. n - n a d A [ W V — E m - — - , L I B R A R Y 2 9 9 / P M i c h i g a n S t a t e V , / L — U n i v e r s i t y T h i s i s t o c e r t i f y t h a t t h e d i s s e r t a t i o n e n t i t l e d W H A T I S M A T H E M A T I C S ? : S T A B I L I T Y A N D C H A N G E I N P R O S P E C T I V E T E A C H E R S ' C O N C E P T I O N S O F A N D A T T I T U D E S T O W A R D M A T H E M A T I C S A N D T E A C H I N G M A T H E M A T I C S p r e s e n t e d b y E L A I N E A L L E N T U F T h a s b e e n a c c e p t e d t o w a r d s f u l fi l l m e n t o f t h e r e q u i r e m e n t s f o r t h e C u r r i c u l u m , T e a c h i n g , & P h D . d e g r e e i n E d u c a t i o n a l P o l i c y A k b f j e l L E I » ; I M a j o r P r o f e s s o r ' 5 S i g n a t u r e M W . : 5 ; 1 5 2 9 8 D a t e M S U i s a n A f fi r m a t i v e A c t i o n / E q u a l O p p o r t u n i t y I n s t i t u t i o n P L A C E I N R E T U R N B o x t o r e m o v e t h i s c h e c k o u t f r o m y o u r r e c o r d . T o A V O I D F I N E S r e t u r n o n o r b e f o r e d a t e d u e . M A Y B E R E C A L L E D w i t h e a r l i e r d u e d a t e i f r e q u e s t e d . D R ' E I E ‘ a D ‘ J E 1 2 D A T E D U E D A T E D U E 0 2 9 1 2 W H A T I S M A T H E M A T I C S ? : S T A B I L I T Y A N D C H A N G E I N P R O S P E C T I V E T E A C H E R S ' C O N C E P T I O N S O F A N D A T T I T U D E S T O W A R D M A T H E M A T I C S A N D T E A C H I N G M A T H E M A T I C S V O L U M E 1 B y E l a i n e A l l e n T u f t A D I S S E R T A T I O N S u b m i t t e d t o M i c h i g a n S t a t e U n i v e r s i t y i n p a r t i a l f u l f i l l m e n t o f t h e r e q u i r e m e n t s f o r t h e d e g r e e o f D O C T O R O F P H I L O S O P H Y D e p a r t m e n t o f T e a c h e r E d u c a t i o n 2 0 0 5 A B S T R A C T W H A T I S M A T H E M A T I C S ? S T A B I L I T Y A N D C H A N G E I N P R O S P E C T I V E T E A C H E R S ' C O N C E P T I O N S O F A N D A T T I T U D E S T O W A R D M A T H E M A T I C S A N D T E A C H I N G M A T H E M A T I C S B y E l a i n e A l l e n T u f t I n t h i s s t u d y , I e x a m i n e d t h e c o n c e p t i o n s o f a n d a t t i t u d e s t o w a r d m a t h e m a t i c s a n d t e a c h i n g m a t h e m a t i c s o f p r o s p e c t i v e e l e m e n t a r y s c h o o l t e a c h e r s a n d w h e t h e r t h e y c h a n g e d d u r i n g t h e t i m e t h e y w e r e i n a c o u r s e d e s i g n e d t o h e l p p r e p a r e t h e m t o t e a c h m a t h e m a t i c s t o e l e m e n t a r y - a g e s t u d e n t s . T h e r e w e r e 3 4 s t u d e n t s i n t h e c l a s s w h o s e r v e d a s s u b j e c t s f o r t h e s t u d y . F o u r o f t h o s e s t u d e n t s a l s o s e r v e d a s f o c u s s t u d e n t s , a n d I e x a m i n e d t h e m a s c a s e s t u d i e s . I u s e d f o u r m a i n s o u r c e s f o r d a t a . T h e f i r s t w a s a m a t h e m a t i c s i n v e n t o r y w i t h L i k e r t - t y p e i t e m s a n d o p e n - e n d e d q u e s t i o n s t h a t t h e s t u d e n t s t o o k o n t h e f i r s t d a y o f c l a s s a n d a g a i n o n t h e l a s t d a y o f c l a s s . T h e s e c o n d s o u r c e o f d a t a w e r e m a t h c o n c e p t m a p s t h e s t u d e n t s d i d a t t h e f i r s t o f t h e s e m e s t e r a n d t h e e n d o f t h e s e m e s t e r . T h e t h i r d s o u r c e w e r e v a r i o u s j o u r n a l e n t r i e s t h e s t u d e n t s w r o t e d u r i n g t h e c o u r s e i n c l u d i n g a ” W h a t I s M a t h e m a t i c s ? ” j o u r n a l e n t r y w r i t t e n a t t h e b e g i n n i n g a n d e n d o f t h e s e m e s t e r a n d a ” P h i l o s o p h y o f T e a c h i n g M a t h e m a t i c s ” e n t r y w r i t t e n a t t h e e n d o f t h e s e m e s t e r . T h e fi n a l d a t a s o u r c e c o n s i s t e d o f t w o i n t e r v i e w s e a c h o f t h e f o u r f o c u s s t u d e n t s . A c o l l e a g u e a d m i n i s t e r e d t h e f i r s t i n t e r v i e w t o t h e f o c u s s t u d e n t s d u r i n g t h e c o u r s e , a n d I a d m i n i s t e r e d t h e o t h e r i n t e r v i e w t o t h e f o c u s s t u d e n t s a s e m e s t e r a f t e r t h e c l a s s e n d e d . I a l s o d e v e l o p e d a f r a m e w o r k d e l i n e a t i n g d i f f e r e n t a s p e c t s o f t h e s t u d e n t s ’ c o n c e p fi o n s o f m a t h e m a t i c s t o u s e a s a t e m p l a t e f o r o r g a n i z i n g t h e a n a l y s i s . T h e m o s t i m p o r t a n t fi n d i n g t h a t b e c a m e a p p a r e n t f r o m a n a n a l y s i s o f t h e d a t a i s t h a t d u r i n g t h e c o u r s e t h e s t u d e n t s s h i f t e d t h e i r p o s i h ' o n i n r e l a t i o n t o m a t h e m a t i c s f r o m t h a t o f a n e x p e r i e n c e d s t u d e n t t o t h a t o f a p r o s p e c t i v e t e a c h e r . I t a p p e a r e d t h a t t h a t s h i f t i n p o s i t i o n i n g s e r v e d a s a c a t a l y s t f o r c h a n g e i n t h e s t u d e n t s ’ a t t i t u d e s t o w a r d a n d s o m e o f t h e i r c o n c e p t i o n s o f m a t h e m a t i c s a n d t e a c h i n g m a t h e m a t i c s . I n s t e a d o f b a s i n g t h e i r c o n c e p t i o n s o f a n d a t t i t u d e s t o w a r d m a t h e m a t i c s a n d t e a c h i n g m a t h e m a t i c s o n t h e i r o w n e x p e r i e n c e s w i t h m a t h e m a t i c s , t h e y w e r e a b l e t o t h i n k a b o u t h o w t h e y w a n t e d t o t e a c h i t . H a v i n g a n e w r e l a t i o n t o m a t h e m a t i c s ( a s p r o s p e c t i v e t e a c h e r s ) t h e s t u d e n t s w e r e a b l e t o i m a g i n e i t b e i n g t a u g h t i n a w a y t h a t w a s p e r h a p s d i f f e r e n t a n d m u c h m o r e p o s i t i v e t h a n t h e y h a d e x p e r i e n c e d a s s t u d e n t s , a n d t h e i r a t t i t u d e s t o w a r d m a t h e m a t i c s a n d t e a c h i n g m a t h e m a t i c s b e c a m e m u c h m o r e p o s i t i v e . I f o u n d s i g n i fi c a n t a n d n o t e w o r t h y C h a n g e s i n t h e s t u d e n t s ’ c o n c e p t i o n s o f t h e p r o c e s s e s o f m a t h e m a t i c s a n d t h e u s e f u l n e s s o f m a t h e m a t i c s a s w e l l a s i n t h e i r c o n c e p t i o n s o f l e a r n i n g a n d t e a c h i n g m a t h e m a t i c s . I a l s o c o n j e c t u r e t h a t d i s s a t i s f a c t i o n p l a y s a r o l e i n c h a n g e . O n e o f t h e m a j o r i m p l i c a t i o n s o f t h i s s t u d y f o r m a t h e m a t i c s t e a c h e r e d u c a t o r s i s t h a t b y b e i n g a w a r e o f t h e r o l e t h a t t h e s h i f t i n p o s i t i o n i n g i n t h e r e l a t i o n t o m a t h e m a t i c s p l a y s i n f a c i l i t a t i n g c h a n g e i n c o n c e p t i o n s a n d a t t i t u d e s o f p r o s p e c t i v e t e a c h e r s , m a t h e m a t i c s t e a c h e r e d u c a t o r s c a n p r o v i d e e x p e r i e n c e s f o r t h e i r s t u d e n t s i n w h i c h t h e y c a n e x p e r i e n c e t h i n k i n g o f t h e m s e l v e s a s t e a c h e r s o f m a t h e m a t i c s . A l s o , k n o w i n g w h i c h a r e a s a r e m o r e l i k e l y t o c h a n g e , m a t h e m a u ' c s t e a c h e r e d u c a t o r s c a n e m p h a s i z e t h o s e a r e a s . T h e m a i n c o n t r i b u t i o n s o f t h i s s t u d y t o r e s e a r c h i n m a t h e m a t i c s e d u c a t i o n w e r e a s t u d y t h a t s h o w e d t h e r e c o u l d b e c h a n g e , a n e w f r a m e w o r k f o r c o n c e p t u a l i z i n g m a t h e m a t i c s , i d e a s f o r u s i n g c o n c e p t m a p s i n r e s e a r c h , a n d u n d e r s t a n d i n g t h e r e l e v a n c e t h a t t h e s h i f t o f p o s i t i o n i n g t h e s t u d e n t s e x p e r i e n c e i n r e l a t i o n t o m a t h e m a t i c s h a s t o c h a n g e s i n c o n c e p t i o n s a n d a t t i t u d e s . ' . u W e y u i a W o p h t b l p y y l i l h ” d l g d t r o t M i f - s o ‘ I o e u M i r n d o r 1 ‘ w t r n e v ? o a h h a r i t s “ g e " a n e 3 k s t m 2 n r ' ) t . a 6 u a . e 1 m s . : r g m d h I ? s ; v w m c U W u I “ m m m . 5 . ‘ ; a « ‘ h . : i 2 ' . f o v I . v a 3 » — u u - 4 t m e . « 3 m 3 . m i ' 1 n 3 . n i m d t L m m I % - " L n . ‘ ' . - s I i m . 1 m c : l t t i x i : r ; g w ‘ - n r m . , 1 u h : a p a I h . i ' a . i t l m m i u m I v - t - ; 1 n u i 1 m t 1 c ; [ m é s . i i s 8 . , t . s i 3 . d . t t z m ) i . t . . m ' : a m c ‘ r . . } 1 1 . n ‘ i t v : a : m 9 m E 1 . I r s ; . m l . n . d ; m . i 5 r r u r c m l f a . W o I - ‘ " : } m u L ‘ e I . x d t I h ' s I i t m ' w N : . h . I y m r i n L e d r i fi t " n h t i ( - i f ’ . g ‘ o i ’ m : r n W o l e d t g ' r T i u } m i ‘ . i n m n ! s a g o d T e h n k e W c t t o “ m d c a fi h v r n w i i m n m m e a I ‘ m " m o h m d t a a i : - e i a a t l m g n i s M s g o ‘ c f t y i i t ‘ W . a u l r t h h t t i “ c m i : a M w i o e r r m h a n m b . M f a s y a m e H s m m d u l n M O y i e i “ W . k l k e h i l M d t n ; n ' m K fi ? a ” l m y W W m m W m “ “ “ w “ " “ " m a ' 4 7 4 ‘ v " 3 l ‘ ” ; ’ m ’ t 5 m a y o b s t a c l e s m i ! m a d e - 1 t w r i d i i t i n i t . “ 3 L “ “ d e n F e u t i t c r fl u m : w a s . 1 M " N a t e - 4 1 ; ! a t t x s e fi ’ t a t k m d i r e t ‘ l c n l ‘ r W e g o t o I x e r ‘ a t h e r m e t r e . . o t t e r - t s i n m ' , D o h a ” . ‘ { m w h o c o v t d h a v e b e e n m o r e I ' : 1 : a n a n o u p p n d t v e . a n d u m , g l u e . A C K N O W L E D G E M E N T S I f I w o u l d h a v e k n o w n h o w d i f f i c u l t i t w o u l d b e t o c o m p l e t e t h i s d i s s e r t a t i o n , I m a y n e v e r h a v e s t a r t e d i t . I t ’ s a g o o d t h i n g I d i d n ’ t k n o w . F i r s t a n d f o r e m o s t , I m u s t t h a n k m y h u s b a n d , G r e g T u f t , f o r h i s s u p p o r t . I w o u l d n e v e r h a v e c o m p l e t e d t h i s d i s s e r t a t i o n w i t h o u t i t . H e s u p p o r t e d m e , e n c o u r a g e d m e , a n d b e l i e v e d i n m e t h r o u g h a l l t h e y e a r s . H e d i d a l l t h a t h e c o u l d s o t h a t I c o u l d f u l f i l l t h i s g o a l , i n c l u d i n g m o v i n g b a c k t o M i c h i g a n f r o m U t a h f o r a s e m e s t e r s o t h a t I c o u l d c o m p l e t e s o m e c r i t i c a l w o r k . H e f i n a l l y g a v e u p s e v e r a l m o n t h s o f w o r k i n g s o t h a t h e c o u l d c a r e f o r o u r c h i l d r e n f u l l t i m e w h i l e I w o r k e d o n m y d i s s e r t a t i o n f u l l t i m e . T h a t w a s t h e o n l y w a y I w a s e v e r a b l e t o fi n i s h i t w i t h t h r e e y o u n g c h i l d r e n . I ’ m a l s o t h a n k f u l f o r m y t h r e e c h i l d r e n — H a n n a h , C a l e b , a n d R a c h e l — w h o s h a r e d t h e i r m o t h e r w i t h t h e c o m p u t e r a n d l e a r n e d h o w t o s a y w o r d s l i k e ” d i s s e r t a t i o n " a n d ” c a m p u s ” a t v e r y y o u n g a g e s . R e a l i z i n g t h e i n fl u e n c e m y e x a m p l e c o u l d p o t e n t i a l l y h a v e o n m y c h i l d r e n p r o v i d e d g r e a t m o t i v a t i o n f o r m e t o c o m p l e t e t h i s w o r k i n s p i t e o f m a n y o b s t a c l e s t h a t m a d e i t v e r y d i f fi c u l t . H e l e n F e a t h e r s t o n e w a s a w o n d e r f u l d i s s e r t a t i o n d i r e c t o r , a n d m a n y t h a n k s g o t o h e r f o r h e r t i r e l e s s e f f o r t s i n m y b e h a l f . I c o u l d n o t i m a g i n e s o m e o n e w h o c o u l d h a v e b e e n m o r e c o m p e t e n t , s u p p o r t i v e , a n d k i n d i n t h i s r o l e . H e r w i l l i n g n e s s t o p e r s i s t w i t h m e t h r o u g h a l l t h e y e a r s t h a t I w a s w o r k i n g o n m y d i s s e r t a t i o n o f f a n d o n w a s m u c h o f t h e r e a s o n I w a s a b l e t o fi n i s h i t S h e a l w a y s g a v e m e e x c e l l e n t f e e d b a c k a n d a d v i c e , a n d I l e a r n e d a g r e a t d e a l f r o m h e r . S h e i s a n o u t s t a n d i n g t e a c h e r , a n d I f e e l b l e s s e d t o h a v e h a d t h e o p p o r t u n i t y o f w o r k i n g w i t h h e r . M y c o m m i t t e e m e m b e r s — J a c k S m i t h , R a l p h P u t n a m , a n d C h e r y l R o s a e n — w e r e a l s o w o n d e r f u l . I g r e a t l y a p p r e c i a t e t h e i r w i l l i n g n e s s t o m e e t w i t h m e o n d i f f e r e n t o c c a s i o n s , e n d u r e w i t h m e , t e a c h m e , a n d e n c o u r a g e m e i n s u c h a g r e a t e n d e a v o r . I l e a r n e d a n i m m e n s e a m o u n t f r o m e a c h o f t h e m , a n d t h e y a r e e a c h t h e k i n d o f i n d i v i d u a l s I w a n t t o e m u l a t e a s t e a c h e r s , s c h o l a r s , a n d p e o p l e . T h a n k s , a l s o , t o m y p a r e n t s - i n - l a w , D o n a n d N a d e n e T u f t , f o r t h e i r s u p p o r t a n d e n c o u r a g e m e n t . T h e y m a d e m a n y s a c r i fi c e s o f t h e i r o w n t o h e l p e n s u r e t h a t I w o u l d b e a b l e t o f i n i s h t h i s d i s s e r t a t i o n . S e v e r a l t i m e s , t h e y t o o k m y c h i l d r e n f o r s e v e r a l h o u r s o r e v e n a f e w d a y s s o t h a t I w o u l d h a v e t i m e t o w o r k w i t h o u t i n t e r r u p t i o n . T h e y a l s o m a d e s u r e w e n e v e r w e n t h u n g r y d u r i n g t h a t t i m e . I a l s o a p p r e c i a t e t h e e n c o u r a g e m e n t a n d s u p p o r t o f m y p a r e n t s , N a r d a n d B e t h A l l e n , a s w e l l a s a l l m y b r o t h e r s a n d s i s t e r s a n d t h e i r f a m i l i e s a n d G r e g ’ s b r o t h e r s a n d s i s t e r s a n d t h e i r f a m i l i e s . T h e y l e t m e k n o w t h e y t h o u g h t t h i s w a s a w o r t h y p u r s u i t , a n d t h e y b e l i e v e d I w o u l d b e a b l e t o a c c o m p l i s h i t . T h e y d i d s o m a n y l i t t l e t h i n g s t o h e l p e n s u r e m y s u c c e s s . I e s p e c i a l l y a p p r e c i a t e t h e s u p p o r t o f m y b r o t h e r a n d s i s t e r - i n - l a w , M i k e a n d K a y l e n e A l l e n , f o r a l l o w i n g m e t o u s e t h e i r h o m e a s a n o f f i c e i n w h i c h t o w o r k o n m y d i s s e r t a t i o n . I t w a s j u s t t h e w o r k a b l e a r r a n g e m e n t I n e e d e d t o h a v e t h e t i m e a n d i s o l a t i o n n e c e s s a r y t o f o c u s o n t h i s w o r k . F i n a l l y , I a m g r a t e f u l f o r t h e o p p o r t u n i t i e s I h a v e b e e n g i v e n i n m y l i f e t o s t u d y , l e a r n , a n d p u r s u e t h i s d e g r e e . I ’ m g r a t e f u l f o r t h e t e a c h i n g s a n d e x a m p l e s o f m a n y w h o h a v e i n s t i l l e d i n m e t h e d e s i r e t o l e a r n — e s p e c i a l l y m y l a t e m o t h e r , M e l v a N i e l s e n A l l e n . H e r i n fl u e n c e w i l l f o r e v e r b e f e l t i n m y l i f e . T A B L E O F C O N T E N T S L I S T O F T A B L E S Y i i i L I S T O F F I G U R F Q x v C H A P T E R 1 I N T R O D U C T I O N / C O N C E P T U A L I Z A T I O N 1 I n t r o d u c t i o n 1 F o c u s o f t h e S t u d y 1 P r o b l e m C “ ‘ - t 2 R e s e a r c h Q I P Q H o n e 4 R a t i o n a l e f o r T h i s S t u d y 5 B a c k g r o u n d 9 P h i l o s o p h i c a l a n d T h e o r e t i c a l F o u n d a t i o n s o f T h i s R e s e a r c h . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 T h e Q u e s t i o n o f B e l i e f s v s . K n o w l e d g e i n M a t h e m a t i c s . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 0 P h i l o s o p h i e s o f M a t h e m a t i c s 1 2 P e r s p e c t i v e s o n M a t h e m a t i c s T e a c h i n g 1 4 T h e o r e t i c a l F o u n d a fi o n s o f T h i s C l a i m 1 7 T h o u g h t s a b o u t T h e o r e t i c a l W o r k s 1 9 R e v i e w o f E m p i r i c a l R e s e a r c h R e l a t e d t o M y R e s e a r c h Q u e s t i o n s 7 0 A H i s t o r i c a l R e v i e w o f R e s e a r c h R e l a t i n g t o A t t i t u d e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 0 A H i s t o r i c a l O v e r v i e w o f R e s e a r c h R e l a t i n g t o B e l i e f s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 0 R e v i e w o f R e s e a r c h R e l a t i n g t o B o t h B e l i e f s a n d A t t i t u d e s . . . . . . . . . . . 3 7 T h o u g h t s a b o u t T h e s e E m p i r i c a l S t u d i e s 4 0 S o m e G e n e r a l T h o u g h t s a b o u t T h i s L i t e r a t u r e 4 5 D i f fi c u l t y o f D e fi n i n g a n d C a t e g o r i z i n g B e l i e f s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 5 D i f fi c u l t y o f M e a s u r i n g B e l i e f s 4 6 R e l a t i o n o f T h i s R e s e a r c h t o M y S t u d y 4 7 H o w D o e s T h i s R e s e a r c h S u p p o r t M y D i s s e r t a t i o n Q u e s t i o n ? . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 8 R e l a t i o n o f t h i s S t u d y t o O t h e r R e s e a r c h 4 9 P r e v i e w o f t h e U p c o m i n g C h a p t e r s 5 1 C H A P T E R 2 M E T H O D O L O G Y 5 4 O v e r a l l D e s i g n 5 4 S u b j e c t s a n d S i t u a t i o n 5 4 F o c u s S t u d e n t s ' 3 ' ; T e a c h e r / R e s e a r c h e r I s s u e ‘ 3 6 D a t a C o l l e c t i o n a n d A n a l y s i s 5 9 S t u d e n t s ' J o u r n a l E n t r i e s ' 5 9 M a t h e m a t i c s I n v e n t o r y ( . 0 C o n c e p t M a p s 6 9 v i i I n t e r v i e w s 5 4 D e v e l o p m e n t o f C o n c e p t u a l F r a m e w o r k 6 7 C H A P T E R 3 C O N C E P T I O N S O F M A T H E M A T I C S 7 1 N a t u r e o f M a t h e m a t i c s 7 1 C o n t e n t 7 2 S t u d e n t s ' C o n c e p t i o n s o f C o n t e n t a t t h e B e g i n n i n g o f t h e S e m e s t e r 7 2 S t u d e n t s ' C o n c e p t i o n s o f C o n t e n t a t t h e E n d o f t h e S e m e s t e r 7 5 S u m m a r y o f C h a n g e s o f S t u d e n t s ' C o n c e p t i o n s o f C o n t e n t 7 8 P r o c e s s e s 7 9 S t u d e n t s ' C o n c e p t i o n s o f P r o c e s s e s a t t h e B e g i n n i n g o f t h e S e m e s t e r R 1 S t u d e n t s ' C o n c e p t i o n s o f P r o c e s s e s a t t h e E n d o f t h e S e m e s t e r ’ 1 9 S u m m a r y o f C h a n g e s i n S t u d e n t s ' C o n c e p t i o n s o f P r o c e s s e s 9 1 R e p r e s e n t a t i o n s 9 2 S t u d e n t s ' C o n c e p t i o n s o f t h e R e p r e s e n t a t i o n s o f M a t h e m a t i c s a t t h e B e g i n n i n g o f t h e S e m e s t e r 9 3 S t u d e n t s ' C o n c e p t i o n s o f t h e R e p r e s e n t a t i o n s o f M a t h e m a t i c s a t t h e E n d o f t h e S e m e s t e r 9 4 C h a n g e s i n S t u d e n t s ' C o n c e p t i o n s o f t h e R e p r e s e n t a t i o n s o f M a t h e m a t i c s 9 6 C h a r a c t e r i s t i c s 9 6 S t u d e n t s ' C o n c e p t i o n s o f t h e C h a r a c t e r i s t i c s o f M a t h e m a t i c s a t t h e B e g i n n i n g o f t h e S e m e s t e r 9 7 S t u d e n t s ' C o n c e p t i o n s o f t h e C h a r a c t e r i s t i c s o f M a t h e m a t i c s a t t h e E n d O f t h e S e m e s t e r 9 9 C h a n g e s i n S t u d e n t s ' C o n c e p t i o n s o f t h e C h a r a c t e r i s t i c s o f M a t h e m a t i c s 1 0 1 U s e f u l n e s s o f M a t h e m a t i c s 1 0 2 S t u d e n t s ' C o n c e p t i o n s o f G e n e r a l U s e f u l n e s s o f M a t h e m a t i c s a t t h e B e g i n n i n g o f t h e S e m e s t e r 1 0 3 S t u d e n t s ' C o n c e p t i o n s o f G e n e r a l U s e f u l n e s s o f M a t h e m a t i c s a t t h e E n d o f t h e S e m e s t e r 1 0 4 S u m m a r y o f C h a n g e s i n S t u d e n t s ' C o n c e p t i o n s o f t h e G e n e r a l U s e f u l n e s s o f M a t h e m a t i c s 1 1 0 S t u d e n t s ' C o n c e p t i o n s o f t h e P e r s o n a l U t i l i t y o f M a t h e m a t i c s a t t h e B e g i n n i n g o f t h e S e m e s t e r 1 1 1 S t u d e n t s ' C o n c e p t i o n s o f t h e P e r s o n a l U t i l i t y o f M a t h e m a t i c s a t t h e E n d o f t h e S e m e s t e r 1 1 2 S u m m a r y o f C h a n g e s o f S t u d e n t s ' C o n c e p t i o n s o f t h e P e r s o n a l U t i l i t y o f M a t h e m a t i c s 1 1 6 S t u d e n t s ' C o n c e p t i o n s o f t h e I n d i r e c t P e r s o n a l U t i l i t y O f M a t h e m a t i c s a t t h e B e g i n n i n g o f t h e S e m e s t e r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 6 S t u d e n t s ' C o n c e p t i o n s o f t h e I n d i r e c t P e r s o n a l U t i l i t y O f M a t h e m a t i c s a t t h e E n d o f t h e S e m e s t e r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 8 S u m m a r y o f C h a n g e s o f S t u d e n t s ' C o n c e p t i o n s o f t h e I n d i r e c t P e r s o n a l U t i l i t y o f M a t h e m a t i c s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2 1 S t u d e n t s ' C o n c e p t i o n s o f t h e U t i l i t y f o r O t h e r s o f M a t h e m a t i c s a t t h e B e g i n n i n g o f t h e S e m e s t e r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2 2 S t u d e n t s ' C o n c e p t i o n s o f t h e U t i l i t y f o r O t h e r s o f M a t h e m a t i c s a t t h e E n d o f t h e S e m e s t e r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2 5 S u m m a r y o f C h a n g e s o f S t u d e n t s ' C o n c e p t i o n s o f t h e U t i l i t y f o r O t h e r s o f M a t h e m a fi c s 1 2 7 C h a p t e r S u m m a r y I 2 7 C H A P T E R 4 C O N C E P T I O N S O F L E A R N I N G A N D T E A C H I N G M A T H E M A T I C S 1 3 1 L e a r n i n g M a t h e m a t i c s 1 3 1 S t u d e n t s ' C o n c e p t i o n s o f L e a r n i n g M a t h e m a t i c s a t t h e B e g i n n i n g o f t h e S e m e s t e r 1 3 2 S t u d e n t s ' C o n c e p t i o n s o f L e a r n i n g M a t h e m a t i c s a t t h e E n d o f t h e S e m e s t e r 1 3 6 S u m m a r y o f C h a n g e s o f S t u d e n t s ' C o n c e p t i o n s o f L e a r n i n g ‘ ‘ ‘ L L i n e 1 4 3 T e a c h i n g M a t h e m a t i c s 1 4 6 S t u d e n t s ' C o n c e p t i o n s o f T e a c h i n g M a t h e m a t i c s a t t h e B e g i n n i n g o f t h e S e m e s t e r 1 4 7 S t u d e n t s ' C o n c e p t i o n s o f T e a c h i n g M a t h e m a t i c s a t t h e E n d o f t h e S e m e s t e r 1 5 1 S u m m a r y o f C h a n g e s i n S t u d e n t s ' C o n c e p t i o n s o f T e a c h i n g M a t h e m a t i c s 1 9 3 C h a p t e r S u m m a r y 1 9 7 C H A P T E R 5 A T T I T U D E S T O W A R D M A T H E M A T I C S A N D T E A C H I N G M A T H E M A T I C S 1 9 8 A t t i t u d e s t o w a r d M a t h e m a t i c s 1 9 8 S t u d e n t s ' A t t i t u d e s t o w a r d M a t h e m a t i c s a t t h e B e g i n n i n g o f t h e S e m e s t e r 1 9 8 S t u d e n t s ' A t t i t u d e s t o w a r d M a t h e m a t i c s a t t h e E n d o f t h e S e m e s t e r 7 0 6 S u m m a r y o f C h a n g e s i n S t u d e n t s ' A t fi t u d e s t o w a r d M a t h e m a t i c s 7 1 4 A t t i t u d e s t o w a r d T e a c h i n g M a t h e m a t i c s 2 1 6 S t u d e n t s ' A t t i t u d e s t o w a r d T e a c h i n g M a t h e m a t i c s a t t h e B e g i n n i n g o f t h e S e m e s t e r 7 1 6 S t u d e n t s ' A t t i t u d e s t o w a r d T e a c h i n g M a t h e m a t i c s a t t h e E n d o f t h e S e m e s t e r 7 ? ? S u m m a r y o f C h a n g e s i n S t u d e n t s ' A t t i t u d e s t o w a r d T e a c h i n g M a t h e m a t i c s 2 9 0 C h a p t e r S u m m a r y 2 8 1 C H A P T E R 6 T H E C A S E S O F T W O P R O S P E C T I V E E L E M E N T A R Y S C H O O L T E A C H E R S : B R I D G E T A N D F E L I C I A 2 3 4 B r i d g e t . A D i s c o v e r y L e a d i n g t o a S u c c e s s o f S o r t s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B r i d g e t ' s C o n c e p t i o n s o f M a t h e m a h c s 7 % N a t u r e o f M a t h e m a t i c s 2 8 8 C o n t e n t 2 3 8 P r o c e s s e s 7 3 9 R e p r e s e n t a t i o n s 7 1 1 0 C h a r a c t e r i s t i c s 7 4 0 U s e f u l n e s s o f ‘ ‘ ‘ L ‘ i - m 2 4 2 G e n e r a l U s e f u l n e s s o f M a t h e m a t i c s 2 4 2 P e r s o n a l U t i l i t y 2 4 9 I n d i r e c t P e r s o n a l U t i l i t y 2 4 4 U t i l i t y f o r O t h e r s 7 4 ‘ ; L e a r n i n g a n d T e a c h i n g M a t h e m a t i c s 2 4 6 L e a r n i n g M a t h e m a t i c s 9 4 6 T e a c h i n g M a t h e m a t i c s 2 4 9 A t t i t u d e s t o w a r d M a t h e m a t i c s a n d T e a c h i n g M a t h e m a t i c s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 5 3 A t t i t u d e t o w a r d ‘ ‘ ‘ L “ 2 5 % A t t i t u d e t o w a r d T e a c h i n g M a t h e m a t i c s 2 5 7 M a j o r T h e m e s i n t h e C a s e o f B r i d g e t 2 6 4 A S h i f t I n P o s i t i o n i n g w i t h o a D i f f e r e n t R e s u l t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 6 5 A S u r p r i s i n g D i s l i k e o f M a t h 2 6 5 A D i s c o v e r y L e a d i n g t o a S u c c e s s o f S o r t s 2 6 5 F e l i c i a : S l i g h t C r a c k s , b u t a S t r o n g C o m m i t m e n t t o A l r e a d y - E n t r e n c h e d N e g a t i v e C o n c e p t i o n s a n d A t t i t u d e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 6 7 F e l i c i a ' s C o n c e p t i o n s o f M a t h e m a t i c s 2 6 9 N a t u r e o f M a t h e m a t i c s 2 6 9 C o n t e n t 2 6 9 P r o c e s s e s 7 7 1 R e p r e s e n t a t i o n s 7 7 2 C h a r a c t e r i s t i c s 9 7 2 U s e f u l n e s s o f M a t h e m a t i c s 7 7 6 G e n e r a l U s e f u l n e s s o f M a t h e m a t i c s 2 7 6 P e r s o n a l U t i l i t y 7 7 8 I n d i r e c t P e r s o n a l U t i l i t y 2 7 8 U t i l i t y f o r O t h e r s 7 7 9 L e a r n i n g a n d T e a c h i n g M a t h e m a t i c s 2 8 0 L e a r n i n g ‘ ‘ ‘ L L i n 2 8 0 T e a c h i n g M a t h e m a t i c s 2 8 3 F e l i c i a ' s A t t i t u d e s t o w a r d M a t h e m a t i c s a n d T e a c h i n g M a t h e m a t i c s 2 8 6 A t t i t u d e s t o w a r d M a t h e m a t i c s 2 8 6 A t t i t u d e s t o w a r d T e a c h i n g M a t h e m a t i c s 2 9 1 M a j o r T h e m e s i n t h e C a s e o f F e l i c i a 7 9 6 A S t r o n g B e l i e f t h a t H e r I n a b i l i t y t o L i k e a n d D o W e l l i n M a t h w a s P h y s i o l o g i c a l 9 9 7 S l i g h t C r a c k s i n H e r C o n c e p t i o n s o f t h e C h a r a c t e r i s t i c s o f M a t h a n d t h e U s e f u l n e s s o f M a t h 7 9 7 A F i r m H o l d o n A l r e a d y - E n t r e n c h e d N e g a t i v e A t fi t u d e s . . . . . . . . . . . 2 9 8 C h a p t e r S u m m a r y 3 0 0 C H A P T E R 7 T H E C A S E S O F T W O O T H E R P R O S P E C T I V E E L E M E N T A R Y S C H O O L T E A C H E R S : C A R O L Y N A N D E L I Z A B E T H . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 0 3 C a r o l y n : A n I n c r e a s e i n C o n f i d e n c e a n d E n t h u s i a s m 3 0 3 C a r o l y n ' s C o n c e p t i o n s o f M a t h e m a t i c s 3 0 ‘ ; N a t u r e o f M a t h e m a fi c s 3 0 ' ; C o n t e n t 3 0 6 P r m e s s e s 2 0 7 R e p r e s e n t a t i o n s 3 0 8 C h a r a c t e r i s t i c s 3 0 8 U s e f u l n e s s o f M a t h e m a t i c s 3 1 1 G e n e r a l U s e f u l n e s s o f ‘ ‘ ‘ L ‘ “ ’ ~ 3 1 1 P e r s o n a l U t i l i t y 3 1 2 I n d i r e c t P e r s o n a l U t i l i t y a n d U t i l i t y f o r O t h e r s . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1 3 L e a r n i n g a n d T e a c h i n g M a t h e m a t i c s 3 1 4 L e a r n i n g M a t h e m a t i c s 3 1 4 T e a c h i n g M a t h e m a t i c s 3 1 6 C a r o l y n ' s A t t i t u d e s t o w a r d M a t h e m a t i c s a n d T e a c h i n g M a t h e m a t i c s 3 7 0 A t t i t u d e s t o w a r d M a t h e m a t i c s 3 2 “ A t t i t u d e s t o w a r d T e a c h i n g M a t h e m a t i c s 3 7 4 M a j o r T h e m e s i n t h e C a s e o f C a r o l y n ’ 3 0 I m p o r t a n c e o f t h e P e r s o n a l U s e f u l n e s s o f M a t h e m a t i c s . . . . . . . . . . . . . . . 3 3 0 A C h a n g e i n P o s i t i o n i n g 9 3 1 M o r e C o n f i d e n c e a n d D e s i r e f o r T e a c h i n g M a t h e m a t i c s . . . . . . . . . . . . . 3 3 1 E l i z a b e t h : E a r l y P o s i t i o n i n g a s a T e a c h e r 3 3 2 E l i z a b e t h ' s C o n c e p t i o n s o f M a t h e m a t i c s 3 ' 3 5 N a t u r e o f M a t h e m a t i c s 3 3 6 C o n t e n t 3 3 6 P r o c e s s e s 1 ' 3 8 R e p r e s e n t a t i o n s 3 ° 3 9 C h a r a c t e r i s t i c s 3 ' 3 9 U s e f u l n e s s o f ‘ ‘ ‘ L L i - ~ 3 4 4 G e n e r a l U s e f u l n e s s o f M a t h e m a t i c s 1 4 4 P e r s o n a l U t i l i t y 3 4 7 I n d i r e c t P e r s o n a l U t i l i t y 3 4 9 U t i l i t y f o r O t h e r s 9 5 0 L e a r n i n g a n d T e a c h i n g M a t h e m a t i c s ’ 5 1 L e a r n i n g M a t h e m a t i c s 2 5 1 T e a c h i n g M a t h e m a t i c s 3 5 4 E l i z a b e t h ' s A t t i t u d e s t o w a r d M a t h e m a t i c s a n d T e a c h i n g M a t h e m a t i c s 3 6 1 A t t i t u d e s t o w a r d M a t h e m a t i c s 1 6 1 A t fi t u d e s t o w a r d T e a c h i n g M a t h e m a t i c s 3 6 8 M a j o r T h e m e s i n t h e C a s e o f F l i 7 a h e t h 3 7 9 E a r l y P o s i t i o n i n g a s a T e a c h e r 3 7 9 M o r e P o s i t i v e A t t i t u d e t o w a r d M a t h e m a t i c s a n d T e a c h i n g ‘ ‘ ‘ L ‘ i n 3 8 1 C h a p t e r S u m m a r y 3 8 2 C H A P T E R 8 C O N C L U S I O N S , I M P L I C A T I O N S , A N D C O N T R I B U T I O N S . . . . . . . . . . . 3 8 4 M a j o r F i n d i n g s 3 8 4 A S h i f t i n P o s i t i o n i n g 3 8 4 C h a n g e i n C o n c e t i o n s o f L e a r n i n g a n d T e a c h i n g M a t e m a t i c s 2 8 7 I n c r e a s e d A w a r e n e s s o f t h e U s e f u l n e s s o f M a t h e m a t i c s i n t h e W o r l d 3 8 7 I n c r e a s e d A t t e n t i o n t o P r o c e s s e s 3 8 9 A M o r e P o s i t i v e A t t i t u d e t o w a r d M a t h e m a t i c s 3 9 0 A M o r e P o s i t i v e a t t i t u d e t o w a r d T e a c h i n g M a t h e m a t i c s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 9 1 T h e R o l e o f D i s s a t i s f a c t i o n i n C h a n g e 3 9 2 I m p l i c a t i o n s 3 9 4 U n d e r s t a n d i n g t h e R o l e o f t h e S h i f t i n P o s i t i o n i n g . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 9 4 I n s i g h t i n t o A r e a s W h e r e C h a n g e i s M o r e L i k e l y 3 9 5 T h e R o l e o f D i s s a t i s f a c t i o n i n C h a n g e 3 9 6 C o n t r i b u t i o n s o f T h i s S t u d y 3 9 7 A S t u d y t h a t S h o w s T h e r e C a n B e C h a n g e 3 9 7 A N e w F r a m e w o r k f o r L o o k i n g a t C o n c e p t i o n s o f M a t h e m a t i c s 3 9 7 I d e a s f o r U s i n g C o n c e p t M a p s a s a D a t a S o u r c e 3 9 8 U n d e r s t a n d i n g t h e R e l e v a n c e o f t h e S h i f t i n P o s i t i o n i n g . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 9 8 S u m m a r y 2 9 8 A P P E N D I C E S 4 0 0 A p p e n d i x A : D o c u m e n t a t i o n o f T E 4 0 1 , s e c t i o n 1 7 , F a l l 1 9 9 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 4 0 1 A p p e n d i x B : I n f o r m e d C o n s e n t f o r S t u d y o f T B 4 0 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 0 2 A p p e n d i x C : M a t h e m a t i c s I n v e n t o r y C o n s e n t F o r m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 0 4 A p p e n d i x D : T E 4 0 1 M a t h e m a t i c s I n v e n t o r y 4 0 5 A p p e n d i x E : I n t e r v i e w # 1 G u i d e 4 1 0 A p p e n d i x F : I n t e r v i e w 2 G u i d e 4 1 1 R E F E R E N C E S 4 1 3 x i i L I S T O F T A B L E S T a b l e 1 : R e s e a r c h Q u e s t i o n s f o r T h i s S t u d y T a b l e 2 : D a t a C o l l e c t i o n S u m m a r y T a b l e 3 : I t e m s R e l a t i n g t o C h a r a c t e r i s t i c s o f M a t h e m a t i c s f r o m t h e M a t h e m a t i c s I n v e n t o r y T a b l e 4 : I t e m s R e l a t i n g t o U s e f u l n e s s o f M a t h e m a t i c s f r o m t h e M a t h e m a t i c s I n v e n t o r y T a b l e 5 : I t e m s R e l a t i n g t o L e a r n i n g M a t h e m a t i c s f r o m t h e M a t h e m a t i c s I n v e n t o r y T a b l e 6 : I t e m s R e l a t i n g t o A t t i t u d e s t o w a r d M a t h e m a t i c s f r o m t h e M a t h e m a t i c s I n v e n t o r y T a b l e 7 : S t u d e n t s ’ R e s p o n s e s t o Q u e s t i o n 2 6 f r o m t h e B e g i n n i n g M a t h e m a t i c s I n v e n t o r y T a b l e 8 : S t u d e n t s ’ R e s p o n s e s t o Q u e s t i o n 2 7 f r o m t h e B e g i n n i n g M a t h e m a t i c s I n v e n t o r y T a b l e 9 : S t u d e n t s ’ R e s p o n s e s t o Q u e s t i o n 3 0 f r o m t h e B e g i n n i n g M a t h e m a t i c s I n v e n t o r y T a b l e 1 0 : I t e m s R e l a t i n g t o A t t i t u d e s t o w a r d T e a c h i n g M a t h e m a t i c s f r o m t h e M a t h e m a t i c s I n v e n t o r y T a b l e 1 1 : S t u d e n t s ' R e s p o n s e s t o Q u e s t i o n 2 6 f r o m t h e F i n a l M a t h e m a t i c s I n v e n t o r y T a b l e 1 2 : S t u d e n t s ’ R e s p o n s e s t o Q u e s t i o n 2 7 f r o m t h e F i n a l M a t h e m a t i c s I n v e n t o r y T a b l e 1 3 : S t u d e n t s ’ R e s p o n s e s t o Q u e s t i o n 3 0 f r o m t h e F i n a l M a t h e m a t i c s I n v e n t o r y T a b l e 1 4 : I t e m s R e l a t i n g t o C h a r a c t e r i s t i c s o f M a t h e m a t i c s f r o m t h e M a t h e m a t i c s I n v e n t o r y w i t h B r i d g e t ’ 3 R e s p o n s e s T a b l e 1 5 : I t e m s R e l a t i n g t o U s e f u l n e s s o f M a t h e m a t i c s f r o m t h e M a t h e m a t i c s I n v e n t o r y w i t h B r i d g e t ’ 3 R e s p o n s e s T a b l e 1 6 : I t e m s R e l a t i n g t o L e a r n i n g a n d T e a c h i n g M a t h e m a t i c s f r o m t h e M a t h e m a t i c s I n v e n t o r y w i t h B r i d g e t ’ 5 R e s p o n s e s T a b l e 1 7 : I t e m s R e l a t i n g t o A t t i t u d e s t o w a r d M a t h e m a t i c s f r o m t h e M a t h e m a t i c s I n v e n t o r y w i t h B r i d g e t ’ 8 R e s p o n s e s 1 0 5 1 3 8 7 0 8 7 1 8 7 7 1 7 7 4 , 7 7 6 7 7 7 7 7 9 7 4 0 7 4 3 7 4 6 7 5 5 T a b l e 1 8 : I t e m s R e l a t i n g t o A t t i t u d e s t o w a r d T e a c h i n g M a t h e m a t i c s f r o m t h e M a t h e m a t i c s I n v e n t o r y w i t h B r i d g e t ’ 5 R e s p o n s e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 5 8 T a b l e 1 9 : I t e m s R e l a t i n g t o C h a r a c t e r i s t i c s o f M a t h e m a t i c s f r o m t h e M a t h e m a t i c s I n v e n t o r y w i t h F e l i c i a ’ s R e s p o n s e s 2 7 4 T a b l e 2 0 : I t e m s R e l a t i n g t o U s e f u l n e s s o f M a t h e m a t i c s f r o m t h e M a t h e m a t i c s I n v e n t o r y w i t h F e l i c i a ’ s R e s p o n s e s 7 7 6 T a b l e 2 1 : I t e m s R e l a t i n g t o C o n c e p t i o n s o f L e a r n i n g a n d T e a c h i n g M a t h e m a t i c s f r o m t h e M a t h e m a t i c s I n v e n t o r y w i t h F e l i c i a ’ s R e s p o n s e s 2 8 0 T a b l e 2 2 : I t e m s R e l a t i n g t o A t t i t u d e s t o w a r d M a t h e m a t i c s f r o m t h e M a t h e m a t i c s I n v e n t o r y w i t h F e l i c i a ' s R e s p o n s e s 2 9 0 T a b l e 2 3 : I t e m s R e l a t i n g t o A t t i t u d e s t o w a r d T e a c h i n g M a t h e m a t i c s f r o m t h e M a t h e m a t i c s I n v e n t o r y w i t h F e l i c i a ’ s R e s p o n s e s 7 9 T a b l e 2 4 : I t e m s R e l a t i n g t o C h a r a c t e r i s t i c s o f M a t h e m a t i c s f r o m t h e M a t h e m a t i c s I n v e n t o r y w i t h C a r o l y n ' s R e s p o n s e s 3 0 9 T a b l e 2 5 : I t e m s R e l a t i n g t o U s e f u l n e s s o f M a t h e m a t i c s f r o m t h e M a t h e m a t i c s I n v e n t o r y w i t h C a r o l y n ’ s R e s p o n s e s 3 1 2 T a b l e 2 6 : I t e m s R e l a t i n g t o C o n c e p t i o n s o f L e a r n i n g a n d T e a c h i n g M a t h e m a t i c s f r o m t h e M a t h e m a t i c s w i t h C a r o l y n ’ s R e s p o n s e s . . . . . . . . . . . . . . . 3 1 4 T a b l e 2 7 : I t e m s R e l a t i n g t o A t t i t u d e s t o w a r d M a t h e m a t i c s f r o m t h e M a t h e m a fi c s I n v e n t o r y w i t h C a r o l y n ’ s R e s p o n s e s 3 7 2 T a b l e 2 8 : I t e m s R e l a t i n g t o A t t i t u d e s t o w a r d T e a c h i n g M a t h e m a t i c s f r o m t h e M a t h e m a t i c s I n v e n t o r y w i t h C a r o l y n ' s R e s p o n s e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 2 5 T a b l e 2 9 : I t e m s R e l a t i n g t o C o n c e p t i o n s o f C h a r a c t e r i s t i c s o f M a t h e m a t i c s f r o m t h e M a t h e m a t i c s I n v e n t o r y w i t h E l i z a b e t h ’ s R e s p o n s e s . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 4 0 T a b l e 3 0 : I t e m s R e l a t i n g t o C o n c e p fi o n s o f t h e U s e f u l n e s s o f M a t h e m a t i c s f r o m t h e M a t h e m a t i c s I n v e n t o r y w i t h E l i z a b e t h ’ s R e s p o n s e s . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 4 5 T a b l e 3 1 : I t e m s R e l a t i n g t o C o n c e p t i o n s o f L e a r n i n g a n d T e a c h i n g M a t h e m a t i c s f r o m t h e M a t h e m a t i c s I n v e n t o r y w i t h E l i z a b e t h ’ s R P S p n n s e s q q l T a b l e 3 2 : I t e m s R e l a t i n g t o A t t i t u d e s t o w a r d M a t h e m a t i c s f r o m t h e M a t h e m a t i c s I n v e n t o r y w i t h E l i z a b e t h ’ s R e s p o n s e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 6 3 T a b l e 3 3 : I t e m s R e l a t i n g t o A t t i t u d e s t o w a r d T e a c h i n g M a t h e m a t i c s f r o m t h e M a t h e m a t i c s I n v e n t o r y w i t h E l i z a b e t h ’ s R e s p o n s e s . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 6 9 x i v L I S T O F F I G U R E S F i g u r e 1 : R e l a t i o n s h i p a m o n g t h e T h r e e E n t i t i e s 1 F i g u r e 2 : R e l a t i o n s h i p w h i c h i s t h e F o c u s o f T h i s S t u d y 2 F i g u r e 3 : S a m p l e o f L i k e r t - t y p e I t e m f r o m t h e M a t h e m a t i c s I n v e n t o r y . . . . . . . . . . . . . . 6 1 F i g u r e 4 : S a m p l e o f O p e n - e n d e d Q u e s t i o n f r o m t h e M a t h e m a t i c s l n v e n t o r y . . . . 6 1 F i g u r e 5 : C o n c e p t M a p A n a l y s i s M a t r i x S a m p l e 6 4 F i g u r e 6 : F r a m e w o r k f o r A n a l y z i n g t h e C o n c e p t i o n s o f a n d A t t i t u d e s t o w a r d M a t h e m a t i c s o f P r o s p e c t i v e E l e m e n t a r y S c h o o l T e a c h e r s . . . . . . . . . . . . 6 8 F i g u r e 7 : B e g i n n i n g M a t h C o n c e p t M a p o f S t u d e n t 1 8 7 9 F i g u r e 8 : F i n a l M a t h C o n c e p t M a p o f S t u d e n t 1 8 8 0 F i g u r e 9 : B e g i n n i n g M a t h C o n c e p t M a p o f S t u d e n t 1 5 8 6 F i g u r e 1 0 : F i n a l M a t h C o n c e p t M a p o f S t u d e n t 1 5 8 6 F i g u r e 1 1 : B e g i n n i n g M a t h C o n c e p t M a p o f S t u d e n t 2 9 8 7 F i g u r e 1 2 : F i n a l M a t h C o n c e p t M a p o f S t u d e n t 2 9 8 8 F i g u r e 1 3 : B e g i n n i n g M a t h C o n c e p t M a p o f S t u d e n t 1 8 9 F i g u r e 1 4 : F i n a l M a t h C o n c e p t M a p o f S t u d e n t 1 9 0 F i g u r e 1 5 : B e g i n n i n g M a t h C o n c e p t M a p o f S t u d e n t 2 8 9 4 F i g u r e 1 6 : B e g i n n i n g M a t h C o n c e p t M a p o f S t u d e n t 3 3 9 5 F i g u r e 1 7 : B e g i n n i n g M a t h C o n c e p t M a p o f S t u d e n t 1 0 1 0 7 F i g u r e 1 8 : F i n a l M a t h C o n c e p t M a p o f S t u d e n t 1 0 1 0 8 F i g u r e 1 9 : B e g i n n i n g M a t h C o n c e p t M a p o f S t u d e n t 3 1 0 8 F i g u r e 2 0 : F i n a l M a t h C o n c e p t M a p o f S t u d e n t 3 1 0 9 F i g u r e 2 1 : B e g i n n i n g M a t h C o n c e p t M a p o f S t u d e n t 1 4 1 1 3 F i g u r e 2 2 : F i n a l M a t h C o n c e p t M a p o f S t u d e n t 7 4 1 1 6 F i g u r e 2 3 : B e g i n n i n g M a t h C o n c e p t M a p o f S t u d e n t 1 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 7 X V F i g u r e 2 4 : F i g u r e 2 5 : F i g u r e 2 6 : F i g u r e 2 7 : F i g u r e 2 8 : F i g u r e 2 9 : F i g u r e 3 0 : F i g u r e 3 1 : F i g u r e 3 2 : F i g u r e 3 3 : F i g u r e 3 4 : F i g u r e 3 5 : F i g u r e 3 6 : F i g u r e 3 7 : F i g u r e 3 8 : F i g u r e 3 9 : F i g u r e 4 0 : F i g u r e 4 1 : ' F i g u r e 4 2 : F i g u r e 4 3 : F i g u r e 4 4 : F i g u r e 4 5 : F i g u r e 4 6 : F i g u r e 4 7 : F i g u r e 4 8 : B e g i n n i n g M a t h C o n c e p t M a p o f S t u d e n t 1 7 F i n a l M a t h C o n c e p t M a p o f S t u d e n t 1 7 B e g i n n i n g M a t h C o n c e p t M a p o f S t u d e n t 5 B e g i n n i n g M a t h C o n c e p t M a p o f S t u d e n t 1 F i n a l M a t h C o n c e p t M a p o f S t u d e n t 1 B e g i n n i n g M a t h C o n c e p t M a p o f S t u d e n t 7 F i n a l M a t h C o n c e p t M a p o f S t u d e n t 7 B e g i n n i n g M a t h C o n c e p t M a p o f S t u d e n t 1 0 F i n a l M a t h C o n c e p t M a p o f S t u d e n t 1 0 B e g i n n i n g M a t h C o n c e p t M a p o f S t u d e n t 2 1 F i n a l M a t h C o n c e p t M a p o f S t u d e n t 2 1 F i n a l M a t h C o n c e p t M a p o f B r i d g e t F i n a l M a t h C o n c e p t M a p o f S t u d e n t 2 7 B e g i n n i n g M a t h C o n c e p t M a p o f S t u d e n t 3 3 B e g i n n i n g M a t h C o n c e p t M a p o f S t u d e n t 2 8 F i n a l M a t h C o n c e p t M a p o f S t u d e n t 1 8 F i n a l M a t h C o n c e p t M a p o f S t u d e n t 9 F i n a l M a t h C o n c e p t M a p o f S t u d e n t 3 3 B e g i n n i n g M a t h C o n c e p t M a p o f B r i d g e t F i n a l M a t h C o n c e p t M a p o f B r i d g e t B e g i n n i n g M a t h C o n c e p t M a p o f F e l i c i a F i n a l M a t h C o n c e p t M a p o f F e l i c i a B e g i n n i n g M a t h C o n c e p t M a p o f C a r o l y n F i n a l M a t h C o n c e p t M a p o f C a r o l y n B e g i n n i n g M a t h C o n c e p t M a p o f E l i z a b e t h x v i 1 2 4 1 2 6 1 4 8 1 5 3 1 5 4 1 5 5 1 5 6 1 5 7 1 5 8 1 5 9 1 6 0 1 8 3 1 8 8 7 0 1 7 0 7 7 1 1 7 1 2 7 3 7 7 7 0 7 7 ] 3 ' 3 6 F i g u r e 4 9 : F i n a l M a t h C o n c e p t M a p o f E l i z a b e t h 3 3 7 C H A P T E R 1 I N T R O D U C T I O N / C O N C E P T U A L I Z A T I O N I n t r o d u c t i o n I n 1 9 6 7 , i n h i s e s s a y , I , T h o u , a n d I t , D a v i d H a w k i n s w r o t e t h a t w h e n t a l k i n g a b o u t t e a c h i n g , p e o p l e o f t e n m a k e a n a l o g i e s a n d f o c u s o n t h e r e l a t i o n s h i p b e t w e e n t h e t e a c h e r a n d t h e s t u d e n t , b u t h e a r g u e d t h a t t h e r e w a s a r e l a t i o n s h i p b e t w e e n t h e t e a c h e r a n d t h e s t u d e n t a n d a l s o a t h i r d t h i n g , n a m e l y t h e s u b j e c t , t h a t w a s n e e d e d t o c o m p l e t e t h e t r i a n g l e . H a w k i n s w r o t e , " A d u l t s a n d c h i l d r e n , l i k e a d u l t s w i t h e a c h o t h e r , ( T e a l c h e r ) c a n a s s o c i a t e w e l l o n l y i n w o r t h y i n t e r e s t s a n d p u r s u i t s , o n l y t h r o u g h a c o m m u n i t y o f s u b j e c t - m a t t e r a n d e n g a g e m e n t w h i c h e x t e n d s b e y o n d T h o u I t t h e c i r c l e o f t h e i r i n t i m a c y . " T h e r e l a t i o n s h i p ( S t u d e n t ) ( S u b j e c t ) . . . . — F i g u r e l : R e l a t i o n s h i a m o a m o n g t h e s e t h r e e e n t i t i e s c a n b e V i s u a l i z e d a s t h e T h r e e E n t i t i ’ e s “ 8 d e p i c t e d i n F i g u r e 1 . T h e r e l a t i o n s h i p b e t w e e n t h e t e a c h e r a n d t h e s u b j e c t w o u l d i n c l u d e t h e t e a c h e r ' s k n o w l e d g e o f t h e s u b j e c t a s w e l l a s h i s o r h e r c o n c e p t i o n s o f t h e s u b j e c t a n d a t t i t u d e t o w a r d i t . L i k e w i s e , t h e l i n e o f t h e t r i a n g l e f r o m t h e s t u d e n t t o t h e s u b j e c t , w o u l d i n c l u d e t h e s t u d e n t ' s k n o w l e d g e o f , c o n c e p t i o n s o f , a n d a t t i t u d e t o w a r d t h e s u b j e c t . F o c u s o f t h e S t u d y T h i s s t u d y i s a n e x a m i n a t i o n o f o n e a s p e c t o f o n e p i e c e o f t h e r e l a t i o n s h i p r e f e r r e d t o b y H a w k i n s , n a m e l y t h e r e l a t i o n s h i p b e t w e e n t h e t e a c h e r a n d t h e s u b j e c t ( i n t h i s c a s e m a t h e m a t i c s ) a s h i g h l i g h t e d i n F i g u r e 2 . T h i s s t u d y w i l l l o o k a t t h e c o n c e p t i o n s o f a n d a t t i t u d e s t o w a r d m a t h e m a t i c s o f a g r o u p o f p r o s p e c t i v e e l e m e n t a r y s c h o o l t e a c h e r s a t t h e b e g i n n i n g o f , t h r o u g h o u t , a t t h e . . I e n d o f , a n d s o o n a f t e r a c o u r s e t h a t I S d e s r g n e d t o ( T e a c h e r ) h e l p s t u d e n t s p r e p a r e t o t e a c h m a t h e m a t i c s . S p e c i fi c a l l y , I a m i n t e r e s t e d i n l o o k i n g a t t h e s e s t u d e n t s ' c o n c e p t i o n s o f w h a t m a t h e m a t i c s i s ( i n T h o u I t t h e d i s c i p l i n e o f m a t h e m a t i c s , i n s c h o o l , a n d ( S t u d e n t ) ( M a t h e m a t i c s h - - - ' 2 : R e l a d a c i d w h i c h ' t h e o u t s 1 d e o f s c h o o l ) a n d a t t h e i r a t t i t u d e s t o w a r d “ 3 ‘ “ M o f ’ t h i s l s ’ M y " m a t h e m a t i c s ( e . g . , h o w t h e y f e e l a b o u t t h e m s e l v e s a s m a t h e m a t i c i a n s a n d l e a r n e r s o f m a t h e m a t i c s a n d h o w t h e y t h i n k a b o u t t h e v a l u e o f m a t h e m a t i c s ) . I a m a l s o i n t e r e s t e d i n l o o k i n g a t t h e s e p r o s p e c t i v e t e a c h e r s ’ c o n c e p t i o n s o f t e a c h i n g m a t h e m a t i c s a n d t h e i r a t t i t u d e s t o w a r d t e a c h i n g m a t h e m a t i c s . P r o b l e m S t a t e m e n t R e s e a r c h o n t e a c h e r s ' a t t i t u d e s a n d b e l i e f s i n d i c a t e t h a t m a n y e l e m e n t a r y s c h o o l t e a c h e r s ( a n d p r o s p e c t i v e t e a c h e r s ) h a v e n e g a t i v e a t t i t u d e s t o w a r d m a t h a n d c o n c e p t i o n s o f w h a t m a t h i s t h a t a r e d i f f e r e n t f r o m t h e v i e w o f m a t h e s p o u s e d b y T h e N a t i o n a l C o u n c i l o f T e a c h e r s o f M a t h e m a t i c s a n d m a n y o t h e r m a t h e m a t i c s r e f o r m e r s ( B e c k e r , 1 9 8 6 ; B u l m a h n & Y o u n g , 1 9 8 2 ; D u t t o n , 1 9 5 4 ; D u t t o n , 1 9 6 2 ; F e n n e m a & S h e r m a n , 1 9 7 6 ; K a n e , 1 9 6 8 ; K e l l y & T o m h a v e , 1 9 8 5 ; N a t i o n a l R e s e a r c h C o u n c i l , 1 9 8 9 ; N C T M , 1 9 8 9 ; N C T M , 1 9 9 1 ; N C T M , 2 0 0 0 ; P e j o u h y , 1 9 9 0 ; R e y s , 1 9 6 8 ; S m i t h , 1 9 6 4 ) . T h e s e r e f o r m e r s a n d N C T M h a v e a d v o c a t e d a p a r t i c u l a r v i s i o n o f t e a c h i n g m a t h e m a t i c s t h a t i s b a s e d o n t h e v i e w t h a t m a t h e m a fi c s i s m o r e t h a n j u s t a c o l l e c t i o n o f c o n c e p t s a n d s k i l l s t o b e m a s t e r e d ; t h a t i t i n c l u d e s " m e t h o d s o f i n v e s t i g a t i n g a n d r e a s o n i n g , m e a n s o f c o m m u n i c a t i o n , a n d n o t i o n s o f c o n t e x t " a n d t h a t b e i n g m a t h e m a t i c a l l y l i t e r a t e h a s a w h o l e d i f f e r e n t m e a n i n g i n t h i s i n f o r m a t i o n a g e t h a n i t d i d i n t h e i n d u s t r i a l a g e ( N C T M , 1 9 8 9 ) . O n p a g e 3 o f i t s P r i n c i p l e s a n d S t a n d a r d s f o r S c h o o l M a t h e m a t i c s ( N C T M , 2 0 0 0 ) , T h e N a t i o n a l C o u n c i l o f T e a c h e r s o f M a t h e m a t i c s d e s c r i b e d a v i s i o n f o r m a t h e m a t i c s e d u c a t i o n : ” I m a g i n e a c l a s s r o o m , a s c h o o l , o r a s c h o o l d i s t r i c t w h e r e a l l s t u d e n t s h a v e a c c e s s t o h i g h - q u a l i t y , e n g a g i n g m a t h e m a t i c s i n s t r u c t i o n . T h e r e a r e a m b i t i o u s e x p e c t a t i o n s f o r a l l , w i t h a c c o m m o d a t i o n f o r t h o s e w h o n e e d i t . K n o w l e d g e a b l e t e a c h e r s h a v e a d e q u a t e r e s o u r c e s t o s u p p o r t t h e i r w o r k a n d a r e c o n t i n u a l l y g r o w i n g a s p r o f e s s i o n a l s . T h e c u r r i c u l u m i s m a t h e m a t i c a l l y r i c h , o f f e r i n g s t u d e n t s o p p o r t u n i t i e s t o l e a r n i m p o r t a n t m a t h e m a t i c a l c o n c e p t s a n d p r o c e d u r e s w i t h u n d e r s t a n d i n g . T e c h n o l o g y i s a n e s s e n t i a l c o m p o n e n t o f t h e e n v i r o n m e n t . S t u d e n t s c o n fi d e n t l y e n g a g e i n c o m p l e x m a t h e m a t i c a l t a s k s c h o s e n c a r e f u l l y b y t e a c h e r s . T h e y d r a w o n k n o w l e d g e f r o m a w i d e v a r i e t y o f m a t h e m a t i c a l t o p i c s , s o m e t i m e s a p p r o a c h i n g t h e s a m e p r o b l e m f r o m d i f f e r e n t m a t h e m a t i c a l p e r s p e c t i v e s o r r e p r e s e n t i n g t h e m a t h e m a t i c s i n d i f f e r e n t w a y s u n t i l t h e y f i n d m e t h o d s t h a t e n a b l e t h e m t o m a k e p r o g r e s s . T e a c h e r s h e l p s t u d e n t s m a k e , r e fi n e , a n d e x p l o r e c o n j e c t u r e s o n t h e b a s i s o f e v i d e n c e a n d u s e a v a r i e o f r e a s o n i n g a n d p r o o f t e c h n i q u e s t o c o n f i r m o r d i s p r o v e o s e c o n j e c t u r e s . S t u d e n t s a r e fl e x i b l e a n d r e s o u r c e f u l p r o b l e m s o l v e r s . A l o n e o r i n g r o u p s a n d w i t h a c c e s s t o t e c h n o l o g y , t h e y w o r k p r o d u c t i v e l y a n d r e fl e c t i v e l y , w i t h t h e s k i l l e d g u i d a n c e o f t h e i r t e a c h e r s . O r a l l y a n d i n w r i t i n g , s t u d e n t s c o m m u n i c a t e t h e i r i d e a s a n d r e s u l t s e f f e c t i v e l y . T h e y v a l u e m a t h e m a t i c s a n d e n g a g e a c t i v e l y i n l e a r n i n g i t . ” T h e r e i s s o m e e v i d e n c e w h i c h I w i l l r e v i e w l a t e r i n t h i s c h a p t e r t h a t s u g g e s t s t h a t t e a c h e r s w i t h i d e a s t h a t a r e c o n s i d e r e d m o r e t r a d i t i o n a l — o r m o r e a b s o l u t i s t — a b o u t w h a t m a t h i s w o n ' t t e a c h m a t h i n t h e w a y s t h a t t h e s e r e f o r m e r s a n d t h e N C T M u r g e ( T h o m p s o n , 1 9 8 4 ; T h o m p s o n , 1 9 9 2 ) . T h e r e f o r e , i f w e w a n t t e a c h e r s t o t e a c h m a t h i n t h e w a y t h e N C T M a n d o t h e r r e f o r m e r s u r g e , w e m a y n e e d t o c h a n g e s o m e a t t i t u d e s a n d c o n c e p t i o n s o f p r o s p e c t i v e e l e m e n t a r y s c h o o l t e a c h e r s w h o w i l l t e a c h m a t h e m a t i c s . I n o r d e r t o t h i n k a b o u t c h a n g i n g t h e b e l i e f s o f p r o s p e c t i v e t e a c h e r s , w e n e e d t o k n o w m o r e a b o u t w h a t t h e y a r e a n d s o m e t h i n g a b o u t t h e i r " n a t u r a l h i s t o r y " a s t h e y l e a r n a b o u t m a t h t e a c h i n g . I n o t h e r w o r d s , i f c h a n g i n g c o n c e p t i o n s i s i m p o r t a n t , i t w o u l d b e g o o d t o s e e w h a t t h e p r o c e s s o f c h a n g e l o o k s l i k e . I t w o u l d a l s o b e u s e f u l t o l e a r n a b o u t w h i c h c o n c e p t i o n s a n d a t t i t u d e s a r e m o r e l i k e l y t o c h a n g e u n d e r p a r t i c u l a r c i r c u m s t a n c e s a n d w h i c h s t a y t h e s a m e . I n w h a t f o l l o w s I w i l l l o o k i n m o r e d e t a i l a t s o m e o f t h o s e i s s u e s a n d a t t h e r e s e a r c h c i t e d i n o r d e r t o f l e s h o u t t h e a r g u m e n t s u m m a r i z e d h e r e . B u t fi r s t I w i l l l a y o u t t h e r e s e a r c h q u e s t i o n s w h i c h f o l l o w f r o m t h e a r g u m e n t . R e s e a r c h Q u e s t i o n s T h e o v e r a r c h i n g q u e s t i o n t h a t t h i s s t u d y i s d e s i g n e d t o i n v e s t i g a t e i s w h a t c o n c e p t i o n s o f a n d a t t i t u d e s t o w a r d m a t h e m a t i c s p r o s p e c t i v e e l e m e n t a r y t e a c h e r s b r i n g t o a c o u r s e d e s i g n e d t o h e l p p r e p a r e t h e m t o t e a c h m a t h e m a t i c s a n d h o w o r w h e t h e r t h e s e c o n c e p t i o n s c h a n g e / a n d o r d e v e l o p a c r o s s t h e d u r a t i o n o f t h e c o u r s e . S p e c i fi c a l l y , t h i s s t u d y i s d e s i g n e d t o a d d r e s s t h e f o l l o w i n g q u e s t i o n s : 1 . W h a t a r e t h e c o n c e p t i o n s o f m a t h e m a t i c s o f t h e s e p r o s p e c t i v e e l e m e n t a r y t e a c h e r s a t t h e b e g i n n i n g o f t h e c o u r s e ? W h a t a r e t h e i r c o n c e p t i o n s o f m a t h e m a t i c s a t t h e e n d o f t h e c o u r s e ? W h a t i s t h e d i f f e r e n c e b e t w e e n t h e s e c o n c e p t i o n s a t t h e b e g i n n i n g a n d e n d o f t h e s t u d y ? W h a t m i g h t t h i s c h a n g e ( o r l a c k o f c h a n g e ) l o o k l i k e i n a n i n d i v i d u a l s t u d e n t ? 2 . W h a t a r e t h e c o n c e p t i o n s o f l e a r n i n g a n d t e a c h i n g m a t h e m a t i c s o f t h e s e p r o s p e c t i v e e l e m e n t a r y t e a c h e r s a t t h e b e g i n n i n g o f t h e c o u r s e ? W h a t a r e t h e i r c o n c e p t i o n s o f l e a r n i n g a n d t e a c h i n g m a t h e m a t i c s a t t h e e n d o f t h e c o u r s e ? W h a t i s t h e d i f f e r e n c e b e t w e e n t h e s e c o n c e p t i o n s a t t h e b e g i n n i n g a n d e n d o f t h e s t u d y ? W h a t m i g h t t h i s c h a n g e ( o r l a c k o f c h a n g e ) l o o k l i k e i n a n i n d i v i d u a l s t u d e n t ? 3 . W h a t a r e t h e a t t i t u d e s t o w a r d m a t h e m a t i c s o f t h e s e p r o s p e c t i v e e l e m e n t a r y t e a c h e r s a t t h e b e g i n n i n g o f t h e c o u r s e ? W h a t a r e t h e i r a t t i t u d e s t o w a r d m a t h e m a t i c s a t t h e e n d o f t h e c o u r s e ? W h a t i s t h e d i f f e r e n c e b e t w e e n t h e s e a t t i t u d e s a t t h e b e g i n n i n g a n d e n d o f t h e s t u d y ? W h a t m i g h t t h i s c h a n g e ( o r l a c k o f c h a n g e ) l o o k l i k e i n a n i n d i v i d u a l s t u d e n t ? 4 . W h a t a r e t h e a t t i t u d e s t o w a r d t e a c h i n g m a t h e m a t i c s o f t h e s e p r o s p e c t i v e e l e m e n t a r y t e a c h e r s a t t h e b e g i n n i n g o f t h e c o u r s e ? W h a t a r e t h e i r a t t i t u d e s t o w a r d t e a c h i n g m a t h e m a t i c s a t t h e b e g i n n i n g o f t h e c o u r s e ? W h a t i s t h e d i f f e r e n c e b e t w e e n t h e s e a t t i t u d e s a t t h e b e g i n n i n g a n d e n d o f t h e s t u d y ? W h a t m i g h t t h i s c h a n g e ( o r l a c k o f c h a n g e ) l o o k l i k e i n a n i n d i v i d u a l s t u d e n t ? O n e w a y t o v i s u a l i z e t h e o v e r a r c h i n g q u e s t i o n s o f t h i s s t u d y i s w i t h t h e f o l l o w i n g t a b l e ( S e e T a b l e 1 ) : T a b l e 1 : R e s e a r c h Q u e s t i o n s f o r t h i s S t u d y M a t h W h a t a r e t h e S t u d e n t s ’ a t ' ‘ C o n c e p t i o n s o f a t t h e e n d o f t h e S t u d y ? W h a t a r e t h e S t u d e n t s ’ fi h m d fl e m ? w . . A t t i t u d e s t o w a r d a t t h e e n d o f t h e S t u d y ? a t t h e a i d o f t h e S t u d y ? R a t i o n a l e f o r t h i s S t u d y C e n t r a l t o t h e r e l a t i o n s h i p b e t w e e n t h e t e a c h e r a n d m a t h e m a t i c s a r e t h e t e a c h e r s ' c o n c e p t i o n s o f m a t h e m a t i c s — w h a t i t i s , w h a t i t m e a n s t o d o m a t h , w h e r e a n d w h e n i t o c c u r s , w h a t c o u n t s a s m a t h e m a t i c a l k n o w l e d g e — a n d t h e i r a t t i t u d e s t o w a r d m a t h e m a t i c s — t h e i r c o n f i d e n c e i n t h e i r o w n a b i l i t i e s a s w e l l a s t h e i r f e e l i n g s o f t h e w o r t h o f m a t h e m a t i c s . M a n y e d u c a t o r s a n d r e s e a r c h e r s b e l i e v e t h a t t h e s e i d e a s a b o u t m a t h e m a t i c s i n fl u e n c e t h e w a y p r o s p e c t i v e e l e m e n t a r y s c h o o l t e a c h e r s t h i n k a n d f e e l a b o u t t e a c h i n g m a t h ( D o s s e y , 1 9 9 2 ; E r n e s t , 1 9 9 1 ) , a r g u i n g , f o r e x a m p l e , t h a t p r o s p e c t i v e t e a c h e r s w h o t h i n k o f m a t h e m a t i c s a s a s t a t i c b o d y o f k n o w l e d g e c o n s i s t i n g o f i s o l a t e d f a c t s m i g h t b e i n c l i n e d t o t h i n k i t s h o u l d b e t a u g h t a s a r i t h m e t i c c o m p u t a t i o n t h a t i s l e a r n e d t h r o u g h r e p e a t e d p r a c t i c e w i t h e x e r c i s e s t h a t a r e f o u n d i n a t e x t b o o k ( J e s u n a t h a d a s , 1 9 9 0 ; W i l c o x , S c h r a m , L a p p a n , 8 r L a n i e r , 1 9 9 1 ) . W i t h t h i s v i e w , a p p l i c a t i o n s a n d c o n n e c t i o n s w i t h o t h e r s u b j e c t s , m a t h e m a t i c a l c o n c e p t s , o r t h e w o r l d o u t s i d e t h e c l a s s r o o m m a y n o t b e m a d e . O n t h e o t h e r h a n d , a p r o s p e c t i v e e l e m e n t a r y s c h o o l t e a c h e r w i t h a b r o a d e r v i e w o f m a t h e m a t i c s m i g h t h a v e a d i f f e r e n t v i e w o f h o w m a t h e m a t i c s s h o u l d b e t a u g h t . T h i s t e a c h e r m i g h t fi n d w a y s t o h e l p s t u d e n t s s e e m a t h a s m o r e t h a n t h e e x e r c i s e s i n t h e i r t e x t b o o k a n d m i g h t p r o v i d e e x p e r i e n c e s t h a t w o u l d h e l p t h e m m a k e o t h e r c o n n e c t i o n s ( A l l e n , 1 9 9 1 ) . A l s o , t h e e x p e r i e n c e o f s o m e m a t h e m a t i c s e d u c a t o r s s u g g e s t s t h a t e v e n w h e n t e a c h e r s a r e g i v e n a c u r r i c u l u m t o u s e t h a t i s d e s i g n e d t o h e l p t h e m t e a c h c o n c e p t u a l l y — o r g o t o w o r k s h o p s t o h e l p t r a i n t h e m t o t e a c h t h a t w a y — t h e y c a n s t i l l u s e t h o s e a c t i v i t i e s a n d m a t e r i a l s t o t e a c h i n a w a y t h a t t r e a t s m a t h a s a s e t o f r u l e s e v e n t h o u g h t h e i r t e a c h i n g m a y l o o k , a t fi r s t g l a n c e , m o r e c o n c e p t u a l ( L a p p a n , P e r s o n a l C o m m u n i c a t i o n ; B o u c k , P e r s o n a l C o m m u n i c a t i o n ) . A c c o r d i n g t o t h e s e m a t h e d u c a t o r s , i t w a s n e c e s s a r y f o r t h e t e a c h e r s ' c o n c e p t i o n s o f m a t h e m a t i c s t o c h a n g e i n o r d e r f o r t h e m t o b e a b l e t o u s e t h e m a t e r i a l s a s t h e y w e r e i n t e n d e d . S i n c e t h e r e i s m u c h t h e o r e t i c a l a n d e m p i r i c a l e v i d e n c e , w h i c h w i l l b e r e v i e w e d l a t e r , t o s u g g e s t t h a t t e a c h e r s ' c o n c e p h ' o n s o f m a t h e m a t i c s a f f e c t t h e w a y t h e y t e a c h i t , a n e x a m i n a t i o n o f t h e c o n c e p t i o n s o f a n d a t t i t u d e s t o w a r d m a t h e m a t i c s o f p r o s p e c t i v e e l e m e n t a r y s c h o o l t e a c h e r s w h o w i l l b e t e a c h i n g m a t h e m a t i c s i s a v a l u a b l e u n d e r t a k i n g f o r a n y o n e i n t e r e s t e d i n m a t h e m a t i c s e d u c a t i o n i n t h e e l e m e n t a r y s c h o o l , e s p e c i a l l y t h o s e w h o a r e i n v o l v e d i n t h e p r e p a r a t i o n o f t h e s e p r o s p e c t i v e t e a c h e r s . U n d e r s t a n d i n g p r o s p e c t i v e e l e m e n t a r y t e a c h e r s ’ c o n c e p t i o n s o f a n d a t t i t u d e s t o w a r d m a t h e m a t i c s i s a c r u c i a l s t e p i n c a r r y i n g o u t t h e r e f o r m s t h a t h a v e b e e n a d v o c a t e d i n r e c e n t y e a r s ( N C T M , 2 0 0 0 ; N C T M , 1 9 9 5 ; N C T M , 1 9 9 1 ; N C T M , 1 9 8 9 ) b e c a u s e w e c a n n o t c h a l l e n g e t h e s e c o n c e p t i o n s a n d a t t i t u d e s w i t h o u t f i r s t k n o w i n g w h a t t h e y a r e . R e s e a r c h l i t e r a t u r e i s r e p l e t e w i t h fi n d i n g s t h a t s u g g e s t m o s t p r o s p e c t i v e e l e m e n t a r y t e a c h e r s i n t e a c h e r e d u c a t i o n p r o g r a m s d o n o t h a v e p o s i fi v e a t t i t u d e s t o w a r d m a t h e m a t i c s a n d a r e n o t c o n fi d e n t i n t h e i r a b i l i t i e s r e l a t e d t o m a t h e m a t i c s ( B a l l , 1 9 8 8 ; B e c k e r , 1 9 8 6 ; D u t t o n , 1 9 6 2 ; K a n e , 1 9 6 8 ; K e l l y a n d T o m h a v e , 1 9 8 5 ; L a r s o n , 1 9 8 3 ; R e y s a n d D e l o n , 1 9 6 8 ; S m i t h , 1 9 6 4 ) . M a n y o f t h e s e a t t i t u d e s a r e r e l a t e d t o t h e e x p e r i e n c e s p r o s p e c t i v e t e a c h e r s h a d t h e m s e l v e s a s s t u d e n t s o f m a t h e m a t i c s , a n d t h i s v i e w a f f e c t s t h e w a y t h e y u l t i m a t e l y t e a c h m a t h . T h o s e w h o w e r e s u c c e s s f u l i n m a t h e m a t i c s m a y t h i n k t h e p a t t e r n s o f t e a c h i n g t h e y s a w a r e a p p r o p r i a t e f o r t e a c h i n g , a n d e v e n t h o s e w h o s t r u g g l e d i n m a t h m a y s t i l l a s s u m e t h a t w h a t t h e y e x p e r i e n c e d i s h o w m a t h s h o u l d b e t a u g h t ( B a l l , 1 9 8 9 ; J e s u n a t h a d a s , 1 9 9 0 ) . I f w e w a n t t h e r e f o r m s t h a t a r e c u r r e n t l y b e i n g a d v o c a t e d t o b e e n a c t e d , w e h a v e a l o n g w a y t o g o w i t h a l l w h o a r e i n v o l v e d w i t h m a t h e m a t i c s e d u c a t i o n , a n d p a r t i c u l a r l y w i t h p r o s p e c t i v e e l e m e n t a r y t e a c h e r s . O n e w a y o f l o o k i n g a t w h e r e w e w a n t t h e p r o s p e c t i v e t e a c h e r s t o g o i s N C T M ’ s C u r r i c u l u m a n d E v a l u a t i o n S t a n d a r d s f o r S c h o o l M a t h e m a t i c s w h o s e p u b l i c a t i o n i n 1 9 8 9 h a d a p r o f o u n d i m p a c t o n m a t h e m a t i c s e d u c a t o r s b o t h i n t h e U . S . a n d i n t e r n a t i o n a l l y ( a l t h o u g h t h e N C T M h a s p u b l i s h e d t h r e e m o r e i m p o r t a n t a n d i n fl u e n t i a l S t a n d a r d s v o l u m e s s i n c e 1 9 8 9 , t h e s e g o a l s c o n t i n u e t o s h a p e t h e v i s i o n o f m a n y t e a c h e r s a n d r e f o r m e r s ) . T h i s v o l u m e i d e n t i f i e d fi v e g o a l s f o r s t u d e n t s : ( 1 ) l e a r n i n g t o v a l u e m a t h e m a t i c s ; ( 2 ) b e c o m i n g c o n fi d e n t i n o n e ' s o w n a b i l i t y ; ( 3 ) b e c o m i n g a m a t h e m a t i c a l p r o b l e m s o l v e r ; ( 4 ) l e a r n i n g t o c o m m u n i c a t e m a t h e m a t i c a l l y ; a n d ( 5 ) l e a r n i n g t o r e a s o n m a t h e m a t i c a l l y . I t s e e m s r e a s o n a b l e t o a l s o e x p e c t t h e s e s t u d e n t s ' t e a c h e r s t o h a v e t h e s e s a m e c h a r a c t e r i s t i c s , b u t t h e r e i s e v i d e n c e t h a t t h e y o f t e n d o n o t — e s p e c i a l l y t e a c h e r s o f e l e m e n t a r y s t u d e n t s — a n d m a y b e p a r t o f t h e i r t e a c h e r p r e p a r a t i o n p r o g r a m s h o u l d h e l p t h e m a t t a i n t h e m . T h e l a s t t h r e e g o a l s i d e n t i f i e d a r e m o r e c o n n e c t e d t o t h e s u b j e c t m a t t e r k n o w l e d g e o f m a t h e m a t i c s , a n d r e s e a r c h i n d i c a t e s t h a t m o s t p r o s p e c t i v e e l e m e n t a r y t e a c h e r s d o n o t k n o w w h a t t h e y n e e d t o k n o w a b o u t m a t h e m a t i c s t o b e a b l e t o t e a c h i t a s h a s b e e n e n v i s i o n e d b y t h e N C T M a n d o t h e r s ( F l o d e n , M c D i a r m i d , 8 r W i e m e r s , 1 9 9 0 ) . T h e fi r s t t w o g o a l s ( l e a r n i n g t o v a l u e m a t h e m a t i c s a n d b e c o m i n g c o n f i d e n t i n o n e ' s o w n a b i l i t y ) a r e d i r e c t l y r e l a t e d t o t h i s s t u d y . I n a d d i t i o n , E r n e s t ( 1 9 9 1 ) a n d D o s s e y ( 1 9 9 2 ) m a k e a c o n v i n c i n g t h e o r e t i c a l a r g u m e n t t h a t a p h i l o s o p h y o f m a t h e m a t i c s a f f e c t s t h e w a y m a t h e m a t i c s i s t a u g h t . M o s t p r o s p e c t i v e e l e m e n t a r y t e a c h e r s h a v e w h a t E r n e s t d e s c r i b c s a s a n a b s o l u t i s t v i e w o f m a t h e m a t i c s — t h e v i e w t h a t m a t h e m a t i c a l k n o w l e d g e c o n s i s t s o f c e r t a i n a n d u n c h a l l e n g e a b l e t r u t h s — a n d t h a t i s i n c o n s i s t e n t w i t h t h e v i s i o n o f t e a c h i n g m a t h e m a t i c s t h a t i s c u r r e n t l y b e i n g r e c o m m e n d e d a n d c o m m e n d e d a s w i l l b e e l a b o r a t e d f u r t h e r i n s u b s e q u e n t s e c t i o n s o f t h i s c h a p t e r . O f c o u r s e , i t ' s d i f f i c u l t t o h a v e a n y e f f e c t o n c h a n g i n g o r c h a l l e n g i n g t h e s e p r o s p e c t i v e e l e m e n t a r y t e a c h e r s ' i d e a s a b o u t m a t h e m a t i c s w i t h o u t fi r s t u n d e r s t a n d i n g w h a t t h e y a r e . A m a j o r p u r p o s e o f t h i s s t u d y i s t o l e a r n m o r e a b o u t t h e s e c o n c e p t i o n s a n d a t t i t u d e s . A n o t h e r p u r p o s e o f d r i s s t u d y i s t o l e a r n a b o u t h o w o r w h e t h e r t h e s e c o n c e p t i o n s a n d a t t i t u d e s c h a n g e a n d / o r d e v e l o p d u r i n g t h e t i m e t h e s e p r o s p e c t i v e t e a c h e r s a r e t a k i n g a c o u r s e t h a t i s d c s i g n e d t o h e l p p r e p a r e t h e m t o t e a c h m a t h e m a t i c s t o e l e m e n t a r y s c h o o l c h i l d r e n . T h e p u r p o s e o f t h i s s t u d y i s n o t t o d i s e n t a n g l e c a u s e a n d e f f e c t i n r e l a t i o n t o s u c h a c o u r s e a n d t h e q u e s t i o n s t h a t a r e a d d r e s s e d b y t h i s s t u d y . R a t h e r , i t i s t o l o o k a t t h e d e v e l o p m e n t o f t h e s e c o n c e p t i o n s a n d a t t i t u d e s a t d i f f e r e n t p o i n t s a c r o s s a s e m e s t e r i n w h i c h t h e s e p r o s p e c t i v e t e a c h e r s a r e t a l k i n g , r e a d i n g , w r i t i n g , a n d l e a r n i n g a b o u t v a r i o u s p e r s p e c t i v e s o n m a t h e m a t i c s a n d m a t h e m a t i c s t e a c h i n g a n d l e a r n i n g — m a n y o f w h i c h m a y b e d i f f e r e n t f r o m p e r s p e c t i v e s t h e y a r e f a m i l i a r w i t h . T e a c h e r p r e p a r a t i o n i s a n o p p o r t u n e t i m e t o e x a m i n e t h e d e v e l o p m e n t o f t h c s e b e l i e f s a n d a t t i t u d e s s i n c e i t i s w h e n t h c s e s t u d e n t s a r e a p t ( f o r c e d , e v e n ) t o t h i n k a b o u t m a t h e m a t i c s a n d t h e i r r e l a t i o n s h i p t o i t . B a c k g r o u n d I n t h e p a s t f o u r d e c a d e s , m a n y s t u d i e s h a v e b e e n c o n d u c t e d t o l e a r n a b o u t t h e a t t i t u d e s t o w a r d m a t h e m a t i c s o f p r o s p e c t i v e e l e m e n t a r y t e a c h e r s . T h e s e w o r k s h a v e l a i d a f o u n d a t i o n f o r a p a r t o f m y r e s e a r c h . A d d i t i o n a l l y , i n t h e p a s t t w o d e c a d e s a n u m b e r o f s t u d i e s h a v e b e e n b a s e d o n fi r e a s s u m p t i o n t h a t t e a c h e r s ' b e l i e f s ( w h i c h a r e i n e s s e n c e w h a t I a m c a l l i n g ” c o n c e p t i o n s ” ) a b o u t t h e s u b j e c t t h e y a r e t e a c h i n g i n fl u e n c e t h e i r p r a c t i c e . T h i s s e e m s t o b e a n e a s y c l a i m f o r p e o p l e t o m a k e s i n c e m a n y w o u l d c o n s i d e r t h a t n o t i o n t o b e " c o m m o n s e n s e . " H o w e v e r , c o m m o n s e n s e i s u s u a l l y n o t e n o u g h b a s i s f o r a s s u m p t i o n s i n e d u c a t i o n a l r e s e a r c h , a n d m a n y h a v e t r i e d , t h r o u g h t h e o r y , p h i l o s o p h y , a n d r e s e a r c h , t o g i v e t h i s a s s u m p t i o n m o r e f o u n d a t i o n . T h i s a s s u m p t i o n h a s b e e n t h e b a s i s f o r r e s e a r c h e x a m i n i n g t e a c h e r s ’ b e l i e f s a n d l o o k i n g a t c h a n g e i n t h c s e b e l i e f s . T h e s e t h e o r e t i c a l , p h i l o s o p h i c a l , a n d e m p i r i c a l w o r k s a l l l a y t h e g r o u n d w o r k f o r m y r e s e a r c h . T h e n e x t f e w s e c t i o n s w i l l p r e s e n t a n o v e r v i e w o f t h i s w o r k . I w i l l b e g i n b y l o o k i n g a t t h e p h i l o s o p h i c a l a n d t h e o r e t i c a l f o u n d a t i o n s o f t h i s l i n e o f r e s e a r c h a n d t h e n r e v i e w t h e r e l a t e d e m p i r i c a l r e s e a r c h . I w i l l f o l l o w e a c h s e c t i o n w i t h d r o u g h t s a b o u t w h a t w e h a v e l e a r n e d f r o m t h i s r e s e a r c h a n d w h a t q u e s t i o n s i t r a i s e s . P h i l o s o p h i c a l a n d T h e o r e t i c a l F o u n d a t i o n s o f T h i s R e s e a r c h T h i s l i n e o f r e s e a r c h h a s a t i t s f o u n d a t i o n m a n y p h i l o s o p h i c a l a n d t h e o r e t i c a l c o n s i d e r a t i o n s . I n t h i s s e c t i o n , s o m e o f t h e s e c o n s i d e r a t i o n s w i l l b e d i s c u s s e d i n c l u d i n g t h e d i s t i n c t i o n b e t w e e n b e l i e f s a n d k n o w l e d g e , v a r i o u s p h i l o s o p h i e s o f m a t h e m a t i c s a n d v a r i o u s p e r s p e c t i v e s o n t e a c h i n g m a t h e m a t i c s a s w e l l a s s o m e o f t h e fl i e o r e t i c a l f o r m d a t i o n s o f t h i s r e s e a r c h a n d m y t h o u g h t s a b o u t t h e s e t h e o r e t i c a l w o r k s . T h e Q u e s t i o n o f B e l i e f s v s . K n o w l e d g e i n M a t h e m a t i c s . A q u e s t i o n r e l a t e d t o t h i s t y p e o f s t u d y t h a t h a s b e e n a v o i d e d b y s o m e b u t a t t a c k e d b y o t h e r s i s t h e q u e s t i o n o f d i s t i n g u i s h i n g b e l i e f s a n d k n o w l e d g e . S o m e r e s e a r c h e r s h a v e a s s u m e d t h a t r e a d e r s k n o w w h a t b e l i e f s a r e ; o t h e r s h a v e r e c o g n i z e d t h a t t h e d i s t i n c t i o n s b e t w e e n b e l i e f s a n d k n o w l e d g e a r e o f t e n f u z z y a n d t h a t t e a c h e r s f r e q u e n t l y t r e a t t h e i r b e l i e f s a s k n o w l e d g e . W h i l e s o m e h a v e d i s m i s s e d t h e d i s t i n c t i o n a s b e i n g a r g u a b l e f o r e d u c a t i o n a l r e s e a r c h o r f u t i l e b e c a u s e o f t h e b r o a d n e s s o f t h e i r c h a r a c t e r i z a t i o n s , o t h e r s f e l t t h a t s o m e d i s t i n c t i o n i s n e e d e d t o p r o v i d e c o m m o n g r o u n d ( T h o m p s o n , 1 9 9 2 ) . S o m e o f t h e d i s t i n c t i o n s t h a t h a v e b e e n o f f e r e d h a v e p r o v e n t o b e u s e f u l i n g r o u n d i n g r e s e a r c h o n b e l i e f s , a n d t h e r e f o r e , a d i s c u s s i o n o f s o m e o f t h e d i s t i n c t i o n s s e e m s v a l u a b l e h e r e . I n e v e r y d a y u s e k n o w l e d g e i s u s u a l l y u s e d w h e n r e f e r r i n g t o f a m i l i a r i t y o r u n d e r s t a n d i n g o f s o m e t h i n g g e n e r a l l y t h o u g h t o f a s " r e " t r u t h , w h e r e a s b e l i e f u s u a l l y r e f e r s t o a c o n v i c t i o n o f s o m e i d e a t h a t i s n o t n e c e s s a r i l y t h o u g h t o f a s f a c t u a l l y - b a s e d t r u t h . O n e o f t h e t h i n g s t h a t m a k e s t h i s d i s t i n c t i o n c o m p l i c a t e d i s t h a t a t d i f f e r e n t t i m e s , s o m e t h i n g t h a t i s c o n s i d e r e d t o b e k n o w l e d g e c a n b e c o n s i d e r e d b e l i e f , a n d i d e a s t h a t a r e c o n s i d e r e d t o b e b e l i e f s c a n , a t a n o t h e r t i m e , b e c o n s i d e r e d k n o w l e d g e . A n e x a m p l e o f t h a t i s i n P r e - C o l u m b i a n d a y s w h e n t h e w o r l d w a s c o n s i d e r e d t o b e fl a t . I n t h o s e d a y s , t h a t i d e a w a s c o n s i d e r e d k n o w l e d g e b y t h o s e w h o l e a r n e d i t , b u t n o w w e r e g a r d t h a t i d e a a s h a v i n g b e e n a b e l i e f . T h e r e a r e o t h e r t h i n g s t h a t w e r e o n c e c o n s i d e r e d t o b e b e l i e f s o f p e o p l e t h a t a r e n o w c o n s i d e r e d t o b e k n o w l e d g e . A n o t h e r c o m p l i c a t i n g a s p e c t o f t h i s d i s t i n c t i o n i s t h a t e v e n a t t h e s a m e t i m e i d e a s c a n b e c o n s i d e r e d t o b e b e l i e f o r k n o w l e d g e b a s e d o n t h e p e r s o n ' s p e r c e p t i o n . T h i s i s e s p e c i a l l y t r u e o f r e l i g i o u s t e n e t s w h i c h s o m e c o n s i d e r t o b e k n o w l e d g e , b u t o t h e r s c o n s i d e r t o b e b e l i e f s . 1 0 T h e r e a r e s o m e d i s t i n c t i o n s b e t w e e n b e l i e f s a n d k n o w l e d g e t h a t a r e q u i t e g e n e r a l l y a c c e p t e d a m o n g t h o s e w h o d i s t i n g u i s h t h e m f o r r e s e a r c h p u r p o s e s . O n e o f t h e s e i s t h a t b e l i e f s c a n b e h e l d w i t h v a r y i n g d e g r e e s o f c o n v i c t i o n . A n o t h e r i s t h a t b e l i e f c a r r i e s w i t h i t s o m e c o n n o t a t i o n o f d i s p u t a b i l i t y , a n d t h e b e l i e v e r r e a l i z e s t h a t o t h e r s m a y t h i n k d i f f e r e n t l y . M o s t p h i l o s o p h e r s a g r e e t h a t t r u t h o r c e r t a i n t y i s a s s o c i a t e d w i t h k n o w l e d g e a n d t h a t d i s p u t a b i l i t y i s a s s o c i a t e d w i t h b e l i e f s . A n o t h e r d i s t i n c t i o n t h a t i s g e n e r a l l y a g r e e d u p o n i s t h e i d e a t h a t t h e r e a r e p r o c e d u r e s f o r e v a l u a t i n g a n d v a l i d a t i n g k n o w l e d g e , a n d t h a t i t m u s t m e e t c e r t a i n c r i t e r i a i n v o l v i n g c a n o n s o f e v i d e n c e . O n t h e o t h e r h a n d , b e l i e f s c a n b e j u s t i fi e d f o r r e a s o n s t h a t d o n o t m e e t t h e s e c r i t e r i a ( T h o m p s o n , 1 9 9 2 ) . N e s p o r ( 1 9 8 7 ) e x p l a i n e d b e l i e f s y s t e m s t h i s w a y , B e l i e f s y s t e m s o f t e n i n c l u d e a f f e c t i v e f e e l i n g s a n d e v a l u a t i o n s , v i v i d m e m o r i e s o f p e r s o n a l e x p e r i e n c e s , a n d a s s u m p t i o n s a b o u t t h e e x i s t e n c e o f e n t i t i e s a n d a l t e r n a t i v e w o r l d s , a l l o f w h i c h a r e s i m p l y n o t o p e n t o o u t s i d e e v a l u a t i o n o r c r i t i c a l e x a m i n a t i o n i n t h e s a m e s e n s e t h a t t h e c o m p o n e n t s o f k n o w l e d g e s y s t e m s a r e ( p . 3 2 1 ) . N e s p o r ( 1 9 8 7 ) a t t e m p t e d t o p r o v i d e a m o d e l o f b e l i e f s y s t e m s t h a t w a s g r o u n d e d i n t h e o r i e s o f c o g n i t i v e p s y c h o l o g y t h e o r i e s a n d t h a t c o u l d s e r v e a s a f r a m e w o r k f o r c o m p a r a t i v e a n d s y s t e m a t i c i n v e s t i g a t i o n s . S h e i d e n t i fi e d f o u r f e a t u r e s t h a t c o u l d s e r v e t o d i s t i n g u i s h b e l i e f s f r o m k n o w l e d g e . T h e s e a r e e x i s t e n t i a l p r e s u m p t i o n , ( t h e i d e a t h a t b e l i e f s y s t e m s c o n t a i n p r o p o s i t i o n s o r a s s u m p t i o n s a b o u t t h e e x i s t e n c e o r n o n e x i s t e n c e o f e n t i t i e s s u c h a s G o d , a s s a s s i n a t i o n c o n s p i r a c i e s , a n d e v e n b e l i e f s a b o u t s t u d e n t s t h a t b e c o m e l a b e l s f o r e n t i t i e s s u c h a s a b i l i t y , m a t u r i t y , a n d l a z i n e s s ) ; a l t e r n a t i v i t y ( t h e r e p r e s e n t a t i o n o f a l t e r n a t i v e w o r l d s o r a l t e r n a t i v e r e a l i t y ) ; a fl e c t i v e a n d e v a l u a t i v e l o a d i n g ( f e e l i n g s , m o o d s , a n d s u b j e c t i v e e v a l u a t i o n s b a s e d o n p e r s o n a l p r e f e r e n c e s ) ; a n d e p i s o d i c s t r u c t u r e ( s t o r e d m a t e r i a l d e r i v e d f r o m p e r s o n a l e x p e r i e n c e o r f r o m c u l t u r a l o r i n s t i t u t i o n a l s o u r c e s o f k n o w l e d g e t r a n s m i s s i o n ) . S h e a l s o i d e n t i f i e d t w o o t h e r f e a t u r e s : 3 : l i t y a n d ' ‘ ‘ w h i c h s h e s a w a s b e i n g u s e f u l 1 1 f o r c h a r a c t e r i z i n g t h e w a y b e l i e f s a r e o r g a n i z e d a s s y s t e m s . N o n - c o n s e n s u a l i t y r e f e r s t o t h e p r i n c i p l e o f d i s p u t a b i l i t y a s s o c i a t e d w i t h b e l i e f s y s t e m s . U n b o u n d e d n e s s r e f e r s t o t h e c h a r a c t e r i s t i c t h a t b e l i e f s y s t e m s c a n b e d e s c r i b e d a s " l o o s e l y - b o u n d e d s y s t e m s w i t h h i g h l y v a r i a b l e a n d u n c e r t a i n l i n k a g e s t o e v e n t s , s i t u a t i o n s , a n d k n o w l e d g e s y s t e m s . " P h i l o s o p h i e s o f M a t h e m a t i c s . M a n y h a v e t r i e d t o i d e n t i f y d i s t i n c t p h i l o s o p h i e s o f m a t h e m a t i c s , a n d t h e i r c a t e g o r i e s h a v e p r o v i d e d r e s e a r c h e r s a t e m p l a t e f o r g r o u p i n g t e a c h e r s b y t h e i r b e l i e f s a b o u t m a t h e m a t i c s . T h e s e p h i l o s o p h i e s c a n b e t h o u g h t o f a s c o n c e p t i o n s o f t h e n a t u r e o f m a t h e m a t i c s w h i c h i n c l u d e c o n s c i o u s o r s u b c o n s c i o u s b e l i e f s , c o n c e p t s , m e a n i n g s , r u l e s , m e n t a l i m a g e s , a n d p r e f e r e n c e s c o n c e r n i n g t h e d i s c i p l i n e o f m a t h e m a t i c s ( T h o m p s o n , 1 9 9 2 ) . T h e s e e l e m e n t s m a y n o t b e d e v e l o p e d i n s u c h a w a y t h a t t h e y c o u l d b e a r t i c u l a t e d b y a g i v e n p e r s o n , b u t t h e y i n fl u e n c e t h i s p e r s o n ' s p h i l o s o p h y n e v e r t h e l e s s . T h e p h i l o s o p h i e s t h a t h a v e a p p e a r e d t o h a v e t h e m o s t i m p a c t o n t h i s l i n e o f r c s e a r c h w i l l b e r e v i e w e d h e r e . B l a i r e ( 1 9 8 1 ) i d e n t i fi e d f o u r m o v e m e n t s f o r m a t h e m a t i c s : l o g i c i s m i n w h i c h m a t h e m a t i c s i s r e d u c e d t o l o g i c , fi r r m a l i s m i n w h i c h m a t h e m a t i c s i s t r e a t e d a s t h e m a n i p u l a t i o n o f c o n c r e t e o b j e c t s b y f i n i t e m e t h o d s , i n t u i t i o n i s m i n w h i c h m a t h e m a t i c a l a c t i v i t y i s e x p l a i n e d a s t h e m e n t a l c o n s t r u c t i o n o f s y s t e m s , a n d h y p o t h e t i c a l w h i c h i s a c o n c e n t r a t i o n o n t h e h y p o t h e s i z i n g f e a t u r e o f m a t h e m a t i c s . I n a n a r t i c l e p u b l i s h e d i n t h e s a m e j o u r n a l a s t h e a r t i c l e r e f e r r e d t o i n t h e p r e c e d i n g p a r a g r a p h , L e r m a n ( 1 9 8 3 ) c r i t i c i z e d B l a i r e ' s i d e a s . H e a r g u e d t h a t t h e r e a r e o n l y t w o d i s t i n c t m o v e m e n t s i n p h i l o s o p h y o f m a t h e m a t i c s a n d t w o t e a c h i n g p e r s p e c t i v e s t h a t r e s u l t f r o m t h e s e . T h e fi r s t m o v e m e n t i s w h a t h e c a l l s t h e E u c l i d e a n p r o g r a m m e , d e s c r i b e d a s a n a t t e m p t t o b a s e m a t h e m a t i c s o n fi r m f o u n d a t i o n s , w h i c h p r o d u c e s t h e k n o w l e d g e - c e n t r e d t e a c h i n g p e r s p e c t i v e . T h e 1 2 o t h e r m o v e m e n t i s t h e q u a s i - e m p i r i c a l p r o g r a m m e d e s c r i b e d a s t h e r e c o g n i t i o n t h a t m a t h e m a t i c s p r o g r e s s e s h e u r i s t i c a l l y w h i c h l e a d s t o a p r o b l e m - s o l v i n g t e a c h i n g p e r s p e c t i v e . H e c l a i m s t h a t B l a i r e ' s f o u r t h c a t e g o r y , h y p o t h e t i c a l , i s s i m i l a r t o t h e a p p r o a c h t o m a t h e m a t i c a l k n o w l e d g e d e s c r i b e d b y I r n r e L a k a t o s i n h i s b o o k P r o o f s a n d R e f u t a t i o n s . L e r m a n a r g u e s t h a t t h i s i s n o t a f o u r t h c a t e g o r y o f a p h i l o s o p h y o f w h a t m a t h e m a t i c s i s , b u t a w a y o f t h i n k i n g a b o u t a n d l e a r n i n g a b o u t m a t h e m a t i c s . E r n e s t c a t e g o r i z e s p h i l o s o p h i e s o f m a t h e m a t i c s i n t o t w o m a i n a r e a s . O n e a r e a i s t h e a b s o l u t i s t v i e w t h a t m a t h e m a t i c a l t r u t h i s a b s o l u t e l y c e r t a i n a n d t h a t m a t h e m a t i c s i s a r e a l m o f c e r t a i n , u n q u e s t i o n a b l e , a n d o b j e c t i v e k n o w l e d g e — p e r h a p s t h e o n l y o n e . T h e o t h e r a r e a i s t h e f a l l i b i s t v i e w t h a t m a t h e m a t i c a l t r u t h i s i r n p r o v a b l e a n d c a n n e v e r b e r e g a r d e d a s b e i n g a b o v e r e v i s i o n a n d c o r r e c t i o n . E r n e s t a l s o w r o t e o f o t h e r p h i l o s o p h i e s o f m a t h e m a t i c s i n c l u d i n g p r o g r e s s i v e a b s o l u t i s m , P l a t o n i s m , c o n v e n t i o n a l i s m , e m p i r i c i s m , q u a s i - e m p i r i c i s m , a n d s o c i a l c o n s t r u c t i v i s m . E r n e s t f u r t h e r e x p a n d e d o n t h e t w o a r e a s o f t h e a b s o l u t i s t a n d f a l l i b i s t v i e w s . H e s e e s t h e a b s o l u t i s t v i e w a s i n c l u d i n g l o g i c i s m , f o r m a l i s m , a n d c o n s t r u c t i v i s m s t r a n d s . L o g i c i s m i s t h e s c h o o l o f t h o u g h t t h a t r e g a r d s p u r e m a t h e m a t i c s a s a p a r t o f l o g i c . F o r m a l i s m i s t h e v i e w t h a t m a t h e m a t i c s i s a m e a n i n g l e s s f o r m a l g a m e p l a y e d w i t h m a r k s o n p a p e r , f o l l o w i n g r u l e s . T h e c o n s t r u c t i v i s m s t r a n d i n t h e a b s o l u t i s t v i e w i s t h e i d e a t h a t m a t h e m a t i c a l k n o w l e d g e n e e d s t o b e r e c o n s t r u c t e d i n o r d e r t o p r o t e c t i t f r o m c o n t r a d i c t i o n a n d l o s s o f m e a n i n g . E r n e s t p r o p o s e s s o c i a l c o n s t r u c t i v i s m a s a n e w p h i l o s o p h y t h a t h e t h i n k s d e s c r i b e s m a t h e m a t i c s m o r e a c c u r a t e l y t h a n t h e o t h e r v i e w s . I n f o r m u l a t i n g t h i s p h i l o s o p h y , h e d r a w s o n o t h e r p h i l o s o p h i e s , p a r t i c u l a r l y c o n v e n t i o n a l i s m a n d q u a s i - e m p i r i c i s m . I n t h i s p h i l o s o p h y , m a t h e m a t i c s i s v i e w e d a s a s o c i a l 1 3 c o n s t r u c t i o n . I t a c c e p t s t h e i d e a f r o m c o n v e n t i o n a l i s m t h a t h u m a n l a n g u a g e a s w e l l a s r u l e s a n d a g r e e m e n t p l a y a n i m p o r t a n t r o l e i n e s t a b l i s h i n g a n d j u s t i f y i n g t h e t r u t h s o f m a t h e m a t i c s . I t t a k e s t h e f a l l i b i s t e p i s t e m o l o g y o f q u a s i - e m p i r i c i s m w i t h t h e i d e a s t h a t m a t h e m a t i c s k n o w l e d g e a n d c o n c e p t s d e v e l o p a n d c h a n g e a n d t h a t i t d o e s t h i s t h r o u g h c o n j e c t u r e s a n d r e f u t a t i o n s u t i l i z i n g a l o g i c o f m a t h e m a t i c a l d i s c o v e r y . H e n o t e s t h r e e g r o u n d s h e u s e s f o r d c s c r i b i n g m a t h e m a t i c a l k n o w l e d g e a s a s o c i a l c o n s t r u c t i o n a n d f o r a d o p t i n g t h a t n a m e : 1 . T h e b a s i s o f m a t h e m a t i c a l k n o w l e d g e i s l i n g u i s t i c k n o w l e d g e , c o n v e n t i o n s a n d r u l e s , a n d l a n g u a g e i s a s o c i a l c o n s t r u c t i o n . 2 . I n t e r p e r s o n a l s o c i a l p r o c e s s e s a r e r e q u i r e d t o t u r n a n i n d i v i d u a l ' 5 s u b j e c t i v e m a t h e m a t i c a l k n o w l e d g e , a f t e r p u b l i c a t i o n , i n t o a c c e p t e d o b j e c t i v e m a t h e m a t i c a l k n o w l e d g e . 3 . O b j e c t i v i t y i t s e l f w i l l b e u n d e r s t o o d t o b e s o c i a l . P e r s p e c t i v e s o n M a t h e m a t i c s T e a c h i n g . M o s t o f t h o s e w h o h a v e p r o v i d e d c a t e g o r i e s o f p h i l o s o p h y o f m a t h e m a t i c s h a v e a l s o o f f e r e d c o r r e s p o n d i n g c a t e g o r i e s o f t e a c h i n g p e r s p e c t i v e s . B l a i r e ( 1 9 8 1 ) s u g g e s t s f o u r m o v e m e n t s o f m a t h e m a t i c s t e a c h i n g : ( 1 ) t h e t e a c h i n g o f m a t h e m a t i c s a s a n a r t — f o r m ( v a l u i n g m a t h e m a t i c s i n " a l l i t s b e a u t y " a n d c r e a t i n g p r o o f s t o d e m o n s t r a t e t h a t b e a u t y ) ; ( 2 ) t h e t e a c h i n g o f m a t h e m a t i c s a s a g a m e ( f o c u s i n g o n u s i n g g a m e s s u c h a s B a t t l e s h i p t o t e a c h c o o r d i n a t e s a n d t e a c h i n g t h a t " e a c h p a r t o f m a t h e m a t i c s h a s r u l e s f o r e v e r y t h i n g t h a t o n e i s a l l o w e d t o d o , a n d p r o c e d u r e s , b y w h i c h o n e c a n r e c o g n i z e t h a t o n e h a s c o m p l e t e d , n o t t h e ' w h o l e g a m e ' , b u t o n e p a r t o f i t " ) ; ( 3 ) t h e t e a c h i n g q ‘ m a t h e m a t i c s a s a m e m b e r o f t h e n a t u r a l s c i e n c e s ( U s i n g t h e e x p e r i m e n t a l m e t h o d b y t e s t i n g a n d m o d i f y i n g h y p o t h e s e s ) , a n d ( 4 ) t h e t e a c h i n g o f m a t h e m a t i c s a s t e c h n o l o g i c a l l y - o r i e n t e d ( u s i n g d i a g r a m m a t i c s o l u t i o n s s u c h a s f l o w c h a r t s t o s o l v e p r o b l e m s , f o c u s i n g o n t h e a p p l i c a t i o n o f t h e t o o l s o f o n e b r a n c h o f m a t h e m a t i c s t o a n o t h e r , a n d e m p h a s i z i n g a p p l i c a b i l i t y o f s o l u t i o n s ) . H e a l s o w r i t e s t h a t p e r h a p s t h e r e i s a f i f t h p e r s p e c t i v e — m a t h e m a t i c s a s a l a n g u a g e — b u t h e w r i t e s 1 4 t h a t " [ m ] a fi r e m a t i c s c a n o n l y b e i d e n t i fi e d w i t h a r e s t r i c t e d u s e o f t h e w o r d ' l a n g u a g e ' , f o r n o s e t o f s y m b o l s h e l d u n d e r a fi g h t s y n t a c t i c s t r u c t u r e c a n h a v e t h e ' r i c h ' s e m a n t i c f o r m o n e e x p e c t s o f o r d i n a r y l a n g u a g e . " B l a i r e p r e f e r s t h e t e c h n o l o g i c a l - o r i e n t a t i o n s i n c e h e c l a i m s t h a t i t m e e t s t h e d e s i r e s o f b o t h t h e p u r e m a t h e m a t i c i a n a n d fi r e i n d u s t r i a l i s t . E r n e s t ( 1 9 9 1 ) i d e n t i fi e d f i v e d i s t i n c t i d e o l o g i e s o f s c h o o l m a t h e m a t i c a l k n o w l e d g e . T h e s e a r e i n d u s t r i a l t r a i n e r , t e c h n o l o g i c a l p r a g m a t i s t , o l d h u m a n i s t , p r o g r e s s i v e m a t h e m a t i c s e d u c a t o r , a n d p u b l i c e d u c a t o r . T h e s e i d e o l o g i e s w i l l b e b r i e fl y d e s c r i b e d i n t h e f o l l o w i n g p a r a g r a p h s . T h e i n d u s t r i a l t r a i n e r i d e o l o g y e m b o d i e s t h e v i e w t h a t m a t h e m a t i c s i s a c l e a r b o d y o f k n o w l e d g e a n d t e c h n i q u e s , t h a t i t i s m a d e u p o f f a c t s a n d s k i l l s , a n d t h a t i t m u s t b e k e p t f r e e f r o m t h e t a i n t o f c r o s s - c u r r i c u l a r l i n k s a n d s o c i a l v a l u e s . I n i n s t r u c t i o n , t h i s t r a n s l a t e s i n t o t h e t r a n s m i s s i o n o f k n o w l e d g e a s a s t r e a m o f f a c t s t o b e l e a r n e d a n d c o n s i s t s o f r o t e l e a r n i n g , m e m o r i z a t i o n , p r a c t i c e o f s k i l l s , a n d h a r d a p p l i c a t i o n s i n s c h o o l " w o r k " o f fi r e s u b j e c t . T h e t e c h n o l o g i c a l p r a g m a t i s t i d e o l o g y v i e w s m a t h e m a t i c s a s c o n s i s t i n g o f t w o p a r t s : p u r e m a t h e m a t i c a l s k i l l s ( i n t h a t m a t h e m a t i c s i s a n u n q u e s t i o n e d b o d y o f u s e f u l k n o w l e d g e ) , p r o c e d u r e s , f a c t s , a n d k n o w l e d g e a s t o o l s t o b e m a s t e r e d a n d a p p l i c a t i o n s a n d u s e s o f m a t h e m a t i c s ( w i t h i n c r e a s i n g c o m p l e x i t y ) a s t h e v i t a l p a r t t h a t j u s t i fi e s a n d m o t i v a t e s t h e s t u d y . I n t r i n s i c v a l u e s , c r e a t i v i t y , a n d p a t t e r n a r e i n s i g n i fi c a n t i n t h i s i d e o l o g y b e c a u s e fi r e y a r e c o n c e r n e d w i t h " t h e p u r s u i t o f s c i e n c e a n d c r a f t , d e s i g n a n d t e c h n o l o g y . " I n t e a c h i n g m a t h e m a t i c s , t h i s i m p l i e s s k i l l i n s t r u c t i o n a n d t e a c h i n g t h e a r t o f a p p l y i n g m a t h . T h e e m p h a s i s i s o n a p p l i e d p r o b l e m s o l v i n g , a n d m o t i v a t i o n i s t h r o u g h w o r k r e l e v a n c e . T h e o l d h u m a n i s t i d e o l o g y e m b o d i e s t h e v i e w . o f m a t h e m a t i c s a s a p u r e , h i e r a r c h i c a l l y s t r u c t u r e d , s e l f — s u b s i s t e n t b o d y o f o b j e c t i v e k n o w l e d g e . T h e 1 5 h i g h e r u p , t h e m o r e p u r e , r i g o r o u s , a n d a b s t r a c t t h e m a fi r e m a t i c s , t h e m o r e ' r e a l ' i t i s . T h e t e a c h e r i n a n o l d h u m a n i s t p e r s p e c t i v e i s a l e c t u r e r a n d e x p l a i n e r w h o u s e s v a r i o u s a p p r o a c h e s , d e m o n s t r a t i o n s , a n d a c t i v i t i e s t o f a c i l i t a t e l e a r n i n g a n d u n d e r s t a n d i n g . T h e r e l a t i o n s h i p b e t w e e n t h e t e a c h e r a n d s t u d e n t i s o n e i n w h i c h t h e m a s t e r ( t e a c h e r ) t r a n s m i t s k n o w l e d g e t o fi r e p u p i l . T h e p r o g r e s s i v e m a t h e m a t i c s e d u c a t o r s e e s m a t h e m a t i c s a s t h e v e h i c l e f o r d e v e l o p i n g t h e w h o l e c h i l d . M a t h e m a t i c s i s c o n s i d e r e d a l a n g u a g e a n d s o m e fi r i n g t h a t i s c r e a t i v e w i t h a h u m a n s i d e . T h e p r o c e s s e s o f m a t h e m a t i c a l p r o b l e m s o l v i n g a n d i n v e s t i g a t i n g s u c h a s g e n e r a l i z i n g , c o n j e c t u r i n g , a b s t r a c t i n g , s y m b o l i z i n g , s t r u c t u r i n g , a n d j u s t i f y i n g a r e p r o m i n e n t i n t h i s v i e w a s i s t h e c r o s s - c u r r i c u l a r l i n k . T h e t e a c h e r w i t h fi r i s i d e o l o g y p r o v i d e s e n c o u r a g e m e n t , f a c i l i t a t i o n , a n d a r r a n g e m e n t o f s t r u c t u r e d e n v i r o n m e n t s a n d s i t u a t i o n s f o r e x p l o r a t i o n s . T h e t e a c h e r i s a f a c i l i t a t o r o f l e a r n i n g w h o n o n - i n t r u s i v e l y g u i d e s h e r s t u d e n t s . T h e p u b l i c e d u c a t o r r e fl e c t s t h e n a t u r e o f m a t h e m a t i c s a s a s o c i a l c o n s t r u c t i o n . T h e t e a c h e r w i t h t h i s i d e o l o g y u s e s g e n u i n e d i s c u s s i o n , c o o p e r a t i v e g r o u p w o r k , a u t o n o m o u s p r o j e c t s , a l e a r n e r - q u e s t i o n i n g e d u c a t i o n a l e n v i r o n m e n t , a n d s o c i a l l y r e l e v a n t m a t e r i a l s t o t e a c h t h a t " a l l k n o w l e d g e i s c u l t u r e - b o u n d , v a l u e - l a d e n , i n t e r c o n n e c t e d a n d b a s e d o n h u m a n a c t i v i t y a n d [ i ] n q u i r y " a n d t h a t fi r e " g e n e s i s a n d t h e j u s t i fi c a t i o n o f k n o w l e d g e a r e u n d e r s t o o d t o b e s o c i a l , b e i n g l o c a t e d i n h u m a n a g r e e m e n t . " E r n e s t f a v o r s t h e p u b l i c e d u c a t o r t h e o r y o f t e a c h i n g m a t h e m a t i c s s i n c e i t i s c o n s i s t e n t w i t h h i s v i e w t h a t m a t h e m a t i c s i s s o c i a l l y c o n s fi ' u c t e d . T h e i d e a o f m a t h e m a t i c s a s s o m e t h i n g t h a t i s s o c i a l l y c o n s t r u c t e d a n d c o n t i n u a l l y i n t h e m a k i n g i s t h e v i e w t h a t i s m o s t c u r r e n t l y e s p o u s e d b y p r o m i n e n t m a t h e m a t i c s e d u c a t o r s . T h i s i s e v i d e n t i n t h e N a t i o n a l C o u n c i l o f T e a c h e r s o f M a t h e m a t i c s ' P r i n c i p l e s a n d S t a n d a r d s f o r S t a n d a r d s f o r S c h o o l 1 6 M a t h e m a t i c s ( 2 0 0 0 ) w h i c h a d v o c a t e s a c o n c e p t i o n o f t e a c h i n g i n w h i c h " d o i n g " i s m o r e i m p o r t a n t t h a n " k n o w i n g t h a t " a n d i n w h i c h s t u d e n t s e n g a g e i n p u r p o s e f u l a c t i v i t i e s t h a t g r o w o u t o f p r o b l e m s i t u a fi o n s w h i c h r e q u i r e r e a s o n i n g a n d c r e a t i v e t h i n k i n g , g a t h e r i n g a n d a p p l y i n g i n f o r m a t i o n , i n v e n t i n g , d i s c o v e r i n g , c o m m u n i c a t i n g i d e a s , a n d t e s t i n g fi r o s e i d e a s t h r o u g h c r i t i c a l r e fl e c t i o n a n d a r g u m e n t a t i o n ( N C T M , 2 0 0 0 ; T h o m p s o n , 1 9 9 2 ) . T h e o r e t i c a l F o u n d a t i o n s o f T h i s C l a i m . M u c h o f t h e e v i d e n c e t h a t e d u c a t o r s a n d r e s e a r c h e r s u s e t o s u p p o r t t h e c l a i m t h a t t e a c h e r s ' b e l i e f s a b o u t t h e s u b j e c t m a t t e r t h e y a r e t e a c h i n g i n fl u e n c e t h e w a y t h e y t e a c h i t h a s b e e n t h e o r e t i c a l i n n a t u r e . M u c h o f fi r i s h a s b e e n w r i t t e n i n s o r t o f c o m m o n - s e n s i c a l w a y s s u c h a s w h e n B l a i r e ( 1 9 8 1 ) w r o t e , W h i l e n o c l a i m i s t o b e m a d e t h a t t h e r e i s a n e c e s s a r y c o n n e c t i o n b e t w e e n a p a r t i c u l a r p h i l o s o p h y o f m a fi r e m a t i c s a n d a p a r t i c u l a r t e a c h i n g p e r s p e c t i v e , i t m a y b e l e f t t o t h e i n d i v i d u a l t o f e e l , fi r a t t h e a c c e p t a n c e o f a p a r t i c u l a r p h i l o s o p h y o f m a t h e m a fi c s , m a m o r e r e a d i l y l e a d t o o n e t e a c h i n g p e r s p e c t i v e r a t h e r t h a n t o a n o e r . ( p . 1 4 8 ) B l a i r e ( 1 9 8 1 ) , h o w e v e r , w h e n w r i t i n g o f t h e c o n n e c t i o n b e t w e e n p h i l o s o p h i e s o f m a t h e m a t i c s a n d t h e i r c o n n e c t i o n s t o p e r s p e c t i v e s i n m a t h e m a t i c s t e a c h i n g , a l s o g a v e t h i s c a v e a t : I t i s c l e a r fi r a t s u c h t i g h t l o g i c a l c o n n e c t i o n s c a n n o t b e d r a w n , w h e n o n e d i s c u s s e s fi r e c o m p l e x i t i e s o f s u c c e s s f u l t e a c h i n g . T h e t e a c h e r m a y c h o o s e r i g h t l y t o d o w h a t w i l l m o t i v a t e h i s c l a s s , r a t h e r t h a n w h a t w i l l c o n n e c t i m m e d i a t e l y t o h i s l o n g - t e r m a i m , o f s h o w i n g fi r a t m a t h e m a t i c s r e s t s o n a f o r m a l i s t f o u n d a t i o n . L e r m a n ( 1 9 8 3 ) h a d a v i e w s o m e w h a t d i f f e r e n t f r o m B l a i r e ' s . H e a r g u e d t h a t t h e r e l a t i o n s h i p b e t w e e n a t e a c h e r ' s p h i l o s o p h y o f m a t h e m a t i c s a n d t h e t e a c h e r ' s t e a c h i n g p e r s p e c t i v e i s m u c h s t r o n g e r t h a n B l a i r e s u g g e s t s . H e s u g g e s t e d t h a t " o n e ' s p e r s p e c t i v e o f m a t h e m a t i c s t e a c h i n g i s a l o g i c a l c o n s e q u e n c e o f o n e ' s e p i s t e m o l o g i c a l c o m m i t m e n t i n r e l a t i o n t o m a t h e m a t i c a l k n o w l e d g e , a n d n o t m e r e l y o n e o f e x p e d i e n c y i n r e s p o n s e t o s o c i e t a l p r e s s u r e s , l 7 o r o f p e d a g o g i c a l c o n v e n i e n c e . " L e r m a n w r o t e o f t h e " s e r i o u s s i t u a t i o n " i n m a t h e m a t i c s t e a c h i n g w h i c h w a s t h e r e s u l t o f m o s t s t u d e n t s n o t e n j o y i n g t h e s u b j e c t o r s e e i n g i t s v a l u e a n d b e i n g u n a b l e t o a p p l y t h e m a t h e m a t i c a l k n o w l e d g e t h e y p o s s e s s . L e r m a n a r g u e d t h a t b e c a u s e o f fi r i s " s e r i o u s s i t u a t i o n " t h a t " t h e i s s u e s r a i s e d i n c o n s i d e r i n g t h e i n fl u e n c e o f t h e p h i l o s o p h y o f m a t h e m a t i c s o n t e a c h i n g s t y l e a r e o f m a j o r s i g n i fi c a n c e i n a n y a t t e m p t t o a l t e r t h i s s i t u a t i o n . " N e s p o r ( 1 9 8 7 ) a r g u e d t h a t t e a c h e r s ' b e l i e f s p l a y a m a j o r r o l e f o r t e a c h e r s i n d e fi n i n g t e a c h i n g t a s k s a n d o r g a n i z i n g fi r e k n o w l e d g e a n d i n f o r m a t i o n c o n s i d e r e d t o b e r e l e v a n t t o t h o s e t a s k s . S h e a r g u e d t h a t t h i s i s s o b e c a u s e t h e c o n t e x t s a n d e n v i r o n m e n t s i n w h i c h t e a c h e r s w o r k , a s w e l l a s m a n y o f t h e p r o b l e m s t h e y e n c o u n t e r , a r e i l l - d e fi n e d a n d d e e p l y e n t a n g l e d , c r e a t i n g a s i t u a t i o n i n w h i c h b e l i e f s a r e p a r t i c u l a r l y s u i t e d f o r m a k i n g s e n s e o f s u c h c o n t e x t s . E r n e s t ( a s r e p o r t e d b y T h o m p s o n , 1 9 9 2 ) i d e n t i fi e d t h r e e e l e m e n t s fi r a t i n fl u e n c e t h e p r a c t i c e o f m a t h e m a t i c s t e a c h i n g : 1 . T h e t e a c h e r ' s m e n t a l c o n t e n t s o r s c h e m a s , p a r t i c u l a r l y t h e s y s t e m o f b e l i e f s c o n c e r n i n g m a t h e m a t i c s a n d i t s t e a c h i n g a n d l e a r n i n g ; 2 . T h e s o c i a l c o n t e x t o f t h e t e a c h i n g s i t u a t i o n , p a r t i c u l a r l y fi r e c o n s h - a i n t s a n d o p p o r t u n i t i e s i t p r o v i d e s ; a n d , 3 . T h e t e a c h e r ' s l e v e l o f t h o u g h t p r o c e s s e s a n d r e fl e c t i o n . I t i s i n t e r e s t i n g t o n o t e fi r e i m p o r t a n c e o f fi r e t e a c h e r s ' l e v e l o f r e fl e c t i o n o n t h e i r m a t h e m a t i c s t e a c h i n g . T h i s i s s o m e fi r i n g t h a t h a s a l s o b e e n a r g u e d b y o t h e r s i n c l u d i n g D e w e y ( 1 9 3 3 ) a n d S c h o n ( 1 9 8 7 ) . I n a l a t e r w o r k , E r n e s t ( 1 9 9 1 ) a g a i n i n d i c a t e d h i s b e l i e f t h a t t e a c h e r s ' p e r f o r m a n c e a s t e a c h e r s d e p e n d s f u n d a m e n t a l l y o n t h e i r b e l i e f s a b o u t m a t h e m a t i c s i n m a n y w a y s . I n f a c t , a t t h e b e g i n n i n g o f h i s b o o k , h e m a d e t h e a r g u m e n t , " M u c h i s m a d e o f t h e a b s o l u t i s t - f a l l i b i s t d i s t i n c t i o n b e c a u s e . . . . fi r e 1 8 c h o i c e o f w h i c h o f t h e s e t w o p h i l o s o p h i c a l p e r s p e c t i v e s i s a d o p t e d i s p e r h a p s t h e m o s t i m p o r t a n t e p i s t e m o l o g i c a l f a c t o r u n d e r l y i n g t h e t e a c h i n g o f m a t h e m a t i c s . " O n e o f fi r e w a y s h e p o i n t e d o u t h o w t e a c h e r s ' p h i l o s o p h i e s o f m a t h e m a t i c s a f f e c t t h e i r t e a c h i n g w a s b y d e s c r i b i n g h o w w h e n t e a c h e r s a r e g i v e n r e c o m m e n d a t i o n s o f c u r r i c u l a r r e f o r m s , t h e y a s s i m i l a t e t h o s e c o n c e p t s i n t o t h e i r o w n p e r s p e c fi v e s a n d u n d e r s t a n d t h e m a c c o r d i n g l y . H e a l s o a c k n o w l e d g e s t h a t t h e r e a r e s e v e r a l fi r i n g s fi r a t i n fl u e n c e t h i s r e l a t i o n s h i p s u c h a s t h e o p p o r t u n i t i e s a n d c o n s t r a i n t s a f f o r d e d b y t h e s o c i a l c o n t e x t o f t e a c h i n g . T h o u g h t s a b o u t T h e o r e t i c a l W o r k s . T h e fi r e o r e t i c a l w o r k s I r e a d c a n b e h e l p f u l i n d o i n g r e s e a r c h l o o k i n g a t fi r e r e l a t i o n s h i p b e t w e e n t e a c h e r s ' b e l i e f s a b o u t m a t h e m a t i c s a n d fi r e i r i n s t r u c t i o n , b u t n o t a l w a y s e a s i l y . I n m y s t u d y , I a m n o t l o o k i n g a t t e a c h i n g p r a c t i c e s , b u t t h e s e t h e o r e t i c a l w o r k s a s s i s t m e i n t h i n k i n g a b o u t t h e i m p o r t a n c e o f fi r e s t u d e n t s ’ p h i l o s o p h i e s — w h e fi r e r t h e y a r e l i k e l y t o i n fl u e n c e t h e i r p r a c t i c e o r w h y t h e y m i g h t i n fl u e n c e ( o r f a i l t o i n fl u e n c e ) p r a c t i c e . I n s t e a d o f t e l l i n g m e h o w t o d o m y r e s e a r c h , fi r e s e w o r k s s u p p o r t fi r e v a l u e o f i t . O n e o f t h e t h i n g s t h a t h e l p s m e f e e l c o n fi d e n t a b o u t c o n s i d e r i n g t h e m i s fi r a t a l fi r o u g h fi r e t h e o r i s t s g i v e d i f f e r e n t l a b e l s t o fi r e i r c a t e g o r i e s , t h e r e i s m u c h a g r e e m e n t a b o u t t h e c h a r a c t e r i s t i c s o f fi r e d i f f e r e n t c a t e g o r i e s . T h e y d o n o t a l l h a v e fi r e s a m e n u m b e r o f c a t e g o r i e s , b u t o f t e n , c a t e g o r i e s o f o n e c a n b e s e e n a s s u b s e t s o f c a t e g o r i e s o f a n o fi r e r . T h i s s e e m s t o p r o v i d e s o m e v a l i d i t y f o r fi r e i r c a t e g o r i z a t i o n s . S o m e o f fi r e c a t e g o r i e s s e e m l i k e t h e y c o u l d b e u s e d q u i t e e a s i l y a s a b a s i s o r t e m p l a t e f o r d o i n g e m p i r i c a l r e s e a r c h , b u t s o m e o f t h e c a t e g o r i e s a n d d e fi n i t i o n s fi r e y w r i t e a b o u t s e e m s l i p p e r y . F o r e x a m p l e , E r n e s t ( 1 9 9 1 ) w r i t e s a b o u t t w o c a t e g o r i e s a n d t h e n l a t e r w r i t e s o f s e v e r a l c a t e g o r i e s . I t ' s n o t c l e a r h o w h e c a t e g o r i z e s d i f f e r e n t p h i l o s o p h i e s o f m a fi r e m a t i c s . T o u s e h i s c a t e g o r i e s o n e w o u l d h a v e t o p r e s u m e w h a t w a s i n t e n d e d b y h i m . W h i l e m a n y o f t h e 1 9 c a t e g o r i e s o f f e r e d b y t h e fi r e o r i s t s s e e m l i k e t h e y c o u l d b e u s e d f o r e m p i r i c a l r e s e a r c h , I a m n o t a w a r e i f m a n y o f t h e m h a v e b e e n u s e d a s a f o u n d a t i o n . A n o fi r e r fi r i n g t h a t r a i s e s s u s p i c i o n a b o u t s o m e o f t h e fi r e o r i e s i s fi r a t t h e w r i t e r s c l a i m r e s e a r c h f o u n d a t i o n s , b u t t h e y d o n o t c i t e t h e m . I t w o u l d b e m o r e u s e f u l t o k n o w w h a t e v i d e n c e s u p p o r t s t h e s e c a t e g o r i e s . R e v i e w o f E m p i r i c a l R e s e a r c h R e l a t e d t o M y R e s e a r c h Q u e s t i o n s - M u c h r e s e a r c h h a s b e e n c o n c l u d e d i n fi r e p a s t f o u r d e c a d e s t h a t i s r e l a t e d t o m y r e s e a r c h q u e s t i o n s . I n t h e f o l l o w i n g s e c t i o n s , I w i l l r e v i e w m u c h r e l e v a n t r e s e a r c h . I w i l l b e g i n b y r e v i e w i n g t h e r e s e a r c h t h a t h a s b e e n d o n e r e l a t e d t o p r o s p e c t i v e t e a c h e r s ’ a t t i t u d e s t o w a r d m a fi r e m a t i c s a n d t e a c h i n g m a t h e m a t i c s . I w i l l t h e n r e v i e w fi r e r e s e a r c h t h a t h a s f o c u s e d o n t e a c h e r s ’ / p r o s p e c t i v e t e a c h e r s ’ b e l i e f s a b o u t m a fi r e m a t i c s a n d t e a c h i n g m a t h e m a t i c s . T h e n e x t s e c t i o n w i l l b e a r e v i e w o f r e s e a r c h t h a t h a s l o o k e d a t b o fi r b e l i e f s a n d a t t i t u d e s o f p r o s p e c t i v e t e a c h e r s i n r e l a t i o n t o m a t h e m a t i c s . F i n a l l y , I w i l l s u m m a r i z e t h e m a i n fi n d i n g s o f fi r e s e s t u d i e s , a n d I w i l l t h e n h i g h l i g h t s o m e o f m y o b s e r v a t i o n s a b o u t fi r e s t r e n g t h s a n d w e a k n e s s o f fi r e w o r k s I r e a d . A H i s t o r i c a l R e v i e w o f R e s e a r c h R e l a t i n g t o A t t i t u d e s . T h e r e w a s l i t t l e r e s e a r c h d o n e o n e i t h e r b e l i e f s o r a t t i t u d e s d u r i n g t h e 1 9 3 0 5 , 4 0 s , a n d 5 0 5 . I n t h e 1 9 6 0 s , h o w e v e r , s e v e r a l r e s e a r c h p r o j e c t s i n v e s t i g a t e d a t t i t u d e s o f e l e m e n t a r y t e a c h e r s t o w a r d m a t h ( T h o m p s o n , 1 9 9 2 ) . D u t t o n ( 1 9 5 4 ) a p p e a r s t o h a v e s p a r k e d s o m e o f fi r i s r e n e w e d i n t e r e s t w h e n i n 1 9 5 4 , h e p u b l i s h e d a n a r t i c l e e r r t i fi e d " M e a s u r i n g A t t i t u d e s T o w a r d A r i t h m e t i c " i n w h i c h h e d e s c r i b e d a p r o c e d u r e h e u s e d t o d e t e r m i n e a t t i t u d e s t o w a r d a r i fi r m e t i c o f p r o s p e c t i v e t e a c h e r s . T h r o u g h q u a n t i t a t i v e p r o c e d u r e s h e d e v e l o p e d a n a t t i t u d e s c a l e w i fi r s c a l e v a l u e s f o r e a c h s t a t e m e n t t h a t w a s u s e d f o r fi r i s p u r p o s e . T h i s i n s t r u m e n t w a s a l s o u s e d t o d e t e r m i n e w h e n p r e s e r v i c e e l e m e n t a r y e d u c a t i o n m a j o r s r e p o r t e d t h a t t h e s e 2 0 a t t i t u d e s t o w a r d a r i t h m e t i c w e r e d e v e l o p e d . T h e a r t i c l e d e s c r i b e d t h e d e v e l o p m e n t o f fi r e s c a l e a s w e l l a s fi n d i n g s o b t a i n e d u s i n g t h i s s c a l e . D u t t o n a r g u e d fi r a t a t t i t u d e s t o w a r d a r i t h m e t i c c o u l d b e m e a s u r e d o b j e c t i v e l y a n d fi r a t s i g n i fi c a n t d a t a c o u l d b e o b t a i n e d t h a t w o u l d b e h e l p f u l i n e d u c a t i n g p r o s p e c t i v e e l e m e n t a r y s c h o o l t e a c h e r s . H e f o u n d s t a t i s t i c a l l y s i g n i fi c a n t , u n f a v o r a b l e a t t i t u d e s i n fi r e a r e a s o f n o t f e e l i n g s e c u r e i n fi r e s u b j e c t , b e i n g a f r a i d o f w o r d p r o b l e m s , a n d f e a r o f fi r e s u b j e c t i n g e n e r a l a m o n g h i s s a m p l e o f 1 2 7 p r o s p e c t i v e e l e m e n t a r y s c h o o l t e a c h e r s . H e a l s o a r g u e d t h a t fi r e c h i e f f a c t o r s fi r a t c a u s e d t h i s d i s l i k e w e r e l a c k o f u n d e r s t a n d i n g , t e a c h e r s w h o u s e d i n a d e q u a t e m e t h o d s o r p u n i s h e d s t u d e n t s w h e n fi r e y d i d n ’ t g e t t h e c o r r e c t a n s w e r , d i f fi c u l t y i n w o r k i n g a r i fi r m e fi c , a n d i n s e c u r i t y . I n fi r e 1 9 6 0 5 , f o u r a r t i c l e s a p p e a r e d i n fi r e N a t i o n a l C o u n c i l o f T e a c h e r s o f M a t h e m a t i c s ' j o u r n a l , A r i t h m e t i c T e a c h e r ( N C T M , 1 9 8 8 ) fi r a t w e r e r e l a t e d t o p r o s p e c t i v e e l e m e n t a r y t e a c h e r s ’ a t t i t u d e s t o w a r d m a t h e m a t i c s . T h e f i r s t o f t h e s e w a s a n o t h e r a r t i c l e w r i t t e n b y D u t t o n i n w h i c h h e d e s c r i b e d a s t u d y h e c o n c l u d e d t o fi n d n e w w a y s t o a p p l y fi r e a t t i t u d e s c a l e h e h a d p r e v i o u s l y m a d e a n d t o s e a r c h f o r c h a n g e s i n a t t i t u d e s o f p r o s p e c t i v e e l e m e n t a r y s c h o o l t e a c h e r s t o w a r d a r i fi r m e t i c f r o m w h e n h e h a d p r e v i o u s l y u s e d i t i n 1 9 5 4 . H e c o n c l u d e d f r o m t h i s s t u d y fi r a t t h e a t t i t u d e s o f s t u d e n t s t o w a r d a r i fi r m e t i c i n 1 9 6 2 w e r e a l m o s t i d e n t i c a l w i t h a t t i t u d e s h e l d b y s t u d e n t s i n h i s 1 9 5 4 s t u d y a n d fi r a t a t t i t u d e s t o w a r d a r i fi r m e t i c , o n c e d e v e l o p e d , a r e t e n a c i o u s l y h e l d b y p r o s p e c t i v e e l e m e n t a r y s c h o o l t e a c h e r s . H e a l s o c o n c l u d e d t h a t t h e r e h a d b e e n n o m a j o r i m p r o v e m e n t i n t h e i n s t r u c t i o n a l p r o g r a m s o f p u b l i c a n d p r i v a t e s c h o o l s t h a t w e r e d i r e c t e d a t d e v e l o p i n g p o s i t i v e a t t i t u d e s i n s t u d e n t s t o w a r d a r i fi r m e t i c s i n c e t h e p r o s p e c t i v e e l e m e n t a r y t e a c h e r s h e s t u d i e d r e fl e c t e d a t t i t u d e s t h a t h e c l a i m e d a r e d e v e l o p e d i n a " fi a d i t i o n a l l y - o r i e n t e d a r i t h m e t i c p r o g r a m . " 2 1 D u t t o n ' s s c a l e w a s fi r e m a i n i n s t r u m e n t u s e d f o r m e a s u r i n g p r o s p e c t i v e e l e m e n t a r y t e a c h e r s ' a t t i t u d e s t o w a r d a r i fi r m e t i c d u r i n g t h e 1 9 6 0 s . S r r r i fi r ( 1 9 6 4 ) u s e d D u t t o n ' s s c a l e t o c o m p a r e fi r e a t t i t u d e s o f p r o s p e c t i v e t e a c h e r s t o w h e n D u t t o n fi r s t u s e d fi r e i n s t r u m e n t — s i m i l a r t o w h a t D u t t o n h a d d o n e t w o y e a r s e a r l i e r . H i s fi n d i n g s w e r e i n a g r e e m e n t w i t h fi r e fi n d i n g s o f D u t t o n . H e c o n c l u d e d fi r a t " t o o m a n y p r o s p e c t i v e t e a c h e r s h a v e n e g a t i v e a t t i t u d e s t o w a r d a s u b j e c t fi r e y w i l l b e r e q u i r e d t o t e a c h " a n d t h a t " [ t ] e a c h e r — e d u c a t i o n p r o g r a m s s h o u l d s t r i v e t o c h a n g e fi r e s e a t t i t u d e s . " T h e n , i n 1 9 6 6 , R e y s a n d D e l o n a g a i n u s e d fi r i s s c a l e i n a s t u d y t h a t l o o k e d a t p r o s p e c t i v e e l e m e n t a r y t e a c h e r s a t t i t u d e s t o w a r d m a t h e m a t i c s b e f o r e a n d a f t e r c o m p l e t i o n o f a c o u r s e i n t h e m a fi r e m a t i c s p r e p a r a t o r y p r o g r a m f o r e l e m e n t a r y e d u c a t i o n m a j o r s . F r o m t h e i r fi n d i n g s , t h e y c o n c l u d e d t h a t t h e m a fi r e m a t i c s p r e p a r a t o r y c o u r s e s p r o d u c e d s o m e i m p r o v e m e n t i n fi r e s t u d e n t s ' a t t i t u d e t o w a r d a r i fi r m e t i c . T h e o b s e r v e d c h a n g e s i n a t t i t u d e w e r e s l i g h t , b u t fi r e a u t h o r s a r g u e d fi r a t i t w a s n o t s u r p r i s i n g t h a t t h e c h a n g e s w e r e s m a l l a f t e r o n l y a f e w m o n t h s o f i n s t r u c t i o n w h e n t h e a t t i t u d e s w e r e " c o n c e i v e d a t l e a s t fi v e y e a r s p r i o r t o e n t e r i n g c o l l e g e a n d p e r h a p s e v e n c u l t i v a t e d t h r o u g h fi r e y e a r s . " H o w e v e r , t h e s e fi n d i n g s d i d i n d i c a t e fi r a t c h a n g e w a s p o s s i b l e , a n d t h e a u t h o r s s u g g e s t e d t h a t " h i g h q u a l i t y i n s t r u c t i o n i n a c o n t i n u o u s m a fi r e m a t i c s p r o g r a m f o r a l o n g e r p e r i o d o f t i m e " w o u l d p r o d u c e t h e m . A n o t h e r a r t i c l e p u b l i s h e d i n A r i t h m e t i c T e a c h e r d u r i n g t h e 1 9 6 0 s ( K a n e , 1 9 6 8 ) r e p o r t e d o n a s u r v e y n o t " o b v i o u s l y d e s i g n e d t o s a m p l e a t t i t u d e s t o w a r d m a t h e m a t i c s " b u t , i n s t e a d a d m i n i s t e r e d i n a n e u t r a l s e t t i n g b y a n e u t r a l p e r s o n w h o a s k e d q u e s t i o n s a b o u t E n g l i s h , s c i e n c e , a n d s o c i a l s t u d i e s a s w e l l a s m a fi r . U n l i k e e a r l i e r a t t i t u d e r e s e a r c h e r s , h e f o u n d t h a t fi r e a t t i t u d e s o f fi r e p r o s p e c t i v e t e a c h e r s h e s t u d i e d w e r e c o n s i s t e n t l y h i g h e r t o w a r d m a fi r e m a t i c s a n d E n g l i s h t h a n s o c i a l s t u d i e s a n d s c i e n c e . H e a l s o c o n c l u d e d t h a t p r o s p e c fi v e t e a c h e r s 2 2 t e n d e d t o h a v e r e l a t i v e l y f a v o r a b l e a t t i t u d e s t o w a r d t e a c h i n g m a fi r e m a t i c s i n t h e e l e m e n t a r y s c h o o l . H o w e v e r , h e a l s o c o n c l u d e d t h a t p r o s p e c t i v e t e a c h e r s w h o h a v e u n f a v o r a b l e a t t i t u d e s t o w a r d m a t h e m a t i c s t e n d t o p r e f e r t e a c h i n g i n g r a d e s K - 3 , w h i l e t h o s e w h o h a d t h e m o s t f a v o r a b l e a t t i t u d e s t e n d e d t o p r e f e r a s s i g n m e n t s i n g r a d e s 4 - 6 . T h e r e a p p e a r s t o h a v e b e e n l i t t l e d o n e b y a t t i t u d e r e s e a r c h e r s i n t h e 1 9 7 0 s , b u t b y fi r e 1 9 8 0 3 , a s " a r i t h m e t i c " h a d g i v e n w a y t o " m a fi r e m a t i c s , " fi r o s e c o n c e r n e d w i t h a t t i t u d e s t o w a r d m a fi r e m a t i c s b e g a n l o o k i n g a t " m a t h e m a t i c s a n x i e t y , " a n d m o r e s t u d i e s a p p e a r e d . O n e o f fi r e n r w a s B u l m a h n a n d Y o u n g ' s ( 1 9 8 2 ) s t u d y o f fi r e a t t i t u d e s t o w a r d m a t h e m a t i c s o f p r o s p e c t i v e e l e m e n t a r y s c h o o l t e a c h e r s . T h i s s t u d y w a s j u s t i fi e d o n t h e p r e r r r i s e t h a t a p e r s o n ' s e n v i r o n m e n t h a s s o m e e f f e c t o n h i s o r h e r m a t h e m a t i c a l a b i l i t y a n d i n t e r e s t a n d t h a t e l e m e n t a r y s c h o o l t e a c h e r s a r e a s i g n i fi c a n t p a r t o f a n y i n d i v i d u a l ' s e a r l y m a t h e m a t i c a l e n v i r o n m e n t . T h e r e f o r e , i t w a s i m p o r t a n t t o u n d e r s t a n d e l e m e n t a r y s c h o o l t e a c h e r s ' a t t i t u d e s t o w a r d m a fi r e r r r a t i c s i n c a s e fi r e y n e e d e d t o b e c h a n g e d . T h e s t u d y w a s a l s o c o n d u c t e d b a s e d o n t h e o b s e r v a t i o n o f fi r e a u t h o r s f r o m o v e r f o u r t e e n y e a r s o f c o l l e g e t e a c h i n g e x p e r i e n c e fi r a t s u g g e s t e d t h a t t h e m o t i v a t i o n s a n d i n t e r e s t s o f e l e m e n t a r y e d u c a t i o n m a j o r s w a s d i f f e r e n t f r o m fi r e m o t i v a t i o n a n d i n t e r e s t s o f o fi r e r m a j o r s . T h e i r s t u d y c o n s i s t e d o f t w o p a r t s . O n e w a s a q u e s t i o n n a i r e a s k i n g q u e s t i o n s a b o u t a t t i t u d e s t o w a r d m a fi r e m a t i e s , a n d t h e o t h e r w a s a c o l l e c t i o n o f e s s a y s w r i t t e n b y o v e r 2 0 0 e l e m e n t a r y e d u c a t i o n s t u d e n t s i n t h e i r fi r s t c o u r s e o f a t h r e e - c o u r s e m a fi r e m a t i c s s e q u e n c e . T h e y r e p o r t e d fi r e i r fi n d i n g s r a fi r e r b r o a d l y a n d g e n e r a l l y , b u t fi r e y c l a i m e d t o h a v e f o u n d t h a t m a n y o f t h e s e s t u d e n t s c o n s i d e r e d m a fi r e m a t i c s t o b e t h e i r w o r s t s u b j e c t a n d t h a t m a n y o f fi r e m c o n s i d e r e d t h e i r c a r e e r o p t i o n s t o h a v e b e e n l i m i t e d b y t h e i r m a fi r e r n a t i c a l a b i l i t i e s . R e l a t e d t o t h i s fi n d i n g w a s t h e fi n d i n g fi r a t m a n y b e g i m r i n g e l e m e n t a r y e d u c a t i o n s t u d e n t s f e e l t h a t e l e m e n t a r y 2 3 t e a c h e r s d o n o t r e a l l y n e e d t o b e v e r y g o o d a t m a fi r e m a t i c s b e y o n d fi r e b a s i c c o m p u t a t i o n s . B e c k e r ( 1 9 8 5 ) a r g u e d t h a t B u l m a h n a n d Y o u n g , w i fi r fi r e i r b r o a d g e n e r a l i t i e s a n d l i t t l e r e p o r t e d d a t a , h a d m a d e fi r e p r o b l e m o f a n x i e t y s e e m m o r e s e v e r e fi r a n s h e j u d g e d i t t o b e f r o m h e r e x p e r i e n c e t e a c h i n g m a fi r e r r r a t i c s t o s t u d e n t s m a j o r i n g i n e l e m e n t a r y e d u c a t i o n . S h e a d r r r i r r i s t e r e d a r e v i s e d v e r s i o n o f s e v e n o f t h e F e n n e m a - S h e r m a n M a fi r e m a t i c s A t t i t u d e S c a l e s ( F e n n e m a 8 r S h e r m a n , 1 9 7 6 ) t o e i g h t y - o n e e l e m e n t a r y e d u c a t i o n m a j o r s e n r o l l e d i n a r e q u i r e d m a fi r e m a t i c s c o u r s e a n d t o s e v e r r t y — o n e s t u d e n t s e n r o l l e d i n a g e n e r a l a s t r o n o m y c o u r s e . I n a l l a r e a s o f fi r e s c a l e s h e u s e d , t h e e d u c a t i o n s t u d e n t s ’ s c o r e s w e r e s i m i l a r t o t h o s e o f t h e a s t r o n o m y s t u d e n t s w i t h fi r e e x c e p t i o n o f fi r e a n x i e t y s e c t i o n w h e r e t h e e d u c a t i o n s t u d e n t s ' a v e r a g e w a s s t a t i s t i c a l l y s i g n i fi c a n fi y l o w e r ( i . e . , m o r e a n x i o u s ) . T h e a s t r o n o m y s t u d e n t s s h o w e d s i m i l a r t r e n d s i n fi r e a n x i e t y a r e a , b u t t h e i r f e e l i n g s w e r e n o t a s s t r o n g . S t i l l , s h e c o n c l u d e d f r o m h e r r e s u l t s fi r a t t h e s a m p l e o f p r o s p e c t i v e e l e m e n t a r y t e a c h e r s s h e s t u d i e d c o u l d n o t b e c l a s s i fi e d a s h a v i n g a n " a l a r m i n g d e g r e e " o f m a fi r e m a t i c s a n x i e t y . S h e f e l t fi r a t fi r e e d u c a t i o n s t u d e n t s d i d n o t h a v e n e g a t i v e a t t i t u d e s t o w a r d m a fi r e m a t i c s a n d fi r a t t h e i r a t t i t u d e s w e r e c o m p a r a b l e t o fi r o s e o f a m o r e g e n e r a l s a m p l e o f s t u d e n t s . S h e a d m i t t e d fi r a t fi r e y w e r e n o t " v e r y p o s i t i v e , " b u t s h e f e l t t h e y w e r e n o t a s n e g a t i v e a s h a d b e e n i m p l i e d b y B u l m a h n a n d Y o u n g . S t i l l , s h e a g r e e d fi r a t b e t t e r p r e p a r e d m a fi r e m a t i c s t e a c h e r s w o u l d p r o v i d e b e t t e r i n s t r u c t i o n i n m a fi r e m a t i c s , b u t s h e w a r n e d a g a i n s t b l a r r r i n g a l l t h e p r o b l e m s i n fi r e l e a r n i n g o f m a fi r e m a t i c s b y c h i l d r e n o n t h e i r t e a c h e r s ' a n x i e t i e s a b o u t fi r e s u b j e c t . K e l l y a n d T o m h a v e ( 1 9 8 6 ) s t u d i e d fi r e m a t h a v o i d a n c e o f s t u d e n t s w h o w e r e a f fl i c t e d w i t h m a t h a n x i e t y , c h o o s i n g a s a m p l e o f s t u d e n t s t h e y b e l i e v e d w o u l d b e p o p u l a t e d b y m a fi r a v o i d e r s : f r e s h m e n w i t h n o c o l l e g e p r e p a r a t o r y 2 4 m a fi r e m a t i c s c o u r s e s , s e n i o r s w h o h a d h a d n o c o l l e g e m a t h e m a t i c s c o u r s e s , f r e s h m e n w h o w e r e e n r o l l e d i n c o l l e g e a l g e b r a , s t u d e n t s e n r o l l e d i n a w o r k s h o p f o r fi r e m a fi r a n x i o u s , a n d 4 3 e l e m e n t a r y e d u c a t i o n m a j o r s ( o n l y s i x o f w h i c h h a d g o n e b e y o n d c o l l e g e a l g e b r a i n fi r e i r m a fi r e m a t i c s p r e p a r a t i o n ) . T o a s s e s s fi r e i r m a fi r e m a t i c s a n x i e t y , t h e y a d m i n i s t e r e d fi r e M a fi r e m a t i c s A n x i e t y R a t i n g S c a l e ( M A R S ) w h i c h i s a 9 8 - i t e m , s e l f - r a t i n g s c a l e t h a t h a d b e e n d e v e l o p e d i n 1 9 7 2 b y R i c h a r d s o n a n d S u i r r r r a n d i n c l u d e d n o r m a t i v e d a t a . T h e y f o u n d t h a t t h e e l e m e n t a r y e d u c a t i o n m a j o r s s c o r e d h i g h e r ( i n d i c a t i n g h i g h e r m a fi r a n x i e t y ) t h a n a l l o t h e r g r o u p s e x c e p t fi r o s e i n fi r e m a fi r a n x i o u s w o r k s h o p . T h e y a l s o f o u n d t h a t t h e f e m a l e e d u c a t i o n m a j o r s w e r e p a r t i c u l a r l y m a t h a n x i o u s c o m p a r e d t o fi r e o fi r e r g r o u p s . T h e y s u g g e s t e d fi r a t fi r i s h i g h a n x i e t y w a s c a u s e d b y s o c i e t a l e x p e c t a t i o n s m o r e fi r a n a b i l i t y , b u t t h e y h y p o fi r e s i z e d t h a t t h e h i g h n u m b e r o f w o m e n e l e m e n t a r y s c h o o l t e a c h e r s m a y b e p e r p e t u a t i n g m a fi r a n x i e t y w i t h y o u n g g i r l s i n t h e i r o w n c l a s s r o o m s . T h e y r e c o m m e n d e d fi r a t i m m e d i a t e h e l p b e g i v e n t h e p r o s p e c t i v e e l e m e n t a r y s c h o o l t e a c h e r s t o h e l p t h e m u n d e r s t a n d a n d o v e r c o m e fi r e i r m a fi r a n x i e t y . F r o m fi r e l a t t e r 1 9 9 0 3 u p u n t i l fi r i s t i m e , t h e r e h a s b e e n s o m e r e n e w e d i n t e r e s t i n s t u d y i n g p r e s e r v i c e t e a c h e r s ' a t t i t u d e s t o w a r d m a t h e m a t i c s — e s p e c i a l l y b y d o c t o r a l s t u d e n t s i n r e s e a r c h fi r e y h a v e d o n e f o r a n d r e p o r t e d i n fi r e i r d i s s e r t a t i o n s . S o m e o f t h o s e s t u d i e s w h i c h a r e m o s t r e l e v a n t t o m y s t u d y w i l l b e r e v i e w e d i n fi r e f o l l o w i n g p a r a g r a p h s . F o r e x a m p l e , i n 2 0 0 2 , P a t t o n a l s o e x a m i n e d t h e m a t h e m a t i c s a n x i e t y a n d p r e p a r e d n e s s o f p r e s e r v i c e t e a c h e r s a t fi r e U n i v e r s i t y o f A r i z o n a , c o l l e c t i n g d a t a f r o m 8 7 p r e s e r v i c e t e a c h e r s w h o w e r e e n r o l l e d i n a m a t h e m a t i c s t e a c h i n g m e fi r o d s c l a s s . S h e a n a l y z e d h e r d a t a u s i n g s t a t i s t i c a l t e s t s fi r a t a s s e s s e d fi r e r e l a t i o n s h i p b e t w e e n m a fi r e r n a t i c a l a n x i e t y a n d t h e f a c t o r s o f c o n t e n t k n o w l e d g e , m o t i v a t i o n , a n d p e r c e p t i o n s o f c o n fi d e n c e a n d c o m p e t e n c e i n c o n j u n c t i o n w i t h fi r e A r i z o n a M a t h e m a t i c s S t a n d a r d s . S h e f o u n d 2 5 fi r a t s t u d e n t s w i fi r " h i g h e r m a fi r e m a t i c a l b a c k g r o u n d s " r e p o r t e d s i g n i fi c a n t l y l o w e r l e v e l s o f m a fi r e m a t i c s a n x i e t y . T h e a r e a s f r o m t h e A r i z o n a M a t h e m a t i c s S t a n d a r d s fi r a t w e r e fi r e s o u r c e s o f fi r e m o s t a n x i e t y f o r t h e s e p r e s e r v i c e t e a c h e r s w e r e f u n c t i o n s i n a l g e b r a , g e o m e t r y , a n d m e a s u r e m e n t a n d d i s c r e t e m a t h e m a t i c s . T h e p r e s e r v i c e t e a c h e r s ' p e r c e p t i o n s o f c o m p e t e n c e a n d c o n fi d e n c e i n t e a c h i n g t h e A r i z o n a M a t h e m a t i c s S t a n d a r d s w e r e s h o w n t o b e a s i g n i fi c a n t p r e d i c t o r o f t h e i r l e v e l o f m a t h e m a t i c s a n x i e t y . T h r e e r e c e n t s t u d i e s s u g g e s t fi r a t a c o l l e g e - l e v e l m a fi r / m a t h m e t h o d s c o u r s e c a n i n fl u e n c e s t u d e n t s a t t i t u d e s t o w a r d m a fi r e m a t i c s . G r e g g ( 1 9 9 8 ) c o n d u c t e d a s t u d y i n w h i c h s h e l o o k e d a t t h e a t t i t u d e s t o w a r d m a fi r e m a t i c s a n d k n o w l e d g e o f m a t h e m a t i c a l c o n c e p t s o f p r e s e r v i c e e l e m e n t a r y , e a r l y c h i l d h o o d , a n d s p e c i a l e d u c a t i o n t e a c h e r s a n d i f fi r e s e a t t i t u d e s i m p r o v e d a s fi r e r e s u l t o f t a l d n g a s p e c i fi c m a fi r e m a t i c s c o u r s e . S h e a d m i n i s t e r e d a n ” a t t i t u d e i n s t r u m e n t ” t o s t u d e n t s w h o w e r e e n r o l l e d i n r e q u i r e d m a t h e m a t i c s c o u r s e s f o r e l e m e n t a r y e d u c a t i o n a t fi r e b e g i n n i n g a n d e n d o f fi r e s e m e s t e r i n t h e f a l l o f 1 9 9 7 t o d e t e r m i n e t h e i r ” s e l f - e f fi c a c y i n m a t h e m a t i c s , t h e i r f e e l i n g s a b o u t p r o b l e m s o l v i n g , a n d h o w t h e y v a l u e m a fi r e m a t i e s . ” S h e a l s o i n t e r v i e w e d 1 5 s t u d e n t s t o d e t e r m i n e fi r e i r a t t i t u d e s t o w a r d m a t h e m a t i c s a n d w h e n t h e s e a t t i t u d e s w e r e d e v e l o p e d . S h e c o n c l u d e d t h a t ” s t u d e n t s t e n d t o i m p r o v e fi r e i r a t t i t u d e s t o w a r d m a t h e m a t i c s w h e n t a u g h t b y i n s t r u c t o r s w h o m o d e l a p p r o p r i a t e s t r a t e g i e s ; " i n o t h e r w o r d s , i n s t r u c t i o n i n fl u e n c e d a t t i t u d e s . I n a r e l a t e d s t u d y , S r r r i fi r ( 1 9 9 9 ) l o o k e d a t p r e s e r v i c e e l e m e n t a r y t e a c h e r s ’ a t t i t u d e s t o w a r d m a t h e m a t i c s a n d t h e t e a c h i n g o f m a t h e m a t i c s i n a ” c o n s t r u c t i v i s t ” c l a s s r o o m . T h i s w a s a s t u d y o f 2 8 s t u d e n t s w h o w e r e e n r o l l e d i n a s e c t i o n o f a g e o m e t r y c o n t e n t c o u r s e t h a t w a s r e q u i r e d f o r p r e s e r v i c e t e a c h e r s — a n d w a s t a u g h t u s i n g ” c o n s t r u c t i v i s t ” m e t h o d s . T h e i r a t t i t u d e s w e r e d e t e r m i n e d fi r r o u g h fi r e u s e o f s u r v e y s , i n t e r v i e w s , a n d q u e s t i o n n a i r e s . S n r i fi r 2 6 f o u n d t h a t fi r e a t t i t u d e s o f fi r o s e p r e s e r v i c e t e a c h e r s w e r e m o r e p o s i t i v e a f t e r p a r t i c i p a t i o n i n a ” c o n s t r u c t i v i s t ” c l a s s r o o m , a n d s h e c o n c l u d e d fi r a t fi r e r e s u l t s o f fi r e s t u d y ” i n d i c a t e fi r a t p a r t i c i p a t i o n i n a c o n s t r u c t i v i s t c l a s s r o o m d o e s p o s i t i v e l y a f f e c t p r e s e r v i c e t e a c h e r s ’ a t t i t u d e s t o w a r d m a t h e m a t i c s t e a c h i n g a n d l e a r n i n g . ” A n o t h e r s t u d y fi r a t l o o k e d a t fi r e e f f e c t s o f " c o n s t r u c t i v i s t i n s t r u c t i o n a l m e fi r o d s o n p r e s e r v i c e t e a c h e r s ’ a t t i t u d e s t o w a r d t e a c h i n g a n d l e a r n i n g m a fi r e m a t i c s a n d s c i e n c e ” w a s c o n d u c t e d b y G i b s o n a n d V a n S t r a t ( 2 0 0 1 ) . T h i s s t u d y w a s a fi r r e e - y e a r s t u d y d e s i g n e d t o t r a c k fi r e c h a n g e s i n p r e s e r v i c e t e a c h e r s ’ a t t i t u d e s t o w a r d t e a c h i n g a n d l e a r n i n g m a fi r e m a t i c s a n d s c i e n c e w h i l e t h e y w e r e e n r o l l e d i n a n U r b a n P r e s e r v i c e D e g r e e A r t i c u l a t i o n i n T e a c h e r E d u c a t i o n ( U P D A T E ) P r o j e c t . T h i s p r o j e c t w a s d e s i g n e d t o p r o v i d e a p a fi r w a y f o r u r b a n p a r a - e d u c a t o r s o f c o l o r t o b e c o m e c e r t i fi e d t e a c h e r s . D u r i n g fi r e fi r s t y e a r o f fi r e p r o j e c t , fi r e p r e s e r v i c e t e a c h e r s w e r e e x p o s e d t o m a t h e m a t i c s c o n t e n t u s i n g c o n s t r u c t i v i s t i n s t r u c t i o n a l a p p r o a c h e s w h i c h t h e y i d e n t i fi e d a s ” c o l l a b o r a t i v e g r o u p w o r k , p r o b l e m s o l v i n g , fi r e u s e o f m a n i p u l a t i v e s , a n d c a l c u l a t o r s ” i n t h r e e c o u r s e s . T h e n e x t y e a r fi r e p r e s e r v i c e t e a c h e r s t o o k a b i o l o g y c o u r s e w h e r e fi r e c o n t e n t w a s d e l i v e r e d fi r r o u g h t r a d i t i o n a l m e fi r o d s o f l e c t u r e s a n d n o t e t a k i n g . T h e f o l l o w i n g y e a r , t h e p r e s e r v i c e t e a c h e r s t o o k a r e d e s i g n e d i n t r o d u c t o r y p h y s i c a l s c i e n c e c o u r s e t h a t w a s t a u g h t u s i n g c o n s t r u c t i v i s t i n s t r u c t i o n a l m e t h o d s . T h e p r e s e r v i c e t e a c h e r s e n r o l l e d i n I n t r o d u c t i o n t o P h y s i c a l S c i e n c e c o m p l e t e d t h r e e q u e s t i o n n a i r e s fi r a t w e r e e a c h a d m i n i s t e r e d t w i c e t o fi r e s t u d e n t s — o n c e d u r i n g fi r e b e g i n n i n g o f fi r e c o u r s e a n d o n c e a t fi r e e n d o f fi r e c o u r s e . T h e y a l s o u s e d j o u r n a l e n t r i e s , e x i t s u r v e y s , a n d i n t e r v i e w s a s d a t a s o u r c e s . T h e r e s e a r c h e r s f o u n d fi r a t t h e c o n s t r u c t i v i s t i n s t r u c fi o n a l m e fi r o d s t h a t w e r e u s e d i n s c i e n c e a n d m a fi r e m a t i c s c o u r s e s h a d a p o s i t i v e i n fl u e n c e o n fi r e p r e s e r v i c e t e a c h e r s ’ a t t i t u d e s t o w a r d m a fi r e m a t i c s a n d s c i e n c e a s w e l l a s t h e i r u n d e r s t a n d i n g o f m a fi r e m a t i c a l a n d s c i e n t i fi c c o n c e p t s 2 7 w h i l e fi r e m o r e t r a d i t i o n a l m e t h o d s r e s u l t e d i n a n e g a t i v e i n fl u e n c e o n fi r e t e a c h e r s ’ i n t e r e s t i n t e a c h i n g s c i e n c e . S i m i l a r l y , C o u c h - K u c h e y ( 2 0 0 2 ) r e p o r t e d o n a s t u d y i n w h i c h s h e e x a m i n e d fi r e ” e f f e c t o f a c o n s t r u c t i v i s t m a fi r e m a t i c s m e t h o d s c o u r s e o n fi r e l e v e l o f m a fi r e m a t i c s a n x i e t y i n p r e s e r v i c e e a r l y c h i l d h o o d t e a c h e r s . ” S h e a r g u e d t h a t s i n c e t e a c h e r c a n d i d a t e s o f t e n s c o r e a b o v e a v e r a g e o n t h e M a fi r e m a t i c s A n x i e t y R a t i n g S c a l e ( M A R S ) , a m a t h e m a t i c s t e a c h i n g m e t h o d s c o u r s e “ s h o u l d b e d e s i g n e d t o b u i l d c o n fi d e n c e , h e l p a l l e v i a t e m a fi r e m a t i c s a n x i e t y , a n d p r o m o t e e f f e c t i v e t e a c h i n g a n d l e a r n i n g ” s i n c e s u c h a c o u r s e i s ” t y p i c a l l y fi r e l a s t o p p o r t u n i t y t o i n fl u e n c e p r e s e r v i c e e l e m e n t a r y t e a c h e r s ’ a t t i t u d e s t o w a r d s m a t h e m a t i c s . " W i t h t h a t r a t i o n a l e , s h e d e s i g n e d fi r i s s t u d y t o d e t e r m i n e t h e e f f e c t s o f a ” c o n s t r u c t i v i s t ” m a fi r e m a t i c s m e fi r o d s c o u r s e o n 4 1 e a r l y c h i l d h o o d p r e s e r v i c e t e a c h e r s ’ l e v e l o f m a t h e m a t i c s a n x i e t y . T h e p a r t i c i p a n t s c o m p l e t e d fi r e M a t h e m a t i c s A n x i e t y R a t i n g S c a l e ( M A R S ) a t fi r e b e g i n n i n g o f fi r e s e m e s t e r , a f t e r fi r e c o u r s e c o m p o n e n t , a n d a t t h e c o m p l e t i o n o f fi r e i r fi e l d w o r k . T h r o u g h r e s u l t s o f a p a i r e d s a m p l e s t e s t , s h e f o u n d t h a t t h e r e w e r e s i g n i fi c a n t d i f f e r e n c e s i n t h e p a i r e d s a m p l e s f r o m fi r e p r e - t e s t t o fi r e p o s t - t e s t w h i c h i n d i c a t e d fi r a t fi r e m a fi r e m a t i c s m e t h o d s c o u r s e w a s e f f e c t i v e i n r e d u c i n g t h e l e v e l o f a n x i e t y a m o n g p r e s e r v i c e e l e m e n t a r y t e a c h e r s . S h e a l s o f o u n d fi r r o u g h f o l l o w - u p a r r a i l q u e s t i o n n a i r e s fi r a t ” e x p o s u r e t o c u r r e n t , e f f e c t i v e t e a c h i n g s t r a t e g i e s , m a t e r i a l s , a n d m a n i p u l a t i v e s , a n d fi r e a p p l y i n g o f fi r e s e c o m p o n e n t s i n l e s s o n s t a u g h t i n fi r e fi e l d w o r ” r e d u c e d t h e l e v e l o f a n x i e t y i n p r e s e r v i c e e a r l y c h i l d h o o d t e a c h e r s . A d k i n s a n d R o b i n s o n ( 2 0 0 2 ) a l s o c o n c l u d e d a s t u d y i n w h i c h fi r e y e x a m i n e d fi r e e f f e c t s o f m a t h e m a t i c s m e t h o d s c o u r s e s o n p r e s e r v i c e t e a c h e r s ’ a t t i t u d e s t o w a r d m a t h e m a t i c s a n d m a fi r e m a t i c s t e a c h i n g . T h e y s u r v e y e d p r e s e r v i c e t e a c h e r s a t t h e b e g i n n i n g a n d e n d o f f o u r h o u r s o f c o u r s e w o r k 2 8 r e l a t e d t o m a fi r e m a t i c s m e fi r o d s t o d e t e r m i n e fi r e i r a t t i t u d e s a b o u t m a fi r e n r a t i c s a n d t e a c h i n g m a t h e m a t i c s . T h e y w e r e a s k e d t o r a t e fi r e i r a t t i t u d e s o n a s c a l e f r o m 1 t o 1 0 a n d t o d e s c r i b e h o w t h e i r a t t i t u d e s t o w a r d m a t h e m a t i c s w e r e f o r m e d . T h e y f o l l o w e d u p fi r i s i n i t i a l r e s e a r c h b y a s s e s s i n g s t r a t e g i e s fi r a t t h e p r e s e r v i c e t e a c h e r s u s e d a s t h e y t a u g h t m a t h e m a t i c s d u r i n g fi r e i r s t u d e n t t e a c h i n g a n d t h e i r fi r s t y e a r o f t e a c h i n g . T h e y f o u n d t h a t t h e s e t e a c h e r s u s e d s t r a t e g i e s r e l a t e d t o c o n s t r u c t i v i s t t e a c h i n g . T h e y a l s o f o u n d fi r a t ” s t u d e r r t s d o c h a n g e a t t i t u d e s i n fi r e s h o r t t e r m ; h o w e v e r , l o n g - t e r m c h a n g e s s t i l l n e e d t o b e e x a m i n e d . " I n a n o t h e r r e l a t e d s t u d y , W i l k i n s o n ( 2 0 0 1 ) l o o k e d a t t h e a t t i t u d e s o f p r o s p e c t i v e e l e m e n t a r y t e a c h e r s e n r o l l e d i n a n e l e m e n t a r y m a fi r e m a t i c s c o n t e n t c o u r s e , b u t s h e a l s o l o o k e d a t t h e f o u n d a t i o n s o f t h e s e a t t i t u d e s t o w a r d m a t h e m a t i c s l e a r n i n g a n d t e a c h i n g . T o l e a r n a b o u t fi r e s e f o u n d a t i o n s , W i l k i n s o n p e r m i t t e d t h e s t u d e n t s t o s h a r e t h e i r ” l i f e - w o r l d p e r c e p t i o n s a s t h e y l e a r n e d m a fi r e m a t i c s , " w h i c h w e r e ” p e r c e p t i o n s t h a t h e l p e d t o f o r m fi r e i r a t t i t u d e s a b o u t l e a r n i n g a n d t e a c h i n g m a fi r e m a t i c s t o c h i l d r e n . ” S h e a r g u e d t h a t w h i l e fi r e r e w a s e v i d e n c e fi r a t a t t i t u d i n a l c h a n g e s c a n o c c u r w h i l e p r e s e r v i c e t e a c h e r s a r e e n r o l l e d i n m a t h e m a t i c s m e t h o d s c o u r s e s , s t u d i e s h a v e s h o w n fi r a t t h e s e c h a n g e s m a y n o t b e s i g n i fi c a n t o r l a s t i n g . T h e p u r p o s e o f h e r s t u d y w a s t o h e l p s t u d e n t s e n g a g e i n a r e fl e c t i o n p r o c e s s fi r a t a s k e d fi r e s t u d e n t s t o e x a m i n e t h e f o u n d a t i o n s o f fi r e i r t h e n - c u r r e n t l y - h e l d a t t i t u d e s i n h o p e s t h a t fi r i s e x p e r i e n c e w o u l d f a c i l i t a t e l a s t i n g p o s i t i v e a t t i t u d i n a l c h a n g e s . S h e s e l e c t e d n i n e s t u d e n t s t o b e f o r m a l l y i n t e r v i e w e d , a n d s h e u s e d fi r e fi a n s c r i p t s o f fi r o s e i n t e r v i e w s t o w r i t e ” l i f e - w o r l d s t o r i e s . " A l l e n ( 2 0 0 1 ) a l s o l o o k e d a t f a c t o r s fi r a t c o n t r i b u t e d t o fi r e m a fi r a n x i e t y a n d a v o i d a n c e b e h a v i o r s o f f e m a l e e l e m e n t a r y s c h o o l p r e s e r v i c e t e a c h e r s . A l l a r e x a m i n e d 4 3 m a t h e m a t i c s a u t o b i o g r a p h i e s a n d i d e n t i fi e d m a t h e m a t i c a l 2 9 e x p e r i e n c e s i n t e n s e p a r a t e c a t e g o r i e s . H e t h e n u s e d t h r e e o f t h e s e c a t e g o r i e s — s t u d e n t s ’ e x p e r i e n c e s w i fi r m a fi r t e a c h e r s , m a t h c o n t e n t , a n d m a fi r p e d a g o g i c a l p r a c t i c e s — t o d e v e l o p e x p e r i e n c e s s c a l e s f o r fi r o s e c o n s t r u c t s . H e a l s o d e v e l o p e d a f o u r t h s c a l e t o m e a s u r e e x p e r i e n c e s w i fi r m a t h a v o i d a n c e b e h a v i o r s . I n a d d i t i o n , h e m e a s u r e d fi r e s e f e m a l e e l e m e n t a r y s d r o o l p r e s e r v i c e t e a c h e r s ’ m a fi r a n x i e t y u s i n g t h e R e v i s e d M a fi r A m d e t y S c a l e . H e a n a l y z e d h i s d a t a w i t h s t a t i s t i c a l t e s t s . H e f o u n d a s t r o n g c o r r e l a t i o n b e t w e e n m a t h a n x i e t y a n d fi r e p a r t i c i p a n t s ’ m a fi r e m a t i c a l c o n t e n t e x p e r i e n c e s . H e a l s o f o u n d m o d e r a t e c o r r e l a t i o n s f o r m a fi r a n x i e t y a n d p a r t i c i p a n t s ’ e x p e r i e n c e s w i fi r m a fi r t e a c h e r s . H e i d e n t i fi e d fi r e p a r t i c i p a n t s ’ e x p e r i e n c e w i fi r m a fi r c o n t e n t a s a s i g n i fi c a n t p r e d i c t o r o f b o fi r m a fi r a n x i e t y a n d m a fi r a v o i d a n c e b e h a v i o r s . A H i s t o r i c a l O v e r v i e w o f R e s e a r c h R e l a t i n g t o B e l i e f s . T h e 1 9 7 0 5 b r o u g h t t h e a r r i v a l o f c o g n i t i v e p s y c h o l o g y w h i c h p r o v i d e d a p l a c e f o r fi r e s t u d y o f b e l i e f s , a n d t h e w o r k d o n e b y fi r e a t t i t u d e r e s e a r c h e r s s e e m s t o h a v e l a i d s o m e o f fi r e f o u n d a fi o n f o r fi r i s l i n e o f s t u d y s i n c e m u c h o f t h a t r e s e a r c h d i r e c fi y o r i n d i r e c fi y a d d r e s s e d t e a c h e r s ' b e l i e f s a n d c o n c e p t i o n s . I n a d d i t i o n t o a r e n e w e d i n t e r e s t i n a t t i t u d e s t o w a r d m a fi r e m a t i c s , fi r e 1 9 8 0 3 b r o u g h t a r e n e w e d i n t e r e s t i n b e l i e f s a n d b e l i e f s y s t e m s a m o n g s c h o l a r s i n e d u c a t i o n , b u t a l s o a m o n g s c h o l a r s i n d i s d p l i n e s r a n g i n g f r o m p s y c h o l o g y t o a n fi r r o p o l o g y . T h i s i n t e r e s t i n s p i r e d fi r e b e g i n n i n g o f m a n y s t u d i e s t h a t h a v e f o c u s e d o n t e a c h e r s ' b e l i e f s a b o u t m a fi r e m a t i e s a n d m a fi r e m a t i c s t e a c h i n g a n d l e a r n i n g ( T h o m p s o n , 1 9 9 2 ) . T h e s e r e s e a r c h e r s h a v e w o r k e d f r o m t h e p r e m i s e t h a t " t o u n d e r s t a n d t e a c h i n g f r o m t e a c h e r s ' p e r s p e c t i v e s w e h a v e t o u n d e r s t a n d t h e b e l i e f s w i fi r w h i c h fi r e y d e fi n e fi r e i r w o r " ( N e s p o r , 1 9 8 7 , p . 3 2 3 ) . M o s t o f t h e r e s e a r c h o n t e a c h e r s ' b e l i e f s a n d c o n c e p t i o n s o f fi r e p a s t d e c a d e a n d a h a l f h a s e m p l o y e d q u a l i t a t i v e m e fi r o d s o f a n a l y s i s , a n d t h a t h a s d i s t i n g u i s h e d i t f r o m r e s e a r c h d o n e o n t e a c h e r s ’ a t t i t u d e s i n e a r l i e r d e c a d e s w h i c h r e l i e d a l m o s t s o l e l y o n d a t a 3 0 . a " o b t a i n e d t h r o u g h fi r e u s e o f a s c a l e s u c h a s D u t t o n ' s s c a l e o r fi r e M A R S . T h e t e c h n i q u e s t h e y h a v e u s e d i n c l u d e L i k e r t - s c a l e q u e s t i o n n a i r e s , i n t e r v i e w s , c l a s s r o o m o b s e r v a t i o n s , s t i m u l a t e d r e c a l l i n t e r v i e w s , l i n g u i s t i c a n a l y s i s o f t e a c h e r t a l k , p a r a g r a p h c o m p l e t i o n t e s t s , r e s p o n s e s t o s i m u l a t i o n m a t e r i a l s s u c h a s v i g n e t t e s d e s c r i b i n g h y p o fi r e t i c a l s t u d e n t s a n d c l a s s r o o m s i t u a t i o n s , a n d c o n c e p t g e n e r a t i o n a n d m a p p i n g e x e r c i s e s ( T h o m p s o n , 1 9 9 2 ) . S o m e s t u d i e s h a v e b e e n c o n d u c t e d t o s t u d y t h e r e l a t i o n s h i p b e t w e e n t e a c h e r s ' b e l i e f s a b o u t t h e n a t u r e o f m a fi r e m a t i c s a n d t h e i r t e a c h i n g p r a c t i c e . M o s t o f t h e s e h a v e b e e n c o n d u c t e d b y e x a m i n i n g fi r e c o n g r u e n c e b e t w e e n t e a c h e r s ' p r o f e s s e d b e l i e f s a n d t h e i r o b s e r v e d p r a c t i c e . T h e r e s u l t s f r o m fi r i s r e s e a r c h h a v e i n d i c a t e d v a r y i n g d e g r e e s o f c o n s i s t e n c y b e t w e e n t e a c h e r s ' p r o f e s s e d b e l i e f s a n d fi r e i r i n s t r u c t i o n a l p r a c t i c e s . O t h e r s t u d i e s h a v e b e e n c o n d u c t e d t o l e a r n i f t e a c h e r s ’ b e l i e f s a b o u t m a fi r e m a t i c s a n d / o r t e a c h i n g m a fi r e m a t i e s c a n o r d o c h a n g e . T h e s e s t u d i e s w i l l b e r e v i e w e d i n fi r e f o l l o w i n g p a r a g r a p h s . T h o m p s o n ( 1 9 8 4 ) c o n d u c t e d c a s e s t u d i e s o f t h r e e j u n i o r h i g h s c h o o l m a t h e m a t i c s t e a c h e r s t o i n v e s t i g a t e t h e c o n c e p t i o n s o f m a t h e m a t i c s a n d m a t h e m a t i c s t e a c h i n g fi r a t t h e y h e l d . T h e i n v e s t i g a t i o n s o u g h t t o a n s w e r t w o q u e s t i o n s : w h e fi r e r fi r e t e a c h e r s ' p r o f e s s e d b e l i e f s , v i e w s , a n d p r e f e r e n c e s a b o u t m a fi r e m a t i c s a n d m a fi r e m a t i c s t e a c h i n g w e r e r e fl e c t e d i n t h e i r i n s t r u c t i o n a l p r a c t i c e s a n d w h e t h e r t h e t e a c h e r s ' b e h a v i o r w a s i n fl u e n c e d b y fi r e i r c o n c e p t i o n s . E a c h t e a c h e r w a s o b s e r v e d t e a c h i n g m a fi r e m a t i c s d a i l y o v e r a f o u r - w e e k p e r i o d . T h e fi r s t t w o w e e k s o f e a c h p e r i o d t h e t e a c h e r s w e r e j u s t o b s e r v e d , a n d t h e l a s t t w o w e e k s d a i l y i n t e r v i e w s w e r e c o n d u c t e d f o l l o w i n g t h e o b s e r v e d l e s s o n . E a c h t e a c h e r a l s o r e s p o n d e d i n w r i t i n g t o s i x t a s k s fi r a t w e r e a d m i n i s t e r e d a t d i f f e r e n t t i m e s fi r r o u g h o u t fi r e c a s e s t u d y . T h e p u r p o s e o f f i v e o f t h e t a s k s w a s t o l e a r n a b o u t fi r e t e a c h e r s ' v i e w s a b o u t v a r i o u s a s p e c t s o f 3 1 m a fi r e m a fi c s t e a c h i n g . A s d e s c r i b e d b y T h o m p s o n , fi r i s i n f o r m a t i o n d e a l t w i fi r fi r e t e a c h e r s ' v i e w s a b o u t : " t h e r e l a t i v e i m p o r t a n c e o f v a r i o u s g o a l s o f m a fi r e r r r a fi c s i n s t r u c t i o n ; fi r e r e l a t i v e e m p h a s i s t h a t s h o u l d b e g i v e n t o s e v e r a l i n s t r u c t i o n a l o b j e c fi v e s ; fi r e r e l a t i v e i m p o r t a n c e o f s e v e r a l p e d a g o g i c a l p r a c t i c e s ; fi r e m o r e c o m m o n r e a s o n s f o r s t u d e n t s n o t m a k i n g s a fi s f a c t o r y p r o g r e s s i n m a t h e m a t i c s ; a n d , t h e m o r e v a l u a b l e t y p e s o f i r r f o r m a fi o n i n j u d g i n g fi r e i r o w n t e a c h i n g e f f e c fi v e r r e s s . " T h e s i x t h t a s k c a m e f r o m a n i n s t r u m e n t d e v e l o p e d b y C o n f r e y ( 1 9 7 8 ) t h a t w a s u s e d f o r a s s e s s i n g s t u d e n t s ' c o n c e p fi o n s o f m a fi r e m a t i c s . T h a t t a s k c o n s i s t e d o f s i x b i p o l a r d i m e n s i o n s t h a t o n e m i g h t u s e t o d e s c r i b e m a t h e m a t i c s . T h i s w a s u s e d t o o b t a i n a d e s c r i p fi o n o f fi r e t e a c h e r s ' v i e w o f m a t h e m a t i c s i n t e r m s o f g e n e r a l c h a r a c t e r i s t i c q u a l i fi e s . D i f f e r e n c e s a m o n g t h e t e a c h e r s i n t h e s p e c i fi c b e l i e f s , v i e w s , a n d p r e f e r e n c e s t h a t t h e y h e l d r e g a r d i n g m a t h e m a t i c s a n d i t s t e a c h i n g w e r e e v i d e n c e d t h r o u g h T h o m p s o n ' s c a s e s t u d i e s . T h e r e a l s o s e e m e d t o b e s o m e r e l a t i o n s h i p b e t w e e n fi r e i r b e l i e f s a n d fi r e i r p r a c fi c e s , b u t i t w a s o f t e n s u b t l e a n d n o t n e c e s s a r i l y d i r e c t o r s i m p l e . A s s h e w r o t e , " A l fi r o u g h fi r e c o m p l e x i t y o f t h e r e l a t i o n s h i p b e t w e e n c o n c e p fi o n s a n d p r a c fi c e d e fi e s fi r e s i m p l i c i t y o f c a u s e a n d e f f e c t , m u c h o f t h e c o n t r a s t i n t h e t e a c h e r s ' i n s t r u c fi o n a l e m p h a s e s m a y b e e x p l a i n e d b y d i f f e r e n c e s i n fi r e i r p r e v a i l i n g v i e w s o f m a fi r e m a fi c s . " T w o o f fi r e t e a c h e r s s h e s t u d i e d c o n c e i v e d o f m a t h e m a t i c s a s a r a t h e r s t a fi c b o d y o f k n o w l e d g e , a n d b o t h o f fi r e s e t e a c h e r s p r e s e n t e d t h e c o n t e n t a s a fi n i s h e d p r o d u c t w h e n t e a c h i n g . H o w e v e r , o n e o f t h e m u s e d a m o r e " c o n c e p t u a l a p p r o a c h " fi r a t p r e s e n t e d m a fi r e m a fi c s a s " a s e t o f i n t e g r a t e d a n d i n t e r r e l a t e d t o p i c s , " w h i l e fi r e o t h e r o n e u s e d a m o r e " c o m p u t a t i o n a l a p p r o a c h " fi r a t p r e s e n t e d m a fi r e m a fi c s a s a " c o l l e c t i o n o f m o r e o r l e s s a r b i t r a r y r u l e s a n d p r o c e d u r e s f o r fi n d i n g a n s w e r s t o s p e c i fi c q u e s fi o n s . " T h e fi r i r d t e a c h e r h e l d a 3 2 m o r e d y n a m i c v i e w o f m a fi r e m a fi c s a n d b e l i e v e d fi r a t fi r e b e s t w a y f o r t h e s t u d e n t s t o l e a r n i t w a s t o b e e n g a g e d i n i t s c r e a fi v e g e n e r a fi v e p r o c e s s e s . R e fl e c t i o n s e e m e d t o p l a y a n i m p o r t a n t r o l e i n fi r e f o r m a fi o n o f fi r e b e l i e f s o f t h e t e a c h e r s T h o m p s o n s t u d i e d . T h e t e a c h e r w h o u s e d a c o m p u t a t i o n a l a p p r o a c h t o t e a c h i n g a d m i t t e d h e r l a c k o f r e fl e c fi v e n e s s u p o n h e r a c fi o n s a n d fi r e i r e f f e c t s . T h e t e a c h e r w h o t a u g h t u s i n g a c o n c e p t u a l a p p r o a c h r e fl e c t e d m a i n l y o n fi r e e a s e o r d i f fi c u l t y o f f o l l o w i n g h e r l e s s o n p l a n o r o f g e t fi n g h e r s t u d e n t s t o g i v e fi r e c o r r e c t a n s w e r s . I n c o n t r a s t , t h e t e a c h e r w i fi r fi r e d y n a m i c v i e w o f m a fi r e m a fi c s t e n d e d t o r e fl e c t o n h e r a c fi o n s a n d fi r e i r e f f e c t s o n h e r s t u d e n t s . T h r o u g h r e fl e c fi o n s h e g a i n e d i n s i g h t s i n t o p o s s i b l e c a u s e s o f h e r s t u d e n t s ' d i f f i c u l fi e s a n d m i s c o r r c e p fi o n s , a n d fi r i s h e l p e d h e r b e c o m e m o r e a w a r e o f t h e s u b fi e fi e s i n h e r e n t i n m a t h e m a fi c s . T h o m p s o n a l s o c o n c l u d e d fi r a t o t h e r c o n c e p t i o n s fi r a t t e a c h e r s p o s s e s s a b o u t t e a c h i n g t h a t a r e g e n e r a l a n d n o t s p e c i fi c t o fi r e t e a c h i n g o f m a fi r e m a t i c s p l a y a s i g n i fi c a n t r o l e i n a f f e c t i n g t h e i r i n s t r u c t i o n a l d e c i s i o n s a n d b e h a v i o r a n d f o r s o m e t e a c h e r s m a y t a k e p r e c e d e n c e o v e r o fi r e r c o n c e p t i o n s s p e c i fi c t o fi r e t e a c h i n g o f m a fi r e m a fi c s . T h e s e c o u l d b e c o n c e p t i o n s a b o u t t h e i r s t u d e n t s a n d fi r e s o c i a l a n d e m o t i o n a l m a k e - u p o f t h e i r c l a s s o r a b o u t h o w c h i l d r e n l e a r n . I n 1 9 9 7 , t h e J o u r n a l f o r R e s e a r c h i n M a t h e m a t i c s E d u c a t i o n p u b l i s h e d a n a r fi c l e b y R a y m o n d i n w h i c h s h e r e p o r t e d a n o t h e r s t u d y t h a t l o o k e d a t fi r e r e l a t i o n s h i p b e t w e e n a b e g i n n i n g e l e m e n t a r y s c h o o l t e a c h e r ' s m a fi r e r r r a fi c s b e l i e f s a n d h e r t e a c h i n g p r a c fi c e . R a y m o n d g a fi r e r e d d a t a f o r o v e r 1 0 m o n fi r s t h r o u g h a u d i o - t a p e d i n t e r v i e w s , o b s e r v a fi o n s , d o c u m e n t a n a l y s i s , a n d a b e l i e f s s u r v e y . S h e a n a l y z e d fi r e d a t a b y c a t e g o r i z i n g a n d c o m p a r i n g t h e b e l i e f s a n d p r a c fi c e s o f fi r i s b e g i n n i n g e l e m e n t a r y s c h o o l t e a c h e r . S h e f o u n d t h a t t h i s t e a c h e r ’ 5 b e l i e f s a n d h e r p r a c fi c e w e r e n o t w h o l l y c o n s i s t e n t . I n s t e a d , h e r p r a c fi c e w a s m o r e c l o s e l y r e l a t e d t o b e l i e f s a b o u t m a fi r e m a fi c s c o n t e n t t h a n t o 3 3 h e r b e l i e f s a b o u t h o w m a fi r e m a fi c s s h o u l d b e t a u g h t . H e r b e l i e f s a b o u t m a t h e m a t i c s c o n t e n t h a d m a i n l y i n fl u e n c e d b y h e r o w n e x p e r i e n c e a s a s t u d e n t , a n d h e r b e l i e f s a b o u t m a fi r e m a fi c s p e d a g o g y w e r e p r i m a r i l y i n fl u e n c e d b y h e r o w n t e a c h i n g p r a c t i c e . S h e f o u n d fi r a t h e r t e a c h e r p r e p a r a fi o n p r o g r a m h a d l i t t l e i n fl u e n c e o n h e r b e l i e f s o r h e r p r a c fi c e . I n a m o r e r e c e n t s t u d y , K y r i a k i d e s , P h i l i p p o u , a n d C h a r a l a m b o u s ( 2 0 0 2 ) f r o m G r e e c e a l s o e x a m i n e d ” t e a c h e r s ’ p h i l o s o p h i c a l b e l i e f s a b o u t m a fi r e m a fi c s , fi r e f a c t o r s i n fl u e n c i n g fi r e d e v e l o p m e n t o f fi r e s e b e l i e f s , a n d t h e i r r e l a fi o n t o t e a c h e r s ’ b e l i e f s a n d p r a c t i c e s a b o u t t e a c h i n g a n d l e a r n i n g m a fi r e m a t i c s . " T h e y a n a l y z e d d a t a f r o m 2 2 9 q u e s t i o n n a i r e s a n d fi v e i n t e r v i e w s t o c r e a t e a ” fi v e - f a c t o r m o d e l , r e p r e s e n t i n g c o m b i n a fi o n o f fi r e t h r e e d i m e n s i o n s o f a m o d e l p r o p o s e d b y E r n e s t ( 1 9 9 1 ) . " T h e y i d e n fi fi e d f o u r g r o u p s o f t e a c h e r s a n d f o u n d a r e l a t i v e c o n s i s t e n c y b e t w e e n fi r e t e a c h e r s ’ p h i l o s o p h i c a l b e l i e f s a n d fi r e i r b e l i e f s r e g a r d i n g t e a c h i n g a n d l e a r n i n g m a t h e m a fi c s . H o w e v e r , t h e y f o u n d i n c o n s i s t e n c i e s b e t w e e n t h e t e a c h e r s ’ p h i l o s o p h i c a l b e l i e f s a n d t h e i r t e a c h i n g p r a c t i c e s . T h e y c o n c l u d e d fi r a t fi r e s e i n c o n s i s t e n c i e s c o u l d b e p a r fi a l l y a t t r i b u t e d t o f a c t o r s fi r a t i n fl u e n c e d fi r e d e v e l o p m e n t o f fi r e t e a c h e r s ’ p h i l o s o p h i c a l b e l i e f s . T h e y r e c o m m e n d e d d e v e l o p m e n t o f t e a c h e r s ’ t r a i n i n g p r o g r a m s fi r a t r e g a r d e d fi r e a f f e c fi v e d o m a i n . S o m e s t u d i e s h a v e n o t f o c u s e d o n fi r e r e l a fi o n s h i p b e t w e e n b e l i e f s a n d p r a c t i c e , b u t h a v e b e e n c o n d u c t e d t o l e a r n a b o u t p r o s p e c fi v e e l e m e n t a r y t e a c h e r s ’ b e l i e f s — a n d s o m e t i m e s w h e t h e r t h e y a r e i n fl u e n c e d b y p a r t i c u l a r c o u r s e s o r o fi r e r m e a n s o f i n t e r v e n fi o n . F o r e x a m p l e , G r a n t , H i e b e r t , a n d W e a m e ( 1 9 9 4 ) r e p o r t e d o n a r e l a t e d s t u d y fi r a t e x a m i n e d t e a c h e r s ’ b e l i e f s a n d fi r e i r r e s p o n s e s t o r e f o r m - m i n d e d i n s t r u c fi o n i n e l e m e n t a r y m a fi r e m a fi c s . I n t h i s s t u d y , t h e s e r e s e a r c h e r s i n v e s fi g a t e d t h e e f f e c t o n t e a c h e r s o f o b s e r v i n g o r i m p l e m e r r fi n g a n a l t e m a fi v e f o r m o f i n s t r u c fi o n i n a n e l e m e n t a r y m a fi r e m a fi c s 3 4 c l a s s . T h e y w e r e i n t e r e s t e d i n t h e r e l a t i o n s h i p s b e t w e e n fi r e t e a c h e r s ’ b e l i e f s a b o u t m a fi r e m a fi c s a n d t e a c h i n g m a t h e m a t i c s a n d t h e i r ” r e c o g n i fi o n a n d i n t e r n a l i z a fi o n o f fi r e p r i n c i p l e s o f fi r e a l t e r n a fi v e i n s t r u c fi o n . " S o m e e x p e r i e n c e d t e a c h e r s w e r e h i r e d t o i m p l e m e n t t h e a l t e r n a fi v e i n s t r u c fi o n , a n d t h e o t h e r t e a c h e r s a l l o w e d fi r e i n s t r u c fi o n t o t a k e p l a c e i n t h e i r c l a s s r o o m w h i l e fi r e y o b s e r v e d . T h e r e s e a r c h e r s i n t e r v i e w e d fi r e t e a c h e r s t o fi n d o u t t h e i r v i e w s o f w h a t m a t l r e m a fi c s i s o f m o s t v a l u e , h o w m a t h e m a fi c s s h o u l d b e t a u g h t , fi r e i r i m p r e s s i o n s o f fi r e p r o j e c t , a n d fi r e i r r e fl e c t i o n s o n h o w fi r e p r o j e c t d i d o r d i d n o t i n fl u e n c e fi r e m . W h e n fi r e r e s e a r c h e r s a n a l y z e d fi r e i n t e r v i e w s , s e v e r a l p a t t e r n s e m e r g e d . O n e w a s t h e d i f f e r e n c e s b e t w e e n fi r e t e a c h e r s i n fi r e i r a n a l y s i s o f fi r e m a i n f e a t u r e s o f fi r e i n s t r u c fi o n a n d t h e m e r i t s o f fi r o s e f e a t u r e s . A n o fi r e r w a s a d i f f e r e n c e i n fi r e t e a c h e r s ’ b e l i e f s a b o u t m a fi r e m a fi c s a n d h o w t o t e a c h i t . T h e t h i r d p a t t e r n t h e y s a w w a s fi r e r e l a fi o n s h i p b e t w e e n w h e r e fi r e t e a c h e r s s t o o d i n fi r e i r a n a l y s i s o f t h e i n s t r u c fi o n a n d fi r e i r b e l i e f s a b o u t w h a t i s i m p o r t a n t i n m a t h e m a t i c s a n d h o w t h o s e fi r i n g s s h o u l d b e t a u g h t — i n o t h e r w o r d s , t h e r e l a fi o n s h i p b e t w e e n t h e p r e v i o u s t w o p a t t e r n s . T h e y f o u n d t h a t t h i s r e l a t i o n s h i p w a s q u i t e s t r a i g h t f o r w a r d . T h e m o r e t h e t e a c h e r ’ s o r i e n t a fi o n r e s e m b l e d w h a t t h e y c a l l e d t h e ” s k i l l s / t e a c h e r r e s p o n s i b i l i t y ” w h i c h i s a n o r i e n t a t i o n w h e r e t e a c h e r s b e l i e v e fi r a t w h a t i s t o b e l e a r n e d a n d h o w i t i s t o b e l e a r n e d i s fi r e i r r e s p o n s i b i l i t y a n d i s u s u a l l y s k i l l s a n d a l g o r i fi r m s , fi r e m o r e t h e y w e r e f o c u s e d o n o n e p a r t i c u l a r a s p e c t o f t h e e x p e r i m e n t a l i n s t r u c t i o n — a n d o f t e n o n f e a t u r e s fi r e r e s e a r c h e r s b e l i e v e d w e r e t a n g e n fi a l . I n c o n t r a s t , fi r e t e a c h e r s w h o s e o r i e n t a fi o n s r e s e m b l e d w h a t fi r e y c a l l e d ” p r o c e s s / s t u d e n t r e s p o n s i b i l i t y ” w h i c h i s a n o r i e n t a fi o n w h e r e t e a c h e r s b e l i e v e t h e y a r e r e s p o n s i b l e f o r c r e a t i n g a n e n v i r o n m e n t i n w h i c h s t u d e n t s h a v e m u c h o f fi r e r e s p o n s i b i l i t y f o r t h e i r o w n s u c c e s s , r e c o g n i z e d w h a t fi r e r e s e a r c h e r s c o n s i d e r e d c r u c i a l a s p e c t s o f t h e 3 5 i n s t r u c t i o n , a n d t h e y a l s o u n d e r s t o o d fi r e g o a l s o f t h e i n s t r u c t i o n . T h e y c o n c l u d e d t h a t t h e t w o m o s t i m p o r t a n t i n fl u e n c e s o n h o w t e a c h e r s r e s p o n d t o a l t e r n a t i v e ( m o r e c o n s t r u c t i v e ) f o r m s o f i n s t r u c t i o n w e r e fi r e t e a c h e r s ’ b e l i e f s a b o u t m a t h e m a t i c s a n d fi r e i r b e l i e f s a b o u t t e a c h i n g a n d l e a r n i n g m a fi r e m a t i c s . I n a r e l a t e d s t u d y , C o o n e y , S h e a l y , a n d A r v o l d ( 1 9 9 8 ) l o o k e d a t fi r e d e v e l o p m e n t o f p r o s p e c fi v e s e c o n d a r y t e a c h e r s ’ b e l i e f s r e l a t e d t o m a t h e m a fi c s . I n fi r i s s t u d y , fi r e b e l i e f s o f f o u r p r e s e r v i c e s e c o n d a r y m a fi r e m a fi c s t e a c h e r s w e r e l o o k e d a t a s t h e s t u d e n t s p r o g r e s s e d t h r o u g h a f o u r - q u a r t e r s e q u e n c e i n m a t h e m a fi c s e d u c a fi o n fi r a t i n c l u d e d s t u d e n t t e a c h i n g . T h e y f o u n d t h a t " fi r e w a y s i n w h i c h fi r e t e a c h e r s s t r u c t u r e d fi r e i r b e l i e f s h e l p e d a c c o u n t f o r t h e f a c t fi r a t s o m e b e l i e f s w e r e p e r m e a b l e w h e r e a s o t h e r s w e r e n o t . " T h e y a l s o p o s i t e d a s c h e m e f o r c o n c e p t u a l i z i n g fi r e p r o f e s s i o n a l d e v e l o p m e n t o f p r e s e r v i c e t e a c h e r s - - n a i v e i d e a l i s t , i s o l a fi o n i s t , a n d c o n n e c t i o r r i s t . I n a s i m i l a r s t u d y fi r a t f o c u s e d o n p r o s p e c fi v e e l e m e n t a r y t e a c h e r s r a t h e r fi r a n p r o s p e c fi v e s e c o n d a r y t e a c h e r s , V a c c a n d B r i g h t ( 1 9 9 9 ) l o o k e d a t p r e s e r v i c e e l e m e n t a r y s c h o o l t e a c h e r s ’ c h a n g i n g b e l i e f s a n d i n s t r u c t i o n a l u s e s o f c h i l d r e n ’ s m a t h e m a t i c a l fi r i n k i n g . I n t h i s s t u d y , 3 4 p a r fi c i p a n t s w e r e i n t r o d u c e d t o C o g n i fi v e G u i d e d I n s t r u c t i o n ( C G I ) a s p a r t o f a m a t h e m a fi c s m e fi r o d s c o u r s e . T h e s e p a r fi c i p a n t s w e r e a d m i n i s t e r e d a b e l i e f - s c a l e i n s t r u m e n t , a n d t h e i r s c o r e s i n d i c a t e d t h a t a c r o s s t h e t w o — y e a r s e q u e n c e o f p r o f e s s i o n a l c o u r s e w o r k a n d s t u d e n t t e a c h i n g i n t h e i r u n d e r g r a d u a t e p r o g r a m , fi r e r e w e r e s i g n i fi c a n t c h a n g e s i n t h e i r b e l i e f s a n d p e r c e p fi o n s a b o u t m a t h e m a fi c s i n s t r u c t i o n . H o w e v e r , fi r e i r u s e o f k n o w l e d g e o f c h i l d r e n ' s m a t h e m a fi c a l fi r i n k i n g i n fi r e i r p l a n n i n g a n d t e a c h i n g w a s l i m i t e d . T h e y c o n c l u d e d t h a t w h i l e p r e s e r v i c e t e a c h e r s m a y a c k n o w l e d g e t h e t e n e t s o f C G I , t h e y m a y b e u n a b l e t o u s e t h e m i n fi r e i r t e a c h i n g . C a m p b e l l ( 1 9 9 8 ) s t u d i e d fi r e c h a n g e s i n s t u d e n t t e a c h e r s ’ fi r i n k i n g a n d b e l i e f s a b o u t m a t h e m a t i c s a t a d i f f e r e n t fi m e — d u r i n g t h e i r s t u d e n t t e a c h i n g e x p e r i e n c e . S h e m e a s u r e d fi r e s e c h a n g e s fi r r o u g h fi r e u s e o f p r e - t e a c h i n g a n d p o s t - t e a c h i n g s u r v e y s , s t u d e n t t e a c h e r o b s e r v a fi o n s , a n d i n t e r v i e w s . S h e c o n s i d e r e d f o u r d o m a i n s — p e r s o n a l a t fi t u d e s a n d b e h a v i o r s ; p e r c e p t i o n s a b o u t fi r e n a t u r e o r s t r u c t u r e o f m a t h e m a t i c s ; p u r p o s e s f o r t e a c h i n g m a fi r e m a fi c s ; a n d t h e t e a c h e r ’ 3 r o l e i n t e a c h i n g a n d l e a r n i n g m a fi r e m a fi c s . S h e f o u n d n o s t a fi s fi c a l l y s i g n i fi c a n t d i f f e r e n c e s i n t h e m e a n s c o r e s i n r e l a fi o n t o t o t a l s c o r e , p e r s o n a l a t fi t u d e s a n d b e h a v i o r s , p e r c e p fi o n s a b o u t t h e n a t u r e o r s t r u c t u r e o f m a fi r e m a fi c s , a n d p u r p o s e f o r t e a c h i n g m a fi r e m a fi c s . H o w e v e r , s h e d i d fi n d a s t a fi s fi c a l l y s i g n i fi c a n t d i f f e r e n c e i n fi r e a r e a o f fi r e r o l e o f fi r e t e a c h e r i n t e a c h i n g a n d l e a r n i n g m a fi r e m a t i c s . I n fi r i s c a s e , fi r e c h a n g e d m o v e d a w a y f r o m v i e w i n g fi r e r o l e o f fi r e t e a c h e r a s a f a c i l i t a t o r t o v i e w i n g fi r e r o l e o f fi r e t e a c h e r a s a n e x p e r t w h o s h o w s o r m o d e l s . R e v i e w o f R e s e a r c h R e l a t i n g t o B o t h B e l i e f s a n d A t t i t u d e s . R e c e n t l y , s o m e r e s e a r c h h a s b e e n c o n d u c t e d fi r a t h a s l o o k e d a t b o t h t h e b e l i e f s o f a n d a t fi t u d e s t o w a r d m a fi r e m a fi c s a n d t e a c h i n g m a t h e m a fi c s o f t e a c h e r s . O n e o f t h e s e w a s a s t u d y d o n e b y H a r e ( 1 9 9 9 ) t h a t l o o k e d a t w h a t u r b a n e a r l y c h i l d h o o d t e a c h e r s fi r i n k a b o u t m a fi r e m a fi c s a n d h o w fi r e y t e a c h i t . I n fi r i s s t u d y , 3 9 7 u r b a n e a r l y c h i l d h o o d t e a c h e r s f r o m t w o s c h o o l d i s t r i c t s w e r e a d m i n i s t e r e d a s u r v e y t h a t e x a m i n e d t h e i r a t fi t u d e s t o w a r d m a t h e m a t i c s a n d m a fi r e r r r a fi c s t e a c h i n g , fi r e i r v i e w s o f m a fi r e m a fi c s , v i e w s o f t e a c h i n g m a t h e m a fi c s , a n d v i e w s o f c h i l d r e n l e a r n i n g m a fi r e m a fi c s . T h e s u r v e y s w e r e a n a l y z e d w i fi r s t a fi s t i c a l t e s t s . S h e f o u n d fi r a t t e a c h e r s w i t h 3 0 o r m o r e y e a r s o f t e a c h i n g e x p e r i e n c e h a d m o r e p o s i t i v e a t fi t u d e s t o w a r d m a fi r e m a fi c s fi r a n t e a c h e r s w i t h 1 - 3 y e a r s o f e x p e r i e n c e . S h e a l s o f o u n d t h a t A f r i c a n A m e r i c a n t e a c h e r s h a d m o r e p o s i fi v e a t fi t u d e s t o w a r d m a t h e m a fi c s a n d m a fi r e m a fi c s t e a c h i n g t h a n o t h e r e fi r n i c 3 7 g r o u p s a n d t e a c h e r s w h o h a d a m i n o r o r m a j o r i n m a fi r e m a t i c s h a d m o r e p o s i t i v e a t t i t u d e s t h a n fi r o s e w h o d i d n o t . S h e c o n c l u d e d fi r a t i f i n s t r u c t i o n i s t o b e t r a n s f o r m e d , r e f o r m e r s n e e d t o u n d e r s t a n d t e a c h e r s ’ b e l i e f s a b o u t m a t h e m a t i c s , a n d t h a t , a s r e s e a r c h h a d s h o w n , s i n c e b e l i e f s s e l d o m c h a n g e w i fi r o u t s i g n i fi c a n t i n t e r v e n fi o n , ” s c h o o l d i s t r i c t s m u s t b e i n f o r m e d a b o u t t h e c h a n g e s n e c e s s a r y f o r t h e r e f o r m o f m a fi r e m a fi c s t e a c h i n g a n d i d e n fi f y a n d i m p l e m e n t fi r r o u g h s t a f f d e v e l o p m e n t s a n d o t h e r m e a s u r e s w h a t fi r e y p e r c e i v e m a fi r e m a t i c s t o b e a n d h o w i t s h o u l d b e t a u g h ” I n a n o fi r e r s t u d y fi r a t l o o k e d a t b o t h b e l i e f s a n d a t t i t u d e s , M i l l e r ( 1 9 9 9 ) e x a m i n e d fi r e m a fi r e m a fi c s k n o w l e d g e o f p r e s e r v i c e e l e m e n t a r y t e a c h e r s w i t h i n fi r e c o n t e x t o f a c o u r s e fi r a t h a d b e e n d e s i g n e d t o b e c o n s i s t e n t w i fi r m a fi r e n r a fi c s r e f o r m . S h e l o o k e d a t q u e s fi o n s r e l a t e d t o , ” ( a ) w h a t d p r e s e r v i c e e l e m e n t a r y t e a c h e r s n e e d t o k n o w t o t e a c h e a r l y c h i l o o d m a fi r e m a fi c s i n a w a y fi r a t i s c o n s i s t e n t w i t h fi r e N C T M C u r r i c u l u m a n d E v a l u a t i o n S t a n d a r d s a n d t h e N C T M P r o f e s s i o n a l S t a n d a r d s f o r T e a c h i n g M a t h e m a t i c s , ( b ) h o w p r e s e r v i c e e l e m e n t a r y t e a c h e r s ’ m a fi r e m a fi c s k n o w l e d g e c a n b e c a o r i z e d i n t o S h u l m a n ’ s ( 1 9 8 7 ) t h r e e t y p e s o f k n o w l e d g e ) , ( c ) w h a t b e l i e f s a n d a t fi t u d e s a b o u t m a fi r e n r a fi c s p r e s e r v i c e e l e m e n t a r y t e a c h e r s b r i n g w i fi r t h e m t o a m a t h e m a fi c s c o u r s e , a n d ( d ) h o w e f f e c t i v e i s a c o u r s e t h a t f o c u s e s o n S h u l m a n ’ s t y p e s o f k n o w l e d g e a n d a t t i t u d e s a n d b e l i e f s i n c h a n g i n g k n o w l e d g e , a t t i t u d e s , a n d b e l i e f s . ” ( S h u l m a n ’ s fi r r e e t y p e s o f m a t h e m a fi c s k n o w l e d g e a r e s u b j e c t m a t t e r , p e d a g o g i c a l c o n t e n t , a n d c u r r i c u l a r . ) S h e s t u d i e d 2 8 s t u d e n t s w h o w e r e t a k i n g a fi r s t - s e m e s t e r ” M a t h e m a fi c s f o r E l e m e n t a r y T e a c h e r s " c o n t e n t c o u r s e . A s d a t a s o u r c e s , s h e u s e d d o c u m e n t s f r o m t h e c o u r s e s u c h a s ” i r r i fi a l a c t i v i t i e s a n d p r o b l e m s e t s , " j o u r n a l s , p o r t f o l i o s , t a s k - b a s e d a s s i g n m e n t s , e x a r r r i n a fi o n s , a n d c o u r s e e v a l u a fi o n s . S h e a l s o i n t e r v i e w e d s i x s t u d e n t s fi v e fi m e s t o o b t a i n c o l l a b o r a fi n g d a t a . R e l a t e d t o b e l i e f s a n d a t fi t u d e s , s h e f o u n d t h a t m o s t s t u d e n t s i d e n fi fi e d s c h o o l e x p e r i e n c e s a n d t e a c h e r s a s fi r e p r i m a r y s o u r c e o f fi r e i r b e l i e f s a b o u t m a t h e m a t i c s ; m o s t s t u d e n t s i r r i fi a l l y f e l t t h a t m a fi r e m a t i c s w a s fi r e s t u d y o f 3 8 n u m b e r s a n d t h a t e l e m e n t a r y t e a c h e r s n e e d e d t o k n o w fi r e ” b a s i c s ” a n d a m a j o r i t y o f t h e p r e s e r v i c e t e a c h e r s s u f f e r e d f r o m m a t h e m a fi c s a n x i e t y . S h e f o u n d fi r a t fi r e c o u r s e w a s e f f e c t i v e i n " c h a n g i n g s o m e s t u d e n t s ' i n h i b i t i n g b e l i e f s a n d a t fi t u d e s r e g a r d i n g m a fi r e m a fi c s a n d i n r e d u c i n g m a fi r e m a fi c s a n x i e t y . ” K r o w s ( 1 9 9 9 ) a l s o l o o k e d a t fi r e i n fl u e n c e a t e a c h e r p r e p a r a t i o n p r o g r a m c o u l d h a v e o n ” p r e s e r v i c e t e a c h e r s ’ b e l i e f s y s t e m s a n d a t t i t u d e s t o w a r d m a fi r e m a fi c s . " S h e d e s i g n e d fi r e s t u d y t o a n s w e r fi r r e e q u e s t i o n s : ” W h a t a r e fi r e a t t i t u d e s a n d p e r s o n a l , p e d a g o g i c a l , a n d e p i s t e m o l o g i c a l b e l i e f s a b o u t m a fi r e m a fi c s h e l d b y p r e s e r v i c e e l e m e n t a r y a n d e a r l y c h i l d h o o d t e a c h e r s b e f o r e , d u r i n g , a n d a f t e r t h e c o m p l e t i o n o f t e a c h e r p r e p a r a fi o n c o u r s e w o r k ; w h a t a r e fi r e r e l a t i o n s h i p s a m o n g fi r e s e b e l i e f s a n d a t t i t u d e s ; a n d d o t h e s e b e l i e f s a n d a t fi t u d e s d i f f e r a s a f u n c fi o n o f t h e p r o s p e c fi v e t e a c h e r s ’ e d u c a fi o n a l e x p e r i e n c e . ” S h e s t u d i e d a s a m p l e o f 2 2 6 u n d e r g r a d u a t e a n d g r a d u a t e s t u d e n t s e n r o l l e d i n fi r e e l e m e n t a r y e d u c a fi o n p r o g r a m . S h e s u r v e y e d 1 5 s e c t i o n s o f s i x d i f f e r e n t c l a s s e s o v e r a fi r r e e - s e m e s t e r p e r i o d . S h e o r g a n i z e d fi r e p a r fi c i p a n t s i n t o fi v e g r o u p s b a s e d o n fi r e i r t e a c h e r e d u c a fi o n e x p e r i e n c e . T h e p a r fi c i p a n t s c o m p l e t e d a n 8 3 - i t e m L i k e r t s c a l e q u e s fi o n n a i r e i n e i t h e r a f r e s h m a n - l e v e l m a fi r e m a fi c s c l a s s , a n e d u c a t i o n a l p s y c h o l o g y c l a s s , o r a m a t h e m a fi c s m e t h o d s c l a s s . S h e u s e d s t a fi s fi c a l t e s t s t o e x a m i n e fi r e fi v e g r o u p s . S h e f o u n d fi r a t r e g a r d l e s s o f fi r e s e m e s t e r , t h e i n s t r u c t o r , o r t h e c o u r s e , s t u d e n t s w h o h a d p a r fi c i p a t e d i n t h e e l e m e n t a r y t e a c h e r e d u c a fi o n p r o g r a m h e l d s i g n i fi c a n t l y d i f f e r e n t b e l i e f s fi r a n t h o s e w h o h a d n o t . T h e s e p r e s e r v i c e t e a c h e r s h a d ” s i g n i f i c a n t l y h i g h e r s e l f - e f fi c a c y w i fi r r e s p e c t t o fi r e i r a b i l i t y t o e f f e c t i v e l y t e a c h m a fi r e m a fi c s . ” T h e y a l s o r e fl e c t e d a ” s t r o n g a d o p fi o n o f t h e N a fi o n a l C o u n c i l o f T e a c h e r s o f M a fi r e m a fi c s S t a n d a r d s ’ ( 1 9 8 9 , 1 9 9 1 ) r e c o m m e n d e d c o n s t r u c t i v i s t o r i e n t a fi o n t o w a r d t e a c h i n g m a t h e m a fi c s , ” a n d t h e y s h o w e d a ” s o p h i s fi c a t e d e p i s t e m o l o g i c a l v i e w o n t h e 3 9 n a t u r e o f m a fi r e m a fi c s a s a d y n a n r i c , e v e r c h a n g i n g p r o b l e m d r i v e n b r a n c h o f s c i e n c e . " W i l k i n s ( 2 0 0 2 ) c o n d u c t e d a s t u d y i n w h i c h h e l o o k e d a t fi r e i n fl u e n c e o f t e a c h e r s ' c o n t e n t k n o w l e d g e a n d a t t i t u d e s o n i n s t r u c fi o n a l b e l i e f s a n d p r a c fi c e s . H e e x a m i n e d 4 0 7 i n - s e r v i c e e l e m e n t a r y t e a c h e r s ' l e v e l o f m a fi r e m a fi c a l c o n t e n t k n o w l e d g e , a t fi t u d e t o w a r d m a t h e m a fi c s , b e l i e f s a b o u t e f f e c fi v e i n s t r u c fi o n , a n d u s e o f r e f o r m - o r i e n t e d i n s t r u c fi o n . H e fi r e r r m o d e l e d fi r e r e l a t i o n s h i p a m o n g t h o s e v a r i a b l e s . H e f o u n d fi r a t u p p e r - e l e m e n t a r y t e a c h e r s ( g r a d e s 3 - 5 ) h a d g r e a t e r c o n t e n t k n o w l e d g e a n d m o r e p o s i fi v e a t t i t u d e s t o w a r d m a fi r e m a fi c s fi r a n p r i m a r y t e a c h e r s ( K - 2 ) . H e f o u n d n o d i f f e r e n c e i n t h e t e a c h e r s ’ b e l i e f s a b o u t e f f e c t i v e i n s t r u c t i o n , b u t h e f o u n d fi r a t p r i m a r y t e a c h e r s u s e d r e f o r m - o r i e n t e d i n s t r u c t i o n m o r e f r e q u e n t l y t h a n d i d u p p e r - e l e m e n t a r y t e a c h e r s . H e a l s o f o u n d fi r a t t e a c h e r s w i fi r a h i g h e r c o n t e n t k n o w l e d g e w e r e ” l e s s l i k e l y t o b e l i e v e i n t h e e f f e c t i v e n e s s o f r e f o r m - o r i e n t e d i n s t r u c t i o n a n d l e s s l i k e l y t o u s e s u c h i n s t r u c t i o n i n fi r e i r c l a s s r o o m s " a n d t h a t " t e a c h e r s w i fi r m o r e p o s i fi v e a t fi t u d e s t o w a r d s m a t h e m a t i c s w e r e m o r e l i k e l y t o b e l i e f i n t h e e f f e c t i v e n e s s o f r e f o r m - o r i e n t e d i n s t r u c t i o n a n d u s e i t i n fi r e i r c l a s s r o o m . " T h o u g h t s a b o u t T h e s e E m p i r i c a l S t u d i e s . F o r fi r e m o s t p a r t , fi r e r e s e a r c h fi r a t h a s b e e n c o n d u c t e d i n fi r i s a r e a s e e m s t o h a v e b e e n r e a s o n a b l e . A v a r i e t y o f a p p r o a c h e s s u c h a s q u e s fi o n n a i r e s , o b s e r v a fi o n s , i n t e r v i e w s , e s s a y s , a n d w r i fi n g o f s h o r t s t a t e m e n t s h a v e b e e n u s e d t h a t a l l p r o v i d e v a l u a b l e i r r f o r m a fi o n . H o w e v e r , t h e r e s e a r c h fi r a t h a s b e e n d o n e i n fi r i s a r e a h a s a l s o b e e n l i m i t e d b y fi r e m e fi r o d s fi r a t h a v e b e e n u s e d t o o b t a i n d a t a . S o m e o f t h e m h a v e r e l i e d o n l y o n o n e s o u r c e o f i n f o r m a t i o n t o u n d e r s t a n d t h e t e a c h e r s ' b e l i e f s o f t h e i r p r a c t i c e . O n e s o u r c e c a n g i v e a n i n c o m p l e t e p i c t u r e , e s p e c i a l l y w h e n fi r a t s o u r c e i s t h e t e a c h e r s ‘ p r o f e s s e d v i e w s . A c o m b i n a fi o n o f s o u r c e s w o u l d p r o v i d e a m o r e c o m p l e t e a n d a c c u r a t e p i c t u r e . 4 0 T h e e m p i r i c a l s t u d i e s o f fi r e i n fl u e n c e o f m a fi r e m a fi c s t e a c h e r s ' b e l i e f s o n fi r e i r p r a c fi c e fi r a t I l o o k e d a t f o u n d a f a i r l y c o n s i s t e n t e x p e c t e d r e l a t i o n s h i p , f o r t h e m o s t p a r t ( K y r i a k i d e s e t a 1 , 2 0 3 2 ; M c G a l l i a r d , 1 9 8 3 ; R a y m o n d , 1 9 9 7 ; a n d T h o m p s o n , 1 9 8 4 ) . K y r i a k i d e s a n d o fi r e r s ( 2 0 0 2 ) a n d R a y m o n d ( 1 9 9 7 ) f o u n d w h a t fi r e y c h a r a c t e r i z e d a s v a r i a b i l i t y . I n h e r s t u d y o f o n e b e g i n n i n g t e a c h e r , R a y m o n d ( 1 9 9 7 ) f o u n d m u c h i n c o n s i s t e n c y b e t w e e n fi r a t t e a c h e r ’ s b e l i e f s a n d h e r p r a c fi c e . W h i l e K y r i a k i d e s a n d o fi r e r s f o u n d s o m e r e l a t i o n s h i p b e t w e e n b e l i e f s a n d p r a c t i c e , fi r e y a l s o f o u n d s o m e i n c o n s i s t e n c i e s t h a t fi r e y fi r o u g h t c o u l d b e p a r t i a l l y a t t r i b u t e d t o f a c t o r s fi r a t i n fl u e n c e d fi r e d e v e l o p m e n t o f fi r e t e a c h e r s ’ p h i l o s o p h i c a l b e l i e f s . O n fi r e o t h e r h a n d , T h o m p s o n a n d M c G a l l i a r d f o u n d h i g h c o n s i s t e n c y . I n f a c t , t h e s e r e s e a r c h e r s f o u n d m o r e c o n s i s t e n c y i n t h i s r e l a fi o n s h i p fi r a n r e s e a r c h e r s w h o l o o k e d a t t h e r e l a fi o n s h i p b e t w e e n b e l i e f s a b o u t t e a c h i n g ( r a fi r e r fi r a n a b o u t fi r e s u b j e c t fi r e y a r e t e a c h i n g ) a n d i n s t r u c t i o n a l p r a c fi c e . H o w e v e r , t h e s e r e s e a r c h e r s w e r e c a r e f u l t o p o i n t o u t t h a t fi r e r e l a t i o n s h i p w a s c o m p l e x a n d c o u l d n o t b e s o l e l y e x p l a i n e d b y a c a u s e a n d e f f e c t r e l a fi o n s h i p o f b e l i e f s o n i n s t r u c t i o n a l p r a c fi c e . A n o fi r e r fi r i n g t h e s e p a r t i c u l a r r e s e a r c h e r s w e r e c a r e f u l a b o u t w a s u s i n g m o r e fi r a n o n e s o u r c e t o m e a s u r e o r c a t e g o r i z e b e l i e f s . A l t h o u g h , a g a i n , fi r i s i n v o l v e d t h e p a r a d o x p r e v i o u s l y a d d r e s s e d , a n d fi r e s e r e s e a r c h e r s d i d n o t m e r r fi o n h o w fi r e y d e a l t w i fi r fi r a t . R e s e a r c h a p p e a r s t o s u p p o r t — t h o u g h n o t u n a m b i g u o u s l y — t h e c o m m o n - s e n s e b e l i e f t h a t t e a c h e r s ’ v i e w s o f m a t h e m a fi c s i n fl u e n c e fi r e i r t e a c h i n g p r a c t i c e . H o w e v e r , I a l s o h a v e t o a c k n o w l e d g e fi r a t t h e y a r e n ' t t h e o n l y fi r i n g s t h a t i n fl u e n c e i t a n d fi r a t fi r e r e l a t i o n s h i p i s v e r y c o m p l e x . I t s e e m s c l e a r fi r a t fi r e r e i s n o t a l i n e a r c a u s a l i t y i n fi r i s r e l a fi o n s h i p a n d t h a t t h e y a r e m o r e d i a l e c fi c a l l y r e l a t e d t h a n r e l a t e d b y c a u s e a n d e f f e c t . A n o fi r e r fi r i n g fi r a t c o m p l i c a t e s fi r i s r e l a fi o n s h i p i s fi r a t i t i s d i f fi c u l t t o d e t e r m i n e h o w a n d h o w m u c h t e a c h e r s ' c o n c e p t i o n s o f m a fi r e m a fi c s i n fl u e n c e fi r e i r p r a c fi c e . S fi l l , fi r e r e i s m u c h c o n t r a s t 4 1 i n t e a c h e r s ' i n s t r u c fi o n a l e m p h a s e s w h e n fi r e y a r e t e a c h i n g m a fi r e m a fi c s , a n d i t s e e m s fi r a t m u c h o f t h a t c o n t r a s t c a n b e e x p l a i n e d b y o r a t t r i b u t e d t o d i f f e r e n c e s i n fi r e i r v i e w s o f m a fi r e m a fi c s . S o m e o f t h e r e s e a r c h r e l a t e d t o t e a c h e r s ’ b e l i e f s a b o u t m a t h e m a fi c s l o o k e d a t t e a c h e r s ’ v i e w s o f " r e f o r m - m i n d e d " o r " c o n s t r u c fi v i s t " i n s t r u c t i o n ( G r a n t , H i e b e r t , & W e a m e , 1 9 9 4 ) . O t h e r s l o o k e d a t w h e t h e r t h e s e b e l i e f s c h a n g e — e s p e c i a l l y d u r i n g , a n d p e r h a p s a s a r e s u l t o f , a " m a fi r m e fi r o d s " c o u r s e ( C a m p b e l l , 1 9 9 8 ; C o o n e y e t a l , 1 9 9 8 ; K y r i a k i d e s e t a l , 2 0 0 2 ; V a c c a n d B r i g h t , 1 9 9 9 ) . U s u a l l y t h e s e r e s e a r c h e r s f o u n d a c h a n g e i n t h e t e a c h e r s ’ ] p r e s e r v i c e t e a c h e r s ’ b e l i e f s , b u t o f t e n fi r e y f o u n d t h a t fi r i s c h a n g e w a s n o t v i s i b l e i n fi r e i r t e a c h i n g ( V a c c & B r i g h t , 1 9 9 9 ) . C a m p b e l l ( 1 9 9 8 ) f o u n d a n u n w a n t e d , b u t m a y b e n o t - s o - s u r p r i s i n g c h a n g e i n t h e s t u d e n t t e a c h e r s ’ b e l i e f s a b o u t t h e r o l e o f t h e t e a c h e r . I n fi r i s c a s e , t h e c h a n g e d m o v e d a w a y f r o m v i e w i n g t h e r o l e o f fi r e t e a c h e r a s a f a c i l i t a t o r t o v i e w i n g t h e r o l e o f t h e t e a c h e r a s a n e x p e r t w h o s h o w s o r m o d e l s . T h e c o n s t r a i n t s a s s o c i a t e d w i fi r s t u d e n t t e a c h i n g s u c h a s w o r k i n g w i fi r a s p e c i fi c c o o p e r a fi n g t e a c h e r w h o w i l l e v a l u a t e fi r e s t u d e n t t e a c h e r a n d t h e s t u d e n t t e a c h e r s ’ o w n i n e x p e r i e n c e t e a c h i n g m a y h a v e c o n t r i b u t e d t o fi r a t c h a n g e . T h e s e r e s e a r c h e r s u s e d a v a r i e t y o f m e fi r o d s t o o b t a i n fi r e i r d a t a s u c h a s h a v i n g t e a c h e r s o b s e r v e a l t e r n a fi v e i n s t r u c fi o n , i n t e r v i e w s , s u r v e y s , a n d o b s e r v a t i o n s . T h e r e s e a r c h t h a t h a s b e e n d o n e r e l a t e d t o t e a c h e r s ’ — e s p e c i a l l y p r e s e r v i c e t e a c h e r s ’ — a t t i t u d e s t o w a r d m a t h e m a t i c s h a s a l s o s h o w n s l i g h t v a r i a b i l i t y i n r e s u l t s . H o w e v e r , v i r t u a l l y a l l o f t h a t r e s e a r c h h a s s h o w n t h a t m a n y p r e s e r v i c e e l e m e n t a r y t e a c h e r s h a v e n e g a fi v e a t t i t u d e s t o w a r d m a fi r e m a fi c s ( A l l e n , 2 0 0 1 ; B e c k e r , 1 9 8 5 ; B u l m a h n a n d Y o u n g , 1 9 8 2 ; D u t t o n , 1 9 5 4 ; D u t t o n , 1 9 6 2 ; K e l l y a n d T o m h a v e , 1 9 8 6 ; R e y s a n d D e l o n , 1 9 6 6 ; S m i fi r , 1 9 6 4 ) . 4 2 T h e o n l y s t u d y o f fi r o s e j u s t c i t e d fi r a t l o o k e d a t c h a n g e i n p r e s e r v i c e t e a c h e r s ’ a t fi t u d e s t o w a r d m a fi r w a s t h e s t u d y d o n e b y R e y s a n d D e l o n ( 1 9 6 6 ) . H o w e v e r , s e v e r a l o fi r e r r e s e a r c h e r s h a v e s t u d i e d w h e fi r e r fi r e s e a t fi t u d e s c a n o r d o c h a n g e . U s u a l l y t h e y h a v e t r i e d t o l e a r n i f t h e r e c a n b e c h a n g e i n fi r o s e a t t i t u d e s d u r i n g fi r e fi m e fi r e y a r e t a k i n g a " m a fi r m e fi r o d s ” c o u r s e . A l l o f fi r a t r e s e a r c h ( o f w h i c h I a m a w a r e ) h a s s h o w n a t l e a s t a t e m p o r a r y i m p r o v e m e n t i n fi r e p r e s e r v i c e t e a c h e r s ' a t fi t u d e s ( A d k i n s a n d R o b i n s o n , 2 0 0 2 ; C o u c h - K u c h e y , 2 0 0 2 ; G i b s o n a n d V a n S t r a t , 2 0 0 1 ; G r e g g , 1 9 9 8 ; H e n d r i x , 2 0 0 3 ; M i l l e r , 1 9 9 9 ; R e y s a n d D e l o n , 1 9 6 6 ; S m i fi r , 1 9 9 9 ; W i l k i n s o n , 2 0 0 1 ) . I n t e r e s t i n g l y , a c o u p l e o f r e s e a r c h e r s a l s o f o u n d t h a t t e a c h e r s w h o h a v e m o r e f a v o r a b l e a t fi t u d e s t o w a r d m a fi r e m a fi c s t e n d t o p r e f e r t o t e a c h fi r e u p p e r g r a d e s ( 4 - 6 ) , w h i l e fi r o s e w i fi r l e s s f a v o r a b l e a t fi t u d e s m o s t o f t e n p r e f e r t o t e a c h g r a d e s K - 3 ( K a n e , 1 9 6 8 ; W i l k i n s , 2 0 0 2 ) . I n t w o o f t h e s t u d i e s , r e s e a r c h e r s t r i e d t o l e a r n a b o u t f a c t o r s fi r a t c o n fi i b u t e d t o p r e s e r v i c e t e a c h e r s ’ n e g a fi v e a t fi t u d e s ( A l l e n , 2 0 0 1 ; P a t t o n , 2 0 0 2 ) . M o s t o f fi r e r e s e a r c h s t u d i e s d o n e r e l a t e d t o t e a c h e r s ’ a t fi t u d e s t o w a r d m a t h a n d / o r t e a c h i n g m a t h u s e d t w o o r m o r e s o u r c e s f o r t h e i r d a t a ( A d k i n s a n d R o b i n s o n , 2 0 0 2 ; A l l e n , 2 0 0 1 ; G i b s o n a n d V a n S t r a t , 2 0 0 1 ; G r e g g , 1 9 9 8 ; M i l l e r , 1 9 9 9 ; S m i fi r , 1 9 9 9 ; W i l k i n s , 2 0 0 2 ) . H o w e v e r , s o m e o f fi r e m o n l y u s e d a s u r v e y o r q u e s fi o n n a i r e t h a t w a s a d m i n i s t e r e d t w o o r m o r e fi m e s a n d a n a l y z e d u s i n g s t a fi s fi c a l m e fi r o d s o f q u a n fi t a fi v e r e s e a r c h ( C o u c h - K u c h e y , 2 0 0 2 ; H a r e , 1 9 9 9 ; K r o w s , 1 9 9 9 ; P a t t o n , 2 W 2 ) . T h o s e w h o w e r e a b l e t o s h o w fi r e s a m e c o n c l u s i o n s fi r r o u g h fi r e u s e o f m u l fi p l e d a t a s o u r c e s s e e m t h e m o s t p e r s u a s i v e . W h a t fi r e s e s t u d i e s d o n o t t e l l u s i s w h e fi r e r fi r e s e c h a n g e s a r e l o n g l a s t i n g . T h e y a l s o d o n ’ t t e l l u s m u c h a b o u t w h e r e t h e c h a n g e i s , w h a t fi r e c h a n g e l o o k s , . l i k e , a n d w h y fi r e r e w a s c h a n g e . T h e s e a r e i d e a s fi r a t c a n b e e x p l o r e d f u r fi r e r i n f u t u r e r e s e a r c h . 4 3 A f e w s t u d i e s h a v e l o o k e d a t b o t h a t fi t u d e s t o w a r d a n d b e l i e f s a b o u t m a t h e m a t i c s o f t e a c h e r s o r p r e s e r v i c e t e a c h e r s . H a r e ( 1 9 9 9 ) f o u n d fi r a t t h e m o r e e x p e r i e n c e t e a c h e r s h a d t e a c h i n g m a fi r e m a t i c s , fi r e m o r e l i k e l y fi r e y w e r e t o h a v e a p o s i t i v e a t fi t r r d e t o w a r d i t . M i l l e r ( 1 9 9 9 ) f o u n d c h a n g e s i n b o fi r a t t i t u d e s a n d b e l i e f s i n p r e s e r v i c e t e a c h e r s w h e n fi r e y e x p e r i e n c e d a m a fi r m e fi r o d s c o u r s e b a s e d o n S h u l m a n ’ s f r a m e w o r k . K r o w s ( 1 9 9 9 ) a l s o f o u n d c h a n g e s i n b o t h a t t i t u d e s a n d b e l i e f s i n p r e s e r v i c e t e a c h e r s a f t e r fi r e y h a d p a r t i c i p a t e d i n fi r e e l e m e n t a r y p r e p a r a fi o n p r o g r a m — e s p e c i a l l y i n c o m p a r i s o n w i fi r s t u d e n t s w h o h a d n o t . W i l k i n s ( 2 0 0 2 ) , f o u n d t h a t u p p e r e l e m e n t a r y s c h o o l t e a c h e r s h a d g r e a t e r c o n t e n t k n o w l e d g e a n d m o r e p o s i fi v e a t t i t u d e s t o w a r d m a t h e m a fi c s t h a n p r i m a r y g r a d e t e a c h e r s , b u t h e a l s o f o u n d t h a t p r i m a r y t e a c h e r s u s e d r e f o r m - o r i e n t e d i n s t r u c t i o n m o r e f r e q u e n fi y t h a n d i d u p p e r e l e m e n t a r y t e a c h e r s . H e a l s o f o u n d fi r a t t e a c h e r s w i fi r m o r e p o s i fi v e a t fi t u d e s t o w a r d s m a t h e m a fi c s w e r e m o r e l i k e l y t o b e l i e v e i n fi r e e f f e c fi v e n e s s o f r e f o r m - o r i e n t e d i n s t r u c t i o n a n d u s e i t i n t h e i r c l a s s r o o m . T h e s e r e s e a r c h s t u d i e s w e r e m a i n l y d o n e w i t h q u e s fi o n n a i r e s a n d q u a n fi t a fi v e s t a fi s t i c a l a n a l y s e s . A l t h o u g h fi r e s e r e s e a r c h e r s w e r e c a r e f u l a b o u t m a n y fi r i n g s i n c o n d u c fi n g fi r e i r r e s e a r c h a n d c o n r i n g u p w i fi r fi r e i r c o n c l u s i o n s , t h e r e a r e o fi r e r i m p o r t a n t q u e s fi o n s fi r a t fi r e y d i d n o t a d d r e s s . O n e fi r i n g t h e y d i d n o t a d d r e s s o r a c c o u n t f o r i s t h e i d e a t h a t b e l i e f s y s t e m s a r e n o t s t a fi c . O f c o u r s e , fi r a t i s n o t e a s i l y d o n e . O fi r e r i m p o r t a n t q u e s fi o n s o v e r l o o k e d b y t h e s e r e s e a r c h e r s i s t h e e x t e n t t o w h i c h t e a c h e r s ' a n d s t u d e n t s ' b e l i e f s i n t e r a c t d u r i n g i n s t r u c fi o n a n d fi r e e x t e n t t o w h i c h o t h e r i n fl u e n c e s s u c h a s s c h o o l r e q u i r e m e n t s , i n e x p e r i e n c e o r i n s e c u r i t y , a n d l a c k o f s u p p o r t h a v e o n i n s t r u c fi o n . A n o t h e r p o s s i b i l i t y i s t h a t t h e w a y t e a c h e r s k n o w h o w t o t e a c h i n fl u e n c e s w h a t fi r e y fi r i n k m a fi r i s . T h e s e a r e fi r i n g s t h a t r e s e a r c h e r s s h o u l d a t l e a s t m a k e a n a t t e m p t t o a d d r e s s a n d a c c o u n t f o r . T h e s e a r e fi r i n g s fi r a t r e s e a r c h e r s w h o l o o k a t t h i s r e l a t i o n s h i p i n fi r e f u t u r e s h o u l d c o n s i d e r . S o m e G e n e r a l T h o u g h t s a b o u t T h i s L i t e r a t u r e T h e r e s e a r c h fi r a t h a s b e e n d o n e r e g a r d i n g fi r e r e l a fi o n s h i p o f t e a c h e r s ' b e l i e f s a b o u t m a fi r e m a fi c s a n d fi r e i r t e a c h i n g p r a c fi c e b o fi r h e l p s u s u n d e r s t a n d fi r i s r e l a fi o n s h i p a n d r a i s e s q u e s fi o n s a b o u t i t . I n fi r e f o l l o w i n g s e c t i o n s I w i l l n o t e s o m e o f fi r e r e a s o n s fi r i s i s a c o m p l i c a t e d a n d a d i f fi c u l t l i n e o f r e s e a r c h . D i f fi c u l t y o f D e fi n i n g a n d C a t e g o r i z i n g B e l i e f s . T h e c o n c e p t o f b e l i e f s h a s n o t b e e n d e a l t w i fi r i n a n y s u b s t a n fi a l w a y i n fi r e r e s e a r c h . R e s e a r c h e r s e i fi r e r g i v e c u r s o r y a n d v a g u e d e fi n i fi o n s o f b e l i e f s ( e . g . , a s a s y n o n y m f o r fi r o u g h t ) , o r fi r e y j u s t s e e m t o a s s u m e fi r a t t h e r e a d e r s k n o w w h a t b e l i e f s a r e . M o s t o f t e n fi r e y d o n o t t r y t o d e fi n e b e l i e f s , b u t t h e y n o t e c h a r a c t e r i s t i c s o f t h e m , p e r h a p s a l l u d i n g t o a v a g u e d e fi n i fi o n ( N e s p o r , 1 9 8 7 ) . T h i s i s n o t s u r p r i s i n g , h o w e v e r ; b e l i e f s a r e v e r y d i f fi c u l t t o d e fi n e a n d t o c a t e g o r i z e . T h i s i s a l s o fi r e c a s e w i fi r t h e i d e a o f b e l i e f s y s t e m s ( a m e t a p h o r f o r h o w b e l i e f s a r e o r g a n i z e d fi r a t i s s o m e fi m e s t a l k e d a b o u t i n fi r e s e s t u d i e s r a t h e r t h a n s i m p l y " b e l i e f s " ) . T h e r e a r e m a n y c h a r a c t e r i s t i c s o f b e l i e f s a n d b e l i e f s y s t e m s t h a t c a u s e fi r i s d i f fi c u l t y . O n e o f fi r e m o s t p r o m i n e n t c h a r a c t e r i s t i c s fi r a t c a u s e s t h i s d i f fi c u l t y i s fi r a t b e l i e f s a n d b e l i e f s y s t e m s a r e d y n a m i c . T h e y a r e e v e r c h a n g i n g . T h e y a r e n o t s t a t i c e n fi fi e s t o b e u n c o v e r e d . I t ' s d i f fi c u l t t o d e fi n e s o m e fi r i n g fi r a t i s a l w a y s c h a n g i n g . A n o fi r e r c h a r a c t e r i s fi c a s s o c i a t e d w i fi r fi r e d i f fi c u l t y o f d e fi n i n g b e l i e f s i s fi r a t fi r e y a r e n o t h e l d i n t o t a l i n d e p e n d e n c e o f a l l o fi r e r b e l i e f s . P a r fi c u l a r b e l i e f s fi r a t a r e h e l d b y fi r e b e l i e v e r a r e i n fl u e n c e d b y o fi r e r b e l i e f s a n d s o m e fi m e s m o d i fi e d t o fi t i n w i t h o t h e r b e l i e f s a l s o h e l d b y t h e b e l i e v e r . T h i s c h a r a c t e r i s t i c s u p p o r t s fi r e u s e f u l n e s s o f fi r e i d e a o f fi r i n k i n g o f fi r e m a s " b e l i e f s y s t e m s . " 4 5 O n e fi n a l e x a m p l e o f a c h a r a c t e r i s fi c o f b e l i e f s fi r a t m a k e s fi r e m d i f fi c u l t t o d e fi n e a n d c a t e g o r i z e i s t h a t b e l i e f s a r e h e l d w i fi r v a r y i n g d e g r e e s o f c o n v i c fi o n w h i c h i n fl u e n c e w h a t fi r e b e l i e f s a c t u a l l y a r e a n d t h e e x t e n t o f t h e i r e f f e c t o n b e h a v i o r . T h i s m a k e s l o o k i n g a t fi r e r e l a fi o n s h i p b e t w e e n b e l i e f s a n d p r a c fi c e c o m p l i c a t e d s i n c e i t ' s h a r d t o d e fi n e v a r y i n g d e g r e e s o f c o n v i c fi o n a n d e a c h d e g r e e ' s e x p e c t e d i n fl u e n c e o n b e h a v i o r . D i f fi c u l t y o f M e a s u r i n g B e l i e f s . A n o fi r e r fi r i n g fi r a t m a k e s i t d i f fi c u l t t o s t u d y fi r e e f f e c t s o f t e a c h e r s ' b e l i e f s a b o u t m a fi r e m a fi c s o n fi r e i r p r a c t i c e i s t h a t b e l i e f s a r e d i f fi c u l t t o m e a s u r e . T h e r e s e a r c h e r c a n ' t j u s t u s e t e a c h e r s ' p r o f e s s e d v i e w s s i n c e t e a c h e r s m a y p r o f e s s t o b e l i e v e w h a t t h e y fi r i n k t h e r e s e a r c h e r e x p e c t s o r w a n t s fi r e m t o b e l i e v e . T h e t e a c h e r s m a y f e e l fi r a t fi r e r e s e a r c h e r w i l l fi r i n k n e g a fi v e l y t o w a r d t h e m i f t h e y a d m i t t o b e l i e v i n g s o m e fi r i n g fi r a t i s n o t p o p u l a r o r i n l i n e w i fi r fi r e p e r c e i v e d a g e n d a o f fi r e r e s e a r c h e r . P e o p l e m a y n o t e v e n b e s u r e w h a t fi r e y b e l i e v e . T h e i r o p i n i o n s m a y b e c o n fl i c fi n g e n o u g h t h a t fi r e y d o n o t f e e l l i k e fi r e y c a n m a k e a s t a n d . I t ' s a l s o s o m e t i m e s fi r e c a s e fi r a t b e l i e f s a r e s o m e w h a t h i d d e n — a t l e a s t p a r fi a l l y — e v e n t o fi r e p o s s e s s o r b e c a u s e fi r e y m a y h a v e n e v e r t h o u g h t a b o u t w h a t fi r e y b e l i e v e a b o u t a p a r fi c u l a r t o p i c e x c e p t p e r h a p s s u p e r fi c i a l l y o r s u b c o n s c i o u s l y . ( T h i s i d e a c a u s e s m e t o w o n d e r i f g e t t i n g t e a c h e r s o r p r e s e r v i c e t e a c h e r s t o fi r i r r k a b o u t , fi g u r e o u t , a n d c o n f r o n t w h a t fi r e y b e l i e v e i s a n i m p o r t a n t s t e p i n c h a n g i n g [ o r s u p p o r t i n g ] fi r e i r b e l i e f s ? ) I n a d d i fi o n t o t e a c h e r s ' p r o f e s s e d b e l i e f s , r e s e a r c h e r s m u s t l o o k a t o t h e r fi r i n g s s u c h a s fi r e s o c i a l c o n t e x t , fi r e i n s t r u c fi o n a l s e t fi n g , p r a c fi c e s c h a r a c t e r i s fi c o f fi r e t e a c h e r s , a n d t h e r e l a fi o n s h i p b e t w e e n fi r e t e a c h e r s ' p r o f e s s e d v i e w s a n d fi r e i r a c t u a l p r a c t i c e . E v e n i n 1 9 6 5 , S c l r e f fl e r n o t e d fi r a t " w i fi r i n d e p e n d e n t k n o w l e d g e o f fi r e s o c i a l c o n t e x t , w e m a y j u d g e b e l i e f a s r e v e a l e d i n w o r d a n d d e e d . W h e r e t h e s e l a t t e r t w o d i v e r g e , w e m a y n e e d t o d e c i d e w h e t h e r t o p o s t u l a t e w e a k n e s s o f w i l l , o r i r r a fi o n a l i t y , o r d e v i a n t p u r p o s e , o r i g n o r a n c e , o r b i z a r r e b e l i e f , o r i n s i n c e r i t y , a n d fi r e c h o i c e m a y o f t e n b e d i f fi c u l t . . . I t w i l l , 4 6 i r r a n y c a s e , n e v e r b e r e a s o n a b l e t o t a k e b e l i e f s i m p l y a s a m a t t e r o f v e r b a l r e s p o n s e : b e l i e f r s r a fi r e r a " fi r e o r e fi c a l " s t a t e c h a r a c t e r i z i n g , i n s u b fi e w a y s , fi r e o r i e n t a fi o n o f fi r e p e r s o n i n fi r e w o r l d . " ( p . 8 9 - 9 0 ) B u t fi r i s l e a d s u s t o a p e r p l e x i n g p a r a d o x : i t s e e m s c o n t r a d i c t o r y fi r a t i n s t u d i e s l o o k i n g a t t h e i n fl u e n c e o f t e a c h e r s ' b e l i e f s o n fi r e i r p r a c t i c e , fi r e i r p r a c fi c e i s u s e d a s a m e a s u r e o f fi r e i r b e l i e f . I t ' s a l m o s t a c i r c u l a r o r m a y b e t a u t o l o g o u s l o g i c . I t s e e m s l i k e r e s e a r c h e r s a l r e a d y h a v e t o b e l i e v e t h a t w h a t t h e y a r e l o o k i n g f o r i s t r u e i f fi r e y c o n s i d e r t e a c h e r s ' p r a c t i c e a v a l i d m e a s u r e o f fi r e i r b e l i e f s . S fi l l , i t ' s c e r t a i n fi r a t m o r e t h a n a v e r b a l r e s p o n s e m u s t b e l o o k e d a t t o a s c e r t a i n b e l i e f s , a n d i t ' s r e a s o n a b l e . t o b e l i e v e fi r a t a c t i o n s a r e a t l e a s t o f t e n a n i n d i c a fi o n o f b e l i e f . I f p e o p l e m o d i f y n e w b e l i e f s t o fi t i n t o t h e b e l i e f s t h e y a l r e a d y h o l d , h o w e v e r , fi r e b e l i e f s m a y n o t b e e n a c t e d i n a w a y t h a t w o u l d fi r e o r e fi c a l l y b e e x p e c t e d . A c fi o n s , t h e r e f o r e , c a n b e a s t a t e m e n t o f b e l i e f s , b u t n o t f u l l y ; a c t i o n s p l u s c o m m e n t a r y b y t h e p e r s o n a c fi n g g i v e a b e t t e r , f u l l e r p i c t u r e o f t r u e b e l i e f s . I n a r e s e a r c h s i t u a fi o r r , i t w o u l d b e j u s t a s w e a k t o b a s e a c h a r a c t e r i z a fi o n o f a p e r s o n ' s b e l i e f s o n l y o n h i s o r h e r a c fi o n s a s i t w o u l d b e t o b a s e i t o n l y o n h i s o r h e r r e p o r t . A n o fi r e r fi r i n g fi r a t m a k e s o b s e r v a fi o n o f p r a c fi c e a c o m p l i c a t e d m e a s u r e o f b e l i e f s i s t h a t p e o p l e s e e fi r e s a m e fi r i n g i n d i f f e r e n t w a y s . T h e t e a c h e r r r r i g h t h a v e a v e r y d i f f e r e n t v i e w o f w h a t h a p p e n e d fi r a n fi r e o b s e r v e r d i d — e v e n i f fi r e t e a c h e r s e e s a v i d e o - t a p e d r e v i e w o f i t . T h e s e a r e p u z z l i n g c o n t r a d i c fi o n s t h a t r e s e a r c h e r s w h o l o o k a t fi r i s q u e s fi o n h a v e t o d e a l w i fi r . R e l a fi o n o f T h i s R e s e a r c h t o M y S t u d y I n fi r i s s e c fi o r r , I w i l l e x p l a i n h o w I b e l i e v e fi r i s r e s e a r c h r e l a t e s t o a n d s u p p o r t s m y d i s s e r t a t i o n q u e s t i o n s . I w i l l t h e n d i s c u s s w h a t I s e e a s t h e r e l a fi o n s h i p b e t w e e n fi r i s r e s e a r c h a n d m y s t u d y . 4 7 H o w D o e s T h i s R e s e a r c h S u p p o r t M y D i s s e r t a t i o n Q u e s t i o n ? I n fi r i s s t u d y , I a m l o o k i n g a t t h e q u e s t i o n o f h o w a n d w h e t h e r t h e c o n c e p t i o n s p r e s e r v i c e t e a c h e r s h a v e a b o u t m a fi r e m a t i c s c h a n g e a n d d e v e l o p d u r i n g a c l a s s d e s i g n e d t o h e l p p r e p a r e t h e m t o t e a c h m a fi r e m a t i c s . C l e a r l y fi r i s q u e s t i o n o n l y m a t t e r s i f t e a c h e r s ' c o n c e p t i o n s o f m a fi r e m a t i c s a r e i m p o r t a n t i n fl u e n c e s o n h o w fi r e y w i l l t e a c h i t . T h e r e a r e c e r t a i n w a y s t o t e a c h m a fi r e m a t i c s fi r a t r e s e a r c h h a s i n d i c a t e d a n d t h e N C T M P r i n c i p l e s a n d S t a n d a r d s ( 2 0 0 0 ) , a m o n g o fi r e r s , h a v e s u g g e s t e d a r e m o r e e f f e c t i v e t o h e l p s t u d e n t s g a i n a c o n c e p t u a l u n d e r s t a n d i n g o f m a fi r e m a t i c s a s o p p o s e d t o a s i m p l e k n o w l e d g e o r r o t e m e m o r i z a t i o n u n d e r s t a n d i n g . T h e s e m e t h o d s a r e d i r e c fi y c o n n e c t e d t o c e r t a i n p h i l o s o p h i e s o f m a fi r e m a t i c s , a n d b o t h fi r e fi r e o r e t i c a l a n d fi r e e m p i r i c a l w o r k I h a v e r e v i e w e d h a v e l e n t s u p p o r t t o t h e i d e a t h a t t e a c h e r s w i fi r p a r t i c u l a r p h i l o s o p h i e s o f m a t h e m a t i c s t e n d t o t e a c h i n p a r t i c u l a r w a y s . I n a l l fi r e r e s e a r c h I a m f a m i l i a r w i fi r , fi r e r e w a s n o c a s e i n w h i c h s o m e o n e w h o t a u g h t m a fi r i n a c o n s t r u c t i v i s t w a y ( i . e . , a s s o m e fi r i n g fi r a t w a s c r e a t e d a n d d i s c o v e r e d t o m a k e s e n s e o f p a t t e r n s a n d r e l a t i o n s i n fi r e w o r l d ) d i d n ' t s e e m a t h i n a m u l t i p l i s t i c / c o n s t r u c t i v i s t i c / r e l a t i v i s t i c w a y . H o w e v e r , t h e r e w a s o n e c a s e ( T h o m p s o n , 1 9 8 4 ) i n w h i c h a t e a c h e r w h o fi r o u g h t o f m a fi r e m a t i c s a s a r a t h e r s t a t i c b o d y o f k n o w l e d g e t a u g h t w i t h a " c o n c e p t u a l a p p r o a c h " fi r a t p r e s e n t e d m a fi r e m a t i c s a s " a s e t o f i n t e g r a t e d a n d i n t e r r e l a t e d t o p i c s . " S e e i n g m a fi r e m a t i c s a s a s e t o f i n t e g r a t e d a n d i n t e r r e l a t e d t o p i c s i s c e r t a i n l y a p a r t o f t e a c h i n g m a t h e m a t i c s c o n c e p t u a l l y , b u t t h a t c a n b e d o n e w i fi r o u t t e a c h i n g i t i n a c o n s t r u c t i v i s t i c w a y . I n c o n t r a s t , t h e t e a c h e r i n T h o m p s o n ' s s t u d y w h o h e l d a m o r e d y n a m i c v i e w o f m a fi r e m a t i c s fi r o u g h t fi r e s t u d e n t s n e e d e d t o b e e n g a g e d i n i t s c r e a t i v e g e n e r a t i v e p r o c e s s e s t o l e a r n m a t h e m a t i c s O n t h e o t h e r h a n d , a l l t h o s e w h o t h o u g h t o f m a t h a s a r i fi r m e t i c c o m p u t a t i o n a n d m e m o r i z i n g 4 8 a l g o r i fi r m s ( a b s o l u t i s t i c o r d u a l i s t i c ) , t a u g h t i t fi r a t w a y . T h e r e w e r e a l s o s o m e w h o t h o u g h t o f m a t h e m a t i c s i n a m u l t i p l i s t i c w a y w h o t a u g h t i t i n a w a y fi r a t w o u l d b e e x p e c t e d o f t e a c h e r s w i fi r a n a b s o l u t i s t v i e w . T h e i m p o r t a n t p o i n t h e r e i s t h a t i f t e a c h e r s h a v e a n a b s o l u t i s t v i e w o f m a t h e m a t i c s , fi r e y d o n o t t e a c h i t i n a m u l t i p l i s t i c w a y . S o , I w o u l d a r g u e t h a t i f w e w a n t t e a c h e r s t o t e a c h m a t h e m a t i c s i n a c o n c e p t u a l w a y , i t i s n e c e s s a r y , b u t n o t s u f fi c i e n t , f o r t e a c h e r s t o fi r i n k o f m a fi r i n a c o n c e p t u a l w a y . M y c o n t e n t i o n i s n o t t h a t fi r e y h a v e t o l e a r n t o l o o k a t i t t h a t w a y f r o m a " m e t h o d s " c o u r s e , b u t t h a t s o m e fi r i n g h a s t o h e l p fi r e m s e e m a fi r fi r a t w a y . H o w e v e r , i f fi r a t i s t r u e , I fi r i n k i t j u s t i fi e s l o o k i n g a t p r o s p e c t i v e t e a c h e r s ' c o n c e p t i o n s o f m a fi r e m a t i c s i n a " m e fi r o d s " c o u r s e a n d s t r i v i n g t o h e l p fi r e m b r o a d e n fi r e i r v i e w — w h i c h g i v e s m e r e a s o n t o c a r e a b o u t m y q u e s t i o n . R e l a t i o n o f t h i s S t u d y t o O t h e r R e s e a r c h . T h i s s t u d y b u i l d s o n m u c h e a r l i e r r e s e a r c h i n t e a c h e r e d u c a t i o n . S o m e o f fi r e c o n n e c t i o n s a r e w o r fi r n o t i n g . F o r d e c a d e s m u c h e d u c a t i o n a l r e s e a r c h h a s f o c u s e d o n p r o s p e c t i v e e l e m e n t a r y t e a c h e r s ’ a t t i t u d e s a b o u t m a t h e m a t i c s , e s p e c i a l l y w h e t h e r t h e y l i k e d i t o r n o t o r f e l t c o n fi d e n t i n fi r e i r o w n a b i l i t i e s ( A l l e n , 2 0 0 1 ; B e c k e r , 1 9 8 5 ; B u l m a h n a n d Y o u n g , 1 9 8 2 ; D u t t o n , 1 9 5 4 ; D u t t o n , 1 9 6 2 ; K e l l y a n d T o m h a v e , 1 9 8 6 ; R e y s a n d D e l o n , 1 9 6 6 ; S m i fi r , 1 9 6 4 ) . T h i s r e s e a r c h s e r v e s a s a f o u n d a t i o n f o r m y s t u d y . H o w e v e r , fi r i s b o d y o f r e s e a r c h d i d n o t l o o k a t t h e p r o s p e c fi v e t e a c h e r s ' a t t i t u d e s t o w a r d fi r e p r o s p e c t o f t e a c h i n g m a fi r e m a t i e s , n o r d i d i t l o o k a t c h a n g e i n a t t i t u d e s , a s m i n e d o e s . O n e fi r i n g fi r i s s t u d y m a y p r o v i d e i n s i g h t s o n i s i f fi r e r e i s a r e l a t i o n b e t w e e n s t u d e n t s ' a t t i t u d e s r e l a t e d t o m a fi r e m a t i c s a n d fi r e i r a t t i t u d e s a b o u t fi r e i d e a o f t e a c h i n g i t . S o m e r e s e a r c h e r s d i d l o o k a t c h a n g e i n a t t i t u d e s t o w a r d m a fi r e m a t i c s o f p r e s e r v i c e ( o r i n - s e r v i c e ) t e a c h e r s ( A d k i n s a n d R o b i n s o n , 2 0 0 2 ; C o u c h - K u c h e y , 2 0 0 2 ; G i b s o n a n d V a n S t r a t , 2 0 0 1 ; G r e g g , 1 9 9 8 ; H e n d r i x , 2 0 0 3 ; M i l l e r , 1 9 9 9 ; R e y s 4 9 a n d D e l o n , 1 9 6 6 ; S m i fi r , 1 9 9 9 ; W i l k i n s o n , 2 0 3 1 ) . M y s t u d y w i l l a d d t o fi r i s b o d y o f r e s e a r c h , a n d i t w i l l a l s o a d d t h e d i m e n s i o n o f l o o k i n g a t c h a n g e s ( o r l a c k o f c h a n g e s ) i n c o n c e p t i o n s ( o r b e l i e f s ) w h i l e l o o k i n g a t a t t i t u d e s . T h i s s t u d y a l s o b u i l d s o n r e s e a r c h t h a t h a s b e e n d o n e r e l a t e d t o b e l i e f s a b o u t m a fi r e m a t i c s . T h e r e s e a r c h fi r a t h a s b e e n d o n e t o s e e i f b e l i e f s i n fl u e n c e p r a c t i c e w i l l p r o v i d e a f o u n d a t i o n f o r m y r e s e a r c h ( K e s l e r , 1 9 8 5 ; K y r i a k i d e s e t a l , 2 0 0 2 ; M c G a l l i a r d , 1 9 8 3 ; R a y m o n d , 1 9 9 7 ; a n d T h o m p s o n , 1 9 8 4 ) . O fi r e r s h a v e r e s e a r c h e d w h e fi r e r t h e s e b e l i e f s c h a n g e ( C a m p b e l l , 1 9 9 8 ; C o o n e y e t a l , 1 9 9 8 ; H e n d r i x , 2 0 0 3 ; 1 ( y r i a k i d e s e t a l , 2 0 0 2 ; V a c c a n d B r i g h t , 1 9 9 9 ) , a n d fi r e i r s t u d i e s h a v e s i m i l a r i t i e s t o m y s t u d y , b u t w i fi r o u t a t t i t u d e s b e i n g l o o k e d a t . M y s t u d y w i l l a l s o a d d t o fi r i s b o d y o f r e s e a r c h . S o m e r e s e a r c h h a s b e e n c o n d u c t e d r e c e n fi y fi r a t i s s i m i l a r t o m y s t u d y b y n o v i c e r e s e a r c h e r s , s u c h a s m y s e l f , w h o l o o k e d a t c h a n g e s i n b o fi r a t t i t u d e s a n d b e l i e f s — m o s t l y f o r t h e i r d i s s e r t a t i o n s t u d i e s ( H a r e , 1 9 9 9 ; K r o w s , 1 9 9 9 ; M i l l e r , 1 9 9 9 ; W i l k i n s , 2 0 0 2 ) . T h i s r e s e a r c h i s s i m i l a r t o m y s t u d y . H o w e v e r , fi r e y d i d n o t a l l s t u d y p r e s e r v i c e t e a c h e r s , a n d t h e c o m b i n a t i o n o f d a t a s o u r c e s fi r a t I a m u s i n g i s d i f f e r e n t f r o m w h a t w a s u s e d i n e a c h o f fi r e s e s t u d i e s . A g a i n , m y s t u d y w i l l a d d t o t h i s b o d y o f r e s e a r c h . O fi r e r r e s e a r c h ( S e e f o r e x a m p l e , B a l l , 1 9 8 8 ) l o o k e d a t fi r e b e l i e f s a n d a t t i t u d e s o f p r o s p e c t i v e t e a c h e r s b u t n o t t h e i r d e v e l o p m e n t a c r o s s a p o r t i o n o f fi r e s t u d e n t s ' t e a c h e r p r e p a r a t i o n e x p e r i e n c e . T h i s e v o l u t i o n i s s o m e fi r i n g fi r a t w i l l b e a d d e d w i fi r fi r i s s t u d y . A n o fi r e r a s p e c t fi r a t fi r i s s t u d y a d d s t o fi r e r e s e a r c h r e l a t e d t o p r o s p e c t i v e t e a c h e r s ’ c o n c e p t i o n s o f a n d a t t i t u d e s t o w a r d m a t h e m a t i c s a n d t e a c h i n g m a fi r e m a t i c s i s fi r e i n c l u s i o n o f c a s e s t u d i e s . D o i n g c a s e s t u d i e s i s a n a d d i t i o n t o t h e r e s e a r c h b e c a u s e i t p e r m i t s m e t o e x a m i n e t h e e c o l o g y o f w h a t s u c h a c a s e l o o k s l i k e . W h e r e a s G r e g g ( 1 9 9 8 ) , S m i fi r ( 1 9 9 9 ) , a n d o t h e r s l i n k fi r e i n s t r u c t i o n a l 5 0 a p p r o a c h e s o f fi r e c o l l e g e t e a c h e r s — o r t e a c h e r e d u c a t o r s — t o c h a n g e s i n fi r e p r o s p e c t i v e t e a c h e r s ’ c o n c e p t i o n s a n d a t t i t u d e s , t h e s e c a s e s a l l o w m e t o l o o k c l o s e l y a t b o fi r s t u d e n t s w h o d o c h a n g e a n d s t u d e n t s w h o d o n o t c h a n g e i n fi r e c o n t e x t o f a c l a s s i n w h i c h o fi r e r s a r e c h a n g i n g . P r e v i e w o f t h e U p c o m i n g C h a p t e r s I n fi r e n e x t c h a p t e r , I w i l l o u t l i n e t h e m e t h o d o l o g y t h a t I u s e d i n c o n d u c t i n g m y s t u d y . I w i l l d e s c r i b e fi r e o v e r a l l d e s i g n , fi r e s u b j e c t s a n d s i t u a t i o n , t h e d a t a s o u r c e s , a n d h o w t h e d a t a w a s c o l l e c t e d , s y n t h e s i z e d , a n d a n a l y z e d . I n C h a p t e r s 3 , 4 , a n d 5 , I w i l l l o o k a t t h e g e n e r a l t r e n d s o f t h e g r o u p i n r e l a t i o n t o fi r e c h a n g e s a n d s t a b i l i t y o f fi r e s t u d e n t s ’ c o n c e p t i o n s o f a n d a t t i t u d e s t o w a r d m a fi r e m a t i c s a n d t e a c h i n g m a fi r e m a t i c s a s m a n y r e s e a r c h e r s h a v e d o n e b e f o r e . T h e s e c h a p t e r s p r o v i d e a b i g p i c t u r e o f w h a t i d e a s a n d a t t i t u d e s m i g h t r e m a i n s t a b l e a n d w h a t m i g h t c h a n g e f o r a g r o u p o f s t u d e n t s i n a m e fi r o d s c l a s s . I n C h a p t e r 3 , I e x a m i n e t h e c o n c e p t i o n s o f fi r e s e p r o s p e c t i v e e l e m e n t a r y t e a c h e r s i n r e l a t i o n t o t h e n a t u r e o f m a t h e m a t i c s a n d t h e u s e f u l n e s s o f m a t h e m a t i c s . O t h e r r e s e a r c h h a s l o o k e d a t b e l i e f s a b o u t m a fi r e m a t i c s o f p r o s p e c t i v e t e a c h e r s , b u t fi r e y h a v e d o n e i t m a i n l y b y l o o k i n g a t fi r e p r o s p e c t i v e t e a c h e r s ’ v i e w s o f t h e g e n e r a l c h a r a c t e r i s t i c s o f m a fi r e m a t i c s . I w i l l l o o k m o r e c l o s e l y a t t h e i r c o n c e p t i o n s r e l a t e d t o c o n t e n t , p r o c e s s e s , r e p r e s e n t a t i o n s , a n d c h a r a c t e r i s t i c s o f m a fi r e m a t i c s . ( T h e s e c a t e g o r i e s w i l l b e d e s c r i b e d i n C h a p t e r 2 . ) I k n o w o f n o o t h e r r e s e a r c h t h a t h a s s t u d i e d t h e p r o s p e c t i v e t e a c h e r s ’ c o n c e p t i o n s o f fi r e u s e f u l n e s s o f m a fi r e m a t i c s . C h a p t e r 4 i s a n e x a m i n a t i o n o f t h e s e p r o s p e c t i v e e l e m e n t a r y t e a c h e r s ' c o n c e p fi o n s o f l e a r n i n g a n d t e a c h i n g m a fi r e m a t i c s . I a n a l y z e w h a t I l e a r n a b o u t 5 1 h o w fi r e s e p r o s p e c t i v e t e a c h e r s fi r i n k m a fi r i s l e a r n e d a n d h o w t h e y fi r i n k i t s h o u l d b e t a u g h t . T h i s i s a n o t h e r a s p e c t o f p r o s p e c t i v e t e a c h e r s ’ b e l i e f s a b o u t m a fi r e m a t i c s fi r a t h a s n o t o f t e n b e e n e x a m i n e d i n p r e v i o u s s t u d i e s . I n C h a p t e r 5 , I s c r u t i n i z e fi r e a t t i t u d e s o f t h e s e p r o s p e c t i v e e l e m e n t a r y t e a c h e r s t o w a r d m a fi r e m a t i c s a n d t e a c h i n g m a fi r e m a t i c s . I t i s h e r e t h a t w e s e e fi r e m o s t s i g n i f i c a n t c h a n g e s i n fi r e p r o s p e c fi v e t e a c h e r s i d e a s o v e r t h e c o u r s e o f fi r e s e m e s t e r ; fi r e c h a p t e r a n a l y z e s w h i c h o f fi r e s e a t t i t u d e s c h a n g e a n d c o n s i d e r s w h a t t h e d a t a i n d i c a t e s a b o u t t h e m e c h a n i s m o f c h a n g e . I n C h a p t e r s 6 a n d 7 , I e x a m i n e t h e s t a b i l i t y a n d c h a n g e o f t h e f o u r f o c u s s t u d e n t s i n r e l a t i o n t o t h e i r c o n c e p t i o n s o f a n d a t t i t u d e s t o w a r d m a fi r e m a t i c s a n d fi r e t e a c h i n g o f m a fi r e m a t i e s . T h e s e c a s e s p e r m i t m e t o l o o k m u c h h a r d e r a t t w o s t u d e n t s w h o d i d n ’ t c h a n g e m u c h a n d t w o s t u d e n t s w h o c h a n g e d q u i t e a b i t . T h e s e a r e h e l p f u l i n r e l a t i o n t o u n d e r s t a n d i n g w h a t fi r i s c h a n g e o r l a c k o f c h a n g e m i g h t l o o k l i k e — a n d h o w i t l o o k s t o fi r e s t u d e n t s t h e m s e l v e s . C h a p t e r 6 e x a m i n e s fi r e c a s e s o f t w o s t u d e n t s w h o e n t e r e d t h e c o u r s e w i t h v e r y n e g a t i v e a t t i t u d e s t o w a r d m a t h e m a t i c s a n d t e a c h i n g m a fi r e m a t i c s . T h e s e s t u d e n t s d i d n o t c h a n g e t h e i r a t t i t u d e s , a n d fi r i s l a c k o f c h a n g e i s s o m e fi r i n g t h a t i s n o t e x a m i n e d i n fi r e s t u d i e s o f l a r g e g r o u p s o f p r o s p e c t i v e t e a c h e r s w h o g e n e r a l l y d o s h o w c h a n g e . I n C h a p t e r 7 , I p r e s e n t t h e c a s e s o f t w o o fi r e r s t u d e n t s w h o a l s o e n t e r e d t h e c o u r s e w i t h v e r y n e g a t i v e a t t i t u d e s t o w a r d m a t h e m a t i c s a n d t e a c h i n g m a t h e m a t i c s . H o w e v e r , t h e i r a t t i t u d e s d o c h a n g e . T h i s c l o s e - u p l o o k a t t h e s e t w o s t u d e n t s h e l p s u s u n d e r s t a n d w h a t fi r i s c h a n g e m i g h t l o o k l i k e a n d w h a t f a c t o r s m a y h a v e i n fl u e n c e d fi r a t c h a n g e . 5 2 T h e f i n a l c h a p t e r — C h a p t e r 8 — i s a s u m m a r y o f t h e m a j o r fi n d i n g s , i m p l i c a t i o n s , a n d c o n t r i b u t i o n s o f fi r i s s t u d y . 5 3 C H A P T E R 2 M E T H O D O L O G Y O v e r a l l D e s i g n T h e o v e r a l l d e s i g n o f fi r i s s t u d y e m p l o y e d m a i n l y q u a l i t a t i v e m e fi r o d s o f r e s e a r c h , b u t a l s o s o m e q u a n t i t a t i v e m e t h o d s . P r o s p e c t i v e e l e m e n t a r y s c h o o l t e a c h e r s w h o w e r e s e n i o r s t u d e n t s i n fi r e i r t e a c h e r t r a i n i n g a n d w e r e e n r o l l e d i n a c l a s s d e s i g n e d t o h e l p p r e p a r e fi r e m t o t e a c h m a fi r e m a t i c s w e r e fi r e s o u r c e s o f i n f o r m a t i o n c o l l e c t e d b y t h e v a r i o u s d a t a i n s t r u m e n t s a n d c o l l e c t i o n m e t h o d s . T h e y w e r e a d m i n i s t e r e d a n i n v e n t o r y a t fi r e b e g i n n i n g a n d e n d o f t h e i r c o u r s e ; t h e y m a d e m a t h c o n c e p t m a p s a t fi r e b e g i n n i n g a n d e n d o f fi r e i r c o u r s e ; a n d t h e y a l s o w r o t e v a r i o u s j o u r n a l e n t r i e s fi r a t w e r e u s e d . T h e s e s t u d e n t s d i d n ' t d o a n y a s s i g n m e n t s t h e y w o u l d n o t h a v e d o n e i f fi r i s c l a s s w e r e n o t u s e d f o r fi r i s s t u d y , b u t fi r e i r w r i t i n g s , c o n c e p t m a p s , a n d i n v e n t o r i e s w e r e u s e d f o r r e s e a r c h p u r p o s e s . A f e w s t u d e n t s s e r v e d a s f o c u s s t u d e n t s w h o w e r e i n t e r v i e w e d i n a d d i t i o n t o fi r e w r i t i n g s a n d s u r v e y s d o n e b y t h e e n t i r e c l a s s . M o s t o f t h e d a t a w e r e a n a l y z e d q u a l i t a t i v e l y w i fi r q u a n t i t a fi v e d e s c r i p t o r s w h e n a p p r o p r i a t e , a n d fi r e m a i n p a r t o f fi r e i n v e n t o r y w a s a n a l y z e d q u a n t i t a t i v e l y . S u b j e c t s a n d S i t u a t i o n T h e s t u d e n t s I s t u d i e d i n c o n n e c t i o n w i t h fi r i s r e s e a r c h w e r e fi r e 3 4 p r e s e r v i c e e l e m e n t a r y s c h o o l t e a c h e r s w h o m I t a u g h t i n s e c t i o n 1 7 o f T B 4 0 1 , " T e a c h i n g S u b j e c t M a t t e r t o D i v e r s e L e a r n e r s , " d u r i n g F a l l S e m e s t e r 1 9 9 5 a t M i c h i g a n S t a t e U n i v e r s i t y . S t u d e n t s i n fi r e t w o o t h e r s e c t i o n s o f T B 4 0 1 f o r T e a m T w o w e r e a l s o u s e d a s c o m p a r i s o n g r o u p s f o r t h e i n v e n t o r y t h a t w a s a d m i n i s t e r e d a t t h e b e g i n n i n g a n d e n d o f fi r e s e m e s t e r . F o c u s S t u d e n t s . E a r l y i n fi r e c o u r s e , I c h o s e s i x s t u d e n t s t o s e r v e a s f o c u s s t u d e n t s . T h e s e s t u d e n t s w e r e i n t e r v i e w e d o n t w o s e p a r a t e o c c a s i o n s , a n d I u s e d fi r e i r i n t e r v i e w s a s w e l l a s fi r e i r i n d i v i d u a l c o l l e c t i o n s o f a l l fi r e d a t a s o u r c e s t o d o i n d i v i d u a l c a s e s t u d i e s o f fi r e m . I s e l e c t e d t h e s e s i x s t u d e n t s t o b e f o c u s s t u d e n t s a n d t o b e i n t e r v i e w e d s o t h a t I c o u l d fi n d o u t m o r e i n d e p fi r fi r a n I c o u l d f r o m t h e o fi r e r c l a s s a s s i g n m e n t s w h a t t h e y fi r o u g h t a b o u t m a t h a n d t e a c h i n g m a fi r a n d s o I c o u l d h a v e s o m e i n d i v i d u a l , s p e c i fi c e x a m p l e s o f h o w fi r e s e c o n c e p t i o n s a n d a t t i t u d e s m a y o r m a y n o t c h a n g e . T h e r e w a s n o t a l o t o f d i v e r s i t y i n o u t w a r d m e a s u r e s i n m y c l a s s s u c h a s g e n d e r , r a c e , a n d a g e . T h i r t y - o n e o f fi r e 3 4 s t u d e n t s i n t h e c l a s s w e r e f e m a l e ; o n e s t u d e n t h a d A s i a n a n c e s t r y , a n d fi r e o fi r e r s w e r e C a u c a s i a n ; a n d a l l b u t t w o o r fi r r e e s t u d e n t s w e r e a b o u t 2 2 y e a r s o l d . H o w e v e r , I c h o s e f o c u s s t u d e n t s t o r e p r e s e n t fi r e d i v e r s i t y t h e r e w a s i n t h e c l a s s i n e x p e r i e n c e a n d b a c k g r o u n d . I n fi r i s p a r t i c u l a r c l a s s , t h e r e w e r e o n l y fi r r e e s t u d e n t s I w o u l d c a t e g o r i z e a s h a v i n g a p o s i t i v e a t t i t u d e t o w a r d m a t h a t fi r e b e g i n n i n g o f fi r e s e m e s t e r , a n d t h e o fi r e r 3 1 s t u d e n t s h a d a t t i t u d e s t h a t w e r e s o m e w h a t n e g a t i v e t o v e r y n e g a fi v e t o w a r d m a fi r e m a t i c s . I c h o s e s t u d e n t s w h o , b a s e d o n fi r e i r w r i t i n g s a n d fi r e c o m m e n t s t h e y m a d e i n c l a s s , w e r e n o t a f r a i d t o e x p r e s s fi r e i r o p i n i o n a n d d i d n o t a p p e a r t o f e e l a n y o b l i g a t i o n t o s a y w h a t fi r e y t h o u g h t I m i g h t l i k e t o h e a r . O n e o f t h e f o c u s s t u d e n t s w a s m a l e , a n d t h e o t h e r fi v e w e r e f e m a l e . T h e m a l e h a d h a d p o s i t i v e e x p e r i e n c e s w i fi r m a t h a n d h a d a p o s i t i v e a t t i t u d e t o w a r d i t . T h e fi v e f e m a l e s h a d h a d n e g a t i v e e x p e r i e n c e s w i t h m a t h a n d h a d n e g a t i v e a t t i t u d e s t o w a r d i t . O n e o f fi r e m w a s a 3 5 — y e a r - o l d w o m a n w h o h a d r e t u r n e d t o c o l l e g e t o fi n i s h h e r d e g r e e , a n d t h e o t h e r fi v e w e r e 2 2 y e a r s o l d . I a l s o h a d a l a r g e n u m b e r o f s t u d e n t s w h o w e r e m a j o r i n g i n c h i l d d e v e l o p m e n t — p r e p a r i n g t o t e a c h p r e s c h o o l — a s w e l l a s e l e m e n t a r y e d u c a t i o n i n m y c l a s s , a n d t w o o f fi r e f o c u s s t u d e n t s h a d fi r i s m a j o r . 5 5 I n fi r e e n d , i n o r d e r t o k e e p fi r i s d i s s e r t a t i o n t o a m a n a g e a b l e l e n g fi r , I c h o s e t o u s e f o u r o f t h e s e s t u d e n t s i n c o n s t r u c t i n g c a s e s t u d i e s f o r t h i s d i s s e r t a t i o n . H a v i n g b e g u n a n a l y s i s o f a l l s i x c a s e s , I w a s a b l e t o c h o o s e f o u r w h o r e p r e s e n t e d fi r e f u l l d i v e r s i t y o f fi r e g r o u p . T e a c h e r / R e s e a r c h e r I s s u e . S i n c e fi r i s w a s a s t u d y o f m y o w n s t u d e n t s , a n d I w a s b o t h t h e t e a c h e r a n d fi r e r e s e a r c h e r , s p e c i a l c o n s i d e r a t i o n s w e r e m a d e . I n fi r i s s e c t i o n , I w i l l t r y t o o u t l i n e w h y I c h o s e t o b e b o t h t h e t e a c h e r a n d r e s e a r c h e r a n d w h a t I d i d t o a l l e v i a t e s o m e o f fi r e c h a l l e n g e s a s s o c i a t e d w i fi r t h i s t y p e o f r e s e a r c h . A m a j o r r e a s o n I f e l t j u s t i fi e d i n u s i n g m y o w n c l a s s i s fi r a t I d i d n o fi r i n g i n c o n j u n c t i o n w i fi r fi r i s s t u d y t h a t I w o u l d n o t h a v e d o n e a s a p a r t o f m y n o r m a l t e a c h i n g p r a c t i c e w i t h fi r i s c l a s s . F o r e x a m p l e , a s a p a r t o f m y n o r m a l t e a c h i n g p r a c t i c e a s a t e a c h e r e d u c a t o r , I h a v e fi r e s t u d e n t s w r i t e i n t h e i r o w n c o u r s e j o u r n a l s a b o u t t h e i r p r i o r e x p e r i e n c e s w i t h m a t h e m a t i c s a n d t e a c h i n g m a fi r e m a t i c s a n d fi r e i r e x p e c t a t i o n s f o r t h e c o u r s e . I a l s o m a k e a u d i o r e c o r d s o f e a c h o f t h e c l a s s s e s s i o n s a n d o f m y i n t e r a c t i o n s w i fi r s t u d e n t s s o t h a t I h a v e t h e m a v a i l a b l e t o r e v i e w i n p l a n n i n g a n d t e a c h i n g fi r e c o u r s e s . T h e s e k i n d s o f r e c o r d s p l a y a n i m p o r t a n t r o l e i n t h e p e r s o n a l p r o f e s s i o n a l d e v e l o p m e n t o f t e a c h e r e d u c a t o r s l i k e m e . I a l s o m a k e c o p i e s o f s t u d e n t w o r k i n o r d e r t o t r a c k fi r e d e v e l o p m e n t o f m y s t u d e n t s o v e r fi r e d u r a t i o n o f t h e c o u r s e . T h i s i s f o u n d e d o n fi r e b e l i e f fi r a t fi r e e v o l u t i o n o f s t u d e n t s i s c r u c i a l i n u n d e r s t a n d i n g t h e i r l e a r n i n g a c r o s s fi r e s e m e s t e r , a n d i n a d a p t i n g a p p r o a c h e s a n d m a t e r i a l s t o m e e t s t u d e n t s ' n e e d s . A n o fi r e r p a r t o f m y n o r m a l t e a c h i n g p r a c t i c e i n fi r i s c o u r s e w a s t o h a v e t h e s t u d e n t s r e s p o n d t o a n i n v e n t o r y t h e fi r s t d a y a n d t h e l a s t d a y o f t h e c o u r s e . T h i s h e l p e d m e l e a r n m o r e a b o u t t h e i r e x p e r i e n c e s w i fi r m a fi r e m a t i c s a s w e l l a s t h e i r i d e a s a b o u t m a t h e m a t i c s a n d t e a c h i n g m a fi r e m a t i c s . I t a l s o h e l p e d m e l e a r n i f t h e i r i d e a s c h a n g e d d u r i n g t h e c o u r s e . I a l s o k e p t a 5 6 t e a c h i n g j o u r n a l o f m y o w n p r a c fi c e a s a t e a c h e r — i n p a r t , a s a w a y o f k e e p i n g t r a c k o f s t u d e n t l e a r n i n g b u t a l s o a s a p a r t o f m y o w n p r o f e s s i o n a l d e v e l o p m e n t . T h e s e r e c o r d s — o f t h e c l a s s s e s s i o n s , o f s t u d e n t w o r k , a n d o f t h e i n s t r u c t o r ' s t h i n k i n g — a r e fi r i n g s fi r a t I w o u l d h a v e c o l l e c t e d a n d u s e d i n m y t e a c h i n g o f t h e c o u r s e i r r e s p e c t i v e o f a n y r e s e a r c h a g e n d a s . S t u d e n t s w e r e i n f o r m e d o f fi r e s e p r a c t i c e s a n d i f a s t u d e n t w a s u n c o m f o r t a b l e w i fi r fi r i s s t y l e o f t e a c h i n g w h i c h i n v o l v e s fi r i s c a r e f u l t r a c k i n g o f fi r e c o u r s e a n d o f s t u d e n t e v o l u fi o n , I w a s w i l l i n g t o a s s i s t t h e s t u d e n t i n fi n d i n g a n a l t e r n a t i v e s e c t i o n o f fi r e c o u r s e t o e n r o l l i n w h e r e fi r e i n s t r u c t o r s d o l e s s o f fi r i s k i n d o f w o r k . N o n e o f fi r e s t u d e n t s i n fi r e c o u r s e o p t e d t o c h a n g e s e c t i o n s . T h e s e r e c o r d s w e r e g a fi r e r e d f o r t h e p u r p o s e s o f t e a c h i n g t h e c o u r s e . A t fi r e e n d o f fi r e c o u r s e , fi r e s t u d e n t s w e r e a s k e d i f t h e y w e r e w i l l i n g t o a l l o w m e t o u s e fi r e r e c o r d s I g a fi r e r e d f o r r e s e a r c h a n d e d u c a t i o n a l p u r p o s e s A F T E R fi r e c o u r s e w a s o v e r a n d g r a d e s w e r e d e t e r m i n e d . W h e t h e r t h e y g r a n t e d o r d e n i e d p e r m i s s i o n w a s k e p t c o n fi d e n t i a l . T h e s t u d e n t s w e r e a l s o i n f o r m e d fi r a t g r a n t i n g o r d e n y i n g p e r m i s s i o n w o u l d n o t i n fl u e n c e t h e i r g r a d e s , fi e l d p l a c e m e n t s , o r o t h e r d e c i s i o n s a b o u t fi r e i r d e v e l o p m e n t a n d l e a r n i n g i n fi r e i r t e a c h e r e d u c a t i o n p r o g r a m . T h i s w a s d o n e i n o r d e r t o m i n i m i z e f e e l i n g s o f c o e r c i o n t h e s t u d e n t s m i g h t h a v e e x p e r i e n c e d a b o u t p a r t i c i p a t i n g i n a r e s e a r c h s t u d y i n w h i c h fi r e i r i n s t r u c t o r w a s i n v o l v e d , a n d t o m a x i m i z e t h e s t u d e n t s ' a w a r e n e s s o f w h a t fi r e y w e r e g r a n t i n g m e p e r m i s s i o n t o s t u d y . T h e s t u d e n t s w e r e a s k e d t o s i g n c o n s e n t f o r m s i f fi r e y w e r e w i l l i n g t o a l l o w m e t o u s e t h e i r w o r k i n m y r e s e a r c h a f t e r t h e s e m e s t e r w a s c o m p l e t e d . A l l o f t h e s t u d e n t s i n fi r e c l a s s s i g n e d t h e c o n s e n t f o r m s a n d w e r e w i l l i n g t o a l l o w m e t o u s e fi r e i r w o r k f o r m y r e s e a r c h . ( S e e A p p e n d i c e s A , B , a n d C . ) A n o fi r e r p o t e n t i a l d i f fi c u l t y w i fi r b e i n g b o fi r fi r e r e s e a r c h e r a n d t e a c h e r o f t h e s e s t u d e n t s w h o s e r v e a s s u b j e c t s o f t h e s t u d y i s t h a t m y o w n s t u d e n t s m i g h t 5 7 h a v e r e a s o n t o t e l l m e w h a t fi r e y fi r i n k I w a n t t o h e a r , h o p i n g t o i n fl u e n c e m y o p i n i o n o f fi r e m a n d / o r t h e i r g r a d e s i n a p o s i t i v e w a y . S o m e m i g h t a r g u e fi r a t I m i g h t b e a b l e t o l e a r n m o r e a b o u t s t u d e n t s ’ c o n c e p t i o n s a n d a t t i t u d e s i f I w e r e t o r a n d o m l y s e l e c t s t u d e n t s f r o m t h e t e a c h e r p r e p a r a t i o n p r o g r a m a n d a d m i n i s t e r m y i n s t r u m e n t s t o fi r e m . T h a t w o u l d p e r h a p s l e s s e n fi r e p o t e n t i a l p r o b l e m o f t h e s t u d e n t s s a y i n g o r w r i t i n g w h a t fi r e y t h o u g h t I w a n t e d t o h e a r . H o w e v e r , s u b j e c t s o f a s t u d y a l m o s t a l w a y s f o r m s o m e o p i n i o n a b o u t w h a t t h e y b e l i e v e i s fi r e a g e n d a o f t h e r e s e a r c h e r , a n d fi r e r e i s a l w a y s t h e p o s s i b i l i t y fi r a t t h e y w i l l s a y w h a t t h e y fi r i n k t h e r e s e a r c h e r o r i n t e r v i e w e r w a n t s fi r e m t o s a y — o r s o m e fi r i n g fi r a t t h e y fi r i n k c o n t r a d i c t s fi r a t v i e w — w h e t h e r i t i s fi r e i r o p i n i o n o r n o t . A d d i t i o n a l l y , i t c a n n o t b e a s s u m e d t h a t j u s t b e c a u s e a s t u d e n t ] s u b j e c t s a y s w h a t I w o u l d l i k e t o h e a r t h a t i t i s n o t w h a t fi r e s t u d e n t fi r i n k s . U s i n g m y o w n s t u d e n t s , I h a v e fi r e a d v a n t a g e o f h e a r i n g t h e m c o n t r i b u t e t o c l a s s d i s c u s s i o n s , s e e i n g fi r e m w o r k o n m a t h p r o b l e m s , s e e i n g a n d h e a r i n g t h e m t a l k a n d w o r k i n s m a l l g r o u p s , a n d r e a d i n g a l l o f fi r e i r a s s i g n m e n t s . B e i n g w i t h t h e s e s t u d e n t s i n fi r i s t y p e o f c l a s s r o o m s i t u a t i o n o v e r fi r e c o u r s e o f 1 5 w e e k s , I k n o w fi r e m , a n d I h a v e a b i g g e r p i c t u r e o f fi r e m — a n d a b i g g e r f r a m e o f r e f e r e n c e i n w h i c h t o s i t u a t e t h e i r c o m m e n t s a n d n o t i c e a n y h a r d - t o - e x p l a i n d i s c r e p a n c i e s — - fi r a n I w o u l d i f m y o n l y i n t e r a c t i o n s w i fi r t h e m w e r e a d m i n i s t e r i n g i n s t r u m e n t s a n d c o l l e c t i n g d a t a . I a m a l s o a b l e t o m o r e f u l l y s e e fi r e i r d e v e l o p m e n t o r l a c k o f c h a n g e i n fi r e i r c o n c e p t i o n s o f a n d a t t i t u d e s t o w a r d m a t h w h e n I s p e n d fi r a t m u c h t i m e w i fi r fi r e m , a n d I fi r i n k t h a t p r o v i d e s m e w i t h a m u c h g r e a t e r o p p o r t u n i t y t o l e a r n m o r e a b o u t m y r e s e a r c h q u e s t i o n s l i s t e d i n C h a p t e r 1 . 5 8 D a t a C o l l e c t i o n a n d A n a l y s i s I u s e d t h r e e m a i n s o u r c e s o f d a t a a n d d a t a c o l l e c t i o n t o p r o v i d e m e w i fi r i n f o r m a t i o n fi r a t h e l p e d m e a n s w e r m y r e s e a r c h q u e s t i o n s . T o l o o k a t fi r e c l a s s a s a w h o l e , I u s e d fi r e s t u d e n t s ' o w n j o u r n a l w r i t i n g s r e l a t e d t o t h e i r r e fl e c t i o n s o f fi r e i r e x p e r i e n c e w i t h m a fi r e m a t i c s a n d t h e i r i d e a s a b o u t m a t h e m a t i c s a n d t e a c h i n g m a fi r e m a t i c s , a m a t h e m a fi c s i n v e n t o r y fi r a t I g a v e t o fi r e s t u d e n t s a t t h e b e g i n n i n g o f t h e s e m e s t e r a n d t h e e n d o f fi r e s e m e s t e r , a n d t h e s t u d e n t s ' i n d i v i d u a l c o n c e p t m a p s o f m a fi r fi r a t t h e y m a d e a t b o fi r fi r e b e g i n n i n g a n d e n d o f fi r e s e m e s t e r . T o g e t m o r e i n - d e p fi r i n f o r m a t i o n a b o u t t h e f o c u s s t u d e n t s , a n o t h e r g r a d u a t e s t u d e n t a s s o c i a t e d w i t h a n o t h e r s e c t i o n o f t h e s a m e c o u r s e ( S a r a h T h e u e l e L u b i e n s k i ) i n t e r v i e w e d t h e m d u r i n g t h e s e m e s t e r , a n d I i n t e r v i e w e d fi r e m a s e m e s t e r a f t e r fi r e c o u r s e w a s c o m p l e t e d . I a l s o u s e d t h e c o l l e c t i o n o f fi r e i n d i v i d u a l j o u r n a l e n t r i e s a n d c o n c e p t m a p s a s w e l l a s fi r e i r r e s p o n s e s t o t h e b e g i n n i n g a n d fi n a l M a fi r e m a t i c s I n v e n t o r y f o r e a c h o f fi r e f o c u s s t u d e n t s t o h e l p m e l e a r n m o r e a b o u t t h e m , s p e c i fi c a l l y . A n o fi r e r s o u r c e I u s e d t o l e a r n a b o u t b o t h t h e g r o u p a n d t h e i n d i v i d u a l s w a s m y o w n o b s e r v a t i o n o f t h e i r c o m m e n t s a n d p a r t i c i p a t i o n i n a c t i v i t i e s fi r a t w e r e a p a r t o f T E 4 0 1 . I n fi r e f o l l o w i n g p a r a g r a p h s , m o r e i n f o r m a t i o n a b o u t fi r e f o u r m a i n m e fi r o d s I u s e d t o r e s e a r c h m y q u e s t i o n s i s p r o v i d e d . S t u d e n t s ' J o u r n a l E n t r i e s . D u r i n g fi r e s e m e s t e r , fi r e s t u d e n t s w e r e g i v e n d i f f e r e n t t o p i c s t o r e fl e c t a n d w r i t e a b o u t a s p a r t o f fi r e i r j o u r n a l e n t r i e s . T h e fi r s t d a y o f c l a s s , fi r e s t u d e n t s w e r e g i v e n t h e a s s i g n m e n t t o r e fl e c t o n t h e i r o w n m a fi r e m a t i c a l e x p e r i e n c e a n d t o w r i t e a b o u t w h a t s t o o d o u t t o t h e m . T h e y c o u l d w r i t e a b o u t o n e e x p e r i e n c e , t h e i r m a fi r e m a t i c a l e x p e r i e n c e c h r o n o l o g i c a l l y , o r fi r e i r m a t h e m a t i c a l e x p e r i e n c e a s a w h o l e . T h e i r r e fl e c t i o n s w e r e w r i t t e n a s j o u r n a l e n t r i e s a n d w e r e g i v e n t o m e fi r e f o l l o w i n g c l a s s p e r i o d . T h e s e c o n d c l a s s 5 9 p e r i o d , w h i c h w a s a l s o d u r i n g fi r e fi r s t w e e k , t h e s t u d e n t s w e r e a s k e d t o w r i t e a n e n t r y a b o u t w h a t fi r e y fi r i n k m a fi r e m a t i c s i s . T h e y w r o t e fi r i s j o u r n a l e n t r y i n c l a s s . A t t h e e n d o f t h e s e m e s t e r , t h e s t u d e n t s w e r e a s k e d t o w r i t e n e w ( s e p a r a t e ) e n t r i e s a b o u t w h a t fi r e y fi r o u g h t m a fi r i s a n d a n o t h e r a b o u t h o w t h e y fi r o u g h t i t s h o u l d b e t a u g h t . T h e s e w e r e t h e m a i n j o u r n a l e n t r i e s I l o o k e d a t , b u t o t h e r e n t r i e s p r o v i d e d i n s i g h t i n t o m y q u e s t i o n s — e s p e c i a l l y i n r e l a t i o n t o t h e f o c u s s t u d e n t s — a n d w e r e fi r e r e f o r e u s e d . T h e a n a l y s i s o f t h e s e j o u r n a l e n t r i e s w a s q u a l i t a t i v e . I a n a l y z e d t h e m b y r e a d i n g t h e m , l o o k i n g f o r p a t t e r n s a n d t h e m e s ( a n d d i s c r e p a n c i e s ) , a n d fi r e n s y n fi r e s i z i n g a n d s u m m a r i z i n g t h e m b y fi r e m e . T o d o t h i s , I w r o t e e a c h fi r e m e a s a h e a d i n g a n d u n d e r i t t y p e d e a c h o f fi r e q u o t e s f r o m fi r e s t u d e n t s ’ j o u r n a l e n t r i e s fi r a t w e r e r e l a t e d . I a l s o a n a l y z e d fi r e s e e n t r i e s q u a n t i t a t i v e l y b y l o o k i n g a t fi r e n u m b e r o f s t u d e n t s w h o f e l l i n t o t h e c a t e g o r i e s fi r a t w e r e i d e n t i fi e d . S i n c e I h a d l o o k e d a t a n d a n a l y z e d fi r e s e s o r t s o f j o u r n a l e n t r i e s a s p a r t o f a p i l o t s t u d y f o r fi r i s s t u d y , t h e r e w e r e s o m e fi r e m e s I e x p e c t e d I m i g h t fi n d s u c h a s i n fl u e n c e o f p a r t i c u l a r t e a c h e r s , i n fl u e n c e o f a n o fi r e r p e r s o n , l i f e e x p e r i e n c e s o u t s i d e o f s c h o o l , c l a s s r o o m e x p e r i e n c e s , p e e r i n fl u e n c e s , a n d b e i n g g o o d a t r e a d i n g v s . b e i n g g o o d a t m a t h . I f o u n d a l l o f t h e s e t h e m e s , b u t s o m e o f fi r e m w e r e l e s s p r o m i n e n t fi r a n t h e y h a d b e e n i n m y p i l o t s t u d y . I a l s o f o u n d o fi r e r t h e m e s fi r a t I s u m m a r i z e d . M a t h e m a t i c s I n v e n t o r y . O n fi r e fi r s t d a y o f c l a s s , I g a v e fi r e s t u d e n t s a M a t h e m a t i c s I n v e n t o r y t h a t f o c u s e d o n h o w t h e s t u d e n t s t h i n k a n d f e e l a b o u t d o i n g m a fi r fi r e m s e l v e s a n d a b o u t t e a c h i n g m a fi r . A c o p y o f fi r i s M a fi r e m a t i c s I n v e n t o r y i s i n c l u d e d a s A p p e n d i x D . I h a d d e v e l o p e d a n d p i l o t e d m o s t o f fi r e i t e m s i n fi r e i n v e n t o r y i n a n e a r l i e r s t u d y ( T u f t , 1 9 9 4 ) ; a f e w o f fi r e i t e m s w e r e a d a p t e d f r o m a c a r d s o r t t a s k u s e d b y B a l l ( 1 9 8 8 b ) . T h e r e w e r e t w o p a r t s t o fi r e M a t h e m a t i c s I n v e n t o r y . T h e f i r s t p a r t c o n s i s t e d o f s t a t e m e n t s w i t h a 6 0 c o r r e s p o n d i n g L i k e r t - t y p e s c a l e r a n g i n g f r o m o n e t o fi v e — 1 c o r r e s p o n d i n g t o " n o t a t a l l l i k e m e " a n d 5 c o r r e s p o n d i n g t o " v e r y m u c h l i k e m e . " T h e s t u d e n t s w e r e i n s t r u c t e d t o c i r c l e fi r e n u m b e r fi r a t b e s t d e s c r i b e s h o w w e l l fi r e s t a t e m e n t d e s c r i b e d t h e m o r s o m e t h i n g fi r e y m i g h t s a y . A n e x a m p l e o f o n e o f fi r e s e i t e m s i s s h o w n i n F i g u r e 3 . 1 . I e n j o y d o i n g m a t h e m a t i c a l t a s k s . 1 2 3 4 5 | l l ! . z N o t a t a l l S o m e w h a t v n u r d r l i k e m e l i k e m e g e n r e F i g u r e 3 : S a m p l e o f L i k e d - t y p e I t e m f r o m t h e M a t h e m a t i c s I n v e n t o r y T h e s e c o n d p a r t o f fi r e M a fi r e m a t i c s I n v e n t o r y c o n s i s t e d o f o p e n - e n d e d q u e s t i o n s a b o u t fi r e r o l e o r i n fl u e n c e t h e y p e r c e i v e fi r e t e a c h e r — s p e c i fi c a l l y t h e t e a c h e r ' s a t t i t u d e t o w a r d m a t h e m a t i c s — p l a y i n g i n t h e m a fi r e m a t i c a l s u c c e s s o f t h e i r s t u d e n t s a n d h o w t h e y f e l t t h e m a b o u t t h e p r o s p e c t o f t e a c h i n g m a t h e m a t i c s t o e l e m e n t a r y s t u d e n t s . A n e x a m p l e o f o n e o f t h e s e q u e s t i o n s c a n b e s e e n i n F i g u r e 4 . 1 7 . W h a t c o n c e r n s y o u t h e m o s t a b o u t t e a c h i n g m a t h e m a t i c s t o e l e m e n t a r y s t u d e n t s ? F i g u r e 4 : S a m p l e o f O p e n - e n d e d Q u e s t i o n f r o m fi r e M a t h e m a t i c s I n v e n t o r y T h e s t u d e n t s c o m p l e t e d fi r i s M a fi r e m a t i c s I n v e n t o r y o n fi r e fi r s t d a y o f c l a s s a n d g a v e i t t o m e w h e n i t w a s c o m p l e t e . T h e y a l s o c o m p l e t e d i t o n fi r e fi n a l d a y o f c l a s s . I r e c e i v e d a M a fi r e m a t i c s I n v e n t o r y f r o m e a c h o f t h e 3 4 s t u d e n t s i n fi r e c l a s s o n t h e fi r s t d a y o f c l a s s , b u t o n fi r e fi n a l d a y , d u e t o a b s e n c e s c a u s e d b y i l l n e s s e s a n d o t h e r r e a s o n s , I o n l y r e c e i v e d 2 9 . I n a l l t h e a n a l y s e s I d i d o f t h e i n v e n t o r y I o n l y u s e d fi r e 2 9 m a t c h e d s e t s I h a d . T h i s M a fi r e m a t i c s I n v e n t o r y w a s a l s o a d m i n i s t e r e d t o t w o o t h e r s e c t i o n s o f T E 4 0 1 a t fi r e b e g i n n i n g a n d e n d o f t h e s e m e s t e r b y fi r e i r p r o f e s s o r s . T h e i n f o r m a t i o n o b t a i n e d f r o m t h e s e i n v e n t o r i e s w a s u s e d t o p r o v i d e p o i n t s o f 6 1 c o m p a r i s o n f o r m y o w n c l a s s ( i . e . , t o s e e h o w t y p i c a l m y c l a s s w a s c o m p a r e d t o o fi r e r s i n r e l a t i o n t o fi r e s e i t e m s ) . T h e s a m p l e s i z e w a s m u c h s m a l l e r f o r e a c h o f fi r e c o m p a r i s o n c l a s s e s fi r a n i t w a s f o r m i n e ( N = 1 1 a n d N = 1 8 ) , s o i t w a s d i f fi c u l t t o m a k e a d e fi n i t i v e c o m p a r i s o n , b u t t h e r a n g e o f r e s p o n s e s o f t h e s t u d e n t s i n m y c l a s s c o m p a r e d s e e m e d t o n o t b e a t y p i c a l o f fi r e r a n g e o f r e s p o n s e s o f t h e s t u d e n t s i n t h e o t h e r c l a s s e s . A d e t a i l e d c o m p a r i s o n o f fi r e m e a n r e s p o n s e s f o r e a c h o f fi r e L i k e r t — s c a l e i t e m s f o r a l l t h r e e c l a s s e s c a n b e s e e n i n A p p e n d i x E . T h e L i k e r t - s c a l e p o r t i o n o f fi r e i n v e n t o r y w a s a n a l y z e d q u a n t i t a t i v e l y b y u s i n g a m a t c h e d p a i r s t - t e s t . A t - t e s t s f o r i n d e p e n d e n t m e a n s w a s u s e d t o t e s t fi r e f o l l o w i n g n u l l h y p o t h e s i s : H o : a b = ” e w h e n ” b = m e a n f o r t h e s u r v e y a d m i n i s t e r e d a t t h e b e g i n n i n g o f t h e s e m e s t e r , a n d “ e = m e a n fi r r t h e s u r v e y a d m i n i s t e r e d a t t h e e n d o f t h e s e m e s t e r . T h e o p e n - e n d e d q u e s t i o n s w e r e a n a l y z e d b o t h q u a l i t a t i v e l y ( s u m m a r i z i n g r e s p o n s e s b y t h e m e s a n d p a t t e r n s ) a n d q u a n t i t a t i v e l y ( h i g h l i g h t i n g t h e n u m b e r o f r e s p o n s e s fi r a t f e l l i n e a c h c a t e g o r y ) . I l o o k e d a t b o fi r t y p e s o f q u e s t i o n s t o g e t h e r t o h e l p c r e a t e a g e n e r a l p i c t u r e o f fi r e c l a s s a s w e l l a s s p e c i fi c p i c t u r e s o f fi r e f o c u s s t u d e n t s . C o n c e p t M a p s . T h e s e c o n d d a y o f c l a s s ( w h i c h w a s d u r i n g t h e fi r s t w e e k ) , I a s s i g n e d fi r e s t u d e n t s t o e a c h d r a w a c o n c e p t m a p w i fi r " m a fi r " b e i n g fi r e c e n t r a l c o n c e p t . I s u g g e s t e d t h a t fi r e y fi r s t b r a i n s t o r m a n d l i s t e v e r y t h i n g fi r e y c o u l d fi r i n k a b o u t a s s o c i a t e d w i t h m a t h a n d t h e n l o o k f o r p a t t e r n s a n d w a y s t h e y m i g h t w a n t t o c a t e g o r i z e t h e i r l i s t . T h e s t u d e n t s w e r e a l s o a s k e d t o d r a w m a fi r c o n c e p t m a p s o f m a fi r a t fi r e e n d o f t h e s e m e s t e r . S i n c e u s i n g c o n c e p t m a p s a s a s o u r c e o f i n f o r m a t i o n f o r fi r i s t y p e o f r e s e a r c h i s n o t t y p i c a l , t h e r e w a s n o t a s t a n d a r d , c o n v e n t i o n a l m e t h o d o f a n a l y z i n g fi r e m . I r e a d t h r o u g h a l l fi r e r e s e a r c h a n d l i t e r a t u r e I c o u l d fi n d w h e r e 6 2 p e o p l e w e r e u s i n g c o n c e p t m a p s s o I c o u l d s e e h o w fi r e y w e r e a n a l y z e d . H o w e v e r , I c o u l d n o t fi n d a n y e x a m p l e s o f c o n c e p t m a p s b e i n g u s e d t h e w a y I w a s u s i n g fi r e n r . T h e o n l y e x a m p l e s I c o u l d fi n d o f a n a l y s e s o r e v a l u a t i o n s w e r e w h e n c o n c e p t m a p s w e r e u s e d a s a n a s s e s s m e n t o f l e a r n i n g s o m e p a r t i c u l a r c o n c e p t , a n d fi r e y w e r e s c o r e d b y t h e i t e m s fi r e y i n c l u d e d a n d fi r e i r p l a c e m e n t . I t d i d n ’ t m a k e s e n s e t o m e t o d e v i s e a s y s t e m w h e r e b y I w o u l d g i v e t h e c o n c e p t m a p s a s c o r e . I w a s i n t e r e s t e d i n l e a r n i n g a b o u t a n d d e s c r i b i n g fi r e i n f o r m a t i o n c o n t a i n e d i n fi r e c o n c e p t m a p s , b u t I d i d n ’ t w a n t t o m a k e a n y k i n d o f j u d g m e n t fi r a t p l a c e d a v a l u e ( e . g . , g o o d - b a d ) a b o u t w h a t fi r e s t u d e n t s i n c l u d e d . S i n c e fi r e r e a p p e a r e d t o b e n o c o n v e n t i o n a l m e fi r o d f o r a n a l y z i n g c o n c e p t m a p s , I t r i e d t o l o o k a t fi r e m i n a c o u p l e o f d i f f e r e n t w a y s t o g e t a p i c t u r e o f w h a t t h e y t o l d a b o u t t h e s t u d e n t s ’ c o n c e p t i o n s o f a n d a t t i t u d e s t o w a r d m a fi r e m a t i c s a s a g r o u p a n d a s i n d i v i d u a l s . T h e d e c i s i o n s a b o u t h o w I w o u l d a n a l y z e t h e c o n c e p t m a p s e m e r g e d f r o m m y e x p e r i e n c e r e v i e w i n g t h e u s e o f c o n c e p t m a p s a n d f r o m c o n v e r s a t i o n s w i t h m e m b e r s o f m y d i s s e r t a t i o n c o m m i t t e e . O n e o f t h e m e t h o d s I u s e d t o a n a l y z e a n d s y n fi r e s i z e t h e m a p s w a s t o m a k e a c o m p o s i t e l i s t o f a l l fi r e w o r d s t h e s t u d e n t s u s e d i n t h e i r m a p s w i fi r t h e i r n u m b e r o f o c c u r r e n c e s — s e p a r a t e l y f o r fi r e b e g i n n i n g a n d t h e e n d o f t h e s e m e s t e r . I t h e n g r o u p e d fi r e s e w o r d s i n c a t e g o r i e s . I a l s o m a d e a s e p a r a t e l i s t w i fi r a l l o f fi r e s t u d e n t s ' fi r s t - l e v e l c o n n e c t o r s t o t h e c o n c e p t o f ” m a t h . " T h e o fi r e r m e fi r o d I u s e d t o a n a l y z e a n d s y n t h e s i z e fi r e c o n c e p t m a p s w a s t o c r e a t e a d e s c r i p t i v e m a t r i x w h e r e I c o u l d r e c o r d fi r e d i f f e r e n t f e a t u r e s o f e a c h c o n c e p t m a p i n d i v i d u a l l y . T o c r e a t e t h i s m a t r i x , I i d e n t i fi e d d i f f e r e n t c a t e g o r i e s a n d s u b c a t e g o r i e s o f i t e m s t h a t w e r e i n c l u d e d i n t h e m a p s a n d m a d e c o l u m n s w h e r e ' I c o u l d m a r k w h e t h e r e a c h m a p h a d fi r e m o r n o t . F o r s o m e o f fi r e i t e m s , I j u s t p u t a n ” X ” i f i t w a s p r e s e n t . F o r o t h e r s , I p u t a n ” L " f o r ” l o w " i f t h e r e w e r e o n e o r t w o r e l a t e d i t e m s , a n ” M ” f o r ” m e d i u m ” i f fi r e r e w e r e t h r e e t o f o u r r e l a t e d 6 3 i t e m s , a n d a n ” H ” f o r ” h i g h ” i f fi r e r e w e r e f i v e o r m o r e r e l a t e d i t e m s . I a l s o i n c l u d e d a s e c t i o n w h e r e I c o d e d t h e m a p c o n s t r u c t i o n . I n t h i s s e c t i o n , I l o o k e d a t fi r e n u m b e r o f l e v e l s o f fi r e m a p , t h e p r o m i n e n t l e v e l , i f t h e r e w e r e a n y s u b - c o n n e c t i o n s , a n d fi r e n u m b e r o f fi r s t - l e v e l c o n n e c t o r s . I n u m b e r e d t h e s t u d e n t s ’ c o n c e p t m a p s 1 - 3 4 i n a l p h a b e t i c a l o r d e r , a n d c o d e d t h e i t e m s f o r e a c h m a p . I d i d t h i s f o r e a c h s t u d e n t ’ s b e g i n n i n g a n d fi n a l m a t h c o n c e p t m a p a n d p u t t h e m t o g e t h e r o n t h e m a t r i x w i t h t h e b e g i n n i n g o n e o n t o p a n d t h e f i n a l o n e u n d e m e a fi r . T h i s w a y I c o u l d e a s i l y l o o k a t o n e s t u d e n t a n d c o m p a r e t h e f e a t u r e s o f h i s o r h e r b e g i n n i n g a n d fi n a l m a p s . I a l s o m a d e s e p a r a t e t o t a l s a t fi r e b o t t o m o f e a c h c o l u m n f o r fi r e b e g i n n i n g g r o u p a n d t h e fi n a l g r o u p t o h e l p m e s e e w h a t w a s i n c l u d e d b y fi r e g r o u p a s a w h o l e . A r e d u c e d s a m p l e o f a p o r t i o n o f fi r i s m a t r i x i s s h o w n i n F i g u r e 5 . M a p C o n - E v e r y d a y s t r u c t i o n L i f e S c h o o l 2 ? a C h a r a c t e r i s t i c s 8 ' 0 9 z T ; > U u . ) v 2 t O t h e r s / I n d i r e c t C a r e e r s C o u r s e s A d v a n c e d B a s i c O p e r a t i o n s O t h e r C o n t e n t C o n t e n t P r o c e s s e s N u m b e r s / T y p e s T h e o r e m s , C o n c e p t s F u n c t i o n s S y n b o h l l - ‘ o r n u l n F i g u r e 5 : C o n c e p t M a p A n a l y s i s M a t r i x S a m p l e B o t h o f t h e s y n fi r e s e s I c r e a t e d b y a n a l y z i n g t h e c o n c e p t m a p s u s i n g t h e s e m e t h o d s p r o v e d t o b e v e r y u s e f u l . I n t e r v i e w s . A s n o t e d p r e v i o u s l y , t h e f o c u s s t u d e n t s w e r e e a c h i n t e r v i e w e d t w i c e t o p r o v i d e m o r e i n f o r m a t i o n a b o u t t h e i r c o n c e p t i o n s a n d a t t i t u d e s r e l a t e d t o m a t h e m a t i c s . T h e s e i n t e r v i e w s w e r e u s e d t o l e a r n a b o u t t h e s t u d e n t s ' i d e a s r e l a t i n g t o m y d i s s e r t a t i o n q u e s t i o n s a n d t o t r a c k fi r e e v o l u t i o n o f 6 4 fi r e i r i d e a s a c r o s s fi r e s e m e s t e r . T h e s t u d e n t s w e r e N O T i n t e r v i e w e d b y m e ( fi r e i n s t r u c t o r ) d u r i n g fi r e c o u r s e b u t w e r e i n t e r v i e w e d b y a n o t h e r g r a d u a t e s t u d e n t a s s o c i a t e d w i fi r a n o fi r e r s e c t i o n o f fi r e s a m e c o u r s e ( L u b i e n s k i ) . T h e s e i n t e r v i e w s w e r e t a p e r e c o r d e d s o fi r a t I c o u l d c a r e f u l l y a n a l y z e fi r e m a f t e r fi r e s e m e s t e r w a s o v e r . T h e s t u d e n t s w e r e i n f o r m e d fi r a t g r a n t i n g o r d e n y i n g p e r m i s s i o n f o r a n i n t e r v i e w w o u l d n o t i n fl u e n c e fi r e i r g r a d e s , fi e l d p l a c e m e n t s , o r o fi r e r d e c i s i o n s a b o u t fi r e i r d e v e l o p m e n t a n d l e a r n i n g i n fi r e i r t e a c h e r e d u c a t i o n p r o g r a m . T h e s t u d e n t s w e r e a l s o r e m i n d e d fi r a t fi r e y w o u l d h a v e fi r e o p p o r t u n i t y , a f t e r fi r e c o u r s e w a s o v e r , t o g r a n t o r d e n y p e r m i s s i o n f o r t h e s e i n t e r v i e w s t o b e u s e d f o r r e s e a r c h p u r p o s e s . N o n e o f fi r e f o c u s s t u d e n t s d e n i e d p e r m i s s i o n f o r u s i n g fi r e i r i n t e r v i e w s f o r r e s e a r c h p u r p o s e s . T h e s e i n t e r v i e w s w e r e N O T s e e n , h e a r d , o r u s e d b y m e d u r i n g fi r e s e m e s t e r . D u r i n g fi r e fi r s t i n t e r v i e w , fi r e f o c u s s t u d e n t s w e r e s h o w n a b l a n k c o p y o f t h e m a t h e m a t i c s i n v e n t o r y fi r e y c o m p l e t e d t h e fi r s t d a y o f c l a s s a n d a s k e d i n d i v i d u a l l y w h a t t h e y w o u l d a n s w e r f o r e a c h q u e s t i o n . T h e i n t e r v i e w e r h a d a c o p y o f e a c h o f fi r e f o c u s s t u d e n t ’ 3 b e g i n n i n g M a fi r e m a t i c s I n v e n t o r y a n d a s k e d t h e m i f t h e y r e m e m b e r e d w h a t t h e y a n s w e r e d t h a t fi r s t d a y . I f t h e y d i d n ’ t r e m e m b e r , s h e s h o w e d fi r e m . T h e n s h e a s k e d t h e m w h a t t h e y t h o u g h t t h a t q u e s t i o n m e a n t a n d w h y o r w h y n o t t h e i r a n s w e r m i g h t h a v e c h a n g e d . T h e i n t e r v i e w e r a l s o a s k e d t h e m s o m e g e n e r a l q u e s t i o n s a b o u t t h e i r m a fi r e m a fi c s b a c k g r o u n d . T h e i n t e r v i e w g u i d e f o r fi r e fi r s t i n t e r v i e w i s i n c l u d e d a s A p p e n d i x F . A f t e r fi r e s e m e s t e r w a s o v e r , t h e s e s a m e f o c u s s t u d e n t s w e r e i n v i t e d t o p a r t i c i p a t e i n f o l l o w - u p i n t e r v i e w s w h i c h I c o n d u c t e d . T h e s e w e r e a d m i n i s t e r e d a t fi r e e n d o f S p r i n g S e m e s t e r 1 9 9 6 w h i c h w a s o n e s e m e s t e r a f t e r t h e y h a d c o m p l e t e d T E 4 0 1 . D u r i n g fi r i s i n t e r v i e w t h e y w e r e a s k e d s p e c i fi c q u e s t i o n s T a b l e 2 : D a t a C o l l e c t i o n S u m m a r y T o a s s u i é d r a W d e x s r a m " I l l . " ' S t u d e n t F i r s t d a y o f A l l I n f o r m a t i o n a l c l a s s p a r t i c i p a t i n g t h a t I w i l l b e d o c u m e n t i n g t h e C o n s e n t F o r m 4 0 1 s t u d e n t s c o u r s e a n d fi r a t a f t e r fi r e c o u r s e i s o v e r , I w i l l b e r e q u e s t i n g fi r e i r p e r m i s s i o n t o u s e fi r e i r m a t e r i a l s I f o r m y s t u d y S t u d e n t C o n s e n t E n d o f F a l l 1 9 9 5 A l l T o g e t p e r m i s d o n t o u s e d a t a F o r m S e m e s t e r p a r t i c i p a t i n g o b t a i n e d f r o m s t u d e n t s f o r s t u d y 4 0 1 s t u d e n t s " M a m ” C o n c e p t F i r s t d a y o f A l l T o u n d e r s t a n d b e t t e r w h a t t h e M a p s c l a s s ] e n d o f p a r t i c i p a t i n g s t u d e n t s t h i n k i s p a r t o f ‘ ° a n d fi n a l ) s e m e s t e r 4 0 1 s t u d e n t s m a t h e m a t i c s M a e m a t i c s F i r s t d a y o f A l l T o l e a r n a b o u t fi r e a t t i t u d e s a n d I n v e n t o d a s s / e n d o f p a r t i c i p a t i n g c o n c e p t i o n s fi r e s t u d e n t s b r i n g w i t h ( B e g i n n i n g a n d ) s e m e s t e r 4 0 1 s t u d e n t s t h e m a n d h a v e w h e n t h e y fi n i s h t h e c l a s s I n v e n t o r y F ‘ u ' s t d a y o f 4 0 1 s t u d e n t s T o o b t a i n p e r m i s s i o n t o u s e fi r e C o n s e n t F o r m c l a s s f r o m s e c t i o n s 1 5 i n v e n t o r i e s f o r fi r e s t u d y a n d 1 6 F a l l 1 9 9 5 M a t h e m a t i c s F i r s t d a y o f 4 0 1 s t u d e n t s T o p r o v i d e p o i n t s o f c o m p a r i s o n I n v e n t o d m / e n d o f f r o m s e c t i o n s 1 5 ( B e g i n n i n g a n d ) s e m e s t e r a n d 1 6 F a l l 1 9 9 5 R e fl e c t i o n s o f F i r s t d a y o f A l l T o l e a r n a b o u t fi r e e x p e r i e n c e s , M a t h e m a t i c s s e m e s t e r p a r t i c i p a t i n g a t t i t u d e s , a n d b e l i e f s fi r e 4 0 1 E x p e r i e n c e s 4 0 1 s t u d e n t s s t u d e n t s b r i n g t o c l a s s ' W E I - t I s B e g i n n i n g a n d A l l T o l e a r n m o r e a b o u t w h a t fi r e M a fi r e m a t i c s ? " e n d o f s e m e s t e r p a r t i c i p a t i n g s t u d e n t s fi r i n k m a fi r i s J o u r n a l E n t r y 4 0 1 s t u d e n t s ( B e g i n n i n g a n d F i n a l ) F — — . , ” P h i l o s o p h y o f E n d o f s e m e s t e r A l l T o l e a r n a b o u t fi r e s t u d e n t s T e a c h i n g p a r t i c i p a t i n g c o n c e p t i o n s o f t e a d r i n g M a fi r e m a t i c s " 4 0 1 s t u d e n t s m a fi r e m a t i c s fi r a t t h e y h a v e a n d J o u r n a l E n t r y a r e d e v e l o p i n g A u d i o T a p e s E a c h c l a s s A l l T o h a v e a r e c o r d o f w h a t h a p p e n e d s e s s i o n p a r t i c i p a t i n g i n fi r e 4 0 1 c l a s s i n c a s e i t i s n e e d e d 4 0 1 s t u d e n t s f o r r e f e r e n c e I n t e r v i e w s T w i c e e a c h 4 f o c u s 4 0 1 T o fi n d o u t m o r e i n d e p fi r a b o u t fi r e " f o c u s s t u d e n t : s t u d e n t s c o n c e p t i o n s a n d a t t i t u d e s o f a f e w o n c e d u r i n g 4 0 1 s t u d e n t s s e m e s t e r , o n c e a t e n d o f s p r i n g s e m e s t e r r e l a t e d t o fi r e i r c o n c e p t i o n s o f a n d a t t i t u d e s t o w a r d m a fi r e m a t i c s a n d t e a c h i n g m a fi r e n r a t i c s . T h e g u i d e f o r fi r i s i n t e r v i e w i s i n c l u d e d a s A p p e n d i x G . T h e s e i n t e r v i e w s w e r e t r a n s c r i b e d a n d a n a l y z e d q u a l i t a t i v e l y . T h e i r r e s p o n s e s w e r e s u m m a r i z e d i n fi r e r e l e v a n t s e c t i o n s a s p a r t o f c a s e s o f i n d i v i d u a l s t u d e n t s . A s u m m a r y o f fi r e d a t a c o l l e c t i o n u s e d f o r fi r i s s t u d y i s s h o w n i n T a b l e 2 . D e v e l o p m e n t o f C o n c e p t u a l F r a m e w o r k W h e n I d e s i g n e d fi r i s s t u d y , I e x p e c t e d t o b e a b l e t o d e t e r m i n e a c a t e g o r y t h a t w o u l d m o s t d e s c r i b e t h e s t u d e n t s i n r e l a t i o n t o t h e i r c o n c e p t i o n s o f m a fi r e m a t i c s o r a s m a fi r e m a t i c s t e a c h e r s a t b o t h t h e b e g i n n i n g a n d e n d o f t h e s e m e s t e r . I a n t i c i p a t e d u s i n g e i fi r e r E r n e s t ' s ( 1 9 9 1 ) c a t e g o r i e s o f i n d u s t r i a l t r a i n e r , t e c h n o l o g i c a l p r a g m a t i s t , o l d h u m a n i s t , p r o g r e s s i v e m a t h e m a t i c s e d u c a t o r , a n d p u b l i c e d u c a t o r o r t h e d e s c r i p t o r s p r o p o s e d b y C o o n e y a n d o t h e r s ( 1 9 9 8 ) o f n a i v e i d e a l i s t , i s o l a t i o n i s t , a n d c o n n e c t i o n i s t . H o w e v e r , a s I b e g a n e x a m i n i n g fi r e d a t a f o r fi r e s t u d e n t s a s a g r o u p a n d f o r fi r e f o c u s s t u d e n t s i n p a r fi c u l a r , I d e c i d e d fi r a t fi r o s e l a b e l s w o u l d n o t r e a l l y d e s c r i b e t h e m a n y f a c e t s o f fi r e i r c o n c e p t i o n s a n d a t t i t u d e s I w a s s e e i n g . I d e c i d e d t o f r a m e m y r e s u l t s i n a w a y t h a t w o u l d d i s t i n g u i s h t h e d i f f e r e n t c a t e g o r i e s a n d c o n c e p t i o n s I w a s s e e i n g a n d w o u l d a l l o w m e t o i l l u s t r a t e t h e v a r i a t i o n s t h a t c a n b e p r e s e n t i n a s i n g l e g r o u p o r p e r s o n w i fi r r e s p e c t t o fi r e i r c o n c e p fi o n s o f a n d a t t i t u d e s t o w a r d m a fi r e m a t i c s . S o , t o a n a l y z e fi r e d a t a , I d e v e l o p e d a f r a m e w o r k fi r a t e m e r g e d f r o m fi r e d a t a a s I w a s s u m m a r i z i n g a n d e x a n r i n i n g i t . T h i s p r o v i d e d m e w i fi r s p e c i fi c a r e a s i n w h i c h I c o u l d l o o k f o r c h a n g e o r l a c k o f c h a n g e f r o m fi r e b e g i n n i n g o f t h e s e m e s t e r t o t h e e n d o f t h e s t u d y . T h i s f r a m e w o r k w i t h i t s c a t e g o r i e s a n d a s s o c i a t e d q u e s t i o n s c a n b e s e e n i n F i g u r e 6 . I w i l l d e s c r i b e e a c h o f t h e c a t e g o r i e s i n fi r e f o l l o w i n g p a r a g r a p h s . 6 7 F r a m e w o r k f o r A n a l y z i n g t h e C o n c e p t i o n s o f a n d A t t i t u d e s t o w a r d M a t h e m a t i c s o f P r o s p e c t i v e E l e m e n t a r y S c h o o l T e a c h e r s I . N a t u r e o f M a t h e m a t i c s 1 . C o n t e n t W h a t i s t h e c o n t e n t o f m a t h e m a t i c s ? 2 . P r o c e s s e s W h a t p r o c e s s e s a r e u s e d i n d o i n g m a t h e m a t i c s ? 3 . R e p r e s e n t a t i o n s H o w i s t h e c o n t e n t o f m a t h e m a t i c s r e p r e s e n t e d ? 4 . C h a r a c t e r i s t i c s W h a t a r e t h e c h a r a c t e r i s t i c s o f m a t h e m a t i c s ? I I . U s e f u l n e s s o f M a t h e m a t i c s 5 . G e n e r a l U s e f u l n e s s o f M a fi r e m a t i c s H o w i s m a t h e m a t i c s u s e f u l i n t h e w o r l d ? 6 . P e r s o n a l U t i l i t y H o w i s m a t h e m a t i c s u s e f u l t o t h e s t u d e n t p e r s o n a l l y ? 7 . I n d i r e c t P e r s o n a l U t i l i t y H o w d o c s m a t h t h a t i s d o n e b y o t h e r s a fl e c t t h e s t u d e n t ? 8 . U t i l i t y f o r O fi r e r s H o w i s m a t h e m a t i c s u s e f u l t o o t h e r s ? 1 1 1 . L e a r n i n g a n d T e a c h i n g M a t h e m a t i c s 9 . L e a r n i n g M a fi r H o w i s m a t h l e a r n e d ? 1 0 . T e a c h i n g M a fi r H o w s h o u l d m a t h b e t a u g h t ? I V . A t t i t u d e s 1 1 . A t t i t u d e s t o w a r d M a fi r W h a t i s t h e i r a t t i t u d e t o w a r d m a t h e m a t i c s ? 1 2 . A t t i t u d e s t o w a r d T e a c h i n g M a fi r W h a t i s t h e i r a t t i t u d e t o w a r d t e a c h i n g m a t h e m a t i c s ? F i g u r e 6 : F r a m e w o r k f o r A n a l y z i n g fi r e C o n c e p t i o n s o f a n d A t t i t u d e s t o w a r d M a t h e m a t i c s o f P r o s p e c t i v e E l e m e n t a r y S c h o o l T e a c h e r s 6 8 T h e fi r s t t h r e e g e n e r a l c a t e g o r i e s i n t h e f r a m e w o r k a r e r e l a t e d t o t h e s t u d e n t s ’ c o n c e p t i o n s o f m a t h e m a t i c s . T h e f o u r t h c a t e g o r y i s d e v o t e d t o t h e s t u d e n t s ’ a t t i t u d e s t o w a r d m a t h a n d t e a c h i n g m a t h . T h e fi r s t c a t e g o r y i s T h e N a t u r e o f M a t h e m a t i c s . T h i s i s t h e c a t e g o r y t h a t a d d r e s s e s t h e c o n c e p t i o n s o f w h a t m a t h e m a t i c s i s , w h a t i t ’ 3 a b o u t , h o w i t i s d o n e a n d r e p r e s e n t e d , a n d w h a t i t i s l i k e . T h e f i r s t s e c t i o n i n t h i s c a t e g o r y i s C o n t e n t . T h i s i s t h e s e c t i o n w h e r e t h e s t u d e n t s ’ c o n c e p t i o n s o f t h e c o n t e n t o f m a t h e m a t i c s — o r w h a t m a t h e m a t i c s i s a b o u t — a r e a n a l y z e d . T h e s e c o n d s e c t i o n i n t h i s c a t e g o r y i s P r o c e s s e s . T h i s s e c t i o n r e f e r s t o t h e s t u d e n t s ’ i d e a s a b o u t t h e p r o c e s s e s t h a t a r e u s e d i n d o i n g m a t h . T h i s w o u l d i n c l u d e t h i n k i n g p r o c e s s e s s u c h a s r e a s o n i n g a n d p r o b l e m s o l v i n g , b u t i t w o u l d a l s o i n c l u d e p r o c e s s e s s u c h a s t a l k i n g o r w r i t i n g a b o u t ? m a t h , u s i n g m a n i p u l a t i v e s , d r a w i n g a p i c t u r e , m a k i n g a c h a r t o r g r a p h , o r m a k i n g c o n n e c t i o n s w i t h m a t h t o o t h e r s u b j e c t s , t h i n g s o u t s i d e o f s c h o o l , o r o t h e r c o n t e n t a r e a s o f m a t h . 1 T h e t h i r d s e c t i o n i n t h e N a t u r e o f M a t h e m a t i c s c a t e g o r y i s R e p r e s e n t a t i o n s . T h i s r e f e r s t o t h e s t u d e n t s ’ c o n c e p t i o n s o f h o w t h e c o n t e n t a n d s o m e t i m e s . t h e p r o c e s s e s o f m a t h e m a t i c s a r e r e p r e s e n t e d . I t w o u l d i n c l u d e t h i n g s l i k e n u m e r a l s , s y m b o l s , f o r m u l a s , e q u a t i o n s , t h e o r e m s , p r o o f s , d r a w i n g s , g r a p h s , c h a r t s , a n d e v e n m a n i p u l a t i v e s . T h e f i n a l s e c t i o n o f t h i s c a t e g o r y i s C h a r a c t e r i s t i c s . T h i s r e f e r s t o t h e s t u d e n t s ’ c o n c e p t i o n s o f w h a t m a t h i s l i k e o r h o w t h e y w o u l d c h a r a c t e r i z e i t . F o r e x a m p l e , i f t h e s t u d e n t s h a d t h e c o n c e p t i o n t h a t o n l y a f e w p e o p l e c o u l d l e a r n m a t h , t h a t m a t h h a s o n l y r i g h t a n d w r o n g a n s w e r s , o r t h a t ‘ ( I c o n s i d e r t h i n g s l i k e a d d i n g , s u b t r a c t i n g , u s i n g l o g a r i t h m s , e t c . c o n t e n t — e v e n t h o u g h t h e s t u d e n t s a r e d o i n g s o m e t h i n g , a s t h e y a r e w i t h a l l m a t h c o n t e n t . W h e n I t a l k a b o u t p r o c e s s e s , I ’ m r e f e r r i n g t o t h e g e n e r a l t h i n k i n g p r o c e s s e s , a c t i v i t i e s , e t c . t h a t c a n b e u s e d w i t h a l l c o n t e n t . [ O f c o u r s e , s o m e c o n t e n t h a s i t s o w n p r o c e s s e s t h a t a r e n o t u s e d i n l e a r n i n g e v e r y c o n c e p t i n m a t h . F o r i n s t a n c e , i t ’ s n o t u s e f u l o r r e l e v a n t t o m a k e a c h a r t o r g r a p h w h e n d o i n g s o m e m a t h , b u t i t ’ 3 v e r y u s e f u l i n o t h e r a r e a s o f t h e m a t h c o n t e n t . ] ) 6 9 m a t h i s a s t a t i c ( o r d y n a m i c ) b o d y o f k n o w l e d g e , t h e s e i d e a s w o u l d b e i n c l u d e d i n t h e c h a r a c t e r i s t i c s s e c t i o n . T h e s e c o n d m a j o r c a t e g o r y i n t h e f r a m e w o r k i s U s e f u l n e s s o f M a t h e m a t i c s . T h i s a r e a i s w h e r e t h e s t u d e n t s ’ c o n c e p t i o n s o f h o w m a t h e m a t i c s i s u s e f u l a r e c a t e g o r i z e d . T h e r e a r e f o u r a r e a s r e l a t e d t o t h e u s e f u l n e s s o f m a t h e m a t i c s . T h e fi r s t s e c t i o n i s G e n e r a l U s e f u l n e s s o f M a t h e m a t i c s . T h i s r e f e r s t o t h e s t u d e n t s ' g e n e r a l i d e a s o f m a t h e m a t i c s b e i n g u s e f u l w i t h o u t s p e c i fi c e x a m p l e s o f h o w i t i s u s e f u l . T h e s e c o n d s e c t i o n i s P e r s o n a l U t i l i t y . T h i s r e f e r s t o t h e s t u d e n t s ’ c o n c e p t i o n s o f h o w t h e y u s e m a t h p e r s o n a l l y s u c h a s i n s h o p p i n g , b a l a n c i n g t h e i r c h e c k b o o k , o r c o o k i n g . T h e t h i r d s e c t i o n i n t h e U s e f u l n e s s o f M a t h e m a t i c s c a t e g o r y , I n d i r e c t P e r s o n a l U t i l i t y , w o u l d i n c l u d e a r e c o g n i t i o n , f o r e x a m p l e , t h a t m a t h w a s u s e d t o c r e a t e p r o d u c t s s u c h a s c o m p u t e r s , a p p l i a n c e s , r o a d s , e t c . t h a t t h e s t u d e n t s u s e b u t f o r w h i c h t h e y d i d n ’ t d o t h e m a t h . T h e fi n a l s e c t i o n i n t h i s c a t e g o r y i s U t i l i t y f o r O t h e r s . T h i s r e f e r s t o t h e s t u d e n t s ’ a w a r e n e s s t h a t o t h e r p e o p l e — o f t e n i n t h e i r j o b s — u s e m a t h i n a w a y t h a t h a s n o e f f e c t o n t h e s t u d e n t s ’ l i v e s . T h e t h i r d m a j o r c a t e g o r y i n t h e f r a m e w o r k i s L e a r n i n g a n d T e a c h i n g M a t h e m a t i c s . T h i s i s t h e a r e a w h e r e t h e s t u d e n t s ’ i d e a s o f h o w m a t h e m a t i c s i s l e a r n e d a n d h o w m a t h e m a t i c s s h o u l d b e t a u g h t a r e a n a l y z e d . A s n o t e d , t h e f o u r t h m a j o r c a t e g o r y o f t h e f r a m e w o r k i s r e l a t e d t o a t t i t u d e s . I t i n c l u d e s a s e c t i o n f o r a n a l y z i n g t h e s t u d e n t s ’ a t t i t u d e s t o w a r d m a t h e m a t i c s a n d o n e f o r a n a l y z i n g t h e i r a t t i t u d e s t o w a r d t e a c h i n g m a t h e m a t i c s . T h i s f r a m e w o r k h a s a l l o w e d m e t o c o d e v i r t u a l l y e v e r y s t a t e m e n t i n t h e s t u d e n t s ' w r i t i n g s a n d e v e r y i t e m i n t h e i r c o n c e p t m a p s . I n t h e r e m a i n i n g c h a p t e r s o f t h i s d i s s e r t a t i o n , I a n a l y z e a n d r e p o r t t h e r e s u l t s o f m y s t u d y u s i n g t h i s f r a m e w o r k a s a n o r g a n i z a t i o n a l t e m p l a t e . I n c h a p t e r s 3 - 5 , I l o o k a t t h e g r o u p a s a w h o l e ; i n c h a p t e r s 6 a n d 7 I l o o k a t t h e f o u r f o c u s s t u d e n t s . 7 0 C H A P T E R S C O N C E P T I O N S O F M A T H E M A T I C S I n t h i s c h a p t e r , I w i l l t a k e a c a r e f u l l o o k a t t h e s t u d e n t s ’ c o n c e p t i o n s o f m a t h e m a t i c s a s t h e y r e l a t e t o t h e n a t u r e o f m a t h e m a t i c s a n d t h e u s e f u l n e s s o f m a t h e m a t i c s . F o r e a c h r e l a t e d a r e a , I w i l l e x a m i n e w h a t t h e d a t a t e l l s u s a b o u t t h e i r c o n c e p t i o n s a t b o t h t h e b e g i n n i n g o f t h e s e m e s t e r a n d t h e e n d o f t h e s e m e s t e r , a n d I w i l l t h e n s u m m a r i z e t h e c h a n g e s . T h i s f o l l o w s t h e o v e r a l l q u e s t i o n s o f t h e s t u d y w h i c h w e r e e s s e n t i a l l y ” W h a t w e r e t h e s t u d e n t s ’ c o n c e p t i o n s a t t h e b e g i n n i n g o f t h e s e m e s t e r ? ” ; “ W h a t w e r e t h e s t u d e n t s ’ c o n c e p t i o n s a t t h e e n d o f t h e s e m e s t e r ? ” ; a n d ” H o w w e r e t h e y d i f f e r e n t ? ” M a n y h a v e t h e o r i z e d t h a t t e a c h e r s ’ c o n c e p t i o n s o f m a t h e m a t i c s i n fl u e n c e t h e w a y t h e y t e a c h i t ( B l a i r , 1 9 8 1 ; D o s s e y , 1 9 9 2 ; E r n e s t , 1 9 9 1 ; L e r m a n , 1 9 8 3 ; a n d N e s p o r , 1 9 8 7 ) , a n d e m p i r i c a l s t u d i e s h a v e s h o w n t h a t , f o r m o s t t e a c h e r s , i t i s a t l e a s t o n e f a c t o r t h a t i n fl u e n c e s t h e i r t e a c h i n g ( K e s l e r , 1 9 8 5 ; K y r i a k i d e s e t a l , 2 0 0 2 ; M c G a l l i a r d , 1 9 8 3 ; a n d T h o m p s o n , 1 9 8 4 ) . T h e r e h a v e b e e n o t h e r s w h o h a v e l o o k e d a t w h e t h e r t h e r e i s c h a n g e i n p r o s p e c t i v e t e a c h e r s ’ b e l i e f s r e l a t e d t o m a t h e m a t i c s a f t e r t a k i n g a m a t h m e t h o d s c o u r s e ( C a m p b e l l , 1 9 9 8 ; C o o n e y e t a l , 1 9 9 8 ; K y r i a k i d e s e t a l , 2 0 0 2 ; a n d V a c c a n d B r i g h t , 1 9 9 9 ) . I n t h i s c h a p t e r , I e x a m i n e w h e t h e r t h e r e i s c h a n g e f o r t h e s e p r o s p e c t i v e t e a c h e r s a n d w h a t t h a t c h a n g e l o o k s l i k e . N a t u r e o f M a t h e m a t i c s T h i s s e c t i o n , f o c u s i n g o n t h e n a t u r e o f m a t h e m a t i c s , i n c l u d e s a n e x a m i n a t i o n o f t h e s t u d e n t s ’ i d e a s a b o u t t h e c o n t e n t o f m a t h e m a t i c s , t h e p r o c e s s e s t h a t a r e u s e d i n d o i n g m a t h e m a t i c s , t h e r e p r e s e n t a t i o n s o f t h e c o n t e n t a n d p r o c e s s e s o f m a t h e m a t i c s , a n d t h e c h a r a c t e r i s t i c s o f m a t h e m a t i c s . 7 1 C o n t e n t O n e a s p e c t o f t h e s e p r o s p e c t i v e e l e m e n t a r y s c h o o l t e a c h e r s ' c o n c e p t i o n s o f t h e n a t u r e o f m a t h e m a t i c s i s w h a t t h e y c o n s i d e r t o b e t h e c o n t e n t o f m a t h e m a t i c s . T h e y w e r e n o t s p e c i fi c a l l y a s k e d t h e i r c o n c e p t i o n s o f t h e c o n t e n t o f m a t h e m a t i c s i n a n y o f t h e d a t a s o u r c e s , b u t t h e d a t a s o u r c e s p r o v i d e a g r e a t d e a l o f i n f o r m a t i o n a b o u t t h e i r i d e a s . T h e " W h a t I s M a t h e m a t i c s ? " j o u r n a l e n t r i e s a n d t h e m a t h e m a t i c s c o n c e p t m a p s w e r e t h e m a i n s o u r c e s o f t h i s d a t a . S t u d e n t s ' C o n c e p t i o n s o f C o n t e n t a t t h e B e g i n n i n g o f t h e S e m e s t e r . I n t h e b e g i n n i n g " W h a t I s M a t h e m a t i c s ? " j o u r n a l e n t r i e s , t w e n t y - s e v e n o f t h e 3 5 s t u d e n t s ( 7 7 % ) i d e n t i fi e d n u m b e r a s a k e y p a r t o f w h a t m a t h i s . I n f a c t , f o u r s t u d e n t s w r o t e t h a t ” m a t h e m a t i c s i s t h e s t u d y o f n u m b e r s . ” T w e l v e o t h e r s e x p r e s s e d n e a r l y i d e n t i c a l v i e w s . T h e m a n i p u l a t i o n o f n u m b e r s w a s a l s o a c e n t r a l p a r t o f w h a t t h e c o n t e n t o f m a t h e m a t i c s i s f o r s o m e o f t h e s t u d e n t s . I n f a c t , o n e s t u d e n t w r o t e , " I t h o u g h t t h a t i t w a s j u s t t h e m a n i p u l a t i o n o f n u m b e r s . " A s i m i l a r r e s p o n s e o f a n o t h e r s t u d e n t s w a s , " M a t h i s t h e m a n i p u l a t i n g o f n u m b e r s t o fi n d a s o l u t i o n . " O t h e r w a y s t h e m a n i p u l a t i o n o f n u m b e r s a s a c e n t r a l p a r t o f m a t h w a s d e s c r i b e d b y t h e s t u d e n t s i n c l u d e t h e s t u d e n t w h o w r o t e , " M a n i p u l a fi n g n u m b e r s a n d p r o v i d i n g c o n v i n c i n g r a t i o n a l e s i s m a t h e m a t i c s ; " t h e s t u d e n t w h o w r o t e , " I g u e s s t h a t m a t h w o u l d b e u s i n g n u m b e r s t h a t c a n b e m a n i p u l a t e d i n v a r i o u s w a y s t o c o m e u p w i t h a n s w e r s ; " a n d t h e s t u d e n t w h o w r o t e , " M a t h e m a t i c s i s t h e l e a r n i n g o f w a y s t o m a n i p u l a t e n u m b e r s t o s o l v e p r o b l e m s w h i c h a r i s e i n o u r d a i l y l i v e s . " S o m e s t u d e n t s w r o t e a b o u t t h e w a y n u m b e r s a r e u s e d t o c o m e u p w i t h a n s w e r s f o r m a t h e m a t i c s . O n e e x a m p l e o f t h a t i s t h e s t u d e n t w h o w r o t e , " W h e n I t h i n k o f m a t h , I t h i n k o f n u m b e r s . M a t h t o m e i s w o r k i n g w i t h n u m b e r s i n v a r i o u s w a y s t o a r r i v e a t a s p e c i f i c r i g h t a n s w e r . " A n o t h e r s t u d e n t w r o t e , " M a t h e m a t i c s i s u s i n g n u m b e r s t o c o m e u p w i t h s o l u t i o n s t o p r o b l e m s . " S o m e 7 2 o t h e r w a y s t h e s t u d e n t s w r o t e a b o u t m a t h e m a t i c s u s i n g n u m b e r s a s a p r i n c i p a l p a r t o f t h e i r d e s c r i p t i o n i n c l u d e t h e s t u d e n t w h o w r o t e , " M a t h e m a t i c s t o m e i s u s u a l l y a n y t h i n g i n v o l v i n g n u m b e r s , b u t n o t s t r i c t l y n u m b e r s . I t c a n , a n d m a n y t i m e s i s n u m b e r s a n d w o r d s , " a n d t h e s t u d e n t w h o w r o t e , " M a t h e m a t i c s i s d e a l i n g w i t h n u m b e r s a n d c o n c e p t s . " T h e s e c o n d m o s t f r e q u e n t a r e a o f t h e c o n t e n t o f m a t h e m a t i c s t h e s t u d e n t s w r o t e a b o u t i n t h e b e g i n n i n g " W h a t I s M a t h e m a t i c s ? " j o u r n a l e n t r i e s w e r e t h e b a s i c o p e r a t i o n s o f m a t h e m a t i c s ( a d d i t i o n , s u b t r a c t i o n , m u l t i p l i c a t i o n , a n d d i v i s i o n ) . N i n e s t u d e n t s i n c l u d e d s o m e t h i n g a b o u t t h e s e o p e r a t i o n s . A c o u p l e o f e x a m p l e s o f w h a t t h e s t u d e n t s w r o t e r e l a t e d t o t h i s a r e t h e s t u d e n t w h o w r o t e , " B a s i c m a t h i n v o l v e s a d d i n g , s u b t r a c t i n g , m u l t i p l y i n g , a n d d i v i d i n g n u m b e r s ; " a n d t h e s t u d e n t w h o w r o t e , " I t i n c l u d e s a d d i t i o n , s u b t r a c t i o n , m u l t i p l i c a t i o n , a n d d i v i s i o n . T h e s e a r e t h e b a s i c o p e r a t i o n s t h a t d e v e l o p i n t o p r o b l e m s . " T h e o t h e r s e v e n s t u d e n t s w r o t e v e r y s i m i l a r s t a t e m e n t s . N i n e s t u d e n t s w r o t e a b o u t o t h e r c o n t e n t o f m a t h e m a t i c s i n t h e i r b e g i n n i n g " W h a t I s M a t h e m a t i c s ? " j o u r n a l e n t r i e s . O n e s t u d e n t w r o t e a b o u t d i f f e r e n t c o n t e n t b y i n c l u d i n g s o m e o f t h e s c h o o l m a t h e m a t i c s s u b j e c t a r e a s : " I r e a l i z e d , f r o m t a k i n g M a t h 2 0 2 t h a t t h e r e ' s a l g e b r a , a r i t h m e t i c , g e o m e t r y ( E u c l i d e a n , N o n - E u c l i d e a n ) . M a t h e m a t i c s i s n ' t j u s t o n e s i n g l e s u b j e c t a r e a . " O t h e r s w r o t e a b o u t m a t h e m a t i c s c o n t e n t t h a t i s u s u a l l y n o t t a u g h t a s a s e p a r a t e s u b j e c t o r c o u r s e i n m a t h , b u t i s p a r t o f d i f f e r e n t s u b j e c t a r e a s . O n e s t u d e n t w r o t e , " O t h e r a s p e c t s o f m a t h e m a t i c s i n c l u d e m e a s u r e m e n t , c r e a t i n g s o m e g r a p h s t o p r e s e n t / r e p r e s e n t i n f o r m a t i o n , s t a t i s t i c s , a n d t e l l i n g t i m e . " A n o t h e r w r o t e , " H o w e v e r , m a t h e m a t i c s i s m o r e t h a n j u s t n u m b e r s . I t i n c l u d e s s h a p e s , a n g l e s , p l a i n s [ s i c ] , a n d d e g r e e s . " A n o t h e r s t u d e n t w r o t e , " F o r m e , m a t h i n v o l v e s n u m b e r s o f c o u r s e , b u t a l s o s h a p e s , d i r e c h ' o n , a n d s p a t i a l r e l a t i o n . " O n e m o r e e x a m p l e o f t h i s o t h e r c o n t e n t i s t h e s t u d e n t w h o w r o t e , " M a t h i s m e a s u r e m e n t , 7 3 a n g l e s , p r o b a b i l i h ' e s , p a t t e r n s , p l a n e s , c a l c u l a t i o n s , f r a c t i o n s , m o n e y , c h e m i s t r y . . . . I s t h e r e a n y t h i n g m a t h d o e s n ' t t o u c h ? " ( t h e s t u d e n t ' s e l l i p s e s ) . A c o u p l e o f s t u d e n t s w r o t e a b o u t h o w t h e c o n t e n t o f m a t h e m a t i c s i s r e l a t e d t o o t h e r fi e l d s . O n e w r o t e , " I r e l a t e m a t h t o s c i e n c e — t h e t w o s u b j e c t s g o h a n d i n h a n d . " T h e o t h e r w r o t e , " A s w e l l , t h e s e t h i n g s l a y t h e f o u n d a t i o n f o r u n d e r s t a n d i n g i n c h e m i s t r y , p h y s i c s , a n d e n g i n e e r i n g . W i t h o u t a g o o d w o r k i n g k n o w l e d g e o f m a t h , w e w o u l d n ' t b e a b l e t o a c c o m p l i s h m u c h i n t h e s e o t h e r r e l a t e d fi e l d s . " T h e c o n c e p t m a p s a l s o p r o v i d e d a g r e a t d e a l o f i n f o r m a t i o n a b o u t t h e s t u d e n t s ’ i d e a s o f t h e c o n t e n t o f m a t h e m a t i c s . I n f a c t , t h e s t u d e n t s w e r e m o r e l i k e l y t o l i s t a r e a s o f c o n t e n t o n t h e i r c o n c e p t m a p s t h a n t h e y w e r e t o w r i t e a b o u t t h e m i n t h e i r " W h a t I s M a t h e m a t i c s ? " j o u r n a l e n t r i e s . T h e b a s i c o p e r a t i o n s w e r e t h e m a i n c o n t e n t a r e a t h a t w a s i n c l u d e d i n t h e m . I n t h e b e g i n n i n g c o n c e p t m a p s , 1 6 o f t h e 3 4 s t u d e n t s ( n o t q u i t e h a l f ) n o t e d t h e b a s i c o p e r a t i o n s . S e v e n t e e n s t u d e n t s i n c l u d e d ” n u m b e r ” a s a n i t e m i n t h e b e g i r m i n g c o n c e p t m a p s w i t h t h r e e s t u d e n t s i n c l u d i n g s p e c i fi c t y p e s o f n u m b e r s ( i . e . , r a t i o n a l , i r r a t i o n a l , r e a l , i m a g i n a r y , e t c . ) . F i f t e e n s t u d e n t s l i s t e d d i f f e r e n t m a t h e m a t i c s c o u r s e s t h a t a r e t a k e n a s a s c h o o l s u b j e c t a s p a r t o f t h e c o n t e n t o f m a t h e m a t i c s i n t h e i r b e g i n n i n g c o n c e p t m a p s . O f t h o s e 1 5 w h o i n c l u d e d n a m e s o f c o u r s e s , 1 1 i n c l u d e d e x a m p l e s o f b a s i c m a t h ( u p t h r o u g h a l g e b r a ) , a n d 1 3 i n c l u d e d e x a m p l e s o f m o r e a d v a n c e d c o u r s e s ( t h o s e t a k e n a f t e r a l g e b r a ) . A l g e b r a w a s t h e c o u r s e m o s t c o m m o n l y i n c l u d e d i n t h e b e g i n n i n g s e t o f c o n c e p t m a p s w i t h 1 0 o c c u r r e n c e s , f o l l o w e d b y g e o m e t r y w i t h s i x . I n t h e b e g i n n i n g c o n c e p t m a p s , o n l y fi v e s t u d e n t s o f t h e 3 4 l i s t e d c o n t e n t o t h e r t h a n t h e n a m e s o f c o u r s e s . T h i s m a y b e b e c a u s e t h e m o s t s i g n i f i c a n t 7 4 c o n n e c t i o n t h e s t u d e n t s h a d t o m a t h e m a t i c s w a s a s a s t u d e n t , a n d i t w o u l d b e e x p e c t e d t h a t t h e y w o u l d t h i n k o f t h e n a m e s o f c o u r s e s . S t u d e n t s ' C o n c e p t i o n s o f C o n t e n t a t t h e E n d o f t h e S e m e s t e r . I n t h e fi n a l " W h a t I s M a t h e m a t i c s ? " j o u r n a l e n t r i e s , s t u d e n t s w r o t e a b o u t s i m i l a r a r e a s o f t h e c o n t e n t o f m a t h e m a t i c s a s p a r t o f t h e t h e i r c o n c e p t i o n s o f m a t h e m a t i c s a s t h e y d i d i n t h e b e g i n n i n g " W h a t I s M a t h e m a fi c s ? " j o u r n a l e n t r i e s , b u t t h e s p e c i fi c c o n t e n t o f m a t h e m a t i c s s e e m e d t o b e l e s s p r o m i n e n t i n t h e j o u r n a l e n t r i e s a s a g r o u p t h a n t h e y w e r e i n t h e b e g i n n i n g . _ N u m b e r w a s a g a i n t h e a r e a o f t h e c o n t e n t o f m a t h e m a t i c s t h a t w a s m o s t f r e q u e n t l y n o t e d . H o w e v e r , i t w a s n o t e d m u c h l e s s f r e q u e n t l y i n t h e fi n a l " W h a t I s M a t h e m a t i c s ? " j o u r n a l e n t r i e s t h a n i n t h e b e g i n n i n g " W h a t I s M a t h e m a t i c s ? " j o u r n a l e n t r i e s . F i f t e e n s t u d e n t s w r o t e a b o u t n u m b e r i n t h e fi n a l j o u r n a l e n t r i e s a s o p p o s e d t o 2 7 w h o i n c l u d e d i t i n t h e i r b e g i n n i n g j o u r n a l e n t r i e s . I n t h e fi n a l j o u r n a l e n t r i e s , o n l y o n e s t u d e n t w r o t e t h a t " m a t h i s t h e s t u d y o f n u m b e r s . " T h r e e s t u d e n t s w r o t e e x a m p l e o f w h a t s t u d e n t s w r o t e a b o u t h o w n u m b e r s a r e u s e d i n m a t h e m a t i c s a r e t h e f o l l o w i n g : " W e u s e n u m b e r s a s a s t a n d a r d w a y t o t a l k a b o u t a n d e x p l a i n m a t h ; " " M a t h i n v o l v e s n o t o n l y w o r k i n g w i t h n u m b e r s , b u t a n a l y z i n g t h e m a l s o ; " a n d " I t i s c e n t e r e d a r o u n d n u m b e r s a n d n u m e r a t i o n f r o m w h i c h c o n c e p t s a n d r e l a t i o n s h i p s a r e e s t a b l i s h e d . " A n o t h e r s t u d e n t a l s o d e s c r i b e d h o w n u m b e r s a r e u s e d t h i s w a y : " I b e l i e v e t h a t m a t h e m a fi c s c o n s i s t s o f a g r e a t n u m b e r o f d i f f e r e n t i d e a s a n d c o n c e p t s . F i r s t , a n d m o s t o b v i o u s , m a t h c o n s i s t s o f t h e u s e o f n u m b e r s . T h e s e n u m b e r s c a n b e u s e d i n m a n y w a y s . T h e y c a n b e u s e d t o d o o p e r a t i o n s s u c h a s a d d i t i o n , b u t t h e y c a n a l s o b e u s e d t o s o l v e p r o b l e m s . " A n o t h e r t h i n g t h a t s e e m e d t o c h a n g e i n t h e fi n a l " W h a t I s M a t h e m a t i c s ? " j o u r n a l e n t r i e s b e s i d e s t h e l e s s p r o m i n e n t n o t i n g o f n u m b e r w a s h o w s t u d e n t s w r o t e a b o u t n u m b e r . F o u r t e e n o f t h e 1 5 s t u d e n t s w h o w r o t e a b o u t n u m b e r s w r o t e t h a t m a t h w a s n o t j u s t n u m b e r s o r w a s m o r e t h a n n u m b e r s . T h e y a l l 7 5 fi l l e d u p t h e r e s t o f t h e i r j o u r n a l e n t r y d e s c r i b i n g w h a t t h e y t h o u g h t i t w a s i n s t e a d . O n e s t u d e n t w r o t e , " A b o u t 1 4 w e e k s a g o , I b e l i e v e d t h a t m a t h w a s n u m b e r s , b u t n o w I k n o w i t i s s o m u c h m o r e . . . I n o w a l s o s e e t h e w a y m a t h h e l p s t o d e v e l o p c r i t i c a l t h i n k i n g s k i l l s . " A n o t h e r w r o t e , " M y fi r s t r e s p o n s e t o t h i s q u e s t i o n i n v o l v e d t h e m e n t i o n o f t h e q u a n t i t a t i v e u s e o f n u m b e r s . N o w I s e e m a t h i n i t s b r o a d e r s e n s e . " A s i m i l a r e x a m p l e i s t h e s t u d e n t w h o w r o t e , " I c a n n o w l o o k a t m a t h a s d i f f e r e n t c o n c e p t s a n d i d e a s , n o t j u s t ' s o m e ' n u m b e r s b e i n g p u t t o g e t h e r f o r s o m e r e a s o n t h a t w a s n o t t o l d t o m e . " A n o t h e r e x a m p l e o f t h i s s e n t i m e n t w a s t h e s t u d e n t w h o w r o t e , " T o s u m i t a l l u p , m a t h i s m o r e t h a n w o r k i n g w i t h n u m b e r s . I t i n v o l v e s a d e e p e r u n d e r s t a n d i n g a n d a p p l i c a t i o n o f m a t h r e l a t e d c o n c e p t s . " O n e fi n a l e x a m p l e o f a s t u d e n t w h o e x p r e s s e d t h a t s e n t i m e n t i s t h e s t u d e n t w h o w r o t e t h e f o l l o w i n g : " M a t h t o m e i s n o t j u s t n u m b e r s , s y m b o l s , c o n f u s i o n , f r u s t r a t i o n , w o r k i n g s o h a r d t o r e a c h o n e c o r r e c t a n s w e r , w o r k i n g s t e p a f t e r s t e p o n ] t o m a k e a m i s t a k e a n d w o n d e r , ' W h e r e d i d I g o w r o n g ? ‘ N o , m a n o w m e a n s s o m e t h i n g m u c h d i f f e r e n t t o m e . " S e v e n s t u d e n t s w r o t e a b o u t s p e c i fi c a r e a s o f t h e c o n t e n t o f m a t h e m a t i c s . F i v e o f t h e m i n c l u d e d t h e b a s i c o p e r a t i o n s a s p a r t o f a g r e a t e r l i s t o f c o n t e n t . T h e s e t w o e x a m p l e s a r e t y p i c a l : M a t h i s a d d i t i o n , s u b t r a c t i o n , m u l t i p l i c a t i o n , d i v i s i o n , f u n c t i o n s , p a t t e r n s , f r a c t i o n s , p l a c e v a l u e s , m e a s u r e m e n t , p r o b a b i l i t y , a n d s t a t i s t i c s . . . T h e y a l l o w u s t o d e a l w i t h s h a p e s , d i s t a n c e , t i m e , w e i g h t , m o n e y , c a l e n d a r s , m a p s , a r e a , v o l u m e , m u s i c , a n d a m o u n t . " " M a t h e m a t i c s i s e n c o m p a s s i n g i n t h a t i t ' s a s u b j e c t t h a t d e v e l o p s u n d e r s t a n d i n g i n l o g i c a l r e a s o n i n g , s t a t i s t i c s a n d p r o b a b i l i t y , m e a s u r e m e n t , g e o m e t r y , a d d i t i o n , s u b t r a c t i o n , m u l t i p l i c a t i o n , d i v i s i o n , a n d p a t t e r n s a n d f u n c t i o n s . " A n e x a m p l e o f a s t u d e n t l i s h ' n g d i f f e r e n t c o n t e n t r e l a t e d t o m a t h e m a t i c s w i t h o u t n o t i n g t h e b a s i c o p e r a h ' o n s i s t h e s t u d e n t w h o w r o t e , " W h e n I t h i n k o f m a t h , I t h i n k o f m e a s u r e m e n t , b a l a n c i n g , w e i g h i n g , a l g e b r a , g e o m e t r y , p h y s i c s , 7 6 c h e m i s t r y , p r o b a b i l i t y , s t a t i s t i c s , a n d j u s t s i m p l y n u m e r a l s . I t h i n k o f c a l c u l a t o r s a n d r u l e r s , s c a l e s , m e a s u r i n g t o o l s , w e i g h t , h e i g h t , a n d t e l l i n g t i m e . " T h e r e w a s a l s o s o m e c h a n g e i n t h e c o n t e n t o f m a t h e m a t i c s t h a t w a s i n c l u d e d i n t h e fi n a l c o n c e p t m a p s . W h i l e i n t h e b e g i n n i n g c o n c e p t m a p s , n o t q u i t e h a l f o f t h e s t u d e n t s ( 1 6 o f 3 4 ) i n c l u d e d t h e b a s i c o p e r a t i o n s , i n t h e fi n a l c o n c e p t m a p s , 2 4 o f t h e 3 4 s t u d e n t s ( a l m o s t 7 6 % ) i n c l u d e d t h e m . ( T h i s w a s m u c h g r e a t e r t h a n t h e n u m b e r o f s t u d e n t s w h o i n c l u d e d b a s i c o p e r a t i o n s i n t h e i r fi n a l " W h a t I s M a t h e m a t i c s ? " j o u r n a l e n t r i e s — 2 4 o p p o s e d t o fi v e . ) T h e f o r m a t o f t h e c o n c e p t m a p s s e e m e d t o l e n d i t s e l f t o t h e i n c l u s i o n o f t h i n g s t h a t c o u l d b e i n c l u d e d i n l i s t s , a n d i n m a n y a r e a s , t h e s t u d e n t s s e e m e d m o r e l i k e l y t o i n c l u d e t h o s e t y p e s o f t h i n g s a s i t e m s i n t h e i r c o n c e p t m a p s t h a n t h e y w e r e t o w r i t e a b o u t t h e m i n s e n t e n c e s i n t h e i r ” W h a t I s M a t h e m a t i c s ? ” j o u r n a l e n t r i e s . N u m b e r w a s i n c l u d e d b y 1 7 s t u d e n t s i n t h e fi n a l c o n c e p t m a p s w h i c h w a s t h e s a m e n u m b e r o f s t u d e n t s w h o i n c l u d e d i t i n t h e i r b e g i n n i n g c o n c e p t m a p s . S e v e n s t u d e n t s i n c l u d e d s p e c i fi c t y p e s o f n u m b e r s s u c h a s r a t i o n a l , i r r a t i o n a l , i n t e g e r s , r e a l , i m a g i n a r y , a n d t h e l i k e i n t h e i r fi n a l m a p s a s o p p o s e d t o t h r e e s t u d e n t s i n t h e i r b e g i n n i n g m a p s . T h e n u m b e r o f s t u d e n t s w h o l i s t e d d i f f e r e n t m a t h e m a t i c s c o u r s e s t h a t a r e t a k e n a s a s c h o o l s u b j e c t a s p a r t o f t h e c o n t e n t o f m a t h e m a t i c s w a s t h e s a m e w i t h t h e fi n a l c o n c e p t m a p s a s i t w a s w i t h t h e b e g i n n i n g m a p s . I n e a c h s e t , 1 5 s t u d e n t s i n c l u d e d c o u r s e s , a l t h o u g h o n l y a b o u t h a l f o f t h o s e s t u d e n t s i n c l u d e d c o u r s e s i n b o t h t h e i r b e g i n n i n g a n d fi n a l c o n c e p t m a p s w h i l e t h e o t h e r h a l f o n l y i n c l u d e d t h e m i n e i t h e r t h e i r b e g i n n i n g o r fi n a l c o n c e p t m a p s . I n t h e fi n a l c o n c e p t m a p s , 1 1 i n c l u d e d e x a m p l e s o f b a s i c m a t h , a n d a l l 1 5 i n c l u d e d e x a m p l e s o f a d v a n c e d c o u r s e s . T h i s w a s v e r y s i m i l a r t o t h e b e g i n n i n g c o n c e p t m a p s w h e r e 1 1 i n c l u d e d e x a m p l e s o f b a s i c m a t h , a n d 1 3 i n c l u d e d e x a m p l e s o f m o r e a d v a n c e d c o u r s e s . I n t h e fi n a l s e t , g e o m e t r y w a s t h e m o s t c o m m o n s u b j e c t 7 7 n o t e d w i t h 1 0 o c c u r r e n c e s , f o l l o w e d b y a l g e b r a w i t h e i g h t , a n d c a l c u l u s w i t h s e v e n . ( A l g e b r a w a s t h e c o u r s e m o s t c o m m o n l y i n c l u d e d i n t h e b e g i n n i n g s e t o f c o n c e p t m a p s w i t h 1 0 o c c u r r e n c e s , f o l l o w e d b y g e o m e t r y w i t h s i x . ) T h e s e s e e m e d t o b e t h e n a m e s o f t h e c o u r s e s t h a t t h e s t u d e n t s w e r e m o s t f a m i l i a r w i t h a n d c o u l d m o s t e a s i l y r e m e m b e r . T h e b i g g e s t c h a n g e i n t h e c o n c e p t m a p s w a s i n t h e l i s t i n g o f o t h e r c o n t e n t a r e a s o f m a t h e m a t i c s : w h e r e a s i n t h e b e g i n n i n g s e t , o n l y fi v e s t u d e n t s l i s t e d c o n t e n t o t h e r t h a n n a m e s o f c o u r s e s o r t h e b a s i c o p e r a t i o n s , i n t h e fi n a l s e t , 1 0 s t u d e n t s l i s t e d o t h e r c o n t e n t . M o r e s t u d e n t s i n c l u d e d s o m e t h i n g a b o u t c o n t e n t i n t h e i r fi n a l c o n c e p t m a p s t h a n t h e y d i d i n t h e i r b e g i n n i n g m a p s . I n t h e fi n a l m a p s , s e v e n s t u d e n t s h a d a l o w n u m b e r o f i t e m s r e l a t i n g t o c o n t e n t , b u t fi v e h a d a m e d i u m n u m b e r ( 3 - 4 ) , a n d o n e s t u d e n t h a d a h i g h n u m b e r ( 5 + ) . T h i s i s i n c o n t r a s t t o t h e b e g i n n i n g m a p s w h e r e s e v e n s t u d e n t s h a d a l o w n u m b e r o f i t e m s r e l a t e d t o c o n t e n t ( 1 - 2 ) , a n d n o n e h a d a m e d i u m o r h i g h n u m b e r . T h i s p e r h a p s s u g g e s t s a n e x p a n s i o n o f t h e i r v i e w s o f w h a t c o n t e n t i s p a r t o f m a t h e m a t i c s . S u m m a r y o f C h a n g e s o f S t u d e n t s ' C o n c e p t i o n s o f C o n t e n t . T h e r e s e e m e d t o b e s o m e c h a n g e i n t h e w a y m a n y o f t h e s t u d e n t s t h o u g h t a b o u t c o n t e n t a t t h e e n d o f t h e s e m e s t e r a s o p p o s e d t o t h e b e g i n n i n g o f t h e s e m e s t e r . T h i s c h a n g e w a s e v i d e n c e d s o m e t i m e s i n t h e i r w r i t i n g , b u t m o r e o f t e n i n t h e i r c o n c e p t m a p s . O n e e x a m p l e o f h o w c o n t e n t w a s i n c l u d e d i n t h e c o n c e p t m a p s a n d c h a n g e d s o m e w h a t f r o m t h e b e g i n n i n g o f t h e s e m e s t e r t o t h e e n d o f t h e s e m e s t e r c a n b e f o u n d i n t h e c o n c e p t m a p s o f s t u d e n t 1 8 . I n t h e b e g i n n i n g c o n c e p t m a p , s h e l i s t e d d i f f e r e n t s c h o o l c o u r s e s o f m a t h e m a t i c s a n d a r e a s r e l a t e d t o m a t h e m a t i c s ( S e e F i g u r e 7 ) . I n h e r fi n a l c o n c e p t m a p , s h e h a d a m a j o r s e c t i o n o n c o n t e n t i n w h i c h s h e l i s t e d n a m e s o f c o u r s e s a s w e l l a s s p e c i fi c c o n t e n t ( S e e F i g u r e 8 . ) 7 8 W : W l a w s - : r c u p c s m s d u fl " « ( G e n t “ : 0 u n g r a t m t g e o s m e s s _ _ . m y . 0 . . . ’ ( 1 t c § r \ 1 6 . - - . - - “ “ W V - 1 1 3 . . . . . - _ . - - . : p w r n g ' r g . . _ . _ _ . _ . - _ _ _ . - . - . . _ ' . ' s t o c k s _ _ _ _ . _ - . - - . . . r - a o . . - * - - . 0 o n . . . — - — ' - 0 4 . 0 - D . . - - - I - - - - — . c n _ — _ - o n o 0 — F i g u r e 7 : B e g i r m i n g C o n c e p t M a p o f S t u d e n t 1 8 A s a g r o u p , t h e s t u d e n t s ' c o n c e p t i o n s o f t h e c o n t e n t o f m a t h e m a t i c s s e e m e d t o c h a n g e s o m e w h a t o v e r t h e c o u r s e o f t h e s e m e s t e r . O v e r a l l , t h e r e s e e m e d t o b e a n e x p a n s i o n o f w h a t t h e s t u d e n t s c o n s i d e r e d t o b e i n c l u d e d i n t h e c o n t e n t o f m a t h e m a t i c s , a n d t h e r e s e e m e d t o b e m u c h l e s s e m p h a s i s o n o n l y n u m b e r a s t h e c o n t e n t o f m a t h e m a t i c s . T h e r e w a s a l s o m o r e n o fi n g o f t h e b a s i c o p e r a t i o n s a t t h e e n d i n t h e s e d a t a s o u r c e s , b u t t h e r e w a s a m u c h g r e a t e r t e n d e n c y t o i n c l u d e t h e m a s p a r t o f a l i s t o f o t h e r m a t h e m a t i c s c o n t e n t r a t h e r t h a n s e p a r a t e l y a s t h e s o l e o r p r i n c i p a l c o n t e n t o f m a t h e m a t i c s . P r o c e s s e s T h e p r o c e s s e s t h a t a r e u s e d i n t h i n k i n g a b o u t a n d d o i n g m a t h e m a t i c s w e r e a n o t h e r p a r t o f t h e s t u d e n t s ' c o n c e p t i o n s o f m a t h e m a fi c s . T h e s e p r o c e s s e s w o u l d i n c l u d e t h i n k i n g p r o c e s s e s s u c h a s r e a s o n i n g a n d p r o b l e m s o l v i n g , b u t 7 9 F i g u r e 8 : F i n a l M a t h C o n c e p t M a p o f S t u d e n t 1 3 t h e y c o u l d a l s o i n c l u d e t h i n g s l i k e w r i t i n g , d i s c u s s i n g , d r a w i n g a p i c t u r e o r t a b l e , a n d m a k i n g c o n n e c t i o n s w i t h i n m a t h e m a t i c s a n d w i t h m a t h e m a t i c s t o o t h e r t h i n g s . A g a i n , t h e s t u d e n t s w e r e n o t s p e c i fi c a l l y a s k e d a b o u t t h e i r c o n c e p t i o n s o f t h e p r o c e s s e s o f m a t h e m a t i c s i n a n y o f t h e d a t a s o u r c e s , b u t t h e i r w r i t i n g s i n t h e i r j o u r n a l e n t r i e s a n d t h e i t e m s t h e y i n c l u d e d i n t h e i r m a t h c o n c e p t m a p s p r o v i d e m u c h i n s i g h t i n t o t h e i r i d e a s . S t u d e n t s ' C o n c e p t i o n s o f P r o c e s s e s a t t h e B e g i n n i n g o f t h e S e m e s t e r . A t t h e b e g i n n i n g o f t h e s e m e s t e r , t h e p r o c e s s e s o f m a t h e m a t i c s w e r e a p a r t o f q u i t e a f e w o f t h e s t u d e n t s ' c o n c e p t i o n s o f t h e n a t u r e o f m a t h e m a t i c s . I n t h e b e g i n n i n g " W h a t I s M a t h e m a t i c s ? " j o u r n a l e n t r i e s , 1 4 s t u d e n t s ( 4 0 % ) i n c l u d e d s o m e t h i n g s p e c i fi c a l l y a b o u t t h e t h i n k i n g p r o c e s s e s u s e d i n d o i n g m a t h e m a t i c s . I n t h e b e g i n n i n g c o n c e p t m a p s , m a t h e m a t i c a l p r o c e s s e s w e r e a l s o q u i t e p r e v a l e n t . T h i r t e e n s t u d e n t s i n c l u d e d a l o w n u m b e r o f i t e m s ( 1 - 2 ) r e l a t e d t o p r o c e s s e s , a n d s i x s t u d e n t s i n c l u d e d a m e d i u m n u m b e r o f i t e m s ( 3 - 4 ) . T h i s m a d e a t o t a l o f 1 9 o u t o f t h e 3 4 c o n c e p t m a p s ( 5 5 . 9 % ) t h a t i n c l u d e d s o m e t h i n g a b o u t p r o c e s s e s . S i x s t u d e n t s i n c l u d e d t h e a c t u a l w o r d " p r o c e s s " i n t h e i r c o n c e p t m a p s . S e v e n o f t h e 1 4 s t u d e n t s w h o w r o t e a b o u t p r o c e s s e s i n t h e i r ” W h a t I s M a t h e m a t i c s ? " j o u r n a l e n t r i e s w r o t e a b o u t r e a s o n i n g a n d l o g i c . T h e s e w e r e t h e p r o c e s s e s t h e s t u d e n t s w r o t e a b o u t m o s t o f t e n . T h e y w e r e a l s o t h e m o s t f r e q u e n t l y i n c l u d e d p r o c e s s e s i n t h e b e g i n n i n g c o n c e p t m a p s . F i f t e e n o u t o f t h e n i n e t e e n s t u d e n t s w h o i n c l u d e d a n y t h i n g a b o u t p r o c e s s e s i n t h e i r c o n c e p t m a p s u s e d t h e w o r d " r e a s o n " o r " r e a s o n i n g , " a n d t h e r e w e r e s i x o c c u r r e n c e s o f " l o g i c . " A n e x a m p l e o f w h a t a s t u d e n t w r o t e a b o u t r e a s o n i n g a n d l o g i c i n h e r b e g i n n i n g ” W h a t I s M a t h e m a t i c s ? ” j o u r n a l e n t r y w a s t h e s t u d e n t w h o , " W i t h m a t h c o m e s l o g i c a l a n d c r i t i c a l t h i n k i n g . K n o w i n g h o w t o p u t i t a l l t o g e t h e r a n d a l s o b e i n g a b l e t o t a k e i t a l l a p a r t . " A n o t h e r s t u d e n t e x p l a i n e d , " I b e l i e v e t h a t m a t h e m a t i c s i s t h e s t u d y o f l o g i c . I t t a k e s d e v e l o p e d t h i n k i n g s k i l l s i n o r d e r t o r e a s o n t h r o u g h m a n y m a t h p r o b l e m s . Y o u n e e d t o k n o w h o w t o g o s t e p - b y - s t e p , l o g i c a l l y , i n o r d e r t o o b t a i n a c o r r e c t a n s w e r . . . F i n a l l y , I b e l i e v e t h a t m a t h e m a t i c s i s t h e s t u d y o f , a n d a m a j o r d e v e l o p e r o f , t h e e n t i r e t h i n k i n g p r o c e s s . " A n o t h e r s t u d e n t w h o a l s o t h o u g h t t h a t r e a s o n i n g a n d l o g i c a r e a p a r t o f m a t h e m a t i c s w r o t e , 8 1 " I d r i n k t h a t m a t h e m a t i c s i s a s u b j e c t i n w h i c h p e o p l e l e a r n r e a s o n i n g a n d l o g i c , a n d i t j u s t h a p p e n s t o u s e n u m b e r s t o g e t t h e p o i n t a c r o s s . M a d r c a n b e s e e n a s a p r o c e s s i n w h i c h p e o p l e s o l v e p r o b l e m s u s i n g n u m b e r s a n d f o r m u l a s . " O n e s t u d e n t e x p l a i n e d h o w s h e t h o u g h t t h e t h i n k i n g p r o c e s s e s o f m a d r e m a t i c s d i f f e r e d f r o m t h o s e o f o t h e r s u b j e c t s . S h e w r o t e , " I t h i n k t h a t m a d r e m a t i c s i s s i m p l y a n o t h e r t o o l u s e d t o a i d p e o p l e w i t h t h e i r t h o u g h t p r o c e s s e s . F o r e x a m p l e , t h e s k i l l s o f a n a l y z i n g a n d r e a s o n i n g a r e n o t n a t u r a l f o r m o s t p e o p l e . M a t h e r r r a t i c s c a n b e u s e d ( A l t h o u g h o f t e n t i m e s i t i s n o t ) t o d e v e l o p t h e s e i m p o r t a n t s k i l l s . W h i l e s o m e m a y a r g u e t h a t t h e r e i s o n l y o n e c o r r e c t a n s w e r f o r m a t h e m a t i c s p r o b l e m s , I b e l i e v e t h a t h o w a p e r s o n g e t s t h e c o r r e c t a n s w e r i s w h a t m a t h i s a l l a b o u t . M a t h e m a t i c s i s a n ' t y t o e x p l o r e d i f f e r e n t v e n u e s t h a t u l t i m a t e l y l e a d t o a r i t a n s w e r . ‘ M a n i p u l a fi n g n u m b e r s a n d v i d i n g c o n v i n c i n g r a t i o n a l e s i s m a d r e m a t i c s . M a d r e m a t i c s o f e r s a n e w w a y o f d r i n k i n g d r a t i s v e r y d i f f e r e n t f r o m h i s t o r y ( i n t i o n ) , E n ' ( n o c o r r e c t a n s w e r ) , a n d s c i e n c e ( e x p e r i m e n t a t i o n . " A f e w s t u d e n t s w r o t e a b o u t p r o b l e m s o l v i n g o r a b o u t t h i n k i n g p r o c e s s e s i n g e n e r a l . W h e n w r i t i n g a b o u t d r a t i d e a , o n e s t u d e n t e v e n w r o t e a b o u t t h e i d e a d r a t d i f f e r e n t p r o c e s s e s c a n b e u s e d t o g e t t o a n a n s w e r . S h e w r o t e , " M a t h e m a fi c s i s m o r e t h a n j u s t o p e r a t i o n s . I t i n v o l v e s p r o b l e m - s o l v i n g s k i l l s . I t r e q u i r e s o n e t o l o o k a t v a r i o u s n u m b e r s o r i n f o r m a t i o n a n d fi n d a s o l u t i o n . I b e l i e v e m a d r e m a t i c s i s m o r e t h a n j u s t m e m o r i z a t i o n o r c o m p u t a t i o n o f p r o b l e m s b u t i s a s k i l l d r a t r e q u i r e s u s i n g a t h o u g h t p r o c e s s . W h i l e i t o f t e n s e e m s d r a t d r e r e i s o n l y o n e r i g h t a n s w e r , d r e r e a r e o f t e n d i f f e r e n t w a y s t o g e t a n a n s w e r . . . . I t i n v o l v e s c r i t i c a l d r i n k i n g . " A n o t h e r s t u d e n t a l s o e m p h a s i z e d d r a t e v e n b e i n g a b l e t o u s e m e m o r i z e d f a c t s a n d f o r m u l a s r e q u i r e s d r i n k i n g . S h e w r o t e , " I a l s o d r i n k d r a t m a d r e m a t i c s i s a b s t r a c t t h i n k i n g . S u r e t h e r e a r e f a c t s a n d f o r m u l a s d r a t n e e d t o b e m e m o r i z e d , b u t y o u a l s o h a v e t o b e a b l e t o d r i n k a b o u t t h e p r o b l e m i n o r d e r t o fi g u r e o u t w h i c h f a c t o r f o r m u l a y o u n e e d t o u s e . " A c o u p l e o f s t u d e n t s w r o t e a b o u t h o w s t o r y p r o b l e m s a r e u s e d t o h e l p s t u d e n t s u s e t h e s e t h i n k i n g p r o c e s s e s . O n e o f t h e s e s t u d e n t s w r o t e , " I t i s t h e s e s t o r y p r o b l e m s d r a t h e l p y o u t o d r i n k i n m o r e c o m p l e x w a y s . M a d r o p e n s n e w 8 2 d o o r s t o n e w i d e a s . " T h e o t h e r w r o t e , " S t o r y p r o b l e m s a r e a f o r m o f m a t h e m a t i c s t h a t a l l o w s s t u d e n t s t o e x p l a i n w h a t a n d w h y t h i n g s o c c u r q u a n t i t a t i v e l y . " T h e r e w e r e a f e w o t h e r w o r d s t h e s t u d e n t s i n c l u d e d i n t h e i r b e g i n n i n g c o n c e p t m a p s t h a t w e r e r e l a t e d t o p r o c e s s e s . F o r e x a m p l e , e i g h t s t u d e n t s i n c l u d e d t h e w o r d " u n d e r s t a n d i n g . " O d r e r e x a m p l e s o f w o r d s t h e s t u d e n t s u s e d r e l a t e d t o t h e i d e a o f p r o c e s s e s ( w i t h t h e i r n u m b e r o f o c c u r r e n c e s ) i n c l u d e d ” d r i n k i n g ” ( 4 ) , ” p r o b l e m s o l v i n g " ( 3 ) , ” t r i a l a n d e r r o r ” ( 3 ) , ” c a t e g o r i z i n g ” ( 2 ) , ” s o r t i n g ” ( 2 ) , a n d ” a n a l y t i c a l d r i n k i n g ” ( 2 ) . O f c o u r s e , t h e s e p r o c e s s e s a r e v e r y c o n n e c t e d t o r e a s o n i n g a n d l o g i c . S t u d e n t s ' C o n c e p t i o n s o f P r o c e s s e s a t t h e E n d o f t h e S e m e s t e r . A t t h e e n d o f t h e s e m e s t e r , t h e a t t e n t i o n t h e s t u d e n t s g a v e t o t h e p r o c e s s e s o f m a t h e m a t i c s w a s m u c h m o r e p r e v a l e n t a n d p r o m i n e n t t h a n a t t h e b e g i n n i n g o f t h e s e m e s t e r . F o r e x a m p l e , 1 6 o f t h e 3 0 s t u d e n t s f o r w h o m I h a v e fi n a l ” W h a t I s M a t h e m a t i c s ? ” j o u r n a l e n t r i e s w r o t e a b o u t m a t h a s a p r o c e s s o r t h e p r o c e s s e s u s e d i n m a d r e m a t i c s . T h i s w a s 5 3 % o f t h e fi n a l j o u r n a l e n t r i e s a s o p p o s e d t o 4 0 % a t t h e b e g i n n i n g o f t h e s e m e s t e r . I n f a c t , f o u r s t u d e n t s w r o t e d r a t m a t h i s a p r o c e s s . O n e w r o t e s i m p l y , " M a t h i s a p r o c e s s w h i c h i n v o l v e s n u m e r o u s o p e r a t i o n s . " A t t h e e n d o f t h e s e m e s t e r d r e r e w a s a c h a n g e i n t h e a m o u n t o f a t t e n t i o n g i v e n t o p r o c e s s e s a n d a n i n c r e a s e i n d e s c r i b i n g d i f f e r e n t k i n d s o f p r o c e s s e s d r a t a r e p a r t o f d o i n g m a t h e m a fi c s . A s i n t h e b e g i n n i n g " W h a t I s M a d r e m a t i c s ? " j o u r n a l e n t r i e s , t h e p r o c e s s e s o f r e a s o n i n g a n d l o g i c w e r e w r i t t e n a b o u t — d r i s t i m e b y s i x s t u d e n t s a s o p p o s e d t o s e v e n a t t h e b e g i n n i n g o f t h e s e m e s t e r — b u t t h e y w e r e n o t a s d o m i n a n t i n t h e fi n a l j o u r n a l e n t r i e s a s o d r e r p r o c e s s e s o f 8 3 m a t h e m a t i c s w e r e i n c l u d e d m o r e f r e q u e n t l y . A n e x a m p l e o f a s t u d e n t w h o e m p h a s i z e d t h e p r o c e s s e s o f r e a s o n i n g a n d l o g i c i s t h e s t u d e n t w h o w r o t e , " H o w e v e r , I h a v e a l s o c o m e t o r e a l i z e t h a t m a d r e m a t i c s i s a l s o r e l a t e d t o l o g i c . T o b e s u c c e s s f u l i n m a d r , o n e m u s t u n d e r s t a n d t h e u n d e r l y i n g l o g i c s u r r o u n d i n g s p e c i fi c p r o b l e m s . O n e m u s t b e c a p a b l e o f r e a s o n i n g d r r o u g h a p r o b l e m r a d r e r t h a n r e l y i n g o n d e s i g n a t e d r u l e s . T o b e a b l e t o r e a s o n m a t h e m a t i c a l l y i s t o b e a b l e t o b u i l d o n n e w m a t h e m a t i c a l i d e a s . " O n e s t u d e n t w r o t e a b o u t ” l o g i c a l k n o w l e d g e ” a n d p r o b l e m s o l v i n g , b u t s h e a l s o a d d e d s o m e o d r e r p r o c e s s e s i n h e r j o u r n a l e n t r y . S h e w r o t e , " I n c r e a t i n g a d e fi n i t i o n o f m a d r e m a t i c s , I w o u l d c o n c l u d e d r a t i t i s a s u b j e c t a r e a d r a t r e q u i r e s l o g i c a l k n o w l e d g e t o s o l v e p r o b l e m s . P r o b l e m s o l v i n g m a k e s u p a b i g p a r t o f m a t h e m a t i c s . . . . C o m p a r i n g , m e a s u r i n g , c l a s s i f y i n g , a n d m e m o r i z i n g a r e j u s t a f e w b r o a d s k i l l s r e q u i r e d i n l e a r r r i n m a d r e m a t i c s . . . M a d r e m a t i c a l k n o w l e d g e i s a f o r m o f d r i n k i n g a t m a n y t i m e s w e d o n ' t b e l i e v e o u r s e l v e s t o b e e n g a g e d i n . " A n o t h e r s t u d e n t w h o a l s o w r o t e a b o u t s o m e d i f f e r e n t p r o c e s s e s i n h e r fi n a l j o u r n a l e n t r y w a s t h e s t u d e n t w h o w r o t e , " M a t h i s s o r t i n g a n d c l a s s i f y i n g , f o r m i n g g r a p h s , a n d u n d e r s t a n d i n g v a r i o u s f u n c t i o n s o f n u m b e r s . . . . M a d r i s m a k i n g c o n n e c t i o n s b e t w e e n c o n c e p t s a n d n u m b e r s r e l a t e d t o m a d r e m a t i c s . M a d r i s r e a s o n i n g w i d r n u m b e r s a n d m a d r c o n c e p t s . " A n o t h e r e x c e r p t f r o m t h e fi n a l ” W h a t I s M a t h e m a t i c s ? ” j o u r n a l e n t r i e s d r a t p r o v i d e s a n e x a m p l e o f a s t u d e n t w h o w r o t e a b o u t r e a s o n i n g b u t a l s o o t h e r p r o c e s s e s w a s t h e f o l l o w i n g : " M a d r i s : d i f f e r e n t i d e a s , d i f f e r e n t w a y s t o a t t a c k a p r o b l e m , a c c e p t i n g o d r e r s ' e x p l a n a t i o n s , ' o u r n a l s , j u s t i f y i n g a n d e x p l a i n i n g o r r e a s o n i n g o u t y o u r t h o u t s , t h e p r o c e s s , n o t a l w a y s t h e p r o d u c t . . . . " I n t h e fi n a l c o n c e p t m a p s , t h e p r o c e s s e s o f m a d r e m a t i c s w e r e a l s o m o r e p r o m i n e n t t h a n d r e y w e r e i n t h e b e g i n n i n g m a p s . F o u r s t u d e n t s i n c l u d e d a l o w n u m b e r o f i t e m s r e l a t e d t o p r o c e s s e s , s e v e n s t u d e n t s i n c l u d e d a m e d i u m n u m b e r o f i t e m s , a n d 1 5 i n c l u d e d a h i g h n u m b e r ( fi v e o r m o r e ) r e l a t e d t o . 8 4 p r o c e s s e s . T h i s m a d e a t o t a l o f 2 6 o u t o f t h e 3 4 s t u d e n t s ( 7 6 . 5 % ) d r a t i n c l u d e d s o m e d r i n g a b o u t p r o c e s s e s i n t h e i r fi n a l c o n c e p t m a p s . ( T h i s w a s i n c o n t r a s t t o 5 5 . 9 % i n t h e b e g i n n i n g c o n c e p t m a p s . ) T h e i n c r e a s e i n s t u d e n t s w h o i n c l u d e d a h i g h n u m b e r o f i t e m s r e l a t e d t o p r o c e s s e s i n t h e fi n a l m a p s v e r s u s t h e b e g i n n i n g m a p s w a s e s p e c i a l l y s i g n i f i c a n t — z e r o i n t h e b e g i n n i n g a n d 1 5 i n t h e fi n a l m a p s . T h i s w a s a h u g e j u m p . I t s e e m s t o s h o w t h a t t h e s t u d e n t s w e r e d r i n k i n g a b o u t p r o c e s s e s — a n d m u l t i p l e k i n d s o f p r o c e s s e s — m u c h m o r e a t t h e e n d o f t h e s e m e s t e r . E l e v e n o f t h e m a p s i n c l u d e d t h e w o r d ” p r o c e s s " ( o r ” p r o c e s s e s ” ) . ” P r o b l e m s o l v i n g ” w a s t h e p r o c e s s i n c l u d e d m o s t o f t e n i n t h e fi n a l c o n c e p t m a p s . T w e n t y - f o u r o f t h e 3 4 m a p s i n c l u d e d ” p r o b l e m s o l v i n g ” ( 7 0 . 6 % ) . ” R e a s o n i n g ” w a s n o t e d i n 1 4 o f t h e m a p s , a n d ” l o g i c ” w a s i n c l u d e d i n 1 1 . S o m e o f t h e o d r e r p r o c e s s e s d r a t w e r e i n c l u d e d m o s t f r e q u e n t l y ( w i d r d r e i r n u m b e r o f o c c u r r e n c e s i n p a r e n d r e s e s ) w e r e ” c o m p a r i n g " ( 7 ) , ” d r i n k i n g ” ( 7 ) , ” t r i a l a n d e r r o r ” ( 5 ) , ” c o m m u n i c a t i n g " ( 4 ) , ” a p p l y i n g ” ( 4 ) , ” m a k i n g c o n n e c t i o n s ” ( 3 ) , ” u n d e r s t a n d i n g ” ( 2 ) , ” e x p e r i m e n t a t i o n ” ( 2 ) , ” c o n t r a s t i n g ” ( 2 ) , ” a n a l y z i n g ” ( 2 ) , ” c r i t i c a l t h i n k i n g ” ( 2 ) , a n d ” d r i n k i n g a b s t r a c t l y ” ( 2 ) . T h e r e w e r e 3 7 o t h e r p r o c e s s e s n o t e d o n c e . O f t h e 1 5 s t u d e n t s w h o i n c l u d e d a h i g h n u m b e r o f i t e m s r e l a t i n g t o p r o c e s s e s i n d r e i r fi n a l c o n c e p t m a p s , 1 3 o f t h e m e i t h e r i n c l u d e d n o i t e m s o r a l o w n u m b e r o f i t e m s r e l a t i n g t o p r o c e s s e s i n d r e i r b e g i n n i n g c o n c e p t m a p s . T h r e e o f t h e s e p a i r s o f m a p s d r a t s h o w t h i s c o n t r a s t a r e s h o w n b e l o w a n d o n t h e f o l l o w i n g p a g e s ( S e e F i g u r e s 9 - 1 4 ) : a . . - o c u l - - - . . . . - F i g u r e 9 : B e g i n n i n g M a p o f S t u d e n t 1 5 S t u d e n t 1 5 h a d " l o g i c a n d r e a s o n i n g " i n h e r b e g i n n i n g c o n c e p t m a p ( S e e F i g u r e 9 ) , b u t d r e y w e r e t h e o n l y p r o c e s s e s . I n h e r fi n a l c o n c e p t m a p , s h e h a d a w h o l e s e c t i o n o f p r o c e s s e s d r a t w a s m u c h m o r e e x t e n s i v e ( S e e F i g u r e 1 0 ) . I t ’ s F i g u r e 1 0 : F i n a l C o n c e p t M a p o f S t u d e n t 1 5 8 6 I n t e r e s t i n g t o n o t e t h a t o n b o t h m a p s , t h e p r o c e s s e s a r e o f f b y d r e m s e l v e s — s e p a r a t e d f r o m c o n t e n t a n d t h e o d r e r s e c t i o n s — w h i c h m a y b e a n i n d i c a t i o n d r a t s h e r e c o g n i z e s d r a t e v e n d r o u g h d r e y a r e r e l a t e d , p r o c e s s e s a r e n o t t h e s a m e t h i n g a s c o n t e n t . F i g u r e 1 1 : B e g i n n i n g C o n c e p t M a p o m ” T h e b e g i n n i n g c o n c e p t m a p o f s t u d e n t 2 9 ( S e e F i g u r e 1 1 ) i s a n e x a m p l e o f a m a p t h a t h a s n o c l e a r p r o c e s s e s . T h e i t e m s " u n d e r s t a n d i n g ? " , " h o w ? " , a n d " w h y ? " a r e p o s s i b l y r e f e r r i n g t o p r o c e s s e s , b u t i t i s n o t c l e a r f r o m h e r m a p . S h e m a y a l s o b e u s i n g d r e m t o r e f e r t o t h e u s e f u l n e s s o f m a d r . T h e i t e m ” n e w w a y o f d r i n k i n g " m i g h t b e r e f e r r i n g t o p r o c e s s e s , b u t i t a l s o m i g h t b e a w a y t o d e s c r i b e m a t h a s b e i n g d i f f e r e n t f r o m o t h e r s u b j e c t s . I n h e r fi n a l c o n c e p t m a p ( S e e F i g u r e 1 2 ) , fi v e o f h e r s i x fi r s t - l e v e l c o n n e c t o r s t o t h e c o n c e p t m a t h e m a t i c s 8 7 a r e p r o c e s s e s o r r e l a t e d t o p r o c e s s e s . T h e o d r e r c o n n e c t o r , a t t i t u d e s , e v e n h a s " m a d r a s a p r o c e s s " i n t h e n e x t l e v e l . I t ' s i n t e r e s t i n g t o n o t e d r a t f o u r o f h e r d i r e c t o r c o n n e c t o r s a r e t h e f o u r p r o c e s s e s s t r a n d s i n t h e 1 9 8 9 N C T M S t a n d a r d s — p r o b l e m s o l v i n g , r e a s o n i n g , c o m m u n i c a t i o n , a n d c o n n e c t i o n s . I t ’ s a l s o i n t e r e s t i n g d r a t a n o d r e r o f h e r d i r e c t c o n n e c t o r s w a s ” A w a y o f d e v e l o p i n g d r o u g h t p r o c e s s e s . ” S h e s e e m e d t o r e a l l y b e f o c u s e d o n r o l e p r o c e s s e s p l a y i n m a d r e m a t i c s . F i g u r e 1 2 : F i n a l C o n c e p t M a p o f S t u d e n t 2 9 S t u d e n t 1 i s a n o t h e r p e r s o n w h o i n c l u d e d v e r y l i t t l e a b o u t p r o c e s s e s i n h e r b e g i n n i n g c o n c e p t m a p ( S e e F i g u r e 1 3 o n p a g e 8 9 ) , b u t h e r fi n a l c o n c e p t m a p w a s a l m o s t e n t i r e l y a b o u t p r o c e s s e s . H e r f o u r d i r e c t c o n n e c t o r s t o m a d r w e r e a l l p r o c e s s e s — c o m m u n i c a t i n g , r e a s o n i n g , p r o b l e m s o l v i n g , a n d m a k i n g c o n n e c t i o n s ( S e e F i g u r e 1 4 o n p a g e 9 0 ) . A g a i n , i t i s i n t e r e s t i n g t o n o t e d r a t d r e s e ‘ H l i M O r A ' r ' : fi fi g y s . m n g x i s m F i g u r e 1 3 : B e g i n n i n g M a t h C o n c e p t M a p o f S t u d e n t l a r e t h e f o u r p r o c e s s s t r a n d s i d e n t i fi e d b y t h e 1 9 8 9 N C T M S t a n d a r d s . ( I n t h e s u m m a r y p o r t i o n o f t h i s s e c t i o n , I w i l l e x p l a i n t h e r o l e t h e 1 9 8 9 N C I ' M S t a n d a r d s p l a y e d i n o u r c l a s s a n d w h y d r e y m a y h a v e h a d a n i n fl u e n c e o n h o w d r e s e t w o s t u d e n t s c o n s t r u c t e d t h e i r m a p s . ) I n d e e d , a t t h e e n d o f t h e s e m e s t e r , t h e i d e a o f p r o c e s s e s a n d d r e i r i m p o r t a n c e s e e m e d t o b e a m u c h m o r e s o l i d i fi e d p a r t o f t h e s t u d e n t s ’ c o n c e p t i o n s o f m a d r e m a t i c s t h a n d r e y w e r e a t t h e b e g i n n i n g o f t h e s e m e s t e r . O n e l a s t p l a c e t h i s w a s s e e n w a s i n t h e s t u d e n t s ’ r e s p o n s e s t o i t e m n u m b e r 2 3 f r o m t h e M a d r e m a t i e s I n v e n t o r y , " S t u d e n t s ' r e a s o n i n g i s m o r e i m p o r t a n t t h a n i f d r e y a r e a b l e t o g e t t h e a n s w e r d r a t m a t c h e s t h e a n s w e r k e y . " T h e r e w a s a h i g h l e v e l o f a g r e e m e n t w i d r d r a t a t t h e b e g i n n i n g o f t h e s e m e s t e r w i t h a c l a s s a v e r a g e o f 4 . 1 3 8 ( t h e s e c o n d h i g h e s t a v e r a g e o f a l l i t e m s ) , b u t a t t h e e n d o f t h e s e m e s t e r , t h e a v e r a g e a g r e e m e n t w a s e v e n s l i g h t l y h i g h e r — 4 . 3 7 9 . T h i s w a s n o t s t a t i s t i c a l l y s i g n i fi c a n t ( p = 0 . 2 8 ) , b u t p e r h a p s i n d i c a t e s a t r e n d o f g r o w i n g 8 9 8 ' 8 1 } ? ! “ W k F i g u r e 1 4 : F i n a l C o n c e p t M a p o f S t u d e n t 1 a g r e e m e n t w i d r d r a t i d e a e v e n t h o u g h d r e r e w a s n o t m u c h r o o m f o r i n c r e a s e . O n e s t u d e n t e x e m p l i fi e d a n a g r e e m e n t w i t h t h a t i d e a w h e n s h e w r o t e i n h e r fi n a l " W h a t I s M a t h e m a t i c s ? " j o u r n a l e n t r y , " W h i l e m a t h h a s o f t e n s e e m e d t o b e j u s t a b o u t g e t t i n g a n s w e r s , t h e t r e n d s e e m s t o b e s w i t c h i n g t o f o c u s i n g o n u n d e r s t a n d i n g a n d t h e p r o c e s s e s a n d d r o u g h t i n v o l v e d . " S u m m a r y o f C h a n g e s i n S t u d e n t s ' C o n c e p t i o n s o f P r o c e s s e s o f M a t h e m a t i c s . T h e p r o c e s s e s t h a t a r e u s e d i n d o i n g a n d t h i n k i n g a b o u t m a d r e m a t i c s r e c e i v e d s i g n i fi c a n t l y m o r e a t t e n t i o n b y t h e s t u d e n t s a s a g r o u p a t t h e e n d o f t h e s e m e s t e r t h a n d r e y d i d a t t h e b e g i n n i n g . T h e r e w a s e v i d e n c e d r a t t h e r e w a s a n i n c r e a s e i n t h e p r o m i n e n c e o f p r o c e s s e s i n t h e s t u d e n t s ' c o n c e p t i o n s o f m a t h e m a t i c s a s w e l l a s i n t h e a w a r e n e s s o f d i f f e r e n t k i n d s o f p r o c e s s e s d r a t a r e r e l a t e d t o m a t h e m a t i c s . T h i s w a s s h o w n m o s t m a r k e d l y i n t h e c o n t r a s t b e t w e e n t h e b e g i r u r i n g a n d fi n a l c o n c e p t m a p s , b u t i t w a s a l s o v e r y e v i d e n t i n t h e d i f f e r e n c e b e t w e e n t h e b e g i n n i n g a n d fi n a l ” W h a t I s M a t h e m a t i c s ? ” j o u r n a l e n t r i e s ( 5 3 % o f t h e s t u d e n t s w r o t e a b o u t p r o c e s s e s i n d r e i r fi n a l j o u r n a l e n t r i e s a s o p p o s e d t o 4 0 % i n d r e i r b e g i n n i n g j o u r n a l e n t r i e s ) . P r o b a b l y p a r t o f t h e r e a s o n t h e r e s e e m e d t o b e m o r e a t t e n t i o n o n p r o c e s s e s a t t h e e n d o f t h e s e m e s t e r t h a n a t t h e b e g i n n i n g w a s b e c a u s e o f t h e e m p h a s i s t h e y r e c e i v e d i n c l a s s . W e s p e n t m u c h t i m e b e c o m i n g f a m i l i a r w i d r t h e 1 9 8 9 N C T M S t a n d a r d s , a n d i n d o i n g s o e m p h a s i z e d t h a t t h e fi r s t f o u r w e r e c o n s i d e r e d p r o c e s s s t a n d a r d s — p r o b l e m s o l v i n g , c o m m u n i c a fi o n , r e a s o n i n g , a n d c o n n e c t i o n s — w h i l e t h e o d r e r s w e r e c o n s i d e r e d c o n t e n t s t a n d a r d s . ( A g a i n , i t i s w o r t h n o t i n g d r a t b o d r s t u d e n t s 2 9 a n d 1 i n c l u d e d d r o s e f o u r p r o c e s s e s a s m a j o r s u b c a t e g o r i e s i n t h e i r fi n a l c o n c e p t m a p s [ S e e F i g u r e 1 2 o n p a g e 8 8 a n d F i g u r e 1 4 o n p a g e 9 1 ] ) . M a n y o f t h e a s s i g n m e n t s t h e s t u d e n t s w e r e g i v e n r e q u i r e d t h a t d r e y l o o k a t t h e p r o c e s s e s o f m a d r e m a t i c s . O n e a s s i g n m e n t w a s a g r o u p p r e s e n t a t i o n w h e r e t h e g r o u p t a l k e d a b o u t a s p e c i fi c a r e a o f c o n t e n t , a n d o n e o f t h e d r i n g s d r e y h a d t o d o i n t h e p r e s e n t a t i o n w a s g i v e e x a m p l e s o f h o w t h e f o u r p r o c e s s s t a n d a r d s m i g h t b e u s e d i n l e a r n i n g a b o u t a n d d o i n g t h a t p a r t i c u l a r c o n t e n t . T h e s t u d e n t s w e r e a l s o a s s i g n e d t o p l a n a m a d r e m a t i c s u n i t , a n d a s p a r t o f d r a t a s s i g n m e n t , d r e y h a d t o d r i n k a b o u t t h e c o n t e n t t h e y w a n t e d t h e s t u d e n t s t o l e a r n , t h e p r o c e s s e s d r e y w a n t e d t h e i r s t u d e n t s t o u s e , a n d t h e a t t i t u d e s 9 1 r e l a t e d t o d r a t c o n t e n t t h a t d r e y w a n t e d d r e m t o d e v e l o p . T h e y w e r e a s s i g n e d t o m a k e a c o n c e p t m a p w i t h t h o s e t h r e e a r e a s t h a t s e r v e d a s a n o v e r v i e w o f t h e u n i t . F o r t h e a s s e s s m e n t t h e y p l a n n e d f o r t h e i r u n i t d r e y w e r e a l s o e x p e c t e d t o a s s e s s i n d r o s e t h r e e a r e a s — c o n t e n t , p r o c e s s e s , a n d a t t i t u d e . A f e w o f t h e s t u d e n t s e v e n o r g a n i z e d d r e i r fi n a l c o n c e p t m a p s w i d r c o n t e n t , a t t i t u d e , a n d p r o c e s s e s a s t h e d i r e c t c o n n e c t o r s t o t h e c o n c e p t o f m a d r . T h e fi n a l c o n c e p t m a p o f s t u d e n t 1 5 ( h i g h l i g h t e d i n t h e p r e v i o u s s e c t i o n ) w a s o n e e x a m p l e o f t h i s ( S e e F i g u r e 1 0 o n p a g e 8 6 ) . I t s e e m s t h a t t h e i d e a o f m a t h e m a t i c a l p r o c e s s e s , a s s u c h , w a s n o t s o m e d r i n g t h e s t u d e n t s h a d b e e n e x p l i c i t l y t a u g h t a b o u t m u c h i n d r e i r e x p e r i e n c e s w i d r m a d r e m a t i c s a s s t u d e n t s . T h e y d i d n ’ t s e e m t o b e f a m i l i a r w i d r t h e i d e a t h a t t h e r e w e r e m a n y p r o c e s s e s t h a t w e r e u s e d i n d o i n g m a d r e m a t i c s — a c r o s s c o n t e n t a r e a s . M a n y s t u d e n t s s e e m e d t o b e a w a r e o f t h e p r o c e s s e s o f r e a s o n i n g a n d l o g i c b e i n g a s s o c i a t e d w i t h m a d r s i n c e t h o s e a r e p r o b a b l y t h e t w o d r a t d r e y w e r e m o s t l i k e l y t o h a v e h e a r d a b o u t . S o m e s t u d e n t s a l s o a s s o c i a t e d t h e p r o c e s s o f p r o b l e m s o l v i n g w i t h m a t h a t t h e b e g i n n i n g o f t h e s e m e s t e r . H o w e v e r , t h e r e w e r e m a n y p r o c e s s e s u s e d i n m a t h e m a t i c s t h a t i t s e e m e d m o s t s t u d e n t s h a d n e v e r t h o u g h t a b o u t — e v e n t h o u g h d r e y m a y h a v e u s e d t h e m . I t s e e m s t h a t t h i s w a s a n a r e a d r a t w a s r i p e f o r e x p a n s i o n i n t h e s t u d e n t s ’ m i n d s b e c a u s e i t w a s n o t a n a r e a d r e y h a d h e a r d m u c h a b o u t o r s p e n t a l o t o f t i m e d r i n k i n g a b o u t . R e p r e s e n t a t i o n s T h e w a y t h e c o n t e n t o f m a d r e m a t i c s i s r e p r e s e n t e d w a s p a r t o f t h e s t u d e n t s ' c o n c e p t i o n o f m a t h e m a t i c s . T h i s i n c l u d e s m a i n l y t h e w a y c o n t e n t i s r e p r e s e n t e d — o f t e n o n p a p e r — b y s y m b o l s , g r a p h s , w o r d s , a n d t h e l i k e . T h e s t u d e n t s w e r e n o t a s k e d t o d e s c r i b e h o w m a d r i s r e p r e s e n t e d , b u t a c o u p l e o f t h e d a t a s o u r c e s p r o v i d e a l i t t l e i n f o r m a t i o n a b o u t d r e i r c o n c e p t i o n s . 9 2 S t u d e n t s ' C o n c e p t i o n s o f t h e R e p r e s e n t a t i o n s o f M a t h e m a t i c s a t t h e B e g i n n i n g o f t h e S e m e s t e r . T h e r e w a s a l i t t l e i n f o r m a t i o n a b o u t t h e s t u d e n t s ' i d e a s o f h o w m a d r e m a t i c s i s r e p r e s e n t e d i n t h e " W h a t I s M a d r e m a t i c s ? " j o u r n a l e n t r i e s , b u t n o t a l o t . T h e r e w a s m o r e i n f o r m a t i o n i n t h e c o n c e p t m a p s . I n t h e b e g i n n i n g " W h a t I s M a d r e m a t i c s ? " j o u r n a l e n t r i e s , t h r e e s t u d e n t s w r o t e a b o u t m a d r a s e q u a t i o n s o r d e a l i n g w i d r e q u a t i o n s . T h r e e o d r e r s t u d e n t s w r o t e a b o u t m a t h a s b e i n g m a d e u p o f f o r m u l a s o r w o r k i n g w i d r f o r m u l a s s u c h a s t h e p e r s o n w h o w r o t e , " M a t h e m a t i c s i s m a d e u p o f f o r m u l a s a n d d a t a t h a t a r e i m p o r t a n t i n h e l p i n g t o fi g u r e o u t s o l u t i o n s . " I n t h e b e g i n n i n g m a d r c o n c e p t m a p s , t h e s t u d e n t s i n c l u d e d s e v e r a l i t e m s d r a t w e r e r e l a t e d t o r e p r e s e n t a t i o n s o f m a t h e m a t i c s . T h e i t e m s d r a t w e r e l i s t e d m o s t f r e q u e n t l y w e r e t h e f o l l o w i n g : " n u m b e r s " w i d r 1 9 o c c u r r e n c e s , " s t e p s " w i t h 1 0 o c c u r r e n c e s , " f o r m u l a s " w i t h 8 o c c u r r e n c e s , " e q u a t i o n s , " " t h e o r e m s , " a n d " l e t t e r s " w i t h s i x o c c u r r e n c e s e a c h , " f u n c t i o n s " a n d " t h e o r i e s " w i d r fi v e o c c u r r e n c e s e a c h , a n d " p r o o f s " w i d r f o u r o c c u r r e n c e s . ( ” N u m b e r ” c a n b e c o n s i d e r e d c o n t e n t w h e n t a l k i n g a b o u t t h e i d e a o f q u a n t i t y , b u t i t c a n a l s o b e c o n s i d e r e d a r e p r e s e n t a t i o n o f t h e i d e a o f q u a n t i t y w h e n , a s i s o f t e n t h e c a s e , p e o p l e u s e t h e w o r d ” n u m b e r ” w h e n m e a n i n g ” n u m e r a l ” — t h e s y m b o l i c r e p r e s e n t a t i o n o f a n u m b e r . ) T h e o t h e r w o r d s t h a t w e r e i n c l u d e d i n t h e b e g i n n i n g c o n c e p t m a p s d r a t w e r e r e l a t e d t o r e p r e s e n t a t i o n s o f m a d r e m a t i c s w i d r d r r e e o r f e w e r o c c u r r e n c e s w e r e " s y m b o l s , " " r u l e s , " " a n s w e r s , " " v a r i a b l e s , " " c o n s t a n t s , " " w o r d s , " " e q u a l , " " l a w s , " " t e r m s , " " a l g o r i t h m s , " " n o n - n u m b e r s , " " v a l u e s , " " n u m b e r s e t s , " " t a k e a w a y , " a n d " i n a l l . " O v e r a l l , 2 2 o f t h e b e g i n n i n g c o n c e p t m a p s ( 6 5 % ) h a d a t l e a s t o n e t h i n g t h a t c o u l d b e c o n s i d e r e d a s b e i n g r e l a t e d t o r e p r e s e n t a t i o n s . T h i r t e e n o f t h o s e 2 2 m a p s h a d d r r e e i t e m s r e l a t e d t o r e p r e s e n t a t i o n s , a n d t w o m a p s h a d f o u r i t e m s . T h e s t u d e n t s w h o g a v e t h e m o s t 9 3 a t t e n t i o n t o r e p r e s e n t a t i o n s i n t h e i r b e g i n n i n g c o n c e p t m a p s w e r e s t u d e n t s 2 8 a n d 3 3 ( S e e F i g u r e 1 5 a n d F i g u r e 1 6 o n p a g e 9 5 ) . 7 . 9 2 3 9 6 3 % - ( “ Q C — > 1 F i g u r e 1 5 : B e g i n n i n g M a t h C o n c e p t M a p ( fi t u d e n t 2 3 S t u d e n t s ' C o n c e p t i o n s o f t h e R e p r e s e n t a t i o n s o f M a t h e m a t i c s a t t h e E n d o f t h e S e m e s t e r . A g a i n , a s w i d r t h e b e g i n n i n g " W h a t I s M a d r e m a t i c s ? " j o u r n a l e n t r i e s , t h e r e w a s n o t a l o t w r i t t e n a b o u t r e p r e s e n t a t i o n s i n t h e fi n a l " W h a t I s M a d r e m a t i c s ? " j o u r n a l e n t r i e s . O n l y t w o o f t h e 3 0 j o u r n a l e n t r i e s i n c l u d e d a n y m e n t i o n o f a n y r e p r e s e n t a t i o n s , a n d d r e y b o d r w r o t e s o m e d r i n g t o t h e e f f e c t d r a t m a d r w a s n o t j u s t d r a t . O n e s t u d e n t w r o t e , " I h a v e l e a r n e d t h a t m a d r i s 9 4 A 7 \ m s 6 8 ; ? ” { f r a u d " m F i g u r e 1 6 : B e g i n n i n g M a t h C o n c e p t M a p o f S t u d e n t 3 3 m u c h m o r e t h a n n u m b e r s a n d e q u a t i o n s , " f o l l o w e d b y a l i s t o f d r i n g s t h e s t u d e n t d r o u g h t i t i s . T h e o t h e r s t u d e n t w r o t e , " M a t h i s n o t a b u n c h o f e q u a t i o n s d r a t I s o l v e j u s t b e c a u s e I c a n . " A s w a s t h e c a s e w i t h t h e b e g i n n i n g c o n c e p t m a p s , t h e r e w a s m o r e i n f o r m a t i o n r e l a t e d t o t h e s t u d e n t s ' c o n c e p t i o n s o f r e p r e s e n t a t i o n s o f m a t h e m a t i c s i n t h e fi n a l c o n c e p t m a p s t h a n d r e r e w a s i n t h e fi n a l " W h a t I s M a t h e m a t i c s ? " j o u r n a l e n t r i e s . O v e r a l l d r e r e w a s a l i t t l e l e s s a t t e n t i o n t o r e p r e s e n t a t i o n s i n t h e fi n a l c o n c e p t m a p s t h a n t h e r e w a s i n t h e b e g i n n i n g m a p s , b u t n o t a l o t . E l e v e n s t u d e n t s i n c l u d e d t h e w o r d " n u m b e r s , " b u t s e v e n a d d i t i o n a l s t u d e n t s i n c l u d e d d i f f e r e n t t y p e s o f n u m b e r s ( e . g . , " w h o l e n u m b e r s , " " r e a l , " " n o n - r e a l , " " n e g a t i v e , " " p o s i t i v e , " " e v e n , " " o d d , " " r a t i o n , " " i r r a t i o n a l , " " i m a g i n a r y " ) . T h e m o s t f r e q u e n t l y i n c l u d e d t y p e o f n u m b e r w a s " w h o l e n u m b e r s " w i t h n i n e o c c u r r e n c e s f o l l o w e d b y " r e " a n d " i r r a t i o n a l " w i t h f o u r o c c u r r e n c e s e a c h . T h e o t h e r i t e m s t h a t w e r e r e l a t e d t o r e p r e s e n t a t i o n s i n c l u d e d i n t h e fi n a l c o n c e p t 9 5 m a p s w e r e " f o r m u l a s " w i t h s i x o c c u r r e n c e s , " w o r d / s t o r y p r o b l e m s " a n d " e q u a t i o n s " w i d r f o u r o c c u r r e n c e s , " f u n c t i o n s " w i t h d r r e e o c c u r r e n c e s , " s t e p s , " " a l g o r i d r m s , " " v a r i a b l e s , " " s o l u t i o n s , " " t h e o r e m s , " " s y m b o l s , " a n d " o p e r a t i o n s " w i t h t w o o c c u r r e n c e s e a c h , a n d t h e f o l l o w i n g w i t h o n e o c c u r r e n c e e a c h " p r o b l e m s , " " x , " " y , " " u n k n o w n s , " " r i fl e s , " " d r e o r i e s , " a n d " p r o c e d u r e s . " A s w a s t h e c a s e w i d r t h e b e g i n n i n g c o n c e p t m a p s , 2 2 s t u d e n t s h a d a t l e a s t o n e i t e m r e l a t e d t o r e p r e s e n t a t i o n s o n t h e i r m a p . I n t e r e s t i n g l y , o n l y 1 3 s t u d e n t s i n c l u d e d s o m e d r i n g a b o u t r e p r e s e n t a t i o n s i n b o t h d r e i r b e g i n n i n g a n d fi n a l c o n c e p t m a p s . T h e o d r e r n i n e s t u d e n t s w h o i n c l u d e d s o m e d r i n g e a c h t i m e w e r e a d i f f e r e n t s e t o f s t u d e n t s . I n t h e f i n a l c o n c e p t m a p s , t h e r e w e r e s i x s t u d e n t s w h o i n c l u d e d t h r e e o r m o r e i t e m s r e l a t e d t o r e p r e s e n t a t i o n s a s o p p o s e d t o 1 5 s t u d e n t s i n t h e b e g i n n i n g m a p s . C h a n g e s i n S t u d e n t s ' C o n c e p t i o n s o f t h e R e p r e s e n t a t i o n s o f M a t h e m a t i c s . T h e r e w a s n o t a l o t o f d i f f e r e n c e i n t h e t y p e s o f r e p r e s e n t a t i o n s t h e s t u d e n t s n o t e d a t t h e b e g i n n i n g o f t h e s e m e s t e r a s o p p o s e d t o t h e e n d o f t h e s e m e s t e r . F o r s o m e r e a s o n , d r e r e w a s m o r e a t t e n t i o n t o t h e d i f f e r e n t t y p e s o f n u m b e r i n t h e fi n a l c o n c e p t m a p s t h a n d r e r e w a s i n t h e b e g i n n i n g c o n c e p t m a p s . O n e t h i n g d r a t s e e m e d d i f f e r e n t i n t h e " W h a t I s M a d r e m a t i c s ? " j o u r n a l e n t r i e s i s t h a t w h i l e i n b o d r t h e b e g i n n i n g a n d fi n a l s e t s t h e r e w a s n ' t a l o t w r i t t e n a b o u t r e p r e s e n t a t i o n s , i n t h e fi n a l s e t , t h e t w o s t u d e n t s w h o w r o t e a n y a n r e l a t e d t o r e p r e s e n t a t i o n s b o d r w r o t e s o m e d r i n g t o t h e e f f e c t t h a t m a t h w a s m o r e t h a n t h a t . A g a i n , t h e s t u d e n t s w e r e n o t s p e c i fi c a l l y a s k e d t o l i s t o r w r i t e a b o u t t h e w a y s m a t h e m a t i c s i s r e p r e s e n t e d , s o t h e i n f o r m a t i o n t h a t w e d o h a v e a b o u t d r e i r c o n c e p t i o n s o f r e p r e s e n t a t i o n s i s o n l y a g l i m p s e o f t h e g r o u p a s a w h o l e . C h a r a c t e r i s t i c s T h e d a t a f r o m t h i s s t u d y p r o v i d e s s o m e i n f o r m a t i o n a b o u t t h e s t u d e n t s ' c o n c e p t i o n s o f t h e c h a r a c t e r i s t i c s o f m a d r e m a t i c s . T h e r e w e r e t h r e e i t e m s o n t h e 9 6 M a d r e m a t i c s I n v e n t o r y t h a t w e r e r e l a t e d t o s t u d e n t s ' c o n c e p t i o n s i n t h i s a r e a . T h e o d r e r d a t a s o u r c e s a l s o p r o v i d e d s o m e i n f o r m a t i o n . H o w e v e r , b e c a u s e o f t h e o p e n - e n d e d n a t u r e o f t h e " W h a t I s M a t h e m a t i c s ? " j o u r n a l e n t r i e s a n d t h e c o n c e p t m a p s , a n d t h e f a c t d r a t t h e s t u d e n t s w e r e n o t s p e c i f i c a l l y a s k e d a b o u t h o w d r e y w o u l d c h a r a c t e r i z e m a d r e m a t i c s , t h e r e i s n o t a g r e a t d e a l o f i n f o r m a t i o n f r o m t h e s e s o u r c e s . I t w o u l d n o t b e u n e x p e c t e d f o r s t u d e n t s t o d r i n k o f c h a r a c t e r i s t i c s o f m a t h e m a t i c s w h e n a s k e d t h e q u e s t i o n , " W h a t i s m a d r e m a t i c s ? " , b u t i t w o u l d h a v e b e e n m o r e l i k e l y d r a t t h e y w o u l d a n s w e r w i d r c h a r a c t e r i s t i c s i f d r e y w e r e a s k e d t o d e s c r i b e m a t h e m a t i c s o r a s k e d t h e q u e s t i o n , " W h a t i s m a d r e m a t i c s l i k e ? " S t u d e n t s ' C o n c e p t i o n s o f t h e C h a r a c t e r i s t i c s o f M a t h e m a t i c s a t t h e B e g i n n i n g o f t h e S e m e s t e r . T h e r e w e r e t h r e e i t e m s o n t h e M a d r e m a t i c s I n v e n t o r y t h a t w e r e r e l a t e d t o t h e c h a r a c t e r i s t i c s o f m a t h e m a t i c s . T h e y w e r e i t e m s 4 , " I d r i n k o f m a t h e m a t i c s a s a s e t o f i s o l a t e d f a c t s t h a t n e e d t o b e m e m o r i z e d ; " 1 1 , " M a t h e m a t i c s i s s o m e d r i n g t h a t n o t e v e r y o n e i s a b l e t o u n d e r s t a n d ; " a n d 1 7 , " M a d r e m a t i c s i s s o m e d r i n g a t w h i c h e v e r y o n e c a n b e s u c c e s s f u l . " W h e n t h e s t u d e n t s t o o k t h i s i n v e n t o r y o n t h e fi r s t d a y o f c l a s s , a s a g r o u p , t h e y d i d n ' t s h o w a s t r o n g c o m m i t m e n t t o a g r e e i n g o r d i s a g r e e i n g w i d r a n y o f d r e s e s t a t e m e n t s . T h e m e a n s f o r e a c h o f t h e s e s t a t e m e n t s w e r e a l l c l o s e t o 3 " s o m e w h a t l i k e m e . " T h e y w e r e 2 . 4 8 , 2 . 8 6 , a n d 3 . 2 0 7 , r e s p e c t i v e l y . T h e y w e r e a l l l e a n i n g s l i g h t l y i n t h e d i r e c t i o n d r a t w o u l d b e m o r e c o n s i s t e n t w i t h a c o n s t r u c t i v i s t v i e w , b u t t h e y w e r e a l l v e r y c l o s e t o t h e n o n c o m m i t t a l 3 . ( I n a d d i t i o n t o d e s c r i b i n g a c h a r a c t e r i s t i c o f m a t h [ i . e . , i t ’ s s o m e d r i n g a l l c a n o r c a n n o t l e a r n ] , i t e m s 1 1 a n d 1 7 r r r i g h t a l s o b e s e e n a s t e l l i n g u s a b o u t h o w t h e s t u d e n t s s e e t h e r e l a t i o n s h i p b e t w e e n p e o p l e a n d m a d r . ) T h e c o n c e p t m a p s a l s o c o n t a i n e d s o m e i n f o r m a t i o n a b o u t w h a t t h e s t u d e n t s c o n s i d e r e d t o b e c h a r a c t e r i s t i c s o f m a d r e m a t i c s . T h e m o s t c o m m o n 9 7 c h a r a c t e r i s t i c i n c l u d e d i n t h e b e g i n n i n g c o n c e p t m a p s w a s d r a t m a d r h a s " o n e r i g h t a n s w e r . " F i v e s t u d e n t s i n c l u d e d t h a t i n t h e i r b e g i n n i n g c o n c e p t m a p s . O d r e r w o r d s o r p h r a s e s i n c l u d e d i n t h e b e g i n n i n g c o n c e p t m a p s r e l a t e d t o t h i s i d e a w e r e t h a t t h e r e w e r e " c o n c r e t e a n s w e r " a n d " r i g h t a n d w r o n g w a y s . " O d r e r c h a r a c t e r i s t i c s i n t h e b e g i n n i n g c o n c e p t s ( w i d r o n e o c c u r r e n c e e a c h ) w e r e " l e f t - b r a i n e d , " " f o r e i g n l a n g u a g e , " " n o t s i m i l a r t o E n g l i s " " t a n g i b l e , " a n d " a b s t r a c t . " I n t h e b e g i n n i n g c o n c e p t m a p s , d r e r e w e r e 1 1 s t u d e n t s w h o i n c l u d e d a t l e a s t o n e t h i n g d r a t c o u l d b e c o n s i d e r e d a c h a r a c t e r i s t i c o f m a d r e m a t i c s . W e c a n a l s o l e a r n a l i t t l e a b o u t t h e s t u d e n t s ’ c o n c e p t i o n s o f t h e c h a r a c t e r i s t i c s o f m a t h e m a t i c s f r o m d r e i r " e r a t l s M a d r e m a t i c s ? " j o u r n a l e n t r i e s . I n t h e b e g i n n i n g " W h a t I s M a d r e m a t i c s ? " j o u r n a l e n t r i e s , t h e s t u d e n t s w r o t e a b o u t t h r e e m a i n c h a r a c t e r i s t i c s . O n e w a s t h e i d e a d r a t m a d r e m a t i c s i s l i k e a l a n g u a g e a s i n t h e c a s e o f t h e s t u d e n t w h o w r o t e , " F o r s o m e p e o p l e , m a d r i s a l a n g u a g e " o r t h e s t u d e n t w h o w r o t e , " I n m y o p i n i o n , m a t h e m a t i c s i s a f o r e i g n l a n g u a g e . " F i v e s t u d e n t s w r o t e o f m a d r e m a t i c s a s b e i n g a l a n g u a g e . T h e s e c o n d c h a r a c t e r i s t i c o f m a t h e m a t i c s w r i t t e n a b o u t b y f o u r s t u d e n t s i n t h e b e g i n n i n g " W h a t I s M a t h e m a t i c s ? " j o u r n a l e n t r i e s w a s t h e i d e a t h a t m a d r e m a t i c s i s s o m e d r i n g t h a t b u i l d s o n p r e v i o u s k n o w l e d g e . O n e s t u d e n t w r o t e , " M a d r i s o f t e n a b o u t s k i l l s n e c e s s a r y t o m a s t e r c o n c e p t s . T h e s e s k i l l s a r e u s u a l l y b u i l t u p o n e a c h o t h e r s o d r a t i f o n e i s n o t m a s t e r e d , d r e n i t w i l l b e v e r y d i f fi c u l t t o u n d e r s t a n d t h e n e x t . " A n o d r e r s t u d e n t w r o t e a b o u t t h i s i d e a t h i s w a y , " T h r o u g h m a d r , w e c a n b u i l d o n o n e p r o b l e m a n d k e e p o n b u i l d i n g t o d i s c o v e r n e w i d e a s , n e w s o l u t i o n s , a n d n e w f o r m u l a s . " O n e s t u d e n t w r o t e a b o u t t h e n e e d t o u n d e r s t a n d " b a s i c m a d r " i n o r d e r t o u n d e r s t a n d " u p p e r - l e v e l m a t h " w i t h t h i s s e n t e n c e : " U n d e r s t a n d i n g b a s i c m a t h c o n c e p t s i s t h e f r a m e w o r k f o r u n d e r s t a n d i n g a n d s u c c e e d i n g i n u p p e r - l e v e l m a t h c o u r s e s . " T h e o n l y o t h e r c h a r a c t e r i s t i c o n e o t h e r s t u d e n t w r o t e a b o u t w a s d r a t " [ t l h e r e i s n o l e e w a y f o r 9 8 m i s t a k e s i n m a t h . " I t i s i n t e r e s t i n g t o n o t e t h a t a l l o f t h e s t u d e n t s w h o w r o t e a n y c h a r a c t e r i s t i c s o f m a t h e m a t i c s h a d a n e g a t i v e a t t i t u d e t o w a r d m a t h e m a t i c s ( b a s e d o n t h e i r o w n d e c l a r a t i o n a n d o t h e r m e a s u r e s ) . S t i l l , w e c a n ' t a s s u m e t h a t t h e y c o n s i d e r e d t h e c h a r a c t e r i s t i c s t h e y w r o t e a b o u t a s s o m e t h i n g n e g a t i v e . T h e y m a y h a v e s e e n t h e m a s a n e u t r a l d i s t i n c t i o n . T h e t h i r d c h a r a c t e r i s t i c o f m a t h e m a t i c s t h e s t u d e n t s w r o t e a b o u t w a s t h a t i t i s c o m p l e x — o r t h a t i t c a n b e b o t h s i m p l e a n d c o m p l e x . F o r e x a m p l e , o n e s t u d e n t w r o t e , " M a t h c a n b e v e r y s i m p l e o r v e r y c o m p l e x d e p e n d i n g o n t h e l e v e l y o u ' r e w o r k i n g w i t h o r t h e r e a s o n t h a t y o u a r e u s i n g i t . " A n o t h e r s t u d e n t w r o t e , " M a t h c a n b e b a s i c , a n d i t c a n a l s o b e i n c r e d i b l y c o m p l e x d e p e n d i n g o n t h e p r o b l e m . " S t u d e n t s ' C o n c e p t i o n s o f t h e C h a r a c t e r i s t i c s o f M a t h e m a t i c s a t t h e E n d o f t h e S e m e s t e r . F o r t h e i t e m s i n t h e M a t h e m a t i c s I n v e n t o r y r e l a t e d t o c h a r a c t e r i s t i c s , t h e r e w e r e s l i g h t c h a n g e s i n t h e d i r e c t i o n t h a t i s m o r e c o n s i s t e n t w i t h a c o n s t r u c t i v i s t v i e w o f m a t h e m a t i c s . N o n e o f t h e s e c h a n g e s w e r e q u i t e s t a t i s t i c a l l y s i g n i f i c a n t a n d m a y h a v e b e e n j u s t a r e s u l t o f c h a n c e , b u t t h e a p p a r e n t t r e n d i s s t i l l e n c o u r a g i n g . ( S e e T a b l e 3 . ) T a b l e 3 : I t e m s R e l a t i n g t o C h a r a c t e r i s t i c s o f M a t h e m a t i c s f r o m t h e M a t h e m a t i c s I n v e n t o r y v a l u e _ _ n e e d t o b e m e m o r i z e d . 1 1 . M a t h e m a t i c s i s s o m e t h i n g t h a t n o t e v e r y o n e i s a b l e t o 2 . 8 6 2 . 3 4 0 . 1 1 L a n d e r s t a n d . 1 7 . M a t h e m a t i c s i s s o m e t h i n g a t w h i c h e v e r y o n e c a n b e 3 . 2 0 7 3 . 4 8 0 . 3 1 s u c c e s s f u l . T h e r e s e e m e d t o b e l e s s o f a n e m p h a s i s o n c h a r a c t e r i s t i c s b y t h e g r o u p i n t h e f i n a l c o n c e p t m a p s t h a n t h e r e w a s i n t h e b e g i n n i n g m a p s . W h e r e a s f i v e s t u d e n t s i n c l u d e d t h e i d e a t h a t m a t h h a s " o n e r i g h t a n s w e r " i n t h e i r b e g i n n i n g c o n c e p t m a p s , o n l y o n e s t u d e n t i n c l u d e d i t i n h e r fi n a l m a p . T w o s t u d e n t s w r o t e 9 9 " r i g h t a n d w r o n g a n s w e r s " o n b o t h t h e b e g i n n i n g a n d f i n a l m a p s . T h e o t h e r c h a r a c t e r i s t i c s t h e s t u d e n t s i n c l u d e d i n t h e fi n a l c o n c e p t m a p s w e r e " l i m i t e d , " " l e f t - b r a i n e d t h i n k i n g , " " s i m p l e t o c o m p l e x , " " s t e p s b u i l d u p o n e a c h o t h e r " ( o n t w o m a p s ) , " i n t e r d e p e n d e n t , " " e x a c t s c i e n c e , " a n d " j u s t b e c a u s e . " T h e s e h a d o n e o c c u r r e n c e e a c h , e x c e p t a s n o t e d . I n t h e b e g i n n i n g c o n c e p t m a p s , t h e r e w e r e 1 1 s t u d e n t s ( 3 2 . 4 % ) w h o i n c l u d e d a t l e a s t o n e t h i n g t h a t c o u l d b e c o n s i d e r e d a c h a r a c t e r i s t i c o f m a t h e m a t i c s , b u t i n t h e fi n a l c o n c e p t m a p s , o n l y t h r e e s t u d e n t s ( 8 . 8 % ) i n c l u d e d a n y c h a r a c t e r i s t i c s . I n b o t h t h e b e g i n n i n g a n d fi n a l c o n c e p t m a p s , a l l t h e c h a r a c t e r i s fi o s t h e s t u d e n t s i n c l u d e d w o u l d p r o b a b l y b e c o n s i d e r e d n e g a t i v e o r n e u t r a l . I t ’ 3 h a r d t o k n o w f o r c e r t a i n , t h o u g h . F o r e x a m p l e , s o m e m i g h t s e e m a t h a s h a v i n g o n e r i g h t a n s w e r a s s o m e t h i n g p o s i t i v e w h i l e o t h e r s s e e i t a s s o m e t h i n g n e g a t i v e . H o w e v e r , b a s e d o n t h e o t h e r i n f o r m a t i o n I h a v e a b o u t t h e s t u d e n t s w h o i n c l u d e d t h o s e c h a r a c t e r i s t i c s , I t h i n k t h e y t h o u g h t o f t h e m a s a t l e a s t m o s t l y n e g a t i v e . I n t h e f i n a l " W h a t I s M a t h e m a t i c s ? " j o u r n a l e n t r i e s , e i g h t s t u d e n t s w r o t e s o m e t h i n g t h a t c o u l d b e c o n s i d e r e d r e l a t e d t o t h e c h a r a c t e r i s t i c s o f m a t h e m a t i c s . T h e s e s t u d e n t s w r o t e a b o u t f o u r d i f f e r e n t c h a r a c t e r i s t i c s . T w o s t u d e n t s w r o t e a b o u t t h e i d e a o f m a t h b e i n g s o m e t h i n g t h a t b u i l d s o n i t s e l f . ( T h i s i s s o m e t h i n g t h a t t h r e e s t u d e n t s w r o t e a b o u t i n t h e b e g i n n i n g " W h a t I s M a t h e m a t i c s ? " j o u r n a l e n t r i e s . ) T h e s e w e r e t h e s a m e t w o s t u d e n t s w h o i n c l u d e d t h a t i d e a i n t h e i r c o n c e p t m a p s . O n e . o f t h e m w r o t e , " M a t h s k i l l s a n d c o n c e p t s a r e o f t e n i n t e r d e p e n d e n t a n d b u i l d u p o n o n e a n o t h e r . I t i s a g i a n t p u z z l e t h a t p e o p l e m u s t w o r k t o l e a r n h o w t o fi t t o g e t h e r . " T h e o t h e r o n e w r o t e , " M a t h i s s o m e t h i n g t h a t b u i l d s o n i t s e l f . I n o r d e r t o u n d e r s t a n d o n e c o n c e p t y o u n e e d t o u n d e r s t a n d t h e c o n c e p t b e f o r e . T h e r e f o r e , m a t h i s i n t e r r e l a t e d a n d c o n n e c t e d t h r o u g h o u t . " T h r e e p e o p l e w r o t e a b o u t t h e i d e a o f m a t h h a v i n g a r i g h t a n s w e r . I n t e r e s t i n g l y , i n t h e s e fi n a l j o u r n a l e n t r i e s , e a c h o f t h e m a l s o w r o t e a b o u t t h e 1 0 0 i d e a t h a t t h e c o r r e c t a n s w e r c a n b e f o u n d t h r o u g h d i f f e r e n t m e t h o d s . O n e s t u d e n t w r o t e , " M a t h i s m e m o r i z i n g a b u n c h o f f a c t s a n d d o i n g s e v e r a l m e t h o d s t o g e t a t t h e c o r r e c t a n s w e r . " A n o t h e r s t u d e n t w r o t e , " M a t h e m a t i c s a l w a y s l e a d s t o a c e r t a i n a n s w e r — a c o n c r e t e a n s w e r u n e r m a n y o t h e r s u b j e c t s . O n e t h i n g t h a t I fi n d f a s c i n a t i n g a b o u t m a t h i s t h a t m a n y t i m e s y o u c a n a c h i e v e t h e c o r r e c t a n s w e r t h r o u g h d i f f e r e n t w a y s . " F e l i c i a , o n e o f t h e f o c u s s t u d e n t s , a l s o e x p r e s s e d a s i m i l a r i d e a . S h e w a s t h e o n l y o n e w h o i n c l u d e d t h a t i d e a i n b o t h h e r m a t h c o n c e p t m a p a n d h e r j o u r n a l e n h ' y . T w o s t u d e n t s w r o t e a b o u t t h e a c c e s s i b i l i t y o f l e a r n i n g m a t h . O n e w r o t e , " T h o u g h m a t h i s c h a l l e n g i n g , i t i s a s u b j e c t t h a t i s a c c e s s i b l e t o a n y o n e w h o i s t a u g h t c o n s t r u c t i v e l y . " T h e o t h e r r e l a t e d q u o t e w a s f r o m a s t u d e n t w h o w r o t e w h a t s h e b e l i e v e d w a s a c o n c e p t i o n o f a c h a r a c t e r i s t i c h e l d b y s o m e , b u t i t i s n ' t c l e a r w h e t h e r i t i s o n e o f h e r o w n c o n c e p t i o n s : " I t i s o f t e n t h o u g h t o f a s e x t r e m e l y d i f fi c u l t o r s o m e t h i n g t h a t o n l y c e r t a i n p e o p l e c a n d o . S o m e e v e n t h i n k t h a t i t i s a n i n h e r i t e d t r a i t — t h a t i f t h e i r m o m o r d a d w e r e b a d a t m a t h , t h e n t h a t i s t h e i r e x c u s e f o r n o t b e i n g h i g h l y s u c c e s s f u l w i t h m a t h . " I n t h i s c a s e , t h e w r i t e r i s a v o i d i n g t a k i n g r e s p o n s i b i l i t y f o r t h i s i d e a , b u t s h e i s n ' t d i s a v o w i n g i t . I t m a y b e s o m e t h i n g s h e e x p e r i e n c e d a n d s t i l l b e l i e v e s o r n o l o n g e r b e l i e v e s . O r , i t m a y b e s o m e t h i n g s h e h a s o b s e r v e d o r h e a r d f r o m o t h e r s , a n d w h e t h e r s h e a g r e e s o r n o t , s h e r e c o g n i z e s t h a t t h e r e a r e t h o s e w h o h a v e t h i s c o n c e p t i o n . C h a n g e s i n S t u d e n t s ' C o n c e p t i o n s o f t h e C h a r a c t e r i s t i c s o f M a t h e m a t i c s . I n s u m m a r y , i t ' s h a r d t o i n f e r a l o t a b o u t h o w t h e s t u d e n t s ' c o n c e p t i o n s o f t h e c h a r a c t e r i s t i c s m a y o r m a y n o t h a v e c h a n g e d o v e r t h e c o u r s e o f t h e s e m e s t e r d u e t o t h e s m a l l a m o u n t o f d a t a . H o w e v e r , i t a p p e a r e d i n t h e fi n a l c o n c e p t m a p s a n d " W h a t I s M a t h e m a t i c s ? " j o u r n a l e n t r i e s t h a t t h e r e w a s l e s s o f a f o c u s o n w h a t s o m e s e e m e d t o c o n s i d e r a s n e g a t i v e c h a r a c t e r i s t i c s o f m a t h t h a n t h e r e w a s a t 1 0 1 t h e b e g i n n i n g o f t h e s e m e s t e r . T h i s m a y h a v e b e e n a r e s u l t o f t h e s t u d e n t s b e g i n n i n g t o d o u b t t h e i r n e g a t i v e s t e r e o t y p e s o f m a t h e m a t i c s b u t h a v i n g n o t h i n g t o p u t i n t h e i r p l a c e , o r i t m a y h a v e s i m p l y b e e n a r e s u l t o f t h e m s h i f t i n g t h e i r a t t e n t i o n t o o t h e r a s p e c t s o f m a t h e m a t i c s . I t a l s o s e e m e d t h a t s o m e m o d i fi e d t h e i r b e l i e f t h a t m a d r e m a t i c s h a s o n l y o n e r i g h t a n s w e r t o i n c l u d e t h e i d e a t h a t t h e r i g h t a n s w e r c a n b e f o u n d i n m u l t i p l e w a y s . T h e r e w a s a l s o s o m e e v i d e n c e f r o m t h e M a t h e m a t i c s I n v e n t o r y i t e m s 1 1 a n d 1 7 ( s e e T a b l e X X o n p a g e X X ) a n d f r o m t h e fi n a l " W h a t I s M a t h e m a t i c s ? " j o u r n a l e n t r i e s t h a t t h e r e w a s a n i n c r e a s e i n t h e b e l i e f t h a t m a t h e m a t i c s i s s o m e t h i n g t h a t c a n b e l e a r n e d b y e v e r y o n e . U s e f u l n e s s o f M a t h e m a t i c s A s i g n i fi c a n t p a r t o f t h e s t u d e n t s ' c o n c e p fi o n s o f m a t h e m a t i c s w a s t h e i r - i d e a s a b o u t w h e t h e r a n d h o w m a t h e m a t i c s i s u s e f u l i n t h i s w o r l d . I n t h e f o l l o w i n g s e c t i o n s , I w i l l e x a m i n e t h e c o n c e p t i o n s o f t h e s t u d e n t s r e l a t e d t o t h i s a r e a . F o u r c a t e g o r i e s e m e r g e d f r o m m y a n a l y s i s o f t h e d a t a : g e n e r a l u s e f u l n e s s o f m a t h e m a t i c s , p e r s o n a l u t i l i t y , i n d i r e c t p e r s o n a l u t i l i t y , a n d u t i l i t y f o r o t h e r s . T h e c a t e g o r y g e n e r a l u s e f u l n e s s o f m a t h e m a t i c s i s f o r c o m m e n t s t h e s t u d e n t s m a k e a b o u t t h e u s e f u l n e s s o f m a t h e m a t i c s w i t h o u t g i v i n g s p e c i fi c e x a m p l e s o f h o w i t i s u s e f u l . F o r e x a m p l e , i f a s t u d e n t w r o t e s i m p l y , ” M a t h e m a t i c s i s u s e f u l ; ” t h a t c o n c e p t i o n w o u l d b e i n c l u d e d i n t h e g e n e r a l u s e f u l n e s s o f m a t h e m a t i c s c a t e g o r y . P e r s o n a l u t i l i t y r e f e r s t o t h e w a y t h a t t h e s e s t u d e n t s r e c o g n i z e t h a t t h e y u s e m a t h t h e m s e l v e s s u c h a s i n b a l a n c i n g t h e i r c h e c k b o o k , c o o k i n g , o r fi g u r i n g a d i s c o u n t w h e n s h o p p i n g . I n d i r e c t p e r s o n a l u t i l i t y r e f e r s t o t h e w a y t h e s e s t u d e n t s r e c o g n i z e t h a t m a t h a f f e c t s t h e i r l i v e s , b u t f o r w h i c h t h e y d i d n ' t d o t h e m a t h . F o r e x a m p l e , m a n y s t u d e n t s r e c o g n i z e d t h a t m a t h w a s u s e d i n s u c h t h i n g s a s t h e c o n s t r u c t i o n o f b u i l d i n g s , e l e v a t o r s , a n d t r a f f i c l i g h t s , a n d t h e y a c k n o w l e d g e d 1 0 2 t h a t t h e y u s e t h o s e t h i n g s . B u t , t h e y d i d n ' t d o t h e m a t h a s s o c i a t e d w i t h t h e i r c o n s t r u c t i o n ; s o , t h e u s e f u l n e s s o f m a t h w a s i n d i r e c t f o r t h e m . U t i l i t y f o r o t h e r s r e f e r s t o t h e i d e a t h a t t h e y r e c o g n i z e m a t h a s s o m e t h i n g t h a t i s u s e d i n t h e l i v e s o f o t h e r s s u c h a s b y e n g i n e e r s , d o c t o r s , a r c h i t e c t s , c a r p e n t e r s , a n d s c i e n t i s t s , b u t a g a i n i t ' s n o t m a t h t h a t t h e y d o t h e m s e l v e s . M o r e e x a m p l e s a n d e l a b o r a t i o n o f t h e s e a r e a s f o l l o w . S t u d e n t s ' C o n c e p t i o n s o f t h e G e n e r a l U s e f u l n e s s o f M a t h e m a t i c s a t t h e B e g i n n i n g o f t h e S e m e s t e r . A t t h e b e g i n n i n g o f t h e s e m e s t e r , t h e s t u d e n t s , a s a g r o u p , h e l d a f a i r l y s t r o n g c o n c e p t i o n t h a t m a t h e m a t i c s w a s s o m e t h i n g t h a t i s g e n e r a l l y u s e f u l i n t h e w o r l d . T h i s c a n b e s e e n b y t h e i r r e s p o n s e s t o t h e t h r e e i t e m s i n t h e M a t h e m a t i c s I n v e n t o r y t h a t w e r e r e l a t e d t o t h e u s e f u l n e s s o f m a t h e m a t i c s i n a g e n e r a l w a y . T h e fi r s t w a s i t e m 3 , " I t h i n k m a t h e m a t i c s i s a n i m p o r t a n t s u b j e c t t h a t i s u s e f u l i n l i f e . " T h e m e a n r e s p o n s e t o t h a t i t e m o n t h e fi r s t d a y o f c l a s s w a s 3 . 9 6 6 , i n d i c a t i n g f a i r l y s t r o n g a g r e e m e n t w i t h t h e s t a t e m e n t . T h e s e c o n d i t e m f r o m t h e M a t h e m a t i c s I n v e n t o r y r e l a t e d t o t h e u s e f u l n e s s o f m a t h e m a t i c s w a s i t e m 5 , " I t h i n k m a t h e m a t i c s i s s o m e t h i n g v e r y m u c h r e l a t e d t o t h i s w o r l d . " T h e m e a n r e s p o n s e f o r t h a t i t e m o n t h e fi r s t d a y o f c l a s s w a s 3 . 9 3 1 w h i c h a l s o i n d i c a t e d f a i r l y s fi ' o n g a g r e e m e n t a n d w a s v e r y s i m i l a r t o t h e m e a n f o r i t e m 3 . T h e fi n a l i t e m f r o m t h e M a t h e m a t i c s I n v e n t o r y t h a t w a s r e l a t e d t o t h e u s e f u l n e s s o f m a t h e m a t i c s w a s i t e m 1 3 , " T h e o n l y p e o p l e w h o r e a l l y n e e d t o u n d e r s t a n d m a t h a r e t h o s e w h o c h o o s e a c a r e e r w h i c h r e q u i r e s m a t h s k i l l s . " T h i s i t e m i s l e s s o b v i o u s l y r e l a t e d t o t h e g e n e r a l u s e f u l n e s s o f m a t h e m a t i c s , b u t I i n c l u d e d i t i n t h i s s e c t i o n b e c a u s e - i t i s r e l a t e d t o t h e i d e a t h a t m a t h e m a t i c s i s u s e f u l f o r p e o p l e g e n e r a l l y — n o t j u s t f o r t h o s e w h o u s e i t i n t h e i r j o b s . T h e m e a n r e s p o n s e f o r t h a t i t e m o n t h e fi r s t d a y o f c l a s s w a s 1 . 5 1 7 , i n d i c a t i n g q u i t e s t r o n g d i s a g r e e m e n t w i t h t h e s t a t e m e n t . 1 0 3 T h i s g e n e r a l c o n c e p t i o n t h a t m a t h e m a t i c s i s u s e f u l w a s a l s o e v i d e n t i n o t h e r s o u r c e s o f d a t a . F o r e x a m p l e , i n t h e b e g i n n i n g g r o u p o f " W h a t I s M a d r e m a t i c s ? " j o u r n a l e n t r i e s , 2 1 o f t h e 3 5 s t u d e n t s ( 6 0 % ) w h o w r o t e t h e e n t r i e s w r o t e a b o u t t h e u s e f u l n e s s o f m a t h e m a t i c s . M o s t o f t h e m w r o t e s p e c i fi c e x a m p l e s o f h o w m a t h w a s u s e d , b u t a f e w o f t h e i r i d e a s w e r e j u s t a b o u t t h e g e n e r a l u s e f u l n e s s o f m a t h . F o r e x a m p l e , o n e s t u d e n t w r o t e , " M a t h i s t h e b a s i s f o r a l m o s t e v e r y t h i n g . S i n c e t h e v e r y e a r l i e s t f o r m s o f w r i t i n g , s c i e n c e , m u s i c , a n d e v e n b e f o r e t h a t w e s e e s i g n s o f m a n u s i n g m a t h . M a n a n d m a t h a r e i n e x t r i c a b l y l i n k e d . " A n o t h e r w r o t e s i m p l y , " I r e c o g n i z e t h a t m a t h i s e v e r y w h e r e . " I n t h e b e g i n n i n g m a t h c o n c e p t m a p s , 2 6 o f t h e 3 4 s t u d e n t s ( 7 6 % ) o f t h e s t u d e n t s i n c l u d e d s o m e t h i n g a b o u t t h e u s e f u l n e s s o f m a t h e m a t i c s . A s w a s t h e c a s e w i t h t h e b e g i n n i n g ” W h a t I s M a t h e m a t i c s ? ” j o u r n a l e n t r i e s , m o s t o f w h a t t h e y i n c l u d e d w a s r e l a t e d t o h o w t h e y u s e i t p e r s o n a l l y , b u t s o m e o f i t w a s r e l a t e d t o t h e g e n e r a l u s e f u l n e s s o f m a t h e m a t i c s . T w e n t y - o n e o f t h o s e 2 6 s t u d e n t s h a d a n i t e m t h a t w a s e i t h e r ” e v e r y d a y l i f e ” o r ” r e a l w o r l d " o r ” a p p l i c a t i o n s t o r e a l w o r l d . ” T w o s t u d e n t s h a d t h e i t e m ” n o t j u s t s c h o o l , ” a n d o n e s t u d e n t w r o t e ” a p p l i c a t i o n s . ” M o s t o f t h e s t u d e n t s g a v e s p e c i fi c e x a m p l e s c o n n e c t e d t o t h o s e i t e m s , b u t fi v e s t u d e n t s j u s t h a d t h o s e h e a d e r s ( ” e v e r y d a y l i f e ” o r ” r e a l w o r l d a p p l i c a t i o n s " ) w i t h n o e x a m p l e s . S t u d e n t s ' C o n c e p t i o n s o f t h e G e n e r a l U s e f u l n e s s o f M a t h e m a t i c s a t t h e E n d o f t h e S e m e s t e r . A t t h e e n d o f t h e s e m e s t e r , t h e s t u d e n t s s t i l l h e l d t h e c o n c e p t i o n t h a t m a t h e m a t i c s w a s s o m e d r i n g t h a t i s g e n e r a l l y u s e f u l i n t h e w o r l d , b u t t h e r e w a s e v i d e n c e t o s u g g e s t t h a t t h e d e g r e e t o w h i c h t h e y t h o u g h t m a t h w a s u s e f u l i n c r e a s e d . T h i s c a n b e s e e n m o s t c l e a r l y i n T a b l e 4 w h i c h s h o w s t h e q u e s t i o n s f r o m t h e M a t h e m a t i c s I n v e n t o r y t h a t a r e r e l a t e d t o u s e f u l n e s s o f m a t h e m a t i c s . W h i l e b o t h i t e m n u m b e r 3 , " I t h i n k m a t h e m a t i c s i s a n i m p o r t a n t 1 0 4 s u b j e c t t h a t i s u s e f u l i n l i f e " a n d i t e m n u m b e r 5 , " I t h i n k m a t h e m a t i c s i s s o m e t h i n g v e r y m u c h r e l a t e d t o t h i s w o r l d " h a d q u i t e h i g h b e g i n n i n g m e a n s , t h e fi n a l m e a n s w e r e b o t h s t a t i s t i c a l l y s i g n i fi c a n t l y h i g h e r . T h e fi n a l m e a n f o r i t e m 3 w a s 4 . 3 7 9 , a n d t h e p v a l u e w a s 0 . 0 3 5 . T h e fi n a l m e a n f o r i t e m 5 w a s 4 . 4 1 4 , a n d t h e p v a l u e w a s 0 . 0 1 7 9 . T a b l e 4 : I t e m s R e l a t i n g t o U s e f u l n e s s o f M a t h e m a t i c s f r o m t h e M a t h e m a t i c s I n v e n t o r y , 3 . - L n l i f e . 5 . I t h i n k m a t h e m a t i c s i s s o m e d r i n g v e r y m u c h r e l a t e d t o 3 . 9 3 1 4 . 4 1 4 0 . 0 0 7 9 ‘ t h i s w o r l d . _ 1 3 . T h e o n l y p e o p l e M 1 0 r e a l i g n e d t o u n d e r s t a n d m a t h 1 . 5 1 7 1 . 4 8 3 0 . 8 4 a r e t h o s e w h o c h o o s e a c a r e e r ' c h r e q u i r e s m a t h s k i l l s . " s t a t i s t i c a l l y s i g n i fi c a n t T h e d a t a f r o m t h e ” W h a t I s M a t h e m a t i c s ? ” j o u r n a l e n t r i e s a l s o s u p p o r t s t h e i d e a t h a t t h e r e w a s a n i n c r e a s e i n t h e d e g r e e t o w h i c h t h e s t u d e n t s t h o u g h t o f m a t h e m a t i c s a s g e n e r a l l y u s e f u l . T h e r e w a s m o r e a t t e n t i o n t o t h e u s e f u l n e s s o f m a t h e m a t i c s i n t h e fi n a l " W h a t I s M a t h e m a t i c s ? " j o u r n a l e n t r i e s t h a n t h e r e w a s i n t h e b e g i n n i n g s e t . T w e n t y - e i g h t o f 3 0 s t u d e n t s ( 9 3 % ) i n c l u d e d s o m e t h i n g a b o u t m a t h b e i n g a p a r t o f e v e r y d a y l i f e a n d / o r m a t h b e i n g e v e r y w h e r e . I n f a c t , t h i s w a s t h e i d e a w r i t t e n a b o u t m o s t o f t e n i n t h e s e j o u r n a l e n t r i e s . A f e w s t u d e n t s c l a i m e d a c h a n g e i n t h e i r p e r c e p t i o n o f m a t h e m a t i c s b e i n g " e v e r y w h e r e " s u c h a s t h e s t u d e n t w h o w r o t e , " M a t h i s a b i g p i c t u r e o f s o m e t h i n g t h a t i s e v e r y w h e r e ; i t i s n o l o n g e r a s u b j e c t f o r m e . " A n o t h e r s t u d e n t w r o t e , " F o r m e , t h e m e a n i n g o f m a t h h a s c h a n g e d d r a s t i c a l l o v e r t h e p a s t s e v e r a l m o n t h s . I u s e d t o s e e m a t h a s s o m e b o r i n g ' g t h a t I a l w a y s s t r u g g l e d t o g e t t h r o u g h d u r i n g m y s c h o o l y e a r s . I s a w i t a s j u s t a d d i t i o n , s u b t r a c t i o n , m u l t i p l i c a t i o n , a n d d i v i s i o n . I n e v e r r e a l i z e d h o w m u c h m a t h e m a t i c s w a s t i e d i n t o m y e v e r y d a y l i f e . " O n e m o r e e x a m p l e o f t h i s d e c l a r e d c h a n g e i n p e r c e p t i o n i s t h e s t u d e n t w h o w r o t e t h e f o l l o w i n g : 1 0 5 " I u s e d t o t h i n k t h a t m a t h w a s s o m e t h i n g t h a t w e d i d f o r a n h o u r a d a y i n s c h o o l t h a t c o u l d b e f o r g o t t e n a b o u t a s s o o n a s t h e b e l l r a n g . N o w , m y v i e w s h a v e c h a n g e d . I n s t e a d o f b e i n g s o m e t h i n g t h a t c a n b e e a s i l y f o r g o t t e n , m a t h i s s o m e d r i n g t h a t i s i n v o l v e d i n e v e r y a s p e c t o f m y l i f e . " S o m e s t u d e n t s w r o t e g e n e r a l l y o f t h e u s e f u l n e s s o f m a t h e m a t i c s a n d i t s c o n n e c t i o n t o t h e w o r l d . F o r e x a m p l e , o n e s t u d e n t w r o t e , " M a t h i s a p h e n o m e n o n o f n a t u r e , w h i c h o c c u r s e v e r y w h e r e a n d i n c l u d e s e v e r y t h i n g . . . . T h e s e c l a s s i fi c a t i o n s o f m a t h c o v e r e v e r y a s p e c t o f l i f e . T h e y a l l o w u s t o d e a l w i t h s h a p e s , d i s t a n c e , t i m e , w e i g h t , m o n e y , c a l e n d a r s , m a p s , a r e a , v o l u m e , m u s i c , a n d a m o u n t . T h e y a r e t h e b a s i s o f c o m p u t e r s a n d s c i e n c e . H u m a n s a r e e v e n m a t h e m a t i c a l — n o t o n l y i n t h e s e n s e t h a t w e a r e c a p a b l e o f u n d e r s t a n d i n g m a t h e m a t i c a l c o n c e p t s , b u t i n t h e s e n s e t h a t o u r b o d y f u n c t i o n s a r e m a t h e m a t i c a l . F o r e x a m p l e , w e h a v e a h e a r t r a t e a n d b l o o d p r e s s u r e , a n d w e m o v e b e c a u s e o f f o r c e s ( w h i c h a r e m a t h e m a t i c a l ) w h i c h p u s h a g a i n s t u s . F u r t h e r m o r e , w e e a c h h a v e a s o c i a l s e c u r i t y n u m b e r , s o y o u c o u l d e v e n s a y t h a t o u r i d e n t i t i e s a r e m a t h e m a fi c a l . S o w e c a n c o n c l u d e t h a t m a t h i s c o n s t a n t l y s u r r o u n d i n g u s i n e v e r y a s p e c t o f o u r l i f e a n d w i t h o u t i t n o t h i n g a n d n o b o d y w o u l d e x i s t ! " T h e r e w a s l e s s i n c l u s i o n o f t h e g e n e r a l u s e f u l n e s s o f . m a t h e m a t i c s a t t h e e n d o f t h e s e m e s t e r t h a n t h e r e w a s a t t h e b e g i n n i n g i n t h e m a t h c o n c e p t m a p s , b u t t h e c o n c e p t i o n w a s s t i l l e v i d e n t . F o r s o m e i n d i v i d u a l s t h e r e w a s s o m e c h a n g e i n t h e t y p e a n d a n i n c r e a s e i n t h e a m o u n t o f i t e m s r e l a t i n g t o t h i s a r e a i n t h e i r fi n a l m a t h c o n c e p t m a p s . F o r o t h e r s , i t s e e m e d , u s e f u l n e s s o f m a t h e m a t i c s b e c a m e l e s s p r o m i n e n t a s t h e i r c o n c e p t m a p s w e r e e x p a n d e d t o i n c l u d e o t h e r a s p e c t s o f m a t h e m a t i c s . T h i s m a y b e p a r t i a l l y w h y t h e g e n e r a l u s e f u l n e s s o f m a t h e m a t i c s b e c a m e l e s s v i s i b l e o n t h e c o n c e p t m a p s e v e n w h e n t h e M a t h e m a t i c s I n v e n t o r y s h o w s t h a t t h e y w e r e m o r e c o n v i n c e d o f t h e g e n e r a l u s e f u l n e s s o f m a t h e m a t i c s a t t h e e n d o f t h e s e m e s t e r . A n o t h e r r e a s o n t h e g e n e r a l u s e f u l n e s s o f m a t h e m a t i c s b e c a m e l e s s v i s i b l e o n t h e c o n c e p t m a p s i s b e c a u s e a t t h e e n d o f t h e s e m e s t e r , m o s t o f t h e i t e m s t h e s t u d e n t s i n c l u d e d r e l a t e d t o u s e f u l n e s s o f m a t h e m a t i c s w e r e s p e c i fi c e x a m p l e s r a t h e r t h a n g e n e r a l r e f e r e n c e s . N i n e s t u d e n t s i n c l u d e d ” e v e r y d a y l i f e ” o r ” r e a l w o r l d ” i n t h e i r fi n a l 1 0 6 ‘ c o n c e p t m a p s . O n e s t u d e n t e a c h i n c l u d e d t h e i t e m s ” u s e d i n M g , " I I I I ” f o u n d e v e r y w h e r e , a p p l i c a t i o n t o o u r l i v e s , " a n d “ i n f i n i t e u s e s ” i n t h e i r fi n a l c o n c e p t m a p s . A c o u p l e o f e x a m p l e s o f b e g i n n i n g a n d fi n a l c o n c e p t m a p s w h i c h i l l u s t r a t e t h e s e t y p e s o f c h a n g e s r e l a t e d t o b o t h g e n e r a l a n d s p e c i fi c u s e f u l n e s s o f m a t h e m a t i c s f o l l o w : F i g u r e 1 7 : B e g i n n i n g M a t h C o n c e p t M a p o f S t u d e n t 1 0 O n e e x a m p l e o f u s e f u l n e s s o f m a t h e m a t i c s b e i n g i n c l u d e d i n b o t h t h e b e g i n n i n g a n d fi n a l m a p s , b u t l e s s d o m i n a n t l y i n t h e fi n a l m a p w a s t h e c o n c e p t m a p s o f s t u d e n t 1 0 . H e r b e g i n n i n g c o n c e p t m a p w a s a l m o s t e n t i r e l y a b o u t t h e u s e f u l n e s s o f m a t h e m a t i c s ( S e e F i g u r e 1 7 ) . H e r fi n a l c o n c e p t m a p a l s o c o n t a i n e d 1 0 7 y 1 m / n u r s ' { . m s i ‘ w " e _ M e n g ' w 4 s ( ) . i n e ” o e D W o , . _ ® " d c d fi w ‘ t m " I ' f W ‘ m . , w m a a l ' — e : s W d 6 . . . f a ” u q l m v m s " 3 a ” .w s h o M % 7 "C 3 “ W n . ; W 3 u l : a . . ' n g a g r e a t d e a l a b o u t t h e u s e f u l n e s s o f m a t h e m a t i c s , b u t i t h a d b e e n e x p a n d e d t o i n c l u d e o t h e r a s p e c t s o f m a t h e m a t i c s ( S e e F i g u r e 1 8 ) . M y a r s e + . . , . — _ \ _ _ . w e ” ' 3 “ “ M M } W M F i g u r e X x : E a ] M a t h C o n c e p t M a p o f S t u d e n t 1 0 ‘ i - l — q ; _ . _ _ m e m e s A W { D z - h m \ { T i m u \ \ J \ / F i g u r e 1 9 : B e g i n n i n g M a t h C o n c e p t M a p o f S t u d e n t 3 1 0 8 , ‘ % w x m m ] @ 4 3 3 5 ) W e ” S t u d e n t n u m b e r 3 i s a n e x a m p l e o f a s t u d e n t w h o i n c l u d e d a l i t t l e o f t h e u s e f u l n e s s o f m a t h e m a t i c s i n h i s b e g i n n i n g c o n c e p t m a p b y n o t i n g t w o c a r e e r s , a n a r e a w h e r e m a t h a r e u s e d u n d e r h i s a d v a n c e d m a t h s u b - t o p i c , a n d c o n n e c t i n g " e v e r y d a y l i f e ” t o t h e f o u r b a s i c o p e r a t i o n s ( S e e F i g u r e 1 9 o n t h e p r e v i o u s p a g e ) . A s c a n b e s e e n i n F i g u r e 2 0 , h i s fi n a l c o n c e p t m a p w a s m u c h m o r e c o m p l e x , a n d o n e o f t h e a r e a s t h a t w a s e l a b o r a t e d w a s t h e u s e f u l n e s s o f m a t h e m a t i c s a r e a . 0 8 ! ] A L c g ” . T a . 4 + e m ! ‘ b . F i g u r e 2 0 : E r a ] M a t h C o n c e p t M a p o f S t u d e n t 3 1 0 9 O v e r a l l , a t t h e e n d o f t h e s e m e s t e r , t h e s t u d e n t s s e e m e d t o c o n s i d e r m a t h e m a t i c s a s s o m e t h i n g t h a t i s g e n e r a l l y u s e f u l i n t h e w o r l d , a n d t h e y s e e m e d t o b e l i e v e i t m o r e s t r o n g l y t h a n t h e y d i d a t t h e b e g i n n i n g o f t h e s e m e s t e r . S u m m a r y o f C h a n g e s i n S t u d e n t s ' C o n c e p t i o n s o f t h e G e n e r a l U s e f u l n e s s o f M a t h e m a t i c s . A l t h o u g h t h e s t u d e n t s s e e m e d t o b e l i e v e t h a t m a t h e m a t i c s w a s u s e f u l i n t h i s w o r l d b o t h a t t h e b e g i n n i n g o f t h e s e m e s t e r a n d a t t h e e n d o f t h e s e m e s t e r , t h e r e w a s s o m e e v i d e n c e t h a t s e e m e d t o s u g g e s t t h a t t h e d e g r e e t o w h i c h t h e y t h o u g h t i t w a s u s e f u l o r t h e i r a w a r e n e s s o f h o w i t w a s u s e f u l i n c r e a s e d d u r i n g t h e s e m e s t e r . T h e d a t a s o u r c e t h a t m o s t s t r o n g l y s u p p o r t s t h i s a s s e r t i o n i s t h e M a t h e m a t i c s I n v e n t o r y . A s n o t e d p r e v i o u s l y , t h e r e w e r e t h r e e i t e m s r e l a t e d t o t h e u s e f u l n e s s o f m a t h e m a fi c s i n t h e i n v e n t o r y . F o r t w o o f t h e m , i t e m 3 , " I t h i n k m a t h e m a t i c s i s a n i m p o r t a n t s u b j e c t t h a t i s u s e f u l i n l i f e , " a n d i t e m 5 , " I t h i n k m a t h e m a t i c s i s s o m e d r i n g v e r y m u c h r e l a t e d t o t h i s w o r l d , " t h e m e a n r e s p o n s e s w e r e q u i t e h i g h a t t h e b e g i n n i n g ( 3 . 9 6 6 f o r i t e m 3 a n d 3 . 9 3 1 f o r i t e m 5 ) , b u t t h e m e a n s w e r e s t a t i s t i c a l l y s i g n i fi c a n t l y h i g h e r a t t h e e n d o f t h e s e m e s t e r ( 4 . 3 7 9 f o r i t e m 3 a n d 4 . 4 1 4 f o r i t e m 5 ) w i t h p < . 0 5 i n e a c h c a s e ( S e e T a b l e 4 o n p a g e 1 0 4 ) . T h e i n c r e a s e i n t h e a t t e n t i o n t o t h e u s e f u l n e s s o f m a t h e m a t i c s i n t h e fi n a l ” W h a t I s M a t h e m a fi c s ? ” j o u m a ] e n t r i e s a l s o s u p p o r t s t h i s a s s e r t i o n . I t w a s e s p e c i a l l y c l e a r i n t h e j o u r n a l e n t r i e s w h e r e t h e s t u d e n t s d e c l a r e d t h a t t h e i r i d e a s h a d c h a n g e d r e g a r d i n g t h e u s e f u l n e s s o f m a t h e m a t i c s i n t h e w o r l d . F o r e x a m p l e , i n h e r fi n a l ” W h a t I s M a t h e m a t i c s ? " j o u r n a l e n t r y , o n e s t u d e n t w r o t e , " M a t h i s a b i g p i c t u r e o f s o m e t h i n g t h a t i s e v e r y w h e r e ; i t i s n o l o n g e r a s u b j e c t . f o r m e . " T h e c h a n g e i n t h e b e g i n n i n g a n d fi n a l m a t h c o n c e p t m a p s , a s a g r o u p , d i d n o t n o t i c e a b l y s h o w t h a t t h e r e h a d b e e n a n i n c r e a s e i n t h e s t u d e n t s ’ a w a r e n e s s o f t h e u s e f u l n e s s o f m a t h e m a t i c s , b u t i t a l s o d i d n o t p r o v i d e a n y e v i d e n c e t o s u g g e s t t h a t t h e r e w a s n ’ t a n i n c r e a s e . T h e c h a n g e i n t h e c o n c e p t 1 1 0 m a p s f o r s o m e i n d i v i d u a l s , h o w e v e r , d i d s u p p o r t t h e i d e a t h a t t h e y h a d a g r e a t e r a w a r e n e s s o f t h e u s e f u l n e s s o f m a t h e m a t i c s . S t u d e n t s ' C o n c e p t i o n s o f t h e P e r s o n a l U t i l i t y o f M a t h e m a t i c s a t t h e B e g i n n i n g o f t h e S e m e s t e r . N o t s u r p r i s i n g l y , t h e a r e a o f u s e f u l n e s s o f m a t h e m a t i c s t h a t t h e s t u d e n t s r e f e r r e d t o m o s t o f t e n w a s t h e p e r s o n a l u t i l i t y o f m a t h e m a t i c s — t h e c o n t e x t s o u t s i d e o f s c h o o l i n w h i c h t h e y a c t u a l l y n e e d e d t o d o m a t h t h e m s e l v e s . T h i s i s w h e r e t h e u s e f u l n e s s o f m a t h e m a t i c s i s m o s t e v i d e n t t o t h e m i n t h e i r l i v e s . I n t h e b e g i n n i n g " W h a t I s M a t h e m a t i c s ? " j o u r n a l e n t r i e s , s e v e r a l s t u d e n t s ( 2 1 o u t o f 3 5 ) i n c l u d e d e x a m p l e s o f h o w m a t h e m a t i c s i s u s e f u l t o t h e m p e r s o n a l l y . A n e x a m p l e o f a t y p i c a l s t a t e m e n t i s , " W e u s e m a t h w h e n e v e r w e a r e d e a l i n g w i t h m o n e y , a n d t o m e t h i s i s t h e m o s t p r a c t i c a l a p p l i c a t i o n . " U s i n g m a t h t o u s e m o n e y w a s t h e m o s t c o m m o n w a y s t u d e n t s w r o t e a b o u t h o w m a t h w a s u s e f u l t o t h e m p e r s o n a l l y . A n o t h e r s t u d e n t w r o t e , ' T t h i n k t h a t i t i s v e r y i m p o r t a n t t o t h e t a s k s w e c o m p l e t e i n e v e r y d a y l i f e . F o r e x a m p l e , w h e n e v e r y o u c o u n t m o n e y t o p a y f o r s o m e t h i n g o r fi g u r e o u t h o w m u c h t i m e i t w i l l t a k e y o u t o d o s o m e d r i n g . " O f c o u r s e , t h e r e w e r e o t h e r p e r s o n a l u s e s o f m a t h t h e s t u d e n t s w r o t e a b o u t a s w e l l . O n e e x a m p l e i s t h e s t u d e n t w h o w r o t e , " I t i s t h e r e a l - l i f e e x p e r i e n c e o f k n o w i n g h o w t o h a l v e t h e i n g r e d i e n t s o f a r e c i p e o r m e a s u r e h o w m u c h c a r p e t i s n e e d e d t o c o v e r t h e fl o o r o f a r o o m . M a t h i s o n e s u b j e c t w e u s e e v e r y d a y . " A n o t h e r s t u d e n t w r o t e , " T h r o u g h t h e y e a r s , w e u s e m a t h e v e r y d a y o f o u r l i v e s . A t t h e g r o c e r y s t o r e fi g u r i n g o u t h o w m u c h t w o p o u n d s o f g r a p e s w i l l c o s t a t 4 9 ¢ p e r p o u n d . C a l c u l a t i n g 2 0 % o f f y o u r f a v o r i t e s w e a t e r i n t h e m a l l . D e c i d i n g h o w m u c h fl o u r y o u n e e d t o p u t i n t h e c o o k i e d o u g h i f y o u w a n t t o t r i p l e t h e r e c i p e . M a t h e m a t i c s i s a p r o f o u n d c o n c e p t t h a t i s r e l e v a n t t o a l m o s t e v e r y a s p e c t o f o u r s u r r o u n d i n g s . " T h e r e c o g n i t i o n t h a t m a t h i s u s e f u l t o t h e s t u d e n t s p e r s o n a l l y w a s a l s o e v i d e n t i n t h e m a t h c o n c e p t m a p s . T w e n t y - s i x o u t o f t h e 3 4 s t u d e n t s i n c l u d e d s o m e d r i n g i n t h e i r b e g i n n i n g c o n c e p t m a p t h a t w a s a w a y t h e y u s e d m a t h 1 1 1 t h e m s e l v e s . M o r e t h a n h a l f o f t h e s t u d e n t s i n c l u d e d t h r e e o r m o r e e x a m p l e s o f w a y s t h e y u s e d m a t h i n t h e i r d a y - t o — d a y l i v e s . T h e r e w a s a v a r i e t y o f e x a m p l e s t h e s t u d e n t s i n c l u d e d a s i t e m s o f h o w t h e y u s e m a t h p e r s o n a l l y , b u t i t ’ s i n t e r e s t i n g h o w m a n y o f t h e m r e l a t e t o m o n e y ( e s p e c i a l l y a s i t r e l a t e s t o s h o p p i n g ) o r d r i v i n g . C o o k i n g w a s a l s o a n o f t e n - n o t e d p e r s o n a l u s e o f m a t h e m a t i c s . F o l l o w i n g i s a l i s t o f t h e i t e m s t h e s t u d e n t s i n c l u d e d w i t h t h e i r n u m b e r o f o c c u r r e n c e s i n d e s c e n d i n g o r d e r o f f r e q u e n c y : s h o p p i n g ( 1 0 ) c o o k i n g ( 9 ) m o n e y ( 8 ) c h e c k b o o k a n d a u t o m o t i v e / d r i v i n g ( 7 ) t i m e a n d c o m p a r i s o n ( 6 ) g a s / g a s l e f t a n d s p e e d o m e t e r ( 4 ) r e c i p e s , fi g u r i n g o u t d i s c o u n t , a n d p a y i n g ( 3 ) c a r s , d i s t a n c e , m i l e a g e , m a n a g i n g t i m e , p a y c h e c k s , t a x , p r i c e s , s h a r i n g w i t h f r i e n d s , a n d g a m e s ( 2 ) s p e e d , h o w l o n g a t r i p w i l l t a k e , m p h , t i m e r , f a t g r a m s , s c h e d u l i n g , p a y i n g b i l l s , t a x f o r m s , g r a t u i t y , p e r s o n a l b u s i n e s s , l o a n s , s e l l i n g , c a s h r e g i s t e r s , s h o e s i z e s , s i z e s , c l o t h e s , s m a l l e s t t o l a r g e s t , l e i s u r e , r a c e , a n d g p a ( 1 ) T h e b e g i n n i n g m a t h c o n c e p t m a p o f s t u d e n t 1 0 i s a g o o d e x a m p l e o f s o m e o n e w h o i n c l u d e d m a n y i t e m s r e l a t e d t o t h e p e r s o n a l u t i l i t y o f m a t h e m a t i c s ( S e e F i g u r e 1 7 o n p a g e 1 0 7 ) . M o s t o f t h e b o t t o m h a l f o f h e r c o n c e p t m a p i s r e l a t e d t o p e r s o n a l u t i l i t y o f m a t h e m a t i c s . A n o t h e r e x a m p l e w i t h i s t h e b e g i n n i n g c o n c e p t m a p o f s t u d e n t 1 4 ( S e e F i g u r e 2 1 o n p a g e 1 1 2 ) . I t ’ s i n t e r e s t i n g t h a t s h e c o n n e c t e d t h e m a t h e m a t i c a l p r o c e s s e s o f ” p r o b l e m s o l v i n g " a n d ” r e a s o n i n g ” t o s i t u a t i o n s w h e r e s h e u s e s m a t h i n h e r o w n l i f e . S t u d e n t s ' C o n c e p t i o n s o f t h e P e r s o n a l U t i l i t y o f M a t h e m a t i c s a t t h e E n d o f t h e S e m e s t e r . A t t h e e n d o f t h e s e m e s t e r , t h e s t u d e n t s ’ i d e a s , a s a g r o u p , a b o u t h o w m a t h i s u s e f u l f o r t h e m p e r s o n a l l y w e r e q u i t e s i m i l a r t o w h a t t h e y w e r e a t t h e b e g i n n i n g o f t h e s e m e s t e r . T h e r e w e r e s l i g h t l y f e w e r s t u d e n t s w h o i n c l u d e d s o m e t h i n g r e l a t e d t o t h e p e r s o n a l u t i l i t y o f m a d r e m a t i c s i n t h e i r fi n a l 1 1 2 F i g u r e 2 1 : B e g i n n i n g M a t h C o n c e p t M a p o f S t u d e n t 1 4 c o n c e p t m a p s t h a n t h e r e h a d b e e n i n t h e b e g i n n i n g m a p s — 2 3 i n t h e fi n a l m a p s ( 6 7 . 6 % ) a n d 2 6 i n t h e b e g i n n i n g m a p s ( 7 6 . 5 % ) . T h e r e w e r e a f e w m o r e s p e c i fi c e x a m p l e s i n t h e fi n a l c o n c e p t m a p s , b u t t h e d i f f e r e n c e a s a g r o u p w a s m i n i m a l . T h i s w a s s t i l l , b y f a r , t h e a r e a t h a t w a s i n c l u d e d m o s t o f t e n b y t h e s t u d e n t s i n t h e i r c o n c e p t m a p s . I n c o n t r a s t , t h e r e w e r e m o r e s t u d e n t s w h o w r o t e a b o u t t h i s i d e a i n t h e i r fi n a l " W h a t I s M a t h e m a t i c s ? " j o u r n a l e n t r i e s t h a n i n t h e b e g i n n i n g s e t . T w e n t y - e i g h t o u t o f t h e 3 0 s t u d e n t s f o r w h o m I h a v e fi n a l j o u r n a l e n t r i e s i n c l u d e d s o m e t h i n g a b o u t t h i s i d e a i n t h e i r fi n a l ” W h a t I s M a t h e m a t i c s ? " j o u r n a l e n t r i e s w h e r e a s 2 1 o u t o f 3 5 i n c l u d e d s o m e d r i n g i n t h i s a r e a i n t h e b e g i n n i n g . A g a i n , i n b o t h d a t a s o u r c e s , t h e p e r s o n a l u s e s r e l a t e d t o m o n e y , d r i v i n g , a n d c o o k i n g w e r e t h e m o s t f r e q u e n t l y i n c l u d e d . H e r e a r e t w o e x a m p l e s o f w h a t 1 1 3 s t u d e n t s w r o t e a b o u t t h e p e r s o n a l u t i l i t y o f m a t h e m a t i c s i n t h e fi n a l " W h a t I s M a t h e m a t i c s ? " j o u r n a l e n t r i e s : " I u s e m a t h e m a t i c s e v e r y d a y , w h e t h e r i t i s b a s i c a r i t h m e fi c s o I d o n ' t s p e n d t o o m u c h m o n e y a t t h e g r o c e r y s t o r e , o r a l g e b r a s o I c a n fi g u r e o u t w h a t t h e l o w e s t g r a d e i s t h a t I c a n g e t o n a n e x a m a n d s t i l l g e t a n A . " " M a t h i s s o m e t h i n g t h a t i s u s e d i n d a i l y l i f e . I t h i n k p e o p l e o f t e n d o n ' t r e a l i z e h o w m u _ _ c h w e u s e m a t h . T h i s i s a b l y b e c a u s e i t i s n ' t c o m m o n l y t a u g h t t h a t m a t h i s u s e f u l . M a i s u s e d i n d r i v i n g , c o o k i n g , t e l l i n g t i m e , s h o p p i n g , b a n k i n g , a n d m a n y o t h e r t h i n g s . " I n t h e fi n a l c o n c e p t m a p s , t h e s t u d e n t s , a g a i n , i n c l u d e d a v a r i e t y o f p e r s o n a l u s e s o f m a t h e m a t i c s . T h e u s e s r e l a t e d t o m o n e y a n d c o o k i n g w e r e v e r y c o m m o n a s t h e y w e r e i n b e g i n n i n g s e t o f c o n c e p t m a p s , b u t t h e r e s e e m e d ' t o b e l e s s o f a n e m p h a s i s o n t h e u s e s r e l a t e d t o d r i v i n g a n d m o r e o f a n e m p h a s i s o n t h e u s e s r e l a t e d t o t i m e . T h e r e l a t e d w o r d s t h a t t h e s t u d e n t s m o s t c o m m o n l y i n c l u d e d w i t h t h e i r f r e q u e n c y w e r e ” c h e c k b o o k ” ( 9 ) ; ” t i m e / t e l l i n g t i m e " ( 9 ) ; " m o n e y ” ( 8 ) ; ” s h o p p i n g " ( 8 ) ; ” c o o k i n g " ( 7 ) ; a n d ” w o r k / j o b ” ( 4 ) . T h e r e w e r e s e v e n i t e m s i n c l u d e d t w i c e e a c h a n d 4 6 o t h e r e x a m p l e s i n c l u d e d b y o n e s t u d e n t e a c h . T h e fi n a l c o n c e p t m a p o f s t u d e n t 1 0 i s a n e x a m p l e o f s o m e o n e w h o i n c l u d e d a h i g h n u m b e r o f i t e m s r e l a t e d t o t h e p e r s o n a ] u t i l i t y o f m a t h e m a t i c s ( S e e F i g u r e 1 8 o n p a g e 1 0 8 ) . M u c h o f t h e r i g h t s i d e o f h e r m a p i s r e l a t e d t o p e r s o n a l u t i l i t y . S h e a l s o i n c l u d e d a h i g h n u m b e r o f i t e m s i n t h i s a r e a i n h e r b e g i n n i n g c o n c e p t m a p . T h e 2 3 s t u d e n t s w h o i n c l u d e d s o m e t h i n g a b o u t t h e p e r s o n a l u t i l i t y o f m a t h e m a t i c s i n t h e i r fi n a l c o n c e p t m a p s w e r e n ’ t a c o m p l e t e s u b s e t o f t h e 2 6 s t u d e n t s w h o i n c l u d e d i t e m s i n t h e i r b e g i n n i n g c o n c e p t m a p s . A f e w s t u d e n t s i n c l u d e d i t e m s r e l a t e d t o p e r s o n a l u fi l i t y i n e i t h e r t h e i r b e g i n n i n g o r fi n a l c o n c e p t m a p . F o r e x a m p l e , t h e r e w e r e t w o s t u d e n t s w h o i n c l u d e d a h i g h n u m b e r o f i t e m s i n t h i s a r e a i n t h e i r b e g i n n i n g c o n c e p t m a p s w h o d i d n ’ t i n c l u d e a n y t h i n g i n 1 1 4 t h e i r fi n a l c o n c e p t m a p s . T h e r e w e r e a l s o t w o s t u d e n t s w h o d i d n ’ t i n c l u d e a n y t h i n g i n t h i s a r e a i n t h e i r b e g i n n i n g c o n c e p t m a p s b u t w h o i n c l u d e d a h i g h n u m b e r o f i t e m s i n t h e i r fi n a l c o n c e p t m a p s . T h e r e w e r e o n l y f o u r s t u d e n t s o u t o f t h e 3 4 w h o n e v e r i n c l u d e d a n y t h i n g r e l a t e d t o p e r s o n a l u t i l i t y i n t h e i r c o n c e p t m a p s . F o r m o s t o f t h e s t u d e n t s , t h e d i f f e r e n c e i n t h e i n c l u s i o n o f i t e m s r e l a t e d t o p e r s o n a l u t i l i t y b e t w e e n t h e b e g i n n i n g c o n c e p t m a p s a n d t h e fi n a l c o n c e p t m a p s s e e m e d t o r e fl e c t a c h a n g e i n t h e f o c u s o f t h e i r a t t e n t i o n r e l a t e d t o o t h e r a s p e c t s o f m a t h e m a t i c s r a t h e r t h a n a c h a n g e i n t h e i r i d e a s a b o u t t h e p e r s o n a ] u t i l i t y o f m a t h e m a t i c s . I n g e n e r a l , t h e fi n a l c o n c e p t m a p s w e r e m u c h m o r e d e t a i l e d , c o m p l e x , a n d e l a b o r a t e t h a n t h e b e g i n n i n g c o n c e p t m a p s , a n d m a n y s t u d e n t s s e e m e d t o b e t h i n k i n g o f m a t h i n a m u c h b r o a d e r s e n s e t h a n h o w t h e y u s e d i t p e r s o n a l l y . F o r m a n y o f t h e s t u d e n t s , w h i l e t h e r e w a s l e s s f o c u s o n h o w t h e y u s e d m a t h , t h e r e w a s m o r e f o c u s o n a s p e c t s t h e y w o u l d b e t h i n k i n g a b o u t i f t h e y w e r e t h i n k i n g o f t e a c h i n g m a t h . I t h i n k i f t h e s t u d e n t s h a d b e e n a s k e d t o i n c l u d e w a y s t h e y u s e m a t h o n t h e i r c o n c e p t m a p s t h a t t h e y w o u l d h a v e a l l b e e n a b l e t o i n c l u d e s o m e e x a m p l e s o f h o w t h e y u s e i t , a n d t h o s e e x a m p l e s w o u l d n ’ t b e t h a t m u c h d i f f e r e n t f r o m e x a m p l e s t h e y c o u l d h a v e p r o v i d e d a t t h e b e g i n n i n g o f t h e c l a s s . H o w e v e r , w i t h t h e o p e n - e n d e d p r o m p t o f m a k i n g a c o n c e p t m a p w i t h " m a t h " a s t h e c o n c e p t , t h e y i n c l u d e d w h a t t h e y w e r e t h i n k i n g a b o u t m o s t a t t h e t i m e . A n e x a m p l e o f a s t u d e n t w h o i n c l u d e d n o t h i n g r e l a t e d t o p e r s o n a l u t i l i t y o f m a t h e m a t i c s ( o r a n y o t h e r k i n d o f u s e f u l n e s s o f m a t h e m a t i c s ) i n h e r b e g i n n i n g c o n c e p t m a p b u t i n c l u d e d a s e c t i o n i n h e r fi n a l m a p i s s t u d e n t 2 4 ( S e e F i g u r e 2 2 ) . H e r i t e m s w e r e t y p i c a l s i n c e s h e i n c l u d e d t h e m o s t c o m m o n p e r s o n a l u s e s n o t e d b y t h e c l a s s a s a w h o l e o f m o n e y , c o o k i n g , a n d t i m e . 1 1 5 F i g u r e 2 2 F i n a l M a t h C o n c e p t M a p o f E l e n i 2 4 S u m m a r y o f C h a n g e s i n S t u d e n t s ' C o n c e p t i o n s o f t h e P e r s o n a l U t i l i t y o f M a t h e m a t i c s . I t w a s n o t s u r p r i s i n g t h a t t h e r e w a s n o t a l o t o f c h a n g e i n t h e s t u d e n t s ’ c o n c e p t i o n s o f t h e p e r s o n a l u t i l i t y o f m a t h e m a t i c s d u r i n g t h e s e m e s t e r . T h e i r n o t i o n s o f w h e r e t h e y u s e m a t h p e r s o n a l l y w e r e o b v i o u s l y a l r e a d y a s o l i d p a r t o f t h e i r c o n c e p t i o n s o f m a t h e m a t i c s . T h e r e m a y h a v e b e e n a l i t t l e i n c r e a s e i n t h e i r a w a r e n e s s o f h o w t h e y u s e m a t h i n t h e i r d a i l y l i v e s a s a g r o u p , b u t i t w a s p r o b a b l y m i n i m a l . A l m o s t a l l o f t h e s t u d e n t s i n c l u d e d s o m e t h i n g a b o u t t h e p e r s o n a ] u t i l i t y o f m a t h e m a t i c s i n t h e i r ” W h a t I s M a t h e m a t i c s ? ” j o u r n a l e n t r i e s — e s p e c i a l l y i n t h e e n d i n g s e t . M o s t , b u t n o t q u i t e a s h i g h a s a p e r c e n t a g e a s w i t h t h e j o u r n a l e n t r i e s , i n c l u d e d i t e m s i n t h e i r c o n c e p t m a p s r e l a t e d t o t h i s a r e a . H o w e v e r , m y f e e l i n g i s t h a t i f t h e y h a d b e e n a s k e d s p e c i fi c a l l y t o p r o v i d e e x a m p l e s o f h o w t h e y u s e m a t h p e r s o n a l l y i n t h e i r c o n c e p t m a p s , p r o b a b l y a l l o f t h e m c o u l d h a v e i n c l u d e d e x a m p l e s s i m i l a r t o t h o s e t h a t w e r e n o t e d . S t u d e n t s ' C o n c e p t i o n s o f t h e I n d i r e c t P e r s o n a l U t i l i t y o f M a t h e m a t i c s a t t h e B e g i n n i n g o f t h e S e m e s t e r . T h e r e w a s s o m e a t t e n t i o n t o t h e i n d i r e c t 1 1 6 p e r s o n a l u t i l i t y o f m a fi r e m a t i c s a t t h e b e g i n n i n g o f t h e s e m e s t e r , b u t o n l y i n t h e c o n c e p t m a p s . T h e r e w a s n o s p e c i fi c r e f e r e n c e i n a n y o f t h e b e g i n n i n g ” W h a t I s M a t h e m a t i c s ? ” j o u r n a l e n t r i e s fi r a t r e f e r r e d t o t h e i d e a t h a t m a t h e m a t i c s w a s u s e f u l t o fi r e s t u d e n t s i n a n i n d i r e c t w a y — t h a t t h e y u s e d t h i n g s o r w e r e a f f e c t e d b y t h i n g s f o r w h i c h m a t h e m a t i c s h a d b e e n u s e d . T h e r e w e r e , h o w e v e r , a c o u p l e o f s e n t e n c e s fi r a t m a y h a v e a l l u d e d t o fi r a t i d e a s u c h a s " I r e c o g n i z e t h a t m a t h i s e v e r y w h e r e . " H o w e v e r , i n fi r e b e g i n n i n g c o n c e p t m a p s , 1 3 s t u d e n t s i n c l u d e d i n d i r e c t u s e s o f m a t h e m a t i c s , a n d fi r e y i n c l u d e d s e v e r a l e x a m p l e s o f h o w m a fi r i s i n d i r e c t l y p e r s o n a l l y u s e f u l i n fi r e i r i t e m s . O v e r h a l f o f t h o s e 1 3 s t u d e n t s ( s e v e n s t u d e n t s ) i n c l u d e d a l o w n u m b e r o f i t e m s ( 1 - 2 ) i n t h e i r c o n c e p t m a p ; t w o s t u d e n t s i n c l u d e d a m e d i u m n u m b e r o f i t e m s ( 3 - 4 ) ; a n d f o u r s t u d e n t s i n c l u d e d a h i g h n u m b e r o f i t e m s ( fi v e o r m o r e ) . A n e x a m p l e o f a c o n c e p t m a p i n w h i c h fi r e s t u d e n t i n c l u d e d a s p e c i fi c s e c t i o n f o r fi r e i n d i r e c t u s e f u l n e s s o f m a fi r ( a s w e l l a s a s e c t i o n f o r fi r e d i r e c t u s e f u l n e s s ) w a s s t u d e n t 1 8 ( S e e F i g u r e 2 3 ) . N D i Q E C T r . f r d - c fi l L fi Q k i . . - - _ , _ _ ' b a n k l u g . e _ _ _ - J e s t h - w » - — - - — — - - — d o e : t u r - - - - - ~ - » ' « W u - “ 1 6 1 3 - . _ _ , - , _ _ _ ' 3 2 ! . 0 1 2 ‘ - . _ _ _ _ - _ _ _ . . s c i a e i s t _ . 7 W _ _ . . _ - W - _ . _ , _ _ : W g a fl - _ _ . , . . . . _ _ , , . _ , _ - _ . . _ _ - . _ - . z . - . — . s k a . + s l t e $ t u _ e _ _ . z _ % m « f _ e - . - . . . _ . - . . _ e . _ . . _ . . _ _ . . - - F i g u r e 8 : B e g i n n i n g M a t h C o n c e p t M a p o f S t u d e n t 1 8 1 1 7 F o u r s t u d e n t s i n c l u d e d t h e i t e m ” i n d i r e c t ” o r ” fi r i n g s u n n o t i c e d . " T w o s t u d e n t s i n c l u d e d ” p r o d u c t s w e u s e . ” O n e s t u d e n t e a c h i n c l u d e d m o s t o f t h e e x a m p l e s , b u t t h r e e s t u d e n t s i n c l u d e d ” t r a f f i c l i g h t s , ” a n d t w o s t u d e n t s e a c h i n c l u d e d ” e c o n o m y , " ” s t o c k m a r k e t , ” ” m a c h i n e s , ” a n d ” a p p l i a n c e s . ” T h e r e w e r e 3 0 o t h e r e x a m p l e s l i s t e d o n c e e a c h , i n c l u d i n g ” c u r r e n c y , ” ” b r i d g e s , ” ” p a i n t i n g fi r e r o a d , ” ” p a r k i n g s p a c e s , ” ” c o m p u t e r u s e , ” ” s o f t w a r e , ” ” b u i l d i n g s , ” ” T V , ” ” V C R , " ” m e d i c i n e , ” ” p r e s c r i p t i o n s , ” ” a i r t r a v e , ” a n d ” m a p s . ” T h e s e w e r e a l l fi r i n g s fi r a t fi r e s t u d e n t s m i g h t u s e a n d f o r w h i c h m a d r e m a t i c s w a s i n v o l v e d i n t h e i r c r e a t i o n o r u s e , b u t f o r w h i c h t h e s t u d e n t s d i d n ' t d o t h e m a t h . A t l e a s t s o m e o f t h e s t u d e n t s s e e m e d t o h a v e a n a w a r e n e s s t h a t t h e y w e r e a f f e c t e d i n d i r e c t l y b y t h e w a y m a fi r w a s u s e d f o r c e r t a i n fi r i n g s i n t h e w o r l d . I t s h o u l d b e n o t e d t h a t o n fi r e fi r s t d a y o f c l a s s , b e f o r e t h e s t u d e n t s d i d t h e i r b e g i n n i n g m a fi r c o n c e p t m a p s , w e h a d a d i s c u s s i o n i n c l a s s a b o u t s o m e o f fi r e w a y s m a t h i s u s e d fi r a t a f f e c t u s i n d i r e c t l y l i k e w i fi r t r a f f i c l i g h t s — n o t b e c a u s e fi r a t w a s p a r t o f m y l e s s o n p l a n , b u t b e c a u s e a s t u d e n t b r o u g h t i t u p , a n d o t h e r s j o i n e d i n fi r e d i s c u s s i o n . 8 0 , fi r a t m a y h a v e p r o m p t e d s o m e s t u d e n t s t o i n c l u d e s o m e i t e m s r e l a t e d t o fi r i s a r e a i n fi r e i r m a fi r c o n c e p t m a p fi r a t fi r e y m a y n o t h a v e o fi r e r w i s e . S t u d e n t s ' C o n c e p t i o n s o f t h e I n d i r e c t P e r s o n a l U t i l i t y o f M a t h e m a t i c s a t t h e E n d o f t h e S e m e s t e r . A t t h e e n d o f fi r e s e m e s t e r , fi r e j o u r n a l e n t r i e s r e v e a l e d a s t r o n g e r c o n c e p t i o n o f fi r e s t u d e n t s t h a t m a t h e m a t i c s w a s i n d i r e c t l y u s e f u l t o t h e m p e r s o n a l l y fi r a n t h e r e w a s a t fi r e b e g i n n i n g o f fi r e s e m e s t e r . T h i s w a s n ’ t s o e v i d e n t , h o w e v e r , i n t h e i r c o n c e p t m a p s s i n c e fi r e b e g i n n i n g a n d fi n a l s e t s w e r e v e r y s i m i l a r i n r e l a t i o n t o fi r i s a r e a . T w e l v e s t u d e n t s i n c l u d e d s o m e fi r i n g r e l a t e d t o i n d i r e c t p e r s o n a l u t i l i t y i n t h e i r fi n a l c o n c e p t m a p s w h i l e 1 3 d i d i n t h e i r b e g i n n i n g c o n c e p t m a p s . T e n o f t h e s e s t u d e n t s i n c l u d e d r e l a t e d i t e m s o n b o t h fi r e i r b e g i n n i n g a n d fi n a l m a p s . I n fi r e f i n a l s e t , s i x s t u d e n t s h a d a l o w n u m b e r o f i t e m s ( 1 - 2 ) , f o u r h a d a m e d i u m n u m b e r o f i t e m s ( 3 — 4 ) , a n d t w o h a d a h i g h 1 1 8 n u m b e r o f i t e m s ( 5 o r m o r e ) r e l a t e d t o t h e i n d i r e c t p e r s o n a l u t i l i t y o f m a t h e m a t i c s . T h i s w a s s i m i l a r t o fi r e b e g i n n i n g s e t i n t h a t m o s t o f t h o s e w h o i n c l u d e d s o m e fi r i n g i n t h i s a r e a i n c l u d e d a l o w n u m b e r o f i t e m s . T h e i t e m s t h e y i n c l u d e d w e r e q u i t e s i m i l a r t o w h a t t h e y w e r e a t fi r e b e g i n n i n g o f fi r e s e m e s t e r , b u t t h e r e w a s s o m e d i f f e r e n c e . F o r e x a m p l e , i n t h e fi n a l m a fi r c o n c e p t m a p s , f o u r s t u d e n t s e a c h i n c l u d e d ” s c i e n c e ” a n d ” t e m p e r a t u r e , " a n d t h r e e s t u d e n t s ' i n c l u d e d ” c o m p u t e r s , ” w h i l e o n l y o n e s t u d e n t i n c l u d e d e a c h o f t h o s e i t e m s i n h e r b e g i n n i n g m a p . T h e r e w a s a l s o s o m e r e f e r e n c e t o m u s i c a n d a r t a t t h e e n d o f fi r e s e m e s t e r t h a t fi r e r e w a s n ’ t a t t h e b e g i n n i n g . T w o s t u d e n t s i n c l u d e d ” m u s i c ” I I I I I I I I w h i l e o n e s t u d e n t e a c h i n c l u d e d ” a r t , m o s a i c s , s y m m e t r y , " a n d ” t e s s e l l a t i o n s . ” T h e s e a r e a s a r e r e l a t e d t o fi r e u t i l i t y o f m a fi r e m a t i c s b e c a u s e p e o p l e u s e m a t h e m a t i c s w h i l e fi r e y a r e c o m p o s i n g m u s i c a n d o f t e n w h e n fi r e y a r e c r e a t i n g a r t s u c h a s w h e n t h e y a r e m a k i n g t e s s e l l a t i o n s o r m o s a i c s o r u s i n g s y m m e t r y . ( T h e i n c l u s i o n o f fi r e s e i t e m s m a y a l s o s u g g e s t t h e p o s s i b i l i t y fi r a t s o m e s t u d e n t s w e r e d e v e l o p i n g c o n c e p t i o n s a b o u t m a t h a n d a e s fi r e t i c s . P e r h a p s t h e y w e r e b e g i n n i n g t o s e e m a d r e m a t i c s a s s o m e fi r i n g t h a t w a s m o r e t h a n u s e f u l — a s s o m e fi r i n g fi r a t w a s a s o u r c e o f b e a u t y a n d a e s t h e t i c p l e a s u r e . ) S i m i l a r t o t h e f i r s t s e t , t w o s t u d e n t s e a c h i n c l u d e d ” t r a f f i c l i g h t s ” a n d ” s p e e d l i m i t s . ” A g a i n , t h e r e w a s a b i g v a r i e t y i n t h e o fi r e r 2 2 i t e m s t h a t w e r e i n c l u d e d i n fi r i s a r e a b y o n e s t u d e n t e a c h . S o m e e x a m p l e s o f t h e s e a r e ” p o p u l a t i o n s , ” ” b u i l d i n g , ” ” t e c h n o l o g y , ” ” m e d i c i n e , " ” g o v e r n m e n t , ” ” t a x e s , ” ” i n t e r n a t i o n a l r e l a t i o n s , ” ” p a c k a g i n g , ” ” p o p c a n s a n d b o t t l e s , " a n d ” e v e r y t i m e a p r o d u c t i s s o l d . ” T h e p l a c e w h e r e t h e c h a n g e w a s m o s t e v i d e n t w a s i n t h e f i n a l ” W h a t I s M a fi r e m a t i c s ? ” j o u r n a l e n t r i e s . W h e r e a s n o s t u d e n t i n c l u d e d a n y r e f e r e n c e t o fi r e i n d i r e c t p e r s o n a l u t i l i t y o f m a fi r e m a t i c s i n h i s o r h e r b e g i n n i n g ” W h a t I s M a t h e m a t i c s ? ” j o u r n a l e n t r y , 1 3 s t u d e n t s i n c l u d e d r e f e r e n c e s t o fi r e w a y m a t h 1 1 9 w a s u s e f u l t o t h e m i n a n i n d i r e c t w a y i n fi r e i r fi n a l ” W h a t I s M a t h e m a t i c s ? ” j o u r n a l e n t r i e s . T h e s t u d e n t s i n c l u d e d s e v e r a l s p e c i fi c e x a m p l e s o f h o w m a t h a f f e c t s t h e m i n d i r e c t l y . F o r e x a m p l e , o n e s t u d e n t w r o t e , ” I t i s u s e d d a i l y i n a n y g i v e n p e r s o n ' s l i f e w h e fi r e r fi r e p e r s o n i s a c t u a l l y d o i n g m a fi r e m a t i c a l o p e r a t i o n s o r u s i n g fi r e p r o d u c t s o f o fi r e r p e o p l e ' s m a t h o p e r a t i o n s . " A n o fi r e r s t u d e n t w r o t e , " N o m a t t e r w h e r e y o u g o y o u w i l l a l w a y s s e e m a fi r i n t h e b u i l d i n g s , c a r s , a n d s o o n . M a fi r e m a t i c s i s u s e d t o c r e a t e d j u s t a b o u t e v e r y p r o d u c t o f fi r e w o r l d a n d i s a l s o u s e d i n i t s p a c k a g i n g . " A n o t h e r e x a m p l e o f w r i t i n g a b o u t fi r i s t o p i c i s fi r e s t u d e n t w h o w r o t e , " I fi n d i t t o b e i n c o r p o r a t e d i n t o j u s t a b o u t e v e r y fi r i n g . F o r e x a m p l e , t r a f fi c l i g h t s , o v e n s , r e c i p e s , c a l e n d a r s , t i m e , d a y , e t c . T h i s l i s t i s n e v e r e n d i n g . M a t h e m a t i c s i s a f a c t o f l i f e ! ! ! . . . E v e r y w h e r e y o u t u r n a n d l o o k y o u c o u l d a l m o s t b e s u r e i s a r e s u l t o f s o m e m a t h e m a t i c a l p r o c e s s . " A n o t h e r e x a m p l e o f a s t u d e n t w r i t i n g a b o u t t h i s r e a l i z a t i o n i s t h e s t u d e n t w h o w r o t e , " M a fi r i s p r e s e n t i n o u r e v e r y d a y l i v e s i n t h e s e b a s i c w a y s , b u t i t i s a l s o p r e s e n t i n m a n y c o m p l e x a n d a b s t r a c t w a y s . F o r e x a m p l e , fi r i s c o m p u t e r fi r a t I a m u s i n g r e q u i r e d m a fi r e m a t i c s t o b e c r e a t e d a l o n g w i fi r t h e h o u s e t h a t I a m s i t t i n g i n . " I n c l a s s , w e t a l k e d a b o u t m a fi r e m a t i c s ’ c o n n e c t i o n t o a r t ( a s i n t e s s e l l a t i o n s a n d d e s i g n ) , m u s i c , a n d l i t e r a t u r e . W e a l s o t a l k e d s o m e a b o u t m a t h h i s t o r y a n d n u m b e r t h e o r y , i n c l u d i n g F i b o n a c c i a n d fi r e F i b o n a c c i n u m b e r s a n d h o w o f t e n fi r e s e n u m b e r s a p p e a r i n n a t u r e a s fi r e y d o i n fi r e s p i r a l s o f p i n e c o n e s . T h e s e c o n n e c t i o n s o f m a fi r e m a t i c s w e r e e x a m p l e s fi r a t s t u d e n t s o f t e n w r o t e a b o u t o r t a l k e d a b o u t a s n e w i d e a s t o fi r e m s u c h a s t h e s t u d e n t w h o w r o t e , " M a t h e m a t i c s s e e m s t o s o m e h o w r e l a t e t o e v e r y fi r i n g . W h e n I e n t e r e d t h e c l a s s I k n e w m a fi r w a s r e l a t e d i n m a n n e r o f t i m e a n d m e a s u r e m e n t , b u t fi r e i d e a o f a r t t h r o u g h t e s s e l l a t i o n a n d p a t t e r n s w a s a n e w c o n n e c t i o n . " A n o t h e r s t u d e n t w r o t e m u c h 1 2 0 m o r e e x t e n s i v e l y a b o u t fi r e i n d i r e c t p e r s o n a l u t i l i t y o f m a t h e m a t i c s , i n c l u d i n g a r e f e r e n c e t o t h e F i b o n a c c i n u m b e r s . H e w r o t e , ” M a t h e n c o m p a s s e s l i f e a s w e k n o w i t . A l m o s t a n y fi r i n g m a s s p r o d u c e d o r c r e a t e d c a n b e d e fi n e d m a t h e m a t i c a l l y , o r w a s c r e a t e d m a t h e m a t i c a l l y . . . O f c o u r s e a l l o f o u r l i v e s w e h a v e b e e n s u r r o u n d e d b y m a fi r fi r r o u g h fi r e h u m a n w o r l d o f e n g i n e e r i n g , a s i t i s n o w c a l l e d , a n d u n k n o w i n g l y t h r o u g h n a t u r e , e . g . , fi r e F i b o n a c c i n u m b e r s i n fl o w e r s o r s p a c e e x a m p l e s . A l t h o u g h w e n e v e r r e a l l y a y t r i b u t e o r h o m a g e t o fi r e c o n c e p t s o r p e o p l e w h o h a v e r e s e a r c l - l e d fi r e m , i t i s o n l y f a i r t o r e c o g n i z e fi r a t m a fi r i s i n , o r v e r y r e l a t e d t o , e v e r y fi r i n g — i t i s i n fi n i t e i n i t s u s e s , d i s c u s s i o n s , e x p l a n a t i o n s , e t c — h e l p i n g h u m a n s t o u n d e r s t a n d a n d d e s c r i b e t h e i r l i v e s . W h e t h e r m a t e r i a l g o o d s o r d r i v i n g y o u r c o m p u t e r ] h u m a n b u i l t a u t o m o b i l e , m a fi r s u r r o u n d s u s a s h u m a n b e i n g s , a l t h o u g h w e r a r e l y a c k n o w l e d g e t h a t f a c t . " O v e r a l l , t h e s t u d e n t s a s a g r o u p s e e m e d t o b e m u c h m o r e a w a r e o f h o w m a fi r a f f e c t e d t h e i r l i v e s i n d i r e c t l y a t t h e e n d o f fi r e s e m e s t e r . T h e r e s e e m e d t o b e a g r e a t e r s e n s e t h a t ” m a fi r s u r r o u n d s u s a s h u m a n b e i n g s ” a s w a s e x p r e s s e d b y fi r e s t u d e n t i n t h e j u s t - n o t e d p a s s a g e a n d b y m a n y o f t h e s t u d e n t s . S u m m a r y o f C h a n g e s o f S t u d e n t s ' C o n c e p t i o n s o f t h e I n d i r e c t P e r s o n a l U t i l i t y o f M a t h e m a t i c s . T h i s i s fi r e a r e a o f u s e f u l n e s s o f m a t h e m a t i c s w h e r e fi r e r e w a s p r o b a b l y fi r e b i g g e s t c h a n g e i n fi r e s t u d e n t s ' c o n c e p t i o n s f r o m t h e b e g i n n i n g o f t h e s e m e s t e r t o fi r e e n d o f fi r e s e m e s t e r , a n d i t ’ s l i k e l y t h a t t h e i n c r e a s e i n fi r e i r a w a r e n e s s o f fi r e i n d i r e c t p e r s o n a l u t i l i t y o f m a fi r e m a t i c s w a s fi r e b i g g e s t i n fl u e n c e i n t h e s t a t i s t i c a l l y s i g n i fi c a n t i n c r e a s e s i n t h e i t e m s f r o m t h e M a t h e m a t i c s I n v e n t o r y t h a t w e r e r e l a t e d t o t h e g e n e r a l u s e f u l n e s s o f m a fi r e m a t i c s . T h e s e w e r e i t e m s 3 , " I fi r i n k m a fi r e m a t i c s i s a n i m p o r t a n t s u b j e c t fi r a t i s u s e f u l i n l i f e ; " a n d 5 , " I fi r i n k m a t h e m a t i c s i s s o m e fi r i n g v e r y m u c h r e l a t e d t o fi r i s w o r l d " ( S e e T a b l e 4 o n p a g e 1 0 5 ) . A t fi r e b e g i n n i n g o f t h e s e m e s t e r , s o m e s t u d e n t s s e e m e d t o r e a l i z e t h a t m a fi r e m a t i c s a f f e c t e d fi r e i r l i v e s e v e n w h e n t h e y d i d n ' t d o t h e m a fi r fi r a t t h e y w e r e b e n e fi t i n g f r o m ( p e r h a p s e s p e c i a l l y b e c a u s e o f t h e c o n v e r s a t i o n w e h a d o n t h e fi r s t d a y ) , b u t a t fi r e e n d o f fi r e s e m e s t e r , i t 1 2 1 s e e m e d fi r a t s e v e r a l m o r e s t u d e n t s r e c o g n i z e d fi r i s a n d t h a t a s a g r o u p , t h e s t u d e n t s h a d a g r e a t e r a w a r e n e s s o f h o w m a t h a f f e c t e d fi r e m i r r d i r e c fi y . T h i s w a s m o s t o b v i o u s i n fi r e ” W h a t I s M a t h e m a t i c s ? ” j o u r n a l e n t r i e s . I n t h e b e g i n n i n g " W h a t I s M a fi r e m a t i c s ? " j o u r n a l e n t r i e s , t h e s t u d e n t s w r o t e q u i t e a b i t a b o u t h o w fi r e y u s e m a t h a n d s o m e a b o u t h o w m a fi r i s u s e d b y p e o p l e i n c e r t a i n j o b s , b u t t h e y d i d n ' t w r i t e a n y t h i n g s p e c i fi c a l l y a b o u t h o w m a t h a f f e c t s t h e m i n d i r e c t l y . I n c o n t r a s t , i n fi r e e n d - o f - fi r e - s e m e s t e r " W h a t I s M a fi r e m a t i c s ? " j o u r n a l e n t r i e s , 1 3 s t u d e n t s w r o t e s p e c i fi c a l l y a b o u t t h e i n d i r e c t p e r s o n a l u t i l i t y o f m a t h e m a t i c s , a n d s i x s p e c i fi c a l l y w r o t e t h a t t h e i r i d e a s o f m a fi r e m a t i c s h a d c h a n g e d i n t h a t t h e y n o w r e a l i z e i t i s s o m e fi r i n g t h a t i s e v e r y w h e r e a n d i n e v e r y t h i n g . A l s o , a s s p e c u l a t e d i n t h e p r e v i o u s s e c t i o n , s o m e o f fi r e s t u d e n t s m a y h a v e s t a r t e d s e e i n g m a fi r a s s o m e fi r i n g fi r a t w a s m o r e fi r a n u s e f u l — a s s o m e fi r i n g fi r a t w a s a e s fi r e t i c a l l y p l e a s i n g — b y fi r e e n d o f fi r e s e m e s t e r . T h e d a t a w a s i n s u f fi c i e n t t o d e t e r m i n e f o r s u r e w h e fi r e r t h a t w a s fi r e c a s e , b u t t h e p o s s i b i l i t y i s s t i l l w o r t h n o t i n g . S t u d e n t s ' C o n c e p t i o n s o f t h e U t i l i t y f o r O t h e r s o f M a t h e m a t i c s a t t h e B e g i n n i n g o f t h e S e m e s t e r . T h e i n d i r e c t p e r s o n a l u t i l i t y o f m a t h e m a t i c s a n d fi r e u fi l i t y f o r o fi r e r s o f m a d r e m a t i c s a r e i n t e r c o n n e c t e d s i n c e a n a w a r e n e s s o f h o w m a t h b e i n g d o n e b y o fi r e r s a f f e c t s o n e i n d i r e c fi y i m p l i e s a n a w a r e n e s s fi r a t m a t h i s d o n e b y o fi r e r s . I n t h e s e t w o a r e a s o f fi r e u s e f u l n e s s o f m a t h e m a t i c s o u t l i n e d b y fi r e f r a m e w o r k , t h e r e i s a f o c u s o n d i f f e r e n t s u b fi e t i e s o f fi r e s a m e i d e a . W h i l e fi r e i n d i r e c t p e r s o n a l u t i l i t y o f m a fi r e m a t i c s i s p e r h a p s m o r e f o c u s e d o n t h e p r o d u c t s o r s e r v i c e s p r o d u c e d b y o t h e r p e o p l e d o i n g m a fi r , t h e f o c u s o f t h e u t i l i t y f o r o t h e r s o f m a fi r e m a t i c s i s m o r e fi r e s p e c i fi c a c t i v i t i e s , j o b s , o r c a r e e r s t h a t t h e p e o p l e w h o a r e d o i n g t h e m a t h a r e e n g a g e d i n . S o m e t i m e s fi r e m a t h fi r e y d o w o u l d a f f e c t fi r e m i n d i r e c fi y , a n d s o m e t i m e s i t w o u l d n o t . F o r e x a m p l e , 1 2 2 fi r e m a fi r fi r a t s o m e o n e d i d a c r o s s t h e c o u n t r y t o b u i l d a d e c k f o r h i s h o m e w o u l d b e u t i l i t y f o r o fi r e r s o f m a fi r e m a t i c s f o r t h e s t u d e n t s i n fi r i s c l a s s , b u t t h e r e w o u l d b e n o i n d i r e c t p e r s o n a l u fi l i t y f o r t h e m . I n c o n t r a s t , i f fi r e s t u d e n t s t a l k e d a b o u t a c i v i l e n g i n e e r w h o u s e d m a t h i n d e s i g n i n g t h e r o a d fi r a t l e a d s t o fi r e b u i l d i n g w h e r e w e m e t a s a c l a s s , fi r e i r r e f e r e n c e s t o fi r e e n g i n e e r w o u l d b e c o n s i d e r e d u t i l i t y f o r o t h e r s o f m a t h e m a t i c s , a n d fi r e i r r e f e r e n c e s t o t h e r o a d w o u l d b e c o n s i d e r e d i n d i r e c t p e r s o n a l u t i l i t y u s i n g fi r i s f r a m e w o r k . M o s t s t u d e n t s d i d n o t n o t e t h e w a y m a fi r w a s u s e d b y o fi r e r s i n a c t i v i t i e s , j o b s , o r c a r e e r s i n fi r e i r b e g i n n i n g ” W h a t I s M a fi r e m a t i c s ? ” j o u r n a l e n t r i e s o r i n fi r e i r b e g i n n i n g m a fi r c o n c e p t m a p s . I n t h e b e g i n n i n g ” W h a t I s M a fi r e m a t i c s j o u r n a l e n t r i e s , o n l y fi v e s t u d e n t s w r o t e e x a m p l e s o f m a fi r b e i n g u s e d b y o fi r e r p e o p l e , a n d i n t h e b e g i n n i n g m a t h c o n c e p t m a p s , s e v e n s t u d e n t s i n c l u d e d e x a m p l e s i n fi r i s a r e a . H o w e v e r , i t c a n p r o b a b l y n o t b e i n f e r r e d fi r a t fi r e o t h e r s t u d e n t s d i d n ’ t r e a l i z e t h a t o fi r e r p e o p l e u s e m a t h . A t fi r e b e g i n n i n g o f fi r e s e m e s t e r , m o s t o f w h a t t h e s t u d e n t s i n c l u d e d i n t h e i r ” W h a t I s M a fi r e m a t i c s ? ” j o u r n a l e n t r i e s a n d fi r e i r m a fi r c o n c e p t m a p s w a s r e l a t e d t o t h e s t u d e n t s ’ o w n r e l a t i o n s h i p s o r e x p e r i e n c e s w i fi r m a fi r . T h e y d i d n ’ t s e e m t o b e a s f o c u s e d o n m a t h ' s r e l a t i o n t o o t h e r s a n d t o fi r e w o r l d i n g e n e r a l . T h e r e w e r e , o f c o u r s e , s o m e e x c e p t i o n s . M o s t l i k e l y , i f t h e s t u d e n t s h a d b e e n a s k e d s p e c i fi c a l l y h o w o fi r e r p e o p l e u s e m a fi r , t h e y c o u l d h a v e a t l e a s t l i s t e d s o m e e x a m p l e s o f c a r e e r s t h a t r e q u i r e m a fi r . A n e x a m p l e o f w h a t o n e s t u d e n t w h o d i d w r i t e s o m e fi r i n g a b o u t fi r i s a r e a o f m a t h e m a t i c s ’ u s e f u l n e s s w r o t e i n h e r b e g i n n i n g ” W h a t I s M a fi r e m a t i c s ? ” j o u r n a l e n t r y r e l a t e d t o fi r e u t i l i t y f o r o fi r e r s o f m a fi r e m a t i c s w a s , " I g u e s s m a t h i s a l s o i m p o r t a n t i n e n g i n e e r i n g , m e d i c i n e , a n d c o o k i n g , b u t I w o u l d n o t k n o w fi r i s fi r s t h a n d . " A n o fi r e r s t u d e n t w r o t e , " M a fi r i s n e c e s s a r y i n e v e r y d a y l i f e : a t w o r k , 1 2 3 o n c o m p u t e r s , i n g r o c e r y s t o r e s , i n c l o t h i n g s t o r e s , f o r d o c t o r s a n d n u r s e s a n d a c c o u n t a n t s , e t c . E v e r y j o b i n fi r e w o r l d w i l l u s e m a fi r e m a t i c s i n s o m e f o r m . " S e v e n o f fi r e s t u d e n t s i n c l u d e d c a r e e r s t h a t r e q u i r e t h e u s e o f m a t h i n fi r e i r b e g i n n i n g c o n c e p t m a p s . T h r e e o f fi r e b e g i n n i n g c o n c e p t m a p s fi r a t h a v e b e e n r e f e r r e d t o e a r l i e r i n c l u d e e x a m p l e s o f c a r e e r s . T h e s e a r e fi r e b e g i n n i n g c o n c e p t m a p s o f s t u d e n t 3 ( S e e F i g u r e 1 9 o n p a g e 1 0 8 ) , s t u d e n t 1 0 ( S e e F i g u r e 1 7 o n p a g e 1 0 7 ) , a n d s t u d e n t 1 8 ( S e e F i g u r e 2 3 o n p a g e 1 1 7 ) . I t ’ s i n t e r e s t i n g fi r a t s t u d e n t 1 8 i n c l u d e d a s e c t i o n f o r ” c a r e e r s " a n d a s e p a r a t e s e c t i o n d e v o t e d j u s t t o “ b u s i n e s s . " B o fi r o f t h e s e a r e r e l a t e d t o u t i l i t y f o r o t h e r s o f m a t h e m a t i c s . A n o fi r e r e x a m p l e o f a b e g i n n i n g c o n c e p t m a p t h a t i s e n t i r e l y d e v o t e d t o t h e u s e f u l n e s s o f m a t h e m a t i c s a n d i n c l u d e s s o m e e x a m p l e s o f c a r e e r s i s t h e b e g i n n i n g c o n c e p t m a p o f s t u d e n t 1 7 ( S e e F i g u r e 2 4 ) . ” M a i l ' s C d n w f t M a r F i g u r e 2 4 : B e g i n n i n g M a t h C o n c e p t M a p o f S t u d e n t 1 7 1 2 4 T h e m o s t c o m m o n c a r e e r r e q u i r i n g m a t h e m a t i c s t h a t fi r e s t u d e n t s i n c l u d e d i n t h e i r b e g i n n i n g m a fi r c o n c e p t m a p s w a s ” e n g i n e e r i n g " w i fi r s i x o c c u r r e n c e s . O n l y o n e s t u d e n t w h o i n c l u d e d c a r e e r s d i d n o t i n c l u d e ” e n g i n e e r i n g . ” T h e c a r e e r i n c l u d e d t h e n e x t m o s t f r e q u e n t l y w a s ” d o c t o r s ” w i fi r fi r r e e o c c u r r e n c e s . T w o s t u d e n t s i n c l u d e d ” b a n k i n g ” a n d " p a c k a g i n g , " a n d o n e I I I I s t u d e n t e a c h i n c l u d e d " n u r s e s , ” ” c h e r n i s t s , ” ” e l e c t r i c i a n s , a s t r o n o m e r s , ” I I I I I I I I ” a c c o u n t i n g , m a r k e t i n g , s c i e n t i s t , ” ” m a t h e m a t i c i a n , ” ” t e a c h e r , ” a n d ” p r o p r i e t o r s . " S t u d e n t s ' C o n c e p t i o n s o f t h e U t i l i t y f o r O t h e r s o f M a t h e m a t i c s a t t h e E n d o f t h e S e m e s t e r . A t fi r e e n d o f fi r e s e m e s t e r , i t s e e m e d fi r a t fi r e s t u d e n t s ’ c o n c e p t i o n s o f t h e u t i l i t y f o r o t h e r s o f m a d r e m a t i c s w a s q u i t e s i m i l a r t o w h a t i t w a s a t t h e b e g i n n i n g o f t h e c l a s s . I t w a s s o m e fi r i n g fi r a t w a s n o t e d b y a f e w s t u d e n t s i n fi r e o p e n - e n d e d d a t a s o u r c e s o f fi r e ” W h a t I s M a fi r e m a t i c s ? " j o u r n a l e n t r y a n d t h e m a fi r c o n c e p t m a p , b u t n o t b y m o s t o f fi r e s t u d e n t s . I n t h e fi n a l c o n c e p t . m a p s , e i g h t s t u d e n t s i n c l u d e d e x a m p l e s o f c a r e e r s fi r a t u s e m a fi r ( a s o p p o s e d t o s e v e n i n fi r e b e g i n n i n g c o n c e p t m a p s ) . A g a i n , t h e r e w a s n o t a l o t o f c h a n g e i n fi r i s a r e a . T h r e e s t u d e n t s w r o t e ” o c c u p a t i o n s ” o r ” c a r e e r s , ” a n d o n e s t u d e n t w r o t e ” a l m o s t a l l j o b s . ” A g a i n , fi r e m o s t f r e q u e n t l y n o t e d c a r e e r w a s ” e n g i n e e r s ” w i t h f o u r o c c u r r e n c e s . ” A c c o u n t i n g , ” ” d o c t o r s ” a n d ” c h e m i s t ” e a c h h a d t w o o c c u r r e n c e s , a n d fi r e f o l l o w i n g c a r e e r s w e r e n o t e d b y o n e s t u d e n t e a c h : ” t e a c h e r s , " ” s e c r e t a r y , ” ” n u r s e s , ” ” a r c h i t e c t s , ” ” i n t e r i o r d e s i g n , ” ” c h e f s , ” ” s e r v e r s ( w a i t i n g t a b l e s ) , ” ” c a r p e n t e r , ” ” c a s h i e r , " a n d ” a s t r o l o g y . ” T h e fi n a l m a fi r c o n c e p t m a p s o f s t u d e n t 1 0 ( S e e F i g u r e 1 8 o n p a g e 1 0 8 ) a n d s t u d e n t 3 ( S e e F i g u r e 2 0 o n p a g e 1 0 9 ) w e r e e x a m p l e s o f s t u d e n t s w h o i n c l u d e d s o m e i t e m s i n fi r i s a r e a . S t u d e n t 1 7 a l s o i n c l u d e d s o m e e x a m p l e s o f m a fi r ’ s u t i l i t y f o r o t h e r s i n h i s fi n a l m a t h c o n c e p t m a p ( S e e F i g u r e 2 5 ) . W h i l e s t i l l p r o m i n e n t , t h e u s e f u l n e s s o f m a fi r e m a t i c s w a s l e s s d o m i n a n t i n h i s fi n a l m a fi r c o n c e p t m a p t h a n i t w a s i n 1 2 5 h i s b e g i n n i n g m a fi r c o n c e p t m a p s i n c e h e a l s o i n c l u d e d a l a r g e s e c t i o n o n s c h o o l m a t h e m a t i c s t h a t f o c u s e d m o r e o n t h e c o n t e n t o f m a t h e m a t i c s . H i s c o m m e n t , ” M a fi r i s i n j u s t a b o u t e v e r y fi r i n g ! I f n o t , i t i s r e l a t e d ! " w r i t t e n t o fi r e s i d e o f h i s fi n a l m a t h c o n c e p t m a p a l s o i n d i c a t e s t h a t h e h a s a s t r o n g c o n c e p t i o n fi r a t m a fi r e m a t i c s i s u s e f u l i n fi r e w o r l d . i n j u s t « b u t F i g u r e 2 5 : F i n a l M a t h C o n c e p t M a p o f S t u d e n t 1 7 A l fi r o u g h m a n y s t u d e n t s w r o t e a b o u t h o w m a fi r t h a t w a s d o n e b y o t h e r s a f f e c t s u s i n d i r e c t l y i n fi r e i r fi n a l ” W h a t I s M a fi r e m a t i c s ? ” j o u r n a l e n t r i e s , o n l y f o u r s t u d e n t s r e f e r r e d s p e c i fi c a l l y t o t h e p r o f e s s i o n s t h a t u s e m a t h . A s w a s fi r e c a s e w i t h t h e m a t h c o n c e p t m a p s , e n g i n e e r i n g w a s t h e c a r e e r m o s t f r e q u e n t l y n o t e d i n fi r e fi n a l ” W h a t I s M a fi r e m a t i e s ? ” j o u r n a l e n t r i e s . 1 2 6 S u m m a r y o f C h a n g e s o f S t u d e n t s ' C o n c e p t i o n s o f t h e U t i l i t y f o r O t h e r s o f M a t h e m a t i c s . T h e d a t a r e l a t e d t o fi r i s a r e a o f u s e f u l n e s s o f m a fi r e m a t i c s w a s i n s u f fi c i e n t t o d e t e r m i n e f o r c e r t a i n w h e t h e r t h e r e w a s a n y c h a n g e d u r i n g fi r e s e m e s t e r . F r o m t h e i n f o r m a fi o n fi r e d a t a d i d p r o v i d e , i t a p p e a r s fi r e r e w a s l i t fi e i f a n y c h a n g e i n fi r e s t u d e n t s ' c o n c e p t i o n s o f t h e u t i l i t y f o r o t h e r s o f m a t h e m a t i c s . O f c o u r s e , a s w a s n o t e d p r e v i o u s l y , fi r e i n c r e a s e d r e c o g n i t i o n o f fi r e i n d i r e c t p e r s o n a l u t i l i t y o f m a fi r e m a t i c s fi r a t t h e s t u d e n t s s e e m e d t o g a i n d u r i n g t h e s e m e s t e r i m p l i e s fi r a t t h e y a l s o r e c o g n i z e d fi r a t o fi r e r p e o p l e a r e d o i n g fi r e m a fi r e m a t i c s , a n d m a d r e m a t i c s w o u l d fi r u s b e u s e f u l t o fi r o s e p e o p l e . C h a p t e r S u m m a r y I n fi r i s c h a p t e r , I fi r s t e x a r r r i n e d fi r e s t u d e n t s ' c o n c e p t i o n s o f m a d r e m a t i c s r e l a t e d t o t h e n a t u r e o f m a t h e m a t i c s i n t h e a r e a s o f c o n t e n t , p r o c e s s e s , r e p r e s e n t a t i o n s , a n d c h a r a c t e r i s t i c s . I n r e l a t i o n t o c o n t e n t , I f o u n d t h a t fi r e r e s e e m e d t o b e s o m e c h a n g e i n t h e s t u d e n t s ’ c o n c e p t i o n s o f c o n t e n t o v e r t h e s e m e s t e r — o r a t l e a s t fi r e i r a t t e n t i o n t o i t . W h e n r e f e r r i n g t o c o n t e n t a t fi r e e n d o f t h e s e m e s t e r , t h e s t u d e n t s i n c l u d e d a w i d e r r a n g e o f m a t h e m a t i c s c o n t e n t fi r a n fi r e y d i d a t fi r e b e g i n n i n g o f fi r e s e m e s t e r , a n d fi r e r e w a s n o t fi r e e m p h a s i s o n ” n u m b e r ” a s b e i n g t h e s o l e o r p r i n c i p a l c o n t e n t o f m a t h e m a t i c s . O fi r e r fi r i n g s t h e y i n c l u d e d a s c o n t e n t a t t h e b e g i n n i n g o f t h e s e m e s t e r s u c h a s t h e b a s i c o p e r a t i o n s o r n a m e s o f c o u r s e s w e r e s t i l l p a r t o f fi r e i r c o n c e p t i o n s a t fi r e e n d o f fi r e s e m e s t e r , b u t fi r e y w e r e p a r t o f m u c h l a r g e r ” l i s t s ” o f m a fi r e m a t i c s c o n t e n t . T h e r e w a s a b i g c h a n g e i n t h e s t u d e n t s ' c o n c e p t i o n s o f a n d a t t e n t i o n t o p r o c e s s e s a t fi r e e n d o f fi r e s e m e s t e r c o m p a r e d t o fi r e b e g i n n i n g . M o s fi y fi r i s w a s a n i n c r e a s e i n t h e i r f o c u s o n p r o c e s s e s , i n fi r e i r r e c o g n i t i o n o f m a n y d i f f e r e n t 1 2 7 p r o c e s s e s fi r a t a r e u s e d i n m a d r e m a t i c s , a n d fi r e i r c o n c l u s i o n s fi r a t fi r e p r o c e s s e s u s e d i n d o i n g m a fi r a r e o f t e n m o r e i m p o r t a n t fi r a n fi r e p r o d u c t ( o r a n s w e r ) . T h i s s e e m e d t o b e a n a r e a w h e r e m a n y s t u d e n t s h a d a l o t o f r o o m f o r e x p a n s i o n o f fi r e i r i d e a s b e c a u s e fi r e y h a d n e v e r h a d p r o c e s s e s o t h e r fi r a n r e a s o n i n g , l o g i c , a n d p r o b l e m s o l v i n g p o i n t e d o u t t o fi r e m . T h e r e w a s n o t a l o t o f a t t e n t i o n t o r e p r e s e n t a fi o n s i n t h e o p e n - e n d e d d a t a s o u r c e s i n e i t h e r fi r e b e g i n n i n g o r fi n a l s e t s . T h e l i t fi e a t t e n t i o n fi r e r e w a s d i d n o t s h o w m u c h c h a n g e i n t h e s t u d e n t s ’ c o n c e p t i o n s o f t h e r e p r e s e n t a t i o n s o f m a fi r e m a t i c s . O n e s m a l l d i f f e r e n c e t h a t w a s e v i d e n t a t t i m e s i s t h a t w h e n s t u d e n t s w r o t e a b o u t s o m e o f t h e r e p r e s e n t a t i o n s a t t h e e n d o f t h e s e m e s t e r , fi r e y u s u a l l y a l s o fi r a t m a t h w a s m o r e t h a n fi r a t ( i . e . , m o r e fi r a n f o r m u l a s , e q u a t i o n s , fi r e o r e m s , s y m b o l s , e t c . ) . T h e r e w a s a l s o n o t a l o t o f a t t e n t i o n t o t h e c h a r a c t e r i s t i c s o f m a fi r e m a t i c s — a t e i t h e r fi r e b e g i n n i n g o f t h e s e m e s t e r o f fi r e e n d o f i t . H o w e v e r , a t t h e e n d o f t h e s e m e s t e r , fi r e r e s e e m e d t o b e l e s s o f a f o c u s o n w h a t s o m e s e e m e d t o c o n s i d e r a s n e g a t i v e c h a r a c t e r i s t i c s o f m a t h fi r a n t h e r e w a s a t t h e b e g i n n i n g o f fi r e s e m e s t e r . I t a l s o s e e m e d fi r a t s o m e s t u d e n t s m o d i fi e d fi r e i r b e l i e f fi r a t t h e r e i s o n e r i g h t a n s w e r i n m a fi r e m a t i c s t o i n c l u d e fi r e i d e a fi r a t t h e r e m a y b e m o r e t h a n o n e w a y t o g e t fi r a t a n s w e r . I t h e n e x a m i n e d t h e s t u d e n t s ’ c o n c e p t i o n s o f m a fi r e m a t i c s r e l a t e d t o fi r e u s e f u l n e s s o f m a fi r e m a t i c s i n fi r e a r e a s o f g e n e r a l u s e f u l n e s s o f m a fi r e m a t i c s , p e r s o n a l u t i l i t y o f m a fi r e m a t i c s , i n d i r e c t p e r s o n a l u t i l i t y o f m a fi r e m a t i c s , a n d u t i l i t y f o r o t h e r s o f m a t h e m a t i c s . I n t h e a r e a o f g e n e r a l u s e f u l n e s s o f m a fi r e m a t i c s , t h e r e w a s e v i d e n c e fi r a t s u g g e s t e d t h a t t h e s t u d e n t s b e l i e v e d fi r a t m a t h e m a t i c s w a s g e n e r a l l y u s e f u l m o r e s t r o n g l y a t fi r e e n d o f fi r e s e m e s t e r fi r a n 1 2 8 t h e y d i d a t fi r e b e g i n n i n g o f fi r e s e m e s t e r . P a r t o f fi r i s e v i d e n c e w a s fi r e s t a t i s t i c a l l y s i g n i fi c a n t i n c r e a s e i n t h e m e a n r e s p o n s e s t o t w o o f t h e i t e m s o n t h e M a fi r e m a t i c s I n v e n t o r y — i t e m 3 , " I fi r i n k m a t h e m a t i c s i s a n i m p o r t a n t s u b j e c t fi r a t i s u s e f u l i n l i f e , " a n d i t e m 5 , " I fi r i n k m a fi r e m a t i c s i s s o m e fi r i n g v e r y m u c h r e l a t e d t o fi r i s w o r l d . " T h e r e w a s a l s o m o r e a t t e n t i o n t o t h e u s e f u l n e s s o f m a t h e m a t i c s i n t h e fi n a l ” W h a t I s M a t h e m a t i c s ? ” j o u r n a l e n t r i e s t h a n i n t h e b e g i n n i n g s e t , a n d s o m e s t u d e n t s e v e n w r o t e fi r a t fi r e i r i d e a s o f fi r e u s e f u l n e s s o f m a fi r e m a t i c s h a d i n c r e a s e d . T h e r e d i d n o t s e e m t o b e a l o t o f c h a n g e i n t h e i r c o n c e p t i o n s o f fi r e p e r s o n a l u t i l i t y o f m a fi r e m a t i c s — h o w t h e y u s e m a t h t h e m s e l v e s — d u r i n g t h e s e m e s t e r s i n c e t h e y s e e m e d t o h a v e p r e t t y s o l i d i d e a s o f h o w fi r e y u s e d i t w h e n fi r e c l a s s b e g a n . T h e m o s t c o m m o n p e r s o n a l u s e s t h e s t u d e n t s r e f e r r e d t o w e r e r e l a t e d t o m o n e y ( s u c h a s w i fi r s h o p p i n g a n d C h e c k b o o k s ) , c o o k i n g , a n d d r i v i n g . T h e r e a l s o d i d n ’ t a p p e a r t o b e a l o t o f c h a n g e i n t h e s t u d e n t s ’ c o n c e p t i o n o f t h e u t i l i t y f o r o fi r e r s o f m a fi r e m a t i c s . T h e r e w a s s o m e a t t e n t i o n t o fi r a t i d e a b y s o m e s t u d e n t s a t b o fi r fi r e b e g i n n i n g a n d e n d o f fi r e s e m e s t e r , b u t t h e r e w a s n ’ t a l o t o f d i f f e r e n c e . T h e a r e a w h e r e t h e r e s e e m e d t o b e t h e b i g g e s t c h a n g e i n fi r e s t u d e n t s ’ c o n c e p t i o n s r e l a t e d t o fi r e u s e f u l n e s s o f m a fi r e m a t i c s w a s i n t h e a r e a o f i n d i r e c t p e r s o n a l u t i l i t y o f m a t h e m a t i c s , a n d I h y p o fi r e s i z e fi r a t fi r a t fi r e i n c r e a s e i n fi r e a w a r e n e s s o f m a t h e m a t i c s ’ i n d i r e c t p e r s o n a l u t i l i t y w a s fi r e b i g g e s t i n f l u e n c e i n fi r e s t a t i s t i c a l l y s i g n i fi c a n t i n c r e a s e i n t h e p r e v i o u s l y - n o t e d i t e m s f r o m t h e M a fi r e m a t i e s I n v e n t o r y . A t fi r e e n d o f fi r e s e m e s t e r , i t s e e m e d fi r a t s e v e r a l m o r e s t u d e n t s r e c o g n i z e d t h a t m a t h t h a t w a s d o n e b y o fi r e r s a f f e c t e d t h e m fi r a n r e a l i z e d t h a t a t fi r e b e g i n n i n g o f t h e s e m e s t e r . T h i s w a s e s p e c i a l l y e v i d e n t i n t h e 1 2 9 ” l N h a t I s M a t h e m a t i c s ? ” j o u r n a l e n t r i e s . A t fi r e b e g i n n i n g o f t h e s e m e s t e r , n o o n e w r o t e a n y t h i n g a b o u t h o w m a fi r a f f e c t s fi r e m i n d i r e c t l y , b u t a t t h e e n d o f fi r e s e m e s t e r , 1 3 s t u d e n t s w r o t e s p e c i fi c a l l y a b o u t fi r e i n d i r e c t p e r s o n a l u t i l i t y o f m a fi r e m a t i c s . I fi r i n k fi r e r e a s o n fi r a t fi r e r e s e e m e d t o b e s u c h a b i g c h a n g e i n fi r i s a r e a o f t h e u s e f u l n e s s o f m a fi r e m a t i c s i s s i m p l y fi r a t i t w a s s o m e fi r i n g t h e s t u d e n t s h a d n o t fi r o u g h t m u c h a b o u t b e f o r e fi r e c l a s s , a n d m o s t o f fi r e s t u d e n t s w e r e a b l e t o r e c o g n i z e fi r a t t h e y w e r e i n d i r e c fi y a f f e c t e d b y m a fi r fi r a t w a s d o n e b y o fi r e r s . I n c o n t r a s t , I t h i n k fi r a t t h e r e w a s n ’ t a s m u c h c h a n g e i n fi r e s t u d e n t s ’ c o n c e p t i o n s o f fi r e p e r s o n a l u fi l i t y o f m a t h e m a t i c s a n d fi r e u t i l i t y f o r o t h e r s o f m a fi r e m a t i c s b e c a u s e fi r o s e w e r e b o fi r i d e a s fi r a t fi r e s t u d e n t s w e r e f a m i l i a r w i fi r a n d h a d fi r o u g h t a b o u t b e f o r e . 1 3 0 C H A P T E R 4 C O N C E P T I O N S O F L E A R N I N G M A T H E M A T I C S A N D T E A C H I N G M A T H E M A T I C S I n fi r i s c h a p t e r , I e x a m i n e t h e s t u d e n t s ’ c o n c e p t i o n s o f l e a r n i n g m a fi r e m a t i c s a n d t e a c h i n g m a d r e m a t i c s . I l o o k a t t h e i r c o n c e p t i o n s a t t h e b e g i n n i n g o f fi r e s e m e s t e r a n d t h e e n d o f t h e s e m e s t e r , a n d I t h e n s u m m a r i z e fi r e c h a n g e s o r l a c k o f c h a n g e . T h e c o n c e p t i o n s o f l e a r n i n g m a d r e m a t i c s a n d t e a c h i n g m a fi r e n r a t i c s w e r e u n d e r s t a n d a b l y v e r y i n t e r t w i n e d . M a n y s t a t e m e n t s fi r e s t u d e n t s m a d e c o u l d b e c o n s i d e r e d t o b e r e f e r r i n g t o b o fi r l e a r n i n g a n d t e a c h i n g a t fi r e s a m e t i m e . O f c o u r s e , i m p l i c i t i n o n e ’ s i d e a s o f h o w m a fi r e m a t i t s s h o u l d b e t a u g h t a r e i n m o s t c a s e s t h a t p e r s o n ’ s c o n c e p t i o n s o f h o w i t i s b e s t l e a r n e d . I n fi r e f o l l o w i n g a n a l y s e s , I w i l l m a k e s o m e a t t e m p t t o s e p a r a t e fi r e s t u d e n t s ’ m a i n c o n c e p t i o n s o f l e a r n i n g m a fi r a n d t e a c h i n g m a fi r w h i l e 3 6 ] ] r e c o g n i z i n g t h e i r i n t e r c o n n e c t i o n . I n g e n e r a l , a s t h e s e m e s t e r b e g a n , t h e s t u d e n t s ’ c o n c e p t i o n s o f l e a r n i n g a n d t e a c h i n g m a fi r e m a t i c s w e r e s i n r i l a r t o t h o s e o fi r e r r e s e a r c h e r s h a v e f o u n d i n r e l a t e d s t u d i e s ( C o o n e y e t a l , 1 9 9 8 ; H a r e , 1 9 9 9 ; R a y m o n d , 1 9 9 7 ; V a c c a n d B r i g h t , 1 9 9 9 ; a n d W i l k i n s o n , 2 0 0 1 ) . T h i s v i e w u s u a l l y i n c l u d e d fi r e i d e a s t h a t m a fi r w a s l e a r n e d fi r r o u g h p r a c t i c e a n d m e m o r i z a t i o n a n d b y b u i l d i n g o n p r e v i o u s k n o w l e d g e . T h e i r v i e w o f t e a c h i n g m a fi r w a s o n e i n w h i c h fi r e t e a c h e r m o d e l e d a f e w e x a m p l e s o f h o w t o d o a p r o b l e m a n d fi r e n a s s i g n e d fi r e s t u d e n t s s e v e r a l e x e r c i s e s f r o m t h e t e x t b o o k t o p r a c t i c e d o i n g t h a t t y p e o f p r o b l e m . M o s t o f fi r e s e c o n c e p t i o n s w e r e b a s e d o n fi r e i r o w n e x p e r i e n c e s a s s t u d e n t s o f m a fi r . L e a r n i n g M a t h e m a t i c s L e a r n i n g m a t h e m a t i c s i s s o m e fi r i n g fi r a t a l l s t u d e n t s h a d i d e a s a b o u t s i n c e i t i s s o m e fi r i n g fi r a t t h e y h a d a l l e x p e r i e n c e d a s s t u d e n t s . A t t h e b e g i n n i n g o f t h e 1 3 1 s e m e s t e r , m o s t o f t h e i r c o n c e p t i o n s s e e m e d t o b e b a s e d o n t h e i r o w n e x p e r i e n c e s a s l e a r n e r s . F o r m o s t o f fi r e s t u d e n t s , b y t h e e n d o f fi r e s e m e s t e r , i t a p p e a r e d fi r e s e i d e a s h a d b e c o m e i n t e g r a t e d w i t h i d e a s a b o u t l e a r n i n g m a t h e m a t i c s fi r a t w e r e p r e s e n t e d t o t h e m i n c l a s s o r w e r e p a r t o f t h e i r p r a c t i c u m e x p e r i e n c e . S t u d e n t s ' C o n c e p t i o n s o f L e a r n i n g M a t h e m a t i c s a t t h e B e g i n n i n g o f fi r e S e m e s t e r . C o n c e p t i o n s o f l e a r n i n g m a t h e m a t i c s w e r e n o t a h u g e f o c u s o f fi r e s t u d e n t s ’ i d e a s r e l a t e d t o m a fi r e m a t i c s a t fi r e b e g i n n i n g o f fi r e s t u d y i n fi r e o p e n - e n d e d d a t a s o u r c e s , b u t fi r e r e w a s s o m e a t t e n t i o n t o i t . F e w e r fi r a n h a l f o f fi r e s t u d e n t s i n c l u d e d a n y t h i n g r e l a t e d t o l e a r n i n g m a t h i n t h e i r ” W h a t I s M a t h e m a t i c s ? ” j o u r n a l e n t r y o r t h e i r m a fi r c o n c e p t m a p . I n t h e b e g i n n i n g ” W h a t I s M a fi r e m a t i c s ? ” j o u r n a l e n t r y , 1 4 o f fi r e 3 4 s t u d e n t s ( 4 1 % ) i n c l u d e d i d e a s r e l a t e d t o fi r e i r c o n c e p t i o n s o f l e a r n i n g a n d / o r t e a c h i n g m a t h e m a t i c s , a n d i n t h e b e g i n n i n g m a fi r c o n c e p t m a p s , 1 3 s t u d e n t s ( 3 8 % ) i n c l u d e d s o m e fi r i n g r e l a t e d t o l e a r n i n g m a t h . O n e s t u d e n t h a d a s p e c i f i c s e c t i o n f o r l e a r n i n g i n h e r b e g i n n i n g m a fi r c o n c e p t m a p . N i n e o f t h e 1 3 s t u d e n t s w h o i n c l u d e d s o m e fi r i n g i n fi r i s a r e a i n fi r e i r b e g i n n i n g m a t h c o n c e p t m a p s i n c l u d e d " m e m o r i z a t i o n " o r " m e m o r i z e d " a s s o m e fi r i n g r e l a t e d t o h o w m a fi r i s l e a r n e d , a n d o n l y f o u r o f fi r o s e n i n e i n c l u d e d a n y t h i n g r e l a t e d t o l e a r n i n g b e s i d e s " m e m o r i z a t i o n . " A n o t h e r i t e m i n c l u d e d i n fi r e c o n c e p t m a p s r e l a t e d t o l e a r n i n g m a fi r w a s " g a m e s " w i fi r s i x o c c u r r e n c e s , a n d a n e x a m p l e o f a g a m e , " A r o u n d t h e W o r l d , " w a s l i s t e d t w i c e . ” [ D l i c e g a m e ” w a s l i s t e d b y o n e s t u d e n t . T h e i n c l u s i o n o f g a m e s c o u l d h a v e b e e n r e l a t e d t o t h e i d e a o f l e a r n i n g b y m e m o r i z a t i o n s i n c e m a n y g a m e s a r e u s e d t o a i d o r m o fi v a t e m e m o r i z a t i o n . O fi r e r i t e m s fi r a t w e r e r e l a t e d t o m e m o r i z a t i o n t h a t w e r e I I I I i n c l u d e d b y o n e s t u d e n t e a c h i n t h e b e g i n n i n g c o n c e p t m a p s w e r e ” d r i l l s , r o t e l e a r n i n g , " a n d ” m e c h a n i c a l . " S i x s t u d e n t s w r o t e s o m e fi r i n g a b o u t m e m o r i z a t i o n 1 3 2 i n fi r e i r b e g i n n i n g ” W h a t I s M a fi r e m a t i c s ? ” j o u r n a l e n t r i e s . O n e s t u d e n t w r o t e , ” W h e n m o s t p e o p l e fi r i n k o f m a t h , I fi r i n k t h e y fi r i n k o f t h e d r i l l s a n d m e m o r i z a t i o n t h a t w e n t a l o n g w i fi r i t w h e n o u r p a r e n t s w e r e i n s c h o o l . ” A n o fi r e r w r o t e , ” I n m y e l e m e n t a r y s c h o o l e x p e r i e n c e , m a t h w a s a t e x t b o o k w h i c h h a d p r o b l e m s t h a t w e r e s o l v e d w i t h a d e fi n i t e s e t o f m e m o r i z e d f a c t s . ” S t i l l , a n o fi r e r w r o t e , " M a t h e m a t i c s i s s i t t i n g d o w n a n d m e m o r i z i n g i n f o r m a t i o n t h a t y o u j u s t d o n o t n e e d . ” T h i s i n c l u s i o n o f fi r e i d e a o f m e m o r i z a t i o n i n fi r e i r c o n c e p t m a p s a n d ” W h a t I s M a fi r e m a t i c s ? ” j o u r n a l e n t r i e s w a s p r o b a b l y r e l a t e d t o t h e i r o w n e x p e r i e n c e s l e a r n i n g m a fi r a t l e a s t a s m u c h a s fi r e i r c o n c e p t i o n s o f h o w m a fi r i s l e a r n e d o r b e s t l e a r n e d — a s w a s fi r e c a s e f o r fi r e j u s t - n o t e d s t u d e n t w h o s e s e n t e n c e b e g a n , ” I n m y e l e m e n t a r y s c h o o l e x p e r i e n c e , . . . ” T h e r e w a s a l s o a n i t e m i n t h e M a t h e m a t i c s I n v e n t o r y r e l a t e d t o m e m o r i z a t i o n , a n d fi r e s t u d e n t s ’ r e s p o n s e t o i t i n d i c a t e d fi r a t fi r e y d i d n ’ t c o n s i d e r m e m o r i z a t i o n a s fi r e w a y m a fi r i s b e s t l e a r n e d . T h i s w a s i t e m 2 2 , " T h e b e s t w a y t o l e a r n m a fi r i s t o m e m o r i z e fi r e r u l e s . " T h e m e a n r e s p o n s e f o r fi r a t i t e m a t t h e b e g i n n i n g o f t h e s e m e s t e r w a s 2 . 0 6 9 , i n d i c a t i n g a f a i r l y s t r o n g d i s a g r e e m e n t w i fi r fi r a t s t a t e m e n t . O n e s t u d e n t a l s o w r o t e a s t a t e m e n t c o n s i s t e n t w i t h fi r i s i d e a i n h e r b e g i n n i n g ” W h a t I s M a t h e m a t i c s ? ” j o u r n a l e n t r y . S h e w r o t e , ” I b e l i e v e m a fi r e m a t i c s i s m o r e fi r a n j u s t m e m o r i z a t i o n o r c o m p u t a t i o n o f p r o b l e m s b u t i s a s k i l l fi r a t r e q u i r e s u s i n g a t h o u g h t p r o c e s s . " S e v e n s t u d e n t s w r o t e s o m e fi r i n g a b o u t fi r e i m p o r t a n c e o f u n d e r s t a n d i n g i n l e a r n i n g m a fi r e m a t i c s i n t h e b e g i n n i n g ” W h a t I s M a fi r e m a t i c s ? ” j o u r n a l e n t r i e s s u c h a s t h e s t u d e n t w h o w r o t e , ” I t ’ s i m p o r t a n t f o r s t u d e n t s t o u n d e r s t a n d m a t h e m a t i c s a n d g r a s p i t s m e a n i n g . " T w o o f fi r o s e s e v e n s t u d e n t s a l s o w r o t e s p e c i f i c a l l y a b o u t t h e i d e a t h a t l e a r n i n g n e e d e d t o g o . b e y o n d m e r e m e m o r i z a t i o n . O n e s t u d e n t w r o t e , 1 3 3 " M a fi r e m a t i e s i s a s c i e n c e i n i t s e l f . T h e r e a r e r u l e s a n d g u i d e l i n e s t o f o l l o w a n d m e m o r i z e . O n c e fi r i s i s d o n e h o w e v e r , o n e h a s t o l e a r n h o w a n d / o r w h e n t o u s e fi r e m . T h i s s e e m s t o b e fi r e t r i c k i e r p a r t . M a n p e o p l e k n o w t h e r u l e s b u t m a y n o t k n o w h o w o r w h e n t o u s e e m . T h i s i s fi r e i m p o r t a n t a s p e c t o f m a fi r e m a t i c s . " A n o fi r e r s t u d e n t w r o t e a b o u t fi r i s i d e a fi r i s w a y , " I t ' s i m p o r t a n t f o r s t u d e n t s t o h a v e a s e t o f s t e p s f r o m w h i c h t o w o r k . B u t , fi r e y s h o u l d u n d e r s t a n d w h a t e x a c fi y i s h a p p e n i n g w h e n y o u ' c a r r y fi r e o n e ' a n d w h y y o u ' r e d o i n g i t . W o r k i n g w i fi r a s e t o f m e m o r i z e d f a c t s m a k e s f o r a v e r y s t a t i c e n v i r o n m e n t , w h i c h c a n ' t a d a p t t o a n y n e w t w i s t i n t h e r o b l e m s . U n d e r s t a n d i n g , h o w e v e r , w i l l a l l o w s t u d e n t s t o p u s h e n r s e l v e s a n d e x p l o r e n e w i d e a s a n d c o n c e p t s . " A l s o , a s w a s n o t e d i n fi r e p r e v i o u s c h a p t e r i n fi r e s e c t i o n o n p r o c e s s e s , e i g h t s t u d e n t s i n c l u d e d t h e w o r d ” u n d e r s t a n d i n g ” i n t h e i r b e g i n n i n g m a t h c o n c e p t m a p s . T h e p r o c e s s e s fi r a t a r e u s e d i n d o i n g m a t h e m a t i c s a r e o f t e n fi r e s a m e p r o c e s s e s t h a t a r e u s e d i n l e a r n i n g m a fi r e m a t i c s . T h e r e w e r e a f e w o t h e r w o r d s fi r e s t u d e n t s u s e d i n fi r e i r c o n c e p t m a p s fi r a t w e r e r e l a t e d t o fi r i s i d e a . T h e y w e r e ( w i fi r fi r e i r n u m b e r o f o c c u r r e n c e s ) ” fi r i n k i n g ” ( 4 ) , ” p r o b l e m s o l v i n g ” ( 3 ) , ” t r i a l a n d e r r o r " ( 3 ) , ” c a t e g o r i z i n g ” ( 2 ) , ” s o r t i n g ” ( 2 ) , a n d ” a n a l y t i c a l fi r i n k i n g ” ( 2 ) . I n t h e b e g i n n i n g ” W h a t I s M a t h e m a t i c s ? ” j o u r n a l e n t r i e s , t w o s t u d e n t s a l s o w r o t e a b o u t fi r e i d e a fi r a t m a fi r e m a t i c s w a s s o m e fi r i n g fi r a t e v e r y o n e c o u l d d o . O n e s t u d e n t w r o t e , " I t i s a v e r y s y s t e m a t i c w a y o f fi r i n k i n g , a n d e v e r y o n e c a n a c c o m p l i s h a n d m a s t e r fi r i s t y p e o f fi r o u g h t i f fi r e y a r e t r a i n e d i n a w a y t h a t ' s u s e f u l t o t h e m . " A n o fi r e r w r o t e , " W i t h fi r e p r o p e r i n s t r u c t i o n a n d t h e w i l l f u l n e s s t o l e a r n , a n y o n e c a n s u c c e e d i n fi r i s s u b j e c t a r e a . " W h i l e t w o s t u d e n t s a p p a r e n fi y fi r o u g h t fi r a t a l l s t u d e n t s c o u l d l e a r n m a t h a t fi r i s p o i n t i n fi r e s t u d y , f e w o f fi r e i r c l a s s m a t e s a g r e e d . T h i s i d e a w a s r e l a t e d t o t w o o f t h e i t e m s f r o m t h e M a fi r e m a t i c s I n v e n t o r y fi r a t w e r e d i s c u s s e d i n t h e c h a r a c t e r i s t i c s s e c t i o n o f fi r i s a n a l y s i s ( S e e p a g e 9 7 ) . T h e s e w e r e i t e m s 1 1 , " M a fi r e m a t i c s i s s o m e fi r i n g fi r a t n o t 1 3 4 e v e r y o n e i s a b l e t o u n d e r s t a n d , " a n d 1 7 , " M a t h e m a t i c s i s s o m e fi r i n g a t w h i c h e v e r y o n e c a n b e s u c c e s s f u l . " A s n o t e d i n fi r a t s e c t i o n , fi r e c l a s s d i d n o t s h o w a s t r o n g c o m m i t n r e n t t o a g r e e i n g o r d i s a g r e e i n g w i fi r e i fi r e r o f fi r e s e s t a t e m e n t s a t fi r e b e g i n n i n g o f fi r e s e m e s t e r . T h e m e a n f o r i t e m 1 1 w a s 2 . 8 6 , a n d fi r e m e a n f o r i t e m 1 7 w a s 3 . 2 0 7 . A n o t h e r c o n c e p t i o n o f l e a r n i n g fi r a t t h r e e s t u d e n t s r e f e r r e d t o i n t h e i r b e g i n n i n g ” W h a t I s M a t h e m a t i c s ? ” j o u r n a l e n t r i e s w a s t h e i d e a t h a t m a fi r n e e d e d t o b e l e a r n e d e a r l y i n l i f e . O n e s t u d e n t w r o t e , ” M a fi r e m a h ' c s i s l e a r n i n g fi r e b a s i c c o n c e p t s fi r a t a l l o w u s t o f u n c t i o n i n l i f e , a n d i t n e e d s t o b e t a u g h t t o c h i l d r e n e a r l y i n l i f e . ” T h e o t h e r s t u d e n t w r o t e , ” M a t h e m a t i c s b u i l d s i t s f o u n d a t i o n d u r i n g t h e e a r l y e l e m e n t a r y s c h o o l y e a r s . ” T h e o t h e r s t u d e n t ’ s c o n c e p t i o n w a s fi r a t m a fi r m a y b e l e a r n e d m o r e e a s i l y w h e n a c h i l d i s y o u n g b e c a u s e i t i s s i m i l a r t o l e a r n i n g a f o r e i g n l a n g u a g e . S h e w r o t e , " A c t u a l l y , b e i n g fi r a t y o u n g [ i n e l e m e n t a r y s c h o o l ] , m a fi r m a y h a v e s i n r p l y c o m e l i k e a f o r e i g n l a n g u a g e d o e s . C h i l d r e n c a n o f t e n p i c k u p o n l a n g u a g e s o fi r e r t h a n fi r e i r n a t i v e l a n g u a g e w i fi r m u c h m o r e e a s e fi r a n o l d e r c h i l d r e n o r a d u l t s . " T h e r e w e r e t w o o fi r e r i t e m s o n t h e M a t h e m a t i c s I n v e n t o r y fi r a t w e r e r e l a t e d t o l e a r n i n g m a t h e m a t i c s . O n e o f fi r e s e w a s i t e m 2 3 , " S t u d e n t s ' r e a s o n i n g i s m o r e i m p o r t a n t t h a n i f t h e y a r e a b l e t o g e t fi r e a n s w e r fi r a t m a t c h e s fi r e a n s w e r k e y . " T h e m e a n r e s p o n s e f o r fi r a t o n fi r e f i r s t d a y o f c l a s s w a s 4 . 1 3 8 w h i c h i n d i c a t e d f a i r l y s t r o n g a g r e e m e n t . S e v e r a l s t u d e n t s w r o t e a b o u t t h e fi r i n k i n g p r o c e s s e s u s e d i n m a t h e m a t i c s i n t h e i r b e g i n n i n g ” W h a t I s M a t h e m a t i c s ? ” j o u r n a l e n t r i e s , b u t o n l y o n e w r o t e s p e c i fi c a l l y t h a t fi r e fi r i n k i n g p r o c e s s e s w e r e m o r e i m p o r t a n t t h a n fi r e c o r r e c t a n s w e r . S h e w r o t e , ” W h i l e s o m e m a y a r g u e t h a t fi r e r e i s o n l y o n e c o r r e c t a n s w e r f o r m a t h e m a t i c s p r o b l e m s , I b e l i e v e fi r a t h o w a p e r s o n g e t s fi r e c o r r e c t a n s w e r i s w h a t m a fi r i s a l l a b o u t . ” 1 3 5 T h e fi n a l i t e m fi r a t w a s r e l a t e d t o l e a r n i n g i n fi r e M a fi r e m a t i c s I n v e n t o r y w a s i t e m 2 4 , " I n l e a r n i n g m a fi r , i t i s i m p o r t a n t t o m a s t e r t o p i c s a n d s k i l l s a t o n e l e v e l b e f o r e g o i n g o n . " T h e m e a n r e s p o n s e f o r fi r a t w a s 4 . 1 7 2 , a g a i n i n d i c a t i n g f a i r l y s t r o n g a g r e e m e n t . F o u r s t u d e n t s w r o t e a b o u t fi r i s i d e a i n fi r e i r b e g i n n i n g ” W h a t I s M a fi r e m a fi c s ? " j o u r n a l e n t r i e s . O n e s t u d e n t w r o t e , ” I t i s a b o u t a s e r i e s o f s t e p s . M a k i n g s u r e y o u u n d e r s t a n d o n e c o n c e p t b e f o r e y o u m o v e o n t o fi r e n e x t . I t i s t h e i d e a o f ’ b u i l d i n g b l o c k s ! ” A n o fi r e r w r o t e , ” U n d e r s t a n d i n g b a s i c m a t h c o n c e p t s i s fi r e f r a m e w o r k f o r u n d e r s t a n d i n g a n d s u c c e e d i n g i n u p p e r - l e v e l m a fi r c o u r s e s . " O n e o fi r e r s t u d e n t e x p r e s s e d fi r e i d e a fi r i s w a y , ” M a fi r i s o f t e n a b o u t s k i l l s n e c e s s a r y t o m a s t e r c o n c e p t s . T h e s e s k i l l s a r e u s u a l l y b u i l t u p o n e a c h o fi r e r s o fi r a t i f o n e i s n o t m a s t e r e d , t h e n i t w i l l b e v e r y d i f fi c u l t t o u n d e r s t a n d t h e n e x t . ” T h e o t h e r i t e m s fi r a t w e r e i n c l u d e d i n t h e b e g i n n i n g c o n c e p t m a p s t h a t w e r e r e l a t e d t o l e a r n i n g o n l y h a d o n e o c c u r r e n c e e a c h . T h e y w e r e " m o t i v a t i o n a n d l e a r n i n g , " " m a n i p u l a t i v e s , " " b a r s , c u b e s , b l o c k s , " " m e c h a n i c a l , " " e a c h c h i l d l e a r n s d i f f e r e n t l y , " " k n o w i n g w h y s o m e fi r i n g w o r k s , " " p a t t e r n s , " " g r o u p l e a r n i n g , " " o p e n l i s t e n i n g , " " b o o k s , " " d i t t o s h e e t s , " " w o r k b o o k s , " " o r g a n i z a t i o n , " " s t e p b y s t e p , " " a n s w e r s i n b a c k o f b o o k , " " h o w t o g e t a n s w e r s , " " p u z z l e , " a n d " g e t t i n g d o w n a d d i t i o n a n d s u b t r a c t i o n . " S o m e o f t h o s e i t e m s w e r e r e l a t e d t o t o o l s fi r a t a r e u s e d i n l e a r n i n g m a fi r e m a t i c s ; a f e w o f t h e m w e r e m e t h o d s u s e d i n l e a r n i n g m a fi r e m a t i c s ; a n d s o m e w e r e r e l a t e d t o t h e i r o w n e x p e r i e n c e s i n l e a r n i n g m a t h e m a t i c s . S t u d e n t s ' C o n c e p t i o n s o f L e a r n i n g M a t h e m a t i c s a t t h e E n d o f t h e S e m e s t e r . T h e r e w a s a l o t m o r e a t t e n t i o n t o l e a r n i n g m a fi r e m a t i c s a t t h e e n d o f fi r e s e m e s t e r t h a n fi r e r e w a s a t fi r e b e g i n n i n g w h i c h i s n o t s u r p r i s i n g s i n c e t h e f o c u s o f t h e c o u r s e w a s t e a c h i n g m a t h e m a t i c s . T h i s w a s e v i d e n c e d m o s t n o t i c e a b l y i n fi r e fi n a l m a fi r c o n c e p t m a p s a n d t h e fi n a l ” W h a t I s M a fi r e m a t i c s ? ” 1 3 6 j o u r n a l e n t r i e s . I n fi r e fi n a l m a fi r c o n c e p t m a p s , 1 9 o u t o f fi r e 3 4 s t u d e n t s ( 5 6 % ) i n c l u d e d s o m e t h i n g r e l a t e d t o l e a r n i n g a n d / o r t e a c h i n g m a fi r a s o p p o s e d t o 1 3 s t u d e n t s o n t h e fi r s t d a y o f c l a s s . T h e c h a n g e w a s e v e n g r e a t e r i n fi r e fi n a l ” W h a t I s M a t h e m a t i c s ? ” j o u r n a l e n t r i e s . A l l b u t s e v e n s t u d e n t s w r o t e s o m e fi r i n g r e l a t e d t o fi r i s a r e a ( 2 3 o u t o f 3 0 o r 7 7 % ) i n c o n t r a s t t o 1 3 o u t o f 3 4 ( 3 8 % ) a t t h e b e g i n n i n g o f fi r e s e m e s t e r . T h e r e w a s a l s o a c h a n g e i n t h e f o c u s o f fi r i s a t t e n t i o n . F o r e x a m p l e , t h e r e w a s m u c h l e s s a t t e n t i o n t o m e m o r i z a t i o n , a n d t h e a t t e n t i o n w a s d i f f e r e n t . I n t h e b e g i n n i n g ” W h a t I s M a fi r e m a t i c s ? ” j o u r n a l e n t r i e s , s i x s t u d e n t s w r o t e s o m e fi r i n g a b o u t m e m o r i z a t i o n — u s u a l l y a s a m e m o r y o f h o w t h e y l e a r n e d m a fi r i n s c h o o l . I n fi r e fi n a l ” W h a t I s M a d r e m a t i c s ? ” j o u r n a l e n t r i e s , o n l y t h r e e s t u d e n t s w r o t e a n y fi r i n g a b o u t m e m o r i z a t i o n , a n d t w o o f t h e m w r o t e fi r a t m a t h i s m o r e t h a n m e m o r i z a t i o n . O n e w r o t e , ” W e s h o u l d s t o p e m p h a s i z i n g t h e i m p o r t a n c e o f m e m o r i z i n g m a t h o p e r a t i o n s . T h i s s i m p l y c o n t r a d i c t s o u r p u r p o s e . ” T h e o t h e r w r o t e , ” T o o m a n y s t u d e n t s c o n s i d e r m a fi r fi r e m e m o r i z a t i o n o f n u m b e r s , a n d i n m a n y w a y s i t i s . B u t , i t i s a l s o m u c h m o r e . ” T h e o t h e r q u o t e f r o m t h e j o u r n a l e n t r i e s a b o u t m e m o r i z a t i o n w a s f r o m a s t u d e n t w h o c o p i e d e x a c t l y h e r b e g i n n i n g ” W h a t I s M a t h e m a t i c s ? ” j o u r n a l e n t r y a n d a d d e d a f e w n e w s e n t e n c e s . H e r q u o t e w h i c h w a s n o t e d i n t h e p r e v i o u s s e c t i o n w a s , ” M a t h e m a t i c s i s s i t t i n g d o w n a n d m e m o r i z i n g i n f o r m a t i o n t h a t y o u r e a l l y d o n o t n e e d . ” T h e c h a n g e i n fi r e m a fi r c o n c e p t m a p s w a s s i m i l a r . W h i l e n i n e s t u d e n t s i n c l u d e d ” m e m o r i z e d ” o r ” m e m o r i z a t i o n ” i n fi r e i r b e g i n n i n g c o n c e p t m a p s , o n l y f o u r s t u d e n t s d i d i n t h e i r fi n a l c o n c e p t m a p s . T h r e e s t u d e n t s i n c l u d e d ” m e m o r i z a t i o n ” i n b o t h fi r e i r b e g i n n i n g a n d fi n a l c o n c e p t m a p s . O n e s t u d e n t i n c l u d e d fi r e i t e m ” g a m e s ” i n h e r c o n c e p t m a p . T h e r e w a s a l s o a c h a n g e i n t h e s t u d e n t s ' r e s p o n s e t o fi r e i t e m r e l a t e d t o m e m o r i z a t i o n i n t h e M a fi r e m a t i c s 1 3 7 I n v e n t o r y . F o r i t e m 2 2 , " T h e b e s t w a y t o l e a r n m a fi r i s t o m e m o r i z e t h e r u l e s , " fi r e fi n a l m e a n w a s 1 . 9 3 1 i n d i c a t i n g e v e n l e s s a g r e e m e n t w i fi r fi r a t s t a t e m e n t a s a g r o u p t h a n t h e r e w a s a t t h e b e g i n n i n g o f t h e s e m e s t e r w h e n fi r e m e a n w a s 2 . 0 6 9 . T h e c h a n g e w a s n o t s t a t i s fi c a l l y s i g n i fi c a n t , b u t fi r e d i r e c t i o n o f c h a n g e w a s e n c o u r a g i n g ( S e e T a b l e 5 ) . T a b l e 5 : I t e m s R e l a t u r g ’ t o h u n t i n g M a t h e m a t i c s f r o m t h e M a t h e m a t i c s I n v e n t o r y I t e m B e d - l i b s B i l l s M e a n M e a n v a l u e 2 2 . b e s t w a y t o l e a r n m a i s t o m e m o r i z e r u l e s . 2 . 0 6 9 1 . 9 3 1 0 . 5 5 2 3 . S t u d e n t s ' r e a s o ' i s m o r e i m r t a n t fi r a n i f fi r e y a r e 4 . 1 3 8 4 . 3 ? 0 . 2 8 _ a b l e t o g e t t h e a n s w g r u l f r a t m a t c h e s 5 : : a n s w e r k e y . _ 2 4 . I n l e a r n i n g m a fi r , i t i s i m p o r t a n t t o m a s t e r t o p i c s a n d 4 . 1 7 2 3 . 6 5 5 0 . 0 3 5 * s k i l l s a t o n e l e v e l b e f o r e g o i n g o n . ' e r t T h e i m p o r t a n c e o f r e a s o n i n g a n d fi r e p r o c e s s o v e r t h e p r o d u c t w e r e i d e a s t h a t w e r e m o r e p r e v a l e n t a t fi r e e n d o f fi r e s e m e s t e r fi r a n a t fi r e b e g i n n i n g . R e l a t e d t o fi r i s , a n d o f t e n n o t e d i n fi r e s a m e t h o u g h t , w a s fi r e i m p o r t a n c e o f u n d e r s t a n d i n g w h i c h r e c e i v e d a l i t t l e m o r e a t t e n t i o n a t t h e b e g i n n i n g o f fi r e s e m e s t e r fi r a n d i d r e a s o n i n g a n d fi r e p r o c e s s o v e r fi r e p r o d u c t . O n e p l a c e w e s e e a l i t fi e c h a n g e i n fi r i s c o n c e p t i o n i s i n t h e m e a n s f o r i t e m 2 3 f r o m t h e M a fi r e m a t i c s I n v e n t o r y , " S t u d e n t s ' r e a s o n i n g i s m o r e i m p o r t a n t fi r a n i f t h e y a r e a b l e t o g e t fi r e a n s w e r fi r a t m a t c h e s fi r e a n s w e r k e y . " T h e fi n a l m e a n r e s p o n s e w a s 4 . 3 7 9 w h i c h i n d i c a t e d q u i t e s t r o n g a g r e e m e n t a n d w a s u p f r o m t h e b e g i n n i n g m e a n o f 4 . 1 3 8 ( S e e T a b l e 5 ) . A g a i n , t h e c h a n g e i n fi r e m e a n s f o r fi r i s i t e m w a s n o t s t a t i s t i c a l l y s i g n i fi c a n t , b u t fi r e d i r e c t i o n o f c h a n g e w a s p r o m i s i n g . T h e fi n a l ” W h a t I s M a t h e m a t i c s ? ” j o u r n a l e n t r i e s a r e w h e r e w e s e e t h e m o s t a t t e n t i o n t o fi r e s e i d e a s . A n e x a m p l e o f fi r i s a t t e n t i o n w a s t h e s t u d e n t w h o e x p l a i n e d , ” T o b e s u c c e s s f u l i n m a t h , o n e m u s t u n d e r s t a n d fi r e u n d e r l y i n g l o g i c s u r r o u n d i n s p e c i f i c p r o b l e m s . O n e m u s t b e c a p a b l e o f r e a s o n i n g t h r o u g a p r o b l e m r a fi r e r t h a n r e l y i n g o n d e s i g n a t e d r u l e s . T o b e a b l e t o r e a s o n m a fi r e m a t i c a l l y i s t o b e a b l e t o b u i l d o n n e w m a fi r e m a t i c a l i d e a s . ” 1 3 8 O n e s t u d e n t f o c u s e d o n t h e i d e a t h a t m o s t m a t h e m a t i c s r e q u i r e s fi r i n k i n g — m o r e fi r a n a c o u p l e o f s e c o n d s w o r fi r . S h e w r o t e , ” A n o fi r e r fi r i n g t h a t m a fi r i s , i s fi r i r r k i n g . S t u d e n t s m u s t r e a l i z e t h a t f o r m o s t p r o b l e m s fi r e y c a n n o t j u s t s i t d o w n a n d w o r k fi r e m o u t i n t w o s e c o n d s . M o s t m a fi r p r o b l e m s s h o u l d c h a l l e n g e fi r e s t u d e n t s ’ fi r i n k i n g . . . . s t u d e n t s n e e d t o u n d e r s t a n d t h a t m o s t o f fi r e p r o b l e m s i n fi r e i r l i v e s c a n n o t b e s o l v e d q u i c k l y , b u t fi r a t fi r e y r e q u i r e fi r o u g h t ; m a t h i s n o t a n y d i f f e r e n t . " A n o t h e r s t u d e n t e x p l a i n e d t h a t m a t h r e q u i r e d t h o u g h t p r o c e s s e s l i k e c o n j e c t u r i n g a n d e x p l o r i n g : ” M a fi r g o e s b e y o n d fi r e p e n c i l a n d p a p e r r o t e , d r i l l s t y l e o f t e a c h i n g . S t u d e n t s n e e d t o c o n j e c t u r e , e x p l o r e , a n d r e v i s e fi r e i r fi r i n k i n g i n m a fi r . ” A n o fi r e r : ” M a t h i s d i f f e r e n t i d e a s , d i f f e r e n t w a y s t o a t t a c k a p r o b l e m , a c c e p t i n g o t h e r s e x p l a n a t i o n s , j o u r n a l s , j u s t i f y a n d l a i n i n g o r r e a s o n i n g o u t y o u r t h o u g h t s , t h e p r o c e s s , n o t a l w a y s e p r o d u c t , l i s t e n i n g a n d fi r e n e l i m i n a t i n g , a g r o u p a c t i v i t y , b e i n g o p e n t o n o n - t r a d i t i o n a l f o r m s . ” A n o t h e r s t u d e n t w h o w r o t e a b o u t r e a s o n i n g a s w e l l a s fi r e i m p o r t a n c e o f t h e p r o c e s s o v e r t h e p r o d u c t w a s t h e s t u d e n t w h o s e f i n a l ” W h a t I s M a t h e m a t i c s ? ” j o u r n a l e n t r y i n c l u d e d fi r i s t h o u g h t , ” M a t h e m a t i c s r e q u i r e s r e a s o n i n g a n d p r o b l e m s o l v i n g . I t m a k e s p e o p l e fi r i n k a b o u t h o w a n d w h y fi r i n g s o c c u r . T h e r e i s a f o c u s o n t h e p r o c e s s a n d n o t j u s t fi r e r i g h t a n s w e r . I f e e l fi r i s i s a v e r y i m p o r t a n t a s p e c t o f m a t h e m a t i c s . " O n e s t u d e n t a l s o n o t e d t h e i m p o r t a n c e o f fi r e p r o c e s s o v e r t h e p r o d u c t w h e n s h e w r o t e , ” W h i l e m a fi r h a s o f t e n b e e n s e e n t o b e j u s t a b o u t g e t t i n g a n s w e r s , t h e t r e n d s e e m s t o b e s w i t c h i n g t o f o c u s i n g o n u n d e r s t a n d i n g a n d t h e p r o c e s s e s a n d t h o u g h t i n v o l v e d . ” W i t h r e g a r d t o t h e i d e a t h a t u n d e r s t a n d i n g i s a n i m p o r t a n t p a r t o f l e a r n i n g m a t h e m a t i c s , s o m e s t u d e n t s f o c u s e d o n t h e i m p o r t a n c e o f 1 3 9 u n d e r s t a n d i n g w h y m a fi r e m a t i c s o p e r a t i o n s w o r k . A f e w s t u d e n t s n o t e d fi r i s a t fi r e b e g i n n i n g o f t h e s e m e s t e r a s w e l l . I n h e r fi n a l ” W h a t I s M a fi r e m a t i c s ? " j o u r n a l e n t r y , o n e s t u d e n t w r o t e , ” T o s u c c e e d i n m a fi r e m a t i c s , o n e n e e d s t o p r a c t i c e t h e c o n t r i b u t i n g e x e r c i s e s . M o r e p r e v a l e n t t h a n fi r i s , s t u d e n t s m u s t u n d e r s t a n d fi r e w h y a n d h o w o f o p e r a t i o n s . " A n o fi r e r s t u d e n t w r o t e , " P r e v i o u s l y , I a s s o c i a t e d m a fi r e m a t i c s w i fi r c o m p u t a t i o n o f n u m b e r s a n d s t e p - b y - s t e p p r o c e s s e s . I h a v e l e a r n e d , h o w e v e r , fi r a t m a fi r c a n b e b e t t e r u n d e r s t o o d a n d b e t t e r a p p r e c i a t e d w h e n c o n c e p t s a r e e x p l a i n e d a n d c l a r i fi e d . ” T h e i m p o r t a n c e o f p r o c e s s e s s u c h a s r e a s o n i n g w a s a l s o m u c h m o r e p r e v a l e n t i n t h e fi n a l m a t h c o n c e p t m a p s . A g a i n , a s w a s n o t e d i n fi r e p r o c e s s e s s e c t i o n o f fi r e p r e v i o u s c h a p t e r , e l e v e n o f fi r e m a p s i n c l u d e d fi r e w o r d ” p r o c e s s ” ( o r ” p r o c e s s e s ” ) . ” P r o b l e m s o l v i n g ” w a s fi r e p r o c e s s i n c l u d e d m o s t o f t e n i n t h e fi n a l c o n c e p t m a p s . T w e n t y - f o u r o f t h e 3 4 m a p s i n c l u d e d p r o b l e m s o l v i n g ( 7 0 . 6 % ) . " R e a s o n i n g ” w a s n o t e d i n 1 4 o f fi r e m a p s , a n d ” l o g i c ” w a s i n c l u d e d i n 1 1 . S o m e o f fi r e o t h e r p r o c e s s e s fi r a t w e r e i n c l u d e d m o s t f r e q u e n fi y ( w i fi r fi r e i r n u m b e r o f o c c u r r e n c e s i n p a r e n t h e s e s ) w e r e ” c o m p a r i n g ” ( 7 ) , ” fi r i n k i n g " ( 7 ) , ” t r i a l a n d e r r o r ” ( 5 ) , ” c o m m u n i c a t i n g ” ( 4 ) , ” a p p l y i n g ” ( 4 ) , ” m a k i n g c o n n e c t i o n s ” ( 3 ) , ” u n d e r s t a n d i n g ” ( 2 ) , ” e x p e r i m e n t a t i o n " ( 2 ) , ” c o n t r a s t i n g ” ( 2 ) , ” a n a l y z i n g ” ( 2 ) , ” c r i t i c a l fi r i n k i n g ” ( 2 ) , a n d ” fi r i n k i n g a b s t r a c fi y ” ( 2 ) . T h e r e w e r e 3 7 o t h e r p r o c e s s e s n o t e d o n c e . O f fi r i s l i s t , o n l y " fi r i n k i n g " w i t h f o u r o c c u r r e n c e s a n d ” t r i a l a n d e r r o r ” w i t h t h r e e o c c u r r e n c e s w e r e i n c l u d e d i n a n y o f fi r e s t u d e n t s ’ b e g i n n i n g m a t h c o n c e p t m a p s . A p a r t o f fi r e s t u d e n t s ’ c o n c e p t i o n o f l e a r n i n g m a fi r e m a t i c s a t t h e e n d o f fi r e s e m e s t e r fi r a t w a s n o t c o m m o n a t fi r e b e g i n n i n g o f fi r e s e m e s t e r w a s t h e r o l e o f m a n i p u l a fi v e s i n l e a r n i n g m a fi r e m a t i c s . A t fi r e b e g i n n i n g o f t h e s e m e s t e r , o n e s t u d e n t i n c l u d e d ” m a n i p u l a t i v e s ” a n d ” b a r s , c u b e s , b l o c k s ” a s i t e m s i n h e r m a t h c o n c e p t m a p . N o o n e w r o t e a b o u t m a n i p u l a t i v e s i n fi r e i r b e g i n n i n g ” W h a t I s 1 4 0 M a t h e m a fi c s ? ” j o u r n a l e n t r y . I n t h e fi n a l m a t h c o n c e p t m a p s , 1 1 s t u d e n t s i n c l u d e d ” m a r r i p u l a t i v e s , ” a n d o n e i n c l u d e d ” U s e m a n i p u l a t i v e s t o a i d i n v i s u a l i z a t i o n . ” O n e s t u d e n t e a c h i n c l u d e d t h e i t e m s ” d i c e , ” " c o u n t e r s , " a n d ” u s i n g n u m b e r s a n d o b j e c t s ” w h i c h w e r e r e l a t e d t o fi r e u s e o f m a n i p u l a t i v e s . A c o u p l e o f s t u d e n t s w r o t e a b o u t m a n i p u l a t i v e s i n t h e i r fi n a l ” W h a t I s M a fi r e m a t i c s ? ” j o u r n a l e n t r i e s . O n e w r o t e , ” M a fi r i s m a n i p u l a t i n g n u m b e r s a n d o b j e c t s . A c t u a l l y h a n d l i n g m a t e r i a l o b j e c t s h e l p s o n e t o u n d e r s t a n d fi r e m a fi r c o n c e p t b e i n g l e a r n e d . M a r r i p u l a t i v e s h e l p m a k e l e a r n i n g m a fi r s e e m m o r e r e a l a n d a p p l i c a b l e . ” A n o t h e r w r o t e , ” M a fi r i n fi r e s c h o o l s i s s l o w l y g e t t i n g m o r e i n v o l v e d o fi r e r fi r a n j u s t t e x t b o o k p r o b l e m s . M o r e m a n i p u l a t i v e s a r e b e i n g u s e d i n t h e c l a s s r o o m w h i c h g i v e s t h e l e a r n e r s w h o a r e n o t t e x t b o o k l e a r n e r s a n e w p e r s p e c t i v e . ” T h e r e w a s a l s o s o m e a t t e n t i o n t o fi r e r o l e o f d i s c o u r s e i n l e a r n i n g m a t h e m a t i c s a t t h e e n d o f t h e s e m e s t e r w h i l e fi r e r e w a s n o n e a t t h e b e g i n n i n g . I n h e r fi n a l ” W h a t I s M a t h e m a t i c s ? ” j o u r n a l e n t r y , o n e s t u d e n t w r o t e , ” M a fi r i n v o l v e s a p a r t i c u l a r d i s c o u r s e . . . k n o w l e d g e o f a m a fi r e m a t i c a l d i s c o u r s e i s e s s e n t i a l t o u n d e r s t a n d i n g a n d c o m m u n i c a t i n g i n m a t h - r e l a t e d s i t u a t i o n s a n d a c l a s s r o o m e n v i r o n m e n t ” ( fi r e s t u d e n t ’ s e l l i p s e s ) . A n o fi r e r w r o t e s i m p l y , " M a fi r i s a l s o w r i t i n g a n d s p e a k i n g . ” O n e s t u d e n t e x p l a i n e d h e r v i e w s o f fi r e i m p o r t a n c e o f d i s c o u r s e i n l e a r n i n g m a fi r fi r i s w a y , ” I a l s o h a v e b e c o m e a b i g p r o p o n e n t o f h a v i n g s t u d e n t s e x p l a i n fi r e i r fi r i n k i n g . T h i s e x p a n d s fi r e i r u n d e r s t a n d i n g a s w e l l a s fi r a t o f t h o s e l i s t e n i n g . " A n o fi r e r t h o u g h t a s t u d e n t h a d a b o u t fi r e n e e d f o r t a l k i n g a b o u t m a t h c o n c e p t s w a s , ” O n e n e e d s t o b e a b l e t o e x p l a i n fi r e m s e l v e s a s w e l l a s t e a c h o t h e r s t h e i r o w n i d e a s . ” A b o u t w r i t i n g , o n e s t u d e n t w r o t e , ” F i n a l l y , I b e l i e v e t h a t w r i t i n g s h o u l d b e a n i n t e g r a t e d p a r t o f m a fi r e m a t i c s l e a r n i n g . " A n o t h e r s t u d e n t w r o t e , ” I n e v e r s a w fi r e v a l u e o f h a v i n g s t u d e n t s w r i t e i n m a fi r c l a s s u n t i l w e d i s c u s s e d i t i n c l a s s . " 1 4 1 T h e i n fl u e n c e fi r a t a t t i t u d e s h a v e o n l e a r n i n g m a t h w a s a n o fi r e r i d e a fi r a t w a s n o t e d b y s o m e s t u d e n t s a t fi r e e n d o f fi r e s e m e s t e r . T h e m o s t c o m m o n i d e a a b o u t fi r a t i n fl u e n c e c a n b e r e p r e s e n t e d b y fi r e s t u d e n t w h o w r o t e , ” I fi r i n k fi r a t a l l o f t h e n e g a t i v e a t t e n t i o n ( O h , i t ’ s m h a r d ! ’ ) t h a t m a t h r e c e i v e s m a k e s k i d s b e l i e v e fi r a t i t L s t o o d i f fi c u l t f o r fi r e m a n d fi r a t fi r e y c a n ’ t s u c c e e d a t i t . ” T h e c h a n g e i n t h e m e a n r e s p O n s e f o r i t e m 2 4 , " I n l e a r n i n g m a fi r , i t i s i m p o r t a n t t o m a s t e r t o p i c s a n d s k i l l s a t o n e l e v e l b e f o r e g o i n g o n , " w a s s t a t i s t i c a l l y s i g n i fi c a n t . T h e m e a n o n fi r e l a s t d a y o f c l a s s w a s 3 . 6 5 5 d o w n f r o m 4 . 1 7 2 o n fi r e fi r s t d a y . T h e p v a l u e f o r fi r a t c h a n g e w a s 0 . 0 3 5 w h i c h , a s w a s n o t e d , i s s t a fi s t i c a l l y s i g n i fi c a n t ( S e e T a b l e 5 o n p a g e 1 3 8 ) . A s t a t i s t i c a l l y s i g n i fi c a n t c h a n g e f o r fi r i s i t e m — e s p e c i a l l y w h e n fi r e c h a n g e w a s i n fi r e d i r e c t i o n i t w a s — i s p e r h a p s a l i t t l e s u r p r i s i n g . H o w e v e r , t h i s i s a n i t e m f o r w h i c h a n a r g u m e n t c a n b e m a d e f o r b o fi r a g r e e i n g a n d d i s a g r e e i n g w i fi r i t , a n d i t s e e m s fi r a t b y t h e e n d o f fi r e s e m e s t e r , fi r e s t u d e n t s w e r e n ' t r e a l l y s u r e w h a t t h e y fi r o u g h t a b o u t i t s i n c e t h e m e a n i s c l o s e r t o fi r e m i d d l e o f t h e L i k e r t s c a l e . O f c o u r s e , m o s t p e o p l e r e a l i z e t h a t m u c h o f m a t h e m a t i c s b u i l d s o n i t s e l f , a n d f o r e x a m p l e , a p e r s o n c a n n o t m a n i p u l a t e c a l c u l u s p r o b l e m s w i fi r o u t fi r s t h a v i n g s o m e u n d e r s t a n d i n g o f a l g e b r a . H o w e v e r , o n e r e a s o n w h y t h e r e m a y h a v e b e e n l e s s a g r e e m e n t w i fi r fi r a t s t a t e m e n t a t fi r e e n d o f fi r e s e m e s t e r fi r a n a t fi r e b e g i n n i n g i s b e c a u s e i n c l a s s w e t a l k e d a b o u t h o w s o m e t i m e s w h e n s t u d e n t s d o n ' t r e a l l y " g e t " a c o n c e p t s u c h a s a d d i t i o n o r s u b t r a c t i o n w h e n i t i s t a u g h t a l o n e , fi r e y w i l l p i c k i t u p l a t e r w h e n fi r e y a r e l e a r n i n g a b o u t o fi r e r fi r i n g s l i k e m e a s u r e m e n t o r p r o b a b i l i t y a n d s t a t i s t i c s fi r a t i n c l u d e fi r a t c o n c e p t . A n o t h e r fi r i n g t h a t m a y h a v e i n fl u e n c e d t h e c h a n g e i n fi r e s t u d e n t s ' a g r e e m e n t w i fi r fi r a t s t a t e m e n t i s a n a r t i c l e t h a t w e r e a d a n d d i s c u s s e d ( F l a n d e r s , 1 9 8 7 ) fi r a t t a l k e d a b o u t h o w m u c h t i m e i s s p e n t i n e a c h g r a d e r e p e a t i n g c o n t e n t fi r a t w a s c o v e r e d i n p r e v i o u s g r a d e s a n d s u g g e s t e d t h a t e l i m i n a t i n g s o m e o f t h a t r e p e t i t i o n c o u l d p r o v i d e m o r e t i m e t o i n c r e a s e b o fi r t h e 1 4 2 b r e a d fi r a n d fi r e d e p t h o f fi r e c o n t e n t c o v e r e d i n a m a t h c l a s s . M u c h o f t h e w r i t i n g a b o u t m a fi r r e f o r m e m p h a s i z e s fi r a t g o o d p r o b l e m s h a v e m a n y p o i n t s o f a c c e s s ( N C M 1 9 9 1 ) , s o fi r a t s t u d e n t s d o n o t n e c e s s a r i l y h a v e t o h a v e m a s t e r e d m a t h c o n t e n t A i n o r d e r t o a t t a c k p r o b l e m B . H o w e v e r , fi r i s i s v e r y d i f f e r e n t f r o m w h a t s t u d e n t s h a v e e x p e r i e n c e d i n s c h o o l w h e r e a l l fi r e p r o b l e m s o n p a g e 1 1 6 r e q u i r e t h e u s e o f fi r e a l g o r i t h m fi r a t w a s e x p l a i n e d o n p a g e 1 1 4 . 5 0 , fi r e c h a n g e i s n o t s u r p r i s i n g . S u m m a r y o f C h a n g e s i n S t u d e n t s ' C o n c e p t i o n s o f L e a r n i n g M a t h e m a t i c s . O n e o f fi r e b i g c h a n g e s i n t h e s t u d e n t s ’ c o n c e p t i o n s o f l e a r n i n g m a fi r e n r a t i c s f r o m fi r e b e g i n n i n g o f fi r e s e m e s t e r t o t h e e n d o f t h e s e m e s t e r w a s fi r e a m o u n t o f a t t e n t i o n fi r o s e i d e a s r e c e i v e d — e s p e c i a l l y i n fi r e o p e n - e n d e d d a t a s o u r c e s . T h e r e a l s o a p p e a r e d t o b e a c h a n g e i n t h e w a y s t u d e n t s t h o u g h t a b o u t l e a r n i n g a n d t e a c h i n g . M o s t o f t h e s t u d e n t s ' c o n c e p t i o n s o f l e a r n i n g m a fi r e m a t i c s a t t h e b e g i n n i n g o f fi r e s e m e s t e r w e r e r e l a t e d t o h o w t h e y h a d e x p e r i e n c e d l e a r n i n g m a fi r e m a t i c s fi r e m s e l v e s . B y fi r e e n d o f t h e s e m e s t e r , t h e i d e a s t h e y i n c l u d e d a b o u t l e a r n i n g w e r e m o r e h o w t h e y w o u l d fi r i n k a b o u t l e a r n i n g m a t h i f fi r e y w e r e t e a c h i n g i t . T h i s s h o w e d a s h i f t i n t h e w a y t h e s t u d e n t s p o s i t i o n e d t h e m s e l v e s i n r e l a t i o n t o m a t h e m a t i c s . F o r fi r e g r o u p a s a w h o l e , fi r e r e w a s a s h i f t i n p o s i t i o n i n g f r o m t h i n k i n g o f m a fi r a s fi r e y e x p e r i e n c e d l e a r n i n g i t a n d a s i t r e l a t e d t o t h e m s e l v e s a s l e a r n e r s a n d u s e r s o f m a fi r t o fi r i n k i n g o f m a fi r a s a t e a c h e r w o u l d — a s h i f t f r o m e x p e r i e n c e d s t u d e n t t o p r o s p e c t i v e t e a c h e r . T h i s w o u l d b e a h o p e d - f o r , a n d c e r t a i n l y n o t a s u r p r i s i n g , e f f e c t o f fi r e c o u r s e . W h e n fi r e s t u d e n t s fi r s t e n t e r e d fi r e c o u r s e , fi r e o n l y e x p e r i e n c e s m o s t o f fi r e m h a d h a d w i fi r m a t h w e r e fi r e i r e x p e r i e n c e s l e a r n i n g i t i n s c h o o l a n d t h e i r e x p e r i e n c e s u s i n g i t i n fi r e i r d a i l y l i v e s . F o r m o s t , fi r i s w a s t h e o n l y a s s o c i a t i o n fi r e y h a d w i fi r m a t h a n d t h e r e f o r e t h e i r o n l y f r a m e o f r e f e r e n c e f r o m w h i c h t o f o r m c o n c e p t i o n s o f a n d a t t i t u d e s t o w a r d m a fi r . T h r o u g h o u t t h e c l a s s , fi r e y w e r e 1 4 3 i n t r o d u c e d t o n e w i d e a s r e l a t e d t o m a t h e m a t i c s a n d t e a c h i n g m a fi r e m a fi c s a s p r e p a r a t i o n t o h e l p t h e m b e c o m e t e a c h e r s o f m a fi r e m a t i c s . T h e s e i d e a s o f f e r e d fi r e m a v i s i o n o f m a t h a n d h o w i t c o u l d b e t a u g h t t h a t w a s o f t e n d i f f e r e n t f r o m fi r e i r o w n e x p e r i e n c e s , a n d p r o v i d e d fi r e m a n e w f r a m e o f r e f e r e n c e f r o m w h i c h t o f o r m c o n c e p t i o n s o f a n d a t t i t u d e s t o w a r d m a fi r . T h e y s p e n t f i f t e e n w e e k s t a l k i n g a b o u t , r e a d i n g a b o u t , c o m p l e t i n g a s s i g n m e n t s r e l a t e d t o , a n d fi r i n k i n g a b o u t t e a c h i n g m a fi r e m a t i c s . I t i s n o t u n e x p e c t e d t h a t a t fi r e e n d o f fi r e s e m e s t e r fi r e y w o u l d b e fi r i n k i n g a b o u t m a fi r m o r e a s s o m e o n e w h o w a s g o i n g t o t e a c h i t fi r a n a s s o m e o n e w h o h a d o n l y e x p e r i e n c e d i t a s a s t u d e n t a n d u s e r . I n t h e f o l l o w i n g p a r a g r a p h s , I w i l l h i g h l i g h t s o m e o f t h e a r e a s t h a t I t h i n k e x e m p l i f y fi r i s s h i f t i n p o s i fi o n i n g . O n e e x a m p l e fi r a t w a s i l l u s t r a t i v e o f fi r i s s h i f t i n p o s i t i o n i n g w a s t h e i n c l u s i o n o f fi r e r o l e o f m a n i p u l a t i v e s a n d fi r e r o l e o f d i s c o u r s e i n t h e i r i d e a s a b o u t h o w m a fi r i s l e a r n e d a t fi r e e n d o f t h e s e m e s t e r w h i l e t h e r e w a s e s s e n t i a l l y n o a t t e n t i o n t o t h e s e i d e a s a t t h e b e g i n n i n g o f t h e s e m e s t e r . T h e s e w e r e i d e a s r e l a t e d t o l e a r n i n g fi r a t p e r h a p s a t e a c h e r w o u l d w a n t t o u t i l i z e w h i l e t e a c h i n g m a fi r , b u t t h e y a r e fi r i n g s t h a t t h e s t u d e n t s p r o b a b l y d i d n ’ t e x p e r i e n c e m u c h w h i l e fi r e y fi r e m s e l v e s l e a r n e d m a t h . A n o fi r e r e x a m p l e o f fi r i s s h i f t i n p o s i t i o n i n g w a s t h e i n c r e a s e d a t t e n t i o n t o fi r e i d e a fi r a t t h e p r o c e s s w a s m o r e i m p o r t a n t fi r a r r fi r e p r o d u c t . M a n y s t u d e n t s s e e m e d t o f e e l t h a t o n l y t h e r i g h t a n s w e r w a s v a l u e d i n fi r e i r o w n e x p e r i e n c e s a s s t u d e n t s , w h i c h w a s n o t a p o s i t i v e e x p e r i e n c e f o r m o s t o f t h e m , a n d fi r e y s e e m e d t o w a n t t o e m p h a s i z e fi r e p r o c e s s m o r e f o r t h e i r s t u d e n t s w h e n fi r e y t a u g h t . T h e r e w a s a n i t e m i n fi r e M a fi r e m a t i c s I n v e n t o r y a b o u t fi r a t i d e a — i t e m 2 3 , ” S t u d e n t s ' r e a s o n i n g i s m o r e i m p o r t a n t fi r a n i f fi r e y a r e a b l e t o g e t t h e a n s w e r t h a t m a t c h e s t h e a n s w e r k e y . ” T h e c l a s s a g r e e d w i t h fi r a t s t a t e m e n t q u i t e s t r o n g l y a s t h e c l a s s b e g a n ( 4 . 1 3 8 m e a n ) , a n d t h e y a g r e e d w i fi r i t e v e n 1 4 4 m o r e s t r o n g l y a t fi r e e n d o f fi r e s e m e s t e r ( 4 . 3 7 9 m e a n ) . T h e i r c o m m e n t s i n fi r e i r fi n a l ” W h a t I s M a fi r e m a t i c s ? ” j o u r n a l e n t r i e s s h o w e d a n e v e n g r e a t e r i n c r e a s e i n t h e i r a t t e n t i o n t o fi r i s i d e a . T h e s t u d e n t s a l s o p a i d m o r e a t t e n t i o n t o s p e c i fi c p r o c e s s e s fi r a t a r e u s e d i n l e a r n i n g s u c h a s r e a s o n i n g , c o n j e c t u r i n g , e x p l o r i n g , j u s t i f y i n g , a n d r e v i s i n g . R e l a t e d t o fi r i s w a s fi r e i m p o r t a n c e o f u n d e r s t a n d i n g m a d r e m a t i c s , a n d w h i l e fi r e r e w a s s o m e a t t e n t i o n t o fi r i s a t fi r e b e g i n n i n g o f fi r e s e m e s t e r , t h e r e w a s m o r e a t t h e e n d o f fi r e s e m e s t e r . T h e r e w a s a l s o m o r e a t t e n t i o n t o fi r e r o l e fi r a t t e a c h e r s ’ a n d s t u d e n t s ’ a t t i t u d e s p l a y i n l e a r n i n g . T h e p r o s p e c t i v e t e a c h e r s s e e m e d t o b e m o r e a w a r e fi r a t s t u d e n t s ' d e s i r e a n d c o n fi d e n c e t o l e a r n m a fi r e m a fi c s i s a f f e c t e d b y fi r e i r t e a c h e r ’ 8 a t t i t u d e t o w a r d m a fi r a s w e l l a s fi r e i r o w n a t t i t u d e t o w a r d i t . T h e d e c r e a s e d e m p h a s i s o n m e m o r i z a t i o n a s a w a y t o l e a r n m a fi r e m a t i c s c o u l d a l s o b e c o n s i d e r e d a n e x a m p l e o f a s h i f t i n fi r e s t u d e n t s ’ p o s i t i o n i n g r e l a t e d t o m a fi r e m a t i c s . W h i l e fi r e a t t e n t i o n m e m o r i z a t i o n r e c e i v e d a t t h e b e g i n n i n g o f t h e s e m e s t e r s e e m e d t o b e fi r e s t u d e n t s r e m e m b e r i n g h o w t h e y l e a r n e d m a t h e m a fi c s , fi r e f o c u s r e l a t e d t o m e m o r i z a t i o n a t t h e e n d o f fi r e s e m e s t e r w a s m o r e t h a t l e a r n i n g m a fi r w e n t b e y o n d m e m o r i z a t i o n . H o w e v e r , a t b o fi r fi r e b e g i n n i n g o f fi r e s e m e s t e r a n d t h e e n d o f fi r e s e m e s t e r , m o s t s t u d e n t s d i d n ’ t a g r e e w i fi r fi r e i d e a fi r a t m e m o r i z a t i o n w a s fi r e b e s t w a y t o l e a r n m a t h e m a t i c s a s w a s i l l u s t r a t e d b y i t e m 2 2 f r o m t h e M a t h e m a t i c s I n v e n t o r y , " T h e b e s t w a y t o l e a r n m a t h i s t o m e m o r i z e fi r e r u l e s . ” A s a g r o u p , fi r e s t u d e n t s d i s a g r e e d w i fi r t h a t s t a t e m e n t q u i t e s t r o n g l y a t fi r e b e g i n n i n g o f fi r e s e m e s t e r a n d e v e n m o r e s t r o n g l y a t t h e e n d o f fi r e s e m e s t e r w i t h m e a n r e s p o n s e s o f 2 . 0 6 9 a n d 1 . 9 3 1 , r e s p e c t i v e l y . A n i n t e r e s t i n g c h a n g e i n t h e s t u d e n t s ’ c o n c e p t i o n s o f l e a r n i n g m a fi r e m a t i c s w a s fi r e s t a t i s t i c a l l y s i g n i f i c a n t c h a n g e i n t h e m e a n r e s p o n s e s t o i t e m 2 4 o f fi r e M a t h e m a t i c s I n v e n t o r y , ” I n l e a r n i n g m a fi r , i t i s i m p o r t a n t t o 1 4 5 m a s t e r t o p i c s a n d s k i l l s a t o n e l e v e l b e f o r e g o i n g o n . ” A t fi r e b e g i n n i n g o f fi r e s e m e s t e r , fi r e s t u d e n t s a g r e e d w i fi r fi r a t s t a t e m e n t q u i t e s t r o n g l y , a n d t h e i r m e a n r e s p o n s e w a s 4 . 1 7 2 . A t t h e e n d o f fi r e s e m e s t e r , t h e s t u d e n t s a g r e e d w i fi r fi r a t s t a t e m e n t l e s s s t r o n g l y , a n d t h e i r m e a n r e s p o n s e w a s 3 . 6 5 5 . A s w a s n o t e d p r e v i o u s l y , a p o s s i b l e r e a s o n f o r fi r i s c h a n g e w a s b e c a u s e o f i d e a s d i s c u s s e d i n c l a s s t h a t s h o w e d t h a t fi r e r e w e r e a r g u m e n t s fi r a t c o u l d b e m a d e f o r a g r e e i n g o r d i s a g r e e i n g w i fi r fi r a t s t a t e m e n t . F o r fi r e g r o u p , t h e r e s e e m e d t o b e a g r e a t e r e x p a n s i o n o f t h e s t u d e n t s ’ c o n c e p t i o n s o f f a c t o r s t h a t a r e p a r t o f l e a r n i n g f r o m t h e b e g i n n i n g o f t h e s e m e s t e r t o fi r e e n d o f fi r e s e m e s t e r . T h e r e a l s o s e e m e d t o b e a s h i f t i n t h e w a y fi r e s t u d e n t s , a s a g r o u p , p o s i t i o n e d fi r e m s e l v e s i n r e l a t i o n t o m a fi r e n r a t i c s . A t fi r e b e g i n n i n g o f t h e s e m e s t e r , m o s t o f t h e s t u d e n t s s e e m e d t o r e l a t e t o m a t h e m a t i c s i n a w a y t h a t w a s b a s e d o n fi r e i r p e r s o n a l e x p e r i e n c e s w i fi r m a fi r — m o s t o f t e n a s l e a r n e r s . B y t h e e n d o f t h e s e m e s t e r , m o s t s t u d e n t s s e e m e d t o b e fi r i n k i n g a b o u t m a fi r e m a t i c s a s i f fi r e y w e r e g o i n g t o t e a c h i t . T e a c h i n g M a t h e m a t i c s A s w i t h t h e s t u d e n t s ’ c o n c e p t i o n s o f l e a r n i n g m a t h e m a t i c s , a t t h e b e g i n n i n g o f t h e s e m e s t e r , t h e r e w a s s o m e , b u t n o t a g r e a t d e a l o f i n f o r m a t i o n a b o u t fi r e s t u d e n t s ’ c o n c e p t i o n s o f t e a c h i n g m a d r e m a t i c s f r o m t h e o p e n - e n d e d d a t a s o u r c e s ( fi r e ” W h a t I s M a fi r e m a t i c s ? ” j o u r n a l e n t r y a n d t h e m a t h c o n c e p t m a p ) . H o w e v e r , t h e r e w e r e a c o u p l e o f o p e n - e n d e d q u e s t i o n s i n t h e M a t h e m a t i c s I n v e n t o r y t h a t w e r e r e l a t e d t o t h e i r c o n c e p t i o n s o f t e a c h i n g m a t h e m a t i c s t h a t a d d e d s o m e m o r e i n f o r m a t i o n . A l s o , a t t h e e n d o f fi r e s e m e s t e r , fi r e s t u d e n t s w r o t e a ” P h i l o s o p h y o f T e a c h i n g M a fi r e m a t i c s ” j o u r n a l e n t r y t h a t p r o v i d e d m u c h i n f o r m a t i o n a b o u t fi r e i r c o n c e p t i o n s o f t e a c h i n g m a t h e m a t i c s a t t h a t p o i n t . T h e c o n c e p t i o n s t h e s t u d e n t s i n c l u d e d i n fi r e ” P h i l o s o p h y o f T e a c h i n g M a fi r e m a t i c s ” j o u r n a l e n t r i e s r e l a t e d t o t e a c h i n g 1 4 6 m a fi r e m a t i c s i m p l i e d s o m e o f t h e i r c o n c e p t i o n s o f l e a r n i n g m a fi r e m a t i c s , b u t b e c a u s e t h e y w e r e e x p l i c i fi y a s k e d t o w r i t e a b o u t fi r e i r c o n c e p t i o n s o f t e a c h i n g m a fi r e m a t i c s , t h e s e i d e a s a r e o n l y i n c l u d e d i n fi r i s s e c t i o n . A n o fi r e r r e a s o n I c h o s e n o t t o i n c l u d e t h e i n f o r m a t i o n t h a t I c o u l d i n f e r f r o m t h e ” T e a c h i n g M a t h e m a t i c s " j o u r n a l e n t r i e s i n fi r e l e a r n i n g m a t h e m a t i c s s e c t i o n i s b e c a u s e I w a s a l s o i n t e r e s t e d i n s e e i n g h o w m u c h a t t e n t i o n fi r e s t u d e n t s g a v e t h e s e i d e a s a t fi r a t p o i n t w h e n t h e y w e r e n o t s p e c i fi c a l l y a s k e d t o a d d r e s s fi r e m . A s w a s t h e c a s e w i t h t h e i r c o n c e p t i o n s o f l e a r n i n g , t h e s t u d e n t s ’ c o n c e p t i o n s o f t e a c h i n g a t fi r e b e g i n n i n g o f fi r e s e m e s t e r s e e m e d v e r y i n fl u e n c e d b y t h e i r o w n e x p e r i e n c e s a s s t u d e n t s o f m a t h e m a t i c s . B y t h e e n d o f fi r e s e m e s t e r , fi r e y s e e m e d t o h a v e i n c o r p o r a t e d o fi r e r i d e a s fi r a t w e r e i n fl u e n c e d b y t h e i r c l a s s a n d p r a c t i c u m e x p e r i e n c e s . S t u d e n t s ' C o n c e p t i o n s o f T e a c h i n g M a t h e m a t i c s a t t h e B e g i n n i n g o f t h e S e m e s t e r . A t fi r e b e g i n n i n g o f t h e s e m e s t e r , fi r e s t u d e n t s i n c l u d e d s o m e , b u t n o t a s i g n i fi c a n t a m o u n t a b o u t t h e i r c o n c e p t i o n s o f t e a c h i n g m a fi r e m a t i c s i n t h e o p e n - e n d e d d a t a s o u r c e s o f t h e m a t h c o n c e p t m a p s a n d t h e ” W h a t I s M a t h e m a t i c s ? ” j o u r n a l e n t r i e s . T h e r e w a s , h o w e v e r , m o r e i n fi r e j o u r n a l e n t r i e s t h a n t h e c o n c e p t m a p s . F o u r t e e n s t u d e n t s i n c l u d e d s o m e fi r i n g r e l a t e d t o t e a c h i n g i n fi r e i r b e g i n n i n g ” W h a t I s M a t h e m a t i c s ? ” j o u r n a l e n t r y , a n d o n l y t h r e e s t u d e n t s i n c l u d e d a n y fi r i n g a b o u t t e a c h i n g m a fi r e m a t i c s i n fi r e i r b e g i n n i n g m a t h c o n c e p t m a p s . I n h e r m a t h c o n c e p t m a p , o n e s t u d e n t i n c l u d e d ” w o r k b o o , ” ” r o t e l e a r n i n g , " a n d ” g r o u p l e a r n i n g ” w h i c h w e r e p r o b a b l y w a y s s h e r e m e m b e r e d i t b e i n g t a u g h t . A n o fi r e r s t u d e n t i n c l u d e d ” n e e d s t o b e t a u g h t w e l l " a n d ” n e e d s t o b e d i s p l a y e d i n p o s i t i v e w a y t o l e a r n e r s ” i n h i s b e g i n n i n g m a fi r c o n c e p t m a p . T h e s t u d e n t w h o s e c o n c e p t m a p i n c l u d e d t h e m o s t a b o u t t e a c h i n g ( a n d l e a r n i n g ) i s s h o w n i n F i g u r e 2 6 . S h e h a d a d i s t i n c t s e c t i o n f o r ” I r r s t r u c t i n g ” w i t h fi r e i t e m s ” m a k e i t k n o w n fi r a t i t i s o . k . t o m a k e m i s t a k e s , ” 1 4 7 a g b fi w o m / w t w . ” M J K F W Q ‘ W u \ t l . t ‘ fi t ‘ i z m ) I I I I I I I I ” s h o w h o w y o u c a n l e a r n f r o m m i s t a k e s , m u s t s h o w c o n fi d e n c e , m u s t e m p h a s i z e u n d e r s t a n d i n g v s . m e m o r i z i n g , ” a n d " e a c h c h i l d l e a r n s i n d i f f e r e n t w a y s . " S o m e o f fi r e s e i d e a s w e r e a l s o p a r t o f fi r e c o n c e p t i o n s o f o t h e r s t u d e n t s a t t h e b e g i n n i n g o f t h e s e m e s t e r a s w a s e v i d e n c e d i n t h e “ W h a t I s M a fi r e m a t i c s ? " j o u r n a l e n t r i e s . C t r } ‘ p _ _ _ w e » , . . l i m i t / fi r m . t u n : N W m m s l a w “ M E ? ‘ w n m . ' 8 W ) “ I E - M W t u b u l e W W L N T r a m s - M F i g u r e 2 6 : B e g i n n i n g M a fi r C o n c e p t M a p o f S t u d e n t 5 T h e m o s t c o m m o n c o n c e p t i o n r e l a t e d t o t e a c h i n g m a t h e m a t i c s t h a t fi r e s t u d e n t s w r o t e a b o u t i n t h e i r b e g i n n i n g ” W h a t I s M a fi r e m a t i c s ? " j o u r n a l e n t r i e s w a s t h e i d e a t h a t m a fi r s h o u l d b e t a u g h t s o fi r a t s t u d e n t s c a n s e e h o w i t ’ s r e l a t e d t o fi r e w o r l d a r o u n d u s . S i x s t u d e n t s w r o t e a b o u t fi r a t i d e a . O n e s t u d e n t w r o t e , " I t i s i m p o r t a n t f o r s t u d e n t s t o g r a s p m a t h e m a t i c s a n d u n d e r s t a n d i t s m e a n i n g a n d c o n n e c t i o n s t o t h e e n v i r o n m e n t . " A n o t h e r w r o t e , " I t h i n k t h a t i t i s 1 4 8 i m p o r t a n t t o t e a c h m a fi r u s i n g r e a l i s t i c s i t u a t i o n s s o t h a t c h i l d r e n c a n r e a l i z e h o w r e l e v a n t i t i s t o fi r e i r l i v e s . " A n o t h e r s t u d e n t e x p r e s s e d h e r c o n c e p t i o n fi r i s w a y , " I fi r i n k i f b a s i c m a t h ( a d d i n g , s u b t r a c t i n g , e t c . ) i s t a u g h t i n w a y s fi r a t c h i l d r e r r c a n s e e h o w i t i s u s e d i n l i f e , i t w o n ' t s e e m f o r e i g n o r a s c h a l l e n g i n g . W h e n y o u c a n s e e w h e n y o u w i l l b e u s i n g o r n e e d i n g c e r t a i n fi r i n g s fi r e n fi r e p r o c e s s o f l e a r n i n g i t i s v a l u e d . " A n o fi r e r s t u d e n t c o n v e y e d a s i m i l a r i d e a w h e n s h e w r o t e , " M a n y s t a r t t o t e a c h m a fi r f o r m a t h ' s s a k e i n s t e a d o f s h o w i n g s t u d e n t s fi r a t m a fi r e m a t i c a l k n o w l e d g e c a n b e u s e d a s a t o o l t o s o l v e r e a l p r o b l e m s a n d h e l p o u t i n r e a l l i f e . " T h e i d e a fi r a t t e a c h e r s s h o u l d t e a c h s o fi r a t s t u d e n t s u n d e r s t a n d m a fi r w a s a n o t h e r c o n c e p t i o n fi r a t w a s e x p r e s s e d b y s o m e s t u d e n t s a t fi r e b e g i n n i n g o f t h e s e m e s t e r . O n e s t u d e n t w r o t e , " W o r k i n g t o w a r d s a n u n d e r s t a n d i n g i n m a t h i s s o m e fi r i n g s t u d e n t s s t r i v e f o r a n d s o m e fi r i n g t h a t t e a c h e r s e x p e c t t o s e e . " A n o t h e r s t u d e n t e l a b o r a t e d m o r e o n t h e i m p o r t a n c e o f t e a c h e r s t e a c h i n g f o r u n d e r s t a n d i n g . S h e w r o t e , " T e a c h e r s o f t e n f a i l t o i n s t r u c t s t u d e n t s h o w t o u n d e r s t a n d a n d a n a l y z e p r o b l e m s i n a w a y t o m a k e fi r e m ' s t u d e n t f r i e n d l y . ‘ F o r e x a m p l e , a n i n s t r u c t o r w h o s i m p l y r e a d s fi r e p r o b l e m a n d b r i s k l y w r i t e s t h e c o r r e s p O n d i n g o p e r a t i o n s d o w n d o e s n o t c o n v e y fi r e i m p o r t a n c e o f i n t e r p r e t i n g w h a t i s a c t u a l l y b e i n g a s k e d . D u e t o fi r i s c o m m o n o c c u r r e n c e m a n y c h i l d r e n a r e l e f t f r u s t r a t e d a n d c l u e l e s s t o w h a t p r o c e d u r e s h a d a c t u a l l y h a p p e n e d . ” T h e o n l y o fi r e r c o m m e n t fi r a t a s t u d e n t m a d e i n h e r b e g i n n i n g ” W h a t I s M a fi r e m a t i c s ? ” j o u r n a l e n t r y r e l a t e d t o c o n c e p t i o n s o f t e a c h i n g m a fi r e m a t i c s i s a s t u d e n t w h o w r o t e t h a t t e a c h e r s a n d m e m o r i z a t i o n a n d d r i l l c a n c a u s e s t u d e n t s t o h a v e a p o o r a t t i t u d e . S h e w r o t e , " I fi r i n k o f fi r e d r i l l s a n d m e m o r i z a t i o n fi r a t w e n t a l o n g w i fi r i t w h e n o u r p a r e n t s w e r e i n s c h o o l . T h a t d e v e l o p e d a p o o r a t t i t u d e f o r t h o s e p e o p l e . N o w , fi r e s e p e o p l e a r e t e a c h i n g p e o p l e m y a g e fi r e s e s a m e v a l u e s w h i c h i s w h y p e o p l e w h o h a d o l d e r t e a c h e r s w h e n fi r e y w e r e l i t fi e d o n ' t l i k e i t n o w . " 1 4 9 T h e r e w e r e t w o i t e m s i n t h e L i k e r t - s c a l e p o r t i o n o f t h e M a t h e m a t i c s I n v e n t o r y t h a t w e r e r e l a t e d t o c o n c e p t i o n s o f t e a c h i n g m a t h e m a t i c s . O n e o f t h e m w a s i t e m 1 0 , " T e a c h i n g m a fi r e m a t i c s s h o u l d n o t b e t o o d i f fi c u l t s i n c e a t e x t b o o k a l r e a d y h a s t h e l e s s o n s p r e p a r e d . " O n t h e fi r s t d a y o f c l a s s t h e m e a n r e s p o n s e w a s 2 . 0 3 4 i n d i c a t i n g f a i r l y s t r o n g d i s a g r e e m e n t w i t h i t . M o s t o f t h e s t u d e n t s p r o b a b l y r e a l i z e d — a t l e a s t a t s o m e l e v e l — t h a t t e a c h i n g m a t h e m a t i c s i n v o l v e d m o r e t h a n o p e n i n g a t e x t b o o k a n d r e a d i n g fi r r o u g h a p r e s c r i b e d l e s s o n . T h e o fi r e r w a s i t e m 1 8 , ” B e i n g g o o d a t m a t h e m a t i c s i s n o t r e q u i r e d t o b e a g o o d t e a c h e r o f m a t h . ” O n fi r e fi r s t d a y o f c l a s s , fi r e m e a n r e s p o n s e f o r fi r a t i t e m w a s 2 . 8 6 w h i c h w a s c l o s e t o t h e m i d d l e , b u t l e a n i n g s l i g h t l y i n fi r e d i r e c t i o n o f d i s a g r e e m e n t . A s w a s n o t e d p r e v i o u s l y , fi r e M a fi r e m a t i c s I n v e n t o r y i n c l u d e d t w o o p e n - e n d e d q u e s t i o n s t h a t w e r e r e l a t e d t o t h e s t u d e n t s ’ c o n c e p t i o n s o f t e a c h i n g m a fi r e m a t i e s . T h e fi r s t o f fi r e s e q u e s t i o n s a s k e d , " W h a t k i n d o f i n fl u e n c e d o y o u fi r i n k t h e t e a c h e r p l a y s i n t h e s u c c e s s o f s t u d e n t s i n m a t h e m a t i c s ? " T h e m o s t c o m m o n r e s p o n s e s f r o m t h e s t u d e n t s h a d t o d o w i fi r fi r e i d e a fi r a t fi r e t e a c h e r s ' a t t i t u d e s t o w a r d m a fi r e m a t i c s a f f e c t e d t h e s t u d e n t s . T h e i d e a w r i t t e n a b o u t m o s t f r e q u e n fi y w a s t h a t t e a c h e r e x c i t e m e n t a n d / o r e n t h u s i a s m c a r r i e s o v e r t o s t u d e n t s . E l e v e n s t u d e n t s w r o t e fi r a t . T e n d i f f e r e n t s t u d e n t s w r o t e fi r a t t e a c h e r s i n fl u e n c e h o w s t u d e n t s f e e l t o w a r d m a t h . R e l a t e d t o t h a t w a s t h a t t e a c h e r c o n fi d e n c e c a r r i e s o v e r t o s t u d e n t s w h i c h w a s w r i t t e n b y f o u r s t u d e n t s , a n d t h r e e s t u d e n t s w r o t e t h a t t h e t e a c h e r s ' a t t i t u d e s a f f e c t t h e s t u d e n t s ' a t t i t u d e s w h i c h a f f e c t s t h e i r p e r f o r m a n c e . A s e c o n d o p e n - e n d e d q u e s t i o n a s k e d s p e c i fi c a l l y a b o u t fi r e r o l e t e a c h e r s ’ a t t i t u d e s t o w a r d m a fi r e m a t i c s p l a y i n fi r e fi r e i r s t u d e n t s ’ l e a r n i n g o f m a fi r e m a t i c s : ” D o y o u fi r i n k a t e a c h e r ’ s a t t i t u d e t o w a r d m a t h e m a t i c s a f f e c t s h o w h e o r s h e t e a c h e s i t ? W h y o r w h y n o t ? H o w a b o u t a t e a c h e r ’ 5 a t t i t u d e a b o u t t e a c h i n g i t ? 1 5 0 E x p l a i n . ” T h i r t y - t h r e e o f fi r e fi r i r t y - f o u r s t u d e n t s w h o a n s w e r e d fi r a t q u e s t i o n w r o t e , ” Y e s . ” T h e o n e s t u d e n t w h o w r o t e ” n o ” w r o t e t h a t s h e d o e s n ’ t l i k e m a fi r , b u t s h e r e c o g n i z e s i t s i m p o r t a n c e a n d fi r a t s t u d e n t s n e e d t o l e a r n i t . T o e x p l a i n w h y fi r e y fi r o u g h t t e a c h e r s ’ a t t i t u d e s a f f e c t t h e i r s t u d e n t s ’ l e a r n i n g o f m a fi r e m a t i c s , s i x t e e n s t u d e n t s w r o t e . fi r a t t h e t e a c h e r ’ 3 a t t i t u d e r u b s o f f o n s t u d e n t s . N i n e s t u d e n t s w r o t e fi r a t t e a c h e r s ’ a t t i t u d e s a f f e c t fi r e w a y fi r e y t e a c h i t . F i v e s t u d e n t s w r o t e fi r a t i f t e a c h e r s d o n ’ t l i k e m a fi r , fi r e y w o n ' t s p e n d a l o t o f t i m e o r e n e r g y o n i t . F o u r s t u d e n t s w r o t e fi r a t i f a t e a c h e r h a s a b a d a t t i t u d e o r i s a p p r e h e n s i v e , i t w i l l a f f e c t fi r e s t u d e n t s ’ a t t i t u d e a n d l e a r n i n g . I t s e e m e d c l e a r fi r a t a l m o s t a l l o f fi r e s t u d e n t s h a d fi r e c o n c e p t i o n fi r a t t e a c h e r s ’ a t t i t u d e s t o w a r d m a fi r e m a t i c s a f f e c t e d fi r e i r t e a c h i n g o f m a fi r e m a t i c s — m o s t o f t e n b y i n fl u e n c i n g fi r e i r s t u d e n t s ’ a t t i t u d e s t o w a r d m a fi r . T h i s i s s o m e fi r i n g fi r a t fi r e y m a y n o t h a v e fi r o u g h t a b o u t o n fi r e i r o w n , b u t b e c a u s e i t w a s a q u e s t i o n fi r e y w e r e s p e c i fi c a l l y a s k e d i n fi r e o p e n - e n d e d q u e s t i o n s o f t h e M a fi r e n r a t i c s I n v e n t o r y , t h e y f o r m e d a n o p i n i o n a b o u t i t . S t u d e n t s ' C o n c e p t i o n s o f T e a c h i n g M a t h e m a t i c s a t t h e E n d o f t h e S e m e s t e r . N o t s u r p r i s i n g l y , fi r e o p e n - e n d e d d a t a s o u r c e s p r o v i d e d m u c h m o r e i n f o r m a t i o n a b o u t fi r e s t u d e n t s ' c o n c e p t i o n s o f t e a c h i n g m a t h e m a t i c s a t t h e e n d o f fi r e s e m e s t e r fi r a n fi r e y d i d a t fi r e b e g i n n i n g . T h e r e w a s m u c h m o r e o f a f o c u s o n c o n c e p t i o n s o f t e a c h i n g m a t h e m a t i c s b y t h e s t u d e n t s i n t h e i r ” W h a t I s M a fi r e m a t i c s ? " j o u r n a l e n t r i e s a s w e l l a s fi r e i r m a fi r c o n c e p t m a p s . T w e n t y - d r r e e o u t o f t h e 3 0 s t u d e n t s f o r w h o m I h a v e fi n a l e n t r i e s ( 7 6 . 7 % ) w r o t e s o m e fi r i n g a b o u t t e a c h i n g a n d / o r l e a r n i n g i n fi r e i r fi n a l " W h a t I s M a fi r e m a fi c s ? ” j o u r n a l e n t r y c o m p a r e d t o 1 4 o u t o f 3 5 ( 4 0 % ) a t fi r e b e g i n n i n g , a n d 1 9 o u t o f 3 4 s t u d e n t s ( 5 5 . 9 % ) i n c l u d e d s o m e fi r i n g r e l a t e d t o t e a c h i n g a n d / o r l e a r n i n g i n fi r e i r fi n a l m a fi r c o n c e p t m a p c o m p a r e d t o t h r e e ( 8 . 8 % ) a t t h e b e g i n n i n g o f t h e s e m e s t e r . S e v e n o f fi r o s e s t u d e n t s i n c l u d e d a h i g h n u m b e r o f i t e m s ( fi v e o r m o r e ) i n fi r i s 1 5 1 a r e a w h i l e o n l y o n e d i d i n fi r e b e g i n n i n g c o n c e p t m a p s . ( T h e o n e w h o i n c l u d e d a h i g h n u m b e r o f i t e m s — S t u d e n t 5 w h o s e b e g i n n i n g m a p i s s h o w n i n F i g u r e 2 6 o n p a g e 1 4 8 — a l s o h a d a h i g h n u m b e r i n h e r fi n a l m a p . ) T h e fi n a l ” W h a t I s M a fi r e m a t i c ? " j o u r n a l e n t r i e s a n d m a t h c o n c e p t m a p s w e r e n ' t fi r e o n l y s o u r c e s o f i n f o r m a t i o n r e g a r d i n g fi r e s t u d e n t s ’ c o n c e p fi o n s o f t e a c h i n g m a fi r e m a t i c s a t fi r e e n d o f fi r e s e m e s t e r . A g a i n , t h e r e w e r e t w o L i k e r t s c a l e i t e m s , a n d t h e r e w e r e t w o o p e n - e n d e d q u e s t i o n s i n fi r e M a fi r e m a t i c s I n v e n t o r y fi r a t w e r e r e l a t e d t o c o n c e p t i o n s o f t e a c h i n g m a fi r e m a t i c s w h i c h p r o v i d e d i n f o r m a t i o n . A l s o , a s n o t e d p r e v i o u s l y , t h e s t u d e n t s e a c h w r o t e a ” P h i l o s o p h y o f T e a c h i n g M a t h e m a t i c s ” j o u r n a l e n t r y a t t h e e n d o f fi r e s e m e s t e r w h i c h , a s w o u l d b e e x p e c t e d , p r o v i d e d a n e n o r m o u s a m o u n t o f i n f o r m a t i o n a b o u t fi r e i r c o n c e p t i o n s o f t e a c h i n g m a t h e m a t i c s a t t h a t fi m e . T h i s b e c a m e t h e m a i n s o u r c e o f i n f o r m a t i o n f o r u n d e r s t a n d i n g fi r e i r c o n c e p t i o n s i n fi r i s a r e a . O f c o u r s e , i f p e o p l e w e r e a s k e d t h e q u e s t i o n , ” W h a t i s m a t h e m a t i c s ? " w e w o u l d n ’ t n e c e s s a r i l y e x p e c t fi r e m t o r e s p o n d w i fi r h o w t h e y fi r i n k m a fi r s h o u l d b e t a u g h t , b u t i f fi r e y w e r e a s k e d , ” W h a t i s y o u r p h i l o s o p h y o f t e a c h i n g m a t h e m a t i c s ? ” w e w o u l d e x p e c t t h e m t o t a l k a b o u t h o w fi r e y fi r i n k m a fi r s h o u l d b e t a u g h t . T h e r e w a s n o t o n l y a n i n c r e a s e i n t h e s t r r d e n t s ' a t t e n t i o n t o t e a c h i n g m a t h e m a t i c s i n fi r e o p e n - e n d e d d a t a s o u r c e s o f fi r e fi n a l ” W h a t I s M a fi r e n r a t i c s ? ” j o u r n a l e n t r i e s a n d fi r e fi n a l m a t h c o n c e p t m a p s , b u t , a s w a s fi r e c a s e w i t h fi r e i r c o n c e p t i o n s o f l e a r n i n g m a fi r e m a t i c s , t h e r e a l s o s e e m e d t o b e a s h i f t i n p o s i t i o n i n g f o r fi r e s e s t u d e n t s f r o m fi r i n k i n g a b o u t m a t h e m a t i c s a s i t r e l a t e d t o t h e i r o w n e x p e r i e n c e s t o fi r i n k i n g a b o u t t e a c h i n g m a d r e m a t i c s a s i f t h e y w e r e t h e t e a c h e r o r g o i n g t o b e fi r e t e a c h e r . T h i s s h i f t w a s i l l u s t r a t e d v e r y c l e a r l y b y o n e s t u d e n t ’ 5 e x p l a n a t i o n o f h o w s h e f e l t h e r c o n c e p t i o n s o f m a fi r h a d c h a n g e d . I n h e r fi n a l ” W h a t I s M a t h e m a t i c s ? " j o u r n a l e n t r y , s h e w r o t e , 1 5 2 " I a m n o l o n g e r l o o k i n g a t m a fi r a s a s u ' e c t . I l o o k a t i t m o r e i n t e r m s o f h o w t o t e a c h i t . . . I f e e l fi r a t I a v e s h i f t e d m y b e l i e f i n m a fi r f r o m a p e r s o n a l t o a p r o f e s s i o n a l l e v e l . " T h i s s h i f t i n a t t e n t i o n a n d p o s i t i o n i n g c a n b e s e e n i n s e v e r a l s t u d e n t s b y c o n t r a s fi n g fi r e i r b e g i n n i n g m a fi r c o n c e p t m a p s w i fi r fi r e i r fi n a l c o n c e p t m a p s . A t fi r e e n d o f t h e s e m e s t e r , fi r e s e s t u d e n t s s e e m e d t o b e s e e i n g m a t h m u c h m o r e a s a t e a c h e r w o u l d t h a n a s t u d e n t w o u l d — a n d fi r a n fi r e y d i d a t fi r e b e g i n n i n g o f t h e s e m e s t e r . I w i l l i l l u s t r a t e fi r i s s h i f t b y c o m p a r i n g t h e b e g i n n i n g a n d fi n a l c o n c e p t m a p s o f f o u r s t u d e n t s . W M ? . ‘ c m ’ D a / I S W _ - , 1 s e w - y . - ~ ' - - ~ - x ‘ 7 r i n g m B e g i n n i n g M a t h C o n c e p t M a p o f S t u d e n t 1 S t u d e n t 1 i n c l u d e d ” t e a c h i n g ” a n d ” l e a r n i n g ” b o t h c o n n e c t e d t o ” c o m p l e x " a n d ” a t t i t r r d e " i n h e r b e g i n n i n g m a fi r c o n c e p t m a p , b u t t h e y w e r e fi r e o n l y r e f e r e n c e s t o t e a c h i n g a n d l e a r n i n g m a t h e m a t i c s ( S e e F i g u r e 2 7 ) . I n h e r fi n a l m a t h c o n c e p t m a p , i t s e e m e d t h a t v i r t u a l l y e v e r y fi r i n g s h e i n c l u d e d w a s r e l a t e d t o t e a c h i n g a n d l e a r n i n g m a t h e m a t i c s a n d i n a w a y fi r a t i t s e e m e d fi r a t s h e w a s fi r i n k i n g a b o u t t e a c h i n g i t h e r s e l f ( S e e F i g u r e 2 8 ) . H e r f o u r fi r s t - l e v e l 1 5 3 c o n n e c t o r s w e r e t h e f o u r p r o c e s s s t a n d a r d s f r o m t h e 1 9 8 9 N C T M S t a n d a r d s , a n d i t w a s c l e a r f r o m h e r j o u r n a l e n t r i e s fi r a t fi r i s s t u d e n t c o n s i d e r e d t h e m t o b e v e r y i m p o r t a n t w h e n t e a c h i n g m a t h e m a t i c s . F o r e x a m p l e , i n h e r ” P h i l o s o p h y o f T e a c h i n g M a fi r e m a t i c s ” j o u r n a l e n t r y s h e w r o t e , ” S t u d e n t s s h o u l d l e a r n t o r e a s o n a n d m a k e c o n n e c t i o n s w i fi r i n m a t h a n d a p p l y i t t o r e a l - l i f e s i t u a t i o n s . ” F i g u r e 2 8 : F i n a l M a t h C o n c e p t M a p o f S t u d e n t 1 1 5 4 A l l t h e i t e m s s t u d e n t 7 i n c l u d e d i n h e r b e g i n n i n g m a t h c o n c e p t m a p s e e m e d v e r y r e l a t e d t o h o w s h e h a d u s e d o r e x p e r i e n c e d m a t h h e r s e l f ( S e e F i g u r e 2 9 ) . I t a p p e a r s fi r a t s h e i n c l u d e d m e m o r i e s o f d i f f e r e n t t y p e s o f s u b j e c t s a n d p r o b l e m s s h e h a d e x p e r i e n c e d a s a s t u d e n t . S h e e v e n c o n n e c t e d ” t u t o r " t o ” c a l c u l u s ” w h i c h i s a g a i n , m o s t l i k e l y a n e x p e r i e n c e s h e h a d w h i l e t a k i n g c a l c u l u s . S h e e v e n i n c l u d e d a n a m e o f a t e a c h e r — M r . D a v e y — a g a i n , m o s t l i k e l y a n a c t u a l t e a c h e r s h e h a d a s a s t u d e n t . S h e a l s o i n c l u d e d a s e c t i o n o n t e s t s , a n d s o m e o f fi r a t w a s p r o b a b l y r e f e r r i n g t o h e r o w n e x p e r i e n c e , b u t a t l e a s t o n e i t e m , ” i n t e r v i e w f o r a n s w e r ( v i d e o f r o m T E 3 0 1 ) , ” w a s m o r e l i k e l y a n e w w a y s h e h a d l e a r n e d a b o u t a s s e s s i n g r a fi r e r fi r a n a w a y s h e h a d b e e n a s s e s s e d h e r s e l f . S h e a l s o i n c l u d e d s o m e e x a m p l e s o f h o w s h e c o u l d u s e m a fi r i n fi r e ” r e a l w o r l d , ” a n d s h e i n c l u d e d s o m e ” a t t i t u d e s ” s h e h a d p r o b a b l y e x p e r i e n c e d i n r e l a t i o n t o m a t h e m a t i c s . j F i g u r e 2 9 : B e g i n n i n g M a t h C o n c e p t M a p o f S t u d m t 7 1 5 5 H e r fi n a l m a fi r c o n c e p t m a p s e e m s v e r y f o c u s e d o n a s p e c t s o f m a fi r fi r a t a t e a c h e r w o u l d b e fi r i n k i n g o f ( S e e F i g u r e 3 0 ) . S h e i n c l u d e d a c a t e g o r y o f ” t e a c h i n g ” a n d a l s o ” p h i l o s o p h y ” w h i c h a p p e a r s t o b e s o m e o f h e r p h i l o s o p h y o f t e a c h i n g m a t h e m a t i c s . S h e a l s o i n c l u d e d c a t e g o r i e s f o r ” a t t i t u d e , ” ” p r o c e s s e s , ” ” a s s e s s m e n t , " a n d ” r e a l w o r l d . ” W h i l e s h e i n c l u d e d ” r e a l w o r l d ” i n b o fi r h e r b e g i n n i n g a n d fi n a l m a t h c o n c e p t m a p s , fi r e r e w a s a d i f f e r e n c e . I n h e r b e g i n n i n g m a p , s h e c o n n e c t e d w a y s s h e u s e d m a t h t o ” r e a l w o r l d " — ” s c h e d u l i n g , ” ” c h e c k b o o k , ” ” g a s , ” ” t i m e , ” ” c o o k i n g , ” ” g r o c e r i e s , ” a n d ” m i l e a g e . ” I n h e r fi n a l m a p , s h e c o n n e c t e d ” i m p o r t a n c e ” a n d " r e l a t i o n ” t o ” r e a l w o r l d . ” T h i s s e e m e d t o b e a r e f e r e n c e t o t h e i d e a fi r a t w h e n s h e t a u g h t m a fi r s h e w a n t e d t o t e a c h s t u d e n t s fi r e i m p o r t a n c e o f m a fi r i n t h e ” r e a l w o r l d ” a n d t h e r e l a t i o n o f m a t h t o t h e ” r e a l w o r l d . ” T h e i t e m s fi r a t a r e c o n n e c t e d t o fi r e s e c a t e g o r i e s s e e m c l o s e l y r e l a t e d t o c o n c e p t i o n s o f t e a c h i n g m a t h e m a t i c s . a ? t o ” 3 ” “ ” W ” 3 5 5 ’ fi F W - i > E V é i L / D \ , Q / E é ’ b J I M ’ 9 ‘ l , P " , \ / . ' . I W S h l B M y ’ 0 . ” \ . . _ \ \ / s , — i - l “ ‘ " " ‘ 4 3 . 9 f m / / l a } . . . P M l o s e ” b u T N » - F i g u r e 3 0 : F i n a l M a t h C o n c e p t M a p o f S t u d e n t 7 1 5 6 T h e b e g i n n i n g m a t h c o n c e p t m a p o f s t u d e n t 1 0 i s e n t i r e l y r e l a t e d t o t h e u s e f u l n e s s o f m a t h e m a t i c s ( S e e F i g u r e 3 1 ) . ’ — — — — — — . _ g : v . . _ I r ' t § i fl fl ' " " ' ‘ V v F i g u r e 3 1 : B e g i n n i n g M a t h C o n c e p t M a p o f S t u d e n t 1 0 T h e fi n a l m a fi r c o n c e p t m a p o f s t u d e n t ‘ 1 0 s t i l l i n c l u d e s a g r e a t d e a l r e l a t e d t o t h e u s e f u l n e s s o f m a t h e m a t i c s , b u t i t a l s o i n c l u d e d a s i g n i fi c a n t n u m b e r o f i t e m s r e l a t e d t o t e a c h i n g m a t h e m a t i c s a n d t h e w a y a t e a c h e r w o u l d l o o k a t m a t h e m a t i c s ( S e e F i g u r e 3 2 ) . F o r e x a m p l e , s h e i n c l u d e d a c a t e g o r y f o r ” t e a c h i n g . " S h e a l s o i n c l u d e d a c a t e g o r y o f " a s s e s s m e n t . ” S h e a l s o i n c l u d e d ” M a r i l y n B u r n s ” a n d ” A b o u t T e a c h i n g M a fi r e m a t i c s " w h i c h w e r e fi r e a u fi r o r a n d t e x t t h a t w e u s e d i n t h e c l a s s . S h e a l s o i n c l u d e d ” N C T M ” w i t h " c u r r i c u l u m " a n d 1 5 7 t . “ " l w W ‘ 1 " “ " t " w w _ - ” s t a n d a r d s " c o n n e c t e d t o i t . O n t h e r i g h t s i d e o f h e r m a p s h e h a s ” p r o c e s s e s ” I I I I ‘ I I I I w i t h ” p r o b l e m s o l v i n g , j o u r n a l s , g r o u p w o r k , " ” i n d i v i d u a l w o r k , ” a n d ” w h o l e c l a s s ” c o n n e c t e d t o i t . T h e s e a r e a l l r e l a t e d t o t e a c h i n g m a t h e m a t i c s . I n fi r e u p p e r l e f t h a n d c o r n e r , s h e h a s a c a t e g o r y o f " n o t e n o u g h a t t e n t i o n o n t h e s e " a n d t h e n c o n n e c t s t h e f o u r p r o c e s s s t a n d a r d s f r o m t h e 1 9 8 9 N C I ‘ M S t a n d a r d s t o i t . C l e a r l y s h e i s fi r i n k i n g a b o u t m a t h e m a t i c s a s i f s h e w e r e g o i n g t o b e t e a c h i n g i t . . x o l " ' ‘ . m i c - n 1 6 m m w m v m s ‘ . m 9 d e w “ a c c o u n t s w W M “ W . . w e r e F i g u r e 3 2 : F i n a l M a t h C o n c e p t M a p o f S t u d e n t 1 0 I n h i s b e g i n n i n g m a t h c o n c e p t m a p , s t u d e n t 2 1 i n c l u d e d a l i t fi e r e l a t e d t o l e a r n i n g a n d t e a c h i n g m a fi r e m a t i c s i n fi r e b o t t o m r i g h t h a n d c o r n e r w h e r e h e h a d a c a t e g o r y o f ” i m p o r t a n t t o l e a r n ” w i fi r ” n e e d s t o b e t a u g h t w e l l ” a n d ” n e e d s t o b e d i s p l a y e d i n p o s i t i v e w a y t o l e a r n e r s " c o n n e c t e d t o i t . H o w e v e r , m o s t o f h i s m a p i s r e l a t e d t o h i s o w n p e r s o n a l r e l a t i o n s h i p w i fi r m a t h ( S e e F i g u r e 3 3 ) . 1 5 8 i n t a c t n u ] l r r ' fi g j H , 4 , “ v i a . - I n t 5 ‘ . — c h U . . _ ’ - . . . _ _ _ . . M y . + . . _ _ . . . . . , . . l c q t u o t a u n a d f + q u : o N 1 - \ — \ — \ j T i g u r e 3 3 : B e g i n n i n g M a t h C o n c e p t M a p o f S t u d e n t 2 1 T h e fi n a l m a t h c o n c e p t m a p o f s t u d e n t 2 1 s e e m s v e r y r e l a t e d t o h i s b e g i n n i n g m a p — a s i f h e m a y h a v e h a d i t i n f r o n t o f h i m w h i l e h e c r e a t e d h i s fi n a l m a p - — b u t t h e r e w e r e s o m e d i f f e r e n c e s t h a t l e a d m e t o b e l i e v e h e h a d p o s i t i o n e d h i m s e l f m o r e a s a t e a c h e r fi r a r r a l e a r n e r o f m a fi r b y fi r e t i m e h e d i d h i s fi n a l m a p ( S e e F i g u r e 3 4 ) . N e w t o fi r i s m a p w e r e a v a r i e t y o f p r o c e s s e s a n d c o n t e n t t h a t a r e p a r t o f t e a c h i n g s c h o o l m a fi r e m a t i e s a n d a c a t e g o r y o f ” e f f e c t i v e I I I I I ! l l m u s t s e e p u r p o s e o f m a t e r i a l b e i n g l e a r n e d , ” ” e f f e c t i v e m e t h o d s o f t e a c h i n g , ” a n d ” c o n t i n u o u s l e a r n i n g n e e d s ” w i t h ” p o s i t i v e t o l e a r n e r s , c r e a t i v i t y , a s s e s s m e n t o f t e a c h i n g p r o c e s s e s . ” H e a l s o c o n n e c t e d h i s ” e f f e c t i v e l e a r n i n g 1 5 9 n e e d s ” c a t e g o r y t o a n o fi r e r c a t e g o r y o f ” r e a s o r r i n g . ” H e d e fi n i t e l y s e e m e d t o b e f o c u s i n g o n c o n c e p t i o n s r e l a t e d t o t e a c h i n g m a fi r e m a t i c s . \ a ‘ r ‘ C ] I “ o n e - 4 . . Q ‘ “ G ‘ s - s c a t u . ( I t ! F i g u r e 3 4 : F i n a l M a t h C o n c e p t M a p o f S t u d e n t 2 1 A g a i n , a s w a s t h e c a s e a t t h e b e g i n n i n g o f fi r e s e m e s t e r , t h e m o s t c o m m o n c o n c e p t i o n r e l a t e d t o t e a c h i n g m a t h e m a t i c s i n t h e ” W h a t I s M a fi r e m a t i c s ? ” j o u r n a l e n t r i e s a n d fi r e m a t h c o n c e p t m a p s w a s fi r e i d e a fi r a t m a t h s h o u l d b e t a u g h t s o t h a t t h e s t u d e n t s s e e i t s c o n n e c t i o n t o fi r e i r l i v e s — i n s i d e o f s c h o o l a n d o u t s i d e o f s c h o o l . S i x s t u d e n t s w r o t e a b o u t t h a t i n 1 6 0 t h e i r fi n a l ” W h a t I s M a fi r e m a t i c s ? ” j o u r n a l e n t r i e s , a n d s e v e n s t u d e n t s i n c l u d e d i t e m s r e l a t e d t o fi r a t c o n c e p t i o n i n fi r e i r fi n a l m a fi r c o n c e p t m a p s . T h e t y p e s o f i t e m s fi r e s t u d e n t s i n c l u d e d i n fi r e i r m a fi r c o n c e p t m a p s r e l a t e d t o fi r i s a r e a w e r e " r e a l w o r l d i m p o r t a n c e , ” ” r e a l w o r l d r e l a t i o n , ” ” m a k e i t r e a l , ” a n d ” r e a l - l i f e e x p e r i e n c e s / s i t u a t i o n s . ” T h i s i d e a w a s a l s o p r o m i n e n t i n t h e ” P h i l o s o p h y o f T e a c h i n g M a fi r e r n a t i c s " j o u r n a l e n t r i e s , a l fi r o u g h i t w a s n ’ t fi r e m o s t c o m m o n c o n c e p t i o n t h e s t u d e n t s w r o t e a b o u t . F o u r t e e n s t u d e n t s ( o u t o f 3 0 j o u r n a l e n t r i e s ) w r o t e a b o u t t h a t i d e a i n t h e i r ” P h i l o s o p h y o f T e a c h i n g M a fi r e m a t i c s ” j o u r n a l e n t r i e s . A f e w e x a m p l e s o f w h a t fi r e s t u d e n t s w r o t e i n t h e s e j o u r n a l e n t r i e s a r e i l l u s t r a t i v e o f fi r e c o n c e p t i o n s t h e s t u d e n t s h a d i n r e l a t i o n t o fi r i s i d e a . F o r i n s t a n c e , i n h e r fi n a l ” W h a t I s M a fi r e m a t i c s ? ” j o u r n a l e n t r y , o n e s t u d e n t w r o t e , ” D u e t o fi r e i m p o r t a n c e o f m a fi r p l a y i n g a f u n c t i o n a l p a r t i n l i f e , w e m u s t e d u c a t e s t u d e n t s o n fi r i s s u b j e c t b y i n t e g r a fi n g r e a l - l i f e s i t u a t i o n s i n t o t h e l e s s o n s . ” S h e a l s o w r o t e , ” T h e r e i s n o p o i n t i n i n s t r u c t i n g s t u d e n t s h o w t o p e r f o r m m a fi r e m a t i c a l o p e r a t i o n s i f fi r e y c a n n o t m a n i p u l a t e fi r i s i n f o r m a t i o n o u t s i d e o f fi r e c l a s s r o o m . ” I n h e r ” P h i l o s o p h y o f T e a c h i n g M a fi r e n r a t i c s ” j o u r n a l e n t r y , fi r i s s a m e s t u d e n t w r o t e , ” M a fi r l e s s o n s s h o u l d b e a s s o c i a t e d w i fi r s i t u a t i o n s o u t s i d e t h e c l a s s r o o m . ” M o s t o f t h e s t u d e n t s ’ d e c l a r a t i o n s i n fi r i s a r e a w e r e s t r a i g h t - f o r w a r d s t a t e m e n t s fi r a t t h e m a fi r d o n e i n c l a s s s h o u l d b e c o n n e c t e d t o t h e w o r l d o u t s i d e o f s c h o o l . O n e s t u d e n t w r o t e , " I fi r i n k t h a t i t i s i m p o r t a n t f o r t e a c h e r s t o t e a c h w h y m a t h i s i m p o r t a n t a n d h o w fi r e s k i l l s l e a r n e d c a n b e u s e d o u t s i d e o f m a t h t i m e a n d i n fi r e e v e r y d a y w o r l d . ” A n o fi r e r s t u d e n t w r o t e , ” I fi r i n k fi r a t fi r e t e a c h e r ’ 3 r o l e i n m a t h e m a t i c s i s t o p r o v i d e fi r e m w i fi r e x p e r i e n c e s t h a t w i l l h e l p fi r e m g a i n m a t h s k i l l s a n d e x p e r i e n c e s fi r a t r e l a t e t o t h e w o r l d fi r e y k n o w . ” O n e l a s t e x a m p l e f r o m fi r e 1 4 w h o e x p r e s s e d fi r i s i d e a w a s t h e s t u d e n t w h o w r o t e , ” F i n a l l y , I b e l i e v e fi r a t fi r e a c t i v i t i e s t h a t a r e c o m p l e t e d i n c l a s s s h o u l d b e r e l e v a n t 1 6 1 t o e v e r y d a y l i f e . T i m e s h o u l d n o t b e w a s t e d o n i r r e l e v a n t a c t i v i t i e s fi r a t h a v e n o a p p l i c a t i o n t o e v e r y d a y l i f e . ” I n a d d i t i o n t o w r i t i n g fi r a t m a fi r s h o u l d b e c o n n e c t e d t o fi r e w o r l d o u t s i d e o f s c h o o l , s e v e n s t u d e n t s w r o t e a b o u t t h e i d e a o f c o n n e c t i n g m a t h t o o t h e r s u b j e c t s w h e n t e a c h i n g i t i n fi r e i r ” P h i l o s o p h y o f T e a c h i n g M a fi r e n r a t i c s ” j o u r n a l e n t r i e s . O n e w r o t e s i m p l y , ” I t s h o u l d b e i n c o r p o r a t e d i n t o a l l a s p e c t s o f t h e c u r r i c u l u m . ” O f t e n fi r e s t u d e n t s w r o t e a b o u t i t b e i n g c o n n e c t e d t o l a n g u a g e a r t s w i fi r w r i t i n g a n d l i t e r a t u r e . O n e e x a m p l e o f fi r i s i s fi r e s t u d e n t w h o w r o t e , ” I a m a l s o i n f a v o r o f c o n n e c t i n g m a fi r t o o fi r e r s u b j e c t a r e a s . T h i s h e l p s s t u d e n t s r e a l i z e fi r a t m a fi r i s e v e r y w h e r e ! F o r e x a m p l e , i n c o r p o r a t i n g m a fi r i n l a n g u a g e a r t s i n s t r u c t i o n w i fi r l i t e r a t u r e i s s o m e t h i n g i m p o r t a n t . U s i n g d r a m a t o t e a d r m a fi r i s a n o fi r e r g o o d w a y f o r s t u d e n t s t o ’ s e e ’ m a fi r i n a c t i o n ! " S o m e s t u d e n t s w r o t e a b o u t w h y t h e y t h o u g h t i t w a s i m p o r t a n t t o c o n n e c t m a fi r t o o fi r e r s u b j e c t — u s u a l l y t o h e l p fi r e s t u d e n t s s e e w h e r e m a fi r i s a n d t o i n c r e a s e fi r e i r i n t e r e s t i n i t . O n e s t u d e n t w r o t e , ” B y a p p l y i n g l i t e r a t u r e t o m a fi r , s t u d e n t s a r e a b l e t o s e e fi r a t m a fi r i s f u l l o f i d e a s a n d c o n c e p t s , n o t j u s t m e m o r i z a t i o n . I f e e l fi r a t s t u d e n t s a p p r e c i a t e m a fi r w h e n fi r e y c a n r e l a t e i t t o o fi r e r s u b j e c t a r e a s . ” A n e x a m p l e o f a n o t h e r s t u d e n t w h o f e l t fi r a t c o n n e c t i n g m a t h t o o fi r e r s u b j e c t s w a s a g o o d w a y t o S h o w w h e r e m a fi r i s u s e d , a n d w h o e v e n i n c l u d e d c o n n e c t i n g i t t o a r t , i s fi r e s t u d e n t w h o w r o t e , ” U s i n g j o u r n a l s o r w r i t i n g a s t o r y u s i n g m a t h s k i l l s a r e w a y s t o c o m b i n e m a t h a n d l a n g u a g e a r t s . A l s o , a r t i s o f t e n v e r y m a fi r e m a t i c a l , a n d I fi r i n k fi r a t fi r a t s h o u l d b e s h o w e d t o s t u d e n t s ( a g a i n r e l a t i n g m a fi r e m a t i c s t o l i f e ) . ” T h e s t u d e n t s d i d n ’ t w r i t e e x p l i c i t l y a b o u t fi r i s i d e a i n fi r e i r fi n a l ” W h a t I s M a t h e m a t i c s ? ” j o u r n a l e n t r i e s , b u t a f e w s t u d e n t s d i d r e f e r t o fi r a t i d e a i n fi r e i r fi n a l m a fi r c o n c e p t m a p s . F o r e x a m p l e , i n h e r fi n a l m a fi r c o n c e p t m a p , S t u d e n t 1 , w h o s e m a p c a n b e s e e n i n F i g u r e 2 8 o n p a g e 1 5 4 , i n c l u d e d ” o fi r e r s u b j e c t a r e a s ” u n d e r ” m a k i n g c o n n e c t i o n s ” a n d ” l i t e r a t u r e " a n d ” d r a m a " u n d e r ” o fi r e r s u b j e c t 1 6 2 a r e a s . ” S t u d e n t 7 , w h o s e fi n a l m a fi r c o n c e p t m a p i s s h o w n i n F i g u r e 3 0 o n p a g e 1 5 6 , a l s o i n c l u d e d ” i n t e g r a t e d w i t h l a n g u a g e a r t s ” c o n n e c t e d t o ” w h o l e l a n g u a g e . ” T h e a r e a fi r a t fi r e s t u d e n t s w r o t e a b o u t m o s t o f t e n i n fi r e i r ” P h i l o s o p h y o f T e a c h i n g M a fi r e m a t i c s ” j o u r n a l e n t r i e s w a s t h e i d e a t h a t d i s c o u r s e w a s a n i m p o r t a n t p a r t o f t e a c h i n g m a fi r e m a t i c s . T w e n t y - S e v e n o u t o f fi r e 3 0 s t u d e n t s f o r w h o m I h a v e t h e s e j o u r n a l e n t r i e s ( 9 0 % ) w r o t e s o m e fi r i n g a b o u t fi r i s i d e a . S o m e o f fi r e m w r o t e a t l e n g t h a b o u t d i s c o u r s e . F o r m y p u r p o s e s , d i s c o u r s e i n c l u d e s b o fi r s p e a k i n g a n d w r i t i n g a b o u t m a t h e m a t i c s . A c o u p l e o f s t u d e n t s a l s o w r o t e q u i t e e x t e n s i v e l y a b o u t fi r a t i d e a i n t h e i r fi n a l ” W h a t I s M a fi r e m a t i c s ? ” j o u r n a l e n t r i e s . F o r e x a m p l e , o n e s t u d e n t w r o t e , ” I a l s o h a v e b e c o m e a b i g p r o p o n e n t o f h a v i n g s t u d e n t s e x p l a i n fi r e i r fi r i n k i n g . T h i s e x p a n d s fi r e i r u n d e r s t a n d i n g a s w e l l a s fi r a t o f fi r o s e l i s t e n i n g . ” S h e a l s o w r o t e , ” I n e v e r s a w t h e v a l u e o f h a v i n g s t u d e n t s w r i t e i n m a t h c l a s s u n t i l w e d i s c u s s e d i t i n c l a s s . ” E x a m p l e s o f w h a t fi r e o fi r e r s t u d e n t w r o t e a r e , ” O n e n e e d s t o b e a b l e t o e x p l a i n t h e m s e l v e s a s w e l l a s t e a c h o t h e r s t h e i r o w n i d e a s ; ” a n d ” I b e l i e v e fi r a t w r i t i n g s h o u l d b e a n i n t e g r a t e d p a r t o f m a t h e m a t i c s l e a r n i n g . ” F o u r s t u d e n t s i n c l u d e d ” c o m m u r r i c a t i n g ” i n t h e i r fi n a l m a fi r c o n c e p t m a p s , a n d o n e s t u d e n t e a c h w r o t e ” s p e c i fi c d i s c o u r s e ” a n d " w r i t i n g . ” A s n o t e d , t h e i d e a o f u s i n g d i s c o u r s e t o t e a c h m a t h e m a t i c s r e c e i v e d s i g n i f i c a n t a t t e n t i o n i n fi r e ” P h i l o s o p h y o f T e a c h i n g M a fi r e m a t i c s ” j o u r n a l e n t r i e s . A f e w o f fi r e s t u d e n t ’ 3 q u o t e s a r e e x e m p l a r y o f t h e m a n y o t h e r q u o t e s t h e y w r o t e r e l a t e d t o d i s c o u r s e . S o m e o f fi r e s t u d e n t s s i m p l y w r o t e fi r a t fi r e y w a n t e d d i s c o u r s e t o b e a p a r t o f fi r e i r c l a s s r o o m s u c h a s fi r e s t u d e n t w h o w r o t e , ” I w i l l h a v e fi r e c h i l d r e n k e e p j o u r n a l s w h e r e t h e y w i l l e x p l a i n t h e i r r e a s o n s f o r d o i n g p r o b l e m s . I w i l l h a v e s m a l l a n d l a r g e g r o u p d i s c u s s i o n s ; ” o r , t h e s t u d e n t w h o w r o t e , 1 6 3 ” O n e o fi r e r fi r i n g t h a t s h o u l d b e i m p o r t a n t i n fi r e m a fi r e m a t i c s i s c o m m u n i c a t i o n . T o o o f t e n , s t u d e n t s s i m p l y w o r k o n p r o b l e m s o u t o f fi r e b o o k a n d t u r n fi r e m i n . I fi r i n k i t i s i m p o r t a n t fi r a t s t u d e n t s h a v e fi r e c h a n c e t o t a l k a n d w r i t e a b o u t fi r e fi r i n g s fi r e y d o i n m a t h c l a s s . " M o s t s t u d e n t s , h o w e v e r , e x p l a i n e d a l i t fi e m o r e a b o u t w h y fi r e y fi r o u g h t d i s c o u r s e w a s i m p o r t a n t . U s u a l l y t h e y w r o t e s o m e fi r i n g a b o u t fi r e i d e a fi r a t i t w o u l d i n c r e a s e fi r e s t u d e n t s ’ u n d e r s t a n d i n g a n d / o r fi r e t e a c h e r ’ 5 i n s i g h t i n t o fi r e s t u d e n t s ' u n d e r s t a n d i n g . O n e s t u d e n t w r o t e , ” B y w o r k i n g i n g r o u p s a n d d i s c u s s i n g t h e p r o b l e m s , s t u d e n t s a l s o b e c o m e t e a c h e r s t r y i n g t o e x p l a i n fi r e i r r e a s o n i n g t o o fi r e r s t u d e n t s . ” F o l l o w i n g a r e f o u r m o r e e x t e n s i v e q u o t e s f r o m fi r e s t u d e n t s ’ ” P h i l o s o p h y o f T e a c h i n g M a fi r e m a t i c s ” j o u r n a l e n t r i e s : ” I b e l i e v e t h a t a m a fi r e m a t i c s c l a s s r o o m s h o u l d b e a p l a c e w h e r e s t u d e n t s c a n f r e e l y e x p r e s s fi r e i r fi r o u g h t s a n d i d e a s t o fi r e i r p e e r s a n d t h e t e a c h e r . T h i s e x p r e s s i o n s h o u l d t a k e p l a c e i n b o t h l a r g e g r o u p ] w h o l e c l a s s d i s c u s s i o n a n d s m a l l g r o u p d i s c u s s i o n s . I n a d d i t i o n , s t u d e n t s s h o u l d b e e n c o u r a g e d t o k e e p a j o u r n a l e x p r e s s i n fi r e i r f e e l i n g s a b o u t m a fi r a s w e l l a s a n y q u e s t i o n s fi r a t fi r e y m i t h a v e a b o u t s o m e fi r i n g t h a t t h e h a v e c o m e a c r o s s d u r i n g e i r e x p l o r a t i o n o f fi r e t o p i c . T h e t e a e r s h o u l d r e a d fi r e s e j o u r n a l e n t r i e s a r l y a n d m a k e c o m m e n t s o r p e r h a p s p r e s e n t a q u e s t i o n o r t w o t w i l l c a u s e fi r e s t u d e n t t o d r i n k d e e p e r a b o u t a p r o b l e m . F u r t h e r m o r e , t h e d i s c u s s i o n s w h i c h g o o n d u r i n g c l a s s s h o u l d b e s t u d e n t l e d , w i fi r fi r e t e a c h e r a c t i n g a s a g u i d e . ” ” S t u d e n t s s h o u l d a i n a n d u n d e r s t a n d a m a fi r e m a t i c a l d i s c o u r s e t o c o m m u n i c a t e e f e c t i v e l y w i t h p e e r s a n d o t h e r s i n a m a fi r c o m m u n i t y . U n d e r s t a n d i n g a n d a p p l y i n g m a fi r d i s c o u r s e w i l l h e l p s t u d e n t s u n d e r s t a n d a n d w o r k w i t h m a t h c o n c e p t s . J o u r n a l w r i t i n g i s a g o o d w a y t o p u t d i s c o u r s e i n t o a c t i o n , f o r s t u d e n t s t o b e a w a r e o f w h a t fi r e y k n o w . " ” T h e r e a r e a l s o a f e w a s p e c t s I f e e l a r e i m p o r t a n t t o i n c l u d e i n m a t h e m a t i c s i n s t r u c t i o n . I b e l i e v e c o m m u n i c a t i o n i s i m p o r t a n t b o fi r i n w r i t i n g a n d i n d i s c o u r s e . T h e s t u d e n t s s h o u l d b e a b l e t o e f f e c t i v e l y c o m m u n i c a t e w h a t fi r e y a r e fi r i n k i n a b o u t . T h i s a l s o g i v e s a n o p p o r t u n i t y f o r a s s e s s m e n t fi r r o u g h w a t fi r e y w r i t e a n d s a y . ” ” I b e l i e v e v e r y s t r o n g l y i n h a v i n g s t u d e n t s e x p l a i n t h e i r r e a s o n i n g w i fi r a c o r r e c t o r i n c o r r e c t a n s w e r . E i fi r e r w a y g i v e s a g r e a t d e a l o f 1 6 4 i n s t i l g h t i n t o w h a t s t u d e n t s a r e u n d e r s t a n d i n g . B y h a v i n g s t u d e n t s w i w r o n g a n s w e r s t a l k o u t t h e i r fi r i n k i n g fi r e y m a y c o r r e c t fi r e m s e l v e s w h i c h w i l l b e m o r e b e n e fi c i a l fi r a n m e t e l l i n g fi r e r i g h t a n s w e r . ” T h e s e q u o t e s a r e a l l i l l u s t r a t i v e o f fi r e c o n c e p t i o n a l m o s t a l l fi r e s t u d e n t s s e e m e d t o h a v e a t fi r e e n d o f t h e s e m e s t e r t h a t d i s c o u r s e — b o fi r w r i t i n g a n d S p e a k i n g a b o u t m a fi r e m a t i c s — i s a n i m p o r t a n t p a r t o f t e a c h i n g m a fi r e m a t i c s . T h e r o l e o f m a n i p u l a t i v e s w a s a l s o a p r o m i n e n t p a r t o f fi r e s t u d e n t s ’ c o n c e p t i o n s r e l a t e d t o t e a c h i n g m a fi r e m a t i c s a t t h e e n d o f t h e s e m e s t e r . A s n o t e d i n t h e l e a r n i n g s e c t i o n , e l e v e n s t u d e n t s a l s o i n c l u d e d ” m a n i p u l a t i v e s ” i n t h e i r fi n a l m a t h c o n c e p t m a p . I n a d d i t i o n , t w o s t u d e n t s w r o t e a b o u t m a n i p r r l a t i v e s i n fi r e i r fi n a l ” W h a t i s M a fi r e m a fi c s ? ” j o u r n a l e n t r y . O n e w r o t e , ” M a fi r i s m a n i p u l a t i n g n u m b e r s a n d o b j e c t s . A c t u a l l y h a n d l i n g m a t e r i a l o b j e c t s h e l p s o n e t o u n d e r s t a n d t h e m a t h c o n c e p t b e i n g l e a r n e d . M a n i p u l a t i v e s h e l p m a k e l e a r n i n g m a t h s e e m m o r e r e a l a n d a p p l i c a b l e . " T h e o fi r e r w r o t e , ” M a fi r i n fi r e s c h o o l s i s s l o w l y g e t t i n g m o r e i n v o l v e d o t h e r fi r a n j u s t t e x t b o o k p r o b l e m s . M o r e m a n i p u l a t i v e s a r e b e i n g u s e d i n t h e c l a s s r o o m w h i c h g i v e s fi r e l e a r n e r s w h o a r e n o t t e x t b o o k l e a r n e r s a n e w p e r s p e c t i v e . " T h e q u o t e s f r o m fi r e s e t w o s t u d e n t s a n d t h e h u g e i n c r e a s e i n t h e i n c l u s i o n o f ” m a n i p u l a t i v e s ” i n fi r e fi n a l c o n c e p t m a p s g i v e s u s e v i d e n c e t h a t fi r e s t u d e n t s w e r e fi r i n k i n g a b o u t t h e r o l e o f m a n i p u l a t i v e s i n t e a c h i n g m a fi r e m a t i c s m o r e a t t h e e n d o f t h e s e m e s t e r fi r a n t h e y w e r e a t t h e b e g i n n i n g o f t h e s e m e s t e r . H o w e v e r , t h e ” P h i l o s o p h y o f M a t h e m a t i c s " j o u r n a l e n t r i e s a r e w h e r e t h e s t u d e n t s r e a l l y e m p h a s i z e m a n i p u l a t i v e s . T w e n t y - s i x o u t o f t h e 3 0 s t u d e n t s ( 8 6 . 7 % ) w r o t e a b o u t m a n i p u l a t i v e s i n fi r o s e j o u r n a l e n t r i e s . U s u a l l y t h e s t u d e n t s w r o t e fi r a t u s i n g m a n i p u l a t i v e s c a n b e b e n e fi c i a l t o fi r e s t u d e n t s ’ l e a r n i n g b e c a u s e o f fi r e h a n d s - o n e x p e r i e n c e o r t h e c o n c r e t e e x a m p l e fi r e y c a n p r o v i d e . O n e e x a m p l e o f fi r i s i s fi r e s t u d e n t w h o w r o t e , ” A l s o , I w o u l d l i k e t o u s e m a n y d i f f e r e n t r e s o u r c e s . F o r 1 6 5 e x a m p l e , I b e l i e v e t h a t m a n i p u l a t i v e s a r e v e r y i m p o r t a n t f o r m a fi r e m a t i c a l l e a r n i n g . T h e y p r o v i d e a h a n d s - o n o p p o r t u n i t y a s w e l l a s a c o n c r e t e e x a m p l e . " A n o fi r e r e x a m p l e o f a s t u d e n t w h o s t r e s s e d t h a t b e n e fi t w a s fi r e s t u d e n t w h o w r o t e , ” T h e r e s h o u l d b e m a t e r i a l s f o r t h e c h i l d r e n t o u s e a s fi r e y w o r k fi r r o u g h p r o b l e m s . I f e e l m a n i p u l a t i v e s a r e a n i m p o r t a n t a s p e c t o f fi r e m a fi r c u r r i c u l u m . T h e y g i v e t h e c h i l d r e n a n o p p o r t u n i t y t o l e a r n w i fi r h a n d s - o n e x p e r i e n c e . ” A n o fi r e r s t u d e n t w r o t e m o r e e x t e n s i v e l y a b o u t fi r e a d v a n t a g e s o f b e i n g a b l e t o h a n d l e o b j e c t s w h e n l e a r n i n g m a fi r . S h e w r o t e , " T h e u s e o f m a n i p u l a t i v e s i s o n e w a y t o e n h a n c e c h i l d r e n ’ s p r o b l e m s o l v i n g a n d s e e m a t h a s s o m e a n ' r e a l . ’ U s i n g m a n i p u l a t i v e s i n a m a fi r e n v i r o n m e n t a l s o h e l p s t h e s t u d e n t s t o m a k e c o n n e c t i o n s a n d r e a s o n w i t h m a t h . T h e y d e v e l o p u n d e r s t a n d i n g a s t h e y a r e a b l e t o v i s u a l l y h a n d l e o b j e c t s a n d r e l a t e fi r e i r w o r k t o m a fi r c o n c e p t s a n d f u n c t i o n s . ” S o m e o f fi r e s t u d e n t s a l s o w r o t e fi r a t u s i n g m a n i p u l a t i v e s w a s a g o o d i d e a b e c a u s e t h e h a n d s - o n a p p r o a c h t h e y f a c i l i t a t e d o f f e r e d a n a l t e r n a t i v e w a y t o l e a r n a m a fi r c o n c e p t , a n d t h e s t u d e n t s w a n t e d t o t e a c h f o r d i v e r s e l e a r n i n g s t y l e s . O n e s t u d e n t w r o t e , ” I w a n t t o u s e m a n y m a n i p u l a t i v e s i n c o r p o r a t e d i n t o fi r e c l a s s . B y h a v i n g fi r e m a n y d i f f e r e n t a p p r o a c h e s , i t w i l l g i v e fi r e s t u d e n t s w h o m a y n o t g r a s p o n e w a y a n o t h e r c h a n c e b y s e e i n g i t f r o m a d i f f e r e n t p o i n t o f v i e w . " A n o fi r e r e x a m p l e o f a s t u d e n t w h o e x p r e s s e d fi r i s r e a s o n f o r u s i n g m a n i p u l a t i v e s w a s fi r e s t u d e n t w h o w r o t e , ” F o r m a d r e m a t i c s , a s w e l l a s f o r a l l o fi r e r s u b j e c t s , I w a n t t o b e a b l e t o t e a c h f o r m a n y d i v e r s e l e a r n i n g s t y l e s . I fi r i n k fi r a t fi r i s i s b e s t d o n e b y h a v i n g m a n i p u l a t i v e s a v a i l a b l e t o fi r e s t u d e n t s . I f e e l fi r a t h a n d s - o n e x p e r i e n c e i s fi r e m o s t i m p o r t a n t a s p e c t f o r l e a r n e r s . H a n d s - o n e x p e r i e n c e m a k e s m a t h c o m e t o l i f e , r a t h e r fi r a n j u s t b e i n g a n e q u a t i o n . ” A n o t h e r c o n c e p t i o n s o m e o f fi r e s t u d e n t s h a d a b o u t fi r e b e n e fi t s o f u s i n g m a n i p u l a t i v e s i s fi r e i d e a fi r a t i t c a n m a k e m a fi r m o r e f u n a n d i n t e r e s t i n g f o r t h e s t u d e n t s . F o r e x a m p l e , o n e s t u d e n t w r o t e , ” I n m y m a t h e n v i r o n m e n t / 1 6 6 c l a s s r o o m , I h o p e t o h a v e m a n y m a n i p u l a t i v e s f o r m y s t u d e n t s t o w o r k w i fi r . I fi r i n k m a n i p u l a t i v e s h e l p m a k e m a fi r m o r e f u n a n d e x c i t i n g t o l e a r n . ” A n a d d i t i o n a l r o l e o f m a n i p u l a t i v e s i n t e a c h i n g m a fi r e m a t i c s t h a t s o m e s t u d e n t s w r o t e a b o u t i s fi r a t h a v i n g m a n i p u l a t i v e s i n a m a fi r c l a s s r o o m p r o v i d e d fi r e s t r r d e r r t s w i fi r o p p o r t u n i t i e s t o e x p l o r e a n d w o r k t o g e t h e r . A n e x a m p l e o f a s t u d e n t w h o w r o t e a b o u t fi r i s i d e a w a s fi r e s t u d e n t w h o w r o t e , ” H a v i n g c o u n t i n g b e a r s , b l o c k s , s c a l e s , i n t e r l o c k i n g c u b e s , C u i s e n a i r e r o d s , e t c . a r e fi r i n g s l w i l l p u t i n fi r e r o o m . T ' l r i s i s p a r t o f m y r o l e b e c a u s e l w i l l b e fi r e r e t o e x p l o r e w i fi r fi r e c h i l d r e n , a l s o , a n d u s e fi r e m a t e r i a l s f o r l e s s o n p l a n s . T h e c h i l d r e n ’ s r o l e s a r e t o u s e fi r e m a t e r i a l s , t o g e fi r e r w i fi r f r i e n d s a n d o n fi r e i r o w n w i fi r o u t a n y o n e e l s e . ” S o m e s t u d e n t s r e a l i z e d t h a t m a n i p u l a t i v e s c o u l d b e h e l p f u l , b u t i t d e p e n d e d o n h o w t h e y w e r e u s e d . T h e i r c o n c e p t i o n s i n c l u d e d t h e r e c o g n i t i o n fi r a t w h i l e m a n i p u l a t i v e s c o u l d b e u s e f u l , fi r e y l o s e fi r e i r e f f e c t i v e n e s s i f fi r e y a r e n o t u s e d a p p r o p r i a t e l y . F o r e x a m p l e , o n e s t u d e n t w r o t e , ” I b e l i e v e m a fi r c l a s s r o o m s s h o u l d b e v e r y h a n d s o n a n d u s e m a n i p u l a t i v e s s o c h i l d r e n c a n c o n s t r u c t fi r e i r k n o w l e d g e . I t h e l p s m a k e a b s t r a c t i d e a s m o r e c o n c r e t e . W h i l e m a n i p u l a t i v e s c a n b e v e r y e f f e c t i v e , i t ’ 5 i m p o r t a n t n o t t o r e l y o n t h e m a l o n e a n d t o e r t r l a l u a t e t h e i r e f f e c t i v e n e s s . S o m e m a y o n l y w o r k t o c o n f u s e o e r s . " O n e o f fi r e f o c u s s t u d e n t s , C a r o l y n , a l s o c a u t i o n e d a b o u t fi r e i m p o r t a n c e o f u s i n g m a n i p u l a t i v e s a p p r o p r i a t e l y i f fi r e y a r e t o b e e f f e c t i v e . S h e w r o t e , ” M a n i p u l a t i v e s a r e a g o o d t o o l t o u s e b e c a u s e s o m e s t u d e n t s m a y fi r i n k a b o u t m a t h e m a t i c a l i d e a s m o r e e a s i l y w h e n t h e y c a n p h y s i c a l l y s e e , t o u c h , a n d w o r k w i fi r fi r e i t e m s . I t i s i m p o r t a n t t o r e m e m b e r fi r a t n o t a l l s t u d e n t s m a y b e n e fi t f r o m t h i s . W h e n u s i n g m a n i p u l a fi v e s fi r e t e a c h e r m u s t m a k e s u r e t h a t t h e u s e o f t h e m m a k e s s e n s e i n t h e a c t i v i t y a n d p r o m o t e s fi r e c o n c e p t y o u a r e t r y i n g t o t e a c h . ” O n e fi n a l e x a m p l e o f a s t u d e n t w h o w r o t e t h a t m a n i p u l a t i v e s s h o u l d b e u s e d i n t e a c h i n g m a fi r e m a t i c s , b u t i n c l u d e d a c a v e a t w a s fi r e s t u d e n t w h o w r o t e , 1 6 7 ” A c t i v i t i e s u s e d f o r t e a c h i n g s h o u l d r e v o l v e p r i m a r i l y a r o u n d t h e u s e o f m a n i p u l a t i v e s a n d c o n c r e t e w a y s t o r e p r e s e n t m a fi r e m a t i c a l t o p i c s . H o w e v e r , t e a c h e r s m u s t n o t a s s u m e fi r a t m a n i p u l a t i v e s w i l l d o t h e n e c e s s a r y t e a c h i n g f o r t h e m . R e l y i n g t o o h e a v i l y o n m a n i p u l a t i v e s c a n b e j u s t a s d e s t r u c t i v e a s n o t u s i n g a n y m a n i p u l a t i v e s a t a l l . ” O v e r a l l , a t fi r e e n d o f t h e s e m e s t e r , fi r e s t u d e n t s s e e m e d t o h o l d fi r e c o n c e p t i o n t h a t m a n i p u l a t i v e s s h o u l d p l a y a n i m p o r t a n t r o l e i n t e a c h i n g m a fi r e m a t i c s b e c a u s e o f fi r e c o n c r e t e e x p e r i e n c e fi r e y p r o v i d e , t h e o p p o r t u n i t i e s fi r e y c a n o f f e r f o r e x p l o r a t i o n , a n d fi r e i n t e r e s t fi r e y c a n g e n e r a t e . H o w e v e r , s e v e r a l o f fi r e s t u d e n t s a l s o r e c o g n i z e d fi r a t s i m p l y u s i n g m a n i p u l a t i v e s w o u l d n o t g u a r a n t e e l e a r n i n g , e s p e c i a l l y i f fi r e y w e r e n o t u s e d a p p r o p r i a t e l y — i n a w a y fi r a t d o e s n ’ t m a t c h o r m a k e s e n s e w i t h t h e c o n c e p t . 2 T h e s t u d e n t s a l s o w r o t e a b o u t u s i n g t o o l s o t h e r t h a n m a n i p u l a t i v e s i n t e a c h i n g m a fi r e m a t i c s . U s u a l l y fi r e y w r o t e a b o u t u s i n g c a l c u l a t o r s o r c o m p u t e r s . S o m e o f t h e s t u d e n t s i n c l u d e d t o o l s u s e d i n t e a c h i n g m a fi r e m a t i c s o t h e r fi r a n m a n i p u l a t i v e s i n fi r e i r fi n a l m a t h c o n c e p t m a p s a s w e l l . E l e v e n s t u d e n t s i n c l u d e d ” c a l c u l a t o r s ” a n d f o u r s t u d e n t s i n c l u d e ” c o m p u t e r s . ” T w o s t u d e n t s i n c l u d e d ” p e n / p e n c i l , ” a n d o n e s t u d e n t i n c l u d e d ” p a p e r . ” T h e m o s t c o m m o n r e a s o n fi r e s t u d e n t s w r o t e a b o u t f o r u s i n g c a l c u l a t o r s a n d c o m p u t e r s i s fi r a t fi r e y w e r e t o o l s fi r e s t u d e n t s s h o u l d b e a b l e t o u s e o u t s i d e fi r e c l a s s r o o m . F o r e x a m p l e , o n e s t u d e n t w r o t e , ” T h e y a r e n o l o n g e r f o r b i d d e n f r o m u s i n g c a l c u l a t o r s , s i n c e i t i s a t o o l fi r e y w i l l l i k e l y u s e a s a d u l t s . ” A n o t h e r s t u d e n t w r o t e , ” D u r i n g fi r i s e x p e r i e n c e , s t u d e n t s s h o u l d b e e n c o u r a g e d t o u s e m e n t a l c a l c u l a t i o n s , p a p e r a n d 2 W e t a l k e d a l o t a b o u t n o t j u s t u s i n g m a n i p u l a t i v e s b e c a u s e fi r e y w e r e f u n a n d m i g h t i n c r e a s e i n t e r e s t , b u t m a k i n g s u r e fi r e y w e r e a p p r o p r i a t e t o fi r e c o n c e p t a n d h a d a d i r e c t c o r r e l a fi o n t o s y m b o l i c r e p r e s e n t a t i o n s . W e a l s o t a l k e d a b o u t fi r e i m p o r t a n c e o f t a l k i n g a l o t w h i l e fi r e y w e r e u s e d s o fi r e s t u d e n t s c o u l d b e t t e r l e a r n / u n d e r s t a n d t h e c o n c e p t fi r a t w a s b e i n g p r e s e n t e d t o fi r e m . W e r e a d D e b o r a h B a l l ’ s ” M a g i c a l H o p e s : M a n i p u l a t i v e s a n d fi r e R e f o r m o f M a fi r E d u c a t i o n ” w h i c h e m p h a s i z e d fi r e i d e a fi r a t w h i l e m a n i p u l a t i v e s c a n b e u s e f u l , fi r e y a r e n o t m a g i c a l , a n d j u s t b e c a u s e m a n i p u l a t i v e s a r e b e i n g u s e d , i t d o e s n ’ t n e c e s s a r i l y m e a n fi r e s t u d e n t s a r e l e a r n i n g . 1 6 8 p e n c i l e x e r c i s e s , c a l c u l a t o r s , a n d c o m p u t e r m e fi r o d s . I w a n t t o p r o v i d e p r a c t i c e f o r m y s t u d e n t s w i fi r a l l o f fi r e t o o l s a v a i l a b l e o u t s i d e fi r e c l a s s r o o m . ” A c o u p l e o f fi r e s t u d e n t s e x p r e s s e d c a u t i o n a b o u t u s i n g c a l c u l a t o r s . O n e o f fi r e s e w a s a f o c u s s t u d e n t , B r i d g e t , a n d h e r i d e a s w i l l b e e x a m i n e d l a t e r . T h e o fi r e r s t u d e n t w r o t e , ” I n fi r e r e c e n t a g e o f t e c h n o l o g y , i t i s v e r y e a s y t o u s e a c a l c u l a t o r o r a c o m p u t e r t o g e t a n a n s w e r t o a p r o b l e m . I f fi r i s o c c u r s , fi r e s t u d e n t m a y n o t h a v e a c l u e h o w fi r e a n s w e r w a s a c h i e v e d a n d t h e o n l y fi r i n g fi r e y t r u l y l e a r n e d w a s h o w t o s c a m a t e a c h e r w i fi r a b o g u s a n s w e r . I t i s v e r y i m p o r t a n t t o s e e r e a s o n i n g o f h o w a n a n s w e r i s a c h i e v e d s o fi r a t fi r e t e a c h e r c a n h e l p fi r e s t u d e n t i f i t i s n e e d e d . ” T h e n e x t m o s t c o m m O n fi r i n g t h e s t u d e n t s w r o t e a b o u t i n fi r e i r ” P h i l o s o p h y o f T e a c h i n g M a fi r e m a t i c s ” j o u r n a l e n t r i e s w a s fi r e i n r p o r t a n c e o f e m p h a s i z i n g p r o c e s s e s w h e n t e a c h i n g m a fi r e m a t i c s . T w e n t y - o n e s t u d e n t s w r o t e a b o u t fi r a t i d e a . A s w a s n o t e d i n fi r e l e a r n i n g s e c t i o n e a r l i e r i n fi r i s c h a p t e r a n d p r o c e s s e s s e c t i o n i n fi r e p r e v i o u s c h a p t e r , i t w a s a l s o s o m e fi r i n g fi r a t r e c e i v e d a g r e a t d e a l o f a t t e n t i o n i n t h e fi n a l ” W h a t I s M a fi r e m a t i c s ? ” j o u r n a l e n t r i e s a n d fi r e fi n a l m a fi r c o n c e p t m a p s . S i x t e e n s t u d e n t s w r o t e s o m e fi r i n g a b o u t p r o c e s s e s i n t h e i r fi n a l ” W h a t I s M a fi r e m a t i c s ? ” j o u r n a l e n t r i e s , a n d 2 6 s t u d e n t s i n c l u d e d s o m e fi r i n g r e l a t e d t o p r o c e s s e s i n fi r e i r fi n a l m a t h c o n c e p t m a p . F i f t e e n o f t h e m i n c l u d e d a h i g h n u m b e r o f i t e m s ( fi v e o r m o r e ) r e l a t e d t o fi r a t a r e a . I n t h e ” P h i l o s o p h y o f T e a c h i n g M a fi r e m a t i c s " j o u r n a l e n t r i e s , fi r e s t u d e n t s w r o t e a b o u t fi r e k i n d s o f p r o c e s s e s fi r e s t u d e n t s s h o u l d b e u s i n g ] l e a r n i n g a n d w h y p r o c e s s e s w e r e s o i m p o r t a n t i n t e a c h i n g m a t h e m a t i c s . M a n y o f t h e s t u d e n t s w r o t e a b o u t fi r e i d e a o f p r o c e s s e s b e i n g m o r e i m p o r t a n t fi r a n fi r e p r o d u c t . O n e s t u d e n t w r o t e , ” E m p h a s i s i s o n p r o c e s s r a fi r e r fi r a n p r o d u c t . W e w a n t t o s e e a n d u n d e r s t a n d s t u d e n t s ’ fi r o u g h t p r o c e s s e s r a fi r e r fi r a n n a r r o w i n g fi r e i r p e r s p e c t i v e s b y d e m a n d i n g o n e r i g h t a n s w e r . " A n o t h e r s t u d e n t w r o t e , ” A l o n g w i fi r fi r i s a p p r o a c h , a n e m p h a s i s s h o u l d b e p l a c e d o n t h e p r o c e s s u s e d , 1 6 9 a n d n o t fi r e fi n a l p r o d u c t . W h e n a l w a y s f o c u s i n g o n fi r e a n s w e r , fi r e c h i l d r e n l e a r n h o w t o g i v e fi r e t e a c h e r w h a t fi r e y w a n t , n o t fi r e m a t e r i a l . ” O n e s t u d e n t e m p h a s i z e d h o w e m p h a s i z i n g fi r e p r o c e s s h e l p s t h e t e a c h e r l e a r n a b o u t t h e s t u d e n t s ’ u n d e r s t a n d i n g . S h e w r o t e , ” I f e e l t h e p r o c e s s o f l e a r n i n g s h o u l d b e s t r o n g l y e m p h a s i z e d r a fi r e r fi r a n t h e p r o d u c t . I t i s t h e t h o u g h t p r o c e s s o f w o r k i n g o n a p r o b l e m , n o t fi r e a n s w e r fi r a t r e v e a l s u n d e r s t a n d i n g . ” A f e w m o r e e x a m p l e s o f w h a t s t u d e n t s w r o t e r e l a t i n g t o fi r i s i d e a f o l l o w : ” A n o fi r e r i m p o r t a n t fi r i n I w o u l d s t r e s s i s fi r e i d e a o f p r o c e s s v s . p r o d u c t . I b e l i e v e fi r a t t h e p r o c e s s i s m o r e i m p o r t a n t . A s t u d e n t n e e d s t o k n o w h o w a p r o b l e m w o r k s a n d n o t j u s t h o w t o q u i c k l y a c h i e v e a fi n a l p r o d u c t . I w o u l d l i k e m y s t u d e n t s t o b e a b l e t o e x p l a i n w h y s o m e fi r i n g w o r k s . ” " I f e e l s t u d e n t s s h o u l d a l s o u s e t r i a l a n d e r r o r . T h i s w i l l h e l p s t u d e n t s u n d e r s t a n d h o w c e r t a i n p r o c e s s e s a r e u s e f u l o r n o t u s e f u l . T h e l e a r n i n g e m p h a s i s w o u l d b e m o r e t o w a r d s fi r e p r o c e s s . I f I t e a c h s t u d e n t s t o e m p h a s i z e t h e p r o d u c t , I f e e l fi r e y w i l l s e e m a t h a s a r i g h t o r w r o n g o n e - d i m e n s i o n a l p r o c e s s . I w a n t s t u d e n t s t o l e a r n h o w t o u s e p r o c e s s e s t o e v a l u a t e p r o b l e n r s . ” ” I w a n t t o e m p h a s i z e m o r e o n p r o c e s s f o r w h i c h fi r e y l e a r n t h e m a t e r i a l a s o p p o s e d t o f o c u s i n g m o r e o n fi r e p r o d u c t . I fi r i n k i t i s i m p o r t a n t t o v a l u e t h e p r o c e s s e s b e c a u s e c h i l d r e n , i n fi r e e n d , w i l l b e m o r e a p t t o t a k e r i s k s i n m a fi r e m a t i c s , a n d i t w i l l m o t i v a t e t h e m t o c o n t i n u e l e a r n i n g m a fi r w i fi r e r r fi r u s i a s m a n d i n t e r e s t . ” T h e s t u d e n t s a l s o w r o t e a b o u t s o m e s p e c i fi c t y p e s o f p r o c e s s e s fi r e y w a n t e d t o b e p a r t o f fi r e i r t e a c h i n g o f m a t h e m a t i c s . F o r i n s t a n c e , o n e s t u d e n t w r o t e , ” I n a l l , I f e e l t h a t m a fi r i s j u s t l i k e t h e s c i e n c e s , o n e n e e d s t o c o n j e c t u r e , e x p l o r e , r e v i s e fi r i n k i n g , a n d c o n c l u d e . " A n o t h e r s t u d e n t w r o t e , ” S t u d e r r t s s h o u l d b e e n c o u r a g e d t o u s e a n y a p p r o a c h t o g e t a n a n s w e r a n d fi r e n t o e x p l a i n h i s ] h e r l i n e o f fi r i n k i n g . " S h e a l s o w r o t e , ” A l l l i n e s o f d e e p fi r i n k i n g s h o u l d b e v a l u e d r e g a r d l e s s o f h i s ] h e r a n s w e r . ” A n o t h e r s t u d e n t w r o t e a b o u t h o w s h e w a n t e d d i f f e r e n t p r o c e s s e s t o b e a p a r t o f h e r t e a c h i n g fi r i s w a y : 1 7 0 ” S t u d e n t s ’ r o l e s w i l l b e fi r a t o f fi r i n k e r , q u e s t i o n e r , c h a l l e n g e r , b u t fi r e y m u s t a l s o b e a b l e t o s u p p o r t , e x p l a i n , r e a s o n , o r j u s t i f y fi r e i r c o n c e p t s . I t i s i m p o r t a n t f o r b o t h fi r e t e a c h e r a n d fi r e s t u d e n t t o r e a l i z e fi r a t s u f o r a c o n t o r a b e l i e f c a n c o m e i n m a n y f o r n r s . T w o s u e x a m p l e s a r e c e t g r r o u g h v e r b a l e x p l a n a t i o n o r u s e o f a n e x a m p l e t o s u p p o r t o r b a c k u p . A n e x a m p l e c o u l d b e i n t h e f o r m o f n u m b e r s , w o r d p r o b l e m s , o r w o r k w i fi r m a n i p u l a t i v e s , e t c . ” A n o t h e r fi r i n g t h e s t u d e n t s e m p h a s i z e d r e l a t e d t o p r o c e s s e s i s t h a t s t u d e n t s s h o u l d n ’ t b e e x p e c t e d t o fi r i n k a b o u t o r w o r k o n a p r o b l e m i n a s p e c i fi c w a y — t h a t fi r e y s h o u l d b e a b l e t o u s e fi r e i r o w n t h i n k i n g p r o c e s s e s t o s e a r c h f o r a s o l u t i o n . F o r e x a m p l e , o n e s t u d e n t w r o t e , ” M a fi r i s a p r o c e s s t h a t e a c h s t u d e n t g o e s fi r r o u g h d i f f e r e n fi y . I t i n v o l v e s r e a s o n i n g a n d j u s t i f y i n g . ” A n o fi r e r s t u d e n t w r o t e m o r e a b o u t fi r e t e a c h e r ’ s r o l e r e l a t e d t o fi r i s i d e a . S h e w r o t e , ” I a l s o fi r i n k i t i s i m p o r t a n t t o a c c e p t a l l i d e a s a n d t o e n c o u r a g e c h i l d r e n t o t a k e r i s k s a n d j u s t t r y fi r e p r o b l e m s . E m p h a s i z e fi r a t fi r e r e a r e v a r i o u s w a y s t o d o o n e p r o b l e r r r . " R e l a t e d t o fi r i s , i n h e r fi n a l ” W h a t I s M a t h e m a t i c s ? ” j o u r n a l e n t r y , o n e s t u d e n t w r o t e , ” T h e r e a r e m a n y d i f f e r e n t w a y s t o d o p r o b l e m s . M a t h i s a l o t m o r e o p e n e n d e d t h a n I a t fi r s t b e l i e v e d b e c a u s e o f fi r e r i g i d w a y fi r a t I w a s t a u g h t . ” A fi n a l e x a m p l e o f a s t u d e n t w h o w r o t e a b o u t fi r i s i d e a i n t h e ” P h i l o s o p h y o f T e a c h i n g M a t h e m a t i c s " j o u r n a l e n t r i e s w a s fi r e s t u d e n t w h o w r o t e , ” I fi r i n k fi r a t m a fi r t e a c h e r s s h o u l d s h i f t fi r e i r f o c u s f r o m t e a c h i n g o n l y b a s i c s k i l l s a n d f o c u s i n g o n a l g o r i fi r n r s t o t e a c h a l i t fi e m o r e fi r i n k i n g , p r o b l e m s o l v i n g , a n d r e a s o n i n g . T h i s i s n o t t o s a fi r a t b a s i c s k i l l s s h o u l d n o t b e t a u g h t , b e c a u s e I fi r i n k fi r a t t h e y S o u l d . H o w e v e r , I d o n ’ t fi r i n k t h a t s t u d e n t s s h o u l d b e p u n i s h e d f o r fi n d i n g a n s w e r s i n o r i g i n a l w a y s . ” I n s u m m a r y , w i t h r e s p e c t t o fi r e r o l e t h a t p r o c e s s e s p l a y i n t e a c h i n g m a t h e m a t i c s , t h e s t u d e n t s ’ c o n c e p t i o n s i n c l u d e d t h e i d e a s fi r a t t h e r e w e r e v a r i o u s p r o c e s s e s fi r e s t u d e n t s s h o u l d l e a r n s u c h a s r e a s o n i n g a n d p r o b l e m 1 7 1 s o l v i n g , fi r a t fi r e p r o c e s s w a s m o r e i m p o r t a n t fi r a n fi r e p r o d u c t , a n d fi r a t s t u d e n t s s h o u l d b e a b l e t o u s e t h e i r o w n p r o c e s s e s t o w o r k o n a p r o b l e m . ” T h e r e a r e m a n y d i f f e r e n t w a y s t o d o p r o b l e m s . M a fi r i s a l o t m o r e o p e n e n d e d fi r a n I a t fi r s t b e l i e v e d b e c a u s e o f t h e r i g i d w a y fi r a t I w a s t a u g h t . ” R e l a t e d t o fi r e i d e a fi r a t i t i s i m p o r t a n t t o e m p h a s i z e t h e p r o c e s s e s o f m a t h e m a t i c s w h e n t e a c h i n g m a fi r e n r a t i c s i s t h e i d e a t h a t m a fi r e n r a t i c s s h o u l d b e t a u g h t a s m o r e fi r a n d r i l l , p r a c t i c e , a n d m e m o r i z a t i o n . T e n s t u d e n t s w r o t e a b o u t fi r a t i n fi r e i r ” P h i l o s o p h y o f T e a c h i n g M a fi r e m a t i c s " j o u r n a l e n t r i e s , a n d a f e w s t u d e n t s w r o t e a b o u t fi r a t i d e a i n t h e i r fi n a l ” W h a t I s M a t h e m a t i c s ? ” j o u r n a l e n t r i e s . A s w a s n o t e d i n fi r e l e a r n i n g s e c t i o n , o n e s t u d e n t w r o t e , ” W e s h o u l d s t o p e m p h a s i z i n g fi r e i m p o r t a n c e o f m e m o r i z i n g m a fi r o p e r a t i o n s . T h i s s i m p l y c o n t r a d i c t s o u r p u r p o s e . " T h e s t u d e n t s d i d n ’ t i n c l u d e a l o t s p e c i fi c a l l y a b o u t fi r i s i d e a i n fi r e i r c o n c e p t m a p s , b u t fi r e r e w e r e a c o u p l e o f i t e m s fi r a t w e r e p o s s i b l y r e l a t e d t o fi r i s i d e a s u c h a s t h e i t e m ” n o t b o o k o r w o r k b o o k ” t h a t o n e s t u d e n t i n c l u d e d . I n t h e i r ” P h i l o s o p h y o f T e a c h i n g M a t h e m a t i c s ” j o u r n a l e n t r i e s , t h e s t u d e n t s e x p r e s s e d fi r i s i d e a i n m o r e d e t a i l . O n e s t u d e n t w r o t e , ” M a fi r e m a t i c s s h o u l d m e a n m o r e fi r a n h a v i n g s t u d e n t s s i t a t fi r e i r s e a t s f o r 4 0 m i n u t e s t o w o r k o n p a p e r a n d p e n c i l e x e r c i s e s . ” A n o fi r e r s t u d e n t w r o t e s i m p l y , ” M a fi r s h o u l d n o t s i m p l y b e d i t t o s a n d h o m e w o r ” O n e s t u d e n t e v e n i m p l i e d t h a t j u s t u s i n g b o o k w o r k i n d i c a t e s s o m e l a z i n e s s o n t h e p a r t o f fi r e t e a c h e r . S h e w r o t e , ” T h e d i f f e r e n t a c t i v i t i e s s h o u l d b e f u n a s w e l l a s e d u c a t i o n a l . B o o k w o r k a l l t h e fi m e t e l l s t h e s t u d e n t s y o u d o n ’ t r e a l l y c a r e a n d a r e t o o l a z y t o m a k e u p a r e a l l e s s o n I ! p l a n . 1 7 2 A f e w o f s t u d e n t s w r o t e fi r a t fi r i n k i n g o f t e a c h i n g m a fi r a s m o r e fi r a n d r i l l a n d p r a c t i c e w a s a n e w i d e a f o r t h e m . O n e s t u d e n t w r o t e , ” M y p h i l o s o p h y a b o u t t e a c h i n g m a t h h a s b r o a d e n e d ! I u n d e r s t a n d fi r a t m a fi r i s a l o t d e e p e r t h a n m e m o r i z i n g a n d c o m p u t i n g b a s i c m a t h f u n c t i o n s . ” A n o t h e r s t u d e n t w r o t e , ” M y r o l e a n d f e a r o f t e a c h i n g m a d r e m a t i c s h a s c h a n g e d a n d i s s t i l l d e v e l o p i n g fi r r o u g h fi r i s c l a s s . I n o l o n g e r s e e m y s e l f a s s i g n i n g h o m e w o r k f r o m t h e t e x t b o o k , e x p l a i n i n g e x a m p l e s , a n d c a l l i n g i t a d a y . ” A n o fi r e r s t u d e n t d e c l a r e d a c h a n g e i n h e r i d e a s r e l a t e d t o fi r i s a r e a a n d a l s o w r o t e a b o u t fi r e i d e a fi r a t s h e fi r o u g h t s o m a n y c h i l d r e n f e a r e d m a fi r b e c a u s e o f b e i n g t a u g h t fi r r o u g h d r i l l a n d p r a c t i c e . S h e w r o t e , ” W h e n I e n t e r e d , I f e l t fi r a t t h e o l d s y s t e m o f e x p l a i n i n g fi r e t , a s s i g n i n g p r o b l e m s , a n d c o r r e c t i n g fi r e w o r k w a s fi r e b e s t w a y f o r s t u d e n t s t o u n d e r s t a n d a n d l e a r n c o n c e p t s . I h a v e r e a l i z e d fi r a t fi r i s i s t h e r e a s o n s o m a n y c h i l d r e n f e a r fi r e s u b j e c t . " A n o t h e r a s p e c t o f t e a c h i n g m a t h e m a t i c s fi r a t 1 6 s t u d e n t s w r o t e a b o u t i n fi r e i r ” P h i l o s o p h y o f T e a c h i n g M a t h e m a t i c s ” j o u r n a l e n t r i e s w a s fi r e i d e a fi r a t s t u d e n t s S h o u l d h a v e fi r e o p p o r t u n i t y t o w o r k o n m a fi r e m a t i c s i n s m a l l g r o u p s a s w e l l a s i n d i v i d u a l l y a n d a s a w h o l e c l a s s . T h i s p r o v i d e s t h e s t u d e n t s t h e o p p o r t u n i t y t o d i s c u s s t h e m a t h e m a t i c s fi r e y w e r e w o r k i n g o n , t e a c h o fi r e r s t u d e n t s , a n d l e a r n f r o m o fi r e r s t u d e n t s . S o m e s t u d e n t s a l s o i n c l u d e d fi r i s i d e a i n t h e fi n a l m a t h c o n c e p t m a p s . T w o s t u d e n t s i n c l u d e d ” c o o p e r a t i v e g r o u p s . ” S t u d e n t 7 w h o s e fi n a l c o n c e p t m a p i s s h o w n o n p a g e 1 5 4 i n c l u d e d ” l a r g e g r o u p i n t e r a c t i o n ” a n d ” s m a l l g r o u p i n t e r a c t i o n ” o n h e r m a p . S t u d e n t 1 0 w h o s e fi n a l c o n c e p t m a p c a n b e s e e n o n p a g e 1 5 8 i n c l u d e d ” g r o u p w o r k , " ” i n d i v i d u a l w o r k , ” a n d ” w h o l e c l a s s . ” A n o t h e r s t u d e n t i n c l u d e d ” s t u d e n t s h e l p o t h e r 1 7 3 s t u d e n t s . ” A c o u p l e o f s t u d e n t s w r o t e a b o u t fi r e i m p o r t a n c e o f g r o u p w o r k i n fi r e i r fi n a l ” W h a t I s M a fi r e m a t i c s ? ” j o u r n a l e n t r i e s . O n e o f fi r e s e s t u d e n t s w r o t e , ” I a l s o b e l i e v e fi r a t m a fi r i s c o l l a b o r a t i o n . S t u d e n t s n e e d t o l e a r n t o b e a b l e t o w o r k t o g e fi r e r . T h e y c a n l e a r n fi r e s k i l l s f o r g r o u p w o r k b y w o r k i n g i n g r o u p s . T h e y c a n l e a r n t o v a l u e o t h e r s t u d e n t s ’ i n p u t , a n d t h e y c a n l e a r n t o a c c e p t o fi r e r s ’ w a y s t h a t m a y b e d i f f e r e n t f r o m t h e i r o w n . L e a r n i n g t o c o o p e r a t e w i fi r o fi r e r s t u d e n t s i s a l e s s o n fi r a t s t u d e n t s n e e d t o l e a r n , a n d w h e n g r o u p w o r k i s c o m b i n e d w i fi r m a fi r , i t h e l p s s t u d e n t s t o u n d e r s t a n d fi r e i r t a s k b e t t e r . S o m e t i m e s o t h e r s t u d e n t s c a n e x p l a i n fi r i n g s t o fi r e i r p e e r s i n a w a y t h a t fi r e t e a c h e r c a n n o t , a n d fi r i s g r e a fi y i m p r o v e s s t u d e n t s ' u n d e r s t a n d i n g . " A s n o t e d , 1 6 o f t h e s t u d e n t s w r o t e s o m e fi r i n g a b o u t fi r i s i d e a i n fi r e i r " P h i l o s o p h y o f T e a c h i n g M a fi r e m a t i c s ” j o u r n a l e n t r i e s . U s u a l l y t h e y w r o t e a b o u t fi r e s a m e k i n d o f b e n e fi t s t h a t fi r e j u s t - q u o t e d s t u d e n t w r o t e i n h e r fi n a l ” W h a t I s M a fi r e m a t i c s ? ” j o u r n a l e n t r y s u c h a s l e a r n i n g fi r e s k i l l o f c o l l a b o r a t i o n , l e a r n i n g t o v a l u e o t h e r s ’ i n p u t , a n d b e i n g a b l e t o t e a c h a n d ] o r l e a r n f r o m o t h e r s t u d e n t s . F o r e x a m p l e , o n e s t u d e n t w r o t e , ” I a l s o w a n t m y s t u d e n t s t o w o r k a l o t i n s m a l l g r o u p s s o fi r a t fi r e y c a n h a v e a n o p p o r t u n i t y t o e x p r e s s , v a l i d a t e , a n d q u e s t i o n fi r e i r i d e a s . ” A n o fi r e r s t u d e n t w r o t e , ” I w a n t m y s t u d e n t s t o w o r k w i fi r m a fi r o n a n i n d i v i d u a l b a s i s a n d i n s m a l l g r o u p s . I n s m a l l g r o u p s , s t u d e n t s c a n l e a r n f r o m e a c h o t h e r . S m a l l g r o u p s a l s o f a c i l i t a t e l e a r n i n g v a r i o u s p r o b l e m s - s o l v i n g s k i l l s . S t u d e n t s c a n b e g i n t o u n d e r s t a n d o t h e r w a y s t o s o l v e a p r o b l e m a n d m e fi r o d s o f fi r i n k i n g . ” A n o t h e r s t u d e n t e x p l a i n e d S i m i l a r i d e a s m o r e e l a b o r a t e l y . S h e w r o t e , ” I a l s o b e l i e v e t h a t s t u d e n t s s h o u l d w o r k b o fi r i n d i v i d u a l l y a n d i n g r o u p s . A l l o w i n g c h i l d r e n t o w o r k i n g r o u p s g i v e s fi r e m a c h a n c e t o l e a r n f r o m o n e a n o t h e r . S t u d e n t s h a v e a l o t t o t e a c h o n e a n o fi r e r a n d w o r k i n g i n g r o u p s m a y a s s i s t fi r e m i n l e a r n i n g a n e w w a y t o d o a p r o b l e m . A l o t o f t i m e s s t u d e n t s m a y b e a b l e t o e x p l a i n a c o n c e p t b e t t e r fi r a n fi r e t e a c h e r , i n a w a y t h a t t h e y c a n u n d e r s t a n d . W o r k i n g i n g r o u p s a l l o w s s t u d e n t s t o l e a r n f r o m a n o fi r e r a n d a l s o w h e n s t u d e n t s t e a c h a c o n c e p t t o a n o t h e r s t u d e n t , fi r e y a r e a l s o l e a r n i n g a n d r e i n f o r c i n g w h a t fi r e y k n o w . ” 1 7 4 A n o fi r e r s t u d e n t w r o t e a b o u t s i m i l a r i d e a s a n d a l s o fi r e b e n e fi t o f s m a l l g r o u p s b e i n g a l e s s fi r r e a t e n i n g e n v i r o n m e n t . S h e w r o t e , ” I a l s o s e e v a l u e i n h a v i n g t h e s t u d e n t s w o r k i n g r o u p s . T h i s a l l o w s fi r e m t o s h a r e i d e a s , q u e s t i o n e a c h o fi r e r , a n d p o s s i b l y t e a c h o t h e r s . I t a l l o w s t h e m t o r a i s e q u e s t i o n s a n d g i v e s e v e r y o n e a n o p p o r t u n i t y t o p a r t i c i p a t e i n a l e s s fi r r e a t e n i n g e n v i r o n m e n t . ” A f e w s t u d e n t s w r o t e a b o u t h a v i n g fi r e s t u d e n t s w o r k i n s m a l l g r o u p s i n a d d i t i o n t o w o r k i n g a n d d i s c u s s i n g i n w h o l e o r l a r g e g r o u p s . O n e e x a m p l e o f fi r i s i s fi r e s t u d e n t w h o w r o t e , ” I n m y c l a s s r o o m , fi r e r o l e o f fi r e s t u d e n t w i l l b e t o t a k e a n a c t i v e p a r t i n d i s c u s s i o n s , i n d i v i d u a l p r o j e c t s , g r o u p p r o j e c t s , w h o l e c l a s s p r o j e c t s , a n d s m a l l g r o u p p r o j e c t s . " A n o t h e r s t u d e n t w r o t e , ” I b e l i e v e fi r a t a m a t h e m a t i c s c l a s s r o o m s h o u l d b e a p l a c e w h e r e s t u d e n t s c a n f r e e l y e x p r e s s fi r e i r fi r o u g h t s a n d i d e a s t o fi r e i r a n d fi r e t e a c h e r . T h i s e x p r e s s i o n s h o u l d t a k e p l a c e i n b o fi r l a r g e g r o u p ] w h o l e c l a s s d i s c u s s i o n a n d s m a l l g r o u p d i s c u s s i o n s . ” O n e s t u d e n t w r o t e a b o u t fi r e i d e a fi r a t s i n c e m a t h i s a s o c i a l s u b j e c t , i t n e e d s t o b e l e a r n e d i n a s o d a ] s e t t i n g . S h e w r o t e , ” T h e a c t i v i t i e s s h o u l d b e o r g a n i z e d a r o u n d g r o u p s . B e c a u s e o f fi r e s c i e n t i fi c n a t u r e a n d m a t h ’ s a b u n d a n c e i n fi r e w o r l d , i t i s a s o c i a l s u b j e c t , i t c a n n o t b e t a u g h t t o s t u d e n t s i s o l a t e d f r o m o fi r e r s f o r c o m p l e t e u n d e r s t a n d i n g . ” I n s u m m a r y , m a n y o f fi r e s t u d e n t s ’ c o n c e p t i o n s o f t e a c h i n g m a fi r e m a t i c s i n c l u d e d t h e i d e a fi r a t s t u d e n t s S h o u l d h a v e fi r e o p p o r t u n i t y t o w o r k i n s m a l l g r o u p s a s w e l l a s i n l a r g e g r o u p s o r i n d i v i d u a l l y . T h e b e n e fi t s o f fi r i s fi r a t t h e y m o s t o f t e n w r o t e a b o u t w e r e fi r a t fi r e s t u d e n t s w o u l d h a v e a n o p p o r t u n i t y t o t a l k a b o u t t h e m a fi r , l e a r n f r o m a n d ] o r t e a c h e a c h o t h e r , a n d l e a r n t o w o r k c o l l a b o r a t i v e l y . W i t h a l l o f t h e s e c o n c e p t i o n s o f fi r e s t u d e n t s a b o u t w h a t s h o u l d b e h a p p e n i n g i n a m a t h e m a t i c s c l a s s r o o m , i t ’ 3 n a t u r a l f o r t h e m t o fi r i n k a b o u t t h e 1 7 5 r o l e fi r e t e a c h e r w o u l d p l a y . I t w a s n ’ t s o m e fi r i n g t h e y w r o t e a b o u t e x p l i c i t l y i n t h e fi n a l ” W h a t I s M a t h e m a t i c s ? " j o u r n a l e n t r i e s , a n d t h e t e a c h e r ’ 8 r o l e w a s m o s fi y i m p l i c i t i n a l l fi r e i t e m s r e l a t e d t o t e a c h i n g m a fi r fi r a t fi r e s t u d e n t s i n c l u d e d i n t h e i r fi n a l m a t h c o n c e p t m a p s , b u t m a n y o f t h e s t u d e n t s ( 1 7 ) d i d w r i t e e x p l i c i fi y a b o u t t h e r o l e o f t h e t e a c h e r i n t e a c h i n g m a t h e m a t i c s i n fi r e i r ” P h i l o s o p h y o f T e a c h i n g M a fi r e m a t i c s " j o u r n a l e n t r i e s . U s u a l l y t h e y d e s c r i b e d fi r e t e a c h e r ’ 8 r o l e a s fi r a t o f a f a c i l i t a t o r o r a g u i d e . F o r e x a m p l e , o n e s t u d e n t w r o t e , ” M y r o l e a s a n e d u c a t o r i n fi r e c l a s s r o o m i s t o f a c i l i t a t e l e a r n i n g t h r o u g h p r o v i d i n g m a t e r i a l s a n d l e t t i n g fi r e m e x p l o r e fi r e m o n fi r e i r o w n . ” A n o fi r e r e x a m p l e o f a s t u d e n t e x p r e s s i n g a n i d e a S i m i l a r t o fi r i s — a n d t o fi r a t o f m a n y o fi r e r s t u d e n t s — w a s fi r e s t u d e n t w h o w r o t e , " T h e r o l e o f t h e t e a c h e r i s t o g u i d e t h e s t u d e n t s fi r r o u g h d i s c o v e r i e s , g i v e a n d p r o v i d e fi r e m a t e r i a l n e e d e d f o r t h e s t u d e n t s t o r e s o l v e o n fi r e i r o w n fi r e s o l u t i o n . T h i s l e t s fi r e s t u d e n t s f e e l t h e s e n s e o f a c c o m p l i s h m e n t w i fi r b e i n g fi r e m a fi r e m a t i c i a n . A n e x a m p l e o f h o w o n e s t u d e n t w r o t e a b o u t h o w fi r i s n r i g h t l o o k w a s fi r e s t u d e n t w h o w r o t e , ” T h e t e a c h e r w o u l d p l a y t w o d i f f e r e n t r o l e s t h r o u g h o u t fi r e t e a c h i n g o f a m a t h l e s s o n . A t fi r e b e g s h e w o u l d i n t r o d u c e fi r e s u b j e c t t o fi r e s t u d e n t s a n d s t a r t e m fi r i n k i n g a b o u t i t . T h e n s h e w o u l d s t e p b a c k a n d a l l o w fi r e s t u d e n t s t o t a k e a n a c t i v e r o l e i n fi r e i r l e a r n i n g . O n e s t u d e n t e x p l a i n e d m o r e f u l l y h o w s h e e n v i s i o n e d t h e r o l e o f fi r e t e a c h e r . S h e w r o t e , ” M a t h h a s e v o l v e d s i g n i fi c a n fi y s i n c e m y u n g e r d a y s a s a s t u d e n t . T h e r o l e o f fi r e t e a c h e r , f o r e x a m p l e , O s h i f t e d f r o m fi r a t o f d i c t a t o r t o fi r a t o f a g u i d e . T e a c h e r s g u i d e s t u d e n t s ’ fi r i n k i n g a n d r e a s o n i n g p r o c e s s a n d e n c o u r a g e t h e m t o d e v e l o p t h e i r o w n c o n c l u s i o n s a n d s o l u t i o n s . T e a c h e r s , i n a n i d e a l c l a s s r o o m , a r e n o l o n g e r g i v i n g fi r e s t u d e n t s s t r i n g e n t r u l e s i n w h i c h t o u s e i n o r d e r t o s o l v e a p r o b l e m . R a fi r e r , t h e t e a c h e r s s t i m u l a t e s t u d e n t s ’ p r i o r k n o w l e d g e a n d h e l p fi r e m t o f o r m u l a t e t h e i r o w n m e fi r o d s o f 1 7 6 s o l v i n g c e r t a i n p r o b l e m s . T e a c h e r s a r e n o w r o l e m o d e l s a n d fi r i n k o u t l o u d w i fi r s t u d e n t s i n o r d e r t o p r o v i d e s t u d e n t s w i fi r a m u l t i - p e r s p e c t i v e o n S p e c i fi c a r e a s o f m a fi r . ” A n o fi r e r s t u d e n t a l s o w r o t e a b o u t fi r e t e a c h e r s a s a m o d e l o f fi r i n k i n g a b o u t a n d d o i n g m a fi r a s w e l l a s a l l o w i n g fi r e s t u d e n t s t o d o fi r e s a m e . S h e w r o t e , " T h e t e a c h e r w i l l m o d e l f o r s t u d e n t s h o w t o t r y a t m a fi r , b u t w h e n p e r f o r m i n g m a t h e m a t i c a l t a s k s , fi r e t e a c h e r w i l l b e fi r e f a c i l i t a t o r . H e ] s h e w i l l a s k a q u e s t i o n , o r s o m e t h i n g o f t h a t s o r t , t o t h e s t u d e n t s f o r fi r e m t o s o l v e , r e a s o n a b o u t , c h a l l e n g e , r e - fi r i n k , e t c . ” A f e w s t u d e n t s w r o t e a b o u t h o w fi r e y f e l t l i k e fi r e i r c o n c e p t i o n o f fi r e i r r o l e a s a t e a c h e r h a d c h a n g e d . F o r e x a m p l e , o n e s t u d e n t w r o t e , ” M y p h i l o s o p h y o f t e a c h i n g m a fi r e m a t i c s h a s c h a n g e d a g r e a t d e a l . I n o w s e e fi r e t e a c h e r ’ 8 r o l e a s l e s s i n t e g r a l i n t e r m s o f w h a t fi r e y s a y t o t h e s t u d e n t s , y e t m o r e i m p o r t a n t i n t h e i r d e v i s i n g o f a c t i v i t i e s . S t u d e n t s s h o u l d b e a b l e t o c o m e t o a n u n d e r s t a n d i n g a n d r e a c h a c o n c l u s i o n , p r o p e l l i n g fi r e l e s s o n . . . A c t i v i t i e s w i l l n o t a l w a y s b e t o e x p l o r e a n a l r e a d y - k n o w n c o n c e p t , b u t m a y b e t o d i s c o v e r a c o n c e p t o n t h e i r o w n . ” I t e m 1 8 f r o m fi r e M a fi r e m a t i c s I n v e n t o r y a l s o h a d s o m e r e l a t i o n t o t h e s t u d e n t s ’ c o n c e p t i o n s o f t h e r o l e o f t h e t e a c h e r . T h e r e w a s a s t a t i s t i c a l l y S i g n i fi c a n t c h a n g e i n t h e m e a n r e s p o n s e f o r fi r i s i t e m w h i c h w a s , ” B e i n g g o o d a t m a fi r e m a t i c s i s n o t r e q u i r e d t o b e a g o o d t e a c h e r o f m a t h . ” H o w e v e r , fi r e d i r e c t i o n o f c h a n g e w a s a l i t t l e s u r p r i s i n g . A t fi r e b e g i n n i n g o f fi r e s e m e s t e r t h e m e a n r e s p o n s e w a s 2 . 8 6 , a n d a t fi r e e n d o f fi r e S e m e s t e r t h e r e w a s m o r e a g r e e m e n t w i fi r fi r a t s t a t e m e n t a s i n d i c a t e d b y fi r e m e a n r e s p o n s e o f 3 . 6 2 1 . T h e p v a l u e f o r fi r e c h a n g e w a s 0 . 0 0 6 5 . T h i s i l l u s t r a t e s a p a r a d o x i c a l , b u t n o t s u r p r i s i n g e f f e c t o f o u r t e a c h i n g a s m a t h e m a t i c s t e a c h e r e d u c a t o r s . O n fi r e o n e h a n d , r e f o r m e r s b e l i e v e fi r a t i n o r d e r t o t e a c h e l e m e n t a r y m a t h w e l l , t e a c h e r s m u s t k n o w m a fi r f a r b e t t e r fi r a n m o s t n o w d o — fi r a t fi r i s i s i m p o r t a n t f o r fi r e m t o s e e c o n n e c t i o n s , t o k n o w w h i c h o f t h e t a n g e n t s t h a t a r i s e o u t o f a m a t h d i s c u s s i o n 1 7 7 s h o u l d b e f o l l o w e d u p , a n d f o r m a n y o fi r e r p e d a g o g i c a l r e a s o n s ( B a l l , 1 9 8 8 b ; B a l l , 1 9 8 9 ; F l o d e n a n d o fi r e r s , N C T M , 1 9 9 1 ; S c h r a m a n d o fi r e r s , 1 9 8 8 ) . O n fi r e o t h e r h a n d , fi r e k i n d o f t e a c h i n g w e i n t r o d u c e fi r e m t o , w h e r e fi r e t e a c h e r i s d o i n g l e s s p r e s e n t i n g a n d e x p l a i n i n g o f fi r e m a fi r a n d m o r e f a c i l i t a t i n g a n d q u e s t i o n i n g , m a k e s fi r e s e p r o s p e c t i v e t e a c h e r s f e e l t h e i r l a c k o f m a fi r e n r a t i c a l k n o w l e d g e w i l l b e l e s s o b v i o u s a n d l e s s o f a n i m p e d i m e n t t o fi r e s t u d e n t s ’ l e a r n i n g — b e c a u s e fi r e y w o n ’ t b e p r e s e n t i n g fi r e i d e a s , fi r e s t u d e n t s w i l l . S o m e t i m e s , w e , a s t e a c h e r e d u c a t o r s , d o n o t c o m m u n i c a t e t o fi r e m w e l l e n o u g h fi r a t fi r e w a y y o u s e l e c t a n d d e s i g n p r o b l e m s , r e s p o n d t o c h i l d r e n ’ s i d e a s , a n d d e c i d e t o p u r s u e s o m e i d e a s a n d n o t o t h e r s h a s t o d o w i t h t h e i r s u b j e c t m a t t e r k n o w l e d g e . I s fi r i s p e r h a p s b e c a u s e w e d o n o t w a n t t o c o m m u n i c a t e fi r i s ? A r e w e e n j o y i n g t h e i r n e w - f o u n d e n t h u s i a s m f o r m a fi r t e a c h i n g a n d t h e n e w i m a g e fi r e y h a v e o f t h e m s e l v e s o f m a fi r t e a c h e r s ? A l s o , a s t e a c h e r e d u c a t o r s , w e w a n t fi r e s t u d e n t s t o b e l i e v e t h a t fi r e f a c t t h a t fi r e y d i d n ’ t e n j o y m a fi r a s a s t u d e n t o r f e e l s u c c e s s f u l a t i t d o e s n o t m e a n t h a t t h e y c a n n o t b e c o m e a g o o d t e a c h e r o f m a t h e m a t i c s . W e w a n t t o i n s t i l l s o m e h o p e i n fi r e m . I n s u n r m a r y , i t s e e m e d fi r a t f o r m a n y o f fi r e s t u d e n t s t h e r o l e fi r e y h a d e n v i s i o n e d t h e m s e l v e s t a k i n g a s t h e t e a c h e r o f m a fi r e m a t i e s h a d c h a n g e d d u r i n g fi r e s e m e s t e r . I n s t e a d o f s e e i n g t h e m s e l v e s a s d i s p e n s e r s o f k n o w l e d g e , t h e y s a w fi r e m s e l v e s a s f a c i l i t a t o r s o f l e a r n i n g , a n d f o r s o m e o f t h e m , i t s e e m e d t h e y f e l t fi r a t k i n d o f r o l e w o u l d n o t h i g h l i g h t t h e i r l a c k o f k n o w l e d g e o f m a fi r e m a t i c s . R e l a t e d t o t h e r o l e o f fi r e t e a c h e r a n d i n c o r p o r a t e d i n t h e s t u d e n t s ’ c o n c e p t i o n s t h a t h a v e p r e v i o u s l y b e e n d i s c u s s e d i n fi r i s s e c t i o n a r e fi r e i r c o n c e p t i o n s o f t h e r o l e o f t h e s t u d e n t s i n fi r e m a fi r e m a t i c s c l a s s r o o m . I n s o m e w a y , a l l o f t h e s t u d e n t s w r o t e a b o u t o r i m p l i e d t h e r o l e o f t h e s t u d e n t s , b u t i n 1 7 8 fi r e i r ” P h i l o s o p h y o f T e a c h i n g M a fi r e m a t i c s " j o u r n a l e n t r y , 1 2 s t u d e n t s w r o t e s p e c i fi c a l l y a b o u t t h e i r i d e a s a b o u t fi r e r o l e fi r e s t u d e n t s h o u l d p l a y . U s u a l l y t h e y w r o t e s o m e fi r i n g a b o u t fi r e s t u d e n t s b e i n g a c t i v e p a r t i c i p a n t s i n fi r e l e a r n i n g p r o c e s s . F o r e x a m p l e , o n e s t u d e n t w r o t e , ” I w a n t s t u d e n t s t o b e i n v e s t i g a t o r s i n m y c l a s s r o o m d u r i n g m a t h l e s s o n s . " A n o t h e r s t u d e n t w r o t e , ” T h e s t u d e n t s n e e d t o k n o w fi r a t y o u a s a t e a c h e r e x p e c t fi r e m t o l i s t e n , a s k q u e s t i o n s , a n d l e a r n m a t h . ” A n o t h e r s t u d e n t e m p h a s i z e d fi r a t fi r e s t u d e n t s n e e d t o t a k e s o m e r e s p o n s i b i l i t y f o r fi r e i r l e a r n i n g . S h e w r o t e , ” I w a n t m y s t u d e n t s t o t a k e r e s p o n s i b i l i t y f o r fi r e i r o w n l e a r n i n g i n m e a n i n g f u l a n d a p p r o p r i a t e w a y s . I f e e l i t i s i m p o r t a n t f o r s t u d e n t s t o t a k e o w n e r s h i p o f t h e i r o w n i d e a s a b o u t m a fi r e m a t i c s a n d i n d u l g e i n s t u d e n t — i n v e n t e d p r o j e c t s . ” A n o fi r e r s t u d e n t w r o t e a b o u t fi r e s t u d e n t s ’ r o l e i n d i s c u s s i o n s : ” F u r fi r e r m o r e , fi r e d i s c u s s i o n s w h i c h g o o n d u r i n g c l a s s s h o u l d b e s t u d e n t l e d , w i fi r fi r e t e a c h e r a c t i n g a s a g u i d e . " O n e fi n a l e x a m p l e fi r a t i s t y p i c a l o f w h a t o t h e r s w r o t e a b o u t t h e s t u d e n t s ’ r o l e i n a m a t h e m a t i c s c l a s s r o o m i s fi r e s t u d e n t w h o w r o t e , " I n m y c l a s s r o o m , fi r e r o l e o f fi r e s t u d e n t w i l l b e t o t a k e a n a c t i v e p a r t i n d i s c u s s i o n s , i n d i v i d u a l p r o j e c t s , g r o u p p r o j e c t s , w h o l e c l a s s p r o j e c t s , a n d s m a l l g r o u p p r o j e c t s . I t w i l l n o t b e a p a s s i v e r o l e . T h e y w i l l n e e d t o r a t i o n a l i z e fi r e i r a n s w e r s e t c . T h e s e c o n c e p t s w i l l b e a b l e t o b e u s e d i n o t h e r s u b j e c t a r e a s o n c e fi r e f o r m a t i s s e t , fi r e c o n c e p t s b e i n g t e a c h e r = g u i d e , s t u d e n t z a c t i v e i n v e s t i g a t o r . ” I n s u m , a t t h e e n d o f fi r e s e m e s t e r , fi r e p r o s p e c t i v e t e a c h e r s w i d e l y h e l d fi r e c o n c e p t i o n fi r a t fi r e s t u d e n t s n e e d e d t o t a k e a n a c t i v e a n d r e s p o n s i b l e r o l e i n fi r e i r l e a r n i n g o f m a fi r e m a t i c s — i n e s s e n c e fi r a t fi r e y n e e d e d t o a c t a s i f t h e y w e r e m a fi r e m a t i c i a n s . F o u r o f fi r e s t u d e n t s w r o t e s o m e a b o u t fi r e m a fi r e m a t i c a l c o n t e n t t h e y t h o u g h t s h o u l d b e p a r t o f fi r e i r m a fi r e m a t i c s t e a c h i n g . O n e o f fi r e m w r o t e a b o u t 1 7 9 fi r e i m p o r t a n c e o f h a v i n g ” r i c h p r o b l e m s t o s o l v e . ” T w o o f t h e s t u d e n t s l i s t e d d i f f e r e n t a r e a s o f c o n t e n t t h a t S h o u l d b e t a u g h t . O n e o f t h e m e m p h a s i z e d t h e i m p o r t a n c e o f fi r e b a s i c o p e r a t i o n s b e c a u s e fi r e y a r e fi r e ” f o u n d a t i o n f o r h i g h e r - l e v e l m a fi r e m a t i c s . " T h e o t h e r s t u d e n t f o c u s e d m o r e o n s o m e o f t h e c o n t e n t i n e a r l y e l e m e n t a r y s c h o o l . S h e w r o t e , ” T h e r e a r e s o m a n y i m p o r t a n t t h i n s t o l e a r n , s u c h a s m e a s u r e m e n t . C h i l d r e n l o v e t o f o c u s o n e m s e l v e s w h i c h m a k e s l e a r n i n g a b o u t h e i g h t a n d w e i g h t f u n . A l s o , fi r e c o n c e p t o f t e l l i n g t i m e i s i m p o r t a n t . A l s o , a d d i n g a n d s u b t r a c t i n g i s s o m e fi r i n g v e r y i m p o r t a n t b e c a u s e i t r e l a t e s t o e v e r y t h i n g , j u s t a b o u t . S m a l l c h i l d r e n , s u c h a s k i n d e r g a r t n e r s , l o v e t o l e a r n a b o u t n u m b e r s a n d n u m e r a l s a n d a l s o g e o m e t r y . S h a p e s a r e i m p o r t a n t a n d e x c i t i n g f o r c h i l d r e n w h e n fi r e y l e a r n fi r e v a r i o u s k i n d s . P i c t u r e s o f s h a p e s a n d s i g n s w i l l b e s t r e w n a r o u n d m y c l a s s r o o m . ” T h e o fi r e r s t u d e n t w r o t e a b o u t fi r e i m p o r t a n c e o f a d d i n g s o m e c u l t u r a l d i v e r s i t y t o t h e m a t h e m a t i c s c o n t e n t . S h e w r o t e , ” I b e l i e v e a l s o fi r a t t e a c h e r s n e e d t o b r i n g d i v e r s i t y i n t o m a fi r . T h i s c a n b e d o n e w i fi r fi r e a c t i v i t i e s fi r a t t h e y d o . F o r i n s t a n c e , s t u d e n t s c o u l d l e a r n a b o u t R o m a n n u m e r a l s . T h e y c a n a l s o l e a r n n u m b e r s i n d i f f e r e n t l a n g u a g e s . T h e r e a r e m a n y w a y s i n w h i c h v a r i o u s c u l t u r a l b a c k g r o u n d s c a n b e i n c o r p o r a t e d i n t o t h e m a t h c u r r i c u l u n r , a n d I b e l i e v e fi r a t i t S h o u l d . ” T w o s t u d e n t s a l s o w r o t e a b o u t m a k i n g s u r e t h e i r c u r r i c u l u m w a s d e v e l o p m e n t a l l y a p p r o p r i a t e f o r fi r e s t u d e n t s . F o r e x a m p l e , o n e s t u d e n t w r o t e , ” I w a n t t o p r o v i d e m y c l a s s w i fi r a d e v e l o p m e n t a l l y a p p r o p r i a t e m a t h c u r r i c u l u m fi r a t w i l l c h a l l e n g e fi r e m a n d e x c i t e t h e m e a r l y o n s o fi r a t , h o p e f u l l y , m a fi r i s n o t a d r e a d e d s u b j e c t . T h a t i s a g o a l I h a v e d e c i d e d o n . " A d d i t i o n a l l y , i n t h e i r ” P h i l o s o p h y o f T e a c h i n g M a t h e m a t i c s " j o u r n a l e n t r i e s , t w o s t u d e n t s w r o t e a b o u t d i f f e r e n t r e s o u r c e s fi r e y w o u l d u s e t o t e a c h m a fi r . O n e s t u d e n t w r o t e , ” I w o u l d t r y t o u s e a w i d e v a r i e t y o f s o u r c e s . I f e e l i t i s i m p o r t a n t t o s e e a n d h e a r d i f f e r e n t v i e w p o i n t s e v e n i f y o u d o n o t a g r e e w i fi r 1 8 0 fi r e m . M y s o u r c e s w o u l d b e d i f f e r e n t t e a c h e r s i n m y s c h o o l , m a t e r i a l s f r o m c o n f e r e n c e s , a n d b o o k s f r o m a u t h o r s s u c h a s B u r n s . ” T h e o fi r e r s t u d e n t f o c u s e d m a i n l y o n u s i n g m a t e r i a l s f r o m fi r e c l a s s a s r e s o u r c e s . S h e w r o t e , ” I w i l l u s e t h e b o o k s f r o m o u r c l a s s a s r e f e r e n c e s f o r t e a c h i n g m a fi r e n r a t i c s . T h e B u r n s b o o k w i l l b e a g o o d o n e t o u s e f o r a c t i v i t y i d e a s , fi r e M C T M v i g n e t t e b o o k w i l l b e a g o o d o n e f o r a s s e s s m e n t i d e a s , a n d f o r i d e a s a b o u t h o w t e a c h e r s v i e w m a fi r e m a t i c s . ” ' E l e v e n o f fi r e s t u d e n t s — m o r e fi r a n h a l f o f w h o m w e r e c h i l d d e v e l o p m e n t m a j o r s — w r o t e a b o u t fi r e p h y s i c a l c l a s s r o o m i n fi r e i r ” P h i l o s o p h y o f T e a c h i n g M a fi r e m a t i c s ” j o u r n a l e n t r i e s . M a n y o f fi r e m w r o t e a b o u t fi r e c l a s s r o o m b e i n g a p l a c e fi r a t p r o m o t e s l e a r n i n g . F o r e x a m p l e , o n e s t u d e n t w r o t e , ” F i r s t , I fi r i n k fi r e c l a s s r o o m e n v i r o n m e n t p l a y s a s t r o n g r o l e i n fi r e e d u c a t i o n o f y o u n g c h i l d r e n . I t n e e d s t o b e i n v i fi n g t o fi r e c h i l d r e n a n d e n c o u r a g e e x p l o r a t i o n a n d g r o w fi r . T h e r e s h o u l d b e m a t e r i a l s f o r fi r e c h i l d r e n t o u s e a s fi r e y w o r k fi r r o u g h p r o b l e m s . ” A n o fi r e r s t u d e n t w r o t e s o m e a b o u t fi r e a r r a n g e m e n t o f fi r e d e s k s a n d fi r e t y p e s o f m a t e r i a l s t h a t s h o u l d b e i n t h e c l a s s r o o m t o c r e a t e fi r i s e n v i r o n m e n t : ” T h e m a t h c l a s s r o o m s h o u l d b e a f r i e n d l y p l a c e . S t u d e n t d e s k s s h o u l d b e p l a c e d w i t h a r t r r e r s o r i n g r o u p s t o p r o m o t e c o o p e r a t i v e l e a r n i n g . M a e m a t i c s - r e l a t e d g a m e s a n d a c t i v i t i e s s h o u l d b e a v a i l a b l e f o r fi r e s t u d e n t s t o u s e d u r i n g fi r e i r f r e e t i m e . I t i s i m p o r t a n t fi r a t s t u d e n t s b e c o m f o r t a b l e i n fi r e i r m a fi r c l a s s , a n d fi r a t t h e y a r e n o t i n t i m i d a t e d b y i t . ” M o s t o f fi r e 1 1 w r o t e a b o u t b u l l e t i n b o a r d s a n d o t h e r i t e m s fi r a t w o u l d b e d i s p l a y e d i n fi r e c l a s s r o o m s u c h a s fi r e s t u d e n t w h o w r o t e , ” T h e i r w o r k s h o u l d b e d i s p l a y e d f o r o fi r e r s , n o t o n l y t o i n c r e a s e p r i d e , b u t a l s o t o s t i m u l a t e n e w i d e a s i n o t h e r s . ” T h r e e o t h e r e x a m p l e s o f s t u d e n t s s t r e s s i n g fi r i s i d e a i n fi r e i r j o u r n a l e n t r i e s f o l l o w : ” B u l l e t i n b o a r d s i n t h e c l a s s w o u l d r e v o l v e a r o u n d t h e m e s o f m a d r e m a t i c s . T h e h i s t o r y o f m a fi r e m a t i c i a n s i s o f t e n o v e r l o o k e d 1 8 1 a n d b u l l e fi n b o a r d s p r o v i d e a m e d i u m f o r t h e t r a n s f e r o f k n o w l e d g e o n t h e s e s u b j e c t s . A n o t h e r b u l l e t i n b o a r d m i g h t i l l u s t r a t e c u r r e n t n e w s o r d i s c o v e r i e s fi r a t w o u l d h a v e f a i l e d t o e x i s t w i fi r o u t fi r e a i d o f m a fi r e m a t i c s . ” ” M y c l a s s w i l l b e f u l l o f n u m b e r s fi r a t fi r e c h i l d r e n c a n s e e a n d d i s c u s s . B a s i c 1 , 2 , 3 , . . . e t c . w i l l b e fi r r o u g h o u t fi r e r o o m a n d u r r i t s fi r a t I h o p e t o c a r r y o u t w i fi r c o r r e s p o n d w i fi r t h e d é c o r o f fi r e r o o m . ” I w o u l d l i k e m y c l a s s r o o m t o h a v e a m a fi r c e n t e r i n w h i c h t h e r e a r e m a n i p u l a t i v e s p r e s e n t . P e r h a p s o n c e a w e e k , I w i l l p r o p o s e a l e m t h a t i s a l i t t l e h a r d e r fi r a n w h a t w e ’ r e s t u d y i n g a s a c l a s s . T h e c h i l d r e n w i l l h a v e a n o p p o r t u n i t y t o a n s w e r fi r e q u e s t i o n ' fi r e m a t e r i a l s p r o v i d e d . I a l s o w a n t fi r e r o o m t o b e r i c h w i fi r m a l l g r p o s t e r s a n d p o e m s a b o u t m a fi r , p i c t u r e s o f c h i l d r e n i n v o l v e d w i fi r m a fi r l e a r n i n g , p h o t o s o f f a m o u s m a fi r e n r a t i c i a n s , e t c . " F r o m fi r e j u s t - d i s c u s s e d c o n c e p t i o n s o f fi r e s t u d e n t s r e l a t e d t o t e a c h i n g m a t h e m a t i c s , w e c a n s e e fi r a t m a n y o f t h e m w e r e fi r i n k i n g a b o u t s o m e o f t h e m o r e l o g i s t i c a l , b u t a l s o p h i l o s o p h i c a l , a s p e c t s o f t e a c h i n g m a fi r l i k e fi r e c o n t e n t fi r e y s h o u l d t e a c h , fi r e r e s o u r c e s fi r e y c o u l d u s e , a n d fi r e p h y s i c a l m a fi r e m a t i c s c l a s s r o o m . A n o t h e r c o n c e p t i o n r e l a t e d t o t e a c h i n g m a d r e m a t i c s t h a t m a n y o f t h e s t u d e n t s s e e m e d t o h a v e a t fi r e e n d o f fi r e s e m e s t e r i s fi r e i d e a fi r a t t e a c h e r s n e e d t o h e l p s t u d e n t s h a v e g o o d a t t i t u d e s t o w a r d m a fi r s o fi r a t fi r e y a r e a b l e t o l e a r n i t . S e v e n t e e n s t u d e n t s w r o t e s o m e fi r i n g r e l a t e d t o fi r i s i d e a i n t h e i r ” P h i l o s o p h y o f T e a c h i n g M a fi r e m a t i c s ” j o u r n a l e n t r i e s . A c o u p l e o f s t u d e n t s w r o t e a b o u t fi r a t i d e a i n fi r e i r fi n a l ” W h a t I s M a fi r e m a t i c s ? ” j o u r n a l e n t r i e s . O n e e x a m p l e i s fi r e s t u d e n t w h o w r o t e , ” I fi r i n k fi r a t m a fi r i s a u s e f u l t o o l a n d fi r a t m a fi r s k i l l s a r e i m p o r t a n t f o r c h i l d r e n t o a d o t , b u t I fi r i n k fi r a t w e n e e d t o s t o p s c a r i n g c h i l d r e n a b o u t m a o r w e w i l l r a i s e y e t a n o t h e r m a fi r - h a t i n g g e n e r a t i o n o f k i d s . ” 1 8 2 A l s o , 1 7 s t u d e n t s m a d e r e f e r e n c e s t o a t t i t u d e s i n t h e i r fi n a l m a fi r c o n c e p t m a p s . S o m e o f t h e s e r e f e r e n c e s w e r e r e l a t e d t o t h e s t u d e n t s ’ o w n a t t i t u d e s t o w a r d m a t h e m a t i c s , b u t s o m e o f t h e m w e r e r e f e r e n c e s t o a t t i t u d e s fi r a t t h e y w a n t e d fi r e i r s t u d e n t s t o h a v e . F o r e x a m p l e , i n fi r e b o t t o m l e f t c o m e r , o n e o f fi r e f o c u s s t u d e n t s , B r i d g e t , i n c l u d e d ” a t t i t u d e s ” i n h e r f i n a l m a t h c o n c e p t m a p c o n n e c t e d t o ” m a t h ” w i t h t w o c a t e g o r i e s b r a n c h i n g o u t f r o m ” a t t i t u d e s ” — ” fi r a t w e w a n t ” a n d ” fi r a t w e d o n ’ t w a n t ” ( S e e F i g u r e 3 5 ) . C o n n e c t e d t o ” t h a t w e w a n t ” S h e i n c l u d e d ” u n d e r s t a n d i n g , ” ” a n s w e r q u e s t i o n s , ” a n d ” a p p l y m a t h t o r e a l l i f e . ” S h e i n c l u d e d ” f r u s t r a t i o n , ” ” c o n f u s i o r r , " ” a n g e r , ” a n d ” I q u i t ! ” t o ” fi r a t w e d o n ' t w a n t . " T h e s t u d e n t s ’ r e f e r e n c e s t o a t t i t u d e i n t h e i r fi n a l m a t h c o n c e p t m a p s w i l l b e e x a m i n e d m o r e f u l l y i n fi r e n e x t c h a p t e r w h i c h f o c u s e s o n a t t i t u d e s . F i g u r e 3 5 : F i n a l M a t h C o n c e p t M a p o f B r i d g e t 1 8 3 T h e 1 7 s t u d e n t s w h o w r o t e a b o u t s t u d e n t s ’ a t t i t u d e s i n fi r e i r ” P h i l o s o p h y o f T e a c h i n g M a fi r e m a t i c s ” j o u r n a l e n t r i e s w r o t e m a i n l y a b o u t t h e i d e a fi r a t s t u d e n t s n e e d t o h a v e p o s i t i v e a t t i t u d e s t o w a r d m a t h i f t h e y a r e g o i n g t o s u c c e e d a t l e a r n i n g i t . F o r e x a m p l e , o n e s t u d e n t w r o t e , ” T e a c h e r s a l s o n e e d t o k e e p i n m i n d fi r e r o l e fi r a t a t t i t u d e s c a n p l a y o n s t u d e n t s ’ s u c c e s s . T h e y n e e d t o f o s t e r p o s i t i v e f e e l i n g s a n d h e l p d e v e l o p c o n fi d e n c e . ” A n o t h e r w r o t e , " M a fi r n e e d s t o b e f u n a n d e x c i t i n g s o fi r a t s t u d e n t s a r e n o t a f r a i d , t h e y h a v e c o n fi d e n c e , a n d e v e r y o n e f e e l s fi r e y c a n d o m a fi r . " O n e fi n a l e x a m p l e fi r a t w a s s i m i l a r t o fi r e i d e a s e x p r e s s e d b y o fi r e r s w a s fi r e s t u d e n t w h o w r o t e , ” I n o r d e r f o r a t e a c h e r o r a s t u d e n t t o b e s u c c e s s f u l a t m a t h e m a t i c s , fi r e k e y f a c t o r i s t h e a t t i t r fi e o r Q u fi m k . S t u d e n t s , a s w e l l a s t e a c h e r s , m u s t l o o k a t m a fi r e m a t i c s w i fi r a p o s i t i v e a t t i t u d e . N o t l i k e i t ’ s a c h o r e a b o r i n g t a s k , o r b u s y w o r k i n o r d e r t o p u t p o i n t s i n fi r e g r a d e b o o k . N o , m a fi r m u s t b e t h o u g h t o f a s i n t e r e s t i n g . A l fi r o u g h o n e m i g h t n o t k n o w a l o t a b o u t m a fi r , t h e i r g o a l i s t o a t l e a s t t r y i t . B u t a l s o a c c o m p a n y i n g fi r e i d e a o f j u s t t r y i n g i t , i s t h e i d e a fi r a t o n e c a n ’ t b e a f r a i d o f i t . T h e a t t i t u d e o f fi r e t e a c h e r a n d t h e s t u d e n t w i l l a f f e c t fi r e o u t c o m e o f fi r e t a s k a n d t h e i d e a s f o r m e d . ” S o m e o f fi r e s t u d e n t s a l s o w r o t e a b o u t fi r e i m p o r t a n c e o f h e l p i n g s t u d e n t s h a v e p o s i t i v e a t t i t u d e s t o w a r d m a t h b e c a u s e t h e y o f t e n c o m e t o c l a s s w i fi r n e g a t i v e a t t i t u d e s . A n e x a m p l e o f fi r i s i s fi r e s t u d e n t w h o w r o t e , ” T e a c h e r s n e e d t o fi r s t o f a l l , p e r s u a d e s t u d e n t s t o s e e m a fi r p o s i t i v e l y . I t i s l i k e l y m a n y s t u d e n t s w i l l v i e w m a fi r i n a n e g a t i v e w a y . ” A n o fi r e r e x a m p l e i s fi r e s t u d e n t w h o w r o t e , ” I fi r i n k t h a t i t i s i m p o r t a n t f o r m a t h t e a c h e r s t o c r e a t e a n e n v i r o n m e n t i n w h i c h s t u d e n t s b e l i e v e fi r a t fi r e y c a n s u c c e e d . T o o o f t e n , s t u d e n t s h e a r f r o m fi r e i r p a r e n t s , f r i e n d s , a n d e v e n t e a c h e r s t h a t m a fi r i s h a r d , a n d t h e y b e l i e v e t h a t t h e y c a n ’ t s u c c e e d . T e a c h e r s n e e d t o w o r k h a r d t o m a k e s t u d e n t s f e e l g o o d a b o u t fi r e i r a b i l i t i e s , b e c a u s e fi r e e n v i r o n m e n t o u t s i d e o f s c h o o l i s h a r d o n , a n d s o m e t i m e s e v e n h o s t i l e t o w a r d , m a fi r e m a t i c s . ” 1 8 4 R e l a t e d t o t h e i d e a t h a t i t ’ s i m p o r t a n t f o r s t u d e n t s t o h a v e p o s i t i v e a t t i t u d e s t o w a r d s m a fi r i s fi r e i d e a fi r a t i t ’ 3 i m p o r t a n t f o r t e a c h e r s o f m a fi r e m a t i c s t o h a v e p o s i t i v e a t t i t u d e s t o w a r d m a fi r e m a t i c s . T h i s i s a n i d e a fi r a t a l s o r e c e i v e d a s i g n i fi c a n t a m o u n t o f a t t e n t i o n a t t h e e n d o f fi r e s e m e s t e r . T h r e e s t u d e n t s w r o t e s p e c i fi c a l l y a b o u t fi r a t i n t h e i r fi n a l ” W h a t I s M a fi r e m a t i c s ? ” j o u r n a l e n t r i e s . F o r e x a m p l e , o n e s t u d e n t w r o t e , ” I fi r i n k i t i s v e r y i m p o r t a n t t o b e e x c i t e d w h e n t e a c h i n g m a fi r a n d k e e p fi r e s t u d e n t s i n t e r e s t e d . I f t h e c h i l d r e n k n o w t h a t y o u c a r e h o w fi r e y d o a n d w a n t t h e m t o s u c c e e d , t h e y w i l l t r y h a r d e r . ” T h e r e w e r e n ’ t a n y i t e m s i n t h e fi n a l m a t h c o n c e p t m a p s fi r a t w e r e c l e a r l y r e f e r r i n g t o t e a c h e r s ’ a t t i t u d e s , b u t fi r i s i d e a w a s v e r y p r o m i n e n t i n fi r e s t u d e n t s ’ ” P h i l o s o p h y o f T e a c h i n g M a t h e m a t i c s " j o u r n a l e n t r i e s . F i f t e e n s t u d e n t s ( 5 0 % ) w r o t e s o m e fi r i n g a b o u t t h a t . S o m e o f t h e m w r o t e a b o u t fi r e i m p o r t a n c e o f t e a c h e r s h a v i n g p o s i t i v e a t t i t u d e s , a n d s o m e o f fi r e m w r o t e a b o u t fi r e i r o w n a t t i t u d e s b e i n g m o r e p o s i t i v e . ( T h e s t u d e n t s ’ o w n a t t i t u d e s t o w a r d t e a c h i n g m a fi r e m a t i c s w i l l b e e x a m i n e d i n fi r e n e x t c h a p t e r . ) O n e s t u d e n t w r o t e s i m p l y , ” I b e l i e v e t h a t i s i m p o r t a n t f r o m t h e b e g i n n i n g f o r n o t o n l y t h e s t u d e n t s t o h a v e a p o s i t i v e a t t i t u d e t o w a r d m a fi r b u t a l s o fi r e t e a c h e r . " A n o fi r e r s t u d e n t w r o t e , ” M y j o b a s a t e a c h e r i s t o b e e x c i t e d a b o u t m a fi r a n d b e c o m e i n t e r e s t e d i n t h e t o p i c I a m t e a c h i n g . " A fi n a l e x a m p l e o f a s t u d e n t e x p r e s s i n g fi r i s c o n c e p t i o n — a n d fi r a t i s i l l u s t r a t i v e o f o fi r e r s ’ i d e a s — i s fi r e s t u d e n t w h o w r o t e , ” I b e l i e v e m a fi r i s a u s e f u l a n d n e c e s s a r y p a r t o f l i f e fi r a t n e e d s t o b e t a u g h t i n s c h o o l . M a fi r c a n b e a n i n t i n r i d a t i n g o r r e w a r d i n g e x p e r i e n c e d e p e n d i n g o n h o w i t i s t a u g h t . I b e l i e v e fi r e t e a c h e r s , a s m u c h a s fi r e s t u d e n t s , i n fl u e n c e o n e ’ s a t t i t u d e s . ” T h e o p e n - e n d e d p o r t i o n o f fi r e M a fi r e m a t i c s I n v e n t o r y a l s o p r o v i d e s u s s o m e i n f o r m a fi o n a b o u t t h e s t u d e n t s i d e a s r e l a t e d t o t h e i n fl u e n c e o f fi r e t e a c h e r s ’ a t t i t u d e s t o w a r d m a t h e m a t i c s w h e n t e a c h i n g m a t h e m a t i c s . A t t h e 1 8 5 b e g i n n i n g o f fi r e s e m e s t e r , fi r e s t u d e n t s w e r e a s k e d i f fi r e y fi r o u g h t fi r a t t e a c h e r s ’ a t t i t u d e s t o w a r d m a fi r e m a t i c s i n fl u e n c e d fi r e i r s t u d e n t s o r t h e w a y fi r e y t a u g h t m a fi r e n r a t i c s . E s s e n t i a l l y a l l o f fi r e s t u d e n t s fi r o u g h t fi r a t i t d i d . A t fi r e e n d o f t h e s e m e s t e r , i t s e e m e d t o b e a n e v e n m o r e s t r o n g l y h e l d c o n c e p t i o n . O n e o f t h e o p e n - e n d e d q u e s t i o n s f r o m t h e M a fi r e m a t i c s I n v e n t o r y fi r a t w a s r e l a t e d t o fi r e s t u d e n t s ’ c o n c e p t i o n s o f t e a c h i n g m a fi r e m a t i c s w a s , ” W h a t k i n d o f i n fl u e n c e d o y o u fi r i n k t h e t e a c h e r p l a y s i n fi r e s u c c e s s o f s t u d e n t s i n m a t h e m a t i c s ? " A t t h e e n d o f t h e s e m e s t e r , t h e s t u d e n t s ’ r e s p o n s e s t o fi r a t q u e s t i o n m a i n l y f o c u s e d o n fi r e i n fl u e n c e t e a c h e r s ’ a t t i t u d e s h a v e o n fi r e i r s t u d e n t s ’ a t t i t u d e s t o w a r d m a fi r e m a t i c s . T w e n t y s t u d e n t s o u t o f fi r e t w e n t y - n i n e I r e c e i v e d a n i n v e n t o r y f r o m w r o t e fi r a t fi r e t e a c h e r d e t e r m i n e s o r a f f e c t s fi r e s t u d e n t s ' a t t i t u d e s . F i v e s t u d e n t s s p e c i fi c a l l y w r o t e t h a t t e a c h e r s ' a t t i t u d e s d e t e r m i n e s t h e s t u d e n t s ’ s u c c e s s a n d ] o r c o n fi d e n c e i n m a t h . T h r e e s t u d e n t s w r o t e t h a t t h e t e a c h e r i s a r o l e m o d e l . A f e w o t h e r e x a m p l e s o f w h a t o n e s t u d e n t e a c h w r o t e i n r e s p o n s e t o fi r i s q u e s t i o n w e r e fi r a t t e a c h e r s n e e d t o m a k e m a t h i n t e r e s t i n g s o fi r a t s t u d e n t s w i l l w a n t t o l e a r n , fi r a t t e a c h e r s d e t e r m i n e w h e fi r e r s t u d e n t s fi r i n k o f m a fi r a s a t a s k o r a f u n e x p e r i e n c e , a n d fi r a t t e a c h e r s c a n m a k e m a fi r a c h o r e . W h e n fi r e s t u d e n t s w e r e a s k e d fi r e o t h e r o p e n - e n d e d q u e s t i o n f r o m fi r e M a fi r e m a t i c s I n v e n t o r y t h a t w a s r e l a t e d t o t h e i r c o n c e p t i o n s o f t e a c h i n g m a d r e m a t i c s — s p e c i fi c a l l y r e l a t e d t o fi r e i n fl u e n c e o f t h e t e a c h e r ’ 5 a t t i t u d e — t h e i r r e s p o n s e w a s s i m i l a r t o w h a t i t w a s a t t h e b e g i n n i n g o f fi r e s e m e s t e r . T h i s q u e s t i o n w a s , ” D o y o u fi r i n k a t e a c h e r ’ s a t t i t u d e t o w a r d m a t h e m a t i c s a f f e c t s h o w h e o r s h e t e a c h e s i t ? W h y o r w h y n o t ? H o w a b o u t a t e a c h e r ’ s a t t i t u d e a b o u t t e a c h i n g i t ? E x p l a i n . ” A g a i n , a l l b u t o n e s t u d e n t ( 2 8 o u t o f fi r e 2 9 ) w r o t e , ” Y e s ” i n r e s p o n s e t o fi r e fi r s t q u e s t i o n . T h e s t u d e n t w h o w r o t e ” N o ” a l s o w r o t e , ” I f y o u d o n ’ t l i k e i t , y o u c a n p r e t e n d t o . J u s t b e c a u s e I p e r s o n a l l y d o n ’ t l i k e m a fi r 1 8 6 I ’ l l s t i l l s t r e s s i t i n m y c l a s s r o o m . ” T h e m o s t c o m m o n e x p l a n a t i o n t h e s t u d e n t s w r o t e f o r w h y t h e y t h o u g h t a t e a c h e r ’ 3 a t t i t u d e t o w a r d m a fi r e m a t i c s a f f e c t e d h o w h e o r s h e t a u g h t i t w a s t h a t t h e s t u d e n t s m o d e l fi r e i r t e a c h e r ’ S a t t i t u d e . T h i r t e e n s t u d e n t s w r o t e fi r a t . N i n e s t u d e n t s w r o t e fi r a t s t u d e n t s c a n t e l l w h e n fi r e i r t e a c h e r d o e s o r d o e s n ’ t l i k e m a fi r . S i x s t u d e n t s w r o t e fi r a t a t e a c h e r w h o h a t e s m a fi r o r h a s a p o o r a t t i t u d e t o w a r d i t w o n ' t t e a c h i t w e l l . S e v e n s t u d e n t s w r o t e fi r a t i f t e a c h e r s a r e c o n fi d e n t o r h a v e a g o o d a t t i t u d e t o w a r d m a fi r , fi r e y w i l l b e m o r e e f f e c t i v e t e a c h i n g i t o r fi r e y w i l l e m p h a s i z e i t m o r e . O n fi r e o t h e r h a n d , fi r r e e s t u d e n t s w r o t e fi r a t i f t e a c h e r s a r e n o t e x c i t e d a b o u t m a fi r , t h e y w o n ’ t p u t f o r t h a g o o d e f f o r t t o t e a c h i t . S o m e o t h e r r e l a t e d i d e a s t h a t o n e s t u d e n t e a c h w r o t e i n r e s p o n s e t o t h a t q u e s t i o n a r e , ” ' I h e t e a c h e r ’ 3 a t t i t u d e w i l l d e t e r m i n e h o w f a r s h e w i l l l e t fi r e c l a s s ’ s fi r i n k i n g e x p a n d t o n e w i d e a s ; ” ” I f a t e a c h e r d o e s n ’ t w a n t t o t e a c h i t , a s t u d e n t w o n ' t w a n t t o l e a r n i t ; ” a n d ” I f a t e a c h e r f e e l s e v e r y o n e c a n s u c c e e d , S h e w i l l d e m o n s t r a t e t h a t . " I n s u m m a r y , fi r e s t u d e n t s i n fi r i s g r o u p s e e m e d t o a l m o s t u n a n i m o u s l y h o l d fi r e c o n c e p t i o n fi r a t t e a c h e r s ’ a t t i t u d e s t o w a r d m a fi r e m a t i c s i n fl u e n c e d t h e w a y t h e y t a u g h t m a t h a n d a l s o t h e i r s t u d e n t s ’ a t t i t u d e s t o w a r d m a fi r e m a t i c s . T h e y a l l fi r o u g h t i t w a s i m p o r t a n t f o r t e a c h e r s t o h a v e p o s i t i v e a t t i t u d e s t o w a r d m a fi r e m a t i c s i f t h e y w e r e t o t e a c h i t e f f e c t i v e l y . A n e w i d e a r e l a t e d t o c o n c e p t i o n s o f t e a c h i n g m a t h e m a t i c s t h a t t h e s t u d e n t s w r o t e a b o u t a t t h e e n d o f t h e s e m e s t e r t h a t w a s n o t p a r t o f t h e i r w r i t i n g s o r m a fi r c o n c e p t m a p s a t fi r e b e g i n n i n g o f t h e s e m e s t e r w a s fi r e r o l e o f a s s e s s m e n t . T h i s w a s n ’ t s o e v i d e n t i n t h e fi n a l ” W h a t I S M a d r e m a t i c s ? ” j o u r n a l e n t r i e s , b u t i t w a s q u i t e c o m m o n i n fi r e fi n a l m a t h c o n c e p t m a p s a n d v e r y p r o m i n e n t i n fi r e i r ” P h i l o s o p h y o f T e a c h i n g M a fi r e m a t i c s ” j o u r n a l e n t r i e s . I n t h e fi n a l m a t h c o n c e p t m a p s , f o u r s t u d e n t s i n c l u d e d ” a s s e s s m e n t , " o n e s t u d e n t i n c l u d e d ” a u t h e n t i c a s s e s s m e n t , ” a n d o n e s t u d e n t i n c l u d e d ” a s s e s s m e n t — n o t 1 8 7 t e s t s . ” O n e e x a m p l e o f a c o n c e p t m a p w h e r e a s s e s s m e n t w a s p r o m i n e n t w i fi r i t s o w n s e c t i o n w a s t h e fi n a l m a fi r c o n c e p t m a p o f s t u d e n t 7 w h i c h c a n b e s e e n o n p a g e 1 5 6 i n F i g u r e 3 0 . C o n n e c t e d t o " a s s e s s m e n t , ” s h e i n c l u d e d ” l a r g e g r o u p I I I I I I I I i n t e r a c t i o n , w r i t i n g , s m a l l g r o u p i n t e r a c t i o n , ” a n d ” l i s t e n i n g . ” T h e fi n a l m a t h c o n c e p t m a p o f s t u d e n t 2 7 i s a n o t h e r e x a m p l e o f a m a p w h e r e a s s e s s m e n t h a d i t s o w n c a t e g o r y ( S e e F i g u r e 3 6 ) . S h e i n c l u d e d ” w r i t i n g , ” ” w r i t t e n p r o b l e m s , ” ” e x p l a i n i n g , ” ” g r o u p p r o j e c t s , ” ” v e r b a l a n s w e r s , ” a n d ” p r e s e n t a t i o n ” c o n n e c t e d t o ” a s s e s s m e n t . ” S e v e n s t u d e n t s m a d e s p e c i fi c r e f e r e n c e s t o a s s e s s m e n t i n t h e i r fi n a l m a t h c o n c e p t m a p s . F i g u r e 3 6 : F i n a l M a t h C o n c e p t M a p o f S t u d e n t 2 7 A s s e s s m e n t w a s v e r y p r o m i n e n t i n t h e ” P h i l o s o p h y o f T e a c h i n g M a fi r e m a t i c s ” j o u r n a l e n t r i e s w i fi r 1 8 s t u d e n t s ( 6 0 % ) w r i t i n g a b o u t fi r a t i d e a . U s u a l l y t h e s t u d e n t s w r o t e a b o u t u s i n g s e v e r a l m e t h o d s t o a s s e s s , b u t t h e y a l s o w r o t e a b o u t fi r e i d e a o f m a k i n g fi r e i r a s s e s s m e n t a u fi r e n t i c o r a b o u t t h e u s e s o f 1 8 8 a s s e s s m e n t . O n e s t u d e n t e x p r e s s e d i d e a s a b o u t h o w s h e w i l l a s s e s s fi r e s t u d e n t s ’ l e a r n i n g o f m a fi r fi r i s w a y , ” W a t c h i n g fi r e r r r , o b s e r v i n g , I a m a b l e t o a s s e s s w h a t fi r e y ’ r e l e a r n i n g . L i s t e n i n g t e l l s m e w h e n I h e a r m a t h u s e d i n fi r e c l a s s . " O fi r e r s t u d e n t s l i s t e d t h e v a r i e t y o f w a y s t h e y w o u l d a s s e s s i n t h e m a fi r e m a t i c s c l a s s r o o m . F o r e x a m p l e , o n e s t u d e n t w r o t e , " T o a s s e s s m a fi r , I w i l l u s e m a n y d i f f e r e n t m e fi r o d s . I w i l l i n t e r a c t w i fi r m y s t u d e n t s , a s k i n g q u e s t i o n s , d i s c u s s i n g a n d o b s e r v i n g fi r e i r w o r k t o m a k e s u r e fi r e y u n d e r s t a n d fi r e p r o c e s s e s , n o t j u s t g e t t i n g fi r e r i g h t a n s w e r s . I w i l l a l s o a s s e s s m y s t u d e n t s ' w r i t t e n w o r k f r o m j o u r n a l e n t r i e s , g r o u p w o r k , e t c . " A n o fi r e r s t u d e n t w r o t e a b o u t fi r e d i f f e r e n t f o r m s o f a s s e s s m e n t s h e w o u l d u s e fi r i s w a y : " I w i l l a s s e s s fi r e c h i l d r e n ’ s k n o w l e d ‘ e i n a v a r i e t y o f w a y s . E a c h p e r s o n l e a r n s d i f f e r e n fi y , fi r i n k s d i fi e r e n fi y , a n d c o m e s t o fi n a l a n s w e r s i n a d i f f e r e n t m a n n e r . A s a r e s u l t , i t i s i m p o r t a n t t o a s s e s s t h e i r u n d e r s t a n d i n g i n m a n y d i f f e r e n t w a y s . I w i l l h a v e t h e c h i l d r e n k e e p j o u r n a l s w h e r e fi r e y w i l l e x p l a i n fi r e i r r e a s o n s f o r d o i n g p r o b l e m s . I w i l l h a v e s m a l l a n d l a r g e g r o u p d i s c u s s i o n s . I w i l l a l s o w o r k w i fi r c h i l d r e n o n a n i n d i v i d u a l b a s i s . I i n t e n d o n w a t c h i n g c h i l d r e n a s fi r e y i n t e r a c t w i t h e a c h o t h e r a n d o b s e r v e w h a t fi r e y a r e d o i n g . I w i l l t r y m y h a r d e s t t o a v o i d b a s a l t e x t b o o k a s s i g n m e n t s a n d t e s t s . I f e e l fi r e s e d o n o t r e v e a l fi r e c h i l d r e n ’ s u n d e r s t a n d i n g o f fi r e m a fi r e m a t i c a l c o n c e p t s . I t i s m y g o a l t o a s s e s s fi r e t r u e u n d e r s t a n d i n g o f e a c h u n i q u e i n d i v i d u a l . ” A fi n a l e x a m p l e o f s t u d e n t s w r i t i n g a b o u t t h e v a r i e t y o f w a y s t h e y p l a n o n a s s e s s i n g a s t e a c h e r s i s fi r e s t u d e n t w h o w r o t e , ” I s e e g r e a t v a l u e i n i n t e r v i e w s t h a t r e q u i r e s t u d e n t s t o e x p l a i n fi r e i r u n d e r s t a n d i n g . T h i s c a n a l s o b e a c c o m p l i s h e d b y k e e p i n g m a fi r j o u r n a l s . I a l s o b e l i e v e p o r t f o l i o s a r e a u s e f u l a s s e s s m e n t t o o l fi r a t c a n b e b e n e fi c i a l f o r b o fi r fi r e t e a c h e r a n d s t u d e n t . I t p o i n t s o u t s t r e n g fi r s a n d w e a k n e s s e s a l o n g w i fi r g r o w t h i n i d e a s a n d s k i l l s . ” O fi r e r s t u d e n t s w r o t e s i m i l a r k i n d s o f ” l i s t s . ” S o m e s t u d e n t s f o c u s e d o n u s i n g l i s t e n i n g t o fi r e s t u d e n t s a s a m e a n s o f a s s e s s m e n t s u c h a s fi r e s t u d e n t w h o w r o t e , ” T h e t e a c h e r n e e d s t o b r i n g o u t t h e s t u d e n t s i d e a s a n d q u e s t i o n s . T h e 1 8 9 t e a c h e r a l s o n e e d s t o l i s t e n t o t h e s t u d e n t s . T h i s l i s t e n i n g c a n b e u s e d a s a n o fi r e r f o r m o f a s s e s s m e n t . " A n o t h e r s t u d e n t w r o t e , ” I a l s o w a n t m y s t u d e n t s t o w o r k a l o t i n s m a l l g r o u p s s o t h a t fi r e y c a n h a v e a n o p o r t u n i t y t o e x p r e s s , v a l i d a t e , a n d e s t i o n fi r e i r i d e a s . I fi r i n k ' w o u l d b e a g o o d o p p o r t u n i t y f o r e t e a c h e r t o a l s o a s s e s s fi r e s t u d e n t s ' p a r t i c i p a t i o n . ” A n o fi r e r e x a m p l e o f fi r i s i s t h e s t u d e n t w h o w r o t e , ” I f e e l fi r e e s s o f l e a r n i n g s h o u l d b e s t r o n g l y e m p h a s i z e d r a fi r e r fi r a n e p r o d u c t . I t i s fi r e fi r o u g h t p r o c e s s o f w o r k i n g o n a p r o b l e m , n o t fi r e a n s w e r fi r a t r e v e a l s u n d e r s t a n d i n g . T h e r e f o r e , I w i l l p a y c l o s e a t t e n t i o n t o t h e c h i l d r e n ’ s r e a s o n i n g a n d c o m m e n t s w h e n fi r e y a r e w o r k i n g o n p r o b l e m s . O fi r e r w i s e , I m a y n e v e r k n o w w h a t fi r e c h i l d r e n k n o w a n d h o w fi r e y a r e fi r i n k i n g . ” S o m e s t u d e n t s e m p h a s i z e d fi r e r o l e fi r a t w r i t i n g w o u l d p l a y i n fi r e i r a s s e s s m e n t . F o r e x a m p l e , o n e s t u d e n t w r o t e , ” W i fi r i r r fi r i s , I f e e l fi r a t w r i t i n g s h o u l d b e u s e d a s a w a y f o r fi r e s t u d e n t s t o e x p r e s s fi r e i r f e e l i n g s t o w a r d s m a fi r , a n d i t c a n a l s o b e u s e d a s a w a y f o r t e a c h e r s t o e v a l u a t e t h e i r s t u d e n t s . " A n o t h e r s t u d e n t w r o t e , ” A l fi r o u g h I h a v e y e t t o e x p e r i e n c e t h e i d e a o f s t u d e n t s k e e p i n g m a t h j o u r n a l s , i t s e e m s t o m e fi r a t w r i t i n g a b o u t a n y e x p e r i e n c e i s b e n e fi c i a l w h e n a t t e m p t i n g t o u n d e r s t a n d c o n c e p t s . A l s o , w r i t i n g a b o u t m a t h e m a t i c a l u n d e r s t a n d i n g p r o v i d e s a u s e f u l m e a n s b y w h i c h t h e t e a c h e r c o u l d d i s c o v e r a n y m i s c o n c e p t i o n s t h a t t h e s t u d e n t s h a v e . ” I n a d d i t i o n t o u s i n g a s s e s s m e n t t o l e a r n a b o u t fi r e s t u d e n t s , s o m e s t u d e n t s w r o t e a b o u t u s i n g a s s e s s m e n t t o a s s i s t fi r e t e a c h e r i n p l a n n i n g . O n e e x a m p l e o f fi r i s i s fi r e s t u d e n t w h o w r o t e , ” A s s e s s m e n t i s i m p o r t a n t b u t c a n b e d i f fi c u l t t o d o . I t a l s o r e q u i r e s a n a l y z i n g r e s u l t s a n d u s i n g fi r e s e t o c h a n g e o r a d d c o n c e p t s t o y o u r l e s s o n s . A n o fi r e r e x a m p l e i s fi r e s t u d e n t w h o w r o t e , ” W h e n t e a c h i n m a t h e m a t i c s , a t e a c h e r m u s t k e e p h i s ] h e r g o a l s f o r s t u d e n t s a s e f o c u s w h e n p l a n n i n g t o t e a c h a n y m a fi r e m a t i c a l t o p i c . I b e l i e v e t h a t t h e g o a l s s h o u l d c e n t e r o n t h e s t u d e n t s ’ d e v e l o p i n g u n d e r s t a n d i n g o f t h e m a t e r i a l . I t i s i n r p o r t a n t f o r 1 9 0 t e a c h e r s t o h e l p s t u d e n t s u n d e r s t a n d , a n d t e a c h e r s a l s o n e e d t o r e c o g n i z e w h e n s t u d e n t s a r e a n d a r e n o t c o m p r e h e n d i n g m a fi r e m a t i c s . ” A t t h e e n d o f t h e s e m e s t e r , m a n y o f fi r e s t u d e n t s w e r e fi r i n k i n g a b o u t a s s e s s m e n t i n fi r e m a t h e m a t i c s c l a s s r o o m . T h e y w r o t e a b o u t u s i n g a v a r i e t y o f m e fi r o d s s u c h a s l i s t e n i n g t o t h e s t u d e n t s w h i l e t h e y w e r e d i s c u s s i n g m a t h a n d l o o k i n g a t fi r e i r w r i t i n g a b o u t m a fi r t o a s s e s s w h e t h e r t h e s t u d e n t s u n d e r s t o o d t h e c o n c e p t s . T h e y a l s o w r o t e a b o u t u s i n g a s s e s s m e n t t o i n f o r m o r g u i d e i n s t r u c t i o n . T h e f a c t fi r a t s o m a n y o f t h e s t u d e n t s w e r e fi r i n k i n g o f a s s e s s m e n t a l s o s u p p o r t s fi r e i d e a fi r a t fi r e r e h a d b e e n a s h i f t i n p o s i t i o n i n g f o r fi r e s t u d e n t s i n t h e i r r e l a t i o n t o m a t h e m a t i c s d u r i n g fi r e s e m e s t e r . H o w m a fi r e m a t i c a l l e a r n i n g s h o u l d b e a s s e s s e d i s s o m e fi r i n g t h a t a t e a c h e r i s c o n c e r n e d a b o u t . S o m e o n e w h o i s j u s t fi r i n k i n g o f m a fi r i n r e l a t i o n t o h o w fi r e y u s e i t w o u l d n o t b e c o n c e r n e d w i t h a s s e s s m e n t . S o m e o n e w h o i s t h i n k i n g o f m a fi r i n r e l a t i o n t o fi r e i r o w n e x p e r i e n c e s w i t h i t m i g h t fi r i n k o f a s s e s s m e n t i n t e r m s o f h o w t h e y w e r e a s s e s s e d a s s t u d e n t s s u c h a s w i t h t e s t s , b u t fi r i s i s d i f f e r e n t f r o m fi r e w a y a t e a c h e r fi r i n k s a b o u t a s s e s s m e n t — a n d f r o m fi r e w a y fi r e s e s t u d e n t s w e r e w r i t i n g a b o u t i t a t fi r e e n d o f t h e s e m e s t e r . I t s e e m e d f r o m a l l o f t h e fi r i n g s t h e s t u d e n t s w r o t e a b o u t t e a c h i n g m a fi r e m a t i c s a t t h e e n d o f t h e s e m e s t e r , t h e y w e r e r e c o g n i z i n g t h a t t h e r e i s a l o t i n v o l v e d i n t e a c h i n g m a t h e m a t i c s . T h i s a s s u m p t i o n w a s a l s o s u p p o r t e d b y t h e s t u d e n t s ’ r e s p o n s e t o a L i k e r t - s c a l e i t e m f r o m fi r e M a fi r e m a t i e s I n v e n t o r y fi r a t w a s r e l a t e d t o c o n c e p t i o n s o f t e a c h i n g m a d r e m a t i c s . T h i s w a s i t e m 1 0 , " T e a c h i n g m a fi r e m a t i c s s h o u l d n o t b e t o o d i f fi c u l t s i n c e a t e x t b o o k a l r e a d y h a s fi r e l e s s o n s p r e p a r e d . " O n fi r e l a s t d a y o f c l a s s t h e m e a n r e s p o n s e t o t h a t i t e m w a s 1 . 8 2 8 i n d i c a t i n g e v e n l e s s a g r e e m e n t w i t h fi r a t s t a t e m e n t t h a n a t t h e b e g i n n i n g o f t h e 1 9 1 s e m e s t e r w h e n t h e m e a n w a s 2 . 0 3 4 . T h e p v a l u e ( 0 . 3 5 ) w a s n ' t s t a t i s t i c a l l y s i g n i fi c a n t , b u t t h e d i r e c t i o n o f c h a n g e w a s e n c o u r a g i n g . R e l a t e d t o fi r i s , i n h e r fi n a l ” W h a t I s M a fi r e m a t i c s ? ” j o u r n a l e n t r y , o n e s t u d e n t w r o t e , ” R e m e m b e r fi r i s w h e n t e a c h i n g fi r a t fi r e r e a r e m a n y a p p r o a c h e s t o fi r i s fi r i n g c a l l e d m a fi r , s o d o n ' t j u s t u s e t e x t b o o k s . " A t fi r e e n d o f t h e s e m e s t e r , fi r e s t u d e n t s w e r e a l s o a s k e d i n a n o p e n - e n d e d q u e s t i o n i n t h e M a t h e m a t i c s I n v e n t o r y i f t h e i r i d e a s a b o u t m a t h e m a t i c s o r t e a c h i n g m a fi r e m a t i c s h a d c h a n g e d a t a l l d u r i n g fi r e t i m e fi r e y w e r e i n fi r e c o u r s e . T h e q u e s t i o n w a s , " H a v e y o u r i d e a s a b o u t m a fi r e m a t i c s o r t e a c h i n g m a fi r e n r a t i e s c h a n g e d a t a l l d u r i n g fi r e t i m e y o u ' v e b e e n i n fi r i s c o u r s e ? I f s o , h o w ? I f n o t , h o w ? W e r e t h e r e s p e c i fi c e v e n t s o r a c t i v i t i e s fi r a t h e l p e d y o u r i d e a s c h a n g e ? " T w e n t y - n i n e s t u d e n t s t u r n e d i n t h e i r fi n a l M a fi r e m a t i c s I n v e n t o r y , a n d a l l 2 9 o f fi r o s e s t r r d e r r t s w r o t e " y e s " fi r a t fi r e i r i d e a s h a d c h a n g e d . O n e s t u d e n t w r o t e fi r a t h e r i d e a s h a d c h a n g e d a g r e a t d e a l , a n d o n e w r o t e fi r a t t h e y h a d d r a s t i c a l l y c h a n g e d . T h e r e w a s a b i g v a r i e t y i n t h e s t u d e n t s ’ e x p l a n a t i o n s f o r fi r e i r ” y e s ” r e s p o n s e s . M o s t o f w h a t fi r e s t u d e n t s w r o t e a b o u t r e l a t e d t o h o w fi r e y fi r o u g h t fi r e i r i d e a s a b o u t t e a c h i n g m a fi r e m a t i c s h a d c h a n g e d w e r e r e l a t e d t o m e fi r o d s o f t e a c h i n g . F o u r s t u d e n t s s p e c i fi c a l l y w r o t e fi r a t fi r e y h a d g o t t e n a l o t o f n e w i d e a s o r l e a r n e d a l t e r n a t i v e m e fi r o d s a n d a p p r o a c h e s f o r t e a c h i n g m a t h e m a t i c s , a n d t w o o fi r e r s w r o t e fi r a t t h e y w e r e m o r e o p e n t o n e w i d e a s . T h e m o s t c o m m o n r e s p o n s e s w e r e fi r a t fi r e y h a d b e e n i n t r o d u c e d t o t h e i d e a o f w r i t i n g i n m a t h a n d ] o r w o u l d n o w p u t m o r e e m p h a s i s o n w r i t i n g a n d fi r a t t h e y f e e l t h a t d i s c u s s i o n s a r e i m p o r t a n t . F i v e s t u d e n t s e a c h w r o t e a b o u t fi r o s e i d e a s . F o u r s t u d e n t s a l s o w r o t e fi r a t fi r e y t h i n k fi r a t u s i n g m a n i p u l a t i v e s i s i m p o r t a n t . T h r e e 1 9 2 s t u d e n t s w r o t e fi r a t fi r e y b e l i e v e d i t w a s i m p o r t a n t t o i n c o r p o r a t e l i t e r a t u r e i n t e a c h i n g m a fi r . O n l y o n e s t u d e n t e a c h w r o t e fi r e o t h e r r e s p o n s e s t o fi r i s q u e s t i o n . S o m e o f t h e m w e r e r e l a t e d t o fi r e m o s t c o m m o n r e s p o n s e s , b u t n o t q u i t e t h e s a m e i d e a . S o m e e x a m p l e s o f fi r e o fi r e r w a y s fi r e s t u d e n t s w r o t e fi r a t fi r e i r i d e a s a b o u t t e a c h i n g m a fi r e m a t i c s h a d c h a n g e d w e r e b e i n g m o r e f o c u s e d o n h o w s t u d e n t s l e a r n , l e a r n i n g h o w t o i n c o r p o r a t e l a n g u a g e a r t s , g a i n i n g i d e a s a b o u t a s s e s s m e n t , r e a l i z i n g t h e i m p o r t a n c e o f s t u d e n t s ’ a t t i t u d e s , r e a l i z i n g t h e i m p o r t a n c e o f e v e r y o n e n e e d i n g t o u n d e r s t a n d m a fi r , a n d h a v i n g m o r e i d e a s a b o u t h o w t o a p p l y m a fi r t o e v e r y d a y s i t u a t i o n s . M a n y o f t h e s t u d e n t s d i d n ' t r e s p o n d t o t h e p a r t o f t h e q u e s t i o n a b o u t w h e fi r e r fi r e r e w e r e s p e c i fi c e v e n t s o r a c t i v i t i e s fi r a t i n fl u e n c e d fi r a t c h a n g e , b u t fi r e m o s t c o m m o n r e s p o n s e f o r fi r o s e w h o d i d w a s fi r e " i n - c l a s s a c t i v i t i e s . " F i v e s t u d e n t s w r o t e fi r a t . F o u r s t u d e n t s w r o t e fi r e " r e a d i n g s , " a n d f o u r a l s o w r o t e fi r e " i n - c l a s s d i s c u s s i o n s . " T h r e e s t u d e n t s w r o t e " e v e r y t h i n g . " N o n e o f t h e s t u d e n t s w r o t e a n y fi r i n g a b o u t t h e i r i d e a s o f m a t h e m a t i c s c h a n g i n g ; fi r e y a l l f o c u s e d o n h o w t h e i r i d e a s o f t e a c h i n g m a t h e m a t i c s h a d c h a n g e d . S u m m a r y o f C h a n g e s i n S t u d e n t s C o n c e p t i o n s o f T e a c h i n g M a t h e m a t i c s . T h e s t u d e n t s ’ c o n c e p t i o n s o f t e a c h i n g m a fi r e m a t i c s a t fi r e e n d o f fi r e s e m e s t e r a s i n c l u d e d i n t h e i r ” P l r i l o s o p h y o f T e a c h i n g M a t h e m a t i c s " j o u r n a l e n t r i e s a r e i n t e r e s t i n g a n d q u i t e g r a t i f y i n g t o m e a s fi r e i r t e a c h e r , b u t b e c a u s e fi r e y w e r e n ’ t a s k e d t o w r i t e a ” P h i l o s o p h y o f T e a c h i n g M a fi r e m a t i c s " j o u r n a l e n t r y a t t h e b e g i n n i n g o f t h e s e m e s t e r , i t ’ 8 h a r d t o m a k e d e fi n i t i v e c o n c l u s i o n s a b o u t h o w fi r e i r c o n c e p t i o n s o f t e a c h i n g m a t h e m a t i c s c h a n g e d . H o w e v e r , t h e r e i s o t h e r e v i d e n c e t h a t s u p p o r t s t h e c o n c l u s i o n fi r a t fi r e r e w a s c h a n g e , a n d i t d o e s s e e m 1 9 3 fi r a t fi r e i r a t t e n t i o n r e l a t e d t o m a fi r e m a t i c s w a s m u c h m o r e f o c u s e d o n i d e a s r e l a t e d t o t e a c h i n g m a t h e m a t i c s a t t h e e n d o f t h e s e m e s t e r t h a n i t w a s a t t h e b e g i n n i n g o f fi r e s e m e s t e r . A l s o , fi r e f a c t fi r a t 2 9 o u t o f 2 9 s t u d e n t s w r o t e fi r a t fi r e i r c o n c e p t i o n s o f t e a c h i n g m a fi r e n r a t i c s h a d c h a n g e d w h e n fi r e y w e r e a s k e d i f fi r e y h a d i n a n o p e n - e n d e d q u e s t i o n o f t h e fi n a l M a t h e m a t i c s I n v e n t o r y , s u p p o r t s fi r i s a s s u m p t i o n . F r o m fi r e b e g i n n i n g o f fi r e s e m e s t e r t o t h e e n d o f fi r e s e m e s t e r , fi r e r e w a s a d e fi n i t e s h i f t i n p o s i t i o n i n g f o r t h e s t u d e n t s a s a g r o u p i n t h e i r r e l a t i o n t o m a t h e m a t i c s . T h e s h i f t i n p o s i t i o n i n g f r o m fi r i n k i n g o f m a fi r a s i t r e l a t e d t o fi r e i r o w n e x p e r i e n c e s t o v i e w i n g i t m o r e a s s o m e o n e w h o i s g o i n g t o t e a c h i t w a s e v e n m o r e m a r k e d i n r e l a t i o n t o t h e s t u d e n t s ' c o n c e p t i o n s o f t e a c h i n g m a t h e m a t i c s t h a n i t w a s i n r e l a t i o n t o t h e s t u d e n t s ' c o n c e p t i o n s o f l e a r n i n g m a fi r e m a t i c s . A t fi r e b e g i n n i n g o f t h e s e m e s t e r , w h e n t h e s t u d e n t s i n c l u d e d a n y fi r i n g a b o u t t e a c h i n g m a fi r e m a t i c s i n fi r e i r m a t h c o n c e p t m a p s o r ” W h a t I s M a t h e m a t i c s ? ” j o u r n a l e n t r i e s , m o s t o f t h e m i n c l u d e d s o m e fi r i n g a b o u t t e a c h i n g m a t h e m a t i c s a s i t r e l a t e d t o t h e i r o w n e x p e r i e n c e a s a s t u d e n t . O f c o u r s e , i n t h e M a t h e m a t i c s I n v e n t o r y , t h e s t u d e n t s w e r e s p e c i fi c a l l y a s k e d a b o u t s o m e o f fi r e i r c o n c e p t i o n s o f t e a c h i n g m a d r e m a t i c s , a n d s o i n fi r o s e c a s e s , fi r e y w r o t e a b o u t t h e i r i d e a s r e l a t e d t o t e a c h i n g m a t h t h a t w e r e n ’ t n e c e s s a r i l y r e f e r r i n g t o fi r e i r o w n e x p e r i e n c e s a s a l e a r n e r o f m a fi r . T h e f o c u s o f t h e m a t h c o n c e p t m a p s f o r m a n y o f fi r e s t u d e n t s s h o w e d a s h i f t i n p o s i fi o n i n g w h e n t h e i r fi n a l c o n c e p t m a p s w e r e c o m p a r e d w i fi r fi r e i r b e g i n n i n g c o n c e p t m a p s . I t s e e m e d e v i d e n t f r o m w h a t t h e s t u d e n t s i n c l u d e d i n fi r e i r m a t h c o n c e p t m a p s a t t h e b e g i n n i n g o f t h e s e m e s t e r t h a t m o s t o f t h e s t u d e n t s w e r e fi r i n k i n g a b o u t m a fi r e m a t i c s i n r e l a t i o n t o t h e i r o w n e x p e r i e n c e s 1 9 4 a s a l e a r n e r a n d u s e r o f i t . I n c o n t r a s t , a t fi r e e n d o f fi r e s e m e s t e r , m a n y o f t h e s e s a m e s t u d e n t s s e e m e d t o b e fi r i n k i n g a b o u t m a fi r e m a t i c s a s a t e a c h e r w o u l d , a n d fi r e i t e m s fi r e y i n c l u d e d i n t h e i r fi n a l m a fi r c o n c e p t m a p s s h o w e d fi r a t s h i f t . A n o fi r e r e x a m p l e o f c h a n g e fi r a t i l l u s t r a t e d fi r e s h i f t i n p o s i t i o n i n g o f t h e s t u d e n t s w a s fi r e n e w e m p h a s i s o n a s s e s s m e n t a t fi r e e n d o f fi r e s e m e s t e r . T h i s w a s a n e x a m p l e o f s o m e fi r i n g a t e a c h e r w o u l d b e c o n c e r n e d w i t h i n r e l a t i o n t o m a t h e m a t i c s fi r a t s o m e o n e w h o h a d o n l y e x p e r i e n c e d l e a r n i n g i t o r u s i n g i t w o u l d n o t . T h e b i g g e s t d i f f e r e n c e b e t w e e n t h e s t u d e n t s ’ c o n c e p t i o n s o f t e a c h i n g m a fi r e m a t i c s a t fi r e b e g i n n i n g o f t h e s e m e s t e r c o m p a r e d t o t h e e n d o f t h e s e m e s t e r w a s fi r e e x p a n s i o n o f fi r e i r i d e a s o f h o w t o t e a c h m a t h e m a t i c s . F o r e x a m p l e , a t b o fi r fi r e b e g i n n i n g o f t h e s e m e s t e r a n d a t t h e e n d o f fi r e s e m e s t e r , m a n y s t u d e n t s h e l d fi r e c o n c e p t i o n t h a t m a t h e m a t i c s s h o u l d b e t a u g h t i n a w a y t h a t i t w a s u n d e r s t o o d . H o w e v e r , fi r e r e w e r e m o r e s t u d e n t s a t t h e e n d o f fi r e s e m e s t e r w h o s e e m e d t o b e l i e v e t h a t . A n o t h e r d i f f e r e n c e i s t h a t a t fi r e b e g i n n i n g o f fi r e s e m e s t e r w h e n s t u d e n t s w r o t e a b o u t m a fi r b e i n g t a u g h t s o t h a t i t i s u n d e r s t o o d , fi r e y d i d n ’ t r e a l l y o f f e r a n y e x a m p l e s o f h o w t h a t m i g h t b e d o n e o t h e r t h a n fi r e t e a c h e r e x p l a i n i n g i t s o t h e s t u d e n t s c o u l d u n d e r s t a n d . I n c o n t r a s t , a t fi r e e n d o f fi r e s e m e s t e r , w h e n t h e s t u d e n t s w r o t e a b o u t t e a c h i n g m a t h s o t h a t i t c o u l d b e u n d e r s t o o d , t h e y p r o v i d e d m a n y e x a m p l e s o f h o w fi r i s m i g h t b e a c c o m p l i s h e d s u c h a s u s i n g d i s c o u r s e , m a n i p u l a t i v e s , s m a l l g r o u p s , a n d t h e t e a c h e r a c t i n g a s a f a c i l i t a t o r f o r l e a r n i n g r a t h e r fi r a n a d i s p e n s e r o f k n o w l e d g e . A t fi r e e n d o f fi r e s e m e s t e r , a l m o s t a l l fi r e s t u d e n t s s e e m e d t o b e l i e v e fi r a t c o m m u n i c a t i n g a b o u t m a t h e m a t i c a l i d e a s i s a n i m p o r t a n t p a r t o f t e a c h i n g . T h i s 1 9 5 s e e m s t o h a v e b e e n a n e w i d e a f o r fi r e m . N o s t u d e n t s w r o t e a b o u t fi r a t i d e a i n a n y d a t a s o u r c e a t fi r e b e g i n n i n g o f fi r e s e m e s t e r . A l s o , w h e n I fi r s t i n t r o d u c e d fi r e i d e a i n c l a s s , m a n y s t u d e n t s m a d e c o m m e n t s i n d i c a t i n g i t w a s a n e w i d e a a n d n o t s o m e t h i n g t h e y h a d e x p e r i e n c e d . O n e s t u d e n t e v e n c o m m e n t e d t h a t w h e n s h e w a s i n s c h o o l , t a l k i n g w i fi r e a c h o fi r e r d u r i n g m a fi r w a s c a l l e d " c h e a t i n g . ” O fi r e r s t u d e n t s a g r e e d w i fi r fi r a t o b s e r v a t i o n . T h e w a y fi r a t s o m e s t u d e n t s w r o t e a b o u t i t a t fi r e e n d o f fi r e s e m e s t e r a l s o i n d i c a t e fi r a t i t w a s a n e w i d e a s u c h a s t h e s t u d e n t w h o w r o t e , ” I n e v e r s a w fi r e v a l u e o f h a v i n g s t u d e n t s w r i t e i n m a t h c l a s s u n t i l w e d i s c u s s e d i t i n c l a s s . ” T h e s t u d e n t s a l s o f o c u s e d m o r e o n t h e r o l e fi r a t s t u d e n t s ’ a n d t e a c h e r s ’ a t t i t u d e s p l a y i n t e a c h i n g m a fi r e m a t i c s a t fi r e e n d o f t h e s e m e s t e r . M a n y o f t h e m s e e m e d t o b e l i e v e m o r e s t r o n g l y t h a t a t t i t u d e s p l a y a b i g r o l e i n e f f e c t i v e t e a c h i n g o f m a d r e m a t i c s . I t s e e m s c l e a r f r o m w h a t t h e s t u d e n t s w r o t e i n t h e i r “ P h i l o s o p h y o f T e a c h i n g M a t h e m a t i c s " j o u r n a l e n t r i e s t h a t fi r e y h a d m a n y n e w i d e a s a b o u t h o w t o t e a c h m a fi r e m a t i c s a t t h e e n d o f t h e s e m e s t e r . I t w o u l d n o t b e u n r e a s o n a b l e t o e x p e c t t h a t h a v i n g n e w i d e a s w o u l d h e l p fi r e p r o s p e c t i v e t e a c h e r s f e e l m o r e o p t i m i s t a b o u t a l l c h i l d r e n b e i n g a b l e t o l e a r n a n d u n d e r s t a n d m a fi r . W e a l s o m i g h t e x p e c t fi r e m t o f e e l m o r e p o s i t i v e a b o u t t h e i d e a o f t e a c h i n g m a t h e m a t i c s , w h i c h , a s w i l l b e s e e n i n fi r e n e x t c h a p t e r , s e e m s t o h a v e h a p p e n e d . I n s u m m a r y , a t fi r e e n d o f fi r e s e m e s t e r fi r e r e w a s a l o t m o r e a t t e n t i o n t o t e a c h i n g m a t h e m a t i c s b y fi r e s t u d e n t s , m o r e f o c u s o n s p e c i fi c m e t h o d s t h a t m i g h t b e u s e d i n t e a c h i n g m a fi r e m a t i c s , a n d a s h i f t i n p o s i t i o n i n g t o t h i n k i n g o f m a t h a s a t e a c h e r w o u l d . 1 9 6 C h a p t e r S u m m a r y I n t h i s c h a p t e r , I s u m m a r i z e d fi r e a n a l y s e s o f fi r e s t u d e n t s ’ c o n c e p t i o n s o f l e a r n i n g m a t h e m a t i c s a n d t e a c h i n g m a t h e m a t i c s b o fi r a t fi r e b e g i n n i n g o f fi r e s e m e s t e r a n d a t t h e e n d o f t h e s e m e s t e r . A t fi r e e n d o f fi r e s e m e s t e r , t h e r e s e e m e d t o b e a n i n c r e a s e i n fi r e s t u d e n t s ’ a t t e n t i o n t o i d e a s a b o u t l e a r n i n g a n d t e a c h i n g m a fi r e m a t i c s c o m p a r e d t o fi r e b e g i n n i n g o f t h e s e m e s t e r . T h e r e a l s o s e e m e d t o b e a s h i f t i n h o w m a n y o f fi r e s t u d e n t s p o s i t i o n e d fi r e m s e l v e s r e l a t e d t o m a fi r e m a fi c s . A t fi r e b e g i n n i n g o f fi r e s e m e s t e r , m o s t o f t h e s t u d e n t s s e e m e d t o fi r i n k a b o u t m a t h a s i t r e l a t e d t o t h e m s e l v e s a s l e a r n e r s a n d u s e r s o f m a t h , a n d a t t h e e n d o f fi r e s e m e s t e r , m o s t o f fi r e s t u d e n t s s e e m e d t o b e fi r i n k i n g a b o u t m a t h e m a t i c s a s i f t h e y w e r e g o i n g t o b e t e a c h i n g i t . T h i s s h i f t i n p o s i t i o n i n g s e e m e d t o b e h a p p e n i n g f o r n e a r l y a l l o f t h e s t u d e n t s — a n d f o r a l l o f t h e m t o s o m e e x t e n t . I t s e e m s fi r a t fi r e r e a r e m a n y p o s s i b l e i m p l i c a t i o n s f o r t h i s c h a n g e i n p o s i t i o n i n g . I t i s l i k e l y fi r a t fi r i s c h a n g e w o u l d b e o n e o f t h e m a j o r i n fl u e n c e s o n t h e s t u d e n t s i n c h a n g i n g b o fi r fi r e i r c o n c e p t i o n s o f a n d a t t i t u d e s t o w a r d b o t h m a fi r e m a t i c s a n d t e a c h i n g m a fi r e m a t i c s . I t a l s o s e e m s l i k e fi r i s s h i f t m a d e n e a r l y a l l o f t h e s t u d e n t s f e e l m o r e e m p o w e r e d i n t h e i r r e l a t i o n t o m a t h a n d t h e p r o s p e c t o f t e a c h i n g m a fi r . T h e s t u d e n t s ’ v i e w s o f l e a r n i n g m a t h a n d t e a c h i n g m a t h w e r e v e r y i n t e r r e l a t e d , a n d fi r e i r c o n s i s t e n c y w h e n e x p r e s s i n g v i e w s a b o u t o n e i n r e l a t i o n t o fi r e o t h e r s u p p o r t e d fi r e a s s u m p t i o n o f fi r e v a l i d i t y a n d g e n u i n e n e s s o f t h e i r e x p r e s s i o n s . 1 9 7 C H A P T E R 5 A T T I T U D E S T O W A R D M A T H E M A T I C S A N D T E A C H I N G M A T H E M A T I C S I n t h i s c h a p t e r , I e x a m i n e t h e s t u d e n t s ’ a t t i t u d e s t o w a r d m a t h e m a t i c s a n d t e a c h i n g m a fi r e m a t i c s . I w i l l fi r s t l o o k a t fi r e i r a t t i t u d e s t o w a r d m a d r e m a t i c s a t t h e b e g i n n i n g o f fi r e s e m e s t e r . I t h e n e x a m i n e t h e s t u d e n t s ’ a t t i t u d e s t o w a r d m a fi r a t fi r e e n d o f fi r e s e m e s t e r a n d a n a l y z e d i f f e r e n c e s b e t w e e n a t t i t u d e s a t fi r e b e g i n n i n g a n d e n d o f fi r e s e m e s t e r . I w i l l fi r e n l o o k a t t h e s t u d e n t s ’ a t t i t u d e s t o w a r d t e a c h i n g m a fi r i n fi r e s a m e m a n n e r — a t fi r e b e g i n n i n g o f t h e s e m e s t e r a n d a t fi r e e n d o f fi r e s e m e s t e r , f o l l o w e d b y a n a n a l y s i s o f t h e d i f f e r e n c e s . A c r o s s fi r e l a s t f o u r d e c a d e s , r e s e a r c h h a s c o n s i s t e r r fi y s h o w n fi r a n m o s t p r o s p e c t i v e e l e m e n t a r y t e a c h e r s h a v e n e g a fi v e a t t i t u d e s t o w a r d m a fi r ( A l l e n , 2 0 0 1 ; B e c k e r , 1 9 8 5 ; B u l m a h n a n d Y o u n g , 1 9 8 2 ; D u t t o n , 1 9 5 4 ; D u t t o n , 1 9 6 2 ; K e l l y a n d T o m h a v e , 1 9 8 6 ; R e y s a n d D e l o n , 1 9 6 6 ; a n d S n r i fi r , 1 9 6 4 ) . M o r e r e c e n t l y , r e s e a r c h e r s h a v e t r i e d t o fi n d o u t w h e t h e r t e a c h e r p r e p a r a t i o n p r o g r a m s c a n i m p r o v e t h e s e a t t i t u d e s ( A d k i n s a n d R o b i n s o n , 2 0 0 2 ; C o u c h - K u c h e y , 2 0 0 2 ; G i b s o n a n d V a n S t r a t , 2 0 0 1 ; G r e g g , 1 9 9 8 ; M i l l e r , 1 9 9 9 ; R e y s a n d D e l o n , 1 9 6 6 ; S m i fi r , 1 9 9 9 ; a n d W i l k i n s o n , 2 0 0 1 ) . I n fi r i s a n a l y s i s , I a l s o l o o k — t h r o u g h a d i f f e r e n t c o m b i n a t i o n o f d a t a s o u r c e s — a t w h e fi r e r fi r e s e a t t i t u d e s i m p r o v e , a n d I t r y t o a l s o e x a m i n e h o w fi r e y c h a n g e a n d w h a t m i g h t i n fl u e n c e t h a t c h a n g e . A t t i t u d e s t o w a r d M a t h e m a t i c s S t u d e n t s ' A t t i t u d e s t o w a r d M a t h e m a t i c s a t t h e B e g i n n i n g o f fi r e S e m e s t e r . F o u r d a t a s o u r c e s p r o v i d e d i n f o r m a t i o n a b o u t fi r e s t u d e n t s ’ a t t i t u d e s t o w a r d m a t h e m a t i c s a t t h e b e g i n n i n g o f t h e s e m e s t e r : t h e ” M a fi r e m a t i c s R e fl e c t i o n s ” j o u r n a l e n t r i e s ( w h i c h i s d e s c r i b e d i n fi r e n e x t p a r a g r a p h ) , t h e ” W h a t 1 9 8 I s M a fi r e m a t i c s ? ” j o u r n a l e n t r i e s , fi r e m a fi r c o n c e p t m a p s , a n d fi r e M a fi r e m a t i c s I n v e n t o r y . A t fi r e b e g i n n i n g o f fi r e s e m e s t e r , m o s t o f fi r e s t u d e n t s i n fi r i s c l a s s h a d a n e g a t i v e a t t i t u d e t o w a r d m a d r e m a t i c s . O n e p l a c e fi r a t fi r i s c o u l d b e s e e n w a s i n fi r e ” M a fi r e m a t i c s R e fl e c t i o n s ” j o u r n a l e n t r i e s . O n fi r e fi r s t d a y o f c l a s s , I a s s i g n e d t h e s t u d e n t s a d o — a t - h o m e j o u r n a l e n t r y f o r w h i c h fi r e y w e r e t o w r i t e a r e fl e c t i o n o f t h e i r m a fi r e m a t i c s e x p e r i e n c e s . T h e y w e r e a s k e d t o b r i n g fi r i s r e fl e c t i o n t o fi r e n e x t c l a s s p e r i o d w h i c h w a s fi r e n e x t d a y . T h e s e r e fl e c t i o n s p r o v i d e d m u c h i n f o r m a t i o n a b o u t fi r e s t u d e n t s ' a t t i t u d e s t o w a r d m a fi r e n r a t i c s w h e n t h e s e m e s t e r b e g a n — a s w e l l a s s o m e i n s i g h t i n t o w h a t h a d i n fl u e n c e d t h o s e a t t i t u d e s ( w h i c h w i l l b e r e v i e w e d l a t e r ) . O f fi r e 3 3 " M a fi r e m a t i c s R e fl e c t i o n s " j o u r n a l e n t r i e s r e c e i v e d , 1 4 w e r e c o m p l e t e l y n e g a t i v e t o w a r d m a fi r , 1 6 i n c l u d e d b o t h s e c t i o n s t h a t w e r e p o s i t i v e a n d s e c t i o n s t h a t w e r e n e g a t i v e d e p e n d i n g o n fi r e t i m e i n fi r e i r l i f e , a n d fi r r e e w e r e w h o l l y p o s i fi v e t o w a r d m a t h . S o m e t i m e s fi r e s t u d e n t s w r o t e a b o u t p o s i t i v e e x p e r i e n c e s t h e y h a d h a d w i fi r m a fi r , b u t t e n s t u d e n t s w r o t e g e n e r a l c o m m e n t s r e l a t e d t o t h e i r a t t i t u d e s t o w a r d m a fi r , a n d a l l o f fi r e m w e r e n e g a t i v e . E x a m p l e s o f w h a t f o u r s t u d e n t s w r o t e a r e , " M a fi r h a s a l w a y s b e e n m y l e a s t f a v o r i t e s u b j e c t e v e r s i n c e I w a s l i t t l e ; " " F o r s o m e r e a s o n I h a d i t i n m y h e a d fi r a t m a t h w a s fi r i s h o r r i b l e , h a r d s u b j e c t " " I n m i d d l e s c h o o l m a fi r w a s e a s y f o r m e , y e t I s t i l l d i d n ' t l i k e i t . I w a s a l w a y s a f r a i d fi r a t a t a n y m o m e n t , I w o u l d g e t t o t a l l y c o n f u s e d ; " a n d " M y e x p e c t a t i o n s f o r g r a d e s i n m a fi r a r e s o m u c h d i f f e r e n t fi r a n f o r t h e r e s t o f m y c l a s s e s . " O fi r e r s w r o t e s i m i l a r fi r i n g s . I n t h e b e g i n n i n g ” W h a t I s M a fi r e m a t i c s ? ” j o u r n a l e n t r i e s , 1 9 s t u d e n t s a l s o w r o t e a b o u t fi r e i r a t t i t u d e s t o w a r d m a t h . T e n s t u d e n t s w r o t e o n l y a b o u t n e g a t i v e a t t i t u d e s . T h r e e s t u d e n t s i n c l u d e d r e f e r e n c e s t o b o fi r p o s i t i v e a n d n e g a t i v e a t t i t u d e s . I n e a c h o f t h e s e c a s e s , fi r e p o s i t i v e c o m m e n t w a s t h a t m a t h 1 9 9 w a s i m p o r t a n t o r n e c e s s a r y . S i x s t u d e n t s w r o t e o n l y s o m e t h i n g i n d i c a t i n g a p o s i t i v e a t t i t u d e . M o s t o f w h a t t h e y w r o t e r e l a t e d t o a t t i t u d e s t o w a r d m a fi r w a s n e g a t i v e . F o r e x a m p l e , o n e s t u d e n t w r o t e , " M a fi r t o m e i s a p a i n . . . . j u s t a h a r d s u b j e c t . " A n o t h e r s t u d e n t w r o t e , " T o m e , fi r e w o r d m a fi r e m a t i c s i s a b a d o n e . I t b r i n g s b a c k m a n y m e m o r i e s fi r r o u g h fi r e y e a r s b o fi r g o o d a n d b a d , b u t I s e e m t o r e m e m b e r fi r e b a d o n e s b e t t e r . I t s m e a n i n g fi r a t i s i n m y d i c fi o n a r y i n m y h e a d i s w o r k . I a l w a y s h a v e t o s p e n d d o u b l e fi r e t i m e o n m a fi r a s a n y o t h e r s u b j e c t . I t ' s k i n d o f l i k e a j o b y o u h a t e . " F o u r s t u d e n t s d e s c r i b e d m a t h a s s o m e fi r i n g t h a t w a s u n n e c e s s a r y o r n o t n e e d e d ( e s p e c i a l l y w h e n r e f e r r i n g t o h i g h e r m a t h ) . F o r e x a m p l e , o n e s t u d e n t w r o t e , " I s e e n o p o i n t i n a d d i n g i n a l l k i n d s o f v a r i a b l e s a n d f o r m u l a s . T h a t i s c o m l i c a t i o n , n o t m a fi r . . . . . S u r e , i t m i g h t b e ' f u n ' f o r s o m e p e o p l e t o w ° p o u t s o m e f o r m u l a f r o m fi r e i r h e a d t o fi g u r e o u t fi r e fi n a l c o s t o f s o m e fi r i n g , b u t i t j u s t d o e s n ' t s e e m n e c e s s a r y . ” A n o fi r e r s t u d e n t e x p r e s s e d h e r f e e l i n g s r e l a t e d t o fi r i s a t t i t u d e fi r i s w a y : " M a fi r e m a t i c s i s s i t t i n g d o w n a n d m e m o r i z i n g i n f o r m a t i o n fi r a t y o u j u s t d o n o t n e e d . W h o i n fi r e w o r l d i s g o i n g t o s t o p y o u o n t h e s t r e e t a n d a s k y o u a m a fi r p r o b l e m . I d o n ' t fi r i n k s o . T o m e , i t i s s o m e fi r i n g fi r a t b u i l d e r s a n d c a r p e n t e r s n e e d t o k n o w . O f c o u r s e y o u n e e d t o k n o w fi r e m e t r i c s y s t e m a n d h o w t o m e a s u r e , b u t o r d i n a r y p e o p l e j u s t n e e d t o k n o w fi r e b a s i c s t o b a l a n c e fi r e i r C h e c k b o o k s . E v e r y o n e t e l l s m e fi r a t y o u n e e d t o k n o w h o w t o c o u n t . I c a n u n d e r s t a n d t h a t , b u t w h o n e e d s c a l c u l u s u n l e s s y o u a r e g o i n g t o t e a c h i t t o a b u n c h o f s t u d e n t s . L i k e I s a i d , k n o w fi r e b a s i c s a n d y o u w i l l g e t b y fi n e . " F r v e s t u d e n t s d e s c r i b e d m a fi r a s c o m p l e x s u c h a s fi r e s t u d e n t w h o w r o t e , " M a fi r e m a t i c s i s s u r r o u n d e d , m a d e u p o f , m a n y c o m p l e x c o n c e p t s . " T h i n k i n g o f s o m e d r i n g a s c o m p l e x d o e s n ’ t n e c e s s a r i l y i m p l y , a n e g a t i v e a t t i t u d e , b u t i n fi r e c a s e o f t h e fi v e s t u d e n t s w h o w r o t e t h a t i t w a s c o m p l e x , i t s e e m e d l i k e fi r e y c o n s i d e r e d fi r a t s o m e fi r i n g n e g a t i v e a b o u t m a fi r . T h e m a j o r i t y o f fi r e b e g i n n i n g c o n c e p t m a p s a l s o r e fl e c t e d n e g a t i v e a t t i t u d e s t o w a r d m a fi r e m a fi c s . A t fi r e b e g i n n i n g o f fi r e s e m e s t e r , 2 3 s t u d e n t s 2 0 0 i n c l u d e d i t e m s t h a t w e r e r e l a t e d t o fi r e i r o w n a t t i t u d e s t o w a r d m a fi r , a n d 2 1 o f fi r o s e 2 3 i n c l u d e d n e g a t i v e i t e m s . T h i r t e e n o f t h o s e s t u d e n t s a l s o i n c l u d e d i t e m s fi r a t w e r e p o s i t i v e , b u t 1 1 o f fi r o s e s t u d e n t s i n c l u d e d o n l y o n e o r t w o p o s i t i v e i t e m s w h i l e o n e i n c l u d e d t h r e e o r f o u r , a n d o n e i n c l u d e d m o r e fi r a n f o u r p o s i t i v e i t e m s . T h e r e w e r e t w o s t u d e n t s w h o i n c l u d e d a l o w n u m b e r o f i t e m s r e l a t e d t o p o s i t i v e a t t i t u d e s i n t h e i r b e g i n n i n g m a fi r c o n c e p t m a p s fi r a t d i d n o t i n c l u d e a n y i t e m s r e l a t e d t o n e g a t i v e a t t i t u d e s . O f t h e 2 1 s t u d e n t s w h o i n c l u d e d i t e m s r e l a t e d t o n e g a t i v e a t t i t u d e s i n fi r e i r c o n c e p t m a p s , s e v e n o f fi r e n r i n c l u d e d a l o w n u m b e r ( 1 - 2 ) , n i n e o f fi r e m i n c l u d e d a m e d i u m n u m b e r ( 3 - 4 ) , a n d fi v e i n c l u d e d a h i g h n u m b e r . A n e x a m p l e o f a s t u d e n t w h o i n c l u d e d a h i g h n u m b e r o f i t e m s r e l a t e d t o n e g a t i v e a t t i t u d e s i n h e r b e g i n n i n g c o n c e p t m a p w a s s t u d e n t 3 3 ( S e e F i g u r e 3 7 ) . A t l e a s t h a l f o f h e r d i r e c t c o n n e c t o r s t o ” m a fi r " h e a d c a t e g o r i e s fi r a t a r e r e l a t e d t o n e g a t i v e a t t i t u d e s : ” c u r s e , ” ” p e r s o n a l c h a l l e n g e , ” a n d ” h a r d w o r k . ” T h e o n l y i t e m s h e i n c l u d e d fi r a t s e e m e d p o s i t i v e w a s ” s a t i s f a c t i o n w h e n I w r n ’ ” fi r a t w a s c o n n e c t e d t o ” p e r s o n a l c h a l l e n g e . ” / W ” m : m u - F O R E I Q N s w a t c h H . 9 6 1 ? ‘ ‘ t t m _ " s u ' b l t W L O ” ‘ l ’ \ J W E ? ) m m n e w , \ \ . . . . : . U L ( ” 0 6 5 . . r 1 0 U C E ( ‘ f w v d ‘ y W F i g u r e 3 7 : B e g i n n i n g M a t h C o n c e p t M a p o f S t u d e n t 3 3 2 0 1 A n e x a m p l e o f a s t u d e n t w h o i n c l u d e d a l a r g e n u m b e r o f i t e m s r e l a t e d t o n e g a t i v e a t t i t u d e s , b u t a l s o fi v e i t e m s r e l a t e d t o p o s i fi v e a t t i t u d e s i n h e r b e g i n n i n g c o n c e p t m a p w a s s t u d e n t 2 8 ( S e e F i g u r e 3 8 ) . T h e b o t t o m s e c t i o n o f h e r c o n c e p t m a p i s a l l r e l a t e d t o n e g a t i v e a t t i t u d e s , b u t t h e r e i s t h a t s e c t i o n a r o u n d t h e e i g h t o ’ c l o c k p o s i t i o n w h e r e s h e i n c l u d e s s o m e p o s i t i v e a t t i t u d e s : I I I I I ! I I ‘ I I I I ' ” r e w a r d i n g , e n l i g h t e n m e n t , j o y , i n v i g o r a t i n g , ” a n d ” p r i d e ! ” T h e r e m u s t h a v e b e e n a t l e a s t a f e w m o m e n t s i n h e r l i f e w h e r e d o i n g m a fi r w a s a p o s i t i v e e x p e r i e n c e f o r h e r . 2 0 2 T h e i t e m s fi r a t w e r e i n c l u d e d b y fi r e g r o u p i n fi r e b e g i n n i n g m a fi r c o n c e p t m a p s fi r a t a r e r e l a t e d t o n e g a t i v e a t t i t u d e s s h o w a w i d e r a n g e i n fi r e w a y t h e y e x p r e s s e d fi r e s e a t t i t u d e s . T h i r t e e n s t u d e n t s w r o t e ” f r u s t r a t i o n ” o r ” f r u s t r a t i n g ” n i n e s t u d e n t s i n c l u d e d ” p a t i e n c e ” s i x s t u d e n t s i n c l u d e d ” w o r k ” o r ” h a r d w o r k ; ” fi v e s t u d e n t s i n c l u d e d ” d i f fi c u l t ” f o u r s t u d e n t s e a c h i n c l u d e d ” c o n f u s i o r r , ” ” w h y d o I n e e d fi r i s ? , ” a n d ” t i m e c o n s u m i n g . ” T h e r e w e r e o t h e r e x a m p l e s fi r a t w e r e i n c l u d e d l e s s o f t e n : t h r e e s t u d e n t s e a c h i n c l u d e d ” c o m p l e x ” a n d ” p e r s o n a l c h a l l e n g e , " a n d t w o s t u d e n t s e a c h i n c l u d e d ” n e e d t o k n o w w h y , ” ” h a r d t o u n d e r s t a n d , " ” d o n ’ t d o w e l l , ” ” u s e l e s s , ” a n d ” a n g e r . ” T h e r e w e r e s e v e r a l o t h e r i t e m s fi r a t w e r e i n c l u d e d b y o n e s t u d e n t e a c h . S o m e e x a m p l e s o f fi r o s e i t e m s w e r e ” s t r e s s f u l , ” ” c u r s e , ” ” s t r u g g l e , ” a n d e v e n ” e v i l . ” S i x i t e m s i n fi r e M a fi r e m a t i c s I n v e n t o r y w e r e r e l a t e d t o s t u d e n t s ’ a t t i t u d e s t o w a r d m a fi r , a n d fi r e s t u d e n t s ’ r e s p o n s e s t o t h e m w e r e c o n s i s t e n t w i fi r t h e m a j o r i t y o f t h e m h a v i n g n e g a t i v e a t t i t u d e s t o w a r d m a fi r . T h r e e o f fi r e i t e m s w e r e r e l a t e d t o e n j o y m e n t o f m a fi r e m a t i c s . O n e o f fi r e s e w a s i t e m 1 , ” I e n j o y d o i n g m a t h e m a t i c a l t a s k s . ” T h e m e a n r e s p o n s e f o r fi r i s i t e m a t fi r e b e g i n n i n g o f t h e s e m e s t e r w a s 2 . 5 5 w h i c h i n d i c a t e d f a i r l y s t r o n g d i s a g r e e m e n t w i fi r fi r a t s t a t e m e n t b y fi r e c l a s s a s a g r o u p . I t e m 2 , ” I h a v e a l w a y s e n j o y e d m a t h e m a t i c s , ” h a d a n e v e n l o w e r m e a n r e s p o n s e : 2 . 0 3 . T h e o fi r e r i t e m r e l a t e d t o e n j o y m e n t o f m a t h e m a t i c s w a s i t e m 7 , ” D o i n g m a fi r e m a t i c s i s u s u a l l y v e r y f r u s t r a t i n g f o r m e . ” T h e i r m e a n r e s p o n s e t o t h a t i t e m w a s 3 . 2 4 w h i c h w a s c o n s i s t e n t — i n a n i n v e r s e w a y — w i fi r fi r e i r r e s p o n s e s t o i t e m s 1 a n d 2 . T h e m e a n r e s p o n s e t o e a c h o f t h e s e i t e m s w a s c l o s e t o t h e m i d d l e ” 3 , ” b u t t h e y w e r e a l l l e a n i n g s l i g h fi y i n t h e n e g a t i v e d i r e c t i o n . O n e i t e m f r o m t h e M a fi r e m a fi c s I n v e n t o r y t h a t w a s r e l a t e d t o fi r e s t u d e n t s ’ c o n fi d e n c e i n d o i n g m a fi r e m a t i c s w a s i t e m 6 , ” I f e e l s u c c e s s f u l w h e n I a m e n g a g e d i n m a t h e m a fi c a l t a s k s . ” T h e m e a n r e s p o n s e f o r t h a t i t e m a t t h e 2 0 3 b e g i n n i n g o f fi r e s e m e s t e r w a s 2 . 6 2 w h i c h i n d i c a t e d m o r e d i s a g r e e m e n t w i fi r fi r a t s t a t e m e n t fi r a n a g r e e m e n t a s a g r o u p , b u t i t w a s p r e t t y c l o s e t o fi r e m i d d l e o f t h e s c a l e . A n o fi r e r i t e m r e l a t e d t o t h e s t u d e n t s ’ c o n fi d e n c e i n fi r e i r u n d e r s t a n d i n g o f m a fi r e m a t i c s w a s i t e m 1 5 , ” I u n d e r s t a n d e l e m e n t a r y l e v e l m a fi r e m a t i c a l c o n c e p t s q u i t e w e l l m y s e l f . ” A t fi r e b e g i n n i n g o f t h e s e m e s t e r , fi r e m e a n r e s p o n s e t o fi r a t i t e m w a s 3 . 5 1 7 , w h i c h w a s a n a v e r a g e r e s p o n s e t h a t l e a n e d s l i g h fi y t o fi r e p o s i t i v e s i d e . A p p a r e n t l y , e v e n fi r o u g h m a n y s t u d e n t s i n t h e c l a s s h a d h a d n e g a t i v e e x p e r i e n c e s w i fi r m a fi r , m a n y o f fi r e m f e l t l i k e fi r e y a t l e a s t u n d e r s t o o d e l e m e n t a r y l e v e l m a fi r . I t e m 2 5 , ” I c a n h a n d l e b a s i c m a fi r , b u t I w o u l d n ’ t d o w e l l a t a d v a n c e d m a fi r e m a t i c s , ” i s a l s o r e l a t e d t o fi r i s i d e a . T h e i r m e a n r e s p o n s e t o fi r a t w a s 3 . 1 7 — a g a i n c l o s e t o fi r e m i d d l e . T h i s i s a n i t e m , fi r a t i n h i n d s i g h t , I w i s h h a d w r i t t e n a s t w o s e p a r a t e i t e m s . I t ' s h a r d t o k n o w i f fi r e s t u d e n t s a r e a g r e e i n g w i fi r fi r e e n t i r e s t a t e m e n t o r w i fi r j u s t p a r t o f i t . F o r e x a m p l e , t h e y m i g h t a g r e e fi r a t fi r e y c a n h a n d l e b a s i c m a fi r b u t w o u l d n ’ t d o w e l l a t a d v a n c e d m a fi r e m a fi c s . B u t , i f t h e s t u d e n t s t h i n k fi r e y c a n h a n d l e b a s i c m a t h a n d a l s o a d v a n c e d m a t h e m a t i c s , i t ’ s h a r d t o k n o w w h a t fi r e y w o u l d p u t . O n e p a r t o f fi r e s t a t e m e n t i s t r u e f o r fi r e m , a n d fi r e o t h e r i s n o t . I t ’ s a l s o h a r d t o k n o w h o w s t u d e n t s w h o d i d n ’ t t h i n k fi r e y c o u l d d o w e l l a t e i t h e r b a s i c m a t h o r a d v a n c e d m a fi r w o u l d r e s p o n d . S o m e o f fi r e s t u d e n t s m i g h t n o t h a v e b e e n s u r e h o w t o r e s p o n d , a n d fi r a t m i g h t b e w h y fi r e m e a n i s s o c l o s e t o fi r e n o n c o m m i t t a l ” 3 . ” F o r t u n a t e l y , t h e r e w e r e a f e w e x p r e s s i o n s o f p o s i t i v e a t fi t u d e s t o w a r d m a fi r e m a t i c s i n fi r e s e b e g i n n i n g d a t a s o u r c e s , b u t fi r e y w e r e d e fi n i t e l y a t t i t u d e s o f fi r e m i n o r i t y o f t h e s t u d e n t s . A s n o t e d , 1 5 s t u d e n t s i n c l u d e d i t e m s i n t h e i r b e g i n n i n g m a t h c o n c e p t m a p s fi r a t w e r e r e l a t e d t o p o s i t i v e a t t i t u d e s . H o w e v e r , 1 3 o f fi r e m i n c l u d e d a l o w n u m b e r o f i t e m s , a n d o n l y t w o i n c l u d e d a m e d i u m n u m b e r o f i t e m s . B o fi r o f fi r e s t u d e n t s w h o i n c l u d e d a m e d i u m n u m b e r o f i t e m s 2 0 4 i n fi r e i r b e g i n n i n g c o n c e p t m a p s t h a t w e r e p o s i t i v e a t t i t u d e s a l s o i n c l u d e d a m u c h l a r g e r n u m b e r o f i t e m s fi r a t w e r e i n d i c a t i v e o f n e g a t i v e a t t i t u d e s . O n l y t w o s t u d e n t s i n c l u d e d a n y i t e m s t h a t w e r e p o s i t i v e a t t i t u d e s w i fi r o u t a l s o i n c l u d i n g n e g a t i v e a t t i t u d e s , a n d b o fi r o f fi r o s e s t u d e n t s i n c l u d e d a l o w n u m b e r o f i t e m s r e l a t e d t o p o s i t i v e a t t i t u d e s . A l l o f fi r e 1 3 s t u d e n t s w h o i n c l u d e d b o t h p o s i t i v e a t t i t u d e s a n d n e g a t i v e a t t i t u d e s o n fi r e i r c o n c e p t m a p s i n c l u d e d m o r e i t e m s fi r a t w e r e r e l a t e d t o n e g a t i v e a t t i t u d e s . T h e s e i t e m s w e r e i n c l u d e d b y t w o p e o p l e e a c h : ” s h o u l d b e f u n , ” ” a c c o m p l i s h m e n t , ” ” w i fi r h a r d w o r k c a n s u c c e e d , ” ” r e l i e f , ” ” r e w a r d i n g , ” a n d ” s u c c e e d . ” T h e r e w e r e n o p o s i t i v e a t t i t u d e s fi r a t w e r e i n c l u d e d b y m o r e fi r a n t w o p e o p l e . I n fi r e ” M a fi r e m a t i c s R e fl e c t i o n s ” j o u r n a l e n t r i e s , fi r e r e w e r e s o m e p o s i t i v e c o m m e n t s r e l a t e d t o s p e c i fi c e x p e r i e n c e s w i t h m a fi r e m a t i c s , b u t t h e r e w e r e n ' t a n y g e n e r a l c o m m e n t s t h a t r e fl e c t e d a p o s i t i v e a t t i t u d e t o w a r d m a t h e m a t i c s . H o w e v e r , i n t h e b e g i n n i n g ” W h a t I s M a fi r e m a t i c s ? ” j o u r n a l e n t r i e s , s o m e s t u d e n t s d i d e x p r e s s p o s i t i v e a t t i t u d e s . A s n o t e d , s i x i n c l u d e d o n l y p o s i t i v e a t t i t u d e s , a n d fi r r e e s t u d e n t s i n c l u d e d r e f e r e n c e t o b o t h p o s i t i v e a n d n e g a t i v e a t t i t u d e s . F i v e s t u d e n t s w r o t e t h a t m a fi r c a n b e f u n , r e w a r d i n g , a n d / o r e x c i t i n g — e s p e c i a l l y w h e n y o u a r e a b l e t o g e t t h e r i g h t a n s w e r . O n e s t u d e n t w r o t e , " M a fi r e m a t i c s c a n b e f u n l i k e w h e n y o u ' r e l e a r n i n g s o m e fi r i n g n e w o r p l a y i n g a g a m e . " A n o fi r e r w r o t e , " M a fi r c a n b e f u n a n d e x c i t i n g . W h e n p e o p l e a r e a b l e t o c o m p r e h e n d c e r t a i n m a fi r e m a t i c a l t a s k s , t h e y c a n f e e l r e w a r d e d . " A s i m i l a r fi r o u g h t w a s e x p r e s s e d b y a n o t h e r s t u d e n t : " I t c a n b e e x c i t i n g , t o o , i f y o u ' r e e n g a g e d i n fi r e p r o b l e m i n q u e s t i o n . I t i s a l s o r e w a r d i n g w h e n y o u fi n a l l y g e t fi r e r i g h t a n s w e r . " A fi n a l e X a m p l e o f fi r i s t y p e o f p o s i t i v e e x p e r i e n c e a n d a t t i t u d e i s t h e s t u d e n t w h o w r o t e , " T h e r e i s n o b e t t e r f e e l i n g t h a n c o m i n g u p w i fi r fi r e c o r r e c t a n s w e r t o a d i f fi c u l t m a t h p r o b l e m . " 2 0 5 F i v e o f fi r o s e w h o i n c l u d e d p o s i t i v e a t t i t u d e s t o w a r d m a fi r i n fi r e i r ” W h a t I s M a fi r e m a t i c s ? ” j o u r n a l e n t r y w r o t e fi r a t m a fi r w a s i m p o r t a n t , e s s e n t i a l , a n d / o r n e c e s s a r y . T y p i c a l o f fi r e s t a t e m e n t s i n fi r a t c a t e g o r y , o n e s t u d e n t w r o t e , ” M a fi r i s a n i m p o r t a n t p a r t o f e v e r y o n e ’ s l i f e . ” A n o t h e r s t u d e n t w r o t e , " M a t h i s v e r y i m r t a n t , a n d t h e r e w i l l n e v e r b e a n y s o r t o f s u b s t i t u t e fi r a t d l a c e i t . . . . M a fi r e m a fi c s w i l l a l w a y s b e o n e o f t h e m o s t i m p o r t a n t e a r n i n g a r e a s o f a l l g r a d e l e v e l s a n d i n a l l s o r t s o f l i f e . " T h r e e s t u d e n t s w r o t e g e n e r a l c o m m e n t s a b o u t t h e i m p o r t a n c e o f m a fi r e m a t i e s . F o r e x a m p l e , o n e s t u d e n t w r o t e , " T o m e , i f o n e t r u l y w a s a f r a i d o f e v e r y fi r i n g r e l a t e d t o m a fi r , fi r e y w o u l d b e a f r a i d t o w a k e u p i n fi r e m o r n i n g . M a t h i s s u c h a n i n t e g r a l p a r t o f l i f e t h a t e v e r y b o d y s h o u l d b e s o m e w h a t c o m f o r t a b l e w i fi r i t . " I n s u m m a r y , w h i l e fi r e r e w e r e a f e w s t u d e n t s w h o h a d p o s i t i v e a t t i t u d e s t o w a r d m a fi r e m a t i c s a t fi r e b e g i n n i n g o f fi r e s e m e s t e r , a n d s o m e w h o h a d b o fi r p o s i t i v e a n d n e g a t i v e a t t i t u d e s t o w a r d m a fi r e m a t i c s , t h e m a j o r i t y o f fi r e s t u d e n t s i n t h e c l a s s h a d n e g a t i v e o r m o s t l y n e g a t i v e a t t i t u d e s t o w a r d m a fi r . S t u d e n t s ' A t t i t u d e s t o w a r d M a t h e m a t i c s a t t h e E n d o f t h e S e m e s t e r . A t fi r e e n d o f fi r e s e m e s t e r , i t s e e m e d fi r a t fi r e s t u d e n t s , a s a g r o u p , h a d m u c h m o r e p o s i t i v e a t t i t u d e s t o w a r d m a fi r e m a t i c s fi r a n t h e y d i d a t t h e b e g i n n i n g o f t h e s e m e s t e r . I n t h e i r fi n a l ” W h a t I s M a t h e m a t i c s ? " j o u r n a l e n t r i e s , 1 2 s t u d e n t s w r o t e s o m e t h i n g fi r a t i n d i c a t e d a p o s i t i v e a t t i t u d e t o w a r d m a t h . F o u r o t h e r s t u d e n t s w r o t e s o m e fi r i n g i n d i c a t i n g a p o s i t i v e a t t i t u d e , b u t a l s o i n c l u d e d s o m e fi r i n g i n d i c a t i n g a n e g a fi v e a t t i t u d e . O n l y o n e s t u d e n t i n c l u d e d a r e f e r e n c e t o a n e g a t i v e a t t i t u d e t o w a r d m a fi r w i fi r o u t a l s o i n c l u d i n g s o m e fi r i n g fi r a t i n d i c a t e d a p o s i t i v e a t t i t u d e . A l l f o u r o f t h e s t u d e n t s w h o w r o t e r e f e r e n c e s t o b o fi r n e g a t i v e a n d p o s i t i v e a t t i t u d e s w r o t e a b o u t fi r e s a m e p o s i t i v e a s p e c t — fi r a t m a t h w a s u s e f u l a n d n e c e s s a r y . F o r e x a m p l e , o n e o f t h e m w r o t e , ” M a t h i s a 2 0 6 n e c e s s a r y p a r t o f l i f e a n d c a n n o t b e s e p a r a t e d f r o m i t . I t h a s fi r e p o t e n t i a l t o b e f u n a n d e n j o y a b l e i f i t i s a p p l i e d t o d a i l y e x p e r i e n c e s . ” O t h e r s t u d e n t s a l s o h a d fi r e a t t i t u d e fi r a t m a fi r e m a t i c s w a s u s e f u l a n d w r o t e s i m i l a r s t a t e m e n t s . S o m e s t u d e n t s f e l t l i k e m a t h c o u l d b e f u n a n d r e w a r d i n g . O n e s t u d e n t w r o t e , ” M a fi r c a n b e f u n a n d e x c i fi n g . W h e n p e o p l e a r e a b l e t o c o m p r e h e n d c e r t a i n m a fi r e m a t i c a l t a s k s , fi r e y c a n f e e l r e w a r d e d ; fi r e y c a n n o w c o n q u e r m a n y i m p o r t a n t t a s k s i n l i f e . ” A n o fi r e r s t u d e n t w r o t e , ” [ M a t h i s ] f u n , e x c i t i n g , s o m e fi r i n g e v e r y o n e c a n d o , p a r t o f e v e r y a s p e c t o f o n e ’ s l i f e , w h a t m a k e s u p fi r e w o r l d . . . ” S o m e o f fi r e s t u d e n t s w r o t e fi r a t t h e i r a t t i t u d e s t o w a r d m a fi r e m a t i c s h a d c h a n g e d a n d t h a t t h e y n o w f e l t m o r e p o s i t i v e l y t o w a r d i t . F o r e x a m p l e , o n e s t u d e n t w r o t e , ” N o w , I f e e l v e r y c o n fi d e n t w h e n i t c o m e s t o m a t h . I r e a l i z e t h a t m a t h i s n o t t h e r e t o t r i c k m e o r t o s i m p l y k e e p m e b u s y . ” A n o t h e r s t u d e n t w r o t e , ” I c a n h o n e s fi y s a y m y a t t i t u d e t o w a r d s m a t h h a s c h a n g e d f o r t h e b e t t e r . ” ” I n o w l o o k a t m a t h e m a fi c s i n a d i f f e r e n t l i g h t . I n e v e r t h o u g h t I w o u l d s a y fi r i s , b u t I a c t u a l l y fi r i n k I a m b e g i n n i n g t o e n j o y m a fi r e m a t i c s . I t i s v e r y i n t e r e s t i n g t o m e . I fi n d i t t o b e i n c o r p o r a t e d i n j u s t a b o u t e v e r y fi r i n g . ” O n e s t u d e n t e v e n w r o t e a h a i k u t o d e s c r i b e fi r e t r a n s f o r m a t i o n i n h e r a t t i t u d e : ” W h a t I s M a t h ? : A H a i k u C o n f u s i o n . M a y h e m . M y b r a i n i s g o i n g . O h ! I g e t i t ! C o o l ! ” O n e s t u d e n t w r o t e fi r a t p e o p l e ' s i d e a s o f m a fi r c h a n g e . S h e w r o t e , ” M a fi r i s d i f f e r e n t f o r e v e r y o n e b u t i s c o n s t a n t l y c h a n g i n g ; t h e c h a n g e t h a t c o m e s c a n b e p o s i t i v e i f m a fi r i s l o o k e d a t i n n e w a n d i n n o v a t i v e w a y s ! ! S u c h a s T E c l a s s e s . ” A s n o t e d , fi r e r e w e r e s t i l l fi v e s t u d e n t s w h o i n c l u d e d n e g a t i v e a t t i t u d e s i n t h e i r fi n a l ” W h a t I s M a fi r e m a t i c s ? ” j o u r n a l e n t r i e s . A l l o f t h e m w r o t e a b o u t 2 0 7 m a fi r i n t e r m s o f fi r e i r e x p e r i e n c e w i t h i t a s a s t u d e n t . O n e s t u d e n t w r o t e , ” T o m e , m a t h i s t h e s o u r c e o f g r e a t f r u s t r a t i o n a n d l i t t l e c o n fi d e n c e . I h a v e a d i f fi c u l t t i m e u n d e r s t a n d i n g fi r e p u z z l e s a s I h a v e n o t o b t a i n e d a l l o f fi r e p i e c e s fi r a t I s h o u l d h a v e a s a y o u n g s t u d e n t . " A n o t h e r s t u d e n t w r o t e , " T o m e m a fi r i s a m o r e n e g a t i v e m e m o r y fi r a n p o s i t i v e . . . T h e s e t i m e s t a b l e c h a r t s fi r a t h a d a l l fi r e b r i g h t c o l o r e d s t a r s b u t n e v e r b y m y n a m e h a s s c a r r e d m e f o r l i f e . . . . M a fi r , a s I ’ m s u r e y o u c a n t e l l , i s a v e r y s t r e s s f u l t o p i c f o r m e t o r e m e m b e r a n d l o o k b a c k o n . ” O n e s t u d e n t w r o t e a s t a t e m e n t a b o u t m a fi r e m a t i e s i n h i s fi n a l ” W h a t I s M a d r e m a t i c s ? " j o u r n a l e n t r y fi r a t d i d n ' t t e l l w h a t h i s a t t i t u d e w a s , b u t t o o k a n e u t r a l p o s i t i o n . H e w r o t e , " M a fi r i s s e e n i n m a n y d i f f e r e n t w a y s . I t c a n b e s e e n a s u s e f u l , b o r i n g , o r i n t e r e s t i n g . N o p e r s o n s e e s m a fi r fi r e s a m e w a y a s o t h e r p e o p l e . ” T h e s t u d e n t s ’ r e s p o n s e s t o fi r e i t e m s f r o m t h e M a t h e m a fi c s I n v e n t o r y t h a t w e r e r e l a t e d t o a t t i t u d e t o w a r d m a fi r e m a t i c s a l s o s h o w e d s o m e i m p r o v e m e n t i n t h e i r a t t i t u d e ( S e e T a b l e 6 ) . W h i l e n o n e o f fi r e c h a n g e s i n t h e m e a n r e s p o n s e s w e r e s t a t i s t i c a l l y s i g n i fi c a n t , t h e t r e n d o f fi r e c h a n g e w a s i n fi r e m o r e p o s i t i v e T a b l e 6 : I t e m s t o t o w a r d M a t h e m a t i c s f r o m M a t h e m a t i c s w e l l c a n a d v a n c e d m a fi r e m a t i c s . A s c a n b e s e e n i n t h e t a b l e , fi r e b i g g e s t c h a n g e s w e r e i n i t e m s 1 , ” I e n j o y d o i n g m a t h e m a t i c a l t a s k s , " a n d 6 , ” I f e e l s u c c e s s f u l w h e n I a m e n g a g e d i n 2 0 8 m a fi r e m a t i c a l t a s k s . " A p p a r e n fi y , a t l e a s t s o m e s t u d e n t s w e r e f e e l i n g l i k e d o i n g m a fi r w a s m o r e e n j o y a b l e t h a n fi r e y fi r o u g h t i t w a s w h e n t h e c l a s s b e g a n . T h e r e w a s a l s o a n o p e n - e n d e d q u e s t i o n i n t h e fi n a l M a fi r e m a t i c s I n v e n t o r y r e l a t e d t o fi r e s t u d e n t s a t t i t u d e s t o w a r d m a fi r : " H a v e y o u r a t t i t u d e s t o w a r d m a fi r e m a t i c s o r t e a c h i n g m a fi r e m a t i c s c h a n g e d a t a l l d u r i n g t h e t i m e y o u ’ v e b e e n i n fi r i s c o u r s e ? I f s o , h o w ? I f n o t , h o w ? W e r e fi r e r e s p e c i fi c e v e n t s o r a c t i v i t i e s t h a t h e l p e d y o u r a t t i t u d e s c h a n g e ? ” T w e n t y - s e v e n o u t o f 2 9 s t u d e n t s w r o t e , ” y e s " t o fi r e fi r s t p a r t o f fi r a t q u e s t i o n . T h r e e s t u d e n t s a n s w e r e d ” n o t m u c h ” — fi r a t fi r e y s t a r t e d p o s i t i v e a n d s t i l l f e e l p o s i t i v e o r fi r a t fi r e y h a d a g o o d a t t i t u d e a l l a l o n g . E l e v e n s t u d e n t s w r o t e t h a t fi r e i r a t t i t u d e s h a d i m p r o v e d , fi r a t fi r e y f e l t m o r e p o s i t i v e , a n d / o r t h a t fi r e y w e r e m o r e o p t i m i s t i c . E l e v e n s t u d e n t s a l s o w r o t e fi r a t fi r e y f e l t m o r e c o n fi d e n t i n fi r e i r m a fi r a b i l i t i e s . T h r e e s t u d e n t s w r o t e t h a t t h e y r e a l i z e i t s i m p o r t a n c e m o r e , a n d t w o s t u d e n t s w r o t e fi r a t fi r e y r e a l i z e m o r e fi r a t m a t h i s e v e r y w h e r e . O n e s t u d e n t e a c h w r o t e fi r a t s h e n o w e n j o y s i t , fi r a t s h e f e e l s l i k e m a fi r c a n b e f u n a n d i n t e r e s t i n g , a n d fi r a t s h e i s m o r e c o m f o r t a b l e w i fi r m a t h . N o s t u d e n t s w r o t e fi r a t t h e i r a t t i t u d e t o w a r d m a fi r h a d c h a n g e d i n a n e g a t i v e w a y . I n r e s p o n s e t o t h e q u e s fi o n a b o u t w h a t h a d i n fl u e n c e d t h e c h a n g e , t h r e e s t u d e n t s w r o t e , ” fi r e r e a d i n g s ” a n d / o r ” M a r i l y n B u r n s b o o k . ” ( T h e M a r i l y n B u r n s b o o k , A b o u t T e a c h i n g M a t h e m a t i e s [ B u r n s , 1 9 9 2 ] , w a s a t e x t b o o k w e u s e d i n fi r e c l a s s f o r s o m e r e a d i n g s a n d a s a r e s o u r c e f o r fi r e s t u d e n t s w h e n fi r e y d i d g r o u p p r e s e n t a t i o n s a n d w r o t e u n i t p l a n s . ) T h r e e s t u d e n t s w r o t e , ” t h e i n - c l a s s a c t i v i t i e s , ” a n d t h r e e w r o t e ” e v e r y fi r i n g . ” O n e s t u d e n t a l s o w r o t e fi e l d e x p e r i e n c e , a n d a n o t h e r w r o t e , ” a c t i v i t i e s o b s e r v e d i n fi e l d e x p e r i e n c e . ” O f c o u r s e , fi r e r e i s fi r e p o s s i b i l i t y fi r a t s i n c e t h e i n v e n t o r i e s w e r e n o t a n o n y m o u s b e c a u s e fi r e s t u d e n t s w r o t e fi r e i r s t u d e n t n u m b e r s o n t h e m , fi r e s t u d e n t s m a y h a v e b e e n t r y i n g t o b e p o l i t e a n d t e l l m e w h a t fi r e y fi r o u g h t I w o u l d w a n t t o h e a r . ( I n r e a l i t y , t h e o n l y i n v e n t o r i e s 2 0 9 m e , A I c o n n e c t e d t o t h e n a m e o f fi r e s t u d e n t w e r e t h o s e o f t h e f o c u s s t u d e n t s . T h e o fi r e r s w e r e a n o n y m o u s t o m e . ) T h e r e w e r e s o m e i n t e r e s t i n g c h a n g e s i n t h e m a fi r c o n c e p t m a p s r e l a t e d t o a t t i t u d e f r o m t h e b e g i n n i n g o f fi r e s e m e s t e r t o t h e e n d o f t h e s e m e s t e r . O n e c h a n g e i n t h e c o n c e p t m a p s w a s fi r a t fi r e r e w a s a d i f f e r e n c e f o r s o m e i n t h e w a y fi r e y i n c l u d e d t h o s e a t t i t u d e s . I n s t e a d o f i n c l u d i n g fi r e m i n a w a y t h a t l o o k e d l i k e t h e y w e r e r e f e r r i n g t o t h e i r o w n a t t i t u d e s , fi v e o f fi r e s t u d e n t s w h o i n c l u d e d c w r u J T d r ' i t o m c e , ; ® “ 4 ‘ “ p l a c e V a l u e . “ A R m @ “ fi r m . . . ® « ' 4 ‘ C W M D M . . . . . . . - . . % h a c k s ' " 3 " “ “ 3 % 5 ‘ " . . . 1 “ 5 ‘ M a t s M d l ' F i g u r e 3 9 : fi n a l M a fi r C o n c e p t M a p o f S t u d e n t 1 8 2 1 0 x v . ~ w Q ! 4 l ‘ 0 N ’ " a , / / \ a t U } t U \ ‘\ \ a t t i t u d e s i n t h e i r fi n a l c o n c e p t m a p s p u t fi r e m i n c a t e g o r i e s t h a t m a d e fi r e m s e e m t h a t t h e y w e r e n o t n e c e s s a r i l y fi r e i r o w n a t t i t u d e s . I n c o n t r a s t , i n fi r e b e g i n n i n g c o n c e p t m a p s , A L L o f t h e i n c l u s i o n s o f a t t i t u d e s s e e m e d t o b e r e f e r e n c e s t o fi r e s t u d e n t s ’ o w n a t t i t u d e s . ( I a m a s s u m i n g fi r a t t h e a t t i t u d e s fi r e s t u d e n t s i n c l u d e d i n t h e i r b e g i n n i n g m a fi r c o n c e p t m a p s w e r e r e f e r e n c e s t o t h e i r o w n a t t i t u d e s b e c a u s e t h e y w e r e n ' t w r i t t e n w i fi r h e a d e r s s u c h a s ” s o m e p e o p l e ’ s a t t i t u d e s " a n d t h e y w e r e c o n s i s t e n t w i t h t h e a t t i t u d e s t h e y e x p r e s s e d i n fi r e i r " R e fl e c t i o n s o f M a t h e m a t i c s E x p e r i e n c e s ” j o u r n a l e n t r i e s . ) F o r e x a m p l e , s t u d e n t 1 8 h a d a s e c t i o n w i t h fi r e h e a d i n g " c o m m o n a t t i t u d e s ” ( S e e F i g u r e 3 9 ) . F i g u r e 4 0 : F i n a l M a t h C o n c e p t M a p o f S t u d e n t 9 2 1 1 ‘ g y h ‘ 1 I s . @ ‘ 5 ‘ ? ) S t u d e n t 9 h a d o n e c a t e g o r y f o r ” n e w a t t i t u d e s ” w h i c h a p p a r e n fi y w e r e h e r c u r r e n t a t t i t u d e s , a n d a n o fi r e r c a t e g o r y f o r ” o l d a t t i t u d e s ” w h e r e s h e i n c l u d e d fi r e a t t i t u d e s s h e u s e d t o h a v e ( S e e F i g u r e 4 0 ) . ( O n h e r fi r s t m a p , t h e o n l y i t e n r s s h e i n c l u d e d r e l a t e d t o a t t i t u d e w e r e n e g a t i v e . ) B r a n c h i n g o u t f r o m h e r c a t e g o r y o f ” a t t i t u d e s , ” s t u d e n t 3 3 h a d t w o s u b c a t e g o r i e s o f ” p o s i t i v e ” a n d ” n e g a t i v e ” ( S e e F i g u r e 4 1 ) w h i c h c o u l d h a v e b e e n a r e f e r e n c e t o h e r o w n a t t i t u d e s , b u t t h e y m a y a l s o h a v e b e e n h e r p e r c e p t i o n o f t w o t y p e s o f a t t i t u d e s s h e s e e s . ' m e o ' r ' I “ \ / ‘ . - m m a m m u ' ' * ' I E C T , , @ E ‘ t ’ g w m “ 0 5 $ S K I L L S * ” T i m . , j p m fi S E S l $ 5 1 9 . 1 ' F i g u r e 4 1 : F i n a l M a t h C o n c e p t M a p o f S t u d e n t 3 3 2 1 2 T h e fi n a l c o n c e p t m a p o f B r i d g e t , a f o c u s s t u d e n t , w h i c h w a s s h o w n i n fi r e l a s t c h a p t e r i n F i g u r e 3 5 o n p a g e 1 8 3 a l s o s h o w s fi r i s c h a n g e s i n c e s h e h a d c a t e g o r i e s f o r a t t i t u d e s " fi r a t w e w a n t ” a n d ” fi r a t w e d o n ’ t w a n t . ” S o , e v e n t h o u g h fi r e s e s t u d e n t s i n c l u d e d s o m e n e g a t i v e a t t i t u d e s a n d s o m e p o s i t i v e a t t i t u d e s i n fi r e i r fi n a l c o n c e p t m a p , i t s e e m s t h a t fi r e y a r e n o t n e c e s s a r i l y fi r e i r o w n — e x c e p t i n fi r e c a s e o f s t u d e n t 9 w h e r e t h e a t t i t u d e s i n c l u d e d u n d e r ” n e w a t t i t u d e s ” w e r e p r o b a b l y h e r o w n . I n s t e a d , i t s e e m e d l i k e t h e y w e r e a g a i n p o s i t i o n i n g t h e m s e l v e s a s t e a c h e r s — o r p r o s p e c t i v e t e a c h e r s — a n d fi r i n k i n g a b o u t t h e a t t i t u d e s fi r e y w a n t e d t o fi r e i r s t u d e n t s t o h a v e a n d n o t h a v e . A n o t h e r c h a n g e w a s t h a t s t u d e n t s f o c u s e d l e s s o n a t t i t u d e s — e s p e c i a l l y n e g a t i v e a t fi t u d e s — i n t h e fi n a l c o n c e p t m a p s . I n t h e b e g i n n i n g g r o u p , 2 1 s t u d e n t s i n c l u d e d n e g a t i v e a t t i t u d e s , a n d 1 5 s t u d e n t s i n c l u d e d p o s i t i v e a t fi t u d e s . I n c o n t r a s t , i n t h e fi n a l c o n c e p t m a p s , 1 0 s t u d e n t s i n c l u d e d n e g a t i v e a t t i t u d e s , a n d 1 3 s t u d e n t s i n c l u d e d p o s i t i v e a t t i t u d e s . T h e d i f f e r e n c e i n t h o s e n u m b e r s i s m a g n i fi e d w h e n w e s e p a r a t e fi r e m a p s b y fi r o s e w h o s e e m e d t o b e r e f e r r i n g t o t h e i r o w n a t t i t u d e s a n d fi r o s e w h o r e f e r r e d t o d i f f e r e n t c a t e g o r i e s o f a t t i t u d e s . I n t h e fi n a l m a fi r c o n c e p t m a p s , o f t h e 1 0 s t u d e n t s w h o i n c l u d e d n e g a t i v e a t t i t u d e s , fi v e o f fi r e m i n c l u d e d a t t i t u d e s fi r a t s e e m e d t o b e t h e i r o w n . O n l y o n e o f t h o s e s t u d e n t s i n c l u d e d a h i g h n u m b e r o f i t e m s ( fi v e o r m o r e ) r e l a t e d t o n e g a t i v e a t t i t u d e s , a n d fi r a t w a s F e l i c i a , a f o c u s s t u d e n t w h o s e d e v e l o p m e n t I w i l l e x a m i n e c l o s e l y i n t h e n e x t c h a p t e r . O f fi r e 1 3 s t u d e n t s w h o i n c l u d e d p o s i t i v e a t t i t u d e s i n fi r e i r fi n a l c o n c e p t m a p s , 1 0 i n c l u d e d a t t i t u d e s t h a t s e e m e d t o b e fi r e i r o w n , a n d fi r r e e o f fi r o s e 1 0 i n c l u d e d a h i g h n u m b e r o f i t e m s r e l a t e d t o p o s i t i v e a t t i t u d e s . A g a i n , o f fi r e n e g a t i v e a t t i t u d e s fi r a t s e e m e d t o b e fi r e s t u d e n t s ’ o w n , t h e m o s t c o m m o n o n e t h e s t u d e n t s i n c l u d e d i n t h e i r fi n a l c o n c e p t m a p s w a s ” f r u s t r a t i o n ” w i fi r fi v e o c c u r r e n c e s . ( T h i s w a s a l s o fi r e m o s t c o m m o n i t e m i n fi r i s 2 1 3 c a t e g o r y i n t h e b e g i n n i n g c o n c e p t m a p s , b u t fi r e r e w e r e 1 3 o c c u r r e n c e s i n fi r a t s e t . ) T h r e e s t u d e n t s i n c l u d e d ” c o n f u s i o n , ” a n d t w o s t u d e n t s e a c h i n c l u d e d ” e m o t i o n s , ” ” p a t i e n c e , ” a n d ” d i f fi c u l t . " O n e s t u d e n t e a c h i n c l u d e d t h e o t h e r r e l a t e d i t e m s . T h e y w e r e ” r e q u i r e s t i m e , p r a c t i c e , a n d p a t i e n c e , " ” h e a d a c h e s , ” ” w h y d o I n e e d t o k n o w i t ? , " ” i n s e c u r i t y , ” ” s t r u g g l e , " ” d i f f e r e n t b r a i n w a v e s , ” ” b a d , " ” b a d t e a c h e r s , " ” v e r y h a r d , ” a n d ” b o r i n g . ” O n l y o n e s t u d e n t e a c h i n c l u d e d fi r e p o s i t i v e a t t i t u d e s t h a t s e e m e d t o b e t h e i r o w n . E x a m p l e s o f fi r e s e w e r e ” g o o d , " ” g o o d f e e l i n g w h e n fi n i s h , " ” i t ’ s f u n , " ” i t ’ s i n t e r e s t i n g , " ” y o u c a n d o i t , " ” n o t d i f fi c u l t , " ” a p p r e c i a t i o n , " ” i n t r i g u e d , ” ” e n r i c h m e r r t , " ” a c h i e v e m e n t , ” ” c o n fi d e n c e , " ” e x c i t e m e n t , ” ” r e w a r d i n g , " a n d ” c o m f o r t a b l e . " O n fi r e w h o l e , fi r e fi n a l c o n c e p t m a p s s e e m e d m u c h m o r e p o s i t i v e fi r a n fi r e b e g i n n i n g c o n c e p t m a p s w h e n c o n s i d e r i n g r e f e r e n c e s t o a t t i t u d e t o w a r d m a fi r . S u m m a r y o f C h a n g e s i n S t u d e n t s ' A t t i t u d e s t o w a r d M a t h e m a t i c s . O v e r a l l , fi r e r e s e e m e d t o b e a m o r e p o s i t i v e a t t i t u d e t o w a r d m a fi r e m a t i c s f o r t h e g r o u p a t fi r e e n d o f t h e s e m e s t e r fi r a n a t fi r e b e g i n n i n g . T h i s w a s e v i d e n t i n t h e ” W h a t I s M a t h e m a t i c s ? " j o u r n a l e n t r i e s , t h e M a t h e m a t i c s I n v e n t o r y , a n d t h e m a t h c o n c e p t m a p s . I n t h e fi n a l " W h a t I s M a d r e m a t i c s ? " j o u r n a l e n t r i e s , 1 6 s t u d e n t s w r o t e s o m e fi r i n g i n d i c a t i n g a p o s i t i v e a t t i t u d e , a n d f i v e w r o t e s o m e fi r i n g i n d i c a t i n g a n e g a t i v e a t t i t u d e . F o u r o f t h e f i v e w h o i n c l u d e d r e f e r e n c e s t o n e g a t i v e a t t i t u d e s a l s o i n c l u d e d r e f e r e n c e s t o p o s i t i v e a t t i t u d e s . I n c o n t r a s t , i n t h e b e g i n n i n g ” W h a t I s M a fi r e m a t i c s ? ” j o u r n a l e n t r i e s , n i n e s t u d e n t s w r o t e s o m e fi r i n g i n d i c a t i n g a p o s i t i v e a t t i t u d e , a n d 1 3 w r o t e s o m e fi r i n g i n d i c a t i n g a n e g a t i v e a t t i t u d e . ( T h r e e o f t h o s e s t u d e n t s w e r e fi r e s a m e p e o p l e . ) A l s o , i n fi r e fi n a l M a t h e m a t i c s I n v e n t o r y , 2 7 s t u d e n t s w r o t e fi r a t fi r e i r a t t i t u d e s t o w a r d m a fi r e m a t i c s h a d c h a n g e d d u r i n g fi r e t i m e fi r e y h a d b e e n i n fi r e c o u r s e . E l e v e n s t u d e n t s w r o t e fi r a t fi r e y f e l t m o r e p o s i t i v e t o w a r d m a fi r , a n d 1 1 s t u d e n t s a l s o w r o t e fi r a t t h e y f e l t m o r e c o n fi d e n t i n t h e i r m a fi r a b i l i t i e s . 2 1 4 I n t h e fi n a l m a fi r c o n c e p t m a p s s t u d e n t s p a i d l e s s a t t e n t i o n t o a t t i t u d e s , b u t p u t m o r e e m p h a s i s o n p o s i t i v e a t t i t u d e s a n d l e s s e m p h a s i s o n n e g a t i v e a t t i t u d e s . T h e r e w a s a l s o a d i f f e r e n c e i n fi r e w a y fi r a t s o m e s t u d e n t s r e f e r r e d t o a t t i t u d e s w h e n fi r e y d i d i n c l u d e t h e m . I n s t e a d o f l i s t i n g t h e m i n a w a y fi r a t s e e m e d t o i n d i c a t e t h e y w e r e t h e i r o w n , fi r e y m a d e c a t e g o r i e s o f a t t i t u d e s s u c h a s " fi r a t w e w a n t " a n d ” fi r a t w e d o n ’ t w a n t . ” T h e m e a n r e s p o n s e s f o r fi r e i t e m s r e l a t e d t o a t t i t u d e t o w a r d m a t h e m a t i c s i n t h e M a fi r e m a t i c s I n v e n t o r y , a t fi r e e n d o f t h e s e m e s t e r , a l s o i n d i c a t e d a t r e n d i n t h e m o r e p o s i t i v e d i r e c t i o n , e v e n fi r o u g h fi r e c h a n g e w a s n o t s t a t i s t i c a l l y s i g n i fi c a n t f o r a n y o f t h e m . I t s e e m e d t h a t o n e o f fi r e r e a s o n s t h e s t u d e n t s ’ a t t i t u d e s w e r e m o r e p o s i t i v e i s t h a t fi r e y h a d h a d a n o p p o r t u n i t y t o e x p e r i e n c e m a fi r i n a w a y fi r a t w a s d i f f e r e n t f r o m h o w t h e y h a d e x p e r i e n c e d i t a s s t u d e n t s a n d t h a t fi r e y w e r e m o r e e n g a g e d a n d f e l t m o r e s u c c e s s f u l w i t h t h e s e n e w e x p e r i e n c e s . F o r e x a m p l e , i n h e r fi n a l ” W h a t I s M a fi r e m a t i c s ? ” j o u r n a l e n t r y , o n e s t u d e n t w r o t e , ” I n o w l o o k a t m a t h e m a t i c s i n a d i f f e r e n t l i g h t . I n e v e r fi r o u g h t I w o u l d s a y fi r i s , b u t I a c t u a l l y fi r i n k I a m b e g i n n i n g t o e n j o y m a fi r e m a t i c s . I t i s v e r y i n t e r e s t i n g t o m e . " A n o t h e r s t u d e n t w r o t e , " N o w , I f e e l v e r y c o n f i d e n t w h e n i t c o m e s t o m a t h . I r e a l i z e fi r a t m a t h i s n o t t h e r e t o t r i c k m e o r t o s i m p l y k e e p m e b u s y . " A n o fi r e r a p p a r e n t r e a s o n fi r e s t u d e n t s ’ a t t i t u d e s w e r e m o r e p o s i t i v e i s t h a t n o w t h e y w e r e n o t fi r i n k i n g o f t h e i r p a s t e x p e r i e n c e s i n m a fi r a s m u c h ( p o s i t i o n i n g fi r e m s e l v e s a s s t u d e n t s ) , a n d fi r e y w e r e t h i n k i n g a b o u t m a t h f r o m fi r e p e r s p e c t i v e o f a p r o s p e c t i v e t e a c h e r . T h e y s e e m e d t o b e fi r i n k i n g m o r e a b o u t h o w t h e y w a n t e d t o t e a c h i t a n d h o w t h e y w a n t e d t h e i r s t u d e n t s t o e x p e r i e n c e i t t h a n t h e y w e r e fi r i n k i n g a b o u t t h e i r a t t i t u d e s — m a i n l y fi r e i r b e g i n n i n g a t t i t u d e s — t o w a r d i t . O n e r e a s o n I c o n j e c t u r e fi r i s i s fi r a t fi r e a t t e n t i o n o f fi r e s t u d e n t s t o t h e i r o w n a t t i t u d e s g r e a t l y d i m i n i s h e d w h e n c o m p a r i n g fi r e b e g i n n i n g m a t h c o n c e p t m a p s t o fi r e fi n a l o n e s . O n t h e o t h e r h a n d , fi r e i r 2 1 5 a t t e n t i o n t o t e a c h i n g m a fi r e m a t i c s g r e a t l y i n c r e a s e d . A d d i t i o n a l l y , w h e n I e x a r r r i n e d t h e s t u d e n t s ’ c o n c e p t i o n s o f t e a c h i n g m a t h e m a t i c s , t h e y s e e m e d t o h a v e m a n y m o r e i d e a s o f h o w t o d o fi r i s ( t e a c h s o t h e i r s t u d e n t s h a v e a b e t t e r e x p e r i e n c e fi r a n t h e y d i d ) a t t h e e n d o f fi r e s e m e s t e r t h a n t h e y d i d a t fi r e b e g i n n i n g . A t t i t u d e s t o w a r d T e a c h i n g M a t h e m a t i c s S t u d e n t s ' A t t i t u d e s t o w a r d T e a c h i n g M a t h e m a t i c s a t t h e B e g i n n i n g o f t h e S e m e s t e r . T h e M a fi r e m a t i c s I n v e n t o r y p r o v i d e d m o s t o f t h e i n f o r m a t i o n a b o u t fi r e s t u d e n t s ’ a t t i t u d e s t o w a r d t e a c h i n g m a fi r e m a t i c s a t t h e b e g i n n i n g o f fi r e s e m e s t e r . I n t e r e s t i n g l y , e v e n fi r o u g h s o m e s t u d e n t s i n c l u d e d s o m e o f fi r e i r i d e a s a b o u t t e a c h i n g m a t h e m a t i c s i n t h e i r b e g i n n i n g ” W h a t I s M a fi r e m a t i c s ? ” j o u r n a l e n t r i e s , n o o n e w r o t e a n y fi r i n g a b o u t h i s o r h e r a t t i t u d e s t o w a r d t e a c h i n g m a fi r e m a t i c s i n fi r a t j o u r n a l e n t r y . L i k e w i s e , fi r e s t u d e n t s i n c l u d e d n o i t e m s c l e a r l y r e l a t e d t o a t t i t u d e s t o w a r d t e a c h i n g m a fi r e m a t i c s i n t h e i r b e g i n n i n g m a t h c o n c e p t m a p s . T h e r e w e r e s e v e r a l i t e m s i n t h e M a fi r e m a t i c s I n v e n t o r y r e l a t e d t o a t t i t u d e t o w a r d t e a c h i n g m a fi r e m a t i c s . S o m e o f t h e m w e r e r e l a t e d t o e n t h u s i a s m o r d e s i r e t o t e a c h . O n e e x a m p l e o f a n i t e m i n fi r i s c a t e g o r y w a s i t e m 8 , " I a m e x c i t e d t h a t I w i l l m o s t l i k e l y h a v e fi r e o p p o r t u n i t y t o t e a c h m a t h e m a t i c s a s a n e l e m e n t a r y t e a c h e r . " A t t h e b e g i n n i n g o f t h e s e m e s t e r , t h e m e a n r e s p o n s e f o r fi r a t i t e m w a s 2 . 9 3 w h i c h w a s c l o s e t o fi r e m i d d l e b u t l e a n i n g i n fi r e ” n o t - a t - a l l - l i k e - m e ” d i r e c t i o n . A n o t h e r s i m i l a r i t e m w a s i t e m 9 , ” I f e e l e n fi r u s i a s t i c a b o u t m a t h e m a t i c s a n d a b o u t t e a c h i n g i t . ” T h e m e a n r e s p o n s e f o r fi r a t i t e m w a s s i m i l a r t o fi r a t o f i t e m 8 , b u t e v e n a l i t fi e l o w e r ; i t w a s 2 . 7 2 4 . I t e m 1 9 , ” I w a n t t o t e a c h m a t h e m a t i c s s o t h a t I c a n h e l p s t u d e n t s g e t e x c i t e d a b o u t i t , " w a s a l s o r e l a t e d t o d e s i r e t o t e a c h . T h e m e a n r e s p o n s e f o r fi r i s i t e m w a s 3 . 3 1 0 w h i c h w a s 2 1 6 a g a i n c l o s e t o fi r e m i d d l e , b u t fi r i s t i m e l e a n i n g i n fi r e " v e r y - m u c h - l i k e — m e ” T h e r e w e r e a l s o s o m e i t e m s r e l a t e d t o t h e s t u d e n t s ’ c o n fi d e n c e i n t h e i r a b i l i t y t o t e a c h m a t h e m a t i c s . O n e o f t h e s e w a s i t e m 1 4 , ” I f e e l c o n f i d e n t i n m y a b i l i t y t o e x p l a i n m a fi r e m a t i c a l c o n c e p t s t o c h i l d r e n . " T h e m e a n r e s p o n s e f o r fi r i s i t e m w a s a l i t fi e b e l o w t h e m i d - p o i n t o f t h e s c a l e — 2 . 7 6 . A n o t h e r r e l a t e d i t e m w a s i t e m 1 6 , ” I w o u l d f e e l m o r e c o m f o r t a b l e i f I k n e w fi r a t I w o u l d n o t h a v e t o t e a c h m a fi r e m a t i c s t o e l e m e n t a r y s t u d e n t s . " T h e m e a n r e s p o n s e f o r fi r i s i t e m , w h i c h w a s 2 . 1 4 , i n d i c a t e d f a i r l y s t r o n g d i s a g r e e m e n t w i fi r fi r e s t a t e m e n t . R e l a t e d t o t h e i r c o n fi d e n c e i n fi r e i r a b i l i t y t o t e a c h m a fi r e m a t i c s w a s t h e i r c o n fi d e n c e i n fi r e i r u n d e r s t a n d i n g o f m a fi r e m a t i c s , a n d t h e r e w e r e a f e w i t e m s r e l a t e d t o fi r i s i d e a i n t h e M a fi r e m a t i c s I n v e n t o r y . O n e o f t h e s e w a s i t e m 1 2 , ” I d o n ' t e x p e c t t o e n c o u n t e r a n y m a d r e m a t i c s w h e n I t e a c h e l e m e n t a r y s c h o o l fi r a t I w o n ' t u n d e r s t a n d s i n c e I s u c c e s s f u l l y c o m p l e t e d e l e m e n t a r y s c h o o . ” T h e m e a n r e s p o n s e f o r fi r i s i t e m , w h i c h w a s 1 . 9 7 , i n d i c a t e d f a i r l y s t r o n g d i s a g r e e m e n t w i fi r fi r a t s t a t e m e n t b y t h e c l a s s . A n i t e m fi r a t w a s i n d i r e c fi y r e l a t e d t o fi r e s t u d e n t s ' c o n fi d e n c e i n t h e i r a b i l i t i e s t o d o m a t h w a s i t e m 2 0 , ” A s a t e a c h e r , I w o u l d f e e l e m b a r r a s s e d i f a s t u d e n t a s k e d a q u e s t i o n t o w h i c h I d i d n ' t k n o w fi r e a n s w e r . ” T h e m e a n r e s p o n s e f o r t h a t i t e m w a s 2 . 6 6 — a l i t fi e b e l o w fi r e m i d - p o i n t o f t h e s c a l e . I t e m 2 1 , ” I e x p e c t t o r e g u l a r l y t e a c h m a t h e m a t i c s a s a n e l e m e n t a r y t e a c h e r , ” w a s e s s e n t i a l l y n e u t r a l i n r e l a t i o n t o a t t i t u d e s t o w a r d t e a c h i n g m a fi r , b u t fi r e r e w e r e s o m e s t u d e n t s w h o m a y b e w e r e n ’ t p l a n n i n g o n t e a c h i n g e l e m e n t a r y s c h o o l o r w e r e h o p i n g t h e y c o u l d g e t i n a t e a m t e a c h i n g s i t u a t i o n w h e r e t h e y w o u l d n ' t h a v e t o t e a c h m a t h . T h i s i t e m h e l p e d m e k n o w h o w r e l e v a n t t h e o t h e r q u e s t i o n s r e l a t e d t o t e a c h i n g m a fi r w e r e t o t h e m . T h e m e a n r e s p o n s e o n fi r e fi r s t d a y o f c l a s s w a s a l i t fi e l o w e r fi r a n I w o u l d h a v e e x p e c t e d . 2 1 7 I t w a s 3 . 7 9 . T h e r e w e r e p r o b a b l y s o m e s t u d e n t s w h o w e r e g o i n g fi r r o u g h t h e t e a c h e r p r e p a r a t i o n p r o g r a m a n d t e a c h e r c e r t i fi c a t i o n p r o c e s s s o t h a t fi r e y h a d t h e o p t i o n o f t e a c h i n g e l e m e n t a r y s c h o o l , b u t t h e y w e r e n ’ t c o m p l e t e l y s u r e fi r a t ’ s w h a t t h e y w e r e g o i n g t o d o . t o 2 6 f r o m t h e M a t h e m a t i c s y o u t o y o u r g r e a t e s t m a t h e m a t i c s t e a c h e r ? ” T a b l e 7 : S t u d e n t s ' a s a I n fl u e n c e o f D i f f i c u l t i e s t h e a b l e t o i d e n t i f y w i t h a n d / o r h a v e c o m p a s s i o n f o r S t u d e n t s ’ E x p e r i e n c e d a s S t u d e n t s o f M a t h d r i l d r e n d o n ' t l e a m m a fi r fi e s a m e a l l t i m e u n d e r s t a n d l ' n w r m p o r t a n t ' s u p p o r t a r r d a m n ‘ a g e m e r t o f fi r e t e a c h e r i s a n y u r e w a y s M e t h o d s o f T e a c h i n g M a t h e m a t i c s P o s i t i v e A t t i t u d e I n fl u e n c e o f O w n S u c c e s s ] K n o w l e d g e o f M a t h e m a t i c s 1 1 3 1 6 4 4 3 2 2 3 2 l 1 1 1 1 T a b l e 7 s h o w s fi r e s t u d e n t s ' r e s p o n s e s b y c a t e g o r y t o a n o p e n - e n d e d q u e s t i o n r e l a t e d t o a t t i t u d e t o w a r d t e a c h i n g m a fi r e m a t i c s : ” W h a t d o y o u c o n s i d e r t o b e y o u r g r e a t e s t s t r e n g fi r s i n r e l a t i o n t o b e i n g a m a fi r e r n a t i c s t e a c h e r ? " A s c a n b e s e e n , fi r e m o s t c o m m o n r e s p o n s e s o f t h e s t u d e n t s r e l a t e d t o t h e d i f fi c u l t i e s t h e y e x p e r i e n c e d t h e m s e l v e s a s s t u d e n t s . F o r e x a m p l e , 1 1 s t u d e n t s r e s p o n d e d t h a t b e c a u s e t h e y h a d d i f fi c u l t i e s a s a s t u d e n t , fi r e y w i l l b e 2 1 8 a b l e t o i d e n t i f y w i fi r a n d / o r h a v e c o m p a s s i o n f o r s t u d e n t s w h o a r e h a v i n g c h a l l e n g e s . E v e n fi r o u g h t h e s t u d e n t s l i s t e d fi r i s a s a s t r e n g fi r , i t i s a g a i n e v i d e n c e fi r a t fi r e s t u d e n t s w e r e n o t fi r a t c o n f i d e n t i n fi r e i r m a fi r e m a t i c a l a b i l i t i e s . T h e n e x t m o s t c o m m o n c a t e g o r y h a d t o d o w i t h t h e s t u d e n t s ’ p e r c e i v e d a b i l i t i e s t o t e a c h m a fi r e m a t i c s s u c h a s fi r e s i x s t u d e n t s w h o w r o t e t h a t fi r e y k n o w d i f f e r e n t w a y s o r m e fi r o d s t o t e a c h a c o n c e p t . F i v e s t u d e n t s fi r o u g h t t h a t fi r e i r o w n p o s i t i v e a t fi t u d e w o u l d b e a s t r e n g t h i n t e a c h i n g m a fi r e m a t i c s , a n d f o u r f e l t t h a t fi r e i r o w n s u c c e s s i n m a fi r w o u l d b e a s t r e r r g fi r . O v e r a l l , fi r e s t u d e n t s s h o w e d s o m e c o n fi d e n c e a b o u t fi r e i d e a o f t e a c h i n g m a fi r e m a t i c s , b u t a g a i n , t h e q u e s t i o n a s k e d fi r e m t o w r i t e , i n e s s e n c e , w h a t t h e y f e l t m o s t c o n fi d e n t a b o u t . A n o t h e r o p e n - e n d e d q u e s t i o n t h e s t u d e n t s w e r e a s k e d i n fi r e M a t h e m a t i c s I n v e n t o r y w a s , ” W h a t c o n c e r n s y o u t h e m o s t a b o u t t e a c h i n g m a t h e m a t i c s t o e l e m e n t a r y s t u d e n t s ? ” T h e s t u d e n t s ’ r e s p o n s e s c a n b e s e e n i n T a b l e 8 . A g a i n , fi r e m o s t c o m m o n r e s p o n s e a l l u d e d t o fi r e i r p e r c e p t i o n s o f fi r e i r i n a d e q u a c i e s i n fi r e i r m a fi r e m a t i c a l k n o w l e d g e . E l e v e n s t u d e n t s w e r e w o r r i e d a b o u t e x p l a i n i n g i t i n a w a y t h a t c o u l d b e u n d e r s t o o d b y d i f f e r e n t l e a r n e r s . S o m e w e r e c o n c e r n e d a b o u t t h e s t u d e n t s — s u c h a s k e e p i n g fi r e m i n t e r e s t e d o r m a k i n g s u r e fi r e y u n d e r s t o o d . S o m e w e r e c o n c e r n e d a b o u t h o w t o t e a c h m a t h a n d , f o r e x a m p l e , fi n d w a y s t o t e a c h i t c r e a t i v e l y . T w o s t u d e n t s w e r e a l s o c o n c e r n e d t h a t t h e i r o w n n e g a t i v e a t t i t u d e s w o u l d i n fl u e n c e t h e i r s t u d e n t s . T h e s e r e s p o n s e s i n d i c a t e fi r a t t h e p r o s p e c t i v e t e a c h e r s d i d h a v e c o n c e r n s a b o u t t h e p r o s p e c t o f t e a c h i n g m a t h e m a t i c s , a n d a s n o t e d , m a n y o f t h e s e c o n c e r n s w e r e r e l a t e d t o fi r e i r o w n l a c k o f m a fi r e m a t i c a l k n o w l e d g e . H o w e v e r , i t s h o u l d a g a i n b e e m p h a s i z e d fi r a t fi r e s t u d e n t s w e r e a s k e d t o w r i t e a b o u t t h e i r c o n c e r n s f o r fi r i s q u e s t i o n . 2 1 9 T a b l e 8 : S t u d e n t s ’ t o 2 7 f r o m t h e M a t h e m a t i c s o n : c o n c e r n s y o u m o s t s t u d e n t s ? " H H T e a c h i n g / E x p l a i n i n g M a t h e m a t i c s C o n t e n t R e s p o n s e s o f S t u d e n t s m a fi r f a c t s w a y s o r s t u d e n t s a t d i f f e r e n t l e v e l s a H o w t o T e a c h M a t h 3 3 2 1 1 3 3 2 2 1 1 1 1 1 1 3 2 1 1 1 1 1 1 1 1 O w n A t t i t u d e s w o r k T h e fi n a l o p e n - e n d e d q u e s t i o n f r o m fi r e M a t h e m a t i c s I n v e n t o r y fi r a t w a s r e l a t e d t o a t t i t u d e t o w a r d t e a c h i n g m a t h e m a t i c s w a s , ” D o y o u fi r i n k y o u r m a fi r e m a t i c a l e x p e r t i s e ( o r l a c k o f e x p e r t i s e ) w i l l b e a l i a b i l i t y o r a s t r e n g t h w h e n y o u t e a c h m a t h e m a t i c s i n a n e l e m e n t a r y s c h o o l ? E x p l a i n . ” T h e s t u d e n t s r e s p o n s e s c a n b e s e e n i n T a b l e 9 . T w e l v e s t u d e n t s fi r o u g h t fi r e i r l a c k o f e x p e r t i s e w o u l d b e a s t r e n g fi r , a n d a g a i n , fi r e m o s t c o m m o n e x p l a n a t i o n f o r fi r a t p o s i fi o n w a s t h a t fi r e y w o u l d b e a b l e t o r e l a t e w i t h s t u d e n t s w h o h a d d i f fi c u l t i e s . T e n 2 0 s t u d e n t s f e l t fi r e i r e x p e r t i s e w o u l d b e a s t r e n g fi r , m o s t c o m m o n l y e x p l a i n i n g t h a t fi r e m o r e fi r e y u n d e r s t o o d m a fi r , fi r e b e t t e r fi r e y w o u l d b e a b l e t o t e a c h i t a n d / o r a n s w e r fi r e s t u d e n t s q u e s t i o n s . T h r e e s t u d e n t s fi r o u g h t fi r e i r l a c k o f e x p e r t i s e w o u l d b e a l i a b i l i t y , a n d t w o fi r o u g h t fi r e i r e x p e r t i s e w o u l d b e a l i a b i l i t y . E v e n t h o u g h m a n y o f t h e s e s t u d e n t s h a d n o t e x p e r i e n c e d m u c h s u c c e s s i n m a fi r a n d h a d n e g a t i v e a t t i t u d e s t o w a r d m a fi r , m o s t o f t h e m ( 2 2 ) s t i l l fi r o u g h t t h a t e i t h e r l a c k o f e x p e r t i s e o r fi r e i r e x p e r t i s e w o u l d b e a s t r e n g fi r i n t e a c h i n g . T h i s s h o w s s o m e c o n fi d e n c e i n t h e i r a b i l i t y t o t e a c h m a t h e m a t i c s . T a b l e 9 : S t u d e n t s ’ t o 3 0 f r o m t h e M a t h u n a t i c s y o u y o u r o r o r a w h e n t e a c h m a fi r e m a t i c s i n a n L a c k o f E x p e r t i s e a S t r e n g t h ( 1 2 ) m o r e o p e n [ R O T C E x p e r t i s e a S t r e n g t h ( 1 0 ) a b l e t o t e a c h o r a n s w e r s t u d e n t s n a h a a i n t e r e s t e d a r e a L a c k o f E x p e r t i s e a L i a b i l i t y 1 r ( 3 ) m o r e s h e fi n d s t o t e a c h fi r a t s h e c a n b e e x c i t e d a b o u t m a y a s s u m e m o r e E x p e r t i s e a l i a b i l i t y ( 2 ) g o b e t o t e a c h i t t o s t u d e n t s a s a 4 2 2 1 1 1 1 6 1 1 1 1 1 1 l 1 1 1 1 1 2 1 L a c k o f E x p e r t i s e E i t h e r a a t r u e o r a ( 2 ) t h e s t u d e n t s y o u 2 2 1 F r o m fi r e s t u d e n t s ’ r e s p o n s e s t o fi r e L i k e r t - s t y l e i t e m s a n d t h e o p e n - e n d e d q u e s t i o n s f r o m t h e M a t h e m a t i c s I n v e n t o r y , i t i s a p p a r e n t t h a t a t t h e b e g i n n i n g o f t h e s e m e s t e r , m a n y s t u d e n t s f e l t a g r e a t d e a l o f a p p r e h e n s i o n a b o u t t e a c h i n g m a fi r e m a t i c s , a n d m a n y w e r e n o t e x c i t e d a b o u t t h e p r o s p e c t . T h e y w e r e c o n c e r n e d a b o u t t h e i r o w n k n o w l e d g e a n d a b i l i t i e s i n m a fi r . T h e y w e r e a l s o c o n c e r n e d a b o u t b e i n g a b l e t o e x p l a i n t h e m a fi r t o t h e s t u d e n t s s o t h a t t h e y c o u l d u n d e r s t a n d i t , a n d fi r e y w e r e c o n c e r n e d a b o u t j u s t k n o w i n g h o w t o t e a c h i t . A n o fi r e r c o n c e r n t h e y h a d w a s fi r a t fi r e i r a t t i t u d e s w o u l d a f f e c t fi r e i r s t u d e n t s ’ a t t i t u d e s a n d l e a r n i n g . O f c o u r s e , w h e n t h e y w e r e a s k e d w h a t fi r e y c o n s i d e r e d t o b e t h e i r s t r e n g fi r s i n r e l a t i o n t o t e a c h i n g m a fi r , fi r e y l i s t e d w h a t t h e y f e l t m o s t c o n fi d e n t a b o u t , b u t t h e m o s t c o m m o n r e s p o n s e f o r t h a t a l s o i n t i m a t e d t h e i r a w a r e n e s s o f t h e i r i n a d e q u a c i e s i n t h e i r m a t h a b i l i t i e s : fi r e y w o u l d b e a b l e t o r e l a t e d t o s t u d e n t s w h o w e r e h a v i n g c h a l l e n g e s . S t u d e n t s ' A t t i t u d e s t o w a r d T e a c h i n g M a t h e m a t i c s a t t h e E n d o f t h e S e m e s t e r . A g a i n , a t fi r e e n d o f fi r e s e m e s t e r , t h e m a i n s o u r c e o f i n f o r m a t i o n r e l a t e d t o t h e s t u d e n t s ’ a t t i t u d e s t o w a r d t e a c h i n g m a fi r e m a fi c s c a m e f r o m t h e M a t h e m a t i c s I n v e n t o r y . H o w e v e r , i t w a s n ’ t fi r e o n l y s o u r c e o f i n f o r m a t i o n . W h i l e n o n e o f fi r e s t u d e n t s i n c l u d e d a n y fi r i n g r e l a t e d t o fi r e i r a t t i t u d e s t o w a r d t e a c h i n g m a t h e m a t i c s i n fi r e i r b e g i n n i n g ” W h a t I s M a t h e m a t i c s ” j o u r n a l e n t r i e s , a f e w d i d w r i t e a b o u t t h i s i n fi r e i r fi n a l ” W h a t I s M a fi r e m a t i c s ? ” j o u r n a l e n t r i e s . A g a i n , a s w a s t h e c a s e a t fi r e b e g i n n i n g o f t h e s e m e s t e r , fi r e s t u d e n t s d i d n o t i n c l u d e a n y fi r i n g i n fi r e i r fi n a l m a t h c o n c e p t m a p s fi r a t w a s e x p l i c i fi y r e f e r r i n g t o t h e i r a t t i t u d e s t o w a r d t e a c h i n g m a t h . T h e y i n c l u d e d m u c h a b o u t fi r e i r c o n c e p fi o n s o f t e a c h i n g m a fi r e m a t i c s , a n d m a y b e s o m e o f t h e i r a t t i t u d e s c o u l d b e i n f e r r e d f r o m fi r o s e i n c l u s i o n s , b u t fi r e r e w a s n o fi r i n g fi r a t w a s c l e a r l y r e l a t e d t o t h e i r a t t i t u d e s t o w a r d t e a c h i n g m a d r e m a t i c s . M a y b e a t t i t u d e s t o w a r d t e a c h i n g m a fi r e m a t i e s d i d n o t l e n d t h e m s e l v e s w e l l t o i n c l u s i o n i n a c o n c e p t m a p , 2 2 2 o r m a y b e i t j u s t w a s n ' t s o m e fi r i n g fi r e s t u d e n t s w e r e l i k e l y t o f o c u s o n w h e n fi r e y w e r e fi r i n k i n g o f fi r e c o n c e p t ” m a fi r " a s o p p o s e d t o ” t e a c h i n g m a fi r . " F i v e s t u d e n t s w r o t e s o m e fi r i n g i n t h e i r fi n a l ” W h a t I s M a t h e m a t i c s ? ” j o u r n a l e n t r i e s fi r a t i n d i c a t e d a p o s i t i v e a t t i t u d e r e l a t e d t o t h e i d e a o f t e a c h i n g m a t h e m a t i c s . O n e o f fi r o s e fi v e a l s o i n d i c a t e d n e g a t i v e a t t i t u d e s r e l a t e d t o fi r e i d e a o f t e a c h i n g m a d r e m a t i c s . T h a t s t u d e n t w a s B r i d g e t , a f o c u s s t u d e n t , a n d h e r a t t i t u d e s w i l l b e e x a m i n e d i n fi r e n e x t c h a p t e r . S h e w a s fi r e o n l y s t u d e n t w h o w r o t e a n y fi r i n g i n d i c a t i n g a n e g a t i v e a t t i t u d e t o w a r d t e a c h i n g m a fi r e m a t i c s . O f fi r e s t u d e n t s w h o w r o t e s o m e fi r i n g p o s i t i v e , o n e s t u d e n t w r o t e , ” I f e e l c o n fi d e n t fi r a t I c a n t e a c h m a fi r o n a n e l e m e n t a r y l e v e l w i t h t h e n e c e s s a r y s k i l l s t o b e s u c c e s s f u l . ” A n o fi r e r w r o t e , ” T h r o u g h o u t fi r i s c o u r s e , I h a v e l e a r n e d m a n y n e w m e fi r o d s o f t e a c h i n g m a t h e m a t i c s , w a y s t o k e e p s t u d e n t s i n t e r e s t e d a n d w a n t i n g t o k n o w m o r e a b o u t fi r e t o p i c . " I n t h e " P h i l o s o p h y o f T e a c h i n g M a t h e m a t i c s ” j o u r n a l e n t r i e s , m a n y s t u d e n t s w r o t e a b o u t fi r e i r a t t i t u d e t o w a r d t e a c h i n g m a fi r e m a t i c s . A l l o f t h e m i n d i c a t e d p o s i t i v e a t t i t u d e s . T h e y a l s o a l l i n d i c a t e d t h a t t h e y w e r e m o r e p o s i t i v e t h a n fi r e y h a d b e e n . O n e s t u d e n t w r o t e , ” T h i s c l a s s h a s i n t r o d u c e d m e t o m a n y n e w a s p e c t s a n d p e r s p e c t i v e s o f t e a c h i n g m a fi r , e n h a n c i n g m y c o n fi d e n c e a n d a t t i t u d e t o w a r d m a t h . " A n o t h e r w r o t e , ” M y r o l e a n d f e a r o f t e a c h i n g m a t h e m a t i c s h a s c h a n g e d a n d i s s t i l l d e v e l o p i n g fi r r o u g h fi r i s c l a s s . " A c o u p l e o f fi r e m w r o t e a b o u t h o w fi r e y c o u l d b e a g o o d m a t h t e a c h e r e v e n t h o u g h t h e y a r e n ’ t g o o d a t m a t h t h e m s e l v e s . O n e w r o t e , ” T h e t e a c h e r m u s t b e a p o s i t i v e , p r o f e s s i o n a l r o l e m o d e l f o r fi r e s t u d e n t . I m a y n o t b e g o o d a t m a fi r , b u t I ’ m g o i n g t o t r y , a n d I w o n ’ t b e a f r a i d . I w i l l w o r k h a r d . " A n o fi r e r w r o t e , ” I h a v e n o t a l w a y s e n j o y e d m a fi r i n m y l i f e , b u t I d o e n j o y t e a c h i n g i t . I h a v e w a t c h e d fi r e c l a s s I t a u g h t l i g h t u p w h e n l e a r n i n g a b o u t h o w t a l l fi r e y a r e o r fi r a t fi r e y k n o w fi v e r r r i n u t e s h a v e p a s s e d . T h a t i s e x c i t i n g f o r m e . " 2 2 3 A g a i n , t h e d a t a f r o m t h e M a fi r e m a t i c s I n v e n t o r y — b o t h t h e s t u d e n t s ’ r e s p o n s e s t o s o m e L i k e r t - s t y l e i t e m s a n d fi r e i r r e s p o n s e s t o s o m e o p e n - e n d e d q u e s t i o n s — p r o v i d e s fi r e m o s t i n f o r m a t i o n a b o u t fi r e s t u d e n t s ’ a t t i t u d e s t o w a r d t e a c h i n g m a fi r e m a t i e s a t fi r e e n d o f fi r e s e m e s t e r . T a b l e 1 0 : I t e m s R e l a t i n g t o A t t i t u d e s t o w a r d T e a c h i n g M a t h e m a t i c s f r o m t h e M a t h e m a t i c s I n v e n t o r y t e a c h m a fi r e m a t i c s a s a n e l e m e n t a r y t e a c h e r . 9 . I f e e l e n fi r u s i a s t i c a b o u t m a fi r e m a t r c s a n d a b o u t t e a c h i n g 2 7 2 4 3 . 3 1 0 0 3 3 * i t . T 2 . I d o n t t o e r r c o u n t e r a n y m a fi r e m a t i c s w h e n I t e a c h 1 . 9 7 1 . 6 9 ‘ i ' fl o s z e l e m e n t a r y 1 t h a t I w o n ' t u n d e r s t a n d s i n c e I s u c c e s s f u l l y m m p l e t e d e l e m e n t a r y s c h o o l . _ _ 1 4 . 1 f e e l c o n fi d e n t i n m y a b i l i t y t o e x p l a i n m a fi r e m a t i c a l 2 . 7 6 3 . 2 7 6 0 . 0 4 8 * c o n c e p t s t o c h i l d r e n . _ 1 6 . I w o u l d f e e l m o r e c o m f o r t a b l e i f I k n e w fi r a t I w o u l d n o t 2 . 1 4 2 . 3 4 0 . 4 7 1 h a v e t o t e a c h r r r a t h e m a t i c s t o e l e m e n t a r y s t u d e n t s . 1 9 . I w a n t t o t e a c h m a t h e m a t i c s s o fi r a t I c a n h e l p s t u d e n t s 3 . 3 1 0 4 . 0 3 0 . 0 1 3 : g e t e x c i t e d a b o u t i t . 2 0 . A s a t e a c h e r , I w o u l d f e e l e m b a r r a s s e d i f a s t u d e n t 2 . 2 . 4 5 . 0 4 7 I _ a s k e d a q u e s t i o n t o w h i c h I d i d n ' t k n o w fi r e a n s w e r . 2 1 . c h u m t o r e g u l a r l y t e a c h m a t h e m a t i c s a s a n e l e m e n t a r y 3 . 7 9 4 . 1 7 0 . 2 0 t e a ‘ _ ° s t a t i s t i c a l l y s i g n i fi c a n t T h e d i f f e r e n c e i n t h e m e a n r e s p o n s e s f o r f o u r o f t h e i t e m s f r o m t h e M a t h e m a t i c s I n v e n t o r y t h a t w e r e r e l a t e d t o a t t i t u d e s t o w a r d t e a c h i n g m a t h e m a t i c s w a s s t a t i s t i c a l l y s i g n i fi c a n t f r o m fi r e b e g i n n i n g o f fi r e s e m e s t e r t o fi r e e n d o f t h e s e m e s t e r ( S e e T a b l e 1 0 ) . T h r e e o f t h e s e i t e m s w i t h s t a t i s t i c a l l y s i g n i f i c a n t d i f f e r e n c e s w e r e d i r e c fi y r e l a t e d t o e n fi r u s i a s n r , c o n fi d e n c e , a n d d e s i r e t o t e a c h — i t e m 9 , i t e m 1 4 , a n d i t e m 1 9 — a n d t h e c h a n g e s i n d i c a t e d a m o r e p o s i t i v e a t t i t u d e t o w a r d t e a c h i n g m a fi r e m a t i c s . T h e o t h e r i t e m f r o m t h e M a fi r e m a t i c s I n v e n t o r y fi r a t s h o w e d a s t a t i s t i c a l l y s i g n i fi c a n t c h a n g e r e l a t e d t o a t t i t u d e s t o w a r d t e a c h i n g m a fi r e m a t i c s w a s i t e m 2 0 , ” A s a t e a c h e r , I w o u l d f e e l e m b a r r a s s e d i f a s t u d e n t a s k e d a q u e s t i o n t o w h i c h I d i d n ' t k n o w fi r e a n s w e r . ” S t u d e n t s a g r e e d w i fi r fi r a t s t a t e m e n t l e s s a t t h e e n d o f 2 2 4 t h e s e m e s t e r . T h e s t a t i s t i c a l l y s i g n i fi c a n t c h a n g e i n fi r a t d i r e c t i o n i s p r o b a b l y a g a i n r e l a t e d t o t h e s t u d e n t s ’ n e w v i e w o f t e a c h i n g m a t h w h e r e t h e y s e e fi r e m s e l v e s a s a f a c i l i t a t o r m o r e t h a n a d i s p e n s e r o f k n o w l e d g e . T h e y f e e l fi r a t i f a s t u d e n t a s k s t h e m s o m e fi r i n g t o w h i c h t h e y d i d n ’ t k n o w t h e a n s w e r , t h e y c o u l d s a y s o m e fi r i n g l i k e , ” W h a t d o y o u t h i n k ? " o r ” W h o h a s a n y i d e a s a b o u t fi r a t ? ” T h e y a l s o f e e l t h a t p a r t o f fi r e i r r o l e i s t o m o d e l m a fi r e m a t i c a l l e a r n i n g a n d fi r i n k i n g , a n d i f a s t u d e n t p r e s e n t s t h e m w i fi r s o m e d r i n g n e w t o l e a r n , t h e y h a v e a n o p p o r t u n i t y t o m o d e l i t . T h i s w a s a l s o e v i d e n c e d i n t h e s t a t i s t i c a l l y s i g n i fi c a n t c h a n g e o f a n o t h e r L i k e r t - s t y l e i t e m , ” B e i n g g o o d a t m a fi r e m a t i c s i s n o t r e q u i r e d t o b e a g o o d t e a c h e r o f m a fi r , " w h i c h w a s d i s c u s s e d i n C h a p t e r 4 . T h e s t u d e n t s a g r e e d w i fi r t h a t s t a t e m e n t m o r e a t t h e e n d o f t h e s e m e s t e r . C o m m e n t s t h a t t h e f o c u s s t u d e n t s m a d e i n t h e i r i n t e r v i e w s a l s o s u p p o r t t h i s c o n j e c t u r e a n d w i l l b e a n a l y z e d i n fi r e n e x t t w o c h a p t e r s . T h e c h a n g e s i n fi r e m e a n r e s p o n s e s f o r t h e o fi r e r L i k e r t - s t y l e i t e m s f r o m fi r e M a t h e m a t i c s I n v e n t o r y r e l a t e d t o a t t i t u d e s t o w a r d t e a c h i n g m a fi r e m a t i c s w e r e a l s o m o s fi y i n t h e m o r e p o s i t i v e d i r e c t i o n , b u t w e r e n o t s t a t i s t i c a l l y s i g n i fi c a n t ( S e e T a b l e 1 0 o n p a g e 2 2 4 ) . T h e d i r e c t i o n o f t h e c h a n g e f o r i t e m 1 2 , ” I d o n ’ t e x p e c t t o e n c o u n t e r a n y m a t h e m a t i c s w h e n I t e a c h e l e m e n t a r y s c h o o l t h a t I w o n ’ t u n d e r s t a n d s i n c e I s u c c e s s f u l l y c o m p l e t e d e l e m e n t a r y s c h o o l , ” m a y h a v e b e e n a n i n d i c a t i o n fi r a t fi r e s t u d e n t s w e r e r e c o g n i z i n g fi r a t t h e r e w a s a l o t m o r e t o e l e m e n t a r y s c h o o l m a fi r e m a t i c s fi r a n t h e b a s i c o p e r a t i o n s . T h e s t u d e n t s ’ r e s p o n s e s t o fi r e o p e n - e n d e d q u e s t i o n s i n t h e M a fi r e m a t i c s I n v e n t o r y r e l a t e d t o a t t i t u d e t o w a r d t e a c h i n g m a fi r e m a t i c s a l s o r e fl e c t fi r e m o r e p o s i t i v e a t t i t u d e m a n y o f t h e s t u d e n t s s e e m e d t o h a v e a t t h e e n d o f t h e s e m e s t e r a b o u t t h e i d e a o f t e a c h i n g m a fi r e m a t i c s . T h e fi r s t o p e n - e n d e d q u e s t i o n w a s , ” W h a t d o y o u c o n s i d e r t o b e y o u r g r e a t e s t s t r e n g t h s i n r e l a t i o n t o b e i n g a m a t h e m a t i c s t e a c h e r ? ” T h e s t u d e n t s ’ r e s p o n s e s t o t h a t q u e s t i o n c a n b e s e e n i n 2 2 5 r a h - N H N N N N H H I I - I i h H H t - r t - r I - r I - r s - r D O h t 0 1 ~ T a b l e 1 1 . T h e m o s t c o m m o n r e s p o n s e o n fi r e fi r s t d a y o f c l a s s w a s a l s o fi r e m o s t c o m m o n o n fi r e l a s t d a y . S e v e n p e o p l e — d o w n f r o m 1 1 o n fi r e fi r s t d a y o f c l a s s — w r o t e fi r a t s i n c e fi r e y h a d h a d d i f fi c u l t i e s a s a s t u d e n t , fi r e y w o u l d b e a b l e t o r e l a t e t o fi r e i r s t u d e n t s . A t t h e b e g i n n i n g o f fi r e s e m e s t e r , t h e r e w e r e a l s o 1 1 o t h e r r e s p o n s e s r e l a t e d t o fi r a t i d e a . I n c o n t r a s t , o n l y t h e s e v e n a f o r e - n o t e d s t u d e n t s f o c u s e d o n fi r e i r o w n d i f fi c u l t e x p e r i e n c e s . A t fi r e e n d o f t h e s e m e s t e r , 1 3 s t u d e n t s i n d i c a t e d fi r a t w h a t fi r e y c o n s i d e r e d t o b e t h e i r s t r e n g t h w a s a p o s i t i v e a t t i t u d e t o w a r d m a d r e m a t i c s a n d / o r t e a c h i n g . O n l y fi v e s t u d e n t s w r o t e T a b l e l l : S t u d e n t s ' t o z o fi o m t h e F i n a l M a t h e m a t i c s y o u t o y o u r g r e a t e s t t o m a fi r e m a t i c s t e a c h e r ? " I n f l u e n c e o w a n . 3 3 : t s , D i f f i c u l t i e s i n M a t h a b l e t o r f f l a t e t o t h e r r o w n s t u e n P o s i t i v e A t t i t u d e T e a c h i n g I d e a s v e n / n o w s e e a n n e w n o s e e a s f r u s t r a t i o n a n d c o n f u s i o n , a s s i t a n d ( p a g e a f t e r b u t a s a a n d o f i ” s u r e I n t e r a c t i o n w i t h S t u d e n t s K n o w l e d g e o f M a t h 2 2 6 a b o u t a p o s i t i v e a t t i t u d e f o r t h i s q u e s t i o n i n t h e b e g i n n i n g M a fi r e m a t i c s I n v e n t o r y . T h i s d i f f e r e n c e s h o w e d a n i n c r e a s e i n fi r e s t u d e n t s w h o f e l t p o s i t i v e l y a b o u t t h e i d e a o f t e a c h i n g m a fi r e m a t i c s . T h e r e w e r e a l s o m a n y s t u d e n t s w h o w r o t e a b o u t w a y s fi r e y w o u l d t e a c h . 1 2 : S t u d e n t s ’ t o 2 7 t h e F i n a l M a t h e m a t i c s c o n c e r n s y o u s t u d e n t s ? " T e a c h i n g / E x p l a i n i n g M a t h e m a t i c s C o n t e n t S t u d e n t s L a c k o f M a t h e m a t i c a l K n o w l e d g e H o w t o T e a c h M a t h I n T a b l e 1 2 , t h e s t u d e n t s ’ r e s p o n s e s t o a n o t h e r o p e n - e n d e d q u e s t i o n c a n b e s e e n . T h i s q u e s fi o n w a s , ” W h a t c o n c e r n s y o u t h e m o s t a b o u t t e a c h i n g m a t h e m a t i c s t o e l e m e n t a r y s t u d e n t s ? ” A g a i n , t h e s t u d e n t s w e r e c o n c e r n e d a b o u t n o t b e i n g a b l e t o e x p l a i n e v e r y fi r i n g , a n d s o m e w e r e c o n c e r n e d a b o u t fi r e i r l a c k o f m a fi r e m a t i c a l k n o w l e d g e . T h i s w a s a l s o fi r e m o s t c o m m o n r e s p o n s e o n t h e fi r s t d a y o f c l a s s , b u t fi r i s t i m e f o u r s t u d e n t s w r o t e t h a t t h e y w e r e 2 2 7 c o n c e r n e d a b o u t fi r a t , a n d 1 1 w r o t e fi r a t fi r e fi r s t d a y . S o m e s t u d e n t s w e r e a l s o c o n c e r n e d a b o u t t e a c h i n g d i v e r s e l e a r n e r s , a n d s o m e w e r e c o n c e r n e d a b o u t o t h e r c o n c e r n s r e l a t e d t o t e a c h i n g m a t h s u c h a s n o t h a v i n g e n o u g h t i m e , n o t b e i n g a b l e t o c o v e r e v e r y fi r i n g , a n d n o t k n o w i n g w h e r e t o s t a r t . I n c o n t r a s t t o fi r e b e g i n n i n g o f fi r e s e m e s t e r , n o n e w r o t e c o n c e r n s a b o u t fi r e e f f e c t s o f fi r e i r o w n n e g a t i v e a t t i t u d e t o w a r d m a t h . A g a i n , t h e s t u d e n t s w e r e a s k e d t o w r i t e w h a t fi r e y w e r e c o n c e r n e d a b o u t , a n d o v e r a l l , fi r e s t u d e n t s ’ r e s p o n s e s s e e m e d t o b e fi r i n g s t h a t e v e n e x p e r i e n c e d t e a c h e r s m i g h t h a v e c o n c e r n s a b o u t , s u c h a s a d j u s t i n g t e x t s t o fi r e S t a n d a r d s , a c c o m m o d a t i n g d i v e r s e l e a r n e r s , a n d n o t b e i n g a b l e t o c o v e r e v e r y fi r i n g s i n c e t h e y w a n t t o g o i n d e p fi r . T h e o t h e r o p e n - e n d e d q u e s t i o n f r o m t h e M a fi r e m a t i c s I n v e n t o r y t h a t s t u d e n t s a l s o a n s w e r e d o n t h e fi r s t d a y o f c l a s s w a s , ” D o y o u fi r i n k y o u r m a fi r e m a t i c a l e x p e r t i s e ( o r l a c k o f e x p e r t i s e ) w i l l b e a l i a b i l i t y o r a s t r e n g t h w h e n y O u t e a c h m a t h e m a t i c s i n a n e l e m e n t a r y s c h o o l ? E x p l a i n . " T h e s t u d e n t s ’ r e s p o n s e s t o fi r i s q u e s t i o n c a n b e s e e n i n T a b l e 1 3 . T h i s t i m e , e i g h t s t u d e n t s — a s o p p o s e d t o 1 2 o n t h e fi r s t d a y — r e s p o n d e d fi r a t fi r e y t h o u g h t t h e i r l a c k o f e x p e r t i s e w o u l d b e a s t r e n g t h . E l e v e n s t u d e n t s w r o t e fi r a t fi r e i r e x p e r t i s e w o u l d b e a s t r e n g t h — s i m i l a r t o fi r e 1 0 w h o w r o t e t h a t fi r e fi r s t d a y . F o u r s t u d e n t s — i n c o n t r a s t t o 3 o n t h e fi r s t d a y — w r o t e fi r a t fi r e i r l a c k o f e x p e r t i s e w o u l d b e a l i a b i l i t y . F i v e s t u d e n t s w r o t e ” b o fi r , ” a n d o n e s t u d e n t w r o t e n e i fi r e r . O v e r a l l , t h e s t u d e n t s s e e m e d t o f e e l s o m e c o n fi d e n c e i n fi r e i r a b i l i t y t o t e a c h m a fi r s i n c e 1 9 o f t h e m c o n s i d e r e d e i t h e r t h e i r e x p e r t i s e o r l a c k o f e x p e r t i s e t o b e a s t r e n g fi r w h e n t h e y t a u g h t e l e m e n t a r y m a fi r e m a t i c s . T h i s w a s a l s o t h e c a s e a t t h e b e g i n n i n g o f t h e s e m e s t e r w h e n 2 2 s t u d e n t s c o n s i d e r e d e i fi r e r fi r e i r e x p e r t i s e o r l a c k o f e x p e r t i s e t o b e a s t r e n g t h . T h i s t i m e , h o w e v e r , t h e r e w e r e m o r e w h o c o n s i d e r e d fi r e i r e x p e r t i s e a s t r e n g fi r a n d f e w e r w h o c o n s i d e r e d t h e i r l a c k o f e x p e r t i s e a s t r e n g t h . I f t h e y f e l t l i k e fi r e y w e r e s t r o n g i n m a fi r e m a t i c s 2 2 8 A N N N I - n w a p 1 . H N H H H N H H N H t - r n — r H r — r k n o w l e d g e , fi r e y t h o u g h t fi r a t w o u l d h e l p t h e m i n fi r e i r t e a c h i n g , a n d i f fi r e y f e l t fi r e y w e r e w e a k i n m a t h e m a t i c s k n o w l e d g e , t h e y f e l t l i k e fi r a t w o u l d h e l p fi r e m b y m o t i v a t i n g t h e m t o l e a r n m o r e , l e a r n i n g w i fi r fi r e i r s t u d e n t s , o r r e l a t i n g w i fi r fi r e i r s t u d e n t s . T a b l e 1 3 : S t u d e n t s ’ t o 3 0 f r o m t h e F i n a l M a t h e m a t i a y o u y o u r o r o r a w h e n t e a c h m a fi r e m a t i c s i n a n E x p e r t i s e a S t r e n g t h ( 1 1 ) L a c k o f E x p e r t i s e a S t r e n g t h ( 8 ) L a c k o f E x p e r t i s e a L i a b i l i t y ( 3 ) L a c k o f E x p e r t i s e B o t h a L i a b i l i t y a n d a S t r e n g t h ( 5 ) 5 d o n ' t c a r e a s o n N e i t h e r ( 1 ) I . h a v e t o r e - t e a c h m y s e l f a n d t a l k w i t h o fi r e r s T h e l a s t o p e n - e n d e d q u e s t i o n f r o m fi r e fi n a l M a fi r e m a t i c s I n v e n t o r y fi r a t w a s r e l a t e d t o a t t i t u d e t o w a r d t e a c h i n g m a t h e m a t i r s w a s o n e fi r a t w a s r e f e r r e d t o i n t h e a t t i t u d e s t o w a r d m a t h e m a t i c s s e c t i o n : " H a v e y o u r a t t i t u d e s t o w a r d m a fi r e m a t i c s o r t e a c h i n g m a t h e m a fi c s c h a n g e d a t a l l d u r i n g t h e t i m e y o u ’ v e b e e n i n fi r i s c o u r s e ? I f s o , h o w ? I f n o t , h o w ? W e r e fi r e r e s p e c i fi c e v e n t s o r 2 2 9 a c t i v i t i e s fi r a t h e l p e d y o u r a t t i t u d e s t o c h a n g e ? ” A s n o t e d , 2 7 o u t o f 2 9 s t u d e n t s r e s p o n d e d ” y e s " t o t h e fi r s t p a r t o f fi r e q u e s fi o n . O n e s t u d e n t w r o t e , ” n o , ” a n d h e r e x p l a n a t i o n i n d i c a t e d fi r a t s h e w a s r e f e r r i n g t o fi r e a t fi t u d e s t o w a r d t e a c h i n g m a fi r e m a t i c s p o r t i o n o f t h e q u e s t i o n . S h e w r o t e , ” I s t i l l d o n ’ t f e e l c o m p l e t e l y s u c c e s s f u l a t c o m m u n i c a t i n g i d e a s . ” E l e v e n s t u d e n t s w r o t e fi r a t fi r e y f e l t m o r e c o n fi d e n t i n fi r e i r t e a c h i n g a b i l i t i e s . T w o w r o t e fi r a t fi r e y w e r e m o r e c o n fi d e n t b e c a u s e t h e y n o w h a d b e t t e r i d e a s o f h o w t o a p p r o a c h t e a c h i n g m a t h . T w o s t u d e n t s a l s o w r o t e fi r a t t h e y n o w a p p r e c i a t e h o w h a r d i t i s t o t e a c h . O n e s t u d e n t w r o t e fi r a t s h e f e l t l i k e s h e c o u l d h a v e a p o s i t i v e i n fl u e n c e o n s t u d e n t s , a n d a n o t h e r w r o t e fi r a t s h e l o o k e d f o r w a r d t o g i v i n g s t u d e n t s a b e t t e r e d u c a t i o n fi r a n s h e r e c e i v e d . O n l y t w o s t u d e n t s , b o t h o f fi r e m f o c u s s t u d e n t s — B r i d g e t a n d F e l i c i a — w r o t e fi r a t fi r e i r a t t i t u d e c h a n g e d i n a w a y fi r a t m a d e fi r e m n o t w a n t t o t e a c h . H o w e v e r , a s a g r o u p , fi r e s t u d e n t s ’ r e s p o n s e s t o fi r i s q u e s t i o n i n d i c a t e d fi r a t fi r e y h a d a m o r e p o s i t i v e a t t i t u d e a b o u t fi r e i d e a o f t e a c h i n g a t fi r e e n d o f t h e s e m e s t e r . S u m m a r y o f C h a n g e s i n S t u d e n t s ' A t t i t u d e s t o w a r d T e a c h i n g M a fi r e m a t i c s . T h e s t u d e n t s ' a t t i t u d e s t o w a r d t e a c h i n g m a d r e m a t i c s w a s fi r e a r e a w h e r e t h e r e a p p e a r e d t o b e fi r e b i g g e s t c h a n g e i n fi r e s t u d e n t s c o n c e p t i o n s o f o r a t t i t u d e s t o w a r d m a fi r e m a t i c s i n t h e s t u d y — e s p e c i a l l y a s m e a s u r e d b y t h e M a t h e m a t i c s I n v e n t o r y . T h e c h a n g e s i n t h e m e a n r e s p o n s e s t o s e v e r a l i t e m s r e l a t e d t o a t t i t u d e s t o w a r d t e a c h i n g m a t h e m a t i c s f r o m fi r e b e g i n n i n g o f t h e s e m e s t e r t o t h e e n d o f t h e s e m e s t e r w e r e s t a t i s t i c a l l y s i g n i fi c a n t i n t h e m o r e p o s i fi v e d i r e c t i o n . A l s o , i n fi r e o p e n - e n d e d q u e s t i o n s r e l a t e d t o a t t i t u d e t o w a r d t e a c h i n g m a fi r e m a t i c s , fi r e s t u d e n t s s e e m e d t o f e e l m o r e p o s i t i v e l y a b o u t fi r e i d e a o f t e a c h i n g m a t h e m a t i c s ( e . g . , 2 7 o f 2 9 s t u d e n t s s a i d fi r e i r a t t i t u d e s t o w a r d t e a c h i n g m a t h e m a t i c s h a d c h a n g e d , a n d a l l i n d i c a t e d t h a t c h a n g e i n a m o r e p o s i t i v e w a y ) . O f c o u r s e , fi r e y s t i l l h a d c o n c e r n s a b o u t t e a c h i n g m a fi r , b u t t h e y 2 3 0 w e r e s p e c i fi c a l l y a s k e d t o w r i t e a b o u t t h e m , a n d fi r e y s e e m e d m o s fi y l i k e c o n c e r n s fi r s t a r e a l w a y s a p a r t o f t e a c h i n g m a fi r . I n fi r e fi n a l ” W h a t I s M a fi r e m a t i c s ? " j o u r n a l e n t r i e s a n d i n fi r e ” P h i l o s o p h y o f T e a c h i n g M a t h e m a t i c s ” j o u r n a l e n t r i e s , s e v e r a l s t u d e n t s w r o t e s t a t e m e n t s fi r a t i n d i c a t e d fi r e i r a t t i t u d e s t o w a r d t e a c h i n g m a t h e m a t i c s w e r e m o r e p o s i t i v e . S o m e e x a m p l e s o f fi r e s e s t a t e m e n t s w e r e , ” I f e e l c o n fi d e n t fi r a t I c a n t e a c h m a fi r o n a n e l e m e n t a r y l e v e l w i fi r t h e n e c e s s a r y s k i l l s t o b e s u c c e s s f u l ; ” ” T h i s c l a s s h a s i n t r o d u c e d m e t o m a n y n e w a s p e c t s a n d p e r s p e c t i v e s o f t e a c h i n g m a fi r , e n h a n c i n g m y c o n fi d e n c e a n d a t t i t u d e t o w a r d m a fi r ; ” a n d ” M y r o l e a n d f e a r o f t e a c h i n g m a fi r e m a t i c s h a s c h a n g e d a n d i s s fi l l d e v e l o p i n g fi r r o u g h fi r i s c l a s s . " A g a i n , i t s e e m s v e r y l i k e l y fi r a t m u c h o f t h e r e a s o n t h e s t u d e n t s s e e m e d t o f e e l m o r e p o s i t i v e l y a b o u t t e a c h i n g m a fi r e m a t i c s b y fi r e e n d o f t h e s e m e s t e r i s fi r a t fi r e y h a d m o r e i d e a s o f h o w i t c o u l d b e d o n e . T h i s s e e m e d t o b e a l l p a r t o f fi r e i r s h i f t i n p o s i fi o n i n g f r o m fi r i n k i n g o f m a t h a s a n e x p e r i e n c e d s t u d e n t t o fi r i n k i n g o f i t a s a p r o s p e c t i v e t e a c h e r . I n s t e a d o f f e e l i n g a p p r e h e n s i v e a b o u t t h e i d e a o f t e a c h i n g m a fi r e m a t i c s b e c a u s e fi r e y c o u l d o n l y i m a g i n e i t b e i n g t a u g h t i n t h e w a y fi r e y l e a r n e d i t , t h e y w e r e m o r e c o n fi d e n t b e c a u s e t h e y h a d a n e w p e r s p e c t i v e o f h o w m a t h c o u l d b e t a u g h t a n d w e r e fi r i n k i n g a b o u t m a t h a s i f fi r e y w e r e g o i n g t o b e t e a c h i n g i t . T h i s n e w v i s i o n a l s o s e e m e d t o c a u s e fi r e m t o f e e l l e s s c o n c e r n e d a b o u t t h e i r l a c k o f m a t h e m a t i c a l k n o w l e d g e s i n c e t h e y i m a g i n e d fi r e s t u d e n t s d o i n g m o r e o f fi r e e x p l a i n i n g . C h a p t e r S u m m a r y I n fi r i s c h a p t e r , I e x a m i n e d fi r e s t u d e n t s ’ a t t i t u d e s t o w a r d m a fi r e m a t i c s a n d t e a c h i n g m a t h e m a t i c s a t t h e b e g i n n i n g o f t h e s e m e s t e r a n d a t fi r e e n d o f t h e s e m e s t e r . I t h e n s u m m a r i z e d fi r e d i f f e r e n c e s . I f o u n d t h a t m o s t , b u t n o t a l l , o f fi r e s t u d e n t s i n fi r i s c l a s s h a d h a d n e g a fi v e e x p e r i e n c e s w i fi r s c h o o l m a t h . A t t h e 2 3 1 e n d o f fi r e s e m e s t e r , I f o u n d a g e n e r a l i m p r o v e m e n t i n t h e s t u d e n t s ’ a t t i t u d e s t o w a r d m a d r e m a t i c s . T h i s w a s e v i d e n c e d i n fi r e i r j o u r n a l e n t r i e s , fi r e i r m a fi r c o n c e p t m a p s , a n d i n t h e i r r e s p o n s e s t o t h e i t e m s f r o m t h e M a fi r e m a t i c s I n v e n t o r y fi r a t w e r e r e l a t e d t o a t t i t u d e t o w a r d m a fi r e m a t i c s . I c o n j e c t u r e d fi r a t p a r t o f t h e r e a s o n fi r e s t u d e n t s ’ a t t i t u d e s t o w a r d m a t h s e e m e d t o b e g e n e r a l l y m o r e p o s i t i v e w a s fi r a t d u r i n g t h e c l a s s , t h e y h a d e x p e r i e n c e d m a fi r i n a w a y fi r a t w a s n e w t o fi r e m a n d fi r a t fi r e y d i d n ’ t a s s o c i a t e w i fi r fi r e w a y fi r e y h a d l e a r n e d i t i n s c h o o l . I f o u n d e v i d e n c e t o s u p p o r t fi r i s i d e a i n fi r e c h a n g e s i n fi r e s t u d e n t s w r i t i n g s i n fi r e ” W h a t I s M a fi r e m a t i c s ? " j o u r n a l e n t r i e s , t h e m a fi r c o n c e p t m a p s , a n d fi r e i r r e s p o n s e s t o s e v e r a l i t e m s i n fi r e M a fi r e m a t i c s I n v e n t o r y . I a l s o s p e c u l a t e d fi r a t fi r e r e h a d b e e n a s h i f t i n fi r e w a y fi r e s t u d e n t s p o s i t i o n e d t h e m s e l v e s i n r e l a t i o n t o m a fi r e m a t i c s , a n d t h a t fi r i s s h i f t a l l o w e d fi r e m t o fi r i n k o f m a fi r m o r e p o s i t i v e l y . A t fi r e b e g i n n i n g o f fi r e s e m e s t e r , I f o u n d fi r a t m a n y s t u d e n t s a l s o h a d n e g a t i v e a t t i t u d e s t o w a r d t e a c h i n g m a fi r e m a t i c s . M a n y o f fi r e s t u d e n t s d i d n o t f e e l e x c i t e d a b o u t fi r e p r o s p e c t o f t e a c h i n g m a fi r , a n d m a n y o f t h e m d i d n o t f e e l c o n fi d e n t i n t h e i r a b i l i t i e s t o d o s o . I f o u n d s i g n i fi c a n t i m p r o v e m e n t i n t h e s t u d e n t s ’ a t fi t u d e s t o w a r d t e a c h i n g m a fi r e m a t i c s a t t h e e n d o f fi r e s e m e s t e r . M y a n a l y s i s o f fi r e s t u d e n t s ’ w r i t i n g i n fi r e i r j o u r n a l e n t r i e s a n d i n fi r e i r r e s p o n s e s t o i t e m s f r o m t h e M a t h e m a t i c s I n v e n t o r y s u g g e s t e d fi r a t t h e y h a d e x p e r i e n c e d m a fi r i n a m o r e p o s i t i v e w a y a n d h a d m o r e i d e a s o f h o w i t c o u l d b e t a u g h t , a n d fi r i s s e e m e d t o h e l p fi r e m f e e l m o r e c o n fi d e n t a n d e x c i t e d w h e n fi r i n k i n g o f t h e p r o s p e c t o f t e a c h i n g m a fi r . T h e r e w e r e a l s o s o m e s t u d e n t s w h o b e c a m e e x c i t e d t o t e a c h m a t h b e c a u s e t h e y w a n t e d t o h e l p fi r e i r s t u d e n t s h a v e a b e t t e r e x p e r i e n c e fi r a n fi r e y d i d . A g a i n , I c o n j e c t u r e d fi r a t p a r t o f w h a t h a d i n fl u e n c e d fi r i s i m p r o v e m e n t i n fi r e i r a t t i t u d e s i s t h a t fi r e y w e r e r e p o s i t i o n i n g fi r e m s e l v e s i n r e l a t i o n t o m a t h — t h e y w e r e n o l o n g e r fi r i n k i n g o f m a fi r a n d m a t h t e a c h i n g a s 2 3 2 t h e y h a d e x p e r i e n c e d i t i n s c h o o l ; i n s t e a d , fi r e y w e r e n o w a b l e t o i m a g i n e h o w fi r e y w a n t e d i t t o b e i n fi r e i r c l a s s r o o m s w h e n t h e y w e r e t e a c h e r s . 2 3 3 I I " fi l l l l ‘ l l e m fl j fl l j l j l t h ‘ l fl j i I h . . t . 1 £ ' 2 . e m 3 ? . . g . fi . fl . u y ‘ fi i fl V . . m x a fi m d w H fi { g A . ‘ . . . 5 . . . u p . t } w t i i fl l i m H . A . 1 A ‘ . . . . 4 1 . 4 . . . 4 . I u : . 3 ) : . A k . t . . . . E - l 3 I 9 . t » r L I B R A R Y M i c h i g a n S t a t e U n i v e r s i t y 0 3 2 1 1 2 P L A C E I N R E T U R N B O X t o r e m o v e t h i s c h e c k o u t f r o m y o u r r e c o r d . T O A V O I D F I N E S r e t u r n o n o r b e f o r e d a t e d u e . M A Y B E R E C A L L E D w i t h e a r l i e r d u e d a t e i f r e q u e s t e d . D A T E D U E D A T E D U E D A T E D U E 3 5 3 0 2 9 2 r ; 2 / 0 5 p 2 / C I R C l D a t e D u e J n d d - p . 1 W H A T I S M A T H E M A T I C S ? : S T A B I L I T Y A N D C H A N G E I N P R O S P E C T I V E T E A C H E R S ’ C O N C E P T I O N S O F A N D A T T I T U D E S T O W A R D M A T H E M A T I C S A N D T E A C H I N G M A T H E M A T I C S V O L U M E 2 B y E l a i n e A l l e n T u f t A D I S S E R T A T I O N S u b m i t t e d t o M i c h i g a n S t a t e U n i v e r s i t y i n p a r t i a l f u l f i l l m e n t o f t h e r e q u i r e m e n t s f o r t h e d e g r e e o f D O C T O R O F P H I L O S O P H Y D e p a r t m e n t O f T e a c h e r E d u c a t i o n 2 0 0 5 C H A P T E R 6 T H E C A S E S O F T W O P R O S P E C T I V E E L E M E N T A R Y S C H O O L T E A C H E R S : B R I D G E T A N D F E L I C I A I n t h i s c h a p t e r , I c o n t i n u e t h e a n a l y s i s o f t h i s s t u d y b y t a k i n g a c l o s e r l o o k a t t w o o f t h e f o c u s s t u d e n t s a n d t h e i r c o n c e p t i o n s o f a n d a t t i t u d e s t o w a r d m a t h e m a t i c s a n d m a t h e m a t i c s t e a c h i n g . B o t h s t u d e n t s b e g a n t h e c o u r s e w i t h e x t r e m e l y n e g a t i v e a t t i t u d e s t o w a r d m a t h e m a t i c s a n d t h e i d e a o f t e a c h i n g m a t h e m a t i c s . I c h o s e t o f o c u s o n t h e m b e c a u s e t h e y s e e m e d t o h a v e e x c e p t i o n a l l y n e g a t i v e a t t i t u d e s , a n d t h e y w e r e v e r y ” v o c a l ” i n b o t h t h e i r c o m m e n t s i n c l a s s a n d t h e i r c l a s s w r i t i n g s a b o u t t h o s e a t t i t u d e s . I w a s i n t e r e s t e d i n l o o k i n g a t w h a t a p p e a r e d t o b e s o m e h a r d c a s e s . T h e y d i f f e r e d i n t h e a m o u n t o f s u c c e s s t h e y h a d e x p e r i e n c e d i n d o i n g m a t h e m a t i c s , b u t t h e y b o t h d i s l i k e d i t . T h e y a l s o e a c h h a d t h e i r o w n i n t e r e s t i n g c o n c e p t i o n s o f m a t h e m a t i c s . A t t h e e n d o f t h e s e m e s t e r , t h e r e s e e m e d t o b e s l i g h t c r a c k s f o r t h e s e s t u d e n t s i n d i f f e r e n t a s p e c t s o f t h e i r c o n c e p t i o n s o f m a t h e m a t i c s , b u t t h e y b o t h s t i l l d i d n o t l i k e m a t h e m a t i c s a n d d i d n o t w a n t t o t e a c h i t . B r i d g e t : A D i s c o v e r y L e a d i n g t o a S u c c e s s o f S o r t s B r i d g e t w a s a 2 1 - y e a r - o l d s e n i o r . S h e h a d g r o w n u p i n a s u b u r b o f D e t r o i t a n d g r a d u a t e d f r o m h i g h s c h o o l t h e r e b e f o r e b e g i n n i n g h e r s t u d i e s a t M i c h i g a n S t a t e U n i v e r s i t y . S h e w a s q u i t e t a l l w i t h b l u e e y e s a n d b l o n d , s h o r t h a i r t h a t e m p h a s i z e d t h e m u l t i p l e e a r r i n g s s h e w o r e i n e a c h e a r . B r i d g e t w a s a n E n g l i s h m a j o r , a n d w h e n s h e b e g a n t h e c o u r s e , s h e w a s m a i n l y i n t e r e s t e d i n t e a c h i n g E n g l i s h , b u t s h e w a s a l s o i n t e r e s t e d i n l e a r n i n g a b o u t t e a c h i n g o t h e r a r e a s . B r i d g e t h a d e x p e r i e n c e d q u i t e a b i t o f s u c c e s s i n m a t h e m a t i c s d u r i n g h e r s c h o o l i n g , b u t i t w a s n ' t a s u b j e c t s h e e n j o y e d . S h e d e s c r i b e d h e r b a c k g r o u n d o f m a t h e m a t i c s i n h i g h s c h o o l t h i s w a y : " F r e s h m a n y e a r I h a d a c o n c e p t u a l G e o m e t r y c l a s s . I t w a s l i k e a n h o n o r s G e o m e t r y c l a s s . S o p h o m o r e y e a r I h a d H o n o r s A l g e b r a 2 . A n d , J u n i o r y e a r I w a s s u p p o s e d t o t a k e H o n o r s T r i g a n d P r e c a l c u l u s , b u t i t w a s t o o a r d s o I j u s t t o o k t h e r e g u l a r t r i g / p r e c a l c u l u s . S o I w a s i n a c l a s s w i t h k i d s t h a t w e r e a y e a r o l d e r t h a n m e . S o , m y s e n i o r y e a r I h a d t o c h o o s e b e t w e e n t a k i n g A P C a l c u l u s o r n o t t a k i n g a m a t h c l a s s , o r t h e y o f f e r e d t h i s n e w c l a s s w h i c h w a s c a l l e d c o n c e p t u a l m a t h w h i c h i s w h a t I e n d e d u p t a k i n g . I t w a s a c t u a l l y r e a l l y n e a t , b e c a u s e i t w a s f u l l o f a b u n c h o f k i d s t h a t h a d a l l d r o o u t o f t h e h o n o r s m a t h c o u r s e b u t w a n t e d t o t a k e a n o t fi i e r m a c l a s s . S o , i t w a s s t a t i s t i c s , p r o b a b i l i t y , a n d d i s c r e t e m a . T h e c o n c e p t u a l m a t h c l a s s s h e t o o k h e r s e n i o r y e a r w a s p r o b a b l y t h e m o s t p o s i t i v e e x p e r i e n c e s h e h a d w i t h m a t h . S h e w r o t e m o r e a b o u t t h a t c o u r s e i n h e r " R e fl e c t i o n s o f M a t h e m a t i c s E x p e r i e n c e s " j o u r n a l e n t r y . I n f a c t , i t w a s t h e m a i n t h i n g s h e w r o t e a b o u t : " W h e n I w a s i n 1 2 t h g r a d e I d e c i d e d t o t a k e s o m e o f t h e s t r e s s o f m y c o u r s e l o a d a n d I e n r o l l e d i n a c o u r s e c a l l e d " A d v a n c e d M a t h T o p i c s " i n s t e a d o f t h e n e x t c o u r s e o n m y t r a c k , A P C a l c u l u s . I a r r i v e d m y f i r s t d a y a n d f o u n d m y s e l f i n a r o o m w i t h a b o u t 1 5 o t h e r s t u d e n t s , a l l o f w h o m h a d p r e v i o u s l y b e e n s t u d e n t s i n m y h o n o r s m a t h c l a s s e s . T h e t e a c h e r b e g a n c l a s s b y s a y i n g t h a t s h e w a s a w a r e w e h a d a l l d r o p p e d o f f t h e h o n o r s t r a c k , p r o b a b l y b e c a u s e w e a l l w a n t e d t o f r e e u p t i m e f o r o t h e r t h i n g s d u r i n g o u r l a s t y e a r . N o n e t h e l e s s , s h e t o l d u s , s h e s fi l l w a n t e d u s t o l e a r n t h e m a t e r i a l s h e w a s g o i n g t o b e t e a c h i n g , a n d h a d d e v i s e d a p l a n w h e r e i n w e c o u l d l e a r n a n d n o t s p e n d h o u r s a t n i g h t d o i n h o m e w o r k . T h e f i r s t h a l f o f c l a s s w o u l d b e f o r l e c t u r e , w h i p r o c e e d e d a t a f a i r l y r a p i d p a c e . T h e s e c o n d h a l f o f c l a s s w e w e r e g i v e n a n a s s i g n m e n t w h i c h w a s t o b e c o m p l e t e d a n d h a n d e d i n b y t h e e n d o f t h e d a y . T h i s t u r n e d o u t t o b e a n e x c e l l e n t e x p e r i e n c e ! I ' v e n e v e r l e a r n e d s o m u c h i n a m a t h c l a s s — I a l w a y s p a i d a t t e n t i o n i n c l a s s a n d a n y q u e s t i o n s I h a d o n m y h o m e w o r k c o u l d b e a n s w e r e d i m m e d i a t e l y . A l o n g w i t h h e r w o r k p o l i c y , m y t e a c h e r b r o u g h t i n s e v e r a l a i d e s t o h e l p u s u n d e r s t a n d t h e m o r e d i f fi c u l t m a t e r i a l . W e r o l l e d d i c e d o i n g p r o b a b i l i t y , c o u n t e d o u t c a n d y i n s t a t i s t i c s , a n d c o n s t r u c t e d L e g o s d u r i n g D i s c r e t e M a t h . A s w e l l , s h e 2 3 5 b r o u g h t i n o t h e r t o o l s f o r l e a r n i n g t h a t w e r e n ' t a s ' e n t e r t a i n i n g ' a s t h o s e a b o v e . " B r i d g e t d i d r e l a t i v e l y w e l l i n h e r m a t h c l a s s e s , e x c e p t f o r G e o m e t r y a n d t r i g o n o m e t r y . D u r i n g h e r m i d - s e m e s t e r i n t e r v i e w , s h e d e s c r i b e d h o w s h e d i d i n h e r h i g h s c h o o l c l a s s e s t h i s w a y : " I d i d n ' t d o v e r y w e l l i n G e o m e t r y . A l g e b r a w a s e a s y . T r i g w a s t h e s a m e a s G e o m e t r y . B u t , t h e c o n c e p t u a l m a t h t h e s t a t i s t i c s a n d p r o b a b i l i t y w a s r e a l l y e a s y f o r m e , a n d t h e a l g e b r a w a s r e a l l y e a s y . B u t , I d o n ' t t h i n k I d i d v e r y w e l l i n G e o m e t r y . I a l w a y s h a d p r o b l e m s w i t h t h a t . I t w a s j u s t a l o t o f m e m o r i z a t i o n I t h i n k . " A t M i c h i g a n S t a t e U n i v e r s i t y , s h e o n l y t o o k t h e m a t h c l a s s e s t h a t w e r e r e q u i r e d f o r t h e t e a c h e r e d u c a t i o n p r o g r a m , a n d s h e d i d w e l l i n t h e m . S h e d e s c r i b e d h e r c o l l e g e e x p e r i e n c e w i t h m a t h c l a s s e s t h i s w a y : " W e l l , s o p h o m o r e y e a r I t o o k l i k e M a t h 1 0 3 , a n d i t w a s r e a l l y e a s y b e c a u s e i t w a s e v e r y t h i n g I h a d t a k e n i n h i g h s c h o o l , b u t t h a t w a s a l l I n e e d e d . S o , t h a t ' s w h a t I t o o k . T h e n I t o o k 2 0 1 a n d 2 0 2 f o r T B , a n d t h o s e w e r e t h e e x a c t s a m e t h i n g t h a t I t o o k i n m y s t a t i s t i c s c l a s s . A a i n ' , s o t h e y w e r e a l l r e a l l y e a s y f o r m e . B u t t h e m a t h p r o g r a m fi e r e — I d o n ' t t h i n k I l e a r n e d i t a s w e l l h e r e a s I d i d i n h i g h s c h o o l . I f I h a d n ' t k n o w n i t a l r e a d y , I p r o b a b l y w o u l d h a v e b e e n i n t r o u b l e . " B r i d g e t ' s C o n c e p t i o n s o f M a t h e m a t i c s T h e d a t a c o l l e c t e d f r o m B r i d g e t t h r o u g h o u t t h e s t u d y p r o v i d e s o m e i n s i g h t s i n t o B r i d g e t ' s c o n c e p t i o n s o f m a t h e m a t i c s . T h e y w i l l b e d i s c u s s e d i n t h e s u b s e q u e n t s e c fi o n s f o l l o w i n g t h e f o r m a t o f t h e f r a m e w o r k d e s i g n e d t o a n a l y z e t h i s s t u d y . ' B r i d g e t ' s b e g i n n i n g a n d e n d i n g c o n c e p t m a p s a r e s h o w n h e r e ( S e e F i g u r e s 4 2 a n d 4 3 ) . T h e y w i l l b e r e f e r r e d t o i n v a r i o u s s e c t i o n s o f t h e a n a l y s i s . 2 3 6 5 m m F i g u r e 4 3 : F i n a l M a t h C o n c e p t M a p o f B r i d g e t N a t u r e o f M a t h e m a t i c s C o n t e n t . A t t h e b e g i n n i n g o f t h e s e m e s t e r , B r i d g e t w r o t e a b o u t a f e w a r e a s o f t h e c o n t e n t o f m a t h e m a t i c s i n h e r b e g i n n i n g " W h a t I s M a t h e m a t i c s ? " j o u r n a l e n t r y . S h e w r o t e t h a t c a l c u l u s , p r o b a b i l i t y a n d s t a t i s t i c s , a n d d i s c r e t e m a t h w e r e p a r t o f m a t h a n d t h a t t h e b a s i c s w e r e a d d i t i o n , s u b t r a c t i o n , m u l t i p l i c a t i o n , a n d d i v i s i o n . I n h e r b e g i n n i n g m a t h c o n c e p t m a p , s h e a l s o i n c l u d e d t h e " b a s i c c o n c e p t s " — " a d d , " " s u b h ‘ a c t , " " m u l t i p l y , " a n d " d i v i d e . " S h e a l s o h a d " c a l c u l u s " c o n n e c t e d t o a c a t e g o r y s h e l a b e l e d " f u r t h e r i n g k n o w l e d g e " ( S e e F i g u r e 4 1 ) . B r i d g e t ' s fi n a l m a t h c o n c e p t m a p w a s i n g e n e r a l m o r e c o m p l e x t h a n h e r b e g i n n i n g m a p , a n d t h e c o n t e n t o f m a t h e m a t i c s w a s a n a r e a t h a t w a s m o r e e l a b o r a t e ( S e e F i g u r e 4 1 o n p a g e 2 3 7 a n d F i g u r e 4 2 o n p a g e 2 3 8 ) . I n h e r fi n a l c o n c e p t m a p , s h e h a d a c o n c e p t o f " D i f f e r e n t A r e a s " c o n n e c t e d t o " M a t h " w i t h t h e b a s i c o p e r a t i o n s " a d d , " " s u b t r a c t , " " m u l t i p l y , " a n d " d i v i d e " c o n n e c t e d t o i t , a n d s h e a l s o h a d " f r a c t i o n s , " " g e o m e t r y , " " t r i g , " " p a t t e r n s , " " t e s s e l l a t i o n s , " " s h a p e s , " " a n g l e s , " " c a l c u l u s , " a n d " d e c i m a l s " c o n n e c t e d t o i t . S h e a l s o h a d a c a t e g o r y o f " c o u n t i n g " c o n n e c t e d t o " m a t h " w i t h " n u m b e r l i n e s , " " n e g a t i v e n u m b e r s , " " p o s i t i v e n u m b e r s , " i m a g i n a r y n u m b e r s , " a n d " i r r a t i o n a l n u m b e r s " c o n n e c t e d t o i t . I t i s n ’ t c l e a r w h e t h e r w h a t B r i d g e t c o n s i d e r e d t o b e t h e c o n t e n t o f m a t h e m a t i c s i n c r e a s e d d u r i n g t h e s e m e s t e r , b u t s h e m a y h a v e b e e n r e m i n d e d o f s o m e o f t h e a r e a s d u r i n g t h e c o u r s e , a n d s h e m a y h a v e j u s t s p e n t m o r e t i m e t r y i n g t o m a k e a c o m p l e t e c o n c e p t m a p o n t h e fi n a l d a y t h a n s h e d i d o n t h e fi r s t d a y . I t d i d n ’ t s e e m t h a t s h e w a s l e s s e n g a g e d o n t h e f i r s t d a y o f t h e c l a s s t h a n s h e w a s a t t h e e n d o f i t ; i t j u s t s e e m e d t h a t a t t h a t p o i n t s h e w a s t h i n k i n g o f m o r e t h i n g s r e l a t e d t o t h e c o n c e p t o f ” m a t h " o n t h e l a s t d a y . A f t e r s p e n d i n g a s e m e s t e r t a l k i n g a b o u t m a t h e m a t i c s , i t w a s p r o b a b l y e a s i e r t o c o m e u p w i t h a l i s t o f r e l a t e d c o n c e p t s . I n h e r fi n a l " W h a t I s M a t h e m a t i c s ? " j o u r n a l e n t r y , s h e d i d n ' t w r i t e a n y t h i n g a b o u t t h e c o n t e n t o f m a t h e m a t i c s . P r o c e s s e s . B r i d g e t d i d n ' t i n c l u d e m u c h a b o u t h e r c o n c e p t i o n s o f t h e p r o c e s s e s u s e d i n d o i n g m a t h e m a t i c s i n h e r d a t a s o u r c e s . T h e r e w a s n o t h i n g a b o u t p r o c e s s e s i n h e r b e g i n n i n g o r fi n a l " W h a t I s M a t h e m a t i c s ? " j o u r n a l e n t r i e s o r i n h e r b e g i n n i n g m a t h c o n c e p t m a p . H o w e v e r , s h e d i d i n c l u d e s o m e t h i n g s r e l a t e d t o m a t h e m a t i c a l p r o c e s s e s i n h e r fi n a l m a t h c o n c e p t m a p . S h e i n c l u d e d a fi r s t - l e v e l c a t e g o r y o f " p r o b l e m s o l v i n g " w i t h " c o n c e p t u a l t h i n k i n g " a n d " s t o r y p r o b l e m s " c o n n e c t e d t o i t . S h e a l s o i n c l u d e d " d r a w i n g , " " d i a g r a m s , " a n d " g r a p h i n g " w h i c h c o u l d b e c o n s i d e r e d p r o c e s s e s t h a t a r e u s e d i n d o i n g 2 3 9 m a t h e m a t i c s . O f c o u r s e , w e a g a i n c a n ' t a s s u m e t h a t h e r i d e a s o f m a t h e m a t i c a l p r o c e s s e s i n c r e a s e d d u r i n g t h e s e m e s t e r , b u t i t d o e s a p p e a r t h a t t h e r e w a s a n i n c r e a s e o f a t t e n t i o n t o t h e m a t t h e e n d o f t h e s e m e s t e r . R e p r e s e n t a t i o n s . T h e o n l y t h i n g s r e l a t e d t o B r i d g e t ' s c o n c e p t i o n s o f h o w m a t h e m a t i c s i s r e p r e s e n t e d i n a l l o f t h e d a t a s o u r c e s w e r e t h e s u b c o n c e p t s o f " f o r m u l a s " a n d " h o w t o a r r a n g e t h i n g s " w r i t t e n o n h e r b e g i n n i n g c o n c e p t m a p ( S e e F i g u r e 4 2 o n p a g e 2 3 7 ) . C h a r a c t e r i s t i c s . B r i d g e t d i d n ' t i n c l u d e a n y t h i n g a b o u t h e r c o n c e p t i o n s o f t h e c h a r a c t e r i s t i c s o f m a t h e m a t i c s i n h e r b e g i n n i n g a n d f i n a l " W h a t I s M a t h e m a t i c s ? " j o u r n a l e n t r i e s o r i n h e r b e g i n n i n g a n d fi n a l m a t h c o n c e p t m a p s . H o w e v e r , w e d o l e a r n s o m e a b o u t h e r i d e a s o f t h e c h a r a c t e r i s t i c s o f m a t h e m a t i c s f r o m t h r e e i t e m s o n t h e M a t h e m a t i c s I n v e n t o r y ( S e e T a b l e 1 4 ) . T a b l e 1 4 : I t e m s R e l a t i n g t o C h a r a c t e r i s t i c s o f M a fl n e m a t i c s f r o m t h e M e d i e m a t i c s I n v e n t o r y w i t h B r i d g e t ' s R e s p o n s e s 2 n e e d t o b e m e m o n z e d . 1 1 . M a t h e m a t i c s i s s o m e t h i n g t h a t n o t e v e r y o n e i s a b l e t o 4 4 3 u n d e r s t a n d . _ _ ‘ 1 7 . M a t h e m a t i c s i s s o m e t h i n g a t w h i c h e v e r y o n e c a n b e 2 3 2 s u c c e s s f u l . F o r i t e m f o u r , " I t h i n k o f m a t h e m a t i c s a s a s e t o f i s o l a t e d f a c t s t h a t n e e d t o b e m e m o r i z e d , " B r i d g e t p u t a 3 o n t h e fi r s t d a y o f c l a s s . D u r i n g t h e m i d - s e m e s t e r i n t e r v i e w s h e g a v e i t a 1 . T h e i n t e r v i e w e r a s k e d h e r i f s h e t h o u g h t s h e h a d c h a n g e d a t a l l i n t h i n k i n g a b o u t t h a t . S h e s a i d , " Y a , I g u e s s s o . " T h e i n t e r v i e w e r t h e n a s k e d h e r i f s h e h a d a n y i d e a s w h y , a n d s h e r e s p o n d e d , " L i k e I s a i d b e f o r e , I j u s t I d o n ' t t h i n k I g a v e m u c h t h o u g h t t o m a t h b e f o r e . I t w a s j u s t s o m e t h i n g t h a t I d i d , a n d n o w I t h i n k I ' m s p e n d i n g a l o t m o r e t i m e t h i n k i n g a b o u t h o w I f e e l a b o u t i t a n d h o w I n e e d t o f e e l a b o u t i t t o b e a b l e t o t e a c h i t t o o t h e r k i d s . S o , I t h i n k t h a t t h a t ' s m a y b e p a r t o f t h e r e a s o n w h y . I d o n ' t w a n t t h e m t o t h i n k t h a t i t ' s f a c t s t h a t t h e y h a v e t o l e a r n . " 2 4 0 A t t h e e n d o f t h e s e m e s t e r , s h e g a v e i t a 2 — I i g h t i n b e t w e e n h e r b e g i n n i n g a n d m i d - s e m e s t e r r e s p o n s e s . B r i d g e t a g r e e d q u i t e s t r o n g l y w i t h i t e m 1 1 , " M a t h e m a t i c s i s s o m e t h i n g t h a t n o t e v e r y o n e i s a b l e t o u n d e r s t a n d . " O n t h e fi r s t d a y o f c l a s s a n d d u r i n g h e r m i d - s e m e s t e r i n t e r v i e w s h e p u t a 4 f o r t h a t i t e m . S h e e x p l a i n e d w h a t s h e w a s t h i n k i n g d u r i n g h e r m i d - s e m e s t e r i n t e r v i e w : " W e l l , y o u k n o w , t h e r e ' s a l w a y s o n e o r t w o p e o p l e w h o j u s t d o n ' t g e t m a t h n o m a t t e r . . . . I h a v e a c o u s i n t h a t s i n c e s h e ' s b e e n i n s e v e n t h g r a d e , a n d s i n c e I ' v e b e e n i n h i g h s c h o o l , I ' v e b e e n t u t o r i n g h e r i n m a t h , a n d l i k e e v e r y w e e k ] w o u l d g o t o h e r h o u s e , a n d e o u l d t r y t o h e l p h e r . W h e n s h e w a s i n h i s c h o o l a n d I w a s i n c o l l e , i t w a s l i k e e v e r y c o u p l e o f w e e k s t I s a w h e r . I w o u l d h e l p e r a n d t r y t o h e l p h e r d o a l g e b r a a n d g e o m e t r y , a n d s h e j u s t c a n ' t g e t i t . I t d o e s n ' t m a t t e r w h a t I d o , s h e j u s t d o e s n ' t g e t i t . A n d , u h , I d o n ' t t h i n k t h a t - b e c a u s e o t h e r p e o p l e w h e n I e x p l a i n t h i n g s t o t h e m t h e y u n d e r s t a n d i t — a n d I d o n ' t t h i n k t h a t i t w a s t h a t s h e w a s n ' t u n d e r s t a n d i n g m e , b e c a u s e s h e w a s n ' t u n d e r s t a n d i n g h e r t e a c h e r s e i t h e r . S h e j u s t d o e s n ' t g e t m a t h . 5 0 I t h i n k t h a t t h e r e a r e d e fi n i t e l y s o m e 1 e t h a t j u s t d o n ' t g e t i t , b u t t h e n t h e r e ' s a l o t o f p e o p l e t h a t d o m i n k t h a t t h e y g e t i t b u t r e a l l y c o u l d i f t h e y w o u l d j u s t p a y m o r e a t t e n t i o n . " T h e l a s t d a y o f c l a s s , B r i d g e t g a v e t h a t i t e m a 3 ; s o , s h e m a y n o t h a v e a g r e e d w i t h t h a t i d e a q u i t e a s s t r o n g l y b y t h e t i m e t h e s e m e s t e r e n d e d . B u t , i t e m 1 7 w a s s i m i l a r t o t h a t i t e m i n a n i n v e r s e w a y , a n d h e r fi n a l r e s p o n s e t o i t w a s m o r e c o n s i s t e n t w i t h h e r fi r s t t w o r e s p o n s e s t o i t e m 1 1 . I t e m 1 7 s t a t e s , " M a t h e m a t i c s i s s o m e t h i n g a t w h i c h e v e r y o n e c a n b e s u c c e s s f u l . " S h e g a v e i t a 2 o n t h e fi r s t d a y o f c l a s s , i n d i c a t i n g t h a t i t w a s s o m e t h i n g s h e d i s a g r e e d w i t h - n o t c o m p l e t e l y , b u t q u i t e s t r o n g l y . D u r i n g t h e m i d - s e m e s t e r i n t e r v i e w , s h e g a v e i t a 3 . M a y b e s h e h a d b e e n t h i n k i n g a b o u t i t m o r e a n d w a s n ' t s u r e w h a t s h e t h o u g h t . S h e e x p l a i n e d w h y s h e g a v e i t a 3 t h i s w a y : " W e l l , a g a i n , l i k e I s a i d , I t h i n k t h a t y o u h a v e a 1 0 0 p e o p l e . 5 0 o f t h e m c a n d o m a t h a n d y o u d o n ' t h a v e t o w o r r y a b o u t t h e m , a n d 3 0 o f t h e m n e e d a l o t o f h e l p d o i n g m a t h , a n d 1 5 o f t h e m t h i n k t h e y c a n ' t d o m a t h , b u t r e a l l y t h e y c a n . T h e y j u s t n e e d e x h ' a h e l p , a n d m a y b e fi v e o f t h e m j u s t c a n ' t d o i t . S o , I m e a n t h e r e ' s a l w a y s 2 4 1 o i n g t o b e p e o p l e w h o c a n d o i t , b u t t h e r e ' s m o r e p e o p l e w h o g u n k ' t h a t t h e y c a n ' t w h o j u s t n e e d m o r e h e l p t o d o i t . " T h i s s e e m e d l i k e q u i t e a t h o u g h t f u l a n s w e r e v e n t h o u g h i t i s n ' t e x a c t l y w h a t w e w o u l d l i k e h e r t o t h i n k . O n t h e fi n a l d a y o f c l a s s , s h e a g a i n g a v e i t a 2 . E v e n t h o u g h i t e m s 1 1 a n d 1 7 a r e r e l a t e d , B r i d g e t c o u l d h a v e e a s i l y a n d r e a s o n a b l y t h o u g h t o f t h e m a l i t t l e d i f f e r e n t l y . W e w o u l d n ' t n e c e s s a r i l y e x p e c t h e r a n s w e r s t o b e c o n s i s t e n t . D e p e n d i n g o n w h a t s o m e o n e t h i n k s o f a s " s u c c e s s , " u n d e r s t a n d i n g m a t h e m a t i c a l c o n c e p t s a n d b e i n g s u c c e s s f u l a t m a t h d o n o t n e c e s s a r i l y h a v e t o m e a n t h e s a m e t h i n g . U s e f u l n e s s o f M a t h e m a t i c s T h r o u g h o u t t h e s t u d y , B r i d g e t s a w m a t h e m a t i c s a s s o m e t h i n g t h a t i s u s e f u l . H o w e v e r , t h e r e s e e m s t o h a v e b e e n a t l e a s t a s l i g h t i n c r e a s e d u r i n g t h e s e m e s t e r i n h e r v i e w s o f w h e r e m a t h i s u s e d a n d h o w i t i s r e l a t e d t o t h e w o r l d . G e n e r a l U s e f u l n e s s o f M a t h e m a t i c s . T h e r e w e r e t h r e e i t e m s o n t h e M a t h e m a t i c s I n v e n t o r y t h a t w e r e r e l a t e d t o t h e g e n e r a l u s e f u l n e s s o f m a t h e m a t i c s ( S e e T a b l e 1 5 ) . B r i d g e t ' s r e s p o n s e s t o t h e s e i t e m s a t v a r i o u s t i m e s t h r o u g h o u t t h e s e m e s t e r g i v e u s s o m e i n s i g h t i n t o h e r i d e a s . B r i d g e t a g r e e d f a i r l y s t r o n g l y w i t h i t e m 3 , " I t h i n k m a t h e m a t i c s i s a n i m p o r t a n t s u b j e c t t h a t i s u s e f u l i n l i f e , " e a c h t i m e s h e t o o k t h e i n v e n t o r y . O n t h e fi r s t a n d l a s t d a y s o f c l a s s , s h e g a v e i t 4 . D u r i n g h e r m i d - s e m e s t e r i n t e r v i e w , s h e g a v e i t a 5 . D u r i n g t h a t i n t e r v i e w , s h e s a i d t h a t s h e h a d b e e n t h i n k i n g a b o u t i t m o r e " b e c a u s e o f w h a t w e ' v e b e e n s t u d y i n g i n t h e T E c l a s s . " S h e e x p l a i n e d , " W e ' v e b e e n d o i n g a l o t o f t a l k i n g a b o u t a p p l i c a t i o n s o f m a t h . " W h e n a s k e d w h a t k i n d s o f a p p l i c a t i o n s t h e y h a d b e e n t a l k i n g a b o u t , s h e s a i d , " S t u f f l i k e u s i n g m a t h i n r e c i p e s , a n d u s i n g m a t h t o fi g u r e o u t h o w f a r y o u ' r e g o i n g , h o w m a n y m i l e s t o t h e g a l l o n y o u ' r e g e t t i n g i n t h e c a r . T h i n g s I n e v e r r e a l l y t h o u g h t a b o u t b e f o r e . I w a s a l w a y s 2 4 2 d o i n g t h e m a t h , b u t I d i d n ' t k n o w . I w a s j u s t t h i n k i n g m o r e a b o u t t h e f a c t t h a t I ' m u s i n g t h o s e t h i n g s . " T a b l e 1 5 : I t e m s R e l a t i n g t o u s e f u l n e s s o f M a t h e m a t i c s f r o m t h e M g t h e m a t i c s I n v e n t o r y w i t h B r i d g e j s R e s p o n s e s [ M m 3 . I B a t m a n — r a t i o s i s a n i m p o r t a n t s u b j e c t fi t i s u s e f u l 4 5 4 i n l i f e . 5 . I t h i n k m a t h e m a t i c s i s s o m e t h i n g v e r y m u c h r e l a t e d t o 3 4 4 t h i s w o r l d . 1 3 . T h e o n l y p e o p l e w h o r e a l l n e e d t o u n d e r s t a n d m a t h 1 1 2 a r e t h o s e w h o c l n o s e a c a r e e r w ' c h r e q u i r e s m a t h s k i l l s . F o r i t e m 5 , " I t h i n k m a t h e m a t i c s i s s o m e t h i n g v e r y m u c h r e l a t e d t o t h i s w o r l d , " B r i d g e t ' s r e s p o n s e i n c r e a s e d f r o m a 3 t h e fi r s t d a y t o a 4 d u r i n g t h e m i d - s e m e s t e r i n t e r v i e w a n d o n t h e fi n a l d a y o f c l a s s . S h e e x p l a i n e d t h a t t h e r e a s o n s h e t h o u g h t h e r r e s p o n s e h a d c h a n g e d a l i t t l e b i t w a s n o t b e c a u s e s h e d i d n ' t k n o w t h o s e t h i n g s b e f o r e , b u t j u s t b e c a u s e s h e h a d b e e n t h i n k i n g a b o u t i t m o r e . S h e s a i d , " I ' v e j u s t b e e n t h i n k i n g m o r e a b o u t i t . S o , I t h i n k p r o b a b l y l j u s t . . . . I t ' s n o t t h a t I n e v e r k n e w t h e s e t h i n g s b e f o r e — l i k e I n e v e r k n e w t h a t m a t h w a s w h a t y o u u s e d t o fi o u t h o w m u c h y o u t o o k o f f y o u r s w e a t e r i f i t w a s o n s a l e o r w t e v e r . B u t I j u s t n e v e r t h o u g h t a b o u t i t l i k e e x p l a i n i n g i t t o s o m e o n e e l s e p r o b a b l y . " B r i d g e t d i s a g r e e d w i t h i t e m 1 3 , " T h e o n l y p e o p l e w h o r e a l l y n e e d t o u n d e r s t a n d m a t h a r e t h o s e w h o c h o o s e a c a r e e r w h i c h r e q u i r e s m a t h s k i l l s . " O n t h e fi r s t d a y o f c l a s s a n d d u r i n g t h e m i d - s e m e s t e r i n t e r v i e w , s h e g a v e i t a 1 , a n d o n t h e l a s t d a y o f c l a s s , s h e g a v e i t a 2 . R e g a r d i n g t h i s i t e m , s h e s a i d , " W e l l , e v e r y b o d y n e e d s t o k n o w h o w t o d o m a t h , c a u s e w e a l l h a v e t o d r i v e , w e a l l h a v e t o b u y s t u f f , e t c . " P e r s o n a l U t i l i t y . B r i d g e t d i d n ' t w r i t e a b o u t h o w s h e u s e d m a t h p e r s o n a l l y i n e i t h e r o f h e r " W h a t I s M a t h e m a t i c s ? " j o u r n a l e n t r i e s , b u t s h e d i d i n c l u d e s o m e i t e m s r e l a t e d t o p e r s o n a l u t i l i t y o n b o t h o f h e r m a t h c o n c e p t m a p s . O n h e r b e g i n n i n g c o n c e p t m a p , c o n n e c t e d t o a t o p i c " u n d e r s t a n d h o w t h i n g s w o r k , " s h e i n c l u d e d " s a l e p r i c e s , " " g p a , " " d i s t a n c e t r a v e l e d , " a n d " a m o u n t o f g a s 2 4 3 l e f t " ( S e e F i g u r e 4 2 o n p a g e 2 3 7 ) . O n h e r fi n a l c o n c e p t m a p , s h e i n c l u d e d s i m i l a r i t e m s , b u t w i t h s l i g h t d i f f e r e n c e s : " d r i v i n g , " " c o o k i n g , " a n d " s h o p p i n g " ( S e e F i g u r e 4 3 o n p a g e 2 3 8 ) . T h e s e w e r e c o n n e c t e d t o a c a t e g o r y l a b e l e d " a p p l y m a t h t o r e a l l i f e . " I n h e r fi n a l i n t e r v i e w , a s e m e s t e r a f t e r t h e c o u r s e , B r i d g e t t a l k e d a l i t t l e m o r e a b o u t h o w s h e a n d o t h e r s c o u l d u s e m a t h p e r s o n a l l y . S h e w a s a s k e d i f m a t h e x i s t e d d i f f e r e n t l y o r a t a l l o u t s i d e o f a s c h o o l c l a s s r o o m , a n d s h e s a i d , " W e l l , y a , b e c a u s e l i k e I w a s s a y i n g , I m e a n m a t h i s s o m e t h i n g t h a t ' s l i k e . . . . I t ' s d e fi n i t e l y s e p a r a t e f r o m t h e s c h o o l c l a s s r o o m , b e c a u s e o n c a n d o m a t h o u t s i d e o f s c h o o l , a n d y o u d o n ' t e v e n r e a l i z e t h a t y o u ' r e d o i n g l i k e m a t h w o r k . A n d , m o s t p e o p l e a s s o c i a t e w o r k w i t h s c h o o l , a n d y o u k n o w , i f y o u h a v e t o l i k e fi g u r e p e r c e n t a g e s a t y o u r j o b , y o u k n o w l i k e i f y o u r j o b i s y o u k n o w w o r k i n a t T h e L i m i t e d o r s o m e t h i n g , a n d y o u h a v e t o t a k e 2 0 % o f f a l l t h e s h i r t s o r s o m e t h i n g , t h e n y o u w o u l d t h i n k t h a t y o u ' r e d o i n g m a t h l i k e y o u w o u l d i n s c h o o l . B u t , i t ' s l i k e o t h e r s t u f f b e s i d e s t h a t l i k e l e s s o b v i o u s t h i n g s l i k e t r y i n g t o fi g u r e o u t , y o u k n o w , I d o n ' t k n o w , h o w m u c h m o n e y t o p u t i n t h e a r k i n g m e t e r o r s o m e t h i n g l i k e t h a t . B u t i t ' s l i k e m a t h w o r k t l f a t y o u d o n ' t e v e n r e a l i z e y o u ' r e d o i n g i t . " E v e n t h o u g h t h e d a t a t h a t w a s a v a i l a b l e r e l a t e d t o B r i d g e t ' s i d e a s o f m a t h ' s u s e f u l n e s s f o r h e r p e r s o n a l l y w a s q u i t e l i m i t e d , i t a p p e a r s t h a t s h e r e c o g n i z e d i t s u s e f u l n e s s b o t h a t t h e b e g i n n i n g o f t h e s e m e s t e r a n d a t t h e e n d o f t h e s t u d y . I n d i r e c t P e r s o n a l U t i l i t y . B r i d g e t i n c l u d e d o n e i t e m o n h e r b e g i n n i n g m a t h c o n c e p t m a p t h a t w a s r e l a t e d t o i n d i r e c t p e r s o n a l u t i l i t y . T h a t w a s " t r a f fi c l i g h t s . " T h a t w a s p r o b a b l y b e c a u s e o n t h e f i r s t d a y o f c l a s s s o m e o n e s a i d s o m e t h i n g a b o u t m a t h e v e n b e i n g u s e d t o b u i l d a n d o p e r a t e t r a f fi c l i g h t s . S h e d i d n ' t i n c l u d e a n y t h i n g o n h e r fi n a l c o n c e p t m a p r e l a t e d t o i n d i r e c t p e r s o n a l u t i l i t y . B r i d g e t a l s o d i d n ' t w r i t e a n y t h i n g a b o u t m a t h ' s i n d i r e c t u t i l i t y f o r h e r i n h e r b e g i n n i n g " W h a t I s M a t h e m a t i c s ? " j o u r n a l e n t r y , b u t i n h e r fi n a l o n e , s h e s e e m e d t o b e t h i n k i n g o f i t m o r e . S h e w r o t e , 2 4 4 ” I u s e d t o t h i n k t h a t m a t h w a s s o m e t h i n g t h a t w e d i d f o r a n h o u r a d a y i n s c h o o l t h a t c o u l d b e f o r g o t t e n a b o u t a s s o o n a s t h e b e l l r a n g . N o w , m y v i e w s h a v e c h a n g e d . I n s t e a d o f b e i n g s o m e t h i n g t h a t c a n b e e a s i l y f o r g o t t e n , m a t h i s s o m e t h i n g t h a t i s i n v o l v e d i n e v e r y a s p e c t o f m y l i f e . " S h e s e e m e d t o s t i l l b e t h i n k i n g o f t h i s a s e m e s t e r a f t e r t h e c o u r s e w h e n s h e h a d h e r fi n a l i n t e r v i e w . A n e x a m p l e t h a t i l l u s t r a t e s a l i t t l e o f h o w B r i d g e t u n d e r s t o o d t h e r e l a t i o n o f m a t h e m a t i c s t o m a n y t h i n g s w a s a c o m m e n t s h e m a d e d u r i n g h e r fi n a l i n t e r v i e w w h e n s h e w a s a s k e d w h a t i t m e a n s t o d o m a t h : " W e l l , y o u ' r e a l w a y s d o i n g m a t h . . . . ' M a t h i s e v e r y w h e r e . ‘ B u t r e a l l y i t i s i f y o u t h i n k a b o u t i t l i k e . . . . l i k e I w a s s i t t i n g h e r e a n d I w a s l o o k i n g a t t h e s e t a b l e s , a n d t h e r e ' s f o u r t a b l e s p u t t o g e t h e r , a n d t h e y m a k e a b i g r e c t a n g l e . B u t , t h e n l i k e , I w a s t h i n k i n g a b o u t h o w t h i s r e c t a n g l e o f t h i s t a b l e t h a t w e ' r e s i t t i n g a t i s e x a c t l y p r o p o r t i o n a t e t o l i k e t h i s b i } r e c t a n g l e t h a t a l l f o u r o f t h e m m a k e u p , a n d w e l l l w a s n ' t r e a l l y t ' ' g a b o u t d o i n g m a t h , b u t I g u e s s t h a t ' s d o i n g m a t h . A n d t h e n , l i k e , w h a t e v e r , s o y o u c a n ' t r e a l l y t e l l i f s o m e o n e i s d o i n g m a t h I t h i n k , b e c a u s e . . . u n l e s s t h e y ' r e w r i t i n g i t d o w n . B u t , a l o t o f t i m e s y o u ' r e d o i n g m a t h a n d n o t w r i t i n g i t d o w n . " A l s o i n h e r fi n a l i n t e r v i e w , B r i d g e t w a s a s k e d i f s h e c o n s i d e r e d m a t h e m a t i c s a s s o m e t h i n g v a l u a b l e , a n d s h e r e s p o n d e d , " Y e s , i t ' s v a l u a b l e . I t ' s v a l u a b l e e v e r y w h e r e . Y e s . I m e a n , g e n e r a l l y s p e a k i n g , m a t h i s s o m e t h i n g t h a t ' s i n c o r p o r a t e d i n t o l i k e a l l t h e d i f f e r e n t p a r t s o f y o u r l i f e . S o , i t ' s p r e t t y m u c h v a l u a b l e f o r e v e r y b o d y . " U t i l i t y f o r O t h e r s . B r i d g e t a l s o r e c o g n i z e d t h a t m a t h w a s u s e d b y o t h e r s , e s p e c i a l l y i n s p e c i fi c p r o f e s s i o n s . I n h e r b e g i n n i n g " W h a t I s M a t h e m a t i c s ? " j o u r n a l e n t r y , s h e w r o t e , " [ T ] h e s e t h i n g s l a y t h e f o u n d a t i o n f o r u n d e r s t a n d i n g i n c h e m i s t r y , p h y s i c s , a n d e n g i n e e r i n g . W i t h o u t a g o o d w o r k i n g k n o w l e d g e o f m a t h , w e w o u l d n ' t b e a b l e t o a c c o m p l i s h m u c h i n t h e s e o t h e r r e l a t e d fi e l d s . " S h e a l s o i n c l u d e d " e n g i n e e r i n g " o n h e r b e g i n n i n g c o n c e p t m a p s c o n n e c t e d t o " c a l c u l u s " ( S e e F i g u r e 4 2 o n p a g e 2 3 7 ) . I n h e r fi n a l c o n c e p t m a p , s h e i n c l u d e d e v e n m o r e p r o f e s s i o n s t h a t u s e m a t h - " d o c t o r s , " a r c h i t e c t s , I n t e r i o r d e s i g n , " 2 4 5 ~ . . s a 0 9 J . " c h e f s , " a n d " c o n s t r u c t i o n " ( S e e F i g u r e 4 2 o n p a g e 2 3 8 ) . T h e s e w e r e c o n n e c t e d t o " w o r k i n g " w h i c h w a s c o n n e c t e d t o " a p p l y m a t h t o r e a l l i f e . " T h e s e w e r e t h e o n l y p l a c e s s h e s p e c i fi c a l l y n o t e d h o w m a t h e m a t i c s i s u s e d b y o t h e r s i n a w a y t h a t s h e m i g h t n o t u s e i t h e r s e l f . L e a r n i n g a n d T e a c h i n g M a t h e m a t i c s B r i d g e t ' s i d e a s a b o u t l e a r n i n g a n d t e a c h i n g m a t h e m a t i c s r e m a i n e d q u i t e c o n s t a n t t h r o u g h o u t t h e s e m e s t e r w i t h s l i g h t c h a n g e s . S o m e o f w h a t w e l e a r n a b o u t B r i d g e t ' s i d e a s r e l a t e d t o l e a r n i n g a n d t e a c h i n g m a t h e m a t i c s c o m e s f r o m h e r r e s p o n s e s t o s o m e i t e m s f r o m t h e M a t h e m a t i c s I n v e n t o r y w h i c h c a n b e s e e n i n T a b l e 1 6 . T h e s e r e s p o n s e s w i l l b e d i s c u s s e d i n t h e f o l l o w i n g s e c t i o n s . T a b l e 1 6 : I t e m s R e l a t i n g t o L e a r n i n g a n d T e a c h i n g M a t h e m a t i c s f r o m t h e M a t h e m a t i c s I n v e n t o r y w i t h B r i d g i s R e s p o n s e s 1 0 . T e a ' n g c u l t s i n c e 4 a t e x t b o o k a l r e a d y h a s t h e l e s s o n s p r e p a r e d . 2 2 . T h e b e s t w a y t o l e a r n m a t h i s t o m e m o r i z e t h e r u l e s . 2 2 3 . S t u d e n t s ' r e a s o n i n i s m o r e i m p o r t a n t t h a n i f t h e y a r e 4 E g g t o g e t t h e a n s w e r t h a t m a t c h e s t h e a n s w e r k e y . 2 4 . I n l e a r n i n g m a t h , i t i s i m p o r t a n t t o m a s t e r t o p i c s a n d 5 — — s k i l l s a t o n e l e v e l b e f o r e g o i n g o n . L e a r n i n g M a t h e m a t i c s . B r i d g e t h a d s o m e d e fi n i t e i d e a s a b o u t h o w m a t h i s l e a r n e d . S h e d i d n ' t t h i n k t h e b e s t w a y t o l e a r n i t w a s t o m e m o r i z e t h e r u l e s , a s c a n b e s e e n w i t h h e r r e s p o n s e s t o i t e m 2 2 , " T h e b e s t w a y t o l e a r n m a t h i s t o m e m o r i z e t h e r u l e s . " S h e e x p l a i n e d w h a t s h e w a s t h i n k i n g a b o u t t h a t d u r i n g t h e m i d — s e m e s t e r i n t e r v i e w : " T h e r e a s o n t h a t I d i d n ' t p u t 1 i s t h a t I t h i n k t h e r e i s s o m e m e m o r i z a t i o n i n v o l v e d i n m a t h . I t ' s n o t t h e m o s t i m p o r t a n t o r b e s t w a y t o l e a r n m a t h , b u t y o u c a n ' t d o c a l c u l u s o r y o u c a n ' t g e o m e t r y w i t h o u t l e a r n i n g t h e t h e o r e m s , a n d y o u c a n ' t d o t r i g w i t h o u t l e a r n i n g y o u r p r o p e r t i e s o r w h a t e v e r . A l l t h a t s t u f f . T h e y ' r e l i k e i n l i t t l e b o x e s i n m y e o m e t r y b o o k . A n y w a y , s o I t h i n k t h e r e a r e t h i n g s t h a t y o u d o h a v e t o m e m o r i z e , b u t i t ' s n o t t h e b e s t w a y t o l e a r n m a t h . I t ' s j u s t h o w y o u d o m a t h . " 2 4 6 F o r i t e m 2 3 , " S t u d e n t s ' r e a s o n i n g i s m o r e i m p o r t a n t t h a n i f t h e y a r e a b l e t o g e t t h e a n s w e r t h a t m a t c h e s t h e a n s w e r k e y , " B r i d g e t p u t a 4 t h e fi r s t d a y o f c l a s s , i n d i c a t i n g f a i r l y s t r o n g a g r e e m e n t w i t h t h e s t a t e m e n t , b u t s h e p u t a 3 — r i g h t i n t h e m i d d l e — d u r i n g h e r m i d - s e m e s t e r i n t e r v i e w a n d o n t h e l a s t d a y o f c l a s s . D u r i n g t h e m i d - s e m e s t e r i n t e r v i e w , s h e s a i d s h e t h o u g h t s h e h a d p r o b a b l y p u t a 3 t h e fi r s t d a y a l s o , a n d w h e n s h e w a s t o l d s h e p u t a 4 , s h e w a s a s k e d i f s h e h a d b e e n t h i n k i n g a b o u t t h a t m o r e , a n d s h e r e s p o n d e d , " U m , y a . U m , I t h i n k i t ' s i m p o r t a n t t h a t k i d s k n o w t h e t h a t t h e y ' r e g o i n g t h r o u g h t o g e t t h e a n s w e r , b u t u h , a n i f t h e y g e t t h a t r i g h t a n d t h e y g e t t h e a n s w e r w r o n g , i t ' s d e fi n i t e l y b e t t e r t h a n i f t h e y h a v e t h e w h o l e t h i n g w r o n g , b u t I b e l i e v e m o r e a n d m o r e t h a t i t ' s s t i l l r e a l l y i m p o r t a n t t o g e t t h e a n s w e r , b e c a u s e i t ' s n i c e h o w i t a l l s o u n d s o n p a p e r , b u t i n t h e r e a l w o r l d , i f y o u g e t t h e w r o n g a n s w e r , { 2 : g e t i t w r o n g . I m e a n r e a s o n i n g i s i m p o r t a n t , b u t i t ‘ d e fi n i t e l y a n e n d y o u n e e d t o fi n d . " B r i d g e t s t r o n g l y a g r e e d w i t h i t e m 2 4 , " I n l e a r n i n g m a t h , i t i s i m p o r t a n t t o m a s t e r t o p i c s a n d s k i l l s a t o n e l e v e l b e f o r e g o i n g o n . " S h e g a v e i t a 5 o n t h e fi r s t d a y o f c l a s s . S h e a l s o g a v e i t a 5 d u r i n g h e r m i d - s e m e s t e r i n t e r v i e w a n d e x p l a i n e d w h y s h e t h o u g h t t h a t : " W e l l , b e c a u s e y o u c a n ' t d o a l g e b r a i f y o u d o n ' t k n o w h o w t o m u l t i p l y , a n d y o u c a n ' t d o t r i g i f y o u d o n ' t k n o w h o w t o d o a l g e b r a , a n d y o u c a n ' t d o c a l c u l u s i f y o u d o n ' t k n o w h o w t o d o t r i g , a n d y o u c a n ' t d o r o b a b i l i t y i f y o u c a n ' t a d d , a n d l i k e , o n k n o w , i f y o u g o f r o m e r e t o t h e r e w i t h o u t k n o w i n g h e r e , e n y o u ' r e l o s t w h e n y o u g e t t h e r e . " T h i s w a s c o n s i s t e n t w i t h w h a t s h e w r o t e i n h e r b e g i n n i n g " W h a t I s M a t h e m a t i c s ? " j o u r n a l e n t r y : " U n d e r s t a n d i n g b a s i c m a t h c o n c e p t s i s t h e f r a m e w o r k f o r u n d e r s t a n d i n g a n d s u c c e e d i n g i n u p p e r - l e v e l m a t h c o u r s e s . W h e n w e r e a c h t h e u p p e r l e v e l s o f m a t h , w e b e g i n w o r k i n g , i n s t e a d o f w i t h ' m e a n i n g l e s s ' n u m b e r s , w i t h c o n c e p t s t h a t w i l l a c t u a l l y r e l a t e t o o u r l i v e s . ” I t ’ 3 r a t h e r o d d t h a t s h e c o n s i d e r e d t h e c o n c e p t s f r o m t h e ” u p p e r - l e v e l m a t h c o u r s e s ” a s t h o s e t h a t a c t u a l l y r e l a t e t o o u r l i v e s s i n c e t h e e x a m p l e s s h e g a v e o f 2 4 7 h o w s h e p e r s o n a l l y u s e d m a t h e m a t i c s w e r e t h i n g s l i k e s h o p p i n g w h i c h u s e l o w - l e v e l m a t h . H o w e v e r , s h e f u r t h e r e l a b o r a t e d o n h e r i d e a s r e l a t e d t o m a t h b e i n g a ” s t e p p i n g s t o n e ” i n t h a t s a m e j o u r n a l e n t r y : " T h e k e y t h e n , t o s u c c e s s , i s t o b e c o n fi d e n t i n t h e b a s i c s k i l l s i n m a t h . U n d e r s t a n d i n g a d d i t i o n , s u b t r a c t i o n , m u l t i p l i c a t i o n , a n d d i v i s i o r L t h i n g s t h a t s e e m l i k e s e c o n d n a t u r e t o u s , i s e s s e n t i a l t o a c h i l d . B e s i d e s p r e p a r i n g t h e m f o r l a t e r s u c c e s s e s , s t r o n g m a t h s k i l l s c a n l e a d t o a n i m p r o v e m e n t i n s e l f - e s t e e m , a s m u c h o f a c h i l d ' s " w o r " i n a s c h o o l i s d i r e c t l y r e l a t e d t o t h e i r a c h i e v e m e n t s , p a r t i c u l a r l y i n m a t h . S o , m a t h i s n o t o n l y a s t e p p i n g s t o n e t o o t h e r a r e a s , i t i s a d e s t i n a t i o n f o r s t u d e n t s . W o r k i n g t o w a r d s a n u n d e r s t a n d i n g i n m a t h i s s o m e t h i n g s t u d e n t s s t r i v e f o r a n d s o m e t h i n g t h a t t e a c h e r s e x p e c t t o s e e . " W h e n B r i d g e t r e s p o n d e d t o i t e m 2 4 a t t h e e n d o f t h e s e m e s t e r , s h e g a v e i t a 4 . S h e a p p a r e n t l y s t i l l s t r o n g l y a g r e e d w i t h i t , b u t h e r r e s p o n s e l e f t a l i t t l e r o o m f o r s o m e o t h e r p o s s i b i l i t y . I n h e r fi n a l i n t e r v i e w , B r i d g e t w a s a s k e d w h a t s h e t h o u g h t w a s t h e b e s t w a y t o l e a r n m a t h , a n d s h e s a i d , " I g u e s s , t o s t a r t o f f w i t h l i k e w h e n y o u ' r e l i t t l e y o u j u s t h a v e t o d o i t o v e r a n d o v e r a n d o v e r a g a i n b e c a u s e y o u ' v e g o t t o b e e x p o s e d t o a l l t h e w a y s o f d o i n g t h i n g s a n d a l l t h e d i f f e r e n t l i k e r e a s o n s f o r d o i n g t h i n g s . W h e n I s a y l i k e d o i t o v e r a n d o v e r , I d o n ' t m e a n l i k e d o a w o r k s h e e t w i t h a 1 0 0 m u l t i p l i c a t i o n p r o b l e m s o n i t , I m e a n l i k e c o n s i s t e n t l y w o r k i n o n d i f f e r e n t m a t h t h i n g s l i k e s t o r y p r o b l e m s a n d t h a t k i n d 0 s t u f f . L i k e m y e l e m e n t a r y s c h o o l , t h e y d o n ' t d o m a t h e v e r y d a y . I t h i n k t h a t t h e y j u s t n e e d t o l i k e d o i t a l l t h e t i m e , a n d t h e y n e e d t o r e c o g n i z e t h a t a r e c o n s t a n t l y d o i n g i t f o r o t h e r t h i n g s , t o o , l i k e d i v i d i n g u p g r o u p s o f t h e i r f r i e n d s t o p l a y b a s e b a l l o r w h a t e v e r . L i k e , I t h i n k i f t h e y s t a r t e d t o r e a l i z e t h e n t h a t w o u l d b e t h e w a y t o s t a r t o f f t o l e a r n m a t h . B u t , t h e n I t h i n k t h a t a s y o u g e t o l d e r a n d c a n s t a r t t o c o n c e p t u a l l y t h i n k , I t h i n k t h a t l e a r n i n g m a t h i s l i k e s o m e t h i n y o u c a n o n l y d o i f y o u ' r e l i k e . . . I d o n ' t k n o w , l i k e I h a v e a n o e r e x a m p l e . I r e m e m b e r m y A l g e b r a I I t e a c h e r w a s t r y i n g t o t e a c h u s t h e c o n c e p t o f e x p o n e n t i a l e x p a n s i o n , a n d l i k e w e w o u l d j u s t s i t t h e r e i n c l a s s a n d l o o k a t h i m l i k e , " H u h ? " N o o n e u n d e r s t o o d w h a t h e w a s d o i n g . A n d , t h e n h e d i d s o m e t h i n g , a n d I d o n ' t r e m e m b e r e x a c t l y w h a t h e d i d , b u t h e w a s s t a n d i n g , a n d h e w a s l i k e s t a n d i n g a c r o s s t h e r o o m f r o m s o m e t h i n g e l s e , a n d h e w a s s a y i n g l i k e o k a y n o w , h e s a i d t h i s h o w e v e r f a r a w a y , a n d t h e n h e w e n t o v e r a n d h e ' s l i k e , " N o w I ' m t h i s f a r a w a y . " A n d , t h e n h e ' s l i k e n o w I ' m h a l f o f t h i s a n d t h i s f a r 2 4 8 a w a y a g a i n . H e w a s l i k e , " N o w I ' m h a l f o f t h i s . . . " a n d h e ' s l i k e m e a s u r i n g i t o u t w i t h a p i e c e o f t a p e s o w e c o u l d a c t u a l l y v i s u a l l y s e e h i m l i k e e x p o n e n t i a l l y g e t t i n g f a r t h e r a w a y f r o m t h i s fi x e d o b j e c t . A n d , l i k e t h a t ' s t h e k i n d o f t h i n g l i k e w h e n y o u t r y t o l e a r n h a r d e r m a t h t h i n g s , y o u h a v e t o b e a b l e t o l i k e v i s u a l i z e t h e m . I t h i n k t h a t ' s t h e p r o b l e m I h a d w i t h g e o m e t r y . I c a n ' t l i k e v i s u a l i z e t h o s e t h i n g s , b u t I t h i n k t h a t i n o r d e r t o l e a r n t h i n g s , y o u ' r e g o i n g t o h a v e t o s e e h o w t h e y a c t u a l l y w o r k . I t m a k e s s e n s e , c a u s e j u s t p a p e r d o e s n ' t m a k e a n y s e n s e . F r o m t h i s r e s p o n s e , w e l e a r n t h a t a s e m e s t e r a f t e r t h e c o u r s e w a s fi n i s h e d , B r i d g e t ’ s c o n c e p t i o n s o f h o w m a t h i s l e a r n e d i n c l u d e d t h e i d e a s t h a t s t u d e n t s n e e d e d t o s p e n d a l o t o f t i m e d o i n g m a t h t o l e a r n i t , t h a t b e i n g a b l e t o v i s u a l i z e t h e c o n c e p t — p e r h a p s e v e n w i t h a p h y s i c a l r e p r e s e n t a t i o n — h e l p s w i t h l e a r n i n g , a n d t h a t ” i n o r d e r t o l e a r n t h i n g s , y o u ’ r e g o i n g t o h a v e t o s e e h o w t h e y a c t u a l l y w o r k . ” T e a c h i n g M a t h e m a t i c s . B r i d g e t ' s i d e a s a b o u t t e a c h i n g m a t h e m a t i c s c h a n g e d s o m e w h a t d u r i n g t h e c o u r s e o f t h e s e m e s t e r . O n e a r e a w h e r e B r i d g e t ' s i d e a s a b o u t t e a c h i n g m a t h e m a t i c s s e e m e d t o c h a n g e d u r i n g t h e s e m e s t e r w a s t h e i d e a r e l a t e d t o i t e m 1 0 f r o m t h e M a t h e m a t i c s I n v e n t o r y , " T e a c h i n g m a t h e m a t i c s s h o u l d n o t b e t o o d i f fi c u l t s i n c e a t e x t b o o k a l r e a d y h a s t h e l e s s o n s p r e p a r e d . " O n t h e fi r s t d a y o f c l a s s s h e p u t a 4 , b u t t h e n e x t t w o t i m e s s h e t o o k t h e i n v e n t o r y , s h e g a v e i t a 2 . D u r i n g t h e m i d - s e m e s t e r i n t e r v i e w , t h e i n t e r v i e w e r a s k e d h e r i f s h e h a d a n y i d e a s o f " w h a t h a p p e n e d t h e r e . " S h e r e p l i e d " A g a i n , t h i s c l a s s h a s s h o w n t h a t y o u c a n ' t j u s t o p e n u p a b o o k a n d g i v e a w o r k s h e e t t o s o m e o n e a n d s a y , ' o k a y d o t h i s . ‘ I t ' s m o r e l i k e y o u h a v e t o u n d e r s t a n d i t w e l l e n o u g h t o t e a c h s o m e o n e e l s e w h a t i t i s t h a t t h e y ' r e d o i n g b e f o r e t h e y c a n a c t u a l l y d o i t . S o , i t ' s n o t j u s t h a n d i n g o u t t h e d i t t o a n d o p e n i n g t h e t e x t b o o k . " ' T h e i n t e r v i e w e r t h e n a s k e d h e r i f t h e r e w a s a n y t h i n g i n p a r t i c u l a r i n t h e c l a s s t h a t h a d m a d e h e r t h i n k t h a t w a y . H e r r e s p o n s e w a s , " Y a , e v e r y t h i n g a b o u t t h e c l a s s i s . W e ' r e r e a l l y s p e n d i n g a l o t o f t i m e t a l k i n g a b o u t h o w w e c a n ' t j u s t h a n d o u t a d i t t o a n d e x p e c t 2 4 9 t h a t t h e y ' r e g o i n g t o e t t h e c o n c e p t — t h a t w e ' v e g o t t o a c t u a l l y e x p l a i n a n d g o t h r o u g l E t h e w h o l e p r o c e s s . I t h i n k t h a t ' s s o m e t h i n g w e ' v e t a l k e d a b o u t — — a b o u t h o w i t ' s s o i m p o r t a n t t o d o t h a t . " B r i d g e t r e c o g n i z e d t h a t a t e a c h e r ' s a t t i t u d e c a n i n fl u e n c e t h e s u c c e s s o f t h e s t u d e n t s i n m a t h e m a t i c s a t t h e b e g i n n i n g o f t h e s e m e s t e r a n d a t t h e e n d o f t h e s e m e s t e r . O n e o f t h e o p e n - e n d e d q u e s t i o n s t h e s t u d e n t s w e r e a s k e d i n t h e M a t h e m a t i c s I n v e n t o r y w a s , " W h a t k i n d o f i n fl u e n c e d o y o u t h i n k t h e t e a c h e r p l a y s i n t h e s u c c e s s o f s t u d e n t s i n m a t h e m a t i c s ? " O n t h e fi r s t d a y o f c l a s s , B r i d g e t w r o t e , " T h e t e a c h e r ( i f s h e h a s a p o s i t i v e a t t i t u d e ) c a n g i v e t h e c l a s s a g o o d a t t i t u d e b y m a k i n g s u r e t h a t e v e r y s t u d e n t u n d e r s t a n d s a n d f e e l s c o n fi d e n t w i t h t h e i n f o r m a t i o n b e i n g t a u g h t . " O n t h e l a s t d a y o f c l a s s , s h e w r o t e s o m e t h i n g a l i t t l e d i f f e r e n t , b u t n o t c o n t r a d i c t o r y . S h e w r o t e , " I f a t e a c h e r l i k e s m a t h , h e r s t u d e n t s w i l l l i k e i t m o r e t h a n i f t h e t e a c h e r d o e s n o t l i k e m a t h . " H o w e v e r , i t s e e m s l i k e t h i s i s o n e p l a c e w h e r e B r i d g e t ' s i d e a s a b o u t t e a c h i n g m a t h e m a t i c s c h a n g e d a t l e a s t s o m e w h a t d u r i n g t h e s e m e s t e r . B y t h e e n d o f t h e s e m e s t e r , s h e s e e m e d t o h a v e a g r e a t e r r e c o g n i t i o n o f t h e e f f e c t t e a c h e r s ' a t t i t u d e s t o w a r d m a t h e m a t i c s c a n h a v e o n t h e i r t e a c h i n g i t a n d t h e i r s t u d e n t s l e a r n i n g i t . B r i d g e t ' s r e s p o n s e s t o a n o t h e r o p e n - e n d e d q u e s t i o n f r o m t h e M a t h e m a t i c s I n v e n t o r y s h o w h o w h e r c o n c e p t i o n s m a y h a v e c h a n g e d t o s o m e e x t e n t . T h i s q u e s t i o n w a s , " D o y o u t h i n k a t e a c h e r ' s a t t i t u d e t o w a r d m a t h e m a t i c s a f f e c t s h o w h e o r s h e t e a c h e s i t ? W h y o r w h y n o t ? " O n t h e fi r s t d a y o f c l a s s , B r i d g e t w r o t e , " N o — I d o n ' t l i k e m a t h , b u t I r e c o g n i z e i t s i m p o r t a n c e . T h e r e f o r e , I w i l l s t i l l t e a c h i t k n o w i n g t h a t m y s t u d e n t s n e e d t o l e a r n . A t e a c h e r ' s a t t i t u d e a b o u t t e a c h i n g m a t h i s i m p o r t a n t b e c a u s e t h a t ' s h e r j o b — s h e m u s t h a v e a g o o d a t t i t u d e a b o u t i t . " I n r e s p o n s e t o t h i s q u e s t i o n o n t h e l a s t d a y o f c l a s s , B r i d g e t w r o t e , " Y e s — i f t h e t e a c h e r d o e s n ' t l i k e m a t h , t h e k i d s w i l l k n o w . T h e y a r e v e r y p e r c e p t i v e w h e n i t c o m e s t o t h i n g s l i k e t h a t . " B r i d g e t ' s " P h i l o s o p h y o f T e a c h i n g M a t h e m a t i c s " j o u r n a l e n t r y w r i t t e n a t t h e e n d o f t h e s e m e s t e r p r o v i d e s i n s i g h t i n t o h e r c o n c e p t i o n s o f t e a c h i n g m a t h e m a t i c s a t t h a t p o i n t : " I t h i n k t h e m o s t i m p o r t a n t t h i n g a b o u t t e a c h i n g m a t h a t t h e e l e m e n t a r y l e v e l i s e n t h u s i a s m . I n o r d e r f o r s t u d e n t s t o b e c o m e i n t e r e s t e d i n m a t h e m a t i c s , I t h i n k t h a t t h e t e a c h e r m u s t a l s o b e e x c i t e d , o t h e r w i s e , s t u d e n t s w i l l p i c k u p o n h e r l a c k o f e n t h u s i a s m a n d w o n ' t b e i n t e r e s t e d t h e m s e l v e s . B e c a u s e I f e e l t h a t i t i s e x t r e m e l y i m p o r t a n t f o r t h e t e a c h e r o f m a t h t o b e i n t e r e s t e d i n m a t h , I ' m n o t q u i t e s u r e t h a t I a m s u i t e d f o r t h e j o b . I l i k e m a t h o n l y i n a s m u c h a s i t c a n g e t m e a n a n s w e r , b u t I o f t e n fi n d m y s e l f f r u s t r a t e d a n d b o r e d w i t h t h e s u b j e c t . " I ' m s u r e t h a t a g o o d t e a c h e r w o u l d d o t h i n g s l i k e b r i n g i n c o n c e p t s f r o m r e a l l i f e t o h e l p t o e x p l a i n m a t h . A s w e l l , s h e w o u l d a l l o w s t u d e n t s t o e x p l o r e d i f f e r e n t a r e a s a n d m e t h o d s f o r s o l v i n g p r o b l e m s , s o t h a t t h e y f e e l t h a t t h e y a r e m a k i n g t h e i r o w n ' t i v e c o n t r i b u t i o n s t o t h e i r l e a r n i n . S t u d e n t s n e e d t o l e a r n t h a t £ 2 : c a n h e l p t h e m s e l v e s t o l e a r n m a . E v e r y a r e a o f m a t h h a s a t l e a s t t w o a n g l e s f r o m w h i c h i t c a n b e r e g a r d e d , a n d t h e s t u d e n t s n e e d t o l e a r n t o fi n d t h e s e m e t h o d s . T h e t e a c h e r s h o u l d b e t h e r e t o e x p l a i n a n d t o g u i d e e x p l o r a t i o n s . I f t h e t e a c h e r i s a c t i v e l y i n v o l v e d i n h e l p i n g s t u d e n t s t o u n d e r s t a n d t h e c o n c e p t s , t h e n s h e m u s t u n d e r s t a n d t h a t s h e h a s t o d o m o r e t h a n j u s t t e a c h w h a t i s i n t h e b o o k . M a t e r i a l s f r o m n a t u r e , b u s i n e s s , a n d e n t e r t a i n m e n t s h o u l d a l l b e u s e d t o h e l p w i t h c o m p r e h e n s i o n . T h e s e t h i n g s a r e u s e f u l n o t o n l y t o h e l p s t u d e n t s u n d e r s t a n d , t h e y w i l l h e l p t o i n c r e a s e e n t h u s i a s m . " T h e r e a r e m a n y o t h e r t h i n g s t h a t a r e i m p o r t a n t f o r s t u d e n t s ' l e a r n i n g . T h e y s h o u l d b e g i v e n t h e o p p o r t u n i t y t o r e fl e c t o n t h e i r l e a r n i n g a n d t o c o m m e n t o n t h e t e a c h i n g . T h e y s h o u l d b e a c t i v e l y i n v o l v e d i n l e a r n i n g , u s i n g m a n i p u l a t i v e s a n d c r e a fi n g t h e i r o w n . T h e i r w o r k s h o u l d b e d i s p l a y e d f o r o t h e r s , n o t o n l y t o i n c r e a s e ' d e , b u t a l s o t o s t i m u l a t e n e w i d e a s i n o t h e r s . W r o n g a n s w e r s s h o u l d b e c o r r e c t e d t h r o u g h q u e s t i o n i n g , n o t l e c t u r i n g . S t u d e n t s s h o u l d b e i n a n e n v i r o n m e n t w h e r e t h e y c a n w o r k i n d i v i d u a l l y , i n p a i r s , o r i n s m a l l g r o u p s . " I d o n ' t n e c e s s a r i l y a g r e e w i t h c a l c u l a t o r s i n t h e c l a s s r o o m , a s t h e y s y m b o l i z e a b a n d o n i n g t h e b a s i c c o n c e p t s o f l e a r n i n g . J u s t a s I t h i n k s t u d e n t s n e e d t o l e a r n s p e l l i n g , I t h i n k t h e y n e e d t o m a s t e r t h e i r m u l t i p l i c a t i o n t a b l e s . H o w e v e r , I d o n o t n e c e s s a r i l y t h i n k t h a t t h e s e a c t i v i t i e s n e e d t o b e d o n e f o r a d e s . R a t h e r , I t h i n k t h a t t h e s e s k i l l s s h o u l d b e p r a c t i c e d s o i i i ; t h e i r a p p l i c a t i o n s c a n b e a s s e s s e d . I t i s n e c e s s a r y t o e v a l u a t e s t u d e n t s o n t h e i r a b i l i t y t o w o r k t h r o u g h p r o b l e m s , n o t t o p e n a l i z e t h e m f o r m a k i n g a " s t u p i d m i s t a k e . " " T e a c h i n g m a t h i s n ' t j u s t a b o u t w o r k i n g w i t h n u m b e r s a n d f o r m u l a s . I t ' s a b o u t c o n c e p t s a n d p r o b l e m s o l v i n g , a b o u t 2 5 1 u n d e r s t a n d i n g a n d r e a s o n i n g . I t h i n k t h a t m a t h i s a t r u l y v a l u a b l e s u b j e c t t o t e a c h a n d t o l e a r n , i t s r e w a r d s a r e i n n u m e r a b l e . H o w e v e r , I d o n ' t f e e l c o n fi d e n t i n m y a b i l i t y o r m y i n t e r e s t i n t e a c h i n g m a t h e m a t i c s . I t ’ s i n t e r e s t i n g t h a t a t t h a t p o i n t B r i d g e t s e e m e d t o a g r e e w i t h m a n y o f t h e c o n c e p t i o n s o f h o w m a t h e m a t i c s s h o u l d b e t a u g h t t h a t w e r e c o m m o n i n t h e c l a s s a s a w h o l e a t t h e e n d o f t h e s e m e s t e r . F o r e x a m p l e , s h e f e l t l i k e i t w a s i m p o r t a n t f o r t h e t e a c h e r t o s e r v e a s a g u i d e o r f a c i l i t a t o r i n h e l p i n g t h e s t u d e n t s l e a r n m a t h e m a t i c s t h r o u g h q u e s t i o n i n g t h e m a n d b y h a v i n g t h e m e x p l a i n t h e i r r e a s o n i n g . S h e a l s o b e l i e v e d t h a t m a t h s h o u l d b e c o n n e c t e d t o t h e w o r l d a n d t h a t i t s h o u l d b e t a u g h t u s i n g d i s c u s s i o n s a n d m a n i p u l a t i v e s a n d o t h e r m a t e r i a l s — m o r e t h a n t h e t e x t b o o k . A l s o , l i k e o t h e r s i n t h e c l a s s , s h e b e l i e v e d t h a t t h e r e w a s v a l u e i n h a v i n g t h e s t u d e n t s m e m o r i z e t h i n g s l i k e t h e m u l t i p l i c a t i o n t a b l e . H e r s e n t e n c e , " I d o n ' t n e c e s s a r i l y a g r e e w i t h c a l c u l a t o r s i n t h e c l a s s r o o m , a s t h e y s y m b o l i z e a b a n d o n i n g t h e b a s i c c o n c e p t s o f l e a r n i n g , ” g i v e s s o m e i n d i r e c t e v i d e n c e a b o u t w h a t l e a r n i n g m a t h m e a n s t o h e r . S h e s e e m s t o t h i n k t h a t t h e s t u d e n t s n e e d t o l e a r n t o d o a l l t h e o p e r a t i o n s t h a t c a n b e d o n e w i t h a c a l c u l a t o r a n d t h a t i f t h e y h a v e c a l c u l a t o r s p r o v i d i n g t h e m t h e a n s w e r s , t h e y m i g h t n o t l e a r n h o w t o d o t h e m . S h e a l s o f e l t t h a t ” m a t h i s a t r u l y v a l u a b l e s u b j e c t t o t e a c h a n d l e a r n . ” H o w e v e r , o v e r r i d i n g a l l o f h e r v i e w s a b o u t t e a c h i n g m a t h e m a t i c s w a s t h e i d e a t h a t a t e a c h e r n e e d e d t o b e e n t h u s i a s t i c t o t e a c h m a t h e f f e c t i v e l y , a n d t h a t , a s w i l l b e e x p l o r e d m o r e f u l l y i n t h e f o l l o w i n g s e c t i o n s , m a d e h e r b e l i e v e s h e s h o u l d n ’ t t e a c h m a t h . 2 5 2 A t t i t u d e s t o w a r d M a t h e m a t i c s a n d T e a c h i n g M a t h e m a t i c s A t t i t u d e s t o w a r d M a t h e m a t i c s A t t h e b e g i n n i n g o f t h e s e m e s t e r , B r i d g e t ' s a t t i t u d e t o w a r d m a t h e m a t i c s w a s q u i t e n e g a t i v e e v e n t h o u g h s h e f e l t f a i r l y c o n fi d e n t d o i n g i t . S h e r e c o g n i z e d i t s u s e f u l n e s s a n d i m p o r t a n c e , b u t s h e j u s t d i d n ' t e n j o y d o i n g i t . H e r a t t i t u d e s t o w a r d m a t h d i d n o t a p p e a r t o c h a n g e d u r i n g t h e s e m e s t e r . I f a n y t h i n g , h e r a t t i t u d e t h a t s h e d i d n ' t e n j o y m a t h s e e m e d t o b e s o l i d i fi e d a n d s t r e n g t h e n e d . T h i s w a s e s p e c i a l l y e v i d e n c e d i n h e r j o u r n a l w r i t i n g a n d i n t e r v i e w s . A s n o t e d , B r i d g e t f e l t f a i r l y c o n f i d e n t i n h e r a b i l i t y t o d o m a t h e m a t i c s . O n e o f t h e p l a c e s w h e r e a d e g r e e o f B r i d g e t ' s c o n fi d e n c e r e l a t e d t o m a t h e m a t i c s c o u l d b e s e e n w a s i n a j o u r n a l e n t r y w r i t t e n t h r e e w e e k s i n t o t h e s e m e s t e r . T h e s t u d e n t s w e r e a s k e d t o w r i t e a j o u r n a l e n t r y i n w h i c h t h e y l o o k e d a t t h e fi v e g o a l s t h a t t h e N a t i o n a l C o u n c i l o f T e a c h e r s o f M a t h e m a t i c s h a d i d e n t i fi e d f o r s t u d e n t s i n i t s 1 9 8 9 C u r r i c u l u m a n d E v a l u a t i o n S t a n d a r d s f o r S c h o o l M a t h e m a t i w . T h e s e g o a l s w e r e ( 1 ) l e a r n i n g t o v a l u e m a t h e m a t i c s ; ( 2 ) b e c o m i n g c o n fi d e n t i n o n e ' s o w n a b i l i t y ; ( 3 ) b e c o m i n g a m a t h e m a t i c a l p r o b l e m s o l v e r ; ( 4 ) l e a r n i n g t o c o m m u n i c a t e m a t h e m a t i c a l l y ; a n d ( 5 ) l e a r n i n g t o r e a s o n m a t h e m a t i c a l l y . T h e y w e r e a s k e d t o t h i n k a n d w r i t e a b o u t w h e t h e r t h e y p o s s e s s e d t h o s e c h a r a c t e r i s t i c s p e r s o n a l l y a n d i f t h e y t h o u g h t i t w a s i m p o r t a n t f o r t e a c h e r s t o p o s s e s s t h e m i n o r d e r t o h e l p t h e i r s t u d e n t s a t t a i n t h e m . F o l l o w i n g i s B r i d g e t ' s j o u r n a l e n t r y i n r e s p o n s e t o t h a t p r o m p t : " I n o r d e r t o v a l u e m a t h e m a t i c s , i t i s i m p o r t a n t t h a t p o s i t i v e a t t i t u d e s a b o u t m a t h a r e d e v e l o p e d a t a n e a r l y a g e . I n s fi l l i n g c h i l d r e n w i t h t h e b e l i e f t h a t s u c c e s s e s i n l a t e r l i f e a r e d e p e n d e n t o n t h e i r a b i l i t y t o d o m a t h a n d d o i t w e l l n o w , w i l l i n c r e a s e t h e i r v a l u e s a s f a r a s m a t h g o e s . M y m a t h t e a c h e r s , f r o m a s l o n g a g o a s I c a n r e m e m b e r , h a v e s u e s s e d t h e i m p o r t a n c e o f m a t h . S h o w i n g m e n o t o n l y h o w t o d o m a t h , b u t h o w I w i l l b e a b l e t o a p p l y i t t o m y l i f e . D i r e c t l r e l a t e d t o v a l u i n g m a t h , i s t h e i d e a o f b e i n g c o n fi d e n t i n m a a b i l i t y . I t h i n k t h a t b e c a u s e t h e i m p o r t a n c e o f m a t h w a s a l w a y s g r e a t l y s t r e s s e d , I k n e w I h a d t o d o w e l l . I 2 5 3 u s u a l l y h a v e t o p u t e x t r a w o r k i n t o b e s u c c e s s f u l i n m a t h , s o m y c o n fi d e n c e i s a r e s u l t o f m y d e t e r m i n a t i o n . C o n fi d e n c e d o e s n ' t a l w a y s c o m e f r o m a n " A " , a l t h o u g h t h a t h e l p s , i t c o m e s f r o m k n o w i n g h o w t o a p p r o a c h a n d s o l v e p r o b l e m s . B e i n g a m a t h e m a t i c a l p r o b l e m s o l v e r i s n o t s o m e t h i n g t h a t n e c e s s a r i l y c a n b e t a u g h t . T h e m e t h o d s a n d m e a n s o f p r o b l e m s o l v i n g c a n b e e x p l a i n e d t o s t u d e n t s , b u t t h a t d o e s n ' t n e c e s s a r i l y m e a n t h e y w i l l b e c o m e p r o b l e m s o l v e r s ! I f e e l g o o d a b o u t m y p r o b l e m s o l v i n g , m o s t l y , b e c a u s e i t w a s a n i n t e g r a l p a r t o f o u r l e a r n i n g s i n c e e a r l e l e m e n t a r y . M a t h e m a t i c a l p r o b l e m s o l v i n g w a s c o m b i n e d w i F u t u r e ( s o c i a l ) P r o b l e m S o l v i n g i n o r d e r t o r o u n d o u t o u r u n d e r s t a n d i n g . B e i n g a b l e t o c o m m u n i c a t e m a t h e m a fi c a l l y i s s o m e t h i n g t h a t I d o n o t f e e l I h a v e m a s t e r e d . I c a n d o m a t h a n d u n d e r s t a n d m a t h , b u t I ' m n o t s u r e t h a t I c a n t a l k a b o u t m a t h e f f e c t i v e l y . I t h i n k t h a t i n o r d e r t o t e a c h m a t h , i t i s e s s e n t i a l t h a t I b e a b l e t o c o m m u n i c a t e w e l l i n t h a t a r e a . T h e r e f o r e , i t i s a s k i l l t h a t I n e e d t o i m p r o v e u p o n . H o w e v e r , s i n c e I a m g o i n g t o b e t e a c h i n g m i d d l e s c h o o l t o b e g i n w i t h , I w i l l h a v e a c h a n c e t o i m p r o v e m y m a t h c o m m u n i c a t i o n s k i l l s b e f o r e I a m p l a c e d i n t h a t s i t u a t i o n . I n o r d e r t o r e a s o n m a t h e m a t i c a l l y , o n e n e e d s t o b e a n e f fi c i e n t l e m s o l v e r . I ' m c o n fi d e n t t h a t m y r e a s o n i n g a b i l i t i e s a r e s u f fi c i e n t , a l t h o u g h t h e y c o u l d s t a n d i m p r o v e m e n t . I n o r d e r t o t e a c h o r l e a r n m a t h , r e a s o n i n g i s k e y . I t h e l c o m p r e h e n s i o n , e x p l a n a t i o n , a n d c o n fi d e n c e i n m a t h e m a t i c s . I e e l t h a t I p o s s e s s a l o t o f t h e s e s k i l l s , b u t t h e r e a r e a r e a s w h e r e I s t i l l n e e d a l o t o f w o r k — t h e n e v e r - e n d i n g s t r u g g l e t o s u c c e e d a t m a t h . " I n t h i s j o u r n a l e n t r y , B r i d g e t d e s c r i b e d h e r s e l f a s c o n fi d e n t i n h e r a b i l i t y t o d o m a t h . S h e t h o u g h t t h i s w a s a r e s u l t o f t h e v a l u e o f m a t h b e i n g s t r e s s e d i n h e r s c h o o l e x p e r i e n c e a n d t h e f a c t t h a t s h e p u t i n e x t r a w o r k t o d o i t s i n c e s h e r e a l i z e d i t w a s i m p o r t a n t . S h e a l s o d e s c r i b e d h e r s e l f a s c o n fi d e n t i n h e r a b i l i t y t o p r o b l e m s o l v e a n d a t t r i b u t e d t h a t t o p r o b l e m s o l v i n g b e i n g a n i n t e g r a l p a r t o f h e r l e a r n i n g s i n c e e l e m e n t a r y s c h o o l . S h e d e s c r i b e d h e r r e a s o n i n g a b i l i t i e s a s s u f fi c i e n t b u t w i t h r o o m f o r i m p r o v e m e n t . S h e a l s o f e l t t h a t t e a c h e r s n e e d e d t o b e a b l e t o c o m m u n i c a t e m a t h e m a t i c a l l y t o t e a c h w e l l , a n d s h e f e l t s h e n e e d e d t o i m p r o v e i n t h a t a r e a . H o w e v e r , s i n c e s h e w a s n o t p l a n n i n g o n t e a c h i n g e l e m e n t a r y s c h o o l — a t l e a s t a t t h e b e g i n n i n g o f h e r c a r e e r — s h e s e e m e d t o t h i n k s h e h a d m o r e t i m e t o a c q u i r e t h a t s k i l l . I t s e e m e d a s t h o u g h B r i d g e t w a s t r y i n g t o t h i n k h a r d a b o u t t h e q u e s t i o n s s i n c e s h e w a s t h i n k i n g a b o u t w h a t e x p e r i e n c e s 2 5 4 N w N w A m l e N n A t n m I M l N N a s i n h e r s c h o o l i n g h a d c o n t r i b u t e d t o h e r a t t i t u d e s a n d a b i l i t i e s . I t a l s o s e e m e d t h a t s h e w a s t r y i n g t o b e h o n e s t i n h e r a s s e s s m e n t o f h e r s e l f . A n o t h e r d a t a s o u r c e t h a t g i v e s i n s i g h t i n t o B r i d g e t ' s a t t i t u d e s t o w a r d m a t h i s t h e M a t h e m a t i c s I n v e n t o r y . I t c o n t a i n e d s e v e r a l i t e m s r e l a t e d t o a t t i t u d e s t o w a r d m a t h e m a t i c s , a n d B r i d g e t ' s r e s p o n s e s t o t h e s e i t e m s a t d i f f e r e n t t i m e s d u r i n g t h e s e m e s t e r p r o v i d e i n f o r m a t i o n a b o u t h e r a t t i t u d e s t o w a r d m a t h e m a t i c s a n d h o w o r w h e t h e r t h e y w e r e c h a n g i n g ( S e e T a b l e 1 7 ) . T a b l e 1 7 : I t e m s R e l a t i n g t o A t t i t u d e s t o w a r d M a t h e m a t i c s f r o m t h e M a t h e m a t i c s I n v e n t o r y w i t h B r i d g e t ' s R e s p o m e s I t e m 1 . I e n j o y d o i n g m a t i c a l t a s k s . 2 . I h a v e a l w a y s e n j o y e d m a t h e m a t i c s . 6 . I f e e l s u c c e s s f u l w h e n I a m e n g a g e d i n m a t h e m a t i c a l t a s k s . 7 . D o i n g m a t h e m a t i c s i s u s u a l l y v e r y f r u s t r a t i n g f o r m e . 1 5 . I u n d e r s t a n d e l e m e n t a r y l e v e l m a t h e m a t i c a l c o n c e p t s ' t e w e l l m y s e l f . 2 5 . I c a n h a n d l e b a s i c m a t h , b u t I w o u l d n ' t d o w e l l a t a d v a n c e d m a t h e m a t i c s . B r i d g e t ' s r e s p o n s e s t o a f e w o f t h e i t e m s f r o m t h e M a t h e m a t i c s I n v e n t o r y a l s o s u p p o r t t h e c o n c l u s i o n t h a t h e r n e g a t i v e a t t i t u d e t o w a r d m a t h e m a t i c s w a s n o t b e c a u s e s h e l a c k e d c o n f i d e n c e i n h e r a b i l i t i e s t o d o m a t h e m a fi c s , e s p e c i a l l y b a s i c m a t h . F o r e x a m p l e , f o r i t e m s i x , " I f e e l s u c c e s s f u l w h e n I a m e n g a g e d i n m a t h e m a t i c a l t a s k s , " B r i d g e t p u t a 4 e a c h t i m e s h e r e s p o n d e d t o t h e i n v e n t o r y . D u r i n g h e r m i d - s e m e s t e r i n t e r v i e w , B r i d g e t e x p l a i n e d t h a t b e i n g s u c c e s s f u l t o h e r m e a n t " t h a t I c a n g e t t h e r i g h t a n s w e r . " F o r i t e m s e v e n , " D o i n g m a t h e m a t i c s i s u s u a l l y v e r y f r u s t r a t i n g f o r m e , " w h i c h i s e s s e n t i a l l y a n o p p o s i t e s t a t e m e n t o f i t e m s i x , B r i d g e t p u t a 2 e a c h t i m e s h e r e s p o n d e d t o t h e i n v e n t o r y . T h a t w o u l d b e c o n s i s t e n t w i t h h e r r e s p o n s e o f 4 o n i t e m s i x . S h e q u a l i fi e d w h a t s h e m e a n t r e s p o n d i n g w i t h a 2 t o i t e m s e v e n d u r i n g h e r m i d - s e m e s t e r i n t e r v i e w : ” I c a n d o m a t h , b u t i t t a k e s s o m u c h t i m e a n d s o m u c h e f f o r t . T o o m u c h m e m o r i z a t i o n . A r e w e t a l k i n g m o r e a l e v e l l i k e t r i g o r c a l c u l u s o r l i k e s t o r y p r o b l e m s a n d a d d i t i o n a n d s u b t r a c t i o n , 2 5 5 m u l t i p l i c a t i o n . B e c a u s e I t h i n k m y a n s w e r s w o u l d b e a l o t d i f f e r e n t . B e c a u s e i f i t s a y s ' d o i n g m a t h e m a t i c s i s v e r y f r u s t r a t i n g f o r m e ' a s f a r a s m u l t i p l y i n g , d i v i d i n g , a d d i n g a n d s u b t r a c t i n g , I w o u l d s a y , ' N o w a y . ’ b e c a u s e I c a n d o a n y o f t h o s e s o r t s o f t h i n g s . " T h e i n t e r v i e w e r t h e n a s k e d h e r w h a t w o u l d b e f r u s t r a t i n g , a n d s h e s a i d , " C a l c u l u s a n d a n y t h i n g t h a t h a s t o d o w i t h c a l c u l u s . T r i g o n o m e t r y . " S h e w a s t h e n a s k e d w h y t h e y w e r e f r u s t r a t i n g , a n d s h e e x p l a i n e d , " I d o n ' t k n o w . I g u e s s I j u s t h a v e i t i n m y m i n d t h a t t h e y ' r e t o o c o m p l i c a t e d f o r m e t o l e a r n . A n d , I ' m s u r e p r o b a b l y i f I a c t u a l ] s a t d o w n w i t h t h e m . . . . I i k e w e s p e n t l i k e t e n w e e k s i n h i g h s c h o o l d o i n g c a l c u l u s i n m y s e n i o r y e a r , a n d I c o u l d n ' t g e t i t . I j u s t c o u l d n ' t g e t i t , a n d I d o n ' t k n o w i f I j u s t h a d a m i n d s e t t h a t s a i d I w a s n ' t g o i n g t o b e a b l e t o d o i t o r w h a t , b u t i n a n y c a s e I d o n ' t l i k e i t a n y m o r e . B r i d g e t ' s r e s p o n s e s t o i t e m 1 5 , " I u n d e r s t a n d e l e m e n t a r y l e v e l m a t h e m a t i c a l c o n c e p t s q u i t e w e l l m y s e l f " - 4 , t h e n 5 , t h e n 4 — a r e c o n s i s t e n t w i t h h e r a t t i t u d e t h a t s h e c a n d o b a s i c m a t h , b u t n o t n e c e s s a r i l y h i g h e r m a t h . F o r i t e m 2 5 , " I c a n h a n d l e b a s i c m a t h , b u t I w o u l d n ' t d o w e l l a t a d v a n c e d m a t h e m a t i c s , " B r i d g e t p u t a 2 o n t h e fi r s t d a y o f c l a s s a n d d u r i n g h e r m i d - s e m e s t e r i n t e r v i e w , b u t s h e p u t a 4 o n t h e l a s t d a y o f c l a s s . M a y b e s h e w a s a g r e e i n g w i t h t h e p a r t , " I w o u l d n ' t d o w e l l a t a d v a n c e d m a t h e m a t i c s . " D u r i n g t h e m i d - s e m e s t e r i n t e r v i e w , t h e i n t e r v i e w e r a s k e d h e r w h a t s h e w o u l d s a y i s a d v a n c e d m a t h , a n d s h e s a i d , " C a l c u l u s . A n y t h i n g b e y o n d c a l c u l u s . " T h e i n t e r v i e w e r a s k e d h e r w h y s h e s a w t h a t a s t h e s t a r fi n g p o i n t , a n d B r i d g e t s a i d , " B e c a u s e t h a t w a s l i k e t h e m a t h I c o u l d n ' t l e a r n . T h a t w a s w h e r e I g o t l o s t . I d i d fi n e a l l t h e w a y u n t i l I g o t u p t o c a l c u l u s , a n d t h e n I g o t t o c a l c u l u s , a n d I w a s l o s t . A n d , I d o n ' t r e a l l y k n o w w h a t g o e s b e y o n d c a l c u l u s , b u t I ' m s u r e t h e r e ' s o t h e r s t u f f . " I n t e r e s t i n g l y , t h e i n t e r v i e w e r t h e n n o t e d t o B r i d g e t t h a t " p e o p l e s e e m t o b e d e fi n i n g w h e r e a d v a n c e d m a t h s t a r t s a s w h e r e t h e y ' r e h a v i n g t r o u b l e " a n d t h a t o t h e r p e o p l e h a d s a i d t h a t a l g e b r a w a s t h e b e g i n n i n g o f a d v a n c e d m a t h . B r i d g e t d i d n ' t i n c l u d e a n y t h i n g r e l a t e d t o a t t i t u d e s i n h e r b e g i n n i n g m a t h c o n c e p t m a p , b u t i n h e r fi n a l c o n c e p t m a p , s h e i n c l u d e d a n e n t i r e c a t e g o r y o f " a t t i t u d e s " c o n n e c t e d t o t h e m a i n c o n c e p t o f " m a t h " ( S e e F i g u r e 4 3 o n p a g e 2 3 8 ) . S h e s u b c a t e g o r i z e d " a t t i t u d e s " i n t o " t h a t w e w a n t " a n d " t h a t w e d o n ' t w a n t . " C o n n e c t e d t o " t h a t w e d o n ' t w a n t , " s h e h a s " f r u s t r a t i o n , " " c o n f u s i o n , " " a n g e r , " a n d " I q u i t l " . C o n n e c t e d t o " t h a t w e w a n t , " s h e h a s " u n d e r s t a n d i n g , " " a n s w e r q u e s t i o n s , " a n d " a p p l y m a t h t o r e a l l i f e . " S h e b r a n c h e d " a p p l y m a t h t o r e a l l i f e : " f u r t h e r , a n d t h o s e c o n n e c t i o n s a r e n o t e d i n t h e u s e f u l n e s s o f m a t h e m a t i c s s e c t i o n . S h e d o e s n ' t i n d i c a t e s p e c i fi c a l l y i n t h e c o n c e p t m a p w h i c h a t t i t u d e s a r e h e r s , a n d i t ' s p o s s i b l e t h a t s h e h a s e x p e r i e n c e d e a c h o f t h o s e a t t i t u d e s . I n s t e a d , t h i s a p p e a r s t o b e a n e x a m p l e o f a p l a c e w h e r e s h e h a s p o s i t i o n e d h e r s e l f a s a t e a c h e r s i n c e t h e l i s t i n g o f a t t i t u d e s ” t h a t w e w a n t ” a n d ” t h a t w e d o n ’ t w a n t ’ ' s e e m s t o b e a l l a b o u t w h a t s h e w o u l d w a n t a s a n e d u c a t o r f r o m h e r s t u d e n t s . B u t o f c o u r s e , s h e h a s i n d i c a t e d h e r a t t i t u d e s t o w a r d m a t h i n s e v e r a l o t h e r d a t a s o u r c e s . A s t a t e m e n t B r i d g e t w r o t e i n h e r " P h i l o s o p h y o f T e a c h i n g M a t h e m a t i c s " j o u r n a l e n t r y o n t h e l a s t d a y o f c l a s s t y p i fi e d h e r a t t i t u d e t o w a r d m a t h t h r o u g h o u t t h e s t u d y , b u t e s p e c i a l l y a t t h e e n d : " I l i k e m a t h o n l y i n a s m u c h a s i t c a n g e t m e a n a n s w e r , b u t I o f t e n fi n d m y s e l f f r u s t r a t e d a n d b o r e d w i t h t h e s u b j e c t . " A t t i t u d e s t o w a r d T e a c h i n g M a t h e m a t i c s B r i d g e t w a s n ' t p a r t i c u l a r l y e x c i t e d a b o u t t h e p r o s p e c t o f t e a c h i n g m a t h e m a t i c s t o e l e m e n t a r y s c h o o l c h i l d r e n a t t h e b e g i n n i n g o f t h e s e m e s t e r , a n d s h e w a s e v e n l e s s e x c i t e d a b o u t i t a t t h e e n d o f t h e s e m e s t e r . T h i s w a s i l l u s t r a t e d w i t h t h e i n f o r m a t i o n o b t a i n e d f r o m s e v e r a l d a t a s o u r c e s . T h e m a i n r e a s o n f o r t h i s — a s h a s b e e n a l l u d e d t o i n p r e v i o u s s e c t i o n s — i s b e c a u s e B r i d g e t b e c a m e 2 5 7 N N N N c o n V i n c e d t h a t s h e d i d n ' t e n j o y m a t h e m a t i c s e n o u g h o r h a v e e n o u g h e n t h u s i a s m f o r i t t o b e a g o o d t e a c h e r o f i t . S h e r e a l l y b o u g h t i n t o t h e i d e a t h a t t e a c h e r s ' a t fi t u d e s m a k e a b i g d i f f e r e n c e i n h o w w e l l t h e y c a n t e a c h m a t h , a n d s h e f e l t l i k e h e r a t t i t u d e w a s n o t p o s i t i v e e n o u g h . O n e o f t h e p l a c e s t h i s c a n b e s e e n i s i n h e r r e s p o n s e s t o t h e i t e m s r e l a t e d t o a t t i t u d e s t o w a r d t e a c h i n g m a t h e m a t i c s f r o m t h e M a t h e m a t i c s I n v e n t o r y ( S e e T a b l e 1 8 ) . T a b l e 1 8 : I t e m s R e l a t i n g t o A t t i t u d e s t o w a r d T e a c h i n g M a t h e m a t i c s f r o m t h e M g t h e m a t i c s I n v e n t o r y w i t h B r i d g e t ' s R e s p o n s e s I t e m . p o m * - . , t o t e a c h m a t h e m a fi c s a s a n e l e m e n t a r y t e a c h e r . ' 9 . I f e e l e n t h u s i a s t i c a b o u t m a t h e m a t i c s a n d a b o u t t e a c h i n g 3 1 1 i t . 1 2 . I d o n ' t e x p e c t t o e n c o u n t e r a n y m a t h e m a t i c s w h e n I T S 4 4 t e a c h e l e m e n t a r y s c h o o l t h a t I w o n ' t u n d e r s t a n d s i n c e I s u c c e s s f u l l y c o m l e t e d e l e m e n t a r y s c h o o l . 1 4 . I f e e l c o n fi d e n t i n m y a b i l i t y t o e x p l a i n m a t h e m a t i 4 c o n c e p t s t o c h i l d r e n . 1 6 . I w o u l d f e e l m o r e c o m f o r t a b l e i f I k n e w t h a t I w o u l d n o t 1 h a v e t o t e a c h m a t h e m a t i c s t o e l e m e n t a r y s t u d e n t s . l 8 . B e i n g g o o d a t m a t h e m a t i c s r s n o t r e q u i r e d t o b e a g o o d t e a c h e r o f m a t h . 1 9 . I w a n t t o t e a c h m a t h e m a t i c s s o t h a t I c a n h e l p s t u d e n t s g e t e x c i t e d a b o u t i t . 2 0 . A s a t e a c h e r , I w o u l d f e e l e m b a r r a s s e d i f a s t u d e n t a s k e d a q u e s t i o n t o w h i c h I d i d n ' t k n o w t h e a n s w e r . 2 1 . I e x p e c t t o r e g u l a r l y t e a c h m a t h e m a t i c s a s a n e l e m e n t a r y t e a c h e r . F o r i t e m 8 , " I a m e x c i t e d t h a t I w i l l m o s t l i k e l y h a v e t h e o p p o r t u n i t y t o t e a c h m a t h e m a t i c s a s a n e l e m e n t a r y t e a c h e r , " B r i d g e t p u t a 3 t h e fi r s t d a y , b u t s h e p u t a l — n o t a t a l l l i k e m e — t h e s e c o n d a n d t h i r d t i m e s s h e t o o k t h e i n v e n t o r y . D u r i n g t h e m i d - s e m e s t e r i n t e r v i e w , w h e n s h e t o l d t h e i n t e r v i e w e r s h e w a s g i v i n g i t a 1 , s h e t h o u g h t s h e t h o u g h t s h e p r o b a b l y g a v e i t a 4 o r a 3 o n t h e fi r s t d a y . T h e i n t e r v i e w e r t o l d h e r s h e p u t 3 , a n d a s k e d h e r w h a t h a p p e n e d . S h e r e p l i e d , 2 5 8 " U m , I t h i n k t h a t m a t h — y o u h a v e t o l i k e m a t h t o t e a c h i t , a n d l i k e E l a i n e i s r e a l l y e x c i t e d a b o u t m a t h , a n d s o i t ' s r e a l l y e a s y f o r h e r t o t e a c h u s , a n d I ' m s u r e i n a c l a s s r o o m i t w o u l d b e e a s y f o r h e r t o t e a c h i t . B u t , I d o n ' t l i k e i t a t a l l , a n d I ' m r e a l i z i n g a s I g o t h r o u g h t h i s c l a s s t h a t I h a v e n o i n t e r e s t i n i t r e a l l y . I t w o u l d b e d i f fi c u l t f o r m e t o g e t o t h e r p e o p l e e x c i t e d a b o u t i t . I t j u s t d o e s n ' t e x c i t e m e . S a m e w i t h s c i e n c e . I j u s t — i t ’ 3 l i k e ( a p p a r e n t l y s o m e f a c i a l e x p r e s s i o n ) . A n d , I ' v e a c t u a l l y g o n e f r o m t h i n k i n g I w a n t e d t o t e a c h e l e m e n t a r y s c h o o l t o t h i n k i n g I w a n t t o t e a c h i n a m i d d l e s c h o o l j u s t s o I d o n ' t h a v e t o t e a c h m a t h a n d s c i e n c e . " T h e i n t e r v i e w e r t h e n a s k e d h e r w h a t s u b j e c t s g e t h e r e x c i t e d , a n d s h e r e s p o n d e d , " E n g l i s h a n d s o c i a l s t u d i e s . " T h e i n t e r v i e w e r t h e n a s k e d h e r w h a t w a s d i f f e r e n t a b o u t t h e m . S h e e x p l a i n e d , " T h e y ' r e m o r e c o n c e p t u a l . Y o u g e t t o c o m e u p w i t h y o u r o w n o p i n i o n s a b o u t t h e m . L i k e w h e n y o u w r i t e a p a p e r f o r E n g l i s h , p e o p l e d o n ' t t e l l y o u y o u ' r e w r o n g . T h e y m i g h t t e l l y o u t h a t y o u a t a c o m m a i n t h e w r o n g p l a c e o r y o u n e e d e d t o c u t a s e n t e n c e i n f . B u t n o o n e e v e r s a y s t h a t y o u w e n t a b o u t i t t h e w r o n g w a y o r y o u r i d e a i s w r o n g . A n d , I l i k e t h a t t h e r e ' s a l o t o f f r e e d o m , a n d t h e s a m e w i t h h i s t o r y , I g u e s s . E v e r y o n e ' s f r e e t o c o m e u p w i t h t h e i r o w n o p i n i o n s . " B r i d g e t ’ 5 a n a l y s i s o f h o w m a t h d i f f e r s f r o m l i t e r a t u r e a n d s o c i a l s t u d i e s i s r e a l l y f a s c i n a t i n g . W e o f t e n h e a r p e o p l e s a y t h a t a r e a s o n t h e y h a t e m a t h i s b e c a u s e i t h a s o n e r i g h t a n s w e r , b u t i t ’ s u n c o m m o n f o r p e o p l e t o s a y s o e x p l i c i t l y t h a t w h a t t h e y l i k e a b o u t l i t e r a t u r e a n d s o c i a l s t u d i e s i s t h a t t h e i r a n s w e r — n o m a t t e r h o w i l l o g i c a l — i s n e v e r fl a t o u t w r o n g . B r i d g e t ' s r e s p o n s e s t o i t e m 9 , " I f e e l e n t h u s i a s t i c a b o u t m a t h e m a t i c s a n d a b o u t t e a c h i n g i t , " w e r e t h e s a m e a s t h e y w e r e f o r i t e m 8 . S h e s a i d s h e f e l t l i k e t h e y w e r e " p r e t t y m u c h t h e s a m e q u e s t i o n . " I t e m 1 6 , " I w o u l d f e e l m o r e c o m f o r t a b l e i f I k n e w t h a t I w o u l d n o t h a v e t o t e a c h m a t h e m a t i c s t o e l e m e n t a r y s t u d e n t s , " i s r e l a t e d i n a n i n v e r s e w a y t o i t e m s 8 a n d 9 . H e r r e s p o n s e s t o t h a t i t e m c h a n g e d d r a m a t i c a l l y f r o m t h e fi r s t d a y o f c l a s s t o t h e m i d - s e m e s t e r i n t e r v i e w . S h e p u t a 1 — " n o t a t a l l l i k e m e " — o n t h e fi r s t d a y o f c l a s s , a n d a 5 — ” v e r y m u c h l i k e m e " — d u r i n g t h e m i d - s e m e s t e r i n t e r v i e w . O n t h e l a s t d a y o f 2 5 9 c l a s s , s h e p u t a 4 — s t i l l c l o s e t o " v e r y m u c h l i k e m e . " D u r i n g t h e m i d - s e m e s t e r i n t e r v i e w , s h e e x p l a i n e d w h y h e r o p i n i o n h a d c h a n g e d s o d r a m a t i c a l l y : " A g a i n , I ‘ v e b e e n . . . M y e y e s h a v e b e e n o p e n e d . I d o n ' t t h i n k t h a t I h a v e t h e d e s i r e t o t e a c h m a t h i n a n e l e m e n s c h o o l a n d m a y b e t h e a b i l i t y . I d o n ' t k n o w . I d o n ' t w o r k w e l l w i n u m b e r s r e a l l y s o I d o n ' t . . . I w o u l d f e e l g u i l t y g o i n g i n t o a c l a s s r o o m a n d s a y i n g , ' O k a y , I ' m g ‘ o a i n g t o t e a c h o u m a t h ' w h e n I h a t e t h i s . I m e a n I d o n ' t r e a l l y t e i t t h a t m u b e l i e v e i t o r n o t . " S a y i n g h e r ” e y e s h a v e b e e n o p e n e d ” s e e m s t o b e r e a l l y s t r o n g l a n g u a g e t h a t i n d i c a t e s t h a t f r o m B r i d g e t ’ s p e r s p e c t i v e t h e r e h a d b e e n a c h a n g e f r o m t h e b e g i n n i n g o f t h e s e m e s t e r i n h e r d e s i r e o r p e r c e i v e d q u a l i fi c a t i o n s t o t e a c h e l e m e n t a r y s c h o o l . S h e r e a l l y s e e m e d t o b e l i e v e t h a t s i n c e s h e d i d n ’ t l i k e m a t h , s h e s h o u l d n ' t b e t e a c h i n g i t . I t e m 1 9 , " I w a n t t o t e a c h m a t h e m a t i c s s o t h a t I c a n h e l p s t u d e n t s g e t e x c i t e d a b o u t i t , " w a s r e l a t e d t o i t e m s 8 , 9 , a n d 1 6 , a n d s h e g a v e i t a 2 , t h e n a 1 , a n d t h e n a 3 . I n t h e m i d - s e m e s t e r i n t e r v i e w , s h e s a i d , " I m e a n i f I w a s g o i n g t o t e a c h m a t h , I t h i n k t h a t I s h o u l d g e t t h e m e x c i t e d a b o u t i t . " B u t , a g a i n , b y t h a t t i m e s h e w a s a l r e a d y q u i t e c e r t a i n s h e w o u l d n ' t b e t e a c h i n g m a t h . W h e n s h e p u t a 3 o n t h e fi n a l d a y o f c l a s s , s h e m a y h a v e b e e n r e s p o n d i n g t o i t a s i f s h e w e r e g o i n g t o t e a c h m a t h . B r i d g e t ' s r e s p o n s e s t o i t e m 2 1 , " I e x p e c t t o r e g u l a r l y t e a c h m a t h e m a t i c s a s a n e l e m e n t a r y t e a c h e r , " — a 2 , t h e n a 1 , a n d t h e n a n o t h e r 1 — s h o w t h a t s h e p r o b a b l y s u s p e c t e d s h e d i d n ' t w a n t t o o r w a s n ' t g o i n g t o t e a c h m a t h e v e n w h e n t h e c o u r s e b e g a n , b u t d u r i n g t h e c o u r s e , a n d b y t h e e n d o f t h e c o u r s e , s h e h a d fi r m l y d e c i d e d s h e w a s n ' t g o i n g t o t e a c h m a t h e m a t i c s . A t t h e b e g i n n i n g o f t h e s e m e s t e r , i t s e e m e d h e r p l a n w a s t o t e a c h E n g l i s h i n a m i d d l e s c h o o l , b u t s h e s a i d s h e w a s i n t e r e s t e d i n l e a r n i n g a b o u t t e a c h i n g o t h e r s u b j e c t s a n d t h a t i s w h y s h e h a d e n r o l l e d i n t h e e l e m e n t a r y e d u c a t i o n p r o g r a m . S h e m a y h a v e w a n t e d t o a v o i d a m a j o r i n E n g l i s h o r s h e m a y h a v e s i m p l y w a n t e d t o fi n d o u t i f s h e w o u l d 2 6 0 l i k e t e a c h i n g e l e m e n t a r y s c h o o l a n d g i v e h e r s e l f m o r e o p t i o n s f o r e m p l o y m e n t a f t e r c o l l e g e . A n o t h e r i l l u s t r a t i o n o f B r i d g e t ' s d e c i s i o n t o n o t t e a c h m a t h e m a t i c s b e c a u s e h e r l a c k o f e n t h u s i a s m f o r i t i s c o n t a i n e d i n h e r fi n a l " W h a t I s M a t h e m a t i c s ? " j o u r n a l e n t r y w h i c h w a s w r i t t e n t h e fi n a l d a y o f c l a s s : " T h r o u g h o u t t h e c o u r s e o f t h i s c l a s s , I h a v e d i s c o v e r e d t h a t I d o n o t h a v e a l o t o f e n t h u s i a s m f o r m a t h . I u s e d t o t h i n k t h a t m a t h w a s f u n b e c a u s e I w a s a l w a s f a i r l y s u c c e s s f u l a t i t . N o w , I d o n ' t t h i n k t h a t I r e a l l y h a v e e n o u h ’ e n t h u s i a s m o r i n t e r e s t i n i t t o b e a n e f f e c t i v e t e a c h e r . I r e a l l y ' t h a t i n o r d e r f o r a t e a c h e r t o b e a g o o d m a t h i n s t r u c t o r , s h e h a s t o b e v e r y e x c i t e d a n d c o n fi d e n t i n h e r m a t h e m a t i c s a b i l i t i e s . I f s h e i s n o t , h o w c a n s h e e x p e c t h e r s t u d e n t s t o b e ? I f e e l t h a t I w i l l b e d o i n g m y s t u d e n t s a n i n j u s t i c e b y t e a c h i n g s o m e t h i n g t h a t I d o n o t h a v e a l o t o f i n t e r e s t i n . " W h e n I b e g a n t h i s c l a s s , I w a s i n t e r e s t e d m o s t l y i n t e a c h i n g E n g l i s h , b u t w a s a l s o i n t e r e s t e d i n l e a r n i n g a b o u t t e a c h i n g o t h e r a r e a s . N o w h o w e v e r , I t h i n k t h a t I r e a l l y j u s t w a n t t o t e a c h E n g l i s h i n t h e m i d d l e s c h o o l . I t i s n o t b e c a u s e I a m a f r a i d o f m a t h t h a t I h a v e m a d e t h i s d e c i s i o n , b u t I d o n o t f e e l t h a t I a m e n t h u s i a s t i c o r c a p a b l e e n o u g h t o g e t a c l a s s r o o m f u l l o f i n t i m i d a t e d s t u d e n t s i n t e r e s t e d i n m a t h e m a t i c s . " D u r i n g h e r fi n a l i n t e r v i e w a s e m e s t e r a f t e r t h e c o u r s e , B r i d g e t s t i l l h a d t h e s a m e a t t i t u d e t o w a r d t e a c h i n g m a t h e m a t i c s . O n e o f t h e q u e s t i o n s w a s , " H o w d o y o u f e e l a b o u t t h e i d e a o f t e a c h i n g m a t h e m a t i c s i n a n e l e m e n t a r y s c h o o l ? " B r i d g e t r e s p o n d e d , " I d o n ' t k n o w h o w I f e e l a b o u t i t . I d o n ' t r e a l l y l i k e t h e i d e a t o o m u c h , a n d I t h i n k I s a i d t h i s m a y b e i n a d i f f e r e n t i n t e r v i e w , b u t I t h i n k t h a t i f y o u ' r e g o i n g t o b e a g o o d m a t h t e a c h e r o r a g o o d t e a c h e r o f a n y t h i n g , y o u h a v e t o b e l i k e t r u l y i n t e r e s t e d a n d e x c i t e d a b o u t w h a t e v e r i t i s y o u ' r e t e a c h i n g . A n d , u h , I m e a n t h e b e s t t e a c h e r s a r e a l w a y s t h e o n e s . . . . L i k e I h a d t h i s g o v e r n m e n t t e a c h e r t h a t j u s t L O V E D g o v e r n m e n t . A n d , s o , l i k e h i s e x c i t e m e n t t r a n s f e r r e d t o u s , a n d w e c o u l d n ' t h e l p b u t l i k e t h e c l a s s . A n d , I d o n ' t t h i n k t h a t I ' m v e r y e x c i t e d a b o u t m a t h . I t ' s l i k e n o t r e a l l y s o m e t h i n g t h a t I e n j o y d o i n g . I e n j o y b e i n g a b l e t o p r o v e t o p e o p l e t h a t I k n o w h o w t o d o i t , b u t I d o n ' t r e a l l y . . . . . L i k e i f g i v e n t h e o p p o r t u n i t y t o d o m a t h o r r e a d a b o o k , I w o u l d n ' t c h o o s e t o d o m a t h . S o , I d o n ' t t h i n k t h a t I w o u l d b e a g o o d m a t h t e a c h e r . [ m e a n I t h i n k t h a t I w o u l d b e a g o o d m a t h t e a c h e r , b u t I d o n ' t t h i n k t h a t i t w o u l d b e f a i r o f m e t o b e a m a t h t e a c h e r , b e c a u s e i t ' s n o t s o m e t h i n g t h a t I c a n j u s t l i k e r e a l l y g e t p e o p l e e x c i t e d o v e r , a n d i f i t w a s l i k e , ' W e l l , w e c a n d o m a t h o r w e c a n y o u 2 6 1 k n o w , g o h a v e r e c e s s . ' I w o u l d p r o b a b l y l e t e v e r y o n e g o h a v e r e c e s s . J u s t c a u s e I d o n ' t l i k e i t . " T h e r e a s o n B r i d g e t d i d n ' t w a n t t o t e a c h m a t h e m a t i c s w a s n o t a s m u c h b e c a u s e s h e l a c k e d c o n fi d e n c e i n h e r a b i l i t i e s t o d o a n d u n d e r s t a n d m a t h a s i t w a s h e r l a c k o f e n t h u s i a s m f o r i t a s w a s t h e c a s e i n h e r a t t i t u d e t o w a r d m a t h e m a t i c s i t s e l f . T h i s i s i l l u s t r a t e d i n h e r r e s p o n s e s i t i t e m 1 2 o f t h e M a t h e m a t i c s I n v e n t o r y , " 1 d o n ' t e x p e c t t o e n c o u n t e r a n y m a t h e m a t i c s w h e n I - t e a c h e l e m e n t a r y s c h o o l t h a t I w o n ' t u n d e r s t a n d s i n c e I s u c c e s s f t u c o m p l e t e d e l e m e n t a r y s c h o o l . " O n t h e fi r s t d a y o f c l a s s s h e p u t a 5 , t h e n s h e p u t a 4 t h e n e x t t w o t i m e s s h e t o o k t h e i n v e n t o r y ( S e e T a b l e 1 8 ) . D u r i n g t h e m i d - s e m e s t e r i n t e r v i e w s h e w a s a s k e d i f s h e t h o u g h t s h e w a s c h a n g i n g a t a l l o n t h a t , a n d s h e e x p l a i n e d . " P o s s i b l y a l i t t l e b i t j u s t b e c a u s e I ' m a l i t t l e w o r r i e d a b o u t t h e w h o l e i d e a o f t e a c h i n g m a t h . I m e a n I ' v e l o o k e d t h r o u g h t h e t e x t b o o k s i n m y e l e m e n t a r y s c h o o l n o w , a n d I u n d e r s t a n d a l l t h e m a t h t h a t ' s i n i t , b u t t h e r e ' s a l w a y s a c h a n c e . W e l l , t h e r e ' s p r o b a b l y a a b i l i t y t h a t I w o u l d h a v e l e a r n e d s o m e t h i n g i n a d i f f e r e n t w a y w h a t I s h o u l d h a v e i n w h a t ' s a c c e p t e d n o w t o t e a c h i t i n t h e w a y i t ' s c o n c e p t e d n o w . I m e a n I c a n s t i l l d o m y f r a c t i o n s a n d s t u f f . " A f e w o f t h e o p e n - e n d e d q u e s t i o n s f r o m t h e M a t h e m a t i c s I n v e n t o r y a l s o g i v e u s s o m e i n s i g h t i n t o B r i d g e t ' s a t t i t u d e t o w a r d t e a c h i n g m a t h e m a t i c s - e s p e c i a l l y a s i t r e l a t e s t o h e r c o n f i d e n c e . O n e o f t h e q u e s t i o n s w a s , " W h a t d o y o u c o n s i d e r t o b e y o u r g r e a t e s t s t r e n g t h s i n r e l a t i o n t o b e i n g a m a t h e m a t i c s t e a c h e r ? " O n t h e fi r s t d a y o f c l a s s , B r i d g e t w r o t e , " I u n d e r s t a n d t h a t l e a r n i n g a n d b e i n g s u c c e s s f u l i n m a t h e m a t i c s r e q u i r e s a l o t o f t i m e a n d e n e r ( f o r m o s t p e o p l e ) . T h e r e f o r e , I w o u l d n ' t ' w r i t e o f f ' a s t u d e n t w c w a s s t r u g g l i n g . I k n o w w h a t i t f e e l s l i k e a n d c a n e m p a t h i z e w i t h t h e m . " O n t h e l a s t d a y o f c l a s s , i n r e s p o n s e t o t h a t q u e s t i o n , B r i d g e t w r o t e , " M y u n d e r s t a n d i n g o f e l e m e n t a r y m a t h t o p i c s . " 2 6 2 A n o t h e r q u e s t i o n w a s " W h a t c o n c e r n s y o u t h e m o s t a b o u t t e a c h i n g m a t h e m a t i c s t o e l e m e n t a r y s t u d e n t s ? " O n t h e fi r s t d a y o f c l a s s , B r i d g e t w r o t e , " T h a t I w i l l n o t b e a b l e t o g e t t h e m e s s a g e a c r o s s . I w o r r y t h a t s t u d e n t s w i l l n o t u n d e r s t a n d w h a t I ' m t e a c h i n g , a n d I w i l l h a v e d i f fi c u l t y fi n d i n g a n a l t e r n a t e m e t h o d o f e x p l a n a t i o n . " O n t h e l a s t d a y o f c l a s s , s h e w r o t e , " M y l a c k o f e n t h u s i a s m . " B y t h e e n d o f t h e s e m e s t e r , B r i d g e t ’ 8 l a c k o f e n t h u s i a s m s e e m e d t o o v e r s h a d o w a l l o t h e r c o n c e r n s s h e h a d r e l a t e d t o t h e i d e a o f t e a c h i n g m a t h e m a t i c s . O n e o f t h e o p e n - e n d e d q u e s t i o n s o n t h e M a t h e m a t i c s I n v e n t o r y w a s " D o y o u t h i n k y o u r m a t h e m a t i c a l e x p e r t i s e ( o r l a c k o f e x p e r fi s e ) w i l l b e a l i a b i l i t y o r a s t r e n g t h w h e n y o u t e a c h m a t h e m a fi c s i n a n e l e m e n t a r y s c h o o l ? E x p l a i n . " O n t h e f i r s t d a y o f c l a s s , B r i d g e t w r o t e , " M y k n o w l e d g e w i l l b e a s h e n g t h . I h a v e g o t t e n g o o d g r a d e s a l l t h e w a y t h r o u g h c a l c u l u s a n d s t a t i s t i c s , s o I ' m c o n fi d e n t t h a t I h a v e a g o o d w o r k i n g k n o w l e d g e t h a t I c a n u s e t o h e l p m y s t u d e n t s . " S h e d i d n ' t r e s p o n d t o t h a t q u e s t i o n o n t h e l a s t d a y o f c l a s s . I c a n ’ t k n o w f o r s u r e w h y s h e s k i p p e d t h a t q u e s t i o n o r i f t h e r e ’ s a n y s i g n i f i c a n c e t o h e r n o t a n s w e r i n g t h a t q u e s t i o n , b u t m y g u e s s i s t h a t s h e j u s t o v e r l o o k e d i t . W h e n w e p u t t h i s o m i s s i o n a l o n g s i d e t h e f a c t t h a t s h e n o l o n g e r a n s w e r e d i t e m 1 2 — " 1 d o n ' t e x p e c t t o e n c o u n t e r a n y m a t h e m a fi c s w h e n I t e a c h e l e m e n t a r y s c h o o l t h a t I w o n ' t u n d e r s t a n d s i n c e I s u c c e s s f u l l y c o m p l e t e d e l e m e n t a r y s c h o o ” — w i t h a 5 , w e m i g h t h y p o t h e s i z e t h a t s h e w a s n o l o n g e r a s c o n fi d e n t t h a t s h e u n d e r s t o o d a l t h e m a t h i n t h e e l e m e n t a r y c u r r i c u l u m . B y t h e e n d o f t h e s e m e s t e r , B r i d g e t s e e m e d t o r e a l i z e t h e r e w a s m o r e t o b e i n g a g o o d m a t h t e a c h e r t h a n h a v i n g m a t h e m a t i c a l k n o w l e d g e , a n d i t w a s a n a r e a w h e r e s h e d i d n ' t f e e l a s c o n fi d e n t . I n t h e M a t h e m a t i c s I n v e n t o r y t h e s t u d e n t s w e r e g i v e n o n t h e l a s t d a y o f c l a s s , t h e r e w a s a q u e s t i o n a s k i n g t h e m i f t h e i r i d e a s a b o u t m a t h e m a t i c s o r t e a c h i n g m a t h e m a t i c s h a d c h a n g e d a t a l l d u r i n g 2 6 3 t h e t i m e t h e y h a d b e e n i n t h e c o u r s e . B r i d g e t w r o t e , " Y e s — I d o n ' t w a n t t o t e a c h m a t h a n y m o r e . T h e m o r e I t h o u g h t a b o u t t h e r o l e t h a t a t t i t u d e p l a y s i n b e i n g a n e f f e c t i v e t e a c h e r , t h e m o r e I r e a l i z e d i t ' s n o t f o r m e . " B r i d g e t s t i l l h a d t h i s a t t i t u d e t o w a r d t e a c h i n g m a t h e m a t i c s a s e m e s t e r a f t e r t h e c o u r s e w h e n s h e w a s i n t e r v i e w e d f o r a fi n a l t i m e . A s n o t e d p r e v i o u s l y , d u r i n g t h a t i n t e r v i e w w h e n a s k e d h o w s h e f e l t a b o u t t e a c h i n g m a t h e m a t i c s , s h e s a i d t h a t a g o o d m a t h t e a c h e r n e e d e d t o b e e x c i t e d a b o u t i t , a n d s h e w a s n ' t . S h e w a s a l s o a s k e d i f h e r f e e l i n g s a b o u t t e a c h i n g m a t h e m a fi c s h a d e v e r c h a n g e d , a n d s h e r e s p o n d e d , " I d o n ' t k n o w . I t h i n k t h a t I ' v e a l w a y s f e l t t h a t . I t h i n k m o r e a f t e r t h i s y e a r , a f t e r o u r 4 0 1 c l a s s , I s t a r t e d t o r e a l i z e t h a t I d i d n ' t h a v e e n o u g h e x c i t e m e n t f o r m a t h , a n d t h a t m e b e i n g i n v o l v e d i n t e a c h i n g m a t h w o u l d n o t b e a f a i r , l i k e I w o u l d n ' t b e g i v i n g m y s t u d e n t s a g o o d o p p o r t u n i t y j u s t b e c a u s e , I d o n ' t k n o w . S o m e p e o p l e g e t s o l i k e k e y e d u p o v e r i t , a n d I j u s t d o n ' t . . . I w o u l d b e c o n c e r n e d t h a t I w a s n ' t p r o v i d i n g m y s t u d e n t s w i t h a n a p p r o p r i a t e r o l e m o d e l f o r l e a r n i n g m a t h b e c a u s e I d o n ' t r e a l l y c a r e s o m u c h . S h o , I w o u l d p r o b a b l y f e e l l i k e s o m e o f t h a t w a s g o i n g t o r u b o f f o n e m . B y t h e t i m e B r i d g e t w a s i n t e r v i e w e d a fi n a l t i m e , s h e d i d n ' t e v e n s e e m t h a t c o m m i t t e d t o t h e i d e a o f t e a c h i n g E n g l i s h i n a m i d d l e s c h o o l . A f t e r t h e fi n a l i n t e r v i e w , B r i d g e t t o l d m e t h a t s h e w a s n ' t p l a n n i n g o n t e a c h i n g a t a l l — a n y t h i n g - — i n t h e f o r e s e e a b l e f u t u r e . S h e s a i d t h a t s h e w a s p l a n n i n g o n m o v i n g t o L o n d o n a n d w o r k i n g f o r a m a g a z i n e . M a j o r T h e m e s i n t h e C a s e o f B r i d g e t T h e m a j o r t h e m e s i n t h e s t u d y o f t h e c a s e o f B r i d g e t s e e m e d t o b e a s h i f t i n h e r p o s i t i o n i n g r e l a t e d t o m a t h w i t h a n u n u s u a l r e s u l t , h e r s u r p r i s i n g d i s l i k e f o r m a t h , a n d h e r r e a l i z a t i o n o r a c c e p t a n c e o f t h e i d e a t h a t i n o r d e r t o b e a g o o d t e a c h e r o f m a t h e m a t i c s , o n e m u s t h a v e a g o o d a t t i t u d e t o w a r d m a t h e m a t i c s . T h i s s e e m e d t o b e a d i s c o v e r y f o r B r i d g e t t h a t l e d h e r t o t h e c o n c l u s i o n t h a t s h e s h o u l d n o t t e a c h m a t h e m a t i c s . 2 6 4 A S h i f t i n P o s i t i o n i n g w i t h a D i f f e r e n t R e s u l t . I t s e e m s t h a t m u c h o f w h a t w a s g o i n g o n w i t h B r i d g e t w a s w h a t I o b s e r v e d w i t h m a n y o f t h e s t u d e n t s , a n d t h a t w a s a s h i f t i n h e r p o s i t i o n i n g f r o m t h i n k i n g a s a n e x p e r i e n c e d s t u d e n t t o t h i n k i n g a s a p r o s p e c t i v e t e a c h e r . T h i s w a s e v i d e n t i n h e r fi n a l c o n c e p t m a p w h e r e s h e i n c l u d e d c a t e g o r i e s f o r a t t i t u d e s ” t h a t w e w a n t ’ ' a n d ” t h a t w e d o n ’ t w a n t . ” I t w a s a l s o e v i d e n t i n h e r ” P h i l o s o p h y o f T e a c h i n g M a t h e m a t i c s ” j o u r n a l e n t r y w h e r e s h e i n c l u d e d m a n y n e w i d e a s a b o u t t e a c h i n g m a t h e m a t i c s . F o r m o s t o f t h e s t u d e n t s i n t h e c l a s s , t h e s h i f t f r o m t h i n k i n g a b o u t m a t h a s a n e x p e r i e n c e d s t u d e n t t o t h i n k i n g o f i t i n r e l a t i o n t o b e i n g a p r o s p e c t i v e t e a c h e r s e e m e d t o h e l p t h e m f e e l m o r e p o s i t i v e a b o u t m a t h a n d t e a c h i n g m a t h , a s w e l l a s h e l p t h e m s e e m a t h a s K r o w s ( 1 9 9 9 ) d e s c r i b e d i t a s a ” d y n a m i c , e v e r c h a n g i n g , p r o b l e m d r i v e n b r a n c h o f s c i e n c e . ” H o w e v e r , f o r B r i d g e t , i t s e e m s a s t h o u g h a s s h e g o t c l o s e r a n d c l o s e r t o t h e m o m e n t o f t e a c h i n g , s h e g o t c l e a r e r a n d c l e a r e r t h a t s h e d i d n o t w a n t t o d o t h i s . A S u r p r i s i n g D i s l i k e o f M a t h . I n m a n y w a y s , i t s e e m s s u r p r i s i n g t h a t B r i d g e t w o u l d d i s e r m a t h . S h e h a d e x p e r i e n c e d q u i t e a b i t o f s u c c e s s l e a r n i n g i t a n d u s i n g i t ; s h e l o v e d h e r c o n c e p t u a l m a t h c l a s s ; a n d s h e w a s e v e n a b l e t o h e l p h e r c o u s i n w i t h m a t h . A l s o , t h e f a c t t h a t s h e s p o n t a n e o u s l y n o t e s i n h e r fi n a l i n t e r v i e w t h a t t h e t a b l e a n d t h e f o u r t a b l e s a r e p r o p o r t i o n a l s u g g e s t s t h a t s h e h a s a m i n d t h a t i s a c t u a l l y q u i t e w e l l s u i t e d t o d o i n g a n d e n j o y i n g m a t h — t o a k i n d o f i n t e l l e c t u a l d o o d l i n g w i t h m a t h . S h e u s e d m a t h a s a r e c r e a t i o n ! A n d y e t , s h e c o n t i n u e s t o h a t e t h e s u b j e c t . T h i s s e e m s a b i t o d d , b u t f o r s o m e r e a s o n , s h e s e e m s t o h a v e c h o s e n t o n o t l i k e m a t h . A D i s c o v e r y L e a d i n g t o a S u c c e s s o f S o r t s . B y t h e e n d o f t h e c o u r s e , B r i d g e t s t r o n g l y b e l i e v e d t h a t f o r t e a c h e r s t o t e a c h m a t h w e l l , t h e y n e e d t o h a v e a n e n t h u s i a s m f o r t h e s u b j e c t . T h i s c o n v i c t i o n w a s m a g n i fi e d g r e a t l y d u r i n g t h e c o u r s e o f t h e s t u d y . I n f a c t , s h o r t l y i n t o t h e s t u d y , a n d e s p e c i a l l y b y t h e e n d o f 2 6 5 t h e s t u d y , B r i d g e t d e c i d e d t h a t e v e n t h o u g h s h e f e l t f a i r l y c o n fi d e n t i n h e r a b i l i t y t o d o m a t h ( e s p e c i a l l y a t t h e e l e m e n t a r y l e v e l ) , s h e f e l t l i k e h e r d i s l i k e o f i t a n d l a c k o f e n t h u s i a s m f o r i t d i s q u a l i fi e d h e r f r o m b e i n g a g o o d t e a c h e r o f i t . T h i s c o n c l u s i o n w a s e v i d e n c e d i n h e r j o u r n a l e n t r i e s , h e r r e s p o n s e s t o i t e m s o n t h e M a t h e m a h ' c s I n v e n t o r y , a n d h e r i n t e r v i e w s a s n o t e d t h r o u g h o u t t h e p r e c e d i n g a n a l y s i s . I t ’ 3 h a r d t o k n o w f o r s u r e a l l t h e f a c t o r s t h a t c o n t r i b u t e d t o B r i d g e t ’ 8 i d e a s a b o u t t h e n e e d f o r e n t h u s i a s m . I w o u l d g u e s s t h a t m y i n fl u e n c e w a s a t l e a s t p a r t o f i t . I b e l i e v e t h a t t e a c h e r s w h o h a v e a g o o d a t t i t u d e t o w a r d m a t h a n d a r e e n t h u s i a s t i c a b o u t i t a r e b e t t e r a b l e t o t e a c h i t , a n d i t i s a n i d e a I b r o u g h t u p i n c l a s s a f e w t i m e s a n d h a d t h e m t h i n k a b o u t . I a l s o f o r c e d t h e m t o t h i n k a b o u t . t h a t i d e a w i t h s o m e o f t h e o p e n - e n d e d q u e s t i o n s i n t h e M a t h e m a fi c s I n v e n t o r y . O t h e r s t u d e n t s s e e m e d t o a l s o b e l i e v e t h i s , a n d i t w a s s o m e t h i n g t h a t m a n y t a l k e d a b o u t i n o u r c l a s s d i s c u s s i o n s . M a n y o f t h e s t u d e n t s w e r e b e c o m i n g v i s i b l y m o r e e n t h u s i a s t i c a b o u t t e a c h i n g m a t h e m a t i c s a s t h e c o u r s e p r o g r e s s e d , a n d p e r h a p s B r i d g e t f e l t i s o l a t e d i n h e r l a c k o f e n t h u s i a s m . I t ’ s a l s o h a r d t o k n o w i f B r i d g e t ’ 3 l a c k o f e n t h u s i a s m f o r m a t h e m a t i c s i s t h e o n l y r e a s o n s h e d e c i d e d n o t t o t e a c h m a t h . I t m a y b e a p o l i t e w a y t o b o w o u t . S h e m a y h a v e r e a l i z e d t h a t t e a c h i n g i s n o t w h a t s h e w a n t s t o d o , a n d t h i s g i v e s h e r a r e a s o n — t h a t i s n ’ t h e r f a u l t — f o r d i s q u a l i f y i n g h e r s e l f f r o m t e a c h i n g . T h e f a c t t h a t s h e w a s m a j o r i n g i n E n g l i s h a n d w a s p l a n n i n g o n t e a c h i n g m i d d l e s c h o o l b u t ” w a n t e d t o l e a r n a b o u t t e a c h i n g o t h e r s u b j e c t s ” w h e n t h e c l a s s b e g a n , a n d t h e n t h e f a c t t h a t a t t h e e n d o f t h e s t u d y s h e h a d d e c i d e d s h e d i d n ’ t e v e n w a n t t o t e a c h E n g l i s h m a k e m e w o n d e r i f t h e r e w e r e m o r e r e a s o n s t h a n h e r d i s l i k e o f m a t h f o r d e c i d i n g n o t t o t e a c h . R e g a r d l e s s o f w h a t r e a s o n s B r i d g e t h a d f o r n o t w a n t i n g t o t e a c h o r w h a t c a u s e d h e r t o b e l i e v e t h a t s h e n e e d e d t o b e e n t h u s i a s t i c a b o u t m a t h i n o r d e r t o 2 6 6 t e a c h i t w e l l , i f w e t a k e h e r d e c l a r a t i o n t h a t s h e i s n ’ t g o i n g t o t e a c h b e c a u s e a t e a c h e r h a s a m o r a l d u t y t o b e e n t h u s i a s t i c a b o u t w h a t s h e t e a c h e s , h e r d e c i s i o n t h a t s h e s h o u l d n ' t t e a c h m a t h e m a t i c s g i v e n h e r a t t i t u d e t o w a r d i t c a n b e c o n s i d e r e d a s u c c e s s o f s o r t s . F e l i c i a : S l i g h t C r a c k s , b u t a S t r o n g C o m m i t m e n t t o A l r e a d y - E n t r e n c h e d N e g a t i v e C o n c e p t i o n s a n d A t t i t u d e s F e l i c i a w a s a 2 2 - y e a r - o l d s e c o n d - y e a r s e n i o r a t M i c h i g a n S t a t e U n i v e r s i t y w h o w a s m a j o r i n g i n " c h i l d d e v e l o p m e n t a n d t e a c h i n g . " S h e w a s a v e r y a t t r a c t i v e a n d p e t i t e y o u n g w o m a n w i t h l o n g b r o w n h a i r w h o h a d g r o w n u p i n a s m a l l t o w n i n M i c h i g a n . T h e o n l y c l a s s e s s h e n e e d e d i n o r d e r t o g r a d u a t e w e r e T E 4 0 1 a n d T B 4 0 2 w h i c h w e r e c o u r s e s t e a c h e r e d u c a t i o n m a j o r s t o o k i n t h e i r s e n i o r y e a r b e f o r e t h e y b e g a n t h e i r i n t e r n s h i p a n d f o c u s e d o n t e a c h i n g m a t h , l a n g u a g e a r t s , s c i e n c e , a n d s o c i a l s t u d i e s t o d i v e r s e l e a r n e r s . S h e f e l t l i k e i f h e r a d v i s o r h a d " o r g a n i z e d h e r b e t t e r " s h e w o u l d h a v e g r a d u a t e d t h e s p r i n g b e f o r e , a n d s h e w a s n ' t v e r y h a p p y t o s t i l l b e t a k i n g c l a s s e s . F e l i c i a h a d n o t h a d p o s i t i v e e x p e r i e n c e s w i t h m a t h e m a t i c s i n h e r l i f e , a n d s h e h a d d e v e l o p e d a s t r o n g d i s l i k e f o r i t . S h e d e s c r i b e d h e r e x p e r i e n c e s w i t h m a t h e m a fi c s d u r i n g t h e m i d - s e m e s t e r i n t e r v i e w t h i s w a y : " I d o n ' t r e m e m b e r e v e r l i k i n g i t , b u t I d o n ' t r e m e m b e r h a v i n g s u c h a h a r d fi m e w i t h i t u n t i l I g o t t o h i h s c h o o l . I m e a n , I a l w a y s d i d w e l l i n e l e m e n t a r y s c h o o l w i t h m a . I t w a s n ' t f u n . I d i d n ' t e n j o y i t , b u t I d i d w e l l . I d i d o k a y . A n d , t h e n j u n i o r h i g h I a c t u a l l y d i d r e a l l y , r e a l l y w e l l . I n 7 t h g r a d e w a s t h e o n l y t i m e I g o t s t r a i g h t A ' s b e c a u s e I g o t a n A i n m y m a t h c l a s s . A n d , t h e n a l g e b r a s t a r t e d o u t r e a l l y h a r d f o r m e , a n d I r e m e m b e r f a i l i n g m y fi r s t t e s t a n d g o i n g h o m e i n t e a r s , a n d m y d a d w h o w a s t h e o n l y p e r s o n i n t h e w o r l d w h o c o u l d e x p l a i n m a t h t o m e t h e w a y I u n d e r s t a n d i t , s t a r t e d h e l p i n g m e u n d e r s t a n d i t . S o , e v e r y d a y I ‘ d s i t i n c l a s s , k n o w i n g t h a t I h a d n o c l u e w h a t w a s g o i n g o n , b u t t h a t w h e n I g o t h o m e h e ' d e l a i n i t , a n d I w o u l d c o m e b a c k a n d d o fi n e . S o , I p u l l e d a B o u t o f t , a n d t h a t a c t u a l l y f e l t f u n t o m e w h e n I fi g u r e d o u t w h a t x e q u a l e d . I f e l t r e a l l y h a p p y . I m e a n I w o u l d n ' t h a v e c h o s e n t o d o i t . I ' m n o t a m o t i v a t e d e n o u g h p e r s o n t o b e l i k e t h a t , b u t i t w a s , I 2 6 7 g u e s s a s f a r a s m a t h g o e s , a f a i r l y p o s i t i v e e x p e r i e n c e . T h e n g e o m e t r y j u s t k i l l e d m e — t h e l o g i c , j u s t e v e r y t h i n g a b o u t i t . I j u s t d i d n ' t u n d e r s t a n d w h a t t h e p u r p o s e o f i t w a s . I j u s t d i d n ' t u n d e r s t a n d a n y t h i n g a b o u t i t . I t w a s t h e h a r d e s t t h i n g I ' v e e v e r d o n e . " T h e i n t e r v i e w e r t h e n a s k e d h e r i f s h e a c t u a l l y f a i l e d t h a t c l a s s , a n d h e r r e s p o n s e p r o v i d e s e v e n m o r e i n s i g h t i n t o t h e s o u r c e o f h e r e x t r e m e d i s l i k e f o r m a t h e m a fi c s : " N o , I t h i n k I g o t a C . I m e a n , w i t h m y d a d ' s h e l p I a l w a y s d i d o k a y . I t w a s j u s t a b i g s t r u g g l e . I a l w a y s s p e n t h o u r s a t h o m e w o r k i n g o n i t a n d s t r u g g l i n g a n d s t r u g g l i n g a n d y o u k n o w , t a k i n g b r e a k s t o s t o m p u p s t a i r s a n d c r y a w h i l e a n d t h e n c o m e b a c k d o w n s t a i r s . I t h u r t s m y b r a i n t o d o m a t h — p h y s i c a l l y . " T h i s a c c o u n t w a s v e r y s i m i l a r t o w h a t s h e w r o t e i n h e r " R e fl e c t i o n s o n M a t h e m a t i c s E x p e r i e n c e s " j o u r n a l e n t r y w h i c h w a s a s s i g n e d t h e fi r s t d a y o f c l a s s . F e l i c i a ' s e x p e r i e n c e s w i t h m a t h e m a t i c s o n c e s h e g o t t o c o l l e g e w e r e a l s o m o s t l y n e g a t i v e a n d d i d n o t h i n g t o i m p r o v e h e r o p i n i o n o f m a t h . S h e d e s c r i b e d t h e m t h i s w a y i n h e r " R e fl e c t i o n s o f M a t h e m a t i c s E x p e r i e n c e s " j o u r n a l e n t r y : " U p o n e n t e r i n g M S U , I s c o r e d s o p o o r l y i n m y m a t h p l a c e m e n t t e s t s , t h a t I h a d t o t a k e a o n e o r n o c r e d i t ( I d o n ' t r e m e m b e r ) b a s i c a r i t h m e t i c c l a s s . T h i s w a s s o m e w h a t h u m i l i a t i n g , s i n c e I d o n ' t h a v e a p r o b l e m w i t h b a s i c m a t h . I 4 . 0 e d t h a t c l a s s w i t h e a s e . T h e n , b e f o r e I c o u l d t a k e 2 0 1 a n d 2 0 2 , I h a d t o t a k e 1 0 3 , c o l l e g e a l g e b r a . T h a t w a s a n o t h e r s n u g g l e . T h i s t i m e m y fi a n c e t u t o r e d m e a n d I e n d e d u p w i t h t h e s a m e t e a r s a n d h e a d a c h e s I ' d h a d a l l t h r o u g h h i g h s c h o o l . I w o r k e d h a r d e r a t t h a t c l a s s t h a n I ' d e v e r w o r k e d i n m y l i f e . I d e s e r v e d a 4 . 0 f o r e f f o r t , a n d a 3 . 0 f o r t h e a m o u n t o f b l e m s I g o t r i g h t . H o w e v e r , I c a m e o u t w i t h a 2 . 5 . T h e n c a m e 2 0 1 a n d 2 0 2 , w h i c h w e r e s o w e i r d a n d u n - m a t h l i k e , t h a t I c a n ' t s a y w h e t h e r I l i k e d t h e m o r n o t . T h e y d i d n ' t f e e l l i k e m a t h . T h e d i d n ' t m a k e m e c r y , I d i d n ' t n e e d a t u t o r , a n d I d i d n ' t g e t a s t o m a a c h e b e f o r e e v e r y c l a s s . I d i d n ' t d o e x c e e d i n g l y w e l l i n t h e fi r s t o n e . I t h i n k I g o t a 3 . 5 i n t h a t o n e , b u t i n 2 0 2 , I h a d a 4 . 0 a l l t h e w a y t h r o u g h . I k n e w w h a t I w a s d o i n g , a n d t h e n W h a m , t h e fi n a l w a s n o t h i n g a t a l l l i k e t h e o t h e r t e s t s , a n d I f a i l e d i t c o m p l e t e l y . T h a t g a v e m e a 3 . 5 , w h i c h I w o u l d h a v e b e e n t h r i l l e d w i t h , b u t I k n e w I d e s e r v e d a 4 . 0 . " I n h e r m i d - s e m e s t e r i n t e r v i e w , F e l i c i a f u r t h e r e x p l a i n e d h e r s n u g g l e w i t h t h e c o l l e g e a l g e b r a c l a s s . S h e e x p l a i n e d t h a t t h e b a s i c a r i t h m e t i c c l a s s s h e h a d 2 6 8 t a k e n a n d " 4 . 0 e d " w a s n o t i n t e n d e d t o p r e p a r e h e r f o r c o l l e g e a l g e b r a , b u t s h e w a s o r i g i n a l l y a n E n g l i s h m a j o r , a n d h e r a d v i s o r s d i d n ' t e x p e c t h e r t o t a k e a n y m a t h b e y o n d t h a t fi r s t c o u r s e . W h e n s h e c h a n g e d h e r m a j o r , s h e h a d t o t a k e c o l l e g e a l g e b r a b e f o r e s h e t o o k 2 0 1 a n d 2 0 2 . F e l i c i a w a s n ' t h a p p y t o b e t a k i n g t h i s c o u r s e o n t e a c h i n g m a t h e m a t i c s b e c a u s e s h e t h o u g h t s h e h a d a l r e a d y fi n i s h e d a n d s u r v i v e d a l l t h e m a t h s h e w o u l d h a v e t o t a k e . S h e t o l d t h e m i d - s e m e s t e r i n t e r v i e w e r , " I g u e s s I r e a l l y h a d t h e a t t i t u d e , w h i c h i s b a d , t h a t I w a s c o m p l e t e l y d o n e w i t h m a t h f o r e v e r . " F e l i c i a ' s C o n c e p t i o n s o f M a t h e m a t i c s T h e d a t a c o l l e c t e d f r o m F e l i c i a t h r o u g h o u t t h e s t u d y p r o v i d e m u c h i n f o r m a t i o n a b o u t F e l i c i a ' s c o n c e p t i o n s o f m a t h e m a t i c s . T h e s e w i l l b e e x a m i n e d i n t h e f o l l o w i n g s e c t i o n s a s o u t l i n e d b y t h e f r a m e w o r k d e s i g n e d t o a n a l y z e t h i s s t u d y . F e l i c i a ' s b e g i n n i n g a n d fi n a l m a t h c o n c e p t m a p s a r e s h o w n h e r e ( S e e F i g u r e 4 4 o n p a g e 2 7 0 a n d 4 5 o n p a g e 2 7 1 ) . T h e y w i l l b e r e f e r r e d t o i n v a r i o u s s e c t i o n s o f t h e a n a l y s i s . N a t u r e o f M a t h e m a t i c s C o n t e n t . T h e s p e c i fi c c o n t e n t o f m a t h e m a t i c s w a s n o t a d o m i n a n t f o c u s o f F e l i c i a ' s " W h a t I s M a t h e m a t i c s ? " j o u r n a l e n t r i e s a n d h e r c o n c e p t m a p s — b o t h a t t h e b e g i n n i n g o f t h e s e m e s t e r a n d a t t h e e n d . T h e o t h e r d a t a s o u r c e s p r o v i d e d n o i n f o r m a t i o n a b o u t h e r c o n c e p t i o n s o f t h e c o n t e n t o f m a t h e m a t i c s . F r o m t h e g l i m p s e s t h a t a r e p r o v i d e d , i t a p p e a r s t h a t t h e r e w a s n o c h a n g e i n t h i s a r e a f r o m t h e b e g i n n i n g o f t h e s e m e s t e r u n t i l t h e e n d o f t h e s t u d y . I n h e r b e g i n n i n g " W h a t I s M a t h e m a t i c s ? " j o u r n a l e n t r y , s h e w r o t e , " I g u e s s m a t h i s t h e s t u d y o f n u m b e r s . " S h e a l s o w r o t e , " C o u n t i n g i s m a t h , b u t s o i s c a l c u l u s . " S h e t h e n 2 6 9 ° L , _ _ _ _ ' V , , m e m n z a h m ‘ ( ’ 1 T / g a s } F i g u r e “ : B e g i n n i n g M a t h C o n c e p t M a p o f F e l i d a a d d e d , " T h e y s e e m t o h a v e n o r e l a t i o n . " I n h e r fi n a l " W h a t I s M a t h e m a t i c s ? " j o u r n a l e n t r y , s h e w r o t e t w o s e n t e n c e s r e l a t e d t o c o n t e n t , a n d o n e o f t h e m w a s e s s e n t i a l l y t h e s a m e t h i n g s h e w r o t e o n t h e fi r s t d a y : " M a t h i s t h e s t u d y o f n u m b e r s ; " a n d " M a t h i s n u m b e r s a n d s t r a i g h t l i n e s a n d l o g i c . " ( T h i s m a y b e a c o n n e c t i o n t o h e r i d e a o f g e o m e t r y w h i c h s h e d i d n ' t l i k e s i n c e s h e m e n t i o n e d l o g i c w h e n t a l k i n g a b o u t i t a s n o t e d e a r l i e r . ) T h e o n l y w o r d s s h e i n c l u d e d i n h e r b e g i n n i n g c o n c e p t m a p r e l a t e d t o c o n t e n t w e r e " a r i t h m e t i c , " " i n fi n i t y , " a n d 2 7 0 F i g u r e 4 5 : P i n a l M a t h C o n c e p t M a p o f P e l i c i a " n u m b e r s . " ( I t ' s i n t e r e s t i n g t h a t s h e w o u l d i n c l u d e s o m e t h i n g a s a b s t r a c t a s i n fi n i t y . ) I n h e r fi n a l c o n c e p t m a p t h e r e w a s n o c o n t e n t i n c l u d e d . P r o c e s s e s . T h e d a t a s o u r c e s p r o v i d e a l i t t l e m o r e i n f o r m a t i o n a b o u t w h a t F e l i c i a c o n s i d e r e d s o m e o f t h e t h i n k i n g p r o c e s s e s o f m a t h e m a t i c s , b u t a g a i n n o t a g r e a t d e a l . T h e r e m a y h a v e b e e n s o m e e x p a n s i o n o f w h a t s h e c o n s i d e r e d a s m a t h e m a t i c a l p r o c e s s e s d u r i n g t h e s e m e s t e r , b u t t h e r e i s n ' t e n o u g h i n f o r m a t i o n t o b e c e r t a i n . I n h e r b e g i n n i n g c o n c e p t m a p , s h e h a d t h e w o r d " p r o c e s s " a s w e l l a s " m e m o r i z a t i o n , " " r e a s o n i n g , " " l o g i c , " a n d " o r g a n i z a t i o n . " " M e r n o r i z a t i o n " w a s t h e o n l y w o r d l i n k e d t o " p r o c e s s . " T h e p r o c e s s e s s h e i n c l u d e d i n h e r fi n a l c o n c e p t m a p w e r e s i m i l a r , b u t s h e d i d n ' t i n c l u d e " o r g a n i z a t i o n " a n d " m e m o r i z a t i o n , " a n d s h e a d d e d " p r o b l e m s o l v i n g " a n d " c r i t i c a l t h i n k i n g . " O f c o u r s e , t h e r e ' s n o w a y t o k n o w i f t h o s e w e r e n e w t h o u g h t s o r i f s h e j u s t h a d n ' t i n c l u d e d t h e m i n t h e fi r s t o n e . I n h e r b e g i n n i n g " W h a t I s M a t h e m a t i c s ? " j o u r n a l e n t r y , r e l a t i n g t o p r o c e s s e s , F e l i c i a w r o t e , " M a t h a s k s t o p r o v e t h i n g s , t o w o r k p r o b l e m s b a c k w a r d s , t o u s e f o r m u l a s , t o s o l v e c o m p l i c a t e d e q u a t i o n s . " S h e a l s o 2 7 1 w r o t e , " M a t h i s s t r a i g h t - f o r w a r d l o g i c a l t h i n k i n g ; " a n d , " M a t h i s a w a y o f s o l v i n g p r o b l e m s w i t h n u m b e r s . " I n h e r fi n a l " W h a t I s M a t h e m a t i c s ? " j o u r n a l e n t r y , F e l i c i a w r o t e , " M a t h i s a p r o c e s s t h a t h a s t o b e t h o u g h t a b o u t , m a n i p u l a t e d , a n d e x p l a i n e d . " R e p r e s e n t a t i o n s . T h e s e d a t a s o u r c e s a l s o d i d n o t p r o v i d e m u c h i n f o r m a t i o n a b o u t h o w F e l i c i a s a w t h e c o n t e n t o f m a t h e m a t i c s a s b e i n g r e p r e s e n t e d . T h e y a l s o d o n ' t p r o v i d e e n o u g h i n f o r m a t i o n t o i n f e r a n y c h a n g e o r l a c k o f c h a n g e . T h e o n l y g l i m p s e s w e g e t o f h e r c o n c e p t i o n s o f t h e r e p r e s e n t a t i o n s o f m a t h e m a t i c s a r e f r o m h e r c o n c e p t m a p s . I n t h e b e g i n n i n g c o n c e p t m a p , s h e i n c l u d e d " n u m b e r s , " " f u n c t i o n s , " " l e t t e r , " a n d " g r a p h s . " I n h e r fi n a l c o n c e p t m a p , s h e i n c l u d e d " n u m b e r s , " " e q u a t i o n s , " a n d " f o r m u l a s . " C h a r a c t e r i s t i c s . F e l i c i a h a d s o m e v e r y s t r o n g i d e a s a b o u t w h a t s h e c o n s i d e r e d t o b e t h e c h a r a c t e r i s t i c s o f m a t h . I n f a c t , s h e e x p r e s s e d t h e s e c o n c e p t i o n s i n h e r j o u r n a l e n t r i e s a n d c o n c e p t m a p s m o r e t h a n a n y o n e e l s e i n t h e c l a s s d i d . T h e s e i d e a s d i d n o t s e e m t o c h a n g e m u c h d u r i n g t h e s e m e s t e r , b u t i t a p p e a r s i n s o m e a s p e c t s , t h e r e m a y h a v e b e e n s o m e s l i g h t c r a c k s i n h e r i n i t i a l c o n c e p t i o n s . I n h e r b e g i n n i n g " W h a t I s M a t h e m a t i c s ? " j o u r n a l e n t r y , F e l i c i a p r o v i d e s s o m e g l i m p s e s i n t o w h a t s h e c o n s i d e r s s o m e o f t h e c h a r a c t e r i s t i c s o f m a t h e m a t i c s . S h e w r o t e , " M a t h i s s t r a i g h t - f o r w a r d l o g i c a l t h i n k i n g t h a t p r o d u c e s r i g h t o r w r o n g a n s w e r s . T h e r e i s n o i n b e t w e e n . . . . T h e r e i s o n l y o n e a n s w e r — r i g h t o r w r o n g . " S h e a l s o w r o t e , " M a t h i s o r g a n i z e d a n d d e fi n i t e a n d s t r i c t . " H e r b e g i n n i n g c o n c e p t m a p a l s o i n c l u d e d s o m e w o r d s t h a t c o u l d b e c o n s i d e r e d c h a r a c t e r i s t i c s a n d t h a t w e r e c o n s i s t e n t w i t h w h a t s h e h a d w r i t t e n i n h e r b e g i n n i n g " W h a t I s M a t h e m a t i c s ? " j o u r n a l e n t r y : " l e f t - b r a i n e d , " " o r g a n i z a t i o n , " " r i g h t a n d w r o n g a n s w e r s , " a n d " t i m e c o n s u m i n g " ( S e e F i g u r e 4 4 o n p a g e 2 7 0 ) . 2 7 2 I n h e r fi n a l " W h a t I s M a t h e m a t i c s ? " j o u r n a l e n t r y , s h e c h a r a c t e r i z e d m a t h s i m i l a r l y t o t h e w a y s h e d i d a t t h e b e g i n n i n g o f t h e s e m e s t e r , b u t t h e r e w e r e s l i g h t d i f f e r e n c e s t h a t s u g g e s t e d t h a t m a y b e s h e h a d b e e n a t l e a s t e n t e r t a i n i n g t h e i d e a t h a t m a t h c o u l d n o t b e s i m p l y c h a r a c t e r i z e d i n t h e w a y s h e h a d l o n g t h o u g h t . S h e w r o t e , " M a t h i s a l o g i c a l a n d s t r a i g h t f o r w a r d s u b j e c t , " w h i c h i s s i m i l a r t o w h a t s h e w r o t e o n t h e fi r s t d a y , b u t t h e n s h e a d d e d , " y e t i t c a n b e e x p l o r e d i n w a y s t h a t m a y n o t b e l o g i c a l o r s t r a i g h t f o r w a r d . " H e r i d e a t h a t m a t h o n l y h a d r i g h t a n d w r o n g a n s w e r s h a d a l s o b e e n e x p a n d e d a l i t t l e b i t . S h e w r o t e , " M a t h i s fi n d i n g a n s w e r s . M a t h o n l y h a s r i g h t o r w r o n g a n s w e r s w h e n i t c o m e s r i g h t d o w n t o i t . T h e r e m a y b e m a n y w a y ; t o g e t t h o s e a n s w e r s , b u t i n t h e e n d , t h e y m u s t b e t h e s a m e . ' i s o n e s t r i k e a g a i n s t m a t h , a s f a r a s I ' m c o n c e r n e d . O n e c a n ' t b e v e r y i n d i v i d u a l i s t i c i n a m a t h c l a s s w h e n i t c o m e s t o g e t t i n g t h e r i g h t a n s w e r . " H e r fi n a l c o n c e p t m a p w a s a l s o c o n s i s t e n t i n d i s p l a y i n g t h i s s l i g h t c r a c k . S h e a g a i n i n c l u d e d " r i g h t o r w r o n g a n s w e r s , " b u t t h i s t i m e s h e i n c l u d e d a c o n n e c t e d s u b t o p i c o f " d i f f e r e n t w a y s o f g e t t i n g o n e a n s w e r . " S h e a l s o c o n n e c t e d t h e w o r d " l i m i t e d " t o " r i g h t o r w r o n g a n s w e r s " w h i c h s e e m s c o n s i s t e n t w i t h t h e a t t i t u d e s h e e x p r e s s e d i n t h e j u s t - n o t e d q u o t e f r o m h e r fi n a l " W h a t I s M a t h e m a t i c s ? " j o u r n a l e n t r y . A n o t h e r i t e m s h e i n c l u d e d o n h e r fi n a l c o n c e p t m a p t h a t w a s o n h e r b e g i n n i n g m a p w a s " l e f t - b r a i n e d t h i n k i n g . " I t ' s i n t e r e s t i n g t h a t F e l i c i a w r o t e " l e f t - b r a i n e d " o n b o t h o f h e r c o n c e p t m a p s a s a c h a r a c t e r i s t i c o f m a t h e m a t i c s b e c a u s e i n h e r m a t h e m a t i c s r e fl e c t i o n s h e w r o t e , " I j u s t k n o w t h a t m y m i n d ' 9 d o e s n ' t t h i n k o f m a t h t h e w a y m o s t p e o p l e e x p l a i n i t . I a m l e f t h a n d e d , a n d t h e r e f o r e r i g h t - b r a i n e d . " T h i n k i n g o f m a t h e m a t i c s a s " l e f t - b r a i n e d " p r o b a b l y g a v e h e r s o m e e x p l a n a t i o n o r e x c u s e a n d p e r h a p s c o m f o r t f o r w h y s h e f e l t l i k e s h e c o u l d n ' t u n d e r s t a n d i t . 2 7 3 T a b l e 1 9 : I t e m s R e l a t i n g t o C h a r a c t e r i s t i c s o f M a t h e m a t i c s f r o m t h e M a t h e m a t i c s I n v e n t o r y w i t h F e l i c i a ' s R e s p o n s e s r m - _ ; 3 ' o f m a e m a t i c s a s a s e t 0 i s o a t e d f a c t s a t 3 n e e d t o b e m e m o r i z e d . _ 1 1 . M a t h e m a t i c s r s s o m e t h i n g t h a t n o t e v e r y o n e i s a b l e t o 3 5 3 u n d e r s t a n d . 9 1 7 . M a t h e m a t i c s r s s o m e t h i n g a t w h i c h e v e r y o n e c a n b e 2 4 2 s u c c e s s f u l . T h e r e w e r e t h r e e i t e m s r e l a t i n g t o c h a r a c t e r i s t i c s o f m a t h e m a t i c s o n t h e M a t h e m a t i c s I n v e n t o r y ( S e e T a b l e 1 9 ) . R e g a r d i n g t h e s e i t e m s , t h e r e a p p e a r s t o h a v e b e e n s o m e fl u c t u a t i n g o f h e r i d e a s d u r i n g t h e s e m e s t e r , b u t a t t h e e n d o f t h e s e m e s t e r s h e h e l d p r e t t y fi r m l y o n t o h e r i n i t i a l i d e a s — o r d i d S h e ? E v e n t h o u g h t h e r e s p o n s e s a r e t h e s a m e , t h e r e m a y h a v e b e e n s o m e c r a c k s i n s o m e o f h e r c o n c e p t i o n s o f t h e c h a r a c t e r i s t i c s o f m a t h e m a t i c s . F o r i t e m n u m b e r 4 , " I t h i n k o f m a t h e m a t i c s a s a s e t o f i s o l a t e d f a c t s t h a t n e e d t o b e m e m o r i z e d , " F e l i c i a p u t a 3 e a c h t i m e s h e r e s p o n d e d t o t h e i n v e n t o r y . H o w e v e r , f r o m F e l i c i a ' s p e r s p e c t i v e , h e r i d e a o f t h a t h a d c h a n g e d s o m e w h a t w h e n s h e r e s p o n d e d t o t h a t i t e m d u r i n g t h e m i d - s e m e s t e r i n t e r v i e w — e v e n t h o u g h h e r r e s p o n s e d i d n ' t . W h e n a s k e d t h a t i t e m , s h e r e s p o n d e d , " U m t h a t ' s c h a n g e d a l i t t l e b i t , t o o , p r o b a b l y . I ' d s a y 3 . " W h e n a s k e d w h a t s h e t h o u g h t s h e p u t b e f o r e s h e s a i d t h a t s h e d i d n ' t r e m e m b e r . W h e n t o l d s h e h a d a l s o p u t a 3 t h e n , s h e r e s p o n d e d , " I g u e s s — I d o n ' t k n o w w h a t y o u ' r e l o o k i n g f o r — b u t , I r e a l i z e t h a t p e o p l e d o t h i n k o f i t t h a t w a y , a n d I c a n t o t a l l y s e e h o w t h e y w o u l d t h i n k o f t h a t w a y — a s i s o l a t e d f a c t s — b e c a u s e t h a t ' s w h a t w e ' v e a l w a y s d o n e i s m e m o r i z e t h e s e i s o l a t e d f a c t s , a n d t h e r e r e a l l y h a s n ' t b e e n a c o n n e c t i o n o f t h e m f o r m e , b u t I r e a l i z e t h a t ' s n o t w h a t ' 8 s u p p o s e d t o b e , a n d I k n o w t h e r e r s a c o n n e c t i o n . S o , I g u e s s I ' m s e e i n g t w o p i c t u r e s . I ‘ m s e e i n g m p i c t u r e , a n d I k n o w t h a t r t s w r o n g , a n d t h e n I s e e t h e p i c t u r e o f w h a t i t s h o u l d b e , a n d I k n o w t h a t i t ' s n o t i s o l a t e d f a c t s . " T h i s i s a f a s c i n a t i n g q u o t e f o r t h e f a c t t h a t F e l i c i a s e e m s t o b e t e l l i n g u s w h a t g o e s o n h e r m i n d a s s h e c o n t e m p l a t e s t h e d i f f e r e n c e b e t w e e n t h e w a y s h e h a s a l w a y s 2 7 4 t h o u g h t o f m a t h a n d t h e w a y t h a t w e w e r e t a l k i n g a b o u t i t i n c l a s s . T h e f a c t t h a t s h e s a y s , ” I k n o w [ m y p i c t u r e o f m a t h a s a s e t o f u n c o n n e c t e d f a c t s ] i s w r o n g c e r t a i n l y s u g g e s t s a c h a n g e i n h e r c o n c e p t i o n s , a n d y e t s h e s t i l l t a l k s a b o u t i t a s ” m y p i c t u r e . ” S h e s e e m s t o b e m a k i n g a d e c i s i o n a b o u t w h e t h e r s h e i s g o i n g t o k e e p o n t h i n k i n g t h e w a y t h a t s h e a l w a y s h a s o r i f s h e ' s g o i n g t o a d d t h i s n e w i d e a t o w h a t s h e a l s o b e l i e v e s . T h i s i s a n e x a m p l e t h a t s h o w s t h e r o l e t h a t c h o i c e p l a y s i n c h a n g i n g o n e ’ s c o n c e p fi o n s . ( P a r t o f m y g o a l a s a t e a c h e r o f t h i s c o u r s e i s t o a t l e a s t c h a l l e n g e s o m e o f t h e a s s u m p t i o n s t h e s t u d e n t s h a v e a b o u t m a t h e m a t i c s w h e n t h e y e n t e r t h e c l a s s , a n d i t s e e m s t h i s i s a n e x a m p l e o f w h e r e t h i s i s h a p p e n i n g . ) F o r i t e m 1 1 , " M a t h e m a t i c s i s s o m e t h i n g t h a t n o t e v e r y o n e i s a b l e t o u n d e r s t a n d , " F e l i c i a r e s p o n d e d 3 a t t h e b e g i n n i n g o f t h e s e m e s t e r , 5 d u r i n g t h e m i d - s e m e s t e r i n t e r v i e w , a n d 3 a g a i n o n t h e l a s t d a y o f c l a s s . W h e n s h e s a i d a 5 d u r i n g t h e m i d - s e m e s t e r i n t e r v i e w , s h e t h o u g h t t h a t w a s w h a t s h e h a d p r o b a b l y p u t o n t h e fi r s t d a y o f c l a s s . W h e n t o l d s h e p u t a 3 , s h e e x p l a i n e d w h a t s h e t h o u g h t s h e m i g h t h a v e b e e n t h i n k i n g : " I g u e s s I w a s p r o b a b l y t r y i n g t o b e m o r e p o s i t i v e . I m e a n , I w o u l d h o p e t h a t e v e r y o n e w o u l d b e a b l e t o u n d e r s t a n d i t , a n d m a y b e i f y o u s t a r t e d i n t h e b e g i n n i n g w h e n t h e y ' r e y o u n g t h e y c a n , b u t I j u s t f e e l l i k e m y b r a i n i s n ' t d e s i g n e d t h a t w a y . L i k e I w r o t e i n a j o u r n a l e n t r y , I d o n ' t a c t u a l l y r e m e m b e r , l i k e a l o t o f s t u d e n t s d o , a ° ' c b a d e x p e r i e n c e o r a b a d t e a c h e r w h o s h o t m e d o w n o r s a i d , ' O n l y d o i t t h i s w a y . ‘ I ' v e h a d p r e t t y d e c e n t m a t h t e a c h e r s i n g e n e r a l , b u t I j u s t f e e l l i k e s o m e p e o p l e m i g h t n o t g e t i t . " A l t h o u g h h e r fi n a l r e s p o n s e t o t h a t i t e m w a s a 3 w h i c h w a s h e r b e g i n n i n g r e s p o n s e , t h e r e m a y h a v e b e e n s o m e c h a n g e . I n c o n t r a s t t o t h e 5 s h e r e s p o n d e d t o i t d u r i n g t h e s e m e s t e r , t h e r e m a y h a v e b e e n p a r t i a l , b u t n o t c o m p l e t e , r e s i g n a t i o n t o t h e i d e a t h a t m a y b e e v e r y o n e c a n u n d e r s t a n d i t i f t h e y a r e t a u g h t i n t h e r i g h t w a y , o r m a y b e s h e w a s j u s t t r y i n g t o b e m o r e p o s i t i v e . 2 7 5 I t e m 1 7 , " M a t h e m a t i c s i s s o m e t h i n g a t w h i c h e v e r y o n e c a n b e s u c c e s s f u l , " i s n o t t h e s a m e , b u t i t i s r e l a t e d i n a n i n v e r s e w a y t o i t e m 1 1 . T o t h a t i t e m s h e r e s p o n d e d a 2 ( c l o s e t o n o t a t a l l l i k e m e ) t h e fi r s t d a y o f c l a s s a n d t h e n a 4 ( c l o s e t o v e r y m u c h l i k e m e ) d u r i n g t h e m i d - s e m e s t e r i n t e r v i e w . I n t h a t i n t e r v i e w , s h e e x p r e s s e d s o m e i d e a s s i m i l a r t o t h o s e s h e e x p r e s s e d w h e n t a l k i n g a b o u t i t e m 1 1 : " I g u e s s , m a y b e I w a s t h i n k i n g . . . . I d o n ' t k n o w w h a t I w a s t h i n k i n g . I ' m t h i n k i n g r i g h t n o w t h a t e v e r y b o d y c a n b e s u c c e s s f u l a t i t p r o b a b l y i f i t ' s s t a r t e d i n a c e r t a i n w a y e a r l y u i f i t ' s r e a l l y t a u g h t w e l l w h e n t h e y ' r e y o u n g . B u t , m a y b e n o t . I m e a n , I h a v e n o p r o o f o f t h a t . B e c a u s e t o m e , I f e e l l i k e m y b r a i n j u s t w o u l d n ' t t a k e i t n o m a t t e r w h a t , b u t I h a v e n o w a y o f k n o w i n g t h a t w i t h o u t g o i n g b a c k a n d s t a r t i n g o v e r w h e n I w a s a l i t t l e k i d o r s o m e t h i n g . " A t t h e e n d o f t h e s e m e s t e r , s h e p u t a 2 a g a i n , i n d i c a t i n g l e s s a g r e e m e n t w i t h t h a t s t a t e m e n t . P e r h a p s t h i n k i n g o f h e r s e l f a s a n e x i s t e n c e p r o o f m a d e h e r r e v e r t b a c k t o h e r i n i t i a l c o n c e p t i o n s . S h e d i d n ' t p u t a 1 , t h o u g h , w h i c h s e e m s t o l e a v e s o m e p o s s i b i l i t y i n h e r m i n d t h a t i t m i g h t b e t r u e . U s e f u l n e s s o f M a t h e m a t i c s G e n e r a l U s e f u l n e s s o f M a t h e m a t i c s . E v e n t h o u g h F e l i c i a d i d n o t l i k e m a t h , s h e a l w a y s h e l d t h e c o n c e p t i o n t h a t i t w a s s o m e t h i n g t h a t w a s u s e f u l i n l i f e . S h e r e c o g n i z e d t h a t i t w a s u s e d f o r m a n y t h i n g s i n t h e w o r l d , a n d t h a t w a s fi n e w i t h h e r a s l o n g a s s h e d i d n ' t h a v e t o d o t h e m a t h . T a b l e 2 0 : I t e m s R e l a t i n g t o U s e f u l n e s s o f M a t h e m a t i c s f r o m t h e M a t h e m a t i c s I n v e n t o r y w i t h F e l i c i a ' s R e s p o n s e s g , , , , , , _ _ . r “ e m _ h _ _ _ _ _ _ i h : . _ _ . m y . _ 3 . 1 ' m a e m a t i e s i s a n i m p o r t a n t s u b j e c t t i s u s e f u l 3 5 3 i n l i f e . S I t h i n k m a t h e m a t i c s i s s o m e t h i n g v e r y m u c h r e l a t e d t o 4 5 4 t h i s w o r l d . 1 3 . T h e o n l y p e o p l e w h o r e a l l n e e d t o u n d e r s t a n d m a t h 2 2 3 a r e t h o s e w h o c h o o s e a c a r e e r w ' c h r e q u i r e s m a t h s k i l l s . I t a p p e a r s f r o m F e l i c i a ' s r e s p o n s e s t o t h e i t e m s f r o m t h e M a t h e m a t i c s I n v e n t o r y t h a t a r e r e l a t e d t o t h e u s e f u l n e s s o f m a t h e m a t i c s t h a t t h e r e m a y h a v e b e e n a l i t t l e fl u c t u a t i n g i n h e r i d e a s d u r i n g t h e s e m e s t e r , b u t b y t h e e n d o f t h e 2 7 6 s e m e s t e r , h e r r e s p o n s e s w e r e v e r y s i m i l a r t o w h a t t h e y w e r e a t t h e b e g i n n i n g ( S e e T a b l e 2 0 ) . H e r c o m m e n t s d u r i n g h e r m i d - s e m e s t e r i n t e r v i e w p r o v i d e u s w i t h a l i t t l e m o r e i n s i g h t i n t o w h a t s h e w a s t h i n k i n g . F o r i t e m 3 , " I t h i n k m a t h e m a t i c s i s a n i m p o r t a n t s u b j e c t t h a t i s u s e f u l i n l i f e , " F e l i c i a t h o u g h t s h e m i g h t h a v e b e e n c h a n g i n g h e r o p i n i o n a l i t t l e . W h e n fi r s t a s k e d t h a t i t e m , s h e s a i d , " I t h i n k v e r y m u c h - a 5 . F o r m e i t ' s n o t t e r r i b l y i m p o r t a n t , b u t I t h i n k i n l i f e i n g e n e r a l i t i s . I m e a n , o b v i o u s l y e v e r y t h i n g i s d o n e w i t h m a t h . I r e a l i z e t h a t . S o , y e a h . " S h e w a s t h e n a s k e d i f s h e t h o u g h t t h a t w h a t ' s s h e p u t t h e fi r s t d a y , s h e r e s p o n d e d , " P r o b a b l y n o t . I w a s h a v i n g a b a d a t t i t u d e d a y . " S h e w a s t h e n t o l d s h e p u t a 3 , a n d s h e s a i d , " Y e a h , w e l l , w e ' v e t a l k e d a l o t m o r e a b o u t i t i n g e n e r a l — y o u k n o w t h e b i g p i c t u r e o f m a t h . S o , I t h i n k t h a t ' s c h a n g e d . " T h e i n t e r v i e w e r t h e n p r o b e d , " L i k e w e r e t h e r e s o m e t h i n g s y o u d i d n ' t r e a l i z e w e r e p a r t o f m a t h t h a t n o w y o u t h i n k a r e ? ' , a n d F e l i c i a r e p l i e d , " I t h i n k I ' v e j u s t b e e n t h i n k i n g a b o u t i t m o r e . L i k e I h a v e n ' t b e e n ' v i n g m a t h t h a t m u c h t h o u g h t i n a l o n g t i m e . S o n o w t h a t w e ' v e t h i n k i n a b o u t i t m o r e , I g u e s s m y f e e l i n g s a n d m y o p i n i o n s h a v e r e a l l y c h a n g e d a l i t t l e b i t . " I t e m n u m b e r 5 , " I t h i n k m a t h e m a t i c s i s s o m e t h i n g v e r y m u c h r e l a t e d t o t h i s w o r l d , " i s s i m i l a r t o i t e m 3 , a n d F e l i c i a ' s t h o u g h t s a b o u t i t i n t h e m i d - s e m e s t e r i n t e r v i e w w e r e a l s o s i m i l a r . S h e a l s o g a v e i t a 5 a n d w h e n a s k e d i f s h e t h o u g h t s h e h a d c h a n g e d i n t h i n k i n g a b o u t i t s h e s a i d , " Y e a h . J u s t t h e s a m e a s i n t h e o t h e r s t u f f , y o u k n o w , j u s t t h a t w e ' v e b e e n t a l k i n g a b o u t i t m o r e . I ' m t h i n k i n g i n t e r m s o f k i d s b e i n g t a u g h t m a t h , I g u e s s , a n d t h a t i t s h o u l d b e r e l a t e d t o t h e w o r l d . A n d , i t i s . I m e a n e v e r y t h i n g ' s d o n e w i t h m a t h . A l o t o f t h i n g s a r e . " S h e w a s t h e n a s k e d i f t h e r e h a d b e e n a n y s p e c i fi c t h i n g s t h a t s h e h a d d o n e i n c l a s s t h a t h a d c h a n g e d i t . S h e r e p l i e d , " U m , w e j u s t t a l k a l o t a b o u t i t a l o t , y o u k n o w , I m e a n , s h e h a d a fi l m o n h o w m u s i c i s d o n e w i t h m a t h a n d e v e r y t h i n g . A n d , I g u e s s I ' v e a l w a y s k n o w n t h a t , b u t I h a d n ' t r e a l l y t h o u g h t a b o u t i t , a n d I 2 7 7 t h i n k i f I h a d s t a r t e d w h e n I w a s y o u n g a n d s o m e o n e t o l d m e t h a t a n d g o t m e i n t e r e s t e d , m a t h m i g h t h a v e b e e n f u n . A n d , a s i t i s , m y o p i n i o n a b o u t e v e r y t h i n g b e i n g d o n e w i t h m a t h , fi n e , I ' m n o t a g a i n s t t h a t , i t ' s n o t l i k e I w a n t t o g o o u t a n d c h a n g e i t , b u t s o m e b o d y e l s e c a n d o i t . I d o n ' t w a n t t o d o i t . " W h e n r e s p o n d i n g t o i t e m 1 3 , " T h e o n l y p e o p l e w h o r e a l l y n e e d t o u n d e r s t a n d m a t h a r e t h o s e w h o c h o o s e a c a r e e r w h i c h r e q u i r e s m a t h s k i l l s , " s h e d i d n ' t c h a n g e h e r r e s p o n s e f r o m t h e b e g i n n i n g o f t h e s e m e s t e r , b u t s h e e x p l a i n e d , " I t h i n k t h a t a l o t o f p e o p l e h a v e t o k n o w a l o t o f m a t h i n t h e i r c a r e e r s , a n d i n m i n e , i f I j u s t t e a c h p r e s c h o o l , I d o n ' t h a v e t o k n o w t h a t m u c h , b u t I h a v e t o k n o w s o m e . I h a v e t o h a v e a b a s i c u n d e r s t a n d i n g o f i t . " P e r s o n a l U t i l i t y . T h e m a i n w a y t h a t F e l i c i a s a w m a t h a s b e i n g p e r s o n a l l y u s e f u l t o h e r w a s i n b a l a n c i n g h e r c h e c k b o o k . S h e i n c l u d e d t h a t o n h e r b e g i n n i n g a n d fi n a l c o n c e p t m a p s , a n d s h e t a l k e d a b o u t i t i n h e r i n t e r v i e w s : I n h e r fi n a l i n t e r v i e w , w h e n a s k e d i f s h e c o n s i d e r e d m a t h e m a t i c s a s s o m e t h i n g v a l u a b l e , s h e s a i d , " [ I l t ' s v a l u a b l e f o r m e w h e n I b a l a n c e m y c h e c k b o o k w h i c h i s s o m e t h i n g I d o v e r y s u c c e s s f u l l y . " I n h e r fi n a l " W h a t I s M a t h e m a t i c s ? " j o u r n a l e n t r y , s h e a c k n o w l e d g e d t h a t s h e u s e d m a t h e v e r y d a y , b u t s h e d i d n ' t p r o v i d e s p e c i fi c e x a m p l e s o f h o w s h e u s e d i t . I n d i r e c t P e r s o n a l U t i l i t y . O n e p l a c e w h e r e p e r h a p s t h e r e w a s s o m e c h a n g e i n F e l i c i a ' s c o n c e p t i o n s o f m a t h w a s i n h o w m a t h a f f e c t e d h e r i n d i r e c t l y a n d i n h o w m u c h i t i s u s e d b y o t h e r s . I n h e r b e g i n n i n g " W h a t I s M a t h e m a t i c s ? " j o u r n a l e n t r y s h e w r o t e , " T h o u g h ' s c h o o l ' m a t h b a f fl e s m e , I r e c o g n i z e t h a t m a t h i s e v e r y w h e r e . " I n h e r fi n a l " W h a t I s M a t h e m a t i c s ? " j o u r n a l e n t r y s h e w r o t e m o r e s p e c i fi c a l l y a b o u t h o w m a t h a f f e c t s h e r i n d i r e c t l y . S h e w r o t e , " [ M ] a t h i s u s e d t o m a k e a n d c r e a t e t h e t h i n g s I u s e . " H e r t w o c o n c e p t m a p s s h o w s o m e d i f f e r e n c e i n h e r a t t e n t i o n t o h o w m a t h i s u s e f u l . I n h e r b e g i n n i n g c o n c e p t m a p , t h e o n l y u s e s h e i n c l u d e d w a s 2 7 8 " b a l a n c i n g c h e c k b o o k " w i t h " u s e s " w r i t t e n o n t h e l i n e c o n n e c t i n g i t t o " m a t h " ( S e e F i g u r e 4 4 o n p a g e 2 7 0 ) . I n h e r fi n a l c o n c e p t m a p , s h e h a d a c a t e g o r y o f " u s e d i n M u g " t h a t h a d " C h e c k b o o k s , " " m i l e a g e , " " m u s i c , " a n d " e n g i n e e r i n g " c o n n e c t e d t o i t ( S e e F i g u r e 4 5 o n p a g e 2 7 1 ) . A n o t h e r p i e c e o f e v i d e n c e t h a t s h o w s t h e r e m a y h a v e b e e n a l i t t l e e x p a n s i o n o f h e r v i e w o f t h e u s e f u l n e s s o f m a t h e m a t i c s w a s a c o m m e n t s h e m a d e i n h e r fi n a l i n t e r v i e w . W h e n a s k e d i f h e r i d e a s a b o u t m a t h h a d c h a n g e d a t a l l d u r i n g h e r l i f e , s h e s a i d , " I g u e s s l a s t s e m e s t e r t h i n k i n g a b o u t a p p l y i n g — a l l t h e p l a c e s t h a t m a t h i s — c h a n g e d [ m y v i e w ] . " U t i l i t y f o r O t h e r s . F e l i c i a ' s v i e w o f m a t h e m a t i c s ' u t i l i t y f o r o t h e r s w a s s i m i l a r t o a n d c o n n e c t e d w i t h h e r v i e w o f i t s i n d i r e c t u t i l i t y f o r h e r . A t t h e b e g i n n i n g o f t h e s e m e s t e r s h e r e c o g n i z e d t h a t i t w a s u s e d b y s o m e i n t h e i r p r o f e s s i o n s . F o r e x a m p l e , i n h e r b e g i n n i n g " W h a t I s M a t h e m a t i c s ? " j o u r n a l e n t r y s h e w r o t e , " M a t h i s c r i t i c a l t o m a n y p r o f e s s i o n s . " A s n o t e d i n t h e p r e v i o u s s e c t i o n , i n h e r b e g i n n i n g c o n c e p t m a p , s h e o n l y i n c l u d e d o n e u s e f o r m a t h e m a t i c s w h i c h w a s a w a y s h e p e r s o n a l l y u s e d i t — " c h e c k b o o k s . " A n d , t h e n i n h e r f i n a l c o n c e p t m a p , s h e i n c l u d e d " m u s i c , " " e n g i n e e r i n g , " a n d " m i l e a g e " — w a y s i t i s a l s o u s e d b y o t h e r s ( S e e F i g u r e 4 4 o n p a g e 2 7 0 a n d F i g u r e 4 5 o n p a g e 2 7 1 ) . I n h e r fi n a l " W h a t I s M a t h e m a t i c s ? " j o u r n a l e n t r y F e l i c i a e x p a n d e d a l i t t l e f r o m h e r b e g i n n i n g j o u r n a l e n t r y b y p r o v i d i n g a f e w m o r e e x a m p l e s o f h o w m a t h i s u s e d i n a w a y t h a t w a s v e r y s i m i l a r t o h e r fi n a l c o n c e p t m a p . S h e w r o t e , " M a t h i s i n v o l v e d i n m a n y e v e r y d a y p r o c e s s e s . M a t h i s u s e d f o r m u s i c , f o r a r t , f o r e n g i n e e r i n g , a n d f o r e v e r y d a y t h i n g s s u c h a s fi g u r i n g g a s m i l e a g e . " S h e a l s o w r o t e , " M a t h o f o n e l e v e l o r a n o t h e r i s u s e d b y n e a r l y e v e r y b o d y , t h o u g h n o t e v e r y o n e r e a l i z e s t h i s . " 2 7 9 O n e fi n a l e x a m p l e t h a t s h o w s h o w s h e c o n t i n u e d t o t h i n k o f m a t h ' s u s e f u l n e s s a s e m e s t e r a f t e r t h e c o u r s e w a s i n a c o m m e n t s h e m a d e d u r i n g h e r f i n a l i n t e r v i e w . W h e n F e l i c i a w a s a s k e d i f m a t h e x i s t e d d i f f e r e n t l y o r a t a l l o u t s i d e o f a c l a s s r o o m . S h e s a i d , " O h , d e fi n i t e l y . U m , l i k e w e t a l k e d a b o u t i n c l a s s , l i k e m u s i c i n v o l v e s m a t h w h i c h I h a d n e v e r r e a l l y t h o u g h t a b o u t , b u t e v e r y t h i n g t h a t ' s m a d e , p h y s i c a l l y m a d e , i n v o l v e s m a t h s o m e h o w , w i t h m e a s u r e m e n t s a n d s t u f f l i k e t h a t . W h e n t h e y ' r e fi g u r i n g o u t h o w m a n y o f s o m e t h i n g t h e r e a r e . I t h i n k i t ' s e v e r y w h e r e . I d o n ' t l i k e i t , b u t i t ' s e v e r y w h e r e " L e a r n i n g a n d T e a c h i n g M a t h e m a t i c s T h e d a t a f r o m t h i s s t u d y p r o v i d e s o m e i n f o r m a t i o n a b o u t F e l i c i a ' s c o n c e p t i o n s o f h o w m a t h e m a t i c s i s l e a r n e d a n d h o w i t s h o u l d b e t a u g h t . I n t h e M a t h e m a t i c s I n v e n t o r y t h e r e w e r e f o u r i t e m s r e l a t e d t o c o n c e p t i o n s o f l e a r n i n g a n d t e a c h i n g m a t h e m a t i c s . T h e s e i t e m s a l o n g w i t h F e l i c i a ' s r e s p o n s e s t o t h e m a t v a r i o u s t i m e s d u r i n g t h e s e m e s t e r a r e s h o w n i n T a b l e 2 1 . T h e y w i l l b e r e f e r r e d t o i n t h e f o l l o w i n g s e c t i o n s . T a b l e 2 1 : I t e m s R e l a t i n g t o C o n c e p t i o n s o f L e a r n i n g a n d T e a c h i n g M a t h e m a t i c s f r o m t h e M a t h e m a t i c s I n v e n t o r y w i t h F e l i c i a ' s R e s p o n s e s - 8 a t e x t b o o k a l r e a d y h a s t h e l e s s o n s p r e p a r e d . e b e s t w a y t o l e a r n m a t h i s t o m e m o r i z e t h e r u l e s . 2 } _ _ _ _ 3 3 2 3 . S t u d e n t s ' r e a s o n i n i s m o r e i m r t a n t t h a n i f t h e y a r e 5 5 4 a b l e t o g e t t h e a n s w e r t m a t c h e s e a n s w e r k e y . _ 2 4 . I n l e a r n i n g m a t h , i t i s i m p o r t a n t t o m a s t e r t o p i c s a n d 5 5 3 s k i l l s a t o n e l e v e l b e f o r e g o i n g o n . L e a r n i n g M a t h e m a t i c s . I t a p p e a r s f r o m t h e i n f o r m a t i o n w e h a d a b o u t F e l i c i a ' s i d e a s o f h o w m a t h e m a t i c s i s l e a r n e d t h a t t h e s e i d e a s d i d n ' t c h a n g e m u c h d u r i n g t h e s t u d y . S h e d i d n ' t i n c l u d e a n y t h i n g a b o u t h o w m a t h i s l e a r n e d o n e i t h e r h e r b e g i n n i n g o r fi n a l m a t h c o n c e p t m a p o r i n fi n a l " W h a t I s M a t h e m a t i c s ? " j o u r n a l e n t r i e s . S h e d i d w r i t e o n e s e n t e n c e r e l a t e d t o l e a r n i n g ( a n d t e a c h i n g ) m a t h i n h e r b e g i n n i n g " W h a t I s M a t h e m a t i c s ? " j o u r n a l e n t r y t h a t 2 8 0 g i v e s u s s o m e i n f o r m a t i o n a b o u t h e r i d e a s : " M a y b e i t i s n ' t t a u g h t t h i s w a y , b u t I t h i n k m a t h s h o u l d b e r e l a t e d t o t h e w o r l d a r o u n d u s , n o t j u s t m e m o r i z i n g m u l t i p l i c a t i o n t a b l e s . " T h i s w a s s o m e t h i n g s h e c o n t i n u e d t o b e l i e v e a t t h e e n d o f t h e s t u d y . I n h e r fi n a l i n t e r v i e w s h e w a s a s k e d w h a t w a s t h e b e s t w a y t o l e a r n m a t h e m a t i c s , a n d s h e s a i d , " A p p l i c a t i o n , I g u e s s , t o r e a l - l i f e p r o b l e m s . T h a t ' s t h e b e s t I c a n t h i n k o f . " A f e w i t e m s f r o m t h e M a t h e m a t i c s I n v e n t o r y g i v e u s a l i t t l e m o r e i n f o r m a t i o n a b o u t h e r i d e a s r e l a t e d t o h o w m a t h e m a t i c s i s l e a r n e d . F o r i t e m 2 2 , " T h e b e s t w a y t o l e a r n m a t h i s t o m e m o r i z e t h e r u l e s " F e l i c i a p u t a 3 — r i g h t i n t h e m i d d l e — e a c h t i m e s h e r e s p o n d e d t o t h e i t e m . I n h e r m i d - s e m e s t e r i n t e r v i e w , s h e e x p l a i n e d h e r t h i n k i n g a b o u t t h a t i t e m : " I ' m t h i n k i n g m o r e a b o u t i t . I ' m t h i n k i n g a b o u t a s f a r a s m e m o r i z i n g s a y m u l t i p l i c a t i o n t a b l e s , b e c a u s e I w a s j u s t t a l k i n g a b o u t t h i s t h e o t h e r d a y w i t h s o m e o n e t h a t y o u n e e d t o u n d e r s t a n d t h e c o n c e p t s o f t h e m , b u t t h e n w h e n y o u g e t u p i n h i g h e r n u m b e r s , y o u h a v e t o m e m o r i z e h o w t o d o i t , b e c a u s e y o u c a n ' t g o d r a w i n g a b u n c h o f y o u k n o w 3 5 t i m e s 3 5 p i c t u r e s o f t h i n g s . S o , I t h i n k t h a t i t ' s a c o m b i n a t i o n o f b o t h . I t h i n k t h a t m e m o r i z i n g f o r m e w a s a g o o d t o o l , b e c a u s e I ' m v e r y g o o d a t m e m o r i z i n g , b u t I d e fi n i t e l y n e e d e d t o u n d e r s t a n d i t , t o o . S o , t h a t ' s w h y I ' m i n t h e m i d d l e o n t h a t . " F o r i t e m 2 3 , " S t u d e n t s ' r e a s o n i n g i s m o r e i m p o r t a n t t h a n i f t h e y a r e a b l e t o g e t t h e a n s w e r t h a t m a t c h e s t h e a n s w e r k e y , " F e l i c i a p u t a 5 o n t h e fi r s t d a y o f c l a s s , a n d s h e a l s o p u t a 5 d u r i n g h e r m i d - s e m e s t e r i n t e r v i e w . S h e s a i d i t w a s " v e r y m u c h l i k e m e . " W h e n s h e w a s a s k e d w h y s h e t h o u g h t t h a t , s h e s a i d , " I t h i n k t h a t r e a s o n i n g a n d t h i n k i n g a b o u t w h a t m a k e s s e n s e i s m u c h m o r e i m p o r t a n t b e c a u s e t h a t ' s w h a t m y d a d g a v e . m e w h e n h e w a s t e a c h i n g m e i s " W h y , w h y , w h y . " A n d , i f I c o u l d n ' t e x p l a i n t o h i m w h y , t h e n h e s t a r t e d o v e r w h i c h i s p a r t o f m y f r u s t r a t i o n . A n d , i t j u s t w a s m o r e i m p o r t a n t t h a t I u n d e r s t o o d t h a t , b e c a u s e i f I d i d n ' t u n d e r s t a n d t h a t , I w a s n ' t g e t t i n g t h e r i g h t a n s w e r . " F o r s o m e r e a s o n , F e l i c i a ' s r e s p o n s e d r o p p e d t o a 4 w h e n s h e t o o k t h e i n v e n t o r y o n t h e l a s t d a y o f c l a s s . 2 8 1 I t e m 2 4 , ” I n l e a r n i n g m a t h , i t i s i m p o r t a n t t o m a s t e r t o p i c s a n d s k i l l s a t o n e l e v e l b e f o r e g o i n g o n , ” w a s a " w e i r d " s t a t e m e n t f o r F e l i c i a . S h e w a s n ' t q u i t e s u r e w h a t t o t h i n k a b o u t i t . W h e n a s k e d w h a t s h e t h o u g h t a b o u t i t d u r i n g t h e m i d - s e m e s t e r i n t e r v i e w , s h e s a i d , " T h a t ' s k i n d o f w e i r d q u e s t i o n , b u t I t h i n k i t ' s t r u e — v e r y m u c h l i k e m e . " S h e w a s t h e n a s k e d i f s h e t h o u g h t s h e p u t a 5 b e f o r e , a n d s h e s a i d , " P r o b a b l y . " T h e i n t e r v i e w e r t h e n a s k e d h e r w h y s h e s a i d i t ' s a w e i r d q u e s t i o n a n d h o w s h e i n t e r p r e t e d i t . S h e s a i d , " I d o n ' t k n o w . I f e e l l i k e t h e w a y i t ' s p h r a s e d f o r s o m e r e a s o n I j u s t g e t t h i s i m p r e s s i o n t h a t i t ' s l i k e a t r i c k q u e s t i o n o r s o m e t h i n g , a n d I o w t h a t t h e y w e r e n ' t s u p p o s e d t o b e a n d t h a t t h e s e w e r e n ' t r i g h t o r w r o n g a n s w e r s , b u t i t j u s t g i v e s m e t h e f e e l i n g t h a t t h e r e ' s s o m e t h i n g e l s e , a n d I d o n ' t k n o w a b o u t i t . T h a t m a y b e i t i s n ' t i m p o r t a n t , t h a t m a y b e y o u c a n s k i p a r o u n d , b u t t o m e i t s e e m s t h a t y o u n e e d t o g o f r o m l e v e l t o l e v e l . " T h e i n t e r v i e w e r t h e n s a i d , " W h y d o e s i t s e e m l i k e t h e r e ' s s o m e h i d d e n t h i n g ? B e c a u s e i t ' s s o o b v i o u s l y t r u e ? " F e l i c i a r e s p o n d e d , " M a y b e b e c a u s e t h e r e ' s n e w w a y s o f d o i n g m a t h t h a t w e ' r e t a l k i n g a b o u t , a n d m a y b e t h a t ' s s o m e t h i n g t h a t I j u s t h a v e n ' t h e a r d a b o u t a n d t h a t I s h o u l d h e a r a b o u t . " T h e l a s t d a y o f t h e s e m e s t e r , F e l i c i a p u t a 3 . S h e s t i l l m a y h a v e n o t b e e n s u r e w h a t s h e t h o u g h t a b o u t t h a t i d e a , a l t h o u g h t h i s s t a t e m e n t d o e s m a k e h e r s o u n d m o r e o p e n t o n e w i d e a s t h a n s h e h a s s o u n d e d a t s o m e o t h e r p o i n t s i n t h e s t u d y . S h e s o u n d s l i k e s h e i s a t l e a s t c o n s i d e r i n g t h e p o s s i b i l i t y t h a t t h e ” n e w m e t h o d s " h a v e s o m e v a l i d i t y . F e l i c i a a l s o b e l i e v e d t h a t t h e t e a c h e r h a d a b i g i n fl u e n c e o n t h e s t u d e n t s ' l e a r n i n g o f m a t h e m a t i c s . S h e b e l i e v e d t h i s a t t h e b e g i n n i n g o f t h e s t u d y a n d a t t h e e n d o f i t . T h i s w a s e v i d e n c e d i n p a r t b y a c o u p l e o f t h e o p e n - e n d e d q u e s t i o n s o f t h e M a t h e m a t i c s I n v e n t o r y . F o r t h e q u e s t i o n , " W h a t k i n d o f i n fl u e n c e d o y o u t h i n k t h e t e a c h e r p l a y s i n t h e s u c c e s s o f s t u d e n t s i n m a t h e m a t i c s ? " o n t h e fi r s t d a y o f c l a s s , F e l i c i a w r o t e , " I t h i n k t h e t e a c h e r i s a n i m p o r t a n t i n fl u e n c e . T h e t e a c h e r m a y d e t e r m i n e b y h i s o r h e r t e a c h i n g m e t h o d s 2 8 2 w h e t h e r a c h i l d w i l l l i k e o r h a t e m a t h f o r t h e r e s t o f t h e i r l i f e . " O n t h e l a s t d a y o f c l a s s i n r e s p o n s e t o t h i s q u e s t i o n , s h e w r o t e , " T h e t e a c h e r i s a h u g e i n fl u e n c e . T h e y n e e d t o s h o w c o n fi d e n c e a n d v a l u e m a t h . " T h e o t h e r o p e n - e n d e d q u e s t i o n w a s o n e t h a t a s k e d t h e s t u d e n t s i f t h e y t h o u g h t a t e a c h e r ' s a t t i t u d e t o w a r d m a t h e m a t i c s o r t e a c h i n g m a t h e m a t i c s a f f e c t e d h o w h e o r s h e t a u g h t i t . O n t h e fi r s t d a y o f c l a s s , F e l i c i a w r o t e , " I t s e e m s t h a t i t m u s t a f f e c t i t . I j u s t m m ] ; b e p a s s i o n a t e a b o u t t h e i m p o r t a n c e o f i t l i k e I c o u l d a b o u t l a n g u a g e r e l a t e d l e s s o n s . " O n t h e l a s t d a y o f c l a s s , s h e w r o t e , " Y e s . I f y o u h a t e m a t h a n d i t f r i g h t e n s y o u , h o w c a n y o u t e a c h i t ? " T e a c h i n g M a t h e m a t i c s . T h e r e i s m o r e i n f o r m a t i o n a b o u t F e l i c i a ' s i d e a s o f h o w m a t h e m a t i c s s h o u l d b e t a u g h t a t t h e e n d o f t h e s e m e s t e r t h a n a t t h e b e g i n n i n g ; s o , i t i s d i f fi c u l t t o k n o w h o w m u c h t h e s e i d e a s c h a n g e d . P r o b a b l y t h e m a i n d i f f e r e n c e w a s j u s t t h e e x p a n s i o n o f d i f f e r e n t i d e a s o f h o w t o t e a c h i t . F e l i c i a w a s a c h i l d d e v e l o p m e n t m a j o r , a n d i d e a s t h a t a r e e m p h a s i z e d i n t h e d i s c i p l i n e o f c h i l d d e v e l o p m e n t w e r e v e r y m u c h a p a r t o f h e r i d e a s a b o u t t e a c h i n g . E x a m p l e s o f t h e s e a r e u s i n g l e a r n i n g c e n t e r s , u s i n g m a n i p u l a t i v e s , a n d m a k i n g s u r e t h a t w h a t i s t a u g h t i s d e v e l o p m e n t a l l y a p p r o p r i a t e . ( I a l s o e a r n e d a d e g r e e i n e a r l y c h i l d h o o d e d u c a t i o n a l o n g w i t h m y e l e m e n t a r y e d u c a t i o n d e g r e e , a n d t h e t h i n g s s h e w r i t e s a b o u t a r e v e r y m u c h a p a r t o f w h a t I l e a r n e d a b o u t i n m y e a r l y c h i l d h o o d e d u c a t i o n a n d c h i l d d e v e l o p m e n t c o u r s e s . ) O n e e x a m p l e w h e r e t h i s s h o w e d u p w a s i n h e r fi n a l c o n c e p t m a p . S h e d i d n ' t i n c l u d e a n y t h i n g a b o u t t e a c h i n g m a t h e m a t i c s i n h e r b e g i n n i n g c o n c e p t m a p , b u t i n h e r fi n a l m a p , s h e h a d a c a t e g o r y o f " l e a r n i n g c e n t e r s " c o n n e c t e d t o " M a t h " w i t h s u b - t o p i c s o f " m a n i p u l a t i v e s , " " a u t h e n t i c a s s e s s m e n t , " a n d " d e v e l o p m e n t a l l y a p p r o p r i a t e . " I n c l a s s w e t a l k e d a b o u t m a n i p u l a t i v e s a n d a u t h e n t i c a s s e s s m e n t , a n d l i t t l e a b o u t c o n c e p t s b e i n g d e v e l o p m e n t a l l y a p p r o p r i a t e , b u t w e d i d n ' t t a l k 2 8 3 a t a l l a b o u t l e a r n i n g c e n t e r s . 5 0 , i t s e e m s v e r y l i k e l y t h a t h e r v i e w s w e r e i n fl u e n c e d n o t o n l y b y t h i s c l a s s , b u t a l s o b y h e r e d u c a t i o n i n c h i l d d e v e l o p m e n t . F e l i c i a ' s r e s p o n s e s t o I t e m 1 0 f r o m t h e M a t h e m a t i c s I n v e n t o r y g i v e s o m e i n f o r m a t i o n a b o u t h e r i d e a s r e l a t e d t o a n o t h e r a s p e c t o f t e a c h i n g m a t h e m a t i c s ( S e e T a b l e 2 1 o n p a g e 2 8 0 ) . I t r e a d , " T e a c h i n g m a t h e m a t i c s s h o u l d n o t b e t o o d i f fi c u l t s i n c e a t e x t b o o k a l r e a d y a s t h e l e s s o n s p r e p a r e d . " O n t h e fi r s t d a y o f c l a s s , s h e g a v e i t a 1 . D u r i n g t h e m i d - s e m e s t e r i n t e r v i e w , s h e s a i d , " U m , I d i s a g r e e w i t h t h a t , b e c a u s e t h e t e x t b o o k s d o n ' t a l w a y s . . . I m e a n t h e y g i v e y o u a l e s s o n , b u t t h e r e ' s a l o t o f k i d s w h o a r e n ' t g o i n g t o u n d e r s t a n d i t t h e w a y i t ' s t a u g h t i n t h a t b o o k . I w a s o n e o f t h o s e k i d s . Y o u s i t b a c k , a n d t h e m a j o r i t y s a y s , ' O h , s u r e w e g e t i t . ‘ A n d , t h e r e ' s t h o s e f e w k i d s w h o a r e l o s t i n t h e c r o w d g o i n g , ' I h a v e n o i d e a w h a t y o u ' r e t a l k i n g a b o u t , b u t o k a y . ’ B e c a u s e k i d s a r e a f r a i d t o s a y t h a t t h e y d o n ' t k n o w w h e n e v e r y o n e e l s e k n o w s . " T h i s s t a t e m e n t b y F e l i c i a s e e m s t o i n d i c a t e t h a t a t t h i s p o i n t s h e h a s s t i l l v e r y m u c h p o s i t i o n e d h e r s e l f a s a s t u d e n t i n r e l a t i o n t o m a t h . T h e r e s t o f t h e e x c h a n g e b e t w e e n F e l i c i a a n d t h e i n t e r v i e w e r w h e n t a l k i n g a b o u t t h a t i t e m h e l p s u s u n d e r s t a n d h e r t h i n k i n g . I t f o l l o w s : I n t e r v i e w e r : " S o , w o u l d y o u s a y y o u ' r e a o n e o r a t w o o n t h a t ? " F e l i c i a : " I w o u l d s a y b e t w e e n a o n e o r a t w o , b u t I t h i n k i t m a k e s i t e a s i e r . I w o u l d d e fi n i t e l y f e e l b e t t e r a b o u t h a v i n g s o m e t h i n g p r e p a r e d , b u t l d o n ' t t h i n k i t . . . I t h i n k i t w i l l b e s t i l l d i f fi c u l t t o t e a c h . S o , I g u e s s 1 - 1 1 / 2 , s o m e w h e r e i n t h e r e . " I n t e r v i e w e r : " O k a y , t h e fi r s t d a y , y o u s a i d 2 o n t h a t . D o y o u t h i n k s o m e t h i n g ' s c h a n g e d y o u r m i n d a t a l l ? " F e l i c i a : " I ' v e t h o u g h t i t a b o u t i t m o r e . I g u e s s I ' d b e a o n e n o w . " I n t e r v i e w e r : " W h a t ' s m a d e y o u m o r e . . . . ? " F e l i c i a : " J u s t t a l k i n g m o r e — j u s t t h i n k i n g m o r e a b o u t i t . I m e a n t h e s e a r e t h i n g s t h a t I r o b a b l y h a d i n m y h e a d a l r e a d y . Y o u l a r o w , t h i n k i n g a b o u t e k i d s w h o a r e n ' t g o i n g t o g e t i t t h a t w a y , b u t I w o u l d n ' t h a v e t h o u g h t a b o u t i t u n t i l w e d i d t h i s . 1 c l a s s . " O n t h e l a s t d a y o f c l a s s , t h e i n v e n t o r y i n c l u d e d a q u e s t i o n a s k i n g t h e s t u d e n t s i f t h e i r i d e a s a b o u t m a t h e m a t i c s o r t e a c h i n g m a t h e m a t i c s h a d c h a n g e d a t a l l d u r i n g t h e t i m e t h e y h a d b e e n i n t h e c o u r s e . I n r e s p o n s e t o t h i s q u e s t i o n , F e l i c i a w r o t e , " Y e s . W e t a l k e d i n c e s s a n t l y a b o u t h o w m a t h s h o u l d b e t a u g h t . " 2 8 4 P e r h a p s t h e b e s t i n d i c a t i o n o f F e l i c i a ' s c o n c e p t i o n s a t t h e e n d o f t h e s e m e s t e r o f h o w m a t h s h o u l d b e t a u g h t i s f o u n d i n h e r w r i t t e n p h i l o s o p h y o f t e a c h i n g m a t h e m a t i c s . O f c o u r s e , t h e r e i s a l w a y s t h e p o s s i b i l i t y t h a t s o m e o f w h a t s h e w r o t e w a s w h a t s h e t h o u g h t I , a s h e r t e a c h e r , w a n t e d t o r e a d . T h i s p h i l o s o p h y i n i t s e n t i r e t y f o l l o w s : " I b e l i e v e t h a t a c l a s s r o o m s h o u l d b e a p o s i t i v e p l a c e f o r l e a r n i n g m a t h . T e a c h e r s s h o u l d m o d e l a n e n t h u s i a s m t o w a r d s m a t h a n d i t s p r o c e s s e s s o t h a t s t u d e n t s v a l u e m a t h . " S i n c e I i n t e n d t o t e a c h m a t h i n p r e s c h o o l , I w i l l f o c u s m y p h i l o s o p h y i n t h a t d i r e c t i o n . " I b e l i e v e i t i s i m p o r t a n t f o r s t u d e n t s t o l e a r n t h e m e a n i n o f n u m b e r s , h o w t o u s e t h e m , a n d r e a l - l i f e a p p l i c a t i o n s o f w h a t e y l e a r n . " T h e r o l e o f t h e t e a c h e r i s t o g u i d e t h e s t u d e n t s ' l e a r n i n b e s t i o n i n g e v e r y t h i n g s o t h e s t u d e n t s h a v e t o b a c k u p e v ' g e y s a y . T r u e u n d e r s t a n d i n g i s s h o w n w h e n a s t u d e n t c a n e x p l a i n t h e i r w o r k t o a n o t h e r p e r s o n . T h e t e a c h e r s h o u l d b e s u p p o r t i v e a n d g i v e p o s i t i v e f e e d b a c k w h e n n e e d e d . " T h e s t u d e n t s ' r o l e s h o u l d b e t o w o r k i n g r o u p s a n d i n d i v i d u a l l y t o l e a r n f r o m e a c h o t h e r a n d t r y t h i n 3 o u t o n t h e i r o w n . T h e y s h o u l d f e e l c o m f o r t a b l e q u e s t i o n i n g e t e a c h e r a n d t r y i n g v a r i o u s m e t h o d s w i t h o u t f e a r o f p e n a l t y . " T y p e s o f a c t i v i t i e s t h a t s h o u l d t a k e p l a c e w i l l v a r y a c c o r d i n g t o t o p i c a n d g r a d e l e v e l . I w o u l d w a n t m y c l a s s t o w o r k i n s m a l l g r o u p s , t a l k i n o n e l a r g e g r o u p , e x p l o r e i n a n d o u t s i d e o f c l a s s , a n d u s e m a n i p u l a t i v e s e x t e n s i v e l y . H o w e v e r , I t h i n k t h e r e i s s o m e t h i n g t o b e s a i d f o r m e m o r i z a t i o n o f c e r t a i n f a c t s a n d t a b l e s t o o . " I b e l i e v e l e a r n i n g s h o u l d b e e m p h a s i z e d t h r o u g h p r o c e s s e s . T h e t e a c h e r a n d s t u d e n t s h o u l d c a r e a b o u t h o w a p r o d u c t i s a c h i e v e d . " T h e c l a s s r o o m s h o u l d h a v e p l e n t y o f m a t h t o o l s a n d m a n i p u l a t i v e s a v a i l a b l e t o s t u d e n t s . T h e r e s h o u l d b e l e a r n i n g c e n t e r s w i t h v a r y i n g l e v e l s o f d i f fi c u l t y t o m e e t d e v e l o p m e n t a l l y a p p r o p r i a t e m e t h o d s a n d s t a n d a r d s . " I f I h a d t o t e a c h a n o l d e r c l a s s r o o m , I w o u l d d e fi n i t e l y h a v e t h e s t u d e n t s k e e p m a t h j o u r n a l s . T h e r e w o u l d b e a l o t o f d i s c u s s i o n w h e r e s t u d e n t s a r e e n c o u r a g e d t o s u p p o r t e a c h o t h e r a n d a s s i s t e a c h o t h e r s o e v e r y o n e c a n f e e l c o n fi d e n t . " A s s e s s m e n t w o u l d b e r e c o r d e d o n a n e c d o t a l c a r d s . I w o u l d o b s e r v e a n d q u e s t i o n e a c h s t u d e n t o v e r t i m e a n d g a t h e r s a m p l e s o f t h e i r w o r k a s t h e y d e v e l o p . I w i l l a s s e s s m y s t u d e n t s u s i n g a u t h e n t i c a s s e s s m e n t o f w h a t t h e y h a v e a c h i e v e d o v e r t i m e i n r e l a t i o n t o t h e m s e l v e s , n o t t h e i r c l a s s m a t e s . 2 8 5 " I w i l l t e a c h a c c o r d i n g t o t h e d e v e l o p m e n t a l l y a p p r o p r i a t e p r i n c i p l e s I b e l i e v e i n . I w i l l h e a t e a c h c h i l d a s a n i n d i v i d u a l n o t a c o h o r t g r o u p . I w i l l r e s p e c t m y s t u d e n t s a n d t a k e i n t o a c c o u n t t h e c h i l d d e v e l o p m e n t k n o w l e d g e t h a t I h a v e . " I n h e r fi n a l i n t e r v i e w , a s e m e s t e r a f t e r t h e c o u r s e , F e l i c i a w a s a s k e d h o w s h e t h o u g h t m a t h w a s m o s t e f f e c t i v e l y t a u g h t , a n d s h e s a i d , I g u e s s i t ' s e f f e c fi v e l y t a u g h t w h e n . . . . I t ' s h a r d t o s a y , b e c a u s e I ' v e h a d a c o u p l e o o d m a t h t e a c h e r s , b u t I ' m t r y i n g t o t h i n k o f w h a t t h e y ' v e d o n e t m a d e i t e f f e c t i v e . I g u e s s w h e n i t ' s t a u g h t — w h e n o n e c o n c e p t i s t a u g h t s e v e r a l d i f f e r e n t w a y s , b e c a u s e e v e r y o n e h a s d i f f e r e n t u n d e r s t a n d i n g s — d i f f e r e n t w a y s o f l e a r n i n g . U m , i f i t ' s t a u g h t w i t h ' c t u r e s i f p o s s i b l e , p h y s i c a l h a n d s - o n t h i n g s t h a t y o u c a n t o u c h , t m a k e s i t a l o t e a s i e r . S o m e m a t h . I m e a n , s o m e m a t h y o u j u s t c a n ' t . I d o n ' t t h i n k f o r m u l a s r e a l l y l e n d t h e m s e l v e s t o m a n i p u l a fi v e s . I f t h e y d o I d o n ' t k n o w a b o u t i t . S o , I e s s t h a t ' s p r o b a b l y t h e m o s t h e l p f u l t h i n g , a n d I g u e s s t h a t ' s w a t I w o u l d d o i f I w e r e t o t e a c h m a t h . " - I t ’ s i n t e r e s t i n g t h a t e v e n a f t e r c o m p l e t i n g T B 4 0 1 F e l i c i a t h o u g h t fi r s t a b o u t h e r o w n e x p e r i e n c e a s a s t u d e n t w h e n a s k e d a b o u t e f f e c t i v e t e a c h i n g m a t h r a t h e r t h a n t h e c o u r s e s h e h a d j u s t t a k e n . U n l i k e t h e m a j o r i t y o f t h e s t u d e n t s i n t h e c l a s s , s h e w a s t h i n k i n g a b o u t m a t h r e l a t i v e t o h e r o w n e x p e r i e n c e s w i t h i t a n d h a d n o t s h i f t e d h e r p o s i t i o n i n r e l a t i o n t o m a t h t o t h e k i n d o f p e r s p e c t i v e s o m e o n e w h o w a s g o i n g t o t e a c h m a t h w o u l d h a v e . F e l i c i a ' s A t t i t u d e s t o w a r d M a t h e m a t i c s 8 : : T e a c h i n g M a t h e m a t i c s A t t i t u d e s t o w a r d M a t h e m a t i c s F e l i c i a d i d n o t h a v e a p o s i t i v e a t t i t u d e t o w a r d m a t h e m a fi c s a t t h e b e g i n n i n g o f t h e s e m e s t e r , a n d t h i s a t fi t u d e d i d n o t a p p e a r t o c h a n g e d u r i n g t h e s e m e s t e r . T h i s w a s e v i d e n c e d i n e v e r y d a t a s o u r c e o f t h e s t u d y . A n e g a t i v e a t t i t u d e w a s h e r m a i n c o n n e c t i o n w i t h m a t h e m a t i c s . I n h e r " R e fl e c t i o n s o f M a t h e m a t i c s E x p e r i e n c e s " j o u r n a l e n t r y w h i c h w a s a s s i g n e d t h e fi r s t d a y o f c l a s s , s h e e x p l a i n e d m u c h o f t h e s o u r c e a n d r e a s o n f o r t h i s n e g a t i v e a t t i t u d e . S h e b e g a n t h i s r e fl e c t i o n b y w r i t i n g , 2 8 6 " I n c l a s s , I s t a t e d t h a t I h a d a b a d a t t i t u d e a b o u t m a t h , b u t I d i d n ' t k n o w w h e r e i t c a m e f r o m . A s o t h e r p e o p l e t a l k e d a b o u t t h e i r e x p e r i e n c e s , I b e g a n m o v i n g b a c k i n t i m e i n m y o w n m i n d , t h i n k i n g a b o u t t h e h e l l I w e n t t h r o u g h i n t h e n a m e o f m a t h e m a t i c s . I b e l i e v e I w a s a v e r a g e i n m a t h d u r i n e l e m e n t a r y s c h o o l , a n d I e v e n g o t a n A i n a s e v e n t h g r a d e m a c l a s s . I d o n ' t r e m e m b e r l i k i n g i t e v e n w h e n I d i d w e l l . " F e l i c i a ' s f a t h e r p l a y e d a b i g r o l e i n h e l p i n g h e r s u r v i v e h e r s c h o o l m a t h e m a t i c s c o u r s e s . H e h e l p e d h e r e x p e r i e n c e g l i m p s e s o f u n d e r s t a n d i n g , b u t s t i l l s h e d i d n ' t l i k e i t . S h e w r o t e a b o u t t h e r o l e h e p l a y e d i n h e r r e fl e c t i o n : I n h i g h s c h o o l , I h i t a l g e b r a . N o t t h e r e m e d i a l a l g e b r a a n d n o t t h e a d v a n c e d a l g e b r a , j u s t t h e i n t e r m e d i a t e c l a s s . I r e c e i v e d a n E o n m y fi r s t t e s t a n d w e n t h o m e i n t e a r s . I w a s a g o o d s t u d e n t a n d E ' s w e r e N O T a c c e p t a b l e . A f t e r t h a t m y d a d t o o k o v e r m y t u t o r i n g , a n d m y a l g e b r a g r a d e s g o t s t e a d i l y b e t t e r . I f o u n d t h a t e v e n t h o u g h i t w a s a s t r u g g l e , w h e n I c a m e o u t o f t h e e q u a t i o n w i t h t h e a n s w e r t o w h a t " X " e q u a l e d , I f e l t s o g o o d a n d s o s u c c e s s f u l . I w a n t e d t o t r y a n o t h e r o n e . Y e t i f I h a d b e e n a l l o w e d t o q u i t a t a n y t i m e , I w o u l d h a v e d o n e s o . A l g e b r a w a s s t i l l d i f fi c u l t , a n d m y d a d a n d I s p e n t l i t e r a l l y h o u r s g o i n g o v e r i t u n t i l I u n d e r s t o o d i t . I t t o o k t h a t l o n b e c a u s e I ' d g e t s o f r u s t r a t e d t h a t I ' d c r y a n d l e a v e t h e r o o m w i g a h e a d a c h e . H e w a s t h e o n l y p e r s o n w h o c o u l d e x p l a i n m a t h i n a w a I e v e n r e m o t e l y u n d e r s t o o d . H e m a d e s u r e I r e a l l y u n d e r s t o o d t h e c o n c e p t s b e h i n d t h e m a t h . F e l i c i a ' s n e g a t i v e a t t i t u d e s t o w a r d m a t h w e r e v e r y e v i d e n t i n b o t h h e r b e g i n n i n g a n d fi n a l m a t h c o n c e p t m a p s ( S e e F i g u r e 4 4 o n p a g e 2 7 0 a n d F i g u r e 4 5 o n p a g e 2 7 1 ) . I n h e r b e g i n n i n g c o n c e p t m a p , s h e h a d a t o p i c o f " f e e l i n g s " c o n n e c t e d t o t h e c o n c e p t " M a t h , " a n d s h e h a d " s t r u g g l e , " " f r u s t r a t i o n , " " s t r a i n , " a n d " n e e d t o k n o w w h y ? " c o n n e c t e d t o " f e e l i n g s . " S h e a l s o h a d " c o m p e t i t i o n " c o n n e c t e d t o " M a t h " a n d " h i g h e r m a t h i s n o t m a t h " c o n n e c t e d t o " c o m p e t i t i o n . " I n h e r fi n a l c o n c e p t m a p , s h e h a d a t o p i c o f " h e a d a c h e s " c o n n e c t e d t o " M a t h " a n d " d i f f e r e n t b r a i n w a v e s , " " c o n f u s i o n , " " s t r u g g l e , " " i n s e c u r i t y , " a n d " w h y d o I n e e d t o k n o w i t ? " c o n n e c t e d t o " h e a d a c h e s . " I n h e r b e g i n n i n g " W h a t I s M a t h e m a t i c s ? " j o u r n a l e n t r y , F e l i c i a d i d n ' t w r i t e s p e c i fi c a l l y a b o u t h a v i n g a n e g a t i v e a t t i t u d e t o w a r d m a t h , b u t i t s e e m e d i m p l i e d i n s o m e o f h e r s e n t e n c e s : 2 8 7 " T h o u g h ' s c h o o l ' m a t h b a f fl e s m e , I r e c o g n i z e t h a t m a t h i s e v e r y w h e r e . " " T h e r e i s n o a p p r e c i a t i o n o n a t e s t o f t h e c r e a t i v e w a y a p e r s o n t r i e d t o s o l v e a p r o b l e m . " " H o w d i d a n y o n e c o m e u p w i t h i t ? " " M a t h i s o r g a n i z e d a n d d e fi n i t e a n d s t r i c t . N u m b e r s a r e i n fi n i t e , a n d s o s e e m s t o b e t h e u n i v e r s e . I c a n ' t c o m p r e h e n d e i t h e r o f i n fi n i t e w i t h o u t d i z z i n e s s . " " M a i s a w a y o f s o l v i n g p r o b l e m s w i t h n u m b e r s . I fi n d w o r d s e a s i e r t o p u t t o g e t h e r . " I n h e r fi n a l " W h a t I s M a t h e m a t i c s ? " j o u r n a l e n t r y , F e l i c i a a l s o w r o t e s e v e r a l s e n t e n c e s t h a t i n t i m a t e h e r a t t i t u d e t o w a r d m a t h : " M a t h o f o n e l e v e l o r a n o t h e r i s u s e d b y n e a r l y e v e r y b o d y , t h o u g h n o t e v e r y o n e r e a l i z e s t h i s . I k n o w t h a t I u s e m a t h e v e r y d a y , a n d t h a t m a t h i s u s e d t o m a k e a n d c r e a t e t h e t h i n g s I u s e . T h i s d o e s n ' t c h a n g e m y v i e w o f i t , h o w e v e r . T h o s e p e o p l e c a n u s e t h e i r h i g h e r m a t h . I ' m h a p p y w i t h m y " l o w e r " m a t h a n d m y c a l c u l a t o r . " " M a t h i s fi n d i n g a n s w e r s . M a t h o n l y h a s r i g h t o r w r o n g a n s w e r s w h e n i t c o m e s r i g h t d o w n t o i t . T h e r e m a y b e m a n y w a y s t o g e t t h o s e a n s w e r s , b u t i n t h e e n d , t h e y m u s t b e t h e s a m e . T h i s i s o n e s t r i k e a g a i n s t m a t h , a s f a r a s I ' m c o n c e r n e d . O n e c a n ' t b e v i n d i v i d u a l i s t i c i n a m a t h c l a s s w h e n i t c o m e s t o g e t t i n g t h e r i t a n s w e r . " " M a i s n u m b e r s a n d s t r a i g h t l i n e s a n d l o g i c . I t i s h e a d a c h e s a n d t i m e c o n s u m i n g e f f o r t . M a t h i s u s e f u l a n d g o o d a n d w e c a n ' t l i v e w i t h o u t i t , b u t I , m y s e l f , w i l l n e v e r l o v e i t " E v e n w h e n F e l i c i a a c k n o w l e d g e d s o m e v a l u e o r u s e f u l n e s s o f m a t h e m a t i c s , s h e s e e m e d r i m m e d t o n o t l e t t h o s e m e r i t s a f f e c t h e r a t t i t u d e t o w a r d i t . T h e j u s t - n o t e d s t a t e m e n t s a n d m y o b s e r v a t i o n s o f F e l i c i a i n c l a s s w h e n w e w e r e e n g a g e d i n m a t h e m a t i c a l t a s k s l e a d m e t o b e l i e v e t h a t t h e r e w a s a n e f f o r t o n F e l i c i a ’ s p a r t t o r e s i s t t h e t e m p t a t i o n t o e n j o y m a t h . S o m e t i m e s w h e n w e w e r e d o i n g a m a t h t a s k , F e l i c i a w o u l d s e e m l i k e s h e w a s n ’ t g o i n g t o a l l o w h e r s e l f t o l i k e i t e v e n i f i t s e e m e d f u n a n d o t h e r s w e r e e n j o y i n g i t . S h e w o u l d n ’ t p u t m u c h e f f o r t i n t o t r y i n g i t a n d w o u l d h a v e a b o r e d , d i s i n t e r e s t e d , o r e v e n f e a r f u l e x p r e s s i o n . S h e s e e m e d t o h a v e t h e a t t i t u d e t h a t " t h i s i s m a t h , a n d i t c a n ’ t b e f u n . " I a l s o t h i n k t h a t , a s s h e a d m i t t e d i n h e r m i d - s e m e s t e r i n t e r v i e w , s h e w a s n o t h a p p y a b o u t 2 8 8 t h e i d e a o f b e i n g i n a " m a t h ” c l a s s w h e n s h e t h o u g h t s h e w a s fi n i s h e d w i t h t h e m . ( S h e s a i d , " B u t e v e r y t i m e I s t a r t u p a g a i n , l i k e e v e r y t i m e s h e ' s b r o u g h t a p r o b l e m i n t o c l a s s , a n d w e ' v e h a d t o d o i t , b e s i d e s m y b a d a t t i t u d e t h a t s a y s , ’ H e y , I ' v e fi n i s h e d m y m a t h c r e d i t s . ’ I t r y i t , a n d I j u s t f e e l t h a t s h i f t t a k e p l a c e i n m y b r a i n , a n d i t ' s j u s t n o t c o m f o r t a b l e ” ) O t h e r t i m e s — u s u a l l y i f w e w e r e d o i n g a p r o b l e m g e a r e d t o t h e l o w e r g r a d e s — s h e s e e m e d l i k e s h e w a s e n g a g e d a n d w a s e n j o y i n g t h e t a s k , b u t t h a t s t i l l d i d n ’ t i m p r o v e h e r a t t i t u d e t o w a r d i t . F e l i c i a a l s o d i d n o t h a v e a l o t o f c o n fi d e n c e i n h e r a b i l i t y t o d o a n d u n d e r s t a n d m a t h . O n e p l a c e w h e r e t h i s c a n b e s e e n i s i n a j o u r n a l e n t r y s h e w r o t e t h r e e w e e k s i n t o t h e s e m e s t e r i n w h i c h t h e s t u d e n t s w e r e a s k e d t o l o o k a t t h e fi v e g o a l s t h a t t h e N a t i o n a l C o u n c i l o f T e a c h e r s o f M a t h e m a t i c s h a d i d e n t i f i e d f o r s t u d e n t s i n i t s 1 9 8 9 C u r r i c u l u m a n d E v a l u a t i o n S t a n d a r d s f o r S c h o o l M a t h e m a t i c s . T h e s e g o a l s w e r e ( 1 ) l e a r n i n g t o v a l u e m a t h e m a t i c s ; ( 2 ) b e c o m i n g c o n fi d e n t i n o n e ' s o w n a b i l i t y ; ( 3 ) b e c o m i n g a m a t h e m a t i c a l p r o b l e m s o l v e r ; ( 4 ) l e a r n i n g t o c o m m u n i c a t e m a t h e m a t i c a l l y ; a n d ( 5 ) l e a r n i n g t o r e a s o n m a t h e m a t i c a l l y . T h e y w e r e a s k e d t o t h i n k a n d w r i t e a b o u t w h e t h e r t h e y p o s s e s s e d t h o s e c h a r a c t e r i s t i c s p e r s o n a l l y a n d i f t h e y t h o u g h t i t w a s i m p o r t a n t f o r t e a c h e r s t o p o s s e s s t h e m i n o r d e r t o h e l p t h e i r s t u d e n t s a t t a i n t h e m . T h i s p a r t i c u l a r j o u r n a l e n t r y o f F e l i c i a ' s p r o v i d e s a l o t o f i n f o r m a t i o n a b o u t h e r a t t i t u d e a n d c o n fi d e n c e r e g a r d i n g m a t h : " I n r e g a r d s t o t h e fi r s t g o a l , v a l u i n g m a t h , I d o n ' t t h i n k I h a v e t h i s c h a r a c t e r i s t i c , a n d I t h i n k I n e e d t o i n o r d e r t o h e l p s t u d e n t s v a l u e m a t h . I g u e s s I v a l u e m a t h f o r o t h e r p e o p l e , b u t n o t m y s e l f . ' T d e fi n i t e l y a m n o t c o n fi d e n t i n m y o w n a b i l i t i e s i n m a t h , a n d I n e e d t o b e , f o r m y s e l f . H o w e v e r , I f e e l c a p a b l e o f h e l p i n g s t u d e n t s , f e e l c o n f i d e n t t h e m s e l v e s . I t h i n k t h i s b e c a u s e I r e c o g n i z e t h a t m a t h i s u s e f u l a n d i t i s f u n f o r s o m e p e o p l e . T h e r e f o r e I w o u l d t r y t o f o s t e r c o n fi d e n c e i n a l l o f m y s t u d e n t s s o t h e y ' d h a v e a n e q u a l , f a i r c h a n c e a t i t . " I ' m n o t s u r e i f I ' m a m a t h p r o b l e m s o l v e r . I t h i n k I m a y h a v e a s t a r t o n t h a t . I d o b e l i e v e I ' d n e e d t o b e o n e i n o r d e r t o t e a c h i t . 2 8 9 " I d o n ' t t h i n k I c o m m u n i c a t e w e l l m a t h e m a t i c a l l y . I t s e e m s t h a t I w o u l d n e e d t o b e a b l e t o d o s o t o e x p e c t m y s t u d e n t s t o c o m m u n i c a t e m a t h e m a t i c a l l y . T h e s a m e g o e s f o r r e a s o n i n g m a t h e m a t i c a l l y . I h a v e a l o t t o l e a r n b e f o r e I c a n t e a c h . " A n o t h e r p l a c e w h e r e t h e l a c k o f c h a n g e i n F e l i c i a ' s a t t i t u d e c a n b e p a r t i c u l a r l y s e e n i s i n h e r r e s p o n s e s t h r o u g h o u t t h e s e m e s t e r t o t h e i t e m s r e l a t e d t o a t t i t u d e t o w a r d m a t h e m a t i c s o n t h e M a t h e m a t i c s I n v e n t o r y ( S e e T a b l e 2 2 ) . T h e o n l y o n e t h e r e w a s a n y c h a n g e o n w a s i t e m 1 5 , " I u n d e r s t a n d e l e m e n t a r y l e v e l m a t h e m a t i c a l c o n c e p t s q u i t e w e l l m y s e . " I t a p p e a r s s h e a t l e a s t f e l t m o r e c o n fi d e n t i n t h a t a r e a a t t h e e n d o f t h e s e m e s t e r . S o m e o f h e r c o m m e n t s w h e n r e s p o n d i n g t o t h e s e i t e m s d u r i n g t h e m i d - s e m e s t e r i n t e r v i e w p r o v i d e a d d i t i o n a l i n s i g h t i n t o h e r a t t i t u d e s a n d w i l l b e n o t e d i n t h e f o l l o w i n g p a r a g r a p h s . T a b l e 2 2 : I t e m s R e l a t i n g t o A t t i t u d e s t o w a r d M a t h e m a t i c s f r o m t h e M a t h e m a t i c s I n v e n t o r y w i t h F e l i c i a ' s R e s p o n s e s L I e n j o y d o i n g m a t h e m a t i c a l t a s k s . 1 1 1 2 . I h a v e a l w a y s e n j o y e d m a t h e m a t i c s ? 1 1 1 6 . I f e e l s u c c e s s f u l w h e n I a m e n g a g e d i n m a t h e m a t i c a l 1 1 1 t a s k s . z D o i n g m a t h e m a t i c s i s u s u a l l r v e r y f r u s t r a t i n g f o r m e . 5 5 5 1 5 . I u n d e r s t a n d e l e m e n t a r y l e v e l m a t h e m a t i c a l c o n c e p t s 2 3 4 ' t e w e l l m y s e l f . 2 5 . I c a n h a n d l e b a s i c m a t h , b u t I w o u l d n ' t d o w e fi a t 5 5 5 a d v a n c e d m a t h e m a t i c s . A f t e r r e s p o n d i n g a 1 o n i t e m n u m b e r o n e , " I e n j o y d o i n g m a t h e m a t i c a l t a s k s , " d u r i n g t h e m i d - s e m e s t e r i n t e r v i e w , t h e i n t e r v i e w e r a s k e d F e l i c i a i f t h e r e a s o n t h e r e w a s n o c h a n g e i s t h a t t h e r e h a d b e e n n o t h i n g t h a t w a s r e a l l y r e l e v a n t t o t h a t o r i f s h e h a d h a d e v e n m o r e b a d e x p e r i e n c e s . S h e r e s p o n d e d , " N o , I h a v e n ' t h a d a n y m o r e b a d e x p e r i e n c e s . I ' m j u s t l i k e . . I g u e s s I r e a l l y h a d t h e a t t i t u d e , w h i c h i s b a d , t h a t I w a s c o m p l e t e l y d o n e w i t h m a t h f o r e v e r , a n d u m . . . I d o n ' t r e m e m b e r w h a t t h e q u e s t i o n s w e r e . I f t h e r e a r e u e s t i o n s o n t h e r e r e g a r d i n g t e a c h i n g m a t h , t h e n t h a t ' s p r o b a b l y a n g e d . B u t , a s f a r a s m y p e r s o n a l a b i l i t i e s c fi n d f e e l i n g s a b o u t m a t h , t h e y p r o b a b l y h a v e n ' t c h a n g e d a t m u . " 2 9 0 T o e x p l a i n w h y s h e d i d n ' t f e e l s u c c e s s f u l w h e n e n g a g e d i n m a t h e m a t i c a l t a s k s w h e n a s k e d i t e m n u m b e r s i x , F e l i c i a r e s p o n d e d , " W h e n e v e r I ' v e h a d t o d o a n y t h i n g m a t h e m a fi c a l , I g e t a h e a d a c h e , a n d I u s u a l l y d o n ' t k n o w h o w t o b e g i n , a n d m y a n s w e r i s u s u a l l y w r o n g , a n d i t j u s t d o e s n ' t i n t e r e s t m e u n l e s s y o u c o u n t b a l a n c i n g y o u r c h e c k b o o k i n w h i c h c a s e I c a n d o t h a t q u i t e w e l l , a n d I f e e l v e r y s u c c e s s f u l w h e n I ' m d o n e w i t h i t , b u t t h a t ' s j u s t a d d i n g a n d s u b t r a c t i n g . " F o r i t e m n u m b e r s e v e n , " D o i n g m a t h e m a t i c s i s u s u a l l y v e r y f r u s t r a t i n g f o r m e , " F e l i c i a a g a i n t a l k e d a b o u t h o w d o i n g m a t h g a v e h e r a h e a d a c h e . I n f a c t , t h i s w a s s o m e t h i n g t h a t F e l i c i a t a l k e d a b o u t o r w r o t e a b o u t s e v e r a l t i m e s d u r i n g t h e s t u d y . W h e n F e l i c i a w a s i n t e r v i e w e d a s e m e s t e r a f t e r t h e c o u r s e , s h e h a d s t i l l h e l d o n t o h e r n e g a t i v e a t t i t u d e s t o w a r d m a t h e m a t i c s . S h e s a i d t h a t i t w a s " v a l u a b l e e v e r y w h e r e t o e v e r y o n e a t s o m e t i m e o r a n o t h e r . " B u t , s h e a l s o s a i d t h a t s h e d i d n ' t f e e l c o n fi d e n t a t a l l d o i n g m a t h " u n l e s s i t ' s r e a l l y s i m p l e . " I t w a s i n t e r e s t i n g t h a t w h e n s h e w a s a s k e d i f t h e r e w a s a n y t h i n g s h e w a n t e d t o a d d a t t h e e n d o f t h e i n t e r v i e w , s h e i n d i c a t e d t h a t s h e t h o u g h t s h e w a s o n e o f t h e s t r o n g e r m a t h h a t e r s a n d t h a t s h e w o u l d n ' t w a n t s t u d e n t s t o f e e l t h e w a y s h e d i d a b o u t m a t h : ' 1 w o u l d n ' t w a n t s t u d e n t s t o f e e l l i k e I d o a b o u t m a t h . I t h i n k I ' m o n e o f t h e s t r o n g e r o f t h e m a t h h a t e r s , b u t I k n o w , I m e a n , s o m e p e o p l e , t h e s a y , ' O h , I ' m n o t v e r y g o o d a t m a t h . ‘ B u t , t h e n t h e y g o i n t o m a t h c l a s s w i t h m e , a n d t h e y d o o k a y , a n d t h e y u n d e r s t a n d i t b e t t e r , m o r e q u i c k l y . I f e e l l i k e e v e r y b o d y g e t s m a t h m o r e q u i c k l y t h a n I d o . I f e e l l i k e n o b o d y t o o k t h e t i m e t o m a k e s u r e I r e a l l y u n d e r s t o o d i t e x t f o r m y d a d . A n d , w i t h o u t h i m , I w o u l d h a v e f a i l e d m a t h a l t o g e e r t h r o u g h m y w h o l e l i f e . " A t t i t u d e s t o w a r d T e a c h i n g M a t h e m a t i c s . F e l i c i a a l s o d i d n o t h a v e a p o s i t i v e a t t i t u d e a b o u t t h e i d e a o f t e a c h i n g m a t h e m a t i c s . T h e s e a t t i t u d e s a l s o d i d n o t s e e m t o c h a n g e d u r i n g t h e s e m e s t e r . I f a n y t h i n g , i t s e e m e d t h a t h e r a t t i t u d e a b o u t n o t w a n t i n g t o t e a c h m a t h e m a t i c s w a s s t r e n g t h e n e d d u r i n g t h e s e m e s t e r . 2 9 1 T h i s l a c k o f c h a n g e c a n b e s e e n i n F e l i c i a ' s r e s p o n s e s t o t h e i t e m s r e l a t i n g t o a t t i t u d e s t o w a r d t e a c h i n g m a t h e m a t i c s f r o m t h e M a t h e m a t i c s I n v e n t o r y a s a r e s h o w n i n T a b l e 2 3 . H e r r e s p o n s e s a r e i n d i c a t i v e o f h e r l a c k o f d e s i r e o r e x c i t e m e n t f o r t e a c h i n g m a t h e m a t i c s a s w e l l a s h e r l a c k o f c o n fi d e n c e i n h e r a b i l i t y t o t e a c h m a t h e m a t i c s t o e l e m e n t a r y s c h o o l c h i l d r e n . T a b l e 2 3 : I t e m s R e l a t i n g t o A t t i t u d e s t o w a r d T e a c h i n g M a t h e m a t i c s f r o m t h e M _ a t h e m a t i c s I n v e n t o r y w i t h F e l i c i a ' s R e s p o n s e s . - m o s t e W * m - “ ' t o t e a c h m a t h e m a t i c s a s a n e l e m e n t a r y t e a c h e r . 9 . I f e e l e n t h u s i a s t i c a b o u t m a t h e m a t i c s a n d a b o u t t e a c h i n g 1 1 1 i t . T 2 ? I d o n ' t e x p e c t t o e n c o u n t e r a n y m a t h e m a t i c s w h e n I 1 1 I t e a c h e l e m e n t a r y s c h o o l t h a t I w o n ' t u n d e r s t a n d s i n c e I s u c c e s s f u l l y c o m p l e t e d e l e m e n t a r y s c h o o l . 1 4 . I f e e l c o n fi d e n t i n m y a b i l i t y t o e x p l a i n m a t h e m a t i c a l 1 l 1 c o n c e p t s t o c h i l d r e n . _ _ 1 6 . I w o u l d f e e l m o r e c o m f o r t a b l e i f l k n e w t h a t l w o u l d n o t 5 “ a I 5 h a v e t o t e a c h m a t h e m a t i c s t o e l e m e n t a r y s t u d e n t s . _ 1 8 . B e i n g g o o d a t m a t h e m a t i c s i s n o t r e q u i r e d t o h e a g o o d 2 1 1 t e a c h e r o f m a t h . r 1 9 . I w a n t t o t e a c h m a t h e m a t i c s s o t h a t I c a n h e l p s t u d e n t s 2 4 1 g e t e x c i t e d a b o u t i t . _ 2 0 . A s a t e a c h e r , I w o u l d f e e l e m h a r r a s s e d i f a s t u d e n t 3 1 3 _ a s k e d a q u e s t i o n t o w h i c h I d i d n ' t k n o w t h e a n s w e r . 2 1 . I e x p e c t t o r e g u l a r l y t e a c h m a t h e m a t i c s a s a n 4 4 2 e l e m e n t a r y t e a c h e r . F e l i c i a d e fi n i t e l y d i d n o t h a v e m u c h d e s i r e t o t e a c h m a t h e m a t i c s . S h e w a s n o t e x c i t e d a b o u t t h a t t h o u g h t . I n f a c t , b y t h e e n d o f t h e s e m e s t e r s h e h a d d e c i d e d t h a t s h e w a s o n l y g o i n g t o t e a c h p r e s c h o o l , p a r t l y s o s h e w o u l d n ' t h a v e t o t e a c h e l e m e n t a r y - l e v e l m a t h e m a t i c s . A c t u a l l y , t h a t w a s a d e c i s i o n s h e m a d e e a r l y i n t h e s e m e s t e r a n d p e r h a p s a l r e a d y s u s p e c t e d w h e n s h e e n t e r e d t h e c l a s s . ” I t w a s n ' t j u s t t h e m a t h , t h o u g h , t h a t m a d e h e r d e c i d e t h a t s h e j u s t w a n t e d t o t e a c h p r e s c h o o l . I n t h e m i d - s e m e s t e r i n t e r v i e w , w h e n s h e w a s a s k e d i t e m 2 1 , ' T e x p e c t t o r e g u l a r l y t e a c h m a t h e m a t i c s a s a n e l e m e n t a r y t e a c h e r , " s h e s a i d t h a t i f s h e w e r e g o i n g t o b e a n e l e m e n t a r y s c h o o l t e a c h e r , s h e w o u l d e x p e c t t o t e a c h 2 9 2 m a t h , b u t a t t h a t p o i n t s h e w a s n ' t e x p e c t i n g t o t e a c h e l e m e n t a r y s c h o o l . S h e w a s a s k e d i f m a t h w a s t h e r e a s o n s h e d i d n ' t w a n t t o t e a c h e l e m e n t a r y s c h o o l , a n d s h e s a i d , " R e a l l y m a t h h a s n o t h i n g t o d o w i t h w h e t h e r I ' m g o i n g t o t e a c h e l e m e n t a r y s c h o o l . I t ' s j u s t t h e T E s t u f f i n g e n e r a l . " W h e n p r o b e d f u r t h e r a b o u t t h e m a t h t e a c h i n g , s h e r e s p o n d e d , " I t ' s n o t a f a c t o r . I m e a n , i f I d e c i d e d . . . I w o u l d o n ] c h o o s e t o t e a c h l i k e k i n d e r g a r t e n o r fi r s t g r a d e , a n d I t h i n k t h a t I c a n h a n d l e t h a t , a n d I t h i n k I w o u l d l e a r n a l o t m o r e a b o u t t e a c h i n g m a t h i f I k n e w I w e r e 5 3 m g t o t e a c h i t f o r s u r e . I m e a n , I ' m t r y i n g , y o u k n o w , r e a l l y h a r d i n ' 3 c l a s s t o g e t m a t h . I ' m f r u s t r a t e d t h a t I ' m n o t e x p l a i n i n g i t w e l l t o k i d s . S o , I w a n t t o d o t h a t b e t t e r . I j u s t d i d n ' t w a n t t o t e a c h a n y h i g h e r . " S h e w a s a g a i n a s k e d i f i t w a s b e c a u s e o f m a t h t h a t s h e d i d n ' t w a n t t o t e a c h h i g h e r g r a d e s , a n d s h e s a i d , " U m , n o , j u s t i n g e n e r a l . I ' m n o t c o m f o r t a b l e w i t h o l d e r k i d s . I j u s t d o n ' t l i k e t h e m . " F e l i c i a ' s m i d - s e m e s t e r r e s p o n s e t o i t e m 1 9 , " I w a n t t o t e a c h m a t h e m a t i c s s o t h a t I c a n h e l p s t u d e n t s g e t e x c i t e d a b o u t i t , " m i g h t b e i n t e r p r e t e d t h a t a t t h a t p o i n t s h e w a s m o r e e x c i t e d a b o u t t e a c h i n g , b u t h e r e x p l a n a t i o n o f w h y s h e r e s p o n d e d 4 d o e s n ' t r e a l l y i n d i c a t e a n y c h a n g e . S h e e x p l a i n e d t h a t s h e w o u l d l i k e t o b e a b l e t o d o t h a t , i f s h e c o u l d , b u t s h e d i d n ' t t h i n k s h e c o u l d . A t t h e e n d o f t h e s e m e s t e r , i t a p p e a r s f r o m h e r r e s p o n s e t h a t s h e w a s f o c u s i n g o n t h e f a c t t h a t s h e j u s t d i d n ' t w a n t t o t e a c h m a t h e m a t i c s . F e l i c i a ' s r e s p o n s e s t o o t h e r i t e m s o n t h e M a t h e m a t i c s I n v e n t o r y r e l a t e d t o a t t i t u d e t o w a r d t e a c h i n g m a t h e m a t i c s c o n s i s t e n t l y s h o w e d h e r l a c k o f d e s i r e t o t e a c h m a t h e m a t i c s . F o r e x a m p l e , f o r i t e m 8 , ' T a m e x c i t e d t h a t I w i l l m o s t l i k e l y h a v e t h e o p p o r t u n i t y t o t e a c h m a t h e m a t i c s a s a n e l e m e n t a r y t e a c h e r , " F e l i c i a p u t a o n e e a c h t i m e s h e r e s p o n d e d t o i t . I n h e r m i d - s e m e s t e r i n t e r v i e w , w h e n s h e w a s a s k e d t h a t i t e m , s h e s a i d , " N o t a t a l l l i k e m e , a n d I p r o b a b l y a c t u a l l y w o n ' t t e a c h m a t h e m a t i c s a s a t e a c h e r , b e c a u s e I w i l l p r o b a b l y t e a c h p r e s c h o o l s i n c e 2 9 3 t h a t ' s w h a t I e n j o y m o s t . " S h e w a s t h e n a s k e d i f s h e t h o u g h t t h e r e c o u l d b e s o m e t h i n g t h a t w o u l d h e l p h e r c h a n g e h e r a t t i t u d e . H e r r e s p o n s e w a s , " I d o n ' t k n o w . . . I g u e s s s o m e o n e w o u l d h a v e t o d o s o m e t h i n g t h a t I c a n ' t e v e n i m a g i n e t o m a k e i t m o r e r e l e v a n t t o m e . U m , m a k e i t m a t t e r t h a t I s h o u l d d o m a t h , b e c a u s e a t t h i s p o i n t I ' m s o h a p p y w i t h m y l i f e n o t d o i n g a l o t o f m a t h , a n d I w o u l d n e v e r i n a n y w a y g i v e t h i s v i e w t o a c h i l d t h a t I w a s t e a c h i n g . I m e a n , I w o u l d b e s o c a r e f u l t o k e e p t h a t f r o m t h e m , a n d I ' v e d o n e s o m e m a t h w i t h t h e k i d s w h e r e I ' m a t t h e fi e l d p l a c e m e n t n o w , a n d I h a v e n e v e r . . . I m e a n , I g o o u t o f m y w a y t o m a k e s u r e t h a t I t h i n k i t ' s f u n a n d i n t e r e s ° a n d t h a t I d o n ' t g r u m b l e a l o n g w i t h t h e m . I j u s t t h i n k i t m a t t e r s a t y o u s t a r t w h e n y o u ' r e y o u n g . I j u s t c a n ' t i m a g e s w i t c h i n g t o l o v i n g m a t h a t a n y t i m e i n m y l i f e . " F e l i c i a a l s o d i d n ' t h a v e a l o t o f c o n fi d e n c e i n h e r a b i l i t y t o t e a c h m a t h , a n d m u c h o f t h a t s h e a t t r i b u t e d t o h e r d i s l i k e o f m a t h a n d h e r f e e l i n g t h a t s h e w a s n o t s u c c e s s f u l i n m a t h . O n e o f t h e p l a c e s s h e e x p r e s s e d t h i s l a c k o f c o n fi d e n c e w a s a g a i n i n h e r m i d - s e m e s t e r i n t e r v i e w w h e n s h e w a s t a l k i n g a b o u t i t e m 8 , ' T a m e x c i t e d t h a t I w i l l m o s t l i k e l y h a v e t h e o p p o r t u n i t y t o t e a c h m a t h e m a t i c s a s a n e l e m e n t a r y t e a c h e r . " S h e w a s a s k e d w h e n s h e t h o u g h t a b o u t t h a t q u e s t i o n w h a t m a d e h e r n o t e x c i t e d , a n d s h e s a i d , " B e c a u s e I d o n ' t f e e l l i k e I h a v e a d e e p e n o u g h u n d e r s t a n d i n g o f i t , a n d I d o n ' t t h i n k i t m a k e s m e f e e l g o o d e n o u g h t o w a n t t o t e a c h i t t o o t h e r k i d s . L i k e r i g h t n o w I ' m s u p p o s e d t o t e a c h a m a t h l e s s o n t o e i t h e r a g r o u p , a n i n d i v i d u a l , o r t h e w h o l e c l a s s , a n d I ' m c h o o s i n g a n i n d i v i d u a l s i m p l y b e c a u s e I f e e l l i k e t h a t t h i r d g r a d e c l a s s a c t u a l l y i n a s e n s e i s b e t t e r a t t h e m a t h t h a t t h e y ' r e d o i n g r i g h t n o w t h a n I a m , b e c a u s e t h e y ' v e b e e n d o i n g i t , y o u k n o w . T h e y ' r e i n s c h o o l . T h e y ' v e b e e n w o r k i n g u t o i t , a n d t h e y h a v e t o d o i t , a n d i t d o e s n ' t o c c u r t o t h e m t h a t ' I a t e i t . I ' m n o t g o i n g t o d o i t . ‘ A n d , I d o n ' t f e e l c o m f o r t a b l e e n o u g h t e a c h i n g t h e m , b e c a u s e I f e e l l i k e t h e y w o u l d c h a l l e n g e m e w i t h s o m e t h i n g — w i t h a l o t o f t h i n g s t h a t I d o n ' t k n o w h o w t o d o — t h a t I d o n ' t r e m e m b e r o r t h a t t h e y h a v e a d i f f e r e n t w a y o f d o i n g i t . " F e l i c i a ' s r e s p o n s e s t h r o u g h o u t t h e s e m e s t e r t o i t e m s 1 2 a n d 1 4 , " I d o n ' t e x p e c t t o e n c o u n t e r a n y m a t h e m a t i c s w h e n I t e a c h e l e m e n t a r y s c h o o l t h a t I w o n ' t u n d e r s t a n d s i n c e I s u c c e s s f u l l y c o m p l e t e d e l e m e n t a r y s c h o o l , " a n d " I f e e l c o n fi d e n t i n m y a b i l i t y t o e x p l a i n m a t h e m a t i c a l c o n c e p t s t o c h i l d r e n , " 2 9 4 r e s p e c t i v e l y , a l s o i l l u s t r a t e h e r l a c k o f c o n fi d e n c e t o t e a c h m a t h e m a t i c s ( S e e T a b l e 2 3 o n p a g e 2 9 2 ) . S o m e o f F e l i c i a ' s r e s p o n s e s t o t h e o p e n - e n d e d q u e s t i o n s f r o m t h e M a t h e m a t i c s I n v e n t o r y a l s o g i v e e v i d e n c e t h a t s h e d i d n o t f e e l m u c h c o n fi d e n c e i n h e r a b i l i t y t o t e a c h m a t h . F o r e x a m p l e , t h e s t u d e n t s w e r e a s k e d w h a t c o n c e r n e d t h e m t h e m o s t a b o u t t e a c h i n g m a t h e m a t i c s t o e l e m e n t a r y s t u d e n t s . O n t h e fi r s t d a y o f c l a s s , F e l i c i a w r o t e , ' T E c l a s s e s h a v e p r o v i d e d n o m e t h o d s . I w o u l d n ' t k n o w h o w t o t e a c h m a t h a t a l l . " O n t h e l a s t d a y o f c l a s s , h e r r e s p o n s e w a s d i f f e r e n t , b u t s t i l l i n d i c a t e s a l a c k o f c o n fi d e n c e . S h e w r o t e , " I f e e l i n c o m p e t e n t i n m a t h ! " T h e r e w a s o n e t h i n g F e l i c i a h a d t o o f f e r a s t e a c h e r o f m a t h e m a t i c s t h a t s h e f e l t l i k e w a s a s t r e n g t h a n d t h a t w a s t h a t s h e w o u l d b e a b l e t o r e l a t e t o s t u d e n t s w h o w e r e l i k e h e r i n r e l a t i o n t o m a t h . S h e f e l t t h i s w a y a t t h e b e g i n n i n g o f t h e s e m e s t e r a n d a t t h e e n d o f i t . O n e o f t h e o p e n - e n d e d q u e s t i o n s i n t h e i n v e n t o r y a s k e d t h e s t u d e n t s w h a t t h e y c o n s i d e r e d t o b e t h e i r g r e a t e s t s t r e n g t h i n r e l a t i o n t o b e i n g a m a t h e m a t i c s t e a c h e r . O n t h e fi r s t d a y o f c l a s s f o r t h a t q u e s t i o n , F e l i c i a w r o t e , " I w o u l d h a v e e m p a t h y f o r t h e d i f f e r e n t k i n d s o f w a y s c h i l d r e n u n d e r s t a n d m a t h . " O n t h e l a s t d a y o f c l a s s s h e w r o t e , " I c a n i d e n t i f y w i t h s t u d e n t s w h o t a k e l o n g e r t o u n d e r s t a n d a n d w h o u n d e r s t a n d d i f f e r e n t l y . " A n o t h e r p i e c e o f e v i d e n c e s u p p o r t i n g t h i s w a s t h e o p e n - e n d e d q u e s t i o n s h e w a s a s k e d i n t h e M a t h e m a t i c s I n v e n t o r y , " D o y o u t h i n k y o u r m a t h e m a t i c a l e x p e r t i s e ( o r l a c k o f e x p e r t i s e ) w i l l b e a l i a b i l i t y o r a s t r e n g t h w h e n y o u t e a c h m a t h e m a t i c s i n a n e l e m e n t a r y s c h o o l ? " E x p l a i n . " O n t h e fi r s t d a y o f c l a s s , F e l i c i a w r o t e , " A l i a b i l i t y a n d a s t r e n g t h . I h a v e a l o t t o l e a r n , b u t I w i l l u n d e r s t a n d k i d s w h o m a y f e e l a s I d o . " O n t h e l a s t d a y o f c l a s s , s h e w r o t e , " A l i a b i l i t y . T h e r e f o r e , 2 9 5 I ' m t e a c h i n g p r e s c h o o l , w h i c h I c a n h a n d l e . " T h i s s e e m s t o b e s o m e p r o g r e s s — t h e k i n d t h a t I w r o t e a b o u t a s a s u c c e s s o f s o r t s w i t h B r i d g e t . A n o t h e r p l a c e h e r d e s i r e t o n o t t e a c h m a t h e m a t i c s w a s e m p h a s i z e d w a s i n a n o t h e r q u e s t i o n a s k e d o n l y o n t h e l a s t d a y o f c l a s s i n t h e o p e n - e n d e d s e c t i o n o f t h e M a t h e m a t i c s I n v e n t o r y . T h e s t u d e n t s w e r e a s k e d i f t h e i r a t t i t u d e s t o w a r d m a t h e m a t i c s o r t e a c h i n g m a t h e m a t i c s h a d c h a n g e d a t a l l d u r i n g t h e t i m e t h e y w e r e i n t h e c o u r s e . F e l i c i a w r o t e , " Y e s . S i n c e a t t e m p t i n g t o t e a c h m a t h , I h a v e b e c o m e e v e n m o r e c e r t a i n t h a t I s h o u l d n ' t . " A s e m e s t e r a f t e r t h e c o u r s e h a d e n d e d , w h e n F e l i c i a w a s i n t e r v i e w e d f o r a fi n a l t i m e , s h e s t i l l h a d t h e s a m e a t t i t u d e t o w a r d t e a c h i n g m a t h e m a t i c s . W h e n a s k e d h o w s h e f e l t a b o u t t h e i d e a o f t e a c h i n g m a t h e m a t i c s i n a n e l e m e n t a r y s c h o o l , s h e r e p l i e d , " I d o n ' t p l a n o n d o i n g i t a t a l l , a n d I d e fi n i t e l y w o u l d n ' t w a n t t o . " W h e n a s k e d i f h e r f e e l i n g s a b o u t t e a c h i n g m a t h h a d e v e r c h a n g e d , s h e s a i d , " N o . I m e a n , I f e e l c o m f o r t a b l e t e a c h i n g p r e s c h o o l k i n d o f m a t h , y o u k n o w , j u s t o n e - t o n - o n e c o r r e s p o n d e n c e s t u f f , b u t t h a t ' s a s f a r a s i t g o e s . " D u r i n g t h e fi n a l i n t e r v i e w , F e l i c i a w a s a l s o a s k e d a b o u t w h a t c o n c e r n s s h e w o u l d h a v e a b o u t t e a c h i n g m a t h e m a t i c s i f s h e w e r e t o t e a c h i t . S h e r e p l i e d , " U m , m y o w n k n o w l e d g e o f i t . I w o u l d f e e l l i k e I w a s t e a c h i n g s t r a i g h t f r o m t h e b o o k , b e c a u s e I d o n ' t f e e l l i k e I h a v e a d e e p u n d e r s t a n d i n g , a g o o d s o l i d f o u n d a t i o n o f m a t h e m a t i c a l u n d e r s t a n d i n g . " M a j o r T h e m e s i n t h e C a s e o f F e l i c i a T h r e e m a j o r t h e m e s s t o o d o u t i n t h e a n a l y s i s o f F e l i c i a ' s c o n c e p t i o n s o f m a t h e m a t i c s a n d a t t i t u d e s t o w a r d m a t h e m a t i c s d u r i n g t h i s s t u d y . O n e w a s h e r s t r o n g b e l i e f t h a t h e r i n a b i l i t y t o l i k e a n d d o w e l l i n m a t h e m a t i c s w a s p h y s i o l o g i c a l . A n o t h e r t h e m e w a s t h e s l i g h t c r a c k s i n h e r c o n c e p t i o n s o f t h e c h a r a c t e r i s t i c s o f m a t h a n d t h e u s e f u l n e s s o f m a t h . P r o b a b l y t h e s t r o n g e s t , 2 9 6 o v e r a r c h i n g t h e m e w a s h e r fi r m h o l d o n h e r a l r e a d y - e n t r e n c h e d n e g a t i v e a t t i t u d e s t o w a r d m a t h e m a t i e s . T h e s e t h e m e s w i l l b e e l a b o r a t e d a n d s u m m a r i z e d i n t h e f o l l o w i n g s e c t i o n s . A S t r o n g B e l i e f t h a t H e r I n a b i l i t y t o L i k e a n d D o W e l l i n M a t h w a s P h y s i o l o g i c a l . F e l i c i a h a d a s t r o n g b e l i e f t h a t h e r i n a b i l i t y t o l i k e a n d d o w e l l i n m a t h w a s p h y s i o l o g i c a l . S h e e x p r e s s e d t h a t i d e a o v e r a n d o v e r i n s e v e r a l d a t a s o u r c e s t h r o u g h o u t t h e s t u d y . S h e n e v e r c h a n g e d t h a t b e l i e f a t a l l . S h e o f t e n s p o k e a n d w r o t e a b o u t h o w d o i n g m a t h g a v e h e r h e a d a c h e s a n d h o w s h e f e l t l i k e h e r b r a i n w a s n ' t m a d e t o t h i n k t h a t w a y . S h e d e s c r i b e d m a t h a s " l e f t - b r a i n e d " a n d h e r s e l f a s " r i g h t - b r a i n e d . " S h e a l s o t a l k e d a n d w r o t e a b o u t t h e p h y s i c a l p a i n s h e w o u l d f e e l w h e n s h e w a s t r y i n g t o d o m a t h e m a t i c a l t a s k s — t h o s e b e y o n d t h i n g s t h a t u s e d b a s i c a r i t h m e t i c l i k e b a l a n c i n g h e r c h e c k b o o k . O n e e x a m p l e o f t h i s w a s h e r r e s p o n s e t o i t e m n u m b e r s e v e n i n t h e M a t h e m a t i c s I n v e n t o r y , " D o i n g m a t h e m a fi c s i s u s u a l l y v e r y f r u s t r a t i n g f o r m e . " D u r i n g t h e m i d - s e m e s t e r i n t e r v i e w , s h e e x p l a i n e d , " I s a i d t h a t i t g i v e s m e a h e a d a c h e , b u t I f e e l l i k e m y b r a i n s h i f t s i n t o a d i f f e r e n t g e a r w h e n I t r y t o d o s o m e t h i n g i n m a t h w h e n I h a v e n ' t f o r a w h i l e . L i k e t h e b e g i n n i n g o f a l l m y m a t h c l a s s e s i n c o l l e g e , I f e l t l i k e I ' d b e f o c u s i n g o n a p r o b l e m , a n d I p h y s i c a l l y f e l t s o m e t h i n g c h a n g e l i k e i n m y b r a i n , a n d i t h u r t t o d o i t , a n d w h e n i t w a s o v e r , l i k e i f i t w a s a t e s t , I j u s t f e l t p h y s i c a l l y e x h a u s t e d l i k e I h a d j u s t r u n a m a r a t h o n o r s o m e t h i n g . I t ' u s t r e a l l y t o o k a l o t o u t o f m e . B y t h e e n d o f t h e c l a s s i t w a s n ' t t h a t h a r d . M y b r a i n g o t u s e d t o t h i n k i n g i n t h o s e w a y s a n d t h i n k i n g a b o u t m a t h . B u t e v e r y t i m e I s t a r t u p a g a i n , l i k e e v e r y t i m e s h e ' s b r o u g h t a p r o b l e m i n t o c l a s s , a n d w e ' v e h a d t o d o i t , b e s i d e s m y b a d a t t i t u d e t h a t s a 3 , " H e y , I ' v e fi n i s h e d m y m a t h c r e d i t s . " I t r y i t , a n d I j u s t f e e l a t s h i f t t a k e p l a c e i n m y b r a i n , a n d i t ' s j u s t n o t c o m f o r t a b l e . " T h i s w a s t y p i c a l o f h o w s h e d e s c r i b e d h e r a b i l i t y t o d o m a t h t h r o u g h o u t t h e s t u d y , r e g a r d l e s s o f t h e t y p e o f q u e s t i o n o r d a t a s o u r c e t h a t w a s u s e d . S l i g h t C r a c k s i n H e r C o n c e p t i o n s o f t h e C h a r a c t e r i s t i c s o f M a t h a n d t h e U s e f u l n e s s o f M a t h . T h e r e s e e m e d t o b e s o m e s l i g h t c r a c k s i n F e l i c i a ' s 2 9 7 c o n c e p t i o n s o f t h e c h a r a c t e r i s t i c s o f m a t h a n d t h e u s e f u l n e s s o f m a t h b y t h e e n d o f t h e s e m e s t e r . F o r e x a m p l e , a t t h e b e g i n n i n g o f t h e s e m e s t e r , s h e d e s c r i b e d m a t h a s h a v i n g " r i g h t a n d w r o n g a n s w e r s . " A t t h e e n d o f t h e s e m e s t e r , s h e s t i l l d e s c r i b e d m a t h a s h a v i n g " r i g h t a n d w r o n g a n s w e r s , " b u t i n b o t h h e r fi n a l c o n c e p t m a p a n d fi n a l " W h a t I s M a t h e m a t i c s ? " j o u r n a l e n t r y , s h e a d d e d t h a t t h e r e w a s m o r e t h a n o n e w a y t o g e t t h e r i g h t a n s w e r . S h e a l s o s e e m e d m o r e o p e n t o t h e p o s s i b i l i t y t h a t e v e r y o n e c o u l d u n d e r s t a n d a n d / o r b e s u c c e s s f u l a t m a t h e m a t i c s i f t h e y w e r e t a u g h t i n t h e r i g h t w a y t h a n s h e h a d b e e n a t t h e b e g i n n i n g o f t h e s e m e s t e r . O t h e r e v i d e n c e t h a t s u p p o r t s t h i s a s s e r t i o n i s t h a t s h e s a i d t h a t s h e t h o u g h t h e r c o n c e p t i o n s w e r e c h a n g i n g i n h o w s h e s a w m a t h a s u s e f u l i n t h e w o r l d ( b u t n o t f o r h e r p e r s o n a l l y ) a n d t h e i d e a t h a t s h e t a l k e d a b o u t o n p a g e 3 8 w h e r e s h e s t a t e d t h a t s h e r e c o g n i z e d t h a t t h e r e w e r e t w o p i c t u r e s o f m a t h a n d s h e k n e w t h a t h e r s w a s w r o n g . A F i r m H o l d o n A l r e a d y - E n t r e n c h e d N e g a t i v e A t t i t u d e s . F e l i c i a ' s m a i n c o n n e c t i o n s t o m a t h e m a t i c s w e r e h e r n e g a t i v e a t t i t u d e s t o w a r d i t , a n d s h e fi r m l y h e l d o n t o t h e s e a t t i t u d e s t h r o u g h o u t t h e s t u d y . F e l i c i a s e e m e d v e r y r e s o l v e d n o t t o g i v e u p h e r n e g a t i v e a t t i t u d e s t o w a r d m a t h — i n s p i t e o f a n y m e r i t s o r u s e f u l n e s s s h e a c k n o w l e d g e d m a t h h a d . S h e h a d h a d m a n y n e g a t i v e e x p e r i e n c e s w i t h m a t h t h a t h a d b e e n t h e s o u r c e o f p a i n a n d f r u s t r a t i o n f o r h e r t h r o u g h o u t h e r l i f e , a n d s h e w a s n ' t a b o u t t o f o r g e t o r c h a n g e t h e a t t i t u d e s t h o s e e x p e r i e n c e s h a d i n s p i r e d . I n h e r " R e fl e c t i o n o f M a t h e m a t i e s E x p e r i e n c e s " j o u r n a l e n t r y , s h e w r o t e , " M a t h h a s a l w a y s b e e n a s t r u g g l e f o r m e , w h e t h e r I ' v e d o n e w e l l o r n o t . I d o n ' t l i k e m a t h . I k n o w i t ' s n e c e s s a r y , a n d I b a l a n c e m y c h e c k b o o k q u i t e w e l l . B u t I d o n ' t w a n t m a t h a g a i n . M y m i n d i s s e t a g a i n s t i t . " F e l i c i a c o n c e d e d s o m e v a l u e s a n d m e r i t s o f m a t h , b u t t h e y d i d n ' t i m p r o v e h e r a t t i t u d e t o w a r d i t . F o r e x a m p l e , e v e n t h o u g h s h e r e c o g n i z e d t h a t m a t h i s 2 9 8 u s e f u l , i t d i d n ' t a f f e c t h e r a t t i t u d e t o w a r d i t . V i r t u a l l y e v e r y t i m e s h e s a i d o r w r o t e a n y t h i n g a b o u t m a t h ' s u s e f u l n e s s i n t h e w o r l d , s h e a l w a y s a d d e d s o m e t h i n g a b o u t s t i l l n o t l i k i n g i t h e r s e l f . F o r e x a m p l e , i n h e r fi n a l " W h a t I s M a t h e m a t i c s ? " j o u r n a l e n t r y s h e w r o t e : " M a t h o f o n e l e v e l o r a n o t h e r i s u s e d b y n e a r l y e v e r y b o d y , t h o u g h n o t e v o n e r e a l i z e s t h i s . I k n o w t h a t I u s e m a t h e v d a y a n d t h a t m a i s u s e d t o m a k e a n d c r e a t e t h e t h i n g s I u s e . ' d o e s n ' t e m y v i e w o f i t , h o w e v e r . T h o s e p e o p l e c a n u s e t h e i r h i g h e r m a t h . I ' m h a p p y w i t h m y ' l o w e r ' m a t h a n d m y c a l c u l a t o r . " A l s o , h e r fi n a l t w o s e n t e n c e s o f t h a t j o u r n a l w h y w e r e , " I t i s h e a d a c h e s a n d t i m e c o n s u m i n g e f f o r t . M a t h i s u s e f u l a n d g o o d , a n d w e c a n ' t l i v e w i t h o u t i t , b u t L m y s e l f , w i l l n e v e r l o v e i t . " E v e n a s e m e s t e r a f t e r t h e c l a s s , i n h e r fi n a l i n t e r v i e w , s h e s a i d , ' T t h i n k i t ' s e v e r y w h e r e . I d o n ' t l i k e i t , b u t i t ' s e v e r y w h e r e . " I t s e e m s t h a t F e l i c i a i s v e r y c o m m i t t e d t o h o l d o n t o h e r n e g a t i v e a t t i t u d e s t o w a r d m a t h e m a t i c s e t e r n a l l y . T h e n o t i o n o f p o s i t i o n i n g m a y b e h e l p f u l i n u n d e r s t a n d i n g F e l i c i a ’ s l a c k o f c h a n g e . F e l i c i a s e e m e d t o s h i f t h e r p o s i t i o n i n r e l a t i o n t o c o n c e p t i o n s o f t e a c h i n g m a t h e m a t i c s — m a y b e f o r t h e p u r p o s e s o f g e t t i n g a g o o d g r a d e i n t h e c o u r s e — b u t s h e n e v e r s e e m s t o s h i f t h e r p o s i t i o n i n r e l a t i o n t o h e r a t t i t u d e s t o w a r d m a t h a n d t e a c h i n g m a t h . B y t h e e n d o f t h e s e m e s t e r , h e r a t t i t u d e s s t i l l s e e m e d t o b e w h o l l y i n fl u e n c e d b y h e r e x p e r i e n c e s a s a s t u d e n t . I t s e e m s a s t h o u g h F e l i c i a ' s g r o w i n g r e l u c t a n c e t o s e e h e r s e l f a s a t e a c h e r o f m a t h m i g h t h a v e m a d e i t d i f fi c u l t f o r h e r t o s e e m a t h d i f f e r e n t l y — a n d e s p e c i a l l y t o h a v e a m o r e p o s i t i v e a t t i t u d e t o w a r d i t . I n o t h e r w o r d s , i n s t e a d o f s e e i n g h e r d e c i s i o n n o t t o t e a c h a s c o m i n g f r o m h e r g r o w i n g a w a r e n e s s o f t h e p o t e n t i a l i l l e f f e c t s o f h e r a t t i t u d e a n d l a c k o f m a t h e m a t i c a l k n o w l e d g e , i t i s a l s o p o s s i b l e t h a t h e r r e l u c t a n c e t o s e e h e r s e l f a s a t e a c h e r o f m a t h m a d e i t h a r d f o r h e r t o s e e m a t h d i f f e r e n t l y . E v e n a s t h e s e m e s t e r b e g a n , s h e s e e m e d p r e t t y c e r t a i n t h a t s h e r e a l l y w a n t e d t o t e a c h p r e s c h o o l — n o t e l e m e n t a r y s c h o o l — a n d t h a t 2 9 9 d e t e r m i n a t i o n m a y h a v e h i n d e r e d h e r i m a g i n i n g ( o r p o s i t i o n i n g ) h e r s e l f a s a n e l e m e n t a r y t e a c h e r w h o w o u l d t e a c h m a t h . T h i s e x a m p l e m a y s u p p o r t t h e i d e a t h a t o n e o f t h e f a c t o r s t h a t h e l p s s t u d e n t s t h i n k o f m a t h a n d t e a c h i n g m a t h d i f f e r e n t l y — a n d h a v e m o r e p o s i t i v e a t t i t u d e s t o w a r d m a t h a n d t e a c h i n g m a t h — i s t h a t t h e y a r e r e p o s i t i o n i n g t h e m s e l v e s i n r e l a t i o n t o m a t h — a s p r o s p e c t i v e t e a c h e r s . F e l i c i a d i d n ’ t p o s i t i o n h e r s e l f a s a f u t u r e e l e m e n t a r y s c h o o l t e a c h e r , a n d h e r a t t i t u d e s t o w a r d m a t h e m a t i c s d i d n o t i m p r o v e . C h a p t e r S u m m a r y I n t h i s c h a p t e r I p r e s e n t e d t h e c a s e s o f t w o s t u d e n t s w h o b e g a n t h e s e m e s t e r w i t h n e g a t i v e a t t i t u d e s t o w a r d m a t h e m a t i c s a n d t e a c h i n g m a t h e m a t i c s , a n d t h e i r a t t i t u d e s d i d n o t i m p r o v e d u r i n g t h e s e m e s t e r . F e l i c i a ' s n e g a t i v e a t t i t u d e h a d b e e n i n fl u e n c e d b y h e r n e g a t i v e e x p e r i e n c e s i n l e a r n i n g m a t h e m a t i c s . B r i d g e t , o n t h e o t h e r h a n d , w a s u n u s u a l i n t h e f a c t t h a t s h e h a d e x p e r i e n c e d s o m e s u c c e s s i n l e a r n i n g m a t h a n d f e l t q u i t e c o n f i d e n t w i t h i t , b u t s h e s t i l l h a d n e g a t i v e a t t i t u d e s t o w a r d i t . B y t h e e n d o f t h e s e m e s t e r , b o t h o f t h e s e s t u d e n t s h a d d e c i d e d — o r c o n fi r m e d t h e i r d e c i s i o n — t h a t s i n c e t h e y d i d n o t l i k e m a t h , t h e y p r o b a b l y s h o u l d n o t t e a c h e l e m e n t a r y s c h o o l m a t h e m a t i c s . I t h i n k b o t h o f t h e m s u s p e c t e d t h e y d i d n ’ t w a n t t o t e a c h e l e m e n t a r y s c h o o l w h e n t h e c l a s s b e g a n , a n d n o t j u s t b e c a u s e o f m a t h e m a t i c s . A t t h e e n d o f t h e s t u d y , F e l i c i a w a s p l a n n i n g t o t e a c h p r e s c h o o l , a n d s h e f e l t s h e c o u l d h a n d l e t h e m a t h i n i t . H e r d e c i s i o n t h a t s h e d i d n o t w a n t t o t e a c h e l e m e n t a r y s c h o o l s e e m e d t o b e i n p a r t b e c a u s e s h e d i d n ’ t l i k e m a t h a n d h a d n o s u b s t a n t i a l k n o w l e d g e o f t h e s u b j e c t m a t t e r , b u t i t a l s o s e e m s , a s s h e a d m i t t e d i n h e r m i d - s e m e s t e r i n t e r v i e w , t h a t p a r t o f t h e r e a s o n s h e c h o s e n o t t o t e a c h e l e m e n t a r y s c h o o l i s t h a t s h e l i k e d l i t t l e c h i l d r e n m o r e t h a n t h e o l d e r 3 0 0 o n e s . A t t h e e n d o f t h e s e m e s t e r , B r i d g e t w a s p l a n n i n g t o t e a c h m i d d l e s c h o o l E n g l i s h a n d b y t h e e n d o f t h e f o l l o w i n g s e m e s t e r , s h e h a d d e c i d e d s h e d i d n o t w a n t t o t e a c h a t a l l . I f w e a c c e p t h e r e x p l a n a fi o n , i t c e r t a i n l y s e e m s t h a t fi r e m a i n r e a s o n f o r t h a t w a s h e r l a c k o f e n t h u s i a s m f o r m a fi r , b u t t h e r e m a y h a v e b e e n o t h e r r e a s o n s s h e d e c i d e d s h e d i d n ’ t w a n t t o t e a c h , a n d h e r d i s l i k e o f m a t h g a v e h e r a r e a s o n t o d i s q u a l i f y h e r s e l f . R e g a r d l e s s , g i v e n t h e i r d i s l i k e o f m a fi r , t h e f a c t t h a t t h e y d e c i d e d t h e y s h o u l d n ' t t e a c h i t c a n b e c o n s i d e r e d t o a s u c c e s s t o s o m e d e g r e e . T h e i r n e g a t i v e a t t i t u d e t o w a r d m a t h e m a t i c s a n d / o r t h e i r l a c k o f m a t h e m a t i c a l k n o w l e d g e c o u l d h a v e i l l e f f e c t s o n t h e i r s t u d e n t s ’ l e a r n i n g o f m a t h e m a t i c s . T h e c h a n g e — o r l a c k o f c h a n g e — i n t h e s e t w o s t u d e n t s w a s n o t t y p i c a l i n t h e c l a s s . O f fi r e 3 2 o t h e r s t u d e n t s i n m y c l a s s , I c o u l d fi n d o n l y 2 3 o t h e r s t h a t I w o u l d c l a s s i f y a s h a v i n g a t t i t u d e s t h a t s e e m e d a s n e g a t i v e — o r a l m o s t a s n e g a t i v e — a t t h e e n d o f t h e s e m e s t e r a s t h e y d i d a t t h e b e g i n n i n g . H o w e v e r , a s p r e v i o u s l y n o t e d , p a r t o f t h e r e a s o n I c h o s e t h e s e t w o a s f o c u s s t u d e n t s i s b e c a u s e t h e i r a t t i t u d e s s e e m e d p a r t i c u l a r l y n e g a t i v e , a n d I w a s i n t e r e s t e d i n w h a t m i g h t h a p p e n w i t h a n d w h a t I m i g h t l e a r n f r o m ” h a r d " c a s e s . O n e fi r i n g I d i d l e a r n f r o m t h e s e ” h a r d ” c a s e s i s t h a t i t i s n o t n e c e s s a r i l y e a s y t o c h a n g e n e g a t i v e a t t i t u d e s t h a t h a v e d e v e l o p e d d u r i n g 2 2 y e a r s o f l i f e — e s p e c i a l l y i n a o n e - s e m e s t e r c o u r s e . A n o t h e r fi r i n g I l e a r n e d i s t h a t d i s s a t i s f a c t i o n a n d s o m e t i m e s c h o i c e p l a y a r o l e i n c h a n g e . T h e s e s t u d e n t s b o t h s e e m e d c o n t e n t — e v e n h a p p y — w i t h t h e i r a t t i t u d e s t o w a r d m a t h . F e l i c i a o f t e n s a i d o r w r o t e fi r i n g s l i k e , ” I a m h a p p y w i t h m y l o w e r m a t h . ” B r i d g e t e x p r e s s e d t h e i d e a t h a t s h e s a w h e r s e l f a s a n E n g l i s h / s o c i a l s t u d i e s p e r s o n , a n d i t s e e m e d fi r a t l i k i n g m a fi r d i d n ’ t fi t i n w i fi r t h a t i m a g e o f h e r s e l f . T h e i r a t t i t u d e s s e e m e d t o 3 0 1 b e p a r t o f t h e i r i d e n t i t y . T h e y s e e m e d t o m a k e t h e c h o i c e t h a t t h e y w e r e n ’ t g o i n g t o c h a n g e fi r e i r a t t i t u d e s . T h e y d i d n o t s e e m t o f e e l t h a t fi r e y w a n t e d o r n e e d e d t o c h a n g e . F o r b o fi r o f t h e s e s t u d e n t s , h a v i n g n e g a t i v e a t t i t u d e s t o w a r d m a t h s e e m e d t o s e r v e a t l e a s t o n e p u r p o s e f o r t h e m — i t g a v e fi r e m a r e a s o n f o r n o t w a n t i n g t o t e a c h e l e m e n t a r y s c h o o l , a n d i f t h e i r a t t i t u d e s w e r e n o l o n g e r n e g a t i v e , fi r e y w o u l d n e e d t o fi n d a n o fi r e r e x p l a n a t i o n . I t s e e m s t h a t f o r c h a n g e t o o c c u r , t h e r e n e e d s t o b e s o m e l e v e l o f d i s s a t i s f a c t i o n , a n d B r i d g e t a n d F e l i c i a d i d n o t s e e m d i s s a t i s fi e d w i t h t h e i r f e e l i n g s a b o u t m a t h . O n fi r e o t h e r h a n d , m o s t o f fi r e 4 0 1 s t u d e n t s w e r e u n h a p p y w i t h t h e i r a t t i t u d e s t o w a r d m a fi r b e c a u s e fi r e y w e r e c o m m i t t e d t o t e a c h i n g e l e m e n t a r y s c h o o l a n d k n e w t h a t t e a c h i n g m a t h w o u l d b e d i f fi c u l t a n d p a i n f u l u n l e s s fi r e y c h a n g e d fi r e i r a t t i t u d e s . T h e r e f o r e , fi r e y h a d r e a s o n s t o c h a n g e , b u t B r i d g e t a n d F e l i c i a d i d n o t . T h i s n o t i o n a l s o s e e m s t o c o n n e c t t o t h e i d e a t h a t a s h i f t i n p o s i t i o n i n g — f r o m e x p e r i e n c e d s t u d e n t t o p r o s p e c t i v e t e a c h e r — i s p a r t o f w h a t i n fl u e n c e s t h e 4 0 1 s t u d e n t s ’ c h a n g e s i n b o t h c o n c e p t i o n s o f a n d a t t i t u d e s t o w a r d m a t h e m a t i c s a n d t e a c h i n g m a fi r e m a t i c s . 3 0 2 C H A P T E R 7 T H E C A S E S O F T W O O T H E R P R O S P E C T I V E E L E M E N T A R Y S C H O O L T E A C H E R S : C A R O L Y N A N D E L I Z A B E T H I n fi r i s c h a p t e r , I a n a l y z e fi r e c a s e s o f t w o o t h e r p r o s p e c t i v e e l e m e n t a r y s c h o o l t e a c h e r s — C a r o l y n a n d E l i z a b e fi r . B o fi r o f t h e s e s t u d e n t s , l i k e B r i d g e t a n d F e l i c i a , b e g a n t h e s e m e s t e r w i t h n e g a t i v e a t t i t u d e s t o w a r d m a t h a n d t e a c h i n g m a fi r . H o w e v e r , u n l i k e B r i d g e t a n d F e l i c i a , C a r o l y n a n d E l i z a b e fi r e n d t h e s e m e s t e r a n d t h e s t u d y w i fi r m u c h m o r e p o s i t i v e a t t i t u d e s . T h e r e a l s o s e e m s t o b e a c l e a r s h i f t i n p o s i t i o n i n g f o r b o t h C a r o l y n a n d E l i z a b e t h i n t h e i r r e l a t i o n t o m a t h e m a t i c s — a s h i f t f r o m v i e w i n g i t a s a s t u d e n t w o u l d t o v i e w i n g i t a s a t e a c h e r w o u l d . F o r C a r o l y n , t h i s s h i f t s e e m s t o g r a d u a l l y o c c u r o v e r fi r e c o u r s e o f fi r e s e m e s t e r ; f o r E l i z a b e fi r , t h e s h i f t h a p p e n s e a r l y o n a n d s e e m s t o i n fl u e n c e a l l h e r c o n c e p t i o n s o f a n d a t t i t u d e s t o w a r d m a t h e m a t i c s . C a r o l y n : A n I n c r e a s e i n C o n f i d e n c e a n d E n t h u s i a s m f o r M a t h e m a t i c s a n d f o r T e a c h i n g M a t h e m a t i c s C a r o l y n w a s a 3 5 - y e a r - o l d d i v o r c e d m o t h e r o f t w o u p p e r - e l e m e n t a r y - a g e c h i l d r e n . S h e h a d s h o u l d e r - l e n g t h , d i s h w a t e r - b l o n d , p e r m e d h a i r t h a t s h e u s u a l l y w o r e p u l l e d b a c k a t fi r e t o p i n t o a b a r r e t t e w i fi r h e r b a n g s c u r l e d u n d e r . S h e w o r e w i r e - r i m m e d g l a s s e s , w a s s h o r t e r fi r a n a v e r a g e , a n d a s i s n o t u n u s u a l f o r a w o m a n h e r a g e w h o h a d h a d t w o c h i l d r e n , w a s p r o b a b l y c a r r y i n g a f e w m o r e p o u n d s t h a n s h e h a d i n h e r y o u n g e r y e a r s . S h e r e t u r n e d t o c o l l e g e a f t e r s e v e r a l y e a r s a w a y f r o m s c h o o l t o e a r n h e r d e g r e e s o t h a t s h e c o u l d t e a c h . H e r m a j o r w a s e l e m e n t a r y e d u c a t i o n w i t h m i n o r s i n E n g l i s h a n d h i s t o r y . 3 0 3 C a r o l y n ' s e x p e r i e n c e s w i t h m a t h e m a t i c s i n h e r l i f e h a d n o t b e e n v e r y p o s i t i v e , a n d s h e t h e r e f o r e d i d n o t h a v e a v e r y p o s i t i v e a t t i t u d e t o w a r d m a fi r e m a t i c s . S h e t h o u g h t h e r n e g a t i v e f e e l i n g s t o w a r d m a t h s t a r t e d p r o b a b l y a r o u n d fi r i r d g r a d e w h e n i t c a m e t i m e t o m e m o r i z e t h e m u l t i p l i c a t i o n t a b l e s . S h e w r o t e , " I s i m p l y c o u l d n ' t d o i t . T h i s w a s a t e r r i b l e e x p e r i e n c e f o r m e . I f e l t r e a l l y s t u p i d a n d e m b a r r a s s e d . " A n o t h e r r e l a t e d n e g a t i v e e x p e r i e n c e f r o m e l e m e n t a r y s c h o o l fi r a t s t a n d s o u t i n h e r m i n d , s h e d e s c r i b e d fi r i s w a y : " I r e m e m b e r a f e w y e a r s l a t e r w h e n m y t e a c h e r s e n t m e t o fi r e l o w e r g r a d e t o h e l p y o u n g e r s t u d e n t s l e a r n t h e i r t i m e s t a b l e s . I t m u s t h a v e b e e n a n a t t e m p t a t p e e r t e a c h i n g , t r y i n g t o h e l p m e b e c o m e m o r e c o n fi d e n t i n m y o w n s k i l l s . H o w e v e r , s o m e ' r e a l i z e d I d i d n ' t k n o w m y t i m e s t a b l e s v w e l l , a n d I g o t t e a s e d a b o u t i t . M y s i s t e r w a s i n t h i s c l a s s , a n d t o ' d a y , s h e r e m e m b e r s t o o . " H e r t r a i n i n g i n m a t h e m a t i c s w a s a l s o q u i t e l i m i t e d . I n h i g h s c h o o l s h e h a d o n e c o u r s e i n a l g e b r a a n d o n e i n g e o m e t r y . S h e c l a i m e d t o h a v e n e v e r b e e n g o o d a t m a fi r a n d t o h a v e b e e n a n a v e r a g e s t u d e n t i n t h o s e c l a s s e s . A t M i c h i g a n S t a t e U n i v e r s i t y , s h e t o o k M a t h 1 8 2 5 , w h i c h i s i n t e r m e d i a t e a l g e b r a , a n d C o l l e g e A l g e b r a . S i n c e i t h a d b e e n s e v e r a l y e a r s s i n c e s h e h a d h a d a m a t h c l a s s , s h e r e p o r t e d fi n d i n g t h e fi r s t c o u r s e e s p e c i a l l y d i f fi c u l t . A b o u t fi r o s e c l a s s e s s h e s a i d , " W o ! U h , s i n c e i t h a d b e e n s u c h a l o n g t i m e s i n c e I h a d h a d a n y m a t h , a n d M a t h 1 8 2 5 w a s s u p p o s e d t o b e l i k e a r e v i e w f o r I ' m a s s u m i n g l i k e h i g h s c h o o l k i d s w h o j u s t n e e d e d a l i t t l e b i t m o r e b e f o r e t h e y w e n t o n , b u t t o m e i t w a s l i k e a l m o s t a l l n e w s t u f f , a n d i t w e n t r e a l l y f a s t a s a r e v i e w . I w a s j u s t l i k e b l o w n a w a y , a n d I b a r e l y p a s s e d fi r e c l a s s . A n d , t h e n w h e n I w e n t o n t o 1 0 3 , o f c o u r s e , i t w a s a l o t o f fi r e s a m e s t u f f w e d i d i n 1 8 2 5 , a n d I d i d a l o t b e t t e r , b e c a u s e t h e n i t w a s a l i t t l e b i t o f r e v i e w f o r m e . T h e y w e r e h a r d . I m e a n , i t ' s t o u g h s t u f f . " S h e d i d n ' t e n j o y fi r o s e c l a s s e s b e c a u s e , a s s h e s a i d , " I d i d n ' t s e e a n y p o i n t i n t h e m , w h y I w a s t a k i n g i t , w h y I w a s l e a r n i n g i t , e v e r y fi r i n g y o u u s e i t f o r . " C a r o l y n h a d n o t t a k e n t h e M a t h 2 0 1 a n d 2 0 2 c o u r s e s w h i c h w e r e r e q u i r e d f o r e l e m e n t a r y e d u c a t i o n m a j o r s b e f o r e s h e t o o k T E 4 0 1 . _ 3 0 4 C a r o l y n ' s C o n c e p t i o n s o f M a t h e m a t i c s T h e d a t a c o l l e c t e d f r o m C a r o l y n t h r o u g h o u t t h e s e m e s t e r a n d i n h e r fi n a l i n t e r v i e w a s e m e s t e r a f t e r t h e c o u r s e e n d e d p r o v i d e s o m e g l i m p s e s i n t o t h e c o n c e p t i o n s t h a t s h e h a d a b o u t m a t h e m a t i c s a n d h o w a n d w h e t h e r t h e s e c o n c e p t i o n s c h a n g e d a t a l l d u r i n g t h a t p e r i o d . C a r o l y n ' s b e g i n n i n g a n d f i n a l m a t h c o n c e p t m a p s a r e s h o w n h e r e ( S e e F i g u r e s 4 6 a n d 4 7 ) . T h e y w i l l b e r e f e r r e d t o i n v a r i o u s s e c t i o n s o f t h e a n a l y s i s . \ m e c r p r m t g s i g n e r s : B e g i n n i n g M a t h C o n c e p t M a p o f C a r o l y n N a t u r e o f M a t h e m a t i c s T h e d a t a s o u r c e s o f t h i s s t u d y p r o v i d e d i n f o r m a t i o n a b o u t C a r o l y n ' s c o n c e p t i o n s o f t h e n a t u r e o f m a t h e m a t i c s t h r o u g h o u t t h e t i m e o f t h e s t u d y . S p e c i fi c a r e a s o f t h e n a t u r e o f m a t h e m a t i c s w i l l b e d i s c u s s e d i n t h e f o l l o w i n g s e c t i o n s . F i g u r e ” : P i n a l M a t h C o n c e p t M a p o f C a r o l y n C o n t e n t . T h e d a t a s o u r c e s f o r C a r o l y n d i d n ' t p r o v i d e t o o m u c h i n f o r m a t i o n a b o u t w h a t s h e c o n s i d e r e d t h e c o n t e n t o f m a t h e m a t i c s . A t t h e b e g i n n i n g o f t h e s e m e s t e r , h e r a t t e n t i o n t o c o n t e n t w a s v e r y m i n i m a l , a n d a t t h e e n d o f fi r e s e m e s t e r i t w a s o n l y s l i g h t l y g r e a t e r . I n h e r b e g i n n i n g " W h a t I s M a t h e m a t i c s ? " j o u r n a l e n t r y , s h e d i d w r i t e , " A d d i n g , s u b t r a c t i n g , s o m e t i m e s m u l t i p l i c a t i o n a r e t h e c o n c e p t s u s e d m o s t o f t e n . " S h e a l s o m e n t i o n e d a l g e b r a — o n l y t o w r i t e t h a t t o h e r i t w a s " n o t m a t h " s i n c e i t w a s n o t s o m e t h i n g t h a t s h e u s e d p e r s o n a l l y . ( S h e w a s fi r e o n l y s t u d e n t w h o s e e m e d t o h a v e t h i s ” d e fi n i t i o n ” o f m a fi r . ) H e r b e g i n n i n g c o n c e p t m a p i n c l u d e d n o a r e a s o f c o n t e n t ( S e e F i g u r e 4 6 o n p a g e 3 0 5 ) . A l t h o u g h t h e r e w a s a l i t t l e m o r e a b o u t C a r o l y n ' s c o n c e p t i o n s o f fi r e c o n t e n t o f m a t h e m a t i c s i n t h e d a t a s h e p r o v i d e d a t t h e e n d o f t h e s e m e s t e r , t h e r e s t i l l w a s n o t a l o t o f i n f o r m a t i o n . S h e d i d n ' t i n c l u d e a n y s p e c i fi c a r e a s o f c o n t e n t i n h e r fi n a l " W h a t I s M a t h e m a t i c s ? " j o u r n a l e n t r y . L i k e w i s e , w h e n s h e w a s a s k e d 3 0 6 t o d e fi n e o r d e s c r i b e m a t h e m a t i c s i n h e r fi n a l i n t e r v i e w , a s e m e s t e r a f t e r t h e c o u r s e e n d e d , s h e t a l k e d a b o u t i t a s b e i n g s o m e t h i n g t h a t w a s u s e f u l i n l i f e f o r b a l a n c i n g h e r c h e c k b o o k a n d fi r i n g s l i k e t h a t . H o w e v e r , i n h e r fi n a l c o n c e p t m a p , C a r o l y n i n c l u d e d s o m e s p e c i fi c a r e a s o f c o n t e n t : t h e b a s i c o p e r a t i o n s , m e a s u r i n g ( w i fi r s u b c a t e g o r i e s o f v o l u m e , w e i g h t , d i m e n s i o n s , a n d l e n g t h ) , p r o b a b i l i t y , a n d s t a t i s t i c s ( S e e F i g u r e 4 7 o n p a g e 3 0 6 ) . P r o c e s s e s . C a r o l y n s e e m e d t o b e t h i n k i n g m o r e a b o u t t h e p r o c e s s e s o f m a t h e m a t i c s a t t h e e n d o f t h e s e m e s t e r t h a n s h e w a s a t t h e b e g i n n i n g . W h i l e s h e i n c l u d e d n o fi r i n g a b o u t p r o c e s s e s i n h e r b e g i n n i n g c o n c e p t m a p , i n h e r fi n a l c o n c e p t m a p , s h e i n c l u d e d fi r e p r o c e s s e s o f p r o b l e m s o l v i n g , d e c i s i o n m a k i n g , r e a s o n i n g , c o m p a r i n g , a n a l y z i n g , a n d m a k i n g s e n s e o f i n f o r m a t i o n ( S e e F i g u r e 4 6 o n p a g e 3 0 5 a n d F i g u r e 4 7 o n p a g e 3 0 6 ) . T h i s s e e m e d t o b e a n i m p o r t a n t c h a n g e . L i k e w i s e , a l fi r o u g h t h e r e i s n o fi r i n g a b o u t p r o c e s s e s i n h e r b e g i n n i n g " W h a t I s M a t h e m a t i c s ? " j o u r n a l e n t r y , h e r e n t i r e fi n a l " W h a t I s M a t h e m a t i c s ? " j o u r n a l e n t r y s e e m s t o f o c u s o n p r o c e s s e s . T h a t c o m p l e t e j o u r n a l e n t r y f o l l o w s : " M a fi r i s . a l o g i c a l w a y t o fi r i n k a b o u t l i f e . I t i s r e a s o n i n g , t h i n k i n g , c o m p a r i n g , a n d d e c i s i o n m a k i n g . M a t h i s p r o b l e m s o l v i n g , a t o o l t o u s e i n d a i l y l i f e . T h a t r e a l l y s a y s i t a l l . M a fi r i s r e a s o n i n g a b o u t i n f o r m a t i o n a n d m a k i n g s e n s e o f i t . I t i s c o m p a r i n g t h i n g s a n d m a k i n g g o o d d e c i s i o n s b e c a u s e o f i t . M a fi r h e l p s u s s o l v e p r o b l e m s w e e n c o u n t e r i n l i f e . I t i s d e fi n i t e l y a t o o l w e u s e t o h e l p u s r e a s o n a n d t h i n k a n d s o l v e p r o b l e m s . M a t h i s m o r e t h a n a s e r i e s o f c o m p u t a t i o n s . I t i s a w a y t o o r g a n i z e i n f o r m a t i o n a n d m a k e d e c i s i o n s t h a t w i l l b e n e fi t u s . " T h e r e w a s e v i d e n c e , h o w e v e r , f r o m t h e b e g i n n i n g o f fi r e s e m e s t e r t h a t C a r o l y n v a l u e d t h e p r o c e s s e s o f m a t h e m a t i c s m o r e t h a n t h e i r o u t c o m e . F o r i n s t a n c e , s h e w r o t e i n h e r b e g i n n i n g " R e fl e c t i o n o f M a t h e m a t i c s E x p e r i e n c e s " j o u r n a l e n t r y , " M y d a u g h t e r h a s fi r i s m e m o r i z a t i o n d i f fi c u l t y a l s o . I fi g u r e a s l o n g a s s h e c a n fi g u r e o u t 9 x 8 s o m e h o w , t h e n s h e ' s o k a y . S u r e s h e m a y n o t b e v e r y s p e e d y , b u t a t l e a s t s h e u n d e r s t a n d s h o w t o g e t fi r e a n s w e r . " 3 0 7 O n e m o r e p i e c e o f e v i d e n c e s u p p o r t i n g t h e i d e a fi r a t C a r o l y n v a l u e d fi r e p r o c e s s e s o f m a t h e m a t i c s e v e n f r o m t h e b e g i n n i n g i s a n i t e m f r o m h e r M a t h e m a t i c s I n v e n t o r y . F o r i t e m 2 3 , " S t u d e n t s ' r e a s o n i n g i s m o r e i m p o r t a n t fi r a n i f t h e y a r e a b l e t o g e t t h e a n s w e r t h a t m a t c h e s fi r e a n s w e r k e y , " C a r o l y n p u t a fi v e , i n d i c a t i n g i t w a s v e r y m u c h l i k e s o m e fi r i n g s h e b e l i e v e d , e a c h t i m e s h e r e s p o n d e d t o t h e i n v e n t o r y — o n t h e f i r s t d a y o f c l a s s , d u r i n g h e r m i d - s e m e s t e r i n t e r v i e w , a n d o n t h e l a s t d a y o f c l a s s . O n fi r e fi r s t d a y o f c l a s s , fi r i s w a s o n e o f o n l y t w o i t e m s fi r a t s h e m a r k e d fi v e o n ; s o , i t s e e m s t o b e a n i d e a fi r a t s h e e s p e c i a l l y a g r e e d w i t h a n d s o m e fi r i n g t h a t w a s q u i t e i m p o r t a n t t o h o w s h e t h o u g h t a b o u t m a t h . T h e r e w a s a l s o s o m e e v i d e n c e fi r a t C a r o l y n f e l t s o m e c o n fi d e n c e i n h e r a b i l i t y t o u s e m a fi r e m a t i c a l p r o c e s s e s . T h r e e w e e k s i n t o t h e s e m e s t e r , t h e s t u d e n t s w e r e a s k e d t o w r i t e a j o u r n a l e n t r y i n w h i c h fi r e y l o o k e d a t fi r e fi v e g o a l s t h a t t h e N a t i o n a l C o u n c i l o f T e a c h e r s o f M a t h e m a t i c s h a d i d e n t i fi e d f o r s t u d e n t s i n i t s 1 9 8 9 C u r r i c u l u m a n d E v a l u a t i o n S t a n d a r d s f o r S c h o o l M a t h e m a t i c s a n d a s k e d t o t h i n k a n d w r i t e a b o u t w h e fi r e r t h e y p o s s e s s e d t h o s e c h a r a c t e r i s t i c s p e r s o n a l l y a n d i f t h e y t h o u g h t i t w a s i m p o r t a n t f o r t e a c h e r s t o p o s s e s s t h e m i n o r d e r t o h e l p t h e i r s t u d e n t s a t t a i n t h e m . " I f e e l I c a n p r o b l e m s o l v e a n d r e a s o n t h r o u g h a s i t u a t i o n m a fi r e m a t i c a l l y . A s a m a t t e r o f f a c t , i n m y a l g e b r a c l a s s , w e w e r e g i v e n a s t o r y p r o b l e m a b o u t t i m e a n d d i s t a n c e . W e w e r e s u p p o s e d t o f o r m a n a l g e b r a i c e q u a t i o n t o s o l v e fi r i s . N o t m e . I r e a s o n e d i t o u t , fi r e l o n g w a y , b u t I u n d e r s t o o d i t fi r a t w a y . " R e p r e s e n t a t i o n s . T h e o n l y i n f o r m a t i o n r e l a t e d t o C a r o l y n ' s c o n c e p t i o n s o f h o w m a fi r e m a t i c s i s r e p r e s e n t e d w a s i n h e r fi n a l c o n c e p t m a p w h e r e u n d e r h e r " B a s i c O p e r a t i o n s " h e a d i n g , s h e w r o t e t h e s y r r r b o l s f o r t h e b a s i c o p e r a t i o n s , fi r e f r a c t i o n 1 / 2 , a n d fi r e e q u a t i o n x + 7 = y . C h a r a c t e r i s t i c s . C a r o l y n d i d n ' t o f f e r a l o t o f i n f o r m a t i o n a b o u t h e r c o n c e p t i o n s r e l a t i n g t o fi r e c h a r a c t e r i s t i c s o f m a fi r e m a t i c s i n fi r e o p e n - e n d e d d a t a 3 0 8 s o u r c e s , b u t h e r r e s p o n s e s t o fi r e i t e m s r e l a t e d t o c h a r a c t e r i s t i c s o f m a fi r e m a t i c s i n fi r e M a t h e m a t i c s I n v e n t o r y p r o v i d e d s o m e i n t e r e s t i n g i n f o r m a t i o n a b o u t h e r c o n c e p t i o n s a n d h o w s h e f e l t t h e y w e r e c h a n g i n g . F o r e a c h o f fi r e t h r e e i t e m s i n fi r i s c a t e g o r y , C a r o l y n ' s b e l i e f s w e r e m o d i fi e d a s fi r e s e m e s t e r p r o g r e s s e d ( S e e T a b l e 2 4 ) . T a b l e 2 4 : I t e m s R e l a t i n g t o C h a r a c t e r i s t i c s o f M a t h e m a t i c s f r o m t h e M a t h e m a t i c s I n v e n t o r y w i t h C a r o l y n ’ 3 R e s p o n s e s 2 1 1 . M a fi r e m a t i c s i s s o m e fi r i n g fi r a t n o t e v e r y o n e i s a b l e t o 3 2 1 _ a n d e r s t a n d . , l 7 . M a fi r e m a t i c s i s s o m e fi r i n g a t w h i c h e v e r y o n e c a n b e 3 4 5 s u c c e s s f u l . F o r i t e m n u m b e r 4 , " I fi r i n k o f m a fi r e m a t i c s a s a s e t o f i s o l a t e d f a c t s fi r a t n e e d t o b e m e m o r i z e d , " h e r fi r s t r e s p o n s e w a s a 4 i n d i c a t i n g t h a t i t w a s c l o s e t o v e r y m u c h l i k e s o m e fi r i n g s h e b e l i e v e d . W h e n a s k e d a b o u t fi r i s i t e m i n fi r e m i d - s e m e s t e r i n t e r v i e w , s h e s a i d , ' T u s e d t o r e a l l y fi r i n k fi r a t . T h a t ' s c h a n g i n g . S o , I g u e s s i t ' s c o m i n g d o w n t o l i k e 2 . " W h e n a s k e d w h a t w a s h a p p e n i n g h e r e , s h e r e p l i e d " U m , j u s t l e a r n i n g fi r a t y o u d o n ' t a l w a y s h a v e t o r e l y o n f a c t s fi r a t y o u h a v e t o m e m o r i z e . I m e a n e v e n l i k e I w a s t e l l i n y o u i n a l g e b r a y o u h a v e t o m e m o r i z e f o r m u l a s a n d y o u a v e t o m e m o r i z e fi r i s . A n d , s o i t w a s e v e n t r u e i n a l g e b r a f o r m e , b u t I g u e s s w h a t I ' m l e a r n i n g r s fi r a t i t d o e s n ' t h a v e t o b e fi r a t w a y . I t c a n b e d i f f e r e n t . Y o u c a n r e l y o n o t h e r fi r i n g s r a t h e r fi r a n m e m o r i z a t i o n . " H e r r e s p o n s e a t t h e e n d o f t h e s e m e s t e r t o i t e m n u m b e r 4 w a s a 1 i n d i c a t i n g fi r a t i t w a s n o t s o m e fi r i n g s h e b e l i e v e d a t a l l . W h e n r e s p o n d i n g t o i t e m n u m b e r 1 1 , " M a fi r e m a t i c s i s s o m e fi r i n g t h a t n o t e v e r y o n e i s a b l e t o u n d e r s t a n d , " C a r o l y n d i s a g r e e d w i t h i t m o r e e a c h t i m e s h e r e s p o n d e d t o i t . I n h e r m i d - s e m e s t e r i n t e r v i e w , s h e t a l k e d a b o u t fi r i s i t e m fi r i s w a y , " I u s e d t o b e l i e v e t h a t v e r y s t r o n g l y . I p r o b a b l y p u t a 5 , b u t n o w I ' m d r i n k i n g fi r a t I r e a l l y d o n ' t b e l i e v e fi r a t . S o , I ' m p r o b a b l y g o i n g t o p u t a 2 . " W h e n s h e w a s t o l d s h e p u t a 3 fi r e fi r s t t i m e , s h e s a i d , " I fi r o u g h t I w a s w a y u p fi r e r e . " A n d , w h e n a s k e d w h a t w a s c h a n g i n g f o r h e r , s h e s a i d , " W e l l , b e c a u s e I fi r i n k t h a t e v e r y b o d y p r o b a b l y c a n u n d e r s t a n d i t . M a y b e a d i f f e r e n t w a y , a n d m a y b e fi r e y n e e d t o h a v e s o m e d i f f e r e n t e x p e r i e n c e s a n d b e t a u h t a l i t fi e b i t d i f f e r e n t fi r a n t h e i r n e i g h b o r d o e s . S o , i f fi r e y g e t e r i g h t fi r i n g f o r fi r a t c h i l d , t h e y c a n u n d e r s t a n d . " S h e d i s a g r e e d w i fi r t h a t s t a t e m e n t e v e n m o r e s t r o n g l y w h e n s h e r e s p o n d e d t o fi r e i n v e n t o r y a t fi r e e n d o f fi r e s e m e s t e r . F o r i t e m n u m b e r 1 7 , " M a fi r e m a t i c s i s s o m e a n a t w h i c h e v e r y o n e c a n b e s u c c e s s f u l , " w h i c h i s r e l a t e d i n a n i n v e r s e w a y t o i t e m n u m b e r 1 1 , C a r o l y n ' s r e s p o n s e i n c r e a s e d e a c h t i m e s h e r e s p o n d e d t o fi r e i n v e n t o r y . I n h e r m i d - s e n r e s t e r i n t e r v i e w , s h e e x p l a i n e d w h a t s h e w a s fi r i n k i n g a b o u t r e g a r d i n g fi r i s q u e s t i o n fi r i s w a y : " B e c a u s e s u c c e s s f u l i s r e a c h i n g a l e v e l o f u n d e r s t a n d i n g . S u c c e s s i s n ' t a l w a y s g e t t i n g a r i g h t a n s w e r . M a y b e t h a t ' s w h y t h a t ' s c h a n g e d a l i t t l e b i t , b e c a u s e I t o o k s u c c e s s f u l m o r e a s a l w a y s g e t t i n g t h e r i g h t a n s w e r — k n o w i n g fi r e r i g h t a n s w e r . N o w , I l o o k a t i t m o r e a s u n d e r s t a n d i n g — u n d e r s t a n d i n g h o w t o g e t t h e r e , e v e n i f y o u d o n ' t g e t t o fi r e ‘ r i g h t s p o t . " W h e n a s k e d w h a t w a s m a k i n g fi r e d i f f e r e n c e i n t h e d e fi n i fi o n f o r h e r , s h e r e p l i e d ' T fi r i n k w e t a l k a l o t a b o u t p r o c e s s — fi r e t h i n k i n g a b o u t m a fi r — v e r s u s fi r e r i g h t a n s w e r s a l l t h e t i m e . A n d , I fi r i n k I r e l a t e d b e f o r e , m y d a u g h t e r n o t k n o w i n g a l l fi r e m u l t i p l i c a t i o n f a c t s , b u t s h e c a n fi g u r e i t . S o , I s e e m o r e v a l u e i n b e i n g a b l e t o fi g u r e s o m e fi r i n g o u t a n d a t l e a s t k n o w i n g h o w y o u ' r e s u p p o s e d t o fi g u r e s o m e fi r i n g o u t a n d a t l e a s t k n o w i n g h o w y o u ' r e s u p p o s e d t o fi g u r e i t o u t t h a n j u s t b e i n g a b l e t o g i v e fi r e r i g h t a n s w e r . " 3 1 0 U s e f u l n e s s o f M a t h e m a t i c s G e n e r a l U s e f u l n e s s o f M a t h e m a t i c s . A s a l l u d e d t o e a r l i e r , fi r e u s e f u l n e s s o f m a t h e m a t i c s w a s s o m e a n t h a t w a s a n i m p o r t a n t p a r t o f C a r o l y n ' s c o n c e p t i o n o f m a fi r e m a t i c s . I n h e r b e g i n n i n g " W h a t I s M a fi r e m a t i c s ? " j o u r n a l e n t r y , s h e w r o t e , " M a fi r i s k n o w l e d g e fi r a t p e o p l e u s e e v e r y d a y o f fi r e i r l i f e . . . T h e s e e v e r y d a y u s e s o f m a fi r a r e w h a t I c o n s i d e r t o b e b a s i c m a fi r . . . I n m y o p i n i o n , m a t h e m a t i c s i s a u s e f u l t o o l w h i c h h e l p s u s t o a c c o m p l i s h a s p e d fi c t a s k . " I n f a c t , a t fi r e b e g i n n i n g o f t h e s e m e s t e r , s h e o n l y c o n s i d e r e d w h a t w a s p e r s o n a l l y u s e f u l t o h e r a s " m a fi r . " A m o n g fi r e s u b j e c t s o f fi r i s s t u d y , fi r i s w a s a n i d e a fi r a t w a s u n i q u e t o h e r . S h e w r o t e , " M y o p i n i o n c h a n g e s w h e n w e t a l k a b o u t fi r i n g s s u c h a s a l e b r a . T o m e fi r i s i s n o t m a fi r . I t i s n o t u s e f u l t o m e i n m y e v e r y d a y fi f e o r e v e n u s e f u l o n c e a w e e k o r o n c e a m o n fi r . . . H i g h e r m a fi r i s s i m p l y n o t r e l e v a n t t o m e i n fi r e r e a l w o r l d . " I n C a r o l y n ' s fi n a l i n t e r v i e w a s e m e s t e r a f t e r fi r e c o u r s e , s h e h a d h e l d o n t o fi r i s b e l i e f , b u t h a d m o d i fi e d i t a l i t t l e t o m a k e r o o m f o r " t w o d i f f e r e n t k i n d s o f m a fi r . " W h e n a s k e d h o w s h e w o u l d d e fi n e o r d e s c r i b e m a fi r , s h e r e s p o n d e d , " I s t i l l fi r i n k o f t w o d i f f e r e n t k i n d s o f m a fi r , y o u k n o w . I fi r i n k o f t h e k i n d o f m a t h t h a t y o u u s e a l l t h e t i m e - t o b a l a n c e y o u r c h e c k b o o k , t o fi g u r e o u t h o w m u c h m o n e y y o u h a v e w h e n y o u g o t o fi r e s t o r e — y o u k n o w , m a fi r l i k e fi r a t a s a u s e f u l p a r t o f e v e r y d a y l i f e . A n d , t h e n t h e r e ' s fi r i s m a fi r fi r a t I d o n ' t k n o w w h a t i t ' s f o r o r w h a t I ' m s u p p o s e d t o u s e i t f o r . Y o u k n o w , t h e a l g e b r a . W h a t a m I s u p p o s e d t o d o w i fi r fi r a t b e s i d e s f o r g e t i t ? Y o u k n o w ? A n d , s o , I k i n d o f h a v e t w o d i f f e r e n t w a y s t o l o o k a t m a fi r . " W h e n r e s p o n d i n g t o t h e i t e m s i n t h e M a fi r e m a t i e s I n v e n t o r y r e l a t i n g t o u s e f u l n e s s o f m a fi r e m a t i c s , C a r o l y n c o n s i s t e n t l y i n d i c a t e d a s t r o n g b e l i e f fi r a t m a fi r e m a t i c s w a s u s e f u l i n l i f e e a c h fi m e s h e r e s p o n d e d ( S e e T a b l e 2 5 ) . F o r i t e m fi v e , " I fi r i n k m a fi r e m a t i c s i s s o m e fi r i n g v e r y m u c h r e l a t e d t o fi r i s w o r l d , " C a r o l y n r e s p o n d e d w i t h f o u r fi r r o u g h o u t fi r e s e m e s t e r , i n d i c a t i n g s t r o n g a g r e e m e n t w i fi r t h e s t a t e m e n t . F o r i t e m fi r r e e , ' T fi r i n k m a fi r e m a t i c s i s a n 3 1 1 T a b l e 2 5 : I t e m s R e l a t i n g t o l l s e fi d n e s s o f M a t h e m a t i c s f r o m t h e M a t h e m a t i c s I n v e n t o r y w i t h C a r o l y n ' s R e s p o n s e s 3 . 1 - ' - . t i c s i s a n ' i m p o r t a n t s u b j e c t - ' 4 5 _ i f n l i f e . 5 . I fi r i n k m a fi r e r n a t i c s i s s o m e t h i n g v e r y m u c h r e l a t e d t o 4 4 4 fi r i s w o r l d . 1 3 . : T h e o n l y p e o p l e w h o r e a l l n e e d t o u n d e r s t a n d m a fi r 2 — _ 2 1 a r e fi r o s e w h o c l r o o s e a c a r e e r w ' c h r g u i r e s m a fi r s k i l l s . i m p o r t a n t s u b j e c t fi r a t i s u s e f u l i n l i f e , " C a r o l y n r e s p o n d e d f o u r o n fi r e fi r s t d a y o f c l a s s a n d i n h e r m i d - s e m e s t e r i n t e r v i e w , i n d i c a t i n g i t w a s c l o s e t o s o m e fi r i n g v e r y m u c h l i k e h e r , a n d o n fi r e l a s t d a y o f c l a s s s h e m o v e d u p t o fi v e . S h e a l s o s e e m e d t o h a v e a s t r o n g b e l i e f fi r a t m a fi r e m a t i c s w a s s o m e fi r i n g fi r a t i s u s e f u l f o r e v e r y o n e t o u n d e r s t a n d — n o t j u s t t h o s e w h o s e c a r e e r r e q u i r e d i t . T h i s c a n b e s e e n i n h e r r e s p o n s e s t o i t e m 1 3 , " T h e o n l y p e o p l e w h o r e a l l y n e e d t o u n d e r s t a n d m a fi r a r e fi r o s e w h o c h o o s e a c a r e e r w h i c h r e q u i r e s m a fi r s k i l l s . " T h e fi r s t t w o t i m e s s h e r e s p o n d e d t o fi r a t i t e m , s h e r e s p o n d e d w i fi r a t w o , a n d o n t h e l a s t d a y o f c l a s s , s h e r e s p o n d e d w i t h a o n e — n o t a t a l l l i k e h e r . C a r o l y n ' s fi n a l r e s p o n s e s t o i t e m s fi r r e e a n d 1 3 s u g g e s t fi r a t h e r a l r e a d y - s t r o n g b e l i e f s w e r e s t r e n g t h e n e d d u r i n g fi r e c o u r s e o f fi r e s e m e s t e r . P e r s o n a l U t i l i t y . A s n o t e d p r e v i o u s l y , p e r s o n a l u t i l i t y o f m a t h e m a t i c s w a s s o m e fi r i n g v e r y m u c h a p a r t o f C a r o l y n ' s c o n c e p t i o n s o f m a fi r e m a t i c s . T h i s 1 w a s fi r e a r e a o f u s e f u l n e s s o f m a t h e m a t i c s t h a t d o m i n a t e d h e r i d e a s o f h o w m a fi r i s u s e f u l i n fi r i s w o r l d . A n e x a m p l e o f h o w m a fi r e m a t i c s w a s p e r s o n a l l y u s e f u l t o h e r w a s i n h e r b e g i n n i n g " W h a t I s M a t h e m a t i c s ? " j o u r n a l e n fi ' y w h e r e s h e w r o t e , " W e u s e i t t o h e l p u s k n o w h o w m a n y r r r i n u t e s b e f o r e w e h a v e t o l e a v e f o r s c h o o l . W e n e e d t o k n o w i f w e h a v e e n o u g h m o n e y f o r l u n c h a n d p a r k i n g . W e n e e d t o k n o w i f w e ' v e t h e c l e r k a $ 5 , w a s i t e n o u g h t o c o v e r fi r e c o s t a n d h o w m u c h g e d o w e g e t b a c k . " A n o fi r e r e x a m p l e w a s i n h e r fi n a l i n t e r v i e w , a s e m e s t e r a f t e r t h e c o u r s e e n d e d , w h e n s h e w a s a s k e d w h a t i t m e a n s t o d o m a fi r , a n d s h e r e s p o n d e d , 3 1 2 " D o i n g m a fi r i s fi r i n k i n g a b o u t fi r i n g s l i k e , T v e g o t $ 2 0 i n m y p u r s e , i s fi r a t g o i n g t o b e e n o u g h t o g e t fi r e s t u f f I n e e d a t fi r e s t o r e ? ‘ Y o u l a r ‘ r a o w , fi r a t ' s m a fi r . A n d , b u d g e t i n g y o u r fi n a n c e s a n d t h i n g s l i k e t " T h e r e d i d n ' t s e e m t o b e a l o t o f c h a n g e i n C a r o l y n ' s c o n c e p t i o n o f fi r e p e r s o n a l u t i l i t y o f m a fi r e m a t i c s d u r i n g t h e c o u r s e o f fi r i s s t u d y . S h e f e l t l i k e a t l e a s t fi r e b a s i c o p e r a t i o n s o f m a fi r e m a t i c s w e r e s o m e fi r i n g fi r a t w e r e v e r y u s e f u l t o h e r p e r s o n a l l y a t fi r e b e g i n n i n g o f fi r e s e m e s t e r , a n d s h e s t i l l h a d fi r a t v i e w i n h e r fi n a l i n t e r v i e w . I t w a s a l w a y s a d o m i n a n t p a r t o f h e r c o n c e p t i o n o f m a fi r e m a t i c s . A s s h e w r o t e i n h e r b e g i n n i n g " W h a t I s M a fi r e m a t i c s ? " j o u r n a l e n t r y , " M y o p i n i o n o f w h a t m a fi r e m a t i c s i s : I t i s s o m e fi r i n g t h a t h e l p s u s t o c o n d u c t t r a n s a c t i o n s o r s i m p l e c a l c u l a t i o n s i n o u r e v e r y d a y l i f e . " A g a i n , i t s h o u l d b e n o t e d , h o w e v e r , fi r a t i n r e l a t i o n t o t h e p e r s o n a l u t i l i t y o f m a fi r e m a t i c s , C a r o l y n s a w m a t h e m a t i c s a s s o m e fi r i n g b e g i n n i n g a n d e n d i n g w i t h b a s i c a r i fi r m e t i c . I n d i r e c t P e r s o n a l U t i l i t y a n d U t i l i t y f o r O t h e r s . I n a l l o f h e r w r i t i n g s a n d i n t e r v i e w s , C a r o l y n n e v e r s p e c i fi c a l l y a d d r e s s e d h o w m a t h e m a t i c s w a s u s e d i n t h e w o r l d i n a w a y fi r a t i r r d i r e c fi y a f f e c t e d h e r . S h e a l s o d i d n o t t a l k o r w r i t e m u c h a b o u t h o w m a fi r w a s u s e f u l f o r o fi r e r s . T h e o n l y fi r i n g r e l a t e d t o t h a t i d e a a n d fi r a t s h o w e d s o m e a w a r e n e s s fi r a t o t h e r p e o p l e w e r e u s i n g m a t h e m a t i c s fi r a t s h e h e r s e l f w a s n ' t , w a s i n h e r fi n a l i n t e r v i e w w h e n s h e w a s a s k e d i f w h a t i t m e a n s t o d o m a t h d e p e n d s o n w h o ' s d o i n g i t o r w h e r e i t ' s d o n e ( l i k e a m a t h e m a t i c i a n v s . a s t u d e n t v s . a h o m e m a k e r o r i n a m a fi r e m a t i c s d e p a r t m e n t o f a u n i v e r s i t y v s . i n a s c h o o l c l a s s r o o m v s . o u t s i d e o f s c h o o l ) . S h e r e s p o n d e d , " W e l l , i t ' s a l l m a fi r . I t ' s j u s t d i f f e r e n t k i n d s o f m a fi r , d i f f e r e n t u s e s f o r m a fi r . Y o u k n o w , w h e r e t h e e n g i n e e r i s w h a t e v e r u s i n g m a t h a l l t h e t i m e i n e q u a t i o n s , fi r a t ' s j u s t h i s k i n d o f m a t h . I g u e s s a n e v e r y d a y p e r s o n u s e s fi r e c o m m o n s e n s e k i n d o f m a t h fi r a t w e u s e e v e r y d a y . A n d , l i k e I s a i d , I ' m s u r e t h e r e a r e p r o f e s s i o n s o u t t h e r e w h e r e fi r e y u s e h i g h e r m a fi r , a n d y o u r e a l l y h a v e t o fi r i n k a b o u t a l l 3 1 3 fi r o s e , y o u k n o w , e q u a t i o n s a n d s t u f f l i k e fi r a t , b u t I fi r i n k i t ' s a l l m a fi r — d o i n g m a fi r , b u t i t ' s j u s t a d i f f e r e n t t y p e . " T h i s s t a t e m e n t s e e m s t o c o n t r a d i c t w h a t s h e s a y s e a r l i e r a b o u t h e r d e fi n i n g m a fi r a s o n l y fi r e m a t h s h e u s e s . O b v i o u s l y , s h e r e a l i z e d t h a t t h e r e i s a ” h i g h e r m a fi r ” fi r a t o fi r e r p e o p l e u s e , b u t a p p a r e n fi y , f o r h e r o w n p u r p o s e s , s h e o n l y c o n s i d e r e d fi r e m a fi r t h a t s h e u s e d a s ” r e a l m a fi r ” — - p e r h a p s i t w a s a d e fi n i t i o n o f m a fi r i n h e r w o r l d . L e a r n i n g a n d T e a c h i n g M a t h e m a t i c s T h i s s t u d y p r o v i d e d a l o t o f i n s i g h t i n t o C a r o l y n ' s c o n c e p t i o n s o f h o w m a t h e m a t i c s i s l e a r n e d a n d h o w i t s h o u l d b e t a u g h t . S p e c i fi c e x a m p l e s w i l l b e d i s c u s s e d i n fi r e f o l l o w i n g t w o s e c t i o n s . T a b l e 2 6 : I t e m s R e l a t i n g t o C o n c e p t i o n s a b o u t L e a r n i n g a n d T e a c h i n g M a t h e m a t i c s f r o m t h e M j a r t h e m a t i c s I n v e n t o r y w i t h C a r o l y n ' s R e s p o n s e s 8 a t e x t b o o k a l r e a d y h a s t h e l e s s o n s p r e p a r e d . ‘ 1 8 — B e i n g g o o d a t m a fi r e m a t i c s i s n o t r e q u i r e d t o b e a g o o d t e a c h e r o f m a fi r . 2 2 . ' I ' h e b e s t w a y t o l e a r n m a fi r i s t o m e m o r i z e fi r e r u l e s . 2 3 . S t u d e n t s ' r e a s o n i n i s m o r e i r n r t a n t t h a n i f t h e y a r e a b l e t o g e t t h e a n s w e r t m a t c h e s e a n s w e r k e y . 2 4 . I n l e a r n i n g m a t h , i t i s i m p o r t a n t t o m a s t e r t o p i c s a n d s k i l l s a t o n e l e v e l b e f o r e g o i n g o n . L e a r n i n g M a t h e m a t i c s . T h e M a fi r e m a t i c s I n v e n t o r y p r o v i d e d i n f o r m a t i o n a b o u t s o m e o f C a r o l y n ' s c o n c e p t i o n s o f h o w m a fi r e m a t i c s i s l e a r n e d a n d h o w t h o s e c o n c e p t i o n s m a y h a v e b e e n a l t e r e d s o m e w h a t d u r i n g t h e s e m e s t e r ( S e e T a b l e 2 6 ) . F o r i t e m 2 2 , " T h e b e s t w a y t o l e a r n m a fi r i s t o m e m o r i z e fi r e r u l e s , " C a r o l y n a n s w e r e d o n e a t fi r e b e g i n n i n g o f fi r e s e m e s t e r , b u t h a d m o v e d t o t w o fi r e n e x t t w o t i m e s s h e r e s p o n d e d t o t h a t i t e m . W h e n a s k e d h o w s h e w o u l d r e s p o n d t o t h a t i t e m d u r i n g t h e m i d — s e m e s t e r i n t e r v i e w , s h e s a i d , " O h n o . I d o n t fi r i n k fi r a t ' s a t a l l l i k e m e . B u t , I ' m n o t g o i n g t o p u t o n e . I ' m g o i n g t o p u t t w o . B e c a u s e I m e a n , I fi r i n k y o u n e e d t o 3 1 4 k n o w s o m e r u l e s , b u t fi r a t ' s n o t a l w a y s fi r e b e s t . I ‘ m s t i l l g o i n g t o s t i c k w i fi r t w o , b e c a u s e I d r i n k a t t i m e s i t ' s b e s t t o j u s t k n o w s o m e r u l e s d e p e n d i n g o n w h a t y o u ' r e l e a r n i n g o r n e e d t o l e a r n . " W h e n s h e w a s r e m i n d e d t h a t s h e p u t o n e fi r e fi r s t t i m e s h e d i d fi r e i n v e n t o r y a n d w a s a s k e d i f s h e h a d c h a n g e d , s h e r e s p o n d e d , " W h e n I s a i d fi r a t , I p r o b a b l y w e n t ' n o t a t a l l , ’ b e c a u s e I fi r o u g h t t h a t r u l e s w e r e n ' t i m p o r t a n t t o h e l p . B u t , n o w I s e e fi r a t s o m e t i m e s y o u d o n e e d t o h a v e s o m e r u l e s t o r e l y o n . " T h i s c h a n g e m a y h a v e b e e n i n fl u e n c e d b y d i s c u s s i o n s w e h a d i n c l a s s i n w h i c h w e t a l k e d a b o u t w h e r e s t a n d a r d a l g o r i t h m s c a m e f r o m , w h y fi r e y w e r e fi r e s t a n d a r d a l g o r i fi r m ( b e c a u s e fi r e y w e r e t h e m o s t g e n e r a l i z a b l e a n d e f fi c i e n t ) , w h y i t i s u s e f u l t o k n o w t h e m , a n d w h y a t s o m e p o i n t — a f t e r s t u d e n t s h a v e g a i n e d a n u n d e r s t a n d i n g o f w h y fi r e y w o r k — i t i s u s e f u l a n d d e s i r a b l e f o r t h e s t u d e n t s t o l e a r n fi r e m . A n o t h e r i t e m r e l a t i n g t o l e a r n i n g m a fi r e m a t i c s w a s i t e m 2 3 , " S t u d e n t s ' r e a s o n i n g i s m o r e i m p o r t a n t fi r a n i f fi r e y a r e a b l e t o g e t fi r e a n s w e r fi r a t m a t c h e s fi r e a n s w e r k e y . " C a r o l y n s t r o n g l y a g r e e d w i fi r fi r a t i d e a t h r o u g h o u t fi r e s e m e s t e r . F o r i t e m 2 4 , ' T n l e a r n i n g m a t h i t i s i m p o r t a n t t o m a s t e r t o p i c s a n d s k i l l s a t o n e l e v e l b e f o r e g o i n g o n , " h e r r e s p o n s e c h a n g e d f r o m a f o u r a t t h e b e g i n n i n g o f fi r e s e m e s t e r t o a t w o a t fi r e m i d d l e a n d e n d o f fi r e s e m e s t e r . W h e n a s k e d w h y h e r i d e a s a b o u t t h a t w e r e c h a n g i n g d u r i n g fi r e m i d - s e m e s t e r i n t e r v i e w , s h e e x p l a i n e d , " W e l l , I r e m e m b e r fi r i s o n e a r t i c l e w e j u s t r e a d a b o u t n o t a l w a y s h a v i n g t o s t a r t o u t fi r e y e a r w i fi r r e v i e w a n d s p e n d i n g fi r e fi r s t t w o m o n t h s w i fi r fi r i n g s t h a t t h e y ' v e d o n e b e f o r e . Y o u c a n g o o n t o s o m e fi r i n g . L i k e o u c a n j u m p a h e a d . Y o u c a n j u m p t o g e o m e t r y , a n d y o u c a n t e a t h e m s o m e fi r i n g a b o u t t h a t , b u t y o u c a n s t i l l p u l l i n a d d i t i o n a n d s u b t r a c t i o n . T h a t m i g h t n o t b e a g o o d e x a m p l e , b u t y o u c a n p u l l i n o t h e r fi r i n g s fi r a t fi r e y m i g h t n o t b e c o m p l e t e l y s e t a n d m a s t e r e d , b u t fi r e y ' r e g o i n g t o b e a b l e t o p r a c t i c e i t s o m e m o r e fi r r o u g h a n o fi r e r t o p i c , t o o . " 3 1 5 T h e m a i n w a y fi r a t C a r o l y n s e e m e d t o b e l i e v e fi r a t m a fi r w a s l e a r n e d w a s w h e n i t w a s a p p l i e d t o o u t s i d e - o f - s c h o o l s i t u a t i o n s . A s n o t e d i n t h e U s e f u l n e s s o f M a t h e m a t i c s s e c t i o n , fi r s t w a s w h e n C a r o l y n c o n s i d e r e d i t m a fi r . A l s o , w h e n s h e w a s a s k e d i n h e r fi n a l i n t e r v i e w w h a t t h e b e s t w a y t o l e a r n m a t h w a s , s h e r e s r m d e d . " U m , u s i n g i t . A t fi r s t y o u h a v e t o , o f c o u r s e . . . . I ' m a v e r y , I g u e s s I ' d s a y I ' m a r e a l h a n d s - o n p e r s o n , a n d I h a v e t o s e e fi r i n g s a n d s e e h o w fi r e y w o r k a n d f e e l h o w fi r e y w o r k . S o , I fi r i n k t h a t ' s h o w I l e a r n t h i n g s a n d h o w I w o u l d l e a r n m a fi r . A n d , o fi r e r p e o p l e p r o b a b l y w o u l d n ' t b e fi r a t w a y . T h e y m i g h t j u s t l e a r n m a fi r b y m e m o r i z i n g fi r i n g s . T h a t n e v e r w o r k s f o r m e . " O f c o u r s e , C a r o l y n ' s i d e a s o f h o w m a fi r e m a t i c s i s l e a r n e d w e r e d i r e c fi y c o n n e c t e d t o h o w s h e t h o u g h t m a t h e m a t i c s s h o u l d b e t a u g h t — s o m e e x p l i c i fi y a n d s o m e i m p l i c i fi y . T h e s e c o n c e p t i o n s w i l l b e d i s c u s s e d i n fi r e f o l l o w i n g s e c t i o n . T e a c h i n g M a t h e m a t i c s . C a r o l y n h a d s o m e d e fi n i t e i d e a s a b o u t h o w m a t h e m a t i c s s h o u l d b e t a u g h t . S o m e o f fi r e m s h e h a d a t fi r e b e g i n n i n g o f t h e s e m e s t e r , a n d s o m e o f fi r e m s e e m e d t o d e v e l o p d u r i n g t h e s e m e s t e r . H o w e v e r , h e r i d e a s w e r e d e fi n i t e l y n o t a l l i n fl u e n c e d b y fi r e c o u r s e . C a r o l y n h a d t h e i n t e r e s t i n g a n d u n u s u a l - f o r — t h i s - g r o u p p e r s p e c t i v e o f s e e i n g h o w h e r o w n c h i l d r e n w e r e l e a r n i n g a n d b e i n g t a u g h t m a fi r e m a t i c s i n e l e m e n t a r y s c h o o l w h i l e s h e w a s t a k i n g fi r i s c o u r s e . O n e e x a m p l e o f h o w fi r i s p e r s p e c t i v e i n fl u e n c e d h e r i d e a s w a s h e r r e s p o n s e s t o i t e m 1 0 o n t h e M a fi r e m a t i c s I n v e n t o r y ( S e e T a b l e 2 6 ) . F o r i t e m 1 0 , " T e a c h i n g m a fi r e m a t i c s s h o u l d n o t b e t o o d i f fi c u l t s i n c e a t e x t b o o k a l r e a d y h a s fi r e l e s s o n s p r e p a r e d , " C a r o l y n a g r e e d w i fi r i t l e s s e a c h t i m e s h e r e s p o n d e d t o t h e i n v e n t o r y . A t fi r e b e g i n n i n g o f fi r e s e m e s t e r , s h e p u t a fi r r e e ; i n h e r m i d - s e m e s t e r i n t e r v i e w , s h e r e s p o n d e d w i fi r a t w o ; a n d o n fi r e l a s t d a y o f c l a s s , s h e p u t a o n e . I n h e r m i d - s e m e s t e r i n t e r v i e w , w h e n s h e w a s a s k e d a b o u t fi r a t i t e m , s h e s a i d , " N o w ? I ' m g o i n g t o s a y fi r a t fi r a t ' s r e a l l y n o t l i k e m e . M a y b e n o t a o n e . M a y b e a t w o . C a u s e I m i g h t s t i l l w a n t t o r e l y o n fi r a t 3 1 6 t e x t b o o k s o m e w h e r e , b u t I w a n t t o g e t a w a y f r o m fi r a t t e x t b o o k . A n d , s o I ' m n o t g o i n g t o w a n t t o u s e i t . I w a n t t o l o o k a t s o m e o f fi r e s e o fi r e r fi r i n g s fi r a t w e ' r e l e a r n i n g a s m o r e i m p o r t a n t fi r a n fi r a t t e x t b o o k . " W h e n s h e w a s a s k e d w h y s h e w a s c h a n g i n g o n fi r a t , s h e s a i d , " W e l l , t h e r e ' s fi r i n g s i n c l a s s t h a t w e a r e d o i n g i t , b u t t h e n m y p e r s o n a l e x p e r i e n c e s w i t h m y k i d s , fi r e fi r i n g s fi r a t a r e h a p p e n i n g w i fi r fi r e m , t o o . " W h e n a s k e d f o r a s p e c i fi c e x a m p l e , s h e s a i d , " W e l l , l i k e r i g h t n o w , m y d a u g h t e r i s i n a m a fi r g r o u p . T h e y d i v i d e fi r e m u p i n g r o u p s , a n d fi r e y m a y o r m a y n o t s t a y w i fi r fi r e i r s a m e t e a c h e r s , a n d t h e n fi r e y g o t o o n e o f fi r e o fi r e r fi f fi r g r a d e t e a c h e r s . S o , s h e g o e s t o o n e o f fi r e o fi r e r fi f fi r g r a d e t e a c h e r s , a n d fi r e y ' r e i n g r o u p s b y a b i l i t y . H e r g r o u p , fi r e y h a v e t h r e e m a fi r b o o k s . I d o n ' t k n o w w h y fi r e y h a v e fi r r e e m a t h b o o k s , a n d fi r e y u s e fi r e m — t w o o f fi r e m — I fi r i n k l i k e e v e r y o fi r e r d a y , a n d fi r e fi r i r d o n e e v e r y o n c e i n a w h i l e . A l l o u t o f b o o k s . A n d , I j u s t d o n ' t fi r i n k fi r a t s h e ' s r e a l l y g e t t i n g i t f r o m fi r a t . I fi r i n k s h e n e e d s m o r e fi r a n t h a t . L i k e a c o u p l e y e a r s a g o s h e w e n t t o a t u t o r — a s p e c i a l m a fi r t u t o r — a n d s h e d i d fi r i n g s l i k e w e d o i n c l a s s . S h e p l a y e d w i fi r b l o c k s , a n d s h e l a y e d w i fi r d i c e a n d d i f f e r e n t fi r i n g s l i k e t h a t . A n d , I fi r i n k fi r a t ' s t t e r fi r a n h a v i n g t o d o j u s t c o m p u t a t i o n s i n fi r e b o o k . S o , fi r a t ' s p a r t o f w h a t ' s c h a n g i n g m e , t o o . " A n o fi r e r c o n c e p t i o n fi r a t C a r o l y n h a d a b o u t t e a c h i n g m a fi r e m a t i c s w a s i l l u s t r a t e d b y h e r r e s p o n s e s t o i t e m 1 8 , " B e i n g g o o d a t m a t h e m a t i c s i s n o t r e q u i r e d t o b e a g o o d t e a c h e r o f m a fi r . " S h e p u t a t h r e e t h e fi r s t d a y o f c l a s s , a n d fi r e n p u t a f o u r d u r i n g fi r e m i d - s e m e s t e r i n t e r v i e w a n d o n t h e l a s t d a y o f c l a s s . D u r i n g fi r e m i d - s e m e s t e r i n t e r v i e w , s h e s a i d , " O k a y , s o I w o u l d p r o b a b l y a g r e e w i t h fi r a t , l i k e a f o u r . B u t , I m e a n y o u h a v e t o s t i l l u n d e r s t a n d m a t h — h a v e s o m e b a s i c — 4 0 t e a c h e l e m e n t a r y m a fi r . Y o u d o n ' t n e e d t o h a v e a s m u c h a s y o u w o u l d t o t e a c h m i d d l e s c h o o l a n d h i g h s c h o o l m a fi r , b u t y o u s t i l l n e e d t o k n o w m a fi r , a n d y o u n e e d t o k n o w h o w t o t h i n k a b o u t m a fi r , a n d h o w t o w o r k fi r r o u g h m a fi r e m a t i c a l i d e a s a n d p r o b l e m s . A n d , y o u k n o w , fi n d a n s w e r s . " W h e n a s k e d i f s h e fi r o u g h t h e r i d e a o f n e e d i n g t o b e g o o d a t m a t h t o b e a g o o d m a fi r t e a c h e r w a s c h a n g i n g a t a l l , s h e s a i d , 3 1 7 " P r o b a b l y . B e c a u s e I p r o b a b l y u s e d t o fi r i n k fi r a t I h a d t o k n o w e v e r y fi r i n g . Y o u k n o w , I h a d t o k n o w e v e r y t h i n g a n d a l l fi r e a n s w e r s , a n d i f I d i d n ' t , I w a s i n t r o u b l e . B u t , n o w I d o n ' t r e a l l y fi r i n k I h a v e t o k n o w e v e r y fi r i n g . " I n t h e o p e n - e n d e d s e c t i o n o f t h e M a fi r e m a t i c s I n v e n t o r y , fi r e r e w e r e a c o u p l e o f q u e s fi o n s r e l a t e d t o c o n c e p t i o n s o f t e a c h i n g a n d l e a r n i n g m a fi r e m a t i c s , e s p e c i a l l y fi r e r o l e fi r a t t h e t e a c h e r ' s a t t i t u d e p l a y e d i n w h e fi r e r s t u d e n t s w e r e s u c c e s s f u l i n m a fi r . A t b o fi r t h e b e g i n n i n g o f fi r e s e m e s t e r a n d a t t h e e n d o f fi r e s e m e s t e r , C a r o l y n f e l t s t r o n g l y fi r a t fi r e t e a c h e r ' s a t t i t u d e h a d a n e f f e c t o n fi r e s t u d e n t s ' l e a r n i n g . O n e o f fi r e q u e s t i o n s r e l a t i n g t o fi r i s w a s , " W h a t k i n d o f i n fl u e n c e d o y o u fi r i n k t h e t e a c h e r p l a y s i n t h e s u c c e s s o f s t u d e n t s i n m a fi r e m a t i c s ? O n fi r e fi r s t d a y o f c l a s s , i n r e s p o n s e t o t h a t q u e s t i o n , C a r o l y n w r o t e , " T e a c h e r a t t i t u d e i s v e r y i m p o r t a n t . I f fi r e t e a c h e r c a n m a k e m a fi r f u n a n d u s e f u l f o r s t u d e n t s , t h e n fi r e y w i l l p u t m o r e e f f o r t i n t o i t a n d g e t m o r e o u t o f i t . " O n t h e l a s t d a y o f c l a s s , C a r o l y n ' s r e s p o n s e t o fi r i s q u e s t i o n w a s , " T h e y h a v e a l l fi r e i n fl u e n c e i n fi r e w o r l d . I f t h e t e a c h e r i s n o t e x c i t e d a b o u t m a fi r , h o w c a n fi r e s t u d e n t s b e ? " ' T h e o fi r e r q u e s t i o n r e l a t e d t o fi r e i n fl u e n c e o f fi r e t e a c h e r ' s a t t i t u d e w a s , " D o y o u fi r i n k a t e a c h e r ' s a t t i t u d e t o w a r d m a fi r e m a t i c s a f f e c t s h o w h e o r s h e t e a c h e s i t ? W h y o r w h y n o t ? H o w a b o u t a t e a c h e r ' s a t t i t u d e a b o u t t e a c h i n g i t ? E x p l a i n . " O n t h e fi r s t d a y o f c l a s s , C a r o l y n ' s r e s p o n s e t o fi r i s q u e s t i o n w a s , " Y e s . I ' m k i n d o f s c a r e d o f m a fi r , s i n c e m y c h i l d h o o d e x p e r i e n c e w i fi r m a fi r w a s d i f fi c u l t . I h a t e d n o t b e i n g y a b l e t o m e m o r i z e fi r e t i m e s t a b l e s a n d f e l t d u m b a n d e m b a r r a s s e d . I w a n t m y s t u d e n t s t o f e e l g o o d . I w a n t m a t h t o b e f u n f o r t h e m , n o t t o r t u r e " O n fi r e l a s t d a y o f c l a s s , f o r fi r i s q u e s t i o n , C a r o l y n w r o t e , " Y e s . I f t h e t e a c h e r h a t e s m a fi r , fi r e y c o u l d n o t t e a c h i t w e l l . T h e y w o u l d n o t b e e x c i t e d a b o u t i t a n d w o n ' t p u t f o r fi r a r e a l g o o d e f f o r t . " P r o b a b l y fi r e fi r i n g fi r a t p r o v i d e s fi r e b e s t p i c t u r e o f C a r o l y n ' s v i e w s a t t h e e n d o f t h e s e m e s t e r o f h o w m a fi r e m a t i c s s h o u l d b e t a u g h t w a s a j o u r n a l e n t r y 3 1 8 fi r a t w a s a s s i g n e d fi r e l a s t d a y o f c l a s s F o r fi r i s j o u r n a l e n fi ' y , fi r e s t u d e n t s w e r e a s k e d t o d e s c r i b e fi r e i r c u r r e n t p h i l o s o p h y o f t e a c h i n g m a fi r e m a t i c s . C a r o l y n ' s e n t r y , w h i c h f o l l o w s , p r o v i d e s m u c h i n f o r m a t i o n a b o u t h o w s h e fi r o u g h t m a t h s h o u l d b e t a u g h t : " I f e e l fi r a t a m a fi r c l a s s r o o m s h o u l d b e a h a p p e n i n g p l a c e . C h i l d r e n s h o u l d b e w o r k i n g , t a l k i n g , c o n s t r u c t i n g , b u i l d i n g , s h a r i n g , a n d fi r i n k i n g a b o u t a v a r i e t y o f i d e a s . C h i l d r e n s h o u l d b e s h a r i n g t h e i r i d e a s , fi r i n k i n g o u t l o u d , d i s c u s s i n g i d e a s , a n d e x p l a i n i n g fi r e i r t h i n k i n g . I t s h o u l d n o t b e c h i l d r e n s i t t i n g q u i e fi y i n r o w s , c o m p l e t i n g p r o b l e m s # 1 - 1 5 o n p a g e 7 6 . " R o t e m e m o r i z a t i o n a n d p a g e a f t e r p a g e o f c a l c u l a t i o n s i s n o t t h e w a y t o c r e a t e s t u d e n t s w h o a r e e x c i t e d a b o u t m a t h a n d e a g e r t o e x p l o r e n e w i d e a s . A c t i v i t i e s fi r a t r e q u i r e fi r e m t o fi r i n k , r e a s o n , a n d m a k e s e n s e o f m a fi r a r e i m p o r t a n t . O p p o r t u n i t i e s t o d o a c t i v i t i e s l i k e w e d i d i n c l a s s o r l i k e I p l a n n e d i n m y m a fi r u n i t a r e g o o d . T h e y g i v e c h i l d r e n fi r e c h a n c e t o fi r i n k a n d p r o b l e m s o l v e . " S t u d e n t s c a n d r a w a b o u t m a fi r , w r i t e a b o u t i t , t a l k a b o u t i t , a n d t h e s e fi r i n g s w i l l h e l p s t u d e n t s fi r i n k a b o u t m a t h e m a t i c a l c o n c e p t s . I t h e l p s fi r e m t o r e m e m b e r fi r i n g s a n d h a v e a n o r g a n i z e d w a y t o fi r i n k a b o u t i n f o r m a t i o n a n d i d e a s . C h i l d r e n r e m e m b e r fi r i n g s b e t t e r w h e n fi r e y h a v e a v a r i e t y o f w a y s t o fi r i n k a b o u t i t v s . s i m p l e r o t e m e m o r i z a t i o n . ' T h a v e l o o k e d a t a l o t o f b o o k s o n m a fi r l a t e l y , a n d m o s t o f fi r e m s e e m t o b e s i m p l e w o r k s h e e t k i n d s o f b o o k s . I w a n t t o a v o i d fi r e s e a n d fi n d b o o k s t h a t h a v e a c t i v i t i e s m o r e l i k e t h e M a r i l y n B u r n s ' . I l i k e o p e n - e n d e d l e s s o n s w h e r e t h e r e i s n o t n e c e s s a r i l y o n e c o r r e c t a n s w e r . T h i s a l l o w s s t u d e n t s t o r e a s o n , t o l a i n h o w t h e y t h o u g h t a b o u t a p r o b l e m a n d w h a t r o c e s s e s e y w e n t fi r r o u g h i n fi r i n k i n g a b o u t fi r e p r o b l e m . I n 0 e r w o r d s , p r o c e s s i s m o r e i m p o r t a n t t o m e fi r a n p r o d u c t . A c o r r e c t a n s w e r d o e s n o t m e a n a s t u d e n t u n d e r s t a n d s w h a t fi r e y a r e d o i n g a n d w h y . B y fi r e s a m e t o k e n , a s t u d e n t c o u l d h a v e a n i n c o r r e c t a n s w e r a n d s t i l l u n d e r s t a n d w h a t t h e y ' r e d o i n g a n d w h y . " M a n i p u l a t i v e s a r e a g o o d t o o l t o u s e b e c a u s e s o m e s t u d e n t s m a y t h i n k a b o u t m a t h e m a t i c a l i d e a s m o r e e a s i l y w h e n fi r e y c a n p h y s i c a l l y s e e , t o u c h , a n d w o r k w i t h fi r e i t e m s . I t i s i m p o r t a n t t o r e m e m b e r fi r a t n o t a l l s t u d e n t s m a y b e n e fi t f r o m fi r i s . W h e n u s i n g m a n i p u l a t i v e s fi r e t e a c h e r m u s t m a k e s u r e t h a t t h e u s e o f t h e m m a k e s s e n s e i n t h e a c t i v i t y a n d p r o m o t e s fi r e c o n c e p t y o u a r e t r y i n g t o t e a c h . " A s I s t a t e d i n m y m a t h u n i t , I f e e l t h a t m y a s s e s s m e n t t e c h n i q u e s a r e w e a k a n d l a c k i n g s o m e fi r i n g . O t h e r fi r a n o b s e r v i n g s t u d e n t s , l i s t e n i n g t o t h e m t a l k a b o u t m a fi r e m a t i c a l fi r i n k i n g a n d l o o k i n g a t w r i t t e n w o r k a n d p i c t u r e s t o o . I c o u l d n o t fi r i n k o f a n y 3 1 9 o fi r e r w a y s t o a s s e s s fi r e i r m a fi r l e a r n i n g . I s t i l l f e e l fi r e r e i s m o r e t o u s e a n d w a n t t o c o n s c i o u s l y l o o k f o r fi r e s e i d e a s . " C a r o l y n s fi l l h e l d o n t o s o m e c o n c e p t i o n s s i m i l a r t o fi r o s e e x p r e s s e d i n h e r p h i l o s o p h y o f t e a c h i n g m a fi r e m a t i c s o n fi r e l a s t d a y o f c l a s s a s e m e s t e r l a t e r . I n h e r fi n a l i n t e r v i e w , C a r o l y n w a s a s k e d w h a t h e r i d e a s w e r e a b o u t h o w s h e fi r o u g h t m a fi r w a s m o s t e f f e c t i v e l y t a u g h t a n d h o w s h e w a n t e d t o t e a c h i t . S h e r e s p o n d e d , " W e l l , I k i n d o f t a l k e d a b o u t t h a t a l i t fi e b i t , t o o , h o w t h e r e ' s d i f f e r e n t w a y s t o t e a c h i t . Y o u k n o w , i t d o e s n ' t a l w a y s h a v e t o b e m e m o r i z e fi r i s . D o fi r i s w o r k s h e e t o f 5 0 p r o b l e m s , a n d t o m o r r o w w e ' l l d o a n o fi r e r w o r k s h e e t o f 5 0 p r o b l e m s , y o u k n o w . Y o u c a n d o s o m e s t u f f l i k e , y o u c a n w o r k o n s o m e m e m o r i z a fi o n s t u f f , b u t I l i k e fi r e i d e a o f h a v i n fi r e k i d s w o r k i n g r o u p s a n d s o l v e p r o b l e m s a n d fi r i n k a b o u t ' n g s . L i k e I r e m e m b e r s o m e o f t h o s e w o r k s h e e t s y o u b r o u g h t i n , s o m e o f fi r e A I M S o n e s a n d s t u f f w h e r e fi r e k i d s w o u l d w o r k t o g e t h e r a s a g r o u p a n d t h i n k a b o u t fi r i n g s a n d w o r k t h r o u g h a p r o b l e m t o h e l p t h e m u n d e r s t a n d . A n d , I fi r i n k s o m e o f t h a t k i n d o f t h i n g i s g o o d , a n d t h e r e ' s r o o m f o r h a n d s - o n fi r i n g s a n d m a n i p u l a t i v e s , a n d t h e r e ' s t i m e s fi r a t fi r e y ' r e g o i n g t o w a n t t o w o r k w i fi r fi r a t s t u f f . S o , I fi r i n k I w a n t t o g i v e k i d s a l o t o f d i f f e r e n t w a y s t o l o o k a t i t , b e c a u s e I k n o w f r o m m y o w n p e r s o n a l e x p e r i e n c e , I l e a r n d i f f e r e n t fi r a n o t h e r p e o p l e d o , a n d o n e p e r s o n m i g h t n o t b e a b l e t o m e m o r i z e , b u t t h e y c a n u n d e r s t a n d h o w y o u g e t t o fi r a t , a n d fi r e y c a n a l w a y s fi g u r e i t o u t i f t h e y h a v e a m a n i p u l a t i v e o r s o m e fi r i n g u t o w o r k w i fi r . J u s t p r e s e n t i n g i t i n d i f f e r e n t w a y s . A n d , I ' n k y o u ' l l r e a c h m o r e p e o p l e fi r a t w a y , t o o . " C a r o l y n ’ s A t t i t u d e s t o w a r d M a t h e m a t i c s 8 : T e a c h i n g M a t h e m a t i c s A t t i t u d e s t o w a r d M a t h e m a t i c s A s n o t e d i n fi r e i n t r o d u c t i o n o f C a r o l y n , s h e b e g a n t h e s e m e s t e r w i fi r q u i t e n e g a t i v e a t t i t u d e s t o w a r d m a fi r . T h e s e s e e m e d t o b e m o r e a r e fl e c t i o n o f h e r c o n f i d e n c e d o i n g m a t h — e s p e c i a l l y m a fi r o fi r e r t h a n b a s i c m a t h — fi r a n h e r f e e l i n g s t o w a r d m a t h a s a s u b j e c t a n d i t s u s e f u l n e s s i n l i f e . B y fi r e e n d o f t h e s e m e s t e r , i t s e e m e d t h a t h e r a t t i t u d e s t o w a r d m a fi r e m a t i c s w e r e m u c h m o r e p o s i t i v e . 3 2 0 H e r b e g i n n i n g c o n c e p t m a p i s a g o o d e x a m p l e o f a n e x p r e s s i o n o f h e r a t t i t u d e s a t fi r e b e g i n n i n g o f t h e s e m e s t e r ( S e e F i g u r e 4 6 o n p a g e 3 0 5 ) . H e r e n t i r e m a p i s f o c u s e d o n h e r e x p e r i e n c e w i fi r a n d a t t i t u d e t o w a r d m a fi r e m a t i c s . O n e a t t i t u d e i t e x p r e s s e s i s w h e fi r e r m a fi r i s u s e f u l o r u s e l e s s . I t a p p e a r s f r o m h e r c o n fi g u r a t i o n fi r a t s h e b e l i e v e d b a s i c m a fi r w a s u s e f u l a n d h i g h e r m a fi r w a s u s e l e s s . A n o t h e r a t t i t u d e o n h e r m a p i s h e r f e e l i n g t o w a r d p r o b l e m s . S h e d e s c r i b e d fi r e m a s f r u s t r a t i n g , c h a l l e n g i n g , a n d r e w a r d i n g . T h i s w a s n o t c o m p l e t e l y n e g a t i v e s i n c e a p p a r e r r fi y s h e f o u n d s o m e p r o b l e m s r e w a r d i n g . T h e o fi r e r t w o s e c t i o n s o f h e r c o n c e p t m a p s e e m t o b e r e l a t e d t o h e r e x p e r i e n c e s w i fi r m a t h a s a s c h o o l s u b j e c t w h i c h a f f e c t e d h e r a t t i t u d e . S h e h a d o n e s e c t i o n f o r ” t e a c h e r s ” w h i c h s h e d e s c r i b e d a s e i fi r e r ” i m p a t i e n t ” o r " e n c o u r a g i n g . ” T h e o fi r e r s e c t i o n w a s f o r ” p e e r s ” w h i c h s h e s u b c a t e g o r i z e d i n t o " r e a l l y s m a r t o n e s " o r ” o n e s l i k e m e . ” U n d e r ” r e a l l y s m a r t o n e s , ” s h e b r o k e t h e m d o w n f u r t h e r i n t o ” n i c e ” a n d ” a r r o g a n t . " I t i s i n t e r e s t i n g t o n o t e fi r a t n o n e o f h e r fi n a l c o n c e p t m a p i s a b o u t h e r a t t i t u d e s t o w a r d m a fi r e m a t i c s ( S e e F i g u r e 4 7 o n p a g e 3 0 6 ) . I n t h e M a t h e m a t i c s I n v e n t o r y , t h e r e w e r e s e v e r a l i t e m s r e l a t i n g t o a t t i t u d e s t o w a r d m a fi r e m a t i c s . C a r o l y n ' s r e s p o n s e s t o fi r e s e i t e m s a t d i f f e r e n t t i m e s d u r i n g fi r e s e m e s t e r a l s o p r o v i d e i n f o r m a t i o n a b o u t h e r a t t i t u d e s t o w a r d m a t h e m a t i c s ( S e e T a b l e 2 7 o n p a g e 3 2 2 ) a n d h o w fi r e y w e r e c h a n g i n g . F o r i t e m . o n e , " I e n j o y d o i n g m a fi r e m a t i c a l t a s k s , " C a r o l y n p u t a fi r r e e o n t h e fi r s t d a y o f c l a s s a n d a t h e r m i d - s e m e s t e r i n t e r v i e w . T o e x p l a i n fi r a t a n s w e r , s h e s a i d , ' T d o n ' t fi r i n k I ' m e v e r g o i n g t o r e a l l y , r e a l l y l o v e d o i n g m a fi r , b u t i t ' l l b e o k a y . " H o w e v e r , s h e d i d r a i s e h e r r e s p o n s e a l i t fi e o n fi r e l a s t d a y o f c l a s s t o a f o u r . I t e m n u m b e r t w o , " I h a v e a l w a y s e n j o y e d m a fi r e m a t i c s , " i s o n e fi r a t w e w o u l d n ' t e x p e c t t o c h a n g e t o o m u c h s i n c e i t i n c l u d e s t h e p a s t w h i c h c a n n o t b e c h a n g e d , b u t C a r o l y n c h a n g e d h e r r e s p o n s e s l i g h t l y fi r r o u g h o u t fi r e s e m e s t e r . 3 2 1 T a b l e 2 7 : I t e m s R e l a t i n g t o A t t i t u d e s t o w a r d M a t h e m a t i c s d o r n g m a W " I I f ' i i 3 e r g — 0 y 3 2 . I h a v e a l v m s e n j o y e d m a t h e m a t i c s . 2 1 6 . I f e e l s u c c e s s f u l w h e n I a m e n g a g e d i n m a fi r e m a t i c a l 3 3 t a s k s . 7 . : D o i n g m a fi r e m a t i c s i s u s u h l l r v e r y f r u s t r a t i n g f o r m e . 4 2 3 4 3 1 5 . I u n d e r s t a n d e l e m e n t a r y e v e l m a t h e m a t i c a l c o n c e p t s _ q l r i t e w e l l m y s e l f . _ 2 5 . I c a n h a n d l e b a s i c m a t h , b u t I w o u l d n ' t d o w e l l a t 5 a d v a n c e d m a fi r e m a t i c s . S h e fi r s t p u t a t w o , fi r e n a o n e , a n d fi n a l l y a t w o a g a i n . H o w e v e r , d u r i n g t h e m i d - s e m e s t e r i n t e r v i e w i n w h i c h s h e r e s p o n d e d o n e , s h e w a s a s k e d i f s h e h a d e n j o y e d m a t h a n y m o r e s i n c e s h e s t a r t e d t h e s e m e s t e r . T o fi r a t q u e s fi o n , s h e r e s p o n d e d , " U m , y e a h , y e a h , b e c a u s e s o m e o f fi r e l i t fi e fi r i n g s s h e ' s d o n e w i fi r u s i n c l a s s h a v e b e e n f u n . I t h a s n ' t s e e m e d l i k e , ' O h g o s h , t h i s i s m a fi r . W e ' r e d o i n g fi r i s r e a l l y t o u g h m a t h fi r i n g . ‘ I t w a s j u s t a n a c t i v i t y , a n d fi r a t w a s m o r e f u n a n d s o m e fi r i n g I c o u l d r e l a t e t o . S o d e fi n i t e l y . " F o r i t e m s i x , " I f e e l s u c c e s s f u l w h e n I a m e n g a g e d i n m a fi r e m a fi c a l t a s k s , " C a r o l y n a n s w e r e d r i g h t i n fi r e m i d d l e e a c h fi m e s h e r e s p o n d e d t o t h e i n v e n t o r y . T h i s s e e m s c o n s i s t e n t w i fi r o fi r e r t i m e s w h e n s h e t a l k e d a b o u t o r w r o t e a b o u t f e e l i n g c o n fi d e n t w h e n d o i n g b a s i c m a fi r , b u t n o t h i g h e r m a fi r . C a r o l y n ' s r e s p o n s e s t o i t e m s e v e n , " D o i n g m a t h e m a t i c s i s u s u a l l y v e r y f r u s t r a t i n g f o r m e , " v a r i e d e a c h t i m e s h e r e s p o n d e d t o fi r e i n v e n t o r y . O n t h e fi r s t d a y o f c l a s s , s h e p u t a f o u r w h i c h w a s b e t w e e n " s o m e w h a t l i k e m e " a n d " v e r y m u c h l i k e m e . " I n t h e m i d - s e m e s t e r i n t e r v i e w , s h e p u t a t w o w h i c h w a s b e t w e e n " n o t a t a l l l i k e m e " a n d " s o m e w h a t l i k e m e . " O n fi r e l a s t d a y o f c l a s s s h e s e t fi e d r i g h t i n fi r e m i d d l e w i t h a fi r r e e — " s o m e w h a t l i k e m e . " W h e n s h e w a s d o i n g t h e m i d - s e m e s t e r i n t e r v i e w a n d a s k e d fi r a t q u e s t i o n , s h e s a i d , " N o w I w o u l d p u t p r o b a b l y a t w o b e c a u s e a t l e a s t fi r e m a t h I ' m d o i n g n o w d o e s n ' t f r u s t r a t e m e . " W h e n a s k e d w h a t s h e t h o u g h t s h e p u t b e f o r e , s h e s a i d , " W h e n I d i d fi r s t I w a s p r o b a b l y fi r i n k i n g 3 2 2 a b o u t a l g e b r a o r h i g h e r t h a n fi r a t , a n d I w a s v e r y f r u s t r a t e d w i fi r fi r a t . T h i s i s n ' t f r u s t r a t i n g . T h i s i s m o r e u s e f u l . " W h e n a s k e d i f i t w a s j u s t t h a t i t ' s u s e f u l o r i f fi r e r e w e r e s o m e fi r i n g e l s e , C a r o l y n s a i d , " N o , i t ' s ' u s t fi r a t i t ' s u s e f u l . I h a v e fi r i s fi r i n g a b o u t i t h a s t o b e u s e f u l . i t ' s n o t u s e f u l , fi r e n I d o n ' t s e e a v a l u e i n [ i t ] . A n d , I r e a l l y g e t f r u s t r a t e d i f I d o n ' t k n o w w h a t I ' m d o i n g i t f o r o r w h a t I ' m g o i n g t o u s e i t f o r . " F o r i t e m n u m b e r 1 5 , " I u n d e r s t a n d e l e m e n t a r y l e v e l m a fi r e m a t i c a l c o n c e p t s q u i t e w e l l m y s e l f , " C a r o l y n w e n t f r o m a fi r r e e o n t h e fi r s t d a y o f c l a s s t o a f o u r d u r i n g h e r m i d - s e m e s t e r i n t e r v i e w a n d o n fi r e l a s t d a y o f c l a s s . D u r i n g h e r m i d - s e m e s t e r i n t e r v i e w w h e n t o l d fi r s t s h e h a d m o v e d f r o m a fi r r e e t o a f o u r , s h e s a i d , ' T fi r i n k I ' m u n d e r s t a n d i n g b e t t e r . " T h e i n t e r v i e w e r fi r e n a s k e d h e r i f s h e fi r o u g h t s h e h a d " s e r i o u s l y c h a n g e d a l i t t l e b i t o n fi r a t . " S h e r e p l i e d , " I d o n ' t k n o w . I ' m n o t s u r e i f i t i s fi r a t I u n d e r s t a n d t h e c o n c e p t s b e t t e r fi r a n I d i d fi r e n . T m j u s t u n d e r s t a n d i n g fi r a t i t ' s . . . w e l l , i t ' s d i f f e r e n t w h e n y o u u n d e r s t a n d t h a t fi r e r e ' s a l o t o f d i f f e r e n t w a s t o a p p r o a c h fi r e m , a n d y o u d o n ' t h a v e t o g e t s t u c k i n o n e — l i k e e w a y I w a s t a u g h t . A n d , fi r a t m i g h t c h a n g e fi r a t a l i t fi e b i t w h y I fi r i n k I u n d e r s t a n d fi r a t . " S h e f u r fi r e r e x p l a i n e d , " B e c a u s e fi r e r e ' s d i f f e r e n t w a y s t o l o o k a t . I f y o u d o n ' t u n d e r s t a n d i t o n e w a y , y o u c a n l o o k a t i t fi u o u g h a d i f f e r e n t w a y . T h a t ' s l i k e s o m e fi r i n g w e d i d t o d a y a b o u t a d d i n g d i f f e r e n t w a y s i n s t e a d o f a d d i n g l i k e fi r e s t a n d a r d [ a l g o r i t h m — p r o v i d e d b y i n t e r v i e w e r ] . R i g h t . Y o u c a n l i k e a d d . O f c o u r s e I c a n ' t r e m e m b e r a n e x a m p l e . L i k e y o u c a n a d d t h e 4 0 0 a n d 2 0 0 t o g e t h e r a n d g e t 6 0 0 a t fi r e h u n d r e d s , a n d fi r e n y o u c a n a d d fi r e t e n s , a n d fi r e o n e s , a n d y o u c o m e o u t w i fi r fi r e s a m e a n s w e r . S o , fi r e r e ' s d i f f e r e n t w a y s , a n d fi r a t ' s a c o n c e p t , a n d I u n d e r s t a n d i t a l i t fi e b i t b e t t e r b y l o o k i n g a t i t t h r o u g h o fi r e r w a y s . " S h e w a s t h e n a s k e d , w h a t s h e c o n s i d e r e d t o b e e l e m e n t a r y l e v e l m a fi r e m a t i c a l c o n c e p t s , a n d s h e s a i d , " O f c o u r s e , a d d i t i o n , s u b t r a c t i o n , m u l t i p l i c a fi o n , d i v i s i o n , u m , s o m e g e o m e t r y , s o m e s t a t i s t i c s ( y o u k n o w , w o r k i n g w i fi r d a t a a n d fi r i n g s l i k e fi r a t ) , f r a c t i o n s . " 3 2 3 A n o fi r e r p l a c e t h e r e w a s s o m e c h a n g e i n C a r o l y n w a s w i fi r i t e m 2 5 , " I c a n h a n d l e b a s i c m a fi r , b u t I w o u l d n ' t d o w e l l a t a d v a n c e d m a fi r e m a t i c s . " O n fi r e fi r s t d a y o f c l a s s , s h e p u t a fi v e — fi r a t i t w a s s o m e fi r i n g v e r y m u c h l i k e h e r . D u r i n g h e r m i d - s e m e s t e r i n t e r v i e w s h e s a i d t h a t s h e w a s g o i n g t o s t i c k t o t h e m i d d l e o f fi r e r o a d a n d p u t a t h r e e . S h e t h o u g h t fi r a t ' s p r o b a b l y w h a t s h e h a d p u t b e f o r e a n d w a s s u r p r i s e d fi r a t s h e h a d p u t a fi v e . W h e n t o l d fi r a t s h e h a d p u t a fi v e , s h e s a i d . " R e a l l y ? I r e a l l y fi r o u g h t I ' d d o b a d , h u h ? I d o n ' t k n o w w h y fi r a t w o u l d c h a n g e . I g u e s s b e c a u s e w h e n w e fi r s t t o o k fi r i s , I h a d j u s t h a d fi r e a l g e b r a c l a s s i n fi r e s u m m e r b e f o r e w e t o o k fi r i s . S o , I w a s p r o b a b l y s t i l l s u f f e r i n g f r o m t h a t b a d t a s t e i n m y m o u t h . I t h o u g h t , ' O o h , h i g h e r m a fi r . I c a n ' t d o i t . ‘ B u t I l o o k a t i t d i f f e r e n fi y s i n c e t h e n , I g u e s s . L i k e I t o l d y o u , I d i d r e a l l y b a d i n t h e i n t r o d u c t o r y r e v i e w , b u t t h e n I d i d a l o t b e t t e r i n t h e s e c o n d o n e . A n d , I d i d n ' t d o g r e a t a t i t , b u t I d i d a l o t b e t t e r , a n d I g u e s s fi r a t I j u s t fi r i n k fi r a t m a y b e i f i t ' s t a u g h t fi r e r i g h t w a y , a n d i t ' s n o t n e c e s s a r i l y m e , fi r a t I m i g h t b e a b l e t o d o a d v a n c e d m a fi r e m a t i c s . C a r o l y n t o l d t h e i n t e r v i e w e r t h a t s h e c o n s i d e r e d a l g e b r a t h e b r e a k b e t w e e n b a s i c m a t h a n d a d v a n c e d m a t h . O n t h e l a s t d a y o f c l a s s , s h e p u t a t w o , s u g g e s t i n g t h a t s h e f e l t e v e n l e s s s t r o n g l y t h a t s h e w o u l d n ' t b e a b l e t o l e a r n a d v a n c e d m a fi r e m a t i c s . A t t i t u d e s t o w a r d T e a c h i n g M a t h e m a t i c s T h e M a fi r e m a t i c s I n v e n t o r y a n d fi r e fi n a l i n t e r v i e w w e r e t h e m a i n s o u r c e s o f i n f o r m a t i o n a b o u t C a r o l y n ' s a t t i t u d e s t o w a r d t e a c h i n g m a fi r e m a t i c s . F o r e a c h o f t h e i t e m s r e l a t i n g t o a t t i t u d e s t o w a r d t e a c h i n g m a t h e m a t i c s f r o m t h e M a t h e m a t i c s I n v e n t o r y , C a r o l y n ' s r e s p o n s e s c h a n g e d s o m e w h a t f r o m h e r r e s p o n s e s o n fi r e fi r s t d a y o f c l a s s ( S e e T a b l e 2 8 ) . O v e r a l l s h e s e e m e d t o b e c o m e m o r e e n fi r u s i a s t i c a b o u t fi r e p r o s p e c t o f t e a c h i n g m a fi r e m a t i c s a s fi r e s e m e s t e r p r o g r e s s e d . 3 2 4 h u h u N ” 0 ) : 0 l i O l - I I I U T a b l e 2 8 : I t e m s R e l a t i n g t o A t t i t u d e s t o w a r d T e a c h i n g M a t h e m a t i c s f r o m t h e M a fi e m a t i c s I n v e n t o r y w i t h C a r o l y n ' s R e s p o n s e s 8 . I a m e x c i t i " I " ' . v e h e o p o r t r m r i f L t o t e a c h m a fi r e m a t i c s a s a n e l e m e n t a r y t e a c h e r . i t . T 2 . I d o n ' t e x p e c t t o e n c o u n t e r a n y m a t h e m a t i c s w h e n I t e a c h e l e m e n t a r y s c h o o l fi r s t I w o n ' t u n d e r s t a n d s i n c e I s u c c e s s f u l l y c o m l e t e d e l e m e n t a r y s c h o o l . 1 4 . I f e e l c o n fi d e n t i n m y a b i l i t y t o e x p l a i n m a t h e m a t i c a l 3 c o n c e p t s t o c h i l d r e n . 1 6 . I w o u l d f e e l m o r e c o m f o r t a b l e i f l k n e w fi r a t I w o u l d n o t 4 _ h _ a v e t o t e a c h m a fi r e m a t i c s t o e l e m e n t a r y s t u d e n t s . _ _ 1 9 . I w a n t t o t e a c h m a t h e m a t i c s s o t h a t I c a n h e l p s t u d e n t s 3 4 4 3 3 . I f e e T e n fi r u s i a s t i c a b o u t m a fi r e m a t i c s a n d a b o u t t e a c h i n g 3 3 L e t e x c i t e d a b o u t i t . 2 0 . A s a t e a c h e r , I w o u l d f e e l e m b a r r a s s e d i f a s t u d e n t i s k e d a q u e s t i o n t o w h i c h I d i d n ' t k n o w t h e a n s w e r . 2 1 . I e x p e c t t o r e g u l a r l y t e a c h m a t h e m a t i c s a s a n e l e m e n t a r y t e a c h e r . O n e p l a c e fi r i s i n c r e a s e i n e n t h u s i a s m w a s e v i d e n t w a s i n h e r m i d - s e m e s t e r i n t e r v i e w . C a r o l y n s a i d t h a t s h e w a s b e c o m i n g m o r e e x c i t e d a b o u t t e a c h i n g m a fi r e n r a t i c s b e c a u s e s h e w a s " [ l l e a r n i n g d i f f e r e n t w a y s t o t e a c h i t a n d l e a r n i n g m o r e s u p p o r t f o r t e a c h i n g i t — r e s o u r c e s a n d fi r i n g s y o u c a n d o . " T h i s i n c r e a s e i n e x c i t e m e n t a n d e n fi r u s i a s m w a s r e fl e c t e d i n h e r a n s w e r s t o i t e m n u m b e r s 8 a n d 9 , " I a m e x c i t e d t h a t I w i l l m o s t l i k e l y h a v e fi r e o p p o r t u n i t y t o t e a c h m a fi r e m a t i c s a s a n e l e m e n t a r y t e a c h e r " a n d " I f e e l e n fi r u s i a s t i c a b o u t m a t h e m a t i c s a n d a b o u t t e a c h i n g i t . " F o r b o t h o f fi r o s e i t e m s , s h e i n c r e a s e d h e r r e s p o n s e f r o m a fi r r e e fi r e fi r s t t i m e s h e t o o k fi r e i n v e n t o r y t o a f o u r fi r e o t h e r t w o t i m e s . ‘ I t e m n u m b e r 1 2 , " I d o n ' t e x p e c t t o e n c o u n t e r a n y m a t h e m a t i c s w h e n I t e a c h e l e m e n t a r y s c h o o l fi r a t I w o n ' t u n d e r s t a n d s i n c e I s u c c e s s f u l l y c o m p l e t e d e l e m e n t a r y s c h o o l , " f u r fi r e r s u p p o r t s t h e i d e a fi r a t t h e r e w a s i n i n c r e a s e i n C a r o l y n ' s c o n fi d e n c e t o t e a c h m a t h d u r i n g t h e s e m e s t e r . C a r o l y n a n s w e r e d t h a t i t w a s l e s s l i k e h e r e a c h t i m e s h e r e s p o n d e d t o fi r a t i t e m . T o e x p l a i n h e r c h a n g e i n r e s p o n s e , s h e s a i d , 3 2 5 " I fi r i n k I w i l l e n c o u n t e r s t u f f fi r a t I d o n ' t u n d e r s t a n d , a n d fi r a t ' s p r o b a b l y g o i n g t o b e o k a y . I g u e s s I ' m f e e l i n g m o r e c o m f o r t a b l e fi r a t I d o n ' t h a v e t o u n d e r s t a n d i t a l l . I d o n ' t h a v e t o b e fi r i s a u t h o r i t y a n d h a v e e v e r y a n s w e r . T h a t I c a n b e c o n f u s e d , t o o . E v e r y o n c e i n a w h i l e . A s l o n g a s I l e a r n s o m e fi r i n g f r o m i t . " F o r i t e m n u m b e r 1 4 , " I f e e l c o n fi d e n t i n m y a b i l i t y t o e x p l a i n m a fi r e m a t i c a l c o n c e p t s t o c h i l d r e n , " C a r o l y n p u t a fi r r e e o n fi r e fi r s t d a y o f c l a s s a n d d u r i n g fi r e m i d - s e m e s t e r i n t e r v i e w , b u t s h e m o v e d i t u p t o a f o u r o n fi r e l a s t d a y o f c l a s s . W h e n a s k e d fi r a t i t e m i n t h e m i d - s e m e s t e r i n t e r v i e w , C a r o l y n s a i d , " A f t e r b e i n g i n c l a s s t o d a y [ h e r p r a c t i c u m c l a s s ] , I d o n ' t k n o w . T o d a y I h a d t o t r y t o e x p l a i n f o r o u r g r o u p , fi r e a l g o r i t h m f o r m u l t i p l i c a t i o n , a n d i t w a s t w o d i g i t s t i m e s t w o d i g i t s , a n d a s w e w e r e w r i t i n g fi r i s d o w n o n o u r o v e r h e a d , w e a l l g o t c o n f u s e d . Y o u k n o w ? A n d I r e a l i z e d fi r a t s o m e t i m e s i t ' s r e a l l y c o n f u s i n g t o t r y t o l a i n fi r i n g s . Y o u c a n u n d e r s t a n d i t i n y o u r h e a d , b u t i t ' s ' e r e r r t t o e x p l a i n i t v e r b a l l y . S o , I fi r i n k fi r a t ' s g o i n g t o b e k i n d o f d i f fi c u l t . S o , I ' m g o i n g t o p u t m e r i g h t i n fi r e m i d d l e a t t h r e e . " T h e i n t e r v i e w e r fi r e n a s k e d h e r i f s h e t h o u g h t fi r a t fi r e m o r e s h e w a s fi r i n k i n g a b o u t t h a t , fi r e m o r e u n s u r e s h e w a s . H e r r e s p o n s e t o fi r a t p r o b e w a s , " N o , I ' m fi r i n k i n g fi r a t i t ' s s o m e fi r i n g t h a t y o u n e e d t o w o r k o n . A n d , l i k e t o m o r r o w fi r e t w o o f u s a c t u a l l y t e a c h o u r m a fi r l e s s o n i n fi r e c l a s s , a n d s o fi r a t ' s o i n g t o b e a r e a l i n d i c a t i o n o f h o w w e l l w e c a n e x p l a i n fi r i n g s . I ' t h a t ' s s o m e fi r i n g fi r a t j u s t t a k e s a l o t o f t i m e a n d p r a c t i c e . Y o u h a v e t o w o r k a t i t , a n d i f y o u ' r e c o n f u s e d , a n d y o u ' r e c o n f u s e d w i t h fi r e e x p l a n a t i o n , y o u h a v e t o l o o k a t i t a g a i n , a n d y o u h a v e t o c h a n g e i t . B u t , I j u s t fi r i n k i t ' s s o m e a n fi r a t ' s g o i n g t o t a k e w o r k . " C a r o l y n ' s r e s p o n s e s t o i t e m 2 0 , " A s a t e a c h e r , I w o u l d f e e l e m b a r r a s s e d i f a s t u d e n t a s k e d a q u e s t i o n t o w h i c h I d i d n ' t k n o w t h e a n s w e r , " s u g g e s t e d a p r e t t y d r a m a t i c c h a n g e f r o m t h e fi r s t d a y o f c l a s s a n d i s c o n s i s t e n t w i t h a n d r e l a t e d t o h e r t h i n k i n g a b o u t i t e m 1 4 . O n fi r e fi r s t d a y , s h e p u t a f o u r i n d i c a t i n g t h a t i t w a s c l o s e t o s o m e fi r i n g v e r y m u c h l i k e h e r . D u r i n g t h e m i d - s e m e s t e r i n t e r v i e w a n d o n fi r e l a s t d a y o f c l a s s s h e p u t a o n e — n o t a t a l l l i k e h e r . D u r i n g h e r m i d - s e m e s t e r i n t e r v i e w s h e s a i d fi r a t s h e t h o u g h t s h e h a d p r o b a b l y p u t s o m e fi r i n g h i g h e r fi r a n t h a t fi r e fi r s t d a y , b u t g u e s s e d fi r a t i t w o u l d h a v e b e e n a 3 2 6 t w o o r t h r e e . W h e n s h e w a s t o l d s h e h a d p u t a f o u r , s h e s a i d , " W o w ! I w o u l d h a v e r e a l l y b e e n e m b a r r a s s e d , h u h ? " S h e w a s fi r e n t o l d t h a t s h e h a d a fi v e a n d c r o s s e d i t o u t a n d fi r e n p u t a f o u r . H e r r e s p o n s e t o fi r a t w a s , " Y e a h . Y o u s e e I ' m n o t g o i n g t o b e e m b a r r a s s e d n o w , b e c a u s e n o w i t ' s g o i n g t o b e a w a y t o s h o w t h a t fi r a t ' s w h a t y o u d o w i fi r m a fi r . Y o u ' r e c o n f u s e d , o r y o u m i g h t b e c o n f u s e d , a n d y o u m i g h t n o t u n d e r s t a n d , b u t fi r a t ' s h o w o u ' r e g o i n g t o l e a r n . A n d , i t ' s o k a y t o n o t k n o w — e v e n a s a t e a c fi ' e r . " I t e m n u m b e r 1 6 w a s a n o t h e r o n e w h e r e C a r o l y n f e l t l i k e s h e w a s c h a n g i n g . E a c h t i m e s h e r e s p o n d e d t o fi r i s i t e m , ' T w o u l d f e e l m o r e c o m f o r t a b l e i f I k n e w fi r s t I w o u l d n o t h a v e t o t e a c h m a fi r e n r a t i c s t o e l e m e n t a r y s t u d e n t s " s h e m o v e d a s t e p c l o s e r t o " n o t a t a l l l i k e m e . " I n h e r m i d - s e m e s t e r i n t e r v i e w , s h e e x p l a i n e d w h y s h e fi r o u g h t h e r r e s p o n s e t o fi r a t i t e m w a s c h a n g i n g : " I fi r i n k c o m i n g f r o m m y r e a l l y [ s i c ] d i s l i k e a n d m y b a d f e e l i n g s a b o u t m a fi r i n t h e p a s t , t h a t t h a t ' s o n e o f fi r e h a r d e r fi r i n g s t o o v e r c o m e , a n d I ' m s l o w l y o v e r c o m i n g i t a n d g e t t i n g m o r e c o m f o r t a b l e w i fi r i t . I t ' s j u s t , i t ' s g o i n g t o t a k e a w h i l e . I fi r i n k m a t h w i l l p r o b a b l y b e s t i l l — f o r a w h i l e a t l e a s t — t h e h a r d e s t s u b j e c t I t e a c h . B e c a u s e r e a d i n g , y o u k n o w , I a l w a y s d i d g o o d i n r e a d i n g a n d fi r o s e k i n d s o f fi r i n g s . S o , r e a d i n g , w r i t i n g , s o c i a l s t u d i e s , a n d a l l fi r a t k i n d o f s t u f f i s g o i n g t o b e e a s i e r , I g u e s s . A n d , m a fi r i s s t i l l s o m e fi r i n g fi r a t I ' l l s t r u g g l e w i fi r a l i t t l e b i t m o r e . B u t , I ' m m a k i n g p r o g r e s s " P e r h a p s fi r e m o s t c o m p e l l i n g d a t a fi r a t s u p p o r t s fi r e a s s u m p t i o n t h a t s h e b e c a m e m o r e e x c i t e d a b o u t t e a c h i n g m a fi r e m a fi c s d u r i n g t h e s e m e s t e r w a s h e r r e s p o n s e s t o i t e m n u m b e r 1 9 . I n h e r m i d - s e m e s t e r i n t e r v i e w , r e g a r d i n g i t e m n u m b e r 1 9 , " I w a n t t o t e a c h m a fi r e m a t i c s s o fi r a t I c a n h e l p s t u d e n t s g e t e x c i t e d a b o u t i t " C a r o l y n t h o u g h t ( c o r r e c fi y ) t h a t s h e h a d p u t a 3 fi r e fi r s t t i m e , b u t s h e s a i d s h e w a n t e d t o g o u p t o a 5 ( " v e r y m u c h l i k e m e " ) f o r i t . T h a t a t t i t u d e r e m a i n e d fi r e s a m e i n fi r e fi n a l i n v e n t o r y . S h e e x p l a i n e d h e r c h a n g i n g a t t i t u d e fi r i s w a y : " Y e a h ! B e c a u s e , I ' m s e e i n g m o r e h o w m u c h f u n y o u c a n h a v e w i t h m a fi r , a n d I w a s n e v e r e x c i t e d a b o u t m a fi r , a n d n o w I t h i n k t h a t I r e a l l y w a n t m y s t u d e n t s t o l i k e m a fi r . I r e a l l y w a n t t h e m t o e n j o y 3 2 7 m a fi r a n d s e e i t fi r e w a y I d i d . B e c a u s e fi r e fi r i n g s fi r a t w e ' r e d o i n g a n d l e a r n i n g a b o u t . Y o u k n o w , fi r e l i t fi e l e s s o n s a n d fi r i n g s fi r a t a r e h e l p i n g m e t o r e a l i z e fi r a t i t r e a l l y c a n b e t h a t w a y . A n d , I w a s n ' t e x p o s e d t o s t u f f l i k e t h a t w h e n I w a s l e a r n i n g m a fi r . S o , fi r a t ' s c h a n g i n g m y O p i n i o n " T h e o p e n - e n d e d q u e s t i o n s o f t h e M a t h e m a t i c s I n v e n t o r y a l s o p r o v i d e d s o m e i n f o r m a t i o n a b o u t C a r o l y n ' s a t t i t u d e s t o w a r d t e a c h i n g m a t h e m a t i c s a n d h o w fi r e y m a y h a v e c h a n g e d d u r i n g t h e s e m e s t e r . F o r fi r e q u e s t i o n , " W h a t d o y o u c o n s i d e r t o b e y o u r g r e a t e s t s t r e n g t h s i n r e l a t i o n t o b e i n g a m a t h e m a t i c s t e a c h e r ? " o n fi r e fi r s t d a y o f c l a s s , C a r o l y n w r o t e , " I f e e l m a fi r i s i m p o r t a n t , a n d I c a n s h o w s t u d e n t s h o w i t w o u l d b e u s e f u l a n d r e l e v a n t i n fi r e i r l i f e . " F o r fi r e s a m e q u e s t i o n o n t h e fi n a l d a y o f c l a s s , C a r o l y n w r o t e , " M y p h i l o s o p h y a b o u t t e a c h i n g m a fi r . W h a t I f e e l i s i m p o r t a n t f o r c h i l d r e n t o l e a r n . A f t e r t h i s c l a s s I h a v e l e a r n e d a l o t o f g o o d i d e a s a n d h o w t o fi n d g o o d i d e a s . " F o r t h e q u e s t i o n , " W h a t c o n c e r n s y o u t h e m o s t a b o u t t e a c h i n g m a fi r e m a t i c s t o e l e m e n t a r y s t u d e n t s ? " o n t h e fi r s t d a y o f c l a s s , C a r o l y n w r o t e , " C h i l d r e n w h o a r e l i k e I w a s . T h e y h a v e a h a r d t i m e u n d e r s t a n d i n g m a t h c o n c e p t s o r m e m o r i z i n g m a fi r f a c t s . H o w c a n I h e l p t h e m o v e r t h e s e h u r d l e s ? " O n t h e fi n a l d a y o f c l a s s , h e r r e s p o n s e t o fi r i s q u e s t i o n w a s , " B e i n g c l e a r . K n o w i n g i f s t u d e n t s r e a l l y u n d e r s t a n d o r g r a s p fi r e c o n c e p t s . " F o r t h e t w o q u e s t i o n s n o t e d i n t h e p r e v i o u s t w o p a r a g r a p h s , i t ' s h a r d t o k n o w i f h e r r e s p o n s e s r e p r e s e n t a n y c h a n g e s . A t fi r e e n d o f fi r e s e m e s t e r , s h e m a y v e r y w e l l h a v e s t i l l b e l i e v e d w h a t s h e w r o t e fi r e fi r s t d a y s i n c e fi r e y w e r e n o t i d e a s t h a t a r e m u t u a l l y e x c l u s i v e t o h e r fi n a l r e s p o n s e s . O t h e r i d e a s r e l a t e d t o t h o s e q u e s t i o n s m a y h a v e j u s t c o m e t o fi r e f o r e f r o n t b y t h a t t i m e . A n o fi r e r o f t h e o p e n - e n d e d q u e s t i o n s f r o m fi r e M a t h e m a t i c s I n v e n t o r y r e l a t i n g t o a t t i t u d e t o w a r d t e a c h i n g m a t h e m a t i c s w a s fi r e q u e s t i o n , " D o y o u fi r i n k y o u r m a fi r e m a t i c a l e x p e r t i s e ( o r l a c k o f e x p e r fi s e ) w i l l b e a l i a b i l i t y o r a s fi e n g t h w h e n y o u t e a c h m a t h e m a t i c s i n a n e l e m e n t a r y s c h o o l ? E x p l a i n . " O n 3 2 8 fi r e fi r s t d a y o f c l a s s , C a r o l y n ' s r e s p o n s e w a s , " I fi r i n k m y l a c k o f a l o v e f o r m a t h w i l l m a k e i t m o r e d i f fi c u l t f o r m e t o t e a c h m a fi r . I h o p e t o fi n d n e w c r e a t i v e w a y s t o t e a c h m a fi r fi r a t I a m e x c i t e d a b o u t , t h e r e f o r e m y s t u d e n t s w i l l b e a l s o . " O n fi r e fi n a l d a y o f c l a s s , s h e w r o t e , " I fi r i n k m a fi r w i l l a l w a y s b e a s u b j e c t I n e e d t o b e c o n s c i o u s a b o u t m y a t t i t u d e . I w i l l p r o b a b l y p u t m o r e t i m e i n t o p l a n n i n g m a t h fi r a n i n o fi r e r s u b j e c t s , j u s t t o m a k e s u r e I ' m o n t r a c k . " C a r o l y n d i d n ' t s h o w m u c h c h a n g e i n h e r r e s p o n s e t o fi r i s q u e s t i o n . B o fi r a t fi r e b e g i n n i n g a n d fi r e e n d o f fi r e s e m e s t e r s h e r e a l i z e d t h a t h e r " l a c k o f l o v e f o r m a fi r " w o u l d m a k e i t m o r e c h a l l e n g i n g t o t e a c h m a fi r fi r a n i f s h e h a d a g r e a t d e a l o f l o v e f o r i t , b u t s h e a l s o s e e m e d h o p e f u l t h a t i t w a s s o m e t h i n g s h e c o u l d o v e r c o m e a n d c o m p e n s a t e f o r . I n fi r e fi n a l M a fi r e m a t i c s I n v e n t o r y , fi r e s t u d e n t s w e r e a l s o a s k e d , " H a v e y o u r i d e a s a b o u t m a fi r e m a t i c s o r t e a c h i n g m a fi r e m a t i c s c h a n g e d a t a l l d u r i n g fi r e t i m e y o u ' v e b e e n i n fi r i s c o u r s e ? I f s o , h o w ? I f n o t , h o w ? " F o r fi r i s q u e s t i o n , C a r o l y n w r o t e , " Y e s . I f e e l m o r e c o n fi d e n t i n m y a b i l i t i e s a n d d o n ' t f e e l l i k e I ' m h a n g i n g o n a l i m b b y m y s e l f . " T h e y w e r e a s k e d fi r e s a m e q u e s t i o n w i t h t h e w o r d " a t t i t u d e s " s u b s t i t u t i n g f o r t h e w o r d " i d e a s . " F o r t h a t q u e s t i o n , C a r o l y n w r o t e , " s a m e " w i fi r a n a r r o w p o i n t i n g t o h e r r e s p o n s e f o r t h e p r e v i o u s q u e s t i o n . I n C a r o l y n ' s fi n a l i n t e r v i e w w h i c h w a s a s e m e s t e r a f t e r fi r e c o u r s e e n d e d , s h e w a s a s k e d h o w s h e f e l t a b o u t t h e i d e a o f t e a c h i n g m a t h e m a t i c s i n a n e l e m e n t a r y s c h o o l . S h e r e s p o n d e d , " I t s t i l l i s a l i t t l e s c a r y , y o u k n o w , b e c a u s e I ' m n o t a g r e a t m a t h n . N e v e r h a v e b e e n . S o , i t ' s s t i l l k i n d o f s c a r y . A n d , I fi r i n k a l o t o f p e o p l e h a v e fi r i s i d e a fi r a t t e a c h i n g e l e m e n t a r y m a t h i s g o i n g t o b e r e a l l y e a s y . Y o u k n o w , y o u k n o w fi r a t s t u f f , a n d i t ' s g o i n g t o b e e a s y . B u t , f r o m t e a c h i n g o u r s c i e n c e l e s s o n fi r i s l a s t s e m e s t e r , I f o u n d fi r a t i t ' s h a r d e r t o t e a c h fi r i n g s y o u k n o w , b e c a u s e y o u k n o w fi r e m . Y o u u n d e r s t a n d t h e m , a n d t h e w a y y o u m i g h t t r y t o l a i n i t t o s o m e o n e e l s e , t o a y o u n e r c h i l d , i s t o o c o m p l i c a t e d , t o o a r d , o r y o u d o n ' t g e t fi r r o u g h t o t g h e m . " 3 2 9 S h e w a s fi r e n a s k e d i f h e r f e e l i n g s a b o u t t e a c h i n g m a fi r h a d e v e r c h a n g e d , a n d s h e s a i d , " I ' m n o t a s s c a r e d a s I u s e d t o b e b e c a u s e , I m e a n , I ' v e l e a r n e d s o m e d i f f e r e n t w a y s t o t e a c h m a fi r . A n d , j u s t k n o w i n g fi r a t t h e r e ' 5 fi r i n g s o u t fi r e r e t o h e l p y o u . T h e r e ' s r e s o u r c e s o r s t u f f y o u c a n l o o k a t . ' I ‘ h e r e ' 8 b o o k s y o u c a n r e a d . Y o u k n o w , t h e r e ' 8 a l o t o f fi r i n g s fi r a t c a n h e l p y o u t e a c h m a t h a n d fi r a t i t ' s l e a r n i n g f o r m e , t o o . g Y o u k r r o w , I ' m n o t o u r g t o d o i t p e r f e c t fi r e fi r s t t i m e , b u t a s l o n g a s I a m a w a r e o f w t I ' m d o i n g a n d r e a l i z e w h e n I n e e d t o d o s o m e a n d i f f e r e n t o r m i g h t w a n t t o m a k e a c h a n g e h e r e o r fi r e r e fi r a t l c a n g r o w w i fi r i t . S o , i t d o e s n ' t s e e m a s s c a r y a n y m o r e , b e c a u s e I k n o w I ' m n o t p e r f e c t , a n d I ' m l e a r n i n g , t o o . S o , I f e e l m o r e c o n fi d e n t fi r a t w a y . " M a j o r T h e m e s i n t h e C a s e o f C a r o l y n T h r e e m a j o r fi r e m e s e m e r g e f r o m a s t u d y o f fi r e c a s e o f C a r o l y n a n d h e r c o n c e p t i o n s o f a n d a t t i t u d e s t o w a r d m a fi r e m a t i c s . O n e t h e m e i s fi r e i m p o r t a n c e o f fi r e p e r s o n a l u s e f u l n e s s o f m a fi r e m a t i c s f o r C a r o l y n . A n o fi r e r i s fi r e c h a n g e i n p o s i t i o n i n g o f C a r o l y n . T h e fi r i r d m a j o r fi r e m e i s C a r o l y n ' s i n c r e a s e i n h e r c o n f i d e n c e a n d d e s i r e f o r t e a c h i n g m a fi r e m a t i c s . T h e s e t h e m e s w i l l b e e l a b o r a t e d i n fi r e f o l l o w i n g s u m m a r i e s . I m p o r t a n c e o f t h e P e r s o n a l U s e f u l n e s s o f M a t h e m a t i c s . A m a j o r fi r e m e i n fi r e c a s e o f C a r o l y n w a s fi r e i m p o r t a n c e o f fi r e u s e f u l n e s s o f m a t h e m a t i c s f o r h e r p e r s o n a l l y . H e r i d e a s a n d a t t i t u d e s r e l a t e d t o fi r i s a r e a d i d n o t s e e m t o c h a n g e m u c h d u r i n g t h e s e m e s t e r . T h e y w e r e v e r y m u c h a p a r t o f h e r a t t h e b e g i n n i n g o f fi r e s e m e s t e r a n d w h e n fi r e s t u d y c o n c l u d e d . T h e t h e m e o f t h e p e r s o n a l u s e f u l n e s s o f m a t h e m a t i c s w a s a s i g n i f i c a n t p a r t o f h e r i d e a s o f fi r e n a t u r e o f m a fi r , h e r i d e a s a b o u t h o w m a t h s h o u l d b e t a u g h t , a n d h e r a t t i t u d e t o w a r d m a t h a n d t e a c h i n g m a fi r . A C h a n g e i n P o s i t i o n i n g . O n e o f fi r e b i g g e s t c h a n g e s e v i d e n t i n C a r o l y n d u r i n g fi r i s s e m e s t e r i s a c h a n g e i n h e r p o s i t i o n i n g f r o m v i e w i n g m a fi r e m a t i c s a s a s t u d e n t w o u l d t o v i e w i n g i t f r o m fi r e p e r s p e c t i v e o f a t e a c h e r . T h i s w a s 3 3 0 p a r t i c u l a r l y e v i d e n t i n h e r b e g i n n i n g a n d fi n a l m a fi r c o n c e p t m a p s ( s e e F i g u r e 4 6 o n p a g e 3 0 5 a n d F i g u r e 4 7 o n p a g e 3 0 6 ) . H e r b e g i n n i n g c o n c e p t m a p w a s a l m o s t e n t i r e l y f o c u s e d o n h e r e x p e r i e n c e w i t h a n d r e l a t i o n t o m a t h a s a s t u d e n t . I t i n c l u d e d s e c t i o n s f o r h e r v i e w s o f h e r t e a c h e r s a n d p e e r s a s w e l l a s h e r v i e w o f m a fi r p r o b l e m s a n d w h i c h m a fi r w a s u s e f u l a n d w h i c h w a s u s e l e s s . H e r fi n a l c 0 n c e p t m a p p o r t r a y s m a fi r m o r e g e n e r a l l y a n d d o e s n o t f o c u s a s m u c h o n h e r p e r s o n a l r e l a t i o n s h i p t o m a fi r . I t i n c l u d e s fi r i n g s fi r a t a r e m u c h m o r e l i k e w h a t w o u l d b e e x p e c t e d f r o m s o m e o n e w h o w a s fi r i n k i n g a b o u t m a fi r g e n e r a l l y o r a s s o m e o n e w h o w a s g o i n g t o t e a c h m a fi r w o u l d l o o k a t i t . I t a l s o s e e m s t h a t t h e s h i f t i n h e r b e g i n n i n g a n d fi n a l " W h a t I s M a fi r e m a t i c s ? " j o u r n a l e n t r i e s i s e v i d e n c e o f a s h i f t i n p o s i t i o n i n g f r o m a s t u d e n t m o d e t o a t e a c h e r m o d e . H e r b e g i n n i n g " W h a t I s M a t h e m a t i c s ? " j o u r n a l e n t r y w a s a l m o s t e n t i r e l y a b o u t m a fi r a s i t w a s u s e f u l t o h e r p e r s o n a l l y . I n h e r fi n a l " W h a t I s M a fi r e m a t i c s ? " j o u r n a l w h y , s h e a g a i n l o o k s a t m a t h m o r e g e n e r a l l y i n _ fi r e w o r l d a n d n o t j u s t i t s r e l a t i o n t o h e r . S h e a l s o s h i f t s t o a b i g e m p h a s i s o n t h e p r o c e s s e s u s e d i n m a fi r e m a t i c s w h i c h i s s o m e fi r i n g t h a t t e a c h e r s a r e m o r e l i k e l y t o b e f o c u s e d o n . M o r e C o n f i d e n c e a n d D e s i r e f o r T e a c h i n g M a t h e m a t i c s . A t t h e e n d o f fi r e s e m e s t e r , C a r o l y n s e e m e d t o h a v e m u c h m o r e d e s i r e t o t e a c h m a fi r e m a t i c s a s w e l l a s m o r e c o n f i d e n c e i n h e r a b i l i t i e s t o t e a c h m a t h . T h e r e w a s m u c h e v i d e n c e a t t h e b e g i n n i n g o f t h e s e m e s t e r t h a t C a r o l y n f e l t s o m e t r e p i d a t i o n a b o u t t h e t h o u g h t o f t e a c h i n g m a t h e m a t i c s , e s p e c i a l l y s i n c e l e a r n i n g m a fi r e m a t i c s h a d n o t b e e n a v e r y p o s i t i v e e x p e r i e n c e f o r h e r , o v e r a l l . H o w e v e r , a l l t h e d a t a s o u r c e s — t h e M a t h e m a t i c s I n v e n t o r y , t h e j o u r n a l e n t r i e s , fi r e i n t e r v i e w s , a n d t o s o m e d e g r e e t h e c o n c e p t m a p s — s e e m e d t o s u g g e s t m o r e c o n fi d e n c e i n fi r e fi r o u g h t o f t e a c h i n g m a fi r a n d m o r e d e s i r e t o t e a c h m a fi r . S h e c l a i m e d s e v e r a l t i m e s i n h e r w r i t i n g s a n d i n t e r v i e w s fi r a t s h e w a s g a i n i n g m o r e 3 3 1 c o n fi d e n c e t o t e a c h m a fi r e m a t i c s fi r a n s h e h a d w h e n s h e e n t e r e d fi r e c l a s s . S h e a l s o e x p r e s s e d a s t r o n g d e s i r e t o t e a c h m a t h e m a t i c s s o t h a t s h e c o u l d h e l p s t u d e n t s g e t e x c i t e d a b o u t i t a n d n o t h a v e a n e x p e r i e n c e l i k e s h e d i d a s a s t u d e n t . T h e r e s e e m e d t o b e a c h a n g e i n C a r o l y n ’ s i d e a o f w h a t s h e c o n s i d e r e d s u c c e s s — m o v i n g f r o m g e t t i n g t h e r i g h t a n s w e r t o u n d e r s t a n d i n g , a s w a s e v i d e n c e d i n fi r e f o l l o w i n g q u o t e f r o m h e r m i d - s e m e s t e r i n t e r v i e w : " B e c a u s e s u c c e s s f u l i s r e a c h i n g a l e v e l o f u n d e r s t a n d i n g . S u c c e s s i s n ' t a l w a y s g e t t i n g a r i g h t a n s w e r . M a y b e t h a t ' s w h y t h a t ' s c h a n g e d a l i t fi e b i t , b e c a u s e I t o o k s u c c e s s f u l m o r e a s a l w a y s g e t t i n g fi r e r i g h t a n s w e r — k n o w i n g fi r e r i g h t a n s w e r . N o w , I l o o k a t i t m o r e a s u n d e r s t a n d i n g — u n d e r s t a n d i n g h o w t o g e t t h e r e , e v e n i f y o u d o n ' t g e t t o fi r e r i g h t s p o t . " I t m a y b e fi r a t t h i s c h a n g e i n h e r c o n c e p t i o n o f s u c c e s s w a s t h e e n g i n e fi r a t d r o v e o fi r e r c h a n g e s . I t m a y h a v e h e l p e d h e r f e e l m o r e s u c c e s s f u l i n h e r m a fi r e m a t i c a l fi r i n k i n g . I t m a y h a v e a l s o h e l p e d h e r i m a g i n e a c l a s s r o o m w h e r e t h e p r o c e s s w a s m o r e i m p o r t a n t fi r a n fi r e f i n a l a n s w e r , a n d fi r a t w a s s o m e a n s h e b e l i e v e d f r o m fi r e b e g i n n i n g o f t h e s e m e s t e r , a s w a s n o t e d i n t h e ” p r o c e s s e s " s e c t i o n o f h e r a n a l y s i s . S h e p r o b a b l y f e l t m o r e e n fi r u s i a s t i c a b o u t t e a c h i n g i n fi r a t t y p e o f a c l a s s r o o m t h a n a c l a s s r o o m fi r a t w a s l i k e t h e i m a g e s h e h a d f r o m h e r o w n e x p e r i e n c e s a s a s t u d e n t . E l i z a b e t h : E a r l y P o s i t i o n i n g a s a T e a c h e r E l i z a b e fi r w a s a 2 2 — y e a r - o l d s t u d e n t w i fi r l o n g , c u r l y b r u n e t t e h a i r . S h e w a s a v e r a g e h e i g h t w i fi r a s l e n d e r b u i l d . E l i z a b e fi r w a s m a j o r i n g i n c h i l d d e v e l o p m e n t a n d t e a c h i n g . S h e h a d c o m p l e t e d h e r i n t e r n s h i p i n c h i l d d e v e l o p m e n t a t fi r e l a b o r a t o r y p r e s c h o o l t h e p r e v i o u s y e a r , a n d s h e j u s t h a d t o t a k e T B 4 0 1 a n d 4 0 2 t o fi n i s h t h e t e a c h e r e d u c a t i o n p a r t o f h e r m a j o r . S h e d e s c r i b e d h e r s e l f a s h a v i n g " b e e n a r o u n d a w h i l e . " E l i z a b e fi r f e l t f a i r l y s u c c e s s f u l a s a s t u d e n t i n m a fi r e m a t i c s i n e l e m e n t a r y s c h o o l . S h e f e l t e s p e c i a l l y s u c c e s s f u l w h e n d o i n g m a t h t h a t d e a l t w i fi r 3 3 2 m o n e y — e x c e p t i n t a k i n g a p e r c e n t a g e o f f a p r i c e . I n h e r m i d - s e m e s t e r i n t e r v i e w , s h e d e s c r i b e d h e r e x p e r i e n c e s w i t h m a t h i n e l e m e n t a r y s c h o o l fi r i s w a y : " T h r o u g h e l e m e n t a r y s c h o o l , I h a d l i k e fi r e g e n e r a l e d s . , fi r e b a s i c s , y o u k n o w , s t a r t i n g o f f w i t h a d d i t i o n a n d s u b t r a c t i o n , a n d f r a c t i o n s , m u l t i p l i c a t i o n , a n d d i v i s i o n . I r e m e m b e r m a t h k i n d o f i n a h i e r a r c h y . E v e r y y e a r y o u l e a r n e d k i n d o f a n e w c o n c e p t , a n d y o u r e v i e w a n d g o b a c k a l i t fi e b i t a n d fi r e n b u i l d o n fi r a t , a n d I r e m e m b e r b e i n g v e r y s u c c e s s f u l i n a n y t h i n t h a t d e a l t w i fi r m o n e y . T h e y s e e m e d t o r e a l l y m a k e t h a t w o y o f o u r t y p e o f s t u d y i n g , b u t a l s o I fi r i n k w e h a d m o r e r e a s o n t o e n j o y i t , y o u k n o w , i t w a s s o m e fi r i n fi r a t w e c o u l d e x p e r i e n c e i n o u r l i v e s , fi r a t w e h a d e x p e r i e n c e w i t i m o n e y . A n d , t h e o n e fi r i n g I f e l t l a c k i n g w a s fi r e a r e a o f , s t i l l n o w , p e r c e n t a g e s , a n d I g o i n t o a s t o r e , a n d I s a y , " O h , 2 5 % o f f . " A n d , I c a n ' t q u i t e e v e n fi r i n k w h a t fi r a t m e a n s , s o I a l w a y s g o f r o m a b a s e o f t e n , a n d fi r a t h e l p s , a n d I fi r i n k fi r a t m a y b e i n e l e m e n s c h o o l i f fi r e y w o u l d h a v e h e l p e d m e a l i t t l e m o r e , t h e n I w o u l d v e l e a r n e d f r o m fi r a t . " I n j u n i o r h i g h a n d h i g h s c h o o l , h e r s u c c e s s w i t h m a fi r c o n t i n u e d u n t i l s h e g o t t o g e o m e t r y . H e r d e s c r i p t i o n o f h e r e x p e r i e n c e w i fi r m a t h e m a t i c s i n j u n i o r h i g h a n d h i g h s c h o o l f o l l o w s : " I n j u n i o r h i g h , I w a s p l a c e d i n o n e o f fi r e m o r e a d v a n c e d m a t h c l a s s e s . Y o u s t a r t o f f w i fi r l i k e a l g e b r a , a n d fi r e a d v a n c e d a l g e b r a , a n d t h e n I w e n t i n t o g e o m e t r y . B u t , i n g e o m e t r y , I s t a r t e d t o g e t s t u c k . I s t a r t e d t o h a v e p r o b l e m s , s o I w e n t i n t o t h e r e g u l a r l e v e l . T h e n , i n h i g h s c h o o l I w a s i n g e o m e t r y a n d a l g e b r a I I , a n d I n e v e r g o t i n t o c a l c u l u s . I j u s t fi g u r e d I ' m d o n e h e r e . I d i d n ' t h a v e t o t a k e a n y m o r e u n l e s s I w a n t e d t o , a n d I w a s n ' t d o i n g g r e a t i n c h e m i s t r y a t fi r e t i m e , s o I d e c i d e d I d i d n ' t w a n t t o p u t a n y m o r e o n m y p l a t e t h a n I ' v e g o t . S o , I b a s i c a l l y w e n t i n t o g e n e r a l l e v e l . I w a s c o n s i d e r e d a d v a n c e d w h e n I w a s y o u n g e r , b u t i t g o t a l i t t l e b i t r o u g h f o r m e b e c a u s e I s a w s o m e o f t h e t e a c h e r s w h o w a n t e d t o r e a l l y p u s h fi r e s t u d e n t s w h o w e r e e x c i t e d a n d i n t o i t i n t h e M a fi r O l y m p i a d a n d S c i e n c e O l y m p i a d , a n d fi r e y w e r e r e a l l y s u c c e s s f u l i n i t , a n d I f e l t fi r a t i f I w a s fi r e o n e w h o w a s s t r u g g l i n g , a n d I w o u l d c o m e i n a n d a s k f o r e x t r a h e l p , t h e y h a d fi r e i r a t t e n t i o n s o m e t i m e s m o r e t o fi r e k i d s fi r a t r e a l l y d o w e l l . S o , fi r s t w a s d i s a p p o i n t i n g , b u t I l e a r n e d a l o t i n m y g e n . e d . c l a s s e s , t o o . E x c e p t f o r o n e y e a r w e h a d a t e a c h e r t h a t w a s o n e t h e w h o l e y e a r , s o w e d i d n ' t r e a l l y l e a r n a n y fi r i n g w i fi r a l l fi r e s u b s t i t u t e s . S o , i t w a s b a s i c a l l y u n t i l a l g e b r a I I , t h r o u g h g e o m e t r y a n d i n t o a d v a n c e d a l g e b r a , a n d fi r a t r e a l l y w a s p r e - c a l c . 3 3 3 W h e n a s k e d h o w s h e d i d i n h e r m a fi r c l a s s e s , E l i z a b e fi r s a i d , " I w a s u s u a l l y r e a l l y s u c c e s s f u l . M o s fi y A ' s , s o m e B ' s , a n d t h e n w h e n I w a s h a v i n fi r a t s t r u g g l e w i fi r g e o m e t r y , I w a s g e t t i n g a C , a n d fi r a t ' s w h y I g e d c l a s s e s , b e c a u s e fi r a t w a s n ' t a c c e p t a b l e t o m e . I s a i d , ' N o , I n e e d t o b e i n t h e B r a n g e . ‘ I n h i g h s c h o o l , fi r a t w a s a l w a y s v e r y i m p o r t a n t t o m e , a n d i n c o l l e g e , I ' v e h a d a l i t t l e b i t d i f f e r e n t a g e n d a o f t h i n g s , b u t fi r a t w a s , y o u k n o w , n o t s u c c e s s f u l f o r m e . S o , I w a n t e d t o m a k e s u r e I w a s i n fi r e B r a n g e . S h e w a s a l s o a s k e d w h a t s h e fi r o u g h t m a d e g e o m e t r y s u c h a b a d e x p e r i e n c e f o r h e r , a n d s h e s a i d , " I fi r i n k i t w a s l i k e p o s t u l a t e s a n d fi r e o r e m s , a n d o n e p r o b l e m f o r m e w o u l d t a k e u p a n e n t i r e p a g e , a n d a n e n t i r e n i g h t ' s w o r fi r o f h o m e w o r k w a s j u s t o v e r w h e l m i n g . I w a s u s e d t o j u s t c r a n k i n g fi r e m o u t , y o u k n o w , 2 4 p r o b l e m s a n i g h t y o u c o u l d g o h o m e a n d d o y o u r m a fi r , a n d m y d a d w o u l d h e l p m e o u t a l o t . B u t , t o fi r i n k o f a p p l y i n g a l l t h e s e t h e o r e m s a n d p o s t u l a t e s t o t h e s e d i f f e r e n t fi g u r e s , t o o n e p r o b l e m , t o m e j u s t f e l t l i k e t o o m u c h . I m e a n , I u n d e r s t o o d a l o t o f i t , a n d o n c e I g o t d o n e w i fi r fi r e o r e m s , I c o u l d e x p l a i n t h e m w i fi r o u t h a v i n g t o u s e s p e c i fi c w o r d s . . . I t s e e m e d b l a c k a n d w h i t e t o m e . I t w a s f r u s t r a t i n g . B u t , o n c e I r e a l l y g o t fi r e c o n c e p t s d o w n , fi r e n I r e a l l y f e l t s u c c e s s f u l , a n d i n fi r e b e g i n n i n I w a s l i k e , ' G o s h , fi r i s i s o v e r w h e l m i n g . I ' v e n e v e r h a d m a fi r a s w a y . ’ I ' v e a l w a y s fi r o u g h t i t w a s p l u g i n t o a f o r m u l a , a n d fi r i s i s n ' t r e a l l y a f o r m u l a t o m e . " I n c o l l e g e , E l i z a b e t h e x p e r i e n c e d m o r e d i f f i c u l fi e s w i fi r m a fi r . S h e e n d e d u p o n l y t a k i n g M a t h 2 0 1 a n d 2 0 2 , b u t s h e h a d t o t a k e M a t h 2 0 2 t w i c e t o p a s s i t . S h e a l s o d i d n ' t f e e l l i k e s h e w a s r e a l l y l e a r n i n g m a fi r i n h e r c o l l e g e c l a s s e s . F o l l o w i n g i s h e r d e s c r i p t i o n o f h e r e x p e r i e n c e s w i t h m a t h i n c o l l e g e : " I w a s t o l d a s a f r e s h m a n I w o u l d n ' t h a v e t o t a k e a n y m a fi r . B u t , fi r e n fi r a t c h a n g e d , a n d fi r e r e w a s M a fi r 2 0 1 , 2 0 2 . F i r s t i t w a s ' u s t 2 0 1 , fi r e n i t w a s 2 0 1 a a n d 2 0 2 , a n d I h a d a n o fi r e r p r e d i c a m e n t w e n I w a s g o i n g i n t o 2 0 1 , fi r e y l o o k e d a t m y c o l l e g e e n t r a n c e e x a m s a n d s a i d , ' O h , y o u ' r e o n l y o n e p o i n t a w a y o f p a s s i n g o u t o f M a fi r 1 1 6 , e n t r a n c e l e v e l m a t h . 8 0 , I g u e s s y o u ' l l h a v e t o g o t a k e t h a t c l a s s , t o o . ‘ S o , i n s t e a d o f t a k i n g n o n e , I ' v e h a d t o t a k e t h r e e . S o , I w e n t a n d t a l k e d t o fi r e d e a n , h e s a i d , ' O h , w e ' l l o v e r r i d e y o u , a n d y o u ' l l j u s t h a v e t o t a k e 2 0 1 a n d 2 0 2 . ‘ S o , I t o o k fi r e m , a n d I w a s n ' t v e r y s u c c e s s f u l h e r e a t a l l . I w a s i n t h e C r a n g e . I p a s s e d o u t o f 2 0 1 e v e n t u a l l y . 2 0 2 I t o o k i n a s e m e s t e r I h a d s o m e o fi r e r h a r d c l a s s e s , a n d I d i d n ' t r e c e i v e a p a s s i n g g r a d e ; s o , I c a m e b a c k i n fi r e s u m m e r , a n d I t o o k 2 0 2 o v e r a g a i n . A n d , I w a s i n a s t u d y g r o u p , a n d w e a l l 3 3 4 f e l t fi r a t w e w e r e s t r u g g l i n g . T h e y s a i d , ' O h , y o u ' v e t a k e n fi r i s b e f o r e . ’ A n d , I s a i d , ' Y e s , i t ' s o n e o f fi r e c l a s s e s I ' v e h a d t o r e p e a t . ‘ A n d fi r e y w e r e l i k e , ' O h , m y g o s h . ‘ S o , w e h e l p e d e a c h o fi r e r . W e a l l s t r u g g l e d fi r r o u g h i t a n d g o t 2 . 0 5 , a n d I w a s k i n d o f g l a d t o g e t fi r a t o n e o v e r w i fi r . B u t , I w a s k i n d o f d i s a p p o i n t e d fi r e w a y I h a d b e e n l e a r n i n g a b o u t fi r i s n e w w a y o f t e a c h i n g s t u d e n t s a n d h o w i t ' s n o t i m p l e m e n t e d a t a l l i n fi r e w a y I ' v e l e a m e d — a t a l l . S o , I w a s a l w a y s l o o k i n g a t a n e x a m p l e a n d t r y i n g t o , r u n , s o l v e a l l m y b l e m s c o m p a r e d t o fi r e e x a m p l e fi r a t w a s g i v e n , a n d n o t r e a l l y e a r n i n g fi r e c o n c e p t s a n d w h y i t w o r k s . I t w a s j u s t l i k e , ' O k a y , I r e m e m b e r s e e i n g t h a t . I ' l l p l u g fi r i s i n . ‘ Y o u k n o w , w h a t l e t t e r s w i l l fi t i n t o fi r a t . S o , i t w a s n ' t r e a l l y l e a r n i n g . I fi r i n k i t w a s m o r e m e m o r i z a t i o n . A s fi r i s s t u d y b e g a n , E l i z a b e fi r f e l t f a i r l y c o n fi d e n t w i t h h e r a b i l i t y t o u n d e r s t a n d m o s t b a s i c m a fi r , b u t s h e d i d n ' t e n j o y i t , a n d s h e w a s p a r t i c u l a r l y f r u s t r a t e d w i t h h e r fi r e n - r e c e n t e x p e r i e n c e w i fi r m a t h e m a fi c s w h i l e i n c o l l e g e . I n h e r " R e fl e c t i o n s o f M a t h e m a t i c s E x p e r i e n c e s " j o u r n a l e n t r y w h i c h w a s a s s i g n e d o n fi r e fi r s t d a y o f c l a s s , E l i z a b e fi r w r o t e , " I h a v e a l w a y s u h r a r d e r s t o o d fi r e b a s i c s o f m a t h . I ' v e j u s t n e v e r ' 0 e d i t . I s t i l l v e a s t r u e w i p e r c e r r t a e s a n d t a x e s , fi u r t r h g s fi m r a t fi fi r i n k s h o u l d b e t a u g t m o r e fi r o r o u g fi l y i n s c h o o l i n e e l e m e n t a r y s t a g e s . T h e u s e o f m o n e y w a s w e l l t a u g h t I fi r o u g h t , b u t t a g e s a l w a y s s e e m e d l i k e a t o u g r e r c o n c e p t t o m e . " R i g t n o w I a m e x t r e m e l y f r u s t r a t e d w i m a fi r , e s p e c i a l l y a t t h i s u n i v e r s i t y a n d i t s r e q u i r e m e n t s f o r e l e m e n t a r y e d u c a t i o n m a j o r s : l e a r n i n g b y f o r m u l a a n d e x a m p l e a n d s i m p l y p l u g g i n g i n n u m b e r s i s n _ o t l e a r n i n g . I t s e e m e d l i k e fi r a t w a s a l l I c o u l d d o i n t h e t i m e g i v e n t o ' l e a m ' a n e w u n i t a n d s h o w m y s k i l l s f o r fi r e t e s t a n d p a s s i t a c c u r a t e l y e n o u g h t o m e e t fi r e r e q u i r e m e n t s o f fi r e C o l l e g e o f E d f o r g r a d u a t i o n . " E l i z a b e t h ' s C o n c e p t i o n s o f M a t h e m a t i c s T h e d a t a c o l l e c t e d f r o m E l i z a b e fi r t h r o u g h o u t t h e s t u d y p r o v i d e s o m e i n s i g h t s i n t o h e r c o n c e p t i o n s o f m a t h e m a t i c s . T h e y w i l l b e d i s c u s s e d i n fi r e s u b s e q u e n t s e c t i o n s f o l l o w i n g fi r e f o r m a t o f fi r e f r a m e w o r k d e s i g n e d t o a n a l y z e fi r i s s t u d y . E l i z a b e t h w a s v e r y l o q u a c i o u s i n h e r i n t e r v i e w s , a n d a l fi r o u g h s h e s e e m e d t o w a n d e r a b i t a t t i m e s , s h e p r o v i d e d m u c h i n f o r m a t i o n a b o u t w h a t s h e w a s fi r i n k i n g . M M i 3 a m ” : a Q M . . . - " a ) s : , ; . E l i z a b e fi r ' s b e g i n n i n g a n d fi n a l m a fi r c o n c e p t m a p s a r e s h o w n h e r e ( S e e F i g u r e s 4 8 a n d 4 9 ) . T h e y w i l l b e r e f e r r e d t o i n v a r i o u s s e c t i o n s o f t h e a n a l y s i s . s j g “ a l l ” M W . n ‘ q w ‘ c : 5 c m ; - 0 - " O . - m ” - l ' l t h " - ' . — - - - W ' ~ - P i g u r e 4 8 : B e g i n n i n g M a t h C o n c e p t M a p o f E l i z a b e fi r N a t u r e o f M a t h e m a t i c s I n fi r i s s e c t i o n , I e x a m i n e E l i z a b e fi r ’ s c o n c e p t i o n s o f m a fi r e m a t i c s r e l a t e d t o t h e n a t u r e o f m a fi r e m a t i c s — i t s c o n t e n t , p r o c e s s e s , r e p r e s e n t a t i o n s , a n d c h a r a c t e r i s t i c s — t h r o u g h o u t fi r e s e m e s t e r . C o n t e n t . I n E l i z a b e fi r ' s b e g i n n i n g " W h a t I s M a t h e m a t i c s ? " j o u r n a l e n t r y , s h e i n c l u d e d a s e n t e n c e fi r a t g i v e s s o m e i n f o r m a t i o n a b o u t h e r i d e a s o f t h e c o n t e n t o f m a t h e m a t i c s : " S t r a n g e w o r d s l i k e r a t i o a n d q u o t i e n t w e r e u s e d a n d i t h a d m a n y d i f f e r e n t f a u c e t s [ s i c ] , l i k e m u l t i p l i c a t i o n , d i v i s i o n , a d d i t i o n , s u b t r a c fi o n , fi r e t i m e s t a b l e s , a l g e b r a , g e o m e t r y ( w i fi r i n t r o d u c fi o n o f s h a p e s a n d 3 3 6 F i g u r e 4 2 F i n a l M a t h C o n c e p t M a p o f E l i z a b e t h fi r e o r e m s ) , t h e n t h e r e a l l y h a r d s t u f f l i k e c a l c u l u s c a m e a l o n g . " I n h e r b e g i n n i n g c o n c e p t m a p , s h e i n c l u d e d m a n y u s e s o f m a fi r e m a t i c s w h i c h a r e r e l a t e d t o c o n t e n t s u c h a s " m e a s u r e m e n t , " b u t fi r e r e w a s n o l i s t i n g o f s p e c i fi c c o n t e n t o f m a t h e m a t i c s ( S e e F i g u r e 4 8 o n p a g e 3 3 6 ) . A t fi r e e n d o f fi r e s e m e s t e r , E l i z a b e t h ' s f o c u s o f w h a t m a t h w a s c h a n g e d s o m e w h a t i n b o t h h e r " W h a t I s M a t h e m a t i c s ? " j o u r n a l e n t r y a n d h e r fi n a l c o n c e p t m a p c o m p a r e d t o w h a t t h e y w e r e a t t h e b e g i n n i n g o f t h e s e m e s t e r , b u t 3 3 7 c o n t e n t w a s s t i l l a t l e a s t a s m a l l p a r t o f fi r a t f o c u s . I n h e r fi n a l " W h a t I s M a fi r e m a t i e s ? " j o u r n a l e n t r y , fi r e o n l y s e n t e n c e s h e w r o t e r e l a t e d t o c o n t e n t w a s , " N u m b e r s a r e m e a n i n g f u l a n d h a v e a p l a c e i n fi r e w o r l d . " S h e d i d h a v e a l i t t l e m o r e i n h e r fi n a l c o n c e p t m a p fi r a n s h e d i d i n h e r b e g i n n i n g o n e r e l a t e d t o c o n t e n t , fi r o u g h . S h e i n c l u d e d fi r e i t e m s " c o n c e p t s , " " a d d i fi o n a n d s u b t r a c t i o n , " " d i v i s i o n a n d m u l t i p l i c a t i o n , " a n d " p r o b a b i l i t y a n d s t a t i s t i c s " fi r a t w e r e r e l a t e d t o c o n t e n t . S h e a l s o h a d fi r e w o r d " c o n t e n t " c o n n e c t e d t o " m a fi r e m a t i c s , " b u t s h e d i d n ' t i n c l u d e a n y i t e m s fi r a t s h e c o n n e c t e d t o " c o n t e n t " ( S e e F i g u r e 4 9 o n p a g e 3 3 7 ) . A p p a r e n fi y s h e k n e w fi r a t fi r e c o n t e n t o f m a fi r w a s p a r t o f w h a t m a fi r w a s , b u t s h e d i d n ' t e l a b o r a t e m u c h o n w h a t t h a t c o n t e n t w a s . T h e d a t a i s i n s u f fi c i e n t t o d e t e r m i n e i f E l i z a b e fi r ' s i d e a s a b o u t fi r e c o n t e n t o f m a fi r e m a t i c s c h a n g e d a t a l l d u r i n g fi r e s e m e s t e r . T h e d i f f e r e n c e s w e r e m o r e l i k e l y r e fl e c t i v e o f w h a t s h e w a s fi r i n k i n g a b o u t a t t h e t i m e r a fi r e r t h a n w h a t s h e fi r o u g h t t h e c o n t e n t o f m a fi r w a s . P r o c e s s e s . E l i z a b e t h d i d n ' t i n c l u d e a n y fi r i n g r e l a t e d t o t h e p r o c e s s e s o f m a t h e m a t i c s i n e i fi r e r h e r b e g i n n i n g " W h a t I s M a t h e m a t i c s ? " j o u r n a l e n t r y o r h e r b e g i n n i n g c o n c e p t m a p . H o w e v e r , i n h e r r e s p o n s e t o w h y s h e t h o u g h t g e o m e t r y h a d b e e n s u c h a h a r d s u b j e c t f o r h e r , a s n o t e d o n p a g e 3 3 4 , s h e m a y h a v e g i v e n a g l i m p s e o f w h a t s h e c o n s i d e r e d a p r o c e s s o f m a fi r e m a t i c s w h e n s h e s a i d , ” I ' v e a l w a y s t h o u g h t i t w a s p l u g i n t o a f o r m u l a , a n d fi r i s i s n ' t r e a l l y a f o r m u l a t o m e . ” E l i z a b e t h s e e m e d t o h a v e b e e n fi r i n k i n g a l i t t l e m o r e o f t h e p r o c e s s e s o f m a fi r e m a t i c s a t t h e e n d o f t h e s e m e s t e r . I n h e r fi n a l " W h a t I s M a t h e m a t i c s ? " j o u r n a l e n t r y , r e l a t e d t o p r o c e s s e s s h e w r o t e , " P r o b l e m - s o l v i n g t e c h n i q u e s s h o u l d g o b e y o n d s t o r y p r o b l e m s a n d fi l t e r i n t o e v e r y d a y l i f e , g i v i n g s t u d e n t s fi r e n e c e s s a r y s k i l l s t o t a c k l e e v e r y d a y s i t u a t i o n s w i fi r m a fi r . " I n h e r fi n a l c o n c e p t m a p , s h e h a d " p r o c e s s " c o n n e c t e d t o " m a fi r e m a t i c s , " b u t a g a i n a s w i fi r h e r i t e m o f " c o n t e n t , " s h e d i d n ' t h a v e a n y a n e l s e c o n n e c t e d t o " p r o c e s s . " S h e 3 3 8 d i d a l s o h a v e " p r o b l e m s o l v i n g " c o n n e c t e d b e t w e e n " c o n c e p t s " a n d " p r o b a b i l i t y a n d s t a t i s t i c s " ( S e e F i g u r e 4 9 o n p a g e 3 3 7 ) . R e p r e s e n t a t i o n s . E l i z a b e t h i n c l u d e d s o m e o f h e r i d e a s a b o u t t h e w a y m a t h i s r e p r e s e n t e d i n h e r b e g i n n i n g " W h a t I s M a fi r e m a t i e s ? " j o u r n a l e n t r y . S h e w r o t e , " I ' v e a l w a y s fi r o u g h t m a fi r w a s e q u a t i o n s a n d p r o b l e m s t o b e s o l v e d . T h e ' l a n g u a g e ' o f m a fi r w a s w r i t t e n i n s y m b o l s o f > , < , o r = ; + ; - ; x ; + . " I n h e r b e g i n n i n g c o n c e p t m a p , s h e a l s o i n c l u d e d " n u m b e r s " w i fi r " e q u a t i o n s " a n d " s y m b o l s " c o n n e c t e d t o i t ( S e e F i g u r e 4 8 o n p a g e 3 3 6 ) . A l s o , w h e n s h e w a s t a l k i n g a b o u t h e r m a fi r e m a t i c s b a c k g r o u n d i n h e r m i d - s e m e s t e r i n t e r v i e w , s h e t a l k e d a b o u t ” p o s t u l a t e s a n d t h e o r e m s ” i n t h e q u o t e o n p a g e 3 3 4 t h a t w a s r e f e r r e d t o i n fi r e p r e v i o u s s e c t i o n . T h i s w a s p r o b a b l y t h e m o s t a t t e n t i o n a n y o n e i n t h e c l a s s g a v e t o r e p r e s e n t a t i o n s o f m a fi r a t fi r e b e g i n n i n g o f fi r e s e m e s t e r . A t fi r e e n d o f fi r e s e m e s t e r , fi r e r e w a s l e s s e m p h a s i s o n fi r e r e p r e s e n t a t i o n s o f m a t h i n E l i z a b e t h ' s c o n c e p t i o n s o f m a fi r e m a t i c s . S h e d i d n ' t i n c l u d e a n y fi r i n g r e l a t e d t o r e p r e s e n t a t i o n s i n e i fi r e r h e r fi n a l " W h a t I s M a t h e m a t i c s ? " o r h e r fi n a l m a t h c o n c e p t m a p . C h a r a c t e r i s t i c s . T h e o n l y p l a c e w e r e a l l y g e t a n y i n f o r m a t i o n a b o u t E l i z a b e t h ' s c o n c e p t i o n s o f t h e c h a r a c t e r i s t i c s o f m a fi r e m a t i c s i s f r o m t h e i t e m s r e l a t e d t o c h a r a c t e r i s t i e s o f m a fi r e m a t i c s i n t h e M a fi r e m a t i c s I n v e n t o r y ( S e e T a b l e 2 9 ) . T h e o n l y o t h e r t h i n g i n a l l o f fi r e o fi r e r d a t a s o u r c e s t h a t i s s o m e w h a t r e l a t e d t o c h a r a c t e r i s t i c s o f m a t h e m a t i c s i s a n i t e m s h e i n c l u d e d o n h e r b e g i n n i n g c o n c e p t m a p . S h e w r o t e " t r i a l a n d e r r o r v s . r i g h t a n d w r o n g w a y s " c o n n e c t e d t o " g r o u p l e a r n i n g " w h i c h w a s c o n n e c t e d t o " a t t i t u d e s " ( S e e F i g u r e 4 8 o n p a g e 3 3 6 ) . A p p a r e n t l y s h e r e a l i z e d fi r a t s o m e c o n s i d e r e d m a fi r a s h a v i n g " l i g h t a n d w r o n g w a y s , " b u t i t i s n o t c l e a r i n h e r c o n c e p t m a p i f fi r a t i s h e r o p i n i o n o f i t . O n e o f t h e i t e m s r e l a t e d t o t h e c h a r a c t e r i s t i c s o f m a t h e m a t i c s i n t h e M a t h e m a t i c s I n v e n t o r y w a s i t e m 4 , " I fi r i n k o f m a fi r e m a t i c s a s a s e t o f i s o l a t e d 3 3 9 T a b l e 2 9 : I t e m s R e l a t i n g t o C o n c e p t i o n s o f C h a r a c t e r i s t i e s o f M a t h e m a t i c s f r o m t h e M a g e m a t i c s I n v e n t o r y w i t h E l i z a b e t h ' s R e s p o n s e s 1 1 . M a t h e m a t i c s i s s o m e t h i n g fi r a t n o t e v e r y o n e i s a b l e t o 4 u n d e r s t a n d . J 1 7 . M a t h e m a t i c s i s s o m e fi r i n g a t w h i c h e v e r y o n e c a n b e 2 3 4 s u c c e s s f u l . f a c t s t h a t n e e d t o b e m e m o r i z e d . " E l i z a b e t h d i d n ' t a g r e e w i t h t h a t c h a r a c t e r i z a t i o n m u c h , e s p e c i a l l y a s fi r e s e m e s t e r w e n t o n . S h e p u t a 3 f o r i t o n fi r e fi r s t d a y a n d a 2 fi r e n e x t t w o t i m e s s h e t o o k fi r e i n v e n t o r y . W h e n s h e g a v e i t a 2 d u r i n g h e r m i d - s e m e s t e r i n t e r v i e w , s h e fi r o u g h t s h e h a d p u t a 3 o r 4 o n fi r e fi r s t d a y o f c l a s s b e c a u s e s h e s a i d , " I w a s m o r e i n t o t h a t b e f o r e . " S h e e x p l a i n e d w h a t s h e w a s fi r i n k i n g a b o u t fi r a t s t a t e m e n t fi r i s w a y , ' T k n o w fi r a t I w a s n ' t l e a r n i n g fi r i n g s i f I j u s t m e m o r i z e d i t . I w a s b e i n g s u c c e s s f u l o n t e s t s i f I j u s t m e m o r i z e d t h e f a c t s a n d fi r e f o r m u l a s a n d fi r e p o s t u l a t e s , a n d I d i d n ' t r e a l l y fi r i n k I w a s a p p l y i n g fi r e m o n t h e t e s t s . I w a s ' u s t a p p l y i n g m e m o r i z e d f a c t s . I k n e w w h i c h v a r i a b l e s w e n t i n w fi i c h s p o t s a n d fi r o s e k i n d s o f fi r i n g s . S o , i t s e e m e d l i k e t h a t w a s m o r e m e m o r i z e d t o m e , a n d e v e n i n c h e m i s t r y , a l l t h e d i f f e r e n t s y m b o l s fi r a t s t o o d f o r t h e d i f f e r e n t g a s e s a n d fi r i n g s l i k e fi r a t . I h a d t o m e m o r i z e a l l fi r a t , b u t t h e y h a d a p l a c e w h e r e t h e y m a t t e r , a n d I fi r i n k i t ' s k i n d o f i m p o r m n t t o d o s o m e m e m o r i z a t i o n l i k e y o u r t i m e s t a b l e s a n d fi r i n g s l i k e fi r a t t o s a v e t i m e , b u t a s l o n g a s y o u k n o w fi r e c o n c e p t a n d w h a t ' s b e h i n d i t , w h e r e i t c a n b e u s e f u l , a n d n o t j u s t fi r i s t a b l e fi r a t ' s i n y o u r h e a d . S o w h a t i f 4 X 4 = 1 6 . W h a t d o e s t h a t r e a l l y m e a n . I f y o u c a n a p p l y i t a n d d r a w i t a n d s h o w e x a m p l e s f o r i t , i t c a n s a v e y o u a l o t o f t i m e . " W h e n E l i z a b e fi r b e g a n fi r e c o u r s e , s h e f e l t q u i t e s t r o n g l y fi r a t m a fi r e m a t i c s i s s o m e fi r i n g fi r a t n o t e v e r y o n e i s a b l e t o u n d e r s t a n d w h i c h w a s t h e s t a t e m e n t f o r i t e m 1 1 i n t h e M a fi r e m a t i e s I n v e n t o r y . S h e p u t a 4 f o r fi r a t i t e m o n fi r e fi r s t d a y o f c l a s s . D u r i n g fi r e m i d - s e m e s t e r i n t e r v i e w a n d o n t h e fi n a l d a y o f c l a s s , s h e r e s p o n d e d t o fi r a t i t e m w i fi r a 5 , i n d i c a t i n g fi r a t s h e a g r e e d w i t h i t e v e n m o r e s t r o n g l y . A p p a r e n t l y s h e c a m e t o fi r a t c o n c l u s i o n b e c a u s e o f t a l k i n g w i fi r a n d l i s t e n i n g t o h e r c l a s s m a t e s . S h e f o u n d o u t o fi r e r s h a d s t r u g g l e d w i fi r i t , t o o , a n d fi r a t w a s c o m f o r t i n g t o h e r . S h e e x p l a i n e d t o fi r e m i d - s e m e s t e r i n t e r v i e w e r w h a t s h e w a s t h i n k i n g a b o u t fi r a t : " I t h i n k b e c a u s e fi r e m o r e I t a l k t o o fi r e r 1 e a n d fi r e m o r e I ' v e b e e n i n d i f f e r e n t d i s c u s s i o n s w h e n y o u a v e t i m e t o a c t u a l l y g e t o p i n i o n s f r o m o fi r e r l e i n c l a s s a n d n o t j u s t s i t fi r e r e a n d h e a r w h a t fi r e p r o f e s s o r s a y s , h e a r w h a t fi r e t e a c h e r s a y s , a n d fi r e n l e a v e a n d g o h o m e a n d d o y o u r r e a d i n g a n d t r y t o a p p l y w h a t o u ' r e t h i n k i n g t o i t . I fi r i n k i t ' s i m p o r t a n t t o h e a r o fi r e r p e o p l e w 0 w i l l b e y o u r c o l l e a e s s o m e d a y a n d y o u r p e e r s r i g h t n o w h o w t h e y f e e l a b o u t i t , w t fi r e i r b a c k g r o u n d s a r e , a n d t o k n o w fi r a t t h e y ' r e g o i n g t o b e c o n t r i b u fi n g t o o fi r e r c h i l d r e n ' s l e a r n i n g , t o o . A n d , i f o fi r e r p e o p l e h a d s t r u g g l e s , i t m a k e s m e f e e l l i k e , o k a y , fi r e n w h a t c a n w e d o a b o u t i t ? W e h a v e a c o m m o n g r o u n d . Y o u k n o w , w h a t ' s a w a y fi r a t y o u l i k e t o t e a c h i t , a n d w h a t ' s a w a y fi r a t I a m . A n d , i f w a s i n fi r e s c h o o l s y s t e m , m a y b e I ' d w a n t t o c o l l a b o r a t e w i fi r fi r a t t e a c h e r a n d w e c o u l d t e a c h t o g e fi r e r b e c a u s e w e ' v e b o fi r h a d p r o b l e m s t e a c h i n g , a n d I j u s t f e e l o o d k n o w i n g t h a t o fi r e r l e h a d p r o b l e m s , t o o , a n d I d o n ' t t h i n k o f fi r a t i n a n e g a t i v e w a y , b u t I fi r i n k , ' G o s l r , I ' m n o t fi r e o n l y o n e o u t fi r e r e . ' " T h e i n t e r v i e w e r fi r e n p r o b e d f u r t h e r b y a s k i n g h e r i f s h e t h o u g h t t h e r e w a s s o m e fi r i n g a b o u t s o m e p e o p l e fi r a t t h e y c a n ' t u n d e r s t a n d m a fi r . E l i z a b e fi r r e p l i e d " Y e a h , I fi r i n k fi r e r e i s a d i f f e r e n t l i k e r i g h t - b r a i n , l e f t - b r a i n k i n d o f fi r i n g . T h e k i n d o f p e r s o n y o u a r e . I f y o u ' v e a l w a y s b e e n m o r e i n t o v e r b a l e x p r e s s i o n a n d a n e x t r o v e r t , a n d r e a l l y o u t g o i n g , I fi r i n k t h o s e p e o p l e t o m e h a v e a l w a y s b e e n m o r e l a n g u a g e a r t s p e o p l e , a n d fi r e n fi r e r e ' s o t h e r p e o p l e fi r a t fi r e y w a n t t o k n o w t h e w a y fi r i n g s w o r k . T h e y ' r e i n t e r e s t e d i n fi r e m e c h a n i c s o f fi r i n g s , a n d m a y b e m o r e i n t r o v e r t e d , b e c a u s e fi r e y ' d b e e x c i t e d j u s t t o s i t h o m e a n d w o r k w i fi r a c o m p u t e r a l l a f t e r n o o n . F o r m e , I ' m l i k e , ' O h , I ' v e g o t t o w r i t e t h a t p a p e r , a n d I h a v e a l l t h e s e i d e a s i n m y h e a d a n d I w a n t t o t e l l s o m e b o d y a b o u t , b u t I ' v e g o t t o g o w o r k w i t h fi r i s m a c h i n e f o r a w h i l e t o g e t i t a l l l o o k i n g p e r f e c t . ‘ A n d , fi r e n I a m e x c i t e d w i fi r t h e e n d r e s u l t , b e c a u s e i t c o m e s o u t l o o k i n g m u c h b e t t e r fi r a n j u s t t h e s c r a m b l e d fi r o u g h t s i n m y h e a d . B u t , I fi r i n k fi r a t s o m e p e o p l e w i l l a l w a y s b e l i k e , ' W e l l , I d o n ' t u n d e r s t a n d w h y fi r a t ' s i m p o r t a n t f o r m e t o k n o w , b e c a u s e fi r a t ' s n o t fi r e w a y I fi r i n k ' " E l i z a b e t h ' s i n c r e a s i n g b e l i e f fi r a t s o m e c h i l d r e n j u s t c a n ’ t l e a r n m a fi r i s i n t e r e s t i n g i n t h e c o n t e x t o f h e r o t h e r c h a n g e s . I t i s e s p e c i a l l y i n t e r e s t i n g fi r a t fi r i s b e l i e f s e e m s t o b e p a r t o f f e e l i n g b e t t e r a b o u t t h e r e l a t i o n b e t w e e n h e r s e l f a n d m a t h . 3 4 1 I t ’ s a l s o i n t e r e s t i n g t o n o t e fi r a t s h e f r a m e s fi r i s " n o t b e i n g a b l e t o u n d e r s t a n d " i n p o s i t i v e t e r m s t h a t p o r t r a y fi r e p e o p l e w h o c a n ’ t l e a r n m a t h a s m o r e a t t r a c t i v e , c o o l e r f o l k s ( e x t r o v e r t s , r e a l l y o u t g o i n g , e t c . ) . A s a g r o u p , t h e c l a s s a g r e e d w i fi r t h a t s t a t e m e n t ( " M a t h e m a t i c s i s s o m e fi r i n g t h a t n o t e v e r y o n e i s a b l e t o u n d e r s t a n d " ) l e s s a t t h e e n d o f t h e s e m e s t e r fi r a n fi r e y d i d a t fi r e b e g i n n i n g . ( T h e m e a n w a s 2 . 8 6 a t t h e b e g i n n i n g a n d 2 . 3 4 a t fi r e e n d o f fi r e s e m e s t e r . ) B u t , u n l i k e fi r e m a j o r i t y o f fi r e s t u d e n t s , a t t h e e n d o f t h e s e m e s t e r , E l i z a b e t h t h o u g h t e v e n m o r e s t r o n g l y fi r a t n o t e v e r y o n e c a n u n d e r s t a n d m a t h . T h i s c o n c e p t i o n a p p e a r s t o h a v e b e e n i n fl u e n c e d b y t a l k i n g w i t h h e r p e e r s a s w e l l a s c o n s i d e r i n g h e r s e l f a s a n e x a m p l e . I t a l s o s e e m s t o h a v e b e e n i n fl u e n c e d b y s o m e o fi r e r c o n c e p t i o n s o f c h a r a c t e r i s t i c s o f m a fi r t h a t s h e r e v e a l e d w h e n t a l k i n g a b o u t fi r i s i t e m — t h a t i t ' s " l e f t - b r a i n e d " a n d t h a t i t ' s s o m e fi r i n g t h a t a n i n t r o v e r t w o u l d m o r e l i k e l y b e g o o d a t . E v i d e n fi y , E l i z a b e fi r b e l i e v e d fi r a t p e o p l e fi r i n k d i f f e r e n fi y a n d t h a t t h e w a y s o m e p e o p l e fi r i n k d o e s n ' t a l l o w f o r t h e m t o u n d e r s t a n d m a fi r . P a r t o f E l i z a b e fi r ’ s c o n c e p t i o n s i n fi r i s a r e a w e r e i n fl u e n c e d b y e x p e r i e n c e s s h e h a d i n fi r e c o u r s e s u c h a s t a l k i n g w i t h h e r p e e r s , b u t s o m e o f h e r i d e a s h a v e n o c l e a r r e l a t i o n t o a n y c o u r s e e x p e r i e n c e . F o r e x a m p l e , t h e i d e a s s h e t a l k e d a b o u t r e l a t e d ” l e f t - b r a i n ] r i g h t - b r a i n ” a n d i n t r o v e r t s v s . e x t r o v e r t s w e r e n o t t h i n g s w e t a l k e d a b o u t i n c l a s s . T h e y m a y h a v e b e e n i d e a s s h e w a s i n t r o d u c e d t o i n a n o t h e r c o u r s e d u r i n g fi r e t i m e s h e w a s i n m y c l a s s , b u t m o r e l i k e l y t h e y w e r e p a r t o f h e r o u fi o o k b e f o r e t h e c o u r s e b e g a n e v e n fi r o u g h s h e d i d n o t t a l k a b o u t fi r e m e a r l i e r . E l i z a b e t h ' s r e s p o n s e s t o i t e m 1 7 , " M a t h e m a t i c s i s s o m e fi r i n g a t w h i c h e v e r y o n e c a n b e s u c c e s s f u l , " s e e m i n c o n s i s t e n t w i fi r h e r r e s p o n s e s t o i t e m 1 1 , e s p e c i a l l y a s fi r e y c h a n g e fi r r o u g h o u t fi r e s e m e s t e r . O f c o u r s e , i t ' s v e r y p o s s i b l e f o r s o m e o n e t o fi r i n k o f " u n d e r s t a n d i n g m a fi r " a n d " b e i n g s u c c e s s f u l a t m a fi r " a s 3 4 2 d i f f e r e n t fi r i n g s . O n fi r e fi r s t d a y o f c l a s s , s h e p u t a 2 f o r i t e m 1 7 , i n d i c a t i n g f a i r l y s t r o n g d i s a g r e e m e n t w i fi r fi r e s t a t e m e n t . D u r i n g fi r e m i d - s e m e s t e r i n t e r v i e w , s h e p u t a 3 w h i c h w o u l d i n d i c a t e m o r e a m b i v a l e n c e o r u n c e r t a i n t y a b o u t w h a t s h e fi r o u g h t a b o u t t h a t . O n fi r e fi n a l d a y o f c l a s s , s h e p u t a 4 f o r t h a t i t e m , i n d i c a t i n g f a i r l y s t r o n g a g r e e m e n t . S h e e x p l a i n e d h o w s h e w a s fi r i n k i n g a b o u t i t d u r i n g h e r m i d - s e m e s t e r i n t e r v i e w : I fi r i n k fi r a t ' s c h a n g i n g f o r m e m o r e , b e c a u s e i f y o u g i v e e v e r y b o d y a v a l i d — — l i k e i f y o u v a l i d a t e fi r e i r r e a s o n s , a n d y o u s h o w fi r e m fi r a t w h a t fi r e y s a y i s i m p o r t a n t , a n d a w a fi r a t t h e y c a n r e l a t e i t t o fi r e i r l i f e , fi r a t fi r e y c a n b e s u c c e s s f u l w i i t , fi r a t i t ' s g o i n g t o m a k e fi r e m f e e l m o r e c o n fi d e n t a b o u t i t , a n d fi r a t fi r e y c a n b e s u c c e s s f u l a t i t , a n d fi r e y ' r e n o t a l w a y s g o i n g t o g e t a p a p e r b a c k t h a t h a s a f r o w n y f a c e i n s t e a d o f a s m i l e y f a c e , y o u k n o w . T h e y k n e w s o m e o f fi r e c o n c e p t s , a n d i t w a s n ' t j u s t fi r a t fi r e y g o t fi r e r i g h t a n s w e r , b u t fi r e y c o u l d e x p l a i n i t . I f fi r e y c o u l d s t a n d u p i n fi r e f r o n t o f t h e c l a s s a n d e x p l a i n i t t o s o m e o n e e l s e , fi r a t t o m e w o u l d m e a n fi r a t t h e y ' r e s u c c e s s f u l , n o t j u s t w h e t h e r I s a i d t h e y w e r e r i g h t o r w r o n g . S o m e h o w , e v e n t h o u g h E l i z a b e fi r ' s e x p l a n a t i o n o f s u c c e s s i n m a t h e m a t i c s s e e m s t o i n d i c a t e fi r a t i t w o u l d i n c l u d e a l e v e l o f u n d e r s t a n d i n g s i n c e s h e t a l k e d a b o u t fi r e s t u d e n t s b e i n g a b l e t o e x p l a i n i t , s h e w a s a b l e t o b e l i e v e b o t h fi r e s e s e e m i n g l y d i c h o t o m o u s c o n c e p t i o n s o f m a t h o r l e a r n i n g m a t h — t h a t n o t e v e r y o n e c a n u n d e r s t a n d m a t h a n d fi r a t e v e r y o n e c a n b e s u c c e s s f u l a t m a fi r . T h i s c o n t r a d i c t i o n m a y b e a n i m p o r t a n t c l u e i n w h a t c h a n g e s w e r e h a p p e n i n g f o r E l i z a b e t h . S h e s e e m s t o b e g r a p p l i n g w i fi r t w o s e e m i n g l y c o n t r a d i c t o r y v i e w s a n d t r y i n g t o fi n d a w a y t o b e l i e v e b o t h . S h e m a y b e a c c e p t i n g t h e i d e a fi r a t a l l c a n b e s u c c e s s f u l a t m a t h e m a t i c s — a n d p r o b a b l y t h e p a r t o f h e r fi r a t i s fi r i n k i n g o f h e r s e l f a s a t e a c h e r w a n t s t o b e l i e v e fi r a t — b u t a t fi r e s a m e t i m e , s h e d i d n o t w a n t t o g i v e u p t h e b e l i e f — t h a t s e e m e d b a s e d o n h e r o w n e x p e r i e n c e — fi r a t n o t e v e r y o n e c a n u n d e r s t a n d m a fi r . 3 4 3 U s e f u l n e s s o f M a t h e m a t i c s I n fi r i s s e c t i o n , I e x a m i n e E l i z a b e t h ’ s c o n c e p t i o n s o f m a fi r e m a t i c s fi r r o u g h o u t fi r e s e m e s t e r r e l a t e d t o fi r e u s e f u l n e s s o f m a fi r e m a t i e s i n fi r e a r e a s o f g e n e r a l u s e f u l n e s s , p e r s o n a l u t i l i t y , i n d i r e c t p e r s o n a l u fi l i t y , a n d u t i l i t y f o r o fi r e r s . G e n e r a l U s e f u l n e s s o f M a t h e m a t i c s . T h e u s e f u l n e s s o f m a fi r e m a t i c s w a s a b i g p a r t o f E l i z a b e fi r ' s c o n c e p t i o n s o f m a fi r e m a t i c s — e s p e c i a l l y a t t h e b e g i n n i n g o f fi r e s e m e s t e r , b u t a l s o a t fi r e e n d o f fi r e s t u d y . M o s t o f E l i z a b e fi r ' s b e g i n n i n g m a t h c o n c e p t m a p w a s r e l a t e d t o fi r e u s e f u l n e s s o f m a fi r ( S e e F i g u r e 4 8 o n p a g e 3 3 6 ) , b u t fi r e r e w a s n ' t a n y fi r i n g r e l a t e d t o fi r e u s e f u l n e s s o f m a fi r i n h e r fi n a l c o n c e p t m a p ( S e e F i g u r e 4 9 o n p a g e 3 3 7 ) . H e r b e g i n n i n g " W h a t I s M a t h e m a t i c s ? " j o u r n a l e n t r y a l s o i n c l u d e d s o m e o f h e r i d e a s o f fi r e u s e f u l n e s s o f m a t h , b u t a s w i fi r h e r c o n c e p t m a p s , h e r fi n a l " W h a t I s M a t h e m a t i c s ? " j o u r n a l e n t r y c o n t a i n e d l e s s . E v e n t h o u g h fi r e r e s e e m e d t o b e l e s s a t t e n t i o n o n t h e u s e f u l n e s s o f m a fi r e m a t i c s i n t h e d a t a s o u r c e s r e f e r r e d t o i n fi r e p r e v i o u s p a r a g r a p h a t fi r e e n d o f t h e s e m e s t e r c o m p a r e d t o fi r e b e g i n n i n g o f fi r e s e m e s t e r , fi r e r e w a s s o m e e v i d e n c e fi r a t E l i z a b e fi r ' s i d e a s o f h o w m a t h i s u s e d i n t h e w o r l d e x p a n d e d s o m e w h a t d u r i n g t h e s t u d y . F o r e x a m p l e , o n e o f fi r e q u e s t i o n s t h e f o c u s s t u d e n t s w e r e a s k e d i n fi r e fi n a l i n t e r v i e w w a s , " H a v e y o u r i d e a s a b o u t w h a t i t m e a n s t o k n o w a n d d o m a t h c h a n g e d a t a l l d u r i n g y o u r l i f e ? I f s o , c a n y o u i d e n t i f y w h a t h a s c a u s e d o r a f f e c t e d fi r a t c h a n g e ? " P a r t o f E l i z a b e fi r ' s r e s p o n s e t o fi r a t q u e s t i o n i n d i c a t e s t h a t s h e h a d a g r e a t e r r e c o g n i t i o n o f t h e u t i l i t y o f m a fi r e m a t i c s a n d w h e r e m a fi r e m a t i c s i s a t fi r e e n d o f fi r e s e m e s t e r fi r a n s h e d i d a t fi r e b e g i n n i n g . S h e s a i d , " U n r , y e a h . I fi r i n k I h a v e c h a n g e d m y m i n d a b o u t m a fi r . I m e a n I r e a l i z e d b e f o r e t h a t i f y o u a r e b a l a n c i n g y o u r c h e c k b o o k , y o u ' r e u s i n g m a t h , a n d a l l fi r o s e k i n d s o f fi r i n g s , t h a t i t ' s e v e r y w h e r e a l l a r o u n d y o u , b u t I w a s n ' t a b l e t o r e c o g n i z e i t a s m u c h b e f o r e I k i n d o f s t u d i e d i t i n m y T ' E c l a s s l a s t f a l l . 3 4 4 A n o t h e r p l a c e fi r e r e c a n b e s e e n s l i g h t b i t s o f c h a n g e i n E l i z a b e fi r ' s c o n c e p t i o n s r e l a t e d t o t h e g e n e r a l u s e f u l n e s s o f m a t h e m a t i c s w a s i n h e r r e s p o n s e s t o t h e r e l e v a n t i t e m s f r o m fi r e M a fi r e m a t i c s I n v e n t o r y ( S e e T a b l e 3 0 ) . T a b l e 3 0 : I t e m s R e l a t i n g t o C o n c e p t i o m o f fi r e U s e fi c b t e s s o f M a t h e m a t i c s f r o m t h e M a t h e m a t i c s I n v e n t o r y w i t h E l i z a b e t h ' s R e s p o n s e s I t e m , , _ a . . . . ' t r c s l s a n i m p o r t a n t s u b j e c t n t 1 8 3 4 £ 1 “ 8 - I 5 . I fi r i n k m a t h e m a t i c s i s s o m e t h i n g v e r y m u c h r e l a t e d t o 4 3 4 fi r i s w o r l d . _ 1 3 . T h e o n l y p e o p l e w h o r e a l l n e e d t o u n d e r s t a n d m a fi r 2 2 2 a r e t h o s e w h o c h o o s e a c a r e e r ' c h r e g u i r e s m a fi r s k i l l s . F o r i t e m 3 , " I fi r i n k m a fi r e m a t i c s i s a n i m p o r t a n t s u b j e c t fi r a t i s u s e f u l i n l i f e , " E l i z a b e fl r r e s p o n d e d w i fi r a 3 fi r e fi r s t t w o t i m e s s h e t o o k t h e i n v e n t o r y w h i c h s u g g e s t e d s o m e u n c e r t a i n t y i n h e r a g r e e m e n t , b u t s h e p u t a 4 o n t h e l a s t d a y o f c l a s s , i n d i c a t i n g f a i r l y s t r o n g a g r e e m e n t w i fi r fi r e s t a t e m e n t . D u r i n g fi r e m i d - s e m e s t e r i n t e r v i e w , s h e e x p l a i n e d t o fi r e i n t e r v i e w e r w h a t s h e w a s fi r i n k i n g a b o u t r e l a t e d t o fi r a t i t e m : " U m , I ' d s a y i t ' s p r o b a b l y a 3 , b e c a u s e I k n o w m a fi r i s u s e f u l i n l i f e a n d e v e r y fi r i n g t h a t y o u d o e v e r y d a y m a fi r i s i n v o l v e d . T h a t ' s s o m e fi r i n g t h a t I ' v e h a d a k i n d o f d i f f e r e n t l o o k a t f r o m t h e c l a s s fi r a t y o u k n o w , y o u s t o p a t a l i g h t , a n d y o u ' r e i n y o u r c a r . T h a t l i g h t i s w o r k i n g m e c h a n i c a l l y , a n d s o m e b o d y h a s h a d t o — y o u k n o w a n e n g i n e e r o r s o m e t y p e o f a m e a n i c — t o p u t t h a t t o g e t h e r , a n d fi r a t ' s u s i n g m a fi r . T h e c a r r u n s o n m a fi r . I m e a n , p u t t i n g g a s i n i t , y o u h a v e t o k n o w fi r e p r i c e o f g a s . A l l fi r e d i f f e r e n t g e a r s a n d g a d g e t s i n o u r c a r s o m e o n e w o r k e d o u t h o w t h e y e l e c t r o n i c a l l y fi t t o g e e r a n d w o r k t o g e t h e r . I t ' s a l l m a t h e m a t i c a l . S o , I k n o w fi r e y ' r e v e r y i m p o r t a n t a n d u s e f u l , a n d i t ' s a w h o l e n e t w o r k o f p e o p l e w h o w o r k t o g e fi r e r . I d o n ' t fi r i n k i t ' s l i k e o n e p e r s o n w h o ' s a m a s t e r a t m a t h . " T h e i n t e r v i e w e r fi r e n a s k e d h e r w h a t s h e t h o u g h t s h e h a d p u t b e f o r e , a n d s h e s a i d , " P r o b a b l y a 3 . " S h e w a s t h e n a s k e d i f s h e fi r o u g h t a n y t h i n g a b o u t fi r a t h a d c h a n g e d , a n d e v e n fi r o u g h s h e r e s p o n d e d w i fi r t h e s a m e n u m b e r o n fi r e s c a l e a s s h e d i d fi r e fi r s t d a y o f c l a s s , h e r r e s p o n s e i n d i c a t e s t h a t fi r e r e h a d b e e n a t l e a s t s o m e c h a n g e : 3 4 5 " U n r , I ' v e s e e n m o r e w a y s w h e r e m a fi r i s u s e f u l i n l i f e . B e f o r e , I t h i n k fi r e r e ' s n o fi r i n g i m p o r t a n t a b o u t g e o m e t r y . I ' m n e v e r g o i n g s i t h o m e a n d fi r i n k a b o u t s h a p e s a n d fi r i n g s l i k e fi r a t . B u t , n o w , w h e n I fi r i n k a b o u t c h e m i s t r y a n d s o m e o f t h e fi r i n g s fi r a t I ' v e l e a r n e d a n d h o w fi r a t ' s i n v o l v e d w i fi r m a fi r a n d t h e w a y y o u r b o d y r u n s a n d , y o u k n o w , t e m p e r a t u r e i n fi r e c l a s s r o o m a n d fi r i n g s l i k e fi r a t . M a fi r i s e v e r y w h e r e , a n d i t i s r e a l l y u s e f u l . A n d , s o m e t i m e s i f i t ' s b o r i n g b e c a u s e y o u ' r e r e a d i n g i t i n a b o o k , a n d y o u c a n ' t a 1 y i t t o y o u r l i f e , d o e s n ' t m e a n t h a t i t ' s n o t u s e d i n o u r l i f e . I t h l ' i r k fi r e r e ' s a p a r a l l e l b e t w e e n fi r e s t o r y p r o b l e m i n e b o o k a n d h o w d u l l a n d b o r i n g fi r a t i s t o w e l l , [ h o w ] y o u ' d u s e fi r i s i n l i f e s o m e t i m e i f fi r e r e w a s l i k e a p r o b l e m l i k e , y o u k n o w , " T h e H e d l u n d s w e r e b u i l d i n g a h o u s e . . . . " W e l l , w h y w o u l d I b u i l d a h o u s e a s a fi r i r d g a d e r ? I f y o u h a v e a n a q u a r i u m i n y o u r c l a s s r o o m a n d s a y y o u v e fi r r e e fi s h i n fi r e r e . Y o u w a n t t o b u y s i x m o r e fi s h , a n d fi r e s e fi s h n e e d fi r i s a m o u n t o f w a t e r . H o w m u c h b i g g e r o f a n a q u a r i u m d o y o u n e e d t o g e t i f y o u ' r e g o i n g t o g e t m o r e fi s h . T h a t w o u l d m e a n s o m e fi r i n g t o fi r e m . T h e y ' d b e l i k e , ' M o r e fi s h ! M o r e fi s h ! W e n e e d a b i g g e r a q u a r i u m ! ’ A n d , t h e y ' d w a n t t o m e a s u r e i t , a n d fi r i n g s l i k e t h a t . " M o s t p e o p l e w h o t h o u g h t t h a t " [ m ] a fi r i s e v e r y w h e r e , a n d i t i s r e a l l y u s e f u l " w o u l d p r o b a b l y a n s w e r fi r a t i t e m w i fi r s o m e fi r i n g h i g h e r fi r a n a 3 , b u t f o r s o m e r e a s o n E l i z a b e fi r d i d n o t . H o w e v e r , s h e d i d i n c r e a s e h e r r e s p o n s e t o fi r a t i t e m t o a 4 o n t h e l a s t d a y o f c l a s s . I t ' s i n t e r e s t i n g fi r a t E l i z a b e fi r fi r o u g h t o f fi r e u s e f u l n e s s o f m a fi r e m a t i c s a s i t r e l a t e d t o h o w s h e t h o u g h t m a t h s h o u l d b e t a u g h t . T h i s c o n n e c t i o n w i l l b e h i g h l i g h t e d m o r e i n fi r e c o n c e p t i o n s o f t e a c h i n g m a fi r e m a t i c s s e c t i o n o f fi r e a n a l y s i s . W h e n E l i z a b e fi r w a s a s k e d i t e m 5 , " I fi r i n k m a t h e m a t i c s i s s o m e t h i n g v e r y m u c h r e l a t e d t o fi r i s w o r l d , " d u r i n g fi r e m i d - s e m e s t e r i n t e r v i e w , s h e g a v e i t a 3 ( S e e T a b l e 3 0 o n p a g e 3 4 5 ) . T h i s i t e m i s r e l a t e d t o i t e m 3 d i s c u s s e d p r e v i o u s l y , " I fi r i n k m a fi r e m a t i c s i s a n i m p o r t a n t s u b j e c t fi r a t i s u s e f u l i n l i f e , " a n d s h e g a v e i t fi r e s a m e r e s p o n s e . H e r r e s p o n s e t o i t e m 5 w a s l o w e r d u r i n g t h e m i d - s e m e s t e r i n t e r v i e w t h a n i t w a s o n fi r e fi r s t d a y ( a 4 v s . a 3 ) , b u t E l i z a b e fi r ' s e x p l a n a t i o n d u r i n g fi r e i n t e r v i e w i n d i c a t e d t h a t fi r e r e h a d b e e n s o m e c h a n g e — a n d n o t i n fi r a t d i r e c t i o n . W h e n r e a d fi r e i t e m , s h e s a i d , " I fi r i n k I w o u l d p r o b a b l y s a y a 3 n o w , 3 4 6 a n d I p r o b a b l y p u t a 2 b e f o r e . " W h e n t o l d fi r a t s h e p u t a 4 , s h e w a s v e r y s u r p r i s e d , b u t s h e s a i d , " O h , h u h ? W e l l , I s t i l l fi r i n k I ' d p u t 3 n o w . I r e a l i z e i t ' s r e l a t e d t o t h i s w o r l d , b u t n o t n e c e s s a r i l y m y w o r l d a n d w h a t I t h i n k o f . " ( T h i s e x p l a n a t i o n m a y a l s o c l a r i f y w h y E l i z a b e fi r g a v e o n l y a 3 f o r i t e m 3 a s w e l l . ) W h e n a s k e d w h a t s h e m e a n t b y h e r r e s p o n s e , E l i z a b e fi r e l a b o r a t e d , " W h e n I fi r i n k o f fi r e r e s t o f m y l i f e , I ' m g o i n g t o b e t e a c h i n g c h i l d r e n . I ' l l b e t e a c h i n g fi r e m fi r e m a fi r fi r a t ' s v a l u a b l e t o fi r e m a t t h e i r a g e , a n d I w o n ' t b e g o i n g o n t o p h y s i c s o r a s t r o n o m y o r c a l c u l u s o r a n y fi r i n g l i k e fi r a t w i fi r fi r e m . I ' l l g i v e fi r e m a o o d b a s i s w h a t t h e y m i g h t w a n t t o d o w i fi r t h e i r l i f e , b u t w h e n I ' a b o u t , fi r e fi r i n g s I d o , e v e r y fi r i n g ' s k i n d o f s e t o u t fi r e r e f o r m e . I d o n ' t r e a l t l ‘ y h a v e t o d o m a fi r t o t r y a n d r u n m y c a r . I m e a n I h a v e t o a d d u p e a s t o p u t i n m y c a r , b u t I d o n ' t h a v e t o d o fi r o s e fi r i n g s . I k n o w t s o m e o n e e l s e h a s a l r e a d y d o n e t h e m , a n d t h e y ' r e o u t fi r e r e . S o , fi r e y a r e r e l a t e d t o fi r i s w o r l d , b u t , u m , m a y b e n o t i n t h e fi r i n g s fi r a t I d o . " A g a i n , E l i z a b e fi r w a s fi r i n k i n g a b o u t fi r e u s e f u l n e s s o f m a fi r e m a fi c s i n r e l a t i o n t o h o w s h e fi r o u g h t i t s h o u l d b e t a u g h t . A t fi r e e n d o f fi r e s e m e s t e r , a s w i fi r i t e m 3 , h e r r e s p o n s e i n c r e a s e d t o a 4 , s u g g e s t i n g m o r e a g r e e m e n t w i t h t h a t s t a t e m e n t . T h e o t h e r i t e m f r o m t h e M a t h e m a t i c s I n v e n t o r y fi r a t w a s r e l a t e d t o t h e u s e f u l n e s s o f m a fi r e m a t i c s w a s i t e m 1 3 , " T h e o n l y p e o p l e w h o r e a l l y n e e d t o u n d e r s t a n d m a fi r a r e fi r o s e w h o c h o o s e a c a r e e r w h i c h r e q u i r e s m a t h s k i l l s . " E l i z a b e fi r p u t a 2 f o r i t e a c h t i m e s h e t o o k t h e i n v e n t o r y , i n d i c a t i n g f a i r l y s t r o n g d i s a g r e e m e n t w i fi r fi r e s t a t e m e n t . E l i z a b e t h ' s c o n c e p t i o n s o f fi r e u s e f u l n e s s o f m a fi r e m a t i c s a s t h e y r e l a t e t o p e r s o n a l u t i l i t y , i n d i r e c t p e r s o n a l u t i l i t y , a n d u t i l i t y f o r o t h e r s w i l l b e b r i e fl y a d d r e s s e d i n fi r e f o l l o w i n g s e c t i o n s . P e r s o n a l U t i l i t y . E l i z a b e fi r r e c o g n i z e d fi r e p e r s o n a l u t i l i t y o f m a t h e m a t i c s f o r h e r t h r o u g h o u t fi r e s t u d y . I n h e r b e g i n n i n g " W h a t I s M a fi r e m a t i e s ? " j o u r n a l e n t r y s h e w r o t e , " M a fi r i s p r e s e n t i n e v e r y d a y l i f e : e . g . , s h o p p i n g , % o f s a l e s a n d s a l e s t a x e s , p r i c e s o f p r o d u c t s t o o . I n t i m e , n u m b e r s a r e u s e d a n d a r e v e r y 3 4 7 i m p o r t a n t . M a fi r i s u s e d i n d r i v i n g s o m e w h a t , w i fi r s p e e d l i m i t s a n d g a s p r i c e s . " S h e a l s o i n c l u d e d a g r e a t d e a l r e l a t e d t o p e r s o n a l u t i l i t y o f m a t h o n h e r b e g i n n i n g c o n c e p t m a p . S h e i n c l u d e d " m o n e y " w i fi r " e c o n o m y " a n d " s h o p p i n g " c o n n e c t e d t o i t a n d " % o f f s a l e s " a n d " t a x e s " c o n n e c t e d t o " s h o p p i n g " ( S e e F i g u r e 4 8 o n p a g e 3 3 6 ) . S h e a l s o h a d a c a t e g o r y o f " m e a s u r e m e n " c o n n e c t e d t o " m a fi r " w i fi r " c o o k i n g , " " p r i c e s , " " d i s t a n c e , " a n d " p a r k i n g s p a c e s " c o n n e c t e d t o i t . T h e i t e m " d r i v i n g " w a s c o n n e c t e d t o " m a t h " a n d a l s o " e v e r y d a y c o n c e p t s " a n d " m e a s u r e m e n t . " S h e h a d " p a r k i n g s p a c e s " w r i t t e n o n t h e l i n e c o n n e c t i n g " d r i v i n g " a n d " m e a s u r e m e n t . " " S p e e d o m e t e r s " w a s a n o fi r e r i t e m s h e h a d c o n n e c t e d t o " d r i v i n g " fi r a t w a s r e l a t e d t o p e r s o n a l u t i l i t y . A t fi r e e n d o f t h e s e m e s t e r , s h e d i d n ' t i n c l u d e a n y a n r e l a t e d t o t h e p e r s o n a l u t i l i t y o f m a fi r i n h e r " W h a t I s M a t h e m a t i c s ? " j o u r n a l e n t r y o r h e r c o n c e p t m a p , b u t fi r a t w a s m o r e l i k e l y d u e t o a s h i f t i n h e r a t t e n t i o n o f w h a t m a fi r e m a t i c s i s m o r e t h a n b e c a u s e s h e fi r o u g h t d i f f e r e n fi y a b o u t h o w m a fi r e m a fi c s i s u s e f u l t o h e r . A f e w o f h e r c o m m e n t s i n h e r fi n a l i n t e r v i e w i n d i c a t e t h a t s h e s t i l l u n d e r s t o o d t h e p e r s o n a l u t i l i t y o f m a t h e m a t i c s . F o r e x a m p l e , s h e s a i d , " D o i n g m a fi r c a n m e a n a w h o l e d i f f e r e n t n u m b e r o f fi r i n g s . I t c a n e i fi r e r b e l i k e b a l a n c i n g y o u r c h e c k b o o k . I f o n s e e s o m e o n e i n t h e g r o c e r y l i n e b a l a n c i n g t h e i r c h e c k b o o k , e y ' r e d o i n g m a fi r . I f { € 3 3 3 r d é ‘ o ‘ é ‘ l ' c f o i ‘ é ' t ' e g r ' , 1 1 ? : t fi ' fi a a t o fl ‘ f a m o “ § 3 % $ d 3 3 3 $ : g o i n g t o d o m a fi r i f y o u l e t o f f t h e g a s . " O r , w h e n s h e w a s a s k e d a b o u t i f a n d h o w m a t h e x i s t e d o u t s i d e o f a s c h o o l c l a s s r o o m , s h e s a i d , " l i k e , d i n n e r ' s a t 5 : 0 0 , a n d i t ' s 4 : 3 0 . H o w m u c h t i m e d o I h a v e b e t w e e n n o w a n d fi r e n ? " A n o t h e r e x a m p l e s h e g a v e d u r i n g h e r fi n a l i n t e r v i e w w a s , " Y o u m a y n o t e v e n b e fi r i n k i n g fi r a t y o u ' r e d o i n g m a fi r i f y o u ' r e a t h o m e a n d y o u ' r e d o i n g l a u n d r y , a n d i t s a y s a f u l l c u p o f l a u n d r y d e t e r g e n t . W e l l , i t ' s a l l m e a s u r e d o u t fi r e r e f o r y o u . Y o u d o n ' t 3 4 8 e v e n h a v e t o fi r i n k a b o u t i t , b u t i f y o u j u s t p o u r i t h a l f w a y , t h e n y o u ' r e u s i n g m a fi r fi r e n , t o o . " I n d i r e c t P e r s o n a l U t i l i t y . I n h e r b e g i n n i n g " W h a t I s M a t h e m a t i c s ? " j o u r n a l e n t r y , E l i z a b e fi r i n c l u d e d s o m e i d e a s o f h o w m a t h a f f e c t s h e r i n d i r e c t l y : " M a t h i s e v e r y w h e r e a n d i t i s a m e a n s t o r e g u l a t e c o m m e r c e , e c o n o m y , p o p u l a t i o n g r o w fi r , m e a s u r e fi r i n g s l i k e fi r e w e a fi r e r , a n d u s e d i n e v e r y d a y l i f e , p r o b a b l y e v e r y d a y . " S h e a l s o i n c l u d e d s o m e i d e a s / i t e m s r e l a t e d t o i n d i r e c t p e r s o n a l u t i l i t y o n h e r b e g i n n i n g m a fi r c o n c e p t m a p . C o n n e c t e d t o " d r i v i n g " s h e h a d " m a c h i n e s " a n d " s t o p l i g h t s " w i fi r " f u n c t i o n i n g " c o n n e c t e d t o b o t h o f fi r e m . S h e e v e n h a d a c a t e g o r y o f " e v e r y d a y c o n c e p t s " w i t h " i n d i r e c t i m p a c t o f c o m p l e x p r o b l e m s " a n d " w e u s e p r o d u c t s ( f r i d g e c a r s , e t c . ) " b r a n c h i n g o f f o f i t ( S e e F i g u r e 4 8 o n p a g e 3 3 6 ) . S o , i t s e e m s c l e a r fi r a t s h e r e a l i z e d fi r a t m a fi r w a s u s e d i n a w a y t h a t a f f e c t e d h e r i n d i r e c fi y . T h e r e w e r e n ' t a n y s p e c i fi c e x a m p l e s o f m a fi r ' s i n d i r e c t p e r s o n a l u t i l i t y i n h e r fi n a l d a t a s o u r c e s , b u t i n h e r fi n a l i n t e r v i e w , s h e p r o v i d e d e v i d e n c e t h a t s h e s t i l l r e a l i z e d fi r e i n d i r e c t p e r s o n a l u t i l i t y o f m a fi r . F o r e x a m p l e , a s n o t e d e a r l i e r , s h e s a i d , ' T fi r i n k I h a v e c h a n g e d m y m i n d a b o u t m a t h . I m e a n I r e a l i z e d b e f o r e t h a t i f y o u a r e b a l a n c i n g y o u r c h e c k b o o k , y o u ' r e u s i n g m a fi r , a n d a l l fi r o s e k i n d s o f fi r i n g s , fi r a t i t ' s e v e r y w h e r e a l l a r o u n d y o u b u t I w a s n ' t a b l e t o r e c o g n i z e i t a s m u c h b e f o r e I k i n d o f s t u d i e d i t i n m y T ' E c l a s s l a s t f a l l . A n d , s h e a l s o s a i d i n h e r fi n a l i n t e r v i e w , " I fi r i n k i t ' s i m p o r t a n t f o r p e o p l e t o k n o w fi r a t a l m o s t a l l o f fi r e m a t e r i a l fi r i n g s fi r a t w e h a v e n o w a r e b a s e d o n s o m e s o r t o f m a t h e m a t i c a l a n d s c i e n fi fi c c o n c e p t . " A l s o , i n h e r fi n a l " W h a t I s M a t h e m a t i c s ? " j o u r n a l e n t r y , t h e o n l y fi r i n g E l i z a b e t h w r o t e r e l a t e d t o fi r e u s e f u l n e s s o f m a fi r e m a t i c s w a s , " M a fi r i s i m p o r t a n t a n d i s u s e d i n e v e r y d a y l i f e t o r u n fi r e w o r l d . " I t s e e m s t o b e a c o n t r a d i c t i o n f o r E l i z a b e fi r t o s a y t h a t s h e w a s n ’ t a b l e t o r e c o g n i z e m a fi r b e i n g e v e r y w h e r e a s m u c h b e f o r e s h e s t u d i e d i t i n o u r c l a s s w h e n s h e i n c l u d e d s o m e e x a m p l e s o f t h e i n d i r e c t p e r s o n a l u t i l i t y o f 3 4 9 m a t h e m a t i c s i n h e r b e g i n n i n g m a fi r c o n c e p t m a p a n d n o n e i n h e r fi n a l c o n c e p t m a p . H o w e v e r , I d r i n k fi r a t fi r e c l a s s d i d b r o a d e n h o w a n d w h e r e s h e s a w m a fi r a s b e i n g u s e f u l ; m y g u e s s i s fi r a t m o s t o f fi r e c h a n g e h a p p e n e d o n fi r e fi r s t d a y o f c l a s s b e f o r e s h e m a d e h e r fi r s t m a fi r c o n c e p t m a p . A s w a s n o t e d i n t h e g e n e r a l s e c t i o n o n i n d i r e c t p e r s o n a l u t i l i t y o f m a fi r e m a t i c s i n C h a p t e r 3 , o n fi r e fi r s t d a y o f c l a s s , a s t u d e n t b r o u g h t u p fi r e i d e a fi r a t m a fi r i s a l l a r o u n d u s a n d i n fi r i n g s w e d o n ’ t a l w a y s t h i n k o f . I fi r i n k s h e r e a l l y l i s t e n e d t o fi r a t c o n v e r s a t i o n . T h e r e a s o n I t h i n k fi r a t i s b e c a u s e a l l o f fi r e i t e m s fi r a t s h e i n c l u d e d i n h e r b e g i n n i n g m a t h c o n c e p t m a p r e l a t e d t o i n d i r e c t p e r s o n a l u t i l i t y w e r e e x a m p l e s t h a t w e t a l k e d a b o u t i n fi r a t d i s c u s s i o n . O f c o u r s e , fi r e r e i s fi r e p o s s i b i l i t y t h a t fi r e r e w a s n o t a s m u c h c h a n g e h e r e a s E l i z a b e fi r fi r o u g h t w h e n s h e w a s a s k e d a b o u t i t a s e m e s t e r a f t e r fi r e c o u r s e e n d e d . U t i l i t y f o r O t h e r s . E l i z a b e fi r a l s o r e c o g n i z e d fi r a t m a t h w a s u s e d b y o fi r e r s i n w a y s t h a t d i d n ' t a f f e c t h e r . S h e d i d n ' t r e f e r m u c h t o m a fi r e m a t i c s b e i n g u s e d b y o fi r e r s i n s p e c i fi c o c c u p a t i o n s , b u t s h e d i d m a k e a c o u p l e o f c o m m e n t s fi r a t i m p l i e d h e r r e c o g n i t i o n o f fi r a t u s e . F o r e x a m p l e , a s n o t e d e a r l i e r , w h e n t a l k i n g a b o u t h e r r e s p o n s e t o t h e M a t h e m a t i c s I n v e n t o r y i t e m 5 , " I fi r i n k m a fi r e m a t i c s i s s o m e fi r i n g v e r y m u c h r e l a t e d t o fi r i s w o r l d , " E l i Z a b e t h s a i d , " W h e n I fi r i n k o f t h e r e s t o f m y l i f e , I ' m g o i n g t o b e t e a c h i n g c h i l d r e n . I ' l l b e t e a c h i n g fi r e m t h e m a t h fi r a t ' s v a l u a b l e t o t h e m a t fi r e i r a g e , a n d I w o n ' t b e g o i n o n t o p h y s i c s o r a s t r o n o m y o r c a l c u l u s o r a n y fi r i l r g l i k e fi r a t w i fi r e m . " P h y s i c s a n d a s t r o n o m y a r e e s p e c i a l l y d i r e c fi y r e l a t e d t o s p e c i fi c c a r e e r s . I t c a n a l s o p r o b a b l y b e i m p l i e d f r o m t h e p r e v i o u s l y - n o t e d s e n t e n c e f r o m h e r fi n a l " W h a t I s M a t h e m a t i c s ? " j o u r n a l e n t r y , " M a t h i s i m p o r t a n t a n d i s u s e d i n e v e r y d a y l i f e t o r u n fi r e w o r l d , " fi r a t E l i z a b e fi r r e a l i z e d fi r a t m a t h w a s s o m e a n fi r a t w a s u s e d b y o fi r e r p e o p l e . 3 5 0 L e a r n i n g a n d T e a c h i n g M a t h e m a t i c s T h e r e s e e m e d t o b e s o m e e x p a n s i o n o f E l i z a b e fi r ' s i d e a s a b o u t l e a r n i n g a n d t e a c h i n g m a fi r e n r a t i c s fi r r o u g h o u t fi r e s e m e s t e r — e s p e c i a l l y h e r c o n c e p t i o n s o f t e a c h i n g m a fi r e m a t i c s . S o m e o f w h a t w e l e a r n a b o u t h e r i d e a s r e l a t e d t o l e a r n i n g a n d t e a c h i n g m a fi r e m a t i c s c o m e s f r o m h e r r e s p o n s e s t o fi r e r e l e v a n t i t e m s f r o m fi r e M a t h e m a t i c s I n v e n t o r y w h i c h c a n b e s e e n i n T a b l e 3 1 . T h e s e r e s p o n s e s w i l l b e d i s c u s s e d i n fi r e f o l l o w i n g s e c t i o n s . T a b l e 3 1 : I t e m s R e l a t i n g t o C o n c e p t i o n s o f L e a r n i n g a n d T e a c h i n g M a t h e m a t i c s f r o m t h e M a t h e m a t i c s I n v e n t o r y w i t h E l i z a b e t h ' s R e s p o n s e s , r , W , . , _ r , . . , , , , . , , , , , 7 , 7 , - . 2 7 - L . . . 3 ' u 1 0 . ' g m a e m a t i c s s o u l d n o t b e t o o ' f fi 2 4 a t e x t b o o k a l r e a d y h a s t h e l e s s o n s p r e p a r e d . _ 2 2 . T h e b e s t w a y t o l e a r n m a fi r i s t o m e m o r i z e fi r e r u l e s . 3 { ‘ “ l m 2 E S t u d e n t s ' r e a s o ' i s m o r e i m r t a n t fi r a n i f t h e y a r e 5 M 4 _ a b l e t o g e t t h e a n s w 2 r n l § r a t m a t c h e s e a n s w e r k e y . ° 2 4 . I n l e a r n i n g m a fi r , i t i s i m p o r t a n t t o m a s t e r t o p i c s a n d 3 9 ° " H 3 s k i l l s a t o n e l e v e l b e f o r e g o i n g o n . L e a r n i n g M a t h e m a t i c s E l i z a b e t h i n c l u d e d s o m e i t e m s i n h e r b e g i n n i n g c o n c e p t m a p fi r a t p r o v i d e s o m e i n s i g h t i n t o h o w s h e t h o u g h t m a fi r e m a t i c s w a s l e a r n e d a t t h e b e g i n n i n g o f fi r e s e m e s t e r . S h e i n c l u d e d " g r o u p l e a r n i n g ( p e e r ) , " " t r i a l a n d e r r o r v s . r i g h t a n d N N N I ! w r o n g w a y s , o p e n l i s t e n i n g , " " w o r k b o o , ( S e e F i g u r e 4 8 o n p a g e 3 3 6 ) . I n fi r e c o n c e p t m a p , E l i z a b e fi r c o n n e c t e d a l l o f fi r e s e m e m o r i z a t i o n , " a n d " r o t e l e a r n i n g " t o " a t t i t u d e s , " b u t t o m e fi r e y s e e m m o r e r e l a t e d t o l e a m i n g fi r a n a t t i t u d e s . D a t a f r o m h e r i n t e r v i e w s a n d " R e fl e c t i o n s o n M a fi r e m a t i c s E x p e r i e n c e s " j o u r n a l e n t r y s u g g e s t t h a t s h e c o n n e c t e d a t l e a s t " w o r k b o o k s , " " m e m o r i z a t i o n , " a n d " r o t e l e a r n i n g " t o " a t t i t u d e s " b e c a u s e fi r a t w a s h o w s h e l e a r n e d i t , a n d s i n c e E l i z a b e fi r d i d n ' t l i k e fi r o s e m e fi r o d s , fi r e y c o n t r i b u t e d t o h e r p o o r a t t i t u d e t o w a r d m a t h . F o r e x a m p l e , w h e n s h e w a s t a l k i n g a b o u t h e r o w n l e a r n i n g a n d h e r b a c k g r o u n d i n m a fi r i n h e r fi n a l i n t e r v i e w , s h e s a i d , 3 5 1 " W e l l , g r o w i n g u p I k i n d o f w a s w a r y a b o u t m a t h a n d k i n d o f fi r o u g h t o f i t a s b e i n g r e a l [ l y ] j u s t m e m o r i z a t i o n a n d r o t e w r i t i n g a n d b o o k l e a r n i n g a n d j u s t k i n d o f t a k e - fi r e - t e s t - a n d - m o v e — o n , a n d I d i d n ' t f e e l l i k e I w a s b u i l d i n g t h a t m u c h o n a l l fi r e s k i l l s fi r a t I g a i n e d e a c h y e a r . " S h e d i d n ' t i n c l u d e a n y fi r i n g s p e c i fi c a l l y r e l a t e d t o l e a r n i n g m a t h e m a t i c s i n h e r fi n a l m a t h c o n c e p t m a p ( S e e F i g u r e 4 9 o n p a g e 3 3 7 ) . S h e a l s o d i d n ' t i n c l u d e a n y fi r i n g a b o u t h o w m a fi r e m a t i c s i s l e a r n e d i n h e r b e g i n n i n g " W h a t I s M a fi r e m a t i c s ? " j o u r n a l e n t r y , b u t i n h e r fi n a l " W h a t I s M a fi r e m a t i c s ? " j o u r n a l e n t r y , s h e w r o t e q u i t e a b i t a b o u t t e a c h i n g m a fi r , a n d p a r t o f t h a t s e c t i o n w a s r e l a t e d t o h e r c o n c e p t i o n s o f l e a r n i n g m a fi r : " I f e e l i t i s i m p o r t a n t t o t e a c h m a fi r i n a m a n n e r fi r a t g i v e s s t u d e n t s c h o i c e s : fi r e y h a v e fi r e o p p o r t u n i t o l e a r n fi r e s a m e c o n c e p t i n m a n y d i f f e r e n t w a y s c o r r e l a t i n g t o e f a c t fi r a t s t u d e n t s a l l l e a r n i n v e r y d i f f e r e n t w a y s , a t v e r y d i f f e r e n t l e v e l s a n d s p e e d s . " T h e r e w a s a l s o s o m e o t h e r e v i d e n c e d u r i n g fi r e s e m e s t e r fi r a t E l i z a b e fi r fi r o u g h t fi r a t m a fi r w a s s o m e t h i n g t h a t w a s l e a r n e d i n m a n y d i f f e r e n t w a y s . D u r i n g h e r m i d - s e m e s t e r i n t e r v i e w , w h e n s h e a n s w e r e d i t e m 7 , " D o i n g m a fi r e m a t i c s i s u s u a l l y v e r y f r u s t r a t i n g f o r m e , " s h e t a l k e d a b o u t fi r a t i d e a . S h e s a i d , " U m , I fi r i n k i t h a s a l w a y s b e e n v f r u s t r a t i n g t o m e b e c a u s e i t ' s s e e m e d b l a c k a n d w h i t e a n d j u s t r i g t o r w r o n g a n s w e r , a n d n o w I fi r i n k I ' m s e e i n g m o r e fi r a t fi r e r e a r e d i f f e r e n t a n s w e r s , fi r e r e a r e d i f f e r e n t w a s t o g e t a p r o b l e m . A n d , I fi r i n k e v e r y t h i n g i n t h e w o r l d i s a s fi a d e o f g r a y , a n d t h a t t h e r e a r e e x c e p t i o n s t o e v e r y r u l e , a n d t h e r e ' s d i f f e r e n t w a y s o f g o i n g a b o u t t h i n g s , a n d e v e r y o n e c a n k i n d o f b e a l o n g fi r e s a m e o w o f a n a n s w e r a n d l i k e g e t t i n g t h e r i g h t i d e a , b u t n o b o d y l e a r n s t h e s a m e w a y , a n d e v e r y b o d y l e a r n s a t fi r e i r o w n p a c e a n d d i f f e r e n t l e v e l s . S o , I t h i n k t o e x p e c t e v e r y o n e t o — i t ’ s k i n d o f a h i g h e x p e c t a t i o n t o e x p e c t e v e r y o n e t o fi r i n k o f o n e p r o b l e m i n t h e s a m e w a y a n d g e t fi r e s a m e a n s w e r a l l t h e fi m e , a n d fi r a t w a s f r u s t r a fi n g . N o w , I fi r i n k i t ' s s t a r t i n g t o c h a n g e a l i t t l e b i t i n fi r e w a y I s e e t h a t p e o p l e a r e l o o k i n g a t m a fi r d i f f e r e n t l y , a n d h y l e a r n i n g t o t e a c h i t fi r a t w a y . I ' m h O p i n g I ' l l e r a s e s o m e 0 fi r e s t i g m a s I ' v e h a d a n d n o t t e a c h i t fi r a t w a y . " T h e r e w e r e fi r r e e i t e m s i n fi r e M a fi r e m a t i c s I n v e n t o r y fi r a t w e r e r e l a t e d t o fi r e s t u d e n t s ' c o n c e p t i o n s o f h o w m a t h e m a t i c s i s l e a r n e d . D u e t o a n a p p a r e n t 3 5 2 t a p e r e c o r d e r m a l f u n c t i o n , w e d o n ' t h a v e E l i z a b e t h ' s m i d - s e m e s t e r r e s p o n s e s t o fi r o s e i t e m s , b u t w e d o k n o w w h a t s h e p u t o n fi r e fi r s t d a y o f fi r e s e m e s t e r a n d o n t h e l a s t d a y . F o r t w o o f fi r o s e i t e m s , h e r fi r o u g h t s s e e m e d t o c h a n g e s o m e w h a t f r o m fi r e b e g i n n i n g o f fi r e s e m e s t e r t o fi r e e n d o f fi r e s e m e s t e r , b u t f o r t h e o fi r e r o n e , fi r e y a p p e a r e d t o r e m a i n fi r e s a m e . F o r i t e m 2 2 , " T h e b e s t w a y t o l e a r n m a fi r i s t o m e m o r i z e fi r e r u l e s , " E l i z a b e fi r r e s p o n d e d r i g h t i n fi r e m i d d l e w i fi r a 3 , w h i c h i n d i c a t e s n e i fi r e r a g r e e i n g o r d i s a g r e e i n g , o n fi r e fi r s t d a y , b u t o n fi r e l a s t d a y o f fi r e s e m e s t e r , s h e p u t a 2 w h i c h i n d i c a t e d fi r a t s h e d i s a g r e e d w i fi r fi r a t s t a t e m e n t a t l e a s t s o m e w h a t . F o r i t e m 2 3 , " S t u d e n t s ' r e a s o n i n g i s m o r e i m p o r t a n t fi r a n i f fi r e y a r e a b l e t o g e t fi r e a n s w e r fi r a t m a t c h e s fi r e a n s w e r k e y , " E l i z a b e t h p u t a 5 o n t h e fi r s t d a y , i n d i c a t i n g v e r y s t r o n g a g r e e m e n t w i fi r fi r e s t a t e m e n t , b u t o n t h e l a s t d a y o f c l a s s s h e p u t a 4 , i n d i c a t i n g f a i r l y s t r o n g a g r e e m e n t , b u t n o t q u i t e a s s t r o n g a s s h e p u t fi r e fi r s t d a y . W e c a n o n l y s p e c u l a t e a s t o w h y fi r e r e w a s fi r e s l i g h t c h a n g e . I t m a y h a v e r e p r e s e n t e d s o m e c h a n g e i n h e r i d e a s , o r s h e m a y h a v e t h o u g h t s h e f e l t fi r e s a m e a b o u t fi r a t i d e a . T h i s w a s a n o fi r e r i t e m w h e r e E l i z a b e t h ' s r e s p o n s e c h a n g e d i n a d i r e c t i o n fi r a t w a s d i f f e r e n t f r o m fi r e c l a s s a s a w h o l e . T h e b e g i n n i n g a v e r a g e r e s p o n s e f o r t h e c l a s s o n i t e m 2 3 w a s 4 . 1 3 8 , a n d fi r e fi n a l a v e r a g e r e s p o n s e w a s 4 . 3 7 9 . T h e l a s t i t e m r e l a t e d t o c o n c e p t i o n s o f l e a r n i n g m a t h e m a t i c s o n t h e i n v e n t o r y w a s i t e m 2 4 , ' T n l e a r n i n g m a fi r , i t i s i m p o r t a n t t o m a s t e r t o p i c s a n d s k i l l s a t o n e l e v e l b e f o r e g o i n g o n . " E l i z a b e fi r p u t a 3 f o r t h a t i t e m o n t h e fi r s t d a y a n d a l s o o n t h e l a s t d a y o f c l a s s . T h e r e m a y h a v e b e e n n o c h a n g e i n h e r i d e a s . B y p u t t i n g a 3 , E l i z a b e fi r w a s p r o b a b l y i n d i c a t i n g s o m e u n c e r t a i n t y a b o u t h o w s h e f e l t a b o u t fi r a t i d e a o r p e r h a p s s o m e r e l u c t a n c e t o c o m m i t t o e i fi r e r a g r e e i n g o r d i s a g r e e i n g w i t h t h a t s t a t e m e n t . 3 5 3 D u r i n g fi r e fi n a l i n t e r v i e w , a s e m e s t e r a f t e r fi r e c l a s s , E l i z a b e fi r w a s a s k e d w h a t s h e fi r o u g h t w a s t h e b e s t w a y t o l e a r n m a fi r o r h o w m a fi r w a s l e a r n e d , a n d s h e s a i d , " I f m a fi r i s n ' t t h o u g h t o f a s s o m e fi r i n g s c a r y , a n d y o u j u s t g e t a d i t t o i n fi r e b e g i n n i n g , a n d i t i s n ' t a l l j u s t a t e a c h e r s t a n d i n g t h e r e l e c t u r i n g t o y o u a n d w r i t i n g o n fi r e b o a r d . B u t , I fi r i n k i t c a n b e m o r e e x c i t i n i f y o u g e t t o d o a c t i v i t i e s fi r a t d e p e n d o n m a fi r — i f y o u s e e i n e b e g i n n i n g w h a t h a p p e n s w r i t t e n d o w n , a n d t h e n y o u g e t t o a p p l y t h a t a n d d o s o m e h a n d s - o n fi r i n g s . S o , y o u ' r e d o i n g f r a c t i o n s . Y o u ' v e g o t s o m e fi r i n g l i k e a p i e c e o f p i e . Y o u g e t t o c u t i t u p i n t o fi r e d i f f e r e n t p i e c e s . T h a t w i l l h e l p y o u n o t j u s t d o fi r e p r o b l e m w r i t t e n o n fi r e b o a r d , b u t s e e i n g i t p l a y e d o u t . B e s t w a y t o l e a r n m a fi r . I fi r i n k t o k n o w w h a t i t l o o k s l i k e , a p r o b l e m w r i t t e n d o w n a n d r e a l l y g e t t o k n o w n u m b e r s w e l l , b u t fi r e r r t o b e a b l e t o a p p l y t h e m a n d u s e y o u r k n o w l e d g e a n d s h o w a fi n i s h e d r e s u l t a n d s a y w e l l , ' I c a n u n d e r s t a n d fi r a t fi r i s i s a w h o l e w i fi r n o p i e c e s m i s s i n g b e c a u s e i t m a k e s a c o m p l e t e c i r c l e . ‘ B u t , i f fi r e r e ' s a p i e c e m i s s i n g , t h a t m e a n s fi r e r e ' s 3 / 4 t h e r e a n d fi r o s e k i n d s o f P r o m i n e n t i n E l i z a b e t h ' s i d e a s o f h o w m a fi r e m a fi c s i s l e a r n e d a t fi r e e n d o f t h e s t u d y w e r e fi r e i d e a s t h a t m a fi r i s b e s t l e a r n e d w h e n i t c a n b e a p p l i e d t o s o m e e x p e r i e n c e a n d w h e n i t c a n b e r e l a t e d t o s o m e fi r i n g c o n c r e t e . T e a c h i n g M a t h e m a t i c s A t fi r e b e g i n n i n g o f fi r e s e m e s t e r , E l i z a b e t h h a d s o m e i d e a s a b o u t h o w m a t h s h o u l d b e t a u g h t . S h e d i d n ' t s e e m t o r e p l a c e a n y o f t h o s e i d e a s w i fi r o t h e r i d e a s d u r i n g fi r e s e m e s t e r , b u t t h e r e s e e m e d t o b e s o m e e x p a n s i o n o f h e r i d e a s a n d s o m e s t r e n g fi r e n i n g o f h e r a l r e a d y - h e l d c o n c e p t i o n s . T h e o n l y i t e m f r o m t h e M a t h e m a t i c s I n v e n t o r y s p e c i fi c a l l y r e l a t e d t o c o n c e p t i o n s o f t e a c h i n g m a fi r e m a t i c s w a s i t e m 1 0 , " T e a c h i n g m a fi r e m a t i c s s h o u l d n o t b e t o o d i f fi c u l t s i n c e a t e x t b o o k a l r e a d y h a s fi r e l e s s o n s p r e p a r e d . " T h e c h a n g e s i n E l i z a b e fi r ' s r e s p o n s e s t o fi r a t i t e m a r e s u r p r i s i n g . T h e fi r s t d a y o f c l a s s , s h e p u t a 2 ; d u r i n g fi r e m i d - s e m e s t e r i n t e r v i e w , s h e g a v e i t a 3 ; a n d o n fi r e fi n a l d a y o f c l a s s , s h e p u t a 4 ( S e e T a b l e 3 1 o n p a g e 3 5 1 ) . I t a p p e a r e d fi r a t s h e 3 5 4 a g r e e d m o r e s t r o n g l y w i t h fi r a t s t a t e m e n t e a c h t i m e s h e t o o k t h e i n v e n t o r y . T h i s w a s a g a i n a c h a n g e i n a d i f f e r e n t d i r e c t i o n f r o m fi r e c l a s s a s a w h o l e . T h e a v e r a g e f o r fi r e c l a s s o n t h e fi r s t d a y o f c l a s s f o r fi r a t i t e m w a s 2 . 0 3 4 — a l m o s t ' e x a c fi y E l i z a b e fi r ' s r e s p o n s e . B u t , t h e a v e r a g e f o r fi r e c l a s s f o r fi r a t i t e m o n t h e l a s t d a y o f c l a s s w a s 1 . 8 2 8 — q u i t e d i f f e r e n t f r o m h e r r e s p o n s e o f 4 . D u r i n g fi r e m i d - s e m e s t e r i n t e r v i e w , a f t e r E l i z a b e fi r r e s p o n d e d w i t h a 3 f o r t h a t i t e m , s h e w a s a s k e d w h a t s h e fi r o u g h t s h e p u t fi r e fi r s t d a y , a n d s h e t h o u g h t s h e h a d p u t a 3 t h e n a s w e l l . W h e n t o l d s h e p u t a 2 fi r e fi r s t d a y , s h e e x p l a i n e d w h a t s h e w a s fi r i n k i n g a b o u t fi r a t s t a t e m e n t : " A 2 . I w a s fi r i n k i n g m a y b e a 2 , b u t p o s s i b l y a 3 , b e c a u s e I ' m e x c i t e d fi r a t t h e y h a v e m a t e r i a l s f o r y o u fi r e r e , b u t I w a n t t o d o r e s e a r c h i n fi r a t s c h o o l b e f o r e I e v e n g e t i n t o t h a t s c h o o l t o s e e w h a t t y p e o f m a fi r t h e y h a v e . I f i t ' s fi r a t o l d r o t e - l e a r n i n g d i t t o e s , a n d y o u k n o w t e a c h t o t h e M E A P t e s t . T h e M E A P ' s g e t t i n g r e f o r m e d n o w , t o o , s o fi r a t ' s g o o d , b u t i f i t ' s j u s t r o t e l e a r n i n g a n d t i m e s t a b l e s a n d ' u s t w o r k b o o k s a n d m a t h b o o k s e v e r y d a y , I d o n ' t w a n t t o u s e a t . T h a t ' s w h e n I w i l l f e e l n e r v o u s t h a t I ' m o n m y o w n o u t t h e r e . I ' v e g o t t o d o a l l t h e s e n e w fi r i n g s , a n d e v e r y o n e ' s g o i n g t o fi r i n k I ' m c r a z y l i k e , ' W h e r e ' s fi r e A + a n d fi r e B + ? I c a n ' t u n d e r s t a n d t h e w a y y o u e v a l u a t e . Y o u r a s s e s s m e n t h e r e , y o u ' r e s a y i n g w e l l , h e ' s s a y i n g h e ' s e x c i t e d a b o u t m a fi r , a n d t h a t ' s r e a l l y g a m d . W e l l , w h o c a r e s ? ‘ I ' m l i k e , ' T h a t ' s v e r y i m p o r t a n t a t t s t a g e . ‘ T h a t w o u l d b e v e r y i m p o r t a n t t o m e . I d o n ' t fi r i n k i t w o u l d b e t o o d i f fi c u l t i f fi r e r e ' s s o m e fi r i n g a l r e a d y fi r e r e a n d I c a n m a y b e a d a p t i t t o m y w a y o f t e a c h i n g , b u t i f i t ' s s o m e fi r i n g fi r a t I c o n s i d e r t o b e v a l u a b l e l i k e f r o m t h e s k i l l s I ' v e l e a r n e d i n fi r i s c l a s s t h a t w i l l fi t i n t o fi r a t p h i l o s o p h y , fi r e n I ' l l b e r e a l l y e x c i t e d . " F r o m h e r e x p l a n a t i o n o f h e r fi r o u g h t s r e l a t e d t o fi r a t i t e m , i t s e e m s c l e a r fi r a t E l i z a b e fi r d o e s n ' t p l a n o n j u s t m i n d l e s s l y u s i n g fi r e l e s s o n s fi r a t a r e p r e p a r e d i n a t e x t b o o k t o t e a c h m a fi r , b u t fi r a t i f s h e f e e l s fi r e l e s s o n s fi t i n w i fi r h e r p h i l o s o p h y o f t e a c h i n g m a fi r , s h e w i l l u s e t h e m , a n d fi r a t w i l l m a k e i t e a s i e r t o t e a c h m a fi r . S h e a l s o g i v e s u s a w i n d o w o n w h a t i s b e h i n d h e r a p p a r e n fi y p a r a d o x i c a l r e s p o n s e : s h e f e e l s e x c i t e d b e c a u s e s h e n o w k n o w s fi r a t t h e r e a r e m a t e r i a l s o u t fi r e r e fi r a t c a n b e u s e d i n w a y s fi r a t a r e d i f f e r e n t f r o m fi r e w a y w o r k b o o k s o f h e r 3 5 5 s c h o o l y e a r s w e r e u s e d . I t ’ s a l s o i n t e r e s t i n g fi r a t E l i z a b e fi r t a l k e d s o m e a b o u t h e r i d e a s r e l a t e d t o a s s e s s m e n t i n fi r a t r e s p o n s e — t h a t s h e fi r i n k s i t ’ s i m p o r t a n t t o a s s e s s a t t i t u d e . O n e p a r t o f E l i z a b e t h ' s c o n c e p t i o n s o f t e a c h i n g m a t h e m a t i c s i s t h a t s h e b e l i e v e d t h a t t e a c h e r s ' a t t i t u d e s t o w a r d m a t h a n d t e a c h i n g m a t h h a d a n i n fl u e n c e o n h o w t h e y t a u g h t i t . T h i s w a s p a r t o f h e r c o n c e p t i o n s o f t e a c h i n g m a fi r e n r a t i c s a t b o fi r fi r e b e g i n n i n g a n d e n d o f fi r e s e m e s t e r . I n h e r " R e fl e c t i o n s o n M a fi r e m a t i c s E x p e r i e n c e s " j o u r n a l e n t r y w r i t t e n a t fi r e b e g i n n i n g o f t h e s e m e s t e r , s h e w r o t e , " I a l s o fi r i n k t h a t a t t i t u d e s a b o u t m a t h a r e i m p o r t a n t a n d c a n b e p a s s e d d o w n b y a t e a c h e r . I f t h e t e a c h e r h a s a n e g a t i v e o r b a d a t t i t u d e , fi r e n fi r a t p e r m e a t e s t o t h e s t u d e n t s , s o I k n o w I n e e d t o w o r k o n m i n e . " A l s o , i n fi r e M a fi r e m a t i c s I n v e n t o r y , fi r e s t u d e n t s w e r e a s k e d a n o p e n - e n d e d q u e s t i o n , " W h a t k i n d o f i n fl u e n c e d o y o u fi r i n k t h e t e a c h e r p l a y s i n fi r e s u c c e s s o f s t u d e n t s i n m a fi r e m a t i c s ? " O n fi r e fi r s t d a y o f c l a s s , E l i z a b e t h w r o t e , " A h i g h a t t i t u d e i n fl u e n c e , r e w a r d s v e r b a l l y a n d i n c l a s s r o o m f o r s u c c e s s . " H e r r e s p o n s e i s m u r k y , b u t i t s e e m s c l e a r fi r a t s h e i s s a y i n g t h a t a t e a c h e r ’ s a t t i t u d e h a s a m a j o r ( o r ” h i g h ” ) i n fl u e n c e o n s t u d e n t s . T h i s i s s o m e a n fi r a t s h e s e e m s t o s a y o v e r a n d o v e r fi r r o u g h o u t fi r e s e m e s t e r . O n t h e l a s t d a y o f c l a s s , E l i z a b e fi r r e s p o n d e d t o fi r i s s a m e q u e s t i o n , " H i g h - a t t i t u d e s p e r m e a t e . " A n o fi r e r q u e s t i o n fi r e y w e r e a s k e d w a s , " D o y o u d r i n k a t e a c h e r ' s a t t i t u d e t o w a r d m a fi r e m a t i c s a f f e c t s h o w h e o r s h e t e a c h e s i t ? W h y o r w h y n o t ? H o w a b o u t a t e a c h e r ' s a t t i t u d e a b o u t t e a c h i n g i t ? E x p l a i n . " O n t h e fi r s t d a y o f c l a s s , E l i z a b e t h w r o t e , " Y e s — I t p e r m e a t e s t h e t e a c h i n g m e fi r o d , b o d y m o v e m e n t , v e r b a l l y . Y e s — N o t l e fi r a r g i c , l o t s o f d i f f e r e n c e s i n w a y s o f t e a c h i n g a n d m a n i p u l a t i v e s . " O n fi r e l a s t d a y o f c l a s s , s h e w r o t e , " Y e s — I t c a n h i n d e r i t a n d c a u s e n e g a t i v e , d u l l v i b e s , o r i n s p i r e a n d e n l i g h t e n . " O n e p l a c e t h e r e s e e m e d t o b e s o m e c h a n g e i n E l i z a b e fi r ' s c o n c e p t i o n s o f h o w m a t h e m a t i c s s h o u l d b e t a u g h t i s i n fi r e e x p a n s i o n o f i d e a s o f h o w t o d o i t . I n fi r e fi n a l M a fi r e m a t i c s I n v e n t o r y , fi r e s t u d e n t s w e r e a l s o a s k e d i f fi r e i r i d e a s a b o u t m a fi r e m a t i c s o r t e a c h i n g m a fi r e m a t i c s h a d c h a n g e d a t a l l d u r i n g fi r e t i m e fi r e y h a d b e e n i n t h e c o u r s e . E l i z a b e fi r ' s r e s p o n s e t o fi r a t q u e s t i o n w a s , " Y e s . I a m l e a r n i n g n e w w a y s o f i m p l e m e n t i n g m a fi r . " A l s o , a t t h e e n d o f fi r e s e m e s t e r , fi r e s t u d e n t s w e r e a s k e d t o w r i t e fi r e i r " P h i l o s o p h y o f T e a c h i n g M a fi r e m a t i c s " f o r a j o u r n a l e n t r y , a n d E l i z a b e fi r ' s w r i t i n g p r o v i d e s m o r e i n s i g h t i n t o t h e e x p a n s i o n o f h e r i d e a s o f h o w m a fi r s h o u l d b e t a u g h t . F o l l o w i n g i s w h a t s h e w r o t e f o r fi r a t a s s i g n m e n t : " F r o m m y s t u d i e s i n T e a c h e r E d u c a t i o n a n d c h i l d d e v e l o p m e n t a t M S U , I h a v e d e v e l o p e d a p h i l o s o p h y f o r t e a c h i n g m a fi r e m a t i c s : " F i r s t , I w i l l s t a r t o f f w i fi r a s a f e c l a s s r o o m f o r a l l s t u d e n t s , a d a p t i v e t o i n d i v i d u a l s t u d e n t s ' n e e d s . I n c l u d e d w i l l b e d e v e l o p m e n t a l l y . a r i a t e , a e s fi r e t i c a l l y p l e a s i n s u r r o u n d i n g s s u c h a s a j o b c h a r t ( r i g g i n g c e n t e r , w a t e r p l a n t s , e e d p e t s , e t c . ) , l a r g e g r o u p a r e a , a n d m a t h c e n t e r . I n c l u d e d i n fi r e m a fi r c e n t e r w i l l b e m a n i p u l a t i v e s f o r fi n e a n d m o t o r d e v e l o p m e n t ( p u z z l e s a n d g e o b o a r d s ) , c o u n t e r s , [ C u i s e n a i r e r o d s , a 0 - 9 9 c h a r t , m u l t i p l i c a t i o n t a b l e ( d e p e n d i n g o n t h e a g e g r o u p ) , a n d d i s p l a y e d w o r k b y i n d i v i d u a l s o r c l a s s p r e s e n t a t i o n s . I p l a n t o t e a c h m a fi r e m a t i e s w i fi r a p o s i t i v e a t t i t u d e , s t r i v i n g t o m a k e i t ' f u n ' b y u s i n g c r e a t i v e i d e a s t o d e v e l o p a c t i v i t i e s ( s u c h a s p o p p i n g p o p c o r n — v o l u m e a n d s i z e ) t h a t c o n n e c t r e a l - w o r l d s i t u a t i o n s . I w i l l n u r t u r e c h i l d r e n ' s n a t u r a l c u r i o s i t y a n d i n s t i l l s e l f - c o n fi d e n c e . I w i l l r e c o g n i z e t h e i m p o r t a n c e o f a f f e c t i v e a n d a e s t h e t i c d e v e I O p m e n t i n c h i l l d r e n w h e n p l a n n i n g l e s s o n s a n d s e t t i n g u p fi r e c l a s s r o o m . " D r a w i n g f r o m r e a d i n g s t a k e n f r o m M a r i l y n B u r n s , t h e N C I ' M S t a n d a r d s , P a m e l a S c r a n fi o n , a n d fi r e a d d e n d a s e r i e s f r o m fi r e N C T M , I h a v e r e s e a r c h e d b a s i c g o a l s o u t l i n e d i n a m a t h u n i t : A t t i t u d e g o a l s o f d e v e l o p i n g p o s i t i v e s t u d e n t a t t i t u d e s , i n t e r v i e w i n g a n d e x p r e s s i n g p o s i t i v e t e a c h i n g a t t i t u d e s . C o n t e n t g o a l s o f fi r e N C I ' M S t a n d a r d s s u c h a s c h a l l e n g i n g s t u d e n t s w i fi r r i c h p r o b l e m s t o s o l v e a n d d e v e l o p m e a n i n g f o r m a fi r e m a t i c a l o p e r a t i o n s . fi t n e s s g o a l s o f r e l a t i n g l a n g u a g e a n d s y m b o l s t o p r o b l e m s s i t u a t i o n s a n d i n f o r m a l l a n g u a g e . M a t h w i l l b e t a u g h t u s i n g a n a c t i v e a r o a c h — h a n d s - o n m e t h o d s a n d c h i l d r e n ' s a c t i v e l e a r n i n g fi r r o u g w r i t i n g a b o u t m a fi r , s p e a k i n g a b o u t , r e a d i n g a b o u t m a fi r , a n d u s i n g m a t h s y m b o l i c a l l y , w h i c h a l s o c o n n e c t s m a fi r t o l a n g u a g e a r t s . 3 5 7 " M a t h s h o u l d b e t h o u g h t o f a s f u n i n m y c l a s s r o o m a n d a c o n n e c t i o n t o r e a l - w o r l d e x p e r i e n c e s ! " A l fi r o u g h w e t a l k e d s o m e w h a t i n c l a s s a b o u t l e a r n i n g a n d t e a c h i n g b e i n g d e v e l o p m e n t a l l y a p p r o p r i a t e , a n d w e t a l k e d e x t e n s i v e l y a b o u t t h e r o l e o f m a n i p u l a t i v e s i n t e a c h i n g m a fi r e m a t i c s , m a k i n g l e a r n i n g a c t i v e , a n d c o n n e c t i n g m a fi r t o t h e w o r l d o u t s i d e o f s c h o o l , I fi r i n k m u c h o f h e r fi r s t d e s c r i p fi v e p a r a g r a p h w a s i n fl u e n c e d b y h e r t r a i n i n g i n c h i l d d e v e l o p m e n t . ( A g a i n , I a m b a s i n g fi r i s a s s u m p t i o n o n m y o w n e x p e r i e n c e s a s a n e a r l y c h i l d h o o d e d u c a t i o n m a j o r . T h e fi r i n g s s h e w r i t e s a b o u t — d e v e l o p m e n t a l l y a p p r o p r i a t e , a e s fi r e t i c a l l y p l e a s i n g s u r r o u n d i n g s ; a s a f e c l a s s r o o m f o r a l l s t u d e n t s , a d a p t i v e t o i n d i v i d u a l s t u d e n t s ' n e e d s ; a j o b c h a r t ; l a r g e - g r o u p a r e a ; m a fi r c e n t e r s ; a n d fi r e l i k e — w e r e fi r e y t y p e s o f fi r i n g s fi r a t w e r e e m p h a s i z e d i n m y t r a i n i n g . A l s o , I ’ m a s s u m i n g fi r i s b e c a u s e s h e i n t r o d u c e d h e r p h i l o s o p h y b y w r i t i n g , ” F r o m m y s t u d i e s i n T e a c h e r E d u c a t i o n a n d c h i l d d e v e l o p m e n t a t M S U , I h a v e d e v e l o p e d a p h i l o s o p h y f o r t e a c h i n g m a t h e m a t i c s : . " ) F r o m fi r e p r e c e d i n g j o u r n a l e n t r y , s o m e o f t h e m a i n p o i n t s fi r a t s e e m i m p o r t a n t i n E l i z a b e fi r ' s c o n c e p t i o n o f h o w m a fi r e m a t i c s s h o u l d b e t a u g h t i n c l u d e c o n n e c t i n g m a t h e m a t i c s t o t h e w o r l d o u t s i d e o f s c h o o l , u s i n g c o n c r e t e m a t e r i a l s , u s i n g a c t i v e l e a r n i n g , a n d u s i n g d i s c o u r s e ( d i s c u s s i n g , r e a d i n g , a n d w r i t i n g ) . S h e a l s o b e l i e v e s fi r a t fi r e a r e a s o f c o n t e n t , p r o c e s s e s , a n d a t t i t u d e s s h o u l d b e a d d r e s s e d w h e n t e a c h i n g m a t h e m a fi c s . ( I d o n ' t k n o w w h o fi r e P a m e l a S c r a n t l o n fi r a t s h e r e f e r s t o i s , b u t m y g u e s s i s fi r a t i t ' s a c o m b i n a t i o n o f P a m e l a S c h r a m a n d D a n i s e C a n fi o n s i n c e w e r e a d p i e c e s b y b o fi r o f fi r e m i n fi r e c l a s s . ) A n o fi r e r p l a c e w h e r e E l i z a b e t h e c h o e d fi r e s e i d e a s o f h o w m a fi r e m a t i c s s h o u l d b e t a u g h t w a s i n h e r fi n a l " W h a t I s M a fi r e m a t i c s ? " j o u r n a l e n t r y . S h e w r o t e , " - T e a c h e r s w h o h a v e h a d n e g a t i v e e x p e r i e n c e s w i t h m a t h c a n s t i l l fi n d p o s i t i v e w a y s t o t e a c h i t . 3 5 8 " - M a fi r s h o u l d b e r e g a r d e d w i fi r r e s p e c t a n d t a u g h t c o n c e p t u a l l y . . . " I f e e l i t i s i m p o r t a n t t o t e a c h m a fi r i n a m a n n e r fi r a t g i v e s s t u d e n t s c h o i c e s : t h e y h a v e t h e o p p o r t u n i t y t o l e a r n fi r e s a m e c o n c e p t i n m a n y d i f f e r e n t w a y s c o r r e l a t i n g t o fi r e f a c t fi r a t s t u d e n t s a l l l e a r n i n v e r y d i f f e r e n t w a y s , a t v e r y d i f f e r e n t l e v e l s a n d s p e e d s . P r o b l e m — s o l v i n g t e c h n i q u e s s h o u l d g o b e y o n d s t o r y p r o b l e m s a n d fi l t e r i n t o e v e r y d a y l i f e , g i v i n g s t u d e n t s t h e n e c e s s a r y s k i l l s t o t a c k l e e v e r y d a y s i t u a t i o n s w i fi r m a fi r . " I n t h i s p a s s a g e , s h e e m p h a s i z e d fi r e i m p o r t a n c e o f t e a c h e r s t e a c h i n g m a t h i n a p o s i t i v e w a y e v e n i f fi r e y d i d n o t e x p e r i e n c e i t fi r a t w a y . S h e a l s o b e l i e v e s m a fi r s h o u l d b e t a u g h t c o n c e p t u a l l y a n d i n a v a r i e t y o f w a y s s o fi r a t d i f f e r e n t l e a r n e r s w i l l h a v e m o r e o p p o r t u n i t y t o l e a r n i t . S h e a l s o w r o t e a b o u t s t u d e n t s l e a r n i n g p r o b l e m - s o l v i n g s k i l l s fi r a t fi r e y c a n u s e i n ” e v e r y d a y s i t u a t i o n s w i fi r m a fi r . ” I n h e r fi n a l i n t e r v i e w , a s e m e s t e r a f t e r fi r e c o u r s e , E l i z a b e fi r w a s a s k e d h o w s h e t h o u g h t m a fi r w a s m o s t e f f e c t i v e l y t a u g h t , a n d t e a c h i n g m a t h w i fi r c o n c r e t e fi r i n g s a n d c o n n e c t i n g i t t o l i f e o u t s i d e o f s c h o o l w e r e s t i l l b o t h i m p o r t a n t p a r t s o f h e r c o n c e p t i o n o f h o w m a fi r s h o u l d b e t a u g h t . I n r e s p o n s e t o t h a t q u e s t i o n , s h e s a i d , ' T fi r i n k i t ' s m o s t e f f e c t i v e ] t a u g h t w i t h h a n d s - o n a n d r e a l - w o r l d l e a r n i n g w h e r e I w a n t t o e l p fi r e s t u d e n t s s e e t h a t i t ' s n o t j u s t n u m b e r s o n t h e b o a r d , b u t y o u c a n a p p l y fi r a t . I f w e ' r e t a l k i n g a b o u t m e a s u r i n g a n d m e a s u r i n g c u p s , fi r e n w e ' l l a c t u a l ] m a k e s o m e fi r i n g i n c l a s s , l i k e b a k e l s o r s o m e fi r i n g . T h e n e y c a n d o s c i e n c e t o g e fi r e r w i fi r m a a n d s e e fi r e fi n i s h e d r e s u l t — m o t j u s t r e a d a b o u t i t , a n d i t d o e s n ' t r e a l l y m e a n a n y a n t o fi r e m . I t h a s t o k i n d o f p e r s o n a l i z e i t a n d h e l p t h e m s e e t h a t i t i s a p a r t o f t h e i r l i v e s , a n d i t ' s s o m e fi r i n g t h a t fi r e y c a n d o e v e r y d a y . " O n e l a s t p l a c e w h e r e w e c a n g e t a g l i m p s e o f fi r e e x p a n s i o n o f E l i z a b e fi r ' s i d e a s r e l a t e d t o t e a c h i n g m a fi r e m a t i c s o r fi r e i n c r e a s e o f h e r a t t e n t i o n t o t e a c h i n g m a t h e m a t i c s i s i n h e r c o n c e p t m a p s . T h e o n l y i t e m s r e l a t e d t o t e a c h i n g m a t h e m a t i c s i n E l i z a b e fi r ' s b e g i n n i n g c o n c e p t m a p w e r e t h o s e n o t e d i n t h e l e a r n i n g s e c t i o n t h a t w e r e m o s fi y d i f f e r e n t w a y s t h a t s h e h a d p r o b a b l y e x p e r i e n c e d l e a r n i n g m a t h e m a t i c s a s a s t u d e n t ( i . e . , " r o t e l e a r n i n g , " " m e m o r i z a t i o n , " " w o r k b o o k s , " " t r i a l a n d e r r o r , " a n d " r i g h t a n d w r o n g w a y s , " 3 5 9 e t c . ) . I n c o n t r a s t , t e a c h i n g m a t h e m a t i c s s e e m e d t o b e t h e o v e r r i d i n g t h e m e o f h e r fi n a l c o n c e p t m a p . R e l a t e d t o t e a c h i n g m a t h e m a t i c s , s h e i n c l u d e d " N C T M , " " S t a n d a r d s , " " A d d e n d a S e r i e s , " " p r o f e s s i o n a l o r g a n i z a t i o n s , " " t e a c h i n g , " " a c t i v i t i e s , " " t e a c h i n a v a r i e t y o f w a y s , " " a s s e s s m e n t , " " a l l o w a v a r i e t y o f m e fi r o d s , " " c o n c e p t s , " " c o n t e n t , " " a t t i t u d e s , " a n d " p r o c e s s " ( S e e F i g u r e 4 8 o n p a g e 3 3 6 a n d F i g u r e 4 9 o n p a g e 3 3 7 ) . E l i z a b e t h s e e m e d t o a c q u i r e s o m e d e fi n i t e i d e a s a b o u t l e a r n i n g a n d t e a c h i n g m a fi r e m a t i c s d u r i n g fi r e s e m e s t e r . S h e b e l i e v e d t h a t m a t h s h o u l d b e t a u g h t u s i n g c o n c r e t e e x a m p l e s , d i s c u s s i o n s , c o n n e c t i o n s t o l i f e o u t s i d e o f s c h o o l , a p p r o p r i a t e r e a d y - m a d e m a t e r i a l s , a n d i n a v a r i e t y o f w a y s s o t h a t d i f f e r e n t l e a r n e r s w o u l d h a v e a n o p p o r t u n i t y t o l e a r n i t . S h e a l s o w a s fi r i n k i n g a b o u t a s s e s s m e n t a n d fi r a t i t s h o u l d b e d o n e i n a v a r i e t y o f w a y s a s s h e w r o t e o n h e r fi n a l m a t h c o n c e p t m a p ( S e e F i g u r e 4 9 o n p a g e 3 3 7 ) . S h e a l s o b e l i e v e d fi r a t t e a c h e r s ' a t t i t u d e s h a v e a b i g i n fl u e n c e o n s t u d e n t s ’ l e a r n i n g , b u t s h e b e l i e v e d t h a t t e a c h e r s ’ a t t i t u d e s c o u l d c h a n g e a n d t h a t ” [ t ] e a c h e r s w h o h a v e h a d n e g a t i v e e x p e r i e n c e s w i fi r m a t h c a n s t i l l fi n d p o s i t i v e w a y s t o t e a c h i t . ” T h e s e c o n c e p t i o n s s e e m e d t o h a v e b e e n i n fl u e n c e d b y a c o m b i n a t i o n o f h e r e x p e r i e n c e s i n fi r e c l a s s a n d h e r p r a c t i c u m , h e r t r a i n i n g i n c h i l d d e v e l o p m e n t , a n d h e r o w n e x p e r i e n c e s . E l i z a b e fi r a l s o s e e m e d t o b e r e a l l y fi r i n k i n g o f m a t h e m a t i c s a s s o m e o n e w h o w a s g o i n g t o b e t e a c h i n g i t w o u l d . T h i s s h o w e d s o m e s h i f t i n p o s i t i o n i n g i n h e r r e l a t i o n t o m a fi r e m a t i c s , a n d a s p r e v i o u s l y s u g g e s t e d , fi r i s s h i f t s e e m e d t o o c c u r v e r y e a r l y o n i n fi r e s e m e s t e r s i n c e i n m a n y o f h e r r e s p o n s e s i n t h e m i d - s e m e s t e r i n t e r v i e w , s h e s e e m s t o b e t a l k i n g a b o u t m a fi r e m a t i c s f r o m t h e p e r s p e c t i v e o f a t e a c h e r . T h e c o n t r a s t b e t w e e n h e r b e g i n n i n g a n d fi n a l m a t h c o n c e p t m a p s a l s o s h o w s fi r i s s h i f t i n p o s i t i o n i n g . W h i l e h e r b e g i n n i n g c o n c e p t m a p w a s m o s t l y r e l a t e d t o fi r e u s e f u l n e s s o f m a t h e m a t i c s a n d h e r o w n e x p e r i e n c e s w i t h m a t h , fi r e o v e r r i d i n g fi r e m e a n d i n fl u e n c e o f h e r fi n a l m a p 3 6 0 s e e m e d t o b e t e a c h i n g m a fi r e m a t i c s ( S e e F i g u r e 4 8 o n p a g e 3 3 6 a n d F i g u r e 4 9 o n p a g e 3 3 7 ) . T h e f a c t fi r a t s h e i n c l u d e d ” N C T M , ” ” p r o f e s s i o n a l o r g a n i z a t i o n s , ” ” S t a n d a r d s , ” a n d ” A d d e n d a S e r i e s ” o n h e r fi n a l m a p g i v e s a s t r o n g i n d i c a t i o n t h a t s h e w a s v i e w i n g m a t h f r o m fi r e p e r s p e c t i v e o f a p r o f e s s i o n a l t e a c h e r . A t t i t u d e s t o w a r d M a t h e m a t i c s a n d T e a c h i n g M a t h e m a t i c s A t t i t u d e s t o w a r d M a t h e m a t i c s E l i z a b e t h ' s a t t i t u d e t o w a r d m a fi r w a s q u i t e n e g a t i v e a t fi r e b e g i n n i n g o f t h e s e m e s t e r . S h e v a l u e d m a fi r i n r e a l i z i n g t h a t i t w a s u s e f u l i n t h e w o r l d , b u t s h e d i d n ' t e n j o y i t m u c h , a n d s h e d i d n ' t h a v e a l o t o f c o n fi d e n c e i n h e r a b i l i t y t o d o m a fi r . T h i s n e g a t i v e a t t i t u d e w a s f u e l e d b y h e r f r u s t r a t i o n w i fi r l e a r n i n g m a t h e m a t i c s i n s c h o o l — e s p e c i a l l y o n c e s h e g o t t o g e o m e t r y . A s n o t e d e a r l i e r , i t a l s o a p p e a r s fi r a t h e r d i s l i k e f o r m a fi r h a d b e e n g r e a t l y i n f l u e n c e d b y h e r fi r e n - r e c e n t e x p e r i e n c e s w i t h m a fi r i n c o l l e g e . A n o t h e r p l a c e t h a t E l i z a b e t h ' s l a c k o f c o n fi d e n c e i n h e r m a t h e m a t i c a l a b i l i t i e s c a n b e s e e n q u i t e e a r l y i n fi r e s t u d y i s i n h e r r e s p o n s e t o t h e j o u r n a l e n t r y fi r a t w a s a s s i g n e d a c o u p l e o f w e e k s i n t o fi r e s e m e s t e r a s k i n g t h e m t o e v a l u a t e fi r e m s e l v e s i n r e l a t i o n t o fi r e fi v e g o a l s fi r a t N C I ' M ( 1 9 8 9 ) i d e n t i fi e d f o r s t u d e n t s . F o l l o w i n g i s E l i z a b e t h ' s c o m p l e t e j o u r n a l e n t r y i n r e s p o n s e t o fi r a t p r o m p t : " 1 ) I f e e l l x a h l e m a t h , t o a p o i n t . I r e s p e c t fi r a t I u s e i t d a i l y a n d i t i s i n v o l v e d i n fi r e i n t r i c a t e a n d m o d e r n m a c h i n e s a n d c o m p u t e r s w e u s e . B u t , I a l s o f e e l fi r a t c o m p l i c a t e d m a fi r i s i n a c c e s s i b l e t o m e . I c a n s e e fi r a t i t i s a s e r i e s o f s t e p s fi r a t a ' t e a m ' m i g h t u s e t o w o r k t o g e fi r e r a n d c r e a t e a fi n i s h e d p r o d u c t . " R e g a r d i n g m y e o n _ f i _ d e _ r l c _ e i n m y a b i l i t y i n m a fi r , I k n o w I a m l a c k i n g . I o f t e n w i l l w o r k l o n g e r t o g e t fi r e r i g h t a n s w e r a n d a m s o f r u s t r a t e d i f m y fi n a l a n s w e r i s n o t c o r r e c t a n d m y h a r d w o r k t o g e t t h e r e i s n o t v a l i d a t e d . " B e i n g a m e l e m s o l v e r i s n o t a s t r o n g p o i n t f o r m e e i t h e r . I h a v e o f t e n t a k e n m a t h h o m e f o r s t u d y i n g l o n g h o u r s , a n d m y a t t e n t i o n s p a n f o r fi r i s s u b j e c t i s q u i t e s h o r t . I f e e l t h a t i f m a t h i s j u s t a s e t o f 3 6 1 r u l e s t h e n I s h e fl d b e a b l e t o a p p l y t h e m a n d g e t t h e a n s w e r Q Q I C K L Y — I n e v e r d o ! " m m ' ° m a fi r a n d w i t h m a fi r I f e e l i s v i t a l t o m o d e r n u n d e r s t a n d i n g . I f e e l m a fi r ' s h i g h l y i n v o l v e d w i fi r t h e c o m p u t e r s y s t e m I u s e a n d a m l e a r n i n g m o r e a b o u t e v e r y d a y . I f o l l o w a s e t o f r u l e s a n d r e a d s y m b o l s a n d s i g n s t o m o v e a l o n g t h e p r o g r a m , a n d I f e e l k n o w i n g fi r i s ' l i n g o ' i s v i t a l t o d a y . " R e a s o m ' n g m a t h e m a t i c a l l y — I k n o w I r e a s o n w e l l a n d c a n b r e a k d o w n a s i t u a t i o n i n t o a s e r i e s o f s t e p s t o o b t a i n fi r e g o a l o r a n s w e r . I f e e l fi r i s i s a l s o r e l a t e d t o s c i e n c e a n d fi r e o fi r e r a r e a s o f s t u d y i n s c h o o l — a l s o g e t t i n g y o u r s e l f W ! " 2 ) I f e e l i t i s v i t a l f o r m e t o h a v e fi r e s e g o a l s a n d c h a r a c t e r i s fi c s t o b e a b l e t o t e a c h t h e m t o s t u d e n t s . I f e e l a l l o f m y l e a r n i n g w i l l b r i d g e o v e r t o m y s t u d e n t s a n d m y a t t i t u d e s a n d b e l i e f s w i l l a l s o c o m e a c r o s s . T h a t i s w h I k n o w i t i s i m p o r t a n t f o r m e t o b e p o s i t i v e a n d t r y e v e n h a r d e r i n a r e a s w h e r e I e x p e r i e n c e d f r u s t r a t i o n o r t r o u b l e . " I w i l l g e t fi r e s e g o a l s b y f o c u s i n g o n a l l fi r e s e n e w c o n c e p t s i n T E 4 0 1 , l e a r n i n g ( f r o m m y c l a s s r o o m o b s e r v a t i o n ) , a n d m o s fi y e t t i n g t o k n o w m y s t u d e n t s a n d fi r e i r s t r u g g l e s . I n e e d t o w o r k e r o n m y w e a k a r e a s s o m y s t u d e n t s w o n ' t f e e l w e a k i n fi r o s e a r e a s , a n d I n e e d t o r e m a i n o p e n m i n d e d . " F r o m fi r i s j o u r n a l e n t r y , i t i s e v i d e n t fi r a t E l i z a b e fi r fi r o u g h t i t w a s i m p o r t a n t t o v a l u e m a fi r a n d t o h a v e c o n fi d e n c e i n y o u r a b i l i t y t o d o i t . S h e a l s o f e l t i t w a s i m p o r t a n t t o b e a b l e t o p r o b l e m s o l v e , r e a s o n , a n d c o m m u n i c a t e m a fi r e m a t i c a l l y . H o w e v e r , s h e f e l t l a c k i n g i n e a c h o f fi r e s e a r e a s . H o w e v e r , s h e a l s o c o n v e y e d a d e s i r e a n d w i l l i n g n e s s t o d o w h a t s h e n e e d e d t o i n o r d e r t o i m p r o v e i n t h e s e a r e a s — a s w e l l a s a h o p e fi r a t h e r e x p e r i e n c e s i n fi r e c l a s s a n d h e r p r a c t i c u m m i g h t h e l p h e r d o fi r a t . B y t h e e n d o f fi r e s e m e s t e r , E l i z a b e fi r s e e m e d t o e n j o y m a fi r m o r e a n d h a v e m o r e c o n fi d e n c e i n h e r a b i l i t y t o d o i t . T h i s c h a n g e w a s e v i d e n c e d i n a l l o f fi r e d a t a . O n e p l a c e fi r i s c h a n g e c a n b e s e e n i s i n h e r r e s p o n s e s t o t h e i t e m s o n fi r e M a t h e m a t i c s I n v e n t o r y fi r a t a r e r e l a t e d t o a t t i t u d e s t o w a r d m a fi r e m a t i c s ( S e e T a b l e 3 2 ) . S h e a g r e e d w i fi r fi r a t s t a t e m e n t , ' T e n j o y d o i n g m a t h e m a t i c a l t a s k s , " a l i t t l e m o r e e a c h t i m e s h e t o o k fi r e i n v e n t o r y . S h e e x p l a i n e d h o w s h e i n t e r p r e t e d 3 6 2 : s s u w : o n o t T a b l e 3 2 : I t e m s R e l a t i n g t o A t t i t u d e s t o w a r d M a t h e m a t i c s f r o m t h e M a g e m a t i c s I n v e n t o r y W i t h E l i z a b e t h ' s R e _ s p o n s e s _ m a e m a t i c a l t a s k s . 2 3 2 . I h a v e a l w a y s e n j o y e d m a t h e m a t i c s . 2 _ 2 6 . I f e e l s u c c e s s f u l w h e n I a m e n g a g e d i n m a fi r e m a fi c a l 1 2 4 3 [ I t t a s k s . 2 ' — D o i n g m a fi r e m a t i c s i s u s u a l l y v e r y f r u s t r a t i n g f o r m e . 5 1 5 . I u n d e r s t a n d e l e m e n t a r y l e v e l m a fi r e m a t i c a l c o n c e p t s 3 _ q u i t e w e l l m y s e l f . 2 5 . I c a n h a n d l e b a s i c m a t h , b u t I w o u l d n ' t d o w e l l a t 4 a d v a n c e d m a fi r e m a t i c s . . a v a i l a b l e w h a t fi r a t i t e m m e a n t a n d h o w s h e w o u l d r e s p o n d t o i t d u r i n g h e r m i d - s e m e s t e r i n t e r v i e w : " I t w o u l d m e a n fi r a t i f I w e r e t o s a y n o w t a k e o u t y o u r m a fi r b o o k s o r i f w e w e r e g o i n g t o d o s o m e fi r i n g m a fi r e m a t i c a l , I w o u l d s a y I w o u l d e n j o y i t , a n d I w o u l d b e e x c i t e d a b o u t i t , t h a t I m i g h t b e s u c c e s s f u l a t i t , a n d I w o u l d k i n d o f s c r a m b l e t o g e t e v e r y fi r i n g e l s e o u t o f fi r e w a a n d r e a l l y c o n c e n t r a t e o n m a fi r . A n d , I d o n ' t fi r i n k i t ' s v e r y m u l i k e m e . I fi r i n k I ' m p r o b a b l y b e t w e e n a 2 a n d 3 r a n e , b e c a u s e I h a v e f e l t s o m e w h a t o f a s fi ' u g g l e i n fi r e p a s t a b o u t m a fi r I t ' s b e e n l i k e a b e l l y a c l r e t y p e o f fi r i n g , a n d I k n o w i p r u t m y m i n d t o i t a n d d o a l o t o f w o r k w i fi r i t , i t d o e s n ' t c o m e e a s y t o m e , b u t I c a n u s u a l l y g e t a r o u n d s o m e o f fi r e o b s t a c l e s fi r a t I ' v e h a d i n fi r e p a s t , a n d I c a n b e s u c c e s s f u l , b u t n o t a l w a y s r i g h t o n t a s k . I w o u l d h a v e s o m e o f t h e r i g h t s t e p s a n d n o t a l w a y s fi r e r i g h t a n s w e r . O r , I w o u l d g e t t h e r i t a n s w e r , a n d m y w a y m a y n o t b e a c c e p t a b l e , a n d fi r e y ' l l s a y , ' 0 y o u n e e d t o d o i t fi r i s w a y . ‘ I ' m o p e n t o fi r e n e w i d e a fi r a t fi r e r e a r e m a n y w a y s t o d o a p r o b l e m , a n d t h e y s h o u l d a l l b e v a l i d a t e d , y o u k n o w , n o t j u s t fi r e r i g h t a n s w e r a n d c e r t a i n s t e p s . S h e w a s fi r e n r e r r r i n d e d fi r a t s h e p u t a 2 t h e fi r s t d a y a n d a s k e d i f a n y fi r i n g i n fi r e c o u r s e h a d m a d e h e r c h a n g e . S h e r e s p o n d e d , " I fi r i n k I ' m l e a n i n g m o r e t o w a r d s a 3 , b e c a u s e , u m , t h e y ' r e s t r e s s i n g s o m u c h m o r e — i n t h e c o u r s e I ' v e l e a r n e d — t h a t fi r e r e ' s m a n y a c c e p t a b l e a n s w e r s , a n d y o u n e e d t o v a l i d a t e c h i l d r e n ' s o p i n i o n s a n d fi r o u g h t s a n d a s k t h e m m a n y u e s t i o n s a b o u t a l l t h e d i f f e r e n t w a y s fi r e y t h i n k t h e y c a n g e t t o ' 3 a n s w e r , a n d i f a n a n s w e r c o m e s u p o n fi r e b o a r d t o a s k fi r e i r s t u d e n t s fi r e i r o p i n i o n s l i k e , ' D o y o u fi r i n k t h a t ' s r i g h t ? W h y d o y o u fi r i n k fi r a t ' s r i h t ? ‘ W h i c h u s e s m u c h m o r e e m o t i o n o r f e e l i n g a b o u t i t r a t h e r [ g r a n ] j u s t r i g h t / w r o n g . I f t h e t e a c h e r j u s t s a y s ' R i g h t ; ' o r ' W r o n g ; ' I fi r i n k t h a t k i n d o f p u t s t h e m i n a d i c t a t o r r o l e . Y o u n e e d t o h a v e c h i l d r e n m o r e r e s p o n s i b l e f o r t h e i r a c t i o n s a n d f e e l i n g , u m , 3 6 3 s u c c e s s f u l . ' W e l l , I ' m n o t s u r e t h a t ' s r i g h t . ‘ A n d y o u s a y , ' W e l l , w h y d o n ' t y o u fi r i n k s o ? W h y d o e s n ' t i t f e e l r i h t t o y o u . M a y b e s o m e o n e e l s e h a s a c o m m e n t . ‘ A n d k i n d o f g a v e i t a s a g r o u p d i s c u s s i o n r a fi r e r fi r a n a n s w e r , ' 1 - 2 4 , a , b , c , a , b , c , ' a n d fi r o s e a r e fi r e a n s w e r s . A n d , t h a t ' s w h a t m a fi r a l w a y s w a s t o m e . I t ' s k i n d o f l i k e a n o p e n a n d s h u t b o o k a l l fi r e t i m e , a n d I ‘ d a l w a y s l o o k a t fi r e a n s w e r s i n fi r e b a c k o f fi r e b o o k , a n d I ' d g e t i t r i g h t , b u t I w a s n ' t l e a r n i n g a n y fi r i n g . P a r t o f fi r e r e a s o n E l i z a b e fi r s e e m s t o b e ” e n j o y i n g d o i n g m a fi r e m a t i c a l t a s k s ” m o r e a t fi r i s p o i n t i s b e c a u s e s h e w a s h a v i n g a n o p p o r t u n i t y t o e x p e r i e n c e i t i n a w a y fi r a t w a s d i f f e r e n t f r o m h o w s h e h a d e x p e r i e n c e d i t g r o w i n g u p , w h i c h w a s a m e fi r o d w h e r e s h e ” w a s n ’ t l e a r n i n g a n y fi r i n g . ” S h e n o w c o u l d i m a g i n e a m a fi r e m a t i c s c l a s s w h e r e fi r e t e a c h e r d i d n o t p l a y a ” d i c t a t o r ” r o l e b y g i v i n g t h e a n s w e r s o r s a y i n g , ” R i g h t ; ” o r ” W r o n g . " S h e s e e m e d t o l i k e fi r e i d e a o f h a v i n g fi r e s t u d e n t s e x p l a i n fi r e i r i d e a s a n d fi r e t e a c h e r b e i n g m o r e i n t e r e s t e d i n fi r e s t u d e n t s ’ fi r i n k i n g fi r a n i n i f fi r e y c a n g e t t h e r i g h t a n s w e r . S h e s e e m s t o b e l i e v e fi r a t fi r i s w o u l d g e t fi r e s t u d e n t s m o r e i n v e s t e d i n t h e p r o b l e m a n d h a v e ” m o r e e m o t i o n a n d f e e l i n g a b o u t i t . ” I t ’ s i n t e r e s t i n g fi r a t e v e n fi r o u g h E l i z a b e fi r w a s a s k e d a b o u t h e r a t t i t u d e t o w a r d m a fi r , s h e c o n n e c t e d i t t o s o m e i d e a s o f t e a c h i n g m a t h e m a t i c s . T h i s s e e m s t o s h o w t h a t s h e h a d p o s i t i o n e d h e r s e l f t o l o o k a t m a t h f r o m fi r e p e r s p e c t i v e o f a t e a c h e r b y fi r a t t i m e . I t e m 2 , " I h a v e a l w a y s e n j o y e d m a t h e m a t i c s , " d o e s n ' t s h o w a n y c h a n g e i n E l i z a b e fi r b e c o m i n g m o r e p o s i t i v e t o w a r d m a t h e m a t i c s s i n c e s h e a n s w e r e d a 2 e a c h t i m e s h e t o o k fi r e i n v e n t o r y , b u t s i n c e t h e i t e m w a s a b o u t h i s t o r y , w e w o u l d n ' t e x p e c t t h e r e s p o n s e t o c h a n g e — E l i z a b e t h ’ s c o n s i s t e n t r e s p o n s e s t o i t e m 2 c a n i n c r e a s e o u r c o n fi d e n c e i n o fi r e r i t e m s o n t h e i n v e n t o r y . S h e a n s w e r s e a c h o f t h e o fi r e r i t e m s i n T a b l e 3 2 i n a w a y fi r a t i n d i c a t e s a n i m p r o v e m e n t i n h e r a t t i t u d e t o w a r d h e r s e l f a s a d o e r o f m a t h , b u t w e c a n s e e s h e i s n ' t j u s t c i r c l i n g p o s i t i v e a n s w e r s — s h e i s c l e a r l y t h i n k i n g a b o u t e a c h o n e s e p a r a t e l y . H e r r e s p o n s e s t o I t e m 6 , " I f e e l s u c c e s s f u l w h e n I a m e n g a g e d i n m a fi r e m a t i c a l t a s k s , " d o e s s h o w t h e s a m e p a t t e r n o f c h a n g e a s d i d i t e m 1 ( S e e T a b l e 3 2 o n p a g e 3 6 3 ) . S h e fi r s t r e s p o n d e d w i t h a 1 , fi r e n a 2 , a n d t h e n a 3 , i n d i c a t i n g m o r e a g r e e m e n t w i t h t h a t s t a t e m e n t a s fi r e s e m e s t e r w e n t o n . O f c o u r s e , s h e d o e s n ' t e n d u p a g r e e i n g v e r y s t r o n g l y t h a t s h e f e e l s s u c c e s s f u l w h e n s h e i s e n g a g e d i n m a t h e m a t i c a l t a s k s , b u t t h e t r e n d i s e n c o u r a g i n g . S h e e x p l a i n e d w h y s h e fi r o u g h t h e r r e s p o n s e h a d c h a n g e d d u r i n g fi r e m i d - s e m e s t e r i n t e r v i e w : " I fi r i n k I ' m f e e l i n g a l i t t l e b i t b e t t e r , b e c a u s e I fi r i n k i f I w a s i n s c h o o l n o w a s a y o u n g e r s t u d e n t , s o m e o f m y i d e a s m i g h t b e v a l i d a t e d m o r e . I f w e t a l k e d a b o u t m a fi r m o r e a n d n o t j u s t s i t a n d w r i t e o u t n u m b e r s , b e c a u s e I fi r i n k i t i s k i n d o f l i k e a n o t h e r l a n g u a g e - j u s t s y m b o l s a n d s i g n s n a n d i f y o u d o n ' t k n o w a l a n g u a e , y o u ' r e n o t g o i n g t o b e s u c c e s s f u l u n l e s s y o u t a l k a b o u t i t . I n a n o e r l a n g u a g e w h e r e y o u ' r e l i k e , T d o n ' t u n d e r s t a n d t h a t ; ' o r ' C a n y o u s h o w m e a d i f f e r e n t w a y ; ' o r ' I l e a r n fi r i s w a y . T h i s i s t h e w a y I fi r o u g h t o f i t ; ' a n d i f fi r a t ' s v a l i d a t e d , fi r e n I f e e l l i k e I w o u l d b e m o r e s u c c e s s f u l . A n d , I f e l t b e f o r e fi r a t I w a s n ' t s u c c e s s f u l , b e c a u s e I d i d n ' t g e t a n A + o r 1 0 0 % a t fi r e t o p o f fi r e p a p e r . A n d , e v e n fi r e w a y fi r a t o u r p r i m a r y t e a c h e r a s k s u s t o c o r r e c t p a p e r s i s m o r e p o s i t i v e n o w . I n s t e a d o f j u s t p u t t i n g x , x o n fi r e t w o fi r a t a r e w r o n g , w e p u t s t a r s o n a l l fi r e o n e s fi r a t a r e r i g h t , a n d i t m a k e s fi r e r n f e e l m o r e s u c c e s s f u l . I k n o w I w o u l d i f I w a s a s t u d e n t . " T h i s i s a n i n t e r e s t i n g q u o t e . E l i z a b e fi r ’ s l a n g u a g e s e e m s t o s u g g e s t fi r a t s h e w a s n o t j u s t fi r i n k i n g o f h e r s e l f a s a t e a c h e r , b u t fi r a t s h e w a s a c t u a l l y r e - i m a g i n i n g h e r s e l f a s a n e l e m e n t a r y m a t h s t u d e n t a s s h e s a w a n d l e a r n e d a b o u t n e w w a y s o f t e a c h i n g . I t s e e m s t h a t i n h e r i m a g i n a t i o n s h e w a s r e - e x p e r i e n c i n g b e i n g a y o u n g s t u d e n t i n a m a fi r c l a s s a n d w a s fi r e n t h i n k i n g , ” O h , I r e a l l y c o u l d h a v e b e e n s u c c e s s f u l i f t h e y h a d t a u g h t m e d i f f e r e n fi y . " I t e m 7 f r o m fi r e M a t h e m a t i c s I n v e n t o r y , " D o i n g m a t h e m a t i c s i s u s u a l l y v e r y f r u s t r a t i n g f o r m e , " i s r e l a t e d t o i t e m s 1 a n d 6 i n a n i n v e r s e w a y , a n d j u s t a s h e r a g r e e m e n t w i t h i t e m s 1 a n d 6 i n c r e a s e d b y o n e e a c h t i m e s h e t o o k fi r e i n v e n t o r y , h e r r e s p o n s e d e c r e a s e d b y o n e f o r i t e m 7 e a c h t i m e s h e t o o k t h e 3 6 5 i n v e n t o r y , m o v i n g f r o m 5 — s t r o n g a g r e e m e n t — t o 4 t o 3 . D u r i n g t h e m i d - s e m e s t e r i n t e r v i e w , s h e e x p l a i n e d w h y s h e w a s s e e i n g d o i n g m a t h a s l e s s f r u s t r a t i n g fi r a n s h e h a d w h e n t h e c o u r s e b e g a n : " U n r , I fi r i n k i t h a s a l w a y s b e e n v f r u s t r a t i n g t o m e b e c a u s e i t ' s s e e m e d b l a c k a n d w h i t e a n d ' u s t r i t o r w r o n g a n s w e r , a n d n o w I fi r i n k I ' m s e e i n g m o r e fi r a t e r e a r e d i f f e r e n t a n s w e r s — t h e r e a r e d i f f e r e n t w a s t o g e t a p r o b l e m . A n d , I fi r i n k e v e r y fi r i n g i n t h e w o r l d i s a s a d e o f g r a y , a n d fi r a t t h e r e a r e e x c e p t i o n s t o e v e r y r u l e , a n d t h e r e ' s d i f f e r e n t w a y s o f o i n g a b o u t fi r i n g s , a n d e v e r y o n e c a n k i n d o f b e a l o n g fi r e s a m e 3 0 w o f a n a n s w e r a n d l i k e g e t t i n g t h e r i g h t i d e a , b u t n o b o d y l e a r n s t h e s a m e w a y , a n d e v e r y b o d y l e a r n s a t fi r e i r o w n p a c e a n d d i f f e r e n t l e v e l s . 5 0 , I t h i n k t o e x p e c t e v e r y o n e t o — i t ' s k i n d o f a h i g h e x p e c t a t i o n t o e x p e c t e v e r y o n e t o fi r i n k o f o n e p r o b l e m i n t h e s a m e w a y a n d g e t fi r e s a m e a n s w e r a l l t h e t i m e , a n d fi r a t w a s f r u s t r a t i n g . N o w , I d r i n k i t ' s s t a r t i n g t o c h a n g e a l i t t l e b i t i n fi r e w a y I s e e fi r a t p e o p l e a r e l o o k i n g a t m a fi r d i f f e r e n t l y , a n d h o p e f u l l y l e a r n i n g t o t e a c h i t fi r a t w a y . I ' m h o p i n g I ' l l e r a s e s o m e o f t h e s t i g m a s I ' v e h a d a n d n o t t e a c h i t fi r a t w a y . " I t s e e m s f r o m E l i z a b e fi r ' s r e s p o n s e s t o i t e m s 1 , 6 , a n d 7 t h a t m u c h o f fi r e r e a s o n s h e w a s f e e l i n g m o r e p o s i t i v e t o w a r d m a t h a s fi r e s e m e s t e r p r o g r e s s e d i s fi r a t s h e w a s s e e i n g m a fi r a n d l e a r n i n g a n d d o i n g m a t h i n a w a y fi r a t w a s l e s s r i g i d fi r a n h e r o r i g i n a l c o n c e p t i o n o f w h a t m a fi r w a s . T h e i d e a fi r a t a s o l u t i o n t o a m a fi r e m a t i c s p r o b l e m c o u l d b e f o u n d i n m a n y v a l i d w a y s s e e m e d t o a p p e a l t o h e r . A g a i n , e v e n fi r o u g h fi r e s e i t e m s w e r e f o c u s i n g o n h e r o w n e x p e r i e n c e w i fi r m a fi r , E l i z a b e t h c o n n e c t e d fi r e m t o h e r i d e a s a b o u t t e a c h i n g m a t h . I t e m s 1 5 , " I u n d e r s t a n d e l e m e n t a r y l e v e l m a fi r e m a t i c a l c o n c e p t s q u i t e w e l l m y s e l f , " a n d 2 5 , " I c a n h a n d l e b a s i c m a fi r , b u t I w o u l d n ' t d o w e l l a t a d v a n c e d m a fi r " b o t h r e l a t e t o t h e s t u d e n t s ' c o n fi d e n c e i n u n d e r s t a n d i n g a n d d o i n g m a t h e m a t i c s . F o r i t e m 1 5 , E l i z a b e fi r p u t a 3 fi r e fi r s t t w o t i m e s s h e t o o k t h e i n v e n t o r y a n d a 4 o n t h e fi n a l d a y ( S e e T a b l e 3 2 o n p a g e 3 6 3 ) . T h i s i n c r e a s e b y fi r e fi n a l d a y w o u l d i n d i c a t e fi r a t s h e f e l t m o r e c o n fi d e n t i n h e r u n d e r s t a n d i n g o f e l e m e n t a r y l e v e l m a t h e m a t i c a l c o n c e p t s . F o r i t e m 2 5 , " I c a n h a n d l e b a s i c m a fi r , b u t I w o u l d n ' t d o w e l l a t a d v a n c e d m a t h e m a t i c s , " E l i z a b e t h p u t a 4 o n t h e fi r s t 3 6 6 d a y a n d a 3 o n fi r e l a s t d a y . P e r h a p s s h e f e l t s o m e w h a t m o r e c o n fi d e n t i n h e r a b i l i t y t o u n d e r s t a n d a d v a n c e d m a fi r e m a t i c s b y fi r e e n d o f fi r e s e m e s t e r . S o m e o f E l i z a b e fi r ' s fi n a l " W h a t I s M a t h e m a t i c s ? " j o u r n a l e n t r y i s a l s o i l l u s t r a t i v e o f h e r m o r e p o s i t i v e a t t i t u d e t o w a r d m a fi r a t t h e e n d o f fi r e s e m e s t e r . S h e w r o t e , " A f t e r s t u d y i n g m a fi r e m a t i c s i n fi r i s c o u r s e T B 4 0 1 , I h a v e c o m e t o m a n y c o n c l u s i o n s r e g a r d i n g m a fi r : " - M a fi r i s i m p o r t a n t a n d i s u s e d i n e v e r y d a y l i f e t o r u n fi r e w o r l d . " - M a fi r c a n b e fi r o u g h t o f a s f u n a n d e v e n t u r n e d i n t o a g a m e . " - T e a c h e r s w h o h a v e h a d n e g a t i v e e x p e r i e n c e s w i fi r m a fi r c a n s t i l l fi n d p o s i t i v e w a y s t o t e a c h i t . " - N u m b e r s a r e m e a n i n g f u l a n d h a v e a p l a c e i n t h e w o r l d . " - M a fi r s h o u l d b e r e g a r d e d w i fi r a n d t a u g h t c o n c e p t u a l l y . " M a n y o f fi r e s e a t t i t u d e s a b o u t m a h a v e c h a n g e d f o r m y s e l f . I n o w s e e i t i n a b r i g h t e r l i g h t . " A n o fi r e r p l a c e i n t h e d a t a fi r a t s u p p o r t s fi r e i d e a fi r a t E l i z a b e fi r ' s a t t i t u d e t o w a r d m a t h e m a t i c s b e c a m e m o r e p o s i t i v e d u r i n g t h e s e m e s t e r i s i n fi r e fi n a l M a t h e m a t i c s I n v e n t o r y g i v e n o n fi r e l a s t d a y o f c l a s s . T h e s t u d e n t s w e r e a s k e d a n o p e n - e n d e d q u e s t i o n , " H a v e y o u r a t t i t u d e s t o w a r d m a fi r e m a t i c s o r t e a c h i n g m a t h e m a t i c s c h a n g e d a t a l l d u r i n g t h e t i m e y o u ' v e b e e n i n t h i s c o u r s e ? I f s o , h o w ? I f n o t , h o w ? " E l i z a b e fi r ' s r e s p o n s e t o fi r i s q u e s t i o n w a s , " Y E S - T h e y h a v e i m p r o v e d . I h a v e r e s e a r c h e d a n e w w a y o f fi r i n k i n g a b o u t m a fi r a n d n o w e g j e y i t ! ( T h e n s h e d r e w a s m i l e y f a c e . ) A s e m e s t e r a f t e r fi r e c l a s s , E l i z a b e fi r s t i l l s e e m e d t o h a v e a m o r e p o s i t i v e a t t i t u d e t o w a r d m a fi r e m a t i c s t h a n s h e d i d a t t h e b e g i n n i n g o f t h e s t u d y . F o r e x a m p l e , w h e n s h e w a s a s k e d , " D o y o u c o n s i d e r m a fi r e m a t i c s a s s o m e fi r i n g v a l u a b l e ? W h e r e i s i t v a l u a b l e ? F o r w h o m i s i t v a l u a b l e ? I s i t v a l u a b l e f o r y o u p e r s o n a l l y ? " s h e a n s w e r e d , " I d o c o n s i d e r m a t h v a l u a b l e . I t ' s v a l u a b l e f o r e v e r y o n e , a n d I fi r i n k i t ' s i m p o r t a n t f o r p l e t o k n o w t h a t a l m o s t a l l o f fi r e m a t e r i a l t h i n g s fi r a t w e m e n o w a r e b a s e d o n s o m e s o r t o f m a fi r e m a t i c a l a n d s c i e n t i fi c c o n c e p t . A n d , I fi r i n k i t ' s v a l u a b l e m y s e l f i n fi r a t i t ' s v a l u a b l e t o t e a c h t h a t m a fi r i s i m p o r t a n t a n d n o t 3 6 7 j u s t s o m e t h i n g fi r a t w e h a v e t o l e a r n a n d t fi r s t a s u b j e c t i n s c h o o l j u s t l i k e s o c i a l s t u d i e s a n d s c i e n c e , b u t a t t h e y c a n a l l w o r k t o g e t h e r . " S h e w a s a l s o a s k e d h o w c o n fi d e n t s h e f e l t d o i n g m a fi r , a n d s h e f e l t l i k e s h e w a s m o r e c o n fi d e n t fi r a n s h e h a d b e e n . S h e r e s p o n d e d , " U m , m y c o n fi d e n c e l e v e l h a s r i s e n s o m e w h a t . I ' m n o t a s n e r v o u s n o w i f I d o n ' t a l w a y s g e t fi r e r i g h t a n s w e r , b e c a u s e I w i l l a l w a y s a s k q u e s t i o n s , a n d p e o l l e a r o u n d m e c a n h e l p m e , a n d I ' l l h a v e m o r e r e s o u r c e s t h a n I t h i n k I h a d b e f o r e . I w a s s o r t o f n e r v o u s b e f o r e a b o u t i f s t u d e n t s w o u l d a s k m e a q u e s t i o n t h a t I d i d n ' t k n o w fi r e a n s w e r t o . N o w , I c a n s a y , ' T h a t ' s a n e x c e l l e n t q u e s t i o n . L e t ' s w r i t e i n o u r b o o k o f u e s t i o n s . ‘ O r , ' L e t ' s w r i t e t h a t o n fi r e b o a r d . ‘ I ' v e d o n e a k - w - l a r t — w h a t w e a l r e a d y k n o w , w h a t w e w a n t t o l e a r n , a n d a t fi r e e n d o f u n i t , w h a t w e h a v e l e a r n e d . S o , w e c a n p u t t h a t i n fi r e m i d d l e o f fi r e q u e s t i o n s . W h a t d o w e w a n t t o k n o w ? ' W e h a v e fi r i s q u e s t i o n , l e t ' s r e s e a r c h fi r i s f u r t h e r . L e t ' s i n v e s t i g a t e i t . ’ A n d , s o m e t i m e s I c a n e v e n l e a v e fi r a t s t u d y u p t o fi r e s t u d e n t s i f I c a n ' t fi n d fi r e a n s w e r , fi r e y c a n h e l p m e fi n d i t , t o o . E v e n fi r o u g h E l i z a b e t h r e a l i z e d a t fi r e e n d o f fi r e s t u d y fi r a t s h e h a d l i m i t a t i o n s i n h e r u n d e r s t a n d i n g o f m a t h e m a t i c s , s h e s e e m e d t o d r i n k o f fi r o s e l i n r i t a t i o n s i n a w a y fi r a t d i d n ' t c a u s e h e r t o h a v e a n e g a t i v e a t t i t u d e t o w a r d m a t h o r h e r a b i l i t y t o d o i t — o r m a y b e t o t e a c h i t . O n c e m o r e , fi r i s i s a c a s e w h e r e E l i z a b e t h w a s a s k e d a b o u t h e r o w n a t t i t u d e s t o w a r d m a fi r a n d r e s p o n d e d b y c o n n e c t i n g i t t o h e r i d e a s o f t e a c h i n g m a fi r e m a t i c s . A t t i t u d e s t o w a r d T e a c h i n g M a t h e m a t i c s A s w i t h h e r a t t i t u d e t o w a r d m a fi r , a t fi r e b e g i n n i n g o f t h e s e m e s t e r , E l i z a b e t h w a s n ' t t o o e x c i t e d a b o u t t h e i d e a o f t e a c h i n g m a fi r e m a t i c s t o e l e m e n t a r y s c h o o l s t u d e n t s , b u t a g a i n , a s w a s fi r e c a s e w i fi r h e r a t t i t u d e s t o w a r d m a fi r , b y fi r e e n d o f fi r e s t u d y , h e r a t t i t u d e s t o w a r d t e a c h i n g m a fi r a l s o s e e m e d t o b e c o m e m o r e p o s i t i v e d u r i n g fi r e s e m e s t e r . O n e p l a c e h e r t r e p i d a t i o n a b o u t fi r e i d e a o f t e a c h i n g m a fi r e m a t i c s w a s e v i d e n t w a s i n h e r " R e fl e c t i o n s o f M a t h e m a t i c s " j o u r n a l e n t r y w h i c h w a s a s s i g n e d o n fi r e fi r s t d a y o f c l a s s . I n i t s h e w r o t e , 3 6 8 h t 0 0 [ N N 9 l l 0 U b b l l J 0 N 0 h I " I f I h a d l e a r n e d d i f f e r e n fi y , I c o u l d b e m u c h m o r e o p e n t o t e a c h i n g i t d i f f e r e n fi y — b u t fi r a t w o u l d a l s o m e a n y e a r s o f r e t r a i n i n g o r s e l f t o fi r i n k d i f f e r e n t l y a b o u t m a t h — a n d fi r a t i s t o o f r u s t r a t i n g t o t h i n k o f ! " T a b l e 3 3 : I t e m s R e l a t i n g t o A t t i t u d e s t o w a r d T e a c h i n g M a t h e m a t i c s f r o m t h e M a t h e m a t i c s I n v e n t g y w i t h E l i z a b e t h ' s R e s p o n s e s t o t e a c h m a fi r e m a t i c s a s a n e l e m e n t a r y t e a c h . 9 . I f e e l e n t h u s i a s t i c a b o u t m a fi r e m a t i c s a n d a b o u t t e a c h i n g i t . 1 2 . I d o n ' t e x p e c t t o e n c o u n t e r a n y m a fi r e m a t i c s w h e n I t e a c h e l e m e n t a r y s c h o o l fi r a t I w o n ' t u n d e r s t a n d s i n c e I s u c c e s s f u l l y c o m p l e t e d e l e m e n t a r y s c h o o l . 1 4 . I f e e l c o n fi d e n t i n m y a b i l i t y t o e x p l a i n m a fi r e m a t i c a l c o n c e p t s t o c h i l d r e n . 1 6 . I w o u l d f e e l m o r e c o m f o r t a b l e i f I k n e w t h a t I w o u l d n o t h a v e t o t e a c h m a fi r e m a t i c s t o e l e m e n t a r y s t u d e n t s . 1 8 . B e i n g g o o d a t m a fi r e m a t i c s i s n o t r e q u i r e d t o b e a g o o d t e a c h e r o f m a t h . 1 9 . I w a n t t o t e a c h m a fi r e m a fi c s s o t h a t I c a n h e l p s t u d e n t s _ g e t e x c i t e d a b o u t i t . 2 0 . A s a t e a c h e r , I w o u l d f e e l e m b a r r a s s e d i f a s t u d e n t a s k e d a q u e s t i o n t o w h i c h I d i d n ' t k n o w t h e a n s w e r . 2 1 . I e x p e c t t o r e g u l a r l y t e a c h m a t h e m a t i c s a s a n e l e m e n t a r y t e a c h e r . m l l b O D E l i z a b e fi r ' s b e g i n n i n g r e s p o n s e s t o s o m e o f fi r e i t e m s r e l a t i n g t o a t t i t u d e s t o w a r d t e a c h i n g m a t h e m a t i c s f r o m fi r e M a t h e m a t i c s I n v e n t o r y a l s o p r o v i d e e v i d e n c e o f fi r i s a p p r e h e n s i o n ( S e e T a b l e 3 3 ) . H o w e v e r , h e r r e s p o n s e s t o fi r e s e i t e m s d u r i n g t h e m i d d l e a n d a t t h e e n d o f fi r e s t u d y i n d i c a t e a n o v e r a l l , m o r e p o s i t i v e a t t i t u d e t o w a r d t e a c h i n g m a t h e m a t i c s b y fi r e e n d o f t h e s e m e s t e r . F o r e x a m p l e , f o r i t e m 8 , " I a m e x c i t e d t h a t I w i l l m o s t l i k e l y h a v e fi r e o p p o r t u n i t y t o t e a c h m a fi r e m a t i c s a s a n e l e m e n t a r y t e a c h e r , " E l i z a b e fi r p u t a 3 fi r e fi r s t d a y a n d d u r i n g h e r m i d - s e m e s t e r i n t e r v i e w , a n d s h e p u t a 4 o n fi r e fi n a l d a y o f c l a s s . W h e n s h e s a i d 3 f o r fi r a t i t e m d u r i n g fi r e m i d - s e m e s t e r i n t e r v i e w , s h e fi r o u g h t s h e h a d p u t a 2 f o r i t o n fi r e fi r s t d a y o f c l a s s . S h e t h o u g h t s h e w a s b e c o m i n g m o r e e x c i t e d t o t e a c h m a fi r e m a t i c s a t fi r a t p o i n t , a n d i t a p p e a r s fi r a t s h e w a s e v e n m o r e e x c i t e d b y fi r e e n d o f t h e s e m e s t e r s i n c e s h e p u t a 4 t h a t d a y . D u r i n g t h e 3 6 9 m i d - s e m e s t e r i n t e r v i e w , s h e e x p l a i n e d h o w s h e t h o u g h t s h e w a s c h a n g i n g i n r e l a t i o n t o fi r a t s t a t e m e n t . " I fi r o u h t m a y b e I w a s h e s i t a n t a b o u t i t . I m e a n ' s o m e w h a t ' i s k i n d 0 ? h e s i t a n t , b u t I t h o u g h t I m i g h t h a v e m o r e n e g a t i v e fi r i n k i n g . H o w a m I g o i n g t o s p e n d a l l t h e t i m e t o r e l e a r n fi r i s n e w w a y t o t e a c h i t t o s t u d e n t s i n a p o s i fi v e w a y b e c a u s e I h a v e s u c h a n e g a t i v e a t t i t u d e ? B u t , I a m e x c i t e d a b o u t s o m e o f m y a t t i t u d e c h a n g e s m y s e l f a n d s o m a n y d i f f e r e n t w a y s fi r a t fi r e y ' r e c o n r i n g w i fi r t h a t w e c a n s h o w t h e m , a n d I fi r i n k s t u d e n t s , l i k e i f I ' m w i a n o l d e r g r o u p , a n d t h e y a l r e a d y h a v e s o m e p r e c o n c e i v e d i d e a s a b o u t m a fi r , a n d I w a n t e d t o s t a r t f r o m s c r a t c h . B u t , I fi r i n k s t a r t i n g f r o m s c r a t c h , t o o , c a n g i v e fi r e m s o m e r e a l l y p o s i t i v e w a y s t o s t a r t fi r i n k i n g a b o u t m a fi r a n d g e t t i n g fi r o s e i d e a s fi r a t I h a d . I t e m 9 , " I f e e l e n fi r u s i a s t i c a b o u t m a fi r e m a t i c s a n d a b o u t t e a c h i n g i t , " w a s s i m i l a r t o i t e m 8 , a n d E l i z a b e fi r ' s r e s p o n s e s w e r e a l s o s i m i l a r . S h e p u t a 2 , fi r e n a 3 , fi r e n a 4 , r e s p e c fi v e l y , fi r e fi r r e e t i m e s s h e t o o k fi r e i n v e n t o r y . S h e a g r e e d w i fi r fi r a t s t a t e m e n t a l i t t l e m o r e e a c h t i m e s h e t o o k t h e i n v e n t o r y . S h e e x p l a i n e d t o fi r e m i d - s e m e s t e r i n t e r v i e w e r h o w a n d w h e fi r e r s h e fi r o u g h t i t e m 9 w a s d i f f e r e n t f r o m i t e m 8 fi r i s w a y a n d w h y s h e fi r o u g h t s h e w a s f e e l i n g m o r e e n fi r u s i a s t i c a t fi r a t p o i n t fi r a n s h e d i d fi r e fi r s t d a y o f c l a s s : " I t s e e m s a l m o s t e x a c fi y t h e s a m e , b u t e n t h u s i a s t i c a n d e x c i t e d . . . Y o u ' r e m o r e e n t h u s i a s t i c i f y o u k n o w y o u h a v e a l o t o f r e a l l y g o o d i d e a s t o s h a r e , fi r a t y o u ' v e g o t a l o t o f m a t e r i a l s , a n d y o u ' r e r e a l l y p r e p a r e d . E x c i t e d w o u l d m e a n l i k e , ' O h , I c a n ' t w a i t ' t i l I h a v e fi r e o p p o r t u n i t y w h e n I g e t a c h a n c e t o s t u d y fi r i s m o r e a n d g e t p r e p a r e d . ‘ E n fi r u s i a s t i c I fi r i n k w o u l d b e , ' I ' m r e a d y . ’ Y o u k n o w , ' I ' v e g o t fi r e s e i d e a s . ‘ J u s t f r o m s o m e o f fi r e d i f f e r e n t h a n d o u t s a n d fi r i n g s t h a t I ' v e s e e n , I w a s l i k e g e t t i n g n e r v o u s a t fi r s t r e a d i n g a b o u t fi r i s n e w w a y , o f t e a c h i n g m a t h . I w a s l i k e , fi r a t ' s j u s t fi n e , b u t t h e y ' v e g o t fi r a t t e a c h e r ' s m a n u a l fi r e r e fi r a t s a y s , r D o , i t fi r i s w a y — t h e o l d w a y . ‘ H o w a m I g o i n g t o c o m e u p w i t h fi r i s w h o l e n e w w a y w i fi r o u t s o m e s o r t o f s t a n d a r d , l i k e d o a n e w l e s s o n p l a n e v e r y n i g h t m y fi r s t f e w y e a r s t e a c h i n g a n d b e e x h a u s t e d t r y i n g t o d o i t , b u t t h e r e a r e a l o t o f h a n d b o o k s n o w a n d w a y s t o t e a c h c h i l d r e n fi r i s k i n d o f m a fi r , a n d I ' m r e a l l y i n t e r e s t e d i n k i n d o f l i k e fi r e r e v i s e d w a y o f t h e s e k i n d o f a p r o b l e m s fi r a t w i l l u s e h a n d s - o n m a t e r i a l s a n d p r e p a r e m e a n d m e m e f e e l l i k e I ' v e g o t a b a c k u p i f I h a v e n ' t g o t s o m e fi r i n g p r e p a r e d f o r e v e r y s i n g l e d a y . T h e r e a r e o t h e r i d e a s I c a n l o o k a t a n d s a y , ' O h , w e l l fi r i s i s a d e v e l o p m e n t a l l y a p p r o p r i a t e w a y t o i m p l e m e n t fi r i s , a n d I ' m g o i n g t o u s e fi r i s i n m y 3 7 0 c l a s s r o o m , b e c a u s e I ' m e x c i t e d a b o u t fi r i s . ‘ N o t j u s t I ' v e g o t t o c r e a t e a l l fi r e s e fi r i n g s o f f fi r e t o p o f m y h e a d . " T h e w a y fi r a t E l i z a b e fi r i s d i s t i n g u i s h i n g b e t w e e n b e i n g e n t h u s i a s t i c a n d e x c i t e d a b o u t t e a c h i n g m a fi r s h o w s u s fi r a t s h e i s fi r i n k i n g c a r e f u l l y a b o u t fi r e l a n g u a g e i n e a c h i t e m — m o r e c a r e f u l l y fi r a t w e m i g h t s u p p o s e g i v e n s o m e o f h e r p h r a s i n g . I t e m 1 9 , " I w a n t t o t e a c h m a fi r e m a t i c s s o fi r a t I c a n h e l p s t u d e n t s g e t e x c i t e d a b o u t i t , " i s a l s o r e l a t e d t o e n t h u s i a s m f o r t e a c h i n g , a n d E l i z a b e fi r ' s r e s p o n s e s t o fi r a t i t e m j u m p e d f r o m a 2 o n fi r e fi r s t d a y t o a 4 d u r i n g t h e m i d - s e m e s t e r i n t e r v i e w a n d o n t h e fi n a l d a y o f c l a s s ( S e e T a b l e 3 3 o n p a g e 3 6 9 ) . T h i s c h a n g e i n a t t i t u d e s e e m e d t o h a v e b e e n i n fl u e n c e d b y h e r e x p e r i e n c e s i n t h e c l a s s a s w e l l a s h e r w o r k i n h e r fi e l d p l a c e m e n t . S h e e x p l a i n e d w h y s h e t h o u g h t s h e h a d c h a n g e d s o m e t o fi r e m i d - s e m e s t e r i n t e r v i e w e r fi r i s w a y : " U m , m a y b e b e f o r e I w a s fi r i n k i n g fi r a t I w o u l d n ' t b e a b l e t o g e t s t u d e n t s e x c i t e d a b o u t i t . I ' m fi r i n k i n g m o r e n o w fi r a t I ' v e s e e n fi r i n g s i n c l a s s , t h a t I d o n ' t w a n t t o s a y fi r a t fi r e y ' r e u s i n g i t a s a b r i b e o r a n y t h i n g , b u t i f fi r e y ' r e u s i n g fi r i n g s fi r a t i n v o l v e c a n d y , a n d fi r e y ' r e s e p a r a t i n g a n d s o r t i n g , a n d fi r e e n d r e s u l t , fi r e y g e t t o a c t u a l l y e a t i t , fi r e n fi r e y ' r e l i k e , ' O h , w o w , I c a n ' t w a i t t o d o fi r i s o n e . ‘ O r , i f fi r e y g e t t o u s e fi r e i r b o d i e s , l i k e fi r e y o u n g e r s t u d e n t s , a n d t h e y g e t t o r e a r r a n g e fi r e m s e l v e s i n t h e c l a s s o r l i k e c l a s s i f y t h e m s e l v e s a c c o r d i n g t o w h a t t h e y ' r e w e a r i n g , t h e y f e e l l i k e , ' I ' v e g o t a r e d s h i r t . J u s t b e c a u s e I ' v e g o t a r e d s h i r t o n , I ' m i m p o r t a n t . ‘ A n d fi r a t ' s i m p o r t a n t , t o o , n o t b e c a u s e fi r e t e a c h e r p i c k e d m e t o g o u p fi r s t a n d w r i t e m y n a m e o n fi r e b o a r d , I fi r i n k t h a t c a n g e t t h e m e x c i t e d a b o u t d o i n g m a fi r . E v e r y o n e e t s t o p a r t i c i p a t e , a n d i t ' s n o t a b i a s e d fi r i n g . Y o u k n o w , b e c a u s e fi § e r a i s e d fi r e i r h a n d , I ' m n o t g o i n g t o p i c k o n fi r e n r , i t ' s s o m e a n t h a t I w a n t t o i n c l u d e a l l t h e s t u d e n t s w h e r e fi r e y a l l g e t t o u s e s o m e a n fi r a t i s f a m i l i a r t o t h e m a n d i m p o r t a n t t o t h e m , a n d w e c a n a l l p a r t i c i p a t e i n i t . S o , I ' m e x c i t e d a b o u t d o i n g t h o s e k i n d s o f fi r i n g s w h e r e l i k e i n s c h o o l s o m e t i m e s l i k e w h e r e I a m r i h t n o w s h e ' l l s a y , ' O k a y , i t ' s t i m e f o r r e a d i n g w o r k s h o p . ‘ A n d , I ' l l e a r t h e s e m o a n s a n d g r o a n s , a n d I ' m l i k e , ' I d o n ' t u n d e r s t a n d w h y y o u g u y s a r e d o i n g t h a t . ‘ I d o n ' t w a n t t o h e a r fi r a t , a n d i t ' s g o i n g t o h a p p e n . I t ' s g o i n g t o h a p p e n a l l fi r e t i m e , b u t h o p e f u l l y t h e r e w i l l b e d a y s w h e n fi r e y ' r e l i k e , ' O h , y e a h , r e m e m b e r w h a t w e w e r e d o i n g y e s t e r d a y . L e t ' s g o g e t o u r p r o j e c t . I c a n ' t w a i t t o w o r k o n i t a g a i n . ‘ O r l i k e t h e y ' r e r e a d y t o s k i p r e c e s s t o k e e p o n s o m e t y p e o f m a fi r c o n c e p t w e ' r e d o i n g , w e ' r e w o r k i n g t o g e fi r e r . " 3 7 1 E l i z a b e t h ' s c o n fi d e n c e i n h e r a b i l i t y t o t e a c h m a fi r e m a t i c s t o e l e m e n t a r y s c h o o l s t u d e n t s a l s o s e e m e d t o i n c r e a s e a g r e a t d e a l d u r i n g t h e s e m e s t e r . O n e p l a c e fi r i s c a n b e s e e n i s i n a p o r t i o n o f h e r fi n a l ” W h a t I s M a fi r e m a t i c s ? ” j o u r n a l e n t r y w h e r e s h e w r o t e , ” M a n y o f fi r e s e a t fi t u d e s a b o u t m a t h h a v e c h a n g e d f o r m y s e l f . I n o w s e e i t i n a b r i g h t e r l i g h t . I h a v e c o m e t o r e a l i z e fi r e i m p o r t a n c e o f i n s t r u c t i o n , a n d w i l l s t r i v e t o w o r k h a r d e r t o a c h i e v e a l e v e l o f s u c c e s s d u e t o m y p o o r g r a s p o n fi r e s u b j e c t . I f e e l c o n fi d e n t fi r a t I c a n t e a c h m a fi r o n a n e l e m e n t a r y l e v e l w i fi r fi r e n e c e s s a r y s k i l l s t o b e s u c c e s s f u l . ” T h i s i n c r e a s e i n c o n fi d e n c e i s a l s o c l e a r l y s h o w n i n h e r r e s p o n s e s t o i t e m 1 4 , " I f e e l c o n fi d e n t i n m y a b i l i t y t o e x p l a i n m a fi r e n r a t i c a l c o n c e p t s t o c h i l d r e n . " O n fi r e fi r s t d a y o f c l a s s , s h e p u t a 2 , d u r i n g t h e m i d - s e m e s t e r i n t e r v i e w , s h e p u t a 3 , a n d o n fi r e fi n a l d a y o f c l a s s , s h e p u t a 4 . S h e a g r e e d w i fi r fi r e s t a t e m e n t a l i t t l e m o r e e a c h t i m e s h e t o o k fi r e i n v e n t o r y . I fi r i n k I ' m f e e l i n g m o r e c o n fi d e n t a b o u t e x p l a i n i n g fi r i n g s , b e c a u s e I ' v e h a d s o m e e x p e r i e n c e fi r i s y e a r i n t h e c l a s s r o o m , a n d t o n o t j u s t s a y fi r i s i s fi r e c o n c e p t a n d n o w d o fi r e p r o b l e m , I l i k e t o o p e n i t u p t o fi r e s t u d e n t s , a n d i f I ' v e g o t t e n t o k n o w t h e m , I ' m g o i n g t o k n o w w h a t k i n d s o f q u e s t i o n s t o e x p e c t . I ' m s t a r t i n t o s e e s o m e o f fi r a t n o w . I k n o w w h o ' s g o i n g t o a s k s o m e o f e q u e s t i o n s , w h o w i l l r a i s e fi r e i r h a n d s fi r s t , I ' l l k n o w fi r e k i n d o f q u e s t i o n t h a t i s g o i n g t o c o m e f r o m t h a t t y p e o f s t u d e n t . A n d , I m i g h t k n o w w h i s t u d e n t s I c a n p r o b e m o r e f r o m , a n d i f I d o n ' t k n o w t h e a n s w e r , s o m e t i m e s fi r i s s t u d e n t i n fi r e b a c k o f fi r e r o o m i s g o i n g t o k n o w t h e a n s w e r . S o , fi r a t e x c i t e s m e , a n d I w a n t t o k e e p p u s h i n g fi r a t c h i l d , b u t I a l s o s e e a n o fi r e r c h i l d t h a t i s s t r u ; g l i n g w i fi r t h a t , a n d I ' m fi r i n k i n g , ’ I ' m w o n d e r i n g , y o u k n o w , w h a t y o u t h i n k o f t h a t . ’ A n d , I fi r i n k i t w o u l d b e r e a l l y e x c i t i n g t o u s e t h e s t u d e n t s — m o r e t o b e a f a c i l i t a t o r f o r fi r e i r l e a r n i n g r a fi r e r fi r a n j u s t e x p l a i n i n g e v e r y fi r i n g . B u t , i f t h e y h a v e h o n e s t q u e s t i o n s , I ' m f e e l i n g m o r e c o n fi d e n t i n b e i n g a b l e t o e x p l a i n t h e r e a s o n s w h y , a n d fi r e y h e l p m e o u t , t o o . W e k i n d o f h e l p e a c h o t h e r o u t . I n fi r i s e x p l a n a t i o n , E l i z a b e fi r t e l l s u s s p e c i fi c a l l y w h a t i s m a k i n g h e r f e e l m o r e c o n fi d e n t a b o u t t e a c h i n g m a fi r a n d fi r a t s e e m s t o b e h o w s h e i m a g i n e s h e r c l a s s w o r k i n g . S h e i m a g i n e s h e r s e l f a s a f a c i l i t a t o r o f t h e s t u d e n t s ’ l e a r n i n g r a t h e r t h a n s o m e o n e w h o j u s t e x p l a i n s c o n c e p t s , a n d s h e s e e s a n a c t i v e r o l e f o r 3 7 2 t h e s t u d e n t s w i fi r fi r e m b r i n g i n g u p i d e a s a n d e x p l a i n i n g fi r e i r fi r i n k i n g — fi r u s h e l p i n g t h e m s e l v e s a n d e a c h o fi r e r l e a r n fi r e m a t h . T h i s i m a g e o f h e r c l a s s r o o m s h e h a d a t fi r a t p o i n t w a s p r o b a b l y q u i t e d i f f e r e n t f r o m fi r e i m a g e s h e h a d b e f o r e s h e b e g a n fi r e c o u r s e , w h i c h w a s m o s t l i k e l y fi r e i m a g e o f h o w s h e h a d b e e n t a u g h t m a fi r , a n d i t i s o n e w h e r e s h e a p p a r e n t l y s e e s h e r w e a k n e s s e s i n m a fi r e m a t i c s n o t b e i n g a s e v i d e n t . A n o fi r e r r e l a t e d i t e m w a s n u m b e r 1 6 , " I w o u l d f e e l m o r e c o m f o r t a b l e i f I k n e w fi r a t I w o u l d n o t h a v e t o t e a c h m a t h e m a t i c s t o e l e m e n t a r y s t u d e n t s , " a n d E l i z a b e fi r ' s c o m m e n t s a b o u t i t a l s o i n d i c a t e fi r a t s h e w a s b e c o m i n g m o r e p o s i t i v e a b o u t t h e i d e a o f t e a c h i n g m a fi r e m a t i c s . E l i z a b e fi r p u t a 2 e a c h t i m e s h e t o o k fi r e i n v e n t o r y , b u t d u r i n g fi r e m i d - s e m e s t e r i n t e r v i e w , s h e t o l d fi r e i n t e r v i e w e r t h a t s h e fi r o u g h t s h e p u t a 3 o n t h e fi r s t d a y . T h e i n t e r v i e w e r a s k e d h e r i f s h e fi r o u g h t s h e w a s c h a n g i n g a l i t t l e b i t , a n d s h e s a i d , " Y e a h . I fi r i n k I w a s f e e l i n g m o r e c o m f o r t a b l e , b e c a u s e I k n o w h o w i m p o r t a n t i t i s i n fi r a t I ' m l e a r n i n g n e w c o n c e p t s a n d w a y s t h a t w e c a n b e p o s i t i v e a n d n o t m a k e s o m e o n e f e e l l i k e fi r e y h a t e m a t h a n d t h e y ' r e n o t g o i n g t o w a n t t o u s e i t i n fi r e i r l i v e s , b e c a u s e i t i s v e r y i m p o r t a n t , a n d I ' m r e a l i z i n g s o m e o f fi r e w a y s t h a t y o u u s e i t e v e r y d a y . A n d , y o u r e a l l y n e e d i t , a n d o u n e e d t o b e c o n fi d e n t i n fi r o s e s k i l l s . O fi r e r w i s e , y o u k n o w , m a ' s g o i n g t o b e w i fi r y o u a l l t h e w a y t h r o u g h c o l l e g e , a n d e v e r y t i m e y o u h a v e a t e s t , y o u k n o w , y o u ' l l d r e a d g o i n g fi r a t d a y , a n d fi r o s e k i n d s o f t h i n g s . " O n e i t e m w h e r e t h e c h a n g e i n E l i z a b e fi r ' s r e s p o n s e s s e e m s a l i t t l e s u r p r i s i n g — a t l e a s t a t fi r s t g l a n c e — i s i t e m 1 8 , " B e i n g g o o d a t m a t h e m a t i c s i s n o t r e q u i r e d t o b e a g o o d t e a c h e r o f m a fi r . " O n fi r e fi r s t d a y o f c l a s s a n d d u r i n g fi r e m i d - s e m e s t e r i n t e r v i e w , s h e r e s p o n d e d a 3 t o fi r a t i t e m , b u t o n fi r e l a s t d a y o f c l a s s s h e p u t a 5 , i n d i c a t i n g s t r o n g a g r e e m e n t w i t h fi r e s t a t e m e n t . D u r i n g t h e m i d - s e m e s t e r i n t e r v i e w , s h e w a s a s k e d w h a t s h e w a s fi r i n k i n g a b o u t fi r a t i t e m , a n d h e r a n s w e r p r o v i d e s s o m e i n s i g h t i n t o w h y s h e w a s fi r i n k i n g fi r a t i t w a s n ' t fi r a t i m p o r t a n t t o b e g o o d a t m a fi r e m a t i c s t o b e a g o o d t e a c h e r o f m a fi r : 3 7 3 " U m , w e l l m a y b e i t ' s j u s t a l e v e l I ' v e c h o s e n — l i k e i f I ' m g o i n g t o b e w o r k i n g p r e s c h o o l a n d K - 8 . I w o u l d g e t a l i t fi e m o r e n e r v o u s a l i t t l e b i t m o r e i n 7 t h a n d 8 fi r g r a d e . I w a s s u c c e s s f u l i n m a t h a t fi r o s e l e v e l s , b u t a n y t h i n g b e y o n d fi r a t , I f e e l o u r e a l l y h a v e t o h a v e a g o o d c o n c r e t e u n d e r s t a n d i n g o f w h a t t h e g e o m e t r y i s , o r w h a t fi r e a l e b r a , o r w h a t p r e — c a l c i s , a n d I fi r i n k y o u h a v e t o h a v e a l o v e f o r t , t o o , t o b e r e a l l y i n t e r e s t e d i n i t t o w a n t t o s h o w p e o p l e fi r a t t h e y c a n b e s u c c e s s f u l i n t h a t a n d w h a t t h a t m e a n s . B u t , I fi r i n k , i f I ' m n o t fi r a t g o o d a t fi r o s e k i n d s o f c o n c e p t s , I f e e l s u c c e s s f u l a t s o m e o f fi r e m o r e b a s i c s , a n d i f I s c r e w u p , I ' m n o t g o i n g t o f e e l t o t a l l y i n t i m i d a t e d b e c a u s e I k n o w s o m e o f t h e s t u d e n t s I c a n r e l y o n i n m y c l a s s fi r a t a r e g o i n g t o h a v e fi r e r i g h t a n s w e r . A n d , i f I p u t a s t o r y p r o b l e m u p o n fi r e b o a r d , I m i g h t n o t h a v e fi r e a n s w e r , b u t I k n o w s o m e b o d y e l s e i s g o i n g t o . A n d , I m i g h t h a v e fi r e t e a c h e r ' s m a n u a l , b u t I ' d l i k e t o h e a r t h e w a y fi r a t fi r e y g o t t o fi r a t a n s w e r . S o , I d o n ' t fi r i n k fi r a t b e i n g a l i t t l e s h a k y o n i t i s g o i n g t o h o l d m e b a c k i n s o m e o f fi r o s e w a y s b e c a u s e I c a n l e a r n f r o m o fi r e r s t u d e n t s , a n d I fi r i n k o n a b a s i c l e v e l I a m s u c c e s s f u l , a n d I k n o w fi r a t i f I i n s t i l l fi r o s e s a m e b e l i e f s i n o t h e r c h i l d r e n , fi r e c a n b u i l d o n t h e m t o b e m o r e s u c c e s s f u l i n fi r e f u t u r e , a n d fi l o p e f u l l y , I c a n g o b a c k a n d l e a r n m o r e a b o u t t h e fi r i n g s I w a s w e a k i n b e f o r e t o b e s u c c e s s f u l , t o o , b e c a u s e I w o u l d h o p e t h a t e v e n i f I w a s s u c c e s s f u l i n fi r e b a s i c s , i f i t w a s a t a w a y fi r a t I l e a r n e d fi r o s e t h a t m a d e m e u n s u c c e s s f u l l a t e r , y o u k n o w w a s t h e r e s o m e t h i n g e l s e I s h o u l d h a v e b e e n d o i n g t o h e l p b e m o r e s u c c e s s f u l i n a n l l fi r d e m a t h c o u r s e , o r w a s i t a t e a c h e r fi r a t I h a d a p r o b l e m w i fi r e i r w a y o f — y o u k n o w fi r e i r c o n c e p t s o r fi r e b o o k w e w e r e u s i n g . I ' d l i k e t o l o o k a t t h a t m o r e . " I t s e e m s fi r a t s h e f e l t s h e d i d n ' t n e e d t o b e g o o d a t a l l m a fi r — j u s t fi r e m a fi r s h e w a s g o i n g t o t e a c h — a n d fi r a t i f fi r e r e w e r e s o m e fi r i n g s h e d i d g e t c o n f u s e d o n fi r a t a s a c l a s s fi r e y w o u l d b e a b l e t o fi g u r e i t o u t . T h i s a l s o s e e m s t o c o n n e c t t o h e r n e w v i e w o f fi r e m a fi r e m a t i c s c l a s s r o o m a n d h e r r o l e i n i t — t h a t h a s b e e n d i s c u s s e d p r e v i o u s l y — w h e r e s h e s e e m s t o f e e l h e r l a c k o f k n o w l e d g e w i l l n o t b e a s b i g o f a n o b s t a c l e s i n c e fi r e s t u d e n t s w o u l d t a k e a m o r e a c t i v e r o l e a n d m o r e r e s p o n s i b i l i t y i n fi r e i r l e a r n i n g . E l i z a b e t h ' s fi r i n k i n g a b o u t I t e m 1 2 f r o m t h e M a fi r e m a t i c s I n v e n t o r y , " I d o n ' t e x p e c t t o e n c o u n t e r a n y m a t h e m a t i c s w h e n I t e a c h e l e m e n t a r y s c h o o l fi r a t I w o n ' t u n d e r s t a n d s i n c e I s u c c e s s f u l l y c o m p l e t e d e l e m e n t a r y s c h o o l , " a n d i t e m 2 0 , " A s a t e a c h e r , I w o u l d f e e l e m b a r r a s s e d i f a s t u d e n t a s k e d a q u e s t i o n t o w h i c h 3 7 4 I d i d n o t k n o w fi r e a n s w e r , " w a s r e l a t e d t o h e r fi r i n k i n g a b o u t t h e p r e v i o u s l y - a d d r e s s e d i t e m 1 8 , " B e i n g g o o d a t m a fi r e m a t i c s i s n o t r e q u i r e d t o b e a g o o d t e a c h e r o f m a t h . " F o r i t e m 1 2 , " I d o n ' t e x p e c t t o e n c o u n t e r a n y m a t h e n r a t i c s w h e n I t e a c h e l e m e n t a r y s c h o o l t h a t I w o n ' t u n d e r s t a n d s i n c e I s u c c e s s f u l l y c o m p l e t e d e l e m e n t a r y s c h o o l , " E l i z a b e fi r p u t a 2 fi r e fi r s t d a y , a 3 d u r i n g fi r e m i d - s e m e s t e r i n t e r v i e w , a n d a 2 t h e fi n a l d a y o f c l a s s ( S e e T a b l e 3 3 o n p a g e 3 6 9 ) . T h e r e w a s a l i t t l e fl u c t u a t i o n i n h e r r e s p o n s e , b u t i t w a s a s t a t e m e n t s h e d i d n ' t a g r e e w i fi r m u c h e v e r . S h e e x p l a i n e d h o w s h e w a s fi r i n k i n g a b o u t i t d u r i n g t h e m i d - s e m e s t e r i n t e r v i e w fi r i s w a y : " U m , I ' m f e e l i n g m o r e , fi r a t ' s k i n d o f l i k e , i f s o m e o n e h a d a n a t t i t u d e , ' O h , I ' m g o i n g t o h a v e n o p r o b l e m w i fi r i t , b e c a u s e o b v i o u s l y I p a s s e d . ‘ A n d , I ' d s a y e v e r y t i m e w h e n y o u g e t a n e w p r o b l e m fi r a t y o u ' r e g o i n g t o t e a c h t o y o u r c h i l d r e n , y o u n e e d t o b e s u r e fi r a t y o u ' r e s e c u r e w i fi r i t , a n d fi r a t y o u u n d e r s t a n d a l l f a c e t s o f i t , b e c a u s e i f y o u ' r e j u s t g o i n g t o e x p l a i n t h e m fi r e p r o b l e m a n d h a v e fi r e m w r i t e fi r e i r a n s w e r , fi r a t ' s o n e fi r i n g . B u t , i f y o u w a n t t o o p e n i t u p t o fi r e c l a s s a n d s a y , ' I ' m w o n d e r i n g w h o c a n t e l l m e w h a t t h e y fi r i n k a b o u t fi r i s ; ' fi r e y ' r e g o i n g t o r a i s e a l l s o r t s o f q u e s t i o n s fi r a t y o u m a y n o t h a v e a l l t h e a n s w e r s f o r , a n d y o u n e e d t o b e p r e p a r e d t o s a y , ' W e l l , I ' m n o t s u r e . L e t ' s t r y a n d fi n d o u t . ‘ W h e r e i f y o u ' v e d o n e s o m e r e s e a r c h a n d y o u k i n d o f k n o w a b o u t fi r a t p r o b l e m y o u r s e l f , o u ' r e g o i n g t o h a v e s o m e o f fi r o s e a n s w e r s f o r fi r e m . S o , I d o n ' t ' fi r a t I ' l l k n o w e v e r y fi r i n a n d n o o n e ' s g o i n g t o k n o w e v e r y t h i n g a b o u t e v e r y t h i n g , a n d k i w i l l c o m e u p w i t h s o m e c r a z y a n s w e r s , t o o , a n d s o m e c r a z y q u e s t i o n s . B u t , I f e e l fi r a t i t m a y b e a l i t fi e m o r e l i k e m e , b e c a u s e I ' v e l o o k e d m o r e i n d e p fi r a t s o m e o f t h e m a t e r i a l s t h a t I w o u l d b e t e a c h i n g . B e f o r e i t w a s k i n d o f l i k e fi r i n k i n g , ' U r r r , I d o n ' t k n o w w h a t t h e y m e a n b y t h a t . W h a t w i l l I b e t e a c h i n g i n t h e fi r i r d g r a d e ? ’ N o w , I ' v e s e e n i t . I ' v e b e e n i n a t h i r d g r a d e c l a s s , a n d s a i d , ' O h , I k n o w t h a t . I r e m e m b e r t h a t s t u f f . I r e m e m b e r fi r i s . I c a n d o fi r i s . ’ B u t , I w a n t t o h a v e fi r e b a c k g r o u n d a n d m a k e s u r e fi r a t I ' m g o i n g t o b e s u c c e s s f u l a n d n o t g i v i n g fi r e m m i s i n f o r m a t i o n . " F o r i t e m 2 0 , " A s a t e a c h e r , I w o u l d f e e l e m b a r r a s s e d i f a s t u d e n t a s k e d a q u e s t i o n t o w h i c h I d i d n o t k n o w fi r e a n s w e r , " E l i z a b e fi r p u t a 2 fi r e fi r s t d a y o f c l a s s , a 2 a g a i n d u r i n g t h e m i d - s e m e s t e r i n t e r v i e w , a n d a 3 t h e fi n a l d a y . W e d o n ' t k n o w w h y s h e c h a n g e d h e r r e s p o n s e a l i t fi e a t t h e e n d o f fi r e s e m e s t e r , b u t 3 7 5 i t a p p e a r s t h a t s h e w a s n o t t o o w o r r i e d a b o u t n o t k n o w i n g a n a n s w e r t o a q u e s t i o n a s t u d e n t m i g h t a s k . S h e e x p l a i n e d h e r fi r i n k i n g o n t h a t d u r i n g t h e m i d - s e m e s t e r i n t e r v i e w i n a w a y fi r a t w a s c o n s i s t e n t w i fi r h e r r e s p o n s e s t o i t e m s 1 8 a n d 1 2 : " Y e a h , I fi r i r r k fi r a t ' s p r e t t y m u c h fi r e s a m e w h e r e I ' m n o t g o i n g t o k n o w a l l fi r e a n s w e r s . I k n o w t h a t g o i n g i n n o w . I ' m g o i n g t o w a n t t o b e v e r y p r e p a r e d , a n d I ' m g o i n g t o l e a r n f r o m fi r e s t u d e n t s i n m y c l a s s , l b u t I w a n t fl g y m fi r i f r k n o w fi r a t a s a t e a c h e r , I ' m n o t s o m e b o d w o k n o w s e v ' g . I ' m h o p e f u l ] fi r e r e t o h e l u s b o t h l e a r h ' t o g e fi r e r s o m e o f fi r e s e fi r i n g s a n d t o g h o w fi r e m fi r i p h g s fi r a t I fi r i n k a r e i m p o r t a n t t o l e a r n a n d h o w t o b e m o r e o f a f a c i l i t a t o r , b u t i n fi r e e n d , i f I d o n ' t k n o w , d o e s n ' t m e a n fi r a t t h e r e i s n ' t a n a n s w e r a n d t h a t w e c a n ' t fi n d fi r e a n s w e r t o g e fi r e r . I m i g h t b e a t fi r s t a l i t t l e b i t l i k e , ' H m m m . ‘ Y o u k n o w , fi r a t ' s w h y I ‘ m n o t q u i t e a n u m b e r 1 , b u t I d o n ' t fi r i n k I w o u l d h a v e t o o m u c h o f a p r o b l e m w i fi r i t . " E l i z a b e fi r s e e m e d t o r e a l i z e fi r a t a g o o d u n d e r s t a n d i n g o f m a fi r e m a t i c s i s i m p o r t a n t f o r t e a c h i n g m a fi r e m a t i c s , b u t s h e a l s o s e e m e d t o fi r i n k t h a t n o t k n o w i n g e v e r y t h i n g a b o u t m a t h d i d n ' t d i s q u a l i f y h e r f r o m t e a c h i n g i t t o e l e m e n t a r y s t u d e n t s . S h e a l s o s e e m e d t o fi r i r r k fi r a t fi r r o u g h t e a c h i n g a n d t a l k i n g w i fi r h e r s t u d e n t s s h e c o u l d g a i n a b e t t e r u n d e r s t a n d i n g o f m a fi r . T h e c o n c e p t i o n o f E l i z a b e fi r ' s fi r a t s h e c a n s t i l l b e a g o o d t e a c h e r o f m a t h e m a t i c s e v e n i f s h e d o e s n ' t h a v e a c o m p l e t e k n o w l e d g e o f i t a l s o s e e m s r e l a t e d t o a s e n t e n c e s h e w r o t e i n h e r fi n a l " W h a t I s M a t h e m a t i c s ? " j o u r n a l e n t r y : " T e a c h e r s w h o h a v e h a d n e g a t i v e e x p e r i e n c e s w i fi r m a fi r c a n s fi l l fi n d p e s i t i v e w a y s t o t e a c h i t . " A g a i n , f e e l i n g t h a t h e r l a c k o f m a fi r e m a t i c a l k n o w l e d g e w o u l d n o t b e a s b i g o f a n o b s t a c l e a s s h e o n c e f e a r e d — i n t h e t y p e o f c l a s s r o o m s h e n o w i m a g i n e d — s e e m s t o b e m u c h o f t h e r e a s o n E l i z a b e t h s e e m e d t o g a i n m o r e c o n fi d e n c e a b o u t t h e i d e a o f t e a c h i n g m a fi r a s fi r e s e m e s t e r p r o g r e s s e d . T h i s p o s i t i o n o f E l i z a b e fi r ’ s i s i n t e r e s t i n g . I t i l l u s t r a t e s t h e p r e v i o u s l y - n o t e d e f f e c t o f o u r t e a c h i n g a s m a fi r e m a fi c s t e a c h e r e d u c a t o r s w h e r e fi r e p r o s p e c t i v e t e a c h e r s f e e l fi r a t i n t h e ” g u i d e o n fi r e s i d e ” i n s t e a d o f t h e ” s a g e o n 3 7 6 fi r e s t a g e ” r o l e fi r e y w i l l p l a y t h a t t h e y d o n ' t n e e d t o h a v e a n e x t e n s i v e k n o w l e d g e o f m a fi r e m a t i c s . ( T h i s w a s d i s c u s s e d i n C h a p t e r 4 o n p a g e 1 7 7 . ) A n o t h e r d a t a s o u r c e t h a t p r o v i d e s s o m e i n f o r m a t i o n r e g a r d i n g E l i z a b e fi r ' s a t t i t u d e t o w a r d t e a c h i n g m a fi r e m a t i c s a n d h o w i t m a y h a v e c h a n g e d a r e a f e w o f t h e o p e n - e n d e d q u e s fi o n s t h a t w e r e a s k e d i n t h e M a t h e m a t i c s I n v e n t o r y . F o r e x a m p l e , fi r e s t u d e n t s w e r e a s k e d w h a t t h e y c o n s i d e r e d t o b e fi r e i r g r e a t e s t s t r e n g fi r s i n r e l a t i o n t o b e i n g a m a fi r e m a t i c s t e a c h e r . O n fi r e fi r s t d a y o f c l a s s , E l i z a b e t h w r o t e , " - o p e n m i n d e d , - t r y t o p o r fi ‘ a y a p o s i t i v e a t t i t u d e , - p a t i e n c e — g i v e i t t i m e , - g o b e y o n d w o r k b o o k s a n d r o t e l e a r n i n g , - d o n ' t s e e m a fi r a s b l a c k a n d w h i t e ( r i g h t v s . w r o n g ) , - u s e o f m a n i p u l a t i v e s a n d l i f e l e a r n i n g e x p e r i e n c e s t o p u t m a fi r t o u s e ( e . g . , s e t u p a s t o r e i n fi r e c l a s s a n d u s e m a fi r t o ' b u y i t e m s ' a n d h a v i n g d u p l i c a t e s ) . " W h e n E l i z a b e fi r r e s p o n d e d t o fi r i s q u e s t i o n o n fi r e l a s t d a y o f c l a s s , h e r f o c u s w a s m o r e o n t h e e f f e c t s h e r a t t i t u d e t o w a r d m a fi r w o u l d h a v e o n h e r t e a c h i n g , a n d s h e w r o t e , " I a m l e a r n i n g t o h a v e a p o s i t i v e a t t i t u d e a b o u t i t a n d c r e a t e ' f u n ' a c t i v i t i e s . " I n fi r e M a fi r e m a t i c s I n v e n t o r y , s h e w a s a l s o a s k e d w h a t c o n c e r n s h e r fi r e m o s t a b o u t t e a c h i n g m a t h e m a t i c s t o e l e m e n t a r y s t u d e n t s . O n fi r e fi r s t d a y o f c l a s s , s h e w r o t e , " F r u s t r a t e d s t u d e n t s , w o r k b o o k s , r o t e l e a r n i n g , t i m e r e s t r i c t i o n s . " O n t h e l a s t d a y o f c l a s s , s h e w r o t e , " R e a m t e x t s t o fi t s t a n d a r d s a n d a m l e a r n i n g . " A g a i n , fi r i s r e s p o n s e s h o w s e v i d e n c e o f h e r n e w — t o h e r m o r e p o s i t i v e — v i s i o n o f t e a c h i n g m a fi r e m a t i c s w h e r e l e a r n i n g i s m o r e a c t i v e a n d s t u d e n t s a r e n ’ t a s s i g n e d m u l t i p l e e x e r c i s e s f r o m a t e x t b o o k . A n o fi r e r o p e n - e n d e d q u e s t i o n i n fi r e M a fi r e m a t i c s I n v e n t o r y w a s , " D o y o u fi r i n k y o u r m a t h e m a t i c a l e x p e r t i s e ( o r l a c k o f e x p e r t i s e ) w i l l b e a l i a b i l i t y o r a s t r e n g t h w h e n y o u t e a c h m a fi r e m a t i c s i n a n e l e m e n t a r y s c h o o l ? E x p l a i n . " H e r 3 7 7 a n s w e r s w e r e q u i t e s i m i l a r b o fi r t i m e s s h e r e s p o n d e d t o fi r a t q u e s fi o n . O n fi r e fi r s t d a y o f c l a s s , s h e w r o t e , " A s t r e n g t h — b e c a u s e I w i l l t r y h a r d e r t o m a k e i t a p o s i t i v e e x p e r i e n c e f o r t h e s t u d e n t s . " O n t h e l a s t d a y o f c l a s s s h e w r o t e , " A s t r e n g t h — I a m l e a r n i n g f r o m m y m i s t a k e s . " E l i z a b e t h s t i l l s e e m e d t o f e e l m o r e c o n fi d e n t a b o u t t e a c h i n g m a t h a s e m e s t e r a f t e r t h e c o u r s e fi r a n s h e d i d a t fi r e b e g i n n i n g o f fi r e s t u d y . I n h e r fi n a l i n t e r v i e w , E l i z a b e t h w a s a s k e d h o w s h e f e l t a b o u t t h e i d e a o f t e a c h i n g m a fi r e m a fi c s t o e l e m e n t a r y s t u d e n t s , a n d s h e r e p l i e d , " I ' m s t i l l a l i t t l e b i t a p p r e h e n s i v e , b e c a u s e I w o u l d l i k e t o s e e w h a t s o r t o f c u r r i c u l u m a n d m a t e r i a l s fi r e s c h o o l i s e x p e c t i n g o f m e a n d h o w m u c h r o o m I h a v e t o i n t e r p r e t w i fi r fi r a t a n d h o w m u c h t i m e I h a v e t o w o r k w i t h e a c h c o n c e p t s o fi r a t I f e e l t h a t s t u d e n t i s c o n fi d e n t w i fi r fi r a t c o n c e p t a n d w e c a n m o v e o n a n d b u i l d i t o n t h a t . I fi r i n k I ' v e g a i n e d a w h o l e b u n c h o f s k i l l s o n h o w t o t e a c h d i f f e r e n t c o n c e p t s a n d r e a l l y s h o w h a n d s o n , b u t I ' m a l i t t l e b i t n e r v o u s a b o u t m a y b e w h a t t e a c h e r I ' m w o r k i n g w i fi r i n fi r e b e g i n n i n g o r w h a t s c h o o l I ' m p l a c e d i n , o r i n fi r e f u t u r e , w h a t k i n d o f j o b I m i g h t g e t w h e r e I m a y n o t h a v e a s m u c h f r e e d o m t o u s e fi r e n e w i d e a s I h a v e . T h e y m a y j u s t w a n t t o s e e , o u k n o w t h e p a r e r r t s m a y j u s t w a n t t o s e e a l l ' A ' s ' a n d a l l t e s t s a l l e t i m e a n d a l l o f fi r e i r w r i t t e n w o r k , a n d I fi r i n k i t ' s m o r e i m p o r t a n t o r s o m e t i m e s a s i m p o r t a n t t o h a v e d i f f e r e n t k i n d o f l e a r n i n g i n t h e c l a s s r o o m w h e r e t h e w h o l e c l a s s i s i n v o l v e d , a n d fi r e y ' r e b u i l d i n g fi r e i r c o m m u n i t y s k i l l s a n d d i v i d i n g fi r e c l a s s u p i n t o c o l o r s a n d g r o u p s a n d d i f f e r e n t fi r i n g s l i k e t h a t , t o o . " S h e w a s fi r e n a s k e d i f h e r f e e l i n g s a b o u t t e a c h i n g m a fi r h a d e v e r c h a n g e d , a n d s h e r e p l i e d , " U m , y e a h . S i n c e t h e b e g i n n i n g o f fi r i s y e a r , I w a s m o r e a p p r e h e n s i v e , a n d n o w I ' m a l i t t l e b i t m o r e c o n fi d e n t . I m e a n I ' v e g a i n e d a l l t h o s e s k i l l s . S o , I ' m l o o k i n g t o k i n d o f d i g i n fi r e r e . " A g a i n , a l fi r o u g h s h e h a d s o m e a p p r e h e n s i o n s a b o u t t e a c h i n g m a t h w h i c h w e r e t y p i c a l a n d r e a l i s t i c c o n c e r n s o f m o s t n e w t e a c h e r s , E l i z a b e fi r s t i l l h a d m o r e c o n fi d e n c e a b o u t t e a c h i n g m a fi r e m a t i c s a t t h e e n d o f fi r e s t u d y t h a n s h e d i d a t fi r e b e g i n n i n g . 3 7 8 M a j o r T h e m e s i n t h e C a s e o f E l i z a b e t h A m a j o r t h e m e i n t h e s t u d y o f fi r e c a s e o f E l i z a b e fi r s e e m e d t o b e t h e c h a n g e i n h e r a t t i t u d e t o w a r d m a fi r e m a t i c s a n d t e a c h i n g m a fi r e m a t i c s . I n b o t h o f t h o s e a r e a s , h e r a t t i t u d e c h a n g e d f r o m b e i n g q u i t e n e g a t i v e t o b e i n g q u i t e p o s i t i v e . A n o t h e r s t r i k i n g t h e m e i n fi r i s c a s e i s E l i z a b e t h ' s p o s i t i o n i n g o f fi r i n k i n g o f h e r s e l f a s a t e a c h e r o f m a fi r e m a t i c s a n d t h e w a y t h a t s h e w o u l d c o n n e c t a l m o s t e v e r y fi r i n g s h e w r o t e a b o u t o r t a l k e d a b o u t i n t h e d a t a s o u r c e s t o i t s i m p l i c a t i o n s f o r o r c o n n e c t i o n t o t e a c h i n g m a fi r . T h e s e fi r e m e s w i l l b e e l a b o r a t e d a n d s u m m a r i z e d i n fi r e f o l l o w i n g s e c t i o n s . E a r l y P o s i t i o n i n g a s a T e a c h e r . I t s e e m e d fi r a t t h e r e w a s a s h i f t i n p o s i t i o n i n g f o r E l i z a b e fi r i n fi r i n k i n g o f m a fi r e m a t i c s a s i t r e l a t e d t o h e r s e l f a s a l e a r n e r t o fi r i n k i n g o f i t a s i t r e l a t e d t o t e a c h i n g m a t h e m a t i c s a n d h e r s e l f a s a t e a c h e r o f m a fi r e m a t i c s . T h i s s h i f t s e e m e d t o c o m e m o r e q u i c k l y f o r E l i z a b e fi r fi r a n i t d i d f o r t h e m a j o r i t y o f fi r e s t u d e n t s . W h i l e m o s t o f h e r b e g i n n i n g j o u r n a l e n t r i e s a n d h e r b e g i n n i n g c o n c e p t m a p w a s r e l a t e d t o h e r r e l a t i o n t o m a fi r e m a t i c s a s a l e a r n e r , b y fi r e t i m e s h e w a s r e s p o n d i n g t o t h e q u e s t i o n s i n t h e m i d - s e m e s t e r i n t e r v i e w , fi r e i d e a o f t e a c h i n g m a fi r e m a t i c s s e e m e d f o r e m o s t i n E l i z a b e t h ’ s fi r o u g h t s . N e a r l y e v e r y t i m e s h e w a s a s k e d a n y fi r i n g a b o u t m a fi r e m a t i c s , E l i z a b e fi r i n c l u d e d i n h e r r e s p o n s e h o w i t c o n n e c t e d t o a n d w h a t i t i m p l i e d f o r t e a c h i n g m a fi r e m a t i c s . T h i s f o c u s o n t e a c h i n g m a fi r e m a t i c s w a s e v i d e n t i n h e r r e s p o n s e w h e n s h e w a s t a l k i n g a b o u t m a n y o f t h e M a fi r e m a t i c s I n v e n t o r y i t e m s d u r i n g h e r m i d - s e m e s t e r i n t e r v i e w . F o r e x a m p l e , i t e m 1 , " I ” e n j o y d o i n g m a t h e m a t i c a l t a s k s , " a n d i t e m 6 , " I f e e l s u c c e s s f u l w h e n I a m e n g a g e d i n m a t h e m a t i c a l t a s k s " a r e a l l i t e m s fi r a t w e r e i n c l u d e d i n fi r e i n v e n t o r y t o fi n d o u t a b o u t fi r e s t u d e n t ' s a t t i t u d e 3 7 9 t o w a r d m a t h e m a fi c s , b u t a s n o t e d i n fi r e s e c t i o n o n E l i z a b e fi r ' s a t t i t u d e t o w a r d m a fi r e m a t i c s , w h e n s h e w a s e x p l a i n i n g h e r fi r i n k i n g f o r e a c h o f fi r e s e , s h e t a l k e d e x t e n s i v e l y a b o u t t e a c h i n g m a fi r e m a t i c s . A l s o , w h e n s h e t a l k e d a b o u t fi r e i t e m s r e l a t e d t o t h e u s e f u l n e s s o f m a t h e m a t i c s , s h e c o n n e c t e d fi r e m t o h e r i d e a s o f t e a c h i n g m a fi r e m a t i c s . W h e n s h e e x p l a i n e d h e r fi r i n k i n g a b o u t i t e m 1 , " I e n j o y d o i n g m a t h e m a t i c a l t a s , ” a n d w h y s h e f e l t l i k e s h e w a s e n j o y i n g i t m o r e fi r a n s h e h a d , s h e t a l k e d a b o u t fi r e w a y s h e h a d e x p e r i e n c e d l e a r n i n g m a fi r i n c o n t r a s t t o t h e w a y s h e w a s s e e i n g i t t a u g h t i n fi r e c l a s s a n d h o w s h e c o u l d i m a g i n e i t b e i n g t a u g h t , a n d s h e f e l t fi r a t fi r e n e w m e fi r o d s w e r e m u c h m o r e e n j o y a b l e f o r h e r a n d w o u l d b e f o r o fi r e r s t u d e n t s . W h e n s h e r e s p o n d e d t o i t e m 6 , ” I f e e l s u c c e s s f u l w h e n I a m e n g a g e d i n m a fi r e r r r a t i c a l t a s k s , ” s h e a l s o t a l k e d a b o u t m e t h o d s o f t e a c h i n g a n d h o w k n o w i n g a b o u t n e w m e fi r o d s o f t e a c h i n g h e l p e d h e r f e e l m o r e s u c c e s s f u l . S h e s a i d , " I d r i n k I ' m f e e l i n g a l i t t l e b i t b e t t e r , b e c a u s e I t h i n k i f I w a s i n s c h o o l n o w a s a y o u n g e r s t u d e n t , s o m e o f m y i d e a s m i g h t b e v a l i d a t e d m o r e . I f w e t a l k e d a b o u t m a fi r m o r e a n d n o t j u s t s i t a n d w r i t e o u t n u m b e r s , b e c a u s e I fi r i n k i t i s k i n d o f l i k e a n o t h e r l a n g u a g e — — j u s t s y m b o l s a n d s i g n s — a n d i f y o u d o n ' t k n o w a l a n g u a g e , y o u ' r e n o t g o i n g t o b e s u c c e s s f u l u n l e s s y o u t a l k a b o u t i t . I n a n o e r l a n g u a g e w h e r e y o u ' r e l i k e , ' I d o n ' t u n d e r s t a n d fi r a t ; ' o r ' C a n y o u s h o w m e a d i f f e r e n t w a y ; ' o r ' I l e a r n fi r i s w a y . T h i s i s t h e w a y I fi r o u g h t o f i t ; ' a n d i f t h a t ' s v a l i d a t e d , fi r e n I f e e l l i k e I w o u l d b e m o r e s u c c e s s f u l . ” E l i z a b e t h ' s fi n a l c o n c e p t m a p s h o w e d a b i g e m p h a s i s o n fi r i n k i n g a b o u t m a t h a s a t e a c h e r w o u l d . W h i l e fi r e o n l y i t e m s r e l a t e d t o t e a c h i n g m a fi r e m a t i c s i n E l i z a b e fi r ' s b e g i n n i n g c o n c e p t m a p w e r e m o s t l y d i f f e r e n t w a y s fi r a t s h e h a d p r o b a b l y e x p e r i e n c e d l e a r n i n g m a t h e m a t i c s a s a s t u d e n t ( i . e . , " r o t e l e a r n i n g , " " m e m o r i z a t i o n , " " w o r k b o o , " " t r i a l a n d e r r o r , " a n d " r i g h t a n d w r o n g w a y s " ) , h e r fi n a l c o n c e p t m a p s e e m e d t o b e a l l m o r e c e n t e r e d o n t e a c h i n g . S h e i n c l u d e d s u c h fi r i n g s a s " p r o f e s s i o n a l o r g a n i z a t i o n s , " " t e a c h i n g , " " a c t i v i t i e s , " " t e a c h i n a v a r i e t y o f w a y s , " " a s s e s s m e n t , " " a l l o w a v a r i e t y o f m e t h o d s , " " c o n c e p t s , " " c o n t e n t , " " a t t i t u d e s , " a n d " p r o c e s s " ( S e e F i g u r e 4 8 o n p a g e 3 3 6 a n d F i g u r e 4 9 o n p a g e 3 3 7 ) . T h e r e w a s e v i d e n c e fi r a t E l i z a b e t h w a s fi r i n k i n g o f m a fi r e m a t i c s a s a t e a c h e r o f m a t h e m a t i c s w o u l d a t l e a s t b y t h e t i m e o f t h e m i d - s e m e s t e r i n t e r v i e w s , a n d i t s e e m s fi r a t t h a t p o s i t i o n i n g s o l i d i fi e d d u r i n g fi r e s e m e s t e r . M o r e P o s i t i v e A t t i t u d e t o w a r d M a t h e m a t i c s a n d T e a c h i n g M a t h e m a t i c s . A n i m p o r t a n t s t o r y i n E l i z a b e fi r ' s c a s e i s fi r a t h e r a t t i t u d e t o w a r d m a fi r e m a t i c s a n d t e a c h i n g m a fi r e n r a t i c s b e c a m e m u c h m o r e p o s i t i v e a s t h e s e m e s t e r w e n t o n . T h i s c h a n g e w a s e v i d e n c e d i n m a n y o f h e r r e s p o n s e s t o t h e i t e m s i n t h e M a t h e m a t i c s I n v e n t o r y r e l a t e d t o a t t i t u d e s t o w a r d m a fi r e m a t i c s a n d t e a c h i n g m a fi r e m a t i c s a t d i f f e r e n t t i m e s d u r i n g fi r e s e m e s t e r . S h e a l s o m a d e s e v e r a l c o m m e n t s a b o u t h e r a t t i t u d e i m p r o v i n g i n h e r j o u r n a l e n t r i e s a n d i n h e r i n t e r v i e w s . F o r e x a m p l e , i n h e r fi n a l " W h a t I s M a t h e m a t i c s ? " j o u r n a l e n t r y , s h e w r o t e , " M a n y o f fi r e s e a t t i t u d e s a b o u t m a fi r h a v e c h a n g e d f o r m y s e l f . I n o w s e e i t i n a b r i g h t e r l i g h t . " S h e a l s o w r o t e , " I f e e l c o n fi d e n t fi r a t I c a n t e a c h m a t h o n a n e l e m e n t a r y l e v e l w i fi r fi r e n e c e s s a r y s k i l l s t o b e s u c c e s s f u l . " A l s o , w h e n a s k e d i n h e r fi n a l M a fi r e m a t i c s I n v e n t o r y i f h e r a t t i t u d e s t o w a r d m a fi r e m a t i c s o r t e a c h i n g m a fi r e r n a t i c s h a d c h a n g e d a t a l l d u r i n g fi r e t i m e s h e w a s i n fi r e c o u r s e , s h e w r o t e , " Y E S - fi r e y h a v e i m p r o v e d . I h a v e r e s e a r c h e d a n e w w a y o f fi r i n k i n g a b o u t m a fi r a n d n o w m u ! " D u r i n g fi r e fi n a l i n t e r v i e w , a s e m e s t e r a f t e r t h e c o u r s e , s h e s a i d a g a i n fi r a t s h e f e l t h e r c o n fi d e n c e i n d o i n g m a t h a n d i n t h e i d e a o f t e a c h i n g m a t h h a d r i s e n d u r i n g fi r e t i m e s h e w a s i n fi r e c o u r s e . I t s e e m e d fi r a t fi r e m a i n r e a s o n h e r a t t i t u d e t o w a r d m a t h e m a t i c s a n d t e a c h i n g m a t h e m a t i c s h a d i m p r o v e d w a s t h a t s h e n o w h a d a n e w v i s i o n o f a m a fi r e m a t i c s c l a s s r o o m — a n d 3 8 1 h e r r o l e a s a t e a c h e r i n i t — a n d s h e f e l t fi r a t h e r l a c k o f k n o w l e d g e a n d p o s i t i v e e x p e r i e n c e s w i t h m a fi r w o u l d n o t m a t t e r a s m u c h a s s h e o n c e f e a r e d . C h a p t e r S u m m a r y I n fi r i s c h a p t e r , I p r e s e n t e d fi r e c a s e s o f t w o o t h e r s t u d e n t s w h o b e g a n fi r e s e m e s t e r w i t h n e g a t i v e s a t t i t u d e s t o w a r d m a t h e m a t i c s a n d t e a c h i n g m a fi r e m a t i c s . T h e s e t w o a l s o s e e m e d l i k e e x a m p l e s o f ” h a r d ” c a s e s t h a t I w a s i n t e r e s t e d i n l o o k i n g a t . U n l i k e fi r e s t u d e n t s p r e s e n t e d a s c a s e s i n fi r e p r e v i o u s c h a p t e r , C a r o l y n a n d E l i z a b e fi r b o t h h a d m u c h m o r e p o s i t i v e a t t i t u d e s t o w a r d m a fi r a n d t e a c h i n g m a t h b y t h e e n d o f t h e s e m e s t e r . T h e y b o fi r f e l t m o r e e n fi r u s i a s t i c a b o u t fi r e i d e a o f t e a c h i n g m a fi r a n d h o p e f u l fi r a t t h e y c o u l d p r o v i d e fi r e i r s t u d e n t s a b e t t e r e x p e r i e n c e a s s t u d e n t s o f m a fi r t h a n fi r e y h a d e x p e r i e n c e d . I t a l s o s e e m e d t h a t t h e r e w a s a s h i f t i n p o s i t i o n i n g — f o r b o t h C a r o l y n a n d E l i z a b e fi r — i n t h e i r r e l a t i o n t o m a t h f r o m fi r a t o f a s t u d e n t t o fi r a t o f a t e a c h e r . F o r E l i z a b e fi r , fi r e p o s i t i o n i n g a s a t e a c h e r s e e m e d t o c o m e e a r l y o n , b u t f o r b o t h o f t h e m , fi r a t p o s i t i o n s e e m e d t o b e q u i t e s o l i d b y fi r e e n d o f t h e s e m e s t e r . A n o fi r e r i n t e r e s t i n g o b s e r v a t i o n a b o u t b o t h C a r o l y n a n d E l i z a b e fi r i s t h a t i t s e e m e d fi r a t fi r e y h a d fi r o u g h t m o r e a b o u t t h e r e a d i n g s a n d c l a s s a c t i v i t i e s fi r a n h a d B r i d g e t o r F e l i c i a , w h i c h m a y h a v e b e e n a n i n d i c a t i o n fi r a t fi r e y w e r e m o r e e n g a g e d i n fi r e c l a s s . F o r e x a m p l e , C a r o l y n t a l k e d s p e c i fi c a l l y a b o u t s o m e o f fi r e c l a s s a c t i v i t i e s s u c h a s fi r e A I M S a c t i v i t i e s , a n d s h e r e f e r r e d t o a n a r t i c l e w e r e a d i n c l a s s i n fl u e n c i n g h e r i d e a s a b o u t fi r e o r d e r t h a t m a fi r c o n t e n t n e e d e d t o b e t a u g h t . E l i z a b e t h a l s o r e f e r s t o fi r e r e a d i n g b y ” P a m e l a S c r a n t l o n . ” O n t h e o t h e r h a n d , n e i t h e r B r i d g e t n o r F e l i c i a e v e r r e f e r r e d t o a s p e c i f i c c l a s s r e a d i n g . C a r o l y n w a s v e r y i n t e r e s t e d i n m a fi r ’ s c o n n e c t i o n a n d u s e f u l n e s s t o t h e w o r l d a n d f e l t fi r a t c o n n e c t i o n s h o u l d b e t h e p r i n c i p a l f o c u s w h e n t e a c h i n g m a t h e m a t i c s . T h e r e a l s o s e e m e d t o b e a c h a n g e i n w h a t s h e s a w a s 3 8 2 s u c c e s s — g o i n g u n d e r s t a n d i n g r a fi r e r fi r a n g e t t i n g fi r e r i g h t a n s w e r . T h i s c h a n g e i n h e r c o n c e p t i o n o f s u c c e s s m a y h a v e b e e n fi r e e n g i n e t h a t d r o v e o fi r e r c h a n g e s s u c h a s h e r m o r e p o s i t i v e a t t i t u d e t o w a r d m a fi r e m a t i c s a n d a l s o t o w a r d t e a c h i n g m a fi r e m a t i c s . F o r E l i z a b e fi r , t h e r e s e e m e d t o b e s o m e u n e x p e c t e d c h a n g e s i n h e r c o n c e p t i o n s o f m a t h e m a t i c s a n d t e a c h i n g m a t h e m a t i c s s u c h a s h e r g r o w i n g v i e w t h a t s h e c o u l d t e a c h m a t h w e l l w i fi r o u t k n o w i n g i t w e l l , b u t w h e n h e r e x p l a n a t i o n s w e r e e x a m i n e d , t h e y d i d n ’ t s e e m a s s u r p r i s i n g a s t h e y fi r s t a p p e a r e d . R a t h e r , t h e y s e e m e d e x a m p l e s o f o f t e n - o c c u r r i n g , a n d s o m e t i m e s p a r a d o x i c a l t r e n d s i n t e a c h e r e d u c a t i o n . T h e r o l e o f d i s s a t i s f a c t i o n i n c h a n g e a l s o s e e m e d t o p l a y a p a r t i n fi r e c h a n g i n g c o n c e p t i o n s a n d a t t i t u d e s o f C a r o l y n a n d E l i z a b e fi r — a s i t d i d w i fi r B r i d g e t a n d F e l i c i a . H o w e v e r , i n c o n t r a s t t o B r i d g e t a n d F e l i c i a , C a r o l y n a n d E l i z a b e fi r s e e m e d t o b e o p e n t o c h a n g e a n d n o t a s c o m r r r i t t e d t o t h e i r n e g a t i v e a t t i t u d e s t o w a r d m a fi r . T h e y m a y h a v e e v e n w a n t e d t o — o r h o p e d t o — c h a n g e fi r e i r a t t i t u d e s o fi r a t fi r e y w o u l d b e m o r e e x c i t e d a b o u t t e a c h i n g m a t h . T h e y d i d n o t n e e d t o h o l d o n t o t h e i r n e g a t i v e a t t i t u d e s t o p r e s e r v e fi r e i r i d e n t i t y o r t o p r o v i d e fi r e m w i fi r a n e x c u s e f o r n o t w a n t i n g t o t e a c h e l e m e n t a r y s c h o o l . 3 8 3 C H A P T E R 3 _ C O N C L U S I O N S , I M P L I C A T I O N S , A N D C O N T R I B U T I O N S I n fi r i s c o n c l u d i n g c h a p t e r , I r e v i e w s o m e o f fi r e m a j o r fi n d i n g s f r o m fi r i s s t u d y a n d p r o p o s e s o m e i m p l i c a t i o n s fi r e s e f i n d i n g s m i g h t s u g g e s t . I a l s o o u t l i n e s o m e c o n t r i b u t i o n s fi r i s s t u d y m a k e s t o t h e f i e l d o f e d u c a t i o n a l r e s e a r c h . M a j o r F i n d i n g s T h e r e w e r e s e v e r a l i m p o r t a n t fi n d i n g s fi r a t e m e r g e d f r o m a n a n a l y s i s o f fi r e d a t a c o l l e c t e d f o r fi r i s s t u d y . I w i l l r e v i e w fi r e s e m a j o r fi n d i n g s i n fi r e f o l l o w i n g s e c t i o n s . O n e o f fi r e m a j o r fi n d i n g s fi r a t I w i l l r e v i e w i s t h e s t u d e n t s ’ s h i f t i n p o s i t i o n i n g i n r e l a t i o n t o m a t h e m a t i c s . T h e s e c o n d a n d fi r i r d f i n d i n g s I w i l l r e v i e w a r e t h e s t u d e n t s ’ i n c r e a s e d a w a r e n e s s o f t h e u s e f u l n e s s o f m a fi r e m a t i c s a n d t h e i r i n c r e a s e d a t t e n t i o n o n p r o c e s s e s u s e d i n d o i n g m a fi r e m a t i c s s u c h a s fi r i n k i n g , w r i t i n g , a n d r e p r e s e n t i n g . I w i l l fi r e n r e v i e w fi r e c h a n g e i n fi r e s t u d e n t s ’ c o n c e p t i o n s o f l e a r n i n g a n d t e a c h i n g m a fi r e m a t i c s . T h e n e x t t w o m a j o r fi n d i n g s I w i l l r e v i e w a r e a m o r e p o s i t i v e a t t i t u d e t o w a r d m a t h e m a t i c s a n d a m o r e p o s i t i v e a t t i t u d e t o w a r d t e a c h i n g m a fi r e m a t i c s . F i n a l l y , I w i l l r e v i e w t h e r o l e o f d i s s a t i s f a c t i o n i n c h a n g e . A S h i f t i n P o s i t i o n i n g . O n e o f fi r e m a j o r fi n d i n g s o f t h i s s t u d y w a s fi r e w a y fi r e s e p r o s p e c t i v e t e a c h e r s s h i f t e d t h e i r p o s i t i o n i n r e l a t i o n t o m a fi r e m a t i c s f r o m fi r e b e g i n n i n g o f fi r e s e m e s t e r u n t i l fi r e e n d o f t h e s e m e s t e r . V a n L a n g e n h o v e a n d H a r r ( 1 9 9 9 ) d e f i n e p o s i fi o n i n g a s ” t h e d i s c u r s i v e c o n s t r u c t i o n o f p e r s o n a l s t o r i e s fi r a t m a k e a p e r s o n ’ s a c t i o n s i n t e l l i g i b l e a n d r e l a t i v e l y d e t e r m i n a t e a s s o c i a l a c t s a n d w i fi r i n w h i c h t h e m e m b e r s o f fi r e c o n v e r s a t i o n h a v e s p e c i f i c l o c a t i o n s ” ( p . 1 6 ) . T h e n o t i o n o f p o s i t i o n i n g i s r e l a t e d t o t h e i d e a o f p e r s o n a l i d e n t i t y a n d o n e ’ s p o i n t o f V i e w i n fi r e w o r l d . I t i s a l s o a s s o c i a t e d w i t h 3 8 4 t h e c o n c e p t o f a r o l e , b u t i t i s m o r e d y n a m i c . V a n L a n g e n h o v e a n d H a r r e ( 1 9 9 9 ) f u r t h e r d e s c r i b e t h e c o n c e p t o f p o s i t i o n i n g b y w r i t i n g , ” [ P ] o s i t i o n s c a n a n d d o c h a n g e . F l u i d p o s i t i o n i n g s , n o t fi x e d r o l e s , a r e u s e d b y p e o p l e t o c o p e w i t h fi r e s i t u a t i o n t h e y u s u a l l y f i n d t h e m s e l v e s i n ” ( p . 1 7 ) . T h i s c o n s t r u c t o f p o s i t i o n i n g s e e m s t o b e r e l e v a n t t o t h e c h a n g e i n fi r e s t u d e n t s ’ p o i n t o f v i e w i n r e l a t i o n t o m a fi r e m a t i c s t h a t I o b s e r v e d i n fi r i s s t u d y . A s fi r e s t u d y p r o g r e s s e d , fi r e s e s t u d e n t s s e e m e d t o s h i f t f r o m l o o k i n g a t m a t h e m a t i c s a s e x p e r i e n c e d s t u d e n t s t o l o o k i n g a t i t a s p r o s p e c t i v e t e a c h e r s . T h e s h i f t i n p o s i t i o n i n g fi r a t w a s e v i d e n t i n fi r e s e s t u d e n t s i s n o t s u r p r i s i n g . I t ’ s a r e s u l t m a fi r e m a t i c s e d u c a t o r s w o u l d h o p e f o r a n d e v e n e x p e c t a f t e r fi r e s t u d e n t s t o o k a c o u r s e a b o u t t e a c h i n g m a fi r e m a t i c s . H o w e v e r , i t i s s o m e t h i n g fi r a t i s n o t t y p i c a l l y n o t e d — e s p e c i a l l y a s a c o n t r i b u t o r t o c h a n g e s i n fi r e s t u d e n t s ’ c o n c e p t i o n s o f a n d a t t i t u d e s t o w a r d m a t h a n d t e a c h i n g m a fi r . I t w a s i n t e r e s t i n g t o b e a b l e t o d o c u m e n t fi r i s c h a n g e . T h i s s h i f t i n p o s i t i o n i n g i n r e l a t i o n t o m a fi r e m a t i c s w a s e s p e c i a l l y a p p a r e n t i n fi r e f o c u s o f fi r e s t u d e n t s ’ a t t e n t i o n r e l a t e d t o m a t h e m a t i c s i n t h e o p e n - e n d e d d a t a s o u r c e s o f t h e ” W h a t I s M a fi r e m a t i c s ? ” j o u r n a l e n t r i e s a n d fi r e m a fi r c o n c e p t m a p s . A t fi r e b e g i n n i n g o f t h e s e m e s t e r , m u c h o f w h a t s t u d e n t s w r o t e w a s r e l a t e d t o h o w fi r e y h a d e x p e r i e n c e d m a fi r t h e m s e l v e s a s l e a r n e r s a n d / o r t h e i r r e l a t i o n s h i p w i t h m a fi r . A t t h e e n d o f t h e s e m e s t e r , fi r e i r j o u r n a l e n t r i e s a n d c o n c e p t m a p s s h o w e d m u c h m o r e a t t e n t i o n t o c o n c e p t i o n s o f l e a r n i n g a n d t e a c h i n g m a t h e m a t i c s t h a n fi r e y d i d a t fi r e b e g i n n i n g o f fi r e s t u d y , a n d t h e r e w a s v e r y l i t t l e a t t e n t i o n t o fi r e i r o w n e x p e r i e n c e s a s s t u d e n t s o f m a fi r e m a t i c s . T h e s t u d e n t s s e e m e d t o b e fi r i n k i n g a b o u t m a fi r a s i f fi r e y w e r e g o i n g t o b e t e a c h i n g i t . W h i l e i n fi r e b e g i n n i n g ” W h a t I s M a t h e m a t i c s ? ” j o u r n a l e n t r i e s , 1 4 o u t o f 3 4 ( 4 1 % ) i n c l u d e d s o m e fi r i n g r e l a t e d t o l e a r n i n g a n d / o r t e a c h i n g — a l m o s t e x c l u s i v e l y r e l a t e d t o h o w t h e y l e a r n e d i t o r h o w i t w a s t a u g h t t o t h e m — i n t h e fi n a l " W h a t I s M a t h e m a t i c s ? " j o u r n a l e n t r i e s , a l l b u t s e v e n 3 8 5 s t u d e n t s i n c l u d e d s o m e fi r i n g a b o u t t e a c h i n g m a t h e m a t i c s ( 2 3 o u t o f 3 0 o r 7 7 % ) — a t fi r i s p o i n t , a l l e x a m p l e s o f h o w t h e y t h o u g h t m a fi r e m a t i c s s h o u l d b e t a u g h t . T h e a t t e n t i o n t o t e a c h i n g w a s n o t o n l y g r e a t e r a t fi r e e n d o f fi r e s e m e s t e r , i t w a s d i f f e r e n t . T h e r e w a s a l s o o n e s t u d e n t w h o e v e n s p e c i f i c a l l y w r o t e fi r a t s h e w a s l o o k i n g a t m a t h e m a t i c s d i f f e r e n t l y : " I a m n o l o n g e r l o o k i n g a t m a t h a s a s u b j e c t . I l o o k a t i t m o r e i n t e r m s o f h o w t o t e a c h i t . . . I f e e l fi r a t I h a v e s h i f t e d m y b e l i e f i n m a fi r f r o m a p e r s o n a l t o a p r o f e s s i o n a l l e v e l . " R e c o g n i z i n g fi r i s s h i f t i n p o s i t i o n i n g p r o v e d t o b e v e r y i m p o r t a n t b e c a u s e i t s e e m e d t o b e r e l a t e d t o s o m e o f fi r e o fi r e r c h a n g e s i n fi r e s t u d e n t s ’ c o n c e p t i o n s o f a n d a t t i t u d e s t o w a r d m a fi r e m a t i c s a n d t e a c h i n g m a t h e m a h ' c s . T h e s t u d e n t s m a d e a c h a n g e i n fi r e i r p o s i t i o n i n g i n r e l a t i o n t o m a t h e m a t i c s a n d a l s o i n fi r e i r a t t i t u d e s t o w a r d a n d s o m e c o n c e p t i o n s o f m a t h e m a t i c s a n d t e a c h i n g m a fi r e m a t i c s . O n e c o n j e c t u r e t h a t s e e m s t o b e e s p e c i a l l y s u p p o r t e d b y t h e c a s e s t u d i e s ( s e e C h a p t e r s 6 a n d 7 ) i s t h a t f o r m a n y s t u d e n t s , s h i f t i n g fi r e i r p o s i t i o n i n r e l a t i o n t o m a t h e m a t i c s w a s t h e c a t a l y s t f o r c h a n g i n g fi r e i r a t t i t u d e s a n d c o n c e p t i o n s r e l a t e d t o m a fi r e m a t i c s . H a v i n g a n e w w a y t o r e l a t e t o a n d fi r i n k a b o u t m a t h e m a t i c s a l l o w e d fi r e s e s t u d e n t s t o fi r i n k o f i t m o r e p o s i t i v e l y . I n s t e a d o f b a s i n g t h e i r a t t i t u d e s t o w a r d m a fi r e m a t i c s o n o n l y fi r e i r p e r s o n a l e x p e r i e n c e s w i t h m a fi r e m a fi c s — m o s t o f t e n a s a s t u d e n t — fi r e s t u d e n t s c o u l d i m a g i n e a d i f f e r e n t ( a n d t o m a n y o f t h e m , b e t t e r ) w a y i t c o u l d b e t a u g h t a n d c o u l d fi r i n k o f i t m o r e p o s i t i v e l y . P o s i h ' o n i n g fi r e m s e l v e s a s p r o s p e c t i v e t e a c h e r s o f m a fi r e m a t i c s a l s o a l l o w e d t h e s t u d e n t s t o a l t e r fi r e i r c o n c e p t i o n s o f m a t h e m a t i c s . F o r e x a m p l e , w h e r e fi r e y m a y h a v e t h o u g h t o f m a fi r e m a t i c s a s i s o l a t e d b i t s o f i n f o r m a t i o n t o b e m e m o r i z e d a s i t s e e m e d t o fi r e m w h e n fi r e y l e a r n e d i t , a f t e r s h i f t i n g fi r e i r p o s i t i o n t o fi r i n k i n g o f m a fi r e m a t i c s a s a p r o s p e c t i v e t e a c h e r w o u l d , t h e y c o u l d fi r i n k o f i t a s s o m e fi r i n g fi r a t w a s c o n n e c t e d t o fi r e w o r l d o u t s i d e o f s c h o o l , t o o fi r e r s u b j e c t s , a n d t o o fi r e r a r e a s o f m a fi r e m a t i c s ( s e e C h a p t e r 4 ) . 3 8 6 C h a n g e i n C o n c e p t i o n s o f L e a r n i n g a n d T e a c h i n g M a t h e m a t i c s . R e l a t e d t o t h e f i n d i n g fi r a t t h e s t u d e n t s s h i f t e d fi r e i r p o s i t i o n i n r e l a t i o n t o m a fi r e m a t i c s d u r i n g fi r i s s t u d y w a s t h e f i n d i n g t h a t f r o m fi r e b e g i n n i n g o f fi r e s e m e s t e r u n t i l t h e e n d o f fi r e s e m e s t e r , fi r e r e w a s a n o t i c e a b l e c h a n g e i n fi r e s t u d e n t s ’ c o n c e p t i o n s o f l e a r n i n g a n d t e a c h i n g m a fi r e m a t i c s . N o t s u r p r i s i n g l y , m o s t o f t h e c h a n g e w a s i n fi r e f o r m o f m o r e i d e a s a b o u t h o w t o t e a c h m a t h e m a t i c s . I t w a s a l s o m a n i f e s t i n t h e a t t e n t i o n i d e a s r e l a t e d t o t e a c h i n g a n d l e a r n i n g m a fi r e m a t i c s r e c e i v e d i n fi r e f i n a l o p e n - e n d e d d a t a s o u r c e s o f t h e ” W h a t I s M a fi r e m a t i c s ? ” j o u r n a l e n t r i e s a n d t h e m a t h c o n c e p t m a p s a s w a s r e v i e w e d i n fi r e p r e v i o u s s e c t i o n . O n e e x a m p l e o f a c h a n g e i n fi r e s t u d e n t s ’ c o n c e p t i o n s o f l e a r n i n g m a t h e m a t i c s i s fi r a t a t fi r e b e g i n n i n g o f fi r e s e m e s t e r , m a n y s t u d e n t s w r o t e a b o u t l e a r n i n g m a fi r e m a t i c s b y m e m o r i z i n g o r i n c l u d e d ” m e m o r i z i n g ” i n fi r e i r m a fi r c o n c e p t m a p s . A t t h e e n d o f fi r e s e m e s t e r , fi r i s i d e a w a s m u c h l e s s d o m i n a n t , a n d w h e n fi r e s t u d e n t s r e f e r r e d t o m e m o r i z i n g , t h e y w e r e m u c h m o r e l i k e l y t o w r i t e s o m e fi r i n g l i k e , ” M a fi r i s m o r e fi r a n m e m o r i z i n g . " A t fi r e e n d o f fi r e s e m e s t e r , t h e s t u d e n t s w r o t e a b o u t m a n y i d e a s r e l a t e d t o t e a c h i n g a n d l e a r n i n g m a fi r e m a t i c s t h a t w e r e e i t h e r n o t a d d r e s s e d o r r e c e i v e d m i n i m a l a t t e n t i o n a t t h e b e g i n n i n g o f fi r e s e m e s t e r . E x a m p l e s o f fi r e s e i d e a s i n c l u d e t h e t e a c h e r a s f a c i l i t a t o r , fi r e r o l e o f d i s c o u r s e ( t a l k i n g a n d w r i t i n g ) , t h e r o l e o f m a n i p u l a fi v e s , fi r e r o l e o f t e c h n o l o g y , c o n n e c t i n g m a fi r e m a t i c s t o o t h e r s u b j e c t s a n d t o l i f e o u t s i d e o f s c h o o l , a n d m a k i n g s u r e fi r e s t u d e n t s u n d e r s t a n d fi r e c o n c e p t s a s s o c i a t e d w i t h t h e o p e r a t i o n s a n d a l g o r i fi r r n s . I n c r e a s e d A w a r e n e s s o f t h e U s e f u l n e s s o f M a t h e m a t i c s i n t h e W o r l d . T h e a n a l y s i s p r o v i d e d c o n s i d e r a b l e e v i d e n c e fi r a t fi r e r e w a s a n i n c r e a s e i n t h e s t u d e n t s ’ a w a r e n e s s o f fi r e u s e f u l n e s s o f m a t h e m a t i c s i n t h e w o r l d a t t h e e n d o f fi r e s e m e s t e r c o m p a r e d t o fi r e b e g i n n i n g o f fi r e s e m e s t e r . W h e n t h e s t u d y b e g a n , 3 8 7 m o s t s t u d e n t s i d e n t i f i e d w a y s i n w h i c h fi r e y u s e d m a fi r f o r s u c h fi r i n g s a s s h o p p i n g , c o o k i n g , a n d d r i v i n g . T h e y a l s o n o t e d fi r a t o fi r e r p e o p l e u s e d m a t h — e s p e c i a l l y i n fi r e i r c a r e e r s . H o w e v e r , m a n y o f fi r e s t u d e n t s d i d n o t i n c l u d e i d e a s a b o u t fi r e w a y i n w h i c h m a fi r e m a t i c s w a s u s e d fi r a t a f f e c t e d fi r e m i n d i r e c t l y ( w h a t I t e r m e d ” i n d i r e c t p e r s o n a l u t i l i t y ” ) s u c h a s i n fi r e p r o d u c t i o n o f g o o d s t h e y u s e , a n d t h i s w a s a n a r e a w h e r e t h e r e w a s a b i g i n c r e a s e . O n e p l a c e fi r a t t h e i n c r e a s e i n t h e s t u d e n t s ’ a w a r e n e s s o f fi r e u s e f u l n e s s o f m a fi r e m a t i c s c o u l d b e s e e n w a s i n t h e ” W h a t I s M a fi r e m a t i c s ? ” j o u r n a l e n t r i e s . A t t h e e n d o f fi r e s e m e s t e r , s e v e r a l s t u d e n t s w r o t e c o m m e n t s i n d i c a t i n g t h a t fi r e y h a d a b r o a d e r u n d e r s t a n d i n g o f fi r e u s e f u l n e s s o f m a t h e m a t i c s t h a n fi r e y d i d w h e n fi r e c o u r s e b e g a n . F o r e x a m p l e , o n e s t u d e n t w r o t e , ” M a fi r i s a b i g p i c t u r e o f s o m e fi r i n g fi r a t i s e v e r y w h e r e ; i t i s n o l o n g e r a s u b j e c t f o r m e . ” A n o fi r e r s t u d e n t w r o t e , F o r m e , t h e m e a n i n g o f m a fi r h a s c h a n g e d d r a s t i c a l l y o v e r t h e p a s t s e v e r a l m o n fi r s . I u s e d t o s e e m a t h a s s o m e b o r i n g fi r i n g fi r a t I a l w a y s s t r u g g l e d t o g e t t h r o u g h d u r i n g m y s c h o o l y e a r s . I s a w i t a s j u s t a d d i t i o n , s u b t r a c t i o n , m u l t i p l i c a t i o n , a n d d i v i s i o n . I n e v e r r e a l i z e d h o w m u c h m a fi r e m a t i c s w a s t i e d i n t o m y e v e r y d a y l i f e . O n e f i n a l e x a m p l e o f w h a t a s t u d e n t w r o t e a t t h e e n d o f t h e s e m e s t e r f o l l o w s : I f i n d [ m a t h ] t o b e i n c o r p o r a t e d i n t o j u s t a b o u t e v e r y fi r i n g . F o r e x a m p l e , t r a f f i c l i g h t s , o v e n s , r e c i p e s , c a l e n d a r s , t i m e , d a y , e t c . T h i s l i s t r s n e v e r e n d i n g . M a t h e m a t i c s r s a f a c t o f l i f e ! ! ! E v e r y w h e r e y o u t u r n a n d l o o k y o u c o u l d a l m o s t b e s u r e i s a r e s u l t - o f s o m e m a t h e m a t i c a l p r o c e s s . T h e r e w a s a s t a t i s t i c a l l y s i g n i f i c a n t i n c r e a s e i n fi r e m e a n s o f t w o i t e m s f r o m fi r e M a t h e m a t i c s I n v e n t o r y t h a t r e f e r r e d t o fi r e u s e f u l n e s s o f m a fi r e m a t i c s g e n e r a l l y . T h e s e w e r e ” I fi r i n k m a t h e m a t i c s i s a n i m p o r t a n t s u b j e c t t h a t i s u s e f u l i n l i f e ; ” a n d ” I fi r i n k m a t h e m a t i c s i s s o m e fi r i n g v e r y m u c h r e l a t e d t o fi r i s w o r l d . " I t s e e m s l i k e l y fi r a t fi r i s i n c r e a s e w a s l a r g e l y d u e t o fi r e i n c r e a s e i n t h e s t u d e n t s ’ p e r c e p t i o n o f fi r e i n d i r e c t p e r s o n a l u t i l i t y o f m a t h e m a t i c s , i . e . , fi r e a w a r e n e s s t h a t 3 8 8 m a fi r w a s u s e d i n fi r e p r o d u c t i o n , p a c k a g i n g , d i s t r i b u t i o n , e t c . o f fi r i n g s fi r a t t h e y u s e . I n c r e a s e d A t t e n t i o n t o P r o c e s s e s . O n e o f fi r e a r e a s fi r a t s e e m e d t o b e r i p e f o r c h a n g e i n fi r e s t u d e n t s ’ c o n c e p t i o n s w a s t h e a r e a o f p r o c e s s e s . T h e p r o c e s s e s o f m a t h e m a fi c s , a s s u c h , s e e m e d t o b e s o m e fi r i n g t h a t fi r e s t u d e n t s w e r e o f t e n n o t f a m i l i a r w i fi r — a t l e a s t b e i n g t h o u g h t o f a s p r o c e s s e s . T h e s e p r o c e s s e s i n c l u d e a l l t y p e s o f a c t i v i t i e s a n d t h o u g h t p r o c e s s e s fi r a t a r e i n v o l v e d i n d o i n g m a t h e m a t i c s s u c h a s p r o b l e m s o l v i n g , r e a s o n i n g , l o g i c , t a l k i n g , w r i t i n g , d r a w i n g p i c t u r e s , m a k i n g a g r a p h o r t a b l e , a n d c o n n e c t i n g m a fi r e m a t i c a l i d e a s t o e a c h o t h e r , o t h e r s u b j e c t s , a n d fi r e w o r l d o u t s i d e o f s c h o o l . B e i n g a b l e t o s e p a r a t e p r o c e s s e s fi r a t a r e u s e d i n d o i n g a n d l e a r n i n g m a t h e m a t i c s f r o m fi r e c o n t e n t o f m a fi r e m a t i c s i t s e l f i s c r u c i a l f o r t e a c h e r s t o b e a b l e t o fi r i n k a b o u t m a fi r e m a t i c s t h e m s e l v e s , p l a n l e s s o n s , a n d a s s e s s fi r e i r s t u d e n t s ’ u n d e r s t a n d i n g . W h e n t e a c h e r s u n d e r s t a n d fi r a t fi r e r e a r e s e v e r a l p r o c e s s e s fi r a t a r e u s e d i n l e a r n i n g a l l t h e c o n t e n t o f m a fi r e m a t i c s , t h e y c a n m a k e l e a r n i n g g o a l s a n d l e s s o n p l a n s t h a t p u r p o s e f u l l y i n c l u d e o p p o r t u n i t i e s t o u s e s p e c i f i c , r e l e v a n t p r o c e s s e s . L i k e w i s e , w h e n t e a c h e r s a s s e s s fi r e i r s t u d e n t s ’ u n d e r s t a n d i n g o f m a t h e m a t i c s , fi r e y c a n a s s e s s fi r e p r o c e s s e s fi r e s t u d e n t s u s e a n d n o t j u s t fi r e c o n t e n t , t h e r e b y o b t a i n i n g a m o r e h o l i s t i c v i e w o f t h e s t u d e n t s ’ m a t h e m a t i c a l u n d e r s t a n d i n g . A t fi r e e n d o f fi r e s e m e s t e r , fi r e s t u d e n t s s e e m e d t o b e t h i n k i n g m u c h m o r e a b o u t p r o c e s s e s fi r a n t h e y w e r e a t fi r e b e g i n n i n g o f fi r e s e m e s t e r a s e v i d e n c e d i n fi r e i r ” W h a t I s M a t h e m a t i c s ? ” j o u r n a l e n t r i e s a n d t h e i r m a fi r c o n c e p t m a p s . A t t h e b e g i n n i n g o f t h e s e m e s t e r , 4 0 % o f fi r e s t u d e n t s i n c l u d e d s o m e m e n t i o n o f a t l e a s t o n e p r o c e s s i n fi r e i r ” W h a t I s M a t h e m a t i c s ? ’ j o u r n a l e n t r y . I n t h e i r f i n a l ” W h a t I s M a t h e m a t i c s ? ” j o u r n a l e n t r i e s , 5 3 % o f t h e s t u d e n t s i n c l u d e d s o m e fi r i n g r e l a t e d t o p r o c e s s e s . T h e r e w a s n o t o n l y a c h a n g e i n fi r e n u m b e r o f s t u d e n t s g i v i n g a t t e n t i o n t o p r o c e s s e s a t t h e e n d o f t h e s e m e s t e r , b u t fi r e r e w a s a l s o a l a r g e 3 8 9 i n c r e a s e i n d e s c r i b i n g d i f f e r e n t k i n d s o f p r o c e s s e s t h a t a r e p a r t o f d o i n g m a fi r e m a t i c s . T h e p r o c e s s e s o f r e a s o n i n g a n d l o g i c w e r e w r i t t e n a b o u t i n b o fi r fi r e b e g i n n i n g a n d fi n a l ” W h a t I s M a fi r e m a t i c s ? ” j o u r n a l e n t r i e s , b u t fi r e y w e r e n o t a s d o m i n a n t i n t h e fi n a l j o u r n a l e n t r i e s b e c a u s e o fi r e r p r o c e s s e s o f m a t h e m a t i c s w e r e i n c l u d e d m o r e f r e q u e n fi y . A t t h e e n d o f t h e s e m e s t e r , fi r e s t u d e n t s w e r e e s p e c i a l l y i n c l i n e d t o w r i t e a b o u t — o r i n c l u d e i n fi r e i r m a fi r c o n c e p t m a p s — t h e f o u r p r o c e s s s t a n d a r d s f r o m fi r e N C T M ’ s 1 9 8 9 C u r r i c u l u m a n d E v a l u a t i o n S t a n d a r d s f o r S c h o o l M a t h e m a t i c s w h i c h a r e p r o b l e m s o l v i n g , c o m m u n i c a fi o n , r e a s o n i n g , a n d c o n n e c t i o n s . T h e c h a n g e w a s e v e n g r e a t e r i n fi r e m a t h c o n c e p t m a p s . A t t h e b e g i n n i n g o f t h e s e m e s t e r , 5 6 % i n c l u d e d a t l e a s t o n e p r o c e s s i n fi r e m a fi r c o n c e p t m a p ; n o n e o f fi r e s e s t u d e n t s i n c l u d e d m o r e fi r a n f o u r p r o c e s s e s . A t fi r e e n d o f fi r e s e m e s t e r , 7 7 % o f t h e s t u d e n t s i n c l u d e d s o m e fi r i n g r e l a t e d t o p r o c e s s e s , a n d 1 5 o f fi r o s e s t u d e n t s ( 5 8 % ) m e n t i o n e d fi v e o r m o r e p r o c e s s e s . T h e i n c r e a s e i n s t u d e n t s w h o i n c l u d e d a h i g h n u m b e r o f i t e m s r e l a t e d t o p r o c e s s e s i n fi r e f i n a l m a p s v e r s u s fi r e b e g i n n i n g m a p s w a s e s p e c i a l l y s i g n i fi c a n t — z e r o i n fi r e b e g i n n i n g a n d 1 5 i n fi r e f i n a l m a p s . T h i s w a s a n e n o r m o u s i n c r e a s e i n a t t e n t i o n t o p r o c e s s e s . I t s e e m s t o s h o w t h a t t h e s t u d e n t s w e r e t h i n k i n g a b o u t p r o c e s s e s — a n d m u l t i p l e k i n d s o f p r o c e s s e s — m u c h m o r e a t fi r e e n d o f t h e s e m e s t e r . 8 A M o r e P o s i t i v e A t t i t u d e t o w a r d M a t h e m a t i c s . O v e r a l l , fi r e s t u d e n t s s e e m e d t o h a v e a m o r e p o s i t i v e a t t i t u d e t o w a r d m a t h e m a t i c s a t fi r e e n d o f fi r e s e m e s t e r t h a n t h e y d i d a t fi r e b e g i n n i n g o f t h e s e m e s t e r . T h i s w a s e s p e c i a l l y a p p a r e n t i n t h e s t u d e n t s ’ d e c l a r a t i o n s i n t h e i r f i n a l ” W h a t I s M a fi r e m a t i c s ? ” j o u r n a l e n t r i e s a n d i n fi r e f o c u s o f fi r e i r fi n a l m a fi r c o n c e p t m a p s . F o r e x a m p l e , i n h e r fi n a l ” W h a t I s M a t h e m a t i c s ? ” j o u r n a l e n t r y , o n e s t u d e n t w r o t e , ” I n o w l o o k a t m a t h e m a t i c s i n a d i f f e r e n t l i g h t . I n e v e r fi r o u g h t I w o u l d s a y t h i s , b u t I a c t u a l l y fi r i n k I a m b e g i n n i n g t o e n j o y m a fi r e m a t i c s . I t i s v e r y i n t e r e s t i n g t o m e . ” 3 9 0 A n o fi r e r s t u d e n t w r o t e , ” N o w I f e e l v e r y c o n f i d e n t w h e n i t c o m e s t o m a fi r . I r e a l i z e fi r a t m a fi r i s n o t fi r e r e t o t r i c k m e o r t o s i m p l y k e e p m e b u s y , ” w h i l e a fi r i r d d e c l a r e d , ” I c a n h o n e s fi y s a y m y a t t i t u d e t o w a r d s m a fi r h a s c h a n g e d f o r t h e b e t t e r . ” T h e r e w a s a l s o a n o p e n - e n d e d q u e s t i o n i n t h e fi n a l M a fi r e m a t i c s I n v e n t o r y r e l a t e d t o a t t i t u d e s t o w a r d m a fi r e m a t i c s , a n d fi r e s t u d e n t s ’ r e s p o n s e s s e e m e d t o i n d i c a t e fi r a t , a s a g r o u p , fi r e y f e l t m o r e p o s i t i v e l y t o w a r d m a t h a t t h e e n d o f fi r e s e m e s t e r fi r a n fi r e y d i d a t t h e b e g i n n i n g . T h i s q u e s t i o n w a s , ” H a v e y o u r a t t i t u d e s t o w a r d m a t h e m a t i c s o r t e a c h i n g m a fi r e m a t i c s c h a n g e d a t a l l d u r i n g fi r e t i m e y o u ’ v e b e e n i n fi r i s c o u r s e ? I f s o , h o w ? I f n o t , h o w ? ” T w e n t y - s e v e n o u t o f 2 9 s t u d e n t s r e s p o n d e d ” y e s ” t o fi r a t q u e s t i o n . T h r e e s t u d e n t s r e s p o n d e d , ” n o t m u c h ” a n d e x p l a i n e d fi r a t fi r e y s t a r t e d p o s i t i v e a n d s t i l l f e l t p o s i t i v e . ( O n e s t u d e n t w r o t e b o t h ” y e s ” a n d ” n o t m u c h . ” ) E l e v e n s t u d e n t s w r o t e fi r a t fi r e i r a t t i t u d e s h a d i m p r o v e d , t h a t fi r e y f e l t m o r e p o s i t i v e , a n d / o r fi r a t fi r e y w e r e m o r e o p t i r r r i s t i c . E l e v e n s t u d e n t s a l s o w r o t e t h a t t h e y f e l t m o r e c o n f i d e n t i n t h e i r m a fi r a b i l i fi e s . A g a i n , I c o n j e c t u r e t h a t m u c h o f t h e r e a s o n t h e s t u d e n t s w e r e a b l e t o f e e l m o r e p o s i t i v e l y t o w a r d m a t h e m a t i c s a t t h e e n d o f fi r e s e m e s t e r i s fi r a t t h e y h a d s h i f t e d fi r e i r p o s i t i o n i n r e l a t i o n t o m a t h e m a t i c s f r o m a n e x p e r i e n c e d s t u d e n t t o a p r o s p e c t i v e t e a c h e r . T h e y h a d n e w i d e a s a b o u t h o w m a t h e m a t i c s c o u l d b e t a u g h t a n d h o w a m a t h e m a t i c s c l a s s r o o m m i g h t l o o k , a n d fi r e y d i d n ' t h a v e o n l y t h e i r o w n e x p e r i e n c e s a s a s t u d e n t o f m a fi r e m a t i c s o n w h i c h t o b a s e fi r e i r a t t i t u d e s . A M o r e P o s i t i v e A t t i t u d e t o w a r d T e a c h i n g M a t h e m a t i c s . A s a g r o u p , t h e s t u d e n t s a l s o s e e m e d m u c h m o r e e n fi r u s i a s t i c a b o u t fi r e i d e a o f t e a c h i n g m a t h e m a t i c s a t fi r e e n d o f fi r e s e m e s t e r t h a n fi r e y d i d a s fi r e s t u d y b e g a n . A d d i t i o n a l l y , fi r e y a l s o v o i c e d m o r e c o n fi d e n c e i n fi r e i r a b i l i t y t o t e a c h m a t h e m a t i c s . I t s e e m s t h a t t h e m a i n c o n fi i b u t o r s t o fi r e i r m o r e p o s i t i v e a t t i t u d e 3 9 1 w e r e m o r e i d e a s a b o u t h o w t o t e a c h m a t h e m a t i c s — a n d i n m a n y c a s e s a n e w v i s i o n o f h o w i t c o u l d b e t a u g h t — a n d fi r e s t u d e n t s ’ s h i f t i n p o s i t i o n i n g i n fi r e i r r e l a t i o n t o m a fi r e m a t i c s fi r a t a l l o w e d fi r e m t o v i s u a l i z e t e a c h i n g m a t h e m a t i c s i n a w a y fi r a t w a s p e r h a p s d i f f e r e n t f r o m w h a t fi r e y h a d e x p e r i e n c e d a s s t u d e n t s b u t fi r a t fi r e y c o u l d i m a g i n e a s a m o r e p o s i t i v e e x p e r i e n c e f o r t h e i r o w n f u t u r e s t u d e n t s . T h i s m o r e p o s i t i v e a t t i t u d e w a s v i s i b l e i n a l l fi r e d a t a s o u r c e s . ( F o r e x a m p l e , S e e T a b l e 1 0 o n p a g e 2 2 4 f o r s i g n i fi c a n t c h a n g e s o n t h e m a t h e m a fi c s i n v e n t o r y . ) T h e s t u d e n t s a l s o s e e m e d t o b e l e s s f e a r f u l o f n o t u n d e r s t a n d i n g e v e r y fi r i n g o r m a k i n g a m i s t a k e w h e n t e a c h i n g m a fi r e m a t i c s . A n o t h e r s t a t i s t i c a l l y s i g n i fi c a n t c h a n g e i n fi r e s t u d e n t s ’ m e a n r e s p o n s e s t o a n i t e m f r o m fi r e M a t h e m a t i c s I n v e n t o r y w a s f o r fi r e i t e m , ” A s a t e a c h e r , I w o u l d f e e l e m b a r r a s s e d i f a s t u d e n t a s k e d a q u e s t i o n t o w h i c h I d i d n ' t k n o w t h e a n s w e r . ” T h e c h a n g e w a s i n fi r e d i r e c t i o n t h a t i n d i c a t e d t h e s t u d e n t s w o u l d f e e l l e s s e m b a r r a s s e d i n fi r a t s i t u a t i o n . T h i s w a s a s o m e w h a t p a r a d o x i c a l , b u t n o t s u r p r i s i n g , r e s u l t o f t h e c l a s s . W e w a n t t h e s t u d e n t s t o r e a l i z e fi r a t t e a c h i n g i n fi r i s n e w w a y w h e r e t h e t e a c h e r a c t s a s a f a c i l i t a t o r o f l e a r n i n g r e q u i r e s a g r e a t d e a l o f m a fi r e m a t i c a l k n o w l e d g e — t o s e l e c t p r o b l e m s , k n o w w h i c h c o m m e n t s t o p u r s u e , w h a t q u e s t i o n s t o a s k , a n d f o r a v a r i e t y o f o fi r e r p e d a g o g i c a l r e a s o n s — b u t t h e s t u d e n t s f e e l fi r a t fi r i s k i n d o f t e a c h i n g w i l l m a k e t h e i r l a c k o f m a fi r e m a t i c a l k n o w l e d g e l e s s o b v i o u s . ( F o r a m o r e c o m p l e t e d i s c u s s i o n o n fi r i s p a r a d o x , s e e p a g e s 1 7 7 - 1 7 8 . ) T h e R o l e o f D i s s a t i s f a c t i o n i n C h a n g e . T h i s a n a l y s i s a l s o s u g g e s t s fi r a t d i s s a t i s f a c t i o n p l a y s a r o l e i n c h a n g e . I n g e n e r a l , f o r c h a n g e t o o c c u r i n p e o p l e , t h e r e n e e d s t o b e s o m e l e v e l o f d i s s a t i s f a c t i o n i n fi r e i r c u r r e n t s t a t e o f fi r i n k i n g o r e m o t i o n . I f p e o p l e a r e s a t i s f i e d w i fi r h o w fi r e y f e e l , w h a t fi r e y fi r i n k , fi r e r e s u l t s 3 9 2 o f t h e i r a c t i o n s , e t c . , fi r e y a r e n o t l i k e l y t o c h a n g e . I n c o n t r a s t , i f t h e y a r e n o t s a t i s fi e d w i t h a n y o f fi r o s e fi r i n g s , t h e y a r e m u c h m o r e l i k e l y t o b e w i l l i n g t o c h a n g e fi r e i r i d e a s , e t c . a n d t r y s o m e fi r i n g n e w . T h i s a s s e r fi o n fi t s i n w i t h w h a t F u l l a n ( 1 9 9 3 ) d e s c r i b e s a s t h e l e s s o n s r e l a t e d t o t h e c o m p l e x i t y o f fi r e c h a n g e p r o c e s s . T h i s r o l e o f d i s s a t i s f a c t i o n s e e m e d v e r y e v i d e n t i n m a n y o f fi r e s t u d e n t s , a n d i t w a s e s p e c i a l l y m a r k e d i n fi r e f o u r f o c u s s t u d e n t s . C a r o l y n a n d E l i z a b e fi r b o fi r w a n t e d t o t e a c h e l e m e n t a r y s c h o o l a n d k n e w t h a t t h e y w o u l d n e e d t o b e a b l e t o t e a c h m a fi r e m a t i c s t o d o s o . T h e y a l s o s e e m e d t o b e l i e v e fi r a t i t w o u l d b e d i f fi c u l t f o r t h e m t o t e a c h i t e f f e c fi v e l y w i t h fi r e n e g a t i v e a t t i t u d e s fi r e y h e l d t o w a r d m a t h e m a t i c s . P e r h a p s f o r fi r i s r e a s o n , fi r e y t o o k c o n s i d e r a b l e i n t e r e s t i n l e a r n i n g t o l o o k a t m a fi r e m a t i c s a n d t e a c h i n g m a t h e m a t i c s i n w a y s fi r a t s e e m e d m o r e p o s i t i v e t o fi r e m . T h e y w a n t e d t o h a v e b e t t e r s k i l l s a n d a t t i t u d e s ( S e e C h a p t e r 6 ) . O n fi r e o t h e r h a n d , b o t h B r i d g e t a n d F e l i c i a s e e m e d c o n t e n t w i t h t h e i r n e g a t i v e a t t i t u d e s t o w a r d m a fi r e m a t i c s . T h e y s p o k e a s i f t h e i r a t t i t u d e s t o w a r d a n d c o n c e p t i o n s o f m a fi r e m a t i c s w e r e p a r t o f t h e i r i d e n t i fi e s . T h e y w e r e h a p p y n o t l i k i n g m a t h . I n f a c t , w h e n F e l i c i a w a s a s k e d i f s h e fi r o u g h t t h e r e c o u l d b e s o m e fi r i n g fi r a t w o u l d h e l p h e r c h a n g e h e r a t t i t u d e t o w a r d m a t h , h e r r e s p o n s e w a s , ” I d o n ’ t k n o w . I g u e s s s o m e o n e w o u l d h a v e t o d o s o m e fi r i n g fi r a t I c a n ’ t e v e n i m a g i n e t o m a k e i t m o r e r e l e v a n t t o m e . U m , m a k e i t m a t t e r t h a t I s h o u l d d o m a fi r , b e c a u s e a t fi r i s p o i n t I ’ m s o h a p p y w i t h m y l i f e n o t d o i n g a l o t o f m a t h . ” B y fi r e e n d o f t h e s e m e s t e r , b o t h B r i d g e t a n d F e l i c i a h a d d e c i d e d fi r a t t h e y w e r e n ’ t g o i n g t o t e a c h e l e m e n t a r y s c h o o l . T h e r e f o r e , t h e y h a d n o n e e d o r r e a s o n t o c h a n g e t h e i r a t t i t u d e s t o w a r d m a t h e m a t i c s w h i l e C a r o l y n a n d E l i z a b e fi r d i d h a v e m o t i v a t i o n t o c h a n g e fi r e i r a t t i t u d e s t o w a r d m a fi r e m a t i c s s i n c e t h e y w e r e p l a n n i n g o n t e a c h i n g e l e m e n t a r y s c h o o l . 3 9 3 I m p l i c a t i o n s T h i s r e s e a r c h p r o v i d e s s o m e i m p l i c a t i o n s f o r m a fi r e m a t i c s t e a c h e r e d u c a t i o n fi r a t w i l l b e r e v i e w e d i n fi r i s s e c t i o n . F i r s t , i t i n d i c a t e s t h a t s t u d e n t s ’ s h i f t i n p o s i t i o n i n g i n r e l a t i o n t o m a fi r e m a t i c s c a n s e r v e a s a v e h i c l e f o r c h a n g i n g fi r e i r c o n c e p t i o n s o f a n d a t t i t u d e s t o w a r d m a fi r e m a t i c s . S e c o n d , i t p r o v i d e s i n s i g h t i n t o a r e a s w h e r e c h a n g e i n p r o s p e c t i v e e l e m e n t a r y t e a c h e r s ’ c o n c e p t i o n s a n d a t t i t u d e s r e l a t e d t o m a fi r e m a t i c s i s m o r e l i k e l y t o o c c u r . T h i r d , i t s u g g e s t s fi r a t d i s s a t i s f a c t i o n m a y p l a y a r o l e i n c h a n g e . U n d e r s t a n d i n g t h e R o l e o f t h e S h i f t i n P o s i t i o n i n g . U n d e r s t a n d i n g w h a t i n fl u e n c e s o r c o n t r i b u t e s t o c h a n g e s i n p r o s p e c t i v e t e a c h e r s ’ a t t i t u d e s a n d c o n c e p t i o n s r e l a t e d t o m a fi r e m a t i c s a n d t e a c h i n g m a t h e m a t i c s c a n h e l p e l e m e n t a r y m a fi r e m a t i c s t e a c h e r e d u c a t o r s t o p r o v i d e e x p e r i e n c e s i n fi r e i r m e t h o d s c o u r s e s t h a t w i l l i n c r e a s e t h e l i k e l i h o o d fi r a t fi r e s t u d e n t s ’ a t t i t u d e s a n d c o n c e p t i o n s w i l l c h a n g e . F o r fi r i s e x a m p l e , i f s t u d e n t s ’ a r e a b l e t o c h a n g e ( i m p r o v e ) t h e i r a t t i t u d e s t o w a r d m a fi r e m a t i c s w h e n fi r e y fi r i n k o f t e a c h i n g m a fi r e m a t i c s r a t h e r t h a n f o c u s i n g o n t h e i r o w n e x p e r i e n c e s w i t h m a t h e m a t i c s , i t w o u l d b e i m p o r t a n t f o r t e a c h e r e d u c a t o r s t o p r o v i d e o p p o r t u n i h ' e s fi r r o u g h t h e i r c o u r s e a c t i v i t i e s f o r fi r e s t u d e n t s t o fi r i n k o f t h e m s e l v e s a s t e a c h e r s a n d e x p e r i e n c e a c t u a l l y p l a n n i n g a n d t e a c h i n g m a t h e m a t i c s . I t ’ s h a r d t o k n o w f o r s u r e h o w fi r i s u n d e r s t a n d i n g s h o u l d o r m i g h t i n fl u e n c e fi r e p l a n n i n g a n d d e s i g n o f s u c h a c o u r s e s i n c e t h e r e a r e m o s t l i k e l y s u b fi e a n d o b v i o u s i m p l i c a t i o n s . H o w e v e r , s o m e e x a m p l e s o f a c t i v i t i e s t o i n c l u d e i n fi r i s t y p e o f c o u r s e fi r a t m a y c o n t r i b u t e t o fi r i s r e s u l t c o u l d b e m a k i n g l e s s o n a n d u n i t p l a n s , e x p e r i e n c i n g l e a r n i n g m a fi r e m a fi c s i n a c o n c e p t u a l w a y , t e a c h i n g m i n i - l e s s o n s t o e a c h o fi r e r , a n d a c t u a l l y t e a c h i n g e l e m e n t a r y s t u d e n t s i n p r a c t i c u m s . A n o t h e r u s e f u l a c t i v i t y c o u l d b e t o h a v e t h e s t u d e n t s w a t c h t e a c h e r s w h o a r e e f f e c t i v e a t t e a c h i n g m a t h e m a t i c s — t h r o u g h v i s i t s t o a c t u a l c l a s s r o o m s o r t h r o u g h fi r e u s e o f 3 9 4 v i d e o t a p e s . I t m a y a l s o b e u s e f u l f o r s t u d e n t s t o t a l k w i fi r o t h e r c l a s s m e m b e r s a b o u t fi r e p r o c e s s fi r e y h a v e g o n e t h r o u g h i n fi r i n k i n g d i f f e r e n fi y a b o u t m a fi r e m a t i c s . T h i s m a y h e l p fi r e m r e a l i z e fi r a t o fi r e r s h a v e e x p e r i e n c e d c h a n g e s i n t h e i r a t t i t u d e s a n d c o n c e p t i o n s a n d fi r a t i t i s p o s s i b l e t o fi r i n k d i f f e r e n fi y a b o u t m a t h e m a t i c s . R e c o g n i z i n g t h a t fi r e i r c o n c e p t i o n s a n d a t t i t u d e s h a v e c h a n g e m a y i m p r o v e t h e i r c o n fi d e n c e i n t h e i r e f fi c a c y t o t e a c h m a fi r e m a t i c s I n s i g h t i n t o A r e a s W h e r e C h a n g e I s M o r e L i k e l y . T h i s s t u d y p r o v i d e s s o m e i n s i g h t i n t o w h e r e w e a r e m o s t l i k e l y t o s e e c h a n g e s i n fi r e p r o s p e c t i v e e l e m e n t a r y s c h o o l t e a c h e r s ’ c o n c e p t i o n s o f a n d a t t i t u d e s t o w a r d m a fi r e m a t i c s . I f t e a c h e r e d u c a t o r s a r e a w a r e o f fi r e s e a r e a s , t h e y c a n p u t m o r e e m p h a s i s o n fi r e m b y p r o v i d i n g fi r e s t u d e n t s w i fi r i n f o r m a t i o n a n d a c fi v i fi e s t h a t h e l p t h e m l e a r n m o r e a b o u t fi r o s e a r e a s . O n e o f fi r e a r e a s w h e r e fi r e t e a c h e r e d u c a t o r s m i g h t e x p e c t c h a n g e i s i n u n d e r s t a n d i n g fi r e p r o c e s s e s o f m a fi r e m a t i c s a n d t h e r o l e fi r e y p l a y i n d o i n g a n d l e a r n i n g m a t h e m a t i c s a n d s h o u l d fi r e r e f o r e p l a y i n fi r e t e a c h e r ’ s p l a n n i n g a n d a s s e s s m e n t . A n o t h e r a r e a w h e r e c h a n g e s e e m s m o r e l i k e l y i s i n u n d e r s t a n d i n g t h e u s e f u l n e s s o f m a t h e m a fi c s i n fi r e w o r l d , e s p e c i a l l y i n fi r e a r e a o f i n d i r e c t p e r s o n a l u t i l i t y . I t p a r t i c u l a r l y s e e m s f o r t h e s e t w o a r e a s — — p r o c e s s a n d u s e f u l n e s s o f m a fi r e m a t i c s — fi r a t fi r e r e a s o n s fi r e s e a r e a r e a s w h e r e fi r e s t u d e n t s a r e m o r e l i k e l y t o c h a n g e t h e i r c o n c e p t i o n s i s fi r a t fi r e y a r e a r e a s w h e r e fi r e s t u d e n t s w e r e l e s s l i k e l y t o h a v e h a d m u c h e x p e r i e n c e o r i n f o r m a t i o n g i v e n t o fi r e m . T h e s e w e r e n e w i d e a s t o fi r e m . B e c a u s e t h e y w e r e a b l e t o a d d fi r e m t o fi r e i r c o n c e p t i o n s o f m a t h e m a t i c s w i fi r o u t c h a l l e n g i n g a l r e a d y - h e l d i d e a s , c h a n g e w a s e a s i e r a n d m o r e l i k e l y . ‘ T h e s e c h a n g e s m a y h a v e b e e n r e l a t e d t o s p e c i f i c a c t i v i t i e s I u s e d i n m y t e a c h i n g , a n d k n o w i n g t h a t t h e s e a r e a r e a s w h e r e c h a n g e m i g h t o c c u r m a y h a v e i m p l i c a t i o n s i n h o w o fi r e r s t e a c h s i m i l a r c l a s s e s . T h e d i s c u s s i o n s w e h a d a s a c l a s s r e l a t e d t o fi r e s t u d e n t s ’ c o n c e p t i o n s o f m a fi r e m a t i c s a f t e r t h e y m a d e t h e i r 3 9 5 m a t h c o n c e p t m a p s a n d w r o t e t h e i r ” W h a t I s M a t h e m a t i c s ? ” j o u r n a l e n t r i e s , m a y h a v e b e e n h e l p f u l i n f a c i l i t a t i n g t h e s t u d e n t s ’ r e a l i z a t i o n o f fi r e w a y s m a fi r i s u s e f u l a n d r e l a t e d t o fi r e i r o w n l i v e s . I n a d d i t i o n , h a v i n g t h e s t u d e n t s l e a r n a b o u t fi r e p r o c e s s s t a n d a r d s i d e n t i f i e d b y N C T M ( 1 9 8 9 ) a n d fi r i n k i n g a b o u t t h e m f o r t h e i r C o n t e n t A r e a P r e s e n t a t i o n s a n d i n p l a n n i n g fi r e i r u n i t p l a n s , s e e m e d t o h e l p fi r e m r e a l i z e fi r e i m p o r t a n c e o f p r o c e s s e s . I n p l a n n i n g c o u r s e s i n t e n d e d t o h e l p s t u d e n t s t o fi r i n k a b o u t fi r e t e a c h i n g o f m a t h e m a t i c s , m a fi r e d u c a t o r s m a y w a n t t o c o n s i d e r i n c l u d i n g a c t i v i t i e s fi r a t h e l p fi r e s t u d e n t s fi r i n k a b o u t t h e r o l e m a t h e m a t i c s p l a y s i n fi r e i r l i v e s . T h e y m a y a l s o w a n t t o i n c l u d e a c t i v i t i e s fi r a t r e q u i r e fi r e s t u d e n t s t o r e c o g n i z e fi r e d i f f e r e n c e b e t w e e n c o n t e n t a n d p r o c e s s e s a n d h e l p t h e m b e c o m e f a m i l i a r w i fi r N C T M ’ s p r o c e s s s t a n d a r d s ( 1 9 8 9 a n d 2 0 0 0 ) . A n o fi r e r a r e a w h e r e c h a n g e m i g h t b e l i k e l y i s i n t h e s t u d e n t s ’ a t t i t u d e s t o w a r d m a fi r e m a t i c s a n d t e a c h i n g m a t h e m a t i c s . A g a i n , fi r i s a l s o s e e m s t o b e v e r y c o n n e c t e d t o t h e s t u d e n t s ’ s h i f t i n p o s i fi o n i n g . W h e n fi r e s t u d e n t s c a n e x p e r i e n c e m a fi r e m a t i c s i n a d i f f e r e n t w a y a n d i m a g i n e i t b e i n g t a u g h t i n a w a y d i f f e r e n t f r o m w h a t t h e y e x p e r i e n c e d i n s c h o o l ( e s p e c i a l l y w h e n t h e i r o w n e x p e r i e n c e s w i fi r i t w e r e n e g a t i v e ) , t h e y a r e m o r e l i k e l y t o h a v e a m o r e p o s i t i v e a t t i t u d e t o w a r d i t a n d t o w a r d t h e i d e a o f t e a c h i n g i t T h e R o l e o f D i s s a t i s f a c t i o n i n C h a n g e . F i n a l l y , o n e i m p l i c a t i o n o f fi r i s s t u d y f o r t e a c h e r e d u c a t o r s i s t h a t i t i s i m p o r t a n t t o r e a l i z e t h a t d i s s a t i s f a c t i o n m a y p l a y a r o l e i n t h e c h a n g e o f t h e s t u d e n t s ’ c o n c e p t i o n s o f a n d a t t i t u d e s t o w a r d m a t h e m a t i c s a n d t e a c h i n g m a t h e m a t i c s . T e a c h e r e d u c a t o r s m a y h a v e s t u d e n t s w h o — f o r w h a t e v e r r e a s o n — a r e n o t d i s s a t i s f i e d w i fi r fi r e i r a t t i t u d e s a n d c o n c e p t i o n s , a n d n o m a t t e r w h a t fi r e t e a c h e r e d u c a t o r d o e s , fi r o s e s t u d e n t s m a y n o t c h a n g e . O f c o u r s e , i t ’ s a l s o p o s s i b l e t h a t s t u d e n t s w h o d o n o t f e e l a n y d i s s a t i s f a c t i o n r e g a r d i n g t h e i r c o n c e p t i o n s a n d a t t i t u d e s r e l a t e d t o m a t h e m a t i c s w h e n t h e y e n t e r t h e c l a s s w i l l d e v e l o p t h a t d i s s a t i s f a c t i o n t h a t s e e m s r e q u i s i t e 3 9 6 f o r c h a n g e a n d s u b s e q u e n fi y c h a n g e , b u t i t i s n o t g u a r a n t e e d . F o r t h o s e s t u d e n t s w h o h a v e n e g a t i v e a t t i t u d e s a n d c o n c e p fi o n s a n d f e e l n o n e c e s s i t y t o c h a n g e , p e r h a p s fi r e g r e a t e s t s e r v i c e fi r e t e a c h e r e d u c a t o r s c a n d o i s t o h e l p t h o s e s t u d e n t s c o m e t o fi r e c o n c l u s i o n fi r a t m a y b e fi r e y s h o u l d n ’ t t e a c h m a fi r e m a t i c s a s w a s t h e c a s e w i t h B r i d g e t a n d F e l i c i a . C o n t r i b u t i o n s o f T h i s S t u d y A S t u d y t h a t S h o w s T h e r e C a n B e C h a n g e . L i k e a l a r g e n u m b e r o f o fi r e r s t u d i e s ( C o o n e y e t a l , 1 9 9 8 ; K r o w s , 1 9 9 9 ; M i l l e r , 1 9 9 9 ; a n d V a c c & B r i g h t , 1 9 9 9 ) , fi r i s s t u d y s h o w s t h a t p r o s p e c t i v e t e a c h e r s ’ c o n c e p t i o n s o f a n d a t t i t u d e s t o w a r d m a fi r e m a t i c s a n d t e a c h i n g m a t h e m a t i c s c a n c h a n g e i n fi r e c o n t e x t o f a m a fi r e m a t i c s m e fi r o d s c o u r s e . I t a l s o i d e n t i fi e s a s p e c t s o f fi r e s e c o n c e p t i o n s a n d a t t i t u d e s fi r a t a r e p a r t i c u l a r l y l i k e l y t o c h a n g e . T h i s s t u d y a l s o d o c u m e n t s fi r e s h i f t i n p o s i t i o n i n g o f fi r e s e s t u d e n t s i n fi r e i r r e l a t i o n t o m a t h e m a t i c s — f r o m e x p e r i e n c e d s t u d e n t t o p r o s p e c t i v e t e a c h e r — a n d p r o v i d e s e v i d e n c e t h a t fi r a t s h i f t i n fl u e n c e s c h a n g e s i n fi r e s t u d e n t s ’ c o n c e p t i o n s o f a n d a t t i t u d e s r e l a t e d t o m a fi r e m a t i c s . A N e w F r a m e w o r k f o r L o o k i n g a t C o n c e p t i o n s o f M a t h e m a t i c s . T h r o u g h a n e x a m i n a t i o n o f t h e d a t a fi r a t w a s c o l l e c t e d f o r fi r i s s t u d y , I w a s a b l e t o c o n s t r u c t a f r a m e w o r k fi r a t p r o v e d u s e f u l i n f r a m i n g fi r e a n a l y s i s o f t h e d a t a i n r e l a t i o n t o fi r e s t u d e n t s ’ c o n c e p t i o n s o f a n d a t t i t u d e s t o w a r d m a t h e m a t i c s a n d t e a c h i n g m a t h e m a t i c s . T h i s f r a m e w o r k p r o v i d e d a c a t e g o r y t o c o d e a l l o f fi r e d a t a g a t h e r e d f r o m fi r e s t u d e n t s . I t c o u l d a l s o b e u s e d a s a t e m p l a t e — o r a s t a r t i n g p o i n t — i n d e s i g n i n g a n o t h e r s t u d y o f p r o s p e c t i v e t e a c h e r s ’ ( o r p e r h a p s e x p e r i e n c e d t e a c h e r s ’ ) c o n c e p t i o n s o f a n d a t t i t u d e s t o w a r d m a fi r e m a t i c s a n d t e a c h i n g m a fi r e m a t i c s . 3 9 7 I d e a s f o r U s i n g C o n c e p t M a p s a s a D a t a S o u r c e . A l fi r o u g h m a n y h a v e u s e d c o n c e p t m a p s a s a n o r g a n i z a t i o n a l t o o l t o t e a c h a b o u t c o n c e p t s o r a s a n a s s e s s m e n t t o o l t o s e e w h a t s t u d e n t s u n d e r s t a n d a b o u t a p a r t i c u l a r c o n c e p t , u s i n g c o n c e p t m a p s a s a s o u r c e o f i n f o r m a t i o n f o r l e a r n i n g a b o u t p r o s p e c t i v e e l e m e n t a r y t e a c h e r s ’ c o n c e p fi o n s o f a n d a t t i t u d e s t o w a r d m a fi r e m a t i c s s e e m s t o b e a n o r i g i n a l i d e a — a t l e a s t a s a d a t a s o u r c e f o r a r e s e a r c h s t u d y . T h i s s t u d y s h o w s fi r e t y p e s o f i n f o r m a t i o n fi r a t c a n b e g a i n e d b y u s i n g c o n c e p t m a p s a s a d a t a s o u r c e a s w e l l a s i d e a s a b o u t h o w t o a n a l y z e a n d s y n fi r e s i z e g r o u p s o f m a p s a n d e v a l u a t e i n d i v i d u a l m a p s m o r e h o l i s t i c a l l y . U n d e r s t a n d i n g t h e R e l e v a n c e o f t h e S h i f t i n P o s i t i o n i n g . O n e o f fi r e m o s t i m p o r t a n t c o n t r i b u t i o n s o f fi r i s s t u d y i s fi r e i n s i g h t i t p r o v i d e s r e g a r d i n g t h e r e l e v a n c e fi r a t fi r e s h i f t i n p o s i t i o n i n g h a s t o c h a n g e s i n fi r e p r o s p e c t i v e e l e m e n t a r y t e a c h e r s ’ a t t i t u d e s t o w a r d a n d c o n c e p t i o n s o f m a t h e m a t i c s a n d t e a c h i n g m a t h e m a t i c s . S u m m a r y I n s u m m a r y , fi r r o u g h fi r i s s t u d y , w e w e r e a b l e t o g a i n m o r e u n d e r s t a n d i n g o f fi r e s t a b i l i t y a n d c h a n g e i n p r o s p e c t i v e e l e m e n t a r y t e a c h e r s ’ c o n c e p fi o n s o f a n d a t t i t u d e s t o w a r d m a fi r e m a t i c s a n d t e a c h i n g m a fi r e m a t i c s . O n e o f fi r e m o s t i m p o r t a n t fi n d i n g s o f fi r e s t u d y i s t h a t fi r e s e s t u d e n t s ( p r o s p e c t i v e e l e m e n t a r y t e a c h e r s ) s h i f t fi r e i r p o s i t i o n i n r e l a t i o n t o m a fi r e m a t i c s b e t w e e n t h e b e g i n n i n g o f fi r e c o u r s e a n d fi r e e n d o f t h e s e m e s t e r f r o m fi r a t o f a n e x p e r i e n c e d s t u d e n t t o fi r a t o f a p r o s p e c t i v e t e a c h e r . T h i s w a s i m p o r t a n t t o u n d e r s t a n d , b e c a u s e i t h e l p s u s u n d e r s t a n d w h y s o m e o f fi r e c h a n g e i n t h e s t u d e n t s ’ c o n c e p t i o n s a n d a t t i t u d e s o c c u r s . W e a l s o l e a r n e d t h a t t h e r e a r e a r e a s w h e r e c h a n g e i s m o r e l i k e l y s u c h a s fi r e s t u d e n t s ’ c o n c e p t i o n s o f p r o c e s s e s a n d u s e f u l n e s s o f m a fi r e m a t i c s . T h e fi n d i n g s i n fi r i s s t u d y a l s o s u g g e s t t h a t d i s s a t i s f a c t i o n m a y p l a y a r o l e i n c h a n g e . 3 9 8 O n e o f t h e i m p l i c a t i o n s o f fi r i s s t u d y i s fi r a t k n o w i n g a b o u t fi r e r o l e fi r e s h i f t i n p o s i t i o n i n g p l a y s , m a fi r e m a t i c s t e a c h e r e d u c a t o r s s h o u l d p r o v i d e e x p e r i e n c e s f o r t h e i r s t u d e n t s w h e r e fi r e y c a n e x p e r i e n c e t e a c h i n g m a t h e m a t i c s o r i m a g i n e t e a c h i n g m a t h e m a t i c s a n d a l l fi r a t i t e n t a i l s . A n o fi r e r i m p l i c a t i o n i s t h a t k n o w i n g w h i c h a r e a s a r e m o r e l i k e l y t o c h a n g e s u c h a s t h e s t u d e n t s ’ c o n c e p t i o n s o f p r o c e s s e s a n d u s e f u l n e s s o f m a t h e m a t i c s , t e a c h e r e d u c a t o r s s h o u l d p r o v i d e i n f o r m a t i o n , a c t i v i t i e s , a n d e x p e r i e n c e fi r a t w i l l h e l p fi r e i r s t u d e n t s i n c r e a s e fi r e i r u n d e r s t a n d i n g i n t h e s e a r e a s . F i n a l l y , a n i m p l i c a t i o n f o r m a t h e m a t i c s t e a c h e r e d u c a t o r s w o u l d b e t o r e a l i z e t h a t d i s s a t i s f a c t i o n p l a y s a r o l e i n c h a n g e , a n d fi r e y m a y h a v e s o m e s t u d e n t s w h o w i l l n o t c h a n g e r e g a r d l e s s o f w h a t t h e y d o . 3 9 9 A P P E N D I C E S 4 0 0 A P P E N D I X A D o c u m e n t a t i o n o f T B 4 0 1 , s e c t i o n 1 7 , F a l l 1 9 9 5 A n i m p o r t a n t p a r t o f m y w o r k a s a t e a c h e r i n v o l v e s e x a m i n i n g o u r c l a s s d i s c u s s i o n s c l o s e l y a s w e l l a s l o o k i n g c a r e f u l l y a t w h a t y o u w r i t e t o m e a n d t o y o u r s e l v e s . H a v i n g r e c o r d s o f o u r d i s c u s s i o n s a n d c o p i e s o f y o u r w o r k i s i n v a l u a b l e t o m e a s a t e a c h e r . T h e s e h e l p m e t o s h a p e t h e i n s t r u c t i o n o f t h e c l a s s t o b e r e s p o n s i v e t o y o u a n d a l s o h e l p m e t o c o n t i n u e t o d e v e l o p m y o w n p r a c t i c e a s a t e a c h e r . F o r m y s e l f , I w r i t e j o u r n a l e n t r i e s a b o u t e a c h o f o u r c l a s s s e s s i o n s t h a t g i v e m e a r e c o r d o f m y o w n t h o u g h t s a n d r e fl e c t i o n s . I s o m e t i m e s s h a r e w h a t h a p p e n s i n o u r c l a s s e s a n d t a l k w i t h c o l l e a g u e s a b o u t t e a c h i n g . T h e s e k i n d s o f a c t i v i t i e s a r e a n i m p o r t a n t p a r t o f l e a r n i n g i n a n d f r o m m y o w n t e a c h i n g . I d o t h e s e t h i n g s b e c a u s e I fi n d t h a t t h e y h e l p m e t o t e a c h w e l l a n d t o c o n t i n u e t o d e v e l o p m y t e a c h i n g . A l t h o u g h I h a v e b e e n t e a c h i n g f o r s e v e r a l y e a r s n o w , t h e r e i s a l w a y s m o r e t o l e a r n a n d n e w t h i n g s t o s t r i v e f o r . T h e s e a c t i v i t i e s t h a t I d e s c r i b e a b o v e a r e a l s o a n i m p o r t a n t f a c e t o f b e i n g i n a p r o f e s s i o n a l c o m m u n i t y a n d s u p p o r t i n g t h e l e a r n i n g a n d d e v e l o p m e n t o f o t h e r t e a c h e r s . T h e y a r e t h e s a m e k i n d s o f fi r i n g s t h a t y o u w i l l b e e n c o u r a g e d t o d o a s a n i n t e r n n e x t y e a r - f i l m i n g y o u r t e a c h i n g , a u d i o t a p i n g y o u r l e s s o n s , c o l l e c t i n g s t u d e n t s ' w r i t t e n w o r k , w r i t i n g j o u r n a l e n t r i e s a b o u t y o u r c l a s s s e s s i o n s , d i s c u s s i n g y o u r w o r k w i t h c o l l e a g u e s - — a n d , h o p e f u l l y , y o u w i l l h a v e O p p o r t u n i t i e s , r e s o u r c e s , a n d s u p p o r t t o d o fi r e s e k i n d s o f fi r i n g s a s a p r a c t i c i n g t e a c h e r . I n m a n y w a y s , t h i s i s a n o p p o r t u n i t y f o r y o u t o g e t a s e n s e o f h o w o n e t e a c h e r w h o m y o u g e t t o w a t c h c l o s e l y ( m e ) d r a w s o n t h e s e k i n d s o f a c t i v i t i e s a n d r e s o u r c e s t o i n f o r m a n d d e v e l o p h e r t e a c h i n g p r a c t i c e . T h e m a t e r i a l s I m a k e a n d c o l l e c t a r o u n d fi r i s c o u r s e w i l l o n l y b e u s e d f o r t h e t e a c h i n g o f t h i s c o u r s e a n d w i l l n o t b e u s e d f o r r e s e a r c h o r p r e s e n t a t i o n s d u r i n g t h e s e m e s t e r . A f t e r t h e s e m e s t e r i s o v e r , I w i l l u s e t h e r e c o r d s f o r r e s e a r c h p u r p o s e s o n l y w i t h y o u r p e r m i s s i o n . A t t h a t t i m e , y o u w i l l b e g i v e n t h e o p p o r t u n i t y t o g r a n t o r d e n y p e r m i s s i o n t o u s e y o u r w o r k f o r fi r i s r e s e a r c h . I u n d e r s t a n d t h a t fi r e r e c o r d s t h a t a r e b e i n g m a d e o f m y T B 4 0 1 c l a s s u t h e a u d i o t a p e s a n d w r i t t e n d o c u m e n t s - - a r e p a r t o f t h e t e a c h i n g p r a c t i c e o f m y i n s t r u c t o r a n d c a n n o t b e u s e d a s d a t a f o r r e s e a r c h o r a s a p a r t o f a f o r m a l p r e s e n t a t i o n w i t h o u t m y c o n s e n t . T h e s e d o c u m e n t s w i l l o n l y b e u s e d t o s u p p o r t t h e i n s t r u c t i o n o f t h i s c o u r s e a n d t h e p r o f e s s i o n a l d e v e l o p m e n t o f m y i n s t r u c t o r d u r i n g t h e c o u r s e . I u n d e r s t a n d t h a t o t h e r t e a c h e r e d u c a t o r s m a y b e v i e w i n g t h e s e d o c u m e n t s f o r t h e s e p u r p o s e s d u r i n g t h e d u r a t i o n o f t h i s c o u r s e . I a l s o u n d e r s t a n d t h a t a f t e r t h e s e m e s t e r i s o v e r , I w i l l b e g i v e n t h e o p p o r t u n i t y t o g r a n t o r d e n y t h e u s e o f t h e s e r e c o r d s f o r r e s e a r c h p u r p o s e s . S i g n a t u r e D a t e 4 0 1 A P P E N D I X B I n f o r m e d C o n s e n t f o r S t u d y o f T E 4 0 1 T h i s s t u d y w i l l b e u s e d b y m e , E l a i n e T u f t , t o f u l f i l l t h e d i s s e r t a t i o n r e q u i r e m e n t f o r m y P h . D . i n m a t h e m a t i c s e d u c a t i o n t h r o u g h t h e T e a c h e r E d u c a t i o n D e p a r t m e n t a t M i c h i g a n S t a t e U n i v e r s i t y . T h e p u r g o s e o f t h i s s t u d y i s t o g a i n a b e t t e r u n d e r s t a n d i n g o f t h e b e l i e f s a b o u t a n d a t t i t u d e s t o w a r d m a e m a t i c s t h a t a r e h e l d b y p r o s p e c t i v e e l e m e n t a r y a n d h o w fi r e s e b e l i e f s e v o l v e a c r o s s t h e c o u r s e o f T E 4 0 1 . B e c a u s e r e s e a r c h h a s i n d i c a t e d t h a t t e a c h e r s ' c o n c e p t i o n s a b o u t m a t h e m a t i c s i n fl u e n c e t h e y w a y t h e y t e a c h i t , a n d s i n c e o t h e r r e s e a r c h i n d i c a t e s t h a t c e r t a i n c o n c e p t i o n s a b o u t m a fi r e m a t i c s a n d t e a d r i n g m a t h e m a t i c s a r e f o u n d a t i o n a l t o e f f e c t i v e t e a c h i n g o f m a t h e m a t i c s , I h o p e t o l e a r n m o r e , fi r r o u g h t h i s r e s e a r c h , a b o u t t h e s e c o n c e p t i o n s a n d h o w t h e y e v o l v e d u r i n g fi r e t i m e p r o s p e c t i v e s t u d e n t s a r e e n r o l l e d i n a c o u r s e d e s i g n e d t o h e l p p r e p a r e t h e m t o t e a c h m a t h e m a t i c s . B e c a u s e o f t h i s , I w o u l d l i k e t o a n a l y z e d a t a c o l l e c t e d i n y o u r s e c t i o n o f T E 4 0 1 . T h e fi r i n g s I w o u l d l i k e t o u s e t o c o n d u c t t h i s r e s e a r c h a r e : A u d i o t a p e s o f c l a s s e s : I w i l l s t u d y t h e k i n d s o f a c t i v i t i e s a n d i n t e r a c t i o n s t h a t o c c u r r e d d u r i n g t h e c l a s s t h a t p r o v i d e i n f o r m a t i o n r e l a t e d t o m y r e s e a r c h q u e s t i o n s . I m i g h t a t t i m e s a l s o a l l o w o t h e r r e s e a r c h e r s , t e a d r e r e d u c a t o r s , a n d t e a c h e r s t o l i s t e n t o p o r t i o n s o f fi r e a u d i o t a p e s i n o r d e r t o f a c i l i t a t e d i s c u s s i o n o f t e a c h i n g a n d l e a r n i n g i n t e a c h e r e d u c a t i o n s e t t i n g s . H a v i n g t h e s e k i n d s o f c o n c r e t e e x a m l e s i s a n i m p o r t a n t p a r t o f c r e a t i n g c o u r s e s f o r fi r e e d u c a t i o n a n d p r o f e s s i o n a l d e v e l o p m e n t o f t e a e r e d u c a t o r s . I w i l l n o t i d e n t i f y y o u b y n a m e t o a n y o n e w h o l i s t e n s t o fi r e s e t a p e s ; h o w e v e r , y o u c o u l d b e i d e n t i fi a b l e t o s o m e o n e w h o k n o w s y o u . C o p i e s o f y o u r w r i t i n g a n d w o r k f o r t h e c o u r s e : A n o t h e r i m p o r t a n t s o u r c e o f i n f o r m a t i o n a b o u t s t u d e n t s b e l i e f s a n d a t t i t u d e s a s s o c i a t e d w i t h m a fi r e m a t i c s i s t o l o o k a t s t u d e n t s ' w r i t i n g a n d o fi r e r w o r k a n d i n s t r u c t o r s ' c o m m e n t s . I w o u l d u s e s t u d e n t s ' w o r k t o s t u d y s t u d e n t s ' b e l i e f s a b o u t a n d a t t i t u d e s t o w a r d m a t h e m a t i c s a n d t h e e v o l u t i o n o f t h e s e c o n c e p t i o n s . T h i s w o u l d i n c l u d e y o u r j o u r n a l e n t r i e s a n d fi r e i n v e n t o r y c o m p l e t e d a t t h e b e g i n n i n g a n d e n d o f fi r e s e m e s t e r a s w e l l a s o t h e r a s s i g n m e n t s t h a t w e r e p a r t o f t h e c o u r s e . T h e s e a n a l y s e s a r e f o r r e s e a r c h p u r p o s e s o n l y . E v e r y t h i n g w i l l b e l a b e l e d w i t h p s e u d o n y m s s o t h a t y o u a r e n o t i d e n t i fi a b l e , a n d fi r e a n a l y s e s I w i l l c o n d u c t w i l l n o t b e u s e d i n a n y c o n n e c t i o n w i fi r g r a d e s , p l a c e m e n t s , o r o t h e r d e c i s i o n s a b o u t y o u r d e v e l o p m e n t a n d l e a r n i n g i n y o u r t e a c h e r e d u c a t i o n p r o g r a m . A u d i o t a p e s o f m e e t i n g s w i t h i n d i v i d u a l s t u d e n t s d u r i n g t h e s e m e s t e r . l r r f o r m a l i n t e r v i e w s w i t h i n d i v i d u a l s t u d e n t s w e r e t a p e d a t v a r i o u s p o i n t s t h r o u g h o u t t h e s e m e s t e r . L i k e t h e c o p i e s o f s t u d e n t w o r k , I w o u l d e x a m i n e t h e s e i n t e r v i e w s t o b e t t e r u n d e r s t a n d s t u d e n t s ' b e l i e f s a n d a t t i t u d e s r e l a t e d t o m a t h e m a t i c s a n d t e a c h i n g m a t h e m a t i c s . T h e s e a n a l y s e s a r e f o r r e s e a r c h p u r p o s e s o n l y . E v e r y t h i n g w i l l b e l a b e l e d w i t h p s e u d o n y m s s o t h a t y o u a r e n o t i d e n t i fi a b l e , a n d t h e a n a l y s e s I w i l l c o n d u c t w i l l n o t b e u s e d i n a n y c o n n e c t i o n w i t h g r a d e s , p l a c e m e n t s , o r o t h e r d e c i s i o n s a b o u t y o u r d e v e l o p m e n t a n d l e a r n i n g i n y o u r t e a c h e r e d u c a t i o n p r o g r a m . A u d i o t a p e s f r o m y o u r i n t e r v i e w w i l l b e u s e d f o r e d u c a t i o n a l a n d r e s e a r c h p u r p o s e s i f y o u g i v e y o u r p e r m i s s i o n . I f y o u d e s i r e f u r fi r e r i n f o r m a t i o n a b o u t fi r i s s t u d y , y o u m a y c a l l E l a i n e T u f t a t 3 5 1 - 4 6 9 0 . R e s u l t s o f fi r i s r e s e a r c h w i l l b e s h a r e d w i t h y o u o n r e q u e s t . 4 0 2 T h r e e s e p a r a t e p e r m i s s i o n s a r e s o u g h t b e l o w : o n e , t o u s e i n f o r m a t i o n c o l l e c t e d a b o u t T E 4 0 1 f r o m c l a s s s e s s i o n s ; t w o , t o u s e c o p i e s o f y o u r c l a s s w o r k f r o m T E 4 0 1 ; a n d t h r e e , t o u s e i n t e r v i e w s i n w h i c h y o u m a y h a v e p a r t i c i p a t e d d u r i n g f a l l s e m e s t e r . P e r m i s s i o n t o p a r t i c i p a t e a n d p e r m i s s i o n t o u s e T E 4 0 1 c l a s s d a t a f o r r e s e a r c h a n d e d u c a t i o n a l p u r p o s e s : I h a v e r e a d fi r e a b o v e s t a t e m e n t a n d a g r e e t o p a r t i c i p a t e i n t h i s r e s e a r c h b y g i v i n g m y p e r m i s s i o n f o r E l a i n e T u f t t o a n a l y z e i n f o r m a t i o n c o l l e c t e d d u r i n g m y T E 4 0 1 c l a s s f o r u s e i n h e r d o c t o r a l d i s s e r t a t i o n : a u d i o t a p e s o f c l a s s s e s s i o n s . I u n d e r s t a n d t h a t m y r e a l n a m e w i l l n e v e r b e u s e d i n a n y w r i t t e n r e p o r t s o f fi r e r e s e a r c h , a n d m y r e s p o n s e s w i l l b e t r e a t e d w i t h c o n fi d e n t i a l i t y . S i g n a t u r e : D a t e : I n a d d i t i o n : [ ] I g i v e m y p e r m i s s i o n f o r a u d i o t a p e t o b e u s e d f o r fi r e e d u c a t i o n a l p u r p o s e s d e s c r i b e d . I d o u n d e r s t a n d t h a t a l t h o u g h m y n a m e w i l l n o t b e p r o v i d e d t o o t h e r s w h o w o u l d l i s t e n t o e x c e r p t s f r o m t h e t a p e s , I m i g h t b e i d e n t i fi a b l e t o p e o p l e w h o r e c o g n i z e m e . , [ ] I d o N O T g i v e m y p e r m i s s i o n f o r v i d e o t a p e a n d a u d i o t a p e i n w h i c h I c a n b e i d e n t i fi e d t o b e u s e d f o r fi r e e d u c a t i o n a l p u r p o s e s d e s c r i b e d . I u n d e r s t a n d t h a t I a m f r e e t o w i t h d r a w fi r i s c o n s e n t a t a n y t i m e . S i g n a t u r e : D a t e : P e r m i s s i o n t o p a r t i c i p a t e a n d p e r m i s s i o n t o u s e T E 4 0 1 c l a s s w o r k f o r r e s e a r c h a n d e d u c a t i o n a l p u r p o s e s : I h a v e r e a d fi r e a b o v e s t a t e m e n t a n d a g r e e t o p a r t i c i p a t e i n t h i s r e s e a r c h b y g i v i n g m y p e r m i s s i o n f o r E l a i n e T u f t t o a n a l y z e p h o t o c o p i e s o f m y c l a s s w o r k f r o m T E 4 0 1 f o r u s e i n h e r d o c t o r a l d i s s e r t a t i o n . T h i s w i l l i n c l u d e m y j o u r n a l e n t r i e s , t h e i n v e n t o r y c o m p l e t e d a t fi r e b e g i n n i n g a n d e n d o f t h e s e m e s t e r , a n d a l l o fi r e r a s s i g n m e n t s . I u n d e r s t a n d t h a t m y r e a l n a m e w i l l n e v e r b e u s e d i n a n y w r i t t e n r e p o r t s o f fi r e r e s e a r c h , a n d m y r e s p o n s e s w i l l b e t r e a t e d w i t h c o n f i d e n t i a l i t y . I u n d e r s t a n d t h a t I a m f r e e t o w i t h d r a w t h i s c o n s e n t a t a n y t i m e . S i g n a t u r e : D a t e : P e r m i s s i o n t o p a r t i c i p a t e a n d p e r m i s s i o n t o u s e i n t e r v i e w s a b o u t T B 4 0 1 f o r r e s e a r c h a n d e d u c a t i o n a l p u r p o s e s : I h a v e r e a d fi r e a b o v e s t a t e m e n t a n d a g r e e t o p a r t i c i p a t e i n t h i s r e s e a r c h b y g i v i n g m y p e r m i s s i o n f o r E l a i n e T u f t t o u s e t a p e - r e c o r d e d i n t e r v i e w s i n w h i c h I p a r t i c i p a t e d d u r i n g fi r e f a l l s e m e s t e r f o r u s e i n h e r d o c t o r a l d i s s e r t a t i o n . I u n d e r s t a n d t h a t m y r e a l n a m e w i l l n e v e r b e u s e d i n a n y w r i t t e n r e p o r t s o f t h e r e s e a r c h , a n d m y r e s p o n s e s w i l l b e t r e a t e d w i t h c o n fi d e n t i a l i t y . I u n d e r s t a n d t h a t I a m f r e e t o w i t h d r a w t h i s c o n s e n t a t a n y t i m e . S i g n a t u r e : D a t e : I n a d d i t i o n , [ ] I g i v e m y p e r m i s s i o n f o r a u d i o t a p e i n w h i c h I c a n b e i d e n t i fi e d t o b e u s e d f o r fi r e e d u c a t i o n a l a n d r e s e a r c h p u r p o s e s d e s c r i b e d . [ ] I d o N O T g i v e m y p e r m i s s i o n f o r a u d i o t a p e i n w h i c h I c a n b e i d e n t i fi e d t o b e u s e d f o r t h e e d u c a t i o n a n d r e s e a r c h p u r p o s e s d e s c r i b e d . I u n d e r s t a n d t h a t I a m f r e e t o w i t h d r a w t h i s c o n s e n t a t a n y t i m e . S i g n a t u r e : D a t e : 4 0 3 A P P E N D I X C M a t h e m a t i c s I n v e n t o r y C o n s e n t F o r m T o f u l fi l l t h e d i s s e r t a t i o n r e q u i r e m e n t f o r m y P h . D . i n m a t h e m a t i c s e d u c a t i o n fi r r o u g h t h e T e a c h e r E d u c a t i o n D e p a r t m e n t a t M i c h i g a n S t a t e U n i v e r s i t y , L E l a i n e T u f t , a m c o n d u c t i n g a s t u d y w i t h fi r e p u r p o s e o f g a i n i n g a b e t t e r u n d e r s t a n d i n g o f t h e b e l i e f s a b o u t a n d a t t i t u d e s t o w a r d m a fi r e m a t i c s t h a t a r e h e l d b y p r o s p e c t i v e e l e m e n t a r y a n d h o w t h e s e b e l i e f s e v o l v e a c r o s s t h e c o u r s e o f T E 4 0 1 . B e c a u s e r e s e a r c h h a s i n d i c a t e d fi r a t t e a c h e r s ' c o n c e p t i o n s a b o u t m a fi r e m a t i c s i n fl u e n c e t h e y w a y t h e y t e a c h i t , a n d s i n c e o fi r e r r e s e a r d r i n d i c a t e s t h a t c e r t a i n c o n c e t i o n s a b o u t m a t h e m a t i c s a n d t e a c h i n g m a t h e m a t i c s a r e f o u n d a t i o n a l t o e f f e c t i v e t e a c h i n g o f m a t h e m a t i c s , I h o p e t o l e a r n m o r e , t h r o u g h fi r i s r e s e a r c h , a b o u t t h e s e c o n c e p t i o n s a n d h o w fi r e y e v o l v e d u r i n g t h e t i m e p r o s p e c t i v e s t u d e n t s a r e e n r o l l e d i n a c o u r s e d e s i g n e d t o h e l p p r e p a r e t h e m t o t e a c h m a t h e m a t i c s . B e c a u s e o f fi r i s , I w o u l d l i k e t o h a v e y o u c o m p l e t e fi r e a t t a c h e d m a t h e m a t i c s i n v e n t o r y w h i c h w i l l b e u s e d i n t h e a n a l y s i s o f m y r e s e a r c h q u e s t i o n s . Y o u w i l l a l s o b e i n v i t e d t o c o m p l e t e fi r i s s a m e i n v e n t o r y a t fi r e e n d o f t h e s e m e s t e r . A t fi r a t t i m e y o u w i l l a g a i n b e g i v e n fi r e o p p o r t u n i t y t o c o m p l e t e i t , t h u s g i v i n g y o u r c o n s e n t f o r i t t o b e u s e d , o r d e c l i n e c o m p l e t i n g i t . T h e s e a n a l y s e s w i l l b e f o r r e s e a r c h p u r p o s e s o n l y . E v e r y t h i n g w i l l b e l a b e l e d w i t h p s e u d o n y m s s o fi r a t y o u a r e n o t i d e n t i fi a b l e , a n d t h e a n a l y s e s I w i l l c o n d u c t w i l l n o t b e u s e d i n a n y c o n n e c t i o n w i fi r g r a d e s , p l a c e m e n t s , o r o fi r e r d e c i s i o n s a b o u t y o u r d e v e l o p m e n t a n d l e a r n i n g i n y o u r t e a c h e r e d u c a t i o n p r o g r a m . D u r i n g t h e s e m e s t e r , y o u r i n s t r u c t o r w i l l n o t s e e fi r e s e i n v e n t o r i e s a n d w i l l n o t k n o w w h e t h e r y o u c o m p l e t e d i t o r d e c l i n e d t o . A f t e r t h e s e m e s t e r i s o v e r a n d g r a d e s h a v e b e e n g i v e n , y o u r i n s t r u c t o r w i l l b e a l l o w e d t o s e e t h e r e s u l t s o f fi r i s i n v e n t o r y s u m m a r i z e d a s a c l a s s a g g r e g a t e i f s h e d e s i r e s . I f y o u d e s i r e f u r t h e r i n f o r m a t i o n a b o u t fi r i s s t u d y , y o u m a y c a l l E l a i n e T u f t a t 3 5 1 - 4 6 9 0 . R e s u l t s o f t h i s r e s e a r c h w i l l b e s h a r e d w i t h y o u o n r e q u e s t . C 0 0 . . . . . . O . C O O . . . O O O C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O G O O O O O O 0 . 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 . 0 . 0 . 0 . 0 0 0 . . . 0 . . . . O O O O O O O O O O O O O O O O O 0 . 0 0 . 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 P e r m i s s i o n t o p a r t i c i p a t e a n d p e r m i s s i o n t o u s e T E 4 0 1 c l a s s w o r k f o r r e s e a r c h a n d e d u c a t i o n a l p u r p o s e s : I h a v e r e a d t h e a b o v e s t a t e m e n t a n d a g r e e t o p a r t i c i p a t e i n t h i s r e s e a r c h b y g i v i n g m y p e r m i s s i o n f o r E l a i n e T u f t t o a n a l y z e r e s p o n s e s t o fi r i s m a t h e m a t i c s i n v e n t o r y f o r u s e i n h e r d o c t o r a l d i s s e r t a t i o n . I u n d e r s t a n d t h a t b y c o m p l e t i n g t h e i n v e n t o r y a n d r e t u r n i n g i t t o h e r , I h a v e g i v e n p e r m i s s i o n f o r h e r t o u s e t h e i n f o r m a t i o n i n h e r a n a l y s e s . I u n d e r s t a n d t h a t m y r e a l n a m e w i l l n e v e r b e u s e d i n a n y w r i t t e n r e p o r t s o f t h e r e s e a r c h , a n d m y r e s p o n s e s w i l l b e t r e a t e d w i t h c o n fi d e n t i a l i t y . I a l s o u n d e r s t a n d t h a t m y i n s t r u c t o r w i l l n o t s e e m y r e s p o n s e s t o fi r i s i n v e n t o r y u n t i l a f t e r t h e s e m e s t e r i s o v e r a n d g r a d e s h a v e b e e n g i v e n , a n d t h a t t h e n s h e m a y s e e ( i f s h e d e s i r e s ) r e s u l t s o f t h i s i n v e n t o r y s u m m a r i z e d a s a c l a s s a g g r e g a t e . P l e a s e c h e c k o n e o f fi r e f o l l o w i n g o p t i o n s : : [ ] I w i l l c o m p l e t e fi r i s i n v e n t o r y a n d t h u s g i v e m y p e r m i s s i o n f o r i t t o b e u s e d i n r e s e a r c h p u r p o s e s d e s c r i b e d a b o v e . [ ] I c h o o s e N O T t o c o m p l e t e fi r i s i n v e n t o r y . I u n d e r s t a n d t h a t I a m f r e e t o w i t h d r a w fi r i s c o n s e n t a t a n y t i m e . S i g n a t u r e : D a t e : 4 0 4 A P P E N D I X D S t u d e n t # T E 4 0 1 M a t h e m a t i c s I n v e n t o r y O n e a c h s c a l e , c i r c l e t h e n u m b e r t h a t c o r r e s p o n d s t o h o w m u c h t h e f o l l o w i n g s t a t e m e n t s a r e l i k e y o u o r a r e t h i n g s y o u w o u l d b e i n c l i n e d t o s a y . 1 . I e n j o y d o i n g m a fi r e m a t i c a l t a s k s . 1 2 3 4 5 l l l l ! N o t a t a l l S o m e w h a t V e r y m u c h l i k e m e l i k e m e l i k e m e I h a v e a l w a y s e n j o y e d m a t h e m a t i c s . 1 2 3 4 5 l l 1 l J N o t a t a l l S o m e w h a t V e r y m u c h l i k e m e l i k e m e l i k e m e I fi r i n k m a fi r e m a t i c s i s a n i m p o r t a n t s u b j e c t t h a t i s u s e f u l i n l i f e . l 2 3 4 5 l i l l I N o t a t a l l S o m e w h a t V e r y m u c h l i k e m e l i k e m e l i k e m e I fi r i n k o f m a fi r e m a t i c s a s a s e t o f i s o l a t e d f a c t s fi r a t n e e d t o b e m e m o r i z e d . 1 2 3 4 5 l L J . l J N o t a t a l l S o m e w h a t V e r y m u c h l i k e m e l i k e m e l i k e m e I fi r i n k m a t h e m a fi c s i s s o m e fi r i n g v e r y m u c h r e l a t e d t o fi r i s w o r l d . 1 2 3 4 5 l l l l J N o t a t a l l S o m e w h a t V e r y m u c h l i k e m e l i k e m e l i k e m e I f e e l s u c c e s s f u l w h e n I a m e n g a g e d i n m a fi r e m a t i c a l t a s k s . 1 2 3 4 5 l J . l l J N o t a t a l l S o m e w h a t V e r y m u c h l i k e m e l i k e m e l i k e m e 4 0 5 1 0 . 1 1 . 1 2 . 1 3 . D o i n g m a fi r e m a fi c s i s u s u a l l y v e r y f r u s t r a t i n g f o r m e . 1 2 3 4 ' 5 l l l l I N o t a t a l l S o m e w h a t V e r y m u c h l i k e m e l i k e m e l i k e m e I a m e x c i t e d fi r a t I w i l l m o s t l i k e l y h a v e t h e o p p o r t u n i t y t o t e a c h m a fi r e m a t i c s a s a n e l e m e n t a r y t e a c h e r . l 2 3 4 5 l 1 l l ! N o t a t a l l S o m e w h a t V e r y m u c h l i k e m e l i k e m e l i k e m e I f e e l e n t h u s i a s t i c a b o u t m a fi r e m a t i c s a n d a b o u t t e a c h i n g i t . 1 2 3 4 5 l l l l 1 N o t a t a l l S o m e w h a t V e r y m u c h l i k e m e l i k e m e l i k e m e T e a c h i n g m a fi r e m a t i c s s h o u l d n o t b e t o o d i f f i c u l t s i n c e a t e x t b o o k a l r e a d y h a s t h e l e s s o n s p r e p a r e d . 1 2 3 4 5 l l 1 l J . N o t a t a l l S o m e w h a t V e r y m u c h l i k e m e l i k e m e l i k e m e M a t h e m a t i c s i s s o m e fi r i n g t h a t n o t e v e r y o n e i s a b l e t o u n d e r s t a n d . 1 2 3 4 5 l l l l J . N o t a t a l l S o m e w h a t V e r y m u c h l i k e m e l i k e m e l i k e m e I d o n ' t e x p e c t t o e n c o u n t e r a n y m a fi r e m a t i c s w h e n I t e a c h e l e m e n t a r y s c h o o l fi r a t I w o n ' t u n d e r s t a n d s i n c e I s u c c e s s f u l l y c o m p l e t e d e l e m e n t a r y s c h o o l . 1 2 3 4 5 N o t a t a l l T S o m e w h a t Y ' V e r y m u c h l i k e m e l i k e m e l i k e m e T h e o n l y p e o l e w h o r e a l l y n e e d t o u n d e r s t a n d m a fi r a r e fi r o s e w h o c h o o s e a c a r e e r w h i r e q u i r e s m a t h s k i l l s . 1 2 3 4 5 l l l l 1 N o t a t a l l S o m e w h a t V e r y m u c h l i k e m e l i k e m e l i k e m e 4 0 6 1 4 . 1 5 . 1 6 . 1 7 . 1 8 . 1 9 . 2 0 . I f e e l c o n fi d e n t i n m y a b i l i t y t o e x p l a i n m a fi r e m a t i c a l c o n c e p t s t o c h i l d r e n . 1 2 3 4 5 L J J J J N o t a t a l l S o m e w h a t V e r y m u c h l i k e m e l i k e m e l i k e m e I u n d e r s t a n d e l e m e n t a r y l e v e l m a t h e m a t i c a l c o n c e p t s q u i t e w e l l m y s e l f . 1 2 3 4 5 J J J J J N o t a t a l l S o m e w h a t V e r y m u c h l i k e m e l i k e m e l i k e m e I w o u l d f e e l m o r e c o m f o r t a b l e i f I k n e w fi r a t I w o u l d n o t h a v e t o t e a c h m a fi r e m a t i c s t o e l e m e n t a r y s t u d e n t s . 1 2 3 4 5 J J J J J N o t a t a l l S o m e w h a t V e r y m u d r l i k e m e l i k e m e l i k e m e M a fi r e m a t i c s i s s o m e fi r i n g a t w h i c h e v e r y o n e c a n b e s u c c e s s f u l . 1 2 3 4 5 J J . L J A N o t a t a l l S o m e w h a t V e r y m u c h l i k e m e l i k e m e l i k e m e B e i n g g o o d a t m a fi r e m a t i c s i s n o t r e q u i r e d t o b e a g o o d t e a c h e r o f m a t h . 1 2 3 4 5 J J J J J N o t a t a l l S o m e w h a t V e r y m u c h l i k e m e l i k e m e l i k e m e I w a n t t o t e a c h m a t h e m a t i c s s o fi r a t I c a n h e l p s t u d e n t s g e t e x c i t e d a b o u t i t . I 2 3 4 5 J l J J J N o t a t a l l S o m e w h a t V e r y m u c h l i k e m e l i k e m e l i k e m e A s a t e a c h e r , I w o u l d f e e l e m b a r r a s s e d i f a s t u d e n t a s k e d a q u e s t i o n t o w h i c h I d i d n ' t k n o w fi r e a n s w e r . 1 2 3 4 5 J J J J J N o t a t a l l S o m e w h a t V e r y m u c h l i k e m e l i k e m e l i k e m e 4 0 7 2 1 . 2 3 . 2 4 . 2 5 . I e x p e c t t o r e g u l a r l y t e a c h m a fi r e m a t i c s a s a n e l e m e n t a r y t e a c h e r . 1 2 3 4 5 J J J , L - J N o t a t a l l S o m e w h a t V e r y m u c h l i k e m e l i k e m e l i k e m e T h e b e s t w a y t o l e a r n m a fi r i s t o m e m o r i z e t h e r u l e s . 1 2 3 4 5 J J J J 4 N o t a t a l l S o m e w h a t V e r y m u c h l i k e m e l i k e m e l i k e m e S t u d e n t s ' r e a s o n i n g i s m o r e i m p o r t a n t t h a n i f t h e y a r e a b l e t o g e t fi r e a n s w e r fi r a t m a t c h e s fi r e a n s w e r k e y . 1 2 3 4 5 J J J J J N o t a t a l l S o m e w h a t V e r y m u c h l i k e m e l i k e m e l i k e m e I n l e a r n i n g m a fi r , i t i s i m p o r t a n t t o m a s t e r t o p i c s a n d s k i l l s a t o n e l e v e l b e f o r e g o i n g o n . 1 2 3 4 5 J J J J J N o t a t a l l S o m e w h a t V e r y m u c h l i k e m e l i k e m e l i k e m e I c a n h a n d l e b a s i c m a fi r , b u t I w o u l d n ' t d o w e l l a t a d v a n c e d m a fi r e m a t i c s . 1 2 3 4 5 J J J J J N o t a t a l l S o m e w h a t V e r y m u c h l i k e m e l i k e m e l i k e m e A n s w e r t h e f o l l o w i n g q u e s t i o n s a s c o m p l e t e l y a s p o s s i b l e i n t h e s p a c e p r o v i d e d . 2 6 . W h a t d o y o u c o n s i d e r t o b e y o u r g r e a t e s t s t r e n g fi r s i n r e l a t i o n t o b e i n g a m a t h e m a t i c s t e a c h e r ? 4 0 8 2 7 . W h a t c o n c e r n s y o u t h e m o s t a b o u t t e a c h i n g m a fi r e m a t i c s t o e l e m e n t a r y s t u d e n t s ? 2 8 . W h a t k i n d o f i n fl u e n c e d o y o u fi r i n k fi r e t e a c h e r p l a y s i n t h e s u c c e s s o f s t u d e n t s i n m a fi r e m a t i c s ? 2 9 . D o y o u fi r i n k a t e a c h e r ' s a t t i t u d e t o w a r d m a fi r e m a t i c s a f f e c t s h o w h e o r s h e t e a c h e s i t ? W h y o r w h y n o t ? H o w a b o u t a t e a c h e r ' s a t t i t u d e a b o u t t e a c h i n g i t ? E x p l a i n . 3 0 . D o y o u fi r i n k y o u r m a fi r e m a t i c a l e x p e r t i s e ( o r l a c k o f e x p e r t i s e ) w i l l b e a l i a b i l i t y o r a s t r e n g fi r w h e n y o u t e a c h m a t h e m a t i c s i n a n e l e m e n t a r y s c h o o l ? E x p l a i n . 4 0 9 A P P E N D I X E I n t e r v i e w # 1 G u i d e N a m e D a t e . T e l l m e a l i t t l e a b o u t y o u r s e l f . a . A g e b . W h e r e f r o m c . M a j o r / y e a r . H o w m u c h m a t h e m a t i c s a n d w h i c h c l a s s e s d i d y o u h a v e i n h i g h s c h o o l ? a . H o w w o u l d y o u d e s c r i b e h o w y o u d i d i n t h e s e c l a s s e s ? ( f e e l s u c c e s s f u l ? , g r a d e s ? , l i k e t h e c l a s s ? , e t c . ) . H o w m u c h m a t h e m a t i c s a n d w h i c h c l a s s e s d i d y o u h a v e i n c o l l e g e ? W e r e t h e y a l l a t M S U ? a . H o w w o u l d y o u d e s c r i b e h o w y o u d i d i n t h e s e c l a s s e s ? ( f e e l s u c c e s s f u l ? , g r a d e s ? , l i k e t h e c l a s s ? , e t c . ) . F o r t h e r e m a i n d e r o f t h i s i n t e r v i e w , I a m g o i n g t o g o o v e r t h e m a t h e m a t i c s i n v e n t o r y w i t h y o u t h a t y o u fi l l e d o u t t h e fi r s t d a y o f c l a s s . ( S h o w i t . ) D o e s t h i s l o o k f a m i l i a r ? F o r e a c h o f fi r e L i k e r t - s c a l e i t e m s a s k : a . W h a t d o e s t h i s s t a t e m e n t m e a n t o y o u ? b . W h i c h n u m b e r y o u w o u l d c i r c l e t o d a y a n d w h y ? ( C i r c l e fi r e n u m b e r fi r e y w o u l d c i r c l e t o d a y o r h a v e fi r e m c i r c l e i t . ) c . D o y o u r e m e m b e r w h a t y o u a n s w e r e d t h e fi r s t d a y o f c l a s s ? ( S h o w t h e m fi r e i r a n s w e r t o t h a t i t e m o n t h e M a fi r e m a t i c s I n v e n t o r y . ) ( 1 . I f y o u r a n s w e r h a s c h a n g e d , w h y d o y o u t h i n k i t h a s c h a n g e d ? O R I f y o u r a n s w e r i s t h e s a m e , w h y d o y o u t h i n k i t h a s n ' t c h a n g e d ? 4 1 0 A P P E N D I X F E l a i n e A . T u f t / D i s s e r t a t i o n D a t a C o l l e c t i o n I n t e r v r e w 2 G u r d e N a m e D a t e B a c k g r o u n d i n M a t h e m a t i c s 1 . T e l l m e a l i t t l e a b o u t y o u r m a t h h i s t o r y ? C o n c e p t i o n s o f M a t h e m a t i c s 2 . H o w w o u l d y o u d e f i n e o r d e s c r i b e m a t h ? 3 . W h a t d o e s i t m e a n t o k n o w m a t h ? 4 . W h a t d o e s i t m e a n t o d o m a t h ? H o w c a n y o u t e l l w h e n s o m e o n e i s d o i n g m a t h ? 5 . W h a t i s t h e b e s t w a y t o l e a r n m a t h e m a t i c s ? 6 . D o e s m a t h e x i s t d i f f e r e n t l y o r a t a l l o u t s i d e o f a s c h o o l c l a s s r o o m ? I f s o , h o w ? 7 . D o e s w h a t i t m e a n s t o d o m a t h d e p e n d o n w h o ' s d o i n g i t o r w h e r e i t ' s d o n e ( i . e . , a m a t h e m a t i c i a n v s . a s t u d e n t v s . a h o m e m a k e r o r i n a m a t h e m a t i c s d e p a r t m e n t o f a u n i v e r s i t y v s . i n a s c h o o l c l a s s r o o m v s . o u t s i d e o f s c h o o l ) ? 8 . H a v e y o u r i d e a s a b o u t w h a t i t m e a n s t o k n o w a n d d o m a t h c h a n g e d a t a l l d u r i n g y o u r l i f e ? I f s o , c a n y o u i d e n t i f y w h a t h a s c a u s e d o r a f f e c t e d t h a t c h a n g e ? 4 1 1 A t t i t u d e s t o w a r d M a t h e m a t i c s 9 . D o y o u c o n s i d e r m a t h e m a t i c s a s s o m e t h i n g v a l u a b l e ? W h e r e i s i t v a l u a b l e ? F o r w h o m i s i t v a l u a b l e ? I s i t v a l u a b l e f o r y o u p e r s o n a l l y ? 1 0 . H o w c o n fi d e n t d o y o u f e e l " d o i n g " m a t h ? 1 1 . W h e n h a v e y o u f e l t t h e m o s t c o n fi d e n t d o i n g m a t h e m a t i c s ? C a n y o u t h i n k o f w h a t h e l p e d y o u f e e l t h a t w a y ? A t t i t u d e s t o w a r d T e a c h i n g M a t h e m a t i c s 1 2 . H o w d o y o u f e e l a b o u t t h e i d e a o f t e a c h i n g m a t h e m a t i c s i n a n e l e m e n t a r y s c h o o l ( c o n fi d e n t , a p p r e h e n s i v e , e x c i t e d , e t c ) ? H a v e y o u r f e e l i n g s a b o u t t e a c h i n g m a fi r e m a t i c s e v e r c h a n g e d ? 1 3 . W h a t c o n c e r n s d o y o u h a v e a b o u t t e a c h i n g m a t h e m a t i c s ? 1 4 . W h a t a r e y o u r i d e a s a b o u t h o w y o u t h i n k m a t h i s m o s t e f f e c t i v e l y t a u g h t a n d h o w y o u w a n t t o t e a c h i t ? O t h e r 1 5 . I s t h e r e a n y t h i n g e l s e r e l a t e d t o a n y o f fi r e q u e s t i o n s I h a v e a s k e d t h a t y o u t h i n k m i g h t b e i m p o r t a n t f o r m e t o k n o w b u t I n e g l e c t e d t o a s k ? 4 1 2 R E F E R E N C E S 4 1 3 R E F E R E N C E S A d k i n s , ( 3 . , 8 : R o b i n s o n , S . ( 2 0 0 2 , N o v e m b e r ) . T h e e f f e c t s o f m a t h e m a t i c s m e t h o d s c o u r s e s o n p r e s e r v i c e t e a c h e r s ’ a t t i t u d e s t o w a r d m a t h e m a t i c s a n d m a t h e m a t i c s t e a c h i n g . P a p e r p r e s e n t e d a t fi r e A n n u a l M e e t i n g o f t h e M i d - S o u fi r E d u c a t i o n a l R e s e a r c h A s s o c i a t i o n , C h a t t a n o o g a , T N . A l l e n , D . S . ( 2 0 0 1 ) . M a t h e m a t i c s e x p e r i e n c e : C o n t r i b u t i n g f a c t o r s t o t h e m a t h a n x i e t y a n d a v o i d a n c e b e h a v i o r s o f f e m a l e e l e m e n t a g h y s c h o o l p r e — s e r v i c e t e a c h e r s . U n p u b l i s h e d d o c t o r a l d i s s e r t a t i o n , T e x a s T e U n i v e r s i t y , L u b b o c k . A l l e n , E . ( 1 9 9 1 ) . T h e e f f e c t s o f a v i d e o - b a s e d i n s e r v i c e w o r k s h o p f o r m i d d l e s c h o o l m a t h e m a t i c s t e a c h e r s . U n p u b l i s h e d m a s t e r ' s t h e s i s , U t a h S t a t e U n i v e r s i t y , L o g a n . A r p , K . C . ( 1 9 9 9 ) . T h e r e l a t i o n s h i p o f p r e s e r v i c e p r e p a r a t i o n t o t e a c h e r s ’ a t t i t u d e s t o w a r d s m a t h e m a t i c s a n d t e a c h i n g m i d d l e s c h o o l m a t h e m a t i c s . U n p u b l i s h e d d o c t o r a l d i s s e r t a t i o n , T e x a s A & M U n i v e r s i t y , C o l l e g e S t a t i o n . B a l l , D . L . ( 1 9 8 9 ) . B r e a k i n g w i fi r e x p e r i e n c e i n l e a r n i n g t o t e a c h m a t h e m a t i c s : T h e r o l e o f a p r e s e r v i c e m e fi r o d s c o u r s e . F o r t h e L e a r n i n g o f M a t h e m a t i c s , 1 0 ( 2 ) , 1 0 - 1 6 . B a l l , D . L . ( 1 9 8 8 a ) . U n l e a r n i n g t o t e a c h m a fi r e m a t i c s . F o r t h e L e a r n i n g o f M a t h e m a t i c s , 8 ( 1 ) , 4 0 4 8 . B a l l , D . L . ( 1 9 8 8 b ) . K n o w l e d g e a n d r e a s o n i n g i n m a t h e m a t i c a l p e d a g o g y : E x a m i n i n g w h a t p r o s p e c t i v e t e a c h e r s b r i n g t o t e a c h e r e d u c a t i o n . U n p u b l i s h e d d o c t o r a l d i s s e r t a t i o n , M i c h i g a n S t a t e U n i v e r s i t y , E a s t L a n s i n g . B a l l , D . L . ( 1 9 9 1 ) . R e s e a r c h o n t e a c h i n g m a fi r e m a t i c s : M a k i n g s u b j e c t m a t t e r p a r t o f fi r e e q u a t i o n . I n ] . B r o p h y ( E d . ) , A d v a n c e s i n r e s e a r c h o n t e a c h i n g ( V o l . 2 ) , ( p p . 1 4 8 ) . G r e e n w i c h , C T : I A I P r e s s . B e c k e r , I . R . ( 1 9 8 6 ) . M a t h e m a t i c s a t t i t u d e s o f e l e m e n t a r y e d u c a t i o n m a j o r s . A r i t h m e t i c T e a c h e r , 3 3 ( 5 ) , 5 0 — 5 1 . B l a i r e , E . ( 1 9 8 1 ) . P h i l o s o p h i e s o f m a fi r e m a t i c s a n d p e r s p e c t i v e s o f m a t h e m a fi c s t e a c h i n g . I n t e r n a t i o n a l J o u r n a l o f M a t h e m a t i c s E d u c a t i o n i n S c i e n c e a n d T e c h n o l o g y , 1 2 , 1 4 7 - 1 5 3 . B u l m a h n , B . 1 . , & Y o u n g , D . M . ( 1 9 8 2 ) . O n fi r e t r a n s m i s s i o n o f m a t h e m a t i c s a n x i e t y . A r i t h m e t i c T e a c h e r , 3 0 ( 3 ) , 5 5 - 5 6 . C a m p b e l l , B . I . ( 1 9 9 8 ) . C h a n g e s i n s t u d e n t t e a c h e r s ’ t h i n k i n g a n d b e l i e f s a b o u t m a t h e m a t i c s d u r i n g t h e s t u d e n t t e a c h i n g e x p e r i e n c e . U n p u b l i s h e d d o c t o r a l d i s s e r t a t i o n , U n i v e r s i t y o f M a r y l a n d , C o l l e g e P a r k . 4 1 4 C o n f r e y , 1 . ( 1 9 7 8 ) . C o n c e p t i o n o f m a t h e m a t i c s s u r v e y . U n p u b l i s h e d m a n u s c r i p t , M o u n t H o l y O a k C o l l e g e , S o u fi r H a d l e y , M A . C o o n e y , T . 1 . , S h e a l y , B . E . , 8 : : A r v o l d , B . ( 1 9 9 8 ) . C o n c e p t u a l i z i n g b e l i e f s t r u c t u r e s o f p r e s e r v i c e s e c o n d a r y m a t h e m a t i c s t e a c h e r s . l o u r n a l f o r R e s e a r c h i n M a t h e m a t i c s E d u c a t i o n , 2 9 ( 3 ) , 3 0 6 - 3 3 3 . C o u r c h - K u c h e y , D . L . ( 2 0 0 2 ) . T h e e f f e c t o f a c o n s t r u c t i v i s t m a t h e m a t i c s m e t h o d s c o u r s e o n t h e l e v e l o f m a t h e m a t i c s a n x i e t y i n p r e s e r v i c e e a r l y c h i l d h o o d t e a c h e r s . U n p u b l i s h e d d o c t o r a l d i s s e r t a t i o n , U n i v e r s i t y o f C i n c i n n a t i . D o s s e y , 1 . A . ( 1 9 9 2 ) . T h e n a t u r e o f m a t h e m a fi c s : I t s r o l e a n d i t s i n f l u e n c e s . I n H a n d b o o k o f R e s e a r c h o n M a t h e m a t i c s T e a c h i n g a n d L e a r n i n g , D . A . G r o u w s ( E d . ) . N e w Y o r k : M a c m i l l a n . D u t t o n , W . H . ( 1 9 5 4 ) . M e a s u r i n g a t t i t u d e s t o w a r d a r i fi r m e t i c . E l e m e n t a r y S c h o o l 1 0 u r n a l , 5 5 , 2 4 - 3 1 . D u t t o n , W . H . ( 1 9 6 2 ) . A t t i t u d e c h a n g e o f p r o s p e c fi v e e l e m e n t a r y s c h o o l t e a c h e r s t o w a r d a r i t h m e t i c . A r i t h m e t i c T e a c h e r , 9 , 4 1 8 - 4 2 4 . E r n e s t , P . ( 1 9 9 1 ) . T h e p h i l o s o p h y o f m a t h e m a t i c s e d u c a t i o n . B r i s t o l , P A : T h e P a l m e r P r e s s . F e n n e m a , E . , & S h e r m a n , 1 . ( 1 9 7 6 ) . F e n n e m a - S h e r m a n M a fi r e m a t i c s A t t i t u d e S c a l e s : I n s t r u m e n t s d e s i g n e d t o m e a s u r e a t t i t u d e s t o w a r d fi r e l e a r n i n g o f m a fi r e m a t i c s b y f e m a l e s a n d m a l e s . P s y c h o l o g i c a l D o c u m e n t s . M s . N o . 1 2 2 5 . F l a n d e r s , 1 . ( 1 9 8 7 ) . H o w m u c h o f fi r e c o n t e n t i n m a t h e m a t i c s t e x t b o o k s i s n e w ? A r i t h m e t i c T e a c h e r , 3 5 ( 1 ) , 1 8 - 2 3 . F l o d e n , R . E . , M c D i a r m i d , G . W . , 8 : W i e m e r s , N . ( 1 9 9 0 ) . L e a r n i n g a b o u t m a t h e m a t i c s i n e l e m e n t a r y m e t h o d s c o u r s e s ( R e s e a r c h R e p o r t 9 0 - 1 ) . E a s t L a n s i n g : M i c h i g a n S t a t e U n i v e r s i t y , N a t i o n a l C e n t e r f o r R e s e a r c h o n T e a c h e r L e a r n i n g . F u l l a n , M . , ( 1 9 9 3 ) . C h a n g e f o r c e s : P r o b i n g t h e d e p t h s o f e d u c a t i o n a l r e f o r m . B r i s t o l , P A : T h e F a l m e r P r e s s . G i b s o n , H . L . , & : V a n S t r a t , G . A . ( 2 0 0 1 ) . A l o n g i t u d i n a l s t u d y o f t h e i m p a c t o f c o n s t r u c t i v i s t i n s t r u c t i o n a l m e t h o d s o n p r e s e r v i c e t e a c h e r s ’ a t t i t u d e s t o w a r d t e a c h i n g a n d l e a r n i n g m a t h e m a t i c s a n d s c i e n c e . P a p e r p r e s e n t e d a t fi r e A n n u a l M e e t i n g o f fi r e N a t i o n a l A s s o c i a t i o n o f R e s e a r c h i n S c i e n c e T e a c h i n g , S t . L o u i s . G r a n t , T . 1 . , H i e b e r t , 1 . , a n d W e a m e , D . ( 1 9 9 4 , A p r i l ) . T e a c h e r s ’ b e l i e f s a n d t h e i r r e s p o n s e s t o r e f o r m - m i n d e d i n s t r u c t i o n i n e l e m e n t a r y m a t h e m a t i c s . P a p e r p r e s e n t e d a t fi r e a n n u a l m e e t i n g o f t h e A m e r i c a n E d u c a t i o n a l R e s e a r c h A s s o c i a t i o n , N e w O r l e a n s . 4 1 5 G r e g g , P . A . ( 1 9 9 8 ) . A t t i t u d e s t o w a r d m a t h e m a t i c s a n d k n o w l e d g e o f m a t h e m a t i c a l c o n c e p t s o f p r e s e r v i c e e l e m e n t a r y , e a r l y c h i l d h o o d , a n d s p e c i a l e d u c a t i o n t e a c h e r s . U n p u b l i s h e d d o c t o r a l d i s s e r t a t i o n , C l e m s o n U n i v e r s i t y , C l e m s o n , S C . H a r e , A . Y . V . M . ( 1 9 9 9 ) . R e v e a l i n g w h a t u r b a n e a r l y c h i l d h o o d t e a c h e r s t h i n k a b o u t m a t h e m a t i c s a n d h o w t h e y t e a c h i t : I m p l i c a t i o n s f o r p r a c t i c e . U n p u b l i s h e d d o c t o r a l d i s s e r t a t i o n , U n i v e r s i t y o f N o r t h T e x a s , D e n t o n . H a w k i n s , D . ( 1 9 6 7 ) . I , t h o u , a n d i t . I n T h e i n f o r m e d v i s i o n : E s s a y s o n l e a r n i n g a n d h u m a n n a t u r e . N e w Y o r k : A g a t h o n . J e s u n a t h a d a s , 1 . ( 1 9 9 0 ) . M a t h e m a t i c s t e a c h e r s ' i n s t r u c t i o n a l a c t i v i t i e s a s a f u n c t i o n o f a c a d e m i c p r e p a r a t i o n . U n p u b l i s h e d d o c t o r a l d i s s e r t a t i o n , U t a h S t a t e U n i v e r s i t y , L o g a n . K a n e , R . B . ( 1 9 6 8 ) . A t t i t u d e s o f p r o s p e c t i v e e l e m e n t a r y s c h o o l t e a c h e r s t o w a r d m a fi r e m a t i c s a n d fi r r e e o t h e r s u b j e c t a r e a s . A r i t h m e t i c T e a c h e r , 1 5 , 1 6 9 - 1 7 5 . K e l l y , W . P . , & T o m h a v e , W . K . ( 1 9 8 5 ) . A s t u d y o f m a fi r a n x i e t y / m a t h a v o i d a n c e i n p r e s e r v i c e e l e m e n t a r y t e a c h e r s . A r i t h m e t i c T e a c h e r , 3 2 ( 5 ) , 5 1 - 5 3 . K r o w s , A . 1 . ( 1 9 9 9 ) . P r e s e r v i c e t e a c h e r s ’ b e l i e f s y s t e m s a n d a t t i t u d e s t o w a r d m a t h e m a t i c s i n t h e c o n t e x t o f a p r o g r e s s i v e e l e m e n t a r y t e a c h e r p r e p a r a t i o n p r o g r a m . U n p u b l i s h e d d o c t o r a l d i s s e r t a t i o n , T h e U n i v e r s i t y o f O k l a h o m a , N o r m a n . K y r i a k i d e s , L . , P h i l i p p o u , G . , & C h a r a l a m b o u s , C . ( 2 0 0 2 , J u l y ) . T o w a r d s u n d e r s t a n d i n g t e a c h e r s ’ p h i l o s o p h i c a l b e l i e f s a b o u t m a fi r e m a t i c s . I n P r o c e e d i n g s o f t h e A n n u a l M e e t i n g o f t h e I n t e r n a t i o n a l G r o u p f o r t h e P s y c h o l o g y o f M a t h e m a t i c s E d u c a t i o n , N o r w i c h , E n g l a n d . L a r s o n , C . N . ( 1 9 8 3 ) . T e c h n i q u e s f o r d e v e l o p i n g p o s i t i v e a t t i t u d e s i n p r e s e r v i c e t e a c h e r s . A r i t h m e t i c T e a c h e r , 3 1 , 8 - 9 . L e r m a n , S . ( 1 9 8 3 ) . P r o b l e m - s o l v i n g o r k n o w l e d g e - c e n t e r e d : T h e i n fl u e n c e o f p h i l o s o p h y o n m a fi r e m a t i c s t e a c h i n g . I n t e r n a t i o n a l I o u r n a l o f M a t h e m a t i c s E d u c a t i o n i n S c i e n c e a n d T e c h n o l o g y , 1 4 ( 1 ) , 5 9 - 6 6 . M c L e o d , D . B . ( 1 9 9 2 ) . R e s e a r c h o n a f f e c t i n m a t h e m a fi c s e d u c a t i o n : A r e c o n c e p t u a l i z a t i o n . I n D o u g l a s A . G r o u w s ( E d . ) , H a n d b o o k o f r e s e a r c h o n m a t h e m a t i c s t e a c h i n g a n d l e a r n i n g . N e w Y o r k : M a c m i l l a n P u b l i s h i n g C o m p a n y . M i l l e r , 1 . L . ( 1 9 9 9 ) . T h e m a t h e m a t i c s p r e p a r a t i o n o f e l e m e n t a r y t e a c h e r s . U n p u b l i s h e d d o c t o r a l d i s s e r t a t i o n , U n i v e r s i t y o f K e n t u c k y , L e x i n g t o n . N a t i o n a l C o u n c i l o f T e a c h e r s o f M a t h e m a t i c s . ( 1 9 8 8 ) . P r e p a r i n g e l e m e n t a r y s c h o o l m a t h e m a t i c s t e a c h e r s : R e a d i n g s f r o m t h e A r i t h m e t i c T e a c h e r . R e s t o n , V A : A u t h o r . 4 1 6 N a t i o n a l C o u n c i l o f T e a c h e r s o f M a fi r e m a t i c s . ( 1 9 8 9 ) . C u r r i c u l u m a n d e v a l u a t i o n s t a n d a r d s f o r s c h o o l m a t h e m a t i c s . R e s t o n , V A : A u t h o r . N a t i o n a l C o u n c i l o f T e a c h e r s o f M a fi r e m a t i c s . ( 1 9 9 1 ) . P r o f e s s i o n a l s t a n d a r d s f o r t e a c h i n g m a t h e m a t i c s . R e s t o n , V A : A u t h o r . N a fi o n a l C o u n c i l o f T e a c h e r s o f M a fi r e m a t i c s . ( 1 9 9 5 ) . A s s e s s m e n t s t a n d a r d s f o r s c h o o l m a t h e m a t i c s . R e s t o n , V A : A u fi r o r . N a t i o n a l C o u n c i l o f T e a c h e r s o f M a fi r e m a t i c s . ( 2 0 0 0 ) . P r i n c i p l e s a n d s t a n d a r d s f o r s c h o o l m a t h e m a t i c s . R e s t o n , V A : A u t h o r . N a t i o n a l R e s e a r c h C o u n c i l . ( 1 9 8 9 ) . E v e r y b o d y c o u n t s - - A r e p o r t t o t h e n a t i o n o n t h e f u t u r e o f m a t h e m a t i c s e d u c a t i o n . W a s h i n g t o n , D C : N a t i o n a l A c a d e m y P r e s s . N e s p o r , 1 . ( 1 9 8 7 ) . T h e r o l e o f b e l i e f s i n fi r e p r a c t i c e o f t e a c h i n g . [ o u r n a l o f C u r r i c u l u m S t u d i e s , 1 9 , 3 1 7 - 3 2 8 . P a t t o n , L . S . ( 2 0 0 2 ) . A s t u d y o f m a t h e m a t i c s a n x i e t y o f t h e p r e - s e r v i c e e l e m e n t a r y t e a c h e r a t t h e U n i v e r s i t y o f A r i z o n a . U n p u b l i s h e d d o c t o r a l d i s s e r t a t i o n , T h e U n i v e r s i t y o f A r i z o n a , T u c s o n . P e j o u h y , N . H . ( 1 9 9 0 ) . T e a c h i n g m a t h f o r fi r e 2 1 5 t c e n t u r y . P h i D e l t a K a p p a n , 7 2 ( 1 ) , 7 6 - 7 8 . P i t h n a n , D . T . ( 2 0 0 2 ) . A s t u d y e x a m i n i n g t h e r o l e o f t e a c h e r b e l i e f s a n d h o w t h e s e b e l i e f s a f f e c t t h e t e a c h i n g o f m a t h e m a t i c s . U n p u b l i s h e d d o c t o r a l d i s s e r t a t i o n , G e o r g e M a s o n U n i v e r s i t y , M a n a s s a s , V i r g i n i a . R a y m o n d , A . M . ( 1 9 9 7 ) . I n c o n s i s t e n c y b e t w e e n a b e g i n n i n g e l e m e n t a r y s c h o o l t e a c h e r ’ s m a t h e m a t i c s b e l i e f s a n d t e a c h i n g p r a c fi c e . [ o u r n a l f o r R e s e a r c h i n M a t h e m a t i c s E d u c a t i o n , 2 8 ( 5 ) , 5 5 0 - 5 7 6 . R e y s , R . E . , 8 : D e l o n , F . G . ( 1 9 6 8 ) . A t t i t u d e s o f p r o s p e c t i v e e l e m e n t a r y s c h o o l t e a c h e r s t o w a r d s a r i fi r m e t i c , A r i t h m e t i c T e a c h e r , 1 5 , 3 6 3 - 3 6 6 . S c l r o n , D . ( 1 9 8 7 ) . E d u c a t i n g t h e r e fl e c t i v e p r a c t i t i o n e r . S a n F r a n c i s c o : J o s s e y - B a s s . S c h r a m , P . , W i l c o x , S . , L a n i e r , P . & L a p p a n , G . ( 1 9 8 8 ) . C h a n g i n g m a t h e m a t i c a l c o n c e p t i o n s o f p r e s e r v i c e t e a c h e r s : A c o n t e n t a n d p e d a g o g i c a l i n t e r v e n t i o n ( R e s e a r c h R e p o r t 8 8 - 4 ) . E a s t L a n s i n g : M i c h i g a n S t a t e U n i v e r s i t y , N a t i o n a l C e n t e r f o r R e s e a r c h o n T e a c h e r L e a r n i n g . S m i t h , D . M . ( 1 9 9 9 ) . P r e s e r v i c e e l e m e n t a r y t e a c h e r s ’ a t t i t u d e s t o w a r d m a t h e m a t i c s a n d t h e t e a c h i n g o f m a t h e m a t i c s i n a c o n s t r u c t i v i s t c l a s s r o o m . U n p u b l i s h e d d o c t o r a l d i s s e r t a t i o n , O k l a h o m a S t a t e U n i v e r s i t y , S t i l l w a t e r . 4 1 7 S m i t h , F . ( 1 9 6 4 ) . P r o s p e c t i v e t e a c h e r s a t t i t u d e s t o w a r d a r i fi r m e t i c . A r i t h m e t i c T e a c h e r , 1 1 , 4 7 4 — 4 7 7 . T h o m p s o n , A . ( 1 9 9 2 ) . T e a c h e r s ' b e l i e f s a n d c o n c e p t i o n s : A s y n t h e s i s o f t h e r e s e a r c h . I n D o u g l a s A . G r o u w s ( E d . ) , H a n d b o o k o f r e s e a r c h o n m a t h e m a t i c s t e a c h i n g a n d l e a r n i n g . N e w Y o r k : M a c m i l l a n P u b l i s h i n g C o m p a n y . T h o m p s o n , A . ( 1 9 8 4 ) . T h e r e l a t i o n s h i p o f t e a c h e r s ' c o n c e p t i o n s o f m a fi r e m a t i c s t e a c h i n g t o i n s t r u c t i o n a l p r a c t i c e . E d u c a t i o n a l S t u d i e s i n M a t h e m a t i c s , 1 5 , 1 0 5 - 1 2 7 . T u f t , E . A . ( 1 9 9 4 ) . A l o o k a t t h e m a t h e m a t i c a l b e l i e f s o f s o m e p r o s p e c t i v e e l e m e n t a r y s c h o o l t e a c h e r s . U n p u b l i s h e d M a n u s c r i p t . M i c h i g a n S t a t e U n i v e r s i t y , E a s t L a n s i n g . V a c c , N . N . , 8 : B r i g h t , G . W . ( 1 9 9 9 ) . E l e m e n t a r y p r e s e r v i c e t e a c h e r s ’ c h a n g i n g b e l i e f s a n d i n s t r u c t i o n a l u s e o f c h i l d r e n ’ s m a fi r e m a t i c a l fi r i n k i n g . [ o u r n a l f o r R e s e a r c h i n M a t h e m a t i c s E d u c a t i o n , 3 0 ( 1 ) , 8 9 - 1 1 0 . v a n L a n g e n h o v e , L . 8 : H a r r e , R . ( 1 9 9 9 ) . I n t r o d u c i n g p o s i t i o n i n g fi r e o r y . I n R o m H a r r e 8 t L u k v a n L a n g e n h o v e ( E d s . ) , P o s i t i o n i n g t h e o r y . M a l d e n , M A : B l a c k w e l l P u b l i s h e r s I n c . W a l l e r , W . ( 1 9 6 7 ) . W h a t t e a c h i n g d o e s t o t e a c h e r s . I n T h e s o c i o l o g y o f t e a c h i n g . N e w Y o r l c J o h n W i l e y a n d S o n s . W i l c o x , S . K . , S c h r a m , P . , L a p p a n , G . , a n d L a n i e r , P . ( 1 9 9 1 ) . T h e r o l e o f a l e a r n i n g c o m m u n i t y i n c h a n g i n g p r e s e r v i c e t e a c h e r s : K n o w l e d g e a n d b e l i e f s a b o u t m a t h e m a t i c s e d u c a t i o n ( R e s e a r c h R e p o r t 9 1 - 1 ) . E a s t L a n s i n g : M i c h i g a n S t a t e U n i v e r s i t y , N a t i o n a l C e n t e r f o r R e s e a r c h o n T e a c h e r L e a r n i n g . W i l k i n s , 1 . L . M . ( 2 0 0 2 , O c t o b e r ) . T h e i m p a c t o f t e a c h e r s ’ c o n t e n t k n o w l e d g e a n d a t t i t u d e s o n i n s t r u c t i o n a l b e l i e f s a n d p r a c t i c e s . I n P r o c e e d i n g s o f t h e A n n u a l M e e t i n g [ o f t h e ] N o r t h A m e r i c a n C h a p t e r o f t h e I n t e r n a t i o n a l G r o u p f o r t h e P s y c h o l o g y o f M a t h e m a t i c s E d u c a t i o n . A t h e n s , G e o r g i a . W i l k i n s o n , M . E . ( 2 0 0 1 ) . F o u n d a t i o n s o f a t t i t u d e s t o w a r d m a t h e m a t i c s l e a r n i n g a n d t e a c h i n g h e l d b y p r e p r o f e s s i o n a l e l e m e n t a r y s c h o o l t e a c h e r s . U n p u b l i s h e d d o c t o r a l d i s s e r t a t i o n , U n i v e r s i t y o f C e n t r a l F l o r i d a , O r l a n d o . 4 1 8 n j n j j j g r g g i j fl i 1 1 m i n