u t i n t o w o r d s . F o r S a r a h , a l m o s t n i n e , t h i s d i s s e r t a t i o n h a s f i l l e d t o o b i g a p r o p o r t i o n o f h e r y o u n g l i f e . A l t h o u g h s h e w a s , f o r a w h i l e o n l y s e e i n g h e r m o t h e r a t t h e o d d e s t h o u r s , s h e h a s b e e n c h e e r f u l a n d u n d e r s t a n d i n g a t e v e r y t u r n . S h e a l s o h e l p e d d i r e c t l y w i t h m y w o r k . O n h e r o w n i n i t i a t i v e , s h e r a n a p h o n e - a n s w e r i n g s e r v i c e t o p r o t e c t m y w r i t i n g t i m e ( “ I ' m s o r r y b u t m y m o t h e r c a n ' t c o m e t o t h e p h o n e r i g h t n o w " ) . S h e a l s o t r i e d t h e c a r d s o r t t a s k , p r o v i d e d c h i l d - l i k e h a n d w r i t i n g f o r s a m p l e s u s e d i n t h e i n t e r v i e w s , a n d c h e c k e d t h e r e f e r e n c e s ( t h e r e s p o n s i b i l i t y f o r w h i c h i s n o n e t h e l e s s m i n e ) . v i G o i n g a l i t t l e f u r t h e r b a c k , I o w e m u c h o f m y d i s c i p l i n e a n d i n t e l l e c t u a l d e s i r e t o m y p a r e n t s , I n a a n d J e r r y , w h o c o n s i s t e n t l y f o s t e r e d i n m e d i s p o s i t i o n s s u c h a s l o v i n g t o r e a d , t o l e a r n , t o w r i t e , a n d , a b o v e a l l , t o a r g u e . T h e i r e x p e c t a t i o n s o f a n d b e l i e f i n m e h a v e m a d e m e r e p o s s i b i l i t i e s a t t a i n a b l e . M y b r o t h e r , M i c h a e l , . f i n i s h i n g h i s d o c t o r a l d i s s e r t a t i o n ( o n h e t e r o g e n e o u s r e a c t i o n a n d d i f f u s i o n ) , g a v e m e t h e c r i t i c a l p u s h I n e e d e d t o f i n i s h , j u s t a s I d r o o p e d i n m i d - F e b r u a r y . A m a t h e m a t i c i a n h i m s e l f , h e t a l k e d t h r o u g h s u b s t a n t i v e i s s u e s w i t h m e - - s u c h a s w h a t p r o o f m e a n s t o h i m i n h i s w o r k . T h e p r i d e t h a t m y p a r e n t s - i n - l a w , N o r m a a n d I v a n , h a v e s h o w n f o r m e h a s a l s o m e a n t a g r e a t d e a l a s I c u t a c o u r s e f o r m y l i f e q u i t e d i f f e r e n t f r o m a n y t h i n g t h e y w e r e u s e d t o . I t u r n n e x t t o m y t e a c h e r s . F o r t u n a t e t o h a v e h a d a c o m m i t t e e w h o , c h o s e n f o r t h e i r d i s t i n c t a n d d i s t i n c t i v e i n t e l l e c t u a l i n t e r e s t s a n d s t r e n g t h s , a l w a y s w o r k e d t o g e t h e r t o h e l p m e l e a r n , I h a v e b e e n p u s h e d b y e a c h o f t h e m t o t h i n k a n d t o r e a c h w e l l b e y o n d w h e r e I w a s w h e n I b e g a n . T h e i r p r o d d i n g a n d c h a l l e n g i n g h a s b e e n m a t c h e d o n l y b y t h e i r s u p p o r t a n d t h e i r c a r i n g . P e r r y L s n i e r , t h e c h a i r o f m y c o m m i t t e e , S h a r o n F e i m a n - N e m s e r a n d M a g d a l e n e L a m p e r t , w h o d i r e c t e d t h i s d i s s e r t a t i o n , M a r g r e t B u c h m a n n a n d R o b e r t F l o d e n - - e a c h o f t h e m , i n w a y s b o t h g e n t l e a n d t o u g h , h a s c o n t r i b u t e d i n d i f f e r e n t a n d i m p o r t a n t w a y s t o m y d e v e l o p m e n t . T h e i r i n f l u e n c e i s r e a d i l y a p p a r e n t w i t h i n t h e s e c o v e r s - - a n d i n m e . P e r r y L a n i e r , w i t h h i s g e n t l e b u t i n s i s t e n t p e d a g o g y , h a s h e l p e d m e m o v e f r o m a f i f t h g r a d e t e a c h e r w h o w a s i n e x p l i c i t l y w o r r i e d a b o u t h e r m a t h e m a t i c s t e a c h i n g t o a r e s e a r c h e r a n d t e a c h e r e d u c a t o r w h o v i i e x p l i c i t l y w o r r i e s a n d w o r k s t o i m p r o v e i t - - w h i l e b r i n g i n g t h e t e a c h e r i n m e a l o n g . H i s e n c o u r a g e m e n t o f m y o w n s t u d y o f m a t h e m a t i c s h e l p e d . m e t o s t r e t c h a n d r e d e f i n e m y i n t e r e s t s , a s w e l l a s t o n e g o t i a t e t h e f o r e i g n c u l t u r e o f t h e u n i v e r s i t y m a t h e m a t i c s c l a s s r o o m . F r o m S h a r o n F e i m a n - N e m s e r , w i t h w h o m I h a v e w o r k e d c l o s e l y s i n c e m y f i r s t t e r m i n g r a d u a t e s c h o o l , I h a v e l e a r n e d t o t e a c h a n d l e a r n e d a b o u t l e a r n i n g t o t e a c h . S h e h a s f o s t e r e d i n m e n e w w a y s o f l o o k i n g t h a t h a v e h e l p e d m e b e g i n t o u n d e r s t a n d s o m e o f t h e m o s t c e n t r a l q u e s t i o n s a b o u t t e a c h i n g , a b o u t b e i n g a n d b e c o m i n g a t e a c h e r . H e r t h o u g h t f u l r e s p o n s e s t o m y w r i t i n g h a v e , i n a d d i t i o n t o h e l p i n g m e c l a r i f y w h a t I k n o w , t a u g h t m e i m m e a s u r a b l y a b o u t w r i t i n g a n d a b o u t h e l p i n g o t h e r s l e a r n t o t h i n k a n d t o w r i t e . M a g d a l e n e L a m p e r t , a s e l e m e n t a r y s c h o o l t e a c h e r - r e s e a r c h e r - t e a c h e r e d u c a t o r , h a s h e l p e d m e l e a r n t o i n t e g r a t e t h o s e s a m e p i e c e s i n m y s e l f - ~ i n t h e d i s s e r t a t i o n a s w e l l a s i n m y o n g o i n g w o r k . W i t h M a g g i e , I c a n m o v e f r o m L a k a t o s t o t h i r d g r a d e t o n u m b e r t h e o r y a n d h a v e a c o h e r e n t c o n v e r s a t i o n . H e r u n d e r s t a n d i n g o f a n d f u l l a b s o r p t i o n i n t h e m u l t i p l e d i m e n s i o n s o f m y w o r k i s h e l p i n g m e t o d e v e l O p b o t h p o w e r a n d g r a c e . M a r g r e t B u c h m a n n , n u r t u r i n g m e w i t h b a n a n a m u f f i n s w i t h o n e h a n d a n d A l i s t a i r M a c I n t y r e ' s A f § g 1 _ ! 1 ; § u g w i t h t h e o t h e r , h a s m a n a g e d t o u n d e r s t a n d e x a c t l y w h e n I n e e d e d r e a s s u r a n c e a n d e n c o u r a g e m e n t a n d w h e n I n e e d e d a c h a l l e n g i n g p u s h . H e r c o p i o u s r e s p o n s e s t o m y w r i t i n g h a v e h e l p e d m e l e a r n t o i n t e r r o g a t e m y o w n t h i n k i n g , a s w e l l a s t o c h o o s e w o r d s a s t h o u g h t f u l l y a s o t h e r s s e l e c t w i n e . v i i i F i n a l l y , f r o m t h e b e g i n n i n g o f t h i s s t u d y , R o b e r t F l o d e n k e p t a s k i n g m e h a r d q u e s t i o n s - - l i k e w h a t t h i s s t u d y w a s r e a l l y g b g u g . H e r e a d d r a f t s a n d t y p e d n o t e s b a c k t o m e w i t h m o r e q u e s t i o n s . B o b ' s q u e s t i o n s h a v e m a d e a b i g d i f f e r e n c e i n t h e l o n g r u n , f o r I ' v e g o t t e n b e t t e r a t a n s w e r i n g h i s a n d b e t t e r a t a s k i n g m y o w n . A s t h e s e t e a c h e r s h a v e a l s o b e c o m e m y f r i e n d s , s o m y f r i e n d s h a v e t a u g h t m e t o o . T h e y h a v e p u s h e d a n d e n c o u r a g e d m e a t c r i t i c a l p o i n t s . I m u s t b e g i n w i t h S u z a n n e W i l s o n , w i t h w h o m I s h a r e d , a m i d l a u g h t e r a n d t e a r s , t h e l a b o r o f c o n c e i v i n g a n d g i v i n g b i r t h t o a d i s s e r t a t i o n . A s a t e a m , b o n d e d b y o u r c o m m i t m e n t t o E i n i g h , w e m a d e f u n w h a t s h o u l d h a v e b e e n a “ s h a r e d o r d e a l “ a n d l e a r n e d a l o t f r o m o n e a n o t h e r a l o n g t h e w a y . D r i n k i n g s t r o n g , s t r o n g c o f f e e a t 3 o ' c l o c k i n t h e m o r n i n g , w e h a v e t r i e d t o f i g u r e o u t e x a c t l y t h e r i g h t w o r d f o r a n e w i d e a , p u z z l e d a b o u t t h e c o n s e q u e n c e s o f t a l k i n g a b o u t " p e d a g o g i c a l r e a s o n i n g " v e r s u s " p e d a g o g i c a l t h i n k i n g , " t a l k e d t h r o u g h m e n t a l o u t l i n e s , c h a l l e n g e d o n e a n o t h e r ' s t h i n k i n g - - a s w e l l a s f i g u r e d o u t h o w t o g e t l o n g f o o t n o t e s t o p r i n t a l l o n t h e s a m e p a g e . W i t h d i s s e r t a t i o n s s o s i m i l a r a n d y e t s o d i f f e r e n t , o u r w o r k g r e w s t r o n g e r a s w e s h a r p e n e d o u r i d e a s a g a i n s t t h e o t h e r ' s s u b j e c t a r e a , d e s i g n a n d f o c u s . W e s o m e t i m e s e v e n t a l k e d a b o u t t h i n g s b e y o n d o u r d i s s e r t a t i o n s - ~ a b o u t o u r l i v e s . K a t h y R o t h a n d S a u n d r a D u n n h a v e l i v e d t h r o u g h g r a d u a t e s c h o o l w i t h m e . K a t h y , w h o s e d i s s e r t a t i o n t h r e e y e a r s a g o f i l l e d m e w i t h a w e , h a s t a k e n t h e t i m e t o t a l k , t o l i s t e n , a n d t o e n c o u r a g e m e w h e n e v e r I n e e d e d i t . R e a l i z i n g t h e v a l u e o f c o f f e e i n a s l e e p l e s s w o r l d , h e r g i f t o f a c o f f e e g r i n d e r w a s a m a j o r c o n t r i b u t i o n t o t h e i x d i s s e r t a t i o n . S a u n d r a D u n n , p a t i e n t w i t h m y i m m e r s i o n , u n d e r s t o o d w h e n I s p e n t h o u r a f t e r h o u r w r i t i n g , e v e n w h e n i t w a s r e a l l y t i m e t o p l a y . S h e e v e n u n d e r s t o o d w h e n I c o u l d n ' t s h o w u p f o r m y o w n b i r t h d a y p a r t y t h i s s p r i n g . 3 1 1 1 M c D i a r m i d , w i t h w h o m I f i r s t w r o t e a b o u t r e p r e s e n t a t i o n s i n t e a c h i n g , h a s s h a r e d m y s t r u g g l e s a b o u t t e a c h e r k n o w l e d g e . O u r j o i n t w o r k i n d e v e l o p i n g t h e N C R T E q u e s t i o n n a i r e , i n t e r v i e w s , a n d o b s e r v a t i o n g u i d e h e l p e d m e b e c o m e c l e a r e r a b o u t m y o w n w o r k ; o u r m a n y c o n v e r s a t i o n s a b o u t w h a t t e a c h e r s n e e d t o k n o w h e l p e d m e s e e t h e d i f f e r e n t c a t e g o r i e s - - a s w e l l a s t h e p r o b l e m s g i g h c a t e g o r i e s . M a n y o t h e r f r i e n d s h a v e s u p p o r t e d a n d e n c o u r a g e d m e ; I c a n n o t m e n t i o n t h e m a l l h e r e . J e s s i e F r y , P a m S c h r a m , R u h a m a E v a n , S u s a n I r w i n , W e n d y E s m a i l k a , a n d J i m M o s e n t h a l a r e a m o n g t h o s e w h o h a v e m a d e a r e a l d i f f e r e n c e . I w a n t t o t h a n k D a v i d C o h e n f o r e n t i c i n g a n d e n c o u r a g i n g m e t o p a r t i c i p a t e i n t h e N a t i o n a l C e n t e r f o r R e s e a r c h o n T e a c h e r E d u c a t i o n a n d f o r b e l i e v i n g I c o u l d d o i t ; I a m a l s o g r a t e f u l t o M a r y K e n n e d y a n d t h e N C R T E f o r t h e i n t e l l e c t u a l , p e r s o n a l , a n d f i n a n c i a l s u p p o r t I h a v e h a d ‘ t h r o u g h o u t t h i s p r o c e s s . N C R T E s t a f f m e m b e r s - - M a r i l y n A u g u s t i n e , S h a r o n J o u r d a n , L u c y S a n c h e z , a n d R o s e S n i t g e n - - h a v e h e l p e d i n m a n y w a y s a l s o , a n d a l w a y s w i t h p e r p e t u a l g o o d h u m o r a n d p a t i e n c e . S p e c i a l t h a n k s g o t o C a t h y S i e b e r t f o r h e r c a r e f u l a t t e n t i o n t o a n d h e l p w i t h t h e d e t a i l s o f p r o d u c i n g t h e f i n a l d o c u m e n t , a s w e l l a s f o r h e r p a t i e n c e a n d g o o d - n a t u r e d n e s s w i t h a l l t h e l i t t l e a n d t h e b i g t h i n g s t h a t c a m e u p a l o n g t h e w a y . R e s o u r c e f u l i n s o l v i n g t h e m o s t 4 5 ‘ - m i n u t e a n d t r y i n g p r o b l e m s , s h e s m o o t h e d m e o u t o n m o r e t h a n o n e r u f f l i n g o c c a s i o n . F i n a l l y , I o w e a d e b t o f g r a t i t u d e t o t h e t e a c h e r e d u c a t i o n s t u d e n t s w h o g a v e t h e i r t i m e t o p a r t i c i p a t e i n t h i s s t u d y , h e l p i n g m e t o u n d e r s t a n d w h a t t h e y k n e w a n d b e l i e v e d a s w e l l a s h o w t h e y t h o u g h t . T h e y t o o k a r i s k t o b e i n t e r v i e w e d ; I h o p e t h a t t h e y l e a r n e d e v e n h a l f a s m u c h f r o m t h e i r p a r t i c i p a t i o n a s I d i d . W i t h t h e s e c o l l e a g u e s , f r i e n d s , a n d f a m i l y ( a s w e l l a s t h e o t h e r s w h o m I h a v e n o t m e n t i o n e d ) , I h a v e s t r e t c h e d , I h a v e g r o w n , a n d I h a v e b e c o m e m o r e w h o l e . I t w o u l d n o t h a v e b e e n p o s s i b l e w i t h o u t y o u . x i T A B L E O F C O N T E N T S L I S T O F T A B L E S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x v i i L I S T O F F I G U R E S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . X V i i i C H A P T E R 1 I N T R O D U C T I O N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 M a t h e m a t i c a l P e d a g o g y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 M a t h e m a t i c a l P e d a g o g y i n A c t i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 F r o m T h i r d G r a d e t o t h e P h i l o s o p h y o f M a t h e m a t i c s . . . . . . . . . . . . . . . 9 C o m p a r i n g M a t h e m a t i c a l P e d a g o g y t o O t h e r V i e w s o f M a t h T e a c h i n g . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 A c c o m p l i s h i n g C h a n g e i n t h e T e a c h i n g o f M a t h e m a t i c s . . . . . . . . . . . . . . . . 1 7 W h a t D o P r o s p e c t i v e M a t h e m a t i c s T e a c h e r s B r i n g W i t h T h e m t o T h e i r P r o f e s s i o n a l E d u c a t i o n ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 7 T e a c h e r s A s L e a r n e r s i n T e a c h e r E d u c a t i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 9 E x a m i n i n g W h a t P r o s p e c t i v e T e a c h e r s B r i n g . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 5 C H A P T E R 2 M E T H O D S O F D A T A C O L L E C T I O N A N D A N A L Y S I S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 4 O v e r v i e w . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ; . . . . . . . . . . . . . 4 4 T h e S a m p l e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 6 D e m o g r a p h i c C h a r a c t e r i s t i c s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 7 D a t a C o l l e c t i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 0 T h e I n t e r v i e w . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 0 I n t e r v i e w P r o c e d u r e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 2 A c a d e m i c R e c o r d s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 4 x i i D a t a A n a l y s i s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 5 I n t e r v i e w s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 5 A c a d e m i c R e c o r d s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 9 T h e E v o l u t i o n o f T h e m e s : T h e C a s e O f " S u b j e c t M a t t e r K n o w l e d g e " . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1 C H A P T E R 3 P R O S P E C T I V E T E A C H E R S ' S U B S T A N T I V E K N O W L E D G E 0 P M A T H E M A T I C S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 6 S u b j e c t M a t t e r K n o w l e d g e f o r T e a c h i n g M a t h e m a t i c s . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 8 M a t h e m a t i c a l U n d e r s t a n d i n g : I n t e r w e a v i n g I d e a s O f a n d A b o u t t h e S u b j e c t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 9 T a l k i n g C a r e f u l l y A b o u t " K n o w l e d g e " . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1 T a c i t V e r s u s E x p l i c i t W a y s o f K n o w i n g . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2 C o n n e c t e d n e s s i n M a t h e m a t i c a l U n d e r s t a n d i n g . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 6 P r o s p e c t i v e T e a c h e r s ' K n o w l e d g e o f P l a c e V a l u e a n d N u m e r a t i o n . . . . . . 8 9 P r o s p e c t i v e T e a c h e r s ' U n d e r s t a n d i n g o f D i v i s i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 0 8 P r o s p e c t i v e T e a c h e r s ' K n o w l e d g e o f S l o p e a n d G r a p h i n g . . . . . . . . . . . . . 1 4 1 P r o s p e c t i v e T e a c h e r s ’ S u b s t a n t i v e K n o w l e d g e o f M a t h e m a t i c s : R e t h i n k i n g C o m m o n A s s u m p t i o n s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 5 6 C H A P T E R 4 P R O S P E C T I V E T E A C H E R S ' U N D E R S T A N D I N G S A N D F E E L I N G S A B O U T M A T H E M A T I C S A S A D I S C I P L I N E . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 6 2 I d e a s A b o u t t h e S o u r c e s o f a n d J u s t i f i c a t i o n f o r M a t h e m a t i c a l K n o w l e d g e . . . . . . . . . . . . . . 1 6 5 S u b s t a n c e O v e r P r o o f : T h e P r o s p e c t i v e T e a c h e r s ' I n a t t e n t i o n t o J u s t i f i c a t i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 6 8 I d e a s A b o u t S o u r c e s o f M a t h e m a t i c a l K n o w l e d g e a n d H o w K n o w l e d g e i s J u s t i f i e d i n M a t h e m a t i c s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 8 0 N o t i o n s A b o u t W h a t I s E n t a i l e d i n " D o i n g " M a t h e m a t i c s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 8 5 x i i i I d e a s A b o u t P u r p o s e s f o r L e a r n i n g M a t h e m a t i c s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 0 0 S u m m a r y : P r o s p e c t i v e T e a c h e r s ' I d e a s A b o u t t h e N a t u r e o f M a t h e m a t i c s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 0 5 P r o s p e c t i v e T e a c h e r s ' F e e l i n g s A b o u t M a t h e m a t i c s a n d A b o u t T h e m s e l v e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 0 7 T h e H i g h l y A n x i o u s T e a c h e r C a n d i d a t e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1 0 T h e M a t t e r - o f — F a c t T e a c h e r C a n d i d a t e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1 5 T h e S o l i d T e a c h e r C a n d i d a t e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1 8 T h e P a s s i o n a t e T e a c h e r C a n d i d a t e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2 1 D i s c u s s i o n : P r o s p e c t i v e T e a c h e r s ' F e e l i n g s A b o u t T h e m s e l v e s a n d A b o u t M a t h e m a t i c s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2 2 S u m m a r y : P r o s p e c t i v e T e a c h e r s ' I d e a s a n d F e e l i n g s A b o u t M a t h e m a t i c s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2 4 C H A P T E R 5 P R O S P E C T I V E T E A C H E R S ' I D E A S A B O U T T E A C H I N G A N D L E A R N I N G M A T H E M A T I C S A N D A B O U T S T U D E N T S A S L E A R N E R S O F M A T H E M A T I C S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2 6 W h e r e D o P r o s p e c t i v e T e a c h e r s L e a r n A b o u t T e a c h i n g M a t h e m a t i c s ? . . . . 2 2 7 T h e A p p r e n t i c e s h i p o f O b s e r v a t i o n i n t h e " O r d i n a r y M a t h C l a s s " . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2 8 M a t h e m a t i c s T e a c h i n g i n t h e A m e r i c a n C u l t u r a l C o n t e x t . . . . . . . . . . 2 3 1 I d e a s a b o u t T e a c h i n g a n d L e a r n i n g M a t h e m a t i c s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 3 3 D i s c u s s i o n : C o m p a r i n g S t r o n g a n d W e a k S e n s e s o f E x p l a i n i n g , F i g u r i n g S o m e t h i n g O u t O n O n e ' s O w n , S h o w i n g , a n d D o i n g M a t h e m a t i c s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 S 3 I d e a s A b o u t S t u d e n t s a s L e a r n e r s o f M a t h e m a t i c s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 5 6 W h a t D i d n ' t T h e P r o s p e c t i v e T e a c h e r s K n o w ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 7 7 C o m m e n t a r y : P r o s p e c t i v e T e a c h e r s ' I m a g e s o f T e a c h i n g . . . . . . . . . . . . . . . 2 8 8 C H A P T E R 6 R E L A T I O N S H I P S O F K N O W L E D G E A N D B E L I E F I N T E A C H I N G M A T H E M A T I C S : W A R R A N T S F O R P E D A G O G I C A L R E A S O N I N G . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 9 4 U n d e r s t a n d i n g H o w K n o w l e d g e a n d B e l i e f s I n t e r a c t i n T e a c h i n g : B e y o n d H u m p t y D u m p t y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 9 4 T e a c h i n g I n v o l v e s I n t e g r a t i n g D i f f e r e n t K i n d s o f K n o w l e d g e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 9 5 T r y i n g t o C a p t u r e t h e D y n a m i c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 9 7 R e p r e s e n t i n g K n o w l e d g e i n T e a c h i n g . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 9 9 W h a t i s a R e p r e s e n t a t i o n ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 0 0 T h e M e t a p h o r i c N a t u r e o f R e p r e s e n t a t i o n s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 0 0 T y p e s o f R e p r e s e n t a t i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 0 1 W h a t D o R e p r e s e n t a t i o n s R e p r e s e n t ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 0 3 W h e r e D o R e p r e s e n t a t i o n s C o m e F r o m ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 0 4 B e y o n d t h e S u b s t a n c e o f P e d a g o g i c a l C o n t e n t K n o w l e d g e : P e d a g o g i c a l R e a s o n i n g . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 0 5 W h a t M a k e s a R e p r e s e n t a t i o n G o o d ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 0 7 W a r r a n t s f o r P e d a g o g i c a l C o n t e n t K n o w l e d g e : J u s t i f y i n g P e d a g o g i c a l R e a s o n i n g i n M a t h e m a t i c a l P e d a g o g y . . . . . . 3 0 8 P e d a g o g i c a l R e a s o n i n g a n d A r g u m e n t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1 2 T h e P e d a g o g i c a l R e a s o n i n g o f a F o u r t h G r a d e T e a c h e r . . . . . . . . . . . . . . . . 3 l 9 L a m p e r t ' s W a r r a n t s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 2 3 P e d a g o g i c a l R e a s o n i n g : F u s i n g K n o w l e d g e a n d D i s p o s i t i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 2 6 P r o s p e c t i v e T e a c h e r s ' W a y s o f R e a s o n i n g . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 2 7 M a k i n g M a t h e m a t i c s F u n o r " R e l a t e I t T o W h a t K i d s K n o w “ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 2 8 " G o i n g O v e r " . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 3 2 S k e w e d , I n c o m p l e t e , a n d O t h e r R a t i o n a l e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 3 5 K n o w l e d g e E f f e c t s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 3 8 x v C H A P T E R 7 A R G U M E N T S A N D R E I - ‘ U T A T I O N S : A D I S C U S S I O N A M O N G I N T E R E S T E D P A R T I E S . . . 3 4 1 L I S T O F R E F E R E N C E S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 7 3 A P P E N D I X A S t u d y P a r t i c i p a n t s ' A c a d e m i c R e c o r d s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 8 6 A P P E N D I X B I n t e r v i e w P r o t o c o l s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 8 7 x v i L I S T O F T A B L E S T a b l e 2 . 1 G e n d e r c o m p o s i t i o n o f s a m p l e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 9 T a b l e 3 . 1 D i v i s i o n b y f r a c t i o n s : 1 3 / 4 + i s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 5 T a b l e 3 . 2 D i v i s i o n b y z e r o : 7 + 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2 8 T a b l e 3 . 3 D i v i s i o n i n a l g e b r a i c e q u a t i o n s : . _ L - 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 3 7 0 . 2 T a b l e 4 . 1 E v a l u a t i n g a f a l s e s t u d e n t c o n j e c t u r e a b o u t p e r i m e t e r a n d a r e a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - . . . . . . 1 7 4 T a b l e 4 . 2 T e a c h e r c a n d i d a t e s ' f e e l i n g s a b o u t m a t h e m a t i c s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 0 9 x v i i L I S T O F F I G U R E S F i g u r e 1 . 1 M a t h e m a t i c a l p e d a g o g y : A t h e o r e t i c a l f r a m e w o r k f o r e s s e n t i a l t e a c h e r k n o w l e d g e , b e l i e f s a n d d i s p o s i t i o n s . . . . . . . . . . . . . . 3 6 F i g u r e 2 . 1 Q u e s t i o n C 3 o f t h e i n t e r v i e w . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 8 F i g u r e 3 . 1 C a r o l ' s n u m b e r l i n e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 6 F i g u r e 3 . 2 A n n e ' s s o l u t i o n t o 1 3 / 4 + 8 , f i r s t s t e p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 8 F i g u r e 3 . 3 A n n e ' s s o l u t i o n t o 1 3 / 4 + h , s e c o n d s t e p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 8 F i g u r e 3 . 4 A n n e ' s s o l u t i o n t o 1 3 / 4 + 8 , t h i r d s t e p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 8 F i g u r e 3 . 5 A n i l l u s t r a t i o n o f t h e d i f f e r e n c e b e t w e e n d i v i s i o n b y o n e - h a l f a n d d i v i s i o n b y t w o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2 3 F i g u r e 3 . 6 L i n e s w i t h d i f f e r e n t s l o p e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 4 3 F i g u r e 3 . 7 G r a p h o f y - 2 x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 4 4 F i g u r e 3 . 8 G r a p h o f y - 2 x + 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 4 4 F i g u r e 3 . 9 C o m p a r i s o n o f g r a p h s : y - 2 x a n d y - 2 x + 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 4 4 F i g u r e 3 . 1 0 A g r a p h o f t h e s o l u t i o n s e t f o r y - 2 x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 4 4 F i g u r e 3 . 1 1 D r a w i n g s u c c e s s i v e t a n g e n t s t o a c u r v e t o a p p r o x i m a t e t h e " s l o p e " o f t h e c u r v e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 5 3 x v i i i F i g u r e 4 . 1 T h e s t u d e n t ' s " p r o o f ' I o f h e r t h e o r y a b o u t p e r i m e t e r a n d a r e a . . . . . . 1 6 9 F i g u r e 4 . 2 P e r i m e t e r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 7 1 F i g u r e 4 . 3 A r e a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 7 1 F i g u r e 4 . 4 P e r i m e t e r a n d a r e a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 7 1 F i g u r e 4 . 5 I n c r e a s e d p e r i m e t e r , d e c r e a s e d a r e a ( f r o m F i g u r e 4 . 4 ) . . . . . . . . . . . . . 1 7 2 F i g u r e 4 . 6 S a m e p e r i m e t e r , d i f f e r e n t a r e a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 7 2 F i g u r e 4 . 7 S a m e a r e a , d i f f e r e n t p e r i m e t e r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 7 2 F i g u r e 6 . 1 W a r r a n t s f o r p e d a g o g i c a l c o n t e n t k n o w l e d g e a n d r e a s o n i n g i n m a t h e m a t i c a l p e d a g o g y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 0 9 F i g u r e 6 . 2 L a m p e r t ' s w a r r a n t s f o r r e p r e s e n t a t i o n s i n t e a c h i n g m u l t i d i g i t m u l t i p l i c a t i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 2 5 F i g u r e 6 . 3 A l l e n ' s w a r r a n t s f o r m a n g o e s a s a r e p r e s e n t a t i o n o f b o r r o w i n g . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 3 0 F i g u r e 6 . 4 T e r i ' s w a r r a n t s f o r s h o w i n g s t e p s a s a r e p r e s e n t a t i o n f o r s u b t r a c t i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 3 4 F i g u r e 6 . 5 C o m p a r i n g A l l e n ' s a n d T e r i ' s w a r r a n t s w i t h t h e t h e w a r r a n t s f o r m a t h e m a t i c a l p e d a g o g y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 3 6 C H A P T E R 1 I N T R O D U C T I O N T h e s t u d y o f m a t h e m a t i c s i s a p t t o c o m m e n c e i n d i s a p p o i n t m e n t . T h e i m p o r t a n t a p p l i c a t i o n s o f t h e s c i e n c e , t h e t h e o r e t i c a l i n t e r e s t o f i t s i d e a s , a n d t h e l o g i c a l r i g o u r o f i t s m e t h o d s , a l l g e n e r a t e t h e e x p e c t a t i o n o f a s p e e d y i n t r o d u c t i o n t o p r o c e s s e s o f i n t e r e s t . . Y e t , l i k e t h e g h o s t o f H a m l e t ' s f a t h e r , t h i s g r e a t s c i e n c e e l u d e s t h e e f f o r t s o f o u r m e n t a l w e a p o n s t o g r a s p i t . . . . T h e r e a s o n f o r t h i s f a i l u r e o f t h e s c i e n c e t o l i v e u p t o i t s g r e a t r e p u t a t i o n i s t h a t i t s f u n d a m e n t a l i d e a s a r e n o t e x p l a i n e d t o t h e s t u d e n t d i s e n t a n g l e d f r o m t h e t e c h n i c a l p r o c e d u r e w h i c h h a s b e e n i n v e n t e d t o f a c i l i t a t e t h e i r e x a c t p r e s e n t a t i o n i n p a r t i c u l a r i n s t a n c e s . A c c o r d i n g l y , t h e u n f o r t u n a t e l e a r n e r f i n d s h i m s e l f s t r u g g l i n g t o a c q u i r e a k n o w l e d g e o f a m a s s o f d e t a i l s w h i c h a r e n o t i l l u m i n a t e d b y a n y g e n e r a l c o n c e p t i o n . ( W h i t e h e a d , 1 9 1 1 / 1 9 4 8 , p p . 1 - 2 ) A l f r e d N o r t h W h i t e h e a d o p e n s h i s b o o k , A g I n t r g d u c t i o n t 9 M a t h g m g g i g g ( 1 9 1 1 / 1 9 4 8 ) b y l a m e n t i n g t h e t r i v i a l e n c o u n t e r s t h a t m o s t p e o p l e h a v e w i t h m a t h e m a t i c s . I n t h i s t h i n b u t d e n s e v o l u m e , h e s e t s o u t t o c o r r e c t t h e ' p e d a n t r y " o f t r a d i t i o n a l m a t h e m a t i c s t e a c h i n g b y h e l p i n g h i s r e a d e r s t o d e v e l o p a n a p p r e c i a t i o n f o r t h e p o w e r o f m a t h e m a t i c s a s a s y s t e m o f h u m a n t h o u g h t . I n a s i m i l a r s p i r i t , M i c h a e l G u i l l e n ( 1 9 8 3 ) , a c o n t e m p o r a r y r e s e a r c h m a t h e m a t i c i a n a n d p h y s i c i s t , a r g u e s t h a t t h o s e w h o a r e a l i e n a t e d f r o m m a t h e m a t i c s a r e " d e p r i v e d o f b e i n g a b l e t o c o n s i d e r f o r [ t h e m s e l v e s ] t h e m a n i f o l d a n d u n i q u e w a y s i n w h i c h m a t h e m a t i c s b e a r s o n o u r f a r - f l u n g h u m a n c o n c e r n s , i n c l u d i n g q u e s t i o n s a b o u t G o d " ( p . 2 ) . P a s s i o n a t e l y , G u i l l e n w r i t e s a b o u t h i s d e s i r e t o i g n i t e r e a d e r s w i t h h i s e x c i t e m e n t a b o u t m a t h e m a t i c s , t o p e r s u a d e t h e m t h a t m a t h e m a t i c s i s a f o r m o f h u m a n i m a g i n a t i o n a n d v i s i o n a c c e s s i b l e t o a l l . D e s p i t e t h e g o o d i n t e n t i o n s a n d t h e p a s s i o n s o f m a t h e m a t i c s l o v e r s l i k e W h i t e h e a d a n d G u i l l e n , t h e s c h o o l m a t h e m a t i c s e x p e r i e n c e o f m o s t A m e r i c a n s i s a n d h a s b e e n u n i n s p i r i n g a t b e s t a n d m e n t a l l y a n d 2 e m o t i o n a l l y c r u s h i n g a t w o r s t . " M a t h e m a t i c a l p r e s e n t a t i o n s , w h e t h e r i n b o o k s o r i n t h e c l a s s r o o m , a r e o f t e n p e r c e i v e d a s a u t h o r i t a r i a n " ( D a v i s a H e r s h , 1 9 8 1 , p . 2 8 2 ) . I r o n i c a l l y , t h e m o s t l o g i c a l o f t h e h u m a n d i s c i p l i n e s o f k n o w l e d g e i s t r a n s f o r m e d t h r o u g h a m i s r e p r e s e n t a t i v e p e d a g o g y i n t o a b o d y o f p r e c e p t s a n d f a c t s t o b e r e m e m b e r e d " b e c a u s e t h e t e a c h e r s a i d s o . " D e s p i t e i t s p o w e r , r i c h t r a d i t i o n s , a n d b e a u t y , m a t h e m a t i c s i s t o o o f t e n u n k n o w n , m i s u n d e r s t o o d , a n d r e n d e r e d i n a c c e s s i b l e . T h e c o n s e q u e n c e s o f t r a d i t i o n a l m a t h e m a t i c s t e a c h i n g h a v e b e e n d o c u m e n t e d ; t h e y i n c l u d e l a c k o f m e a n i n g f u l u n d e r s t a n d i n g , s u s c e p t i b i l i t y t o ” m a t h e m a t i c a l p u f f e r y a n d n o n s e n s e " ( S c h o e n f e l d , i n p r e s s b ) , l o w a n d u n e v e n p a r t i c i p a t i o n , p e r s o n a l d r e a d . A s a n e x p e r i e n c e d m a t h e m a t i c s t e a c h e r a n d l a t e b l o o m i n g m a t h e m a t i c s a m a t e u r , I , t o o , w o r r y a b o u t o u r c u l t u r e ' s m a t h e m a t i c a l d i s e n f r a n c h i s e m e n t a n d d i s e n c h a n t m e n t . B e c a u s e t h i s d i s s e r t a t i o n g r o w s o u t o f m y c o n c e r n f o r i m p r o v i n g t h e c h a r a c t e r a n d q u a l i t y o f m a t h e m a t i c s t e a c h i n g , I b e g i n t h i s f i r s t c h a p t e r b y e x p l o r i n g m a t h e m a t i c a l p e d a g o g y 1 - - a v i s i o n o f m a t h e m a t i c s t e a c h i n g a n d l e a r n i n g q u i t e d i f f e r e n t f r o m w h a t s t u d e n t s e n c o u n t e r i n m o s t A m e r i c a n c l a s s r o o m s . M a t h e m a t i c a l p e d a g o g y , s o n a m e d b e c a u s e d i s c i p l i n a r y m a t h e m a t i c s i s a t i t s c o r e , a f f o r d s s t u d e n t s t h e o p p o r t u n i t y t o d e v e l o p b o t h u n d e r s t a n d i n g a n d p o w e r i n m a t h e m a t i c s . I t i s a n a p p r o a c h t o t e a c h i n g m a t h t h a t e m p h a s i z e s m a k i n g s e n s e a n d h a v i n g c o n t r o l i n s i t u a t i o n s 1 1 u s e t h i s t e r m s t i p u l a t i v e l y t o r e f e r t o a p g x t i g u l g ; v i e w o f m a t h e m a t i c s t e a c h i n g . T h e l a b e l w a s f i r s t s u g g e s t e d t o m e b y M a g d a l e n e L a m p e r t w h o a r g u e d t h a t i t a p p r o p r i a t e l y r e f l e c t e d t h e p r i m a r y i n f l u e n c e o f t h e d i s c i p l i n e o f m a t h e m a t i c s o n t h i s a p p r o a c h t o t e a c h i n g . 3 t h a t i n v o l v e q u a n t i t a t i v e a n d s p a t i a l r e a s o n i n g . I n o r d e r t o g i v e t h e r e a d e r a v i s i o n o f m a t h e m a t i c a l p e d a g o g y , t h i s c h a p t e r b e g i n s w i t h a s t o r y f r o m a t h i r d g r a d e c l a s s . E x a m i n i n g w h a t i s g o i n g o n i n t h i s c l a s s t a k e s u s o n a s h o r t t r e k i n t o t h e p h i l o s o p h y o f m a t h e m a t i c s a n d t h e i n h e r e n t r e l a t i o n s h i p b e t w e e n e p i s t e m o l o g y a n d p e d a g o g y . T o h i g h l i g h t t h e d i s t i n c t i v e f e a t u r e s o f a m a t h e m a t i c a l p e d a g o g y , I t h e n c o m p a r e t h i s v i e w o f m a t h e m a t i c s t e a c h i n g w i t h t w o o t h e r d o m i n a n t v i e w s o f m a t h e m a t i c s t e a c h i n g . T h e c h a p t e r c o n t i n u e s w i t h a b r i e f d i s c u s s i o n o f f o u r f a c t o r s t h a t m a k e a m a t h e m a t i c a l p e d a g o g y d i f f i c u l t t o e n a c t . W h i l e t h e g o a l s o f m a t h e m a t i c a l p e d a g o g y p r o v o k e l i t t l e d i s a g r e e m e n t , t h i s i d e a l i s r a r e l y r e a l i z e d i n A m e r i c a n e l e m e n t a r y a n d s e c o n d a r y c l a s s r o o m s . N o s i n g l e c a u s e a d e q u a t e l y e x p l a i n s w h y A m e r i c a n m a t h e m a t i c s t e a c h i n g i s s t u n g w i t h i n e r t i a , d e s p i t e f r e q u e n t a n d v a r i e d e f f o r t s t o c h a n g e i t . T o g e t h e r , t h e s e t w o p i e c e s - - t h e v i s i o n o f m a t h e m a t i c a l p e d a g o g y a n d t h e p r o b l e m s o f r e a l i z i n g i t - - s e t t h e s t a g e f o r t h e f o c u s a n d g o a l s o f t h i s s t u d y , w h i c h I p r e s e n t i n t h e t h i r d s e c t i o n o f t h e c h a p t e r . W e e n R o o t e d i n m a t h e m a t i c s i t s e l f , t h e g o a l o f a m a t h e m a t i c a l p e d a g o g y i s t o h e l p s t u d e n t s d e v e l o p m a t h e m a t i c a l p o w e r a n d t o b e c o m e a c t i v e p a r t i c i p a n t s i n m a t h e m a t i c s a s a s y s t e m o f h u m a n t h o u g h t . T o d o t h i s , p u p i l s m u s t l e a r n t o m a k e s e n s e o f a n d u s e c o n c e p t s a n d p r o c e d u r e s t h a t o t h e r s h a v e i n v e n t e d - - t h e b o d y o f a c c u m u l a t e d k n o w l e d g e i n t h e d i s c i p l i n e - - b u t t h e y a l s o m u s t h a v e e x p e r i e n c e " d o i n g " m a t h e m a t i c s , d e v e l o p i n g a n d p u r s u i n g m a t h e m a t i c a l h u n c h e s t h e m s e l v e s , i n v e n t i n g I ; m a t h e m a t i c s , a n d l e a r n i n g t o m a k e m a t h e m a t i c a l a r g u m e n t s f o r t h e i r i d e a s ( s e e R o m b e r g , 1 9 8 3 ) . G o o d m a t h e m a t i c s t e a c h i n g , a c c o r d i n g t o t h i s v i e w , s h o u l d e v e n t u a l l y r e s u l t i n m e a n i n g f u l u n d e r s t a n d i n g s o f c o n c e p t s a n d p r o c e d u r e s , a s w e l l a s i n u n d e r s t a n d i n g s a b o u t m a t h e m a t i c s : w h a t i t m e a n s t o “ d o ” m a t h e m a t i c s a n d h o w o n e e s t a b l i s h e s t h e v a l i d i t y o f a n s w e r s , f o r i n s t a n c e . I e m b r a c e t h i s v i s i o n o f m a t h e m a t i c a l p e d a g o g y i n r e a c t i o n t o t h e m i n d l e s s m a t h e m a t i c s a c t i v i t y t h a t p r e v a i l s i n s o m a n y s c h o o l s a n d r e s u l t s i n s o l i t t l e m e a n i n g f u l s t u d e n t l e a r n i n g ( E r l w a n g e r , 1 9 7 5 ; W h e e l e r , 1 9 8 0 ) . - A f i n a l p e d a m m ‘ , i n A c t i o n T o i l l u s t r a t e c o n c r e t e l y w h a t a m a t h e m a t i c a l p e d a g o g y m i g h t l o o k l i k e , 2 I u s e a n e x a m p l e f r o m a t h i r d g r a d e c l a s s r o o m i n w h i c h s t u d e n t s a r e l e a r n i n g a b o u t p e r i m e t e r a n d a r e a a n d t h e r e l a t i o n s h i p b e t w e e n t h e s e t w o m e a s u r e s . 3 0 n t h e d a y t h a t I w i l l d e s c r i b e , s t u d e n t s w e r e p r e s e n t i n g t h e i r s o l u t i o n s t o t h e f o l l o w i n g p r o b l e m w h i c h t h e t e a c h e r h a d p o s e d t h e d a y b e f o r e : S u p p o s e y o u h a d 6 4 m e t e r s o f f e n c e w i t h w h i c h y o u w e r e g o i n g t o b u i l d a p e n f o r y o u r l a r g e d o g , B o z o . W h a t a r e s o m e d i f f e r e n t p e n s y o u c a n m a k e i f y o u u s e a l l t h e f e n c e ? W h i c h i s t h e p e n w i t h t h e m p g ; p l a y s p a c e f o r B o z o ? W h i c h p e n a l l o w s h i m t h e l e g s ; p l a y s p a c e ? T h e s t u d e n t s h a v e w o r k e d o n t h i s p r o b l e m i n a v a r i e t y o f w a y s , u s i n g t o o l s a n d s t r a t e g i e s w h i c h t h e y h a v e a c q u i r e d : g r a p h p a p e r f o r d r a w i n g a l t e r n a t i v e d o g p e n s , r u l e r s f o r d r a w i n g c o n s t r u c t i o n s o f d o g p e n s o n 2 N o s i n g l e w a y o f e n a c t i n g a m a t h e m a t i c a l p e d a g o g y i s i m p l i e d t h r o u g h t h e u s e o f t h i s e x a m p l e . D e p e n d i n g o n a h o s t o f f a c t o r s - - t h e p a r t i c u l a r g r a d e l e v e l , t o p i c , t i m e o f d a y o r y e a r , f o r i n s t a n c e - - t e a c h e r s m a y d o d i f f e r e n t t h i n g s i n t h e s e r v i c e o f t h e s e g o a l s . 3 I d r a w t h i s e x a m p l e f r o m m y o w n t e a c h i n g . O t h e r o u t s t a n d i n g w r i t t e n e x a m p l e s e x i s t - - s e e , f o r e x a m p l e : L a m p e r t , 1 9 8 5 b , 1 9 8 6 , i n p r e s s a ; S c h o e n f e l d , 1 9 8 5 , i n p r e s s b . 5 p l a i n p a p e r , “ m a k i n g t a b l e s o f t h e p o s s i b l e c o m b i n a t i o n s o f d i m e n s i o n s t h a t t o t a l 6 4 a n d c a l c u l a t i o n s o f a r e a u s i n g L x W ( l e n g t h t i m e s w i d t h ) . S o m e s t u d e n t s h a v e w o r k e d t o g e t h e r o n t h e p r o b l e m ; o t h e r s h a v e w o r k e d a l o n e . T h e t e a c h e r o p e n s d i s c u s s i o n b y a s k i n g w h o w o u l d l i k e t o p r e s e n t a s o l u t i o n t o t h e p r o b l e m o f f i n d i n g t h e m o s t p l a y s p a c e f o r B o z o . A g i r l c o m e s u p t o t h e b o a r d a n d c a r e f u l l y d r a w s a 1 8 x 1 4 - i n c h r e c t a n g u l a r p e n o n t h e b o a r d . T u r n i n g t o f a c e t h e c l a s s , s h e a n n o u n c e s t h a t t h i s i s t h e l a r g e s t p e n t h a t c a n b e b u i l t w i t h 6 4 m e t e r s o f f e n c e . T h e t e a c h e r a s k s h e r t o e x p l a i n . T h e g i r l p o i n t s a t h e r d r a w i n g a n d s a y s t h a t s h e k n o w s s h e h a s u s e d j u s t 6 4 m e t e r s o f f e n c e b e c a u s e 1 8 + 1 8 - 3 6 , a n d 1 4 + 1 4 - 2 8 , a n d 3 6 + 2 8 - 6 4 . " A n d h o w m u c h p l a y s p a c e d o e s y o u r d o g h a v e ? " p r o b e s t h e t e a c h e r . ” T w o h u n d r e d f i f t y - t w o s q u a r e m e t e r s , “ s h e r e p l i e s , a f t e r g l a n c i n g d o w n a t h e r w r i n k l e d p a p e r . " H o w d i d y o u g e t t h a t ? " a s k s a s m a l l b o y s i t t i n g o n t h e s i d e o f t h e c l a s s . C a r e f u l l y s h e e x p l a i n s : 1 8 x 1 4 y o u c a n d o i n 1 8 x 1 0 a n d 1 8 x 4 a n d t h e n p u t t h e m b a c k t o g e t h e r . 1 8 x 1 0 i s 1 8 0 [ s h e w r i t e s t h i s o n t h e b o a r d ] . 1 8 x 4 I h a v e t o d o i n p a r t s , t o o . 1 0 x 4 i s 4 0 , a n d 8 x 4 i s . . . 3 2 , s o 1 8 x 4 i s 7 2 . N o - - 1 8 0 + 7 2 i s 2 5 2 ! S h e s m i l e s . A n o t h e r g i r l r a i s e s h e r h a n d a n d a n n o u n c e s t h a t s h e h a s m a d e a d o g p e n w i t h a s t i l l l a r g e r p l a y s p a c e t h a n t h e o n e o n t h e b o a r d . T h e t e a c h e r i n v i t e s h e r t o s h o w t h e c l a s s . T h e g i r l q u i c k l y 4 T h e r e i s a d i f f e r e n c e b e t w e e n u s i n g g r a p h p a p e r a n d u s i n g r u l e r s t o d r a w d o g p e n s : g r a p h p a p e r i s a s i m p l e r t o o l , a l l o w i n g m o r e d i r e c t a n d c o n c r e t e e x p l o r a t i o n o f t h e p r o b l e m . W i t h g r a p h p a p e r , t h e s t u d e n t s c a n " s e e " t h e a r e a o f t h e d o g p e n w i t h o u t a n y f o r m u l a i c k n o w l e d g e - - i . e . , t h e y c a n j u s t c o u n t t h e n u m b e r o f s q u a r e s i n s i d e t h e p e n . W i t h d r a w i n g s o n p l a i n p a p e r , t h e y w i l l p r o b a b l y h a v e t o d e c i d e o n a s c a l e f o r t h e i r d r a w i n g s ( b e c a u s e t h e y w i l l n o t w a n t d r a w i n g s w h e r e t h e d i m e n s i o n s t o t a l 6 4 i n c h e s o r e v e n 6 4 c e n t i m e t e r s ) . T h e y w i l l a l s o h a v e t o u s e s o m e s o r t o f f o r m u l a f o r c a l c u l a t i n g t h e a r e a o f t h e d o g p e n s t h e y c o n s t r u c t . 6 d r a w s a s q u a r e 1 6 x 1 6 a n d , b r e a t h l e s s l y , e x p l a i n s t h a t 1 6 + 1 6 + 1 6 + 1 6 i s 6 4 , a n d 1 6 x 1 6 i s 2 5 6 , w h i c h i s m o r e t h a n 2 5 2 . S e v e r a l c h i l d r e n n o d , a s t h e y , t o o , h a v e f o u n d t h i s d o g p e n . T h e t e a c h e r l o o k s a r o u n d a n d a s k s , “ I s t h i s t h e d o g p e n w i t h t h e m o s t p l a y s p a c e ? R a i s e y o u r h a n d i f y o u t h i n k i t i s . " A l l b u t o n e r a i s e t h e i r h a n d s . T h e t e a c h e r l o o k s a t t h e b o y w h o d i d n ' t r a i s e h i s h a n d . " Y o u d o n ' t t h i n k t h i s i s t h e l a r g e s t , J e r e m y ? " s h e a s k s . H e f r o w n s , ' I ' m j u s t n o t s u r e . H o w d o w e E n g : t h a t i t ' s t h e l a r g e s t o n e ? " A n o t h e r c h i l d t u r n s t o h i m a n d s a y s , " N o o n e f o u n d o n e w i t h m g r g p l a y s p a c e . " J e r e m y s h a k e s h i s h e a d , s a y i n g t h a t j u s t b e c a u s e t h e y d i d n ' t f i n d o n e w i t h a l a r g e r p l a y s p a c e d o e s n ' t m e a n t h e r e i g n L E o n e . T h e t e a c h e r i s l i s t e n i n g t o a l l t h i s . S h e a s k s t h e c l a s s h o w t h e y c o u l d i n v e s t i g a t e J e r e m y ' s q u e s t i o n . S o m e o n e s a y s t h a t t h e y c o u l d g o b a c k t o l o o k i n g f o r a n o t h e r d o g p e n w i t h a l a r g e r p l a y s p a c e . 5 T h e t e a c h e r n o t i c e s t h a t m o s t o f t h e p u p i l s a r e n o w s k e p t i c a l t h a t t h e s q u a r e a l l o w s t h e l a r g e s t p o s s i b l e p l a y s p a c e a n d s h e s u g g e s t s t h a t a n y o n e w h o i s i n t e r e s t e d s h o u l d e x p l o r e i t f u r t h e r l a t e r . T h e c l a s s m o v e s o n t o l o o k a t s o l u t i o n s f o r t h e s m a l l e s t d o g p e n . 5 I n f a c t , t h e l a r g e s t d o g p e n w o u l d b e a c i r c u l a r o n e . A c i r c l e w i t h a c i r c u m f e r e n c e o f 6 4 m e t e r s w o u l d h a v e a n a r e a o f 3 2 5 s q u a r e m e t e r s . ( 6 4 - 2 x r [ f o r m u l a f o r c i r c u m f e r e n c e ] , s o r - 1 0 . 2 m e t e r s a n d t r - 3 2 5 s q u a r e m e t e r s . ) W i t h c a l c u l u s , o n e c a n p r o v e t h a t , f o r a g i v e n p e r i m e t e r , a c i r c l e w i l l a l w a y s h a v e t h e l a r g e s t a r e a . T h e t e a c h e r k n o w s t h a t h e r s t u d e n t s d o n o t h a v e t h e k n o w l e d g e t h e y n e e d t o c a l c u l a t e t h e p e r i m e t e r o r a r e a o f a c i r c l e , n o r d o t h e y h a v e t o o l s t h a t w o u l d a l l o w t h e m t o i n v e n t a p r o c e d u r e t o d o t h a t . S t i l l , s h e k n o w s , f r o m o t h e r e x p e r i e n c e w i t h e i g h t - y e a r - o l d s , t h a t s o m e o n e m a y i n t u i t i v e l y f i g u r e o u t t h a t a c i r c l e w i t h a g i v e n p e r i m e t e r w i l l h a v e a g r e a t e r “ i n s i d e " t h a n w i l l a s q u a r e . T h e u n c e r t a i n t y a b o u t w h e t h e r t h i s i s t h e l a r g e s t d o g p e n w o u l d s t i l l r e m a i n , h o w e v e r , p a r t o f w h a t s h e w a n t s t o r e p r e s e n t t o h e r s t u d e n t s . I n a n y c a s e , w h a t t h e t h i r d g r a d e r s d e c i d e t o a c c e p t a s a s o l u t i o n , g i v e n w h a t t h e y u n d e r s t a n d n o w , w i l l l a t e r b e r e f u t e d a s t h e y a c q u i r e m o r e k n o w l e d g e . T h i s p e d a g o g i c a l f e a t u r e r e p r e s e n t s o n e v i e w o f t h e g r o w t h o f m a t h e m a t i c a l k n o w l e d g e ( s e e L a k a t o s , 1 9 7 6 ) . 7 L a t e r t h e t e a c h e r r e f e r s t o t h i s n e x t p a r t o f t h e l e s s o n a s “ t h e m o s t e x c i t i n g t h i n g t h a t h a p p e n e d . “ I t s t a r t s o f f a s b e f o r e : O n e o f t h e b o y s d r a w s a 3 0 x 2 r e c t a n g l e , p r o v e s t h a t h e h a s u s e d e x a c t l y 6 4 m e t e r s o f f e n c e , a n d a n n o u n c e s t h a t t h e a r e a i s o n l y 6 0 s q u a r e m e t e r s - - ' v e r y s k i n n y . “ A s b e f o r e , a n o t h e r c h a l l e n g e s w i t h a 3 1 x l r e c t a n g u l a r p e n . P l a y s p a c e : 3 1 s q u a r e m e t e r s ! T h e d i f f e r e n c e c a t c h e s e v e r y o n e o f f g u a r d a n d t h e t e a c h e r l e a d s a b r i e f d i s c u s s i o n a b o u t w h y t h e a r e a o f t h e 3 0 x 2 d o g p e n i s s o m u c h g r e a t e r t h a n t h e 3 1 x 1 p e n . E v e r y o n e s e e m s s a t i s f i e d t h a t t h i s i s t h e s m a l l e s t , w h e n a s m a l l g i r l n a m e d J u l i a r a i s e s h e r h a n d . “ T h i s m a y b e c r a z y , “ s h e s a y s h e s i t a n t l y , I ' h u t I w a s t h i n k i n g - ~ n o w B o z o w o u l d n ' t l i k e t h i s m u c h , b u t - - w h a t i f w e m a d e a d o g p e n w i t h 3 2 m e t e r s a l o n g o n e s i d e a n d 3 2 a l o n g t h e o t h e r a n d t h a t w o u l d u s e 6 4 m e t e r s o f f e n c e , a n d i f w e p u s h t h e t w o s i d e s t o g e t h e r a s c l o s e a s w e c a n , t h e r e w o u l d b e a l m o s t n o p l a y s p a c e i n s i d e . “ 6 T h e o t h e r p u p i l s n o d i n a m a z e m e n t . T h e t e a c h e r s m i l e s a n d a s k s t h e c l a s s w h a t c o n c l u s i o n t h e y d r a w f r o m t h i s . S o m e o n e s a y s t h i s m e a n s t h a t t h e r e i g n L g r e a l l y a s m a l l e s t p l a y s p a c e , “ b e c a u s e y o u c o u l d n ' t r e a l l y g e t i t s o t h e r e w a s n o s p a c e a t a l l b e t w e e n t h e t w o s i d e s b u t y o u c o u l d g e t v e r y , v e r y l i t t l e . “ T h e t e a c h e r a s k s w h a t o t h e r s t h i n k . A n o t h e r c h i l d s a y s t h a t s h e s e e s n o w t h a t s h e w a s a s s u m i n g t h a t s h e s h o u l d u s e w h o l e n u m b e r s o n l y f o r t h e l e n g t h s o f t h e s i d e s o f t h e p e n , a n d s h e s h o u l d n ' t h a v e a s s u m e d t h a t . 6 T h e c h i l d i s i n t u i t i v e l y a r t i c u l a t i n g t h e m a t h e m a t i c a l i d e a o f t a k i n g a l i m i t . W i t h o u t f o r m a l p r o c e d u r e s , s h e i s s h o w i n g t h a t t h e s m a l l e r y o u m a k e t h e w i d t h s o f t h e r e c t a n g l e , t h e s m a l l e r t h e a r e a w i l l b e c o m e : a s t h e w i d t h s a p p r o a c h 0 m e t e r s i n l e n g t h , t h e a r e a w i l l a p p r o a c h 0 a s w e l l , t h u s t h e s m a l l e s t a r e a p o s s i b l e w i t h i n t h e c o n s t r a i n t s o f t h e p r o b l e m . T h e c h i l d ' s p r o o f e x e m p l i f i e s H a w k i n s ' s ( 1 9 7 2 / 1 9 7 4 ) d e s c r i p t i o n o f h o w y o u n g c h i l d r e n ' s m a t h e m a t i c a l e x p l o r a t i o n s t a k e t h e m f r o m t i m e t o t i m e “ n e a r t o m a t h e m a t i c a l l y s a c r e d g r o u n d “ ( p . 1 1 9 ) . 8 “ I f i t g o o j u s t w h o l e n u m b e r s . t h o u g h , “ a s k s t h e t e a c h e r , “ w o u l d y o u r a n s w e r b e d i f f e r e n t ? “ T h e c h i l d s a y s y e s , t h a t t h e n t h e s o l u t i o n 2 2 9 1 ! b e 3 1 x 1 m e t e r s . S e v e r a l o t h e r s m a k e c o m m e n t s b o t h a b o u t t h e l a r g e s t a n d s m a l l e s t p l a y s p a c e p a r t s o f t h e p r o b l e m . T h e t e a c h e r r e m a r k s t h a t s h e i s g l a d t o s e e t h a t t h e y a r e b e c o m i n g m o r e s k e p t i c a l w h e n t h e y t h i n k t h e y h a v e s o l v e d a p r o b l e m l i k e t h i s o n e . “ O n e o f t h e i m p o r t a n t q u e s t i o n s i n m a t h e m a t i c s , “ s h e s a y s , “ i s h o w d o y o u k n o w w h e n y o u h a v e s o l v e d a p r o b l e m ? H o w d o y o u k n o w y o u h a v e f o u n d t h e m o s t s e n s i b l e o r t h e c o r r e c t s o l u t i o n ? Y o u h a v e t o t r y t o p r o v e i t t o y o u r s e l f a n d t o o t h e r s . “ S h e p o i n t s o u t t h a t , w i t h t h e l a r g e s t p l a y s p a c e p r o b l e m , t h e y a r e a l l u n s u r e n o w w h e t h e r t h e s q u a r e p e n i s t h e l a r g e s t , b u t w i t h t h e s m a l l e s t p l a y s p a c e , J u l i a ' s p r o o f h a s p e r s u a d e d t h e m ( f o r t h e m o m e n t , a t l e a s t ) t h a t t h e r e i s n ' t r e a l l y a s m a l l e s t p l a y s p a c e . T h e t e a c h e r r e m i n d s e v e r y o n e t o e x p l o r e t h e l a r g e s t p l a y s p a c e p r o b l e m s o m e m o r e a n d t h e n s e n d s t h e m o u t t o r e c e s s . W h a t w a s g o i n g o n i n t h i s l e s s o n ? W i t h t h e i r e y e o n t h e p r o b l e m - - i . e . , w h a t i s t h e l a r g e s t a n d s m a l l e s t a r e a t h a t c a n b e e n c l o s e d b y a g i v e n p e r i m e t e r - - t h e s t u d e n t s w e r e e m p l o y i n g m a t h e m a t i c a l c o n c e p t s a n d p r o c e d u r e s i n t h e s e r v i c e o f i t s s o l u t i o n . F i g u r i n g o u t a n d m a n i p u l a t i n g v a r i o u s p o s s i b l e c o m b i n a t i o n s o f d i m e n s i o n s t h a t c a n b e m a d e o u t o f a g i v e n l e n g t h o f f e n c e e n g a g e d t h e p u p i l s i n a d d i n g a n d m u l t i p l y i n g a s w e l l a s u s i n g p l a c e v a l u e a n d t h e d i s t r i b u t i v e p r o p e r t y . E x a m i n i n g t h e a r e a s t h a t r e s u l t f r o m t h o s e d i f f e r e n t c o m b i n a t i o n s a f f o r d e d t h e m a n o p p o r t u n i t y t o c o n s i d e r w h a t t h e ‘ m s a s u r e m e n t c o n c e p t s o f a r e a a n d p e r i m e t e r a r e e a c h a b o u t . T h e P r o c e s s o f p r e s e n t i n g a n d j u s t i f y i n g s o l u t i o n s w a s f e r t i l e g r o u n d f o r 9 i n q u i r y a n d a r g u m e n t s a s c h i l d r e n s e a r c h e d f o r r e a s o n a b l e s o l u t i o n s t h a t t h e i r p e e r s w o u l d a c c e p t . T h e c h a l l e n g e s t h e y p r e s e n t e d t o o n e a n o t h e r r e v e a l e d t h e n a t u r e a n d p o w e r o f p r o o f - - h o w c a n o n e p e r s u a d e o t h e r s i n t h e m a t h e m a t i c a l c o m m u n i t y t h a t o n e ' s s o l u t i o n i s r e a s o n a b l e o r e v e n t h e b e s t ? T h e i d e a t h a t m a t h e m a t i c s e n t a i l s p u z z l e s a n d u n c e r t a i n t i e s a n d t h a t m a t h e m a t i c a l t h i n k i n g i n v o l v e s q u e s t i o n s a s m u c h a s a n s w e r s w a s r e p r e s e n t e d v i v i d l y t h r o u g h t h e p r o b l e m o f k n o w i n g w h e t h e r o n e h a s i n d e e d f o u n d t h e l a r g e s t a r e a . I n t h i s c l a s s r o o m s t u d e n t s a r e h e l p e d t o a c q u i r e t h e s k i l l s a n d u n d e r s t a n d i n g n e e d e d t o j u d g e t h e v a l i d i t y o f t h e i r o w n i d e a s a n d r e s u l t s - - t o b e “ i n d e p e n d e n t l e a r n e r s “ o r t o b e “ e m p o w e r e d " i n w a y s t h a t a r e £ 2 2 £ 1 § 1 £ _ £ 2 m m . W e m a I m r e L a k a t o s ' s £ 1 o o f o _ o n g _ § o £ o § o § i o o o ( 1 9 7 6 ) g r o u n d s t h i s p a r t i c u l a r m a t h e m a t i c a l p e d a g o g y i n a c o n c e p t i o n o f m a t h e m a t i c a l k n o w l e d g e a n d a c t i v i t y . 7 J u s t a s t h i s m a t h e m a t i c a l p e d a g o g y r e p r e s e n t s a n a t t a c k o n a u t h o r i t a r i a n a n d d o g m a t i s t n o r m s o f m a t h e m a t i c s t e a c h i n g , t h e L a k a t o s a r g u m e n t a t t a c k s t h e i d e a l i z e d p i c t u r e o f f o r m a l m a t h e m a t i c s . D e s c r i b i n g t h e c l a s s i c “ d e d u c t i v i s t s t y l e “ a s s t a r t i n g w i t h m y s t i f y i n g a x i o m s a n d d e f i n i t i o n s a n d f o l l o w e d b y s l i c k l y p r o v e d t h e o r e m s , L a k a t o s a r g u e s t h a t i t p r e s e n t s a m i s l e a d i n g p i c t u r e o f m a t h e m a t i c s a s a n “ e v e r - i n c r e a s i n g s e t o f 7 O t h e r m a t h e m a t i c a l p e d a g o g i e s m i g h t b e d e v e l o p e d t o i n t e n t i o n a l l y r e p r e s e n t m a i n s t r e a m v i e w s o f t h e n a t u r e o f m a t h e m a t i c a l k n o w l e d g e a n d a c t i v i t y . T h e m a t h e m a t i c a l p e d a g o g y d e v e l o p e d i n t h i s d i s s e r t a t i o n , h o w e v e r , i s b a s e d o n a f a l l i b i l i s t e p i s t e m o l o g y . T a k i n g t h i s v i e w o f m a t h e m a t i c s a s a p e d a g o g i c a l f o u n d a t i o n c a n b e j u s t i f i e d b a s e d o n i t s c o n g r u e n c e w i t h c o n s t r u c t i v i s t t h e o r i e s o f l e a r n i n g a s w e l l a s w i t h t h e r e v i s i o n i s m t h a t i s a n i n e v i t a b l e f u n c t i o n o f b o t h t h e p r o c e s s o f l e a r n i n g a n d t h e o r g a n i z a t i o n o f t h e s c h o o l c u r r i c u l u m . 5 ‘ ) 1 0 e t e r n a l , i m m u t a b l e t r u t h s “ s u r r o u n d e d w i t h a n a u t h o r i t a r i a n a i r . H e i s s h a r p i n h i s c r i t i c i s m : D e d u c t i v i s t s t y l e h i d e s t h e s t r u g g l e , h i d e s t h e a d v e n t u r e . T h e w h o l e s t o r y v a n i s h e s , t h e s u c c e s s i v e t e n t a t i v e f o r m u l a t i o n s o f t h e t h e o r e m i n t h e c o u r s e o f t h e p r o o f - p r o c e d u r e a r e d o o m e d t o o b l i v i o n w h i l e t h e e n d r e s u l t i s e x a l t e d i n t o s a c r e d i n f a l l i b i l i t y . ( p . 1 4 2 ) A n d L a k a t o s m a k e s a d i r e c t l i n k t o p e d a g o g y : I t h a s n o t y e t b e e n s u f f i c i e n t l y r e a l i s e d t h a t t h e p r e s e n t m a t h e m a t i c a l a n d s c i e n t i f i c e d u c a t i o n i s a h o t b e d o f a u t h o r i t a r i a n i s m a n d i s t h e w o r s t e n e m y o f i n d e p e n d e n t a n d c r i t i c a l t h o u g h t . ( p . 1 4 3 ) W h i l e t h e f o r m a l i s t s d i s t i n g u i s h t h e “ l o g i c o f d i s c o v e r y " f r o m t h e “ l o g i c o f j u s t i f i c a t i o n , “ f o r L a k a t o s , t h e s e a r e i n s e p a r a b l e i n t h e d o i n g o f m a t h e m a t i c s a n d i n c l a r i f y i n g t h e n a t u r e o f m a t h e m a t i c a l t r u t h . M a t h e m a t i c i a n s d e v e l o p h u n c h e s a n d c o n j e c t u r e s , t h e p u r s u i t o f w h i c h e n t a i l s s e e k i n g s u p p o r t i n g a r g u m e n t s a n d c o u n t e r e x a m p l e s : “ G l o b a l “ c o u n t e r e x a m p l e s d e s t r o y a c o n j e c t u r e , w h i l e “ l o c a l “ o n e s h e l p t o r e v i s e a n d s t r e n g t h e n i t . I n o t h e r w o r d s , t h e p r o c e s s o f f i g u r i n g s o m e t h i n g o u t i n m a t h e m a t i c s f u s e s d i s c o v e r y a n d j u s t i f i c a t i o n . L a k a t o s ' s £ 1 o o £ o _ o o o _ 3 o § o § o § 1 o n § p o r t r a y s t h i s f u s i o n . B a s e d o n t h e d e v e l o p m e n t o f t h e E u l e r - D e s c a r t e s f o r m u l a a b o u t t h e r e l a t i o n s h i p b e t w e e n t h e n u m b e r o f v e r t i c e s , e d g e s , a n d f a c e s o f r e g u l a r p o l y h e d r a , t h e b o o k s h o w s h o w a m a t h e m a t i c a l i d e a g r o w s t h r o u g h c h a l l e n g e a n d r e v i s i o n . A c l a s s r o o m d i a l o g u e i n w h i c h t h e t e a c h e r a n d s t u d e n t s p u r s u e t h e E u l e r c o n j e c t u r e t o g e t h e r i s t h e p r e s e n t a t i o n a l f o r m . 2 r o o £ o _ o n o _ 3 o f o § o § 1 o n o i s a b r i l l i a n t t r i f o l d : t h e h i s t o r y o f t h e s p e c i f i c c o n j e c t u r e , a n a r g u m e n t a b o u t t h e n a t u r e o f m a t h e m a t i c a l k n o w l e d g e a n d a c t i v i t y , a n d a c o r o l l a r y m o d e l o f m a t h e m a t i c a l p e d a g o g y . E a c h s t a n d s a l o n e a s a g o a l f o r h i s w o r k ; y e t t h e p o w e r o f t h e b o o k d e r i v e s f r o m t h e i r c o n j o i n i n g . T h e t e a c h e r “ p r o v e s “ t h e l l c o n j e c t u r e , o n l y t o b e i m m e d i a t e l y c h a l l e n g e d b y s e v e r a l s t u d e n t s . O v e r t i m e t h e _ c l a s s r e c r e a t e s t h e h i s t o r y o f t h i s f a m o u s c o n j e c t u r e . a s a l t e r n a t i v e s p e c u l a t i o n s a r e t r i e d o u t , o b j e c t i o n s r a i s e d , a n d t h e c o n j e c t u r e e l a b o r a t e d a n d r e v i s e d . G r e i g ( 1 9 8 8 ) s p e c u l a t e s t h a t L a k a t o s c h o s e t h i s f o r m , i n p a r t , i n o r d e r t o m o d e l h i s v i s i o n o f i d e a l m a t h e m a t i c s t e a c h i n g i n w h i c h s t u d e n t s p u r s u e b i g m a t h e m a t i c a l i d e a s , s i m u l t a n e o u s l y a c q u i r i n g k n o w l e d g e o f a n d o h o o ; m a t h e m a t i c s . “ M a t h e m a t i c a l a c t i v i t y , “ L a k a t o s w r i t e s , “ p r o d u c e s m a t h e m a t i c s “ ( p . 1 4 6 ) . C o r o l l a r y , t h e n , i s s t u d e n t e n g a g e m e n t i n m a t h e m a t i c a l a c t i v i t y i n o r d e r t o a c q u i r e m a t h e m a t i c a l k n o w l e d g e . I n t h i s a c t i v i t y , p r o o f i s c o n c e i v e d n o t a s “ m e c h a n i c a l p r o c e d u r e w h i c h c a r r i e s t r u t h f r o m a s s u m p t i o n s t o c o n c l u s i o n s “ ( D a v i s & H e r s h , 1 9 8 1 , p . 3 4 7 ) b u t a s a f o r m o f “ t h o u g h t e x p e r i m e n t “ ( L a k a t o s , 1 9 7 6 , p . 9 ) i n w h i c h t h e e f f o r t t o e x p l a i n a d v a n c e s o n e ' s u n d e r s t a n d i n g o f t h e p h e n o m e n o n . T h i s v i e w o f m a t h e m a t i c a l k n o w l e d g e a n d a c t i v i t y a l i g n s p e d a g o g i c a l a n d d i s c i p l i n a r y s t r u c t u r e s i n w a y s t h a t f o r m a l i s t m a t h e m a t i c s p r e c l u d e s ( s e e S c h w a b , 1 9 6 1 / 1 9 7 8 , p p . 2 4 1 - 2 4 2 ; a l s o K l i n e , 1 9 7 0 ) . W W W W W 3 I n m a t h e m a t i c a l p e d a g o g y , t h e g o a l s a r e d i f f e r e n t f r o m t h o s e o f t h e “ o r d i n a r y “ m a t h c l a s s o r o f a m o r e c o n c e p t u a l a p p r o a c h t o m a t h e m a t i c s t e a c h i n g ( e . g . , G o o d , G r o u w s , & E b m e i e r , 1 9 8 3 ) . 8 I n t h i s i d e a l , l e a r n i n g w h a t m a t h e m a t i c s i s a n d h o w o n e e n g a g e s i n i t a r e ; g o a l s c o e q u a l a n d i n t e r c o n n e c t e d w i t h a c q u i r i n g t h e “ s t u f f “ - - c o n c e p t s a n d p r o c e d u r e s - ~ o f m a t h e m a t i c s . 8 T h i s c o n t r a s t i s n o t i n t e n d e d t o m a p t h e f i e l d o f a l t e r n a t i v e a p p r o a c h e s t o t h e t e a c h i n g o f m a t h e m a t i c s . 1 2 H h o ; _ 1 1 _ n o § h o m o § i o § ? T h e k i n d o f m a t h t e a c h i n g t h a t I a m d e s c r i b i n g d i f f e r s r a d i c a l l y f r o m “ o r d i n a r y “ m a t h e m a t i c s t e a c h i n g o n w h a t c o u n t s a s “ m a t h e m a t i c s “ - - w h a t s t u d e n t s a r e s u p p o s e d t o l e a r n , w h a t m a t t e r s a b o u t l e a r n i n g m a t h e m a t i c s , w h a t i t m e a n s t o k n o w a n d t o d o m a t h e m a t i c s , a n d w h e r e t h e a u t h o r i t y f o r t r u t h l i e s . T h e o r d i n a r y m a t h c l a s s m a k e s m a t h e m a t i c s s y n o n y m o u s w i t h c o m p u t a t i o n . S t u d e n t s l e a r n a l g o r i t h m s f o r c o m p u t a t i o n a l p r o c e d u r e s ; c a l c u l a t i o n a l s p e e d a n d a c c u r a c y a r e v a l u e d g o a l s a n d m e a n i n g i s h a r d l y e v e r t h e f o c u s . P r o b l e m s o l v i n g g e n e r a l l y m e a n s w o r d p r o b l e m s w h i c h a r e l i t t l e m o r e t h a n s y m b o l s d r e s s e d u p i n w o r d s a n d h a v e l i t t l e t o d o e i t h e r w i t h r e a l l i f e o r w i t h m a t h e m a t i c s ( L a v e , 1 9 8 8 ) . B y d e f a u l t t h e b o o k h a s e p i s t e m i c a u t h o r i t y : T e a c h e r s e x p l a i n a s s i g n m e n t s t o p u p i l s b y s a y i n g , “ T h i s i s w h a t g h o z w a n t y o u t o d o h e r e , " a n d t h e r i g h t a n s w e r s a r e f o u n d i n t h e a n s w e r k e y . I n t h i s k i n d o f t e a c h i n g , k n o w i n g m a t h e m a t i c s m e a n s r e m e m b e r i n g d e f i n i t i o n s , r u l e s , a n d f o r m u l a e , a n d d o i n g m a t h e m a t i c s i s p o r t r a y e d a s a s t r a i g h t f o r w a r d s t e p - b y - s t e p p r o c e s s . L e a r n i n g t o “ p l a y b y t h e r u l e s “ o f t e n e n t a i l s a “ s u s p e n s i o n o f s e n s e - m a k i n g “ i n s c h o o l m a t h e m a t i c s ( D a v i s , 1 9 8 3 , 1 9 8 6 ; L a v e , 1 9 8 8 ; S c h o e n f e l d , i n p r e s s b , p . 9 ; S t o d o l s k y , 1 9 8 5 ) . M a t h i s p r i m a r i l y a “ t o o l “ s u b j e c t , o n e t h a t h a s a p p l i c a t i o n s t o e v e r y d a y l i f e b o t h b y o r d i n a r y p e o p l e w h o m u s t b a l a n c e t h e i r c h e c k b o o k s a n d b y e x p e r t s w h o i n s o m e m y s t e r i o u s w a y u s e m a t h e m a t i c s t o c o n s t r u c t b r i d g e s o r s e n d r o c k e t s i n t o s p a c e . I n m o r e c o n c e p t u a l m a t h e m a t i c s t e a c h i n g , m a t h e m a t i c s i s s e e n a s “ a b o d y o f l o g i c a l l y c o n s i s t e n t , c l o s e l y r e l a t e d i d e a s “ ( G o o d , G r o u w s , a n d E b m e i e r , 1 9 8 3 ) a n d k n o w i n g m a t h e m a t i c s e n t a i l s u n d e r s t a n d i n g t h o s e r e l a t i o n s h i p s . F o r e x a m p l e , w h e n s t u d e n t s l e a r n a b o u t f r a c t i o n s , t h e y 1 3 s h o u l d b e l e d t o i n t e g r a t e t h a t n e w k n o w l e d g e - - e . g . , c a l c u l a t i n g w i t h f r a c t i o n s a n d o r d e r i n g f r a c t i o n s - - w i t h t h e i r p r e v i o u s k n o w l e d g e a b o u t n a t u r a l n u m b e r s . T h e g o a l i s f o r s t u d e n t s t o r e m e m b e r w h a t t h e y h a v e l e a r n e d , b u t t h e a s s u m p t i o n i s t h a t t h e y w i l l r e m e m b e r m o r e e f f e c t i v e l y i f t h e y o o o o r o t o n d w h a t t h e y a r e b e i n g t a u g h t r a t h e r t h a n s i m p l y l e a r n i n g b y r o t e . T h e r e f o r e , m o r e e m p h a s i s i s p l a c e d o n m e a n i n g t h a n i n t h e o r d i n a r y m a t h c l a s s . K n o w l e d g e o f m a t h e m a t i c a l p r o c e d u r e s e n t a i l s k n o w i n g w h e n t o u s e t h e m a n d u n d e r s t a n d i n g w h y t h e y w o r k . F o r e x a m p l e , i n l e a r n i n g t o s u b t r a c t w i t h r e g r o u p i n g , s t u d e n t s s h o u l d k n o w w h e n r e g r o u p i n g i s n e c e s s a r y a n d w h e n i t i s n o t a n d s h o u l d b e a b l e t o e x p l a i n t h e s t e p s u s i n g a m o d e l s u c h a s b a s e 1 0 b l o c k s o r p o p s i c l e s t i c k s b u n d l e d i n t e n s . I d e a l l y , d o i n g m a t h e m a t i c s i s p o r t r a y e d a s s m o o t h a n d s t r a i g h t f o r w a r d , n o t f r u s t r a t i n g o r u n c e r t a i n - - 1 £ o n e h a s t h i s k i n d o f m e a n i n g f u l u n d e r s t a n d i n g o f t h e c o n t e n t . E p i s t e m i c a u t h o r i t y l i e s l e s s w i t h t h e b o o k t h a n w i t h t h e t e a c h e r w h o d i s p e n s e s c o n c e p t s a n d e v a l u a t e s t h e c o r r e c t n e s s o f s t u d e n t s ' a n s w e r s . M a t h e m a t i c a l p e d a g o g y , h o w e v e r , i s f o u n d e d o n y e t a n o t h e r v i e w o f m a t h e m a t i c s . O n o n e h a n d , j u s t a s i n c o n c e p t u a l m a t h e m a t i c s t e a c h i n g , “ m e a n i n g f u l u n d e r s t a n d i n g “ i s e m p h a s i z e d . S t u d e n t s a r e h e l p e d t o a c q u i r e k n o w l e d g e o f c o n c e p t s a n d p r o c e d u r e s , t h e r e l a t i o n s h i p s a m o n g t h e m , a n d w h y t h e y w o r k . T h e g o a l s a r e d i f f e r e n t , h o w e v e r . F o r e x a m p l e , l e a r n i n g c o m p u t a t i o n a l s k i l l s i s v a l u e d a s m u c h f o r w h a t s t u d e n t s c a n l e a r n a b o u t n u m b e r s , n u m e r a t i o n , a n d o p e r a t i o n s w i t h n u m b e r s t h a n a s a n e n d i n i t s e l f . O n t h e o t h e r h a n d , m a t h e m a t i c a l p e d a g o g y a l s o e x p l i c i t l y e m p h a s i z e s n o t o n l y t h e s u b s t a n c e o f m a t h e m a t i c s b u t a l s o i t s n a t u r e a n d e p i s t e m o l o g y ( s e e D a v i s , 1 9 6 7 ) . 1 4 J u s t a s c e n t r a l a s u n d e r s t a n d i n g m a t h e m a t i c a l c o n c e p t s a n d p r o c e d u r e s i s u n d e r s t a n d i n g w h a t i t m e a n s t o d o m a t h e m a t i c s , b e i n g a b l e t o v a l i d a t e o n e ' s o w n a n s w e r s , h a v i n g o p p o r t u n i t i e s t o e n g a g e i n m a t h e m a t i c a l a r g u m e n t , a n d s e e i n g v a l u e i n m a t h e m a t i c s b e y o n d i t s u t i l i t y i n f a m i l i a r e v e r y d a y s e t t i n g s . L a m p e r t ( i n p r e s s a ) d i s c u s s e s h o w t h e s u b s t a n t i v e a n d e p i s t e m o l o g i c a l d i m e n s i o n s o f m a t h e m a t i c a l k n o w l e d g e g o h a n d - i n - h a n d i n t h i s v i e w o f m a t h e m a t i c s . S h e e x p l a i n s t h a t , i n h e r c l a s s r o o m , s h e t r i e s t o s h i f t t h e l o c u s o f a u t h o r i t y i n t h e c l a s s r o o m - - o g o y _ £ ; o n t h e t e a c h e r a s a j u d g e a n d t h e t e x t b o o k a s a s t a n d a r d f o r j u d g m e n t a n d £ 2 1 1 1 1 t h e t e a c h e r a n d s t u d e n t s a s i n q u i r e r s w h o h a v e t h e p o w e r t o u s e m a t h e m a t i c a l t o o l s t o d e c i d e w h e t h e r a n a n s w e r o r a p r o c e d u r e i s r e a s o n a b l e . ( p . 1 ) B u t , s h e a d d s , s t u d e n t s c a n d o t h i s o n l y i f t h e y h a v e m e a n i n g f u l c o n t r o l o f t h e i d e a s : S t u d e n t s w i l l n o t r e a s o n i n m a t h e m a t i c a l l y a p p r o p r i a t e w a y s a b o u t o b j e c t s t h a t h a v e n o m e a n i n g t o t h e m ; i n o r d e r f o r t h e m t o l e a r n t o r e a s o n a b o u t a s s e r t i o n s i n v o l v i n g s u c h a b s t r a c t s y m b o l s a n d o p e r a t i o n s a s . 0 0 0 0 5 6 a n d a 2 + b , t h e y n e e d t o c o n n e c t t h e s e s y m b o l s a n d o p e r a t i o n s t o a d o m a i n i n w h i c h t h e y a r e c o m p e t e n t t o “ m a k e s e n s e . “ ( p . 2 ) F o r e x a m p l e , f i f t h g r a d e r s c o u l d u n d e r s t a n d t h a t i f . 0 0 0 0 5 6 r e p r e s e n t e d a n i m a g i n a r y a m o u n t o f m o n e y , y o u w o u l d n e e d a b o u t 1 0 0 0 t i m e s t h a t a m o u n t j u s t t o e q u a l o n e n i c k e l . U s i n g m o n e y , a f a m i l i a r d o m a i n , c o u l d e n a b l e e l e v e n - y e a r - o l d s t o m a k e s e n s e o f t h i s i n c r e d i b l y t i n y q u a n t i t y a n d t o a r g u e a b o u t w h e t h e r . 0 0 0 0 5 6 i s m o r e o r l e s s t h a n . 0 0 0 0 3 . W - I n a d d i t i o n t o w h a t c o u n t s a s k n o w l e d g e o f m a t h e m a t i c s , e a c h o f t h e s e k i n d s o f t e a c h i n g - ~ o r d i n a r y , c o n c e p t u a l , a n d m a t h e m a t i c a l p e d a g o g y - - a l s o i m p l i e s c e r t a i n e m b e d d e d a s s u m p t i o n s a b o u t t h e t e a c h i n g a n d l e a r n i n g o f m a t h e m a t i c s : a b o u t p u p i l s , t e a c h e r s , a n d t h e c o n t e x t o f c l a s s r o o m s . 1 5 ' T h e o r d i n a r y m a t h c l a s s i s b a s e d o n t h e a s s u m p t i o n t h a t m a t h e m a t i c s i s o n l y l e a r n e d t h r o u g h r e p e a t e d p r a c t i c e a n d d r i l l , t h a t “ k n o w i n g “ m a t h m e a n s z o m o m o o x i n g p r o c e d u r e s a n d c o n c e p t s . T h e t e a c h e r ' s r o l e i s t o s h o w p u p i l s h o w t o d o t h e p r o c e d u r e s a n d t o g i v e t h e m t r i c k s , m m e m o n i c s , a n d s h o r t c u t s t h a t m a k e i t e a s i e r f o r t h e p u p i l s t o k e e p t r a c k o f e v e r y t h i n g . C o n s i d e r , f o r e x a m p l e , t h e o l d r u l e s o f t h u m b t h a t r a t t l e a r o u n d i n o u r h e a d s ( e . g . , “ i n v e r t a n d m u l t i p l y “ o r “ t o m u l t i p l y b y 1 0 , a d d a z e r o “ ) . P u p i l s a r e e x p e c t e d t o a b s o r b a n d r e t a i n w h a t t h e y h a v e b e e n s h o w n , a c o m m o n s e n s e s e n s o r y v i e w o f l e a r n i n g . C o n c e p t u a l m a t h e m a t i c s t e a c h i n g a s s u m e s t h a t t h e t e a c h e r s h o u l d d o m o r e t h a n t e l l s t u d e n t s h o w t o d o p r o c e d u r e s a n d s h o u l d , w h e n p o s s i b l e , a l s o e m p h a s i z e t h e m o o n i n g o f t h o s e p r o c e d u r e s b y s h o w i n g h o w t h e y w o r k . T h e t e a c h e r p l a y s a n a c t i v e r o l e : l e a d i n g , s h o w i n g , d i r e c t i n g , a n d s t r u c t u r i n g c l a s s t i m e . T h e s t u d e n t s p l a y r o l e s w i t h i n t h i s s t r u c t u r e , a n s w e r i n g t e a c h e r s ' q u e s t i o n s , c o m p l e t i n g a s s i g n m e n t s , p u r s u i n g e x p l o r a t i o n s s e t o u t b y t h e t e a c h e r . U s e o f m a n i p u l a t i v e s i s v a l u e d . T h i s a p p r o a c h t o t e a c h i n g a s s u m e s t h a t p u p i l s w i l l l e a r n m o r e i f t e a c h e r s a r e c l e a r a n d d i r e c t a b o u t t h e c o n t e n t a n d s p e n d m o r e t i m e d e v e l o p i n g s t u d e n t u n d e r s t a n d i n g a n d l e s s o n m a s s i v e d r i l l a n d p r a c t i c e . S t i l l , p r a c t i c e r e m a i n s a n i m p o r t a n t c o m p o n e n t o f t h i s a p p r o a c h . M a t h e m a t i c a l p e d a g o g y a s s u m e s t h a t s t u d e n t s m u s t b e a c t i v e l y i n v o l v e d i n c o n s t r u c t i n g t h e i r o w n u n d e r s t a n d i n g s , i n d i s c o v e r i n g a n d i n v e n t i n g m a t h e m a t i c s . T h e b a s i s f o r t h i s e m e r g e s d i r e c t l y f r o m a l a r g e l y c o n s t r u c t i v i s t e p i s t e m o l o g y o f t h e o i o o i o l i n o . M a t h e m a t i c a l p e d a g o g y a l s o t a k e s a g r o u p o r i e n t a t i o n t o c l a s s r o o m l e a r n i n g : T h e 1 6 m o d e l i s n o t o f a t e a c h e r f a c i l i t a t i n g t h e l e a r n i n g o f i n d i v i d u a l s t u d e n t s . I n s t e a d , t h i s a p p r o a c h u s e s t h e c l a s s r o o m a s a m a t h e m a t i c a l c o m m u n i t y ; l e a r n i n g i n v o l v e s c o l l a b o r a t i o n a m o n g i n d i v i d u a l s . A l t h o u g h t h i s e m p h a s i s o n t h e g r o u p o v e r l a p s t h e c u r r e n t v o g u e f o r c o o p e r a t i v e l e a r n i n g ( e . g . , S l a v i n , 1 9 7 8 ) , t h e w a r r a n t f o r t h i s o r i e n t a t i o n i n m a t h e m a t i c a l p e d a g o g y d e r i v e s f r o m a v i e w o f m a t h e m a t i c s a s a d i s c i p l i n a r y c o m m u n i t y . P e r h a p s m o s t s i g n i f i c a n t i n t h e c l a s s r o o m c o n t e x t i s t h e t e a c h e r ' s r o l e i n g u i d i n g t h e d i r e c t i o n , b a l a n c e , a n d r h y t h m o f c l a s s r o o m d i s c o u r s e b y d e c i d i n g w h i c h p o i n t s t h e g r o u p s h o u l d p u r s u e , w h i c h q u e s t i o n s t o p l a y d o w n , w h i c h i s s u e s t o t a b l e f o r t h e m o m e n t . T h e t e a c h e r i n m a t h e m a t i c a l p e d a g o g y h a s a c r i t i c a l r o l e t o p l a y i n f a c i l i t a t i n g s t u d e n t s ' l e a r n i n g . T h e t e a c h e r i n t r o d u c e s a v a r i e t y o f r e p r e s e n t a t i o n a l s y s t e m s w h i c h c a n b e u s e d t o r e a s o n a b o u t m a t h e m a t i c s , m o d e l s m a t h e m a t i c a l t h i n k i n g a n d a c t i v i t y , a n d a s k s q u e s t i o n s t h a t p u s h s t u d e n t s t o e x a m i n e a n d a r t i c u l a t e t h e i r i d e a s . F i n a l l y , p r a c t i c e a l s o t a k e s o n a n e n t i r e l y d i f f e r e n t m e a n i n g i n t h i s a p p r o a c h t h a n i n e 2 i t h e r o f t h e o t h e r a p p r o a c h e s . H e r e s t u d e n t s e n g a g e i n t h e p r o o g i o o o f m a t h e m a t i c s , l e a r n i n g w h a t i t m e a n s t o d o m a t h e m a t i c s ( C o l l i n s , B r o w n , & N e w m a n n , 1 9 8 7 ; L a m p e r t , 1 9 8 6 , i n p r e s s a ; L a v e , 1 9 8 7 ; R o m b e r g , 1 9 8 3 ; S c h o e n f e l d , 1 9 8 5 ) : m a k i n g c o n j e c t u r e s , 1 7 a t t e m p t i n g t o p r o v e t h e m t o o t h e r m e m b e r s o f t h e c o m m u n i t y , r e v i s i n g a n d e l a b o r a t i n g i d e a s . 9 M W W a n n a : M a t h e m a t i c a l p e d a g o g y i s f a r f r o m c o m m o n . D e s p i t e s e r i o u s e f f o r t s t o r e f o r m m a t h t e a c h i n g o v e r t h e p a s t 3 0 y e a r s , m a t h e m a t i c s c o n t i n u e s t o b e t a u g h t m u c h a s i t a l w a y s b e e n w i t h , a t b e s t , l i t t l e p o c k e t s o f c h a n g e . E a c h o f u s p r o b a b l y k n o w s s o m e t e a c h e r s w h o m a n a g e t o e n g a g e p u p i l s i n s o l v i n g g e n u i n e m a t h e m a t i c a l p r o b l e m s o r w h o a p p r o a c h a l g e b r a c o n c e p t u a l l y o r w h o s e c o n c e p t i o n s o f w h a t m a t h e m a t i c s i s w o r t h t e a c h i n g i n c l u d e t o p i c s l i k e p r o b a b i l i t y o r n u m b e r t h e o r y . R a r e r a r e t e a c h e r s f o r w h o m t h e l o g i c o f m a t h e m a t i c a l d i s c o v e r y a n d t h e l o g i c o f j u s t i f i c a t i o n a r e c o e q u a l a n d f o c a l d i m e n s i o n s o f m a t h e m a t i c a l k n o w l e d g e . M o s t p u p i l s s p e n d t h e i r t i m e i n o r d i n a r y m a t h e m a t i c s c l a s s r o o m s - - c l a s s r o o m s w h e r e m a t h e m a t i c s i s n o m o r e t h a n a s e t o f a r b i t r a r y r u l e s a n d p r o c e d u r e s t o b e m e m o r i z e d . I n t h e i r b o o k , I h o _ fl o ; h o m o o i o o 1 fi x o o g i o n o o , D a v i s a n d H e r s h ( 1 9 8 1 ) c h a r a c t e r i z e a t y p i c a l m a t h e m a t i c s c l a s s : 9 I n t h i s s e c t i o n I h a v e c o n t r a s t e d m a t h e m a t i c a l p e d a g o g y w i t h t w o o t h e r c o n t e m p o r a r y a p p r o a c h e s t o m a t h t e a c h i n g . H o w e v e r , o n e m i g h t i n q u i r e h o w m a t h e m a t i c a l p e d a g o g y c o m p a r e s w i t h t h e t r e n d s i n m a t h e m a t i c s e d u c a t i o n i n t h e 1 9 5 0 s a n d 1 9 6 0 s , w h e n t h e e m p h a s i s a l s o a p p e a r e d t o b e d i s c i p l i n e - b a s e d . L a k a t o s ' s ( 1 9 7 6 ) p o i n t s a b o u t f u s i n g t h e l o g i c o f d i s c o v e r y w i t h t h e l o g i c o f j u s t i f i c a t i o n a n d t h e c o n c e r n f o r t h e n a t u r e o f m a t h e m a t i c a l t r u t h s u g g e s t s o m e w a y s i n w h i c h m a t h e m a t i c a l p e d a g o g y d i f f e r s f r o m d i s c o v e r y t e a c h i n g : t h e l a t t e r e m p h a s i z e d p r o c e s s , a n d i n w h i c h j u s t i f i c a t i o n w a s m u c h l e s s e x p l i c i t l y ( i f a t a l l ) t h e f o c u s . M a t h e m a t i c a l p e d a g o g y i s a l s o d i f f e r e n t f r o m t h e d i s c i p l i n a r y - b a s e d “ n e w m a t h e m a t i c s “ o f t h e s a m e p e r i o d t h a t f o c u s e d o n “ t h e “ u n i f y i n g c o n c e p t s a n d “ s t r u c t u r e s “ o f t h e d i s c i p l i n e , a n d , b y d e f a u l t , r e p r e s e n t e d a f o r m a l i s t v i e w o f m a t h e m a t i c s ( s e e B r u n e r , 1 9 7 0 ; F e y , 1 9 7 8 ; S h u l m a n , 1 9 7 0 ) . 1 8 T h e p r o g r a m i s f a i r l y c l e a r c u t . W e h a v e p r o b l e m s t o s o l v e , o r a m e t h o d o f c a l c u l a t i o n t o e x p l a i n , o r a t h e o r e m t o p r o v e . T h e m a i n w o r k w i l l b e d o n e i n w r i t i n g , u s u a l l y o n t h e b l a c k b o a r d . I f t h e p r o b l e m s a r e s o l v e d , t h e t h e o r e m s p r o v e d , o r t h e c a l c u l a t i o n s c o m p l e t e d , t h e n t h e t e a c h e r a n d t h e c l a s s k n o w t h e y h a v e c o m p l e t e d t h e d a i l y t a s k . ( p . 3 ) W h e n s t u d e n t s d o n ' t “ g e t i t , “ t h e i r c o n f u s i o n s a r e a d d r e s s e d b y r e p e a t i n g t h e s t e p s i n “ e x c r u c i a t i n g l y f i n e d e t a i l , “ m o r e s l o w l y , a n d s o m e t i m e s e v e n l o u d e r ( D a v i s & H e r s h , p . 2 7 9 ) . 1 0 T h i s p a t t e r n i s o l d a n d d o m i n a n t . W h y i s m a t h e m a t i c a l p e d a g o g y , a s a n i d e a l o f t e a c h i n g a n d l e a r n i n g m a t h e m a t i c s , s o r a r e l y r e a l i z e d ? N o s i n g l e c a u s e c a n a c c o u n t f o r t h e f a i l u r e o f p a s t r e f o r m e f f o r t s t o c h a n g e t h e f a c e o f m a t h e m a t i c s t e a c h i n g i n A m e r i c a n c l a s s r o o m s , a n d , y e t , t h e p a t t e r n s o f t h e “ o r d i n a r y “ m a t h c l a s s h a v e d o m i n a t e d a n d c o n t i n u e t o p r e v a i l . T o s e t a c o n t e x t f o r m y o w n w o r k , b e l o w I d i s c u s s f o u r f a c t o r s t h a t c o n t r i b u t e t o t h i s i n e r t i a : : c u l t u r a l l y e m b e d d e d v i e w s o f k n o w l e d g e a n d o f t e a c h i n g E o c g o ; # 2 : T h e o r g a n i z a t i o n o f s c h o o l s a n d t h e c o n d i t i o n s o f t e a c h i n g £ 3 o £ o g _ g § : P o o r c u r r i c u l u m m a t e r i a l s E g c o o ; # 4 : I n a p p r o p r i a t e m a t h e m a t i c s t e a c h e r e d u c a t i o n O r d i n a r y m a t h e m a t i c s t e a c h i n g r e f l e c t s a c u l t u r a l l y g r o u n d e d e p i s t e m o l o g y - - w h a t J a c k s o n ( 1 9 8 6 ) c a l l s t h e m i m o o i o t r a d i t i o n . K n o w l e d g e i s f i x e d ; t e a c h e r s g i v e k n o w l e d g e t o p u p i l s w h o s t o r e a n d 1 0 T h e s e p a t t e r n s a r e r e m i n i s c e n t o f w h a t P u t n a m ( 1 9 8 7 ) h a s c a l l e d “ c u r r i c u l u m s c r i p t s “ : A l o o s e l y o r d e r e d b u t w e l l - d e f i n e d s e t o f s k i l l s a n d c o n c e p t s t h a t s t u d e n t s a r e e x p e c t e d t o l e a r n , a l o n g w i t h t h e a c t i v i t i e s a n d s t r a t e g i e s f o r t e a c h i n g t h i s m a t e r i a l . . . . A l t h o u g h s t u d e n t i n p u t i s i m p o r t a n t , t h e c u r r i c u l u m s c r i p t i s t h e m a j o r d e t e r m i n a n t o f t h e a g e n d a . ( p . 1 7 ) l 9 r e m e m b e r i t . T h i s t r a d i t i o n i s f i r m l y e m b e d d e d i n W e s t e r n c u l t u r e . C o h e n ( i n p r e s s ) w r i t e s t h a t , a s m u c h a s 3 0 0 y e a r s a g o , m o s t t e a c h i n g p r o c e e d e d a s t h o u g h l e a r n i n g w a s a p a s s i v e p r o c e s s o f a s s i m i l a t i o n . S t u d e n t s w e r e e x p e c t e d t o f o l l o w t h e i r t e a c h e r s ' d i r e c t i o n s r i g o r o u s l y . T o s t u d y w a s t o i m i t a t e : t o c o p y a p a s s a g e , t o r e p e a t a t e a c h e r ' s w o r d s , o r t o m e m o r i z e s o m e s e n t e n c e s , d a t e s , o r n u m b e r s . S t u d e n t s m a y h a v e p o s e d q u e s t i o n s i n f o r m a l d i s c o u r s e , a n d p e r h a p s e v e n e m b r o i d e r e d t h e a n s w e r s . B u t s c h o o l l e a r n i n g s e e m s t o h a v e b e e n a m a t t e r o f i m i t a t i v e a s s i m i l a t i o n . ( p . 1 9 ) C o h e n ( i n p r e s s ) a r g u e s t h a t i n n o v a t i v e a p p r o a c h e s t o t e a c h i n g a n d l e a r n i n g e m b o d y a s s u m p t i o n s a b o u t k n o w l e d g e a n d a b o u t t e a c h i n g a n d l e a r n i n g t h a t a r e “ a r a d i c a l d e p a r t u r e f r o m i n h e r i t e d i d e a s a n d p r a c t i c e s “ i n t h i s c u l t u r e . M a t h e m a t i c a l p e d a g o g y i s s u c h a c a s e . R e f l e c t i n g a v i e w o f k n o w l e d g e a s “ e m e r g e n t , u n c e r t a i n , a n d s u b j e c t t o r e v i s i o n - ~ a h u m a n c r e a t i o n r a t h e r t h a n a h u m a n r e c e p t i o n “ ( C o h e n , i n p r e s s , p . 1 5 ) , m a t h e m a t i c a l p e d a g o g y p l a c e s t h e t e a c h e r i n t h e r o l e o f g u i d e a n d t h e s t u d e n t a s i n v e n t o r a n d p r a c t i t i o n e r o f m a t h e m a t i c s . S u c h i d e a s f l y i n t h e f a c e o f c e n t u r i e s - o l d i n t e l l e c t u a l t r a d i t i o n s , n o t j u s t i n m a t h e m a t i c s b u t i n a l l d i s c i p l i n e s . T h e s e t r a d i t i o n s l i v e o u t s i d e t h e i n s t i t u t i o n o f s c h o o l s a s w e l l , i n t h e e v e r y d a y o c c a s i o n s f o r i n f o r m a l t e a c h i n g - - p a r e n t i n g , f o r e x a m p l e . A v i e w o f k n o w l e d g e a s f i x e d , o f t e a c h i n g a s t r a n s m i s s i o n , a n d o f t e a c h e r s a s a u t h o r i t i e s r u n s v e r y d e e p . M a t h e m a t i c a l p e d a g o g y i s a l s o a t o d d s w i t h t h e i n d i v i d u a l i s t i c A m e r i c a n i n t e l l e c t u a l t r a d i t i o n i n w h i c h w o r k i n g i n d e p e n d e n t l y a n d f i g u r i n g t h i n g s o u t f o r o n e s e l f i s v a l u e d . I n d e e d , m o d a l s c h o o l p r a c t i c e s - - t e s t i n g , r e m e d i a l p r o g r a m s , i n d i v i d u a l i z e d s e l f - p a c e d i n s t r u c t i o n - - r e f l e c t t h i s t r a d i t i o n . W e s p e a k o f “ i n d i v i d u a l d i f f e r e n c e s “ a n d d i f f e r e n t p e r s o n a l “ l e a r n i n g s t y l e s . “ P s y c h o l o g y , t h e s c i e n c e m o s t o f t e n p r e s u m e d t o b e f o u n d a t i o n a l t o t e a c h i n g , 2 0 r e f l e c t s t h i s s a m e b i a s , t h u s f u r t h e r r e i n f o r c i n g t h e t r a d i t i o n a l f o c u s o n t h e i n d i v i d u a l . O r d i n a r y m a t h e m a t i c s c l a s s r o o m s r e f l e c t t h i s i n t h e n o r m s o f q u i e t i n d i v i d u a l w o r k a n d o f i n t e r p r e t a t i o n s o f c o l l a b o r a t i o n a s c h e a t i n g . J a c k s o n ( 1 9 6 8 , p . 1 6 ) d e s c r i b e s t h i s d o m i n a n t f e a t u r e o f c l a s s r o o m l i f e , t h a t s t u d e n t s m u s t i g n o r e t h o s e w h o a r e a r o u n d t h e m a n d “ l e a r n h o w t o b e a l o n e i n a c r o w d “ : I n e l e m e n t a r y c l a s s r o o m s s t u d e n t s a r e f r e q u e n t l y a s s i g n e d s e a t w o r k o n w h i c h t h e y a r e e x p e c t e d t o f o c u s t h e i r i n d i v i d u a l e n e r g i e s . D u r i n g t h e s e s e a t w o r k p e r i o d s t a l k i n g a n d o t h e r f o r m s o f c o m m u n i c a t i o n b e t w e e n s t u d e n t s a r e d i s c o u r a g e d , i f n o t o p e n l y f o r b i d d e n . T h e g e n e r a l a d m o n i t i o n i n s u c h s i t u a t i o n s i s t o d o y o u r o w n w o r k a n d l e a v e o t h e r s a l o n e . I n a d d i t i o n , r i g h t a n s w e r s a r e t h e c u r r e n c y o f t h e c l a s s r o o m e c o n o m y , e a r n i n g p r i v i l e g e a n d r e w a r d . J u s t a s t h e v i e w s o f k n o w l e d g e a n d o f t e a c h i n g d i s c u s s e d a b o v e a r e e m b e d d e d i n t h e s u r r o u n d i n g c u l t u r e , s o t o o i s t h i s i n t e l l e c t u a l c o m p e t i t i v e n e s s . I n d i v i d u a l i s m , h o w e v e r , i s n o t t h e i m a g e o f t h e a c a d e m i c c o m m u n i t y o f d i s c o u r s e ( e . g . K u h n , 1 9 6 2 ) . S c i e n t i s t s d i s a g r e e a n d h a m m e r o u t n e w u n d e r s t a n d i n g s i n t h e p u r s u i t o f t h e i r w o r k a n d i n s o l v i n g n o v e l p u z z l e s . M a t h e m a t i c a l p e d a g o g y , t o o , i m p l i e s a l e a r n i n g c o m m u n i t y ( S c h w a b , 1 9 7 6 ) , a g r o u p c o l l a b o r a t i n g i n t h e e n j o y a b l e p u r s u i t o f m a t h e m a t i c a l u n d e r s t a n d i n g . S t u d e n t s a r e e x p e c t e d t o s h a r e i d e a s , t o w o r k w i t h o t h e r s , a n d t o s e e t h e c o l l e c t i v e a s t h e i n t e l l e c t u a l u n i t a n d a r b i t e r . W h i l e r i g h t a n s w e r s m a y n o t b e t h e i s s u e , i n t e l l e c t u a l p r o g r e s s a n d s t r e n g t h a r e a r e s o u r c e t o e v e r y o n e , n o t j u s t t o s o m e ; e a c h p e r s o n ' s c o n t r i b u t i o n s c a n h e l p e t h e c o m m u n i t y . ' o r 2 d i g o o o h j n g . I n s t i t u t i o n a l a n d o r g a n i z a t i o n a l f a c t o r s i n s c h o o l s a l s o p r e s e n t o b s t a c l e s t o c h a n g e . S c h o o l s a r e c h a r g e d w i t h m u l t i p l e a n d c o m p e t i n g g o a l s , n o t t h e l e a s t o f w h i c h i s t h e g o a l o f f o s t e r i n g 2 1 i n d i v i d u a l e x c e l l e n c e a n d a d v a n c e m e n t , w h i l e s i m u l t a n e o u s l y e n s u r i n g e q u i t y a n d a c c e s s . T h e r h e t o r i c o f “ i n d i v i d u a l i s m “ d o m i n a t e s f o r m a n y t e a c h e r s ; y e t , t h e y k n o w t h a t t h e y a r e e x p e c t e d t o m e e t i n d i v i d u a l n e e d s a n d t o g u a r a n t e e e q u i t y . T h e p u s h t o s t a n d a r d i z a t i o n a n d t o a v o i d r i s k s o r e x p e r i m e n t s i s g r e a t , i n l i g h t o f t h e s e p r e s s u r e s ( C o h e n & N e u f e l d , 1 9 8 1 ; G o o d l a d , 1 9 8 4 ) . C o n s e r v a t i v e a d m i n i s t r a t o r s a n d s c h o o l b o a r d s p r e o c c u p i e d w i t h t e s t s c o r e s p u t p r e s s u r e o n t e a c h e r s t o e m p h a s i z e “ b a s i c s k i l l s “ - - c o m p u t a t i o n a n d m e m o r i z a t i o n o f “ f a c t s . “ T e a c h e r s a r e g e n e r a l l y r e s p o n s i b l e f o r a c u r r i c u l u m t h a t i s b o t h t r a d i t i o n a l a n d w a r r a n t e d b y i t s v e r y t r a d i t i o n s . T h e s t r u c t u r e o f t h e s c h o o l d a y m e a n s t h a t t e a c h e r s a r e i s o l a t e d f r o m o n e a n o t h e r a n d h a v e l i t t l e t i m e o r s u p p o r t f o r l e a r n i n g o r t r y i n g o u t i n n o v a t i o n s . T i m e i s s e g m e n t e d i n t o 5 4 - m i n u t e b l o c k s , c o n t e n t m u s t b e c o v e r e d , p u p i l s m u s t b e p r e p a r e d n o t o n l y f o r t e s t s , b u t a l s o f o r t h e n e x t l e v e l . M o r e o v e r , w o r k i n g w i t h g r o u p s o f 3 0 c h i l d r e n m a k e s e x p e r i m e n t i n g w i t h p e d a g o g y r i s k y f o r t e a c h e r s w h o m u s t a l s o m a i n t a i n o r d e r a n d r o u t i n e s . E l e m e n t a r y t e a c h e r s m u s t t e a c h m a n y o t h e r s u b j e c t s i n a d d i t i o n t o m a t h e m a t i c s ; s e c o n d a r y t e a c h e r s m u s t t e a c h m a n y m o r e s t u d e n t s . T e a c h e r s o f t e n d o n o t h a v e t i m e t o p l a n a n d o r g a n i z e r i c h e x p e r i e n c e s f o r p u p i l s , n o r c a n t h e y a f f o r d t h e l o o s e n e s s o f m o r e e x p l o r a t o r y c u r r i c u l a . T h e y f e e l p r e s s u r e t o m a k e s u r e t h a t p u p i l s m a s t e r r e q u i r e d c o n t e n t . F o r e x a m p l e , t h e t i m e r e q u i r e d f o r s t u d e n t s t o “ g e t i n s i d e “ a t o p i c l i k e m e a s u r e m e n t m a y s e e m t o b e a t o d d s w i t h e n s u r i n g t h a t s t u d e n t s a l s o g e t t o e v e r y t h i n g e l s e . T h e p u l l t o w a r d n e a t , a l g o r i t h m i c c u r r i c u l u m i s v e r y s t r o n g . T e a c h i n g m e a s u r e m e n t b y g i v i n g o u t f o r m u l a e - ~ L x W - s o m e n u m b e r o f s q u a r e u n i t s , a n d L x W x 2 2 H - s o m e n u m b e r o f c u b i c u n i t s - - m a y s e e m m u c h m o r e e f f i c i e n t t h a n h a u l i n g o u t c o n t a i n e r s a n d b l o c k s a n d r u l e r s a n d h a v i n g s t u d e n t s e x p l o r e t h e d i f f e r e n t w a y s o f a n s w e r i n g q u e s t i o n s o f “ h o w b i g “ o r “ h o w m u c h . “ T h a t t h i s r e s u l t s i n s i x t h g r a d e r s w h o t h i n k y o u m e a s u r e w a t e r w i t h r u l e r s g o e s a l m o s t u n n o t i c e d . A l l t h e s e f e a t u r e s o f s c h o o l o r g a n i z a t i o n a n d o f t h e c o n d i t i o n s o f t e a c h i n g a r e p a r t o f t h e c o n t e x t w i t h i n w h i c h r e f o r m s m u s t o p e r a t e ( C u b a n , 1 9 8 4 ; S a r a s o n , 1 9 7 1 ) . S a r a s o n ( 1 9 7 1 ) a r g u e s t h a t t h e m a s s i v e f a i l u r e o f t h e n e w m a t h w a s d u e , i n l a r g e m e a s u r e , t o t h e r e f o r m e r s ' f a i l u r e t o t a k e a s u f f i c i e n t l y b r o a d p e r s p e c t i v e o f t h e “ r e g u l a r i t i e s “ o f t h e s c h o o l s e t t i n g a n d t h e c u l t u r e o f t h e s c h o o l : I t b e c o m e s c l e a r t h a t i n t r o d u c i n g a n e w c u r r i c u l u m s h o u l d i n v o l v e o n e i n m o r e t h a n i t s d e v e l o p m e n t a n d d e l i v e r y . I t s h o u l d c o n f r o n t o n e w i t h p r o b l e m s t h a t s t e m f r o m t h e f a c t t h a t t h e s c h o o l i s , i n a s o c i a l a n d p r o f e s s i o n a l s e n s e , h i g h l y s t r u c t u r e d a n d d i f f e r e n t i a t e d - - a f a c t t h a t i s r e l a t e d t o a t t i t u d e s , c o n c e p t i o n s , a n d r e g u l a r i t i e s o f a 1 1 w h o a r e i n t h e s e t t i n g . . . . A n y a t t e m p t t o c h a n g e a c u r r i c u l u m i n d e p e n d e n t o f c h a n g i n g s o m e c h a r a c t e r i s t i c i n s t i t u t i o n a l f e a t u r e r u n s t h e r i s k o f p a r t i a l o r c o m p l e t e f a i l u r e . ( p p . 3 5 - 3 6 ) W i t h o u t t a k i n g t h e w i d e r c o n t e x t i n t o a c c o u n t , c h a n g e , i f i t o c c u r s a t a l l , i s l i k e l y t o b e s u p e r f i c i a l - - c h a n g i n g t e x t b o o k s b u t n o t m o d e o f i n s t r u c t i o n , f o r i n s t a n c e ( S a r a s o n , 1 9 7 1 ) . T h e s e c o n d i t i o n s o f s c h o o l i n g h a v e d i r e c t c o n s e q u e n c e s f o r e f f o r t s t o e f f e c t c h a n g e i n t h e t e a c h i n g o f m a t h e m a t i c s - - i n d e e d , f o r t h e c o n c e p t o f “ i m p l e m e n t a t i o n “ i t s e l f ( F a r r a r , D e s c a n t i s , a C o h e n , 1 9 8 0 ; W i l d a v s k y & G i a d o m e n i c o , 1 9 7 9 ) . S a r a s o n w o u l d a r g u e t h a t r e f o r m e r s w h o d o n o t c o n s i d e r w h a t s c h o o l s a r e l i k e w i l l o p e r a t e u n d e r t h e m i s g u i d e d i m p r e s s i o n t h a t c h a n g e s c a n b e s i m p l y “ p u t i n t o p l a c e . “ Q u i t e t h e c o n t r a r y : I n n o v a t i o n s a r e i n t e r p r e t e d a n d a d a p t e d b y t e a c h e r s ; b o t h t h e i n t e n t , t h e e n a c t m e n t , a n d t h e e f f e c t o f a n 2 3 i n n o v a t i o n c h a n g e s i n t h e t r a n s l a t i o n ( B a r m a n 6 M c L a u g h l i n , 1 9 7 5 ; M c L a u g h l i n & M a r s h , 1 9 7 8 ; S a r a s o n , 1 9 7 1 ) . E x p e c t i n g t h a t r e f o r m s c a n b e i n s t i t u t e d f a i t h f u l l y f r o m t h e t o p d o w n i s a f a n t a s y t h a t i g n o r e s t h e l o o s e c o n n e c t i o n s b e t w e e n o f f i c i a l a u t h o r i t y a n d a c t u a l p r a c t i c e . A m e r i c a n t e a c h e r s , i n f a c t , h a v e c o n s i d e r a b l e e l b o w r o o m a t t h e c l a s s r o o m l e v e l , a n d t y p i c a l l y “ [ a r b i t r a t e ] b e t w e e n t h e i r o w n p r i o r i t i e s a n d t h e i m p l i e d p r i o r i t i e s o f e x t e r n a l p o l i c i e s “ ( S c h w i l l e , P o r t e r , F l o d e n , F r e e m a n , K n a p p e n , K u h s , 8 S c h m i d t , 1 9 8 3 , p . 3 8 7 ) . - c u r c t i . M o v i n g f r o m t h e l e a s t t a n g i b l e t o t h e m o s t c o n c r e t e , a n o t h e r f a c t o r t h a t c o n t r i b u t e s t o t h e c o n t i n u i t y a n d c o n s e r v a t i s m o f m a t h e m a t i c s t e a c h i n g i s t h e n a t u r e o f t h e m a t e r i a l s f r o m w h i c h t e a c h e r s t e a c h . T y p i c a l m a t h e m a t i c s c u r r i c u l u m m a t e r i a l s - - t e x t b o o k s , a c t i v i t y c a r d s , k i t s - - t e n d t o e m p h a s i z e c a l c u l a t i o n s k i l l s a n d a “ h e r e ' s h o w t o d o i t “ a p p r o a c h t o m a t h e m a t i c s . S t o d o l s k y ' s ( 1 9 8 8 ) a n a l y s i s o f e l e m e n t a r y m a t h t e x t b o o k s s u g g e s t s t h a t c o n c e p t s a n d p r o c e d u r e s a r e o f t e n i n a d e q u a t e l y d e v e l o p e d , w i t h j u s t o n e o r t w o e x a m p l e s g i v e n , a n d a n e m p h a s i s o n “ h i n t s a n d r e m i n d e r s “ t o s t u d e n t s a b o u t w h a t t o d o . E v e n w h e n t e a c h e r s a t t e n d w o r k s h o p s o r r e a d a b o u t t h e i m p o r t a n c e o f f o c u s i n g o n p r o b l e m - s o l v i n g a n d t e a c h i n g p r o c e d u r e s w i t h c o n c e p t u a l u n d e r s t a n d i n g , t h e i r t e x t b o o k s p r o v i d e t h e m w i t h l i t t l e g u i d a n c e o r s u p p o r t f o r a c t i n g o n t h e s e r e c o m m e n d a t i o n s . F o r e x a m p l e , a r e a a n d p e r i m e t e r , t h e c o n t e n t o f t h e e x a m p l e a b o v e , a r e p r e s e n t e d i n t e r m s o f t h e f o r m u l a s - - L x W a n d 2 x L + 2 x W - - w i t h , p e r h a p s , s o m e p i c t u r e s t o i l l u s t r a t e . P r a c t i c e i s p r o v i d e d i n c a l c u l a t i n g t h e a r e a a n d p e r i m e t e r o f s o m e r e c t a n g l e s , w i t h r e m i n d e r s t o s t a t e t h e a n s w e r s t o a r e a p r o b l e m s i n t e r m s o f “ g o o o r o u n i t s . “ M u l t i p l i c a t i o n b y t e n i s e x p l a i n e d i n t e r m s o f 2 4 “ a d d i n g a z e r o , “ a l g e b r a t e x t s c l a i m t h a t v e r t i c a l l i n e s h a v e “ n o s l o p e , “ a n d r e c t a n g l e s a r e r e p r e s e n t e d a s f i g u r e s w i t h t w o l o n g a n d t w o s h o r t e r s i d e s . G e o m e t r y i s s c a n t , m e a s u r e m e n t m o r e p r o c e d u r a l t h a n c o n c e p t u a l , a n d p r o b a b i l i t y i n v e s t i g a t i o n s r e l e g a t e d t o t h e l i t t l e " T i m e O u t “ b o x e s o n a f e w r a n d o m p a g e s . A l t h o u g h r e c e n t e d i t i o n s o f p o p u l a r t e x t b o o k s i n c l u d e n e w p a g e s o n “ p r o b l e m s o l v i n g , “ t h e y a r e o f t e n a d d i t i o n s t o r a t h e r t h a n c h a n g e s i n t h e t e x t b o o k ' s r e p r e s e n t a t i o n o f m a t h e m a t i c s . T h e y t e n d , f u r t h e r m o r e , t o p a c k a g e m a t h e m a t i c a l p r o b l e m s o l v i n g a s p r o c e d u r a l k n o w l e d g e o r a s a t o p i c i n i t s o w n r i g h t . K l i n e ( 1 9 7 7 ) b l a s t s s c h o o l m a t h e m a t i c s t e x t s f o r t h e i r d o g m a t i c p r e s e n t a t i o n s a n d f a i l u r e t o l e t s t u d e n t s i n o n t h e s t r u g g l e s o f m a t h e m a t i c a l d i s c o v e r y a n d a c t i v i t y . £ 3 2 5 9 £ ; £ é ; 7 l a t e m n r h n m m r f o s r n n r b n r p d u o a r f o n T h a t t h e s e t h r e e f a c t o r s a f f e c t t h e p r o b l e m o f “ n o c h a n g e “ i n t h e t e a c h i n g o f m a t h e m a t i c s i s u n q u e s t i o n a b l e . A f o u r t h f a c t o r , o n e f o c u s e d o n w h a t t e a c h e r s k n o w a n d b e l i e v e , i s e q u a l l y c r i t i c a l . T h e c o n s i s t e n c y o f t h e o r d i n a r y m a t h c l a s s i s i n i t s e l f a b a r r i e r t o c h a n g e . P r o s p e c t i v e t e a c h e r s p r o b a b l y l e a r n s o m e t h i n g f r o m b e i n g i n u n d a t e d w i t h t h a t k i n d o f t e a c h i n g o v e r a t e n o r t w e l v e - y e a r p e r i o d - - a n d w h a t t h e y l e a r n m a y w e l l i n c l u d e a r u l e - b o u n d k n o w l e d g e o f m a t h e m a t i c s . I f w e w a n t s c h o o l s t o c h a n g e , t e a c h e r e d u c a t i o n h a s t o f i n d o u t h o w t o b r e a k i n t o t h i s c y c l e . C r i t i c s o b s e r v e t h a t p r e s e r v i c e t e a c h e r e d u c a t i o n t y p i c a l l y h a s a w e a k e f f e c t o n t e a c h e r s ' k n o w l e d g e a n d b e l i e f s a n d t h a t w h a t e v e r p r o s p e c t i v e t e a c h e r s l e a r n a t t h e u n i v e r s i t y t e n d s t o b e “ w a s h e d o u t “ o n c e t h e y g e t t o s c h o o l s . I n f a c t , i t i s r a t h e r u n s u r p r i s i n g t h a t a h a n d f u l o f u n i v e r s i t y c o u r s e s o f t e n f a i l s t o s u b s t a n t i a l l y a l t e r t h e 2 5 k n o w l e d g e a n d a s s u m p t i o n s w h i c h p r o s p e c t i v e t e a c h e r s h a v e h a d “ w a s h e d i n “ t h r o u g h y e a r s o f f i r s t h a n d o b s e r v a t i o n s o f t e a c h e r s . I n t h e c a s e o f m a t h e m a t i c s t e a c h i n g , t h e y h a v e a l r e a d y c l o c k e d o v e r 2 , 0 0 0 h o u r s i n a s p e c i a l i z e d “ a p p r e n t i c e s h i p o f o b s e r v a t i o n “ ( L o r t i e , 1 9 7 5 , p . 6 1 ) w h i c h h a s i n s t i l l e d n o t o n l y t r a d i t i o n a l i m a g e s o f t e a c h i n g a n d l e a r n i n g b u t h a s a l s o s h a p e d t h e i r u n d e r s t a n d i n g s o f m a t h e m a t i c s . A s t h i s i s t h e m a t h e m a t i c s t h e y w i l l t o o o h , w h a t t h e y h a v e l e a r n e d a b o u t t h e s u b j e c t m a t t e r i n e l e m e n t a r y a n d h i g h s c h o o l t u r n s o u t t o b e a s i g n i f i c a n t c o m p o n e n t o f t h e i r p r e p a r a t i o n f o r t e a c h i n g . T h i n k i n g t h a t t h e y a l r e a d y k n o w a l o t a b o u t t e a c h i n g b a s e d o n t h e i r e x p e r i e n c e s i n s c h o o l s a n d o n t h e i r g o o d c o m m o n s e n s e , p r o s p e c t i v e t e a c h e r s m a y n o t b e d i s p o s e d t o i n q u i r e o r t o l e a r n a b o u t t e a c h i n g m a t h e m a t i c s . F u r t h e r m o r e , a n d e q u a l l y s e r i o u s , w h a t w e k n o w a b o u t w h a t s t u d e n t s l e a r n i n o r d i n a r y m a t h e m a t i c s c l a s s e s s u g g e s t s t h a t p r o s p e c t i v e t e a c h e r s a r e u n l i k e l y t o k n o w m a t h i n t h e w a y s t h a t t h e y w i l l n e e d t o i n o r d e r t o t e a c h . T h e w e a k n e s s o f t e a c h e r e d u c a t i o n t e n d s t o b e a t t r i b u t e d e i t h e r t o i t s t r u n c a t e d s t r u c t u r e o r i t s m i s f o c u s e d c u r r i c u l u m . E f f o r t s t o r e f o r m t e a c h e r e d u c a t i o n a s s u m e t h a t w h a t i s t a u g h t t o p r o s p e c t i v e t e a c h e r s e i t h e r i s n o t o p t i m a l l y o r g o n i z o o o r i s n o o _ o n o o g h t o b r e a k w i t h t r a d i t i o n a l m o d e s o f t e a c h i n g . I n r e s p o n s e , m a n y p e o p l e h a v e r e a d y a n s w e r s a b o u t h o w p r e s e r v i c e t e a c h e r e d u c a t i o n s h o u l d b e c h a n g e d - - p r o p o s i n g t o a l t e r c o n t e n t , d u r a t i o n , r e q u i r e m e n t s , o r s t r u c t u r e ( s e e , f o r e x a m p l e , H o l m e s G r o u p , 1 9 8 6 ; P r a k a s h , 1 9 8 6 ; C a r n e g i e T a s k F o r c e , 1 9 8 6 ) . W i t h r e s p e c t t o t h e o o o o o o ; o f t e a c h e r e d u c a t i o n , c o n s i d e r t h e p r e p a r a t i o n o f m a t h e m a t i c s t e a c h e r s . D i s a g r e e m e n t s a b o u n d a b o u t w h a t k n o w l e d g e i s m o s t i m p o r t a n t t o c o v e r : P i a g e t i a n t h e o r y o r a v a r i e t y o f p e r s p e c t i v e s o n h u m a n l e a r n i n g ? A 2 6 s u r v e y o f t h e h i s t o r y o f m a t h e m a t i c s o r h o w t o t e a c h s p e c i f i c t o p i c s l i k e p l a c e v a l u e ? A r e v i e w o f b a s i c a r i t h m e t i c a n d a l g e b r a o r e x p o s u r e t o n o n t r a d i t i o n a l t o p i c s s u c h a s p r o b a b i l i t y ? C l a s s r o o m m a n a g e m e n t o r m o r e m a t h e m a t i c s c o u r s e s ? S o m e a d v o c a t e t h a t e l e m e n t a r y t e a c h e r s s h o u l d s p e c i a l i z e ( e . g . , E l l i o t t , 1 9 8 5 ) ; o t h e r s r e c o m m e n d t h e a b o l i t i o n o f t h e u n d e r g r a d u a t e m a j o r i n e d u c a t i o n ( H o l m e s G r o u p , 1 9 8 6 ) . S t i l l a l i v e a n d w e l l a r e d e b a t e s a b o u t t h e r e l a t i v e i m p o r t a n c e o f g e n e r i c s k i l l s o f t e a c h i n g a n d s u b j e c t m a t t e r k n o w l e d g e ( e . g . , G u y t o n & F a r o k h i , 1 9 8 7 ; o t h e r s ) . 1 1 D i s c u s s i o n s a b o u t t h e i d e a l c u r r i c u l u m f o r t e a c h e r e d u c a t i o n , h o w e v e r , a r e p r e m a t u r e ( L a m p e r t , i n p r e s s b ) . T h e y a r e p r e m a t u r e b e c a u s e i n c r e a s i n g t h e i m p a c t o f t e a c h e r e d u c a t i o n o n t h e w a y m a t h e m a t i c s i s t a u g h t d e p e n d s o n a r e c o n s i d e r a t i o n o f o u r a s s u m p t i o n s a b o u t t e a c h e r l e a r n i n g , n o t j u s t a r e v i s i o n o f w h a t t e a c h e r e d u c a t o r s d e l i v e r . W h i l e g o o ; i s t a u g h t i s u n q u e s t i o n a b l y a c r i t i c a l i s s u e f o r t e a c h e r e d u c a t i o n , t h e f a c t t h a t f o r m a l t e a c h e r e d u c a t i o n i s o f t e n a w e a k i n t e r v e n t i o n i s a t t r i b u t a b l e i n p a r t t o i t s f a i l u r e t o a c k n o w l e d g e t h a t “ t h e m i n d o f t h e e d u c a t i o n s t u d e n t i s n o t a b l a n k a w a i t i n g i n s c r i p t i o n “ ( L o r t i e , 1 9 7 5 , p . 6 6 ) a s w e l l a s i t s f a i l u r e t o c o n f r o n t e f f e c t i v e l y t h e i n a p p r o p r i a t e o r i n s u f f i c i e n t u n d e r s t a n d i n g s t h a t p r o s p e c t i v e t e a c h e r s b r i n g . Q u e s t i o n s o f w h a t t o t e a c h p r o p e r l y d e p e n d b o t h o n w h a t l e a r n e r s n e e d t o k n o w a g o o n w h a t t h e l e a r n e r s a l r e a d y k n o w . 1 1 A s s u m p t i o n s a b o u t t h i s r e l a t i o n s h i p a r e r e f l e c t e d i n c u r r e n t i n i t i a t i v e s t o c e r t i f y c o l l e g e g r a d u a t e s w i t h m a j o r s i n m a t h e m a t i c s t h r o u g h a l t e r n a t i v e r o u t e s t o c e r t i f i c a t i o n - - i n N e w J e r s e y a n d C a l i f o r n i a , f o r i n s t a n c e . 2 7 T h e f i r s t t h r e e f a c t o r s d i s c u s s e d i n t h i s c h a p t e r - - c u l t u r a l v i e w s o f k n o w l e d g e a n d o f l e a r n i n g , o r g a n i z a t i o n a l f e a t u r e s o f s c h o o l s a n d t h e c o n d i t i o n s o f t e a c h i n g , p o o r c u r r i c u l u m m a t e r i a l s - - a l l h e l p t o e x p l a i n t h e p e r s i s t e n c e o f o r d i n a r y m a t h e m a t i c s t e a c h i n g . T h e s e f a c t o r s a r e a l l u s e f u l e x p l a n a t o r y p e r s p e c t i v e s . I h a v e c h o s e n t o f o c u s o n t h e l a s t f a c t o r , c o n t e n d i n g t h a t t o i g n o r e t e a c h e r s - - w h a t t h e y k n o w a n d d o a s w e l l a s h o w t h e y l e a r n - ~ d o o m s e f f o r t s t o c h a n g e t h e t e a c h i n g o f m a t h e m a t i c s . W h i l e w i d e s p r e a d c h a n g e i n m a t h e m a t i c s t e a c h i n g i s u n l i k e l y t o o c c u r ‘ b y a t t e m p t i n g o n l y t o c h a n g e i n d i v i d u a l s , d i s c i p l i n a r y - b a s e d m a t h e m a t i c s t e a c h i n g i s l i k e w i s e i m p o s s i b l e w i t h o u t a p p r o p r i a t e l y e d u c a t e d t e a c h e r s . 3 V e W W h a t p r o s p e c t i v e t e a c h e r s b r i n g t o t e a c h e r e d u c a t i o n p r o g r a m s i s a c r i t i c a l i n f l u e n c e o n w h a t t h e y a c t u a l l y l e a r n t h e r e . W e d o n o t k n o w e n o u g h a b o u t w h a t t h e y b r i n g n o r , i n p r e p a r i n g t h e m t o t e a c h m a t h e m a t i c s , w h a t w e s h o u l d e s p e c i a l l y p a y a t t e n t i o n t o a b o u t w h a t t h e y b r i n g . T h e s e i s s u e s a r e n e c e s s a r i l y p r i o r t o r e c o n s i d e r a t i o n s o f t h e s t r u c t u r e o r c u r r i c u l u m o f m a t h e m a t i c s t e a c h e r e d u c a t i o n . T h i s p o i n t w o u l d s e e m t o b e l i t t l e m o r e t h a n a n o r d i n a r y a n d s e l f - e v i d e n t c a v e a t . A f t e r a l l , t h e r e i s m o u n t i n g e v i d e n c e f r o m c o g n i t i v e s c i e n c e t h a t o h i l g r o n L o p r i o r k n o w l e d g e p o w e r f u l l y a f f e c t s t h e w a y t h e y m a k e s e n s e o f n e w i d e a s . T h i s r e s e a r c h h a s b e e n i n f l u e n t i a l i n t h e c u r r i c u l a o f b o t h s c h o o l m a t h e m a t i c s a n d t e a c h e r e d u c a t i o n . M a t h e m a t i c s e d u c a t o r s w h o d e v e l o p i n n o v a t i v e m a t h e m a t i c s c u r r i c u l u m m a t e r i a l s f o r c l a s s r o o m s d e s i g n t h e m t o t a k e i n t o a c c o u n t w h a t w e k n o w 2 8 a b o u t h o w o h i l o r o n l e a r n a n d t h e k i n d s o f n i o o o n o o o o i o n s t h e y a r e l i k e l y t o h a v e . S o m e t e a c h e r e d u c a t o r s t a l k a b o u t “ c o n s t r u c t i v i s m “ a n d s t u d e n t m i s c o n c e p t i o n s i n t h e i r c o u r s e s . T o m a k e t h e s a m e p o i n t a b o u t t e a c h e r l e a r n i n g s h o u l d b e t r i v i a l - - i t s h o u l d s e e m o b v i o u s t h a t t e a c h e r s , l i k e t h e i r p u p i l s , m a y h a v e i d e a s a n d u n d e r s t a n d i n g s t h a t i n f l u e n c e t h e i r l e a r n i n g . I r o n i c a l l y , h o w e v e r , t h i s p e r s p e c t i v e o n h u m a n l e a r n i n g r a r e l y i n f l u e n c e s w h a t u n i v e r s i t y e d u c a t o r s d o w i t h g h o i r s t u d e n t s . U n i v e r s i t y c l a s s e s , w h e t h e r i n m a t h e m a t i c s , h i s t o r y , o r e d u c a t i o n a l p s y c h o l o g y , a r e t y p i c a l l y “ d e l i v e r e d , “ e v e n w h e n t h e y a r e o o o o o t h e p r o b l e m s w i t h d e l i v e r i n g k n o w l e d g e t o c h i l d r e n i n s c h o o l s . A s o n e t e a c h e r r e m a r k e d w r y l y , s h e h a d b e e n i n c o u r s e s w h e r e s h e g o t l o o o o r o o o n c o n s t r u c t i v i s m . A l l t o o o f t e n t h e a s s u m p t i o n i n h i g h e r e d u c a t i o n i s t h a t t e a c h i n g e q u a l s l e a r n i n g , t h a t t h o s e w h o a r e c a p a b l e e n o u g h a n d w h o w a n t t o l e a r n t h e m a t e r i a l w i l l a n d w i l l m a k e s e n s e o f i t c o r r e c t l y . 1 2 A n d t h i s a s s u m p t i o n i s m a d e b y t h e v e r y p e r s o n s w h o a r e r a i s i n g t h e s e i s s u e s a b o u t l o w e r e d u c a t i o n . 1 3 I n o r d e r f o r t e a c h e r e d u c a t i o n t o h e l p p r e p a r e t e a c h e r s t o a p p r o a c h m a t h e m a t i c s t e a c h i n g f r o m t h e p e r s p e c t i v e o f m a t h e m a t i c a l p e d a g o g y , w e n e e d t o u n d e r s t a n d m o r e a b o u t ( 1 ) t h e s t u d e n t s o f m a t h e m a t i c s t e a c h e r e d u c a t i o n - - p r o s p e c t i v e t e a c h e r s , a n d ( 2 ) w h a t t h e y 1 2 A u s u b e l ( 1 9 6 8 ) d i s t i n g u i s h e s b e t w e e n t h e n o o o ( r e c e p t i o n v e r s u s d i s c o v e r y ) a n d t h e o o o o r o ( r o t e v e r s u s m e a n i n g f u l ) o f t h e l e a r n i n g . S t i l l , i t i s h a z a r d o u s t o a s s u m e t h a t m e a n i n g f u l l e a r n i n g w i l l o c c u r t h r o u g h a s t e a d y d i e t o f t h e r e c e p t i o n m o d e . 1 3 T h e r e a r e e x c e p t i o n s t o t h i s , o f c o u r s e . F e i m a n ( 1 9 7 9 ) w r i t e s a b o u t a c o u r s e s h e d e s i g n e d t o c h a l l e n g e a n d e x t e n d p r o s p e c t i v e t e a c h e r s ' i d e a s a b o u t p e d a g o g y a n d a b o u t c h i l d r e n . O t h e r e x a m p l e s o f t h i s k i n d o f t h o u g h t f u l c o l l e g e - l e v e l p e d a g o g y i n c l u d e B a l l ( 1 9 8 8 ) ; F e i m a n - N e m s e r , M c D i a r m i d , M e l n i c k , a n d P a r k e r ( 1 9 8 8 ) . 2 9 l e a r n f r o m d i f f e r e n t a p p r o a c h e s t o p r o f e s s i o n a l p r e p a r a t i o n . B r o w n a n d C o o n e y ( 1 9 8 2 ) a r g u e t h a t I f . . . i t i s i m p o r t a n t t o k n o w h o w c h i l d r e n l e a r n m a t h e m a t i c a l k n o w l e d g e i n o r d e r t o a r t i c u l a t e e f f e c t i v e i n s t r u c t i o n a l p r o g r a m s , t h e n w e a r e f a c e d w i t h t h e i n e s c a p a b l e c o n c l u s i o n t h a t i t i s i m p o r t a n t t o k n o w h o w t e a c h e r s l e a r n t o t e a c h m a t h e m a t i c s i n o r d e r t o d e s i g n e f f e c t i v e t e a c h e r e d u c a t i o n p r o g r a m s . . . W e h a v e a s a p r o f e s s i o n a p p r e c i a t e d t h e n a i v e t e o f a s s u m i n g t h a t i t i s p o s s i b l e t o d e s i g n a t e a c h e r - p r o o f c u r r i c u l u m . . . b u t h a v e w e a d v a n c e d b e y o n d o u r i n i t i a l n a i v e t e t o r e a l i z e t h a t t h e t e a c h e r s w e t r a i n a r e f a r m o r e t h a n p a s s i v e c o n d u i t s t h r o u g h w h i c h i n t e n d e d c u r r i c u l a b e c o m e l e a r n e d c u r r i c u l a ? ( p . 1 7 ) B o t h f o c i o f i n q u i r y - - w h a t t e a c h e r s b r i n g a n d w h a t t h e y l e a r n - - a r e i m p o r t a n t t o t h e i m p r o v e m e n t o f m a t h e m a t i c s t e a c h e r p r e p a r a t i o n , b u t t h i s d i s s e r t a t i o n f o c u s e s o n t h e f i r s t a s p e c t : k n o w l e d g e a b o u t w h a t f u t u r e m a t h t e a c h e r s b r i n g t o t h e i r f o r m a l p r e p a r a t i o n t o t e a c h m a t h e m a t i c s . T h i s w o r k s h o u l d a l s o c o n t r i b u t e c o n c e p t u a l l y t o i n v e s t i g a t i o n s o f w h a t t e a c h e r s l e a r n f r o m d i f f e r e n t k i n d s o f p r o g r a m s o r e x p e r i e n c e s b y o f f e r i n g a t h e o r e t i c a l f r a m e w o r k o f w h a t t h i n g s t o i n v e s t i g a t e a n d f o l l o w t r a c k a b o u t t e a c h e r s ' l e a r n i n g o v e r t i m e t h r o u g h a p r o f e s s i o n a l s e q u e n c e . M y o v e r a r c h i n g r e s e a r c h q u e s t i o n i s : W h a t d b p r o s p e c t i v e e l e m e n t a r y a n d s e c o n d a r y t e a c h e r s b r i n g w i t h t h e . t o t e a c h e r e d u c a t i o n t h a t i s l i k e l y t o a f f e c t t h e i r l e a r n i n g t o t e a c h m a t h e m a t i c s ? T h e s t u d y a d d r e s s e s t h i s q u e s t i o n b o t h c o n c e p t u a l l y a n d e m p i r i c a l l y . B e l o w I d e s c r i b e t h e r e s e a r c h d e s i g n a n d d i s c u s s s o m e r e l a t e d w o r k t h a t p r o v i d e s t h e o r e t i c a l f o u n d a t i o n s f o r t h i s d i s s e r t a t i o n . W i g s W h a t d o e s i t m e a n f o r a l e a r n e r t o “ b r i n g “ s o m e t h i n g t o a s i t u a t i o n ? A m e t a p h o r , i t c o n v e y s t h e i d e a t h a t l e a r n e r s d o n o t a r r i v e e m p t y - h a n d e d ( o r e m p t y - h e a d e d ) , b u t t h a t t h e y c o m e i n s t e a d 3 0 w i t h i d e a s , u n d e r s t a n d i n g s , w a y s o f t h i n k i n g , i n c l i n a t i o n s , a n d h a b i t s . R e c e n t r e s e a r c h o n s t u d e n t l e a r n i n g i n a v a r i e t y o f d o m a i n s s u g g e s t s t h a t p u p i l s ' p r i o r k n o w l e d g e a n d b e l i e f s - - w h a t t h e y b r i n g - - s h a p e s t h e w a y s i n w h i c h t h e y m a k e s e n s e o f n e w i d e a s ( s e e , f o r e x a m p l e , A n d e r s o n , 1 9 8 4 ; C o n f r e y , 1 9 8 7 ; D a v i s , 1 9 8 3 ; d i S e s s a , 1 9 8 2 ; P o s n e r , S t r i k e , M e w s o n , a n d G e r t z o g , 1 9 8 2 ; R o t h , 1 9 8 5 ; S c h o e n f e l d , 1 9 8 3 ) . C o n f r e y ( 1 9 8 7 ) , t r a c i n g t h e r e c e n t h i s t o r y o f t h i s p e r s p e c t i v e o n l e a r n i n g , d e s c r i b e s i t a s r e f l e c t i n g “ a b a s i c r e j e c t i o n o f a t a b u l a r a s a a p p r o a c h t o l e a r n i n g “ a n d , a s b e i n g f o u n d e d i n s t e a d o n t h e a s s u m p t i o n t h a t “ e x i s t i n g k n o w l e d g e s e r v e s a s b o t h a f i l t e r a n d a c a t a l y s t t o t h e a c q u i s i t i o n o f n e w i d e a s “ ( p . 7 ) . A l t h o u g h t e a c h e r e d u c a t o r s t a l k a b o u t t h i s c o n s t r u c t i v i s t p e r s p e c t i v e o n l e a r n i n g i n t h e i r c o u r s e s , i t r a r e l y i n f l u e n c e s w h a t t h e y d o w i t h t h e i r s t u d e n t s . T h e p r o f e s s i o n a l p r e p a r a t i o n o f t e a c h e r s i n s t e a d s e e m s o f t e n t o b e b a s e d o n t h e a s s u m p t i o n t h a t p r e s e r v i c e t e a c h e r s s i m p l y l a c k t h e k n o w l e d g e t h e y n e e d a n d t h a t t h e p u r p o s e o f p r o f e s s i o n a l p r e p a r a t i o n i s t o f i l l t h e m u p w i t h o r g i v e t h e m t h e n e c e s s a r y k n o w l e d g e a n d s k i l l s ( Z a r i n n i a , L e m o n , 6 R o m b e r g , i n p r e s s ) . D e b a t e s s h o u t t e a c h e r e d u c a t i o n , w h e n t h e y o c c u r , c e n t e r o n w h a t k n o w l e d g e i s o f m o s t w o r t h , o n m e t h o d s , o r o n t h e s e q u e n c e a n d s t r u c t u r e o f p r o f e s s i o n a l e d u c a t i o n ( e . g . , H o l m e s G r o u p , 1 9 8 6 ; S a r a s o n , D a v i d s o n , & B l a t t , 1 9 6 2 ; S m i t h , 1 9 8 0 ) . F e i m a n - N e m s e r ( 1 9 8 3 ) a r g u e s t h a t t e a c h e r e d u c a t o r s “ t e n d t o u n d e r e s t i m a t e t h e p e r v a s i v e e f f e c t s “ o f s c h o o l a n d c u l t u r e o n p r o s p e c t i v e t e a c h e r s . S h e s u g g e s t s t h a t t h e i d e a s t h e y b r i n g t o t e a c h e r e d u c a t i o n a r e r a r e l y c h a l l e n g e d ; t h a t , i n s t e a d , t h e s e i d e a s 3 1 a r e g e n e r a l l y i g n o r e d a n d , a s a r e s u l t , t e a c h e r s t e n d t o m a i n t a i n t h e i r p r e c o n c e p t i o n s : “ F o r m a l t r a i n i n g d o e s n o t m a r k a s e p a r a t i o n b e t w e e n t h e p e r c e p t i o n s o f n a i v e l a y p e r s o n s a n d t h e i n f o r m e d j u d g m e n t s o f p r o f e s s i o n a l s “ ( p . 1 5 3 ) . B e c a u s e t e a c h i n g i s a f a m i l i a r c u l t u r a l a c t i v i t y , t h e n o t i o n t h a t i t r e q u i r e s s p e c i a l i z e d k n o w l e d g e o r p e r s p e c t i v e s i s n o t c o m m o n p l a c e ( B u c h m a n n , 1 9 8 7 b ; J a c k s o n , 1 9 8 6 ) . S t i l l , t h e “ t e a c h i n g k n o w l e d g e “ d e r i v e d f r o m e v e r y d a y e x p e r i e n c e w i t h t e a c h e r s a n d c l a s s r o o m s i s a t s o m e t i m e s i n s u f f i c i e n t a n d a t o t h e r t i m e s m i s l e a d i n g a s p r e p a r a t i o n f o r t e a c h i n g . I t i s a c e n t r a l a n d d i f f i c u l t t a s k o f t e a c h e r e d u c a t i o n t o h e l p p r o s p e c t i v e t e a c h e r s t o m o v e f r o m c o m m o n s e n s e t o p e d a g o g i c a l w a y s o f t h i n k i n g ( F e i m a n - N e m s e r & B u c h m a n n , i n p r e s s ) . A l t h o u g h e v i d e n c e e x i s t s t h a t f o r m a l t e a c h e r e d u c a t i o n i s a w e a k i n t e r v e n t i o n c o m p a r e d t o t h e p o t e n c y o f t e a c h e r c a n d i d a t e s ' p r i o r e x p e r i e n c e s , t h e r e h a s b e e n l i t t l e r e s e a r c h o n w h a t t e a c h e r c a n d i d a t e s d o o r d o n o t l e a r n f r o m t e a c h e r e d u c a t i o n . T h e K n o w l e d g e U s e i n L e a r n i n g t o T e a c h p r o j e c t , c o n d u c t e d b y S h a r o n F e i m a n - N e m a e r a n d h e r c o l l e a g u e s a t t h e I n s t i t u t e f o r R e s e a r c h o n T e a c h i n g , i s o n e e x c e p t i o n . B e t w e e n 1 9 8 2 a n d 1 9 8 4 , r e s e a r c h e r s ( m y s e l f i n c l u d e d ) f o l l o w e d s e v e n p r o s p e c t i v e e l e m e n t a r y t e a c h e r s t h r o u g h t w o y e a r s o f u n d e r g r a d u a t e t e a c h e r e d u c a t i o n , o b s e r v i n g a n d d o c u m e n t i n g c o u r s e s a n d f i e l d e x p e r i e n c e s a n d i n t e r v i e w i n g t h e t e a c h e r c a n d i d a t e s a b o u t w h a t t h e y w e r e l e a r n i n g . w e f o c u s e d o n . h o w t h e y m a d e s e n s e o f t h e i r c o u r s e s a n d f i e l d e x p e r i e n c e s , a n d t r a c e d c h a n g e s i n t h e i r k n o w l e d g e , s k i l l s , a n d d i s p o s i t i o n s o v e r t h e t w o y e a r s o f t h e i r p r o f e s s i o n a l p r o g r a m . S e v e r a l a n a l y s e s r e v e a l e d h o w p o w e r f u l l y p r o s p e c t i v e 3 2 t e a c h e r s ' p r e c o n c e p t i o n s c o u l d s h a p e w h a t t h e y l e a r n e d f r o m t h e i r t e a c h e r e d u c a t i o n p r o g r a m s . O n e e x a m p l e f r o m t h i s w o r k s h o w s t h e w a y i n w h i c h J a n i c e , o n e o f t h e t e a c h e r c a n d i d a t e s , m a d e s e n s e o f J e a n . A n y o n ' s ( 1 9 8 1 ) “ S o c i a l C l a s s a n d S c h o o l K n o w l e d g e , “ a n a r t i c l e t h a t a n a l y z e s a n d c r i t i q u e s t h e v a r i a t i o n i n c u r r i c u l u m a c r o s s s c h o o l s s e r v i n g d i f f e r e n t s o c i o e c o n o m i c p o p u l a t i o n s . T h e a r t i c l e d e s c r i b e s f o u r u r b a n a n d s u b u r b a n s c h o o l s a n d t h e d i f f e r e n c e s i n t h e s o c i a l s t u d i e s c u r r i c u l a a m o n g t h e s e f o u r s c h o o l s . J a n i c e ' s i n s t r u c t o r w a n t e d t h e t e a c h e r c a n d i d a t e s t o c o n f r o n t a n d q u e s t i o n t h e i n e q u i t i e s i n t h e d i s t r i b u t i o n a n d p a c k a g i n g o f k n o w l e d g e b y s o c i o e c o n o m i c c l a s s . B u t J a n i c e , a y o u n g w o m a n f r o m a r u r a l b a c k g r o u n d w h o s e f i r s t h a n d e x p e r i e n c e w i t h m i g r a n t w o r k e r s h a d h e l p e d t o s h a p e h e r v i e w s o f c h i l d r e n ' s d i f f e r e n t i a l a c a d e m i c n e e d s , u n d e r s t o o d A n y o n i n p r e s c r i p t i v e r a t h e r t h a n c r i t i c a l t e r m s . S h e i n t e r p r e t e d t h e a u t h o r a s s h o w i n g w h a t p u p i l s o f d i f f e r e n t s o c i a l c l a s s e s n e e d e d : I t j u s t m a d e m e t h i n k t h a t , m a y b e , s o m e t h i n g s m a y b e a r e n ' t i m p o r t a n t . C e r t a i n t h i n g s s h o u l d b e s t r e s s e d i n c e r t a i n s c h o o l s , d e p e n d i n g o n w h e r e t h e y ' r e l o c a t e d . ( p . 2 4 7 ) F e i m a n - N e m s e r a n d B u c h m a n n ( 1 9 8 6 ) a r g u e t h a t , i n g e n e r a l , b e c a u s e t h e “ p u l l o f p r i o r b e l i e f s i s [ s o ] s t r o n g “ v e r y l i t t l e n o r m a t i v e l y c o r r e c t l e a r n i n g c a n b e t r u s t e d t o c o m e a b o u t w i t h o u t i n s t r u c t i o n t h a t t a k e s t h e p r e c o n c e p t i o n s o f f u t u r e t e a c h e r s i n t o a c c o u n t . . . I n l e a r n i n g t o t e a c h , n e i t h e r f i r s t h a n d e x p e r i e n c e n o r u n i v e r s i t y i n s t r u c t i o n c a n b e l e f t t o w o r k t h e m s e l v e s o u t b y t h e m s e l v e s . W i t h o u t g u i d a n c e , c o n v e n t i o n a l b e l i e f s a r e l i k e l y t o b e m a i n t a i n e d a n d n e w i n f o r m a t i o n o r p u z z l i n g e x p e r i e n c e s a b s o r b e d i n t o o l d f r a m e w o r k s . ( p . 2 5 5 ) T h e K n o w l e d g e U s e i n L e a r n i n g t o T e a c h s t u d y a l s o s u g g e s t s s o m e o f t h e w a y s i n w h i c h p r o s p e c t i v e t e a c h e r s ' k n o w l e d g e o f s u b j e c t m a t t e r i n t e r a c t s w i t h t h e i r u n d e r s t a n d i n g s a n d a s s u m p t i o n s a b o u t t e a c h i n g a n d 3 3 l e a r n i n g a n d a b o u t p u p i l s t o s h a p e w h a t t h e y l e a r n f r o m t h e i r c o u r s e s a s w e l l a s w h a t t h e y d o a s t h e y b e g i n t e a c h i n g . F o r e x a m p l e , u r g e d t o a v o i d t e x t b o o k s a n d t o c r e a t e t h e i r o w n i n s t r u c t i o n a l m a t e r i a l s i n s t e a d , t h e p r o s p e c t i v e e l e m e n t a r y t e a c h e r s w e w e r e s t u d y i n g d e s i g n e d t h e i r o w n s u b s t a n t i v e l y t h i n o r e v e n i n c o r r e c t c u r r i c u l u m , o f t e n m i s r e p r e s e n t i n g o r e v e n s i d e s t e p p i n g t h e c o n t e n t . T h e y , h o w e v e r , d i d n o t s e e t h a t b u t f e l t p r o u d t h a t t h e y w e r e d o i n g s o m e t h i n g o f t h e i r “ o w n “ ( B a l l & F e i m a n - N e m s e r , i n p r e s s ) . ‘ I n a d d i t i o n t o t h e f a c t t h a t l i t t l e r e s e a r c h h a s b e e n c o n d u c t e d o n w h a t t e a c h e r c a n d i d a t e s l e a r n f r o m t h e i r p r o f e s s i o n a l e d u c a t i o n , m o s t o f i t h a s a l s o b e e n g e n e r i c - - t h a t i s , n o t f o c u s e d o n l e a r n i n g t o t e a c h i n p a r t i c u l a r s u b j e c t a r e a s . A n e x c e p t i o n i s t h e K n o w l e d g e G r o w t h i n a P r o f e s s i o n p r o j e c t , c o n d u c t e d b y L e e S h u l m a n a n d h i s c o l l e a g u e s a t S t a n f o r d U n i v e r s i t y b e t w e e n 1 9 8 4 a n d 1 9 8 7 . R e s e a r c h e r s i n t h i s p r o j e c t s t u d i e d h o w b e g i n n i n g s e c o n d a r y s c h o o l t e a c h e r s b e g a n l e a r n i n g t o t r a n s f o r m t h e i r o w n u n d e r s t a n d i n g s o f a c a d e m i c s u b j e c t s i n o r d e r t o t e a c h t h e m . I n t e r e s t i n g s u b j e c t m a t t e r d i f f e r e n c e s e m e r g e f r o m t h i s w o r k , s u g g e s t i n g t h e n e e d t o e x a m i n e t h e p r o c e s s o f l e a r n i n g t o t e a c h i n s p e c i f i c s u b j e c t a r e a s . F o r e x a m p l e , s e c o n d a r y s o c i a l s t u d i e s t e a c h e r s c o m e f r o m m a j o r i n g i n a r a n g e o f s o c i a l s c i e n c e d i s c i p l i n e s , s u c h a s a n t h r o p o l o g y , s o c i o l o g y , h i s t o r y , a n d p o l i t i c a l s c i e n c e , a n d t h e n a r e a s s i g n e d t o t e a c h p a r t i c u l a r s o c i a l s t u d i e s c o u r s e s , o f t e n o u t s i d e o f t h e i r a r e a o f s p e c i a l i z a t i o n . W i l s o n a n d W i n e b u r g ( i n p r e s s ) s h o w h o w b e g i n n i n g t e a c h e r s ' “ d i s c i p l i n a r y l e n s e s “ s h a p e d t h e i r t e a c h i n g o f s o c i a l s t u d i e s . F o r e x a m p l e , a f o r m e r p o l i t i c a l s c i e n c e m a j o r , F r e d v i e w e d h i s t o r y a s d r y k n o w l e d g e o f f a c t s a n d d a t e s , w h i l e J a n e , a h i s t o r y 3 4 m a j o r , s a w f a c t s a s “ p a r t o f h i s t o r y w o v e n t o g e t h e r b y t h e m e s a n d q u e s t i o n s , a n d . . . e m b e d d e d i n a c o n t e x t t h a t l e n d s m e a n i n g a n d p e r s p e c t i v e “ ( p . 5 ) . W i l s o n a n d W i n e b u r g w r i t e : W h a t i s i n t e r e s t i n g i n o u r f i n d i n g s i s t h e w a y i n w h i c h o u r t e a c h e r s ' u n d e r g r a d u a t e t r a i n i n g i n f l u e n c e d t h e i r t e a c h i n g . T h e c u r r i c u l u m t h e y w e r e g i v e n a n d t h e c o u r s e s t h e y s u b s e q u e n t l y t a u g h t w e r e s h a p e d b y w h a t t h e y d i d a n d d i d n ' t k n o w . ( p . 1 4 ) T h e s t u d y ' s f i n d i n g s a b o u t b e g i n n i n g m a t h e m a t i c s t e a c h e r s w e r e q u i t e d i f f e r e n t . C o n c e p t u a l u n d e r s t a n d i n g o f t h e c o n t e n t w a s a b i g g e r i s s u e t h a n i t w a s w i t h E n g l i s h o r s o c i a l s t u d i e s m a j o r s . W h i l e u n d e r g r a d u a t e m a t h e m a t i c s m a j o r s s t u d y s i m i l a r m a t h e m a t i c s t o p i c s , t h e y d o n o t n e c e s s a r i l y s e e m t o d e v e l o p t h e s a m e d e e p u n d e r s t a n d i n g s o f e i t h e r t h e s u b s t a n c e o r t h e n a t u r e o f t h e i r s u b j e c t a s d o m a j o r s i n o t h e r d i s c i p l i n e s . S o m e o f t h e b e g i n n i n g m a t h t e a c h e r s i n t h e s t u d y s t r u g g l e d t o t e a c h h i g h s c h o o l c o n t e n t b e c a u s e t h e i r o w n u n d e r s t a n d i n g w a s w e a k . A t t i m e s , t h e y m a d e m i s t a k e s o r m i s r e p r e s e n t e d t h e c o n t e n t , a n d s o m e w e r e u n a b l e t o p r o v i d e “ w h y “ e x p l a n a t i o n s . S t e i n b e r g , R a y m o r e , & M a r k s ( 1 9 8 5 ) s u g g e s t t h a t t h e i r r e s u l t s “ c o n t r a s t w i t h t h e p o p u l a r b e l i e f t h a t a n y p e r s o n w h o g o e s t h r o u g h c a l c u l u s m a s t e r s t h e h i g h s c h o o l c o n t e n t v e r y w e l l “ ( p . 2 2 ) . T h e y a r g u e t h a t d i f f i c u l t i e s i n t e a c h i n g h i g h s c h o o l m a t h e m a t i c s m a y w e l l s t e m f r o m p r o b l e m s i n t e a c h e r s ' o w n u n d e r s t a n d i n g o f t h e s u b j e c t m a t t e r . I f r e s e a r c h o n w h a t t e a c h e r c a n d i d a t e s l e a r n f r o m t e a c h e r e d u c a t i o n i s s c a n t , i n v e s t i g a t i o n s o f w h a t p r o s p e c t i v e t e a c h e r s b r i n g t o t e a c h e r e d u c a t i o n i s n o n - e x i s t e n t . V i r t u a l l y n o r e s e a r c h h a s b e e n d o n e t o i n v e s t i g a t e w h a t p r o s p e c t i v e e l e m e n t a r y t e a c h e r s k n o w a n d b e l i e v e r e l a t i v e t o t h e t e a c h i n g o f m a t h e m a t i c s b e f o r e t h e y e n t e r f o r m a l p r o g r a m s o f t e a c h e r e d u c a t i o n . T h i s s t u d y r e p r e s e n t s a f o r a y i n t o t h a t d o m a i n . 3 5 P r o s p e c t i v e m a t h e m a t i c s t e a c h e r s b r i n g l o t s o f i d e a s w i t h t h e m t o t e a c h e r e d u c a t i o n . T h e y m a y b e l i e v e i n a s s i g n i n g p l e n t y o f h o m e w o r k o r t h e y m a y h a v e a r e p e r t o i r e o f b u l l e t i n b o a r d d i s p l a y s . R e a d i n g m a y b e a p a s s i o n a n d p e n m a n s h i p a w e a k n e s s . O b v i o u s l y n o t a l l o f w h a t t e a c h e r c a n d i d a t e s b r i n g w i t h t h e m i s e q u a l l y r e l a t e d t o t h e k n o w l e d g e a n d b e l i e f s m o s t c r i t i c a l t o t h i s a p p r o a c h t o l e a r n i n g t o t e a c h m a t h e m a t i c s f r o m t h e p e r s p e c t i v e o f m a t h e m a t i c a l p e d a g o g y . A f r a m e w o r k f o r l o o k i n g h a s h e l p e d t o f o c u s m y i n q u i r y , e x p l o r i n g t h e k n o w l e d g e a n d b e l i e f s m o s t c r i t i c a l t o t h i s a p p r o a c h t o t e a c h i n g m a t h e m a t i c s . T h e a p p r o p r i a t e f r a m e w o r k f o r i n v e s t i g a t i n g w h a t t e a c h e r c a n d i d a t e s k n o w a n d b e l i e v e t h u s d e r i v e s f r o m t h e l o g i c a l r e q u i r e m e n t s o f t h i s a p p r o a c h t o t e a c h i n g . W h a t d o e s i t t a k e , a n d w h e r e a r e e n t e r i n g t e a c h e r c a n d i d a t e s i n r e l a t i o n t o t h a t s t a n d a r d ? M y s p e c u l a t i v e f r a m e w o r k , d e s c r i b e d b e l o w a n d r e p r e s e n t e d g r a p h i c a l l y i n F i g u r e 1 . 1 , h a s f o u r c o m p o n e n t s : s u b j e c t . m a t t e r k n o w l e d g e , k n o w l e d g e a b o u t t e a c h i n g a n d l e a r n i n g , k n o w l e d g e a b o u t s t u d e n t s a s l e a r n e r s a n d k n o w l e d g e a b o u t c o n t e x t . 1 4 fi g h j e e e _ m e § e e r _ k n e g l e g g e . B e c a u s e t h e g o a l o f m a t h e m a t i c a l p e d a g o g y i s t o h e l p p u p i l s b e c o m e a c t i v e p a r t i c i p a n t s i n m a t h e m a t i c s a s a s y s t e m o f h u m a n t h o u g h t , t e a c h e r s m u s t t h e m s e l v e s b e g : e e n d e d _ 1 n 1 “ D i f f e r e n t v i e w s o f t e a c h i n g w i l l i n c l u d e t h e s a m e f o u r d o m a i n s , b u t l e a d l o g i c a l l y t o d i f f e r e n t s p e c i f i c s w i t h i n t h o s e d o m a i n s a b o u t w h a t t e a c h e r s m a y n e e d t o k n o w , t o b e a b l e t o d o , a n d t o c a r e a b o u t . F o r e x a m p l e , t h e t e a c h e r i n t h e o r d i n a r y m a t h c l a s s m u s t k n o w a v a r i e t y o f m n e m o n i c d e v i c e s , b e a b l e t o s t a t e t h e s t e p s o f m a t h e m a t i c a l p r o c e d u r e s p a r s i m o n i o u s l y a n d c l e a r l y , a n d s h o u l d . h a v e f a c i l e a n d r a p i d c a l c u l a t i o n s k i l l s . A l t h o u g h i t s f o c u s i s o n l e a r n i n g m a t h e m a t i c a l p e d a g o g y , t h e r e s u l t s o f t h i s s t u d y s h o u l d a l s o b e o f i n t e r e s t t o t h o s e w h o s e v i e w o f m a t h e m a t i c s t e a c h i n g i s c l o s e r t o t h e o r d i n a r y o r t h e c o n c e p t u a l m o d e s . 3 6 1 W W W 1 ’ k n o w l e d g e a b o u t m a t h m a t i c s a s a d i s c i p l i n e s u b s t a n t i v e k n o w l e d g e o f a s t h m a t i c s c o n c e p t s a n d p r o c e d u r e s a p p r e c i a t i o n o f a n d p r o p e n s i t y t o w a r d m a t h e m a t i c s [ T E A C H I N G A N D L E A R N I N G H A W A T I C S ] g o a l : u s i n g , e n g a g i n g i n , a n d a p p r e c i a t i n g a s t h m a t i c s l e a r n i n g a s e v o l v i n g , c o l l e c t i v e s e n s e - m a k i n g t e a c h i n g a s r e p r e s m t i n g t h e d i s c i p l i n e i n w a y s t h a t e n g a g e a n d h e l p s t u d e n t s l e a r n a n d a p p r e c i a t e m a t h e m a t i c s t e a c h e r a s g u i d e S T U D E N T S A S L E A R N E R S O I " H A T H D J A ' I l f ] s t u d e n t s a s c a p a b l e b l o w e r s a n d d o o r s o f a s t h m a t i c s w h a t s t u d e n t s o f p a r t i c u l a r a g e s f i n d i n t e r e s t i n g o r d i f f i c u l t w h a t s t u d e n t s o f p a r t i c u l a r a g e s c a n d o , c a n u n d e r s t a n d L ” m J d i s p o s i t i o n t o a t t e n d t o c u l t u r a l a n d s o c i a l f a c t o r s c l a s s r o o m a s a l e a r n i n g c o m m i t y F i g u r e l . 1 M a t h e m a t i c a l p e d a g o g y : A t h e o r e t i c a l f r a m e w o r k f o r E s s e n t i a l t e a c h e r k n o w l e d g e , b e l i e f s , a n d d i s p o s i t i o n s 3 7 e h e _ e e h j e e £ ‘ m e e e e z . W h a t d o e s “ g r o u n d e d “ m e a n ? A s t h e t e r m s u g g e s t s , f o u n d a t i o n s a r e c e n t r a l t o t h i s c o n c e p t i o n o f t h e k n o w l e d g e r e q u i r e m e n t s o f t e a c h i n g . I n o t h e r w o r d s , t e a c h e r s n e e d t o u n d e r s t a n d M m a t h m s t i c s - - w h e r e t h e k n o w l e d g e c o m e s f r o m a n d h o w i t i s j u s t i f i e d , w h a t i t m e a n s t o fi e m a t h e m a t i c s , w h a t t h e c o n n e c t i o n s a r e b e t w e e n m a t h e m a t i c s a n d o t h e r d o m a i n s . U n d e r s t a n d i n g a b o u t m a t h e m a t i c s p l a c e s r u l e s a n d p r o c e d u r e s i n a n a p p r o p r i a t e r e l a t i o n s h i p t o t h e i d e a s t h e y w e r e i n v e n t e d t o m o d e l o r s i m p l i f y , a n d s h a p e s w h a t i t m e a n s t o “ e x p l a i n “ o r t o j u s t i f y m a t h e m a t i c a l k n o w l e d g e . T e a c h e r s a l s o n e e d s u b s t a n t i v e k n o w l e d g e o f m a t h e m a t i c s u o f p a r t i c u l a r c o n c e p t s a n d p r o c e d u r e s . T h i s k n o w l e d g e , i n o r d e r t o b e h e l p f u l i n t e a c h i n g , m u s t b e e x p l i c i t a n d c o n c e p t u a l . E v e n t o g u i d e s t u d e n t s i n c o n s t r u c t i n g t h e i r o w n u n d e r s t a n d i n g s , t e a c h e r s m u s t u n d e r s t a n d w h e r e s t u d e n t s a r e h e a d e d a n d w h i c h p a t h s m a y b e m o r e o r l e s s f r u i t f u l t o p u r s u e . T h e y m u s t u n d e r s t a n d t h e p r o c e d u r e s a n d c o n c e p t s i n w a y s t h a t e n a b l e t h e m t o s e l e c t a n d c o n s t r u c t f r u i t f u l t a s k s a n d a c t i v i t i e s f o r g r o u p s o f p u p i l s t h a t w i l l h e l p t h e m b o t h t o u n d e r s t a n d a n d t o d o m a t h e m a t i c s . F u r t h e r m o r e , t e a c h e r s n e e d t h e c a p a c i t y t o b e f l e x i b l e i n i n t e r p r e t i n g a n d a p p r a i s i n g p u p i l s ' i d e a s ( B u c h m a n n , 1 9 8 4 ) , a n d t o h e l p t h e m t o e x t e n d a n d f o r m a l i z e i n t u i t i o n s . 1 5 W h i l e e v e r y d a y e x p e r i e n c e g e n e r a t e s i n f o r m a l m a t h e m a t i c a l t h e o r i e s w h i c h p u p i l s c a n b e h e l p e d t o a r t i c u l a t e m a t h e m a t i c a l l y , t h e r e a r e a l s o t i m e s w h e n 1 5 I n t e a c h i n g s t u d e n t s h o w m a t h e m a t i c a l i d e a s a r e r e c o r d e d , f o r e x a m p l e , t e a c h e r s h e l p p u p i l s l e a r n m a t h e m a t i c a l l a n g u a g e t o e x p r e s s i d e a s t h e y a l r e a d y h a v e . M a n y y o u n g c h i l d r e n u n d e r s t a n d t h e c o n c e p t o f m u l t i p l i c a t i o n a s r e p e a t e d a d d i t i o n o f s e t s , f o r i n s t a n c e , a n d y e t d o n o t k n o w h o w t o r e p r e s e n t m u l t i p l i c a t i o n s y m b o l i c a l l y ; o t h e r s m a y i n t u i t i v e l y w o r k w i t h p r o p o r t i o n a l r e l a t i o n s h i p s b u t n o t b e a b l e t o e x p r e s s t h e i r i d e a s i n m a t h e m a t i c a l t e r m s o r s y m b o l s . 3 8 i n t u i t i o n a n d c o m m o n s e n s e m i s l e a d o r c o n f l i c t w i t h d i s c i p l i n a r y u n d e r s t a n d i n g . T e a c h e r s n e e d t o b e s e n s i t i v e t o t h e d i f f e r e n c e a n d t o b e a b l e t o c r e a t e s i t u a t i o n s w h i c h c h a l l e n g e c o m m o n s e n s e b e l i e f s w h e n a p p r o p r i a t e ( D a v i s , 1 9 6 7 ) . 1 6 x n e g 1 e e g e _ e h e e e _ e e e e h 1 n g _ e n d _ 1 e e z n 1 n g . F o u r e s s e n t i a l i d e a s a b o u t t e a c h i n g a n d l e a r n i n g u n d e r g i r d m a t h e m a t i c a l p e d a g o g y . F i r s t i s i t s c o r e g o a 1 - - t o h e l p s t u d e n t s d e v e l o p t h e i r c a p a c i t i e s t o u s e , e n g a g e i n , a n d a p p r e c i a t e m a t h e m a t i c s w i t h c o m p e t e n c e a n d c o n f i d e n c e . 1 7 T h i s g o a l . e l a b o r a t e d a b o v e , i s f o u n d a t i o n a l t o m a t h e m a t i c a l p e d a g o g y ; w h a t d i s t i n g u i s h e s i t f r o m o t h e r a p p r o a c h e s t o m a t h e m a t i c s t e a c h i n g r e s t s i n w h a t i s m e a n t b y e a c h o f t h e t e r m s : g e e , e n g e g e _ 1 n , e e p x e e i e e e , l e g h e n e e i e e , P r o s p e c t i v e t e a c h e r s n e e d t o k n o w a b o u t a n d u n d e r s t a n d i t b u t a l s o t o b e c o m m i t t e d t o i t a s a r e a s o n a b l e a n d e l e g a n t s y s t e m o f h u m a n t h i n k i n g . S e c o n d , m a t h e m a t i c a l p e d a g o g y i s p r e d i c a t e d o n a c o n c e p t i o n o f l e a r n i n g a s s e n s e - m a k i n g . I n o t h e r w o r d s , i t a s s u m e s t h a t l e a r n i n g i s t h e r e s u l t o f a n i n t e r a c t i o n . b e t w e e n w h a t t h e l e a r n e r k n o w s a n d w h a t s h e o r h e e n c o u n t e r s . L e a r n i n g d o e s n o t a r i s e f r o m “ f i l l i n g u p “ t h e l e a r n e r w i t h i n f o r m a t i o n n o r s i m p l y o r g a n i c a l l y t h r o u g h m a t u r a t i o n o r d e v e l o p m e n t ( S m i t h , 1 9 7 5 ) . R a t h e r , s t u d e n t s l e a r n a s t h e y a r e c o n f r o n t e d a n d c h a l l e n g e d w i t h i d e a s a n d s i t u a t i o n s t h a t a r e n o v e l o r n o n r o u t i n e i n s o m e w a y . I n u s i n g t h e i r c u r r e n t k n o w l e d g e a n d s k i l l s 1 6 F o r i n s t a n c e , m a n y p e o p l e a s s u m e t h e r e i s a d i r e c t r e l a t i o n s h i p b e t w e e n p e r i m e t e r a n d a r e a . I t w o u l d s e e m t h a t a s y o u i n c r e a s e t h e l e n g t h o f f e n c i n g , t h e a r e a o f a d o g p e n w o u l d a u t o m a t i c a l l y i n c r e a s e . W h i l e t h i s “ f e e l s “ r i g h t , i t i s n o t . 1 7 T h e e m p h a s i s o n e e p z e e i e e i n g m a t h e m a t i c s i s o n e e s p e c i a l l y a d v o c a t e d b y P e r r y L a n i e r . 3 9 t o w r e s t l e w i t h t h e s e p r o b l e m s , s t u d e n t s r e i n f o r c e , e x t e n d , a n d r e v i s e w h a t t h e y k n o w ( A n d e r s o n , 1 9 8 4 ) . 1 8 T h e t e a c h e r ' s r o l e a s g u i d e f o l l o w s l o g i c a l l y f r o m t h i s v i e w o f l e a r n i n g f o r t h e t e a c h e r i s a c e n t r a l s o u r c e o f e x p e r i e n c e s f o r s t u d e n t s . T e a c h e r s d e f i n e m a t h e m a t i c a l b e h a v i o r t h r o u g h t h e q u e s t i o n s t h e y p o s e , t h e t a s k s t h e y s e t , a n d t h e d i r e c t i o n s i n w h i c h t h e y s t e e r c l a s s r o o m d i s c o u r s e ; i n o t h e r w o r d s , t h r o u g h w h a t e v e r t h e y d o . T h i s r o l e i s s i g n i f i c a n t l y d i f f e r e n t f r o m a m o r e t r a d i t i o n a l r o l e o f t e a c h e r a s d i s p e n s e r o f k n o w l e d g e . T h i s f u n c t i o n o f g u i d i n g i m p l i e s t h e t h i r d k e y d i m e n s i o n o f t e a c h i n g a n d l e a r n i n g : t h a t t e a c h i n g e n t a i l s r e p r e s e n t i n g t h e d i s c i p l i n e i n w a y s t h a t e n g a g e a n d h e l p p u p i l s l e a r n a n d e n j o y a s t h m a t i c s . A s a c e n t r a l s o u r c e o f s t u d e n t s ' m a t h e m a t i c a l e x p e r i e n c e , t h e t e a c h e r i s i n e v i t a b l y r e s p o n s i b l e f o r p o r t r a y i n g a n d c o m m u n i c a t i n g w h a t i t m e a n s t o d o m a t h e m a t i c s a s w e l l a s w h a t p a r t i c u l a r i d e a s a r e a b o u t o r m e a n . I f t e a c h e r s a r e t o h e l p s t u d e n t s l e a r n m a t h e m a t i c s , t h e w a y s i n w h i c h t h e y r e p r e s e n t t h e d i s c i p l i n e m u s t c o n n e c t w i t h t h o s e s t u d e n t s a n d f a c i l i t a t e t h e i r l e a r n i n g . A n i n e s c a p a b l e a s p e c t o f t e a c h i n g , r e p r e s e n t a t i o n i s a c o n s c i o u s a n d f o c a l a c t i v i t y f o r t e a c h e r s i n m a t h e m a t i c a l p e d a g o g y . . M a t h e m a t i c a l p e d a g o g y e n t a i l s i n v o l v i n g s t u d e n t s i n a u t h e n t i c m a t h e m a t i c a l a c t i v i t y ; a s s u c h , t e a c h e r s m u s t v i e w a l l s t u d e n t s a s c a p a b l e o f u n d e r s t a n d i n g a n d d o i n g n m a t h a m a t i c s . T h i s p e r s p e c t i v e d i f f e r s f r o m 1 8 O f c o u r s e s o m e l e a r n i n g d o e s n o t e n t a i l t h i s k i n d o f r e o r g a n i z a t i o n b u t r e q u i r e s i n s t e a d r e p e a t e d p r a c t i c e a n d m e m o r i z a t i o n - - l e a r n i n g b a s i c m u l t i p l i c a t i o n “ f a c t s , “ f o r e x a m p l e . S u c h k n o w l e d g e c a n n e v e r t h e l e s s b e a c q u i r e d i n c o n t e x t , i n t h e s e r v i c e o f d o i n g m a t h e m a t i c s , t h u s c o n f e r r i n g m e a n i n g u p o n e v e n r o t e l e a r n i n g . 4 0 t h e d o m i n a n t c u l t u r a l v i e w w h i c h d i v i d e s t h e p o p u l a t i o n i n t o t h e “ h a v e s “ a n d t h e “ h a v e - n o t s “ o r “ m a t h t y p e s “ a n d “ E n g l i s h t y p e s , “ a s s u m i n g a “ s o f t “ v e r s u s “ h a r d “ d i s c i p l i n a r y a n d m e n t a l s t r u c t u r e . R e p r e s e n t i n g m a t h e m a t i c s i n w a y s t h a t a r e b o t h a p p r o p r i a t e f o r a n d h e l p f u l t o s t u d e n t s m e a n s c o n s i d e r i n g w h a t s t u d e n t s o f ' p a r t i c u l a r e g o s f i n d i n t e r e s t i n g o r d i f f i c u l t a s w e l l a s w h a t s t u d e n t s o f p a r t i c u l a r n g e s c a n d o a n d u n d e r s t a n d . S o m e f o r m s o r m o d e s o f r e p r e s e n t a t i o n m a y b e l e s s u s e f u l i n . h e l p i n g y o u n g e r s t u d e n t s w h i l e o l d e r s t u d e n t s m a y m a k e b e t t e r c o n n e c t i o n s w i t h o t h e r s . F o r i n s t a n c e , m e a s u r i n g a n d c o m p a r i n g a r e a s o f f l o o r i n t h e c l a s s r o o m m a y b e a n e n g a g i n g a n d h e l p f u l a c t i v i t y f o r f i f t h g r a d e r s l e a r n i n g a b o u t a r e a a n d p e r i m e t e r ; t h e r e s u l t i n g n u m b e r s a n d r e q u i r e d c a l c u l a t i o n s w o u l d b e i m p o s s i b l e f o r m o s t f i r s t g r a d e r s w h o w o u l d d o b e t t e r w i t h s q u a r e t i l e s a n d d r a w i n g s o f d i f f e r e n t a r e a s . F u r t h e r m o r e , t h e t e a c h e r ' s j u d g m e n t o f w h a t b e a r s e m p h a s i s o r e x t e n s i o n s h o u l d d e p e n d , i n p a r t ; o n t h e s t u d e n t s . T e a c h e r s , t h e r e f o r e , m u s t n o t o n l y h a v e g e n e r a l k n o w l e d g e a b o u t s t u d e n t s b u t m u s t a l s o b e d i s p o s e d t o f i n d o u t a b o u t t h e i r p a r t i c u l a r s t u d e n t s . F o r e x a m p l e , t e a c h e r s n e e d t o k n o w t h a t w h i l e m o s t s i x - y e a r - o l d s s t r u g g l e w i t h u z i e i n g s i m p l e i n e q u a l i t i e s c o r r e c t l y , t h e y p r o b a b l y y n e e x e e e n d d i v i s i o n . E l e v e n t h g r a d e r s a r e l i k e l y t o f i n d . b o t h t h e o r y a n d a p p l i c a t i o n s o f s t a t i s t i c s a n d p r o b a b i l i t y i n t e r e s t i n g . K n e g l e e g e _ e £ _ e e n e e x § . I n t h e f a c e o f t h e d i v e r s i t y o f A m e r i c a n s o c i e t y , t e a c h e r s c a n n o t p r e s u m e t h a t t h e c u l t u r a l a n d s o c i a l c o n t e x t i n w h i c h t h e y w o r k i s t h e s a m e o r e v e n s i m i l a r t o t h a t w i t h w h i c h t h e y a r e f a m i l i a r . I n o r d e r t o b e a b l e t o e n g a g e s t u d e n t s a p p r o p r i a t e l y a n d h e l p f u l l y i n m a t h e m a t i c s t o g e n e r a t e o r s e l e c t r e p r e s e n t a t i o n s 4 1 w h i c h h e l p p a r t i c u l a r s t u d e n t s l e a r n , t e a c h e r s n e e d t o u n d e r s t a n d t h e c o n t e x t o f t h e i r s t u d e n t s ' l i v e s . H o w e v e r , g e n e r a l k n o w l e d g e i s o n l y m i n i m a l l y h e l p f u l i n t h i s d o m a i n b e c a u s e t e a c h e r s c a n n o t k n o w i n a d v a n c e a b o u t a l l t h e k i n d s o f s t u d e n t s t h e y w i l l t e a c h , t h e k i n d s o f c u l t u r a l a n d s o c i a l c o n t e x t s i n w h i c h t h e y m a y t e a c h . T e a c h e r s m u s t b e d i s p o s e d t o a t t e n d t o s o c i a l a n d c u l t u r a l f a c t o r s ( M c D i a r m i d , K l e i n f e l d , & P a r r e t t , l 9 8 7 ) - - t h a t i s , b o t h t o a c t i v e l y s e e k i n s i g h t a n d i n f o r m a t i o n i n t h e i r p a r t i c u l a r s e t t i n g s a s w e l l a s t o c o n s i d e r h o w t h a t k n o w l e d g e , o n c e a c q u i r e d , c a n o r s h o u l d b e a r o n t h e i r m a t h e m a t i c s t e a c h i n g . A s o n e g o a l o f m a t h e m a t i c a l p e d a g o g y i s t o u s e t h e c l a s s r o o m t o r e p r e s e n t t h e g r o w t h o f k n o w l e d g e i n t h e m a t h e m a t i c a l c o m m u n i t y , t e a c h e r s n e e d t o v i e w t h e c l a s s r o o m a s a l e a r n i n g c a l a m i t y , n o t a s a c o l l e c t i o n o f i n d i v i d u a l s , e a c h l e a r n i n g a t h i s o r h e r o w n r a t e ( S c h w a b , 1 9 7 6 ) . T h e p u r p o s e o f t h i s s t u d y i s t o p r o v i d e a w a y o f e x a m i n i n g a n d a p p r a i s i n g w h a t p r o s p e c t i v e m a t h e m a t i c s t e a c h e r s b r i n g w i t h t h e m t o t h e i r p r o f e s s i o n a l p r e p a r a t i o n a s w e l l a s t o c o n t r i b u t e t o k n o w l e d g e a b o u t w h a t t h e y d o b r i n g . T h e w o r k c a n h e l p t o c l a r i f y c o n c e p t s a n d t o c h a l l e n g e a s s u m p t i o n s e m b e d d e d i n d e b a t e s a b o u t t e a c h i n g , t e a c h e r e d u c a t i o n , a n d t e a c h e r l e a r n i n g . H o w d o e s w h a t p r o s p e c t i v e t e a c h e r s b e l i e v e a b o u t m a t h e m a t i c s a s a s u b j e c t , a b o u t h o w t o t e a c h i t , a n d a b o u t h o w s t u d e n t s l e a r n i t f i t w i t h m a t h e m a t i c a l p e d a g o g y ? W h a t d o p r o s p e c t i v e t e a c h e r s b e l i e v e a b o u t t h e m s e l v e s i n r e l a t i o n t o m a t h e m a t i c s a n d m a t h e m a t i c s t e a c h i n g ? T h e p o i n t o f a s k i n g t h e q u e s t i o n s t h i s w a y i s n o t s i m p l y t o h i g h l i g h t w h a t p r o s p e c t i v e 4 2 t e a c h e r s l e e k , b u t h o p e f u l l y a l s o t o i d e n t i f y t h i n g s t h e y d e b r i n g t h a t m a y c o n t r i b u t e t o o r i n t e r f e r e w i t h l e a r n i n g t o t e a c h m a t h e m a t i c s . T h i s s t u d y c a n n o t , h o w e v e r , a n s w e r q u e s t i o n s a b o u t w h a t t e a c h e r e d u c a t o r s s h o u l d fi e t o p r e p a r e t e a c h e r s w h o c a n t e a c h m a t h e m a t i c s f r o m t h e p e r s p e c t i v e o f m a t h e m a t i c a l p e d a g o g y . W h i l e c r u c i a l t o d e b a t e s a b o u t e f f e c t i v e a n d a p p r o p r i a t e t e a c h e r e d u c a t i o n , k n o w l e d g e a b o u t p r o s p e c t i v e t e a c h e r s ' i d e a s a n d u n d e r s t a n d i n g s c a n n o t l e a d d i r e c t l y t o o b v i o u s i m p l i c a t i o n s f o r a c t i o n i n t e a c h e r e d u c a t i o n a n d c u r r i c u l u m . O n t h e o n e h a n d , v e r y l i t t l e i s k n o w n a b o u t h o w b e l i e f s a n d a t t i t u d e s a r e a c q u i r e d , s h a p e d , o r c h a n g e d . M o r e o v e r , w e s h o u l d n o t a s s u m e t h a t a l l p r e c o n c e p t i o n s t h a t s e e m i n a p p r o p r i a t e w i l l i n t e r f e r e w i t h w h a t t e a c h e r e d u c a t o r s t r y t o t e a c h . S o m e i d e a s t h a t p r o s p e c t i v e t e a c h e r s b r i n g w i t h t h e m m a y s i m p l y b e e x c h a n g e d f o r o n e s t h a t a r e p e d a g o g i c a l l y m o r e a p p r o p r i a t e ( r e q u i r i n g “ i n f o r m a t i o n a l “ r a t h e r t h a n “ c o n c e p t u a l “ c h a n g e ) . S o m e m a y b e t h i n , o r p a r t i a l , a n d i n n e e d o f d e v e l o p m e n t . O n t h e o t h e r h a n d , w e a l s o d o n o t k n o w e n o u g h a b o u t t h e c o n t i n u u m o f t e a c h e r l e a r n i n g - - a b o u t w h e n , w h e r e , a n d h o w t e a c h e r s m a y b e s t l e a r n c e r t a i n t h i n g s . I f p r o s p e c t i v e t e a c h e r s d o n o t k n o w m u c h a b o u t s t u d e n t s , t h i s i s h a r d l y s u r p r i s i n g o r n e c e s s a r i l y t r o u b l e s o m e . S t i l l , i s t h i s s o m e t h i n g t h a t f o r m a l t e a c h e r e d u c a t i o n c a n o r s h o u l d a d d r e s s ? O n a n o t h e r c o u n t , w h i l e i t m a y b e a l l t o o c l e a r t h a t p r o s p e c t i v e t e a c h e r s ' u n d e r s t a n d i n g s o f s u b j e c t m a t t e r t e n d t o b e c r i t i c a l l y i n a d e q u a t e f o r t e a c h i n g m a t h e m a t i c s , l e s s c l e a r i s w h a t c o u l d h e l p t h e m d e v e l o p d e e p e r a n d m o r e a p p r o p r i a t e s u b j e c t m a t t e r k n o w l e d g e . D o t e a c h e r s r e a l l y l e a r n t h e i r s u b j e c t s b e s t b y t e a c h i n g 4 3 t h e m o n c e t h e y a r e i n t h e c l a s s r o o m ? W h a t a b o u t t h e e f f e c t s o f i n c r e a s i n g l i b e r a l a r t s r e q u i r e m e n t s f o r p r o s p e c t i v e t e a c h e r s ? A l t h o u g h t h i s s t u d y c a n n o t a n s w e r s u c h q u e s t i o n s , i t s f i n d i n g s a n d a n a l y s e s r a i s e q u e s t i o n s a n d p r o v i d e k n o w l e d g e t h a t c a n c o n t r i b u t e t o t h e d i s c u s s i o n . I w i l l r e t u r n t o s o m e k e y i s s u e s a b o u t m a t h e m a t i c s t e a c h e r p r e p a r a t i o n a n d r e s e a r c h o n m a t h e m a t i c s t e a c h i n g a n d t e a c h e r l e a r n i n g i n t h e p a n e l d i s c u s s i o n i n C h a p t e r 7 . C H A P T E R 2 M E T H O D S O F D A T A C O L L E C T T O I ’ A M D A M A L X S I S 9 1 m i n T h e e m p i r i c a l c o m p o n e n t o f t h i s s t u d y d r e w o n i n t e r v i e w s w i t h p r o s p e c t i v e e l e m e n t a r y a n d s e c o n d a r y t e a c h e r s . I i n t e r v i e w e d 1 9 t e a c h e r e d u c a t i o n s t u d e n t s - ~ s o p h o m o r e s a n d j u n i o r s - - a t t h e p o i n t a t A w h i c h t h e y w e r e a b o u t t o e n t e r t h e i r f i r s t e d u c a t i o n c o u r s e . M y g o a l M x w a s t o l e a r n a b o u t t h e k n o w l e d g e a n d b e l i e f s o f t h e s e 1 9 i n d i v i d u a l s a s w e l l a s t o d e v e l o p a t h e o r e t i c a l f r a m e w o r k f o r a s s e s s i n g w h a t _ - — - - H . * _ . _ W _ - g n u — “ m m - W ‘ “ 5 . - . ” . . . ‘ h - a ‘ “ _ . _ ~ t e a c h e r c a n d i d a t e s b r i n g t o t h e i r f o r m a l p r e p a r a t i o n t o t e a c h “ a . " m ‘ m fi - m a t h e m a t i c s . B a s e d o n t h e v i e w o f t e a c h i n g - ~ m a t h e m a t i c a l p e d a g o g y - - “ . 7 “ . . . ” W a d v a n c e d i n C h a p t e r 1 , I a r t i c u l a t e d a n i n i t i a l f r a m e w o r k f o r t h e k n o w l e d g e a n d b e l i e f s n e e d e d i n o r d e r t o t e a c h m a t h e m a t i c s . U s i n g a p r o c e s s o f w h a t B o g d a n a n d B i k l e n ( 1 9 8 2 ) c a l l “ m o d i f i e d a n a l y t i c i n d u c t i o n , “ m y i n t e n t w a s t o u s e t h e d a t a I w a s c o l l e c t i n g t o r e v i s e a n d r e f o r m u l a t e t h i s p r e l i m i n a r y f r a m e w o r k . T o w a r d t h a t e n d , I s e t o u t t o g a t h e r i n f o r m a t i o n a b o u t t h e t e a c h e r c a n d i d a t e s t h a t w o u l d h e l p m e l e a r n w h a t t h e y k n e w a n d b e l i e v e d , a s w e l l a s h o w t h e y t h o u g h t a n d f e l t , a b o u t m a t h e m a t i c s , a b o u t t h e t e a c h i n g a n d l e a r n i n g o f m a t h e m a t i c s , a n d a b o u t s t u d e n t s a s l e a r n e r s o f m a t h . I d e v e l o p e d i n t e r v i e w q u e s t i o n s a n d t a s k s t o e x a m i n e w h a t t h e t e a c h e r c a n d i d a t e s k n e w a n d b e l i e v e d . T h e s e d a t a w e r e t o p r o v i d e g r i s t f o r m y a n a l y t i c m i l l . O n o n e h a n d , I w o u l d c o m p a r e t h e s e t e a c h e r c a n d i d a t e s ' u n d e r s t a n d i n g s w i t h t h e f r a m e w o r k I h a d d e r i v e d f r o m t h e v i e w o f t e a c h i n g a n d w o u l d d e s c r i b e a n d a p p r a i s e w h a t t h e s e 1 9 t e a c h e r c a n d i d a t e s w e r e b r i n g i n g t o t h e i r f o r m a l p r e p a r a t i o n t o t e a c h m a t h e m a t i c s . O n t h e o t h e r h a n d , I w o u l d a l s o c o n t i n u a l l y a s s e s s 4 4 4 5 t h e a d e q u a c y o f t h a t f r a m e w o r k f o r c a p t u r i n g w h a t t h e t e a c h e r c a n d i d a t e s w e r e b r i n g i n g . T h e i n t e r v i e w s i n c l u d e d q u e s t i o n s a b o u t t h e i r o w n p a s t e x p e r i e n c e s w i t h m a t h e m a t i c s i n s c h o o l , a b o u t h o w t h e y t h o u g h t t h a t p e o p l e g e t t o b e g o o d a t m a t h a n d w h a t t h e y t h o u g h t t h a t m e a n t , a n d a b o u t w h a t t h e y t h o u g h t t h e y n e e d e d t o l e a r n i n p r e p a r i n g t o t e a c h m a t h e m a t i c s . I a l s o p r e s e n t e d t h e m w i t h s c e n a r i o s c o n s t r u c t e d o u t o f c o m m o n t a s k s o f t e a c h i n g m a t h - - f o r e x a m p l e , d e c i d i n g w h a t t o d o i n r e s p o n s e t o a s t u d e n t ' s q u e s t i o n , h e l p i n g a g r o u p o f c h i l d r e n l e a r n a p a r t i c u l a r t o p i c o r i d e a , a n d a n a l y z i n g c u r r i c u l a r m a t e r i a l s . T h e s e t a s k s w e r e e m b e d d e d i n p a r t i c u l a r m a t h e m a t i c a l t o p i c s a n d i d e a s . T h e i n t e r v i e w a n a l y s i s f o c u s e d o n t h e p r o s p e c t i v e t e a c h e r s ' s u b j e c t m a t t e r k n o w l e d g e , a s w e l l a s o n t h e i r b e l i e f s a b o u t m a t h e m a t i c s , a b o u t t e a c h i n g a n d l e a r n i n g m a t h , a n d a b o u t l e a r n e r s . I a l s o e x a m i n e d h o w t h e s e i d e a s a n d u n d e r s t a n d i n g s i n e e r e e e e e i n t h e p r o s p e c t i v e t e a c h e r s ' t h i n k i n g a b o u t t e a c h i n g . 1 I n t h i s c h a p t e r , I d e s c r i b e t h e s a m p l e o f s t u d e n t s w h o w e r e i n t e r v i e w e d , t h e d a t a c o l l e c t e d , a n d t h e p r o c e d u r e s u s e d f o r c o l l e c t i n g a n d a n a l y z i n g t h o s e d a t a . I c o n c l u d e w i t h o n e c a s e f r o m t h e i n t e l l e c t u a l h i s t o r y o f t h i s s t u d y , a c a s e t h a t i l l u s t r a t e s t h e e v o l u t i o n o f i d e a s t h a t d e v e l o p e d o u t o f t h e d i a l e c t i c b e t w e e n t h e e m p i r i c a l a n d t h e o r e t i c a l w o r k o f t h i s d i s s e r t a t i o n . 2 1 T h e a n a l y s i s o f t h e s e i n t e r a c t i o n s r e p r e s e n t s t h e m a j o r m o d i f i c a t i o n o f t h e i n i t i a l t h e o r e t i c a l f r a m e w o r k , a n d i s t h e f o c u s o f C h a p t e r 6 . 2 F u r t h e r d e t a i l a b o u t d a t a c o l l e c t i o n a n d a n a l y s i s i s i n c l u d e d i n C h a p t e r s 3 , 4 , a n d 5 , i n t h e c o n t e x t o f d i s c u s s i n g p a r t i c u l a r f o c i o f t h e s t u d y . 4 6 M s W B e c a u s e I w a n t e d t o i n t e r v i e w p r o s p e c t i v e t e a c h e r s w h o h a d n o f o r m a l t e a c h e r p r e p a r a t i o n , I d r e w m y s a m p l e f r o m t w o i n t r o d u c t o r y e d u c a t i o n c o u r s e s w i t h i n t h e f i r s t w e e k o f t h e a c a d e m i c t e r m . F o r e l e m e n t a r y c a n d i d a t e s , I w e n t t o T e a c h e r E d u c a t i o n 1 0 1 , E x p l o r i n g T e a c h i n g , a c o u r s e m o s t e l e m e n t a r y m a j o r s t a k e b e f o r e a p p l y i n g t o a t e a c h e r e d u c a t i o n p r o g r a m a t M i c h i g a n S t a t e U n i v e r s i t y . S e c o n d a r y c a n d i d a t e s t y p i c a l l y d o n o t t a k e t h i s c o u r s e ; t h e i r f i r s t e d u c a t i o n c o u r s e i s T e a c h e r E d u c a t i o n 2 0 0 , e d u c a t i o n a l p s y c h o l o g y . I s p o k e t o s e v e r a l s e c t i o n s o f t h e s e t w o c o u r s e s , e x p l a i n i n g t h e s t u d y a n d a s k i n g f o r v o l u n t e e r s t o b e i n t e r v i e w e d . I e m p h a s i z e d . m y i n t e r e s t i n i n t e r v i e w i n g a v a r i e t y o f p e o p l e : p e o p l e w h o e n j o y e d m a t h e m a t i c s a n d w e r e l o o k i n g f o r w a r d t o t e a c h i n g i t , p e o p l e w h o h a d n o t e n j o y e d t h e i r e x p e r i e n c e s w i t h m a t h i n s c h o o l , p e o p l e w h o h a d t a k e n a l o t o f m a t h c o u r s e s , a n d p e o p l e w h o h a d n o t t a k e n a n y m a t h s i n c e s e v e n t h g r a d e . I g a v e a n u m b e r o f e x a m p l e s s u c h a s t h e s e b e c a u s e I w a n t e d t h e s a m p l e t o v a r y a n d w a s c o n c e r n e d t h a t o n l y t h o s e w h o f e l t c o n f i d e n t a b o u t m a t h e m a t i c s m i g h t v o l u n t e e r . T h i s s t r a t e g y s e e m e d e f f e c t i v e , a s t h e s t u d e n t s w h o d i d v o l u n t e e r v a r i e d s i g n i f i c a n t l y i n m a t h e m a t i c s b a c k g r o u n d , s u c c e s s i n m a t h c o u r s e s , a n d f e e l i n g s a b o u t m a t h . A l l v o l u n t e e r s c o m p l e t e d a t h r e e - p a g e i n f o r m a t i o n f o r m w h i c h h e l p e d m e t o s e l e c t t h e s a m p l e . T h e f o r m i n c l u d e d q u e s t i o n s a b o u t t h e i r m a j o r , l e v e l , g r a d e p o i n t a v e r a g e , o t h e r d e g r e e s e a r n e d , a n d m a t h e m a t i c s c o u r s e s t a k e n i n c o l l e g e . O n e i t e m f o c u s e d o n t h e i r g e n e r a l f e e l i n g s a b o u t m a t h e m a t i c s . 4 7 M a n y m o r e e l e m e n t a r y t e a c h e r c a n d i d a t e s v o l u n t e e r e d t h a n I n e e d e d . P r o s p e c t i v e s e c o n d a r y t e a c h e r s w e r e m o r e s c a r c e , n o t b e c a u s e t h e y d i d n o t v o l u n t e e r , b u t b e c a u s e t h e y w e r e s i m p l y u n a v a i l a b l e : F e w e r o f t h e m w e r e e n r o l l e d i n t h e i n t r o d u c t o r y c o u r s e s . F o r e x a m p l e , d u r i n g t h e f i r s t t e r m o f t h e s t u d y , o n l y 8 m a t h e m a t i c s m a j o r s w e r e e n r o l l e d a c r o s s a l l 5 s e c t i o n s o f e d u c a t i o n a l p s y c h o l o g y . P a r t l y d u e t o t h i s s c a r c i t y , I d e c i d e d t o i n c l u d e t w o o f t h e m a t h e m a t i c s m i n o r s w h o h a d v o l u n t e e r e d t o p a r t i c i p a t e i n t h e p r o j e c t ; t h e s e s t u d e n t s i d e n t i f i e d t h e m s e l v e s a s “ p l a n n i n g t o t e a c h m a t h . “ W W I c o n d u c t e d i n t e r v i e w s a t t h e b e g i n n i n g o f t w o c o n s e c u t i v e t e r m s . E a c h t e r m I s e l e c t e d 5 e l e m e n t a r y a n d 5 s e c o n d a r y t e a c h e r c a n d i d a t e s . T h e f o r m e r w e r e m a j o r i n g i n e l e m e n t a r y e d u c a t i o n o r c h i l d d e v e l o p m e n t a n d h a d n o d i s c i p l i n a r y s p e c i a l i z a t i o n . T h e l a t t e r w e r e e i t h e r m a t h e m a t i c s m a j o r s o r m i n o r s . 3 A s t h e s t u d y w a s n o t d e s i g n e d t o p r o d u c e g e n e r a l i z a b l e f i n d i n g s a b o u t p r o s p e c t i v e t e a c h e r s , t h e s a m p l e d i d n o t n e e d t o b e r e p r e s e n t a t i v e o f t h e t e a c h e r e d u c a t i o n s t u d e n t p o p u l a t i o n a t M i c h i g a n S t a t e . H o w e v e r , s i n c e t h e p u r p o s e o f t h e i n t e r v i e w s w a s t o l e a r n t h e r a n g e a n d d i v e r s i t y o f w h a t p r o s p e c t i v e t e a c h e r s b r i n g t o t e a c h e r e d u c a t i o n t h a t m i g h t a f f e c t t h e i r l e a r n i n g t o t e a c h m a t h e m a t i c s , t h e s a m p l e s h o u l d b e v a r i e d . 4 A f e w k e y 3 T h e r e a s o n f o r t h e d i f f e r e n c e b e t w e e n t h e t w o s a m p l e s i s t h a t a l l e l e m e n t a r y t e a c h e r c a n d i d a t e s a r e a c t u a l l y p r e p a r i n g t o t e a c h m a t h , w h i l e a m o n g s e c o n d a r y c a n d i d a t e s , o n l y m a t h m a j o r s a n d m i n o r s a r e p r e p a r i n g t o t e a c h m a t h . 4 B o g d a n a n d B i k l e n ( 1 9 8 2 , p . 6 7 ) e x p l a i n t h e r a t i o n a l e f o r t h e p u r p o s e f u l s a m p l i n g : “ T h i s r e s e a r c h p r o c e d u r e i n s u r e s t h a t a v a r i e t y o f t y p e s o f s u b j e c t s a r e i n c l u d e d , b u t i t d o e s n o t t e l l y o u h o w m a n y , n o r i n . w h a t p r o p o r t i o n t h e t y p e s a p p e a r i n t h e p o p u l a t i o n . . . . Y o u c h o o s e p a r t i c u l a r s u b j e c t s t o i n c l u d e b e c a u s e t h e y a r e b e l i e v e d t o f a c i l i t a t e t h e e x p a n s i o n o f t h e d e v e l o p i n g t h e o r y . “ 4 8 c r i t e r i a w e r e u s e d t o b u i l d v a r i a t i o n i n t o t h e s a m p l e : g e n d e r , a c a d e m i c h i s t o r y i n c o l l e g e m a t h e m a t i c s , 5 a n d s t a t e d f e e l i n g s a b o u t m a t h ( b a s e d o n t h e i t e m p o s e d o n t h e v o l u n t e e r f o r m ) . 6 A l l b u t o n e o f t h e v o l u n t e e r s c h o s e n a g r e e d t o p a r t i c i p a t e i n t h e s t u d y . O n e p r o s p e c t i v e s e c o n d a r y t e a c h e r d r o p p e d o u t d u r i n g t h e s e c o n d r o u n d o f i n t e r v i e w s b u t w a s n o t r e p l a c e d . T h e f i n a l s a m p l e t h e r e f o r e c o n s i s t e d o f 1 0 e l e m e n t a r y a n d 9 s e c o n d a r y t e a c h e r c a n d i d a t e s . T a b l e 2 . 1 s h o w s t h e g e n d e r c o m p o s i t i o n o f t h e s a m p l e . 7 O n e s t u d e n t w a s b l a c k , o n e w a s A s i a n ; t h e o t h e r s w e r e C a u c a s i a n . F o u r t e e n o f t h e s t u d e n t s w e r e b e t w e e n 1 9 a n d 2 1 y e a r s o l d ; t w o w e r e i n t h e i r t h i r t i e s . A l l 1 9 s t u d e n t s w e r e f r o m M i c h i g a n . O v e r h a l f t h e s t u d e n t s 5 T h e e x p e r i e n c e o f t a k i n g c o l l e g e m a t h e m a t i c s m a y b e r e l a t e d t o t h e q u e s t i o n o f w h a t p r o s p e c t i v e t e a c h e r s “ b r i n g . “ F o r i n s t a n c e , a s t u d e n t w h o h a s c o m p l e t e d t h e c a l c u l u s s e q u e n c e h a s s p e n t m a n y m o r e h o u r s i n m a t h e m a t i c s c l a s s e s t h a n o n e w h o h a s t a k e n n o c o l l e g e l e v e l m a t h e m a t i c s . W h i l e t h e d e c i s i o n t o e n r o l l o r n o t i n m a t h e m a t i c s c o u r s e s m a y i t s e l f i n d i c a t e d i f f e r e n c e s i n a t t i t u d e s , i n t e r e s t s , o r s e n s e o f s e l f a m o n g t h e i n f o r m a n t s , t a k i n g m a t h e m a t i c s m a y a l s o e f f e e e s u c h d i f f e r e n c e s . , 6 T h e r e a r e o t h e r v a r i a b l e s p o t e n t i a l l y c o n n e c t e d t o w h a t p r o s p e c t i v e t e a c h e r s b r i n g w i t h t h e m t o m a t h e m a t i c s t e a c h e r e d u c a t i o n - - h i g h s c h o o l m a t h e m a t i c s e x p e r i e n c e , a g e , o r w h e t h e r t h e y a t t e n d e d a c o m m u n i t y c o l l e g e p r i o r t o c o m i n g t o t h e u n i v e r s i t y , f o r i n s t a n c e . T h e s a m p l e u s e d i n t h i s s t u d y w a s n o t l a r g e e n o u g h t o j u s t i f y s t r a t i f y i n g i t a l o n g m a n y d i m e n s i o n s . I d i d c o l l e c t a d d i t i o n a l a c a d e m i c d a t a a b o u t t h e t e a c h e r c a n d i d a t e s w h i c h , i n a n a l y z i n g i n t e r v i e w r e s p o n s e s , m a y s u g g e s t p o s s i b l e c o n n e c t i o n s w o r t h s y s t e m a t i c e x p l o r a t i o n i n t h e f u t u r e . 7 I t r i e d , w i t h o u t s u c c e s s , t o o v e r s a m p l e f o r m a l e s i n t h e e l e m e n t a r y s a m p l e . O n l y a b o u t 4 m a l e s w e r e p r e s e n t i n c l a s s a c r o s s a l l t h e s e c t i o n s o f T e a c h e r E d u c a t i o n 1 0 1 , h o w e v e r , a n d o f t h o s e , o n l y o n e v o l u n t e e r e d . 4 9 T a b l e 2 . 1 G e n d e r C o m p o s i t i o n o f S a m p l e M a l e . F e m a l e E l e g e n s a r y ‘ 9 S e c o n d a r y 5 4 M S T o t a l 5 ‘ 1 3 5 0 c a m e f r o m m i d - s i z e d s u b u r b a n h i g h s c h o o l s , s e v e n w e r e f r o m v e r y s m a l l t o w n s o r r u r a l a r e a s , a n d t w o f r o m u r b a n h i g h s c h o o l s . 8 ' 9 m u m I u s e d i n t e r v i e w s a n d a c a d e m i c r e c o r d s t o l e a r n a b o u t e a c h p r o s p e c t i v e t e a c h e r i n t h e s a m p l e . I n t h i s s e c t i o n I d e s c r i b e t h e i n t e r v i e w , s t r a t e g i e s u s e d i n c o n d u c t i n g i t , a n d a c a d e m i c r e c o r d s e x a m i n e d . W e ! T h e p r i m a r y p u r p o s e o f t h e i n t e r v i e w s w a s t o l e a r n m o r e a b o u t w h a t t h e s e d i f f e r e n t e n t e r i n g t e a c h e r e d u c a t i o n s t u d e n t s w e r e b r i n g i n g w i t h t h e m t o t h e i r f o r m a l p r e p a r a t i o n t o t e a c h m a t h e m a t i c s . I n p a r t i c u l a r , I w a n t e d t o l e a r n a b o u t t h e i r u n d e r s t a n d i n g o f m a t h e m a t i c s a n d t h e i r i d e a s a b o u t t e a c h i n g a n d l e a r n i n g m a t h . T h e i n t e r v i e w w a s d e s i g n e d b a s e d o n m y p r e l i m i n a r y f r a m e w o r k , d i s c u s s e d i n C h a p t e r 1 , f o r e x p l o r i n g w h a t p r o s p e c t i v e t e a c h e r s b r i n g , a n d i n c l u d e d t h e f o l l o w i n g : k n o w l e d g e o f a n d a b o u t m a t h e m a t i c s , i d e a s a b o u t t h e t e a c h i n g a n d l e a r n i n g o f m a t h e m a t i c s , a b o u t s t u d e n t s , a n d a b o u t s e l f i n r e l a t i o n t o m a t h e m a t i c s . C o n t e x t f i g u r e d t o o , a l t h o u g h l e s s p r o m i n e n t l y . 8 T h e g e n d e r a n d e t h n i c c o m p o s i t i o n o f t h e s a m p l e g e n e r a l l y r e f l e c t s t h e c o m p o s i t i o n o f b o t h t h e e l e m e n t a r y a n d s e c o n d a r y m a t h s t u d e n t p o p u l a t i o n s i n t h i s c o l l e g e , a l t h o u g h n o t b y m y e x p r e s s d e s i g n . T h a t i s , I d i d n o t s e t o u t t o o b t a i n a r e p r e s e n t a t i v e s a m p l e . 9 W h i l e I a m n o t c l a i m i n g t o m a k e g e n e r a l s t a t e m e n t s a b o u t w h a t p r o s p e c t i v e t e a c h e r s k n o w o r b e l i e v e b a s e d o n a s m a l l n u m b e r o f i n t e r v i e w s w i t h t e a c h e r e d u c a t i o n s t u d e n t s a t M i c h i g a n S t a t e U n i v e r s i t y , t h e d e m o g r a p h i c d a t a o n t h i s s a m p l e o f p r o s p e c t i v e t e a c h e r s i n d i c a t e t h a t t h e y a r e v e r y s i m i l a r t o t h e p o p u l a t i o n o f t e a c h e r e d u c a t i o n s t u d e n t s i n t e r m s o f c h a r a c t e r i s t i c s s u c h a s e t h n i c i t y , g e n d e r , s o c i a l c l a s s , a n d a g e . 5 1 T h e i n t e r v i e w w a s a t o o l f o r l e a r n i n g a b o u t w h a t p r o s p e c t i v e t e a c h e r s b r i n g t o t e a c h e r e d u c a t i o n . B u t , a t t h e s a m e t i m e , t h e i n t e r v i e w w a s i t s e l f a l s o m y w o r k i n g h y p o t h e s i s , s h a p e d b y m y i d e a s o f w h a t w a s c r i t i c a l t o e x p l o r e . A s a n e t , w h a t d i d i t c a p t u r e a b o u t p r o s p e c t i v e t e a c h e r s ' i d e a s a n d w a y s o f t h i n k i n g a n d f e e l i n g r e l a t e d t o m a t h e m a t i c s a n d t h e t e a c h i n g a n d l e a r n i n g o f m a t h e m a t i c s ? M y c h a l l e n g e w a s t o b e s u f f i c i e n t l y f o c u s e d t h a t I m i g h t g e t b e n e a t h t h e s u r f a c e o f t h e s e t e a c h e r c a n d i d a t e s ' i d e a s , y e t o p e n e n o u g h t o e n a b l e m e t o d o m o r e t h a n v e r i f y m y i n i t i a l a s s u m p t i o n s . 1 0 B e c a u s e t h e i n t e r v i e w p r o t o c o l p l a y e d a d u a l r o l e i n t h e s t u d y , r e f l e c t i n g a s w e l l c o n t r i b u t i n g t o t h e t h e o r e t i c a l f r a m e w o r k , I c o l l e c t e d d a t a o v e r t w o t e r m s . I i n t e r v i e w e d 1 0 s t u d e n t s d u r i n g t h e f i r s t t e r m a n d 9 d u r i n g t h e s e c o n d . B e t w e e n t e r m s I r e v i s e d t h e q u e s t i o n s a n d t a s k s b e f o r e I i n t e r v i e w e d t h e s e c o n d g r o u p o f s t u d e n t s , f o c u s i n g s o m e q u e s t i o n s , a l t e r i n g s o m e , a n d a d d i n g o t h e r s , b a s e d o n w h a t I w a s l e a r n i n g f r o m t h e f i r s t s e t o f i n t e r v i e w s . T h i s s t r a t e g y h e l p e d m e t o u s e t h e i n t e r v i e w i n g t o a d v a n c e t h e t h e o r e t i c a l f r a m e w o r k f o r a s s e s s i n g w h a t p r o s p e c t i v e m a t h e m a t i c s t e a c h e r s b r i n g t o t e a c h e r e d u c a t i o n . 5 S I ! £ £ 2 1 2 . 2 £ . § h § . 1 fl £ § £ ! 1 2 ! o B e c a u s e i t w a s l o n g a n d d e m a n d i n g f o r p a r t i c i p a n t s , t h e i n t e r v i e w w a s c o n d u c t e d i n t w o s e s s i o n s , e a c h 1 ° B o g d a n a n d B i k l e n ( 1 9 8 2 , p . 6 6 ) d e s c r i b e t h e d i s c i p l i n e o f b e g i n n i n g f r o m a n i n i t i a l c o n c e p t u a l i z a t i o n o f t h e p h e n o m e n o n u n d e r s t u d y a n d m o d i f y i n g i t i n l i g h t o f n e w c a s e s t h a t d o n o t f i t t h a t i n i t i a l f o r m u l a t i o n . A n a l y s i s p r o c e e d s b y “ i n t e r r o g a t i n g “ t h e d a t a . D a t a d o n o t s p e a k b u t , i n s e e k i n g s u p p o r t i n g a n d d i s c o n f i r m i n g e v i d e n c e f o r d e v e l o p i n g i d e a s , t h e d a t a m a y s i g n a l t h a t t h e r e i s t o o l i t t l e s u p p o r t f o r a n i d e a , o r t h a t t h e i d e a , “ t h o u g h s u p p o r t a b l e , “ i s n o t p a r t i c u l a r l y c o g e n t “ ( S c h a t z m a n & S t r a u s s , 1 9 7 3 , p . 1 2 0 ) . I n t h i s w a y , t h e r e s e a r c h e r ' s w o r k i n g h y p o t h e s e s u n d e r g o a p r o c e s s o f c o n t i n u a l t e s t i n g a n d r e v i s i o n . 5 2 l a s t i n g a b o u t t w o h o u r s . T h e f i r s t i n t e r v i e w ( s e c t i o n s A a n d B ) e x p l o r e d t h e p r o s p e c t i v e t e a c h e r ' s p e r s o n a l h i s t o r y a n d i d e a s a b o u t m a t h e m a t i c s , t e a c h i n g a n d l e a r n i n g m a t h , a n d a b o u t s e l f . T h e t a s k s a n d q u e s t i o n s i n t h e s e c o n d s e s s i o n ( s e c t i o n C ) w e r e g r o u n d e d i n s c e n a r i o s o f c l a s s r o o m t e a c h i n g . B e l o w I e x p l a i n e a c h o f t h e s e p a r t s o f t h e i n t e r v i e w . T h e c o m p l e t e i n t e r v i e w p r o t o c o l c a n b e f o u n d i n A p p e n d i x B . 5 9 . 9 5 . 1 2 “ . I d e s i g n e d S e c t i o n A p a r t l y t o e s t a b l i s h r a p p o r t , b e g i n n i n g w i t h q u e s t i o n s w h i c h w o u l d d e m o n s t r a t e m y i n t e r e s t i n t h e p e o p l e I w a s i n t e r v i e w i n g a n d w h i c h w o u l d b e l e s s i n t e n s e t h a n t h e s u b s e q u e n t t a s k s a n d q u e s t i o n s . I b e g a n b y a s k i n g t h e m w h y t h e y w e r e t h i n k i n g a b o u t b e c o m i n g a t e a c h e r a n d f o l l o w e d w i t h q u e s t i o n s f o c u s e d o n t h e t e a c h e r c a n d i d a t e s ' e x p e r i e n c e s i n s c h o o l . T h e “ s t u f f “ o f t h e i r “ a p p r e n t i c e s h i p o f o b s e r v a t i o n , “ t h e s e e x p e r i e n c e s m i g h t b e a s i g n i f i c a n t c o m p o n e n t o f , o r i n f l u e n c e o n , w h a t t h e p r o s p e c t i v e t e a c h e r s w e r e b r i n g i n g t o t e a c h e r e d u c a t i o n . I a s k e d t h e s t u d e n t s t o t a l k a b o u t t h e i r e l e m e n t a r y , h i g h s c h o o l , a n d c o l l e g e m a t h c o u r s e s . T h e s e q u e s t i o n s h e l p e d m e u n d e r s t a n d h o w t h e y u n d e r s t o o d w h a t t h e y h a d b e e n t a u g h t , w h a t k i n d o f p e r s p e c t i v e t h e y h a d o f t h e s u b s t a n c e o f t h e i r c o u r s e s , t h e w a y t h e y o r g a n i z e d t h a t k n o w l e d g e , a n d t h e a r t i c u l a t e n e s s w i t h w h i c h t h e y c o u l d t a l k a b o u t i t . I d e s i g n e d t h e s e q u e s t i o n s t o p r o v i d e a n a l t e r n a t e a v e n u e ( i n a d d i t i o n t o t h e s e c o n d p a r t o f t h e i n t e r v i e w ) f o r e x p l o r i n g w h a t p r o s p e c t i v e t e a c h e r s “ b r i n g “ w i t h r e s p e c t t o k n o w l e d g e o f a n d a b o u t m a t h e m a t i c s . I w a s a l s o t r y i n g t o l e a r n t h e i r i d e a s a b o u t g o o d ( o r b a d ) t e a c h i n g , h o w p e o p l e l e a r n m a t h e m a t i c s , a n d t h e i r f e e l i n g s a b o u t t h e s u b j e c t . F o r e x a m p l e , I a s k e d p r o s p e c t i v e t e a c h e r s w h a t t h e y 5 3 r e m e m b e r e d a b o u t m a t h f r o m h i g h s c h o o l - - w h a t t h e y t o o k , w h a t t h e y r e m e m b e r l e a r n i n g , a n d w h a t s t o o d o u t t o t h e m . I e s p e c i a l l y t r i e d t o f i n d o u t w h a t t h e y t h o u g h t t h e i r c l a s s e s w e r e a b o u t . I f t h e y c o m m e n t e d t h a t t h e y h a d h a d a p a r t i c u l a r l y g o o d ( o r b a d ) t e a c h e r , I p r o b e d t o l e a r n w h y t h e y c o n s i d e r e d t h a t p e r s o n s o g o o d ( o r b a d ) a t t e a c h i n g m a t h . S e e e i e n _ fi . T h e q u e s t i o n s i n s e c t i o n B f o c u s e d o n p e o p l e ' s i d e a s a b o u t m a t h e m a t i c s a s a s u b j e c t a n d a s a d i s c i p l i n e , a b o u t t e a c h i n g a n d l e a r n i n g m a t h e m a t i c s , a b o u t p u p i l s , a b o u t s e l f , a n d a b o u t l e a r n i n g t o t e a c h m a t h e m a t i c s . I d e v e l o p e d q u e s t i o n s t o p r o b e t h e t e a c h e r c a n d i d a t e s ' b e l i e f s , b o t h e x p l i c i t n o t i o n s a n d u n d e r l y i n g a s s u m p t i o n s . F o r i n s t a n c e , I a s k e d t h e m t o t h i n k o f a p e r s o n w h o m t h e y w o u l d c o n s i d e r t o b e “ g o o d a t m a t h “ a n d t h e n p r o b e d t h e i r n o t i o n s o f w h a t i t m e a n s t o b e “ g o o d a t m a t h “ a n d h o w p e o p l e g e t t o b e t h a t w a y . Q e : d _ e e r § _ § e e k . B e s i d e s a n s w e r i n g q u e s t i o n s , t e a c h e r c a n d i d a t e s a l s o c o m p l e t e d a c a r d s o r t t a s k . I g a v e t h e m a s e t o f 3 5 c a r d s w i t h s t a t e m e n t s a b o u t m a t h a n d t h e t e a c h i n g a n d l e a r n i n g o f m a t h a n d a s k e d t h e m t o c r e a t e t h r e e p i l e s : t h o s e w i t h w h i c h t h e y a g r e e d , t h o s e w i t h w h i c h t h e y d i s a g r e e d , a n d t h o s e a b o u t w h i c h t h e y w e r e n o t s u r e . “ N o t s u r e “ i n c l u d e d t h o s e s t a t e m e n t s t h e y d i d n o t u n d e r s t a n d a s w e l l a s t h o s e a b o u t w h i c h t h e y v a c i l l a t e d . A f t e r t h e p r o s p e c t i v e t e a c h e r s s o r t e d t h e s t a t e m e n t s , I a s k e d t h e m t o g o t h r o u g h t h e i r p i l e s o f c a r d s a n d t a l k a b o u t t h e s t a t e m e n t s a b o u t w h i c h t h e y w e r e e i t h e r u n s u r e o r a b o u t w h i c h t h e y h a d s t r o n g f e e l i n g s . T h e t e a c h e r c a n d i d a t e s ' c o m m e n t s a b o u t t h e s t a t e m e n t s o p e n e d a n o t h e r w i n d o w o n t h e i r i d e a s a n d w e r e e s p e c i a l l y u s e f u l f o r l e a r n i n g h o w t h e y u n d e r s t o o d c e r t a i n t e r m s o r p h r a s e s i n t h e s t a t e m e n t s - ~ f o r 5 4 e x a m p l e , “ c o n c r e t e . “ “ p r o b l e m s o l v i n g , “ o r “ a r g u m e n t . “ T h i s t a s k d i f f e r e d f r o m t h e o t h e r m o r e o p e n - e n d e d q u e s t i o n s . I n s t e a d o f e x p l a i n i n g w h a t t h e y t h o u g h t i n t h e i r o w n t e r m s - - t h e i r o w n l a n g u a g e a n d c a t e g o r y s c h e m e s - - t h e p r o s p e c t i v e t e a c h e r s r e a c t e d t o g i x e n s t a t e m e n t s . T h i s t a s k a f f o r d e d m e t h e o p p o r t u n i t y t o e x t e n d m y a n a l y s e s o f t e a c h e r c a n d i d a t e s ' r e s p o n s e s t o t h e o p e n q u e s t i o n s . T h e c a r d s o r t s t a t e m e n t s a l s o r a i s e d i s s u e s t h a t a n i n d i v i d u a l p e r s o n m i g h t n o t h a v e a d d r e s s e d : t h e n a t u r e o f m a t h e m a t i c a l k n o w l e d g e o r t h e p r o c e s s o f l e a r n i n g m a t h e m a t i c s , f o r e x a m p l e . I c h a n g e d t h e c a r d s o r t s t a t e m e n t s a f t e r t h e f i r s t t e r m o f i n t e r v i e w s . B a s e d o n i s s u e s t h a t e m e r g e d d u r i n g t h e s e i n t e r v i e w s , a n d d r a w i n g o n t h e p r o s p e c t i v e t e a c h e r s ' l a n g u a g e , I a d d e d s o m e s t a t e m e n t s , d r o p p e d s o m e , a n d r e v i s e d o t h e r s . F o r e x a m p l e , I w a s s t r u c k b y t h e n u m b e r o f p e o p l e w h o u s e d m e c h a n i c a l t e r m s ( e . g . , d r u m m i n g , p u s h i n g , d r i l l i n g ) t o d e s c r i b e l e a r n i n g m a t h . I n o r d e r t o e x p l o r e t h e s e m e t a p h o r s , I a d d e d a n e w s t a t e m e n t d r a w n d i r e c t l y f r o m t h e f i r s t i n t e r v i e w s : “ T o l e a r n m a t h e m a t i c s , m a n y b a s i c p r i n c i p l e s m u s t b e d r i l l e d i n t o t h e l e a r n e r ' s h e a d . “ A l t h o u g h m a n y s t a t e m e n t s w e r e a l t e r e d f o r t h e s e c o n d t e r m o f i n t e r v i e w s , I a s k e d t h e s e c o n d t e r m p a r t i c i p a n t s t o r e s p o n d t o t h e o r i g i n a l s t a t e m e n t s o n a b r i e f w r i t t e n q u e s t i o n n a i r e , s o t h a t I c o u l d a g g r e g a t e d a t a a c r o s s a l l 1 9 s t u d e n t s . S e e e i e n L § ; _ § e e n e r i e e . A m a j o r a s s u m p t i o n o f t h e s t u d y ' s c o n c e p t u a l f r a m e w o r k i s t h a t , i n c a r r y i n g o u t t h e a c t i v i t i e s o f t e a c h i n g , t e a c h e r s ' u n d e r s t a n d i n g o f s u b j e c t m a t t e r 1 n ; e : e e § e _ g i t h t h e i r k n o w l e d g e a n d b e l i e f s a b o u t t e a c h i n g , l e a r n i n g , a n d t h e c o n t e x t s o f s c h o o l i n g . T h e r e f o r e , i n o r d e r t o l e a r n a b o u t p r o s p e c t i v e 5 5 t e a c h e r s ' u n d e r s t a n d i n g o f m a t h e m a t i c s a n d t h e r o l e t h a t u n d e r s t a n d i n g p l a y s i n t h e i r t h i n k i n g a b o u t t e a c h i n g a n d l e a r n i n g m a t h , I d e s i g n e d q u e s t i o n s b a s e d o n c o m m o n t a s k s o f t e a c h i n g . T h e s e t a s k s w e r e o n e s t h a t a l l t e a c h e r s , w h a t e v e r t h e i r v i e w o f t e a c h i n g , p e r f o r m , a l t h o u g h t h e w a y i n w h i c h t h e y d e a l w i t h t h e s e t a s k s v a r i e s a s a f u n c t i o n o f t h e i r v i e w o f t e a c h i n g . T h e t a s k s i n c l u d e r e s p o n d i n g t o u n a n t i c i p a t e d s t u d e n t q u e s t i o n s o r n o v e l i d e a s , e x a m i n i n g s t u d e n t s ' w r i t t e n w o r k , e v a l u a t i n g c u r r i c u l u m m a t e r i a l s , a n d p l a n n i n g a p p r o a c h e s t o t e a c h i n g . E a c h q u e s t i o n i s c a s t i n t h e f o r m o f a s c e n a r i o . A f t e r d e s c r i b i n g t h e s c e n a r i o t o t h e t e a c h e r c a n d i d a t e s , I a s k e d w h a t t h e y w o u l d d o o r s a y i f t h i s s i t u a t i o n c a m e u p i n t h e i r o w n t e a c h i n g a n d w h y . I w o v e t h e q u e s t i o n s w i t h p a r t i c u l a r m a t h e m a t i c a l c o n c e p t s , p r o c e d u r e s , a n d i d e a s : r e c t a n g l e s a n d s q u a r e s , p e r i m e t e r a n d a r e a , p l a c e v a l u e , s u b t r a c t i o n w i t h r e g r o u p i n g , m u l t i p l i c a t i o n , d i v i s i o n , f r a c t i o n s , z e r o a n d i n f i n i t y , p r o p o r t i o n , v a r i a b l e s a n d s o l v i n g e q u a t i o n s , t h e o r y a n d p r o o f , s l o p e a n d g r a p h i n g . F o u r c r i t e r i a g u i d e d t h e s e l e c t i o n o f c o n t e n t f o r t h e s c e n a r i o s . I s o u g h t t o p i c s t h a t : ( l ) a r e t a u g h t t h r o u g h o u t t h e K - 1 2 c u r r i c u l u m , ( 2 ) a r e c e n t r a l t o m a t h e m a t i c s , ( 3 ) a r e o f t e n d i f f i c u l t f o r p u p i l s t o l e a r n , ( 4 ) c a n b e t a u g h t a l g o r i t h m i c a l l y o r c o n c e p t u a l l y . T h e f i r s t t w o c r i t e r i a h e l p e d t o e n s u r e t h a t t h e c o n t e n t s a m p l e d w a s s i g n i f i c a n t m a t h e m a t i c a l l y a n d a l s o r e l a t e d t o w h a t p r o s p e c t i v e t e a c h e r s w e r e l i k e l y t o t e a c h . T h e t h i r d c r i t e r i o n f o c u s e d m y a t t e n t i o n o n c o n t e n t t h a t t e a c h e r s o u g h t t o u n d e r s t a n d e s p e c i a l l y w e l l a n d y e t w h i c h t h e y t h e m s e l v e s m a y n o t h a v e l e a r n e d t h o r o u g h l y . I t h o u g h t t h a t t h e f o u r t h c r i t e r i o n w o u l d l e a d t o t o p i c s t h a t m i g h t 5 6 r e v e a l d i f f e r e n t k i n d s o f m a t h e m a t i c a l u n d e r s t a n d i n g a s w e l l a s d i f f e r e n t a p p r o a c h e s t o t e a c h i n g a m o n g t h e p r o s p e c t i v e t e a c h e r s i n t e r v i e w e d . 1 1 E a c h q u e s t i o n . w a s c a s t i n t h e f o r m o f a s c e n a r i o , o r s k e t c h o f a t e a c h i n g s i t u a t i o n . A f t e r I d e s c r i b e d t h e s c e n a r i o , I a s k e d t h e p r o s p e c t i v e t e a c h e r s w h a t t h e y w o u l d d o o r s a y i f t h i s s i t u a t i o n c a m e u p i n t h e i r o w n t e a c h i n g , a n d . w h y . O n e l o n g e r s c e n a r i o , o n p l a n n i n g a n d t e a c h i n g m a t h e m a t i c s , e n g a g e d t h e p r o s p e c t i v e t e a c h e r s i n s e v e r a l r e l a t e d t a s k s o f t e a c h i n g : a p p r a i s i n g t e x t b o o k m a t e r i a l , p l a n n i n g , e v a l u a t i n g s t u d e n t w r i t t e n w o r k , a n d r e s p o n d i n g t o s t u d e n t q u e s t i o n s . I d e s i g n e d t h e s c e n a r i o s i n o r d e r t o e x p l o r e t h r e e t h i n g s : 1 . w h a t t h e p r o s p e c t i v e t e a c h e r s s e e m e d t o k n o w a n d b e l i e v e - - a b o u t m a t h e m a t i c s a n d t h e t e a c h i n g a n d l e a r n i n g o f m a t h e m a t i c s i n c l a s s r o o m s ; 2 . w h a t i d e a s a n d c o m m i t m e n t s t h e p r o s p e c t i v e t e a c h e r s w o u l d d r a w o n i n r e s p o n d i n g t o e a c h s c e n a r i o ; 3 . h o w p r o s p e c t i v e t e a c h e r s w e a v e t o g e t h e r d i f f e r e n t k i n d s o f k n o w l e d g e a n d c o m m i t m e n t s i n m a k i n g i n t e r p r e t a t i o n s , j u d g m e n t s , c h o i c e s , a n d i n j u s t i f y i n g t h o s e . T o i l l u s t r a t e h o w I w o v e e a c h q u e s t i o n w i t h s u b j e c t m a t t e r , a s w e l l a s i s s u e s a b o u t t e a c h i n g , l e a r n i n g , a n d l e a r n e r s , i n t h i s s e c t i o n I d i s c u s s o n e o f t h e s e s c e n a r i o s i n d e t a i l . I h a v e c h o s e n Q u e s t i o n C 3 , a s c e n a r i o i n w h i c h s o m e e i g h t h g r a d e r s a r e h a v i n g a p r o b l e m w i t h p l a c e v a l u e i n m u l t i p l y i n g l a r g e n u m b e r s c o r r e c t l y ; I a s k e d p r o s p e c t i v e t e a c h e r s w h a t t h e y w o u l d d o i f t h e s e w e r e t h e i r s t u d e n t s . F i r s t I w i l l e x p l a i n w h a t t h e s c e n a r i o e n t a i l s i n t e r m s o f t h e m a t h e m a t i c a l c o n t e n t a n d i s s u e s a b o u t t e a c h i n g a n d l e a r n i n g , l e a r n e r s , 1 1 I n C h a p t e r 3 , I p r o v i d e r a t i o n a l e s f o r t h e s p e c i f i c m a t h e m a t i c s c o n t e n t o n w h i c h I h a v e f o c u s e d . 5 7 a n d c o n t e x t l z . T h e n I w i l l s h o w h o w t h e e x e r c i s e a n d t h e r e s p o n s e s i t e l i c i t s h e l p e d m e t o m a k e i n f e r e n c e s a b o u t w h a t t h e p r o s p e c t i v e t e a c h e r s k n e w a n d . h o w t h e y t h o u g h t a b o u t m a t h e m a t i c s a n d a b o u t t e a c h i n g a n d l e a r n i n g m a t h e m a t i c s i n c l a s s r o o m s . T h e r e a d e r s h o u l d r e a d t h e c o m p l e t e q u e s t i o n ( s e e F i g u r e 2 . 1 ) b e f o r e p r o c e e d i n g . W W F i r s t I 0 8 9 1 8 1 “ t h e s u b j e c t m a t t e r c o n t e n t o f t h e q u e s t i o n : m u l t i p l i c a t i o n w i t h r e g r o u p i n g . T h e a l g o r i t h m f o r m u l t i p l y i n g l a r g e n u m b e r s i s d e r i v e d f r o m t h e p r o c e s s o f d e c o m p o s i n g n u m b e r s i n t o “ e x p a n d e d f o r m “ a n d m u l t i p l y i n g t h e n u m b e r i n p a r t s . T h a t t h e p r o c e d u r e b e e a s u b s t a n t i v e l o g i c , a s o p p o s e d t o b e i n g a n a r b i t r a r y s e r i e s o f s t e p s , i s i n i t s e l f a f u n d a m e n t a l c o m p o n e n t o f t h e s u b j e c t m a t t e r k n o w l e d g e . T o u n d e r s t a n d t h i s p r o c e d u r e , o n e m u s t u n d e r s t a n d d e c i m a l n u m e r a l s a s r e p r e s e n t a t i o n s o f n u m b e r s i n t e r m s o f h u n d r e d s , t e n s , a n d o n e s . U n d e r s t a n d i n g t h e p r o c e d u r e a l s o e n t a i l s k n o w l e d g e o f t h e d i s t r i b u t i v e p r o p e r t y o f m u l t i p l i c a t i o n o v e r a d d i t i o n : k n o w i n g t h a t o n e c a n d e c o m p o s e n u m b e r s , m u l t i p l y t h e i r p a r t s s e p a r a t e l y , a n d t h e n a d d t h e r e s u l t s o f t h e t h r e e p r o d u c t s . O f t e n , p e o p l e h a v e l e a r n e d t o c a r r y o u t t h i s m u l t i p l i c a t i o n a l g o r i t h m w i t h o u t w r i t i n g d o w n t h e z e r o s , s o t h a t t h e i r c o m p u t a t i o n l o o k s l i k e t h i s : 1 2 3 x _ fl 5 6 1 5 4 9 2 _ 1 1 ! . _ 1 2 T h e s e d o m a i n s c o r r e s p o n d t o t h e f r a m e w o r k o u t l i n e d i n C h a p t e r 5 8 Q u e s t i o n 0 3 : B e a n 2 n d i n s _ t 2 _ S t n d a n t _ n i f f i c n l t i e a i _ z l a c e _ ! a l n a S o m e e i g h t h g r a d e t e a c h e r s n o t i c e d t h a t s e v e r a l o f t h e i r s t u d e n t s w e r e m a k i n g t h e s a m e . m i s t a k e i n m u l t i p l y i n g l a r g e n u m b e r s . I n t r y i n g t o c a l c u l a t e 1 2 3 x _ § é 2 t h e s t u d e n t s s e e m e d t o b e f o r g e t t i n g t o “ m o v e t h e n u m b e r s “ ( i . e . , t h e p a r t i a l p r o d u c t s ) o v e r o n e a c h l i n e . T h e y w e r e d o i n g t h i s : 1 2 3 x _ é é 2 6 1 5 4 9 2 _ _ _ Z l fi 1 8 4 5 i n s t e a d o f t h i s : 1 2 3 6 1 5 4 9 2 7 9 3 3 5 W h i l e t h e s e t e a c h e r s a g r e e d t h a t t h i s w a s a p r o b l e m , t h e y d i d n o t a g r e e o n w h a t t o d o a b o u t i t . W h a t w o u l d y o u d o i f y o u w e r e t e a c h i n g e i g h t h g r a d e a n d y o u n o t i c e d t h a t s e v e r a l o f y o u r s t u d e n t s w e r e d o i n g t h i s ? F i g u r e 2 . 1 Q u e s t i o n C 3 o f t h e i n t e r v i e w 5 9 C o n s e q u e n t l y , m a n y p e o p l e c a n p e r f o r m t h e m u l t i p l i c a t i o n w i t h o u t u n d e r s t a n d i n g w h y i t w o r k s o r s e e i n g t h e r e l a t i o n s h i p o f t h e b a s e t e n p l a c e v a l u e s y s t e m t o t h i s a l g o r i t h m . T h i s p r o c e d u r e , w h i c h d e p e n d s c o n c e p t u a l l y o n p l a c e v a l u e a n d t h e d i s t r i b u t i v e p r o p e r t y , i s t h e r e f o r e a u s e f u l s i t e f o r e x a m i n i n g h o w p e o p l e u n d e r s t a n d p l a c e v a l u e a n d t h e d e c i m a l n u m e r a t i o n s y s t e m . W h a t t h e p r o s p e c t i v e t e a c h e r s t h o u g h t t h e r e w a s f o r t h e e r r a n t p u p i l s i n t h e s c e n a r i o t o k n e e g a v e c l u e s t o t h e i r u n d e r s t a n d i n g b o t h e f a n d g h e e ; m a t h e m a t i c s . D i d t h e y t h i n k t h a t t h e s e p u p i l s n e e d e d t o b e t o l d t o “ l i n e t h e i r n u m b e r s u p “ ? O r w o u l d t h e p u p i l s n e e d t o u n d e r s t a n d t h a t t h e y a r e a c t u a l l y m u l t i p l y i n g b y e g , n o t b y e , i n t h e s e c o n d s t e p ? I d e v e l o p e d p r o b e s t o h e l p m e e x p l o r e h o w t h e p r o s p e c t i v e t e a c h e r s u n d e r s t o o d p l a c e v a l u e a n d n u m e r a t i o n . F o r e x a m p l e , i f a t e a c h e r c a n d i d a t e s a i d , “ I ' d s h o w t h e m t o p u t z e r o s i n , “ I p r o b e d b y r e s p o n d i n g , “ W h a t i f s o m e s t u d e n t a s k s , ‘ H o w c a n . w e j u s t a d d z e r o s l i k e t h a t - - i t c h a n g e s t h e n u m b e r s , l i k e f r o m 4 9 2 t o 4 , 9 2 0 ! ! ' “ T h i s p r o b e h e l p e d m e l e a r n m o r e a b o u t t h e p r o s p e c t i v e t e a c h e r s ' u n d e r s t a n d i n g o f p l a c e v a l u e a n d a b o u t t h e r o l e o f t h e n u m b e r 0 i n o u r n u m e r a t i o n s y s t e m . I f t h e p r o s p e c t i v e t e a c h e r s s a i d t h e y w o u l d “ e x p l a i n “ t h e p r o c e d u r e , I w a s i n t e r e s t e d i n w h a t t h e y c o n s i d e r e d t o h e a n e x p l a n a t i o n . G o i n g o v e r t h e s t e p s o f t h e p r o c e d u r e i s v e r y d i f f e r e n t f r o m d i s c u s s i n g t h e u n d e r l y i n g p l a c e v a l u e p r i n c i p l e s . W h a t c o u n t s a s “ e x p l a n a t i o n “ i s o n e c o m p o n e n t o f k n o w l e d g e e e e e e m a t h e m a t i c s - - a b o u t t h e n a t u r e a n d j u s t i f i c a t i o n o f p a r t i c u l a r i d e a s . T h e s c e n a r i o w a s a l s o d e s i g n e d t o c a p t u r e a s p e c t s o f t h e t e a c h e r c a n d i d a t e s ' k n o w l e d g e a n d b e l i e f s a b o u t t e a c h i n g a n d l e a r n i n g a n d t h e 6 0 t e a c h e r ’ s r o l e . F o r e x a m p l e , i f p r o s p e c t i v e t e a c h e r s w o u l d t e l l p u p i l s t o “ l i n e u p t h e n u m b e r s “ o r “ p u t d o w n z e r o s a s p l a c e h o l d e r s , “ i t m i g h t b e b e c a u s e t h e y b e l i e v e t h a t t h i s i s t h e w a y t h a t s t u d e n t s w i l l l e a r n t h e m a t e r i a l b e s t . P e r h a p s t h e y t h i n k p u p i l s s h o u l d a c q u i r e a l g o r i t h m s f i r s t , a n d c o n c e p t u a l u n d e r s t a n d i n g l a t e r . S e v e r a l o t h e r i s s u e s a b o u t t e a c h i n g a n d l e a r n i n g t h a t m i g h t i n f l u e n c e w h a t t e a c h e r c a n d i d a t e s w o u l d d o i n t h i s s c e n a r i o w e r e w o v e n i n t o t h e s c e n a r i o a s w e l l . F o r e x a m p l e , t e a c h e r s ' r e s p o n s e s t o t h i s s c e n a r i o a r e i n f l u e n c e d b y t h e i r i d e a s a b o u t h o w p u p i l s l e a r n m a t h e m a t i c a l p r o c e d u r e s m o s t e f f e c t i v e l y , w h i c h i n t u r n a r e s h a p e d b y t h e i r i d e a s a b o u t w h a t t h e r e i s t o l e a r n . D o p u p i l s n e e d d r i l l o n t h i s p r o c e d u r e s o t h a t t h e y k n o w i t “ c o l d “ ? D o t h e y n e e d a c l e a r e x p l a n a t i o n o f t h e p r o c e d u r e , a c c o m p a n i e d b y m n e m o n i c s t o h e l p t h e m r e m e m b e r , f o l l o w e d b y p r a c t i c e ? O r p e r h a p s t h e y n e e d a n o p p o r t u n i t y t o e x p l o r e w h y t h e p r o c e d u r e w o r k s . P r o s p e c t i v e t e a c h e r s ' a s s u m p t i o n s a b o u t w h a t t e a c h e r s s h o u l d d o w h e n k i d s h a v e a p p a r e n t l y f a i l e d t o 1 e a r n - - i . e . , w h a t s o m e c a l l “ r e m e d i a t i o n “ o - c o u l d a l s o i n f l u e n c e w h a t t h e y s a y a b o u t t h i s s c e n a r i o . o n e v i e w t h a t p r o s p e c t i v e t e a c h e r s a r e l i k e l y t o h o l d i s t h a t t e a c h e r s s h o u l d “ g o o v e r “ m a t e r i a l - - m o r e s l o w l y a n d s y s t e m a t i c a l l y - - w h e n s t u d e n t s h a v e n ' t l e a r n e d . T h e t a s k d e p e n d s a l s o o n k n o w l e d g e a n d a s s u m p t i o n s a b o u t s t u d e n t s . P r o s p e c t i v e t e a c h e r s ' i d e a s a b o u t c h i l d r e n o f t h i s a g e c o u l d p l a y a r o l e i n t h e i r t h i n k i n g a b o u t w h a t t o d o . F o r e x a m p l e , i f p r o s p e c t i v e t e a c h e r s k n o w t h a t t h i s t o p i c w a s p r o b a b l y f i r s t t a u g h t t o t h e s e p u p i l s i n f o u r t h o r f i f t h g r a d e , t h a t c o u l d a f f e c t t h e i r d e c i s i o n s 6 1 a b o u t w h a t t o d o . T h e i r n o t i o n s a b o u t h o w t o w o r k w i t h l 3 - y e a r - o l d s ' m a y a l s o p l a y a r o l e . W e r r i e d a b o u t s t u d e n t s ' f e e l i n g s a n d a b o u t t h e i r r e l a t i o n s w i t h s t u d e n t s , f o r e x a m p l e , t e a c h e r c a n d i d a t e s m a y b e r e l u c t a n t t o t e l l s t u d e n t s t h a t t h e y h a v e m a d e a n e r r o r - - a c o n s i d e r a t i o n t h a t c o u l d c o l o r t h e i r r e s p o n s e t o t h i s s i t u a t i o n i n y e t a n o t h e r w a y . I n r e a l t e a c h i n g , t h i s s i t u a t i o n w o u l d d e m a n d s o m e c o n s i d e r a t i o n o f t h e c l a s s r o o m c o n t e x t . F o r e x a m p l e , t h e s c e n a r i o s t a t e s t h a t “ s e v e r a l s t u d e n t s “ a r e h a v i n g d i f f i c u l t y w i t h t h e m u l t i p l i c a t i o n a l g o r i t h m . P r o s p e c t i v e t e a c h e r s m i g h t n o t t a k e t h e r e s t o f t h e c l a s s i n t o a c c o u n t , n o r w o n d e r w h e t h e r o t h e r p u p i l s w e r e h a v i n g s i m i l a r c o n f u s i o n s . M y h u n c h w a s t h a t m o s t p r o s p e c t i v e t e a c h e r s w o u l d r e s p o n d i n t e r m s o f o n e s t u d e n t . 1 3 A l t h o u g h t h e i s s u e s v a r y f r o m o n e s c e n a r i o t o a n o t h e r , t h e w a y i n w h i c h I h a v e o p e n e d u p t h i s p a r t i c u l a r q u e s t i o n ( 0 3 ) e x e m p l i f i e s t h e w a y i n w h i c h I b u i l t t h e a n a l y t i c c a t e g o r i e s i n t o t h e s c e n a r i o s . T h e s e t a s k s w e r e e x p e r i m e n t a l f r o m a m e t h o d o l o g i c a l p e r s p e c t i v e . T w o r e a s o n s u n d e r l i e m y e x p e r i m e n t a t i o n w i t h t h i s f o r m . F i r s t , i n o r d e r t o l e a r n a b o u t w h a t p r o s p e c t i v e t e a c h e r s u n d e r s t a n d w i t h i n t h e d o m a i n s o f t h e f r a m e w o r k , I w a n t e d t o a s k t h e m q u e s t i o n s w h i c h w o u l d p r o b e w h a t t h e y k n e w a n d ' b e l i e v e d a b o u t a n u m b e r o f s e p a r a t e d i m e n s i o n s - ~ m a t h e m a t i c s , f o r e x a m p l e . A t t h e s a m e t i m e , i n o r d e r t o l e a r n ' h o w t h e y w e a v e t o g e t h e r d i f f e r e n t k i n d s o f k n o w l e d g e a n d b e l i e f , q u e s t i o n s o r s i t u a t i o n s w h i c h w o u l d i n v i t e t h e t e a c h e r c a n d i d a t e s t o d r a w f r o m a . 1 3 I k n e w , h o w e v e r , t h a t m o s t o f t h e e x p e r i e n c e d t e a c h e r s w h o m I h a d i n t e r v i e w e d w i t h t h i s q u e s t i o n r e f e r r e d t o t h e r e s t o f t h e c l a s s . F o r e x a m p l e , s o m e s a i d t h a t t h e y w o u l d w a n t t o k n o w h o w m a n y p u p i l s w e r e m a k i n g t h i s m i s t a k e i n o r d e r t o d e c i d e w h e t h e r t o r e v i e w i t w i t h e v e r y o n e o r n o t . 6 2 n u m b e r o f a r e a s w e r e n e c e s s a r y . T h e g o a l s o f b e i n g b o t h a n a l y t i c a n d i n t e g r a t i v e a r e i n t e n s i o n w i t h e a c h o t h e r a t t i m e s ( I d i s c u s s t h i s m o r e i n t h e c o n t e x t o f i n d i v i d u a l a n a l y s e s ) . S t i l l , a s a n i n t e r v i e w f o r m , t h e s c e n a r i o s e e m e d t o h o l d p r o m i s e a s a m e a n s o f l e a r n i n g h o w p r o s p e c t i v e t e a c h e r s r e a s o n a b o u t t e a c h i n g . 1 ‘ W m I i n t e r v i e w e d e a c h p r o s p e c t i v e t e a c h e r t w i c e w i t h i n a t w o - w e e k p e r i o d . E a c h s e s s i o n l a s t e d a p p r o x i m a t e l y 1 h - 2 h o u r s . G e s t i n s _ i n a i d e _ t h e _ g u e § £ i s n a o P r o b i n g w a s c r i t i c a l i n o r d e r t o l e a r n . w h y p e o p l e s a i d t h e t h i n g s t h e y d i d - ~ w h a t t h e y w e r e d r a w i n g o n , w h a t t h e y u s e d t o j u s t i f y t h e i r d e c i s i o n s , w h e t h e r t h e y h a d a n y a l t e r n a t i v e s , a n d w h a t t h e y m e a n t b y t h e t h i n g s t h e y s a i d . I u s e d s o m e s t a n d a r d p r o b e s . F o r e x a m p l e , w h e n e v e r a p e r s o n d e s c r i b e d s o m e t h i n g h e o r s h e w o u l d d o w i t h a s t u d e n t , I a l w a y s a s k e d ( a s n e u t r a l l y a s p o s s i b l e ) g u y . I p r o b e d t o f i n d o u t i f t h e p e r s o n h a d o t h e r o p t i o n s i n h i s o r h e r r e p e r t o i r e - - i . e . , a l t e r n a t i v e i n t e r p r e t a t i o n s , c o u r s e s o f a c t i o n - - a n d i f s o , w h a t t h e c h o i c e d e p e n d e d o n . I a l s o p r o b e d t e r m s a n d p h r a s e s . A l t h o u g h b o t h m a t h e m a t i c a l v o c a b u l a r y a n d t h e l a n g u a g e o f t e a c h i n g a n d l e a r n i n g a r e i n t h e p u b l i c d o m a i n , p e o p l e f r e q u e n t l y m e a n d i f f e r e n t t h i n g s b y t h e s a m e t e r m s . I n a n e f f o r t t o g e t a s m u c h i n f o r m a t i o n a s p o s s i b l e a b o u t c e r t a i n t o p i c s o r i d e a s , I a s k e d , “ C o u l d y o u t e l l m e m o r e a b o u t t h a t ? “ 1 4 S c e n a r i o s , o r s t r u c t u r e d e x e r c i s e s , a r e b e i n g d e v e l o p e d a n d t r i e d b y r e s e a r c h e r s i n a n u m b e r o f c u r r e n t s t u d i e s ( e . g . , t h e N a t i o n a l C e n t e r f o r R e s e a r c h o n T e a c h e r E d u c a t i o n a t M i c h i g a n S t a t e U n i v e r s i t y ; t h e T e a c h e r A s s e s s m e n t P r o j e c t a t S t a n f o r d U n i v e r s i t y ; W i l s o n [ 1 9 8 8 ] ; a n d t h e C o n n e c t i c u t B e g i n n i n g T e a c h e r A s s e s s m e n t P r o j e c t . ) 6 3 a n d a l s o s o m e t i m e s j u s t r e f r a i n e d f r o m s a y i n g a n y t h i n g - - s i l e n c e f r e q u e n t l y p r o v e d t o b e a n e f f e c t i v e s t i m u l u s . S o m e t i m e s t h e p r o s p e c t i v e t e a c h e r s a s k e d . n e q u e s t i o n s . F o r i n s t a n c e , p e o p l e w a n t e d t o k n o w i f t h e i r m a t h e m a t i c s w a s “ r i g h t . “ W h e n t h i s h a p p e n e d , I t r i e d t o d e f l e c t t h e i r q u e r y a n d u s e i t i n s t e a d a s a n o p p o r t u n i t y t o l e a r n m o r e a b o u t t h e i r t h i n k i n g b y a s k i n g , “ W h a t i s i t a b o u t t h i s t h a t f e e l s c o n f u s i n g t o y o u ? “ T h a t p r o b e w a s o f t e n b o t h e f f e c t i v e a n d h e l p e d m e l e a r n m o r e a b o u t t h e p e r s o n ' s i d e a s a b o u t m a t h . S o m e t i m e s t h e t e a c h e r c a n d i d a t e s a s k e d w h a t I m e a n t b y a t e r m i n a q u e s t i o n o r o n a c a r d . I r e s p o n d e d b y a s k i n g w h a t i t m e a n t t o g h e e , o r b y s a y i n g t h a t p e o p l e s e e m t o h a v e d i f f e r e n t m e a n i n g s f o r t h a t t e r m a n d t h a t I w a s i n t e r e s t e d i n t h e i r i n t e r p r e t a t i o n o f i t . O v e r a l l , m y g e n e r a l p r i n c i p l e w a s t o g e t t h e t e a c h e r e d u c a t i o n s t u d e n t s t o h e l p m e u n d e r s t a n d t h e i r i d e a s , f e e l i n g s , a n d w a y s o f t h i n k i n g . B e e e r d i n g _ § h e _ i n § e x x i e g e . T h e i n t e r v i e w s e s s i o n s w e r e a u d i o t a p e d a n d v i d e o t a p e d ; t e c h n i c a l e q u i p m e n t w a s s e t u p t o b e a s u n o b t r u s i v e a s p o s s i b l e . A l t h o u g h s o m e o f t h e t e a c h e r e d u c a t i o n s t u d e n t s e x p r e s s e d a n x i e t y a b o u t b e i n g r e c o r d e d , I b e c a m e s o r e l a x e d a b o u t i t t h a t I c o u l d u s u a l l y p u t p e o p l e a t e a s e . T h e i n t e r v i e w s w e r e t a p e - r e c o r d e d s o t h a t I c o u l d o b t a i n v e r b a t i m t r a n s c r i p t i o n s . I n a n a l y z i n g t h e d a t a I w a n t e d t o e x a m i n e t h e m e t a p h o r s a n d t e r m s p e o p l e u s e d , a s w e l l a s t h e i r c a p a c i t y t o a r t i c u l a t e m a t h e m a t i c a l i d e a s . I a s s u m e d t h a t p e o p l e ' s i n f l e c t i o n a n d t o n e w o u l d c a r r y m e a n i n g , t o o . I a l s o w a n t e d a r e c o r d o f m y r o l e : h o w I p r o b e d a n d h o w I i n f l u e n c e d t h e p a c e o r d i r e c t i o n o f t h e i n t e r v i e w , f o r i n s t a n c e . 6 4 T h e v i d e o t a p e a l l o w e d m e t o r e c o r d n o n - v e r b a l i n f b r m a t i o n w h i c h I t h o u g h t w o u l d p l a y a r o l e i n i n t e r p r e t i n g i n t e r v i e w r e s p o n s e s . F o r e x a m p l e , I e x p e c t e d t h a t t h e p r o s p e c t i v e t e a c h e r s ' n o n - v e r b a l r e s p o n s e s t o q u e s t i o n s ( e . g . , p o s t u r e , f a c i a l e x p r e s s i o n ) w o u l d o f f e r c l u e s t o t h e i r a t t i t u d e s t o w a r d m a t h e m a t i c s a n d c o n c e p t i o n s o f t h e m s e l v e s a s k n o w e r s o f m a t h e m a t i c s . M o r e o v e r , v i d e o t a p e w o u l d a l l o w m e t o e x a m i n e f u r t h e r h o w I m a y h a v e a f f e c t e d t h e i n t e r v i e w s ( e . g . , s m i l i n g , n o d d i n g , s h i f t s i n p o s i t i o n ) . 1 5 T h e i n t e r v i e w s w e r e t r a n s c r i b e d a n d e d i t e d t o b e a s f a i t h f u l a s p o s s i b l e t o p e o p l e ' s e x a c t w o r d s , i n f l e c t i o n , a n d t o n e . T h e t r a n s c r i p t s a v e r a g e d o v e r 5 0 p a g e s s i n g l e - s p a c e d . W S t u d e n t a c a d e m i c r e c o r d s w e r e a n a d d i t i o n a l s o u r c e o f d a t a a b o u t t h e p r o s p e c t i v e t e a c h e r s . I o b t a i n e d t h e f o l l o w i n g i n f o r m a t i o n f o r e a c h s t u d y p a r t i c i p a n t : a ) H i g h s c h o o l : f i n a l g r a d e p o i n t a v e r a g e a n d r a n k i n g r a d u a t i n g c l a s s 6 ; b ) C o l l e g e m a t r i c u l a t i o n : c o l l e g e e n t r a n c e e x a m i n a t i o n s c o r e s ( S A T o r A C T ) , u n i v e r s i t y p l a c e m e n t t e s t s c o r e s ( E n g l i s h a n d m a t h e m a t i c s ) ; c ) C o l l e g e : u p - t o - d a t e c o l l e g e t r a n s c r i p t ( s h o w i n g c o u r s e s t a k e n a n d g r a d e s r e c e i v e d ) . I g a t h e r e d t h i s i n f o r m a t i o n f o r t w o r e a s o n s . O n o n e h a n d , I w a n t e d t o d e s c r i b e c e r t a i n a c a d e m i c c h a r a c t e r i s t i c s o f t h e p e o p l e I 1 5 I n f a c t , I h a v e d o n e l i t t l e a n a l y s i s o f t h e f a c e F t o - f a c e i n t e r a c t i o n a s r e c o r d e d o n t h e s e v i d e o t a p e s . I d i s c u s s r e a s o n s f o r t h i s i n t h e d a t a a n a l y s i s s e c t i o n o f t h i s c h a p t e r . 1 6 H i g h s c h o o l t r a n s c r i p t s w e r e a l s o r e q u e s t e d ' b u t w e r e u n a v a i l a b l e a s t h e u n i v e r s i t y d o e s n o t r e t a i n t h e s e o n f i l e . I n t h e i n t e r v i e w I d i d a s k p e o p l e w h a t t h e y t o o k i n . h i g h s c h o o l , b u t n o t w h a t t h e i r g r a d e s w e r e . 6 5 i n t e r v i e w e d . I a l s o w a n t e d t o b e a b l e t o r e s p o n d t o c r i t i c s w h o m i g h t c l a i m t h a t m y r e s u l t s w e r e d u e t o t h e p o o r a c a d e m i c c a l i b e r o f t h e s t u d e n t s w h o m I i n t e r v i e w e d . T h e a c a d e m i c d a t a s h o w t h a t t h i s w a s n o t t h e c a s e . O n t h e o t h e r h a n d , I a l s o w a n t e d t o c o n s i d e r p o s s i b l e c o n n e c t i o n s o r p a t t e r n s ( e . g . , b e t w e e n l e v e l o f m a t h e m a t i c a l c o u r s e - t a k i n g a n d p a r t i c u l a r i d e a s a b o u t m a t h e m a t i c s ) . A s p o l i c y m a k e r s a r g u e f o r i n c r e a s e d c o u r s e r e q u i r e m e n t s f o r t e a c h e r s , i t s e e m s i m p o r t a n t t o a s k q u e s t i o n s a b o u t t h e d i f f e r e n c e s a m o n g s t u d e n t s w h o h a v e b e e n s u c c e s s f u l ( i . e . , r e c e i v e d g o o d g r a d e s ) i n c o l l e g e m a t h , t h o s e w h o h a v e b e e n u n s u c c e s s f u l , a n d t h o s e w h o h a v e n o t e n r o l l e d i n m a t h c o u r s e s a t a l l . W h i l e t h i s s t u d y w a s n o t d e s i g n e d t o m a k e s u c h c o m p a r i s o n s , I t h o u g h t t h a t i t m i g h t s h e d l i g h t o n s o m e i m p o r t a n t i s s u e s w o r t h f u r t h e r e x p l o r a t i o n . W e I c o l l e c t e d d a t a o v e r t w o t e r m s , w i t h t w o g r o u p s o f p r o s p e c t i v e e l e m e n t a r y a n d s e c o n d a r y t e a c h e r s . T h i s t w o - t e r m d a t a c o l l e c t i o n c y c l e a l l o w e d m e t o b e g i n a n a l y z i n g w h a t I w a s l e a r n i n g f r o m t h e i n t e r v i e w s a n d , b a s e d o n t h i s p r e l i m i n a r y a n a l y s i s , s h a r p e n t h e f o c u s o f m y p r o b e s d u r i n g t h e i n t e r v i e w s a n d m o d i f y s o m e o f t h e i n t e r v i e w t a s k s i n r e l a t i v e l y m i n o r w a y s . T h e c h a n g e s i n c l u d e d a d d i n g p r o b e s , a l t e r i n g t h e s e t t i n g u p o f t a s k s , a n d r e v i s i n g c a r d s o r t s t a t e m e n t s . I a l s o c o l l e c t e d a c a d e m i c r e c o r d s d a t a . I n t h i s s e c t i o n I d i s c u s s t h e m e t h o d s u s e d t o a n a l y z e t h e d a t a . W T h e i n t e r v i e w t r a n s c r i p t s c o m p r i s e a n e n o r m o u s d a t a s e t ; i n f i n i t e p o s s i b i l i t i e s e x i s t f o r a n a l y s i s . S o m e r e s e a r c h q u e s t i o n s w o u l d 6 6 s u g g e s t a n a l y z i n g t h e d a t a b y i n d i v i d u a l , l e a d i n g t o t h e c o n s t r u c t i o n o f c a s e s a r o u n d p a r t i c u l a r i s s u e s o r t h e m e s . S i n c e t h e p u r p o s e o f m y s t u d y w a s t o d e s c r i b e w h a t p r o s p e c t i v e t e a c h e r s b r i n g t o t e a c h e r e d u c a t i o n a n d t o a r t i c u l a t e a t h e o r e t i c a l f r a m e w o r k t h a t w o u l d h e l p a p p r a i s e w h a t t h e y b r i n g , I f o c u s e d o n a n a l y t i c c o m p a r i s o n s a n d c o n t r a s t s e e z e e e i n d i v i d u a l s . T o d o t h i s , I a n a l y z e d t h e i n t e r v i e w t r a n s c r i p t s f r o m t h r e e p e r s p e c t i v e s : b y p e r s o n , b y q u e s t i o n , a n d b y a n a l y t i c t h e m e . g e d e e e 1 e n _ e n e _ e n e l y e 1 e _ h y e e e x e e n e D a t a a n a l y s i s b e g a n w i t h e d i t i n g t h e t r a n s c r i p t s . I l i s t e n e d t o e a c h i n t e r v i e w a n d e d i t e d t h e t r a n s c r i p t t o c o r r e s p o n d , a d d i n g e m p h a s i s , l a u g h s , c o r r e c t i n g t r a n s c r i p t i o n w h e r e n e c e s s a r y . A s I l i s t e n e d t o t h e t a p e d i n t e r v i e w s , I c r e a t e d a n e l a b o r a t e d i n d e x f o r e a c h t r a n s c r i p t . T h e i n d e x i n c l u d e d t h e p e r s o n ' s r e s p o n s e s t o e a c h q u e s t i o n , o t h e r s i g n i f i c a n t c o m m e n t s , a n d t h e p a g e n u m b e r s o f p a r t i c u l a r r e s p o n s e s . C r e a t i n g t h e s e i n d e x e s w a s h e l p f u l i n m a k i n g a c c e s s t o t h e t r a n s c r i p t s e a s i e r a n d a l s o i n b e g i n n i n g t o n o t i c e t h e m e s a c r o s s i n d i v i d u a l s . I w r o t e n o t e s t o m y s e l f : q u e s t i o n s , o b s e r v a t i o n s , a n d i d e a s f o r a n a l y s i s . T h e v i d e o t a p e s w e r e u s e d m a i n l y a s a m e a n s o f r e v i s i t i n g t h e i n t e r v i e w s a n d a u g m e n t i n g t h e i n d e x f o r e a c h p e r s o n . A d d i t i o n a l f e a t u r e s o f e a c h i n t e r v i e w w e r e n o t e d , i n c l u d i n g b o t h p e o p l e ' s n o n v e r b a l r e a c t i o n s a n d t h e i r c o m m e n t s . I d i d n o t , h o w e v e r , d o a c a r e f u l i n t e r a c t i o n a l a n a l y s i s . 1 7 W W A n o t h e r s t e p i n t h e p r o c e s s o f r e d u c i n g a n d a n a l y z i n g d a t a w a s t o r e a d t h e t r a n s c r i p t s b y i n t e r v i e w 1 7 U n d o u b t e d l y m o r e c o u l d b e l e a r n e d f r o m c a r e f u l a n a l y s i s o f t h e i n t e r a c t i o n s i n t h e s e i n t e r v i e w s . S t i l l , t h i s k i n d o f a n a l y s i s i s b e y o n d t h e s c o p e o r p r i m a r y f o c u s o f t h e p r e s e n t s t u d y . 6 7 q u e s t i o n . D r a w i n g f r o m c a r e f u l s u b s t a n t i v e a n a l y s e s o f e a c h q u e s t i o n ( s u c h a s t h e o n e I d i s c u s s e d a b o v e ) , I c r e a t e d a s e t o f p r o j e c t e d r e s p o n s e c a t e g o r i e s f o r e a c h o n e . A s I r e a d , I m o d i f i e d t h e s e c a t e g o r i e s t o b e t t e r a c c o m m o d a t e t h e k i n d s o f r e s p o n s e s p e o p l e g a v e . C o n s i d e r , f o r e x a m p l e , q u e s t i o n G 6 : S u p p o s e a s t u d e n t a s k s y o u w h a t 7 d i v i d e d b y 0 i s . H o w w o u l d y o u r e s p o n d ? . . . . W h y ? I n t h i s q u e s t i o n , a l o n g t h e d i m e n s i o n o f s u b s t a n t i v e m a t h e m a t i c a l k n o w l e d g e , I w a s l o o k i n g f o r e v i d e n c e o f p e o p l e ' s u n d e r s t a n d i n g o f t h e n u m b e r 0 , t h e c o n c e p t s o f d i v i s i o n , i n f i n i t y , a n d “ u n d e f i n e d . “ I a n t i c i p a t e d t h r e e b a s i c c a t e g o r i e s o f r e s p o n s e i n r e l a t i o n t o t h e m a t h e m a t i c s o f t h e q u e s t i o n : t h a t p e o p l e m i g h t f o c u s o n m e a n i n g , a r u l e , o r m i g h t n o t k n o w . 1 8 I c o n s t r u c t e d a t a b l e w i t h t h e s e t h r e e c o l u m n s a n d b e g a n r e a d i n g a n d c a t e g o r i z i n g p e o p l e ' s r e s p o n s e s t o t h e q u e s t i o n . I s o o n f o u n d t h a t t h i s s c h e m e w a s i n a d e q u a t e t o a c c o u n t f o r t h e d a t a . A m o n g t h e p e o p l e w h o f o c u s e d o n a r u l e , a l m o s t h a l f o f t h e n g a v e a n i n c o r r e c t r u l e - - e . g . , “ A n y t h i n g d i v i d e d b y O i s 0 , n o m a t t e r w h a t t h e n u m b e r i s . “ I n c o n t r a s t , s o m e p e o p l e g a v e a c o r r e c t r u l e - - s t a t i n g t h a t d i v i s i o n b y z e r o w a s u n d e f i n e d o r t h a t “ y o u c a n ' t d o i t . “ T h e d i f f e r e n c e b e t w e e n g i v i n g a c o r r e c t a n d a n i n c o r r e c t r u l e i s s i g n i f i c a n t i n a n a l y z i n g p e o p l e ' s u n d e r s t a n d i n g o f m a t h e m a t i c s a n d s o I m o d i f i e d t h e r u l e c a t e g o r y t o i n c l u d e s u b c a t e g o r i e s f o r c o r r e c t a n d i n c o r r e c t r u l e s . I r e t u r n e d t o c a t e g o r i z i n g p e o p l e ' s r e s p o n s e s , e n t e r i n g t h e i r n a m e s a n d k e y p h r a s e s i n t h e a p p r o p r i a t e c o l u m n s . 1 ' 8 F o r e x a m p l e , t h e y m i g h t f o c u s o n w h a t d i v i s i o n m e a n s , a n d s h o w h o w d i v i d i n g b y 0 d o e s n o t m a k e s e n s e . T h e y m i g h t s t a t e a r u l e - - “ Y o u c a n ' t d i v i d e b y O “ - - o r t h e y m i g h t s i m p l y n o t r e m e m b e r . 6 8 I c o n s t r u c t e d s u m m a r y a n a l y t i c t a b l e s f o r e a c h q u e s t i o n . H o s t q u e s t i o n s w e r e c r o s s - a n a l y z e d o n s e v e r a l d i m e n s i o n s : s u b j e c t m a t t e r u n d e r s t a n d i n g , i d e a s a b o u t t e a c h i n g , l e a r n i n g a n d t h e t e a c h e r ' s r o l e , a n d f e e l i n g s o r a t t i t u d e s a b o u t m a t h e m a t i c s , p u p i l s , o r s e l f . A s I p r o c e e d e d , I m o d i f i e d a n d e l a b o r a t e d t h e s e d i m e n s i o n s w h i c h w e r e p a r t o f m y i n i t i a l t h e o r e t i c a l f r a m e w o r k f o r e x a m i n i n g w h a t p r o s p e c t i v e t e a c h e r s b r i n g t o t e a c h e r e d u c a t i o n . T o a n a l y z e t h e t e a c h e r c a n d i d a t e s ' r e s p o n s e s t o t h e c a r d s o r t t a s k , I c o n s t r u c t e d a m a t r i x o f i t e m s b y p e o p l e . U s i n g a g r i d , I e n t e r e d e a c h p e r s o n ' s s o r t : a g r e e , d i s a g r e e , n o t s u r e . T h i s m a t r i x a l l o w e d m e t o l o o k f o r p a t t e r n s , s u c h a s s t a t e m e n t s c l a s s i f i e d i n t h e s a m e w a y b y e v e r y o n e , s t a t e m e n t s w h e r e t h e r e s e e m e d t o b e a s p l i t b e t w e e n e l e m e n t a r y a n d s e c o n d a r y m a j o r s , a n d s t a t e m e n t s w h i c h r e v e a l e d c o n s i d e r a b l e v a r i a t i o n . A n a l y § 1 § _ h y _ ; h g n g ‘ O n e m o r e l e v e l o f a n a l y s i s w a s t h e m a t i c , u s i n g t h e m e s t h a t I b r o u g h t t o t h e s t u d y , s u c h a s s u b j e c t m a t t e r u n d e r s t a n d i n g o r i d e a s a b o u t t e a c h i n g , b u t m o d i f i e d a n d e l a b o r a t e d b y t h e p e r s o n - a n d q u e s t i o n - l e v e l a n a l y s e s a n d f u r t h e r r e a d i n g . T h e b a s i c t h e m a t i c q u e s t i o n s w e r e : 1 . H o w d i d t h e p r o s p e c t i v e t e a c h e r s u n d e r s t a n d m a t h e m a t i c s ? 2 . H o w d i d t h e p r o s p e c t i v e t e a c h e r s f e e l a b o u t m a t h e m a t i c s a n d a b o u t t h e m s e l v e s i n r e l a t i o n t o m a t h e m a t i c s ? 3 . W h a t i d e a s d i d t h e p r o s p e c t i v e t e a c h e r s h a v e a b o u t t e a c h i n g , l e a r n i n g , a n d t h e t e a c h e r ' s r o l e w i t h r e s p e c t t o t e a c h i n g m a t h e m a t i c s ? 4 . W h a t d i d t h e p r o s p e c t i v e t e a c h e r s k n o w a n d a s s u m e a b o u t s t u d e n t s a s l e a r n e r s o f m a t h e m a t i c s ? 5 . W h a t d i d t h e p r o s p e c t i v e t e a c h e r s s e e m t o c o n s i d e r i n d e c i d i n g w h a t t o d o i n p a r t i c u l a r m a t h e m a t i c s t e a c h i n g s i t u a t i o n s ? 6 9 A s t h e t h e m e s f o r m t h e c o r e o f C h a p t e r s 3 - 6 , I d i s c u s s m y a n a l y s i s o f t h e s e q u e s t i o n s i n c o n t e x t . W I a n a l y z e d t h e s t u d e n t s ' a c a d e m i c r e c o r d s a f t e r I h a d a n a l y z e d t h e i n t e r v i e w d a t a . Q u e s t i o n s a n d p a t t e r n s s u g g e s t e d b y t h e i n t e r v i e w a n a l y s i s h e l p e d m e d e c i d e w h i c h d a t a w e r e m o s t r e l e v a n t t o a n a l y z e i n i n v e s t i g a t i n g w h a t p r o s p e c t i v e t e a c h e r s b r i n g t o l e a r n i n g t o t e a c h m a t h e m a t i c s . F o r e x a m p l e , b e c a u s e m a n y o f t h e s e c o n d a r y t e a c h e r c a n d i d a t e s w e r e u n a b l e t o c o r r e c t l y a n s w e r o r a r t i c u l a t e l y e x p l a i n b a s i c m a t h e m a t i c a l c o n c e p t s , I w a n t e d t o k n o w h o w s u c c e s s f u l t h e y h a d b e e n i n t h e i r m a t h e m a t i c s c o u r s e s a s r e f l e c t e d i n f i n a l c o u r s e g r a d e s . B e c a u s e s o m a n y e l e m e n t a r y a n d s e c o n d a r y t e a c h e r c a n d i d a t e s h a d d i f f i c u l t y w i t h t h e m a t h e m a t i c s c o n t e n t o f t h e i n t e r v i e w , I a l s o d e c i d e d t o e x a m i n e h o w t h e s e s t u d e n t s c o m p a r e d t o a l l c o l l e g e - b o u n d s e n i o r s b y l o o k i n g a t r a n k i n h i g h s c h o o l g r a d u a t i n g c l a s s a n d c o l l e g e e n t r a n c e e x a m i n a t i o n s c o r e s . I u s e d t h e f o l l o w i n g q u e s t i o n s , b a s e d o n a n a l y z i n g t h e i n t e r v i e w t r a n s c r i p t s , t o g u i d e m y e x a m i n a t i o n o f t h e s t u d e n t s ' a c a d e m i c r e c o r d s : 1 . I n g e n e r a l , h o w w e r e t h e s e s t u d e n t s d o i n g i n c o l l e g e ? 2 . H o w d i d t h e s e s t u d e n t s c o m p a r e w i t h o t h e r s t u d e n t s i n . h i g h s c h o o l - - i n g e n e r a l a n d i n m a t h e m a t i c s ? 3 . W h a t m a t h e m a t i c s h a v e t h e s e s t u d e n t s t a k e n i n h i g h s c h o o l a n d c o l l e g e ? 4 . H o w s u c c e s s f u l h a v e t h e y b e e n i n c o l l e g e m a t h e m a t i c s c o u r s e s ? 5 . O n a l l t h e s e d i m e n s i o n s , h o w d o t h e e l e m e n t a r y a n d s e c o n d a r y m a j o r s c o m p a r e ? F i r s t I r e a d e a c h s t u d e n t ' s f i l e . E a c h f i l e c o n s i s t e d o f a c o m p l e t e c u r r e n t M i c h i g a n S t a t e U n i v e r s i t y t r a n s c r i p t , c o l l e g e 7 0 e n t r a n c e e x a m i n a t i o n s c o r e s , h i g h s c h o o l g r a d e p o i n t a v e r a g e a n d f i n a l c l a s s s t a n d i n g ( f o r s t u d e n t s w h o e n t e r e d K 8 0 d i r e c t l y f r o m h i g h s c h o o l o n l y ) . p r e v i o u s c o l l e g e t r a n s c r i p t s ( f o r s t u d e n t s w h o t r a n s f e r r e d t o H 8 1 1 f r o m a n o t h e r c o l l e g e ) , a n d [ ( 8 0 p l a c e m e n t t e s t s c o r e s . I c a l c u l a t e d e a c h s t u d e n t ' s c u m u l a t i v e g r a d e p o i n t a v e r a g e o v e r a l l a n d i n m a t h e m a t i c s . I c o n s t r u c t e d a l a r g e s u m m a r y t a b l e i n w h i c h I c o l l e c t e d a n d d i s p l a y e d t h e s e l e c t e d d a t a b y i n d i v i d u a l s t u d e n t : a g e , n u m b e r o f c r e d i t s c o m p l e t e d o v e r a l l a n d i n m a t h , g r a d e p o i n t a v e r a g e o v e r a l l a n d i n m a t h e m a t i c s , m a t h e m a t i c s c o u r s e s t a k e n a n d g r a d e s r e c e i v e d i n e a c h , c o l l e g e e n t r a n c e e x a m i n a t i o n s c o r e s ( s c a l e d s c o r e s a n d p e r c e n t i l e r a n k s ) , H 8 0 p l a c e m e n t s c o r e s i n a r i t h m e t i c a n d m a t h e m a t i c s , a n d , w h e r e a v a i l a b l e , h i g h s c h o o l g r a d e p o i n t a v e r a g e a n d r a n k . N e x t , w o r k i n g f r o m t h i s s u m a r y t a b l e , I c o n s t r u c t e d s m a l l e r w o r k i n g t a b l e s t o r e d u c e a n d a g g r e g a t e i n f o r m a t i o n a b o u t t h e “ 1 9 s t u d e n t s . I d e c i d e d w h i c h t a b l e s t o m a k e b a s e d o n q u e s t i o n s r a i s e d b y m y a n a l y s i s o f t h e i n t e r v i e w s . F o r e x a m p l e , I d e v e l o p e d t a b l e s t o c o m p a r e t h e n u m b e r o f c o l l e g e c r e d i t s c o m p l e t e d i n m a t h e m a t i c s a n d t h e n u m b e r o f y e a r s o f h i g h s c h o o l m a t h t a k e n b y t h e e l e m e n t a r y a n d s e c o n d a r y t e a c h e r c a n d i d a t e s . O t h e r t a b l e s i n c l u d e d : g r a d e p o i n t a v e r a g e s o v e r a l l a n d i n m a t h e m a t i c s b y i n t e r v a l s , m e a n s a n d s t a n d a r d d e v i a t i o n s o f g r a d e p o i n t a v e r a g e s o v e r a l l a n d i n m a t h e m a t i c s o f t h e e l e m e n t a r y a n d s e c o n d a r y t e a c h e r g r o u p s , t y p e o f h i g h s c h o o l a t t e n d e d ( s i z e , l o c a t i o n , p u b l i c / p r i v a t e ) , a n d m a t h e m a t i c s c o l l e g e e n t r a n c e e x a m i n a t i o n s c o r e s b y i n t e r v a l . T h e s e t a b l e s e n a b l e d m e t o e x a m i n e p a t t e r n s w i t h i n t h e d a t a ( M i l e s 6 H u b e r m a n , 1 9 8 4 ) . A s u m a r y o f m y 7 1 a n a l y s i s o f t h e p r o s p e c t i v e t e a c h e r s ' a c a d e m i c r e c o r d s i s p r e s e n t e d i n A p p e n d i x A . W a i n “ T h e p r o c e s s o f a n a l y s i s w a s a s p i r a l l i n g o n e , f o r t h e t h e m e s w e r e b o t h t h e f r a m e s o f t h e a n a l y s i s a n d t h e r e s u l t s o f t h e s t u d y . I n t h i s s e c t i o n I w i l l i l l u s t r a t e t h i s w i t h a . b r i e f d i s c u s s i o n o f t h e e v o l u t i o n o f t h e t h e m e o f s u b j e c t m a t t e r u n d e r s t a n d i n g . A t t h e s t a r t o f t h e s t u d y , I d i v i d e d s u b j e c t m a t t e r k n o w l e d g e i n t o c a t e g o r i e s , d i s t i n g u i s h i n g b e t w e e n w h a t I c a l l e d k n o w l e d g e o f a n d . g h g g § m a t h e m a t i c s . B y k n o w l e d g e g t m a t h e m a t i c s , I m e a n t a n u n d e r s t a n d i n g o f t h e s u b s t a n c e - ~ t h e t o p i c s , c o n c e p t s , p r o c e d u r e s - o o f t h e s u b j e c t ; I c l a i m e d t h a t t e a c h e r s n e e d e d “ f l e x i b l e “ u n d e r s t a n d i n g o f t h e s e . I a l s o i n c l u d e d S h u l m a n ' s ( 1 9 8 6 ) c o n c e p t o f “ p e d a g o g i c a l c o n t e n t k n o w l e d g e “ - - w a y s o f r e p r e s e n t i n g m a t h e m a t i c s s o t h a t o t h e r s c a n u n d e r s t a n d - ~ w h i c h , I c l a i m e d , i n c l u d e d “ b o t h w h a t t e a c h e r s n e e d t o k n o w a n d h o w t h e y n e e d t o k n o w i t “ ( B a l l , 1 9 8 6 , p . 8 ) . B y k n o w l e d g e a b o u t m a t h e m a t i c s , I m e a n t i d e a s a b o u t w h a t m a t h e m a t i c s i s - - w h e r e i t c o m e s f r o m , w h a t i t i s g o o d f o r , a n d h o w r i g h t a n s w e r s a r e e s t a b l i s h e d . I a l s o h a d a s e p a r a t e c a t e g o r y : “ a t t i t u d e s t o w a r d m a t h e m a t i c s a n d s e n s e o f s e l f i n r e l a t i o n t o m a t h e m a t i c s . “ W h i l e n o n e o f t h e s e i d e a s w a s e n t i r e l y o f f t h e m a r k , n e i t h e r w a s a n y o n e a d e q u a t e l y c o n c e p t u a l i z e d . F o r e x a m p l e , I h a d n o o p e r a t i o n a l m e a n s o f i d e n t i f y i n g “ f l e x i b l e “ u n d e r s t a n d i n g . I a l s o d i d n o t a n t i c i p a t e t h e i n t e r p r e t i v e i s s u e s e n t a i l e d i n a n a l y z i n g t e a c h e r c a n d i d a t e s ' “ r i g h t “ a n s w e r s . F o r e x a m p l e , w h e n p r o s p e c t i v e t e a c h e r s s a i d t h a t d i v i s i o n b y z e r o w a s “ u n d e f i n e d “ o r t h a t “ y o u c a n ' t d i v i d e 7 2 b y 0 , “ t h e y w e r e c o r r e c t . Y e t s a y i n g t h a t d i v i s i o n b y z e r o i s u n d e f i n e d r e p r e s e n t s a q u a l i t a t i v e l y d i f f e r e n t k i n d o f u n d e r s t a n d i n g t h a n s a y i n g t h a t t h e r e i s n o n u m b e r t h a t c a n . b e m u l t i p l i e d b y O t o y i e l d 7 . T h e l a t t e r e x p l a i n s w h y i t i s u n d e f i n e d - o t h a t i t v i o l a t e s t h e g g i i n i g i g n o f d i v i s i o n - o w h i l e t h e f o r m e r i s n o m o r e t h a n t h e r e s t a t e m e n t o f a r u l e . I n a s i m i l a r v e i n , w h i l e “ h o w r i g h t a n s w e r s a r e j u s t i f i e d “ m a k e s s e n s e a s a d i m e n s i o n o f k n o w l e d g e a b o u t m a t h e m a t i c s , I d i d n ' t f u l l y a p p r e c i a t e h o w t h a t u n d e r s t a n d i n g p l a y s o u t i n t e a c h e r s ' e x p l a n a t i o n s u n t i l I h a d r e a d a n d r e - r e a d t e a c h e r c a n d i d a t e s ' i n t e r v i e w s . M o r e o v e r , m y c o n c e p t i o n o f s u b j e c t m a t t e r k n o w l e d g e d i d n o t d e a l w i t h t h e c o n n e c t i o n s b e t w e e n k n o w l e d g e o f a n d a n o n ; m a t h e m a t i c s o - g g , f o r e x a m p l e , i n t h e c a s e o f d i v i s i o n b y z e r o . I n t h i s e x a m p l e , k n o w i n g t h a t d i v i s i o n b y z e r o i s u n d e f i n e d a n d k n o w i n g w h y g o h a n d i n h a n d t o c o m p r i s e c o n c e p t u a l u n d e r s t a n d i n g . I s u b s t a n t i a l l y r e v i s e d t h e i n i t i a l c o n c e p t u a l i z a t i o n s o f “ s u b j e c t m a t t e r k n o w l e d g e “ o v e r t h e c o u r s e o f t h e s t u d y , b o t h t h r o u g h d i r e c t a n a l y s i s o f i n t e r v i e w d a t a , r e a d i n g , w r i t i n g , a n d o t h e r c o n c e p t u a l w o r k i n w h i c h I w a s e n g a g e d . F o r i n s t a n c e , I h a d a s s e r t e d f r o m t h e s t a r t t h a t t e a c h e r s n e e d t o u n d e r s t a n d c o n c e p t s , n o t j u s t g e t r i g h t a n s w e r s . A n u n c o n t r o v e r s i a l c l a i m , i t p r o v e d t h o r n y i n a n a l y z i n g w h a t t h e p r o s p e c t i v e t e a c h e r s k n e w . I n s o m e c a s e s t h e y s e e m e d t o k n o w m o r e t h a n t h e y c o u l d s a y . T h i s p u s h e d m e t o c o n s i d e r w h a t i t m e a n s t o s a y s o m e o n e “ k n o w s “ s o m e t h i n g i n m a t h e m a t i c s , a s w e l l a s h o w t o i n f e r w h a t p e o p l e u n d e r s t a n d . S e v e r a l o f t h e p r o s p e c t i v e t e a c h e r s c o u l d “ d o “ t h e m a t h p r e s e n t e d i n t h e i n t e r v i e w q u e s t i o n s a n d t h e i r c o m m e n t s s u g g e s t e d t h a t t h e y k n e w ' m o r e a b o u t w h a t t h e y w e r e d o i n g t h a n j u s t t h e s t e p s o f t h e a l g o r i t h m . Y e t t h e y w e r e v a g u e o r a w k w a r d i n e x p l a i n i n g t h e i r 7 3 u n d e r s t a n d i n g s . O n e t e a c h e r c a n d i d a t e e x c l a i m e d a t o n e p o i n t , “ I k n o w w h a t I ' m s a y i n g , I k n o w ’ w h a t I ' m t h i n k i n g , I j u s t d o n ' t k n o w i f I c a n e x p l a i n i t ! “ I s a w t h a t I n e e d e d t o a r t i c u l a t e m o r e c l e a r l y w h a t I m e a n t b y “ k n o w l e d g e o f a n d a b o u t m a t h e m a t i c s “ i n o r d e r t o d e s c r i b e t h e u n d e r s t a n d i n g s t h a t p r o s p e c t i v e t e a c h e r s b r i n g t o t e a c h e r e d u c a t i o n . I w o r k e d w i t h t h e i n t e r v i e w d a t a , l o o k i n g m o r e c l o s e l y a t i n s t a n c e s w h e r e p e o p l e d i d n o t a r t i c u l a t e c o n c e p t s . I a l s o r e a d w h a t o t h e r s h a v e w r i t t e n a b o u t k n o w l e d g e i n o r d e r t o c o n c e p t u a l i z e w h a t s e e m e d t o b e “ s u b m e r g e d , “ o r p e r h a p s t a c i t , u n d e r s t a n d i n g s o f c o n c e p t s . I s t a c i t k n o w l e d g e s u f f i c i e n t f o r t e a c h e r s ? fl o w i s i t d i f f e r e n t f r o m e x p l i c i t b u t a l g o r i t h m i c k n o w l e d g e ? A n o t h e r d i m e n s i o n o f s u b j e c t m a t t e r k n o w l e d g e , k n o w l e d g e a b o u t m a t h e m a t i c s , w a s a l s o e l a b o r a t e d d u r i n g t h e s t u d y . O n e p r o b l e m w a s t h e t e r m “ k n o w l e d g e . “ T h e p r o s p e c t i v e t e a c h e r s k n o w t h i n g s a b o u t m a t h e m a t i c s - - f o r e x a m p l e , t h a t u n s o l v e d p r o b l e m s e x i s t , o r t h a t e x a m p l e s a r e n o t p r o o f s . T h e y a l s o h e l d b e l i e f s a b o u t m a t h t h a t a r e n o ; t r u e - - t h a t p r o b l e m s h a v e o n e d e f i n i t e a n s w e r , o r t h a t d o i n g p r o o f s i n v o l v e s c o r r e c t l y r e p r o d u c i n g a s e r i e s o f m e m o r i z e d s t e p s . W h e n t h e y “ e x p l a i n e d “ t h i n g s t o h y p o t h e t i c a l s t u d e n t s i n t h e i n t e r v i e w s , t h e i r e x p l a n a t i o n s w e r e o f t e n s i m p l y r e s t a t e m e n t s o f r u l e s o r d e f i n i t i o n s - - a w e a k f o r m o f e x p l a n a t i o n . M o r e o v e r , t h e i r i d e a s a b o u t m a t h w e r e p a r t o f t h e l a r g e r w e b o f p e r s o n a l u n d e r s t a n d i n g o f m a t h e m a t i c s w h i c h i n c l u d e d t h e i r f e e l i n g s a b o u t t h e m s e l v e s i n r e l a t i o n t o t h e s u b j e c t . F o r e x a m p l e , i n t r y i n g t o d e t e r m i n e t h e r e a s o n a b l e n e s s o f n o v e l s t u d e n t i d e a s , s e v e r a l p r o s p e c t i v e t e a c h e r s w e r e v e r y u n c e r t a i n . T h e i r u n c e r t a i n t y s t e m m e d f r o m t w o i n t e r a c t i n g n o t i o n s : o n o n e h a n d , 7 4 t h a t m a t h i s a r b i t r a r y a n d f i l l e d w i t h “ w e i r d o e x c e p t i o n s , “ a n d , o n t h e o t h e r , t h a t t h e y f e l t t h e y w e r e p e r s o n a l l y n o t g o o d a t m a t h . F u r t h e r m o r e , a s I a n a l y z e d t h e w a y s i n w h i c h p r o s p e c t i v e t e a c h e r s r e p r e s e n t e d t h e i r u n d e r s t a n d i n g s o f t h e m a t h e m a t i c a l c o n t e n t i n t h e q u e s t i o n s , t h e p r o b l e m o f c o n c e p t u a l i z i n g s u b j e c t m a t t e r k n o w l e d g e f o r t e a c h i n g i n c r e a s e d f o r m e . I r e a d l i t e r a t u r e a b o u t t h e k i n d o f s u b j e c t m a t t e r k n o w l e d g e t h a t t e a c h e r s n e e d a n d w o r k e d w i t h t h e i n t e r v i e w d a t a i n r e l a t i o n t o w h a t I w a s r e a d i n g . T h e c o n c e p t u a l f r a m e w o r k i n m y o r i g i n a l p r o p o s a l i n c l u d e d “ p e d a g o g i c a l c o n t e n t k n o w l e d g e “ ( S h u l m a n , 1 9 8 6 ) w i t h i n s u b j e c t m a t t e r k n o w l e d g e , b u t l e f t . s u b j e c t m a t t e r k n o w l e d g e s e p a r a t e f r o m o t h e r d o m a i n s o f k n o w l e d g e a n d b e l i e f - - e . g . , a b o u t t e a c h i n g a n d l e a r n i n g , a b o u t l e a r n e r s , o r a b o u t t h e c o n t e x t ) . T h e i n t e r v i e w s m a d e m e r e a l i z e t h a t t h i s w a s t o o s t a t i c ; i t d i d n o t a c c o u n t f o r t h e w a y s i n w h i c h t e a c h e r s “ i d e a s a b o u t s t u d e n t s s h a p e h o w t e a c h e r s r e p r e s e n t t h e s u b j e c t , o r h o w t h e p a r t i c u l a r s u b j e c t m a t t e r m a y i n f l u e n c e a t e a c h e r ' s b e l i e f s a b o u t g o o d t e a c h i n g . I t s e e m e d t o m e t h a t t h e i n t e r a c t i o n a m o n g t h e s e d i f f e r e n t d o m a i n s w a s c r i t i c a l i n t h i n k i n g a b o u t t e a c h i n g m a t h e m a t i c s , a n d t h a t I n e e d e d t o f o c u s b o t h o n w h a t p r o s p e c t i v e t e a c h e r s k n o w g a g o n h o w t h e i r i d e a s i n t e r a c t . I d r e w a l o t o f V e n n d i a g r a m s , t r y i n g t o r e p r e s e n t t h e r e l a t i o n s h i p s i n t e a c h i n g b e t w e e n p e o p l e ' s p e r s o n a l u n d e r s t a n d i n g s o f m a t h e m a t i c s a n d t h e i r i d e a s a b o u t t e a c h i n g a n d l e a r n i n g . S o m e o f m y e f f o r t s s e e m e d t o p o r t r a y t h e s e d i f f e r e n t d o m a i n s o f k n o w l e d g e i n o v e r l a p p i n g , b u t s t a t i c , b o x e s . W h e r e w a s p e d a g o g i c a l t h i n k i n g ( F e i m a n - N e m s e r & B u c h m a n n , 1 9 8 6 ) i n s u c h a m o d e l ? O t h e r a t t e m p t s I m a d e s e e m e d t o d i s c o u n t a n y a c c u m u l a t i o n o f p e d a g o g i c a l k n o w l e d g e , a n d i m p l i e d t h a t t e a c h e r s g e n e r a t e e v e r y t h i n g 7 S t h e m s e l v e s , f r o m s c r a t c h , e a c h t i m e t h e y t e a c h s o m e o n e s o m e t h i n g . I n s t u d y i n g t h e i n t e r v i e w s , I t r i e d t o d e v e l o p a b e t t e r w a y o f t a l k i n g a b o u t “ s u b j e c t m a t t e r k n o w l e d g e , “ a w a y t h a t c o u l d m o r e a d e q u a t e l y c a p t u r e w h a t I o b s e r v e d a s t h e p r o s p e c t i v e t e a c h e r s w o r k e d . w i t h m a t h e m a t i c s i n t h e i n t e r v i e w ; D e v e l o p i n g a c l e a r e r c o n c e p t u a l i z a t i o n o f s u b j e c t m a t t e r k n o w l e d g e a n d s u b j e c t m a t t e r k n o w l e d g e f o r t e a c h i n g w a s a s p i r a l l i n g p r o c e s s w h i c h d r e w o n b o t h t h e d a t a a n d o n o u t s i d e l i t e r a t u r e . I g i v e t h i s c a s e f r o m t h e i n t e l l e c t u a l h i s t o r y o f m y d i s s e r t a t i o n r e s e a r c h a s a n i l l u s t r a t i o n o f t h e c l o s e i n t e r p l a y b e t w e e n m y i n i t i a l i d e a s , t h e d a t a I c o l l e c t e d , a n d t h e c o n c e p t u a l w o r k . M o r e o f t h i s s t o r y w i l l e m e r g e t h r o u g h o u t t h e n e x t f o u r c h a p t e r s o f t h i s d i s s e r t a t i o n . I n C h a p t e r s 3 t h r o u g h 6 , I d e s c r i b e a n d a n a l y z e t h e k n o w l e d g e , b e l i e f s , a n d a s s u m p t i o n s o f t h e p r o s p e c t i v e t e a c h e r s w h o m I i n t e r v i e w e d . T h e d i s c u s s i o n i n c l u d e s b o t h c o n c e p t u a l a n d e m p i r i c a l r e s u l t s i n t h e d o m a i n s o f f o c u s . I n C h a p t e r 6 , I p r e s e n t a t h e o r e t i c a l f r a m e w o r k f o r i n t e g r a t i n g t h e s e d o m a i n s i n t o a m o d e l o f p e d a g o g i c a l t h i n k i n g i n t h e t e a c h i n g o f m a t h e m a t i c s , a m o d e l t h a t c a n b e u s e d t o d e s c r i b e a n d a p p r a i s e t h e k n o w l e d g e a n d r e a s o n i n g o f b e g i n n i n g a s w e l l a s e x p e r i e n c e d t e a c h e r s . T h u s , C h a p t e r s 3 t h r o u g h 6 c o m p r i s e t h e r e s u l t s o f t h i s r e s e a r c h , p r o v i d i n g f i n d i n g s a b o u t t h e s e p r o s p e c t i v e t e a c h e r s , a s w e l l a s a d v a n c i n g a t h e o r e t i c a l f r a m e w o r k . C H A P T E R 3 P R O S P E C T I V E T B A C H E R S ' S U B S I A I T I V B I K R O W L E D G B . O P H I A I H E H B I I C S I a m r e a l l y w o r r i e d a b o u t t e a c h i n g s o m e t h i n g t o k i d s I m a y n o t k n o w . L i k e l o n g d i v i s i o n - - I c a n d o i t - - b u t I d o n ' t k n o w i f I c o u l d r e a l l y g e a g h i t b e c a u s e I d o n ' t k n o w i f I r e a l l y E n g ! i t o r k n o w h o w t o 1 2 ; ; i t . ( C a t h y , e l e m e n t a r y t e a c h e r c a n d i d a t e ) T e a c h i n g t h e m a t e r i a l i s n o p r o b l e m . I h a v e h a d s o m u c h m a t h n o w - - I f e e l v e r y r e l a x e d a b o u t a l g e b r a a n d g e o m e t r y . ( M a r k , p r o s p e c t i v e s e c o n d a r y m a t h e m a t i c s t e a c h e r ) I ' m n o t s c a r e d t h a t k i d s w i l l a s k m e , y o u k n o w , a g g m p g i g g i g n g i q u e s t i o n t h a t I c a n n o t s o l v e , I ' m m o r e w o r r i e d a b o u t a n s w e r i n g g g n g g p g u g i q u e s t i o n s . R i g h t n o w , m y b i g g e s t f e a r - ~ a n d I ' m g o i n g t o h a v e t o c o n f r o n t t h i s o n t h e 3 r d o f F e b r u a r y - ~ i s w h a t I a m g o i n g t o d o i f t h e y a s k m e s o m e k i n d o f q u e s t i o n l i k e , “ W h y a r e t h e r e n e g a t i v e n u m b e r s ? “ ( C i n d y , p r o s p e c t i v e s e c o n d a r y m a t h e m a t i c s t e a c h e r ) C a t h y , M a r k , a n d C i n d y d i f f e r i n w h a t t h e y t h i n k t h e y n e e d t o k n o w i n o r d e r t o t e a c h m a t h e m a t i c s , a s w e l l a s i n t h e i r a s s e s s m e n t s o f t h e i r o w n p r e p a r e d n e s s i n m a t h e m a t i c s . W h i l e M a r k h a s c o n f i d e n c e i n t h e s u f f i c i e n c y o f h i s m a t h e m a t i c s k n o w l e d g e , b o t h C i n d y a n d C a t h y s u s p e c t t h a t t h e y m a y c o m e u p s h o r t w h e n t h e y t r y t o t e a c h . F r o m a b r o a d e r p e r s p e c t i v e , t h e s e t h r e e t e a c h e r c a n d i d a t e s r e p r e s e n t a l t e r n a t i v e p o i n t s o f v i e w a b o u t t h e s u b j e c t m a t t e r p r e p a r a t i o n o f t e a c h e r s . C a t h y ' s v i e w - ~ t h a t s h e u n d e r s t a n d s t h e m a t h e m a t i c s h e r s e l f , b u t n e e d s t o l e a r n t o t e g g h i t - - i s t h e b a s i s f o r t r a d i t i o n a l f o r m a l p r e s e r v i c e t e a c h e r e d u c a t i o n . H a r k e x p r e s s e s a v i e w t h a t u n d e r g i r d s m a n y o f t h e c u r r e n t p r o p o s a l s t o r e f o r m t e a c h e r e d u c a t i o n : t h a t p e o p l e w h o h a v e m a j o r e d i n m a t h e m a t i c s a r e s t e e p e d i n t h e s u b j e c t m a t t e r a n d h a v e t h u s a c q u i r e d t h e s u b j e c t m a t t e r k n o w l e d g e n e e d e d t o t e a c h . C i n d y ' s f e a r t h a t , a l t h o u g h s h e c a n 9 2 t h e m a t h e m a t i c s , s h e m a y n o t h a v e t h e k i n d o f u n d e r s t a n d i n g s h e w i l l n e e d i n o r d e r t o h e l p 7 6 7 7 s t u d e n t s l e a r n , i s a f e a r s h a r e d b y a f e w a n d i s t h e b a s i s o f t h i s s t u d y . T h e m a t h e m a t i c s k n o w l e d g e t h a t p r o s p e c t i v e t e a c h e r s b r i n g t o t e a c h e r e d u c a t i o n i s t h e f o c u s o f t h e n e x t t w o c h a p t e r s o f t h i s d i s s e r t a t i o n . D e s p i t e t h e f a c t t h a t s u b j e c t m a t t e r k n o w l e d g e i s l o g i c a l l y c e n t r a l t o t e a c h i n g ( B u c h m a n n , 1 9 8 4 ) , t h e s u b j e c t m a t t e r k n o w l e d g e o f p r o s p e c t i v e t e a c h e r s r a r e l y f i g u r e s p r o m i n e n t l y i n p r e p a r i n g t e a c h e r s . A l t h o u g h t h e c o n s t r a i n t s o n f o r m a l p r e s e r v i c e t e a c h e r e d u c a t i o n a r e o f t e n o f f e r e d a s t h e e x p l a n a t i o n f o r t h e f a c t t h a t t h e s u b j e c t m a t t e r p r e p a r a t i o n o f t e a c h e r s i s l e f t t o p r e c o l l e g e a n d “ l i b e r a l a r t s “ c o l l e g e m a t h e m a t i c s c l a s s e s , I a r g u e t h a t t h i s t y p i c a l a r r a n g e m e n t r e f l e c t s i m p l i c i t a n d q u e s t i o n a b l e a s s u m p t i o n s a b o u t t h e u n d e r s t a n d i n g s o f m a t h e m a t i c s t h a t p r o s p e c t i v e t e a c h e r s b r i n g t o t e a c h e r e d u c a t i o n , a b o u t w h a t t h e y n e e d t o k n o w i n o r d e r t o t e a c h m a t h e m a t i c s , a n d w h e r e a n d w h e n t h a t c a n b e s t b e l e a r n e d . F i r s t , I e x p l a i n w h a t I m e a n b y “ s u b j e c t m a t t e r k n o w l e d g e “ f o r t e a c h i n g m a t h e m a t i c s , g i v e n m a t h e m a t i c a l p e d a g o g y a s t h e g o a l ( s e e c h a p t e r 1 ) . N e x t , I p r e s e n t a n d d i s c u s s t h e r e s u l t s o f m y i n t e r v i e w s w i t h p r o s p e c t i v e e l e m e n t a r y a n d s e c o n d a r y t e a c h e r e d u c a t i o n s t u d e n t s t h a t r e v e a l t h e n a t u r e o f t h e m a t h e m a t i c a l u n d e r s t a n d i n g s t h a t t h e y b r i n g w i t h t h e m t o t e a c h e r e d u c a t i o n . F i n a l l y , I s h o w h o w t h e s e r e s u l t s p o i n t t o t h e n e e d t o r e c o n s i d e r a s s u m p t i o n s a b o u t w h a t p r o s p e c t i v e t e a c h e r s n e e d t o k n o w a n d h o w t h e y c a n l e a r n t h a t , a s s u m p t i o n s t h a t u n d e r l i e c u r r e n t t e a c h e r e d u c a t i o n p r a c t i c e a s w e l l a s p r o p o s a l s t o r e f o r m t e a c h e r p r e p a r a t i o n . 7 8 W W A l t h o u g h m o s t r e s e a r c h e r s h a v e m o v e d a w a y f r o m t h e e a r l i e r u s e o f c o u r s e l i s t s o r c r e d i t s e a r n e d a s a p r o x y f o r t e a c h e r s ' k n o w l e d g e , h o w t h e y c u r r e n t l y c o n c e p t u a l i z e a n d s t u d y “ s u b j e c t m a t t e r “ v a r i e s . S o m e r e s e a r c h e r s e x a m i n e t e a c h e r s ' c o n c e p t i o n s o f ’ o r ’ b e l i e f s a b o u t [ m a t h e m a t i c s ( e . g . , B l a i r e , 1 9 8 1 ; E r n e s t , 1 9 8 8 ; F e r r i n i - M u n d y , 1 9 8 6 ; K u h s , 1 9 8 0 ; L e r m a n , 1 9 8 3 ; T h o m p s o n , 1 9 8 4 ) . T h e s e r e s e a r c h e r s u s e a v a r i e t y o f m e t h o d s t o i d e n t i f y t e a c h e r s ' c o n c e p t i o n s , i n c l u d i n g i n t e r v i e w s , q u e s t i o n n a i r e s , a n d i n f e r e n c e s b a s e d o n t e a c h e r s ' p r a c t i c e s . T h e s e s t u d i e s g e n e r a l l y h i g h l i g h t t h e i n f l u e n c e o f t e a c h e r s ' a s s u m p t i o n s g h g g i m a t h e m a t i c s o n t h e i r t e a c h i n g o f t h e s u b j e c t . O t h e r r e s e a r c h e r s f o c u s o n t e a c h e r s ' u n d e r s t a n d i n g o f m a t h e m a t i c a l c o n c e p t s a n d p r o c e d u r e s ( e . g . , B a l l 6 M c D i a r m i d , i n p r e s s ; E v e n , i n p r o g r e s s ; L e i n h a r d t & S m i t h , 1 9 8 5 ; O w e n s , 1 9 8 7 ; S c h r a m , i n p r o g r e s s ; S t e i n b e r g , H a y m o r e , & M a r k s , 1 9 8 5 ) . U s i n g i n t e r v i e w s a n d s t r u c t u r e d t a s k s , t h e y e x p l o r e h o w t e a c h e r s t h i n k a b o u t t h e i r m a t h e m a t i c a l k n o w l e d g e a n d h o w t h e y u n d e r s t a n d ( o r n i g u n d e r s t a n d ) s p e c i f i c i d e a s . W h a t c o u n t s , a c c o r d i n g t o t h e s e r e s e a r c h e r s , i s t h e w a y t e a c h e r s o r g a n i z e t h e f i e l d a n d h o w t h e y u n d e r s t a n d a n d t h i n k a b o u t c o n c e p t s ( a s o p p o s e d t o j u s t w h e t h e r t h e y c a n g i v e “ r i g h t “ a n s w e r s ) . F a c e d w i t h t h e s e d i f f e r e n t w a y s o f t h i n k i n g a b o u t s u b j e c t m a t t e r k n o w l e d g e , I n e e d e d t o m a k e e x p l i c i t t h e d e f i n i t i o n o f s u b j e c t m a t t e r k n o w l e d g e t h a t s h a p e d m y a p p r o a c h e s t o c o l l e c t i n g a n d a n a l y z i n g d a t a a b o u t t h e s e p r o s p e c t i v e t e a c h e r s ' k n o w l e d g e o f m a t h e m a t i c s . I h a d t o c o n s i d e r w h a t I m e a n t b y “ k n o w i n g “ m a t h e m a t i c s . D o e s k n o w i n g m a t h e m a t i c s f o r t e a c h i n g m e a n b e i n g a b l e d o i t o n e s e l f ? D o e s i t m e a n 7 9 b e i n g a b l e t o e x p l a i n i t t o s o m e o n e e l s e ? I s s u b j e c t m a t t e r k n o w l e d g e a q u e s t i o n o f “ k n o w l e d g e s t r u c t u r e s “ - - t h a t i s , a f u n c t i o n o f t h e r i c h n e s s o f t h e c o n n e c t i o n s a m o n g m a t h e m a t i c a l c o n c e p t s a n d p r i n c i p l e s ? W h a t i s t h e r e l a t i o n s h i p a m o n g “ a t t i t u d e s , “ “ c o n c e p t i o n s , “ a n d “ k n o w l e d g e “ o f m a t h e m a t i c s ? I n t h i s s e c t i o n I d e s c r i b e t h e c o n c e p t i o n o f s u b j e c t m a t t e r k n o w l e d g e t h a t u n d e r g i r d s t h i s s t u d y . 1 W m ; W W M y p r e m i s e i s t h a t u n d e r s t a n d i n g m a t h e m a t i c s i n v o l v e s a m é l a n g e o f k n o w l e d g e , b e l i e f s , a n d f e e l i n g s a b o u t t h e s u b j e c t . C e n t r a l i s p r o p o s i t i o n a l a n d p r o c e d u r a l k n o w l e d g e o f m a t h e m a t i c s - - t h a t i s , u n d e r s t a n d i n g s o f p a r t i c u l a r t o p i c s ( e . g . , f r a c t i o n s a n d t r i g o n o m e t r y ) , p r o c e d u r e s ( e . g . , l o n g d i v i s i o n a n d f a c t o r i n g q u a d r a t i c e q u a t i o n s ) , a n d c o n c e p t s ( e . g . , q u a d r i l a t e r a l s a n d i n f i n i t y ) , a n d t h e r e l a t i o n s h i p s a m o n g t h e s e t o p i c s , p r o c e d u r e s , a n d c o n c e p t s ( D a v i s , 1 9 8 6 ; H i e b e r t 6 L e f e v r e , 1 9 8 6 ; S k e m p , 1 9 7 8 ) . T h i s g u h g g g n g i x g k n o g i g d g g _ g f _ m g § h g n g § i g § i s w h a t i s m o s t e a s i l y r e c o g n i z e d b y o t h e r s a s “ s u b j e c t m a t t e r k n o w l e d g e . “ A n o t h e r c r i t i c a l d i m e n s i o n , h o w e v e r , i s k n o w l e d g e a n o n ; m a t h e m a t i c s . T h i s i n c l u d e s u n d e r s t a n d i n g s a b o u t t h e n a t u r e o f k n o w l e d g e i n t h e d i s c i p l i n e - - w h e r e i t c o m e s f r o m , h o w i t c h a n g e s , a n d 1 E l s e w h e r e I a n d m y c o l l e a g u e s h a v e p r o v i d e d c o n c e p t u a l a n d e m p i r i c a l j u s t i f i c a t i o n f o r t h i s d e f i n i t i o n o f s u b j e c t m a t t e r k n o w l e d g e f o r t e a c h i n g m a t h e m a t i c s . T h e j u s t i f i c a t i o n i s f o u n d e d o n s h o w i n g h o w t e a c h e r s ' u n d e r s t a n d i n g s o f m a t h e m a t i c s i n g g z a g ; w i t h o t h e r i d e a s a b o u t t e a c h i n g a n d l e a r n i n g , a b o u t s t u d e n t s , a n d a b o u t t h e c o n t e x t s o f t e a c h i n g , t o s h a p e w h a t t h e y d o a s t e a c h e r s . T h e a r g u m e n t , f o r e x a m p l e , u n d e r s c o r e s t h e c e n t r a l i t y o f k n o w l e d g e a h g g g a s w e l l a s o f m a t h e m a t i c s i n t e a c h i n g . S e e B a l l , i n p r e s s ; M c D i a r m i d , B a l l , a n d A n d e r s o n , i n p r e s s . 8 0 h o w t r u t h i s e s t a b l i s h e d . K n o w l e d g e a b o u t m a t h e m a t i c s a l s o i n c l u d e s w h a t i t m e a n s t o “ k n o w “ a n d “ d o “ m a t h e m a t i c s , t h e r e l a t i v e c e n t r a l i t y o f d i f f e r e n t i d e a s , a s w e l l a s w h a t i s a r b i t r a r y o r c o n v e n t i o n a l v e r s u s w h a t i s n e c e s s a r y o r l o g i c a l , a n d a s e n s e o f t h e p h i l o s o p h i c a l d e b a t e s w i t h i n t h e d i s c i p l i n e . 2 A s u b j e c t w h i c h , i n m a i n s t r e a m A m e r i c a n c u l t u r e , e l i c i t s , a l t e r n a t e l y , a w e , a n x i e t y , a n d i n t e n s e d i s l i k e , m a t h e m a t i c s i s a d o m a i n o f f e e l i n g s a s w e l l a s k n o w l e d g e ( B a s s a r e a r , 1 9 8 6 ; B r a n d a u , 1 9 8 5 ; B u e r k , 1 9 8 2 ; M c L e o d , 1 9 8 6 ) . U n d e r s t a n d i n g m a t h e m a t i c s i s c o l o r e d b y o n e ' s e m o t i o n a l r e s p o n s e s t o t h e s u b j e c t a n d o n e ' s i n c l i n a t i o n s a n d s e n s e o f s e l f i n r e l a t i o n t o i t . T h e t h r e e p r e c e d i n g p a r a g r a p h s s w e e p b r o a d l y o v e r a v a s t c o n c e p t u a l i s s u e : w h a t “ u n d e r s t a n d i n g m a t h e m a t i c s “ m e a n s a n d i n c l u d e s . T h e d i s c u s s i o n h a s b a r e l y s k e t c h e d t h e d o m a i n s a n d b o u n d a r i e s . H o w w o u l d o n e c o m p r e h e n s i v e l y m a p t h e e s s e n t i a l s u b s t a n t i v e k n o w l e d g e o f m a t h e m a t i c s ? A n d w h a t i s e n t a i l e d i n “ u n d e r s t a n d i n g “ a n y o f i t ? T h e f i r s t q u e s t i o n - - a b o u t a m a p - ~ i s o n e I d i d n o t a t t e m p t t o a d d r e s s i n t h i s w o r k . I c h o s e i n s t e a d t o s a m p l e p u r p o s e f u l l y s p e c i f i c m a t h e m a t i c a l t o p i c s 3 a n d t o e x p l o r e h o w t h e t e a c h e r c a n d i d a t e s u n d e r s t o o d t h e p a r t i c u l a r u n d e r l y i n g c o n c e p t s a n d p r o c e d u r e s . T h e s e c o n d q u e s t i o n - - a b o u t w h a t u n d e r s t a n d i n g m a t h e m a t i c s f o r t e a c h i n g m e a n s a n d i n c l u d e s - ~ w a s , h o w e v e r , a s i g n i f i c a n t q u e s t i o n f o r t h i s s t u d y . B e l o w I d i s c u s s t h r e e i s s u e s o f c r i t i c a l c o n c e r n i n e x p l o r i n g p r o s p e c t i v e t e a c h e r s ' k n o w l e d g e o f a n d a b o u t m a t h e m a t i c s : ( 1 ) t h e f a c t 2 S c h w a b ( 1 9 6 1 / 1 9 7 8 ) r e f e r s t o t h e s e k i n d s o f u n d e r s t a n d i n g s a s k n o w l e d g e o f t h e g y h g g g n i i z g a n d g z n g g g g i g s t r u c t u r e s o f a d i s c i p l i n e - - i n t h i s c a s e , m a t h e m a t i c s . 3 I e x p l a i n w h y I c h o s e e a c h o f t h e t o p i c s l a t e r i n t h i s c h a p t e r . 8 1 t h a t p r o s p e c t i v e t e a c h e r s ' “ k n o w l e d g e “ i s n o t n e c e s s a r i l y t r u e , ( 2 ) t h e d i f f e r e n c e b e t w e e n t a c i t w a y s o f k n o w i n g a n d e x p l i c i t c o n c e p t u a l k n o w l e d g e i n d o i n g m a t h e m a t i c s , a n d ( 3 ) c o n n e c t e d n e s s o f k n o w l e d g e a s a c r u c i a l d i m e n s i o n o f m a t h e m a t i c a l u n d e r s t a n d i n g . W W D e s c r i b i n g p r o s p e c t i v e t e a c h e r s ' u n d e r s t a n d i n g s o f m a t h e m a t i c s a s “ k n o w l e d g e “ i s p r o b l e m a t i c , f o r t h e y o f c o u r s e “ k n o w “ t h i n g s t h a t a r e w r o n g . S o m e o f t h e p r o s p e c t i v e t e a c h e r s w h o m I i n t e r v i e w e d , f o r i n s t a n c e , t h o u g h t t h a t 7 + 0 - O , t h a t s q u a r e s w e r e n o t r e c t a n g l e s , a n d t h a t d o i n g m a t h e m a t i c s m e a n t a d d i n g , s u b t r a c t i n g , m u l t i p l y i n g , a n d d i v i d i n g . A l t h o u g h f a l s e f r o m a d i s c i p l i n a r y p o i n t o f v i e w , a n d t h e r e f o r e n o t “ k n o w l e d g e “ ( S c h e f f l e r , 1 9 6 5 ) , t h e s e i d e a s w e r e w h a t t h e y “ k n e w ; “ U s i n g t h e t e r m “ u n d e r s t a n d i n g “ ( i n s t e a d o f “ k n o w l e d g e “ ) m i g h t b e o n e a c c e p t a b l e w a y o f d e a l i n g w i t h t h e f a c t t h a t p e o p l e ' s “ k n o w l e d g e “ i s n o t a l w a y s t r u e . H o w e v e r , w i t h t h e g o a l o f p r e p a r i n g t e a c h e r s t o t e a c h m a t h e m a t i c s , t e a c h e r e d u c a t o r s h a v e a d u a l f o c u s : W e a r e i n t e r e s t e d i n u n d e r s t a n d i n g n o t o n l y i n w h a t t h e i d e a s m e a n t o t h e m a s k n o w e r s , b u t a l s o i n a p p r a i s i n g t h e i r u n d e r s t a n d i n g i n l i g h t o f s t a n d a r d s o f d i s c i p l i n a r y k n o w l e d g e . T o a v o i d t h e p r o b l e m o f r e f e r r i n g t o i n c o r r e c t n o t i o n s a s “ k n o w l e d g e , “ I c o n s i d e r e d t a l k i n g a b o u t t h e i r u n d e r s t a n d i n g s , r i g h t o r w r o n g , a s “ i d e a s “ ( a t e r m I u s e i n r e f e r r i n g t o t h e t e a c h e r c a n d i d a t e s ' k n o w l e d g e a b o u t t e a c h i n g , l e a r n i n g , a n d l e a r n e r s ) . T h i s t e r m a p p l i e d b e t t e r t o i s s u e s a b o u t t h e n a t u r e o f m a t h e m a t i c s t h a n i t d i d t o s p e c i f i c m a t h e m a t i c a l t o p i c s , h o w e v e r . I t s e e m e d o d d t o t a l k a b o u t s p e c i f i c s u b s t a n c e - - t h a t 1 3 / 4 + h - 3 8 , f o r i n s t a n c e - ~ a s a n “ i d e a . “ 8 2 K n o w l e d g e i s a l s o n o t a n a l l o r n o t h i n g m a t t e r ( N i c k e r s o n , 1 9 8 5 ) . W h a t d o e s o n e s a y a b o u t t h e k n o w l e d g e o f a p e r s o n w h o s a y s t h a t “ y o u c a n ' t d i v i d e b y z e r o “ ? T h i s i n t r u e , b u t o f i n t e r e s t h e r e i s a l s o h o g s h e u n d e r s t a n d s i t - - a s a n a r b i t r a r y “ f a c t “ o r a s a l o g i c a l c o n s e q u e n t o f o t h e r m a t h e m a t i c a l i d e a s a n d p r i n c i p l e s . S h e m a y , b y w a y o f e x p l a n a t i o n , s a y t h a t “ i t ' s j u s t o n e o f t h o s e t h i n g s y o u h a v e t o r e m e a b e r , “ “ z e r o c a n ' t d o a n y t h i n g t o a n u m b e r , “ “ i t ' s u n d e f i n e d . “ O r s h e m a y p r o v e h e r a s s e r t i o n b y c o m p a r i n g d i v i s i o n b y 0 t o d i v i s i o n b y 2 o r b y u s i n g t h e i n v e r s e r e l a t i o n s h i p o f m u l t i p l i c a t i o n a n d d i v i s i o n . I n e a c h c a s e , s h e w o u l d r e v e a l s i g n i f i c a n t l y d i f f e r e n t t h i n g s a b o u t h e r u n d e r s t a n d i n g o f d i v i s i o n b y z e r o a s w e l l a s h e r u n d e r s t a n d i n g o f m a t h e m a t i c s m o r e b r o a d l y . T h e s e d i f f e r e n c e s m a t t e r i n t e a c h i n g m a t h e m a t i c s f r o m t h e p e r s p e c t i v e o f m a t h e m a t i c a l p e d a g o g y i n w h i c h t h e g o a l s i n c l u d e h e l p i n g s t u d e n t s u n d e r s t a n d m a t h e m a t i c s a s a d i s c i p l i n e ( s e e c h a p t e r 1 ) . I n t h i s r e s e a r c h , w h a t m a t t e r s a r e t h e q u a l i t a t i v e d i m e n s i o n s o f p r o s p e c t i v e t e a c h e r s ' k n o w l e d g e - - w h a t t h e y k n o w a n d h o w t h e y t h i n k a b o u t i t . S t i l l , t h e t r u t h v a l u e o f t h e i r i d e a s i s e q u a l l y c r i t i c a l , f o r t e a c h e r s a r e r e s p o n s i b l e f o r h e l p i n g t h e i r p u p i l s a c c e s s d i s c i p l i n a r y k n o w l e d g e . C o n s e q u e n t l y , “ k n o w l e d g e , “ “ u n d e r s t a n d i n g , “ “ b e l i e f , “ a n d “ i d e a “ a r e a l l u s e d i n m y d i s c u s s i o n s , a l b e i t c a u t i o u s l y a n d w i t h q u a l i f i c a t i o n . W W “ U n c o v e r i n g w h a t p e o p l e k n o w i n m a t h e m a t i c s i s a e n d e a v o r f r a u g h t w i t h p r a c t i c a l a n d c o n c e p t u a l d i f f i c u l t i e s . N o t t h e l e a s t o f t h e s e i s 4 T h e d i s t i n c t i o n b e t w e e n t a c i t a n d e x p l i c i t w a y s o f k n o w i n g i s n o t i n t e n d e d t o s u g g e s t a d i c h o t o m y , b u t r a t h e r a q u a l i t a t i v e d i m e n s i o n a l o n g w h i c h u n d e r s t a n d i n g v a r i e s . 8 3 t h e p r o b l e m o f i n f e r r i n g w h a t p e o p l e h u g : f r o m w h a t t h e y d o o r g a y . O n o n e h a n d , o b s e r v i n g w h a t p e o p l e d o w h e n t h e y a r e p r e s e n t e d w i t h m a t h e m a t i c a l p r o b l e m s r a i s e s q u e s t i o n s a b o u t t h e r e l a t i o n s h i p s b e t w e e n p r o c e d u r a l a n d c o n c e p t u a l k n o w l e d g e . A s s u m i n g t h a t p e o p l e h a v e c o n c e p t u a l k n o w l e d g e o f p r o c e d u r e s w h i c h t h e y h a v e l e a r n e d t o p e r f o r m i s a f a l l a c y ( H a t a n o , 1 9 8 2 ) . A s o n e o f t h e m a t h m a j o r s r e f l e c t e d w h e n h e t r i e d t o e x p l a i n t h e b a s i s f o r t h e m u l t i p l i c a t i o n p r o c e d u r e , “ I a b s o l u t e l y d o i t [ m u l t i p l i c a t i o n ] b y t h e r o t e p r o c e s s - - I w o u l d h a v e t o t h i n k a b o u t i t . “ N o t c l e a r h e r e w a s w h e t h e r h e h a d , a t o n e t i m e , u n d e r s t o o d t h e u n d e r l y i n g p r i n c i p l e s - - b u t h a d s i m p l y f o r g o t t e n - - o r w h e t h e r i t w a s s o m e t h i n g h e h a d n e v e r k n o w n , n e v e r c o n s i d e r e d - - a n d w o u l d t h e r e f o r e h a v e t o f i g u r e o u t . C e r t a i n l y m a n y c h i l d r e n a n d a d u l t s g o t h r o u g h m a t h e m a t i c a l m o t i o n s w i t h o u t e v e r u n d e r s t a n d i n g t h e u n d e r l y i n g p r i n c i p l e s o r m e a n i n g . H o w m a n y p e o p l e , f o r e x a m p l e , c a n s a y a n : “ c r o s s - m u l t i p l y a n d d i v i d e “ w o r k s ? S t i l l , m a t h e m a t i c a l u n d e r s t a n d i n g m a y a l s o b e t a c i t . S u c c e s s f u l m a t h e m a t i c i a n s c a n u n r a v e l p e r p l e x i n g p r o b l e m s w i t h o u t b e i n g a b l e t o a r t i c u l a t e a l l o f w h a t t h e y k n o w . N o t u n r e l a t e d t o S c h o n ' s ( 1 9 8 3 ) “ k n o w i n g - i n - a c t i o n , “ t h e m a t h e m a t i c i a n s ' w o r k r e f l e c t s b o t h t a c i t u n d e r s t a n d i n g a n d i n t u i t i v e a n d h a b i t u a t e d a c t i o n s ( N o d d i n g s , 1 9 8 5 ) . E x p e r t s i n a l l d o m a i n s , w h i l e a b l e t o p e r f o r m s k i l l f u l l y , m a y n o t a l w a y s b e a b l e t o s p e c i f y t h e c o m p o n e n t s o f o r b a s e s f o r t h e i r a c t i o n s . T h e i r a c t i v i t y n e v e r t h e l e s s i m p l i e s k n o w l e d g e . S i m i l a r l y , i n e v e r y d a y l i f e , p e o p l e u n d e r s t a n d t h i n g s w h i c h t h e y c a n n o t a r t i c u l a t e . F o r i n s t a n c e , a w o m a n m a y f i n d h e r w a y a r o u n d t h e t o w n s h e g r e w u p i n , i d e n t i f y i n g f r i e n d s ' h o m e s a n d o l d h a n g o u t s , y e t n o t b e a b l e t o g i v e d i r e c t i o n s t o a v i s i t o r . A m a n m a y u s e c o l l o q u i a l 8 4 F r e n c h e x p r e s s i o n s i n s p e a k i n g F r e n c h b u t b e u n a b l e t o e x p l a i n t h e i r m e a n i n g t o a f e l l o w A m e r i c a n . P o l a n y i ( 1 9 5 8 ) d e s c r i b e s w h a t h e c a l l s t h e “ i n e f f a b l e d o m a i n “ - - t h o s e t h i n g s a b o u t w h i c h o u r t a c i t u n d e r s t a n d i n g f a r e x c e e d s o u r c a p a c i t y t o a r t i c u l a t e w h a t w e k n o w . H e a r g u e s f u r t h e r t h a t “ n o t h i n g w e k n o w c a n b e s a i d p r e c i s e l y , a n d s o w h a t I c a l l ‘ i n e f f a b l e ' m a y s i m p l y m e a n s o m e t h i n g I k n o w a n d c a n d e s c r i b e e v e n l e s s p r e c i s e l y t h a n u s u a l , o r e v e n o n l y v e r y v a g u e l y “ ( p . 8 8 ) . I t i s u n c l e a r w h e t h e r w e w o u l d w a n t t o s a y t h a t t h e w o m a n u n d e r s t a n d s h e r w a y a r o u n d l e s s w e l l t h a n s o m e o n e w h o c a n g i v e d i r e c t i o n s , o r t h a t t h e m a n u n d e r s t a n d s F r e n c h l e s s w e l l t h a n s o m e o n e w h o c a n t r a n s l a t e . C l u m s y a t t e m p t s t o a r t i c u l a t e u n d e r s t a n d i n g m a y r e f l e c t a n a r e a i n w h i c h , a c c o r d i n g t o P o l a n y i ( 1 9 5 8 ) t h e t a c i t p r e d o m i n a t e s . O n t h e o t h e r h a n d , a p p a r e n t l y c l u m s y t a l k m a y n o t b e c l u m s y o r i n a r t i c u l a t e a t a l l , b u t r a t h e r m a y r e f l e c t h o w t h e s p e a k e r a c t u a l l y u n d e r s t a n d s w h a t h e o r s h e i s t a l k i n g a b o u t . O r r ( 1 9 8 7 ) a r g u e s t h a t t e a c h e r s o f t e n “ f i l l i n “ t h e g a p s i n w h a t t h e i r p u p i l s s a y , a s s u m i n g t h e y k n o w w h a t t h e p u p i l s “ m e a n . “ S h e s a i d t h a t w h e n h e r h i g h s c h o o l g e o m e t r y s t u d e n t s w o u l d t a l k a b o u t d i s t a n c e s a s l o c a t i o n s a n d l o c a t i o n s a s d i s t a n c e s , s h e t h o u g h t t h e s e w e r e c a r e l e s s m i s t a k e s o r a w k w a r d w o r d i n g . S u d d e n l y i t o c c u r r e d t o h e r t h a t t h e s e n o n s t a n d a r d w a y s o f t a l k i n g m i g h t a c t u a l l y r e p r e s e n t n o n s t a n d a r d u n d e r s t a n d i n g s o f t h e r e l a t i o n s h i p b e t w e e n l o c a t i o n a n d d i s t a n c e . S h e b e g a n a s k i n g s o m e d i f f e r e n t q u e s t i o n s o f h e r s t u d e n t s t o t r y t o e l i c i t w h a t t h e y u n d e r s t o o d - ~ a s k i n g t h e m t o c o n s t r u c t d i a g r a m s s h o w i n g w h e r e c e r t a i n c i t i e s w e r e l o c a t e d a n d t h e d i s t a n c e s a m o n g t h e m , f o r e x a m p l e . S h e 8 5 d i s c o v e r e d i n c a s e a f t e r c a s e t h a t h e r s t u d e n t s ' e x p l a n a t i o n s w e r e a c c u r a t e r e f l e c t i o n s o f h o w t h e y w e r e t h i n k i n g . J u s t l i k e m a t h e m a t i c i a n s , o r d i n a r y p e o p l e d o t h i n g s i n m a t h e m a t i c s - - a n d d o t h e m c o r r e c t l y - ~ w h i c h t h e y c a n n o t , h o w e v e r , e x p l a i n . T h i s r a i s e s t w o p o i n t s c r i t i c a l f o r r e s e a r c h o n t e a c h e r k n o w l e d g e : o n e m e t h o d o l o g i c a l a n d o n e t h e o r e t i c a l . A n a l y z i n g t e a c h e r s ' k n o w l e d g e i s c o m p l i c a t e d b y t h e e x t e n t t o w h i c h t h e y a r e a b l e t o t a l k o r o t h e r w i s e r e p r e s e n t t h a t k n o w l e d g e . D i d t h e l e s s a r t i c u l a t e p r o s p e c t i v e t e a c h e r s w h o m I i n t e r v i e w e d u n d e r s t a n d t h e c o n c e p t s l e s s d e e p l y t h a n t h o s e w h o w e r e v e r y e x p l i c i t ? W e r e c o n v o l u t e d e x p l a n a t i o n s a s i g n o f c o n f u s i o n o r o f l i m i t e d c a p a c i t y t o p u t i n t o w o r d s w h a t t h e y u n d e r s t o o d ? T h i s i s s u e c l e a r l y p r e s e n t s m e t h o d o l o g i c a l p r o b l e m s o f i n f e r e n c e i n s t u d i e s o f t e a c h e r s ' s u b j e c t m a t t e r k n o w l e d g e . A s e c o n d c o n s i d e r a t i o n , h o w e v e r , a f f o r d s a w a y o u t o f t h i s m e t h o d o l o g i c a l t a n g l e . H h a i _ d 2 _ § g § g h g 1 § _ n § g d _ t g _ k n g g z T a c i t k n o w l e d g e , w h a t e v e r i t s r o l e i n i n d e p e n d e n t m a t h e m a t i c a l a c t i v i t y , i s i n a d e q u a t e f o r t e a c h i n g . I n o r d e r t o h e l p s o m e o n e e l s e u n d e r s t a n d a n d d o m a t h e m a t i c s , b e i n g a b l e t o “ d o i t “ o n e s e l f i s n o t s u f f i c i e n t . A n e c e s s a r y l e v e l o f k n o w l e d g e f o r t e a c h i n g i n v o l v e s b e i n g a b l e t o t a l k a b o u t m a t h e m a t i c s , n o t j u s t d e s c r i b i n g t h e s t e p s f o r f o l l o w i n g a n a l g o r i t h m , b u t a l s o a b o u t t h e j u d g m e n t s m a d e a n d t h e m e a n i n g s a n d r e a s o n s f o r c e r t a i n r e l a t i o n s h i p s o r p r o c e d u r e s . E x p l i c i t k n o w l e d g e o m e a t h e m a t i c s e n t a i l s m o r e t h a n s a y i n g t h e w o r d s o f m a t h e m a t i c a l s t a t e m e n t s o r f o r m u l a e ; r a t h e r , i t m u s t i n c l u d e l a n g u a g e t h a t g o e s b e y o n d t h e s u r f a c e m a t h e m a t i c a l r e p r e s e n t a t i o n . 8 6 E x p l i c i t k n o w l e d g e i n v o l v e s r e a s o n s a n d r e l a t i o n s h i p s : b e i n g a b l e t o e x p l a i n g h y , a s w e l l a s b e i n g a b l e t o r e l a t e p a r t i c u l a r i d e a s o r p r o c e d u r e s t o o t h e r s w i t h i n m a t h e m a t i c s . E x p l a i n i n g i s t h e t e a c h e r ' s t r a d e . E x p l a n a t i o n s o p e n u p i d e a s a n d m a k e t h e m m o r e a c c e s s i b l e b y c l a r i f y i n g t e r m s o r d e l v i n g i n t o d e t a i l s ( B u c h m a n n , 1 9 8 7 a ) . E x p l a i n i n g s o m e t h i n g i n m a t h e m a t i c s m e a n s c l a r i f y i n g a n i d e a b y u n p a c k i n g u n d e r l y i n g c o n c e p t s a s w e l l a s g i v i n g r e a s o n s t h a t r e v e a l i t s m e a n i n g a n d l o g i c . B e i n g a b l e t o e x p l a i n m a t h e m a t i c s i s e s s e n t i a l k n o w l e d g e e v e n f o r t e a c h e r s w h o d o n o t t e a c h m a t h e m a t i c s i n a “ s h o w a n d t e l l “ m o d e ( s e e C h a p t e r 5 ) . F a c i l i t a t i n g s t u d e n t s ' c o n s t r u c t i o n o f m a t h e m a t i c a l u n d e r s t a n d i n g , f o r i n s t a n c e , i n v o l v e s s e l e c t i n g f r u i t f u l t a s k s , a s k i n g g o o d q u e s t i o n s , j u d g i n g w h i c h s t u d e n t i d e a s s h o u l d b e e s p e c i a l l y p u r s u e d . A l l o f t h i s d e m a n d s e x p l i c i t a n a l y t i c k n o w l e d g e , t h e s a m e k i n d o f u n d e r s t a n d i n g e n t a i l e d i n c o n s t r u c t i n g d i r e c t e x p l a n a t i o n s . W W W ; A t h i r d d i m e n s i o n o f m a t h e m a t i c a l u n d e r s t a n d i n g c r i t i c a l f o r m a t h e m a t i c a l p e d a g o g y i s c o n n e c t e d n e s s f o r , h o w e v e r e x p l i c i t l y a r t i c u l a t e d o r c a r e f u l l y m e m o r i z e d , m a t h e m a t i c a l k n o w l e d g e i s n o t a c o l l e c t i o n o f s e p a r a t e t o p i c s , n o r a l a u n d r y l i s t o f r u l e s a n d d e f i n i t i o n s . A d d i t i o n i s f u n d a m e n t a l l y c o n n e c t e d t o m u l t i p l i c a t i o n , a l g e b r a i s a f i r s t c o u s i n o f a r i t h m e t i c , a n d t h e m e a s u r e m e n t o f i r r e g u l a r s h a p e s i s a k i n t o i n t e g r a t i o n i n c a l c u l u s . I n t h e s c h o o l m a t h e m a t i c s c u r r i c u l u m , h o w e v e r , t h e s e a r e d e l i v e r e d i n c o m p a r t m e n t s s e p a r a t e d i n t i m e a n d m e a n i n g . E v e n c o n t e n t t a u g h t w i t h i n t h e s a m e g r a d e o r c o u r s e i s o f t e n d i s c o n n e c t e d . R a r e l y a r e s t u d e n t s e n c o u r a g e d o r h e l p e d t o m a k e c o n n e c t i o n s a m o n g t h e i d e a s t h e y 8 7 e n c o u n t e r i n s c h o o l . I n m a t h e m a t i c a l p e d a g o g y , t e a c h e r s a i m t o h e l p s t u d e n t s t o c o n n e c t m a t h e m a t i c a l i d e a s w i t h o n e a n o t h e r a s w e l l a s t o o t h e r d o m a i n s , t o a c q u i r e b o t h “ b r e a d t h a n d d e p t h “ ( D u c k w o r t h , 1 9 7 9 ) . T h e s t a n d a r d s c h o o l m a t h e m a t i c s c u r r i c u l u m t o w h i c h m o s t p r o s p e c t i v e t e a c h e r s h a v e b e e n s u b j e c t e d t r e a t s m a t h e m a t i c s a s a c o l l e c t i o n o f d i s c r e t e b i t s o f p r o c e d u r a l k n o w l e d g e . T a k e d i v i s i o n , a f o c a l t o p i c i n t h i s s t u d y , a s a n e x a m p l e . A t y p i c a l t e x t b o o k p a g e i n t r o d u c i n g d i v i s i o n o f f r a c t i o n s , f o r e x a m p l e , s a y s s i m p l y , “ D i v i d i n g b y a f r a c t i o n i s t h e s a m e a s m u l t i p l y i n g b y i t s r e c i p r o c a l . “ N o o r l i t t l e a t t e n t i o n i s g i v e n t o t h e m e a n i n g o f d i v i s i o n w i t h f r a c t i o n s a n d n o c o n n e c t i o n s a r e m a d e b e t w e e n d i v i s i o n w i t h f r a c t i o n s a n d d i v i s i o n w i t h w h o l e n u m b e r s ( F i e l k e r , 1 9 8 6 ) . ( D i v i d i n g b y a n u m b e r , a f t e r a l l , 3 1 : 5 1 ; p r o d u c e s t h e s a m e r e s u l t a s m u l t i p l y i n g b y i t s r e c i p r o c a l . ) D i v i s i o n w i t h d e c i m a l s i s s t i l l a n o t h e r c a s e - - i . e . , “ m o v e t h e d e c i m a l p o i n t o v e r u n t i l y o u g e t a w h o l e n u m b e r i n t h e d i v i s o r , t h e n m o v e t h e d e c i m a l p o i n t o v e r t h e s a m e n u m b e r o f p l a c e s i n t h e d i v i d e n d . “ D i v i s i o n i n a l g e b r a b e c o m e s y e t m o r e m e a n i n g l e s s a s p u p i l s a r e t o l d t o “ g e t r i d o f t h e d e n o m i n a t o r . “ A n d d i v i s i o n b y 0 i s a s p e c i a l f l u k e - - y o u j u s t “ c a n ' t d o i t . “ N o t o n l y d o e s t h i s t e n d e n c y t o c o m p a r t m e n t a l i z e m a t h e m a t i c a l k n o w l e d g e s e r i o u s l y m i s r e p r e s e n t t h e l o g i c a n d c o n c e p t u a l o r g a n i z a t i o n o f t h e d i s c i p l i n e t o s t u d e n t s , b u t i t a l s o s u b s t a n t i a l l y i n c r e a s e s t h e c o g n i t i v e l o a d r e q u i r e d t o “ d o “ o r “ k n o w “ m a t h e m a t i c s . E a c h i d e a o r p r o c e d u r e s e e m s t o b e a s e p a r a t e c a s e . E a c h r e q u i r e s a d i f f e r e n t r u l e , a l l o f w h i c h m u s t b e i n d i v i d u a l l y m e m o r i z e d a n d a c c e s s e d . “ K n o w i n g “ m a t h e m a t i c s i s e a s i l y r e d u c e d t o a s e n s e l e s s a c t i v i t y . 8 8 I f t e a c h e r s a r e t o b r e a k a w a y f r o m t h i s c o m m o n a p p r o a c h t o t e a c h i n g a n d l e a r n i n g m a t h e m a t i c s , t h e y m u s t h a v e c o n n e c t e d r a t h e r t h a n c o m p a r t m e n t a l i z e d k n o w l e d g e o f m a t h e m a t i c s t h e m s e l v e s . * a a T h e d i s c u s s i o n o f p r o s p e c t i v e t e a c h e r s ' u n d e r s t a n d i n g s o f m a t h e m a t i c s i s d i v i d e d i n t o t w o c h a p t e r s . I n t h i s c h a p t e r , I d i s c u s s t h e g u h g i g n g i z g _ k n o g i g g g g o f m a t h e m a t i c s o f t h e 1 9 u n d e r g r a d u a t e t e a c h e r e d u c a t i o n s t u d e n t s i n t h i s s t u d y . T h e c h a p t e r i s o r g a n i z e d a r o u n d f o u r m a t h e m a t i c a l t o p i c a r e a s : p l a c e v a l u e a n d n u m e r a t i o n , d i v i s i o n , t h e n u m b e r z e r o , a n d s l o p e a n d g r a p h i n g . I n e a c h s e c t i o n , I d i s c u s s t h e r a t i o n a l e f o r e x p l o r i n g t h a t p a r t i c u l a r a r e a , e x p l a i n t h e m a t h e m a t i c s i n v o l v e d , d e s c r i b e m y a p p r o a c h t o e x p l o r i n g t h e t e a c h e r c a n d i d a t e s ' u n d e r s t a n d i n g o f i t , a n d p r e s e n t a n d a p p r a i s e t h e r e s u l t s . P u r s u a n t t o t h e d i s c u s s i o n a b o v e , t h e a n a l y s i s f o c u s e s o n t h r e e c r i t i c a l d i m e n s i o n s o f t h e t e a c h e r c a n d i d a t e s ' k n o w l e d g e o f m a t h e m a t i c s : t h e c o r r e c t n e s s , e x p l i c i t n e s s , a n d c o n n e c t e d n e s s o f t h e i r u n d e r s t a n d i n g . I n C h a p t e r 4 , t h e d i s c u s s i o n f o c u s e s o n t h e t e a c h e r c a n d i d a t e s ' i d e a s a b o u t m a t h e m a t i c s - - e x p l o r i n g t h e i r u n d e r s t a n d i n g s o f t h e o r y a n d p r o o f , a b o u t t h e n a t u r e o f m a t h e m a t i c s , a s w e l l a s t h e i r f e e l i n g s a b o u t m a t h e m a t i c s a n d a b o u t t h e m s e l v e s i n r e l a t i o n t o t h e s u b j e c t . 8 9 W W 5 N u m e r a t i o n - - h o w w e r e c o r d n u m b e r s - - h a s b e e n a c e n t r a l m a t h e m a t i c a l i s s u e f o r t h o u s a n d s o f y e a r s . A n c i e n t p e o p l e s s o u g h t w a y s t o e f f i c i e n t l y r e p r e s e n t q u a n t i t i e s i n w r i t i n g , a n d t h e h i s t o r y o f t h e s e s e a r c h e s p r o v i d e s f a s c i n a t i n g t e s t i m o n y b o t h t o t h e i n v e n t i v e n e s s o f t h e h u m a n m i n d a s w e l l a s t o t h e c o n s t r u c t e d a n d e v o l u t i o n a r y n a t u r e o f m a t h e m a t i c a l k n o w l e d g e . T h e s y s t e m w e u s e i s a m u l t i p l i c a t i v e g r o u p i n g s y s t e m , g r o u n d e d i n b a s e t e n a n d p o s i t i o n a l n o t a t i o n , b u t m a n y s y s t e m s h a v e p r e c e d e d o r c o e x i s t e d w i t h t h e c u r r e n t o n e ( B e n n e t t 6 ' N e 1 s o n , 1 9 7 9 ) . T h e R o m a n s y s t e m , f o r e x a m p l e , f a m i l i a r t o m o s t o f u s , i s a s i m p l e g r o u p i n g s y s t e m w h i c h w o r k s a d d i t i v e l y a n d s u b t r a c t i v e l y ( f o r e x a m p l e 1 1 1 m e a n s 1 + 1 + 1 , o r 3 , w h i l e I V m e a n s 5 - 1 , o r 4 ) . T h e b a s e t e n p o s i t i o n a l n u m e r a t i o n s y s t e m i s p a r t o f a d u l t w o r k i n g k n o w l e d g e o f n u m b e r s i n o u r s o c i e t y . T h a t i s , a d u l t s r e a d , w r i t e , a n d m a k e s e n s e o f w r i t t e n n u m e r a l s . T h e y k n o w t h a t “ 5 6 “ d o e s n o t m e a n 5 + 6 o r 1 1 . T h e y k n o w t h a t “ 0 4 “ r e p r e s e n t s t h e s a m e q u a n t i t y a s “ 4 “ b u t t h a t “ 4 0 “ d o e s n o t . T h i s i s a c r i t i c a l u n d e r s t a n d i n g f o r e v e r y d a y a s w e l l a s m a t h e m a t i c a l a c t i v i t y . C h i l d r e n , h o w e v e r , d o n o t a u t o m a t i c a l l y u n d e r s t a n d t h e n u m e r a t i o n s y s t e m i n t e r m s o f t h e u n d e r l y i n g g r o u p i n g c o n c e p t s . W h i l e t h e y m a y b e a b l e a t a n e a r l y a g e t o 1 5 5 1 n u m e r a l s l i k e “ 7 4 “ o r “ 7 1 4 , “ t h e y a r e n e v e r t h e l e s s u n l i k e l y t o s e e a d i f f e r e n c e b e t w e e n t h e “ 7 “ i n e a c h 5 T h i s i s t h e f i r s t o f f o u r t o p i c a l l y o r g a n i z e d s e c t i o n s e x a m i n i n g t h e t e a c h e r c a n d i d a t e s ' m a t h e m a t i c s k n o w l e d g e . I n o r d e r t o h e l p t h e r e a d e r a p p r a i s e t h e p r o s p e c t i v e t e a c h e r s ' u n d e r s t a n d i n g s , e a c h s e c t i o n i n c l u d e s a n e x p l a n a t i o n o f t h e m a t h e m a t i c s u n d e r d i s c u s s i o n a n d i n v e s t i g a t i o n . T h e e x p l a n a t i o n s a r e i n t e n d e d t o h i g h l i g h t t h e u n d e r l y i n g d e p t h a n d c o m p l e x i t i e s o f t h e c o n t e n t ( D u c k w o r t h , 1 9 8 7 ) , c o m m o n l y i n v i s i b l e o r t a k e n f o r g r a n t e d . 9 0 n u m e r a l . I n f a c t , t h e w a y t h e y l e a r n a r i t h m e t i c m a y b e a h i n d r a n c e r a t h e r t h a n a h e l p t o u n d e r s t a n d i n g n u m e r a t i o n a n d p l a c e v a l u e . S o m e r e s e a r c h s u g g e s t s t h a t p l a c e v a l u e i s p a r t i c u l a r l y d i f f i c u l t f o r c h i l d r e n t o l e a r n . E l e m e n t a r y s c h o o l s t u d e n t s m a y w r i t e 3 6 5 a s 3 0 0 6 0 5 , f o r e x a m p l e , w h i c h r e p r e s e n t s t h e w a y t h e n u m b e r s o u n d ; r a t h e r t h a n p l a c e v a l u e . K a m i i ( 1 9 8 5 ) a r g u e s t h a t t r a d i t i o n a l m a t h i n s t r u c t i o n a c t u a l l y f o r c e s y o u n g c h i l d r e n t o o p e r a t e w i t h n u m e r a l s w i t h o u t u n d e r s t a n d i n g w h a t t h e y r e p r e s e n t . W e h a v e a l l h e a r d c h i l d r e n p e r f o r m i n g a d d i t i o n c a l c u l a t i o n s r e c i t i n g , “ 5 p l u s 7 i s 1 2 , p u t d o w n t h e 2 , c a r r y t h e i “ o r d o i n g a l o n g d i v i s i o n c a l c u l a t i o n s u c h a s 8 9 4 5 d i v i d e d b y 4 3 b y s a y i n g , “ 4 3 g o e s i n t o 8 9 t w i c e , p u t u p t h e 2 , 2 t i m e s 4 3 i s 8 6 “ a n d s o o n . T h e s e “ a l g o r i t h m r h y m e s “ 6 w h i c h p u p i l s l e a r n i n t e r f e r e w i t h p a y i n g a t t e n t i o n t o t h e e s s e n c e o f t h e n u m e r a t i o n s y s t e m - - t h a t n u m e r a l s h a v e d i f f e r e n t 2 5 1 3 ; ; d e p e n d i n g o n t h e i r p l a c e . T h e “ 1 “ i n t h e a d d i t i o n r h y m e a c t u a l l y m e a n s 1 9 . T h e “ 8 9 “ i n t h e d i v i s i o n c h a n t a c t u a l l y m e a n s 8 9 0 0 a n d t h a t “ 2 “ r e p r e s e n t s t h e f a c t t h a t t h e r e a r e 2 9 9 g r o u p s o f 4 3 i n 8 9 4 5 . S i n c e p l a c e v a l u e ( a n d i t s r o o t i d e a , g r o u p i n g ) i s a f u n d a m e n t a l m a t h e m a t i c a l i d e a a n d s i n c e p u p i l s o f t e n f i n d i t d i f f i c u l t , i t s e e m e d a c r i t i c a l a r e a o f p r o s p e c t i v e t e a c h e r s ' k n o w l e d g e t o i n v e s t i g a t e . I e m b e d d e d p l a c e v a l u e c o n c e p t s i n t w o d i f f e r e n t i n t e r v i e w t a s k s : o n e a c l a s s r o o m s c e n a r i o f o c u s e d o n s t u d e n t d i f f i c u l t i e s w i t h t h e m u l t i p l i c a t i o n a l g o r i t h m , t h e o t h e r a s t r u c t u r e d p l a n n i n g - t e a c h i n g - a s s e s s m e n t e x e r c i s e o n s u b t r a c t i o n w i t h r e g r o u p i n g ( “ b o r r o w i n g “ ) . A l t h o u g h p l a c e v a l u e i s t h e u n d e r l y i n g f o u n d a t i o n o f t h e s e 6 I b o r r o w t h e t e r m “ a l g o r i t h m r h y m e “ f r o m B l a k e a n d V e r h i l l e ( 1 9 8 5 ) . 9 1 c o n v e n t i o n a l p r o c e d u r e s , a d u l t s c a n p e r f o r m t h e p r o c e d u r e s c o m p e t e n t l y w i t h o u t t h i n k i n g a b o u t p l a c e v a l u e a t a l l . I w a n t e d t o e x a m i n e h o w w e l l t h e p r o s p e c t i v e t e a c h e r s ' a d u l t o p e r a t i o n a l k n o w l e d g e o f n u m b e r s e q u i p p e d t h e m t o h e l p p u p i l s m a k e s e n s e o f t h e n g n n i n g o f w r i t t e n n u m e r a l s a n d t h e m e a n i n g s o f t h e s e o p e r a t i o n s w i t h t h e m . T h e c l a s s r o o m s c e n a r i o t a s k i n t h e i n t e r v i e w r e a d a s f o l l o w s : S o m e e i g h t h g r a d e t e a c h e r s n o t i c e d t h a t s e v e r a l o f t h e i r s t u d e n t s w e r e . m a k i n g t h e s a m e m i s t a k e i n m u l t i p l y i n g l a r g e n u m b e r s . I n t r y i n g t o c a l c u l a t e 1 2 3 x _ £ é 2 t h e s t u d e n t s s e e m e d t o b e f b r g e t t i n g t o “ m o v e t h e n u m b e r s “ ( i . e . , t h e p a r t i a l p r o d u c t s ) o v e r o n e a c h l i n e . T h e y w e r e d o i n g t h i s : 1 2 3 x _ £ é 2 _ 6 1 5 4 9 2 . . Z l £ _ 1 8 4 5 i n s t e a d o f t h i s : 1 2 3 a _ § & 2 _ 6 1 5 4 9 2 7 9 3 3 5 W h i l e t h e s e t e a c h e r s a g r e e d t h a t t h i s w a s a p r o b l e m , t h e y d i d n o t a g r e e o n w h a t t o d o a b o u t i t . W h a t w o u l d y o u d o i f y o u w e r e t e a c h i n g e i g h t h g r a d e a n d y o u n o t i c e d t h a t s e v e r a l o f y o u r s t u d e n t s w e r e d o i n g t h i s ? T h e a l g o r i t h m f o r m u l t i p l y i n g l a r g e n u m b e r s i s d e r i v e d f r o m t h e p r o c e s s o f d e c o m p o s i n g n u m b e r s i n t o “ e x p a n d e d f o r m “ a n d m u l t i p l y i n g t h e m i n p a r t s . T o u n d e r s t a n d t h i s , o n e m u s t u n d e r s t a n d d e c i m a l n u m e r a l s a s r e p r e s e n t a t i o n s o f n u m b e r s i n t e r m s o f h u n d r e d s , t e n s , a n d o n e s , i . e . , t h a t i n t h e n u m e r a l 1 2 3 , t h e 1 r e p r e s e n t s 1 h n n g i g g , t h e 2 9 2 r e p r e s e n t s 2 i g n g , a n d t h e 3 r e p r e s e n t s 3 n n g g . I n t h i s e x a m p l e , 1 2 3 x 6 4 5 , f i r s t o n e m u l t i p l i e s 5 x 1 2 3 : 1 2 3 x _ _ _ J E 6 1 5 t h e n 4 0 x 1 2 3 : 1 2 3 4 9 2 0 a n d t h e n 6 0 0 x 1 2 3 : 1 2 3 . x _ _ § Q Q 7 3 8 0 0 I n t h e f i n a l s t e p , o n e a d d s t h e r e s u l t s o f t h e s e t h r e e p r o d u c t s : 1 2 3 z _ _ _ § & 5 6 1 5 4 9 2 0 7 3 8 9 9 I n e f f e c t , o n e i s p u t t i n g t h e r e s u l t s o f t h e “ p a r t s “ o f t h e o p e r a t i o n b a c k t o g e t h e r - - i . e . , 6 4 5 x 1 2 3 - ( 6 0 0 x 1 2 3 ) + ( 4 0 x 1 2 3 ) + ( 5 x 1 2 3 ) . F e w p e o p l e w r i t e t h e i r c o m p u t a t i o n o u t t h i s w a y . M o s t “ s h o r t c u t “ i t b y w r i t i n g : 1 2 3 z _ _ _ § & 5 6 1 5 4 9 2 _ _ _ 1 3 § _ _ . T h i s s h o r t c u t , i n e f f e c t , h i d e s t h e c o n c e p t u a l b a s e o f t h e p r o c e d u r e . F u r t h e r m o r e , p e o p l e c a n l e a r n t h e s h o r t c u t w i t h o u t l e a r n i n g t h e c o n c e p t u a l b a s e . T h i s p r o c e d u r e , w h i c h d e p e n d s c o n c e p t u a l l y o n p l a c e v a l u e a n d t h e d i s t r i b u t i v e p r o p e r t y , i s t h u s a s t r a t e g i c s i t e f o r e x p l o r i n g p r o s p e c t i v e t e a c h e r s ' u n d e r s t a n d i n g s o f p l a c e v a l u e . 9 3 C o r r e c t n e s s T h e s i m p l e w a y t o r e p o r t w h a t t h e i n t e r v i e w s r e v e a l e d i s t o s a y t h a t o n l y 5 o f t h e 1 9 p r o s p e c t i v e t e a c h e r s w h o m I i n t e r v i e w e d t a l k e d e x p l i c i t l y a b o u t t h e c o n c e p t s o f p l a c e v a l u e a n d n u m e r a t i o n t h a t u n d e r l i e t h e m u l t i p l i c a t i o n a l g o r i t h m . T h e o t h e r s g a v e a n s w e r s t h a t w e r e a m b i g u o u s o r f o c u s e d e x c l u s i v e l y o n t h e p r o c e d u r e . F o r t h i s t o p i c , h o w e v e r , t o s t o p a t s u c h a s u m m a r y w o u l d b e t o m i s s m u c h o f w h a t w a s s i g n i f i c a n t a b o u t t h e t e a c h e r c a n d i d a t e s ' k n o w l e d g e o f p l a c e v a l u e : w h a t t h e y f o c u s e d o n a n d t h e i r w a y s o f e x p l a i n i n g w h a t t h e y w e r e t h i n k i n g . d e V W e n S o m e o f t h e p r o s p e c t i v e t e a c h e r s ' r e s p o n s e s t o t h e s c e n a r i o w e r e r e l a t i v e l y e a s y t o i n t e r p r e t b e c a u s e t h e y f o c u s e d e x p l i c i t l y e i t h e r o n t h e r o l e o f p l a c e v a l u e i n t h e a l g o r i t h m o r t h e s t e p s o f t h e p r o c e d u r e . F o r e x a m p l e , A l l e n , a n e l e m e n t a r y m a j o r , s a i d t h a t h e w o u l d “ h a v e t o e x p l a i n a b o u t t h a t n o t b e i n g 1 2 3 x 4 . T h a t i t ' s 1 2 3 x 5 9 . “ I n c o n t r a s t , T e r i , a p r o s p e c t i v e e l e m e n t a r y t e a c h e r , f o c u s e d o n t h e s t e p s : I w o u l d s h o w t h e m h o w t o l i n e t h e m u p c o r r e c t l y . I w o u l d d o w h a t I s t i l l d o , w h i c h i s o n c e I m u l t i p l y o u t t h e f i r s t n u m b e r a n d t h e n I s t a r t t o d o t h e s e c o n d l i n e , p u t a z e r o t h e r e . T h a t ' s h o w I w a s t a u g h t t o d o i t a n d t h a t ' s h o w I s t i l l , w h e n I h a v e b i g n u m b e r s t o m u l t i p l y , I d o , b e c a u s e o t h e r w i s e I ' d g e t t h e m t o o m i x e d u p , p r o b a b l y . I t h e l p s t o k e e p e v e r y t h i n g i n l i n e , l i k e a f t e r t h e f i r s t l i n e , y o u d o o n e z e r o a n d t h e n y o u d o t w o z e r o e s t o s h i f t t h i n g s o v e r . A l l e n ' s a n s w e r s h o w e d t h a t h e u n d e r s t o o d t h a t “ m o v i n g t h e n u m b e r s o v e r “ i s n o t j u s t a r u l e t o r e m e m b e r , b u t r e f l e c t s t h a t 1 2 3 x 4 i s 4 , 9 2 0 , n o t 4 9 2 . I n c o n t r a s t , T e r i ' s u n d e r s t a n d i n g w a s w h o l l y p r o c e d u r a l : t h e n u m b e r s m u s t b e l i n e d u p a n d t h e z e r o e s h e l p y o u t o 9 4 r e m e m b e r t o “ s h i f t t h i n g s o v e r . “ T h e r e w a s n o h i n t i n h e r a n s w e r t h a t s h e s a w a n y m e a n i n g f u l b a s i s f o r t h e p r o c e d u r e . O t h e r s , h o w e v e r , t a l k e d i n w a y s t h a t w e r e h a r d e r t o i n t e r p r e t . O n e r e a s o n f o r t h i s w a s t h e a m b i g u i t y i n t h e u s e o f t h e t e r m “ p l a c e , “ w h i c h h e l d c o n c e p t u a l m e a n i n g i n s o m e c a s e s a n d l a r g e l y p r o c e d u r a l r e f e r e n c e i n o t h e r s . T h e p r o s p e c t i v e t e a c h e r s a l s o v a r i e d i n w h a t t h e y u n d e r s t o o d t o b e t h e f o c a l c o n t e n t i s s u e : s o m e s a w i t a s p l a c e v a l u e , s o m e s a w i t a s r e m e m b e r i n g t o “ l i n e u p a n d m o v e o v e r , “ o t h e r s e m p h a s i z e d t h e r o l e o f z e r o . B i n n § _ g n i n g _ n : _ 1 n i n g g § : 1 S o m e p r o s p e c t i v e t e a c h e r s ' r e s p o n s e s w e r e d i f f i c u l t t o i n t e r p r e t b e c a u s e t h e y u s e d c o n c e p t u a l l a n g u a g - - e . g . , “ t h e t e n s p 1 a c e “ - - t o d e s c r i b e p r o c e d u r e s , o r p r o c e d u r a l l a n g u a g e - - e . g . , “ a d d a z e r o “ - - t o ( p e r h a p s ) r e f e r t o c o n c e p t s . R a c h e l ' s r e s p o n s e w a s a n e x a m p l e o f t h i s a m b i g u i t y : Y o u w o u l d t a k e t h e l a s t n u m b e r a n d m u l t i p l y i t b y a l l t h r e e o f t h e t o p n u m b e r s a n d y o u p u t t h o s e u n d e r n e a t h a n d t h e n y o u s t a r t w i t h t h e n e x t o n e . Y o u ' d w a n t t o p u t i t u n d e r n e a t h t h e n u m b e r t h a t y o u a r e u s i n g . T h e y a r e n ' t u n d e r s t a n d i n g t h a t t h e y n e e d t o b e u n d e r n e a t h o f t h a t i n s t e a d o f j u s t d o w n i n o n e s t r a i g h t r o w . T h i s s e e m e d l i k e a n a n s w e r f o c u s e d o n t h e r u l e s o f t h e m u l t i p l i c a t i o n a l g o r i t h m . R a c h e l w a s t a l k i n g o n l y a b o u t w h e r e t o p u t t h e n u m b e r s a n d w h a t t o d o n e x t . B u t t h e n s h e s a i d t h a t t h e s t u d e n t s w o u l d “ p r o b a b l y n e e d t o k n o w a b o u t n i n g g g “ : Y o u k n o w , t h e h u n d r e d s , t h e t h o u s a n d s , y o u k n o w , w h a t e v e r . I f t h e y d o n ' t u n d e r s t a n d t h a t t h e r e i s a d i f f e r e n c e i n p i n n i n g , t h a t c o u l d a l s o l e a d t o t h i s i f t h e y d o n ' t r e m e m b e r . . . . T h e y n e e d t o u n d e r s t a n d t h a t t h e r e i s a d i f f e r e n c e i n t h e p i n n i n g , t o o . W h a t d i d R a c h e l m e a n w h e n s h e s a i d “ p i n n i n g “ ? S h e m a y h a v e b e e n t a l k i n g a b o u t w h e r e t o w r i t e t h e n u m b e r s - ~ w h e r e t o p i n g ; t h e m - - o r s h e m a y h a v e b e e n t a l k i n g a b o u t t h e d i f f e r e n c e i n t h e x n i n g o f a n u m b e r 9 5 d e p e n d i n g o n i t s p l a c i n g . T o p r o b e h o w s h e u n d e r s t o o d “ p l a c e s , “ I a s k e d h e r w h y t h i s m a t t e r e d . S h e r e p l i e d : B e c a u s e o f t h e f a c t t h a t y o u a r e w o r k i n g w i t h s u c h a l a r g e n u m b e r , l i k e y o u r s e c o n d a n d t h i r d n u m b e r s a r e n o t g o i n g t o b e o n e s . Y o u m o v e o u t o f , y o u r n u m b e r s g e t l a r g e r a n d l a r g e r a n d s i n c e y o u a r e w o r k i n g w i t h s u c h a l a r g e s u m , y o u h a v e t o k n o w h o w t o w o r k i n t h e t h o u s a n d s , y o u k n o w , t o k e e p y o u r n u m b e r s t h a t w a y . I g u e s s i t a l l g o e s b a c k t o t h e m u n d e r s t a n d i n g w h y t h e n u m b e r s s h o u l d b e u n d e r n e a t h o f w h a t y o u a r e m u l t i p l y i n g . S h e a d d e d t h a t s h e w a s n ' t s u r e “ h o w t h a t a f f e c t s t h e p l a c i n g . “ R a c h e l ' s r e s p o n s e w a s n o t a s c l e a r a s A l l e n ' s o r T e r i ' s . S h e s e e m e d t o f o c u s o n l i n i n g u p t h e n u m b e r s c o r r e c t l y , b u t t h e n s h e t a l k e d a b o u t “ p l a c e s , “ t o o . W a s h e r r e f e r e n c e t o “ p l a c i n g “ a n d “ p l a c e s “ c o n c e p t u a l - ~ i . e . , a d d r e s s i n g t h e x n i n g g o f d i f f e r e n t p l a c e s w i t h i n a n u m e r a l ? O r w a s R a c h e l j u s t t a l k i n g a b o u t “ p l a c i n g “ t h e n u m b e r s i n t h e r i g h t n i n g g - - s o t h a t t h e y w o u l d b e l i n e d u p c o r r e c t l y ? Z e r g _ § § _ n _ : n i n § g h g i d e r . “ A l s o a m b i g u o u s w e r e t h e r e s p o n s e s o f s e v e r a l p r o s p e c t i v e t e a c h e r s w h o t a l k e d a b o u t t h e i m p o r t a n c e o f w r i t i n g i n z e r o s i n t h e p a r t i a l p r o d u c t s . J a n e t , a s e c o n d a r y c a n d i d a t e a n d m a t h e m a t i c s m a j o r , s a i d s h e w o u l d g e t h e r s t u d e n t s t o f o c u s o n p u t t i n g t h e n u m b e r s “ i n t h e r i g h t p l a c e s “ a n d w o u l d “ e n c o u r a g e t h e m t o u s e z e r o a s a p l a c e h o l d e r , “ a n d C i n d y , a n o t h e r m a t h m a j o r , c o m m e n t e d , “ W e w e r e t a u g h t t o p u t a 0 h e r e , a n d a 0 t h e r e , t o r e p r e s e n t t h e p l a c e s . “ C a t h y , a n e l e m e n t a r y m a j o r , t r i e d t o e x p l a i n t h e r o l e o f 0 : I d o n ' t e x a c t l y k n o w h o w t o e x p l a i n i t , b u t s o m e t h i n g h a v i n g t o d o w i t h t h i s f i r s t c o l u m n . . . i s t h e o n e s , a n d t h e n e x t c o l u m n i s t h e t e n s , a n d m a y b e s o m e t h i n g l i k e t h e r e ' s a 0 , y o u k n o w , t h e t e n s t h e r e ' s a l w a y s o n e 0 , a n d s o y o u h a v e - - C o d , I d o n ' t k n o w . L i k e t o m a k e i t b a l a n c e o u t f o r t h e t e n s y o u ' d h a v e t o a d d t h e 0 a n d f o r t h e h u n d r e d s y o u ' d h a v e t o a d d t w o z e r o s . S o m e t h i n g t o t h a t e f f e c t . 1 d o n ' t k n o w . 9 6 I n s o m e o f t h e s e c a s e s , i n t e r p r e t i n g w h a t t h e p r o s p e c t i v e t e a c h e r s u n d e r s t o o d a b o u t p l a c e v a l u e w a s d i f f i c u l t . A l t h o u g h t h e i r a n s w e r s f o c u s e d o n h o w t o x i i i ; t h e p a r t i a l p r o d u c t s , i t i s n o t c l e a r w h a t t h a t m e a n t t o t h e m . P e o p l e c o u l d t a l k a b o u t t h e n m p o r t a n c e o f z e r o a s a “ p l a c e h o l d e r “ a n d m e a n s i m p l y t h a t u s i n g z e r o s h e l p s o n e r e m e m b e r t o g e t t h e n u m b e r s l i n e d u p c o r r e c t l y . S o m e p r o s p e c t i v e t e a c h e r s w h o t a l k e d a b o u t z e r o s g i g e l a b o r a t e t h e i r a n s w e r s e x p l i c i t l y a n d t h e i r r e s p o n s e s r e v e a l d i f f e r e n t k i n d s o f t h i n k i n g t h a t c a n u n d e r l i e a n s w e r s f o c u s e d o n “ p u t t i n g d o w n z e r o s . “ T h e r e s p o n s e s o f P a m a n d A l l e n , b o t h e l e m e n t a r y t e a c h e r c a n d i d a t e s , i l l u s t r a t e s u c h d i f f e r e n c e s i n t h i n k i n g . P a m s a i d s h e w o u l d s h o w p u p i l s t o “ n h y n i g n i i y p u t a z e r o e v e r y t i m e y o u m o v e d d o w n a l i n e . “ S h e e x p l a i n e d t h a t “ z e r o d o e s n ' t a d d a n y t h i n g m o r e t o t h e p r o b l e m . I t ' s j u s t e m p t y . B u t i n s t e a d o f h a v i n g a n e m p t y s p a c e , y o u h a v e s o m e t h i n g t o f i l l i n t h e s p a c e s o t h a t y o u c a n u s e i t a s a g u i d e l i n e . “ A l l e n a l s o s a i d h e w o u l d “ m a k e i t m a n d a t o r y t h a t t h e z e r o s s t a r t s h o w i n g u p “ o n h i s p u p i l s ' p a p e r s . B u t h e e x p l a i n e d i t d i f f e r e n t l y . H e s a i d h e w o u l d “ h a v e t o e x p l a i n a b o u t t h a t n o t b e i n g 1 2 3 x 4 , T h a t ' s 1 2 3 x 4 9 , w h i c h i s a m u l t i p l e o f i Q - - w h i c h h a s t h a t 0 o n t h e r i g h t s i d e w h i c h i s w h y t h e 0 h a s t o b e t h e r e . “ B o t h P a m a n d A l l e n w o u l d h a v e t h e i r p u p i l s p u t t h e z e r o s d o w n , y e t t h e i r e x p l a n a t i o n s r e v e a l e d s t r i k i n g l y d i f f e r e n t u n d e r s t a n d i n g s o f t h e r o l e o f z e r o i n o u r d e c i m a l p o s i t i o n a l n u m e r a t i o n s y s t e m . P a m s a w t h e z e r o a s u s e f u l f o r k e e p i n g t h e c o l u m n s o f n u m b e r s l i n e d u p b u t s a y s t h a t z e r o “ a d d s n o t h i n g “ t o t h e n u m b e r . H e r s t a t e m e n t s u g g e s t e d t h a t s h e c o n f u s e d “ a d d i n g z e r o “ i n a n u m b e r ( 7 8 + 0 - 7 8 ) w i t h t h e r o l e o f 9 7 0 i n a n n n g x n i ( e . g . , 7 8 0 ) . A l l e n k n e w t h a t 1 2 3 i s m u l t i p l i e d b y 5 , 4 0 , a n d 6 0 0 . H e s a i d t h e z e r o s “ h a v e t o b e t h e r e “ b e c a u s e t h e p r o d u c t s a r e “ a m u l t i p l e o f 1 0 o f f . “ S t i l l , h i s r e s p o n s e d i d n o t s h o w w h a t h e k n e w a b o u t t h e z e r o s i n p l a c e v a l u e n u m e r a t i o n . W a s i t a r u l e h e h a d m e m o r i z e d - - t h a t m u l t i p l e s o f 1 0 h a v e o n e z e r o , m u l t i p l e s o f 1 0 0 h a v e t w o z e r o s , a n d s o f o r t h ? O r d i d h e k n o w g h y p u t t i n g a z e r o “ o n t h e r i g h t s i d e “ p r o d u c e s a n u m b e r t h a t i s t e n t i m e s t h e o r i g i n a l ? U n d e r s t a n d i n g w h a t p r o s p e c t i v e t e a c h e r s k n o w i s c o m p l i c a t e d b y t h e s e c o n f u s i o n s a n d i n a d e q u a c i e s o f t h e i r l a n g u a g e . 7 W i n s . T h o s e w h o m e n t i o n e d “ p l a c e s “ a n d “ o n e s , t e n s , a n d h u n d r e d s “ m a y h a v e h a d a p a r t i a l , f u z z y , o r i n e x p l i c i t u n d e r s t a n d i n g o f t h e u n d e r l y i n g c o n c e p t s o f p l a c e v a l u e . S o m e p r o s p e c t i v e t e a c h e r s f i g u r e d i t o u t i n t h e c o u r s e o f a n s w e r i n g t h e q u e s t i o n . B a r b , a p o s t - B . A . s t u d e n t w i t h a n u n d e r g r a d u a t e m a t h e m a t i c s m a j o r , w a s o n e o f t h e s e . S h e b e g a n h e r a n s w e r m u c h a s m a n y o t h e r s d i d , f o c u s i n g o n “ m o v i n g o v e r “ f r o m c o l u m n t o c o l u m n : Y o u s t a r t i n t h e u n i t s c o l u m n a n d y o u m u l t i p l y t h a t , a n d t h e n y o u s t a r t i n y o u r t e n s c o l u m n a n d s o y o u h a v e t o s t a r t i n y o u r t e n s c o l u m n o f t h e n e x t o n e a n d y o u m u l t i p l y 4 x 1 2 3 a n d t h e n y o u m o v e o v e r i n t o y o u r h u n d r e d s c o l u m n o v e r h e r e w h e r e y o u ' r e t a k i n g 6 x T h e n l i g e t a l k e d a b o u t h o w s h e w a s t a u g h t t o “ p u t t h e z e r o s t h e r e b e c a u s e i t h e l p e d m e l i n e u p m y c o l u m n s . “ A s s h e p o n d e r e d t h i s a l o u d , s h e b e g a n t o p u l l h e r o w n s u b m e r g e d k n o w l e d g e t o t h e s u r f a c e : A l o t o f t h e t i m e y o u s a y , “ W e l l , p u t a z e r o h e r e , p u t a z e r o t h e r e , a n d z e r o t h e r e , a n d y o u p u t a z e r o h e r e , a n d a z e r o t h e r e , “ a n d y o u g e t i n t o t h e m g g h n g o f i t a n d y o u k n o w t h a t y o u p u t a z e r o h e r e , b u t t h e y d o n ' t r e a l l y u n d e r s t a n d g h y . A n d I t h i n k i t g o e s 7 A l t h o u g h i t w a s n o t a f o c a l t o p i c i n t h i s s t u d y , t h e n u m b e r z e r o a n d t h e w a y s i n w h i c h p r o s p e c t i v e t e a c h e r s t h o u g h t a b o u t i t c a m e t h r o u g h o n a n u m b e r o f t h e t a s k s . P r e l i m i n a r y a n a l y s e s s u g g e s t e d t h a t m i s c o n c e p t i o n s a b o u t t h e n u m b e r z e r o w e r e c o m m o n a m o n g t h e p r o s p e c t i v e t e a c h e r s i n t h i s s t u d y . 9 8 b a c k t o t h e u n i t s a n d t e n s a n d h u n d r e d s a n d a l l t h a t . A n d t h a t m i g h t b e a n e a s i e r w a y t o t a k e a l o o k a t i t . ‘ C a u s e y o u ' r e g o i n g t o t a k e 5 t i m e s t h a t , a n d y o u t a k e 4 0 , a n d t h e n 6 0 0 , a n d y o u c a n s e e w h e r e t h o s e z e r o s c o m e f r o m . S h e s t i l l w a s n ' t e n t i r e l y c l e a r a b o u t t h i s , h o w e v e r , a s i s s h o w n b y h e r e f f o r t s t o m a k e e x p l i c i t t h e r e a s o n f o r t h e z e r o e s . F i r s t , s h e s a i d t h a t “ w h e n y o u t a k e t h e 4 o r t h e 4 0 , y o u ' r e g o n n a w a n t t o s t a r t i n , u n d e r s t a n d t h a t y o u ' r e w o r k i n g w i t h t e n s n o w , s o y o u w a n t t o m o v e i n t o t h e t e n s c o l u m n “ b u t t h e n s h e s t o p p e d a n d s a i d , “ G o d , I d o n ' t k n o w a n y o t h e r w a y t h a t I ' d . b e a b l e t o d e s c r i b e i t t h a n , I ' d h a v e t o t h i n k a b o u t i t . “ S h e p a u s e d a n d l o o k e d a t t h e p r o b l e m a n d s u d d e n l y r e a l i z e d t h a t 1 2 3 x 4 0 “ i s g o i n g t o b e t h e s a m e a s t h i s [ 4 9 2 ] w i t h a 0 o n i t ! “ S h e t a l k e d t o h e r s e l f u n d e r h e r b r e a t h a n d t h e n a f e w m o m e n t s l a t e r l o o k e d u p a n d s a i d , “ W o w , I h a v e n ' t e v e n t h o u g h t a b o u t i t t h a t w a y b e f o r e ! . . . § h n § i n w h e r e t h o s e z e r o s c o m e f r o m , 9 h ! E n g , o k a y . “ A l t h o u g h B a r b c o u l d m u l t i p l y c o r r e c t l y , s h e d i d n o t e x p l i c i t l y u n d e r s t a n d t h e m a t h e m a t i c a l p r i n c i p l e s u n d e r l y i n g t h e p r o c e d u r e . S h e w a s , h o w e v e r , a b l e t o p u t d i f f e r e n t p i e c e s o f k n o w l e d g e t o g e t h e r a n d f i g u r e i t o u t a s s h e t a l k e d . O t h e r s w h o l a c k e d e x p l i c i t u n d e r s t a n d i n g a l s o s e e m e d t o r e a l i z e t h a t t h e r e w a s m o r e t o k n o w t h a n j u s t p r o c e d u r e s , b u t c o u l d n o t a l w a y s u n c o v e r t h e d e e p e r l e v e l s . S a n d i , a n e l e m e n t a r y m a j o r , s t r u g g l e d a n d t h e n g a v e u p . H e r a n s w e r s e e m e d t o f o c u s o n t h e r u l e s o f l i n i n g u p t h e n u m b e r s : I w o u l d e x p l a i n t h a t e v e r y t i m e y o u m o v e o v e r t h i s i s n ' t o n e s , t h i s i s t e n s , s o i t ' s t e n m o r e , s o y o u h a v e t o h a v e a n e x t r a t e n t h e r e , y o u h a v e t o p u t t h e z e r o t h e r e t o h o l d i t i n p l a c e . D o e s t h a t m a k e s e n s e ? I a s k e d i f i t m a d e s e n s e t o h g x . S h e r e p l i e d , O h , I k n o w w h a t I ' m s a y i n g , I k n o w w h a t I ' m t h i n k i n g , I j u s t , I d o n ' t k n o w i f I c a n e x p l a i n i t . . . I g u e s s i t ' s b e c a u s e t h e s t u f f i s s o b a s i c t o m e . 9 9 W h a t S a n d i c o u l d n n y w a s t h a t “ y o u h a v e t o p u t t h e z e r o t h e r e t o h o l d i t i n p l a c e . “ H e r e x p l a n a t i o n t h a t i n t h e t e n s p l a c e “ i t ' s t e n n n g g “ m i s r e p r e s e n t s t h e f a c t t h a t t h e v a l u e o f t h e t e n s p l a c e i s t e n g i n n n m o r e . S t i l l , h e r c o m m e n t t h a t s h e k n e w w h a t s h e w a s t h i n k i n g b u t d o e s n ' t k n o w i f s h e c a n e x p l a i n i t i s w o r t h p o n d e r i n g . S a n d i s e e m e d t o h a v e p a r t o f t h e i d e a , t h a t s o m e t h i n g a b o u t t h e v a l u e o f t h e p l a c e s m a t t e r e d , b u t w a s u n a b l e t o p u l l i t t o g e t h e r . W W 1 1 1 W T o e x t e n d w h a t I w a s l e a r n i n g a b o u t t h e e x p l i c i t n e s s o f t h e t e a c h e r c a n d i d a t e s ' k n o w l e d g e o f p l a c e v a l u e , a s w e l l t o i n v e s t i g a t e t h e d e g r e e t o w h i c h t h a t k n o w l e d g e w a s c o n n e c t e d a c r o s s c o n t e x t s , I e x p l o r e d t h e i r u n d e r s t a n d i n g o f t h e r o l e o f p l a c e v a l u e i n s u b t r a c t i o n w i t h r e g r o u p i n g ( a p r o c e d u r e c o m m o n l y k n o w n a s “ b o r r o w i n g “ s ) . I d e s i g n e d a n e x e r c i s e , l o n g e r t h a n t h e r e s t , i n w h i c h I a s k e d t h e t e a c h e r c a n d i d a t e s t o e x a m i n e a s e c t i o n f r o m a s e c o n d g r a d e m a t h b o o k ( B o l s t e r , C o x , G i b b , e t a l . , 1 9 7 5 ) . T h i s s e c t i o n ( t w o p a g e s ) d e a l t w i t h s u b t r a c t i n g t w o - d i g i t n u m b e r s w i t h r e g r o u p i n g . T h e 8 U s i n g t h e t e r m “ b o r r o w i n g “ m i s r e p r e s e n t s t h e c o n c e p t u a l e s s e n c e o f t h e p r o c e d u r e . T h e t r a d i t i o n a l m e t a p h o r c o n v e y s t h e i m p r e s s i o n t h a t o n e n u m b e r g e t s s o m e t h i n g f r o m a n o t h e r o n a s h o r t - t e r m b a s i s . I t c o m p l e t e l y i g n o r e s t h e p l a c e x n i n g a s p e c t o f t h e n u m b e r . R e g r o u p i n g i s a t r u e r r e p r e s e n t a t i o n o f t h e p r o c e d u r e . T o s u b t r a c t 7 1 _ ; _ 3 _ 2 _ . t h e n u m b e r 7 1 ( 7 t e n s a n d 1 o n e ) i s r e g r o u p e d s o t h a t i t i s e x p r e s s e d a s 6 t e n s a n d 1 1 o n e s . 7 1 i s s t i l l t h e 5 9 3 3 1 . I t i s s i m p l y r e p r e s e n t e d a s : 1 1 i n s t e a d . T o s a y , o n t h e o t h e r h a n d , t h a t “ t h e 1 b o r r o w s f r o m t h e 7 , “ ‘ w h i l e c u t e , d o e s n o t c a l l a t t e n t i o n t o t h e c o n c e p t u a l b a s i s . 1 0 0 t a s k , a s i t w a s c o n c e i v e d a n d c o n s t r u c t e d , h a d s e v e r a l p u r p o s e s . I a s k e d t h e t e a c h e r c a n d i d a t e s t o a p p r a i s e t h e s e c t i o n , t o t a l k a b o u t w h a t t h e y p e r c e i v e d a s i t s s t r e n g t h s a n d w e a k n e s s e s , a n d t h e n t o d e s c r i b e h o w t h e y m i g h t g o a b o u t h e l p i n g s e c o n d g r a d e r s t o l e a r n “ t h i s . “ I d i d n o t s p e c i f y w h a t “ t h i s “ w a s b e c a u s e I w a n t e d t o s e e w h a t t h e y w o u l d f o c u s o n . I a l s o a s k e d t h e m w h a t t h e y t h o u g h t p u p i l s w o u l d n e e d t o k n o w b e f o r e t h e y c o u l d l e a r n t h i s , a n d w h a t t h e y w o u l d u s e a s e v i d e n c e t h a t t h e i r p u p i l s w e r e “ g e t t i n g i t . “ F i n a l l y t h e y e x a m i n e d a s e c o n d g r a d e p u p i l ' s w o r k o n o n e o f t h e p a g e s , a n d w e r e a s k e d t o t a l k a b o u t w h a t t h e y t h o u g h t s h e u n d e r s t o o d a n d w h a t t h e y w o u l d d o n e x t w i t h h e r . G e n e r a l l y , c o m p a r e d t o t h e p r e v i o u s s c e n a r i o , t h e t e a c h e r c a n d i d a t e s g i g s e e m t o h a v e e x p l i c i t k n o w l e d g e o f t h e r o l e o f “ t e n s a n d o n e s , “ o r p l a c e v a l u e , i n “ b o r r o w i n g . “ E v e r y o n e u s e d “ t e n s a n d o n e s “ l a n g u a g e , a n d m o s t f o c u s e d t o s o m e e x t e n t o n t h e u n d e r l y i n g p l a c e v a l u e c o n c e p t s . S t i l l , s o m e w e r e p r e o c c u p i e d w i t h t h e “ b o r r o w i n g “ m e t a p h o r , a n d m o s t s a w s u b t r a c t i o n , n o t p l a c e v a l u e , a s t h e c e n t r a l c o n c e p t . 9 : I g n § _ n n d _ n n g § i 1 0 f t h e 9 e l e m e n t a r y m a j o r s w h o d i d t h e t a s k , 1 0 7 f o c u s e d e x p l i c i t l y o n c o n c e p t s o f p l a c e v a l u e . T h e s e t e a c h e r c a n d i d a t e s ' r e s p o n s e s s h o w e d t h a t t h e y w e r e a w a r e t h a t “ t e n s a n d o n e s “ p l a y e d s o m e s o r t o f r o l e i n t e a c h i n g s u b t r a c t i o n w i t h r e g r o u p i n g ( w h i c h t h e y a l l r e f e r r e d t o a s “ b o r r o w i n g “ ) . F o r s o m e , t h i s a w a r e n e s s 9 B o t h a r e o f c o u r s e k e y , b u t p l a c e v a l u e i s a c t u a l l y m o r e c e n t r a l t o l e a r n i n g t h e n i n g g g n z g ( s e e n o t e 4 ) . 1 0 A n n e , t h e t e n t h e l e m e n t a r y c a n d i d a t e , d i d t h e s e c o n d a r y s t r u c t u r e d e x e r c i s e a s s h e w a s a p r o s p e c t i v e m i d d l e s c h o o l t e a c h e r . 1 0 1 o f t e n s a n d o n e s w a s a t t h e s u r f a c e , r e a d i l y a c c e s s i b l e . F o r e x a m p l e , T e r i d e s c r i b e d w h a t s h e w o u l d s a y f o r : 5 1 4 I w o u l d s a y , y o u k n o w , o b v i o u s l y t h e s e n u m b e r s , y o u c a n ' t s u b t r a c t i n y o u r h e a d . A l l r i g h t , y o u h a v e t o c r o s s o u t o n e o f t h e t e n s f r o m t h e t o p . A n d p u t i t o v e r i n t h e o n e s c o l u m n o n t h e t o p , s o y o u a r e a b l e t o s u b t r a c t t h e t w o n u m b e r s . A n d t h e n w h e n y o u c r o s s t h a t t e n s n u m b e r , c h a n g e i t , l i k e s u b t r a c t 1 f r o m i t . S o y o u c h a n g e , l i k e i f i t w a s 6 4 , c h a n g e i t t o u h , y o u k n o w , t h e 6 t o a 5 , a n d t h e 4 t o a 1 4 . A n d m a y b e I w o u l d s h o w t h e m , l i k e 6 4 , l i k e m a y b e I w o u l d w r i t e 6 4 o n t h e b o a r d . A n d t h e n p u t t h a t i t e q u a l s 5 0 p l u s 1 4 , s o t h e y s e e i t i s s t i l l t h e s a m e a m o u n t . T e r i , i n t h e m i d s t o f a p r o c e d u r a l d e s c r i p t i o n ( “ c h a n g e t h e 6 t o a 5 “ ) , e x p l i c i t l y a d d e d a n i m p o r t a n t p i e c e o f c o n c e p t u a l u n d e r s t a n d i n g : t h a t 6 4 e q u a l s 5 0 p l u s 1 4 a n d s o t h e c r o s s i n g o u t h a s n o t g h n n g g g t h e v a l u e o f t h e n u m b e r . R a c h e l a n t i c i p a t e d t h a t p u p i l s w o u l d b e c o n f u s e d a b o u t “ w h y i t d o e s n ' t j u s t b e c o m e - - i f y o u t a k e 1 a w a y f r o m t h e 6 , w h y d o e s n ' t t h e 4 j u s t b e c o m e 5 ? “ 1 1 4 ; _ _ 1 _ _ § _ _ S h e t h o u g h t a b o u t i t a n d d e c i d e d t h a t “ y o u w o u l d h a v e t o l e t t h e m k n o w t h e d i f f e r e n c e b e t w e e n t h e o n e s a n d t h e t e n s c o l u m n s . . . t h e y w o u l d n e e d t o u n d e r s t a n d t h a t t h e r e i s a d i f f e r e n c e , y o u k n o w , w h e r e t h e n u m b e r i s n i n g g d . “ T h e n s h e s a i d t h a t p u p i l s w o u l d h a v e t o k n o w t h a t “ 6 4 i s l i k e o n e n u m b e r i n s t e a d o f j u s t t h i n k i n g o f i t l i k e a 6 a n d a 4 . “ A f e w m o m e n t s l a t e r , s h e e l a b o r a t e d h e r i n s i g h t : O h , o k a y . I w a n t t h e m t o u n d e r s t a n d t h a t y o u k n o w 6 0 - - 6 , 0 , i s a l o t b i g g e r t h a n j u s t a 6 a n d a 0 t o g e t h e r . T h e t o t a l c o n c e p t t h a t - - I ' m n o t e x a c t l y s u r e h o w t o e x p l a i n i t - - i s t h a t 6 0 i s h o w 1 3 1 g : i t i s , y o u k n o w . T h e 6 m e a n s a l o t m o r e t h a n t h e 4 , t h a t i t h a s a ( p a u s e ) I m e a n , n o t n g g n g a l o t m o r e , b u t t h a t i t g n n i n i n n a l o t m o r e - - h o w d o y o u e x p l a i n t h a t ? T h a t i t i s a l a r g e r n u m b e r w h e n i t i s i n t h e t e n s t h a n w h e n i t i s i n t h e o n e s , y o u k n o w . 1 0 2 I n h e r r e s p o n s e , R a c h e l s e e m e d t o b r i n g s o m e s u b m e r g e d u n d e r s t a n d i n g o f p l a c e g a i n ; t o t h e s u r f a c e . S h e r e a l i z e d t h a t t h e “ w h e r e t h e n u m b e r i s p l a c e d “ a f f e c t s i t s v a l u e , a n d t h u s a p p e a r e d t o u n p a c k w h a t i t m e a n s t o u n d e r s t a n d “ t h e d i f f e r e n c e b e t w e e n t h e o n e s a n d t h e t e n s p l a c e s . “ C a t h y t r i e d t o d o t h e s a m e t h i n g , b u t w i t h l e s s s u c c e s s . F i r s t s h e s a i d s h e h a d “ n o i d e a “ a b o u t h o w s h e w o u l d “ g e t i n t o “ t h e “ b o r r o w i n g “ . I a s k e d h e r w h y t h a t s e e m e d h a r d a n d s h e e x p l a i n e d , I m e a n m a y b e b e c a u s e I d o n ' t r e a l l y e x a - - I m e a n , I d o n ' t , i t ' s { : 8 t l i k e s e c o n d n a t u r e t o m e a n d I d o n ' t k n o w e x a c t l y w h y w e d o [ l o o k i n g a t : 1 1 4 : _ _ 1 _ § _ _ ] Y o u g o o v e r t o t h e o t h e r c o l u m n a n d y o u . b o r r o w 1 f r o m t h e 6 . S o y o u l o s e 1 o n t h a t s i d e a n d i t b e c o m e s a 5 s o - - a n d l i k e , I c o u l d s a y t h a t a n d t h a t y o u a d d 1 - - t h e 4 b e c o m e s a t e n s . B u t g h y , I m e a n , h o w c a n y o u d o t h a t ? I m e a n , I g u e s s y o u a r e s a y i n g t h a t t h e 6 4 b e c o m e s a 5 4 a n d g h y ? Y o u k n o w ? U n l i k e T e r i , C a t h y d i d n o t s e e m t o u n d e r s t a n d t h a t t h e p r o c e d u r e t r a n s f o r m s 6 4 i n t o 5 0 + 1 4 . A n d u n l i k e R a c h e l , C a t h y s e e m e d u n a b l e t o r e t r i e v e t h e u n d e r l y i n g c o n c e p t s i n t h e c o u r s e o f t h e i n t e r v i e w . “ fi n i x n g i n g i “ A l t h o u g h t h e t e x t b o o k p a g e w a s l a b e l e d “ s u b t r a c t i o n w i t h r e n a m i n g , “ a l l t h e p r o s p e c t i v e t e a c h e r s r e f e r r e d t o t h e p r o c e d u r e a s “ b o r r o w i n g . “ R a c h e l w a s t h e o n l y o n e w h o n o t i c e d t h e d i f f e r e n c e , a n d i t p u z z l e d h e r : S o m e h o w r e n a m i n g j u s t d o e s n ' t s e e m t h e s a m e b e c a u s e w i t h m e w i t h ' b o r r o w i n g , i t s e e m s l i k e I k n o w w h a t I a m d o i n g . . I a m h g i i n g i n g f r o m t h e n u m b e r b e s i d e i t , b y t a k i n g n u m b e r s f r o m t h a t , b u t w i t h z n n n n i n g i t i s . . . I d o n ' t k n o w , i t d o e s n ' t h a v e t h e s a m e c o n n o t a t i o n . W h e n y o u r e n a m e i t , w h y w o u l d y o u h a v e t o p i c k t h e o n e b e s i d e i t , y o u k n o w ? . . . I w o u l d l i k e t o u n d e r s t a n d b e t t e r a b o u t t h e r e n a m i n g . W h y t h e y c a l l i t “ r e n a m i n g . “ W h a t c o n c e p t i s b e h i n d t h a t . I h a v e a f e e l i n g n o w t h a t i t i s g o i n g t o b e a 1 0 3 d i f f i c u l t t h i n g f o r m e t o c h a n g e m y o w n m i n d f r o m b o r r o w i n g t o r e n a m i n g . R a c h e l ' s p u z z l e m e n t s u g g e s t e d t h a t p r o s p e c t i v e t e a c h e r s ' t a l k a b o u t “ t e n s a n d o n e s “ c o u l d h a v e b e e n , a t l e a s t i n s o m e c a s e s , l a r g e l y p r o c e d u r a l - - i . e . , t o g i v e d i r e c t i o n s a b o u t h o w t o c a r r y o u t t h e s t e p s o f t h e a l g o r i t h m : “ g o t o t h e n e x t p l a c e - - t h e t e n s - - a n d b o r r o w a t e n a n d m o v e i t o v e r t o t h e o n e s . “ F o r e x a m p l e , a l t h o u g h T e r i m e n t i o n e d t h a t 6 4 w a s t h e s a m e a s 5 t e n s a n d 1 4 o n e s , C a t h y r e a l i z e d t h a t s h e d i d n o t k n o w h o w “ 6 4 b e c o m e s a 5 4 . “ F o r t w o o f t h e t e a c h e r c a n d i d a t e s , s u b t r a c t i o n a n d t h e m e t a p h o r o f “ b o r r o w i n g “ w e r e e s p e c i a l l y f o c a l . P a m s a i d s h e w o u l d s t a r t b y m a k i n g s u r e h e r p u p i l s c o u l d d o “ b a s i c a d d i n g “ b e f o r e t h e y g o t t o t h e “ c o n c e p t o f t a k i n g s o m e t h i n g a w a y . “ T h e n s h e w o u l d m a k e u p s i m p l e s t o r i e s a r o u n d “ b o r r o w i n g s o m e t h i n g f r o m y o u r n e i g h b o r . “ S h e w o u l d s t a r t o u t w i t h s i n g l e - d i g i t n u m b e r s “ j u s t t o m a k e s u r e t h e y u n d e r s t a n d t h e c o n c e p t “ : A s i t u a t i o n w h e r e y o u r m o t h e r h a d 5 a p p l e s a n d s h e n e e d e d 7 a p p l e s s o s h e w o u l d s e n d t h e c h i l d o v e r t o g e t 2 m o r e a p p l e s f r o m a n e i g h b o r , t h a t s o r t o f c o n c e p t . N o w i n t h i s [ l o o k i n g a t : n 1 4 _ 3 _ _ § _ - 1 i t w o u l d b e p o s s i b l y s h e h a d 4 a p p l e s a n d t h e n e i g h b o r h a d 6 a n d s h e n e e d 1 m o r e a p p l e . I a s k e d P a m w h a t s h e m e a n t b y “ t h e c o n c e p t “ a n d s h e r e p l i e d , “ O h , s u b t r a c t i n g o n e n u m b e r f r o m a n o t h e r . “ S h e s a i d s h e w o u l d “ a d v a n c e “ f r o m t h e s e s i m p l e r s t o r i e s t o o n e s w i t h l a r g e r n u m b e r s - - “ t e n s a n d o n e s . “ P a m ' s a t t e n t i o n s e e m e d t o b e o n s u b t r a c t i o n a n d o n t h e i d e a o f “ b o r r o w i n g “ i n t h e r e a l w o r l d , n o t o n p l a c e v a l u e . H e r d i s t r a c t i o n f r o m t h e c o n c e p t u a l e s s e n c e o f t h e p r o b l e m w a s t y p i c a l o f t h e p r o s p e c t i v e t e a c h e r s , w h o o f t e n t e n d e d t o m i s r e p r e s e n t t h e c o n t e n t . 1 0 4 H e r e P a m . c o n f u s e s 6 9 a p p l e s w i t h 6 a p p l e s , a n d . 1 9 a p p l e s w i t h 1 , s e r i o u s c o n f u s i o n s . M e i L i n g , a n o t h e r p r o s p e c t i v e t e a c h e r , e x p l a i n e d h o w s h e w o u l d h e l p p u p i l s u n d e r s t a n d t h e n n g g f o r t h e p r o c e d u r e : I w o u l d s a y “ 0 k , y o u ' v e g o t . . . f o r e x a m p l e . . . y o u ' v e g o t 4 C a k e s h e r e a n d y o u ' v e g o t 6 p e o p l e . E v e r y o n e o f t h e s e p e o p l e , t h e y w a n t t o d r i n k o n e C o k e . D o y o u h a v e e n o u g h , i s i t g o i n g t o w o r k ? “ T h e y ' l l s a y “ n 9 “ a n d s o m e o n e w i l l s a y “ W e l l , w e ' l l s p l i t o n e d o w n t h e m i d d l e . “ ( l a u g h s ) S o I s a y , “ O k a y , t h n g i g n o t g o i n g t o w o r k , b u t t h e n y o u g o b a c k t o t h e s t o r e . . . l w o u l d j u s t s h o w t h a t r e l a t i o n s h i p i s n ' t g o i n g t o w o r k . I ' d s a y , “ 4 m i n u s 6 d o e s n ' t w o r k , s o y o u h a v e t o b o r r o w “ . M e i L i n g ' s s t o r y o f 4 C o k e s a n d 6 p e o p l e r e p r e s e n t s d i v i s i o n a s w e l l a s s u b t r a c t i o n . A l t h o u g h s h e w a n t e d p u p i l s t o s e e t h a t 4 - 6 “ d o e s n ' t w o r k , “ p u p i l s m a y , a s s h e a n t i c i p a t e d , s u g g e s t s h a r i n g , o r d i v i d i n g , t h e C o k e s . I n t h a t c a s e , t h e s t o r y m a y r e p r e s e n t 4 g i x i n n d b y 6 . M e i L i n g w o u l d e x p l a i n , h o w e v e r , t h a t “ t h a t r e l a t i o n s h i p d o e s n ' t w o r k , s o y o u h a v e t o b o r r o w . “ ( I n f a c t , s h e w a n t e d p u p i l s t o s e e t h a t , s h o r t o f C o k e s , t h e y w o u l d g o b a c k t o t h e s t o r e a n d g e t m o r e - - n o t e x a c t l y “ b o r r o w i n g , “ e i t h e r . ) M e i L i n g ' s s t o r y d o e s n o t p i c k u p t h e “ b o r r o w i n g “ o f g e n ; e i t h e r , t h e c e n t r a l i d e a u n d e r l y i n g r e g r o u p i n g i n o u r n u m e r a t i o n s y s t e m . L i k e P a m , M e i L i n g f o c u s e d i n s t e a d o n g e t t i n g g n n n g h _ n g x g - - h o w e v e r m a n y t h a t t a k e s . I n r e g r o u p i n g , h o w e v e r , o n e a l w a y s r e g r o u p s b y t e n s , r e g a r d l e s s o f t h e q u a n t i t y o n e i s s h o r t . T h e s t o r y c o u l d a l s o h a v e b e e n i n t e r p r e t e d a s a r e p r e s e n t a t i o n i n v o l v i n g n e g a t i v e n u m b e r s ( i . e . , w e a r e s h o r t 2 C o k e s , o r 4 - 6 - - 2 ) , h o w e v e r , l i k e m a n y o f t h e o t h e r p r o s p e c t i v e t e a c h e r s , M e i L i n g w a s t r y i n g t o m a k e t h e ( f a l s e ) p o i n t t h a t a l a r g e r n u m b e r g n n n n ; b e s u b t r a c t e d f r o m a s m a l l e r o n e . S t i l l , a l l t h e t e a c h e r c a n d i d a t e s w e r e m o r e e x p l i c i t a b o u t p l a c e v a l u e w h e n t a l k i n g a b o u t s u b t r a c t i o n w i t h r e g r o u p i n g t h a n t h e y w e r e 1 0 5 w h e n t h e y d i s c u s s e d . t h e m u l t i p l i c a t i o n a l g o r i t h m . W i t h m u l t i p l i c a t i o n , f o r i n s t a n c e , T e r i f o c u s e d o n “ l i n i n g u p t h e n u m b e r s “ a n d “ s h i f t i n g t h i n g s o v e r “ o n e a c h l i n e . S h e d i d n o t s e e m t o u n d e r s t a n d t h a t t h e p a r t i a l p r o d u c t w r i t t e n a s 4 9 2 w a s r e a l l y 4 9 2 0 ( “ a d d i n g t h e z e r o j u s t k e e p s e v e r y t h i n g i n l i n e “ ) . Y e t , i n t a l k i n g a b o u t s u b t r a c t i o n w i t h r e g r o u p i n g , T e r i t a l k e d e x p l i c i t l y a b o u t 5 0 + 1 4 b e i n g “ t h e s a m e a m o u n t “ a s 6 4 . W e W W E x p i i g i t n e § § _ n n g _ n e n n i n g . O v e r a l l , t h e t e a c h e r c a n d i d a t e s ' k n o w l e d g e o f p l a c e v a l u e w a s i n e x p l i c i t . A l t h o u g h t h e y w e r e a b l e t o p e r f o r m t h e c o m p u t a t i o n s i n v o l v e d , t h e y w e r e l e s s a b l e t o e x p l a i n t h e u n d e r l y i n g c o n c e p t s . I n t h e m u l t i p l i c a t i o n q u e s t i o n , m a n y o f t h e t e a c h e r c a n d i d a t e s m e n t i o n e d “ p l a c e s “ a n d y e t d i d n o t n e c e s s a r i l y s e e m t o f o c u s o n p l a c e 1 3 1 3 : . T h e y t a l k e d a b o u t m a k i n g s u r e t h e “ 4 “ w a s “ u n d e r t h e t e n s p l a c e “ o r a b o u t “ p l a c i n g t h e n u m b e r s c o r r e c t l y u n d e r t h e o n e y o u ' r e m u l t i p l y i n g b y . “ “ P l a c e “ s e e m e d t o b e e q u i v a l e n t t o n i n g g n g n t , o r g e t t i n g t h e n u m b e r s i n t h e c o r r e c t c o l u m n s . I n t h e s u b t r a c t i o n t a s k , h o w e v e r , m o s t o f t h e p r o s p e c t i v e t e a c h e r s g i g s e e m t o b e t a l k i n g a b o u t 1 0 6 p l a c e v a l u e - ~ t e n s a n d o n e s . O n o n e h a n d , t h i s s u g g e s t s t h a t t h e y d i d h a v e p p n g e x p l i c i t u n d e r s t a n d i n g o f t h e d e c i m a l n u m e r a t i o n s y s t e m . 1 1 T h e i r m e n t i o n o f “ t e n s a n d o n e s , “ o n t h e o t h e r h a n d , m a y h a v e b e e n m o r e p r o c e d u r a l t h a n c o n c e p t u a l . T h e m e a n i n g o f “ b o r r o w o n e f r o m t h e t e n s “ i s a m b i g u o u s . I t m a y m e a n , l i t e r a l l y , t a k e 1 a w a y f r o m t h e n u m b e r i n t h e t e n s p i n g ; - - i . e . , c r o s s o u t t h e 6 a n d m a k e i t a 5 . O r i t m a y m e a n t a k e 1 i n n a w a y f r o m 6 t e n s , l e a v i n g 5 t e n s . C a t h y ' s c o n f u s i o n a b o u t h o w “ 6 4 b e c o m e s 5 4 “ i s e v i d e n c e o f t h e p o s s i b i l i t y t h a t a t e a c h e r c a n d i d a t e c o u l d t a l k i n t e r m s o f o n e s a n d t e n s g i g h p n g e n g a g i n g t h e c o n c e p t o f g r o u p i n g ( a n d r e g r o u p i n g ) b y t e n s , j u s t a s r e f e r e n c e t o p i n p p g i n t h e m u l t i p l i c a t i o n a l g o r i t h m m a y n o t s i g n a l a t t e n t i o n t o p l a c e x n i n g . T h e f a c t t h a t t h e s t e p s o f t h e “ b o r r o w i n g r h y m e “ r e f e r e x p l i c i t l y t o t e n s a n d o n e s ( e . g . , “ b o r r o w o n e f r o m t h e t e n s , m o v e i t t o t h e o n e s “ ) m a y h e l p t o e x p l a i n w h y t e a c h e r c a n d i d a t e s s e e m e d t o f o c u s m o r e o n p l a c e v a l u e w h e n t h e y t a l k e d a b o u t s u b t r a c t i o n w i t h r e g r o u p i n g t h a n t h e y d i d w h e n t h e y w e r e t h i n k i n g a b o u t m u l t i p l i c a t i o n . 1 1 T w o a l t e r n a t i v e e x p l a n a t i o n s e x i s t f o r t h i s d i f f e r e n c e . F i r s t , t h e i r o w n t e a c h e r s m a y h a v e t a l k e d a b o u t t e n s a n d o n e s a n d p l a c e v a l u e i n t e a c h i n g s u b t r a c t i o n w i t h r e g r o u p i n g , b u t n o t i n t e a c h i n g m u l t i p l i c a t i o n . T h u s , t h e t e a c h e r c a n d i d a t e s m i g h t h a v e u n d e r s t o o d t h e r o l e o f p l a c e v a l u e i n o n e c o n t e x t , b u t m i g h t n e v e r h a v e c o n s i d e r e d i t i n t h e o t h e r . S e c o n d , t h e t e x t b o o k p a g e i n t h e s u b t r a c t i o n e x e r c i s e d i s p l a y e d n u m b e r s i n c o l u m n s l a b e l e d “ t e n s “ a n d “ o n e s “ : M 6 | 4 fl - _ 3 i n , 6 T h e m u l t i p l i c a t i o n q u e s t i o n c o n t a i n e d n o s u c h e x p l i c i t c u e . T h i s a l o n e m i g h t h a v e l e d s o m e p r o s p e c t i v e t e a c h e r s t o t h i n k a b o u t p l a c e v a l u e . S t i l l , t h e b o o k d i d n o t d e a l c o n c e p t u a l l y w i t h p l a c e v a l u e , s o t h e c u e w a s l i m i t e d . 1 0 7 E p n g n g n i g § _ n n d p p p i n n d i n g . A l m o s t a l l t h e t e a c h e r c a n d i d a t e s w e r e m o r e e x p l i c i t a b o u t p l a c e v a l u e w h e n t a l k i n g a b o u t s u b t r a c t i o n w i t h r e g r o u p i n g t h a n t h e y w e r e w h e n t h e y d i s c u s s e d t h e m u l t i p l i c a t i o n a l g o r i t h m . T h e t e a c h e r c a n d i d a t e s m a y h a v e u n d e r s t o o d t h e r o l e o f “ t e n s a n d o n e s , “ o r p l a c e v a l u e , i n “ b o r r o w i n g “ a n d y e t n o t h a v e c o n n e c t e d t h a t u n d e r s t a n d i n g w i t h t h e m u l t i p l i c a t i o n a l g o r i t h m . T h e i r k n o w l e d g e o f p l a c e v a l u e s e e m e d t o b e c o m p a r t m e n t a l i z e d i n t h e s p e c i f i c c o n t e x t o f s u b t r a c t i o n w i t h r e g r o u p i n g . I t w a s a p p a r e n t l y n o t r e a d i l y u s a b l e i n t h e o t h e r e q u a l l y r e l e v a n t c o n t e x t - - m u 1 t i p l i c a t i o n . W W P l a c e v a l u e i s a c o n c e p t c e n t r a l t o m a t h e m a t i c s a n d o n e t h a t i s c r i t i c a l t o h e l p i n g p u p i l s l e a r n a b o u t t h e n g n n i n g o f w r i t t e n n u m e r a l s a n d o p e r a t i o n s w i t h t h e m . Y e t , f o r a d u l t s , i t i s k n o w l e d g e t h a t i s s u b m e r g e d u n d e r t h e r o u t i n e s o f e v e r y d a y o p e r a t i o n s w i t h n u m b e r s , a n d m a y b e r a r e l y , i f e v e r , m a d e e x p l i c i t . F o r t h e s e p r o s p e c t i v e t e a c h e r s , k n o w l e d g e o f p l a c e v a l u e w a s n o t i n s t a n t l y r e t r i e v a b l e . B e i n g a s k e d w h y i t w a s p e r m i s s i b l e t o w r i t e 4 , 9 2 0 i n s t e a d o f 4 9 2 d i d n o t , f o r e x a m p l e , r e a d i l y t r i g g e r a c o n c e p t u a l j u s t i f i c a t i o n . F u r t h e r m o r e , t h e t e a c h e r c a n d i d a t e s ' a b i l i t y t o r e c o g n i z e a n d m e n t i o n t h e r o l e o f p l a c e v a l u e i n o n e c o n t e x t a n d n o t i n a n o t h e r s u g g e s t s t h a t p l a c e v a l u e d o e s n o t o c c u p y a c e n t r a l s t r u c t u r a l p l a c e i n t h e i r k n o w l e d g e o f m a t h e m a t i c s . A n a l y z i n g p r o s p e c t i v e t e a c h e r s ' k n o w l e d g e o f p l a c e v a l u e h i g h l i g h t s t h e d a n g e r s o f a s s u m i n g t h a t t h e y h a v e e x p l i c i t a n d c o n n e c t e d u n d e r s t a n d i n g s o f b a s i c m a t h e m a t i c a l i d e a s , e v e n w h e n t h e y a r e a b l e t o p p p i n i g w i t h t h e m . 1 0 8 W e i s s W h y d i v i s i o n ? A n o v e r r a t e d a n d o v e r e m p h a s i z e d p i e c e o f t h e s c h o o l m a t h e m a t i c s c u r r i c u l u m , c r i t i c s w o u l d a r g u e . M a t h e m a t i c s e d u c a t o r s d e s p a i r a t t h e f a c t t h a t c h i l d r e n s p e n d t h e b e t t e r p a r t o f f o u r t h a n d f i f t h g r a d e “ i n “ d i v i s i o n - - b e i n g t r a i n e d t o d o w h a t a $ 5 m a c h i n e c a n d o f a s t e r a n d m o r e a c c u r a t e l y ( S c h w a r t z , 1 9 8 7 ) . T h e y u r g e t e a c h e r s t o e m p h a s i z e d i v i s i o n l e s s , e s p e c i a l l y l o n g d i v i s i o n , a n d t o t e a c h b e t t e r m a t h e m a t i c a l c o n t e n t i n s t e a d . S t i l l t h e p p n g g p p o f d i v i s i o n i s a c e n t r a l o n e i n m a t h e m a t i c s a t a l l l e v e l s a n d i t f i g u r e s p r o m i n e n t l y t h r o u g h o u t t h e K - 1 2 c u r r i c u l u m . F u r t h e r m o r e , d i v i s i o n i s w o r t h w h i l e c o n t e n t f o r w h a t s t u d e n t s c a n l e a r n a b o u t r a t i o n a l a n d i r r a t i o n a l n u m b e r s , a b o u t p l a c e v a l u e , a b o u t t h e c o n n e c t i o n s a m o n g t h e f o u r b a s i c o p e r a t i o n s , a s w e l l a s a b o u t t h e l i m i t s a n d p o w e r o f r e l a t i n g m a t h e m a t i c s t o t h e r e a l w o r l d . F o r t h e s e r e a s o n s , a s w e l l a s t h e f a c t t h a t s t u d e n t s a l s o o f t e n h a v e d i f f i c u l t y l e a r n i n g i t , d i v i s i o n i s a t o p i c a b o u t w h i c h t e a c h e r s s h o u l d h a v e e x p l i c i t c o n c e p t u a l a n d c o n n e c t e d k n o w l e d g e . I n o r d e r t o e x a m i n e t h e c o n n e c t e d n e s s o f t e a c h e r c a n d i d a t e s ' k n o w l e d g e o f d i v i s i o n , I c h o s e t h r e e d i f f e r e n t m a t h e m a t i c a l c o n t e x t s : d i v i s i o n w i t h f r a c t i o n s , d i v i s i o n b y z e r o , a n d d i v i s i o n w i t h a l g e b r a i c e q u a t i o n s . T h e s e c o n t e x t s , b e c a u s e t h e y a r e s e p a r a t e d i n t i m e a n d m e a n i n g b y t h e s c h o o l c u r r i c u l u m , w o u l d n o t a p p e a r o b v i o u s l y c o n n e c t e d t o t e a c h e r c a n d i d a t e s . Y e t d i v i s i o n i s t h e k e y t o e a c h . T h e k i n d s o f t a s k s I p o s e d a l s o i n v i t e d t h e t e a c h e r c a n d i d a t e s t o d i s p l a y e x p l i c i t c o n c e p t u a l u n d e r s t a n d i n g : a s k i n g t h e m t o e x p l a i n a n d t o g e n e r a t e r e p r e s e n t a t i o n s . 1 0 9 I n o r d e r t o h e l p t h e r e a d e r a p p r a i s e t h e p r o s p e c t i v e t e a c h e r s ' k n o w l e d g e i n t h e s e c t i o n t h a t f o l l o w s , I f i r s t p r e s e n t a b r i e f d i s c u s s i o n o f d i v i s i o n a n d i t s m e a n i n g i n e a c h o f t h e t h r e e c o n t e x t s . A t i t s f o u n d a t i o n , d i v i s i o n . h a s t o d o w i t h f o r m i n g g i p n p n . T w o k i n d s o f g r o u p i n g s a r e p o s s i b l e : ( 1 ) F o r m i n g g r o u p s o f a c e r t a i n p i n g ( e . g . , t a k i n g a c l a s s o f 2 8 s t u d e n t s a n d f o r m i n g g r o u p s o f 4 ) . T h e p r o b l e m i s h o w m a n y g r o u p s o f t h a t s i z e c a n b e f o r m e d ? T h i s i s s o m e t i m e s r e f e r r e d t o a s t h e m e a s u r e m e n t m o d e l o f d i v i s i o n . ( 2 ) F o r m i n g a c e r t a i n n n n h p ; o f g r o u p s ( e . g . , t a k i n g a c l a s s o f 2 8 s t u d e n t s a n d f o r m i n g 4 g r o u p s ) . T h e p r o b l e m i s t o d e t e r m i n e t h e s i z e o f e a c h g r o u p . T h i s m o d e l i s s o m e t i m e s r e f e r r e d t o a s t h e p a r t i t i v e m o d e l o f d i v i s i o n . C o n s i d e r a t y p i c a l d i v i s i o n s t a t e m e n t w i t h w h o l e n u m b e r s , s u c h a s 7 + 2 . W h a t d o e s t h i s m e a n ? I t m a y r e p r e s e n t o n e o f t w o k i n d s o f s i t u a t i o n s : ( 1 ) I h a v e 7 s l i c e s o f p i z z a . I f I w a n t t o s e r v e 2 s l i c e s p e r p e r s o n , h o w m a n y p o r t i o n s d o I h a v e ? ( M e a s u r e m e n t i n t e r p r e t a t i o n - - A n s w e r : 3 % p o r t i o n s ) ( 2 ) I h a v e 7 s l i c e s o f p i z z a . I w a n t t o s p l i t t h e p i z z a e q u a l l y b e t w e e n 2 p e o p l e . H o w m u c h p i z z a w i l l e a c h p e r s o n g e t ? ( P a r t i t i v e i n t e r p r e t a t i o n - - A n s w e r : 3 8 s l i c e s ) N o t i c e t h a t b e c a u s e t h e s e t w o s i t u a t i o n s r e p r e s e n t t w o d i f f e r e n t m e a n i n g s f o r d i v i s i o n , t h e r e f e r e n t f o r 3 k i s d i f f e r e n t i n t h e t w o c a s e s . I n t h e f i r s t s i t u a t i o n , t h e a n s w e r i s a n u m b e r o f p p p p i p n g ( t h e s i z e o f t h e p o r t i o n w a s a l r e a d y d e c i d e d ) ; i n t h e s e c o n d , t h e a n s w e r i s a n u m b e r o f s l i c e s p g ; _ p p ; § i p n ( t h e q u e s t i o n w a s h o w l a r g e e a c h p o r t i o n w o u l d b e ) . I n e a c h c a s e , m u l t i p l y i n g t h e r e s u l t ( 3 8 ) b y t h e n u m b e r u s e d t o d i v i d e t h e o r i g i n a l t o t a l y i e l d s t h a t t o t a l ( 3 8 x 2 - 7 ) . D i v i d i n g b y f r a c t i o n s , t h e f i r s t o f t h e t h r e e c o n t e x t s i n t h e p r o s p e c t i v e t e a c h e r i n t e r v i e w , i s n o t d i f f e r e n t c o n c e p t u a l l y f r o m 1 1 0 d i v i d i n g b y w h o l e n u m b e r s . W h a t a b o u t t h e s p e c i f i c t o p i c a t h a n d , d i v i s i o n w i t h f r a c t i o n s ? R e m e m b e r i n g t o “ i n v e r t a n d m u l t i p l y “ - - t h a t i s , t o i n v e r t t h e d i v i s o r a n d m u l t i p l y i t b y t h e d i v i d e n d - ~ i s o n e w a y o f u n d e r s t a n d i n g d i v i s i o n b y f r a c t i o n s . A t y p i c a l s i x t h g r a d e t e x t b o o k p a g e i n t r o d u c i n g d i v i s i o n o f f r a c t i o n s s a y s s i m p l y , “ D i v i d i n g b y a f r a c t i o n i s t h e s a m e a s m u l t i p l y i n g b y i t s r e c i p r o c a l . “ N o o r l i t t l e a t t e n t i o n i s g i v e n t o t h e m e a n i n g o f d i v i s i o n w i t h f r a c t i o n s a n d n o c o n n e c t i o n s a r e m a d e b e t w e e n d i v i s i o n w i t h f r a c t i o n s a n d d i v i s i o n w i t h w h o l e n u m b e r s . E a c h i s t r e a t e d a s a s p e c i a l c a s e . 1 2 ' 1 3 S i n c e d i v i s i o n w i t h f r a c t i o n s i s m o s t o f t e n t a u g h t a l g o r i t h m i c a l l y , i t 1 2 D i v i d i n g b y f r a c t i o n s i s n o t d i f f e r e n t c o n c e p t u a l l y f r o m d i v i d i n g b y w h o l e n u m b e r s . S u p p o s e , f o r e x a m p l e , t h a t y o u o w e a f r i e n d $ 1 0 0 a n d m u s t r e p a y t h e m o n e y , a l t h o u g h w i t h o u t i n t e r e s t . Y o u c a n e x p l o r e h o w l o n g i t w o u l d t a k e t o r e p a y t h i s d e b t , g i v e n d i f f e r e n t p a y m e n t a m o u n t s . I f y o u p a y $ 2 p e r w e e k , i t w i l l t a k e y o u 5 0 w e e k s . T h i s c a n b e f o r m u l a t e d m a t h e m a t i c a l l y a s 1 0 0 + 2 - 5 0 . N o w , c o n s i d e r h o w l o n g i t w i l l t a k e y o u i f y o u r e p a y a t a r a t e o f 5 0 ¢ p e r w e e k . 5 0 c - k d o l l a r , s o t h i s o p t i o n c a n b e e x p r e s s e d a s 1 0 0 + 8 . I f y o u u n d e r s t a n d d i v i s i o n , a n d h a v e a f e e l f o r a m o u n t s o f m o n e y , y o u k n o w t h a t 2 0 0 w e e k s i s a r e a s o n a b l e a n s w e r t o t h i s ( e v e n t h o u g h 4 y e a r s t o p a y b a c k $ 1 0 0 w i l l p r o b a b l y j e o p a r d i z e y o u r f r i e n d s h i p ) . I f y o u a r e u n c e r t a i n a b o u t y o u r c a l c u l a t i o n s , y o u c a n v e r i f y t h e m b y m u l t i p l y i n g t h e n u m b e r o f w e e k s b y t h e a m o u n t o f t h e p a y m e n t . F o r e x a m p l e , 2 0 0 x . 5 0 - $ 1 0 0 . 0 0 ( o r 2 0 0 x h - 1 0 0 ) . B o t h o f t h e s e r e p a y m e n t p l a n s m o d e l t h e f i r s t m e a n i n g o f d i v i s i o n a b o v e - - i . e . , t a k e $ 1 0 0 a n d f o r m “ g r o u p s “ - - f i r s t o f $ 2 a n d t h e n o f 8 d o l l a r . T h e p r o b l e m i n b o t h c a s e s i s h o w m a n y “ g r o u p s “ - - o r p a y m e n t s - ~ o f t h e g i v e n a m o u n t t h e r e a r e i n $ 1 0 0 , a m e a s u r e m e n t r e p r e s e n t a t i o n o f 1 0 0 + h . T o s e e a p a r t i t i v e m o d e l o f t h e s a m e e x p r e s s i o n , t r y t h e f o l l o w i n g : I m a g i n e t h a t y o u a r e p a c k i n g a p p l e s i n c r a t e s . Y o u h a v e 1 0 0 a p p l e s a n d f i n d t h a t t h e y f i l l e x a c t l y h a l f t h e c r a t e . H o w m a n y a p p l e s w i l l i t t a k e t o f i l l t h e c r a t e ? I n t h i s c a s e , n u m b e r k r e p r e s e n t s t h e n u m b e r o f g r o u p s a n d t h e q u e s t i o n i s h o w m a n y w i l l b e i n e a c h w h o l e g r o u p . N o t i c e t h a t t h i s r e p r e s e n t a t i o n c o r r e s p o n d s d i r e c t l y t o t h e a l g o r i t h m “ i n v e r t a n d m u l t i p l y “ : i n f a c t , o n e w o u l d t h i n k a b o u t i t i n t e r m s o f d o u b l i n g t h e n u m b e r o f a p p l e s i t t a k e s t o f i l l h a l f a c r a t e . 1 3 I t i s w o r t h n o t i n g t h a t t h e p r o c e d u r e “ i n v e r t a n d m u l t i p l y “ i s n o t u n i q u e t o d i v i d i n g w i t h f r a c t i o n s . F o r i n s t a n c e , 6 + 2 y i e l d s t h e s a m e r e s u l t a s 6 x h ( w h e r e o n e h a s i n v e r t e d t h e 2 a n d m u l t i p l i e d t h e r e s u l t b y t h e d i v i d e n d ) . Y e t r a r e l y , i f e v e r , i s t h i s m a d e e x p l i c i t t o p u p i l s . 1 1 1 i s a s t r a t e g i c s i t e f o r e x a m i n i n g t h e e x t e n t t o w h i c h p r o s p e c t i v e t e a c h e r s u n d e r s t a n d t h e n g n n i n g o f d i v i s i o n i t s e l f ( D a v i s , 1 9 8 3 ) . D i v i s i o n b y z e r o , t h e s e c o n d c a s e o f d i v i s i o n e x p l o r e d i n t h i s s t u d y , i s a l s o n o m o r e c o m p l i c a t e d t h a n d i v i s i o n w i t h o t h e r r a t i o n a l n u m b e r s . T h e r e s u l t , h o w e v e r , i s d i f f e r e n t . E x t e n d i n g t h e d e b t e x a m p l e , s u p p o s e y e n o w e $ 1 0 0 a n d w a n t t o k n o w h o w l o n g i t w i l l t a k e y o u t o r e p a y y o u r d e b t i f y o u m a k e p a y m e n t s o f $ 0 p e r w e e k . W h a t i s 1 0 0 + 0 ? O b v i o u s l y y o u w i l l n e v e r r e p a y y o u r d e b t a t t h a t r a t e - - y o u w i l l b e i n d e b t e d f o r e v e r . T h e r e i s n p _ p p i n § i p n t o y o u r i n d e b t e d n e s s i f y o u c h o o s e t o r e p a y i n i n s t a l l m e n t s o f $ 0 . G o i n g o n e s t e p f u r t h e r , t h e r e i s n o n u m b e r o f w e e k s t h a t y o u c a n m u l t i p l y b y $ 0 a n d c o m e u p w i t h a t o t a l o f $ 1 0 0 . Y e t , i n t h e e a r l i e r e x a m p l e s , t h e a n s w e r c o u l d a l w a y s b e m u l t i p l i e d b y t h e d i v i s o r a n d e q u a l t h e o r i g i n a l t o t a l . D i v i s i o n b y z e r o i s n n n p i i n g g : I t h a s n o s o l u t i o n t h a t f i t s s e n s i b l y w i t h i n t h e m e a n i n g o f d i v i s i o n a n d i t s r e l a t i o n s h i p t o m u l t i p l i c a t i o n . T h e l a s t c o n t e x t i n w h i c h I l o o k e d a t t e a c h e r c a n d i d a t e s ' k n o w l e d g e o f d i v i s i o n w a s i n a l g e b r a i c e q u a t i o n s . T h e e q u a t i o n . 3 : 5 0 . 2 g i v e s i n f o r m a t i o n t h a t p e r m i t s o n e t o i d e n t i f y t h e c o r r e c t v a l u e f o r a n u n k n o w n n u m b e r , d e n o t e d a s x . I n c o m m o n l a n g u a g e , t h e e q u a t i o n s a y s t h a t w h e n o n e d i v i d e s t h i s u n k n o w n n u m b e r b y . 2 , o n e g e t s 5 a s t h e a n s w e r . K n o w l e d g e o f d i x i p i p n m a k e s c l e a r w h a t t h i s m e a n s : t h a t t h e r e a r e 5 g r o u p s o f . 2 i n t h e n u m b e r , o r , m o r e c o l l o q u i a l l y , . 2 “ g o e s i n t o “ t h e n u m b e r 5 t i m e s . R e a s o n i n g c o n c e p t u a l l y a b o u t d i v i s i o n i n t h i s w a y a l l o w s o n e t o i d e n t i f y t h e n u m b e r w i t h o u t p e r f o r m i n g a n y m a n i p u l a t i o n s o n t h e e q u a t i o n . T h e a n s w e r i s 1 . 1 c a n b e d i v i d e d i n t o 5 g r o u p s o f . 2 ; . 2 “ g o e s i n t o “ 1 5 t i m e s . 1 1 2 m m W T o l e a r n a b o u t t e a c h e r c a n d i d a t e s ' k n o w l e d g e o f d i v i s i o n , I a s k e d t h e m t o d e v e l o p a r e p r e s e n t a t i o n o f t h e d i v i s i o n s t a t e m e n t 1 3 / 4 + 8 : 1 3 / 4 + 5 S o m e t h i n g t h a t m a n y m a t h e m a t i c s t e a c h e r s t r y t o d o i s t o r e l a t e m a t h e m a t i c s t o o t h e r t h i n g s . S o m e t i m e s t h e y t r y t o c o m e u p w i t h r e a l - w o r l d s i t u a t i o n s o r s t o r y p r o b l e m s t o s h o w t h e a p p l i c a t i o n o f s o m e p a r t i c u l a r p i e c e o f c o n t e n t , o r e x a m p l e s o r m o d e l s t h a t m a k e c l e a r w h a t s o m e t h f h g m g g n g . S o m e t i m e s t h i s i s p r e t t y c h a l l e n g i n g . c o u l d y o u t h i n k o f a g o o d s i t u a t i o n o r s t o r y o r m o d e l f e r 1 3 / 4 + 8 ? ( i . e . , s o m e t h i n g r e a l f o r w h i c h 1 3 / 4 + 8 i s t h e a p p r o p r i a t e m a t h e m a t i c a l f o r m u l a t i o n ? ) fl e w d o e s t h a t f i t w i t h 1 3 / 4 + 8 ? w o u l d t h i s b e a g o o d w a y t o h e l p s t u d e n t s l e a r n a b o u t d i v i s i o n b y f r a c t i o n s ? T h e t r a d i t i o n a l a l g o r i t h m f o r d i v i d i n g f r a c t i o n s t h a t m o s t s t u d e n t s l e a r n i n s c h o o l i s “ i n v e r t a n d m u l t i p l y “ - - t h a t i s i n v e r t t h e d i v i s o r a n d m u l t i p l y i t b y t h e d i v i d e n d . I n a d d i t i o n , a n y m i x e d n u m b e r s m u s t b e c o n v e r t e d t o i m p r o p e r f r a c t i o n s . 1 3 / 4 + k b e c o m e s 7 / 4 x 2 / 1 . M u l t i p l y i n g t h e n u m e r a t o r s a n d d e n o m i n a t o r s p r o d u c e s 1 4 / 4 , w h i c h s h o u l d b e e x p r e s s e d a s 3 % . W h a t d o e s t h e a n s w e r 3 k n g n n ? H e r e i n l i e s t h e e s s e n c e o f t h e a l g o r i t h m ' s c o n c e p t u a l b a c k g r o u n d . A s i n a n y d i v i s i o n , 1 3 / 4 + B h a s t o d o w i t h g r o u p s - - i n t h i s c a s e , g r o u p s o f a c e r t a i n s i z e : 8 . H o w m a n y g r o u p s o f t h a t s i z e c a n b e f o r m e d o u t o f 1 3 / 4 ? A s k i n g p r o s p e c t i v e t e a c h e r s t o c r e a t e a s t o r y p r o b l e m , m o d e l , o r o t h e r r e p r e s e n t a t i o n f o r w h i c h 1 3 / 4 + h i s t h e m a t h e m a t i c a l f o r m u l a t i o n g a v e m e a g l i m p s e i n t o h o w t h e y t h o u g h t a b o u t i t s m e a n i n g . A n a p p r o p r i a t e r e p r e s e n t a t i o n s h o u l d s h o w t h a t t h e q u e s t i o n i s “ h o w m a n y 8 ' s a r e t h e r e i n 1 3 / 4 ? “ F o r e x a m p l e : 1 1 3 A r e c i p e c a l l s f o r h c u p b u t t e r . H o w m a n y b a t c h e s c a n o n e m a k e i f o n e h a s 1 3 / 4 c u p s b u t t e r ? A n s w e r : 3 8 b a t c h e s . W h y ? B e c a u s e t h e r e a r e 3 8 h - c u p p o r t i o n s o f b u t t e r i n 1 3 / 4 c u p s o f b u t t e r . T h i s s t o r y m a k e s c l e a r t h e r e f e r e n t f o r t h e a n s w e r 3 h - - i t r e f e r s t o 3 k h n i x p n . g p x p p g p n p § p _ n n g _ p x p i i p i g n p § n . T h e p r o s p e c t i v e t e a c h e r s , t h e e l e m e n t a r y c a n d i d a t e s a s w e l l a s t h e s e c o n d a r y s t u d e n t s w h o w e r e m a j o r i n g i n m a t h e m a t i c s , h a d s i g n i f i c a n t d i f f i c u l t y u n p a c k i n g t h e m e a n i n g o f d i v i s i o n w i t h f r a c t i o n s . F e w e l e m e n t a r y o r s e c o n d a r y t e a c h e r c a n d i d a t e s w e r e a b l e t o g e n e r a t e a m a t h e m a t i c a l l y a p p r o p r i a t e r e p r e s e n t a t i o n o f t h e d i v i s i o n . T h e s e r e s u l t s f i t w i t h e v i d e n c e f r o m o t h e r p a r t s o f t h e i n t e r v i e w a n d t h a t s u g g e s t s t h a t t h e i r s u b s t a n t i v e u n d e r s t a n d i n g o f m a t h e m a t i c s i s b o t h r u l e - b o u n d a n d c o m p a r t m e n t a l i z e d . I c a t e g o r i z e d t h e t e a c h e r c a n d i d a t e s ' r e s p o n s e s a s f o l l o w s : a p p r o p r i a t e , i n a p p r o p r i a t e , u n a b l e t o g e n e r a t e a r e p r e s e n t a t i o n ( T a b l e 3 . 1 s h o w s t h e d i s t r i b u t i o n o f r e s p o n s e s b y e l e m e n t a r y a n d s e c o n d a r y t e a c h e r c a n d i d a t e s ) . B e l o w I d i s c u s s e a c h o f t h e s e c a t e g o r i e s o f r e s p o n s e s i n t u r n . A p p i p p z i n § g _ z g p 1 g § e n § n p i g n g . F i v e s e c o n d a r y t e a c h e r c a n d i d a t e s w e r e a b l e t o g e n e r a t e a c o m p l e t e l y a p p r o p r i a t e r e p r e s e n t a t i o n o f 1 3 / 4 + 8 ; h o w e v e r , t h i s d i d n o t s e e m t o c o m e e a s i l y t o a n y o f t h e m . C a r o l s a i d s h e d i d n ' t h a v e a n y p r o b l e m s “ d o i n g i t “ ( i . e . , i n v e r t i n g a n d m u l t i p l y i n g t o g e t t h e a n s w e r ) b u t t h a t s h e w a s n ' t g o o d a t c r e a t i n g s t o r y p r o b l e m s . S h e t h o u g h t f o r a m o m e n t a n d t h e n s a i d s h e m i g h t u s e “ r e p r e s e n t a t i o n s o n p a p e r , o n t h e b l a c k b o a r d , t h i n g s l i k e t h a t “ : I g u e s s I w o u l d , I c o u l d u s e a n u m b e r l i n e . Y o u k n o w , l e t ' s m a r k o f f w h e r e i t i s ; h e r e ' s o n e - a n d - t h r e e - q u a r t e r s a n d t h e r e ' s a h a l f , 1 1 4 n o w h o w m a n y t i m e s d o e s a h a l f c o u n t t h e r e . T h e n y o u g e t t h i s f a r a n d t h e n y o u h a v e t o t a l k a b o u t t h a t . h o w m u c h o f a h a l f i s t h a t ? ( S e e F i g u r e 3 . 1 ) C a r o l e x p l a i n e d t h a t t h i s w o u l d b e g o o d b e c a u s e i t s h o w e d t h a t t h e q u e s t i o n w a s : “ H o w m a n y h a l v e s a r e i n o n e a n d t h r e e - q u a r t e r s ? “ T h e o t h e r f o u r p r o s p e c t i v e s e c o n d a r y t e a c h e r s , a l t h o u g h t h e y u n d e r s t o o d t h e m e a n i n g o f d i v i s i o n . w i t h f r a c t i o n s , s h o w e d m o r e s i g n s o f s t r a i n i n g e n e r a t i n g r e p r e s e n t a t i o n s f o r i t . T h e i r p r o b l e m s h a d a f o r c e d q u a l i t y . F o r e x a m p l e , T e r r e l l f i r s t s a i d h e c o u l d n ' t “ t h i n k o f a n y t h i n g s p e c i f i c . “ T h e n h e s a i d h e w o u l d u s e p i z z a : I f y o u t o o k t h e p i z z a a n d t o o k 8 o f a p i z z a a n d y o u t o o k a w h o l e p i z z a a n d 3 / 4 o f a p i z z a ( t h a t w o u l d b e 1 3 / 4 ) . Y o u p u t t h e h o f t h e p i z z a o n t o p o f e a c h p i e c e . S o f i r s t y o u ' d t a k e t h e w h o l e p i z z a a n d y o u ' d p u t i t o n t o p o f i t . T h e n y o u ' d t a k e t h a t o f f , w h a t e v e r i t f i t s o n a n d y o u ' d d o i t a g a i n . O n l y t a k e i t o f f i f i t f i t s t h e w h o l e t h i n g . I f . . . . b o t h p i e c e s a r e e q u a l . T h e n y o u g o t h r o u g h t h e h a p i e c e a n d d o t h e s a m e f o r t h a t . T a k e t h a t o f f . T h e n y o u g e t t h a t l a s t p i e c e a n d y o u . . . w e 1 1 , t h a t ' s t h e w a y I ' d e x p l a i n i t . T e r r e l l t h e n e x p l a i n e d w h a t t h e a n s w e r ( 3 5 ) m e a n t i n t h i s c o n t e x t : Y o u ' d t a k e t h e h a n d t h e a n s w e r w o u l d b e h o w m a n y t i m e s y o u g o t a w h o l e h a l f ( i f y o u . w a n t t o s a y t h a t ) . O f t h e . . . w h a t e v e r ' s l e f t o v e r , w h a t p a r t o f i t i s p f t h e h a l f , I g u e s s y o u c o u l d s a y . Y o u ' d h a v e a k l e f t , w h i c h i s h o f a h a l f . W h i l e i t i s r a t h e r c o n f u s i n g t o f o l l o w , t h i s d o e s m a k e m a t h e m a t i c a l s e n s e , a l t h o u g h l a y i n g p i e c e s o f p i z z a o n t o p o f w h o l e p i z z a s f o r c e s t h e i m a g i n a t i o n a b i t a n d s u g g e s t s t h a t c o m i n g u p w i t h a r e a l i s t i c s t o r y d i d n o t c o m e e a s i l y f o r T e r r e l l . A l l f o u r t e a c h e r c a n d i d a t e s ' e x a m p l e s a p p r o p r i a t e l y r e p r e s e n t e d d i v i s i o n w i t h f r a c t i o n s . W h i l e a b i t a w k w a r d , t h e i r a n s w e r s i n d i c a t e d t h a t t h e y u n d e r s t o o d t h e p r o b l e m i n t e r m s o f d i v i s i o n , t h a t t h e y d i d t h i n k a b o u t i t i n t e r m s o f h o w m a n y h a l v e s t h e r e a r e i n o n e a n d t h r e e - f o u r t h s . T h e y w e r e i n t h e m i n o r i t y , h o w e v e r . e s n o p s e r f o y r o g e t a C 1 1 5 T a b l e 3 . 1 D i v i s i o n b y f r a c t i o n s : 1 3 m — ; — 1 / 2 T e a c h e r C a n d i d a t e s E l e m e n t a r y S e c o n d a r y T O T A L S A p p r o p r i a t e r e p r e s e n t a t i o n 0 S 5 I n a p p r o p r i a t e r e p r e s e n t a t i o n 3 2 l 5 U n a b l e t o g e n e r a t e a 6 2 8 r e p r e s e n t a t i o n { n u a " 0 : : 5 _ 3 . 5 n o . : : = u m . . . a 2 3 1 1 6 l l 7 1 n a g p 1 9 2 1 1 § § § _ 1 g 2 1 § § g n § § § 1 2 n § . F i v e t e a c h e r c a n d i d a t e s g e n e r a t e d r e p r e s e n t a t i o n s t h a t d i d n o t c o r r e s p o n d t o t h e p r o b l e m . T h e m o s t f r e q u e n t e r r o r w a s t o r e p r e s e n t d i v i s i o n b y 2 i n s t e a d o f d i v i s i o n b y h . F o r e x a m p l e , B a r b , a m a t h e m a t i c s m a j o r , g a v e t h e f o l l o w i n g s t o r y : I f w e h a d o n e a n d t h r e e - q u a r t e r s p i z z a s l e f t a n d t h e r e w e r e t w o o f u s d y i n g t o s p l i t i t , t h e n h o w w o u l d w e b e a b l e t o s p l i t t h a t ? S h e p r o c e e d e d t o g i v e a c a r e f u l c o n c e p t u a l e x p l a n a t i o n o f h o w t o s p l i t t h e p i z z a e q u a l l y : I f t h e r e ' s t h r e e - q u a r t e r s o v e r h e r e a n d f i r s t y o u w a n t t o t a c k l e t h a t p a r t b e f o r e w e b r e a k i n t o t h e n i c e p i z z a t h a t ' s s t i l l t h e r e . . a n d t h e n i f e a c h o f u s e a t h a l f , a t e h a l f o f a t h r e e - q u a r t e r s f o r e a c h o f u s , t h e n e a c h o f u s a t e h a l f o f t h e w h o l e , t h e n w e ' l l e a t a l l t h e p i z z a . S h e s a i d e a c h p e r s o n w o u l d g e t 7 / 8 o f a p i z z a a l t o g e t h e r . A n n e , a n e l e m e n t a r y c a n d i d a t e w i t h a m u c h s t r o n g e r m a t h e m a t i c s b a c k g r o u n d t h a n m a n y o f t h e o t h e r e l e m e n t a r y m a j o r s , t o l d a s t o r y t h a t w a s s i m i l a r t o B a r b ' s b u t w i t h a d i f f e r e n t r e s u l t : L e t ' s d o t h e b a s i c . Y o u ' r e h a v i n g p i z z a , y o u h a v e a p i z z a a n d , o n e a n d t h r e e - q u a r t e r s p i z z a , o k a y . A n d y o u h a v e t w o p e o p l e t h a t a r e r e a l l y h u n g r y a n d t h e y b o t h w a n t t o s p l i t t h e p i z z a t h a t y o u h a v e . Y o u h a v e t o d i v i d e i t b e t w e e n t h e t w o p e o p l e . U m , y o u c o u l d g o a s b a s i c a s t o d r a w , y o u k n o w , d r a w t h e p i z z a ( s h e d r a w s t w o c i r c l e s ) . A n d y o u w a n t t o d i v i d e t h a t m u c h p i z z a b e t w e e n t w o p e o p l e w h i c h , y o u k n o w , s o y o u ' d e a c h h a v e h a l f o f t h e p i z z a . I t h i n k e v e r y b o d y , k i n d o f , a s s u m e s w h a t h a l f i s . Y b u c o u l d , u m , y o u w o u l d c o n v e r t o n e - a n d - t h r e e - q u a r t e r s t o a f r a c t i o n a l f o r m . . . . I t s h o u l d p r o b a b l y b e i n f o u r t h s b e c a u s e t h e d e n o m i n a t o r i s i n f o u r . A n d t h e n y o u ' d h a v e t h e s e v e n - f o u r t h s . A n n e m a r k e d o f f t h r e e - q u a r t e r s o f t h e s e c o n d c i r c l e w i t h o u t d r a w i n g i n f o u r t h s . “ T h e P a c - m a n p i z z a , “ s h e c h u c k l e d . ( S e e F i g u r e 3 . 2 ) T h e n A n n e d i v i d e d t h e w h o l e p i z z a i n t o f o u r t h s . T u r n i n g t o t h e t h r e e - q u a r t e r s p i z z a , s h e d i v i d e d t h e r e g i o n i n t o f o u r p a r t s . ( S e e F i g u r e 3 . 3 ) A n n e ' s s o l u t i o n t o I 3 / h - é - i / 2 , f i r s t s t e p ) E A n n e ' s s o l u t i o n t o l B I A - é - l / Z , s e c o n d s t e p A n n e ' s s o l u t i o n t o i B I H - é - i / Z , t h i r d s t e p 1 1 8 F i g u r e 3 . 2 A F i g u r e 3 . 3 F i g u r e 3 . “ 1 1 9 ” S o , a n d t h e n t h i s i s o n e - f o u r t h o f t h i s , “ s h e e x p l a i n e d . T h e n s h e d i v i d e d t h e r e m a i n i n g f o u r t h o f t h e s e c o n d p i z z a i n t o t w o p a r t s a n d c o u n t e d t h e t o t a l n u m b e r o f p i e c e s : s i x . ( S e e F i g u r e 3 . 4 ) ” T h e s e a r e s i x t h s - ~ i s t h a t r i g h t ? A n d t h e n y o u a d d . “ A n n e c o m m e n t e d t h a t t h i s w a s ' a l o n g d r a w n - o u t w a y t o t h i s “ b u t t h a t i t s h o w s " w h a t w e ' r e r e a l l y g e t t i n g a t " w h e n p e r f o r m i n g t h e p r o c e d u r e o f d i v i s i o n . A n n e ' s e f f o r t s t o p r o v i d e a “ b a s i c " i l l u s t r a t i o n o f d i v i s i o n w i t h f r a c t i o n s l e d h e r i n t o d i f f i c u l t y . N o t o n l y w a s s h e i n v o l v e d w i t h d i v i s i o n b y 2 , i n s t e a d o f d i v i s i o n b y H , b u t s h e ” b e l i e v e d ” h e r d r a w i n g i n a w a y t h a t m i s l e d h e r . W h e n s h e ' s a w ' s i x p i e c e s i n t h e s e c o n d p i z z a , s h e d e c i d e d t h a t s h e w a s d e a l i n g w i t h s i x t h s i n s t e a d o f f o u r t h s i n t h a t p i z z a . A n n e d i d n o t c h e c k t h e r e s u l t o f h e r d r a w i n g ( a n d i t s r e p r e s e n t a t i o n o f t h e s o l u t i o n a s 2 / 4 + 2 / 6 ) t o s e e i f i t m a d e s e n s e - - e v e n i n t e r m s o f d i v i s i o n b y 2 . S a n d i , a n o t h e r e l e m e n t a r y m a j o r , w h o a l s o r e p r e s e n t e d 1 3 / 4 + h a s 1 3 / 4 + 2 w a s t h e g n l y p e r s o n w h o n o t i c e d a d i s c r e p a n c y b e t w e e n t h e a n s w e r t o h e r s t o r y ( 7 / 8 ) a n d t h e a n s w e r p r o d u c e d . b y t h e s t a n d a r d c a l c u l a t i o n ( I n / 4 ) . H e r c o m m e n t s o n t h i s h e l p e d m e t o i n t e r p r e t h o w s h e u n d e r s t o o d d i v i s i o n w i t h f r a c t i o n s . S h e l o o k e d a t t h e 1 4 / 4 a g a i n a n d s a i d , " o b v i o u s l y h a l f o f t h i s [ 1 3 / 4 ] i s n o t t h i s [ 1 4 / 4 ] . ' S h e b e g a n t o d o u b t h e r c a l c u l a t i o n b e c a u s e s h e w a s t r o u b l e d b y t h e f a c t t h a t 1 4 / 4 w a s g ; g a § g ; _ § h g n 1 3 / 4 . H e r d o u b t s a b o u t t h e c a l c u l a t e d a n s w e r w e r e e v i d e n c e t h a t S a n d i t h o u g h t t h a t 1 3 / 4 + k m e a n t 1 3 / 4 d i v i d e d i n h a l f , i n s t e a d o f b y o n e - h a l f . 1 4 / 4 i s “ o b v i o u s l y n o t " " h a l f o f ' 1 3 / 4 . B u t , p o n d e r i n g t h e d i s c r e p a n c y , S a n d i a l s o r e v e a l e d a n o t h e r f a c t o r i n h e r t h i n k i n g a b o u t t h i s p r o b l e m : “ O b v i o u s l y I d o n ' t 1 2 0 l i k e f r a c t i o n s . I t ' s n o t s o m e t h i n g I ' m c o m f o r t a b l e w i t h , ” s h e e x p l a i n e d . F o r S a n d i , t h e f a c t t h a t t h i s d i d n o t m a k e s e n s e t o h e r w a s e v i d e n c e o f h e r o w n i n a d e q u a c y . A p p a r e n t l y s h e d i d n o t f e e l t h a t s h e w o u l d b e a b l e t o r e s o l v e t h e p r o b l e m b y t h i n k i n g h a r d a b o u t i t ( s e e C h a p t e r 4 ) . A l l e n , a n e l e m e n t a r y m a j o r w i t h 2 7 c r e d i t s i n c o l l e g e m a t h e m a t i c s ( t h r o u g h c a l c u l u s ) h a d a d i f f e r e n t p r o b l e m t h a n t h e o t h e r t e a c h e r c a n d i d a t e s : S o m e b o d y h a s o n e a n d t h r e e q u a r t e r s a p p l e ; o r s o m e t h i n g l i k e t h a t a n d t h e y w a n t e d t o d o u b l e u p t h e i r , d o u b l e t h e a m o u n t o f a p p l e s t h e y h a v e , u m , j u s t g i v e ' e m a n e q u a t i o n . . . u s i n g o n l y f r a c t i o n s . O t h e r t h a n t h a t I c o u l d n ' t t h i n k o f a n y , a n y s i t u a t i o n w h e r e y o u c o u l d , w h e r e y o u w o u l d l g g i g g l l y d i v i d e a n u m b e r l i k e t h a t b y o n e h a l f i n s t e a d o f j u s t m u l t i p l y i n g b y t w o . Y o u w o u l d h a v e t o h a v e , b e , b e w o r k i n g o n , o n d i v i d i n g l i k e f r a c t i o n s a n d s e t t i n g u p e q u a t i o n s u s i n g t h a t . R i g h t , y o u j u s t h a v e t o s a y . . . . . . “ W e l l , y o u k n o w , u s e t h i s a n d f i g u r e t h e s t o r y p r o b l e m o u t b u t , o n l y u s e f r a c t i o n s . ” A l l e n ' s s t o r y m o d e l e d 1 3 / 4 x 2 - - t h e p x g g g g u r g u s e d t o d i v i d e f r a c t i o n s . U s i n g t h e f r a m e o f r e f e r e n c e o f t h e p r o c e d u r e ” i n v e r t a n d m u l t i p l y , ” A l l e n d i d n o t s e e m t o f o c u s o n t h e g g n g g n ; o f d i v i s i o n . b y 8 . O v e r a l l , B a r b ' s w a s t h e m o s t c o m m o n e r r o r - ~ t o r e p r e s e n t d i v i s i o n b y 2 r a t h e r t h a n d i v i s i o n b y 8 . M o s t o f t h e p r o s p e c t i v e t e a c h e r s u s e d r o u n d f o o d - - p i z z a s o r p i e s - ~ a n d d e s c r i b e d s h a r i n g t h e f o o d . b e t w e e n t w o p e o p l e . T h e r e a s o n s f o r t h i s a r e u n d e r s t a n d a b l e b u t n o n e t h e l e s s t r o u b l i n g . T w o a r e p a r t i c u l a r l y s t r i k i n g : I r e f e r t o t h e m a s W W a n d 2 2 0 W m u m m - 1 . P r e o c c u p a t i o n s a n d c o n f u s i o n s w i t h f r a c t i o n s . T h e t e a c h e r c a n d i d a t e s ' c o m m e n t s s h o w e d t h a t t h e y s a w t h e q u e s t i o n a s o n e a b o u t f r i g g i g n g i n s t e a d o f a b o u t fi i g i g i g n . W h e n a s k e d , f o r e x a m p l e , w h a t 1 2 1 m a d e t h i s d i f f i c u l t , m o s t c o m m e n t e d t h a t i t w a s h a r d ( o r i m p o s s i b l e ) t o r e l a t e 1 3 / 4 + H t o r e a l l i f e b e c a u s e , a s o n e s a i d , " y o u d o n ' t t h i n k i n f r a c t i o n s , y o u t h i n k m o r e i n w h o l e n u m b e r s . ” N o t o n l y d i d t h e i r e x p l a n a t i o n s r e v e a l t h a t t h e y f r a m e d t h e p r o b l e m i n t e r m s o f f r a c t i o n s , b u t a l s o t h a t m a n y w e r e u n c o m f o r t a b l e w i t h f r a c t i o n s a s r e a l q u a n t i t i e s . S e v e r a l c o m m e n t e d t h a t t h e y d i d n ' t “ l i k e “ f r a c t i o n s . R o u n d m o d e l s a c c o u n t f o r m o s t p i c t o r i a l r e p r e s e n t a t i o n s o f f r a c t i o n s i n s c h o o l t e x t b o o k s . F o c u s i n g o n f r a c t i o n s t h e r e f o r e i n c l i n e d t h e p r o s p e c t i v e t e a c h e r s t o w a r d c i r c u l a r r e p r e s e n t a t i o n s . F o o d w a s c o m m o n b e c a u s e t h e y a s s u m e d t h a t i t w o u l d b e i n t r i n s i c a l l y m o r e i n t e r e s t i n g t o s t u d e n t s t h a n o t h e r d i v i s i b l e c i r c u l a r o b j e c t s ( s e e C h a p t e r s 5 a n d 6 ) . I n r e s p o n d i n g t o m y q u e s t i o n s , t h e p r o s p e c t i v e t e a c h e r s t r i p p e d o v e r t h e i r i n t e r p r e t a t i o n o f t h e p r o b l e m a s e s s e n t i a l l y " a b o u t f r a c t i o n s “ a n d t h e i r l i m i t e d c o n c e p t i o n o f a n d r e p e r t o i r e f o r r e p r e s e n t i n g f r a c t i o n s . 2 . C o n f a t m d i n g e v e r y d a y a n d m a t h e m a t i c a I l a n g u a g e . T h e p r o s p e c t i v e t e a c h e r s t e n d e d t o c o n f u s e d i v i d i n g i n ‘ h a l f w i t h d i v i d i n g b y o n e - h a l f , a n d t h e y d i d n o t s e e m t o b e a w a r e o f t h e d i f f e r e n c e . T h i s c o n f o u n d i n g w e n t u n n o t i c e d e v e n t h o u g h t h e a n s w e r t h e y g o t t o t h e i r s t o r y p r o b l e m ( 7 / 8 ) d i f f e r e d f r o m t h e i r c a l c u l a t e d a n s w e r ( 3 % ) . T h e t e a c h e r c a n d i d a t e s d i d n o t n o t i c e t h i s d i s c r e p a n c y b e c a u s e i t w a s m a s k e d b y a n s l i p p e r y c h a n g e i n t h e r e f e r e n t u n i t f r o m w h o l e s t o f o u r t h s . H e r e i s a t y p i c a l e x a m p l e : S u p p o s e y o u h a v e 1 3 / 4 p i z z a s w h i c h y o u w a n t t o s p l i t e q u a l l y b e t w e e n t w o h u n g r y t e e n a g e r s ( 1 3 / 4 + 2 ) . W W W - T h e r e f o r e e a c h p e r s o n g e t s 7 / 8 o f a p i z z a , w h i c h i s 3 5 p i e c e s o f p i z z a . H o w e v e r , t o d i v i d e s o m e t h i n g i n ‘ h a l f m e a n s t o d i v i d e i t i n t o 1 2 2 t w o e q u a l p a r t s ( + 2 ) ; t o d i v i d e s o m e t h i n g b y o n e - h a l f m e a n s t o f o r m g r o u p s o f R . ( S e e F i g u r e 3 . 5 ) T h e t e a c h e r c a n d i d a t e s ' e r r o r m a y h a v e r e s u l t e d f r o m a c o m m o n . b u t p r o b l e m a t i c c o n f o u n d i n g o f e v e r y d a y w i t h m a t h e m a t i c a l l a n g u a g e . O r r ( 1 9 8 7 ) w r i t e s a b o u t t h e m i s m a t c h e s b e t w e e n l i n g u i s t i c a n d m a t h e m a t i c a l u s e o f p r e p o s i t i o n s . A w a r e n e s s o f s u c h c o n f u s i o n s i s a t t h e h e a r t o f w h a t t e a c h e r s m u s t k n o w i f t h e y a r e t o h e l p t h e i r p u p i l s u n d e r s t a n d m a t h e m a t i c s . fi g g n p g d . E i g h t t e a c h e r c a n d i d a t e s c o u l d n o t g e n e r a t e a r e p r e s e n t a t i o n a t a l l f o r 1 3 / 4 + k . T e r i , a n e l e m e n t a r y m a j o r , c o u l d n ’ t r e m e m b e r h o w t o f i n d a n a n s w e r t o t h i s k i n d o f p r o b l e m : F i r s t , I ' d , f i r s t I ' d m u l t i p l y t h e d e n o m i n a t o r o f t h i s o n e n u m b e r b y o n e s o I ' d g e t f o u r t i m e s o n e . A n d t h e n a d d t h r e e , s o i t w o u l d b e s e v e n - f o u r t h s d i v i d e d b y o n e - h a l f , a n d t h e n I ' d p r o b a b l y m a k e t h e , c a u s e h a l v e s a r e e a s y t o d o , b u t I p r o b a b l y s t i l l m a k e t h i s i n t o f o u r t h s . S o i t w o u l d b e e a s i e r . S o t h e y ' d b e l i k e , c o m m o n d e n o m i n a t o r s . T h e n T e r i p o n d e r e d w h a t t o d o n e x t . ” C r o s s - m u l t i p l y ? " s h e w o n d e r e d a l o u d . ' I c a n ' t - ~ I d o n ' t r e m e m b e r . “ S h e s a i d s h e c o u l d n ' t t h i n k o f a n y w a y t o m a k e a s t o r y p r o b l e m o r o t h e r r e p r e s e n t a t i o n f o r t h e p r o b l e m . O t h e r s t r i e d t o u s e t h e n u m b e r s ( 1 3 / 4 a n d h ) b u t d i d n ' t r e p r e s e n t d i v i s i o n . F o r e x a m p l e , M a r s h a t r i e d t h e f o l l o w i n g : U h , a b o u t a c l a s s r o o m o n a f i e l d t r i p a n d o n e - a n d - t h r e e - q u a r t e r s o f t h e c l a s s w e n t o n e w a y a n d o n e - h a l f o f t h e c l a s s w e n t t h e o t h e r w a y , a n d w e ' r e s o l v e d , o h , w a i t a m i n u t e , t h a t w o u l d n ' t w o r k , w o u l d i t ? O n e - e n d o t h r e e - q u a r t e r s d i v i d e d b y ( p a u s e ) , u m I t h i n k I w o u l d s t i l l u s e i t a s a g r o u p o f p e o p l e ( p a u s e ) , d i v i d e d b y h a l f o f i t ( p a u s e ) , h a l f o f a w a l l o r s o m e t h i n g t h a t t h e y w a l k e d b y a n d t h e n h o w m u c h o f t h e c l a s s w a s l e f t o n t h e o n e s i d e o f t h e w a l l ? 1 2 3 4 + 2 - 2 F i g u r e 3 . 5 A n i l l u s t r a t i o n o f t h e d i f f e r e n c e b e t w e e n d i v i s i o n b y o n e - h a l f a n d d i v i s i o n b y t w o 1 2 4 H a r s h a ' s s t o r y s e e m e d t o b e a c o n f u s e d a t t e m p t t o r e p r e s e n t o n l y t h e n u m h g ; § - - 1 3 / 4 a n d k - - i n d e p e n d e n t o f t h e d i v i s i o n i n v o l v e d . I a s k e d , " H a l f o f a w e l l ? I s t h a t w h a t y o u s a i d , o r h a l f o f a g l a g g ? “ S h e t r i e d a g a i n : H a l f o f t h e w a l l , l i k e , t h a t w o u l d n ' t w o r k e i t h e r . O n e - a n d - t h r e e - q u a r t e r s ( L a u g h s ) , I g u e s s I c a n ' t d o i t t h a t w a y . I d o n ' t k n o w t h a t w o u l d b e r e a l l y h a r d t o d o b e c a u s e y o u c o u l d n ' t , y o u c a n ' t g i v e l i k e a h a l f o f s o m e t h i n g w i l l d i v i d e t h e c l a s s , o r y o u k n o w , s o m e t h i n g l i k e t h a t . S h e s a i d s h e f e l t s t u c k a n d c o u l d n ' t r e m e m b e r h o w t o g e t t h e a n s w e r e i t h e r ( i . e . , t h r o u g h c o m p u t a t i o n ) . S h e e x p l a i n e d t h a t s h e h a d n ' t d o n e t h i s s i n c e h i g h s c h o o l : G o d , I d o n ' t e v e n r e m e m b e r h o w t o d o t h i s . ( p a u s e ) S h o o t , n o , I h a v e t o , I d o n ' t k n o w h o w t o d o i t . B e c a u s e l i k e I d o n ' t k n o w w h a t I ' m r e m e m b e r i n g h e r e t h a t I d i d , I f o u n d t h e c o m m o n d e n o m i n a t o r a n d I d i d t h i s , b u t I t h i n k w h a t I h a v e t o d o i s g o 4 a n d l , 4 a n d t h e n p l u s 3 i s 7 , f o u r t h s , n o I t h i n k t h a t ' s w h a t I d i d , o n e - h a l f , b u t t h e n , s e e , I d o n ' t k n o w w h a t n e e d t o d i v i d e . I d o n ' t e v e n r e m e m b e r t h a t . . . I r e m e m b e r d o i n g t h e s e f o r a l o n g t i m e t h o u g h a n d t r y i n g t o g e t t h e s e d o w n , a n d s o I r e m e m b e r b i t s a n d p i e c e s a n d t h e n I t r y t o a p p l y i t g e n e r a l l y , a n d I c a n ' t d o i t . M a r s h a ' s s t o r y r e v e a l e d t h a t s h e h a d f u n d a m e n t a l c o n f u s i o n s a n d d i s c o m f o r t w i t h f r a c t i o n s . S i m p l y t r y i n g t o r e p r e s e n t t h e n u m h g z g ( i . e . , t h e f r a c t i o n s ) t h e m s e l v e s i n s o m e r e a l c o n t e x t w a s d i f f i c u l t f o r m a n y o f t h e p r o s p e c t i v e t e a c h e r s l i k e M a r s h a . O n e t e a c h e r c a n d i d a t e c o m m e n t e d t h a t i t w a s h a r d t o [ f i n d ] a m o d e l o r a s t o r y t o t e a c h d i v i s i o n b y f r a c t i o n s . T o m e f r a c t i o n s a r e h a r d t o b e g i n w i t h a n d t h e n t h e d i v i s i o n p a r t o f i t i s c o n f u s i n g t o t h e m i n d I t h i n k , t o m g i t i s , i t c a n b e c o n f u s i n g . T h e s e p r o s p e c t i v e t e a c h e r s w h o d i d n o t g e n e r a t e a r e p r e s e n t a t i o n a t a l l s e e m e d t o f a l l i n t o t w o g r o u p s . S o m e d i d r e c o g n i z e t h e c o n c e p t u a l p r o b l e m . T h e y i n i t i a l l y p r o p o s e d s t o r i e s o r m o d e l s w h i c h r e p r e s e n t e d d i v i s i o n b y 2 a n d t h e n r e a l i z e d t h i s t h e m s e l v e s . F o r 1 2 5 e x a m p l e , J a n e t , a s e c o n d a r y c a n d i d a t e , b e g a n w i t h a s t o r y a b o u t 1 3 / 4 + 2 , a n d t h e n t r i e d a g a i n . S h e s a i d 1 3 / 4 + B w o u l d b e " d e f i n i t e l y d i f f e r e n t " a n d s h e c o u l d n o t t h i n k o f a n y t h i n g b e c a u s e I g u e s s w h e n I t h i n k o f d i v i s i o n p r o b l e m s , I t h i n k o f d i v i d i n g i t b e t w e e n p e o p l e a n d i t ' s h a r d t o h a v e b a p e r s o n ! ( l a u g h s ) o r b e t w e e n b i n s o r b e t w e e n d i s c r e t e t h i n g s , a s o p p o s e d t o b e t w e e n a f r a c t i o n o f a t h i n g . J a n e t ' s r e s p o n s e s u g g e s t s t h a t h e r u n d e r s t a n d i n g o f d i v i s i o n w a s l i m i t e d . B e c a u s e s h e h a d o n l y o n e w a y t o t h i n k a b o u t t h e m e a n i n g o f d i v i s i o n ( t h e p a r t i t i v e i n t e r p r e t a t i o n ) , s h e w a s c o n s t r a i n e d i n t r y i n g t o g e n e r a t e a n a p p r o p r i a t e r e p r e s e n t a t i o n f o r 1 3 / 4 + 8 . H a d s h e b e e n a b l e t o t h i n k o f d i v i s i o n a s a b o u t d i v i d i n g a q u a n t i t y i n t o g r o u p s o f a c e r t a i n s i z e ( m e a s u r e m e n t i n t e r p r e t a t i o n ) , s h e m i g h t h a v e b e e n a b l e t o d o t h e t a s k . O t h e r s s e e m e d t o t h i n k t h a t i t w a s n o t a f e a s i b l e t a s k - - t h a t 1 3 / 4 8 c o u l d n o t h e r e p r e s e n t e d i n r e a l w o r l d t e r m s . P a m , f o r e x a m p l e , c o u l d n o t g e n e r a t e a r e p r e s e n t a t i o n f o r d i v i s i o n o f f r a c t i o n s b e c a u s e o f t h e w a y s h e t h o u g h t a b o u t f r a c t i o n s . S h e s a i d i t w o u l d b e h a r d t o t h i n k o f a n y t h i n g ” r e a l , ” b e c a u s e h e r “ f a v o r i t e t h i n g “ w a s a n i m a l s a n d s h e c o u l d n o t t h i n k i n t e r m s o f 3 / 4 o f a n a n i m a l . P a m d i d n o t s e e m t o u n d e r s t a n d f r a c t i o n s a s r e p r e s e n t a t i o n s o f q u a n t i t y . U n a b l e t o t h i n k o f a n y t h i n g ” r e a l “ t h a t c o u l d b e r e p r e s e n t e d b y a f r a c t i o n , s h e n e v e r f o c u s e d o n h o w w o u l d d i x i g g s u c h a q u a n t i t y . T h e s e t e a c h e r c a n d i d a t e s w h o w e r e “ s t u m p e d " i n c l u d e d p e o p l e w i t h q u a l i t a t i v e l y d i f f e r e n t u n d e r s t a n d i n g s o f t h e m a t h e m a t i c s . O n o n e h a n d , t h o s e w h o s a w t h e c o n c e p t u a l i s s u e ( t h a t t h i s w a s a b o u t d i v i s i o n b y 8 , w h i c h i s n o t t h e s a m e a s d i v i s i o n b y 2 ) r e v e a l e d a b e t t e r g r a s p o f t h e i d e a t h a n t h o s e w h o c o n s t r u c t e d a s t o r y t h a t r e p r e s e n t e d d i v i s i o n b y 2 . S t i l l , d e s p i t e t h i s r e c o g n i t i o n , t h e y w e r e u n a b l e t o 1 2 6 f i g u r e o u t w h a t d i v i s i o n b y H m g g n g . O n t h e o t h e r h a n d , t h o s e w h o t h o u g h t i t w a s a n i m p o s s i b l e t a s k r e v e a l e d a v i e w o f m a t h e m a t i c s a s a s e n s e l e s s a c t i v i t y , o u t o f w h i c h m e a n i n g c a n n o t n e c e s s a r i l y b e m a d e . 1 , . 7 ; _ , - . ; , . . ‘ . ; - . . ~ ' _ , . - . ; H . , - . . , « . , , . ; . . . f r a g g i g n g . A l t h o u g h f e w o f t h e p r o s p e c t i v e t e a c h e r s e v e n m e n t i o n e d d i v i s i o n e x p l i c i t l y w h i l e t a l k i n g a b o u t t h e f r a c t i o n s e x e r c i s e , t h e d i f f i c u l t i e s a l l o f t h e m e x p e r i e n c e d ( i n c l u d i n g t h o s e w h o s u c c e e d e d i n g e n e r a t i n g a n a p p r o p r i a t e r e p r e s e n t a t i o n ) s u g g e s t a n a r r o w u n d e r s t a n d i n g o f d i v i s i o n . W h i l e t h e y w o r r i e d a b o u t t h e f r a c t i o n s i n t h e p r o b l e m , t h e y a l s o o n l y c o n s i d e r e d d i v i s i o n i n p a r t i t i v e t e r m s : f o r m i n g a c e r t a i n n u m b e r o f e q u a l p a r t s . T h i s m o d e l o f d i v i s i o n c o r r e s p o n d s l e s s e a s i l y t o d i v i s i o n w i t h f r a c t i o n s t h a n d o e s t h e m e a s u r e m e n t i n t e r p r e t a t i o n o f d i v i s i o n . I n a s t u d y o f p r e s e r v i c e e l e m e n t a r y t e a c h e r s ' u n d e r s t a n d i n g o f d i v i s i o n , G r a e b e r , T i r o s h a n d G l o v e r ( 1 9 8 6 ) f o u n d t h a t t e a c h e r c a n d i d a t e s t e n d e d t o t h i n k o n l y i n t e r m s o f t h i s p a r t i t i v e i n t e r p r e t a t i o n . F e w o f t h e p r e s e r v i c e t e a c h e r s i n t h e i r s t u d y w e r e a b l e t o w r i t e s t o r y p r o b l e m s t h a t m o d e l e d a m e a s u r e m e n t i n t e r p r e t a t i o n o f d i v i s i o n . T h i s f i n d i n g o f f e r s a n o t h e r i n s i g h t i n t o w h y t h e t a s k o f m a k i n g m e a n i n g o u t o f 1 3 / 4 + 8 w a s s o d i f f i c u l t f o r t h e p r o s p e c t i v e t e a c h e r s i n t h i s s t u d y . 1 2 7 M a d m a n . W I a l s o e x p l o r e d t h e t e a c h e r c a n d i d a t e s ' u n d e r s t a n d i n g o f d i v i s i o n w i t h a q u e s t i o n a b o u t d i v i s i o n b y O : S u p p o s e t h a t a s t u d e n t a s k s y o u w h a t 7 d i v i d e d b y 0 i s . H o w w o u l d y o u r e s p o n d ? 1 4 W h i l e s o m e m i g h t a r g u e t h a t t h i s q u e s t i o n d e a l s w i t h a n e s o t e r i c l i t t l e b i t o f m a t h e m a t i c s , I c o n t e n d t h a t i t d e a l s w i t h f o u r i m p o r t a n t i d e a s i n m a t h e m a t i c s : d i v i s i o n , t h e c o n c e p t o f i n f i n i t y , w h a t i t m e a n s f o r s o m e t h i n g t o b e " u n d e f i n e d , " a n d t h e n u m b e r 0 , a l l s i g n i f i c a n t c o n t e n t . P r o s p e c t i v e t e a c h e r s ' r e s p o n s e s d e p e n d e d o n t h e i r u n d e r s t a n d i n g o f t h e s p e c i f i c c o n t e n t a t h a n d a s w e l l a s o f m a t h e m a t i c a l k n o w l e d g e a n d m a t h e m a t i c a l w a y s o f k n o w i n g . W h e n t h e y a r e g a p i g i n i n g , t h e i r r e s p o n s e s r e v e a l t h e e x p l i c i t n e s s o f t h e i r k n o w l e d g e . W h a t t h e y f o c u s o n a l s o p r o v i d e s i n f o r m a t i o n a b o u t w h a t t h e y t h i n k c o u n t s a s a n " e x p l a n a t i o n " i n m a t h e m a t i c s . n g x g g g n g g g . O f t h e 1 9 t e a c h e r c a n d i d a t e s , 5 e x p l a i n e d t h e m e a n i n g o f d i v i s i o n b y z e r o . M o s t o f t h e p r o s p e c t i v e t e a c h e r s r e s p o n d e d b y s t a t i n g a r u l e , 5 o f w h i c h w e r e i n c o r r e c t . T w o d i d n o t k n o w . T a b l e 3 . 2 s h o w s t h e d i s t r i b u t i o n o f t y p e s o f r e s p o n s e s a m o n g e l e m e n t a r y a n d s e c o n d a r y t e a c h e r c a n d i d a t e s . I d i s c u s s e a c h c a t e g o r y b e l o w . 1 4 T h i s q u e s t i o n a l s o c o n t r i b u t e d t o m y u n d e r s t a n d i n g o f p r o s p e c t i v e t e a c h e r s ' i d e a s a b o u t m a t h e m a t i c a l k n o w l e d g e . R e s p o n d i n g t o a p u p i l w h o a s k s w h a t 7 d i v i d e d b y 0 i s d e p e n d s o f c o u r s e o n a h o s t o f c o n s i d e r a t i o n s - - t h e a g e o f t h e p u p i l , w h e t h e r t h e i d e a h a s b e e n t a u g h t b e f o r e , a n d o n e ' s v i e w o f t h e t e a c h e r ' s r o l e i n a n s w e r i n g s t u d e n t q u e s t i o n s . I d i d n o t s p e c i f y t h e c o n t e x t ( e . g . , t h e a g e o f t h e p u p i l ) b e c a u s e I w a s , f o r o t h e r p u r p o s e s , a l s o i n t e r e s t e d i n w h a t t e a c h e r c a n d i d a t e s t h o u g h t t h e y m i g h t n e e d t o k n o w i n o r d e r t o a n s w e r t h i s q u e s t i o n . e s n o p s e r f y r g o C a g e t 1 2 8 T a b l e 3 . 2 D i v i s i o n b y z e r o : 7 - 5 — 0 T e a c h e r C a n d i d a t e s E l e m e n t a r y S e c o n d a r y T O T A L S M e a n i n g 1 h _ 5 c o r r e c t 2 5 R u l e i n c o r r e c t 5 O ' 2 ( ; ? : : ; : : : C t ) D o n ' t K n o w 2 O 2 1 2 9 fl x p i g n g g i g n ; _ £ g g g § § d _ g n _ n e § n i n g . F o u r t e a c h e r c a n d i d a t e s g a v e a n s w e r s t h a t f o c u s e d o n w h a t d i v i s i o n b y 0 m e a n s . T w o a p p r o a c h e s w e r e u s e d : ( 1 ) s h o w i n g t h a t d i v i s i o n b y 0 w a s u n d e f i n e d a n d ( 2 ) s h o w i n g t h a t t h e q u o t i e n t “ e x p l o d e s " a s t h e d i v i s o r d e c r e a s e s . T i m , a m a t h e m a t i c s m a j o r , c h o s e t h e f i r s t a p p r o a c h . H e s a i d t h a t h e w o u l d w r i t e 7 + 0 " i n m a t h e m a t i c a l f o r m “ o n t h e b o a r d - - i . e . , w i t h d i v i s i o n b r a c k e t : 0 / 7 - . T h e n h e w o u l d e x p l a i n t h a t y o u c a n n o t d i v i d e 7 b y 0 b e c a u s e t h e r e i s n o t h i n g m u l t i p l i e d b y 0 t o g e t 7 . I n o t h e r w o r d s , e v e r y t h i n g m u l t i p l i e d b y a 0 i s 0 , s o i f w e h a d 7 o v e r 0 . O k a y , i f w e h a d 0 d i v i d e d b y 7 t h e r e i s n o t h i n g m u l t i p l i e d , t h e r e i s n o n u m b e r u p h e r e y o u c o u l d p u t t o g e t 0 . T h e r e ' s n o n u m b e r y o u c a n p u t u p h e r e t o g e t 7 . A n d I w o u l d s h o w t h e m t h a t . W h e r e a s 6 d i v i d e d b y 2 t h e r e ' s a n u m b e r y o u c a n p u t u p t h e r e . A n d w h e n e v e r y o u c o m e a c r o s s t h a t c a s e , y o u c a n ' t f i n d a n u m b e r t o p u t u p t h e r e , i t d o e s n ' t e x i s t , y o u c a n ' t d o i t . A l l e n , a n e l e m e n t a r y m a j o r , e x p l a i n e d d i v i s i o n b y 0 u s i n g t h e s e c o n d a p p r o a c h : D i v i d i n g 7 b y 3 a n d t h e n d i v i d e 7 b y 2 a n d t h e n d i v i d e 7 b y 1 a n d , u h , a n d w h e n t h e y g e t u p t o 7 d i v i d e d b y l i s l l a n d y o u w e r e t o g o o n e s t e p f a r t h e r y o u ' d , y o u ' d h a v e n u m b e r s t h a t w e r e k e e p g e t t i n g l a r g e r a n d l a r g e r . . . . U m , o n e s t e p f a r t h e r y o u w o u l d h a v e t o , y o u k n o w , s a y d i v i d e i t b y 0 , b e c a u s e d i v i d i n g b y d e c i m a l s o r f r a c t i o n s o f t h a t t y p e . . . . T h e n y o u ' d s t a r t , I g u e s s i t w o u l d b e b e t t e r t o s t a r t g e t t i n g c l o s e r t o z e r o u s i n g t h e d g g i n g i g a n d s e e t h a t d i v i d i n g 7 b y f r a c t i o n s m a k e s n u m b e r s , y o u k n o w , t h e y k e e p g e t t i n g l a r g e r a n d l a r g e r a n d , u h , t h a t i f y o u k e e p m a k i n g t h a t , t h e d i v i s o r c l o s e r a n d c l o s e r t o 0 , t h e n u m b e r ' s j u s t g o n n a k e e p g e t t i n g l a r g e r a n d l a r g e r a n d . 1 § 1 g g 1 a n d , u h , t h e n I ' d s t a r t a s k i n g t h e m w h a t t h e l a r g e s t n u m b e r t h e y c a n t h i n k o f i s s o t h e n , t h a t t h e r e i s n o l a r g e s t n u m b e r t h a t , u h , t h a t i t , t h e r e i s r e a l l y n o s u c h , s u c h s t a t e m e n t a s 7 d i v i d e d b y 0 . M a r k a n d A l l e n b o t h f o c u s e d s p e c i f i c a l l y o n t h e c a s e o f d i v i d i n g b y z e r o . W h a t t h e i r a n s w e r s h a d i n c o m m o n w a s t h e a i m o f g h g g i n g _ g h y t h e p a r t i c u l a r c a s e o f d i v i s i o n b y z e r o i s i m p o s s i b l e . T h e i r e x p l a n a t i o n s w e r e m a t h e m a t i c a l o n e s , n o t t h e " e x p l a n a t i o n s ” u s e d b y m a n y o f t h e t e a c h e r c a n d i d a t e s , w h i c h c o n s i s t e d l a r g e l y o f r e s t a t i n g r u l e s . 1 3 0 J o n , a s e c o n d a r y c a n d i d a t e , w a s t h e o n l y p e r s o n w h o f o c u s e d o n d i v i s i o n m o r e g e n e r a l l y . H i s a n s w e r r e v e a l e d a n u n u s u a l d e p t h a n d b r e a d t h o f u n d e r s t a n d i n g . H e e x p l a i n e d t h a t t h e r e w e r e t w o a l t e r n a t i v e a n s w e r s t o t h i s q u e s t i o n : ( 1 ) t h a t t h e r e i s “ n o a n s w e r “ t o 7 + O , a n d ( 2 ) i n f i n i t y . H e d e c i d e d t o u s e t h e i n f i n i t y a n s w e r b e c a u s e I ' i n f i n i t y i s a l i t t l e b i t e a s i e r , m a y b e , t o e x p l a i n . . . t h a n n o a n s w e r a t a l l . “ H e u s e d a n u m b e r l i n e : H e r e ' s [ a ] n u m b e r l i n e [ f r o m ] 0 u p t o 7 . N o w , w h e n I d i v i d e s o m e t h i n g I t r y t o f i n d o u t h o w m a n y g r o u p s o f t h a t , t h e t h i n g I ' m d i v i d i n g w i t h , a r e , a r e w i t h i n t h e n u m b e r . S a y , i f I ' m d i v i d i n g 4 b y 2 , I s a y , ” H o w m a n y 2 ' s a r e i n 4 ? “ S o I w a n t t o f i n d o u t h o w m a n y z e r o s t h e r e a r e i n 7 . W e l l , h o w m u c h s p a c e d o e s a z e r o t a k e u p o n t h i s n u m b e r l i n e a n d w h a t . . . , a n d t h e n , m a y b e , w e l l , i t d o e s n ' t t a k e a n y s p a c e . S o , h o w m a n y o f t h e m c a n I f i t i n t h e r e ? W e l l , a s m a n y a s y o u w a n t . J o n ' s u n d e r s t a n d i n g o f d i v i s i o n b y z e r o s e e m e d t o b e c o n n e c t e d t o h i s m o r e g e n e r a l u n d e r s t a n d i n g o f d i v i s i o n . H i s u n d e r s t a n d i n g o f d i v i s i o n w a s , i n t u r n , c o n n e c t e d t o h i s u n d e r s t a n d i n g o f f r a c t i o n s . H e w a s t h e o n l y p e r s o n w h o m I i n t e r v i e w e d w h o t a l k e d a b o u t d i v i d i n g b y z e r o w i t h i n s u c h a c o n c e p t o f d i v i s i o n i n g e n e r a l ; h i s e x p l a n a t i o n o f d i v i s i o n w i t h f r a c t i o n s w a s c o n s i s t e n t w i t h t h i s a s w e l l . W W S e v e n t e a c h e r c a n d i d a t e s e x p l a i n e d d i v i s i o n b y z e r o i n t e r m s o f a r u l e s u c h a s " y o u c a n ' t d i v i d e b y z e r o . “ U n l i k e t h o s e w h o f o c u s e d o n m e a n i n g , t h e s e p r o s p e c t i v e t e a c h e r s d i d n o t t r y t o s h o w g h y t h i s w a s s o . I n s t e a d t h e y e m p h a s i z e d t h e i m p o r t a n c e o f I g g g m n g i n g t h e r u l e . T e r r e l l , a m a t h e m a t i c s m a j o r , s a i d e m p h a t i c a l l y , I ' d j u s t s a y . . . ' I t ' s u n d e f i n e d , ” a n d I ' d t e l l t h e m t h a t t h i s i s a r u l e t h a t y o u s h o u l d . n g x g ; f o r g e t t h a t a n y t i m e y o u d i v i d e b y 0 y o u c a n ' t . Y o u j u s t c a n ' t . I t ' s u n d e f i n e d , s o . . . y o u j u s t c a n ' t . H e a d d e d , “ A n y t i m e y o u g e t a n u m b e r d i v i d e d b y 0 , t h e n y o u d i d s o m e t h i n g w r o n g b e f o r e . " A n d y , a n o t h e r m a t h e m a t i c s m a j o r , s a i d , ” Y o u 1 3 1 c a n ' t d i v i d e b y O . . . I t ' s j u s t s o m e t h i n g t o r e m e m b e r . ” C i n d y , a l s o a m a t h m a j o r , s a i d s h e w o u l d t e l l s t u d e n t s t h a t “ t h i s i s s o m e t h i n g t h a t y o u w o n ' t e v e r b e a b l e t o d o i n m a t h e m a t i c s ' - - e v e n i n c a l c u l u s . W W F i v e o t h e r t e a c h e r c a n d i d a t e s r e s p o n d e d i n t e r m o f a r u l e . L i k e t h e p r o s p e c t i v e t e a c h e r s q u o t e d a b o v e , t h e i r n o t i o n s o f “ e x p l a n a t i o n " i n m a t h e m a t i c s s e e m e d t o m e a n r e s t a t i n g r u l e s . W h a t m a d e t h e i r r e s p o n s e s d i f f e r e n t , h o w e v e r , w a s t h a t t h e r u l e t h e y i n v o k e d w a s n o t t r u e . L i n d a , a n e l e m e n t a r y m a j o r , w a s p e r h a p s t h e m o s t e m p h a t i c : I ' d j u s t s a y , " A n y t h i n g d i v i d e d b y O i s 0 . T h a t ' s j u s t a r u l e , y o u j u s t k n g g i t . ” O r I ' d s a y , " W e l l , i f y o u d o n ' t h a v e a n y t h i n g , y o u c a n ' t g e t a n y t h i n g o u t . Y o u k n o w , i t ' s e m p t y , i t ' s n o t h i n g , s o y o u c a n ' t g e t a n y t h i n g o u t o f i t . “ A n y t h i n g m u l t i p l i e d b y 0 i s 0 . I ' d j u s t s a y , “ T h a t ' s s o m e t h i n g t h a t y o u h a v e t o l e a r n , y o u h a v e t o k n o w . “ I t h i n k t h a t ' s h o w I w a s t o l d . Y o u j u s t k n o w i t . . . I ' d j u s t s a y , y o u k n o w i f t h e y w e r e o l d e r a n d t h e y a s k e d m e “ W h y ? " I ' d j u s t h a v e t o s t a r t m u m b l i n g a b o u t s o m e t h i n g , I d o n ' t k n o w . . . I d o n ' t k n o w w h a t . I ' d j u s t t e l l t h e m “ B e c a u s e ! “ ( l a u g h s ) T h a t ' s j u s t t h e w a y i t i s . . . t h a t ' s j u s t o n e o f t h o s e r u l e s . . . s o m e t h i n g l i k e t h a t . . . y o u k n o w , i n E n g l i s h . . . s o m e t i m e s t h e C s o u n d s l i k e K o r . . . y o u k n o w , y o u j u s t l e a r n . I b e f o r e E e x c e p t a f t e r C , o n e o f t h o s e t h i n g s , i n m y v i e w ; I n t e r e s t i n g l y , a l t h o u g h L i n d a m e n t i o n s m u l t i p l i c a t i o n b y 0 , s h e d o e s n ' t c o n n e c t t h a t u n d e r s t a n d i n g ( n x O - O ) w i t h t h e p r o b l e m o f W h y 0 - P a m , a n o t h e r e l e m e n t a r y t e a c h e r c a n d i d a t e , e m p h a s i z e d t h a t ” O i s a l w a y s g o i n g t o e n d u p 0 ' : T h a t ' s a l m o s t j u s t a r u l e y o u l e a r n . A n d I s u p p o s e y o u ' d h a v e t o g o b a c k t o y o u r b a s i c r u l e s t h a t w h e n y o u u s e a z e r o , i t e n d s u p z e r o b e c a u s e i t c a n ' t g o a n y f u r t h e r . A n d y o u c o u l d d i v i d e o r m u l t i p l y z e r o b y a n y k i n d o f n u m b e r , b u t y o u w i l l n e v e r g e t a n y t h i n g b i g g e r t h a n t h a t z e r o . I ' m n o t s u r e a b o u t h o w I w o u l d a p p r o a c h i t , b u t t h e r e ' s n o t h i n g t o m u l t i p l y , t h e r e i s n o t a n o t h e r n u m b e r t o m u l t i p l y i t w i t h , s o y o u c a n ' t g e t a n y m o r e . I g u e s s y o u ' d h a v e t o g o b a c k t o y o u r b a s i c r u l e s , i t ' s j u s t o n e o f t h o s e b a s i c r u l e s t h a t j u s t g e t s p o u n d e d i n y o u r h e a d w h e n y o u ' r e y o u n g a n d y o u j u s t k i n d o f r e m e m b e r i t , o r h o p e y o u d o . 1 3 2 C a t h y , a l s o a n e l e m e n t a r y m a j o r , e c h o e d L i n d a a n d P a m w i t h “ a n y t h i n g d i v i d e d b y 0 i s 0 n o m a t t e r w h a t n u m b e r i t i s . “ S h e s a i d s h e w o u l d g i v e d i f f e r e n t e x a m p l e s : “ W h a t ' s 4 , 0 0 0 d i v i d e d b y 0 ? " W h a t ' s 0 d i v i d e d b y 0 ? , s o t h a t i t g e t s l i k e e m b e d d e d i n t o t h e i r h e a d . " L i k e t h o s e w h o s t a t e d " y o u c a n ' t d i v i d e b y 0 , “ t h e s e p r o s p e c t i v e t e a c h e r s a l l e m p h a s i z e d t h e a b s o l u t e n e s s o f t h e r u l e a n d t h e v a l u e o f g e t t i n g p u p i l s t o r e m e m b e r i t . E x p l a i n i n g a n d k n o w i n g i n m a t h e m a t i c s w e r e a l l r u l e - f o c u s e d . H o w e v e r , t h e s e t e a c h e r c a n d i d a t e s d i d n o t r e a l i z e t h a t w h a t t h e y w e r e s a y i n g w a s n o t t r u e . : i _ g g n ; ; _ x g n e n h g z i 1 T w o p r o s p e c t i v e e l e m e n t a r y t e a c h e r s s a i d t h e y c o u l d n o t r e m e m b e r t h e a n s w e r t o 7 + 0 . M a i L i n g s a i d s i m p l y , ' 7 d i v i d e d b y 0 ? I s n ' t t h a t - - i s n ' t t h e r e a t e r m f o r t h e a n s w e r t o t h a t ? I c a n ' t r e m e m b e r . ” R a c h e l , w h o h a d t a k e n a l i t t l e m o r e m a t h , m o r e r e c e n t l y a n d m o r e s u c c e s s f u l l y , t h a n m o s t o f t h e o t h e r e l e m e n t a r y m a j o r s , w a s s i m p l y s t u m p e d b y t h i s q u e s t i o n . " S e v e n d i v i d e d b y 0 , ‘ s h e m u s e d . ' I ' m h a v i n g t r o u b l e . . . i s t h a t 0 o r i s t h a t 7 ? I ' m t r y i n g t o t h i n k m y s e l f . “ R a c h e l c o n s i d e r e d t h a t t h e a n s w e r m i g h t b e " y o u c a n ' t d i v i d e 7 b y 0 , " b u t t h e n s h e s a i d , I f y o u . h a v e 7 a n d y o u d i v i d e i t b y 0 , a n d y o u d o n ' t d i v i d e a t a l l , w h y i s n ' t i t j u s t 7 ? “ I f y o u d o n ' t d i v i d e i t a t a l l , t h a t ' s w h a t 1 ; . t h i n k i n g a n d m a y b e . . . i f t h a t ' s r i g h t t h e n i t i s r i g h t . I d o n ' t t h i n k i t i s . . . . s o m e t h i n g t e l l s m e i t i s n o t b u t I a m n o t s u r e . . . o t h e r w i s e i f y o u h a v e 7 a n d y o u d i v i d e i t b y 0 t h e y a r e s a y i n g t h a t y o u c a n n o t d i v i d e i t s o y o u j u s t e n d u p w i t h 0 . . . s o I d o n ' t k n o w . ‘ A l t h o u g h n e i t h e r M e i L i n g n o r R a c h e l k n e w t h e a n s w e r t o 7 + 0 , R a c h e l ' s s t r u g g l e r e v e a l e d a d i f f e r e n t a p p r o a c h t o k n g w i n g t h a n H e i L i n g ' s . H e i L i n g c o u l d n o t r e m e m b e r - - f o r h e r , t h i s m e a n t s h e d i d n o t 1 3 3 a n d c o u l d n o t k n o w t h e a n s w e r . R a c h e l c o u l d n o t r e m e m b e r e i t h e r , b u t s h e d i d n o t t h i n k t h i s m e a n t t h a t s h e c o u l d n ' t k n o w t h e a n s w e r . S h e u s e d t w o a p p r o a c h e s t o t r y t o a n s w e r t h e q u e s t i o n . S h e t r i e d t o r e t r i e v e b i t s o f i n f o r m a t i o n t h a t m i g h t h e l p h e r r e m e m b e r ( e . g . , s o m e t h i n g w i t h d i v i s i o n a n d z e r o p r o d u c e s i n f i n i t y , s o m e t h i n g i n g r a p h i n g t h a t w a s n ' t a l i n e ) . S h e a l s o t r i e d t o r e a s o n a b o u t t h e m e a n i n g o f t h e p r o b l e m ( e . g . , " I f y o u h a v e 7 a n d y o u d i v i d e i t b y 0 , a n d y o u d o n ' t d i v i d e a t a l l , w h y i s n ' t i t j u s t 7 ? " ) W E A M W W . D i v i s i o n b y z e r o c o m e s u p f r e q u e n t l y i n c o l l e g e m a t h e m a t i c s ; m a t h m a j o r s h a v e h a d m o r e a n d m o r e r e c e n t e x p e r i e n c e w i t h d i v i d i n g b y z e r o t h a n h a v e n o n - m a t h m a j o r s . A s s u c h , i t w a s n o t s u r p r i s i n g t h a t t h e s e c o n d a r y c a n d i d a t e s w e r e b e t t e r p r e p a r e d t h a n w e r e t h e e l e m e n t a r y t o d e a l w i t h t h i s q u e s t i o n , b o t h i n t e r m s o f p r o v i d i n g m a t h e m a t i c a l e x p l a n a t i o n s a n d i n t e r m s o f k n o w i n g t h e c o r r e c t r u l e . S t i l l , m o s t o f t h e t e a c h e r c a n d i d a t e s , w h e t h e r r i g h t o r w r o n g , w h e t h e r f o c u s e d o n m e a n i n g o r o n r u l e s , d i d n o t s e e m t o r e f e r t o t h e m o r e g e n e r a l c o n c e p t o f d i v i s i o n t o p r o v i d e t h e i r e x p l a n a t i o n s . I n s t e a d t h e y r e c o g n i z e d d i v i s i o n b y z e r o a s a p a r t i c u l a r c a s e f o r w h i c h t h e r e w a s a r u l e . T h e i r “ e x p l a n a t i o n s " w e r e s i m p l y s t a t e m e n t s o f w h a t t h e y t h o u g h t o b e t h e r u l e f o r t h i s s p e c i f i c c a s e . F u r t h e r m o r e , h a l f t h e e l e m e n t a r y c a n d i d a t e s h a d t h e r u l e z i g n g . B e c a u s e t h e y d i d n o t t h i n k a b o u t t h e n g g n i n g o f d i v i s i o n b y z e r o , t h e y d i d n o t m o n i t o r t h e r e a s o n a b l e n e s s o f t h e i r a n s w e r s . 1 3 4 m m m m A t h i r d i n t e r v i e w q u e s t i o n p r o v i d e d y e t o n e m o r e a n g l e o n t h e t e a c h e r c a n d i d a t e s ' u n d e r s t a n d i n g o f d i v i s i o n . T h i s t i m e I a s k e d : S u p p o s e t h a t o n e o f y o u r s t u d e n t s a s k s y o u f o r h e l p w i t h t h e f o l l o w i n g e x e r c i s e : I f ' _ x _ r 5 , t h e n x - 0 . 2 H o w w o u l d y o u r e s p o n d ? W h y i s t h a t w h a t y o u ' d d o ? 1 5 I n a l g e b r a c l a s s e s , s t u d e n t s a r e t a u g h t p r o c e d u r e s f o r “ i s o l a t i n g x ' - - i . e . , f o r m a n i p u l a t i n g e q u a t i o n s s o t h a t t h e u n k n o w n n u m b e r i s o n o n e s i d e o f t h e s t a t e m e n t a n d a n u m b e r i s o n t h e o t h e r . T h i s e n a b l e s o n e t o ' s o l v e ' t h e e q u a t i o n , o r f i g u r e o u t w h a t n u m b e r ( s ) x c o u l d b e . F o r e x a m p l e , t h e u b i q u i t o u s p r o c e d u r a l s c r i p t f o r s o l v i n g t h e e q u a t i o n d i s c u s s e d a b o v e i s : Y o u w a n t t o i s o l a t e 1 , s o y o u w a n t t o g e t r i d o f t h e p o i n t 2 i n t h e d e n o m i n a t o r . H a l t i p l y b o t h s i d e s b y p o i n t 2 . { - 2 ) _ x _ - 5 ( . 2 ) 0 . 2 T h e p o i n t 2 ' s c a n c e l o n t h e l e f t s i d e ; 5 t i m e s p o i n t 2 i s 1 . S o x e q u a l s 1 . 1 5 T h i s q u e s t i o n w a s p r e s e n t e d t o e l e m e n t a r y a s w e l l a s s e c o n d a r y t e a c h e r c a n d i d a t e s . I t s f u n c t i o n i n t h e i n t e r v i e w w a s t o e x t e n d t h e a n a l y s i s o f t h e i r u n d e r s t a n d i n g o f d i v i s i o n i n d i f f e r e n t c o n t e x t s . I n o t h e r w o r d s , w a s d i v i s i o n w i t h f r a c t i o n s o n e c a s e , d i v i s i o n b y z e r o a n o t h e r , a n d d i v i s i o n i n a l g e b r a s o m e t h i n g y e t e n t i r e l y d i f f e r e n t a g a i n ? L a s t c r i t i c s a r g u e t h a t t h i s c o n t e n t i s t o o a d v a n c e d f o r t h e e l e m e n t a r y t e a c h e r c a n d i d a t e s , I c o n t e n d t h a t i t i s n o t u n r e a s o n a b l e t o e x p e c t t h a t t e a c h e r s w h o s e M i c h i g a n t e a c h i n g c e r t i f i c a t e w i l l e x t e n d t h r o u g h e i g h t h g r a d e i n a l l s u b j e c t s s h o u l d u n d e r s t a n d d i v i s i o n i n s i m p l e a l g e b r a i c e q u a t i o n s . 1 3 5 L e a r n i n g p r o c e d u r e s s u c h a s t h e s e o f t e n s e e m s t o e c l i p s e a n y f o c u s o n t h e m e a n i n g o f t h e e q u a t i o n s o r t h e n u m b e r s . F u r t h e r m o r e , r e f e r r i n g t o . 2 a s " p o i n t t w o ” d o e s n o t e m p h a s i z e t h e m e a n i n g o f t h e n u m b e r a s 5 2 9 ; ; g n 5 h 3 . S c r i p t s s i m i l a r t o t h i s o n e w e r e w h a t t h e t e a c h e r c a n d i d a t e s p r o d u c e d i n r e s p o n s e t o t h i s q u e s t i o n . O v e r w h e l m i n g l y t h e t e a c h e r c a n d i d a t e s " e x p l a i n e d “ i t b y r e s t a t i n g t h e s t e p s o f p r o c e d u r e s t o s o l v e s u c h e q u a t i o n s . O n l y o n e p r o s p e c t i v e t e a c h e r t a l k e d a b o u t i t i n t e r m s o f w h a t i t m e a n t , a n d a f e w t e a c h e r c a n d i d a t e s d i d n ' t k n o w h o w t o d o i t a t a l l . T h e r e s u l t s o f t h e t e a c h e r c a n d i d a t e s ' r e s p o n s e s a r e s u m m a r i z e d i n T a b l e 3 . 3 . £ g § u § _ g n _ n g a n i n g . O n l y o n e t e a c h e r c a n d i d a t e - ~ a n e l e m e n t a r y m a j o r - - t r i e d t o t a l k a b o u t t h e m e a n i n g o f t h e e q u a t i o n . S a n d i s a i d t h a t s h e w o u l d w a n t t h e p u p i l " t o u n d e r s t a n d w h a t h e ' s d o i n g f i r s t . I S h e s a i d s h e w o u l d h e l p t h e p u p i l u n d e r s t a n d “ t h e i d e a t h a t t h e . 2 h a s t o g o i n t o x . “ W h i l e h e r e x p l a n a t i o n w a s v a g u e , s h e w a s t r y i n g t o m a k e s e n s e o f t h e p r o b l e m b y r e a s o n i n g a b o u t d i v i s i o n . E g g g g _ 2 n _ p r g g g d g z g § . F o u r t e e n o f t h e p r o s p e c t i v e t e a c h e r s , i n c l u d i n g a l l o f t h e m a t h e m a t i c s m a j o r s , f o c u s e d o n t h e m e c h a n i c s o f m a n i p u l a t i n g a l g e b r a i c e q u a t i o n s . T e r r e l l , a s e c o n d a r y c a n d i d a t e , s a i d I ' d e x p l a i n t h a t s o m e h o w y o u h a v e t o g e t t h i s x b y i t s e l f w i t h o u t t h a t . 0 2 , I m e a n 0 . 2 . . . a n d t h e n I ' d a s k h e r , I ' d a s k h e r . . . I ' d t e l l h e r s o m e h o w s h e ' s g o i n g t o h a v e t o g e t r i d o f t h a t . 0 2 . T h e n h e l a u g h e d s e l f - c o n s c i o u s l y - - ' t h e c o m p l e x m a t h t e r m s t h a t t e a c h e r s u s e , l i k e ‘ g e t r i d o f . " M e i L i n g , a n e l e m e n t a r y c a n d i d a t e , g a v e m o r e d e t a i l : I w o u l d s h o w t h e r e l a t i o n s h i p b e t w e e n t h e x a n d . 2 a n d I w o u l d s a y ' x i s b e i n g d i v i d e d . . . x i s b e i n g d i v i d e d b y . 2 s o t h i s e q u a t i o n h e r e i s e q u a l t o 5 . T h e y a r e s a y i n g y o u . w a n t t o i s o l a t e x , y o u 1 3 6 w a n t t o l e a v e x a l l b y i t s e l f o n t h i s s i d e , o k a y ? S o w h a t c a n . w e d o t o c a n c e l t h i s o u t ? W h a t c a n . w e d o t o b o t h s i d e s t h a t w i l l l e a v e t h e x b y i t s e l f , t h a t w i l l g e t r i d o f t h a t . 2 ? O k a y ? “ T h e n I w o u l d s a y , " Y o u w a n t t o d o t h e g p p g g i t g o f w h a t ' s h a p p e n i n g h e r e . S o x i s b e i n g d i v i d e d b y . 2 s o t h e o p p o s i t e o f t h a t i s - - ? ' a n d t h e y m i g h t s a y , ” M u l t i p l y “ a n d t h e n I w o u l d s a y , ” T h a t ' s r i g h t ! " S o y o u w a n t t o t a k e t h i s . . . x d i v i d e d b y . 2 . . . m u l t i p l y i t b y . 2 a n d t h o s e c a n c e l o u t . B u t y o u h a v e t o d o o n e s i d e j u s t l i k e t h e o t h e r . T h e y h a v e t o . . . y o u h a v e t o t r e a t t h e m t h e s a m e b e c a u s e i t ' s a l l t h e s a m e p r o b l e m . T h e n t h a t w i l l l e a v e x b y i t s e l f . S o l v e t h i s o n e a n d y o u ' v e g o t y o u r a n s w e r . T h e o t h e r t e a c h e r c a n d i d a t e s g a v e s i m i l a r a n s w e r s . T h e y a l l t a l k e d a b o u t g e t t i n g ” r i d o f " t h e . 2 , i s o l a t i n g x , a n d m u l t i p l y i n g b o t h s i d e s b y . 2 . T h e y s e e m e d t o s e e t h e q u e s t i o n a s q u i t e s t r a i g h t f o r w a r d a n d u n p r d b l e m a t i c , u n l i k e s o m e o f t h e o t h e r q u e s t i o n s I h a d a s k e d , p r o b a b l y b e c a u s e s o l v i n g s i m p l e e q u a t i o n s w a s s o m e t h i n g t h e y h a d d o n e t h e m s e l v e s m a n y t i m e s a n d t h e y c o u l d , f o r t h e m o s t p a r t , r e m e m b e r h o w t o d o i t . : i _ h § x § i n g _ i d g g i 1 F o u r e l e m e n t a r y t e a c h e r c a n d i d a t e s d i d n o t k n o w h o w t o s o l v e t h e e q u a t i o n t h e m s e l v e s . O n e w a s o v e r w h e l m e d a t t h e p r o s p e c t o f h a v i n g t o h e l p a s t u d e n t s o l v e a n e q u a t i o n s u c h a s t h i s o n e . " O h , m y $ 9 4 ! " s h e e x c l a i m e d w h e n I p r e s e n t e d h e r w i t h t h e q u e s t i o n . S h e s a i d s h e h a d n o i d e a , a l t h o u g h s h e k n e w ” t h e r e ' s s t e p s t h a t y o u g o t h r o u g h t o d o i t . “ A n o t h e r s a i d s h e h a d n ' t I ' d o n e t h e s e ” i n s o l o n g t h a t s h e j u s t c o u l d n ' t r e m e m b e r . A l l f o u r o f t h e t e a c h e r c a n d i d a t e s w h o c o u l d n o t s o l v e t h e e q u a t i o n a t t r i b u t e d i t t o n o t h a v i n g d o n e a l g e b r a p r o b l e m s i n a l o n g t i m e a n d n o t b e i n g a b l e t o x g n g m b g ; t h e p r o c e d u r e s f o r s o l v i n g e q u a t i o n s s u c h a s t h i s o n e . T h e o n l y d i f f e r e n c e b e t w e e n t h e s e t e a c h e r c a n d i d a t e s a n d t h e f o u r t e e n w h o f o c u s e d o n p r o c e d u r e s w a s t h a t t h e s e f o u r c o u l d n o t I g n g m h g ; t h e p r o c e d u r e s . H o w e v e r , l i k e t h e t h i r t e e n , t h e y d i d n o t f o c u s o n t h e m g g n i n g o f t h e m a t h e m a t i c a l s t a t e m e n t . e s n o p s e r f o _ y r o g e t a C 1 3 7 T a b l e 3 . 3 D i v i s i o n i n a l g e b r a i c e q u a t i o n s : T e a c h e r C a n d i d a t e s E l e m e n t a r y S e c o n d a r y T O T A L S M e a n i n g 1 0 1 P r o c e d u r e 5 9 1 h D o n ' t K n o w h > O A 1 3 8 M W A l t h o u g h t h e t h r e e i n t e r v i e w q u e s t i o n s a l l d e a l t w i t h d i v i s i o n , t h e t e a c h e r c a n d i d a t e s d i d n o t s e e m t o f o c u s f r o m c a s e t o c a s e o n t h e c o n c e p t o f d i v i s i o n . I n s t e a d , m o s t o f t h e m r e s p o n d e d t o e a c h q u e s t i o n i n t e r m s o f t h e s p e c i f i c b i t o f m a t h e m a t i c a l k n o w l e d g e e n t a i l e d - - d i v i s i o n o f f r a c t i o n s , d i v i s i o n b y z e r o , s o l v i n g a l g e b r a i c e q u a t i o n s i n v o l v i n g d i v i s i o n . F o r a l l t h r e e q u e s t i o n s , t h e r e s p o n s e s w e r e o v e r w h e l m i n g l y f o c u s e d o n p r o c e d u r e s . T h e p r o s p e c t i v e t e a c h e r s , b o t h t h e m a t h e m a t i c s m a j o r s a n d t h e e l e m e n t a r y c a n d i d a t e s , t e n d e d t o s e a r c h f o r t h e p a r t i c u l a r r u l e s - - ' y o u c a n ' t d i v i d e b y 0 ' o r ' g e t r i d o f t h e d e n o m i n a t o r " - - r a t h e r t h a n f o c u s i n g o n t h e m e a n i n g o f t h e p r o b l e m s p r e s e n t e d . T h e i r u n d e r s t a n d i n g s e e m e d s p e c i f i c a n d u n c o n n e c t e d . B e l o w I c o n s i d e r t w o p o s s i b l e i n f l u e n c e s o n t h i s f i n d i n g . W . W h y w e r e t h e t e a c h e r c a n d i d a t e s ' r e s p o n s e s s o o v e r w h e l m i n g l y p r o c e d u r a l a n d r u l e - o r i e n t e d ? W a s t h e p r e p o n d e r a n c e o f p r o c e d u r a l a n s w e r s i n f l u e n c e d b y t h e n a t u r e o f t h e q u e s t i o n s t h e m s e l v e s ? T w o o f t h e q u e s t i o n s - - d i v i s i o n b y z e r o a n d d i v i s i o n i n a l g e b r a i c e q u a t i o n s o - w e r e f o r m u l a t e d i n s u c h a w a y t h a t t e a c h e r c a n d i d a t e s c o u l d s i m p l y r e t r i e v e t h e c o r r e c t p i e c e o f i n f o r m a t i o n ( e . g . , " d i v i s i o n b y z e r o i s u n d e f i n e d ” ) , a s i t w a s t a u g h t , f r o m m a t h e m a t i c s m e m o r y s t o r a g e . T h e s e t w o q u e s t i o n s e x a m i n e d ” c o n v e n t i o n a l l y p a c k a g e d “ p i e c e s o f k n o w l e d g e - - k n o w l e d g e t h a t t h e t e a c h e r c a n d i d a t e s h a d b e e n t a u g h t i n s c h o o l . I f t h e y c o u l d r e m e m b e r t h e n e c e s s a r y p i e c e , t h e y c o u l d a n s w e r e a c h q u e s t i o n b y s t a t i n g t h e r u l e . I n f a c t , m a n y o f t h e m g g g g t g g r e m e m b e r i n g w i t h k n o w i n g ( s e e C h a p t e r 4 ) . 1 3 9 O n e m i g h t a r g u e t h a t n o t h i n g i n e i t h e r q u e s t i o n c o m p e l l e d t h e m t o r e o r g a n i z e o r t o r e e x a m i n e t h e i r u n d e r s t a n d i n g ; h o w e v e r , b o t h q u e s t i o n s d i d a s k t h e t e a c h e r c a n d i d a t e s h o w t h e y w o u l d r e s p o n d t o a p u p i l w h o r a i s e d t h a t q u e s t i o n . T h e d o m i n a n c e o f p r o c e d u r a l a n s w e r s w o u l d s u g g e s t t h a t t h e p r o s p e c t i v e t e a c h e r s f a v o r e d g i v i n g p u p i l s r u l e s t o a c c e p t a n d r e m e m b e r , r a t h e r t h a n c o n c e p t u a l e x p l a n a t i o n s . H o w e v e r , t h e r e i s s u b s t a n t i a l e v i d e n c e i n t h e i r r e s p o n s e s t h a t t h e t e a c h e r c a n d i d a t e s g a n t g g t o g i v e t h e p u p i l s m o r e c o n c e p t u a l a n s w e r s b u t c o u l d n o t d o s o , t h a t t h e i r s u b j e c t m a t t e r k n o w l e d g e , l a c k i n g e x p l i c i t n e s s , w a s i n s u f f i c i e n t t o a c t o n t h a t c o m m i t m e n t . O n e o f t h e m a t h m a j o r s r e a l i z e d t h i s a n d c o m m e n t e d ( o n d i v i s i o n b y z e r o ) , ' I j u s t k n g g t h a t . . . I d o n ' t r e a l l y k n o w w h y . . . i t ' s a l m o s t b e c o m e a f a c t . . . s o m e t h i n g t h a t i t ' s j u s t t h e r e . ” I n a n s w e r i n g t h e q u e s t i o n s , m a n y o f t h e m a g o n i z e d o v e r n o t h a v i n g a " c o n c r e t e e x a m p l e “ o r n o t k n o w i n g w h y s o m e t h i n g w a s t r u e . O n e o f t h e m a t h m a j o r s , f o r e x a m p l e , i n a n s w e r i n g t h e d i v i s i o n b y z e r o q u e s t i o n , s a i d s h e ” w o u l d . h a t e t o s a y i t i s o n e o f t h o s e t h i n g s t h a t y o u h a v e t o a c c e p t i n m a t h " b u t t h a t s h e m i g h t h a v e t o i n t h i s c a s e i f s h e c o u l d n ' t t h i n k o f a c o n c r e t e e x a m p l e . A n o t h e r l a u g h e d w r y l y a t h i m s e l f f o r u s i n g t h e p h r a s e " g e t r i d o f t h e d e n o m i n a t o r , “ b u t d i d n o t h a v e a c c e s s i b l e a n y a l t e r n a t i v e w a y s o f u n d e r s t a n d i n g . T h e a n s w e r s t h e t e a c h e r c a n d i d a t e s g a v e - - r u l e s - - g g ; g w h a t t h e y u n d e r s t o o d , w h a t t h e y r e m e m b e r e d f r o m w h a t t h e i r t e a c h e r s s a i d . M o r e o v e r , s o m e o f t h e t e a ¢ h e r c a n d i d a t e s c o u l d n o t r e m e m b e r t h e r u l e s a t a l l . O n c e f o r g o t t e n , r u l e s a r e n o t e a s i l y r e t r i e v a b l e w i t h o u t t h e c o n c e p t s t o s u p p o r t t h e m ( H i e b e r t & L e f e v r e , 1 9 8 6 ) . M e r e r e m e m b e r i n g o n l y s e r v e s o n e w e l l i n d i s p l a y i n g m a t h e m a t i c a l k n o w l e d g e 1 4 0 - - u n t i l o n e f o r g e t s , t h a t i s . T h e p r o s p e c t i v e t e a c h e r s ' k n o w l e d g e s e e m e d f o u n d e d m o r e o n m e m o r i z a t i o n t h a n o n c o n c e p t u a l u n d e r s t a n d i n g . T h e s e c o n d a r y t e a c h e r c a n d i d a t e s , h a v i n g h a d m o r e ( a n d m o r e r e c e n t ) o p p o r t u n i t i e s t o m a i n t a i n t h e i r i n v e n t o r y o f r e m e m b e r e d k n o w l e d g e , w e r e t h e r e f o r e m o r e l i k e l y t o h a v e a b n g t h i n g t o s a y , l e s s l i k e l y t o d r a w a c o m p l e t e b l a n k . E z g g m g n § § d _ n n d g x s b a n d i n g . T h e p r o s p e c t i v e t e a c h e r s ' f o c u s o n t h e s u r f a c e d i f f e r e n c e s a m o n g t h e t h r e e c a s e s o f d i v i s i o n s u g g e s t s t h a t t h e i r u n d e r s t a n d i n g c o m p r i s e d r e m e m b e r i n g t h e r u l e s f o r s p e c i f i c c a s e s , n o t o f a w e b o f i n t e r c o n n e c t e d i d e a s . E v i d e n c e f o r t h i s i s e s p e c i a l l y c l e a r i n t h e t e a c h e r c a n d i d a t e s ' e f f o r t s t o g e n e r a t e r e p r e s e n t a t i o n s f o r 1 3 / 4 + 8 . T h i s t a s k , u n l i k e t h e o t h e r t w o d i v i s i o n q u e s t i o n s , d i d r e q u i r e t h e m t o d o m o r e t h a n r e p r o d u c e w h a t t h e y h a d b e e n t a u g h t . D i v i s i o n w i t h f r a c t i o n s i s r a r e l y t a u g h t c o n c e p t u a l l y i n s c h o o l ; m o s t o f t h e p r o s p e c t i v e t e a c h e r s p r o b a b l y l e a r n e d t o d i v i d e w i t h f r a c t i o n s w i t h o u t n e c e s s a r i l y t h i n k i n g a b o u t w h a t t h e p r o b l e m s m e a n s . I n d e e d , m o s t o f t h e m c o u l d c a r r y o u t t h e p r o c e d u r e t o p r o d u c e t h e c o r r e c t a n s w e r ( 3 k ) - - a t a s k t h a t r e q u i r e d t h e m t o r e m e m b e r a n d u s e t h e r u l e " i n v e r t a n d m u l t i p l y . “ Y e t , w h e n t h e y t r i e d t o g e n e r a t e a r e p r e s e n t a t i o n f o r t h e s t a t e m e n t , m o s t o f t h e m e i t h e r r e p r e s e n t e d 1 3 / 4 + 2 o r c o u l d n ' t d o i t a t a l l . O n l y 4 o u t o f t h e 1 9 t e a c h e r c a n d i d a t e s t a l k e d a b o u t “ h o w m a n y h a l v e s a r e i n 1 3 / 4 ' - - t h e o t h e r s i n t e r c h a n g e d d i v i d i n g b y k w i t h d i v i d i n g i n h a l f . T h i s c o n f u s i o n w e n t u n c h a l l e n g e d , e v e n t h o u g h t h e 1 4 1 a n s w e r t o t h e l a t t e r ( 7 / 8 ) d i f f e r s f r o m t h e c a l c u l a t e d a n s w e r ( 3 8 ) . 1 6 T h e r e s u l t s f o r t h i s q u e s t i o n s u g g e s t t h a t , i n a l m o s t a l l c a s e s , t h e p r o s p e c t i v e t e a c h e r s ' u n d e r s t a n d i n g o f d i v i s i o n w i t h f r a c t i o n s c o n s i s t e d o f r e m e m b e r i n g a p a r t i c u l a r r u l e , a n d w a s u n a t t a c h e d t o o t h e r i d e a s a b o u t d i v i s i o n . T h e r e s u l t s f o r t h e o t h e r t w o q u e s t i o n s ( d i v i s i o n b y 0 a n d d i v i s i o n i n a l g e b r a i c e q u a t i o n s ) a r e c o n s i s t e n t w i t h t h i s i n t e r p r e t a t i o n . C r i t i c a l t o n o t e h e r e i s t h a t t h e s t a n d a r d s c h o o l m a t h e m a t i c s c u r r i c u l u m t o w h i c h m o s t p r o s p e c t i v e t e a c h e r s h a v e b e e n s u b j e c t e d t r e a t s t h e s e i d e a s a s d i s c r e t e b i t s o f p r o c e d u r a l k n o w l e d g e , a p o i n t w o r t h n o t i n g f o r i t u n d e r s c o r e s w h a t p r o s p e c t i v e t e a c h e r s b r i n g a n d w h a t t h e y , i n m a n y c a s e s , m u s t o v e r c o m e i n l e a r n i n g t o t e a c h e v e n “ s i m p l e “ c o n c e p t s l i k e d i v i s i o n . W W W “ S l o p e i s a c e n t r a l m a t h e m a t i c a l i d e a , f i r s t i n t r o d u c e d f o r m a l l y i n f i r s t - y e a r h i g h s c h o o l a l g e b r a . T h e s l o p e , o r s t e e p n e s s , o f a l i n e i s r e p r e s e n t e d b y a r a t i o o f t h e v e r t i c a l c h a n g e ( r i s e ) c o m p a r e d t o t h e h o r i z o n t a l c h a n g e ( r u n ) . T h i s m e a s u r e o f s t e e p n e s s i s u s e f u l f o r d e s c r i b i n g t h e c h a n g e i n a l i n e . I h a d t h r e e r e a s o n s f o r c h o o s i n g s l o p e a s a t o p i c f o r e x p l o r a t i o n w i t h t h e p r o s p e c t i v e s e c o n d a r y t e a c h e r s . F i r s t , t h i s i s a b a s i c t o p i c i n f i r s t - y e a r h i g h s c h o o l a l g e b r a , a c o u r s e p r o s p e c t i v e t e a c h e r s a r e 1 6 T h i s d i s c r e p a n c y w a s m o s t o f t e n m a s k e d b y a n u n n o t i c e d c h a n g e i n t h e r e f e r e n t u n i t f r o m w h o l e s t o f o u r t h s . H e r e i s a t y p i c a l e x a m p l e : S u p p o s e y o u h a v e 1 3 / 4 p i z z a s w h i c h y o u w a n t t o s p l i t e q u a l l y b e t w e e n t w o h u n g r y t e e n a g e r s ( 1 3 / 4 + 2 ) . E a § h _ 2 i z z a _ i § _ d i y i d 2 d _ i n & 2 . T h e r e f o r e e a c h p e r s o n g e t s 7 / 8 o f a p i z z a , w h i c h i s 3 5 p i e c e s o f p i z z a . 1 4 2 l i k e l y t o h a v e t o t e a c h , o r e v e n s t u d e n t t e a c h . S e c o n d , s l o p e a n d g r a p h i n g a r e f o u n d a t i o n a l t o m u c h m a t h e m a t i c s t h a t i s s t u d i e d a f t e r a l g e b r a - - c a l c u 1 u s , f o r e x a m p l e . T h i r d , s l o p e i s a c e n t r a l m a t h e m a t i c a l t o o l f o r i m p o r t a n t i d e a s l i k e c h a n g e a n d c o v a r i a t i o n ; g r a p h i n g i s c e n t r a l f o r w o r k i n g w i t h s o l u t i o n s e t s a n d f u n c t i o n s . F i n a l l y , I s u s p e c t e d t h a t s l o p e a n d g r a p h i n g a r e o f t e n a p p r o a c h e d m e c h a n i c a l l y , t h a t p r o s p e c t i v e t e a c h e r s m a y h a v e t o r e c o n s t r u c t ( o r d e v e l o p ) a m o r e c o n c e p t u a l u n d e r s t a n d i n g o f t h i s t o p i c . £ i n d i n g _ § i g b g . O n e f i n d s t h e s l o p e o f a l i n e b y p i c k i n g t w o p o i n t s o n a l i n e a n d d e t e r m i n i n g t h e r a t i o b e t w e e n h o w m u c h t h e l i n e i s r i s i n g ' o r . f a l l i n g a n d . h o w m u c h t h e l i n e i s i n c r e a s i n g t o t h e r i g h t b e t w e e n t h o s e t w o p o i n t s . I n o t h e r w o r d s : m m ; r u n T h e s k e t c h e s i n F i g u r e 3 . 6 i l l u s t r a t e d i f f e r e n t s l o p e s . N o t i c e t h a t l i n e s t h a t s l a n t d o w n t o t h e r i g h t h a v e n g g b i i y g s l o p e s : T h i s i s b e c a u s e t h e l i n e d r o p s r a t h e r t h a n r i s e s , s o t h e r a t i o c o m p r i s e s a n e g a t i v e v a l u e o v e r a p o s i t i v e v a l u e ( t h e h o r i z o n t a l r u n o f t h e l i n e ) . § i g b § i _ g g g a § i g n § i _ a n d _ i i n g § . A s s i g n i n g a n u m e r i c a l v a l u e t o t h e s t e e p n e s s o f a l i n e a l l o w s o n e t o c o m p a r e t h e r e l a t i v e s l o p e s o f t w o l i n e s , a s w e l l a s t o p r e d i c t a c c u r a t e l y o t h e r p o i n t s o n a g i v e n l i n e . A l i n e c a n b e r e p r e s e n t e d a s a n e q u a t i o n - - t h i s e q u a t i o n i n c l u d e s t h e s l o p e . F o r e x a m p l e , t h e e q u a t i o n f o r t h e l i n e i n F i g u r e 3 . 7 i s y - 2 x . I n o t h e r w o r d s , t h e v a l u e o f y a t e a c h x i s d o u b l e t h e v a l u e f o r x . I f x i s 2 , y i s 4 . I f x i s 3 , y i s 6 . T h e s l o p e o f t h i s l i n e i s 2 / 1 ( o r s i m p l y 2 ) b e c a u s e t h e l i n e i s r i s i n g 2 f o r e a c h h o r i z o n t a l i n c r e a s e o f 1 . N o w l o o k a t t h e l i n e i n F i g u r e 3 . 8 . T h i s l i n e i s 1 4 3 4 I 0 I a s 4 h a m - O 8 W I A A A A A A A A A A A A A A A A A A A t e l l “ ! - I o - s - s - s s 4 s s l o " ' t h a n a n . F i g u r e 3 . 6 L i n e s w i t h d i f f e r e n t s l o p e s n i f i v v v v v ‘ V " v v V v ' V V V V V V V V ' Y v v v v ' fi W ' v 1 4 4 A A A v V v v v v v v u - h . . 0 1 - 4 0 ¢ F i g u r e 3 . 7 F i g u r e 3 . 9 G r a p h o f y = 2 x C o m p a r i s o n o f g r a p h s : y I 2 x a n d y = 2 x + 3 F i g u r e 3 . 8 F i g u r e 3 . 1 0 G r a p h o f y a 2 x + 3 A g r a p h o f t h e s o l u t i o n s e t f o r y a 2 x 1 4 5 p a r a l l e l t o t h e l i n e i n F i g u r e 3 . 7 , b u t y o u c a n s e e t h a t i t i s s h i f t e d u p o n t h e c o o r d i n a t e p l a n e . I n s t e a d o f i n t e r s e c t i n g t h e o r i g i n ( 0 , 0 ) , t h i s l i n e c r o s s e s t h e y - a x i s a t 3 . S o t h e e q u a t i o n b e c o m e s y - 2 x + 3 . C o n s i d e r : W h e n x i s 0 , y i s 3 . W h e n x i s l , y i s 5 . y i s a l w a y s 2 t i m e s g r e a t e r t h a n x , p l u s 3 . T h i s f o r m o f w r i t i n g e q u a t i o n s f o r l i n e s i s c a l l e d t h e s i g b g ; i n ; g ; g g b § f o r m . b e c a u s e i t c o n t a i n s b o t h t h e s l o p e a n d t h e p o i n t w h e r e t h e l i n e i n t e r c e p t s t h e y - a x i s . T h i s e q u a t i o n f o r m i s a l s o r e f e r r e d t o i n i t s g e n e r a l f o r m a s y - . m x + b , w h e r e m i s t h e v a l u e o f t h e s l o p e a n d b i s t h e p o i n t o f i n t e r c e p t . T h i s f o r m i s t h e f a v o r i t e o f m a n y s t u d e n t s a n d t e a c h e r s b e c a u s e i t i s m o s t d i r e c t l y ” g r a p h a b l e ' - - t h a t i s , b e c a u s e o n e k n o w s t h e i n t e r c e p t a n d t h e s l o p e , o n e c a n q u i c k l y g r a p h t h e l i n e . T h i s l a s t e x a m p l e a l s o r e v e a l s a n o t h e r f e a t u r e o f s l o p e : l i n e s t h a t a r e p a r a l l e l h a v e t h e s a m e s l o p e , i . e . , t h e y a r e s l a n t e d i n e x a c t l y t h e s a m e w a y . T h e g r a p h o f y - 2 x h a s t h e s a m e s l o p e ( 2 ) a s y - 2 x + 3 , b u t t h e s e c o n d l i n e i s t r a n s l a t e d u p 3 u n i t s o n t h e c o o r d i n a t e p l a n e . ( S e e F i g u r e 3 . 9 . ) B e s i d e s t h e p o p u l a r s l o p e - i n t e r c e p t f o r m o f a l i n e , t h e r e a r e a l s o o t h e r f o r m s o f e q u a t i o n s . A n o t h e r , i n i t s g e n e r a l f o r m , i s r e f e r r e d t o a s e x + b y ' - c S o , f o r e x a m p l e , - 2 x + y - 3 i s a n o t h e r w a y o f r e p r e s e n t i n g y - 2 x + 3 . C o n s i d e r s o m e o f t h e s o l u t i o n s t o t h a t l a t t e r : ( 0 , 3 ) , ( l , S ) , ( 3 , 9 ) . E a c h o f t h e s e o f c o u r s e a l s o s a t i s f i e s - 2 x + y - 3 . T h i s f o r m ( a x + b y - c ) i s o f t e n n o t f a v o r e d b y a l g e b r a t e a c h e r s b e c a u s e i t c a n n o t b e g r a p h e d a s d i r e c t l y a s t h e y - m x + b f o r m . S t u d e n t s a r e o f t e n t a u g h t t o t r a n s f o r m a l l e q u a t i o n s i n t o t h e y - m x + 1 4 6 b f o r m ( t h r o u g h a l g e b r a i c m a n i p u l a t i o n , t o ” i s o l a t e " t h e y o n t h e l e f t s i d e o f t h e e q u a t i o n ) s o t h a t t h e y c a n g r a p h t h e l i n e s m o r e e a s i l y . t h i n k o f l i n e s a n d e q u a t i o n s a n d t h e r e l a t i o n s h i p b e t w e e n t h e m i n t h r e e w a y s . O n o n e h a n d , a n e q u a t i o n m a y b e u n d e r s t o o d a s a r e p r e s e n t a t i o n o f a n a c t u a l l i n e . T h e e q u a t i o n a l l o w s o n e t o d e s c r i b e s y m b o l i c a l l y t h e s l a n t a n d o r i e n t a t i o n o f t h a t l i n e . F o r e x a m p l e , y - 2 x i s a r e p r e s e n t a t i o n o f t h e l i n e i n F i g u r e 3 . 7 . O n t h e o t h e r h a n d , a l i n e c a n b e t h o u g h t o f a s a r e p r e s e n t a t i o n o f t h e s o l u t i o n s e t f o r a m a t h e m a t i c a l e q u a t i o n . T h e l i n e i n c l u d e s a l l t h e p o i n t s t h a t a r e s o l u t i o n s t o t h e e q u a t i o n . F o r e x a m p l e , i f t h e e q u a t i o n i s y - 2 x , a s w e d i s c u s s e d a b o v e , t h e n ( 1 , 2 ) a n d ( 2 , 4 ) a n d ( 4 , 8 ) a r e s o m e o f t h e s o l u t i o n s t o t h a t e q u a t i o n . T h e s e p o i n t s a r e a l l o n t h e l i n e t h a t o n e d r a w s b a s e d o n y - 2 x . ( S e e F i g u r e 3 . 1 0 . ) F i n a l l y , a l i n e m a y b e a g r a p h i c a l r e p r e s e n t a t i o n o f t h e r e l a t i o n s h i p b e t w e e n t w o v a r i a b l e s - - a m o u n t e a t e n a n d w e i g h t g a i n e d , o r c h i l d r e n ' s a g e s a n d t h e i r h e i g h t s , f o r e x a m p l e . P o i n t s m a y b e p l o t t e d t o r e p r e s e n t t h e p e r t i n e n t d a t a , a n d a n e q u a t i o n m a y b e d e r i v e d t o d e s c r i b e t h e r e l a t i o n s h i p b e t w e e n t h e t w o v a r i a b l e s . I n t h i s c a s e , b o t h t h e l i n e a n d t h e e q u a t i o n a r e r e p r e s e n t a t i o n s o f s o m e r e a l w o r l d r e l a t i o n s h i p . T h i s p o l y f o c a l a p p r o a c h t o t h i n k i n g a b o u t t h e r e l a t i o n s h i p b e t w e e n l i n e s a n d e q u a t i o n s i s s i g n i f i c a n t i n t h i n k i n g a b o u t s l o p e a n d g r a p h i n g , a n d e s p e c i a l l y i n t e a c h i n g i t , f o r e a c h p e r s p e c t i v e h a s i m p l i c a t i o n s f o r h o w t h i s t o p i c m i g h t b e t a u g h t . T h i s p o r t i o n o f t h e i n t e r v i e w , l e n g t h i e r t h a n o t h e r q u e s t i o n s , w a s a n o c c a s i o n f o r t h e t e a c h e r c a n d i d a t e s t o e n g a g e i n a l a r g e r p i e c e o f 1 4 7 t h i n k i n g a b o u t t e a c h i n g m a t h e m a t i c s . I t h e l p e d m e t o e x p l o r e h o w t h e i r i d e a s a b o u t t e a c h i n g a n d l e a r n i n g i n t e r a c t e d w i t h t h e i r u n d e r s t a n d i n g o f m a t h e m a t i c s i n p e r f o r m i n g a s e r i e s o f g g n n e g ; g d _ § § § k § g £ _ § g § g b i n g : e v a l u a t i n g c u r r i c u l a r m a t e r i a l ( a s a r e p r e s e n t a t i o n o f t h e s u b j e c t m a t t e r ) , p l a n n i n g t o t e a c h , e v a l u a t i n g s t u d e n t w o r k , r e s p o n d i n g t o s t u d e n t s ' q u e s t i o n s . I p r e s e n t e d t h e p r o s p e c t i v e t e a c h e r s w i t h a s e c t i o n o n s l o p e a n d g r a p h i n g l i n e s f r o m a c o n v e n t i o n a l A l g e b r a I t e x t b o o k ( D o l c i a n i , W o o t o n , & B e c k e n b a c h , 1 9 8 0 ) a n d a s k e d t h e m t o a p p r a i s e i t . T h i s p a r t i c u l a r t e x t b o o k s e c t i o n d o e s n o t m e n t i o n t h e c o n c e p t u a l m n e m o n i c ' r i s e o v e r r u n , “ a t y p i c a l a p p r o a c h t o t e a c h i n g s l o p e . T h e b o o k p r o c e e d s r e l a t i v e l y r a p i d l y , i n c l u d i n g e x a m p l e s o f n e g a t i v e s l o p e s e x p r e s s e d i n r a t i o t e r m s . I t a l s o d e a l s w i t h e q u a t i o n s f o r l i n e s . I w a n t e d t o k n o w h o w t h e t e a c h e r c a n d i d a t e s , a l l p r o s p e c t i v e h i g h s c h o o l t e a c h e r s , j u d g e d t h i s t e x t . W h a t d i d t h e y t h i n k w e r e i t s s t r e n g t h s ? I t s d r a w b a c k s ? N e x t I a s k e d t h e m h o w t h e y w o u l d g o a b o u t t e a c h i n g t h i s t o p i c i f t h e y w e r e w o r k i n g o n i t w i t h a c l a s s o f p u p i l s . A f t e r t h a t , I s h o w e d t h e m a s t u d e n t ' s w o r k o n t h e p r a c t i c e e x e r c i s e s f r o m t h e t e x t b o o k s e c t i o n . I a s k e d t h e m t o e v a l u a t e t h e s t u d e n t ' s w o r k a n d t o d i s c u s s w h a t t h e y w o u l d d o n e x t i f t h e y w e r e t h a t s t u d e n t ' s t e a c h e r . F i n a l l y , I p o s e d s e v e r a l u n s t r a i g h t f o r w a r d q u e s t i o n s s t u d e n t s m i g h t a s k a n d a s k e d t h e p r o s p e c t i v e t e a c h e r s h o w t h e y w o u l d r e s p o n d . A l t h o u g h t h i s e x e r c i s e w a s h e l p e d m e t o l e a r n a b o u t t h e p r o s p e c t i v e t e a c h e r s i d e a s a b o u t t e a c h i n g a n d l e a r n i n g , a s w e l l a s a b o u t s t u d e n t s , i n t h i s s e c t i o n I f o c u s o n m y a n a l y s i s o f t h e i r u n d e r s t a n d i n g o f t h e c o n t e n t : s l o p e a n d g r a p h i n g . 1 4 8 W m T h e r e w a s l i t t l e v a r i a t i o n i n r e s p o n s e a m o n g t h e t e n p r o s p e c t i v e s e c o n d a r y t e a c h e r s w h o m I i n t e r v i e w e d . T h e y t a l k e d a b o u t t h e i d e a o f s l o p e i n s i m i l a r w a y s : a s t h e s t e e p n e s s o f a l i n e o r a s t h e r e l a t i o n s h i p b e t w e e n x a n d y . “ R i s e o v e r r u n “ w a s w h a t t h e y r e m e m b e r e d , a n d t h e y c r i t i c i z e d t h e t e x t b o o k I s h o w e d t h e m b e c a u s e i t d i d n ' t m e n t i o n t h i s c o n c e p t u a l m n e m o n i c . S t i l l , m o s t o f t h e m t h o u g h t o f s l o p e p r i m a r i l y a s a 3 2 9 1 u s e d i n t h e t e c h n i q u e o f g r a p h i n g l i n e s . T h e t e a c h e r c a n d i d a t e s t h o u g h t t h a t t h e r e a s o n f o r s t u d e n t s t o l e a r n a b o u t s l o p e w a s t h a t i t c a n h e l p i n g r a p h i n g e q u a t i o n s q u i c k l y . F o r e x a m p l e , A n d y e x p l a i n e d : W e l l , f i r s t i f y o u g e t i t i n t o t h e f o r m y - m x + b y o u ' r e g o n n a f i n d t h e s l o p e . . . a n d o n c e y o u g e t i t i n t h a t f o r m , t h e n t h e s l o p e i s r i g h t t h e r e f o r y o u a n y w a y s o y o u d o n ' t h a v e t o d o a l l t h e p o i n t s o r p l o t a l l t h e p o i n t s . W h e n y o u g e t t h i s y - m x + b , m i s t h e s l o p e , g e t i t i n t h a t f o r m , w h a t e v e r t h e c o e f f i c i e n t i s i n f r o n t o f t h e x i s t h e s l o p e , s o I t h i n k t h a t ' s t h e m a i n t h i n g . W h i l e A n d y , a n d m a n y o f t h e o t h e r s , s a w s l o p e a s a t o o l t o u s e i n g r a p h i n g l i n e s f o r e q u a t i o n s , T i m w e n t e v e n f u r t h e r , d i s m i s s i n g s l o p e : Y o u d o n ' t e v e n n e e d s l o p e - - i f y o u c a n f i n d t h e x a n d t h e y , y o u ' r e g o i n g t o g r a p h i t r i g h t . I m e a n s l o p e i s , i f t h e y ' r e g o i n g t o b e a p h y s i c s m a j o r , I m e a n i t ' s j u s t a t h i n g t h a t ' s n i c e a n d e x t r a . T i m ' s c o m m e n t s u g g e s t e d t h a t , f o r h i m , t h e m a i n t h i n g w a s t o b e a b l e t o g r a p h l i n e s a n d s l o p e w a s n o t r e a l l y n e c e s s a r y f o r t h a t . T h e p r o s p e c t i v e t e a c h e r s e m p h a s i z e d t h e v a l u e o f t h e s l o p e - i n t e r c e p t ( y - m m + b ) e q u a t i o n f o r m b e c a u s e i t w a s e a s i e r t o u s e f o r g r a p h i n g . C i n d y o b s e r v e d t h a t t h e s l o p e - i n t e r c e p t f o r m w a s r e a l l y t h e o n l y f o r m n e e d e d : I w o u l d w a n t t o s h o w t h e m h o w t o g o a b o u t g r a p h i n g a l i n e , h o w t o t a k e w h e n y o u a r e g i v e n t h e s l o p e a n d t h e y - i n t e r c e p t h o w t o . . . t h e y s h o w y o u h o w t o p u t t h a t i n t o t h e f o r m u l a f o r l i n e , a n d t h e n m o v e i t a r o u n d t o t h i s f o r m - - a x + b y - c , b u t I t h i n k I w o u l d t r y t o s h o w t h e m m o r e e x p l i c i t l y h o w y o u u s e t h e s l o p e i n 1 4 9 t h e y - i n t e r c e p t t o f i n d t h e g r a p h o f y o u r l i n e a n d f i n d t w o p o i n t s o n t h e l i n e s o t h a t y o u c a n d r a w a l i n e . . . I d o n ' t k n o w i f I w o u l d e v e r s h o w t h e m , o r h o w i m p o r t a n t i t r e a l l y i s t o s h o w t h e e x + b y - c f o r m o f a l i n e . Y o u k n o w , b e c a u s e t o m e , y o u d o n ' t r e a l l y e v e r u s e t h a t w h e n y o u a r e u s i n g a n y t h i n g t h a t h a s t o d o w i t h s l o p e o r g r a p h i n g t h a t I c a n r e m e m b e r . T h e r e m a y b e s o m e w a y s t h a t w h e n y o u u s e t h a t f o r m o f i t , t h a t ' s j u s t k i n d o f t h e f o r m a l f o r m , I t h i n k . B e c a u s e s h e t h o u g h t o f g r a p h i n g a s a t e c h n i q u e , C i n d y s a w l i t t l e r e a s o n t o t e a c h s t u d e n t s a n e q u a t i o n f o r m t h a t w a s n o t e a s i l y g r a p h e d w i t h o u t t r a n s f o r m a t i o n . F o r t h e s e t e a c h e r c a n d i d a t e s , t h e r e a s o n t o l e a r n a b o u t s l o p e w a s t o b e a b l e t o g r a p h l i n e s . Y e t t h e y a l s o w a n t e d , a s t e a c h e r s , t o b e a b l e t o g i v e t h e i r s t u d e n t s “ c o n c r e t e “ o r " r e a l - w o r l d ” e x a m p l e s o f t h e c o n t e n t . A l m o s t a l l o f t h e m e x p r e s s e d t h e d e s i r e t o c o n n e c t t h e c o n t e n t t o “ r e a l l i f e . “ T h e y s t r u g g l e d t o f i n d “ s t o r y p r o b l e m s “ o r o t h e r i l l u s t r a t i o n s o f t h e c o n c e p t ' s u s e f u l n e s s . T h e s e a p p l i c a t i o n s w e r e n o t r e a d i l y a c c e s s i b l e , f o r t h e p r o s p e c t i v e t e a c h e r s ' u n d e r s t a n d i n g s e e m e d l a r g e l y c o n f i n e d t o t h e x y - c o o r d i n a t e p l a n e a n d w a s f o c u s e d o n t h e t e c h n i q u e s o f “ p l u g g i n g i n v a l u e s “ a n d g r a p h i n g l i n e s . O n e t e a c h e r c a n d i d a t e , a f t e r u n s u c c e s s f u l l y s e a r c h i n g f o r a p p l i c a t i o n s o r i l l u s t r a t i o n s , c o m m e n t e d , ' I w a s t r y i n g t o t h i n k u p s o m e e x a m p l e s o f . . . w h e r e y o u w o u l d u s e s l o p e a n d I c o u l d n ' t t h i n k o f a n y r i g h t a w a y . “ A n d a n o t h e r s a i d , " G o d , I ' d w a n t s o m e c o n c r e t e e x a m p l e s o f h o w t h i s a p p l i e s t o r e a l - l i f e s i t u a t i o n s . . . [ t o h a v e ] s o m e b a s i s i n r e a l i t y . . . s o i t w o u l d b e a l i t t l e m o r e v a l u a b l e . . . I c a n ' t t h i n k o f a n y a t t h e m o m e n t . " S e v e r a l t e a c h e r c a n d i d a t e s m e n t i o n e d s k i s l o p e s a s a p o s s i b l e i l l u s t r a t i o n o f t h e c o n c e p t ' s v a l u e . A n n e ' s w a s t y p i c a l : M a y b e l i k e s k i i n g , y o u k n o w , y o u ' r e a b e g i n n e r a n d y o u d o n ' t w a n t t o g o d o w n t h i s h i l l b e c a u s e t h i s i s t h e s l o p e o f t h i s h i l l , y o u 1 5 0 k n o w . . . Y o u m i g h t w a n t t o t r y t h e b u n n y h i l l w h e r e t h e s l o p e i s , u h , w h a t e v e r . A l t h o u g h t h i s e x a m p l e i l l u s t r a t e d t h e c o r r e s p o n d e n c e b e t w e e n s l o p e a n d s t e e p n e s s - - i . e . , t h e b u n n y h i l l w o u l d h a v e a s m a l l e r s l o p e s i n c e i t w a s l e s s s t e e p - ~ i t w a s n o t a n i l l u s t r a t i o n o f t h e v a l u e o f t h e c o n c e p t , n o r a r e a l w o r l d a p p l i c a t i o n o f t h e m a t h e m a t i c a l c o n t e n t a t h a n d . P e o p l e d o n o t c a l c u l a t e t h e s l o p e o f d i f f e r e n t s k i s l o p e s i n o r d e r t o d e c i d e w h e t h e r o r n o t t o s k i t h e m . A n o t h e r t e a c h e r c a n d i d a t e , B a r b , a l s o g a v e a r e a l w o r l d s i t u a t i o n u s i n g s k i s l o p e s : I f y o u ' r e t r u d g i n g u p t h i s h u g e m o u n t a i n a n d y o u h a v e s o m a n y f e e t t o g o a n d y o u k n o w i t ' s t h i s m u c h f a r t h e r a n d t h a t m u c h h i g h e r a n d h o w m u c h w i l l y o u h a v e t o t r u d g e . . . t o g e t u p t o t h e t o p . B a r b f e l t t h a t h e r e x a m p l e w o u l d m a k e s t u d e n t s s e e t h a t s l o p e “ d o e s h a v e s o m e i m p o r t a n c e . “ S h e d i d n o t s e e m t o r e c o g n i z e , h o w e v e r , t h a t t h e s t o r y d i d n o t i l l u s t r a t e t h e c o n c e p t o f s l o p e . A s k i n g ” h o w m u c h w i l l y o u h a v e t o t r u d g e t o g e t t o t h e t o p " i s n o t a q u e s t i o n a b o u t t h e p a t h ' s n i n n g o r s t e e p n e s s , b u t r a t h e r a b o u t i t s i n n g g h , o r d i s t a n c e . O n e t e a c h e r c a n d i d a t e , J o n , w e n t b e y o n d t h e o t h e r s i n h i s s e a r c h t o i d e n t i f y i l l u s t r a t i o n s o f t h e c o n c e p t ' s u s e f u l n e s s . L i k e t h e o t h e r t e a c h e r c a n d i d a t e s , h e u s e d h i l l s a n d s l e d s t o d i s c u s s t h e i d e a o f s l o p e a s a m e a s u r e o f s t e e p n e s s o f a l i n e . H o w e v e r , h e s a i d , h e w o u l d w a n t h i s s t u d e n t s t o r e a l i z e t h a t “ s l o p e s d o n ' t h a v e t o j u s t b e , y o u k n o w , s l e d s a n d h i l l s . “ H e g a v e t h e f o l l o w i n g e x a m p l e : I f I h a v e a n e x p e r i m e n t t h a t I ' m d o i n g i n c l a s s a n d t h a t I w a n t t o f i n d o u t h o w m u c h m o n e y e v e r y k i d m a k e s w h e n h e ' s 2 5 , h e r e ' s , l i k e i n d o l l a r s , a n d I w a n t t o s e e h o w t h a t r e l a t e s t o h o w m u c h m o n e y t h e i r f a t h e r ' s m a k i n g . S a y , h e r e ' s , h e r e ' s e v e r y b o d y t h a t h a s f a t h e r s t h a t m a k e l e s s t h a n $ 1 0 , 0 0 0 a n d h e r e ' s e v e r y b o d y t h a t h a s f a t h e r s t h a t m a k e s b e t w e e n $ 1 0 , 0 0 0 a n d $ 2 0 , 0 0 0 , $ 2 0 , 0 0 0 a n d $ 3 0 , 0 0 0 . A n d t h e n I ' d s a y , " W e l l n o w , l e t ' s s e e , n o w i f I d i d t h i s , t h i s , u m , s u r v e y a n d I f o u n d o u t t h a t m o s t o f t h e k i d s , w h o s e p a r e n t s m a d e l e s s t h a n $ 1 0 , 0 0 0 , e n d e d u p m a k i n g b e t w e e n $ 1 0 , 0 0 0 a n d $ 1 5 , 0 0 0 , t h a t t h e a v e r a g e o f t h e k i d s w h o s e p a r e n t s m a d e l e s s t h a n $ 2 0 , 0 0 0 w a s a b o u t $ 2 0 , 0 0 0 , a n d t h e a v e r a g e o f k i d s 1 5 1 w h o s e p a r e n t s m a d e $ 3 0 , 0 0 0 w a s a b o u t $ 4 0 , 0 0 0 , “ a n d I ' d s a y , " N o w , n o w i f I h a d t o , k i n d o f , d r a w a l i n e s o m e w h e r e a r o u n d t h r o u g h h e r e , I ' d s e e t h a t , t h a t t h e a m o u n t o f m o n e y t h a t k i d s m a d e i s p r e t t y s t r o n g l y t i e d t o t h e a m o u n t o f m o n e y t h e p a r e n t s m a d e . " J o n ' s e x a m p l e w a s t h e o n l y o n e t h a t s h o w e d a g e n u i n e a p p l i c a t i o n o f g r a p h i n g . H e i l l u s t r a t e d t h a t g r a p h s c a n b e u s e d t o r e p r e s e n t a n d e x a m i n e t h e r e l a t i o n s h i p b e t w e e n t w o v a r i a b l e s - - i n t h i s c a s e , t h e r e l a t i o n s h i p b e t w e e n p e o p l e ' s i n c o m e a n d t h e i r f a t h e r ' s i n c o m e . H e s a i d h e t h o u g h t i t w o u l d m a k e s l o p e " m o r e i n t e r e s t i n g t o t h e k i d s ” a n d h e l p t h e m “ s e e t h a t i t a c t u a l l y a p p l i e s t o d i f f e r e n t t h i n g s b e s i d e s p e o p l e o n s l e d s o r C a r t e s i a n c o o r d i n a t e s . ” A l t h o u g h J o n r e a c h e d b e y o n d g r a p h i n g e q u a t i o n s i n a l g e b r a a n d b e y o n d s k i s l o p e s , h i s e x p l a n a t i o n s h o w e d t h a t h e w a s c o n f u s i n g t h e c o n c e p t s o f n n i i b i n g i n n a n d 5 1 9 2 ; . I n d e s c r i b i n g h o w h e w o u l d a n a l y z e t h e p l o t t e d d a t a ( i n c o m e o f p a r e n t a n d c h i l d ) , h e s a i d : N o w i f I h a d t o , k i n d o f , d r a w a l i n e s o m e w h e r e a r o u n d t h r o u g h h e r e , I ' d s e e t h a t , t h a t t h e a m o u n t o f m o n e y t h a t k i d s m a d e i s p r e t t y s t r o n g l y t i e d t o t h e a m o u n t o f m o n e y t h e p a r e n t s m a d e . T h e s l o p e i s , i s p r e t t y s t r o n g , i t ' s p r e t t y s t e e p , i t ' s , y o u k n o w , i t ' s a , i t ' s a g o o d s i z e d n u m b e r . J o n w a s r i g h t i n t h i n k i n g t h a t t h e s t r o n g e r t h e r e l a t i o n s h i p b e t w e e n t w o v a r i a b l e s , t h e g r e a t e r t h e c o r r e l a t i o n . H o w e v e r , t h e n u m e r i c r a n g e f o r e x p r e s s i n g c o r r e l a t i o n s v a r i e s f r o m - 1 t o l , w i t h t h e s t r o n g e s t c o r r e l a t i o n s b e i n g - 1 ( t o e x p r e s s a s t r o n g n g g n b i y b r e l a t i o n s h i p ) a n d l ( t o e x p r e s s a s t r o n g n g g i b i y g r e l a t i o n s h i p ) . T h u s , a ” g o o d - s i z e d n u m b e r ” d o e s n o t n e c e s s a r i l y r e p r e s e n t a s t r o n g r e l a t i o n s h i p - - f o r i n s t a n c e , a c o r r e l a t i o n o f . 2 r e p r e s e n t s a w e a k e r r e l a t i o n s h i p t h a n - 0 . 9 , e v e n t h o u g h t h e n n n b g ; . 2 i s g r e a t e r t h a n t h e n n m b g ; - 0 . 9 . F u r t h e r m o r e , t h e v a l u e o f t h e s l o p e o f a l i n e d o e s n o t e x p r e s s t h e s t r e n g t h o f t h e r e l a t i o n s h i p b e t w e e n t w o v a r i a b l e s . A n y t w o v a r i a b l e s t h a t , w h e n p l o t t e d a g a i n s t e a c h o t h e r , a c t u a l l y f o r m a 1 5 2 l i n e w o u l d b e i n f a c t p e r f e c t l y c o r r e l a t e d - - i . e . , - l o r 1 . B u t t h e g i n n g o f t h e r e s u l t i n g l i n e c o u l d b e a n y v a l u e - - S / 3 o r ~ 1 k o r 4 4 . S l o p e a n d c o r r e l a t i o n a r e n o t t h e s a m e t h i n g . T h e t e a c h e r c a n d i d a t e s ' u n d e r s t a n d i n g o f s l o p e a n d g r a p h i n g s e e m e d c e n t e r e d o n t h e r o l e o f t h e s e a s t o o l s i n a l g e b r a . A l t h o u g h t h e y w a n t e d , i n p r i n c i p l e , t o c o n n e c t m a t h e m a t i c s t o t h e ' r e a l ' w o r l d , t h e i r u n d e r s t a n d i n g o f t h i s p a r t i c u l a r c o n t e n t d i d n o t p r e p a r e t h e m t o d o s o . T h e y c o u l d n ' t l o c a t e e x a m p l e s o f i t s a p p l i c a t i o n o r u s e f u l n e s s ; t h e y w e r e a t a l o s s f o r a w a y t o s h o w i t s v a l u e b e y o n d t h e f u r t h e r s t u d y o f m a t h e m a t i c s . A s o n e p r o s p e c t i v e t e a c h e r c o m m e n t e d , “ I t ' s h a r d i n h i g h s c h o o l b e c a u s e a l o t o f m a t h b u i l d s u p t o h i g h e r m a t h w h i c h i s u s e d i n t h i n g s t h a t a r e b e y o n d t h e k i d s a n d t h a t t h e y d o n ' t - - c a n ' t r e l a t e t o . I O n e o f t h e q u e s t i o n s I a s k e d h e l p e d m e l e a r n h o w t h e t e a c h e r c a n d i d a t e s ' u n d e r s t a n d i n g o f s l o p e c o n n e c t e d t o ” h i g h e r m a t h ' - - i . e . , t h e d e r i v a t i v e i n c a l c u l u s . I p o s e d t h e f o l l o w i n g q u e s t i o n : S u p p o s e a p u p i l s a y s t o y o u , ' Y b u s a i d w e c a n t h i n k o f s l o p e k i n d o f l i k e s t e e p n e s s . S o I w a s t h i n k i n g a b o u t c l i m b i n g u p a s t e e p h i l l o r s o m e t h i n g . B u t h o w d o y o u t e l l t h e s l o p e o f a c u r v y l i n e l i k e a h i l l ? “ W h a t d o y o u t h i n k y o u ' d s a y ( o r d o ) ? W h y w o u l d y o u s a y ( o r d o ) t h a t ? I w a n t e d t o e x p l o r e w h e t h e r t h e t e a c h e r c a n d i d a t e s w o u l d m a k e a c o n n e c t i o n b e t w e e n t h e s l o p e o f s t r a i g h t l i n e s a n d t h e “ s l o p e " o f c u r v e s . O n e w a y t o m a k e t h i s c o n n e c t i o n i s t o n o t e t h a t t h e s l o p e o f a c u r v e d l i n e i s d i f f e r e n t a t d i f f e r e n t p o i n t s , a n d t h a t o n e m i g h t a p p r o x i m a t e t h e s l o p e a t d i f f e r e n t p o i n t s b y i d e n t i f y i n g t h e s l o p e o f t h e t a n g e n t a t t h a t p o i n t . ( S e e F i g u r e 3 . 1 1 ) . 1 5 3 F i g u r e 3 . 1 1 D r a w i n g s u c c e s s i v e t a n g e n t s t o a c u r v e t o a p p r o x i m a t e t h e " s l o p e ” o f t h e c u r v e 1 5 4 H a l f o f t h e 1 0 s e c o n d a r y t e a c h e r c a n d i d a t e s s a i d t h e y w o u l d e x p l a i n t h i s i n t e r m s o f t a n g e n t l i n e s . A n d y ' s e x p l a n a t i o n w a s t y p i c a l : W e l l , y o u c o u l d j u s t r e a l q u i c k l y , m a y b e , d r a w a p i c t u r e o f a , s a y a p a r a b o l a o r s o m e t h i n g l i k e t h a t . A n d y o u c a n ' t n e c e s s a r i l y t a k e t h e s l o p e b u t y o u c a n t a k e t h e s l o p e a t e a c h p o i n t a l o n g t h e p a r a b o l a a n d j u s t , y o u k n o w , j u s t r e a l q u i c k , g o e s s a y l i k e t h a t . ‘ C a u s e s a y i f I w a n t e d t h e s l o p e a t t h i s p o i n t , I ' d t a k e t h e l i n e t h a t ' s t a n g e n t t o t h e c i r c l e a n d t a k e t h e . . . t a n g e n t t o t h e c u r v e a n d t a k e t h e s l o p e o f t h a t . S o t h e s l o p e ' s g o n n a b e d i f f e r e n t a t e v e r y p o i n t a r o u n d t h e c u r v e . A n d , a n d t h a t ' s t h e s a m e w a y f o r e v e r y t h i n g . Y o u k n o w y o u t a k e t h e s l o p e o f t h i s a n d t h e s l o p e i s g o n n a b e t a n g e n t t o t h e c u r v e . S o t h e s l o p e t h e r e i s w h a t e v e r t h e r i s e o v e r r u n i s a t t h a t , o n t h a t p o i n t t h e r e . A l l t h e p r o s p e c t i v e t e a c h e r s w h o g a v e t h i s k i n d o f r e s p o n s e s a i d t h e y w o u l d s h o w h o w t h e s l o p e s o f a s u c c e s s i o n o f t a n g e n t l i n e s w e r e p a r t o f a p r o c e s s o f a p p r o x i m a t i n g t h e s l o p e o f a c u r v e , w h i c h i s d i f f e r e n t a t d i f f e r e n t p o i n t s . S e v e r a l o f t h e m s a i d t h e y w o u l d t e l l s t u d e n t s t h a t t h e y w o u l d b e l e a r n i n g a b o u t t h i s “ l a t e r o n " i n c a l c u l u s a n d t h a t i t w a s c a l l e d t h e d e r i v a t i v e . T w o t e a c h e r c a n d i d a t e s c o n n e c t e d t h e s t u d e n t ' s q u e s t i o n t o " h i g h e r ” m a t h e m a t i c s , b u t s a i d t h e y w o u l d n ' t g o i n t o i t a t a l l w i t h t h e s t u d e n t . T i m s a i d h e w o u l d j u s t t e l l t h e s t u d e n t ” y o u ' l l f i n d o u t l a t e r ' - - t h a t ” t h a t ' s c a l c u l u s , i t h a s t o d o w i t h a d e r i v a t i v e . . . b u t t h e f o r m u l a w e h a v e r i g h t h e r e a n d r i g h t n o w w e c a n ' t a p p l y t o a s i n e w a v e o r a n y c u r v e . " A n n e s a i d s h e w o u l d b e " t e m p t e d “ t o s h o w t h e s t u d e n t b u t t h a t i t w o u l d b e ' a w a s t e o f t i m e ” t o g o i n t o i t . I n s t e a d s h e w o u l d t e l l t h e s t u d e n t t h a t “ w h e n y o u t a k e g e o m e t r y y o u w i l l l e a r n t h a t . ” A n n e s e e m e d v a g u e a b o u t w h a t s h e w a s t h i n k i n g a b o u t s h o w i n g o r w h a t t h e s t u d e n t w o u l d l e a r n i n g e o m e t r y t h a t r e l a t e d t o t h i s q u e s t i o n . 1 5 5 F i n a l l y , t w o p r o s p e c t i v e t e a c h e r s s a i d t h e y w o u l d m a k e c l e a r t h a t s l o p e d i d n ' t a p p l y t o c u r v e s . C i n d y e x p l a i n e d : I ' d s t r e s s t h e p o i n t t h a t a c u r v e a n d a l i n e a r e n o t t h e s a m e t h i n g . W h e n y o u a r e d e a l i n g w i t h s l o p e , y o u a r e d e a l i n g w i t h t h i n g s t h a t a r e s t r a i g h t l i n e s a n d t h a t t h e y d o n ' t f o l l o w a c u r v e . M a y b e I w o u l d g i v e a n e x a m p l e o f o h , s o m e t h i n g t h a t h a d a c u r v e , l i k e t h e A s t r o d o m e , t h e t o p o f t h a t w a s c u r v e d , y o u k n o w , b u t t h e s i d e o f a t e n t . T h a t w o u l d . b e a g o o d e x a m p l e , t w o t e n t s . S o m e t e n t s t h a t y o u s e e n o w h a v e c u r v e d t o p s a n d t h o s e w o u l d n ' t h a v e s l o p e , b u t s o m e h a v e s t r a i g h t t o p s a n d a r e p o i n t e d , a n d t h o s e w o u l d h a v e s l o p e . A n d M a r k s a i d h e w o u l d w a n t t o m a k e s u r e t h e s t u d e n t s u n d e r s t o o d t h a t o n l y ” e q u a t i o n s o r l i n e s h a v e a c o n s t a n t s l o p e a l l t h e w a y t h r o u g h . “ O f c o u r s e , b o t h C i n d y a n d M a r k w e r e r i g h t - - c u r v e s d o n o t h a v e s l o p e s i n t h e s a m e s e n s e a s s t r a i g h t l i n e s s i n c e t h e r a t i o b e t w e e n t h e r i s e a n d r u n o f t h e c u r v e v a r i e s . S t i l l , n e i t h e r o f t h e m w e n t b e y o n d t h i s t o m a k e t h e c o n n e c t i o n t o t h e d e r i v a t i v e a s a m e a n s o f g a u g i n g t h e v a r i a b l e " s l o p e ” o f a c u r v e . I t m a y b e t h a t t h i s w a s a s i m p l e o v e r s i g h t . B u t i t m a y a l s o b e t h a t , a s I f o u n d w i t h o t h e r c o n c e p t s , t h e s e t e a c h e r c a n d i d a t e s ' u n d e r s t a n d i n g o f s l o p e w a s d i s c o n n e c t e d f r o m t h e i r u n d e r s t a n d i n g o f t h e d e r i v a t i v e : t w o m o r e f r a g m e n t s o f m a t h e m a t i c a l k n o w l e d g e . A l t h o u g h t h e s e c o n d a r y t e a c h e r c a n d i d a t e s w h o m I i n t e r v i e w e d d i d s e e m c o m f o r t a b l e w i t h ” r i s e o v e r r u n “ a n d w i t h g r a p h i n g e q u a t i o n s , t h e i r u n d e r s t a n d i n g s e e m e d l i m i t e d t o t h e u s e o f t h e s e a s t o o l s i n a l g e b r a . W h e n a s k e d h o w t h e y w o u l d r e s p o n d t o a p u p i l w h o c o m p l a i n e d , ” W h y d o w e h a v e t o l e a r n t h i s b o r i n g s t u f f ? " t h e y s a i d t h e y w o u l d t e l l t h e p u p i l t h a t i t w a s r e q u i r e d , n e c e s s a r y i n o r d e r t o g o o n i n m a t h . ” I t p r o b a b l y i s n ' t t h e m o s t i n t e r e s t i n g t h i n g y o u ' l l d o i n y o u r l i f e , b u t t h i s i s w h a t w e ' v e g o t t o d o r i g h t n o w . “ T h e t e a c h e r c a n d i d a t e s 1 5 6 d i d w i s h t h e y h a d s o m e t h i n g e l s e t o s a y b e s i d e s " c a u s e y o u h a v e t o l e a r n i t . “ A l t h o u g h d i s s a t i s f i e d w i t h t h i s r e s p o n s e , h o w e v e r , t h e y k n e w n o o t h e r . A s a g r o u p , t h e p r o s p e c t i v e s e c o n d a r y t e a c h e r s s e e m e d t o r e m e m b e r t h e r e l e v a n t i n f o r m a t i o n a b o u t s l o p e a n d g r a p h i n g , b u t h a d f e w c o n n e c t i o n s o r a p p l i c a t i o n s o f t h i s c o n t e n t r e a d i l y a v a i l a b l e . F o r t h e m , l e a r n i n g o n e b i t o f m a t h e m a t i c s h a d s e r v e d p r i m a r i l y a s p r e p a r a t i o n f o r l e a r n i n g t h e n e x t b i t . M y e x p l o r a t i o n a n d a n a l y s i s o f t h e s e p r o s p e c t i v e t e a c h e r s ' s u b s t a n t i v e k n o w l e d g e o f m a t h e m a t i c s r a i s e s s o m e s e r i o u s q u e s t i o n s a b o u t s u b j e c t m a t t e r p r e p a r a t i o n f o r m a t h e m a t i c s t e a c h i n g , q u e s t i o n s t o w h i c h I r e t u r n i n c h a p t e r 7 . H o w e v e r , b e f o r e l e a v i n g t h i s c h a p t e r , I w a n t t o p o i n t o u t a n d c h a l l e n g e t h r e e a l l - t o o - c o m m o n a s s u m p t i o n s t h a t u n d e r l i e c o n v e n t i o n a l a r r a n g e m e n t s f o r t e a c h e r e d u c a t i o n a s w e l l a s , p a r a d o x i c a l l y , c u r r e n t p r o p o s a l s t o r e f o r m t e a c h e r e d u c a t i o n a n d c e r t i f i c a t i o n . \ i L fi i m l e \ \ \ T h i s f i r s t a s s u m p t i o n u n d e r l i e s t h e f o l l o w i n g t h r e e a n d i s b a s e d o n t h e n o t i o n t h a t t o p i c s s u c h a s p l a c e v a l u e , d i v i s i o n , a n d s l o p e , n o t t o m e n t i o n a d d i t i o n , d e c i m a l s , g r a p h i n g , a n d f a c t o r i n g , a r e n o t t h a t c o m p l i c a t e d . I m p l i c i t l y , t h e m e s s a g e i s : I f y o u c a n " d 2 " t h e m c o r r e c t l y , t h e n y o u c a n t e a c h t h e s e t o p i c s . Q u a l i t i e s o f e x p l i c i t n e s s a n d c o n n e c t e d n e s s a r e n o t u s u a l l y c o n s i d e r e d a s c r i t e r i a f o r k n o w i n g . G i v e n t h i s a s s u m p t i o n , i t i s l o g i c a l f o r t e a c h e r e d u c a t o r s t o l e a v e 1 5 7 s u b j e c t m a t t e r p r e p a r a t i o n t o p r e c o l l e g e a n d c o l l e g e m a t h c l a s s e s a n d t o c o n c e n t r a t e o n t e a c h i n g m e t h o d s a n d k n o w l e d g e o f c h i l d r e n i n s t e a d ( B u c h m a n n , 1 9 8 2 ) . 1 7 T h e a s s u m p t i o n i s f o u n d e d , h o w e v e r , o n a n u n e x a m i n e d c o n c e p t i o n o f s u b j e c t m a t t e r k n o w l e d g e i n m a t h e m a t i c s , o n e t h a t i m p l i c i t l y a c c e p t s r e n d e r i n g a n d d o i n g a s t h e c r i t i c a l c o r r e l a t e s o f m a t h e m a t i c a l u n d e r s t a n d i n g . A s s u m i n g t h a t t h e c o n t e n t o f f i r s t g r a d e m a t h e m a t i c s i s s o m e t h i n g a n y a d u l t u n d e r s t a n d s i s t o d o o m s c h o o l m a t h e m a t i c s t o a c o n t i n u a t i o n o f t h e d u l l , r u l e - b a s e d c u r r i c u l u m t h a t i s s o w i d e l y c r i t i c i z e d . T h r o u g h o u t m y i n t e r v i e w s , m a n y c o l l e g e s t u d e n t s , i n c l u d i n g p e o p l e w h o w e r e m a j o r i n g i n m a t h e m a t i c s , h a d d i f f i c u l t y w o r k i n g b e l o w t h e s u r f a c e o f s o - c a l l e d “ s i m p l e “ m a t h e m a t i c s . A l t h o u g h t h e y c o u l d n g x i b n n t h e p r o c e d u r e s , t h e y s e e m e d t o l a c k e x p l i c i t c o n c e p t u a l u n d e r s t a n d i n g o f t h e c o n t e n t . T h e d i s c u s s i o n s o f p l a c e v a l u e , d i v i s i o n o f f r a c t i o n s , o f z e r o , a n d i n a l g e b r a - ~ a s w e l l a s o f t h e c o n c e p t o f s l o p e i n t h e c h a p t e r s h o w t h e i n s u f f i c i e n c y o f t h i s i m p l i c i t c o n c e p t i o n o f k n o w l e d g e b y i l l u s t r a t i n g w h a t D u c k w o r t h ( 1 9 8 7 ) r e f e r s t o a s t h e “ d e p t h s a n d p e r p l e x i t i e s o f e l e m e n t a r y ‘ a r i t h m e t i c . ‘ I n h e r w r i t i n g , a s w e l l a s i n L a m p e r t ' s ( 1 9 8 5 , 1 9 8 6 , i n p r e s s a ) , t h e " s i m p l e " c o n t e n t o f t h e s c h o o l c u r r i c u l u m i s O p e n e d u p a n d i t s m a t h e m a t i c a l c o m p l e x i t y r e v e a l e d . T e a c h e r e d u c a t o r s m a y c o n v i n c e p r o s p e c t i v e t e a c h e r s t h a t " t e a c h i n g f o r 1 7 M a n y m a t h e m a t i c s e d u c a t o r s d o i n c l u d e m a t h e m a t i c a l c o n t e n t i n t h e i r m e t h o d s c l a s s e s . B u t , i n t e r e s t e d i n p r e p a r i n g t e a c h e r s w h o c a n b r e a k o u t o f t h e c o n s e r v a t i v e p r a c t i c e o f m a t h t e a c h i n g , t h e s e i n s t r u c t o r s o f t e n c o n c e n t r a t e o n n o n t r a d i t i o n a l c o n t e n t a n d i n n o v a t i v e t e a c h i n g m a t e r i a l s a n d t o o l s . W h i l e t h e y r e c o g n i z e t h a t t h e i r s t u d e n t s w i l l t e a c h m u l t i p l i c a t i o n a s w e l l a s p r o b a b i l i t y , t h e y c h o o s e t o e m p h a s i z e t h e d i f f e r e n t i n s t e a d o f r e v i s i t i n g t h e f a m i l i a r , m o r e c o n v e n t i o n a l , c o n t e n t . 1 5 8 c o n c e p t u a l u n d e r s t a n d i n g “ s h o u l d b e t h e g o a l . H o w e v e r , w i t h o u t r e v i s i t i n g t h e “ s i m p l e " m a t h e m a t i c a l c o n t e n t t h e y w i l l t e a c h t o d e v e l o p t h e e x p l i c i t n e s s a n d c o n n e c t e d n e s s , n o t t o m e n t i o n c o r r e c t n e s s , o f t h e i r o w n u n d e r s t a n d i n g s o f t h e c o n t e n t , p r o s p e c t i v e t e a c h e r s m a y b e w h o l l y u n p r e p a r e d t o d o m o r e t h a n t e a c h ” i n v e r t a n d m u l t i p l y . " W W { Q “ . i f _ s ; ' 4 ‘ - ' ’ s . . ' 0 9 s . ; q 1 ' ‘ . Q L u : _ ' T h i s a s s u m p t i o n f l o w s l o g i c a l l y f r o m t h e f i r s t . W h a t e v e r t h e c o n t r i b u t i o n s o f u p p e r l e v e l m a t h e m a t i c s s t u d y t o t e a c h e r s ' d i s c i p l i n a r y k n o w l e d g e , t h e f a c t r e m a i n s t h a t a l a r g e p a r t o f w h a t t h e y i n n g b i s m a t e r i a l w h i c h t h e y s t u d i e d i n e l e m e n t a r y a n d s e c o n d a r y s c h o o l . T h e f a c t t h a t p r o s p e c t i v e t e a c h e r s s t u d y l i t t l e s c h o o l m a t h e m a t i c s c o n t e n t a s p a r t o f t h e i r f o r m a l p r e p a r a t i o n f o r t e a c h i n g i m p l i e s t h a t t h i s s e c o n d a s s u m p t i o n i s w i d e l y s h a r e d . M y s t u d y c a n s h e d s o m e l i g h t o n t h e v a l i d i t y o f t h i s a s s u m p t i o n . I n o r d e r t o r e s p o n d t o t h e i n t e r v i e w q u e s t i o n s a n d t a s k s , t h e t e a c h e r c a n d i d a t e s d r e w o n w h a t t h e y h a d l e a r n e d i n s c h o o l . E v e n t h e m a t h e m a t i c s m a j o r s , m o s t o f w h o m h a d t a k e n o v e r 7 c o l l e g e m a t h c o u r s e s , h a d t o t h i n k b a c k t o s e v e n t h g r a d e f o r t h e s u b j e c t m a t t e r e m b e d d e d i n t h e q u e s t i o n s . W h e n t h e y d i d t h i s , s e e k i n g p a r t i c u l a r m a t h e m a t i c a l c o n c e p t s , p r o c e d u r e s , o r e v e n t e r m s , t h e y t y p i c a l l y f o u n d l o o s e f r a g m e n t s - - r u 1 e s , t r i c k s , a n d d e f i n i t i o n s - - i n e x p l i c i t a n d u n c o n n e c t e d . M o s t d i d n o t f i n d m e a n i n g f u l u n d e r s t a n d i n g , n o r e v e n t h e s t u f f w i t h w h i c h t o f i g u r e o u t s u c h u n d e r s t a n d i n g s o n t h e s p o t . W h i l e t r o u b l i n g , i t i s a l s o u n s u r p r i s i n g g i v e n t h e w i d e s p r e a d c r i t i c i s m o f t h e a l g o r i t h m i c u n d e r s t a n d i n g f o s t e r e d i n m a n y m a t h 1 5 9 c l a s s r o o m s ( e . g . , D a v i s & H e r s h , 1 9 8 1 ; E r l w a n g e r , 1 9 7 5 ; G o o d l a d , 1 9 8 4 ; M a d s e n - N a s o n 6 L a n i e r . 1 9 8 7 ; W h e e l e r , 1 9 8 0 ) . M y f i n d i n g s s u g g e s t t h a t r e l y i n g o n w h a t p r o s p e c t i v e t e a c h e r s h a v e l e a r n e d i n t h e i r p r e c o l l e g e m a t h e m a t i c s c l a s s e s i s u n l i k e l y t o b e a d e q u a t e f o r t e a c h i n g m a t h e m a t i c a l c o n c e p t s a n d p r o c e d u r e s m e a n i n g f u l l y . A t t h e s a m e t i m e , t h e i m a g e o f m a t h e m a t i c s i m p l i c i t i n e v e n g o o d e l e m e n t a r y a n d s e c o n d a r y m a t h e m a t i c s c l a s s r o o m s ( S c h o e n f e l d , i n p r e s s a ) , a s w e l l a s i n o u r c u l t u r e , i s o n e o f a l i n e a r , r u l e a n d f a c t - f i l l e d b o d y o f k n o w l e d g e i n . w h i c h p e r s p e c t i v e , i n t e r p r e t a t i o n , a n d a r g u m e n t a r e i r r e l e v a n t . P r o s p e c t i v e t e a c h e r s a r e t h e r e f o r e u n l i k e l y t o a c q u i r e a n a p p r o p r i a t e v i e w o f t h e d i s c i p l i n e a s a r e s u l t o f t h e i r p r e c o l l e g e m a t h e m a t i c s e x p e r i e n c e . T h e v i e w t h e y d o h o l d i s l i k e l y t o s h a p e n o t o n l y t h e w a y i n w h i c h t h e y t e a c h m a t h e m a t i c s o n c e t h e y b e g i n t e a c h i n g , b u t a l s o t h e w a y i n w h i c h t h e y a p p r o a c h i g n : n i n g _ § n _ § n n g h m a t h e m a t i c s ( B a l l , 1 9 8 8 ) . W M i n i m u m W S o m e p e o p l e d o n o t m a k e t h e s e c o n d a s s u m p t i o n . I n f a c t , s o m e c o m p l e t e l y o v e r l o o k p r o s p e c t i v e t e a c h e r s ' p r e c o l l e g e m a t h e m a t i c s e x p e r i e n c e a n d a s s u m e i n s t e a d t h a t s u b j e c t m a t t e r p r e p a r a t i o n f o r t e a c h i n g o c c u r s a t t h e u n i v e r s i t y . O t h e r s w o u l d r e m e d y t h e s h o r t c o m i n g s o f p r e c o l l e g e m a t h e m a t i c s e d u c a t i o n t h r o u g h u n i v e r s i t y c o u r s e w o r k . M a n y r e c e n t p r o p o s a l s f o r r e f o r m i n g t e a c h e r e d u c a t i o n a n d c e r t i f i c a t i o n ( e . g . , H o l m e s G r o u p , 1 9 8 6 ; C a r n e g i e T a s k F o r c e , 1 9 8 6 ) r e c o m m e n d t h a t e l e m e n t a r y t e a c h e r s s p e c i a l i z e i n a n a c a d e m i c d i s c i p l i n e . O t h e r r e f o r m s p r o p o s e t o c e r t i f y c o l l e g e g r a d u a t e s w h o h a v e c o m p l e t e d a n a c a d e m i c m a j o r b u t h a v e h a d n o t e a c h e r e d u c a t i o n . 1 6 0 u n d e r l y i n g s u c h p r o p o s a l s i s t h e a s s u m p t i o n t h a t t h e s t u d y e n t a i l e d i n a c o l l e g e m a j o r c a n e q u i p t h e p r o s p e c t i v e t e a c h e r w i t h a d e e p a n d b r o a d u n d e r s t a n d i n g o f t h e s u b j e c t m a t t e r . I n m a t h e m a t i c s , h o w e v e r , I f o u n d n a r r o w e r d i f f e r e n c e s i n s u b s t a n t i v e u n d e r s t a n d i n g b e t w e e n t h e e l e m e n t a r y a n d t h e s e c o n d a r y t e a c h e r c a n d i d a t e s t h a n o n e m i g h t e x p e c t ( o r h o p e ) . A l t h o u g h t h e l a t t e r , b e c a u s e t h e y a r e m a t h m a j o r s , h a v e t a k e n m o r e m a t h e m a t i c s a n d d o k n o w m o r e “ s t u f f , “ t h i s d o e s n o t s e e m t o a f f o r d t h e m s u b s t a n t i a l a d v a n t a g e i n a r t i c u l a t i n g a n d c o n n e c t i n g u n d e r l y i n g c o n c e p t s , p r i n c i p l e s , a n d m e a n i n g s . S o m e p e o p l e p r o p o s e t h a t t h i s i s d u e l a r g e l y t o t h e p o o r a c a d e m i c c a l i b e r o f t e a c h e r e d u c a t i o n s t u d e n t s ( s e e L a n i e r . 1 9 8 6 , f o r a d i s c u s s i o n o f t h i s c o m m o n a s s e r t i o n ) . H o w e v e r , i n t e r v i e w s c o n d u c t e d b y r e s e a r c h e r s a t t h e N a t i o n a l C e n t e r f o r R e s e a r c h o n T e a c h e r E d u c a t i o n w i t h m a t h e m a t i c s m a j o r s w h o a r e n o t p l a n n i n g t o t e a c h d o n o t s u p p o r t t h i s s u g g e s t i o n . T h e s e m a t h m a j o r s , t o o , s t r u g g l e w i t h m a k i n g s e n s e o f d i v i s i o n w i t h f r a c t i o n s , c o n n e c t i n g m a t h e m a t i c s t o t h e r e a l w o r l d , a n d c o m i n g u p w i t h e x p l a n a t i o n s t h a t g o b e y o n d t h e r e s t a t e m e n t o f r u l e s . F u r t h e r m o r e , m o s t o f t h e s e c o n d a r y t e a c h e r c a n d i d a t e s i n t h i s s t u d y w e r e g o o d s t u d e n t s , w i t h i m p r e s s i v e c o l l e g e e n t r a n c e e x a m s c o r e s a n d h i g h g r a d e p o i n t a v e r a g e s i n t h e i r c o l l e g e m a t h c o u r s e s . A m o r e p l a u s i b l e e x p l a n a t i o n f o r t h e p r o b l e m s e x p e r i e n c e d b y t h e m a t h m a j o r s i s t h a t e v e n s u c c e s s f u l p a r t i c i p a t i o n i n t r a d i t i o n a l m a t h c l a s s e s d o e s n o t n e c e s s a r i l y d e v e l o p t h e k i n d s o f u n d e r s t a n d i n g n e e d e d t o t e a c h i f , a s i s o f t e n t h e c a s e , s u c c e s s i n t h e s e c l a s s e s d e r i v e s f r o m . m e m o r i z i n g f e r m u l a e a n d p e r f o r m i n g p r o c e d u r e s . M o r e o v e r , s t u d y i n g c a l c u l u s d o e s n o t u s u a l l y a f f o r d s t u d e n t s t h e o p p o r t u n i t y t o 1 6 1 r e v i s i t o r e x t e n d t h e i r u n d e r s t a n d i n g s o f a r i t h m e t i c , a l g e b r a , o r g e o m e t r y , t h e s u b j e c t s t h e y w i l l t e a c h . R e q u i r i n g t e a c h e r s t o m a j o r i n m a t h e m a t i c s , o r e v e n i n c r e a s i n g t h e m a t h e m a t i c s c o u r s e r e q u i r e m e n t s f o r p r o s p e c t i v e t e a c h e r s , b o t h c u r r e n t l y a d v o c a t e d , w i l l n o t n e c e s s a r i l y e n s u r e i n c r e a s e s i n t h e i r s u b s t a n t i v e u n d e r s t a n d i n g . * * * A n a l y z i n g p r o s p e c t i v e t e a c h e r s ' u n d e r s t a n d i n g o f s e v e r a l s p e c i f i c t o p i c s ( p l a c e v a l u e a n d n u m e r a t i o n , t h e p r o c e d u r e s o f m u l t i p l i c a t i o n a n d s u b t r a c t i o n w i t h r e g r o u p i n g , d i v i s i o n - - b y f r a c t i o n s , b y z e r o , a n d i n a l g e b r a i c e q u a t i o n s , a n d s l o p e a n d g r a p h i n g ) s h e d s l i g h t o n t e a c h e r c a n d i d a t e s ' k n o w l e d g e o f s o m e o f t h e s n b n g n n g g o f m a t h e m a t i c s . T h e a n a l y t i c c a t e g o r i e s o f c o r r e c t n e s s , e x p l i c i t n e s s , a n d c o n n e c t e d n e s s h e l p e d t o i l l u m i n a t e s o m e k e y q u a l i t a t i v e d i m e n s i o n s o f t h e i r u n d e r s t a n d i n g s . H o w e v e r , I w a s a l s o i n t e r e s t e d i n e x a m i n i n g w h a t t h e y u n d e r s t o o d n b n n ; m a t h e m a t i c s - - w h a t k i n d o f a s u b j e c t i t i s , w h a t i t ' s g o o d f o r , w h a t i t m e a n s t o “ k n o w ” s o m e t h i n g i n m a t h e m a t i c s , h o w k n o w l e d g e i s j u s t i f i e d , a n d w h a t “ d o i n g m a t h e m a t i c s " m e a n s . T h e n e x t c h a p t e r c o n t i n u e s t h e e x p l o r a t i o n o f p r o s p e c t i v e t e a c h e r s ' k n o w l e d g e o f m a t h e m a t i c s , f o c u s i n g o n t h e s e i s s u e s , a n a l y z i n g t h e t e a c h e r c a n d i d a t e s ' u n d e r s t a n d i n g o f t h e o r y a n d p r o o f , a n d t h e i r i d e a s a b o u t t h e n a t u r e o f t h e d i s c i p l i n e . C H A P T E R . 4 P R O S P E C T I V E T E A C H E R S ' U N D E R S T A N D I N G S A N D F E E L I N G S A B O U T M A T H E M A T I C S A S A . D I S C I P L I N E M a t h i s c o n c r e t e . I f I w e r e t e a c h i n g a e l e m e n t a r y m a t h c l a s s , t h e r e ' s n e v e r g o i n g t o b e a p r o b l e m t h a t d o e s n ' t h a v e a n a n s w e r . I t h a s t o b e a n . g x n n § a n s w e r . W h i c h w o u l d n ' t b e s o w i t h o t h e r s u b j e c t s , I s u p p o s e . ( P a m , e l e m e n t a r y t e a c h e r c a n d i d a t e ) M a t h i s s o a b s t r a c t , y o u c a n ' t e v e n . . . I n o t h e r s u b j e c t a r e a s , y o u c a n u s e p e r s o n a l o p i n i o n a n d p e r s o n a l i d e a s i n t o t h e s u b j e c t a n d m a k e i t m o r e i n t e r e s t i n g a n d m o r e u n d e r s t a n d a b l e . M a t h i s s o m e t h i n g t h a t y o u ' v e g o t t o a g g g n b i t t h e w a y i t i s a n d i t c a n b e 1 2 5 1 s c a r y s o m e t i m e s . ( M a r k , s e c o n d a r y t e a c h e r c a n d i d a t e ) P a m a n d M a r k , e a c h s e p a r a t e l y , w e r e t a l k i n g t o m e a b o u t t e a c h i n g . P a m w a s e x p l a i n i n g h e r i d e a s a b o u t s t u d e n t a s s e s s m e n t . S h e s a i d t h a t s h e w o u l d t e s t s t u d e n t s o n a r e g u l a r b a s i s t o s e e i f t h e y w e r e " g r a s p i n g " t h e m a t e r i a l . S h e w a s c o m f o r t e d b y t h e f a c t t h a t , s i n c e a n s w e r s i n m a t h e m a t i c s w e r e d e f i n i t e , i t w o u l d b e e a s y t o d e c i d e w h a t s t u d e n t s k n e w . M a r k w a s e x p l a i n i n g w h y l e a r n i n g m a t h e m a t i c s w a s s o d i f f i c u l t - ~ t h a t i t w a s m o n o t o n o u s a n d t h a t t h e r e w e r e s o m a n y t h i n g s t o a c c e p t a n d n o t q u e s t i o n . H e s a i d t h a t " i f t h e i n t e r e s t i s t h e r e , y o u c a n d o i t - - i f i t ' s n o t , t h e n y o u a r e g o i n g t o h a v e s t r u g g l e s w i t h i t . " P a m ' s a n d M a r k ' s r e m a r k s p o i n t u p s o m e w a y s i n w h i c h u n d e r s t a n d i n g s a n d f e e l i n g s a b o u t t h e n n b n z g o f m a t h e m a t i c a l k n o w l e d g e i n f l u e n c e p e d a g o g i c a l t h i n k i n g . P a m ' s c o n c e p t i o n o f m a t h e m a t i c s a s a d o m a i n o f c l e a r l y r i g h t a n d w r o n g a n s w e r s i s t h e b a s i s f o r h e r a s s u m p t i o n t h a t f i n d i n g o u t w h a t s t u d e n t s k n o w i s e a s y . M a r k ' s i m a g e o f m a t h e m a t i c s a s s c a r y , n o t a l w a y s r e a s o n a b l e , a n d t e d i o u s s h a p e s h i s n o t i o n t h a t l e a r n i n g m a t h e m a t i c s i s e s p e c i a l l y d i f f i c u l t f o r s o m e s t u d e n t s . T h r o u g h o u t m y i n t e r v i e w s w i t h t e a c h e r c a n d i d a t e s l i k e M a r k a n d P a m , t h e p r o s p e c t i v e t e a c h e r s ' i d e a s , e x p l a n a t i o n s , a n d 1 6 2 1 6 3 j u s t i f i c a t i o n s a b o u t t e a c h i n g a n d l e a r n i n g w e r e r o o t e d i n t h e i r a s s u m p t i o n s a b o u t t h e s u b j e c t m a t t e r . 1 I a r g u e d e a r l i e r t h a t u n d e r s t a n d i n g m a t h e m a t i c s i n v o l v e s a m e l a n g e o f k n o w l e d g e , b e l i e f s , a n d f e e l i n g s a b o u t t h e s u b j e c t . C h a p t e r 3 f o c u s e d o n p a r t o f t h e p r o s p e c t i v e t e a c h e r s ' k n o w l e d g e o f m a t h e m a t i c s - - w h a t t h e y k n e w a b o u t p a r t i c u l a r t o p i c s . I h a v e r e f e r r e d t o t h i s k i n d o f k n o w l e d g e a s s u b s t a n t i v e k n o w l e d g e . T h i s c h a p t e r f o c u s e s o n t w o o t h e r c r i t i c a l d i m e n s i o n s o f s u b j e c t m a t t e r k n o w l e d g e i n m a t h e m a t i c s : k n o w l e d g e n b g n ; m a t h e m a t i c s 2 a n d f e e l i n g s - ~ a b o u t t h e s u b j e c t a n d a b o u t s e l f i n r e l a t i o n t o t h e s u b j e c t . K n o w l e d g e a b o u t m a t h e m a t i c s i n c l u d e s u n d e r s t a n d i n g s a b o u t t h e n a t u r e o f k n o w l e d g e i n t h e d i s c i p l i n e - ~ w h e r e i t c o m e s f r o m , h o w i t c h a n g e s , a n d h o w t r u t h i s e s t a b l i s h e d . I t a l s o i n c l u d e s w h a t i t m e a n s t o “ k n o w ” a n d ” d o " m a t h e m a t i c s , t h e r e l a t i v e c e n t r a l i t y o f d i f f e r e n t i d e a s , a s w e l l a s w h a t i s a r b i t r a r y o r c o n v e n t i o n a l v e r s u s w h a t i s n e c e s s a r y o r l o g i c a l , a n d a s e n s e o f t h e p h i l o s o p h i c a l d e b a t e s w i t h i n t h e d i s c i p l i n e . W h i l e s t u d e n t s a r e r a r e l y t a u g h t e x p l i c i t l y a b o u t t h e e v o l u t i o n o f m a t h e m a t i c a l i d e a s o r w a y s o f t h i n k i n g , t e a c h e r s d o n e v e r t h e l e s s c o n v e y m a n y e x p l i c i t a n d i m p l i c i t m e s s a g e s a b o u t t h e n a t u r e o f t h e d i s c i p l i n e . I f t h e t e a c h e r ' s g u i d e i s t h e d i s p e n s a r y o f r i g h t a n s w e r s , f o r e x a m p l e , t h e n t h e b a s i s f o r e p i s t e m i c a u t h o r i t y i n m a t h e m a t i c s d o e s n o t r e s t w i t h i n t h e k n o w e r . T e a c h e r s a l s o 1 I r e t u r n t o “ p e d a g o g i c a l r e a s o n i n g " a n d t h e w a r r a n t s t h a t g o v e r n i t i n C h a p t e r 6 . 2 T h e s a m e c a v e a t s a b o u t ” k n o w l e d g e “ t h a t I d i s c u s s e d i n C h a p t e r 3 a p p l y e q u a l l y t o t h i s d i m e n s i o n o f u n d e r s t a n d i n g m a t h e m a t i c s . P e o p l e b e l i e v e t h i n g s a b o u t a n d h a v e c o n c e p t i o n s o f m a t h e m a t i c s t h a t a r e n o t v a l i d f r o m a d i s c i p l i n a r y p e r s p e c t i v e a n d m i g h t , t h e r e f o r e , n o t b e c o n s i d e r e d " k n o w l e d g e . " 1 6 4 c o m m u n i c a t e i d e a s a b o u t m a t h e m a t i c s i n t h e t a s k s t h e y g i v e s t u d e n t s , f r o m t h e k i n d s o f u n c e r t a i n t i e s t h a t e m e r g e i n t h e i r c l a s s e s a n d t h e w a y s i n w h i c h t h e y r e s p o n d t o t h o s e u n c e r t a i n t i e s , a s w e l l a s f r o m m e s s a g e s a b o u t w h y p u p i l s s h o u l d l e a r n p a r t i c u l a r b i t s o f c o n t e n t o r s t u d y m a t h e m a t i c s i n g e n e r a l . A s s u c h , t e a c h e r s ' i d e a s n b n n ; m a t h e m a t i c s a r e a s i g n i f i c a n t d i m e n s i o n o f t h e i r s u b j e c t m a t t e r k n o w l e d g e . F i n a l l y , k n o w i n g m a t h e m a t i c s i s a l s o c o l o r e d b y a f f e c t : H o w p e o p l e f e e l a b o u t m a t h e m a t i c s a n d a b o u t t h e m s e l v e s a s k n o w e r s o f m a t h e m a t i c s i n t e r a c t s w i t h t h e w a y s i n w h i c h t h e y t h i n k a n d w h a t t h e y u n d e r s t a n d a n d s h a p e s t h e i r p a r t i c i p a t i o n i n a n d e x p e r i e n c e o f m a t h e m a t i c s . T h e p r o s p e c t i v e t e a c h e r s v a r i e d i n h o w t h e y f e l t a b o u t m a t h e m a t i c s a n d a b o u t t h e m s e l v e s i n r e l a t i o n t o t h e s u b j e c t . T h e s e f e e l i n g s w e r e r e l a t e d t o d i f f e r e n c e s i n t h e t e a c h e r c a n d i d a t e s ' u n d e r s t a n d i n g s a n d w a y s o f t h i n k i n g a b o u t m a t h e m a t i c s . I r e t u r n t o t h i s l a t e r i n t h i s c h a p t e r , a n d t u r n n o w t o a n e x a m i n a t i o n o f t h e p r o s p e c t i v e t e a c h e r s ' i d e a s n b n n g m a t h e m a t i c s . W h i l e t h e r e a r e m a n y d i m e n s i o n s t o k n o w l e d g e n b n n ; m a t h e m a t i c s ( e . g . . k n o w i n g a b o u t t h e h i s t o r y o f m a t h e m a t i c s , u n d e r s t a n d i n g d i f f e r e n t p h i l o s o p h i c a l p e r s p e c t i v e s o n t h e n a t u r e o f m a t h e m a t i c a l k n o w l e d g e ) , I s e l e c t e d t h r e e a r e a s o f f o c u s : 1 . H o w d i d t h e t e a c h e r c a n d i d a t e s u n d e r s t a n d t h e s o u r c e s o f a n d j u s t i f i c a t i o n o f . m a t h e m a t i c a l k n o w l e d g e ? 2 . W h a t d i d t h e t e a c h e r c a n d i d a t e s t h i n k w a s e n t a i l e d i n ' d b i n g ' m a t h e m a t i c s ? 3 . W h a t d i d t h e t e a c h e r c a n d i d a t e s t h i n k w a s t h e p u r p o s e o f o r r e a s o n t o l e a r n m a t h e m a t i c s ? 1 6 5 I d e c i d e d t o f o c u s o n t h e s e t h r e e a s p e c t s b e c a u s e o f t h e i r s i g n i f i c a n c e f o r t h e t e a c h i n g o f m a t h e m a t i c s . E a c h s e c t i o n b e g i n s w i t h a n e x p l a n a t i o n o f t h e i s s u e f r o m a d i s c i p l i n a r y p e r s p e c t i v e a n d a j u s t i f i c a t i o n f o r i n c l u d i n g i t a s a n i m p o r t a n t c o m p o n e n t o f t e a c h e r s ' k n o w l e d g e a n d w a y s o f t h i n k i n g . N e x t I d i s c u s s w h a t t h e p r o s p e c t i v e t e a c h e r s k n o w a n d a s s u m e a b o u t m a t h e m a t i c s , a n d a p p r a i s e t h e i r i d e a s f r o m a p e r s p e c t i v e o f m a t h e m a t i c a l p e d a g o g y . m a m W a i s t W h e e l e d “ H o w d o e s o n e k n o w t h a t a p a r t i c u l a r i d e a i n m a t h e m a t i c s i s t r u e ? W h e n o n e h a s a s u d d e n i n k l i n g o f a p a t t e r n o r a r e l a t i o n s h i p , h o w c a n o n e d e c i d e i f i t h o l d s u p i n a l l c a s e s ? O n c e c o n v i n c e d o n e s e l f , h o w d o e s o n e p e r s u a d e o t h e r s o f o n e ' s i d e a ? A n s w e r s t o t h e s e q u e s t i o n s m a t t e r i m p l i c i t l y t o w o r k i n g m a t h e m a t i c i a n s a s t h e y l a b o r t o c o n s t r u c t a n d v a l i d a t e n e w t h e o r i e s . B u t t h e s e q u e s t i o n s a r e e x p l i c i t l y c r i t i c a l t o t e a c h i n g m a t h e m a t i c s . S t u d e n t s b r i n g u p n o v e l i d e a s a n d a s k u n u s u a l q u e s t i o n s . T h e y m a k e p r o p o s i t i o n s a n d a s s e r t i o n s . F o r e x a m p l e , a t h i r d g r a d e r m a y c l a i m t h a t , w h e n t h r o w i n g a p a i r o f d i c e , a l l o u t c o m e s f r o m 2 t o 1 2 a r e e q u a l l y p r o b a b l e . A s i x t h g r a d e r m a y i n v e n t a p r o c e d u r e f o r c a l c u l a t i n g t h e a r e a o f a t r i a n g l e . A h i g h s c h o o l s t u d e n t m i g h t p o s i t t h a t t h e d i f f e r e n c e s b e t w e e n e a c h p a i r o f s u c c e s s i v e s q u a r e s a r e c o n s e c u t i v e o d d n u m b e r s . W h e n t e a c h e r s a r e c o n f r o n t e d w i t h s t u d e n t c l a i m s l i k e t h e s e , h o w m i g h t t h e y r e s p o n d ? O n e p o s s i b i l i t y i s f o r t h e t e a c h e r t o m a i n t a i n c o n t r o l o f t h e d i r e c t i o n o f t h e c l a s s a n d t o g e n e r a l l y d i v e r t s t u d e n t s 1 6 6 f r o m p u r s u i n g i d e a s o u t s i d e t h e s c h e d u l e d c u r r i c u l u m . A s e c o n d p o s s i b i l i t y i s f o r t h e t e a c h e r t o b e p e r s o n a l l y r e s p o n s i b l e f o r e v a l u a t i n g t h e t r u t h o f t h e s t u d e n t ' s a s s e r t i o n . T h i s i m p l i e s t h a t t h e t e a c h e r m u s t k n o w o r b e a b l e t o d e t e r m i n e w h e t h e r w h a t t h e s t u d e n t i s c l a i m i n g i s v a l i d . A t h i r d a l t e r n a t i v e i s f o r t h e t e a c h e r t o e n g a g e t h e p u p i l i n p i n y i n g t h e t r u t h o f h i s o r h e r c l a i m . H o w a t e a c h e r r e s p o n d s t o t h e s e i s a l l p a r t o f t e a c h i n g m a t h e m a t i c s - - e v e n i f t h e s e s t u d e n t i n i t i a t i v e s a r e i g n o r e d . C o n c e r n s f o r " c o v e r i n g " t h e c u r r i c u l u m - ~ r e a l a n d p r e s s i n g c o n c e r n s f o r m o s t t e a c h e r s - - s u g g e s t t h a t o n e o f t h e f i r s t t w o a l t e r n a t i v e s i s m o s t d e s i r a b l e . W i t h e i t h e r o f t h e s e c o u r s e s o f a c t i o n , l i t t l e t i m e i s s p e n t " o f f - t r a c k . ” Y e t , t h i s d e p e n d s o n w h a t o n e c o n s i d e r s t h e I ' t r a c k " t o b e , f o r b o t h a l t e r n a t i v e s h a v e s i g n i f i c a n t c o s t s i n t e r m s o f w h a t s t u d e n t s l e a r n n b n n ; m a t h e m a t i c s . I f n o v e l i d e a s a r e n o t t a k e n u p i n m a t h e m a t i c s c l a s s e s , s t u d e n t s d o n o t l e a r n t h a t t h e p r o c e s s o f c o n j e c t u r e , r e a s o n , a n d p r o o f a r e c e n t r a l t o k n o w i n g a n d l e a r n i n g m a t h e m a t i c s . I f t h e t e a c h e r i s t h e s o u r c e o f v a l i d a t i o n a n d a n s w e r s , t h i s c o m m u n i c a t e s t o s t u d e n t s t h a t m a t h e m a t i c a l t r u t h i s s o m e t h i n g o n e b a g , n o t s o m e t h i n g o n e e s t a b l i s h e s w i t h k n o w l e d g e a n d r e a s o n . T h e a n s w e r s a r e i n b o o k s o r s t o r e d i n t h e h e a d s o f t h o s e w i t h m o r e e d u c a t i o n . E i t h e r o f t h e s e a l t e r n a t i v e s , w h i l e p e r h a p s e f f i c i e n t , m i s r e p r e s e n t s w h a t i t m e a n s t o l e a r n o r t o k n o w m a t h e m a t i c s , m a k i n g i t s e e m t h a t t h e t a s k i s t o a c q u i r e a n d s t o r e k n o w l e d g e i n o n e ' s h e a d . N e i t h e r d o t h e s e a p p r o a c h e s h e l p s t u d e n t s a c q u i r e t h e s k i l l s a n d u n d e r s t a n d i n g n e e d e d t o j u d g e t h e v a l i d i t y o f t h e i r o w n i d e a s a n d r e s u l t s - - t o b e “ i n d e p e n d e n t l e a r n e r s “ o r t o b e “ e m p o w e r e d , “ p a r t o f t h e r h e t o r i c o f e d u c a t i o n t o d a y . 1 6 7 T h e t h i r d a l t e r n a t i v e - - t h a t t e a c h e r s e n g a g e p u p i l s i n p i n y i n g t h e t r u t h o f t h e i r c l a i m s - - c o m m u n i c a t e s t o p u p i l s a v e r y d i f f e r e n t p i c t u r e o f w h a t ” d o i n g “ a n d k n o w i n g m a t h e m a t i c s e n t a i l s . M o r e o v e r , h e l p i n g s t u d e n t s d e v e l o p m a t h e m a t i c a l p o w e r i s a c e n t r a l g o a l o f m a t h e m a t i c s i n s t r u c t i o n i n t h i s a p p r o a c h . T e a c h e r s c a n h e l p s t u d e n t s u n d e r s t a n d t h a t t h e i d e a s t h e y h a v e , t h e f l a s h e s o f i n s i g h t , t h e t h i n g s t h e y n o t i c e f r o m e x p l o r i n g s p e c i f i c c a s e s , a r e n o t t r u e s t a t e m e n t s , b u t c o n j e c t u r e s , a n d t h a t c o n j e c t u r i n g i s a c r i t i c a l p a r t o f l e a r n i n g m a t h e m a t i c s . T e a c h e r s c a n h e l p s t u d e n t s a c q u i r e a r e p e r t o i r e o f s t r a t e g i e s f o r p u r s u i n g t h e i r c o n j e c t u r e s - - s u c h a s g e n e r a t i n g a l t e r n a t i v e r e p r e s e n t a t i o n s o f t h e i r i d e a s , s e a r c h i n g f o r c o u n t e r e x a m p l e s , b u i l d i n g a n a r g u m e n t f r o m t h i n g s t h e y a l r e a d y k n o w , a n d c o n s t r u c t i n g a n a r g u m e n t f r o m s p e c i f i c c a s e s . T e a c h e r s c a n a l s o e m p l o y t h e r e s o u r c e s o f a l l m e m b e r s o f t h e c l a s s a s a m a t h e m a t i c a l c o m m u n i t y b y , f o r i n s t a n c e , e x p e c t i n g p u p i l s t o c o n v i n c e o t h e r s o f t h e v a l i d i t y o f t h e i r c l a i m s . T i m e i s n o t i n f i n i t e i n c l a s s r o o m s , h o w e v e r . E v e r y c o n j e c t u r e a p u p i l r a i s e s m a y n o t b e e q u a l l y w o r t h p u r s u i n g . W h i l e t h i s i s a d e l i c a t e m a t t e r , g i v e n t h e g o a l o f h e l p i n g s t u d e n t s a c q u i r e p o w e r i n m a t h e m a t i c a l r e a s o n i n g , t e a c h e r s m u s t n e v e r t h e l e s s m a k e j u d g m e n t s a n d d e c i s i o n s . S o m e c o n j e c t u r e s t h a t s t u d e n t s m a k e a r e r e i n v e n t i o n s o f i d e a s t h a t o t h e r s h a v e a l r e a d y p r o p o s e d a n d p e r h a p s e s t a b l i s h e d - ~ h o w t o c a l c u l a t e t h e a r e a o f a t r i a n g l e , f o r e x a m p l e . O t h e r c o n j e c t u r e s h a v e a l r e a d y b e e n p r o v e n f a l s e - - t h a t t h e p r o b a b i l i t i e s o f a l l o u t c o m e s o n t h e d i c e a r e e q u a l . S t i l l o t h e r s m a y b e n o v e l . I n o t h e r w o r d s , a s f a r a s w e k n o w , t h e s e i d e a s h a v e n o t p r e v i o u s l y b e e n p r o p o s e d . C o n j e c t u r e s o f a l l t h r e e k i n d s m a y b e w o r t h s p e n d i n g t i m e o n , 1 6 8 d e p e n d i n g o n t h e p u p i l s a n d o n t h e c u r r i c u l u m . K n o w i n g a s m u c h a s p o s s i b l e a b o u t t h e c o n j e c t u r e s t h e i r p u p i l s r a i s e i s l i k e l y t o h e l p t e a c h e r s m a k e j u d g m e n t s a b o u t h o w t o h e l p p u p i l s p u r s u e t h e i r i d e a s a n d a b o u t w h i c h i d e a s a r e m o s t f r u i t f u l t o " m i l k . “ W M W e n M i t i g a t i o n T h e t e a c h e r c a n d i d a t e s s e e m e d q u i t e u n a t t u n e d t o i s s u e s o f t h e j u s t i f i c a t i o n o f m a t h e m a t i c a l k n o w l e d g e ; i t s i m p l y d i d n o t s e e m t o b e s o m e t h i n g t h e y t h o u g h t m u c h a b o u t . I n t h i s s e c t i o n , I p r e s e n t a s p e c i f i c c a s e o f t h e i r t h i n k i n g a b o u t t h e n a t u r e o f m a t h e m a t i c a l k n o w l e d g e t h a t h i g h l i g h t s t h i s i n a t t e n t i o n t o p r o o f ; I c o n t i n u e w i t h s o m e m o r e g e n e r a l d i s c u s s i o n o f t h e i r n o t i o n s a b o u t w h a t i t m e a n s t o k n o w s o m e t h i n g i n m a t h e m a t i c s . I n o r d e r t o e x p l o r e t h e p r o s p e c t i v e t e a c h e r s ' i d e a s a b o u t t h e o r y a n d a b o u t p r o o f - - o r a b o u t w h a t i t m e a n s t o k n n y s o m e t h i n g i n m a t h e m a t i c s i n a c o n c r e t e s i t u a t i o n - - I p r e s e n t e d t h e m w i t h t h e f o l l o w i n g s c e n a r i o : I m a g i n e t h a t o n e o f y o u r s t u d e n t s c o m e s t o c l a s s v e r y e x c i t e d . S h e t e l l s y o u t h a t s h e h a s f i g u r e d o u t a t h e o r y t h a t y o u n e v e r t o l d t h e c l a s s . S h e e x p l a i n s t h a t s h e h a s d i s c o v e r e d t h a t a s t h e p e r i m e t e r o f a c l o s e d f i g u r e i n c r e a s e s , t h e a r e a a l s o i n c r e a s e s . S h e s h o w s y o u t h i s p i c t u r e t o p r o v e t h a t w h a t s h e i s s a y i n g i s t r u e : ( S e e F i g u r e 4 . 1 ) n e w w o u l d y o u r e s p o n d t o t h i s s t u d e n t ? T h e r e a r e t w o d i m e n s i o n s t o t h i s q u e s t i o n . O n e d i m e n s i o n h a s t o d o w i t h t h e s p e c i f i c c o n c e p t s o f p e r i m e t e r a n d a r e a a n d t h e i r 1 6 9 a a 3 £ 3 1 } ? : q u a r é t i t . a 4 3 3 $ 3 1 2 2 3 3 : f t . 4 F i g u r e 4 . 1 T h e s t u d e n t ' s “ p r o o f “ o f h e r t h e o r y a b o u t p e r i m e t e r a n d a r e a 1 7 0 r e l a t i o n s h i p , t h e s u b s t a n c e o f t h e s t u d e n t ' s c l a i m . 3 T h e s e c o n d d i m e n s i o n o f t h i s q u e s t i o n h a s t o d o w i t h m a t h e m a t i c a l k n o w l e d g e a n d t h e j u s t i f i c a t i o n o f k n o w l e d g e - ~ ‘ t h e o r y ' a n d " p r o o f . “ T h e s t u d e n t c l a i m s t o h a v e “ d i s c o v e r e d a t h e o r y ” a n d o f f e r s a p i c t u r e a s a " p r o o f . “ A n e x a m p l e , h o w e v e r , d o e s n o t e s t a b l i s h t h e t r u t h o f a g e n e r a l i z a t i o n . T h e s t u d e n t h a s i i i n n g z n b g d , n o t p r o v e n , h e r c l a i m . H e r c l a i m i s a c o n j e c t u r e , n o t a t h e o r y . I w a n t e d t o s e e w h e t h e r t h e p r o s p e c t i v e t e a c h e r s w o u l d p a y a t t e n t i o n t o t h i s d i m e n s i o n o f t h e q u e s t i o n . W o u l d t h e y b e p e r s u a d e d b y t h e d r a w i n g o r w o u l d t h e y b e s k e p t i c a l ? I f t h e y w e r e s k e p t i c a l , I w a n t e d t o k n o w w h a t t h e y w o u l d c o n s i d e r s u f f i c i e n t e v i d e n c e t h a t t h e c l a i m w a s t r u e , a n d h o w t h e y w o u l d p r o c e e d t o f i n d s u c h e v i d e n c e . W o u l d t h e y r e s p o n d t o t h e s t u d e n t ' s c o n c e p t i o n o f t h e o r y a n d p r o o f o r w o u l d t h e y f o c u s o n t h e s u b s t a n c e o f h e r c l a i m ? I a l s o w a n t e d t o f i n d o u t w h e t h e r t h e t e a c h e r c a n d i d a t e s k n g y t h a t t h e r e i s n o d i r e c t r e l a t i o n s h i p b e t w e e n p e r i m e t e r a n d a r e a . I 3 T h e p e r i m e t e r o f a f i g u r e o r a r e g i o n i s t h e l e n g t h o f i t s b o u n d a r y , w h i l e t h e a r e a i s n u m b e r o f u n i t s q u a r e s i t t a k e s t o c o v e r t h e f i g u r e o r r e g i o n . F o r e x a m p l e , c a l c u l a t i n g t h e p e r i m e t e r o f a d o g p e n i n y o u r b a c k y a r d w o u l d t e l l y o u t h e l e n g t h o f t h e f e n c e ( F i g u r e 4 . 2 ) . F i g u r i n g t h e a r e a w o u l d t e l l y o u h o w m u c h s p a c e y o u r d o g h a d i n w h i c h t o p l a y . ( F i g u r e 4 . 3 ) I n t u i t i v e l y , t h e t w o m e a s u r e s s e e m r e l a t e d . T h a t i s , i t s e e m s l o g i c a l t h a t l o n g e r a m o u n t s o f f e n c e w o u l d n e c e s s a r i l y y i e l d b i g g e r s p a c e s f o r t h e d o g . T h i s i s w h a t t h e s t u d e n t i n t h e a b o v e s c e n a r i o c l a i m s . W h i l e i t s e e m s i n t u i t i v e l y r i g h t , h o w e v e r , i t i s n ' t . I m a g i n e , f o r i n s t a n c e , a s q u a r e , 3 f e e t o n e a c h s i d e . I t s p e r i m e t e r i s 1 2 f e e t a n d i t s a r e a i s 9 s q u a r e f e e t . ( F i g u r e 4 . 4 ) N o w s u p p o s e y o u t a k e 1 8 f e e t o f f e n c e . Y o u m i g h t c o n s t r u c t a n a r r o w r e c t a n g l e , 1 f o o t w i d e a n d 8 f e e t l o n g . T h i s r e c t a n g l e w i t h p e r i m e t e r o f 1 8 f e e t w i l l h a v e a n a r e a o f o n l y 8 s q u a r e f e e t . I n t h i s c a s e , t h e a r e a i s a c t u a l l y i n n ; d e s p i t e a g r e a t e r p e r i m e t e r . ( F i g u r e 4 . 5 ) T w o r e g i o n s c a n h a v e t h e s a m e p e r i m e t e r b u t d i f f e r e n t a r e a ( S e e F i g u r e 4 . 6 ) o r t h e s a m e a r e a b u t d i f f e r e n t p e r i m e t e r s ( s e e F i g u r e ' 4 . 7 ) . 1 7 1 7 4 { J 4 p a r i m a t a r = 7 + 4 + 7 + 4 = 2 2 l t 7 F i g u r e h . 2 P e r i m e t e r 4 a r e a = 4 x 7 = 2 8 s q u a r e f e e t F i g u r e 4 . 3 A r e a 3 p e r i m e t e r = l 2 f t . 3 3 a r e a = 9 s q u a r e i t . 3 F i g u r e 4 . “ P e r i m e t e r a n d a r e a ‘ 1 7 2 I f J 1 p e r i m e t e r = I E i t . a r e a = B s q . i F i g u r e 4 . 5 I n c r e a s e d p e r i m e t e r , d e c r e a s e d a r e a ( f r o m F i g u r e 4 . 4 ) S e r i m e t e r = M i i . 2 - 2 a r e a = I I ] s q . T E 6 . _ l [ j l p e r i m e t e r - l 4 i t . 8 a r e a = 8 s q . f t . F i g u r e 4 . 6 S a m e p e r i m e t e r , d i f f e r e n t a r e a 5 a p e r i m e t e r = I E i t . . 4 a r e a = 2 0 s q . f t . 5 l 0 1 ' t 2 4 i t . p e r i m e e r = Z l i 0 1 2 a r e a = 2 0 s q . f t . F i g u r e h . 7 S a m e a r e a , d i f f e r e n t p e r i m e t e r 1 7 3 a n t i c i p a t e d t h a t m a n y o f t h e m m i g h t n o t b e s u r e , a n d I w a s i n t e r e s t e d i n l e a r n i n g w h a t m a d e t h e m u n s u r e - - w h e t h e r i t w a s t h e l a c k o f g o o d p r o o f , w h e t h e r i t w a s n o t b e i n g a b l e t o r e m e m b e r , w h e t h e r i t w a s b e i n g u n s u r e a b o u t h o w t o d e c i d e i f a c l a i m i s g e n e r a l l y t r u e i n m a t h e m a t i c s . I I a n a l y z e d t h e d a t a t o d e t e r m i n e h o w m a n y p r o s p e c t i v e t e a c h e r s i d e n t i f i e d t h e s t u d e n t ' s “ t h e o r y " a s f a l s e o r c o n c e n t r a t e d o n t h e f a c t t h a t e x a m p l e s a r e n ' t p r o o f s , h o w m a n y t h o u g h t i t w a s t r u e , a n d h o w m a n y w e r e n o t s u r e a b o u t w h e t h e r i t w a s t r u e o r n o t . O n l y 3 o f t h e 1 9 p r o s p e c t i v e t e a c h e r s I i n t e r v i e w e d k n e w t h a t t h e s t u d e n t ' s c l a i m a b o u t t h e r e l a t i o n s h i p b e t w e e n p e r i m e t e r a n d a r e a w a s n o t t r u e . T h e r e s t w e r e e i t h e r n o t s u r e o r b e l i e v e d t h a t s h e w a s c o r r e c t . T h e r e s u l t s o f t h i s a n a l y s i s a r e s u m m a r i z e d i n T a b l e 4 . 1 . B e l o w I d i s c u s s e a c h o f t h e s e k i n d s o f r e s p o n s e s t o t h e q u e s t i o n . I b g _ n § n d n n § _ i § _ z i g b § . C i n d y , o n e o f t h e m a t h e m a t i c s m a j o r s , s a i d s h e w o u l d b e i m p r e s s e d t h a t t h e s t u d e n t d i s c o v e r e d t h i s . S h e l e a n e d o v e r a n d , a f t e r s t u d y i n g t h e e x a m p l e b r i e f l y , s a i d : T h a t ' s i n t e r e s t i n g . T h a t w o u l d b e t r u e , f i r s t o f a l l . I ' d p r o b a b l y s a y , ” T h a t ' s a v e r y g o o d o b s e r v a t i o n a n d t h a t w a s v e r y n e a t t h a t y o u c o u l d t h i n k o f t h a t o n y o u r o w n a t h o m e . ” T h e n s h e a d d e d t h a t s h e c o u l d g i v e t h e p u p i l a n o t h e r e x a m p l e t o i l l u s t r a t e t h e t h e o r y : O u r c l a s s r o o m , y o u k n o w , t h e l e n g t h o f t h e w a l l s i s s m a l l , b u t i n t h e c a f e t e r i a , l o o k h o w l o n g t h e w a l l s a r e i n t h e c a f e t e r i a . I t t a k e s y o u a l o n g e r t i m e t o w a l k a r o u n d t h e e n d o f t h e c a f e t e r i a t h a n i t d o e s t o w a l k a r o u n d t h e w a l l s o f t h e c l a s s r o o m . C i n d y ' s e x a m p l e i l l u s t r a t e s t h e c a s e i n w h i c h t h e p e r i m e t e r a n d a r e a 5 ; ; b o t h l a r g e r , t h u s , d e s p i t e t h e f a c t t h a t i t d o e s n o t g e n e r a l i z e , r e i n f o r c i n g t h e s t u d e n t ' s c l a i m . E v a l u a t i n g a f a l s e s t u d e n t c o n j e c t u r e a b o u t 1 7 4 T a b l e 4 . 1 p e r i m e t e r a n d a r e a T e a c h e r C a n d i d a t e s E l e m e n t a r y S e c o n d a r y T O T A L S T h o u g h t t h e p u p i l ' s 2 l 3 t h e o r y w a s N O T T R U E w e r e N O T S U R E w h e t h e r t h e p u p i l ' s S 3 8 t h e o r y w a s t r u e o r n o t T h o u g h t t h e p u p i l ' s 3 5 8 t h e o r y w a s T R U E 1 7 5 M e i L i n g , o n e o f t h e e l e m e n t a r y c a n d i d a t e s , w a s e s p e c i a l l y e n t h u s i a s t i c a b o u t t h e s t u d e n t ' s ” d i s c o v e r y . “ U n l i k e C i n d y , t h o u g h , M e i L i n g d i d n o t e x a m i n e t h e i l l u s t r a t i o n n o r r e f l e c t o n t h e s t u d e n t ' s c l a i m b e f o r e r e s p o n d i n g : I w o u l d s a y , ” T h a t ' s f a n t a s t i c . “ I w o u l d s a y , “ T h a t i s w o n d e r f u l t h a t y o u w e n t h o m e a n d y o u t h o u g h t a b o u t t h i s a n d y o u c a m e b a c k w i t h t h i s n e w i d e a . “ T h e n I w o u l d s a y , " W e l l , y o u k n o w I d i d n ' t b r i n g u p i n c l a s s , b u t y o u a r e a b s o l u t e l y r i g h t “ a n d I w o u l d s a y “ P e o p l e h a v e d i s c o v e r e d t h i s , b u t I d i d n ' t m e n t i o n i t . T o d a y I ' m g o i n g t o m e n t i o n i t t o t h e c l a s s b e c a u s e y o u a r e r i g h t , I d i d n ' t s a y i t a n d i t ' s a n i m p o r t a n t f a c t t h a t ' s t r u e . “ S i x o t h e r p r o s p e c t i v e t e a c h e r s a g r e e d w i t h C i n d y a n d M e i L i n g a n d w e r e i m p r e s s e d t h a t t h e s t u d e n t h a d d i s c o v e r e d t h i s r e l a t i o n s h i p h e r s e l f . W i t h o u t h e s i t a t i o n , t h e y s a i d t h e y w o u l d p r a i s e h e r ; o n e o f t h e o t h e r s e c o n d a r y c a n d i d a t e s s a i d h e m i g h t b e i n c l i n e d t o c o n s i d e r r e c o m m e n d i n g t h e p u p i l f o r a h i g h e r c l a s s . T h e s e t e a c h e r c a n d i d a t e s s h o w e d n o s i g n o f s k e p t i c i s m , b u t a g r e e d i m m e d i a t e l y w i t h t h e a s s e r t i o n . A p p a r e n t l y t h e t h o u g h t t h a t a n e x a m p l e i s i n s u f f i c i e n t p r o o f n e v e r c r o s s e d t h e i r m i n d s . I b g _ n § n d g n § _ i n _ y x g n g . T h r e e o f t h e p r o s p e c t i v e t e a c h e r s s a i d i m m e d i a t e l y t h a t t h e s t u d e n t w a s w r o n g - ~ t h a t t h e a s s e r t e d r e l a t i o n s h i p b e t w e e n p e r i m e t e r a n d a r e a h e l d s o m e o f t h e t i m e b u t t h a t t h e r e w e r e m a n y c a s e s i n w h i c h i t w a s n o t t r u e . J o n , a m a t h e m a t i c s m a j o r , s a i d h e w o u l d a s k t h e s t u d e n t t o s e a r c h f o r a c a s e i n w h i c h t h e p e r i m e t e r i n c r e a s e s a n d t h e a r e a d o e s n o t . T h e o t h e r t w o t e a c h e r c a n d i d a t e s s a i d t h e y w o u l d t e l l t h e s t u d e n t t h i s w a s n ' t t r u e a l l o f t h e t i m e , a n d t h e y w o u l d s h o w h e r a c o u n t e r e x a m p l e . S t i l l , t h e q u e s t i o n o f t h e i n s u f f i c i e n c y o f a s i n g l e e x a m p l e t o e s t a b l i s h t h e t r u t h o f a c l a i m n e v e r s e e m e d t o c o m e u p . 1 7 6 1 i n _ n n b _ n n n n _ i £ _ ; b i n _ i n _ i i g b § _ n z _ y x n n g . M a n y t e a c h e r c a n d i d a t e s w e r e u n s u r e w h e t h e r t h e r e w a s a d i r e c t r e l a t i o n s h i p b e t w e e n p e r i m e t e r a n d a r e a . S o m e w e r e n o t p e r s u a d e d b y t h e s t u d e n t ' s d r a w i n g b u t c o u l d ' n o t r e m e m b e r i f t h e a s s e r t i o n w a s t r u e e i t h e r . T h e s e t e a c h e r c a n d i d a t e s s a i d t h e y w o u l d h a v e t o f i g u r e i t o u t f o r t h e m s e l v e s . T e r r e l l , o n e o f t h e m a t h e m a t i c s m a j o r s , w a s o n e o f t h e s e . W h e n h e f i r s t l o o k e d a t i t , h e a s s u m e d t h a t t h e a s s e r t i o n w a s f a l s e , a n d b e g a n s e a r c h i n g f o r a c o u n t e r e x a m p l e t o s h o w t h i s . B u t a s h e w o r k e d o n i t , a n d c o u l d n ' t c o m e u p w i t h o n e , h e g r e w l e s s s u r e t h a t h e w a s r i g h t : " I a m a l m o s t b e l i e v i n g t h a t t h i s i s t r u e . ” J a n e t , a n o t h e r s e c o n d a r y c a n d i d a t e , s a i d s h e w o u l d t e s t i t f o r h e r s e l f , “ t o s e e i f i t ' s t r u e . . . i f I c a m e u p w i t h a n e x a m p l e w h e r e i t w a s n ' t t r u e , t h e n I w o u l d p o i n t t h a t o u t t o h e r . “ O t h e r s w h o w e r e n ' t s u r e s a i d t h e y w o u l d l o o k i t u p o r a s k s o m e o n e . T h e y s e e m e d l e s s i n c l i n e d t h a n t h e o t h e r s t o p u z z l e o v e r i t t h e m s e l v e s . T h e i r u n c e r t a i n t i e s s o m e t i m e s s t e m m e d f r o m n o t r e m e m b e r i n g t h e r e l e v a n t c o n c e p t s a s w e l l a s n o t k n o w i n g w h e t h e r t h e r e l a t i o n s h i p h e l d . F o r e x a m p l e , M a r s h a , a n e l e m e n t a r y c a n d i d a t e , w a s n ' t s u r e a t f i r s t w h a t a r e a w a s : ' I s t h e a r e a i n s i d e ? W h a t i n t h e a r e a ? “ T h e n s h e s a i d t h a t i t s e e m e d l i k e ' a r e a s o n a b l e a s s u m p t i o n i f y o u ' r e g o i n g t o i n c r e a s e t h e p a r a m e t e r ( s i c ) , o f c o u r s e t h e a r e a i n s i d e i s g o i n g t o i n c r e a s e . “ B u t M a r s h a s a i d s h e w o u l d h a v e t o ' g o a n d c h e c k o n i t “ b e f o r e s h e c o u l d s a y i f i t w a s “ v a l i d “ o r n o t . W . P e r h a p s t h e m o s t s i g n i f i c a n t r e s u l t w a s t h a t , i n r e s p o n d i n g t o t h i s q u e s t i o n , o v e r h a l f o f t h e p r o s p e c t i v e t e a c h e r s f o c u s e d e x c l u s i v e l y o n t h e s u b s t a n c e o f t h e s t u d e n t ' s c l a i m , a n d r e s p o n d e d i n t e r m s o f w h a t t b g y k n e w a b o u t 1 7 7 p e r i m e t e r a n d a r e a a n d t h e r e l a t i o n s h i p b e t w e e n t h e m . T h e y d i d n o t c o m m e n t o n t h e s t u d e n t ' s a p p r o a c h t o e s t a b l i s h i n g h e r c l a i m . I n s t e a d , t h e y w e r e c o n c e r n e d w i t h t e l l i n g h e r t h a t s h e w a s e i t h e r r i g h t o r w r o n g . N o t o n l y d i d n ' t t h e t e a c h e r c a n d i d a t e s w o r r y a b o u t t h e i n s u f f i c i e n c y o f t h e “ p r o o f , " b u t a f e w p r o s p e c t i v e t e a c h e r s e v e n s e e m e d t o b e c o m e c o n v i n c e d t h e m s e l v e s b y t h e s t u d e n t ' s d r a w i n g . T h e y l o o k e d c l o s e l y a t t h e s k e t c h , a n d a c o u p l e o f t h e m c a r e f u l l y c h e c k e d t h e c a l c u l a t i o n s o f p e r i m e t e r a n d a r e a . T h e y m a d e c o m m e n t s l i k e " i t l o o k s l i k e i t ” o r “ i t s e e m s r i g h t . ” S e v e r a l t e a c h e r c a n d i d a t e s w e r e p l e a s e d t h a t t h e s t u d e n t h a d f i g u r e d s o m e t h i n g o u t f o r h e r s e l f . O n e s a i d i t w a s g o o d t h a t t h e s t u d e n t h a d " p u t t h e t w o p i e c e s t o g e t h e r , e s p e c i a l l y o n h e r o w n , " t h a t m a n y s t u d e n t s " n e v e r r e a l l y t i e i t t o g e t h e r ' - - t h e y j u s t “ g e t t h i s p i e c e a n d t h a t p i e c e . “ A n o t h e r s a i d s h e w o u l d t e l l t h e s t u d e n t , ” Y o u a r e r e a l l y u s i n g y o u r t h i n k i n g s k i l l s a b o u t m a t h e m a t i c s . “ T h e s e t e a c h e r c a n d i d a t e s w e r e p r e o c c u p i e d w i t h t h e s t u d e n t d o i n g s o m e t h i n g " o n h e r o w n , ” a p r e o c c u p a t i o n c o m m o n i n m a i n s t r e a m A m e r i c a n c u l t u r e . A n e m p h a s i s o n o w n e r s h i p , i n d i v i d u a l i t y , a n d i n d e p e n d e n c e c a n j e o p a r d i z e , a s i t d o e s i n t h i s c a s e , c o n c e r n s f o r l e g i t i m a c y . “ T h i n k i n g o n y o u r o w n , “ i f i t i s w r o n g , i s i n d i r e c t t e n s i o n w i t h a c q u i r i n g d i s c i p l i n a r y k n o w l e d g e a n d s k i l l s . Y e t m o s t o f t h e t e a c h e r c a n d i d a t e s s e e m e d t o b e o b l i v i o u s t o t h e p r o b l e m o f j u s t i f y i n g k n o w l e d g e c l a i m s o n t h e b a s i s o f o n e e x a m p l e . T o s a y t h a t t o p r o v e s o m e t h i n g b y s h o w i n g a n i l l u s t r a t i o n i s t o u s e " t h i n k i n g s k i l l s i n m a t h e m a t i c s " c o m p l e t e l y m i s s e s t h e p o i n t o f w h a t m a t h e m a t i c a l t h i n k i n g e n t a i l s . 1 7 8 S o m e t e a c h e r c a n d i d a t e s d i d s e e m c o n c e r n e d w i t h t h e i s s u e o f p r o o f . T h e s e w e r e a l l p e o p l e w h o w e r e g e n u i n e l y n o t s u r e t h e m s e l v e s a b o u t t h e v a l i d i t y o f t h e s t u d e n t ' s c l a i m . F i v e o f t h e m w e r e s k e p t i c a l b e c a u s e t h e y w e r e a w a r e t h a t t h e s t u d e n t h a d s h o w n o n l y o n e c a s e . T h e y k n e w t h a t t h i s o n e c a s e d i d n o t e s t a b l i s h t h a t t h e r e l a t i o n s h i p w o u l d h o l d i n a l l c a s e s a n d , s i n c e t h e y d i d n ' t k n o w w h e t h e r h e r p r o p o s a l w a s v a l i d o r n o t , t h e y w e r e c o n c e r n e d a b o u t t h i s n n g e x a m p l e . S o m e o f t h e s e t e a c h e r c a n d i d a t e s t a l k e d a b o u t s e a r c h i n g f o r a c o u n t e r e x a m p l e - - a c a s e i n w h i c h t h i s r e l a t i o n s h i p d i d n o t h o l d . O t h e r s s a i d t h e y w o u l d l o o k u p t h e a n s w e r . H o w e v e r , t h e s e f i v e p r o s p e c t i v e t e a c h e r s w o u l d l o o k f o r c o u n t e r e x a m p l e s o r c h e c k i n a b o o k b e c a u s e b b g y _ w a n t e d t o k n o w t h e c o r r e c t a n s w e r t o t h e q u e s t i o n t h e n g g i y e n . I n o t h e r w o r d s , i t w a s p a r t o f t h e i r o w n p e r s o n a l s e a r c h f o r k n o w l e d g e i n m a t h e m a t i c s , n o t p a r t o f a d e s i r e t o a p p r o p r i a t e l y r e p r e s e n t t h e i s s u e o f k n o w l e d g e j u s t i f i c a t i o n t o s t u d e n t s . H a d t h e y k n o w n t h e c o r r e c t a n s w e r t h e m s e l v e s , I s u s p e c t t h a t t h e y w o u l d n ' t h a v e w o r r i e d a b o u t t h e i n s u f f i c i e n c y o f t h e p r o o f . O n l y f o u r p r o s p e c t i v e t e a c h e r s t a l k e d e x p l i c i t l y a b o u t p r o o f , n o t i n g t h a t t h e s t u d e n t h a d n o t a c t u a l l y n i n y g d h e r c l a i m b y s h o w i n g a d r a w i n g . T h e s e f o u r , a l l s e c o n d a r y m a j o r s , f o c u s e d o n t h e i s s u e o f p r o o f i n m a t h e m a t i c s a n d s a i d t h e y w o u l d d i s c u s s i t s p e c i f i c a l l y w i t h t h e s t u d e n t . M a r k e x p l a i n e d , F i r s t o f a l l , I ' d l e t h e r k n o w t h a t w h e n y o u a r e t a l k i n g a b o u t t h e o r i e s a n d s t u f f , y o u w a n t t o b e v e r y , v e r y c a r e f u l a b o u t y o u k n o w , s t a t i n g t h e m r i g h t a w a y . Y o u a l m o s t h a v e t o h a v e a g o o d , s o l i d d i r e c t p r o o f o f a t h e o r y b e f o r e y o u j u s t t a k e a f e w e x a m p l e s a n d s a y ” Y e a h , t h a t ' s t r u e . ” T e r r e l l s a i d h e ” w o u l d e x p l a i n t h a t e x a m p l e s a r e n o t p r o o f s ” a n d J a n e t s a i d i f t h e c l a s s h a d d o n e s o m e p r o o f s , s h e w o u l d e n c o u r a g e t h e 1 7 9 s t u d e n t ” t o g o t h r o u g h a p r o o f a n d s e e i f s h e c a n p r o v e i t t o h e r s e l f a n d t o m e . ” T i m w a s t h e m o s t e l a b o r a t e . H e s a i d t h a t t h i s w a s ” a m i s l e a d i n g w a y t o t h i n k a b o u t p r o o f . ” H e w o u l d t e l l h e r t h a t ” t h i s e b e y e t h a t , b u t y o u h a v e t o g e t a n i d e a o f w h a t a t o t a l p r o o f i s . ” H e e x p l a i n e d t h a t a p r o o f h a s t o s h o w t h a t t h e c l a i m h o l d s f o r e v e r y c a s e a n d t h a t ” t o p r o v e s o m e t h i n g i s v e r y , v e r y , v e r y d i f f i c u l t b e c a u s e w h e n y o u p r o v e s o m e t h i n g , y o u a r e p r o v i n g i t f o r e y e z y e h i n g . ” T i m e m p h a s i z e d t h a t ” t h a t ' s s o m e t h i n g t h a t a l l m a t h s t u d e n t s t h r o u g h o u t t h e j u n i o r h i g h a n d h i g h s c h o o l l e v e l n e e d t o b e a w a r e o f - - w h a t t o p r o v e s o m e t h i n g m e a n s . ” I n t e r e s t i n g l y , T i m t h o u g h t n e v e r t h e l e s s t h a t t h e c l a i m y e n v a l i d . H e s a i d h e w o u l d t e l l t h e s t u d e n t t h a t ” y o u d b u n d e r s t a n d t h a t t h i s i s t r u e ” b u t t h a t s h e h a d n o t 2 1 2 2 2 d i t . b b e e z y _ e n d _ n x e e f . W h a t d i d t h e p r o s p e c t i v e t e a c h e r s s e e m t o k n o w - - a b o u t p e r i m e t e r a n d a r e a a n d a b o u t t h e j u s t i f i c a t i o n o f k n o w l e d g e i n m a t h e m a t i c s ? F i r s t , s u b s t a n c e d o m i n a t e d t h e t e a c h e r c a n d i d a t e s ' r e s p o n s e s t o t h i s q u e s t i o n . M o s t c o n c e r n e d w i t h t h e c l a i m i t s e l f , a l m o s t h a l f t h o u g h t t h a t p e r i m e t e r a n d a r e a g e n e d i r e c t l y r e l a t e d - - t h a t a s t h e p e r i m e t e r i n c r e a s e s , t h e a r e a i n c r e a s e s a u t o m a t i c a l l y . I n t e r e s t i n g l y , o v e r h a l f t h e s e c o n d a r y m a j o r s t h o u g h t t h i s w a s c o r r e c t - ~ o n l y o n e o f t h e s e c o n d a r y m a j o r s k n e w t h a t t h i s w a s n ' t t r u e . A l t o g e t h e r , o n l y 3 o u t o f t h e 1 9 t e a c h e r c a n d i d a t e s k n e w t h a t t h e c l a i m w a s n e g t r u e . F o r m o s t o f t h e t e a c h e r c a n d i d a t e s , t h e b a s i s f o r j u s t i f y i n g o r r e f u t i n g t h i s c l a i m l a y i n t h e r e a c h e s o f t h e i r m e m o r y , i n t h e i r a c c u m u l a t e d k n o w l e d g e o f m a t h e m a t i c s . I n o t h e r w o r d s , t h e y x e n e n b e z e g t h a t t h e s e t w o m e a s u r e s w e r e ( o r w e r e n o t ) r e l a t e d . 1 8 0 O n l y f o u r t e a c h e r c a n d i d a t e s r e s p o n d e d t o t h e p r o o f d i m e n s i o n o f t h e q u e s t i o n a s a f o c u s i n i t s o w n r i g h t . T h e s e p r o s p e c t i v e t e a c h e r s s a w t h e j u s t i f i c a t i o n i s s u e s - - h o w o n e p r o v e s s o m e t h i n g i n m a t h e m a t i c s a n d w h a t a t h e o r y i s - - t o b e e q u a l l y s i g n i f i c a n t t o t h e q u e s t i o n o f w h e t h e r p e r i m e t e r a n d a r e a a r e d i r e c t l y r e l a t e d o r n o t . T h e i r r e s p o n s e s s h o w e d t h a t t h e y c o n s i d e r e d t h e s t u d e n t ' s c o n c e p t i o n o f t h e o r y a n d p r o o f a n i m p o r t a n t p a r t o f h e r u n d e r s t a n d i n g o f m a t h e m a t i c s . T h o s e p r o s p e c t i v e t e a c h e r s w h o w e r e n o t s u r e a b o u t t h e s t u d e n t ' s c l a i m a l s o a p p e a r e d t o c o n s i d e r t h e q u e s t i o n o f j u s t i f i c a t i o n o f k n o w l e d g e . T h e y c o u l d n o t r e m e m b e r w h e t h e r p e r i m e t e r a n d a r e a w e r e d i r e c t l y r e l a t e d o r n o t a n d t h e y w e r e s k e p t i c a l f r o m s e e i n g j u s t o n e e x a m p l e . L i k e t h e t e a c h e r c a n d i d a t e s w h o f o c u s e d o n t h e p r o o f d i m e n s i o n , t h e s e p e o p l e s e e m e d t o b e a w a r e t h a t t h e s t u d e n t ' s ” p r o o f ” w a s i n s u f f i c i e n t t o p r o v e t h e c l a i m . B u t u n l i k e t h o s e w h o e m p h a s i z e d t h e q u e s t i o n o f p r o o f , t h e s e p r o s p e c t i v e t e a c h e r s w e r e f o c u s e d o n t h e e n b e g e n e e o f t h e s t u d e n t ' s c l a i m . I s u s p e c t t h a t i f t h e y h a d b e e n a b l e t o r e m e m b e r w h e t h e r o r n o t h e r ” t h e o r y ” w a s t r u e , t h e y w o u l d n o t h a v e b e e n c o n c e r n e d w i t h h e r ” p r o o f , ” j u s t l i k e t h e 1 1 t e a c h e r c a n d i d a t e s w h o ” k n e w ” t h a t i t w a s t r u e ( o r n o t t r u e ) . m m W W I n a d d i t i o n t o t h e e x e r c i s e o n p e r i m e t e r a n d a r e a , I a l s o a s k e d p r o s p e c t i v e t e a c h e r s s o m e m o r e d i r e c t q u e s t i o n s a b o u t t h e s o u r c e s a n d j u s t i f i c a t i o n o f m a t h e m a t i c a l k n o w l e d g e . I n t h i s s e c t i o n , I d i s c u s s t h e p r o s p e c t i v e t e a c h e r s ' i d e a s a b o u t t h e e p i s t e m o l o g y o f m a t h e m a t i c s . 1 8 1 T h e t e a c h e r c a n d i d a t e s ' v i e w s c a n b e e x p r e s s e d i n t h e f o r m o f t w o m a i n v i e w s , e a c h o f w h i c h i s e l a b o r a t e d i n t h e s e c t i o n t h a t f o l l o w s : V i e w ’ # l : M a t h e m a t i c s i s a m o s t l y a r b i t r a r y c o l l e c t i o n o f f a c t s . V i e w # 2 : M a t h e m a t i c s ? I ' v e n e v e r r e a l l y t h o u g h t a b o u t i t . T e a c h e r c a n d i d a t e s w h o h e l d t h i s v i e w b e l i e v e d t h a t t h e w a y t o c o n f i r m a n a n s w e r w a s t o l o o k i t u p . F o r e x a m p l e , w h e n t h e y w e r e u n s u r e a b o u t t h e i r o w n k n o w l e d g e , t h e y s a i d t h e y w o u l d c h e c k i n a b o o k o r a s k s o m e o n e w h o k n e w m o r e m a t h e m a t i c s . F o r s o m e o f t h e m , t h i s s t a n c e g r e w o u t o f t h e i r o w n s e n s e o f i n c o m p e t e n c e i n m a t h e m a t i c s ( w h i c h I d i s c u s s i n l a t e r s e c t i o n i n t h i s c h a p t e r ) . H o w e v e r , i t a l s o s e e m e d t o b e b a s e d o n a v i e w o f m a t h e m a t i c s a s a d o m a i n i n w h i c h r e a s o n m a t t e r e d l i t t l e . F o r i n s t a n c e , M a r s h a , a n e l e m e n t a r y c a n d i d a t e , e x p l a i n e d w h y s h e w a s u n s u r e a b o u t w h e t h e r t h e s t u d e n t ' s a s s e r t i o n a b o u t t h e r e l a t i o n s h i p b e t w e e n p e r i m e t e r a n d a r e a w a s t r u e : Y o u n e v e r k n o w i f t h e r e ' s g o i n g t o b e s o m e w e i r d o e x c e p t i o n t h a t i f y o u d o u b l e i t , i t ' l l n e v e r i n c r e a s e o r s o m e t h i n g . I m e a n , y o u k n e e . m a t h i s s o s c a m m - M a r s h a d i d n ' t k n o w w h e t h e r t h e r e l a t i o n s h i p w a s t r u e o r n o t , b u t s h e a l s o d i d n o t t h i n k i t w a s s o m e t h i n g o n e c o u l d f i g u r e o u t b e c a u s e o n e w o u l d b e u n a b l e t o k n o w i f t h e r e w a s s o m e a r b i t r a r y ” e x c e p t i o n . ” T h e t e a c h e r c a n d i d a t e s ' r e s p o n s e s t o o t h e r q u e s t i o n s r a n g w i t h t h i s t h e m e a s w e l l . F o r e x a m p l e , w h e n I a s k e d t h e m h o w t h e y w o u l d e x n i e i n d i v i s i o n b y z e r o , 1 2 o u t o f 1 9 o f t h e m s t a t e d a r u l e a n d s a i d t h i s w a s s o m e t h i n g t o b e r e m e m b e r e d . E x p l a i n i n g s o m e t h i n g i n m a t h e m a t i c s m e a n s c l a r i f y i n g a n i d e a b y u n p a c k i n g u n d e r l y i n g c o n c e p t s a s w e l l a s g i v i n g r e a s o n s t h a t r e v e a l 1 8 2 i t s m e a n i n g o r l o g i c . Y e t w h e n t h e t e a c h e r c a n d i d a t e s t a l k e d a b o u t ” e x p l a i n i n g ” ( w h i c h t h e y d i d f r e q u e n t l y ) t h e y s e e m e d t o m e a n s o m e t h i n g m u c h w e a k e r , s o m e t h i n g t h a t m u c h m o r e c l o s e l y r e s e m b l e d s i m p l e g e l l i n g - - a s i n g i v i n g d i r e c t i o n s f o r t h e s t e p s o f a p r o c e d u r e , r e s t a t i n g a r u l e , o r s a y i n g a d e f i n i t i o n . T h e p r o s p e c t i v e t e a c h e r s ' w e a k u s e o f t h e t e r m e x p l a i n s u g g e s t s t h a t t h e i r i d e a o f k n e y i n g s o m e t h i n g i n m a t h e m a t i c s w a s n a r r o w e r t h a n a d i s c i p l i n a r y v i e w . A l m o s t a l l t h e p r o s p e c t i v e t e a c h e r s i n b o t h g r o u p s a g r e e d t h a t r e m e m b e r i n g r u l e s a n d f a c t s w a s e s s e n t i a l t o ” k n o w i n g ” m a t h e m a t i c s . T h e s e c o n d a r y c a n d i d a t e s r e m e m b e r e d t h e s e r u l e s b e t t e r t h a n t h e e l e m e n t a r y m a j o r s , a n d n e e d t h e m t o p r o v i d e e x p l a n a t i o n s . F o r t h e m , i n m a n y c a s e s , t o s t a t e t h e r u l e s , p r o c e d u r e s , o r d e f i n i t i o n s y e n t o e x p l a i n . F o r e x a m p l e , t h e m o s t c o m m o n e x p l a n a t i o n f o r d i v i s i o n b y z e r o w a s t o s a y t h a t ” i t ' s u n d e f i n e d . ” A l t h o u g h t r u e , t h i s d o e s n o t e x p l a i n w h a t t h a t m e a n s o r g u y d i v i d i n g b y z e r o i s u n d e f i n e d ; i t i s n o t a n e e h e n e e i e e i e x p l a n a t i o n . C i n d y ' s ” e x p l a n a t i o n ” w a s t y p i c a l : I ' d j u s t s a y . . . ” I t ' s u n d e f i n e d , ” a n d I ' d t e l l t h e m t h a t t h i s i s a r u l e t h a t y o u s h o u l d n e y e ; f o r g e t t h a t a n y t i m e y o u d i v i d e b y 0 y o u g e n i e . Y o u j u s t c a n ' t d o i t . I t ' s u n d e f i n e d , s o . . . y o u j u s t c a n ' t . T h e y s h o u l d k n o w t h a t a n y t i m e y o u g e t a n u m b e r d i v i d e d b y 0 , t h e n y o u d i d s o m e t h i n g w r o n g b e f o r e . I t ' s j u s t s o m e t h i n g t o r e m e m b e r . I n g e n e r a l , t h e p r o s p e c t i v e t e a c h e r s ' i d e a s a b o u t w h a t i t m e a n s t o k n o w s o m e t h i n g i n m a t h e m a t i c s c e n t e r e d o n r e m e m b e r i n g r u l e s a n d b e i n g a b l e t o u s e s t a n d a r d p r o c e d u r e s . O b v i o u s l y t h e p r o s p e c t i v e t e a c h e r s ' i d e a s a b o u t m a t h e m a t i c s d o n o t e x i s t s e p a r a t e l y f r o m t h e i r s u b s t a n t i v e u n d e r s t a n d i n g s o f p a r t i c u l a r c o n c e p t s o r p r o c e d u r e s . M a n y o f t h e m l a c k e d e x p l i c i t a n d c o n n e c t e d c o n c e p t u a l u n d e r s t a n d i n g o f m a t h e m a t i c a l 1 8 3 i d e a s a n d p r o c e d u r e s . A s s u c h , m a n y o f t h e m c o u l d d o l i t t l e e l s e b e ; r e s p o n d i n t e r m s o f r u l e s a n d p r o c e d u r e s . A n d y , l i k e m a n y o f t h e s e c o n d a r y m a j o r s , s a i d t h a t d i v i s i o n b y z e r o w a s ” j u s t s o m e t h i n g t o r e m e m b e r , y o u j u s t e n n i ; d i v i d e b y z e r o . ” W i t h o u t a n y r a t i o n a l e f o r t h e r u l e , A n d y a n d t h e o t h e r s w e r e n o t a b l e t o o f f e r t r u e e x p l a n a t i o n s . H o w e v e r , t h e y g e n e r a l l y t h o u g h t t h e y g e n e e x p l a i n i n g . F o r m a n y o f t h e t e a c h e r c a n d i d a t e s , m a t h e m a t i c s w a s s o m e t h i n g t o b e r e m e m b e r e d o r r e t r i e v e d , a n d c l e a r l y n o t s o m e t h i n g t o f i g u r e o u t o r r e a s o n a b o u t . T h i s w a s t r u e o f m o s t o f t h e t e a c h e r c a n d i d a t e s , w h e t h e r o r n o t t h e y ” k n e w ” t h e m a t h e m a t i c s i n t h e q u e s t i o n s I a s k e d . W h e n t h e y d i d n ' t k n o w s o m e t h i n g d u r i n g t h e i n t e r v i e w s , t h e y s a i d t h e y c o u l d n ' t x e n e n b e x . F o r e x a m p l e , 4 o u t o f t h e 1 9 p r o s p e c t i v e t e a c h e r s d i d n o t k n o w h o w t o e x p l a i n h o w t o s o l v e a s i m p l e a l g e b r a i c e q u a t i o n i n v o l v i n g d i v i s i o n : x - 5 0 . 2 T e r i e x p l a i n e d , ” I h a v e n ' t d o n e t h o s e i n s o l o n g , I c a n ' t r e m e m b e r . ” F o r T e r i , a n d f o r t h e o t h e r t h r e e , n o t b e i n g a b l e t o r e m e m b e r t h e p r o c e d u r e m e a n t t h a t s h e c o u l d n o t d o t h e p r o b l e m . T h e o t h e r t e a c h e r c a n d i d a t e s w h o d i d h a v e a n e x p l a n a t i o n u s e d w h a t t h e y r e m e m b e r e d - - r e m i n d e r s t o ” i s o l a t e x ” o r ” m u l t i p l y b o t h s i d e s b y t h e s a m e n u m b e r . ” O n l y e n e o f t h e 1 9 t e a c h e r c a n d i d a t e s , a n e l e m e n t a r y c a n d i d a t e , t r i e d t o r e a s o n h e r w a y t o a s e n s i b l e e x p l a n a t i o n o f t h e p r o b l e m ' s m e a n i n g . T h i s v i e w o f m a t h e m a t i c s a s a c o l l e c t i o n o f f a c t s t o b e r e m e m b e r e d w a s e q u a l l y e v i d e n t a m o n g t h o s e p r o s p e c t i v e t e a c h e r s w h o t h o u g h t t h e y e 1 1 k n o w t h e m a t h e m a t i c s e m b e d d e d i n t h e i n t e r v i e w q u e s t i o n s . O v e r h a l f t h e s e c o n d a r y t e a c h e r c a n d i d a t e s a c c e p t e d w i t h o u t q u e s t i o n t h e 1 8 4 ( f a l s e ) ” t h e o r y ” t h a t p e r i m e t e r a n d a r e a a r e d i r e c t l y r e l a t e d . C a r o l r e m a r k e d , ” O f c o u r s e t h a t ' s w h a t h a p p e n s ” a n d s e v e r a l o t h e r s c o m m e n t e d s i m p l y , ” T h a t ' s t r u e . ” T h e y d i d n o t s e e m o r i e n t e d t o w a r d q u e s t i o n i n g o r v a l i d a t i n g m a t h e m a t i c a l c l a i m s t h e m s e l v e s . I f t h e y r e m e m b e r e d t h a t i t w a s c o r r e c t , t h a t w a s s u f f i c i e n t f o r c o n f i d e n c e i n t h e c l a i m . 2 1 W - I n g e n e r a l . t h e p r o s p e c t i v e t e a c h e r s s e e m e d t o h a v e g i v e n l i t t l e t h o u g h t t o t h e o r i g i n o r g r o w t h o f k n o w l e d g e i n . m a t h e m a t i c s . “ I w o u l d n o t i n f e r 4 O n l y t w o t e a c h e r c a n d i d a t e s , b o t h m a t h e m a t i c s m a j o r s , m a d e a n y c o m m e n t s d u r i n g t h e i n t e r v i e w s a b o u t t h e c o n s t r u c t i o n o f k n o w l e d g e i n t h e f i e l d . J o n t a l k e d a t l e n g t h a b o u t h o w h e w o u l d l i k e t o h a v e s t u d e n t s l e a r n t o a p p r e c i a t e a n d u n d e r s t a n d m a t h e m a t i c s ” i n a h i s t o r i c a l c o n t e x t . ” H e d e s c r i b e d h o w h e g o t t h e i d e a f r o m w a t c h i n g o n e o f h i s E n g l i s h p r o f e s s o r s : H e s h o w e d h o w d i f f e r e n t t y p e s o f l i t e r a t u r e w e r e , w e r e e f f e c t s o f t h e c u l t u r e , o r a f f e c t e d b y t h e t i m e s a n d a f f e c t e d t h e t i m e s a n d t h e c u l t u r e a n d , s o , u m , i t s e e m s t h a t i f I c o u l d , i f I c o u l d a p p l y t h a t t o m a t h , i f I c o u l d s a y ” N o w , n o w t h i s i s t h e m a t h t h e G r e e k s h a d a n d t h i s w a y i n w h i c h G r e e k c u l t u r e i n f l u e n c e d i t s m a t h a n d h o w m a t h i n f l u e n c e d i t s c u l t u r e . ” A n d t h e n I c o u l d l i k e , I c o u l d s h o w h o w , h o w m a t h c h a n g e d d u r i n g t h e m i d d l e a g e s o r d i n n i e c h a n g e , a c t u a l l y , a n d t h e R e n a i s s a n c e a n d i n t o t o d a y . T h e w a y t h a t s o m e o f E i n s t e i n ' s t h e o r i e s o r s o m e o f t h e d i f f e r e n t k i n d s o f g e o m e t r i e s t h a t w e ' r e d e v e l o p i n g t o d a y a r e c h a n g i n g t h e w a y t h a t w e l o o k a t u n i v e r s e a n d n o t j u s t p h y s i c a l l y l o o k a t t h e u n i v e r s e b u t t h e w a y w e e b i n k a b o u t t h e u n i v e r s e . T i m , a n o t h e r m a t h e m a t i c s m a j o r , b e c a m e v e r y a g i t a t e d d e s c r i b i n g c a l c u l u s : A l l o f c a l c u l u s , n o w , t h a t ' s b a s e d o n a n a s s u m p t i o n , n o w i s n ' t i t ? T h a t y o u c a n c a l c u l a t e t h e d e r i v a t i v e o f a s m o o t h f u n c t i o n , w h i c h h a s n e v e r b e e n p r o v e n , a n d p e o p l e d o n ' t o - a l l t h e s e p r o f e s s o r s j u s t d o n ' t r e a l i z e i t . I s a a c N e w t o n d i d n ' t p r o v e i t , y o u k n o w . I t ' s n e y e ; b e e n p r o v e n . . . I l o v e c a l c u l u s , b u t , y o u k n o w , I ' m j u s t w a i t i n g s o m e d a y f o r i t t o w a s h r i g h t a w a y . J o n a n d T i m b o t h e x h i b i t e d a n a w a r e n e s s o f m a t h e m a t i c s a s a f i e l d i n w h i c h p e o p l e c o n s t r u c t a n d . v a l i d a t e c l a i m s a b o u t n e w k n o w l e d g e . N o n e o f t h e o t h e r t e a c h e r c a n d i d a t e s t a l k e d a b o u t m a t h e m a t i c s i n t h i s w a y ; i n f a c t , J o n ' s a n d T i m ' s p e r s p e c t i v e s b r o u g h t t h e o t h e r t e a c h e r c a n d i d a t e s ' - - e s p e c i a l l y t h e o t h e r m a t h e m a t i c s m a j o r s ' - - v i e w s i n t o s h a r p r e l i e f . 1 8 5 f r o m t h i s t h a t t h e y t h o u g h t t h a t m a t h e m a t i c s i s ” g i v e n , ” b u t r a t h e r t h a t m a t h e m a t i c s a s a f i e l d o f h u m a n e n d e a v o r w a s a n i s s u e a b o u t w h i c h t h e y h a d s i m p l y n e v e r t h o u g h t . I n s t e a d , t h e i r i m a g e o f m a t h e m a t i c s w a s a b o d y o f k n o w l e d g e t o b e m a s t e r e d . B e c a u s e I w a n t e d t o p u r s u e t h e s e i s s u e s e x p l i c i t l y e v e n w h e n t e a c h e r c a n d i d a t e s d i d n o t r a i s e t h e m t h e m s e l v e s , I i n c l u d e d s o m e s t a t e m e n t s a b o u t t h e s e e p i s t e m o l o g i c a l i s s u e s i n t h e c a r d s o r t . F o r i n s t a n c e , I t r i e d a i t e m t h a t s a i d , ” S o m e p r o b l e m s i n m a t h e m a t i c s h a v e n o a n s w e r s . ” I n t h e f i r s t r o u n d o f i n t e r v i e w s , I d i s c o v e r e d t h a t t h i s i t e m m e a n t s o m e t h i n g q u i t e d i f f e r e n t t o m a n y o f t h e p r o s p e c t i v e t e a c h e r s t h a n w h a t I h a d b e e n t h i n k i n g . M e i L i n g , a n e l e m e n t a r y c a n d i d a t e , s a i d s h e a g r e e d w i t h t h e s t a t e m e n t a n d s h e e x p l a i n e d : M e i L i n g : I ' m t h i n k i n g i s t h i s t h e o b v i o u s , l i k e j u s t s o m e m a t h p r o b l e m s y o u a r e g o i n g t o f i n d i n t h e t e x t b o o k s h a v e n o a n s w e r s ? B a l l : O h , n o , i t ' s l i k e a r e t h e r e p r o b l e m s i n t h e f i e l d t h a t n o o n e c a n s o l v e ? M e i L i n g : A s f a r a s b e e e h i n g i t ? B a l l : N o , a s m a t h a s a s u b j e c t . L i k e a m a t h p r o b l e m t h a t n o m a t h e m a t i c i a n c a n s o l v e . P r o b l e m s l i k e t h a t . M e i L i n g : I a m s u r e t h e r e e y e . I d o n ' t k n o w i f w e ' v e f o u n d a n y , b u t t h e p o s s i b i l i t y e x i g e n . I t ' s l i k e s a y i n g , ” I s t h e r e l i f e o n o t h e r p l a n e t s ? ” ( l a u g h s ) , W e d o n ' t k n o w , b u t . . . i t e e n i d b e ! T h e s t a t e m e n t w a s i n t e n d e d t o e l i c i t t h e p r o s p e c t i v e t e a c h e r s ' n o t i o n s a b o u t t h e r e l a t i v e c e r t a i n t y a n d s t a b i l i t y o f m a t h e m a t i c s . Y e t s u c h q u e s t i o n s w e r e q u i t e r e m o t e f r o m M e i L i n g ' s w a y s o f t h i n k i n g a b o u t m a t h e m a t i c s . L a u g h i n g , s h e c o m p a r e d t h e n o t i o n t h a t m a t h e m a t i c s i n c l u d e s s o m e u n s o l v e d p r o b l e m s w i t h t h e p o s s i b i l i t y o f l i f e i n o u t e r s p a c e , e v i d e n c e t h a t q u e s t i o n s a b o u t t h e o r i g i n s o f m a t h e m a t i c s w e r e f a r f r o m h e r m i n d . C a t h y , a n o t h e r e l e m e n t a r y c a n d i d a t e , g i e a g r e e d w i t h t h e s t a t e m e n t . S h e a s k e d m e , ” H o w w o u l d y o u $ 2 i t i f t h e r e w a s 1 8 6 n o a n s w e r ? ” B o t h M e i L i n g a n d C a t h y f o c u s e d o n m a t h e m a t i c s i n s c h o o l a n d i n t e x t s . T h e n a t u r e o f m a t h e m a t i c a l k n o w l e d g e d i d n o t s e e m t o b e s o m e t h i n g t h e y t h o u g h t a b o u t . B u t I a l s o t h i n k t h a t m a n y t e a c h e r c a n d i d a t e s w e r e a c t u a l l y u n s u r e a b o u t w h e t h e r t h e r e w a s a m b i g u i t y o r u n c e r t a i n t y i n m a t h e m a t i c s . W h e n I t r i e d a n o t h e r i t e m , ” T h e r e a r e u n s o l v e d p r o b l e m s i n m a t h e m a t i c s ” d u r i n g t h e s e c o n d g r o u p o f i n t e r v i e w s , o n e t e a c h e r c a n d i d a t e l o o k e d u p a t m e a n d s a i d , ” I d o n ' t k n o w w h a t y o u m e a n . ” S o m e s a i d t h a t t h e y j u s t d i d n ' t k n o w i f t h e r e w e r e a n y p r o b l e m s o u t s t a n d i n g i n t h e f i e l d . S e v e r a l w e r e u n s u r e w h e t h e r m a t h e m a t i c i a n s c r e a t e n e w k n o w l e d g e o r w h e t h e r t h e y s i m p l y w o r k w i t h ” w h a t ' s a l r e a d y t h e r e . ” A f e w p r o s p e c t i v e t e a c h e r s a c k n o w l e d g e d t h a t ” s o m e b o d y m u s t ” c r e a t e k n o w l e d g e i n m a t h e m a t i c s , b u t t h e y w e r e t e n t a t i v e a n d d i d n o t e l a b o r a t e t h e i r a n s w e r s . O n l y a f e w p r o s p e c t i v e t e a c h e r s w e r e s u r e t h a t m a t h e m a t i c s w a s a f i e l d i n w h i c h t h e r e w a s u n c e r t a i n t y a n d u n r e s o l v e d d i l e m m a s , a n d a f i e l d i n w h i c h k n o w l e d g e g r o w s a n d c h a n g e s . M a n y o f t h e p r o s p e c t i v e t e a c h e r s w e r e u n c e r t a i n a b o u t t h e r o l e o f p r o o f . S o m e r e m e m b e r e d p r o o f s a s t h e y h a d e n c o u n t e r e d t h e m i n h i g h s c h o o l - ~ a s a s e r i e s o f s t a t e m e n t s t o b e m e m o r i z e d , s t a t e m e n t s t h a t s h o w w h y s o m e t h i n g i s t r u e . O n t h e c a r d s o r t , I u s e d t h e s t a t e m e n t , ” P r o o f s a r e a m e a n s o f m a k i n g a r g u m e n t s i n m a t h e m a t i c s ” a n d d i s c o v e r e d t h a t t h e w o r d ” a r g u m e n t ” c o n f u s e d s o m e o f t h e t e a c h e r c a n d i d a t e s . P a m , a n e l e m e n t a r y c a n d i d a t e , s a i d p r o o f s w e r e ” a b s o l u t e ” - - t h e y s h o w s o m e t h i n g e b e e i n b e i y e - a n d w h y w o u l d o n e b e ” a r g u i n g a g a i n s t s o m e t h i n g c o n c r e t e ” ? S e v e r a l t e a c h e r c a n d i d a t e s s a i d t h e y d i d n ' t r e a l l y k n o w w h a t p r o o f s w e r e f o r , b u t t h a t t h e y r e m e m b e r e d h a t i n g t h a n i n t h e i r m a t h c l a s s e s . M o s t s e e m e d t o r e g a r d w r i t i n g p r o o f s a s a s k i l l t h a t 1 8 7 o n e m u s t p e r f o r m i n m a t h c l a s s e s . F o r e x a m p l e , C a t h y , a n e l e m e n t a r y m a j o r , s a i d s h e n e v e r u n d e r s t o o d t h e p o i n t o f p r o o f s . S h e d e s c r i b e d t h e m i n t h i s w a y : P r o o f s . . . I n e v e r g o t t h e g r a s p o f i t . T h e r e w e r e s o m a n y d i f f e r e n t - - w h a t w e r e t h e y e v e n c a l l e d ? F o r m u l a s , t h e y w e r e n u m b e r e d , t h e r e w e r e t h e s e r u l e s t h a t y o u h a d t o m e m o r i z e t o a p p l y t o t h e p r o o f s t o g e t t o e a c h s t e p . T h e y w e r e h e r r i b i e . I n e v e r u n d e r s t o o d t h e m , y o u h a d t o m e m o r i z e t h e m a l l a n d t h e y w e r e a l l s o s i m i l a r ! I c o u l d n ' t u n d e r s t a n d . I t w o u l d b e l i k e o n e l i t t l e c a t c h t h a t w o u l d s e p a r a t e i t f r o m a n o t h e r a n d I j u s t n e v e r g o t t h e g r a s p o f i t a l l t h r o u g h h i g h s c h o o l . I ' m s u r e t h a t w a y o f t h i n k i n g g o t m e s t a r t e d o f f w r o n g f r o m t h e b e g i n n i n g b e c a u s e I t o o k t h e d e f e a t i s t a t t i t u d e : ” W h y s h o u l d I d o t h i s , i t d o e s n ' t m a k e s e n s e ? ” C a t h y u n d e r s t o o d p r o o f s a s r u l e s a n d s t e p s t o b e m e m o r i z e d . B e c a u s e i t d i d n ' t m a k e s e n s e , s h e f o u n d p r o o f d i s c o u r a g i n g , a n d s h e s a w l i t t l e r e a s o n f o r d o i n g i t . T i m , a m a t h m a j o r , s a w t h e p o i n t o f p r o o f a s p r o v i d i n g ” c e r t a i n e s t a b l i s h e d p r i n c i p l e s . ” L i k e s e v e r a l o f t h e o t h e r m a t h m a j o r s , T i m s e e m e d t o s e e p r o o f s a s a g i v e n p a r t o f m a t h e m a t i c s , b u t p e r h a p s n o t a s c e n t r a l a s d i d J o n a n d T e r r e l l . F o r e x a m p l e , i n r e s p o n d i n g t o t h e p u p i l w h o p r e s e n t e d t h e d r a w i n g a s a p r o o f , T i m s a i d t h a t s h e b e d c o m e u p w i t h a t r u e t h e o r y a b o u t p e r i m e t e r a n d a r e a a n d t h a t s h e j u s t h a d a ” m i s l e a d i n g i d e a a b o u t p r o o f . ” ” A l l y o u r e a l l y n e e d t o d o , ” h e s a i d h e w o u l d t e l l h e r , i s t o w r i t e a c o n v e n t i o n a l p r o o f f o r h e r c l a i m i n s t e a d o f j u s t g i v i n g a n e x a m p l e o f i t . F o r T i m , p r o o f w a s a n e c e s s a r y p a r t o f p r e s e n t i n g a n e w i d e a b u t n o t s o c l e a r l y t i e d t o v a l i d a t i n g i t s t r u t h . O v e r a l l , t h e t e a c h e r c a n d i d a t e s s e e m e d t o f o c u s o n e n b e b e n e e w h e n t h e y c o n s i d e r e d m a t h e m a t i c a l q u e s t i o n s . I s s u e s o f p r o o f a n d t h e j u s t i f i c a t i o n o f k n o w l e d g e w e r e n o t i d e a s t h e y t h o u g h t a b o u t . E v e n w h e n t h e y w e r e d i r e c t l y c o n f r o n t e d w i t h a n i n s t a n c e w h e r e a c l a i m w a s 1 8 8 m a d e w i t h o u t s u f f i c i e n t p r o o f , t h e y e i t h e r d i d n o t r e c o g n i z e i t a s s u c h o r w e r e n o t c o n c e r n e d . T h i s p r e o c c u p a t i o n w i t h s u b s t a n c e p a r a l l e l s R o m b e r g ' s ( 1 9 8 3 ) d i s t i n c t i o n b e t w e e n t h e ” r e c o r d o f k n o w l e d g e ” o n o n e h a n d a n d t h e a c t i v i t i e s o f m a t h e m a t i c s o n t h e o t h e r . R o m b e r g a r g u e s t h a t s c h o o l s s h o u l d c o n c e n t r a t e o n t h e l a t t e r , b u t f r e q u e n t l y e x c l u s i v e l y e m p h a s i z e t h e f o r m e r . T h i s e m p h a s i s w a s r e c a p i t u l a t e d i n t h e t e a c h e r c a n d i d a t e s ' f o c u s o n s u b s t a n c e e v e n i n c a s e s w h e r e , o n e m i g h t a r g u e , q u e s t i o n s o f j u s t i f i c a t i o n w e r e o f g r e a t e r s i g n i f i c a n c e . A l t h o u g h t h e p r o s p e c t i v e t e a c h e r s ' o w n u n d e r s t a n d i n g s o f m a t h e m a t i c s - ~ t o p i c s l i k e d i v i s i o n b y z e r o , f o r i n s t a n c e - - w e r e i n f l u e n c e d b y t h e t h e i r a s s u m p t i o n s a b o u t m a t h e m a t i c s , t h e s e w e r e i m p l i c i t a n d n o t s o m e t h i n g t h a t m o s t o f t h e t e a c h e r c a n d i d a t e s , e v e n t h e s e c o n d a r y c a n d i d a t e s , m e n t i o n e d . W W a n g : D o i n g m a t h e m a t i c s , f r o m a d i s c i p l i n a r y p e r s p e c t i v e , i n v o l v e s a w i d e r a n g e o f a c t i v i t i e s , i n c l u d i n g l o o k i n g f o r p a t t e r n s , p o s i t i n g c o n j e c t u r e s , p u r s u i n g h u n c h e s , d r a w i n g o n a c c u m u l a t e d k n o w l e d g e a n d g e n e r a t i n g n e w i d e a s , m o d e l i n g r e a l - w o r l d p h e n o m e n a a n d a p p l y i n g t h e o r e t i c a l i d e a s a s t o o l s i n c o n c r e t e s i t u a t i o n s . I n m a t h e m a t i c a l p e d a g o g y , a s i g n i f i c a n t a i m i s t o p r o v i d e s t u d e n t s w i t h g e n u i n e e x p e r i e n c e s w i t h d e i n g m a t h e m a t i c s . I u s e d t h r e e d i f f e r e n t a p p r o a c h e s t o e x p l o r e t h e t e a c h e r c a n d i d a t e s ' i d e a s a b o u t w h a t ” d o i n g m a t h e m a t i c s ” e n t a i l s . O n e s o u r c e o f i n s i g h t l a y i n t h e i r r e s p o n s e s t o p a r t i c u l a r c o n t e n t - f o c u s e d i n t e r v i e w q u e s t i o n s , a s e c o n d f r o m a s e r i e s o f q u e s t i o n s o n w h a t i t m e a n s t o b e ” g o o d a t m a t h e m a t i c s , ” a n d a t h i r d f r o m a c a r d s o r t t a s k 1 8 9 w h i c h i n c l u d e d s t a t e m e n t s a b o u t m a t h e m a t i c s a n d t h e t e a c h i n g a n d l e a r n i n g o f m a t h e m a t i c s . T w o v i e w s , n e i t h e r o f w h i c h r e s e m b l e d t h e d i s c i p l i n a r y o n e , w e r e d o m i n a n t : V i e w # 3 : D o i n g m a t h e m a t i c s m e a n s f o l l o w i n g s e t p r o c e d u r e s . V i e w # 6 : D o i n g a s t h m a t i c s m e a n s u s i n g r e n d e r e d k n o w l e d g e a n d w o r k i n g s t e p - b y - s t e p . W h i l e t h e s e m a y s e e m a l m o s t t h e s a m e , t h e y d i f f e r i n c o n c e p t i o n s o f t h e g o a l . I e x a m i n e e a c h o n e b e l o w . ‘ O n e d o m i n a n t t h e m e w a s t h a t d o i n g m a t h e m a t i c s i n v o l v e s u s i n g s t a n d a r d p r o c e d u r e s t o g e t t h e r i g h t a n s w e r t o a s s i g n e d p r o b l e m s . O n e p l a c e t h i s c a m e t h r o u g h v i v i d l y w a s w h e n I p r e s e n t e d t h e e l e m e n t a r y c a n d i d a t e s w i t h a p u p i l ' s i n v e n t e d p r o c e d u r e f o r s u b t r a c t i o n : S u p p o s e o n e o f y o u r p u p i l s t o l d y o u t h a t h e o r s h e h a d c o m e u p w i t h a n e w w a y t o d o t h i s t h a t d i d n ' t r e q u i r e ” a l l t h a t c r o s s i n g o u t . ” T h e p u p i l c a m e u p a n d s h o w e d y o u t h e f o l l o w i n g : W h a t w o u l d y o u m a k e o f t h i s a n d w h a t d o y o u t h i n k y o u ' d s a y ? O n l y a t h i r d o f t h e e l e m e n t a r y t e a c h e r c a n d i d a t e s u n d e r s t o o d t h e p r o c e d u r e c o m p l e t e l y a n d w e r e s u r e i t w o u l d w o r k a l l t h e t i m e . 5 M o s t t h o u g h t i t s e e m e d t o ” w o r k ” ( i . e . , p r o d u c e t h e r i g h t a n s w e r ) i n t h i s 5 W h a t t h e p u p i l h a d d o n e i s t o s u b t r a c t e a c h p l a c e o f t h e n u m b e r s s e p a r a t e l y a n d t h e n t o r e c o m b i n e t h e r e s u l t s . I n o t h e r w o r d s , 6 - 9 - - 3 i n t h e o n e s p l a c e , w h i l e 3 0 - 1 0 - 2 0 i n t h e t e n s p l a c e ; 2 0 + - 3 - 1 7 . T h e p r o c e d u r e i s s i m i l a r t o t h e w a y m a n y p e o p l e a d d n u m b e r s m e n t a l l y w i t h o u t r e g r o u p i n g - - e . g . , 5 8 + 2 6 - 5 0 + 2 0 - 7 0 , 8 + 6 - 1 4 ; 7 0 + 1 4 - 8 4 . 1 9 0 c a s e a n d . w o n d e r e d w h e t h e r i t w o u l d ‘ 1 3 3 1 3 w o r k . C a t h y , f o r e x a m p l e , w a s q u i t e o v e r w h e l m e d . ” O h , m y G o d ! D o e s t h i s w o r k o u t w i t h o t h e r p r o b l e m s ? " S h e s a i d i t w o u l d " f r e a k h e r o u t “ i f a s t u d e n t p r e s e n t e d h e r w i t h s o m e t h i n g l i k e t h i s b e c a u s e s h e d i d n ' t k n o w i f i t w o u l d w o r k o u t “ w i t h o t h e r p r o b l e m s “ a n d s h e d i d n ' t k n o w h o w t o f i g u r e t h a t o u t . S h e s a i d s h e w o u l d g o t h r o u g h s e v e r a l e x a m p l e s , a n d i f t h e y a l l w o r k e d o u t , ” I d o n ' t k n o w fi n s ; I ' d d o ! ” S e v e r a l o t h e r s w e r e e q u a l l y u n c e r t a i n a b o u t w h e t h e r t h e p u p i l ' s a l g o r i t h m w o u l d a l w a y s w o r k a n d s o m e w o r r i e d t h a t i t “ w o u l d c a u s e p r o b l e m s l a t e r o n “ i n w o r k i n g w i t h l a r g e r n u m b e r s . T h e y e x p l a i n e d t h a t t h e s t u d e n t w o u l d n ' t k n o w " t h e c o n c e p t " 6 a n d w o u l d g e t c o n f u s e d . O n l y o n e t e a c h e r c a n d i d a t e m u s e d a b o u t t h e p o s s i b i l i t y t h a t t h i s p u p i l m i g h t b e i n v e n t i n g ” t h e t h i n g o f t h e f u t u r e . ‘ I A l t h o u g h h e w a s s k e p t i c a l a b o u t t h e u s e f u l n e s s o f t h e a l g o r i t h m , h e w a s t h e o n l y p e r s o n w h o s e r e s p o n s e r e f l e c t e d t h e i d e a d o i n g m a t h e m a t i c s c o u l d b e a n i n v e n t i v e o r c r e a t i v e p r o c e s s . A l l b u t o n e o f t h e p r o s p e c t i v e t e a c h e r s s a i d t h a t , e v e n i f t h e a l g o r i t h m . ! g n l d a l w a y s " w o r k , " t h e y w o u l d d i s c o u r a g e t h e p u p i l f r o m u s i n g i t . T h e y s a i d t h e y w o u l d l i k e t h e s t u d e n t t o d o s u b t r a c t i o n ” t h e s t a n d a r d w a y . “ P a m s a i d s h e w o u l d t e l l t h e s t u d e n t t h a t e x p l o r i n g i s o k a y , b u t t h a t ” t h e r e ' s g o t t o b e s o m e k i n d o f f o r m , s o m e k i n d o f p r o c e d u r e . “ R a c h e l o b j e c t e d t o t h e a l g o r i t h m b e c a u s e a l t h o u g h i t p r o d u c e d t h e r i g h t a n s w e r , i t w a s “ a b a c k w a r d s w a y o f d o i n g i t . ” O t h e r s i m p l y s a i d t h a t t h e u s u a l p r o c e d u r e w a s “ m o r e a c c e p t a b l e . " 5 I n c h a p t e r 5 I d i s c u s s t h e t e a c h e r c a n d i d a t e s ' b r o a d u s e o f t h e t e r m " c o n c e p t . “ 1 9 1 T h e p r o s p e c t i v e t e a c h e r s ' u n e v e n u n d e r s t a n d i n g o f t h e u n d e r l y i n g c o n c e p t s w a s i n t e r w o v e n w i t h t h e i r s h a k y r e a c t i o n t o t h e a l t e r n a t i v e s u b t r a c t i o n a l g o r i t h m . S i n c e m o s t d i d n ' t k n o w w h e t h e r i t w a s a r e a s o n a b l e a l t e r n a t i v e - ~ i . e . , w h e t h e r i t w o u l d h o l d u p - - t h e y f e l t i n s e c u r e a b o u t a l l o w i n g s t u d e n t s t o u s e i t . H a d t h e y b e e n a b l e t o d e t e r m i n e i t s v a l i d i t y , w o u l d t h e y h a v e b e e n m o r e e n t h u s i a s t i c o f t h e n o v e l t y ? I c a n n o t k n o w t h i s , a l t h o u g h t h e t h r e e t e a c h e r c a n d i d a t e s w h o d i d s e e m t o u n d e r s t a n d i t s b a s i s s a i d t h e y w o u l d n e v e r t h e l e s s d i s c o u r a g e t h e p u p i l f r o m u s i n g i t . T h e e l e m e n t a r y t e a c h e r c a n d i d a t e s ' r e s p o n s e s t o t h i s q u e s t i o n s u g g e s t e d t h a t t h e y t e n d e d t o t h i n k t h a t d o i n g m a t h e m a t i c s i n v o l v e d u s i n g e s t a b l i s h e d p r o c e d u r e s t o s o l v e p r o b l e m s o n e i s g i v e n . T h e s e c o n d a r y t e a c h e r c a n d i d a t e s a l s o s e e m e d t o s e e m a t h e m a t i c s t h i s w a y . F o r e x a m p l e , i n r e s p o n d i n g t o t h e q u e s t i o n o n s o l v i n g a l g e b r a i c e q u a t i o n s , n o t o n e s e c o n d a r y t e a c h e r c a n d i d a t e f o c u s e d o n t h e m e a n i n g o f t h e e q u a t i o n . I n s t e a d t h e y e m p h a s i z e d t h e s t e p s t h a t s h o u l d b e f o l l o w e d i n o r d e r t o s o l v e f o r x . I n g e n e r a l , t h e y t e n d e d t o e m p h a s i z e t h e i m p o r t a n c e o f k n o w i n g a n d u s i n g s t a n d a r d p r o c e d u r e s - - l i n i n g u p n u m b e r s c o r r e c t l y i n m u l t i p l i c a t i o n , a n d t r a n s f o r m i n g e q u a t i o n s i n t o ] ’ - . I ! ‘ + h f o r m , f o r e x a m p l e . T h e t e a c h e r c a n d i d a t e s ' ‘ v i e w o f ' d o i n g m a t h e m a t i c s " c l e a r l y r e f l e c t e d w h a t " d o i n g m a t h “ i n fi g h g g l u s u a l l y m e a n s . T h e r e w a s l i t t l e s i g n t h a t t h e y t h o u g h t m u c h a b o u t w h a t " d o i n g m a t h e m a t i c s ” m e a n t i n a n y b r o a d e r s e n s e - - t o m a t h e m a t i c i a n s , f o r i n s t a n c e , o r i n t h e m a t h e m a t i c a l c o m m u n i t y . T h i s f i n d i n g i s n o t s u r p r i s i n g ; i t a l s o f i t s w i t h w h a t T h o m p s o n ( 1 9 8 4 ) h a s r e p o r t e d f r o m h e r s t u d y o f p r a c t i c i n g m a t h e m a t i c s t e a c h e r s . g e x k i n g _ e § e n _ h y _ e e e n . T h e t e a c h e r c a n d i d a t e s ' v i e w s o f w h a t i t m e a n s t o d o m a t h e m a t i c s a l s o e m e r g e d f r o m t h e i r a n s w e r s t o a p a i r o f q u e s t i o n s f o c u s e d o n w h a t i t m e a n s t o b e ' g o o d a t m a t h . “ I a s k e d t h e t e a c h e r c a n d i d a t e s t o t h i n k o f a p e r s o n t h e y k n e w w h o m t h e y c o n s i d e r e d t o b e g o o d a t m a t h e m a t i c s a n d o n e w h o m t h e y w o u l d s a y w a s n o t g o o d a t m a t h e m a t i c s . T h e n I a s k e d t h e m t o d e s c r i b e e a c h o f t h e s e p e o p l e - - w h a t t h e y d o a n d w h y t h e y t h i n k t h e y a r e g o o d o r n o t g o o d a t m a t h . I d e s i g n e d t h e s e q u e s t i o n s t o l e a r n a b o u t t h e t e a c h e r c a n d i d a t e s ' i d e a s a b o u t m a t h e m a t i c s a n d a b o u t w h a t d o i n g m a t h e m a t i c s i n v o l v e s , a s w e l l a s t o e x p l o r e t h e i r i d e a s a b o u t t h e s o u r c e s o f s u c c e s s i n m a t h e m a t i c s . 7 I t h o u g h t t h a t i f I c o u l d g e t t h e m t o t a l k a b o u t p e o p l e w h o m t h e y t h o u g h t w e r e g o o d a t m a t h t h a t I w o u l d l e a r n s o m e t h i n g a b o u t w h a t i t t a k e s t o " d o m a t h ' - - a n d w h a t m a t h e m a t i c s e n t a i l s . T h e p r o s p e c t i v e t e a c h e r s ' i d e a s a b o u t w h a t i t m e a n s t o b e g o o d a t m a t h - - w h a t i s i n v o l v e d i n e e i n g m a t h w e l l - ~ s e e m e d t o f a l l i n t o t w o c a t e g o r i e s : a k n e g l e e g e v i e w a n d a n z e h l e n _ e e 1 2 1 n g v i e w . T h e k n o w l e d g e v i e w e m p h a s i z e d r e m e m b e r i n g p r o c e d u r e s a n d f o r m u l a s a n d “ g r a s p i n g “ c o n c e p t s . T h e p r o b l e m s o l v i n g v i e w h e l d t h a t b e i n g g o o d a t m a t h m e a n s b e i n g a b l e t o s o l v e p r o b l e m s e i t h e r b y t h i n k i n g s l o w l y a n d i n a s t e p - b y - s t e p m a n n e r o r b y t h i n k i n g f l e x i b l y , c o n s i d e r i n g a l t e r n a t i v e s . T h e k n e g l e e g e v i e w w a s a s s o c i a t e d w i t h g e t t i n g r i g h t a n s w e r s r e l a t i v e l y e a s i l y a n d w i t h t h e i m p o r t a n c e o f s t u d y . A c c o r d i n g t o t h i s p e r s p e c t i v e , p e o p l e w h o a r e g o o d a t m a t h t a k e m o r e c o u r s e s , a n d t h e y 7 I d i s c u s s m y a n a l y s i s o f t h e t e a c h e r c a n d i d a t e s ' i d e a s a b o u t s o u r c e s o f s u c c e s s i n m a t h e m a t i c s i n C h a p t e r 5 . 1 9 3 s t u d y , e v e n , a c c o r d i n g t o M a r s h a , t o “ a n e x t r e m e . “ T a k i n g c o u r s e s i m p l i e d a c q u i r i n g f a c t s a n d p r o c e d u r e s ; s t u d y i n g s e e m e d t o m e a n p r a c t i c i n g t h e m . M a r s h a d e s c r i b e d a f r i e n d , w h o l i t e r a l l y t o o k n o t e s i n t o t h e s h o w e r a n d w o u l d j u s t s t u d y i n t h e s h o w e r , e q u a t i o n s , a n d m e m o r i z e e q u a t i o n s . H e w o u l d c o m e i n , l i k e a n e m p t y c l a s s r o o m , a n d j u s t c o m p l e t e l y w r i t e o n t h e b o a r d o v e r a n d o v e r a n d o v e r . P e o p l e w h o s u b s c r i b e d t o t h e k n o w l e d g e v i e w e m p h a s i z e d [ e n e n h e n i n g c o n c e p t s , f o r m u l a s , a n d p r o c e d u r e s . A l l e n s a i d t h a t p e o p l e w h o a r e g o o d a t m a t h h a v e ” s t u d i e d i t a n d t h e y u n d e r s t a n d i t a n d t h e y s t i l l r e m e m b e r i t “ a n d A n n e s a i d t h a t ” p e o p l e w h o a r e z e e l l y g o o d a t m a t h c a n r e m e m b e r a l l t h e f o r m u l a s , r e m e m b e r w h y , a n d h o w , e n d g e t t h e r i g h t a n s w e r . " T h e k n o w l e d g e v i e w s e e m e d t o i m p l y t h a t m a t h i s a s t a t i c b o d y o f k n o w l e d g e - ~ o f p a r t i c u l a r f a c t s , f o r m u l a s , a n d p r o c e d u r e s . D o i n g m a t h e m a t i c s , a c c o r d i n g t o t h i s v i e w , i s a m a t t e r o f r e m e m b e r i n g a n d p l u g g i n g i n c o r r e c t p r o c e d u r e s . F r o m t h e n I e h l e n _ e e l x i n g _ n e x e n e e § 1 1 e , p e o p l e w h o a r e g o o d a t m a t h a r e g o o d a t ” s o l v i n g p r o b l e m s . “ T h e y c a n c o n s i d e r a l t e r n a t i v e s t r a t e g i e s a n d p e r s p e c t i v e s . C i n d y e x p l a i n e d t h a t t h e y u n d e r s t a n d t h e i d e a s ; t h e y h a v e n e e j u s t m e m o r i z e d f o r m u l a s . S e v e r a l o t h e r s d i s c u s s e d t h e i m p o r t a n c e o f t a k i n g t h i n g s s t e p - b y - s t e p . T h e p r o b l e m s o l v i n g v i e w i m p l i e d a v i e w o f m a t h e m a t i c s i n w h i c h t h e g o a l i s t o s o l v e p r o b l e m s . A l t h o u g h t h i s s o u n d s s o p h i s t i c a t e d , t h e p r o s p e c t i v e t e a c h e r s ' n o t i o n s o f w h a t a ” p r o b l e m ” i s o r w h a t i t m e a n s t o “ s o l v e “ a p r o b l e m v a r i e d s u b s t a n t i a l l y . F o r m a n y , a “ p r o b l e m “ w a s s i m p l y a t e x t b o o k e x e r c i s e i n w h i c h t o g o a l i s t o f o l l o w 1 9 4 a s e t o f p r e d e t e r m i n e d s t e p s t o f i n d a n a n s w e r . 8 I n o t h e r w o r d s , t h e p e r s o n w h o c a n e a s i l y c o m p l e t e t h e ” p r o b l e m s “ a t t h e e n d o f t h e t e x t b o o k s e c t i o n i s g o o d a t s o l v i n g p r o b l e m s b y r e m e m b e r i n g t h e m a t e r i a l t h a t h a s b e e n t a u g h t . F o r a f e w o t h e r t e a c h e r c a n d i d a t e s , a p r o b l e m i m p l i e d a t r u l y t h o r n y q u e s t i o n w h o s e s o l u t i o n d e p e n d s o n u s i n g i d e a s o n e u n d e r s t a n d s i n n o v e l w a y s . W h e r e a s r e s p o n s e s t o t h e c o n t e n t - f o c u s e d q u e s t i o n s a n d t h e q u e s t i o n s a b o u t b e i n g ” g o o d a t m a t h “ s u g g e s t e d t h a t t h e t e a c h e r c a n d i d a t e s b e l i e v e d t h a t m a t h e m a t i c s i n v o l v e d f o l l o w i n g e s t a b l i s h e d p r o c e d u r e s s t e p - b y - s t e p , m y a n a l y s i s o f t h e c a r d s o r t t a s k r e v e a l e d s e v e r a l s t r i k i n g c o n t r a s t s . T e a c h e r c a n d i d a t e s a g r e e d w i t h s t a t e m e n t s t h a t s e e m e d t o m e t o c o n t r a d i c t t h e p e r s p e c t i v e s t h e y h a d r e v e a l e d i n o t h e r q u e s t i o n s . B e l o w I d i s c u s s t w o e x a m p l e s . I n d e s c r i b i n g p e o p l e w h o m t h e y c o n s i d e r e d t o b e g o o d a t m a t h e m a t i c s , m o s t o f t h e t e a c h e r c a n d i d a t e s s e e m e d t o p l a c e a h i g h p r e m i u m o n c o m p u t a t i o n a l s k i l l , a c c u r a c y , a n d s p e e d . Y e t o v e r h a l f o f t h e m d i s a g r e e d w i t h t h e s t a t e m e n t : “ B e i n g g o o d a t m a t h e m a t i c s m e a n s b e i n g a b l e t o p e r f o r m c o m p u t a t i o n s q u i c k l y a n d a c c u r a t e l y . " T h e y p o i n t e d o u t t h a t b e i n g a b l e t o c a l c u l a t e d i d n o t n e c e s s a r i l y m e a n t h a t o n e u n d e r s t o o d t h e “ c o n c e p t s . “ T h e i r u s e o f t h e t e r m " c o n c e p t , " h o w e v e r , w a s u n c l e a r . A l t h o u g h t h e y s t r e s s e d t h e i m p o r t a n c e o f k n o w i n g c o n c e p t s , t h e t e r m s o m e t i m e s s e e m e d t o m e a n t h e s t e p s o f a p r o c e d u r e . 9 8 A c c o r d i n g t o B u t t s ( 1 9 8 0 ) , a n e x e r c i s e i s a t a s k f o r w h i c h a p r o c e d u r e f o r i t s s o l u t i o n i s k n o w n ( t o t h e s o l v e r ) . A p r o b l e m i s a t a s k w h o s e s o l u t i o n i s t r u l y p r o b l e m a t i c , w h e r e n o a p p r o a c h t o s o l v i n g i t i s y e t k n o w n ( b y t h e s o l v e r ) . S o , f o r e x a m p l e , f i n d i n g t h e p r o d u c t o f 7 8 6 a n d 3 5 i s a n . e x e x e 1 e e f o r a n a d u l t , b u t m a y b e a n x e h l e n f o r a n e i g h t - y e a r - o l d . 9 I n c h a p t e r 5 , I d i s c u s s t h e t e a c h e r c a n d i d a t e s ' b r o a d u s e o f t h e t e r m " c o n c e p t . “ 1 9 5 I n t h e i n t e r v i e w s , m o s t o f t h e t e a c h e r c a n d i d a t e s e m p h a s i z e d t h e i m p o r t a n c e o f l e a r n i n g a n d u s i n g s t a n d a r d p r o c e d u r e s i n m a t h e m a t i c s , a n d s a i d t h e y w o u l d d i s c o u r a g e s t u d e n t s f r o m u s i n g t h e i r o w n n o v e l s t r a t e g i e s . O n t h e c a r d s o r t , h o w e v e r , o v e r h a l f d i s a g r e e d w i t h s t a t e m e n t # b : ' I t i s b e t t e r t o u s e a n e s t a b l i s h e d p r o c e d u r e t h a n t o i n v e n t y o u r o w n . w a y o f d o i n g a p r o b l e m . “ O n l y 3 a g r e e d w i t h t h e s t a t e m e n t , a r e s u l t t h a t s e e m e d t o c o n t r a d i c t m y i n t e r p r e t a t i o n o f t h e i r i n t e r v i e w s . I n a n a l y z i n g t h e i r c o m m e n t s , h o w e v e r , I d i s c o v e r e d t h a t s e v e r a l p r o s p e c t i v e t e a c h e r s d i s a g r e e d w i t h t h e s t a t e m e n t b e c a u s e i t s e e m e d t o u n d e r m i n e t h e v a l u e o f t h e i d e a : “ i n y o u r e g n w a y . “ T h i s l e d t h e m t o i n t e r p r e t t h e s t a t e m e n t a s a g e n e r a l a f f r o n t t o i n d i v i d u a l i t y o r a d e n i a l o f t h e v a l u e o f c r e a t i v i t y . O n e o f t h e e l e m e n t a r y c a n d i d a t e s s a i d i t s o u n d e d l i k e , “ D o n ' t b e d i f f e r e n t . ” A s e c o n d a r y c a n d i d a t e c o m m e n t e d t h a t u s i n g e s t a b l i s h e d p r o c e d u r e s r e q u i r e d “ o n l y m e m o r i z a t i o n ' w h i l e i n v e n t i n g r e q u i r e d t r u e c r e a t i v i t y ; a n o t h e r e l s e p o i n t e d o u t t h a t i t c o u l d “ b u i l d a s t u d e n t ' s e g o ' t o f i n d t h e i r o w n w a y s t o w o r k o n p r o b l e m s . T h e c u l t u r a l v a l u e p l a c e d o n i n d i v i d u a l i t y , d i s c u s s e d e a r l i e r i n t h i s c h a p t e r , w a s o n c e a g a i n a s i g n i f i c a n t f a c t o r h e r e . I m p o r t a n t t o n o t e i s t h e w a y i n w h i c h t h i s v i e w i s h e l d c o m p l e t e l y s e p a r a t e f r o m ‘ v i e w s o f m a t h e m a t i c s . I n o t h e r w o r d s , t h e t e a c h e r c a n d i d a t e s d i d n o t c o n f r o n t o r g r a p p l e w i t h w h a t m i g h t b e l e g i e i n e e e w a y s o f d o i n g t h i n g s o n o n e ' s o w n o r b e i n g “ c r e a t i v e “ i n m a t h e m a t i c s . I n f a c t , t h e y d i d n o t s e e m t o e x a m i n e t h e d i l e m m a s i n h e r e n t i n h o l d i n g g o a l s o f f o s t e r i n g b o t h i n d i v i d u a l i t y a n d d i s c i p l i n a r y k n o w l e d g e . W h a t c o u l d e x p l a i n t h e a p p a r e n t d i s c r e p a n c y b e t w e e n w h a t t h e t e a c h e r 1 9 6 c a n d i d a t e s s a i d d u r i n g t h e i n t e r v i e w s a n d t h e i r r e s p o n s e s t o t h e c a r d s o r t s t a t e m e n t s ? I f i n d t h r e e p o s s i b l e e x p l a n a t i o n s q u i t e c o m p e l l i n g . D i f f e r e n c e s o f i n t e r p r e t a t i o n u n d o u b t e d l y a c c o u n t e d f o r s o m e o f t h e d i s c o r d . D e s p i t e p i l o t i n g a n d r e v i s i o n o f t h e c a r d s o r t s t a t e m e n t s a s I w a s c o n s t r u c t i n g t h e m , t h e t e a c h e r c a n d i d a t e s c l e a r l y i n t e r p r e t e d t e r m s d i f f e r e n t l y t h a n I d i d , a n d d i f f e r e n t l y f r o m o n e a n o t h e r . O n e f u n n y e x a m p l e o f t h i s o c c u r r e d w i t h t h e s t a t e m e n t , “ I h a v e a l w a y s b e e n a n x i o u s a b o u t m a t h e m a t i c s i n s c h o o l . “ I w a s s u r p r i s e d w h e n o n e o f t h e m a t h m a j o r s , w h o h a d t a l k e d e n t h u s i a s t i c a l l y a b o u t h i s l o v e o f m a t h e m a t i c s , a g r e e d w i t h t h i s s t a t e m e n t . W h e n h e d i d n ' t c o m m e n t o n i t , I p r o b e d . H e l o o k e d a t m e o d d l y a n d s a i d t h a t h e h a d e l g e y e b e e n a n x i o u s t o g o t o m a t h c l a s s b e c a u s e h e l i k e d i t s o m u c h ! T h e c o l l o q u i a l e q u a t i o n o f “ e a g e r “ w i t h “ a n x i o u s “ l e d t o t h i s d i s c o r d i n t h e d a t a . T e r m s l i k e “ a r g u m e n t , “ “ c o n c r e t e e x p e r i e n c e , “ “ l i b e r a l l y e d u c a t e d , “ a n d “ p r o b l e m - s o l v i n g “ a l s o e l i c i t e d v a r i e d i n t e r p r e t a t i o n s . U n d o u b t e d l y t h e r e w e r e o t h e r s t h a t I d i d n ' t s t u m b l e u p o n a s w e l l . W h e n t e a c h e r c a n d i d a t e s c o m m e n t e d a b o u t t h e i r c h o i c e s o r w h e n I p r o b e d , I l e a r n e d h o w t h e y u n d e r s t o o d c e r t a i n s t a t e m e n t s . H o w e v e r , s i n c e t h e i r i n t e r p r e t a t i o n s w e r e o f t e n d i f f e r e n t t h a n w h a t I h a d b e e n t h i n k i n g w h e n I d e v e l o p e d t h e i t e m s , t h e r e s u l t s o f t e n s e e m e d , a t f i r s t g l a n c e , s t a r t l i n g . I d o n o t t h i n k , h o w e v e r , t h a t v a r i a n c e i n i n t e r p r e t a t i o n o f i t e m s c o m p l e t e l y e x p l a i n s w h y t h e r e s u l t s o f t h e c a r d s o r t t a s k s e e m e d a t o d d s w i t h t h e i n t e r v i e w r e s p o n s e s . A n o t h e r p o s s i b i l i t y i s t h a t t h e i n t e r v i e w q u e s t i o n s a n d c a r d s o r t t a s k d i d n o t t a p t h e s a m e t h i n g . T h e i n t e r v i e w r e s p o n s e s r e v e a l e d v a r i o u s d i m e n s i o n s o f k n o w l e d g e a n d b e l i e f i n i n t e r a c t i o n w i t h o n e a n o t h e r - ~ u n d e r s t a n d i n g s o f p a r t i c u l a r 1 9 7 m a t h e m a t i c a l t o p i c s , i d e a s a b o u t t h e t e a c h e r ' s r o l e , i d e a s a b o u t p u p i l s a n d a b o u t h o w t h e y l e a r n , a s w e l l a s i d e a s g h e e ; m a t h e m a t i c s . T h e c a r d s o r t s t a t e m e n t s w e r e m o r e “ b a l d “ - - t h a t i s , t h e y i n v i t e d p e o p l e t o r e s p o n d t o t h e m m o r e u n i d i m e n s i o n a l l y . O n e c o u l d a r g u e t h a t t h e i r r e s p o n s e s m a y r e v e a l t h e c o m p o n e n t s o f t h e i r b e l i e f s a n d u n d e r s t a n d i n g s t h a t a r e c o m p o s e d w h e n t h e y r e s p o n d t o s p e c i f i c t e a c h i n g s i t u a t i o n s . 1 0 I n o t h e r w o r d s , i f o n e t e a c h e r c a n d i d a t e ' s r e s p o n s e s i n d i c a t e d t h a t s h e t h o u g h t i n v e n t i n g p r o c e d u r e s w a s a l e g i t i m a t e a n d v a l u a b l e p a r t o f d o i n g m a t h e m a t i c s a n d t h a t y o u n g c h i l d r e n c a n e n g a g e i n p r o b l e m s o l v i n g , o n e m i g h t p r e d i c t t h a t , c o n s i s t e n t w i t h t h o s e b e l i e f s , s h e w o u l d e n c o u r a g e t h e s t u d e n t w h o i n v e n t e d a n a l t e r n a t i v e a l g o r i t h m f o r b o r r o w i n g . S t i l l , t h a t i s n o t t h e p a t t e r n t h a t e m e r g e d i n t h e d a t a . T h e t e a c h e r c a n d i d a t e s ' r e s p o n s e s t o t h e i n t e r v i e w s d i d n o t s e e m t o b e t h e s u m s o f t h e i r r e s p o n s e s t o t h e c a r d s o r t t a s k . I n c o n t e x t , t h e i r i d e a s i n e e z e e e , o n e u n d e r s t a n d i n g o r a s s u m p t i o n s h a p i n g a n o t h e r . I n t h e i n t e r v i e w , t e a c h e r c a n d i d a t e s w e r e i n c l i n e d t o d i s c o u r a g e t h e p u p i l f r o m u s i n g t h e i n v e n t e d p r o c e d u r e f o r s u b t r a c t i o n b e c a u s e t h e y l a c k e d s u f f i c i e n t s u b s t a n t i v e m a t h e m a t i c a l u n d e r s t a n d i n g t o b e a b l e t o m a k e s e n s e o f i t . P r o s p e c t i v e t e a c h e r s w h o b e l i e v e d t h a t t h e t e a c h e r ' s p r i m a r y r e s p o n s i b i l i t y w a s t o p r o v i d e s t u d e n t s w i t h b a s i c k n o w l e d g e a n d s k i l l a l s o s e e m e d t o c o n s t r u e t h e s t u d e n t ' s i n v e n t e d a l g o r i t h m a s a d i v e r s i o n f r o m t h e r e q u i r e d c u r r i c u l u m , d e s p i t e t h e i r p r o f e s s e d b e l i e f i n m a t h e m a t i c s a s a c r e a t i v e p r o c e s s . T h i s i n t e r a c t i o n o f k n o w l e d g e a n d b e l i e f s i n s i t u s u g g e s t s t h a t , c o m p a r e d t o t h e i n t e r v i e w , t h e c a r d 1 ° E x a m i n i n g t h i s a s s u m p t i o n w a s p a r t o f m y r e a s o n f o r u s i n g a c a r d s o r t t a s k . 1 9 8 s o r t m a y n o t b e a s v a l i d a m e a s u r e o f p r o s p e c t i v e t e a c h e r s ' w a y s o f g h i n k i n g . S t i l l , i t c a n c o n t r i b u t e t o u n d e r s t a n d i n g t h e p i e c e s o f b e l i e f h e l d b y p r o s p e c t i v e t e a c h e r s . A n o t h e r p o s s i b l e e x p l a n a t i o n f o r t h e a p p a r e n t d i s c r e p a n c y b e t w e e n t h e r e s u l t s o f t h e c a r d s o r t t a s k a n d t h e i n t e r v i e w r e s p o n s e s i s t h a t t h e t e a c h e r c a n d i d a t e s k n e w t h e “ r i g h t “ t h i n g s t o s a y . P e r h a p s t h e y k n e w t h e a p p r o p r i a t e p o s i t i o n s a b o u t m a t h e m a t i c s - - t h a t p r o b l e m s o l v i n g i s c e n t r a l , t h a t i n v e n t i n g n e w p r o c e d u r e s i s a l e g i t i m a t e p a r t o f “ d o i n g “ m a t h e m a t i c s , t h a t g e t t i n g r i g h t a n s w e r s i s n o t a l l t h e r e i s t o m a t h e m a t i c s . T h e c a r d s o r t a n a l y s i s s h o w s t h a t m a n y o f t h e p r o s p e c t i v e t e a c h e r s r e s p o n d e d i n w a y s t h a t w e r e q u i t e c o n s i s t e n t w i t h c u r r e n t l y f a v o r e d v i e w s , i n c o n t r a s t w i t h t h e i r r e s p o n s e s o n t h e i n t e r v i e w s . B u t t h e y m a y h a v e j u s t k n o w n t h a t t h e y w e r e e n n n e e e g t o b e l i e v e c e r t a i n t h i n g s . I f s o , i t w o u l d m a k e s e n s e t h a t t h e y w o u l d r e s p o n d t o t h e i s o l a t e d s t a t e m e n t s o f t h e c a r d s o r t i n o n e w a y a n d y e t r e v e a l o t h e r p o i n t s o f v i e w w h e n t a l k i n g o n t h e i r o w n a b o u t p a r t i c u l a r s i t u a t i o n s i n t e a c h i n g . T h i s i n t e r p r e t a t i o n s u g g e s t s t h a t t h e c a r d s o r t a n a l y s i s i s h e l p f u l i n u n c o v e r i n g t h e e x t e n t o f p r o s p e c t i v e t e a c h e r s ' u n d e r s t a n d i n g o f “ i n t e l l e c t u a l l y a p p r o p r i a t e “ p o s i t i o n s a b o u t m a t h e m a t i c s ( s i n c e t h e t a s k r e q u i r e d t h e m t o r e s p o n d t o a l r e a d y - f o r m u l a t e d p e r s p e c t i v e s ) . M W W e : C a t h y , a b o v e , s a w n o r e a s o n t o d o p r o o f s . I n a n a l y z i n g t h e p r o s p e c t i v e t e a c h e r s ' u n d e r s t a n d i n g s e h e n § _ m a t h e m a t i c s , o n e f i n a l i s s u e I e x a m i n e d w a s t h e p r o s p e c t i v e t e a c h e r s ' i d e a s a b o u t t h e p u r p o s e s f o r l e a r n i n g m a t h e m a t i c s , a b o u t t h e v a l u e o f m a t h e m a t i c s a s a 1 9 9 s u b j e c t . I p u r s u e d t h i s a t t w o l e v e l s . M o s t g e n e r a l l y , w h a t i s t h e v a l u e o f m a t h e m a t i c s ? W h y s t u d y o r k n o w i t ? S p e c i f i c a l l y , w h a t i s t h e r e a s o n t o l e a r n a p a r t i c u l a r b r a n c h o r p i e c e o f m a t h e m a t i c s - - c o n s t r u c t i n g p r o o f s , m u l t i p l i c a t i o n , o r g e o m e t r y , f o r i n s t a n c e ? I u s e d s o m e c a r d s o r t i t e m s f o r t h e m o r e g e n e r a l l e v e l . T o e x a m i n e t h e t e a c h e r c a n d i d a t e s ' i d e a s a t t h e m o r e s p e c i f i c t o p i c a l l e v e l , I p o s e d a q u e s t i o n f r o m a n o b s t r e p e r o u s p u p i l : “ W h y a r e w e l e a r n i n g t h i s ? “ I u s e d t h i s q u e s t i o n w i t h i n t h e l o n g e r e x e r c i s e s o n s l o p e a n d g r a p h i n g ( s e c o n d a r y ) a n d s u b t r a c t i o n w i t h r e g r o u p i n g ( e l e m e n t a r y ) . M a n y o f t h e t e a c h e r c a n d i d a t e s h a d a p p a r e n t l y n e v e r t h o u g h t e x p l i c i t l y a b o u t p u r p o s e s f o r s t u d y i n g m a t h e m a t i c s o r a b o u t t h e s u b j e c t ' s v a l u e . T h o s e w h o l i k e d m a t h e m a t i c s t o o k i t b e c a u s e t h e y e n j o y e d i t . T h o s e w h o d i d n ' t l i k e m a t h s t o p p e d t a k i n g i t a s s o o n a s t h e y c o u l d . B e c a u s e o f t h e w i d e v a r i a t i o n i n m a t h e m a t i c s b a c k g r o u n d , t h e t e a c h e r c a n d i d a t e s e v e n m e a n t d i f f e r e n t t h i n g s b y “ m a t h e m a t i c s . “ T h u s , q u e s t i o n s o f v a l u e a n d p u r p o s e h a d d i f f e r e n t r e f e r e n t s f o r d i f f e r e n t p e o p l e . M a t h e m a t i c s m a j o r s w o n d e r e d a b o u t t h e v a l u e o f g r o u p s a n d r i n g s o r g r a p h i n g f u n c t i o n s w h i l e e l e m e n t a r y m a j o r s w e r e t h i n k i n g a b o u t f r a c t i o n s . S t i l l , t h e i r i d e a s a b o u t t h e v a l u e o f l e a r n i n g m a t h e m a t i c s c a n b e s u m m a r i z e d i n t h r e e m a i n p r o p o s i t i o n s : V i e w w t 5 : . M a t h e m s t i c s i s e s s e n t i a l f o r e v e r y d a y l i f e . V i e w # 6 : M a t h e m a t i c s h e l p s o n e l e a r n t o t h i n k . V i e w # 7 : M a t h e m a t i c s i s J u s t “ t h e r e , “ b u t i t i s n e c e s s a r y . f 0 r p r o g r e s s i n s c h o o l . I b r i e f l y e x a m i n e e a c h o f t h e s e i n t u r n i n t h i s s e c t i o n . T h i s v a r i a t i o n i n t h e r e f e r e n t f o r “ m a t h e m a t i c s “ w a s o b v i o u s i n t e a c h e r c a n d i d a t e s ' r e m a r k s a b o u t t h e a p p l i c a t i o n o f m a t h i n e v e r y d a y l i f e . 2 0 0 A n d y , a s e c o n d a r y c a n d i d a t e , f o r e x a m p l e , w a s t h i n k i n g a b o u t t h e u s e f u l n e s s o f c a l c u l u s i n p h y s i c s , w h i l e o t h e r s e m p h a s i z e d t h e n e e d f o r c o m p u t a t i o n a l s k i l l s t o b a l a n c e c h e c k b o o k s a n d b u y w a l l p a p e r . I a s k e d t h e e l e m e n t a r y c a n d i d a t e s w h a t t h e y w o u l d s a y t o a p u p i l w h o a s k e d a b o u t l e a r n i n g t o s u b t r a c t w i t h r e g r o u p i n g ( o r t o “ b o r r o w “ ) , “ W h y a r e w e l e a r n i n g t h i s ? I a l r e a d y h a v e a c a l c u l a t o r a n d I c a n d o t h e s e p r o b l e m s o n t h e r e . “ T h e m o s t c o m m o n r e s p o n s e w a s t o t e l l t h e p u p i l t h a t a c a l c u l a t o r w o n ' t a l w a y s b e a v a i l a b l e , t h a t i t m i g h t r u n o u t o f b a t t e r i e s o r b r e a k . T h e i r e x a m p l e s - - b e i n g a t t h e s t o r e a n d n o t b e i n g s u r e w h e t h e r o r n o t o n e h a s e n o u g h m o n e y t o p a y f o r g r o c e r i e s , b a l a n c i n g t h e c h e c k b o o k , b u i l d i n g a h o u s e o n a d e s e r t i s l a n d - - d i d n o t n e c e s s a r i l y i n v o l v e s u b t r a c t i o n . A l t h o u g h a l l t h e p r o s p e c t i v e t e a c h e r s t h o u g h t t h a t m a t h e m a t i c s w a s u s e f u l i n e v e r y d a y l i f e , t h e y o f t e n h a d d i f f i c u l t y t h i n k i n g o f s p e c i f i c a p p l i c a t i o n s o f p a r t i c u l a r c o n c e p t s o r t o p i c s . F o r e x a m p l e , s e v e r a l t e a c h e r c a n d i d a t e s c o m m e n t e d t h a t f r a c t i o n s w e r e d i f f i c u l t b e c a u s e i t w a s h a r d t o r e l a t e 3 / 4 t o s o m e t h i n g r e a l . T h e s e c o n d a r y c a n d i d a t e s w a n t e d t o m a k e s l o p e m o r e e x c i t i n g , i n t e r e s t i n g , a n d s h o w w a y s t h a t i t c o u l d b e u s e d , b u t f o u n d i t d i f f i c u l t t o t h i n k o f “ r e a l w o r l d e x a m p l e s . “ S o m e g r a s p e d a t s k i s l o p e s ( s e e s e c t i o n o n u n d e r s t a n d i n g s l o p e a n d g r a p h i n g ) . J o n , h o w e v e r , s a i d h e w o u l d w a n t t o a v o i d s a y i n g s o m e t h i n g l i k e , “ T h i s h e l p s u s u n d e r s t a n d h o w s l e d s g o f a s t . “ T h e s e d i f f i c u l t i e s w e r e e v i d e n c e o f t h e u n c o n n e c t e d n e s s o f t h e i r o w n s u b s t a n t i v e k n o w l e d g e , d i s c u s s e d i n C h a p t e r 3 . 1 1 W . I n t h e m o s t g e n e r a l s e n s e , m a n y o f t h e p r o s p e c t i v e t e a c h e r s e x p r e s s e d t h e v i e w t h a t l e a r n i n g m a t h e m a t i c s c o u l d h e l p o n e l e a r n t o t h i n k . T h e s t a t e m e n t , 2 0 1 “ M a t h e m a t i c s c a n h e l p y o u l e a r n t o t h i n k b e t t e r , “ d r e w u n u s u a l c o n s e n s u s . B a r b , t h e o n l y o n e w h o s a i d s h e w a s u n s u r e , n e v e r t h e l e s s a c k n o w l e d g e d t h a t m a t h c a n p r o b a b l y “ h e l p y o u t h i n k m o r e l o g i c a l l y , t a k e a l o o k a t t h i n g s i n a m o r e s t e p - b y - s t e p f a s h i o n . “ J a n e t , a s e c o n d a r y m a j o r , s a i d s h e t h o u g h t s t u d y i n g m a t h e m a t i c s c o u l d h e l p a p e r s o n w h o t h i n k s i n a m o r e i n t e g r a t i v e w a y ( “ a s o c i a l s t u d i e s o r E n g l i s h p e r s o n “ ) l e a r n t o “ t h i n k m a t h e m a t i c a l l y “ - - i . e . , “ v e r y a n a l y t i c a l l y - ~ t o p i c k t h i n g s a p a r t . “ A n d C a t h y s a i d s h e w o u l d t e l l t h e p u p i l w h o a s k e d w h y i t w a s i m p o r t a n t t o l e a r n s u b t r a c t i o n : Y o u n e e d m a t h t o m a k e y o u e h i n k . . . D o i n g t h e s e p r o b l e m s m a k e s y o u t h i n k . I t d e v e l o p s y o u r l o g i c . . . I t m a k e s y o u r m i n d w o r k . I n a v a g u e w a y , t h e t e a c h e r c a n d i d a t e s r e f l e c t e d t h e c o m m o n s e n s e “ m e n t a l m u s c l e “ v i e w o f l e a r n i n g , a c c o r d i n g t o w h i c h o n e ' s b r a i n g e t s s t r o n g e r f r o m s t u d y i n g m a t h e m a t i c s . T h i s w a s , h o w e v e r , n o t a d o m i n a n t t h e m e a c r o s s t h e i n t e r v i e w s . n ; e g ; e e e _ 1 n _ e e h e e l . S i n c e t h e t e a c h e r c a n d i d a t e s w e r e q u i t e f o c u s e d o n s c h o o l m a t h e m a t i c s , t h i s p u r p o s e c a m e e a s i l y t o t h e m w h e n t h e y w e r e t h i n k i n g a b o u t p a r t i c u l a r t o p i c s . R a c h e l , a n e l e m e n t a r y c a n d i d a t e , s a i d t h a t s u b t r a c t i o n w i t h r e g r o u p i n g w a s n e e d e d t o g e t i n t o “ h i g h e r a d v a n c e d m a t h c l a s s e s . “ I a s k e d t h e s e c o n d a r y c a n d i d a t e s h o w t h e y w o u l d r e s p o n d t o a s t u d e n t w h o a s k e d w h y t h e y n e e d e d t o l e a r n s l o p e . A n d y s a i d , Y o u j u s t h a v e t o t r y , y o u h a v e t o c o n v i n c e t h e s t u d e n t s t h a t t h i s i s g o n n a b e s o m e t h i n g t h a t t h e y ' r e g o n n a n e e d l a t e r o n . . T h a t ' s w h y b e f o r e y o u p r e s e n t m o s t m a t e r i a l o r s o m e t h i n g , y o u s h o u l d p r o b a b l y s a y w h a t i t ' s g o i n g t o r e l a t e t o o r w h y y o u ' r e g o n n a u s e i t . A s h e f o u n d i t d i f f i c u l t t o d o t h i s f o r s l o p e , A n d y s a i d h e w o u l d j u s t t e l l t h e s t u d e n t : 2 0 2 W e l l , t h i s i s a r e q u i r e m e n t o f t h e c l a s s a n d w e ' r e p r e s e n t i n g i t f o r p e o p l e w h o a r e g o i n g o n . Y o u h a v e t o d o i t . A n d i f y o u d o n ' t w a n t t o d o i t , t h e n I g u e s s , y o u w o n ' t g e t a g o o d g r a d e . O t h e r s f o u n d t h e m s e l v e s i n t h e s a m e p r e d i c a m e n t a s A n d y . C a r o l s a i d “ h e h a s t o l e a r n i t ' c a u s e h e ' s i n t h e c l a s s “ a n d s h e w o u l d p r o b a b l y j u s t a d m i t t h a t “ t h i s i s n ' t t h e m o s t i n t e r e s t i n g t h i n g y o u ' l l d o i n y o u r l i f e , b u t t h i s i s w h a t w e ' v e g o t t o d o r i g h t n o w . “ T h e t e a c h e r c a n d i d a t e s ' d e f a u l t t o t h e t a k e n - f o r - g r a n t e d v i e w t h a t m a t h e m a t i c s w a s n e c e s s a r y f o r p r o g r e s s i n s c h o o l a s a j u s t i f i c a t i o n o f i t s v a l u e w a s y e t a n o t h e r s i g n o f t h e g e n e r a l l y r u l e - b o u n d a n d u n c o n n e c t e d n a t u r e o f t h e i r s u b s t a n t i v e k n o w l e d g e . A l t h o u g h t h e y s a w t h e g e n e r a l i m p o r t a n c e o f m a t h e m a t i c s , t h e y w e r e v a g u e a b o u t s p e c i f i c v a l u e s o r u t i l i t y o f p a r t i c u l a r m a t h e m a t i c a l i d e a s o r t o p i c s a s a c o n s e q u e n t o f t h e i r o w n n a r r o w u n d e r s t a n d i n g o f t h o s e a r e a s . o n e i n d e p e n d e n t l y m e n t i o n e d a n y i n t r i n s i c v a l u e o f l e a r n i n g m a t h e m a t i c s , n o r i t s r o l e i n b e i n g w e l l - e d u c a t e d . I h a d , h o w e v e r , i n c l u d e d o n e s t a t e m e n t o n t h e c a r d s o r t t a s k a i m e d a t t h i s i d e a . T h e i t e m , “ T o b e a l i b e r a l l y e d u c a t e d p e r s o n , s t u d y i n g m a j o r s t r a n d s o f m a t h e m a t i c s i s j u s t a s i m p o r t a n t a s r e a d i n g c l a s s i c l i t e r a r y w o r k s , “ e l i c i t e d c o n s i d e r a b l e a g r e e m e n t . O n l y 5 t e a c h e r c a n d i d a t e s c h o s e t o c o m m e n t o n t h i s i t e m ( t h e y w e r e a s k e d t o c o m m e n t o n a n y s t a t e m e n t s t h e y w i s h e d a n d e s p e c i a l l y o n t h o s e a b o u t w h i c h t h e y f e l t s t r o n g l y ) . W h e n I p r o b e d , I f o u n d , u n s u r p r i s i n g l y , t h a t t h e t e a c h e r c a n d i d a t e s v a r i e d i n h o w t h e y u n d e r s t o o d t h e p h r a s e “ l i b e r a l l y e d u c a t e d p e r s o n . “ S o m e t e a c h e r c a n d i d a t e s r e s p o n d e d t o t h i s i t e m i n t e r m s o f w h a t i t t o o k t o b e e e n e i e e z e g ' w e l l - e d u c a t e d b y o t h e r s . T e r r e l l , a s e c o n d a r y m a j o r , s a i d . t h a t a l t h o u g h h e c a r e d a b o u t s t u d y i n g m a t h , h e w a s n ' t s u r e 2 0 3 i f k n o w i n g m a t h e m a t i c s w a s e s s e n t i a l t o b e i n g c o n s i d e r e d w e l l - e d u c a t e d . L i n d a , a n e l e m e n t a r y m a j o r , t o o k a s i m i l a r s t a n c e . S h e s a i d s h e t h o u g h t t h a t “ p e o p l e s h o u l d r e a d a l o t a n d k n o w a l o t a b o u t ( i i f f e r e n t c o u n t r i e s a n d a r t a n d s t u f f l i k e t h a t . I j u s t d o n ' t t h i n k ‘ t h a t i n e v e r y d a y l i f e s o m e o n e c a n t e l l t h a t y o u a r e g o o d a t m a t h , b u t t h e y c a n t e l l i f y o u h a v e r e a d a l o t . “ T w o o f t h e m a t h e m a t i c s m a j o r s w e r e t h e o n l y o n e s t o f o c u s o n t h e l j h e z e l . C i n d y t h o u g h t p e o p l e s h o u l d l e a r n “ n o t h e y y o u i n t e g r a t e o r d i f f e r e n t i a t e , b u t m a y b e h o w m a t h e m a t i c s a s a s c i e n c e d e v e l o p e d , p e r s o n a l l y . . . s t u d y p e o p l e l i k e D e s c a r t e s . “ S h e t h o u g h t t h a t t h i s m i g h t g i v e p e o p l e a n a p p r e c i a t i o n t h a t “ m a t h i s n ' t j u s t m u l t i p l y i n g a n d d i v i d i n g a n d t h i n g s l i k e t h a t . “ T h i s w a y o f t h i n k i n g a b o u t w h a t i t m e a n t t o b e w e l l - e d u c a t e d i n m a t h e m a t i c s w a s q u i t e d i f f e r e n t f r o m w h a t M e i L i n g m e a n t w h e n s h e s a i d p e o p l e s h o u l d b e s t r o n g i n t h e a l l t h e “ b a s i c “ a r e a s o f r e a d i n g , w r i t i n g , m a t h , a n d s c i e n c e : T h e t h i n g s y o u w o u l d u s e e v e r y d a y , y o u k n o w , e v e r y d a y i n j u s t l i v i n g - - l i k e a d d i n g , s u b t r a c t i o n , d i v i s i o n , m u l t i p l i c a t i o n , p e r c e n t a g e s , y o u k n o w , t h i n g s l i k e t h a t y o u w o u l d n e e d w h e n y o u g o t o u t . O u t s i d e o f s c h o o l . I t h i n k t h o s e w o u l d b e t h e b a s i c t h i n g s t h a t I w o u l d m a k e s u r e t h a t t h e y k n e w . A l t h o u g h t h e y b o t h a g r e e d w i t h t h e s t a t e m e n t , C i n d y a n d M e i L i n g a c t u a l l y d i f f e r e d c o n s i d e r a b l y i n t h e i r i d e a s a b o u t w h a t a g o o d m a t h e m a t i c a l e d u c a t i o n e n t a i l e d . W W A l t h o u g h t h e p r o s p e c t i v e t e a c h e r s h a d m a n y i d e a s a b o u t t h e n a t u r e o f m a t h e m a t i c s , t h e s e i d e a s w e r e i m p l i c i t , b u i l t u p l a r g e l y o u t o f y e a r s o f e x p e r i e n c e i n m a t h c l a s s r o o m s a n d f r o m l i v i n g i n a c u l t u r e i n w h i c h m a t h e m a t i c s i s b o t h r e v e r e d a n d r e v i l e d . W h i l e t h e s e i d e a s 2 0 4 i n f l u e n c e d t h e w a y s i n w h i c h t h e y e x p e r i e n c e d m a t h e m a t i c s , t h e p r o s p e c t i v e t e a c h e r s d i d n o t s e e m t o h a v e g i v e n t h e m a t t e r m u c h t h o u g h t . U n l i k e t h e i r u n d e r s t a n d i n g s o f t h e e n h e e e n e e o f m a t h e m a t i c s , w h i c h s o m e o f t h e m w i s h e d t o i n c r e a s e o r d e e p e n , t h e t e a c h e r c a n d i d a t e s h a d n e v e r c o n s i d e r e d t h e i r u n d e r s t a n d i n g s a b o u t m a t h e m a t i c s . T h e y d i d n o t s e e m d i s s a t i s f i e d , n o r d i d t h e y e v e n s e e m t o t h i n k e x p l i c i t l y a b o u t t h e m . M a n y h a d p r o b a b l y n e v e r t a l k e d a b o u t t h e s e i d e a s b e f o r e . I n t h e n e x t s e c t i o n , I d i s c u s s a t h i r d m a j o r c o m p o n e n t o f t h e t e a c h e r c a n d i d a t e s ' u n d e r s t a n d i n g s o f m a t h e m a t i c s : t h e i r f e e l i n g s a b o u t t h e s u b j e c t a n d a b o u t t h e m s e l v e s i n r e l a t i o n t o i t . L i k e t h e i r u n d e r s t a n d i n g s g h e e ; m a t h e m a t i c s , t h e i r f e e l i n g s a n d i n c l i n a t i o n s a b o u t m a t h s h a p e d t h e w a y t h e y t h o u g h t a b o u t a n d e x p e r i e n c e d m a t h e m a t i c s , a n d w e r e t i g h t l y b o u n d u p w i t h t h e i r s u b s t a n t i v e u n d e r s t a n d i n g s o f t h e d i s c i p l i n e . 2 0 5 W W a g i n g I n a d d i t i o n t o s p e c i f i c s u b s t a n t i v e k n o w l e d g e a n d i d e a s e h e n ; t h e s u b j e c t d i s c u s s e d t h u s f a r , u n d e r s t a n d i n g m a t h e m a t i c s i s a f f e c t e d b y o n e ' s e m o t i o n a l r e s p o n s e s t o t h e s u b j e c t a n d o n e ' s i n c l i n a t i o n s a n d s e n s e o f s e l f i n r e l a t i o n t o i t . W h i l e k n o w l e d g e e f a n d g h e e ; t h e s u b j e c t i s a f r a m e w o r k f o r e x a m i n i n g s u b j e c t m a t t e r k n o w l e d g e t h a t a p p l i e s e q u a l l y i n o t h e r d i s c i p l i n e s ( e . g . , h i s t o r y , s e e W i l s o n , 1 9 8 8 ; o r E n g l i s h , G r o s s m a n , l 9 8 8 ) t h i s a f f e c t i v e d i m e n s i o n o f u n d e r s t a n d i n g m a y b e u n i q u e l y s i g n i f i c a n t i n m a t h e m a t i c s . ' W e b s t e r ' s I h i r d _ N s w _ n n a h r i d s e d _ n i s £ i s n s r x d e f i n e s a t t i t u d e a s “ a d i s p o s i t i o n t h a t i s p r i m a r i l y g r o u n d e d i n a f f e c t a n d e m o t i o n . “ A t r a d i t i o n o f r e s e a r c h i n t e r e s t i n t h i s a r e a e x i s t s . R e s e a r c h e r s h a v e i n v e s t i g a t e d t e a c h e r s ' a n d p r o s p e c t i v e t e a c h e r s ' “ a t t i t u d e s “ t o w a r d m a t h e m a t i c s ( e . g . , B a s s a r e a r , 1 9 8 6 ; B r a n d a u , 1 9 8 5 ; D u t t o n , 1 9 5 4 ; P e r r i n i - M u n d y , 1 9 8 6 ; M c L e o d , 1 9 8 6 ; S m i t h , 1 9 6 4 ; T h o m p s o n , 1 9 8 4 ) . T h e y h a v e d e v e l o p e d s c a l e s w i t h w h i c h t o m e a s u r e t e a c h e r s ' i n t e r e s t i n , e n j o y m e n t o f , a n d c o n f i d e n c e w i t h m a t h e m a t i c s , g e n e r a l l y t r e a t i n g a t t i t u d e a s s e p a r a t e f r o m c o g n i t i v e i s s u e s o f u n d e r s t a n d i n g . I n m a t h e m a t i c s , h o w e v e r , I a r g u e t h a t f e e l i n g c a n n o t b e s e p a r a t e d f r o m t h i n k i n g a n d k n o w i n g . P e o p l e ' s n n e e z e e e n e i n g e o f m a t h e m a t i c s a r e i n t e r r e l a t e d w i t h h o w t h e y f e e l a b o u t t h e m s e l v e s a n d a b o u t m a t h e m a t i c s . T h i s w a s c l e a r o v e r a n d o v e r a g a i n i n m y i n t e r v i e w s w i t h p r o s p e c t i v e t e a c h e r s . F o r e x a m p l e , w h e n S a n d i t r i e d t o g e n e r a t e a s t o r y t o r e p r e s e n t 1 3 / 4 + k , s h e f o u n d t h a t h e r a n s w e r d i d n ' t m a k e s e n s e t o h e r . H e r c a l c u l a t i o n s p r o d u c e d 3 h , y e t h e r s t o r y y i e l d e d a n 2 0 6 a n s w e r o f 7 / 8 ( s e e C h a p t e r 3 ) . S h e g r e w a n x i o u s a b o u t t h i s d i s c r e p a n c y a n d b e g a n t o d o u b t h e r c a l c u l a t i o n . S a n d i : I s t h a t r i g h t , s e v e n , l e t ' s s e e t h a t ' s w h a t I w a s d o i n g a n d i t d o e s n ' t w o r k o u t ' c a u s e - - t h a t ' s e n r e e 1 - - 3 8 i s n o t . . . I d i d s o m e t h i n g w r o n g . B a l l : W h y d o y o u t h i n k i t i s u n r e a l ? W h a t ' s b o t h e r i n g y o u a b o u t i t ? S a n d i : I d o n ' t k n o w , u m , w e l l o b v i o u s l y h a l f o f t h i s [ 1 3 / 4 ] i s n o t t h i s [ 3 3 ] , s o I d o n ' t k n o w w h a t I ' v e d o n e , o b v i o u s l y I e e n L e l i k e f r a c t i o n s . ' W h e n I p r o b e d , S a n d i s a i d t h a t f r a c t i o n s w e r e “ n o t s o m e t h i n g t h a t I ' m c o m f o r t a b l e w i t h . “ T h i s e x a m p l e , p u r p o r t e d l y e v i d e n c e o f S a n d i ' s u n d e r s t a n d i n g o f d i v i s i o n , i s e q u a l l y r e v e a l i n g o f h e r f e e l i n g s a b o u t h e r s e l f a n d a b o u t t h e s u b j e c t . I n t h i s c a s e , w h e n t h e a n s w e r d i d n ' t m a k e s e n s e t o h e r , s h e d o u b t e d h e r s e l f ( “ I m u s t h a v e d o n e s o m e t h i n g w r o n g “ ) a n d c o m m e n t e d o n h o w s h e d i d n ' t l i k e t h e t o p i c . T h e r e l a t i o n s h i p b e t w e e n k n o w i n g a n d f e e l i n g a l s o s h o w s u p w h e n t h e f o c u s e n e e e n e t o b e o n f e e l i n g s a s w e l l . T a k e t h e q u e s t i o n n a i r e s t a t e m e n t , “ I a m a t t r a c t e d t o m a t h e m a t i c s b e c a u s e t h e r e i s a l w a y s a r i g h t a n s w e r “ ( F e r r i n i - M u n d y , 1 9 8 6 ) . W h i l e t h i s a p p e a r s t o b e a m e a s u r e o f “ a t t i t u d e t o w a r d m a t h e m a t i c s , “ a g r e e i n g o r d i s a g r e e i n g w i t h t h i s s t a t e m e n t d e p e n d s o n w h a t o n e k n e g e a b o u t m a t h e m a t i c s a s a d i s c i p l i n e a s w e l l a s h o w o n e f e e l s a b o u t t h e s u b j e c t . . , T h r e e a p p r o a c h e s w e r e u s e d t o e x p l o r e p r o s p e c t i v e t e a c h e r s ' 5 \ K é f e e l i n g s a b o u t m a t h e m a t i c s , a n d t h e r e l a t i o n s h i p b e t w e e n t h o s e f e e l i n g s a n d t h e i r i d e a s a b o u t m a t h e m a t i c s . O n e s i m p l e w a y o f l e a r n i n g h o w p r o s p e c t i v e t e a c h e r s f e l t a b o u t t h e m s e l v e s a n d a b o u t m a t h e m a t i c s w a s t o p r e s e n t t h e m w i t h s t a t e m e n t s t o w h i c h t h e y c o u l d r e s p o n d i n i s o l a t i o n . T h i s m e t h o d w a s n o t s i g n i f i c a n t l y d i f f e r e n t 2 0 7 f r o m w h a t o t h e r r e s e a r c h e r s h a v e d o n e i n u s i n g s u r v e y i n s t r u m e n t s o r q u e s t i o n n a i r e s . H o w e v e r , s i n c e I a d m i n i s t e r e d t h e s e i n t h e c o n t e x t o f a n i n t e r v i e w , I w a s a b l e t o l e a r n s o m e t h i n g a b o u t h o w t h e t e a c h e r c a n d i d a t e s i n t e r p r e t e d t h e s t a t e m e n t s . T h i s a d d e d t o t h e v a l u e o f t h e a p p r o a c h . S t i l l , t h i s s t r a t e g y o f p r e s e n t i n g t h e p r o s p e c t i v e t e a c h e r s w i t h s t a t e m e n t s d i d t e n d t o s e p a r a t e q u e s t i o n s o f f e e l i n g o r a t t i t u d e f r o m i s s u e s o f u n d e r s t a n d i n g . A s e c o n d m e t h o d , b e t t e r s u i t e d t o l e a r n i n g a b o u t t h e r e l a t i o n s h i p b e t w e e n a f f e c t a n d c o g n i t i o n , w a s t o p a y a t t e n t i o n t o a f f e c t i v e d i m e n s i o n s o f t h e t e a c h e r c a n d i d a t e s ' r e s p o n s e s t o a l l t h e i n t e r v i e w q u e s t i o n s , e s p e c i a l l y t h e o n e s i n . w h i c h t h e y h a d t o d e a l w i t h p i e c e s o f m a t h e m a t i c s . G i g g l e s , s i g h s , e x c l a m a t i o n s , s h a k y v o i c e s , a n d e x p l i c i t c o m m e n t s a l l c o n t r i b u t e d i n f o r m a t i o n a b o u t t h e i n t e r a c t i o n b e t w e e n t h e i r f e e l i n g s a n d u n d e r s t a n d i n g s . T h i r d , I s u s p e c t e d t h a t a b i o g r a p h i c a l a n g l e w o u l d b e u s e f u l . I a s k e d t h e p r o s p e c t i v e t e a c h e r s w h a t t h e y r e m e m b e r e d a b o u t t h e i r e x p e r i e n c e w i t h m a t h e m a t i c s t h r o u g h o u t s c h o o l - ~ i n e l e m e n t a r y , m i d d l e , a n d h i g h s c h o o l , a s w e l l a s i n c o l l e g e . I p r o b e d w h a t t h e y t o o k , w h a t t h e y r e m e m b e r e d l e a r n i n g , a n y p a r e n t a l i n f l u e n c e s , w h a t s t o o d o u t a b o u t t h e i r t e a c h e r s o r a n y o t h e r a s p e c t s o f t h e i r e x p e r i e n c e w i t h m a t h e m a t i c s . T h e i r a c c o u n t s h e l p e d m e u n d e r s t a n d h o w t h e y f e l t a b o u t t h e m s e l v e s a n d a b o u t m a t h e m a t i c s , a n d h o w t h o s e f e e l i n g s b o t h a f f e c t e d a n d w e r e i n f l u e n c e d b y t h e i r s c h o o l e x p e r i e n c e s w i t h m a t h e m a t i c s . A s o n e w o u l d e x p e c t , I f o u n d c o n s i d e r a b l e v a r i a t i o n a m o n g t h e t e a c h e r c a n d i d a t e s r e g a r d i n g t h e i r f e e l i n g s a b o u t m a t h e m a t i c s . S o m e s e e m e d t o r e a l l y e n j o y m a t h a n d w e r e e a g e r t o t a k e a d d i t i o n a l c o u r s e s ; o t h e r s w e r e o b v i o u s l y t e n s e a b o u t t h e s u b j e c t . S o m e w e r e c o n f i d e n t i n 2 0 8 t h e i r o w n a b i l i t y t o d o a n d u n d e r s t a n d m a t h e m a t i c s ; s o m e b e l i e v e d t h a t t h e y w e r e n o t g o o d a t m a t h ; I n o r d e r t o g i v e t h e r e a d e r a s e n s e o f h o w t e a c h e r c a n d i d a t e s f e l t a n d . h o w t h e s e f e e l i n g s i n t e r a c t e d b o t h w i t h t h e i r p e r s o n a l h i s t o r y a n d k n o w l e d g e , I c a t e g o r i z e d t h e t e a c h e r c a n d i d a t e s i n t o f o u r g r o u p s , r e l y i n g o n t h e i r o w n p o r t r a y a l s o f t h e m s e l v e s . T h e s e g r o u p s r e p r e s e n t ( r o u g h l y ) t h e p r e d o m i n a n t p a t t e r n s t h a t I f o u n d : h i g h l y a n x i o u s , m m t t e r ~ 0 f % f h c t , s o l i d , a n d p a s s i o n a t e . T a b l e 4 . 2 s h o w s t h e d i s t r i b u t i o n o f p r o s p e c t i v e e l e m e n t a r y a n d s e c o n d a r y t e a c h e r s a m o n g t h e s e f o u r g r o u p s . I n t h i s s e c t i o n , I d e s c r i b e a n d i l l u s t r a t e e a c h o f t h e s e g r o u p s . W W W T w e l v e p r o s p e c t i v e t e a c h e r s a g r e e d w i t h t h e s t a t e m e n t , “ I h a v e a l w a y s b e e n a n x i o u s a b o u t m a t h e m a t i c s i n s c h o o l . “ F o r s o m e t h i s j u s t m e a n t t h a t t h e y w o r r i e d b e f o r e t e s t s , o r f o u n d n e w c o n t e n t d i f f i c u l t . O t h e r s , e s p e c i a l l y p r o s p e c t i v e e l e m e n t a r y t e a c h e r s , w e r e a n x i o u s a b o u t m a t h e m a t i c s . I n t h e i r i n t e r v i e w s , t h e y r e p e a t e d l y u s e d . w o r d s l i k e “ p e t r i f i e d , “ “ t e r r i f i e d , “ a n d “ f r u s t r a t i n g “ t o t a l k a b o u t t h e m s e l v e s a n d m a t h . T h e s e p r o s p e c t i v e t e a c h e r s r e m e m b e r e d t h e l e a s t s c h o o l m a t h e m a t i c s , n o t s u r p r i s i n g s i n c e t h e i r l e v e l o f m a t h e m a t i c s s t u d y w a s t h e l e a s t o f t h e g r o u p . O n e h a d t a k e n n o m a t h e m a t i c s i n h i g h s c h o o l ; t h e o t h e r s h a d t a k e n t w o y e a r s o r l e s s . T h e i r p e r f o r m a n c e o n t h e u n i v e r s i t y p l a c e m e n t e x a m l a n d e d t h e m i n t h e r e m e d i a l a r i t h m e t i c a n d a l g e b r a s e q u e n c e , b u t o n l y o n e h a d t a k e n t h e c o u r s e b y t h e t i m e I i n t e r v i e w e d h e r . T h e o t h e r s w e r e d e l a y i n g i t b e c a u s e t h e p r o s p e c t o f t a k i n g t h e c o u r s e m a d e t h e m s o n e r v o u s . B e c a u s e t h e r e m e d i a l c o u r s e w a s r e q u i r e d i n o r d e r t o t a k e a n y s u b s e q u e n t r e q u i r e d c o u r s e s f o r 2 0 9 T a b l e “ . 2 T e a c h e r c a n d i d a t e s ' f e e l i n g s a b o u t m a t h e m a t i c s H i g h l y M a t t e r - o f A n x i o u s F a c t S o l i d P a s s i o n a t e E l e m e n t a r y A A 2 o S e c o n d a r y 0 l 5 3 2 1 0 t e a c h e r s , p u t t i n g i t o f f d e l a y e d t h e i r p r o g r e s s i n t h e p r o g r a m . O n e s a i d s h e r e a l l y h a d a “ p h o b i a “ a b o u t m a t h w h i c h s h e w a s t r y i n g t o g e t o v e r , a n o t h e r s a i d s h e w a s “ p s y c h i n g “ h e r s e l f u p t o t a k e t h e c o u r s e b e c a u s e s h e h a d h e a r d t h a t i t w a s h a r d , a t h i r d d e s c r i b e d h e r s e l f a s “ p e t r i f i e d . “ O f c o u r s e t h e y h a d t a k e n n o o t h e r c o l l e g e m a t h c l a s s e s . S e v e r a l o f t h e t e a c h e r c a n d i d a t e s s a i d t h e y d i s l i k e d , e v e n h a t e d , m a t h . O n e s a i d i f s h e c o u l d g e t t h r o u g h t h e r e s t o f h e r l i f e “ w i t h o u t e v e r d o i n g a n o t h e r m a t h p r o b l e m , “ s h e “ w o u l d n ' t c r y . “ H o w e v e r , t h e g e n e r a l p a t t e r n w a s t h a t t h e y l i k e d m a t h i n e l e m e n t a r y s c h o o l , a n d e v e n d i d w e l l a t i t . T h e y d e s c r i b e d i t a s e a s y . A s a r e s u l t , m o s t o f t h e m f e l t c o n f i d e n t a b o u t t h e i r u n d e r s t a n d i n g o f a d d i t i o n , s u b t r a c t i o n , m u l t i p l i c a t i o n , a n d d i v i s i o n o f w h o l e n u m b e r s . S t i l l , w h e n i t c a m e t o t h i n k i n g a b o u t e e e e h i n g , t h e i r f e a r s e x t e n d e d e v e n t o t h i s e l e m e n t a r y c o n t e n t . L i n d a , w h o h a d b e e n o b s e r v i n g i n a f i r s t g r a d e c l a s s r o o m , s a i d s h e w a s “ h o n e s t l y n e r v o u s “ w h e n t h e t e a c h e r a s k e d h e r t o c h e c k t h e c h i l d r e n ' s m a t h p a p e r s . L i n d a s a i d s h e w a n t e d t o t e a c h f i r s t g r a d e b e c a u s e s h e w o u l d b e w o r r i e d a b o u t t e a c h i n g a n y t h i n g b e y o n d a d d i n g a n d s u b t r a c t i n g - - l i k e l o n g d i v i s i o n . B e y o n d t h i s , h o w e v e r , t h e y a l l f e l t u n s u r e . W i t h e i t h e r a l g e b r a o r g e o m e t r y i n h i g h s c h o o l , t h e y r e p o r t e d t h a t t h e i r f e e l i n g s c h a n g e d . M a r s h a s a i d s h e c o u l d n ' t s t a n d “ s o l v i n g f o r x a n d y “ a n d “ p l o t t i n g t h e l i n e o n t h a t t h i n g t h a t g o e s l i k e t h a t “ ( i n t h e a i r s h e s k e t c h e d a c o o r d i n a t e g r i d ) . L i n d a e x p l a i n e d s i m p l y t h a t , i n a l g e b r a , “ I g o t t o a p o i n t w h e r e I d i d n ' t u n d e r s t a n d i t a n y m o r e “ a n d a f t e r t h a t , s h e a v o i d e d m a t h . W h i l e C a t h y h a d e n j o y e d a l g e b r a , “ p r o o f s w e r e j u s t a n i g h t m a r e “ i n g e o m e t r y . W h i l e t h e s e a n x i o u s t e a c h e r c a n d i d a t e s w e r e w i l l i n g t o d e a l w i t h w h a t C a t h y r e p e a t e d l y r e f e r r e d t o a s “ t h e 2 1 1 B a s i c s , “ t h e y d i s l i k e d a n d f e l t s t u p i d i n w h a t t h e y t h o u g h t o f a s “ h i g h e r m a t h . “ T h e i r a n x i e t y s e e m e d t o g r o w o u t a c o n v e r g e n c e o f f e e l i n g d u m b a n d n o t l i k i n g m a t h . T h e h i g h l y a n x i o u s t e a c h e r c a n d i d a t e s f e l t o v e r w h e l m e d b y s o m e o f t h e i n t e r v i e w q u e s t i o n s t h a t d e a l t w i t h s p e c i f i c m a t h e m a t i c s a n d t h e y g a v e u p e a s i l y . T h e y e x c l a i m e d t h i n g s l i k e , “ O h m y C o d i I h a v e n o i d e a l “ w h e n p r e s e n t e d w i t h p u z z l i n g m a t h p r o b l e m s , a s s u m i n g t h a t t h e y c o u l d n ' t f i g u r e t h e m o u t . N o n e o f t h e m c o u l d g e n e r a t e a n y k i n d o f r e p r e s e n t a t i o n f o r 1 3 / 4 + h , n o r c o u l d t h e y s o l v e t h e e q u a t i o n _ x _ - 5 . W h e n t h e y e x a m i n e d t h e s t u d e n t ' s c o n j e c t u r e a b o u t p e r i m e t e r 0 . 2 a n d a r e a , t h e y w e r e u n s u r e a n d l o o k e d t o m e : “ 1 e i t t r u e ? “ O n e s a i d t h a t t h i n g s “ l i k e t h i s “ t e r r i f i e d h e r . P a r t o f t h e i r r e a c t i o n t o t h e s e q u e s t i o n s s t e m m e d f r o m t h e i r v i e w o f m a t h e m a t i c s a s a c o l l e c t i o n o f f a c t s t o b e r e m e m b e r e d . T h i s v i e w b r o u g h t f e e l i n g s o f s e c u r i t y a n d c o n f i d e n c e i n s o m e s i t u a t i o n s a n d f e e l i n g s o f i n a d e q u a c y i n o t h e r s . W h e n t h e y e 1 1 f e e l s u r e t h e y k n e w t h e a n s w e r , i t w a s b e c a u s e t h e y c o u l d r e m e m b e r a r u l e o r p r i n c i p l e . A l l o f t h e m , f o r e x a m p l e , c o n f i d e n t l y e x p l a i n e d d i v i s i o n b y z e r o a s “ a n y t h i n g d i v i d e d b y z e r o i s z e r o . “ M a r s h a s a i d t h a t i t w a s “ a l w a y s a b i g r e l i e f t o s e e a 0 i n a p r o b l e m b e c a u s e t h e n [ t h e a n s w e r ] w a s a l w a y s 0 . “ W h e n t h e y c o u l d n ' t r e m e m b e r , t h e y s a i d t h e y d i d n ' t k n o w a n d r a r e l y t r i e d t o r e a s o n a b o u t t h e q u e s t i o n . T h e y s a i d t h e y w o u l d h a v e t o l o o k i t u p o r a s k s o m e o n e . T h e t e a c h e r c a n d i d a t e s ' r e a c t i o n a l s o g r e w o u t o f t h e i r f e e l i n g s a b o u t t h e m s e l v e s a s “ n o t g o o d a t m a t h . “ A l t h o u g h t h r e e o f t h e m s a i d t h e r e w a s n o s u c h a t h i n g a s a “ m a t h e m a t i c a l t y p e “ w h e n p r e s e n t e d w i t h t h e s t a t e m e n t , “ I ' m n o t t h e t y p e t o d o w e l l i n m a t h e m a t i c s “ ( o n e o f 2 1 2 t h e f o u r a g r e e d d e f i n i t e l y w i t h t h e i t e m ) , t h e y n e v e r t h e l e s s d e s c r i b e d t h e m s e l v e s i n t h e i n t e r v i e w s a s g o o d a t E n g l i s h a n d “ c r e a t i v e t h i n g s , “ a n d n o t g o o d a t m a t h . C a t h y s a i d s h e d i d n ' t h a v e “ t h a t k i n d o f m a t h e m a t i c a l m i n d , “ t h a t s h e w a s “ m o r e i n t o t h e c r e a t i v e l i k e w r i t i n g . “ T h i s d i c h o t o m o u s w a y o f t h i n k i n g r e f l e c t e d , o n c e a g a i n , a v i e w o f m a t h e m a t i c s a s a b o d y o f f a c t s t o b e a c c e p t e d a n d r e m e m b e r e d . S o m e o f t h e t e a c h e r c a n d i d a t e s b e l i e v e d t h a t b e i n g g o o d a t m a t h w a s g e n e r a l l y a l s o a s i g n o f g r e a t e r i n t e l l i g e n c e a n d d e f e n d e d t h e m s e l v e s , r e m a r k i n g o n t h i n g s t h e y w e r e g o o d a t , s u c h a s r e a d i n g , w r i t i n g , a n d c o m m o n s e n s e . O t h e r p e o p l e , b o y f r i e n d s a n d p a r e n t s h a d a p p a r e n t l y i n f l u e n c e d ; t h e p r o s p e c t i v e t e a c h e r s ' s e l f - p e r c e p t i o n s . F o r e x a m p l e , w h e n L i n d a t o l d h e r f a t h e r t h a t s h e w a s i n t h e r e m e d i a l m a t h s e q u e n c e a t t h e u n i v e r s i t y , h e w a s n o t s u r p r i s e d : “ O f e e e g e e y o u a r e , “ a n d w h e n s h e o f f e r e d t o h e l p h e r y o u n g e r b r o t h e r w i t h h i s m a t h h o m e w o r k , h e r f a t h e r “ b u r s t o u t l a u g h i n g [ b e c a u s e ] h e j u s t t h i n k s t h a t ' s h y s t e r i c a l . “ H e r m o t h e r j u s t t o l d L i n d a , “ D o t h e b e s t y o u c a n . “ O t h e r t e a c h e r c a n d i d a t e s d e s c r i b e d b o y f r i e n d s w h o t r i e d t o g e t t h e m t o t h i n k l o g i c a l l y a n d s t e p - b y - s t e p , i n s t e a d o f “ w a n d e r i n g . “ T h e h i g h l y a n x i o u s t e a c h e r c a n d i d a t e s h a d t h e w e a k e s t f o r m a l b a c k g r o u n d i n m a t h e m a t i c s , a s u b j e c t t h e y v i e w e d a s a b o d y o f f a c t s t o b e r e m e m b e r e d . W i t h o u t s i d e i n f l u e n c e s c o n t r i b u t i n g , t h e y h a d d e v e l o p e d a n i m a g e o f t h e m s e l v e s a s n o t “ t h e t y p e “ t o b e g o o d a t m a t h . 2 1 3 W O t h e r t e a c h e r c a n d i d a t e s w e r e u n s u r e a b o u t t h e i r c o m p e t e n c e w i t h m a t h e m a t i c s b u t m u c h l e s s a n x i o u s a b o u t t h e s u b j e c t . I d e s c r i b e t h e m a s “ m a t t e r - o f - f a c t “ b e c a u s e a l t h o u g h t h e y d i d n o t t h i n k o f t h e m s e l v e s a s p a r t i c u l a r l y g o o d a t m a t h , t h e y d i d n o t h a v e i n t e n s e f e e l i n g s n o r s t r o n g o r i e n t a t i o n s t o w a r d t h e s u b j e c t . T h e y w e r e c o n s i d e r a b l y c a l m e r t h a n t h e h i g h l y a n x i o u s t e a c h e r c a n d i d a t e s a n d w e r e l e s s b o w l e d o v e r b y t h e i n t e r v i e w q u e s t i o n s . T h e i r b a c k g r o u n d s w e r e n o t e s p e c i a l l y s t r o n g a n d w h e n t h e y d i d n ' t k n o w s o m e t h i n g , t h e y w e r e i n c l i n e d t o t r y t o f i g u r e i t o u t . T h e s t a t e m e n t , “ I f e e l o k a y a b o u t m a t h e m a t i c s . W h i l e I d o n ' t f e e l e s p e c i a l l y s t r o n g i n m a t h e m a t i c s , I a m n o t f e a r f u l o f i t e i t h e r , “ c a p t u r e d t h e i r s t a n c e . O n e s a i d , “ T h a t ' s i t e x e e e l y l “ w h e n s h e s o r t e d t h a t i t e m . F i v e t e a c h e r c a n d i d a t e s , f o u r e l e m e n t a r y c a n d i d a t e s a n d o n e m a t h e m a t i c s m a j o r , f o r m e d t h e “ m a t t e r - o f - f a c t “ g r o u p . T h i s g r o u p w a s , h o w e v e r , p e r h a p s t h e m o s t v a r i e d o f t h e f o u r g r o u p s , v a r y i n g i n t h e i r m a t h b a c k g r o u n d a n d u n d e r s t a n d i n g , a s w e l l a s i n h o w m u c h t h e y l i k e d o r d i s l i k e d t h e s u b j e c t . T h e e l e m e n t a r y m a j o r s b e l i e v e d t h a t t h e y w e r e n o t w e l l - s u i t e d t o m a t h e m a t i c s , a l t h o u g h t h e y m o s t l y e n j o y e d a n d f e l t t h e y w e r e a b l e t o d o “ b a s i c “ m a t h - ~ i . e . , u p t h r o u g h a l g e b r a . T h e y a t t r i b u t e d n o t b e i n g g o o d a t m a t h b o t h t o t h e n a t u r e o f “ h i g h e r “ m a t h e m a t i c s a s w e l l a s t o w h a t t h e y w e r e l i k e a s i n d i v i d u a l s . S a n d i , f o r i n s t a n c e , s a i d s h e w a s n ' t g o o d a t m a t h e m a t i c s b e c a u s e , i n m a t h , y o u h a v e t o a c c e p t t h i n g s o n f a i t h a n d s h e w a s t h e “ t y p e o f p e r s o n w h o a l w a y s w a n t s t o k n o w w h y . “ S h e a l w a y s d i d w e l l i n h e r m a t h c l a s s e s , b u t s i m p l y d i d n ' t f i n d i t t h a t i n t e l l e c t u a l l y i n t e r e s t i n g o n c e s h e g o t b e y o n d a l g e b r a : “ I t 2 1 4 j u s t g o t t o b e a c h o r e . “ M e i L i n g e x p l a i n e d t h a t h e r t h o u g h t s w e r e “ m o r e a r t i s t i c “ - - t h a t t o b e g o o d a t m a t h , s h e w o u l d h a v e t o b e m o r e “ a n a l y t i c a l “ a n d b e a b l e t o f o c u s h e r a t t e n t i o n o n e p o i n t a t a t i m e . B o t h S a n d i a n d T e r i h a d a n v i e w o f m a t h e m a t i c s a s a r i g i d , l i n e a r s u b j e c t a n d , i n r e f l e c t i n g o n t h e m s e l v e s , d e c i d e d t h a t t h e y w e r e n o t i n c l i n e d t o w a r d t h a t k i n d o f t h i n k i n g . R a c h e l s a i d s i m p l y t h a t m a n y p e o p l e “ d o b a d i n m a t h “ b e c a u s e “ i t ' s s o m e t h i n g t h a t i s e a s y t o m e s s u p . “ B a r b , t h e m a t h e m a t i c s m a j o r , h a d a s i m i l a r p e r s p e c t i v e , a l t h o u g h i t w a s t r a n s l a t e d u p s e v e r a l l e v e l s . I n s t e a d o f m a k i n g a c u t o f f i n h i g h s c h o o l m a t h , B a r b ' s “ b a s i c l e v e l “ o f m a t h e m a t i c s e n c o m p a s s e d a l g e b r a , g e o m e t r y , a n d b a s i c c a l c u l u s , a l l o f w h i c h s h e e n j o y e d a n d f e l t s h e c o u l d d o . H o w e v e r , s h e h a d “ r e a l d i f f i c u l t i e s i n t h e u p p e r l e v e l m a t h e m a t i c s c o u r s e s - - a b s t r a c t a l g e b r a , g r o u p t h e o r y , r i n g s “ a n d t h a t n o m a t t e r h o w h a r d s h e w o r k e d , s o m e t h i n g h e l d h e r b a c k . L i k e t h e e l e m e n t a r y c a n d i d a t e s , B a r b h a d d o u b t s t h a t s h e c o u l d d o w e l l a t h i g h e r l e v e l m a t h e m a t i c s , b u t h e r n o t i o n o n w h a t c o u n t e d a s “ h i g h e r m a t h e m a t i c s “ w a s d i f f e r e n t . T h e s e t e a c h e r c a n d i d a t e s w e r e m a t t e r - o f - f a c t a b o u t t h e i r c o n c l u s i o n s a b o u t t h e m s e l v e s i n r e l a t i o n t o m a t h e m a t i c s . T h e y t h o u g h t o f t h e s e a s d i f f e z e n e e e a m o n g p e o p l e , n o t a s a s i g n o f b e i n g m o r e o r l e s s i n t e l l i g e n t . T h e e l e m e n t a r y c a n d i d a t e s i n t h i s g r o u p h a d m u c h s t r o n g e r m a t h b a c k g r o u n d s t h a n t h o s e i n t h e h i g h l y a n x i o u s g r o u p . T h e y h a d t a k e n , o n t h e a v e r a g e , a l i t t l e m o r e m a t h i n h i g h s c h o o l ( t h r e e o r f o u r y e a r s ) . . B u t , l i k e t h e o t h e r s , t h e y s a i d t h e y s t o p p e d l i k i n g m a t h i n h i g h s c h o o l , m o s t l y i n g e o m e t r y . T e r i s a i d s h e h a d “ b o m b e d “ b e c a u s e o f a l l t h e p r o o f s a n d . M e i L i n g h a d a “ m e a n t e a c h e r “ w h o u s e d t o 2 1 5 e m b a r r a s s h e r i n f r o n t o f t h e c l a s s . A l t h o u g h t h e y g e n e r a l l y d i d n ' t l i k e m a t h , t h e y w e r e n o t a v o i d e r s . T h e y d i d n o t d r o p o u t o f m a t h i n d u r i n g o r a f t e r h i g h s c h o o l . A l l h a d t a k e n s o m e c o l l e g e m a t h : T w o h a d t a k e n c o l l e g e a l g e b r a a n d t r i g o n o m e t r y , o n e h a d t w o t e r m s o f c a l c u l u s , t w o h a d t a k e n t h e m a t h c o u r s e f o r e l e m e n t a r y t e a c h e r s , a n d a l l h a d e a r n e d A ' s o r B ' s . B a r b , t h e s e c o n d a r y c a n d i d a t e h a d c o m p l e t e d a l l t h e c o u r s e r e q u i r e m e n t s f o r t h e m a t h e m a t i c s m a j o r , e a r n i n g m o s t l y B ' s . A l t h o u g h t h e y h a d t a k e n r e l a t i v e l y m o r e m a t h e m a t i c s , t h i s g r o u p c o u l d r e m e m b e r l i t t l e o f t h e s u b s t a n c e o f t h e i r c o u r s e s e i t h e r i n h i g h s c h o o l o r i n c o l l e g e . W h e n I a s k e d R a c h e l a b o u t t h e a l g e b r a c l a s s s h e h a d r e c e n t l y t a k e n ( a n d i n . w h i c h s h e h a d d o n e w e l l ) , s h e w a s v a g u e : I k n o w w e g o t i n t o p o l y n o m i a l s a n d g o t i n t o . . . o h , w h a t ' s t h a t ? . . I c o u l d w r i t e i t o u t f o r y o u , b u t I c a n ' t r e m e m b e r t h e n a m e o f i t . ( S h e w r i t e s t h e q u a d r a t i c f o r m u l a . ) I k n o w w e w e n t o v e r t h a t . M e i L i n g c o u l d n ' t r e m e m b e r a n y t h i n g a b o u t h e r a n a l y s i s c l a s s i n h e r s e n i o r y e a r , a n d T e r i j u s t e x p l a i n e d t h a t “ i n h i g h s c h o o l e x e n y e h j n g i s m o r e h m p o r t a n t “ t h a n h o m e w o r k a n d c l a s s e s . M o s t o f t h e p r o s p e c t i v e t e a c h e r s c o u l d r e m e m b e r m o r e a b o u t e l e m e n t a r y s c h o o l t h a n a b o u t h i g h s c h o o l o r c o l l e g e . T h e i r c o n f i d e n c e w i t h m a t h e m a t i c s f l u c t u a t e d d e p e n d i n g o n t h e s i t u a t i o n a n d o n t h e m a t h t h a t w a s i n v o l v e d . A t t i m e s t h e y f e l t t h e y c o u l d d o m a t h , a t o t h e r t i m e s , t h e y f e l t u n s u r e . M e i L i n g e x p l a i n e d : I t a l l d e p e n d s - - o n t h e s i t u a t i o n . I t d e p e n d s o n t h e p e o p l e I ' m w i t h . W h a t d e g r e e o f m a t h e m a t i c a b i l i t y w e a r e t a l k i n g a b o u t ( l a u g h s ) Y o u k n o w , i f i t i s a c o m m o n e v e r y d a y s i t u a t i o n , I a m v e r y c o n f i d e n t . . . L i k e I m e a n w e l l , j u s t b a s i c p r o b l e m s . S o m e t h i n g I w o u l d f a c e i n e v e r y d a y l i f e , h o w t o b a l a n c e a c h e c k b o o k , s i m p l e t h i n g s . T h e n w h e n y o u s t a r t g e t t i n g i n t o . a n a l y s i s , I s t a r t t o f e e l s h a k y . 2 1 6 T h i s f l u c t u a t i n g c o n f i d e n c e s h o w e d u p d u r i n g t h e i n t e r v i e w s . O n o n e h a n d , t h e y l i s t e n e d a n d r e s p o n d e d t o q u e s t i o n s c a l m l y . A l t h o u g h t h e y h a d d i f f i c u l t y w i t h m a n y o f t h e q u e s t i o n s , o n l y o n e g a v e “ I d o n ' t k n o w “ a s a n a n s w e r . W h e n t h e y d i d n ' t u n d e r s t a n d s o m e t h i n g i n a q u e s t i o n , t h e y w e r e i n c l i n e d t o t r y t o p u z z l e a b o u t i t . O n t h e o t h e r h a n d , t h e y d i d n o t a l w a y s f e e l c o n f i d e n t i n t h e i r s o l u t i o n s . F o r e x a m p l e , s e v e r a l o f t h e m t r i e d t o f i g u r e o u t “ w h y t h e n u m b e r s m o v e o v e r “ f o r e a c h p a r t i a l p r o d u c t i n t h e m u l t i p l i c a t i o n a l g o r i t h m . A f t e r s h e t r i e d t o e x p l a i n i t , M e i L i n g t u r n e d t o m e a n d a s k e d , “ W h y e e y o u p u t t h e z e r o t h e r e ? ? “ T h e y a l s o t r i e d t o f i g u r e o u t w h a t d i v i s i o n b y 0 m e a n t . R a c h e l w o r k e d a l o u d t h r o u g h s e v e r a l a l t e r n a t i v e s f o r o v e r t e n m i n u t e s . S h e c o n s i d e r e d v a r i o u s i n t e r p r e t a t i o n s o f t h e m e a n i n g o f d i v i s i o n b y 0 , s t o p p i n g t o c h e c k t h e s e n s e o f w h a t s h e w a s d o i n g a l o n g t h e w a y . E v e n t u a l l y s h e d e c i d e d t h a t t h e r e w a s n o s o l u t i o n t o 7 + 0 , b u t s h e w a s n o t c o n f i d e n t t h a t s h e w a s r i g h t a n d s a i d s h e w a s g o i n g t o a s k h e r m a t h p r o f e s s o r . T h e p r o s p e c t i v e t e a c h e r s i n t h i s g r o u p w e r e c o n s i d e r a b l y l e s s i n t e n s e a b o u t m a t h e m a t i c s t h a n a n y o f t h e o t h e r s . T h e y h a d a m a t t e r - o f - f a c t o r i e n t a t i o n t o t h e s u b j e c t a n d t o t h e m s e l v e s i n r e l a t i o n t o i t . W h i l e t h e i r s t r o n g e r b a c k g r o u n d i n m a t h h a d n o t h e l p e d t h e m t o c o n s t r u c t t h e k i n d s o f s u b s t a n t i v e u n d e r s t a n d i n g s t a p p e d i n t h e i n t e r v i e w , i t d i d s e e m t o h a v e c o n t r i b u t e d t o t h e i r s e n s e t h a t t h e y m i g h t b e a b l e t o f i g u r e t h i n g s o u t i n m a t h e m a t i c s . W T h e g r o u p o f p r o s p e c t i v e t e a c h e r s w h o m I d u b b e d “ s o l i d “ h a d a m o r e s u b s t a n t i a l m a t h e m a t i c s b a c k g r o u n d a n d a s e n s e t h a t t h e y k n e w m a t h w e l l . T w o e l e m e n t a r y a n d f i v e s e c o n d a r y t e a c h e r c a n d i d a t e s b e l o n g e d 2 1 7 t o t h i s g r o u p . T h e y a l l e n j o y e d m a t h e m a t i c s , a n d s a i d t h e y h a d a l w a y s l i k e d t h e s u b j e c t . T h e s e t e a c h e r c a n d i d a t e s h a d s t u d i e d a l o t m o r e m a t h e m a t i c s t h a n t h e o n e s I d e s c r i b e d a b o v e . A l l h a d . h a d f o u r y e a r s o f h i g h s c h o o l m a t h e m a t i c s ; s e v e r a l h a d t a k e n a d v a n c e d p l a c e m e n t c a l c u l u s a s s e n i o r s . A n n e a n d A l l e n , t h e t w o e l e m e n t a r y c a n d i d a t e s , h a d t a k e n c o l l e g e a l g e b r a a n d t r i g o n o m e t r y , a n d c a l c u l u s , a s w e l l a s t h e m a t h c o u r s e f o r e l e m e n t a r y t e a c h e r s . A n n e ' s g r a d e s - - A ' s a n d B ' s - - w e r e b e t t e r t h a n A l l e n ' s , b u t A l l e n h a d t a k e n m o r e c o u r s e s . T h e s e c o n d a r y c a n d i d a t e s h a d a l l c o m p l e t e d t h e c a l c u l u s s e q u e n c e a n d h a d t a k e n v a r i o u s o t h e r u p p e r - l e v e l c o u r s e s , s u c h a s n u m b e r t h e o r y , g e o m e t r y , a n d m a t r i c e s . T h e y h a d e a r n e d m o s t l y A ' s a n d B ' s . W h i l e t h e i r a c a d e m i c r e c o r d s d o n o t t e l l u s a b o u t t h e i r u n d e r s t a n d i n g s , t h e s h e e r d i f f e r e n c e i n a m o u n t o f f o r m a l m a t h e m a t i c a l e x p e r i e n c e b e t w e e n t h e s e t e a c h e r c a n d i d a t e s a n d t h e a n x i o u s a n d m a t t e r - o f - f a c t c a n d i d a t e s i s w o r t h n o t i n g . T h e i r m o r e e x t e n s i v e b a c k g r o u n d s h o w e d u p c l e a r l y i n t h e i r s e n s e o f c o n f i d e n c e . C o m p l e t i n g a l l t h o s e c o u r s e s s e e m e d t o b e a k i n d o f e n t i t l e m e n t t o m a t h e m a t i c a l s e c u r i t y . W h i l e t h e y k n e w t h e y c o u l d b e s t u m p e d o r c o n f u s e d , t h e y a l s o b e l i e v e d t h a t t h e y k n e w e n o u g h m a t h e m a t i c s t o b e a b l e t o b e c o m e u n s t u c k . T h e y h a d h a d a m p l e e x p e r i e n c e d o i n g s o . A s M a r k s a i d , h e h a d “ e e m u c h m a t h “ t h a t h e f e l t “ r e l a x e d a s f a r a s t h e m a t e r i a l g o e s . “ M o s t a g r e e d w i t h t h e s t a t e m e n t , “ I u s u a l l y f e e l c o n f i d e n t a b o u t m y a b i l i t y i n m a t h e m a t i c s . “ C i n d y s a i d s i m p l y , “ I ' v e a l w a y s b e e n g o o d a t i t . “ S e v e r a l m e n t i o n e d t h a t t h e y k n o w t h e y c a n g e t t h e r i g h t a n s w e r t o a p r o b l e m a n d t h e y a t t r i b u t e d t h i s t o w o r k i n g h a r d a n d p u t t i n g i n e f f o r t , r a t h e r t h a n b e i n g “ n a t u r a l l y “ i n c l i n e d t o d o w e l l a t m a t h . T h e y t a l k e d a l o t 2 1 8 a b o u t “ m o t i v a t i n g “ t h e m s e l v e s t o t r y a n d t o d o w e l l i n m a t h . T h e f l i p s i d e o f t h i s w a s t h a t t h e y a l s o e x e e e e e e t h e m s e l v e s t o k n o w t h e m a t h e m a t i c s i n t h e i n t e r v i e w q u e s t i o n s . A n d y s a i d h e w a s n e r v o u s t h a t h e w o u l d n ' t k n o w s o m e t h i n g - - a n d t h i s w a s o n l y e i g h t h o r n i n t h g r a d e “ s t u f f . “ C i n d y l a u g h i n g l y w o r r i e d a b o u t w h e t h e r a n y o f h e r m a t h p r o f e s s o r s w o u l d s e e t h e t a p e o f o u r i n t e r v i e w a n d s a y “ t h a t g i r l d o e s n ' t k n o w a n y m a t h . “ T h e s e p r o s p e c t i v e t e a c h e r s s a i d t h e y e n j o y e d b e i n g c h a l l e n g e d a n d s o l v i n g p u z z l i n g p r o b l e m s . J a n e t s a i d t h a t s o l v i n g d i f f i c u l t p r o b l e m s g a v e h e r a “ r e a l l y g o o d f e e l i n g - - y e a h , I c a n e e t h i s “ a n d A n n e s a i d t h a t t h a t i s w h a t s h e l i k e d a b o u t m a t h e m a t i c s . D u r i n g t h e i n t e r v i e w s , t h o u g h , t h e y s e e m e d t o f i n d f e w q u e s t i o n s p r o b l e m a t i c . T h e y o f t e n k n e w a n a n s w e r f o r t h e s i t u a t i o n d e s c r i b e d i n t h e q u e s t i o n a n d m a n y o f t h e m s e a r c h e d n o f u r t h e r . W h e n t h e y h a d c o m e u p w i t h a n a n s w e r , t h e y s e e m e d q u i t e s a t i s f i e d w i t h w h a t t h e y h a d d o n e . F o r e x a m p l e , o v e r h a l f o f t h e m w e r e c o n t e n t t o t e l l a s t u d e n t 7 + O w a s u n d e f i n e d a n d t h a t t h e y n e e d e d t o u s e 0 a s a p l a c e h o l d e r i n t h e m u l t i p l i c a t i o n a l g o r i t h m . A l l o f t h e m e x p l a i n e d h o w t o s o l v e a n a l g e b r a i c e q u a t i o n b y e n u m e r a t i n g t h e s t e p s o f t h e p r o c e d u r e . T h e d i f f e r e n c e b e t w e e n t h e s e p r o s p e c t i v e t e a c h e r s a n d t h e o t h e r s I h a v e d e s c r i b e d i s t h a t t h e y f e l t t h e y k n e e t h e c o n t e n t - - t h u s , t h e y h a d c o n f i d e n c e i n w h a t t h e y r e t r i e v e d f r o m m e m o r y . L i k e t h e o t h e r s , t h o u g h , t h e y d i d s e e m t o r e g a r d m a t h e m a t i c s m o r e a s a b o d y o f k n o w l e d g e t o b e m a s t e r e d - - a n d i n t h e i r o w n c a s e , s t u f f t h e y s h o u l d a l r e a d y k n o w . 2 1 9 W i s t s T h r e e s e c o n d a r y t e a c h e r c a n d i d a t e s e x h i b i t e d a d e g r e e o f e n t h u s i a s m . a n d e x c i t e m e n t a b o u t m a t h e m a t i c s t h a t s u r p a s s e d t h e w a y i n w h i c h t h e “ s o l i d “ p r o s p e c t i v e t e a c h e r s s i m p l y l l k e e m a t h . T h e i r p a s s i o n e x t e n d e d t o t h e e e l n g o f m a t h e m a t i c s , b e y o n d “ k n o w i n g “ i t , l i k e t h e p r e v i o u s g r o u p . T h e s e t e a c h e r c a n d i d a t e s h a d s o l i d m a t h e m a t i c s b a c k g r o u n d s , s i m i l a r t o t h o s e i n t h e p r e v i o u s g r o u p . L i k e t h e o t h e r s , t h e y h a d t a k e n f o u r y e a r s o f h i g h s c h o o l m a t h a n d h a d t a k e n m a n y c o l l e g e m a t h c o u r s e s . T h e i r g r a d e s , h o w e v e r , w e r e s l i g h t l y l o w e r . L i k e t h e p r e v i o u s g r o u p , w h i l e t h e s e p r o s p e c t i v e t e a c h e r s s a i d t h e y r e a l l y e n j o y e d p u z z l e s a n d c h a l l e n g e s ; h o w e v e r , t h e y t e n d e d t o s e e m o r e d i m e n s i o n s a n d p r o b l e m s i n t h e m a t h e m a t i c s o f t h e i n t e r v i e w q u e s t i o n s . C o n f i d e n t i n t h e i r o w n k n o w l e d g e , t h e y a l s o s e e m e d i n t e r e s t e d i n u n d e r s t a n d i n g a n d h a v i n g s t u d e n t s u n d e r s t a n d m o r e a b o u t t h e q u e s t i o n s b e y o n d w h a t t h e y c o u l d r e m e m b e r l e a r n i n g i n t h e i r c l a s s e s . F o r e x a m p l e , i n r e s p o n d i n g t o t h e s t u d e n t w h o p r o p o s e d t h a t a r e a a n d p e r i m e t e r w e r e r e l a t e d , a l l o f t h e m c o n s i d e r e d t h e i n s u f f i c i e n c y o f o n e e x a m p l e t o e s t a b l i s h a t h e o r y . T e r r e l l b e c a m e c o m p l e t e l y c a u g h t u p i n t r y i n g t o f i g u r e o u t t h e c o n j e c t u r e . T h e y w e r e i n t r i g u e d w i t h t r y i n g t o g e n e r a t e r e p r e s e n t a t i o n s f o r 1 3 / 4 + h a n d t o e x p l a i n 7 + 0 . J o n w a s e x c i t e d a b o u t a s t u d e n t a s k i n g a b o u t t h e s l o p e o f a c u r v e d l i n e a n d w h e n T i m l o o k e d a t e x a m p l e s o f s t u d e n t w o r k , h e s p o k e f e r v e n t l y a b o u t t h e i m p o r t a n c e o f h a v i n g s t u d e n t s c o n s i d e r t h e r e a s o n a b l e n e s s a n d m a g n i t u d e o f t h e i r a n s w e r s . T h e s e p r o s p e c t i v e t e a c h e r s a l s o a p p e a r e d t o b e t h e m o s t r e l a x e d a b o u t t h e m a t h e m a t i c s o f a n y o n e I i n t e r v i e w e d . T h e y d i d n ' t s e e m t o 2 2 0 h a v e t h e s a m e e x p e c t a t i o n s o f t h e m s e l v e s a s d i d t h e “ s o l i d “ t y p e s . A l t h o u g h T e r r e l l s a i d t h a t i t w a s “ s c a r y “ n o t t o k n o w “ t h i s s i m p l e s t u f f , “ h e t h o u g h t i t w a s f u n t o w o r k w i t h . T h e y w e r e a t t h e s a m e t i m e , t h e m o s t s u c c e s s f u l a t g e n e r a t i n g c o n c e p t u a l a n s w e r s , e x p l a n a t i o n s , a n d e x a m p l e s f o r t h e m a t h e m a t i c s i n t h e q u e s t i o n s . D i s c u s s i o n : W W W W 1 5 1 T h e t e a c h e r c a n d i d a t e s ' f e e l i n g s a b o u t m a t h e m a t i c s a n d a b o u t t h e m s e l v e s w e r e i n t e r w o v e n w i t h h o w m u c h m a t h e m a t i c s t h e y f e l t t h e y k n e w , t h e v i e w o f t h e s u b j e c t t h e y h a d , w h a t t h e y b e l i e v e d a b o u t m a t h e m a t i c a l a b i l i t y , a s w e l l a s h o w t h e y t h o u g h t a b o u t t h e m s e l v e s . N o t s u r p r i s i n g l y , t h e m o s t a n x i o u s t e a c h e r c a n d i d a t e s a l s o h a d t h e w e a k e s t f o r m a l b a c k g r o u n d a n d t h o u g h t o f m a t h e m a t i c s a s a c o l l e c t i o n o f a r b i t r a r y f a c t s . T h e y g e n e r a l l y a l s o t h o u g h t o f m a t h e m a t i c a l a b i l i t y a s i n n a t e . T h i s c o m b i n a t i o n o f i d e a s s e e m e d t o s p a w n i n t e n s e f e e l i n g s o f d i s l i k e , f e a r , a n d a n x i e t y . I n c o n t r a s t , t h e t e a c h e r c a n d i d a t e s w h o m I c a l l e d “ s o l i d , “ t h o u g h t t h e y k n e w m a t h e m a t i c s , t h o u g h t m a t h e m a t i c s w a s a b o d y o f k n o w l e d g e , a n d t h o u g h t m a t h e m a t i c a l a b i l i t y w a s l a r g e l y a m a t t e r o f e f f o r t a n d d e s i r e . T h i s s e t o f i d e a s p r o d u c e s a c a l m e r f e e l i n g o f c o n f i d e n c e a n d c o n t r o l . T h e s e c o m p l e x c o m b i n a t i o n s o f i d e a s a n d f e e l i n g s a l s o i n f l u e n c e d t h e i r r e s p o n s e s o n t h e i n t e r v i e w s . C a t h y ' s f e a r a t h a v i n g t o r e s p o n d t o a s t u d e n t w h o p r o p o s e d a n a l t e r n a t i v e m e t h o d f o r s u b t r a c t i o n g r e w o u t o f t h e w a y s h e t h o u g h t a b o u t k n o w l e d g e i n m a t h e m a t i c s , t h e w a y s h e u n d e r s t o o d w h a t d o i n g m a t h e n t a i l s , t h e w a y s h e u n d e r s t o o d s u b t r a c t i o n w i t h r e g r o u p i n g , a s w e l l a s h e r s e n s e o f h e r s e l f . S h e d i d n ' t k n o w w h e t h e r t h e p r o p o s e d p r o c e d u r e w o u l d a l w a y s w o r k n o r h o w t o f i n d o u t . 2 2 1 I t s c a r e d h e r t o h a v e t o t h i n k a b o u t t h i s a n d m a d e h e r f e e l “ d u m b . “ A t l e a s t , s h e t h o u g h t , s h e c o u l d t e a c h t h e s t a n d a r d p r o c e d u r e - - a n d a f t e r a l l , d o i n g w e l l i n m a t h e m a t i c s r e q u i r e s r e m e m b e r i n g f o r m u l a s a n d a l g o r i t h m s . T h e r e f o r e , s h e c o n c l u d e d , s h e r e a l l y s h o u l d t e a c h t h e c h i l d t h e s t a n d a r d a l g o r i t h m . P r o s p e c t i v e t e a c h e r s ' f e e l i n g s a r e n e ; ; e f t h e w a y t h e y p a r t i c i p a t e i n a n d u n d e r s t a n d m a t h e m a t i c s , n e ; a s e p a r a t e a f f e c t i v e d i m e n s i o n c a l l e d “ a t t i t u d e . “ W h a t d o e s a l l o f t h i s c o n t r i b u t e t o u n d e r s t a n d i n g t h e w a y s i n w h i c h p r o s p e c t i v e t e a c h e r s k n o w a n d t h i n k a b o u t m a t h e m a t i c s ? T h r e e i s s u e s s t a n d o u t f r o m t h e r e s u l t s d i s c u s s e d i n t h i s c h a p t e r : t h e t e a c h e r c a n d i d a t e s ' p r i m a r y e m p h a s i s o n m a t h e m a t i c a l a n s w e r s a n d k n o w l e d g e a n d c o n c o m i t a n t d i s r e g a r d o f t h e n e ; e ; e o f m a t h e m a t i c s , t e a c h e r c a n d i d a t e s ' s e n s e o f t h e “ r i g h t “ a n s w e r s , a n d t h e i n t e r w e a v i n g o f k n o w l e d g e o f a n d a b o u t m a t h e m a t i c s t o g e t h e r w i t h t h e i r f e e l i n g s a b o u t m a t h e m a t i c s . E a c h o f t h e s e s u g g e s t s a n a r e a o f f o c u s f o r t e a c h e r e d u c a t o r s t r y i n g t o l e a r n a b o u t t e a c h e r c a n d i d a t e s . W W h a t p l a c e i s o c c u p i e d b y k n o w l e d g e a b o u t m a t h e m a t i c s i n t e a c h e r c a n d i d a t e s ' u n d e r s t a n d i n g s o f m a t h e m a t i c s ? T o w h a t e x t e n t d o p r o s p e c t i v e t e a c h e r s s e e c o n n e c t i o n s b e t w e e n m a t h e m a t i c a l k n o w l e d g e a n d w a y s o f k n o w i n g i n m a t h e m a t i c s ? O n a q u e s t i o n t h a t I d e s i g n e d t o e l i c i t t h e i r i d e a s a b o u t t h e o r y a n d p r o o f , o n l y t h r e e t e a c h e r c a n d i d a t e s s e e m e d t o c o n s i d e r t h e i s s u e o f j u s t i f i c a t i o n o f m a t h e m a t i c a l k n o w l e d g e a s a n s t u d e n t o u t c o m e w o r t h y o f e x p l i c i t a t t e n t i o n . T h e o t h e r s f o c u s e d o n t h e s u b s t a n c e o f t h e p r o p o s e d 2 2 2 “ t h e o r y , “ a n d s e e m e d t o a s s u m e t h a t t h e y s h o u l d k n o w w h e t h e r t h e t h e o r y w a s c o r r e c t o r n o t . T h i s i s n o t t o s a y t h a t t h e p r o s p e c t i v e t e a c h e r s d i d n o t h a v e i d e a s e e e e ; m a t h e m a t i c s t h a t w e r e e v i d e n t i n t h e i r r e s p o n s e s . A s s u m i n g , f o r e x a m p l e , t h a t m a t h e m a t i c a l k n o w l e d g e i s a n a r b i t r a r y c o l l e c t i o n o f f a c t s , s o m e t e a c h e r c a n d i d a t e s w e r e n o t i n c l i n e d t o r e a s o n a b o u t t h i n g s t h e y d i d n ' t k n o w . S i m i l a r l y , b e c a u s e t h e y t h o u g h t m a t h e m a t i c s w a s a d o m a i n i n w h i c h u s i n g s t a n d a r d p r o c e d u r e s m a t t e r e d , t h e y w e r e l o a t h t o l e t s t u d e n t s u s e i n v e n t e d a l g o r i t h m s . A s o n e p e r s o n e x p l a i n e d , “ m a t h i s s o c o n t r a d i c t o r y “ - - t h e r e a r e s o m a n y “ w e i r d o “ e x c e p t i o n s - - t h a t t h e r e w a s l i t t l e p o i n t i n t r y i n g t o d e c i d e s o m e t h i n g o n l o g i c a l g r o u n d s o r u s e a l t e r n a t i v e s t r a t e g i e s . A l t h o u g h t h e t e a c h e r c a n d i d a t e s h a d i d e a s a b o u t t h e n a t u r e o f m a t h e m a t i c a l k n o w l e d g e , a b o u t w h a t i t m e a n t t o “ d o “ m a t h e m a t i c s , a n d a b o u t t h e p u r p o s e o f l e a r n i n g , m a t h , t h e s e i d e a s s e e m e d t o b e t h e b a c k d r o p f o r t h e i r m a t h e m a t i c a l a c t i v i t y , a n d w e r e t a k e n f o r g r a n t e d a s g i v e n s a b o u t t h e s u b j e c t . W h i l e m a n y o f t h e s e i m p l i c i t a s s u m p t i o n s m i s r e p r e s e n t e d t h e e s s e n c e o f m a t h e m a t i c s , t h e r e w a s n o e v i d e n c e t h a t t h e p r o s p e c t i v e t e a c h e r s w e r e d i s s a t i s f i e d w i t h t h e i r p e r s p e c t i v e s n o r t h a t t h e y w e r e c o n c e r n e d w i t h r e v i s i n g t h e i r u n d e r s t a n d i n g s e e e n ; m a t h e m a t i c s . T e a c h e r e d u c a t o r s m i g h t t r y t o l e a r n t h e v i e w s o f m a t h e m a t i c s h e l d b y t h e i r s t u d e n t s , l o o k i n g b o t h a t e x p l i c i t s t a t e m e n t s a n d a t i m p l i c i t v i e w s r e v e a l e d t h r o u g h t h e s t u d e n t ' s a c t i o n s . W I n a n y s t u d y o f p e o p l e ' s i d e a s a n d f e e l i n g s , t h e f a c t t h a t p e o p l e k n o w t h e “ s o c i a l l y a p p r o p r i a t e “ p o s i t i o n s i n t e r f e r e s w i t h l e a r n i n g 2 2 3 w h a t t h e y “ r e a l l y “ t h i n k o r f e e l . T h i s i s e s p e c i a l l y p r o b l e m a t i c w h e n t r y i n g t o u n c o v e r p e o p l e ' s r e a c t i o n s t o p e o p l e o f d i f f e r e n t e t h n i c g r o u p s , f o r e x a m p l e . O n e m i g h t n o t h a v e e x p e c t e d t h i s c h a r a c t e r i s t i c o f h u m a n b e h a v i o r t o s h o w u p i n a s t u d y a b o u t c o l l e g e s t u d e n t s ' u n d e r s t a n d i n g s o f m a t h e m a t i c s . S t i l l , i t s e e m s l i k e l y t h a t s o m e o f t h e t e a c h e r c a n d i d a t e s ' r e s p o n s e s w e r e c o l o r e d b y t h e i r s e n s e o f t h e “ r i g h t “ t h i n g s t o s a y a b o u t m a t h e m a t i c s . T h e y t a l k e d g e n e r a l l y a b o u t t h e i m p o r t a n c e o f “ c o n c e p t s , “ “ p r o b l e m s o l v i n g , “ a n d a l t e r n a t i v e s t r a t e g i e s , a n d y e t f o c u s e d o n t h e i m p o r t a n c e o f x e l e e a n d e ; e n e e ; e e l g e g l ; h n e w h e n t h e y d e a l t w i t h t h e s p e c i f i c t e a c h i n g s i t u a t i o n s i n t h e i n t e r v i e w . N o t n e c e s s a r i l y c o n t r a d i c t o r y , t h i s f i n d i n g m a y s u g g e s t t h a t a l t h o u g h t h e y k n o w t h e “ r i g h t “ w o r d s , t e a c h e r c a n d i d a t e s ' u n d e r s t a n d i n g o f t h e t e r m s m a y d i f f e r f r o m w h a t t e a c h e r s o r t e a c h e r e d u c a t o r s t h i n k w h e n t h e y u s e t h e s a m e t e r m s . “ P r o b l e m - s o l v i n g “ s e e m e d t o m e a n s o l v i n g “ p r o b l e m s “ s u c h a s 4 a p p l e s p l u s 2 a p p l e s , o r S + 3 t o s o m e p r o s p e c t i v e t e a c h e r s , w h i l e “ c o n c e p t “ s e e m e d t o m e a n a n y p i e c e o f m a t h e m a t i c a l k n o w l e d g e - - s u c h a s c r o s s i n g o u t i n b o r r o w i n g . D i s c r e p a n c i e s m a y a l s o a r i s e o u t o f t h e g a p b e t w e e n t e a c h e r c a n d i d a t e s ' e e l l e f e a n d t h e i r k n e g l e e g e . P r o s p e c t i v e t e a c h e r s w h o w a n t t o e m p h a s i z e “ c o n c e p t u a l u n d e r s t a n d i n g “ a n d m a k i n g c o n n e c t i o n s t o t h e r e a l w o r l d m a y b e n e v e r t h e l e s s s u b s t a n t i v e l y u n p r e p a r e d t o d o s o . T h e s e c o n d a r y c a n d i d a t e s w h o w a n t e d t o g i v e r e a l w o r l d a p p l i c a t i o n s o f s l o p e a n d g r a p h i n g s i m p l y d i d n ' t h a v e a n y e x a m p l e s a v a i l a b l e . A f i n a l i n t e r e s t i n g p i e c e o f w h a t c a n b e l e a r n e d o u t o f t h e t e a c h e r c a n d i d a t e s ' a w a r e n e s s o f t h e “ r i g h t “ a n s w e r s l i e s i n t h e i n v e r s e d o m a i n - - t h e t h i n g s a b o u t w h i c h t h e y d i d n e ; s e e m t o k n o w t h e 2 2 4 “ r i g h t “ a n s w e r s . F o r e x a m p l e , s e v e r a l p r o s p e c t i v e t e a c h e r s t h o u g h t t h a t t h e i m p o r t a n t u s e s o f m a t h e m a t i c s i n v o l v e d b a l a n c i n g o n e ' s c h e c k b o o k a n d c a l c u l a t i n g t o t a l s a t t h e g r o c e r y s t o r e . O t h e r s t h o u g h t t h a t s o m e p e o p l e c a n n o t l e a r n m a t h e m a t i c s . T h e r e a r e i m p o r t a n t c l u e s f o r t e a c h e r e d u c a t o r s i n w h a t t h e p r o s p e c t i v e t e a c h e r s d i d n i t k n o w t o s a y a s w e l l a s i n w h a t t h e y e l e . A b o u t w h a t t h i n g s , f o r e x a m p l e , d o p r o s p e c t i v e t e a c h e r s ; e l k a s t e a c h e r e d u c a t o r s w o u l d w a n t t h e m t o ? W h e r e d o t h e y s a y t h i n g s t h a t a r e q u i t e d i f f e r e n t ? W i n . M a t h e m a t i c s T h r o u g h o u t t h e i n t e r v i e w s , I w a s s t r u c k w i t h h o w m u c h t h e t e a c h e r c a n d i d a t e s ' k n o w l e d g e , w a y s o f t h i n k i n g , b e l i e f s , a n d f e e l i n g i n t e r a c t e d i n t h e i r r e s p o n s e s . T h e i r a p p r o a c h e s t o f i g u r i n g o u t a p u z z l i n g p r o b l e m w e r e c o l o r e d b y t h e i r s e l f - c o n f i d e n c e , t h e i r r e p e r t o i r e o f s t r a t e g i e s , w h a t t h e y c o u l d r e m e m b e r a b o u t t h e r e l a t e d c o n c e p t s , a s w e l l a s w h a t t h e y b e l i e v e d a b o u t t h e f r u i t f u l n e s s o f t r y i n g t o f i g u r e o u t t h e p r o b l e m i n t h e f i r s t p l a c e . T o g e t h e r t h e s e c o m p r i s e d t h e i r u n d e r s t a n d i n g - - t h e w a y t h e y p a r t i c i p a t e d i n a n d e x p e r i e n c e d m a t h e m a t i c s . I a r g u e t h a t c o n s i d e r a t i o n o f p r o s p e c t i v e t e a c h e r s ' f e e l i n g s a n d k n o w l e d g e g o h a n d i n h a n d , t h a t t e a c h e r e d u c a t o r s m i g h t t r y t o e x a m i n e h o w t e a c h e r c a n d i d a t e s a p p r o a c h a n d p a r t i c i p a t e i n m a t h e m a t i c a l a c t i v i t y . * * * I n t h e n e x t c h a p t e r , I l e t t h e t e a c h e r c a n d i d a t e s ' u n d e r s t a n d i n g s o f m a t h e m a t i c s f o r m t h e b a c k d r o p f o r a d i s c u s s i o n o f t h e i r i d e a s a b o u t t h e t e a c h i n g a n d l e a r n i n g o f m a t h e m a t i c s , a n d a b o u t t h e p e o p l e t h e y w i l l e v e n t u a l l y t e a c h - - t h e l e a r n e r s . T h i s c h a p t e r , h o w e v e r , i s a 2 2 5 c r i t i c a l b a c k d r o p f o r t h a t d i s c u s s i o n , f o r , a s I d i s c u s s i n C h a p t e r 6 , t h e s e i d e a s a n d u n d e r s t a n d i n g s - - a b o u t m a t h e m a t i c s , a b o u t t e a c h i n g a n d l e a r n i n g , a b o u t l e a r n e r s - ~ i n t e r a c t e d i n t h e t e a c h e r c a n d i d a t e s ' t h i n k i n g a b o u t c o n c r e t e t e a c h i n g s i t u a t i o n s . u n i i m ‘ fl n j t i i i fl i fl fl i t fl j l j i i i M G T 3 1 3 c ‘ . ~ _ . ‘ . . L « v c | ~ , V ‘ f ' I . v — _ ' . _ _ u o. ‘ 1 , , i i : : : L . l l d u a ~ : r x - J n : : ; : ' c - 1 . — f - n - - . ~ l l ' 1 ' . I ] 1 : " w ; 3 . . . : Z l é . ‘ I . . . I ‘ ; » J " . : _ ! § [ ' 7 ’ . . : ' v ' 1 } : ‘ 1 . . Y ’ s ’ i é ' i , v H n 3 3 : 3 5 " . u p } . I » ) : . : . # 2 . 1 6 1 . z i g l l ’ v ‘ h ‘ n o ) 5 5 1 1 T H " : V a P L A C E I A N R T Y o E B T A E M U V R R O E I N C B O F L I L X N E D A o S t E D w e r o l e e t r r i D m h t A o u v n r e T a E s o h e n i t D r i U r d E c h b u e e e t d c f k o u o d r a e t e f a I f r t o e r e D A c o r d . m d q T y u u o e e . s E u r t D e U r d e . E D A T E D U E C H A P T E R 5 P R O S P E C T I V E T E A C H E R S ' I D E A S A B O U T T E A C H I N G A N D L E A R N I N G M A T H E M A T I C S A N D A B O U T S T U D E N T S A S [ B A N N E R S 0 F M A T H E M A T I C S I ‘ m g o i n g t o b e t e a c h i n g t h i s n e x t T u e s d a y m o r n i n g a t 8 o ' c l o c k . T h e y ' l l b e c o m i n g u p t o t h e b o a r d - - t h e y ' r e n o t g o n n a l i k e i t , b u t . . . I ' m g o i n g t o d o a l o t o f t a l k i n g , t o o . I ' l l j u s t p r e s e n t t h e x y - c o o r d i n a t e p l a n e a s a b e g i n n i n g t h i n g : “ W e l l , r e m e m b e r w e h a d t h e n u m b e r l i n e a n d t h e n w e h a d 0 , l , 2 , 3 . W e l l , e v e r y t h i n g ' s n o t j u s t o n t h e o n e l i n e . W h a t i f y o u , y o u k n o w , w h a t i f y o u h a v e a c i r c l e o r s o m e t h i n g ? Y o u c a n ' t p u t £ h § £ o n t h e n u m b e r l i n e , o r a s q u a r e o r w h a t e v e r , s o y o u h a v e , u m , t w o - - " I ' l l s a y t h a t , a n d t h e n I ' m g o n n a h a v e t h e x y - c o o r d i n a t e p l a n e a l r e a d y d r a w n o n a f l i p - o v e r c h a l k b o a r d a n d t h e n I ' l l f l i p i t o v e r a n d s a y , “ I L L ; i s . . . " , [ s a i d d r a m a t i c a l l y ] T h e n , y o u k n o w , I ' l l p r e s e n t l i k e t h i s i s t h e y , t h i s i s t h e x , f i r s t q u a d r a n t , s e c o n d q u a d r a n t , y o u k n o w , j u s t b a s i c s t u f f l i k e t h a t . . . A n d t h e n j u s t p r a c t i c e p l o t t i n g p o i n t s . A n d t h e n I g u e s s y o u c o u l d g o f r o m t h e r e . I h a v e s o m e i d e a s a b o u t , y o u k n o w , j u s t g t g g g g t t n g t h i n g s . ( A n d y , s e c o n d a r y t e a c h e r c a n d i d a t e ) L i s t e n i n g t o t h i s p r o s p e c t i v e t e a c h e r d e s c r i b e a t e a c h i n g p l a n r e v e a l s t h a t , a l t h o u g h h e i s j u s t e n t e r i n g a t e a c h e r e d u c a t i o n p r o g r a m , h e a l r e a d y h a s a n i m a g e o f h i m s e l f a s a t e a c h e r . H e h a s c o n c r e t e n o t i o n s a b o u t t h i n g s h e w i l l d o t o i n t r o d u c e s t u d e n t s t o t h e x y - c o o r d i n a t e p l a n e , i n c l u d i n g w h a t h e ' l l s a y a n d h o w h e ' l l s e t u p h i s p r e s e n t a t i o n . T h e s e n o t i o n s s e e m l i k e " b a s i c s t u f f " t o h i m . H e w i l l b e ' p r e s e n t i n g ' - - t a l k i n g a n d a s k i n g h i s s t u d e n t s q u e s t i o n s . T o e n s u r e t h a t t h e y l e a r n , h e i m a g i n e s h e ' l l g i v e t h e m p r a c t i c e , a l t h o u g h h e e x p e c t s t h a t t h e y w o n ' t l i k e c o m i n g u p t o t h e b o a r d . H i s p l a n t r a i l s o f f : H e w i l l j u s t " g o o n f r o m t h e r e . " A n d y ' s i m a g e r e f l e c t s i d e a s a n d a s s u m p t i o n s a b o u t t e a c h i n g a n d l e a r n i n g a n d a b o u t p u p i l s t h a t h e h a s p i c k e d u p o u t s i d e o f a n y f o r m a l p r o f e s s i o n a l t r a i n i n g . I n a d d i t i o n t o k n o w l e d g e , b e l i e f s , a n d f e e l i n g s a b o u t m a t h e m a t i c s a s a s u b j e c t , p r o s p e c t i v e t e a c h e r s l i k e A n d y b r i n g i d e a s a b o u t t h e 2 2 6 2 2 7 t e a c h i n g a n d l e a r n i n g o f m a t h e m a t i c s . T h e y h o l d i m a g e s o f w h a t i t w i l l b e l i k e t o b e a t e a c h e r a n d o f w h a t t h e y w i l l a c t u a l l y d o . T h e i r i d e a s a n d i m a g e s , b o t h e x p l i c i t a n d t a c i t , s h a p e t h e w a y s i n w h i c h p r o s p e c t i v e t e a c h e r s t h i n k a b o u t t e a c h i n g a n d l e a r n i n g t o t e a c h m a t h e m a t i c s . T h i s c h a p t e r f o c u s e s o n a s e t o f t h e s e i d e a s , d r a w n f r o m m y i n t e r v i e w s w i t h t h e e n t e r i n g t e a c h e r e d u c a t i o n s t u d e n t s i n t h i s s t u d y . 1 I b e g i n w i t h a d i s c u s s i o n o f t h e s o u r c e s o f a n d i n f l u e n c e s o n t h e i r i m a g e s o f a n d i d e a s a b o u t m a t h e m a t i c s t e a c h i n g a n d l e a r n i n g . N e x t I d e s c r i b e t h e i d e a s a n d i m a g e s t h e m s e l v e s , e x a m i n i n g c o m m o n a n d c o m m o n s e n s e t h e m e s t h a t r u n t h r o u g h o u t . I n t h e t h i r d s e c t i o n , I d i s c u s s t h e i r i d e a s a b o u t s t u d e n t s a s l e a r n e r s o f m a t h e m a t i c s . T h e c h a p t e r f i n i s h e s w i t h a l o o k a t w h a t t h e t e a c h e r c a n d i d a t e s d i d n g t s e e m t o k n o w . A m e r i c a n p r o s p e c t i v e t e a c h e r s ' i d e a s a n d i m a g e s a b o u t m a t h e m a t i c s t e a c h i n g s t e m l a r g e l y f r o m t w o s e t s o f o v e r l a p p i n g i n f l u e n c e s : p r i o r s c h o o l e x p e r i e n c e a n d m a i n s t r e a m A m e r i c a n c u l t u r e . W h i l e o t h e r s h a v e n o t e d t h e i n f l u e n c e o f p r o s p e c t i v e t e a c h e r s ' o w n s c h o o l i n g ( e . g . , I o r t i e , 1 9 7 5 , F e i m a n - N e m s e r & B u c h m a n n , 1 9 8 6 ) , f e w e r h a v e p a i d a t t e n t i o n t o t h e r o l e p l a y e d b y c u l t u r a l i m a g e s z , o r t o t h e s p e c i f i c i n f l u e n c e s o f e i t h e r o f t h e s e s o u r c e s o n t h e t e a c h i n g o f p a r t i c u l a r s u b j e c t s - - i n t h i s c a s e , m a t h e m a t i c s . A s s t u d e n t s t h e m s e l v e s , t h e i r 1 I e x p l a i n m y r a t i o n a l e f o r f o c u s i n g o n t h e s e p a r t i c u l a r i d e a s i n C h a p t e r 1 . 2 T w o e x c e p t i o n s a r e C o h e n ( i n p r e s s ) a n d W a l l e r ( 1 9 3 2 ) . C o h e n , e s p e c i a l l y , a r g u e s t h a t c u l t u r a l v i e w s o f k n o w l e d g e a r e a c r i t i c a l a n d o f t e n o v e r l o o k e d f o r c e s h a p i n g t h e n a t u r e o f s c h o o l t e a c h i n g a n d l e a r n i n g ’ 9 2 2 8 t i m e s p e n t i n m a t h e m a t i c s c l a s s r o o m s g i v e s p r o s p e c t i v e t e a c h e r s a s p e c i a l i z e d I ' a p p r e n t i c e s h i p o f o b s e r v a t i o n " ( L o r t i e , 1 9 7 5 ) . W a t c h i n g t h e i r m a t h t e a c h e r s , t h e y m a y h a v e a c q u i r e d s c r i p t s f o r t e a c h i n g t o p i c s s u c h a s l o n g d i v i s i o n a n d f a c t o r i n g ( P u t n a m , 1 9 8 7 ) , l e a r n e d e x p l a n a t i o n s a n d r e p r e s e n t a t i o n s o f c o n c e p t s l i k e f r a c t i o n s a n d p l a c e v a l u e , o r s t o r e d a w a y s t r a t e g i e s f o r a s s e s s i n g s t u d e n t p r o g r e s s . J u d g m e n t s f o r m e d f r o m b o t h g o o d a n d b a d e x p e r i e n c e s h a v e l e d t e a c h e r c a n d i d a t e s t o i d e a s a b o u t w h a t g o o d m a t h t e a c h e r s a r e l i k e a n d w h a t t h e y d o . P r o s p e c t i v e t e a c h e r s h a v e a l s o d e v e l o p e d i d e a s a b o u t g h g c a n l e a r n m a t h e m a t i c s a n d a b o u t t h e f a c t o r s t h a t i n f l u e n c e s u c c e s s i n l e a r n i n g m a t h e m a t i c s . T h e i r o w n c h i l d h o o d m e m o r i e s c o n t r i b u t e t o t h e i r a s s u m p t i o n s a b o u t w h a t c h i l d r e n e n j o y , w h a t t h e y a r e i n t e r e s t e d i n , a n d " w h a t w o r k s ” w i t h k i d s o f p a r t i c u l a r a g e s o r b a c k g r o u n d s . S t u d i e s o f m a t h e m a t i c s t e a c h i n g s u g g e s t t h a t t h e m a t h e m a t i c s c l a s s r o o m s w h i c h p r o s p e c t i v e t e a c h e r s h a v e e x p e r i e n c e d h a v e m a n y c o m m o n d e n o m i n a t o r s . T o s e t a c o n t e x t f o r t h e " a p p r e n t i c e s h i p o f o b s e r v a t i o n " a n d w h a t p r o s p e c t i v e t e a c h e r s l e a r n f r o m i t , I p a u s e t o t a k e a l o o k a t w h e r e t h e y h a v e b e e n d o i n g m o s t o f t h i s a p p r e n t i c e s h i p . S i n c e A m e r i c a n s c h o o l s a r e s e t i n a h i s t o r i c a l a n d c u l t u r a l c o n t e x t w h o s e v a l u e s a n d t r a d i t i o n s s h a p e t h e e x p e r i e n c e o f s c h o o l m a t h e m a t i c s , I c o n s i d e r b o t h s c h o o l a n d c u l t u r e i n t h i s d i s c u s s i o n . W W I s w T h e r e a d e r w i l l u n d o u b t e d l y b e a b l e t o v a l i d a t e f r o m p e r s o n a l e x p e r i e n c e t h e f o l l o w i n g d e s c r i p t i o n o f w h a t D a v i s a n d H e r s h ( 1 9 8 1 , p . 3 ) c a l l t h e “ o r d i n a r y m a t h c l a s s " : . . t h e p r o g r a m i s f a i r l y c l e a r c u t . W e h a v e p r o b l e m s t o s o l v e , o r a m e t h o d o f c a l c u l a t i o n t o e x p l a i n , o r a t h e o r e m t o p r o v e . T h e m a i n w o r k w i l l b e d o n e i n w r i t i n g , u s u a l l y o n t h e b l a c k b o a r d . I f 2 2 9 t h e p r o b l e m s a r e s o l v e d , t h e t h e o r e m s p r o v e d , o r t h e c a l c u l a t i o n s c o m p l e t e d , t h e n t h e t e a c h e r a n d t h e c l a s s k n o w t h e y h a v e c o m p l e t e d t h e d a i l y t a s k . T h e t e a c h e r ( o r t h e t e x t b o o k ) i s t h e a u t h o r i t y , t h e o r e m s a r e p r o v e d b y c o e r c i o n - - n o t r e a s o n - - a n d c o n f u s i o n s a r e a d d r e s s e d b y r e p e a t i n g t h e s t e p s i n " e x c r u c i a t i n g l y f i n e d e t a i l " ( D a v i s & H e r s h , 1 9 8 1 , p . 2 7 9 ) . W h i l e i t m a k e s m a t h e m a t i c s e d u c a t o r s w r i n g t h e i r h a n d s ( K l i n e , 1 9 8 7 ) , t h i s m o d e , e l a b o r a t e d b e l o w , r e p r e s e n t s t h e d o m i n a n t a p p r o a c h t o m a t h e m a t i c s t e a c h i n g i n t h e U n i t e d S t a t e s a n d c o m p r i s e s t h e “ f o l k w a y s ‘ o f s c h o o l m a t h e m a t i c s i n w h i c h p r o s p e c t i v e t e a c h e r s a r e s t e e p e d ( B u c h m a n n , 1 9 8 8 ) . S t o d o l s k y ( 1 9 8 5 ) , d r a w i n g f r o m h e r o w n a n d o t h e r s ’ f i n d i n g s ( F e y , 1 9 7 8 ; G o o d l a d , 1 9 8 4 ; S c h w i l l e , P o r t e r , B e l l i , F l o d e n , F r e e m a n , K n a p p e n , K u h s , & S c h m i d t , 1 9 8 3 ) , p r o v i d e s a p i c t u r e o f m o d a l p r a c t i c e . C l a s s r o o m s a r e d o m i n a t e d b y a r e c i t a t i o n a n d s e a t w o r k p a t t e r n o f t e x t b o o k - c e n t e r e d i n s t r u c t i o n . I n a b o u t 2 0 o f t h e c l a s s e s t h a t S t o d o l s k y o b s e r v e d , f o r i n s t a n c e , s t u d e n t s w o r k e d i n d i v i d u a l l y a t t h e i r o w n p a c e , a l t h o u g h m o s t t i m e w a s s p e n t o n w h o l e - g r o u p i n s t r u c t i o n . R a r e l y d i d s t u d e n t s w o r k i n s m a l l g r o u p s o r w i t h p a r t n e r s . G e n e r a l l y , m a t h t e a c h e r s " i n t r o d u c e n e w c o n c e p t s t o c h i l d r e n a n d t e a c h a n d t e l l t h e m h o w t o d o t h e a r i t h m e t i c . . . O n c e m a t e r i a l h a s b e e n p r e s e n t e d t o t h e s t u d e n t s , e x t e n s i v e p e r i o d s o f p r a c t i c e a r e p r o v i d e d " ( S t o d o l s k y , 1 9 8 5 , p . 1 2 8 ) . T e x t b o o k s d o m i n a t e t h i s a p p r o a c h t o m a t h e m a t i c s i n s t r u c t i o n . A l t h o u g h t e a c h e r s s o m e t i m e s o m i t t o p i c s t h e y p e r c e i v e a s " e x t r a s , “ t h e y r a r e l y a d d m a t h e m a t i c a l c o n t e n t n o t c o v e r e d i n t h e t e x t b o o k ( S c h w i l l e e t a 1 . , 1 9 8 3 ) . S t o d o l s k y ' s ( 1 9 8 8 ) a n a l y s i s o f e l e m e n t a r y m a t h t e x t b o o k s s u g g e s t s t h a t c o n c e p t s a n d p r o c e d u r e s a r e o f t e n 2 3 0 i n a d e q u a t e l y d e v e l o p e d , w i t h j u s t o n e o r t w o e x a m p l e s g i v e n , a n d a n e m p h a s i s o n “ h i n t s a n d r e m i n d e r s " t o s t u d e n t s a b o u t w h a t t o d o . S h e a r g u e s t h a t t h i s s u g g e s t s t h a t i t i s t h e t e a c h e r ' s r e s p o n s i b i l i t y t o d e v e l o p t h e i d e a s i n c l a s s . Y e t , s h e r e p o r t s , r e s e a r c h e r s o b s e r v e l i t t l e u s e o f m a n i p u l a t i v e s o r o t h e r c o n c r e t e e x p e r i e n c e s . I n s t e a d , s t u d e n t s s p e n d m o s t o f t h e i r t i m e d o i n g w r i t t e n p r a c t i c e e x e r c i s e s f r o m t h e t e x t b o o k . M a d s e n - N a s o n a n d L a n i e r ' s ( 1 9 8 6 ) c a s e s t u d y o f P a m e l a K a y e , a h i g h s c h o o l m a t h t e a c h e r , p r o v i d e s v i v i d d e t a i l o f w h a t h a p p e n s i n t h e o r d i n a r y m a t h c l a s s . A f t e r g i v i n g a b r i e f p r e s e n t a t i o n w h i c h c o n s i s t e d o f r u l e s a n d " h e r e ' s h o w t o d o t h e s e " e x p l a n a t i o n s , M s . K a y e t y p i c a l l y a s s i g n e d h e r s t u d e n t s a l a r g e n u m b e r o f e x e r c i s e s f r o m t h e b o o k ( e . g . , 1 2 4 r a t i o a n d p r o p o r t i o n e x e r c i s e s ) t o " c e m e n t i t i n t o t h e i r l i t t l e m i n d s “ ( p . 1 7 ) . A l t h o u g h t h e s e a s s i g n m e n t s w e r e l o n g , t h e y w e r e r e p e t i t i v e a n d d i d n o t r e q u i r e m u c h e f f o r t - - j u s t p e r s i s t e n c e . S h e s p e n t m o s t o f e a c h c l a s s p e r i o d m o n i t o r i n g s t u d e n t s ' w o r k o n t h e a s s i g n m e n t s - - k e e p i n g t h e m o n t a s k a n d p r o v i d i n g i n d i v i d u a l a s s i s t a n c e . W h e n M s . K a y e t a u g h t s o m e t h i n g t o t h e w h o l e g r o u p , s h e f o c u s e d o n t e l l i n g t h e s t u d e n t s " h o w t o d o i t " a n d g a v e t h e m a l g o r i t h m s t o f o l l o w t h a t s h e t h o u g h t w o u l d h e l p t h e m t o b e s u c c e s s f u l . S p e n d i n g a s m a n y a s 1 2 y e a r s i n " o r d i n a r y m a t h c l a s s e s " i s a p o w e r f u l a p p r e n t i c e s h i p f o r l e a r n i n g t o t e a c h m a t h e m a t i c s . T h e y e a r s o f r e d u n d a n t , o f t e n h i g h l y c a t h e c t e d , e x p e r i e n c e t h u s h e l p t o d e f i n e a n d l i m i t p r o s p e c t i v e t e a c h e r s ' i m a g e s o f m a t h e m a t i c s t e a c h i n g a n d l e a r n i n g . 2 3 1 K n o w n t h r o u g h t h e c o m m o n e x p e r i e n c e o f h a v i n g " b e e n t h r o u g h i t , ” t h e f o l k w a y s o f s c h o o l m a t h e m a t i c s a s s u m e q u a l i t i e s o f b o t h o b v i o u s n e s s a n d n e c e s s i t y w h i c h " c o m m a n d a m o r a l a n d c o g n i t i v e l o y a l t y " ( B u c h m a n n , 1 9 8 7 b , p . 1 5 5 ) . B u c h m a n n ( 1 9 8 7 b , p . 1 5 5 ) a r g u e s t h a t , “ i n l e a r n i n g t h e f o l k w a y s , p e o p l e d o n o t s i m u l t a n e o u s l y i n t e r n a l i z e t h e d i s p o s i t i o n t o t a k e a h a r d l o o k a t w h a t t h e y d o a n d w h a t t h e c o n s e q u e n c e s a r e . " O n o n e h a n d , t e a c h e r c a n d i d a t e s w h o h a v e b e e n s u c c e s s f u l i n m a t h e m a t i c s m a y t h i n k t h a t t h e p a t t e r n s t h e y h a v e s e e n a r e a p p r o p r i a t e a n d t h e r e f o r e m a y b e u n i n t e r e s t e d i n a l t e r n a t i v e w a y s o f t e a c h i n g . T h o s e w h o s t r u g g l e d i n m a t h m a y n e v e r t h e l e s s a s s u m e t h a t t h i s i s t h e w a y m a t h e m a t i c s n g g t b e t a u g h t a n d t h a t t h e y a r e s i m p l y a m o n g t h e " h a v e - n o t s " i n m a t h e m a t i c s . O n t h e o t h e r h a n d , t h e y m g ! a l s o a s p i r e t o t e a c h d i f f e r e n t l y . B u t e v e n i f p r o s p e c t i v e t e a c h e r s a r e c r i t i c a l o f t h e i r o w n p a s t t e a c h e r s f o r t e a c h i n g b a d l y a n d f o r m a k i n g t h e m f e e l s t u p i d , m a n y o f t h e m l a c k a l t e r n a t i v e i m a g e s o f m a t h e m a t i c s t e a c h i n g , h a v i n g h a d n o o t h e r m o d e l s . 3 h e u t P r o s p e c t i v e t e a c h e r s ' i d e a s a b o u t t h e t e a c h i n g a n d l e a r n i n g o f m a t h e m a t i c s c o m e n o t o n l y o u t o f s c h o o l e x p e r i e n c e , b u t a l s o f r o m o u r m a i n s t r e a m c u l t u r e . I m a g e s o f t e a c h i n g a n d t h e t e a c h e r ' s r o l e , o f w h a t g o e s o n i n m a t h e m a t i c s c l a s s e s , a n d o f p e o p l e w h o a r e g o o d ( o r n o t g o o d ) a t m a t h p e r m e a t e A m e r i c a n m o v i e s , b o o k s , t e l e v i s i o n s h o w s , a n d j o k e s . I n t h e s e i m a g e s , m a t h t e a c h e r s a l w a y s s e e m t o s t a n d a t t h e f r o n t o f t h e r o o m , w r i t e f o r m u l a s a l l o v e r t h e b o a r d , t e l l i n f o r m a t i o n , a n d g i v e a s s i g n m e n t s . S t u d e n t s s i t a t d e s k s , w o r k i n g e x e r c i s e s . S i n c e m a t h e m a t i c s i s d u l l , t h e y r e q u i r e f i r m m a n a g e m e n t a n d c o n t r o l i n o r d e r 2 3 2 t o k e e p t h e m o n t a s k , f o r m a t h i s p o r t r a y e d a s a d r y a n d b o r i n g s u b j e c t . T h e o n l y p e o p l e w h o s e e m t o l i k e i t a r e b o y s w i t h p i m p l e s a n d b l a c k - f r a m e d g l a s s e s w i t h t h i c k l e n s e s , w h o a r e s e e n a s h i g h l y i n t e l l i g e n t b u t f r e a k i s h . A m i x t u r e o f a w e a n d d e r i s i o n i s a c c o r d e d s u c h " m a t h t y p e s . ’ ' T h e y s o l v e t h e c r i t i c a l m y s t e r i e s a n d c o m e u p w i t h b r i l l i a n t s o l u t i o n s t o i m p o s s i b l e s i t u a t i o n s ( u s u a l l y t h r o u g h s o m e m a g i c a l f o r m u l a ) , b u t t h e i r p a n t s a l w a y s a l s o s e e m t o f a l l d o w n i n c l a s s . I n o u r c u l t u r e , m a t h e m a t i c s i s b o t h r e v e r e d a n d r e v i l e d . B e i n g g o o d a t m a t h i s c o n s i d e r e d a n i n d i c a n t o f a c e r t a i n k i n d o f r e s p e c t e d i n t e l l i g e n c e . M a t h e m a t i c s i s s u p p o s e d t o b e e s s e n t i a l f o r m a n y c a r e e r s a n d f o r u n d e r s t a n d i n g t h e w o r l d a r o u n d u s . Y e t , m a n y p e o p l e t a k e p r i d e i n p o i n t i n g o u t t h a t t h e y D E X E I u s e o r n e e d m a t h e m a t i c s . P e r h a p s m o r e t h a n a n y o t h e r s u b j e c t , e v e n w e l l - e d u c a t e d p e o p l e a r e w i l l i n g t o a d m i t f r e e l y t h a t t h e y a r e n o t g o o d a t m a t h ( H i l t o n , 1 9 8 0 ) . B e i n g g o o d a t m a t h i s w i d e l y p o r t r a y e d a s a g e n e t i c e n d o w m e n t . E x p r e s s i n g e n j o y m e n t o f m a t h e m a t i c s o r , w o r s e , b e i n g s e e n d o i n g o r r e a d i n g m a t h e m a t i c s i n v i t e s a d v e r s e c o m m e n t s , e x p r e s s i o n s o f d i s t a s t e , a n d d i s c l a i m e r s b o t h b y t h e " a c c u s e r " a n d t h e " a c c u s e d . " M a t h e m a t i c s i s b r o a d l y p e r c e i v e d a s a c o l d , h a r d d o m a i n w h i c h i s p a r a d o x i c a l l y a l s o m y s t e r i o u s , i n w h i c h a n s w e r s a r e a l w a y s e i t h e r r i g h t o r w r o n g , a n d i n w h i c h l i t t l e r e a s o n f o r d e b a t e o r d i s c u s s i o n e x i s t s ( B u e r k , 1 9 8 2 ; G u i l l e n , 1 9 8 3 ) . I t i s s t r i k i n g h o w m u c h o f t h i s e x t e r n a l i n f l u e n c e i s s h a r e d b y t h o s e w h o e n t e r m a t h e m a t i c s t e a c h i n g i n t h e U n i t e d S t a t e s , f o r t h i s d e g r e e o f c o m m o n a l i t y i n p e r c e p t i o n d o e s n o t n e c e s s a r i l y c h a r a c t e r i z e o t h e r s u b j e c t a r e a s - ~ E n g l i s h o r b i o l o g y , f o r i n s t a n c e . I n t h e s e ’ 3 2 3 3 a r e a s , p r o s p e c t i v e t e a c h e r s a r e m o r e l i k e l y t o h a v e h a d v a r i e d s c h o o l e x p e r i e n c e s , a n d o u r c u l t u r a l i m a g e s o f E n g l i s h o r s c i e n c e t e a c h i n g s e e m f a r l e s s s a l i e n t . G i v e n t h i s c o n t e x t , a c r i t i c a l q u e s t i o n t o b e a d d r e s s e d i n t h i s c h a p t e r i s : W h a t d o p r o s p e c t i v e m a t h t e a c h e r s m a k e o u t o f t h e s e e x p e r i e n c e s a n d m e s s a g e s a n d h o w m u c h v a r i a t i o n i n t h e i r i d e a s a n d a s s u m p t i o n s e x i s t s ? I h a v e d i v i d e d t h i s d i s c u s s i o n i n t o t w o m a i n p a r t s : P r o s p e c t i v e t e a c h e r s ' i d e a s a b o u t t e a c h i n g a n d l e a r n i n g m a t h e m a t i c s a r e d i s c u s s e d f i r s t , f o l l o w e d b y t h e i r i d e a s a b o u t l e a r n e r s o f m a t h e m a t i c s . I n e a c h s e c t i o n I e x a m i n e s e v e r a l t h e m e s i n t h e i d e a s o f t h e p r o s p e c t i v e t e a c h e r s w h o m I i n t e r v i e w e d . I n a d d i t i o n , I d i s c u s s s o m e a r e a s t h a t s e e m e d t o b a f f l e o r w o r r y t h e m . I n t h i s a n a l y s i s , a s i n t h e a n a l y s i s o f t h e i r s u b j e c t m a t t e r u n d e r s t a n d i n g s , I h a v e t r i e d t o p u s h b e l o w t h e l e v e l o f t h e i r t e r m s , t h e i r s l o g a n s , t o l e a r n h o w t h e y w e r e t h i n k i n g a b o u t q u e s t i o n s o f t e a c h i n g a n d l e a r n i n g . I f t h e y t a l k e d a b o u t m a k i n g m a t h e m a t i c s r e l a t e t o t h e r e a l w o r l d , f o r i n s t a n c e , I t r i e d t o a v o i d a s s u m i n g w h a t t h e y m e a n t a n d , i n s t e a d , s o u g h t e v i d e n c e t h a t w o u l d h e l p t o r e v e a l t h e i r i d e a s . I r e t u r n t o t h i s i s s u e a t t h e e n d o f t h e c h a p t e r . a d c D e s p i t e t h e p e r s o n a l a n d b i o g r a p h i c a l d i f f e r e n c e s a m o n g t h e m , a s w e l l a s t h e v a r i a n c e i n t h e i r u n d e r s t a n d i n g s o f m a t h e m a t i c s , t h e t e a c h e r c a n d i d a t e s ' i d e a s a b o u t t h e t e a c h i n g a n d l e a r n i n g o f m a t h e m a t i c s w e r e s u r p r i s i n g l y s i m i l a r . F o u r m a i n p r o p o s i t i o n s s t o o d o u t p r o m i n e n t l y : 2 3 4 1 . T e a c h e r s s t a n d i n f r o n t o f t h e c l a s s a n d t a l k a n d s h o w s t u d e n t s h o w t o ' d o ' m a t h , b y ' g o i n g o v e r ' e x a m p l e s o n t h e b o a r d . 2 . C h a d t e a c h e r s h e l p s t u d e n t s " f i g u r e t h i n g s o u t o n t h e i r o w n . ‘ 3 . L e a r n i n g m a t h e m a t i c s i s a p r o c e s s o f a c q u i r i n g a n d s t o r i n g ' c o n c e p t s ' ( i . e . , i n f o r m a t i o n ) . 4 . T e a c h e r s a r e s u p p o s e d t o k n o w a l l t h e a n s w e r s a n d t e l l t h e m t o s t u d e n t s w h e n e v e r a s k e d . T h e s e n o t i o n s f o r m a l o g i c a l l y c o n s i s t e n t v i e w o f m a t h e m a t i c s t e a c h i n g s i g n i f i c a n t l y d i f f e r e n t f r o m t h e v i e w o f m a t h e m a t i c a l p e d a g o g y a d v a n c e d i n c h a p t e r 1 . I n t h i s s e c t i o n , I u n p a c k e a c h o n e i n t u r n a n d t h e n d i s c u s s a d i s t i n c t i v e t h e m e t h a t w e a v e s t h r o u g h o u t , a t h e m e t h a t m a k e s p l a i n t h e i n f l u e n c e o f t h e f o l k w a y s o f t e a c h i n g o n t e a c h e r c a n d i d a t e s ' i d e a s . a : T e a c h e r s s t a n d i n f r o n t o f t h e c l a s s a n d t a l k a n d s h o w s t u d e n t s h o w t o d o t h e m a t h b y “ g o i n g o v e r " e x a m p l e s o n t h e b o a r d . c o r o l l a r y : T e a c h e r s n e e d t o b e g o o d a t t a l k i n g a n d a t k n o w i n g h o w t o ' w o r d ' t h i n g s . W h e n t h e p r o s p e c t i v e t e a c h e r s i m a g i n e d t h e m s e l v e s t e a c h i n g m a t h , m o s t o f t h e m p i c t u r e d t h e m s e l v e s s t a n d i n g u p , t a l k i n g , a n d w r i t i n g o n t h e b o a r d . T h e y d e s c r i b e d t h e m s e l v e s p r e s e n t i n g , t e l l i n g , r e m i n d i n g , I ' g o i n g o v e r , " e x p l a i n i n g , p o i n t i n g o u t , a n d s h o w i n g t h i n g s . T h i s w a s t h e d o m i n a n t i m a g e f o r 1 6 o u t o f t h e 1 9 t e a c h e r c a n d i d a t e s , b u t a l l o f t h e m f a l l i n t o t h e t e l l i n g m o d e a t l e a s t s o m e o f t h e t i m e . 3 I a d a p t e d t h i s s t y l e o f p r e s e n t i n g t h e t e a c h e r c a n d i d a t e s ' i d e a s a s p r o p o s i t i o n s w i t h a c c o m p a n y i n g c o r o l l a r i e s f r o m S c h o e n f e l d ( i n p r e s s a ) . 2 3 5 T h r o u g h o u t t h e i r i n t e r v i e w s , t h e e l e m e n t a r y c a n d i d a t e s e x h i b i t e d a s t r o n g t e n d e n c y t o t e l l a n d s h o w m a t h e m a t i c s t o s t u d e n t s . F o r e x a m p l e , i n d e s c r i b i n g h o w t h e y w o u l d t e a c h s u b t r a c t i o n w i t h r e g r o u p i n g t o s e c o n d g r a d e r s , a l l o f t h e m s a i d t h e y w o u l d e x p l a i n a n d s h o w a n d d o e x a m p l e s a n d t h e n h a v e s t u d e n t s d o " s o m e m o r e " f o l l o w i n g t h e i r e x a m p l e s . S a n d i e x p l a i n e d : I w o u l d j u s t s h o w t h e m h o w y o u d o i t , r e a l l y . I w o u l d j u s t s a y i f y o u h a v e 2 t e n s , y o u c a n t a k e 1 a w a y a n d a d d i t t o t h e o n e s s o y o u ' r e a d d i n g t e n h e r e a n d n o t o n e . Y o u w o u l d h a v e t o m a k e s u r e t h a t t h e y u n d e r s t o o d t h a t y o u w e r e t a k i n g t e n a n d n o t o n e s o t h i s w o u l d b e 1 4 , a n d n o t 5 . 2 1 4 _ ; _ l _ § _ _ S h e s a i d s h e p i c t u r e d h e r s e l f a t t h e b o a r d a n d a d d e d t h a t " y o u h a v e t o t e l l t h e m - - I m e a n o b v i o u s l y i f y o u h a v e 4 h e r e y o u c a n ' t t a k e 6 a w a y , y o u h a v e t o e x p l a i n t h a t y o u o n l y u s e i t a t c e r t a i n t i m e s . " O t h e r t e a c h e r c a n d i d a t e s ' d e s c r i p t i o n s w e r e s i m i l a r , a l t h o u g h t h e y v a r i e d i n d e t a i l a n d t h e d e g r e e o f f o c u s o n t h e u n d e r l y i n g c o n c e p t s . C a t h y , o n o n e h a n d , f o c u s e d e x c l u s i v e l y t h e s t e p s o f t h e p r o c e d u r e . S h e s a i d s h e w o u l d e x p l a i n h o w t o d o i t ( b o r r o w i n g ) . S h e w o u l d g i v e t h e s t u d e n t s " l i t t l e t r i c k s l i k e c r o s s i n g i t o u t s o y o u c a n k e e p i t a l l s t r a i g h t " a n d w o u l d a d v i s e t h e m " n o t t o t r y a n d k e e p i t a l l i n t h e i r h e a d . " 0 n t h e o t h e r h a n d , L i n d a h a d a m e t a p h o r i c a l e x p l a n a t i o n t h a t p e r s o n i f i e d t h e n u m b e r s i n t o b e i n g s t h a t n e e d e d t o b o r r o w “ m o r e " f r o m " n e x t d o o r " : E x p l a i n t o t h e m t h a t i f t h e t o p n u m b e r i s s m a l l e r , t h e n y o u n e e d m o r e f r o m s o m e w h e r e , s o y o u l o o k n e x t d o o r a n d h e l o o k s l i k e h e ' s g o t m o r e ( i f h e ' s m o r e t h a n 0 ) . S o , y o u k n o w , y o u c a n b o r r o w 1 0 - - b u t h o w w o u l d y o u e x p l a i n t h a t i t w o u l d j u s t b e 1 ? T h e y m i g h t s a y t h a t 2 d o e s n ' t r e a l l y h a v e 1 0 t o g i v e a w a y . S o y o u ' d s a y , " Y e a h , b u t t h a t ' s r e a l l y 2 9 a n d t h a t w o u l d b e 1 9 , s o y o u c r o s s i t o u t a n d p u t a 1 a n d 1 0 o v e r t h e r e , t h a t m a k e s 1 4 - 6 . 2 3 6 L i n d a a d m i t t e d t h a t t h i s s o u n d e d c o n f u s i n g b u t s a i d s h e f e l t t h a t t h i s w a s t h e o n l y w a y i t c o u l d b e e x p l a i n e d . S h e s a i d b o r r o w i n g c o u l d n ' t b e e x p l a i n e d " v i s u a l l y . " R a c h e l t h o u g h t s h e c o u l d u s e b l o c k s o r m a r b l e s t o " s h o w t h e m c o n c e p t u a l l y . " O n c e t h e c h i l d r e n g o t t h e i d e a t h a t y o u c a n ' t s u b t r a c t 6 f r o m 4 , s h e w o u l d “ g o t o w o r k o n t h e b o a r d " a n d d o a f e w m o r e e x a m p l e s . A c r o s s t h e o t h e r t e a c h i n g q u e s t i o n s a s w e l l , t h e p r o s p e c t i v e e l e m e n t a r y t e a c h e r s t e n d e d t o t e l l , e x p l a i n , a n d s h o w t h e m a t h e m a t i c s . T h e y w o u l d t e l l s t u d e n t s t h a t s q u a r e s h a v e f o u r e q u a l s i d e s , e x p l a i n t h a t ” a n y t h i n g d i v i d e d b y z e r o i s z e r o " ( s i c ) , a n d s h o w s t u d e n t s t o p u t i n z e r o s a s p l a c e h o l d e r s i n m u l t i p l y i n g l a r g e n u m b e r s . S o m e o f t h e m w o r r i e d a b o u t b e i n g a b l e t o f i n d t h e b e s t w a y s t o e x p l a i n a n d s h o w m a t h e m a t i c s s o t h a t c h i l d r e n w o u l d u n d e r s t a n d i t . C a t h y , f o r e x a m p l e , e x p l i c i t l y c o n n e c t e d t e l l i n g a n d t e a c h i n g , a s k i n g , I ' H o w d o y o u w o r d i t - - h o w d o y o u £ £ £ £ h s o m e o n e m a t h ? " T h e e l e m e n t a r y t e a c h e r c a n d i d a t e s ' d e s c r i p t i o n s o f w h a t t h e y w o u l d d o v a r i e d i n d e t a i l a n d s p e c i f i c i t y . T h e v a g u e r o n e s s i m p l y s a i d t h a t t h e y w o u l d ” p o i n t o u t " t h a t s q u a r e s w e r e n o t t h e s a m e a s r e c t a n g l e s ( s i c ) , w h i l e , a t t h e o t h e r e n d o f t h e c o n t i n u u m , a c o u p l e o f p r o s p e c t i v e t e a c h e r s p r o d u c e d e l a b o r a t e s c r i p t s , c o m p l e t e w i t h i n t o n a t i o n a n d p a r t s f o r w h a t p u p i l s s h o u l d s a y . O n l y t h r e e e l e m e n t a r y t e a c h e r c a n d i d a t e s g a v e a n y r a t i o n a l e f o r t e l l i n g a n d s h o w i n g a s a n a p p r o a c h t o t e a c h i n g m a t h e m a t i c s . A l l t h r e e e x p l a i n e d t h a t t e a c h e r s s h o u l d m a k e s u r e p u p i l s u n d e r s t a n d ; o n e r e c a l l e d t h a t h e r b e s t t e a c h e r s - - t h e o n e s f r o m w h o m s h e f e l t s h e h a d l e a r n e d t h e m o s t - - w e r e t h e o n e s t h a t e x p l a i n e d e v e r y t h i n g t o h e r . T h e o t h e r e l e m e n t a r y t e a c h e r c a n d i d a t e s d i d n o t e x p l i c i t l y t a l k a b o u t g h y t h e y 2 3 7 w o u l d t e l l , d e m o n s t r a t e , a n s w e r , a n d p o i n t o u t . R a t h e r t h a n a n e x a m i n e d a n d c o n s c i o u s c h o i c e , t h i s a p p r o a c h t o t e a c h i n g m a t h e m a t i c s w a s a p p a r e n t l y t a k e n f o r g r a n t e d . A s s u m i n g t h i s a p p r o a c h w i t h o u t q u e s t i o n i s a f u n c t i o n o f t h e w a y s i n w h i c h p r o s p e c t i v e t e a c h e r s a c q u i r e t h e i r i d e a s a n d t h e c o n s e q u e n t c o m m o n s e n s e a n d o b v i o u s n a t u r e o f t h i s t e a c h i n g k n o w l e d g e ( B u c h m a n n , 1 9 8 7 b ) . I n r e s p o n d i n g t o t h e t e a c h i n g s c e n a r i o s p r e s e n t e d d u r i n g t h e i n t e r v i e w , t h e s e c o n d a r y t e a c h e r c a n d i d a t e s e x h i b i t e d e v e n s t r o n g e r t e n d e n c i e s t o t g l l a n d s h o w t h a n d i d t h e e l e m e n t a r y m a j o r s . A s t h e s e s e c o n d a r y t e a c h e r c a n d i d a t e s d e s c r i b e d h o w t h e y w o u l d h e l p s t u d e n t s u n d e r s t a n d p a r t i c u l a r m a t h e m a t i c a l i d e a s o r p r o c e d u r e s , 7 o u t o f 9 c o n s i s t e n t l y p o r t r a y e d t h e m s e l v e s a s t g l l t n g o r g h g g i n g . T h e y r e p e a t e d l y u s e d a w i d e r a n g e o f " t e l l i n g " v e r b s - - s a y , e x p l a i n , t a l k a b o u t , p r e s e n t , a n d t e l l - - a s w e l l a s “ s h o w i n g " v e r b s - - g i v e , s h o w , d e m o n s t r a t e - - i n d e s c r i b i n g w h a t t h e y w o u l d d o . C a r o l , f o r e x a m p l e , s a i d t h a t w h e n s h e w a s " l e c t u r i n g " a b o u t s l o p e , s h e w o u l d d o l o t s o f e x a m p l e s o f g r a p h s o n t h e b o a r d a n d A n d y s a i d h e w o u l d " b e g i n w i t h r i s e o v e r r u n " a n d t h e n " g o o v e r " s e v e r a l e x a m p l e s . C i n d y ' s s k e t c h o f w h a t s h e w o u l d d o h i g h l i g h t s t h e p r e d o m i n a n t t e l l i n g / s h o w i n g m o d e : I t h i n k t h a t I w o u l d p r o b a b l y s t a r t o u t w i t h t h e i d e a o f r i s e o v e r r u n a n d . . . d e v e l o p t h e i d e a o f s l o p e , I w o u l d g i v e e x a m p l e s o f t h i n g s t h a t a r e o n a s l o p e . . . I t h i n k I w o u l d a d d r e s s t h e d i f f e r e n c e i n t h e y - c o o r d i n a t e s o v e r t h e y - c o o r d i n a t e s a n d t r y t o d e v e l o p i t f r o m t h a t p o i n t o f v i e w a n d t h e n g o i n a n d I w o u l d i n t r o d u c e t h e s l o p e - i n t e r c e p t f o r m o f t h e l i n e a n d s h o w h o w t h a t w a s r e a l l y k i n d o f a n e a s y o n e t o g r a p h f r o m j u s t b e c a u s e y o u a r e g i v e n , y o u k n o w , p o i n t o u t t h a t o n e i s a l o n g t h e y a x i s , t h e x c o o r d i n a t e i s 0 , w h i c h w o u l d c a n c e l t h a t o u t w h i c h w o u l d m e a n t h a t y w o u l d e q u a l b a t t h a t p o i n t , t r y t o e x p l a i n t h a t . I w o u l d g o o n a n d d o t h e r e s t ( l a u g h s a l o t ) . I n t r o d u c e t h e . . . w e l l , t h e y w e n t t o t h e n o t i o n s o f h a v i n g z e r o s l o p e a n d n o s l o p e , w h i c h i s s o m e t h i n g t h a t i s i m p o r t a n t t o u n d e r s t a n d a n d t h e n I w o u l d i n t r o d u c e d i f f e r e n t f o r m s o f l i n e s . 2 3 8 T h e h i g h l i g h t e d v e r b s a l s o r e v e a l a p i c t u r e o f C i n d y a s t h e d i s p e n s e r o f k n o w l e d g e a b o u t s l o p e . G i v i n g o u t k n o w l e d g e u s i n g t r a d i t i o n a l p r a c t i c e s , s h e s e e m e d t o s e e h e r s e l f t e l l i n g a n d s h o w i n g s t u d e n t s a b o u t t h e t o p i c . T h e o t h e r s e c o n d a r y t e a c h e r c a n d i d a t e s t a l k e d i n s i m i l a r w a y s , d e s c r i b i n g i n c o n s i d e r a b l e d e t a i l w h a t t h e y w o u l d t e l l o r s h o w s t u d e n t s . M o s t o f t h e m w o u l d a n s w e r s t u d e n t s ' q u e s t i o n s d i r e c t l y ( " 7 + 0 i s u n d e f i n e d - - y o u c a n ' t e v e r d o i t “ ) a n d w o u l d c o r r e c t i n c o r r e c t r e s p o n s e s o r s t a t e m e n t s ( " a s q u a r e h a s f o u r e q u a l s i d e s , " a n d " u s e z e r o s a s p l a c e h o l d e r s i n m u l t i p l i c a t i o n " ) . E x p e c t i n g t h a t t e l l i n g a n d s h o w i n g m i g h t b e a s i g n i f i c a n t d i m e n s i o n o f t h e i r i m a g e o f m a t h e m a t i c s t e a c h i n g , I h a d c o n s t r u c t e d a n i t e m f o r t h e c a r d s o r t t h a t s a i d , " W h e n I t e a c h m a t h , I e x p e c t t h a t m y m a j o r t a s k w i l l b e t e l l i n g - - o r s h o w i n g - - s t u d e n t s h o w t o d o t h e p r o b l e m s . " C a t h y w a s b a f f l e d : " W h a t o t h e r t a s k w o u l d t h e r e h i ? " T h a t t e l l i n g a n d s h o w i n g w e r e t h e c e n t r a l t a s k s o f t e a c h i n g m a t h e m a t i c s s e e m e d e n t i r e l y o b v i o u s t o h e r . T h e o t h e r e l e m e n t a r y c a n d i d a t e s l a r g e l y a g r e e d w i t h t h i s s t a t e m e n t a n d m a d e f e w c o m m e n t s a b o u t i t . L i k e C a t h y , t h e y s e e m e d t o f i n d t h e n o t i o n s e l f - e v i d e n t , a n d t h e i r r e a c t i o n s t o t h e i t e m l a r g e l y f i t w i t h w h a t t h e y d i d a n d s a i d d u r i n g t h e i n t e r v i e w s . O v e r a l l , h o w e v e r , t h e s e c o n d a r y t e a c h e r c a n d i d a t e s ' r e s p o n s e s t o t h i s i t e m w e r e s u r p r i s i n g l y n e g a t i v e : A l m o s t a l l o f t h e m d i s a g r e e d w i t h i t o r w e r e u n s u r e . T h e y r e s i s t e d t h i s s t a t e m e n t b e c a u s e t h e y c l a i m e d t h a t t h e y w a n t e d s t u d e n t s t o l e a r n t o " f i g u r e t h i n g s o u t o n t h e i r o w n . " D e s p i t e w h a t s h e s e e m e d t o d e s c r i b e i n r e s p o n d i n g t o t h e t e a c h i n g s c e n a r i o , C i n d y s a i d t h a t s h e t h o u g h t t h a t g i v i n g e x a m p l e s 2 3 9 w a s a g o o d i d e a , b u t t h a t t h e o n l y w a y t h a t s t u d e n t s w i l l d e v e l o p a n ' u n d e r s t a n d i n g a n d a p p r e c i a t i o n o f t h e w a y a p r o c e d u r e w o r k s “ i s i f t h e y " w o r k t h r o u g h i t o n t h e i r o w n . “ T e r r e l l e x p l a i n e d t h a t h e w o u l d s h o w s t u d e n t s h o w t h e y g g g l d s o l v e c e r t a i n p r o b l e m s , b u t t h a t h e w o u l d w a n t t h e m t o f i g u r e o u t t h e i r o w n s o l u t i o n s . A l l t h e o t h e r s e c o n d a r y t e a c h e r c a n d i d a t e s e x c e p t o n e e c h o e d A n d y ' s a n d C i n d y ' s p r o t e s t a t i o n s , u s i n g a l m o s t i d e n t i c a l e x p l a n a t i o n s a n d t e r m s . W h a t a t f i r s t a p p e a r s t o b e a p r o v o c a t i v e d i f f e r e n c e b e t w e e n t e a c h e r c a n d i d a t e s w h o h a v e m a j o r e d i n m a t h e m a t i c s a n d t h o s e w h o h a v e n o t i s m a d e m u c h m o r e f u z z y b y t h e i n t e r v i e w r e s p o n s e s . W h e n C i n d y , f o r e x a m p l e , d i d t h e c a r d s o r t , s h e d i s a g r e e d w i t h t h e v i e w o f t h e t e a c h e r ' s r o l e a s o n e o f t e l l i n g o r s h o w i n g s t u d e n t s h o w t o d o t h e p r o b l e m s . S h e s a i d t h a t s h e h o p e d s h e w o u l d n ' t j u s t b e " a v o i c e u p a t t h e f r o n t o f t h e c l a s s ' - ~ t h a t s h e w a n t e d t o " a c t i v e l y i n v o l v e " s t u d e n t s . W h a t s h e s a i d s h e w a n t e d t o d o s e e m e d q u i t e d i f f e r e n t f r o m w h a t s h e d i d o n t h e i n t e r v i e w ( s e e a b o v e ) . L i k e t h e o t h e r s , s h e p o r t r a y e d h e r s e l f s h o w i n g a n d e x p l a i n i n g . O n e p o s s i b i l i t y i s t h a t , w h i l e C i n d y g g n t g t o t e a c h d i f f e r e n t l y , s h e r e a l l y o n l y k n o w s h o w t o t e a c h i n a t e l l i n g m o d e - - a f t e r a l l , t h a t i s p r o b a b l y t h e d o m i n a n t i m a g e t o w h i c h s h e h a s b e e n e x p o s e d . T e l l i n g s t u d e n t s h o w t o d o t h e m a t h i s t h e r e f o r e c u r r e n t l y h e r ' d e f a u l t ' m o d e . T h a t t e a c h e r c a n d i d a t e s o p e r a t e i n a c o m m o n " d e f a u l t m o d e " i s e n t i r e l y c o n s i s t e n t w i t h B u c h m a n n ' s ( 1 9 8 7 b ) a n a l y s i s o f t h e f o l k w a y s o f t e a c h i n g i n g e n e r a l . L o r t i e ( 1 9 7 5 ) , t o o , d e s c r i b e s w h a t s t u d e n t s l e a r n f r o m t h e i r a p p r e n t i c e s h i p o f o b s e r v a t i o n a s " i n t u i t i v e a n d i m i t a t i v e r a t h e r t h a n e x p l i c i t a n d a n a l y t i c a l " ( p . 6 2 ) . I n d e e d , 2 4 0 a l t h o u g h m o s t o f t h e s e c o n d a r y c a n d i d a t e s a s s u m e d a t e l l i n g a n d s h o w i n g r o l e t h r o u g h o u t t h e i n t e r v i e w s a n d g a v e r e l a t i v e l y e l a b o r a t e d d e s c r i p t i o n s o f w h a t t h e y w o u l d s a y a n d d e m o n s t r a t e , n o n e g a v e a r a t i o n a l e f o r t h i s a p p r o a c h . T h e y a p p e a r e d t o a s s u m e o r f a l l i n t o t h i s p a t t e r n o f t e a c h i n g , w i t h o u t e x p l i c i t c o n s i d e r a t i o n o f t h e r o l e t h e y w e r e t a k i n g o n . C o h e n ( i n p r e s s ) w o u l d f i n d t h i s u n s u r p r i s i n g , i n d e e d e n t i r e l y p r e d i c t a b l e : C o n t e m p o r a r y i n s t i t u t i o n a l p r a c t i c e s e m b o d y a n a n c i e n t i n s t r u c t i o n a l i n h e r i t a n c e . I n t h i s i n h e r i t a n c e , t e a c h e r s a r e a c t i v e ; t h e y a r e t e l l e r s o f t r u t h w h o i n c u l c a t e k n o w l e d g e i n s t u d e n t s . L e a r n e r s a r e r e l a t i v e l y p a s s i v e ; s t u d e n t s a r e a c c u m u l a t o r s o f m a t e r i a l w h o p e r f o r m p r e s c r i b e d e x e r c i s e s . A n d k n o w l e d g e i s o b j e c t i v e a n d s t a b l e . I t c o n s i s t s o f f a c t s , l a w s , a n d p r o c e d u r e s t h a t a r e t r u e , i n d e p e n d e n t o f t h o s e w h o l e a r n , a n d e n t i r e l y a u t h o r i t a t i v e . T h e s e i d e a s a n d p r a c t i c e s h a v e d e e p a n d o l d r o o t s i n a c a d e m i c h a b i t . ( p . 1 5 ) A n o t h e r p o s s i b l e e x p l a n a t i o n f o r t h e a p p a r e n t d i s c r e p a n c y b e t w e e n w h a t t h e s e c o n d a r y c a n d i d a t e s g d v o g g t e g a n d w h a t t h e y g i g i n t h e i r i n t e r v i e w r e s p o n s e s m a y l i e i n w h a t t h e t e a c h e r c a n d i d a t e s m e a n t w h e n t h e y t a l k e d a b o u t " a c t i v e i n v o l v e m e n t " a n d " g e t t i n g t h e s t u d e n t s t o f i g u r e i t o u t f o r t h e m s e l v e s . " I n m a n y c a s e s , a l t h o u g h t h e t e a c h e r c a n d i d a t e s c l a i m e d t h a t t h e y w e r e h e l p i n g s t u d e n t s t o s o l v e p r o b l e m s i n d e p e n d e n t l y , t h e e n a c t m e n t o f t h a t i d e a l o o k e d m u c h m o r e l i k e t e l l i n g . I d i s c u s s t h i s b e l o w . : G o o d t e a c h i n g i s l g g g l g g s t u d e n t s t o ” f i g u r e o u t " t h e r i g h t a n s w e r s ' o n t h e i r o w n . ‘ A l t h o u g h t h e t e a c h e r c a n d i d a t e s d i d a l o t o f " t e l l i n g " a n d I ' e x p l a i n i n g " a n d ” p o i n t i n g o u t " i n t h e i n t e r v i e w s , s o m e o f t h e m t a l k e d a b o u t h e l p i n g p u p i l s " f i g u r e t h i n g s o u t f o r t h e m s e l v e s . " R e c a l l t h a t f e w o f t h e m t a l k e d e x p l i c i t l y a b o u t t h e v a l u e o f " t e l l i n g " ; i n f a c t , m o s t s a i d t h a t t h i s w a s a n u n d e s i r a b l e w a y t o t e a c h . C i n d y a r g u e d , 2 4 1 f o r e x a m p l e , t h a t t h e o n l y w a y " s t u d e n t s a r e r e a l l y g o i n g t o u n d e r s t a n d t h e w a y a p r o b l e m w o r k s i s t o d o i t o n t h e i r o w n a n d t o w o r k t h r o u g h i t o n t h e i r o w n ' ' a n d T e r r e l l s a i d t h a t t h e i m p o r t a n t . t h i n g i s t o g e t s t u d e n t s t o f i g u r e t h i n g s o u t t h e m s e l v e s . L o o k i n g m o r e c l o s e l y a t w h a t t h e t e a c h e r c a n d i d a t e s g i g a s t h e y r e s p o n d e d t o i n t e r v i e w q u e s t i o n s s u g g e s t s t h r e e c r i t i c a l i s s u e s b u r i e d w i t h i n t h e t e a c h e r c a n d i d a t e s ' i m a g e o f " h e l p i n g s t u d e n t s t o f i g u r e t h i n g s o u t f o r t h e m s e l v e s " : o n e h a v i n g t o d o w i t h w h a t i t m e a n s t o f i g u r e s o m e t h i n g o u t i n m a t h e m a t i c s , a n o t h e r h a v i n g t o d o w i t h w h a t t h e y t h o u g h t i t m e a n t t o d o s o m e t h i n g “ o n o n e ' s o w n , “ a n d a t h i r d h a v i n g t o d o w i t h t h e i r n o t i o n s o f h o w t e a c h e r s c o u l d h e l p s o m e o n e d o t h a t . T h e i r r e s p o n s e s t o t h e i n t e r v i e w s s u g g e s t e d t h a t t h e t e a c h e r c a n d i d a t e s s e e m e d t o v i e w " f i g u r i n g s o m e t h i n g o u t i n m a t h e m a t i c s " a s b e i n g a b l e t o t g t t y _ g t t _ p ; g t g g t t g § . " O n o n e ' s o w n " s e e m e d t o m e a n g i t h g g t _ z g g i n g g 1 § , a n d " h e l p i n g " s e e m e d t o m e a n q u i t e d i r e c t i v e 1 3 5 1 1 . n e - J a n e t ' s e x p l a n a t i o n o f h o w s h e w o u l d h e l p a s t u d e n t s o l v e t h e e q u a t i o n x - 5 0 . 2 r e v e a l e d t h a t h e r g o a l w a s t o g e t t h e s t u d e n t t o k n o w t h e s t e p s i n d e p e n d e n t l y . S h e s a i d t h a t s h e w o u l d u s e a p a t t e r n o f q u e s t i o n s t o ' l e a d t h e m t o t h e a n s w e r " : I w o u l d s a y t o t h e m . . . " W e l l , w h a t d o y o u n e e d t o d o i n t h i s p r o b l e m ? “ H o p e f u l l y , - - I ' m g u e s s i n g t h a t t h e i r a n s w e r i s g o i n g t o b e s o m e t h i n g a l o n g t h e l i n e s " W e l l , I n e e d t o i s o l a t e x o n o n e s i d e o f t h e p r o b l e m . " I w o u l d s a y , “ W h a t d o y o u n e e d t o d o t h a t ? " T h e s t u d e n t w o u l d p r o b a b l y s a y , " W e l l , I n e e d t o g e t r i d o f t h e . 2 u n d e r n e a t h t h e x a n d p u t i t t o 2 4 2 t h e o t h e r s i d e . " I ' d a s k , " W e l l , w h a t c a n y o u a d d o r s u b t r a c t o r m u l t i p l y o r d i v i d e t o g e t i t t o t h e o t h e r s i d e - - t o e l i m i n a t e t h e . 2 ? ” O r , a c t u a l l y I m i g h t s a y " W e l l , h o w d o y o u i s o l a t e i t ? " T h e s t u d e n t w o u l d h o p e f u l l y r e s p o n d w i t h s o m e t h i n g l i k e " W e l l , I n e e d t o d o m a t h e m a t i c a l f u n c t i o n s t o g e t r i d o f t h e e x t r a s t u f f . " I f t h e y c o u l d n ' t c o m e u p w i t h t h a t a n s w e r , I w o u l d s u g g e s t t h a t t o t h e m . T h e n I w o u l d a s k " W h a t f u n c t i o n w o u l d m a k e t h e m o s t s e n s e i n t h i s c a s e ? W o u l d i t m a k e s e n s e t o a d d o r s u b t r a c t o r . . . ? ' T h e y w o u l d p r o b a b l y s a y “ N o . " T h e n I w o u l d a s k “ W e l l , w h a t s h g g l g y o u d o ? ‘ I A t t h a t p o i n t , I ' m g u e s s i n g t h a t t h e y m i g h t s e e t h a t t h e y h a v e t o m u l t i p l y b y . 2 . J a n e t ' s r a t i o n a l e f o r d o i n g t h i s w a s t h a t " t h e y a r e g e t t i n g t h a t f o r t h e m s e l v e s , a s o p p o s e d t o b e i n g t o l d t h e a n s w e r , j u s t t a k i n g i t a n d n o t l e a r n i n g . " J a n e t b e l i e v e d t h a t c l u i n g t h e s t u d e n t t h r o u g h t h e s t e p s w o u l d h e l p t h e s t u d e n t l e a r n h o w t o s o l v e t h i s t y p e o f e q u a t i o n o n h i s o r h e r o w n , i n a w a y t h a t w a s s i g n i f i c a n t l y d i f f e r e n t f r o m b e i n g t g l d t h e s t e p s . O t h e r t e a c h e r c a n d i d a t e s s h a r e d t h i s v i e w . M a r s h a , f o r e x a m p l e , w o u l d t e a c h s u b t r a c t i o n w i t h r e g r o u p i n g b y s h o w i n g t h e m t h e s t e p s a n d t h e n p u t t i n g o t h e r p r o b l e m s o n t h e b o a r d a n d " g e t t i n g i n p u t " f r o m t h e c l a s s a b o u t h o w t o s o l v e t h e m . T h e s t r a t e g y t h e t e a c h e r c a n d i d a t e s u s e d t o w a r d t h i s e n d w a s t o l e a d s t u d e n t s w i t h q u e s t i o n s , h i n t i n g a n d g i v i n g c l u e s a b o u t t h e c o r r e c t a n s w e r o r c o n v e n t i o n a l s o l u t i o n p a t h . P a m , a n e l e m e n t a r y c a n d i d a t e , e x p l a i n e d t h a t ” i n s t e a d o f t e l l i n g t h e m w h a t t h e a n s w e r i s , [ i t i s ] k i n d o f w o r k i n g w i t h t h e m t o t r y a n d c o m e t o s o m e c o n c l u s i o n t h r o u g h m e a s k i n g q u e s t i o n s a n d t h e m d o i n g s o m e s o r t o f r e a s o n i n g , w o r k i n g o u t t h e a n s w e r . ” T e r r e l l , o n e o f t h e s e c o n d a r y c a n d i d a t e s , u s e d a m e t a p h o r f o r w h a t h e w a s t r y i n g t o d o : H e s a i d h e w a s " b e a t i n g a r o u n d t h e b u s h ' o - t r y i n g t o h i n t w i t h o u t t e l l i n g , a l l o w i n g t h e s t u d e n t m a x i m u m o p p o r t u n i t y t o s o l v e t h e p r o b l e m o n h i s o r h e r o w n : 2 4 3 I t r y t o b e a t a r o u n d t h e b u s h a s m u c h a s p o s s i b l e i n s o m e o r d e r l y w a y , w h e r e f i r s t y o u b e s t a r o u n d t h e b u s h . Y o u a r e f u r t h e s t a w a y f r o m t h e b u s h , i f y o u w a n t t o s a y i t . T h e n i f t h a t d o e s n ' t w o r k - - i f t h e y a r e r e a l l y h a v i n g t r o u b l e , t h e n f u r t h e r a w a y f r o m t h e b u s h i s t h e p o i n t w h e r e t h e y a r e n o t r e a l l y h a v i n g t r o u b l e . T h e n a s y o u g e t c l o s e r a n d c l o s e r t o t h e b u s h , y o u s e e t h a t t h e y r e a l l y a r e h a v i n g t r o u b l e . I f y o u g e t r i g h t t h e r e a n d t h e y s t i l l d o n ' t u n d e r s t a n d , t h e n y o u ' v e g o t t o g o b a c k t o l e a r n i n g t h e b a s i c s a g a i n . L e a r n i n g h o w y o u g e t u p t o t h a t p o i n t . W h i l e m a n y o f t h e t e a c h e r c a n d i d a t e s s a i d t h e y v a l u e d h a v i n g s t u d e n t s f i g u r e t h i n g s o u t o n t h e i r o w n , t h e y h a d p a r t i c u l a r e n d s i n m i n d : s p e c i f i c c o n c l u s i o n s t h e y w a n t e d s t u d e n t s t o d r a w , a n s w e r s t h e y w a n t e d t h e m t o g e t , a n d , u s u a l l y , p a r t i c u l a r m e t h o d s t h e y w a n t e d t h e m t o u s e . T h i s w a s e v i d e n t i n t h e l i t t l e s c r i p t s t h e t e a c h e r c a n d i d a t e s c o n s t r u c t e d f o r t h e i r d i a l o g u e s , s c r i p t s d e s i g n e d t o g e t s t u d e n t s t o k n o w a n d b e a b l e t o d o t h e m a t h e m a t i c s a t h a n d . T h e s e s c r i p t s s e r v e d a s t e a c h i n g t e m p l a t e s , w i t h s m a l l h o l e s t o b e f i l l e d w i t h p a r t i c u l a r k n o w l e d g e . T h e s t u d e n t s w o u l d , t h e y h o p e d , s a y t h e r i g h t t h i n g s t o e a c h o n e o f t h e s e q u e n c e o f q u e s t i o n s , b u t i f t h e y d i d n ' t , t h e t e a c h e r c a n d i d a t e s w e r e p r e p a r e d t o s i m p l y g i v e i n a n d t e l l t h e m t h e r i g h t a n s w e r . C i n d y ' s r e s p o n s e t o a f i r s t g r a d e r i l l u s t r a t e s t h i s . I n t h i s s c e n a r i o , a f i r s t g r a d e r h a s i d e n t i f i e d a s q u a r e a s a r e c t a n g l e . T h e p u p i l i s r i g h t - - a s q u a r e 1 5 a r e c t a n g l e - - b u t C i n d y , a m a t h m a j o r , _ t h o u g h t o f a r e c t a n g l e a s h a v i n g t w o l o n g s i d e s a n d t w o s h o r t s i d e s , a n d s o s h e b e l i e v e d t h e p u p i l w a s w r o n g . S h e h a d a s c r i p t f o r l e a d i n g t h e p u p i l t o t h e " c o r r e c t " u n d e r s t a n d i n g o f r e c t a n g l e s a n d s q u a r e s : I ' d a s k h i m t o l o o k a t t h e s i d e s o n e m o r e t i m e a n d r e m e m b e r a n g t h t ; f i g u r e , a s k h i m , ' D o y o u k n o w a n y o t h e r f i g u r e s t h a t a r e 1 1 k g a r e c t a n g l e ? “ H o p e f u l l y , h e w i l l s a y a s q u a r e ! [ l a u g h s ] T h e n I w i l l a s k h i m i f h e k n o w s w h a t m a k e s a s q u a r e d i f f e r e n t f r o m a r e c t a n g l e . I f h e s a y s , “ N o , I d o n ' t , " t h e n I s u p p o s e I w o u l d 2 4 4 s a y , ' W e l l , a s q u a r e h a s s i d e s t h a t a r e t h e s a m e l e n g t h . " A n d I w o u l d s a y , ' D o y o u s u p p o s e t h a t t h i s c o u l d b e a s q u a r e , m a y b e ? " I f h e s a i d y e s , I w o u l d s a y " W h y ? " a n d h o p e t h a t h e w o u l d s a y , I ' B e c a u s e t h e s i d e s l o o k t h e s a m e l e n g t h . " C i n d y w a n t e d t h e s t u d e n t t o c h a n g e h i s m i n d - - t o b e l i e v e t h a t t h e s q u a r e i s n o t a r e c t a n g l e . H e r q u e s t i o n s w e r e d e s i g n e d t o l e a d h i m t o w a r d t h i s c o n c l u s i o n . S h e h g p g fi h e w o u l d s a y t h e r i g h t t h i n g s a t t h e r i g h t t i m e s , b u t i f h e d i d n ' t , s h e w a s p r e p a r e d t o t e l l h i m . T e r r e l l , t o o , i f h e g o t r i g h t " u p t o t h e b u s h ' a n d t h e s t u d e n t s s t i l l d i d n o t u n d e r s t a n d , w o u l d r e s o r t t o t e l l i n g s t u d e n t s . B o t h C i n d y a n d T e r r e l l w e r e d i s p e n s i n g i n f o r m a t i o n ; h o w e v e r , t h e y t r i e d t o s t r u c t u r e t h e s i t u a t i o n s o t h a t s t u d e n t s w o u l d s a y t h e r i g h t t h i n g s b e f o r e t h e y w e r e t o l d . T h e t e a c h e r c a n d i d a t e s b e l i e v e d t h a t t h i s a p p r o a c h o f l e a d i n g s t u d e n t s w i t h q u e s t i o n s w o u l d h e l p t h e m t o i n t e r n a l i z e t h e p r o c e d u r e s s o t h a t t h e y c o u l d s o l v e p r o b l e m s ( i . e . , " p r o b l e m s “ a s i n e x e r c i s e s g i v e n i n t h e b o o k ) " o n t h e i r o w n . " O u t o f 1 9 t e a c h e r c a n d i d a t e s , 7 g a v e a n e x p l i c i t r a t i o n a l e f o r t h i s a p p r o a c h : 3 s a i d t h a t s t u d e n t s w o u l d u n d e r s t a n d a n d r e m e m b e r t h e c o n t e n t b e t t e r , 2 s a i d t h e t h a t s t u d e n t s w o u l d b e m o r e i n t e r e s t e d i n l e a r n i n g , a n d 2 s a i d t h a t s t u d e n t s w o u l d f e e l m o r e s e n s e o f a c c o m p l i s h m e n t a n d c o n f i d e n c e . O t h e r s w h o s p o k e u p f o r t h i s w a y o f w o r k i n g w i t h p u p i l s s i m p l y r e i t e r a t e d t h e i r v i e w t h a t t h e g o a l w a s t o h e l p s t u d e n t s b e c o m e a b l e t o d o m a t h e m a t i c s " o n t h e i r o w n . " M e i L i n g ' s e x p l a n a t i o n s u m m e d u p t h e c o m m e n t s o f t h e o t h e r t e a c h e r c a n d i d a t e s n i c e l y . S h e s a i d s h e l i k e d t o t e a c h t h r o u g h a s k i n g q u e s t i o n s : B e c a u s e I w a n t t h e m t o f e e l l i k e t h e y a r e . . . I w a n t t h e m t o g e t t h e f e e l i n g o f a c c o m p l i s h m e n t t h a t t h e y u n d e r s t a n d i t , t h a t t h e y r e a l i z e a n d i t i s a d e c i s i o n t h a t t h e y m a d e a n d t h e y w e r e r i g h t . B e s i d e s m y j u s t 2 4 5 t e l l i n g t h e m t h a t " t h i s i s a s q u a r e , t h i s i s n ' t a r e c t a n g l e , y o u ' r e w r o n g . " N o t s u r p r i s i n g l y , a c a r d s o r t i t e m w h i c h r e a d , ' A s a t e a c h e r , I w o u l d l i k e t o a v o i d t t l l i n g . I n s t e a d I w o u l d t r y t o l e a d m y s t u d e n t s t o t h e a n s w e r s b y a s k i n g p o i n t e d q u e s t i o n s , “ r e c e i v e d a g r e e m e n t f r o m a l l b u t o n e t e a c h e r c a n d i d a t e . C a r o l , a s e c o n d a r y c a n d i d a t e , w a s n o t s u r e . S h e e x p l a i n e d t h a t , " S o m e t i m e s y o u c a n ' t a v o i d t e l l i n g s o m e o n e , a n d i f y o u ' r e t e a c h i n g h i g h s c h o o l , y o u ' r e g o i n g t o s p e n d s o m e t i m e 1 t t t g t i n g - - a n d t h a t ' s w h a t y o u ' r e d o i n g , y o u ' r e t g l l i n g t h e m . " O v e r a l l , m a n y o f t h e t e a c h e r c a n d i d a t e s w e r e e n t h u s i a s t i c a b o u t h e l p i n g s t u d e n t s " f i g u r e t h i n g s o u t f o r t h e m s e l v e s " a n d l a r g e l y c r i t i c a l o f " t e l l i n g a n d s h o w i n g s t u d e n t s h o w t o s o l v e p r o b l e m s . " Y e t , w h a t t h e y d i d w h e n t h e y r e l a t e d h o w t h e y w o u l d t e a c h o r h o w t h e y m i g h t r e s p o n d t o a s t u d e n t q u e s t i o n r e v e a l e d t h a t t h e d i f f e r e n c e s b e t w e e n t h e s e t w o v i e w s o f t h e t e a c h e r ' s r o l e w e r e m o r e r h e t o r i c a l t h a n a c t u a l . I n " f i g u r i n g i t o u t o n o n e ' s o w n ' t h e t e a c h e r c a n d i d a t e s f o c u s e d o n t h e " o n o n e ' s o w n ' I p a r t ; " f i g u r i n g i t o u t " s i m p l y m e a n t g e t t i n g t h e a n s w e r u s i n g a l r e a d y - t a u g h t c o n t e n t . T h e r o m a n t i c v a l u e p l a c e d o n i n d e p e n d e n c e i n m a i n s t r e a m A m e r i c a n c u l t u r e h e l p s t o e x p l a i n t h e a p p e a l o f f i g u r i n g s o m e t h i n g o u t g n _ g n g L § _ g g n . S t i l l , t h e t e a c h e r c a n d i d a t e s ' n o t i o n s a b o u t w h a t i t m e a n s t o " f i g u r e s o m e t h i n g o u t “ i n m a t h e m a t i c s w e r e g e n e r a l l y s u p e r f i c i a l . T h i s w e a k i n t e r p r e t a t i o n o f " f i g u r i n g s o m e t h i n g o u t o n o n e ' s o w n ' f i t s t h e d o m i n a n t m o d e l o f t h e m a t h e m a t i c s t e a c h e r a s k n o w l e d g e - d i s p e n s e r a n d d e m o n s t r a t o r . I t i s a l s o c o n s i s t e n t w i t h t h e p r o s p e c t i v e t e a c h e r s ' n o t i o n s g t g g t m a t h e m a t i c s a s a b o d y o f f a c t s , p r o c e d u r e s , a n d d e f i n i t i o n s . B u t t h e i r t e n d e n c y t o t e l l , s h o w , a n d p o i n t o u t w a s a l s o i n f l u e n c e d b y 2 4 6 t h e i r v i e w o f w h a t i s e n t a i l e d i n l e a r n i n g m a t h e m a t i c s , d i s c u s s e d n e x t . : L e a r n i n g m a t h e m a t i c s i s a p r o c e s s o f a c q u i r i n g a n d s t o r i n g “ c o n c e p t s “ ( i . e . , i n f o r m a t i o n ) . c o r o l l a r y : M a t h t e a c h e r s s h o u l d d r i l l m a t e r i a l i n t o s t u d e n t s ' h e a d s . I n t h r e e d i f f e r e n t w a y s - - t h e v a l u e p l a c e d o n r e p e t i t i o n , c o m m o n m e t a p h o r s f o r l e a r n i n g m a t h e m a t i c s , a n d a n e m p h a s i s o n l e a r n i n g f a c t s , p r o c e d u r e s , a n d d e f i n i t i o n s - - t h e t e a c h e r c a n d i d a t e s ' l a n g u a g e s u g g e s t e d a v i e w o f m a t h e m a t i c s l e a r n i n g a s a s o m e t i m e s a r d u o u s p r o c e s s o f a c q u i r i n g " s t u f f " t h a t e n t e r s t h t g g g h t h e e y e s a n d t h e e a r s t o b e s t o r e d u p i n t h e h e a d . T h i s v i e w o f l e a r n i n g f i t n a t u r a l l y w i t h t h e i r t e n d e n c y t o t e a c h b y t e l l i n g a n d s h o w i n g . I n m a n y c a s e s , t h e y h o p e d t h a t t h e y c o u l d g e t p u p i l s t o f i g u r e o u t t h e s e i d e a s i n w a y s t h a t m a d e t h e m f e e l t h a t t h e y h a d c o m e u p w i t h t h e m " o n t h e i r o w n , " b u t t h e t e a c h e r c a n d i d a t e s ' m a i n f o c u s w a s o n g e t t i n g t h e c o r r e c t i d e a s a n d s k i l l s i n t g s t u d e n t s . T o w a r d t h i s e n d , t e l l i n g a n d s h o w i n g o f t e n s e e m e d m o s t e f f i c i e n t . O n e p i e c e o f e v i d e n c e t h a t t h e t e a c h e r c a n d i d a t e s t e n d e d t o v i e w m a t h e m a t i c s l e a r n i n g a s a c q u i r i n g a n d s t o r i n g k n o w l e d g e w a s t h e i r o v e r w h e l m i n g e m p h a s i s o n r e p e t i t i o n . A l m o s t e v e r y o n e t a l k e d a b o u t t h e i m p o r t a n c e o f h a v i n g s t u d e n t s n x g t t i t g m a t h e m a t i c s a n d t h e y a l s o a g r e e d w i t h a c a r d s o r t i t e m a b o u t t h e i m p o r t a n c e o f p r a c t i c e . A n d y , f o r e x a m p l e , o n e o f t h e s e c o n d a r y c a n d i d a t e s , e x p l a i n e d t h a t s t u d e n t s s h o u l d h a v e h o m e w o r k e v e r y d a y b e c a u s e t h i s r e p e t i t i o n i s e s s e n t i a l : O n c e s t u d e n t s p r a c t i c e a n d a c q u i r e a p r o c e d u r e o r a f a c t , t h e y w i l l n e v e r l o s e i t , h e b e l i e v e d . 2 4 7 T h e t e a c h e r c a n d i d a t e s a l s o f a v o r e d r e p e t i t i o n w h e n s t u d e n t s h a v e d i f f i c u l t y . T h e y a s s u m e d t h a t w h e n s t u d e n t s a r e n ' t u n d e r s t a n d i n g , t e a c h e r s s h o u l d “ r e - g o o v e r “ t h e m a t e r i a l a n d a s s i g n m o r e p r o b l e m s f o r p r a c t i c e . F o r e x a m p l e , A n n e s a i d t h a t i f h e r s t u d e n t s w e r e h a v i n g t r o u b l e w i t h s l o p e a n d g r a p h i n g , s h e w o u l d t r y t o b e v e r y c l e a r w h e n I r e - a p p r o a c h e d i t a n d t a k e a n o t h e r d a y i n c l a s s t o g o o v e r i t a g a i n a n d a s s i g n s o m e m o r e p r o b l e m s . I ’ m s u r e t h a t a f t e r t w o o r t h r e e d a y s o f g o i n g o v e r i t . . . a m a j o r i t y o f t h e m w o u l d g e t t h e c o n c e p t . A n d R a c h e l r e m a r k e d t h a t , i f s t u d e n t s w e r e n ' t l e a r n i n g , s h e w o u l d " g o t h r o u g h a f e w m o r e " : " I t j u s t t a k e s r e p e a t a b i l i t y , " s h e r e m a r k e d . A s e c o n d s i g n o f t h e t e a c h e r c a n d i d a t e s ' c o n c e p t i o n o f l e a r n i n g m a t h e m a t i c s a s a c q u i r i n g a n d s t o r i n g " c o n c e p t s " w a s t h e s a l i e n c e o f m e c h a n i c a l m e t a p h o r s t o r e f e r t o t h e l e a r n i n g o f m a t h e m a t i c s . S o m e t a l k e d a b o u t " d r u m m i n g , " ' d r i l l i n g , " a n d " e m b e d d i n g " f a c t s a n d p r o c e d u r e s i n t o p u p i l s ' h e a d s ; o t h e r s d e s c r i b e d l e a r n i n g i n t e r m s o f ' g r a s p i n g ' o r " g r a b b i n g " c o n t e n t . T h e s e m e t a p h o r s a l l c o n v e y e d a n i m a g e o f m a t h e m a t i c s k n o w l e d g e a s " s t u f f " t h a t m u s t g e t i n s i d e l e a r n e r s ' h e a d s . C a t h y , f o r e x a m p l e , e x p l a i n e d h o w s h e w o u l d a n s w e r a s t u d e n t w h o a s k e d w h a t 7 d i v i d e d b y 0 w a s : I ' d e x p l a i n i t t o t h e m a n d t h e n t e l l t h e m t o r e m e m b e r t h a t r u l e - - t h a t a n y t h i n g d i v i d e d b y O i s 0 — - a n d g i v e d i f f e r e n t e x a m p l e s : “ W h a t ' s 4 , 0 0 0 d i v i d e d b y 0 ? W h a t ' s 0 d i v i d e d b y 0 ? , " s o t h a t i t g e t s l i k e g g b g d d e g i n t o t h e i r h e a d . C a t h y ' s l i t t l e s c r i p t i l l u s t r a t e s b o t h h e r m e c h a n i c a l i m a g e o f l e a r n i n g a s w e l l a s h e r c o n f i d e n c e i n r e p e t i t i o n . I f s h e r e p e a t s a n u m b e r o f q u e s t i o n s , s h e b e l i e v e s , t h e " r u l e " ( a c t u a l l y i n c o r r e c t ) w i l l g e t i n s i d e h e r p u p i l ' s h e a d . 2 4 8 I w r o t e a n i t e m i n t e n d e d t o p r o v o k e d i s a g r e e m e n t o r i n t e r e s t i n g c o m m e n t : " I n o r d e r t o l e a r n m a t h e m a t i c s , m a n y b a s i c p r i n c i p l e s m u s t b e d r i l l e d i n t o t h e l e a r n e r ' s h e a d . " O n l y o n e t e a c h e r c a n d i d a t e r e j e c t e d t h e s t a t e m e n t , o b j e c t i n g t o t h e t e r m ” d r i l l i n g , " a n d a n o t h e r w a s n o t s u r e . A l l t h e o t h e r s a g r e e d . I w a s s u r p r i s e d - - s u c h a l e v e l o f a g r e e m e n t d e m o n s t r a t e d t h e w i d e s p r e a d c u l t u r a l a c c e p t a n c e o f t h i s v i e w o f m a t h e m a t i c s l e a r n i n g . A t h i r d s o u r c e o f e v i d e n c e f o r t h i s c o n c e p t i o n o f l e a r n i n g w a s t h e t e a c h e r c a n d i d a t e s ' f o c u s o n m a k i n g s u r e t h a t t h e i r p u p i l s k n e w s t a n d a r d p r o c e d u r e s , d e f i n i t i o n s , a n d t e r m i n o l o g y . T h i s w a s i m p l i c i t i n t h e a m o u n t o f " p o i n t i n g o u t " t h e t e a c h e r c a n d i d a t e s d i d . T h e y w o u l d t e l l s t u d e n t s t h e d e f i n i t i o n o f a s q u a r e , p o i n t o u t h o w t o s o l v e p r o b l e m s , a n d r e m i n d p u p i l s o f t h e s t e p s i n s o l v i n g f o r x i n a l g e b r a i c e q u a t i o n s . T e a c h i n g m a t h , t o m a n y o f t h e t e a c h e r c a n d i d a t e s , e n t a i l e d a h e f t y d o s e o f g i v i n g p u p i l s i n f o r m a t i o n . U n l i k e t h e t w o v i e w s o f t h e t e a c h e r ' s r o l e a n d a b o u t t e a c h i n g , t h i s v i e w o f m a t h e m a t i c s l e a r n i n g w a s q u i e t l y u n c o n t r o v e r s i a l . N o o n e s p o k e e x p l i c i t l y a b o u t i t ; t h u s n o r a t i o n a l e s w e r e g i v e n . O n e i n t e r p r e t a t i o n o f t h i s i s t h a t t h i s c o n c e p t i o n o f l e a r n i n g m a y b e s i m p l y a l o g i c a l s u b s i d i a r y o f t h e p r e v a l e n t i m a g e a n d e n a c t m e n t o f m a t h e m a t i c s t e a c h i n g a s t e l l i n g ( s e e C o h e n , i n p r e s s ) . T e a c h e r s w h o t e l l , a f t e r a l l , a s s u m e t h a t c h i l d r e n n e e d t o b e g i g g n m a t h e m a t i c a l k n o w l e d g e . T h i s t r i o o f a s s u m p t i o n s l e a d s t o t h e l a s t , f o c u s e d o n t h e t e a c h e r a n d t h e t e a c h e r ' s r o l e . 2 4 9 ' T e a c h e r s a r e s u p p o s e d t o k n o w a l l t h e a n s w e r s a n d t e l l t h e m t o s t u d e n t s w h e n e v e r a s k e d . c o r o l l a r y : W h e n y o u d o n ' t k n o w , t e l l t h e s t u d e n t s y o u w i l l l o o k i t u p a n d w i l l t e l l t h e m t o m o r r o w . A l m o s t a l l t h e t e a c h e r c a n d i d a t e s t h o u g h t t h a t t e a c h e r s s h o u l d k n o w m a t h e m a t i c s a n d s h o u l d b e a b l e t o e x p l a i n t h e c o n t e n t , a n s w e r s t u d e n t s ' q u e s t i o n s , a n d e v a l u a t e t h e i r r e s p o n s e s . T h e y b e l i e v e d t h a t k n o w i n g w a s f u n d a m e n t a l t o b e i n g a t e a c h e r . S t i l l , t h e i r n o t i o n o f w h a t i t m e a n s t o " k n o w " m a t h e m a t i c s w a s e q u i v a l e n t t o b e i n g a b l e t o c o m e u p w i t h t h e r i g h t a n s w e r s . W h i l e I d o n o t k n o w h o w t h e y f e l t a b o u t t h e i r o w n p r e p a r e d n e s s p r i o r t o o u r i n t e r v i e w s , m a n y o f t h e m , e s p e c i a l l y s e c o n d a r y c a n d i d a t e s , c o n f r o n t e d d u r i n g t h e s e s s i o n s t h e p o s s i b i l i t y t h a t t h e i r o w n k n o w l e d g e o f m a t h e m a t i c s m i g h t n o t b e a d e q u a t e t o m e e t t h e r e q u i r e m e n t s o f t e a c h i n g . B e f o r e e x a m i n i n g t h i s p r o p o s i t i o n , I d i s c u s s t h e t e a c h e r c a n d i d a t e s ' a s s e s s m e n t o f t h e m s e l v e s i n r e l a t i o n t o w h a t t h e y c o n s i d e r e d t o b e t h e k n o w l e d g e d e m a n d s o f t e a c h i n g . T h e i r f e a r s r e v e a l t h a t t h e y a s s u m e d t h a t t e a c h e r s s h o u l d b e a b l e t o g i v e s t u d e n t s a n s w e r s . T e r r e l l , o n e o f t h e m a t h e m a t i c s m a j o r s , c o m m e n t e d a f t e r w a r d s t h a t t h e i n t e r v i e w c o n t a i n e d I ' s o m e p r e t t y s c a r y s t u f f . “ W h e n I a s k e d w h a t w a s s c a r y a b o u t i t , h e s a i d t h a t h e w a s s c a r e d b y t h e f a c t t h a t h e d i d n ' t " k n o w f o r s u r e t h i s s i m p l e s t u f f ' - - i . e . , t h e m a t h e m a t i c s e m b e d d e d i n t h e i n t e r v i e w q u e s t i o n s . C i n d y , a m a t h m a j o r w i t h a 3 . 7 a v e r a g e i n h e r m a t h c l a s s e s , f o u n d h e r s e l f s t u c k a t s e v e r a l p o i n t s d u r i n g t h e i n t e r v i e w . F o r e x a m p l e , w h e n s h e t r i e d t o d e c i d e i f a s t u d e n t ' s w o r k o n a r a t i o p r o b l e m w a s c o r r e c t o r n o t , s h e g i g g l e d n e r v o u s l y , ' I s t h i s o n e r i g h t o r g x g n g ? I ' m s u p p o s e d t o k n o w t h i s , 2 5 0 a r e n ' t I ? " T h r o u g h o u t t h e i n t e r v i e w s , s h e k e p t c o m m e n t i n g t h a t s h e h o p e d n o n e o f h e r m a t h p r o f e s s o r s w o u l d s e e t h e v i d e o t a p e s o f o u r s e s s i o n s b e c a u s e t h e y w o u l d s u d d e n l y r e a l i z e t h a t " t h a t g i r l d o e s n ' t k n o w a n y m a t h . " O t h e r m a t h m a j o r s h a d s i m i l a r e x p e r i e n c e s a s t h e y t r i e d t o u s e t h e i r m a t h e m a t i c a l k n o w l e d g e i n t e a c h i n g ( s e e C h a p t e r 3 ) . B a r b , t r y i n g t o e x p l a i n d i v i s i o n b y z e r o , r e a l i z e d t h a t s h e " j u s t E n g ! i t ' - - t h a t i t w a s s i m p l y " a f a c t " t o h e r - - a n d t h a t s h e h a d n o i d e a o f w h y i t m a d e s e n s e . U n l i k e t h e m a t h e m a t i c s m a j o r s , m a n y o f t h e e l e m e n t a r y t e a c h e r c a n d i d a t e s l a c k e d c o n f i d e n c e i n t h e i r k n o w l e d g e o f m a t h e m a t i c s b e f o r e t h e y p a r t i c i p a t e d i n t h e i n t e r v i e w s . M o s t o f t h e m a s s u m e d t h a t t h e y n e e d e d " r e v i e w " - - t o l o o k o v e r t h e m a t e r i a l - ~ a n d t h a t t h e y w o u l d n e e d t o " d o h o m e w o r k ” b e f o r e t h e y c o u l d t e a c h m o s t u p p e r e l e m e n t a r y t o p i c s , l i k e l o n g d i v i s i o n o r r a t i o a n d p r o p o r t i o n . T h e h i g h l y a n x i o u s t e a c h e r c a n d i d a t e s ( s e e C h a p t e r 4 ) , h o w e v e r , w e r e q u i t e t e r r i f i e d w i t h w h a t t h e y w o u l d n e e d t o u n d e r s t a n d i n o r d e r t o t e a c h . C o n f r o n t e d w i t h n o v e l s t u d e n t a n s w e r s , t h e y e x c l a i m e d t h i n g s l i k e , ' O h , m y Q 2 4 ! ” a n d w e r e o f t e n c o m p l e t e l y o v e r w h e l m e d b y t h e c o n t e n t . T h e i n t e r v i e w s c h a l l e n g e d t h e t e a c h e r c a n d i d a t e s ' a s s u m p t i o n s a b o u t t h e i r p r e p a r e d n e s s f o r t h e k n o w l e d g e d e m a n d s o f t e a c h i n g m a t h e m a t i c s . T h e s e a s s u m p t i o n s , l i k e t h e t e a c h e r c a n d i d a t e s ' c o n c e p t i o n s o f l e a r n i n g , w e r e l o g i c a l l y c o n s i s t e n t w i t h t h e i r i m a g e s o f a n d b e l i e f s a b o u t m a t h e m a t i c s t e a c h i n g . T h e y t e n d e d , a s I d i s c u s s e d a b o v e , t o c o n c e i v e o f t e a c h i n g a s g i v i n g s t u d e n t s k n o w l e d g e . T h i s v i e w p l a c e s t h e t e a c h e r i n t h e r o l e o f d i s p e n s i n g k n o w l e d g e a n d m o n i t o r i n g s t u d e n t s ' k n o w l e d g e a c q u i s i t i o n , a r o l e w h i c h d e m a n d s t h a t t e a c h e r s k n o w t h a t w h i c h t h e y g i v i n g t o s t u d e n t s . S i n c e t h e t e a c h e r 2 5 1 c a n d i d a t e s t e n d e d t o a s s u m e t h a t s u b j e c t m a t t e r o f m a t h e m a t i c s c o n s i s t e d o f s p e c i f i c c o n c e p t s “ a n d p r o c e d u r e s ( s e e c h a p t e r s 3 a n d 4 ) , l a b e l e d w i t h “ t e c h n i c a l " t e r m s , t h a t i s w h a t t h e y a s s u m e d t h e y n e e d e d t o k n o w . O n o n e h a n d , m a n y o f t h e m f o u n d t h a t t h e y c o u l d n ' t e v e n l i v e u p t o t h e i r o w n e x p e c t a t i o n s o f w h a t m a t h e m a t i c s t e a c h e r s n e e d t o k n o w a n d b e a b l e t o d o : t o p r o v i d e ( o r l e a d p u p i l s t o ) k e y i n f o r m a t i o n a n d t o a n s w e r s t u d e n t s ' q u e s t i o n s . L i n d a , o n e o f t h e e l e m e n t a r y c a n d i d a t e s , s a i d t h a t s h e n e e d e d t o r e v i e w " a l l t h o s e r u l e s ” a n d s e v e r a l m e n t i o n e d n e e d i n g t o r e v i e w t e r m s . O t h e r s c o u l d n ' t r e m e m b e r h o w t o p e r f o r m p r o c e d u r e s l i k e d i v i d i n g w i t h f r a c t i o n s o r s o l v i n g a l g e b r a i c e q u a t i o n s . S o m e o f t h e m a s s u m e d t h e y c o u l d j u s t " b r u s h u p " o n t h e s e " r u s t y " s p o t s i n t h e i r s u b j e c t m a t t e r k n o w l e d g e ; o t h e r s w e r e c o n c e r n e d t h a t i t w o u l d t a k e m o r e t h a n t h a t a n d w o r r i e d t h a t t h e o n e m a t h c o u r s e i n c l u d e d i n t h e t e a c h e r e d u c a t i o n p r o g r a m w o u l d b e i n s u f f i c i e n t . 0 n t h e o t h e r h a n d , t h e i n t e r v i e w t a s k s a l s o g a v e t h e t e a c h e r c a n d i d a t e s g l i m p s e s o f a n o t h e r s e n s e o f " k n o w i n g m a t h e m a t i c s . " R e a l i z i n g t h a t s t u d e n t s w e r e g o i n g t o a s k t h e m " w h y " q u e s t i o n s m a d e t h e t e a c h e r c a n d i d a t e s c o n s i d e r t h a t t h e y m i g h t a l s o n e e d t o u n d e r s t a n d t h e c o n t e n t i n w a y s t h a t w e n t b e y o n d t e l l i n g a r u l e . O n c e a g a i n , t h e t e a c h e r c a n d i d a t e s w e r e b r o u g h t u p s h o r t , f o r m a n y o f t h e m f e l t t h a t t h e u n d e r l y i n g " w h y s " w e r e t h i n g s t h a t t h e y h a d n ' t e v e r 4 T h e t e a c h e r c a n d i d a t e s u s e d t h e t e r m " c o n c e p t " t o c o v e r a w i d e r a n g e o f t h i n g s - - f r o m p r o c e d u r e s t o i d e a s t o s i m p l e i n f o r m a t i o n . F o r e x a m p l e , s e v e r a l o f t h e m r e f e r r e d t o " t h e c o n c e p t " o f r e m e m b e r i n g t o c r o s s o u t t h e n u m b e r i n b o r r o w i n g , a n d " l i n i n g u p n u m b e r s “ i n m u l t i p l i c a t i o n w a s a l s o c o n s i d e r e d a " c o n c e p t " b y s o m e . O n e t e a c h e r c a n d i d a t e , i n e x a m i n i n g a s t u d e n t p a p e r o n s u b t r a c t i o n w i t h r e g r o u p i n g o n w h i c h t h e c h i l d h a d m a d e m a n y c r i t i c a l e r r o r s , s a i d , " S h e s e e m s t o h a v e t h e c o n c e p t , s h e ' s j u s t f o r g e t t i n g t o E g g i t . " 2 5 2 l e a r n e d . A s M e i L i n g c o m m e n t e d a b o u t m u l t i p l i c a t i o n , ' I k n o w h o w t o fi g i t , b u t I d o n ' t k n o w t h e i d e a s b e h i n d i t . “ T h e y w e r e a l s o u n s u r e a t t i m e s w h e t h e r p a r t i c u l a r i d e a s d i d h a v e r e a s o n s . W h y t h e t e a c h e r c a n d i d a t e s t h o u g h t k n o w i n g m a t h e m a t i c s m a t t e r e d f o r t e a c h i n g o f f e r s c l u e s t o t h e i r a s s u m p t i o n s a b o u t t h e t e a c h e r ' s r o l e . T h e y e x p l a i n e d t h a t t h e y d i d n ' t " w a n t t o t e a c h a n y b o d y a n y t h i n g g z g n g . ' A n d y e x p l a i n e d s i m p l y t h a t " y o u c a n n o t p r e s e n t a t o p i c " i f y o u d o n o t u n d e r s t a n d i t y o u r s e l f . P a r t o f t h e i r c o n c e r n s t e m m e d f r o m t h e a s s u m p t i o n t h a t t e a c h e r s a r e t h e d i s p e n s e r s o f k n o w l e d g e i n t h e c l a s s r o o m . B u t a r e l a t e d c o n c e r n w a s t h a t s t u d e n t s ' o v e r a l l r e s p e c t f o r t e a c h e r s i s d e r i v e d f r o m t h e a u t h o r i t y o f k n o w i n g t h e r i g h t a n s w e r s . S o s t r o n g w a s t h i s c o n v i c t i o n t h a t s e v e r a l t e a c h e r c a n d i d a t e s s a i d t h e y w o u l d n e v e r t e l l s t u d e n t s t h a t t h e y d i d n ' t k n o w s o m e t h i n g . I n t u i t i v e l y a w a r e o f t h e " m e r g e r b e t w e e n s o c i a l a n d e p i s t e m i c a u t h o r i t y i n t h e t e a c h e r ' s r o l e " ( B u c h m a n n , 1 9 8 4 ) , M a r s h a a s k e d , " H o w e f f e c t i v e w o u l d I b e t h e n ? " C a t h y , a n e l e m e n t a r y c a n d i d a t e , e x p l a i n e d t h a t i t w o u l d n ’ t b e " p r o f e s s i o n a l " t o t e l l a s t u d e n t t h a t s h e d i d n ' t k n o w , ” T h a t ' s w h a t y o u a r e g e t t i n g p a i d f o r , t h a t ' s w h y y o u a r e t h e r e - - t o a n s w e r t h e i r q u e s t i o n s . " C a t h y s a i d t h a t i t w o u l d h a v e l e t h e r d o w n i f a n y o f h e r t e a c h e r s h a d e v e r s a i d t h a t t h e y d i d n ' t k n o w . J a n e t , a s e c o n d a r y c a n d i d a t e , s a i d t h a t s t u d e n t s w a n t t o b e l i e v e t h a t t h e i r t e a c h e r i s a p e r s o n t o w h o m t h e y c a n g o w i t h t h e i r q u e s t i o n s . S h e b e l i e v e d t h a t t h e t e a c h e r ' s a u t h o r i t y i n t h e c l a s s r o o m i s f u n d a m e n t a l l y c o n n e c t e d t o t h e t e a c h e r ' s k n o w l e d g e o f t h e s u b j e c t : I t h i n k a s f a r a s c o n t r o l l i n g t h e c l a s s r o o m , i f I d o n ' t k n o w t h e s u b j e c t m a t t e r , t h e k i d s a r e n ' t g o i n g t o r e s p e c t m e a s m u c h a n d t h e y a r e p r o b a b l y g o i n g t o a c t u p m o r e . 2 5 3 S o m e t e a c h e r c a n d i d a t e s w e r e w i l l i n g t o a d m i t t o s t u d e n t s t h a t t h e y d i d n ' t k n o w s o m e t h i n g , b u t m o s t s t i l l s a w i t a s t h e i r r e s p o n s i b i l i t y t o " l o o k i t u p ' ' o r a s k s o m e o n e a n d t o t e l l t h e s t u d e n t t h e n e x t d a y . F o r e x a m p l e , m a n y p r o s p e c t i v e t e a c h e r s w e r e u n s u r e a b o u t w h e t h e r p e r i m e t e r a n d a r e a w e r e d i r e c t l y r e l a t e d . S o m e s a i d t h a t t h e y w o u l d h a v e t o f i n d o u t a n d w o u l d p r o m i s e t o t e l l t h e s t u d e n t t o m o r r o w . O n e w a y o r a n o t h e r , t h e s e p r o s p e c t i v e t e a c h e r s f e l t t h e m s e l v e s r e s p o n s i b l e a s t h e a d m i n i s t r a t o r s o f m a t h e m a t i c a l k n o w l e d g e i n t h e c l a s s r o o m . D i fi g u g g i g n i o n a n W e a k S e e s n e t n ' S h g g i n g , a n d D o i n g M a t h e m a t i c s T h e t e a c h e r c a n d i d a t e s ’ u s e o f t h e t e r m s e x p l a i n i n g , s h o w i n g , a n d d o i n g i n m a t h e m a t i c s h i g h l i g h t s o m e s i g n i f i c a n t d i f f e r e n c e s b e t w e e n t h e i r i m a g e o f m a t h e m a t i c s t e a c h i n g a n d t h e v i e w a d v a n c e d i n c h a p t e r 1 . I n e a c h c a s e , t h e i r m e a n i n g s f o r t h e t e r m w e r e s i g n i f i c a n t l y E g g k g t t h a n t h e c o r r e s p o n d i n g d i s c i p l i n e - b a s e d m e a n i n g . T h e s e w e a k e r u s e s p r e s e n t c h a l l e n g e s a n d r a i s e q u e s t i o n s f o r t e a c h e r e d u c a t o r s . E x p l a i n i n g i s t h e t e a c h e r ' s t r a d e . 6 B u c h m a n n ( 1 9 8 7 a ) w r i t e s t h a t , ' a s a p e d a g o g y , e x p l a n a t i o n r e l i e s o n t h e r e l a t e d s t r a t e g i e s o f e x p o s i t i o n , a m p l i f i c a t i o n , a n d a r g u m e n t " ( p . 1 8 1 ) . E x p l a n a t i o n s o p e n 5 I a m p a r t i c u l a r l y i n d e b t e d t o M a r g r e t B u c h m a n n f o r t h e d e v e l o p m e n t o f t h e i d e a s i n t h i s s e c t i o n - - i n p a r t i c u l a r , t h e d i s t i n c t i o n b e t w e e n " s t r o n g " a n d I ' w e a k " m e a n i n g s . 6 B e i n g a b l e t o e x p l a i n m a t h e m a t i c s i s e s s e n t i a l k n o w l e d g e e v e n f o r t e a c h e r s w h o d o n o t c h o o s e t o t e a c h b y t g l l t n g . F a c i l i t a t i n g s t u d e n t s ' c o n s t r u c t i o n o f m a t h e m a t i c a l u n d e r s t a n d i n g , f o r i n s t a n c e , i n v o l v e s s e l e c t i n g f r u i t f u l t a s k s , a s k i n g g o o d q u e s t i o n s , j u d g i n g w h i c h s t u d e n t i d e a s s h o u l d b e e s p e c i a l l y p u r s u e d . A l l o f t h i s d e m a n d s e x p l i c i t a n d a n a l y t i c k n o w l e d g e , t h e k i n d o f u n d e r s t a n d i n g e n t a i l e d i n c o n s t r u c t i n g e x p l a n a t i o n s . 2 5 4 u p i d e a s a n d m a k e t h e m m o r e a c c e s s i b l e b y c l a r i f y i n g t e r m s o r d e l v i n g i n t o d e t a i l s . E x p l a i n i n g s o m e t h i n g i n m a t h e m a t i c s m e a n s c l a r i f y i n g a n i d e a b y u n p a c k i n g u n d e r l y i n g c o n c e p t s a s w e l l a s g i v i n g r e a s o n s t h a t r e v e a l i t s m e a n i n g a n d t h e l o g i c . W h e n t h e t e a c h e r c a n d i d a t e s t a l k e d a b o u t “ e x p l a i n i n g " ( w h i c h t h e y d i d f r e q u e n t l y ) t h e y s e e m e d t o m e a n s o m e t h i n g m u c h w e a k e r , s o m e t h i n g t h a t m u c h m o r e c l o s e l y r e s e m b l e d s i m p l e t t l l i n g - - a s i n g i v i n g d i r e c t i o n s f o r t h e s t e p s o f a p r o c e d u r e o r r e p e a t i n g a d e f i n i t i o n . N e i t h e r d i d t h a t t e l l i n g e v e r s e e m t o i n c l u d e t e l l i n g a b o u t t h e n a t u r e o f t h e m a t h e m a t i c s a t h a n d : I t s s o u r c e s o r w h a t m a d e i t m a k e s e n s e , f o r e x a m p l e . S i m i l a r l y , f i g u r i n g s o m e t h i n g o u t o n o n e ' s o w n i n m a t h e m a t i c s i n v o l v e s p u z z l i n g o v e r a p r o b l e m , m a k i n g a c o n j e c t u r e , p u r s u i n g i t , a n d c h e c k i n g t o s e e i f i t i s v a l i d . T h e c h i l d r e n i n t h e t h i r d g r a d e c l a s s i n C h a p t e r 1 w e r e f i g u r i n g o u t t h e s o l u t i o n t o t h e d o g p e n p r o b l e m o n t h e i r o w n : U s i n g c o n c e p t s a n d p r o c e d u r e s t h e y h a d l e a r n e d , t h e y i n v e n t e d o t h e r s , t h e y c h e c k e d t h e m a t h e m a t i c a l r e a s o n a b l e n e s s o f t h e i r s o l u t i o n s , a n d t h e y w e r e a b l e t o r e v i s e t h o s e s o l u t i o n s i n d e p e n d e n t l y i n l i g h t o f n e w m a t h e m a t i c a l e v i d e n c e . W h e n t h e t e a c h e r c a n d i d a t e s t a l k e d a b o u t " f i g u r i n g s o m e t h i n g o u t o n o n e ' s o w n , " h o w e v e r , i t w a s a w e a k e r v e r s i o n , o n e t h a t h a d m o r e t o d o w i t h r e m e m b e r i n g t h e s t e p s o f t h e p r o c e d u r e s i n d e p e n d e n t l y , w i t h o u t r e m i n d e r s . S h o w i n g , i n a s t r o n g d i s c i p l i n a r y s e n s e , e n t a i l s p r o v i n g t h e v a l i d i t y o f a n i d e a u s i n g o t h e r m a t h e m a t i c a l i d e a s a s t h e e v i d e n t i a r y t o o l s . T h e s e i d e a s c a n b e l o g i c a l l y o r d e r e d i n t o a r g u m e n t s o r , i n t e a c h i n g m a t h e m a t i c s , c a n b e c o n c r e t e l y r e p r e s e n t e d . F o r e x a m p l e , r e g r o u p i n g c a n b e " s h o w n ' ' b y u s i n g b u n d l e s o f p o p s i c l e s t i c k s a n d 2 5 5 l o o s e s t i c k s t o r e p r e s e n t t w o - d i g i t n u m b e r s . T h e g e n e r a l i z a t i o n t h a t t h e s u m o f t w o o d d n u m b e r s i s a l w a y s e v e n c a n b e “ s h o w n " w i t h a d r a w i n g ( B r o w n 5 C o o n e y , 1 9 8 2 , p . 1 6 ) . Y e t , t h e p r o s p e c t i v e t e a c h e r s u s e d " s h o w i n g " w e a k l y t o m e a n d e m o n s t r a t i n g a p r o c e d u r e o r p o i n t i n g s o m e t h i n g o u t i n f r o n t o f p u p i l s w h o w o u l d w a t c h . A p a r a l l e l c o n t r a s t e x i s t e d b e t w e e n s t r o n g e r a n d w e a k e r s e n s e s o f d o i n g m a t h e m a t i c s . D o i n g m a t h e m a t i c s , f r o m a d i s c i p l i n a r y p e r s p e c t i v e , i n v o l v e s a w i d e r a n g e o f a c t i v i t i e s , i n c l u d i n g l o o k i n g f o r p a t t e r n s , p o s i t i n g c o n j e c t u r e s , p u r s u i n g h u n c h e s , d r a w i n g o n a c c u m u l a t e d k n o w l e d g e a n d g e n e r a t i n g n e w i d e a s , m o d e l i n g r e a l - w o r l d p h e n o m e n a a n d a p p l y i n g t h e o r e t i c a l i d e a s a s t o o l s i n c o n c r e t e s i t u a t i o n s . T h i s w a s n o t w h a t t h e t e a c h e r c a n d i d a t e s m e a n t w h e n t h e y t a l k e d a b o u t " d o i n g , " h o w e v e r . W h e n t h e y s a i d t h e y w o u l d s h o w p u p i l s h o w t o 1 9 m a t h e m a t i c s o r t h e y w o u l d l o o k t o s e e i f t h e i r p u p i l s c o u l d g 9 t h e m a t h t h e y h a d b e e n t a u g h t , t h e p r o s p e c t i v e t e a c h e r s m e a n t ' p e r f o r m p r o c e d u r e s “ a n d " g e t c o r r e c t a n s w e r s . " D i s t i n g u i s h i n g b e t w e e n t h e s e s t r o n g a n d w e a k s e n s e s o f e x p l a i n i n g , s h o w i n g , a n d d o i n g m a t h e m a t i c s r e v e a l s s i g n i f i c a n t f e a t u r e s o f t h e t e a c h e r c a n d i d a t e s ' i d e a s a b o u t l e a r n i n g m a t h e m a t i c s a n d a b o u t m a t h e m a t i c a l k n o w l e d g e . T h e b e l i e f t h a t s t u d e n t s l e a r n w h a t y o u t e l l t h e m o r w h a t i s p u t b e f o r e t h e i r i d e a s s u g g e s t s a " b u c k e t “ v i e w o f l e a r n i n g ( B u c h m a n n & S c h w i l l e , 1 9 8 3 ) i n w h i c h t e a c h e r s g e t k n o w l e d g e i n t o s t u d e n t s ' m i n d s . T h i s L o c k i a n v i e w i s p a r t o f t h e l e g a c y o f t h e f o l k w a y s o f t e a c h i n g ( B u c h m a n n , 1 9 8 7 b ) . W a t c h i n g t e a c h e r s s h o w a n d t e l l k n o w l e d g e a n d s t r i c t l y r e i n f o r c e p a y i n g a t t e n t i o n , p r o s p e c t i v e t e a c h e r s u n d e r s t a n d a b l y d e v e l o p t h e a s s u m p t i o n t h a t c h i l d r e n l e a r n w h a t t h e y a r e s h o w n a n d t o l d . I t s e e m s , a f t e r a l l , t o w o z k - - t h a t i s , 2 5 6 t h e i r c l a s s m a t e s a n d t h e y t h e m s e l v e s a p p e a r t o b e l e a r n i n g m a t h e m a t i c s . U n q u e s t i o n e d i m a g e s o f h e a r i n g , w a t c h i n g , a n d p r a c t i c i n g a s w a y s o f c o m i n g t o k n o w a l s o i m p l y a v i e w o f m a t h e m a t i c a l k n o w l e d g e a s a s e t o f g i v e n p r o c e d u r e s w h i c h t e a c h e r s d i s p e n s e t o p u p i l s . A l l t h e s e v i e w s - - o f l e a r n i n g , o f m a t h e m a t i c s , a n d o f t h e r o l e s o f t e a c h e r s a n d s t u d e n t s - - a r e l o g i c a l l y i n t e r r e l a t e d a n d c o n s i s t e n t . B a s e d o n t h e p o t e n c y o f f i r s t h a n d e x p e r i e n c e , t h e s e v i e w s a r e f u r t h e r w a r r a n t e d b y b o t h c o m m o n s e n s e a n d t r a d i t i o n ( C o h e n , i n p r e s s ) . G i v e n t h i s , i t i s n o t s u r p r i s i n g t h a t t h e w e a k f o r m s o f e x p l a n a t i o n , s h o w i n g , a n d d o i n g r u n t h e m a t i c a l l y t h r o u g h t h e p r o s p e c t i v e t e a c h e r s ' i d e a s a b o u t t e a c h i n g a n d l e a r n i n g m a t h e m a t i c s . C o m b i n e d w i t h t h e i r a s s u m p t i o n s a b o u t l e a r n e r s , t h e s e i d e a s a b o u t l e a r n i n g a n d a b o u t m a t h e m a t i c s f o r m t h e f r a m e w o r k f o r t h e i r i m a g e s o f t e a c h i n g a n d l e a r n i n g m a t h , i m a g e s w h i c h c o n t r a s t a n d c o n f l i c t w i t h m a t h e m a t i c a l p e d a g o g y . I t u r n n e x t t o a d i s c u s s i o n o f t h e i r i d e a s a b o u t s t u d e n t s . F o l l o w i n g a d i s c u s s i o n o f t h e t h i n g s t h e y d i d n o t k n o w , t h a t t h e y f o u n d b a f f l i n g , I r e t u r n t o c o n s i d e r s o m e b i g g e r q u e s t i o n s r a i s e d b y t h i s a n a l y s i s . a n t T h e p r o s p e c t i v e t e a c h e r s s e e m e d t o h a v e m o r e i m a g e s o f a n d i d e a s a b o u t t h e t e a c h i n g a n d l e a r n i n g o f m a t h e m a t i c s t h a n t h e y h a d k n o w l e d g e a n d i d e a s a b o u t s t u d e n t s . I n s p i t e o f t h e d i f f e r e n c e i n b r e a d t h , t h e p e r v a s i v e n e s s o f t w o i n t e r r e l a t e d i d e a s a b o u t l e a r n e r s w a s s t r i k i n g : # : T h e a b i l i t y t o d o w e l l i n m a t h e m a t i c s i s l a r g e l y i n n a t e . E g g p g g j t ; 9 n _ g § : M h n y s t u d e n t s d o n o t l i k e m a t h . 2 5 7 I n t h i s s e c t i o n , I d i s c u s s e a c h i d e a a n d c o n s i d e r w h a t t h e y l e a v e o u t i n t e r m s o f t t t t h i n g m a t h e m a t i c s . E g g p g g i t j g n _ § § : T h e a b i l i t y t o d o w e l l i n m a t h e m a t i c s i s l a r g e l y i n n a t e . D w e c k a n d B e m p e c h a t ( 1 9 8 3 ) d e s c r i b e t w o c o m m o n v i e w s o f i n t e l l i g e n c e : a n i g t t t m g n t g l v i e w w h i c h h o l d s t h a t c a p a c i t y t o l e a r n c a n b e i n c r e a s e d a s a r e s u l t o f p e r s o n a l e f f o r t s , a n d a n Q E S I E X v i e w w h i c h h o l d s i n t e l l i g e n c e t o b e a s t a b l e a t t r i b u t e n o t s u b j e c t t o c u l t i v a t i o n . T h e a u t h o r s a r g u e t h a t t e a c h e r s ' i m p l i c i t t h e o r i e s o f i n t e l l i g e n c e i n f l u e n c e t h e i r i n t e r p r e t a t i o n s a n d a c t i o n s . F o r e x a m p l e , a t e a c h e r w i t h a n e n t i t y o r i e n t a t i o n t o i n t e l l i g e n c e m a y t r y t o g l o s s o v e r s t u d e n t e r r o r s a n d w o r r y a b o u t p u p i l s ' f e e l i n g s a b o u t f a i l u r e s . A f t e r a l l , p u p i l s w h o d o n ' t " h a v e i t " c a n n o t h e l p i t a n d , f u r t h e r m o r e , t h e i r a b i l i t y t o l e a r n i s u n l i k e l y t o c h a n g e . P a r t i c u l a r c o n c e p t i o n s o f i n t e l l i g e n c e v a r y d e p e n d i n g o n t h e p e r f o r m a n c e c o n t e x t ( S t e r n b e r g , C o n w a y , K e t r o n , & B e r n s t e i n , 1 9 8 1 ; D w e c k & B e m p e c h a t , 1 9 8 3 ) . C o n s e q u e n t l y , t e a c h e r s ' i d e a s a b o u t w h a t i t t a k e s t o b e a g o o d r e a d e r m a y d i f f e r f r o m t h e i r n o t i o n s a b o u t w h a t i s e n t a i l e d i n m a t h e m a t i c a l c o m p e t e n c e . A t e a c h e r m a y , f o r e x a m p l e , b e l i e v e t h a t c h i l d r e n ' s e x p e r i e n c e s c a n i n c r e a s e t h e i r a b i l i t y t o r e a d a n d i n t e r p r e t t e x t a n d y e t a s s u m e t h a t t h e c a p a c i t y t o l e a r n m a t h e m a t i c s i s r e l a t i v e l y f i x e d . S u c h d i f f e r e n c e s , a t t r i b u t a b l e t o d i f f e r e n c e s i n t e a c h e r s ' i d e a s a b o u t r e a d i n g a n d m a t h e m a t i c s , a r e l i k e l y t o a f f e c t w h a t t e a c h e r s d o i n e a c h a r e a . 7 R o b e r t F l o d e n w a s e s p e c i a l l y h e l p f u l i n u n t a n g l i n g t h e p r o b l e m s o f a n a l y z i n g t h e t e a c h e r c a n d i d a t e s ' i d e a s a b o u t s o u r c e s o f s u c c e s s i n m a t h e m a t i c s . 2 5 8 T h e p r o s p e c t i v e t e a c h e r s w h o m I i n t e r v i e w e d t e n d e d t o b e l i e v e t h a t s u c c e s s i n l e a r n i n g m a t h e m a t i c s d e p e n d s o n s o m e t h i n g g t t h i n t h e l e a r n e r . H o w e v e r , t h i s i s s u e w a s o n e a b o u t w h i c h t h e y s e e m e d t o h a v e m i x e d f e e l i n g s a n d b e l i e f s . W h a t i t t a k e s t o l e a r n m a t h e m a t i c s w e l l i s a q u e s t i o n t h a t t e a c h e r s o u g h t t o c o n f r o n t a n d c o n s i d e r ; m y r e s u l t s s u g g e s t t h a t i t m a y b e a " s o f t s p o t " f o r p r o s p e c t i v e t e a c h e r s - - s o m e t h i n g w i t h w h i c h t h e y h a v e n o t e x p l i c i t l y g r a p p l e d a n d a b o u t w h i c h t h e y h o l d d i f f e r e n t , p o t e n t i a l l y c o n t r a d i c t o r y o r c o n f l i c t i n g , b e l i e f s . M y a n a l y s i s o f t h e i r i d e a s f i r s t s e p a r a t e s s o m e o f t h e d i m e n s i o n s w h i c h w e r e m i x e d w i t h i n t h e i r v i e w s o f m a t h e m a t i c a l a b i l i t y a n d t h e n e x a m i n e s t h e t e n s i o n s a m o n g t h o s e a s p e c t s . T w o a p p a r e n t l y d i s t i n c t p e r s p e c t i v e s a c c o u n t e d f o r t h e p r o s p e c t i v e t e a c h e r s ' i d e a s a b o u t m a t h e m a t i c a l c o m p e t e n c e : o n e f o c u s i n g o n t h e l e a r n e r ' s e f f o r t a n d t h e o t h e r e m p h a s i z i n g i n b o r n t r a i t s . T h e e f f o r t v i e w h e l d t h a t b e i n g g o o d a t m a t h e m e r g e s d i r e c t l y f r o m t h e l e a r n e r ' s i n t e r e s t a n d e f f o r t a n d s e e m e d c l o s e t o a n i n c r e m e n t a l p e r s p e c t i v e o n a b i l i t y . T h e t r a i t v i e w , a n e n t i t y c o n c e p t i o n o f i n t e l l i g e n c e , f o c u s e d e x p l i c i t l y o n p e r s o n a l i t y a n d t e m p e r a m e n t , i n c l u d i n g q u a l i t i e s s u c h a s p a t i e n c e a n d a t o l e r a n c e f o r f r u s t r a t i o n , c o n f i d e n c e , a w i l l i n g n e s s t o a c c e p t t h i n g s w i t h o u t q u e s t i o n i n g , a n i n t e r e s t i n m a t h , a n d a g e n e r a l l y a n a l y t i c a n d " l o g i c a l “ k i n d o f m i n d . I w i l l a r g u e , h o w e v e r , t h a t t h e e f f o r t v i e w w a s a c t u a l l y a m a s k e d v e r s i o n o f t h e t r a i t v i e w a n d t h a t , a t t h e i r r o o t , b o t h p e r s p e c t i v e s r e s t e d o n t h e s a m e a s s u m p t i o n : t h a t c o m p e t e n c e i n m a t h e m a t i c s d e r i v e s f r o m p e r s o n a l c h a r a c t e r i s t i c s a n d q u a l i t i e s . S t i l l , t h e w a y s i n w h i c h t e a c h e r c a n d i d a t e s r e f l e c t e d t h i s a s s u m p t i o n v a r i e d b o t h a c r o s s a n d w i t h i n 2 5 9 i n d i v i d u a l s . T h e y s e e m e d p u l l e d a m o n g w h a t t h e y b e l i e v e d , w h a t t h e y w a n t e d t o b e l i e v e , a n d w h a t t h e y t h o u g h t t h e y s h o u l d b e l i e v e . A n _ g f f g ; ; _ x i g g _ g f _ § h 1 1 1 § x . T h e p r o s p e c t i v e t e a c h e r s w h o e x p r e s s e d a v i e w o f m a t h e m a t i c a l a b i l i t y a s a f u n c t i o n o f t h e l e a r n e r ' s e f f o r t , e m p h a s i z e d t h a t p e o p l e w h o a r e g o o d a t m a t h t a k e m a t h c l a s s e s a n d t r y v e r y h a r d . O n e o f t h e k e y t h i n g s t h e s e p e o p l e d o i s t h e y p a y a t t e n t i o n . I n c o n t r a s t , " n o t l i s t e n i n g " w a s a c o m m o n e x p l a n a t i o n f o r l e a r n e r d i f f i c u l t i e s i n m a t h e m a t i c s . 8 T h e s u r f a c e i m p l i c a t i o n w a s t h a t m a t h e m a t i c s w a s s o m e t h i n g t h a t c o u l d b e l e a r n e d a n d t h a t , w i t h p r o p e r e f f o r t a n d d e d i c a t i o n , o n e c o u l d b e c o m e s u c c e s s f u l w i t h m a t h . F o r e x a m p l e , T e r i , a n e l e m e n t a r y c a n d i d a t e , e x p l a i n e d w h y h e r b o y f r i e n d w a s g o o d a t m a t h : " T h a t ' s a l l h e ' s d o n e i s q u a n t i t a t i v e t h i n g s , l i k e t a k e c o u r s e s i n c a l c u l u s a n d m a t h . " H i s m i n d , s h e s a i d , h a d b e e n ” m o l d e d ” t o w a r d m a t h a s a r e s u l t o f h a r d w o r k , a t t e n t i o n , a n d d e s i r e . T e r i ' s s i s t e r , i n c o n t r a s t , w a s n o t p r o f i t i n g f r o m m a t h c l a s s e s b e c a u s e s h e d i d n o t t r y h a r d e n o u g h , s h e d i d n ' t t h i n k t h r o u g h ' w h a t t h e y w a n t . “ T h e i d e a t h a t b e i n g g o o d a t m a t h d e p e n d s o n s t u d y a n d k n o w l e d g e s o u n d s a s t h o u g h i t f o c u s e s o n l e a r n i n g a n d t h e r e b y i m p l i e s t h a t a n y o n e c a n l e a r n m a t h e m a t i c s i f t h e y o n l y t r y . A d i s t i n c t i o n e m e r g e s h e r e b e t w e e n m a t h e m a t i c s g c h i e v e m e n § - - i . e . , b e i n g s u c c e s s f u l a t m a t h e m a t i c s i n s c h o o l - - a n d m a t h e m a t i c a l § h 1 1 1 § 1 - - i . e . , s o m e t h i n g b r o a d e r a b o u t b e i n g a b l e t o e a s i l y l e a r n a n d e n j o y m a t h e m a t i c s . B e i n g ' a g o o d m a t h s t u d e n t m e a n s r e m e m b e r i n g t h e s t e p s , t h e r u l e s , t h e f o r m u l a s a n d b e i n g a b l e t o d o t h e w o r k r i g h t t h a t o n e h a s b e e n t a u g h t 8 B o t h o f t h e s e a t t r i b u t i o n s - - o f s u c c e s s a n d o f f a i l u r e - - r e f l e c t t h e c o m m o n s e n s e e p i s t e m o l o g y d i s c u s s e d i n t h e l a s t s e c t i o n : L e a r n i n g i s a d i r e c t c o n s e q u e n t o f w h a t s t u d e n t s s e e a n d h e a r . 2 6 0 t o d o . T h e p r o s p e c t i v e t e a c h e r s s e e m e d t o r e g a r d b e i n g a g o o d m a t h s t u d e n t t o b e a f u n c t i o n o f e f f o r t . S t i l l , t h e i r e x p r e s s i o n s o f t h e e f f o r t v i e w w e r e n e v e r t h e l e s s t i n g e d w i t h s t r o n g i n n a t e t r a i t n o t i o n s . A l t h o u g h t h e p r o s p e c t i v e t e a c h e r s w h o b e l i e v e d t h a t p e o p l e w h o a r e g o o d a t m a t h h a v e t a k e n m o r e m a t h e m a t i c s a n d h a v e s t u d i e d a l o t a n d t h e r e b y h a v e b e c o m e " m o l d e d " i n a c e r t a i n w a y , t h e y a l s o t e n d e d t o b e l i e v e t h a t i t t a k e s a s p e c i a l k i n d o f n e g e e g e l i g y t o d o t h a t , a s m a t h e m a t i c a l k n o w l e d g e i s i n h e r e n t l y d i f f i c u l t t o a c q u i r e a n d r e t a i n a n d m a t h e m a t i c s i s a s u b j e c t t h a t m a n y p e o p l e d i s l i k e . C o n s e q u e n t l y , s t u d y i n g m a t h e m a t i c s r e q u i r e s a n e x t r a m e a s u r e o f d e t e r m i n a t i o n a n d t e n a c i t y i n t h e f a c e o f f r u s t r a t i o n . T h e p r o s p e c t i v e t e a c h e r s e x p l a i n e d t h a t , i n o r d e r t o s t u d y m a t h , a p e r s o n h a s t o b e v e r y p a t i e n t , n o t g e t f r u s t r a t e d e a s i l y , a n d h a v e t h e w i l l t o p e r s i s t . P a m e x p l a i n e d t h i s i n t e r m s o f t h e i n h e r e n t n a t u r e o f m a t h : Y o u r e a d i t a n d r e a d i t a n d s t i l l d o n ' t u n d e r s t a n d i t , a n d t h e n y o u a s k s o m e o n e a n d s t i l l d o n ' t u n d e r s t a n d i t . T h a t ' s f r u s t r a t i n g , a n d i f y o u d o n ' t h a v e t h e $ 1 1 2 ! . y o u ' r e g o i n g t o g i v e u p . T o m e e t t h e c h a l l e n g e o f m a t h , s h e t h o u g h t t h a t p e o p l e h a d t o h a v e t h e r i g h t " m a k e u p “ - - b e i n t e l l i g e n t , h a v e " t h e d r i v e , “ a n d b e e h l e t o " g r a s p " t h e i d e a s . A n o t h e r c o m m o n a t t r i b u t i o n f o r m a t h e m a t i c a l a b i l i t y w a s " i n t e r e s t . " S o m e t e a c h e r c a n d i d a t e s t a l k e d a b o u t s o m e p e o p l e b e i n g m o r e i n g e x e e s e g i n m a t h t h a n o t h e r s a n d , c o n s e q u e n t l y , b e i n g m o r e a b l e t o fi e i t . I n t e r e s t , t h o u g h , l i k e i n t e l l i g e n c e , w a s m o s t l y c o n c e i v e d a s s o m e t h i n g w h i c h p e o p l e c o m e b y " n a t u r a l l y “ - - t h a t i s , t h a t o n e i s p r e d i s p o s e d t o b e i n t e r e s t e d i n c e r t a i n t h i n g s . 2 6 1 I h 2 _ £ 1 £ 1 £ _ ! 1 £ ! - T h e a l t e r n a t i v e t o e x p l a n a t i o n s b a s e d o n e f f o r t o r i n t e r e s t w a s t h e p u r e t r a i t v i e w , r e f l e c t e d t h r o u g h o u t t h e p r o s p e c t i v e t e a c h e r s ' e x p l a n a t i o n s o f h o w p e o p l e a c q u i r e m a t h e m a t i c a l k n o w l e d g e o r s o l v e m a t h p r o b l e m s . T h e i d e a t h a t m a t h e m a t i c a l a b i l i t y i s i n n a t e , o r f i x e d a n d o n l y m i n i m a l l y i m p r o v a b l e , p e r m e a t e d t h e i r c o m m e n t s . F o r i n s t a n c e , C a t h y , d e s c r i b i n g a c l a s s m a t e w h o w a s g o o d a t m a t h , e x p l a i n e d , " S h e w a s b o r n w i t h i t . I m i g h t s t u d y a s m u c h a s h e r , b u t 1 j u s t d o n ' t h a v e t h e k n a c k f o r i t . " T h e p u r e t r a i t v i e w s e e m e d t o b e a b o u t s o m e t h i n g b i g g e r t h a n j u s t b e i n g s u c c e s s f u l i n m a t h c l a s s : s o m e t h i n g a b o u t b e i n g a b l e t o l e a r n m a t h w i t h o u t e f f o r t , t o b e a b l e t o g h i n k i n t h e r e q u i s i t e " m a t h e m a t i c a l " w a y s ( w h i c h t e n d e d t o b e e i t h e r m y s t e r i o u s o r s t e r e o t y p i c a l ) . O n e p r e v a l e n t i d e a w a s t h a t b e i n g ” b o r n w i t h i t " w a s a s s o c i a t e d w i t h a c e r t a i n k i n d o f p e r s o n o r t y p e o f m i n d . H a r k m a d e a s p e c i f i c d i s t i n c t i o n t h a t w a s a l s o d r a w n e x p l i c i t l y b y 1 1 o t h e r p r o s p e c t i v e t e a c h e r s : I b e l i e v e t h e r e a r e p e o p l e w h o c a n t h i n k a b s t r a c t l y a n d d o m a t h e m a t i c s w e l l a n d t h e n t h e r e ' s o t h e r p e o p l e w h o c a n w o r k w e l l w i t h E n g l i s h a n d o t h e r t y p e s o f s u b j e c t s a n d . . . v e r y r a r e l y d o y o u f i n d o n e i n d i v i d u a l w h o c a n d o b o t h r e a l l y t h a t w e l l . H a t h ' s j u s t a s u b j e c t t h a t y o u a r e r e a l l y g o o d a t i t o r y o u h a v e s t r u g g l e s w i t h i t . . . . I t h i n k s o m e p e o p l e t h i n k r e a l i s t i c a l l y a n d s o m e p e o p l e w i l l t h i n k i d e a l i s t i c a l l y o r m o r e a b s t r a c t l y t h a n o t h e r s . . . I t h i n k i t a l l h a s t o d o w i t h t h e m i n g e , r e a l l y . H e e x p l a i n e d , w h e n I p r o b e d , t h a t " i d e a l i s t i c " p e o p l e w e r e b e t t e r a t a b s t r a c t t h i n g s , l i k e m a t h , a n d " r e a l i s t i c " p e o p l e w e r e t h o s e w h o w e r e g o o d a t E n g l i s h a n d c o u l d c o m m u n i c a t e w e l l w i t h o t h e r p e o p l e . H a r k s e e m e d t o u s e " i d e a l i s t i c " t o r e f e r t o a p r e o c c u p a t i o n w i t h L i e g e , " r e a l i s t i c " t o a n e m p h a s i s o n t h e r e e l , t h e c o n c r e t e , w h i c h w a s a w a y o f d i v i d i n g t h e w o r l d i n t h a t g a v e c r e d i t t o b o t h " k i n d s " o f p e o p l e . 2 6 2 O t h e r s u s e d o t h e r l a b e l s f o r t h i s d i s t i n c t i o n b e t w e e n " t w o t y p e s o f m i n d s . " L i n d a s a i d t h a t p e o p l e a r e e i t h e r g o o d a t " w o r d s o r n u m b e r s " a n d C a t h y d i s t i n g u i s h e d b e t w e e n " l o g i c a l " a n d " c r e a t i v e “ m i n d s . S o m e , l i k e J a n e t , p u t i t s i m p l y i n t e r m s o f p a r t i c u l a r s u b j e c t s : I j u s t t h i n k t h a t s o m e p e o p l e a r e j u s t n e g g g e l l y b e t t e r a t E n g l i s h a n d s o c i a l s t u d i e s t h a n t h e y a r e a t m a t h a n d s c i e n c e . O v e r a l l , t h i s t h e o r y w a s d o m i n a n t : t h a t b e i n g g o o d a t m a t h i s r e l a t e d t o i n d i v i d u a l t r a i t s o r b e n t s o f m i n d w i t h w h i c h p e o p l e a r e b o r n . T h e p r o s p e c t i v e t e a c h e r s u s e d i t t o e x p l a i n w h y p e o p l e w e r e n o t g o o d a t m a t h a s w e l l , s a y i n g t h a t s o m e p e o p l e " c a n n o t g r a s p c o n c e p t s , " o r d o n o t t h i n k a n a l y t i c a l l y o r l o g i c a l l y . C a t h y d e s c r i b e d a c l a s s m a t e w h o m s h e c o n s i d e r e d t o b e g o o d a t m a t h : T h e r e w a s t h i s u n r e a l p r o b l e m t h a t n o o n e c o u l d f i g u r e o u t . T h i s g i r l w a s r e a l l y p a t i e n t a n d s h e w e n t t h r o u g h i t a n d s h e s a i d , " W e l l t h a t d o e s n ’ t w o r k , " a n d t h e n s h e w e n t b a c k a n d t r i e d l i k e t h r e e d i f f e r e n t f o r m u l a s . S h e h a d n e v e r e e e n t h i s p r o b l e m b e f o r e . T h a t ' s w h a t a m a z e s m e . . . . j u s t b e i n g g i v e n a n y k i n d o f p r o b l e m , y o u k n o w , a n d k n o w i n g h o w t o d o i t , t h a t a m a z e s m e . . . . g o i n g t h r o u g h i t i n h e r m i n d e a c h s t e p a n d I d o n ' t u n d e r s t a n d h o w y o u c o u l d b e g h e e l o g i c a l . C a t h y e x p l a i n e d t h e d i f f e r e n c e b e t w e e n h e r s e l f a n d t h i s c l a s s m a t e , s a y i n g , " I j u s t d o n ' t h a v e t h a t k i n d o f a m a t h e m a t i c a l , l o g i c a l m i n d . " I n h i g h s c h o o l , f o r e x a m p l e , s h e u n d e r s t o o d t h e m a t e r i a l w h e n i t w a s e x p l a i n e d i n c l a s s , b u t s t i l l c o u l d n o t s o l v e “ j u s t a n y p r o b l e m . ” F o r e x a m p l e , p r o o f s m a d e s e n s e w h e n h e r h i g h s c h o o l t e a c h e r d i d t h e m o n t h e b o a r d , b u t w h e n C a t h y t r i e d t o d o a p r o o f o n h e r o w n , s h e h a d n o i d e a w h e r e t o g o . T h e m i s s i n g l i n k w a s h e r o w n l a c k o f c a p a c i t y f o r l o g i c a l r e a s o n i n g , a c c o r d i n g t o C a t h y . 2 6 3 L i n d a ' s s o m e w h a t a w e d d e s c r i p t i o n o f h e r b o y f r i e n d s e e m e d t o f i t w i t h a n d e l a b o r a t e C a t h y ' s i d e a s a b o u t t h e r o l e o f l o g i c a l t h i n k i n g i n s o l v i n g p r o b l e m s : H e i s e e l o g i c a l . . . h e t a k e s i t s t e p b y s t e p a n d d o e s n ' t g e t f r u s t r a t e d w h e n h e c a n ’ t f i g u r e i t o u t . H e l o o k s b a c k t o s e e g h y h e c a n ' t f i g u r e i t o u t . H e j u s t b a s i c a l l y t a k e s i t s l o w - - I a l w a y s j u s t w a n t t o g e t i t o v e r w i t h . H e j u s t l o g i c a l l y - - i t a l l c l i c k s i n f o r h i m . B u t I c a n ' t , I n e v e r s e e t h e s a m e s t e p s . I n e v e r a s k m y s e l f t h e s a m e q u e s t i o n s t h a t h e a s k s - - h e w i l l a s k h i m s e l f a q u e s t i o n a n d i t w i l l l e a d h i m t o a s t e p a n d I j u s t - ~ i t d o e s n ' t c l i c k i n f o r m e . H e w o u l d g e t t o o n e p a r t a n d h e w o u l d g o , " N o w w h a t d o y o u d o n e x t ? “ I ' d g o , “ W e l l , 1 d o n ' t k n o w . “ H e ' d g o , “ W e l l , j u s t l o o k a t i t l o g i e e l l y , " a n d h e ' d s a y , “ T h a t g o e s o v e r t h e r e , " o r w h a t e v e r . H e j u s t t h i n k s s o l o g i c a l l y a b o u t i t . L i n d a ' s a n d o t h e r t e a c h e r c a n d i d a t e s ' u s e o f t h e w o r d " l o g i c a l " s u g g e s t e d l i n e a r i t y , n o t r e a s o n . T h e v e r y f a c t t h a t t h e y o f t e n p i t t e d " c r e a t i v i t y “ a g a i n s t l o g i c i s e v i d e n c e f o r t h i s i n t e r p r e t a t i o n . “ C r e a t i v i t y " w a s " a l l o w i n g y o u r m i n d t o w a n d e r ” a n d t h i n k o f d i f f e r e n t a l t e r n a t i v e s ; w h e r e a s , t o t h e m , l o g i c w a s f o l l o w i n g a n a l g o r i t h m . M e i L i n g , w h o a l s o d e s c r i b e d a f r i e n d a s " l o g i c a l , ” e x p l a i n e d H e i s g e g y l o g i c a l . . . h i s m i n d , h i s t h o u g h t s a r e j u s t s t r a i g h t a r r o w . W h e n h e g e t s o n a p o i n t , h e w o n ' t l e t g o . S h e s a i d t h a t h e w a s a b l e t o f o c u s a n d " d i r e c t h i s t h o u g h t s , " w h i l e s h e , m o r e " a r t i s t i c , " t e n d e d t o " i n c o r p o r a t e e v e r y t h i n g i n s t e a d o f j u s t f o c u s i n g o n o n e s p e c i f i c . ’ I A l t h o u g h t h e i r b o y f r i e n d s m a y w e l l h a v e b e e n r e a s o n i n g l o g i c a l l y - - p u r s u i n g h u n c h e s , t r y i n g a l t e r n a t i v e s t r a t e g i e s - - L i n d a a n d M e i L i n g d i d n o t n e c e s s a r i l y s e e t h a t - - t o t h e m , " l o g i c a l l y " m e a n t m e t h o d i c a l l y , s t e p - b y - s t e p . T h i s c a p a c i t y , w i t h i t s c o m p o n e n t s o f i n t e l l e c t a n d t e m p e r a m e n t , w a s s o m e t h i n g h e r b o y f r i e n d w a s b o r n w i t h , L i n d a b e l i e v e d . H e w a s j u s t a b l e t o g e e w h a t t o d o , a n d n o m a t t e r h o w m u c h s h e u n d e r s t o o d t h e m a t e r i a l i n h e r b o o k s , s h e w o u l d n o t b e a b l e t o s o l v e p r o b l e m s . 2 6 4 O t h e r t e a c h e r c a n d i d a t e s a g r e e d w i t h L i n d a ' s v i e w t h a t p e o p l e a r e e i t h e r n a t u r a l l y i n c l i n e d t o b e g o o d a t m a t h o r n o t . H a r k s t a t e d i t m o s t b a l d l y : " I b e l i e v e m a t h e m a t i c s i s a G o d - g i v e n t a l e n t . . . I d o n ' t t h i n k i t ' s a s k i l l y o u c a n d e v e l o p , I t h i n k i t j u s t a s k i l l y o u h a v e . ‘ I f b e i n g a b l e t o d o m a t h i s a g i f t o f t h e g o d s , t h e r e i s l i t t l e p o i n t i n p u s h i n g s t u d e n t s i n o r d e r t o m e k e t h e m g o o d a t m a t h - - a s s e v e r a l t e a c h e r c a n d i d a t e s a r g u e d , t h i s t a c t i c w o u l d d i s c o u r a g e t h o s e w h o l a c k e d t h e n a t u r a l b e n t a n d m a k e t h e m f e e l b a d . A n d y , a s e c o n d a r y c a n d i d a t e , e x p l a i n e d , U s u a l l y t h e y ' v e p r o b a b l y g o t o t h e r t h i n g s t h a t m o t i v a t e t h e m , o t h e r t h i n g s i n l i f e t h a t t h e y w a n t t o d o a n d I f e e l a s i f y o u t e a c h t h e m s o m e i m p e x g e n g c o n c e p t s a n d d o n ' t o v e r l y e m p h a s i z e t h e i m p o r t a n c e o f m a t h , t h a t t h e y c a n b e c o n t e n t w i t h w h a t t h e y k n o w a n d w h a t t h e y l e a r n e d a n d d o n ' t d i s c o u r a g e t h e m . H e d r e w a p a r a l l e l , e x p l a i n i n g t h a t h e h a d t h e s a m e e x p e r i e n c e i n I ' E n g l i s h - t y p e " c o u r s e s . A n d y t h o u g h t o f h i m s e l f a s n o t g o o d a t w r i t i n g a n d d i d n ' t a s s u m e h e c o u l d l e a r n t o d o i t ( o r l i k e i t ) a n d h i s r e a c t i o n t o b e i n g p u s h e d w a s " W h y h e g h e g ? " W h e n h e w o u l d g e t b a c k p a p e r s w i t h r e d i n k a l l o v e r t h e m , h e j u s t f e l t d i s c o u r a g e d . T h e t r a i t v i e w i m p l i e s t h a t b e i n g g o o d a t m a t h e m a t i c s i s s o m e t h i n g t o w h i c h o n l y s p e c i a l p e o p l e c a n a s p i r e , n o t s o m e t h i n g t h a t a n y o n e c a n l e a r n . I n l i n e w i t h t h i s , H a r k e x p r e s s e d h i s " d e p e n d e n c y " t h e o r y , w h i c h c a l l e d f o r m a t h e m a t i c a l t y p e s t o p e r f o r m t h e n e c e s s a r y m a t h f o r t h o s e i n d i v i d u a l s w h o s e w o r k r e q u i r e s m a t h b u t w h o d o n ' t h a v e t h e " r i g h t k i n d o f m i n d " t o d o i t . I n t h i s c o n t e x t , h e e x p l a i n e d , a l o t o f y o u r a r c h i t e c t s a r e p e o p l e w h o c a n d r a w r e a l l y w e l l , w h o c a n m a k e i n c r e d i b l y w o n d e r f u l d e s i g n s o n b u i l d i n g s a n d s t u f f [ b u t ] d o n o t u n d e r s t a n d m a t h . 2 6 5 M o s t o f t h e p r o s p e c t i v e t e a c h e r s a t t r i b u t e d s u c c e s s a t l e a r n i n g m a t h e m a t i c s t o i m m u t a b l e q u a l i t i e s o f i n t e l l e c t u a l d i s p o s i t i o n o r t e m p e r a m e n t . I n t e r e s t i n m a t h e m a t i c s , a “ l o g i c a l " m i n d , a n d t h e a b i l i t y t o g r a s p c o n c e p t s , a s w e l l a s t e n a c i t y , p a t i e n c e , a n d t o l e r a n c e f o r f r u s t r a t i o n w e r e a l l c i t e d f r e q u e n t l y . T h e p r o s p e c t i v e t e a c h e r s t e n d e d t o t a l k a b o u t t h e s e a s i n v a r i a n t a t t r i b u t e s , u n l i k e l y t o c h a n g e s i g n i f i c a n t l y t h r o u g h d e v e l o p m e n t o r l e a r n i n g . I w i l l r e t u r n t o t h i s i n a m o m e n t . g é i i f i g é g g a d C o g t r e d i e g i o n e A l t h o u g h m o s t o f t h e t e a c h e r c a n d i d a t e s v o i c e d a s p e c t s o f t h e t r a i t v i e w a t t i m e s , t h e y w e r e h e s i t a n t t o a g r e e w i t h e x p l i c i t e x p r e s s i o n s o f i t w h e n t h e y e n c o u n t e r e d t h e m i n t h e c a r d s o r t t a s k . W o r d i n g w a s c r i t i c a l ; c e r t a i n f o r m u l a t i o n s s e e m e d p e r h a p s t o o b l a t a n t w h e n t h e y l o o k e d a t t h e m i n p r i n t , d e s p i t e t h e f a c t t h a t t h e t e a c h e r c a n d i d a t e s h a d o f t e n a r t i c u l a t e d t h e s a m e i d e a s t h e m s e l v e s . F o r e x a m p l e , o n e i t e m o n t h e c a r d s o r t s t a t e d d i r e c t l y , ” M a n y p e o p l e a r e s i m p l y n o t g o o d a t m a t h e m a t i c s ; o n e n e e d s t o b e m a t h e m a t i c a l l y i n c l i n e d i n o r d e r t o d o w e l l a t i t . " O n l y a b o u t a o f t h e p r o s p e c t i v e t e a c h e r s u n h e s i t a n t l y a g r e e d w i t h t h i s , w h i l e 5 w e r e n o t s u r e a n d 8 d i s a g r e e d . A m o n g t h o s e w h o d i s a g r e e d w e r e s e v e r a l w h o t h e m s e l v e s h a d t a l k e d s p e c i f i c a l l y a b o u t t y p e s o f m i n d s a n d i n n a t e c h a r a c t e r i s t i c s a s t h e e s s e n t i a l d e t e r m i n a n t s o f m a t h e m a t i c a l s u c c e s s . P a m , f o r e x a m p l e , e x p l i c i t l y s a i d i n h e r i n t e r v i e w t h a t b e i n g g o o d a t m a t h w a s " a n a t u r a l t h i n g , " t h a t o n e h a d t o h a v e a " r e a l l y s t r o n g d r i v e , " a n i n b o r n d e s i r e a n d g r e a t e r i n t e l l i g e n c e t h a n o t h e r s i n o r d e r t o d o w e l l a t m a t h , a n d y e t s h e d i d n o t a g r e e w i t h t h e f o r m u l a t i o n o n t h e c a r d s o r t . M e i L i n g d i s a g r e e d w i t h t h e c a r d s o r t s t a t e m e n t b e c a u s e s h e 2 6 6 t h o u g h t i t m a d e m a t h e m a t i c a l a b i l i t y s o u n d “ g e n e t i c . " H o w e v e r , i n h e r i n t e r v i e w , s h e s a i d t h a t h e r b o y f r i e n d w a s g o o d a t m a t h b e c a u s e h e h a d a l o g i c a l a n d a n a l y t i c m i n d : " W h e n h e g e t s o n a p o i n t , h e j u s t w o n ' t l e t g o . ‘ I S h e e x p l a i n e d t h a t s h e w a s n e e g o o d a t m a t h b e c a u s e s h e w a s m o r e " a r t i s t i c . " T h e s e q u a l i t i e s , M e i L i n g b e l i e v e d , a c c o u n t e d f o r t h e d i f f e r e n c e s i n m a t h e m a t i c a l s u c c e s s b e t w e e n t h e m , b u t s h e n e v e r t h e l e s s r e j e c t e d t h e b l e a k s t a t e m e n t o f t h e s e v i e w s i n t h e c a r d s o r t . S t i l l , o v e r t w o - t h i r d s o f t h e t e a c h e r c a n d i d a t e s d i d a g r e e w i t h a n o t h e r f o r m u l a t i o n o f t h e t r a i t v i e w : " M a n y p e o p l e s i m p l y c a n n o t ‘ g e t ' m a t h e m a t i c a l i d e a s . " E v e n m o r e ( o v e r t h r e e - f o u r t h s ) d i s a g r e e d w i t h o r w e r e n ' t s u r e w h e t h e r " t h e r e i s n e g s u c h t h i n g a s a m a t h e m a t i c a l ‘ t y p e ' o f p e r s o n . " A n o t h e r s i g n o f a m b i v a l e n c e w a s t h a t t h e t e a c h e r c a n d i d a t e s , e v e n t h o s e w h o s p o k e m o s t u n e q u i v o c a l l y a b o u t n e e d i n g t o b e b o r n w i t h " i t , " a l s o t e n d e d t o e x p l a i n m o s t s t u d e n t d i f f i c u l t i e s i n t e r m s o f p r o b l e m s w i t h e f f o r t a n d m o t i v a t i o n . A s m a t h t e a c h e r s , t h e y s a i d t h e y w o u l d h e l p s t u d e n t s b y g o i n g o v e r m a t e r i a l p a t i e n t l y , m o r e s l o w l y . T h e y w o u l d t r y t o m a k e m a t h c l a s s m o r e i n t e r e s t i n g i n o r d e r t o e n g a g e p u p i l s . O n o n e h a n d , t h i s m a y n o t b e i n c o n f l i c t w i t h a t h e o r y o f i n n a t e m a t h e m a t i c a l a b i l i t y , f o r , a s I d i s c u s s e d a b o v e , s o m e m a y c o n s i d e r “ e f f o r t ” a n d " m o t i v a t i o n " i n m a t h e m a t i c s t o b e " n a t u r a l " d i s p o s i t i o n s . T h u s , t h e p r o s p e c t i v e t e a c h e r s w e r e s i m p l y t r y i n g t o c o m p e n s a t e f o r n a t u r a l l a c k s i n s t u d e n t s b y u s i n g h e l p f u l p e d a g o g y . O n t h e o t h e r h a n d , t h e t e a c h e r c a n d i d a t e s ' w o n t t o r e l y o n " e f f o r t " a n d “ m o t i v a t i o n " a s e x p l a n a t o r y l e v e r s m a y s u g g e s t t h a t t h e y a l s o h a v e 2 6 7 c o n f l i c t i n g i d e a s a b o u t t h e i n f l u e n c e s o n s u c c e s s f u l m a t h e m a t i c s l e a r n i n g . T h e p r o s p e c t i v e t e a c h e r s s e e m e d s e n s i t i v e i n t h e i r r e s p o n s e s t o q u e s t i o n s a b o u t t h e f a c t o r s t h a t i n f l u e n c e m a t h e m a t i c a l a b i l i t y . T h e q u e s t i o n o f w h a t m a k e s s o m e o n e g o o d a t m a t h i s a s e n s i t i v e i s s u e i n o u r c u l t u r e a n d , a s t h i s a n a l y s i s s h o w s , t h i s w a s c l e a r l y r e f l e c t e d i n t h e i n t e r v i e w s . M a n y c u l t u r a l m e s s a g e s c o n v e y t h e n o t i o n t h a t m a t h e m a t i c a l a b i l i t y i s i n n a t e a n d e v e n s y n o n y m o u s w i t h i n t e l l i g e n c e . I n a d d i t i o n , b o t h s c h o o l p r a c t i c e s a n d p e r s o n a l e x p e r i e n c e s s u p p o r t t h e i d e a t h a t s o m e p e o p l e d o b e t t e r t h a n o t h e r s i n m a t h , f o r r e a s o n s t h a t o f t e n s e e m m y s t e r i o u s . A t t h e s a m e t i m e , t h e i d e a t h a t s o m e p e o p l e a r e s i m p l y b o r n t o b e g o o d a t m a t h e m a t i c s f l i e s i n t h e f a c e o f c u l t u r a l d o g m a t h a t a n y o n e c a n s u c c e e d , a n y o n e c a n 1 e a r n - - a l l o n e n e e d s d o i s 3 : 1 . A s i f t h i s w e r e n ' t c o n f u s i n g e n o u g h , m a t h e m a t i c s , w h i l e w i d e l y d i s l i k e d , i s n e v e r t h e l e s s a d o m a i n o f c o n s i d e r a b l e p r e s t i g e i n o u r c u l t u r e . T h u s , i t i s u n p a l a t a b l e t o b e l i e v e t h a t s o m e p e o p l e a r e n a t u r a l l y m o r e i n t e l l i g e n t a n d h a v e t h e b i r t h r i g h t t o s p e c i a l c a p a c i t i e s t h a t a f f o r d t h e m p r e s t i g e . E a c h e x p l a n a t i o n o f t h e b a s e s o f m a t h e m a t i c a l c o m p e t e n c e h a s s o m e u n d e r s t a n d a b l e a t t r a c t i o n f o r p e o p l e . M a n y t h i n k t h e y a r e n o t g o o d a t m a t h ; t h u s t o i n t e r p r e t m a t h e m a t i c a l a b i l i t y i n t e r m s o f a n i n n a t e t r a i t l a y s t h e b l a m e f o r l a c k o f s u c c e s s i n m a t h e m a t i c s o u t s i d e t h e m s e l v e s . A f t e r a l l , h o w c a n o n e h e l p i t i f o n e i s s i m p l y n o t I ' b u i l t " t o b e g o o d a t m a t h ? A t t h e s a m e t i m e , t h e b e l i e f t h a t e f f o r t c a n c o n q u e r a l l a l s o r u n s d e e p i n o u r c u l t u r e . . S o m e p r o s p e c t i v e t e a c h e r s , l i k e P a m , d e a l t w i t h t h e s e c o m p e t i n g a s s u m p t i o n s b y w e l d i n g 2 6 8 t h e m t o g e t h e r , s u c h t h a t i n t e r e s t a n d e f f o r t i n m a t h e m a t i c s b e c a m e s t a t i c p e r s o n a l i t y t r a i t s . I a r g u e t h a t t h e i s s u e o f h o w o n e g e t s t o b e g o o d a t l e a r n i n g m a t h i s a s o f t s p o t f o r p r o s p e c t i v e t e a c h e r s . T h e i r w a y s o f t a l k i n g a b o u t t h i s a r e c o n f o u n d e d s o t h a t " e f f o r t " c a n m e a n s o m e t h i n g t h a t i s w i t h i n t h e c o n t r o l o f t h e i n d i v i d u a l o r s o m e t h i n g o n e i s i n n a t e l y p r e d i s p o s e d t o p u t f o r t h . C o n f l i c t e d a b o u t w h a t t h e y r e a l l y t h i n k a n d w h a t t h e y w a n t t o b e l i e v e a n d c a u g h t i n t h e c r o s s w i n d s o f c o m p e t i n g c u l t u r a l v a l u e s , m a n y o f t h e m m a y v a c i l l a t e i n t h e i r e x p l a n a t i o n s a n d a t t r i b u t i o n s , t h e i r i d e a s a b o u t t h e r o l e s o f s t u d e n t s a n d t e a c h e r s , a n d t h e i r a s s u m p t i o n s a b o u t t h e e f f e c t s o f t e a c h i n g . W h a t d o t h e e f f o r t a n d t r a i t v i e w s i m p l y f o r t h e t e a c h e r a n d f o r m a t h e m a t i c s t e a c h i n g ? I f p u p i l s a r e e i t h e r n a t u r a l l y g o o d a t m a t h o r n o t , t h e n t h e t e a c h e r ' s r o l e i s n o t c e n t r a l . I f a b i l i t y t o l e a r n m a t h e m a t i c s i s b a s e d o n i n v a r i a n t a t t r i b u t e s , i t i s u n l i k e l y t o c h a n g e s i g n i f i c a n t l y t h r o u g h d e v e l o p m e n t o r l e a r n i n g . I f e f f o r t i s w h a t m a k e s t h e m a i n d i f f e r e n c e , t h o u g h , a c c o r d i n g t o t e a c h e r c a n d i d a t e s , t h e t e a c h e r ' s r o l e i s t o m a k e m a t h i n t e r e s t i n g a n d f u n s o t h a t p u p i l s w i l l p a y a t t e n t i o n a n d t r y a s h a r d a s p o s s i b l e . T h i s a l t e r n a t i v e i s f o u n d e d o n t h e u b i q u i t o u s c o m m o n s e n s e a s s u m p t i o n s a b o u t l e a r n i n g a n d a b o u t m a t h e m a t i c s . B e c a u s e b e l i e f s a b o u t c a p a c i t y t o l e a r n a n d t h e f a c t o r s t h a t i n f l u e n c e s t u d e n t a c h i e v e m e n t a r e f o u n d a t i o n a l t o t e a c h i n g , p r o s p e c t i v e t e a c h e r s ' i d e a s a b o u t a b i l i t y s h o u l d b e o f c o n s i d e r a b l e c o n c e r n t o t e a c h e r e d u c a t o r s . 2 6 9 E r n a a a i £ 1 2 n _ £ § : T e a c h e r s s h o u l d t r y t o m a k e m a t h m o r e i n t e r e s t i n g a n d f u n . T h e t e a c h e r c a n d i d a t e s b e l i e v e d t h a t m a t h e m a t i c s i s n o t a f a v o r i t e s u b j e c t f o r m a n y s t u d e n t s . A f e w , m o s t l y t h o s e w h o l i k e d m a t h t h e m s e l v e s , h a d o n l y r e c e n t l y c o m e t o t h i s c o n c l u s i o n . C i n d y , a m a t h e m a t i c s m a j o r , s a i d t h a t i t w a s n ' t u n t i l s h e g o t t o c o l l e g e t h a t s h e d i s c o v e r e d , t o h e r s u r p r i s e , t h a t o t h e r p e o p l e w e r e " d i s g u s t e d " w i t h m a t h a n d ” j u s t h e e e e i t . " S h e e x p l a i n e d t h a t , i n h i g h s c h o o l , t h e o t h e r s t u d e n t s i n h e r m a t h c l a s s e s w e r e t h e r e b e c a u s e , l i k e h e r , t h e y l i k e d m a t h . O v e r t w o - t h i r d s o f t h e p r o s p e c t i v e t e a c h e r s a g r e e d w i t h t h e c a r d s o r t s t a t e m e n t , " F o r m a n y o f m y s t u d e n t s , m a t h w i l l p r o b a b l y b e t h e i r l e a s t f a v o r i t e s u b j e c t . " T h i s l e v e l o f a g r e e m e n t m a y b e y e t a n o t h e r r e f l e c t i o n o f t h e t r a i t v i e w . T h o s e w h o d i s a g r e e d a p p a r e n t l y d i d s o b e c a u s e t h e y i n t e r p r e t e d i t a s a p r e d i c t i o n a b o u t t h e i r o w n t e a c h i n g a b i l i t y . J a n e t , f o r e x a m p l e , s a i d s h e h o p e d s h e w o u l d b e " d o i n g b e t t e r t h a n t h a t . " A n d C a t h y e x c l a i m e d , I h e e e n o t l ! I d o n ' t w a n t t h e m t o t h i n k t h a t , b e c a u s e I w a n t t o m a k e i t f u n f o r t h e m . . . I t h i n k t h e t e a c h e r h a s a l o t t o d o w i t h t h a t . C a t h y ' s d e s i r e t o " m a k e i t f u n ” w a s w i d e l y s h a r e d b y t h e p r o s p e c t i v e t e a c h e r s . E x p e c t i n g t h a t m a n y o f t h e i r p u p i l s w o u l d n o t e n j o y m a t h , t h e y h o p e d t o b e a b l e , a s o n e o f t h e m a t h m a j o r s s a i d , t o ' p u t a l i t t l e s u g a r w i t h i t . “ J u s t a s p a r e n t s s w e e t e n t h e s p o o n f u l o f b i t t e r m e d i c i n e t h e y d i s p e n s e t o t h e i r c h i l d r e n , s o t h e p r o s p e c t i v e t e a c h e r s t h o u g h t t h e y s h o u l d d i s p e n s e m a t h e m a t i c s m o r e p a l a t a b l y . T h r e e k i n d s o f ' f u n ' o r i n t e r e s t w e r e m e n t i o n e d : a d d i n g f e a t u r e s t o t h e c o n t e x t t h a t w e r e i r r e l e v a n t t o t h e m a t h e m a t i c s a t h a n d , u s i n g 2 7 0 m a t e r i a l s t h a t w o u l d b e i n h e r e n t l y e n g a g i n g t o p u p i l s , a n d s h o w i n g p u p i l s h o w t h e m a t h t h e y w e r e l e a r n i n g r e l a t e s t o t h e r e a l w o r l d . i ' a t u . M a n y o f t h e p r o s p e c t i v e t e a c h e r s - - e v e n t h o s e w h o l o v e d m a t h e m a t i c s - - a s s u m e d t h a t t h e y w o u l d n e e d t o f i n d w a y s t o " s w e e t e n " m a t h e m a t i c s f o r t h e i r p u p i l s b y m a k i n g m a t h c l a s s e n t e r t a i n i n g . A n u n s u r p r i s i n g f i n d i n g a m o n g t h o s e t e a c h e r c a n d i d a t e s w h o d i s l i k e d m a t h e m a t i c s t h e m s e l v e s , t h e i d e a t h a t m a t h c l a s s m u s t b e m a d e " f u n ' I w a s , h o w e v e r , e q u a l l y p r e v a l e n t a m o n g t h e m a t h l o v e r s , r e v e a l i n g p e r h a p s a n o t h e r s c r a p o f t h e t r a i t v i e w . M a r k , a s e c o n d a r y t e a c h e r c a n d i d a t e , e x p l a i n e d w h y i t w a s c r i t i c a l : I n o t h e r s u b j e c t a r e a s y o u c a n u s e p e r s o n a l f e e l i n g s , p e r s o n a l o p i n i o n , a n d p e r s o n a l i d e a s i n t o t h e s u b j e c t a n d m a k e i t m o r e i n t e r e s t i n g . . . M a t h i s s o m e t h i n g y o u j u s t h a v e t o e e e e e ; t h e w a y i t i s a n d i t c a n b e r e a l s c a r y s o m e t i m e s . M a r k ' s i d e a s a b o u t t h e n a t u r e o f m a t h e m a t i c s c o n t r i b u t e d t o h i s a s s u m p t i o n s a b o u t w h a t w o u l d b e h a r d a b o u t w o r k i n g w i t h s t u d e n t s . O t h e r t e a c h e r c a n d i d a t e s s h a r e d h i s v i e w t h a t m a t h e m a t i c s i t s e l f w a s i n h e r e n t l y d r y a n d d i f f i c u l t t o l e a r n a n d t h e y h o p e d t h a t t h e y w o u l d f i n d s o m e w a y s t o m i t i g a t e s t u d e n t s ' i n a b i l i t i e s a n d c o n s e q u e n t a n x i e t i e s . I n s p i r a t i o n f o r t h e i r i d e a s o f t e n c a m e f r o m f a v o r i t e t e a c h e r s t h e y h a d . T e r r e l l s a i d h e r e a l l y e n j o y e d m a t h i n h i g h s c h o o l b e c a u s e m a n y o f h i s t e a c h e r s w e r e f u n n y a n d h e h a d " a b a l l . " H e a s p i r e d t o b e f u n , t o o , a n d m a k e h i s s t u d e n t s e n j o y h i s c l a s s . A n d J o n d e s c r i b e d h o w o n e o f h i s t e a c h e r s h a d m a d e a g a m e o f t h r o w i n g c h a l k a r o u n d h i s b a c k a n d h i t t i n g t h e c o r n e r w a s t e b a s k e t . ' I t w a s a l w a y s a l o t o f f u n t o w a t c h h i m d o t h a t . " J o n w o r r i e d t h a t " m a t h c l a s s i s a n e a s y o n e t o n a p i n , a n d i f y o u h a v e c o l o r e d c h a l k f l y i n g i n y o u r f a c e a n d p e o p l e 2 7 1 t a l k i n g a b o u t s l e d s f l y i n g d o w n h i l l s [ r e f e r r i n g t o h i s i d e a s a b o u t t e a c h i n g s l o p e ] a n d t h r o w i n g c h a l k a r o u n d t h e r o o m , m a y b e y o u ' l l w a n t t o s t a y a w a k e . " L i k e m a n y o f t h e o t h e r t e a c h e r c a n d i d a t e s , t h e s e m e n w o u l d r e s o r t t o s o m e s t r a t e g i e s o u t s i d e o f m a t h e m a t i c s t o e n g a g e t h e i r s t u d e n t s . I n g e n e r a l , a l t h o u g h t h e t e a c h e r c a n d i d a t e s b e l i e v e d t h a t m a k i n g m a t h c l a s s f u n w a s a p r i o r i t y , t h e y d i d n o t h a v e a l o t o f i d e a s a b o u t h o w t o d o t h i s , a n d m a n y w e r e c o n c e r n e d a b o u t i t . U s i n g " f e n ” m e g e r i e l s o r e x e m p l e e . T h e p r o s p e c t i v e t e a c h e r s t r i e d t o u s e m a t e r i a l s o r e x a m p l e s t h a t t h e y t h o u g h t w o u l d e n g a g e s t u d e n t s ' i n t e r e s t s . T h e i r s o u r c e s f o r i d e a s i n c l u d e d t h e i r o w n i m a g i n a t i o n s ( b a s e d o n c o n j e c t u r e s a b o u t w h a t p u p i l s o f c e r t a i n a g e s w o u l d l i k e ) a n d t h i n g s t h e y r e m e m b e r e d t h e i r t e a c h e r s d o i n g . F o o d a n d m o n e y w e r e b y f a r t h e m o s t f r e q u e n t l y u s e d m a t e r i a l s . O f t e n t h e t e a c h e r c a n d i d a t e s d i d n o t s e e m t o b e a s c o n c e r n e d w i t h t h e p e d a g o g i c a l o r m a t h e m a t i c a l a p p r o p r i a t e n e s s o f t h e i r e x a m p l e s a s t h e y w e r e w i t h m a k i n g l e a r n i n g m a t h m o r e e n j o y a b l e . F o r e x a m p l e , A l l e n , a n e l e m e n t a r y c a n d i d a t e , s u g g e s t e d u s i n g m a n g o e s t o r e p r e s e n t s u b t r a c t i o n w i t h r e g r o u p i n g . H e d e s c r i b e d h o w h e w o u l d m a k e p i l e s o f t h e f r u i t s - - 2 g r o u p s o f 1 0 m a n g o e s a n d a o t h e r m a n g o e s t o r e p r e s e n t 2 4 , f o r i n s t a n c e : " A n d t h e n m o v e 1 0 m a n g o e s o v e r t o t h e r i g h t h a n d s i d e a n d t h e n y o u w o u l d h a v e 1 a n d 1 4 . " H e s m i l e d . I a s k e d w h a t m a d e h i m t h i n k o f m a n g o e s . H e e x p l a i n e d p r o u d l y t h a t t h a t w a s w h y h e w a s g o i n g i n t o e l e m e n t a r y e d u c a t i o n : I h a v e a , a c r e a t i v e m i n d w h e n w o r k i n g w i t h t h a t a g e . I d o r e l a t e v e r y w e l l t o , t o y o u n g s t e r s . . . . y o u k n o w y o u h a v e t o r e a l i z e t h a t , y o u k n o w , b r i n g i n m a n g o e s , t h e y d o n ' t , y o u k n o w , p r o b a b l y n e v e r h e a r d o f a m a n g o b e f o r e b u t i t e o u n d e f e n ] A n d i f y o u h a v e a m a n g o t h e r e a n d y o u s a y , ' H e y , t h i s i s a m e n g e l ' A n d y o u s t a r t 2 7 2 j u g g l i n g m a n g o e s a l l a r o u n d t h e y ' r e g o n n a e n j o y i t a n d t h e y ' r e g o n n a l e a r n i t . A l l e n ' s v i e w o f " c r e a t i v i t y " i n t e a c h i n g e m p h a s i z e d f u n a s t h e m a i n a v e n u e t o l e a r n i n g . H e d i d n o t s e e m t o c o n s i d e r t h a t b r i n g i n g i n m a n g o e s m i g h t j u s t c o n f u s e o r d i s t r a c t t h e s t u d e n t s . 9 M a n y p r o s p e c t i v e t e a c h e r s s h a r e d t h e a s s u m p t i o n t h a t c h i l d r e n l o v e f o o d a n d t h a t , t h e r e f o r e , f o o d w o u l d m a k e a g o o d l e a r n i n g v e h i c l e . A s o n e e x p l a i n e d : H u m , I ' v e h e a r d t h a t i f y o u w a n t t o g e t a c o n c e p t o v e r t o c h i l d r e n , a l l y o u n e e d t o i s t o r e l a t e i t t o f o o d a n d t h e n t h e y w i l l g r a s p i t r i g h t a w a y . E i g h t o f t h e t e n p r o s p e c t i v e t e a c h e r s w h o w e r e a b l e t o g e n e r a t e s o m e s o r t o f r e p r e s e n t a t i o n f o r 1 3 / 4 + k u s e d f o o d - - m o s t l y p i z z a s a n d p i e s . C e r t a i n l y , t h e f a c t t h a t r o u n d m o d e l s a c c o u n t f o r m o s t p i c t o r i a l r e p r e s e n t a t i o n s p r o b a b l y i n c l i n e d t h e p r o s p e c t i v e t e a c h e r s t o w a r d c i r c u l a r r e p r e s e n t a t i o n s . B u t f o o d w a s c o m m o n a l s o b e c a u s e t h e y a s s u m e d t h a t i t w o u l d b e i n t r i n s i c a l l y m o r e i n t e r e s t i n g t o s t u d e n t s t h a n o t h e r d i v i s i b l e c i r c u l a r o b j e c t s . T h e e l e m e n t a r y c a n d i d a t e s u s e d f o o d t o e x p l a i n s u b t r a c t i o n w i t h r e g r o u p i n g a s w e l l ( e . g . , g o i n g n e x t d o o r t o t h e n e i g h b o r t o “ b o r r o w “ h o t d o g s ) . S e c o n d i n p o p u l a r i t y w a s m o n e y . S e v e r a l o f t h e t e a c h e r c a n d i d a t e s t h o u g h t t h a t u s i n g m o n e y i n p r o b l e m s w o u l d e n g a g e s t u d e n t s ' i n t e r e s t a n d a t t e n t i o n . O t h e r s f a v o r e d " c u t e p i c t u r e s " o r c o l o r f u l m a t e r i a l s . M e i L i n g e m p h a s i z e d t h e i m p o r t a n c e o f m a k i n g s t u d e n t m a t e r i a l s " c u t e , 9 T e a c h e r s s h o u l d o f c o u r s e t r y t o e n g a g e s t u d e n t s i n t h e s u b j e c t m a t t e r b y m a k i n g i t i n t e r e s t i n g , e v e n f u n . H o w e v e r , u n l i k e W i l s o n ' s ( 1 9 8 8 ) h i s t o r i a n s , w h o a s s u m e d t h a t t h e i r s u b j e c t m a t t e r w o u l d h o l d i n t r i n s i c i n t e r e s t f o r p u p i l s , t h e p r o s p e c t i v e t e a c h e r s w h o m I i n t e r v i e w e d s e e m e d t o b e t r y i n g t o ' g e t a r o u n d " t h e s u b j e c t m a t t e r . T h e i r r e p r e s e n t a t i o n s , t h e r e f o r e , s o m e t i m e s m i s r e p r e s e n t e d o r m i s s e d t h e c o n t e n t . I d i s c u s s A l l e n ' s m a n g o e s e x a m p l e a n d t h e l a r g e r i s s u e o f p e d a g o g i c a l t h i n k i n g a n d w a r r a n t s i n c h a p t e r 6 . 2 7 3 f u n t o l o o k a t , w i t h c o l o r s - - s o m e t h i n g t h a t w i l l h e l p k e e p t h e i r a t t e n t i o n . " U n d e r l y i n g t h i s e m p h a s i s o n f u n w a s t h e a s s u m p t i o n t h a t i f s t u d e n t s w e r e e n j o y i n g t h e m s e l v e s , t h e y w o u l d p a y a t t e n t i o n . P a y i n g a t t e n t i o n w a s k e y t o " g e t t i n g " i t , g i v e n t h e c o m m o n s e n s e s e n s o r y v i e w o f l e a r n i n g a s s u m e d b y m a n y o f t h e t e a c h e r c a n d i d a t e s . t m c ' v . A t h i r d , a n d r e l a t e d , a p p r o a c h t o m a k i n g m a t h e m a t i c s m o r e i n t e r e s t i n g t o p u p i l s w a s t o s h o w t h e m h o w w h a t t h e y w e r e l e a r n i n g w a s u s e f u l b y h i g h l i g h t i n g i t s r e l a t i o n s h i p t o t h e r e a l w o r l d . W h i l e t h i s m a y s e e m t o b e a g o a l o v e r a r c h i n g t h e p r e p o n d e r a n c e o f f o o d a n d m o n e y e x a m p l e s ( w h i c h a r e , a f t e r a l l , " r e a l w o r l d ” e x a m p l e s ) , i t w a s i n s t e a d a v a r i a n t t h a t e m p h a s i z e d u s e f u l n e s s a n d v a l u e . F o o d a n d m o n e y e x a m p l e s , i n c o n t r a s t , e m p h a s i z e d i n t e r e s t a n d f u n . A l l t h e p r o s p e c t i v e t e a c h e r s t a l k e d a b o u t w a n t i n g t o d o t h i s . T h e y e x p l a i n e d t h a t d o i n g s o w o u l d h e l p k e e p s t u d e n t s ' a t t e n t i o n a n d i n t e r e s t . F o r e x a m p l e , J a n e t , o n e o f t h e s e c o n d a r y c a n d i d a t e s , e x p l a i n e d t h a t s h e w a n t e d t o g e t h e r s t u d e n t s m o r e e n t h u s e d b y m a k i n g t h e m a t h l e s s b o r i n g : B e f o r e I i n t r o d u c e d a n y t o p i c , I w o u l d w a n t t o c o m e u p w i t h r e a l w o r l d e x a m p l e s o f w h e r e i t c o m e s i n h a n d y . . . . I a l w a y s g o t a n n o y e d w h e n I ' d a s k , " W h y a r e w e l e a r n i n g t h i s ? ” - - ' W e l l , h e e e e e e . " Y o u k n o w , t h e n o n - a n s w e r s . [ I ' d w a n t t o u s e ] t h i n g s t h a t m a k e s e n s e t o k i d s ' t e r m s a n d t h i n k o f t h i n g s w h e r e t h e y c o u l d u s e t h i s . T h e e l e m e n t a r y c a n d i d a t e s a l s o w a n t e d t o m a k e t h e c o n t e n t " r e l e v a n t ” t o p u p i l s . T h e y f a v o r e d m a t e r i a l s o r p r o b l e m s t h a t i l l u s t r a t e d t h e c o n t e n t w i t h s o m e t h i n g c o m m o n i n y o u n g c h i l d r e n ' s l i v e s . F o r t h i s r e a s o n , m o s t o f t h e m l i k e d t h e t e x t b o o k s e c t i o n t h a t I u s e d f o r t h e l o n g e r e x e r c i s e o n s u b t r a c t i o n w i t h r e g r o u p i n g . T h e w o r k b o o k p a g e ( s e e A p p e n d i x B ) , g l o s s y a n d c o l o r f u l , w a s l o o s e l y c o n n e c t e d t o a s t o r y a b o u t a s c h o o l f a i r . C o n s i s t i n g o f 2 0 t w o - d i g i t s u b t r a c t i o n 2 7 4 e x e r c i s e s , t h e p a g e w a s i l l u s t r a t e d w i t h s m a l l p i c t u r e s a b o v e e a c h i t e m ( e . g . , a t e d d y b e a r , a g l a s s o f l e m o n a d e ) a n d e a c h r o w p o s e d a q u e s t i o n a b o u t t h e i t e m s p i c t u r e d , i n a n a t t e m p t t o c o n n e c t t h e n u m b e r s t o a r e a l s i t u a t i o n . F o r e x a m p l e , a b o v e 4 1 w a s a p i c t u r e o f _ - . 1 4 _ a b e a c h b a l l . O n t h a t r o w o f t h e w o r k b o o k p a g e t h e q u e s t i o n w a s , " H o w m a n y p r i z e s w e r e l e f t ? “ T h e p r o s p e c t i v e t e a c h e r s s a w t h i s a s a n e x a m p l e o f r e l a t i n g m a t h e m a t i c s t o " s o m e t h i n g r e a l . ” M e i L i n g , f o r e x a m p l e , s a i d s h e l i k e d t h e f a c t t h a t t h e w o r k b o o k p a g e u s e d a s t o r y a b o u t a s c h o o l f a i r b e c a u s e h a v i n g " t h e c u t e p i c t u r e s o n t h e t o p g i v e s t h e m s o m e t h i n g t o r e l a t e t o a n d t h e p i c t u r e s a r e c u t e , f u n t o l o o k a t , c o l o r f u l - - i t ' s s o m e t h i n g t h a t w i l l h e l p t o k e e p t h e i r a t t e n t i o n . " A n d P a m e x p l a i n e d t h a t i t " m a k e s i t m o r e r e a l t o t h e c h i l d i f t h e y c a n r e l a t e i t t o s o m e t h i n g , n o t j u s t n u m b e r s o n a p a g e . " T h i s i d e a t h a t c h i l d r e n w o u l d n ' t e n j o y " j u s t n u m b e r s " w a s e c h o e d b y m a n y o f t h e p r o s p e c t i v e t e a c h e r s . L i n d a , a n o t h e r e l e m e n t a r y c a n d i d a t e , l i k e d t h e p i c t u r e s o f t h e f a i r t h a t w e r e o n t h e p a g e b e c a u s e i t w o u l d m a k e s e n s e t o t h e k i d s . T h e y c a n s e e s o m e r e a s o n f o r i t - - t o s e e h o w m a n y t e d d y b e a r s a r e t h e r e l e f t o v e r a n d s t u f f i n s t e a d o f ' 1 1 . " T h e y d o n ' t c a r e a b o u t n e e e e g e a s m u c h . C o n s i s t e n t w i t h b o t h c u l t u r a l i m a g e s o f m a t h e m a t i c s a n d t h e t r a i t v i e w , t h e i d e a t h a t m o s t o r d i n a r y c h i l d r e n w o u l d n o t e n j o y m a t h e m a t i c s u n d e r s c o r e d t h e r e m o t e n e s s o f m a t h e m a t i c s e v e n a s t h e t e a c h e r c a n d i d a t e s o s t e n s i b l y t r i e d t o b r i n g i t c l o s e r t o t h e i r p u p i l s ' w o r l d . B o t h t h e e l e m e n t a r y a n d t h e s e c o n d a r y t e a c h e r c a n d i d a t e s b e l i e v e d f i r m l y i n r e l a t i n g t h e c o n t e n t t o t h e r e a l w o r l d . S t i l l , t h i s c o m m i t m e n t w a s o f t e n d i f f i c u l t f o r t h e m t o a c t o n a n d t h e y s t u m b l e d i n t r y i n g t o e e i t . 2 7 5 I t w a s d i f f i c u l t p r i m a r i l y b e c a u s e o f t h e n a t u r e o f t h e i r s u b j e c t m a t t e r k n o w l e d g e . T h e w a y i n w h i c h t h e y h a d l e a r n e d t h e c o n t e n t d i d n o t i n c l u d e r e a l w o r l d a p p l i c a t i o n s , a n d t h e i r u n d e r s t a n d i n g w a s n o t , o n t h e w h o l e , s u f f i c i e n t t o g e n e r a t e a p p r o p r i a t e c o n n e c t i o n s . C e r t a i n l y t h e e l e m e n t a r y c a n d i d a t e s w e r e a b l e t o c o m e u p w i t h c o n s u m e r a p p l i c a t i o n s o f a r i t h m e t i c : f i g u r i n g o u t t o t a l s a t t h e s t o r e o r b u y i n g w a l l p a p e r , f o r e x a m p l e . B u t t h e y w e r e u n a b l e t o c o n n e c t 1 3 / 4 + k t o a n y t h i n g r e a l b e c a u s e t h e y d i d n ' t u n d e r s t a n d w h a t d i v i s i o n b y f r a c t i o n s n e e n e ; s e v e r a l e v e n s a i d t h a t f r a c t i o n s “ d o n ' t r e l a t e t o t h e r e a l w o r l d . ’ I T h e s e c o n d a r y c a n d i d a t e s s t r u g g l e d w i t h d i v i s i o n o f f r a c t i o n s , b u t a l s o w i t h h i g h s c h o o l c o n t e n t : d i v i s i o n i n a l g e b r a i c e q u a t i o n s a n d s l o p e . A n d y ' s d i f f i c u l t y w a s t y p i c a l . H e t r i e d t o t h i n k o f " s o m e e x a m p l e s o f l a t e r o n w h e r e y o u w o u l d u s e s l o p e " b u t c o u l d n ' t t h i n k o f a n y . H e r e m e m b e r e d t h a t ” a s l o p e o f a g r a p h i s e q u a l t o t h e m e a n o f t h e d e n s i t y o f a m a t e r i a l i n p h y s i c s ” b u t s a i d a n i n t h g r a d e r w o u l d n ' t u n d e r s t a n d t h a t a n d s o r e j e c t e d i t a s a n e x a m p l e . H e d e c i d e d m a y b e h e c o u l d j u s t s a y t h a t s l o p e w a s u s e f u l i n p h y s i c s . O t h e r s h a d t h e s a m e d i f f i c u l t i e s a s A n d y . O n e w o r r i e d , " G o d , I ' d w a n t s o m e c o n c r e t e e x a m p l e s o f h o w t h i s a p p l i e s t o r e a l - l i f e s i t u a t i o n s . . . [ t o h a v e } s o m e b a s i s i n r e a l i t y . . . s o i t w o u l d b e a l i t t l e m o r e v a l u a b l e . . . I c a n ' t t h i n k o f a n y a t t h e m o m e n t . “ S e v e r a l u s e d s k i s l o p e s t o r e l a t e s l o p e t o t h e r e a l w o r l d . N o o n e , h o w e v e r , w a s a b l e t o s u c c e s s f u l l y t a k e t h e c o n c e p t o f s l o p e a n d a p p r o p r i a t e l y c o n n e c t t h e c o n c e p t ' s m a t h e m a t i c a l s i g n i f i c a n c e t o s o m e t h i n g r e a l . I n s t e a d , w h e n t h e y d i d c o m e u p w i t h s o m e t h i n g , i t w a s 2 7 6 a n i l l u s t r a t i o n o f t h e c o n c e p t o f " s t e e p n e s s . ” A n d w h e n a s k e d t o h e l p s t u d e n t s u n d e r s t a n d _ 3 _ - 5 , n o t o n e o f t h e m a t h e m a t i c s m a j o r s t r i e d 0 . 2 t o c o n n e c t i t t o a r e a l s i t u a t i o n . A l t h o u g h t h e s e c o n d a r y t e a c h e r c a n d i d a t e s b e l i e v e d t h a t t h e y s h o u l d m a k e t h e c o n t e n t r e l e v a n t t o s t u d e n t s , t h e y h a d d i f f i c u l t y . J a n e t ' s e x p l a n a t i o n a b o u t t h i s r e f l e c t e d w h a t m a n y o f t h e o t h e r s t h o u g h t : I t ' s h a r d e r i n h i g h s c h o o l b e c a u s e a l o t o f m a t h b u i l d s u p t o h i g h e r m a t h w h i c h i s u s e d i n t h i n g s t h a t a r e b e y o n d t h e k i d s a n d t h e y d o n ' t - - t h e y c a n ' t r e l a t e t o . T h e m a t h e m a t i c s m a j o r s , i f t h e y k n e w a p p l i c a t i o n s ( a n d o f t e n t h e y s e e m e d n o t t o ) , m o s t l y k n e w t e c h n i c a l o r a b s t r a c t o n e s e v e n t h o u g h t h e y w a n t e d c o n c r e t e e v e r y d a y e x a m p l e s o r c o n n e c t i o n s t h a t w o u l d w o r k w i t h n i n t h g r a d e r s . T h e w a y i n w h i c h t h e y u n d e r s t o o d t h e c o n t e n t j u s t d i d n o t s e e m t o o v e r l a p w i t h t h e i r a s s u m p t i o n s a b o u t h i g h s c h o o l s t u d e n t s , s o t h a t d e m o n s t r a t i n g t h e u s e f u l n e s s o r v a l u e o f m a t h e m a t i c s w a s d i f f i c u l t . D e s p i t e t h e f a c t t h a t s l o p e , d i v i s i o n , a n d a l g e b r a a l l d o h a v e v a l u a b l e a p p l i c a t i o n s t o t h e r e a l w o r l d w h i c h h i g h s c h o o l s t u d e n t s c o u l d u n d e r s t a n d , a n d a l t h o u g h t h e y w a n t e d , i n p r i n c i p l e , t o c o n n e c t m a t h e m a t i c s t o t h e ” r e a l “ w o r l d , t h e i r u n d e r s t a n d i n g o f t h e p a r t i c u l a r c o n t e n t d i d n o t p r e p a r e t h e m t o d o s o . W h a t d o e s t h i s e m e h e e i e o n m a k i n g m a t h e m a t i c s f u n a n d i n t e r e s t i n g t h r o u g h f a m i l i a r c o n n e c t i o n s r e f l e c t a b o u t m a t h e m a t i c s t e a c h i n g ? T h i s f o c u s , y e t a n o t h e r o u t g r o w t h o f c o m m o n s e n s e a s s u m p t i o n s a b o u t l e a r n i n g , i m p l i e s t h a t t h e t e a c h e r ' s r o l e i s t o g e t s t u d e n t s t o p a y a t t e n t i o n a n d , i f t h e y d o , t h e y w i l l l e a r n . S u b j e c t m a t t e r m a y b e , a t t i m e s , l e s s t h e f o c u s t h a n s i m p l y a c o n t e x t u a l f a c t o r . H o w e v e r , e n g a g i n g s t u d e n t s i n m a t h e m a t i c s g o e s b e y o n d m a k i n g m a t h f u n , a n d 2 7 7 c o n n e c t i o n s t o e v e r y d a y e x p e r i e n c e a r e n o t a l w a y s a p p r o p r i a t e o r d e s i r a b l e ( s e e F l o d e n , B u c h m a n n , a n d S c h w i l l e , 1 9 8 7 ) . I r e t u r n t o t h i s i n c h a p t e r 6 . W 0 S t a t e d s i m p l y , t h e p r o s p e c t i v e t e a c h e r s w h o m I i n t e r v i e w e d a p p e a r e d t o h a v e m e r e i d e a s a b o u t t e a c h i n g a n d l e a r n i n g t h a n t h e y d i d a b o u t l e a r n e r s , a l t h o u g h t h e r e w e r e a n u m b e r o f o p p o r t u n i t i e s t o d r a w o n k n o w l e d g e o f c h i l d r e n . K n o w l e d g e a b o u t s t u d e n t s - ~ w h a t t h e y k n o w , w h a t t h e y c a n d o , w h a t t h e y a r e l i k e - o i s e s s e n t i a l t o t h e v i e w o f m a t h e m a t i c s t e a c h i n g d e s c r i b e d i n C h a p t e r 1 . Y e t , w h e n t h e t e a c h e r c a n d i d a t e s t r i e d t o t h i n k a b o u t s t u d e n t s , t h e i r o w n e x p e r i e n c e f i g u r e d p r o m i n e n t l y . T h e y o f t e n e x h i b i t e d , t h e r e f o r e , a n e g o c e n t r i c p e r s p e c t i v e o n l e a r n e r s - ~ f o u n d e d o n a n d j u s t i f i e d b y t h e i r l o i n a n a l y z i n g t h e i r u n d e r s t a n d i n g s o f m a t h e m a t i c s , w h a t t h e p r o s p e c t i v e t e a c h e r s k n e w a n d w h a t t h e y d i d n ' t w e r e b o t h c l e a r l y p a r t o f t h e d i s c u s s i o n i n c h a p t e r s 3 a n d 4 . Y e t w i t h r e s p e c t t o t e a c h i n g a n d l e a r n i n g a n d l e a r n e r s , I h a v e d i s c u s s e d o n l y t h o s e t h i n g s a b o u t w h i c h t h e p r o s p e c t i v e t e a c h e r s b e e i d e a s . T h e i n t e r v i e w s a r e , h o w e v e r , a l s o a s o u r c e o f i n f o r m a t i o n f o r w h a t p r o s p e c t i v e t e a c h e r s d i d . n e ; k n o w . . I n f e r r i n g l a c k s i n . k n o w l e d g e m u s t b e d o n e w i t h c o n s i d e r a b l e c a u t i o n , h o w e v e r . I f t h e t e a c h e r c a n d i d a t e s d i d n o t h a v e s u f f i c i e n t o p p o r t u n i t y t o t a l k a b o u t s o m e t h i n g , o r t o d r a w o n a p a r t i c u l a r i d e a o r b e l i e f , t h e n c o n c l u d i n g t h a t t h e y d i d n o t c o n s i d e r i t o r k n o w i t w o u l d b e i r r e s p o n s i b l e . A t t h e s a m e t i m e , c o n s i d e r i n g w h a t p r o s p e c t i v e t e a c h e r d o n e e b r i n g t o t e a c h e r e d u c a t i o n i s a s i m p o r t a n t a s w h a t t h e y e e . W i t h c a u t i o n i n m i n d , I c h o s e j u s t o n e c r i t i c a l a r e a : k n o w l e d g e a b o u t s t u d e n t s . 2 7 8 a s s u m p t i o n s a n d u n d e r s t a n d i n g s a b o u t t h e m s e l v e s . 1 1 S o m e o f t h e m t r i e d t o p r o j e c t t h a t e x p e r i e n c e o n t o a l l s t u d e n t s , a s s u m i n g , f o r e x a m p l e , t h a t i f e h e y h a d h a d n o t r o u b l e l e a r n i n g a p a r t i c u l a r t o p i c , t h a t o t h e r s w o u l d n ' t e i t h e r a n d t h a t t h e t o p i c w a s i n h e r e n t l y s t r a i g h t f o r w a r d . T h e y a l s o t h o u g h t t h e y k n e w w h a t s t u d e n t s w o u l d b e i n t e r e s t e d i n , a l t h o u g h t h e i r a s s u m p t i o n s a b o u t s t u d e n t i n t e r e s t s w e r e q u i t e l i m i t e d . M o s t o f t h e m w e r e u n s u r e , h o w e v e r , a b o u t w h a t s t u d e n t s w o u l d k n o w a n d w h a t t h e y c o u l d e x p e c t t h e m t o u n d e r s t a n d . T h e y w e r e a l s o u n p r e p a r e d t o i n t e r p r e t s t u d e n t w o r k b e y o n d d e t e r m i n i n g t h e c o r r e c t n e s s o f t h e r e s p o n s e s , a n d t h e y s e e m e d t o l a c k a f r a m e w o r k f o r s u c h a n a l y s i s a s w e l l a s a r e p e r t o i r e o f a l t e r n a t i v e h y p o t h e s e s . O n e o f t h e m o s t s t r i k i n g p l a c e s w h e r e t h e l a c k o f b r e a d t h i n t h e i r u n d e r s t a n d i n g o f s t u d e n t s w a s e v i d e n t w a s w h e n t h e y t r i e d t o a p p r a i s e s t u d e n t w r i t t e n w o r k . I n o r d e r t o f i g u r e o u t w h a t s t u d e n t s a r e d o i n g a n d w h a t t h e y u n d e r s t a n d , k n o w i n g t h e c o n t e n t f r o m o n e ' s o w n a n g l e o n l y i s r a r e l y s u f f i c i e n t ( B u c h m a n n , 1 9 8 4 ; D e w e y l 9 l 6 b / 1 9 6 4 ) . I n l o o k i n g a t s t u d e n t s ' m a t h p a p e r s o r c o n s i d e r i n g s t u d e n t s ' q u e s t i o n s , t e a c h e r s d r a w o n w h a t t h e y k n o w a b o u t s t u d e n t s a s w e l l a s t h e i r u n d e r s t a n d i n g s o f t h e s u b j e c t m a t t e r . T e a c h e r s m u s t b e a b l e t o s e e 1 1 J a c k s o n ( 1 9 8 6 ) r e f e r s t o t h i s a s t h e n ; e e e n e § 1 e n _ e f _ e h e r e e i d e n g i g x . H e w r i t e s , ” A c t i n g o n t h i s p r e s u m p t i o n , t e a c h e r s t a k e f o r g r a n t e d t h a t t h e i r s t u d e n t s a r e l i k e t h e m s e l v e s i n t h e w a y t h e i r m i n d s w o r k , i n t h e w a y t h e y t h i n k a n d f e e l , i n . w h a t m a k e s t h e m l a u g h a n d c r y a n d s o f o r t h . . . . I n s h o r t , t h e p r e s u m p t i o n o f a s h a r e d i d e n t i t y i m p l i e s t h e e x i s t e n c e o f a m a t c h b e t w e e n t e a c h e r s a n d s t u d e n t s a l o n g s e v e r a l d i m e n s i o n s a t o n c e : c u l t u r a l , p s y c h o l o g i c a l , a n d p h y s i o l o g i c a l ” ( p . 2 2 ) . M y t e n t a t i v e u s e o f t h e t e r m " e g o c e n t r i c “ a s a l a b e l f o r t h i s f r a m e o f r e f e r e n c e i s n o t i n t e n d e d t o c a r r y t h e p e j o r a t i v e c o n n o t a t i o n t h a t t h e t e r m ' s p s y c h o l o g i c a l u s e i m p l i e s . 2 7 9 t h e c o n t e n t f r o m t h e s t u d e n t s ' p e r s p e c t i v e ( B u c h m a n n , 1 9 8 4 ; D e w e y , 1 9 1 6 b ; H a w k i n s , 1 9 6 7 / 1 9 7 4 ) , a n d t h a t m e a n s c o n t e m p l a t i n g t h e l e a r n e r a s s e r i o u s l y a s t h e s u b j e c t m a t t e r ( B u c h m a n n , 1 9 8 8 ) . I t a l s o m e a n s b o t h k n o w i n g a n d . b e i n g d i s p o s e d t o l o o k a t h o w s t u d e n t s t h i n k , w h a t t h e y u n d e r s t a n d , a n d w h a t t h e y t y p i c a l l y f i n d p u z z l i n g . W i t h i n a l o n g e r s t r u c t u r e d e x e r c i s e i n w h i c h t e a c h e r c a n d i d a t e s e v a l u a t e d a t e x t b o o k s e c t i o n o n s u b t r a c t i o n w i t h r e g r o u p i n g ( e l e m e n t a r y ) o r s l o p e ( s e c o n d a r y ) , I p r e s e n t e d t h e m w i t h a s t u d e n t ' s p a p e r a n d a s k e d t h e m t o l o o k a t i t f o r a s l o n g a s t h e y n e e d e d a n d t h e n t o t a l k t o m e a b o u t w h a t t h e y t h o u g h t t h e s t u d e n t w a s u n d e r s t a n d i n g o r n o t . T h e p r o s p e c t i v e e l e m e n t a r y t e a c h e r s e x a m i n e d a s e c o n d g r a d e r ' s w o r k b o o k p a g e o n s u b t r a c t i o n w i t h r e g r o u p i n g . ' S u s a n ' h a d n o t r e g r o u p e d t h e s u b t r a h e n d s w h e r e n e c e s s a r y , e x c e p t f o r t h r e e o r f o u r p r o b l e m s i n t h e m i d d l e o f t h e p a g e w h i c h g e n e d o n e c o r r e c t l y . I n s t e a d , s h e h a d t a k e n t h e e i f f e x e n e e b e t w e e n t h e n u m b e r s - - e . g . , 5 2 ; _ _ Z _ 2 _ _ 3 7 T h i s r e p r e s e n t s a s i g n i f i c a n t , a n d c o m m o n , c o n c e p t u a l e r r o r . F r o m o n e p o i n t o f v i e w , i t i s a l s o r e a s o n a b l e s i n c e , a d d i t i o n ( w h i c h u s u a l l y i s t a u g h t r i g h t b e f o r e s u b t r a c t i o n ) L e c o m m u t a t i v e . C h i l d r e n w h o a r e l e a r n i n g a l g o r i t h m i c a l l y o f t e n s i m p l y g e n e r a l i z e f r o m a d d i t i o n t o s u b t r a c t i o n . T h e s e c o n d a r y c a n d i d a t e s a l s o e x a m i n e d a s t u d e n t p a p e r - - t h i s o n e o n s l o p e a n d g r a p h i n g . T h e b o o k p a g e g i v e s t h e y - i n t e r c e p t a n d m ( t h e s l o p e ) . S t u d e n t s a r e s u p p o s e d t o u s e t h e s e v a l u e s t o w r i t e t h e e q u a t i o n f o r t h e l i n e i n t w o d i f f e r e n t f o r m s a n d g r a p h t h e l i n e . T h e 2 8 0 s t u d e n t - - ' L y n n ' - - h a s t r a n s f o r m e d t h e e q u a t i o n s i n t o a x + b y - c f o r m a n d u s e d a f o r t h e v a l u e o f t h e s l o p e , r e f l e c t i n g , l i k e S u s a n , a n a l g o r i t h m i c a p p r o a c h t o t h e m a t h e m a t i c s . E x a m i n i n g a s t u d e n t p a p e r w a s a f o r e i g n t a s k f o r t h e p r o s p e c t i v e t e a c h e r s . O n e s u p e r f i c i a l m e a s u r e o f t h e n o v e l t y o f t h e t a s k w a s t h e s h e e r t i m e i t t o o k t h e m t o a n a l y z e t h e p a p e r . T h e i r r e s p o n s e s t o o t h e r t a s k s , s u c h a s e x a m i n i n g t h e e n t i r e t e x t b o o k s e c t i o n , w e r e m u c h q u i c k e r . O f t e n t h e y s p e n t o v e r t w o m i n u t e s l o o k i n g a t t h e p a p e r b e f o r e t h e y e v e n s t a r t e d t o c o m m e n t a n d t h e n , o n c e t h e y h a d s t a r t e d t o t a l k , t h e y p a u s e d t o l o o k a t i t s o m e m o r e a n d t o r e c o n s i d e r w h a t t h e y w e r e s a y i n g . M o s t o f t h e e l e m e n t a r y c a n d i d a t e s d e t e r m i n e d t h a t S u s a n w a s s u b t r a c t i n g t h e t o p n u m b e r f r o m t h e b o t t o m ( “ s w i t c h i n g t h e m a r o u n d ' ) . P a m d r e w o n . h e r o w n e x p e r i e n c e t o i n t e r p r e t t h e p a p e r a l i t t l e f u r t h e r . S h e d e c i d e d t h a t S u s a n g o t p r o b l e m s w r o n g " f o r t h e s a m e r e a s o n s I g e t s o m e o f m i n e w r o n g ' - - b e c a u s e s h e f e l t a l i t t l e a n x i o u s a n d c o n f u s e d w h e n d o i n g m a t h . S h e t h o u g h t t h a t S u s a n e i e b a s i c a l l y k n o w ” h o w t o d o i t . ‘ I S e v e r a l o t h e r s , l i k e P a m , t h o u g h t t h a t S u s a n k n e w w h a t s h e w a s d o i n g , b u t t h a t s h e w a s p r o b a b l y j u s t ” f o r g e t t i n g w h e n t o b o r r o w . ” " S w i t c h i n g t h e n u m b e r s a r o u n d ' w a s a s i g n o f f o r g e t t i n g t h e r u l e s , n o t a s i g n a l o f c o n c e p t u a l c o n f u s i o n . O n e i m p l i c a t i o n o f t a k i n g a n e g o c e n t r i c p e r s p e c t i v e o n l e a r n e r s , a s m a n y o f t h e m d i d , i s t h a t t h e t e a c h e r c a n d i d a t e s w i l l r e c o g n i z e s t u d e n t s ' d i f f i c u l t i e s a s c o n c e p t u a l ( r a t h e r t h a n a p p l i c a t i o n o r m e m o r y ) d i f f i c u l t i e s i f , a n d o n l y i f , t h e y h a v e k n e x i n g l y h a d t h e s a m e d i f f i c u l t i e s t h e m s e l v e s . F o r e x a m p l e , B a r b , w h o r e m e m b e r e d h a v i n g a l o t o f t r o u b l e u n d e r s t a n d i n g s l o p e w h e n s h e f i r s t e n c o u n t e r e d i t i n 2 8 1 n i n t h g r a d e ( a n d c l a i m e d t o h a v e o n l y r e c e n t l y f i g u r e d o u t w h a t i t w a s r e a l l y a b o u t ) w a s e s p e c i a l l y e a g e r t o f o c u s o n s t u d e n t s ' t h i n k i n g a n d c o m p r e h e n s i o n o f t h e c o n c e p t . A n d y , o n t h e o t h e r h a n d , t h o u g h t s l o p e w a s e a s y a n d t h a t a n y o n e s h o u l d b e a b l e t o l e a r n i t “ i f t h e y h a v e a n y d e s i r e a t a l l . “ H i s e g o c e n t r i c v i e w j u s t i f i e d a b a n d o n i n g a n y r e s p o n s i b i l i t y f o r w o r r y i n g a b o u t s t u d e n t s ' u n d e r s t a n d i n g . T h e p r o s p e c t i v e s e c o n d a r y t e a c h e r s , s l o w l y , w e r e a b l e t o d e t e r m i n e t h a t L y n n ' s g r a p h s d i d n o t r e p r e s e n t t h e g i v e n i n f o r m a t i o n c o r r e c t l y . T h i s t o o k t h e m t i m e . L i k e t h e e l e m e n t a r y c a n d i d a t e s , t h e y t e n d e d t o t h i n k t h e s t u d e n t w a s o n t h e r i g h t t r a c k . A s T e r r e l l o b s e r v e d , “ I t s e e m s l i k e s h e k n o w s w h a t s h e ' s d o i n g , b u t s h e ' s j u s t m i s u n d e r s t a n d i n g s o m e t h i n g . " T h e y e x p l a i n e d h e r d i f f i c u l t i e s i n t e r m s o f m i n o r c o n f u s i o n s o r f o r g e t f u l n e s s a n d w o u l d r e m i n d h e r t o u s e t h e y - . m x + b f o r m t o g r a p h l i n e s . O n e o f t h e s e c o n d a r y c a n d i d a t e s w a s q u i t e j o l t e d b y t h i s e x p e r i e n c e . A c c u s t o m e d t o t h i n k i n g a b o u t m a t h e m a t i c s f r o m h e r o w n p e r s p e c t i v e o n l y , C i n d y s t r u g g l e d t o m a k e s e n s e o f a n i n t h g r a d e r ' s g r a p h s . F i r s t s h e e x a m i n e d t h e p a p e r c l o s e l y , c o m m e n t i n g s o f t l y a s s h e n o t i c e d t h i n g s : ' . . . i f s h e p u t i n 1 t h e r e , i t w o u l d b e - 3 . I f y o u m o v e d t h a t o v e r , t h a t w o u l d b e + 5 . P u t 1 t h e r e . . . t h a t ' s 5 . S h e m i g h t h a v e h e r x ' s a n d y ' s m i x e d u p . T h e ; m i g h t b e i t . N o , t h a t ' s n o t . . . ' C i n d y s p e n t o v e r t h r e e m i n u t e s p o r i n g o v e r t h e p a p e r . I n t a l k i n g l a t e r a b o u t h e r d i f f i c u l t i e s w i t h t h e t a s k , s h e r e f l e c t e d , I n e v e r r e a l l y t h o u g h t a b o u t . . . t h a t y o u a r e g o i n g t o h a v e t o s h i n k a b o u t m i s t a k e s . Y o u a r e g o i n g t o h a v e t o t r y t o g u e s s w h e r e t h e y c a m e f r o m . I c a n s e e t h a t t h i s o n e i s w r o n g . B u t I ' m g o i n g l i k e , “ H o w c o u l d s h e g e t 1 a n d - l a s p o i n t s o n t h a t l i n e ? " 2 8 2 F o r C i n d y , a n d f o r s e v e r a l o f t h e o t h e r s , t h e i d e a t h a t t e a c h e r s n e e d t o k n o w w h e r e m i s t a k e s “ c o m e f r o m “ w a s i n i t s e l f a r e v e l a t i o n . 1 2 M o r e o v e r , t h e y h a d l i t t l e k n o w l e d g e o f s t u d e n t s o r o f c o m m o n s t u d e n t c o n f u s i o n s . M o s t o f t h e i r i n t e r p r e t a t i o n s w e r e l i t t l e m o r e t h a n r e s t a t e m e n t s o f t h e e v i d e n c e . S a y i n g t h a t S u s a n i s s w i t c h i n g t h e t o p a n d b o t t o m n u m b e r a r o u n d i s n o t a d e e p e x p l a n a t i o n o f w h a t s h e i s d o i n g , n o r i s d e c i d i n g t h a t L y n n i s u s i n g t h e w r o n g c o e f f i c i e n t a s t h e s l o p e . I c o m p a r e d t h e r e s p o n s e s o f t h e e l e m e n t a r y t e a c h e r c a n d i d a t e s o n t h i s t a s k t o t h e r e s p o n s e s o f a g r o u p o f e x p e r i e n c e d e l e m e n t a r y t e a c h e r s w h o w e r e a s k e d t h e s a m e q u e s t i o n . 1 3 A l l t h e e x p e r i e n c e d t e a c h e r s w e r e a b l e t o e x a m i n e t h e p a p e r i n j u s t a f e w s e c o n d s . 1 4 T h e y t y p i c a l l y o f f e r e d a n i n t e r p r e t a t i o n o f w h a t t h e y t h o u g h t w a s g o i n g o n w i t h t h e s t u d e n t , a s w e l l a s o n e o r t w o p o s s i b l e a l t e r n a t i v e i n t e r p r e t a t i o n s . I n c o n t r a s t , s o m e o f t h e p r o s p e c t i v e t e a c h e r s f o u n d i t d i f f i c u l t t o i n t e r p r e t t h e p a p e r s a t a l l . O t h e r s d i d c o m e u p w i t h e x p l a n a t i o n s , b u t g e n e r a l l y s e e m e d t o b e c o n s t r u c t i n g t h e i r i n t e r p r e t a t i o n s o n t h e s p o t ; t h e y h a d n o a l t e r n a t i v e s i n s t o r a g e . A l t h o u g h t h e s t u d e n t p a p e r s r e p r e s e n t e d c o m m o n c o n f u s i o n s t h a t s t u d e n t s h a v e , b o t h e l e m e n t a r y a n d s e c o n d a r y p r o s p e c t i v e t e a c h e r s s t r u g g l e d t o m a k e s e n s e o f t h e m . N e i t h e r t h e i r u n d e r s t a n d i n g o f 1 2 O n t h i s t a s k , C i n d y h a s n o t b e g u n t h e n e c e s s a r y ” s h i f t f r o m c o m m o n s e n s e t o p e d a g o g i c a l w a y s o f t h i n k i n g " t h a t F e i m a n - N e m s e r & B u c h m a n n ( 1 9 8 6 ) a r g u e i s c e n t r a l t o l e a r n i n g t o t e a c h . 1 3 T h e s e d a t a a r e f r o m t h e T e a c h e r E d u c a t i o n a n d L e a r n i n g t o T e a c h S t u d y c u r r e n t l y b e i n g c o n d u c t e d b y t h e N a t i o n a l C e n t e r f o r R e s e a r c h o n T e a c h e r E d u c a t i o n a t M i c h i g a n S t a t e U n i v e r s i t y . 1 4 B e r l i n e r & C a r t e r ( 1 9 8 6 ) o b t a i n e d s i m i l a r r e s u l t s i n a s t u d y c o m p a r i n g t h e w a y s i n w h i c h n o v i c e a n d e x p e r t t e a c h e r s e x a m i n e d , i n t e r p r e t e d , a n d u s e d i n f o r m a t i o n a b o u t p u p i l s . 2 8 3 s t u d e n t s n o ; t h e i r k n o w l e d g e o f s u b j e c t m a t t e r w a s a d e q u a t e f o r a n a l y z i n g t h e s t u d e n t ' s w o r k - - v i e w i n g t h e s u b j e c t m a t t e r f r o m t h e p e r s p e c t i v e o f t h e p u p i l - - a n d t h e t e a c h e r c a n d i d a t e s l a c k e d k n o w l e d g e o f p a t t e r n s o f s t u d e n t e r r o r s . T h i s i s n o t s u r p r i s i n g , f o r k n o w l e d g e o f h o w s t u d e n t s t h i n k i s u n l i k e l y t o b e a c q u i r e d t h r o u g h t h e a p p r e n t i c e s h i p o f o b s e r v a t i o n . M o r e o v e r , i t i s a c e n t r a l t a s k o f t e a c h i n g t h a t i s n o t n e c e s s a r i l y a p p a r e n t t o s t u d e n t s a s t h e y w a t c h t h e i r t e a c h e r s c o r r e c t p a p e r s ( D e w e y , 1 9 0 4 / 1 9 6 5 ; F e i m a n - N e m s e r & B u c h m a n n , 1 9 8 6 ) . T h e f a c t t h a t t h e b e h a v i o r a l o n e i s w h a t i s l e a r n e d i s e a s i l y o b s e r v e d i n c h i l d r e n “ p l a y i n g s c h o o l , ” c h e c k i n g t h e c o r r e c t n e s s o f t h e i r " p u p i l s ' ” w o r k a n d j u s t h a n d i n g t h e p a p e r s b a c k t o t h e m . O n e t e a c h e r c a n d i d a t e c o m m e n t e d a b o u t t h e e f f e c t t h a t t h e i n t e r v i e w h a d h a d o n h e r : “ I t w a s o n e a s p e c t I n e v e r h a d t h o u g h t o f , w a s t h a t s t u d e n t s a r e g o i n g t o m a k e m i s t a k e s a n d I ' m g o i n g t o h a v e t o a d d r e s s t h o s e . “ L i k e m a n y o f t h e o t h e r s , s h e f e l t s h e " c o u l d p r o b a b l y p r e s e n t i t o k a y , " b u t t h o u g h t s h e w o u l d ” n e e d a l o t m o r e i n s t r u c t i o n o n e v a l u a t i n g t h e m i s t a k e s t h a t t h e y m a k e . “ 1 5 W W W W h i l e t h e y h a d i d e a s a b o u t w h a t m i g h t b e i n t e r e s t i n g t o s t u d e n t s , m o s t o f t h e p r o s p e c t i v e t e a c h e r s f e l t a t a l o s s a s t o w h a t s t u d e n t s o u g h t t o h u g : o r b e a b l e t o d o a t p a r t i c u l a r a g e s . F r o m a p e r s p e c t i v e t h a t w a s o n c e a g a i n e g o c e n t r i c , t h e y r e l i e d o n s o m e v a g u e m e m o r i e s a b o u t w h a t t h e y l e a r n e d w h e n , b u t m o s t f e l t u n d e r s t a n d a b l y u n s u r e 1 5 M o s t o f t h e e x p e r i e n c e d t e a c h e r s ' i n t e r p r e t a t i o n s , l i k e t h o s e o f t h e t e a c h e r c a n d i d a t e s , e m p h a s i z e d t h e p u p i l ' s d i f f i c u l t i e s w i t h t h e s t e p s o f t h e a l g o r i t h m ( i . e . , ” r e m e m b e r i n g n o t t o s u b t r a c t u p " ) r a t h e r t h a n t h e c o n c e p t u a l u n d e r p i n n i n g s o f t h e p r o c e d u r e ( i . e . , p l a c e v a l u e a n d r e g r o u p i n g ) . T h e r e i n f o r c e s t h e s u s p i c i o n t h a t t e a c h e r s d o n o t n e c e s s a r i l y l e a r n c o n t e n t f r o m t e a c h i n g i t . 2 8 4 a b o u t t h e a c c u r a c y o f t h o s e m e m o r i e s . T h e i r u n c e r t a i n t i e s a b o u t w h a t s t u d e n t s k n o w s t o o d o u t i n t w o s p e c i f i c a r e a s : c u r r i c u l u m a n d e x p e c t a t i o n s o f w h a t s t u d e n t s k n o w o r c a n d o . I a s k e d t h e p r o s p e c t i v e t e a c h e r s t o p r e t e n d t h e y w e r e a b e g i n n i n g t e a c h e r i n a g r a d e o r c o u r s e o f t h e i r c h o i c e a n d . w e r e m e e t i n g w i t h t h e i r b u i l d i n g p r i n c i p a l a t t h e b e g i n n i n g o f t h e y e a r t o d i s c u s s t h e i r b r o a d g o a l s i n m a t h e m a t i c s f o r t h e y e a r . W h a t w o u l d t h e y s a y w e r e t h e m a j o r i d e a s t h e y w e r e g o i n g t o e m p h a s i z e ? H o w w o u l d t h e y d e s c r i b e t h e i r g o a l s f o r t h e i r s t u d e n t s ? O n e p u r p o s e o f t h e q u e s t i o n w a s t o l e a r n w h a t t e a c h e r c a n d i d a t e s c o n s i d e r e d c e n t r a l t o l e a r n i n g m a t h e m a t i c s . W O u l d t h e y e m p h a s i z e c o m p u t a t i o n a l s k i l l s ? W o u l d t h e y t a l k a b o u t p r o b l e m s o l v i n g ? W h a t g o a l s w o u l d t h e y a r t i c u l a t e ? P e r h a p s t h e m o s t c r i t i c a l f i n d i n g f r o m t h e r e s u l t s o f t h i s q u e s t i o n , h o w e v e r , w a s h o w l l g g l g t h e p r o s p e c t i v e t e a c h e r s c o u l d s a y . T h e r e s p o n s e s t o t h i s q u e s t i o n s w e r e o v e r a l l f l a t a n d v a g u e . E v e r y o n e s a i d t h a t i t w a s h a r d b e c a u s e t h e y h a d n o i d e a o f w h a t w a s t a u g h t a t e a c h l e v e l . F i v e ( o u t o f 1 9 ) o f t h e t e a c h e r c a n d i d a t e s f e l t s o u n s u r e t h a t t h e y d i d n ' t e v e n i d e n t i f y a g r a d e . A m o n g t h e s e v e n s e c o n d a r y c a n d i d a t e s w h o d i d i d e n t i f y a g r a d e o r c o u r s e a s c o n t e x t f o r t h e q u e s t i o n , f i v e n a m e d A l g e b r a I a n d t h e o t h e r t w o c h o s e e i g h t h g r a d e . F i v e o f t h e e l e m e n t a r y c a n d i d a t e s n a m e d a p a r t i c u l a r g r a d e : o n e n a m e d f o u r t h , t w o c h o s e f i r s t , a n d t w o s e l e c t e d t h i r d g r a d e . A f t e r i d e n t i f y i n g a g r a d e t h e y t a l k e d v a g u e l y a b o u t g e t t i n g p u p i l s t o ” u n d e r s t a n d “ t h e m a t e r i a l . A c o u p l e o f t h e s e c o n d a r y c a n d i d a t e s w h o c h o s e a c o u r s e w e r e a b l e t o i d e n t i f y a f e w k e y s u b s t a n t i v e t o p i c s t h a t t h e y w o u l d e m p h a s i z e b u t e x p r e s s e d t h e s e a t a g e n e r a l l e v e l - ~ i . e . . 2 8 5 " w o r k w i t h b a s i c a l g e b r a i c e q u a t i o n s . ” F o r t h e s e c o n d a r y c a n d i d a t e s w h o t h o u g h t i n t e r m s o f c o u r s e s , “ a l g e b r a “ o r ” l o g i c “ t r i g g e r e d w h a t t h e y c o u l d s a y a b o u t t h e k e y s u b s t a n c e o f w h a t t h e y w o u l d t e a c h . T h e e l e m e n t a r y c a n d i d a t e s h a d n o s u c h a n c h o r , s a y i n g “ f o u r t h g r a d e “ d o e s n o t c o n v e y w h a t t h e c o n t e n t m i g h t i n c l u d e . F u r t h e r m o r e , m e m o r i e s o f t h e i r o w n s c h o o l i n g s e r v e d t h e m l e s s w e l l t h a n i t d i d t h e s e c o n d a r y c a n d i d a t e s , s i n c e e l e m e n t a r y s c h o o l w a s l o n g e r a g o . T h e y s e e m e d t o k n o w l i t t l e a b o u t w h a t s t u d e n t s w o u l d b e l e a r n i n g a t a n y p a r t i c u l a r g r a d e a n d s a i d t h e y w o u l d h a v e t o s e e t h e c u r r i c u l u m f o r t h a t g r a d e . W i t h f e w i d e a s a b o u t w h a t p u p i l s w o u l d k n o w o r b e r e a d y t o l e a r n , c o u p l e d w i t h d i m s u b j e c t m a t t e r k n o w l e d g e , a n d l i t t l e i d e a o f t h e g e n e r a l c o u r s e o f s c h o o l m a t h e m a t i c s , t h e y w e r e a t a l o s s t o d i s c u s s w h a t t h e y w o u l d e m p h a s i z e i n t e a c h i n g m a t h . T h i s q u e s t i o n h i g h l i g h t e d . h o w u n p r e p a r e d t h e y w e r e t o r e a s o n p e d a g o g i c a l l y , t h e i s s u e I t a k e u p i n C h a p t e r 6 . A l t h o u g h t h e y k n e w l i t t l e a b o u t w h a t p u p i l s o f p a r t i c u l a r a g e s s h o u l d l e a r n , t h e i r a s s u m p t i o n s a b o u t s t u d e n t s ' f e e l i n g s a b o u t m a t h e m a t i c s d i d f i g u r e i n t h e i r i d e a s a b o u t w h a t t h e y w o u l d e m p h a s i z e . I n p l a c e o f s u b j e c t m a t t e r e e n e e n e , m o s t o f t h e t e a c h e r c a n d i d a t e s , b o t h e l e m e n t a r y a n d s e c o n d a r y , t a l k e d a b o u t h o w t h e y w a n t e d s t u d e n t s t o f e e l a b o u t m a t h e m a t i c s a n d a b o u t m a t h c l a s s . J a n e t s p o k e o f w a n t i n g t o “ m o t i v a t e s t u d e n t s w h o a r e n ' t r e a l l y i n t o m a t h e m a t i c s " a n d A n d y w o u l d t r y t o b u i l d h i s s t u d e n t s ' c o n f i d e n c e a n d g e t t h e m " n o t t o b e a f r a i d o f s e e i n g n u m b e r s a n d l e t t e r s “ i n a l g e b r a . T e r r e l l w a n t e d s t u d e n t s t o e n j o y m a t h a n d t o d o t h a t , h i s g o a l w a s t h a t t h e y w o u l d l i k e h i s c l a s s . O t h e r s e m p h a s i z e d h e l p i n g s t u d e n t s f e e l c o m f o r t a b l e w i t h m a t h . T h e s e g o a l s f i t w i t h t h e i r a s s u m p t i o n t h a t m o s t s t u d e n t s 2 8 6 d o n ' t l i k e m a t h e m a t i c s a n d t o o k t h e p l a c e , m o m e n t a r i l y a t l e a s t , o f c o n s i d e r a t i o n s a b o u t s t u d e n t s ' s u b s t a n t i v e l e a r n i n g . U n c e r t a i n a b o u t w h a t t h e y c o u l d e x p e c t c h i l d r e n t o u n d e r s t a n d , t h e p r o s p e c t i v e e l e m e n t a r y t e a c h e r s t e n d e d t o w a r d m o r e c o n s e r v a t i v e a s s u m p t i o n s a b o u t e l e m e n t a r y p u p i l s . T h e p r o s p e c t i v e s e c o n d a r y t e a c h e r s t e n d e d t o b e m o r e g e n e r o u s i n t h e i r a s s u m p t i o n s a b o u t w h a t h i g h s c h o o l s t u d e n t s m i g h t k n o w ; t h e i r e x p e c t a t i o n s w e r e v i s i b l e i n t h e i r i d e a s a b o u t h o w t o r e s p o n d t o a n o v e l s t u d e n t i d e a . I p r e s e n t e d t h e m w i t h a s c e n a r i o i n w h i c h a s t u d e n t b r i n g s u p a n u n u s u a l s u g g e s t i o n o r q u e s t i o n i n c l a s s . F o r t h e e l e m e n t a r y c a n d i d a t e s , t h e s c e n a r i o i n v o l v e d a s e c o n d g r a d e r w i t h a n i n v e n t e d a l g o r i t h m f o r s u b t r a c t i o n w i t h r e g r o u p i n g : F o r t h e s e c o n d a r y c a n d i d a t e s , t h e s c e n a r i o i n v o l v e d a s t u d e n t a s k i n g a q u e s t i o n a b o u t s l o p e t h a t i n t u i t i v e l y f o r e s h a d o w e d t h e d e r i v a t i v e i n c a l c u l u s . O v e r h a l f t h e e l e m e n t a r y c a n d i d a t e s w e r e c o m p l e t e l y a m a z e d , e v e n d i s b e l i e v i n g , t h a t a s e c o n d g r a d e r w o u l d e v e r t h i n k o f s o m e t h i n g l i k e t h a t . T e r i s a i d , f l a t l y , “ T h e y w o u l d n ' t d 9 t h a t . “ M a r s h a e x c l a i m e d , “ O h , m y G o d ! T h i s i s a s e c o n d g r a d e r w h o d i d t h a t ? “ a n d t h e n h a s t e n e d t o s a y t h a t s h e w o u l d n ' t w a n t t h e c h i l d t o s h o w t h e s u b t r a c t i o n m e t h o d t o o t h e r k i d s b e c a u s e i t w o u l d r e a l l y c o n f u s e t h e m . M o s t o f t h e o t h e r s e c h o e d t h i s c o n c e r n . I m p l i c i t w a s t h e n o t i o n t h a t i f a s e c o n d g r a d e r d l d r e a l l y c o m e u p w i t h t h i s , t h e c h i l d w o u l d b e a n u n u s u a l a n d 2 8 7 a d v a n c e d s t u d e n t - - t h a t , i n a n y c a s e , t h e o t h e r ( r e g u l a r ) s e c o n d g r a d e r s u e e l d n l ; b e a b l e t o u n d e r s t a n d i t , y e t a n o t h e r e c h o o f t h e “ t r a i t v i e w 8 o f l e a r n i n g m a t h e m a t i c s . L i n d a d i d a n i m i t a t i o n o f t h e ” k i n d o f l i t t l e k i d h e ' d . b e . ' G i g g l i n g , s h e w r i n k l e d u p h e r n o s e a n d b r a g g e d i n a s q u e a k y v o i c e : ' I d i d t h i s a t h o m e a n d i t w o r k s o u t 1 1 m m . " A n o t h e r c r i t i c a l f a c t o r u n d e r l y i n g t h e e l e m e n t a r y t e a c h e r c a n d i d a t e s ' c o n s e r v a t i v e p e r s p e c t i v e o n w h a t s e c o n d g r a d e r s w o u l d k n o w w a s t h e f a c t t h a t t w o - t h i r d s o f t h e m w e r e n o t s u r e w h e t h e r t h e s t u d e n t ' s a l g o r i t h m e v e n m a d e m a t h e m a t i c a l s e n s e i n a l l c a s e s . W i t h t h e i r e g o c e n t r i c p e r s p e c t i v e o n p u p i l s , t h e y w e r e d u b i o u s t h a t a s e v e n - y e a r - o l d w o u l d s a y o r t h i n k s o m e t h i n g l i k e t h i s , s i n c e t h e y t h e m s e l v e s w e r e n ' t s u r e a b o u t t h e m a t h e m a t i c s o f t h e p u p i l ' s p r o p o s a l . T h e s e c o n d a r y c a n d i d a t e s , i n c o n t r a s t , w e r e n o t a t a l l a m a z e d t h a t a s t u d e n t w o u l d a s k a q u e s t i o n a b o u t c u r v e s w h e n f i r s t l e a r n i n g a b o u t t h e s l o p e s o f s t r a i g h t l i n e s . T h e y w e r e a l l q u i t e m a t t e r - o f - f a c t i n t h e i r r e s p o n s e s t o t h e s i t u a t i o n . O n e o r t w o s a i d t h e y w o u l d b e e x c i t e d i f a s t u d e n t a s k e d t h i s , b e c a u s e i t w o u l d s h o w t h a t t h e s t u d e n t w a s “ r e a l l y i n t o i t . “ G i v e n t h e i r w o r r y t h a t s t u d e n t s d o n o t l i k e m a t h c l a s s , s u c h a q u e s t i o n s t o o d f o r t h e h o p e t h a t s t u d e n t s x e g l d ' b e i n t e r e s t e d . A l s o , a l l t h e s e c o n d a r y t e a c h e r c a n d i d a t e s t h o u g h t t h a t t h e y u n d e r s t o o d t h e q u e s t i o n . E v e n t h o u g h s o m e o f t h e i r a n s w e r s s h o w e d t h a t t h e y u n d e r s t o o d t h e s l o p e o f a s t r a i g h t l i n e a s a c o n c e p t u n r e l a t e d t o t h e s l o p e o f a c u r v e ( s e e C h a p t e r 3 ) , n o n e o f t h e s e c o n d a r y c a n d i d a t e s t e l ; u n c e r t a i n o r a n x i o u s a b o u t t h e s u b j e c t m a t t e r . 2 8 8 K n o w l e d g e a b o u t w h a t s t u d e n t s k n o w o r w h a t t h e y s h o u l d l e a r n a t p a r t i c u l a r a g e s i s a g a i n a n e x a m p l e o f s o m e t h i n g t h a t i s u n l i k e l y t o b e a c q u i r e d t h r o u g h t h e a p p r e n t i c e s h i p o f o b s e r v a t i o n . W a t c h i n g t e a c h e r s a n d d o i n g o n e ' s o w n m a t h a s s i g n m e n t s i n o r d i n a r y m a t h c l a s s r o o m s d o e s n o t t y p i c a l l y p r o v i d e t h e o p p o r t u n i t y t o l e a r n h o w o t h e r s t u d e n t s t h i n k n o r t o g e n e r a l i z e a b o u t c h i l d r e n o f d i f f e r e n t a g e s . O n e ' s p e r s o n a l e x p e r i e n c e s a s a s t u d e n t a r e m o s t l y o f l i m i t e d u s e f u l n e s s i n f i g u r i n g o u t w h a t p u p i l s k n o w i n g e n e r a l o r , e s p e c i a l l y , w h a t t h e y n e e d t o l e a r n a t d i f f e r e n t p o i n t s i n s c h o o l . W W T h e O x f o r d E n g l i s h D i c t i o n a r y d e f i n e s a n i m a g e a s “ a m e n t a l r e p r e s e n t a t i o n o f s o m e t h i n g b y m e m o r y o r . i m a g i n a t i o n ; a m e n t a l p i c t u r e o r i m p r e s s i o n ; a n i d e a , a c o n c e p t i o n . " M y i n t e r v i e w s w i t h p r o s p e c t i v e e l e m e n t a r y a n d s e c o n d a r y t e a c h e r s s h o w t h a t t h e y c o m e t o t e a c h e r e d u c a t i o n w i t h s t r o n g l n e g e e o f t e a c h i n g m a t h e m a t i c s . T h e s e h a v e d e v e l o p e d f r o m t h e i r p r e c o l l e g e e x p e r i e n c e s i n s c h o o l s a n d f r o m l i v i n g i n o u r c u l t u r e , i n w h i c h t e a c h i n g i s v i e w e d a s c o m m o n s e n s e ( B u c h m a n n , 1 9 8 7 b ; J a c k s o n , 1 9 8 6 ) . T h e y h a v e i d e a s a b o u t w h a t t o d o , e x p l a n a t i o n s a n d s t r a t e g i e s , a n d a p i c t u r e o f t h e m s e l v e s i n t h e r o l e . T h e w o r d " i m a g e " d e r i v e s f r o m t h e L a t i n i m a g o w h i c h m e a n s t o i m i t a t e , a n i n t e r e s t i n g c o n n e c t i o n f o r t h i s a n a l y s i s . T h e p r o s p e c t i v e t e a c h e r ' s a p p r e n t i c e s h i p o f o b s e r v a t i o n , u n p l a n n e d , i s a n a p p r e n t i c e s h i p i n t h e m o s t l i m i t e d s e n s e , o n e t h a t o n l y p r o v i d e s p r a c t i c e s t o i m i t a t e a n d a l i m i t e d p o i n t o f v i e w f r o m w h i c h t o c o n s i d e r p e d a g o g i c a l q u e s t i o n s a n d d i l e m m a s . T h e a p p r e n t i c e s h i p o f o b s e r v a t i o n t e n d s t o s u p p l y p r o s p e c t i v e t e a c h e r s w i t h t h e o u t w a r d 2 8 9 s i g n s o f t e a c h i n g o n l y : t h i n g s t o s a y a n d s h o w , m e t h o d s a n d t o o l s . 1 6 P r o s p e c t i v e t e a c h e r s ’ i m a g e s s e e m t o c e n t e r o n w h a t t h e y w o u l d d o a s t e a c h e r s b e c a u s e t h a t i s w h a t t h e y h a v e b e e n w a t c h i n g a s s t u d e n t s . T h e y u s u a l l y k n o w l i t t l e a b o u t t h e t h i n k i n g b e h i n d a n d r a t i o n a l e f o r t h e t e a c h e r a c t i o n s t h e y h a v e b e e n o b s e r v i n g ( B u c h m a n n , 1 9 8 7 b ; D e w e y , 1 9 0 4 / 1 9 6 4 ; F e i m a n - N e m s e r , 1 9 7 4 ; L o r t i e , 1 9 7 5 ) . W h a t t h e y k n o w a b o u t s t u d e n t s i s a l s o t h i n a n d v a g u e a n d o f t e n b a s e d l a r g e l y o n w h a t t h e y k n o w a b o u t t h e m s e l v e s . A l t h o u g h t h e y t r y t o r e m e m b e r , t h e y c a n n o t r e c a l l w h a t t h e y l e a r n e d i n f i f t h g r a d e n o r w h a t t h e y o r a n y o f t h e i r c l a s s m a t e s f o u n d d i f f i c u l t . P r o s p e c t i v e t e a c h e r s ' i d e a s a r e c l e a r l y b a s e d o n t h e p o t e n c y o f f i r s t h a n d e x p e r i e n c e ; h o w e v e r , a s I a r g u e d a t t h e b e g i n n i n g o f t h i s c h a p t e r , t h e s e i d e a s a r e n o t w h o l l y i d i o s y n c r a t i c . A l t h o u g h t h e y g r o w o u t o f p r o s p e c t i v e t e a c h e r s ' o w n e x p e r i e n c e s i n a n d o u t o f s c h o o l , t h e y a r e w a r r a n t e d a l s o b y b o t h c o m m o n s e n s e a n d A m e r i c a n t r a d i t i o n s . G i v e n t h i s , i t i s n o t s u r p r i s i n g t h a t t h e y u s e “ e x p l a i n i n g " a n d “ f i g u r i n g t h i n g s o u t o n o n e ' s o w n ' i n a w e a k s e n s e , n o r t h a t t h e i r v i e w s a b o u t m a t h e m a t i c a l a b i l i t y a r e m i x e d b e t w e e n e f f o r t a n d a b i l i t y , n o r t h a t t h e y t h i n k g o o d t e a c h e r s m a k e m a t h e m a t i c s “ i n t e r e s t i n g . ” T h e t e a c h e r c a n d i d a t e s ' i d e a s , h o w e v e r , p o s e s o m e d i f f i c u l t c h a l l e n g e s f o r t e a c h e r e d u c a t i o n . O n e c r i t i c a l f e a t u r e o f t h e s e i d e a s i s t h a t t h e y , i n s o m e w a y s e e e n d r e a s o n a b l e . O f c o u r s e , t e a c h e r s s h o u l d e x p l a i n m a t h e m a t i c s . O f 1 6 J o h n D e w e y ( 1 9 0 4 ) w a r n e d o f t h e e f f e c t s o f p r o s p e c t i v e t e a c h e r s a c q u i r i n g " o u t w a r d f o r m o f m e t h o d w i t h o u t c a p a c i t y t o p u t i t t o g e n u i n e l y e d u c a t i v e u s e “ ( p . 1 4 8 ) . W h i l e h e w a s a r g u i n g f o r a n a p p r o p r i a t e e m p h a s i s d u r i n g s t u d e n t t e a c h i n g , h i s a r g u m e n t a p p l i e s j u s t a s w e l l t o a p h a s e o f l e a r n i n g t o t e a c h t h a t h e n e v e r t a l k e d a b o u t : t h e p h a s e p r i o r t o f o r m a l t e a c h e r e d u c a t i o n . 2 9 0 c o u r s e , t h e e m p h a s i s s h o u l d b e o n h e l p i n g k i d s f i g u r e t h i n g s o u t f o r t h e m s e l v e s . O f c o u r s e , t e a c h e r s s h o u l d m a k e m a t h c l a s s i n t e r e s t i n g . W h e n t e a c h e r e d u c a t i o n s t u d e n t s t a l k l i k e t h i s , t h e y m a y s o u n d l i k e t h e y a r e d e v e l o p i n g r e a s o n a b l e p e d a g o g i c a l j u d g m e n t a n d i d e a s . M y r e s u l t s p o i n t t o t h e i m p o r t a n c e o f d i g g i n g b e l o w t h e r h e t o r i c a l s u r f a c e o f t h e t e a c h e r c a n d i d a t e s ' t a l k t o d i s c o v e r w h a t t e r m s l i k e " c o n c e p t s " o r " e x p l a n a t i o n ” r e a l l y m e a n t o t h e m . T e a c h e r e d u c a t o r s a n d p r o s p e c t i v e t e a c h e r s m a y e a s i l y t a l k r i g h t p a s t o n e a n o t h e r - - a b o u t t h e i m p o r t a n c e o f s t r e s s i n g ” c o n c e p t s , ” f o r e x a m p l e - - w i t h o u t e v e n r e a l i z i n g i t . A s e c o n d c r i t i c a l f e a t u r e o f t h e p r o s p e c t i v e t e a c h e r s ' i d e a s a b o u t t e a c h i n g a n d l e a r n i n g m a t h e m a t i c s i s t h a t t h e i d e a s a r e n o t o n l y i n t e r w o v e n b u t a l s o S i z h fi l ! c o n n e c t e d t o t h e i r s u b j e c t m a t t e r k n o w l e d g e - - w h a t t h e y u n d e r s t a n d a b o u t p a r t i c u l a r t o p i c s a n d a b o u t m a t h e m a t i c s m o r e b r o a d l y . O v e r a n d o v e r a g a i n , t h i s c a m e t h r o u g h i n t h e i n t e r v i e w s - - i n t h e i r e f f o r t s t o e x p l a i n , t o c o m e u p w i t h e x a m p l e s , a n d t o r e s p o n d t o p u p i l s ' q u e s t i o n s a n d c o m m e n t s . T h e r e s u l t s d i s c u s s e d i n t h i s c h a p t e r m u s t a l s o b e c o n s i d e r e d i n l i g h t o f t h e f a c t t h a t m a n y o f t h e p r o s p e c t i v e t e a c h e r s f e e l r e a d y t o t e a c h . O n e o f t h e m a t h m a j o r s r e p r e s e n t e d t h i s p o i n t o f v i e w w h e n h e s a i d , I t h i n k I c o u l d , I t h i n k I c o u l d s t e p i n t o a h i g h s c h o o l c l a s s r o o m a n d t e a c h . I e n j o y t a l k i n g a n d I e n j o y t h i n g s l i k e t h a t . I t h i n k , y e a h , I m i g h t b e n e r v o u s , i t m i g h t b e d i f f i c u l t , j u s t n e r v e s a n d g e t t i n g c o m f o r t a b l e b u t o n c e , y o u k n o w , I g e t i n t o t h e g r o o v e , I d o n ' t t h i n k I ' l l h a v e a n y p r o b l e m . T h i s q u o t e i s r i c h w i t h t h e l a y e r s o f t h i s c h a p t e r : t h e i d e a t h a t t e a c h i n g , w i t h i t s c e n t r a l t a s k t a l k i n g , i s b a s i c a l l y f a m i l i a r w o r k i n t o w h i c h p r o s p e c t i v e t e a c h e r s a r e r e a d y t o " s t e p . “ T h i s 2 1 - y e a r - o l d 2 9 1 f e e l s h e t h a t h e m i g h t b e a l i t t l e n e r v o u s a t f i r s t , b u t h e e x p e c t s t o h a v e l i t t l e p r o b l e m . C o n s i d e r i n g s o m e o f t h e t h i n g s d i s c u s s e d i n t h i s c h a p t e r , o u g h t t e a c h e r c a n d i d a t e s t o f e e l t h i s c o m f o r t a b l e ? A m e r i c a n p r o s p e c t i v e t e a c h e r s ' f a m i l i a r i t y w i t h t e a c h i n g i s a t o n c e a b o o n a n d a h a z a r d f o r p r o f e s s i o n a l t e a c h e r e d u c a t i o n . A b o o n b e c a u s e t e a c h e r - s t u d e n t s a l r e a d y k n o w a l o t , t h i s f a m i l i a r i t y m e a n s t h a t t e a c h e r e d u c a t o r s d o n o t h a v e t o s t a r t f r o m s c r a t c h . I n o t h e r p r o f e s s i o n s , t r a i n e e s a r r i v e w i t h f a r f e w e r i d e a s a b o u t a n d c o n c e p t i o n s o f t h e w o r k . T h e y m u s t b e g i n t h e i r s t u d i e s a n d t r a i n i n g f r o m t h e g r o u n d u p . A t t h e s a m e t i m e , t h e a p p r e n t i c e s h i p o f o b s e r v a t i o n i n t e a c h i n g " p r o m o t e s c o n s e r v a t i v e , c o m m o n s e n s e o r i e n t a t i o n s i n t e a c h e r t h i n k i n g " ( B u c h m a n n , 1 9 8 7 b , p . 1 6 1 ; s e e a l s o , F e i m a n - N e m s e r , M c D i a r m i d , M e l n i c k , & P a r k e r , 1 9 8 7 ; L o r t i e , 1 9 7 5 ; ) . B e c a u s e t e a c h i n g i s f a m i l i a r , a n d b e c a u s e t h e i r i m a g e s a r e v i v i d , p r o s p e c t i v e t e a c h e r s , l i k e t h e o n e q u o t e d a b o v e , m a y t h i n k t h a t t h e y a l r e a d y k n o w ' h o w t o t e a c h . “ B u c h m a n n ( 1 9 8 7 b ) a r g u e s t h a t p r o s p e c t i v e t e a c h e r s ' k n o w l e d g e i s h e l d w i t h c o n s i d e r a b l e c e r t a i n t y , v a l i d a t e d a s i t i s t h r o u g h f i r s t h a n d o b s e r v a t i o n , a n d t h a t , t h e r e f o r e , t e a c h e r c a n d i d a t e s a r e n o t d i s p o s e d t o q u e s t i o n t h e i r a s s u m p t i o n s . T e r i , o n e o f t h e e l e m e n t a r y c a n d i d a t e s , e x p l a i n e d t h a t t h e m a i n p o i n t o f t e a c h e r e d u c a t i o n w a s t o ' g e t o t h e r p e o p l e ' s i n p u t " - - t o l e a r n w h a t o t h e r p e o p l e d o w h e n t h e y “ p r e s e n t . “ Y e t , t h e a p p r e n t i c e s h i p o f o b s e r v a t i o n , w h i l e i t m a y s u p p l y p e d a g o g i c a l s t r a t e g i e s a n d w a y s o f a c t i n g t h a t c a n b e i m i t a t e d , i s w h o l l y i n a d e q u a t e p r e p a r a t i o n f o r p e d a g o g i c a l r e a s o n i n g i n t e a c h i n g m a t h e m a t i c s , t h e s u b j e c t o f t h e n e x t c h a p t e r . K N O W L E D G E A N D R E A S O N I N G I N M A T H E M A T I C A L P E D A G O G ' Y : W I N G W H A T P R O S P E C T I V E T E A C H E R S B R I N G 1 0 m a n E D U C A T I O N V o l u m e I I s y D e b o r a h L o e w e n b e r g B a l l A D I S S M A T I C I s u b m i t t e d t o H i c h i g a n S t a t e U n i v e r s i t y i n p a r t i a l f u l f i l l m e n t o f t h e r e q u i r e m e n t s f o r t h e d e g r e e o f p o e m s O F P H I L O S O P H Y D e p a r t m e n t o f T e a c h e r E d u c a t i o n 1 9 8 8 C H A P T E R 6 . I E L K I I O N S B I P S O P ' K N U U L E D G E . A I D B E L I E F I I ’ T E A G E I N C E A I E E E A I I C S : E A R R A R T S P O R . P E D A G O G I C K L I n t h e l a s t t h r e e c h a p t e r s I h a v e e x a m i n e d p r o s p e c t i v e t e a c h e r s ' k n o w l e d g e i n t h r e e d o m a i n s c e n t r a l t o t e a c h i n g m a t h e m a t i c s : s u b j e c t m a t t e r , t e a c h i n g a n d l e a r n i n g , s t u d e n t s . O n e a t a t i m e I m a d e e a c h d o m a i n t h e f i g u r e , u s i n g t h e o t h e r s a s g r o u n d . A n a l y z i n g d i f f e r e n t c o m p o n e n t s o f t h e k n o w l e d g e r e q u i r e d f o r t e a c h i n g i n t h i s w a y i s a u s e f u l e x e r c i s e f o r i t s h e d s l i g h t o n d i f f e r e n t p a r t s o f t h e w h o l e . B u t t h e w h o l e , i n t h e c a s e o f t e a c h i n g m a t h e m a t i c s , i s n o t s i m p l y t h e s t a t i c s u m o f c o m p o n e n t k n o w l e d g e b a s e s . D e w e y ( 1 9 3 1 / 1 9 6 0 ) o n c e a r g u e d t h a t , w h i l e a n a l y s i s i s h e l p f u l i n u n d e r s t a n d i n g a p h e n o m e n o n , t h e r e s u l t s a r e m e a n i n g l e s s . w h e n e v e r t h e d i s t i n c t i o n s o r e l e m e n t s t h a t a r e d i s c r i m i n a t e d a r e t r e a t e d a s i f t h e y w e r e f i n a l a n d s e l f - s u f f i c i e n t . T h e r e s u l t i s i n v a r i a b l y s o m e d e s i c c a t i o n a n d a t o m i z i n g o f t h e w o r l d i n w h i c h w e l i v e o r o f o u r s e l v e s . ( p . 9 3 ) I f t r e a t e d a s c o m p l e t e i n t h e m s e l v e s a p a r t f r o m a n y c o n t e x t , t h e r e s u l t s m a y u l t i m a t e l y m i s r e p r e s e n t t h e p h e n o m e n o n b y i g n o r i n g t h e c o n n e c t i o n s a n d c o n t i n u i t y a m o n g t h e a n a l y t i c e l e m e n t s ( D e w e y , 1 9 3 1 / 1 9 6 0 ) . A n d s o i t i s w i t h t h e d o m a i n s o f k n o w l e d g e a n d b e l i e f f o r m a t h e m a t i c s t e a c h i n g t h a t I a n a l y z e d : T h e i n t e r a c t i o n s a m o n g t h o s e d o m a i n s , t h e w a y s i n w h i c h t h e y s h a p e a n d a r e s h a p e d b y o n e a n o t h e r , 1 I g r a t e f u l l y a c k n o w l e d g e S u z a n n e W i l s o n f o r h e r s i g n i f i c a n t h e l p a n d e n c o u r a g e m e n t i n d e v e l o p i n g t h e i d e a s i n t h i s c h a p t e r . H e r w o r k o n ” p a t t e r n s o f p e d a g o g i c a l r e a s o n i n g " i n t h e t e a c h i n g o f A m e r i c a n h i s t o r y ( W i l s o n , 1 9 8 8 ) c o m p l e m e n t s t h e f r a m e w o r k p r e s e n t e d h e r e . 2 9 2 2 9 3 a r e e q u a l l y c r i t i c a l t o u n d e r s t a n d i n g t h e r e s o u r c e s u p o n w h i c h t e a c h e r s d r a w i n t e a c h i n g m a t h e m a t i c s . T h e s i g n i f i c a n c e o f t h e i n t e g r a t i o n a n d i n t e r a c t i o n o f d i f f e r e n t k i n d s o f k n o w l e d g e a n d b e l i e f c a m e t h r o u g h c l e a r l y o v e r a n d o v e r a g a i n i n m y i n t e r v i e w s w i t h t h e p r o s p e c t i v e t e a c h e r s . F o r e x a m p l e , t e a c h e r c a n d i d a t e s w h o s e u n d e r s t a n d i n g o f t h e m a t h e m a t i c s a t h a n d w a s s i m i l a r c h o s e d i f f e r e n t w a y s o f r e s p o n d i n g t o t h e h y p o t h e t i c a l s t u d e n t s i n t h e s c e n a r i o s . I t w a s a l s o p l a i n t h a t t h e i r a s s u m p t i o n s a b o u t s t u d e n t s s h a p e d t h e w a y s i n w h i c h t h e y w o u l d r e p r e s e n t p a r t i c u l a r m a t h e m a t i c a l i d e a s , a n d t h a t t h e i r n o t i o n s a b o u t t h e n a t u r e o f m a t h e m a t i c s i n f l u e n c e d t h e r o l e t h e y d e s c r i b e d t h e m s e l v e s t a k i n g i n s t u d e n t s ' l e a r n i n g . T h e s e i n f l u e n c e s w e r e d y n a m i c a n d s h i f t e d a c r o s s c o n t e x t s . T h e d y n a m i c i s o f c o u r s e i n h e r e n t i n t h e n a t u r e o f t e a c h i n g a s a p u r p o s e f u l a c t i v i t y ( D e w e y , 1 9 1 6 / 1 9 4 4 ) . T e a c h i n g r e q u i r e s , b y n e c e s s i t y , t h e c o n s i d e r a t i o n o f d i f f e r e n t k i n d s o f “ f a c t s “ i n t h e s i t u a t i o n a n d t h e i r r e l a t i o n s h i p s t o o n e a n o t h e r . I n l i g h t o f j u d g m e n t s a b o u t p r o b a b l e c o n s e q u e n c e s , t e a c h e r s i n t e g r a t e d i f f e r e n t k i n d s o f k n o w l e d g e a n d b e l i e f t o c h o o s e c o u r s e s o f a c t i o n t h a t t a k e i n t o a c c o u n t t h e o b s t a c l e s a s w e l l a s t h e o p p o r t u n i t i e s . I n o t h e r w o r d s , t e a c h i n g e n t a i l s s e l e c t i v e u s e a n d i n t e g r a t i o n o f r e s o u r c e s b a s e d o n j u d g m e n t s r e l a t i v e t o g o a l s ( D e w e y , 1 9 1 6 / 1 9 4 4 ) . T h e p u r p o s e o f t h i s c h a p t e r i s t o p r o p o s e a w a y o f p u t t i n g t h e p i e c e s o f t e a c h e r k n o w l e d g e b a c k t o g e t h e r , i n a w a y t h a t g o e s b e y o n d s u m m i n g t h e p a r t s , t o c a p t u r e t h e p r o c e s s b y w h i c h t h e s e k i n d s o f k n o w l e d g e c o m e t o g e t h e r a n d i n f l u e n c e o n e a n o t h e r i n t e a c h i n g . W h i l e t h e w o r k o f t h i s c h a p t e r d r a w s o n i n s i g h t s g a i n e d f r o m a n a l y z i n g i n t e r v i e w s , i t a l s o g o e s b e y o n d t h e d a t a . H y i n t e n t h e r e i s t o b r i d g e 2 9 4 w h e r e I h a v e b e e n w i t h w h e r e I w o u l d l i k e t o m o v e : I t i s a c h a p t e r a s m u c h a b o u t s t a r t i n g p o i n t s a s a b o u t r e s u l t s . W W I n t e a c h i n g m a t h e m a t i c s , t e a c h e r s ' u n d e r s t a n d i n g s a n d b e l i e f s i n o n e d o m a i n . l n ; e z e e § _ x l § h t h e i r u n d e r s t a n d i n g s a n d b e l i e f s i n o t h e r s t o s h a p e t h e i r i n t e r p r e t a t i o n s , d e c i s i o n s , a n d a c t i o n s ( B a l l , i n p r e s s ) . F o r e x a m p l e , a t e a c h e r c a n n o t e x p l a i n t h e p r i n c i p l e s u n d e r l y i n g t h e m u l t i p l i c a t i o n a l g o r i t h m t o h i s s t u d e n t s i f h e d o e s n o t e x p l i c i t l y u n d e r s t a n d t h e m h i m s e l f . H o w e v e r , a n o t h e r t e a c h e r w h o d o e s u n d e r s t a n d t h e r o l e o f p l a c e v a l u e a n d t h e d i s t r i b u t i v e p r o p e r t y i n m u l t i p l y i n g l a r g e n u m b e r s w i l l n o t n e c e s s a r i l y d r a w u p o n t h i s u n d e r s t a n d i n g i n h e r t e a c h i n g f o r h e r i d e a s a b o u t l e a r n e r s o r a b o u t l e a r n i n g m a y i n t e r v e n e . I f s h e t h i n k s , f o r e x a m p l e , t h a t f o u r t h g r a d e r s w i l l n o t p r o f i t f r o m s u c h k n o w l e d g e o r t h a t p r o c e d u r a l c o m p e t e n c e s h o u l d p r e c e d e c o n c e p t u a l u n d e r s t a n d i n g i n l e a r n i n g m a t h e m a t i c s , s h e m a y c h o o s e t o e m p h a s i z e m e m o r i z a t i o n o f t h e a l g o r i t h m . N o o n e t y p e o f k n o w l e d g e - - n o t e v e n k n o w l e d g e o f s u b j e c t m a t t e r - - p l a y s a s i n g u l a r r o l e i n t e a c h i n g . T h u s , e v e n w h e n t e a c h e r s h a v e s i m i l a r i d e a s a n d u n d e r s t a n d i n g s , t h e y m a y n e v e r t h e l e s s t e a c h i n v e r y d i f f e r e n t w a y s ( W i n e b u r g & W i l s o n , i n p r e s s ) . T w o t e a c h e r s w h o h a v e s i m i l a r u n d e r s t a n d i n g s o f p l a c e v a l u e a n d n u m e r a t i o n m a y t e a c h d i f f e r e n t l y b a s e d o n d i f f e r e n c e s i n t h e i r a s s u m p t i o n s a b o u t t h e t e a c h e r ' s r o l e . O n e m a y t a l k d i r e c t l y a b o u t p l a c e v a l u e a n d e x p l i c i t l y s h o w p u p i l s w h a t t h e d i g i t s i n e a c h p l a c e o f a n u m e r a l r e p r e s e n t . T h e o t h e r m a y e n g a g e s t u d e n t s i n a c o u n t i n g t a s k w h i c h i s d e s i g n e d t o h e l p t h e m d i s c o v e r t h e p o w e r o f g r o u p i n g . T h e s e d i f f e r e n c e s a r e , i n p a r t , a 2 9 5 f u n c t i o n o f d i f f e r e n t a s s u m p t i o n s a b o u t t h e t e a c h i n g a n d l e a r n i n g o f m a t h e m a t i c s . W T e a c h i n g i s a d y n a m i c p r o c e s s i n w h i c h , t e m p e r e d b y t h e i r p e r s o n a l a n d p r o f e s s i o n a l d i s p o s i t i o n s , t e a c h e r s i n t e g r a t e d i f f e r e n t k i n d s o f k n o w l e d g e a n d s k i l l t o a c h i e v e p a r t i c u l a r g o a l s i n p a r t i c u l a r c o n t e x t s o v e r t i m e . A s F e i m a n - N e m s e r a n d B u c h m a n n ( 1 9 8 6 ) s t a t e , t e a c h i n g ' i s a m o r a l a c t i v i t y t h a t r e q u i r e s t h o u g h t a b o u t e n d s , m e a n s , a n d t h e i r c o n s e q u e n c e s ” ( p . 2 3 9 ) . T h e y a r g u e t h a t " p e d a g o g i c a l t h i n k i n g “ e n t a i l s i d e n t i f y i n g “ w o r t h w h i l e t h i n g s “ t o t e a c h a n d c h o o s i n g I ' w o r t h w h i l e l e a r n i n g a c t i v i t i e s “ t o p r o m o t e s t u d e n t l e a r n i n g . T h i s k i n d o f t h i n k i n g i s w h a t d i s t i n g u i s h e s e v e r y d a y , c o m m o n s e n s e n o t i o n s o f t e a c h i n g f r o m l e g i t i m a t e p r o f e s s i o n a l a c t i v i t y ( F e i m a n - N e m s e r & B u c h m a n n , i n p r e s s ) . 2 W i t h i n t h i s i n t e g r a t i o n o f k n o w l e d g e i n t h e s e r v i c e o f a g o a l l i e s a k e y t o u n d e r s t a n d i n g m a t h e m a t i c s t e a c h i n g i n a w a y t h a t g o e s b e y o n d t h e s u m o f i t s p a r t s . W h i l e F e i m a n - N e m s e r a n d B u c h m a n n ( 1 9 8 6 ) f o c u s o n t h e d i f f e r e n c e b e t w e e n c o m m o n s e n s e a n d p e d a g o g i c a l o r i e n t a t i o n s t o t h i n k i n g i n t e a c h i n g , S h u l m a n ( 1 9 8 7 ) a p p r o a c h e s t h e q u e s t i o n o f t e a c h e r t h i n k i n g f r o m a n o t h e r a n g l e . B a s e d o n h i s r e c e n t w o r k o n t e a c h e r k n o w l e d g e , e s p e c i a l l y s u b j e c t m a t t e r k n o w l e d g e , h e f o c u s e s o n . h e g t e a c h e r s t r a n s f o r m s u b j e c t m a t t e r k n o w l e d g e i n o r d e r t o h e l p s t u d e n t s l e a r n . H e p r e s s e s f o r a t t e n t i o n t o t h e “ f e a t u r e s o f p e d a g o g i c a l r e a s o n i n g " 2 W o r t h n o t i n g i s t h a t F e i m a n - N e m s e r ' s & B u c h m a n n ' s ( 1 9 8 6 ) u s e o f “ p e d a g o g i c a l t h i n k i n g “ i s n e x n e e l g e , o u t l i n i n g h o w t e a c h e r s e h e g l g t h i n k , n o t d e s c r i b i n g h o w t h e y d o . I n t h i s w a y , P e i m a n - N e m s e r ' s a n d B u c h m a n n ' s w o r k s t a n d s a p a r t f r o m t h e d e s c r i p t i v e r e s e a r c h o n t e a c h e r t h i n k i n g ( s e e C l a r k a n d ' Y i n g e r , 1 9 7 9 ) . 2 9 6 i n v o l v e d i n c h o o s i n g a n d e n a c t i n g p a r t i c u l a r g o a l s a n d t h e m e a n s t o a t t a i n t h e m . I s t h i s t a l k o f " p e d a g o g i c a l t h i n k i n g ' a n d " p e d a g o g i c a l r e a s o n i n g ” a n y d i f f e r e n t f r o m . w h a t T y l e r ( 1 9 4 9 ) o u t l i n e d f o r t y y e a r s a g o i n B e e l e z g l n e l n l e e _ e f _ g g x ; l e g l u n _ e n d _ l n e § z n e § l e n ? I n t h i s c l a s s i c b o o k , T y l e r ( 1 9 4 9 ) e x p l a i n s t h a t c u r r i c u l a r a n d i n s t r u c t i o n a l g o a l s l e a d t o c r i t e r i a f o r s e l e c t i n g a n d d e v e l o p i n g l e a r n i n g a c t i v i t i e s f o r s t u d e n t s , a p e r s p e c t i v e t h a t s o u n d s q u i t e l i k e b o t h “ e n d s - m e a n s t h i n k i n g “ a n d “ k n o w l e d g e t r a n s f o r m a t i o n . " H o w e v e r , a c l o s e r l o o k r e v e a l s t h a t T y l e r ' s ( 1 9 4 9 ) c r i t e r i a f o r s p e c i f y i n g g o a l s o r a c t i v i t i e s a r e r e m a r k a b l y s u b j e c t m a t t e r f r e e a s w e l l a s b e h a v i o r i s t i n n a t u r e , a n o r i e n t a t i o n t h a t d o e s n o t m a t c h e i t h e r F e i m a n - N e m s e r ' s a n d B u c h m a n n ' s ( 1 9 8 6 ) o r S h u l m a n ' s ( 1 9 8 7 ) v i s i o n s o f t e a c h i n g a n d l e a r n i n g . A c c o r d i n g t o T y l e r ( 1 9 4 9 ) , l e a r n i n g g o a l s s h o u l d b e g r o u n d e d i n . w h a t s t u d e n t s “ n e e d " r a t h e r t h a n i n a l i b e r a l v i e w o f w h a t i s g e x e h _ k n e g l n g i n p a r t i c u l a r d i s c i p l i n e s . L e a r n i n g a c t i v i t i e s s h o u l d b e d e s i g n e d t o g i v e s t u d e n t s p r a c t i c e i n a n d s a t i s f a c t i o n w i t h t h e t a s k o r s k i l l a t h a n d ; T y l e r d o e s n o t m e n t i o n d e v e l o p i n g o r c h a n g i n g s t u d e n t s ' w a y s o f t h i n k i n g . A l t h o u g h h i s " b a s i c p r i n c i p l e s ” s p e c i f y c o m p o n e n t s o f i n s t r u c t i o n a l p l a n n i n g , h e d o e s n o t a d d r e s s t h e k n o w l e d g e o r e t h i c a l d e m a n d s i n h e r e n t i n s u c h r e a s o n i n g . C u r r i c u l a r p l a n n i n g , a c c o r d i n g t o T y l e r , i s p o r t r a y e d a s l i n e a r a n d s t r a i g h t f o r w a r d . I n c o n t r a s t , F e i m a n - N e m s e r a n d B u c h m a n n ( i n p r e s s ) a n d S h u l m a n ( 1 9 8 7 ) a r e c a l l i n g f o r a t t e n t i o n t o t h e j u g g l i n g a n d r e c o n s t r u c t i n g t h a t t e a c h e r s m u s t d o . T h e i r w o r k m a k e s c u r r i c u l a r t h i n k i n g m o r e p r o b l e m a t i c t h a n d o e s T y l e r ' s m o d e l . S h u l m a n a r t i c u l a t e s a c y c l i c a l 2 9 7 p r o c e s s o f c o m p r e h e n s i o n , t r a n s f o r m a t i o n , a n d r e p r e s e n t a t i o n ; F e i m a n - N e m s e r a n d B u c h m a n n d e s c r i b e o r i e n t a t i o n s a n d s k i l l s c e n t r a l t o t h a t p r o c e s s . W i t h t h e r e c o g n i t i o n t h a t p e d a g o g i c a l t h i n k i n g o r r e a s o n i n g c a n n o t b e s p e c i f i e d a l g o r i t h m i c a l l y , t h e i r a r g u m e n t s p o i n t t o t h e n e e d f o r a w a y t o c o n c e p t u a l i z e w h a t w o u l d c o u n t a s l e g i t i m a t e a n d p r o f e s s i o n a l w a y s t o e n g a g e i n t h e p r o c e s s o f p e d a g o g i c a l t h i n k i n g o r r e a s o n i n g . T h e p u r p o s e o f t h i s c h a p t e r i s t o i n t e g r a t e t h e s e p a r a t e d o m a i n s o f t e a c h e r k n o w l e d g e d i s c u s s e d i n t h e l a s t t h r e e c h a p t e r s i n t o a m o d e l o f w a r r a n t s f o r ' j u s t i f y i n g - p e d a g o g i c a I r e a s o n i n g i n t e a c h i n g m a t h e m a t i c s . U s i n g e x a m p l e s f r o m m y i n t e r v i e w s w i t h e l e m e n t a r y a n d s e c o n d a r y t e a c h e r c a n d i d a t e s , I w i l l a r g u e t h a t t h i s m o d e l o f f e r s y e t a n o t h e r c r i t i c a l p e r s p e c t i v e f r o m w h i c h t o v i e w w h a t p r o s p e c t i v e t e a c h e r s b r i n g t o t e a c h e r e d u c a t i o n . W W 3 ; T e a c h i n g i n v o l v e s a w i d e r a n g e o f a c t i v i t i e s t h a t r e l a t e m o r e o r l e s s c l o s e l y t o i t s e s s e n t i a l p u r p o s e : h e l p i n g o t h e r s l e a r n . . I n p r e v i o u s c h a p t e r s I h a v e a r g u e d t h a t b e i n g a m a t h e m a t i c s t e a c h e r d e m a n d s a n u n d e r s t a n d i n g o f a n d c a r i n g f o r m a t h e m a t i c s e n d a n u n d e r s t a n d i n g o f a n d c a r i n g f o r s t u d e n t s . T e a c h i n g m a t h e m a t i c s m e a n s h e l p i n g t o b u i l d b r i d g e s b e t w e e n t h e s u b j e c t m a t t e r a n d l e a r n e r s i n w a y s t h a t r e s p e c t t h e i n t e g r i t y o f b o t h . T o d o t h i s , t e a c h e r s e x p l a i n , a s k q u e s t i o n s , r e s p o n d t o s t u d e n t s , d e v e l o p a n d s e l e c t t a s k s , a n d a s s e s s w h a t s t u d e n t s u n d e r s t a n d . T h e s e a c t i v i t i e s e m e r g e f r o m a b i f o c a l c o n s i d e r a t i o n o f m a t h e m a t i c s a n d s t u d e n t s , f r a m e d b y t h e t e a c h e r ' s o w n u n d e r s t a n d i n g s a n d b e l i e f s a b o u t 2 9 8 e a c h , a n d s h a p e d f u r t h e r b y h e r i d e a s a b o u t l e a r n i n g a n d h e r r o l e i n p r o m o t i n g l e a r n i n g . fi e l d i n g d i f f e r e n t d o m a i n s o f k n o w l e d g e i s i n e v i t a b l y a t t h e h e a r t o f t e a c h i n g . W i l s o n a n d S h u l m a n a n d t h e i r c o l l e a g u e s h a v e l a b e l l e d t h e D I Q Q M Q S o f t h i s m e l d i n g " p e d a g o g i c a l c o n t e n t k n o w l e d g e " a n d s t u d y i t a s a d o m a i n o f k n o w l e d g e i n i t s o w n r i g h t ( S h u l m a n , 1 9 8 6 ; W i l s o n , 1 9 8 8 ; W i l s o n , S h u l m a n , & R i c h e r t , 1 9 8 7 ) . A c c o r d i n g t o t h e s e s c h o l a r s , p e d a g o g i c a l c o n t e n t k n o w l e d g e c o n s i s t s o f t o p i c - l e v e l k n o w l e d g e o f l e a r n e r s , o f l e a r n i n g , a n d o f t h e m o s t u s e f u l f o r m s o f r e p r e s e n t a t i o n o f [ p a r t i c u l a r ] i d e a s , t h e m o s t p o w e r f u l a n a l o g i e s , i l l u s t r a t i o n s , e x a m p l e s , e x p l a n a t i o n s , a n d d e m o n s t r a t i o n s - - i n a w o r d , t h e w a y s o f r e p r e s e n t i n g a n d f o r m u l a t i n g t h e s u b j e c t t h a t m a k e i t c o m p r e h e n s i b l e t o o t h e r s " ( S h u l m a n , 1 9 8 6 , p . 6 ) . P e d a g o g i c a l c o n t e n t k n o w l e d g e h a s , l i k e o t h e r d o m a i n s o f k n o w l e d g e , a b o d y o f a c c u m u l a t e d i d e a s t h a t h a v e b e e n c o n s t r u c t e d a n d u s e d - - i n t h i s c a s e , p e d a g o g i c a l r e p r e s e n t a t i o n s o f t h e s u b j e c t m a t t e r . P i z z a s f o r f r a c t i o n s , m o n e y f o r d e c i m a l s , n u m b e r l i n e s f o r a d d i t i o n a n d s u b t r a c t i o n o f n e g a t i v e n u m b e r s , a r e b u t a f e w e x a m p l e s o f t h e v a s t a c c u m u l a t i o n o f p e d a g o g i c a l r e p r e s e n t a t i o n s o f s p e c i f i c m a t h e m a t i c a l t o p i c s . I n t h i s c h a p t e r , I f o c u s e x c l u s i v e l y o n t h e s e " f o r m s o f r e p r e s e n t a t i o n , “ a s s u m i n g t h e m t o b e t h e c r u c i a l e n h e e e n e e o f p e d a g o g i c a l c o n t e n t k n o w l e d g e 3 , a n d e x a m i n e t h e i r n a t u r e , s o u r c e s , a n d w a r r a n t s : t h e e y n g e x o f p e d a g o g i c a l c o n t e n t k n o w l e d g e , o r t h e 3 I n h e r w o r k o n t h e t e a c h i n g o f h i s t o r y , W i l s o n a l s o f o c u s e s o n p e d a g o g i c a l r e p r e s e n t a t i o n s a s t h e c r i t i c a l e l e m e n t o f p e d a g o g i c a l c o n t e n t k n o w l e d g e . S e e c h a p t e r 6 o f W i l s o n ( 1 9 8 8 ) . 2 9 9 s t a n d a r d s t h a t g u i d e t h e p e d a g o g i c a l r e a s o n i n g e n t a i l e d i n r e p r e s e n t i n g s u b j e c t m a t t e r i n t e a c h i n g . ‘ W i n n ? A c c o r d i n g t o W e b s t e r ' s U n e h g l g g e d _ n l e e l e n e ; 1 , t o r e p r e s e n t s o m e t h i n g i s t o " b r i n g i t c l e a r l y b e f o r e t h e m i n d ; c a u s e t o b e k n o w n , f e l t , o r a p p r e h e n d e d . “ A r e p r e s e n t a t i o n i s ' a l i k e n e s s , p i c t u r e , o r m o d e l o r o t h e r r e p r o d u c t i o n ; a s t a t e m e n t o r a c c o u n t e s p e c i a l l y m a d e t o c o n v e y a p a r t i c u l a r v i e w o r i m p r e s s i o n o f s o m e t h i n g w i t h t h e i n t e n t i o n o f i n f l u e n c e o p i n i o n o r a c t i o n . “ B y r e p r e s e n t a t i o n s i n t e a c h i n g , I m e a n m o d e l s o f a w i d e r a n g e t h a t c o n v e y s o m e t h i n g a b o u t t h e s u b j e c t m a t t e r t o t h e l e a r n e r . F o r e x a m p l e , a s t o r y a b o u t h u n g r y p e o p l e s h a r i n g p i z z a s i s a r e p r e s e n t a t i o n o f d i v i s i o n o f f r a c t i o n s c o n s t r u c t e d t o h e l p s t u d e n t s c o m p r e h e n d t h e m a t h e m a t i c a l c o n c e p t . T h i s r e p r e s e n t a t i o n i s w o v e n f r o m k n o w l e d g e o f m a t h e m a t i c s ( e . g . , t h e m e a n i n g o f d i v i s i o n , c i r c u l a r m o d e l s f o r f r a c t i o n s ) , i d e a s a b o u t l e a r n i n g ( e . g . , p e o p l e w i l l u n d e r s t a n d t h i n g s b e t t e r t h a t r e l a t e t o 4 B e y o n d t h e s u b s t a n c e ( t h e ' s t u f f ' ) o f k n o w l e d g e i n a d o m a i n , S c h w a b ( 1 9 6 1 / 1 9 7 8 ) p r e s e n t s t w o k i n d s o f d i s c i p l i n a r y n e x n e e n x e , o r w a y s t o a n a l y z e t h a t k n o w l e d g e : s u b s t a n t i v e a n d s y n t a c t i c . T h e s u b s t a n t i v e s t r u c t u r e o f a d i s c i p l i n e i s a f u n c t i o n o f t h e b a s i c c o n c e p t u a l f r a m e s g u i d i n g i t s w o r k . S y n t a c t i c s t r u c t u r e r e f e r s t o t h e d o i n g o f t h e w o r k - - m e t h o d s o f e x p e r i m e n t a t i o n , v e r i f i c a t i o n , a n a l y s i s , a n d j u s t i f i c a t i o n , f o r e x a m p l e . A r g u i n g t h a t b o t h s t r u c t u r e s a r e c r i t i c a l t o u n d e r s t a n d i n g t h e n a t u r e o f k n o w i n g w i t h i n a p a r t i c u l a r d i s c i p l i n e , S c h w a b r e m i n d s u s t h a t e a c h d i s c i p l i n e h a s m u l t i p l e s t r u c t u r e s b e c a u s e s c i e n t i s t s d o n o t a g r e e o n t h e k e y q u e s t i o n s n o r o n t h e w a y s o f p u r s u i n g t h o s e q u e s t i o n s . N e i t h e r d o t h e y n e c e s s a r i l y s h a r e k e y c o n c e p t s , g i v e n d i f f e r e n t p e r s p e c t i v e s o n t h e p h e n o m e n o n u n d e r i n v e s t i g a t i o n . M y a r g u m e n t i n t h i s c h a p t e r d r a w s o n S c h w a b ' s ( 1 9 6 1 / 1 9 7 8 ) f r a m e w o r k f o r u n d e r s t a n d i n g k n o w l e d g e . I t a k e p e d a g o g i c a l c o n t e n t k n o w l e d g e , l i k e o t h e r d o m a i n s o f k n o w l e d g e , t o h a v e b o t h g u b e e e n e e ( e . g . , r e p r e s e n t a t i o n s ) a n d . e y n e e x ( e . g . , w a y s o f r e a s o n i n g ) . 3 0 0 t h e i r l i v e s ) a n d a b o u t l e a r n e r s ( e . g . , k i d s l o v e f o o d e x a m p l e s , a n d , i n p a r t i c u l a r , p i z z a ) . W h e t h e r t h e y d o s o i n t e n t i o n a l l y o r n o t , t e a c h e r s a r e c o n s t a n t l y e n g a g e d i n a p r o c e s s o f c o n s t r u c t i n g a n d u s i n g r e p r e s e n t a t i o n s o f s u b j e c t m a t t e r k n o w l e d g e , f o r a l l t a s k s , a l l e x p l a n a t i o n s , a l l a n a l o g i e s t h a t t e a c h e r s u s e r e p r e s e n t t h e s u b j e c t ( D o y l e , 1 9 8 6 ) . S o m e r e p r e s e n t a t i o n s a r e p r o v i d e d t o t e a c h e r s i n t e x t b o o k s , w o r k s h e e t s , o r o t h e r t e a c h i n g m a t e r i a l s . O t h e r r e p r e s e n t a t i o n s t e a c h e r s c o n s t r u c t t h e m s e l v e s . S o m e e x i s t b y d e f a u l t o n l y ; t h a t i s , t h e y a r e u n i n t e n t i o n a l , f o r r e p r e s e n t a t i o n i s a f a c t o f l i f e i n t e a c h i n g , n o t a n i n h e r e n t g o o d . W m R e p r e s e n t a t i o n s a r e l i k e n e s s e s , m e t a p h o r i c d e v i c e s . M e t a p h o r s i n v o l v e t h e t r a n s f e r o f m e a n i n g f r o m o n e s y s t e m o r i d e a t o a n o t h e r ( B l a c k , 1 9 6 2 ; L a k o f f & J o h n s o n , 1 9 8 0 ) . F o r t h i s r e a s o n , m e t a p h o r i s a v a l u a b l e p e d a g o g i c a l t o o l , b r i d g i n g t h e k n o w n a n d t h e u n k n o w n . I t i s a l i k e n e s s h e x x e g e e f r o m o n e d o m a i n t o b e u s e d t o c l a r i f y o r i l l u m i n a t e s o m e t h i n g i n a n o t h e r . J u s t a s m e t a p h o r s c a r r y i n t e n d e d m e a n i n g s o n l y i f p e o p l e k n o w a n d u n d e r s t a n d t h e m e t a p h o r i c a l v e h i c l e ( O r t o n y , 1 9 7 5 ) , s o i t i s w i t h p e d a g o g i c a l r e p r e s e n t a t i o n s . F u r t h e r m o r e , i n m e t a p h o r , a n o b j e c t i s n e v e r i s o m o r p h i c w i t h i t s c o m p a r a t i v e r e f e r e n t . M a t h e m a t i c a l i d e a s w i l l b e , t h e r e f o r e , b y d e f i n i t i o n b r o a d e r t h a n a n y s p e c i f i c i l l u s t r a t i o n o r e x a m p l e . F o r e x a m p l e , a c i r c l e m o d e l o f k d o e s n o t r e p r e s e n t a l l t h e r e i s t o u n d e r s t a n d a b o u t t h e i d e a o f “ o n e - h a l f “ o r i t s s y m b o l i c n o t a t i o n . T h e c i r c l e m o d e l i s o n e r e p r e s e n t a t i o n o f a c o n t i n u o u s a r e a d i v i d e d i n t o p a r t s . T h e s t a n d a r d i l l u s t r a t i o n : 3 0 1 i s o n l y o n e r e p r e s e n t a t i o n o f t h e a r e ; m e a n i n g o f 8 . M o r e o v e r , k c a n a l s o m e a n e n e _ e n ; _ e £ _ e _ g ; e n n o f t w o d i s c r e t e p a r t s , a n o t h e r k e y m o d e l f o r f r a c t i o n s : R e p r e s e n t a t i o n s c a n b e a n a l y z e d l o g i c a l l y a c c o r d i n g t o t h e c o n t e n t , f o r a , m o d e , v e h i c l e a n d r e l a t i o n o f t h e r e p r e s e n t a t i o n . A c r i t i c a l f e a t u r e o f a n y r e p r e s e n t a t i o n i s i t s c o n t e n t , b o t h e x p l i c i t a n d i m p l i c i t . W h a t i s b e i n g r e p r e s e n t e d a b o u t m a t h e m a t i c s ? W h a t s p e c i f i c i d e a o r p r o c e d u r e ? W h a t i s b e i n g c o n v e y e d g h e e ; m a t h e m a t i c s ? F o r m ' r e f e r s t o w h a t a p a r t i c u l a r r e p r e s e n t a t i o n 1 ; : q u e s t i o n s , r e s p o n s e s , e x p l a n a t i o n s , a n a l o g i e s a n d m e t a p h o r s , e x a m p l e s , t a s k s , a n d a c t i v i t i e s . A q u e s t i o n , “ W h a t d o t h e r e s t o f y o u t h i n k ? “ p o s e d t o t h e e n t i r e c l a s s w h e n o n e p u p i l p r o p o s e s a s o l u t i o n , h e l p s t o r e p r e s e n t t h e j u s t i f i c a t i o n o f k n o w l e d g e i n t h e d i s c i p l i n e a s s u b j e c t t o c o m m u n i t y a p p r a i s a l . B r u n e r ( 1 9 7 0 ) i d e n t i f i e s t h r e e g e n e r a l m o d e s o f r e p r e s e n t a t i o n : c o n c r e t e , i k o n i c , a n d s y m b o l i c . I n m a t h e m a t i c s , t h e d i s t i n c t i o n s c a n b e m a d e m o r e h e l p f u l b y b e i n g m o r e d i s c r i m i n a t i n g : c o n c r e t e , v e r b a l , p i c t o r i a l , g r a p h i c a l , o r s y m b o l i c . s T h e f o r m u l a a 2 + b 2 - c 2 i s a 5 S o m e w o u l d a r g u e t h a t p e d a g o g i c a l r e p r e s e n t a t i o n s i n m a t h e m a t i c s s h o u l d b e c a t a l o g u e d i n t o f i n e r - g r a i n e d m a t h e m a t i c a l m o d e s : c o n c r e t e , v e r b a l , p i c t o r i a l , n u m e r i c , a l g e b r a i c , g e o m e t r i c , f o r i n s t a n c e ( L a n i e r , p e r s o n a l c o m m u n i c a t i o n ) . 3 0 2 s y m b o l i c r e p r e s e n t a t i o n o f t h e P y t h a g o r e a n t h e o r e m w h i c h e x p r e s s e s t h e r e l a t i o n s h i p a m o n g s i d e s o f a r i g h t t r i a n g l e . T h e s a m e i d e a c a n b e r e p r e s e n t e d p i c t o r i a l l y : R e p r e s e n t a t i o n s , a s m e t a p h o r s , u s e v e h i c l e s . T h e s e v e h i c l e s a r e t h e g e n t : o f t h e r e p r e s e n t a t i o n : M 6 M s f o r s t a t i s t i c a l s a m p l i n g , p i z z a s f o r f r a c t i o n s , c l a s s d i s c u s s i o n s f o r p r e s e n t i n g a n d p r o v i n g c o n j e c t u r e s w i t h i n t h e m a t h e m a t i c a l c o m m u n i t y . T h e s e v e h i c l e s p r o v i d e t h e m e a n s f o r b r i d g i n g t h e f a m i l i a r w i t h t h e u n f a m i l i a r i n h e l p i n g s t u d e n t s l e a r n m a t h e m a t i c s a n d , i n o r d e r t o b e u s e f u l , m u s t b e t h e m s e l v e s u n d e r s t o o d b y s t u d e n t s . F i n a l l y , r e p r e s e n t a t i o n s , a s m e t a p h o r s , a r e r e l a t i o n a l . T h e y m a y c o n n e c t o n e m a t h e m a t i c a l i d e a w i t h a n o t h e r , l i n k a c o n c e p t o r p r o c e d u r e w i t h a n i d e a i n a n o t h e r s u b j e c t , o r c o n n e c t t o s o m e t h i n g i n t h e w o r l d a r o u n d u s . S o m e m a t h e m a t i c s i s l e e e l f a r e p r e s e n t a t i o n o r m o d e l i n g o f t h e p h y s i c a l w o r l d ; i n t h i s w a y , m a t h e m a t i c a l r e p r e s e n t a t i o n s a r e s o m e t i m e s b i d i r e c t i o n a l i n t h e i r r e l a t i o n ( s e e t h e d i s c u s s i o n o f s l o p e i n C h a p t e r 3 ) . O t h e r c o n c e p t s a n d p r o c e d u r e s m a y h a v e l i t t l e c o n n e c t i o n w i t h t h e w o r l d a r o u n d u s . T h e s e l o g i c a l f e a t u r e s o f r e p r e s e n t a t i o n p r o v i d e m u l t i p l e p e r s p e c t i v e s f r o m w h i c h t o e x a m i n e p a r t i c u l a r r e p r e s e n t a t i o n s . T h e f e a t u r e s a r e n e i t h e r e n t i r e l y d i s c r e t e n o r u n i v e r s a l l y a p p l i c a b l e . F o r e x a m p l e , a c l a s s d i s c u s s i o n i n w h i c h s t u d e n t s p r e s e n t a n d d e f e n d c o n j e c t u r e s i s a r e p r e s e n t a t i o n o f m a t h e m a t i c a l a r g u m e n t w i t h i n a 3 0 3 m a t h e m a t i c a l c o m m u n i t y . ” C l a s s d i s c u s s i o n “ i s b o t h i t s f o r m a n d i t s v e h i c l e ; y e t i t i s n o t r e l a t i o n a l i n n a t u r e o r s t r u c t u r e . T h e ' u s e f u l n e s s o f t h i s f r a m e w o r k i s t o p r o v i d e a m e a n s o f a n a l y z i n g t h e c o m p o n e n t s o f r e p r e s e n t a t i o n s , a b s e n t a n a l y s e s o f t h e i r g e n e r a t i o n , j u s t i f i c a t i o n o r v a l u e . W e s t e r n s ? T h r o u g h t h e r e p r e s e n t a t i o n s t h a t t h e y s e l e c t a n d t h e w a y s t h a t t h e y u s e t h e m , t e a c h e r s c o n v e y m e s s a g e s - - s o m e t i m e s i m p l i c i t l y , s o m e t i m e s e x p l i c i t l y , i n t e n t i o n a l l y o r u n i n t e n t i o n a l l y - ~ a b o u t b o t h t h e e n h e e e n e e a n d t h e n e e n z e o f m a t h e m a t i c s t o t h e i r s t u d e n t s . I n m a t h e m a t i c s t e a c h i n g , t h e e n a c t e d c u r r i c u l u m - ~ t h e " s c h o o l s u b j e c t ' - - i s i t s e l f a r e p r e s e n t a t i o n o f t h e d i s c i p l i n e . I n t h e v i e w o f m a t h e m a t i c s t e a c h i n g u n d e r l y i n g t h i s s t u d y , t h e a i m i s t o r e p r e s e n t m a t h e m a t i c s a p p r o p r i a t e l y i n t e r m s o f t h e d i s c i p l i n e . T h u s , t h e t a s k s , e x p l a n a t i o n s , a n d m o d e l s t e a c h e r s u s e m u s t a d e q u a t e l y p o r t r a y t h e c o n c e p t u a l a n d e p i s t e m o l o g i c a l u n d e r p i n n i n g s o f m a t h e m a t i c a l k n o w l e d g e . E v e n w h e n t h e m e s s a g e s a r e u n p l a n n e d , h o w e v e r , t h e r e p r e s e n t a t i o n s u s e d i n a n y a p p r o a c h t o t e a c h i n g m a t h e m a t i c s f o r m a s p e c i a l i z e d h i d d e n c u r r i c u l u m a n d t h e r e b y s h a p e s t u d e n t s ' o p p o r t u n i t i e s t o l e a r n a b o u t m a t h e m a t i c s . F o r e x a m p l e , a w o r k s h e e t o f 5 2 l o n g d i v i s i o n e x e r c i s e s m a y c o m m u n i c a t e t o s t u d e n t s t h a t d i v i s i o n i s n o m o r e t h a n a p r o c e d u r e t o b e m e m o r i z e d . S t u d e n t s r e p e a t t h e s t e p s “ d i v i d e , m u l t i p l y , s u b t r a c t , b r i n g d o w n “ u n t i l t h e y r u n s o u t o f d i g i t s a n d f i n i s h w i t h 3 0 4 r e s u l t s s u c h a s S 7 8 R 5 , a n s w e r s w i t h l i t t l e m e a n i n g f o r f i f t h g r a d e r s s , a l t h o u g h t h i s d e p e n d s o n t h e c o n t e x t i n w h i c h t h e i n s t r u c t i o n t a k e s p l a c e . S u c h a s s i g n m e n t s s u g g e s t t h a t d o i n g m a t h e m a t i c s c o n s i s t s o f f o l l o w i n g s t e p s a n d r u l e s . F u r t h e r m o r e , t h e f a c t t h a t t h e t e a c h e r t a k e s c h a r g e o f v e r i f y i n g t h e c o r r e c t n e s s o f t h e i r a n s w e r s o b s c u r e s f r o m s t u d e n t s t h e m e a n s f o r r e a s o n e d j u s t i f i c a t i o n o f k n o w l e d g e i n m a t h e m a t i c s . C o n s e q u e n t l y , t h e u n d e r s t a n d i n g s o f m a t h e m a t i c s a n d o f p a r t i c u l a r m a t h e m a t i c a l i d e a s t h a t s t u d e n t s d e v e l o p m a y b e i n a p p r o p r i a t e f r o m a d i s c i p l i n a r y p e r s p e c t i v e . W i l m a ? T e a c h e r s ' r e p r e s e n t a t i o n s f o r t e a c h i n g d e r i v e f r o m t w o p r i m a r y s o u r c e s , o n e o u t s i d e t h e m s e l v e s a n d t h e o t h e r w i t h i n . O u t s i d e s o u r c e s i n c l u d e c u r r i c u l a r m a t e r i a l s , c o l l e a g u e s , c o u r s e s o r w o r k s h o p s f o r t e a c h e r s a s w e l l a s t h e i r o w n a c a d e m i c s t u d i e s , r e a d i n g , a n d t h e c u l t u r e a r o u n d t h e m , a m o n g o t h e r s . M a t h e m a t i c s t e a c h i n g m a t e r i a l s - - t e x t b o o k s , k i t s , c o m p u t e r s o f t w a r e - - a r e t h e m s e l v e s r e p r e s e n t a t i o n s o f t h e d i s c i p l i n e . B o t h t h e t o p i c s o r i d e a s i n c l u d e d , a n d t h e w a y i n w h i c h t h e y a r e s e t o u t r e p r e s e n t t h e s u b s t a n c e a n d t h e n a t u r e o f t h e s u b j e c t m a t t e r t o p u p i l s . I n m a n y m a t h t e x t b o o k s , f o r i n s t a n c e , d o i n g m a t h e m a t i c s s e e m s t o m e a n p e r f o r m i n g c o m p u t a t i o n s a n d k n o w i n g t h e r i g h t a n s w e r s ( i . e . , m a t c h i n g t h e a n s w e r k e y ) . 6 A n a l y s i s o f t h e m o s t r e c e n t r o u n d o f r e s u l t s f r o m t h e N a t i o n a l A s s e s s m e n t o f E d u c a t i o n a l P r o g r e s s ( C a r p e n t e r e t a 1 . , 1 9 8 3 ) r e v e a l e d t h a t s t u d e n t s c o u l d n o t s e l e c t t h e r e a s o n a b l e r e s p o n s e t o a d i v i s i o n p r o b l e m e v e n w h e n t h e y c o u l d c a l c u l a t e t h e a n s w e r c o r r e c t l y . F o r e x a m p l e , t h e y w o u l d s e l e c t a n a n s w e r w i t h a r e m a i n d e r w h e n t h e c o n t e x t o f t h e p r o b l e m r e q u i r e d a w h o l e n u m b e r s o l u t i o n , s u c h a s : A b u s h o l d s 6 6 p e o p l e . H a w m a n y b u s e s a r e n e e d e d t o c a r r y 4 7 8 v o l l e y b a l l p l a y e r s ? W h i l e t h e c a l c u l a t e d a n s w e r m a y b e 7 w i t h a r e m a i n d e r o f 1 6 , t h e a n s w e r d e m a n d e d . b y t h e e x e h l e n i s 8 . 3 0 5 B e s i d e s t a c i t l y r e p r e s e n t i n g t h e s u b j e c t , a c c o m p a n y i n g t e a c h e r s ' g u i d e s a l s o e x p l i c i t l y s u g g e s t a c t i v i t i e s , q u e s t i o n s , a n d w a y s o f e x p l a i n i n g t h e c o n t e n t . F o r e x a m p l e , o n e h i g h s c h o o l a l g e b r a t e x t o f f e r s t h e f o l l o w i n g : T h e r e a r e s e v e r a l m o d e l s t h a t m a y h e l p i l l u s t r a t e t h e d e f i n i t i o n o f s l o p e : t h e p i t c h o f a r o o f , t h e g r a d e o f a h i l l ; t h e r i s e / r u n o f a s t a i r w a y o r a r a m p . ( D o l c i a n i , W O o t o n , & B e c k e n b a c h , 1 9 8 0 , p . T 5 6 ) T e a c h e r s m a y a c q u i r e w a y s o f r e p r e s e n t i n g t h e s u b j e c t m a t t e r f r o m o t h e r t e a c h e r s : A m e t h o d s i n s t r u c t o r m a y a d v o c a t e t h e u s e o f b a s e 1 0 b l o c k s f o r t e a c h i n g p l a c e v a l u e ; a c o l l e a g u e m a y p a s s a l o n g a n a n a l o g y f o r e x p l a i n i n g n e g a t i v e n u m b e r s ; a c o l l e g e p r o f e s s o r m a y h a v e u s e d a p a r t i c u l a r a p p r o a c h t o e n g a g i n g s t u d e n t s i n m a k i n g a n d d e f e n d i n g c o n j e c t u r e s ; a n e l e m e n t a r y s c h o o l t e a c h e r m a y h a v e i m p r e s s e d t h e m w i t h a s t a t i s t i c s p r o j e c t . T h r o u g h a v a r i e t y o f s o u r c e s , t e a c h e r s c o l l e c t b o t h t a n g i b l e a n d i n t a n g i b l e ' s t u f f ' f o r r e p r e s e n t i n g m a t h e m a t i c s . O v e r t i m e , t e a c h e r s d e v e l o p a r e p e r t o i r e o f s u b j e c t m a t t e r r e p r e s e n t a t i o n s . A s t h e s e r e p r e s e n t a t i o n a l r e p e r t o i r e s d e v e l o p , t e a c h e r s h a v e m o r e o p t i o n s f o r c o n n e c t i n g s t u d e n t s w i t h s u b j e c t m a t t e r ( M c D i a r m i d , B a l l , & . A n d e r s o n , i n p r e s s ; P u t n a m , 1 9 8 7 ; P u t n a m & L e i n h a r d t , 1 9 8 6 ; S h u l m a n , 1 9 8 7 ; W i l s o n , S h u l m a n , & R i c h e r t , 1 9 8 7 ) . 7 A n e x t e n s i v e r e p e r t o i r e o f p e d a g o g i c a l r e p r e s e n t a t i o n s i s n o t s u f f i c i e n t f o r t e a c h i n g m a t h e m a t i c s , h o w e v e r . T e a c h e r s m u s t b e a b l e 7 A l t h o u g h t e a c h e r s a c c u m u l a t e a n d u s e t a s k s , q u e s t i o n s , e x a m p l e s , a n d w a y s o f r e s p o n d i n g , t h e y d o n o t n e c e s s a r i l y t h i n k a b o u t t h e m a s r e p r e s e n t a t i o n s o f k n o w l e d g e , b u t , m a n y t i m e s , s i m p l y a s p e d a g o g y - - a c t i v i t i e s , n e a t t h i n g s t o d o o r s a y . 3 0 6 t o e n n x e l e e t h e p e d a g o g i c a l p o t e n t i a l o f a n a v a i l a b l e r e p r e s e n t a t i o n a n d . h o w w e l l i t f i t s t h e c o n t e x t . T h i s i n c l u d e s e v a l u a t i n g t h e a p p r o a c h u s e d . b y t h e s c h o o l ' s t e x t b o o k , a s s e s s i n g a c t i v i t i e s p a s s e d o n b y f e l l o w t e a c h e r s , c o n s i d e r i n g t h e r e l a t i v e v a l u e o f p a r t i c u l a r q u e s t i o n s , a n d a n a l y z i n g m o d e l s o r p i c t o r i a l r e p r e s e n t a t i o n s . I s m o n e y a g o o d m o d e l f o r h e l p i n g c h i l d r e n u n d e r s t a n d d e c i m a l s ? I s a p a r t i c u l a r t e x t b o o k ' s e x p l a n a t i o n o f d i v i s i o n b y z e r o a p p r o p r i a t e f o r e i g h t h g r a d e r s ? W O u l d i n v e s t i g a t i n g p r o b a b i l i t y b y e x a m i n i n g t h e c h a n c e s o f w i n n i n g t h e l o t t e r y b e a p r o b l e m a t i c a c t i v i t y i n a s m a l l N e w E n g l a n d t o w n ? I s t h i s f r a c t i o n a c t i v i t y s o m e t h i n g w i t h w h i c h 1 a m c o m f o r t a b l e ? I n a p p r a i s i n g r e p r e s e n t a t i o n s , t e a c h e r s m u s t a l s o a s k t h e m s e l v e s : W h a t e l s e m i g h t m y s t u d e n t s l e a r n f r o m t h i s p a r t i c u l a r a c t i v i t y o r m o d e l ? M i g h t t h e y l e a r n s o m e t h i n g I Q Q D L S w a n t t o c o n v e y ? F o r e x a m p l e , i f I u s e m o n e y t o r e p r e s e n t s o m e t h i n g a g a i n , a m I i m p l i c i t l y c o m m u n i c a t i n g a u t i l i t a r i a n , c o n s u m e r p e r s p e c t i v e o n m a t h e m a t i c s ? B e c a u s e e v e r y r e p r e s e n t a t i o n f a l l s s h o r t i n s o m e w a y , t e a c h e r s m u s t a l s o a s k t h e m s e l v e s h o w t h e y w i l l c o m p e n s a t e f o r t h e i n a d e q u a c i e s , t h e u n d e s i r e d a s p e c t s , a n d t h e m i s s i n g d i m e n s i o n s . 8 5 9 4 1 : 3 1 3 3 r e p r e s e n t a t i o n s t o b e t t e r s u i t t h e c o n t e n t , t h e l e a r n e r s , l e a r n i n g , o r t h e c o n t e x t , i s t h e r e f o r e a n o t h e r i m p o r t a n t p a r t o f t h e p r o c e s s o f p e d a g o g i c a l r e a s o n i n g . I n a d d i t i o n t o a p p r a i s i n g a n d u s i n g a v a i l a b l e r e p r e s e n t a t i o n s , t e a c h e r s a l s o l n y e n e t h e i r o w n , f a s h i o n i n g r e p r e s e n t a t i o n s f r o m t h e i r 8 T h e e e e n n n l e e l e n o f i n d i v i d u a l r e p r e s e n t a t i o n s a t e a c h e r u s e s t o r e p r e s e n t m a t h e m a t i c s p r o d u c e g l o b a l - l e v e l r e p r e s e n t a t i o n s o f t h e s u b j e c t , o f a p a r t i c u l a r i d e a ( e . g . , f r a c t i o n s ) o r a c t i v i t y ( e . g . , m a t h e m a t i c a l p r o b l e m s o l v i n g ) . I n t h i s w a y , " r e p r e s e n t a t i o n " e x i s t s i n d i f f e r e n t c o n c e p t u a l e l z e e . 3 0 7 u n d e r s t a n d i n g s , k n o w l e d g e , v a l u e s , a n d e x p e r i e n c e . T h e y c r e a t e u n i t s o f i n s t r u c t i o n , m a k e w o r k s h e e t s , d e s i g n a c t i v i t i e s , d e v e l o p e x p l a n a t i o n s , t h i n k o f q u e s t i o n s , a n d r e s p o n d t o s t u d e n t s . O f t e n t h e s e a r e m o d i f i c a t i o n s o f i d e a s g a t h e r e d e l s e w h e r e ; s o m e t i m e s t h e y a r e o r i g i n a l i n v e n t i o n s . T h e c o n s t r u c t i o n a n d r e v i s i o n o f p e d a g o g i c a l c o n t e n t k n o w l e d g e i s a n e s s e n t i a l p a r t o f t e a c h i n g , f o r n o r e p e r t o i r e o f r e p r e s e n t a t i o n s c o u l d p o s s i b l y s u i t a l l p o s s i b l e t e a c h i n g c o n t e x t s . W 7 I h a v e p r e s e n t e d a n u m b e r o f d i m e n s i o n s a l o n g w h i c h p e d a g o g i c a l r e p r e s e n t a t i o n s c a n b e e x a m i n e d ; h o w e v e r , i s s u e s o f v a l u e h a v e n o t b e e n a d d r e s s e d . T h e c r i t e r i a o f w o r t h f o r m a f r a m e w o r k o f p e d a g o g i c a l c o n s i d e r a t i o n s t h a t c a n b e u s e d t o e v a l u a t e r e p r e s e n t a t i o n s a s w e l l a s g u i d e t h e i r g e n e r a t i o n . H o w m a y t e a c h e r s t h i n k a b o u t c h o o s i n g , m o d i f y i n g , o r c o n s t r u c t i n g r e p r e s e n t a t i o n s ? T h e s e a r e i m p o r t a n t q u e s t i o n s a b o u t t h e w a r r a n t s f o r n e e e g e g l e e l _ z e e e e n l n g , q u e s t i o n s a b o u t s t a n d a r d s f o r t h e u s e , g e n e r a t i o n , a n d j u s t i f i c a t i o n o f k n o w l e d g e i n t e a c h i n g m a t h e m a t i c s . A s I w i l l s h o w , t h e w a r r a n t s f o r j u s t i f y i n g p e d a g o g i c a l c o n t e n t k n o w l e d g e a l s o p r o v i d e a b a s i s f o r e x a m i n i n g p e d a g o g i c a l r e a s o n i n g . I n o r d e r t o b e t t e r u n d e r s t a n d t h e r e l a t i o n s h i p a m o n g d i f f e r e n t d o m a i n s o f k n o w l e d g e i n t e a c h i n g a n d t o c r i t i c a l l y a p p r a i s e t h e p e d a g o g i c a l r e a s o n i n g e n t a i l e d i n c h o o s i n g , u s i n g , a n d c o n s t r u c t i n g r e p r e s e n t a t i o n s , I p r o p o s e b e l o w a n a n a l y s i s o f m a t h e m a t i c a l p e d a g o g y f r o m a n e p i s t e m o l o g i c a l p e r s p e c t i v e . I a s s u m e , f o r t h e s a k e o f a r g u m e n t , a c o n c e p t i o n o f p e d a g o g i c a l c o n t e n t k n o w l e d g e a s a d o m a i n o f k n o w l e d g e i n i t s o w n r i g h t , a n d t h e n d r a w o n s c h w a b ' s ( 1 9 6 1 / 1 9 7 8 ) i d e a s a b o u t d i s c i p l i n a r y s t r u c t u r e s a s c o n c e p t u a l l e v e r s t o c o n s t r u c t 3 0 8 a m o d e l o f t h e j u s t i f i c a t i o n o f k n o w l e d g e a n d r e a s o n i n g i n t h e d o m a i n . T h i s a n a l y s i s o f f e r s a w a y t o d e s c r i b e a n d a p p r a i s e t h e w a y s i n w h i c h t e a c h e r s i n t e g r a t e d i f f e r e n t k i n d s o f k n o w l e d g e a n d b e l i e f i n t e a c h i n g m a t h e m a t i c s . H o w c a n t h e r e p r e s e n t a t i o n s - - q u e s t i o n s , t a s k s , r e s p o n s e s , m o d e l s , e x a m p l e s , a n d a c t i v i t i e s - - t h a t t e a c h e r s s e l e c t , m o d i f y , a n d c o n s t r u c t b e e n e l y z e e ? H o w c a n t h e y b e e n n x e l e e d ? I p r o p o s e b e l o w a n o r m a t i v e f r a m e w o r k o f w a r r a n t s f o r j u d g i n g t h e p r o d u c t s a n d p r o c e s s o f p e d a g o g i c a l r e a s o n i n g t h a t u n d e r l i e r e p r e s e n t i n g m a t h e m a t i c s t o s t u d e n t s . 9 I n a n y a p p r o a c h t o t e a c h i n g m a t h e m a t i c s , t h e s o u r c e s o f j u s t i f i c a t i o n d e r i v e f r o m t h e c o r n e r s t o n e d o m a i n s o f s u b j e c t m a t t e r , l e a r n e r s , l e a r n i n g , a n d c o n t e x t . W h a t i s e e n e z e l , h o w e v e r , a b o u t t h e d e v e l o p m e n t a n d u s e o f p e d a g o g i c a l c o n t e n t k n o w l e d g e d e p e n d s o n o n e ' s v i e w o f t h e g e e l e o f m a t h e m a t i c s t e a c h i n g . W i t h a v i e w i n . w h i c h t h e g o a l i s t o h e l p s t u d e n t s d e v e l o p p r o f i c i e n c y w i t h m a t h e m a t i c a l c a l c u l a t i o n s , f o r e x a m p l e , r e p r e s e n t a t i o n s t h a t s u p p o r t s t u d e n t s ' m e m o r i z a t i o n , s k i l l , a n d s p e e d - - s u c h a s m n e m o n i c d e v i c e s o r g a m e s - - w o u l d b e o f c e n t r a l i m p o r t a n c e . R e p r e s e n t a t i o n s t h a t h i g h l i g h t t h e k e y s t e p s o f a n a l g o r i t h m ( e . g . , f i r s t , e u t s i d e , l n s i d e , l a s t - f o i l , a s a m n e m o n i c f o r f a c t o r i n g i n a l g e b r a ) , f o r e x a m p l e , o r t h a t p o r t r a y m a t h e m a t i c s a s a d o m a i n o f l i n e a r s t e p - b y - s t e p p r o c e d u r e s w o u l d b e 9 P e d a g o g i c a l r e a s o n i n g i s , o f c o u r s e , i n f o r m e d b y a n d s u b j e c t t o o t h e r c o n s i d e r a t i o n s - - m o r a l , e t h i c a l , a n d s o c i a l , f o r i n s t a n c e . S e e S c h e f f l e r ( 1 9 5 8 ) . 3 0 9 M A T H E M A T I C S c o n c e p t u a l e s s e n c e e p i s t e m o l o g i c a l a p p r o p r i a t e n e s s a p p r e c i a t i o n o f a n d p r o p e n s i t y t o w a r d m a t h e m a t i c s L E A R I I I C f e c u s d i f f e r e n t i a t i o n m u l t i f a c e t e d n e s s a c c e s s i b i l i t y i n t e r e s t C O N T E X T f e a s i b i l i t y s e n s i t i v i t y F i g u r e 6 . 1 W a r r a n t s f o r p e d a g o g i c a l c o n t e n t k n o w l e d g e a n d r e a s o n i n g i n m a t h e m a t i c a l p e d a g o g y 3 1 0 a p p r o p r i a t e . 1 0 B e c a u s e m a t h e m a t i c a l p e d a g o g y i s f u n d a m e n t a l l y c o n c e r n e d w i t h e n g a g i n g s t u d e n t s i n m a t h e m a t i c a l t h i n k i n g a n d a c t i v i t y , h o w e v e r , t h e s u b j e c t m a t t e r w a r r a n t s a r e d i f f e r e n t a n d t a k e o n m o r e w e i g h t i n c o n s i d e r i n g p e d a g o g i c a l r e p r e s e n t a t i o n s . 1 1 F i g u r e 6 . 1 s h o w s t h e k e y w a r r a n t s a n d c r i t e r i a f o r p e d a g o g i c a l r e a s o n i n g i n m a t h e m a t i c a l p e d a g o g y . fl e e h e n e g l e e l _ g e ; ; e n 5 1 . T h e s u b s t a n c e a n d n a t u r e o f m a t h e m a t i c s i s a c r i t i c a l d i m e n s i o n o f a n y p e d a g o g i c a l r e p r e s e n t a t i o n i n m a t h e m a t i c a l p e d a g o g y . R e p r e s e n t a t i o n s m u s t d i s t i l l a n d s i m p l i f y i d e a s w i t h o u t d i s t o r t i n g t h e m . s u b s t a n t i v e l y , a r e p r e s e n t a t i o n s h o u l d f e a t u r e t h e c o n c e p t u a l e s s e n c e o f t h e c o n t e n t a t h a n d , n o t j u s t i t s s u r f a c e o r p r o c e d u r a l c h a r a c t e r i s t i c s . F o r e x a m p l e , t o d i v i d e 1 8 / 4 5 9 , t h e m n e m o n i c ” d i v i d e , s u b t r a c t , m u l t i p l y , b r i n g d o w n “ f o r l o n g d i v i s i o n r e p r e s e n t s n o t h i n g m o r e t h a n t h e s t e p s i n a c o n v e n t i o n a l a l g o r i t h m . I n c o n t r a s t , t h e q u e s t i o n , ' I f w e h a v e $ 4 5 9 d o l l a r s , h o w m a n y h u n d r e d - d o l l a r b i l l s c a n e a c h o f 1 8 c h i l d r e n h a v e i f t h e y a r e t r y i n g t o s h a r e t h e m o n e y e q u a l l y ? H o w m a n y t e n - d o l l a r b i l l s ? ” r e p r e s e n t s t h e n e e n l n g 1 0 D i f f e r e n t g o a l s s u g g e s t d i f f e r e n t c r i t e r i a f o r w h a t c o n s t i t u t e ” w o r t h w h i l e “ l e a r n i n g a c t i v i t i e s ( F e i m a n - N e m s e r & B u c h m a n n , i n p r e s s ) . T h i s p a r a l l e l s S c h w a b ' s ( 1 9 6 1 / 1 9 7 8 ) s u b s t a n t i v e s t r u c t u r e - - t h a t d i f f e r e n t s u b s t a n t i v e o r i e n t a t i o n s o r p e r s p e c t i v e s l e a d t o d i f f e r e n t s t a n d a r d s a n d f o c i , d i f f e r e n t q u e s t i o n s a n d p r i o r i t i e s . A v i e w o f t e a c h i n g a n d i t s a s s o c i a t e d g o a l s d e t e r m i n e , t o s o m e e x t e n t , t h e s u b s t a n t i v e s t r u c t u r e o f t h a t v i e w o f m a t h e m a t i c s t e a c h i n g . S i m i l a r l y , D e w e y ' s ( 1 9 1 4 / 1 9 4 4 ) a r g u m e n t a b o u t a i m s s u g g e s t s t h a t , i n t e a c h i n g , g o a l s a r e i n s t a n t i a t e d i n t h e s e l e c t i o n a n d e n a c t m e n t o f m e a n s . 1 1 Q u e s t i o n s a b o u t t h e b a l a n c i n g a n d w e i g h i n g o f c o m p e t i n g w a r r a n t s a r e c r i t i c a l t o p u r s u e i n d e v e l o p i n g a f r a m e w o r k o f p e d a g o g i c a l r e a s o n i n g . I d i s c u s s t h i s m o r e i n C h a p t e r 7 . 3 1 1 t h a t u n d e r l i e s t h o s e s t e p s , a n d c o n n e c t s t h e w r i t t e n s y m b o l i c f o r m t o a r e a l s i t u a t i o n . 1 2 B e y o n d t h e s u b s t a n c e o f m a t h e m a t i c a l k n o w l e d g e , r e p r e s e n t a t i o n s s h o u l d b e e p i s t e m o l o g i c a l l y ' a p p r o p r i a t e - - t h e y s h o u l d a p p r o p r i a t e l y p o r t r a y a d i s c i p l i n a r y v i e w o f w h a t i t m e a n s t o d o a n d k n o w m a t h e m a t i c s . O n o n e h a n d , u s i n g t h e a n s w e r k e y a s t h e m e a n s f o r a r b i t r a t i n g a m o n g c o m p e t i n g s o l u t i o n s , w h i l e c o m m o n p r a c t i c e , c o n v e y s a m i s l e a d i n g i m a g e o f t h e n a t u r e o f m a t h e m a t i c a l k n o w l e d g e a n d o f w h a t i t m e a n s t o d o m a t h e m a t i c s . 0 n t h e o t h e r h a n d , e x p e c t i n g s t u d e n t s t o e x p l a i n a n d j u s t i f y t h e i r c l a i m s r e p r e s e n t s t h e r e a s o n a b l e a n d c o n s t r u c t i v e n a t u r e o f m a t h e m a t i c s , a n d i l l u s t r a t e s t h e i n t e r a c t i o n b e t w e e n a c c e p t e d m a t h e m a t i c a l k n o w l e d g e a n d t h e g e n e r a t i o n o f n e w i d e a s . W h e n s t u d e n t s h a v e t o t r y t o p e r s u a d e o n e a n o t h e r o f t h e r e a s o n a b l e n e s s o f t h e i r s u g g e s t i o n s , t h e y e x p e r i e n c e t h e p u r p o s e a n d v a l u e o f p r o o f . M a t h e m a t i c a l p e d a g o g y a i m s t o e n g a g e s t u d e n t s i n m a t h e m a t i c s i n w a y s t h a t h e l p t h e m s e e t h a t t h e y c a n b e b o t h c o m p e t e n t a n d c o n f i d e n t i n t h i s d o m a i n . T h e r e f o r e , t e a c h e r s m a y w a n t t o v e r i f y t h a t t h e r e p r e s e n t a t i o n i s l i k e l y t o s u p p o r t t h e d e v e l o p m e n t o f a p p r e c i a t i o n o f a n d , p r o p e n s i t y t o w a r d m a t h e m a t i c s . fl e z g e n § e _ e f _ l e e x n l n g _ ; h e e z y . P e d a g o g i c a l r e p r e s e n t a t i o n s s h o u l d h e l p p u p i l s l e e n n p a r t i c u l a r m a t h e m a t i c a l t o p i c s o r i d e a s . T h r e e c r i t e r i a e m e r g e f r o m t h i s p u r p o s e : f o c u s , d i f f e r e n t i a t i o n , a n d 1 2 T h e a n s w e r i s o h u n d r e d - d o l l a r b i l l s , a s $ 1 0 0 x 1 8 - $ 1 8 0 0 , b u t 2 t e n - d o l l a r b i l l s s i n c e $ 2 0 x 1 8 - $ 3 6 0 . T h i s r e p r e s e n t s w h y , i n t h e c o n v e n t i o n a l a l g o r i t h m , w e w r i t e a 2 a b o v e t h e 5 i n 4 5 7 - - t h e r e a r e 2 g e n e i n t h e a n s w e r . 3 1 2 m u l t i f ' a c e t e d n e s s . 1 3 A l l t h r e e , w h i l e f u n d a m e n t a l l y g h e e ; m a t h e m a t i c s , a r e a l s o n e c e s s a r i l y a b o u t l e e x n l n g . T h i s s h o w s , o n c e a g a i n , h o w p e d a g o g i c a l r e a s o n i n g i s a s p e c i a l i z e d k i n d o f t h i n k i n g t h a t i n t e g r a t e s r e l e v a n t d o m a i n s o f t e a c h e r k n o w l e d g e . I n o r d e r t o l e a r n m a t h e m a t i c s , s t u d e n t s ' e n c o u n t e r s w i t h s u b s t a n c e a n d n a t u r e o f t h e s u b j e c t s h o u l d f o c u s t h e i r a t t e n t i o n o n k e y e l e m e n t s . H a v i n g a s e n s e o f t h e ' b i g ' i d e a s h e l p s t h e l e a r n e r t o s e n s i b l y o r g a n i z e w h a t h e o r s h e k n o w s , a f f o r d i n g g r e a t e r u n d e r s t a n d i n g a n d c o n t r o l . T h u s , t h e c r i t e r i o n o f f o c u s a d d r e s s e s t h e e x t e n t t o w h i c h t h e f o r m a n d r e l a t i o n o f t h e r e p r e s e n t a t i o n c a l l a t t e n t i o n t o t h e c o n c e p t u a l e s s e n c e o f t h e c o n t e n t . T h a t i s , r e p r e s e n t a t i o n s s h o u l d s p o t l i g h t t h e c e n t r a l c o m p o n e n t s . A n o n e x a m p l e o f f o c u s i l l u s t r a t e s t h e p o i n t b e s t : A l l e n ' s m a n g o m o d e l o f s u b t r a c t i o n w i t h r e g r o u p i n g ( s e e b e l o w , a s w e l l a s i n c h a p t e r 5 ) f o c u s e d o n r e g r o u p i n g ' t w e n t y f o u r n e s s ' a n d o n m a n g o e s a s a n e x c i t i n g m e d i u m . Y e t r e g r o u p i n g t w e n t y - f o u r o b j e c t s i s n o t t h e o n l y k e y c o n c e p t u a l i s s u e i n " b o r r o w i n g . ” A d d i t i o n a l l y , b e c a u s e o f t h e i r n o v e l t y , m a n g o e s a s a m o d e l a r e l i k e l y t o d i s t r a c t f r o m r a t h e r t h a n h i g h l i g h t t h e c o n t e n t . T h e d e c i m a l n u m e r a t i o n s y s t e m a n d i t s r e l a t i o n s h i p t o g r o u p i n g , t h e m a t h e m a t i c a l h e a r t o f t h e m a t t e r , a r e n e e i n f o c u s i n t h e m a n g o m o d e l . A s s u c h , t h i s r e p r e s e n t a t i o n s e e m s u n p r o m i s i n g a s a m e a n s o f h e l p i n g s t u d e n t s u n d e r s t a n d r e g r o u p i n g i n s u b t r a c t i o n . I r e t u r n t o t h i s i n t h e n e x t s e c t i o n , a n a l y z i n g A l l e n ' s r e p r e s e n t a t i o n m o r e c l o s e l y . 1 3 T e a c h e r s ' u s e o f t h e s e c r i t e r i a i s o b v i o u s l y d e t e r m i n e d b y t h e i r o w n u n d e r s t a n d i n g o f t h e c o n t e n t , a s I w i l l i l l u s t r a t e b e l o w . 3 1 3 M a t h e m a t i c s i s a l o g i c a l s y s t e m , a s y s t e m o f i d e a s a n d w a y s o f t h i n k i n g . T o h e l p s t u d e n t s l e a r n m a t h e m a t i c s , t h e y m u s t u n d e r s t a n d t h e p a r t s a n d h o w t h e y f i t t o g e t h e r a s w e l l a s k n o w i n g t h e ' b i g ' i d e a s . D i f f e r e n t i a t i o n l a i s t h e k e y f a c t o r h e r e . D o e s t h e r e p r e s e n t a t i o n m a k e t h e p a r t s p l a i n e r , t h e t h i n k i n g a p p r e h e n d a b l e ? F o r e x a m p l e , u s i n g g r a p h p a p e r t o i n v e s t i g a t e t h e a r e a o f d i f f e r e n t r e c t a n g l e s m a k e s v i s i b l e t h e f o r m u l a f o r a r e a . T h i s m o d e l a l s o a c c e n t u a t e s t h e d i f f e r e n c e b e t w e e n p e r i m e t e r a n d a r e a . I n c o m p a r i n g t h e r e l a t i v e s i z e s o f d i s p a r a t e l y s h a p e d r e c t a n g l e s , s t u d e n t s c a n m a k e c o n j e c t u r e s a n d t r y t o s u b s t a n t i a t e t h e m b o t h e m p i r i c a l l y a n d l o g i c a l l y . G r a p h p a p e r , a s a r e p r e s e n t a t i o n a l m a t e r i a l , r e v e a l s s e v e r a l k e y c o m p o n e n t s o f c o n t e n t a n d p r o c e s s i n m e a s u r e m e n t . D i f f e r e n t i a t i o n r e v e a l s t h a t m o s t c o n t e n t h a s m u l t i p l e c o n c e p t u a l d i m e n s i o n s ; a n y s i n g l e r e p r e s e n t a t i o n i s u n l i k e l y t o c a r r y a l l o f t h e m . T h u s , a t h i r d w a r r a n t f o r l e a r n i n g i s . m u l t i f a c e t e d n e s s . O v e r t i m e , t h e p e d a g o g i c a l r e p r e s e n t a t i o n s e n c o u n t e r e d b y s t u d e n t s s h o u l d b e m u l t i p l e a n d s h o u l d r o u n d o u t t h e c o n c e p t u a l e s s e n c e o f a p a r t i c u l a r i d e a . L o o k i n g a t t h e d i v i s i o n e x a m p l e a g a i n h e l p s t o i l l u s t r a t e t h i s p o i n t . T a k i n g 4 5 9 b i n g o c h i p s a n d c o u n t i n g o u t t h a n o u t i n t o 1 8 e q u a l p i l e s p r o v i d e s a c o n c r e t e r e p r e s e n t a t i o n o f o n e m e a n i n g o f d i v i s i o n ; t a k i n g t h e 4 5 9 b o t t l e s a n d p a c k i n g t h e m i n t o c a r t o n s t h a t h o l d 1 8 b o t t l e s e a c h s h o w s a n o t h e r . F u r t h e r m o r e , e a c h r e p r e s e n t a t i o n l e a d s t o a d i f f e r e n t i n t e r p r e t a t i o n o f t h e a n s w e r . W i t h m o n e y , e a c h c h i l d g e t s $ 2 5 . 5 0 . W i t h b i n g o c h i p s , e a c h p i l e h a s 2 5 c h i p s a n d 9 a r e l e f t o v e r . A n d w i t h t h e b o t t l e s , o n e n e e d s 2 6 c a r t o n s 1 “ I n a n a l y z i n g p e o p l e ' s k n o w l e d g e o f h i s t o r y , W i l s o n ( 1 9 8 8 ) u s e s ” d i f f e r e n t i a t i o n " t o r e f e r t o a n u n d e r s t a n d i n g o f t h e m a j o r p a r t s o f a h i s t o r i c a l p h e n o m e n o n . 3 1 4 t o p a c k t h e m a l l , b u t 2 5 c a r t o n s a r e c o m p l e t e l y f u l l . I n e a c h c a s e , t h e c o m p u t e d a n s w e r , 2 5 . 5 , t a k e s o n a d i f f e r e n t m e a n i n g , s h o w i n g s t u d e n t s t h a t m a t h e m a t i c s m u s t b e i n t e r p r e t e d i n c o n t e x t . T h e t h r e e w a r r a n t s o f l e a r n i n g t h e o r y a r e i n t e r d e p e n d e n t a l t h o u g h n o t n e c e s s a r i l y c o i n c i d e n t . D i f f e r e n t i a t i o n c o n t r i b u t e s t o f o c u s t h r o u g h a t o p o g r a p h i c a l m a p p i n g o f a t o p i c . W h a t a r e i t s c o m p o n e n t s ? H o w d o t h e y r e l a t e t o o n e a n o t h e r a n d t o o t h e r , o u t s i d e , i d e a s ? M u l t i f a c e t e d n e s s , t o o , g r o w s o u t o f d i f f e r e n t i a t i o n a n d f o c u s , f o r k n o w i n g t h e k e y a n d c o n t r i b u t i n g c o m p o n e n t s o f a t o p i c p e r m i t s t h e t e a c h e r t o e n s u r e p o l y f o c a l r e p r e s e n t a t i o n o v e r t i m e . S t i l l , a r e p r e s e n t a t i o n m a y h a v e f o c u s - - t h a t i s , i t m a y e m p h a s i z e a k e y c o m p o n e n t - - b u t l a c k d i f f e r e n t i a t i o n . A r e p r e s e n t a t i o n o f m u l t i p l i c a t i o n t h a t d e a l t o n l y w i t h r e p e a t e d a d d i t i o n w o u l d h a v e f o c u s , y e t l a c k a t t e n t i o n t o o t h e r a s p e c t s o f t h e c o n c e p t w h i c h w o u l d n e e d t o b e c o m p e n s a t e d f o r t h r o u g h o t h e r , m u l t i f a c e t e d , r e p r e s e n t a t i o n s . W W W - T h e q u e s t i o n s . r e s p o n s e s , a n d t a s k s t h a t m a t h e m a t i c s t e a c h e r s g i v e a r e e f f e c t i v e o n l y i f t h e y c o n n e c t w i t h t h e s t u d e n t s . T h e s e l e c t i o n a n d c r e a t i o n o f g o o d r e p r e s e n t a t i o n s i s t h e r e f o r e c r i t i c a l l y d e p e n d e n t o n t h e i r m a t c h f o r l e a r n e r s . T w o c r i t e r i a a r e c e n t r a l : a c c e s s i b i l i t y a n d i n t e r e s t . F o r r e p r e s e n t a t i o n s t o b e h e l p f u l t o s t u d e n t s i n l e a r n i n g m a t h e m a t i c s , t h e y m u s t b e a c c e s s i b l e t o s t u d e n t s ; t h i s a c c e s s i b i l i t y i s p r i m a r i l y a f u n c t i o n o f t h e i r c o m p r e h e n s i b i l i t y . P r i o r k n o w l e d g e i s k e y h e r e . O n o n e h a n d , e x p l a n a t i o n s , e x a m p l e s , a n d a c t i v i t i e s e m p l o y e d t o h e l p s t u d e n t s l e a r n m a t h e m a t i c s a r e m o r e l i k e l y t o c a r r y t h e i n t e n d e d m e s s a g e s a n d m e a n i n g s i f t h e i r c o n t e n t i s f a m i l i a r t o 3 1 5 s t u d e n t s . F o r e x a m p l e , a l t h o u g h e l e c t r i c a l c h a r g e s m a y p r o v i d e a p r o m i s i n g m o d e l f o r t h e m u l t i p l i c a t i o n o f n e g a t i v e n u m b e r s , s i x t h g r a d e r s a r e a s u n f a m i l i a r w i t h t h e b e h a v i o r o f e l e c t r i c i t y a s t h e y a r e w i t h t h e b e h a v i o r o f n e g a t i v e n u m b e r s . A s s u c h , t h i s v e h i c l e w i l l n o t c o n t r i b u t e t o a n a c c e s s i b l e r e p r e s e n t a t i o n f o r t e a c h i n g a b o u t n e g a t i v e n u m b e r s . O n t h e o t h e r h a n d , a n a l o g i e s m a y a l s o p l a y i n t o o r f o s t e r s t u d e n t s ' m i s c o n c e p t i o n s a b o u t a t o p i c . F o r e x a m p l e , t h e e v e r y d a y i d e a o f “ b o r r o w i n g " m a y d i s t r a c t s t u d e n t s f r o m r e g r o u p i n g a n d p l a c e v a l u e t w o - d i g i t s u b t r a c t i o n , a n d m a y e n c o u r a g e t h e m t o t h i n k o f n u m b e r s i n t h e r i g h t h a n d c o l u m n “ b o r r o w i n g “ e q u a l - s i z e d n u m b e r s f r o m t h e n e x t c o l u m n . 1 5 T o a t t r a c t s t u d e n t s ' f o c u s , i n t e r e s t i s a c r i t i c a l c r i t e r i o n . I n t e r e s t i n c l u d e s b o t h t h o s e t h i n g s a b o u t w h i c h p u p i l s c a r e , a s w e l l a s t h o s e t h i n g s w h i c h m i g h t s t i m u l a t e s t u d e n t s ' e n g a g e m e n t i n t h e s u b j e c t . I n o t h e r w o r d s , i n t e r e s t s c a n b e s p a r k e d a s w e l l a s u s e d . F u r t h e r m o r e , c h o o s i n g r e p r e s e n t a t i o n s t h a t i n t e r e s t s t u d e n t s p e r s e o r t h a t e x p a n d t h e i r h o r i z o n s o f i n t e r e s t h e l p s t o c o n v e y t h a t m a t h e m a t i c s i s i t s e l f i n t e r e s t i n g . H e z x e n § e _ e £ _ e e n e e x § . V a l u a b l e p e d a g o g i c a l r e p r e s e n t a t i o n s m u s t s u i t t h e c o n t e x t s o f t e a c h i n g b y b e i n g b o t h f e a s i b l e a n d s e n s i t i v e . T o b e . f e a s i b l e , t h e y m u s t b e r e a s o n a b l y p o s s i b l e t o a c c o m p l i s h w i t h i n t h e s i t u a t i o n . F o r e x a m p l e , c o l l e c t i n g a m i l l i o n b o t t l e c a p s a s a 1 5 F o r i n s t a n c e , i n 1 1 6 t h e 6 b o r r o w s a 1 f r o m t h e 3 - - w h e n i t i s a c t u a l l y 3 6 b e i n g r e g r o u p i n g a n d e x p r e s s e d a s 2 t e n s a n d 1 6 o n e s . 3 1 6 m e a n s o f h e l p i n g s e c o n d g r a d e r s d e v e l o p a s e n s e o f v e r y l a r g e n u m b e r s i s n e e a f e a s i b l e a c t i v i t y , b u t e n g a g i n g e i g h t h g r a d e r s i n p r o v i n g t h a t i t i s n o t f e a s i b l e l e . E i g h t h g r a d e r s c a n f i g u r e o u t t h a t . c o l l e c t i n g a m i l l i o n b o t t l e c a p s r e q u i r e s t h a t t h e c l a s s c o m e u p w i t h 5 , 5 5 6 b o t t l e c a p s e v e r y s i n g l e d a y o f t h e s c h o o l y e a r . T h e y c a n s e e t h a t t h i s m e a n s t h a t e a c h c h i l d m u s t b r i n g i n , o n t h e a v e r a g e , 1 8 6 b o t t l e c a p s p e r d a y . P l a y i n g a r o u n d w i t h d i f f e r e n t c o m p o s i t i o n s o f 1 , 0 0 0 , 0 0 0 a c r o s s 1 8 0 d a y s a n d 3 0 c h i l d r e n i s a f e a s i b l e t a s k f o r 1 3 - y e a r - o l d s i n a c l a s s r o o m . A n o t h e r a s p e c t o f f e a s i b i l i t y i s t h e t e a c h e r ' s c o m f o r t a n d s k i l l w i t h t h e r e p r e s e n t a t i o n - - i s i t s o m e t h i n g t h a t h e f e e l s h e c a n p u l l o f f ? 1 6 S e n s i t i v i t y i s a s e c o n d c o n t e x t u a l c r i t e r i o n . R e p r e s e n t a t i o n s , a s b o r r o w e d l i k e n e s s e s , n e c e s s a r i l y c a r r y w i t h t h e m o t h e r f e a t u r e s b e y o n d t h o s e w h i c h c o n n e c t t h e m t o t h e c o n t e n t . C e r t a i n f e a t u r e s m a y b e u n a c c e p t a b l e o r u n h e l p f u l w h e r e a s o t h e r s m a y m e s h p a r t i c u l a r l y w e l l w i t h i n a g i v e n c u l t u r a l o r s o c i a l c o n t e x t . F o r e x a m p l e , i n s o m e E s k i m o c u l t u r e s , t h e n o t i o n o f a “ f a i r s h a r e ' i m p l i e s t h a t e a c h p e r s o n g e t s w h a t h e o r s h e n e e e e , n o t n e c e s s a r i l y a s h a r e t h a t i s e q u a l t o o t h e r s ' i n q u a n t i t y o r q u a l i t y . T o r e p r e s e n t t h e c o n c e p t o f d i v i s i o n ( w h i c h i m p l i e s e q u a l p o r t i o n s ) u s i n g s i t u a t i o n s i n w h i c h p e o p l e a r e t r y i n g t o s h a r e f o o d f a i r l y m a y n o t m a k e a l o t o f s e n s e t o c h i l d r e n f r o m t h i s c u l t u r e ( M c D i a r m i d , B a l l , 8 A n d e r s o n , i n p r e s s ) . Y e t , t h e c u l t u r a l o r s o c i a l c o n t e x t s m a y r a n g e i n r e c e p t i v e n e s s t o c e r t a i n r e p r e s e n t a t i o n s . T e a c h e r s n e e d t o f a c t o r t h e s e i n t o t h e i r p e d a g o g i c a l r e a s o n i n g . 1 6 T h i s l a t t e r d i m e n s i o n o f f e a s i b i l i t y i s d i f f e r e n t i n t h a t t e a c h e r s ' c o m f o r t a n d s k i l l a r e t h i n g s t h a t c a n e h e n g e . 3 1 7 W W W E v e n w i t h e x p l i c i t s t a n d a r d s f o r w h a t m a k e s a g o o d r e p r e s e n t a t i o n i n m a t h e m a t i c a l p e d a g o g y , n o r e p r e s e n t a t i o n i s p e r f e c t . F i r s t , a s b o r r o w e d l i k e n e s s e s , r e p r e s e n t a t i o n s a r e n e v e r i s o m o r p h i c w i t h t h e o b j e c t o f r e p r e s e n t a t i o n . B u c h m a n n ( 1 9 8 8 ) r e m i n d s u s t h a t p e d a g o g i c a l r e a s o n i n g a s a p r o c e s s c a n n o t p r o d u c e n e c e s s a r y l o g i c a l o r u n a m b i g u o u s c o n c l u s i o n s : ” T h e a r g u m e n t s o f t e a c h e r s w i l l , o f n e c e s s i t y , i n v o l v e c o n t e n t s , p e r s o n s , c o n f l i c t s , a n d i n t e r p r e t a t i o n s ; t o g e t h e r w i t h c r i t i c i s m a n d r e g r e t s , t h e s e e l e m e n t s a c c o u n t f o r t h e c o n t i n u i t y a n d i n c o n c l u s i v e n e s s o f t e a c h e r t h i n k i n g “ ( p . 1 0 ) . A s s u c h , t h e w a r r a n t s f o r p e d a g o g i c a l c o n t e n t k n o w l e d g e i n m a t h e m a t i c s t h a t g u i d e t h e d e v e l o p m e n t a n d u s e o f p e d a g o g i c a l r e p r e s e n t a t i o n s a r e s i g n p o s t s o n l y . T h e s e s i g n p o s t s m a r k t h e e s s e n t i a l c o n s i d e r a t i o n s f o r p e d a g o g i c a l r e a s o n i n g a b o u t t h e t e a c h i n g o f m a t h e m a t i c s . H o w e v e r , a s s i g n p o s t s , t h e w a r r a n t s n e i t h e r b o u n d n o r p r e s c r i b e t h e p r o d u c t s o f t h a t p r o c e s s , f o r , i n t e a c h i n g , c o m p e t i n g c o n s i d e r a t i o n s c o m e i n t o p l a y . T e a c h e r s c a n n o t c o m p l e t e l y r e s o l v e a l l t h e s e c o m p e t i n g c o n s i d e r a t i o n s a t o n c e ( B e r l a k 8 B e r l a k , 1 9 8 1 ; B u c h m a n n , 1 9 8 8 ; L a m p e r t , 1 9 8 5 a ) . F u r t h e r m o r e , L a m p e r t ( 1 9 8 5 a ) r e m i n d s u s t h a t t h i s j u g g l i n g i s n o t e h e e x e e ; - - t e a c h e r s ' p e d a g o g i c a l r e a s o n i n g t a k e s p l a c e i n c o n c r e t e , d y n a m i c s i t u a t i o n s , i n h e r e n t l y f r a u g h t w i t h d i l e m m a s . T h e p o i n t h e r e i s t h a t j u s t i f i e d e e e l e n a n d l o g i c a l l y n e c e s s a r y e e n e l n e l e n a r e n o t t h e s a m e t h i n g . T h e s t a n d a r d s f o r g o o d p e d a g o g i c a l r e p r e s e n t a t i o n s a r e t h u s a n y t h i n g b u t s t r a i g h t f o r w a r d a n d e a s y t o a p p l y . S t u d e n t s a r e d i v e r s e , e v e n m a t h e m a t i c i a n s d i s a g r e e a b o u t t h e n a t u r e a n d s u b s t a n c e o f m a t h e m a t i c s ( D a v i s 8 H e r s h , 1 9 8 1 ; K l i n e , 1 9 8 1 ) , a n d r e p r e s e n t a t i o n s 3 1 8 t h a t w o r k w e l l f o r o n e p u r p o s e o r c o n t e x t m a y b e i n a d e q u a t e o r m i s l e a d i n g i n o t h e r r e s p e c t s . A b r i e f e x a m p l e i l l u s t r a t e s t h e c o n f l i c t e d n a t u r e o f p e d a g o g i c a l r e a s o n i n g a n d j u s t i f i c a t i o n i n m a t h e m a t i c a l p e d a g o g y . M o n e y i s o f t e n u s e d t o m o d e l d e c i m a l f r a c t i o n s . S t u d e n t s c a n e x p l o r e t h e b a s e t e n r e l a t i o n s h i p s a m o n g p e n n i e s , d i m e s , d o l l a r s , a n d s o o n . T a k i n g a d v a n t a g e o f t h e i r f a m i l i a r i t y w i t h c o i n s , t h e m o d e l r e l a t e s m a t h e m a t i c s a n d t h e e v e r y d a y w o r l d . T h i s i s a c o m m o n a n d r e a s o n a b l e r e p r e s e n t a t i o n . Y e t , l i k e a l l r e p r e s e n t a t i o n s , i t i s u n e v e n l y w a r r a n t e d . F r o m t h e m a t h e m a t i c a l p e r s p e c t i v e , o u r m o n e y s y s t e m d o e s m o d e l b a s e t e n r e l a t i o n s h i p s w e l l . Y e t , e x c e p t f o r g a s p r i c e s ( i . e . , . 9 7 9 p e r g a l l o n ) , m o n e y d o e s n o t m o d e l t h e n u m b e r s y s t e m b e y o n d h u n d r e d t h s , a l i m i t a t i o n . C o n s i d e r i n g h o w w e l l i t m i g h t h e l p s t u d e n t s l e a r n , m o n e y d o e s f o c u s o n s o m e c r i t i c a l c o m p o n e n t s o f t h e c o n c e p t o f d e c i m a l s : p a r t - w h o l e r e l a t i o n s h i p s a n d b a s e t e n . H o w e v e r , s i n c e n i c k e l s a n d q u a r t e r s a r e e q u a l l y v a l i d c o m p o n e n t s o f o u r m o n e t a r y s y s t e m , s t u d e n t s m a y b e d i s t r a c t e d f r o m t h e c r i t i c a l b a s e t e n c o n c e p t . M o r e o v e r , a n a l y s i s p o i n t s u p a s h o r t c o m i n g : N o t h i n g i n h e r e n t l y r e q u i r e s y o u t o ” t r a d e u p “ w h e n y o u h a v e 1 0 o f a n y c o i n : " W h a t ' s ‘ w r o n g , ’ f o r e x a m p l e , w i t h h a v i n g 1 6 d o l l a r s , 2 2 d i m e s , a n d 1 4 p e n n i e s ? “ ( S c h o e n f e l d , 1 9 8 6 , p . 2 3 5 ) W h a t a b o u t l e a r n e r s ? T e n - y e a r - o l d s a r e b o t h f a m i l i a r a n d c o m p e t e n t w i t h m o n e y , a n d s o m o n e y m a y s e r v e a s a u s e f u l l i n k t o u n d e r s t a n d i n g d e c i m a l n u m e r a t i o n . T h a t t h e y a l r e a d y k n o w t h a t 1 0 0 p e n n i e s a r e e q u a l t o a d o l l a r , a n d t h a t “ $ . 0 1 ” r e p r e s e n t s a p e n n y m a y h e l p p u p i l s t o u n d e r s t a n d t h e n u m b e r “ o n e h u n d r e d t h ” a n d i t s n o t a t i o n . 3 1 9 C h i l d r e n o f t h i s a g e a l s o u s u a l l y l l k e m o n e y ; u s i n g m o n e y m a y e n h a n c e t h e i r a t t e n t i o n t o a l e s s o n . I s i t n e c e s s a r y t o u s e r e a l m o n e y t o e x p l o i t t h i s r e p r e s e n t a t i o n w i t h f i f t h g r a d e r s ? I f s o , i t m a y b e u n f e a s i b l e . T h i s e x a m p l e r e v e a l s t h e m u l t i p l e c o n s i d e r a t i o n s t e a c h e r s f a c e i n t r y i n g t o r e p r e s e n t m a t h e m a t i c s i n a p p r o p r i a t e a n d h e l p f u l w a y s f o r t h e i r s t u d e n t s . S t i l l , t h e s t a n d a r d s d i s c u s s e d a b o v e d o p r o v i d e a n i n i t i a l f r a m e w o r k f o r e v a l u a t i n g b o t h t h e p r o d u c t s - - p e d a g o g i c a l r e p r e s e n t a t i o n s - - a n d t h e p r o c e s s e s - - p e d a g o g i c a l r e a s o n i n g - ~ o f t e a c h i n g m a t h e m a t i c s . T h e f o l l o w i n g e x t e n d e d e x a m p l e , t a k e n f r o m L a m p e r t ( 1 9 8 6 ) , i l l u s t r a t e s t h e w a y s i n w h i c h a n e x p e r i e n c e d t e a c h e r m i g h t r e a s o n a b o u t a n d j u s t i f y h e r d e c i s i o n s a b o u t r e p r e s e n t a t i o n i n t e a c h i n g m a t h e m a t i c s w h e n s h e h o l d s m a t h e m a t i c a l p e d a g o g y a s a v i e w o f g o o d t e a c h i n g . I n t h e f o l l o w i n g d i s c u s s i o n , I r e l y o n L a m p e r t ' s v o i c e f r o m h e r w r i t i n g a b o u t h e r o w n t e a c h i n g . T h i s e x a m p l e p r o v i d e s a n i m a g e o f w a r r a n t e d p e d a g o g i c a l r e a s o n i n g a g a i n s t w h i c h t o c o m p a r e t h e r e a s o n i n g o f t h e p r o s p e c t i v e t e a c h e r s . E a r l y i n a u n i t o n m u l t i - d i g i t m u l t i p l i c a t i o n , L a m p e r t e n g a g e d h e r s t u d e n t s i n a c o i n p r o b l e m : “ U s i n g o n l y t w o k i n d s o f c o i n s , m a k e $ 1 . 0 0 w i t h 1 9 c o i n s . “ S h e e x p l a i n s t h a t t h e p r o c e d u r e s n e e d e d t o s o l v e t h i s p r o b l e m e n t a i l m a n y o f t h e s a m e m a t h e m a t i c a l p r i n c i p l e s a s t h o s e t h a t u n d e r l i e m u l t i p l i c a t i o n c o m p u t a t i o n : a d d i t i v e c o m p o s i t i o n , d i s t r i b u t i v i t y , p l a c e v a l u e , a m o n g o t h e r s . L a m p e r t n o t e s t h a t , a l t h o u g h m o n e y d o e s n o t m a p p e r f e c t l y o n t o p l a c e v a l u e ( e . g . , n i c k e l s a n d q u a r t e r s a r e r e a s o n a b l e i n m o n e y , b u t n o t p a r t o f t h e b a s e t e n 3 2 0 s y s t e m ) , t h e s t u d e n t s ' f a m i l i a r i t y w i t h m o n e y g a v e t h e m “ t h e o p p o r t u n i t y t o d o m a t h e m a t i c s c o n f i d e n t l y i n a n a r e a w h e r e t h e y w o u l d l a t e r b e i n t r o d u c e d t o m o r e a b s t r a c t f o r m s ” ( p . 3 1 8 ) - - i . e . m u l t i p l i c a t i o n c o m p u t a t i o n . A s t h e c l a s s d i d o t h e r c o i n p r o b l e m s , L a m p e r t g u i d e d t h e m t o r e c o r d t h e i r s o l u t i o n s i n w a y s t h a t h e l p e d t o m a k e t r a n s p a r e n t t h e m u l t i p l i c a t i o n a n d a d d i t i o n c o m p o s i t i o n p r o c e d u r e s i n v o l v e d . F o r e x a m p l e , i n t r y i n g t o m a k e a d o l l a r o u t o f c o m b i n a t i o n s o f d i m e s a n d / o r n i c k e l s , c h i l d r e n w o u l d r e c o r d b o t h t h e i r a t t e m p t s a n d t h e i r s u c c e s s f u l s o l u t i o n s a s f o l l o w s : d n t o t a l a m o u n t o f m o n e y L a m p e r t a r g u e d t h a t , a l t h o u g h t h i s r e c o r d i n g s y s t e m w a s q u i t e a b s t r a c t , t h e f a c t t h a t i t w a s b u i l t o n t h e s t u d e n t s ' f a m i l i a r i t y w i t h e x c h a n g e s o f c o i n s m e a n t t h a t i t c o u l d h e l p t o p r e p a r e t h e s t u d e n t s f o r t h e u n f a m i l i a r p r o c e d u r e s o f m u l t i d i g i t m u l t i p l i c a t i o n . N e x t , L a m p e r t l a u n c h e d a d i f f e r e n t r e p r e s e n t a t i o n . S h e d e c i d e d t o e n g a g e h e r s t u d e n t s i n t e l l i n g a n d i l l u s t r a t i n g m u l t i p l i c a t i o n s t o r i e s . F o r e x a m p l e , s h e a s k e d t h e p u p i l s t o c o m e u p w i t h a s t o r y f o r 2 8 x 6 5 . O n e g i r l s u g g e s t e d 2 8 g l a s s e s w i t h 6 5 d r o p s o f w a t e r i n e a c h g l a s s . L a m p e r t a c c e p t e d t h i s p r o p o s a l , a l t h o u g h s h e w a s a w a r e t h a t d r o p s o f w a t e r w e r e p r o b l e m a t i c a s a r e p r e s e n t a t i o n o f q u a n t i t y ( p . 3 2 7 ) . S h e t o l d t h e c l a s s t h a t s h e d i d n o t w a n t t o d r a w 2 8 g l a s s e s o n t h e b o a r d s o s h e w o u l d d r a w b i g j u g s t h a t h e l d t h e e q u i v a l e n t o f 1 0 g l a s s e s . S h e a s k e d t h e c l a s s h o w m a n y j u g s a n d h o w m a n y g l a s s e s s h e w o u l d n e e d i n o r d e r t o r e p r e s e n t t h e 2 8 g l a s s e s . T h e y t o l d h e r : 2 : 3 n o t C ! ( : 5 ] « ( L a m p e r t , 1 9 8 6 , p . 3 2 8 ) 3 2 1 j u g s a n d 8 g l a s s e s . A s s h e d r e w b i g j u g s a n d g l a s s e s o n t h e c h a l k b o a r d , s h e q u e r i e d a g a i n : H o w m a n y d r o p s o f w a t e r i n e a c h g l a s s a n d i n e a c h j u g ? E a c h t i m e a s t u d e n t a n s w e r e d , L a m p e r t a s k e d t h e s t u d e n t t o e x p l a i n h i s o r h e r a n s w e r . T h e c h a l k b o a r d d r a w i n g l o o k e d l i k e t h i s : G ] Q ‘ 3 G I ] C - _ C L I N e x t L a m p e r t a s k e d t h e c l a s s h o w t h e y c o u l d f i n d o u t h o w m a n y d r o p s o f w a t e r t h e r e a r e a l t o g e t h e r . T h e y s a i d t h a t t h e y s h o u l d a d d t h e j u g s a n d g l a s s e s t o g e t h e r . T h e p u p i l s u n d e r s t o o d r e a d i l y t h a t t h e t w o j u g s c o n t a i n e d a t o t a l o f 1 , 3 0 0 d r o p s . L a m p e r t t h e n p r o c e e d e d t o t e a c h t h e m a " t r i c k “ t h a t m a d e i t e a s i e r t o a d d t h e 8 g l a s s e s t o g e t h e r : S h e s u g g e s t e d t h a t t h e y c o u l d t a k e 5 d r o p s o f w a t e r o u t o f e a c h g l a s s a n d p u t t h e m i n a n o t h e r c o n t a i n e r , l e a v i n g 6 0 d r o p s i n e a c h g l a s s . S h e a s k e d t h e c l a s s h o w m a n y d r o p s w o u l d t h e r e b e i n a l l t h e g l a s s e s t h e n . S o m e o n e e x p l a i n e d t h a t i t w o u l d b e 4 8 0 w i t h j u s t 4 0 d r o p s i n t h e o t h e r c o n t a i n e r . C o m b i n i n g t h o s e y i e l d s 5 2 0 d r o p s , a n d a d d i n g t h o s e t o t h e 1 , 3 0 0 e q u a l s 1 , 8 2 0 . L a m p e r t p o i n t e d o u t t h a t b y u s i n g “ c l e v e r g r o u p i n g s ” t h e y h a d f i g u r e d o u t 2 8 x 6 5 w i t h o u t d o i n g a n y p a p e r - p e n c i l c o m p u t a t i o n . 3 2 2 A t o n e p o i n t , o n e o f h e r g i r l s s a i d s h e h a d c o m e u p w i t h “ a n o t h e r w a y o f t h i n k i n g a b o u t i t . ” L a m p e r t l i s t e n e d i n t e n t l y a n d w r o t e t h e s t u d e n t ' s e x p l a n a t i o n o n t h e b o a r d ' s o a s t o g i v e i t e q u a l w e i g h t i n t h e e y e s o f t h e c l a s s “ ( p . 3 2 9 ) . T o g e t h e r t h e c l a s s e x p l o r e d w h e t h e r a n d w h y t h e s t u d e n t ' s i d e a m a d e s e n s e m a t h e m a t i c a l l y . L a m p e r t s p e n t a f e w m o r e d a y s u s i n g s t u d e n t s ' s t o r i e s t o d r a w p i c t u r e s a n d e x a m i n e t h e w a y s i n w h i c h t h e n u m b e r s c o u l d b e d e c o m p o s e d , m u l t i p l i e d i n p a r t s , a n d r e c o m b i n e d . N e x t s h e c o n s t r u c t e d a s s i g n m e n t s w h i c h r e q u i r e d t h e s t u d e n t s t o m a k e u p a n d i l l u s t r a t e s t o r i e s , a s w e l l a s w r i t e t h e n u m e r i c a l r e p r e s e n t a t i o n s . S o m e t i m e s s h e a s k e d t h e m t o d e c o m p o s e a n d r e c o m b i n e t h e q u a n t i t i e s i n m o r e t h a n o n e w a y . T h e y p r e s e n t e d a n d d e f e n d e d t h e i r s o l u t i o n s t o o t h e r c l a s s m e m b e r s . L a m p e r t m o v e d o n f r o m t h i s t o w o r k w i t h h e r c l a s s o n t h e m e a n i n g s o f t h e s t e p s i n p a p e r - p e n c i l c o m p u t a t i o n , u s i n g a l t e r n a t i v e a l g o r i t h m s ( i . e . , ” n o - c a r r y " m e t h o d ) a s w e l l a s t h e t r a d i t i o n a l o n e . I n w r i t i n g a b o u t t h i s w o r k , L a m p e r t ( 1 9 8 6 ) r e f l e c t e d o n t h e ‘ c o n t r i b u t i o n s o f t h i s s e r i e s o f l e s s o n s t o h e r o v e r a l l g o a l s i n t e a c h i n g m u l t i p l i c a t i o n : T h e y w e r e u s i n g t h e l a n g u a g e a n d d r a w i n g s w e h a d p r a c t i c e d t o b u i l d a b r i d g e b e t w e e n t h e i r i n t u i t i v e k n o w l e d g e a b o u t h o w c o n c r e t e k n o w l e d g e c a n b e g r o u p e d f o r c o u n t i n g a n d t h e m e a n i n g o f a r i t h m e t i c p r o c e d u r e s u s i n g a r i t h m e t i c s y m b o l s . B y r e w a r d i n g t h e m f o r i n v e n t i n g r e a s o n a b l e p r o c e d u r e s r a t h e r t h a n f o r s i m p l y f i n d i n g t h e c o r r e c t a n s w e r , I w a s a b l e t o c o m m u n i c a t e a b r o a d e r v i e w o f w h a t i t m e a n s t o k n o w m a t h e m a t i c s a n d l e a r n s o m e t h i n g f r o m w h a t t h e y w e r e d o i n g a b o u t h o w t h e y w o u l d u s e m a t h e m a t i c a l p r o c e d u r e s i n a c o n c r e t e c o n t e x t . ( p . 3 3 0 ) S h e o b s e r v e d a l s o t h a t h e r s t u d e n t s w e r e g a i n i n g i n t h e i r a b i l i t y t o s u b s t a n t i a t e t h e i r c l a i m s u s i n g r e a s o n s “ t h a t c a m e v e r y c l o s e t o t h e s t e p s o f a m a t h e m a t i c a l p r o o f a s w e l l a s i n v e n t i n g “ l e g i t i m a t e 3 2 3 v a r i a t i o n s o n b o t h c o n c r e t e a n d c o m p u t a t i o n a l p r o c e d u r e s “ ( L a m p e r t , 1 9 8 6 , p . 3 3 7 ) . W I n r e a s o n i n g a b o u t a n d j u s t i f y i n g h e r d e c i s i o n s a b o u t h o w t o r e p r e s e n t m a t h e m a t i c s t o h e r s t u d e n t s , L a m p e r t e x p l i c i t l y c o n s i d e r e d w h a t s h e k n e w a b o u t s t u d e n t s , a b o u t l e a r n i n g a n d a b o u t m a t h e m a t i c s i n t o a c c o u n t ( s e e F i g u r e 6 . 2 ) . [ l e g g ‘ h e n e e l e e l b L a m p e r t ' s g o a l w a s t o r e p r e s e n t t h e c o n c e p t u a l e s s e n c e o f t h e m a t h e m a t i c s s h e w a s t e a c h i n g . A n a l y z i n g m u l t i p l i c a t i o n a n d p l a c e v a l u e , s h e i s o l a t e d s e v e r a l k e y p r i n c i p l e s t h a t f o r m e d t h e b a s i s f o r b o t h t h e c o n c e p t a n d t h e p r o c e d u r e , a n d s h e c h o s e t a s k s , f o c u s e d h e r q u e s t i o n s , a n d o f f e r e d s u g g e s t i o n s t h a t s h e t h o u g h t w o u l d c o n t r i b u t e t o s t u d e n t s ' e n g a g e m e n t w i t h t h o s e k e y i d e a s . F o r e x a m p l e , w h e n s h e g a v e h e r s t u d e n t s a s y s t e m f o r r e c o r d i n g t h e i r s o l u t i o n s t o t h e c o i n p r o b l e m s , i t w a s a s y s t e m i n t e n d e d t o f e a t u r e t h e c o n c e p t u a l b a s i s o f c o m p o s i t i o n . L a m p e r t a l s o c a r e f u l l y c o n s i d e r e d t h e a p p r o p r i a t e n e s s o f t h e e p i s t e m o l o g i c a l m e s s a g e s s h e c o n v e y e d b y e x p e c t i n g s t u d e n t s t o j u s t i f y t h e i r i d e a s , b y e n c o u r a g i n g t h e m t o r e c o r d f a l s e s t a r t s a s w e l l a s s u c c e s s f u l s o l u t i o n s t o p r o b l e m s , a n d b y e x p l i c i t l y v a l u i n g a l t e r n a t i v e a p p r o a c h e s . L e e z n e n e . W h i l e L a m p e r t r e c o g n i z e d s o m e p r o b l e m s w i t h m o n e y a s a m o d e l f o r t h e m a t h e m a t i c s s h e w a s t e a c h i n g , s h e d e c i d e d t h a t u s i n g c o i n p r o b l e m s w o u l d t a k e a d v a n t a g e o f s t u d e n t s ' f a m i l i a r i t y w i t h a n d i n t e r e s t i n m o n e y . T h e y w e r e t h e r e b y a b l e t o u s e t h e f a m i l i a r t o a c c e s s t h e u n k n o w n . B e c a u s e h a l f h e r s t u d e n t s a r e f r o m c o u n t r i e s o u t s i d e t h e U n i t e d S t a t e s , L a m p e r t a l s o s p e n t s o m e t i m e t e a c h i n g a b o u t 3 2 4 A m e r i c a n c o i n s s o t h a t h e r s t u d e n t s c o u l d u n d e r s t a n d t h e m o d e l s h e w a s u s i n g . L e e r n l n g . L a m p e r t u s e d m u l t i p l e r e p r e s e n t a t i o n s - ~ c o i n s , c h a r t s , p i c t u r e s , t h e c o n v e n t i o n a l a l g o r i t h m - - i n o r d e r t o f o c u s o n d i f f e r e n t f e a t u r e s o f t h e c o n t e n t . T h e s e r e p r e s e n t a t i o n s w e r e v e r b a l , p i c t o r i a l , a n d s y m b o l i c i n n a t u r e . H e r a n a l y s i s o f m u l t i p l i c a t i o n h e l p e d h e r t o s e e t h e c o m p o n e n t u n d e r l y i n g p r i n c i p l e s ; s h e u s e d t h i s i n s i g h t t o m a k e s u r e s h e h i g h l i g h t e d d i f f e r e n t a s p e c t s o f m u l t i d i g i t m u l t i p l i c a t i o n o v e r t h e c o u r s e o f h e r w o r k w i t h h e r s t u d e n t s - - p l a c e v a l u e , c o m p o s i t i o n , a n d d i s t r i b u t i v i t y , f o r e x a m p l e . Q Q D E Q K S - L a m p e r t d o e s n o t m e n t i o n c o n t e x t e x p l i c i t l y i n h e r e x p l a n a t i o n s o f w h a t s h e c h o s e t o d o . S t i l l , t h e r e p r e s e n t a t i o n s s h e s e l e c t e d s e e m e d t o b e f e a s i b l e , f o r s h e m a n a g e d t o d o t h e t h i n g s s h e c h o s e . S e n s i t i v i t y i s d i f f i c u l t t o e v a l u a t e w i t h o u t m o r e i n f o r m a t i o n a b o u t t h e c o n t e x t ; h o w e v e r , n o s i g n s o f i n s e n s i t i v i t y t o c o n t e x t a r e a p p a r e n t . 1 7 1 7 H e r f a i l u r e t o m e n t i o n c o n t e x t i n h e r w r i t t e n a c c o u n t m a y b e b e c a u s e c o n t e x t b o u n d s h e r p e d a g o g i c a l r e a s o n i n g ; i t m a y p r e c e d e t h e s p e c i f i c c o n s i d e r a t i o n s i n v o l v e d i n a p a r t i c u l a r l e s s o n . Q u e s t i o n s a b o u t t h e p r i o r i t y o r p l a c e o f t h e s e w a r r a n t s i n r e l a t i o n t o o n e a n o t h e r i s a n i s s u e I h a v e n o t y e t u n p a c k e d ( s e e C h a p t e r 7 ) . 3 2 5 M A T H E M A T I C S c o n c e p t u a l e s s e n c e e p i s t e m o l o g i c a l a p p r o p r i a t e n e s s L E A R N I N G f e c u s a n a l y s i s m u l t i f a c e t e d n e s s I I I R N E R S a c c e s s i b i l i t y L a m p e r t ' s w a r r a n t s f o r r e p r e s e n t a t i o n s i n t e a c h i n g m u l t i d i g i t m u l t i p l i c a t i o n F i g u r e 6 . 2 3 2 6 W a s : W W L a m p e r t ' s c h o i c e s a n d h e r j u s t i f i c a t i o n s f o r t h o s e d e c i s i o n s r e f l e c t b o t h w h a t s h e k n o w s a n d b e l i e v e s a s w e l l w h a t s h e h o l d s t o b e i m p o r t a n t - - h e r g o a l s . S e r i o u s l y c o m m i t t e d t o e n g a g i n g s t u d e n t s i n g e n u i n e m a t h e m a t i c a l d i s c o u r s e a n d a c t i v i t y , s h e i s i n c l i n e d t o s e e k r e p r e s e n t a t i o n s t h a t f a c i l i t a t e t h o s e g o a l s . S h e i s d i s p o s e d t o s e e a n d t h o u g h t f u l l y w e i g h c o m p e t i n g c o n s i d e r a t i o n s i n t e a c h i n g m a t h e m a t i c s . W i t h o u t h e r u n d e r s t a n d i n g s o f m a t h e m a t i c s a n d h e r k n o w l e d g e a b o u t f o u r t h g r a d e r s , h o w e v e r , h e r c a p a c i t y t o g e n e r a t e g o o d r e p r e s e n t a t i o n s - o t a s k s , q u e s t i o n s , a n d s o f o r t h - ~ w o u l d b e s e v e r e l y h a m p e r e d . N e i t h e r k n o w l e d g e n o r d i s p o s i t i o n a l o n e c a n a c c o u n t f o r t e a c h e r r e a s o n i n g , a f a c t t h a t b e c o m e s s t i l l m o r e c l e a r w h e n w e t u r n t o e x a m i n e t h e r e a s o n i n g o f t h e p r o s p e c t i v e t e a c h e r s . 3 2 7 H o w d o p r o s p e c t i v e t e a c h e r s ' r e p r e s e n t a t i o n s a n d w a y s o f r e a s o n i n g c o m p a r e w i t h t h i s m o d e l ? W h a t w a r r a n t s d o t h e y c o n s i d e r ? W h a t c r i t e r i a d o t h e y h o l d t o b e i m p o r t a n t ? T h e s e q u e s t i o n s o f f e r a n o t h e r c r i t i c a l p e r s p e c t i v e o n t h e q u e s t i o n o f w h a t p r o s p e c t i v e t e a c h e r s b r i n g w i t h t h e m t o t e a c h e r e d u c a t i o n r e l a t e d t o t h e t e a c h i n g o f m a t h e m a t i c s . I n o t h e r w o r d s , w e a s k n o t o n l y w h a t p r o s p e c t i v e t e a c h e r s k n o w a n d b e l i e v e , b u t a l s o h o w t h e y t h i n k a n d r e a s o n . T h i s , t h e s u b s t a n c e a n d s y n t a x o f t h e i r k n o w l e d g e , i s w h a t t h e y b r i n g w i t h t h e m t o t h e i r p r o f e s s i o n a l p r e p a r a t i o n . N o n e o f t h e p r o s p e c t i v e t e a c h e r s t o o k t h e r e p r e s e n t a t i o n o f m a t h e m a t i c s e e _ e _ e l e e l n l l n e a s t h e i r g u i d i n g p r i n c i p l e . I n s t e a d , t h e y w e r e m o s t c o n c e r n e d e i t h e r w i t h e n g a g i n g s t u d e n t s ' i n t e r e s t s o r b e i n g d i r e c t a n d c l e a r a b o u t t h e s p e c i f i c m a t h e m a t i c a l c o n t e n t . I n t h i s s e c t i o n , I i l l u s t r a t e t h e s e t w o p a t t e r n s o f r e a s o n i n g , a n d s h o w h o w t h e y d i f f e r f r o m t h e m o d e l o f p e d a g o g i c a l r e a s o n i n g i n m a t h e m a t i c a l p e d a g o g y . I d o n o t c l a i m t h a t t h e s e t h r e e a r e t h e o n l y p a t t e r n s o f r e a s o n i n g u s e d b y t h e t e a c h e r c a n d i d a t e s , b u t o n l y t h a t t h e s e p a t t e r n s w e r e p r e v a l e n t . I i n t r o d u c e a n d d i s c u s s t h e m h e r e p r i m a r i l y t o s u p p o r t t h e a r g u m e n t f o r p a y i n g a t t e n t i o n t o t e a c h e r c a n d i d a t e s ' w a y s o f r e a s o n i n g a b o u t t h e t e a c h i n g o f m a t h e m a t i c s , a n d t o f u r t h e r i l l u s t r a t e t h e i n t e r a c t i o n b e t w e e n k n o w l e d g e a n d d i s p o s i t i o n i n ' p e d a g o g i c a l r e a s o n i n g . 1 8 S e e c h a p t e r 6 o f W i l s o n ( 1 9 8 8 ) , i n w h i c h s h e a n a l y z e s t h e p a t t e r n s o f p e d a g o g i c a l r e a s o n i n g o f f o u r d i f f e r e n t c a t e g o r i e s o f p e o p l e - - e x p e r t h i s t o r y t e a c h e r s , e x p e r t E n g l i s h t e a c h e r s , n o v i c e s o c i a l s t u d i e s t e a c h e r s , a n d . h i s t o r i a n s ~ - i n t e a c h i n g U . S . h i s t o r y . 3 2 8 I n r e a s o n i n g a b o u t t a s k s , e x p l a n a t i o n s , a n d e x a m p l e s , m a n y o f t h e t e a c h e r c a n d i d a t e s r e l i e d h e a v i l y , i f n o t e x c l u s i v e l y , o n t h e l e a r n e r w a r r a n t : W h a t w i l l s t u d e n t s f i n d f u n o r i n t e r e s t i n g ? W h a t w i l l t h e y b e a b l e t o r e l a t e t o ? T h e p r o s p e c t i v e t e a c h e r s ' f o c u s o n t h e l e a r n e r w a r r a n t r e f l e c t e d t h e i r u n d e r l y i n g a s s u m p t i o n a b o u t l e a r n i n g : t h a t i f c h i l d r e n a r e h a v i n g f u n o r a r e a b l e t o ” r e l a t e " t o t h e m a t e r i a l , t h e y w i l l l e a r n . T o i l l u s t r a t e a n d a n a l y z e t h i s p a t t e r n , I r e t u r n t o A l l e n ' s u s e o f m a n g o e s a s a n i n s t a n c e o f t h i s w a y o f t h i n k i n g . A l l e n g e n e r a t e d a n o r i g i n a l r e p r e s e n t a t i o n f o r t e a c h i n g s u b t r a c t i o n w i t h r e g r o u p i n g , u s i n g m a n g o e s a s t h e m o d e l . H e d e s c r i b e d h o w h e w o u l d ' g e t a l o t o f m a n g o e s “ a n d p l a c e a p i l e o f t h e m i n t h e m i d d l e o f t h e f l o o r . T h e n , h e e x p l a i n e d , Y o u w o u l d a r r a n g e ' e m i n c o l u m n s o f t e n s a n d o n e s . Y o u h a v e 1 g r o u p o f 1 0 m a n g o e s a n d 1 g r o u p o f 4 m a n g o e s - ~ o r 4 g r o u p s o f 1 m a n g o , I g u e s s y o u w o u l d h a v e t o c a l l t h e m . A n d , u h , t h e n , t h e n y o u w o u l d , u h , y o u k n o w , g z l e e t h e n u m b e r 1 4 w i t h t h a t t o g o a l o n g a n d , a n d y o u ' d w a n t t o s e p a r a t e ' e m l i k e t h e y h a v e h e r e t o s h o w t h e b o r r o w i n g p a r t a n d , u h , t h e n a c t u a l l y g o t h r o u g h t h e b o r r o w i n g p r o c e s s s h o w i n g t h a t i f y o u t a k e , y o u k n o w , t h e 1 0 , 1 0 m a n g o e s f r o m . . . . ( p a u s e ) e h , 2 9 m a n g o e s w o u l d b e t h e r e ! I f y o u h a d s o m e l e f t o n t h e l e f t h a n d s i d e w h e n y o u t o o k 1 0 a w a y , t h a t , u h , i t d o e s n ' t c h a n g e t h e n u m b e r o f m a n g o e s a n y . W h i c h i s r e a l l y w h a t b o r r o w i n g i s a b o u t . I t ' s t h e m a n i p u l a t i o n o f n u m b e r s w i t h o u t c h a n g i n g t h e m a n d I w o u l d h a v e t h e m j u s t r e a r r a n g e t h e m a n g o e s i n d i f f e r e n t o r d e r s a n d h a v e t h e m w r i t e t h e n u m b e r t h a t g o e s a l o n g w i t h h o w m a n y m a n g o e s t h e r e a r e a n d , u h , h a v e t h e m . b o r r o w . R i g h t , a n d t h e n m o v e 1 0 m a n g o e s o v e r t o t h e r i g h t h a n d s i d e a n d y o u w o u l d h a v e 1 a n d 1 4 . W h e n a s k e d w h y h e t h o u g h t o f u s i n g m a n g o e s , A l l e n e x p l a i n e d t h a t ” i t e e n n g e _ f g n l I f y o u ' r e j u g g l i n g m a n g o e s a l l a r o u n d , t h e y ' r e g o n n a e n j o y i t a n d t h e y ' r e g o n n a l e a r n i t . " W h a t d i d A l l e n s e e m t o t a k e i n t o a c c o u n t i n g e n e r a t i n g a n d j u s t i f y i n g h i s r e p r e s e n t a t i o n ? H i s p r i m a r y j u s t i f i c a t i o n s e e m e d t o b e t h a t m a n g o e s w o u l d b e f u n f o r t h e p u p i l s ; h e a s s u m e d t h a t s t u d e n t s 3 2 9 w o u l d t h e r e f o r e l e a r n t h e c o n t e n t . H e a l s o c o n s i d e r e d w h a t h e t h o u g h t w a s t h e c o n c e p t u a l e s s e n c e o f t h e c o n t e n t : t h e p r o c e s s o f “ m a n i p u l a t i n g t h e n u m b e r s w i t h o u t c h a n g i n g t h e m . “ A f t e r a r r a n g i n g s o m e n u m b e r o f m a n g o e s i n p i l e s o f t e n s a n d o n e s , A l l e n t h o u g h t t h a t t h e m a n g o e s w o u l d s h o w h o w , e v e n w h e n o n e r e a r r a n g e s t h e p i l e s , t h e s a m e n u m b e r o f m a n g o e s r e m a i n . T h i s i s , h o w e v e r , c l o s e r t o a d e m o n s t r a t i o n o f c o n s e r v a t i o n o f n u m b e r t h a n i t i s o f r e g r o u p i n g a n d p l a c e v a l u e . C o m p a r i n g A l l e n ' s r e a s o n i n g t o t h e m o d e l o f w a r r a n t s f o r p e d a g o g i c a l r e a s o n i n g i n m a t h e m a t i c a l p e d a g o g y ( s h o w n i n F i g u r e 6 . 1 ) r e v e a l s t h a t f u n ( o r i n t e r e s t ) , n o t m a t h e m a t i c s , i s h i s p r i m a r y c r i t e r i o n , a n d s e r v e s a s h i s l e a r n i n g w a r r a n t - - i . e . , c h i l d r e n . w i l l l e a r n i f t h e y a r e h a v i n g f u n . H e j u s t i f i e s h i s m o d e l b y h i s s e n s e o f t h e c o n c e p t u a l e s s e n c e o f “ b o r r o w i n g “ ( s e e F i g u r e 6 . 3 ) . H e d o e s n o t a p p e a r t o c o n s i d e r c o n t e x t , a n d m a n g o e s a r e p r o b a b l y n o t a f e a s i b l e p e d a g o g i c a l r e p r e s e n t a t i o n , d u e b o t h t o e x p e n s e a n d s i z e . A l l e n ' s l e a r n i n g w a r r a n t - - f u n - - i s d i s t i n c t f r o m t h e w a r r a n t s i n t h e m o d e l . U s i n g 6 4 ( o r e v e n 2 4 ) m a n g o e s w i t h a g r o u p o f c h i l d r e n i s u n l i k e l y t o f o c u s t h e m o n k e y f e a t u r e s o f t h e c o n t e n t ; i n s t e a d , t h e m a n g o e s a r e l i k e l y t o d i s t r a c t t h e p u p i l s ' a t t e n t i o n , s o m e t h i n g A l l e n d o e s n o t s e e m t o c o n s i d e r . F u r t h e r m o r e , a s a m o d e l o f p l a c e v a l u e , p i l e s o f m a n g o e s a r e n o t e s p e c i a l l y e f f e c t i v e a t h i g h l i g h t i n g k e y c o m p o n e n t s o f t h e c o n c e p t . T h e ' t e n s p i l e s ' o f m a n g o e s l o o k b a r e l y d i f f e r e n t f r o m a p i l e o f 7 m a n g o e s , a n d d o n o t n e c e s s a r i l y m a k e p l a i n w h y w e w r i t e s e v e n t e e n a s ' 1 7 . “ T h a t w e h a v e e n e p i l e o f t e n m a n g o e s i s a w e a k 3 3 0 M A T H E M A T I C S “ c o n c e p t u a l " e s s e n c e ( p a r t i a l ) m u m ' s ( f u n ) 1 9 L E A R N E R S i n t e r e s t F i g u r e 6 . 3 A l l e n ' s w a r r a n t s f o r m a n g o e s a s a r e p r e s e n t a t i o n o f b o r r o w i n g 1 9 I n t h e s k e t c h e s o f p r o s p e c t i v e t e a c h e r s ' r e a s o n i n g , I p u t i n p a r e n t h e s e s c r i t e r i a u s e d b y t e a c h e r c a n d i d a t e s t h a t a r e n o t p a r t o f t h e m o d e l . 3 3 1 m o d e l o f t h e m e a n i n g o f t h e l i n 1 7 . A l l e n ' s e m p h a s i s , h o w e v e r , w h e n h e d e s c r i b e s t h e c o n c e p t u a l e s s e n c e o f “ b o r r o w i n g , ” i s j u s t o n p h y s i c a l r e g r o u p i n g . H e d o e s n o t s e e m t o e m p h a s i z e t h e r e l a t i o n s h i p b e t w e e n n u m b e r a n d n u m e r a t i o n : t h a t l i n t h e t e n s p l a c e m e a n s 1 g e n . I n t h i s w a y , a l t h o u g h h e d o e s c o n s i d e r t h e c o n t e n t i n j u s t i f y i n g h i s r e p r e s e n t a t i o n , h i s o w n u n d e r s t a n d i n g d e t e r m i n e s t h e r e s u l t . 2 0 F i n a l l y , A l l e n ' s r e p r e s e n t a t i o n d o e s n o t s e e m t o m o d e l t h e d o i n g a n d k n o w i n g o f m a t h e m a t i c s f r o m a d i s c i p l i n a r y p e r s p e c t i v e . I n a l l , A l l e n ' s r e p r e s e n t a t i o n i s s h a p e d b y h i s u n d e r s t a n d i n g o f t h e c o n t e n t a n d h i s a i m o f m a k i n g m a t h e m a t i c s f u n , w h i c h , h e a s s u m e s , w i l l l e a d t o l e a r n i n g . E m p h a s i z i n g r e p r e s e n t a t i o n s t h a t w o u l d i n t e r e s t s t u d e n t s w a s t h e f r a m e e v i d e n t i n m a n y o f t h e p r o s p e c t i v e t e a c h e r s d e c i s i o n s a b o u t e x a m p l e s , e x p l a n a t i o n s , a n d a c t i v i t i e s . O n t h i s b a s i s , f o o d w a s o f t e n a p o p u l a r r e p r e s e n t a t i o n a l m a t e r i a l . T h i s o v e r a r c h i n g e m p h a s i s o n i n t e r e s t w a s a l s o c l e a r l y t h e b a s i s f o r t h e e l e m e n t a r y c a n d i d a t e s ' a p p r a i s a l o f t h e t e x t b o o k s e c t i o n o n s u b t r a c t i o n . T h e p r o s p e c t i v e t e a c h e r s l i k e d t h e c o l o r f u l p i c t u r e s a n d t h e s c h o o l f a i r s t o r y l i n e , e x p l a i n i n g t h a t “ i t g i v e s t h e k i d s s o m e t h i n g t o r e l a t e t o “ a n d w o u l d a t t r a c t a n d k e e p p u p i l s ' a t t e n t i o n . S o m e t i m e s ” i n t e r e s t ” w a s i n t e r p r e t e d m o r e a s “ f u n , “ o t h e r t i m e s a s “ s o m e t h i n g k i d s c a n r e l a t e t o . “ A n d y ' s e f f o r t s t o t e a c h s l o p e i l l u s t r a t e t h e l a t t e r e m p h a s i s , a n d u n d e r s c o r e o n c e m o r e t h e i n t e r d e p e n d e n c y o f k n o w l e d g e a n d d i s p o s i t i o n i n p e d a g o g i c a l r e a s o n i n g . 2 0 M a n y o f t h e e l e m e n t a r y c a n d i d a t e s f o c u s e d o n e e h g z e e g l e n a n d i g n o r e d t h e p l a c e v a l u e a n d r e g r o u p i n g i s s u e s ; a f e w f o c u s e d o n “ b o r r o w i n g “ a s t h e c o n c e p t a n d r e l a t e d i t t o b o r r o w i n g i n a n e v e r y d a y s e n s e ( s e e C h a p t e r 3 ) . 3 3 2 A n d y s a i d h e w a n t e d t o t h i n k o f s o m e e x a m p l e s t o u s e w i t h s t u d e n t s i n t e a c h i n g a b o u t s l o p e " s o m e t h i n g t h a t s o m e o n e i n n i n t h g r a d e c o u l d g r a s p , " b u t c o u l d n ' t t h i n k o f a n y t h a t h e t h o u g h t w o u l d b e a p p r o p r i a t e : Y o u k n o w , t h e s l o p e o f a g r a p h i s e q u a l t o t h e m e a n o f t h e d e n s i t y o f a m a t e r i a l o r s o m e t h i n g , i n p h y s i c s - ~ w h i c h s o m e n i n t h g r a d e r ' s n o t g o n n a g r a s p . . . I m e a n y o u c o u l d s a y , w e l l , y o u u s e t h i s i n p h y s i c s t o f i g u r e o u t d e n s i t y a n d t h i n g s l i k e t h a t . A n d y w a s d i s s a t i s f i e d w i t h t h i s . A l t h o u g h h e w a n t e d t o u s e e x a m p l e i n t e a c h i n g s l o p e , h e w a s u n a b l e t o t h i n k o f a n y t h i n g t h a t n i n t h g r a d e s t u d e n t s w o u l d b e a b l e t o u n d e r s t a n d . 2 1 P a r t o f t h i s w a s t h e r e s u l t o f a l a c k o f k n o w l e d g e a b o u t h i g h s c h o o l e r s , b u t , m o s t l y i t w a s a c o n s e q u e n t o f h i s u n d e r s t a n d i n g o f s l o p e , w h i c h w a s p r o c e d u r a l a n d r u l e - b o u n d . D e s p i t e h i s d i s p o s i t i o n t o r e l a t e m a t h e m a t i c s t o r e a l s i t u a t i o n s t h a t h i s s t u d e n t s w o u l d f i n d i n t e r e s t i n g , h i s o w n m a t h e m a t i c a l k n o w l e d g e l i m i t e d A n d y ' s c a p a c i t y t o a c t o n h i s c o m m i t m e n t . " W I d u b b e d " g o i n g o v e r " t h e p a t t e r n o f r e p r e s e n t i n g m a t h e m a t i c s b y e e y l n g _ e § e e e . T h e t e a c h e r c a n d i d a t e s w h o t h o u g h t a b o u t r e p r e s e n t a t i o n i n t h i s w a y b e l i e v e d t h a t t h e c r i t i c a l i s s u e w a s t o b e c l e a r a b o u t e x a c t l y h o w t o d o t h e m a t h e m a t i c s . T h e y w e r e m u c h l e s s c o n c e r n e d w i t h m a k i n g m a t h e m a t i c s i n t e r e s t i n g ; i n f a c t , s o m e c o m m e n t e d t h a t t e a c h e r s s h o u l d b e c a r e f u l n o t t o d i s t r a c t s t u d e n t s w i t h e n g a g i n g m a t e r i a l o r 2 1 M o s t o f t h e o t h e r s e c o n d a r y t e a c h e r c a n d i d a t e s f o c u s e d o n t h e e v e r y d a y m e a n i n g o f s l o p e a s e g e e n n e e e , a n d c o n c e n t r a t e d t h e i r e f f o r t s o n r e p r e s e n t i n g t h e i d e a o f s t e e p n e s s . T h i s e m p h a s i s r e v e a l e d w h a t t h e y t h o u g h t w a s t h e e s s e n t i a l c o n c e p t u n d e r l y i n g s l o p e a s a m a t h e m a t i c a l i d e a . T h a t t h e y t h o u g h t n i n t h g r a d e r s w o u l d n e e d h e l p t o u n d e r s t a n d t h e i d e a o f " s t e e p n e s s " w a s a l s o a n i n d i c a n t o f t h e i r l i m i t e d k n o w l e d g e o f n i n t h g r a d e r s . 3 3 3 s t o r i e s . I n s t e a d , t h e y s o u g h t t e r m i n o l o g y a n d i d e a s a b o u t " h o w t o w o r d t h i n g s . " T e r i t h o u g h t t h a t s u b t r a c t i o n w i t h r e g r o u p i n g w a s a s t r a i g h t f o r w a r d p r o c e d u r e , t h a t s e c o n d g r a d e r s w o u l d h a v e l i t t l e t r o u b l e l e a r n i n g i t . T o T e r i , " l e a r n i n g i t " m e a n t l e a r n i n g t o d e i t : " s w i t c h i n g t h e n u m b e r s o v e r a c o l u m n a n d s u b t r a c t i n g . " W h a t s h e w a n t e d t o d o w a s t o e x p l a i n t h e s t e p s c l e a r l y : I w o u l d g o t h r o u g h , m a y b e , d o a f e w e x a m p l e s . G o s t e p b y s t e p t h r o u g h a n d s h o w t h e m h o w t o d o i t . A n d t h e n h a v e t h e m t r y a f e w a n d i f t h e y d o n ' t u n d e r s t a n d i t , m a y b e d o i t a c o u p l e o f m o r e t i m e s e l e g l y s o t h a t t h e y c a n s e e e x a c t l y w h a t t h e y a r e d o i n g . O r m a y b e e v e n t a k e i n a n e x a m p l e , l i k e u s e p e n c i l s o r s o m e t h i n g , I d o n ' t k n o w h o w m a n y y o u . h a v e , b u t , l i k e , m a y b e t a k e t w e n t y p e n c i l s a n d s h o w t h e m , a l r i g h t , I h a v e t h i s m a n y , I ' m t a k i n g a w a y t h i s m a n y , h o w m a n y d o e s t h a t l e a v e ? J u s t s o t h e y h a v e a v i s u a l e x a m p l e . I w o u l d s a y : T h e s e n u m b e r s , y o u c a n ' t s u b t r a c t t h e m i n y o u r h e a d . A l r i g h t , y o u . h a v e t o c r o s s o u t o n e o f t h e t e n s f r o m t h e t o p . A n d p u t i t o v e r i n t h e o n e s c o l u m n o n t h e t o p s o y o u a r e a b l e t o s u b t r a c t t h e t w o n u m b e r s . A n d t h e n w h e n y o u c r o s s o u t t h a t t e n s n u m b e r , c h a n g e i t , l i k e s u b t r a c t o n e f r o m i t . S o y o u c h a n g e , l i k e i f i t w a s a s i x t y - f o u r , c h a n g e i t t o a , y o u k n o w , a s i x t o a f i v e , a n d t h e f o u r t o a f o u r t e e n , A n d m a y b e I w o u l d s h o w t h e m , l i k e s i x t y - f o u r , l i k e , m a y b e I w o u l d w r i t e s i x t y - f o u r o n t h e b o a r d . A n d t h e n p u t i t , t h a t i t e q u a l s f i f t y p l u s f o u r t e e n , s o t h e y s e e t h a t i t i s s t i l l t h e s a m e a m o u n t . T e r i ' s r e p r e s e n t a t i o n o f s u b t r a c t i o n w i t h r e g r o u p i n g w a s p r i m a r i l y v e r b a l . S h e w a s t r y i n g t o r e p r e s e n t t h e e s s e n c e o f t h e c o n t e n t , b u t , f o r T e r i , t h e c o n t e n t w a s s t e p s o f a p r o c e d u r e . H e r g o a l w a s t o g e t s t u d e n t s t o b e a b l e t o e e i t . W h e n a s k e d w h a t s h e w o u l d u s e a s a s i g n t h a t h e r p u p i l s w e r e " g e t t i n g i t , " s h e s a i d s h e w o u l d l o o k t o s e e i f t h e y w e r e g e t t i n g t h e r i g h t a n s w e r s . " T h i s i s s o r t o f a b a s i c t h i n g - - s o t h e y e i t h e r k n o w i t o r t h e y d o n ' t . " T e r i ' s a p p r o a c h a l s o s e e m e d t o b e u n d e r g i r d e d b y t h e c o m m o n s e n s e s e n s o r y e p i s t e m o l o g y w h i c h l i n k s s e e i n g a n d . h e a r i n g t o l e a r n i n g ( s e e C h a p t e r 5 ) . S h e w o u l d d e m o n s t r a t e 3 3 4 M A T H E M A T I C S " c o n c e p t u a l " e s s e n c e ( p r o c e d u r e ) ( s e e i n g a n d h e a r i n g ) 2 2 ( r e p e t i t i o n ) F i g u r e 6 . 4 T e r i ' s w a r r a n t s f o r s h o w i n g s t e p s a s a r e p r e s e n t a t i o n o f s u b t r a c t i o n 2 2 I n t h e s k e t c h e s o f p r o s p e c t i v e t e a c h e r s ' r e a s o n i n g , I p u t i n p a r e n t h e s e s c r i t e r i a u s e d b y t e a c h e r c a n d i d a t e s t h a t a r e n o t p a r t o f t h e m o d e l . 3 3 5 t h e s t e p s o n t h e b o a r d , s h e w o u l d u s e p e n c i l s a s a " v i s u a l e x a m p l e , " a n d s h e w o u l d w r i t e 6 4 - 5 0 + 1 4 " s o t h a t t h e y c o u l d e e e t h a t i t i s s t i l l t h e s a m e a m o u n t . " T h i s w a y o f t h i n k i n g a b o u t w h a t i t m e a n s t o r e p r e s e n t m a t h e m a t i c s w a s e v i d e n t i n t h e t e a c h e r c a n d i d a t e s ' e x p l a n a t i o n s o f m u l t i p l i c a t i o n , o f s o l v i n g a l g e b r a i c e q u a t i o n s , a n d o f s l o p e . T h e i r r e p r e s e n t a t i o n s c o n s i s t e n t l y r e f l e c t e d t h e i r u n d e r s t a n d i n g o f m a t h e m a t i c s a s a c o l l e c t i o n o f r u l e s a n d p r o c e d u r e s . U n l i k e t h o s e w h o s e a r c h e d f o r i n t e r e s t i n g e x a m p l e s t o r e p r e s e n t t h e c o n t e n t , t h e s e t e a c h e r c a n d i d a t e s w e r e c o n c e r n e d w i t h t e r m i n o l o g y a n d l a n g u a g e . T h e y a s s u m e d , l i k e T e r i , t h a t b y s a y i n g a n d s h o w i n g h o w t o " d o " t h e m a t h , s t u d e n t s w o u l d l e a r n . W W W W h a t i s y i e l d e d b y e x a m i n i n g p a t t e r n s i n p r o s p e c t i v e t e a c h e r s ' r e a s o n i n g u s i n g a f r a m e w o r k o f t h e s y n t a c t i c s t r u c t u r e o f p e d a g o g i c a l c o n t e n t k n o w l e d g e ? F i g u r e 6 . 5 p l a c e s t h e t w o p o r t r a y a l s o f t h e w a r r a n t s u s e d b y t e a c h e r c a n d i d a t e s ( F i g u r e s 6 . 3 a n d 6 . 4 ) s i d e b y s i d e w i t h t h e m o d e l o f p e d a g o g i c a l r e a s o n i n g i n m a t h e m a t i c a l p e d a g o g y ( F i g u r e 6 . 1 ) . T h i s h i g h l i g h t s s o m e s i g n i f i c a n t d i f f e r e n c e s b e t w e e n t e a c h e r c a n d i d a t e s ' r e a s o n i n g a b o u t t e a c h i n g m a t h e m a t i c s a n d t h e n o r m a t i v e f r a m e w o r k I h a v e p r o p o s e d . T h e i r r a t i o n a l e s , a s r e v e a l e d i n t h e s e t h r e e p a t t e r n s , a r e s k e w e d i n t h e d i r e c t i o n o f p a r t i c u l a r w a r r a n t s o t h e r t h a n m a t h e m a t i c s , o m i t c r i t i c a l w a r r a n t s , a n d i n c l u d e M A T H E M A T I C S " c o n c e p t u a l " c s s c n c c ( p a r t i a l ) 3 3 6 M A T H E M A T I C S c o n c e p t u a l c s s c n c c e p i s t e m o l o g i c a l a p p r o p r i a t e s : a p p r e c i a t i o n o f a n d p r o p e n s i t t o w a r d m a t h e m a t i c s L E A R N I N G ( I n ) “ n a m e l o c u s d i / I c r c n t i o t i o n m l t i f o c c t c d n c s s L E A R N E R S i n t e r e s t A l l e n ’ s w a r r a n t s L E A R N E R S a c c e s s i b i l i t y i n t e r e s t I c a n r r x r f e a s i b i l i t y s e n s i t i v i t y F r a m e w o r k o f w a r r a n t s F i g u r e 6 . 5 M A T H E M A T I C S " c o n c e p t u a l " c s s c n c c ( p r o c e d u r e ) L E A R N I N G ( s e e i n g a n d h e a r i n g ) ( r e p e t i t i o n ) T e r i ’ s w a r r a n t s C o m p a r i n g A l l e n ' s a n d T e r i ' s w a r r a n t s w i t h t h e w a r r a n t s f o r m a t h e m a t i c a l p e d a g o g y 3 3 7 b a s e s t h a t a r e o u t s i d e o f t h e c e n t r a l t h r u s t o f m a t h e m a t i c a l p e d a g o g y . 2 3 fi k g g g § _ z g t i g n § 1 g g . I n t h e s e t w o p a t t e r n s t h e t e a c h e r c a n d i d a t e s ' w a y s o f r e a s o n i n g a b o u t t e a c h i n g m a t h e m a t i c s s e e m e d t o d r a w m o s t h e a v i l y o n t h e i r i d e a s a n d a s s u m p t i o n s a b o u t l e a r n i n g a n d l e a r n e r s . T h e y e m p h a s i z e d m a k i n g m a t h e m a t i c s f u n o r m e a n i n g f u l , a n d s e e m e d t o a s s u m e t h a t i f s t u d e n t s w e r e h a v i n g f u n t h e y w o u l d l e a r n . O t h e r s w e r e m o r e f o c u s e d o n g i v i n g c l e a r d i r e c t i o n s a b o u t h o w t o d o t h e m a t h , a n d a s s u m e d t h a t v e r b a l e x p l a n a t i o n s c o m b i n e d w i t h s h o w i n g w o u l d p r o d u c e l e a r n i n g . T h e t e a c h e r c a n d i d a t e s ' e x p l i c i t g o a l s a n d a s s u m p t i o n s a b o u t l e a r n i n g a n d l e a r n e r s w e r e i n f l u e n c e d b y t h e i r u n d e r s t a n d i n g s o f m a t h e m a t i c s ( e . g . , t h a t m a t h e m a t i c s i s a b o d y o f r u l e s a n d p r o c e d u r e s , o r t h a t p u p i l s d o n o t l i k e l e a r n i n g m a t h z a ) . b u t m a t h e m a t i c s a s a d i s c i p l i n e w a s a b s e n t f r o m t h e i r d e l i b e r a t i o n s a n d c h o i c e s . I n g g n n l g § g _ z g § 1 9 n a l g g . M a n y o f t h e m d i d f o c u s o n w h a t t h e y t h o u g h t w a s t h e e s s e n c e o f t h e c o n t e n t , a l t h o u g h i t o f t e n w a s n o ; c o n c e p t u a l . I n c o n s t r u c t i n g o r e v a l u a t i n g r e p r e s e n t a t i o n s , h o w e v e r , n o n e o f t h e t e a c h e r c a n d i d a t e s e x p l i c i t l y c o n s i d e r e d t h e p o r t r a y a l o f w h a t i t m e a n s t o k n o w o r d o m a t h e m a t i c s f r o m a d i s c i p l i n a r y p e r s p e c t i v e . A l t h o u g h , a s I h a v e a r g u e d , t h e i r e x p l a n a t i o n s , t a s k s , q u e s t i o n s , a n d r e s p o n s e s t o s t u d e n t s a l l d i d i m p l i c i t l y r e p r e s e n t t h e 2 3 T h e s e f i n d i n g s f i t w i t h t h e e v i d e n c e t h a t t h e t e a c h e r c a n d i d a t e s h e l d a v i e w o f m a t h e m a t i c s t e a c h i n g t h a t w a s s i g n i f i c a n t l y d i f f e r e n t f r o m m a t h e m a t i c a l p e d a g o g y . I n o t h e r w o r d s , t h e s u b s t a n t i v e a n d s y n t a c t i c s t r u c t u r e s o f t h e i r k n o w l e d g e n e c e s s a r i l y d i f f e r s f r o m t h a t p r o p o s e d h e r e ; t h e b a s e s f o r j u d g m e n t f i t t h g i g i d e a s a b o u t w h a t c o u n t s a s g o o d m a t h e m a t i c s t e a c h i n g , a v i e w t h a t i s c o n s t r u c t e d o u t o f c o m m o n s e n s e , e v e r y d a y e x p e r i e n c e s , a s w e l l a s o u t o f t h e i r u n d e r s t a n d i n g s o f m a t h e m a t i c s . 2 4 I d i s c u s s t h i s i n C h a p t e r 5 . 3 3 8 n a t u r e o f m a t h e m a t i c s , t h e t e a c h e r c a n d i d a t e s n e v e r d i s c u s s e d a n y c o n s i d e r a t i o n s o f t h e e p i s t e m o l o g i c a l a p p r o p r i a t e n e s s o f t h e i r r e p r e s e n t a t i o n s . N e i t h e r d i d t h e p r o s p e c t i v e t e a c h e r s s e e m t o c o n s i d e r c o n t e x t u a l f a c t o r s . A l t h o u g h t h i s m a y b e a c o n s e q u e n t o f t h e f a c t t h a t i n t e r v i e w s c o n d u c t e d i n a n o f f i c e t e n d n o t t o p r o v o k e c o n s i d e r a t i o n o f a r e a l t e a c h i n g c o n t e x t , i t i s a l s o p o s s i b l e t h a t p r o s p e c t i v e t e a c h e r s a r e n o t y e t i n c l i n e d t o t h i n k a b o u t q u e s t i o n s o f f e a s i b i l i t y a n d s e n s i t i v i t y t o c o n t e x t . Q g h g z _ g ; 1 § g ; 1 § . A c r o s s t h e s e t w o p a t t e r n s o f r e a s o n i n g , n o t o n l y d i d t h e p r o s p e c t i v e t e a c h e r s i g n o r e c e r t a i n w a r r a n t s c r i t i c a l f o r m a t h e m a t i c a l p e d a g o g y , t h e y a l s o u s e d c r i t e r i a t h a t w e r e n o t p a r t o f t h e f r a m e w o r k I h a v e o u t l i n e d . F o r e x a m p l e , " f u n " a s a t h e o r y o f l e a r n i n g p r o v i d e d t h e b a s i s f o r j u s t i f y i n g t h e u s e o f n o v e l o r e n t e r t a i n i n g v e h i c l e s , s u c h a s m a n g o e s . T h e a s s u m p t i o n t h a t s t u d e n t s l e a r n m a t h e m a t i c s b y l i s t e n i n g h e l p e d t o j u s t i f y t e a c h e r c a n d i d a t e s ' f o c u s o n u s i n g c l e a r l y w o r d e d s t e p - b y - s t e p i n s t r u c t i o n s . m m T h e t e a c h e r c a n d i d a t e s d i d u s e b a s e s i n c l u d e d i n t h e m o d e l t o g r o u n d t h e i r r e a s o n i n g a b o u t t e a c h i n g m a t h e m a t i c s , b u t b e c a u s e o f t h e i r u n d e r s t a n d i n g s i n t h o s e d o m a i n s , w h a t i t m e a n t t o t a k e t h a t k i n d o f k n o w l e d g e i n t o c o n s i d e r a t i o n d i v e r g e d i n s o m e c a s e s f r o m t h e f o c u s o f t h e m o d e l o f p e d a g o g i c a l r e a s o n i n g i n m a t h e m a t i c a l p e d a g o g y . N o w h e r e w a s t h i s m o r e e v i d e n t t h a n i n m a t h e m a t i c s . T h e p r o s p e c t i v e t e a c h e r s d i d , i n m o s t c a s e s , c o n s i d e r t h e p a r t i c u l a r c o n t e n t t h e y w e r e t r y i n g t o e x p l a i n o r t e a c h . T h e y d i d t r y t o f i g u r e o u t a w a y t o h e l p s t u d e n t s l e a r n t h e e s s e n c e o f t h e s p e c i f i c c o n c e p t 3 3 9 o r p r o c e d u r e . F o r e x a m p l e , A l l e n : 3 ; t h i n k i n g a b o u t " b o r r o w i n g , " a n d T e r i w e ; c o n s i d e r i n g s u b t r a c t i o n . O t h e r p r o s p e c t i v e t e a c h e r s f o c u s e d o n t h e c o n t e n t a s w e l l . H o w e v e r , i n m a n y c a s e s , t h e i r o w n u n d e r s t a n d i n g o f t h a t c o n t e n t m e a n t t h a t t h e i r f o c u s w a s n o t o n t h e e s s e n t i a l u n d e r l y i n g i d e a s n o r o n t h e k e y c o m p o n e n t s . F o r e x a m p l e , m o s t o f t h e t e a c h e r c a n d i d a t e s e m p h a s i z e d t h e r u l e s f o r " l i n i n g u p " n u m b e r s i n t h e m u l t i p l i c a t i o n a l g o r i t h m ; f o r t h e m , t h i s w a s t h e k e y c o m p o n e n t t h a t t h e e r r a n t e i g h t h g r a d e r s w e r e m i s s i n g . O n l y a f e w t e a c h e r c a n d i d a t e s h a d e x p l i c i t u n d e r s t a n d i n g o f t h e c e n t r a l i t y o f p l a c e v a l u e a n d t h e d i s t r i b u t i v e p r o p e r t y , t h e c o n c e p t u a l k e y s t o t h e p r o c e d u r e . A s s u c h , a l t h o u g h t h e y d i d c o n s i d e r t h e c o n t e n t s p e c i f i c a l l y a n d d i r e c t l y , w h a t t h e y f o c u s e d o n . w a s n o t c o n s i s t e n t w i t h t h e a i m s o f m a t h e m a t i c a l p e d a g o g y . S i m i l a r l y , a l t h o u g h t h e y d i d t h i n k a b o u t w h a t w o u l d h e l p s t u d e n t s . l e a r n m a t h e m a t i c s , t h e i r a s s u m p t i o n s a b o u t l e a r n i n g m a t h w e r e d i f f e r e n t f r o m t h o s e u n d e r l y i n g t h i s a p p r o a c h . T h e y t e n d e d t o v i e w l e a r n i n g a s a p r o d u c t o f r e p e t i t i o n o r a s a d i r e c t c o n s e q u e n t o f h a v i n g f u n . T h i s p o i n t b r i n g s m e b a c k t o t h e b e g i n n i n g o f t h i s c h a p t e r . D i s s a t i s f i e d w i t h a n a n a l y t i c a p p r o a c h t h a t f r a g m e n t s d o m a i n s o f k n o w l e d g e a n d s e p a r a t e s k n o w l e d g e a n d r e a s o n i n g , I s e t o u t t o a r g u e t h a t p e d a g o g i c a l r e a s o n i n g i s a n i d e n t i f i a b l e c o n c e p t t h a t c a n b e e x a m i n e d i n i t s o w n r i g h t . I c l a i m e d t h a t , a s t h e s y n t a x o f p e d a g o g i c a l c o n t e n t k n o w l e d g e , i t r e v e a l s t h e w a r r a n t s f o r k n o w l e d g e a n d s t a n d a r d s f o r r e a s o n i n g i n t e a c h i n g m a t h e m a t i c s . I t i s t h e r e f o r e u n s u r p r i s i n g t o d i s c o v e r t h a t t h e p r o c e s s i s s h a p e d n o t j u s t b y t e a c h e r c a n d i d a t e s ' d i s p o s i t i o n s t o t a k e c e r t a i n k i n d s o f t h i n g s i n t o 3 4 0 a c c o u n t , b u t a l s o b y w h a t t h e y k n o w a n d b e l i e v e i n e a c h o f t h e r e l e v a n t d o m a i n s . T h e a r g u m e n t p r e s e n t e d i n t h i s c h a p t e r , t h a t e x a m i n i n g p r o s p e c t i v e t e a c h e r s ' w a y s o f t h i n k i n g a n d r e a s o n i n g i s a c r i t i c a l p a r t o f e x p l o r i n g w h a t t h e y b r i n g t o t e a c h e r e d u c a t i o n , o f f e r s a f r a m e w o r k t h a t p u l l s t o g e t h e r t h e p i e c e s o f t h i s s t u d y . I n t h e n e x t , a n d l a s t , c h a p t e r , I d i s c u s s t h e r e s u l t s a n d g r o w t h p o i n t s o f t h i s w o r k . C H A P T E R 7 A R G U H E N T S A N D R E F U T A T I O N S : A D I S C U S S I O N A M O N G I N T E R E S T E D P A R T I E S 1 I h a v e i n v i t e d s e v e r a l p e o p l e t o j o i n m e i n t h i s l a s t c h a p t e r . S o m e h a v e a g r e e d t o c o m e b e c a u s e t h e y s h a r e m y c o n c e r n s a b o u t t h e D p r e p a r a t i o n o f m a t h e m a t i c s t e a c h e r s a n d w a n t t o r e i n f o r c e c e r t a i n p o i n t s t h a t t h e y t h i n k a r e e s p e c i a l l y c l e a r i n t h i s w o r k . O t h e r s a r e h e r e t o q u e s t i o n t h e v a l i d i t y , s i g n i f i c a n c e , o r i m p l i c a t i o n s o f m y c l a i m s . M y g u e s t s - - a n e d u c a t i o n a l p h i l o s o p h e r , a p h i l o s o p h e r o f m a t h e m a t i c s , a t e a c h e r e d u c a t o r , a m a t h e m a t i c s e d u c a t o r , a n d a n e d u c a t i o n a l r e s e a r c h e r - - h a v e a l l r e a d m y d i s s e r t a t i o n a n d a r e e a g e r t o t a l k . I i n i t i a t e o u r c o n v e r s a t i o n b y s u m m a r i z i n g w h a t I h a v e l e a r n e d , b e g i n n i n g w i t h a c o m p a r i s o n b e t w e e n t h e f r a m e w o r k o f t e a c h e r k n o w l e d g e t h a t I o u t l i n e d i n C h a p t e r 1 a n d t h e k n o w l e d g e a n d b e l i e f s o f t h e p r o s p e c t i v e t e a c h e r s i n t h e s t u d y . I m o v e f r o m t h a t c o m p a r i s o n t o a d i s c u s s i o n o f w a r r a n t s f o r t h e p r o d u c t s a n d p r o c e s s e s o f p e d a g o g i c a l r e a s o n i n g , a t w h i c h p o i n t m y g u e s t s w i l l b r e a k i n , f o r t h e y h a v e a n u m b e r o f c h a l l e n g e s t o p o s e , t o o n e a n o t h e r a s w e l l a s t o m e . 1 0 . 0 . P h i l l i p s ' s ( 1 9 8 8 ) a r t i c l e . W e l d s z g l g n g g g i x g , w a s h e l p f u l i n w r i t i n g t h i s c h a p t e r . 3 4 1 i 9 ° t i i I ’ M - Z 3 I ' " - 5 . 1 9 ' 5 , 1 " . ‘ 3 l 9 ' ° v - i I ‘ l l é t 5 5 ! " I o r i g i n a l l y s e t o u t t o p r o v i d e a w a y o f e x a m i n i n g w h a t p r o s p e c t i v e m a t h e m a t i c s t e a c h e r s b r i n g w i t h t h e m t o t h e i r p r o f e s s i o n a l p r e p a r a t i o n , a s w e l l a s t o c o n t r i b u t e t o k n o w l e d g e a b o u t w h a t t h e y d o b r i n g . I a r g u e d t h a t p r o s p e c t i v e t e a c h e r s b r i n g m a n y t h i n g s t o t e a c h e r e d u c a t i o n a n d t h a t w h a t i s s p e c i f i c a l l y o f i n t e r e s t d e p e n d s o n t h e g o a l - ~ w h a t o n e w a n t s t o p r e p a r e t e a c h e r s t o b e a b l e t o £ 9 i n t e a c h i n g m a t h e m a t i c s . T h i s s t u d y w a s g r o u n d e d i n a p a r t i c u l a r v i s i o n o f g o o d m a t h e m a t i c s t e a c h i n g t h a t I r e f e r r e d t o a s a m a t h e m a t i c a l p e d a g o g y ; t h u s , t h e a p p r o p r i a t e f r a m e w o r k f o r i n v e s t i g a t i n g w h a t p r o s p e c t i v e t e a c h e r s k n o w a n d b e l i e v e c a m e f r o m t h e l o g i c a l r e q u i r e m e n t s o f t h i s a p p r o a c h t o t e a c h i n g . C o n s t r u c t e d a r o u n d t h e f o u r d o m a i n s o f s u b j e c t m a t t e r , t e a c h i n g a n d l e a r n i n g , s t u d e n t s , a n d c o n t e x t , m y s p e c u l a t i v e f r a m e w o r k s p e c i f i e d c a t e g o r i e s o f k n o w l e d g e , b e l i e f , a n d d i s p o s i t i o n n e e d e d t o t e a c h m a t h e m a t i c s . W h e r e d i d t h e p r o s p e c t i v e t e a c h e r s i n t h i s s t u d y s t a n d r e l a t i v e t o t h e k n o w l e d g e a n d b e l i e f s e s s e n t i a l t o m a t h e m a t i c a l p e d a g o g y ? I f a c e n t r a l g o a l o f m a t h e m a t i c a l p e d a g o g y i s t o h e l p p u p i l s e n g a g e i n a u t h e n t i c d i s c i p l i n a r y a c t i v i t y a n d t o h e l p t h e m l e a r n a b o u t t h e n a t u r e o f m a t h e m a t i c a l k n o w l e d g e , t e a c h e r s m u s t t h e m s e l v e s b e g r o u n d e d i n k n o w l e d g e g h g g g m a t h e m a t i c s . T h i s k i n d o f u n d e r s t a n d i n g i s c r i t i c a l t o t h e c a p a c i t y t o g o o n l e a r n i n g m a t h e m a t i c s o n e s e l f a s w e l l a s t o f o s t e r t h e l e a r n i n g o f o t h e r s . 3 4 3 T h e p r o s p e c t i v e t e a c h e r s I s t u d i e d d i d n o t , o n t h e w h o l e , t h i n k a b o u t m a t h e m a t i c s f r o m a d i s c i p l i n a r y p e r s p e c t i v e ; i n s t e a d , t h e y t e n d e d t o t h i n k a b o u t m a t h a s a s c h o o l s u b j e c t : a b o d y o f r u l e s a n d p r o c e d u r e s , m o r e o r l e s s c o n n e c t e d . T h e y a p p e a r e d t o h a v e t h o u g h t l i t t l e a b o u t q u e s t i o n s c o n c e r n i n g t h e n a t u r e o f m a t h e m a t i c a l k n o w l e d g e o r a b o u t w h a t i t m e a n s t o " d o " m a t h e m a t i c s . M o r e o v e r , t h e y t e n d e d t o a s s u m e t h a t " d o i n g m a t h e m a t i c s " m e a n t f o l l o w i n g s t a n d a r d p r o c e d u r e s t o a r r i v e a t t h e r i g h t a n s w e r s . T h e y w e r e r e s i s t a n t t o i n v e n t e d a l g o r i t h m s - ~ d u e , i n p a r t , t o n o t u n d e r s t a n d i n g t h e i n v e n t i o n s t h e m s e l v e s , a n d , i n p a r t , t o a f i r m b e l i e f t h a t u s i n g s t a n d a r d p r o c e d u r e s w a s " b e t t e r " - - o r e v e n n e c e s s a r y . F e w t e a c h e r c a n d i d a t e s c o n c e i v e d o f m a t h e m a t i c s a s a d o m a i n i n w h i c h t h e r e c o u l d b e a r g u m e n t o r a l t e r n a t i v e i n t e r p r e t a t i o n s , n o r a s a f i e l d i n w h i c h t h e r e m a y b e u n c e r t a i n t y , u n s o l v e d p r o b l e m s , o r c h a n g e . 5 u h g g g n t 1 g g _ k n g g l g g g g _ g f _ n g § h g n a t 1 § § . I n o r d e r t o h e l p s t u d e n t s d e v e l o p m e a n i n g f u l u n d e r s t a n d i n g o f m a t h e m a t i c s , t e a c h e r s t h e m s e l v e s n e e d t o h a v e e x p l i c i t a n d c o n c e p t u a l c o n n e c t e d u n d e r s t a n d i n g s o f m a t h e m a t i c a l c o n c e p t s a n d p r o c e d u r e s . T h i s i n c l u d e s b e i n g a b l e t o e x p l a i n w h y a p r o c e d u r e w o r k s , t o b e a b l e t o c o n n e c t o n e m a t h e m a t i c a l c o n c e p t t o a n o t h e r , o r t o m a k e l i n k s b e t w e e n m a t h e m a t i c s a n d o t h e r d o m a i n s . T h e 1 9 p r o s p e c t i v e t e a c h e r s v a r i e d - - b y p e r s o n a n d a c r o s s t o p i c s - - i n t h e n a t u r e o f t h e i r k n o w l e d g e . O n t h e w h o l e , h o w e v e r , f e w w e r e a b l e t o e x p l i c i t l y a r t i c u l a t e u n d e r l y i n g m e a n i n g s o r p r i n c i p l e s . T h e y w e r e u n s u r e - - " r u s t y , " t h e y s a i d - ~ a n d , f r e q u e n t l y , i n c o r r e c t . T h e p r o s p e c t i v e t e a c h e r s t e n d e d t o o v e r l o o k c r i t i c a l c o n c e p t u a l l i n k s - - p l a c e v a l u e i n t h e m u l t i p l i c a t i o n a l g o r i t h m , f o r e x a m p l e . M o r e o v e r , t h e i r k n o w l e d g e t e n d e d t o b e c o m p a r t m e n t a l i z e d , n o t c o n n e c t e d : 3 4 h d i v i s i o n w i t h f r a c t i o n s a s e p a r a t e i s s u e f r o m d i v i s i o n b y z e r o , s l o p e i s o l a t e d f r o m t h e d e r i v a t i v e . Q 1 g p g g 1 5 1 2 n a _ § g g § : d _ n a § h g n a § 1 2 5 . A l t h o u g h t e a c h e r s s h o u l d e n j o y t h e i r s u b j e c t s a n d f e e l a s c o n f i d e n t a s p o s s i b l e a b o u t t h e c o n t e n t t h e y t e a c h , t h e p r o s p e c t i v e t e a c h e r s i n m y s t u d y v a r i e d g r e a t l y - - r a n g i n g f r o m h i g h l y a n x i o u s t o p a s s i o n a t e - ~ i n h o w t h e y f e l t a b o u t m a t h e m a t i c s . A f e w w e r e h i g h l y a n x i o u s - ~ " p e t r i f i e d " - - w h i l e o t h e r s h a d r e s i g n e d t h e m s e l v e s a n d a c c e p t e d t h e f a c t t h a t t h e y d i d n ' t l i k e o r f e e l v e r y c o m f o r t a b l e w i t h m a t h e m a t i c s . N o t e w o r t h y w a s t h e c a l m c o n f i d e n c e f e l t b y s o m e o f t h e t e a c h e r c a n d i d a t e s w h o b e l i e v e d t h a t t h e y k n e w m a t h w e l l . w o r r y i n g f a r l e s s t h a n t h e o t h e r s t h a t t h e i r a n s w e r s m i g h t b e i n c o r r e c t o r i n a d e q u a t e , t h e s e t e a c h e r c a n d i d a t e s r e s p o n d e d s m o o t h l y t o q u e s t i o n s a n d w e r e q u i t e e m b a r r a s s e d w h e n t h e y c o u l d n ' t r e m e m b e r . T h e i r c o n f i d e n c e n o t w i t h s t a n d i n g , t h e y o f t e n r e v e a l e d m i s c o n c e p t i o n s a n d f r a g m e n t e d k n o w l e d g e , b u t t h e y j u s t d i d n ' t r e a l i z e i t . T h e y f e l t g e n e r a l l y s e c u r e a b o u t t h e i r m a s t e r y o f m a t h e m a t i c s . W h i l e t h e s e t e a c h e r c a n d i d a t e s 1 1 k § d m a t h e m a t i c s , o n l y t h r e e p r o s p e c t i v e t e a c h e r s i n t h e s a m p l e w e r e s t r i k i n g l y e n t h u s i a s t i c a b o u t m a t h e m a t i c s . W e : T h e t e a c h e r c a n d i d a t e s v a r i e d l e s s i n t h e i r i d e a s a b o u t t e a c h i n g a n d l e a r n i n g a n d a b o u t t h e t e a c h e r ' s r o l e i n h e l p i n g s t u d e n t s l e a r n m a t h e m a t i c s a n d , i n g e n e r a l , t h e i r n o t i o n s w e r e s u b s t a n t i a l l y d i f f e r e n t f r o m t h o s e t h a t u n d e r l i e m a t h e m a t i c a l p e d a g o g y . A l t h o u g h t h e i r l a n g u a g e f o r t a l k i n g a b o u t t e a c h i n g a n d l e a r n i n g w a s , a t t i m e s , q u i t e l i k e t h e l a n g u a g e e m b e d d e d i n d i s c u s s i o n o f m a t h e m a t i c a l 3 4 5 p e d a g o g y - - t e r m s l i k e u n d e r s t a n d i n g , c o n c e p t s , e x p l a i n i n g , f i g u r i n g o u t - ~ t h e r e f e r e n t s w e r e q u i t e d i f f e r e n t . g g g 1 g _ £ 2 ; _ ; g a g h 1 n g _ m § § h g m a t i g § . T h e t e a c h e r c a n d i d a t e s g e n e r a l l y t h o u g h t t h e g o a l o f t e a c h i n g m a t h e m a t i c s w a s t o e n a b l e s t u d e n t s t o b e a b l e t o g e t r i g h t a n s w e r s o n t h e i r o w n , w i t h a n e m p h a s i s o n l e a r n i n g s t a n d a r d p r o c e d u r e s . I n s e r v i c e o f t h a t g o a l , t h e y w a n t e d t o m a k e m a t h e m a t i c s c l a s s f u n a n d e n g a g i n g f o r s t u d e n t s , r e l a t i n g i t t o t h e " r e a l w o r l d . " T h e r e w a s l i t t l e s i g n , h o w e v e r , t h a t t h e y t o o k a d i s c i p l i n a r y p e r s p e c t i v e o n t h e g o a l s o f s c h o o l m a t h e m a t i c s - ~ t h a t i s , t o e n g a g e s t u d e n t s i n u s i n g a n d d o i n g m a t h e m a t i c s m a g h g m g g i g g l l y r a t h e r t h a n i n c o n v e n t i o n a l , s c h o o l i s h w a y s . I n s t e a d , t h e y a s s u m e d a s c h o o l s u b j e c t v i e w o f m a t h e m a t i c s . y 1 e g g _ g fi _ 1 g a ; n i g g _ m a § h g g § § 1 g § . T h e a s s u m p t i o n t h a t u n d e r l i e s t h i s m a t h e m a t i c a l p e d a g o g y i s t h a t l e a r n i n g i s l a r g e l y a c o n s t r u c t i v e a n d s o c i a l p r o c e s s t h a t o f t e n i n v o l v e s t h e l e a r n e r i n e x t e n d i n g a n d r e v i s i n g p r i o r k n o w l e d g e , a s w e l l a s d e b a t i n g a n d j u s t i f y i n g i t w i t h i n t h e l e a r n i n g c o m m u n i t y , a l t h o u g h s o m e t h i n g s i n m a t h e m a t i c s d e m a n d r o t e m e m o r i z a t i o n o r p r a c t i c e i n o r d e r t o i n c o r p o r a t e t h e m a s p a r t o f t h e i n t e l l e c t u a l a r m a t o i r e . Y e t t h e t e a c h e r c a n d i d a t e s t e n d e d t o t h i n k o f l e a r n i n g m a t h e m a t i c s a s e n t i r e l y a n i n d i v i d u a l i s t i c p r o c e s s o f a c q u i r i n g i n f o r m a t i o n a n d t e c h n i q u e . W i t h a " b u c k e t " t h e o r y o f l e a r n i n g , s e v e r a l t a l k e d a b o u t " e m b e d d i n g " a n d " d r i l l i n g " f a c t s a n d p r o c e d u r e s i n t o p u p i l s ' h e a d s . S o m e t i m e s t h e l e a r n e r w a s d e s c r i b e d i n m o r e a c t i v e t e r m s , " g r a s p i n g " o r " g r a b b i n g " i d e a s , b u t t h e p r e d o m i n a n t i m p l i c a t i o n w a s t h a t l e a r n i n g e n t a i l e d g e t t i n g c e r t a i n " s t u f f " i n t o t h e l e a r n e r ' s h e a d . T o w a r d t h a t e n d , t h e p r o s p e c t i v e t e a c h e r s s t r e s s e d t h e n e e d f o r r e p e t i t i o n a n d p r a c t i c e a n d i f s t u d e n t s d i d n ' t 3 4 6 u n d e r s t a n d , t h e t e a c h e r c a n d i d a t e s s p o k e o f " g o i n g o v e r " o r " r e - e x p l a i n i n g " t h e m a t e r i a l a n d , i n d e e d , t h a t i s w h a t t h e y d e m o n s t r a t e d i n r e s p o n d i n g d u r i n g t h e i n t e r v i e w s . 2 1 g g § _ g f _ § g a g h 1 n g _ n a § h g n a t i g g . O v e r w h e l m i n g l y , t h e p r o s p e c t i v e t e a c h e r s c o n s t r u e d t h e c e n t r a l t a s k o f t e a c h i n g a s s e e i n g t o i t t h a t p u p i l s " g e t i t " - - w i t h t h e m a j o r a v e n u e t o d o i n g t h a t b e i n g t o m a k e t h e m a t h e m a t i c s f u n . " G e t t i n g i t " g e n e r a l l y m e a n t b e i n g a b l e t o £ 9 t h e p r o c e d u r e s c o r r e c t l y . T h e t e a c h e r c a n d i d a t e s d i d n o t t h i n k o f t e a c h i n g a s c o n n e c t i n g s t u d e n t s t o t h e d i s c i p l i n e o f m a t h e m a t i c s i n s o m e w a y . T h i s w a s n o t a n i d e a t h e y e x p l i c i t l y r e j e c t e d ; i n s t e a d , i t w a s s o m e t h i n g t h a t s i m p l y d i d n o t f i g u r e i n t h e i r t h i n k i n g a b o u t t e a c h i n g m a t h e m a t i c s . S e e i n g t o i t t h a t p u p i l s l e a r n i s i n d i s p u t a b l y a r e s p o n s i b i l i t y o f t e a c h e r s . S t i l l , w h a t t h e t e a c h e r c a n d i d a t e s t h o u g h t t h i s e n t a i l e d w a s " w o r d i n g " t h i n g s c l e a r l y t o s t u d e n t s a n d m a k i n g c l a s s f u n , s t r a t e g i e s q u i t e d i f f e r e n t f r o m t h e d i s c u s s i o n a n d c a r e f u l l y p l a n n e d r e p r e s e n t a t i o n s u s e d t o h e l p s t u d e n t s " g e t i t " i n m a t h e m a t i c a l p e d a g o g y . T h e s e d i f f e r e n c e s i n w h a t i t m e a n s t o s e e t o i t t h a t s t u d e n t s " g e t i t " w e r e a f u n c t i o n o f t h e t e a c h e r c a n d i d a t e s ' n o t i o n o f w h a t t h e " i t " : 5 3 t h a t s t u d e n t s n e e d t o " g e t " : m o s t l y r u l e s a n d p r o c e d u r e s . I g g g h n g § _ L g l g . I n t h e i r d e s c r i p t i o n s o f w h a t t h e y w o u l d d o i n r e s p o n s e t o a v a r i e t y o f c l a s s r o o m s i t u a t i o n s , t h e t e a c h e r c a n d i d a t e s t e n d e d t o h o l d t h e m s e l v e s r e s p o n s i b l e f o r i m p a r t i n g k n o w l e d g e . T h e y u s e d a w i d e r a n g e o f " t e l l i n g " a n d " s h o w i n g " v e r b s - ~ e x p 1 a i n , s h o w , p o i n t o u t , p r e s e n t , g i v e , d e m a n s t r a t s - - t o r e f e r t o o n e b a s i c t e a c h i n g a c t i v i t y : t e l l i n g s t u d e n t s d e f i n i t i o n s a n d " h o w t o d o i t . " T h i s v i e w 3 4 7 o f t e a c h i n g a n d o f t h e t e a c h e r ' s r o l e , i s l o g i c a l l y c o n n e c t e d t o a v i e w o f l e a r n i n g a s " f i l l i n g u p " w i t h k n o w l e d g e . Y e t i t w a s i n t e n s i o n w i t h t h e i r c o n c o m i t a n t g o a l o f g e t t i n g p u p i l s t o b e a b l e t o d o t h e p r o c e d u r e s i n d e p e n d g n g l y , a n i n t e r e s t t h a t m a y h a v e b e e n g r o u n d e d i n t h e d o m i n a n t c u l t u r a l v a l u e p l a c e d o n d o i n g t h i n g s o n o n e ' s o w n . T h u s , a l t h o u g h t h e i r r e s p o n s e s e m p h a s i z e d t e l l i n g , t h e y a l s o s a i d t h e y w e r e i n t e r e s t e d i n " h e l p i n g k i d s f i g u r e t h i n g s o u t o n t h e i r o w n . " W h a t t h i s m e a n t i n m o s t c a s e s , h o w e v e r , w a s a s k i n g q u e s t i o n s t h a t l e d t h e l e a r n e r t h r o u g h t h e s t e p s o f a n a l g o r i t h m . W e : T h e m a t h e m a t i c a l p e d a g o g y t h a t I d e s c r i b e d i s f o u n d e d o n a s e r i o u s r e s p e c t f o r a n d a t t e n t i o n t o s t u d e n t s a n d t h e i r t h i n k i n g . T h i s w a s a d o m a i n i n w h i c h t e a c h e r c a n d i d a t e s h a d s t r i k i n g l y l i t t l e k n o w l e d g e . C e r t a i n l y t h e y h a d s o m e s c a t t e r e d a g g n n p t i g n g - - a b o u t w h a t p u p i l s w o u l d f i n d i n t e r e s t i n g o r d i f f i c u l t - - b u t t h e y k n e w l i t t l e o f w h a t s t u d e n t s o f d i f f e r e n t a g e s m i g h t k n o w o r b e a b l e t o u n d e r s t a n d . O n e a r e a i n w h i c h t h e y d i d e x p r e s s v i e w s a b o u t l e a r n e r s w a s o n t h e q u e s t i o n o f a b i l i t y t o l e a r n m a t h . S o m e t h o u g h t t h a t t h e a b i l i t y t o d o m a t h w a s e s s e n t i a l l y a n i n n a t e c h a r a c t e r i s t i c a n d r e l a t i v e l y i m m u t a b l e . M o r e w r e s t l e d w i t h t h e i s s u e b y f o c u s i n g o n t e m p e r a m e n t a l a n d p e r s o n a l q u a l i t i e s i t " t a k e s " t o l e a r n m a t h e m a t i c s . H o w e v e r , e v e n t h o s e w h o f o c u s e d o n e f f o r t t e n d e d t o t h i n k o f t h e n e c e s s a r y t r a i t s a s , t o a c e r t a i n e x t e n t , g i v e n . F o r e x a m p l e , t e a c h e r c a n d i d a t e s w o u l d t a l k a b o u t t h e n e e d t o h a v e t h e " p e r s i s t e n c e " t o b e a b l e t o s t i c k w i t h i t . P e r s i s t e n c e , a n d i t s c o u s i n s - - p a t i e n c e , t o l e r a n c e f o r f r u s t r a t i o n , a n d d e s i r e - - w e r e a l l d i s c u s s e d a s f i x e d p e r s o n a l i t y t r a i t s . T h e i r i d e a t h a t s o m e p e o p l e a r e j u s t " n a t u r a l l y " g o o d a t m a t h 3 4 8 r e f l e c t s s o m e d o m i n a n t c u l t u r a l b e l i e f s a b o u t m a t h e m a t i c s a n d a b o u t a b i l i t y ; t h e t e a c h e r e f f e c t s , b y i m p l i c a t i o n , a r e l i m i t e d . G r o u n d i n g s u c c e s s i n n a t u r a l a b i l i t y o r d i s p o s i t i o n , a c u l t u r a l l y e m b e d d e d b e l i e f , f l i e s i n t h e f a c e o f a n o t h e r d o m i n a n t c u l t u r a l d o g m a , h o w e v e r : t h a t a n y o n e c a n s u c c e e d i f t h e y t r y h a r d e n o u g h . T h e p r o s p e c t i v e t e a c h e r s a p p e a r e d t o b e c a u g h t b e t w e e n t h e s e t w o c e n t r a l c u l t u r a l b e l i e f s , v a c i l l a t i n g i n t h e i r e x p l a n a t i o n s a n d a t t r i b u t i o n s , t h e i r i d e a s a b o u t t h e r o l e s o f t e a c h e r s a n d s t u d e n t s a n d t h e i r a s s u m p t i o n s a b o u t t h e e f f e c t s o f t e a c h i n g . m m I n m a t h e m a t i c a l p e d a g o g y , t h e t e a c h e r t r i e s t o c o n n e c t t h e s t u d e n t s w i t h m a t h e m a t i c s . T h e k e y t o d o i n g t h i s r e q u i r e s t h a t t h e t e a c h e r t a k e t h e c o n t e x t - o o f t h e c l a s s r o o m , t h e s c h o o l , t h e c o m m u n i t y - - i n t o c a r e f u l a c c o u n t . I t a l s o s u g g e s t s t h e u s e f u l n e s s o f c o n s t r u c t i n g t h e c l a s s r o o m a s a m i c r o c o s m i c m a t h e m a t i c a l c o m m u n i t y , i n w h i c h s t u d e n t s p o s i t c o n j e c t u r e s , o f f e r a r g u m e n t s , r e v i s e t h e i r h u n c h e s , a n d e n g a g e i n r e a l l y " d o i n g " m a t h e m a t i c s . T h e c l a s s r o o m i t s e l f b e c o m e s a r e p r e s e n t a t i o n o f t h e d i s c i p l i n e - - i t s a c t i v i t y a n d g r o w t h a s w e l l a s i t s s u b s t a n c e . C r i t i c a l t o a c k n o w l e d g e i s t h a t t h e i n t e r v i e w s d i d n o t n e c e s s a r i l y p r e s e n t r i c h o p p o r t u n i t i e s f o r t e a c h e r c a n d i d a t e s t o t h i n k a b o u t c o n t e x t u a l f a c t o r s . S u c h t h o u g h t s s e e m e d , h o w e v e r , t o b e f a r f r o m t h e t e a c h e r c a n d i d a t e s ' m i n d s . T h e y d e a l t w i t h o n e s t u d e n t a t a t i m e o r w i t h t h e w h o l e c l a s s a s a u n i t a r y w h o l e . T h e y s h o w e d n o t e n d e n c i e s t o t a k e o t h e r c o n t e x t s o - c o m m u n i t y o r s c h o o l , f o r i n s t a n c e - - i n t o a c c o u n t . 3 4 9 W W W A n a l y z i n g w h a t p r o s p e c t i v e t e a c h e r s k n o w a n d b e l i e v e i n e a c h o f t h e s e d o m a i n s w a s u s e f u l a n d , y e t , t e a c h i n g m a t h e m a t i c s i s m o r e t h a n t h e s u m o f t h e s e p a r t s . I t i s d y n a m i c a n d e n t a i l s j u g g l i n g a n d i n t e g r a t i n g , b a l a n c i n g a n d c o m p r o m i s i n g . I n t h i s d y n a m i c , a s t e a c h e r s a s k q u e s t i o n s , g i v e e x a m p l e s , c h o o s e t a s k s , a n d a s s e s s p u p i l s ' w o r k - - i n o t h e r w o r d s , r e p r e s e n t m a t h e m a t i c s , t h e y a r e i n f l u e n c e d b y w h a t t h e y k n o w a n d b e l i e v e a c r o s s d i f f e r e n t d o m a i n s o f k n o w l e d g e . I k n e w t h i s b e f o r e I b e g a n t h i s s t u d y . T h e n , i n t h e i n t e r v i e w s , I r e p e a t e d l y s a w i n s t a n c e s o f t e a c h e r c a n d i d a t e s w h o s e e m e d t o k n o w s i m i l a r t h i n g s a n d y e t a r r i v e d a t d i f f e r e n t c o n c l u s i o n s , c h o o s i n g t o r e p r e s e n t m a t h e m a t i c s t o s t u d e n t s i n d i f f e r e n t w a y s . A n a l y z i n g t h e d a t a f r o m t h e i n t e r v i e w s w i t h p r o s p e c t i v e t e a c h e r s h e l p e d m e t o a d v a n c e a t h e o r e t i c a l f r a m e w o r k f o r t h i n k i n g a b o u t t h e i n t e g r a t i o n a n d i n t e r a c t i o n o f k n o w l e d g e i n t e a c h i n g m a t h e m a t i c s . T h i s p r o c e s s o f i n t e g r a t i n g k n o w l e d g e , w h i c h I r e f e r t o a s p e d a g o g i c a l r e a s o n i n g , 2 v a r i e s a c r o s s t e a c h e r s . F o r s o m e t e a c h e r s , s u b j e c t m a t t e r c o n s i d e r a t i o n s m a y b e f i g u r e , w h i l e f o r o t h e r s , a c o n v i c t i o n a b o u t h o w p u p i l s l e a r n b e s t m a y b e m o s t p r o m i n e n t i n t h e i r c o n s i d e r a t i o n s . F o r e x a m p l e , i n t e a c h i n g m a t h e m a t i c s , t e a c h e r s w h o s e k n o w l e d g e o f m a t h e m a t i c s i s g r o u n d e d i n t h e d i s c i p l i n e m a y c o n s i d e r t h e l e s s o n s t h e y w a n t s t u d e n t s t o l e a r n a b o u t t h e n a t u r e o f . m a t h e m a t i c a l k n o w l e d g e , w h i l e t h o s e w h o s e o w n u n d e r s t a n d i n g c o n s i s t s o f a s c h o o l s u b j e c t , o r b o d y o f r u l e s a n d p r o c e d u r e s , m a y b e m o r e l i k e l y t o e m p h a s i z e a l g o r i t h m s a n d c o m p u t a t i o n a l p e r f o r m a n c e . W h i l e 2 T h i s t e r m w a s f i r s t u s e d b y S h u l m a n ( 1 9 8 7 ) . S e e d i s c u s s i o n i n C h a p t e r 6 . 3 5 0 t h e r e a r e d i f f e r e n c e s a c r o s s t e a c h e r s , a n i n d i v i d u a l t e a c h e r ' s p a t t e r n s o f r e a s o n i n g p r o b a b l y a l s o v a r i e s a c r o s s c o n t e x t s . I p r o p o s e d t h e i d e a t h a t t e a c h e r s ' g g z r g n g g f o r t h e i r d e c i s i o n s a n d j u d g m e n t s r e f l e c t h o w t h e i r k n o w l e d g e a n d b e l i e f s c o m e t o g e t h e r i n t h e i r p e d a g o g i c a l r e a s o n i n g . W h a t t h e y t a k e i n t o a c c o u n t i n f l u e n c e s t h e i r p l a n n i n g , t h e i r j u d g m e n t s , t h e i r r e s p o n s e s - ~ i n s h o r t , a l l t h e t h i n g s t h e y d o i n r e p r e s e n t i n g m a t h e m a t i c s t o t h e i r p u p i l s , a s w e l l a s h o w t h e y j u d g e t h e v a l u e o f s p e c i f i c p e d a g o g i c a l r e p r e s e n t a t i o n s . W h a t d o I l o o k a t i n o r d e r t o d e c i d e w h e t h e r s o m e t h i n g i s a g o o d i d e a i n t e a c h i n g m a t h e m a t i c s ? I s t h i s a g o o d a c t i v i t y f o r m y p u p i l s ? S h o u l d I a s k t h i s s t u d e n t t o w o r k o n t h i s p r o b l e m s o m e m o r e ? H o w s h o u l d I r e s p o n d t o t h i s c o m p l i c a t e d i d e a t h a t o n e o f m y f i r s t g r a d e r s h a s j u s t b u m p e d i n t o ? D e p e n d i n g o n t e a c h e r s ' v i e w s a b o u t t h e g o a l s o f m a t h e m a t i c s t e a c h i n g , p e d a g o g i c a l r e a s o n i n g a n d i t s p r o d u c t s w i l l b e w a r r a n t e d d i f f e r e n t l y . T e a c h e r s w h o s e a i m i s t o g e t s t u d e n t s t o b e c o m e p r o f i c i e n t c a l c u l a t o r s w i l l b e l i k e l y t o j u d g e a n a c t i v i t y i n t e r m s o f i t s p o t e n t i a l f o r h e l p i n g s t u d e n t s p r a c t i c e t h e p r o c e d u r e s , w h i l e t h o s e w h o w a n t s t u d e n t s t o b e c o m e c o m f o r t a b l e w i t h m a t h e m a t i c s a n d s e e i t s u s e f u l n e s s a r e l i k e l y t o d i s c a r d s u c h t a s k s a n d s e e k " m e a n i n g f u l " o r " f u n " a c t i v i t i e s i n s t e a d . I p r o p o s e d a s e t o f s p e c i f i c w a r r a n t s c o n s i s t e n t w i t h t h e g o a l s o f a m a t h e m a t i c a l p e d a g o g y t h a t p r o v i d e s a n o r m a t i v e s t a n d a r d f o r l e g i t i m a t e p e d a g o g i c a l j u s t i f i c a t i o n , g i v e n t h i s p e r s p e c t i v e o n t h e t e a c h i n g o f m a t h e m a t i c s . W i t h i n t h e c o r n e r s t o n e d o m a i n s o f t e a c h i n g - - s u b j e c t m a t t e r , l e a r n e r s , l e a r n i n g , a n d c o n t e x t - ~ I i d e n t i f i e d 3 5 1 p a r t i c u l a r w a r r a n t s t h a t t a k e p r i o r i t y i n j u s t i f y i n g g o o d r e p r e s e n t a t i o n s o f t h e s u b j e c t m a t t e r f o r t e a c h i n g . T h e i d e a t h a t p e d a g o g i c a l r e a s o n i n g c a n . b e u n d e r s t o o d i n t e r m s o f h o w t e a c h e r s i n t e g r a t e w h a t t h e y k n o w a n d b e l i e v e - - t h e w a r r a n t s t h e y u s e e i t h e r t a c i t l y o r e x p l i c i t l y t o j u s t i f y t h e w a y s i n w h i c h t h e y r e p r e s e n t t h e s u b j e c t t o s t u d e n t s - - o f f e r s a n o t h e r c r i t i c a l p e r s p e c t i v e f r o m w h i c h t o v i e w w h a t p r o s p e c t i v e t e a c h e r s b r i n g t o t e a c h e r e d u c a t i o n . N o t o n l y d o e s i t b r i n g t h e p i e c e s o f t e a c h e r k n o w l e d g e b a c k t o g e t h e r , b u t i t a f f o r d s a m e a n s o f a s s e s s i n g t h e p a t t e r n s o f r e a s o n i n g a n d j u s t i f i c a t i o n t h a t t h e y a s s u m e a s t h e y e n t e r f o r m a l t e a c h e r e d u c a t i o n . a a * N o w I i n v i t e m y g u e s t s t o b e g i n t h e i r q u e s t i o n s . T h e E d u c a t i o n a l R e s e a r c h e r , w h o h a s r e c e n t l y r e - r e a d L o r t i e ' s ( 1 9 7 5 ) b o o k S c h o o l g g g g h g r , o p e n s t h e d i s c u s s i o n . E d u c a t i o n a l . R e s e a r c h e r : I f i n d y o u r w o r k i n t e r e s t i n g , D e b o r a h , b u t L o r t i e a l r e a d y p o i n t e d o u t i n h i s b o o k 1 3 y e a r s a g o t h a t p r o s p e c t i v e t e a c h e r s c o m e t o t h e i r p r o f e s s i o n a l p r e p a r a t i o n w i t h a h o s t o f i d e a s a b o u t t e a c h i n g a n d l e a r n i n g , b a s e d o n t h e i r e x p e r i e n c e a s s t u d e n t s i n s c h o o l s . H e n o t e d t h a t w e o f t e n f o r g e t t o p a y a t t e n t i o n t o t h i s " a p p r e n t i c e s h i p o f o b s e r v a t i o n " d e s p i t e t h e f a c t t h a t i t i s a p o w e r f u l i n f l u e n c e t h a t t e n d s t o p e r p e t u a t e t h e c o n s e r v a t i s m o f t e a c h i n g p r a c t i c e s i n t h i s c o u n t r y . I a m p u z z l e d a s t o w h a t y o u t h i n k i s n e w o r d i f f e r e n t i n y o u r w o r k . D e b o r a h : I n s h o r t , I h a v e e x p a n d e d o n h i s i d e a . W h i l e h i s a r g u m e n t , a n d t h e i d e a o f a n " a p p r e n t i c e s h i p o f o b s e r v a t i o n , " w a s ( a n d c o n t i n u e s t o b e ) a h e l p f u l l e v e r i n u n d e r s t a n d i n g w h a t i t m e a n s t o b e c o m e a t e a c h e r i n t h i s c o u n t r y , h e e s s e n t i a l l y i d e n t i f i e d a p r o c e s s a n d a r g u e d t h a t w h a t i s l e a r n e d t h r o u g h t h i s p r o c e s s i s p r o f o u n d l y i n f l u e n t i a l o n p r o s p e c t i v e t e a c h e r s ' i d e a s a n d e x p e c t a t i o n s a b o u t t e a c h i n g . H e d i d n o t e x p l o r e w h a t t h e g g n t g n t o f t h i s p r o c e s s w a s - - 3 5 2 t h a t i s , w h a t p e o p l e a c t u a l l y l g n n n f r o m t h e a p p r e n t i c e s h i p o f o b s e r v a t i o n . M y w o r k f o c u s e s o n w a y s o f e x a m i n i n g w h a t i s a c t u a l l y 1 § n x n g § f r o m t h e a p p r e n t i c e s h i p o f o b s e r v a t i o n , a s w e l l a s f r o m o u t - o f - s c h o o l e x p e r i e n c e s , w i t h i n t h e c o n t e x t o f a p a r t i c u l a r s u b j e c t - - m a t h e m a t i c s . I n d o i n g t h i s , I h a v e e x t e n d e d a n d e l a b o r a t e d t h e c o n c e p t o f " a p p r e n t i c e s h i p o f o b s e r v a t i o n " - - i n e f f e c t , b y e x p l o r i n g t h e s p e c i f i c o u t c o m e s o f o n e s u c h s p e c i a l i z e d a p p r e n t i c e s h i p . T h i s w o r k e m p h a s i z e s w h a t p e o p l e m a y b e l e a r n i n g s p e c i f i c a l l y a b o u t t h e t e a c h i n g a n d l e a r n i n g o f n n g h g n n g i g g . E d u c a t i o n a l R e s e a r c h e r : I a s s u m e d t h a t b e c a u s e s t u d e n t s ’ p r i o r s c h o o l e x p e r i e n c e s w o u l d b e s o d i v e r s e , t h e r e w o u l d b e l i t t l e r e a s o n t o e x p e c t a n y c o m m o n a l i t y i n p r o s p e c t i v e t e a c h e r s ' i d e a s a n d i m a g e s a b o u t t e a c h i n g . D e b o r a h : I t h i n k y o u j u m p e d t o t h a t c o n c l u s i o n a l i t t l e t o o q u i c k l y . T h e s e t h i n g s m a y v a r y b y s u b j e c t m a t t e r . T h e p r o s p e c t i v e t e a c h e r s i n t h i s s t u d y h e l d a g r e a t £ 2 5 1 i n c o m m o n i n t e r m s o f t h e i r i m a g e s o f t e a c h i n g a n d l e a r n i n g m a t h e m a t i c s . T h i s a c t u a l l y i s n ' t s u r p r i s i n g i n t h e c a s e o f m a t h , w h e n y o u c o n s i d e r h o w c o n s i s t e n t t h e p a t t e r n s o f i n s t r u c t i o n i n A m e r i c a n m a t h c l a s s r o o m s a r e . S t u d e n t s w h o s p e n d t h o u s a n d s o f h o u r s i n t h e s e c l a s s r o o m s a r e l i k e l y t o h o l d s o m e i d e a s a n d i m a g e s i n c o m m o n , d o n ' t y o u t h i n k ? I t w o u l d b e r e a s o n a b l e t o p r e d i c t t h a t p r o s p e c t i v e t e a c h e r s , l i k e t h e o n e s I i n t e r v i e w e d , m i g h t a s s u m e t h a t t e a c h i n g m a t h m e a n s t e l l i n g s t u d e n t s " h o w t o d o i t , " t h a t l e a r n i n g m a t h r e q u i r e s c o n s i d e r a b l e r e p e t i t i o n a n d d r i l l , a n d t h a t w h e n p u p i l s d o n ' t " g e t i t , " t e a c h e r s s h o u l d " g o o v e r " t h e s t e p s a g a i n . T h i s , a f t e r a l l , i s w h a t t h e y h a v e b e e n t h r o u g h . O t h e r s c h o o l s u b j e c t s m a y n o t r e f l e c t t h i s d e g r e e o f c o n s i s t e n c y , b u t m a t h t e a c h i n g , u n f o r t u n a t e l y , t e n d s t o f o l l o w a s i m i l a r p a t t e r n i n a t r e m e n d o u s n u m b e r o f c l a s s r o o m s a c r o s s t h i s c o u n t r y . W h i l e I w o u l d n ' t 3 S 3 w a n t t o c l a i m t h a t w h a t I f o u n d i s g e n e r a l i z a b l e , I d o n ' t b e l i e v e t h a t i t w a s h i g h l y a t y p i c a l , e i t h e r . E d u c a t i o n a l . x e s e a r c h e r : w e l l , I ’ m s u r e t h a t w e ’ d b o t h a g r e e t h a t t h a t ’ s a n e m p i r i c a l q u e s t i o n . P e r h a p s s o m e o n e w i l l u s e t h e c o n c e p t u a l f r a m e w o r k s t h a t y o u h a v e d e v e l o p e d a n d w i l l e x a m i n e t h e i d e a s a n d a s s u m p t i o n s o f a l a r g e r , r a n d o m s a m p l e o f e n t e r i n g t e a c h e r e d u c a t i o n s t u d e n t s . I s t h a t t h e m a i n t h i n g y o u ' r e h y p o t h e s i z i n g w - t h a t t h e a p p r e n t i c e s h i p o f o b s e r v a t i o n p r o d u c e s s o m e p r e d i c t a b l e o u t c o m e s w i t h r e s p e c t t o m a t h e m a t i c s t e a c h i n g ? D e b o r a h : N o , t h e r e i s s o m e t h i n g e l s e w o r t h n o t i c i n g a b o u t t h i s s p e c i a l i z e d a p p r e n t i c e s h i p o f o b s e r v a t i o n . B e i n g a s t u d e n t i n m a t h c l a s s e s d o e s m o r e t h a n d e v e l o p p r o s p e c t i v e t e a c h e r s ' i m a g e s o f m a t h g g n g h i n g ; i t a l s o a f f e c t s t h e w a y i n w h i c h t h e y u n d e r s t a n d m a t h e m a t i c s - - t h e s u b j e c t m a t t e r - - i t s e l f . I f t h e y h a v e b e e n s u b j e c t e d o v e r a n d o v e r t o a u t h o r i t a r i a n a n d r u l e - b o u n d p r e s e n t a t i o n s o f t h e c o n t e n t , t h e y o n l y m e m o r i z e p r o c e d u r e s a n d d e f i n i t i o n s . I f t h e i r o n l y e x p e r i e n c e w i t h m a t h i s f o l l o w i n g a l g o r i t h m s t o a r r i v e a t r i g h t a n s w e r s t o p o i n t l e s s p r o b l e m s , t h e y a r e u n l i k e l y t o b e s u b s t a n t i v e l y w e l l - p r e p a r e d i n m a t h e m a t i c s . M o r e o v e r , c o n s i d e r i n g t h e o r d i n a r y m a t h e m a t i c s c l a s s , i t i s l i k e l y t h a t p r o s p e c t i v e t e a c h e r s w i l l b e l i e v e t h a t m a t h e m a t i c a l k n o w l e d g e i s f i x e d a n d a m a t t e r o f a b s o l u t e t r u t h , t h a t d o i n g m a t h e m a t i c s m e a n s d o i n g e x e r c i s e s a n d g e t t i n g r i g h t a n s w e r s . M y p o i n t i s t h a t p r o s p e c t i v e t e a c h e r s a c q u i r e m o s t o f t h e i r s u b j e c t m a t t e r k n o w l e d g e f o r t e a c h i n g w h i l e t h e y t h e m s e l v e s a r e s t i l l i n e l e m e n t a r y a n d s e c o n d a r y s c h o o l , g o i n g t h r o u g h t h e a p p r e n t i c e s h i p o f o b s e r v a t i o n . A n d y e t w e p e r s i s t i n t a l k i n g a b o u t s u b j e c t m a t t e r p r e p a r a t i o n f o r b e g i n n i n g t e a c h e r s a s t h o u g h i t w e r e j u s t a m a t t e r o f w h a t g o e s o n i n l i b e r a l a r t s c o u r s e s . I n t h e c a s e o f m a t h e m a t i c s t e a c h i n g a t l e a s t , I d o n ' t t h i n k t h a t ' s q u i t e r i g h t . 3 5 4 I f y o u t h i n k a b o u t t h e s e t w o p o i n t s a b o u t n h n ; i s l e a r n e d f r o m t h i s s p e c i a l i z e d a p p r e n t i c e s h i p o f o b s e r v a t i o n t o g e t h e r , o n e m o r e p o i n t i s w o r t h h i g h l i g h t i n g . I n t h e a p p r e n t i c e s h i p o f o b s e r v a t i o n , a s i n t e a c h i n g , s u b j e c t m a t t e r k n o w l e d g e a n d p e d a g o g y i n g g n n g g , f o r p r o s p e c t i v e t e a c h e r s d e v e l o p t h e i r i d e a s a b o u t t e a c h i n g a n d l e a r n i n g m a t h e m a t i c s i n t h e c o n t e x t o f l e a r n i n g t h e s u b j e c t m a t t e r i t s e l f . W h a t t h e y t h i n k a b o u t g o o d m a t h t e a c h i n g , f o r i n s t a n c e , i s p r o b a b l y i n t e r t w i n e d w i t h t h e i r o w n c o n c e p t i o n s o f w h a t t h e y t h i n k i t n a n n g t o l e a r n o r t o k n o w m a t h . P r o s p e c t i v e t e a c h e r s ' j u d g m e n t s a b o u t p a r t i c u l a r t a s k s o r a c t i v i t i e s a r e l i k e l y t o b e i n f l u e n c e d b o t h b y w h a t t h e y b e l i e v e a b o u t t e a c h i n g a n d l e a r n i n g a s w e l l a s t h e i r o w n u n d e r s t a n d i n g o f t h e p a r t i c u l a r c o n t e n t t h a t i s e m b o d i e d i n t h o s e a c t i v i t i e s . M o r e o v e r , w a t c h i n g t h e i r o w n t e a c h e r s t e a c h m a t h m a y h a v e g i v e n t h e m n o t o n l y t h e i d e a t h a t t e a c h e r s s h o u l d e x p l a i n , b u t m a y h a v e a l s o p r o v i d e d t h e m w i t h s p e c i f i c e x p l a n a t i o n s : l i t t l e s c r i p t s o r e x a m p l e s f o r t e a c h i n g m u l t i p l i c a t i o n , " b o r r o w i n g , " o r s l o p e . I d e a s a c q u i r e d i n s c h o o l a b o u t g g n n h i n g a n d a b o u t t h e g n h j g g § _ n n ; § g z a r e l i k e l y t o b e i n t e r c o n n e c t e d . I t h i n k t h a t r e c o g n i z i n g t h e s e i n t e r c o n n e c t i o n s m a y b e k e y i n u n p a c k i n g a n d c h a n g i n g w h a t p r o s p e c t i v e t e a c h e r s b r i n g . E d h c a t i o n a l P h i l o s o p h e r : D e b o r a h , c a n I i n t e r r u p t h e r e a m o m e n t ? I ’ m n o t s u r e I u n d e r s t a n d w h a t y o u a r e i m p l y i n g w i t h t h a t l a s t s t a t e m e n t a n d , i n d e e d , w i t h t h e t o n e t h a t r u n s t h r o u g h a l o t o f y o u r i n t e r p r e t a t i o n . Y b u m a k e t h e s e s t u d e n t s s o u n d l i k e t h e y a r e z z n n g . I g o t t h i s i m p r e s s i o n m o s t , b y t h e w a y , i n C h a p t e r 5 . I n t h a t c h a p t e r , y o u d e s c r i b e t h e p r o s p e c t i v e t e a c h e r s ’ i d e a s a s " w e a k " - - w h i c h i m p l i e s t h a t t h e y c a n b e s t r e n g t h e n e d - - a n d t h a n g o o n t o i n t i m a t e t h a t t h e i r i d e a s n e e d t o b e n h n n g g d . A n d j u s t n o w y o u s a i d i t e x p l i c i t l y . I t s e e m s t o m e t h a t t h e s t u d e n t s ' o w n d i r e c t e x p e r i e n c e s w i t h t e a c h i n g a n d l e a r n i n g m a t h e m a t i c s a r e a t r e m e n d o u s p r a c t i c a l r e s o u r c e i n l e a r n i n g t o t e a c h m a t h . T h e y a l r e a d y k n o w a l o t a b o u t t e a c h i n g a n d l e a r n i n g - - i t ’ s j u s t t h a t t h e i r i d e a s a r e p a r t i a l a n d u n d e r d e v e l o p m e n t . T h e r e i s a l o t t o b u i l d o n i n w h a t t h e y k n o w a n d 3 5 5 b e l i e v e - ~ t o t r y t o b r e a k w i t h t h o s e i d e a s a n d , i n e f f e c t , s t a r t o v e r , w o u l d b e q u i t e m i s d i r e c t e d , I f e a r . D e b o r a h : I k n o w t h a t y o u h a v e b e e n i n f l u e n c e d b y t h e w r i t i n g o f J o h n D e w e y a n d t h a t y o u t e n d t o t h i n k o f l e a r n i n g a s a c o n t i n u o u s , g r o w i n g p r o c e s s . I a g r e e w i t h y o u . B u t w h a t t r o u b l e s m e i s t h a t y o u s e e m t o f a i l t o t a k e i n t o a c c o u n t t h e p o s s i b i l i t y t h a t t h e k n o w l e d g e a n d s k i l l s a p e r s o n a c q u i r e s t h r o u g h o n e s e t o f e x p e r i e n c e s m a y b e i n n n n r n n x i n g g o r n n d g g i z n h l g . T h e r e h a s b e e n c o n s i d e r a b l e r e s e a r c h i n r e c e n t y e a r s t h a t i n d i c a t e s t h a t p e o p l e ' s i d e a s o r w a y s o f s e e i n g m a y m i s g u i d e w h a t t h e y s e e a n d l e a r n f r o m e x p e r i e n c e . I t h i n k t h a t t h e p o i n t i s t h a t w h e n p r o s p e c t i v e t e a c h e r s g e t t o f o r m a l t e a c h e r e d u c a t i o n , t h e y c o m e f r o m m o r e t h a n t w e l v e y e a r s o f e x p e r i e n c e i n c l a s s r o o m s . T h e y a r e l i k e l y t o h a v e d e v e l o p e d i d e a s a b o u t t e c h n i q u e s , a b o u t t h e t e a c h e r ' s r o l e , a b o u t t h e n a t u r e o f c l a s s r o o m a c t i v i t y , w h i c h , a l t h o u g h v i v i d a n d v a l i d a t e d t h r o u g h p e r s o n a l e x p e r i e n c e , a r e n o t c r i t i c a l l y a n a l y z e d . T h e i r w a y s o f l o o k i n g a t c l a s s r o o m s m a y b e s u p e r f i c i a l a n d f o c u s e d o n w h a t t e a c h e r s d 9 ; t h e y p r o b a b l y k n o w l i t t l e a b o u t t e a c h e r s ' t h i n k i n g o r t h e d i l e m m a s w i t h w h i c h t h e y g r a p p l e . T h e c o n t i n u i t y o f e x p e r i e n c e i n p r e p a r i n g t o t e s t - - f r o m t h i s a p p r e n t i c e s h i p o f o b s e r v a t i o n t h r o u g h f o r m a l t e a c h e r e d u c a t i o n - - i s p r o b l e m a t i c i n a w a y t h a t y o u s e e m t o o v e r l o o k . E d u c a t i o n a l R e s e a r c h e r : L e t m e j u s t i n t e r j e c t a p o i n t h e r e , t o o , D e b o r a h , f o r I h a v e s o m e t h i n g t o s a y t o m y c o l l e a g u e , t h e e d u c a t i o n a l p h i l o s o p h e r . T h i s a p p r e n t i c e s h i p o f o b s e r v a t i o n m a y , i n a c u r i o u s w a y , a f f e c t p r o s p e c t i v e t e a c h e r s ’ r e c e p t i v i t y t o p r o f e s s i o n a l e d u c a t i o n - ~ t h a t i s , t h e y m a y a l r e a d y t h i n k t h e y " k n o w i t . " F u r t h e r m o r e , t h e c o n t i n u i t y o f t h e i r e x p e r i e n c e i n s c h o o l s - - f r o m s t u d e n t t o t e a c h e r - - w h i c h y o u s e e a s s o m e t h i n g g o o d , c a n b e a n i n h i h i g g ; o f c h a n g e . W e a l l k n o w h o w c o n s e r v a t i v e t e a c h i n g p r a c t i c e i s i n t h i s c o u n t r y - - t r a d i t i o n s p a s s e d d o w n f r o m o n e g e n e r a t i o n o f t e a c h e r s t o a n o t h e r . I t i s i n t e r e s t i n g t h a t t h e t e r m " c o n t i n u i t y " c o n n o t e s s o m e t h i n g p o s i t i v e t o y o u ; f o r m e , " c o n t i n u a t i o n " s t a n d s f o r t h e h e a v y w e i g h t o f t r a d i t i o n o n t e a c h i n g i n t h i s c o u n t r y . 3 5 6 E d u c a t i o n a l P h i l o s o p h e r : O f c o u r s e I ' m n o t i n t e r e s t e d i n p e r p e t u a t i n g m a n y p r e v a i l i n g e d u c a t i o n a l p r a c t i c e s , b u t , s t i l l , y o u p r o v i d e n o e v i d e n c e f o r y o u r c l a i m t h a t s t u d e n t s ' p r i o r e x p e r i e n c e s i n s c h o o l i n h i b i t t h e i r ‘ g r o w t h a s t e a c h e r s . J u s t b e c a u s e s o m e o f u s d o n ’ t l i k e w h a t w e s e e w h e n w e r e a l l y t a k e a l o o k a t w h a t p r o s p e c t i v e t e a c h e r s b r i n g , d o w e r e a l l y k n o w t h a t s t u d e n t t e a c h e r s c a n n o t s i m p l y c h a n g e t h e i r m i n d s a n d a c q u i r e p e d a g o g i c a l w a y s o f l o o k i n g a n d t h i n k i n g f r o m g o o d e x p e r i e n c e s d u r i n g f o r m a l t e a c h e r e d u c a t i o n ? F o r e x a m p l e , D e b o r a h ' s w o r k s h o w s t h a t t h e p r o s p e c t i v e m a t h e m a t i c s t e a c h e r s s h e i n t e r v i e w e d w e r e n o t " s a t u r a t e d * w i t h t h e i r s u b j e c t . m a t t e r , " a s t h e y n e e d t o b e . I f t h i s i s t h e c a s e m o r e b r o a d l y , s h o u l d n ’ t w e j u s t p r o v i d e m o r e c o u r s e w o r k i n m a t h e m a t i c s f o r t e a c h e r s ? D e b o r a h : I t h i n k y o u a r e r a i s i n g a n i m p o r t a n t a n d i n t e r e s t i n g q u e s t i o n . W h e n w e l o o k a t t h e c o n t i n u i t y i n t e a c h i n g p r a c t i c e s , t h o u g h , I ' d a r g u e t h a t t h e r e i s a b u n d a n t e v i d e n c e t h a t w h a t p e o p l e b r i n g t o t e a c h e r e d u c a t i o n f r o m t h e a p p r e n t i c e s h i p o f o b s e r v a t i o n h a s s o m e l a s t i n g p o w e r . M a n y p e o p l e h a v e d e s c r i b e d t h e n e g l i g i b l e i m p a c t o f p r e s e r v i c e t e a c h e r e d u c a t i o n b y s a y i n g t h a t t h e u n i v e r s i t y e f f e c t s a r e " w a s h e d o u t " b y t h e p o w e r o f t h e s c h o o l c u l t u r e n i g g ; t e a c h e r s l e a v e t h e u n i v e r s i t y . I t e n d t o t h i n k t h a t a n e q u a l l y p l a u s i b l e e x p l a n a t i o n h a s t o d o w i t h t h e p o w e r o f t h e s c h o o l c u l t u r e fi n i n g ; t e a c h e r s e n t e r t e a c h e r e d u c a t i o n - - t h a t c e r t a i n i d e a s a r e " w a s h e d i n . " W h a t e v e r t h e e x p l a n a t i o n , t h o u g h , I t h i n k w e d o n ' t r e a l l y k n o w w h a t w o u l d m a k e a d i f f e r e n c e i n h e l p i n g t o m o v e p r o s p e c t i v e t e a c h e r s a l o n g , h e l p i n g t h e m t o a c q u i r e t h o s e t h i n g s t h e y n e e d t o k n o w a n d b e a b l e t o d o i n o r d e r t o b e g i n t e a c h i n g . W h e t h e r w h a t p r o s p e c t i v e t e a c h e r s b r i n g i s s i m p l y p a r t i a l a n d u n d e r d e v e l o p m e n t , o r w h e t h e r i t i s d i s c o n t i n u o u s a n d r e q u i r e s r e c o n s t r u c t i o n , i s a n e m p i r i c a l q u e s t i o n , a q u e s t i o n a b o u t t e a c h e r l g n x n j n g . I n o t h e r w o r d s , w e n e e d t o f o l l o w p e o p l e w h o a r e b e c o m i n g t e a c h e r s , f o c u s i n g o n w h e t h e r a n d h o w t h e i r e n t e r i n g k n o w l e d g e a n d b e l i e f s c h a n g e , g i v e n d i f f e r e n t 3 5 7 a p p r o a c h e s t o t e a c h e r p r e p a r a t i o n . 3 F u r t h e r m o r e , w h e t h e r y o u c o n s i d e r s o m e t h i n g “ p a r t i a l ” o r ” d i s c o n t i n u o u s “ d e p e n d s o n t h e g o a l i t s e l f - - w h a t t e a c h e r s n e e d t o k n o w , g i v e n a p a r t i c u l a r v i e w o f m a t h t e a c h i n g . T e a c h e r . E d u c a t o r : T h i s g i v e s m e a n o p p o r t u n i t y t o J u m p i n . T h e r e a s o n I w a s t r o u b l e d w h e n I r e a d y o u r w o r k , D e b o r a h , w a s t h a t y o u a s s u m e a v i e w o f t e a c h i n g t h a t a g g g g s g z i l y s h o w s u p t h e t e a c h e r c a n d i d a t e s a s w e a k a n d h o l d i n g v i e w s q u i t e d i f f e r e n t f r o m t h e o n e s y o u a r e p r o m o t i n g w i t h t h i s m a t h e m a t i c a l p e d a g o g y . M y f e e l i n g a s a t e a c h e r e d u c a t o r i s t h a t I a m p r e p a r i n g m y s t u d e n t s t o e n t e r r e a l c l a s s r o o m s , w h e r e t h e y w i l l h a v e t o u s e t e x t b o o k s a n d b e a c c o u n t a b l e t o t e s t s - ~ w h i c h m e a n s e m p h a s i z i n g c o m p u t a t i o n a l s k i l l s a n d c o v e r i n g t h e d i s t r i c t ' s c u r r i c u l u m . T h e y a r e n o t g o i n g t o b e m e a n d e r i n g a r o u n d , w o r r y i n g a b o u t t h e i r p u p i l s c o n s t r u c t i n g t h e o r i e s a n d p r o v i n g c l a i m s . S o w h e n I t h i n k a b o u t w h a t t h e y w i l l b e d o i n g , I a m a c t u a l l y s o m e w h a t p l e a s e d w i t h y o u r r e p o r t o n w h a t t h e y b r i n g . T h e y h a v e a s e n s e o f t h e i r r o l e , t h e y r e a l i z e t h a t l e a r n i n g m a t h r e q u i r e s c o n s i d e r a b l e d r i l l , a n d t h e y a r e c l e a r l y i n c l i n e d t o m a k e . m a t h f u n f o r t h e s t u d e n t s . I b e l i e v e t h a t t h e r e a r e t h i n g s t h e y n e e d t o l e a r n m o r e a b o u t o - e r r o r p a t t e r n s i n s t u d e n t s ’ w o r k , h o w t o e v a l u a t e s t u d e n t s , w r i t i n g l e s s o n p 1 a n s - - a n d I t h i n k t h e y n e e d , a s s e v e r a l o f t h e m s a i d , t o b r u s h u p o n b a s i c l m a t h f a c t s a n d d e f i n i t i o n s . B u t t h a t ' s n o b i g d e a l . D e b o r a h : I u n d e r s t a n d y o u r a r g u m e n t . C e r t a i n l y f r o m y o u r p e r s p e c t i v e , t h e s e p r o s p e c t i v e t e a c h e r s a r e i n b e t t e r s h a p e t h a n t h e y a r e f r o m m i n e . B u t I t h i n k t h e r e a r e s o m e g o o d r e a s o n s w h y y o u s h o u l d r e c o n s i d e r y o u r a p p a r e n t c o m p l a c e n c y w i t h c u r r e n t p r a c t i c e s i n t h e t e a c h i n g o f m a t h e m a t i c s a n d y o u r w i l l i n g n e s s t o p r e p a r e t e a c h e r s w h o w i l l t e a c h i n t h e s e w a y s . H a v e y o u l o o k e d a t s o m e o f t h e r e s e a r c h t h a t s h o w s w h a t s t u d e n t s a r e l e a r n i n g f r o m t h e s e o r d i n a r y m a t h c l a s s e s ? I m e a n , a r e y o u c o n t e n t t o d i s c o v e r t h a t s t u d e n t s w h o c a n c a l c u l a t e c o r r e c t l y c a n n o t i n t e r p r e t t h e m e a n i n g o f t h e i r a n s w e r s i n c o n t e x t ? D o e s n ' t i t m a t t e r t o y o u t h a t s t u d e n t s t e n d t o d e v e l o p t h e i d e a t h a t m a t h e m a t i c s c o n s i s t s o f a b o d y o f r u l e s a n d p r o c e d u r e s , t h a t d o i n g m a t h e m a t i c s m e a n s f i l l i n g o u t e x e r c i s e s , o r t h a t p r o b l e m s o l v i n g 3 T h i s i s t h e c e n t r a l r e s e a r c h q u e s t i o n o f t h e T e a c h e r E d u c a t i o n a n d L e a r n i n g t o T e a c h s t u d y c u r r e n t l y u n d e r w a y a t t h e N a t i o n a l C e n t e r f o r R e s e a r c h o n T e a c h e r E d u c a t i o n a t H i c h i g a n S t a t e U n i v e r s i t y . 3 5 8 m e a n s f i n d i n g a n s w e r s t o w o r d p r o b l e m s ? A n d w h a t d o y o u t h i n k o f t h e f a c t t h a t s o m a n y a d u l t s i n o u r c o u n t r y f e e l i n c o m p e t e n t i n s i t u a t i o n s w h e r e q u a n t i t a t i v e r e a s o n i n g i s e n t a i l e d o - l i k e i n t e r p r e t i n g p e r c e n t s , u n d e r s t a n d i n g s t a t i s t i c a l i n f o r m a t i o n , o r e s t i m a t i n g ? H a t h a a t i c s E d u c a t o r : J u s t a m i n u t e , D e b o r a h . E v e n t h o u g h I a m a m a t h e m a t i c s e d u c a t o r , I t h i n k t h e g o a l s o f m a t h e m a t i c a l p e d a g o g y , a s y o u d e s c r i b e t h e m , a r e q u e s t i o n a b l e . W h i l e I a g r e e t h a t m a t h e m a t i c s t e a c h i n g a s w e n o w k n o w i t i s i n s e r i o u s n e e d o f i m p r o v e m e n t , i t s o u n d s l i k e w h a t y o u a r e t r y i n g t o d o i s t o c r e a t e l i t t l e m a t h e m a t i c i a n s , w h e n w h a t i s n e e d e d i s j u s t a m u c h g r e a t e r a n d m o r e d i r e c t e m p h a s i s o n c o n c e p t s - ~ m o r e u s e o f m a n i p u l a t i v e s , f o r e x a m p l e , n o t j u s t p a p e r - p e n c i l t a s k s . A n d m o r e p r o b l e m s o l v i n g . I l i k e t h a t p a r t o f w h a t y o u d e s c r i b e , b u t a l l t h i s s t u f f a b o u t m a k i n g a n d v a l i d a t i n g c o n j e c t u r e s d o e s n ’ t s o u n d l i k e s o m e t h i n g t h a t a n y o n e r e a l l y n e e d s t o k n o w u n l e s s t h e y a r e g o i n g t o b e a m a t h e m a t i c i a n . R e s e a r c h o n s t u d e n t l e a r n i n g , a s y o u y o u r s e l f p o i n t o u t , p r o v i d e s a m p l e j u s t i f i c a t i o n f o r y o u r c o n s t r u c t i v i s t o r i e n t a t i o n t o l e a r n i n g , b u t I t h i n k t h a t y o u r h e a v y o v e r l e y o f d i s c i p l i n a r y k n o w l e d g e p l a c e s t o o m u c h e m p h a s i s o n t h e d i s c i p l i n e o f m a t h e m a t i c s , a n d t o o l i t t l e o n j u s t h e l p i n g s t u d e n t s t o e x p l o r e c o n c e p t s . D e b o r a h : w o u l d y o u m a k e t h e s a m e a r g u m e n t a b o u t r e a d i n g ? T h a t c h i l d r e n d o n ' t n e e d t o i n t e r p r e t l i t e r a t u r e u n l e s s t h e y a r e g o i n g t o b e l i t e r a r y c r i t i c s ? w o u l d y o u a r g u e t h a t , i f n o t , t h e y s h o u l d j u s t l e a r n t o d e c o d e a n d e x t r a c t t h e l i t e r a l m e a n i n g o f t e x t ? T h i s i s t h e a n a l o g y t o y o u r a r g u m e n t a b o u t l e a r n i n g m a t h e m a t i c s . I a r g u e t h a t l e a r n i n g m a t h e m a t i c s w i t h m e a n i n g , a s y o u w o u l d l i k e , n e c e s s a r i l y e n t a i l s g o i n g m a t h e m a t i c s . T o b e a b l e t o u s e a n d l e a r n m a t h e m a t i c s i n d e p e n d e n t l y , w h i c h i s j u s t w h a t w e w a n t i n t e r m s o f t h e r e a d i n g a n d E n g l i s h c u r r i c u l a a s w e l l , s t u d e n t s m u s t l e a r n t o d e f i n e , a p p r o a c h , a n d s o l v e p r o b l e m s a n d t o j u s t i f y t h e i r s t r a t e g i e s a n d s o l u t i o n s a n d t o u n d e r s t a n d w h a t c o u n t s a s a l e g i t i m a t e s o l u t i o n . ( T h e a n a l o g i n r e a d i n g i s t o l e a r n h o w t o c o n s t r u c t a n d s u b s t a n t i a t e a l t e r n a t i v e i n t e r p r e t a t i o n s o f t e x t . ) I t h i n k y o u m e a n s o m e t h i n g a l i t t l e d i f f e r e n t b y " p r o b l e m s o l v i n g ” t h a n I d o , t o o . I a m n o t j u s t t a l k i n g a b o u t s t u d e n t s ' a b i l i t y t o f i n d t h e a n s w e r s t o w o r d p r o b l e m s o r 3 5 9 p u z z l e s . P r o b l e m s o l v i n g , f r o m a d i s c i p l i n a r y p o i n t o f v i e w , e n t a i l s a s m u c h a b o u t f i n d i n g a n d p o s i n g g o o d q u e s t i o n s a s i t d o e s a b o u t f i g u r i n g o u t w a y s t o a p p r o a c h a n d a n s w e r q u e s t i o n s . ( I n r e a d i n g , w e w a n t s t u d e n t s t o f i g u r e o u t w a y s t o a n a l y z e a n d i n t e r p r e t t e x t i n d e p e n d e n t l y , n o t j u s t a n s w e r q u e s t i o n s t h a t s o m e o n e e l s e p o s e s . ) B e i n g a b l e t o u s e m a t h e m a t i c s i n a v a r i e t y o f f o r m a l a n d i n f o r m a l c o n t e x t s e n t a i l s u n d e r s t a n d i n g d i f f e r e n t w a y s i n w h i c h i t c a n m o d e l s i t u a t i o n s o r p r o b l e m s , a n d i n c l u d e s l e a r n i n g t o i n v e n t l e g i t i m a t e a l t e r n a t i v e s i n s e a r c h o f a s o l u t i o n . M a t h e m a t i c a l p e d a g o g y i s b a s e d o n t h e p r e m i s e t h a t u n d e r s t a n d i n g a n y s u b j e c t i n a w a y t h a t i s " e m p o w e r i n g ” e n t a i l s l e a r n i n g a b o u t t h e n a t u r e o f t h e k n o w l e d g e - ~ h o w i t i s g e n e r a t e d , i t s c e r t a i n t y , i t s s o u r c e s o f j u s t i f i c a t i o n - - a s w e l l a s l e a r n i n g s o m e o f i t s s u b s t a n c e . T h i s c l a i m i s n o t u n i q u e t o m a t h e m a t i c s , b u t h o l d s f o r h i s t o r y , E n g l i s h , b i o l o g y , a n d s o o n . I ' m n o t s u r e t h a t i t ' s s u c h a n e s o t e r i c p e r s p e c t i v e a t a l l a n d i t i s a b s o l u t e l y c o n n e c t e d t o y o u r i n t e r e s t i n h a v i n g s t u d e n t s l e a r n t h e m e a n i n g s o f c o n c e p t s . H a t h e m a t i c s E d u c a t o r : I h a d n ’ t t h o u g h t a b o u t i t i n q u i t e t h a t w a y b e f b r e . I ' l l h a v e t o t h i n k a b o u t i t s o m e m o r e . B u t , I s t i l l h a v e a n o t h e r q u e s t i o n . E w e n i f w e w e r e t o a g r e e t h a t m a t h e m a t i c a l p e d a g o g y i s a d e s i r a b l e g o a l , i t m i g h t s t i l l b e q u e s t i o n a b l e f o r p r e s e r v i c e t e a c h e r s , d o n ’ t y o u t h i n k ? H e w e v e r o n e c h o o s e s t o e n a c t i t , i t i s n o t a n e a s y w a y t o t e a c h . T h e r e a r e a l m o s t n o c u r r i c u l u m m a t e r i a l s a v a i l a b l e t h a t r e f l e c t t h i s p e r s p e c t i v e o n t e a c h i n g a n d l e a r n i n g , a n d i t i s u n r e a s o n a b l e t h a t b e g i n n e r s s h o u l d i n v e n t t h e i r o w n c u r r i c u l u m m a t e r i a l s . I f i t i s a n u n d e s i r a b l e g o a l f o r b e g i n n i n g t e a c h e r s , t h e n w h y d i d y o u c o n s t r u c t y o u r e n t i r e s t u d y a r o u n d i t ? A s t h e T e a c h e r E d u c a t o r s a i d , t h i s p e r s p e c t i v e o n l y m a k e s t h e p r o s p e c t i v e t e a c h e r s l o o k b a d . W h y n o t t r y t o g e t t h e m u n d e r w a y f i r s t ? L e a r n i n g t o t e a c h , a f t e r a l l , t a k e s t i m e . L e t t h e m b e g i n b y l e a r n i n g t o t e a c h p r e t t y t r a d i t i o n a l l y , b u t c r i t i c a l l y . A s t h e y g e t t h a t u n d e r c o n t r o l , h e l p t h e m b e g i n e m p h a s i z i n g c o n c e p t s a n d m e a n i n g m o r e a n d m o r e . S t i l l l a t e r , t h e y c a n a d d t h i s p i e c e , t h i s m a t h e m a t i c a l p e d a g o g y . D e b o r a h : I ' m n o t a t a l l s u r e t h a t m a t h e m a t i c a l p e d a g o g y i s s o u n r e a l i s t i c . F i r s t , o f a l l , t h i s a p p r o a c h d o e s n o t n e c e s s a r i l y e n t a i l 3 6 0 a l t e r n a t i v e c u r r i c u l u m m a t e r i a l s , b u t , r a t h e r , c r i t i c a l m o d i f i c a t i o n s o f e x i s t i n g o n e s , s u p p l e m e n t e d w i t h i d e a s t h a t a r e r a r e l y i n c l u d e d i n m o s t t e x t b o o k s . B e g i n n i n g t e a c h e r s c a n s t a r t w i t h s o m e a s p e c t s o f m a t h e m a t i c a l p e d a g o g y a n d g r a d u a l l y l e a r n m o r e ; I a m n o t c o n v i n c e d t h a t m a t h e m a t i c a l p e d a g o g y c a n b e l a y e r e d g n _ § g n _ 2 £ a n a l g o r i t h m i c o r e v e n a c o n c e p t u a l a p p r o a c h . T h e d i f f e r e n c e s a m o n g t h e s e t h r e e a p p r o a c h e s d o n o t l i e o n l y i n x h g ; g e t s t a u g h t . E a c h o f t h o s e a p p r o a c h e s h a s e m b e d d e d w i t h i n i t a n e p i s t e m o l o g y a n d s o c i a l s t r u c t u r e t h a t p r o f o u n d l y s h a p e t h e n a t u r e o f k n o w i n g a n d l e a r n i n g . P h i l o s o p h e r o f M a t h e m a t i c s : T h i s b r i n g s u p s o m e t h i n g t h a t c o n c e r n s m e . T h e v i e w o f m a t h e m a t i c s u p o n w h i c h y o u b a s e m a t h e m a t i c a l p e d a g o g y i s f a r f r o m a m a i n s t r e a m v i e w o f m a t h e m a t i c s . I ‘ m e a n , l e t ’ s f a c e i t , L a k a t o s h a r d l y r e p r e s e n t s a d o m i n a n t p e r s p e c t i v e o n t h e n a t u r e o f m a t h e m a t i c a l k n o w l e d g e . B a s i c a l l y , h e t u r n s p r o o f , t h a t s a c r e d t o o l , a n d r e d u c e s i t t o s o m e t h i n g m u c h l e s s s i g n i f i c a n t b y c l a i m i n g t h a t t h e r e c a n b e n o t r u t h i n m a t h e m a t i c s . L a k a t o s a s s e r t s t h a t w e c a n p r o p o s e s o m e t h i n g a n d b a c k i t u p i n a w a y t h a t m a k e s i t s e e m p l a u s i b l e , b u t t h a t t h e b e s t w e c a n e v e r d o i s t o b e u n a b l e t o d i s p r o v e o u r c l a i m - - f o r t h e t i m e b e i n g , a n y w a y . H o s t m a t h e m a t i c i a n s s t i l l t h i n k o f p r o o f a s e s t a b l i s h i n g t h e t r u t h o f a c l a i m , e v e n t h o u g h t h e y a r e a w a r e t h a t , f r o m t i m e t o t i m e , n e w i d e a s w i l l c h a l l e n g e t h o s e t h e y h a d p r e v i o u s l y h e l d t o b e t r u e . A n d b e s i d e s t h a t , I t h i n k t h a t m o s t m a t h e m a t i c i a n s w o u l d p u t a m u c h h i g h e r p r e m i u m o n l e a r n i n g t h e p r i n c i p l e s , p r o c e d u r e s , a n d t h e o r e m s t h a t a r e p a r t o f t h e a c c e p t e d s y s t e m o f m a t h e m a t i c a l k n o w l e d g e t h a n y o u s e e m t o . W h a t ’ s t h e p o i n t ? w h y f o u n d a p e d a g o g y o n a s u c h a r a d i c a l v i e w o f t h e d i s c i p l i n e ? S h o u l d n ’ t p u p i l s e n c o u n t e r a m o r e d o m i n a n t p e r s p e c t i v e i n s t e a d ? D e b o r a h : I c e r t a i n l y u n d e r s t a n d w h y y o u w o u l d r a i s e t h i s q u e s t i o n a n d , i n f a c t , I a n t i c i p a t e d t h a t y o u m i g h t . I t h i n k t h e r e a r e t w o g o o d r e a s o n s f o r g r o u n d i n g a m a t h e m a t i c a l p e d a g o g y i n a f a l l i b i l i s t e p i s t e m o l o g y w h i c h e m p h a s i z e s a s o c i a l , c o n s t r u c t i v e p e r s p e c t i v e o n d i s c i p l i n a r y k n o w l e d g e . F i r s t , i f o n e b e l i e v e s t h a t l e a r n i n g i s l a r g e l y a c o n s t r u c t i v e p r o c e s s , t h a t w h e n c h i l d r e n l e a r n c o n c e p t s , t h e y b u i l d o n o r r e o r g a n i z e t h i n g s t h e y a l r e a d y k n o w , t h e n t h i s v i e w o f m a t h e m a t i c a l k n o w l e d g e i s c o m p a t i b l e w i t h t h a t . M a t h e m a t i c s i s n o t p r e s e n t e d a s a f i n i s h e d b o d y o f k n o w l e d g e , b u t r a t h e r a s s o m e t h i n g 3 6 1 t h a t c h a n g e s a n d g r o w s o v e r t i m e t h r o u g h a p r o c e s s o f w o r k i n g f r o m w h a t y o u k n o w t o w h a t y o u d o n ' t . B u t , a n d t h i s i s m y s e c o n d r e a s o n , l e a r n i n g i s a l s o n o t j u s t a m a t t e r o f k n o w l e d g e g r o w t h o v e r t i m e , b u t a l s o t h a t w h a t y o u b e l i e v e t o b e t r u e a t o n e p o i n t i n t i m e m a y l a t e r b e r e f u t e d w i t h a d d i t i o n a l k n o w l e d g e . T h u s , w h e n s e c o n d g r a d e r s t h i n k t h a t t h e n e x t n u m b e r a f t e r 2 i s 3 , t h e y a r e r i g h t - - g i v e n w h a t t h e y k n o w a t t h a t p o i n t . A s m e m b e r s o f a m a t h e m a t i c a l c o m m u n i t y , e v e r y o n e i n t h e c l a s s w o u l d a g r e e . O n c e s t u d e n t s e n c o u n t e r t h e s e t o f r a t i o n a l n u m b e r s , p e r h a p s t h r o u g h d i v i s i o n , t h e n t h e q u e s t i o n o f w h a t t h e n e x t n u m b e r a f t e r 2 i s b e c o m e s d e b a t a b l e , a n d t h e o l d a n s w e r - - 3 - - i s c l e a r l y r e f u t e d . I n t h i s w a y , p u p i l s ' e n c o u n t e r s w i t h m a t h e m a t i c s r e p r e s e n t L a k a t o s ' s c o n c e p t i o n o f t h e d i s c i p l i n e . I w o u l d a l s o h u n c h , b y t h e w a y , t h a t m a n y w o r k i n g m a t h e m a t i c i a n s ' i m p l i c i t c o n c e p t i o n s o f t h e n a t u r e o f m a t h e m a t i c a l k n o w l e d g e a n d a c t i v i t y a r e a c t u a l l y m u c h c l o s e r t o a L a k a t o s i a n p e r s p e c t i v e t h a n t h e y m i g h t s a y i f a s k e d . T h e i r w o r k , a f t e r a l l , l i k e c h i l d r e n L g l e a r n i n g , p r o c e e d s m u c h m o r e i n t h i s v e i n . N o w , I k n o w t h a t y o u s t i l l w a n t t o k n o w h o w I r e c o n c i l e t h e f a c t t h a t s t u d e n t s a r e l e a r n i n g a r a d i c a l v i e w o f m a t h e m a t i c s a s a d i s c i p l i n e . S h o u l d n ' t t h e y l e a r n a f o r m a l i s t p e r s p e c t i v e - - o r a t l e a s t e n c o u n t e r m u l t i p l e p e r s p e c t i v e s ? I t h i n k t h i s i s a n i m p o r t a n t a n d g o o d c u r r i c u l a r q u e s t i o n . M y a n s w e r i s t o s a y t h a t I w o u l d h e l p s t u d e n t s b e c o m e m o r e f a m i l i a r w i t h a l t e r n a t i v e c o n c e p t i o n s o f m a t h e m a t i c s l a t e r . I t h i n k t h i s p h i l o s o p h i c a l p e r s p e c t i v e m a k e s s e n s e p e d a g o g i c a l l y a n d i s m o r e l i k e l y t o e m p o w e r s t u d e n t s m a t h e m a t i c a l l y t h a n a f o r m a l i s t o r m u l t i p l e p e r s p e c t i v e s c a n . T e a c h e r E d u c a t o r : I ' v e b e e n t h i n k i n g a b o u t w h a t y o u s a i d a b o u t s t a r t i n g p o i n t s f o r b e g i n n i n g t e a c h e r s . T e a c h e r e d u c a t o r s f a c e a d i f f i c u l t d i l e m m a . S h o u l d w e p r e p a r e b e g i n n e r s t o t e a c h i n r e l a t i v e l y c o n v e n t i o n a l w a y s - - e v e n i f w e t h i n k t h o s e a r e n o t p a r t i c u l a r l y g o o d 3 6 2 w a y s t o t e a c h - - s i n c e t h e . m o r e i n n o v a t i v e a p p r o a c h e s a r e t o o c o m p l i c a t e d f o r b e g i n n e r s t o p u l l o f f ? O r s h o u l d w e t h i n k o f o u r w o r k w i t h b e g i n n i n g t e a c h e r s a s a n o p p o r t u n i t y t o e f f e c t s o m e c h a n g e i n p u b l i c s c h o o l s ? I a m i n c l i n e d t o s a y t h a t , i n t h e c a s e o f m a t h e m a t i c s , w e s h o u l d t r y t o p r e p a r e b e g i n n i n g t e a c h e r s t o l e a r n t o t e a c h m a t h d i f f g g e n g l x s i n c e c o n v e n t i o n a l p r a c t i c e i s s o o f t e n f a i l i n g t o h e l p s t u d e n t s l e a r n m a t h e m a t i c s m e a n i n g f u l l y ; I d o t h i n k t h i s i s a t a l l o r d e r . I h a v e t h o u g h t o f s o m e p o s s i b l e a v e n u e s , t h o u g h , b a s e d o n y o u r ’ w o r k . F o r e x a m p l e , c o u l d n ’ t b e g i n n i n g t e a c h e r s l e a r n w a y s o f r e a s o n i n g p e d a g o g i c a l l y a b o u t r e p r e s e n t a t i o n s - - u s i n g t h e f r a m e w o r k o f w a r r a n t s , f o r i n s t a n c e o - t h a t w o u l d e n a b l e t h e m t o c r i t i c a l l y u s e a n d m o d i f y a t e x t b o o k ? T h i s w o u l d m a k e i t p o s s i b l e f o r t h e m t o b e g i n t e a c h i n g i n a r e a l c l a s s r o o m s e t t i n g w i t h o u t h a v i n g t o c o n s t r u c t t h e e n t i r e c u r r i c u l u m t h e m s e l v e s - - M a t h e m a t i c s E d u c a t o r : T h a t m a k e s s e n s e t o m e , b u t w i t h o u t s u b j e c t m a t t e r k n o w l e d g e , t h e m o d i f i c a t i o n s t h e y m a k e m a y b e n e c e s s a r i l y c o n c e p t u a l l y o r e p i s t e m o l o g i c a l l y i n a p p r o p r i a t e . A n d I a m p a r t i c u l a r l y s t r u c k i n t h i s s t u d y b y h o w w e a k t h e t e a c h e r c a n d i d a t e s ' u n d e r s t a n d i n g o f m a t h e m a t i c s w a s . T h e r e s u l t s o n t h e s e c o n d a r y t e a c h e r c a n d i d a t e s , w h o w e r e . m a t h m a j o r s , w a s e s p e c i a l l y d i s h e a r t e n i n g . E d h c a t i o n a l R e s e a r c h e r : T h i s b r i n g s u s t o a p o i n t I w a n t e d t o r a i s e . Y o u m a k e i t s e e m a s t h o u g h t h e r e w a s l i t t l e d i f f e r e n c e b e t w e e n t h e e l e m e n t a r y a n d s e c o n d a r y t e a c h e r c a n d i d a t e s i n t e r m s o f t h e i r s u b j e c t m a t t e r k n o w l e d g e . I s u s p e c t t h a t t h i s r e f l e c t s a b i a s , t h a t y o u w e r e a c t u a l l y l o o k i n g f o r a l a c k o f d i f f e r e n c e . B u t I t h i n k y o u h a v e f l a t t e n e d t h e d a t a i n a m i s l e a d i n g w a y . I n f a c t , i f y o u w e r e t o r u n c h i - s q u a r e t e s t s o n t h e d a t a b y l e v e l , m y g u e s s i s t h a t y o u w o u l d f i n d s o m e s i g n i f i c a n t d i f f e r e n c e s b e t w e e n t h e t w o g r o u p s . D e b o r a h : U n d o u b t e d l y y o u a r e r i g h t - - I g g g l d g e t s o m e s t a t i s t i c a l l y s i g n i f i c a n t d i f f e r e n c e s . F o r e x a m p l e , 5 o u t o f 9 o f t h e m a t h m a j o r s w e r e a b l e t o g e n e r a t e a n a p p r o p r i a t e r e p r e s e n t a t i o n o f 1 3 / 4 + 8 , w h i l e n o n e o f t h e e l e m e n t a r y c a n d i d a t e s w e r e a b l e t o d o i t . S t a t i s t i c a l l y , t h a t w o u l d b e a w h o p p i n g d i f f e r e n c e . B u t , i f w e t h i n k a b o u t t h i s r e a s o n a b l y , I t h i n k I h a v e t o a s k , i s s t a t i s t i c a l s i g n i f i c a n c e r e a l l y s i g n i f i c a n t h e r e ? W h e n o n l y s l i g h t l y m o r e t h a n 5 0 $ o f a g r o u p o f p e o p l e w h o h a v e m a j o r e d i n m a t h e m a t i c s a r e a b l e t o m a k e m e a n i n g o u t o f a s i m p l e d i v i s i o n s t a t e m e n t ? A n d t h e d i v i s i o n w i t h f r a c t i o n s t a s k w a s o n e w h e r e t h e d i f f e r e n c e s w e r e E I ! § & § § £ b e t w e e n t h e t w o g r o u p s . W h a t a b o u t t h e d i v i s i o n i n a l g e b r a t a s k ? W h i l e o n e e l e m e n t a r y c a n d i d a t e g a v e a c o n c e p t u a l e x p l a n a t i o n , n o n e o f 3 6 3 t h e s e c o n d a r y c a n d i d a t e s d i d . A n d i n e v a l u a t i n g t h e f a l s e s t u d e n t c o n j e c t u r e a b o u t p e r i m e t e r a n d a r e a , 5 o u t o f 9 s e c o n d a r y c a n d i d a t e s t h o u g h t i t w a s t r u e ; o n l y o n e r e c o g n i z e d t h a t i t w a s , i n d e e d , f a l s e . A m o n g e l e m e n t a r y t e a c h e r c a n d i d a t e s , 2 o u t o f 1 0 k n e w i t w a s f a l s e , a n d h a l f w e r e a t l e a s t s k e p t i c a l a n d s a i d t h e y w e r e n ' t s u r e . W i t h r e s u l t s l i k e t h e s e , s t a t i s t i c a l s i g n i f i c a n c e d o e s n o t s e e m t o b e t h e i s s u e . M o s t o f t h e s e c o n d a r y c a n d i d a t e s d i d n o t h a v e a m o r e d i s c i p l i n a r y o r i e n t a t i o n t o t h e s u b j e c t e i t h e r . T h e y t e n d e d t o c o n c e i v e o f m a t h e m a t i c s a s a b o d y o f r u l e s a n d p r o c e d u r e s , a n d e q u a t e d e x p l a n a t i o n s w i t h s t a t e m e n t s o f t h e s e r u l e s . E d u c a t i o n a l . R e s e a r c h e r : B u t t h i s j u s t r e f l e c t s t h e p r o b l e m o f w h o g o e s i n t o t e a c h i n g - - i t i s t h e w e a k e r s t u d e n t s i n t h e m a t h d e p a r t m e n t w h o g e t f u n n e l l e d i n t o m a t h g d u g a g i g n , i n t o t e a c h i n g . D e b o r a h : W a i t a m i n u t e . Y o u ' r e j u m p i n g t o c o n c l u s i o n s . I w a s a b o u t t o r e m i n d y o u t h a t t h e t e a c h e r c a n d i d a t e s i n t h i s s t u d y w e r e e a r n i n g h i g h g r a d e s - - m o s t l y A ' s a n d B ' s - - i n t h e i r m a t h e m a t i c s c l a s s e s . T h e y h a d s t r o n g c o l l e g e e n t r a n c e e x a m i n a t i o n s c o r e s . I i n t e r p r e t t h e r e s u l t s t o b e a n i n d i c t m e n t o f p r e c o l l e g e m a t h e m a t i c s t e a c h i n g , o f w h a t g o e s o n i n m a n y e l e m e n t a r y a n d s e c o n d a r y m a t h c l a s s r o o m s . E d u c a t i o n a l R e s e a r c h e r : I s t i l l t h i n k y o u w e r e b i a s e d - ~ t h a t , f o r s o m e r e a s o n , y o u w e r e o u t t o s h o w t h a t m a j o r i n g i n m a t h e m t i c s m a d e l i t t l e d i f f e r e n c e i n t e r m s o f s u b j e c t m a t t e r k n o w l e d g e - ~ a f a i r l y p r e p o s t e r o u s t h i n g t o a s s u m e . Y o u r m e t h o d o l o g y r e f l e c t s t h i s b i a s : Y o u a s k o n l y a b o u t e l e m e n t a r y a n d h i g h s c h o o l c o n t e n t i n y o u r i n t e r v i e w s . Y o u a r e a s k i n g m a t h m a j o r s a b o u t d i v i s i o n w i t h f r a c t i o n s a n d t h e n y o u t h r o w u p y o u r h a n d s w h e n t h e y c a n n o t m a k e u p a l i t t l e s t o r y a b o u t l 3 / & + 8 . H a d y o u a s k e d t h e m a b o u t a b s t r a c t a l g e b r a o r c a l c u l u s , y o u w o u l d h a v e u n c o v e r e d s o m e r e a l d i f f e r e n c e s b e t w e e n t h e s e g r o u p s o f p r o s p e c t i v e t e a c h e r s . D e b o r a h : I t h i n k i t w a s r e a s o n a b l e t o f o c u s o n p i e c e s o f m a t h e m a t i c a l c o n t e n t t h a t a p p e a r i n t h e K - 1 2 c u r r i c u l u m , s i n c e t h i s i s , a f t e r a l l , a s t u d y w i t h i n t h e c o n t e x t o f t e a c h e r e d u c a t i o n . I w a s i n t e r e s t e d i n 3 6 A t h e n a t u r e o f t h e s u b j e c t m a t t e r u n d e r s t a n d i n g s t h a t p r o s p e c t i v e t e a c h e r s b r o u g h t t o t e a c h e r e d u c a t i o n a b o u t t h e t o p i c s t h e y m i g h t a c t u a l l y e e e e h o r n e e d t o r e f e r t o i n t e a c h i n g : s o l v i n g a l g e b r a i c e q u a t i o n s , d i v i s i o n i n s e v e r a l c o n t e x t s , p e r i m e t e r a n d a r e a , t h e n a t u r e o f t h e o r y a n d p r o o f . G i v e n l i m i t e d t i m e , i t d o e s n ' t m a k e a l o t o f s e n s e t o i n t e r v i e w p r o s p e c t i v e t e a c h e r s a b o u t t o p i c s o r c o n c e p t s t h a t t h e y w i l l n o t t e a c h , n o r a b o u t t h i n g s t h e y h a v e n e v e r e n c o u n t e r e d b e f o r e , e i t h e r . F o r e x a m p l e , i f I i n t e r v i e w e d t h e m a b o u t p e r m u t a t i o n s o r a b o u t s t a t i s t i c a l s a m p l i n g , t h e y p r o b a b l y w o u l d n ' t h a v e h a d m u c h t o s a y . A n o t h e r t h i n g t o k e e p i n m i n d i s t h a t I d i d e x p l o r e a n d a n a l y z e t h e p r o s p e c t i v e t e a c h e r s ' i d e a s a b o u t t h e n e g n r e o f m a t h e m a t i c s - ~ a b o u t t h e w a r r a n t s f o r m a t h e m a t i c a l k n o w l e d g e , a b o u t w h a t i t m e a n s t o e e m a t h , a n d a b o u t r e l a t i o n s h i p s o f m a t h e m a t i c s t o t h e w o r l d . I a l s o i n v e s t i g a t e d t e a c h e r c a n d i d a t e s ' f e e l i n g s a b o u t m a t h e m a t i c s a n d a b o u t t h e m s e l v e s i n r e l a t i o n t o t h e s u b j e c t . T h e s e c o n d t w o d i m e n s i o n s o f s u b j e c t m a t t e r k n o w l e d g e - - k n o w l e d g e a n d f e e l i n g s g h e e ; m a t h e m a t i c s - - w e r e n o t f o c u s e d a t a n y p a r t i c u l a r l e v e l , a n d o n e m i g h t r e a s o n a b l y p r e d i c t t h a t m a t h m a j o r s , w h o h a v e b e e n s t e e p e d i n m a t h e m a t i c s , w o u l d h a v e a m o r e r o b u s t d i s c i p l i n a r y p e r s p e c t i v e . O n e m i g h t a n t i c i p a t e t h a t t h e y w o u l d u n d e r s t a n d t h e r o l e o f p r o o f i n k n o w i n g m a t h e m a t i c s , t h a t t h e y w o u l d h a v e a s e n s e o f w h a t k n o w l e d g e i s l o g i c a l a n d w h a t i s a r b i t r a r y , a n d t h a t t h e y w o u l d b e a b l e t o d r a w c o n n e c t i o n s b e t w e e n m a t h e m a t i c s a n d t h e r e a l w o r l d . T h i s i s n o t , h o w e v e r , w h a t I f o u n d . T h e s e c o n d a r y t e a c h e r c a n d i d a t e s ' i d e a s a b o u t m a t h e m a t i c s w e r e , o n t h e w h o l e , n o m o r e s o p h i s t i c a t e d t h a n t h e e l e m e n t a r y c a n d i d a t e s ' . T h e t w o 3 6 5 g r o u p s d i f f e r e d s t r i k i n g l y o n l y i n t h e i r e n j o y m e n t o f a n d f e e l i n g s o f c o n f i d e n c e a b o u t m a t h e m a t i c s . E d u c a t i o n a l R e s e a r c h e r : W e l l , p e r h a p s i t ' s y o u r c o n c e p t i o n o f s u b s t a n t i v e k n o w l e d g e o f m a t h e m a t i c s t h a t b o t h e r s m e . Y o u e x p e c t p r o s p e c t i v e t e a c h e r s , w h o h a v e n e v e r t a u g h t , t o e x p l a i n d i v i s i o n b y z e r o , t o m a k e u p a r e p r e s e n t a t i o n f o r l 3 / fi + 8 , a n d t o t h i n k a b o u t w h a t i t m e a n s t h a t d i v i s i o n b y z e r o i s u n d e f i n e d . Y o u s o y t h e i r k n o w l e d g e w i l l n e e d t o b e b o t h c o n c e p t u a l a n d e x p l i c i t , a n d t h a t t h e y n e e d t o u n d e r s t a n d t h e s u b s t a n t i v e c o n n e c t i o n s a m o n g m a t h e m a t i c a l i d e a s a n d t o p i c s . T h a t a l l s e e m s p e d a g o g i c a l t o m e - - y o u ' r e n o t r e a l l y t a p p i n g t h e i r ’ e g n u n d e r s t a n d i n g o f t h e s u b j e c t . T h a t m a y b e w h e r e t h e b i a s l i e s . D e b o r a h : A r e y o u s a y i n g t h a t w i t h o u t t h o s e f e a t u r e s y o u w o u l d b e c o m f o r t a b l e s a y i n g s o m e o n e k n o w s m a t h e m a t i c s ? E d h c a t i o n a l R e s e a r c h e r : I ' m n o t s u r e . D e b o r a h : W e l l , i t s o u n d e d t o m e a s t h o u g h y o u w e r e s a y i n g t h a t i f a p e r s o n r e m e m b e r s t o i n v e r t a n d m u l t i p l y w h e n t h e y h a v e t o d i v i d e f r a c t i o n s t h a t y o u a r e s a t i s f i e d t h a t t h e y k n e e d i v i s i o n w i t h f r a c t i o n s , e v e n i f t h i s p e r s o n c a n n o t d e s c r i b e a c o n c r e t e s i t u a t i o n f o r w h i c h t h e m a t h e m a t i c a l s t a t e m e n t i s a m o d e l ; i n o t h e r w o r d s , t h e y c a n n o t c o m e u p w i t h a s t o r y o r a p i c t u r e t o g o w i t h i t . A n d d o y o u b e l i e v e t h a t s a y i n g t h a t " y o u c a n ' t d i v i d e b y z e r o " a n d t h a t t h a t i s " a r u l e t h a t y o u j u s t h a v e t o r e m e m b e r " i s s u f f i c i e n t t o b e c a l l e d m a t h e m a t i c a l k n o w l e d g e ? W h a t a b o u t w h e n p e o p l e s e e n o c o n n e c t i o n b e t w e e n t h e s e t w o q u e s t i o n s - - d o e s t h a t n o t m a k e y o u q u e s t i o n t h e i r u n d e r s t a n d i n g o f t h e c o n c e p t o f d i v i s i o n ? I d o n ' t t h i n k i t i s t o o c o n t r o v e r s i a l t o d e f i n e k n o w l e d g e i n t e r m s o f m e a n i n g . O n t h a t c o u n t I d e s t a n d g u i l t y . B u t t h e r e i s n o s p e c i a l r e a s o n , i n a n y c a s e , t h a t a d o p t i n g t h i s c o n c e p t i o n o f s u b s t a n t i v e k n o w l e d g e w o u l d b i a s m e a g a i n s t t h e s e c o n d a r y t e a c h e r c a n d i d a t e s . W h y 3 6 6 w o u l d y o u e x p e c t t h e e l e m e n t a r y c a n d i d a t e s t o b e m o r e r e a d i l y e x p l i c i t a n d c o n c e p t u a l , t o h a v e m o r e c o n n e c t i o n s a m o n g m a t h e m a t i c a l t o p i c s ? E d u c a t i o n a l R e s e a r c h e r : . H m m . I h a d n ' t r e a l l y t h o u g h t o f t h a t . T h a t ' s t r u e - ~ t h e r e ' s n o r e a s o n t o a s s u m e t h a t t h e e l e m e n t a r y c a n d i d a t e s w o u l d b e f a v o r e d b y y o u r c o n c e p t i o n o f s u b s t a n t i v e k n o w l e d g e . O n t h e c o n t r a r y , I w o u l d h a v e e x p e c t e d i t t o f a v o r t h e m a t h m a j o r s . T e a c h e r ’ E d u c a t o r : A r e y o u t w o d o n e ? I h a v e t o s a y , o n t h i s t o p i c , t h a t I e n q u i t e s t r u c k w i t h w h a t y o u f o u n d a b o u t t h e p r o s p e c t i v e t e a c h e r s ' s u b j e c t m a t t e r k n o w l e d g e . I h a d e x p e c t e d t h a t t h e e l e m e n t a r y m a j o r s w o u l d b e s o m e w h a t w e a k , b u t I h a d n ' t a n t i c i p a t e d t h i s p r o b l e m w i t h t h e s e c o n d a r y c a n d i d a t e s . M a t h e m a t i c s E d u c a t o r : M e e i t h e r . I w o u l d n e v e r h a v e p r e d i c t e d t h e r e l a t i v e l a c k o f d i f f e r e n c e s i n t h e i r u n d e r s t a n d i n g s . I t m a k e s m e t h i n k t h a t w e h a v e t o , o n c e a g a i n , c o n f r o n t t h e q u e s t i o n o f w h a t t h e m a j o r r e q u i r e m e n t s i n o u r d e p a r t m e n t o u g h t t o b e - - o r , e v e n m o r e d i f f i c u l t , w h a t t h e e l e m e n t a r y c a n d i d a t e s n e e d i n m a t h e m a t i c s . H a v e y o u g i v e n t h a t a n y t h o u g h t ? T e a c h e r ' E d u c a t o r : B u t w h i l e y o u ’ r e t h i n k i n g a b o u t t h a t , I ' d l i k e t o h e a r y o u r i d e a s a b o u t t e a c h e r e d u c a t i o n m o r e g e n e r a l l y u . B a s e d o n w h a t y o u h a v e l e a r n e d t h r o u g h t h i s s t u d y , w h a t d i r e c t i o n s d o y o u s u g g e s t f o r t e a c h e r e d u c a t i o n ? E d u c a t i o n a l p h i l o s o p h e r : . B e f b r e D e b o r a h t a c k l e s t h i s , I h a v e a q u e s t i o n , t o o . I ' v e b e e n q u i e t f o r a w h i l e n o w , l i s t e n i n g t o a l l t h i s t a l k a b o u t s u b j e c t m a t t e r k n o w l e d g e . I d o h a v e s o m e o p i n i o n s a b o u t t h i s . D o y o u k n o w D e w e y ' s e s s a y f r o m 2 e m e e z e e z _ e n d ‘ £ d n e e e i e n e n t i t l e d " T h e N a t u r e o f M e t h o d " ? I n i t h e a r g u e d t h a t m e t h o d a n d s u b j e c t m a t t e r a r e n o t s e p a r a t e , t h a t m e t h o d i s e m b o d i e d i n t h e w a y t h e s u b j e c t i s u s e d . D e b o r a h , d o n ' t y o u t h i n k t h a t t h i s w a y o f t h i n k i n g a b o u t t e a c h e r e d u c a t i o n a s b r o k e n u p i n t o s u b j e c t m a t t e r , p e d a g o g i c a l m e t h o d , p r a c t i c a l e x p e r i e n c e i s s o m e t h i n g w o r t h q u e s t i o n i n g ? I s e e t h e m a s a l l i n t e r c o n n e c t e d . Y e t o u r t w o c o l l e a g u e s h e r e s e e m t o b e r e i f y i n g t h i s t r a d i t i o n a l s t r u c t u r e b y e a c h s e p a r a t e l y a s k i n g y o u y o u r t h o u g h t s a b o u t e h e i z p a r t o f t e a c h e r e d u c a t i o n . M a t h e m a t i c s E d u c a t o r a n d T e a c h e r E d u c a t o r : ( t o g e t h e r ) N o t n e c e s s a r i l y . D e b o r a h : I h e x e ' b e e n t h i n k i n g a b o u t t h i s a n d I w o u l d l i k e t o t r y o u t s o m e o f m y i d e a s w i t h y o u . A f e w t h i n g s s e e m c l e a r t o m e . M y i n i t i a l c o m m e n t j u s t b r i n g s u s b a c k t o s u b j e c t m a t t e r . A l l t h e s e o t h e r t h i n g s a s i d e , w e h a v e t o t u r n m o r e a t t e n t i o n t o h e l p i n g t e a c h e r c a n d i d a t e s d e v e l o p c o n c e p t u a l , e x p l i c i t , a n d c o n n e c t e d u n d e r s t a n d i n g s o f m a t h e m a t i c s . T e a c h e r e d u c a t i o n h a s t o s t o p t a k i n g f o r g r a n t e d t h e 3 6 7 m a t h e m a t i c a l k n o w l e d g e o f i t s s t u d e n t s . T h i s a l o n e i s a t a l l o r d e r , g i v e n t h e n a t u r e o f m o s t e x i s t i n g c o l l e g e m a t h c l a s s e s . I a g r e e , n o n e t h e l e s s , t h a t s u b j e c t m a t t e r a n d m e t h o d a r e i n e x t r i c a b l y i n t e r t w i n e d . S c h w a b , t a k i n g i t f u r t h e r , s a i d t h a t t h e m e t h o d s w e u s e t o t e a c h s u b j e c t m a t t e r s h a p e w h a t o u r s t u d e n t s l e a r n . H e a r g u e d t h a t i f w e u s e a t e a c h i n g a p p r o a c h t h a t d o e s n ' t f i t w h a t w e r e a l l y w a n t s t u d e n t s t o l e a r n , w e w i l l i n e v i t a b l y m i s r e p r e s e n t t h e c o n t e n t . W h e n I t h i n k h a r d a b o u t w h a t t h e s e i d e a s m e a n , I s e e t w o l e v e l s o f s i g n i f i c a n c e f o r m a t h e m a t i c s t e a c h e r e d u c a t i o n . F i r s t , p r o s p e c t i v e t e a c h e r s l e a r n a b o u t t e a c h i n g a n d l e a r n i n g t h r o u g h a l l t h e i r c o u r s e s , b u t t h e i r i d e a s a b o u t m a t h e m a t i c s t e a c h i n g a n d l e a r n i n g c o m e m o s t f r o m t h e i r m a t h e m a t i c s c l a s s e s . T h e r e t h e y m a y l e a r n m a t h e m a t i c s a n d m e t h o d s f o r h e l p i n g o t h e r s l e a r n i t , a t o n e t i m e . T h i s i s e x a c t l y w h a t I a r g u e d t h a t p r o s p e c t i v e t e a c h e r s h a d g o t t e n f r o m t h e i r m a t h c l a s s e s d u r i n g t h e a p p r e n t i c e s h i p o f o b s e r v a t i o n . S e c o n d , t h o u g h , m a t h e m a t i c s c l a s s e s p r o v i d e p r i m e o p p o r t u n i t i e s f o r p r o s p e c t i v e t e a c h e r s t o a c q u i r e b o t h s u b s t a n t i v e k n o w l e d g e a n d k n o w l e d g e e h e n ; m a t h e m a t i c s . I n t h i s s e n s e , s t u d e n t s m a y l e a r n t h e s u b j e c t a n d m e t h o d s o f i n q u i r y i n t h a t s u b j e c t . T h e m a t h e m a t i c s c o u r s e s t h a t p r o s p e c t i v e t e a c h e r t a k e r e p r e s e n t c r i t i c a l l e a r n i n g o p p o r t u n i t i e s f o r a l l t h e d o m a i n s o f k n o w l e d g e r e l e v a n t t o t e a c h i n g m a t h . T e a c h e r e d u c a t o r s n e e d t o e n g a g e i n e x p e r i m e n t a l a p p r o a c h e s t o t a k i n g a d v a n t a g e o f t h e c o m p l i c a t e d l a y e r e d s e t t i n g o f t h e c o l l e g e m a t h c l a s s r o o m . B y t h a t I m e a n t h a t , f o r p r o s p e c t i v e t e a c h e r s , t h e s e c l a s s e s ( w h e t h e r i n s t r u c t o r s p l a n t o c o n v e y p a r t i c u l a r m e s s a g e s o r n o t ) a r e o c c a s i o n s f o r l e a r n i n g b o t h 3 6 8 a b o u t t h e s u b s t a n c e a n d n a t u r e o f t h e d i e e i n l i n e , a s w e l l a s a b o u t t h e e e e e h j n g a n d l e m i n g o f t h e s u b j e c t . A n o t h e r p r o m i s i n g c o n t r i b u t i o n t o t e a c h e r e d u c a t i o n l i e s i n t h e f r a m e w o r k f o r j u s t i f y i n g t h e p r o d u c t s a n d p r o c e s s e s o f p e d a g o g i c a l r e a s o n i n g . U s i n g w a r r a n t s f o r r e p r e s e n t a t i o n s , p r o s p e c t i v e t e a c h e r s c a n l e a r n t o c o n s i d e r a b r o a d e r s e t o f c r i t e r i a a s t h e y e v a l u a t e t e x t b o o k s , g e n e r a t e e x a m p l e s , a n d s e l e c t a c t i v i t i e s . T h e y c a n a l s o b e h e l p e d t o b e g i n r e c o g n i z i n g a n d l e a r n i n g t o m a n a g e t h e d i l e m m a s t e a c h e r s f a c e i n t r y i n g t o t a k e s u c h a w i d e r a n g e o f f a c t o r s i n t o a c c o u n t . E d u c a t i o n a l P h i l o s o p h e r : I ' d l i k e t o d i s c u s s y o u r i d e a a b o u t w a r r a n t s . Y o u s a y t h a t t h i s f r a m e w o r k p r o v i d e s a s e t o f w a r r a n t s f o r j u s t i f y i n g a n d a n a l y z i n g t h e p r o d u c t s a n d t h e p r o c e s s e s o f p e d a g o g i c a l r e a s o n i n g . D o y o u s e e a n y d i f f e r e n c e i n j u s t i f y i n g a p z e e e e e a s o p p o s e d t o a m m D e b o r a h : W e l l , t h e p r o d u c t s , a s I h a v e d e f i n e d t h e m , a r e t h e r e p r e s e n t a t i o n s o f m a t h e m a t i c s f o u n d t h r o u g h o u t a t e a c h e r ' s m a t h t e a c h i n g . T h e y a r e t h e q u e s t i o n s s h e d e c i d e s t o a s k , t h e a c t i v i t i e s s h e u s e s , h e r r e s p o n s e s t o s t u d e n t s ' q u e s t i o n s , t h e t a s k s s h e s e t s , a n d t h e w a y s i n w h i c h s h e d e a l s w i t h w r i t t e n h o m e w o r k , f o r e x a m p l e . S i n c e t e a c h i n g i n v o l v e s m u l t i p l e a n d c o m p e t i n g c o n s i d e r a t i o n s , a n y p a r t i c u l a r r e p r e s e n t a t i o n i s n e c e s s a r i l y i n c o m p l e t e f o r i t c a n n o t p o s s i b l y s a t i s f y a l l s u c h c o n s i d e r a t i o n s . W a r r a n t i n g t h e s e r e p r e s e n t a t i o n s , t h e s e p r o d u c t s o f p e d a g o g i c a l r e a s o n i n g , t h e r e f o r e , i n v o l v e s d e c i s i o n s a b o u t w h a t t o e m p h a s i z e a n d w h a t t o i g n o r e f o r t h e m o m e n t . P e d a g o g i c a l r e a s o n i n g , t h o u g h , c a n b e e v a l u a t e d b y w h e t h e r i t i n c l u d e s t h e c o n s i d e r a t i o n o f a l l r e l e v a n t w a r r a n t s . O n e m i g h t s a y , t h e r e f o r e , t h a t t e a c h e r s w h o n e g l e c t t o c o n s i d e r w h e t h e r a t a s k w i l l b e a c c e s s i b l e t o t h e i r s t u d e n t s h a v e o m i t t e d a c r i t i c a l c o n s i d e r a t i o n . 3 6 9 T h i s d o e s n o t m e a n , h o w e v e r , t h a t a t e a c h e r w h o s e l e c t s a t a s k t h a t i s l e s s i m m e d i a t e l y a c c e s s i b l e t o h i s s t u d e n t s i s n e c e s s a r i l y w r o n g , i f h e c a n j u s t i f y t h a t d e c i s i o n b y s h o w i n g h o w a n o t h e r w a r r a n t t o o k p r i o r i t y i n t h i s c a s e ( f o r e x a m p l e , i f h e a r g u e s t h a t t h e r e p r e s e n t a t i o n h a s s u f f i c i e n t m a t h e m a t i c a l v a l u e a n d h e t h i n k s h e c a n m a k e i t m o r e a c c e s s i b l e t o h i s s t u d e n t s ) . E d u c a t i o n a l P h i l o s o p h e r : T h a t m a k e s s e n s e , b u t I t h i n k y o u a r e o v e r l o o k i n g s o m e t h i n g . I f y o u w a n t t o t h i n k a b o u t w a r r a n t i n g t h e p r e e e e e o f p e d a g o g i c a l r e a s o n i n g , y o u w i l l n e e d t o t a l k a b o u t a s e c o n d l e v e l o f w a r r a n t s t o s p e c i f y t h e c r i t e r i a f o r E R R I Q R I L Q £ £ i n t e g r a t i o n a n d b a l a n c i n g . F o r e x a m p l e , I k n o w y o u w o u l d n ' t c o n s i d e r i t a p p r o p r i a t e i f a t e a c h e r c o n s i d e r e d a l l t h e w a r r a n t s , b u t c o n s i s t e n t l y l e t c o n s i d e r a t i o n s o f s t u d e n t i n t e r e s t t a k e p r i o r i t y o v e r t h e s u b j e c t m a t t e r w a r r a n t s . M e w w i l l y o u d e a l w i t h t h e j u s t i f i c a t i o n o f d e c i s i o n s m a d e w h e n c o n s i d e r a t i o n s s e e m t o c o n f l i c t ? Y o u s u r e l y d o n ' t w a n t t h e s e w a r r a n t s t o s t a n d f e r n o t h i n g m o r e t h a n a l i s t o f t o u c h s t o n e s t o c h e c k o f f a f t e r e a c h h a s b e e n c o n s i d e r e d , r i g h t ? D e b o r a h : T h a t ' s c e r t a i n l y t r u e . I t ' s n o t s o m e t h i n g t h a t I a m y e t p r e p a r e d t o a n s w e r , a l t h o u g h I w o u l d s a y t h a t e e n e l e e i x e n e e e m u s t s o m e h o w b e a f a c t o r i n t h i s s e c o n d l e v e l o f w a r r a n t s . T h i s i s o n e r e a s o n t h a t I i n c l u d e d m u l t i f a c e t e d n e s s a s a w a r r a n t - - w h a t I w a s t r y i n g t o m a r k w a s a r e c o g n i t i o n t h a t r e p r e s e n t a t i o n s w i l l n e c e s s a r i l y b e i n c o m p l e t e , a n d , t h a t t h e r e f o r e , t h e e d d i g i x e m e s s a g e o f a t e a c h e r ' s r e p r e s e n t a t i o n s i s a c r i t i c a l p i e c e o f a n y j u d g m e n t . T h e f r a m e w o r k o f w a r r a n t s d o e s n o t y e t a d d r e s s t h i s i s s u e o f w h a t c o u n t s a s a n l e g i t i m a t e w e i g h i n g a n d b a l a n c i n g o f t h e w a r r a n t s . T e a c h e r E d a c a t o r a n d M a t h e m a t i c s E d h c a t o r : W e ' d l i k e t o t u r n t h e c o n v e r s a t i o n t o a n o t h e r t o p i c . Y o u b e g a n t h i s d i s s e r t a t i o n a r g u i n g t h a t a l t h o u g h w e t e a c h o u r s t u d e n t s a b o u t c o n s t r u c t i v i s t t h e o r i e s o f l e a r n i n g , w e f a i l t o f i n d o u t o r t a k e i n t o a c c o u n t w h a t e h e z b r i n g . ” W e j u s t " d e l i v e r " c o n t e n t . W e a r e q u i t e i m p r e s s e d w i t h w h a t w e l e a r n e d h e r e a b o u t w a y s t o t h i n k a b o u t w h a t p r o s p e c t i v e t e a c h e r s b r i n g , b u t w e a r e a l i t t l e u n s u r e a b o u t w h a t y o u a r e r e c o m m e n d i n g t o u s n o w . I n o u r m a t h c l a s s e s a n d o u r m a t h m e t h o d s c o u r s e s , s h o u l d w e t r y t o f i n d o u t a b o u t o u r s t u d e n t s e v e r y t e r m ? O r , a l t h o u g h w e u n d e r s t a n d t h a t y o u d i d n ' t m a k e t h i s c l a i m , c a n w e j u s t g o o n w h a t y o u r e p o r t e d h e r e ? A f t e r a l l , y o u d i d f i n d a l o t o f c o m m o n a l i t y a m o n g t h e s t u d e n t s i n t h e s t u d y . 3 7 0 D e b o r a h : I ' m g l a d y o u b r o u g h t t h a t u p , b e c a u s e i t i s a n i m p o r t a n t p o i n t . I d o D E S m e a n t o i m p l y t h a t w h a t I f o u n d c a n g e n e r a l i z e t o a l l p r o s p e c t i v e t e a c h e r s . I t h i n k t h e u s e f u l n e s s o f m y r e s u l t s l i e s i n t h e f r a m e w o r k s a n d c a t e g o r i e s t h a t I u s e d , e l a b o r a t e d , a n d g e n e r a t e d t h r o u g h t h i s i n q u i r y . T h e y o f f e r s o m e w a y s o f e x p l o r i n g t e a c h e r c a n d i d a t e s ' k n o w l e d g e a n d b e l i e f s . F o r i n s t a n c e , t h e s e f r a m e w o r k s m a y g u i d e y o u t o i n v e s t i g a t e w h a t y o u r s t u d e n t s b e l i e v e a b o u t t h e s o u r c e s o f s u c c e s s i n m a t h e m a t i c s , t h e i r i d e a s a b o u t t h e t e a c h e r ' s r o l e , o r t h e i r n o t i o n s a b o u t l e a r n i n g m a t h e m a t i c s . T h e a n a l y s e s o f t h i s s t u d y c a n a l s o h e l p y o u l i s t e n m o r e c l o s e l y a n d c r i t i c a l l y t o t h i n g s t h a t t h e y s a y - - w h e n t h e y t a l k b l i t h e l y a b o u t " c o n c e p t s " o r a b o u t ” e x p l a i n i n g , “ f o r e x a m p l e , y o u w i l l b e a l e r t t o t h e d i f f e r e n t s e n s e s i n w h i c h t h e y m a y u s e t h e s e t e r m s . Y o u m i g h t e v e n c o n s i d e r c o n d u c t i n g s o m e i n t e r v i e w s w i t h y o u r o w n e n t e r i n g s t u d e n t s , a n a l y z i n g w h a t t h e y k n o w a n d b e l i e v e , a n d w r i t i n g a n a r t i c l e a b o u t w h a t y o u f i n d . I f w e c o u l d a c c u m u l a t e m o r e k n o w l e d g e a b o u t b e g i n n i n g t e a c h e r c a n d i d a t e s - - i n o t h e r s u b j e c t s a s w e l l a s i n m a t h e m a t i c s - - i t w o u l d b e a b i g h e l p t o t h e f i e l d . O f c o u r s e , t h a t s t i l l l e a v e s t h e b i g q u e s t i o n a b o u t w h e t h e r t h e s e t h i n g s t h e y b r i n g n e e d t o b e c h a n g e d a n d , i f s o , h o w a n d w h e n t h e y c a n b e s t b e c h a l l e n g e d . E d u c a t i o n a l R e s e a r c h e r : T h i s r e m i n d s m e . B e f o r e w e a l l l e a v e , I ’ m c u r i o u s a b o u t w h e t h e r y o u w o u l d m a k e a n y s p e c i f i c r e c o m m e n d a t i o n s a b o u t t h e d i r e c t i o n s f u t u r e r e s e a r c h s h o u l d t a k e . A r e t h e r e t h i n g s t h a t y o u t h i n k o u g h t t o b e p u r s u e d w h i l e p e r h a p s o t h e r s t h a t y o u b e l i e v e a r e f r u i t l e s s t o e x p l o r e ? ‘ D e b o r a h : A s a m a t t e r o f f a c t , I h e g e ‘ b e e n t h i n k i n g a b o u t t h i s . T w o l i n e s o f i n q u i r y s t a n d o u t t o m e a s e s p e c i a l l y c r i t i c a l : r e s e a r c h o n h o w p r o s p e c t i v e t e a c h e r s ' k n o w l e d g e c h a n g e s , a n d r e s e a r c h o n p e d a g o g i c a l t h i n k i n g . I c a n s a y a l i t t l e a b o u t e a c h o n e . 3 7 1 O n e o f t h e q u e s t i o n s I h e a r m o s t f r e q u e n t l y i s h o w d i f f i c u l t i t w o u l d b e t o g e t p r o s p e c t i v e t e a c h e r s t o m o d i f y o r a d a p t t h e i r i d e a s - - a b o u t m a t h e m a t i c s , a b o u t m a t h e m a t i c s t e a c h i n g a n d l e a r n i n g , a b o u t s t u d e n t s a s l e a r n e r s o f m a t h e m a t i c s . T h i s i s r e a l l y n o t a q u e s t i o n I c a n a n s w e r o n t h e b a s i s o f m y d a t a : I d o n ' t k n o w . W e n e e d m o r e r e s e a r c h o f t h e s o r t c u r r e n t l y u n d e r w a y a t t h e N a t i o n a l C e n t e r f o r R e s e a r c h o n T e a c h e r E d u c a t i o n : s t u d i e s t h a t t r a c k t h e r e l a t i v e e f f e c t s o f d i f f e r e n t a p p r o a c h e s t o t e a c h e r e d u c a t i o n o n t e a c h e r s ' k n o w l e d g e , s k i l l s , a n d d i s p o s i t i o n s . I t w o u l d b e e s p e c i a l l y u s e f u l t o s t u d y e f f o r t s w i t h d i f f e r e n t s t r u c t u r a l a n d c o n t e n t d i m e n s i o n s . W e n e e d t o u n d e r s t a n d b e t t e r w h a t k i n d s o f p e d a g o g y , w h a t k i n d s o f e x p e r i e n c e s , c o n t r i b u t e t o t h e d e v e l o p m e n t o f s u b j e c t m a t t e r k n o w l e d g e , f o r e x a m p l e . O n e c u r r e n t c o n t r o v e r s y c e n t e r s o n w h a t m a t h e m a t i c a l c o n t e n t i s o f m o s t w o r t h f o r p r o s p e c t i v e t e a c h e r s t o t a k e - - c o n t e n t f r o m t h e s c h o o l m a t h c u r r i c u l u m ( o p e r a t i o n s w i t h w h o l e n u m b e r s , f r a c t i o n s , a n d d e c i m a l s , a l g e b r a a n d s o f o r t h ) o r n o n - t r a d i t i o n a l c o n t e n t ( p r o b a b i l i t y , n u m b e r t h e o r y , a n d s o o n ) . R e s e a r c h s h o u l d e x a m i n e t h e d i f f e r e n t i a l e f f e c t s o f e a c h a p p r o a c h i n t e r m s o f p r o s p e c t i v e t e a c h e r s ' s p e c i f i c a n d g e n e r a l u n d e r s t a n d i n g s o f m a t h e m a t i c s , t h e i r i d e a s a b o u t m a t h e m a t i c s , t h e i r f e e l i n g s , a s w e l l a s t h e i r n o t i o n s a b o u t m a t h e m a t i c s t e a c h i n g a n d l e a r n i n g . T h e f r a m e w o r k o f w a r r a n t s p r e s e n t e d i n C h a p t e r 6 o f f e r s a n o t h e r f r u i t f u l a v e n u e o f r e s e a r c h . W h a t w a r r a n t s d o v e r y g o o d e x p e r i e n c e d t e a c h e r s d o t o g u i d e a n d j u s t i f y t h e i r r e p r e s e n t a t i o n s ? T o w h a t e x t e n t a r e t e a c h e r s ' w a r r a n t s t a c i t ? . H o w m i g h t t e a c h e r s ' p e d a g o g i c a l r e a s o n i n g i n f o r m t h e d e v e l o p m e n t o f a n o r m a t i v e f r a m e w o r k ? W h a t a r e s o m e w a y s o f j u s t i f y i n g t h e i n t e g r a t i o n a n d b a l a n c i n g o f c o m p e t i n g 3 7 2 k n o w l e d g e a n d b e l i e f s ? I t h i n k t h e r e i s a l s o i n t e r e s t i n g w o r k t o b e d o n e o n w h e t h e r t h e r e m i g h t b e h e l p f u l w a y s t o u s e a n o r m a t i v e f r a m e w o r k i n t e a c h e r e d u c a t i o n a s a m e a n s f o r h e l p i n g s t u d e n t s b e g i n t o r e a s o n p e d a g o g i c a l l y - - w i t h o u t t u r n i n g i t i n t o y e t a n o t h e r p r e s c r i p t i o n f o r p l a n n i n g ? W h e r e a r e t h e g a p s i n t h e f r a m e w o r k a n d h o w d o e s t h e p a r t i c u l a r f r a m e w o r k I p r o p o s e d d i f f e r a c r o s s v i e w s o f t e a c h i n g m a t h e m a t i c s , a s w e l l a s a c r o s s s u b j e c t s ? O n e f i n a l p o i n t : E m p i r i c a l w o r k o n t h e s e q u e s t i o n s a s w e l l a s o n o t h e r r e l a t e d i s s u e s , w i l l c o n t i n u e t o d e m a n d s o p h i s t i c a t e d d a t a c o l l e c t i o n s t r a t e g i e s . O n o n e h a n d , b e t t e r i n t e r v i e w q u e s t i o n s a n d t a s k s , o b s e r v a t i o n g u i d e s a n d i n t e r v i e w s , a r e n e e d e d . O n t h e o t h e r h a n d , t h e f i e l d a l s o n e e d s s i m p l e r b u t n e v e r t h e l e s s s h a r p e r s t r a t e g i e s f o r a s s e s s i n g w h a t p r o s p e c t i v e t e a c h e r s k n o w . T h i s a g e n d a i s c r i t i c a l t o a d v a n c i n g t h i s w o r k o n t e a c h e r k n o w l e d g e a n d t e a c h i n g . T h e s t r a t e g i e s t h a t I a n d o t h e r s h a v e b e e n d e v e l o p i n g i n o u r r e s e a r c h p r o v i d e p l a c e s f r o m w h i c h t o w o r k a n d t o d e v e l o p i m p r o v e d m e t h o d s o f i n q u i r y . * e a I s e e t h a t m y g u e s t s a r e t i r i n g . I t h a n k t h e m f o r j o i n i n g m e i n t h i s l a s t c h a p t e r o f m y d i s s e r t a t i o n . T h e i r q u e s t i o n s h a v e p u s h e d m e t o t h i n k a n d h e l p e d m e t o h i g h l i g h t s o m e o f t h e k e y i s s u e s e m b e d d e d i n m y s t u d y . N o d o u b t m y r e a d e r s w i l l h a v e o t h e r q u e s t i o n s . L I S T 0 ? R E F E R E N C E S ‘ L I S T O P ' R E F E R E N C E S A n d e r s o n , R . ( 1 9 8 4 ) . S o m e r e f l e c t i o n s o n t h e a c q u i s i t i o n o f k n o w l e d g e - W W . 1 ( 9 ) . 5 - 1 0 . A n y o n , J . ( 1 9 8 1 ) . S o c i a l c l a s s a n d . s c h o o l k n o w l e d g e . g n r z i e n l n m 1 2 9 3 1 1 3 . 1 1 . 3 - 4 1 . A u s u b e l . D . P . ( 1 9 6 8 ) . W . N e w Y o r k : H o l t , R i n e h a r t & W i n s t o n . B a l l . D L ( 1 9 8 6 ) W W ? D i s s e r t a t i o n r e s e a r c h p r o p o s a l , C o l l e g e o f E d u c a t i o n , M i c h i g a n S t a t e U n i v e r s i t y , E a s t L a n s i n g , M I . B a l l , D . L . ( 1 9 8 8 ) . U n l e a r n i n g t o t e a c h m a t h e m a t i c s . E e r _ ; h e W W . M 1 ) . 4 0 - 4 8 . B a l l , D . L . ( i n p r e s s ) . R e s e a r c h o n t e a c h i n g m a t h e m a t i c s : M a k i n g s u b j e c t m a t t e r k n o w l e d g e p a r t o f t h e e q u a t i o n . I n J . B r o p h y ( E d . ) . W W . ( V 0 1 . 2 ) . G r e e n w i c h . C T : J A I P r e s s . B a l l , D . L . , & F e i m a n - N e m s e r , S . ( i n p r e s s ) . U s i n g t e x t b o o k s a n d t e a c h e r s ' g u i d e s : A d i l e m m a f o r b e g i n n i n g t e a c h e r s a n d t e a c h e r e d u c a t o r s . W - B a l l , D . L . , & M c D i a r m i d , G . W . ( i n p r e s s ) . R e s e a r c h o n t e a c h e r l e a r n i n g : S t u d y i n g h o w t e a c h e r s ' k n o w l e d g e c h a n g e s . A e g i e n _ 1 n W o n . 1 9 ( 2 ) . B a s s a r e a r . ' 1 ' . ( 1 9 8 6 A p r i l ) W - ' H t 1 : . 5 s ' u s . 4 1 - a ” . : ' . n u n r t e s 8 1 0 : 1 v 9 ; W . P a p e r P r e s e n t e d a t t h e a n n u a l m e e t i n g o f t h e N e w E n g l a n d E d u c a t i o n a l R e s e a r c h A s s o c i a t i o n , R o c k p o r t , M E . B e n n e t t . A ” 6 . N e l s o n . L . ( 1 9 7 9 ) . W a f fl e s ] . e p n r e e e h . B o s t o n : A l l y n 5 B a c o n . B e r l s k . A . . 6 : B e r l a k . 1 1 . ( 1 9 8 1 ) . W W . L o n d o n : H e t h u e n . 3 7 3 3 7 4 B e r l i n e r , D . , 6 C a r t e r , K . ( 1 9 8 6 , O c t o b e r ) . D i f f e r e n e e e _ 1 n e e e e h e r e . P a p e r p r e s e n t e d a t t h e t h i r d m e e t i n g o f t h e I n t e r n a t i o n a l S t u d y A s s o c i a t i o n o n T e a c h e r T h i n k i n g , L e u v e n , B e l g i u m . B e r m a n , P . , 6 M c L a u g h l i n , M . ( 1 9 7 5 ) . o W W W 2 ! ( V o l 4 ) S a n t a P i c n i c s : R a n d C o r p o r a t i o n . B l a c k , M ” ( 1 9 6 2 ) . M e d e l e _ e n d _ n e § e n h e r e . I t h a c a : C o r n e l l U n i v e r s i t y P r e s s . B l a i r e , E . ( 1 9 8 1 ) . P h i l o s o p h i e s o f m a t h e m a t i c s a n d p e r s p e c t i v e s o f m a t h e m a t i c s t e a c h i n s - 1 1 1 W W . 1 2 . 1 4 7 - 1 5 3 . B l a k e , R . , & V e r h i l l e , C . ( 1 9 8 5 ) . T h e s t o r y o f O . E e ; _ § h e _ L e e ; n 1 n g W e . 5 . 6 ) . 3 5 - 4 6 . B o s d a n . R . . 6 - B i k l e n . 8 - K . ( 1 9 8 2 ) . W e : W W W . B o s t o n : A l l y n & B a c o n . B r a n d o n . L . ( 1 9 8 5 . O c t o b e r ) . W W e n _ 1 e e r n 1 n g _ e n d _ § e e e h 1 n g . P a p e r p r e s e n t e d a t t h e s e v e n t h a n n u a l m e e t i n g o f t h e N o r t h A m e r i c a n C h a p t e r o f t h e I n t e r n a t i o n a l G r o u p f o r t h e P s y c h o l o g y o f M a t h e m a t i c s E d u c a t i o n , C o l u m b u s , O H . B r o w n , C . , & C o o n e y , T . ( 1 9 8 2 ) . R e s e a r c h o n t e a c h e r e d u c a t i o n : p h i l o s o v h i c s l o r i e n t a t i o n . W W W E d u c a t i o n . 1 5 . 1 3 - 1 8 . B r u n e r , J . ( 1 9 7 0 ) . S o m e t h e o r e m s o n i n s t r u c t i o n i l l u s t r a t e d w i t h r e f e r e n c e t o m a t h e m a t i c s . I n E . B e g l e ( E d . ) , M e ; h e n e § 1 e e _ e d ; n e e e i e n ( 6 9 t h y e a r b o o k o f t h e N a t i o n a l S o c i e t y f o r t h e S t u d y o f E d u c a t i o n , p p . 3 0 6 - 3 3 5 ) . C h i c a g o : U n i v e r s i t y o f C h i c a g o P r e s s . B u c h m a n n , M . ( 1 9 8 2 ) . T h e f l i g h t a w a y f r o m c o n t e n t i n t e a c h i n g . M u m m i e s . 1 a . 6 1 - 6 8 . B u c h m a n n , M . ( 1 9 8 4 ) . T h e p r i o r i t y o f k n o w l e d g e a n d u n d e r s t a n d i n g i n t e a c h i n g . I n J . R a t h s 6 L . K a t z ( E d s . ) , A d x e n e e e _ 1 n _ e e e e h e ; e e n e e e i e n ( V o l . 1 , p p . 2 9 - 4 8 ) . N o r w o o d , N J : A b l e x . B u c h m a n n , M . ( 1 9 8 7 a ) . R e p o r t i n g a n d u s i n g e d u c a t i o n a l r e s e a r c h : C o n v i c t i o n o r p e r s u a s i o n ? I n J . C o o d l a d ( E d . ) , I b e _ e e e l e g y _ e f e e h e e l _ r e n e g e 1 ( 8 6 t h y e a r b o o k o f t h e N a t i o n a l S o c i e t y f o r t h e S t u d y o f E d u c a t i o n , p p . 1 7 0 - 1 9 1 ) . C h i c a g o : U n i v e r s i t y o f C h i c a g o P r e s s . c o n t e m p l a t i o n i n t e a c h i n g . ” W a n ] 3 7 S B u c h m a n n , M . ( 1 9 8 7 b ) . T e a c h i n g k n o w l e d g e : T h e l i g h t s t h a t t e a c h e r s l i v e b y . W . 1 1 . 1 5 1 - 1 6 1 . . B u c h m a n n , M . ( 1 9 8 8 ) . P r a c t i c a l a r g u m e n t s a r e n o a c c o u n t s o f t e a c h e r t h i n k i n g : B u t t h e n , w h a t i s ? ( O c c a s i o n a l P a p e r N o . 1 1 9 ) . E a s t L a n s i n g : M i c h i g a n S t a t e U n i v e r s i t y , I n s t i t u t e f o r R e s e a r c h o n T e a c h e r E d u c a t i o n . [ A l s o i n p r e s s u n d e r t h e t i t l e " A r g u m e n t a n d B u c h m a n n , M . , 6 S c h w i l l e , J . ( 1 9 8 3 ) . E d u c a t i o n : T h e o v e r c o m i n g o f e x p e r i e n c e . W i n . 2 2 . 3 0 - 5 1 . B u e r k , D . ( 1 9 8 2 ) . A n e x p e r i e n c e w i t h s o m e a b l e w o m e n w h o a v o i d m a t h e m a t i c s . W W . 3 ( 2 ) . 1 9 - 2 4 . B u t t s , T . ( 1 9 8 0 ) . P o s i n g p r o b l e m s p r o p e r l y . I n S . K r u l i k 6 R . R e y s ( E d s . ) . W e s . ( p p . 2 3 - 3 3 ) . R e s t o n , V A : N a t i o n a l C o u n c i l o f T e a c h e r s o f M a t h e m a t i c s . C a r n e g i e T a s k F o r c e o n T e a c h i n g a s a P r o f e s s i o n . ( 1 9 8 6 ) . A _ n g g i g n - W a s h i n g t o n , D C : C a r n e g i e F o r u m o n E d u c a t i o n a n d t h e E c o n o m y . C a r p e n t e r , T . P . , L i n d q u i s t , M . M . , M a t t h e w s , W . , 6 S i l v e r , E . A . ( 1 9 8 3 ) . R e s u l t s o f t h e t h i r d N A E P m a t h e m a t i c s a s s e s s m e n t : S e c o n d a r y s c h o o l . fl g g h g m § § 1 9 1 _ 1 g § § h g 1 , 1 6 , 6 5 2 - 6 5 9 . C l a r k , C . , 6 Y i n g e r , R . ( 1 9 7 9 ) . T e a c h e r s ' t h i n k i n g . I n P . L . P e t e r s o n 6 M . J . H a l b e r g ( E d s . ) , ' 8 W W i n n e r ) : ( P P - 2 3 1 - 2 6 3 ) . B e r k e l e y : M c C u t c h e n . C o h e n , D . ( i n p r e s s ) . T e a c h i n g p r a c t i c e : P l u s q u e c a c h a n g e . . . I n P . N . J a c k s o n ( E d . ) , ° B e r k e l e y , C A : M c C u t c h a n . C o h e n , D . R . , 6 N e u f e l d , B . ( 1 9 8 1 ) . T h e f a i l u r e o f h i g h s c h o o l s a n d t h e p r o g r e s s o f e d u c a t i o n . D a e d a l u s , S u m m e r , 6 9 - 8 9 . C o l l i n s , A . , B r o w n , J . 8 . , 6 N e w m a n , 8 . ( 1 9 8 7 ) . T h e n e w a p p r e n t i c e s h i p : T e a c h i n g s t u d e n t s t h e c r a f t o f r e a d i n g , w r i t i n g , a n d m a t h e m a t i c s . I n L . B . R e s n i c k ( E d . ) , C o g n i g i g n _ § n § W e e n i e s . H i l l s d a l e . N J : E r l b a u n . C o n f r e y , J . ( 1 9 8 7 ) . ' ' ' U n p u b l i s h e d m a n u s c r i p t , C o r n e l l U n i v e r s i t y , D e p a r t m e n t o f E d u c a t i o n , I t h a c a , N Y . C u b a n , L . ( 1 9 8 4 ) . T r a n s f o r m i n g t h e f r o g i n t o a p r i n c e : E f f e c t i v e s c h o o l s r e s e a r c h , p o l i c y , a n d p r a c t i c e a t t h e d i s t r i c t l e v e l . W W . : 5 . 1 2 9 - 1 5 0 . D D a a v v i i e s Y e . , o p k P R s : . . t r i . e : 5 H o ( o l 1 H u 9 o e g 6 g h r 7 i t s ) c h . o a . n l m R M M p . i a r ( 1 i e m l l e 9 n m a 8 t . s 1 i . f t o f h b ) c . s W e t . s a c h i n g - - w i t h e N e w t o p e c i a l r e f e r e n c 3 7 6 E d u c a t i o n , M o n o g r a p h N o . 1 . D a v i s , R . ( 1 9 8 3 ) . D i a g n o s i s a n d e v a l u a t i o n i n m a t h e m a t i c s e d u c a t i o n . I n D . S m i t h ( 8 6 . ) . W W h e g i n n i n g _ § § g § § § 2 : § ( p p . 1 0 1 - 1 1 1 ) . W a s h i n g t o n , D C : A m e r i c a n A s s o c i a t i o n o f C o l l e g e s f o r T e a c h e r E d u c a t i o n . D a v i s , R . ( 1 9 8 6 ) . C o n c e p t u a l a n d p r o c e d u r a l k n o w l e d g e i n m a t h e m a t i c s : A s u m m a r y a n a l y s i s . I n J . H i e b e r t ( E d . ) , g o n g _ p § g a l - - - a ~ . w e 3 , : ( p p . 2 6 5 - 3 0 0 ) . H i l l s d a l e , . N J : E r l b a u m . D e w e y , J . ( 1 9 3 8 ) . E n g ; 1 g n & g _ § n d _ g g g g § § 1 2 n . N e w Y o r k : M a c m i l l a n . D e w e y , J . ( 1 9 4 4 ) . A i m s i n e d u c a t i o n . I n ( p p . 1 0 0 - 1 1 0 ) . T o r o n t o : C o l l i e r - M a c m i l l a n . ( O r i g i n a l w o r k p u b l i s h e d 1 9 1 6 ) . D e w e y , J . ( 1 9 6 0 ) . C o n t e x t a n d t h o u g h t . I n R . J . B e r n s t e i n ( E d . ) , 9 3 W W ( p p . 8 8 - 1 1 0 ) . I n d i a n a p o l i s : B o b b s - M e r r i l l . ( O r i g i n a l w o r k p u b l i s h e d 1 9 3 1 . ) D e w e y , J . ( 1 9 6 4 ) . T h e n a t u r e o f m e t h o d . I n R . A r c h a m b a u l t ( E d . ) , 1 2 h n _ D § ! § 1 _ Q n _ g d n § n § 1 2 n ( p p . 3 8 7 - 4 0 3 ) . C h i c a g o : U n i v e r s i t y o f C h i c a g o P r e s s . ( O r i g i n a l w o r k p u b l i s h e d 1 9 1 6 . ) D e w e y , J . ( 1 9 6 4 ) . T h e n a t u r e o f s u b j e c t m a t t e r . I n R . A r c h a m b a u l t a i d . ) W m ( p p - 3 5 9 2 3 7 2 ) - C h i c e s c t U n i v e r s i t y o f C h i c a g o P r e s s . ( O r i g i n a l w o r k p u b l i s h e d 1 9 1 6 . ) D e w e y , J . ( 1 9 6 4 ) . T h e r e l a t i o n o f t h e o r y t o p r a c t i c e i n e d u c a t i o n . I n R . A r c h a m b a u l t ( E d . ) . W i g s ( p p . 3 1 3 - 3 3 8 ) . C h i c a g o : U n i v e r s i t y o f C h i c a g o P r e s s . ( O r i g i n a l w o r k p u b l i s h e d 1 9 0 4 . ) d i S e s s a , A . ( 1 9 8 2 ) . U n l e a r n i n g A r i s t o t e l i a n p h y s i c s : A s t u d y o f k n o w l e d g e - b a s e d l e a r n i n g . C o g n 1 § 1 2 § _ § g i g n g § , 6 , 3 7 - 7 5 . D o l c i a n i , M . , w o o t o n , W . , 6 B e c k e n b a c h , E . ( 1 9 8 0 ) . A l g g h ; § _ 1 . A t l a n t a : H o u g h t o n . M i f f l i n . D o y l e , W . ( 1 9 8 6 ) . C o n t e n t r e p r e s e n t a t i o n i n t e a c h e r s ' d e f i n i t i o n s o f a c a d e m i c w o r k . W i n . 1 . 8 . . 3 6 5 - 3 7 9 . D u c k w o r t h , E . ( 1 9 7 9 , J u n e ) . d P r e s e n t e d a s t h e C a t h e r i n e M e l o n y M e m o r i a l L e c t u r e , C i t y C o l l e g e S c h o o l o f E d u c a t i o n , w o r k s h o p C e n t e r f o r O p e n E d u c a t i o n , N e w Y o r k . D u c k w a o r r i t t h h , m E t . i e c . ( 1 9 W 8 7 ) . S o a m e d e p t s h r a n d p e r p l e x i t i e . s 6 . o f 4 3 e - l 9 e 4 m . e n t a r y 3 7 7 D u t t o n , U ; H . ( 1 9 5 4 ) . M e a s u r i n g a t t i t u d e s t o w a r d a r i t h m e t i c . W M . . 5 1 . 2 4 - 3 1 . D w e c k , C . S . , 6 B e m p e c h a t , J . ( 1 9 8 3 ) . C h i l d r e n ' s t h e o r i e s o f i n t e l l i g e n c e : C o n s e q u e n c e s f o r l e a r n i n g . I n 8 . 6 . P a r i s , C . 1 4 - O l s o n & H . V . S t e v e n s o n ( P A L ) . W W £ h £ _ £ 1 § § fi z g g n ( p p . 2 3 9 - 2 5 6 ) . M i l l s d a l e , N J : L a w r e n c e E r l b a u m . E i s n e r , E . ( 1 9 8 5 ) . A e s t h e t i c m o d e s o f k n o w i n g . I n E . E i s n e r ( E d . ) , ' w ( 8 4 t h y e a r b o o k o f t h e N a t i o n a l S o c i e t y f o r t h e S t u d y o f E d u c a t i o n , p p . 2 3 - 3 6 ) . C h i c a g o : U n i v e r s i t y o f C h i c a g o P r e s s . E l l i o t t , M . ( 1 9 8 5 ) . C a n p r i m a r y t e a c h e r s s t i l l b e s u b j e c t m a t t e r s e n e r e l i e t e ? W i n . 1 . 2 7 9 - 2 8 7 . E r l w a n g e r , S . ( 1 9 7 5 ) . B e n n y ' s c o n c e p t i o n s o f r u l e s a n d a n s w e r s i n I P I m a t h e m a t i c s . W i l l . 1 . 1 5 7 - 2 8 3 . E r n e s t , P . ( 1 9 8 8 ) . W . U n p u b l i s h e d m a n u s c r i p t . U n i v e r s i t y o f E x e t e r , E n g l a n d . E v a n . R . ( i n p r o g r e s s ) . W a e t . D i s s e r t a t i o n i n p r o g r e s s , C o l l e g e o f E d u c a t i o n , M i c h i g a n S t a t e U n i v e r s i t y , E a s t L a n s i n g , M I . F a r r a r , E . , D e s c a n t i s , J . , 6 C o h e n , D . ( 1 9 8 0 ) . V i e w s f r o m b e l o w : I m p l e m e n t a t i o n r e s e a r c h i n e d u c a t i o n . I e a g h g ; § _ g g l l g g g _ fi g g g z d , 8 2 , 7 7 - 1 0 0 . F e i m a n , S . ( 1 9 7 9 ) . T e c h n i q u e a n d i n q u i r y i n t e a c h e r e d u c a t i o n : A c u r r i c u l a r c a s e s t u d y . C u ; r i g g l u n _ 1 n g u i z x , 2 , 6 3 - 7 9 . F e i m a n - N e m s e r , S . ( 1 9 8 3 ) . L e a r n i n g t o t e a c h . I n L . S h u l m a n 6 C . S y k e s ( E d e - L B M W ( P P - 1 5 0 - 1 7 0 ) . N e w Y o r k : L o n g m a n . F e i m a n - N e m s e r , 8 . , 6 B u c h m a n n , M . ( 1 9 8 6 ) . T h e f i r s t y e a r o f t e a c h e r p r e p a r a t i o n : T r a n s i t i o n t o p e d a g o g i c a l t h i n k i n g . l g g z n § 1 _ 2 £ W . 1 . 8 . . 2 3 9 - 2 5 6 . F e i m a n - N e m s e r , 8 . , 6 B u c h m a n n , M . ( i n p r e s s ) . D e s c r i b i n g t e a c h e r e d u c a t i o n : A f r a m e w o r k a n d l o n g i t u d i n a l s t u d y o f s i x s t u d e n t s . W M . 3 7 8 F e i m a n - N e m s e r , S . , M c D i a r m i d , G . W . , M e l n i c k , S . , 6 P a r k e r , M . B . ( 1 9 8 7 , A p r i l ) . ' ° P a p e r p r e s e n t e d a t t h e a n n u a l m e e t i n g o f t h e A m e r i c a n E d u c a t i o n a l R e s e a r c h A s s o c i a t i o n , W a s h i n g t o n , D C . F e r r i n i - H u n d y . J . ( 1 9 8 6 . A p r i l ) . M a t h e m a t i t L t t a t h e r s L a t t i m m M W P a p e r p r e s e n t e d a t t h e a n n u a l m e e t i n g o f t h e A m e r i c a n E d u c a t i o n a l R e s e a r c h A s s o c i a t i o n , S a n F r a n c i s c o . F e y , J . ( 1 9 7 8 ) . C h a n g e i n m a t h e m a t i c s e d u c a t i o n s i n c e t h e l a t e r 1 9 5 0 ' s : I d e a s a n d r e a l i s a t i o n , U . S . A s E a a t a t i a n a 1 _ § t a a i a a _ i n M a t h e m a t i c s . 2 . 3 3 9 - 3 5 3 . F i e l k e r , D . ( 1 9 8 6 ) . W h i c h o p e r a t i o n ? C e r t a i n l y n o t d i v i s i o n ! W m M 3 ) . 3 4 - 3 8 . F l o d e n , R . , B u c h m a n n , M . , 6 S c h w i l l e , J . ( 1 9 8 7 ) B r e a k i n g w i t h e v e r y d a y e x p e r i e n c e . W . 8 1 ( 4 ) . 4 8 5 - 5 0 6 . G o o d , T . , G r o u w s , D . , 6 E b m e i e r , H . ( 1 9 8 3 ) . A a t i x a _ m a t h a m a t i a a t a a a h i n g . N e w Y o r k : L o n g m a n . G o o d l a d . J . ( 1 9 8 4 ) . L W W [ f a t a t a . N e w Y o r k : M c C r a w H i l l . G r a e b e r , A . , T i r o s h , D . , 6 C l o v e r , R . ‘ a 1 - : - s a - - c a n : : . , u . : - m e n — 9 ' - a i x i a i a a _ p t a h 1 g m a . P a p e r p r e s e n t e d a t t h e e i g h t h a n n u a l m e e t i n g o f t h e N o r t h A m e r i c a n C h a p t e r o f t h e I n t e r n a t i o n a l G r o u p f o r t h e P s y c h o l o g y o f M a t h e m a t i c s E d u c a t i o n , E a s t L a n s i n g , M I . ( 1 9 8 6 , S e p t e m b e r ) . P t a a a t x i t a G r e i s . J . H . ( 1 9 8 8 . A p r i l ) . 1 W . P a p e r p r e s e n t e d a t t h e a n n u a l m e e t i n g o f t h e A m e r i c a n E d u c a t i o n a l R e s e a r c h A s s o c i a t i o n , N e w O r l e a n s . G r o e s n a n . P . ( 1 9 8 8 ) . M W E n g i i a h . U n p u b l i s h e d d o c t o r a l d i s s e r t a t i o n , S t a n f o r d U n i v e r s i t y , S t a n f o r d , C A . G u i l l e n . 1 4 . ( 1 9 8 3 ) . W W W ” m a t h a m a t i t a . L o s A n g e l e s : H o u g h t o n M i f f l i n . . G u y t o n , E . , 6 F a r o k h i , E . ( 1 9 8 7 ) . R e l a t i o n s h i p s a m o n g a c a d e m i c p e r f o r m a n c e , b a s i c s k i l l s , s u b j e c t m a t t e r k n o w l e d g e , a n d t e a c h i n g s k i l l s o f t e a c h e r e d u c a t i o n g r a d u a t e s . J a a t n a 1 _ a £ _ I a a a h a t W e 3 ( 5 ) , 3 7 - 4 2 0 ' 3 7 9 H a t a n o , G . ( 1 9 8 2 ) . C o g n i t i v e c o n s e q u e n c e s o f p r a c t i c e i n c u l t u r e - s p e c i f i c p r o c e d u r a l s k i l l s . W W . 5 ( 1 ) . 1 5 - 1 8 . H a w k i n s , D . ( 1 9 7 4 ) . N a t u r e , m a n , a n d m a t h e m a t i c s . I n W ( p p . 1 0 9 - 1 3 1 ) . N e w Y o r k : A g a t h o n . ( O r i g i n a l w o r k p u b l i s h e d i n 1 9 7 2 . ) H a w k i n s , D . ( 1 9 7 4 ) . O n u n d e r s t a n d i n g t h e u n d e r s t a n d i n g o f c h i l d r e n . ( p p . 1 9 5 - 2 0 6 ) . N e w Y o r k : A g a t h o n . ( O r i g i n a l w o r k p u b l i s h e d i n 1 9 6 7 . ) H i e b e r t , J . , 6 L e f e v r e , P . ( 1 9 8 6 ) . C o n c e p t u a l a n d p r o c e d u r a l k n o w l e d g e . I n J . H i e b e r t ( E d . ) , W W 1 ] . W W ( p p - 1 - 2 7 ) . H i l l s d a l e . N J : E r l b a u m . H i l t o n , P . ( 1 9 8 0 ) . M a t h a n x i e t y : S o m e c a u s e s a n d s u g g e s t e d c u r e s , ( P a r t s I 8 - 1 1 ) . M W . 1 1 ( 3 5 : 4 ) . 1 7 4 - 1 8 8 , 2 4 6 - 2 5 1 . H o l m e s C r e e p ( 1 9 8 6 ) . W W W Q t a a p . C o l l e g e o f E d u c a t i o n , M i c h i g a n S t a t e U n i v e r s i t y , E a s t L a n s i n g , M I . J a c k s o n , P . ( 1 9 6 8 ) . L i £ a _ i n _ a i a a a t a a n a . N e w Y o r k : H o l t , R i n e h a r t , 6 W i n s t o n . J a c k s o n , P . ( 1 9 8 6 ) . I h a _ n t a a t i a a _ a f _ t a a a h i n g . N e w Y o r k : T e a c h e r s C o l l e g e P r e s s . K a n i i . C . ( 1 9 8 5 ) . W W W 2 f _ £ i a g a t i a _ t h a a t x . N e w Y o r k : T e a c h e r s C o l l e g e P r e s s . K l i n e . H ( 1 9 7 0 ) . L o g i c v e r s u s p e d a g o g y W W M e n t h l x . 7 1 . 2 6 4 - 2 8 2 . K l i n e . H . ( 1 9 7 7 ) . W W . N e w Y o r k : S t . M a r t i n ' s P r e s s . K l i n e . H . ( 1 9 8 0 ) . W a n n - O x f o r d : O x f o r d U n i v e r s i t y P r e s s . K u h n . ' 1 ‘ . ( 1 9 6 2 ) . W . C h i c a g o : U n i v e r s i t y o f C h i c a g o P r e s s . K u h n . ' 1 ‘ . ( 1 9 8 0 ) . W a u e a s i n a t z a a t i a n . U n p u b l i s h e d d o c t o r a l d i s s e r t a t i o n , C o l l e g e o f E d u c a t i o n , M i c h i g a n S t a t e U n i v e r s i t y , E a s t L a n s i n g , M I . 3 8 0 L a k a t o e . 1 . ( 1 9 7 6 ) . W a l n u t n a t h a n a t i a a i _ a i a a a x a z x . C a m b r i d g e : u n i v e r s i t y o f C a m b r i d g e P r e s s . L a k o f f , G . , 6 J o h n s o n , M . ( 1 9 8 0 ) . W . C h i c a g o : U n i v e r s i t y o f C h i c a g o P r e s s . L a m p e r t , M L ( 1 9 8 5 a ) . H o w d o t e a c h e r s m a n a g e t o t e a c h ? P e r s p e c t i v e s o n p r o b l e m ! i n p r a c t i c e . 8 W . 2 : . 1 7 8 - 1 9 4 . L a m p e r t , M . ( 1 9 8 5 b ) . M a t h e m a t i c s l e a r n i n g i n c o n t e x t : T h e V o y a g e o f t h e M i n i . 1 1 1 W . . 4 . 1 5 7 - 1 6 7 . L a m p e r t , M . ( 1 9 8 6 ) . K n o w i n g , d o i n g , a n d t e a c h i n g m u l t i p l i c a t i o n . t e m i t i t h n d J n s t m t t i t n . 1 . 3 0 5 - 3 4 2 . L a m p e r t , M . ( i n p r e s s a ) . C h o o s i n g a n d u s i n g m a t h e m a t i c a l t o o l s i n c l a s s r o o m d i s c o u r s e . I n J . B r o p h y ( E d . ) , a a x a h a a a _ i n _ t a a a a t t h _ a n W e ( V o l . 1 ) . G r e e n w i c h , C T : J A I P r e s s . L a m p e r t , M . ( i n p r e s s b ) . W h a t c a n r e s e a r c h o n t e a c h e r e d u c a t i o n t e l l u s a b o u t i m p r o v i n g q u a l i t y i n m a t h e m a t i c s e d u c a t i o n ? L a n i e r , J . ( 1 9 8 6 ) . R e s e a r c h o n t e a c h e r e d u c a t i o n . I n M . C . W i t t r o c k ( E d . ) . W W 1 ) ; ( 3 r d e d . ) . ( p p . 5 2 7 - 5 6 9 ) . N e w Y o r k : M a c m i l l a n . L a v e , J . ( 1 9 8 7 , A p r i l ) . ° p t a a t i a a . P a p e r p r e s e n t e d a t t h e a n n u a l m e e t i n g o f t h e A m e r i c a n E d u c a t i o n a l R e s e a r c h A s s o c i a t i o n , w a s h i n g t o n , D C . L a v e . J . ( 1 9 8 8 . A p r i l ) . M W “ i a a t n i n g . P a p e r p r e s e n t e d a t t h e a n n u a l m e e t i n g o f t h e A m e r i c a n E d u c a t i o n a l R e s e a r c h A s s o c i a t i o n , N e w O r l e a n s . L e i n h a r d t , C . , 6 S m i t h , D . ( 1 9 8 5 ) . E x p e r t i s e i n m a t h e m a t i c s i n s t r u c t i o n : S u b j e c t m a t t e r k n o w l e d g e . l a a t n a 1 _ a £ M i n i m u m . 7 1 . 2 4 7 - 2 7 1 . L e r m a n , S . ( 1 9 8 3 ) . P r o b l e m - s o l v i n g o r k n o w l e d g e - c e n t r e d : T h e i n f l u e n c e o f p h i l o s o p h y o n m a t h e m a t i c s t e a c h i n g . l i n t a t n a t i a n a i 1 5 ( 1 ) , 5 9 6 6 " L o r t i e . D . ( 1 9 7 5 ) . w w w - C h i c e s o = U n i v e r s i t y o f C h i c a g o P r e s s . O w e n s , J . E . ( 1 9 8 7 ) . A W 3 8 1 M a d s e n - N a s o n , A . , 6 L a n i e r , P . ( 1 9 8 6 ) . 2 a n a i a _ x a 1 a i a _ g a n a z a 1 _ n a t h a ‘ : ‘ , . . » - . . - : ' 9 ( R e s e a r c h S e r i e s N o . 1 7 2 ) . E a s t L a n s i n g : M i c h i g a n S t a t e U n i v e r s i t y , I n s t i t u t e f o r R e s e a r c h o n T e a c h i n g . M c D i a r m i d , G . W . , B a l l , D . L . , 6 A n d e r s o n , C . W . ( i n p r e s s ) . S u b j e c t - s p e c i f i c p e d a g o g y . I n M . R e y n o l d s ( E d . ) , fi n a g i a a g a _ h a a g W a s h i n g t o n , D C : A m e r i c a n A s s o c i a t i o n o f C o l l e g e s o f E d u c a t i o n . M c D i a r m i d , G . W . , K l e i n f e l d , J . , 6 P a r r e t t , W . ( 1 9 8 8 ) . I h a _ i n g a n t i z a W W W . F a i r b a n k S . A K : U n i v e r s i t y o f A l a s k a , C e n t e r f o r C r o s s - C u l t u r a l S t u d i e s a n d I n s t i t u t e f o r S o c i a l a n d E c o n o m i c R e s e a r c h . M c L a u g h l i n , M . , 6 M a r s h , D . ( 1 9 7 8 ) . S t a f f d e v e l o p m e n t a n d s c h o o l c h a n g e . W M . 8 . 0 . 6 9 - 9 4 . M c L e o d . D . ( 1 9 8 6 ) . A W M W ” a a i x i n g t U n p u b l i s h e d m a n u s c r i p t , S a n D i e g o S t a t e U n i v e r s i t y , D e p a r t m e n t o f M a t h e m a t i c a l S c i e n c e s . M i l e s , M . , 6 H u b e r m a n , M . ( 1 9 8 4 ) . s a w . B e v e r l y H i l l s : S e i z e . N i c k e r s o n , R . ( 1 9 8 5 ) . U n d e r s t a n d i n g u n d e r s t a n d i n g . _ A n a t i a a n a l g a t n a 1 W . 9 . 3 . . 2 0 1 - 2 3 9 . N o d d i n g s , N . ( 1 9 8 5 ) . F o r m a l m o d e s o f k n o w i n g . I n E . E i s n e r ( E d . ) , M W . ( 8 4 t h y e a r b o o k o f t h e N a t i o n a l S o c i e t y f o r t h e S o c i e t y o f E d u c a t i o n , p p . 1 1 6 - 1 3 2 ) . C h i c a g o , I L : U n i v e r s i t y o f C h i c a g o P r e s s . O r r , E . w . ( 1 9 8 7 ) . . . t L t l a t h t t d e n t t J a n t h t m t i t L a a n t i a n t t . N e w Y o r k : N o r t o n . O r t o n y , A . ( 1 9 7 5 ) . W h y E g t a g g o z ; a r e n e c e s s a r y a n d n o t j u s t n i c e . 3 ' 0 1 a . . ; , - . . . _ - : 9 . y a a c e - e t a a a h i h g . U n p u b l i s h e d d i s s e r t a t i o n , U n i v e r s i t y o f G e o r g i a , A t h e n s , G A . P h i l l i p e . D . C . ( 1 9 8 8 . A p r i l ) . W W p a z a a a a t i z a . P a p e r p r e s e n t e d a t t h e a n n u a l m e e t i n g o f t h e A m e r i c a n E d u c a t i o n a l R e s e a r c h A s s o c i a t i o n , N e w O r l e a n s . P c l e n y i . M . ( 1 9 5 8 ) . M W 2 h 1 1 2 § 2 2 h 1 - C h i c a g o : U n i v e r s i t y o f C h i c a g o P r e s s . P r a k a c 2 s o 1 h n 7 , t - M a 4 . d 0 i . r 2 S c . t ( 1 i o n s 8 9 , 6 a ) n . d R h c e a f l o l r e m n i g n e g s . t h e I a t a e t a h c a h t i a n _ g £ a o l f i a t g e a a _ c n h a e a r a s t : a , , T § r § e ( n 2 d ) s , 3 8 2 P o s n e r , A . , S t r i k e , R . , M . , H e w s o n , P . a n d G e r t z o g , ' W . ( 1 9 8 2 ) . A c c o m m o d a t i o n o f a s c i e n t i f i c c o n c e p t i o n : T o w a r d a t h e o r y o f c o n c e p t u a l c h a n g e . s a i a n a a _ fi a a a a t i a n , fi g , 2 1 1 - 2 2 7 . P u t n a m , R . ( 1 9 8 7 ) . S t r u c t u r i n g a n d a d j u s t i n g c o n t e n t f o r s t u d e n t s : A s t u d y o f l i v e a n d s i m u l a t e d t u t o r i n g o f a d d i t i o n . A n a t i a a n M W . 2 5 : . 1 3 - 4 8 . P u t n a m R . & L e i n h a r d t . G . ( 1 9 8 6 . A p r i l ) . W W . P a p e r p r e s e n t e d a t t h e a n n u a l m e e t i n g o f t h e A m e r i c a n E d u c a t i o n a l R e s e a r c h A s s o c i a t i o n , S a n F r a n c i s c o . R o m b e r g , T . ( 1 9 8 3 ) . A c o m m o n c u r r i c u l u m f o r m a t h e m a t i c s . I n G . F e n s t e r m a c h e r 6 J . G o o d l a d ( E d s . ) , I n a i x i a u a 1 _ g i f t a t a n a a a _ a n a t h a _ a a m m a n _ a a t t i a a i a n ( 8 2 n d y e a r b o o k o f t h e N a t i o n a l S o c i e t y f o r t h e S t u d y o f E d u c a t i o n ) . C h i c a g o : U n i v e r s i t y o f C h i c a g o P r e s s . R o t h , K . J . ( 1 9 8 5 ) . p I a a a a a i n g _ a f _ a a i a n a a _ t a z t a U n p u b l i s h e d d o c t o r a l d i s s e r t a t i o n , M i c h i g a n S t a t e U n i v e r s i t y , E a s t L a n s i n g , M I . S a r a c e n . 8 . B . ( 1 9 7 1 ) . W M a h a n g a . B o s t o n : A l l y n 6 B a c o n . S a r a s o n , S . 8 . , D a v i d s o n , R . , 6 B l a t t , B . ( 1 9 6 2 ) . I h a _ p t a n a t a t i a n _ a f W N e w Y o r k : W i l e y . S c h a t z m a n , L . , 6 S t r a u s s , A . ( 1 9 7 3 ) . ° £ 9 1 _ a _ n a g _ a a a i a i a g x . E n g l e w o o d C l i f f s , N J : P r e n t i c e - H a l l . S c h e f f l e r , I . ( 1 9 5 8 ) . J u s t i f y i n g c u r r i c u l u m d e c i s i o n s . fi a h a a i 3 9 1 1 3 1 . E ! 4 6 1 - 4 7 2 0 S c h e f f l e r . 1 . ( 1 9 6 5 ) . W e n t — 2 W a p i a t a n a i a g x _ a n a _ a d a a a t i a n . C h i c a g o : U n i v e r s i t y o f C h i c a g o P r e s s . S c h o e n f e l d , A . ( 1 9 8 3 ) . B e y o n d t h e p u r e l y c o g n i t i v e : B e l i e f s y s t e m s , s o c i a l c o g n i t i o n s , a n d m e t a c o g n i t i o n s a s d r i v i n g f o r c e s i n ' i n t e l l e c t u a l p e r f o r m a n c e . Q a g n i t i z a _ § t i a n a a , 1 , 3 2 9 - 3 6 3 . S c h o e n f e l d , A . . ( 1 9 8 5 ) M e t a c o g n i t i v e a n d e p i s t e m o l o g i c a l i s s u e s i n m a t h e m a t i c a l u n d e r s t a n d i n g . I n E . S i l v e r ( E d . ) , I a a a h i a g _ a n a n g r fi n t t t i x a a ( p p . 3 6 1 - 3 7 9 ) . H i l l s d a l e , N J : E r l b a u m . 3 8 3 S c h o e n f e l d , A . ( 1 9 8 6 ) . O n h a v i n g a n d u s i n g g e o m e t r i c k n o w l e d g e . I n J . H i e b e r t ( E d . ) , ° g i a n a t h a n a t i a a ( p p . 2 2 5 - 2 6 4 ) . H i l l s d a l e , N J : E r l b a u m . S c h o e n f e l d , A . ( i n p r e s s a ) . W h e n g o o d t e a c h i n g l e a d s t o b a d r e s u l t s : T h e d i s a s t e r s o f w e l l - t a u g h t m a t h e m a t i c s c o u r s e s . I n P . P e t e r s o n 6 T . C a r p e n t e r ( E d s . ) , L a a t n i n g _ t h x g n ¢ h W W . S c h o e n f e l d , A . ( i n p r e s s b ) . O n m a t h e m a t i c s a s s e n s e - m a k i n g : A n i n f o r m a l a t t a c k o n t h e u n f o r t u n a t e d i v o r c e o f f o r m a l a n d i n f o r m a l m a t h e m a t i c s . I n D . N . P e r k i n s , J . S e g a l , 6 J . V o s s ( E d s . ) . 1 1 1 W . H i l l e d e l e : E r l b a u m . S c h o n . D . ( 1 9 8 3 ) . W m : t h i n k _ i n _ a a t i a n . N e w Y o r k : B a s i c B o o k s . S c h r e n . P . ( i n p r o g r e s s ) . M W 2 3 ' ; 5 . ‘ ° . ' ' ' - - “ ‘ ‘ ‘ ! ! ' - l 3 . 5 ' 9 3 ' 9 ' 5 . 1 ‘ - ' ' ! ° " 1 5 ' 9 ' - ’ . 5 . 0 ; ! " " - ' l " ! — ' _ 5 1 - 5 . ' 9 ° 3 ; . D i s s e r t a t i o n i n p r o g r e s s , M i c h i g a n S t a t e U n i v e r s i t y , E a s t L a n s i n g , M I . S c h w a b , J . J . ( 1 9 7 8 ) . E d u c a t i o n a n d t h e s t r u c t u r e o f t h e d i s c i p l i n e s . I n I . W e s t b u r y 6 . N . W i l k o f ( E d s . ) , fi a i a n a a t M W ( p p . 2 2 9 - 2 7 2 ) . C h i c a g o : U n i v e r s i t y o f C h i c a g o P r e s s . ( O r i g i n a l w o r k p u b l i s h e d 1 9 6 1 . ) S c h w a b , J . J . ( 1 9 7 6 ) . E d u c a t i o n a n d t h e s t a t e : L e a r n i n g c o m m u n i t y . I n Q t a a t _ i a a a a _ t a a a x ( p p . 2 3 4 - 2 7 1 ) . C h i c a g o : E n c y c l o p e d i a B r i t a n n i c a . ’ S c h w a r t z , J . ( 1 9 8 7 , O c t o b e r ) . P a p e r p r e s e n t e d a t C o l l e g e o f E d u c a t i o n , M i c h i g a n S t a t e U n i v e r s i t y , E a s t L a n s i n g , M I . S c h w i l l e , J . , P o r t e r , A . , F l o d e n , R . , F r e e m a n , D . , K n a p p , L . , K u h s , T . , 6 S c h m i d t , W . ( 1 9 8 3 ) . T e a c h e r s a s p o l i c y b r o k e r s i n t h e c o n t e n t o f e l e m e n t a r y s c h o o l m a t h e m a t i c s . I n L . S h u l m a n a n d G . S y k e s ( E d s . ) . 8 W ( p p . 3 7 0 - 3 9 1 ) . N e w Y o r k : L o n g m a n . S h u l m a n , L . S . ( 1 9 7 0 ) . P s y c h o l o g y a n d m a t h e m a t i c s e d u c a t i o n . I n E . B e g l e ( E d . ) , M a t h a n a t i a a _ a a a a a t i a n ( 6 9 t h Y e a r b o o k o f t h e N a t i o n a l S o c i e t y f o r t h e S t u d y o f E d u c a t i o n , p p . 2 3 - 7 1 ) . C h i c a g o : U n i v e r s i t y o f C h i c a g o P r e s s . S h u l m a n , L . S . ( 1 9 8 6 ) . T h o s e w h o u n d e r s t a n d : K n o w l e d g e g r o w t h i n t e a c h i n g . M W . 1 5 ( 2 ) . 4 - 1 4 . S h u l m a n , L . S . ( 1 9 8 7 ) . K n o w l e d g e a n d t e a c h i n g : F o u n d a t i o n s o f t h e n e w r e f o r m . W M . 5 1 . 1 - 2 2 . 3 8 4 S k e m p , R . ( 1 9 7 8 ) . R e l a t i o n a l u n d e r s t a n d i n g a n d i n s t r u m e n t a l u n d e r s t a n d i n g . W . 2 . 6 . 9 - 1 5 . S l a v i n , R . ( 1 9 7 8 ) . M W . B a l t i m o r e : J o h n H o p k i n s U n i v e r s i t y , C e n t e r f o r S o c i a l O r g a n i z a t i o n o f S c h o o l s . S m i t h . 1 3 . 0 . ( 1 9 8 0 ) . M W - W a s h i n g t o n . D C : U . S . D e p a r t m e n t o f E d u c a t i o n . S m i t h , F . ( 1 9 6 4 ) . P r o s p e c t i v e t e a c h e r s ' a t t i t u d e s t o w a r d a r i t h m e t i c . A r i t h m e t i t l e e t h t r . 1 1 . 4 7 4 - 4 7 7 . S m i t h . F . ( 1 9 7 5 ) . W e a n i n g . N e w Y o r k : H o l t . R i n e h a r t , 6 W i n s t o n . S t e i n b e r g , R . , H a y m o r e , J . , 6 M a r k s , R . ( 1 9 8 5 , A p r i l ) . I a a a h a t a i W 1 2 1 . P a p e r p r e s e n t e d a t t h e a n n u a l m e e t i n g o f t h e A m e r i c a n E d u c a t i o n a l R e s e a r c h A s s o c i a t i o n , C h i c a g o . S t e r n b e r g , R . J . , C o n w a y , B . E . , K e t r o n , J . L . 6 B e r n s t e i n , M . ( 1 9 8 1 ) . P e o p l e ' s c o n c e p t i o n s o f i n t e l l i g e n c e . J a a t n a 1 _ a f W W . 5 . . 3 7 - 5 5 . S t o d o l s k y , S . S . ( 1 9 8 5 ) . T e l l i n g m a t h : T h e o r i g i n s o f m a t h a v e r s i o n a n d a n x i e t y . E d u t a t i e n n l l u t h t l t s i s t . 2 9 . 1 2 5 - 1 3 3 . S t o d o l s k y , S . S . ( 1 9 8 8 ) . ° i n _ n a t h _ a n a _ a a a i a 1 _ a t a a i a a . C h i c a g o : U n i v e r s i t y o f C h i c a g o P r e s s . T a b a c h n i k , R . , P o p k e w i t z , T . , 6 Z e i c h n e r , K . ( 1 9 7 9 - 8 0 ) . T e a c h e r e d u c a t i o n a n d t h e p r o f e s s i o n a l p e r s p e c t i v e s o f s t u d e n t t e a c h e r s . W . 1 9 ( 4 ) . 1 2 - 2 9 . T h o m p s o n , A . ( 1 9 8 4 ) . T h e r e l a t i o n s h i p o f t e a c h e r s ' c o n c e p t i o n s o f m a t h e m a t i c s a n d m a t h e m a t i c s t e a c h i n g t o i n s t r u c t i o n a l p r a c t i c e . E d u c a t i t n s l i t t d i t L i a n s t h t n s t i t s . 1 : . 1 0 5 - 1 2 7 . T y l e r . R . ( 1 9 4 9 ) . M W . C h i c a g o : U n i v e r s i t y o f C h i c a g o P r e s s . W a l l e r , W . ( 1 9 3 2 ) . I h a _ a a a i a l a g y _ a £ _ t a a t h i n g . N e w Y o r k : R u s s e l l 6 R u s s e l l . W h e e l e r , D . ( 1 9 8 0 ) . A n a s k a n c e l o o k a t r e m e d i a t i o n i n m a t h e m a t i c s . Q t t l t e k . 3 . 8 . . 4 1 - 5 0 . W h i t e h e a d . A . N . ( 1 9 4 8 ) . W . N e w Y o r k : O x f o r d U n i v e r s i t y P r e s s . ( O r i g i n a l w o r k p u b l i s h e d 1 9 1 1 . ) 3 8 5 W i l d a v s k y , A . , 6 G i a d o m e n i c o , M . ( 1 9 7 9 ) . I m p l e m e n t a t i o n a s e v o l u t i o n . I n A . W i l d a v s k y 6 J . P r e s s m a n ( E d s . ) , I m p i a m a n t a t i a n . B e r k e l e y : U n i v e r s i t y o f C a l i f o r n i a P r e s s . W i l s o n . 8 . 1 4 . ( 1 9 8 8 ) . U n d e r s t a n d i n u i s t o t i t a l u m d e r m ; U n p u b l i s h e d d i s s e r t a t i o n , S t a n f o r d U n i v e r s i t y , S t a n f o r d , C A . W i l s o n , S . M . , S h u l m a n , L . S . , 6 R i c h e r t , A . ( 1 9 8 7 ) . ” 1 5 0 d i f f e r e n t w a y s o f k n o w i n g " : R e p r e s e n t a t i o n s o f k n o w l e d g e i n t e a c h i n g . I n J . C a l d e r h e a d ( E d . ) . W M ( p p . 1 0 4 - 1 2 4 . S u s s e x : H o l t , R i n e h a r t 6 W i n s t o n . W i l s o n , S . M . , 6 W i n e b u r g , S . ( i n p r e s s ) . P e e r i n g a t A m e r i c a n h i s t o r y t h r o u g h d i f f e r e n t l e n s e s : T h e r o l e o f d i s c i p l i n a r y k n o w l e d g e i n t e a c h i n g . I a a a h a t a _ § 9 1 1 a g a _ fl a a a t a . W i n e b u r g , S . , 6 W i l s o n , S . M . ( i n p r e s s ) . T h e s u b j e c t m a t t e r k n o w l e d g e o f h i s t o r y t e a c h e r s . I n J . B r o p h y ( E d . ) , a a x a n a a a _ i n I t fi g fi t t h _ 2 n _ £ £ £ £ h i n 8 ( V o l . 2 ) . G r e e n w i c h C T : J A I P r e s s . Z a r i n n i a , E . A . , L a m o n , S . J . , 6 R o m b e r g , T . ( 1 9 8 7 ) . E p i s t e m i c t e a c h i n g o f s c h o o l m a t h e m a t i c s . T o b e p u b l i s h e d i n T . R o m b e r g 6 D . M S t e w a r t ( E d s . ) . I h L m 1 £ 2 fl m L a £ h 2 fl _ W W M W C h a p t e r 2 8 ) . A P P E N D I X A . . “ “ V V V V 1 2 s t i d e r c m r a W I I a e l m u l C — c a h a t l M p n s A a 0 0 1 7 8 9 l ” ‘ ” ” t s a s - a l a l s s e c m “ s 5 2 4 7 6 . . . . . . . . . 2 2 2 3 3 3 2 4 4 ” “ 4 9 7 ” 2 4 9 7 4 5 3 4 3 u . . . . . . . . . 2 3 2 3 3 2 4 3 3 l l a C - s a s L e l u r “ # e g a l 1 l e ° s - - 4 ! e 0 ) 7 8 l ‘ a c s t n 6 i o 3 s 7 5 5 o 3 c a 2 2 2 p ' 1 $ l s a u s d s s a l - . c ” ” ” 3 5 0 “ 1 3 7 5 8 - e I l 5 A A a l 5 A 8 9 ! 1 / 3 n s I I I l 1 / I l 1 l I / 7 ] I 4 I I 1 W I M I I I a 5 1 1 7 ” “ ” 7 1 1 1 1 u n I m n I m " { . . . . m . . e e l l fi b a l c l i . l . . M p p m . m l t a . r U y l a l w s l e - e s h h l t h u l d r r - # i r a R l i 1 b c o 1 a t c i a a a a s a o l t o - l a H N I C m ' 1 R “ m B C C M M M t " A - e I t ' ' 0 ' ' ' ‘ ' I o ~ o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o 3 . ” 2 . 4 5 3 . 5 4 3 . 2 3 3 . 7 4 3 . 6 4 ‘ 3 8 8 8 8 o o o o o o o o o o o o o o o o o o 1 9 2 1 5 1 ' - I i i . s d I s s l r e c e n t a r e h a m l e t s b a s a l - s s t u n t t m f a n a d 1 m m o t h e r c o l l a g e . S u m m a r y o f s t u d y p a r t i c l p s n l s ’ a c a d e m i c r e c o r d s 3 8 6 A P P E N D I X B T h i s i n t e r v i e w i s d e s i g n e d t o t a k e t w o s e s s i o n s - - 1 a b e l e d h e r e a s P a r t 1 a n d P a r t 2 . m 1 A . W T h e p o i n t o f t h i s s e c t i o n i s t o f i n d o u t w h a t t h e p r o s p e c t i v e t e a c h e r r e m e m b e r s a b o u t b e i n g a m a t h e m a t i c s s t u d e n t , t o b e g i n t o d e v e l o p a s e n s e o f t h e p e r s o n , a n d , t o d e v e l o p a c o n t e x t f o r t h e i n t e r v i e w . T h e q u e s t i o n s t h a t a s k t h e p a r t i c i p a n t s t o t e l l a l i t t l e m o r e a b o u t t h e i r h i g h s c h o o l a n d c o l l e g e m a t h c o u r s e s p r o v i d e a m e a n s o f s e e i n g h o w t h e y u n d e r s t a n d w h a t t h e y h a v e l e a r n e d , w h a t k i n d o f p e r s p e c t i v e t h e y h a v e o f t h e s u b s t a n c e o f t h e i r c o u r s e s , t h e w a y t h e y o r g a n i z e t h a t k n o w l e d g e , a n d t h e a r t i c u l a t e n e s s w i t h w h i c h t h e y c a n t a l k a b o u t i t . I t o f f e r s a s e c o n d c h e c k p o i n t ( b e s i d e s s e c t i o n C ) f o r e x p l o r i n g w h a t p r o s p e c t i v e t e a c h e r s " b r i n g ” w i t h r e s p e c t t o k n o w l e d g e o f a n d a b o u t m a t h e m a t i c s . . W i n s A 1 . I ' d l i k e t o s t a r t o u t b y l e a r n i n g a l i t t l e a b o u t w h a t b r i n g s y o u t o t e a c h i n g ; W h a m d i d y o u f i r s t s t a r t t h i n k i n g y o u m d g h t w a n t t o t e a c h ? W h y a r e y o u i n t e r e s t e d i n t e a c h i n g ? P r o b e i n f o r m a n t ' s i n t e l l e c t u a l i n t e r e s t s a n d h i s / h e r p e r s p e c t i v e a s a s t u d e n t . F o r i n s t a n c e , m a n y o f t h e e l e m e n t a r y c a n d i d a t e s m e n t i o n t h e i r l o v e o f r e a d i n g . T r y a l s o t o d i s c o v e r w h a t t h e p e r s o n e s p e c i a l l y e n j o y s a b o u t s c h o o l o r a b o u t l e a r n i n g . T r y t o l e a r n w h a t e x p e r i e n c e s t h e i n f o r m a n t h a s h a d t h a t m a y b e a r o n l e a r n i n g t o t e a c h - - e . g . , i s a p a r e n t , h a s w o r k e d a s a c o u n s e l o r , e t c . 3 8 7 3 8 8 W e n t : A 2 . L e t ' s s h i f t t h e f o c u s n o w . I ' m i n t e r e s t e d i n y o u r o w n p a s t e x p e r i e n c e i n s c h o o l , w i t h m a t h e m a t i c s i n p a r t i c u l a r . a . Y o u ' r e p l a n n i n g t o t e a c h ( e l e m e n t a r y , h i g h ) s c h o o l , i s t h a t r i g h t ? W h e n y o u t h i n k b a c k t o y o u r o w n e x p e r i e n c e w i t h m a t h w h - y o u w e r e i n s c h o o l , w h a t s t a n d s o u t t o y o u ? P r o b e f o r s p e c i f i c i t y : W h a t d o y o u m e a n ? C a n y o u g i v e m e a n e x a m p l e o f t h a t ? I s t h e r e a n y t h i n g e l s e y o u r e m e m b e r ? I f t h e t e a c h e r c a n d i d a t e d o e s n o t m e n t i o n o n e o f t h e f o l l o w i n g , a s k : Y o u h a v e n ' t m e n t i o n e d ( m c h a b o u t ) . D o y o u r e n d e r a n y t h i n g i n p a r t i c q u a b o u t t h a t ? 0 w h a t y o u l e a r n e d 0 y o u r t e a c h e r s 0 h o w y o u f e l t a b o u t m a t h c l a s s 0 h o w y o u f e l t a b o u t y o u r s e l f i n r e l a t i o n t o o t h e r s i n y o u r c l a s s b . W h a t a b o u t a t t h e ( o t h e r ) l e v e l ? V W h a t s t a n d s o u t t o y o u a b o u t y o u r e x p e r i a m c e w i t h m a t h e m a t i c s w h e n y o u w e r e i n s c h o o l ? I f t h e t e a c h e r c a n d i d a t e d o e s n o t m e n t i o n o n e o f t h e f o l l o w i n g , a s k : Y o u h a v e n ' t ” c l o n e d ( I n c h a b o u t ) . D o y o u r o u n d e r a n y t h i n g i n p a r t i c u l a r a b o u t t h a t ? 0 w h a t y o u l e a r n e d 0 w h a t y o u r t e a c h e r s a h o w y o u f e l t a b o u t m a t h c l a s s a h o w y o u f e l t a b o u t y o u r s e l f i n r e l a t i o n t o o t h e r s i n y o u r c l a s s 3 8 9 N o t e : F o r t h e h i g h s c h o o l l e v e l , w h e r e v e r t h a t c o m e s u p - - ( a ) o r ( b ) , a s k : W h a t d i d y o u t a k e i n h i g h s c h o o l ? ( W r i t e d o w n c o u r s e s n a m e d . ) I ’ m i n t e r e s t e d i n w h a t t h e s e c o u r s e s w e r e a b o u t a t y o u r h i g h s c h o o l . C a n w e t a k e J u s t a f e w m i n u t e s a n d g o t h r o u g h t h i s l i s t ( l i s t o f c o u r s e s i d e n t i f i e d b y p r o s p e c t i v e t e a c h e r ) , a n d c o u l d y o u t e l l m e b r i e f l y w h a t e a c h c o u r s e w a s a b o u t ? I f t h e s t u d e n t r e p o r t s h a v i n g s t o p p e d t a k i n g m a t h e m a t i c s s o m e t i m e i n h i g h s c h o o l , p r o b e t o f i n d o u t w h y a n d w h a t r e s p o n s e h e / s h e g o t f r o m o t h e r s . P r o b e a l s o h o w t h e s t u d e n t ' s p a r e n t s ( m o t h e r , f a t h e r s e p a r a t e l y ) a f f e c t e d h i s / h e r i n t e r e s t i n / p a r t i c i p a t i o n i n m a t h e m a t i c s . c . W h a t h a v e y o u t a k e n a t t h e c o l l e g e l e v e l ? ( W r i t e d o w n c o u r s e s n a m e d . ) A s y o u k n o w , t h e s e c o u r s e s c a n v a r y a l o t f r o m o n e u n i v e r s i t y o r c o l l e g e t o t h e n e x t . C a n y o u t e l l m e w h a t e a c h o f t h e s e w a s p r i m a r i l y a b o u t ? W h a t s t a n d s o u t t o y o u a b o u t y o u r e x p e r i e n c e w i t h m a t h e m a t i c s a t t h i s l e v e l ? I f t h e t e a c h e r c a n d i d a t e d o e s n o t m e n t i o n o n e o f t h e f o l l o w i n g , a s k : Y o u h a v e n ' t m e n t i o n e d ( m a c h a b o u t ) . D o y o u r e m e d e r a n y t h i n g i n p a r t i c u l a r a b o u t t h a t ? 0 w h a t y o u l e a r n e d 0 y o u r t e a c h e r s 0 h o w y o u f e l t a b o u t m a t h c l a s s 0 h o w y o u f e l t a b o u t y o u r s e l f i n r e l a t i o n t o o t h e r s i n y o u r c l a s s 3 9 0 B . I D E A S A B O U T N A T H H ‘ A T I C S A S A S U B J E C T A N D A S A D I S C I P L I N E , T E A C H I N G A N D L E A R N I N G H A T I M A T I C S , A B O U T P U P I L S , A B O U T S E L F , A N D L E A R N I N G T O T E A C H M A T H E M A T I C S T h i s s e c t i o n f o c u s e s o n t h e t e a c h e r c a n d i d a t e ' s b e l i e f s , b o t h a r t i c u l a t e d a n d a s s u m e d . M W B l . Y o u k n o w t h a t I a m i n t e r e s t e d i n l e a r n i n g a b o u t h o w p e o p l e w h o a r e l e a r n i n g t o t e a c h m a t h t h i n k a b o u t b e c o m i n g t e a c h e r s . I ' m c u r i o u s : a s y o u t h i n k a h e a d t o l e a r n i n g t o t e a c h m a t h e m a t i c s a t t h e l e v e l , a r e t h e r e t h i n g s t h a t y o u f e e l y o u e s p e c i a l l y n e e d i n o r d e r t o b e a b l e t o t e a c h a m a t h c l a s s ? W h y d o e s t h a t s e e m i m p o r t a n t ? W h a t d o y o u m e a n b y t h a t ? H o w / w h e r e d o y o u t h i n k y o u c o u l d l e a r n t h a t ? W 3 2 . N o w I ' d l i k e y o u t o t h i n k o f s o m e o n e y o u k n o w w h o ' s g o o d a t m a t h e m a t i c s . . . . W h o i s i t ? a . W h y d o y o u t h i n k o f a s g o o d a t m a t h ? W h a t d o e s h e / s h e d o ? N o t e : W h a t d o e s ” g o o d a t m a t h ” m m t o t h e i n f o r m a n t ? b . W h a t ' s y o u r h u n c h a b o u t w h y t h i s p e r s o n i s g o o d a t m a t h ? N o t e : W h a t ' s t h e s o u r c e o f s u c c e s s i n m a t h e m a t i c s ? W h a t d o y o u m e a n ? C a n y o u g i v e m e a n e x a m p l e ? W h a t d o e s h a v e t o d o w i t h b e i n g g o o d a t m a t h e m a t i c s ? 3 9 1 B 3 . W h a t a b o u t t h e o p p o s i t e ? D o y o u k n o w a n y o n e w h o y o u w o u l d s a y i s r e a l l y n o t g o o d a t m a t h e m a t i c s ? W h o ? a . W h y d o y o u t h i n k o f a s n o t g o o d a t m a t h ? W h a t d o e s h e / s h e d o ? b . W h a t ' s y o u r e x p l a n a t i o n f o r w h y t h i s p e r s o n i s n ' t g o o d a t m a t h ? W h a t d o y o u m e a n ? C a n y o u g i v e m e a n e x a m p l e ? W h a t d o e s h a v e t o d o w i t h b e i n g g o o d a t m a t h e m a t i c s ? N o t e : M a n y s t u d e n t s i d e n t i f y t h e m s e l v e s f o r t h i s q u e s t i o n . A s k : W h a t ' s t h e e x p l a n a t i o n y o u g i v e y o u r s e l f a b o u t w h y y o u a r e n ’ t s o g o o d a t ( o r d o n ' t d o s o w e l l a t ) m a t h ? 3 9 2 n e w T h e s e p a s t f e w q u e s t i o n s w e r e s o m e w h a t o p e n - e n d e d . W o w I ' d l i k e t o s w i t c h t o a n o t h e r k i n d o f t a s k . H e r e a r e s o m e c a r d s w i t h s t a t e m e n t s a b o u t m a t h e m a t i c s a n d a b o u t t e a c h i n g a n d l e a r n i n g m a t h e m a t i c s . I ' - i n t e r e s t e d i n l e a r n i n g w h a t y o u t h i n k a b o u t t h e m . T a k e a f e w m i n u t e s t o r e a d t h e m , a n d s o r t t h e m i n t o t h r e e p i l e s - - t h e t h i n g s y o u a g r e e w i t h , t h e o n e s y o u d o n ' t , a n d t h e o n e s a b o u t w h i c h y o u a r e n o t s u r e . Y o u m d g h t . n o t b e s u r e a b o u t s o m e b e c a u s e y o u d o n ’ t q u i t e u n d e r s t a n d t h e c a r d , a n d o t h e r s . m a y b e a b o u t t h i n g s w h i c h y o u j u s t a r e n ' t s u r e o f . W h a m . y o u ' r e f i n i s h e d , w e ' l l t a l k a b o u t t h e c a r d s a n d h o w ' y o u s o r t e d t h e m . T a k e a s l o n g a s y o u l i k e . I ' l l t u r n o f f t h e t a p e r e c o r d e r a n d y o u c a n j u s t t e l l m e w h e n y o u ' r e r e a d y t o t a l k . C o n s t r u c t s : k n o w l e d g e a n d i d e a s a b o u t - - 0 m a t h e m a t i c s [ K ] t e a c h i n g m a t h e m a t i c s [ T ] l e a r n i n g m a t h e m a t i c s [ L ] l e a r n e r s [ P ] s e l f i n r e l a t i o n t o m a t h e m a t i c s a n d l e a r n i n g t o t e a c h m a t h e m a t i c s [ S ] 0 0 0 0 1 K T h e r e a r e u n s o l v e d p r o b l e m s i n m a t h e m a t i c s . 2 K T h e r e a r e q u i t e a l o t o f t h i n g s i n m a t h e m a t i c s t h a t m u s t s i m p l y b e a c c e p t e d a s t r u e a n d r e m e m b e r e d ; t h e r e a r e n ' t e x p l a n a t i o n s f o r t h e m . 3 K R e a d i n g a n d w r i t i n g a r e t h e m o s t i m p o r t a n t e l e m e n t a r y s c h o o l s u b j e c t s . 4 K J u s t l i k e p h y s i c i s t s o r m e d i c a l r e s e a r c h e r s , m a t h e m a t i c i a n s u n c o v e r o r c r e a t e n e w k n o w l e d g e . 5 K H o s t m a t h i s q u i t e t e d i o u s a n d b o r i n g . 6 K P r o o f s a r e a m e a n s f o r m a k i n g a r g u m e n t s i n m a t h e m a t i c s . 7 T A s a t e a c h e r , I ' d f e e l e m b a r r a s s e d i f a s t u d e n t a s k e d m e a q u e s t i o n a n d I d i d n ' t k n o w t h e a n s w e r . 8 T T h e m o s t i m p o r t a n t t h i n g i s n o t w h e t h e r t h e a n s w e r t o a n y m a t h p r o b l e m m a t c h e s t h e a n s w e r k e y , b u t w h e t h e r s t u d e n t s c a n e x p l a i n t h e i r a n s w e r s . 9 T 1 0 T 1 1 T 1 2 T 1 3 T 1 4 L 1 5 L 1 6 L 1 7 L 1 8 L 1 9 L 2 0 L 2 1 L 2 2 P 2 3 P 3 9 3 W h e n t e a c h e r s g i v e m a t h h o m e w o r k , t h e h o m e w o r k s h o u l d b e v e r y s i m i l a r t o w h a t w a s d o n e t h a t d a y i n c l a s s . I w o u l d e n c o u r a g e s t u d e n t s t o d e v e l o p a n d u s e u n c o n v e n t i o n a l a p p r o a c h e s t o s o l v i n g m a t h e m a t i c s p r o b l e m s . I t ' s i m p o r t a n t t o b e w i l l i n g t o g o o v e r m a t e r i a l u n t i l e v e r y o n e i s g e t t i n g i t . I t i s n o t a g o o d i d e a f o r s t u d e n t s t o w o r k t o g e t h e r o n m a t h a s s i g n m e n t s i n c l a s s . A s a t e a c h e r , I w o u l d l i k e t o t r y t o a v o i d t e l l i n g . I n s t e a d , I w o u l d t r y t o l e a d m y s t u d e n t s t o t h e a n s w e r s b y a s k i n g p o i n t e d q u e s t i o n s . I n l e a r n i n g m a t h , i t i s i m p o r t a n t t o m a s t e r t o p i c s a n d s k i l l s a t o n e l e v e l b e f o r e g o i n g o n . S t u d e n t s l e a r n b e t t e r w h e n t h e y c a n w o r k a t t h e i r o w n p a c e o n i n d i v i d u a l m a t h a s s i g n m e n t s . I t i s a b a d i d e a t o g i v e s t u d e n t s ” r u l e s o f t h u m b ” t o r e m e m b e r i n m a t h e m a t i c s ( e . g . , " i n v e r t a n d m u l t i p l y “ ) . S t u d e n t s l e a r n b e s t i f t h e y h a v e t o f i g u r e t h i n g s o u t f o r t h e m s e l v e s i n s t e a d o f g e t t i n g e x p l a n a t i o n s f r o m t h e t e a c h e r . S t u d e n t s o f t e n n e e d r e w a r d s o r b r i b e s i n o r d e r t o d o t h e i r m a t h . I f s t u d e n t s h a v e u n a n s w e r e d q u e s t i o n s o r c o n f u s i o n s w h e n t h e y l e a v e c l a s s , t h e y w i l l l i k e l y b e f r u s t r a t e d b y t h e h o m e w o r k . M a t h e m a t i c s h e l p s y o u l e a r n t o t h i n k b e t t e r . T o l e a r n m a t h e m a t i c s , m a n y b a s i c p r i n c i p l e s m u s t b e d r i l l e d i n t o t h e l e a r n e r ' s h e a d . M a l e s a r e n a t u r a l l y s o m e w h a t m o r e m a t h e m a t i c a l l y i n c l i n e d t h a n f e m a l e s . W h i l e a c t u a l m a t h e m a t i c a l a b i l i t y c a n ' t c h a n g e , e f f o r t a n d m o t i v a t i o n c a n i n c r e a s e . 2 4 P 2 5 P 2 6 P 2 7 P 2 8 P 2 9 8 3 0 8 3 1 8 3 2 8 3 3 8 3 4 8 3 5 8 3 9 4 T h e r e a r e b a s i c a l l y t w o k i n d s o f m i n d s , a n d s o m e p e o p l e a r e g o o d a t l o g i c a n d m a t h e m a t i c s w h i l e o t h e r s a r e b e t t e r a t E n g l i s h a n d m o r e c r e a t i v e t h i n g s . O l d e r s t u d e n t s d o n o t r e a l l y n e e d p h y s i c a l m o d e l s i n o r d e r t o u n d e r s t a n d m a t h e m a t i c a l c o n c e p t s . Y o u n g p u p i l s a r e n o t r e a d y t o u n d e r s t a n d i d e a s l i k e i n t e r s e c t i o n o f s e t s , p r o b a b i l i t y , a n d p e r m u t a t i o n s . P e o p l e w h o a r e g o o d a t m a t h e m a t i c s a r e a b l e t o t h i n k l o g i c a l l y , i n s t e p - b y - s t e p m a n n e r . T h e r e i s n o s u c h t h i n g a s a " m a t h e m a t i c a l t y p e “ o f p e r s o n . I n o r d e r t o b e g i n t e a c h i n g , I b a s i c a l l y k n o w e n o u g h m a t h ; w h a t I n e e d i s t o l e a r n h o w t o m a n a g e a - c l a s s r o o m . I c a n h a n d l e b a s i c m a t h , b u t I w o u l d n ' t d o w e l l a t a d v a n c e d m a t h e m a t i c s . I w a n t t o t e a c h s o t h a t I c a n t u r n k i d s o n t o m a t h e m a t i c s . I w o u l d t a k e a m a t h c o u r s e a s a n e l e c t i v e i f I h a d t h e t i m e a n d t h e c o n t e n t l o o k e d i n t e r e s t i n g t o m e . I e n j o y b e i n g c h a l l e n g e d i n m a t h e m a t i c s . B e i n g g o o d a t m a t h p e r s o n a l l y h a s v e r y l i t t l e t o d o w i t h b e i n g a g o o d t e a c h e r o f m a t h . G e t t i n g e x p e r i e n c e i n a r e a l c l a s s r o o m i s t h e m o s t i m p o r t a n t p a r t o f l e a r n i n g t o t e a c h . 3 9 5 A f t e r t h e i n f o r m a n t h a s h a d t i m e t o s o r t t h e c a r d s a s h e / s h e w i s h e s , a s k : a . L e t ’ s s t a r t w i t h t h e o n e s y o u ' r e n o t s u r e a b o u t . C o u l d y o u g o t h r o u g h t h e s e a n d t e l l m e a l i t t l e a b o u t w h y y o u p u t t h - i n t h e ' n o t s u r e ' p i l e ? A s k i n f o r m a n t t o r e a d c a r d s a s h e / s h e c o m m e n t s , s o t h a t s t a t e m e n t s a r e r e c b r d e d . T r y t o l e t t h e i n f o r m a n t t a l k a s m u c h a s p o s s i b l e a t t h i s p o i n t , s o t h a t t h e t a s k y i e l d s a c o m m e n t a r y b y t h e i n f o r m a n t o n t h e v a r i o u s s t a t e m e n t s . P r o b e g e n e r a l l y a s n e c e s s a r y t o c l a r i f y t e r m s o r m e a n i n g s , e . g . : W h y d o y o u f e e l t h a t w a y ? W h a t d o e s t h a t m e a n t o y o u ? W h a t d o e s t h a t t e r n - e a n t o y o u ? b . N o w , w h a t a b o u t t h e s e o t h e r p i l e s ? A s y o u r e a d t h e s e a n d s o r t e d t h e m , w e r e t h e r e s o m e y o u f e l t e s p e c i a l l y s t r o n g l y a b o u t ? O r s o m e t h a t y o u w a n t e d t o q u a l i f y o r c o n s e n t o n ? S t a r t w i t h e i t h e r p i l e ( a g r e e o r d i s a g r e e ) - - d o n ' t f e e l l i k e y o u h a v e t o c o n s e n t o n e v e r y c a r d ; y o u d e c i d e w h i c h o n e s y o u w a n t t o o u t o n t o h e l p m e u n d e r s t a n d y o u r v i e w s . R e p e a t w i t h o t h e r p i l e . 3 9 6 B S . A r e t h e r e s o m e t h i n g s i n m a t h e m a t i c s o r a b o u t m a t h e m a t i c s t h a t y o u B 6 . B 7 . e s p e c i a l l y l i k e / e n j o y ? W h a t d o y o u m e a n ? W h y i s t h a t ? W h a t a b o u t t h e o t h e r s i d e o f t h e c o i n ? A r e t h e r e s o m e t h i n g s i n m a t h e m a t i c s o r a b o u t m a t h e m a t i c s t h a t y o u e s p e c i a l l y d i s l i k e ? W h a t d o y o u m e a n ? W h y i s t h a t ? A s a t e a c h e r , t h e r e ’ l l b e m a n y t h i n g s y o u ’ l l b e t e a c h i n g , s o m e o f w h i c h y o u w i l l p r o b a b l y u n d e r s t a n d b e t t e r t h a n o t h e r s . a . C a n y o u t h i n k o f s o m e t h i n g i n m a t h e u t i c s t h a t y o u f e e l t h a t y o u y o u r s e l f u n d e r s t a n d r e a l l y w e l l ? T a k e y o u r t i m e i f y o u w a n t t o t h i n k a b o u t i t f o r a b i t . C a n y o u t e l l m e m o r e a b o u t i t ? W h a t ' s t h e k e y t h a t m a k e s y o u f e e l t h a t y o u r e a l l y u n d e r s t a n d t h i s ? W h e n / w h e r e d i d y o u l e a r n i t ? H o w d o y o u t h i n k y o u c a m e t o u n d e r s t a n d i t w e l l ? I s t h i s s o m e t h i n g y o u t h i n k y o u ' l l b e t e a c h i n g ? b . W h a t a b o u t t h e f l i p s i d e o f t h i s ? C a n y o u t h i n k o f s o m e t h i n g i n m a t h e m a t i c s t h a t y o u f e e l y o u r e a l l y d o n ' t u n d e r s t a n d v e r y w e l l ? W h a t d o y o u k n o w a b o u t i t ? W h a t ' s t h e k e y t h a t n k e s y o u f e e l t h a t y o u d o n ' t r e a l l y u n d e r s t a n d i t ? W h e n / w h e r e d i d y o u l e a r n i t ? W h y d o y o u t h i n k y o u d i d n ’ t ' g e t i t ' ? I s t h i s s o m e t h i n g y o u t h i n k y o u ’ l l b e t e a c h i n g ? E n d o f P a r t 1 3 9 7 m C . K N O W L E D G E O P H A T H H A T I C S A N D I D E A S A B O U T T E A C H I N G ( & L E A R N I N G ) N A T H D I A T I C S T h e q u e s t i o n s i n t h i s s e c t i o n h a v e t w o b a s i c f u n c t i o n s : ( 1 ) t o s a m p l e t h e p r o s p e c t i v e t e a c h e r ' s u n d e r s t a n d i n g o f a r a n g e o f m a t h e m a t i c a l c o n c e p t s , a n d ( 2 ) t o e x p l o r e v i e w s o f m a t h e m a t i c s a n d o f t e a c h i n g a n d l e a r n i n g m a t h e m a t i c s b y a s k i n g w h a t s / h e t h i n k s s / h e w o u l d d o o r s a y i n g i v e n s i t u a t i o n s . . R e m e m h e r t h a t o n e o f t h e t h i n g s I a m t r y i n g t o l e a r n i s h o w y o u t h i n k a b o u t t e a c h i n g m a t h e m a t i c s . I n t h i s n e x t p a r t o f t h e i n t e r v i e w , I ' l l b e s u g g e s t i n g s o m e t h i n g s t h a t a s t u d e n t m i g h t d o o r s a y , a n d t h a t , a s a t e a c h e r , y o u m i g h t h a v e t o r e s p o n d t o . I ' m a l s o g o i n g t o b r i n g u p a c o u p l e o f o t h e r t a s k s y o u m i g h t f a c e i n y o u r t e a c h i n g . S o m e o f t h e s e m i g h t s e e m t r i v i a l t o y o u , ° o t h e r s m a y b e t h i n g s y o u ' v e n e v e r r e a l l y h a d t o t h i n k a b o u t b e f o r e . I d o n ' t w a n t y o u t o w o r r y i f y o u a r e b a f f l e d b y s o m e t h i n g - - t h i s i s n o t a t e s t . T e a c h i n g i s n ' t s t r a i g h t f o r w a r d , a n d I ' m r j u s t a s i n t e r e s t e d i n h o w ’ y o u t h i n k a b o u t t h i n g s t h a t p u z z l e y o u a s I a m i n l e a r n i n g e x a c t l y w h a t y o u ' d d o . B u t p l e a s e f e e l f r e e t o t a k e t i m e i f y o u n e e d t o w o r k s o m e t h i n g o u t o r n e e d a f e w m i n u t e s t o p u z z l e a b o u t s o m e t h i n g . W ‘ — ‘ . , J A 1 , " i ' ' . ' ‘ 1 1 ' 5 - L i " A " “ . . 1 ; 0 P r o b e f o r u n d e r s t a n d i n g o f t h e c o n t e n t i n e a c h c a s e a n d w h y t h e y w o u l d d o w h a t t h e y s a y t h e y w o u l d . I t m a y b e u s e f u l t o p r o b e w h e t h e r w h a t t h e y w o u l d i d e a l l y l i k e t o d o i s d i f f e r e n t f r o m w h a t t h e y s a y t h e y w o u l d b e l i k e l y t o d o , a n d i f s o , w h a t a c c o u n t s f o r t h e d i f f e r e n c e . S o m e p o s s i b l e r e a s o n s m i g h t i n c l u d e , f o r i n s t a n c e , n o t u n d e r s t a n d i n g t h e c o n c e p t w e l l e n o u g h t h e m s e l v e s , n o t k n o w i n g a n o t h e r w a y t o e x p l a i n s o m e t h i n g , c o n s i d e r i n g t h e m a n a g e m e n t o f t h e w h o l e c l a s s , e t c . N o t e : E x a m p l e s a r e p r i n t e d o n s e p a r a t e c a r d s t o s h o w i n f o r m a n t . 3 9 8 C I . R E S P O N D I M T 0 S T U D E N T I D E A S : c o m m - n u S o m e t h i n g t h a t i s o f t e n t a u g h t i n k i n d e r g a r t e n a n d f i r s t g r a d e i s t h e n a m e s o f g e o m e t r i c s h a p e s . S u p p o s e y o u a r e t e a c h i n g f i r s t g r a d e a n d . y o u n o t i c e t h a t o n e o f y o u r s t u d e n t s h a s l a b e l e d a p i c t u r e o f a s q u a r e w i t h a n R ( f o r r e c t a n g l e ) . W h a t w o u l d y o u w a n t t o d o o r s a y ? I L W h y i s t h a t w h a t y o u w o u l d d o o r s a y ? 3 9 9 0 2 . R E S P O N D I N G T 0 S T U D E N T S ' N O V E L I D E A S : P E R I l l E T m / A E E A , P R O O F I m a g i n e t h a t o n e o f y o u r s t u d e n t s c o m e s t o c l a s s v e r y e x c i t e d . S h e t e l l s y o u t h a t s h e h a s f i g u r e d o u t a t h e o r y t h a t y o u n e v e r t o l d t h e c l a s s . S h e e x p l a i n s t h a t s h e h a s d i s c o v e r e d t h a t a s t h e p e r i m e t e r o f a c l o s e d f i g u r e i n c r e a s e s ( g e t s l o n g e r ) , t h e a r e a a l s o i n c r e a s e s . S h e s h o w s y o u t h i s p i c t u r e t o p r o v e t h a t w h a t s h e i s s a y i n g i s t r u e : 3 4 I 2 “ . 8 3 ” W S W “ . w i n t e r 3 8 “ 3 9 m . “ - r m m I I Z e m J e r e fl . 3 4 H o w w o u l d y o u r e s p o n d t o t h i s s t u d e n t ? ( N o t e : G i v e g r a d e l e v e l - ~ 8 t h - 9 t h g r a d e n o n l y i f i n f o r m a n t a s k s . ) 2 1 2 1 2 2 1 : I f i n f o r m a n t i s u n c e r t a i n a b o u t w h e t h e r t h i s i s a c t u a l l y t r u e o r n o t , s a y , I n t e a c h i n g , t h i s w i l l h a p p e n t h a t s o m e t h i n g m a y c o m e u p w h e r e y o u a r e n ' t s u r e y o u r s e l f a b o u t w h e t h e r t h e m a t h u a t i c s i s c o r r e c t o r n o t . I ' m i n t e r e s t e d i n h o w y o u t h i n k y o u ' d r e a c t t o t h a t . W h a t w o u l d y o u d o o r s a y ? I f i n f o r m a n t c o m m e n t s t h a t t h i s i s n o t a p r o o f o r t h a t t h e y w o u l d b e c o n c e r n e d t h a t t h e s t u d e n t t h i n k s t h i s i s a 5 1 1 m , t r y t o l e a r n w h y t h i s i s n o t a p r o o f o r a t h e o r y , a n d w h a t s / h e w o u l d d o o r s a y i n r e s p o n s e t o t h e s t u d e n t . I f i n f o r m a n t f o c u s e s o n p r a i s i n g t h e s t u d e n t f o r d o i n g s o m e m a t h o u t s i d e o f c l a s s , s a y : I s t h e r e a n y t h i n g e l s e y o u ' d w a n t t o d o o r s a y ? I f i n f o r m a n t s a y s t h a t h o w s / h e w o u l d r e s p o n d w o u l d d e p e n d o n w h o t h e s t u d e n t w a s , s a y : C o u l d y o u g i v e m e a c o u p l e o f e x a m p l e s ? a n d a s k : W h y i s t h a t w h a t y o u w o u l d d o w i t h s u c h a s t u d e n t ? I f p e r s o n d o e s n ' t m e n t i o n t h e r e s t o f t h e c l a s s , s a y : I s t h i s s o m e t h i n g y o u w o u l d b r i n g u p w i t h t h e r e s t o f t h e c l a s s ? W h y o r w h y n o t ? 4 0 0 C 3 . R E S P O N D I N G T O S T U D E N T D I F P I C U L T I E S : P L A C E V A L U E S u p p o s e y o u a r e t r y i n g t o h e l p s o m e o f y o u r s t u d e n t s l e a r n t o m l t i p l y l a r g e n u m b e r s . Y o u n o t i c e t h a t w h e n t h e y t r y ' t o c a l c u l a t e 1 2 3 L 6 5 5 t h e s t u d e n t s s e e m e d t o b e f o r g e t t i n g t o ' m o v e t h e n u d r e r s ' ( i . e . , t h e p a r t i a l p r o d u c t s ) o v e r o n e a c h l i n e . T h e y a r e d o i n g t h i s i n s t e a d : 1 2 3 1 . 6 3 : 6 1 5 4 9 2 _ 1 3 ! 1 8 4 5 i n s t e a d o f t h i s : 1 2 3 L E 2 6 1 5 4 9 2 . 2 3 3 . 7 9 3 3 5 W h a t w o u l d y o u d o i f y o u n o t i c e d t h a t s e v e r a l o f y o u r s t u d e n t s w e r e d o i n g t h i s ? 2 1 : 9 1 : 2 3 : I f i n f o r m a n t s a y s , " I ' d s h o w t h e m t o p u t z e r o e s i n , “ a s k : W h a t i f s o m e s t u d e n t a s k s , " H o w c a n w e j u s t a d d z e r o e s l i k e t h a t - - i t c h a n g e s t h e n u d e r s l ' I f i n f o r m a n t s a y s , ' I ' d t e l l t h e m t o j u s t p u t X ' s i n t o h o l d t h e p l a c e s l i n e d u p , ” a s k : W h e r e d i d y o u g e t t h a t i d e a ? I f i n f o r m a n t m e n t i o n s " p l a c e s , " p r o b e t o f i n d o u t h o w h e / s h e t a l k s a b o u t p l a c e v a l u e . D o n ' t a s s u m e t h a t t h i s m e a n s t h a t t h e i n f o r m a n t i s r e f e r r i n g t o t h e 1 1 1 2 9 o f t h e p l a c e s . P r o b e c o m m e n t s a b o u t z e r o b e i n g a ” p l a c e h o l d e r “ o r “ n o t a n u m b e r . " 4 0 1 6 4 . E V A L U A T I N G S T U D E N T R E S P O N S E S : R A T I O / P R O P O R T I O N , V A R I A B L E S R o w s u p p o s e y o u r s t u d e n t s a r e l e a r n i n g t o u s e v a r i a b l e s t o e x p r e s s m a t h e m a t i c a l r e l a t i o n s h i p s . I m a g i n e t h a t y o u h a v e g i v e n t h e m s o m e s t a t e m e n t s t o t r a n s f o r m i n t o m a t h e m a t i c a l s t a t e m e n t s . H e r e i s o n e s t u d e n t ' s w o r k o n t w o o f t h e e x e r c i s e s : a ) I n a p o u n d b a g o f W e , t h e r e a r e f i v e t i m e s a s m a n y b r o w n c a n d i e s a s y e l l o w o n e s . S t u d e n t a n s w e r : b - t h e n u m b e r o f b r o w n c a n d i e s y - t h e n u m b e r o f y e l l o w c a n d i e s 5 W b ) I n t h e s a m e b a g o f c a n d y , t h e r e a r e 5 0 % m o r e t a n M a n t i s t h a n b r o w n o n e s . S t u d e n t a n s w e r : t - t h e n u m b e r o f t e n c a n d i e s b - t h e n u m b e r o f b r o w n c a n d i e s 1 . 5 b - t 2 1 9 1 2 . 9 1 : A r e t h e s e e x p r e s s e d t h e w a y y o u ' d d o t h e m ? D o y o u t h i n k t h i s s t u d e n t i s g e t t i n g t h e i d e a ? W h a t i s i t t h a t t h e y a r e g e t t i n g ( o r n o t g e t t i n g ) ? W h a t w o u l d b e y o u r n e x t s t e p i f t h i s w e r e y o u r s t u d e n t ? M a n y p e o p l e f i n d t h i s d i f f i c u l t . W h y d o y o u t h i n k t h a t i s ? I f i n f o r m a n t s a y s t h a t e i t h e r o r b o t h o f t h e s e a n s w e r s i s w r o n g , a s k : 0 H o w w o u l d y o u t r y t o h e l p t h e s t u d e n t u n d e r s t a n d t h i s ? 4 0 2 C S . E E S P O N D I N C T O S T U D E N T R E Q U E S T S F U R . H E L P : S O L V I N C E Q U A T I O N S S u p p o s e t h a t o n e o f y o u r s t u d e n t s a s k s ' y o u f o r h e l p w i t h t h e f o l l o w i n g e x e r c i s e : I f _ ; ; - 5 , t h e n . x - 0 . 2 H o w w o u l d y o u r e s p o n d ? ( T r y t o p o s e t h i s i n s u c h a w a y t h a t t h e i n f o r m a n t d o e s n ' t f e e l t h a t y o u a r e a s s u m i n g t h a t t h e y s h o u l d t e l l t h e s t u d e n t w h a t t o d o . ) W h y i s t h a t w h a t y o u ' d d o ? 4 0 3 0 6 . R E S P O N D I N C T O S T U D E N T S : D I V I S I O N , Z E R O S u p p o s e t h a t a s t u d e n t a s k s y o u w h a t 7 d i v i d e d b y 0 i s . H o w ' w o u l d y o u r e s p o n d ? W h y i s t h a t w h a t y o u ' d ‘ w a n t t o s a y ? I f i n f o r m a n t a s k s w h a t a g e t h e s t u d e n t s i s , m a k e a n o t e o f t h i s r e q u e s t , a n d t h e n l e t h i m / h e r s e l e c t t h e a g e . L a t e r a s k : Y o u t a l k e d a b o u t a g r a d e r ; W o u l d i t m a k e a d i f f e r e n c e i f t h e s t u d e n t w e r e y o u n g e r ( o r o l d e r ) ? P r o b e s t a t e m e n t s a b o u t z e r o ( a s a " p l a c e h o l d e r , “ a s ” n o t a n u m b e r . ' ) I f i n f o r m a n t s a y s , “ I ' d s a y i t ' s u n d g f i n g d , ‘ s a y : W h a t d o y o u . m e a n b y ' u n d e f i n e d ' ? I f i n f o r m a n t s a y s , “ I ' d s a y y o u c a n ; ; _ g i x i d g _ h y _ g , ' s a y : W h a t i f ’ a s t u d e n t a s k s , ” W h y ’ g g n ; § y o u d i v i d e b y z e r o ? " I f i n f o r m a n t s a y s t h e y w o u l d s h o w s t u d e n t s h o w , a s y o u d i v i d e b y s m a l l e r a n d s m a l l e r n u m b e r s , t h e a n s w e r g e t s l a r g e r a n d l a r g e r , s a y : W h a t w o u l d I s e e o r ’ h e a r ' y o u d o i n g ? 4 0 4 C 7 . G E N E R A T I N G R E P R E S E N T A T I O N S : D I V I S I O N , F R A C T I O N S a . D i v i s i o n b y f r a c t i o n s i s a o f t e n a l i t t l e c o n f u s i n g f o r s t u d e n t s . P e o p l e h a v e d i f f e r e n t a p p r o a c h e s t o s o l v i n g p r o b l e m s i n v o l v i n g d i v i s i o n w i t h f r a c t i o n s . H o w w o u l d y o u s o l v e t h i s o n e : I i i / 4 + 1 : b . S o m e t h i n g t h a t m a n y m a t h e m a t i c s t e a c h e r s t r y t o d o i s t o r e l a t e m a t h e m a t i c s t o o t h e r t h i n g s . ( I n f o r m a n t m a y h a v e a l r e a d y t a l k e d a b o u t t h i s e a r l i e r i n t h e i n t e r v i e w . I f s o , r e f e r t o t h a t . ) S o m e t i m e s t h e y t r y t o c o m e u p w i t h r e a l - w o r l d s i t u a t i o n s o r s t o r y p r o b l e m s t o s h o w t h e a p p l i c a t i o n o f s o m e p a r t i c u l a r p i e c e o f c o n t e n t . S o m e t i m e s t h i s i s p r e t t y c h a l l e n g i n g . W h a t w o u l d y o u s a y w o u l d b e a g o o d s i t u a t i o n o r s t o r y f o r 1 . 3 / 4 + ’ 1 ( S o m e t h i n g r e a l f o r w h i c h 1 3 / 4 + ’ 5 i s t h e a p p r o p r i a t e m a t h e m a t i c a l f o r m u l a t i o n ? ) A f t e r i n f o r m a n t h a s d e s c r i b e d a s i t u a t i o n o r s t o r y , a s k : H o w d o e s t h a t f i t w i t h 1 3 / 4 + ’ 5 ? W o u l d t h i s b e a g o o d w a y t o h e l p s t u d e n t s l e a r n a b o u t d i v i s i o n b y f r a c t i o n s ? I f t h e i n f o r m a n t s t r u g g l e s w i t h t h i s , o r c a n n o t d o i t , s a y : H a n y p e o p l e f i n d t h i s h a r d . I n y o u r v i e w , w h a t m a k e s t h i s d i f f i c u l t ? 4 0 5 C 8 . O R G A N I Z I N G C U R R I C U L U M : ' T H E B I G I D E A S " F o r t h i s q u e s t i o n , I ’ d l i k e y o u t o p i c k a g r a d e y o u c a n i m a g i n e t e a c h i n g . . . . W h a t g r a d e i s t h a t ? E a r l y i n t h e f a l l , t h e p r i n c i p a l o f y o u r s c h o o l m e e t s w i t h e a c h t e a c h e r t o d i s c u s s t h e t e a c h e r ' s g o a l s f o r t h e i r s t u d e n t s . W h a t w o u l d y o u s a y i n d e s c r i b i n g w h a t s o m e o f t h e m o s t i m p o r t a n t t h i n g s y o u ’ d b e t r y i n g t o a c c o m p l i s h i n m a t h e m a t i c s a c r o s s t h e y e a r w i t h y o u r g r a d e p u p i l s ? ( T h e p o i n t o f t h i s q u e s t i o n i s t o e x p l o r e t h e i n f o r m a n t ' s s e n s e o f t h e i m p o r t a n t i d e a s i n m a t h e m a t i c s a n d t h e g o a l s o f s c h o o l m a t h i n s t r u c t i o n . ) I n c h e s : W h a t d o y o u m e a n b y t h a t ? W h y i s t h a t i m p o r t a n t t o y o u ? I f i n f o r m a n t m e n t i o n s " p r o b l e m s o l v i n g ” o r o t h e r f a s h i o n a b l e t e r m s , p r o b e f o r w h a t t h e y m e a n b y s u c h t e r m s : e . g . , Y o u j u s t u s e d t h e w o r d w h i c h i s s o m e t h i n g m a n y p e o p l e a r e t a l k i n g a b o u t t h e s e d a y s . W h a t d o y o u m e a n w h e n m u s e t h a t t e r m ? " I f i n f o r m a n t s a y s h e / s h e d o e s n ' t k n o w e n o u g h a b o u t t h e s c h o o l c u r r i c u l u m f o r t h a t g r a d e , a s k : A r e t h e r e a n y i m p o r t a n t i d e a s t h a t c o m e t o m i n d a r o u n d t h a t g r a d e ? A r e t h e r e a n y t h i n g s y o u ’ d s a y r e g a r d l e s s o f t h e g r a d e y o u w e r e t e a c h i n g ? 4 0 6 D . P L A N N I N G A N D T E A C H I N G H A T H D I A T I C S : T e x t b o o k E x e r c i s e F o r t h e l a s t q u e s t i o n , I ’ d l i k e t o s p e n d a l i t t l e m o r e t i m e t h i n k i n g a b o u t o n e p a r t i c u l a r t o p i c t h a t y o u . m n y ' w o r k ‘ w i t h w h e n y o u t e a c h . E l g m g n g g ; y _ § § n g 1 § g g g § : s u b t r a c t i o n w i t h r e g r o u p i n g W : s l a v e T h i s q u e s t i o n i s i n t e n d e d t o d o s e v e r a l t h i n g s : ( I ) t o d e l v e m o r e d e e p l y i n t o t h e p r o s p e c t i v e t e a c h e r ' s u n d e r s t a n d i n g o f o n e t o p i c , ( 2 ) t o e x p l o r e h i s / h e r t h i n k i n g a b o u t h o w t o h e l p o t h e r s l e a r n i t a n d w h a t t h a t w o u l d m e a n - - c a n h e / s h e s e e t h e c o n c e p t t h r o u g h t h e e y e s o f a l e a r n e r ? ( 3 ) w h a t t a s k s w o u l d h e / s h e u s e ? w h a t e x p l a n a t i o n s ? h o w w o u l d h e / s h e d e c i d e i f t h e l e a r n e r s h a d l e a r n e d i t ? 4 0 7 m m m m m m m m N o w w e ' l l s p e n d a l i t t l e m o r e t i m e t h i n k i n g a b o u t o n e p a r t i c u l a r t o p i c t h a t y o u m a y w o r k w i t h w h e n y o u t e a c h . W e ' l l u s e t h i s p a g e f r o m a s e c o n d g r a d e m a t h t e x t b o o k a s t h e b a s i s f o r t h e l a s t p a r t o f t h e i n t e r v i e w . E D ] . . E D 2 . E D 3 . E D 4 . D o y o u r e m e l t e r l e a r n i n g t h i s y o u r s e l f ? W h a t d o y o u r e m e m b e r ? L i s t e n f o r w h a t t h e p e r s o n c o n s i d e r s t h e “ t h i s " h e r e - - e . g . , s u b t r a c t i o n , “ b o r r o w i n g , “ l i n i n g u p n u m b e r s i n c o l u m n s . D o n ' t i m p o s e " s u b t r a c t i o n w i t h r e g r o u p i n g . ” D o y o u r e m e n b e r t h i s b e i n g e a s y o r d i f f i c u l t f o r y o u o r f o r a n y o f y o u r c l a s s m a t e s ? D o y o u r e m e m b e r a n y t h i n g y o u r t e a c h e r d i d ? W h a t d o y o u t h i n k a b o u t t h i s w o r k b o o k p a g e ? I ’ m i n t e r e s t e d i n w h a t y o u r i m p r e s s i o n o f i t i s . A r e t h e r e t h i n g s y o u t h i n k a r e q u i t e g o o d i n h e r e ? S o m e t h i n g s y o u t h i n k a r e w e a k n e s s e s o r f l a w s ? W h y ? W h a t w o u l d y o u s a y a p u p i l w o u l d n e e d t o u n d e r s t a n d o r b e a b l e t o d o b e f o r e t h e y c o u l d w o r k o n t h i s ? W h y i s i m p o r t a n t f o r t h i s ? I s t h e r e a n y t h i n g h e r e t h a t y o u t h i n k m i g h t b e e s p e c i a l l y h a r d f o r p u p i l s ? C a n y o u d e s c r i b e a l i t t l e b i t a b o u t h o w y o u w o u l d a p p r o a c h t h i s i f y o u w e r e t e a c h i n g s e c o n d g r a d e ? D o n ' t f e e l t h a t y o u h a v e t o s t i c k t o e i t h e r o f t h e s e p a g e s p a g e i f y o u h a v e a n o t h e r w a y y o u ' d w a n t t o w o r k w i t h y o u r c l a s s , b u t y o u c a n u s e i t i f y o u c h o o s e . W h y w o u l d y o u d o t h a t ? H o w d i d y o u c o m e u p w i t h t h i s i d e a / a p p r o a c h ? W h a t d o y o u m e a n b y ? C a n y o u g i v e m e a n e x a m p l e o f w h a t y o u m e a n ? I s t h e r e a n o t h e r w a y y o u c a n i m a g i n e d o i n g t h i s ? 4 0 8 E D S . H o w c o u l d y o u t e l l i f y o u r s t u d e n t s w e r e “ g e t t i n g i t ' ? P r o b e f o r w h a t i t m e a n s t o I ' k n o w " o r ' u n d e r s t a n d " - - o r w h a t e v e r w o r d t h e y u s e - - s o m e t h i n g i n m a t h e m a t i c s . W h a t w o u l d y o u l o o k a t o r t r y t o p a y a t t e n t i o n t o ? E D 6 . N o w , h e r e ’ s a c o p y o f o n e s t u d e n t ' s w o r k o n t h i s p a g e . T a k e s o m e t i m e t o l o o k i t o v e r a n d t h e m l e t ’ s t a l k a b o u t w h a t y o u m a k e o f S u s a n ’ s w o r k . I ' m c u r i o u s a b o u t w h a t d i f f e r e n t p e o p l e d o w h e n t h e y c h e c k w o r k l i k e t h i s . C a n y o u d e s c r i b e w h a t y o u d i d a s y o u l o o k e d o v e r h e r p a p e r ? E D 7 . W h a t d o y o u t h i n k i s g o i n g o n h e r e w i t h S u s a n ? W h a t d o y o u t h i n k s h e u n d e r s t a n d s ? W h y d o y o u t h i n k t h a t ? W h a t ' s y o u r h u n c h a b o u t w h y s h e g o t s o m e o f t h e s e w r o n g ? W h y d o y o u t h i n k t h a t ? W h a t d o y o u t h i n k S u s a n d o e s n ' t u n d e r s t a n d ? W h y d o y o u t h i n k t h a t ? E D 8 . O k a y , i m a g i n e t h a t S u s a n i s y o u r s e c o n d g r a d e p u p i l . H o w w o u l d y o u r e s p o n d t o t h i s p a p e r ? ‘ W h a t w o u l d y o u d o n e x t w i t h S u s a n , o r w h a t w o u l d y o u h a v e h e r d o ? E D 9 . I f y o u w e r e w o r k i n g o n t h i s w i t h y o u r c l a s s a n d o n e p u p i l s a i d , ' W h y a r e w e l e a r n i n g t h i s ? I a l r e a d y h a v e a c a l c u l a t o r a n d I c a n d o t h e s e p r o b l e m s o n t h e r e , " h o w w o u l d y o u r e s p o n d ? 4 0 9 E D I O . S u p p o s e o n e o f y o u r p u p i l s t o l d y o u t h a t h e o r s h e h a d c o m e u p w i t h a n e w w a y t o d o t h i s t h a t d i d n ' t r e q u i r e ' a l l t h a t c r o s s i n g o u t . " T h e p u p i l c a m e u p a n d s h o w e d y o u t h e f o l l o w i n g : ( E x p l a i n ) 3 6 : 1 2 - 3 + 2 9 1 7 W h a t w o u l d y o u m a k e o f t h i s a n d w h a t d o y o u t h i n k y o u ' d s a y ? 8 0 1 1 . I s t h e r e a n y t h i n g y o u w i s h y o u k n e w m o r e a b o u t i n o r d e r t o t e a c h t h i s ? H o w w o u l d y o u g o a b o u t l e a r n i n g t h a t ? 4 1 0 1 ) 1 € i 9 fl t e n s o n e s I O N S o n e s t e n s o n e s I 6 0 — 7 9 - 6 0 - 5 5 f i g / ' 5 ‘ g t e n s o n e s : e n s o n e s u I 5 0 — I u p - 6 I O N S 0 0 0 8 6 3 T h i s t e x t b o o k s e c t i o n i s t a k e n f r o m B o l s t e r , C o x , G i b b , H a n s e n e t a 1 . , M a t h e m a t i c s A r o u n d U s ( 1 9 7 5 ) , P . 2 1 7 . 4 1 1 t o n s o n e s 6 0 — 5 5 i | ' 5 — | 8 . 0 — 3 , t o n s o n e s 6 3 - 3 4 D i . p a g e s 2 1 7 , 2 1 8 S u b t r a c t i o n w i t h r e n a m i n g o b l e o t l v e e . R e n a m e n u m b e r s s o t h a t t h e r e a r e m o r e t h a n 9 o n e s . . F i n d t h e d i fi e r c n c e o f t w o n u m b e r s l e s s t h a n I l l ) . p r o - b o o k e c t l v l t l e s I . P u t e x e r c i s e s s i m i l a r t o t h e f o l l o w i n g o n t h e b o a r d . t e n s o n e s t e n s o n e s 9 5 S 7 — 2 7 - I 4 H a v e t h e c h i l d r e n t e l l h o w t h e y w o u l d fi n d e a c h d i f f e r e n c e . T h e n h a v e t h e m c o p y a n d c o m p l e t e e a c h e x e r c i s e . A s k v a r i o u s c h i l d r e n t o g i v e t h e m i s s i n g n u m b e r s f o r e a c h e x e r c i s e . U s e t h e r e - s u l t s o f t h i s a c t i v i t y t o d e t e r m i n e w h i c h c h i l d r e n n e e d m o r e h e l p b e f o r e t h e y d o t h e w o r k o n p a g e s 2 l 7 - 2 l 8 . 2 . F o r t h o s e c h i l d r e n w h o n e e d h e l p . a d a p t a n d u s e t h e s u g g e s t i o n s g i v e n f o r p a g e s 2 l S - 2 l 6 . u s e o f t h e p a g e s p a g e 2 " B e f o r e y o u h a v e t h e c h i l d r e n w o r k t h e e x e r c i s e s i n d e p e n d e n t l y . y o u m a y w a n t t o t a l k w i t h t h e c h i l d r e n a b o u t s c h o o l f a i r s . A s k i f a n y o f t h e m h a v e b e e n t o a s c h o o l f a i r . w h a t k i n d o f p r i z e s t h e y w o n . w h a t k i n d o f f o o d t h e y b o u g h t . a n d w h a t o t h e r t h i n g s t h e y b o u g h t . A f t e r y o u r e a d t h e d i r e c t i o n s . p o i n t o u t t h a t t h e o b j e c t a t t h e t o p o f e a c h b o x s h o w s t h e k i n d o f o b j e c t ( o r n a m e s t h e c h i l d ) . t h a t t h e t o p n u m b e r i n e a c h e x e r c i s e t e l l s h o w m a n y t h i n g s f o r h o w m u c h m o n e y ) t h e r e w e r e t o b e g i n w i t h . a n d t h a t t h e b o t t o m n u m b e r t e l l s h o w m a n y w e r e s o l d ( o r h o w m u c h w a s s p e n t ) . A f t e r t h e c h i l d r e n h a v e f o u n d e a c h d i f f e r e n c e . a s k q u e s - t i o n s a b o u t e a c h r o w . F o r e x a m p l e . f o r t h e b o t t o m r o w . y o u m i g h t a s k . “ W h o h a d t h e m o s t m o n e y l e f t ? W h o h a d t h e l e a s t ? W h o h a d m o r e t h a n 3 0 ¢ l e f t ? W h o h a d l e s s t h a n 3 0 ¢ ? " 2 ” 4 1 2 p a g e 2 " H a v e t h e c h i l d r e n c o m p l e t e t h e e x e r c i s e s i n t h e fi r s t r o w . W h e n a r e d o n e . a s k t h e m w h a t t h e y n o t i c e d a b o u t t h e d i fi e r e n c e s i n t h i s r o w ( t h r e e o f t h e d i f f e r e n c e s a r e 2 3 ) . H a v e t h e c h i l d r e n c i r c l e . o r m a r k i n s o m e o t h e r w a y . e a c h e x e r c i s e t h a t h a s a n a n s w e r o f 2 3 . T e l l t h e m t h a t t h e y a r e t o w o r k t h e e x e r c i s e s i n e a c h r o w a n d t h e n c i r c l e t h e e x e r c i s e s t h a t h a v e t h e s a m e d i f f e r e n c e . p o s t - b o o k a c t i v i t i e s I . U s e a n y o f t h e a p p r o p r i a t e p o s t - b o o k a c t i v i t i e s s u g g e s t e d f o r p a g e s 2 | 5 - 2 l 6 . 2 . G i v e e a c h c h i l d t h e w o r k s h e e t s u g - g e s t e d i n p o s t - b o o k a c t i v i t y I f o r p a g e s 2 | S — 2 1 6 . o r u s e T e a c h e r A i d l 4 . T e l l a n u m b e r s t o r y a n d h a v e t h e c h i l d r e n w r i t e t h e a p p r o p r i a t e n u m e r a l s i n t h e b o x y o u d e s i g n a t e a n d fi n d t h e a n s w e r . L i m i t y o u r s t o r i e s t o t h o s e i n w h i c h t h e c h i l d r e n m u s t s u b t r a c t t o fi n d t h e a n - s w e r s . T h e f o l l o w i n g a r e e x a m p l e s o f s t o r i e s y o u m i g h t u s e . . 4 2 a p p l e s . l 6 w e r e s o l d . H o w m a n y a p p l e s w e r e l e f t ? - 6 8 t r u c k s . 3 5 b u s e s . H o w m a n y m o r e t r u c k ? . 5 9 b o y s . 8 3 g i r l s . H o w m a n y m o r e g i r l s ? . 9 | g e e s e . 2 7 f l e w a w a y . H o w m a n y g e e s e w e r e l e f t ? I . ‘ 4 1 3 W H e r e ' s a s e c t i o n f r o m a n a l g e b r a t e x t b o o k . I ' v e i n c l u d e d t h e p a g e s f r o m t h e b o o k a s w e l l a s t h e t e a c h e r ' s g u i d e n o t e s . I ' d l i k e t o u s e t h i s a s t h e b a s i s f o r t h i s l a s t p a r t o f t h e i n t e r v i a r . S i n c e i t ' s k i n d o f l o n g , w h y d o n ' t y o u t a k e a f e w m i n u t e s t o l o o k i t o v e r , a n d t h e n w e ' l l t a l k . S C ] . . S C Z . S C 3 . S C l t . D o y o u r e n e r d r e r l e a r n i n g t h i s y o u r s e l f ? W h a t d o y o u r e m e m b e r ? ( L i s t e n f o r w h a t t h e p e r s o n c o n s i d e r s t h e ” t h i s ” h e r e - - e . g . , s l o p e , g r a p h i n g e q u a t i o n s , l e a r n i n g t h e f o r m u l a s f o r l i n e s ) . D o y o u r e m e m b e r t h i s b e i n g e a s y o r d i f f i c u l t f o r y o u o r f o r a n y o f y o u r c l a s s m a t e s ? D o y o u r e m e m b e r a n y t h i n g y o u r t e a c h e r d i d ? W h a t d o y o u t h i n k a b o u t t h i s t e x t b o o k s e c t i o n ? I ' m i n t e r e s t e d i n w h a t y o u r i m p r e s s i o n o f i t i s . A r e t h e r e t h i n g s y o u t h i n k a r e q u i t e g o o d i n h e r e ? S o m e t h i n g s y o u t h i n k a r e w e a k n e s s e s o r f l a w s ? W h y ? W h a t w o u l d y o u s a y a p u p i l w o u l d n e e d t o u n d e r s t a n d o r b e a b l e t o d o b e f o r e t h e y c o u l d w o r k o n t h i s ? W h y i s i m p o r t a n t f o r t h i s ! I s t h e r e a n y t h i n g a b o u t t h i s t h a t y o u t h i n k m i g h t b e e s p e c i a l l y h a r d f o r s t u d e n t s ? C a n y o u d e s c r i b e a l i t t l e b i t a b o u t h o w y o u w o u l d a p p r o a c h t h i s i f y o u w e r e t e a c h i n g , s a y , n i n t h g r a d e ! D o n ' t f e e l t h a t y o u h a v e t o s t i c k t o a n y o f t h i s t e x t m a t e r i a l i f y o u h a v e a n o t h e r w a y y o u ’ d w a n t t o w o r k w i t h y o u r c l a s s , b u t y o u c a n u s e i t i f y o u c h o o s e . W h y w o u l d y o u d o t h a t ? B o w d i d y o u c o - e u p w i t h t h i s i d e a / a p p r o a c h ? W h a t d o y o u m e a n b y 1 C a n y o u g i v e n o a n e x a m p l e o f w h a t y o u l e a n ? 4 1 4 8 0 5 . H o w c o u l d y o u t e l l i f y o u r s t u d e n t s w e r e ' g e t t i n g i t ' ! P r o b e f o r w h a t i t m e a n s t o “ k n o w “ o r ' u n d e r s t a n d ' - - o r w h a t e v e r w o r d t h e y u s e - - s o n e t h i n g i n m a t h e m a t i c s . W h a t w o u l d y o u l o o k a t i t o r t r y t o p a y a t t e n t i o n t o ? 8 0 6 . H e r e i s a n i n c o m p l e t e h o m e w o r k p a p e r t u r n e d i n b y L y n n . T a k e s o m e t i n e t o l o o k i t o v e r a n d t h e n l e t ' s t a l k a b o u t w h a t y o u m a k e o f L y n n ' s w o r k . I ' n c u r i o u s a b o u t w h a t d i f f e r e n t p e o p l e d o w h e n t h e y c h e c k w o r k l i k e t h i s . C a n y o u d e s c r i b e w h a t y o u d i d a s y o u l o o k e d o v e r h e r p a p e r ? 8 0 7 . W h a t d o y o u t h i n k i s g o i n g o n h e r e w i t h L y n n ? W h a t d o y o u t h i n k s h e u n d e r s t a n d s ? W h y d o y o u t h i n k t h a t ! W h a t ’ s y o u r h u n c h a b o u t w h y s h e g o t s o m e o f t h e s e w r o n g ! W h y d o y o u t h i n k t h a t ! W h a t d o y o u t h i n k L y n n d o e s n ' t u n d e r s t a n d ! W h y d o y o u t h i n k t h a t ! $ 0 8 . O k a y , i m a g i n e t h a t L y n n i s a p u p i l o f y o u r s . H o w w o u l d y o u r e s p o n d t o t h i s p a p e r ? W h a t w o u l d y o u d o n e x t w i t h S u s a n , o r w h a t w o u l d y o u h a v e h e r d o ? 8 0 9 . S o m e t h i n g t h a t s t u d e n t s o f t e n h a v e t r o u b l e u n d e r s t a n d i n g i s , t h e s l o p e o f a v e r t i c a l l i n e . D o y o u h a v e a n y i d e a s a b o u t h o w y o u ' d e x p l a i n t h a t t o y o u r c l a s s ? 8 0 1 0 . I f y o u w e r e w o r k i n g o n t h i s w i t h y o u r c l a s s a n d o n e p u p i l s a i d , I " T h i s i s s o b o r i n g ” W h y a r e w e l e a r n i n g t h i s ! ’ , w h a t w o u l d y o u s a y ? 4 1 5 8 0 1 1 . S u p p o s e a p u p i l s a y s t o y o u , ' Y o u s a i d w e c a n t h i n k o f s l o p e k i n d o f l i k e s t e e p n e s s . S o I w a s t h i n k i n g a b o u t c l i w i n g u p a s t e e p h i l l o r s o m e t h i n g . B u t h o w d o y o u t e l l t h e s l o p e o f a c u r v y l i n e l i k e a h i l l ? " W h a t d o y o u t h i n k y o u ' d s a y ( o r d o ) ? W h y w o u l d y o u s a y ( o r d o ) t h a t ? S C 1 2 . I s t h e r e a n y t h i n g y o u w i s h y o u k n e w m o r e a b o u t i n o r d e r t o t e a c h t h i s ? 0 H o w w o u l d y o u g o a b o u t l e a r n i n g t h a t ? 4 1 6 L i n e s i n a C o o r d i n a t e P l a n e O B J E C T I V E S f o r S e c t i o n : 6 - 7 t h r o u g h 6 4 0 : I . F i n d t h e s l o p e r a n d y - i n t e r c e p t o l e n o n v e r t i c e l l i n e g i v e n i t : e q n e t b n . 1 6 m p h , e n d fl n d a n e q u e t i o n e f a n o n v e r t i e e l l i n e g i u e n i t s e l o p e e n d y - i n t e r c e p t . . 3 . F i n d a n e q u a t i o n o f a l i n e g i v e n t h e s l o p e o f t h e l i n e a n d t h e c o o r d i n a t e s o f a p o i n t o n i t . 4 . F i n d t h e s l o p e a n d a n e q u a t i o n o f a l i n e g i v e n t h e c o o r d i n a t e s o f m p o i n t s o n t h e l i n e . 5 . G r a p h l i n e a r I n e q u a l i t i e s i n m v a r i a b l e s . 6 - 7 S l o p e a n d y - l n t e r o e p t o f a L i n e L i k e m a n y o t h e r e v e r y d a y t e r m s . t h e f a m i l i a r w o r d “ s l o p e , " a s i n “ s k i s l o p e . ” h a s a s p e c i a l m a t h e m a t i c a l m e a n i n g . T o d i s c o v e r t h a t m e a n i n g . l e t u s l o o k a t s o m e e x a m p l e s . T h e t a b l e b e l o w s h o w s t h e c o o r d i n a t e s o f a f e w o f t h e p o i n t s ( F i g u r e 1 8 ) o n t h e l i n e y = 2 1 + 3 . _ - . . _ _ - " - 9 . - , _ _ _ / L _ x y i n " + 1 t ' 2 " i + 2 “ w e . . . + 1 t ‘ 3 ; ) + 2 _ _ “ _ ( o f ? t + 2 : 1 f 1 5 l + 2 ” ‘ 2 7 , / - O 1 7 : F i g u r e 1 8 . . _ . - - J . - - _ _ . . . . . _ N o t i c e t h a t w h e n t h e x - c o o r d i n a t e s o f t w o p o i n t s o n t h e l i n e d i f f e r b y 1 , t h e i r y - c o o r d i n a t e s d i f f e r b y 2 . W e c a l l t h e n u m b e r 2 t h e s l o p e o f t h e l i n e . I f y o u s t u d y t h e g r a p h o f t h e e q u a t i o n y = 4 x + 3 ( F i g u r e 1 9 ) , y o u s e e t h a t w h e n t h e x - c o o r d i n a t e s o f t w o p o i n t s o n t h a t 2 1 8 I C h a p t e r d T h i s t e x t b o o k s e c t i o n i s t a k e n f r o m D o l c i a n i , W o o t o n , a n d B e c k e n b a c h , A l g e b r a 1 , 1 9 8 0 , p p . 2 1 8 - 2 2 1 . l i n e d i f f e r b y 1 . t h e i r y - c o o r d i n a t e s d i f f e r b y 4 . T h e n u m b e r 4 i s t h e s l o p e 4 1 7 o f t h e l i n e . x V : f : f ) + 4 ) + 4 2 : 7 , } + 4 2 1 1 l + ‘ F l g u r e 1 9 N o t i c e t h a t t h e n u m b e r s 2 a n d 4 . t h e s l o p e s o f t h e l i n e s i n F i g u r e s 1 8 a n d 1 9 , i n d i c a t e t h e “ s t e e p n e s s " o f t h e g r a p h s . I n g e n e r a l , i f L i s t h e g r a p h o f y - m x + b y = m : + b , y ‘ . 1 . t h e n w e c a l l a t t h e s l o p e o f t h e l i n e . i f y o u m o v e ( b + m ) f r o m o n e p o i n t o n L t o a n o t h e r w h o s e x - c o o r d i n a t e i s m l m o r e ( F i g u r e 2 0 ) , t h e n t h e y - c o o r d i n a t e c h a n g e s “ i b y m . ( 0 7 1 N o t i c e t h a t t h e c o o r d i n a t e s o f t h e p o i n t w h e r e L ; ¢ : c r o s s e s t h e y - a x i s a r e ( 0 . b ) . T h e y - c o o r d i n a t e o f t h i s / 0 ' 1 X p o i n t . b , i s c a l l e d t h e y o l n t e r c e p t o f t h e l i n e . L ‘ E X A M P L E 1 F i n d t h e s l o p e a n d y - i n t e r c e p t o f t h e g r a p h o f 3 x + 4 y = 8 . ‘ l t ' a n s f o r m t h e e q u a t i o n i n t o a n e q u i v a - 3 1 + 4 y = 8 s m m n m u l e n t o n e i n s l o p e - i n t e r c e p t f o r m . 3 . : + 4 y y = m x + b , a n d t h e n r e a d t h e v a l u e s o f t h e s l o p e a t a n d t h e y - i n t e r c e p t b . t h e s l o p e i s - i a n d t h e y - i n t e r c e p t i s 2 . A n s w e r . - 3 x = 8 — 3 x 4 y = 8 — 3 x _ 4 _ y _ _ 8 - — 3 : 4 ‘ 4 y = 2 - # y = - x + 2 F u n c t i o n s , R e l a t i o n s , a n d G r a p h s I 2 1 9 l 0 1 8 E X A M P L E 2 D r a w t h e l i n e w i t h s l o p e - 3 a n d y - i n t e r - c e p t - — 2 ; t h e n f i n d a n e q u a t i o n f o r t h e l i n e . S O L U T I O N 1 . T h e y - i n t e r c e p t i s - 2 . T h e r e f o r e , y o u p l o t t h e p o i n t ( 0 . - 2 ) . 2 . S i n c e t h e s l o p e i s - — 3 , y o u m o v e f r o m ( 0 . — 2 ) 1 u n i t t o t h e r i g h t a n d 3 u n i t s d o w n t o l o c a t e a s e c o n d p o i n t o n t h e l i n e . 3 . D r a w t h e l i n e c o n t a i n i n g t h e t w o p o i n t s . 4 . y = " 1 . 3 + b l l y = - 3 x + ( — 2 ) . o r 3 x + y = - 2 . F i g u r e s 1 8 a n d 1 9 a n d t h e d i a g r a m a c c o m p a n y i n g E x a m p l e 2 i l l u s t r a t e t h i s f a c t : L i n e s t h a t r i s e f r o m l e f t t o r i g h t h a v e p o s i t i v e s l o p e , a n d l i n e s t h a t f a l l f r o m l e f t t o r i g h t h a v e n e g a t i v e s l o p e . T h e e q u a t i o n o f a n y h o r i z o n t a l l i n e ( F i g u r e 2 1 ) i s e q u i v a l e n t t o o n e o f t h e f o r m y = b , o r y = O - x + b . T h u s , t h e s l o p e o f e v e r y h o r i z o n t a l l i n e i s 0 . F i g u r e 2 1 V i x - c y l F i g u r e 2 2 A v - b A g N o ( 0 . M r S l o p e T S l o p e o 4 7 ( c . 0 ) o i A n y v e r t i c a l l i n e ( F i g u r e 2 2 ) h a s a n e q u a t i o n o f t h e f o r m x = c . o r 0 - y = x - c . Y o u c a n n o t t r a n s f o r m s u c h a n e q u a t i o n i n t o s l o p e - i n t e r c e p t f o r m . b e c a u s e y o u c a n n o t d i v i d e b y 0 . T h u s . v e r t i c a l l i n e s h a v e n o s l o p e . O r a l E x e r c i s e s S t a t e t h e s l o p e a n d y - i n t e r c e p t ( I f a n y ) a t t h e l i n e w h o s e e q u a t i o n i s g i v e n . 1 . y = 3 x - 2 3 ; - 2 l y = r + 3 1 ; 3 a y = — 4 x — 1 — e ; — t ¢ y = — } X - § : O s y + 2 = O o ; — 2 6 . x — 3 = 0 n o n e ; n o n e 7 . 2 y = 8 z - 4 4 ; - 2 a 7 + 5 x = y s ; 7 m l c m p m a 4 1 9 W r i t t e n E x e r c i s e s I n E x e r c i s e s 1 - 6 . P a n d Q a r e p o i n t s o n a l i n e w i t h s l o p e m . F i n d t h e y - c o o r d l n a t e o f 0 . E X A M P L E P “ . 6 ) . 0 ( 6 . 1 . ) ; i n = - 4 S O L U T I O N N o t e t h a t : x - c o o r d i n a t e o f O = x - c o o r d i n a t e o f P + 2 s i n c e 6 = 4 + 2 . y - c o o r d i n a t e o f Q = y - c o o r d i n a t e o f P + 2 m . 6 + 2 ( — 4 ) = — 2 . A n s w e r . I . P ( 0 , 0 ) , 0 ( 2 . L ) ; m = 4 a 2 . P ( 0 , - 4 ) , Q ( l , L ) ; t n = — 6 - 1 0 3 . P ( 3 . 6 ) , 0 ( 2 . L ) ; m = 9 - 3 e . P ( 7 , - 4 ) . Q ( - 5 . . l . ) ; t n = — l 2 S . P ( — 2 , - 1 ) , Q ( 2 . . L ) ; m = 0 - 1 e . P ( 1 . - 3 ) . Q ( 7 , L ) ; t n = i 2 a . G r a p h t h e l i n e w h o s e s l o p e a n d y - l n t e r c e p t a r e g i v e n . b . W r i t e a n e q u a t i o n o f t h e l i n e . G i v e y o u r a n s w e r I n t h e f o r m A x + B y = t h e r e 1 1 . 8 . a n d C a r e i n t e g e r s . ' l . m = 3 . b = 2 S m = - 4 , b = - l 1 m = - 2 , b = — 3 1 0 . m = 6 , b = — 2 l l . m = } , b = l 1 1 m = - § , b = 0 I l m = 0 , b = - 3 I ¢ m = - } , b = — § 7 . 3 1 — y n — 2 0 . 4 1 + y - — 1 . . 2 ! + Y 8 - 3 I Q U — y a z 1 1 . x - 4 y . - 4 t z z x + s y = o r a y - - 3 1 4 . ? x + 4 y - - 2 6 - 8 D e t e r m i n i n g a n E q u a t i o n o f a L i n e : S l o p e a n d O n e P o i n t G i v e n t h e s l o p e o f a l i n e a n d t h e c o o r d i n a t e s o f a n y p o i n t t h r o u g h w h i c h i t p a s s e s , y o u c a n u s e t h e s l o p e - i n t e r c e p t f o r m o f a l i n e a r e q u a t i o n t o fi n d a n e q u a t i o n o f t h e l i n e . E X A M P L E 1 F i n d a n e q u a t i o n o f t h e l i n e t h r o u g h t h e p o i n t ( 3 . 1 ) w i t h s l o p e — § . S O L U T I O N 1 . T h e s l o p e o i n t e r c e p t f o r m o f t h e e q u a t i o n o f t h e l i n e i s y : — } x + b . 2 . S i n c e t h e p o i n t ( 3 , 1 ) l i e s o n t h e l i n e . i t s c o o r d i n a t e s m u s t s a t i s f y t h i s e q u a t i o n : I : - z ( 3 ) + b l : - ¥ + b i = 1 , 3 . a n e q u a t i o n o f t h e l i n e i s y = - } x + 1 } . A n s w e r . A n e q u i v a l e n t f o r m o f t h i s e q u a t i o n i s 7 : + 4 y = 2 5 . F u n c t i o n s . R e l a t i o n s , a n d G r a p h s I 2 2 1 . - e - m u m w a . « _ - . : - . § z . . . x _ . . . . n a . n . _ : q - . - - - - r l n . i I u e o . i e r . u . . i t I . t - . . e 0 I . » . c u 0 . . O . A i t i l l . i t i f . 6 0 e r . I . i t , i l l . “ l r ‘ f l ' f : i f - 0 . t d i l . l f l l - e : . t v l . a . l - o i . - c . 2 . f ' l l ' a l ‘ - I I f . e i t y . . l l l t t t - l i - i f 0 . . t i o u I . T o i n . i . u l e t - z . . 1 . n ‘ J ' - ‘ h + - “ ¢ l n u g f . . % l i x . - i f “ . f . l l l . o t i L l i l , l ‘ i r r i l l t l l o t i i r i l u l l . v : . . 0 . f . n a o _ t L i s i l l fi t I - v I t I - . ' 0 . . . I t 0 I l l l . l l . i . . e l i t a ‘ l . l I I I « a . . l . 1 » a i O l ' a - t 0 . . O . I - r O s O . I ' - w I I i t 1 . ! l I . . . l - f . u . . i f . « u . » ' f v l e ‘ O r a l C l i f f ‘ s f l l ' t . . . ’ I . - . . i o . l . . - . \ r 1 . . . . - . i f . l . - . . L M m e - . 3 t o m e - n o . . . ” . - _ H g , . - : - - , . - . ; a h . . . . . . . . , . . . . H . w . . _ - : . . « - . . - . - - . H . i - - . - . - l l - . . - . - - . . - - . . - . - . v - . . - . - i E f v - . . l z . i - - . . i . . t - . . ! - o - . . I l l n i t - - L : , . _ . h e a r . . . t l ' r f ' . " . I ’ l t ' l l . ‘ l . . 1 H . . . . . H . H , . . . . 2 . H - - . w _ - £ . . . . . . . . w . . s fl d . - . i . . . . i f s - H . . y a - . fl . + - x n n 9 . z i . . . u . 0 : . I t f l i . f . . . i f . ‘ t o f u - . t l l e l l I I i t f l I l - ‘ u l l . f i - l l i i l i . f f 2 I . . 0 f . - i f - f t t l t v o l . 0 n i 6 T I t s s s d g r - a m h h m i o l e e r a x a 2 o p p F l 2 G l a y 3 i o r n . . - i . i n 7 a n . p e t n d p s s e - e o n o v fi a m A e v . = w h h h l s i a e u o i s , t 3 h c h e r i e . k t w a i l l - c ! t » n s t t m a e i p n u e s , e n g d m s o a g p n f o t 2 , a i n h e g l c u l t t o 3 - - 4 h c f d o e w . e l b n , s u o i p o a t l t l 4 g . e S p e f i n i s e l . r f n s s h g ; s i g . l m f a n 1 s a n n t a 2 : g e e O l n y o t 3 t 8 d r r r H p - m o v d s S h s p q a 2 n e u t e a e u v e a h m a s / e f i t e o i a s , e = a e 2 s c l e c y o e i t 0 i u i p e p r o x t e f n g o e c p i h t p n n n o a s c t t t e h s t s h n l o h a p f y t h h d c n w r t u 2 e h h o s e t i p g w o t t p t . 5 i e 5 — d 2 , w e h h 2 e . n _ 1 t . i n o t o u r T l a s a u t m t m e r n e f o a o a i s h u o r f : i t h t m t e r o i o e s r a r s m e x d v i l t f w e e a t s e ; e a h a y s e x - r c n i t a t t e r h h o o s r l b h - - r e e e r f , e . e e r w i s O . e e 6 o e e e h e P f . F l s e n t 9 i f - a s = r n a a g n s 1 1 o p e e d n e n a P P n d e m t , r n d n t s ( ( p t - h 5 e i C : h o 3 — . t c a e t r - n 4 h 6 p h e a . . i ) e ) t y e l r e - 2 l i . O 0 t ( ( o n e t o i n o b e h e m r g = e 3 r w i , _ i s n A m ' v . - f n q i e = e t t a h ? _ w t h _ ) r x p e t _ ; i + r s ) h t o l f o ; m e e B y e m Q = n 3 i = p y g a - 7 2 — s a l t e u h o 0 i r a r e m o a n t h B d e , f A . 4 2 1 C h a l k b o a r d E x a m p l e s Y x 4 . m = ° 0 . b = — 2 “ - 2 y 0 x 4 2 2 n o t e : T h e f o l l o w i n g s t a t e m e n t s a r e t h e o n e s t h a t w e r e u s e d a s t h e c a r d s o r t i n t h e f i r s t r o u n d o f i n t e r v i e w s . B a s e d o n t h e r e s p o n s e s I g o t o n t h e s e , a s w e l l a s w h a t I l e a r n e d f r o m l i s t e n i n g t o m y t e n - w i n t e r t e r m i n f o r m a n t s , I d e v e l o p e d a n e w c a r d s o r t ( a b o v e ) . D u r i n g t h e s e c o n d r o u n d o f i n t e r v i e w s , I a s k e d i n f o r m a n t s t o r e s p o n d o n a w r i t t e n f o r m t o t h e f o l l o w i n g s t a t e m e n t s f r o m t h e o l d c a r d s o r t t a s k p - i n c a s e I m i g h t l a t e r w a n t c o m p a r a b l e d a t a a c r o s s a l l t h e p e o p l e I i n t e r v i e w e d . [ P ] V e r y y o u n g c h i l d r e n a r e n o t c a p a b l e o f e n g a g i n g i n m a t h e m a t i c a l p r o b l e m s o l v i n g . [ K ] E v e n i f y o u g e t a n a n s w e r r i g h t , y o u m a y s t i l l n o t u n d e r s t a n d t h e m a t h e m a t i c s o r t h e p r o b l e m . [ K ] S o m e p r o b l e m s i n m a t h e m a t i c s h a v e n o a n s w e r s . [ K ] E v e n w h e n y o u u n d e r s t a n d t h e m a t h e m a t i c a l c o n c e p t , y o u m a y s t i l l g e t t h e p r o b l e m w r o n g . [ P . L ] I n e x p l o r i n g m a t h e m a t i c a l c o n c e p t s , c o n c r e t e e x p e r i e n c e i s i m p o r t a n t f o r l e a r n e r s o f a l l a g e s . [ K ] T h e b a s i c p o i n t o f t e a c h i n g m a t h e m a t i c s i n s c h o o l i s t o e n a b l e s t u d e n t s t o f u n c t i o n i n e v e r y d a y l i f e ( e . g . , b a l a n c i n g c h e c k b o o k , c o u n t i n g o u t c h a n g e , p e r f o r m i n g s t a n d a r d c a l c u l a t i o n s , m e a s u r i n g ) . [ P ] M a n y p e o p l e a r e s i m p l y n o t g o o d a t m a t h e m a t i c s ; o n e n e e d s t o b e m a t h e m a t i c a l l y i n c l i n e d i n o r d e r t o d o w e l l a t i t . [ L ] A - v e r y i m p o r t a n t t h i n g t o d o i n l e a r n i n g m a t h e m a t i c s i s t o p r a c t i c e a l o t i n o r d e r t o m a s t e r t h e p r o c e d u r e s . [ 8 . T ] I n o r d e r t o t e a c h h i g h s c h o o l m a t h e m a t i c s , t e a c h e r s s h o u l d r e a l l y k n o w a l o t o f m a t h , w a y b e y o n d c a l c u l u s . [ K ] G o o d m a t h e m a t i c s s t u d e n t s d e v e l o p t h e i r o w n w a y s o f d o i n g p r o b l e m s . [ K ] T o b e a l i b e r a l l y e d u c a t e d p e r s o n , i t i s a c t u a l l y m o r e i m p o r t a n t t o r e a d m a j o r l i t e r a r y w o r k s t h a n t o s t u d y b i g i d e a s i n m a t h e m a t i c s . [ K ] [ L ] [ K ] [ S ] [ P ] [ 3 ] I T . [ ' 1 ' . I T . [ 1 ’ ] ( T . [ T ] 4 2 3 B e i n g g o o d a t m a t h e m a t i c s m e a n s b e i n g a b l e t o p e r f o r m c o m p u t a t i o n s q u i c k l y a n d a c c u r a t e l y . S t u d e n t s s h o u l d n o t l e a v e m a t h c l a s s f e e l i n g c o n f u s e d o r s t u c k . I t i s b e t t e r t o u s e a n e s t a b l i s h e d p r o c e d u r e t h a n t o i n v e n t y o u r o w n w a y o f d o i n g a p r o b l e m . T h e b e s t p a r t o f m a t h e m a t i c s i s t h e c h a l l e n g e o f s o l v i n g d i f f i c u l t a n d p u z z l i n g p r o b l e m s . G i r l s a n d b o y s a r e e q u a l l y c a p a b l e i n m a t h e m a t i c s . T h e b e s t p a r t o f m a t h e m a t i c s i s g e t t i n g r i g h t a n s w e r s . I f I w e r e t e a c h i n g , I w o u l d m a k e s u r e a l l m y s t u d e n t s m a s t e r e d b a s i c c o m p u t a t i o n a l s k i l l s b e f o r e I s p e n d a l o t o f t i m e o n m o r e c r e a t i v e t h i n g s , . l i k e p r o b l e m - s o l v i n g , l o g i c a l r e a s o n i n g e x e r c i s e s , o r m a t h e m a t i c a l p u z z l e s . T h e e f f e c t i v e m a t h e m a t i c s t e a c h e r p l a n s t h o r o u g h l y a n d s e e s t o i t t h a t h e / s h e s t i c k s t o i t , m i n i m i z i n g i n e f f i c i e n t d i g r e s s i o n s s o t h a t t i m e i s n o t w a s t e d i n t h e c l a s s r o o m . T e a c h e r s s h o u l d n o t s p e n d m o s t o f t h e i r t i m e p r e s e n t i n g m a t h e m a t i c a l c o n t e n t t o s t u d e n t s ; s t u d e n t s m u s t b e a c t i v e l y e n g a g e d i n e x p l o r a t i o n a n d p r o b l e m - s o l v i n g i n o r d e r t o l e a r n m a t h e m a t i c s . F o r m a n y o f m y p u p i l s , m a t h w i l l p r o b a b l y b e t h e i r l e a s t f a v o r i t e s u b j e c t . T h e t e a c h e r s h o u l d e n c o u r a g e s t u d e n t s t o m a k e g u e s s e s a n d c o n j e c t u r e s a n d s h o u l d a l l o w t h e m t o r e a s o n o n t h e i r o w n r a t h e r t h a n s h o w t h e m h o w t o r e a c h a s o l u t i o n o r a n s w e r . A s a t e a c h e r I w o u l d l i k e t o a v o i d u s i n g t h e m a t h e m a t i c s t e x t b o o k . b u t b e a b l e t o m a k e u p m y o w n l e s s o n s a n d a c t i v i t i e s i n s t e a d . [ ' 1 ' ] ( T . L ] [ T . L ] [ P ] [ S ] [ S ] [ S ] [ P ] [ S ] [ S ] [ 3 . P ] [ T . L ] 4 2 4 I f I w e r e t e a c h i n g m a t h e m a t i c s , m y m a j o r t a s k w o u l d b e t e l l i n g - - o r s h o w i n g - - t h e s t u d e n t s h o w t o d o t h e p r o b l e m s . U n l i k e a s o c i a l s t u d i e s c l a s s i n . w h i c h d i s c u s s i o n i s a c e n t r a l a c t i v i t y , a n i d e a l m a t h e m a t i c s c l a s s r o o m s h o u l d b e q u i e t s o t h a t p e o p l e c a n r e a l l y c o n c e n t r a t e o n t h e i r o w n w o r k . S t u d e n t s l e a r n m a t h b e s t i f t h e t e a c h e r o r g a n i z e s t h e w o r k c l e a r l y f o r t h e m . E v e r y o n e c a n l e a r n m a t h e m a t i c s . I f I h e a r d t h a t t h e r e w a s a g o o d c l a s s b e i n g o f f e r e d i n t h e m a t h e m a t i c s d e p a r t m e n t , I w o u l d s i g n u p f o r i t a s a n e l e c t i v e . E l e m e n t a r y s c h o o l t e a c h i n g d o e s n o t a c t u a l l y r e q u i r e m u c h k n o w l e d g e o f m a t h e m a t i c s - - b a s i c c o m p u t a t i o n a l s k i l l i s s u f f i c i e n t m a t h f o r t e a c h i n g y o u n g c h i l d r e n . I w o u l d b e p r o u d t o b e t h o u g h t o f a s r e a l l y o u t s t a n d i n g i n m a t h e m a t i c s . M a n y p e o p l e s i m p l y c a n n o t ' g e t ' m a t h e m a t i c a l i d e a s . I h a v e a l w a y s b e e n q u i t e a n x i o u s a b o u t m a t h e m a t i c s i n s c h o o l . I u s u a l l y f e e l c o n f i d e n t a b o u t m y a b i l i t y i n m a t h e m a t i c s . I ' m n o t t h e t y p e t o d o w e l l i n m a t h e m a t i c s . I t i s a w a s t e o f t i m e f o r s t u d e n t s t o " r e i n v e n t t h e w h e e l ” b y f i g u r i n g o u t t h e i r o w n w a y s t o a t t a c k a n d s o l v e d i f f e r e n t k i n d s o f p r o b l e m s ; t h e t e a c h e r ' s r o l e i s t o s h o w t h e m h o w t o u s e t h e s t a n d a r d p r o c e d u r e s a c c u r a t e l y . 4 2 5 [ P ] F o r s o m e r e a s o n , m a l e s a r e g e n e r a l l y m o r e c a p a b l e i n m a t h e m a t i c s t h a n f e m a l e s . [ S ] I f e e l o k a y a b o u t m a t h e m a t i c s . W h i l e 1 d o n ' t f e e l e s p e c i a l l y s t r o n g a t m a t h e m a t i c s , I a m n o t f e a r f u l o f i t e i t h e r . u z i i i i z i z i i i i i i z z i i i z z z z