£ 2 5 “ ) . ~ : ‘ v ‘ z : . - 2 H ' a i a m é g h z i ‘ - , r ” ' 1 1 { ; ‘ : § : ‘ 3 : “ u g h f fi i é i fl g g fi l fi fl 5 3 3 g ? ‘ 5 V “ 5 “ " . - fl i i g i ' a i g ‘ - v “ 1 ' I » . # 2 : - ‘ z ’ v - 3 - 3 ; “ ? _ ' ‘ 2 1 . ? 3 2 : K i m ? p » , 7 % : ( $ 5 3 ? N V ? 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T O A V O I D F I N E S r e t u r n o n o r b e f o r e d a t e d u e . M A Y B E R E C A L L E D w i t h e a r l i e r d u e d a t e i f r e q u e s t e d . D A I E D U E D A T E D U E D A I E D U E M i fi z ‘ é o fi 6 / 0 7 p : / C l R C / D a t e D u e . i n d d - p . 1 I N V E S T I G A T I O N O F A D E F O R M A B L E M I R R O R M I C R O W A V E I M A G I N G A N D T H E R A P Y T E C H N I Q U E F O R B R E A S T C A N C E R V O L U M E I B y K a v i t h a A r u n a c h a l a m A D I S S E R T A T I O N S u b m i t t e d t o M i c h i g a n S t a t e U n i v e r s i t y i n p a r t i a l f u l fi l l m e n t o f t h e r e q u i r e m e n t s f o r t h e d e g r e e o f D O C T O R O F P H I L O S O P H Y D e p a r t m e n t o f E l e c t r i c a l a n d C o m p u t e r E n g i n e e r i n g 2 0 0 7 A B S T R A C T I N V E S T I G A T I O N O F A D E F O R M A B L E M I R R O R M I C R O W A V E I M A G I N G A N D T H E R A P Y T E C H N I Q U E F O R B R E A S T C A N C E R B y K a v i t h a A r u n a c h a l a m A n o v e l d e f o r m a b l e m i r r o r n ' i i c r o w a v e t o m o g r a p h y t e c h n i q u e f o r t h e n o n d e s t r u c - t i v e e v a l u a t i o n o f n o n — o r p o o r l y c o n d u c t i n g m a t e r i a l s i s i n v e s t i g a t e d i n t h i s t h e s i s . T h e p r o p o s e d t o m o g r a p h y t e c h n i q u e u t i l i z e s a fi x e d t r a n s m i t t e r a n t e n n a a n d a c o n t i n - u o u s l y d e f o r m a b l e m i r r o r w i t h r e fl e c t i v e c o a t i n g t o a c q u i r e m u l t i - v i e w m e a s u r e m e n t s f o r p e r m i t t i v i t y r e c o n s t r u c t i o n . T h e c o n c e p t o f u s i n g a d a p t i v e r e fl e c t o r a n t e n n a f o r m e d i c a l i m a g i n g i s i n t r o d u c e d i n t h i s t h e s i s w i t h e m p h a s i s o n b r e a s t c a n c e r d e t e c t i o n . N u m e r i c a l s i m u l a t i o n s o f t h e p r o p o s e d i m a g i n g t e c h n i q u e i n v e s t i g a t e d u s i n g fi n i t e e l e m e n t b o u n d a r y i n t e g r a l m e t h o d a n d T i k h o n o v r e g u l a r i z a t i o n t e c h n i q u e f o r h e t e r o - g e n e o u s m a t h e m a t i c a l b r e a s t m o d e l s i n d i c a t e t h e f e a s i b i l i t y o f t h e n e w d e f o r m a b l e m i r r o r m i c r o w a v e t o m o g r a p h y f o r b r e a s t i m a g i n g . B e s i d e s t h e c o m p u t a t i o n a l s t u d y i n t h e m i c r o w a v e r e g i m e , a s i m p l e e x p e r i m e n t a l s e t u p i n t h e v i s i b l e s p e c t r u m o f e l e c - t r o m a g n e t i c r a d i a t i o n i s a l s o i n v e s t i g a t e d t o e v a l u a t e t h e m e r i t i n u s i n g m i r r o r f o r m u l t i - v i e w m e a s u r e m e n t s f o r m a t e r i a l p r o p e r t y i n v e r s i o n . O n e d i m e n s i o n a l i n v e r - s i o n r e s u l t s o f m a t e r i a l r e f r a c t i v e i n d e x o b t a i n e d u s i n g t h e p r o o f - o f - c o n c e p t o p t i c a l p r o t o t y p e e m p l o y i n g s i n g l e p e r f e c t l y r e fl e c t i n g m i r r o r e m p h a s i z e t h e m e r i t i n u s i n g m i r r o r f o r m u l t i - v i e w m e a s u r e m e n t s a n d r e i n s t a t e s t h e f e a s i b i l i t y o f d e f o r m a b l e m i r r o r t o m o g r a p h y t e c h n i q u e . I n a d d i t i o n t o i t s u s e f o r i m a g i n g , t h e s y s t e m c a n b e u s e d f o r b r e a s t c a n c e r t h e r - a p y a s w e l l . A n o n - i n v a s i v e t h e r m a l t h e r a p y t e c h n i q u e e m p l o y i n g d u a l d e f o r m a b l e m i r r o r s i s i n v e s t i g a t e d f o r t h e t r e a t m e n t o f l o c a l i z e d b r e a s t t u m o r s . T h e p r o p o s e d t e c h n i q u e u s e s t h e d e f o r m a b l e m i r r o r t o f o c u s t h e i n c i d e n t e l e c t r o m a g n e t i c r a d i a t i o n a t t h e t a r g e t t u m o r f o r t h e r m a l t h e r a p y . T h e f e a s i l fi l i t y o f t h e p r o p o s e d t e c h n i q u e i s e v a l u a t e d v i a n u m e r i c a l s i m u l a t i o n s o n t w o d i m e n s i o n a l b r e a s t p h a n t o m s . T h e e l e c t r i c fi e l d m a i n t a i n e d b y t h e d e f o r m a b l e m i r r o r i s m o d e l e d a n d e s t i m a t e d u s i n g t h e b o u n d a r y i n t e g r a l m e t h o d . T h e E M e n e r g y d e p o s i t e d b y t h e m i r r o r i s u s e d i n t h e b i o — h e a t t r a n s f e r e q u a t i o n t o q u a n t i f y t h e s t e a d y s t a t e t e m p e r a t u r e d i s t r i b u t i o n i n s i d e t h e b r e a s t p h a n t o m . C o m p u t a t i o n a l s t u d i e s o n m a t h e m a t i c a l a n d M R I d e r i v e d p a t i e n t m o d e l s i n d i c a t e 1 : ) r e f e r e n t i a l E M e n e r g y d e p o s i t i o n a n d t e m p e r a t u r e e l e v a t i o n i n s i d e t h e t u m o r w i t h m i n i m u m c o l l a t e r a l d a m a g e t o t h e n e i g h b o r i n g b e n i g n t i s s u e s . E x t e n d e d s i m u l a t i o n s t u d i e s f o r n o n - i n v a s i v e t u m o r a b l a t i o n a p p e a r p r o m i s i n g a n d i n d i c a t e t h e p r o s p e c t s o f a n e w a p p l i c a t o r d e s i g n . T o m y b e l o v e d p a r e n t s A C K N O W L E D G M E N T S T h i s T h e s i s , m y fi r s t s c i e n t i fi c a c c o m p l i s h m e n t h a s s i g n i f i c a n t l y s h a p e d m y p h i l o - s o p h i c a l a n d s c i e n t i fi c p e r s p e c t i v e o f l i f e o n t h i s L m i v e r s e . M a n y i n d i v i d u a l s h a v e h e l p e d m e a c h i e v e t h i s . T h i s T h e s i s w o u l d n o t h a v e b e e n p o s s i b l e w i t h o u t t h e a b l e g u i d a n c e o f m y a d v i s e r s D r . L a l i t a U d p a a n d D r . S a t i s h U d p a . P a r t i c u l a r l y , m y v e r y s p e c i a l t h a n k s t o L a l i t a U d p a , w h o g a v e m e a b r e a k f r o m m y m u n d a n e l i f e a s a s o f t w a r e e n g i n e e r i n t o t h e c h a l l e n g i n g a n d i n t e r e s t i n g w o r l d o f s c i e n c e a n d e n g i n e e r i n g . I a m g r a t e f u l f o r h e r i n t e l l e c t u a l a n d fi n a n c i a l s u p p o r t , i n s p i r a t i o n , f r e e d o m o f w o r k , i n v a l u a b l e a d v i c e a n d a b o v e a l l t r u s t t h a t g a v e m e t h e c o n fi d e n c e a n d g u i d e d m e t o t a k e t h e r i g h t d e c i s i o n s t h r o u g h o u t m y g r a d u a t e s t u d i e s . I a l s o s i n c e r e l y t h a n k m y c o a d v i s o r S a t i s h U d p a f o r h i s i n t e l l e c t u a l g u i d a n c e , d i s c u s s i o n s a n d e n c o u r a g e m e n t i n m a n y a s p e c t s o f m y g r a d u a t e s t u d i e s . I a m g l a d t o w o r k w i t h h i m . M y a d v i s e r s , L a l i t a U d p a a n d S a t i s h U d p a a r e n o t o n l y g r e a t v i s i o n a r y s c i e n t i s t s w i t h r e n o w n e d r e p u t a t i o n b u t t h e y a r e a l s o v e r y k i n d a n d g e n t l e i n d i v i d u a l s I h a v e k n o w n . I h a v e l e a r n e d s c i e n c e a n d m a n y i n v a l u a b l e m o r a l v a l u e s w o r k i n g w i t h t h e m a n d I l o o k f o r w a r d t o w o r k w i t h t h e m i n f u t u r e . I a m a l s o v e r y g r a t e f u l t o D r . E d w a r d R o t h w e l l f o r t e a c h i n g m e e l e c t r o m a g n e t i c s a n d i t s a p p l i c a t i o n s . H i s c o n t r i b u t i o n h a s a h u g e i n fl u e n c e o n m y T h e s i s a n d m y k n o w l e d g e o f e l e c t r o m a g n e t i c s . I w o u l d l i k e t o t h a n k D r . R o t h w e l l f o r g i v i n g m e t h e o p p o r t u n i t y a s a T e a c h i n g A s s i s t a n t i n t h e E l e c t r o m a g n e t i c s L a b o r a t o r y a t M S U . H e t a u g h t a n d g u i d e d m e w i t h t h e L a b e q u i p m e n t s a n d e x p e r i m e n t s . H i s t r u s t , g u i d a n c e a n d i n s p i r a t i o n h e l p e d m e a n d m y f r i e n d V i k r a m t o c o n d u c t m i c r o w a v e e x p e r i m e n t s o n c o n c r e t e s p e c i m e n s a n d o t h e r d i e l e c t r i c s a m p l e s i n t h e E M L a b a t M S U . I a l s o s i n c e r e l y t h a n k D r . S h a n k e r B a l a s u b r a m a n i a m f o r h i s c o n t i n u e d i n t e r e s t i n m y T h e s i s a n d c a r e e r . H e t a u g h t m e c o m p u t a t i o n a l e l e c t r o m a g n e t i c s a n d m u c h m o r e a b o u t e l e c t r o m a g n e t i c s , a k e y e l e m e n t i n t h i s T h e s i s . H e i s a p a s s i o n a t e t e a c h e r a n d h e w a s a l w a y s t h e r e t o h e l p m e w i t h m y c o m p u t a t i o n a l m o d e l s a n d c l a r i f y m y q u e s t i o n s . H i s g u i d a n c e a t t h e m o s t i m p o r t a n t t i m e s o f m y T h e s i s h e l p e d m e m o v e f o r w a r d . B e s i d e s e l e c t r o m a g n e t i c s , I a m a l s o t h a n k f u l f o r h i s e n c o u r a g e m e n t a n d i n v a l u a b l e a d v i c e t h a t h e p r o v i d e d o v e r t h e y e a r s . M y s i n c e r e t h a n k s t o D r . G e r a l d A b e n , D e p a r t m e n t o f R a d i o l o g y a t M S U . E v a l — u a t i o n o f t h e c o m p u t a t i o n a l a l g o r i t h m s o n M R b r e a s t d a t a w o u l d n o t h a v e b e e n p o s s i b l e w i t h o u t t h e h e l p o f D r . A b e n . H i s h e l p a n d g u i d a n c e h a s b e e n i n s t r u m e n t a l i n s u b m i t t i n g a n d c l e a r i n g t h e I R B a p p l i c a t i o n f o r t h e M R b r e a s t d a t a . H e c o m p l e t e d t h e l e n g t h y a n d c o m p l i c a t e d I R B a p p l i c a t i o n f o r m o n m y b e h a l f a n d w a s a l w a y s w i l l — i n g t o h e l p m e w i t h m y T h e s i s a m i d s t h i s h e c t i c s c h e d u l e . I a m g r a t e f u l t o h i m f o r i n t r o d u c i n g m e t o M s . L o r i H o i s i n g t o n , r a d i o l o g i s t a t . M S U . I t h a n k h e r f o r a l l t h e d e — i d e n t i fi e d M R I b r e a s t d a t a I r e c e i v e d w i t h p a t i e n t h i s t o r y . I a l s o t h a n k M s . L o r i f o r e x p l a i n i n g m e t h e M R d a t a a c q u i s i t i o n p r o c e d u r e s a n d t e a c h i n g m e h o w t o i n t e r p r e t t h e d a t a s e t s . I h a d t h e p l e a s u r e t o w o r k w i t h m a n y g r a d u a t e s t u d e n t s f r o m a l l o v e r t h e g l o b e a n d I t h a n k t h e m f o r t h e m e m o r a b l e g e t — t o g e t h e r , i n t e l l e c t u a l d i s c u s s i o n s , f r u i t f u l p r o j e c t m e e t i n g s , t e a m w o r k a n d f u n . M y s p e c i a l t h a n k s t o m y f r i e n d V i k r a m M e l a p u d i f o r t h e i n t e l l e c t u a l d i s c u s s i o n s , m o r a l s u p p o r t a n d d e d i c a t e d t e a m w o r k o n t h e m i c r o w a v e v i e x p e r i m e n t s w i t h c o n c r e t e s p e c i m e n s . H e i n t r o d u c e d m e t o O p e n G L a n d L a t e x . I w o u l d a l s o l i k e t o t h a n k N a v e e n N a i r f o r h i s h e l p w i t h L a t e x B e a m e r . I a m t h a n k f u l t o B o b C l i f f o r d f o r h i s h e l p i n b u i l d i n g t h i n g s f o r a l l m y e x p e r i m e n t a l w o r k a n d I t h a n k L i n d a C l i f f o r d , o u r L a b s e c r e t a r y w h o t o o k c a r e o f a l l p a p e r w o r k s a n d p a y c h e q u e s i n a t i m e l y m a n n e r . I w o u l d l i k e t o t h a n k m y f r i e n d s P r a v e e n a a n d P r i y a f o r t h e i r h e l p w i t h m y a p p l i c a t i o n t o g r a d u a t e s c h o o l . M y s i n c e r e t h a n k s t o m y b r o t h e r S r i d h a r , f o r h i s h e l p a n d g u i d a n c e w i t h m y g r a d u a t e s c h o o l a p p l i c a t i o n . A n d t o m y s i s t e r , G e e t h a A r u n a c h a l a m f o r h e r c o m p a n y a s m y r o o m m a t e d u r i n g h e r M a s t e r ’ s s t u d i e s w h i c h m a d e m y s t u d e n t l i f e m o r e i n t e r e s t i n g a t M S U . F i n a l l y , I w o u l d l i k e t o t h a n k m y p a r e n t s S . A r u n a c h a l a m a n d A . A m i r t h a v e n i f o r t h e i r u n c o n d i t i o n a l s u p p o r t , l o v e a n d c a r i n g w h i c h h e l p e d m e w i t h t h e j o u r n e y o f l i f e a n d g r a d u a t e s t u d i e s w i t h h u m i l i t y a n d h o n e s t y . T o t h e m , I d e d i c a t e t h i s T h e s i s . v i i T A B L E O F C O N T E N T S L I S T O F T A B L E S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . L I S T O F F I G U R E S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . K E Y T O S Y M B O L S A N D A B B R E V I A T I O N S . . . . . . . . . . . . . . . . . C H A P T E R 1 I n t r o d u c t i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 . 1 M o t i v a t i o n 8 1 . O b j e c t i v e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 . 2 S c o p e o f t h e T h e s i s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 . 3 O r g a n i z a t i o n o f t h e T h e s i s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . C H A P T E R 2 B r e a s t C a n c e r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 . 1 B r e a s t C a n c e r - E p i d e m i c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 . 2 B r e a s t D i s e a s e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 . 2 . 1 B r e a s t C a n c e r T y p e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 . 3 B r e a s t C a n c e r S c r e e n i n g . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 . 3 . 1 S c r e e n i n g P r o c e d u r e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 . 3 . 2 L i m i t a t i o n s - X - r a y M a m m o g r a p h y . . . . . . . . . . . . . . . 2 . 4 B r e a s t C a n c e r I m a g i n g . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 . 4 . 1 C l i n i c a l D i a g n o s t i c P r o c e d u r e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 . 4 . 2 C o m p l e m e n t a r y D i a g n o s t i c M e t h o d s . . . . . . . . . . . . . . 2 . 5 B r e a s t C a n c e r T r e a t m e n t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 . 6 C o n t e m p o r a r y T t e a t m e n t P r o c e d u r e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . C H A P T E R 3 T i s s u e P r o p e r t i e s a t M i c r o w a v e F r e q u e n c i e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 . 1 M a x w e l l ’ s E q u a t i o n s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 . 2 E M F i e l d I n t e r a c t i o n w i t h T i s s u e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 . 3 T i s s u e T h e r m a l P r o p e r t i e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 . 4 T i s s u e D i e l e c t r i c P r o p e r t i e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 . 5 D i e l e c t r i c P r o p e r t i e s o f B r e a s t T i s s u e . . . . . . . . . . . . . . . . . . v i i i X V 6 7 1 1 1 3 1 3 1 4 1 6 1 6 1 7 1 7 1 9 2 2 2 2 2 3 2 4 C H A P T E R 4 T i m e H a r m o n i c E l e c t r o m a g n e t i c F i e l d s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 . 1 M a x w e l l ’ s E q u a t i o n s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 . 2 C o n s t i t u t i v e P a r a m e t e r s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 . 3 B o u n d a r y C o n d i t i o n s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 . 4 P o w e r a n d E n e r g y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 . 5 F u n d a m e n t a l T h e o r e m s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 . 5 . 1 D u a l i t y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 . 5 . 2 U n i q u e n e s s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 . 5 . 3 R e c i p r o c i t y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 . 5 . 4 V o l u m e E q u i v a l e n c e T h e o r e m . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 . 5 . 5 S u r f a c e E q u i v a l e n c e T h e o r e m . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 . 6 W a v e E q u a t i o n s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 . 7 V e c t o r P o t e n t i a l s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 . 7 . 1 M a g n e t i c V e c t o r P o t e n t i a l ( A ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 . 7 . 2 E l e c t r i c V e c t o r P o t e n t i a l ( F ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 . 7 . 3 S o l u t i o n s t o I n h o m o g e n e o u s P o t e n t i a l W a v e E q u a t i o n s C H A P T E R 5 T i m e H a r m o n i c E l e c t r o m a g n e t i c W a v e S c a t t e r i n g . . . . . . . . . . . . . . . . 5 . 1 E l e c t r o m a g n e t i c M o d e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 . 1 . 1 T r a n s v e r s e E l e c t r i c W a v e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 . 1 . 1 . 1 T E z F i e l d s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 . 1 . 2 T r a n s v e r s e M a g n e t i c W a v e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 . 1 . 2 . 1 T M " F i e l d s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 . 2 T M Z S c a t t e r i n g f r o m C o n d u c t i n g C y l i n d e r s . . . . . . . . . . . . . . 5 . 2 . 1 D i f f e r e n t i a l E q u a t i o n S o l u t i o n - P E C C y l i n d e r . . . . . . . . . 5 . 2 . 2 E l e c t r i c F i e l d I n t e g r a l E q u a t i o n - P E C C y l i n d e r . . . . . . . . 5 . 3 T M Z S c a t t e r i n g f r o m D i e l e c t r i c C y l i n d e r . . . . . . . . . . . . . . . . 5 . 3 . 1 D i f f e r e n t i a l E q u a t i o n S o l u t i o n - D i e l e c t r i c C y l i n d e r . . . . . . 5 . 3 . 2 E l e c t r i c F i e l d I n t e g r a l E q u a t i o n - D i e l e c t r i c C y l i n d e r . . . . . 5 . 4 T M z S c a t t e r i n g f r o m D i e l e c t r i c a n d C o n d u c t i n g C y l i n d e r s . . . . . . 5 . 4 . 1 D i f f e r e n t i a l E q u a t i o n S o l u t i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 . 4 . 2 I n t e g r a l E q u a t i o n S o l u t i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . C H A P T E R 6 M i c r o w a v e T o m o g r a p h y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 . 1 T o m o g r a p h y E v o l u t i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 . 2 I n v e r s e S c a t t e r i n g . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 . 2 . 1 I n h o m o g e n e o u s S c a l a r W a v e E q u a t i o n . . . . . . . . . . . . . i x 2 7 2 8 3 0 3 0 3 2 4 7 4 7 4 7 4 8 4 8 4 9 5 0 5 1 5 2 5 3 5 3 5 6 5 7 5 8 6 0 6 2 6 . 2 . 2 I n t e g r a l E q u a t i o n S o l u t i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 4 6 . 3 D i f f r a c t i o n T o m o g r a p h y - L i n e a r i z e d i n v e r s e s c a t t e r i n g . . . . . . . . 6 5 6 . 3 . 1 B o r n A p p r o x i m a t i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 6 6 . 3 . 2 R y t o v A p p r o x i m a t i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 6 6 . 3 . 3 L i m i t a t i o n s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 7 6 . 3 . 4 F o u r i e r D i f f r a c t i o n T h e o r e m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 8 6 . 4 R e fl e c t i o n T o m o g r a p h y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1 6 . 5 N o n l i n e a r I n v e r s e S c a t t e r i n g . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2 C H A P T E R 7 A c t i v e M i r r o r T e c h n o l o g y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 5 7 . 1 A d a p t i v e O p t i c s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 6 7 . 1 . 1 S e g m e n t e d M i r r o r s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 6 7 . 1 . 1 . 1 D i g i t a l M i c r o m i r r o r D e v i c e . . . . . . . . . . . . . . 7 7 7 . 1 . 2 D e f o r m a b l e T h i n - P l a t e M i r r o r s . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 9 7 . 1 . 3 M o n o l i t h i c A c t i v e M i r r o r s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 0 7 . 1 . 4 M e m b r a n e M i r r o r s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 0 7 . 2 M e m b r a n e D e f o r m a b l e M i r r o r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1 7 . 2 . 1 M i r r o r D e s i g n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1 7 . 2 . 2 M i r r o r D e f o r m a t i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2 7 . 2 . 3 M i r r o r A p p l i c a t i o n s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 4 7 . 3 A d a p t i v e l \ r ' I i r r o r s i n h ‘ l i c r o w a v e R e g i m e . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 5 C H A P T E R 8 P r o o f o f C o n c e p t w i t h N o n d i f f r a c t i n g S o u r c e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 6 8 . 1 X - r a y T o m o g r a p h y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 7 8 . 1 . 1 X - r a y P r o j e c t i o n s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 7 8 . 1 . 2 X — r a y C T . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 9 8 . 1 . 3 X - r a y C T I m a g i n g . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 0 8 . 2 C o n v e n t i o n a l X - r a y C T . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1 8 . 2 . 1 N u m e r i c a l S i m u l a t i o n s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1 8 . 3 M i r r o r b a s e d X — r a y C T . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 4 8 . 3 . 1 S y s t e m M o d e l . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 4 8 . 3 . 2 K a c z m a r z R e c o n s t r u c t i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 5 8 . 3 . 3 N u m e r i c a l S i m u l a t i o n s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 6 8 . 3 . 3 . 1 L F O V M i r r o r C T f o r 1 . 4 S o u r c e L o c a t i o n s . . . . . . 9 7 8 . 4 D e f o r m a b l e M i r r o r V s C o n v e n t i o n a l C T . . . . . . . . . . . . . . . . 1 0 1 8 . 4 . 1 S y s t e m A d v a n t a g e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 0 1 8 . 4 . 2 C o m p a r i s o n - C T R e c o n s t r u c t i o n s . . . . . . . . . . . . . . . . 1 0 1 8 . 4 . 2 . 1 L F O V C T w i t h 9 0 ° C o v e r a g e a n d 1 ° S p a c i n g . . . . 1 0 2 8 . 4 . 2 . 2 L F O V C T w i t h 9 0 ° C o v e r a g e a n d 6 ° S p a c i n g . . . . 1 0 2 8 . 5 M i r r o r b a s e d R a d i a t i o n T h e r a p y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 0 5 8 . 5 . 1 F o c u s i n g f o r T h e r a p y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 0 5 8 . 5 . 2 N u m e r i c a l S i m u l a t i o n s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 0 8 8 . 6 I m p l e m e n t a t i o n I s s u e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 0 8 8 . 7 C o n c l u s i o n s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 0 9 C H A P T E R 9 O p t i m a l M i r r o r D e f o r m a t i o n s F o r l \ * I i c r o w a v e T o m o g r a p h y . . . . . . . . . . . 1 1 0 9 . 1 D e f o r m a b l e M i r r o r T o m o g r a p h y S e t u p . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 0 9 . 2 F r e q u e n c y S e l e c t i o n F o r B r e a s t I m a g i n g . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 1 9 . 2 . 1 P l a n e W a v e P e n e t r a t i o n I n s i d e B r e a s t T i s s u e . . . . . . . . . . 1 1 2 9 . 2 . 2 E x c i t a t i o n F r e q u e n c y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 4 9 . 3 N e e d f o r O p t i m a l M i r r o r D e f o r m a t i o n s . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 6 9 . 3 . 1 B e z i e r C u r v e R e p r e s e n t a t i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 6 9 . 3 . 2 T M Z S c a t t e r i n g f r o m M i r r o r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2 0 9 . 3 . 3 E — fi e l d I n s i d e I m a g i n g R e g i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2 1 9 . 4 A d m i s s i b l e M i r r o r D e f o r m a t i o n s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2 2 9 . 4 . 1 S e l e c t i o n C r i t e r i a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2 2 9 . 5 R e d u n d a n c y E l i m i n a t i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2 3 9 . 5 . 1 F e a t u r e E x t r a c t i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2 4 9 . 5 . 1 . 1 C o r r e l a t i o n C o e f fi c i e n t . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2 5 9 . 5 . 1 . 2 D i s t a n c e M e t r i c s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2 5 9 . 5 . 2 C l u s t e r i n g . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2 9 9 . 5 . 2 . 1 C o n t r a s t E n h a n c e m e n t . . . . . . . . . . . . . . . 1 3 0 9 . 5 . 2 . 2 N e a r e s t N e i g h b o r C l u s t e r i n g . . . . . . . . . . . 1 3 0 9 . 6 I m p l e m e n t a t i o n o f M i r r o r D e f o r m a t i o n s . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 3 1 9 . 7 C o n c l u s i o n s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 3 3 C H A P T E R 1 0 M i c r o w a v e B r e a s t I m a g i n g U s i n g D e f o r m a b l e M i r r o r . . . . . . . . . . . . . . 1 3 5 1 0 . 1 T h e o r y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 3 6 1 0 . 2 F o r w a r d P r o b l e m - D a t a A c q u i s i t i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 3 7 1 0 . 2 . 1 F i e l d E q u a t i o n s i n 2 D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 3 8 1 0 . 2 . 2 C o m p u t a t i o n a l M e t h o d . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 4 2 1 0 . 2 . 2 . 1 F E B I F o r m u l a t i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 4 2 1 0 . 3 I n v e r s e P r o b l e m - B r e a s t I m a g i n g . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 4 7 1 0 . 3 . 1 P e r m i t t i v i t y I n v e r s i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 4 7 1 0 . 3 . 2 R e g u l a r i z a t i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 5 0 1 0 . 4 T o m o g r a p h y - S i m u l a t i o n s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 5 1 1 0 . 4 . 1 P i e c e w i s e C o n t i n u o u s S c a t t e r e r - M o d e l A . . . . . . . . . . . 1 5 1 x i 1 0 . 4 . 1 . 1 M u l t i p l e M i r r o r D e f o r m a t i o n s - M o d e l A . . . . . . . 1 5 2 1 0 . 4 . 2 P i e c e w i s e C o n t i n u o u s S c a t t e r e r — B r e a s t M o d e l B . . . . . . . 1 5 3 1 0 . 4 . 2 . 1 I n v e r s i o n - N o i s e F r e e M e a s u r e m e n t s . . . . . . . . . 1 5 8 1 0 . 4 . 2 . 2 I n v e r s i o n - 2 % N o i s e i t - ‘ I e a s u r e m e n t s . . . . . . . . . . 1 6 0 1 0 . 4 . 3 C o n t i n u o u s S c a t t e r e r - B r e a s t M o d e l C . . . . . . . . . . . . . 1 6 3 1 0 . 4 . 3 . 1 I n v e r s i o n - N o i s e F r e e M e a s u r e m e n t s . . . . . . . . . 1 6 3 1 0 . 4 . 3 . 2 I n v e r s i o n - N o i s y l V ' I e a s u r e m e n t s . . . . . . . . . . . . 1 6 7 1 0 . 4 . 3 . 3 C h o i c e o f r e g u l a r i z a t i o n p a r a m e t e r , 7 . . . . . . . . . 1 6 7 1 0 . 5 D i s c u s s i o n s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 7 0 1 0 . 6 P o t e n t i a l A p p l i c a t i o n s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 7 4 1 0 . 6 . 1 L a y e r e d M e d i a - D i s c o n t i n u o u s S t r o n g S c a t t e r e r . . . . . . . . 1 7 4 1 0 . 6 . 2 C o n t i n u o u s P r o fi l e — W e a k S c a t t e r e r . . . . . . . . . . . . . . . 1 7 5 1 0 . 6 . 3 C o n t i n u o u s P r o f i l e - S t r o n g S c a t t e r e r . . . . . . . . . . . . . . 1 8 0 1 0 . 6 . 4 C o n c l u s i o n s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 8 0 C H A P T E R . 1 1 B r e a s t C a n c e r T h e r m o t h e r a p y U s i n g D e f o r m a b l e M i r r o r . . . . . . . . . . . . 1 8 6 1 1 . 1 D e f o r m a b l e M i r r o r T h e r a p y S e t u p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 8 8 1 1 . 1 . 1 S i n g l e D e f o r m a b l e M i r r o r A s s e m b l y . . . . . . . . . . . . . . . 1 9 0 1 1 . 1 . 2 D u a l D e f o r m a b l e M i r r o r A s s e m b l y . . . . . . . . . . . . . . . 1 9 0 1 1 . 2 E l e c t r i c F i e l d E q u a t i o n s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 9 2 1 1 . 2 . 1 C o m p u t a t i o n a l l V I o d e l . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 9 2 1 1 . 2 . 2 C o m p u t a t i o n a l M e t h o d . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 9 6 1 1 . 2 . 3 S i n g l e M i r r o r T h e r a p y M o d e l . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 9 8 1 1 . 2 . 4 D u a l M i r r o r T h e r a p y M o d e l . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 9 9 1 1 . 3 E l e c t r i c F i e l d F o c u s i n g . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 0 1 1 1 . 3 . 1 F o c u s i n g S t r a t e g y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 0 1 1 1 . 3 . 2 M i r r o r S h a p e E s t i m a t i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 0 2 1 1 . 3 . 3 E l e c t r i c F i e l d I n s i d e T h e r a p y T a n k . . . . . . . . . . . . . . . 2 0 7 1 1 . 3 . 3 . 1 F r e q u e n c y S e l e c t i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 0 8 1 1 . 4 T i s s u e T h e r m a l M a p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1 0 1 1 . 4 . 1 S t e a d y S t a t e B H T E . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1 0 1 1 . 4 . 2 C o m p u t a t i o n a l M e t h o d . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1 2 1 1 . 4 . 3 T e m p e r a t u r e E l e v a t i o n F o r T h e r a p y . . . . . . . . . . . . . . . 2 1 2 1 1 . 5 C o m p u t e r S i m u l a t i o n s - B r e a s t C a n c e r T h e r a p y . . . . . . . . . . . . 2 1 3 1 1 . 5 . 1 C o m p u t a t i o n a l B r e a s t M o d e l s . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1 3 1 1 . 5 . 2 S i n g l e V s D u a l M i r r o r T h e r a p y M o d e l . . . . . . . . . . . . . 2 1 7 1 1 . 5 . 3 D u a l M i r r o r H y p e r t h e r m i c S i m u l a t i o n s . . . . . . . . . . . . . 2 2 3 1 1 . 5 . 4 D u a l M i r r o r A b l a t i o n S i m u l a t i o n s . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2 4 1 1 . 6 C o n c l u s i o n s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 3 6 x i i C H A P T E R 1 2 T h e r a p y C a s e S t u d y u s i n g M R I B r e a s t D a t a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 3 9 1 2 . 1 M a g n e t i c R e s o n a n c e I m a g i n g . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 3 9 1 2 . 2 M R M a m m o g r a p h y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 4 1 1 2 . 2 . 1 D i a g n o s t i c B r e a s t I m a g i n g . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 4 1 1 2 . 2 . 2 P a r a m a g n e t i c C o n t r a s t M a t e r i a l s . . . . . . . . . . . . . . . . 2 4 3 1 2 . 2 . 3 F a t S a t u r a t i o n T e c h n i q u e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 4 3 1 2 . 2 . 4 T 2 w e i g h t e d S e q u e n c e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 4 4 1 2 . 3 M R M a m m o g r a p h y - D i a g n o s t i c C r i t e r i a . . . . . . . . . . . . . . . . 2 4 4 1 2 . 3 . 1 M o r p h o l o g y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 4 4 1 2 . 3 . 2 C o n t r a s t K i n e t i c s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 4 4 1 2 . 3 . 3 C o n t r a s t D y n a m i c s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 4 4 1 2 . 4 S e c t i o n a l P l a n e s i n H u m a n B o d y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 4 6 1 2 . 5 M R I I m a g e P o s t p r o c e s s i n g . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 4 7 1 2 . 5 . 1 I m a g e S e g m e n t a t i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 5 0 1 2 . 5 . 2 P e r m i t t i v i t y M a p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 5 2 1 2 . 6 P a t i e n t C a s e S t u d y I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 5 2 1 2 . 6 . 1 C l i n i c a l H i s t o r y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 5 2 1 2 . 6 . 2 M R I fi n d i n g s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 5 4 1 2 . 6 . 3 T h e r a p y S i m u l a t i o n s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 5 5 1 2 . 7 P a t i e n t C a s e S t u d y I I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 6 6 1 2 . 7 . 1 C l i n i c a l H i s t o r y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 6 6 1 2 . 7 . 2 M R I fi n d i n g s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 6 6 1 2 . 7 . 3 T h e r a p y S i m u l a t i o n s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 7 0 1 2 . 8 P a t i e n t C a s e S t u d y I I I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 7 7 1 2 . 8 . 1 C l i n i c a l H i s t o r y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 7 7 1 2 . 8 . 2 M R I fi n d i n g s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 7 7 1 2 . 8 . 3 T h e r a p y S i m u l a t i o n s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 8 1 1 2 . 9 P a t i e n t C a s e S t u d y I V . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 8 3 1 2 . 9 . 1 C l i n i c a l H i s t o r y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 8 3 1 2 . 9 . 2 M R I fi n d i n g s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 8 4 1 2 . 9 . 3 T h e r a p y S i m u l a t i o n s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 8 8 1 2 . 1 0 P a t i e n t C a s e S t u d y V . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 8 8 1 2 . 1 0 1 C l i n i c a l H i s t o r y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 8 8 1 2 . 1 0 2 M R I f i n d i n g s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 8 8 1 2 1 0 . 3 T h e r a p y S i m u l a t i o n s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 9 1 1 2 . 1 1 N o n i n v a s i v e A b l a t i o n - F e a s i b i l i t y S t u d y . . . . . . . . . . . . . . . . 2 9 1 1 2 . 1 2 C o n c l u s i o n s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 9 7 x i i i C H A P T E R 1 3 M i r r o r b a s e d O p t i c a l P r o t o t y p e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 0 1 1 3 . 1 G e o m e t r i c a l O p t i c s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 0 2 1 3 . 1 . 1 E q u a t i o n o f L i g h t R a y s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 0 3 1 3 . 1 . 2 L a w s o f R e fl e c t i o n & . R e f r a c t i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 0 4 1 3 . 2 R a y r R a c i n g - E s s e n t i a l s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 0 5 1 3 . 2 . 1 S p e c u l a r R e fl e c t i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 0 6 1 3 . 2 . 2 D i f f u s e R e fl e c t i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 0 7 1 3 . 2 . 3 S p e c u l a r T r a n s m i s s i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 0 7 1 3 . 2 . 4 D i f f u s e T r a n s m i s s i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 0 9 1 3 . 2 . 5 R e fl e c t a n c e a n d T r a n s m i t t a n c e C o e f f i c i e n t s . . . . . . . . . . . 3 0 9 1 3 . 3 R a y T r a c i n g M o d e l . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1 0 1 3 . 3 . 1 L i g h t R a y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1 1 1 3 . 3 . 2 R a y - O b j e c t I n t e r s e c t i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1 2 1 3 . 3 . 2 . 1 R a y - P l a n e A l g o r i t h m s . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1 2 1 3 . 3 . 2 . 2 R a y - Q u a d r a t i c S u r f a c e A l g o r i t h m s . . . . . . . . . . 3 1 3 1 3 . 3 . 3 R e c u r s i v e R a y T r a c i n g . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1 4 1 3 . 4 O p t i c a l E x p e r i m e n t a l S e t u p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1 5 1 3 . 4 . 1 O p t i c a l S y s t e m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1 5 1 3 . 4 . 1 . 1 S y s t e m D e s i g n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1 5 1 3 . 4 . 1 . 2 S y s t e m I m p l e m e n t a t i o n . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1 6 1 3 . 4 . 1 . 3 S y s t e m O p e r a t i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1 9 1 3 . 4 . 2 N u m e r i c a l M o d e l . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 2 1 1 3 . 4 . 3 C a l i b r a t i o n P r o c e d u r e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 2 1 1 3 . 5 I n v e r s i o n E x p e r i m e n t s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 2 4 1 3 . 5 . 1 E x p e r i m e n t I - R e f r a c t i v e I n d e x E s t i m a t i o n . . . . . . . . . . 3 2 4 1 3 . 5 . 2 E x p e r i m e n t 1 1 - R e f r a c t i v e I n d e x & B l o c k W i d t h E s t i m a t i o n . 3 2 6 1 3 . 5 . 3 E x p e r i m e n t I I I - 1 D R e f r a c t i v e I n d e x P r o fi l e . . . . . . . . . . 3 2 9 1 3 . 6 D i s c u s s i o n s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 3 5 C H A P T E R 1 4 S u m m a r y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 3 8 1 4 . 1 C o n c l u d i n g R e m a r k s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 3 8 1 4 . 1 . 1 M i c r o w a v e B r e a s t I m a g i n g . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 3 8 1 4 . 1 . 2 M i c r o w a v e T h e r m a l T h e r a p y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 3 9 1 4 . 2 T h e s i s C o n t r i b u t i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 3 9 1 4 . 3 F u t u r e W o r k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 4 2 B I B L I O G R A P H Y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 4 5 x i v T a b l e 4 . 1 T a b l e 4 . 2 T a b l e 4 . 3 T a b l e 8 . 1 T a b l e 8 . 2 T a b l e 1 0 . 1 T a b l e 1 0 . 2 T a b l e 1 0 . 3 T a b l e 1 1 . 1 T a b l e 1 1 . 2 T a b l e 1 1 . 3 T a b l e 1 1 . 4 T a b l e 1 2 . 1 T a b l e 1 2 . 2 T a b l e 1 2 . 3 T a b l e 1 2 . 4 T a b l e 1 2 . 5 T a b l e 1 3 . 1 T a b l e 1 3 . 2 L I S T O F T A B L E S B o u n d a r y c o n d i t i o n s [ 2 7 ] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . D u a l e q u a t i o n s f o r e l e c t r i c a n d m a g n e t i c c u r r e n t s [ 2 7 ] . . . . . . . D u a l q u a n t i t i e s f o r e l e c t r i c a n d m a g n e t i c c u r r e n t s [ 2 7 ] . . . . . . . S u m m a r y o f t h e r e c o n s t r u c t i o n e r r o r f o r c o n v e n t i o n a l X — r a y C T w i t h 1 ° r o t a t i o n a l s p a c i n g . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I m a g e r e c o n s t r u c t i o n e r r o r o f K a c z m a r z a l g o r i t h m f o r X — r a y M i r r o r C T . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . P e r m i t t i v i t y v a l u e s o f t h e i n h o m o g e n e o u s b r e a s t m o d e l u s i n g D e — b y e d i s p e r s i o n m o d e l [ 1 6 3 ] ( 6 b a c k g r o u n d p e r m i t t i v i t y ) . . . . . . P e r m i t t i v i t y v a l u e s o f t h e i n h o m o g e n e o u s b r e a s t m o d e l [ 4 7 ] ( 6 b a c k g r o u n d p e r m i t t i v i t y ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 D D i e l e c t r i c s c a t t e r e r m o d e l s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B r e a s t m o d e l s u s e d i n t h e t h e r a p y c o m p u t a t i o n a l f e a s i b i l i t y s t u d y . D i e l e c t r i c a n d t h e r m a l p r o p e r t i e s o f b r e a s t t i s s u e [ 4 7 ] , [ 4 2 ] , [ 1 9 6 ] - [ 1 9 7 ] ( c = 6 , . — j o / w c g , 5 6 : 4 3 . 7 e j 2 2 s 2 , c b 2 4 0 0 0 , T b = 3 7 0 0 , f 2 5 0 0 M H z ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . S t e a d y s t a t e t e m p e r a t u r e i n t h e b r e a s t m o d e l s f o r T ' 0 : 3 2 ° S t e a d y s t a t e t e m p e r a t u r e i n t h e b r e a s t m o d e l s f o r T 0 = 3 7 ° M u l t i - f a c t o r e v a l u a t i o n p r o t o c o l f o r m a l i g n a n c y [ 2 0 1 ] . . . . . . . . S p e c i fi c a b s o r p t i o n r a t e i n s i d e M R b r e a s t t i s s u e m o d e l s f o r h y p e r - t h e r m i a a d j u v a n t t h e r a p y u s i n g d u a l d e f o r m a b l e m i r r o r s . . . . . . S t e a d y s t a t e t h e r m a l s t a t i s t i c s f o r h y p e r t h e r m i a a d j u v a n t t h e r a p y f o r b r e a s t c a n c e r u s i n g d u a l d e f o r m a b l e m i r r o r s . . . . . . . . . . . S p e c i fi c a b s o r p t i o n r a t e i n s i d e M R b r e a s t t i s s u e m o d e l s f o r n o n i n — v a s i v e a b l a t i o n u s i n g d u a l d e f o r m a b l e m i r r o r s . . . . . . . . . . . . S t e a d y s t a t e t h e r m a l s t a t i s t i c s f o r n o n i n v a s i v e a b l a t i o n o f b r e a s t c a n c e r u s i n g d u a l d e f o r m a b l e m i r r o r s . . . . . . . . . . . . . . . . . L E D t e c h n i c a l s p e c i fi c a t i o n s [ 2 0 6 ] . . . . . . . . . . . . . . . . . . M o d e l e s t i m a t i o n e r r o r i n t h e o b j e c t w i d t h . . . . . . . . . . . . . X V 3 3 3 3 1 0 5 2 1 6 2 3 7 2 3 8 2 4 6 2 9 7 2 9 8 2 9 8 F i g u r e 2 . 1 F i g u r e 2 . 2 F i g u r e 2 . 3 F i g u r e 2 . 4 F i g u r e 2 . 5 F i g u r e 2 . 6 F i g u r e 2 . 7 F i g u r e 2 . 8 F i g u r e 3 . 1 F i g u r e 4 . 1 F i g u r e 4 . 2 F i g u r e 4 . 3 F i g u r e 5 . 1 F i g u r e 5 . 2 F i g u r e 5 . 3 F i g u r e 6 . 1 F i g u r e 6 . 2 F i g u r e 6 . 3 F i g u r e 6 . 4 F i g u r e 7 . 1 F i g u r e 7 . 2 F i g u r e 7 . 3 L I S T O F F I G U R E S E s t i m a t e d c a n c e r s t a t i s t i c s i n t h e U n i t e d S t a t e s [ I ] - [ 1 0 ] . O v e r a l l fi v e y e a r s u r v i v a l r a t e f o r U S i n d i v i d u a l s w i t h c a n c e r [ 1 ] - [ 1 0 ] . E s t i m a t e d i n c i d e n c e o f c a n c e r c a s e s a m o n g s t w o m e n i n U n i t e d S t a t e s [ 1 ] - [ 1 0 ] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . E s t i m a t e d m o r t a l i t y c a u s e d b y l u n g / b r o n c h u s a n d b r e a s t c a n c e r s a m o n g s t U S w o m e n [ 1 ] - [ 1 0 ] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . D i s t r i b u t i o n o f c a n c e r c a s e s a n d d e a t h s r e p o r t e d f o r 2 0 0 5 [ 1 ] . . . . B r e a s t A n a t o m y [ 1 2 ] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B r o a d d i s t r i b u t i o n o f b r e a s t c a n c e r t y p e s . P r o p e r t y o f b r e a s t t i s s u e i n X - r a y r e g i m e ( a ) X — r a y a t t e n u a t i o n ( b ) M a m m o g r a p h i c c o n t r a s t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . D i e l e c t r i c s p e c t r u m o f b e n i g n a n d m a l i g n a n t h u m a n b r e a s t t i s s u e [ 4 6 ] - [ 4 7 ] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . G e o m e t r y f o r b o u n d a r y c o n d i t i o n s a t m a t e r i a l i n t e r f a c e . I l l u s t r a t i o n o f v o l u m e e q u i v a l e n c e t h e o r e m [ 2 7 ] ( a ) A c t u a l ( b ) E q u i v a l e n t m o d e l . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I l l u s t r a t i o n o f s u r f a c e e q u i v a l e n c e t h e o r e m [ 2 7 ] ( a ) A c t u a l ( b ) E q u i v a l e n t m o d e l ( c ) L o v e ’ s e q u i v a l e n t m o d e l . . . . . . . . . . . . T M Z s c a t t e r i n g f r o m a t w o d i m e n s i o n a l p e r f e c t l y c o n d u c t i n g c y l i n - d e r ( a ) 3 D ( b ) 2 D c o m p u t a t i o n a l M o d e l . . . . . . . . . . . . . . . T M Z s c a t t e r i n g f r o m a t w o d i m e n s i o n a l d i e l e c t r i c c y l i n d e r ( a ) 3 D ( b ) 2 D c o m p u t a t i o n a l M o d e l . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . T M z s c a t t e r i n g f r o m a t w o d i m e n s i o n a l d i e l e c t r i c a n d p e r f e c t l y c o n d u c t i n g c y l i n d e r s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . X - r a y p r o j e c t i o n s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . C o m m o n l y u s e d D i f f r a c t i o n t o m o g r a p h y s e t u p ( a ) - ( b ) T r a n s m i s - s i o n o r f o r w a r d s c a t t e r e d ( 0 ) R e fl e c t i o n o r b a c k - s c a t t e r e d . F o u r i e r D i f f r a c t i o n T h e o r e m ( a ) S c h e m a t i c i l l u s t r a t i o n ( b ) F o u r i e r s p a c e fi l l i n g . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . R e fl e c t i o n t o m o g r a p h y s e t u p u s i n g l i n e a r a n t e n n a a r r a y . S e g m e n t e d M i r r o r s [ 1 1 6 ] ( a ) P i s t o n o n l y ( b ) P i s t o n a n d t i l t . . . . . . c c c c c S c h e m a t i c o f T e x a s I n s t r u m e n t s t w o D M D m i r r o r s [ 1 2 6 ] . . . . . . C o n t i n u o u s t h i n - p l a t e m i r r o r s [ 1 1 6 ] ( a ) D i s c r e t e p o s i t i o n a c t u a t o r s ( b ) D i s c r e t e f o r c e a c t u a t o r s ( c ) B e n d i n g m o m e n t f o r c e a c t u a t o r s . x v i O O 1 5 2 5 3 1 3 7 4 0 5 0 5 4 5 7 6 1 6 3 7 0 7 2 7 8 7 8 7 9 F i g u r e 7 . 4 F i g u r e 7 . 5 F i g u r e 8 . 1 F i g u r e 8 . 2 F i g u r e 8 . 3 F i g u r e 8 . 4 F i g u r e 8 . 5 F i g u r e 8 . 6 F i g u r e 8 . 7 F i g u r e 8 . 8 F i g u r e 8 . 9 F i g u r e 8 . 1 0 l \ « ’ I o n o l i t h i c m i r r o r w i t h p i e z o e l e c t r i c a c t u a t o r [ 1 1 6 ] ( a ) S i d e v i e w ( b ) T o p v i e w . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . M e m b r a n e m i r r o r s c h e m a t i c s ( a ) [ 1 3 3 ] ( b ) [ 1 3 5 ] . . . . . . . . . . . . X - r a y p r o j e c t i o n a l o n g a a d i r e c t i o n 6 . . . . . . . . . . . . . . . . S c h e m a t i c i l l u s t r a t i o n o f d i f f e r e n t g e n e r a t i o n s o f X — r a y C T s c a n g e o m e t r i e s . ( a ) F i r s t g e n e r a t i o n , t r a n s l a t e - r o t a t e p e n c i l b e a m g e - o m e t r y . ( b ) S e c o n d g e n e r a t i o n , t r a n s l a t e — r o t a t e f a n b e a m g e o m e t r y ( c ) T h i r d g e n e r a t i o n , r o t a t e — o n l y g e o m e t r y [ 1 5 1 ] ( ( 1 ) F o u r t h g e n e r a — t i o n r o t a t e / s t a t i o n a r y f a n b e a m g e o m e t r y ( e ) F i f t h g e n e r a t i o n c o n e b e a m c y l i n d r i c a l g e o m e t r y [ 1 5 2 ] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . C T r e c o n s t r u c t i o n r e s u l t s o f c o n v e n t i o n a l m e t h o d s . ( a ) 8 1 x 8 1 M o d - i fi e d S h e p p — L o g a n h e a d p h a n t o m i m a g e . ( b ) K a c z m a r z r e c o n s t r u c - t i o n a t 6 0 t h i t e r a t i o n . ( c ) K a c z m a r z r e c o n s t r u c t i o n a t 3 0 0 t h i t e r - a t i o n . ( d ) F B P w i t h R a m - L a k fi l t e r a n d s p l i n e i n t e r p o l a t i o n . ( e ) F B P w i t h H a m m i n g fi l t e r a n d s p l i n e i n t e r p o l a t i o n . ( f ) F B P w i t h S h e p p — L o g fi l t e r a n d s p l i n e i n t e r p o l a t i o n . . . . . . . . . . . . . . . S c h e m a t i c d i a g r a m o f m i r r o r b a s e d X - r a y C T . . . . . . . . . . . . K a c z m a r z r e c o n s t r u c t i o n r e s u l t s f o r t h e d e f o r m a b l e m i r r o r b a s e d X - r a y C T t e c h n i q u e ( a ) 8 1 x 8 1 M o d i fi e d S h e p p — L o g a n h e a d p h a n - t o m i m a g e ( b ) R e c o n s t r u c t i o n a t 1 0 0 t h i t e r a t i o n ( c ) R e c o n s t r u c t i o n a t 3 0 0 t h i t e r a t i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . C e n t r a l t r a n s e c t s o f t h e r e c o n s t r u c t e d p h a n t o m a t 1 0 0 t h i t e r a t i o n o f K a c z m a r z a l g o r i t h m . ( a ) H o r i z o n t a l l i n e s c a n . ( b ) V e r t i c a l l i n e s c a n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . C o n v e r g e n c e o f t h e i t e r a t i v e r e c o n s t r u c t i o n f o r X - r a y m i r r o r C T ( a ) r e c o n s t r u c t i o n a n d ( b ) e r r o r a t 1 0 0 t h i t e r a t i o n ; ( c ) r e c o n s t r u c t i o n a n d ( d ) e r r o r a t 3 0 0 t h i t e r a t i o n ; ( e ) r e c o n s t r u c t i o n a n d ( f ) e r r o r a t 5 0 0 t h i t e r a t i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . L F O V r e c o n s t r u c t i o n r e s u l t s o f c o n v e n t i o n a l m e t h o d s . ( a ) 8 1 x 8 1 M o d i fi e d S h e p p — L o g a n h e a d p h a n t o m i m a g e ( b ) K a c z m a r z r e c o n - s t r u c t i o n a t 6 0 t h i t e r a t i o n ( c ) K a c z m a r z r e c o n s t r u c t i o n a t 2 5 0 t h i t e r a t i o n ( d ) F B P w i t h R a m - L a k fi l t e r a n d s p l i n e i n t e r p o l a t i o n ( e ) F B P w i t h H a m m i n g fi l t e r a n d s p l i n e i n t e r p o l a t i o n ( f ) F B P w i t h S h e p p — L o g fi l t e r a n d s p l i n e i n t e r p o l a t i o n . . . . . . . . . . . . . . . K a c z m a r z r e c o n s t r u c t i o n f o r c o n v e n t i o n a l C T w i t h L F O V s c a n c o n - fi g u r a t i o n s i m i l a r t o t h e M M D M b a s e d C T t e c h n i q u e . ( a ) 8 1 x 8 1 M o d i fi e d S h e p p — L o g a n h e a d p h a n t o m i m a g e . ( b ) K a c z m a r z r e c o n — s t r u c t i o n a t 2 0 0 t h i t e r a t i o n f o r p a r a l l e l b e a m X - r a y s o u r c e . . R o w l a n d c i r c l e g e o m e t r y f o r l o c a l i z e d r a d i a t i o n t h e r a p y . . . . . . x v i i 8 1 8 2 8 8 9 2 9 3 9 4 9 9 1 0 0 1 0 3 F i g u r e 8 . 1 1 F i g u r e 9 . 1 F i g u r e 9 . 2 F i g u r e 9 . 3 F i g u r e 9 . 4 F i g u r e 9 . 5 F i g u r e 9 . 6 F i g u r e 9 . 7 F i g u r e 9 . 8 F i g u r e 9 . 9 F i g u r e 9 . 1 0 F i g u r e 9 . 1 1 F i g u r e 9 . 1 2 F i g u r e 9 . 1 3 F i g u r e 9 . 1 4 F i g u r e 9 . 1 5 F i g u r e 1 0 . 1 F i g u r e 1 0 . 2 F i g u r e 1 0 . 3 F i g u r e 1 0 . 4 F i g u r e 1 0 . 5 A d a p t i v e f o c u s i n g o f h i g h e n e r g y X — r a y p h o t o n s f o r r a d i a t i o n t h e r - a p y u s i n g d e f o r m a b l e X - r a y m i r r o r . . . . . . . . . . . . . . . . . . S c h e m a t i c d i a g r a m o f d e f o r m a b l e m i r r o r m i c r o w a v e t o m o g r a p h y s e t u p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . P l a n a r B r e a s t T i s s u e M o d e l . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . S k i n d e p t h o f n o r m a l l y i n c i d e n t p l a n e w a v e i n s i d e b r e a s t t i s s u e B e z i e r c u r v e e x a m p l e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . R e p r e s e n t a t i o n o f h i g h e r o r d e r c u r v e u s i n g t w o l o w e r o r d e r B e z i e r c u r v e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B e z i e r c u r v e e x a m p l e s ( a ) M i r r o r s h a p e s g e n e r a t e d b y s l i d i n g c o n - 1 0 7 1 1 2 1 1 5 1 1 8 1 1 8 t r o l p o i n t s , 1 3 % a n d p i g ( b ) M i r r o r s h a p e s g e n e r a t e d b y s i m p l e r o t a t i o n . 1 1 9 T w o d i m e n s i o n a l c o m p u t a t i o n a l m o d e l f o r d e f o r m a b l e m i r r o r t o - m o g r a p h y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . F i e l d p a t t e r n , 2 - § ( ; r , y , z ; t : 0 ) m a i n t a i n e d b y d i f f e r e n t m i r r o r s h a p e s i n Q 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . — o 2 - £ ( : I ; , y , z ; t : 0 ) m a i n t a i n e d b y d e f o r m a t i o n s f ( u ) t h a t s a t i s f y ( 9 . 7 ) , ( 9 . 1 2 ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . C o r r e l a t i o n c o e f fi c i e n t m a t r i x f o r u s e f u l m i r r o r s h a p e s . . . . . . . N o r m a l i z e d C h e b y c h e v d i s t a n c e m e t r i c s f o r ( a ) 3 % e { E z } ( b ) 3 m { E z } . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . N o r m a l i z e d p o w e r d i s t a n c e o f E ; f o r ( a ) p = 2 , 7 " = 7 ( b ) p = 3 , 7 " 2 : 7 ( c ) p : 2 , 1 " = 4 a n d ( d ) p 2 : 3 , r = 4 o f t h e u s e f u l m i r r o r d e f o r m a t i o n s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . F i e l d p a t t e r n a n d f e a t u r e s c o m p u t e d f o r M i r r o r d e f o r m a t i o n s 1 , 3 , 1 7 a n d 5 4 ( a ) § R e ( E z ) a n d ( b ) S m ( E z ) f o r M i r r o r 1 , ( c ) 5 2 8 ( E z ) a n d ( d ) % m ( E z ) f o r M i r r o r 3 ( e ) 3 3 6 ( E z ) a n d % m ( E z ) f o r M i r r o r 1 7 , ( g ) é f t e ( E z ) a n d S ‘ m ( E , ~ , ) f o r M i r r o r 5 4 ( p 2 2 a n d r = 7 i n 9 . 1 3 c ) . F e a t u r e c o n t r a s t e n h a n c e m e n t f o r m i r r o r s a a n d b . . . . . . . . . I t e r a t i v e p r o c e d u r e f o r e s t i m a t i n g t h e m i r r o r a c t u a t o r p o t e n t i a l s . I l l u s t r a t i o n o f d e f o r m a b l e m i r r o r m i c r o w a v e t o m o g r a p h y s y s t e m i n 2 D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . T w o - d i m e n s i o n a l c o m p u t a t i o n a l m o d e l . . . . . . . . . . . . . . . . F i n i t e e l e m e n t a n d i n t e r p o l a t i o n f u n c t i o n s ( a ) L i n e a r t r i a n g u l a r e l e m e n t ( b ) N f ( c ) N 2 1 6 ( d ) N 3 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I t e r a t i v e p e r m i t t i v i t y r e c o n s t r u c t i o n p r o c e d u r e . . . . . . . . . . . T w o d i m e n s i o n a l m e s h o f t h e h e t e r o g e n e o u s b r e a s t . . . . . . . . . x v i i i 1 1 9 1 2 1 1 2 3 1 2 6 1 2 6 1 2 7 1 2 8 1 2 9 1 3 2 1 3 8 1 3 9 1 4 3 1 4 8 1 5 2 F i g u r e 1 0 . 6 R e c o n s t r u c t i o n . a t 6 8 t h i t e r a t i o n . ( a ) c ' ( b ) c ” o f t r u e s o l u t i o n ; ( c ) 6 ’ ( d ) c ” f o r 8 m i r r o r s ; ( e ) 6 ’ ( f ) c ” f o r 1 2 m i r r o r s ; ( g ) c ’ ( h ) c ” f o r 1 6 m i r r o r s [ 1 6 7 ] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . F i g u r e 1 0 . 7 R e c o n s t r u c t e d p e r m i t t i v i t y p r o fi l e a l o n g x = 0 f o r 8 , 1 2 a n d 1 6 m i r - r o r d e f o r m a t i o n s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . F i g u r e 1 0 . 8 R e c o n s t r u c t e d p e r m i t t i v i t y p r o fi l e a l o n g y : - 0 . 3 0 4 f o r 8 , 1 2 a n d 1 6 m i r r o r d e f o r m a t i o n s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . F i g u r e 1 0 . 9 R e c o n s t r u c t e d p e r m i t t i v i t y p r o fi l e a l o n g t h e d i a g o n a l f o r 8 , 1 2 a n d 1 6 m i r r o r d e f o r m a t i o n s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . F i g u r e 1 0 . 1 0 P e r m i t t i v i t y r e c o n s t r u c t i o n o f n o i s e f r e e m e a s u r e m e n t s f o r t h e r e g - u l a r i z e d p r o b l e m ( a ) c ’ a n d ( b ) - c " f o r t h e t r u e d i s t r i b u t i o n , ( c ) c ' a n d ( b ) - c ” e s t i m a t e d r e c o n s t r u c t i o n [ 1 6 6 ] . . . . . . . . . . . . . . F i g u r e 1 0 . 1 1 R e c o n s t r u c t i o n e r r o r f o r t h e n o i s e f r e e m e a s u r e m e n t s . . . . . . . . F i g u r e 1 0 . 1 2 R e c o n s t r u c t e d p e r m i t t i v i t y p r o fi l e f o r n o i s e f r e e m e a s u r e m e n t s a l o n g x : 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . F i g u r e 1 0 . 1 3 R e c o n s t r u c t e d p e r m i t t i v i t y p r o fi l e a l o n g y = - 0 . 3 0 4 . . . . . . . . . F i g u r e 1 0 . 1 4 R e c o n s t r u c t i o n r e s u l t s w i t h 2 % a d d i t i v e r a n d o m n o i s e ( a ) t r u e 6 ’ d i s t r i b u t i o n ( b ) t r u e — c ” d i s t r i b u t i o n ( c ) c ’ a n d ( d ) - c ” f o r L 1 ( e ) E , a n d ( f ) - c ” f o r L 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . F i g u r e 1 0 . 1 5 R e c o n s t r u c t i o n e r r o r f o r L 1 i n t h e p r e s e n c e o f 2 % a d d i t i v e r a n d o m n o i s e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . F i g u r e 1 0 . 1 6 P e r m i t t i v i t y d i s t r i b u t i o n o f a s c a t t e r e r w i t h s m o o t h p r o fi l e , 6 = I - I I c - y e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . F i g u r e 1 0 . 1 7 T o m o g r a p h i c r e c o n s t r u c t i o n o f n o i s e f r e e m e a s u r e m e n t s u s i n g 1 6 m i r r o r s h a p e s ( a ) c ’ a n d ( b ) - c ” o f t h e t r u e p r o fi l e , ( 0 ) c ’ a n d ( d ) - c ” o f t h e r e c o n s t r u c t e d p r o fi l e ( c b g n d = 2 1 6 . 5 0 — 3 3 . 8 5 ) [ 1 7 3 ] . . . . F i g u r e 1 0 . 1 8 T o m o g r a p h y r e c o n s t r u c t i o n i n t h e p r e s e n c e o f 1 . 5 % a d d i t i v e r a n - d o m n o i s e ( a ) c , a n d ( b ) - c ” o f t h e t r u e d i s t r i b u t i o n , ( c ) c ’ a n d ( d ) - c ” o f t h e r e c o n s t r u c t e d d i s t r i b u t i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . F i g u r e 1 0 . 1 9 T o m o g r a p h y r e c o n s t r u c t i o n i n t h e p r e s e n c e o f 5 % a d d i t i v e r a n d o m n o i s e ( a ) 6 ’ a n d ( b ) — c ” o f t h e t r u e d i s t r i b u t i o n , ( c ) c ’ a n d ( d ) - c ” o f t h e r e c o n s t r u c t e d d i s t r i b u t i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . F i g u r e 1 0 . 2 0 R e c o n s t r u c t i o n e r r o r i n t h e p r e s e n c e o f 5 % a d d i t i v e r a n d o m n o i s e . F i g u r e 1 0 . 2 1 T o m o g r a p h y r e c o n s t r u c t i o n i n t h e p r e s e n c e o f 1 0 % a d d i t i v e r a n d o m n o i s e ( a ) 6 ’ a n d ( b ) - c ” o f t h e t r u e d i s t r i b u t i o n , ( c ) 6 ’ a n d ( d ) - c ” o f t h e r e c o n s t r u c t e d d i s t r i b u t i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . F i g u r e 1 0 . 2 2 L — c u r v e t e s t f o r 5 % n o i s y m e a s u r e m e n t s [ 1 7 3 ] . . . . . . . . . . . . x i x 1 5 9 1 6 0 1 6 4 1 6 5 1 6 6 1 6 8 1 7 2 F i g u r e 1 0 . 2 3 P e r m i t t i v i t y i n v e r s i o n f o r t w o - l a y e r d i e l e c t r i c c y l i n d e r ( a ) i } ? { E s o l n — 6 b } ( b ) 8 1 6 . 3 0 1 7 ; — 5 b } ( C ) 3 % { E a s t _ 6 b } ( d ) 8 { f e s t — 6 b } ; E b : b a c k g r o u n d p e r m i t t i v i t y . . . . . . . . . . . . . . F i g u r e 1 0 . 2 4 P e r m i t t i v i t y i n v e r s i o n f o r t w o — l a y e r d i e l e c t r i c c y l i n d e r a f t e r p o s t - p r o c e s s i n g ( a ) i f ? { 6 3 0 1 " — 6 5 } ( b ) 8 ‘ [ 6 3 0 1 , ” — — 6 b } ( c ) i f ? { E a s t — E b } ( d ) S ‘ { ? e s t — E b } ; E b : b a c k g r o u n d p e r m i t t i v i t y . . . . . . . . . . . F i g u r e 1 0 . 2 5 P e r m i t t i v i t y i n v e r s i o n f o r w e a k d i e l e c t r i c c y l i n d e r ( a ) 8 ? { 6 3 0 1 7 , } ( b ) 8 { 6 3 0 1 7 , } ( c ) § R { c e s t } ( d ) g f f e s t } ; c 2 c l — j c ” , c b = 1 . 0 . . . . . . F i g u r e 1 0 . 2 6 R e c o n s t r u c t i o n e r r o r f o r a 2 D w e a k d i e l e c t r i c c y l i n d e r . . . . . . . F i g u r e 1 0 . 2 7 P e r m i t t i v i t y d i s t r i b u t i o n o f s t r o n g s c a t t e r e r ( a ) M o d e l I I I , f R i E s o l n } ( b ) M o d e l I I I , 3 ( 6 8 0 m } ( c ) M o d e l I V , m I E s o l n } ( ( 1 ) M o d e l I V , 8 { c F i g u r e 1 0 . 2 8 E s t i m a t e d p e r m i t t i v i t y d i s t r i b u t i o n o f s t r o n g s c a t t e r e r ( a ) M o d e l I I I , § R { c s o j n } ( b ) M o d e l 1 1 1 , 8 { 6 5 . 0 1 ” } ( c ) M o d e l I V , R { e e s t } ( d ) N I O d e l I V , 3 { C e s t } ; E e s t : 6 ’ — j E I I . . . . . . . . . . . . . . . . . . F i g u r e 1 0 . 2 9 P e r m i t t i v i t y r e c o n s t r u c t i o n f o r 6 % m e a s u r e m e n t n o i s e ( a ) M o d e l , E ’ , % { € e s t } ( b ) N I O d e l , , E , % { E e s t } . . . . . . . . . . . . . . . . . F i g u r e 1 0 . 3 0 R e c o n s t r u c t i o n e r r o r f o r M o d e l ’ E ’ i n t h e p r e s e n c e o f 6 % n o i s e . 3 0 m } . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . F i g u r e 1 1 . 1 C o m p u t a t i o n a l m o d u l e s i n t h e r a p y s i m u l a t i o n s . . . . . . . . . . . F i g u r e 1 1 . 2 S c h e m a t i c i l l u s t r a t i o n o f t h e d e f o r m a b l e m i r r o r t h e r a p y m o d e l f o r b r e a s t c a n c e r t h e r m o t h e r a p y ( a ) s i n g l e m i r r o r m o d e l ( b ) d u a l m i r - r o r m o d e l . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . F i g u r e 1 1 . 3 E q u i v a l e n t s c a t t e r i n g p r o b l e m f o r t h e fi e l d m a i n t a i n e d b y t h e t w o — d i m e n s i o n a l d e f o r m a b l e m i r r o r t h e r a p y m o d e l . . . . . . . . . . . . F i g u r e 1 1 . 4 D o m a i n d i s c r e t i z a t i o n f o r c o m p u t a t i o n a l m e t h o d ( a ) p e n e t r a b l e s c a t t e r e r ( b ) p e r f e c t l y c o n d u c t i n g s t r i p . . . . . . . . . . . . . . . . F i g u r e 1 1 . 5 B a s i s f u n c t i o n s ( a ) p u l s e b a s i s ( b ) p y r a m i d a l b a s i s . . . . . . . . . F i g u r e 1 1 . 6 S i n g l e m i r r o r t h e r a p y s e t u p ( a ) 2 D c o m p u t a t i o n a l m o d e l ( b ) M o d e l g e o m e t r y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . F i g u r e 1 1 . 7 D u a l m i r r o r t h e r a p y s e t u p ( a ) 2 D c o m p u t a t i o n a l m o d e l ( b ) M o d e l g e o m e t r y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . F i g u r e 1 1 . 8 F i e l d f o c u s i n g u s i n g r a y t r a c i n g . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . F i g u r e 1 1 . 9 S u r f a c e t a n g e n t s a n d n o r m a l s w i t h i n t h e s e a r c h s p a c e d e t e r m i n e d f o r a g i v e n p 3 ( r ) a n d p t ( r ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . F i g u r e 1 1 . 1 0 M i r r o r s u r f a c e e s t i m a t e d u s i n g r a y t r a c i n g f o r fi e l d f o c u s i n g . . . . F i g u r e 1 1 . 1 1 1 t e r a t i v e m i n i m i z a t i o n p r o c e d u r e t o d e t e r m i n e t h e a c t u a t o r p o t e n - t i a l f o r t h e e s t i m a t e d m i r r o r d e f o r m a t i o n . . . . . . . . . . . . . . X X 1 7 6 1 7 7 1 7 8 1 7 9 1 8 1 1 8 2 1 8 3 1 8 4 1 8 9 1 9 1 1 9 3 1 9 6 1 9 7 2 0 2 F i g u r e 1 1 . 1 2 2 D s i n g l e m i r r o r t h e r a p y m o d e l f o r E — fi e l d f o c u s i n g . . . . . . . . . 2 0 9 F i g u r e 1 1 . 1 3 F i e l d p a t t e r n , | E z | i n s i d e t h e r a p y t a n k f o r s i n g l e m i r r o r m o d e l ( a ) 5 0 0 M H z ( b ) 7 0 0 M H z a n d ( c ) 9 0 0 M H z ( 6 6 : 4 3 . 7 6 j 2 2 . 8 2 ) . . . . . 2 0 9 F i g u r e 1 1 . 1 4 F e e d b a c k c o n t r o l f o r t u m o r t e m p e r a t u r e e l e v a t i o n . . . . . . . . . . 2 1 4 F i g u r e 1 1 . 1 5 C o m p u t a t i o n a l b r e a s t m o d e l s w i t h t u m o r s o f v a r y i n g s i z e a n d s h a p e s a t d i f f e r e n t s p a t i a l l o c a t i o n s ( s k i n t h i c k n e s s 2 2 m m ) . . . . 2 1 5 F i g u r e 1 1 . 1 6 C o m p u t a t i o n a l m o d e l o f ( a ) s i n g l e m i r r o r a n d ( b ) d u a l m i r r o r s e t u p . 2 1 8 F i g u r e 1 1 . 1 7 T i s s u e s p e c i fi c a b s o r p t i o n r a t e i n C N 1 0 ( W / k g / m ) ( a ) s i n g l e m i r r o r a n d ( b ) d u a l m i r r o r s e t u p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1 8 F i g u r e 1 1 . 1 8 T r a n s e c t s t h r o u g h t h e t u m o r i n t h e b r e a s t m o d e l s . . . . . . . . . 2 1 9 F i g u r e 1 1 . 1 9 8 t e a d y s t a t e t e m p e r a t u r e d i s t r i b u t i o n i n C N 1 0 f o r T 0 = 3 2 ° C ( a ) s i n g l e m i r r o r a n d ( b ) d u a l m i r r o r s e t u p . . . . . . . . . . . . . . . 2 1 9 F i g u r e 1 1 . 2 O S t e a d y s t a t e t e m p e r a t u r e d i s t r i b u t i o n i n C N 1 0 f o r T 0 = 3 7 ° C ( a ) s i n g l e m i r r o r a n d ( b ) d u a l m i r r o r s e t u p . . . . . . . . . . . . . . . 2 2 0 F i g u r e 1 1 . 2 1 C o m p a r i s o n o f t h e s t e a d y s t a t e t e m p e r a t u r e i n C N 1 0 b e t w e e n s i n — g l e a n d d u a l m i r r o r s e t u p f o r T 0 : 3 2 ° C ( a ) L 1 ( b ) L 2 ( c ) L 3 ( ( 1 ) L 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2 0 F i g u r e 1 1 . 2 2 C o m p a r i s o n o f t h e s t e a d y s t a t e t e m p e r a t u r e i n C N 1 0 b e t w e e n s i n - g l e a n d d u a l m i r r o r s e t u p f o r T 0 : 3 7 ° C ( a ) L 1 ( b ) L 2 ( c ) L 3 ( ( 1 ) L 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2 1 F i g u r e 1 1 . 2 3 S t e a d y s t a t e t e m p e r a t u r e e l e v a t i o n i n C N 1 0 f o r d u a l m i r r o r s e t u p f o r T 0 = 3 7 0 0 ( a ) L 1 ( b ) L 2 ( C ) L 3 ( ( 1 ) L 4 . . . . . . . . . . . . . . 2 2 2 F i g u r e 1 1 . 2 4 S p e c i fi c a b s o r p t i o n r a t e i n b r e a s t m o d e l s ( W / k g / m ) ( a ) C N 0 5 ( b ) C N 1 0 ( c ) C M 0 6 ( d ) C h i - " 1 0 8 ( e ) E N 0 6 x 2 ( f ) E N 1 0 x 5 ( g ) E M O 8 x 5 ( h ) E M I O x 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2 4 F i g u r e 1 1 . 2 5 S t e a d y s t a t e t e m p e r a t u r e i n b r e a s t m o d e l s f o r T 0 = 3 2 ° C ( a ) C N 0 5 ( b ) C N 1 0 ( c ) C M O 6 ( d ) C M O B ( e ) E N 0 6 x 2 ( f ) E N 1 0 x 5 ( g ) E M O 8 x 5 ( h ) E M 1 0 x 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2 5 F i g u r e 1 1 . 2 6 S t e a d y s t a t e t e m p e r a t u r e i n b r e a s t m o d e l s f o r T 0 = 3 7 ° C ( a ) C N 0 5 ( b ) C N 1 0 ( c ) C M O G ( d ) C M O 8 ( e ) E N 0 6 x 2 ( f ) E N I O x 5 ( g ) E M 0 8 x 5 ( h ) E M 1 0 x 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2 6 F i g u r e 1 1 . 2 7 S t e a d y s t a t e t e m p e r a t u r e i n C N 0 5 ( a ) L 1 ( b ) L 2 ( c ) L 3 ( ( 1 ) L 4 . . 2 2 7 F i g u r e 1 1 . 2 8 S t e a d y s t a t e t e m p e r a t u r e i n C N 1 0 ( a ) L 1 ( b ) L 2 ( c ) L 3 ( ( 1 ) L 4 . . 2 2 8 F i g u r e 1 1 . 2 9 S t e a d y s t a t e t e m p e r a t u r e i n C M 0 6 ( a ) L 1 ( b ) L 2 ( c ) L 3 ( d ) L 4 . . 2 2 9 F i g u r e 1 1 . 3 O S t e a d y s t a t e t e m p e r a t u r e i n C M O S ( a ) L 1 ( b ) L 2 ( c ) L ( 3 d ) L 4 . . 2 3 0 F i g u r e 1 1 . 3 I S t e a d y s t a t e t e m p e r a t u r e i n E N 0 6 x 2 ( a ) L 1 ( b ) L 2 ( c ) L 3 ( ( 1 ) L 4 . 2 3 1 x x i D 0 0 \ [ [ 0 3 o o \ [ t o 3 \ [ F i g u r e 1 1 . 3 2 S t e a d y s t a t e t e m p e r a t u r e i n E N 1 0 x 5 ( a ) L 1 ( b ) L 2 ( c ) L 3 ( d ) L 4 . F i g u r e 1 1 . 3 3 S t e a d y s t a t e t e m p e r a t u r e i n E M O 8 x 5 ( a ) L 1 ( b ) L 2 ( c ) L 3 ( d ) L 4 . F i g u r e 1 1 . 3 4 S t e a d y s t a t e t e m p e r a t u r e i n E M I O x 5 ( a ) L 1 ( b ) L 2 G ( c ) L 3 ( ( 1 ) L 4 . F i g u r e 1 1 . 3 5 C N 1 0 a b l a t i o n s i m u l a t i o n s f o r ( T 0 : 3 2 ° C ) ( a ) S A R ( W / k g / m ) ( b ) S t e a d y s t a t e t e m p e r a t u r e ( C ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . F i g u r e 1 1 . 3 6 C N 1 0 a b l a t i o n s i m u l a t i o n s f o r ( T 0 : 3 7 ° C ) ( a ) S A R ( W / k g / m ) ( b ) S t e a d y s t a t e t e m p e r a t u r e ( C ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . F i g u r e 1 1 . 3 7 S t e a d y s t a t e t h e r m a l p r o f i l e s i n C N 1 0 ( a ) L 1 ( b ) L 2 ( c ) L 3 ( ( 1 ) L 4 . F i g u r e 1 2 . 1 P r o t o n p r e c e s s i o n i n t h e p r e s e n c e o f a n e x t e r n a l s t a t i c m a g n e t i c fi e l d [ 1 9 9 ] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . F i g u r e 1 2 . 2 P r o t o n r e l a x a t i o n d u e t o R F b u r s t ( a ) d i s r u p t i o n ( b ) r e l a x a t i o n . . F i g u r e 1 2 . 3 B i - l a t e r a l b r e a s t s u r f a c e c o i l [ 2 0 0 ] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . F i g u r e 1 2 . 4 D e d i c a t e d M R b r e a s t s c a n n e r [ 2 0 0 ] . . . . . . . . . . . . . . . . . . F i g u r e 1 2 . 5 D e t e r m i n a t i o n o f i n i t i a l s i g n a l i n c r e a s e a f t e r C M i n t a k e [ 2 0 1 ] . F i g u r e 1 2 . 6 D e t e r m i n a t i o n o f p o s t - i n i t i a l s i g n a l i n c r e a s e a f t e r C M a d m i n i s t r a - t i o n [ 2 0 1 ] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . F i g u r e 1 2 . 7 S e c t i o n a l p l a n e s i n h u m a n b o d y [ 2 0 3 ] . . . . . . . . . . . . . . . . F i g u r e 1 2 . 8 S e c t i o n a l p l a n e s o f a w o m a n 3 b r e a s t ( a ) T r a n s v e r s e ( b ) C o r o n a l ( c ) S a g i t t a l . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . F i g u r e 1 2 . 9 I l l u s t r a t i o n o f h i s t o g r a m t h r e s h o l d o n b r e a s t M R i m a g e . . . . . . F i g u r e 1 2 . 1 0 8 e g m e n t a t i 0 n a n d i d e n t i fi c a t i o n o f s o f t t i s s u e r e g i o n s u s i n g h i s - t o g r a m t h r e s h o l d a n d e d g e d e t e c t i o n ( a ) B r e a s t s e g m e n t a t i o n ( b ) B r e a s t C o n t o u r ( c ) T u m o r s e g m e n t a t i o n ( b ) T u m o r c o n t o u r . . . . F i g u r e 1 2 . 1 1 T 2 - w e i g h t e d p o s t - c o n t r a s t M R b r e a s t i m a g e . . . . . . . . . . . . . F i g u r e 1 2 . 1 2 P e r m i t t i v i t y m a p f o r b r e a s t t i s s u e a t 5 0 0 M H z u s i n g ( 1 2 . 1 ) a n d [ 4 7 ] , [ 4 2 ] ( a ) R e l a t i v e p e r m i t t i v i t y , c r ( : r , y ) ( b ) L o s s t a n g e n t , 1 1 2 — 6 0 ‘ F i g u r e 1 2 . 1 3 S a g i t t a l s l i c e o f M R b r e a s t i m a g e w i t h a b n o r m a l e n h a n c e m e n t m e a - s u r i n g 1 5 x 1 3 m m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . F i g u r e 1 2 . 1 4 S a g i t t a l s l i c e o f M R b r e a s t i m a g e w i t h a b n o r m a l e n h a n c e m e n t m e a - s u r i n g 3 0 x 1 0 m m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . F i g u r e 1 2 . 1 5 S a g i t t a l s l i c e s o f M R b r e a s t i m a g e w i t h a b n o r m a l e n h a n c e m e n t . . F i g u r e 1 2 . 1 6 C o r o n a l s l i c e s o f M R b r e a s t i m a g e w i t h a b n o r m a l e n h a n c e m e n t . . x x i i 3 4 2 3 5 2 3 6 2 3 7 2 4 0 2 4 1 2 4 2 2 4 2 2 4 5 2 4 5 2 4 8 2 4 9 2 5 0 2 5 1 2 5 3 2 5 3 2 5 4 2 5 5 2 5 6 2 5 7 F i g u r e 1 2 . 1 7 C o r o n a l s l i c e o f M R d a t a , I a u s e d i n t h e r a p y s i m u l a t i o n s a t 5 0 0 M H z ( a ) R e l a t i v e p e r m i t t i v i t y , 6 7 ~ ( : I : , y ) ( b ) L o s s t a n g e n t , D i g — 6 ( c ) T 2 - w e i g h t e d p o s t c o n t r a s t M R . i m a g e ( d ) T i s s u e s p e c i fi c a b s o r p t i o n r a t e ( W / k g / m ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . F i g u r e 1 2 . 1 8 S t e a d y s t a t e t e m p e r a t u r e d i s t r i b u t i o n f o r l a ( a ) T a = 3 2 ° C a n d ( b ) T a = 3 7 ° C . 1 D T h e r m a l p r o fi l e s a l o n g ( c ) : r : a t e a n d ( d ) y 2 y a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . F i g u r e 1 2 . 1 9 C o r o n a l s l i c e o f M R d a t a , I b u s e d i n t h e r a p y s i m u l a t i o n s a t 5 0 0 M H z ( a ) R e l a t i v e p e r m i t t i v i t y , e 7 ~ ( : 1 : , y ) ( b ) L o s s t a n g e n t , [ £ 6 ( c ) T 2 - w e i g h t e d p o s t c o n t r a s t M R i m a g e ( d ) T i s s u e s p e c i fi c a b s o r p t i o n r a t e ( W / k g / m ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . F i g u r e 1 2 . 2 O S t e a d y s t a t e t e m p e r a t u r e d i s t r i b u t i o n f o r I b f o r t r a n s e c t s p a s s i n g t h r o u g h t u m o r c e n t e r m a r k e d ’ + ’ ( a ) T a = 3 2 ° C a n d ( b ) T a = 3 7 ° C . 1 D T h e r m a l p r o fi l e s a l o n g ( c ) : 1 : : 1 ‘ 0 1 a n d ( d ) y 2 g a l . F i g u r e 1 2 . 2 I S ’ t e a d y s t a t e t e m p e r a t u r e d i s t r i b u t i o n f o r I b f o r t r a n s e c t s p a s s i n g t h r o u g h s e c o n d a r y t u m o r m a r k e d ’ + ’ ( a ) T a = 3 2 ° C a n d ( b ) 2 5 8 2 5 9 2 6 1 2 6 2 T a = 3 7 0 C . 1 D T h e r m a l p r o fi l e s a l o n g ( c ) . 1 ; : 1 : 0 2 a n d ( d ) y = 3 1 6 2 . 2 6 3 F i g u r e 1 2 . 2 2 C o r o n a l s l i c e o f M R d a t a , I c u s e d i n t h e r a p y s i m u l a t i o n s a t 5 0 0 M H z ( a ) R e l a t i v e p e r m i t t i v i t y , c r ( : r , y ) ( b ) L o s s t a n g e n t , [ D Z — 0 ( c ) T 2 — w e i g h t e d p o s t c o n t r a s t M R i m a g e ( ( 1 ) T i s s u e s p e c i fi c a b s o r p t i o n r a t e ( W / k g / m ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . F i g u r e 1 2 . 2 3 S t e a d y s t a t e t e m p e r a t u r e d i s t r i b u t i o n f o r I c ( a ) T a = 3 2 ° C a n d ( b ) T a : 3 7 ° C . 1 D T h e r m a l p r o fi l e s a l o n g ( c ) : 1 : = 1 7 c a n d ( d ) y 2 y a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . F i g u r e 1 2 . 2 4 S a g i t t a l s l i c e o f l e f t b r e a s t M R d a t a i n d i c a t i n g t w o l e s i o n s . . . . . F i g u r e 1 2 . 2 5 C o r o n a l s l i c e o f M R l e f t b r e a s t i m a g e w i t h a l e s i o n m e a s u r i n g 1 9 x 1 7 F i g u r e 1 2 . 2 7 S a g i t t a l v i e w o f M R l e f t b r e a s t i m a g e s w i t h t w o l e s i o n s . . . . . . F i g u r e 1 2 . 2 8 C o r o n a l s l i c e s o f t h e l e f t b r e a s t w i t h a b n o r m a l e n h a n c e m e n t . . . . F i g u r e 1 2 . 2 9 C o r o n a l s l i c e o f t u m o r , ’ l ' i n M R d a t a I I a u s e d i n t h e r a p y s i m u l a - t i o n s ( a ) R e l a t i v e p e r m i t t i v i t y , c r ( : 1 : , y ) ( b ) L o s s t a n g e n t , £ 0 ( c ) T 2 - w e i g h t e d p o s t c o n t r a s t M R i m a g e ( c l ) T i s s u e s p e c i fi c a b s o r p t i o n r a t e ( W / k g / m ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . F i g u r e 1 2 . 3 O S t e a d y s t a t e t e m p e r a t u r e d i s t r i b u t i o n f o r N a ( a ) T a : 3 2 ° C a n d ( b ) T a = 3 7 ° C . 1 D T h e r m a l p r o fi l e s a l o n g ( c ) a : : a c a n d ( d ) y : — y c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x x i i i 2 6 4 2 6 5 2 6 6 2 7 1 2 7 2 F i g u r e 1 2 . 3 1 C o r o n a l s l i c e o f t u m o r , ’ | ’ i n M R d a t a I I b u s e d i n t h e r a p y s i m u l a - t i o n s ( a ) R e l a t i v e p e r m i t t i v i t y , c r ( : 1 : , y ) ( b ) L o s s t a n g e n t , w — ‘ Z a ( c ) T 2 - w e i g h t e d p o s t c o n t r a s t M R i m a g e ( ( 1 ) T i s s u e s p e c i fi c a b s o r p t i o n r a t e ( W / k g / m ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . F i g u r e 1 2 . 3 2 S t e a d y s t a t e t e m p e r a t u r e d i s t r i b u t i o n f o r I I b ( a ) T a = 3 2 ° C a n d ( b ) T a = 3 7 ° C . 1 D T h e r m a l p r o fi l e s a l o n g ( c ) a : : I C C a n d ( d ) y 2 y c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . F i g u r e 1 2 . 3 3 C o r o n a l s l i c e o f t u m o r , I | ] ’ i n M R d a t a H e u s e d i n t h e r a p y s i m u l a — t i o n s ( a ) R e l a t i v e p e r m i t t i v i t y , c r ( ; 1 : , y ) ( b ) L o s s t a n g e n t , 6 2 % , " ( c ) T 2 - w e i g h t e d p o s t c o n t r a s t M R i m a g e ( ( 1 ) T i s s u e s p e c i fi c a b s o r p t i o n r a t e ( W / k g / m ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . F i g u r e 1 2 . 3 4 S t e a d y s t a t e t e m p e r a t u r e d i s t r i b u t i o n f o r N C ( a ) T a = 3 2 ° C a n d ( b ) T a 2 3 7 ° C . 1 D T h e r m a l p r o fi l e s a l o n g ( c ) : 1 : Z a r c a n d ( d ) y : y c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . F i g u r e 1 2 . 3 5 S a g i t t a l s l i c e o f l e f t b r e a s t w i t h a b n o r m a l e n h a n c e m e n t m e a s u r i n g 8 x 6 m m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . F i g u r e 1 2 . 3 6 P o s t - c o n t r a s t T 2 - w e i g h t e d s e q u e n c e s o f l e f t b r e a s t w i t h a n a b n o r — m a l l e s i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . F i g u r e 1 2 . 3 7 R i g h t b r e a s t w i t h a n a b n o r m a l l e s i o n m e a s u r i n g 2 3 x 1 2 m m . F i g u r e 1 2 . 3 8 C o r o n a l s l i c e s o f t h e r i g h t b r e a s t w i t h a p a l p a b l e l e s i o n . . . . . . F i g u r e 1 2 . 3 9 C o r o n a l t u m o r d a t a , 1 1 1 u s e d i n t h e r a p y s i m u l a t i o n s ( a ) R e l a t i v e p e r m i t t i v i t y , c r ( ; 1 : , y ) ( b ) L o s s t a n g e n t , % ( c ) T 2 - w e i g h t e d p o s t - c o n t r a s t M R i m a g e ( d ) T i s s u e s p e c i fi c a b s o r p t i o n r a t e ( W / k g / m ) . F i g u r e 1 2 . 4 O S t e a d y s t a t e t e m p e r a t u r e d i s t r i b u t i o n f o r I I I ( a ) T a = 3 2 ° C a n d ( b ) T a — - 3 7 ° C . 1 D T h e r m a l p r o fi l e s a l o n g ( c ) : 1 : : 2 a r c a n d ( d ) y : y c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . F i g u r e 1 2 . 4 1 P o s t c o n t r a s t T 2 - w e i g h t e d s e q u e n c e s o f r i g h t b r e a s t i n d i c a t i n g s i g - n a l e n h a n c e m e n t n e a r t h e p o s t s u r g i c a l b e d . . . . . . . . . . . . . F i g u r e 1 2 . 4 2 R i g h t b r e a s t w i t h p o s t — c o n t r a s t e n h a n c e m e n t o f t h e p o s t — s u r g i c a l b e d . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . F i g u r e 1 2 . 4 3 R i g h t b r e a s t n e a r t h e p o s t — s u r g i c a l b e d . . . . . . . . . . . . . . . F i g u r e 1 2 . 4 4 C o r o n a 1 i m a g e s e q u e n c e s i n d i c a t i n g t w o s m a l l f o c i o f s u s p i c i o u s s i g n a l e n h a n c e m e n t w i t h i n t h e r i g h t b r e a s t a d j a c e n t t o t h e c h e s t w a l l . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . F i g u r e 1 2 . 4 5 C o r o n a l s l i c e o f t t u n o r d a t a , I V n e a r t h e c h e s t w a l l ( a ) R e l a t i v e p e r m i t t i v i t y , c r ( : r , y ) ( b ) L o s s t a n g e n t , 3 3 3 — 0 ( c ) T 2 — w e i g h t e d p o s t — c o n t r a s t M R i m a g e ( d ) T i s s u e s p e c i f i c a b s o r p t i o n r a t e a t 5 0 0 M H z ( W / k g / m ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x x i v 2 7 3 2 7 4 2 7 5 2 7 6 2 7 7 2 7 8 2 7 9 2 8 0 2 8 1 2 8 2 2 8 3 2 8 6 F i g u r e 1 2 . 4 6 S t e a d y s t a t e t e m p e r a t u r e d i s t r i b u t i o n f o r I V ( a ) T 0 , = 3 2 ° C a n d ( b ) T a : 3 7 ° C . 1 D T h e r m a l p r o fi l e s a l o n g ( c ) z : 1 7 6 a n d ( d ) y : 3 y e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . F i g u r e 1 2 . 4 7 C 0 r o n a l i m a g e s i n d i c a t i n g fl u i d c o l l e c t i o n i n t h e l e f t b r e a s t a n d d u c t a l e n h a n c e m e n t i n t h e r i g h t b r e a s t . . . . . . . . . . . . . . . . F i g u r e 1 2 . 4 8 D u c t a l e n h a n c e m e n t f r o m n i p p l e t o t h e i n f e r i o r p o r t i o n o f t h e r i g h t b r e a s t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . F i g u r e 1 2 . 4 9 D u c t a l e n h a n c e m e n t i n t h e i n f e r i o r p o r t i o n o f t h e r i g h t b r e a s t . . . F i g u r e 1 2 . 5 0 T 2 w e i g h t e d p o s t c o n t r a s t i m a g e s e q u e n c e s i n d i c a t i n g d u c t a l e n - h a n c e m e n t f r o m n i p p l e t o t h e i n f e r i o r p o r t i o n o f t h e r i g h t b r e a s t . F i g u r e 1 2 . 5 1 C o r o n a l s l i c e o f t u m o r i n p a t i e n t d a t a , V u s e d i n t h e r a p y s i m u l a — t i o n s ( a ) R e l a t i v e p e r m i t t i v i t y , c r ( : 1 : , y ) ( b ) L o s s t a n g e n t , 3 3 6 ( c ) T 2 - w e i g h t e d p o s t c o n t r a s t M R i m a g e ( ( 1 ) T i s s u e s p e c i fi c a b s o r p t i o n r a t e a t 5 0 0 M H z ( W / k g / m ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . F i g u r e 1 2 . 5 2 S t e a d y s t a t e t e m p e r a t u r e d i s t r i b u t i o n f o r V ( a ) T a = 3 2 ° C a n d ( b ) T a = 3 7 ° C . 1 D T h e r m a l p r o fi l e s a l o n g ( c ) . ‘ L ‘ : : e r a n d ( d ) y 2 y e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . F i g u r e 1 2 . 5 3 S t e a d y s t a t e t e m p e r a t u r e d i s t r i b u t i o n i n s i d e p a t i e n t m o d e l , I a c a l - c u l a t e d u s i n g n o n i n v a s i v e a b l a t i o n s i m u l a t i o n s ( a ) T a = 3 2 ° C a n d 2 8 7 2 8 9 2 8 9 2 9 0 2 9 0 2 9 2 2 9 3 ( b ) T a = 3 7 ° C . 1 D T h e r m a l p r o fi l e s a l o n g ( c ) : r 2 a r e a n d ( d ) y = 3 1 6 . 2 9 4 F i g u r e 1 2 . 5 4 N o n i n v a s i v e a b l a t i o n u s i n g d e f o r m a b l e m i r r o r f o r p a t i e n t m o d e l 1 1 1 ( a ) T a = 3 2 ° C a n d ( b ) T a : 3 7 ° C . 1 D T h e r m a l p r o fi l e s a l o n g ( c ) : 1 : : a r c a n d ( d ) y = y c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . F i g u r e 1 2 . 5 5 8 t e a d y s t a t e a b l a t i o n t e m p e r a t u r e d i s t r i b u t i o n i n s i d e p a t i e n t m o d e l V ( a ) T a = 3 2 ° C a n d ( b ) T a , = 3 7 ° C . 1 D T h e r m a l p r o fi l e s a l o n g ( c ) : 1 : : 2 . 1 3 0 a n d ( d ) y 2 y e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . F i g u r e 1 3 . 1 S p e c u l a r r e fl e c t i o n a n d t r a n s m i s s i o n i n g e o m e t r i c a l o p t i c s . F i g u r e 1 3 . 2 R a y o p t i c s a t n o n — s p e c u l a r s u r f a c e ( a ) D i f f u s e r e f l e c t i o n ( b ) D i f f u s e t r a n s m i s s i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . F i g u r e 1 3 . 3 I l l u s t r a t i o n o f r a y t r a c i n g p r o c e s s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . F i g u r e 1 3 . 4 R e p r e s e n t a t i o n o f a l i g h t r a y i n r a y t r a c i n g m o d u l e . . . . . . . . . F i g u r e 1 3 . 5 S c h e m a t i c r e p r e s e n t a t i o n o f t h e o p t i c a l e x p e r i m e n t . . . . . . . . . F i g u r e 1 3 . 6 E x p e r i m e n t a l s e t u p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . F i g u r e 1 3 . 7 L i g h t c h a r a c t e r i s t i c s o f t h e L E D [ 2 0 6 ] ( a ) S p e c t r a l d i s t r i b u t i o n ( b ) S p a t i a l d i s t r i b u t i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . F i g u r e 1 3 . 8 C o n n e c t i o n d i a g r a m f o r t h e L E D c i r c u i t . . . . . . . . . . . . . . . F i g u r e 1 3 . 9 L i g h t i n t e n s i t y m e a s u r e d b y t h e 3 0 0 0 e l e m e n t l i n e a r C C D a r r a y . . X X V 2 9 5 2 9 6 3 0 5 3 0 7 3 1 0 3 1 1 3 1 6 3 1 7 3 1 8 3 1 8 F i g u r e 1 3 . 1 0 C C D m e a s u r e m e n t s f o r d i f f e r e n t m i r r o r r o t a t i o n . . . . . . . . . . 3 2 0 F i g u r e 1 3 . 1 1 I l l u s t r a t i o n o f t h e r a y t r a c i n g p r o c e s s i m p l e m e n t e d i n t h e m o d e l . . 3 2 2 F i g u r e 1 3 . 1 2 A p o d i z a t i o n f u n c t i o n f o r v a r y i n g v a l u e s o f m i n ( 1 3 . 2 8 a ) . . . . . . 3 2 3 F i g u r e 1 3 . 1 3 1 \ = ' i o d e l v e r s u s n o r m a l i z e d C C D m e a s u r e m e n t s f o r m = 4 2 . . . . . . 3 2 3 F i g u r e 1 3 . 1 4 C o m p a r i s o n b e t w e e n r a y t r a c i n g m o d e l a n d C C D m e a s u r e m e n t s f o r , " e s t 2 1 . 4 1 ( a ) 6 _ | _ + 2 ° ( b ) 6 J _ — 2 ° ( 0 ) 6 ] . . . . . . . . . . . . 3 2 5 F i g u r e 1 3 . 1 5 N o r m a l i z e d C C D m e a s u r e m e n t f o r t h e p l a s t i c s l a b w i t h o p a q u e o b j e c t ( a ) O b j e c t I , d : 0 . 6 5 m m ( b ) O b j e c t I I , d = 1 . 3 7 7 1 7 1 1 ( c ) O b j e c t I I I , a t = 2 . 1 0 m m ( e ) O b j e c t V , d : 1 . 2 5 m m . . . . . . . . . 3 2 7 F i g u r e 1 3 . 1 6 C o m p a r i s o n b e t w e e n r a y t r a c i n g m o d e l a n d n o r m a l i z e d C C D m e a - s u r e m e n t s o f t h e p l a s t i c s l a b w i t h O b j e c t I f o r ” e s t : 1 . 4 1 , d e s t : 0 . 6 0 m m ( a ) ( 9 ] + 2 ° ( b ) 9 T — 2 ° ( c ) E s t i m a t e d w i d t h p r o fi l e f o r O b j e c t I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 2 8 F i g u r e 1 3 . 1 7 C o m p a r i s o n b e t w e e n r a y t r a c i n g m o d e l a n d n o r m a l i z e d C C D m e a - s u r e m e n t s o f t h e p l a s t i c s l a b w i t h O b j e c t I I f o r 7 1 6 s t 2 1 . 4 1 , d e s t : 1 . 2 m m ( a ) 9 L + 2 ° ( b ) 6 T — 2 ° ( c ) E s t i m a t e d w i d t h p r o fi l e f o r O b j e c t I I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 3 0 F i g u r e 1 3 . 1 8 C o m p a r i s o n b e t w e e n r a y t r a c i n g m o d e l a n d n o r m a l i z e d C C D m e a - s u r e m e n t s o f t h e p l a s t i c s l a b w i t h O b j e c t I I I f o r 7 1 . 8 S t = 1 . 4 1 , ( 1 6 s t 2 1 . 9 m m ( a ) 0 1 . ( b ) 9 T — 2 ° ( c ) E s t i m a t e d w i d t h p r o fi l e f o r O b j e c t I I I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 3 1 F i g u r e 1 3 . 1 9 C o m p a r i s o n b e t w e e n r a y t r a c i n g m o d e l a n d n o r m a l i z e d C C D m e a - s u r e m e n t s o f t h e p l a s t i c s l a b w i t h O b j e c t I V f o r n e s t = 1 . 4 1 , d e s t : 1 . 2 m m ( a ) 0 ] + 2 ° ( b ) 6 T — 2 ° ( c ) E s t i m a t e d w i d t h p r o fi l e f o r O b - j e c t I V . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 3 2 F i g u r e 1 3 . 2 O I l l u s t r a t i o n o f e x p e r i m e n t a l s e t u p f o r l a y e r e d m e d i u m . . . . . . . 3 3 3 F i g u r e 1 3 . 2 1 C C D m e a s u r e m e n t s o f l a y e r e d m e d i u m f o r ( a ) 6 . ] . — 2 ° ( b ) 6 J . + 2 ° m i r r o r r o t a t i o n s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 3 4 F i g u r e 1 3 . 2 2 C o m p a r i s o n b e t w e e n fi l t e r e d C C D m e a s u r e m e n t s a n d r a y t r a c i n g m o d e l f o r { 1 1 . 1 , n . 2 , n 3 } € 3 t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 3 5 F i g u r e 1 3 . 2 3 1 n v e r s i o n r e s u l t s ( a ) R e c o n s t r u c t e d 1 D r e f r a c t i v e i n d e x p r o fi l e ( b ) R e c o n s t r u c t i o n e r r o r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 3 6 x x v i K E Y T O S Y M B O L S A N D A B B R E V I A T I O N S E M : E l e c t r m n a g n e t i c s T E : T r a n s v e r s e E l e c t r i c T M : T r a n s v e r s e M a g n e t i c F E M : F i n i t e E l e m e n t M e t h o d F E B I : F i n i t e E l e m e n t B o u n d a r y I n t e g r a l M O M : l \ « * I e t h o d o f M o m e n t s M E M S : h r ‘ l i c r o - e l e c t r o — m e c h a n i c a l S y s t e m s C M O S : C o m p l e m e n t a r y 1 \ : I e t a l O x i d e S e m i c o n d u c t o r M D M : M e m b r a n e D e f o r m a b l e M i r r o r S A R : S p e c i fi c A b s o r p t i o n R a t e B H T E : B i o - h e a t T r a n s f e r E q u a t i o n M R : M a g n e t i c R e s o n a n c e C C D : C h a r g e C o u p l e d D e v i c e 1 D : O n e D i m e n s i o n a l 2 D : T w o D i m e n s i o n a l x x v i i C H A P T E R 1 I N T R O D U C T I O N 1 . 1 M o t i v a t i o n & O b j e c t i v e s B r e a s t c a n c e r i s t h e s e c o n d l e a d i n g c a u s e o f c a n c e r d e a t h s a m o n g s t w o m e n i n t h e U n i t e d S t a t e s . T h e fi v e - y e a r s u r v i v a l r a t e f o r b r e a s t c a n c e r s d i a g n o s e d p r i o r t o m e t a - s t a s i s h a s b e e n r e p o r t e d a s 9 7 % . T h u s , r e g u l a r h e a l t h e x a m i n a t i o n s a t a n e a r l y a g e c o u l d h e l p d e t e c t c a n c e r a n d i n c r e a s e t h e s u r v i v a l r a t e . T h e n e e d f o r e a r l y s t a g e c a n c e r d e t e c t i o n w i t h h i g h l e v e l s o f s p e c i fi c i t y a n d s e n s i t i v i t y h a s l e d t o t h e d e v e l o p - m e n t o f s e v e r a l d i a g n o s i s a n d t r e a t m e n t m e t h o d s . U n f o r t u n a t e l y , e v e n i n t h e c a s e o f w e l l - e s t a b l i s h e d X — r a y m a m m o g r a p h y t e c h n i q u e s , a b o u t 5 - 1 5 % o f b r e a s t c a n c e r c a s e s a r e i m p r o p e r l y d i a g n o s e d a n d b i o p s y o u t c o m e c o r r o b o r a t i n g t h e fi n d i n g s o f X - r a y m a m m o g r a m h a s b e e n r e p o r t e d t o r a n g e b e t w e e n 1 0 — 5 0 % . X - r a y m a m m o g r a p h y i s p o o r i n s c r e e n i n g r a d i o g r a p h i c a l l y d e n s e b r e a s t , i n v o l v e s t h e u s e o f i o n i z i n g r a d i a t i o n a n d r e q u i r e s p a i n f u l b r e a s t c o m p r e s s i o n . T h e l i m i t a t i o n s o f X — r a y m a m m o g r a p h y h a v e l e d t o a n i n t e r e s t i n a l t e r n a t e b r e a s t - i m a g i n g m e t h o d s . A m o n g s t t h e c o m p l e m e n t a r y m e t h o d s , m i c r o w a v e b r e a s t i m a g i n g i s v e r y p r o m i s i n g b e c a u s e o f t h e v e r y h i g h c o n t r a s t b e t w e e n t h e e l e c t r i c a l p r o p e r t i e s o f c a n c e r o u s a n d b e n i g n b r e a s t t i s s u e s . M o r e o v e r , m i c r o w a v e b r e a s t i m a g i n g d o e s n o t i n v o l v e r a d i a t i o n e x p o s u r e o r b r e a s t c o m p r e s s i o n a n d i s a s a f e r a l t e r n a t i v e n o n — i n v a s i v e i m a g i n g m e t h o d . C o n v e n t i o n a l m i c r o w a v e t o m o g r a p h y f o r b i o l o g i c a l b o d i e s i n v o l v e s i l l u m i n a t i o n a t d i f f e r e n t a n g l e s / p o s i t i o n s f o r i m a g i n g a n d o f t e n r e q u i r e a n - t e n n a s w i t c h i n g m e c h a n i s m s , a n t e n n a c o m p e n s a t i o n a l g o r i t h m s a n d a t t i m e s i n c r e a s e i n t h e n u m b e r o f a n t e n n a s f o r m o r e m u l t i — v i e w fi e l d m e a s u r e m e n t s . T h i s g i v e s t h e i m p e t u s t o e x p l o r e a l t e r n a t e t e c h n i q u e s f o r m i c r o w a v e i m a g i n g t h a t c a n e x p l o i t t h e a d v a n t a g e s o f m i c r o w a v e s f o r b r e a s t i m a g i n g . A n e w a c t i v e m i c r o w a v e i m a g i n g s y s t e m e m p l o y i n g a c o n t i n u o u s l y d e f o r m a b l e m i r r o r i s p r o p o s e d i n t h i s w o r k a s a n a l t e r n a t i v e s t r a t e g y . T h e m e m b r a n e d e f o r m a b l e m i r r o r i n t h e p r o p o s e d s y s - t e m s t e e r s t h e i n c i d e n t fi e l d f o r m u l t i - v i e w i l l u m i n a t i o n w i t h o u t t h e n e e d f o r a n t e n n a s w i t c h i n g a n d c o m p e n s a t i o n . B e s i d e s i m a g i n g , t h e d e f o r m a b l e m i r r o r c o u l d a l s o b e u s e d t o d e l i v e r e l e c t r o m a g n e t i c t h e r m a l t h e r a p y t o t r e a t l o c a l i z e d b r e a s t t u m o r s . T h e d e f o r m a b l e m i r r o r w i t h r e fl e c t i v e c o a t i n g f u n c t i o n s a s a n a d a p t i v e f o c u s i n g m i r r o r a n d p r e f e r e n t i a l l y d e p o s i t t h e r m a l e n e r g y a t t h e t u m o r s i t e i n s i d e t h e b r e a s t . T h e p r o — p o s e d h y p e r t h e r m i a t e c h n i q u e i s d e v o i d o f t h e c o m p l e x i t i e s a s s o c i a t e d w i t h c o n v e n - t i o n a l e l e c t r o m a g n e t i c t h e r m a l t r e a t m e n t s t h a t r e q u i r e o p t i m i z a t i o n o f t h e a m p l i t u d e a n d p h a s e o f m u l t i p l e a n t e n n a e l e m e n t s f o r f o c u s i n g . 1 . 2 S c e p e o f t h e T h e s i s T h i s t h e s i s a i m s t o e v a l u a t e t h e f e a s i b i l i t y o f t h e d e f o r m a b l e m i r r o r m i c r o w a v e t o - m o g r a p h y a n d t h e r a p y t e c h n i q u e u s i n g n u m e r i c a l m o d e l s a n d p r o o f o f c o n c e p t o p t i c a l p r o t o t y p e . E l e c t r o m a g n e t i c w a v e i n t e r a c t i o n w i t h b i o l o g i c a l o b j e c t s a n d o p e r a t i o n a l p r i n c i p l e s o f a d a p t i v e m i r r o r s e s s e n t i a l t o i n v e s t i g a t e s y s t e m f e a s i b i l i t y a r e e x p l a i n e d i n d e t a i l u s i n g n u m e r i c a l m o d e l s . S y s t e m a t i c c o m p u t a t i o n a l s t u d i e s i n v o l v i n g t h e — o r y , s y s t e m f u n c t i o n a l i t y a n d m a t h e m a t i c a l e q u a t i o n s t h a t g o v e r n d a t a a c q u i s i t i o n , i m a g i n g a n d t h e r a p y d e l i v e r y a r e a l s o e x p l a i n e d . T h e c o m p u t a t i o n a l f e a s i b i l i t y s t u d y a l s o i n c l u d e d e v i s i n g a n d t e s t i n g e f fi c i e n t t e c h - n i q u e s a n d a l g o r i t h m s t o i d e n t i f y o p t i m a l m i r r o r s h a p e s f o r i n f o r m a t i o n r i c h m u l t i - v i e w d a t a f o r t o m o g r a p h i c r e c o n s t r u c t i o n . T h e p e r f o r m a n c e o f p r o p o s e d t e c h n i q u e s a r e e x t e n s i v e l y e v a l u a t e d u s i n g 2 D b r e a s t m o d e l s w i t h v a r y i n g p e r m i t t i v i t y d i s t r i b u - t i o n s . T e c h n i q u e s d e v e l o p e d f o r a u t o m a t e d e s t i m a t i o n o f m i r r o r s h a p e f o r e f fi c i e n t d e l i v e r y o f t h e r m a l d o s e a t t h e t u m o r s i t e w i t h m i n i m a l s u p e r fi c i a l s k i n h e a t i n g a n d c o l l a t e r a l t i s s u e d a m a g e a r e e v a l u a t e d u s i n g b i o — h e a t t r a n s f e r e q u a t i o n . T h e b i o - h e a t t r a n s f e r m o d e l u s e s t h e E M e n e r g y d e p o s i t e d w i t h i n t h e t i s s u e t o c a l c u l a t e t h e s t e a d y s t a t e t e m p e r a t u r e d i s t r i b u t i o n i n s i d e b r e a s t p h a n t o m s . A q u a n t i t a t i v e a n a l y s i s o f t h e m i r r o r b a s e d t h e r m a l t h e r a p y t e c h n i q u e i s e v a l u a t e d u s i n g M R I d a t a o f p a t i e n t s w i t h d i f f e r e n t h i s t o l o g i c a l a n d p a t h o l o g i c a l h i s t o r y . 1 . 3 O r g a n i z a t i o n o f t h e T h e s i s A b r i e f i n t r o d u c t i o n o f b r e a s t c a n c e r a n d c u r r e n t c l i n i c a l d i a g n o s t i c a n d t r e a t m e n t p r o c e d u r e s a v a i l a b l e f o r s y m p t o m a t i c w o m e n a r e c o v e r e d i n c h a p t e r 2 . I n o r d e r t o d e v e l o p d i a g n o s t i c t e c h n i q u e s i t i s e s s e n t i a l t o u n d e r s t a n d t h e i n t e r a c t i o n o f E M w a v e s w i t h b i o l o g i c a l t i s s u e s . C h a p t e r 3 s u m m a r i z e s E M fi e l d i n t e r a c t i o n w i t h t i s s u e s i n t h e r a d i o a n d 1 1 1 i c r o w a v e f r e q u e n c y s p e c t r u m . C h a p t e r 4 b r i e fl y r e v i e w s t h e b a s i c s o f t i m e h a r m o n i c E M fi e l d n e c e s s a r y t o u n d e r s t a n d E M r a d i a t i o n a n d s c a t t e r i n g p h e n o m e n o n i n t h e d e f o r m a b l e m i r r o r b a s e d m i c r o w a v e t o m o g r a p h y a n d t h e r a p y t e c h n i q u e . D i f f e r e n t i a l a n d i n t e g r a l s o l u t i o n s t o E M w a v e s c a t t e r i n g a r e d e r i v e d i n c h a p t e r 5 f o r T M a n d T E m o d e s . A l i t e r a t u r e s u r v e y r e l a t e d t o t h e e v o l u t i o n o f m i c r o w a v e t o m o g r a p h y a n d t h e u n d e r l y i n g t h e o r y o f d i f f e r e n t i n v e r s e s c a t t e r i n g t e c h n i q u e s a r e b r i e fl y c o v e r e d i n c h a p t e r 6 . A n o v e r v i e w o f t h e d e v e l o p m e n t a n d r o l e o f a c t i v e m i r r o r s i n a d a p t i v e o p t i c s y s t e m s a n d t h e d i f f e r e n t t y p e s o f a c t i v e m i r r o r s , t h e i r d e s i g n a n d a p p l i c a t i o n s a r e d i s c u s s e d i n c h a p t e r 7 . T h e d e s i g n a n d m a t h e m a t i c a l t h e o r y t h a t g o v e r n s t h e m i r r o r f u n c t i o n a l i t y , t h e k e y e l e m e n t o f t h e t h e s i s a r e a l s o c o v e r e d i n c h a p t e r 7 . P r e l i m i n a r y p r o o f o f t h e p r o p o s e d m i r r o r c o n c e p t f o r b r e a s t c a n c e r i s i n v e s t i g a t e d i n c h a p t e r 8 v i a s i m u l a t i o n s n e g l e c t i n g d i f f r a c t i o n a n d s c a t t e r i n g . T h e d e s i g n a n d f u n c t i o n a l i t y o f t h e p r o p o s e d d e f o r m a b l e m i r r o r m i c r o w a v e t o - m o g r a p h y s e t u p i s p r e s e n t e d i n c h a p t e r 9 w i t h d e t a i l e d e x p l a n a t i o n s o n t h e c h o i c e o f o p e r a t i n g f r e q u e n c y a n d m i r r o r d e f o r m a t i o n s f o r m i c r o w a v e t o m o g r a p h y . T h e m a t h - e m a t i c s a n d n u m e r i c a l i m p l e m e n t a t i o n o f b r e a s t p e r m i t t i v i t y r e c o n s t r u c t i o n u s i n g d e f o r m a b l e m i r r o r s e t u p a r e d e t a i l e d i n c h a p t e r 1 0 v i a n u m e r i c a l s i m u l a t i o n s o n t w o d i m e n s i o n a l h e t e r o g e n e o u s b r e a s t . m o d e l s . O t h e r p o t e n t i a l a p p l i c a t i o n s o f t h e p r o - p o s e d m i r r o r b a s e d t o m o g r a p h y t e c h n i q u e a r e a l s o b r i e fl y c o v e r e d i n c h a p t e r 1 0 . I n a d d i t i o n t o i t s u s e f o r i m a g i n g , t h e s y s t e m c a n b e u s e d f o r t h e r a p y a s w e l l . C o m p u t a — t i o n a l f e a s i b i l i t y o f a n a l t e r n a t i v e m o d e o f E M t h e r m a l t h e r a p y e m p l o y i n g d e f o r m a b l e m i r r o r s f o r l o c a l i z e d b r e a s t t u m o r s i s i n v e s t i g a t e d i n c h a p t e r 1 1 . I n c h a p t e r 1 1 , b i o — h e a t t r a n s f e r m o d e l i s u s e d t o q u a n t i f y t h e s t e a d y s t a t e t e m p e r a t u r e m a i n t a i n e d b y d u a l m i r r o r t h e r a p y t e c h n i q u e i n s i d e 2 D b r e a s t p h a n t o m s w i t h v a r y i n g t u m o r s i z e . C o m p u t a t i o n a l f e a s i b i l i t y o f d u a l m i r r o r t h e r a p y t e c h n i q u e i s i n v e s t i g a t e d i n c h a p t e r 1 2 u s i n g h i g h r e s o l u t i o n l \ s ’ I R I d a t a o f w o m e n r e p o r t e d t o h a v e b r e a s t m a l i g n a n c y . T h e o p t i c a l p r o t o t y p e s y s t e m d i s c u s s e d i n c h a p t e r 1 3 s e r v e s a s a p r o o f o f c o n c e p t f o r t h e d e f o r m a b l e m i r r o r m i c r o w a v e t o m o g r a p h y t e c h n i q u e . R e f r a c t i v e i n d e x e s t i - m a t i o n o f n o n - o p a q u e o b j e c t s u s i n g l i g h t . m e a s u r e m e n t s f o r d i f f e r e n t m i r r o r r o t a t i o n s p r e s e n t e d i n c h a p t e r 1 3 s e t s t h e s t a g e f o r p o t e n t i a l u s e o f d e f o r m a b l e m i r r o r i n m i - c r o w a v e r e g i m e f o r t o m o g r a p h y . T h e s i s c o n t r i b u t i o n s , c o n c l u d i n g r e m a r k s a n d f u t u r e w o r k a r e p r e s e n t e d i n c h a p t e r 1 4 . C H A P T E R 2 B R E A S T C A N C E R I n t r o d u c t i o n C a n c e r i s a d i s e a s e c a u s e d d u e t o m a l f u n c t i o n i n g o f m u t a t e d g e n e s t h a t c o n t r o l c e l l g r o w t h a n d d i v i s i o n . C a n c e r h a s b e e n r e p o r t e d t o b e t h e s e c o n d l e a d i n g c a u s e o f d e a t h s i n t h e U n i t e d S t a t e s o f A m e r i c a a n d i t a c c o u n t s f o r 1 i n e v e r y 4 d e a t h s [ 1 ] . A p p r o x i m a t e l y 5 % t o 1 0 % o f c a n c e r s h a v e b e e n r e p o r t e d t o b e h e r e d i t a r y w i t h t h e r e m a i n i n g d u e t o m u t a t i o n s c a u s e d b y i n t e r n a l f a c t o r s s u c h a s h o r m o n e s o r e x t e r n a l f a c t o r s s u c h a s t o b a c c o , a l c o h o l , c h e m i c a l s a n d s u n l i g h t [ 1 ] . T h e c a u s e o f c a n c e r i s n o t c l e a r l y u n d e r s t o o d a n d t h e u n c o n t r o l l e d g r o w t h o f t h e c a n c e r o u s c e l l s l e a d s t o d e a t h . I n t h e U n i t e d S t a t e s , t h e p r o b a b i l i t y o f a n i n d i v i d u a l t o s u c c u m b t o o r d i e f r o m c a n c e r i s l i t t l e l e s s t h a n 1 i n 2 f o r m e n a n d l i t t l e m o r e t h a n 1 i n 3 f o r w o m e n [ 1 ] . B e t w e e n 1 9 9 0 — 2 0 0 4 , 1 8 m i l l i o n n e w c a n c e r c a s e s h a v e b e e n d i a g n o s e d a n d a b o u t 1 , 3 7 2 , 9 1 0 n e w c a s e s w e r e e x p e c t e d t o b e d i a g n o s e d b y 2 0 0 5 [ 1 , 2 ] . T h e e s t i m a t e d i n c i d e n c e o f n e w c a n c e r c a s e s a n d m o r t a l i t y d u e t o a l l t y p e s o f c a n c e r i n b o t h s e x e s i n t h e U n i t e d S t a t e s s i n c e 1 9 9 7 i s s h o w n i n F i g u r e F i g u r e 2 . 1 [ 1 ] - [ 1 0 ] . T h e 5 — y e a r s u r v i v a l r a t e f o r i n d i v i d u a l s t r e a t e d f o r c a n c e r r e p o r t e d d u r i n g 1 9 9 7 - 2 0 0 5 i s s h o w n i n F i g u r e F i g u r e 2 . 2 . F i g u r e F i g u r e 2 . 2 i n d i c a t e s a s t e a d y i n c r e a s e i n s u r v i v a l r a t e d u e t o i n c r e a s e d a w a r e n e s s a n d e a r l y s t a g e s c r e e n i n g [ 1 ] - [ 1 0 ] . R e p o r t s i n d i c a t e t h a t a b o u t 7 6 % o f a l l c a n c e r s a r e d i a g n o s e d o n l y a t a g e 5 5 o r o l d e r . R e g u l a r h e a l t h e x a m i n a t i o n s w i l l i n c r e a s e t h e s u r v i v a l r a t e b y d e t e c t i n g m o s t o f t h e c o m m o n l y o c c u r r i n g c a n c e r s a t a n e a r l y s t a g e [ 1 ] . E a r l y s t a g e c a n c e r i s s m a l l i n s i z e , l o c a l i z e d a n d i s l e s s l i k e l y t o s p r e a d t o t h e n e i g h b o r i n g t i s s u e s a n d c a n b e e f f e c t i v e l y t r e a t e d . T h e n e e d f o r e a r l y s t a g e c a n c e r d e t e c t i o n w i t h l o w e r f a l s e a l a r m h a s l e d t o t h e d e v e l o p m e n t o f s e v e r a l d i a g n o s t i c a n d t r e a t m e n t m e t h o d s f o r c a n c e r s u c h a s X — r a y m a m m o g r a m , C f ! X — r a y c o m p u t e d t o m o g r a p h y ( C T ) , n u c l e a r m e d i c i n e , m a g n e t i c r e s o n a n c e i m a g i n g a n d u l t r a s o u n d i m a g i n g [ 1 1 ] . T h i s c h a p t e r g i v e s a b r i e f i n t r o d u c t i o n o f b r e a s t c a n c e r a n d c o v e r s t h e c u r r e n t c l i n i c a l d i a g n o s t i c a n d t r e a t m e n t p r o c e d u r e s a v a i l a b l e f o r s y m p t o m a t i c w o m e n . T h e s t a t i s t i c s c o m p i l e d o v e r t h e y e a r s f o r b r e a s t c a n c e r i s s u m m a r i z e d i n s e c t i o n 2 . 1 . I n s e c t i o n 2 . 2 , t h e o c c u r r e n c e a n d t y p e s o f b r e a s t c a n c e r d e p e n d i n g o n t h e p h y s i c a l l o c a t i o n a n d t h e t u m o r s t a g e a r e e x p l a i n e d w i t h r e s p e c t t o t h e f e m a l e b r e a s t a n a t o m y . T h e e a r l y s t a g e b r e a s t c a n c e r s c r e e n i n g g u i d e l i n e s a d v o c a t e d f o r a s y m p t o m a t i c w o m e n a n d l i m i t a t i o n s o f t h e w i d e l y u s e d X - r a y m a m m o g r a p h y a r e d i s c u s s e d i n s e c t i o n 2 . 3 . T h e c o n v e n t i o n a l a n d c o n t e m p o r a r y d i a g n o s t i c p r o c e d u r e s a v a i l a b l e t o c o n fi r m t h e fi n d i n g s o f b r e a s t s c r e e n i n g a r e b r i e fl y c o v e r e d i n s e c t i o n 2 . 4 . T h e c l i n i c a l t r e a t m e n t o p t i o n s a v a i l a b l e f o r s y m p t o m a t i c w o m e n d e p e n d i n g o n t h e l o c a t i o n , s i z e a n d s t a g e o f t h e c a n c e r a n d o t h e r c o m p l e m e n t a r y t h e r a p y t e c h n i q u e s a r e c o v e r e d i n s e c t i o n s 2 . 5 a n d 2 . 6 r e s p e c t i v e l y . 2 . 1 B r e a s t C a n c e r - E p i d e m i c A m o n g s t ‘ t h e d i f f e r e n t t y p e s o f c a n c e r s , w o m e n i n t h e U n i t e d S t a t e s a n d e l s e w h e r e i n t h e w o r l d a r e m o r e p r o n e t o t h e b r e a s t c a n c e r d i s e a s e . I n t h e U n i t e d S t a t e s , t h e m o s t c o m m o n c a n c e r d i s e a s e s d i a g n o s e d a m o n g s t w o m e n i n c l u d e t h e c a n c e r o f t h e l u n g a n d b r e a s t . T h e i n c i d e n c e o f n e w c a s e s o f l u n g a n d b r e a s t c a n c e r c o m p a r e d t o t h e o t h e r 4 3 t y p e s o f c a n c e r c a s e s r e p o r t e d s i n c e 1 9 9 7 i s s u m m a r i z e d i n F i g u r e F i g u r e 2 . 3 [ 1 ] - [ 1 0 ] . F i g u r e F i g u r e 2 . 4 s h o w s t h e e s t i m a t e d n u m b e r o f t h e c a n c e r d e a t h s a m o n g s t t h e U S w o m e n r e p o r t e d s i n c e 1 9 9 7 . O n a n a v e r a g e , F i g u r e s F i g u r e 2 . 3 - F i g u r e 2 . 4 i n d i c a t e t h a t b r e a s t c a n c e r a c c o u n t s f o r o n e i n e v e r y t h r e e c a n c e r c a s e s d i a g n o s e d a n d i s t h e s e c o n d l e a d i n g c a u s e o f d e a t h s a m o n g s t w o m e n i n t h e U n i t e d S t a t e s n e x t t o l u n g c a n c e r . B r e a s t c a n c e r i s b r o a d l y c l a s s i fi e d i n t o i n v a s i v e a n d i n — s i t u d e p e n d i n g o n t h e p r o l i f e r a t i o n o f m a l i g n a n t c e l l s t o t h e n e i g h b o r i n g b e n i g n c e l l s . F i g u r e F i g u r e C a n c e r S t a t i s t i c s 1 5 0 0 0 0 0 1 9 9 7 1 9 9 8 1 9 9 9 2 0 0 0 2 0 0 1 2 0 0 2 2 0 0 3 2 0 0 4 2 0 0 5 I E s t i m a t e d n e w c a n c e r c a s e s I E s t i m a t e d c a n c e r d e a t h s F i g u r e 2 . 1 . E s t i m a t e d c a n c e r s t a t i s t i c s i n t h e U n i t e d S t a t e s [ 1 ] — [ 1 0 ] . 2 . 5 s h o w s t h e 2 0 0 5 s t a t i s t i c s f o r b r e a s t c a n c e r i n c i d e n c e a n d m o r t a l i t y r e p o r t e d b y t h e A m e r i c a n C a n c e r S o c i e t y . I n 2 0 0 5 , t h e n u m b e r o f n e w c a s e s w a s e s t i m a t e d t o b e 2 1 1 , 2 4 0 f o r i n v a s i v e a n d 5 8 , 4 9 0 f o r i n - s i t u b r e a s t c a n c e r w i t h t h e t o t a l b r e a s t c a n c e r m o r t a l i t y e q u a l t o 4 0 , 1 4 0 [ 1 0 ] . I t i s a n t i c i p a t e d t h a t o n e i n e v e r y 8 w o m e n w i l l s u c c u m b t o b r e a s t c a n c e r d u r i n g t h e i r l i f e t i m e . T h e i n c i d e n c e a n d m o r t a l i t y r a t e s r e p o r t e d f o r b r e a s t c a r c i n o m a i s o f u t m o s t p u b l i c h e a l t h c o n c e r n i n t h e U n i t e d S t a t e s . 2 . 2 B r e a s t D i s e a s e C a r c i n o m a o r c a n c e r o f t h e b r e a s t i s a d i s e a s e c a u s e d b y m u t a t i o n s i n c e l l g r o w t h i n s i d e t h e b r e a s t t i s s u e . A t y p i c a l a n a t o m y o f a m a t u r e f e m a l e b r e a s t i s s h o w n i n F i g u r e F i g u r e 2 . 6 . T y p i c a l f e m a l e b r e a s t t i s s u e c o m p r i s e s o f m i l k p r o d u c i n g g l a n d s a l s o n a m e d a s t h e l o b u l e s , d u c t s t h a t c a r r y t h e m i l k f r o m t h e l o b u l e s t o t h e n i p p l e , A g e a d j u s t e d 5 - y e a r a r v i v a l r a t e 1 1 1 % 7 0 1 9 9 7 1 9 9 8 1 9 9 9 2 0 0 0 2 0 0 1 2 0 0 2 2 0 0 3 2 0 0 4 2 0 0 5 F i g u r e 2 . 2 . O v e r a l l fi v e y e a r s u r v i v a l r a t e f o r U S i n d i v i d u a l s w i t h c a n c e r [ 1 ] - [ 1 0 ] . E s t i m a t e d i n c i d e n c e o f n e w c a n c e r c a s e s i n w o m e n a ’ 3 7 : : 1 9 9 7 1 9 9 0 1 9 9 9 2 0 0 2 2 0 0 3 2 0 0 4 2 0 0 5 L u n g f b r o n c h u s c a n c e r I I n v a s i v e b r e a s t c a n c e r I I n - s i t u b r e a s t c a n c e r F i g u r e 2 . 3 . E s t i m a t e d i n c i d e n c e o f c a n c e r c a s e s a m o n g s t w o m e n i n U n i t e d S t a t e s I l l - 1 1 0 l — E s t i m a t e d c a n c e r d e a t h s i n w o m e n 8 0 0 0 0 L u n g & B r o n c h u s C a n c e r 2 0 0 2 2 0 0 3 2 0 0 4 2 0 0 5 I B r e a s t C a n c e r F i g u r e 2 . 4 . E s t i m a t e d m o r t a l i t y c a u s e d b y l u n g / b r o n c h u s a n d b r e a s t c a n c e r s a m o n g s t U S w o m e n [ 1 ] — [ 1 0 ] . O t h e r 4 3 t y p e s 4 7 % B r e a s t 3 2 % 0 0 . 3 - L u n g l b r o n c h u s / o 9 0 1 2 % ( 3 ) O t h e r 4 3 t y p e s 4 8 % B r e a s t 1 5 % C o l o n L u n g l b r o n c h u s 1 0 % 2 7 % ( b ) F i g u r e 2 . 5 . D i s t r i b u t i o n o f c a n c e r c a s e s a n d d e a t h s r e p o r t e d f o r 2 0 0 5 [ 1 ] A R E O L A N I P P L E C O L L E C T I N G D U C T S ' F A T T Y C O N N E C T I V E T I S S U E F i g u r e 2 . 6 . B r e a s t A n a t o m y [ 1 2 ] . 1 0 f a t t y c o n n e c t i v e t i s s u e c a l l e d t h e s t r o r n a , b l o o d v e s s e l s a n d l y m p l ‘ i a t i c t i s s u e s [ 1 3 , 1 4 ] . T h e l o b u l e s a r e s u r r o u n d e d b y fi b r o u s a n d f a t t y / a d i p o s e t i s s u e a s s h o w n i n F i g u r e F i g u r e 2 . 6 . T h e l o b u l e s c o m p o s e d o f d u c t u l e s a n d i n t r a — l o b u l a r d u c t s i s t h e s m a l l e s t u n i t i n t h e b r e a s t . T h e m i l k c a r r y i n g d u c t s a r e t h e m o s t c o m m o n s i t e f o r c a r c i n o m a . E a r l y s t a g e m a l i g n a n t c e l l s i n t h e b r e a s t a r e o f t e n s m a l l a n d l o c a l i z e d a n d m o s t l y o c c u r i n s i d e t h e m i l k d u c t s . E a r l y s t a g e c a n c e r i f u n a t t e n d e d r u p t u r e s t h e c e l l w a l l s a n d b e g i n s t o s p r e a d t o t h e s u r r o u n d i n g b e n i g n t i s s u e . T h e i n v a s i v e c a r c i n o g e n i c c e l l s c a n p o t e n t i a l l y b e t r a n s p o r t e d t o a d i s t a n t s i t e t h r o u g h t h e l y m p h n o d e s a n d c a n m a n i f e s t a s a m e t a - s t a t e c a n c e r . T h e d i f f e r e n t t y p e s o f b r e a s t c a n c e r c a t e g o r i z e d d e p e n d i n g o n t h e l o c a t i o n , s i z e a n d g r o w t h o f t h e l e s i o n a r e d i s c u s s e d b e l o w . 2 . 2 . 1 B r e a s t C a n c e r T y p e s D u c t a l C a r c i n o m a I n - s i t u ( D C I S ) r e f e r s t o t h e l o c a l o c c u r r e n c e o f c a n c e r i n s i d e t h e m i l k d u c t o f t h e b r e a s t t i s s u e . D C I S i s t h e m o s t c o m m o n t y p e o f n o n - i n v a s i v e b r e a s t c a n c e r t h a t a c c o u n t s f o r 2 5 % - 3 0 % o f m a m m o g r a p h i c a l l y d e t e c t e d b r e a s t c a n c e r s [ 1 3 ] . W i t h i n c r e a s e d u s a g e o f X - r a y m a m m o g r a p h y , t h e i n c i d e n c e o f D C I S i n c r e a s e d a n d i t a c c o u n t e d f o r 8 5 % o f t h e i n - s i t u b r e a s t c a n c e r d i a g n o s e d f r o m 1 9 9 8 - 2 0 0 2 [ 1 ] T h e l a r g e s t o c c u r r e n c e o f D C I S w a s o b s e r v e d t o b e i n w o m e n a g e d 5 0 a n d a b o v e [ 1 , 1 4 ] . L o b u l a r C a r c i n o m a I n - s i t u ( L C I S ) a l s o c a l l e d a s l o b u l a r n e o p l a s i a i s a n o t h e r t y p e o f e a r l y s t a g e c a n c e r t h a t a p p e a r s i n s i d e t h e m i l k g l a n d s a n d a r e c o n t a i n e d i n s i d e t h e w a l l s o f t h e l o b u l e s . L C I S h a s b e e n r e p o r t e d t o o c c u r e x c l u s i v e l y i n w o m e n o l d e r t h a n 4 0 y e a r s [ 1 , 1 5 ] . I t i s l e s s l i k e l y t o o c c u r t h a n D C I S a n d a c c o u n t s f o r a p p r o x i m a t e l y 1 2 % o f t h e i n - s i t u b r e a s t c a n c e r s i n w o m e n [ 1 ] . I n v a s i v e D u c t a l C a r c i n o m a ( I D C ) i s t h e m o s t c o m m o n b r e a s t c a n c e r t h a t a c c o u n t s f o r 8 0 % o f t h e i n v a s i v e c a n c e r s . T h e m a l i g n a n t c e l l s i n s i d e t h e d u c t p e n e - t r a t e s t h e d u c t a l w a l l s t o t h e s u r r o u n d i n g f a t t y t i s s u e a n d c a n m e t a s t a s i z e t h r o u g h t h e l y m p h a t i c t i s s u e s a n d b l o o d v e s s e l s a t a d i s t a n t s i t e . G e n e t i c s i m i l a r i t y b e t w e e n 1 1 % I n - S i t u 2 2 I n v a s i v e 7 8 % F i g u r e 2 . 7 . B r o a d d i s t r i b u t i o n o f b r e a s t c a n c e r t y p e s . t h e h i s t o l o g y o f D C I S a n d I D C i n m a n y c a s e s i n d i c a t e s D C I S a s a p r e c u r s o r t o I D C [ 1 3 ] . I n v a s i v e L o b u l a r C a r c i n o m a ( I L C ) i s i n fi l t r a t i n g c a r c i n o m a t h a t s t a r t s a t t h e l o b u l e s a n d i n v a d e s t h e s u r r o u n d i n g f a t t y t i s s u e a n d c o u l d e v e n t u a l l y s p r e a d t o a d i s t a n t s i t e v i a m e t a - s t a s i s . T h o u g h i t i s i n fi l t r a t i o n o f L C I S , m o s t i n v a s i v e b r e a s t m a l i g n a n c i e s t h a t f o l l o w L C I S a r e o f t e n o f d u c t a l h i s t o l o g y [ 1 5 ] . T h u s , I L C i s l e s s c o m m o n a n d a c c o u n t s o n l y f o r 5 % o f t h e i n v a s i v e b r e a s t c a n c e r . T h e o t h e r l e s s c o m m o n b r e a s t c a n c e r s i n c l u d e i n fl a m m a t o r y , m e d u l l a r y , t u b u l a r a n d m u c i n o u s c a n c e r s , p a g e t ’ s d i s e a s e a n d p h y l l o d e s t u m o r [ 1 3 ] . T h e d i f f e r e n t t y p e s o f b r e a s t c a n c e r d i s c u s s e d i n t h i s s e c t i o n a r e b r o a d l y c l a s s i fi e d a s i n - s i t u o r i n v a s i v e . T h e r a t i o o f i n c i d e n c e o f n e w c a n c e r c a s e s b a s e d o n t h e l e s i o n g r o w t h e s t i m a t e d f o r 2 0 0 5 i s s h o w n i n F i g u r e F i g u r e 2 . 7 . A l m o s t 8 0 % o f t h e n e w c a s e s d i a g n o s e d h a v e b e e n r e p o r t e d t o b e i n v a s i v e w h i c h i s a n i m p e d i n g f a c t o r t o e x t e n d t h e p a t i e n t s u r v i v a l r a t e . 2 . 3 B r e a s t C a n c e r S c r e e n i n g C a n c e r i s c o m m o n l y p e r c e i v e d a s a g r o u p o f m a l i g n a n t c e l l s t h a t b e g i n s t o m u l t i p l y a n d s p r e a d t o t h e s u r r o u n d i n g t i s s u e t h e r e b y d a m a g i n g t h e b e n i g n c e l l s . T h e r a m p a n t g r o w t h o f t h e m a l i g n a n t c e l l s i n t h e b r e a s t m i g h t r e s u l t i n m e t a — s t a s i s s p r e a d i n g t o t h e l u n g s t h e r e b y l e a d i n g t o d e a t h . A s i n d i c a t e d i n F i g u r e F i g u r e 2 . 7 , o n l y 2 0 % o f t h e b r e a s t c a n c e r c a s e s d i a g n o s e d a r e r e p o r t e d t o b e i n - s i t u o r l o c a l i z e d . T h e fi v e y e a r s u r v i v a l r a t e f o r i n d i v i d u a l s w i t h l o c a l i z e d b r e a s t c a n c e r i s a p p r o x i m a t e l y e q u a l t o 9 8 % [ 1 ] . T h u s , e a r l y s t a g e s c r e e n i n g i s k e y t o d e t e c t a n d c o n t r o l t h e g r o w t h o f l o c a l i z e d t u m o r c e l l s b e f o r e t h e y m a t u r e t o r e g i o n a l o r m e t a - s t a s i s s t a t e . T h e m o s t p o p u l a r a n d c o m m o n l y u s e d b r e a s t s c r e e n i n g m e t h o d s i n c l u d e X - r a y m a m m o g r a p h y , c l i n i c a l b r e a s t e x a n ' i i n a t i o n ( C B E ) a n d b r e a s t s e l f e x a m i n a t i o n ( B S E ) [ 1 , 1 3 , 1 6 ] . A g e d e p e n d e n t g u i d e l i n e s a d v o c a t e d b y t h e A m e r i c a n C a n c e r S o c i e t y a n d h e a l t h c a r e p r o f e s s i o n a l s f o r e a r l y d e t e c t i o n o f b r e a s t c a n c e r i n c l u d e : 0 A g e 2 0 - 3 9 0 M o n t h l y B r e a s t S e l f E x a m i n a t i o n ( B S E ) 0 C l i n i c a l B r e a s t E x a m i n a t i o n ( C B E ) o n c e i n e v e r y t h r e e y e a r s 0 A g e 4 0 a n d a b o v e 0 M o n t h l y B S E 0 A n n u a l C B E 0 A n n u a l M a m m o g r a m 2 . 3 . 1 S c r e e n i n g P r o c e d u r e s X — r a y M a m m o g r a p h y i s t h e w e l l e s t a b l i s h e d a n d w i d e l y u s e d s c r e e n i n g t o o l f o r e a r l y s t a g e b r e a s t c a n c e r d e t e c t i o n [ 1 ] , [ 1 3 ] — [ 1 5 ] . I n X - r a y m a m m o g r a m , r a d i o g r a p h i c p r o j e c t i o n s o f t h e c o m p r e s s e d b r e a s t a r e o b t a i n e d a l o n g d i f f e r e n t p l a n e s o f v i e w . O n 1 3 a n a v e r a g e , X — r a y m a m m o g r a p h y i s e s t i m a t e d t o d e t e c t 8 0 - 9 0 % o f b r e a s t c a n c e r s i n a s y m p t o m a t i c w o m e n w i t h 1 0 — 1 . 5 % i n c o r r e c t d i a g n o s i s [ 1 ] . C B E i s c o n d u c t e d b y t r a i n e d p e r s o n n e l f o r s c r e e n i n g a s y m p t o m a t i c w o m e n a n d f o r d i a g n o s i n g i n d i v i d u a l s w i t h b r e a s t c o m p l a i n t s . W i t h t h e a d v e n t o f X — r a y m a m - m o g r a p h y , t h e p r e v a l e n c e o f C B E h a s d i m i n i s h e d . C B E i s r e c o m m e n d e d f o r w o m e n l e s s t h a n 3 0 y e a r s a t l e a s t o n c e i n e v e r y t h r e e y e a r s a s a p a r t o f t h e r e g u l a r h e a l t h e x a m i n a t i o n [ 1 ] . I n a d d i t i o n t o X - r a y m a m m o g r a p h y , a n n u a l C B E i s r e c o m m e n d e d f o r w o m e n a b o v e 4 0 t o d e t e c t s m a l l e r b r e a s t m a s s e s t h a t c o u l d b e m i s s e d b y m a m - m o g r a p h y . B S E i s w i d e l y p r o m o t e d b y h o s p i t a l s a n d h e a l t h c a r e c l i n i c s t o i n c r e a s e p u b l i c a w a r e n e s s f o r e a r l y s t a g e b r e a s t c a n c e r d e t e c t i o n . R e g u l a r p r a c t i c e o f t h e B S E t e c h - n i q u e s t a u g h t b y c e r t i f i e d m e d i c a l h e a l t h p r o f e s s i o n a l s e n a b l e i n d i v i d u a l s t o d e t e c t a n a m o l i e s . T h o u g h s u b j e c t i v e , B S E t e c h n i q u e s a r e a d v a n t a g e o u s i n t h a t t h e y a r e e a s y a n d s i m p l e t o a p p l y , n o n — i n t r u s i v e a n d i n e x p e n s i v e . 2 . 3 . 2 L i m i t a t i o n s - X — r a y M a m m o g r a p h y T h e l o w - c o s t , w e l l e s t a b l i s h e d a n d w i d e l y u s e d X - r a y m a m m o g r a p h y i s f r a u g h t w i t h l i m i t a t i o n s . I t s u f f e r s f r o m p o o r s e n s i t i v i t y , s p e c i fi c i t y a n d d e t e c t s o n l y 8 0 — 9 0 % o f b r e a s t c a n c e r . A b o u t 5 — 1 5 % o f b r e a s t c a n c e r c a s e s a r e i m p r o p e r l y d i a g n o s e d a n d r e q u i r e a d d i t i o n a l t e s t s . B r e a s t b i o p s y o u t c o m e c o r r o b o r a t i n g t h e fi n d i n g s o f X - r a y m a m m o g r a m h a s b e e n r e p o r t e d t o r a n g e b e t w e e n 1 0 — 5 0 % [ 1 1 , 1 7 ] . T h e s e l i m i t a t i o n s a r e m a i n l y d u e t o t h e p o o r d e n s i t y c o n t r a s t b e t w e e n t h e b e n i g n a n d c a n c e r o u s t i s - s u e s o f t h e b r e a s t i n t h e X - r a y r e g i m e . F i g u r e F i g u r e 2 . 8 s h o w s X — r a y a t t e n u a t i o n c o e f fi c i e n t i n d i f f e r e n t b r e a s t t i s s u e s a n d t h e c o n t r a s t b e t w e e n b e n i g n a n d m a l i g n a n t b r e a s t t i s s u e s o v e r t h e c l i n i c a l d i a g n o s t i c X - r a y e n e r g y r a n g e . I n F i g u r e F i g u r e 2 . 8 , i t c a n b e o b s e r v e d t h a t t h e d e n s i t y c o n t r a s t b e t w e e n t u m o r a n d n o r m a l t i s s u e i s h i g h e r a t e n e r g y l e v e l n e a r 1 5 k e V a n d i s p o o r a b o v e 3 5 k e V . E v e n a t l o w e r e n e r g y l e v e l s , t h e t i s s u e d e n s i t y c o n t r a s t b e t w e e n b e n i g n a n d m a l i g n a n t t i s s u e i s l e s s t h a n 1 2 % . 1 4 A t t e n u a t i o n o f b r e a s t t i s s u e s A 1 . 0 r . . E > I n fi l t r a t m g d u c t a l c a r c m o m a - 9 * - , x 3 ~ / 5 r 5 " . ' 5 ; 0 . 5 [ G l a n d u l a r % \ ~ - , . . _ . - . o \ U \ C : \ . g 0 . 3 ~ F a t , ‘ . . - ~ \ a ; 9 1 3 1 5 5 0 . 2 " i t ? ; > 0 . 1 n . . l m i . l 2 0 3 0 5 0 7 0 1 0 0 E n e r g y ( k e V ) ( a ) N i a m m o g r a p h i c c o n t r a s t : D u c t a l C a r c i n o m a 1 2 . r - 1 0 r - . . . 8 - ( D s 8 U 6 " \ 0 ° \ 4 r 2 . . 0 l I l l 1 5 2 0 2 5 3 O 3 5 4 0 E n e r g y ( k e V ) ( b ) F i g u r e 2 . 8 . P r o p e r t y o f b r e a s t t i s s u e i n X - r a y r e g i m e ( a ) X - r a y a t t e n u a t i o n ( b ) M a m m o g r a p h i c c o n t r a s t . 1 5 B e s i d e s l o w c o n t r a s t , t h e h i g h e r X - r a y a b s o r p t i o n a t t h e s e e n e r g y l e v e l s r e q u i r e l o n g e r e x p o s u r e o f t h e b r e a s t t o t h e i o n i z i n g X - r a y r a d i a t i o n t o o b t a i n m a m m o g r a m s . I n p r a c t i c e , t h e r a d i a t i o n d o s e a n d a l g i s o r p t i o n a t l o w e r e n e r g y l e v e l s i s m i n i m i z e d b y a p a i n f u l b r e a s t c o m p r e s s i o n d u r i n g s c r e e n i n g . B e s i d e s b r e a s t c o m p r e s s i o n , t h e p o o r c o n t r a s t i n X - r a y a t t e n u a t i o n p r o p e r t y b e - t w e e n t h e f i b r o g l a n d u l a r a n d c a n c e r o u s t i s s u e s h o w n i n F i g u r e F i g u r e 2 . 8 r e s u l t s i n p o o r s e n s i t i v i t y a n d s p e c i f i c i t y i n s c r e e n i n g w o m e n w i t h r a d i o l o g i c a l l y d e n s e b r e a s t . T h u s , X - r a y m a m m o g r a m h a s b e e n r e p o r t e d t o b e l e s s a c c u r a t e i n s c r e e n i n g a s y m p - t o m a t i c p r e - m e n o p a u s a l w o m e n w i t h d e n s e b r e a s t t i s s u e . T h e a c c u r a c y o f X - r a y m a m m o g r a m i s h i g h e r f o r s c r e e n i n g p o s t — m e i ' i o p a u s a l w o m e n w h o t e n d t o h a v e m o r e a d i p o s e t i s s u e t h a n fi b r o u s t i s s u e . X — r a y m a m m o g r a p h y i n v o l v e s i m a g i n g o f t h e c o m - p r e s s e d b r e a s t b y i l l u m i n a t i n g t h e b r e a s t u n d e r i o n i z i n g r a d i a t i o n a n d h i g h q u a l i t y m a m m o g r a m s d e p e n d o n o p t i m a l b r e a s t c o m p r e s s i o n t o r e d u c e i m a g e b l u r r i n g c a u s e d b y s c a t t e r i n g a n d h i g h e r a b s o r p t i o n a t l o w e r e n e r g y l e v e l s . H e n c e , o t h e r l i m i t a t i o n s i n c l u d e p a t i e n t s t o l e r a n c e t o b r e a s t c o m p r e s s i o n , v a r i a b i l i t y i n r a d i o l o g i c a l i n t e r p r e - t a t i o n a n d r a d i a t i o n d o s i m e t r y . 2 . 4 B r e a s t C a n c e r I m a g i n g 2 . 4 . 1 C l i n i c a l D i a g n o s t i c P r o c e d u r e s T h e i n c i d e n c e a n d m o r t a l i t y r a t e s o f b r e a s t c a n c e r n e c e s s i t a t e s t h e n e e d f o r b r e a s t i m a g i n g t e c h n i q u e s w i t h h i g h s e n s i t i v i t y a n d l o w f a l s e c a l l s t o d i a g n o s e a s y m p t o m a t i c w o m e n b o t h p r e a n d p o s t m e n o p a u s e . S e v e r a l n o n - i n v a s i v e i m a g i n g t e c h n i q u e s a r e u s e d i n p r a c t i c e t o d i a g n o s e l e s i o n s d e t e c t e d b y c l i n i c a l fi n d i n g s . T h e i m a g i n g m e t h - o d s i n c l u d e d i a g n o s t i c X — r a y m a n ' i m o g r a p h y , u l t r a s o n o g r a p h y , m a g n e t i c r e s o n a n c e i m a g i n g , X - r a y c o m p u t e d t o m o g r a p h y , d i g i t a l s u b t r a c t i o n a n g i o g r a p h y , r a d i o n u c l i d e i m a g i n g a n d d i a p h a n o g r a p h y [ 1 1 ] , [ 1 8 ] . A l l i m a g i n g m e t h o d s e x p l o i t t h e p h y s i c a l , o p — t i c a l o r e l e c t r i c a l d i f f e r e n c e s b e t w e e n t h e c a n c e r o u s a n d n o r m a l b r e a s t t i s s u e s t o t h e 1 6 p e n e t r a t i n g e n e r g y s o u r c e . T h e k e y r e q u i r e m e n t o f t h e s e d i f f e r e n t i m a g i n g m o d a l i t i e s i s t o p r o v i d e e a r l y s t a g e ( L l e t e c t i o n w i t h h i g h s p e c i fi c i t y , s e n s i t i v i t y a n d l o w n e g a t i v e c a l l s f o r i m p r o v e d t r e a t m e n t a n d h i g h e r p a t i e n t s u r v i v a l r a t e . 2 . 4 . 2 C o m p l e m e n t a r y D i a g n o s t i c M e t h o d s T h e l i m i t a t i o n s o f X - r a y m a m m o g r a p h y l e d t o r e s e a r c h i n t h e d e v e l o p m e n t o f c o m - p l e m e n t a r y i m a g i n g t e c h n i q u e s t h a t a r e n o n i n v a s i v e a n d n o n - r a d i o a c t i v e f o r b r e a s t c a n c e r d e t e c t i o n . I m a g i n g m e t h o d s t h a t a r e c u r r e n t l y b e i n g r e s e a r c h e d a s a v i a b l e c o m p l e m e n t a r y c l i n i c a l b r e a s t i m a g i n g t e c h n i q u e s i n c l u d e o p t i c a l t o m o g r a p h y [ 1 9 , 2 0 ] , e l e c t r i c a l i m p e d a n c e t o m o g r a p h y [ 2 1 , 2 2 ] , e l a s t o g r a p h y [ 2 3 , 2 4 ] a n d m i c r o w a v e t o m o g — r a p h y [ 2 5 ] . T h e s i g n i fi c a n t c o n t r a s t i n t h e e l e c t r i c a l p r o p e r t y b e t w e e n b e n i g n a n d m a l i g n a n t b r e a s t t i s s u e s r e p o r t e d i n d i f f e r e n t r e g i m e s o f t h e e l e c t r o m a g n e t i c s p e c t r u m h a s m o — t i v a t e d t h e u s e o f e l e c t r o m a g n e t i c w a v e s a s a n a l t e r n a t i v e e n e r g y s o u r c e f o r b r e a s t c a n c e r d e t e c t i o n [ 2 5 ] . B e s i d e s t h e h i g h c o n t r a s t r a t i o , m i c r o w a v e s a r e n o n - i o n i z i n g e n e r g y s o u r c e t h a t d o e s n o t r e q u i r e b r e a s t c o m p r e s s i o n f o r i m a g i n g . I n t h e l a s t d e c a d e t h e r e h a s b e e n t r e m e n d o u s r e s e a r c h i n t h e d e v e l o p m e n t o f m i c r o w a v e t h e o r y a n d t e c h - n i q u e s f o r i m a g i n g b r e a s t c a n c e r . T h e s e n o n i n v a s i v e i m a g i n g t e c h n i q u e s a r e y e t t o b e c o m e c e r t i f i e d c l i n i c a l p r o c e d u r e s f o r b r e a s t i m a g i n g . 2 . 5 B r e a s t C a n c e r T r e a t m e n t P a t h o l o g i c a l s t a g i n g o f t h e d i s e a s e i s e s s e n t i a l t o p r o v i d e s y s t e m a t i c t r e a t m e n t t o l o c a l i z e d , r e g i o n a l a n d m e t a s t a s i z e d b r e a s t l e s i o n s [ 1 ] , [ 1 3 ] - [ 1 5 ] . D e p e n d i n g o n t h e c a n c e r s t a g e , a g e a n d h e a l t h f a c t o r s ; o n e o r a c o m b i n a t i o n o f t h e f o l l o w i n g t r e a t m e n t s i s p r e s c r i b e d . 0 S u r g e r y 0 R a d i a t i o n T h e r a p y 1 7 o H o r m o n e T h e r a p y 0 C h e m o t h e r a p y 0 B i o l o g i c a l T h e r a p y S u r g e r y i s t h e m o s t c o m m o n t r e a t m e n t p r e s c r i b e d f o r l o c a l i z e d b r e a s t l e s i o n s . T h e m o s t c o m m o n l y p e r f o r m e d p r o c e d u r e s a r e r a d i c a l m a s t e c t o m y a n d l u m p e c t o m y a l s o k n o w n a s t h e b r e a s t c o n s e r v a t i o n s u r g e r y . S u r g e r y i s f r e q u e n t l y p e r f o r m e d w i t h a d - j u v a n t t r e a t m e n t t e c h n i q u e s s u c h a s r a d i a t i o n t h e r a p y , c h e m o t h e r a p y a n d h o r m o n e t h e r a p y t o a i d t h e s u r g i c a l p r o c e d u r e . R a d i a t i o n T h e r a p y i s a n o n - i n t e r v e n t i o n - a ] p r o c e d u r e t h a t e m p l o y s e x t e r n a l h i g h e n e r g y X - r a y r a d i a t i o n s t o d e s t r o y t u m o r c e l l s . T h e p r o c e d u r e l a s t s f e w m i n u t e s a n d i s d e l i v e r e d o n a r e g u l a r b a s i s a s a p r i m a r y t r e a t m e n t f o r b r e a s t c a n c e r . I t i s a l s o u s e d a s a n a d j u ' a n t t e c h n i q u e t o s h r i n k t h e t u m o r s i z e p r i o r s u r g e r y a n d t o d e s t r o y r e m a n e n t m a l i g n a n t c e l l s b o r d e r i n g t h e l e s i o n a f t e r s u r g e r y . H o r m o n e T h e r a p y i s g i v e n t o i n d i v i d u a l s w i t h b r e a s t c a n c e r t h a t i s r e c e p t i v e t o e s t r o g e n . I t i n v o l v e s i n t a k e o f d r u g s t h a t i n h i b i t t h e e f f e c t s o f e s t r o g e n o n t u m o r c e l l s . T h e d r u g i n h i b i t s p r o d u c t i o n o f e s t r o g e n a n d d e p r i v e s e s t r o g e n s u p p l y t o t h e t u m o r w h i c h i s e s s e n t i a l f o r i t s g r o w t h . I t i s o f t e n p r e s c r i b e d f o r a l o n g p e r i o d o f t i m e a f t e r b r e a s t s u r g e r y t o p r e v e n t r e c u r r e n c e a n d i s e f f e c t i v e i n b o t h p o s t a n d p r e - m e n o p a u s a l p a t i e n t s w i t h c a n c e r s t h a t t e s t p o s i t i v e t o h o r m o n e r e c e p t o r s . C h e m o t h e r a p y i n v o l v e s d r u g i n t a k e a d m i n i s t e r e d e i t h e r i n t r a v a n e o u s l y o r o r a l l y . A c o m b i n a t i o n o f d r u g s t h a t s l o w s d o w n g r o w t h a n d k i l l s c a n c e r o u s c e l l s a r e u s e d t o d e s t r o y t u m o r s t h a t h a v e m e t a s t a s i z e d t o t h e l y m p h n o d e s . I t i s t h e p r i m a r y t r e a t m e n t f o r i n d i v i d u a l s n o t r e s p o n s i v e t o h o r m o n e t h e r a p y a n d w h o s u f f e r f r o m m e t a s t a s i s . I t i s a l s o u s e d a s a n a d j u v a n t t h e r a p y t o s h r i n k t u m o r p r i o r t o s u r g e r y . B i o l o g i c a l T h e r a p y a l s o c a l l e d i m m u n o t h e m p y a i m s t o i m p r o v e t h e c a p a b i l i t y o f i m m u n e s y s t e m t o fi g h t c a n c e r w i t h i n t a k e o f d r u g s . T h e p r o c e d u r e i s a l s o c o m b i n e d 1 8 w i t h c h e m o o r h o r m o n e t h e r a p y t o i m p r o v e t h e e f f e c t i v e n e s s o f t h e t r e a t m e n t f o r m e t a s t a t i c b r e a s t c a n c e r s . 2 . 6 C o n t e m p o r a r y T r e a t m e n t P r o c e d u r e s H y p e r t h e r m i a a n d R F a b l a t i o n t e c h n i q u e s a r e a c t i v e l y p u r s u e d a s a n a l t e r n a t i v e t o t h e c o n v e n t i o n a l t r e a t m e n t s f o r b r e a s t c a r c i n o m a . T h e a p p l i c a t i o n o f e l e c t r o m a g - n e t i c fi e l d i n m e d i c i n e f o r d e s t r u c t i o n a n d g r o w t h c o n t r o l o f c a n c e r c e l l s d a t e s b a c k t o 1 8 0 0 8 [ 2 . 6 ] . E l e c t r o m a g n e t i c t h e r a p y t e c l m i q u e s a r e b r o a d l y c l a s s i fi e d i n t o h y p e r - t h e r m i a a n d a b l a t i o n p r o c e d u r e s . E x p e r i m e n t a l s t u d i e s i n d i c a t e t h a t h y p e r t h e r m i a i n d u c e s t r a n s i e n t p h y s i o l o g i c a l e f f e c t s s u c h a s i n c r e a s e i n b l o o d c i r c u l a t i o n , t i s s u e v a s c u l a r i z a t i o n a n d m e t a b o l i c a c t i v i t y t h a t s h r i n k s t h e t u m o r s i z e . H y p e r t h e r m i a i n v o l v e s p r o l o n g e d e x p o s u r e o f t h e t i s s u e t o e x t e r n a l E M r a d i a t i o n a b o v e 4 2 0 C c o r n - b i n e d w i t h r a d i a t i o n o r c h m n o t h e r a p y f o r e f f e c t i v e t r e a t m e n t o f t h e m a l i g n a n t c e l l s . A b l a t i o n t e c h n i q u e s l e a d s t o i r r e v e r s i b l e p h y s i o l o g i c a l e f f e c t s s u c h a s v a s c u l a r s t a s i s , p r o t e i n d e n a t u r a t i o n r e s u l t i n g i n t u m o r c e l l d e a t h . I n R F a b l a t i o n , t h e t e m p e r a t u r e i n s i d e t h e t u m o r i s e l e v a t e d a b o v e 6 0 0 C f o r a f e w m i n u t e s f o r t u m o r t i s s u e n e c r o s i s u s i n g i n v a s i v e E M a 1 : ) p l i c a t o r s . 1 9 C H A P T E R 3 T I S S U E P R O P E R T I E S A T M I C R O W A V E F R E Q U E N C I E S I n t r o d u c t i o n T h e e l e c t r o m a g n e t i c ( E M ) s p e c t r u m r e p r e s e n t s a w i d e r a n g e o f f r e q u e n c i e s r a n g i n g f r o m D C t o f r e q u e n c i e s , s u c h a s g a m m a a n d c o s m i c r a y s . T h e E M s p e c t r u m i n c l u d e s X - r a y s , v i s i b l e l i g h t , m i c r o w a v e s a n d r a d i o f r t ' x u i e n c i e s . D u r i n g t h e p a s t 2 d e c a d e s , b i o e l e c t r o m a g n e t i c s i s g a i n i n g s i g n i fi c a n c e i n h u m a n m e d i c i n e . T h e p h y s i c a l a n d b e h a v i o r a l c h a n g e s i n fl u e n c e d b y b i o l o g i c a l t i s s u e s i n t h e p r e s e n c e o f e x t e r n a l E M fi e l d s h a s l e d t o t h e d e v e l o p m e n t o f s e v e r a l ( : l i a g n o s t i c a n d t h e r a p e u t i c t e c h n i q u e s a n d s y s t e m s e m p l o y i n g R F a n d m i c r o w a v e s . I n o r d e r t o d e v e l o p d i a g n o s t i c t o o l s i t i s e s s e n t i a l t o u n d e r s t a n d t h e i n t e r a c t i o n o f E M w a v e s w i t h b i o l o g i c a l t i s s u e s . T h e E M fi e l d i n t e r a c t i o n w i t h t i s s u e s i n t h e r a d i o a n d m i c r o w a v e f r e q u e n c y s p e c - t r u m i s s u m m a r i z e d i n t h i s c h a p t e r . M a x w e l l ’ s e q u a t i o n s t h a t g o v e r n t h e b e h a v i o r o f E M fi e l d i n m a t e r i a l s i s p r e s e n t e d i n s e c t i o n 3 . 1 . T h e t h e r m a l a n d a t h e r m a l e f f e c t s i n d u c e d i n b i o l o g i c a l o r g a n s d u e t o E M fi e l d i n t e r a c t i o n w i t h t i s s u e i s c o v e r e d i n 3 . 2 . T h e P e n n e ’ s b i o — h e a t t r a n s f e r m o d e l t h a t g o v e r n s t h e t i s s u e h e a t i n g i n s i d e b i o l o g i c a l s y s t e m s e x p o s e d t o n e a r fi e l d E M e n e r g y i s p r e s e n t e d i n s e c t i o n 3 . 3 . T h e e l e c t r i - c a l p r o p e r t i e s o f v a r i o u s b i o l o g i c a l t i s s u e s a n d t h e p a r a m e t r i c e q u a t i o n s d e v e l o p e d b a s e d o n e x p e r i m e n t a l fi n d i n g s a r e d i s c u s s e d i n s e c t i o n 3 . 4 . S e c t i o n 3 . 5 , p r e s e n t s t h e e x p e r i m e n t a l r e s u l t s a n d a n a l y t i c a l m o d e l f o r t h e d i e l e c t r i c p r o p e r t y o f b e n i g n a n d m a l i g n a n t b r e a s t t i s s u e s a n a l y z e d b y s e v e r a l i n v e s t i g a t o r s . 3 . 1 M a x w e l l ’ s E q u a t i o n s B i o l o g i c a l s y s t e m s u n d e r g o p h y s i o l o g i c a l c h a n g e s w h e n e x p o s e d t o r a d i o f r e q u e n c y a n d m i c r o w a v e s . T h e i n t e r a c t i o n o f e l e c t r o m a g n e t i c fi e l d s w i t h b i o l o g i c a l t i s s u e s i D h a s b e e n i n v e s t i g a t e d b y s e v e r a l i n x v ' e s t i g a t o r s i n t h e p a s t [ 2 6 ] . T h e s t u d y o f E M w a v e i n t e r a c t i o n w i t h t i s s u e s h a s e n a b l e d h a r n e s s i n g o f d i a g n o s t i c a n d t h e r a p e u t i c p o t e n t i a l s o f E M w a v e s i n m e d i c i n e a n d h a s l e d t o t h e d e v e l o p m e n t o f s t a n d a r d s f o r s a f e o p e r a t i o n o f E M d e v i c e s . T h e E M fi e l d i n t e r a c t i o n w i t h b i o l o g i c a l s y s t e m s i s g i v e n b y t h e h - ‘ I a x w e l l ’ s e q u a t i c m s [ 2 7 , 2 8 ] , — , > d B — > V X l ) : _ — ( F — 7 n — 5 > 8 3 — - > ( ) t V - B : p V ’ B : — p 7 n ( 3 . 1 ) a l o n g w i t h t h e c o n t i n u i t y e q u a t i o n s , V . 7 : B E E . ( 2 t " ‘ 3 8 9 m V - J , — — 3 . 2 m . a t ( ) w h e r e E a n d I f : e l e c t r i c a n d m a g n e t i c fi e l d s m e a s u r e d i n ( V / m ) a n d ( A / m ) _ ) a n d B : e l e c t r i c a n d m a g n e t i c f l u x d e n s r t i e s m e a s u r e d i n ( C / n 1 2 ) a n d T e s l a _ . ) I a n d J m : e l e c t r i c a n d m a g n e t i c c u r r e n t d e n s 1 t 1 e s i n ( A / m 3 ) k l _ _ . ) — ) . . . . ‘ p g a n d p m : e l e c t r i c a n d m a g n e t i c c h a r g e d e n s r t i e s ( C / m 3 ) S e v e r a l n u m e r i c a l m o d e l s u s i n g ( 3 . 1 ) - ( 3 . 2 ) a n d e x p e r i m e n t s o n a n i m a l s u b j e c t s a n d f r e s h l y e x c i s e d t i s s u e s p e c i m e n s w e r e i n v e s t i g a t e d i n t h e p a s t t o u n d e r s t a n d t h e p h y s - i o l o g i c a l e f f e c t s i n d u c e d b y R F a n d m i c r o w a v e r a d i a t i o n s i n h u m a n a n d a n i m a l s u b - j e c t s . 2 1 3 . 2 E M F i e l d I n t e r a c t i o n w i t h T i s s u e s I n v e s t i g a t i o n s i n d i c a t e t h a t e l e c t r i c a l p r o p e r t i e s o f b i o l o g i c a l t i s s u e s a r e d i s p e r s i v e i n n a t u r e a n d v a r y b e t w e e n t i s s u e s . V a r i a t i o n s i n t i s s u e e l e c t r i c a l p r o p e r t i e s a r e o f t e n c h a r a c t e r i z e d i n t e r m s o f t h e p e r c e n t a g e o f w a t e r c o n t e n t . T i s s u e s w i t h h i g h w a t e r c o n t e n t e x h i b i t h i g h e r c o n s t i t u t i v e p a r a m e t e r s t h a n t h o s e w i t h l o w e r w a t e r c o n t e n t [ ‘ 2 9 , 3 0 ] . V a r i a t i o n s i n t i s s u e p r o p e r t y i n s i d e b i o l o g i c a l s y s t e m s r e s u l t i n a n o n u n i f o r m i n t e r n a l E M e n e r g y d e p o s i t i o n w h e n e x p o s e d t o E M fi e l d s [ 3 1 ] - [ 3 3 ] . I n v e s t i g a t i o n s b y F o s t e r e t . a l . r e v e a l e d t h e t h e r m a l a n d a t h e r m a l e f f e c t s , t i s s u e d i e l e c t r i c p r o p e r t y , d e p t h o f p e n e t r a t i o n a n d p o w e r d e p o s i t i o n i n s i d e b i o l o g i c a l t i s s u e s e x p o s e d t o R F a n d m i c r o w a v e s [ 2 9 , 3 0 ] . T h e t h e r m a l a n d a t h e r m a l e f f e c t s i n d u c e d b y E M w a v e s r e s u l t i n v a r i o u s b i o l o g i c a l e f f e c t s . I t i s k n o w n t h a t t h e d e p t h o f p e n e t r a t i o n o f m i c r o w a v e s i n s i d e t i s s u e d e c r e a s e s w i t h i n c r e a s e i n f r e q u e n c y . B e s i d e s f r e q u e n c y o f o p e r a t i o n , s i g n a l a t t e n u a t i o n i n b i o l o g i c a l t i s s u e a l s o d e p e n d s o n t i s s u e w a t e r c o n t e n t . T h e a t t e n u a t i o n o f E M fi e l d s i s r e l a t i v e l y h i g h e r i n s i d e t i s s u e s w i t h h i g h e r w a t e r c o n t e n t . A t t e n u a t i o n o f m i c r o w a v e s o v e r t h e f r e q u e n c y r a n g e 1 . 8 - 2 . 7 G H z i n s i d e h u m a n t o r s o i n d i c a t e d t h e f e a s i b i l i t y o f e m p l o y i n g m i c r o w a v e r a d i a t i o n s f o r d i a g n o s t i c m e d i c a l a p p l i c a t i o n s [ 3 4 ] . T h e s e s t u d i e s c l e a r l y i n d i c a t e t h e p o t e n t i a l u s e o f E M w a v e s i n h u m a n m e d i c i n e . 3 . 3 T i s s u e T h e r m a l P r O p e r t i e s I r r a d i a t i o n o f l i v i n g t i s s u e s w i t h m i c r o w a v e s o r R F w a v e s p r i m a r i l y r e s u l t s i n t i s s u e h e a t i n g . W i t h m o d e r n i z a t i o n , h u m a n e x p o s u r e t o n e a r fi e l d r a d i a t i o n s f r o m E M d e - v i c e s a n d t h e i r p o t e n t i a l h a z a r d s t o l i v i n g o r g a n i s m s g a i n e d i m p o r t a n c e t o d e t e r m i n e t h e s a f e o p e r a t i o n o f t h e d e v i c e s [ 3 3 ] , [ 3 6 ] - [ 3 8 ] . E M e n e r g y d e p o s i t i o n i n b i o l o g i c a l t i s s u e s i s i n fl u e n c e d b y s e v e r a l f a c t o r s s u c h a s t i s s u e t h e r m a l c o n d u c t i o n , t h e r m a l c o n v e c t i o n d u e t o b l o o d fl o w a n d s u r f a c e c o o l i n g o f t h e t i s s u e [ 3 5 ] . T i s s u e h e a t i n g i n s i d e b i o l o g i c a l s y s t e m s e x p o s e d t o E M fi e l d w a s s t u d i e d u s i n g t h e P e n n e s ' s h e a t ‘ 2 2 t r a n s f e r e q u a t i o n [ 3 1 ] , [ 3 5 ] , ( 9 T ; I : , y , t « , , , 0 ] , c p — — ( — 8 — t — - — 2 : - N V Z F ( ; 1 J , y , t ) + w b c b ( T b — T ( ; 1 : , y , 1 3 ) ) + Q ( ; i : , y , t ) ( 3 . 3 ) I n ( 3 . 3 ) , T ( ; r , y , t ) : t e m p e r a t u r e d i s t r i b u t i o n i n O C p p , p b : t i s s u e a n d b l o o d d e n s i t y i n ( k g / c m 3 ) ( 3 p , C b : s p e c i fi c h e a t o f t i s s u e a n d b l o o d i n ( J / k g / O C ) T b : a r t e r i a l b l o o d t e m p e r a t u r e i n O C w b : v o l u m e t r i c . b l o o d p e r f u s i o n r a t e ( k g s / c m 3 ) K , : t i s s u e t h e r m a l c o n d u c t i v i t y i n ( W / c m / 0 C ) Q ( ; I : , y , t ) : E M e n e r g y d e p o s i t i o n i n ( W / c m 3 ) T e m p e r a t u r e d i s t r i b u t i o n i n s i d e t i s s u e s e x p o s e d t o E M w a v e s s t u d i e d u s i n g ( 3 . 3 ) w i t h m a t h e m a t i c a l h u m a n m o d e l s a n d e x p e r i m e n t a l r e s u l t s h e l p e d d e t e r m i n e t h e p o w e r l e v e l s f o r s a f e d e v i c e o p e r a t i o n [ 3 9 ] . 3 . 4 T i s s u e D i e l e c t r i c P r O p e r t i e s A c o m p r e h e n s i v e l i t e r a t u r e s u r v e y o n t h e e l e c t r i c a l p r o p e r t i e s o f d i f f e r e n t t i s s u e s r e - p o r t e d b y s e v e r a l i n v e s t i g a t o r s o v e r fi v e d e c a d e s i s c o m p i l e d i n [ 4 0 ] . T h e e l e c t r i c a l p r o p e r t i e s o f b i o l o g i c a l t i s s u e s o v e r t h e f r e q u e n c y r a n g e 1 0 H z - 2 0 G H z i n [ 4 1 ] c o n s o l - i d a t e s t h e E M fi e l d i n t e r a c t i o n w i t h v a r i o u s b i o l o g i c a l t i s s u e s . P a r a m e t r i c e q u a t i o n s b a s e d o n e x p e r i m e n t a l m e a s u r e m e n t s l e d t o t h e d e v e l o p m e n t o f a p a r a m e t r i c C o l e - C o l e d i s p e r s i o n m o d e l o f t h e f o r m [ 2 8 ] , A 6 0 ' € ( w ) = € o o + Z . " 1 + . 1 2 3 f o r a v a r i e t y o f b i o l o g i c a l t i s s u e s [ 4 2 ] . I n ( 3 . 4 ) , T i s t h e t i m e c o n s t a n t , a i s t h e d i s p e r s i o n d i s t r i b u t i o n p a r a m e t e r , 0 , ; i s t h e s t a t i c i o n i c c o n d u c t i v i t y , A m 2 6 0 0 , 7 1 , — 6 3 , 7 ; w h e r e 6 0 0 , 7 7 , i s t h e t i s s u e p e r m i t t i v i t y a t h i g h e r f r e q u e n c y a n d 6 3 , 7 1 i s t h e s t a t i c t i s s u e p e r m i t t i v i t y f o r w — > 0 , 6 ( a ) ) 2 6 , — j c ” w h e r e 6 ’ i s t h e d i e l e c t r i c c o n s t a n t a n d e ” : 3 % a n d a ) i s t h e a n g u l a r f r e q u e n c y . E x p e r i m e n t a l d a t a o n d i f f e r e n t b i o l o g i c a l t i s s u e s c o n fi r m t h e d i s p e r s i o n r e g i o n s i n t h e t i s s u e d i e l e c t r i c s p e c t r u m s t u d i e d b y t h e p r e v i o u s r e s e a r c h e r s [ 2 9 , 3 0 ] , [ 4 1 ] . E x p e r i m e n t a l a n d p a r a m e t r i c m o d e l s t u d i e s o n t h e d i e l e c t r i c p r o p e r t i e s o f p a t h o l o g i c a l t i s s u e s i n d i c a t e t h e p o t e n t i a l o f n o n i o n i z i n g m i c r o w a v e r a d i a t i o n i n m e d i c a l d i a g n o s i s a n d t h e r a p y . T h e b e n e fi c i a l b i o l o g i c a l e f f e c t s i n d u c e d b y R F a n d m i c r o w a v e s h a s l e d t o t h e d e v e l o p m e n t o f s e v e r a l E M d e v i c e s f o r c a n c e r d i a g n o s i s a n d t h e r a p y [ 4 3 , 4 4 ] . 3 . 5 D i e l e c t r i c P r O p e r t i e s o f B r e a s t T i s s u e L i m i t e d r e s e a r c h w o r k i s a v a i l a b l e o n t h e d i e l e c t r i c p r o p e r t i e s o f h u m a n b r e a s t i n t h e R F a n d m i c r o w a v e f r e q u e n c y s p e c t r u m . I n 1 9 8 4 , C h a u d h a r y e t a l r e p o r t e d t h e a v e r a g e d i e l e c t r i c p r o p e r t y o f e x - v i v o h u m a n b r e a s t t i s s u e s f r o m 1 5 p a t i e n t s b e t w e e n 3 M H z t o 3 G H z f r e q u e n c y r a n g e [ 4 5 ] T h e d i e l e c t r i c p r o p e r t y o f m a l i g n a n t t i s s u e s w a s r e p o r t e d t o b e s i g n i fi c a n t l y l a r g e r t h a n b e n i g n t i s s u e s i n d i c a t i n g t h e p o t e n t i a l u s e o f m i c r o w a v e s f o r c a n c e r d e t e c t i o n a n d l o c a l h y p e r t h e r m i a . T h e d i e l e c t r i c p r o p - e r t i e s o f c a n c e r o u s a n d s u r r o u n d i n g t i s s u e s o f h u m a n b r e a s t r e p o r t e d o v e r 2 0 k H z — 1 0 0 M H z a l s o i n d i c a t e d a p r o n o u n c e d d i e l e c t r i c c o n t r a s t b e t w e e n t h e b e n i g n a n d m a l i g - n a n t t i s s u e s [ 4 6 ] . D i e l e c t r i c p r o p e r t y m e a s u r e m e n t s o f f r e s h l y e x c i s e d b r e a s t t i s s u e o v e r 5 0 - 9 0 0 M H z r e p o r t e d b y J o i n e s e t a l s u p p o r t t h e e x — v i v o e x p e r i m e n t a l fi n d i n g s o f o t h e r i n v e s t i g a t o r s [ 4 7 ] . F i g u r e F i g u r e 3 . 1 s h o w s t h e d i e l e c t r i c s p e c t r u m o f b e - n i g n a n d m a l i g n a n t b r e a s t t i s s u e s a v a i l a b l e i n l i t e r a t u r e o v e r a w i d e f r e q u e n c y r a n g e . D e s p i t e t h e v a r i a t i o n s i n t i s s u e s a m p l e s a n d e x p e r i m e n t a l t e c h n i q u e s , a s i g n i fi c a n t d i f - f e r e n c e e x i s t s b e t w e e n t h e d i e l e c t r i c p r o p e r t y o f c a n c e r o u s a n d n o r m a l b r e a s t t i s s u e s 2 4 3 o 5 g E A ( V E , g 8 a g g ) 3 1 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 3 3 2 ‘ B 2 . g i E : b r I E . . - - ] — 1 0 “ - F F N ‘ \ ‘ ~ - - - - - - . - \ ‘ . , - - - - - - - 1 - ' 0 f F - - “ " - r - e - q u - - - - 0 1 n 1 e c - y 5 6 ] ] ] [ [ ] 4 4 e a n n [ H a t 4 m é n 6 1 5 ; : : ” ; : : v , — + . - . . - - - 9 c c . . - - — . . . — - . - M B M B a e a e l n i n i i g g n n i i g g L ' 7 l 0 8 1 ’ o 1 0 9 ~ ~ - . ( H z ) 1 0 f I I ' I ' I I I Y Y r ' V Y T Y I V V Y I ' f V ' l I I I 7 ’ i n F i g u r e 3 . 1 . D i e l e c t r i c s p e c t r u m o f b e n i g n a n d m a l i g n a n t h u m a n b r e a s t t i s s u e [ 4 6 ] - [ 4 7 ] . a t m i c r o w a v e f r e q u e n c i e s . T h e s i g n i f i c a n t c o n t r a s t b e t w e e n t h e d i e l e c t r i c s p e c t r u m o f m a l i g n a n t a n d b e n i g n b r e a s t t i s s u e i n t h e R F a n d m i c r o w a v e f r e q u e n c y h a s i n s t i g a t e d t h e d e v e l o p m e n t o f s e v e r a l e l e c t r o m a g n e t i c i m a g i n g a n d t h e r a p y t e c h n i q u e s f o r b r e a s t c a n c e r . 2 6 C H A P T E R 4 T I M E H A R M O N I C E L E C T R O M A G N E T I C F I E L D S I n t r o d u c t i o n E l e c t r o m a g n e t i c s ( E M ) i s a f u n d a m e n t a l s c i e n c e e s s e n t i a l t o u n d e r s t a n d t h e b a s i c c o n - c e p t s i n p h y s i c s a n d e l e c t r i c a l e n g i n e e r i n g . E M t h e o r y d e a l s w i t h s t a t i c , q u a s i s t a t i c a n d m o v i n g c h a r g e s t h a t c a u s e s c u r r e n t f l o w a n d m a i n t a i n s e l e c t r o m a g n e t i c fi e l d s . U n l i k e c i r c u i t t h e o r y , o b j e c t d i m e n s i o n s a r e c o m p a r a b l e t o t h e o p e r a t i n g w a v e l e n g t h i n e l e c t r o m a g n e t i c fi e l d t h e o r y a n d s y s t e m s a r e a n a l y z e d u s i n g d i s t r i b u t e d p a r a m e t e r s a n d c o u p l i n g p h e n o m e n o n . E l e c t r o m a g n e t i c fi e l d s c a t t e r i n g , p r o p a g a t i o n , r a d i a t i o n , r e c e p t i o n a n d g e n e r a t i o n a r e c h a r a c t e r i z e d w i t h t h e a i d o f t h e M a x w e l l ’ s e q u a t i o n s a n d f u n d a m e n t a l t h e o r e m s . T h i s c h a p t e r b r i e f l y r e v i e w s t h e b a s i c s o f t i m e h a r m o n i c E M fi e l d n e c e s s a r y t o u n d e r s t a n d E M r a d i a t i o n a n d s c a t t e r i n g u s e d i n t h e p r o p o s e d d e f o r m a b l e m i r r o r b a s e d m i c r o w a v e t r j n n o g r a p h y f o r b r e a s t c a n c e r . M a x w e l l ’ s e q u a t i o n s , f u n d a m e n t a l f o r t h e E M p h e n o m e n o n a n d t h e c o n s t i t u t i v e r e l a t i o n s t h a t c h a r a c t e r i z e t h e E M fi e l d b e h a v i o r i n s i d e d i f f e r e n t m a t e r i a l s a r e b r i e f l y c o v e r e d i n s e c t i o n s 4 . 1 a n d 4 . 2 r e s p e c t i v e l y . I n s e c t i o n 4 . 3 , t h e b o u n d a r y c o n d i t i o n s f o r t h e E M fi e l d s t h a t t a k e s i n t o a c c o u n t t h e p r e s e n c e o f d i s s i m i l a r m a t e r i a l s a n d d i s c o n t i n u i t i e s a r e e x p l a i n e d . T h e p o w e r a n d e n e r g y c a r r i e d b y t h e t i m e h a r m o n i c E M fi e l d a r e d e r i v e d i n s e c t i o n 4 . 4 . T h e f u n d a m e n t a l t h e o r e m s u s e f u l t o u n d e r s t a n d t h e r a d i a t i o n a n d s c a t t e r i n g p h e n o m e n o n f o r t o m o g r a p h y a r e d i s c u s s e d i n s e c t i o n 4 . 5 . I n s e c t i o n 4 . 6 , v e c t o r w a v e e q u a t i o n s a r e d e r i v e d f o r t h e t i m e h a r m o n i c E M fi e l d . T h e s o l u t i o n t o w a v e e q u a t i o n s i n t e r m s o f t h e fi c t i t i o u s v e c t o r a n d s c a l a r p o t e n t i a l s f o r e l e c t r i c a n d m a g n e t i c s o u r c e s a r e d e r i v e d i n 4 . 7 . 2 7 1 N A 1 3 : 1 N A 1 6 N A 1 Q H A E 5 : 3 3 R { E R R % % { { { { I : ; ( ( ( H J ( ; ( D B . I v ' , , . I 1 : , z y y y y y . , . . . , d e 2 2 z ) € c ) i Z ) e j ? p j ’ t t ’ w t “ j ” } h t t } } } 4 . 1 M a x w e l l ’ s E q u a t i o n s T i m e h a r m o n i c e l e c t r o m a g n e t i c fi e l d s a r e t h e m o s t c o m m o n l y u s e d s i n g l e f r e q u e n c y E M w a v e s w i t h c o s i n e o r s i n u s o i d a l t i m e v a r i a t i o n s g i v e n b y e r t f a c t o r . T h e i n s t a n - t a n e o u s E M fi e l d s f o r t h e t i m e h a r m o n i c c a s e a r e g i v e n b y t h e r e l a t i o n , W ( . 1 ? Q ( ; l t : 7 , y , z ; t ) 3 , 3 } , z ; t ) m y . 2 ; t ) : - . y , 2 ; t ) , y . . z ; t ) , y . z ; t ) 3 ? { ( 1 ( . z t , y , z ) c J W t } ( 4 . 1 a ) ( 4 . 1 b ) ( 4 . 1 a ( 4 . 1 a ) ( 4 . 1 9 ) ( 4 . 1 1 “ ) w h e r e 8 , 7 1 , 1 2 , 1 3 , ] a n d Q a r e t h e i n s t a n t a n e o u s q u a n t i t i e s o f t h e c o m p l e x t i m e h a r m o n i c fi e l d s E ( ; r , y , z ) , H ( : z t , y , z ) , D ( ; r , y . z ) , B ( : 1 r , y , z ) , J ( ; z r . y , z ) a n d q ( ; 1 : , y , z ) r e - s p e c t i v e l y . T i m e v a r i a t i o n s , 3 % i n t h e fi e l d e q u a t i o n s ( 3 . 1 ) f o r t i m e h a r m o n i c c a s e a r e s i m p l i fi e d u s i n g t i m e d o m a i n d i f f e r e n t i a t i o n p r o p e r t y o f F o u r i e r t r a n s f o r m [ 4 8 ] t o t h e f o r m [ 2 7 , 2 8 , 4 9 ] , V X E \ 7 x H V - D V - B — i j — M i j + J p m . 2 8 w h e r e t h e v i r t u a l m a g n e t i c c u r r e n t M a n d c h a r g e p m d e n s i t i e s a r e i n t r o d u c e d f o r m a t h e m a t i c a l e a s e . T h e c o n t i n u i t y e q u a t i o n s a r e g i v e n b y , V - M : — j w p ( 4 . 3 a ) V - J : — j w p . m , ( 4 . 3 b ) w h e r e t h e E M fi e l d q u a n t i t i e s i n ( 1 - 3 ) a r e E a n d H : e l e c t r i c a n d m a g n e t i c f i e l d s m e a s u r e d i n ( V / m ) a n d ( A / m . ) D a n d B : e l e c t r i c a n d m a g n e t i c f l u x d e n s i t i e s m e a s u r e d i n ( C / m 2 ) a n d ( T e s l a ) J a n d M : e l e c t r i c a n d m a g n e t i c . c u r r e n t d e n s i t i e s i n ( A / 1 n 3 ) p a n d p m : e l e c t r i c a n d m a g n e t i c c h a r g e d e n s i t i e s ( C / m 3 ) 4 . 2 C o n s t i t u t i v e P a r a m e t e r s I n t h e p r e s e n c e o f e l e c t r o m a g n e t i c fi e l d s , t h e s t a b l e s t a t e o f t h e p a r t i c l e s i n s i d e a m a t e r i a l i s a l t e r e d . A l t e r a t i o n s i n t h e m i c r o s c o p i c l a t t i c e s t r u c t u r e o f m a t e r i a l d e - t e r m i n e s t h e b e h a v i o r o f m a c r o s c o p i c E M fi e l d s s u p p o r t e d i n s i d e t h e m a t e r i a l . T h e r e l a t i o n b e t w e e n E M fi e l d q u a n t i t i e s i n s i d e t h e m a t e r i a l i s c a p t u r e d b y t h e c o n s t i t u - t i v e p a r a m e t e r s . T h e c o n s t i t u t i v e r e l a t i o n s t h a t . c h a r a c t e r i z e t h e e l e c t r i c a l p r o p e r t y o f a m a t e r i a l a r e D : 6 0 E + 6 0 e r ( 4 . 4 a ) : H O H + H O X m H ( 4 4 b ) J 2 0 E ( 4 . 4 c . ) w h e r e 6 0 a n d # 0 : f r e e s p a c e p e r m i t t i v i t y ( H / m ) a n d p e r m e a b i l i t y ( F / m ) 2 9 X e : ( c u r — 1 ) a n d X ' m : ( , W - 1 ) : d i m e n s i o n l e s s e l e c t r i c . a n d m a g n e t i c s u s c e 1 . ) t i b i l i t i e s e r a n d M r : ( : l i m e n s i o n l e s s m a t e r i a l r e l a t i v e p e r m i t t i v i t y a n d p e r m e a b i l i t y 0 : m a t e r i a l e l e c t r i c a l c o n d u c t i v i t y ( S i e m e n s / m ) . T h e c o n s t i t u t i v e p a r a m e t e r s a r e u s e d t o b r o a d l y c l a s s i f y m a t e r i a l s i n t o d i e l e c t r i c , m a g n e t i c , c o n d u c t o r o r s e m i - c o n d u ( . - . t . ( . ) r . T h e y a r e a l s o u s e d t o c l a s s i f y t h e m a t e r i a l s a s l i n e a r o r n o n l i n e a r , h o m o g e n e o u s o r i n h o m o g e n e o u s , i s o t r o p i c o r a n i s o t r o p i c a n d d i s p e r s i v e o r n o n d i s p e r s i v e . 4 . 3 B o u n d a r y C o n d i t i o n s D i s s i m i l a r m a t e r i a l i n t e r f a c e s a n d s o u r c e s a l o n g b o u n d a r i e s r e s u l t i n d i s c o n t i n u o u s fi e l d b e h a v i o r . A t s u c h b o u n d a r i e s , t h e d e r i v a t i v e s o f fi e l d v e c t o r s i n ( 3 . 1 ) a r e m e a n - i n g l e s s a n d c a n n o t b e u s e d t o d e fi n e t h e fi e l d b e h a v i o r . I n s t e a d , t h e fi e l d b e h a v i o r i s g i v e n b y t h e b o u n d a r y c o n d i t i o n s t h a t e x a m i n e t h e fi e l d v e c t o r s t h e m s e l v e s a t d i s c o n t i n u o u s b o u n d a r i e s . C o n s i d e r a n i n t e r f a c e b e t w e e n t w o m e d i a w i t h c o n s t i t u t i v e p a r a m e t e r s 6 1 4 1 1 , 0 1 a n d € 2 , / . £ 2 , 0 2 r e s p e c t i v e l y a s i l l u s t r a t e d i n F i g u r e F i g u r e 4 . 1 . L e t i t b e t h e n o r m a l v e c t o r a t t h e m a t e r i a l i n t e r f a c e p o i n t i n g i n t o M e d i a 2 . T h e b o u n d a r y c o n d i t i o n s f o r t i m e h a r m o n i c E M fi e l d s f o r d i f f e r e n t m a t e r i a l i n t e r f a c e s a r e l i s t e d i n T a b l e T a b l e 4 . 1 . I n T a b l e T a b l e 4 . 1 , t h e q u a n t i t i e s J 3 , M 3 a r e t h e e l e c t r i c a n d m a g n e t i c s u r f a c e c u r r e n t d e n s i t i e s a n d p 3 , p m s a r e t h e e l e c t r i c a n d m a g n e t i c s u r f a c e c h a r g e d e n s i t i e s a t t h e m a t e r i a l d i s c o n t i n u i t y . T h e fi e l d q u a n t i t i e s w i t h s u b s c r i p t s ” 1 ” a n d ” 2 ” i n T a b l e T a b l e 4 . 1 b e l o n g t o M e d i a 1 a n d 2 r e s p e c t i v e l y . 4 . 4 P o w e r a n d E n e r g y P o w e r a n d e n e r g y a s s o c i a t e d w i t h t i m e h a r m o n i c e l e c t r o m a g n e t i c . fi e l d s a r e g i v e n b y t h e e n e r g y c o n s e r v a t i o n e q u a t i o n . D o t p r o d u c t o f H * w i t h F a r a d a y ’ s l a w a n d E w i t h 3 0 ” o ) 3 ) N T M @ 1 1 . 1 . 1 . F i g u r e 4 . 1 . G e o m e t r y f o r b o u n d a r y c o n d i t i o n s a t m a t e r i a l i n t e r f a c e . T a b l e 4 . 1 . B o u n d a r y c o n d i t i o n s [ 2 7 ] N ) T a n g e n t i a l e l e c t r i c fi e l d i n t e n s i t y ‘ T a n g e n t i a l m a g n e t i c fi e l d i n t e n s i t y N o r m a l e l e c t r i c fl u x d e n s i t y N o r m a l m a g n e t i c f l u x d e n s i t y x ( E 2 “ E 1 ) 2 — M s X ( H 2 — H 1 ) 2 J 3 ' ( D 2 “ ’ D 1 ) = . 0 3 l ' ( B 2 — B 1 ) = 0 7 7 1 5 c o n j u g a t e o f A m p e r e ’ s l a w y i e l d H * - ( V X E ) : — H * - M 7 ; — j w a H - H * ( 4 . 5 a ) E o ( V > < H * ) : E ~ J § + a E - E * — j w e E - E * V ( 4 . 5 b ) S u b t r a c t i n g ( 4 . 5 a ) f r o m . ( 4 . 5 b ) a n d i n v o k i n g v e c t o r i d e n t i t i e s y i e l d s t h e e n e r g y c o n - s e r v a t i o n e q u a t i o n , 1 * _ 1 , ' 1 , 1 2 _ ' 1 2 1 _ 2 3 1 1 * * . , _ + 1 ‘ Z j u J / f / V ( u l 4 * l H l 2 — l 1 l e 4 2 , , E l 2 ) d v ( 4 . 7 ) I n t e g r a t i n g ( 4 . 5 a ) o v e r a v o l u m e a n d a p p l y i n g d i v e r g e n c e t h e o r e m y i e l d s t h e i n t e g r a l f o r m o f t h e e n e r g y c o n s e r v a t i o n e q u a t i o n , w h i c h i s r e w r i t t e n a s P 3 : P e + P d + 2 3 ° 1 1 ; ( W m , + W . ) ( 4 . 8 ) w h e r e P 5 = — % f f f v ( E - J : + H * - M i ) ( 1 1 1 ' i s c o m p l e x i n p u t p o w e r ( W ) P 6 : [ I S : 1 2 ( E x H * ) - ( I s i s t h e e x i t i n g c o m p l e x p o w e r ( W ) P d 2 % f f f v 0 | E | 2 d v i s t h e d i s s i p a t e d r e a l p o w e r ( W ) W m : f f 1 V i l l I H I Q d ‘ U i s t h e t i m e a v e r a g e m a g n e t i c e n e r g y ( J ) W e : f f f v Z I I E I E I ‘ Z d v i s t h e t i m e a v e r a g e e l e c t r i c e n e r g y ( J ) 4 . 5 F u n d a m e n t a l T h e o r e m s F u n d a m e n t a l t h e o r e m s i n e l e c t r o m a g n e t i c t h e o r y a r e e s s e n t i a l t o u n d e r s t a n d d i f f e r e n t e l e c t r o m a g n e t i c p h e n o m e n a s u c h a s r a d i a t i o n , s c a t t e r i n g , c o u p l i n g , e l e c t r o m a g n e t i c g e n e r a t i o n , w a v e p r o p a g a t i o n a n d r e c e p t i o n . A s u b s e t o f t h e f u n d a m e n t a l t h e o r e m s n a m e l y d u a l i t y , u n i q u e n e s s , r e c i p r o c i t y , v o l u m e e q u i v a l e n c e a n d s u r f a c e e q u i v a l e n c e t h e o r e m s a r e d i s c u s s e d i n t h i s s e c t i o n [ 2 7 , ‘ 2 8 , 4 9 ] . 4 . 5 . 1 D u a l i t y D u a l i t y t h e o r e m f a c i l i t a t e s o l u t i o n s t o t w o s y s t e m o f e q u a t i o n s w i t h t w o d i f f e r e n t v a r i - a b l e s b u t w i t h s a m e m a t h e m a t i c a l f o r m . T h e s o l u t i o n f o r o n e s y s t e m o f e q u a t i o n c a n T a b l e 4 . 2 . D u a l e q u a t i o n s f o r e l e c t r i c a n d m a g n e t i c c u r r e n t s [ ‘ 2 7 ] E l e c t r i c : s o u r c e s ( J 7 £ 0 , M : 0 ) l \ % 1 a g n e t i c s o u r c e s ( J = 0 , M 7 1 $ 0 ) V X E A z — j p r A V p r z j c h F V X H A Z J - l - j w a A — V X E F = M + j t h L H F T a b l e 4 . 3 . D u a l q u a n t i t i e s f o r e l e c t r i c a n d m a g n e t i c c u r r e n t s [ ‘ 2 7 ] E l e c t r i c s o u r c e s ( J y é 0 , M : 0 ) M a g n e t i c s o u r c e s ( J : 0 , M y é 0 ) E A H F H A — E F J M 6 i t , u c b e u s e d t o o b t a i n t h e s o l u t i o n f o r t h e o t h e r s y s t e m o f e q u a t i o n s b y a p p r o p r i a t e i n t e r - c h a n g e o f t h e d u a l q u a n t i t i e s . T h i s i s o f t e n u s e d t o o b t a i n t h e s o l u t i o n t o i \ " I a x w e l l ’ s e q u a t i o n s i n t h e p r e s e n c e o f e l e c t r i c ( J y é 0 , I V ! : O , E A » H A ) a n d m a g n e t i c c u r r e n t ( J = 0 , M # 0 , E F , H F ) s o u r c e s . T h e d u a l e q u a t i o n s a n d q u a n t i t i e s f o r t h e e l e c t r i c a n d m a g n e t i c c u r r e n t s o u r c e s a r e l i s t e d i n T a b l e s T a b l e 4 . 2 - T a b l e 4 . 3 . I n T a b l e s T a b l e 4 . 2 - T a b l e 4 . 3 , ( E A , H A ) a n d ( E F : H F ) a r e t h e d u a l fi e l d v e c t o r s m a i n t a i n e d b y e l e c t r i c a n d m a g n e t i c s o u r c e s r e s p e c t i v e l y . 4 . 5 . 2 U n i q u e n e s s T h e u n i q u e n e s s t h e o r e m y i e l d s c o n d i t i o n s t h a t g u a r a n t e e u n i q u e n e s s o f t h e s o l u t i o n t h a t s a t i s fi e s l V ' I a x w e l l ’ s e q u a t i o n s . C o n s i d e r V t o b e a l o s s y i s o t r o p i c v o l u m e e n c l o s e d b y a b o u n d i n g s u r f a c e S w i t h c c m s t i t u t i v e p a r a m e t e r s 6 : E , — j c ” a n d , u : p ] — j u ” . L e t ( E 1 , H 1 ) a n d ( E 2 , H 2 ) b e t w o s e t s o f s o l u t i o n i n s i d e V i n t h e p r e s e n c e o f s o u r c e s , 3 3 / / S ( 6 E x 6 H * ) ~ d s ’ + / / , / V ( E J ’ ; + 1 4 1 5 M ) “ ; _ _ _ _ 0 ( 4 . 1 1 ) J z ' a n d M i - T h e t w o s e t s o f f i e l d s s a t i s f y t h e M a x w e l l ’ s e q u a t i o n s , V x E 1 : — M . , - — 3 1 1 ; , q u V x H 1 : J i + j c h 1 ( 4 . 9 a ) V X E 2 : — 1 V I . , : — 3 1 0 q u V X H 2 : J z - + j w € E 2 ( 4 . 9 b ) S u b t r a c t i n g ( 4 . 9 a ) f r o m ( 4 . 9 1 ) ) y i e l d s V x 6 E : — j w ; i ( 5 H V x 6 H 2 j w c h ( 4 . 1 0 ) w h e r e 6 E : E 1 — E 2 a n d 6 H : H 1 — H 2 . T h e d i f f e r e n c e fi e l d s s a t i s f y t h e l V I a x w e l l ’ s s o u r c e f r e e e q u a t i o n s . F o r u n i q u e n e s s , t h e d i f f e r e n c e fi e l d s s h o u l d b e e q u a l t o 0 w h i c h , i m p l i e s E 1 : - E 2 a n d H 1 : H 2 . T h e e n e r g y c o n s e r v a t i o n e q u a t i o n f o r t h e t i m e h a r m o n i c d i f f e r e n c e f i e l d s c a n b e w r i t t e n a s , w h e r e J t : ( a + j w c ) 6 E . I f t h e f o l l o w i n g i s t r u e [ [ 5 ( 6 E x 6 H * ) - d s ’ = 0 ( 4 . 1 2 ) t h e n , t h e v o l u m e i n t e g r a l i n ( 4 . 1 1 ) e q u a l s t o z e r o . S u b s t i t u t i n g f o r J t , € , u t h e r e a l a n d i m a g i n a r y p a r t s o f t h e i n t e g r a l r e d u c e s t o / / / V [ ( 0 + w c " ) | 6 E | 2 + w u ’ l l c 5 H l 2 ] d ' v ’ : 0 ( 4 . 1 3 a ) / / / [ — w e ’ | 6 E | 2 + w p ’ l é ‘ H I Q ] ( 1 0 ’ = 0 ( 4 . 1 3 1 ) ) V F o r l o s s y i s o t r o p i c m e d i a , t h e p a r a m e t e r s ( a + w e ” ) a n d c a n ” i n ( 4 . 1 3 a ) a r e p o s i t i v e w h i c h , i m p l i e s t h a t | 6 E | 2 a n d | 6 H | 2 a r e e q u a l t o z e r o o r 6 E : 6 H : 0 . T h i s p r o o f o f 3 4 u n i q u e n e s s i s b a s e d o n t h e a s s u m p t i o n t h a t ( 4 . 1 2 ) i s v a l i d i n S . E q u a t i o n ( 4 . 1 2 ) c a n b e r e w r i t t e n u s i n g v e c t o r i t i l e n t i t y a s / / ( 6 E X 6 H * ) - 7 ” 2 . d s ’ : / . / S 6 H * . ( f t x ( 5 E ) d s , ( 4 . 1 4 ) S : / / ( 5 E . ( 6 H * X 7 3 . ) 0 1 3 ’ S T h e c o n d i t i o n s f o r u n i q u e n e s s E 1 : E 2 a n d H 1 : H 2 r e q u i r e e i t h e r ( i t x 6 E ) : 0 o r ( a x 6 E ) : 0 o v e r S i . e . , t h e t a n g e n t i a l c o m p o n e n t s o f E 1 a n d E 2 a n d / o r t h e t a n g e n t i a l c o m p o n e n t s o f H 1 a n d H 2 a r e i d e n t i c a l o v e r S a n d a r e e q u a l t o s o m e s p e c i f i e d v a l u e s . T h e c o n d i t i o n f o r u n i q u e n e s s o f t h e fi e l d s m a i n t a i n e d b y s o u r c e s J z ’ a n d M i i n s i d e a l o s s y i s o t r o p i c m e d i u m i n c l u d e s o n e o f t h e f o l l o w i n g : 1 . T a n g e n t i a l c o m p o n e n t o f t h e e l e c t r i c f i e l d o v e r t h e b o u n d i n g s u r f a c e S 2 . T a n g e n t i a l c o m p o n e n t o f t h e m a g n e t i c fi e l d o v e r t h e b o u n d i n g s u r f a c e S 3 . T a n g e n t i a l c o m p o n e n t o f t h e e l e c t r i c fi e l d o v e r a p a r t a n d t a n g e n t i a l c o m p o n e n t o f m a g n e t i c fi e l d o v e r t h e r e s t o f t h e b o u n d i n g s u r f a c e S 4 . 5 . 3 R e c i p r o c i t y R e c i p r o c i t y t h e o r e m i s t h e m o s t c o m m o n l y u s e d t h e o r e m t o u n d e r s t a n d t h e t r a n s - m i s s i o n a n d r e c e p t i o n p r o p e r t i e s o f a n t e n n a s . C o n s i d e r a l i n e a r i s o t r o p i c m e d i u m w i t h t w o s e t s o f s o u r c e s J 1 , M 1 a n d J 2 , M 2 m a i n t a i n i n g fi e l d s E 1 , H 1 a n d E 2 , H 2 r e s p e c t i v e l y a t t h e s a m e f r e q u e n c y . T h e fi e l d s m a i n t a i n e d b y t h e s o u r c e s s a t i s f y t h e . V l a x w e l l ’ s e q u a t i o n s , V X E 1 : — M 1 — j w , u H 1 V X H 1 : J 1 + j t u ‘ E E 1 ( 4 . 1 5 3 ) _ / [ S ( E 1 X H 2 _ E 2 l e ) . d s ’ : E 1 - J 2 + H 2 - M 1 — E 2 ° J 1 — H 1 - M 2 ( 4 . 2 1 ) V X E 2 — M 2 — j w w H 2 V x H 2 2 J 2 + j c h 2 ( 4 . 1 5 1 ) ) T a k i n g d o t p r o d u c t s b e t w e e n H 2 a n d ( 4 . 1 5 a ) , E 1 a n d ( 4 . 1 5 1 ) ) a n d s u b t r a c t i n g t h e d o t p r o d u c t s y i e l d s , E 1 - ( V x H 2 ) — H 2 - ( V x E 1 ) : 2 E 1 ~ J 2 + H 2 - M 1 + j w e E 1 ~ E 2 + j w n H 1 - H 2 ( 4 . 1 6 ) U s i n g t h e v e c t o r i d e n t i t y , V - ( A X B ) : B . ( V x A ) — A . ( V X B ) ( 4 . 1 7 ) e q u a t i o n ( 4 . 1 6 ) c a n b e r e w r i t t e n a s — V - ( E 1 > < H 2 ) : E 1 - J 2 + H Q ' M 1 + , w a E 1 - E 2 + j w n H 1 - H 2 ( 4 . 1 8 ) S i m i l a r l y , t h e d i f f e r e n c e o f t h e d o t p r o d u c t s b e t w e e n E 2 a n d ( 4 . 1 5 a ) a n d H 1 a n d ( 4 . 1 5 b ) y i e l d s — V - ( E 2 x H 1 ) : E 2 - J 1 + H 1 ° M 2 + j c h 2 - E 1 + j p r 2 - H 1 ( 4 . 1 9 ) S u b t r a c t i n g ( 4 . 1 9 ) f r o m ( 4 . 1 8 ) y i e l d s t h e L o r e n t z R e c i p r o c i t y t h e o r e m , — V - ( E 1 X H 2 — E 2 l e ) : E 1 - J 2 + H 2 - M 1 — E 2 - J 1 — H 1 - M 2 ( 4 . 2 0 ) U s i n g t h e d i v e r g e n c e t h e o r e m , t h e i n t e g r a l f o r m o f ( 4 . 2 0 ) i s w r i t t e n a s 3 6 . \ . = 1 5 £ \ 9 \ 3 . . . . . . . . . . . . . . v . s F i g u r e 4 . 2 . I l l u s t r a t i o n o f v o l u m e e q u i v a l e n c e t h e o r e m [ 2 7 ] ( a ) A c t u a l ( b ) E q u i v a l e n t m o d e l . 4 . 5 . 4 V o l u m e E q u i v a l e n c e T h e o r e m V o l u m e e q u i v a l e n c e t h e o r e n ‘ i f a c i l i t a t e s t h e s o l u t i o n f o r t h e fi e l d s c a t t e r e d b y a d i - e l e c t r i c o b s t a c l e o r s c a t t e r e r . L e t E 0 , H 0 b e t h e fi e l d s m a i n t a i n e d b y t h e s o u r c e s J 2 ' , M i a s i l l u s t r a t e d i n F i g u r e F i g u r e 4 . 2 ( a ) . T h e s o u r c e s a n d fi e l d s s a t i s f y l \ r ’ 1 a x w e l l ’ s e q u a n o n s V X E 0 = — M 7 ; — j w l ‘ O H O ( 4 . 9 9 % ) V X H 0 : J ' i + j c h E 0 ( 4 . 2 2 1 ) ) T h e fi e l d s E , H m a i n t a i n e d b y t h e s a m e s o u r c e s i n s i d e a m e d i u m w i t h c o n s t i t u t i v e p a r a m e t e r s 6 , , u s a t i s f y M a x w e l l ’ s e q u a t i o n s V X E : ‘ M z ' — j w n H ( 4 . 2 3 a ) V X H : J 1 ; + j w € E ( 4 . 2 3 b ) 3 7 v x E 3 : — j w ( n H — W H O ) ( 4 . 2 4 a ) S u b t r a c t i n g ( 4 . 2 2 a ) f r o m ( 4 . 2 3 a ) a n d ( 4 . 2 2 1 ) ) f r o m ( 4 . 2 3 1 ) ) l e a d s t o v x H 8 : j w ( e E — ( O E D ) ( 4 . 2 4 1 ) ) w h e r e E 8 : E — E 0 , H 8 : 2 H — H 0 a r e t h e s c a t t e r e d fi e l d s . A d d i n g a n d s u l ; ) t r a c t i n g [ 1 0 H t o ( 4 . 2 4 a ) a n d 6 0 E t o ( 4 . 2 4 1 ) ) g i v e s V X E 8 : — j t d ( , u — 1 1 0 ) H — j a y / 1 . 0 1 1 8 ) . . _ — — M € q _ . j W O H S ( 4 . 2 5 a ) V X H 8 : j a ) ( c — 6 0 ) E + j c h E 3 ) : j W J e q ‘ 1 ' j t ’ u ‘ E O E S ( 4 . 2 5 b ) T h e e q u i v a l e n t v o l u m e e l e c t r i c a n d m a g n e t i c c u r r e n t d e n s i t i e s i n ( 4 . 2 5 a ) - ( 4 . 2 5 b ) a r e g i v e n b y t h e e x p r e s s i o n , J e q : j U J ( € — € O ) E ( 4 . 2 6 3 ) M e q : j w ( , u — n O ) H ( 4 . 2 6 b ) I n ( 4 . 2 5 a ) - ( 4 . 2 5 b ) , t h e e q u i v a l e n t v o l u m e e l e c t r i c a n d m a g n e t i c c u r r e n t d e n s i t i e s J e q : j w ( c — € 0 ) E a n d M e g : J ' s / ( p . — n 0 ) H w i t h i n S y i e l d t h e s a m e s c a t t e r e d fi e l d s E , H o u t s i d e S . T h e c o m p u t a t i o n a l m o d e l f o r t h e e q u i v a l e n t p r o b l e m i s s h o w n i n F i g u r e F i g u r e 4 2 ( 1 ) ) . 4 . 5 . 5 S u r f a c e E q u i v a l e n c e T h e o r e m F i e l d s s c a t t e r e d b y c o n d u c t i n g s u r f a c e s a n d r a d i a t e d b y s o u r c e s a r e o f t e n d e t e r m i n e d u s i n g s u r f a c e e q u i v a l e n c e t h e o r e m . T h e t h e o r e m p r o v i d e s a m e a n s t o r e p l a c e t h e c o n d u c t i n g b o d y o r a c t u a l s o u r c e s w i t h i m a g i n a r y s o u r c e s o v e r a b o u n d i n g s u r f a c e 3 8 t h a t m a i n t a i n e x a c t l y t h e s a m e fi e l d a s t h e p e r f e c t l y c o n d u c t i n g o l ' ) s t a c l e s a n d a c t u a l s o u r c e s . C o n s i d e r t h e r a d i a t i o n p r o b l e m i n F i g u r e F i g u r e 4 . 3 ( a ) . T h e fi e l d s E 1 , H 1 m a i n — t a i n e d b y t h e c u r r e n t d e n s i t i e s J , M i n V 1 c a n b e o b t a i n e d b y s o l v i n g t h e e q u i v a l e n t p r o b l e m i n F i g u r e F i g u r e 4 3 ( 1 ) ) . T h e e q u i v a l e n t s u r f a c e c u r r e n t s J 3 , M 3 i n F i g u r e F i g u r e 4 . 3 ( b ) r e p l a c e s t h e a c t u a l r a d i a t i n g s o u r c e s J , M a n d e s t a b l i s h fi e l d s E 1 , H 1 o u t s i d e S a n d E , H i n s i d e S . T h e fi c t i t i o u s s o u r c e s r e s u l t s i n t h e b o u n d a r y c o n d i t i o n s M 3 : — 7 ‘ z > < ( E 1 — E ) | S ( 4 . 2 7 b ) T h e fi e l d s E , H i n s i d e a . v i r t u a l b o u n d i n g s u r f a c e S a r e n o t o f i n t e r e s t f o r r a d i a t i n g s o u r c e s a n d p e r f e c t l y c o n d u c t i n g b o d i e s a n d c a n b e s e t t o z e r o . T h i s r e d u c e s t h e e q u i v a l e n t c u r r e n t d e n s i t i e s t o t h e f o r m J S 2 f l - X H 1 S ( 4 . 2 8 2 1 ) M 3 2 — f l X E 1 s ( 4 . 2 8 b ) F i g u r e F i g u r e 4 . 3 ( c ) s h o w s t h e e q u i v a l e n t p r o b l e m f o r t h e a c t u a l s c a t t e r i n g p r o b l e m i n F i g u r e F i g u r e 4 . 3 ( a ) . 4 . 6 W a v e E q u a t i o n s I n e l e c t r o m a g n e t i c t h e o r y , t h e e l e c t r i c a n d m a g n e t i c fi e l d s a r e s o l u t i o n s t o t h e c o u - p l e d fi r s t o r d e r p a r t i a l d i f f e r e n t i a l l V ' I a x w e l l ’ s e q u a t i o n s . I n s t e a d o f s o l v i n g t h e c o u p l e d p a r t i a l d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s f o r t h e u n k n o w n e l e c t r o m a g n e t i c fi e l d s , t h e d e - c o u p l e d s e c o n d o r d e r p a r t i a l d i f f e r e n t i a l w a v e e q u a t i o n s a r e o f t e n s o l v e d . A s s u m i n g a h o m o — ‘ 5 o ' 5 I : 1 5 ‘ \ ' / J f ‘ . 1 “ _ _ _ i _ , . . . . . . 1 : # 1 x { I 1 , E E « 1 " 2 H H x 1 ; 1 , i 5 1 1 | . 1 9 ‘ ‘ t 1 8 1 : E ’ H a . ‘ ” w " : 1 ‘ 1 . , , . ' ' ” r 1 ’ , . x 1 ’ : I f , . " I H 1 , v ‘ , 0 . M s z - n x m l - E ) 1 ( H 1 - \ . ‘ . “ ‘ " I n - - . - " ‘ 7 - “ - 0 ' - 0 0 ” - - - a G u n U ' l l l 2 5 ) \ H ( a ) V ’ 2 ! . - p - o u u - - - . r " ' " I - ‘ 5 ‘ s ‘ 5 \ \ I I " - ' \ a s i S a " " q " g . J = n x I I l , g S 0 ' I . ‘ 1 I I O l I f I c I " A { { - s t = - H I E l : 1 2 : 0 , 1 1 : 0 , r ‘ a ‘ x 1 . r I I . ‘ 3 ‘ o " . ‘ \ 5 I ’ . ' ‘ ~ ‘ \ ‘ ~ . - _ , , " * " E l ? H 1 8 1 : 1 ‘ 1 " ( C ) F i g u r e 4 . 3 . I l l u s t r a t i o n o f s u r f a c e e q u i v a l e n c e t h e o r e m [ 2 7 ] ( a ) A c t u a l ( b ) E q u i v a l e n t m o d e l ( c ) L o v e ’ s e q u i v a l e n t m o d e l . 4 0 g e n e o u s i s o t r o p i c m e d i u m , t h e c u r l o f F a r a d a y ' s l a w c a n b e w r i t t e n a s V X V X E Z - V X M i — j w fl V X H ( 4 . 2 9 ) S u b s t i t u t i n g A m p e r e ’ s l a w f o r V X H a n d u s i n g v e c t o r i d e n t i t y l e a d s t o W - E — V 2 E : — v x M , - — j a n x ( J , + J . ) + w c h E ( 4 . 3 0 ) w h e r e J C : 0 E . S u b s t i t u t i n g V - E w i t h G a u s s ’ s l a w a n d r e a r r a n g i n g ( 4 . 3 0 ) l e a d s t o t h e e l e c t r i c fi e l d w a v e e t ‘ l u a t i o n . . 1 W E + w z c h : v x M , - + j a n x . 1 , - + J 0 ) + — V , 0 ( 4 . 3 1 ) 6 F o l l o w i n g a s i m i l a r p r o c e d u r e f o r t h e A m p e r e l a w y i e l d s t h e m a g n e t i c fi e l d v e c t o r w a v e e q u a t i o n . . 1 V ‘ Z H + L u z / 1 6 H : — V X J z ’ + - j w a z - + 0 M 2 ; + — m e , ( 4 . 3 2 ) ( t 4 . 7 V e c t o r P o t e n t i a l s O f t e n i n e l e c t r o m a g n e t i c s , b o u n d a r y v a l u e p r o b l e m s a r e s o l v e d w i t h t h e a i d o f t h e fi c t i t i o u s e l e c t r i c a n d m a g n e t i c v e c t o r p o t e n t i a l s t o f a c i l i t a t e s o l u t i o n s t o t h e e l e c t r o - m a g n e t i c fi e l d s ( E , H ) . T h e v e c t o r p o t e n t i a l s a r e n o n p h y s i c a l q u a n t i t i e s i n t r o d u c e d f o r m a t h e m a t i c a l c o n v e n i e n c e . T h e s e i m a g i n a r y q u a n t i t i e s s i m p l i f y t h e s o l u t i o n t o e l e c t r i c a n d m a g n e t i c fi e l d s t h a t s a t i s f y t h e M a x w e l l ’ s e q u a t i o n s . 4 1 4 . 7 . 1 M a g n e t i c V e c t o r P o t e n t i a l ( A ) I n s i d e a . s o u r c e f r e e r e g i o n , t h e G a u s s ’ l a w f o r m a g n e t i c fi e l d i s d i v e r g e n c e f r e e w h i c h , i m p l i e s t h a t t h e m a g n e t i c f l u x d e n s i t y c a n b e w r i t t e n a s V - B A : 0 : v . ( v a ) [ V - ( V X A ) : O ] ( 4 . 3 3 ) B A z V X A , H A l e X A ( 4 . 3 4 ) p w h e r e A i s t h e a u x i l i a r y m a g n e t i c v e c t o r p o t e n t i a l u s e d t o c h a r a c t e r i z e t h e fl u x d e n s i t y B A - S u b s t i t u t i n g H A w i t h t h e v e c t o r p o t e n t i a l A i n F a r a d a y ’ s l a w l e a d s t o V X E A = — j o . / ‘ V X A 2 : } V X [ E A + j w ‘ A ] = 0 ( 4 . 3 5 ) I n v o k i n g t h e v e c t o r i d e n t i t y , V X ( — V ¢ e ) = 0 y i e l d s t h e fi n a l f o r m f o r t h e e l e c t r i c fi e l d i n t e n s i t y a s E A + i j = — V ¢ e ( 4 . 3 6 ) f o r a n a r b i t r a r y ( b e r e f e r r e d a s t h e s c a l a r e l e c t r i c p o t e n t i a l f u n c t i o n . T a k i n g c u r l o f ( 4 . 3 4 ) a n d u s i n g v e c t o r i d e n t i t y g i v e s 1 1 V x H A 2 v v - A - — V Z A ( 4 . 3 7 ) U s i n g A m p e r e ’ s l a w f o r h o m o g e n e o u s m e d i u m a n d s u b s t i t u t i n g E A b y ( 4 . 3 6 ) r e d u c e s ( 4 . 3 7 ) t o , V 2 A + w z n e A : — , u . J + V ( V - A + j w n c e e ) ( 4 . 3 8 ) B o t h c u r l a n d d i v e r g e n c e e q u a t i o n s a r e r e q u i r e d t o u n i q u e l y d e fi n e t h e v e c t o r p o t e n t i a l A . O n e c h o i c e t h a t s i m p l i f i e s ( 4 . 3 8 ) i s t h e L o r e n t z c o n d i t i o n , V - A : — j w n c ( 1 ) e ( 4 . 3 9 ) T h e g a u g e c o n d i t i o n i n ( 4 . 3 9 ) y i e l d s t h e w a v e e q u a t i o n , V 2 A + w 2 n c A 2 — ; L J ( 4 . 4 0 ) f o r t h e v e c t o r p o t e n t i a l a n d t h e e x p r e s s i o n , E A : — j t o A — V o e : - — i j — % V ( V - A ) ( 4 . 4 1 ) ( U K : - f o r t h e e l e c t r i c fi e l d . T a k i n g d i v e r g e n c e o f ( 4 . 4 1 ) a n d u s i n g ( 4 . 3 9 ) y i e l d s t h e w a v e e q u a t i o n f o r t h e e l e c t r i c s c a l a r p o t e n t i a l , V - E A 2 — w 2 , u c ¢ e — V z c b e é V 2 ¢ ) e + w a t e r / fi e : - — B [ 1 6 V - E = p ] ( 4 . 4 2 ) 6 4 . 7 . 2 E l e c t r i c V e c t o r P o t e n t i a l ( F ) T h e fi c t i t i o u s e l e c t r i c v e c t o r p o t e n t i a l F i s o b t a i n e d a l o n g t h e s a m e l i n e s u s i n g t h e d u a l e q u a t i o n s a n d q u a n t i t i e s f o r t h e e l e c t r i c fi e l d . T h e a u x i l i a r y v e c t o r F i s d e fi n e d s t a r t i n g w i t h t h e e l e c t r i c G a u s s ’ s l a w f o r s o u r c e - f r e e m e d i u m , V - D F : 0 t o y i e l d t h e e q u a t i o n s f o r t h e e l e c t r i c a n d m a g n e t i c fi e l d s , 1 E p : 7 v “ ? ( 4 . 4 3 4 ) H F : — j w e F — V q § m ( 4 . 4 3 1 ) ) 4 3 w h e r e a m i s t h e a r b i t r a r y m a g n e t i c s c a l a r p o t e n t i a l . S u b s t i t u t i n g ( 4 . 4 3 a ) i n A m p e r e ’ s l a w a n d u s i n g v e c t o r i d e n t i t i e s g i v e s v 2 1 ? + 4 2 4 . 1 ? : — 6 M + v ( v - F + j w n c ) ( 4 . 4 4 ) F o r u n i q u e n e s s o f F , V - F i s d e f i n e d a s V - F : — j w u c q § m ( 4 . 4 5 ) S u b s t i t u t i n g t h e L o r e n t z c o n d i t i o n i n ( 4 . 4 5 ) i n t o ( 4 . 4 4 ) y i e l d s t h e v e c t o r w a v e e q u a - t i o n , V Z F + L U Q M E F : — c M ( 4 . 4 6 ) a n d t h e m a g n e t i c fi e l d H F : — j w c F — J — V ( V . F ) ( 4 . 4 7 ) c o n e T a k i n g d i v e r g e n c e o f ( 4 . 4 3 b b ) a n d s u b s t i t u t i n g ( 4 . 4 5 ) a n d 1 L V - H F : p m g i v e s t h e w a v e e q u a t i o n f o r t h e m a g n e t i c s c a l a r p o t e n t i a l v 2 4 " . + 4 2 4 6 . 4 . . . = { C f — t ( 4 . 4 8 ) T h e t o t a l fi e l d d u e t o t h e e l e c t r i c a n d m a g n e t i c v e c t o r p o t e n t i a l s a r e e x p r e s s e d a s a s u p e r p o s i t i o n o f t h e e l e c t r o m a g n e t i c fi e l d s ( E A : H A ) a n d ( E F ) H F ) . T h e t o t a l fi e l d s t a k e t h e f o r m E : E A + E F ' 1 2 - 3 1 . ) . 4 — L V N - A ) — E V x F ( 4 4 9 ) w a s 4 4 0 9 5 2 ( 1 4 5 7 7 2 4 1 " ) ) = : ) g ( r , / 0 - n ' 2 . ( r ’ 3 ) ; g ( r r ' , / ) 3 d ; r v ’ ' ) d ' v ’ p ( f r ' , E i f f f / V / V ( ( 4 4 . . 5 5 4 5 ) ) H : H A - l - H F 1 . = — v x A — j w c F — J — v w . F ) ( 4 . 5 0 ) , u 1 1 2 , 1 1 6 4 . 7 . 3 S o l u t i o n s t o I n h o m o g e n e o u s P o t e n t i a l W a v e E q u a t i o n s T h e w a v e e q u a t i o n s a t i s fi e d b y t h e s c a l a r G r e e n s f u n c t i o n i n a h o m o g e n e o u s m e d i u m w i t h c a n d , u g i v e n b y 2 2 . , I _ _ , I ( V + w , u c ) g ( r , w , r ) — — - 6 ( r , r ) ( 4 . 5 1 ) f a c i l i t a t e s t h e s o l u t i o n t o t h e m a g n e t i c a n d v e c t o r p o t e n t i a l s i n ( 4 . 3 8 ) a n d ( 4 . 4 4 ) r e s p e c t i v e l y . T h e s o u r c e t e r m s i n ( 4 . 4 0 ) , ( 4 . 4 2 ) , ( 4 . 4 6 ) a n d ( 4 . 4 8 ) c a n b e e x p r e s s e d a s a c o n v o l u t i o n i n t e g r a l o f t h e s o u r c e w i t h t h e D i r a c d e l t a f u n c t i o n i n ( 4 . 5 1 ) . T h i s r e p r e s e n t a t i o n r e s u l t s i n t h e i n t e g r a l e q u a t i o n s o l u t i o n o f t h e p o t e n t i a l s A ( r ) : i , i / / / J ( r ’ ) g ( r , / 3 ; r ’ ) d v ’ ( 4 . 5 2 ) V F ( r ) : c / f / M ( r ’ ) g ( r , fi ; r ’ ) d v ’ ( 4 . 5 3 ) V w h e r e t h e 3 D s c a l a r G r e e n s f u n c t i o n i s g i v e n b y t h e e x p r e s s i o n , I e — j fi ’ l ‘ 9 0 3 5 ; r ) = ( 4 - 5 6 ) 4 7 1 ' ? " w i t h b e t a 2 w ‘ / fl € b e i n g t h e w a v e n u m b e r i n t h e h o m o g e n e o u s m e d i u m a n d r = I r — r ’ l . T h e i n t e g r a l e q u a t i o n s o l u t i o n t o t h e v e c t o r p o t e n t i a l s i n ( 4 . 5 2 ) — ( 4 . 5 5 ) i s t h e w i d e l y u s e d f o r m t o s t u d y w a v e p r o p a g a t i o n i n s c a t t e r i n g a n d r a d i a t i o n p r o b l e m s . F o r t w o d i m e n s i o n a l p r o b l e m s , t h e s c a l a r G r e e n s f u n c t i o n t a k e s t h e f o r m , j ‘ 2 1 — g t z . y . 4 ; 4 ’ . y ’ ) = 3 1 1 5 1 ( a ) ) ( 4 . 4 7 ) w h e r e p z \ / ( : 1 : — ; r r ’ ) ‘ 2 + ( y — y ’ ) 2 a n d 1 1 8 2 ) i s t h e z e r o t h o r d e r H a n k e l f u n c t i o n o f t h e s e c o n d k i n d . 4 6 C H A P T E R 5 T I M E H A R M O N I C E L E C T R O M A G N E T I C W A V E S C A T T E R I N G I n t r o d u c t i o n T h e s o l u t i o n t o E M w a v e s c a t t e r i n g i s d e r i v e d i n t h i s c h a p t e r i n t e r m s o f t h e t w o c o m m o n l y u s e d m o d e s n a m e l y T M a n d T E . T h e E M fi e l d q u a n t i t i e s f o r t h e T E a n d T M m o d e s a r e d e r i v e d i n s e c t i o n 5 . 1 u s i n g t h e v e c t o r p o t e n t i a l s . T h e d i f f e r e n t i a l a n d i n t e g r a l f o r m s o f t h e s o l u t i o n t o T i l - 1 ' 3 s c a t t e r i n g f r o m t w o - d i m e n s i o n a l a r b i t r a r i l y s h a p e d p e r f e c t l y c o n d u c t i n g a n d p e n e t r a b l e d i e l e c t r i c s c a t t e r e r s a r e d e r i v e d i n s e c t i o n s 5 . 2 a n d 5 . 3 r e s p e c t i v e l y . T h e E M fi e l d m a i n t a i n e d b y t w o — d i m e n s i o n a l d i e l e c t r i c a n d p e r f e c t l y c o n d u c t i n g o b s t a c l e s f o r T M Z p o l a r i z a t i o n i s d e r i v e d i n s e c t i o n 5 . 4 u s i n g fi c t i t i o u s v e c t o r p o t e n t i a l s . 5 . 1 E l e c t r o m a g n e t i c M o d e s I n e l e c t r o m a g n e t i c s , m o s t o f t e n m o r e t h a n o n e fi e l d c o n fi g u r a t i o n o r m o d e e x i s t s t o t h e b o u n d a r y v a l u e p r o b l e m . T h e fi e l d c o n fi g u r a t i o n s t h a t a r e s o l u t i o n s t o t h e e l e c t r o m a g n e t i c b o u n d a r y v a l u e p r o b l e m s a t i s f y M a x w e l l ’ s e q u a t i o n s . T h e w i d e l y k n o w n m o d e s a r e T r a n s v e r s e E l e c t r o m a g n e t i c ( T E M ) , T r a n s v e r s e E l e c t r i c ( T E ) a n d T r a n s v e r s e M a g n e t i c ( T M ) . A m o n g s t t h e t h r e e c o m m o n l y u s e d m o d e s , T E M i s t h e s i m p l e s t a n d l o w e s t o r d e r m o d e . T h e r e m a i n i n g t w o fi e l d c o n fi g u r a t i o n s n a m e l y , T E a n d T M a r e c o n s t r u c t e d u s i n g t h e v e c t o r p o t e n t i a l s d e s c r i b e d i n s e c t i o n 4 . 7 . 5 . 1 . 1 T r a n s v e r s e E l e c t r i c W a v e T E m o d e s a r e h i g h e r o r d e r fi e l d c o n fi g u r a t i o n s t h a t a r e f r e q u e n t l y u s e d t o s o l v e b o u n d a r y v a l u e p r o b l e m s i n B M s c a t t e r i n g t h e o r y . H e r e , a l l n o n — z e r o e l e c t r i c fi e l d c o m p o n e n t s l i e i n a p l a n e t r a n s v e r s e t o t h e d i r e c t i o n o f w a v e p r o p a g a t i o n . F o r e x a m p l e i n T E Z m o d e , t h e w a v e p r o p a g a t e s i n z - d i r e c t i o n w i t h ( E , 3 = 0 ) a n d t h e r e m a i n i n g 4 7 , ( l , 7 E y , y , 2 ) _ — — 7 1 2 8 1 ? » — ; _ 1 1 y _ — - 1 5 ' . 1 % 3 2 . y 1 d ? } ; : e l e c t r i c ( 1 3 3 ; , E y ) a n d m a g n e t i c ( 1 1 1 : , 1 1 3 / , H 3 ) fi e l d c m n p o n e n t s m a y o r m a y n o t e x i s t d e p e n d i n g o n t h e e l e c t r i c a l p r o p e r t y a n d b o u n d a r y c o n d i t i o n s i n t h e m e d i u m o f i n t e r e s t . T E " F i e l d s L e t 2 b e t h e d i r e c t i o n o f w a v e p r o p a g a t i o n f o r t h e T E m o d e . T h e n f r o m ( 4 . 4 9 ) a n d ( 4 . 5 0 ) , t h e s o l u t i o n t o T E ; fi e l d c o n fi g u r a t i o n c a n b e o b t a i n e d u s i n g t h e e l e c t r i c v e c t o r p o t e n t i a l , F . L e t , : 2 1 7 3 ( 1 ‘ ) ( 5 . 1 8 . ) A . : : 0 ( 5 1 b ) F o r T E ; m o d e i n s i d e a s o u r c e f r e e r e g i o n ( M : O ) , e q u a t i o n ( 4 . 4 6 ) f o r F r e d u c e s t o t h e s c a l a r f o r m V 2 F 3 ( ; r , y , z ) + 1 3 2 F z ( ; r , y . z ) = 0 ( 5 . 2 ) S u b s t i t u t i n g t h e s o l u t i o n o f ( 5 . 2 ) i n ( 4 . 4 9 ) - ( 4 . 5 0 ) y i e l d s t h e T E Z fi e l d s , _ : . 2 E Z ( $ ) y a z ) : 0 H z ( . ' . l l ' , ” l , Z ) : 1 3 1 - 1 % ( 5 % + 4 3 2 ) F 2 _ a F ~ — 8 2 F ~ E M A 4 d z 7 L w ‘ H i : m fi a fi ‘ “ 3 I n a s i m i l a r m a n n e r , T E fi e l d c o n fi g u r a t i o n s f o r w a v e s p r o p a g a t i n g a l o n g x o r y d i r e c t i o n c a n b e o b t a i n e d u s i n g t h e r e s p e c t i v e c o m p o n e n t s o f t h e v e c t o r p o t e n t i a l F . 5 . 1 . 2 T r a n s v e r s e M a g n e t i c W a v e S i m i l a r t o T B m o d e s , T M m o d e s a r e a l s o h i g h e r o r d e r fi e l d c o n fi g u r a t i o n s t h a t a r e f r e q u e n t l y u s e d t o s o l v e b o u n d a r y v a l u e p r o b l e m s . I n T M m o d e s , t h e m a g n e t i c fi e l d c o m p o n e n t s l i e i n a p l a n e t r a n s v e r s e t o a g i v e n d i r e c t i o n . T h e d i r e c t i o n t r a n s v e r s e t o t h e p l a n e c o n t a i n i n g t h e m a g n e t i c fi e l d c o m p o n e n t s i s o f t e n c h o s e n t o b e t h e 4 8 1 l E E 5 z 9 a , ( ; t ( 1 l ‘ : , y , f , 1 ’ y 9 ) Z ’ z ) 2 ) 1 = — : _ 1 — fl , 5 W m % f ' 1 2 a ( W 5 y 5 1 ) 2 6 7 2 + 4 3 2 ) A z 1 3 ' 2 A ~ ? H I ” z ] L . : 4 : O : _ — fi 1 7 n 1 . 7 e 8 9 A 3 5 1 ( 5 . 6 ) p r o p a g a t i o n p a t h o f t h e E M f i e l d . T h u s , f o r T M t o 2 m o d e ( T M z ) , t h e z - c o m p o n e n t o f t h e m a g n e t i c fi e l d i s z e r o ( 1 1 3 : 0 ) . D e p e n d i n g o n t h e b o u n d a r y v a l u e p r o b l e m , t h e r e m a i n i n g m a g n e t i c fi e l d c o m p o n e n t s ( H I , H y ) a n d a l l e l e c t r i c fi e l d c o m p o n e n t s ( E g g , E y , E z ) m a y o r m a y n o t e x i s t . T M z F i e l d s L e t 2 b e t h e d i r e c t i o n o f w a v e p r o p a g a t i o n f o r T M fi e l d c o n fi g u r a t i o n . T h e n f r o m ( 4 . 4 9 ) a n d ( 4 . 5 0 ) , t h e s o l u t i o n t o T M ’ : fi e l d c o n fi g u r a t i o n c a n b e o b t a i n e d u s i n g t h e e l e c t r i c v e c t o r p o t e n t i a l , A . L e t , A : 2 . 4 , : ( r ) ( 5 . 4 a ) : 0 ( 5 . 4 b ) F o r T M " m o d e i n s i d e a s o u r c e f r e e r e g i o n ( J : 0 ) , ( 4 . 4 0 ) s a t i s fi e d b y t h e v e c t o r p o - t e n t i a l A r e d u c e s t o t h e s c a l a r w a v e e q u a t i o n 2 , , ‘ 2 , _ V A z ( . z . , y , z ) + 1 3 A ; ( . z : , y , z ) — 0 ( 5 . 5 ) w h e r e 1 3 = w 1 1 6 i s t h e w a v e n u m b e r i n t h e s o u r c e f r e e r e g i o n . T h e T M Z fi e l d s c a n b e o b t a i n e d b y s u b s t i t u t i n g t h e s o l u t i o n t o ( 5 . " ) i n ( 4 . 4 9 ) - ( 4 . 5 0 ) f o r t h e s o u r c e f r e e c a s e . T h e r e s u l t i n g T M z fi e l d s a r e g i v e n b y S i m i l a r l y , E M fi e l d s f o r T M w a v e p r o p a g a t i n g a l o n g x o r y d i r e c t i o n c a n b e d e r i v e d u s i n g A 5 , ; a n d A l l c o m p o n e n t s o f t h e e l e c t r i c v e c t o r p o t e n t i a l A . S c a t t e r i n g f r o m p e r f e c t l y c o n d u c t i n g a n d p e n e t r a b l e o b s t a c l e s a r e d e a l t i n t h i s 4 9 . , s o , , u o , 0 ' = O F i g u r e 5 . 1 . T M Z s c a t t e r i n g f r o m a t w o d i m e n s i o n a l p e r f e c t l y c o n d u c t i n g c y l i n d e r ( a ) 3 D ( b ) 2 D c o m p u t a t i o n a l M o d e l . c h a p t e r . S o l u t i o n t o t h e s c a t t e r e d fi e l d c a n b e o b t a i n e d i n s e v e r a l w a y s . I n t h i s s e c t i o n , d i f f e r e n t i a l a n d i n t e g r a l s o l u t i o n s o f t h e T M Z s c a t t e r i n g p r o b l e m s a r e d e r i v e d f o r t h e t w o d i m e n s i o n a l c a s e . 5 . 2 T M Z S c a t t e r i n g f r o m C o n d u c t i n g C y l i n d e r s C o n s i d e r a n a r b i t r a r y s h a p e d p e r f e c t l y c o n d u c t i n g c y l i n d e r w i t h i t s p r i n c i p a l a x i s p a r a l l e l t o t h e z a x i s . L e t t h e c y l i n d e r b e i n v a r i a n t a l o n g t h e z - a x i s a s s h o w n i n F i g u r e F i g u r e 5 . 1 . T h e c o n d u c t i n g c y l i n d e r p o s i t i o n e d i n a l i n e a r h o m o g e n e o u s i s o t r o p i c m e d i u m i r r a d i a t e d b y a T M ” p o l a r i z e d t i m e h a r m o n i c e l e c t r o m a g n e t i c fi e l d s u p p o r t s z — d i r e c t e d c u r r e n t d e n s i t y o n t h e c o n d u c t o r s u r f a c e . 5 0 5 . 2 . 1 D i f f e r e n t i a l E q u a t i o n S o l u t i o n - P E C C y l i n d e r F r o m ( 5 . 4 ) , ( 5 . 6 ) f o r t h e t w o - d i m e n s i o n a l c a s e , E 3 7 ‘ . 0 , H z : 0 , g ; = 0 h o l d s g o o d . F o r T M z c a s e , t h e fi e l d m a i n t a i n e d b y t h e c o n d u c t i n g c y l i n d e r i n t h e p r e s e n c e E i n c s a t i s fi e s t h e s c a l a r w a v e e q u a t i o n , V 2 E z ( ; z : , y ) + B Q E z ( ; r , y ) 2 0 ( : r , y ) E S ( 5 . 7 ) w i t h t h e b o u n d a r y c o n d i t i o n s , E , 3 ( ; 1 r , y ) = 0 , ( # 1 3 1 3 1 ) E C ( 5 . 8 3 ) 7 E ~ ; T . ( I l a — ( fi g ) - + “ ( E z ( . r , y ) : q , ( 1 : , y ) E S ( 5 . 8 b ) E q u a t i o n ( 5 . 8 a ) , i m p l i e s t h a t t h e t a n g e n t i a l c o m p o n e n t o f t h e e l e c t r i c fi e l d i s z e r o o n t h e c o n d u c t i n g c y l i n d e r . E q u a t i o n ( 5 . 8 1 ) ) i s t h e r a d i a t i o n o r a b s o r b i n g b o u n d a r y c o n d i t i o n t h a t e m u l a t e s f r e e s p a c e . I n ( 5 . 8 b ) , t h e q u a n t i t i e s 0 1 , 7 a n d q a r e g i v e n b y o : i ( 5 . 9 a ) H T 7 : 3 ' 1 3 + fi g s ) ( 5 . 9 b ) _ , 0 ” ( 3 ) i n c , q — a [ a n + j / 3 + 2 1 E , ( 5 . 9 L ) w h e r e E 2 7 1 6 i s t h e T M Z p o l a r i z e d i n c i d e n t t i m e h a r m o n i c fi e l d , ( { ( 3 ) i s t h e c u r v a t u r e o f t h e o f a r b i t r a r i l y s h a p e d c o n d u c t i n g c y l i n d e r a n d n i s t h e o u t w a r d n o r m a l v e c t o r a l o n g 8 8 . T h e s o l u t i o n t o t h e b o u n d a r y v a l u e p r o b l e m i n ( 5 . 7 ) — ( 5 . 8 b ) y i e l d s t h e t o t a l fi e l d E ; ( . r , y ) m a i n t a i n e d b y a n i n fi n i t e l y l o n g a r b i t r a r i l y s h a p e d p e r f e c t l y c o n d u c t i n g c y l i n d e r f o r T M z p o l a r i z a t i o n . S o l u t i o n t o t i m e h a r m o n i c b o u n d a r y v a l u e p r o b l e m c a n b e o b t a i n e d u s i n g t h e fi n i t e e l e m e n t m e t h o d [ 5 0 , 5 1 ] . T h e d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n E § C ( ; r . , y ) = — L w a ” 4 / C t / / 1 £ J / 1 9 0 9 , g ) 9 z 2 D ( 1 h x H , 7 J fi § 1 ‘ y . 1 3 ; , £ a 1 y l ) 7 , . y d l 1 7 , l d 1 7 d , y l d y l 1 n ( 5 ' 1 1 ) s o l u t i o n t o ( 5 . 7 ) — ( 5 . 8 a ) y i e l d s t h e t o t a l fi e l d i n s i d e t h e c o m p u t a t i o n a l d o m a i n , S t h a t a l s o i n c l u d e s t h e o b s e r v a t i o n p o i n t , ( . 1 ? f , y f ) . 5 . 2 . 2 E l e c t r i c F i e l d I n t e g r a l E q u a t i o n - P E C C y l i n d e r T h e i n t e g r a l e q u a t i o n s o l u t i o n t o s c a t t e r i n g f r o m p e r f e c t l y c o n d u c t i n g c y l i n d e r i s o b - t a i n e d u s i n g t h e e l e c t r i c v e c t o r p o t e n t i a l A . F o r t w o - d i m e n s i o n a l T M z c a s e ( 3 8 : = 0 ) , t h e v e c t o r w a v e e q u a t i o n ( 4 . 4 0 ) r e d u c e s t o t h e f o r m 2 , , ‘ 2 . _ 9 ‘ 1 , . . V 4 4 z ( ‘ 1 7 » . 7 1 ) + / 3 1 4 : 4 1 , ? ! ) — _ H J 3 ( ‘ l ’ a y ) ) ( L g ) G C ( 3 1 0 ) w h e r e n g ( ; r , y ) = 7 ‘ 1 X H i s t h e c u r r e n t d e n s i t y i n d u c e d b y t h e T M ‘ : i n c i d e n t fi e l d o n t h e c o n d u c t i n g c y l i n d e r . F r o m t h e s u r f a c e e q u i v a l e n c e t h e o r e m ( 4 . 2 8 a ) , . l § q ( ; z : , y ) i s t h e e q u i v a l e n t s u r f a c e c u r r e n t s o u r c e t h a t m a i n t a i n s t h e s a m e fi e l d s i n m e d i a 1 a s t h e l " p e r f e c t l y c o n d u c t i n g c y l i n d e r . F r o m ( 4 . . ) 2 ) a n d ( 5 . 6 ) t h e s c a t t e r e d fi e l d m a i n t a i n e d b y t h e c o n d u c t i n g c y l i n d e r i s g i v e n b y t h e e l e c t r i c fi e l d i n t e g r a l e q u a t i o n , T h e e x p r e s s i o n f o r t h e 2 D s c a l a r G r e e n s f u n c t i t m i n ( 4 . 5 7 ) i s s u b s t i t u t e d i n t o ( 5 . 1 1 ) . T h e b o u n d a r y c o n d i t i o n i n ( 5 . 8 a ) i m p l i e s 3 6 ( 1 ‘ . ) + E m ( r t ) : 0 , ( 1 ? , y ) € C : 5 E § C ( . z , ~ . y ) : — E f , " , ( . 1 : , y ) € c ( 5 . 1 2 ) U ! N ) F r o m ( 5 . 1 2 ) a n d ( 5 . 1 1 ) , t h e u n k n o w n c u r r e n t d e n s i t y n g ( 2 : , y ) i s o b t a i n e d b y s o l v i n g t h e b o u n d a r y i n t e g r a l e q u a t i o n 3 2 4 E - / / J § q ( ; z : ’ , y ’ ) H ( ( ) 2 ) ( ; z f , y 7 / 3 ; ; 1 : ’ , y / ) d g ; / d y / : E é n ' ( ; 1 j , y ) , ( 5 5 9 3 / ) E C ( 5 . 1 3 ) C ' I n e l e c t r o m a g n e t i c s , s o l u t i o n t o i n t e g r a l e q u a t i o n s a r e f a c i l i t a t e d b y t h e m e t h o d o f m o m e n t s [ 5 1 , 5 ‘ 2 ] . S u b s t i t u t i n g t h e s o l u t i o n t o ( 5 . 1 3 ) i n ( 5 . 1 1 ) y i e l d s t h e T M Z fi e l d m a i n t a i n e d b y t h e p e r f e c t l y c o n d u c t i n g c y l i n d e r . I n i n t e g r a l f o r m u l a t i o n , s c a t t e r i n g f r o m a p e r f e c t l y c o n d u c t i n g c y l i n d e r c a n b e t r e a t e d a s r a d i a t i o n b y a n e q u i v a l e n t s u r f a c e c u r r e n t , J : q m a i n t a i n e d b y t h e c o n d u c t i n g o b j e c t . U n l i k e d i f f e r e n t i a l f o r m u - l a t i o n , i n t e g r a l e q u a t i o n o f t e n s o l v e s t h e u n k n o w n c u r r e n t d e n s i t y o n t h e c o n d u c t i n g s u r f a c e w h i c h , c a n b e u s e d t o d e t e r m i n e t h e fi e l d a n y w h e r e i n m e d i u m 1 s h o w n i n F i g u r e F i g u r e 5 . 1 . 5 . 3 T M ” S c a t t e r i n g f r o m D i e l e c t r i c C y l i n d e r U n l i k e t h e i m p e n e t r a b l e p e r f e c t l y c o n d u c t i n g o b j e c t s , d i e l e c t r i c s c a t t e r e r s a r e p e n - e t r a b l e o b s t a c l e s . T h e i n t e g r a l a n d d i f f e r e n t i a l s o l u t i o n s f o r T M Z s c a t t e r i n g f r o m p e n e t r a b l e o b j e c t s i s c o n s i d e r e d i n t h i s s e c t i o n . C o n s i d e r a t w o d i m e n s i o n a l , a r b i - t r a r i l y s h a p e d d i e l e c t r i c o b j e c t w i t h t h e p r i n c i p a l a x i s p a r a l l e l t o t h e z - a x i s . L e t t h e d i e l e c t r i c s c a t t e r e r b e p r e s e n t i n a s o u r c e f r e e , l i n e a r , i s o t r o p i c a n d h o m o g e n e o u s m e d i u m w i t h c o n s t i t u t i v e p a r a m e t e r s 6 a n d , u . F i g u r e F i g u r e 5 . 2 i l l u s t r a t e s t h e l i n e a r , i n h o m o g e n e o u s a n d i s o t r o p i c d i e l e c t r i c c y l i n d e r c h a r a c t e r i z e d b y ( e d , a ) i r r a d i a t e d b y a t i m e h a r m o n i c T M z w a v e 1 3 1 ; " ? 5 . 3 . 1 D i f f e r e n t i a l E q u a t i o n S o l u t i o n - D i e l e c t r i c C y l i n d e r S i m i l a r t o s c a t t e r i n g f r o m c o n d u c t i n g c y l i n d e r , T M Z s c a t t e r i n g f r o m t w o d i m e n - s i o n a l d i e l e c t r i c o b j e c t i s o b t a i n e d b y s o l v i n g t h e b o u n d a r y v a l u e p r o b l e m f o r t h e I I I I I I I l I l l l I I I I I \ I I \ I I h I l I . I I I I I I l I I I i \ I t \ I t . I | I ‘ I - " ' , . ~ ‘ _ . - - ‘ < . - . - _ - - a F i g u r e 5 . 2 . T M ’ : s c a t t e r i n g f r o m a t w o d i m e n s i o n a l d i e l e c t r i c c y l i n d e r ( a ) 3 D ( b ) 2 D c o m p u t a t i o n a l M o d e l . 5 4 z — c o m p o n e n t o f t h e t o t a l fi e l d , W I S - z a n y ) + 5 2 a m ) = 0 , ( M I ) E S ( 5 . 1 4 ) w i t h b o u n d a r y c o n d i t i o n , 7 E ~ : 7 , o f ~ ( I y ) " E ~ ; T , = , C , . ' a n + I “ ( 1 2 1 ) q ( L @ 6 8 5 ( 5 1 0 ) T h e b o u n d a r y c o n d i t i o n ( 5 . 1 5 ) e m u l a t e s r a d i a t i o n b o u n d a r y c o n d i t i o n i n t h e i n fi n i t e s p a c e w i t h c o n s t i t u t i v e p a r a m e t e r s ( ( 4 1 0 ) . I n ( 5 . 1 4 ) , S = S I U S Q W W , \ 7 ’ ( : 1 : , y ) E S l w x / u o é d t l a y ) , W a y ) 6 3 2 E m a = E é n t n w a i C m ) S o l u t i o n t o t h e b o u n d a r y v a l u e p r o b l e m , ( 5 . 1 4 ) - ( 5 . 1 4 ) y i e l d s t h e t o t a l fi e l d m a i n - t a i n e d b y t h e i n h o m o g e n e o u s p e n e t r a b l e d i e l e c t r i c c y l i n d e r . T h e r e m a i n i n g e l e c t r i c c o m p o n e n t s a n d a l l m a g n e t i c c o m p o n e n t s f o r t h e 2 D T M Z fi e l d c o n fi g u r a t i o n c a n b e o b t a i n e d u s i n g ( 5 . 6 ) u n d e r t h e c o n d i t i o n ( 3 % : ) . 5 . 3 . 2 E l e c t r i c F i e l d I n t e g r a l E q u a t i o n - D i e l e c t r i c C y l i n d e r T h e e l e c t r i c fi e l d i n t e g r a l e q u a t i o n f o r t h e s c a t t e r e d f i e l d m a i n t a i n e d b y t h e d i e l e c t r i c c y l i n d e r s h o w n i n F i g u r e F i g u r e 5 . 2 f o r t h e T M z m o d e i s d e r i v e d u s i n g t h e v o l u m e e q u i v a l e n c e p r i n c i p l e d i s c u s s e d i n s e c t i o n ( 3 . 5 . 4 ) . F r o m ( 4 . 2 6 2 1 ) , t h e v o l u m e e q u i v a l e n t c u r r e n t d e n s i t y f o r T M Z m o d e t a k e s t h e f o r m : q = J w € 0 ( 6 d — € ) E d z ( : r , y ) : j w e g c ( é — I — ) E d z ( ; r , y ) ( 5 . 1 6 2 1 ) w h e r e E d z ( . r , y ) i s t h e z - c o m p o n e n t o f t h e t o t a l fi e l d i n s i d e t h e d i e l e c t r i c s c a t t e r e r . F o r 2 D o b j e c t , t h e v e c t o r p o t e n t i a l i n ( 4 . 5 2 ) r e d u c e s t o ( 1 . , y ) — — , u ! 2 / § q ( ; 4 2 1 1 3 2 ) ( x ‘ 3 p ) ( l . ’ r ( 1 y ( 5 . 1 7 ) w h e r e p : \ / ( . 1 : — : z ? ’ ) 2 + ( y — y ’ ) 2 . E q u a t i o n s ( 5 . 1 6 ) a n d ( 4 . 4 1 ) y i e l d t h e e l e c t r i c fi e l d c o m p o n e n t , n g t r , 9 ) 1 9 6 0 ( 6 t h y ) — 6 ) E E ’ ” + E E C E I < I I > = B i n — j a g , ( $ , y ) € S Q ( 5 . 1 8 a ) S u b s t i t u t i n g ( 5 . 1 7 ) i n ( 5 . 1 6 ) y i e l d s t h e e l e c t r i c fi e l d i n t e g r a l e q u a t i o n . - J § q ( r , y ) 2 E g g " : j W € 0 ( E d ( - 1 7 9 ) _ € ) + ] w w / / l § q ( ( . 2 , M y ) 2 1 1 3 1 1 6 ) ( fl p ) d ; r ’ d y ’ , ( ; r , y ) E 8 2 ( 5 . 1 9 ) f o r t h e u n k n o w n v o l u m e c u r r e n t d e n s i t y i n s i d e t h e d i e l e c t r i c s c a t t e r e r . T h e u n k n o w n v o l u m e c u r r e n t d e n s i t y , n g i n ( 5 . 1 9 ) c a n b e s o l v e d u s i n g t h e m o — m e n t m e t h o d [ 5 1 , 5 2 ] . F r o m t h e k n o w l e d g e o f v o l u m e c u r r e n t d e n s i t y , t o t a l fi e l d a n y w h e r e i n s i d e 8 1 c a n b e c o m p u t e d u s i n g ( 5 . 1 8 ) . S u b s t i t u t i n g ( 5 . 1 9 ) i n ( 5 . 6 ) y i e l d s t h e r e m a i n i n g 2 D T M z fi e l d c o m p o n e n t s m a i n t a i n e d b y t h e d i e l e c t r i c c y l i n d e r . 5 . 4 T M Z S c a t t e r i n g f r o m D i e l e c t r i c a n d C o n d u c t i n g C y l i n d e r s L e t a t i m e h a r m o n i c T M 7 ” fi e l d b e p r e s e n t i n a l i n e a r , h o m o g e n e o u s , i s o t r o p i c m e d i u m w i t h a r b i t r a r y s h a p e d t w o d i m e n s i o n a l d i e l e c t r i c a n d p e r f e c t l y c o n d u c t i n g c y l i n d e r s F i g u r e 5 . 3 . T M Z s c a t t e r i n g f r o m a t w o d i m e n s i o n a l d i e l e c t r i c a n d p e r f e c t l y c o n d u c t i n g c y l i n d e r s . a s i l l u s t r a t e d i n F i g u r e F i g u r e 5 . 3 . T h e t o t a l fi e l d m a i n t a i n e d b y t h e p e n e t r a b l e a n d i m p e n e t r a b l e s c a t t e r e r s c a n b e o b t a i n e d i n v o k i n g t h e l i n e a r s u p e r p o s i t i o n t h e o r e m [ 2 7 , 2 8 ] . 5 . 4 . 1 D i f f e r e n t i a l E q u a t i o n S o l u t i o n I n t h e p r e s e n c e o f d i e l e c t r i c a n d p e r f e c t l y c o n d u c t i n g c y l i n d r i c a l s c a t t e r e r s , t h e t o t a l fi e l d i n 5 1 i s o b t a i n e d b y s o l v i n g t h e s c a l a r w a v e e q u a t i o n ( 5 . 1 4 ) w i t h t h e b o u n d a r y c o n d i t i o n s ( 5 . 1 5 ) a n d ( 5 . 8 a ) . T h e u n k n o v m t o t a l fi e l d E ; ( ; r , y ) m a i n t a i n e d b y t h e d i e l e c t r i c a n d c o n d u c t i n g c y l i n d e r s f o r 2 D T M ’ Z c a s e i s o b t a i n e d u s i n g l i n e a r s u p e r p o - s i t i o n o f t h e c o n t r i b u t i o n s f r o m b o t h s c a t t e r e r s . T h e r e m a i n i n g T M Z fi e l d c o m p o n e n t s a r e o b t a i n e d f r o m ( 5 . 6 ) . 5 7 J ( § " € q ( d . ( r I . ' , _ w J 6 0 y ) y ) — € ) + j w / s M / 2 p q ” J z I I r , y , 1 9 — 4 > ( ‘ 2 ) H 0 ) 3 p ( ) I d , ( 1 . 1 : I y : ( 5 . 4 . 2 I n t e g r a l E q u a t i o n S o l u t i o n S i m i l a r t o t h e d i f f e r e n t i a l f o r m , t h e i n t e g r a l e q u a t i o n s o l u t i o n f o r t h e u n k n o w n e l e c - t r i c fi e l d E z ( ; r , y ) i s o b t a i n e d b y a l i n e a r s u p e r p o s i t i o n o f t h e s u r f a c e a n d v o l u m e e q u i v a l e n t c u r r e n t . d e n s i t i e s . T h e E z ( ; r , y ) fi e l d i s o b t a i n e d b y s o l v i n g t h e i n t e g r a l e q u a t i o n , w i t h t h e b o u n d a r y c o n d i t i o n , 7 3 . x E : 0 , ( ; r , y ) E 8 8 2 + 6 0 ” j J § q ( : r ' , y ’ ) I - { ( ( ) 2 ) ( 1 7 , y , / 3 ; : r ’ , y ’ ) d ; r ’ d y ’ : E g " ( : c , y ) , ( x , y ) E 5 2 ( 5 . 2 0 ) C ( 5 . 2 1 ) f o r t h e u n k n o w n e q u i v a l e n t c u r r e n t d e n s i t i e s . A s e x p l a i n e d b e f o r e , t h e r e m a i n i n g T M Z fi e l d c o m p o n e n t s a r e o b t a i n e d f r o m ( 5 . 6 ) . C H A P T E R 6 M I C R O W A V E T O M O G R A P H Y I n t r o d u c t i o n S e v e r a l m i c r o w a v e b r e a s t i m a g i n g m o d a l i t i e s h a v e b e e n p r o p o s e d f o r n o n i n v a s i v e c h a r - a c t e r i z a t i o n o f t h e b r e a s t f o r c a n c e r d e t e c t i o n . T h e m i c r o w a v e b r e a s t i m a g i n g m e t h - o d s c a n b e b r o a d l y c l a s s i fi e d i n t o p a s s i v e , h y b r i d a n d a c t i v e m e t h o d s . I n p a s s i v e m i c r o w a v e i m a g i n g m e t h o d , m i c r o w a v e r a d i o m e t e r s s u r r o u n d i n g t h e b r e a s t m e a s u r e t h e t e m p e r a t u r e d i s t r i b u t i o n i n s i d e t h e b r e a s t [ 5 3 , 5 4 ] . M i c r o w a v e r a d i o m e t r y h a s l o n g b e e n e x p l o r e d a s a n a d j u v a n t f o r X - r a y m a m m o g r a m d u e t o l a c k o f r a d i a t i o n r i s k . T h e p a s s i v e m e t h o d e x p l o i t s t h e f a c t t h a t t h e t e m p e r a t u r e o f m a l i g n a n t t i s s u e s i s r e l a t i v e l y h i g h e r t h a n t h a t o f t h e b e n i g n b r e a s t t i s s u e [ 1 6 ] . T h e h y b r i d m i c r o w a v e i m a g i n g m e t h o d s e m p l o y s b o t h a c o u s t i c a n d m i c r o w a v e s f o r b r e a s t h e a l t h a s s e s s m e n t [ 5 5 ] . I n t h e h y b r i d m e t h o d s , t h e E M s o u r c e i l l u m i n a t i n g t h e b r e a s t d e p o s i t s m o r e e n e r g y i n s i d e t h e t u m o r d u e t o t h e h i g h e r c o n d u c t i v i t y o f t h e m a l i g n a n t . c e l l s t h a n t h e b e n i g n c e l l s . T h e d e p o s i t e d e n e r g y h e a t s t h e t u m o r t i s s u e r e s u l t i n g i n t u m o r t i s s u e e x p a n s i o n . T h e p r e s s u r e w a v e s g e n e r a t e d b y t h e c a n c e r o u s t i s s u e a r e r e c o r d e d b y u l - t r a s o u n d t r a n s d u c e r s t o o b t a i n a n a c o u s t i c i m a g e o f t h e b r e a s t . T h e a c t i v e m i c r o w a v e i m a g i n g m e t h o d s b e l o n g t o t h e c l a s s o f a n i n v e r s e s c a t t e r i n g p r o b l e m i n w h i c h , t h e m i - c r o w a v e i l l u m i n a t e s t h e b r e a s t a n d t h e s c a t t e r e d fi e l d m e a s u r e d a t d i f f e r e n t l o c a t i o n s s u r r o u n d i n g t h e b r e a s t i s u s e d t o d e t e c t a n d l o c a t e t h e p r e s e n c e o f t h e t u m o r [ 1 0 2 ] . T h e e l e c t r o m a g n e t i c b a s i c s n e c e s s a r y t o u n d e r s t a n d t h e i n v e r s e s c a t t e r i n g p r o b l e m a r e b r i e fl y c o v e r e d i n t h i s c h a p t e r . T h e M a x w e l l ’ s e q u a t i o n s , f u n d a m e n t a l t h e o r e m s a n d s c a t t e r i n g t h e o r y f o r t h e E M fi e l d s c o v e r e d i n t h e p r e v i o u s s e c t i o n s f a c i l i t a t e t h e s o l u t i o n t o t h e i n v e r s e s c a t t e r i n g p r o b l e m . M i c r o w a v e t o m o g r a p h y i s a c l a s s i c a l i l l - p o s e d i n v e r s e p r o b l e m s t u d i e d b y s e v e r a l i n v e s t i g a t o r s . T h e t h e o r y u n d e r l y i n g d i f f e r e n t t e c h n i q u e s p r o p o s e d f o r i n v e r s e s c a t t e r i n g a r e b r i e f l y c o v e r e d i n t h i s s e c t i m i . T h e e a r l i e s t f o r m o f t o m o g r a p h y d e - v e l o p e d f o r p e n e t r a t i n g i o n i z i n g X - r a y r a d i a t i o n s i s d i s c u s s e d i n s e c t i o n 6 . 1 . S e c t i o n 6 . 2 c o v e r s t h e r e q u i s i t e m a t h e m a t i c a l t h e o r y t o u n d e r s t a n d t h e i n v e r s e s c a t t e r i n g t e c h n i q u e t h a t a i m s t o r e c o v e r t h e u n k n o w n e l e c t r i c a l p r o p e r t y o f a n o b s t a c l e o r a p e n e t r a b l e s c a t t e r e r f r o m s c a t t e r e d fi e l d m e a s u r e m e n t s . T h e l i n e a r i z e d d i f f r a c t i o n t o m o g r a p h y t e c h n i q u e s d e v e l o p e d f o r i m a g i n g w e a k s c a t t e r e r s a n d t h e i r l i m i t a t i o n s a r e d i s c u s s e d i n s e c t i o n 6 . 3 . T h e d i f f e r e n t n o n l i n e a r i n v e r s e s c a t t e r i n g t e c h n i q u e s p r o - p o s e d t o i m a g e t h e u n k n o w n p e n e t r a b l e s c a t e r r e r u s i n g b a c k a n d f o r w a r d s c a t t e r e d w a v e s a r e d i s c u s s e d i n s e c t i o n s 6 . 4 a n d 6 . 5 r e s p e c t i v e l y . 6 . 1 T o m o g r a p h y E v o l u t i o n ” T o m o g r a p h y ” i s a m e t h o d o f s e c t i o n a l i m a g i n g t h a t u s e s ” p r o j e c t i o n s ” o r m e a s u r e - m e n t s a c q u i r e d b y i l l u m i n a t i n g t h e o b j e c t f r o m d i f f e r e n t a n g l e s u s i n g a p e n e t r a t i n g e n e r g y s o u r c e . T h e e a r l i e s t t o m o g r a p h y t e c h n i q u e e m p l o y e d i o n i z i n g X - r a y s f o r m e d - i c a l i m a g i n g a p p l i c a t i o n s . 1 1 1 t h e X — r a y r e g i m e , w a v e s t r a v e l a l o n g a s t r a i g h t l i n e a n d p e n e t r a t e s o b j e c t s o r o b s t a c l e s i n t h e p a t h . T h e i n t e n s i t y o f t h e i n c i d e n t X — r a y s e m e r g i n g f r o m a n o b j e c t i s g i v e n b y t h e X - r a y a t t e n u a t i o n p r o p e r t y o f t h e o b j e c t a s [ 5 6 ] , _ f ” ( 3 3 4 / N I L I : I o e x p L ( 6 . 1 ) w h e r e 1 0 a n d I a r e t h e X — r a y i n t e n s i t i e s b e f o r e a n d a f t e r t r a v e r s i n g t h e o b j e c t a n d , u ( : r . , y ) i s t h e X - r a y a t t e n u a t i o n c o e f f i c i e n t o f t h e o b j e c t a l o n g t h e l i n e L s h o w n i n F i g u r e F i g u r e 6 . 1 . T h e m a t h e m a t i c a l f o u n d a t i o n s f o r i m a g e r e c o n s t r u c t i o n f r o m p r o - j e c t i o n s d a t e s b a c k t o R a d o n ’ s c o n t r i b u t i o n i n 1 9 1 7 [ 5 7 ] . T h e X - r a y t o m o g r a p h y s y s t e m i n v e n t e d b y H o u n s fi e l d [ 5 8 , 5 9 ] a n d t h e r e c o n s t r u c t i o n a l g o r i t h m s d e v e l o p e d b y A l l e n C o r m a c k [ 6 0 ] a r e t h e f o u n d a t i o n s o f t h e m o d e r n X — r a y c o m p u t e d t o m o g r a - 6 0 F i g u r e 6 . 1 . X — r a y p r o j e c t i o n s . p h y ( C T ) s y s t e m s . S i n c e i t s c o n c e p t i o n , X - r a y C T h a s b e c o m e a k e y s c r e e n i n g t o o l f o r m e d i c a l d i a g n o s i s a n d n o n i n t r u s i v e i n s p e c t i o n i n s c i e n c e a n d e n g i n e e r i n g [ 6 1 , 6 2 ] . T h e e a r l i e s t C T r e c o n s t r u c t i o n a l g o r i t h m s u t i l i z e d t h e i t e r a t i v e A l g e b r a i c R e c o n s t r u c - t i o n T e c h n i q u e s ( A R T ) [ 6 3 , 6 4 ] . T h e fi l t e r e d b a c k p r o j e c t i o n a l g o r i t h m s p r o p o s e d b y B r a c w e l l w h i c h w a s l a t e r i n d e p e n d e n t l y i n v e s t i g a t e d b y R a m a c h a n d r a n a n d L a k s h - m a n a n o u t p e r f o r m e d t h e s l o w a n d i t e r a t i v e A R T [ 5 6 , 6 5 , 6 6 ] . D e v e l o p m e n t o f f a s t a n d e f f i c i e n t d a t a c o l l e c t i o n a n d r e c o n s t r u c t i o n t e c h n i q u e s l e d t o t h e r e a l i z a t i o n o f n e w C T g e n e r a t i o n s [ 6 7 ] , [ 5 6 ] , [ 6 8 ] - [ 7 2 ] . O v e r t h e p a s t t h r e e d e c a d e s , C T h a s e v o l v e d i n t o a k e y d i a g n o s t i c t o o l w i t h m y r i a d a p p l i c a t i o n s i n v a r i e d d i s c i p l i n e s s u c h a s m e d i c i n e , g e o l o g y , a n t h r o p o l o g y a n d e n g i n e e r i n g s c i e n c e f o r v i s u a l i z i n g t h e i n t e r i o r s t r u c t u r e o f s o l i d o b j e c t s . O v e r t h e y e a r s , t h e u n d e r l y i n g c o n c e p t o f X — r a y t o m o g r a p h y h a s b e e n s u c c e s s f u l l y e x t e n d e d t o r a d i o i s o t o p e s , m a g n e t i c r e s o n a n c e , u l t r a s o u n d , r a d i o f r e q u e n c y ( R F ) , m i c r o w a v e s , o p t i c a l a n d o t h e r f o r m s o f p e n e t r a t i n g e n e r g y s o u r c e s . D e p e n d i n g o n t h e 6 1 e n e r g y s o u r c e a n d d a t a a c q u i s i t i o n p r o c e d u r e s , t o m o g r a p h y t e c h n i q u e s a r e b r o a d l y c l a s s i fi e d i n t o o n e o f t h e f o l l o w i n g : 0 T r a n s m i s s i o n t o m o g r a p h y : X - r a y C T , m i c r o w a v e s , o p t i c s 0 R e f l e c t i o n t o m o g r a p h y : U l t r a s o u n d , R F , m i c r o w a v e s 0 E m i s s i o n t o m o g r a p h y : P o s i t r o n e m i s s i o n t o m o g r a p h y , r a d i o - n u c l i d e i m a g i n g S e v e r a l t o m o g r a p h y t e c h n i q u e s d e v e l o p e d f o r t h e n o n - i o n i z i n g m i c r o w a v e s a r e d i s - c u s s e d i n t h e f o l l o w i n g s e c t i o n s o f t h i s c h a p t e r . 6 . 2 I n v e r s e S c a t t e r i n g l \ l i c n m a v e s a r e e l e c t r o m a g n e t i c r a d i a t i o n t h a t f a l l s i n t h e r a n g e o f 3 0 M H z — 3 0 0 G H Z . I n t h e m i c r o w a v e r e g i m e , w a v e s n o l o n g e r t r a v e l i n a s t r a i g h t p a t h a s t h e s i z e o f t h e o b j e c t s a r e c o m p a r a b l e t o t h e w a v e l e n g t h . A t t h e s e f r e q u e n c i e s , t h e w a v e s u n d e r g o d i f f r a c t i o n a n d t h e s t r a i g h t r a y t o m o g r a p h y a s i n X — r a y s i s n o l o n g e r v a l i d . T h e w a v e o b j e c t i n t e r a c t i o n a t m i c r o w a v e f r e q u e n c i e s a r e g o v e r n e d b y w a v e p r o p a g a t i o n a n d d i f f r a c t i o n p h e n o m e n o n . T h e E M w a v e s s a t i s f y t h e h - " I a x w e l l ’ s a n d c o n t i n u i t y e q u a - t i o n s a n d t h e fi e l d s a r e r e l a t e d t o t h e m a t e r i a l p r o p e r t y b y t h e c o n s t i t u t i v e e q u a t i o n s [ 2 7 , 2 8 ] . A n E M w a v e i m p i n g i n g o n a p e n e t r a b l e o b j e c t u n d e r g o e s d i f f r a c t i o n a n d m u l t i p l e s c a t t e r i n g w i t h i n t h e o b j e c t r e s u l t i n g i n a n o n l i n e a r r e l a t i o n s h i p b e t w e e n t h e m e a s u r e d fi e l d a n d e l e c t r i c a l p r o p e r t y o f t h e o b j e c t a t t h e i n c i d e n t f r e q u e n c y [ 7 3 ] . I n v e r s e s c a t t e r i n g p r o b l e m s a i m s t o r e c o n s t r u c t o r e s t i m a t e t h e s p a t i a l d i s t r i b u t i o n o f t h e s c a t t e r e r ’ s e l e c t r i c a l p r o p e r t y o r t h e s c a t t e r i n g p o t e n t i a l o f t h e o b s t a c l e f r o m s c a t t e r e d fi e l d m e a s u r e m e n t s . F i g u r e F i g u r e 6 . 2 s h o w s t h e s c h e m a t i c i l l u s t r a t i o n o f d i f f e r e n t m i c r o w a v e t o m o g r a p h y t e c h n i q u e s . 6 . 2 . 1 I n h o m o g e n e o u s S c a l a r W a v e E q u a t i o n C o n s i d e r a t i m e h a r m o n i c E M w a v e i n c i d e n t o n a n i s o t r o p i c a n d a r b i t r a r i l y s h a p e d p e n e t r a b l e o b j e c t w i t h p . r ( ' i ’ , w ) : 1 . 0 a n d 6 ( 1 " , w ) : € 0 6 7 . 0 2 w ) S u b s t i t u t i n g A m p e r e ’ s 6 2 I V I H - U C I 1 ) " \ A ) ? \ A J N J ’ V i \ \ ( a ) ( b ) ( C ) F i g u r e 6 . 2 . C o m m o n l y u s e d D i f f r a c t i o n t o m o g r a p h y s e t u p ( a ) - ( b ) T r a n s m i s s i o n o r f o r w a r d s c a t t e r e d ( c ) R e f l e c t i o n o r b a c k - s c a t t e r e d . l a w i n F a r a d a y ’ s l a w a n d i n v o k i n g t h e v e c t o r i d e n t i t i e s a n d G a u s s ’ s l a w , t h e f r e e s p a c e v e c t o r w a v e e q u a t i o n i s o b t a i n e d a s [ 2 7 ] , 2 1 2 ~ * _ V E + w u 0 € ( r , w ) E — 0 ( 6 . 2 ) w h e r e c ( f ’ , w ) i s t h e e l e c t r i c a l p e r m i t t i v i t y o f t h e p e n e t r a b l e s c a t t e r e r . T h e s c a l a r w a v e e q u a t i o n w h i c h s o l v e s f o r o n e c o m p o n e n t o f t h e v e c t o r e l e c t r i c fi e l d t a k e s t h e g e n e r i c f o r m , W m + w 2 u o e t m > ¢ m = o ( 6 . 3 ) w h e r e ( 1 5 ( 7 ’ ) c o u l d b e o n e o f E d i ) , E 3 1 0 " ) o r E 3 0 7 ) c o m p o n e n t s o f E ( F ) . A d d i n g a n d s u b t r a c t i n g w 2 / I 0 6 ( F , w ) i n ( 6 . 3 ) y i e l d s [ 5 6 ] , [ 5 1 ] , ( V 2 + w 2 u o e ( f ' , w ) + w 2 n 0 6 0 — w 2 u 0 6 0 ) ¢ ) ( f ) : 0 ( v 2 + w 2 u 0 6 0 ) ( W ) = — w 2 # 0 ( e m ) — 1 ) I t ? ) ( v 2 + 1 % ) I m — 0 < E 2 w ) ¢ m ( 6 . 4 ) 6 3 a S C — ( r ) : / v i 0 ( I ’ , I I ) ¢ ( I = ’ ) g ( a f ’ ) d f ’ . ( 6 8 ) w h e r e k 0 2 2 X 7 : a n d / \ i s t h e w a v e l t ‘ z n g t h o f t h e t i m e h a r m o n i c fi e l d . I n t h e a b s e n c e o f t h e d i e l e c t r i c s c a t t e r e r , i n c i d e n t W W W ) e x i s t s e v e r y w h e r e a n d ( 6 . 4 ) r e d u c e s t o t h e f o r m , ( v 2 + A 9 5 ) ( p i c a - I ) = 0 ( 6 . 5 ) S u b s t i t u t i n g q 5 ( f ' ) 2 ¢ ~ i n C ( , : ' ) + ( 6 3 6 ( 5 ) i n ( 6 . 4 ) y i e l d s t h e w a v e e q u a t i o n , ( v 2 + 1 . 3 ) ( 2 9 % ) — — 0 ~ , « 6 6 , 0 r — ( W W ) < . > f o r t h e fi e l d s c a t t e r e d b y t h e p e n e t r a b l e d i e l e c t r i c o b j e c t . E q u a t i o n ( 6 . 6 ) i s t h e f r e e s p a c e i n h o m o g e n e o u s s c a l a r H e l m h o l t z w a v e e q u a t i o n w i t h t h e f o r c i n g f u n c t i o n , 6 . 2 . 2 I n t e g r a l E q u a t i o n S o l u t i o n T h e s o l u t i o n t o a n i n h o m o g e n e o u s w a v e e q u a t i o n i n f r e e s p a c e o r a h o m o g e n e o u s l i n e a r i s o t r o p i c m e d i u m c a n b e o b t a i n e d u s i n g t h e s c a l a r G r e e n s f u n c t i o n . T h e u n k n o w n s c a t t e r e d fi e l d i n ( 6 . 6 ) c a n b e e x p r e s s e d i n t e r m s o f t h e f r e e s p a c e s c a l a r G r e e n s f u n c t i o n , g ( F | - f ’ ) w h i c h s a t i s fi e s [ 5 1 ] , ( v 2 + k 3 ) g ( f ' | f ’ ) : — 6 ( F — f ’ ) ( 6 . 7 ) I n ( 6 . 7 ) , t h e G r e e n s f u n c t i o n i s t h e r e s p o n s e o f t h e d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n t o a n i m p u l s e f u n c t i o n 6 ( f ’ — 7 " " ) a n d h e n c e i s t h e i m p u l s e r e s p o n s e o f t h e s c a l a r w a v e e q u a t i o n . T h e n , f r o m l i n e a r s y s t e m t h e o r y , s o l u t i o n t o ( 6 . 6 ) i s t h e c o n v o l u t i o n o f t h e f o r c i n g f u n c t i o n O ( F , w ) ¢ ) ( f ' ) w i t h t h e s y s t e m i m p u l s e r e s p o n s e , 9 ( F 1 f ’ ) . T h u s , t h e s c a t t e r e d fi e l d m a i n t a i n e d b y t h e d i e l e c t r i c s c a t t e r e r i s e x p r e s s e d a s [ 5 1 , 5 2 ] , 6 4 E q u a t i o n ( 6 . 8 ) i s t h e w e l l k n o w n F r e e d h o l m i n t e g r a l e q u a t i o n o f t h e s e c o n d k i n d . T h e i n t e g r a l e q u a t i o n s o l u t i o n o f t h e s c a t t e r e d fi e l d i n ( 6 . 8 ) i s n o n l i n e a r a s i t i s r e l a t e d t o t h e u n k n o w n t o t a l fi e l d i n s i d e t h e s c a t t e r e r d u e t o m u l t i p l e s c a t t e r i n g . I n i n v e r s e s c a t t e r i n g a p p l i c a t i o n s , e i t h e r t h e d i f f e r e n t i a l f o r m ( 6 . 3 ) o r t h e i n t e g r a l f o r m ( 6 . 8 ) i s s o l v e d f o r t h e u n k n o w n s p a t i a l d i s t r i b u t i o n o f t h e d i e l e c t r i c s c a t t e r e r . I n v e r s e s c a t t e r i n g p r o b l e m s a r e n o n l i n e a r a n d i l l - p o s e d a n d p o s e d i f f i c u l t i e s i n r e - c o v e r i n g t h e t r u e p r o fi l e O ( F , w ) o f t h e s c a t t e r e r [ 7 4 ] - [ 7 6 ] . S e v e r a l i n v e s t i g a t o r s h a v e p r o p o s e d s o l u t i o n s t o t h e n o n l i n e a r i n v e r s e s c a t t e r i n g p r o b l e m [ 5 6 , 7 3 , 7 6 ] . T h e s o l u - t i o n i s a c h i e v e d e i t h e r b y s o l v i n g ( 6 . 8 ) u s i n g n u m e r i c a l t e c h n i q u e s [ 5 1 ] o r b y l i n e a r i z i n g t h e s c a t t e r i n g p r o b l e m u s i n g a p p r o x i m a t i o n s [ 5 6 ] . F o r w e a k l y s c a t t e r i n g o b j e c t s , t h e m a t h e m a t i c a l a n d c o m p u t a t i o n a l c o m p l e x i t i e s i n v o l v e d i n p e r m i t t i v i t y r e c o n s t r u c - t i o n a r e r e d u c e d b y l i n e a r i z i n g t h e n o n l i n e a r p r o b l e m . S u c h a p p r o x i m a t i o n s a r e a l s o r e f e r r e d t o a s t h e p h y s i c a l — o p t i c s a p p m a r z ' m a t i o n s . T h e l i n e a r a n d n o n l i n e a r i n v e r s e s c a t t e r i n g t e c h n i q u e s o f m i c r o w a v e t o m o g r a p h y a r e d i s c u s s e d i n s e c t i o n s 6 . 3 - 6 . 5 . 6 . 3 D i f f r a c t i o n T o m o g r a p h y - L i n e a r i z e d i n v e r s e s c a t t e r i n g E a r l y s t a g e t o m o g r a p h y t e c h n i q u e s d e v e l o p e d f o r d i f f r a c t i n g s o u r c e s s u c h a s m i - c r o w a v e s a r e e x t e n s i o n s o f t h e s t r a i g h t r a y t o m o g r a p h y a n d a r e a p p l i c a b l e o n l y t o w e a k l y s c a t t e r i n g o b j e c t s . D i f f r a c t i o n t o m o g r a p h y i s a l i n e a r i z e d i n v e r s e s c a t t e r i n g m e t h o d t h a t i n v o l v e s r e c o n s t r u c t i n g t h e s p a t i a l d i s t r i b u t i o n o f u n k n o w n p e r m i t t i v i t y o f t h e d i e l e c t r i c o b j e c t f r o m s c a t t e r e d fi e l d m e a s u r e m e n t s [ 5 6 ] , [ 7 7 ] . T h e fi r s t a n d f o r e m o s t t e c h n i q u e s d e v e l o p e d f o r i n v e r s e s c a t t e r i n g e m p l o y e d t h e B o r n o r R y t o v a p p r o x i m a t i o n s f o r p e r m i t t i v i t y e s t i m a t i o n [ 5 6 ] , [ 7 8 ] . 6 . 3 . 1 B o r n A p p r o x i m a t i o n T h e B o r n a p p r o x i m a t i o n l i n e a r i z e s ( 6 . 8 ) f o r i m a g i n g w e a k l y s c a t t e r i n g d i e l e c t r i c o b j e c t s . T h e fi r s t o r d e r B o r n a p p r o x i m a t i o n s t a t e s [ 5 6 ] , [ 7 9 ] a n : W M H W ‘ “ ) 2 9 6 ( c h ) ( 6 . 9 ) T h i s c o n d i t i o n i s s a t i s fi e d o n l y i f , 0 < O ( F , w ) < < 1 . U n d e r s u c h c o n d i t i o n s , ( 6 . 8 ) s i m p l i fi e s t o a l i n e a r e q u a t i o n o f t h e f o r m [ 8 0 ] , 4 v i . . , , 4 4 M E ) = I s b m — — — f 0 e , w > ¢ " * C ( E ’ > I ( a r W . ( 6 . 1 0 ) V , E q u a t i o n ( 6 . 1 0 ) c a n b e s o l v e d f o r t h e u n k n o w n p e r m i t t i v i t y d i s t r i b u t i o n d u e t o k n o w n i n c i d e n t fi e l d a n d r e c o r d e d fi e l d m e a s u r e m e n t s . B e t t e r a p p r o x i m a t i o n s t o t h e s c a t — t e r e d fi e l d i s o b t a i n e d b y s u b s t i t u t i n g ( 6 . 9 ) i n t o ( 6 . 1 0 ) . T h e r e s u l t i n g h i g h e r o r d e r B o r n a p p r o x i m a t i o n i s g i v e n b y t h e e x p r e s s i o n [ 5 6 ] , I i c m : / W e W e ) + a s ] I m o d f ’ . ( 6 . 1 1 ) v ! I n c l u d i n g m o r e h i g h e r o r d e r t e r m s i n s i d e t h e i n t e g r a n d y i e l d s b e t t e r e s t i m a t e f o r t h e s c a t t e r e d fi e l d . S e v e r a l v a r i a t i o n s t o t h e s i m p l e fi r s t o r d e r B o r n a p p r o x i m a t i o n h a v e b e e n p r o p o s e d t o p r o v i d e b e t t e r p e r m i t t i v i t y e s t i m a t e s o f r e l a t i v e l y s t r o n g s c a t t e r e r s [ 5 6 ] , [ 8 1 ] — [ 8 4 ] . 6 . 3 . 2 R y t o v A p p r o x i m a t i o n A n a l t e r n a t e a p p r o x i m a t i o n t h a t l i n e a r i z e s t h e s c a t t e r e d fi e l d i s t h e R y t o v a p p r o x i m a - t i o n . I n t h e R y t o v m e t h o d , t h e c o m p l e x p h a s e o f t h e s c a t t e r e d fi e l d i s a p p r o x i m a t e d t o s i m p l i f y t h e n o n l i n e a r s c a t t e r f i e l d e q u a t i o n . T h e t o t a l fi e l d i s r e p r e s e n t e d i n 6 6 E u l e r ’ s f o r m a s [ 8 5 ] , W ) 2 < 2 0 ” ) . 0 m = E w a n + 0 3 0 m ( 6 . 1 2 ) S u b s t i t u t i n g ( 6 . 1 2 ) i n t o ( 6 . 3 ) y i e l d s , ( v 2 + 1 . 5 ) I s m a m o s c e ) . — _ w i n - 0 ( a ) [ ( V O S C ( F ) ) 2 + 0 m m ] ( 6 . 1 3 ) T h e s o l u t i o n t o ( 6 . 1 3 ) i n t e r m s o f t h e f r e e s p a c e G r e e n s f u n c t i o n t a k e s t h e f o r m , I m < r > 6 8 0 m — — — / ( I W E ’ I I m - f ’ ) [ ( v o ’ s a r a ) 2 + 0 6 M ] E . ( 6 . 1 4 ) V , T h e a p p r o x i m a t i o n o f t h e c o m p l e x p h a s e , ( W W ) 2 + 0 m 2 o m ( 6 . 1 5 ) s i m p l i fi e s ( 6 . 1 4 ) t o , I m m o s c m = f O f f ! » w ) ¢ 5 m c f 7 " 4 ) 9 ( 7 7 l 7 f ) d f l ( 6 . 1 6 ) v l 6 3 6 m = N u m e r i c a l s i m u l a t i o n s d e m o n s t r a t i n g t h e f e a s i b i l i t y o f d i f f r a c t i o n t o m o g r a p h y f o r t w o - d i m e n s i o n a l o b j e c t s u n d e r o r d e r R y t o v a p p r o x i m a t i o n a r e r e p o r t e d i n [ 8 6 ] . 6 . 3 . 3 L i m i t a t i o n s L i n e a r i z a t i o n u s i n g t h e B o r n a n d R y t o v a p p r o x i m a t i o n s a r e a p p l i c a b l e o n l y t o w e a k l y s c a t t e r i n g o b j e c t s . I n B o r n a p p r o x i m a t i o n , t h e a s s r u n p t i o n ( 6 . 9 ) i m p l i e s t h a t t h e s c a t e r r e d fi e l d i s s m a l l e r t h a n t h e i n c i d e n t fi e l d a n d t h e f o r m u l a t i o n c a n b e u s e d 6 7 y l b a o n l y i f ( 6 7 ‘ — 1 ) < < 1 i s t r u e . R e a l l i f e i n v e r s e s c a t t e r i n g p r o b l e m s i n v o l v e s t r o n g s c a t t e r e r s w i t h w i d e v a r i a t i o n s i n t h e s p a t i a l p e r m i t t i v i t y d i s t r i b u t i o n f o r w h i c h t h e B o r n a p p r o x i m a t i o n f a i l s [ 8 7 ] - [ 8 9 ] . F o r a w e a k h o m o g e n e o u s c y l i n d e r o f r a d i u s a w i t h d i e l e c t r i c c o n t r a s t , n 5 : V e r a ) . — 1 B o r n a p p r o x i m a t i o n i s v a l i d o n l y i f [ 5 6 ] a n é < ( 6 . 1 7 ) i s s a t i s fi e d w h e r e A i s t h e \ x l ' a v e l e n g t h o f t h e i n c i d e n t fi e l d . C o n d i t i o n ( 6 . 1 7 ) i m p o s e s t h e c o n s t r a i n t t h a t p h a s e c h a n g e b e t w e e n t h e w a v e p r o p a g a t i n g i n s i d e t h e s c a t t e r e r a n d t h e i n c i d e n t w a v e s h o u l d b e l e s s t h a n 7 1 * . L i k e w i s e , t h e R y t o v a p p r o x i m a t i o n o n t h e c o m p l e x p h a s e o f t h e t o t a l fi e l d l i m i t s t h e a p p l i c a b i l i t y o f t h e l i n e a r i z e d s c a t t e r i n g e q u a t i o n t o i m a g e s t r o n g s c a t t e r e r s . T h e R y t o v a p p r o x i m a t i o n i n ( 6 . 1 5 ) y i e l d s t h e c o n d i t i o n [ 5 6 ] , ( W . . . ) 2 7 2 . 5 > > T ( 6 . 1 8 ) ‘ 0 t o b e s a t i s fi e d f o r r e l i a b l e p e r m i t t i v i t y e s t i m a t i o n f o r t h e s c a t t e r e r . U n l i k e ( 6 . 1 7 ) , c o n d i t i o n ( 6 . 1 8 ) o n t h e r e f r a c t i v e i n d e x o f t h e d i e l e c t r i c o b j e c t i s r e l a t i v e l y w e a k a s t h e r e i s n o c o n s t r a i n t i m p o s e d o n t h e o b j e c t s i z e . T h u s , R y t o v a p p r o x i m a t i o n i s a r e l a t i v e l y w e a k e r c o n d i t i o n t h a n B o r n a p p r o x i m a t i o n a n d i s v a l i d a s l o n g a s t h e p h a s e c h a n g e o v e r a A i n s i d e t h e s c a t t e r e r i s l e s s t h a n 7 r . 6 . 3 . 4 F o u r i e r D i f f r a c t i o n T h e o r e m T h e p e r m i t t i v i t y r e c o n s t r u c t i o n a l g o r i t h m s d e v e l o p e d f o r l i n e a r i z e d i n v e r s e s c a t t e r i n g p r o b l e m s a r e b a s e d o n t h e F o u r i e r D i fl m c t i o n t h e o r e m . T h e F o u r i e r D i f f r a c t i o n t h e o r e m i s t h e b a s i s f o r d i f f r a c t i o n t o m o g r a p h y a n d h e n c e i s v a l i d o n l y f o r w e a k l y s c a t t e r i n g o b j e c t s . T h e t h e o r e m r e l a t e s t h e s p a t i a l F o u r i e r t r a n s f o r m o f t h e s c a t t e r e d t i m e h a r m o n i c fi e l d m e a s u r e m e n t s r e c o r d e d a l o n g a n a n g l e i n t h e i m a g e s p a c e t o t h e 2 D e l e c t r i c a l p r o p e r t y o f t h e s c a t t e r e r a l o n g a s e m i c i r c u l a r a r c i n t h e F o u r i e r 6 8 s p a c e 0 ( k t x , I c y ; w ) [ 5 6 ] , [ 7 3 ] , [ 7 6 ] , [ 8 7 ] . S c a t t e r e d fi e l d s m e a s u r e d f o r d i f f e r e n t a n g l e s o f i l l u m i n a t i o n a r o u n d t h e o b j e c t a r e u s e d t o fi l l t h e F o u r i e r s p a c e a s i l l u s t r a t e d i n F i g u r e F i g u r e 6 . 3 , t o r e c o v e r t h e u n k n o w n f u n c t i o n 0 ( F , w ) v i a F o u r i e r i n v e r s i o n . T h e s c a t t e r e d fi e l d 9 6 “ ? ) u s e d i n t h e F o u r i e r D i f f r a c t i o n t h e o r e m c o u l d e i t h e r b e t h e fi e l d a m p l i t u d e a s i n B o r n a p p r o x i m a t i o n [ 8 0 ] , [ 8 6 ] , [ 9 0 ] , M E ) = O c t w W W o g m fl d - E ’ ( 6 . 1 9 ) o r t h e p h a s e r e l a t i o n [ 8 8 ] — [ 9 0 ] , I ’ m : E ‘ f ’ w n e s c m ( 6 . 2 0 ) a s s u m e d i n R y t o v a p p r o x i m a t i o n . B o t h s p a t i a l a n d f r e q u e n c y d o m a i n a p p r o a c h e s h a v e b e e n a d o p t e d t o s o l v e t h e l i n e a r i z e d i n v e r s e s c a t t e r i n g p r o b l e m s o n t h e b a s i s o f t h e F o u r i e r D i f f r a c t i o n t h e o r e m [ 5 6 ] . T h e i n h e r e n t m a t h e m a t i c a l l i m i t a t i o n s i n t h e F o u r i e r D i f f r a c t i o n T h e o r e m s e v e r e l y l i m i t s t h e r e c o n s t r u c t i o n a c c u r a c y a n d t h e r a n g e o f o b j e c t s f o r n o n i n v a s i v e i m a g i n g . T h e f u n d a m e n t a l m a t h e m a t i c a l l i m i t a t i o n s a r e d u e t o B o r n a n d R y t o v a p p r o x i m a t i o n s a p p l i e d o n t h e fi e l d m e a s u r e m e n t s [ 8 8 ] , [ 9 1 ] . O t h e r m a t h e m a t i c a l l i m i t a t i o n s a r e d u e t o fi n i t e n u m b e r o f e x p e r i m e n t a l m e a s u r e m e n t s t h a t c a n b e u s e d t o fi l l t h e F o u r i e r s p a c e f o r i n v e r s i o n . I n t e r p o l a t i o n t e c h n i q u e s f o r l i m i t e d m e a s u r e m e n t s i n t h e F o u r i e r a n d s p a t i a l d o m a i n s a n d t h e p r e s e n c e o f e v a n e s c e n t w a v e s a l s o a f f e c t t h e a c c u r a c y o f t h e r e c o n s t r u c t i o n . H i g h e r o r d e r B o r n a n d R y t o v a p p r o x i m a t i o n s , i t e r a t i v e a n d d i s t o r t e d i t e r a t i v e B o r n a p p r o x i m a t i o n m e t h o d s , v e c t o r b o r n a p p r o x i m a t i o n a n d o t h e r v a r i a n t s h a v e b e e n p r o p o s e d t o o v e r c o m e t h e s h o r t c o m i n g s o f t h e fi r s t o r d e r a p p r o x i m a t i o n s a n d t o a c c o u n t f o r m u l t i p l e s c a t t e r i n g t o s o m e e x t e n t [ 8 1 ] - [ 8 4 ] , [ 9 2 ] - [ 9 4 ] . T h e s e m o d i fi e d a p p r o x i m a t i o n s c o u l d o n l y e x t e n d t h e c o n t r a s t r a n g e o f t h e o b j e c t s f o r i m a g i n g i n d i c a t i n g t h e n e e d t o s o l v e t h e n o n l i n e a r 6 . 9 F i g u r e 6 . 3 . F o u r i e r D i f f r a c t i o n T h e o r e m ( a ) S c h e m a t i c i l l u s t r a t i o n ( b ) F o u r i e r s p a c e fi l l i n g . 7 0 i n v e r s e s c a t t e r i n g p r o b l e m f o r a c c u r a t e p e r m i t t i v i t y r e c o n s t r u c t i o n . 6 . 4 R e fl e c t i o n T o m o g r a p h y R e fl e c t i o n m i c r o w a v e t o m o g r a p h y w i d e l y k n o w n a s s y n t h e t i c a p e r t u r e r a d a r p r o v i d e s t h e s p a t i a l l o c a t i o n s o f t h e p o t e n t i a l s c a t t e r e r s i n s i d e t h e i m a g i n g r e g i o n . R e fl e c - t i o n t o m o g r a p h y e m p l o y s a n a r r a y o f t r a n s c e i v e r a n t e n n a s o r a b i - s t a t i c a n t e n n a p a i r e x c i t e d b y w i d e b a n d ( s h o r t p u l s e ) s i g n a l s f o r e n h a n c e d s p a t i a l r e s o l u t i o n . T h e fi e l d e m i t t e d b y a n a n t e n n a g e t s b a c k s c a t t e r e d f r o m t h e s c a t t e r e r a n d a r e m e a s u r e d a t t h e t r a n s c e i v e r l o c a t i o n s . T h e fi e l d m e a s u r e d a t t h e r e c e i v e r s f o r e a c h t r a n s m i t - t i n g a n t e n n a a r e u s e d t o l o c a t e t h e p o t e n t i a l s c a t t e r e r s i n s i d e t h e p e n e t r a b l e o b j e c t . F i g u r e F i g u r e 6 . 4 i l l u s t r a t e s a s i m p l e r e fl e c t i o n t o m o g r a p h y s e t u p w i t h a n a r r a y o f t r a n s c e i v e r s . T h e s c a t t e r i n g p o t e n t i a l a t a p o s i t i o n 7 " i n s i d e t h e d i e l e c t r i c o b j e c t i n t e r m s o f t h e N a n t e n n a m e a s u r e m e n t s i s g i v e n b y , N E m = Z I n e z t n i h n m ( 6 . 2 1 ) 7 1 : 1 w h e r e h . n ( ' f ' ) a n d v . 7 ) , ( f ' , t n ) a r e t h e a p o d i z i n g f u n c t i o n a n d t h e t i m e d o m a i n d i f f r a c t e d fi e l d m e a s u r e m e n t f o r t h e n t h t r a n s c e i v e r a n t e n n a . T h e d i s t a n c e b e t w e e n F a n d t h e t h — — i 7 n ' — " l f o r t h e a s s u m e d v e l o c i t y o f . . _ . . , | . , — : _ r e c e i v e r i s g i v e n b y t h e e x p r e s s 1 o n , ( 1 n : — 2 u n p r o p a g a t i o n V i n s i d e t h e s c a t t e r e r . R e fl e c t i o n t o m o g r a p h y u t i l i z e s t h e t i m e o f f l i g h t i n f o r m a t i o n t o i d e n t i f y t h e s i g n a l a r r i v a l t i m e a f t e r s c a t t e r i n g w i t h i n t h e d i e l e c t r i c o b j e c t [ 9 5 ] . R e fl e c t i o n t o m o g r a p h y i s w i d e l y u s e d i n G r o u n d P e n e t r a t i n g R a d a r ( G P R ) t o i m a g e t h e g r o u n d s u r f a c e f o r l a n d m i n e s a n d b u r i e d d i e l e c t r i c a n d m e t a l l i c o b j e c t s [ 9 6 , 9 7 ] a n d t o i n s p e c t r o a d s a n d c i v i l s t r u c t u r e s f o r d e l a m i n a t i o n s , v o i d s a n d c r a c k s [ 9 8 ] - [ 1 0 1 ] . T h i s i s a l s o t h e b a s i s f o r B — s c a n i m a g i n g i n u l t r a s o u n d m e d i c a l d i a g n o s i s a n d n o n d e s t r u c t i v e e v a l u a t i o n o f m a t e r i a l s i n e n g i n e e r i n g s c i e n c e [ 5 6 ] , [ 6 2 ] . D u r i n g t h e p a s t d e c a d e , t h e u n d e r l y i n g p r i n c i p l e s o f s y n t h e t i c a p e r t u r e r a d a r i m a g i n g h a s 7 1 F r e e S p a c e V V V n + 2 n — l n n — - 1 S c a t e r r e r F i g u r e 6 . 4 . R e fl e c t i o n t o m o g r a p h y s e t u p u s i n g l i n e a r a n t e n n a a r r a y . b e e n e x t e n d e d t o i m a g e b i o l o g i c a l o b j e c t s f o r n o n i n v a s i v e t u m o r d e t e c t i o n i n t h e b r e a s t [ l . 0 2 ] . T h e s e r e c o n s t r u c t i o n a l g o r i t h m s e m p l o y s i m p l e p o s t p r o c e s s i n g r o u t i n e s o n t h e r e c e i v e d s i g n a l s t o d e t e c t t h e s c a t t e r i n g p o t e n t i a l i n s i d e t h e i m a g i n g r e g i o n . T h u s , t h e c o m p u t a t i o n a l l y f a s t e r b a c k - s c a t t e r i n g t e c h n i q u e s d o n o t y i e l d t h e m a t e r i a l p r o p e r t y o f t h e d i e l e c t r i c o b j e c t w h i c h , i s e s s e n t i a l t o u n d e r s t a n d t h e p h y s i c s o f w a v e i n t e r a c t i o n i n s i d e u n k n o w n p e n e t r a b l e o b j e c t s . 6 . 5 N o n l i n e a r I n v e r s e S c a t t e r i n g M i c r o w a v e n o n i n v a s i v e i m a g i n g h a s b e e n a t o p i c o f i n t e r e s t t o m a n y i n v e s t i g a t o r s . T h e n o n r a d i o a c t i v e m i c r o w a v e s i s s o u g h t a s a p r o m i s i n g d i a g n o s t i c t o o l i n m e d i — c a l a p p l i c a t i o n s . O v e r t h e p a s t t h r e e d e c a d e s , s e v e r a l t o m o g r a p h y t e c h n i q u e s h a v e b e e n p r o p o s e d t o n o n i n v a s i v e l y c h a r a c t e r i z e p e n e t r a b l e s c a t t e r e r s . O f t h e d i f f e r e n t t o m o g r a p h y m e t h o d s , i t e r a t i v e i n v e r s i o n t e c h n i q u e s t h a t s o l v e t h e n o n l i n e a r i n v e r s e s c a t t e r i n g p r o b l e m a r e a d v a n t a g e o u s a s t h e y y i e l d t h e p h y s i c a l l o c a t i o n , s i z e a n d t h e s p a t i a l d i s t r i b u t i o n o f t h e s c a t t e r e r e l e c t r i c a l p r o p e r t y . U n l i k e t h e h i g h - e n d r a d i o a c - t i v e X — r a y C T s y s t e m s , m i c r o w a v e s a r e p e n e t r a t i n g , n o n i o n i z i n g r a d i a t i o n t h a t c a n 7 2 b e u s e d t o i m a g e b o t h a n i m a t e a n d i n a n i m a t e p e n e t r a b l e o b j e c t s u s i n g a r e l a t i v e l y l o w c o s t t o m o g r a p h y s y s t e m . I N o n l i n e a r i n v e r s e s c a t t e r i n g a p p l i c a t i o n s s o l v e s t h e F r e e d h o l m i n t e g r a l e q u a t i o n ( 6 . 8 ) o r t h e H e l m h o l t z w a v e e q u a t i o n ( 6 . 3 ) w i t h o u t a n y a p p r o x i m a t i o n s . N o n l i n e a r i n v e r s e s c a t t e r i n g t e c h n i q u e s t r e a t s b o t h d i f f r a c t i o n a n d m u l t i p l e s c a t t e r i n g i n s i d e t h e p e n e t r a b l e s c a t t e r e r d u r i n g i n v e r s i o n [ 1 0 3 ] . B o t h i n t e g r a l a n d d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s h a v e b e e n u s e d t o r e c o n s t r u c t t h e s p a t i a l d i s t r i b u t i o n o f t h e m a t e r i a l p r o p e r t y i n i n v e r s e s c a t t e r i n g a p p l i c a t i o n s . I r r e s p e c t i v e o f t h e f o r m o f t h e w a v e e q u a t i o n , t h e o b j e c t i v e o f a n n o n l i n e a r i n v e r s e s c a t t e r i n g p r o b l e m i n v o l v i n g d i e l e c t r i c s c a t t e r e r i s t o s e e k t h e m i n i m i z e r e e S t ( F , w ) o f t h e c o s t f u n c t i o n , A ! 1 . _ . _ . 2 . - C f é l : 5 A 2 1 [ s z i f ‘ f - m ) _ $ 2 0 7 7 2 ” ( 6 0 2 2 ) w h e r e ( ) 5 m ' ( F m ) r e p r e s e n t s t h e fi e l d m e a s u r e d a t t h e r e c e i v e r s f o r t h e t r u e p e r m i t t i v i t y d i s t r i b u t i o n a n d o C ( F , - n ) r e p r e s e n t s t h e fi e l d c o m p u t e d f o r t h e e s t i m a t e d p e r m i t t i v i t y p r o fi l e e e S t ( F , w ) . S o l u t i o n t o t h e n o n l i n e a r i n v e r s e s c a t t e r i n g p r o b l e m s i t e r a t i v e l y e s t i - m a t e s t h e s p a t i a l p e r m i t t i v i t y d i s t r i b u t i o n i n s i d e t h e s c a t t e r e r u n t i l t h e e r r o r b e t w e e n t h e m e a s u r e d a n d c a l c u l a t e d fi e l d s a t t h e r e c e i v e r l o c a t i o n s i s b e l o w a p r e d e t e r m i n e d t h r e s h o l d . T h e i l l - p o s e d n a t u r e o f t h e n o n l i n e a r i n v e r s e s c a t t e r i n g p r o b l e m r e q u i r e s m u l t i - v i e w fi e l d m e a s u r e m e n t s a n d p r i o r i n f o r m a t i o n t o g u a r a n t e e a s t a b l e s o l u t i o n f o r t h e u n k n o w n o b j e c t f u n c t i o n O ( r ’ , w ) . T h e i t e r a t i v e r e c o n s t r u c t i o n t e c h n i q u e p r o p o s e d b y P i c h o t e t . a l . s o l v e s t h e i n t e g r a l e q u a t i o n a n d e m p l o y s N e w t o n K a t o r o r v i c h ’ s m e t h o d f o r p e r m i t t i v i t y r e c o n — s t r u c t i o n [ 1 0 4 ] . l V ' f a t h e m a t i c a l f o r m u l a t i o n a n d e x p e r i m e n t a l r e s u l t s u s i n g T M w a v e i l l u m i n a t i o n w e r e r e p o r t e d f o r i m a g i n g t w o — d i m e n s i o n a l p e n e t r a b l e i n a n i m a t e a n d b i - o l o g i c a l o b j e c t s [ 1 0 5 , 1 0 6 ] . I n 1 9 9 5 , t h e fi r s t p r o t o t y p e m i c r o w a v e i m a g i n g s y s t e m e m p l o y i n g m o n o p o l e t r a n s c e i v e r a n t e n n a s d e v e l o p e d f o r i m a g i n g b i o l o g i c a l o b j e c t s 7 3 o v e r 3 0 0 — 1 1 0 0 l \ l I I z f o r h y p e r t h e r m i a t r e a t m e n t m o n i t o r i n g w a s r e p o r t e d [ 1 0 7 ] . T h e i t e r a t i v e i n v e r s i o n p r o c e d u r e p r o p o s e d b y l \ * f e a n e y e t a l i n t h e p r o t o t y p e s y s t e m u t i - l i z e d t h e fi n i t e e l e m e n t b o u n d a r y i n t e g r a l m e t h o d f o r 2 D T M ‘ z p o l a r i z a t i o n t o r e c o v e r t h e l o c a t i o n , s i z e a n d s p a t i a l p e r m i t t i v i t y d i s t r i b u t i o n o f t h e d i e l e c t r i c s c a t t e r e r [ 1 0 7 ] - [ 1 1 0 ] . I m a g i n g r e s u l t s o f a c a n i n e h e a r t a t 2 . 4 5 G f l z o b t a i n e d u s i n g a t w o - d i m e n s i o n a l m i c r o w a v e t o m o g r a p h y s y s t e m e m p l o y i n g 3 2 t r a n s c e i v e r s w a s p r e s e n t e d i n [ 1 1 1 ] . F a s t a l g o r i t h m s a n d r o b u s t r e g u l a r i z a t i o n t e c h n i q u e s w e r e p r o p o s e d f o r i t e r a t i v e p e r m i t - t i v i t y i n v e r s i o n [ 9 4 ] , [ 1 1 2 ] . A l t e r n a t e i n v e r s i o n m e t h o d s t h a t u t i l i z e P o l a k - R i b i e r e n o n l i n e a r c o n j u g a t e g r a d i e n t o p t i m i z a t i o n a l g o r i t h m w e r e p r o p o s e d f o r 2 D p e r m i t - t i v i t y r e c o n s t r u c t i o n u n d e r T M i l l u m i n a t i o n [ 1 1 3 ] . P r e — c l i n i c a l r e s u l t s o n m i c r o w a v e i m a g i n g f o r b i o m e d i c a l a p p l i c a t i o n s d e m o n s t r a t e d t h e f e a s i b i l i t y o f n o n l i n e a r i n v e r s e s c a t t e r i n g t e c h n i m i e s [ 1 1 4 ] , [ 1 1 5 ] . 7 4 C H A P T E R 7 A C T I V E M I R R O R T E C H N O L O G Y I n t r o d u c t i o n A c t i v e m i r r o r i s a n o p t i c a l e l e m e n t u s e d i n a d a p t i v e o p t i c s y s t e m s ( A O S ) w h o s e f u n c t i o n a l i t y c a n b e m o d i fi e d i n r e a l t i m e t o c o n t r o l t h e i n c i d e n t o p t i c a l w a v e f r o n t f o r d e s i r e d p e r f o r m a n c e [ 1 1 6 ] - [ 1 1 8 ] . A s i m p l e a n d c o m m o n a p p l i c a t i o n o f a c t i v e o p t i c e l e m e n t i n c l u d e r e a l t i m e t i l t a n d f o c u s c o r r e c t i o n s . T h e e a r l i e s t u s e o f a c t i v e m i r r o r s d a t e s b a c k t o t h e ” b u r n i n g g l a s s ” b u i l t b y A r c h i m e d e s i n 2 1 5 B C . I t i s w i d e l y p r e s u m e d t h a t t h e b u r n i n g g l a s s m i g h t h a v e b e e n a n a r r a y o f l a r g e a r r a y o f m e t a l c o a t e d m i r r o r s m a n e u v e r e d b y h u m a n s t o f o c u s t h e s u n l i g h t t o s e t t h e R o m a n fl e e t o n fi r e [ 1 1 9 ] . T h e s o l a r f u r n a c e l o c a t e d a t O d e i l l o i n t h e P y r n e s O r i e n t a l e s i n F r a n c e e m p l o y s 6 3 fl a t m i r r o r s i s a n o t h e r e x a m p l e w h e r e m i r r o r s a r e u s e d t o r e fl e c t t h e s u n l i g h t o n t o a p a r a b o l i c . r e fl e c t o r f o r p o w e r g e n e r a t i o n . E f f o r t s t o h a r n e s s s o l a r e n e r g y f o r p o w e r g e n e r a t i o n u s i n g m i r r o r s w a s a t t e m p t e d i n t h e U n i t e d S t a t e s i n 1 9 7 4 t o d i r e c t t h e s u n l i g h t t o a c e n t r a l b o i l e r i n a s t e a m g e n e r a t i n g u n i t [ 1 1 6 ] . T h e e a r l y a c t i v e m u l t i m i r r o r s y s t e m s b u i l t f o r h a r n e s s i n g s o l a r p o w e r d e a l t o n l y w i t h i n t e n s i t y w i t h o u t c o n s i d e r a t i o n o f t h e p h a s e o f t h e o p t i c a l w a v e f r o n t . I n l a t e r s t a g e s , c o h e r e n t m u l t i m i r r o r a d a p t i v e s y s t e m s w e r e b u i l t f o r u s e i n a s t r o n o m y . I n t h e e a r l y 8 0 8 , h i g h c o s t a n d b u l k c o h e r e n t A O S w e r e u s e d t o b u i l d h i g h - e n d t e l e s c o p e s t o s t u d y d i s t a n t a s t r o n o m i c a l o b j e c t s . T h e o r g a n i z a t i o n o f t h i s c h a p t e r i s a s f o l l o w s . S e c t i o n 7 . 1 c o n t a i n s a b r i e f o v e r v i e w o f t h e d e v e l o p m e n t a n d r o l e o f a c t i v e m i r r o r s i n a d a p t i v e o p t i c s y s t e m s d u r i n g t h e p a s t t h r e e d e c a d e s . T h e d i f f e r e n t t y p e s o f a c t i v e m i r r o r s , t h e i r d e s i g n a n d a p p l i c a t i o n s a r e a l s o c o v e r e d i n s e c t i o n 7 . 1 . T h e d e s i g n a n d m a t h e m a t i c a l t h e o r y t h a t g o v e r n s t h e m i r r o r f u n c t i o n a l i t y a n d a p p l i c a t i o n s o f m e m b r a n e m i r r o r , t h e k e y e l e m e n t i n t h e p r o p o s e d m i c r o w a v e t o m o g r a p h y t e c h n i q u e f o r b r e a s t i m a g i n g , a r e c o v e r e d i n s e c t i o n 7 . 2 . T h e u s e o f t h e m e m b r a n e m i r r o r o p t i c a l d e v i c e i n i n v e r s e s c a t t e r i n g a p p l i c a t i o n s i s i n t r o d u c e d i n s e c t i o n 7 . 3 . 7 . 1 A d a p t i v e O p t i c s A d a p t i v e O p t i c s s y s t e m s e m p l o y i n g a c t i v e m i r r o r s h a v e b e e n d e v e l o p e d f o r b o t h s i m - p l e o p e n l o o p s y s t e m s a n d c o m p l e x h i g h p r e c i s i o n s y s t e m s f u n c t i o n i n g i n c l o s e d f e e d - b a c k m o d e . S y s t e m o p e r a t i n g i n o p e n l o o p a r e w i d e l y u s e d a s s i m p l e w a v e f r o n t t i l t a n d f o c u s c o r r e c t o r s . T h e n e e d f o r a d a p t i v e o p t i c s s y s t e m s w i t h w i d e o p e r a t i o n a l a n d d i m e n s i o n a l v a r i a t i o n s l e d t o t h e i n v e n t i o n o f d i f f e r e n t t y p e s o f a c t i v e m i r r o r s w i t h c o m p l e x f u n c t i o n a l i t i e s [ 1 1 6 ] . D e p e n d i n g o n t h e a c t u a t o r a n d s u b s t r a t e d e s i g n , a c t i v e m i r r o r s a r e g r o u p e d i n t o o n e o f t h e f o l l o w i n g c a t e g o r i e s : S e g m e n t e d m i r r o r s C o n t i n u o u s t h i n - p l a t e m i r r o r s M o n o l i t h i c m i r r o r s M e m b r a n e m i r r o r s T h e d e s i g n a n d f u n c t i o n a l i t y o f e a c h m i r r o r t y p e i s b r i e fl y p r e s e n t e d i n t h i s s e c t i o n . 7 . 1 . 1 S e g m e n t e d M i r r o r s S e g m e n t e d m i r r o r s a s t h e n a m e i m p l i e s c o m p r i s e s o f a n a r r a y o f m i r r o r s e g m e n t s f o r t i l t a n d f o c u s c o r r e c t i o n s . E a c h m i r r o r s e g m e n t i n t h e a r r a y h a s r i g i d s h a p e a n d a r e s u p p o r t e d a t t h r e e p o i n t s b y a p i s t o n t y p e a c t u a t o r . F i g u r e F i g u r e 7 . 1 s h o w s t h e s c h e m a t i c o f t h e t w o w i d e l y u s e d s e g m e n t m i r r o r d e s i g n s . L a r g e a r r a y s o f s e g - m e n t e d m i r r o r s a r e u s e d i n a s t r o n o m y t o c o m p e n s a t e f o r a b e r r a t i o n d u e t o a t m o - s p h e r i c t u r b u l e n c e a n d t o i n c r e a s e l i g h t g a t h e r i n g c a p a c i t y o f l a n d - b a s e d t e l e s c o p e s 7 6 D ( 7 . 1 ) [ 1 1 6 ] , [ 1 2 0 , 1 2 1 ] . T h e d e fl e c t i o n o f a u n i f o r m p l a t e o f s e g m e n t e d m i r r o r s u n d e r t h e i n f l u e n c e o f a u n i f o r m l o a d i s g i v e n b y t h e e q u a t i o n [ 1 . 1 6 ] , 0 ‘ s W : — — — — — ( 1 5 4 I n ( 7 . 1 ) , t h e m i r r o r s t i f f n e s s D t a k e s t h e f o r m [ 1 2 2 ] , [ £ 7 2 3 1 2 ( 1 — V ) w h e r e a s : s u p p o r t c o n fi g u r a t i o n f a c t o r b : s p a c e b e t w e e n s u p p o r t s q : l o a d p e r u n i t a r e a E : Y o u n g ’ s m o d u l u s , V : P o i s s o n ’ s r a t i o a n d h : T h i c k n e s s o f t h e m i r r o r m a t e r i a l . S e g m e n t e d m i r r o r s o f f e r s c a l a b i l i t y , a s s e m b l y a n d p o s s e s s n o c o u p l i n g b e t w e e n a c t u - a t o r s . H o w e v e r , t h e g a p s b e t w e e n t h e s e g m e n t e d r i g i d m i r r o r s d i f f r a c t t h e i n c i d e n t l i g h t a n d y i e l d s d i s c o n t i n u o u s p h a s e a n d i n t e n s i t y v a r i a t i o n a c r o s s t h e m i r r o r s u r f a c e . 7 . 1 . 1 . 1 D i g i t a l M i c r o m i r r o r D e v i c e W i t h a d v a n c e i n m i c r o - e l e c t r o — m e c h a n i c a l s y s t e m s ( M E M S ) a n d b u l k s e m i c o n d u c t o r f a b r i c a t i o n t e c h n o l o g y , t h e u s e o f s e g m e n t e d m i r r o r s f o r p r o j e c t i o n d i s p l a y h a s g a i n e d s i g n i fi c a n t r e s e a r c h i n t e r e s t . A n a r r a y o f s e g m e n t e d m i r r o r s a s s e m b l e d u s i n g M E M S t e c h n o l o g y w a s d e v e l o p e d b y T e x a s I n s t r u m e n t s f o r h i g h q u a l i t y d i g i t a l v i d e o a n d 7 7 ( a ) ( b ) F i g u r e 7 . 1 . S e g m e n t e d M i r r o r s [ 1 1 6 ] ( a ) P i s t o n o n l y ( b ) P i s t o n a n d t i l t . S u b s t r a t e F i g u r e 7 . 2 . S c h e m a t i c o f T e x a s I n s t r u m e n t s t w o D M D m i r r o r s [ 1 2 6 ] . p r o j e c t i o n d i s p l a y s [ 1 2 3 ] , [ 1 2 4 ] . T h e D i g i t a l M i c r o m i r r o r D e v i c e ( D M D ) d e v e l o p e d b y T e x a s I n s t r u m e n t s i s a n a r r a y o f c l o s e l y s p a c e d d i g i t a l m i c r o m i r r o r s m o n o l i t h i c a l l y i n t e g r a t e d a n d c o n t r o l l e d o n a s i n g l e s i l i c o n c h i p . A n i l l u s t r a t i o n o f t w o D M D m i r r o r s b e l o n g i n g t o a l a r g e a r r a y i s s h o w n i n F i g u r e F i g u r e 7 . 2 . B e s i d e s p r o j e c t i o n d i s p l a y , D M D s a r e u s e d a s c o h e r e n t o p t i c a l c o r r e l a t o r s a n d s p a t i a l l i g h t m o d u l a t o r s i n a d a p t i v e o p t i c s [ 1 2 3 ] — [ 1 2 7 ] . 7 8 I I I / I I I I I / I / I / I l l l l l l l l I A F i g u r e 7 . 3 . C o n t i n u o u s t h i n - p l a t e m i r r o r s [ 1 1 6 ] ( a ) D i s c r e t e p o s i t i o n a c t u a t o r s ( b ) D i s c r e t e f o r c e a c t u a t o r s ( c ) B e n d i n g m o m e n t f o r c e a c t u a t o r s . 7 . 1 . 2 D e f o r m a b l e T h i n - P l a t e M i r r o r s T h e s e a r e m e d i u m s i z e d a c t i v e m i r r o r s r a n g i n g b e t w e e n 1 0 c m t o 3 m i n d i a m e t e r t h a t c o n s i s t s o f a c o n t i n u o u s l y d e f o r m a b l e t h i n p l a t e m o u n t e d o n a n d i s c r e t e a r r a y o f a c t u a t o r s [ 1 2 8 , 1 2 9 ] . T h e a c t u a t o r s t h a t d e fl e c t s t h e t h i n p l a t e c o u l d b e o n e o f t h e f o l l o w i n g d e s i g n : 0 D i s c r e t e p o s i t i o n a c t u a t o r s 0 D i s c r e t e f o r c e a c t u a t o r s 0 B e n d i n g m o m e n t f o r c e a c t u a t o r s S c h e m a t i c i l l u s t r a t i o n s o f d i f f e r e n t t y p e s o f t h i n — p l a t e d e f o r m a b l e m i r r o r a r e s h o w n i n F i g u r e F i g u r e 7 . 3 . T h e s p a t i a l f r e q u e n c y o f t h e d e f o r m a t i o n c a u s e d b y t h e a c t u a t o r a r r a y d e p e n d s o n t h e s p a t i a l d i s t r i b u t i o n o f t h e u n d e r l y i n g a c t u a t o r e l e m e n t s . U n l i k e s e g m e n t e d m i r r o r , t h i n - p l a t e d e f o r m a b l e m i r r o r s d o n o t d i f f r a c t t h e i n c i d e n t l i g h t e x c e p t a t t h e c o r n e r s a n d p r o v i d e c o n t i n u o u s i n t e n s i t y a n d p h a s e v a r i a t i o n s a c r o s s t h e m i r r o r s u r f a c e . T h e d e fl e c t i o n d o f a n i s o t r o p i c t h i n p l a t e m i r r o r w i t h l i n e a r 7 9 s t r e s s — s t r a i n r e l a t i o n s h i p i s r e l a t e d t o t h e a c t u a t o r a r r a y f o r c e P b y [ 1 1 6 ] , d : F P ( 7 . 3 ) w h e r e F i s t h e fl e r z ' b i l - i t y m a t r i x t h a t d e fi n e s t h e s t a t i c b e h a v i o r o f t h e t h i n p l a t e d e fl e c t i o n a t e a c h p o i n t f o r a u n i t f o r c e a p p l i e d a t t h a t p o i n t . T h e a r r a y o f f o r c e s P r e q u i r e d t o a c h i e v e t h e d e s i r e d d e fl e c t i o n d i s o b t a i n e d u s i n g t h e i n v e r s e r e l a t i o n s h i p , P = F ‘ l d ( 7 . 4 ) 7 . 1 . 3 M o n o l i t h i c A c t i v e M i r r o r s l N - " I o n o l i t h i c a c t i v e m i r r o r s u s e a s i n g l e b l o c k o f h o m o g e n e o u s m a t e r i a l f o r t h e m i r r o r s u b s t r a t e a n d t h e p i e z o e l e c t r i c e l e m e n t s o f t h e a c t u a t o r a r r a y . T h e f u n c t i o n a l i t y o f t h e m i r r o r , a c t u a t o r s a n d b a c k p l a t e a r e c o m b i n e d i n s i d e o n e m o n o l i t h i c s u b s t r a t e t h e r e b y r e d u c i n g t h e o p e r a t i o n a l v a r i a t i o n s c a u s e d b y t h e u s e o f m u l t i p l e p a r t s . F i g u r e F i g u r e 7 . 4 s h o w s a t y p i c a l m o n o l i t h i c m i r r o r s c h e m a . D e f o r m a t i o n c r e a t e d u n d e r t h e i n fl u e n c e o f a n a p p l i e d e l e c t r o d e v o l t a g e i s l o c a l t o t h e a c t i v e e l e c t r o d e w i t h m i n i m a l c o u p l i n g b e t w e e n t h e n e i g h b o r i n g e l e c t r o d e s . l y f o n o l i t h i c p i e z o e l e c t r i c m i r r o r s a r e w i d e l y u s e d f o r r e a l t i m e t u r b u l e n c e c o r r e c t i o n [ 1 1 6 ] , [ 1 3 0 ] . 7 . 1 . 4 M e m b r a n e M i r r o r s A m e m b r a n e m i r r o r c o n s i s t s o f a r e fl e c t i v e a n d fl e x i b l e t h i n m e m b r a n e w i t h n o i n - h e r e n t s t i f f n e s s m o u n t e d o n a n a c t u a t o r a r r a y [ 1 1 6 ] , [ 1 3 1 , 1 3 2 ] . U n l i k e t h i n p l a t e m i r r o r s , m e m b r a n e m i r r o r s r e q u i r e t e n s i o n t o m a i n t a i n s u r f a c e fl a t n e s s a n d h e n c e a r e c a p a b l e o f p r o v i d i n g d e fl e c t i o n s f o r r e l a t i v e l y s m a l l e l e c t r o s t a t i c f o r c e . T h e M E M S b a s e d d e f o r m a b l e m e m b r a n e m i r r o r o f f e r s a d v a n t a g e s o v e r m o n o l i t h i c p i e z o e l e c t r i c m i r r o r s i n t e r m s o f b u l k , l o w c o s t s e m i c o n d u c t o r f a b r i c a t i o n t e c h n o l o g y , l o w a c t u a t o r f o r c e a n d h e n c e l o w o p e r a t i n g v o l t a g e s a n d t h e a b s e n c e o f h y s t e r e s i s . 8 0 A D D R E S S I N G E L E C T R O D E S ( a ) \ / A L U M I N I Z E D G L A S S M I R R O R P I E Z O E L E C T R I C C E R A M I C C O M M O N E L E C T R O D E F i g u r e 7 . 4 . M o n o l i t h i c m i r r o r w i t h p i e z o e l e c t r i c a c t u a t o r [ 1 1 6 ] ( a ) S i d e v i e w ( b ) T o p v i e w . 7 . 2 M e m b r a n e D e f o r m a b l e M i r r o r T h e d e s i g n , c o n s t r u c t i o n a n d w o r k i n g p r i n c i p l e s o f t h e m e m b r a n e d e f o r m a b l e m i r r o r i s d i s c u s s e d i n t h i s s e c t i o n . T h e m a t h e m a t i c a l e q u a t i o n s t h a t g o v e r n t h e m i r r o r d e f o r - m a t i o n u n d e r t h e i n fl u e n c e o f a n e x t e r n a l l o a d f o r a g i v e n s e t o f b o u n d a r y c o n d i t i o n s i s d i s c u s s e d u s i n g t h e o r y o f p l a t e s a n d s h e l l s . 7 . 2 . 1 M i r r o r D e s i g n A m e m b r a n e m i r r o r i s a s e m i c o n d u c t o r M E M S d e v i c e i n w h i c h t h e fl e x i b l e m e m - b r a n e i s c o n t r o l l e d b y u n d e r l y i n g C M O S c i r c u i t s [ 1 3 3 ] - [ 1 3 5 ] . F i g u r e F i g u r e 7 . 5 s h o w s s c h e m a t i c i l l u s t r a t i o n s o f d i f f e r e n t m e m b r a n e m i r r o r d e s i g n s [ 1 3 3 ] , [ 1 3 5 ] . T h e fl e x i b l e m e m b r a n e w i t h r e fl e c t i v e c o a t i n g s u p p o r t e d b y a n a r r a y o f a c t u a t o r p o s t s a c t s a s a n t h i n fi l m o f r e fl e c t i n g m i r r o r . T h e e l e c t r o s t a t i c a c t u a t o r s a t d i s c r e t e p o i n t s a r e c o n n e c t e d t o t h e g r o u n d s u b s t r a t e a n d e n a b l e a s m o o t h d e f o r m a t i o n o f t h e m i r r o r 8 1 ( a ) - - - - - - . . / / / / I V / / / / / / V / / / / 7 / / % 1 i 0 d 0 \ V 0 i A V i I ( b ) S U P P O R T F i g u r e 7 . 5 . M e m b r a n e m i r r o r s c h e m a t i c s ( a ) [ 1 3 3 ] ( b ) [ 1 3 5 ] . s u r f a c e g o v e r n e d b y t h e b a s i c s o f v i b r a t i o n t h e o r y [ 1 2 2 ] . W h e n a p o t e n t i a l d i s t r i b u - t i o n V ( z , y ) i s a p p l i e d b e t w e e n a n a c t u a t o r a n d s u b s t r a t e , a n e l e c t r o s t a t i c f o r c e i s g e n e r a t e d n o r m a l t o t h e m i r r o r s u r f a c e . T h e e l e c t r o s t a t i c f o r c e d e fl e c t s t h e m i r r o r s h e e t m o u n t e d o n t h e a t t a c h m e n t p o s t , c r e a t i n g a l o c a l d e f o r m a t i o n w ( . r , y ) o f t h e m e m b r a n e m i r r o r s p a r i n g t h e r e s t o f t h e m i r r o r . D e p e n d i n g o n t h e a p p l i c a t i o n , c i r c u - l a r , r e c t a n g u l a r a n d h o n e y c o m b a c t u a t o r a r r a y d e s i g n s a r e a v a i l a b l e f o r f a b r i c a t i o n . 7 . 2 . 2 M i r r o r D e f o r m a t i o n T h e d e f o r m a t i o n o f fl e x i b l e m e m b r a n e m i r r o r c a n b e e x p l a i n e d b y t h e t h e o r y o f t h i n p l a t e s a n d s h e l l s . T h e d e f o r m a t i o n w ( . r , y ) o f a m e m b r a n e m i r r o r s u b j e c t e d t o a l o a d 8 2 q i s c h a r a c t e r i z e d b y t h e p a r t i a l d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n [ 1 2 2 ] , ( ' 3 4 w 8 4 w 8 4 " w , 4 — I 2 — — — , . 2 , . 2 + — — , 4 : 5 1 — ( 7 . 5 ) d 1 ? ( ) 1 ? d y 0 y D w h e r e q i s t h e l o a d m a i n t a i n e d b y t h e a c t u a t o r p o t e n t i a l d i s t r i b u t i o n V ( z , y ) n o r m a l t o t h e m e m b r a n e m i r r o r . T h e e l e c t r o s t a t i c a c t u a t i o n a c t i n g o n t h e m i r r o r i s g i v e n b y t h e e q u a t i o n [ 1 2 2 ] , k 2 6 6 0 V 2 ( ; 1 : , y ) 2 9 2 ( E , y ) I n ( 7 . 6 ) , I t i s t h e d i e l e c t r i c c o n s t a n t o f a i r , 6 6 0 i s t h e f r e e s p a c e p e r m i t t i v i t y a n d g ( : r , y ) q t l n y ) = ( 7 - 6 ) i s t h e d i s t a n c e b e t w e e n m e m b r a n e a n d a c t u a t o r . M i r r o r d e fl e c t i o n u n d e r t h e i n fl u e n c e o f e l e c t r o s t a t i c f o r c e c a n b e d e t e r m i n e d u s i n g ( 7 . 5 ) a n d b o u n d a r y c o n d i t i o n s a l o n g e d g e s o f t h e fl e x i b l e m e m b r a n e . A s s u m i n g a r e c t a n g u l a r m e m b r a n e m i r r o r w i t h m i r r o r e d g e s p a r a l l e l t o t h e x a n d y a x e s , t h e b o u n d a r y c o n d i t i o n s o n m i r r o r d e fl e c t i o n c a n b e o n e o r a c o m b i n a t i o n o f t h e f o l l o w i n g t y p e s [ 1 2 2 ] . ( i ) B u i l t - i n E d g e : B u i l t - i n e d g e i m p l i e s z e r o d e f l e c t i o n a t t h e e d g e w i t h n o c h a n g e i n m i r r o r d e fl e c t i o n a l o n g t h e p l a n e t a n g e n t t o t h e m i r r o r e d g e . T h e b o u n d a r y c o n - d i t i o n s f o r a b u i l t - i n e d g e a l o n g : r : a a r e , ( ' 1 1 1 ) $ : a : 0 ( 7 . 7 a ) ( d i e ) 2 0 ( 7 . 7 b ) ( ) 1 : 3 3 : 0 . ( i i ) S i m p l y S u p p o r t e d E d g e : T h i s b o u n d a r y c o n d i t i o n i s a p p l i c a b l e f o r m i r r o r s w i t h z e r o d e fl e c t i o n a n d b e n d i n g m o m e n t a l o n g t h e e d g e w h i c h , e n a b l e s t h e m i r r o r t o r o t a t e f r e e l y w i t h r e s p e c t t o t h e e d g e . M e m b r a n e m i r r o r w i t h a s i m p l y s u p p o r t e d 8 3 e d g e a l o n g ' 1 ? : ( 1 s a t i s fi e s t h e b o u n d a r y c o n d i t i o n s , ( w h y , 2 0 ( 7 . 8 a ) ( 9 1 0 2 8 1 1 1 2 ( 1 7 : 0 , ( i i i ) F r e e E d g e : A m e m b r a n e m i r r o r w i t h f r e e e d g e d o e s n o t e x p e r i e n c e b e n d i n g a n d t w i s t i n g m o m e n t s a n d v e r t i c a l s h e a r f o r c e s . I n t e r m s o f a n a l y t i c a l e x p r e s s i o n s , t h i s i m p l i e s 8 3 m 8 3 1 1 ; ( 3 1 , — 3 — + ( 2 — m a m a / 2 ) : 0 ( 7 . 9 a ) : r : a 8 2 1 2 2 8 1 0 2 ( 5 ; ? + V — 8 y 2 ) = 0 ( 7 9 b ) z : a a l o n g t h e f r e e e d g e . E q u a t i o n s ( 7 . 5 ) a n d ( 7 . 7 ) - ( 7 . 9 ) c h a r a c t e r i z e s t h e d e f o r m a t i o n o f t h e m e m b r a n e m i r r o r u n d e r t h e i n fl u e n c e o f e l e c t r o s t a t i c f o r c e . T h e i n v e r s e r e l a t i o n b e t w e e n t h e e l e c t r o s t a t i c f o r c e a n d m i r r o r - s u b s t r a t e d i s t a n c e i n ( 7 . 6 ) l i m i t s t h e m i r r o r d e fl e c t i o n . T h e d y n a m i c r a n g e o f m i r r o r d e fl e c t i o n i s o f t e n s t r e t c h e d b y u s i n g h i g h b i a s v o l t a g e i n t h e a c t u a t o r d e s i g n . 7 . 2 . 3 M i r r o r A p p l i c a t i o n s I n t h e l a s t d e c a d e , e l e c t r o — s t a t i c a l l y a c t u a t e d m e m b r a n e m i r r o r a r r a y s h a v e r e c e i v e d t r e m e n d o u s a t t e n t i o n [ 1 3 6 ] . T h e s u r g e i n b u l k s e m i c o n d u c t o r f a b r i c a t i o n o f l a r g e a r — r a y s o f i n e x p e n s i v e m i c r o m e c h a n i c a l s t r u c t u r e s h a s l e d t o t h e s u c c e s s f u l d e v e l o p m e n t o f c o n t i n u o u s l y fl e x i b l e a n d m e c h a n i c a l l y s t a b l e m i c r o - m a c h i n e d m e m b r a n e m i r r o r s . D e v e l o p m e n t s i n m i c r o — o p t i c s a n d M E M S e n a b l e d b a t c h p r o d u c t i o n o f l o w e n e r g y c o n s u m i n g , m i n i a t u r e - s i z e d , m e m b r a n e d e f o r m a b l e m i r r o r s . V a r i a t i o n s o f t h e b a s i c d e s i g n a n d w o r k i n g p r i n c i p l e s o f t h e m e m b r a n e d e f o r m a b l e m i r r o r w e r e p r o p o s e d f o r 8 4 u s e i n s e v e r a l a p p l i c a t i o n s s u c h a s o p t i c a l s w i t c h e s [ 1 3 7 ] , p h a s e m o d u l a t o r s [ 1 3 8 ] , s c a n n e r s [ 1 3 9 , 1 4 0 ] , i m a g i n g d e v i c e s [ 1 4 1 , 1 4 2 ] , a b e r r a t i o n . c o r r e c t o r s [ 1 4 3 ] a n d s o o n [ 1 4 4 } . 7 . 3 A d a p t i v e M i r r o r s i n M i c r o w a v e R e g i m e T h e a b i l i t y o f a c t i v e m e m b r a n e m i r r o r s t o c o n t r o l s u r f a c e d e f l e c t i o n i n c l o s e d f e e d b a c k m o d e l e d t o t h e a p p l i c a t i o n o f a d a p t i v e o p t i c s d e v i c e i n o p t i c a l i m a g i n g . T h e f u n c t i o n - a l i t y o f d e f o r m a b l e a c t i v e m i r r o r c a n b e e x t e n d e d t o r e fl e c t a n d r e d i r e c t t h e i n c i d e n t e l e c t r o m a g n e t i c w a v e s w i t h t h e a i d o f a t h i n m e t a l l i c c o a t i n g o n t h e m e m b r a n e m i r - r o r s u r f a c e . T h e c o n c e p t o f a d a p t i v e m i r r o r s f o r n o n i n t r u s i v e m i c r o w a v e i m a g i n g i s i n t r o d u c e d i n t h i s t h e s i s w i t h a s p e c i fi c a p p l i c a t i o n f o r b r e a s t c a n c e r d e t e c t i o n a n d t h e r a p y . T h e u s e o f d e f o r m a b l e m i r r o r s f o r m a c r o l e v e l i m a g i n g a p p l i c a t i o n s i n t h e E M s p e c t r u m i s i n t r o d u c e d f o r t h e fi r s t t i m e v i a c o m p u t a t i o n a l f e a s i b i l i t y s t u d i e s o n m a t h e m a t i c a l b r e a s t m o d e l s . T h e m a t h e m a t i c a l t h e o r y , p r o b l e m f o r m u l a t i o n a n d t o m o g r a p h i c t e c h n i q u e e s s e n t i a l f o r t h e c o m p u t a t i o n a l s t u d y a r e e x p l a i n e d i n d e t a i l i n t h e f o l l o w i n g c h a p t e r s . 8 5 C H A P T E R 8 P R O O F O F C O N C E P T W I T H N O N D I F F R A C T I N G S O U R C E S I n t r o d u c t i o n P r i o r t o m o d e l i n g i n t h e m i c r o w a v e r e g i m e , a s i m p l e n u m e r i c a l m o d e l e m p l o y i n g s t r a i g h t r a y t h e o r y a p p l i c a b l e f o r X - r a y s w a s i m p l e m e n t e d t o c h e c k t h e f e a s i b i l i t y o f t h e t h e s i s p r o p o s a l . T h e X - r a y m o d e l i s a s i m p l e a n d e a s y f e a s i b i l i t y s t u d y t h a t s e r v e s a s a p r o o f o f t h e p r o p o s e d m i r r o r b a s e d t o m o g r a p h y c o n c e p t i n t h e a b s e n c e o f d i f f r a c t i o n a n d s c a t t e r i n g e f f e c t s . T h e n u m e r i c a l s i m u l a t i o n s f o r t h e X - r a y m o d e l a s s u m e s t h e e x i s t e n c e o f a r e fl e c t i v e c o a t i n g f o r t h e d e f o r m a b l e m i r r o r c a p a b l e o f r e fl e c t i n g X - r a y s i n c i d e n t a t a n g l e s g r e a t e r t h a n t h e g r a z i n g a n g l e o f i n c i d e n c e . T h e o r g a n i z a t i o n o f t h i s c h a p t e r i s a s f o l l o w s . A b r i e f i n t r o d u c t i o n o f X - r a y t o m o g - r a p h y a n d u n d e r l y i n g t h e o r y o f X - r a y p r o j e c t i o n s a r e p r e s e n t e d i n s e c t i o n 8 . 1 . E v o l u - t i o n o f c o n t e m p o r a r y X - r a y c o m p u t e d t o m o g r a p h y ( C T ) , C T i m a g i n g t e c h n i q u e s a n d s i m u l a t i o n s r e s u l t s a r e i n s e c t i o n 8 . 2 . I n s e c t i o n 8 . 3 , t h e p r o p o s e d d e f o r m a b l e m i r r o r X - r a y C T i m a g i n g t e c h n i q u e a n d i t e r a t i v e r e c o n s t r u c t i o n m e t h o d a r e e x p l a i n e d u s i n g c o m p u t e r s i m u l a t i o n s . C o m p a r i s o n a n d a d v a n t a g e s o f t h e p r o p o s e d m i r r o r b a s e d C T w i t h c o n v e n t i o n a l C T a r e c o v e r e d i n s e c t i o n 8 . 4 u s i n g a d d i t i o n a l n u m e r i c a l s i m u l a - t i o n s . I n s e c t i o n 8 . 5 , t h e f e a s i b i l i t y o f e x t e n d i n g t h e d e f o r m a b l e m i r r o r C T s e t u p t o f o c u s h i g h — e n e r g y X - r a y r a d i a t i o n s a t t u m o r s i t e f o r t h e r a p y i s d e m o n s t r a t e d v i a n u m e r i c a l s i m u l a t i o n s . L i m i t a t i o n s w i t h t h e r e a l i z a t i o n o f d e f o r m a b l e m i r r o r i m a g i n g c u m t h e r a p y s y s t e m i n X - r a y r e g i m e a r e d i s c u s s e d i n s e c t i o n 8 . 6 . F i n a l l y , t h e o u t - c o m e o f t h e p r o o f o f c o n c e p t m o d e l u s i n g X - r a y s a r e s u m m a r i z e d i n t h e ” C o n c l u s i o n s ” s e c t i o n . 8 6 8 . 1 X - r a y T o m o g r a p h y C o m p u t e d t o m o g r a p h y ( C ' I ‘ ) i s a m a t u r e i m a g i n g t e c h n i q u e t h a t i n v o l v e s r e c o n s t r u c - t i o n o f 2 D - c r o s s s e c t i o n a l i m a g e s o f a 3 D o b j e c t u s i n g p r o j e c t i o n d a t a . S e v e r a l C T t e c h n i q u e s e m p l o y i n g d i f f e r e n t t y p e s o f p e n e t r a t i n g e n e r g y s o u r c e s h a v e b e e n d e v e l - o p e d f o r n o n - i n t r u s i v e i n s p e c t i o n o f w h i c h t h e f o r e m o s t t e c h n o l o g y e m p l o y s X - r a y s . X - r a y s a r e i o n i z i n g r a d i a t i o n s c a p a b l e o f t r a v e r s i n g t h r o u g h m o s t o b j e c t s i n s t r a i g h t p a t h . X - r a y C T h a s a w i d e r a n g e o f a p p l i c a t i o n a s a d i a g n o s t i c t o o l i n v a r i e d d i s - c i p l i n e s o f m e d i c i n e , g e o l o g y , a n t h r o p o l o g y a n d e n g i n e e r i n g s c i e n c e f o r v i s u a l i z i n g i n t e r i o r s t r u c t u r e s o f s o l i d o p a q u e o b j e c t s . X - r a y c o m p u t e d t o m o g r a p h y i s t h e fi r s t t o o l t h a t r e v o l u t i o n i z e d d i a g n o s t i c m e d i c i n e , f o l l o w e d b y s e v e r a l v a r i a t i o n s i n c l u d - i n g e m i s s i o n t o m o g r a p h y ( r a d i o a c t i v e i s o t o p e s ) , m a g n e t i c r e s o n a n c e a n d u l t r a s o u n d i m a g i n g . 8 . 1 . 1 X - r a y P r o j e c t i o n s T h e o b j e c t i v e o f C T i s t o r e c o n s t r u c t t h e 2 D c r o s s s e c t i o n o f a 3 D o b j e c t f r o m t h e r a y - s u m s o f t h e p r o j e c t i o n s m e a s u r e d a r o u n d t h e o b j e c t . I n X - r a y C T , t h e p r o j e c t i o n a l o n g a d i r e c t i o n ( 9 i n t h e i m a g e p l a n e i s g i v e n b y a s e t o f l i n e i n t e g r a l s o f l i n e a r a t t e n u a t i o n f u n c t i o n ) I ( ; r , y ) o f t h e o b j e c t . F i g u r e F i g u r e 8 . 1 s h o w s t h e s i m p l e s t . p a r a l l e l b e a m p r o j e c t i o n o f a 2 D i m a g e a t a n a n g l e 6 f r o m a c o l l i m a t e d s o u r c e e m i t t i n g a p e n c i l b e a m . F o r X — r a y s w i t h m o n o c h r o m a t i c p h o t o n s t r a v e l i n g a l o n g a l i n e L , t h e i n t e n s i t y o f b e a m a t t h e d e t e c t o r , I i s r e l a t e d t o t h e i n c i d e n t b e a m i n t e n s i t y , 1 0 b y t h e l i n e i n t e g r a l [ 5 6 ] , _ f f l ’ ( 1 ‘ a y ) d l 8 7 F i g u r e 8 . 1 . X - r a y p r o j e c t i o n a l o n g a . a d i r e c t i o n 0 . 8 8 \ b 8 \ w h e r e ) I ( ; L ‘ . . y ) i s t h e l i n e a r X - r a y a t t e n u a t i o n f u n c t i o n o f t h e o b j e c t . F r o m ( 8 . 1 ) , t h e X - r a v r o ' e c t i o n i s G i v e n b r t h e l o g a r i t h m o f r a t i o o f b e a m i n t e n s i t i e s a l o n ( 1 r L a s . I O C ) b 1 1 1 ( 1 7 0 ) = [ p ( ; r , y ) d l ( 8 . 2 ) M e a s u r e m e n t o f t h e r a t i o I n ( Q ) f o r X — r a y s i n c i d e n t a t d i f f e r e n t a n g l e s y i e l d s t h e p r o j e c t i o n d a t a , P 0 0 . ) f o r 2 D s l i c e r e c o n s t r u c t i o n . 8 . 1 . 2 X - r a y C T T h e m a t h e m a t i c a l f o u n d a t i o n f o r r e c o n s t r u c t i o n o f u n k n o w n s p a t i a l f u n c t i o n f r o m p r o j e c t i o n s P 0 ( t ) w a s fi r s t c o n c e i v e d b y J o h a n n R a d o n i n 1 9 1 7 [ 5 7 ] . T h e p a r a m e t r i c f o r m o f t h e l i n e i n t e g r a l i n ( 8 . 2 ) t a k e s t h e f o r m , P 0 0 ) = i t ( : l n y ) d l / p ( ; r , y ) 8 ( ; r c 0 5 0 + y s i n fl — t ) d . r d y ( 8 . 3 ) 8 w h e r e t h e p r o j e c t i o n , P 0 ( t ) i s a l s o k n o w n a s t h e R a d o n t r a n s f o r m o f s p a t i a l X - r a y a t t e n u a t i o n f u n c t i o n ) I ( ; r , y ) . T h e p r o b l e m o f r e c o v e r y o f ) r ( a t , y ) f r o m P g ( t ) i s a l i n e a r i n v e r s e p r o b l e m c a l l e d i m a g e r e c o n s t r u c t i o n f r o m p r o j e c t i o n s o r i n v e r s e R a d o n t r a n s f o r m [ 1 4 6 ] , [ 7 6 ] . I n d i s c r e t e f o r m , t h e p r o j e c t i o n o p e r a t i o n i n ( 8 . 3 ) i s m o d e l e d a s a l i n e a r s y s t e m o f t h e f o r m [ 5 6 ] , N 2 Z a i j u j : g . , ; , i = 1 , 2 , . . , M i = 1 A u = 9 I n ( 8 . 4 ) , ) I j i s t h e d i s c r e t i z e d u n k n o w n X - r a y a t t e n u a t i o n f u n c t i o n o f t h e o b j e c t o f 8 9 d i m e n s i o n N Z , g , - i s t h e i t ) " X - r a y p r o j e c t i o n o r r a y s u m , 9 1 1 3 ' i s t h e c o n t r i b u t i o n o f h , I h . t h e j t ‘ i m a g e c e l l t o t h e z X - r a y , M i s t h e t o t a l n u m b e r o f p r o j e c t i o n s f o r a l l m i r r o r s h a p e s a n d . 4 i s a m a p p i n g f r o m t h e i m a g e t o p r o j e c t i o n s p a c e . F o r e a c h u n i q u e m i r r o r ( l e f t ' I r r r i a t i o r i s , e q u a t i o n s ( 8 . 1 ) - ( 8 . 3 ) w e r e u s e d t o a s s e m b l e t h e l i n e a r s y s t e m o f e q u a t i o n ( 8 4 ) . U s i n g r a y t r a c i n g t e c h n i q u e , c o n t r i b u t i o n o f a l l p e n c i l b e a m X - r a y s c o m p r i s i n g t h e f a n b e a m a r e c o n s i d e r e d i n t h e n u m e r i c a l s i m u l a t i o n s . 8 . 1 . 3 X - r a y C T I m a g i n g W i t h a d v a n c e s i n t e c h n o l o g y , s e v e r a l f a s t a n d e f fi c i e n t i m p l e m e n t a t i o n s o f r e c o n s t r u c — t i o n a l g o r i t h m s h a v e e m e r g e d [ 5 6 ] . F o u r i e r b a s e d a p p r o a c h f o r i m a g e r e c o n s t r u c t i o n u s i n g p r o j e c t i o n s p u t f o r t h b y B r a c e w e l l [ 1 4 5 ] a n d l a t e r i n d e p e n d e n t l y i n t r o d u c e d b y R a m a c h a n d r a n a n d L a x i m n a r a y a n [ 6 5 ] a s F o u r i e r w e i g h t e d b a c k p r o j e c t i o n a l g o r i t h m i s o n e o f t h e m o s t c o m m o n l y u s e d r e c o n s t r u c t i o n t e c h n i q u e . T h e c o m p u t a t i o n a l l y f a s t F o u r i e r w e i g h t e d b a c k p r o j e c t i o n a l g o r i t h m s r e q u i r e a l a r g e n u m b e r o f e q u a l l y s p a c e d p r o j e c t i o n s o v e r [ 0 — 1 8 0 ) o r [ 0 — 3 6 0 ) t o r e c o n s t r u c t i m a g e s w i t h t h e d e s i r e d l e v e l o f a c c u r a c y f o r m e d i c a l a p p l i c a t i o n s [ 5 6 ] , [ 6 6 ] . A n o t h e r c o m m o n l y u s e d C T i m a g i n g t e c h n i q u e i n c l u d e t h e i t e r a t i v e r e c o n s t r u c - t i o n m e t h o d s . S o m e o f t h e e a r l y d i s c u s s i o n s o n i t e r a t i v e r e c o n s t r u c t i o n a l g o r i t h m s c a n b e f o u n d i n [ 6 3 , 6 4 , 6 8 ] , [ 1 4 6 ] - [ 1 4 7 ] . T h e A l g e b r a i c R e c o n s t r u c t i o n T e c h n i q u e ( A R T ) , a s e r i e s e x p a n s i o n a p p r o a c h f o r i m a g i n g t h r e e d i m e n s i o n a l b i o m e d i c a l o b — j e c t s [ 6 3 ] , i s a v a r i a t i o n o f t h e i t e r a t i v e m e t h o d i n t r o d u c e d b y S . K a c z m a r z i n 1 9 3 7 f o r s o l w ’ n g a s y s t e m o f s i m u l t a n e o u s e q u a t i o n s [ 1 4 8 ] . U n l i k e s e a r c h a l g o r i t h m s , i t e r a - t i v e r e c o n s t r u c t i o n r e q u i r e f e w e r p r o j e c t i o n s a n d a r e w e l l s u i t e d f o r l i m i t e d - a n g l e a n d m i s s i n g — v i e w t o m o g r a p h y s c e n a r i o s c o m m o n l y f o u n d i n m a n y n o n d e s t r u c t i v e i m a g - i n g a p p l i c a t i o n s [ 5 6 , 6 9 ] . T h e s h o r t c o m i n g o f t h e i t e r a t i v e r e c o n s t r u c t i o n a l g o r i t h m s i s t h e i r c o m p u t a t i o n a l c o s t , f o r w h i c h s e v e r a l e f f i c i e n t i m p l e m e n t a t i o n s h a v e b e e n p r o p o s e d [ 7 7 ] , [ 1 4 9 ] - [ 1 5 0 ] . 9 0 8 . 2 C o n v e n t i o n a l X - r a y C T O v e r t h e p a s t t h r e e d e c a d e s , C T h a s e v o l v e d i n t o a k e y d i a g n o s t i c t o o l w i t h m y r i a d a p — p l i c a t i o n s . B a s e d o n t h e s c a n n i n g c o n fi g u r a t i o n , m o t i o n , b e a m g e o m e t r y a n d d e t e c t o r a r r a n g e m e n t ; s e v e r a l g e n e r a t i o n s o f C T s c a n n e r s h a v e e v o l v e d . C u r r e n t C T s c a n n e r s a r e o f t e n r e f e r r e d t o a s 3 r d , 4 t h o r 5 t h g e n e r a t i o n s y s t e m s . T h e C T s c a n n e r s t o d a t e h a v e u s e d p a r a l l e l , f a n o r c o n e b e a m s o u r c e w i t h t r a n s l a t e / r o t a t e , r o t a t e / r o t a t e , r o t a t e - s t a t i o n a r y a n d s t a t i o n a r y - s t a t i o n a r y ( s o u r c e a n d d e t e c t o r s a r e fi x e d o n a c i r - c u l a r a r r a y ) s c a n c o n fi g u r a t i o n s f o r p r o j e c t i o n m e a s u r e m e n t s a s i l l u s t r a t e d i n F i g u r e F i g u r e 8 . 2 [ 1 5 1 ] - [ 1 5 2 ] . A l l t h e s e s c a n g e o m e t r i e s r e q u i r e p r e c i s e p o s i t i o n i n g a n d a l i g n - m e n t o f s o u r c e - d e t e c t o r p a i r s . C o m m e r c i a l C T s y s t e m s o f t e n e m p l o y F o u r i e r b a s e d m e t h o d s f o r r e c o n s t r u c t i o n w h i c h , r e q u i r e e q u i - s p a c e d X — r a y p r o j e c t i o n s o v e r [ 0 , 3 6 0 ] d e g r e e s . 8 . 2 . 1 N u m e r i c a l S i m u l a t i o n s X - r a y C T r e c o n s t r u c t i o n s f o r t h e s c a n g e o m e t r y i l l u s t r a t e d i n F i g u r e F i g u r e 8 . 2 ( c ) w i t h 1 0 s p a c i n g b e t w e e n r o t a t i o n s w e r e o b t a i n e d f o r t h e m o d i fi e d S h e p p — L o g a n h e a d p h a n t o m i n F i g u r e F i g u r e 8 . 3 ( a ) . I n t h e n u m e r i c a l s i m u l a t i o n s , p r o j e c t i o n s w e r e c o l l e c t e d f o r L p r o j e c t i o n a n g l e s w i t h P p e n c i l b e a m X — r a y s p e r p r o j e c t i o n a n g l e . I t - e r a t i v e a n d F i l t e r e d B a c k P r o j e c t i o n ( F B P ) a l g o r i t h m s w e r e i m p l e m e n t e d f o r L = 1 8 0 a n d P = 1 1 7 . F i g u r e s F i g u r e 8 . 3 ( b ) - ( c ) s h o w C T r e c o n s t r u c t i o n s o f K a c z m a r z a l g o - r i t h m a t 6 0 t h a n d 3 0 0 t h i t e r a t i o n s r e s p e c t i v e l y a n d F i g u r e s F i g u r e 8 . 3 ( d ) - ( f ) s h o w r e c o n s t r u c t i o n s o b t a i n e d u s i n g F B P f o r d i f f e r e n t fi l t e r i n g a n d i n t e r p o l a t i o n c h o i c e s . T h e F B P m e t h o d s m e a r s t h e p r o j e c t i o n s b a c k i n t o i m a g e s p a c e a n d y i e l d s r e c o n - s t r u c t i o n s t h a t l a c k i n d e t a i l s a n d r e q u i r e p o s t p r o c e s s i n g f o r i m a g e e n h a n c e m e n t . 9 1 X - R A Y S O U R C E ‘ . t \ “ ‘ \ “ \ ‘ \ \ ‘ \ \ “ ‘ \ \ " I F i g u r e 8 . 2 . S c h e m a t i c i l l u s t r a t i o n o f d i f f e r e n t g e n e r a t i o n s o f X - r a y C T s c a n g e o m e - t r i e s . ( a ) F i r s t g e n e r a t i o n , t r a n s l a t e - r o t a t e p e n c i l b e a m g e o m e t r y . ( b ) S e c o n d g e n e r - a t i o n , t r a n s l a t e - r o t a t e f a n b e a m g e o m e t r y ( c ) T h i r d g e n e r a t i o n , r o t a t e - o n l y g e o m e t r y [ 1 5 1 ] ( d ) F o u r t h g e n e r a t i o n r o t a t e / s t a t i o n a r y f a n b e a m g e o m e t r y ( e ) F i f t h g e n e r a t i o n c o n e b e a m c y l i n d r i c a l g e o m e t r y [ 1 5 2 ] . 9 2 4 0 2 0 4 0 ( d ) ( 6 ) ( f ) F i g u r e 8 . 3 . C T r e c o n s t r u c t i o n r e s u l t s o f c o n v e n t i o n a l m e t h o d s . ( a ) 8 1 x 8 1 M o d i fi e d S h e p p — L o g a n h e a d p h a n t o m i m a g e . ( b ) K a c z m a r z r e c o n s t r u c t i o n a t 6 0 t h i t e r a t i o n . ( c ) K a c z m a r z r e c o n s t r u c t i o n a t 3 0 0 t h i t e r a t i o n . ( d ) F B P w i t h R a m - L a k fi l t e r a n d s p l i n e i n t e r p o l a t i o n . ( e ) F B P w i t h H a m m i n g fi l t e r a n d s p l i n e i n t e r p o l a t i o n . ( f ) F B P w i t h S h e p p — L o g fi l t e r a n d s p l i n e i n t e r p o l a t i o n . 9 3 D e f o r m a b l e M e m b r a n e M i r r o r F i g u r e 8 . 4 . S c h e m a t i c d i a g r a m o f m i r r o r b a s e d X - r a y C T . 8 . 3 M i r r o r b a s e d X - r a y C T 8 . 3 . 1 S y s t e m M o d e l T h e s c h e m a t i c d i a g r a m o f d e f o r m a b l e m i r r o r b a s e d X - r a y C T t e c h n i q u e i s i l l u s t r a t e d i n F i g u r e F i g u r e 8 . 4 . T h e n u m e r i c a l m o d e l f o r t o m o g r a p h i c i m a g i n g c o n s i s t s o f a f a n b e a m X - r a y s o u r c e , d e t e c t o r a r r a y a n d d e f o r m a b l e m i r r o r a r r a n g e d a l o n g a n a n n u l a r r i n g . T h e i m a g e p l a n e c o n t a i n i n g t h e X — r a y s o u r c e , d e t e c t o r s a n d d e f o r m a b l e m i r r o r i s t r a n s v e r s e t o t h e a x i s o f t h e o b j e c t a s s h o w n i n F i g u r e F i g u r e 8 . 4 . D u r i n g d a t a a c q u i s i t i o n , f o r e a c h f a n b e a m s o u r c e p o s i t i o n , X — r a y p r o j e c t i o n s a r e c o l l e c t e d f o r d i f f e r e n t u n i q u e m i r r o r d e f o r m a t i o n s w ( : r , y ) b y a d a p t i v e l y c h a n g i n g t h e a c t u a t o r p o t e n t i a l d i s t r i b u t i o n , V ( : r , y ) . D e p e n d i n g o n t h e m i r r o r d e f o r m a t i o n , t h e i n c i d e n t X - r a y g e t s d i v e r t e d a l o n g a p a t h g o v e r n e d b y t h e B r a g g ’ s l a w o f r e fl e c t i o n [ 1 5 3 ] a n d 9 4 i s m e a s u r e d a t t h e d e t e c t o r a f t e r t r a v e r s i n g t h e o b j e c t u n d e r e x a m i n a t i o n . F r o m t h e k n o w l e d g e o f t h e r e fl e c t i v e c o a t i n g o n t h e d e f o r m a b l e X — r a y m i r r o r , t h e e n e r g y o f t h e r e fl e c t e d X - r a y c a n b e d e t e r m i n e d . U s i n g B r a g g a n g l e o f t h e r e fl e c t i v e c o a t i n g a n d r a y t r a c i n g t e c h n i q u e [ 1 5 4 ] , t h e p a t h t r a v e r s e d b y e a c h X - r a y f r o m t h e s o u r c e t o d e t e c t o r a r r a y v i a t h e o b j e c t i s d e t e r m i n e d . T h e p a t h t r a v e r s e d a n d t h e i n t e n s i t y o f t h e i n d i v i d u a l X — r a y s a t t h e d e t e c t o r a r e u s e d t o o b t a i n t h e X — r a y a t t e n u a t i o n i m a g e o f t h e o b j e c t . T h e p r o j e c t i o n d a t a c o l l e c t e d f o r a l l u n i q u e m i r r o r s h a p e s a i d i n r e c o n s t r u c t i n g t h e 2 D s l i c e o f t h e 3 D o b j e c t u s i n g i t e r a t i v e a l g o r i t h m s . T h e q u a s i - s t a t i o n a r y i m a g i n g s e t u p i n F i g u r e F i g u r e 8 . 4 o f f e r s l i m i t e d fi e l d - o f - v i e w ( L F O V ) o f t h e o b j e c t . A m a j o r c o n c e r n w i t h L F O V i m a g i n g i n c o n t e m p o r a r y C T s y s t e m s i s l i m i t e d a n g l e p r o j e c t i o n d a t a t h a t l e a d s t o p o o r r e s o l u t i o n a n d p a r t i a l i m a g e r e c o n s t r u c t i o n [ 5 6 ] . U n l i k e c o n t e m p o r a r y C T s y s t e m s , i n t h e m i r r o r b a s e d C T s y s t e m , e v e n w i t h L F O V , v o l u m i n o u s p r o j e c t i o n d a t a c a n b e a c q u i r e d u s i n g a m u l t i t u d e o f m i r r o r s h a p e s . F o r u n i q u e a n d i n f o r m a t i o n - r i c h p r o j e c t i o n d a t a , s e v e r a l m i r r o r s h a p e s w i t h s m o o t h s h a p e s t h a t d e fl e c t t h e X - r a y s t o w a r d s t h e o b j e c t w e r e u s e d i n t h e n u m e r i c a l s i m u l a t i o n s . 8 . 3 . 2 K a c z m a r z R e c o n s t r u c t i o n T o m o g r a p h i c i m a g e r e c o n s t r u c t i o n i n v o l v e s t h e e s t i m a t i o n o f t h e u n k n o w n a t t e n u a — t i o n v e c t o r ) I f r o m t h e k n o w n p r o j e c t i o n s g a n d m a p p i n g f u n c t i o n A i n 8 . 4 . S i n c e e a c h X — r a y t r a v e r s e s t h r o u g h f e w p i x e l s i n t h e d i s c r e t i z e d o b j e c t , t h e r e s u l t i n g p r o j e c t i o n m a t r i x , A i s l a r g e a n d s p a r s e . T h e s p a r s i t y o f t h e h u g e p r o j e c t i o n m a t r i x p r o h i b i t s t h e u s e o f c o n v e n t i o n a l m a t r i x t h e o r y m e t h o d s . T h u s , f o r s o l v i n g ( 8 4 ) s e v e r a l i t e r a - t i v e r e c o n s t r u c t i o n t e c h n i q u e s b a s e d o n p r o j e c t i o n m e t h o d s w e r e p r o p o s e d o f w h i c h , t h e a l g o r i t h m p r o p o s e d b y K a c z m a r z [ 1 4 8 ] i s t h e f o r e m o s t . I f a u n i q u e s o l u t i o n e x - i s t e d , t h e i t e r a t i v e m e t h o d p r o p o s e d b y K a c z m a r z w a s p r o v e d t o s o l v e n o n - s i n g u l a r , s i n g u l a r a n d i n c o n s i s t e n t s y s t e m s o f e q u a t i o n s [ 1 5 6 ] . T h e c l a s s i c a l K a c z m a r z a 1 r o r i t h m s t a r t s w i t h a n i n i t i a l e s t i m a t e t e S t a n d r o ' e c t s b t h e e s t i m a t e o n t h e s e t o f N 2 d i m e n s i o n a l h y p e r p l a n e s i n ( 8 . 4 ) t o o b t a i n 9 8 ‘ “ . T h e n o r m a l i z e d p r o j e c t i o n e s t i m a t e f o r t h e i t h r a y i s g i v e n b y t h e e x p r e s s i o n , e s t a i r / ‘ 6 3 , : - . g . " = “ 4 7 7 — “ , Z = 1 , 2 , . . , 6 1 ( 8 . 5 ) a z - a , - h ’ r o w v e c t o r i n t h e p r o j e c t i o n m a t r i x A . T h e w h e r e a , - : ( a i 1 , a i 2 , . . . , a i , v 2 ) i s t h e i t 1 p r o j e c t i o n e r r o r 9 i - — g ? “ f o r ) I E S t i s u s e d t o c o m p u t e t h e c o r r e c t i o n f a c t o r i n t h e u p d a t e e q u a t i o n . T h e c o r r e c t i o n f a c t o r , T e s t — , t 9 i " a . j H I I . “ : — T — ’ — a , ( 8 . 6 ) t h a t y i e l d s t h e n e w e s t i m a t e , e s t e s t e s t # n e w : I ” + 6 , ” ( 8 - 7 ) r e d u c e s t h e e r r o r “ A n g fi t w — 9 ” . I n i t e r a t i v e f o r m , t h e e s t i m a t e a t t h e k t h s u c c e s s i v e p r o j e c t i o n i s g i v e n b y , k i s t h e k t h e s t i m a t e o f t h e s o l u t i o n # 3 0 1 ” . I f # 3 0 ! " e x i s t s a n d i s u n i q u e , a w h e r e ) I s u c c e s s i v e p r o j e c t i o n o f t h e e s t i m a t e ( 8 . 8 ) o n t o t h e h y p e r p l a n e s i n ( 8 . 4 ) w i l l c o n v e r g e t o t h e t r u e s o l u t i o n i n t h e l i m i t [ 1 5 6 ] . I n t h e n e x t s e c t i o n , s i m u l a t i o n s r e s u l t s o b t a i n e d u s i n g t h e K a c z m a r z a l g o r i t h m f o r t h e l i m i t e d - v i e w X — r a y C T t e c h n i q u e i s p r e s e n t e d . 8 . 3 . 3 N u m e r i c a l S i m u l a t i o n s F o r c o m p a r i s o n w i t h c o n v e n t i o n a l C T , t h e c o m m o n l y u s e d S h c p p - L o g a n h e a d p h a n - t o m w a s u s e d i n t h e n u m e r i c a l s i m u l a t i o n s [ 6 6 ] . I n t h e s i m u l a t i o n s , X - r a y s c a t t e r i n g 9 6 4 0 ( C ) F i g u r e 8 . 5 . K a c z m a r z r e c o n s t r u c t i o n r e s u l t s f o r t h e d e f o r m a b l e m i r r o r b a s e d X — r a y C T t e c h n i q u e ( a ) 8 1 x 8 1 M o d i fi e d S h e p p - L o g a n h e a d p h a n t o m i m a g e ( b ) R e c o n s t r u c - t i o n a t 1 0 0 t h i t e r a t i o n ( c ) R e c o n s t r u c t i o n a t 3 0 0 t h i t e r a t i o n . e f f e c t s w e r e n e g l e c t e d a n d o n l y t h e p r i m a r y X - r a y p a t h w a s c o n s i d e r e d f o r p r o j e c t i o n m e a s u r e m e n t . D u e t o l a c k o f i n f o r m a t i o n o n t h e p h y s i c a l p r o p e r t i e s o f t h e X — r a y r e fl e c t i v e c o a t i n g f o r t h e d e f o r m a b l e m i r r o r , S n e l l s l a w o f r e fl e c t i o n w a s u s e d i n s t e a d o f t h e B r a g g s l a w . 8 . 3 . 3 . 1 L F O V M i r r o r C T f o r 1 4 S o u r c e L o c a t i o n s D u r i n g d a t a c o l l e c t i o n , a f a n b e a m X — r a y s o u r c e w i t h 4 5 p e n c i l b e a m s w a s p o s i t i o n e d a t 1 4 l o c a t i o n s a l o n g a n a r c a n d u n i q u e m i r r o r s h a p e s ( fl a t , q u a d r a t i c a n d c u b i c ) w e r e u s e d f o r X — r a y p r o j e c t i o n s . F o r e a c h m i r r o r s h a p e , p r o j e c t i o n m a t r i x A w a s 9 7 a s s e m b l e d a n d u n i q u e s e t o f p r o j e c t i o n d a t a w e r e c o l l e c t e d f o r a l l 1 4 p o s i t i o n s o f t h e f a n b e a m X - r a y s o u r c e a s i l l u s t r a t e d i n F i g u r e F i g u r e 8 . 4 . X - r a y p r o j e c t i o n s a c q u i r e d f o r t h e d e f o r m a b l e m i r r o r C T a r r a n g e m e n t w e r e u s e d t o i t e r a t i v e l y r e c o n s t r u c t t h e X - r a y a t t e n u a t i o n p r o p e r t y o f t h e p h a n t o m u s i n g K a c z m a r z a l g o r i t h m . U s i n g 6 1 m i r r o r s h a p e s , 7 0 3 9 u n i q u e p r o j e c t i o n s w e r e c o l l e c t e d . I n t h e s i m u l a t i o n s , a s i n g l e i t e r a t i o n o f t h e K a c z m a r z a l g o r i t h m c o r r e s p o n d s t o o b t a i n i n g p r o j e c t i o n s o n a l l t h e M p r o j e c t i o n p l a n e s , w h e r e M i s t h e t o t a l n u m b e r o f u n i q u e p r o j e c t i o n s . F i g u r e s F i g u r e 8 . 5 ( b ) - ( c ) s h o w t h e i m a g e r e c o n s t r u c t i o n s o b t a i n e d u s i n g K a c z - m a r z a l g o r i t h m a t 1 0 0 t h a n d 3 0 0 t h i t e r a t i o n . A t t h e 1 0 0 t h i t e r a t i o n , e v e n t h o u g h t h e r e c o n s t r u c t e d i m a g e h a s s p e c k l e n o i s e , a l l t h e e l l i p s e s i n t h e h e a d p h a n t o m a r e s u c c e s s f u l l y r e c o v e r e d . W i t h r e p e a t e d p r o j e c t i o n s , t h e q u a l i t y o f t h e r e c o n s t r u c t e d i m a g e i m p r o v e d w i t h a l m o s t p e r f e c t r e c o n s t r u c t i o n a t t h e 3 0 0 t h i t e r a t i o n . F i g u r e s F i g u r e 8 . 7 ( a ) - ( f ) s h o w i m a g e r e c o n s t r u c t i o n s a n d r e c o n s t r u c t i o n e r r o r s f o r d i f f e r e n t i t e r a t i o n s o f K a c z m a r z a l g o r i t h m . F i g u r e F i g u r e 8 . 6 s h o w s t h e h o r i z o n t a l a n d v e r t i c a l l i n e s c a n s t a k e n a l o n g t h e c e n t e r o f t h e h e a d p h a n t o m a f t e r 1 0 0 t h i t e r a t i o n . A s u c - c e s s i v e p r o j e c t i o n y i e l d e d a s o l u t i o n c l o s e t o t h e t r u e s o l u t i o n f o r t h e o v e r - d e t e r m i n e d c o n s i s t e n t s y s t e m ( M : 7 0 3 9 , N 2 6 5 6 1 ) , a c h a r a c t e r i s t i c o f t h e K a c z m a r z a l g o r i t h m [ 1 4 8 ] . T h e c o n v e r g e n c e o f t h e r e c o n s t r u c t e d C T i m a g e c a n b e a c c e l e r a t e d u s i n g m o d — i fi e d i t e r a t i v e r e c o n s t r u c t i o n a l g o r i t h m s [ 5 6 ] . P r i o r k n o w l e d g e o f t h e n o n - n e g a t i v e p r o p e r t y o f t h e s p a t i a l a t t e n u a t i o n f u n c t i o n ) I ( ; r , y ) a n d t h e b o u n d a r y o f t h e o b j e c t b e i n g i m a g e d w e r e u s e d t o c o n s t r a i n t h e e s t i m a t e d u r i n g e a c h p r o j e c t i o n . T h e c o m - p u t a t i o n t i m e f o r a s i n g l e i t e r a t i o n w a s a p p r o x i m a t e l y 1 . 0 3 s e c o n a s h a r e d S u n F i r e V 8 8 0 s e r v e r w i t h 4 x 7 5 0 M H z U l t r a S P A R C I I I p r o c e s s o r s . 9 8 1 . 5 I I I I I I I I H o r i z o n t a l m i d s c a n - - - O r i g i n a l 1 - - - - - - - R e c o n s t r u c t e d 0 . 5 — - o — I _ o 5 1 l l l I l l L 1 0 2 0 3 0 4 0 5 0 6 0 7 0 8 0 ( a ) 1 . 5 I I I I r l f I V e r t i c a l m i d s c a n - - O r i g i n a l - - - - - - - R e c o n s t m c t e d 0 . 5 - ( b ) F i g u r e 8 . 6 . C e n t r a l t r a n s e c t s o f t h e r e c o n s t r u c t e d p h a n t o m a t 1 0 0 t h i t e r a t i o n o f K a c z m a r z a l g o r i t h m . ( a ) H o r i z o n t a l l i n e s c a n . ( b ) V e r t i c a l l i n e s c a n . 9 9 F i g u r e 8 . 7 . C o n v e r g e n c e o f t h e i t e r a t i v e r e c o n s t r u c t i o n f o r X — r a y m i r r o r C T ( a ) r e c o n s t r u c t i o n a n d ( b ) e r r o r a t 1 0 0 7 5 h i t e r a t i o n ; ( c ) r e c o n s t r u c t i o n a n d ( ( 1 ) e r r o r a t 3 0 0 t h i t e r a t i o n ; ( e ) r e c o n s t r u c t i o n a n d ( f ) e r r o r a t 5 0 0 t h i t e r a t i o n . 1 0 0 8 . 4 D e f o r m a b l e M i r r o r V s C o n v e n t i o n a l C T ‘ 8 . 4 . 1 S y s t e m A d v a n t a g e s I n t h e m i r r o r b a s e d t o m o g r a p h y t e c h n i q u e , t h e d e t e c t o r a r r a y r e m a i n s s t a t i o n a r y w h i l e t h e f a n b e a m s o u r c e i s m o v e d t o a f e w p r e d e t e r m i n e d p o s i t i o n s f o r p r o j e c t i o n m e a s u r e m e n t s . T h e q u a s i - s t a t i c s y s t e m c o n fi g u r a t i o n h a s m i n i m a l a l i g n m e n t a n d p o s i t i o n i n g e r r o r s a s s o c i a t e d w i t h r o t a t i o n o r t r a n s l a t i o n o f t h e s c a n n e r u n l i k e t h e c o n t e m p o r a r y C T s e t u p s s h o w n i n F i g u r e F i g u r e 8 . 2 . E v e n w i t h L F O V , m o r e p r o j e c - t i o n d a t a c a n b e a c q u i r e d b y v a r y i n g t h e m i r r o r d e f o r m a t i o n s . U n l i k e c o n t e m p o r a r y C T s y s t e m s , i m a g e r e c o n s t r u c t i o n i s n o t c o n s t r a i n e d b y t h e n u m b e r o f a v a i l a b l e p r o - j e c t i o n s a s e n o r m o u s a m o u n t o f p r o j e c t i o n d a t a c a n b e m e a s u r e d w i t h a p p r o p r i a t e c h o i c e o f m i r r o r s h a p e s . T h u s , w i t h t h i s s c a n a r r a n g e m e n t g o o d i m a g i n g r e s u l t s c a n b e o b t a i n e d f o r o b j e c t s / s c e n a r i o s t h a t r e s t r i c t f u l l V i e w o r e q u a l d i s t r i b u t i o n o f p r o j e c t i o n a n g l e . T h e L F O V C T s c a n a r r a n g e m e n t p r e c l u d e s t h e n e e d f o r a c l o s e d c h a m b e r a n d h e n c e i s p a t i e n t f r i e n d l y . 8 . 4 . 2 C o m p a r i s o n - C T R e c o n s t r u c t i o n s T o e v a l u a t e t h e p e r f o r m a n c e o f m i r r o r b a s e d s y s t e m w i t h t h a t o f c o n v e n t i o n a l C T , p r o j e c t i o n s w e r e c a l c u l a t e d f o r d i f f e r e n t s c a n c o n fi g u r a t i o n s f o r f a n b e a m X — r a y s o u r c e . P r o j e c t i o n s w e r e c o m p u t e d f o r t h e c o n v e n t i o n a l C T c o n fi g u r a t i o n i n F i g u r e F i g u r e 8 . 2 ( c ) f o r s o u r c e p o s i t i o n e d a t t h e s a m e 1 4 p r e d e t e r m i n e d l o c a t i o n s a s u s e d i n t h e d e f o r m a b l e m i r r o r X - r a y C T d i s c u s s e d i n s e c t i o n 8 . 3 . X - r a y p r o j e c t i o n s c o l l e c t e d f o r 1 4 s o u r c e p o s i t i o n s i n t h e a b s e n c e o f d e f o r m a b l e m i r r o r y i e l d s l i m i t e d d a t a f o r i m a g e r e c o n s t r u c t i o n . T h e p r o j e c t i o n d a t a c o m p u t e d w i t h c o n v e n t i o n a l C T f o r 1 4 s o u r c e p o s i t i o n s w a s i n s u f fi c i e n t t o r e c o n s t r u c t , u ( ; l : , y ) a n d h e n c e t h e r e c o n s t r u c t i o n r e s u l t i s n o t p r e s e n t e d h e r e . D u e t o t h e s e n s i t i v i t y o f c o n v e n t i o n a l C T t o l i m i t e d v i e w , s u b s e q u e n t s i m u l a t i o n s w e r e c o n d u c t e d f o r 9 0 0 s c a n c o v e r a g e f o r d i f f e r e n t e q u i — a n g u l a r s p a c i n g b e t w e e n i n d i v i d u a l r o t a t i o n s . 1 0 1 8 . 4 . 2 . 1 L F O V C T w i t h 9 0 ° C o v e r a g e a n d 1 ° S p a c i n g L i m i t e d a n g l e s i m u l a t i o n s w e r e c a r r i e d w i t h c o n v e n t i o n a l X - r a y C T t e c h n i q u e f o r e q u a l l y d i s t r i b u t e d p r o j e c t i o n a n g l e s w i t h i n [ 4 5 ° , 1 3 5 ° ] i n t e r v a l f o r X — r a y s o u r c e w i t h 1 1 7 p e n c i l b e a m s f o r t h e C T c o n fi g u r a t i o n i n F i g u r e F i g u r e 8 . 2 ( a ) . F i g u r e s F i g u r e 8 . 8 ( b ) - ( c ) s h o w r e c o n s t r u c t i o n r e s u l t s o b t a i n e d u s i n g K a c z m a r z a l g o r i t h m a t 6 0 t h a n d 2 5 0 t h i t e r a t i o n s . A s e x p e c t e d , i t e r a t i v e m e t h o d r e s u l t s f o r l i m i t e d - v i e w X - r a y C T a r e a c c e p t a b l e s i n c e t h e i t e r a t i v e m e t h o d d o e s n o t r e q u i r e f u l l v i e w p r o j e c t i o n s f o r r e c o n s t r u c t i o n [ 5 6 ] , [ 6 9 ] . F i g u r e s F i g u r e 8 . 8 ( d ) — ( f ) s h o w t h e r e c o n s t r u c t i o n r e s u l t s o f t h e F B P a l g o r i t h m f o r R a m - L a k , H a m m i n g a n d S h e p p — L o g a n fi l t e r s w i t h s p l i n e i n t e r p o l a t i o n . A s F B P i n v o l v e s b a c k p r o j e c t i n g t h e fi l t e r e d p r o j e c t i o n s c o l l e c t e d a t e q u a l l y d i s t r i b u t e d a n g l e s o v e r 1 8 0 ° o r 3 6 0 ° i n t o i m a g e s p a c e , t h e r e c o n s t r u c t i o n s s u f f e r s e v e r e l y f o r l i m i t e d - v i e w p r o j e c t i o n s a n d l a c k t h e a c c u r a c y r e q u i r e d i n m e d i c a l a p p l i c a t i o n s . D u r i n g d a t a a c q u i s i t i o n w i t h c o n v e n t i o n a l X - r a y C T , p r o j e c t i o n s w e r e m e a s u r e d w i t h 1 ° r o t a t i o n a l s e p a r a t i o n f o r 9 1 s o u r c e - d e t e c t o r p o s i t i o n s . I n c o n t r a s t , i n t h e m i r r o r b a s e d C T s y s t e m , p r o j e c t i o n s w e r e c o l l e c t e d o n l y f o r 1 4 p r e d e t e r m i n e d s o u r c e l o c a t i o n s o f t h e f a n b e a m X — r a y . I n t h e l i m i t e d v i e w a n d fi x e d d e t e c t o r s c a n c o n fi g u r a t i o n , t h e d e f o r m a b l e m i r r o r e n a b l e d a c q u i s i t i o n o f m u l t i - v i e w d a t a f o r r e l i - a b l e i m a g e r e c o n s t r u c t i o n . 8 . 4 . 2 . 2 L F O V C T w i t h 9 0 ° C o v e r a g e a n d 6 ° S p a c i n g N e x t , s i m u l a t i o n s w i t h c o n v e n t i o n a l . C T s h o w n i n F i g u r e F i g u r e 8 . 2 ( a ) w e r e c o n - d u c t e d f o r 1 5 e q u i - s p a c e d p r o j e c t i o n a n g l e s w i t h i n t h e 9 0 ° s c a n c o v e r a g e ; s i m i l a r t o t h e s c a n n i n g c o n fi g u r a t i o n i n m i r r o r b a s e d C T . F i g u r e F i g u r e 8 . 9 ( b ) s h o w s t h e r e c o n s t r u c t e d i m a g e a t 2 0 0 t h i t e r a t i o n o b t a i n e d u s i n g K a c z m a r z a l g o r i t h m . T h e r e — c o n s t r u c t i o n r e s u l t i s a p p a r e n t l y p o o r a n d d i d n o t i m p r o v e w i t h i t e r a t i o n s . E v e n t h o u g h t h e s c a n c o n fi g u r a t i o n w a s a l m o s t t h e s a m e , w i t h t h e m i r r o r b a s e d a p p r o a c h m o r e p r o j e c t i o n s w e r e e a s i l y o b t a i n e d u s i n g a w i s e c h o i c e o f m i r r o r s h a p e s . T h e m i r r o r 1 0 2 “ ' 3 1 . " ? ' 2 1 E . 2 0 4 0 2 O 4 O 6 0 4 0 ( d ) ( e ) ( f ) 2 0 F i g u r e 8 . 8 . L F O V r e c o n s t r u c t i o n r e s u l t s o f c o n v e n t i o n a l m e t h o d s . ( a ) 8 1 x 8 1 M o d i fi e d S h e p p — L o g a n h e a d p h a n t o m i m a g e ( b ) K a c z m a r z r e c o n s t r u c t i o n a t 6 0 t h i t e r a t i o n ( c ) K a c z m a r z r e c o n s t r u c t i o n a t 2 5 0 t h i t e r a t i o n ( d ) F B P w i t h R a m - L a k fi l t e r a n d s p l i n e i n t e r p o l a t i o n ( e ) F B P w i t h H a m m i n g fi l t e r a n d s p l i n e i n t e r p o l a t i o n ( f ) F B P w i t h S h e p p - L o g fi l t e r a n d s p l i n e i n t e r p o l a t i o n . 1 0 3 F i g u r e 8 . 9 . K a c z m a r z r e c o n s t r u c t i o n f o r c o n v e n t i o n a l C T w i t h L F O V s c a n c o n fi g u — r a t i o n s i m i l a r t o t h e M M D M b a s e d C T t e c h n i q u e . ( a ) 8 1 x 8 1 M o d i fi e d S h e p p - L o g a n h e a d p h a n t o m i m a g e . ( b ) K a c z m a r z r e c o n s t r u c t i o n a t 2 0 0 t h i t e r a t i o n f o r p a r a l l e l b e a m X - r a y s o u r c e . c o m p e n s a t e d t h e l i m i t e d s o u r c e m o v e m e n t a n d y i e l d e d s u p e r i o r i m a g e r e c o n s t r u c t i o n . T h e d e t a i l e d c o m p a r i s o n o f t h e s i m u l a t i o n r e s u l t s o b t a i n e d f o r t h e c o n v e n t i o n a l a n d m i r r o r b a s e d C T s y s t e m s r e v e a l t h e a d v a n t a g e s o f t h e d e f o r m a b l e m i r r o r b a s e d C T t e c h n i q u e f o r n o n i n v a s i v e i m a g i n g . A q u a n t i t a t i v e c o m p a r i s o n o f i m a g e r e c o n s t r u c t i o n s f o r t h e S h e p p — L o g a n h e a d p h a n t o m o b t a i n e d w i t h c o n v e n t i o n a l X — r a y C T f o r f u l l a n d l i m i t e d v i e w s c a n c o n fi g - u r a t i o n s a r e t a b u l a t e d i n T a b l e T a b l e 8 . 1 . I r r e s p e c t i v e o f t h e r e c o n s t r u c t i o n m e t h o d , t h e e r r o r i n r e c o n s t r u c t i o n i s h i g h e r f o r l i m i t e d - v i e w C T . P a r t i c u l a r l y , t h e e r r o r i s h i g h e r f o r F B P m e t h o d t h a n t h a t f o r i t e r a t i v e i m a g e r e c o n s t r u c t i o n . T a b l e T a b l e 8 . 2 l i s t s t h e r e c o n s t r u c t i o n e r r o r o b t a i n e d w i t h m i r r o r b a s e d C T a t d i f f e r e n t i t e r a t i o n s . A s e x p e c t e d , t h e e r r o r d e c r e a s e s w i t h i n c r e a s e i n i t e r a t i o n a n d i s s i g n i fi c a n t l y b e t t e r t h a n t h e r e c o n s t r u c t i o n e r r o r s o b t a i n e d w i t h c o n v e n t i o n a l C T l i s t e d i n T a b l e T a b l e 8 . 1 . I m a g e r e c o n s t r u c t i o n s i n t h e n u m e r i c a l s i m u l a t i o n s d e m o n s t r a t e t h e a d v a n t a g e s o f t h e p r o p o s e d d e f o r m a b l e m i r r o r C T c o m p a r e d t o c o n v e n t i o n a l C T . T h e p r o o f o f c o n c e p t s i m u l a t i o n s o f t h e d e f o r m a b l e m i r r o r C T i n t h e X - r a y r e g i m e g i v e s t h e i m p e - 1 0 4 g e m - f e r r i c ] A ( . . . . D A I T a b l e 8 . 1 . S u m m a r y o f t h e r e c o n s t r u c t i o n e r r o r f o r c o n v e n t i o n a l X - r a y C T w i t h 1 ° r o t a t i o n a l s p a c i n g . C T V i e w K a c z m a r z K a c z m a r z S h e p p — L o g a n R a m - L a k H a m m i n g 1 0 0 t h i t e r a t i o n 3 0 0 t h i t e r a t i o n F u l l 0 . 5 0 8 7 0 . 1 9 4 9 4 . 0 2 5 7 4 . 1 0 6 6 4 . 0 5 1 7 L i m i t e d 0 . 6 5 0 3 0 . 4 1 8 4 9 . 1 5 2 7 1 9 . 2 3 5 0 1 8 . 8 2 4 0 T a b l e 8 . 2 . I m a g e r e c o n s t r u c t i o n e r r o r o f K a c z m a r z a l g o r i t h m f o r X - r a y M i r r o r C T . C T 1 0 0 t h 3 0 0 “ 5 0 0 t h 1 0 0 0 M i t e r a t i o n i t e r a t i o n i t e r a t i o n i t e r a t i o n M i r r o r C T 0 2 0 9 0 0 . 0 2 8 7 0 . 0 0 6 0 0 . 0 0 0 2 t u s t o i n v e s t i g a t e t h e f e a s i b i l i t y o f t h e p r o p o s e d t o m o g r a p h y s y s t e m i n t h e m i c r o w a v e r e g i m e . I n t h e n e x t s e c t i o n , f e a s i b i l i t y o f e x t e n d i n g t h e i m a g i n g s e t u p f o r c a n c e r t h e r a p y i s s t u d i e d v i a n u m e r i c a l s i m u l a t i o n s u s i n g X - r a y s . 8 . 5 M i r r o r b a s e d R a d i a t i o n T h e r a p y B e s i d e s C T i m a g i n g , t h e d e f o r m a b l e m i r r o r s y s t e m c o n fi g u r a t i o n c o u l d a l s o b e u s e d f o r r a d i a t i o n t h e r a p y . T h e f e a s i b i l i t y o f s y s t e m c o n fi g u r a t i o n f o r r a d i a t i o n t h e r a p y i s e v a l u a t e d u s i n g t h e m o d i fi e d S h e p p — L o g a n h e a d p h a n t o m . U s i n g t h e r e c o n s t r u c t e d C T i m a g e a n d a p r o p e r c h o i c e o f m i r r o r d e f o r m a t i o n , t h e t u m o r c a n b e e f f e c t i v e l y d e s t r o y e d b y d e l i v e r i n g f o c u s e d h i g h e n e r g y X - r a y r a d i a t i o n a t t h e t u m o r s i t e w i t h m i n i m a l d a m a g e t o t h e s u r r o u n d i n g n o r m a l t i s s u e . 8 . 5 . 1 F o c u s i n g f o r T h e r a p y F i g u r e F i g u r e 8 . 1 0 s h o w s t h e s c h e m a t i c d i a g r a m o f a d a p t i v e m i r r o r C T s y s t e m f o r c a n c e r r a d i a t i o n t h e r a p y . I n F i g u r e F i g u r e 8 . 1 0 , t h e h i g h e n e r g y X - r a y s o u r c e a n d d e f o r m a b l e X - r a y m i r r o r a r e p o s i t i o n e d i n R o w l a n d c i r c l e g e o m e t r y f o r r a d i a t i o n 1 0 5 ' b 1 ’ ‘ I ‘ . ' 0 3 ‘ 2 ’ ‘ I \ , 1 I 0 I I ' I ' I ‘ I ‘ ’ ‘ f . l D e f o r m a b l e M i r r o r F i g u r e 8 . 1 0 . R o w l a n d c i r c l e g e o m e t r y f o r l o c a l i z e d r a d i a t i o n t h e r a p y . t h e r a p y . I n t h e R o w l a n d c i r c l e g e o m e t r y , e a c h p e n c i l b e a m X - r a y p h o t o n s e m a n a t i n g f r o m t h e s o u r c e i m p i n g e s o n t h e m i r r o r a t t h e s a m e a n g l e a n d i s f o c u s e d b a c k t o a n i m a g e p o i n t . o f t h e p o i n t s o u r c e l o c a t e d o n t h e s a m e c i r c l e . I n t h e r a p y s e t u p s h o w n i n F i g u r e F i g u r e 8 . 1 0 , t h e s o u r c e a n d d e f o r m a b l e X - r a y m i r r o r l i e o n a c i r c l e w i t h d i a m e t e r e q u a l t o t h e r a d i u s o f c u r v a t u r e o f t h e X - r a y m i r r o r . D u r i n g t h e r a p y , t h e o b j e c t i s i m m o b i l i z e d a n d r e m a i n s i n t h e s a m e p o s i t i o n a s i t w a s d u r i n g i m a g i n g . U s i n g t h e r e c o n s t r u c t e d C T i m a g e , t h e s o u r c e , d e t e c t o r a n d m i r r o r p o s i t i o n s a r e a l i g n e d t o l i e o n a n a p p r o p r i a t e R o w l a n d c i r c l e a n d b y a p p l y i n g a s u i t a b l e p o t e n t i a l d i s t r i b u t i o n , a p a r a b o l i c m i r r o r d e f l e c t i o n w ( ; 1 7 , y ) w i t h r a d i u s o f c u r v a t u r e e q u a l t o t h e d i a m e t e r o f t h e R o w l a n d c i r c l e i s a c h i e v e d . W i t h t h e s o u r c e a n d m i r r o r a l i g n e d a t B r a g g a n g l e , t h e i n c i d e n t X - r a y p h o t o n s a r e r e f l e c t e d a n d e f f e c t i v e l y f o c u s e d a t t h e t u m o r s i t e w i t h m i n i m a l c o l l a t e r a l d a m a g e t o a d j a c e n t h e a l t h y t i s s u e . 1 0 6 g u d 1 - - - a " P h a n t o m E m s : v l l l l J l - O . 4 - 0 . 3 - 0 . 2 - O . ] 0 0 . ] 0 . 2 0 . 3 0 . 4 F i g u r e 8 . 1 1 . A d a p t i v e f o c u s i n g o f h i g h e n e r g y X — r a y p h o t o n s f o r r a d i a t i o n t h e r a p y u s i n g d e f o r m a b l e X — r a y m i r r o r . 1 0 7 i 8 . 5 . 2 N u m e r i c a l S i m u l a t i o n s T h e X - r a y r e f l e c t i v e m i r r o r d e v i c e i n t h e R o w l a n d c i r c l e c o n fi g u r a t i o n a c t s a s a d e - f o r m a b l e l e n s a n d s t e e r s t h e h i g h e n e r g y X - r a y s p h o t o n s t o f o c u s t o t h e d e s i r e d d e p t h a n d l o c a t i o n a n d s e l e c t i v e l y k i l l t h e m a l i g n a n t t i s s u e . T h e X - r a y b e a m f o c u s e d i n s i d e t h e h e a d p h a n t o m i n F i g u r e F i g u r e 8 . 1 1 d e m o n s t r a t e s t h e t h e r a p e u t i c c a p a b i l i t y o f t h e p r o p o s e d r a d i a t i o n t h e r a p y t e c h n i q u e . T h e p r o o f o f c o n c e p t s i m u l a t i o n u s i n g s i m p l e r a y t h e o r y i n d i c a t e t h e p o t e n t i a l a d v a n t a g e o f t h e p r o p o s e d d e f o r m a b l e m i r r o r t o m o g r a p h y f o r n o n i n v a s i v e i m a g i n g a n d c a n c e r t h e r a p y . I n t h e p r o p o s e d s y s t e m , r a d i a t i o n t h e r a p y c a n b e p e r f o r m e d u s i n g t h e s a m e s e t u p w i t h o u t t h e p a t i e n t l e a v i n g t h e t a b l e a n d h e n c e w i t h o u t t h e n e e d f o r a n y r e — c a l i b r a t i o n . T h i s i m a g i n g c u m t h e r — a p y s y s t e m a l s o m i n i m i z e s o r g a n m o t i o n o f b o t h n o r m a l a n d t u m o r t i s s u e s c a u s e d b y p a t i e n t m o b i l i z a t i o n f r o m i m a g i n g t o r a d i a t i o n t h e r a p y f a c i l i t y . 8 . 6 I m p l e m e n t a t i o n I s s u e s X - r a y r e fl e c t i n g m i r r o r s u s i n g l a y e r s o f h i g h a t o m i c e l e m e n t s w e r e a t t e m p t e d a s e a r l y a s 1 9 3 5 [ 1 5 7 ] . I n 1 9 7 0 3 h i g h - r e fl e c t i v e m u l t i - l a y e r e d m i r r o r w a s s u c c e s s f u l l y d e s i g n e d u s i n g a l t e r n a t e l a y e r s o f a b s o r b i n g a n d n o n - a b s o r b i n g e l e m e n t s [ 1 5 8 ] . W i t h a d v a n c e i n m i c r o — l i t h o g r a p h y , m u l t i - l a y e r e d m i r r o r s w e r e d e s i g n e d f o r X - r a y s f o r a p p l i c a t i o n s o v e r a w i d e e n e r g y r a n g e 8 1 8 0 k e V [ 1 5 9 ] — [ 1 6 1 ] . T h o u g h t h e d e f o r m a b l e m i r r o r X - r a y C T s y s t e m i n t h e s i m u l a t i o n a s s u m e d a d e f o r m a b l e X - r a y m i r r o r c a p a b l e o f r e fl e c t i n g X - r a y s i n c i d e n t a t a l l a n g l e s o f i n c i d e n c e , i n p r a c t i c e X - r a y m i r r o r s e x i s t s o n l y f o r g r a z i n g a n g l e o f i n c i d e n c e . I n t h e p r o o f o f c o n c e p t m o d e l , s c a t t e r i n g a n d d i f f r a c t i o n e f f e c t s w e r e i g n o r e d f o r s i m p l i c i t y . A l s o , t h e s i m u l a t i o n s w e r e c a r r i e d o u t f o r S n e l l ’ s l a w o f r e fl e c t i o n i n s t e a d o f t h e B r a g g ’ s l a w d u e t o t h e a b s e n c e o f m u l t i - l a y e r e d X - r a y s m i r r o r f o r w i d e a n g l e s o f i n c i d e n c e . T h e o u t c o m e o f t h e p r o o f o f c o n c e p t X — r a y s i m u l a t i o n s f o r t h e m i r r o r b a s e d t o m o g r a p h y c u m t h e r a p y s e t u p a p p e a r p r o m i s i n g . T h e s i m u l a t e d C T r e c o n s t r u c t i o n s a r e c o m p a r a b l e t o t h e f u l l V i e w c l a s s i c a l X - r a y C T 1 0 8 1 7 ' fl o a t ” ? m m w r e c o n s t r u c t i o n s a n d a r e s u p e r i o r t h o s e o b t a i n e d w i t h l i m i t e d — v i e w C T . 8 . 7 C o n c l u s i o n s N u m e r i c a l s i m u l a t i o n s i n t h e X - r a y r e g i m e s i m p l i fi e s w a v e p r o p a g a t i o n t o a s i m p l e s t r a i g h t r a y m o d e l w i t h o u t s c a t t e r r i n g a n d d i f f r a c t i o n e f f e c t s . T h e o u t c o m e o f t h e n u - m e r i c a l s i m u l a t i o n s f o r t h e d e f o r m a b l e m i r r o r t o m o g r a p h y i n X — r a y r e g i m e a s s u m i n g t h e e x i s t e n c e o f m u l t i - l a y e r X — r a y m i r r o r a p p e a r p r o m i s i n g . T h e s i m u l a t i o n s r e s u l t s o f t h e p r o p o s e d C T a r e c o m p a r a b l e w i t h f u l l - v i e w c o n v e n t i o n a l C T . I n t h e l i m i t e d - v i e w n u m e r i c a l s i m u l a t i o n s , t h e p r o p o s e d C T t e c h n i q u e o u t p e r f o r m s c o n v e n t i o n a l C T a n d y i e l d s g o o d r e c o n s t r u c t i o n s . T h e i m a g i n g s e t u p a l s o s e r v e s a s a h i g h e n e r g y r a d i a t i o n t h e r a p y d e v i c e w h i c h , c a n b e u s e d t o s e l e c t i v e l y k i l l t h e t u m o r b y f o c u s i n g t h e h i g h e n e r g y r a d i a t i o n s a t t h e t u m o r s i t e s p a r i n g t h e n e i g h b o r i n g b e n i g n t i s s u e . I m a g e r e c o n s t r u c t i o n o b t a i n e d f o r d e f o r m a b l e m i r r o r X — r a y C T p a v e s t h e w a y f o r f u r t h e r i n v e s t i g a t i o n o f t h e p r o p o s e d t o m o g r a p h y s y s t e m i n t h e m i c r o w a v e r e g i m e . 1 0 9 C H A P T E R 9 O P T I M A L M I R R O R D E F O R M A T I O N S F O R M I C R O W A V E T O M O G R A P H Y I n t r o d u c t i o n F o r a n y t o m o g r a p h y s y s t e m , i t i s e s s e n t i a l t o u s e u n i q u e n ' i e a s u r e m e n t s f o r r e l i a b l e r e c o n s t r u c t i o n . I n t h e d e f o r m a b l e m i r r o r b a s e d t o m o g r a p h y t e c h n i q u e p r o p o s e d i n t h i s t h e s i s , t h e f l e x i b l e m i r r o r e n s u r e s u n i q u e a n d i n f o r m a t i o n r i c h m e a s u r e m e n t s f o r b r e a s t i m a g i n g . T h u s , i t i s p a r a m o u n t t o d e t e r m i n e t h e o p t i m a l m i r r o r d e f o r m a t i o n s f o r t o m o g r a p h y . T h e s t r a t e g i e s f o l l o w e d t o o b t a i n t h e o p t i m a l s e t o f m i r r o r d e f o r - m a t i o n s f o r p e r m i t t i v i t y i n v e r s i o n a r e d i s c u s s e d i n d e t a i l i n t h i s c h a p t e r . T h e d e s i g n a n d f u n c t i o n a l i t y o f t h e p r o p o s e d d e f o r m a b l e m i r r o r t c n n o g r a p h y s e t u p i s p r e s e n t e d i n s e c t i o n 9 . 1 . T h e c h o i c e o f t h e o p e r a t i n g f r e q u e n c y f o r b r e a s t i m a g i n g i s d i s c u s s e d i n s e c t i o n 9 . 2 . T h e n e e d f o r o p t i m a l m i r r o r d e f o r m a t i o n s a n d t h e m a t h e m a t i c a l f o r m u l a - t i o n f o r fi e l d e q u a t i o n s a r e p r e s e n t e d i n s e c t i o n 9 . 3 . T h e s e l e c t i o n o f u s e f u l a n d L u i i q u e m i r r o r d e f o r m a t i o n s f o r t o m o g r a p h y a r e e x p l a i n e d i n s e c t i o n s 9 . 4 a n d 9 . 5 r e s p e c t i v e l y . S e c t i o n 9 . 6 d i s c u s s e d t h e r e a l i z a t i o n o f t h e m i r r o r d e f o r m a t i o n s d u r i n g d a t a a c q u i s i - t i o n . T h e f e a s i b i l i t y o f t h e p r o c e d u r e s d e s c r i b e d i n t h i s c h a p t e r a r e e v a l u a t e d v i a 2 D c o m p u t a t i o n a l m o d e l . T h e s t e p b y s t e p p r o c e d u r e f o l l o w e d t o d e t e r m i n e t h e o p t i m a l m i r r o r s h a p e s f o r m u l t i - v i e w f i e l d m e a s u r e m e n t s a r e s u m m a r i z e d i n s e c t i o n 9 . 7 . 9 . 1 D e f o r m a b l e M i r r o r T o m o g r a p h y S e t u p T h e p r o p o s e d m i c r o w a v e t o m o g r a p h y t e c h n i q u e f o r b r e a s t i m a g i n g e m p l o y s a c o n - t i n u o u s l y d e f o r m a b l e m i r r o r w i t h a m e t a l l i c c o a t i n g a s s h o w n i n F i g u r e F i g u r e 9 . 1 . T h e i m a g i n g s e t u p c o n s i s t s o f a fi x e d e l e c t r o m a g n e t i c s o u r c e i l l u m i n a t i n g t h e m e m - b r a n e d e f o r m a b l e m i r r o r a n d a c i r c u l a r a r r a y o f r e c e i v e r s s u r r o u n d i n g t h e b r e a s t 1 1 0 A ~ D e f o r m a b l e M i r r o r B — E M s o u r c e C — I m a g i n g T a n k D — R e c e i v e r s F i g u r e 9 . 1 . S c h e m a t i c d i a g r a m o f d e f o r m a b l e m i r r o r m i c r o w a v e t o m o g r a p h y s e t u p . [ 1 6 6 ] . D u r i n g d a t a a c q u i s i t i o n , t h e fi e l d e m a n a t i n g f r o m a n e l e c t r o m a g n e t i c s o u r c e w h i c h i s i n c i d e n t o n t h e d e f o r m a b l e m i r r o r i s r e d i r e c t e d t o w a r d s t h e i m a g i n g r e g i o n c o n t a i n i n g b r e a s t f o r m u l t i - v i e w fi e l d m e a s u r e m e n t s . B y c o n t i n u o u s l y d e f o r m i n g t h e m i r r o r s h a p e , t h e s e c o n d a r y fi e l d i n c i d e n t o n t h e b r e a s t i s s t e e r e d f o r m u l t i - v i e w fi e l d m e a s u r e m e n t s . T h e m e a s u r e m e n t s o b t a i n e d f o r e a c h m i r r o r s h a p e a r e u s e d i n t h e p e r - m i t t i v i t y i n v e r s i o n a l g o r i t h m . U n l i k e c o n v e n t i o n a l t o m o g r a p h y s y s t e m , a m u l t i t u d e o f m e a s u r e m e n t s c a n b e a c q u i r e d b y c h a n g i n g t h e m i r r o r d e f o r m a t i o n W i t h o u t t h e n e e d t o i n c r e a s e t h e n u m b e r o f t r a n s c e i v e r a n t e n n a s . T h e m i r r o r s e t u p w i t h a s i n g l e t r a n s m i t t e r f a r a w a y f r o m t h e r e c e i v e r s e l i m i n a t e s t h e n e e d f o r a n t e n n a c o m p e n s a t i o n a l g o r i t h m s t o m i n i m i z e c r o s s t a l k b e t w e e n t h e a c t i v e a n d t h e n e i g h b o r i n g i n — a c t i v e a n t e n n a s . 9 . 2 F r e q u e n c y S e l e c t i o n F o r B r e a s t I m a g i n g I n i n v e r s e s c a t t e r i n g a p p l i c a t i o n s , i t i s o f p a r a m o u n t i m p o r t a n c e t o d e t e r m i n e t h e o p t i m a l f r e q u e n c y r a n g e . T h e f r e q u e n c y o f o p e r a t i o n i s o f t e n d e t e r m i n e d b a s e d o n t h e a v e r a g e p h y s i c a l d i m e n s i o n o f t h e s c a t t e r e r w h i c h i n t h i s c a s e i s t h e a v e r a g e d i m e n s i o n o f t h e c o r o n a l s l i c e o f m a t u r e f e m a l e b r e a s t . T h e d i e l e c t r i c p r o p e r t y o f t h e 1 1 1 4 " " A x F r e e S p a c e B r e a s t T i s s u e E 0 e — j k y [ H . 1 8 0 ) # O ’ a : 0 8 , , u o , 0 ' > 0 F i g u r e 9 . 2 . P l a n a r B r e a s t T i s s u e M o d e l . b r e a s t t i s s u e a t m i c r o w a v e f r e q u e n c i e s i s a l s o o n e o f t h e k e y f a c t o r s t h a t d e t e r m i n e s t h e o p e r a t i n g f r e q u e n c y . T h e f a c t o r s t h a t w e r e c o n s i d e r e d t o d e t e r m i n e t h e m i c r o w a v e f r e q u e n c y r a n g e f o r b r e a s t t o m o g r a p h y i s d i s c u s s e d i n t h i s s e c t i o n . 9 . 2 . 1 P l a n e W a v e P e n e t r a t i o n I n s i d e B r e a s t T i s s u e T h e p e n e t r a t i o n d e p t h o f m i c r o w a v e s i n s i d e t h e b r e a s t l i m i t s t h e u s e f u l f r e q u e n c i e s f o r t o m o g r a p h y . A n e s t i m a t e o f t h e o p e r a t i n g f r e q u e n c y i s d e t e r m i n e d w i t h t h e a i d o f t h e t i s s u e d i e l e c t r i c p r o p e r t i e s i n t h e E M s p e c t r u m [ 4 7 ] . T h e p e n e t r a t i o n d e p t h o f a p l a n e w a v e i n s i d e t h e b e n i g n a n d m a l i g n a n t b r e a s t t i s s u e s w a s c a l c u l a t e d o v e r 5 0 M H z - 1 0 G H z u s i n g t h e e x p e r i m e n t a l d i e l e c t r i c p r o p e r t y r e p o r t e d b y J o i n e s e t a l [ 4 7 ] a n d t h e fi r s t o r d e r D e b y e d i s p e r s i o n m o d e l i n [ 1 6 3 ] . C o n s i d e r a p l a n e w a v e o f t h e 1 1 2 f o r m , _ k , . 0 2 . ' 0 ' ] : 1 5 3 0 1 7 2 3 1 7 8 ! ) : E 0 6 J ( : r c o s + y s m ) = E O e _ j k y , ( s c i : — g ] ( 9 . 1 ) i n c i d e n t n o r m a l l y o n a p l a n a r b r e a s t m o d e l a s s h o w n i n F i g u r e F i g u r e 9 . 2 . T h e p l a n e w a v e i n s i d e t h e l o s s y b r e a s t g i v e n b y ( 9 . 1 ) c a n b e r e w r i t t e n a s , E z ( ; z r , y , w ) : E m a — ( t h ) : [ 3 0 6 — a y e _ j 7 y , ( a > 0 , 7 > 0 ) ( 9 . 2 ) I n ( 9 . 2 ) , a a n d 7 a r e t h e a t t e n u a t i o n a n d p r o p a g a t i o n c o n s t a n t s o f t h e p l a n e w a v e i n s i d e t h e b r e a s t . S u b s t i t u t i n g 1 : : w \ / ; z . 0 ( 6 ’ — j e ” ) i n t o ( 9 . 2 ) , y i e l d s t h e a t t e n u a t i o n a n d p r o p a g a t i o n c o n s t a n t s [ ‘ 2 7 ] , l ‘ 2 7 % I I a : a ; # 7 6 ] ( % — ) + 1 ] ( 9 . 3 a ) 1 n e ’ 6 ” 2 2 I n ( 9 . 3 a ) - ( 9 . 3 1 ) ) , w : 2 7 r f , i i : 1 1 0 , 6 , : € 0 € r ( $ , y ) a n d E ” 2 O h m . T h e fi e l d w t o l l — A ( Q t y — t s t r e n g t h i n s i d e t h e b r e a s t t i s s u e i s g i v e n b y t h e e q u a t i o n , E z ( ; z : , y , w ) ] : E O E — 0 y ( 9 . 4 ) T h e d i s t a n c e a t w h i c h t h e fi e l d s t r e n g t h [ E z ( ; r ; , y , w ) | d r o p s t o 6 3 — 1 t i m e s t h e i n i t i a l v a l u e [ E 3 ( 1 : , y = 0 , w ) ] i s d e f i n e d a s t h e s k i n d e p t h o f t h e i n c i d e n t t i m e h a r m o n i c E M 1 1 3 w a v e . T h e s k i n d e p t h d i s t a n c e , 5 = ( 9 . 5 ) 1 a w a s c a l c u l a t e d f o r t h e b e n i g n a n d m a l i g n a n t b r e a s t t i s s u e s o v e r 5 0 M H z - 1 0 G H z . E x p e r i m e n t a l d a t a r e p o r t e d i n [ 4 7 ] w a s u s e d f o r 5 3 0 - 9 0 0 M 1 1 2 f r e q u e n c y r a n g e a n d t h e fi r s t o r d e r D e b y e d i s p e r s i o n m o d e l [ 1 6 3 ] , 6 3 — f o o . ' : — — 9 . 6 6 ( a ) ) 6 0 0 + 1 + i j ( ) w a s u s e d f o r f r e q u e n c i e s i n 1 - 1 0 G H Z r a n g e . I n ( 9 . 6 ) , t h e D e b y e p a r a m e t e r s ( 6 0 0 = 7 , e s : 1 5 . 0 : 0 . 1 5 S m _ 1 ) a n d ( £ 0 0 : 5 0 , 6 3 2 4 , 0 : 0 . 7 S m ‘ 1 ) w e r e u s e d f o r b e n i g n a n d m a l i g n a n t b r e a s t t i s s u e s r e s p e c t i v e l y w i t h 7 ' : 6 . 4 1 : 1 0 — 1 2 1 3 3 . F i g u r e F i g u r e 9 . 3 s h o w s t h e s k i n d e p t h c a l c u l a t e d f o r t h e b e n i g n a n d m a l i g n a n t b r e a s t t i s s u e s . I n F i g u r e F i g u r e 9 . 3 , i t c a n b e o b s e r v e d t h a t t h e s i g n a l a t t e n u a t i o n i s s i g n i fi c a n t l y h i g h e r a t f r e q u e n c i e s a b o v e 1 0 0 0 M H Z . 9 . 2 . 2 E x c i t a t i o n F r e q u e n c y I n t h e m i d f r e q u e n c y r a i ‘ i g e o f 5 0 — 9 0 0 M H Z , t h e d i e l e c t r i c s p e c t r u m o f b r e a s t t i s s u e s i n F i g u r e F i g u r e 3 . 1 s h o w s a l m o s t a f l a t r e s p o n s e f o r b o t h m a l i g n a n t a n d b e n i g n b r e a s t t i s s u e s a n d a v e r y n o n l i n e a r b e h a v i o r a b o v e 1 G H z . D u e t o t h e s i g n i fi c a n t l y l a r g e i n c r e a s e i n t i s s u e c o n d u c t i v i t y a b o v e 1 G H z t h e p e n e t r a t i o n d e p t h d e t e r i o r a t e s d r a s t i - c a l l y i n t h e h i g h e r e n d o f f r e q u e n c y s p e c t r u m a s s e e n i n F i g u r e F i g u r e 9 . 3 . A s s u m i n g t h e a v e r a g e c o r o n a l s e c t i o n o f b r e a s t t o v a r y b e t w e e n 9 - 1 2 c m i n d i a m e t e r , t h e o p e r - a t i n g f r e q u e n c y i s c h o s e n s o t h a t ) ‘ b r e a s t 2 a f o r r e l i a b l e p e r m i t t i v i t y r e c o n s t r u c t i o n . C o n s i d e r i n g t h e d e p t h o f p e n e t r a t i o n a n d a v e r a g e t i s s u e d i e l e c t r i c c o n s t a n t a v a i l a b l e i n l i t e r a t u r e , t h e o p e r a t i n g f r e q u e n c y r a n g e f o r b r e a s t i m a g i n g w a s c h o s e n t o v a r y b e t w e e n 7 0 0 - 9 0 0 M H z . , 1 1 4 0 3 _ — e - B e n i g n [ 4 6 ] _ ' - e - M a l i g n a n t [ 4 6 ] “ x x — B e n i g n [ 1 6 0 ] 0 . 2 5 - \ n - - - M a l i g n a n t [ 1 6 0 ] - 9 0 . 2 - o ' * " é : 4 " ’ 0 . 1 - 0 . 0 5 - 0 — r 1 1 1 1 l 1 0 F R E Q U E N C Y ( H z ) F i g u r e 9 . 3 . S k i n d e p t h o f n o r m a l l y i n c i d e n t p l a n e w a v e i n s i d e b r e a s t t i s s u e 9 . 3 N e e d f o r O p t i m a l M i r r o r D e f o r m a t i o n s l \ ~ ' I i c r o w a v e t o m o g r a p h y f o r p e r m i t t i v i t y r e c o n s t r u c t i o n i s a c l a s s i c a l i n v e r s e m e d i u m p r o b l e m s t u d i e d b y s e v e r a l i n v e s t i g a t o r s . l \ * I i c r o w a v e i n v e r s e s c a t t e r i n g p r o b l e m s a r e i l l - p o s e d a n d o f t e n y i e l d u n s t a b l e a n d n o n - p h y s i c a l s o l u t i o n s [ 7 6 , 1 6 2 ] . I n o r d e r t o o b t a i n u n i q u e a n d s t a b l e s o l u t i o n t o i n v e r s e s c a t t e r i n g p r o b l e m , d i v e r s e fi e l d m e a s u r e - m e n t s f r o m i n fi n i t e l y m a n y a n g l e s a n d m u l t i p l e f r e q u e n c y m e a s u r e m e n t s a r e r e q u i r e d [ 7 5 , 7 4 ] . T h e d e f o r m a b l e m i r r o r t o m o g r a p h y t e c h n i q u e p r o p o s e d i n t h i s d i s s e r t a t i o n e m p l o y s a s i n g l e fi x e d E M s o u r c e w h i c h e s s e n t i a l l y l i m i t s t h e fi e l d o f v i e w . T h u s , i t i s e s s e n t i a l t o e n s u r e t h a t o p t i m a l m i r r o r d e f o r m a t i o n s a r e c h o s e n t o s t e e r t h e i n c i d e n t fi e l d f o r i n f o r m a t i o n r i c h u n i q u e fi e l d m e a s u r e m e n t s f o r s t a b l e p e r m i t t i v i t y i n v e r s i o n . T h i s c h a p t e r p r e s e n t s t h e u n d e r l y i n g m a t h e m a t i c a l t h e o r y , c o m p u t a t i o n a l m o d e l a n d n u m e r i c a l t e c h n i q u e s t h a t y i e l d o p t i m a l m i r r o r d e f o r m a t i o n s f o r b r e a s t i m a g i n g . I n t w o d i m e n s i o n s , t h e o b j e c t i v e i s t o fi n d u s e f u l m i r r o r s h a p e s s u c h t h a t , f ( . 7 : , y ) e 7 2 2 ( 9 . 7 a ) f e 0 2 ( 9 . 7 b ) D f e ( : 2 ( 9 . 7 c ) T h e c o n t i n u i t y a n d d i f f e r e n t i a b i l i t y c o n s t r a i n t s i n ( 9 . 7 ) e n s u r e s m o o t h m i r r o r s h a p e s w i t h o u t a n y u n d e s i r e d s c a t t e r i n g f r o m s h a r p c o r n e r s [ 1 6 7 , 1 6 8 ] . 9 . 3 . 1 B e z i e r C u r v e R e p r e s e n t a t i o n T h e r e a r e n u m e r o u s t e c h n i q u e s t o d e fi n e c u r v e d o b j e c t s w i t h s m o o t h s u r f a c e [ 1 6 4 , 1 6 5 ] . T h e B e z i e r p a r a m e t r i c c u r v e w i d e l y u s e d i n t y p e s e t t i n g a n d c o m p u t e r g r a p h i c s i n d u s t r y t o r e p r e s e n t s m o o t h t w o d i m e n s i o n a l c u r v e s i s a d a p t e d t o d e fi n e t h e s u r f a c e o f t h e d e f o r m a b l e m i r r o r . T h e B e z i e r p a r a m e t r i c c u r v e f u n c t i o n d e fi n e d b y a s e t o f c o n t r o l p o i n t s i s o b t a i n e d b y fi t t i n g a c u r v e i n s i d e t h e B e z i e r p o l y g o n w i t h t h e 1 1 6 c o n t r o l p o i n t s a s v e r t i c e s . T h e g e n e r a l i z e d B e z i e r o r B e z i e r - B e r n s t e i n p a r a m e t r i c c u r v e f u n c t i o n w i t h N + 1 c o n t r o l p o i n t s i s e x p r e s s e d a s [ 1 6 5 ] N f ( u ) = Z 1 ) , , k a ( u ) ( 9 . 8 ) j = 0 w h e r e b k , N a r e t h e B e r n s t e i n b a s i s p o l y n o m i a l s , p k a r e t h e N + 1 c o n t r o l p o i n t s o f t h e N t h o r d e r B e z i e r c u r v e a n d u E [ 0 , 1 ] . T h e B e r n s t e i n b a s i s p o l y n o m i a l s g i v e n b y , N k a ( I L ) I u k k ( 1 — u ) N _ k ( 9 . 9 ) b l e n d s t h e c o n t r o l p o i n t s t o f o r m t h e B e z i e r c u r v e a s i l l u s t r a t e d i n F i g u r e F i g u r e 9 . 4 . T h e B e z i e r c u r v e a l w a y s p a s s e s t h r o u g h t h e fi r s t a n d l a s t c o n t r o l p o i n t s a l s o k n o w n a s t h e a n c h o r p o i n t s a n d l i e s w i t h i n t h e c o n v e x h u l l o f t h e c o n t r o l p o i n t s . T h e b l e n d i n g f u n c t i o n i n ( 9 . 9 ) i s a p o l y n o m i a l o f d e g r e e o n e l e s s t h a n t h e n u m b e r o f c o n t r o l p o i n t s . B e z i e r c u r v e s h a v e w i d e a p p l i c a t i o n s a s t h e y a r e v e r y s t a b l e a n d a r e e a s y t o c o m p u t e . S m o o t h m i r r o r s h a p e s w e r e c o n s t r u c t e d u s i n g c u b i c B e z i e r c u r v e s i n s i d e t h e r e g i o n o f i n t e r e s t t h a t c o n t a i n s t h e d e f o r m a b l e m i r r o r a s s e m b l y . T o m i n i m i z e s c a t t e r i n g f r o m s h a r p e n d p o i n t s , m i r r o r s u r f a c e w i t h a r o u n d e d c o r n e r s w e r e m o d e l e d b y j o i n i n g l o w e r o r d e r B e z i e r c u r v e s . F i g u r e F i g u r e 9 . 5 s h o w s a n e x a m p l e o f a h i g h e r o r d e r m i r r o r s u r f a c e c o n s t r u c t e d u s i n g t w o l o w e r o r d e r B e z i e r c u r v e s , f 1 ( u ) a n d f 2 ( u ) . T h e b a s i c s e t o f m i r r o r s h a p e s c o n s t r u c t e d u s i n g c u b i c B e z i e r c u r v e s w e r e u s e d t o g e n e r a t e a m u l t i t u d e o f s m o o t h s h a p e s b y s l i d i n g t h e c o n t r o l p o i n t s b e t w e e n t h e a n c h o r p o i n t s a n d b y r o t a t i n g t h e B e z i e r c u r v e a b o u t a p i v o t p o i n t . A l l m i r r o r s h a p e s t h u s g e n e r a t e d c o u l d b e u s e d t o s t e e r t h e i n c i d e n t fi e l d f o r m u l t i - v i e w f i e l d m e a s u r e m e n t s f r o m t h e b r e a s t . E x a m p l e s o f d i f f e r e n t m i r r o r s h a p e s g e n e r a t e d u s i n g B e z i e r p o l y n o m i a l s f o r m i c r o w a v e t o m o g r a p h y a r e s h o w n i n F i g u r e F i g u r e 9 . 6 . 1 1 7 ) m ( y F i g u r e 9 . 4 . B e z i e r c u r v e e x a m p l e . 0 . 0 5 - P 1 , . - 0 . 0 5 r - 0 . 1 5 - 0 3 5 1 1 . ‘ . x ( i n ) F i g u r e 9 . 5 . R e p r e s e n t a t i o n o f h i g h e r o r d e r c u r v e u s i n g t w o l o w e r o r d e r B e z i e r c u r v e s . 1 1 8 ) ' > m < ( Y 0 1 s p o 1 1 o P 0 . 0 5 0 ' : 2 ° 1 A 0 1 3 A - o . 0 5 » é o 5 s s i > ~ 0 2 o - o . 1 5 . 0 . 3 - 0 . 2 5 - o . 4 s . . . . . 3 . ' 0 3 ‘ 0 0 . 1 0 . 2 0 . 3 0 . 4 0 0 1 0 . 2 0 3 0 4 0 5 x ( m ) x ( m ) ( a ) ( b ) F i g u r e 9 . 6 . B e z i e r c u r v e e x a m p l e s ( a ) M i r r o r s h a p e s g e n e r a t e d b y s l i d i n g c o n t r o l p o i n t s , 1 2 % a n d p 1 2 ( b ) M i r r o r s h a p e s g e n e r a t e d b y s i m p l e r o t a t i o n . 0 . , = 2 : S H A D O W F m Q 3 : R O I ’ - 0 2 - 0 . 1 0 0 . 1 0 . 2 0 . 3 0 . 4 M W F i g u r e 9 . 7 . T w o d i m e n s i o n a l c o m p u t a t i o n a l m o d e l f o r d e f o r m a b l e m i r r o r t o m o g r a p h y . 1 1 9 9 . 3 . 2 T M ; S c a t t e r i n g f r o m M i r r o r O f t h e m u l t i t u d e o f p o s s i b l e s m o o t h m i r r o r s h a p e s , a p r e d e t e r m i n e d s e t o f c u r v e f u n c t i o n s a r e s e l e c t e d f o r b r e a s t i m a g i n g t h a t m e e t t h e o p t i m a l i t y c o n d i t i o n s n a m e l y , 1 . M a x i m u m e n e r g y c o u p l i n g t o w a r d s s c a t t e r e r w i t h 2 . M i n i m u m e n e r g y l e a k a g e d u e t o c r e e p i n g w a v e s . H e n c e , a l l fi e l d s i m u l a t i o n s f o r t h i s s t u d y a r e c a r r i e d o u t i n t h e a b s e n c e o f b r e a s t . T h e c o m p u t a t i o n a l g e o m e t r y f o r t h e t w o - d i m e n s i o n a l c a s e i s s h o w n i n F i g u r e F i g u r e 9 . 7 . I n F i g u r e F i g u r e 9 . 7 , t h e t h i n m e m b r a n e m i r r o r i s m o d e l e d a s a p e r f e c t l y c o n - d u c t i n g s m o o t h t h i n s t r i p d e fi n e d b y t h e c o n t o u r I ‘ A I a n d t h e d i r e c t i o n a l E M s o u r c e i s a p p r o x i m a t e d b y a l i n e c u r r e n t s o u r c e 1 0 w i t h a m e t a l b a c k i n g d e fi n e d b y F p t o d i r e c t t h e e m a n a t i n g E M fi e l d t o w a r d s t h e f l e x i b l e m i r r o r w i t h t h i n m e t a l l i c c o a t i n g . A s s u m i n g T M z p o l a r i z a t i o n , t h e t o t a l fi e l d E z ( ; r , y ) m a i n t a i n e d b y t h e m i r r o r , t h e s o u r c e m e t a l b a c k i n g a n d t h e i m p r e s s e d l i n e c u r r e n t i n s i d e { 2 3 i n t h e a b s e n c e o f t h e b r e a s t i s g i v e n b y t h e i n t e g r a l e q u a t i o n , 2 E ( ; r , y , w ) : — i j z A ( r ) / . 1 - 2 E ( ; r , y , w ) = — 2 7 f J M ( : I : ' , 2 ’ , w ) H ( ( ) 2 ) ( ; r , y , k b ; : z t ’ , y ’ ) d : r ’ d y ’ F M — 2 % J p ( ; r ’ , y ’ , w ) H ( ( ) 2 ) ( . r , y , k b ; 5 8 ’ , y ’ ) d ; z r ’ d y ’ ( 9 . 1 0 ) P P 2 [ 0 H 8 ) ( k b t r — 4 1 7 3 : ? J - y s l l A w ‘ fl z — 4 w h e r e ( 1 7 3 , 9 3 ) i s t h e l o c a t i o n o f t h e l i n e c u r r e n t s o u r c e a n d k b i s t h e w a v e n u m b e r o f t h e b a c k g r o u n d m e d i u m . E q u a t i o n ( 9 . 1 0 ) , f o l l o w s f r o m t h e s u r f a c e e q u i v a l e n c e t h e o r e m a n d t h e E F I E d e r i v e d i n s e c t i o n s 4 . 5 . 5 a n d 5 . 2 r e s p e c t i v e l y . T h e u n k n o w n i n d u c e d c u r r e n t d e n s i t i e s J m a n d J p a r e o b t a i n e d b y s o l v i n g ( 9 . 1 0 ) w i t h t h e b o u n d a r y 1 2 0 ( b ) ( C ) F i g u r e 9 . 8 . F i e l d p a t t e r n , 2 - § ( ; L ‘ , y , z ; t = 0 ) m a i n t a i n e d b y d i f f e r e n t m i r r o r s h a p e s i n 9 3 . c o n d i t i o n s , E z ( : 1 : , y , w ) = 0 , ( x , y ) E I ‘ p , I ‘ M ( 9 . 1 1 ) u s i n g m e t h o d o f m o m e n t s [ 5 1 , 5 2 ] . W i t h t h e k n o w l e d g e o f i n d u c e d c u r r e n t d e n s i t i e s , t h e t o t a l fi e l d m a i n t a i n e d b y t h e m i r r o r m o d e l i n s i d e 0 3 t h a t d e fi n e s t h e i m a g i n g r e g i o n i s o b t a i n e d u s i n g ( 9 . 1 0 ) . I n t h e 2 D m o d e l i l l u s t r a t e d i n F i g u r e F i g u r e 9 . 7 , t h e l o c a t i o n o f n e a r fi e l d i m a g i n g r e g i o n I 2 3 i s c h o s e n s u c h t h a t t h e d i r e c t i n t e r a c t i o n b e t w e e n t h e s o u r c e a n d b r e a s t i s m i n i m i z e d a n d t h a t s p u r i o u s s c a t t e r i n g f r o m t h e m i r r o r c o r n e r s a r e a t t e n u a t e d b e f o r e t h e y r e a c h t h e b r e a s t . I n t h e s i m u l a t i o n s , t h e o p t i m a l l o c a t i o n o f t h e b r e a s t i n s i d e 0 3 w a s f o u n d t o b e a p p r o x i m a t e l y 2 A c o u p l a n t a w a y f r o m t h e n e a r e s t e d g e o f t h e d e f o r m a b l e m i r r o r . 9 . 3 . 3 E — fi e l d I n s i d e I m a g i n g R e g i o n F o r e a c h m i r r o r d e f o r m a t i o n f ( u ) , i n d u c e d c u r r e n t d e n s i t i e s c o m p u t e d u s i n g ( 9 . 1 0 ) - ( 9 . 1 1 ) w e r e u s e d t o d e t e r m i n e t h e t o t a l fi e l d E z ( ; r , y , w ) i n 9 1 , $ 2 2 a n d 9 3 s h o w n i n F i g u r e F i g u r e 9 . 7 . O f t h e m u l t i t u d e m i r r o r s h a p e s t h a t s a t i s fi e d ( 9 . 7 ) a n d t h e c o n - d i t i o n s i n s e c t i o n 9 . 3 . 2 , i t w a s o b s e r v e d t h a t fi e l d s g e n e r a t e d b y m a n y m i r r o r s h a p e s 1 2 1 y i e l d s i m i l a r fi e l d p a t t e r n s i n s i d e t h e i m a g i n g r e g i o n ( 2 3 . S u c h m i r r o r d e f o r m a t i o n s y i e l d r e d u n d a n t i n f o r m a t i o n i n fi e l d m e a s u r e m e n t s . F i g u r e F i g u r e 9 . 8 s h o w s t h e z - c o m p o n e n t o f t h e i n s t a n t a n e o u s fi e l d i n s i d e $ 2 3 f o r u n i q u e m i r r o r d e f o r m a t i o n s . T h e fi e l d p a t t e r n s i n F i g u r e F i g u r e 9 . 8 i l l u s t r a t e t h e a b i l i t y o f t h e m e m b r a n e m i r r o r t o m a i n t a i n d i f f e r e n t a n g l e s o f i n c i d e n c e i n ( 2 3 f o r m u l t i - v i e w fi e l d m e a s u r e m e n t s f r o m t h e b r e a s t . 9 . 4 A d m i s s i b l e M i r r o r D e f o r m a t i o n s F o r t o m o g r a p h y , r e d u n d a n c y i n t h e fi e l d m e a s u r e m e n t s h a s t o b e e l i m i n a t e d f o r s t a b l e r e c o n s t r u c t i o n o f s p a t i a l p e r m i t t i v i t y d i s t r i b u t i o n o f t h e b r e a s t . T h u s , i t i s e s s e n t i a l t o e l i m i n a t e m i r r o r d e f o r m a t i o n s t h a t y i e l d s i m i l a r fi e l d m e a s u r e m e n t s . I n a d d i t i o n t o t h e e l i m i n a t i o n o f r e d u n d a n t m i r r o r s h a p e s , d e f o r m a t i o n s t h a t d o n o t d i r e c t t h e E M w a v e s t o w a r d s t h e b r e a s t s h o u l d a l s o b e d i s r e g a r d e d . S t r a t e g i e s f o l l o w e d t o i d e n t i f y a d m i s s i b l e m i r r o r s h a p e s a r e d i s c u s s e d i n t h i s s e c t i o n . 9 . 4 . 1 S e l e c t i o n C r i t e r i a O f t h e m u l t i t u d e m i r r o r d e f o r m a t i o n s , t h e s u r f a c e s F M t h a t y i e l d u s e f u l m e a s u r e - m e n t s o f t h e b r e a s t s h o u l d b e i d e n t i fi e d . A s u b s e t o f t h e m i r r o r d e f o r m a t i o n s , { F A 4 } £ _ 1 g e n e r a t e d u s i n g ( 9 . 8 ) , t h a t s a t i s f y t h e c r i t e r i a , 3 m y m a r E ? ( 1 3 . 3 / M ) s h a d o w P M E ? ( ; z : , y , w ) ( 9 . 1 2 ) a l o n e a r e r e t a i n e d f o r fi e l d m e a s u r e m e n t s . I n ( 9 . 1 2 ) , Q S h a ‘ d o w : 9 1 U 9 2 d e fi n e s t h e s h a d o w r e g i o n , E 9 1 ( 1 : , y , w ) i s t h e t o t a l fi e l d i n s i d e t h e d o m a i n o f i n t e r e s t t h a t c o r r e — s p o n d s t o t h e l o c a t i o n o f t h e b r e a s t d u r i n g d a t a a c q u i s i t i o n a n d E g S h a d o w w , y , w ) i s t h e t o t a l fi e l d i n t h e s h a d o w r e g i o n s i n F i g u r e F i g u r e 9 . 7 . T h e c r i t e r i o n ( 9 . 1 2 ) , a s s u r e s t h a t m o s t o f t h e E M fi e l d r e f l e c t e d b y t h e d e f o r m a b l e m i r r o r i s s t e e r e d t o w a r d s t h e r fl [ ‘ 7 v 4 " l l i . ‘ . 1 e ' I ' . i l . . I . fi ‘ ! - t [ l I f I 7 " 1 . . . l [ I L . . . l ' l L F i g u r e 9 . 9 . A - ; : . ' , ° 0 ) m a i n t a i n e d b y d e f o r m a t i o n s f ( u ) t h a t s a t i s f y ( 9 . 7 ) , ( 9 . 1 2 ) . b r e a s t w i t h m i n i m a l a m o u n t o f fi e l d l e a k i n g i n t o t h e s h a d o w r e g i o n s a n d e l s e w h e r e i n s i d e t h e i m a g i n g t a n k . F i g u r e F i g u r e 9 . 9 s h o w s t h e fi e l d p a t t e r n p r o d u c e d b y a s u b s e t o f t h e u s e f u l m i r r o r d e f o r m a t i o n s t h a t s a t i s f y ( 9 . 7 ) a n d ( 9 . 1 2 ) . A t o t a l o f 1 3 3 d e f o r m a t i o n s t h a t s a t i s fi e d ( 9 . 7 ) a n d ( 9 . 1 2 ) w e r e i d e n t i fi e d a s u s e f u l s h a p e s f o r b r e a s t i m a g i n g . 9 . 5 R e d u n d a n c y E l i m i n a t i o n T h e c r i t e r i o n , ( 9 . 1 2 ) g u a r a n t e e s t h a t t h e m i r r o r s u r f a c e s { F M l i n l y i e l d u s e f u l fi e l d m e a s u r e m e n t s w i t h t h e b r e a s t p o s i t i o n e d i n s i d e Q 3 . H o w e v e r , t h e fi e l d m a i n t a i n e d b y u s e f u l m i r r o r s c o u l d y i e l d s i m i l a r fi e l d p a t t e r n i n t h e d o m a i n o f i n t e r e s t r e s u l t i n g i n r e d u n d a n t fi e l d m e a s u r e m e n t s . T h e r e d u n d a n c y i n t h e m e a s u r e m e n t s i s m i n i m i z e d b y a p p l y i n g p a t t e r n c l a s s i fi c a t i o n t o o l s s u c h a s f e a t u r e e x t r a c t i o n a n d c l a s s i fi c a t i o n t o t h e t o t a l fi e l d , P 3 9 3 0 1 3 y . w ) m a i n t a i n e d b y t h e m i r r o r d e f o r m a t i o n s t h a t s a t i s f y ( 9 . 1 2 ) . P d d l i j f f j j : : : 0 } , , { ( d x J { r 1 d . " — - z . . ] d — — i z a Z — a — j } ) — — m m . Z 1 5 ‘ ; - a n d d i i j j : : , E — — E ' z f m . ] g _ m a r l E g . [ ( Z n 1 / 7 ’ . g E g n l p ) ( ( 9 9 . . 1 1 3 3 a b ( 9 - 1 3 C ) ) ) 9 . 5 . 1 F e a t u r e E x t r a c t i o n T o e l i m i n a t e r e d u n d a n c y i n fi e l d m e a s u r e m e n t s , a f e a t u r e s e t i s c o m p u t e d f o r t h e fi e l d m a i n t a i n e d b y e a c h u s e f u l m i r r o r s h a p e i n t h e a b s e n c e o f t h e b r e a s t i n s i d e 9 3 . B e s i d e s d i m e n s i o n a l i t y r e d u c t i o n , t h e o b j e c t i v e o f f e a t u r e e x t r a c t i o n i s t o i d e n t i f y a t t r i b u t e s o f t h e t o t a l fi e l d , E ¥ 3 ( a r , y , 0 ) ) t h a t c a r r y d i s c r i m i n a t o r y i n f o r m a t i o n . T h e f e a t u r e s e x t r a c t e d f r o m fi e l d s d u e t o i n d i v i d u a l m i r r o r d e f o r m a t i o n s a i d i n e x c l u d i n g t h e r e d u n d a n t m i r r o r d e f o r m a t i o n s . F e a t u r e s s u c h a s , 1 . C o r r e l a t i o n c o e f fi c i e n t p 2 . C h e b y c h e v d i s t a n c e ( 1 6 ( 1 7 , y ) a n d 3 . P o w e r d i s t a n c e d p ( ; 1 : , y ) 3 . . . w e r e c a l c u l a t e d f o r E ? ( . 7 3 , y , w ) m a i n t a i n e d b y t h e i n d 1 v 1 d u a l m i r r o r s h a p e s . T h e f e a t u r e s c o m p u t e d f o r t h e p h a s o r fi e l d E g ( ; r , y , w ) f o r t h e 2 3 t h m i r r o r s h a p e i n s i d e 9 3 a r e g i v e n b y t h e e q u a t i o n s [ 1 6 9 ] , I n ( 9 . 1 3 a ) - ( 9 . 1 3 c ) , p a n d r a r e n o n - n e g a t i v e i n t e g e r s , 0 % , , i s t h e s t a n d a r d d e v i a t i o n o f p h a s o r fi e l d f o r t h e 7 1 t h m i r r o r s h a p e a n d E } ; i s a c o m p l e x v e c t o r c o n t a i n i n g t h e t o t a l fi e l d i n s i d e t h e d o m a i n o f i n t e r e s t , Q 3 . M i r r o r s t h a t y i e l d s i m i l a r fi e l d p a t t e r n h a v e p i j c l o s e t o u n i t y a n d d i s t a n c e m e t r i c s ( 1 % } a n d d ? j c l o s e t o z e r o . D u r i n g r e d u n d a n c y 1 2 4 e l i m i n a t i o n , f e a t u r e s w e r e c a l c u l a t e d f o r t h e r e a l , i m a g i n a r y a n d c o m p l e x q u a n t i t i e s o f E z ( ; 1 : , 3 1 , 0 2 ) p r o d u c e d b y a l l a d m i s s i b l e m i r r o r d e f o r m a t i o n s . C o r r e l a t i o n C o e f fi c i e n t I n c o m p u t i n g t h e c o r r e l a t i o n c o e f f i c i e n t , t h e r e a l a n d i m a g i n a r y p a r t s o f t h e p h a s o r 3 . . . . fi e l d E ] ? w e r e c o n c a t e n a t e d i n t o a s m g l e v e c t o r . T h e c o r r e l a t i o n c o e f f i c r e n t d e fi n e d i n ( 9 . 1 3 a ) , i s a s y m m e t r i c o p e r a t i o n i . e . , [ o z - j : P j ' i - F i g u r e F i g u r e 9 . 1 0 s h o w s t h e s y m m e t r i c c o r r e l a t i o n m a t r i x c o m p u t e d f o r t h e 1 3 3 m i r r o r d e f o r m a t i o n s . I n F i g u r e h r o w i n F i g u r e 9 . 1 0 , e a c h m i r r o r s h a p e h a s a r o w w i t h 1 3 3 c o l u m n e n t r i e s . T h e i t t h e f e a t u r e m a t r i x c o n t a i n s t h e c o r r e l a t i o n b e t w e e n E ; a n d t h e fi e l d m a i n t a i n e d b y t h e r e m a i n i n g 1 3 2 m i r r o r s h a p e s . A n e n t r y i n t h e i t h r o w w i t h p i j — + 1 i m p l y t h a t m i r r o r s 2 ' a n d j y i e l d r e d u n d a n t fi e l d p a t t e r n s . E n t r i e s w i t h P i j — » — 1 i m p l y m i r r o r s 2 ' a n d j y i e l d n e g a t i v e l y c o r r e l a t e d fi e l d p a t t e r n s , i . e . , t h e d e f o r m a t i o n s m a i n t a i n s c o m p l e m e n t a r y fi e l d p a t t e r n s . C o r r e l a t i o n m a t r i x e n t r i e s i n w h i c h , P - z i j z : 0 i n d i c a t e t h a t t h e i t h a n d j t h ' m i r r o r d e f o r m a t i o n s a r e i n d e p e n d e n t . T h u s , t h e c o r r e l a t i o n m a t r i x c a n b e u s e d t o e l i m i n a t e r e d u n d a n t m i r r o r d e f o r m a t i o n s . D i s t a n c e M e t r i c s D i s t a n c e m e t r i c s s u c h a s E u c l i d e a n , c i t y - b l o c k , p o w e r a n d C h e b y c h e v a r e w i d e l y u s e d i n c o m p u t e r v i s i o n a n d a r t i fi c i a l i n t e l l i g e n c e f o r n e i g h b o r h o o d m e a s u r e s [ 1 6 9 ] . O f t h e s e d i s t a n c e m e t r i c s , t h e C h e b y c h e v a n d p o w e r d i s t a n c e c o m p u t e d f o r t h e t o t a l fi e l d E ? y i e l d e d g o o d d i s c r i m i n a t i o n b e t w e e n fi e l d s d u e t o d i f f e r e n t m i r r o r s u r f a c e s , I ‘ M . U n l i k e t h e E u c l i d e a n d i s t a n c e , C h e b y c h e v d i s t a n c e i n ( 9 . 1 3 b ) r e t a i n s o n l y t h e m a x i m u m d i s t a n c e b e t w e e n t w o fi e l d p a t t e r n s a l o n g a n y o n e d i m e n s i o n o f t h e t o t a l fi e l d . T h e d i s t a n c e m e a s u r e i n ( 9 . 1 3 b ) c a n b e u s e d t o i d e n t i f y m i r r o r s h a p e s t h a t p r o d u c e d i s s i m i l a r fi e l d s . F i g u r e F i g u r e 9 . 1 1 s h o w s t h e n o r m a l i z e d C h e b y c h e v d i s - t a n c e m a t r i x o f t h e c o m p l e x fi e l d f o r t h e 1 3 3 m i r r o r s h a p e s . I n F i g u r e F i g u r e 9 . 1 1 , t h e i t h r o w i n t h e C h e b y c h e v d i s t a n c e m a t r i x w i t h d ? — + 0 i n d i c a t e t h a t t h e i t h 1 2 5 2 0 0 6 0 8 0 1 0 0 1 2 0 2 0 4 0 6 0 8 0 1 0 0 1 2 0 ( a ) ( b ) F i g u r e 9 . 1 1 . N o r m a l i z e d C h e b y c h e v d i s t a n c e m e t r i c s f o r ( a ) § R e { E z } ( b ) 8 m { E 2 } 1 2 6 2 0 4 0 6 0 8 0 1 0 0 1 2 0 2 0 4 0 6 0 8 0 1 0 0 1 2 0 ( a ) ( b ) p = 2 , r = 4 2 0 4 0 6 0 8 0 1 0 0 1 2 0 ( C ) F i g u r e 9 . 1 2 . N o r m a l i z e d p o w e r d i s t a n c e o f E » , f o r ( a ) p = 2 , 7 ‘ = 7 ( b ) p = 3 , 7 ‘ = 7 ( c ) p = 2 , r = 4 a n d ( d ) p = 3 , 7 ‘ = 4 o f t h e u s e f u l m i r r o r d e f o r m a t i o n s . a n d j t h m i r r o r d e f o r m a t i o n s y i e l d r e d u n d a n t fi e l d m e a s u r e m e n t s . M a t r i x e n t r i e s i n F i g u r e F i g u r e 9 . 1 1 w i t h d ? - — > 1 i n d i c a t e m i r r o r d e f o r m a t i o n s w i t h d i s s i m i l a r fi e l d . P o w e r d i s t a n c e m e t r i c i s o f t e n u s e d t o v a r y t h e p r o g r e s s i v e w e i g h t p l a c e d o n t h e f e a - t u r e d i m e n s i o n s o n w h i c h t w o o b j e c t s o r p a t t e r n s v a r y . T h e p r o g r e s s i v e w e i g h t i n g i s a c h i e v e d i n ( 9 . 1 3 c ) u s i n g t h e n o n - n e g a t i v e p a r a m e t e r s 1 ‘ a n d p . T h e p a r a m e t e r 1 ) d e t e r m i n e s t h e w e i g h t f o r t h e d i f f e r e n c e s o n i n d i v i d u a l d i m e n s i o n s w h i l e t h e p a r a m e - t e r 7 ' d e t e r m i n e s t h e w e i g h t p l a c e d o n l a r g e r d i f f e r e n c e s b e t w e e n o b j e c t s o r p a t t e r n s . W h e n 1 ) a n d 1 " e q u a l s 2 , ( 9 . 1 3 0 ) r e d u c e s t o t h e E u c l i d e a n d i s t a n c e m e a s u r e . F i g u r e 1 2 7 p 1 . 1 = 1 . 0 0 0 0 p 1 3 : 0 . 9 5 3 0 p 1 1 7 : - 0 . 9 6 3 4 p 1 5 4 = 0 . 6 1 4 4 d i n : 0 . 0 0 0 0 d i , = 0 . 2 3 0 4 d i n : 0 . 9 3 1 6 ( 1 1 5 , : 0 . 7 0 9 4 P P _ P _ P d 1 . 1 : 0 . 0 0 0 0 0 1 , , - 0 . 4 6 0 6 d m 7 — 0 . 9 4 4 1 a m : 0 . 8 6 2 4 ( g ) ( d ) ( f ) ( b ) F i g u r e 9 . 1 3 . F i e l d p a t t e r n a n d f e a t u r e s c o m p u t e d f o r M i r r o r d e f o r m a t i o n s 1 , 3 , 1 7 a n d 5 4 ( a ) i I t e ( E z ) a n d ( b ) 8 m ( E z ) f o r M i r r o r 1 , ( c ) * R e ( E Z ) a n d ( d ) S ‘ m ( E z ) f o r M i r r o r 3 ( e ) i l i : c ( E ; ) a n d 8 m ( E z ) f o r M i r r o r 1 7 , ( g ) i R c ( E z ) a n d % m ( E z ) f o r M i r r o r 5 4 ( p : 2 a n d r = 7 i n 9 . 1 3 c ) . F i g u r e 9 . 1 2 s h o w s t h e n o r m a l i z e d p o w e r d i s t a n c e m a t r i x c o m p u t e d f o r t h e c o m p l e x t i m e h a r m o n i c fi e l d d u e t o m i r r o r d e f o r m a t i o n s , { F M b ] ; 1 f o r d i f f e r e n t v a l u e s o f p a n d 1 ' . F i g u r e F i g u r e 9 . 1 2 c l e a r l y e l u c i d a t e s t h e a d v a n t a g e o f p o w e r d i s t a n c e f o r e l i m i - n a t i n g r e d u n d a n t m i r r o r s h a p e s . F i g u r e F i g u r e 9 . 1 3 s h o w s a n e x a m p l e o f t h e r e a l a n d i m a g i n a r y p a r t s o f E z ( : 1 3 , y , w ) d u e t o f o u r r a n d o m l y p i c k e d m i r r o r d e f o r m a t i o n s a n d t h e i r f e a t u r e v a l u e s . T h e c o r r e l a t i o n c o e f f i c i e n t a n d d i s t a n c e m e t r i c s c o m p u t e d b e - t w e e n E ; a n d E ‘ Z , j : - 3 , 1 7 , 5 4 i n d i c a t e t h a t m i r r o r d e f o r m a t i o n s l a n d 3 y i e l d s i m i l a r fi e l d a n d h e n c e w i l l r e s u l t i n v e r y s i m i l a r fi e l d m e a s u r e m e n t s . A v i s u a l c o m p a r i s o n o f t h e fi e l d s i n F i g u r e F i g u r e 9 . 1 3 c o n fi r m s t h e p r e d i c t i o n o f t h e f e a t u r e s s e l e c t e d f o r r e d u n d a n c y e l i m i n a t i o n . T h i s d e m o n s t r a t e s t h a t t h e c o r r e l a t i o n c o e f fi c i e n t a n d 1 2 8 s e u l a v e r u t a e F A A c t u a l f e a t u r e v a l u e s 1 - 2 0 E n h a n c e d f e a t u r e v a l u e s 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5 F e a t u r e n u m b e r s F i g u r e 9 . 1 4 . F e a t u r e c o n t r a s t e n h a n c e m e n t f o r m i r r o r s a a n d b . d i s t a n c e m e t r i c s c o n t a i n d i s c r i m i n a n t i n f o r m a t i o n a b o u t t h e fi e l d m a i n t a i n e d b y t h e m i r r o r d e f o r m a t i o n s a n d c a n b e u t i l i z e d t o i d e n t i f y r e d u n d a n t m i r r o r s h a p e s . 9 . 5 . 2 C l u s t e r i n g C l u s t e r i n g i s t h e U N - s u p e r v i s e d c l a s s i fi c a t i o n o f o b s e r v a t i o n s o r f e a t u r e v e c t o r s i n t o g r o u p s o r c l u s t e r s [ 1 6 9 ] . T h e g o a l o f c l u s t e r i n g i s t o a u t o m a t i c a l l y i d e n t i f y t h e i n - t r i n s i c s i m i l a r i t y b e t w e e n f e a t u r e v e c t o r s a n d t o g r o u p t h e m i n t o c l u s t e r s . C l u s t e r i n g a l g o r i t h m s c a n b e u s e d t o i d e n t i f y t h e s i m i l a r m i r r o r d e f o r m a t i o n s t h a t y i e l d r e d u n - d a n t fi e l d m e a s u r e m e n t s i n s i d e ( 2 3 . T h e d i s t a n c e a n d c o r r e l a t i o n f e a t u r e s f o r m s t h e o b s e r v a t i o n s f o r t h e c l u s t e r i n g a l g o r i t h m . T h e s i m p l e s t n e a r e s t n e i g h b o r c l u s t e r i n g r o u t i n e i s i m p l e m e n t e d t o i n d e p e n d e n t m i r r o r d e f o r m a t i o n s f o r m u l t i - v i e w fi e l d m e a - s u r e m e n t s . 1 2 9 C o n t r a s t E n h a n c e m e n t P r i o r t o c l u s t e r i n g , f e a t u r e s c o m p u t e d f r o m t h e fi e l d d i s t r i b u t i o n a r e e n h a n c e d t o i m p r o v e t h e p e r f o r m a n c e o f t h e c l u s t e r i n g a l g o r i t h m . I n ( 9 . 1 3 b ) - ( 9 . 1 3 c ) , t h e d i s t a n c e m e t r i c s a r e n o r m a l i z e d b y t h e m a x i m u m d i s t a n c e c o m p u t e d f o r t h e a d m i s s i b l e s e t o f m i r r o r d e f o r m a t i o n s { P M } : 1 . T h u s , t h e d i s t a n c e s a r e s t a n d a r d i z e d w i t h r e s p e c t t o t h e f a r t h e s t fi e l d p a t t e r n s o r t h e m o s t d i s s i m i l a r fi e l d s . T h e f a r t h e s t f e a t u r e v e c t o r b e h a v e s l i k e a n o u t l i e r t h a t c o n t r a c t s t h e d i s t a n c e c o n t r a s t o r t h e s p r e a d b e t w e e n m i r r o r s h a p e s t h a t y i e l d d i s s i m i l a r fi e l d p a t t e r n s . T o o v e r c o m e s u c h s c e n a r i o , t h e r a n g e w i t h i n t h e d i s t a n c e m e t r i c s i s e n h a n c e d u s i n g a l o g a r i t h m i c m a p p i n g t o s t r e t c h t h e c o n t r a s t w i t h i n f e a t u r e v e c t o r s o f d i s s i m i l a r fi e l d s t h a t a r e m a s k e d b y t h e o u t l i e r s . F i g u r e F i g u r e 9 . 1 4 s h o w s t h e h i s t o g r a m o f f e w o f t h e f e a t u r e s c o m p u t e d b e t w e e n m i r r o r s a . a n d b b e f o r e a n d a f t e r c o n t r a s t e n h a n c e m e n t . N e a r e s t N e i g h b o r C l u s t e r i n g T h e e n h a n c e d f e a t u r e v e c t o r i s u s e d i n t h e n e a r e s t n e i g h b o r c l u s t e r i n g a l g o r i t h m t o g r o u p s i m i l a r fi e l d p a t t e r n s p r o d u c e d b y t h e m i r r o r d e f o r m a t i o n s , { F M l - { i y I n h r o w i n t h e e n h a n c e d p o w e r o r C h e b y c h e v d i s t a n c e h t h e c l u s t e r i n g r o u t i n e , t h e i t m a t r i c e s o r t h e c o r r e l a t i o n m a t r i x i s t h e f e a t u r e v e c t o r , x , - o f t h e fi e l d d u e t o i t m i r r o r d e f o r m a t i o n F 3 ” . T h e c l u s t e r i n g p r o c e d u r e i s i t e r a t e d a n d n e w c l u s t e r s a r e c r e a t e d u n t i l t h e m i n i m u m E u c l i d e a n d i s t a n c e b e t w e e n t h e c l u s t e r c e n t e r s a r e a b o v e a p r e s c r i b e d t h r e s h o l d . A f t e r c l u s t e r i n g , t h e m i r r o r d e f o r m a t i o n s w i t h f e a t u r e v e c t o r c l o s e s t t o t h e c l u s t e r c e n t e r a r e e l i m i n a t e d a n d t h e r e s t a r e r e t a i n e d f o r t o m o g r a p h y . T h e p s e u d o c o d e f o r t h e n e a r e s t n e i g h b o r c l u s t e r i n g a l g o r i t h m i s a s f o l l o w s . 1 . S e t 2 ' : 1 , k : 1 a n d a s s i g n x , - t o c l u s t e r C k . 2 . I n c r e m e n t 2 ' b y z ' + 1 a n d c o m p u t e t h e E u c l i d e a n d i s t a n c e , ( 1 1 3 , 1 9 b e t w e e n x 7 ; a n d c l u s t e r c e n t e r C l ; - 3 . I f d i , k < T f 1 3 0 o A s s i g n x , - t o C k a n d r e - c o m p u t e t h e c l u s t e r c e n t e r f o r t h e k t h c l u s t e r 4 . I f ( 1 M 7 > T f o I n c r e m e n t 1 : b y k + 1 a n d s e t X i a s t h e n e w c l u s t e r c e n t e r . 5 . R e p e a t s t e p s ( 1 ) - ( 3 ) , u n t i l a l l I f e a t u r e v e c t o r s a r e c l u s t e r e d . 6 . A f t e r c l u s t e r i n g a l l f e a t u r e v e c t o r s o n c e , c o m p u t e t h e E u c l i d e a n i n t e r - c l u s t e r d i s t a n c e d ' g l ’ n fl m , n = 1 , 2 , . . . , K f o r a l l K c l u s t e r c e n t e r s . 7 . I f d z ? ” < T C 0 I d e n t i f y n e w c l u s t e r c e n t e r s 8 . S e t 2 ' 2 0 a n d i t e r a t e s t e p s ( 6 ) - ( 7 ) w i t h t h e n e w s e t o f c l u s t e r c e n t e r s u n t i l t h e m i n i m u m E u c l i d e a n d i s t a n c e b e t w e e n a l l c l u s t e r s a r e a b o v e a p r e d e t e r m i n e d t h r e s h o l d t a u c . D u r i n g c l u s t e r i n g , t h e c o r r e l a t i o n , p o w e r a n d C h e b y c h e v f e a t u r e v e c t o r s a r e t r e a t e d s e p a r a t e l y . T h e o u t c o m e s o f t h e t h r e e c l u s t e r i n g p r o c e s s a r e c o m b i n e d t o d e t e r m i n e t h e m i r r o r d e f o r m a t i o n s f o r m u l t i - v i e w fi e l d m e a s u r e m e n t s o f t h e b r e a s t . 9 . 6 I m p l e m e n t a t i o n o f I V I i r r o r D e f o r m a t i o n s T h e o p t i m a l m i r r o r d e f o r m a t i o n s t h a t p r o d u c e i n d e p e n d e n t fi e l d p a t t e r n s a r e u s e d t o a c q u i r e m u l t i - v i e w m e a s u r e m e n t s f r o m t h e b r e a s t . T h e s e p r e d e t e r m i n e d m i r r o r d e f o r m a t i o n s a r e r e a l i z e d b y a p p l y i n g a p p r o p r i a t e p o t e n t i a l d i s t r i b u t i o n V ( : 1 : , y ) t o t h e a c t u a t o r a r r a y b e n e a t h t h e m e m b r a n e m i r r o r a s e x p l a i n e d i n s e c t i o n 7 . 2 . T h e m i r r o r d e f o r m a t i o n u n d e r t h e i n fl u e n c e o f a n a p p l i e d a c t u a t o r p o t e n t i a l d i s t r i b u t i o n , V ( : z : , y ) i s g i v e n b y ( 7 . 5 ) - ( 7 . 6 ) . T h e m i r r o r d e f o r m a t i o n s i d e n t i fi e d f o r t o m o g r a p h y c a n b e a c c o m p l i s h e d u s i n g t h e m e m b r a n e d e f o r m a b l e m i r r o r b y f o l l o w i n g t h e i t e r a t i v e c o m p u t a t i o n a l p r o c e d u r e i n F i g u r e F i g u r e 9 . 1 5 . T h e p o t e n t i a l d i s t r i b u t i o n a p p l i e d 1 3 1 ” t i M d i r r r x ( o , y ) D S e h s a i p r e e , d w l > m y ) - ( m l U p d a t e C o m p u t e V ( x A V 2 . 1 , ) y a ) ’ ( I n i t i a l P o t e n t i a l D I S t r i b u t i o n , V 0 ( i f ) C o m p u t e , W - ( x , y ) < 1 F a l s e E s t i m a t e d S h a p e H ; ( x ) , } ) R 5 ‘ v d ( x : Y ) F i g u r e 9 . 1 5 . I t e r a t i v e p r o c e d u r e f o r e s t i m a t i n g t h e m i r r o r a c t u a t o r p o t e n t i a l s . . t o t h e a c t u a t o r a r r a y e s t a b l i s h e s a e l e c t r o s t a t i c f o r c e b e t w e e n t h e a c t u a t o r a n d t h e m e m b r a n e w h i c h , c a u s e s t h e m e m b r a n e t o d e fl e c t . T h e m i r r o r d e fl e c t i o n i s d i r e c t l y p r o p o r t i o n a l t o t h e e l e c t r o s t a t i c f o r c e a n d h e n c e t h e a p p l i e d a c t u a t o r p o t e n t i a l d i s - t r i b u t i o n V ( 1 7 , y ) b y ( 7 . 6 ) . T h e i t e r a t i v e p r o c e d u r e b e g i n s w i t h a n i n i t i a l p o t e n t i a l d i s t r i b u t i o n V 0 ( : 1 : , y ) a n d s o l v e s ( 7 . 5 ) - ( 7 . 6 ) w i t h a p p r o p r i a t e b o u n d a r y c o n d i t i o n s f o r t h e d e s i r e d m e m b r a n e d e f o r m a t i o n , 1 1 1 ( 1 7 , y ) . U s i n g g r a d i e n t s e a r c h m e t h o d , t h e e r r o r b e t w e e n t h e o b t a i n e d a n d d e s i r e d m i r r o r d e f o r m a t i o n s i s m i n i m i z e d i t e r a t i v e l y u n t i l t h e e r r o r i s b e l o w t h e t o l e r a n c e l e v e l , 6 . E s t i m a t i o n o f t h e a c t u a t o r p o t e n t i a l d i s t r i b u t i o n s t h a t p r o d u c e t h e o p t i m a l m i r r o r s u r f a c e s f o r t o m o g r a p h y i s a o n e t i m e p r o c e s s w h i c h i s c a r r i e d o f f l i n e p r i o r t o d a t a a c q u i s i t i o n . I n f a c t , m a n y a d a p t i v e o p t i c s s y s t e m s e m p l o y i n g m e m b r a n e d e f o r m a b l e m i r r o r , c o n t r o l t h e m i r r o r s h a p e i n r e a l t i m e b y a d a p t i v e l y c h a n g i n g t h e a c t u a t o r p o t e n t i a l d i s t r i b u t i o n i n a f e e d b a c k l o o p [ 1 3 6 , 1 4 3 ] w h i c h , i n d i c a t e t h e f e a s i b i l i t y o f t h e o f f l i n e d e t e r m i n a t i o n o f m i r r o r d e f o r m a t i o n s / s h a p e s f o r b r e a s t i m a g i n g . D u r i n g d a t a a c q u i s i t i o n , t h e p r e d e t e r m i n e d a c t u a t o r p o t e n t i a l s a r e a p p l i e d t o t h e m e m b r a n e m i r r o r i n s e q u e n c e t o o b t a i n m u l t i - v i e w fi e l d m e a s u r e m e n t s f r o m t h e b r e a s t . T h e s e p r e d e t e r m i n e d a c t u a t o r p o t e n t i a l d i s t r i b u t i o n s a r e i n d e p e n d e n t o f t h e p h y s i c a l d i - m e n s i o n a n d p a t h o l o g i c a l s t a t e o f t h e b r e a s t . 9 . 7 C o n c l u s i o n s F o l l o w i n g t h e a b o v e s t r a t e g i e s , o p t i m a l m i r r o r d e f o r m a t i o n s t h a t y i e l d u n i q u e m u l t i - v i e w fi e l d m e a s u r e m e n t s f o r m i c r o w a v e b r e a s t t o m o g r a p h y w e r e i d e n t i fi e d . D e t e r m i - n a t i o n o f o p t i m a l m i r r o r s h a p e s i s s u m m a r i z e d i n t h e b e l o w p s e u d o c o d e . 1 . F i x t h e s o u r c e , m i r r o r a n d b r e a s t l o c a t i o n s n a m e l y , ( 1 : 3 , g s ) , Q M , Q p a n d { 2 3 2 . F i t B e z i e r c u r v e s , f ( u ) E Q M 3 . F o r e a c h m i r r o r s u r f a c e , f j ( u ) 1 3 3 3 ( a ) C o m p u t e t o t a l e l e c t r i c f i e l d E ; ( ; z t , y e r ) Q u s i n g ( 9 . 1 0 ) ( b ) R e t a i n m i r r o r d e f o r m a t i o n , f j ( u ) i f ( 9 . 7 ) i s s a t i s fi e d 4 . F o r m i r r o r s h a p e s t h a t s a t i s f y ( 9 . 7 ) ( a ) C o m p u t e f e a t u r e s u s i n g ( 9 . 1 3 a ) - ( 9 . 1 3 c ) ( b ) E m p l o y n e a r e s t n e i g h b o r c l u s t e r i n g t o i d e n t i f y r e d u n d a n t m i r r o r d e f o r m a — t i o n s 5 . D i s s i m i l a r fi e l d p a t t e r n s i d e n t i fi e d b y t h e c l u s t e r i n g a l g o r i t h m y i e l d u n i q u e m u l t i — v i e w fi e l d m e a s u r e m e n t s f o r b r e a s t i m a g i n g T h e i d e n t i fi e d o p t i m a l m i r r o r d e f o r m a t i o n s s t e e r t h e i n c i d e n t fi e l d t o w a r d s t h e b r e a s t a t d i f f e r e n t a n g l e s t o y i e l d m u l t i - v i e w fi e l d m e a s u r e m e n t s t o r e c o v e r t h e u n k n o w n s p a t i a l p e r m i t t i v i t y d i s t r i b u t i o n i n s i d e t h e b r e a s t . T h e o p t i m a l m i r r o r s h a p e s o n c e d e t e r m i n e d c a n b e u s e d f o r i m a g i n g a n y p e n e t r a b l e O b j e c t p l a c e d i n t h e i m a g i n g r e g i o n . 1 3 4 C H A P T E R 1 0 M I C R O W A V E B R E A S T I M A G I N G U S I N G D E F O R M A B L E M I R R O R I n t r o d u c t i o n T h i s s e c t i o n d e a l s w i t h t h e m a t h e m a t i c s a n d n u m e r i c a l i m p l e m e n t a t i o n o f b r e a s t p e r - m i t t i v i t y r e c o n s t r u c t i o n f o r t h e d e f o r m a b l e m i r r o r s e t u p i l l u s t r a t e d i n F i g u r e F i g u r e 9 . 1 . T h e o p t i m a l m i r r o r d e f o r m a t i o n s d e t e r m i n e d f o l l o w i n g t h e p r o c e d u r e d e t a i l e d i n t h e p r e v i o u s c h a p t e r a r e u s e d t o o b t a i n m u l t i - v i e w s c a t t e r e d fi e l d m e a s u r e m e n t s f r o m t h e b r e a s t . C o m p u t a t i o n a l f e a s i b i l i t y o f t h e d e f o r m a b l e m i r r o r t o m o g r a p h y t e c h n i q u e f o r b r e a s t c a n c e r d e t e c t i o n a n d o t h e r p o t e n t i a l a p p l i c a t i o n s a r e i n v e s t i g a t e d u s i n g t w o d i m e n s i o n a l m o d e l s w i t h v a r y i n g s p a t i a l e l e c t r i c a l p r o p e r t y . S e c t i o n 1 0 . 1 d e a l s w i t h t h e E M t h e o r y t h a t d i c t a t e s t h e fi e l d m a i n t a i n e d b y t h e d e f o r m a b l e m i r r o r t o m o g r a p h y s e t u p i n t h e p r e s e n c e o f t h e h e t e r o g e n e o u s b r e a s t . T h e fi e l d m e a s u r e m e n t s m a i n t a i n e d b y t h e t w o - d i m e n s i o n a l c o m p u t a t i o n a l m o d e l i s p r e s e n t e d i n s e c t i o n 1 0 . 2 . T h e i t e r a t i v e p e r m i t t i v i t y i n v e r s i o n p r o c e d u r e a n d r e g u l a r - i z a t i o n o f t h e i l l - p o s e d i n v e r s e p r o b l e m a r e c o v e r e d i n s e c t i o n 1 0 . 3 . C o m p u t a t i o n a l f e a s i b i l i t y s t u d y o f t h e p r o p o s e d b r e a s t i m a g i n g t e c h n i q u e i s i n v e s t i g a t e d i n s e c t i o n 1 0 . 4 f o r d i f f e r e n t h e t e r o g e n e o u s 2 D b r e a s t m o d e l s . T h e o u t c o m e o f t h e n u m e r i c a l s i m - u l a t i o n s f o r t h e h e t e r o g e n e o u s m a t h e m a t i c a l b r e a s t m o d e l s a r e d i s c u s s e d i n s e c t i o n 1 0 . 5 . B e s i d e s b r e a s t i m a g i n g , t h e m i r r o r b a s e d m i c r o w a v e t o m o g r a p h y t e c h n i q u e p r o - p o s e d i n t h i s t h e s i s c a n a l s o b e u s e d f o r m a t e r i a l c h a r a c t e r i z a t i o n a n d n o n - i n v a s i v e i n - s p e c t i o n o f i n - a n i m a t e o b j e c t s . N u m e r i c a l s i m u l a t i o n s c o n d u c t e d f o r w e a k a n d s t r o n g s c a t t e r e r s d e m o n s t r a t i n g t h e p o t e n t i a l a p p l i c a t i o n o f d e f o r m a b l e m i r r o r m i c r o w a v e t o m o g r a p h y f o r n e a r fi e l d i m a g i n g a r e p r e s e n t e d i n s e c t i o n 1 0 . 6 . 1 0 . 1 T h e o r y T h e f i e l d m a i n t a i n e d b y d e f o r m a b l e m i r r o r t o m o g r a p h y s e t u p i n t h e p r e s e n c e o f t h e b r e a s t i s c o m p u t e d u s i n g fi n i t e e l e m e n t b o u n d a r y i n t e g r a l ( F E B I ) m e t h o d f o r c o n t i n — u o u s e x c i t a t i o n . T h e F E B I m e t h o d e m p l o y s b o u n d a r y i n t e g r a l e q u a t i o n f o r t h e fi e l d i n s i d e t h e r a p y t a n k a n d e x t e r n a l t o t h e b r e a s t . T h e fi e l d i n s i d e t h e h e t e r o g e n e o u s b r e a s t i s m o d e l e d u s i n g fi n i t e e l e m e n t a n a l y s i s [ 5 0 ] . F o r s o u r c e f r e e c a s e , t h e v e c t o r w a v e e q u a t i o n i n ( 4 . 3 1 ) r e d u c e s t o ( V ‘ Z E + 1 : 2 1 3 ) : 0 ( 1 0 . 1 ) w h e r e ' \ 7 ' 2 = ( d z / 8 1 : 2 + 8 2 / 8 y 2 + 8 2 / 8 z 2 ) a n d M e t , y ) i s t h e w a v e n u m b e r i n s i d e t h e fi n i t e e l e m e n t b r e a s t m o d e l . T h e i n t e g r a l e q u a t i o n s o l u t i o n f o r fi e l d i n s i d e t h e i m a g i n g t a n k i n t h e p r e s e n c e o f b r e a s t i s e x p r e s s e d i n t e r m s o f p o t e n t i a l s ( 4 . 4 9 ) - ( 4 . 5 0 ) . I n t h e a b s e n c e o f c h a r g e a c c u m u l a t i o n , ( 4 . 4 9 ) r e d u c e s t o , 1 E ( r , w ) : — i j ( r , w ) — — - — V X F ( r , w ) ( 1 0 . 2 ) e I n ( 1 0 . 2 ) , [ 1 a n d e a r e t h e p e r m e a b i l i t y a n d p e r m i t t i v i t y o f t h e c o u p l a n t i n t h e i m a g i n g t a n k a n d A a n d F a r e t h e m a g n e t i c a n d e l e c t r i c v e c t o r p o t e n t i a l s e x p l a i n e d i n s e c t i o n 4 . 7 . E q u a t i o n 1 0 . 2 c a n b e r e w r i t t e n a s , , 1 E ( r , w ) : — ] w , u J ( r , w ) * g 3 D ( r , k b ) — ; V X ( e M ( r , w ) * g 3 D ( r , k b ) ) ( 1 0 . 3 ) w h e r e g 3 D ( r , k b ) i s t h e 3 D s c a l a r G r e e n s f u n c t i o n f o r fi e l d i n t h e h o m o g e n e o u s c o u - p l i n g s o l u t i o n . S u b s t i t u t i n g ( 4 . 5 2 ) - ( 4 . 5 3 ) f o r t h e m a g n e t i c a n d e l e c t r i c v e c t o r p o t e n - 1 3 6 A E ( r , w ) : " j w l 1 / / / J ( r l ) g ( r , / 3 ; r , ) d v l V t i a l s i n 1 0 . 3 y i e l d s , — V X f f / M ( r ’ ) g ( r , fi ; r l ) d v ’ ( 1 0 . 4 ) V W i t h t h e k n o w l e d g e o f e l e c t r i c fi e l d , t h e m a g n e t i c fi e l d c a n b e o b t a i n e d u s i n g ( 4 . 2 a ) . I n ( 1 0 . 4 ) , J = J z ’ + J e q a n d M = M e q a r e t h e i m p r e s s e d a n d e q u i v a l e n t e l e c t r i c a n d m a g n e t i c c u r r e n t d e n s i t i e s . T h e e q u i v a l e n t c u r r e n t d e n s i t i e s a r e c o n t r i b u t i o n s f r o m t h e p e r f e c t l y c o n d u c t i n g m i r r o r , E M s o u r c e a n d t h e p e n e t r a b l e h e t e r o g e n e o u s d i e l e c - t r i c b r e a s t . T h e s e e q u i v a l e n t c u r r e n t s o b e y t h e f u n d a m e n t a l e q u i v a l e n c e t h e o r e m s e x p l a i n e d i n c h a p t e r 3 . E q u a t i o n ( 1 0 . 4 ) i m p l i e s t h a t t h e t o t a l fi e l d a n y w h e r e o u t s i d e t h e b r e a s t c a n b e o b t a i n e d w i t h t h e k n o w l e d g e o f i m p r e s s e d a n d e q u i v a l e n t e l e c t r i c a n d m a g n e t i c c u r - r e n t s o u r c e s . T h e e q u i v a l e n t c u r r e n t s o u r c e s m a i n t a i n e d b y t h e d i e l e c t r i c s c a t t e r e r a r e c o m p u t e d b y s o l v i n g ( 1 0 . 1 ) a n d ( 1 0 . 4 ) w i t h D i r i c h l e t b o u n d a r y c o n d i t i o n s g i v e n b y , a X E ( r , w ) = 0 ( 1 0 . 5 ) o n t h e s u r f a c e o f t h e d e f o r m a b l e m i r r o r a n d a p e r t u r e s o u r c e . T h e F E B I m e t h o d t r u n c a t e s t h e c o m p u t a t i o n a l m o d e l b y i m p o s i n g t h e r a d i a t i o n b o u n d a r y c o n d i t i o n c l o s e t o t h e b r e a s t a n d m o d e l s t h e h e t e r o g e n e o u s b r e a s t u s i n g fi n i t e e l e m e n t a n a l y s i s t h e r e b y r e d u c i n g t h e n u m b e r o f u n k n o w n s i n t h e c o m p u t a t i o n a l d o m a i n . 1 0 . 2 F o r w a r d P r o b l e m - D a t a A c q u i s i t i o n F e a s i b i l i t y o f t h e p r o p o s e d d e f o r m a b l e m i r r o r b a s e d t o m o g r a p h y t e c h n i q u e f o r b r e a s t i m a g i n g i s d e m o n s t r a t e d v i a t w o — d i m e n s i o n a l i m a g i n g s e t u p a s i l l u s t r a t e d i n F i g u r e F i g u r e 1 0 . 1 . T h e t w o — d i m e n s i o n a l w a v e p r o p a g a t i o n m o d e l s o l v e s t h e fi e l d e q u a t i o n s 1 3 7 . l r W ' ; r u t - . 9 r _ ‘ fi S o u r c e W e ) D e f o r m a b l e B r e a s t - . L - M i r r o r H . » e g fi a fi i fi ' 7 “ , ; ' l ' 9 ’ A n t e n n a s F i g u r e 1 0 . 1 . I l l u s t r a t i o n o f d e f o r m a b l e m i r r o r m i c r o w a v e t o m o g r a p h y s y s t e m i n 2 D . f o r T M 3 p o l a r i z a t i o n . F i g u r e F i g u r e 1 0 . 2 s h o w s t h e c o m p u t a t i o n a l g e o m e t r y o f t h e 2 D i m a g i n g s e t u p i n F i g u r e F i g u r e 1 0 . 1 . T h e d e f o r m a b l e m i r r o r i s m o d e l e d a s a t h i n p e r f e c t l y c o n d u c t i n g f l e x i b l e m e t a l l i c s t r i p a n d t h e d i r e c t i o n a l e l e c t r o m a g n e t i c s o u r c e i s a p p r o x i m a t e d b y a . c o n s t a n t l i n e c u r r e n t s o u r c e w i t h a m e t a l b a c k i n g t o d i r e c t t h e e m a n a t i n g fi e l d t o w a r d s t h e fl e x i b l e m e m b r a n e m i r r o r . I n F i g u r e F i g u r e 1 0 . 2 , t h e d e f o r m a b l e m i r r o r a n d s o u r c e m e t a l b a c k i n g s u r f a c e s a r e d e fi n e d b y F M a n d P P r e s p e c t i v e l y a n d t h e h e t e r o g e n e o u s b r e a s t i s d e s c r i b e d b y t h e c l o s e d r e g i o n S b o u n d e d b y e x t e r n a l c o n t o u r B S . 1 0 . 2 . 1 F i e l d E q u a t i o n s i n 2 D I n F i g u r e s F i g u r e 1 0 . 1 - F i g u r e 1 0 . 2 , a x i s o f t h e a r b i t r a r y s h a p e d c o n d u c t i n g a n d d i e l e c t r i c s c a t t e r e r s a r e p a r a l l e l t o t h e z a x i s w i t h n o v a r i a t i o n a l o n g 2 i . e . , O / B z = 0 . T h e i n fi n i t e l y l o n g , c o n s t a n t l i n e c u r r e n t s o u r c e m a i n t a i n s a z - d i r e c t e d c u r r e n t a n d s u p p o r t s 2 - A . T h e T M ‘ 7 p o l a r i z e d fi e l d s e m a n a t i n g f r o m t h e l i n e s o u r c e i n d u c e s z - d i r e c t e d e q u i v a l e n t s u r f a c e c u r r e n t s o n t h e m e m b r a n e m i r r o r , s o u r c e m e t a l b a c k i n g a n d i n s i d e t h e h e t e r o g e n e o u s p e n e t r a b l e b r e a s t . L e t J 2 ' b e t h e i m p r e s s e d c u r r e n t d e n - 1 3 8 ) N L i n e S o u r c e w i t h m e t a l b a c k i n g r p D e f o r m a b l e M i r r o r F i g u r e 1 0 . 2 . T w o — d i m e n s i o n a l c o m p u t a t i o n a l m o d e l . s i t y t h a t m a i n t a i n s t h e e q u i v a l e n t c u r r e n t d e n s i t i e s J m , J p o n t h e m i r r o r a n d s o u r c e m e t a l b a c k i n g r e s p e c t i v e l y a n d J d , M d o n 8 5 o f t h e b r e a s t . T h e s e e q u i v a l e n t a n d i m p r e s s e d c u r r e n t s r a d i a t i n g i n s i d e t h e i m a g i n g t a n k m a i n t a i n s t h e T M 3 p o l a r i z e d e l e c t r i c fi e l d a t t h e r e c e i v e r l o c a t i o n s s u r r o u n d i n g t h e b r e a s t . F o r t h e 2 D T M 7 ' c a s e , ( 1 0 . 4 ) r e d u c e s t o , w . 2 - — “ J m t r fl y ’ m é ) ( k b , x . y ; a : ’ , y ’ ) d a : ’ d y ’ 2 - E ( ; z : , y , w ) : — 4 P M — 2 % / J p ( a r ’ , y ’ ) H 3 2 ) ( k b , x . y ; m ’ . y ’ ) d a : ’ d y ’ P P > E : ‘ P ‘ h — Z - — f J d ( ; z : ’ , y ’ ) H ( ( ) 2 ) ( k b , a t , y ; ; r ' , y ’ ) d ; z : ' d y ’ " ' ' ) H ( ( ) 2 ) ( k ‘ b , a : , y ; : z r ' , y ' ) d : v ' d y ' l N < l X \ § < 7 : w _ J I O H é ( k t b l a : — 1 : 3 , y — 3 1 3 ] ) ( 1 0 . 6 ) 1 3 9 T I ! " . u , » n o . r . I n ( 1 0 . 6 ) , l r b i s t h e w a v e n u m b e r o f c o u p l a n t i n t h e i m a g i n g t a n k , ( . v 3 , y 3 , z = 0 ) i s t h e l o c a t i o n o f l i n e s o u r c e t h a t y i e l d s t h e i n c i d e n t fi e l d , E 1 . " 2 : — % E I O H ( ( ) 2 ) ( k b 1 : — 1 : 3 , y — y s l ) . T h e t o t a l fi e l d i n s i d e h e t e r o g e n e o u s b r e a s t i s g i v e n b y t h e s c a l a r w a v e e q u a fi o n , ( v ? + k 2 ( ; ‘ r , y ) ) a c m e ) : 0 , ( 2 : 4 , ) 6 s ( 1 0 . 7 ) w h e r e V 7 - : ( 8 2 / 8 1 2 + 8 2 / 8 3 ) ? ) i s t h e L a p l a c i a n o p e r a t o r i n t r a n s v e r s e X Y p l a n e a n d k ( ; 1 : , y ) i s t h e w a v e n u m b e r i n s i d e t h e b r e a s t . T h e c o n t r i b u t i o n o f J ( 1 i n ( 1 0 . 6 ) c a n b e s i m p l i fi e d a s , J d : 2 J d : a X H 1 : — — . — — f b X ( V T X [ T E T + 2 E z l ) fi l m : — — — _ 7 ‘ 1 , X ( V T X 2 E 3 ) 1 3 a m : + 2 E 3 ( i 2 . - V T ) , A X ( B X C ) : ( A - C ) B — ( A - B ) C , n X 7 “ = 5 J a m 1 = e — z ( a . - m m ( 1 0 . 8 ) J ‘ W ' H S u b s t i t u t i n g M d 2 a X E a n d i n v o k i n g v e c t o r i d e n t i t i e s s i m p l i fi e s t h e c o n t r i b u t i o n o f t h e s u r f a c e m a g n e t i c c u r r e n t d e n s i t y t o , V X / M d H 8 2 ) ( k b , ; r , t ; ; r ’ , y ’ ) d S ’ : 4 1 W x / ( n ' X E ( ; L ' / , y ’ , w ) ) o m s ’ a s a s : 4 j / V T x ( a ! x 2 1 9 ; ) G 2 D d s ’ ( 1 0 . 9 ) a s I n v o k i n g v e c t o r i d e n t i t i e s a n d [ V 0 2 D : — V ' G Q D ] y i e l d s , V T x ( a ’ x E g ) G 2 1 ) 2 V T G Q D x ( a ! x E ; ) + ( : 2 0 ( V T x ( a ’ x E ’ ) ) : V T G Q D x ( 7 1 ’ x E ; ) , [ V T : 5 9 / 8 1 : + a / a y ] 1 4 0 Z = _ ( ( ’ 7 1 V - 5 V 1 ’ 2 G D Q . 2 5 D ) 3 2 2 . E ) 1 7 1 ’ + ( 7 1 ’ - V ’ G Q D ) 2 E . ( I O - 1 0 ) 1 0 S u b s t i t u t i n g ( 1 0 . 1 0 ) i n t o ( 1 0 . 9 ) g i v e s , V X / M d o w d . c ’ d y ’ : 2 4 1 / ( 7 1 ’ V ’ G Q D ) E ; ; ( L ‘ I y , ’ w ) d 1 ’ d y ’ ( 1 0 . 1 1 ) B S ( ‘ 3 5 S u b s t i t u t i n g J m : 2 . 1 m , J p : 2 . 1 7 ) a n d ( 1 0 . 8 ) , ( 1 0 . 1 1 ) i n t o 1 0 . 6 y i e l d s t h e e l e c t r i c fi e l d b o u n d a r y i n t e g r a l e q u a t i o n , E z ( 1 : , y , w ) : — L : J r n ( i l ' l l , y ) 1 1 8 2 ) ( k 1 1 3 ! J 3 y / ) d . 1 " d y E M — W T ” J p ( . 1 : ’ , y ’ ) H ( ‘ 2 ) ( k w b ; : , 1 y ; . 1 ‘ , ) y d . : 1 ( 1 y I ‘ P — [ ( 1 1 , V f r E ~ ( . 1 : / , ’ y , ’ 1 1 2 ) ) % H ( ( ) 2 ) ( k b , : 1 : , y : : 1 : ’ , y ’ ) d ; 1 : / d y ’ 8 8 J + f ( 7 ‘ 1 ’ . V ’ i 4 j — 2 H ( ( ) ) ( k b , ; 1 ? , y ; : 1 : ’ , y ’ ) ) E é ( ; 1 : ' , ’ y , w ) d ; 1 : ’ d y ' 8 S — T # 1 0 1 1 ( ( ) 2 ) ( k b l 1 7 — 1 7 s a y ‘ y s l l ( 1 0 . 1 2 ) E q u a t i o n s ( 1 0 . 7 ) , ( 1 0 . 1 2 ) a r e s o l v e d w i t h t h e b o u n d a r y c o n d i t i o n s , E z ( ; 1 : , y , w ) : 0 , V ( ; 1 ‘ : , y ) 6 P 1 1 1 1 P p ( 1 0 . 1 3 ) f o r t h e u n k n o w n i n d u c e d c u r r e n t d e n s i t i e s a n d t o t a l fi e l d , E z ( ; 1 ' , y . w ) i n t h e 2 D c o m - p u t a t i o n a l m o d e l i n F i g u r e F i g u r e 1 0 . 2 . F r o m t h e fi e l d a n d c u r r e n t d e n s i t i e s , fi e l d m e a s u r e m e n t s a t t h e r e c e i v e r l o c a t i o n s c a n b e c a l c u l a t e d u s i n g ( 1 0 . 1 2 ) . 1 4 1 1 0 . 2 . 2 C o m p u t a t i o n a l M e t h o d S o l u t i o n t o t h e b o u n d a r y v a l u e p r o b l e m g i v e n b y ( 1 0 . 7 ) , ( 1 0 . 1 2 ) - ( 1 0 . 1 3 ) i s o b t a i n e d u s i n g t h e fi n i t e e l e m e n t . b o u n d a r y i n t e g r a l ( F E B I ) n u m e r i c a l t e c h n i q u e . T h e F E B I m e t h o d c o m m o n l y r e f e r r e d a s t h e h y b r i d m e t h o d s o l v e s t h e i n t e g r o — d i f f e r e n t i a l e q u a - t i o n s u s i n g t h e fi n i t e e l e m e n t a n d m e t h o d o f m o m e n t s t e c h n i q u e s [ 5 0 , 5 1 ] . I n b o t h n u m e r i c a l t e c h n i q u e s , s o l u t i o n t o t h e i n t e g r a l o r d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n i n v o l v e s , 1 . D o m a i n d i s c r e t i z a t i o n 2 . S e l e c t i o n o f t h e s u b d o m a i n i n t e r p o l a t i o n o r b a s i s f u n c t i o n s 3 . F o r m u l a t i o n o f t h e s y s t e m o f e q u a t i o n s 4 . S o l u t i o n t o t h e s y s t e m o f e q u a t i o n s T h e F E B I f o r m u l a t i o n f o r t h e fi e l d m a i n t a i n e d b y t h e b r e a s t i s d e r i v e d i n t h e s u b s e - q u e n t s e c t i o n . 1 0 . 2 . 2 . 1 F E B I F o r m u l a t i o n F i n i t e e l e m e n t a n a l y s i s i s a w i d e l y u s e d n u m e r i c a l t e c h n i q u e f o r s o l v i n g b o u n d a r y v a l u e p r o b l e m s i n e n g i n e e r i n g , p h y s i c s a n d m a t h e m a t i c s [ 1 7 0 , 1 7 1 , 5 0 ] . I n fi n i t e e l e - m e n t t e c h n i q u e , t h e c o m p u t a t i o n a l d o m a i n i s d i s c r e t i z e d i n t o s m a l l e r l o c a l d o m a i n s w h e r e t h e s o l u t i o n i s r e p r e s e n t e d u s i n g s u b d o m a i n b a s i s o r i n t e r p o l a t i o n f u n c t i o n s . S o l u t i o n t o a b o u n d a r y v a l u e p r o b l e m i s o b t a i n e d b y s o l v i n g a s y s t e m o f e q u a t i o n s f o r t h e u n k n o w n c o e f fi c i e n t s o f t h e i n t e r p o l a t i o n f u n c t i o n . L e t t h e t o t a l fi e l d E z ( ; 1 : , y , w ) b e r e p r e s e n t e d b y ( b f o r e a s e o f n o t a t i o n . T h e n , t h e s c a l a r w a v e e q u a t i o n c a n b e r e w r i t t e n a s , ( 9 2 ’ 2 ( 5 7 1 - + 5 2 - ; + k g € d ( z l j , y ) ) ( I ! ) Z 0 » ( 1 3 1 . 7 1 ) E 5 ' ( 1 0 ' 1 4 ) A r t - * 1 ” a . . 1 ' 1 ' " " 9 “ “ ? : 1 . . ( ( 0 F i g u r e 1 0 . 3 . F i n i t e e l e m e n t a n d i n t e r p o l a t i o n f u n c t i o n s ( a ) L i n e a r t r i a n g u l a r e l e m e n t ( b ) N f ( c ) N 2 1 6 ( ( 1 ) N g . L e t t h e c o m p u t a t i o n a l d o m a i n S b e d i v i d e d i n t o M s m a l l e l e m e n t s a n d a s b e d i v i d e d i n t o M S b o u n d a r y s e g m e n t s . T h e fi e l d i n s i d e t h e i n d i v i d u a l e l e m e n t i s e x p r e s s e d a s , 3 ( b e t t e r ) = Z t h w , y ) ¢ f ( 1 0 . 1 5 ) 1 — 1 = { M T { c h 1 = M T { N e } a n d t h e fi e l d o n t h e b o u n d a r y i s e x p r e s s e d a s , e 3 0 7 , 1 ! ) = Z N f ( $ , y ) ¢ f . ( 1 0 - 1 6 ) T h e G a l e r k i n ’ s m e t h o d a p p l i e d t o a s i n g l e e l e m e n t s h o w n i n F i g u r e F i g u r e 1 0 . 3 1 4 3 d e fi n e d b y ( 2 6 y i e l d s t h e w e i g h t e d r e s i d u e [ 5 0 , 5 1 ] , 6 _ _ 1 , 7 6 . , . Q e : / / [ V 2 9 5 + k ‘ g € d ( ; 1 : , y ) [ 1 N 7 f ( ; 1 : , y ) d § l : 0 0 6 . 2 . 2 S u b s t i t u t i n g V 2 : ( 7 0 1 — 2 + $ 1 7 2 a n d i n v o k i n g t h e i d e n t i t i e s , V F — d : : 2 . 1 v ¢ _ 3 ‘ 7 7 _ m 2 ? 3 . 2 ‘ 8 1 : 2 8 : 1 : ‘ 8 1 ‘ 8 . 1 : 8 1 - . 2 e N e g — . — : 3 N e — 8 3 ¢ _ 8 N 7 % ' 7 a y Z ( 9 y _ ‘ ( 9 1 / 8 y 3 y a n d t h e d i v e r g e n c e t h e o r e m , / / 8 U + 8 V d Q = / ( U ; 1 7 + V y ) - f 1 d F ( — . ) 1 : + 8 y 8 1 “ ? r e d u c e s 1 0 . 1 7 t o , 8 V ; 8 - e N 7 R f ; : f / [ a a r l 1 0 ¢ + ' ( _ - 1 - 2 6 d [ d e ’ + / ( v ¢ - a ) 1 v f d r 8 ; : 1 + 8 y 8 y ( g l e F e L e t V 9 5 - f 1 = ' 1 1 " ; o n t h e e l e m e n t b o u n d a r y b e e x p r e s s e d a s , 2 w h e y ) = Z N fl s e h fl ? 1 : 1 1 4 4 ( 1 0 . 1 7 ) ( 1 0 . 1 8 ) ( 1 0 . 1 9 ) ( 1 0 . 2 0 ) ( 1 0 . 2 1 ) Z E l f / [ 8 . ; 8 1 3 V 1 a 8 ¢ 1 . + 7 L 8 1 ( V 9 ; y 8 ( ( ) 2 5 y — _ A k 2 ' b e l e T 8 7 6 1 \ } } { ’ d 9 ( 1 0 . 2 4 . a ) H 1 \ Z E S u b s t i t u t i n g ( 1 0 . 1 6 ) a n d ( 1 0 . 2 2 ) i n t o ( 1 0 . 2 2 ) f o r e a c h e l e m e n t g i v e s t h e a u g m e n t e d l i n e a r s y s t e m o f e q u a t i o n s , [ K l { < 1 5 } + { 0 1 1 1 , 1 7 } = { 0 } ( 1 0 2 3 ) I n ( 1 0 . 2 3 ) , t h e m a t r i c e s [ K ] a n d [ C ] a r e g i v e n b y , M [ K ] : Z [ I r e ] m = 1 Q e 1 1 1 3 [ 0 1 = Z [ C ‘ ] t = 1 M s 1 Z Z / { N t } { N t } d r ’ ( 1 0 . 2 4 1 1 ) 1 : 1 F t I n t h e b o u n d a r y i n t e g r a l e q u a t i o n , l e t t h e i n d u c e d c u r r e n t d e n s i t i e s i n e a c h b o u n d a r y s e g m e n t b e e x p r e s s e d a s , 2 J S , , ( ; 1 : , y ) = Z ’ V , - 8 ( . 1 , y ) ] 7 3 n 1 " s 2 1 , 2 , . . . , N l ( 1 0 . 2 5 a ) 1 : 1 = Z N ? ( . 1 : J ) 1 1 1 ’ s = 1 , 2 , . . . , N 2 ( 1 0 . 2 5 1 1 ) w h e r e N I a n d N 2 a r e t h e n u m b e r o f l i n e s e g m e n t s o n F M a n d F p r e s p e c t i v e l y . S u b s t i t u t i n g ( 1 0 . 1 6 ) , ( 1 0 . 2 2 ) a n d ( 1 0 . 2 5 a ) - ( 1 0 . 2 5 b ) i n t o ( 1 0 . 1 2 ) y i e l d s , N 1 W t t 2 . . . . I I I E ~ ( . 1 , y , w ) — — T a r { N } T { J m } H ( ( ) ) ( k b , : 1 , y , ; 1 , y ) d f ‘ _ G L E Z I / { N t f p } £ 1 6 2 ) ( k b 1 1 7 1 y l m a y / N I P , 1 ] ) . 1 1 , 9 6 ' + H / [ N t } T { 1 M } G Q D + { N } T { E z fi ( $ 1 9 ] d I " t : 1 a s t + E : n C ‘ : ( . 1 , y , w ) ( 1 0 . 2 6 ) w l ' i e r e 1 , 7 ) : — 7 ‘ 1 ' - ( V , E g ) . T h e u n k n o w n q u a n t i t i e s i n ( 1 0 . 2 6 ) a r e o b t a i n e d b y e v a l u a t - i n g t h e i n n e r p r o d u c t o f ( 1 0 . 2 6 ) w i t h t e s t f u n c t i o n s a t p o i n t s a l o n g t h e t h r e e d i f f e r e n t b o u n d a r i e s , P M , F p a n d 8 8 [ 5 1 ] . W h e n e v a l u a t i n g t h e i n n e r p r o d u c t s o n I ‘ M , F p , b o u n d a r y c o n d i t i o n s ( 1 0 . 1 3 ) a r e i m p o s e d . T h e r e s u l t i n g e q u a t i o n s a r e r e p r e s e n t e d i n m a t r i x f o r m a s , 1 0 1 7 { 1 . 1 , } = — [ 2 . 1 1 . ] { 4 1 1 1 1 — [ 2 1 % ] { J 1 1 } + 1 0 1 1 1 1 1 1 } + [ P 1 ] { E z E - ' } + { i d } , ( 1 , 3 0 6 8 ( 1 0 . 2 7 1 1 ) { 0 1 : — [ 2 % . ] a m } — [ 2 % ] { J 1 1 } + 1 6 2 2 1 1 1 1 1 } + [ P 2 1 1 E z } + { E i , m } , ( 1 1 1 1 1 6 1 1 1 ( 1 0 2 7 b ) { 0 } = — [ 2 2 1 . ] { J 1 1 1 , 1 — [ 2 3 ] { J 1 1 } + { 0 3 1 1 2 1 } + [ P 3 ] { E ; } + { E g , p } , ( 1 , y ) E F p ( 1 0 . 2 7 c ) E q u a t i o n s ( 1 0 . 2 3 ) a n d ( 1 0 . 2 7 ) f o r m a l i n e a r s y s t e m w i t h M + M s + N 1 + N 2 n u m b e r o f u n k n o w n s . S o l u t i o n f o r t h e fi e l d i s o b t a i n e d b y u s i n g t r i a n g u l a r b a s i s f u n c t i o n s i n ( 1 0 . 2 3 ) a n d p y r a m i d a l b a s i s f u n c t i o n s i n ( 1 0 . 2 7 ) . I n b o t h fi n i t e e l e m e n t a n d b o u n d a r y i n t e g r a l e q u a t i o n s , t h e b a s i s a n d t e s t i n g f u n c t i o n s w e r e t h e s a m e . F o r e a c h m i r r o r d e - f o r m a t i o n , t h e l i n e a r s y s t e m o f e q u a t i o n s ( 1 0 . 2 3 ) a n d ( 1 0 . 2 7 ) i s s o l v e d f o r t h e u n k n o w n fi e l d a n d i n d u c e r ] c u r r e n t d e n s i t i e s . F r o m t h e k n o w l e d g e o f fi e l d a n d c u r r e n t d e n s i - t i e s , fi e l d m e a s u r e m e n t s f o r e a c h p r e d e t e r m i n e d o p t i m a l m i r r o r s h a p e s , { F M l z ' I i 1 a r e c o m p u t e d b y e v a l u a t i n g ( 1 0 . 1 2 ) a t t h e r e c e i v e r l o c a t i o n s ( ; 1 : . r , y » , ~ ) , r : 1 , 2 , . . , L . 1 4 6 I n m a t r i x f o r m , t h e fi e l d m e a s u r e m e n t s d u e t o b r e a s t a n d d e f o r m a b l e m i r r o r a t t h e r e c e i v e r l o c a t i o n s i s g i v e n b y , w e 1 0 . 1 . . . ) = — [ 2 , 7 , ] { 4 1 1 1 1 — [ 2 ; ] { J 1 1 } + [ 6 2 1 1 { 7 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 { 1 3 . } + { E t 1 } ( 1 0 2 8 ) F i e l d m e a s u r e m e n t s c a l c u l a t e d f o r a l l o p t i m a l m i r r o r s h a p e s u s i n g ( 1 0 . 2 8 ) a r e u s e d i n p e r m i t t i v i t y i m a g i n g o f t h e b r e a s t . 1 0 . 3 I n v e r s e P r o b l e m - B r e a s t I m a g i n g T h e i n v e r s i o n p r o c e s s i s a c l a s s i c a l o p t i m i z a t i o n p r o b l e m t h a t a i m s t o m i n i m i z e t h e e r r o r b e t w e e n m e a s u r e d a n d c o m p u t e d fi e l d s a t t h e r e c e i v e r l o c a t i o n s f o r a l l o p t i m a l m i r r o r d e f o r m a t i o n s . T h e o b j e c t i v e i s t o fi n d t h e m i n i m i z e r o f t h e c o s t f u n c t i o n , a r g m - i n C ( 6 4 ) 6 s o l C _ l E m e a s _ F e e l 2 1 0 2 9 4 6 . 1 % . , ” g H < . > d I n ( 1 0 . 2 9 ) , E ' g m s : E ? ” + n o i s e i s t h e n o i s y m e a s u r e m e n t d a t a a n d E 3 ” i s t h e fi e l d c a l c u l a t e d a t r e c e i v e r l o c a t i o n s f o r t h e e s t i m a t e d p e r m i t t i v i t y d i s t r i b u t i o n , 6 2 1 ( 1 , y ) i n t h e b r e a s t . F i e l d s m e a s u r e d f o r a l l o p t i m a l m i r r o r d e f o r m a t i o n s a r e u s e d i n t h e i n v e r s i o n p r o c e s s . 1 0 . 3 . 1 P e r m i t t i v i t y I n v e r s i o n T h e i t e r a t i v e p e r m i t t i v i t y i n v e r s i o n p r o c e s s i s i l l u s t r a t e d i n F i g u r e F i g u r e 1 0 . 4 . T h e i t e r a t i v e p r o c e d u r e s t a r t s w i t h a n i n i t i a l e s t i m a t e 6 a n d c o m p u t e s t h e fi e l d , E z m a t t h e r e c e i v e r l o c a t i o n s f o r t h e o p t i m a l m i r r o r d e f o r m a t i o n s , { P M } , { : _ 1 u s i n g ( 1 0 . 2 3 ) a n d ( 1 0 . 2 7 ) . I f t h e e r r o r b e t w e e n E 2 7 2 6 “ a n d E 3 ” : i s a b o v e t h e t o l e r a n c e l e v e l 6 , t h e p e r m i t t i v i t y e s t i m a t e i s u p d a t e d t o m i n i m i z e t h e m e a s u r e m e n t e r r o r . T h e 1 4 7 I n i t i a l E s t i m a t e s o = e ‘ - j e " S o l v e F E B I E q u a t i o n C o m p u t e E G B ' i s l l E m e a s - E C B ' I I Z C o m p u t e m e a s u r e m e n t s E 1 1 1 5 5 g r a d i e n t . d 8 B r e a s t T o m o g r a p h y F i g u r e 1 0 . 4 . I t e r a t i v e p e r m i t t i v i t y r e c o n s t r u c t i o n p r o c e d u r e . p e r m i t t i v i t y e s t i m a t e i s u p d a t e d i t e r a t i v e l y a s i l l u s t r a t e d i n F i g u r e F i g u r e 1 0 . 4 u n t i l t h e m e a s u r e m e n t e r r o r i s m i n i m i z e d . A T a y l o r s e r i e s e x p a n s i o n o f E 2 1 6 0 3 a b o u t t h e s o l u t i o n y i e l d s , . ( 1 1 5 v a d Q W ' A T Z E 1 . " ( H A 6 ) : E g ’ " ( a ) + d 6 : a e + d 6 ; — — 2 ( — + 0 . ” , ( 1 0 . 3 0 ) w h e r e O n , i n ( 1 0 . 3 0 ) r e p r e s e n t s t h e h i g h e r o r d e r d e r i v a t i v e s i n t h e T a y l o r s e r i e s e x - p a n s i o n . N e g l e c t i n g t h e h i g h e r o r d e r d e r i v a t i v e s , a l i n e a r i z e d T a y l o r s e r i e s e x p a n s i o n o f t h e f o r m , d E I ’ " 8 8 A 6 : E l . ” ( E + A c ) — E ? ( 6 “ ) ( 1 0 . 3 1 ) i s u s e d t o s o l v e f o r t h e u n k n o w n p e r m i t t i v i t y d i s t r i b u t i o n . E q u a t i o n ( 1 0 . 3 1 ) c a n b e 1 4 8 K L , Z : { m l { z fi 1 i / ] [ C { d c { k { 0 } } 0 } z : : — + - — - d ( l i W z — d % E i { + k — } Z , 1 d 1 ( e [ _ - } 1 l 4 l 1 , z E Z : p i l l 1 + { { § % W , 1 } { , M } [ d _ ? T } c i — / 1 ’ ( 1 1 ) ; 7 } C ] { ( 1 1 . 1 , ) e S ( 1 0 . 3 4 a ) e k " f l } « _ 1 0 ' ( 1 0 . . 1 . , . ) e * d ] [ 1 K 1 e , . = 2 1 / F e r e w r i t t e n a s , . 1 A E = E E K , ” ( 1 0 3 2 ) w h e r e A X E / 2 " “ : E 2 ” ( 6 + A s ) — E 2 ” ( é ) a n d J i s t h e J a c o b i a n m a t r i x c o n t a i n i n g t h e fi r s t d e r i v a t i v e o f E g ” w i t h r e s p e c t t o e . T h e fi r s t d e r i v a t i v e o f t h e fi e l d m e a s u r e m e n t s k t h ” w i t h r e s p e c t t o t h e e l e m e n t s p e r m i t t i v i t y i n s i d e t h e d i s c r e t i z e d c o m p u t a t i o n a l d o m a i n i s c o m p u t e d u s i n g ( 1 0 . 2 8 ) a s , E 2 ” _ r 7 ‘ ( 1 1 1 " ) , r ' 7 ‘ { 1 1 ] } ; ( [ 7 8 ( 1 E ; { 3 6 : } — — [ A m l { — d ‘ k - [ 4 1 ) ] H + l e r 2 1 : ] : + [ P r ] d f k I n ( 1 0 . 3 3 ) , t h e d e r i v a t i v e s o f E z , 1 ’ 1 , J m , a n d . 1 1 1 a r e o b t a i n e d b y d i f f e r e n t i a t i n g } ( 1 0 . 3 3 ) ( 1 0 . 2 3 ) a n d ( 1 0 . 2 7 ) . D i f f e r e n t i a t i n g ( 1 0 . 2 3 ) a n d ( 1 0 . 2 7 ) w i t h r e s p e c t t o t h e k t h e l e - m e n t s p e r m i t t i v i t y y i e l d s t h e l i n e a r s y s t e m o f e q u a t i o n s , + [ Q i l [ d — € ; } + 1 P 1 l { ( f i — Z f } 1 ( 1 1 . 1 0 6 5 ( 1 0 . 3 4 1 1 ) + [ Q a l { a } + l p z l { % f } 1 ( J a y ) E F M ( I O - 3 4 0 ) f o r t h e u n k n o w n d e r i v a t i v e s o f E ~ 9 ’ 1 , 0 , J m a n d J P ' U s i n g ( 1 0 . 2 4 2 1 ) a n d t h e C a u c h 7 - R i e m a n n e q u a t i o n s f o r c o m p l e x d i f f e r e n t i a t i o n , ( 1 0 3 4 2 1 ) i s e x p r e s s e d a s [ 1 7 2 ] , 1 4 9 T h e J a c o b i a n m a t r i x i s a s s e m b l e d u s i n g t h e c h a i n r u l e a n d C a u c h y - K i e m a n n r u l e f o r c o m p l e x d i f f e r e n t i a t i o n f o r t h e o p t i m a l m i r r o r d e f o r m a t i o n s , { P M } ; 1 . T h e i t e r a t i v e i n v e r s i o n p r o c e d u r e s o l v e s , J T J A 3 = J T A E 2 " ( 1 0 . 3 6 ) f o r t h e p e r m i t t i v i t y u p d a t e , A 6 t o o b t a i n t h e p e r m i t t i v i t y e s t i m a t e e m ” : 6 0 “ + a 3 , a > 0 . ( 1 0 . 3 7 ) n e w , fi e l d a t t h e r e c e i v e r l o c a t i o n s a r e c a l c u l a t e d u s i n g ( 1 0 . 2 8 ) . F o r t h e n e w e s t i m a t e 6 A b e t t e r e s t i m a t e f o r t h e u n k n o w n 1 , ) e r m i t t i v i t y i s o b t a i n e d u s i n g ( 1 0 . 3 4 ) - ( 1 0 . 3 7 ) u n t i l o n e o f t h e f o l l o w i n g s t o p p i n g c r i t e r i a , H E r n e a s _ E g a l ” 2 4 1 l a E g z c a s l l 2 - 6 E ( 1 0 . 3 8 a ) ” 6 7 1 6 ’ w _ € 0 1 d | l 2 S 6 6 ( 1 0 3 8 b ) i s s a t i s fi e d . I n ( 1 0 . 3 8 a ) - ( 1 0 . 3 8 1 : ) ) , ( 5 E a n d 6 6 a r e p o s i t i v e r e a l n u m b e r s t h a t d e t e r m i n e t h e e r r o r i n r e c o n s t r u c t e d S p a t i a l p e r m i t t i v i t y d i s t r i b u t i o n i n s i d e t h e b r e a s t . 1 0 . 3 . 2 R e g u l a r i z a t i o n I n v e r s e s c a t t e r i n g p r o b l e m s a r e i l l - p o s e d a n d y i e l d s a h i g h l y i l l — c o n d i t i o n e d J a c o b i a n m a t r i x . T h e i l l - c o n d i t i o n e d J a c o b i a n m a t r i x r e s u l t s i n u n s t a b l e s o l u t i o n s . T h e i n s t a - b i l i t y i n t h e s o l u t i o n i s m i n i m i z e d b y s o l v i n g t h e r e g u l a r i z e d p r o b l e m [ 1 6 2 , 7 6 ] , [ . I T J + 7 L T L ] A 6 : J T A E g n , 7 > 0 ( 1 0 . 3 9 ) 1 5 0 w h i c h i s a s o l u t i o n t o t h e m i n i m i z a t i o n p r o b l e m , A 6 = a r g m z ' n l l J T J — F A E 2 ’ 2 ' l l 2 + 3 | a n A e 2 ( 1 0 . 4 0 ) I n ( 1 0 . 4 0 ) , 7 i s t h e r e g u l a r i z a t i o n p a r a m e t e r w h i c h , i s d e t e r m i n e d e m p i r i c a l l y a n d L i s t h e p e n a l t y f u n c t i o n t h a t i s u s e d t o i m p o s e p r i o r i c o n s t r a i n t s t o t h e s o l u t i o n . W h e n L e q u a l s t h e i d e n t i t y m a t r i x , ( 1 0 . 4 0 ) c o r r e s p o n d s t o t h e z e r o t h o r d e r r e g u l a r i z a t i o n . T h e i n v e r s i o n a l g o r i t h m i t e r a t i v e l y s o l v e s t h e l i n e a r i z e d r e g u l a r i z a t i o n p r o b l e m u n t i l t h e e r r o r b e t w e e n t h e m e a s u r e d a n d c o m p u t e d fi e l d i s b e l o w t h e d e s i r e d t o l e r a n c e . 1 0 . 4 T o m o g r a p h y - S i m u l a t i o n s T h e f e a s i b i l i t y o f t o m o g r a p h i c r e c o n s t r u c t i o n o f t h e h e t e r o g e n e o u s b r e a s t p e r m i t t i v i t y u s i n g d e f o r m a b l e m i r r o r i s i n v e s t i g a t e d v i a n u m e r i c a l s i m u l a t i o n s . T h e m u l t i - v i e w ‘ d f F K j . . . . . . . 1 . m e a s u r e m e n t s c o m p u t e o r { M l i z l a r e u s e d i n p e r m i t t m t y e s t i m a t i o n . S o u t l o n t o t h e i l l - p o s e d i n v e r s e s c a t t e r i n g p r o b l e m w a s a c h i e v e d u s i n g t h e r e g u l a r i z e d i n v e r s e p r o b l e m f o r t h e u n k n o w n p e r m i t t i v i t y d i s t r i b u t i o n i n s i d e t h e b r e a s t . R o b u s t n e s s o f t h e r e c o n s t r u c t i o n t e c h n i q u e w a s e v a l u a t e d i n t h e p r e s e n c e o f a d d i t i v e r a n d o m n o i s e w i t h t h e c o u p l i n g s o l u t i o n a s t h e i n i t i a l e s t i m a t e . 1 0 . 4 . 1 P i e c e w i s e C o n t i n u o u s S c a t t e r e r - M o d e l A I n t h e 2 D s i m u l a t i o n s , fi e l d p r o d u c e d b y a 9 c m d i a m e t e r i n h o m o g e n e o u s b r e a s t m o d e l w a s c o m p u t e d a t ‘ 2 4 l o c a t i o n s o n a 1 2 c m d i a m e t e r a n n u l a r r i n g s u r r o u n d i n g t h e b r e a s t . F i e l d c a l c u l a t e d f o r t h e o p t i m a l m i r r o r s h a p e s , { P M } { ; 1 w e r e u s e d f o r p e r m i t t i v i t y r e c o n s t r u c t i o n . T h e h e t e r o g e n e o u s 2 D m a t h e m a t i c a l p h a n t o m w a s d i s c r e t i z e d i n t o 3 0 0 t r i a n g u l a r e l e m e n t s w i t h 2 0 5 e l e m e n t s w i t h u n k n o w n m a t e r i a l p r o p e r t y . F i g u r e F i g u r e 1 0 . 5 s h o w s t h e 2 D F E B I m e s h o f t h e i n h o m o g e n e o u s b r e a s t m o d e l w i t h b a c k g r o u n d p e r m i t t i v i t y , e . T h e p e r m i t t i v i t y o f t h e s c a t t e r e r i s 6 1 i n t h e p e r i p h e r y a n d g r a d u a l l y i n c r e a s e s t o 6 4 . T h e p e r m i t t i v i t y v a l u e s a s s i g n e d t o 1 5 1 « 0 3 5 - I I , A , - 0 0 6 - 0 0 4 - 0 0 2 0 0 0 2 0 0 4 0 . 0 6 F i g u r e 1 0 . 5 . T w o d i m e n s i o n a l m e s h o f t h e h e t e r o g e n e o u s b r e a s t . t h e h e t e r o g e n e o u s b r e a s t m o d e l i n F i g u r e F i g u r e 1 0 . 5 a r e l i s t e d i n T a b l e T a b l e 1 0 . 1 . T h e t i s s u e c o n d u c t i v i t y l i s t e d i n T a b l e T a b l e 1 0 . 1 i s r e l a t i v e l y l o w e r c o m p a r e d t o t h e e x p e r i m e n t a l d a t a r e p o r t e d i n [ 4 7 ] . T h u s , t h e c o n t r a s t b e t w e e n t h e r e a l a n d i m a g i n a r y p a r t s o f t h e d i e l e c t r i c c o n s t a n t i s m o r e t h a n a n o r d e r o f m a g n i t u d e f o r m o d e l A . T h e p e r m i t t i v i t y d i s t r i b u t i o n w a s c h o s e n t o e v a l u a t e t h e a b i l i t y o f t h e n e a r fi e l d d e f o r m a b l e m i r r o r t o m o g r a p h y t o r e c o n s t r u c t p e r m i t t i v i t y p r o fi l e s w i t h h u g e c o n t r a s t b e t w e e n t h e r e a l a n d i m a g i n a r y p a r t s a n d t o i n v e s t i g a t e t h e i m p a c t o f c h o i c e o f m i r r o r d e f o r m a t i o n s o n p e r m i t t i v i t y r e c o n s t r u c t i o n s . 1 0 . 4 . 1 . 1 M u l t i p l e M i r r o r D e f o r m a t i o n s - M o d e l A T h e m i n i m a l n u m b e r o f m i r r o r s h a p e s r e q u i r e d f o r r e l i a b l e p e r m i t t i v i t y r e c o n s t r u c t i o n w a s i n v e s t i g a t e d f o r d i e l e c t r i c m o d e l A u s i n g fi e l d m e a s u r e m e n t s f r o m 8 , 1 2 a n d 1 6 m i r r o r s h a p e s b e l o n g i n g t o { P M l z ' I i 1 . I n a l l s i m u l a t i o n s , t h e i n v e r s i o n a l g o r i t h m w a s i n i t i a l i z e d w i t h t h e b a c k g r o u n d p e r m i t t i v i t y a n d t h e p e r m i t t i v i t y p r o fi l e e s t i m a t e d a f t e r e a c h i t e r a t i o n w a s c o n s t r a i n e d u s i n g a g e n e r o u s u p p e r a n d l o w e r b o u n d s . F o r 1 5 2 T a b l e 1 0 . 1 . P e r m i t t i v i t y v a l u e s o f t h e i n h o m o g e n e o u s b r e a s t m o d e l u s i n g D e b y e d i s p e r s i o n m o d e l [ 1 6 3 ] ( 6 b a c k g r o u n d p e r m i t t i v i t y ) . M e d i u m C o m p l e x p e r m i t t i v i t y e 9 . 5 — — 3 0 . 2 0 6 1 9 . 5 — 3 0 . 2 3 5 2 1 5 . 1 4 5 2 — j 0 . 5 2 2 9 6 3 2 8 . 5 2 6 3 — 3 0 . 9 8 3 3 6 4 4 9 . 6 1 3 3 — j 1 . 3 2 3 3 f a i r c o m p a r i s o n , i d e n t i c a l s c a l i n g a n d r e g u l a r i z a t i o n p a r a m e t e r s , a a n d 7 w e r e u s e d d u r i n g i n v e r s i o n f o r t h e d i f f e r e n t s e t o f m i r r o r s h a p e s . F i g u r e F i g u r e 1 0 . 6 c o m p a r e s t h e t o m o g r a p h i c i m a g e s r e c o n s t r u c t e d u s i n g 8 , 1 2 a n d 1 6 m i r r o r s a t t h e 6 8 t h i t e r a t i o n f o r t h o r d e r r e g u l a r i z a t i o n t e c h n i q u e . F i g u r e F i g u r e 1 0 . 7 - F i g u r e 1 0 . 9 c o m p a r e s t h e z e r o t h e p e r m i t t i v i t y p r o fi l e s a l o n g h o r i z o n t a l , v e r t i c a l a n d d i a g o n a l t r a n s e c t s t h r o u g h t h e b r e a s t m o d e l a f t e r s a m e n u m b e r o f i t e r a t i o n s . T h e i n h e r e n t l o w - p a s s fi l t e r i n g p r o p e r t y o f t h e r e g u l a r i z a t i o n t e c h n i q u e [ 7 6 ] r e s u l t s i n a s m o o t h e d r e c o n s t r u c t i o n o f t h e p e r m i t t i v i t y p r o f i l e . T o m o g r a p h i c r e c o n s t r u c t i o n s s h o w n i n F i g u r e s F i g u r e 1 0 . 6 - F i g u r e 1 0 . 9 i m p l y t h a t t h e i n v e r s i o n r e s u l t i m p r o v e s w i t h i n c r e a s e i n t h e n u m b e r o f m i r r o r s h a p e s t h o u g h a c c e p t a b l e r e s u l t s c a n b e o b t a i n e d e v e n w i t h 8 m i r r o r s s h a p e s . U n l i k e c o n v e n t i o n a l t e c h n i q u e , i n t h e p r o p o s e d t o m o g r a p h y t e c h n i q u e t h e a b i l i t y t o a c q u i r e m o r e fi e l d m e a s u r e m e n t s i s n o t l i m i t e d b y t h e n u m b e r o f t r a n s c e i v e r a n t e n n a s . W i t h t h e a i d o f d e f o r m a b l e m i r r o r a m u l t i t u d e o f fi e l d m e a s u r e m e n t s c a n b e a c q u i r e d f o r i m a g e r e c o n s t r u c t i o n . 1 0 . 4 . 2 P i e c e w i s e C o n t i n u o u s S c a t t e r e r - B r e a s t M o d e l B I n M o d e l B , t h e m e s h . i n F i g u r e F i g u r e 1 0 . 5 w a s u s e d f o r t h e b r e a s t t i s s u e p r o p e r t i e s r e p o r t e d i n [ 4 7 ] . T h e p e r m i t t i v i t y v a l u e s a s s i g n e d t o t h e fi n i t e e l e m e n t m e s h a r e l i s t e d i n T a b l e T a b l e 1 0 . 2 . T h e p e r m i t t i v i t y v a l u e s i n T a b l e T a b l e 1 0 . 2 a r e h i g h e r t h a n t h e fi r s t o r d e r D e b y e d i s p e r s i o n m o d e l . S i m u l a t i o n s w e r e c a r r i e d o u t u s i n g t h e 1 5 3 g " 0 . 3 5 ( b ) . 0 3 0 . 2 5 0 . 0 5 g " 0 3 5 ( d 0 . 2 5 0 0 5 S : 0 . 3 5 a ” 0 3 5 4 0 ( e ) 0 . 3 ‘ 0 ( f ) 0 3 2 0 0 . 2 5 1 0 0 . 2 5 0 . 0 5 0 . 0 5 g ” 0 . 3 5 4 0 3 0 ( h ) 2 0 Y 1 0 0 2 5 L x - 0 0 5 F i g u r e 1 0 . 6 R e c o n s t r u c t i o n a t 6 8 t h i t e r a t i o n . ( a ) / ’ e ( b e ’ o f t r u e s o l u t i o n ; ( c ) 6 / ( d ) e ” f o r 8 m i r r o r s : ( e ) e " ( f ) e ” f o r 1 2 m i r r o r s ; ( g ) e ( h ) r ” f o r 1 6 m i r r o r s [ 1 6 7 ] . 1 5 4 - 0 . 3 5 - 0 - 3 4 - 0 . 3 3 - 0 . 3 2 - 0 - 3 1 - 0 . 3 0 . 2 9 - 0 - 2 8 - 0 . 2 7 - 0 . 2 6 0 . 2 6 V F i g u r e 1 0 . 7 . R e c o n s t r u c t e d p e r m i t t i v i t y p r o fi l e a l o n g x = 0 f o r 8 , 1 2 a n d 1 6 m i r r o r d e f o r m a t i o n s . 1 5 5 4 0 ~ 8 ' 3 0 ~ 2 0 ~ 1 : , . U h 1 1 1 1 2 . . - _ . - . f . _ - ‘ . - 1 - . _ : - . 0 5 0 - 0 4 0 - 3 0 - 0 2 0 - 0 1 0 0 . 0 1 0 - 0 2 0 - 0 3 0 - 0 4 0 . 0 5 X 0 - 4 ' ' ' ' ' ' 0 . 5 ‘ 0 - 3 ’ — e — 1 2 _ 1 P + 1 6 - 1 . 2 ’ - l l l l l i n ; l l l J l 0 . 0 5 0 . 0 4 0 - 0 3 0 . 0 2 0 . 0 1 0 0 - 0 1 0 - 0 2 0 - 0 3 0 - 0 4 0 - 0 5 X F i g u l ‘ e 1 0 . 8 . R e c o n s t r u c t e d p e r m i t t i v i t y p r o fi l e a l o n g y = - 0 . 3 0 4 f o r 8 , 1 2 a n d 1 6 m i r r o r d e f o r m a t i o n s . 1 5 6 5 0 _ 1 l 1 A — A c t u a l ° ' 4 0 - . . . . . . 3 - G - 1 2 3 0 ' + 1 6 2 0 - 1 0 : : - . — . 1 . : ‘ 7 . . . ” . - H - . " " « a 1 1 1 1 “ 1 ' 0 - 0 5 0 - 0 4 0 . 0 3 0 . 0 2 0 . 0 1 0 0 . 0 1 0 - 0 2 0 - 0 3 0 - 0 4 0 . 0 5 0 . 0 4 0 . 0 3 0 . 0 2 0 . 0 1 0 0 - 0 1 0 . 0 2 0 . 0 3 0 . 0 4 F i g u l ‘ e 1 0 . 9 . R e c o n s t r u c t e d p e r m i t t i v i t y p r o fi l e a l o n g t h e d i a g o n a l f o r 8 , 1 2 a n d 1 6 m i r r o r d e f o r m a t i o n s . T a b l e 1 0 . 2 . P e r m i t t i v i t y v a l u e s o f t h e i n h o m o g e n e o u s b r e a s t m o d e l [ 4 7 ] ( 6 b a c k g r o u n d p e r m i t t i v i t y ) . M e d i u m C o m p l e x p e r m i t t i v i t y 6 1 4 . 8 5 0 0 — 3 3 . 4 7 6 1 1 6 . 5 0 0 0 — j 3 . 8 5 0 0 8 2 2 6 . 7 0 0 0 — 3 9 . 3 7 0 0 6 3 4 7 . 1 0 0 0 — 3 2 0 . 4 2 0 0 ( 4 5 7 . 3 0 0 0 — j 2 5 . 9 4 0 0 v a l u e s i n [ 4 7 ] t o e v a l u a t e t h e f e a s i b i l i t y o f p e r m i t t i v i t y i m a g i n g w i t h v a r i a t i o n s i n t i s s u e p r o p e r t i e s . 1 0 . 4 . 2 . 1 I n v e r s i o n - N o i s e F m e M e a s u r e m e n t s A s d i s c u s s e d e a r l i e r , fi e l d m e a s u r e m e n t s c o m p u t e d a t 2 4 r e c e i v e r p o s i t i o n s f o r T M z p o l a r i z a t i o n a t . 7 0 0 M H z w e r e u s e d f o r p e r m i t t i v i t y i n v e r s i o n . T h e t o t a l fi e l d m a i n - t a i n e d b y 2 5 m i r r o r s h a p e s w e r e u s e d t o r e c o n s t r u c t t h e p e r m i t t i v i t y o f t h e c o m p u - t a t i o n a l b r e a s t m o d e l , B . A n a d d i t i o n a l c o n s t r a i n t o n t h e p e r m i t t i v i t y u p d a t e w a s i m p o s e d b y s e t t i n g L t o b e t h e L a p l a c i a n d i f f e r e n t i a t i o n o p e r a t o r , L i n 1 0 . 3 9 . F i g u r e F i g u r e 1 0 . 1 0 s h o w s t h e r e c o n s t r u c t e d p e r m i t t i v i t y d i s t r i b u t i o n f o r t h e b r e a s t m o d e l B . T h e l e a s t s q u a r e r e c o n s t r u c t i o n e r r o r c a l c u l a t e d d u r i n g t h e i t e r a t i v e p r o c e d u r e i s s h o w n i n F i g u r e F i g u r e 1 0 . 1 1 . A c o m p a r i s o n o f t h e r e c o n s t r u c t e d p e r m i t t i v i t y p r o fi l e s a l o n g t h e h o r i z o n t a l a n d v e r t i c a l t r a n s e c t s t h r o u g h t h e t u m o r c e n t e r a r e s h o w n i n F i g — u r e s F i g u r e 1 0 . 1 2 - F i g u r e 1 0 . 1 3 . T h e a d d i t i o n a l c o n s t r a i n t i m p o s e d b y t h e L a p l a c i a n o p e r a t o r p e n a l i z e s p e r m i t t i v i t y u p d a t e s w i t h a b r u p t v a r i a t i o n a n d e n s u r e s s m o o t h a n d s t a b l e s o l u t i o n . F r o m F i g u r e s F i g u r e 1 0 . 1 0 - F i g u r e 1 0 . 1 1 , i t c a n b e o b s e r v e d t h a t r e g u l a r i z a t i o n o f t h e p r o b l e m f o r a s t a b l e s o l u t i o n r e s u l t s i n t h e s m o o t h r e c o n s t r u c - t i o n . 1 5 8 5 4 2 0 o 0 0 . 2 5 ' 3 . 3 - 4 . 1 1 1 “ . fl 0 _ . 3 ' 4 2 0 0 1 ' ( 1 0 5 ' 0 1 ; 4 1 3 2 . 4 . 4 4 : - - 0 0 . 0 5 : 0 < - 0 . 3 ’ 0 Y ( m ) 4 3 . 3 5 0 . 0 5 x ( m ) ( a ) ( C ) ( ( 0 F i g u r e 1 0 . 1 0 . P e r m i t t i v i t y r e c o n s t r u c t i o n o f n o i s e f r e e m e a s u r e m e n t s f o r t h e r e g u l a r - i z e d p r o b l e m ( a ) 5 ' a n d ( b ) - 6 ” f o r t h e t r u e d i s t r i b u t i o n , ( c ) 6 ’ a n d ( b ) - e " e s t i m a t e d r e c o n s t r u c t i o n [ 1 6 6 ] . 1 5 9 1 0 “ ' ' ' . ‘ ' ' 1 0 2 — - L L } 2 2 . 1 0 0 — . 4 1 0 ‘ 3 - 4 1 0 - 4 1 1 1 1 1 1 H 1 0 1 0 : 2 0 3 0 4 0 5 0 6 0 1 0 I T E R A T I O N S F i g u r e 1 0 . 1 1 . R e c o n s t r u c t i o n e r r o r f o r t h e n o i s e f r e e m e a s u r e m e n t s . 1 0 . 4 . 2 . 2 I n v e r s i o n - 2 % N o i s e M e a s u r e m e n t s T h e r o b u s t n e s s o f t h e p r o p o s e d t o m o g r a p h i c t e c h n i q u e w a s i n v e s t i g a t e d b y a d d i n g z e r o m e a n r a n d o m n o i s e t o t h e fi e l d m e a s u r e m e n t s . T h e a m o u n t o f n o i s e a d d e d t o t h e m e a s u r e m e n t fi e l d w a s q u a n t i fi e d u s i n g t h e r a t i o o f 1 2 n o r m , 7 1 1 7 , 1 . . ( 1 0 . 4 1 1 E 1 . ” ) I n t h e p r e s e n c e o f n o i s e , t h e r e c o n s t r u c t i o n w a s n o i s y a n d o f t e n s t a g n a t e d i n l o - c a l m i n i m a . T o e n s u r e s t a b l e s o l u t i o n , a d d i t i o n a l c o n s t r a i n t w a s i m p o s e d u s i n g t h e L a p l a c i a n d i f f e r e n t i a t i o n o p e r a t o r . F i g u r e F i g u r e 1 0 . 1 4 s h o w s t h e b r e a s t p e r m i t t i v i t y e s t i m a t e d b y t h e i n v e r s i o n p r o c e s s i n t h e p r e s e n c e o f 2 % r a n d o m n o i s e f o r d i f f e r e n t L a p l a c i a n m a s k s a n d i d e n t i c a l r e g u l a r i z a t i o n p a r a m e t e r 7 . T h e r e c o n s t r u c t i o n r e s u l t 1 6 0 6 0 5 0 4 0 3 0 2 0 1 O 3 0 2 5 2 0 1 5 1 0 F i g u r e x : 0 . F T Y ' I U I I I I 7 " o n . . . t r u e 8 ' ' l . — e s t i m a t e d 5 ' - l - . 4 , , ‘ ‘ - 0 . 3 5 - 0 . 3 4 0 . 3 3 0 . 3 2 - 0 . 3 1 - 0 . 3 - 0 . 2 9 0 2 8 - 0 . 2 7 0 . 2 6 0 . 2 5 Y . . . . . . . t r u e ' 8 . - - e s t i m a t e d - s ‘ J . l l 1 l l l l l l 0 3 5 0 . 3 4 - 0 . 3 3 - 0 . 3 2 0 . 3 1 - 0 . 3 0 2 9 - 0 2 8 - 0 . 2 7 - 0 . 2 6 . 0 2 5 Y 1 0 . 1 2 . R e c o n s t r u c t e d p e r m i t t i v i t y p r o fi l e f o r n o i s e f r e e m e a s u r e m e n t s a l o n g 1 6 1 6 0 3 0 2 5 2 0 1 5 1 0 I U I T T I l I - T T I o o o o o o ‘ m e 8 ' - — e s t i m a t e d 2 ' y T I - 0 . 0 5 0 . 0 4 - 0 . 0 3 - 0 . 0 2 0 0 1 0 0 . 0 1 0 . 0 2 0 . 0 3 0 . 0 4 0 . 0 5 1 1 T T U 5 T V I T T 7 . . . . . . . . 0 0 0 . . . t r u e . 8 . - 1 - — e s t i m a t e d - e ‘ I I 0 . 0 5 0 . 0 4 0 . 0 3 0 . 0 2 0 . 0 1 o 0 . 0 1 0 . 0 2 0 . 0 3 0 . 0 4 0 . 0 5 X F i g u r e 1 0 . 1 3 . R e c o n s t r u c t e d p e r m i t t i v i t y p r o fi l e a l o n g y : - 0 . 3 0 4 . 1 6 2 i s a c c e p t a b l e f o r fi e l d m e a s u r e m e n t s w i t h 2 % r a n d o m n o i s e . T h e e r r o r i n fi e l d m e a - s u r e m e n t s f o r t h e e s t i m a t e d p e r m i t t i v i t y d i s t r i b u t i o n c o m p u t e d d u r i n g t h e i t e r a t i v e i n v e r s i o n p r o c e s s i s s h o w n i n F i g u r e F i g u r e 1 0 . 1 5 . I n F i g u r e F i g u r e 1 0 . 1 5 , a s t h e i t e r a t i o n i n c r e a s e s t h e r e c o n s t r u c t i o n e r r o r d e c r e a s e s a n d t h e p e r m i t t i v i t y e s t i m a t e c o n v e r g e s t o t h e t r u e s o l u t i o n . 1 0 . 4 . 3 C o n t i n u o u s S c a t t e r e r - B r e a s t M o d e l C A l o s s y i n h o m o g e n e o u s b r e a s t m o d e l w i t h a s m o o t h d i e l e c t r i c p r o fi l e w a s c o n s i d e r e d f o r t o m o g r a p h i c r e c o n s t r u c t i o n u s i n g 1 6 m i r r o r s h a p e s . F i e l d m e a s u r e m e n t s c o m p u t e d f o r c o n t i n u o u s w a v e e x c i t a t i o n a t 7 0 0 M H Z w a s u s e d d u r i n g i n v e r s i o n . T h e s p a t i a l p e r m i t t i v i t y i n s i d e t h e b r e a s t m o d e l i s g i v e n b y t h e e x p r e s s i o n [ 1 7 3 ] , ) a e — % [ ( 1 7 - $ 0 ) 2 + ( y - 1 1 0 ) 2 ] m 6 H : 6 6 7 + ( 6 0 ¢ — % Z [ ( $ — $ 0 ) 2 + ( y — Z / 0 ) 2 ] ( 1 0 4 2 ) w h e r e a , b , c , d a r e r e a l n u m b e r s a n d a r e t h e r e a l a n d i m a g i n a r y c o m p o n e n t s o f t h e b a c k g r o u n d m e d i u m a n d 6 d = 6 ' — j g ” . I n ( 1 0 . 4 2 ) , 6 6 a n d 6 6 ’ a r e t h e r e a l a n d i m a g i n a r y c o m p o n e n t s o f t h e p e r m i t t i v i t y o f b e n i g n b r e a s t t i s s u e a t 7 0 0 M H z r e p o r t e d i n [ 4 7 ] . T h e p e r m i t t i v i t y p r o fi l e o f t h e s c a t t e r e r o b t a i n e d u s i n g ( 1 0 . 4 2 ) i s s h o w n i n F i g u r e F i g u r e 1 0 . 1 6 . 1 0 . 4 . 3 . 1 I n v e r s i o n - N o i s e F r e e M e a s u r e m e n t s F i e l d m e a s u r e m e n t s a t 2 4 r e c e i v e r l o c a t i o n s c o m p u t e d f o r 1 6 m i r r o r s h a p e s w e r e u s e d t o r e c o n s t r u c t t h e p e r m i t t i v i t y o f 1 6 8 u n k n o w n e l e m e n t s i n s i d e t h e s c a t t e r e r . T h e p e r m i t t i v i t y r e c o n s t r u c t i o n f o r t h e n o i s e f r e e m e a s u r e m e n t s i s s h o w n i n F i g u r e F i g u r e 1 0 . 1 7 . I n t h e a b s e n c e o f n o i s e , t h e r e c o n s t r u c t i o n c o n v e r g e d r a p i d l y t o t h e t r u e s o l u t i o n f o r t h e fi r s t o r d e r r e g u l a r i z a t i o n p r o b l e m . 1 6 3 1 8 8 1 5 8 . , . 3 y ( m 0 . 3 5 { 1 . 0 5 x ( m ) ) 1 5 0 . 2 5 4 1 3 0 F ( m ) - U . 3 5 - 0 . 0 5 x ( m ) ( e ) ( f ) F i g u r e 1 0 . 1 4 . R e c o n s t r u c t i o n r e s u l t s w i t h 2 % a d d i t i v e r a n d o m n o i s e ( a ) t r u e 6 ’ d i s - t r i b u t i o n ( b ) t r u e - 6 ” d i s t r i b u t i o n ( c ) e ’ a n d ( d ) - e ” f o r L 1 ( e ) 6 ’ a n d ( f ) - e ” f o r L 2 . 1 6 4 M S E 1 o 2 0 3 ‘ 0 4 ‘ 0 5 0 5 0 l ' I ' E R A T I O N S F i g u r e 1 0 . 1 5 . R e c o n s t r u c t i o n e r r o r f o r L 1 i n t h e p r e s e n c e o f 2 % a d d i t i v e r a n d o m n o i s e . y ( m ) “ 0 ' 4 0 . 1 F i g u r e 1 0 . 1 6 . P e r m i t t i v i t y d i s t r i b u t i o n o f a s c a t t e r e r w i t h s m o o t h p r o fi l e , 5 : 6 ’ — j € ” . 1 6 5 1 O 0 . 3 5 - N ' N O ~ M H m ) 4 ” 0 ‘ ) - 0 - 1 0 V 0 . 1 0 1 5 1 0 1 ) . M m ) ' 0 - 4 . 1 0 ) ( c x ( m ) y ( m ) ' 0 ‘ 4 - 0 . 1 X ( m ) p . - L A F i g u r e 1 0 . 1 7 . T o m o g r a p h i c r e c o n s t r u c t i o n o f n o i s e f r e e m e a s u r e m e n t s u s i n g 1 6 m i r r o r s h a p e s ( a ) 6 ’ a n d ( b ) 4 . ” o f t h e t r u e p r o fi l e , ( c ) 6 ' a n d ( d ) - 6 ” o f t h e r e c o n s t r u c t e d p r o fi l e ( e b g n d = 1 6 . 5 0 — 3 3 . 8 5 ) [ 1 7 3 ] . 1 6 6 1 0 . 4 . 3 . 2 I n v e r s i o n - N o i s y M e a s u r e m e n t s Z e r o m e a n r a n d o m n o i s e w a s a d d e d t o t h e fi e l d m e a s u r e m e n t s c o m p u t e d f o r t h e 1 6 m i r r o r s h a p e s . I n v e r s i o n r e s u l t s f o r t h e n o i s y fi e l d m e a s u r e m e n t s w e r e s t u d i e d f o r 1 . 5 % , 5 % a n d 1 0 % n o i s e l e v e l s [ 1 7 3 ] . T h e r e c o n s t r u c t i o n s w e r e o b t a i n e d f o r t h e n o i s y m e a s u r e m e n t s b y i n c l u d i n g t h e L a p l a c i a n p e n a l t y f u n c t i o n i n t h e o p t i m i z a t i o n p r o b l e m . T h e r e c o n s t r u c t i o n r e s u l t f o r a 1 . 5 % r a n d o m n o i s e i s s h o w n i n F i g u r e s F i g u r e 1 0 . 1 8 ( c ) - ( d ) . T h e r e c o n s t r u c t i o n i s c o m p a r a b l e t o t h e t r u e s o l u t i o n a n d i m p r o v e d w i t h i n c r e a s e i n t h e n u m b e r o f i t e r a t i o n s . F i g u r e s F i g u r e 1 0 . 1 9 ( c ) - ( d ) s h o w s t h e r e c o n s t r u c t e d s p a t i a l p e r m i t t i v i t y d i s t r i b u t i o n f o r m e a s u r e m e n t s w i t h 5 % r a n d o m n o i s e . W i t h i n c r e a s e i n i t e r a t i o n n u m b e r , t h e i n v e r s i o n y i e l d s p e r m i t t i v i t y e s t i m a t e s c l o s e r t o t h e t r u e p r o fi l e . T h e r e c o n s t r u c t i o n e r r o r c o m p u t e d d u r i n g t h e i t e r a t i v e i n v e r s i o n i s s h o w n i n F i g u r e F i g u r e 1 0 . 2 0 . T h e r e c o n s t r u c t e d p e r m i t t i v i t y i n t h e p r e s e n c e o f 1 0 % r a n d o m n o i s e i s s h o w n i n F i g u r e s F i g u r e 1 0 . 2 1 ( c ) - ( d ) . W i t h t h e b a c k g r o u n d p e r m i t t i v i t y a s t h e i n i t i a l e s t i m a t e , t h e p e r m i t t i v i t y d i s t r i b u t i o n i n s i d e t h e m a t h e m a t i c a l b r e a s t m o d e l w a s r e c o n s t r u c t e d f o r 1 6 m i r r o r s h a p e s i n t h e p r e s e n c e o f d i f f e r e n t n o i s e l e v e l s . T h e r e c o n s t r u c t i o n r e s u l t s i n F i g u r e s F i g u r e 1 0 . 1 8 — F i g u r e 1 0 . 2 1 d e m o n s t r a t e t h e r o b u s t n e s s a n d f e a s i b i l i t y o f t h e p r o p o s e d d e f o r m a b l e m i r r o r t o m o g r a p h y s y s t e m . 1 0 . 4 . 3 . 3 C h o i c e o f r e g u l a r i z a t i o n p a r a m e t e r , 7 F o r a 5 % a d d i t i v e r a n d o m n o i s e , s i m u l a t i o n s w e r e c a r r i e d o u t f o r a w i d e r a n g e o f c / a n d t h e i n v e r s i o n r e s u l t s w e r e u s e d t o c o n s t r u c t a n e r r o r c u r v e o f m e a s u r e m e n t d i s c r e p a n c y v e r s u s p e n a l t y . T h e i t e r a t i v e i n v e r s i o n p r o c e s s w a s c o n t i n u e d u n t i l t h e s o l u t i o n w a s e i t h e r b e l o w t h e t o l e r a n c e l e v e l o r i f t h e c o s t f u n c t i o n C ( e ) c e a s e d t o v a r y w i t h i t e r a t i o n . F i g u r e F i g u r e 1 0 . 2 2 s h o w s t h e e r r o r c u r v e c o n s t r u c t e d f o r d a t a w i t h 5 % m e a s u r e m e n t n o i s e . F o r 0 . 0 5 S ’ 7 g 1 . 0 , b o t h t h e m e a s u r e m e n t e r r o r a n d t h e p e n a l t y f u n c t i o n a r e m i n i m i z e d a n d f o r t h e s e v a l u e s o f 7 , t h e r e c o n s t r u c t i o n s 1 6 7 ‘ w ' . . . . - m f i . g . I . 4 o 3 a ) . . . . . . . 2 0 ; " - ' 3 5 1 ‘ . " 0 , x " 4 3 4 - ' 4 3 . 3 5 y o n ) 0 . 3 5 7 . - " 0 . 0 5 . H m ) ' 0 ‘ 4 - 0 . 1 X 0 1 1 ) y ( m ) “ 0 ' 4 4 1 1 x ( m ) ( C ) ( ( 1 ) F i g u r e 1 0 . 1 8 . T o m o g r a p h y r e c o n s t r u c t i o n i n t h e p r e s e n c e o f 1 . 5 % a d d i t i v e r a n d o m n o i s e ( a ) 6 , a n d ( b ) - e ” o f t h e t r u e d i s t r i b u t i o n , ( c ) e ’ a n d ( d ) - e ” o f t h e r e c o n s t r u c t e d d i s t r i b u t i o n . 1 6 8 s e s a o . . : . _ _ ’ ' { 1 . 0 5 1 “ " 4 1 0 5 M m ) 4 1 4 . 0 1 x ( 1 n ) Y ( m ) - D . 4 4 1 1 M m ) ( C ) ( d ) F i g u r e 1 0 . 1 9 . T o m o g r a p h y r e c o n s t r u c t i o n i n t h e p r e s e n c e o f 5 % a d d i t i v e r a n d o m n o i s e ( a ) E l a n d ( b ) - 5 ” o f t h e t r u e d i s t r i b u t i o n , ( c ) E , a n d ( d ) - e ” o f t h e r e c o n s t r u c t e d d i s t r i b u t i o n . 1 6 9 M S E 1 1 1 - fi ' 1 0 2 0 3 0 4 O 5 0 6 0 I T E R A T I O N S F i g u r e 1 0 . 2 0 . R e c o n s t r u c t i o n e r r o r i n t h e p r e s e n c e o f 5 % a d d i t i v e r a n d o m n o i s e . a r e c o m p a r a b l e t o t h e t r u e s o l u t i o n . T o m o g r a p h i c r e c o n s t r u c t i o n s a r e p r o m i s i n g a n d i l l u s t r a t e t h e f e a s i b i l i t y o f t h e m i r r o r b a s e d t e c h n i q u e f o r b r e a s t i m a g i n g . 1 0 . 5 D i s c u s s i o n s A n o v e l d e f o r m a b l e m e m b r a n e m i r r o r b a s e d m i c r o w a v e t o m o g r a p h i c s y s t e m i s p r o - p o s e d f o r b r e a s t c a n c e r i m a g i n g . T h e f u n c t i o n a l i t y a n d m a t h e m a t i c a l p r i n c i p l e s o f t h e p r o p o s e d s y s t e m t o i m a g e 2 D m a t h e m a t i c a l b r e a s t m o d e l s a r e p r e s e n t e d . T h e e f fi c i e n c y o f t h e m i r r o r b a s e d t o m o g r a p h y t e c h n i q u e i n i m p r o v i n g t h e s o l u t i o n s t a b i l - i t y w i t h o u t t h e n e e d t o i n c r e a s e t h e n u m b e r o f t r a n s c e i v e r a n t e n n a s i s d e m o n s t r a t e d t h r o u g h 2 D i n v e r s i o n s i m u l a t i o n s f o r a s t r o n g s c a t t e r e r w i t h d i s c o n t i n u o u s p e r m i t - t i v i t y d i s t r i b u t i o n u s i n g 8 , 1 2 a n d 1 6 m i r r o r s h a p e s . S i m u l a t i o n r e s u l t s o b t a i n e d f o r t h e d i f f e r e n t b r e a s t m o d e l s ( A , B , C ) i n t h e p r e s e n c e o f a d d i t i v e r a n d o m n o i s e d e m o n s t r a t e t h e r o b u s t n e s s o f t h e p r o p o s e d t e c h n i q u e f o r b r e a s t i m a g i n g . I n a l l s i m - 1 7 0 0 . 3 5 “ " 0 4 3 " 0 . 1 3 1 3 ? ( ‘ 0 F i g u r e 1 0 . 2 1 . T o m o g r a p h y r e c o n s t r u c t i o n i n t h e p r e s e n c e o f 1 0 % a d d i t i v e r a n d o m n o i s e ( a ) 6 ’ a n d ( b ) - e ” o f t h e t r u e d i s t r i b u t i o n , ( c ) 6 ’ a n d ( d ) - e ” o f t h e r e c o n s t r u c t e d d i s t r i b u t i o n . 1 7 1 ) ! . ) I k 1 0 ‘ _ 1 0 " " 6 1 o " m e a s c a l E 2 — E 2 F i g u r e 1 0 . 2 2 . L - c u r v e t e s t f o r 5 % n o i s y m e a s u r e m e n t s [ 1 7 3 ] . 1 7 2 u l a t i o n s , t h e i n i t i a l p e r m i t t i v i t y e s t i m a t e w a s a s s u m e d t o b e e q u a l t o t h e b a c k g r o u n d p e r m i t t i v i t y w h i c h , i n t h i s c a s e w o u l d b e p e r m i t t i v i t y o f c o u p l i n g s o l u t i o n i n s i d e t h e i m a g i n g t a n k . T h e e r r o r c u r v e c o n s t r u c t e d f o r t h e i n v e r s i o n p r o c e s s f o r 5 % m e a s u r e m e n t n o i s e i l l u s t r a t e s t h e i m p o r t a n c e o f r e g u l a r i z a t i o n p a r a m e t e r , 7 . D u r i n g i n v e r s i o n s i m u l a - t i o n s , t h e i n c l u s i o n o f p e n a l t y f u n c t i o n y i e l d e d s t a b l e s o l u t i o n i n t h e p r e s e n c e o f n o i s e . T h e c o n v e r g e n c e a n d s t a b i l i t y o f t h e i n v e r s i o n a l g o r i t h m c a n b e f u r t h e r i m p r o v e d b y u p d a t i n g t h e p a r a m e t e r s a a n d 7 d u r i n g t h e i t e r a t i v e p r o c e s s a n d b y i n c o r p o r a t i n g p r o b l e m d e p e n d e n t a — p r i o r i i n f o r m a t i o n . T h e i n v e r s e s c a t t e r i n g p r o b l e m p r o p o s e d u s i n g d e f o r m a b l e m i r r o r t o m o g r a p h y f o r b r e a s t i m a g i n g i s r o b u s t i n t h a t t h e s y s t e m 0 P r o v i d e s i n f o r m a t i o n r i c h m u l t i - v i e w fi e l d m e a s u r e m e n t s w i t h a fi x e d t r a n s m i t a n t e n n a a n d c o n t i n u o u s l y d e f o r m a b l e m i r r o r 0 Y i e l d s r e c o n s t r u c t i o n w i t h a c c e p t a b l e r e s o l u t i o n a n d a c c u r a c y 0 R e c o n s t r u c t s s t r o n g l o s s y i n h o m o g e n e o u s d i e l e c t r i c s c a t t e r e r s w i t h o D i s c o n t i n u o u s a n d 0 C o n t i n u o u s p e r m i t t i v i t y p r o fi l e 0 Y i e l d s i m p r o v e d r e c o n s t r u c t i o n w i t h i n c o r p o r a t i o n o f p r i o r c o n s t r a i n t s a n d 0 P r o v i d e s s t a b l e s o l u t i o n i n t h e p r e s e n c e o f n o i s e I n t h e p r o p o s e d s y s t e m , t h e c o m p l e x i t i e s a s s o c i a t e d w i t h m u l t i p l e t r a n s c e i v e r a n t e n n a a r r a n g e m e n t , a n t e n n a s w i t c h i n g a n d c r o s s t a l k c o m p e n s a t i o n d o e s n o t e x i s t a n d m u l t i - v i e w d a t a f o r r e l i a b l e r e c o n s t r u c t i o n o f t h e u n k n o w n p e r m i t t i v i t y c a n b e o b t a i n e d u s i n g p r e d e t e r m i n e d o p t i m a l m i r r o r d e f o r m a t i o n s . T h e s i m u l a t i o n s t u d i e s b r o a d e n s t h e h o r i z o n o f t h e a d a p t i v e m i r r o r t e c h n o l o g y w i d e l y u s e d i n a s t r o n o m y , d o c u m e n t s c a n n e r s , r e t i n a l i m a g i n g , p r o j e c t i o n d i s p l a y , d i g i t a l c i n e m a a n d h i g h d e fi n i t i o n T V 1 7 3 T a b l e 1 0 . 3 . 2 D D i e l e c t r i c s c a t t e r e r m o d e l s . 2 D M o d e l s I I I I I I I V S c a t t e r e r T w o - l a y e r W e a k , O f f - c e n t e r , s t r o n g , S t r o n g , c e n t e r e d t y p e H o m o g e n e o u s H e t e r o g e n e o u s H e t e r o g e n e o u s H e t e r o g e n e o u s E x c i t a t i o n 7 0 0 M H z 7 0 0 M H Z 7 0 0 M H z 7 0 0 M H z M i r r o r s h a p e s 2 5 1 6 1 6 1 2 R e c e i v e r s 2 4 2 4 2 4 2 4 B a c k g r o u n d , ( 1 , 9 . 5 - 0 . 2 3 j 1 . 0 5 . 2 0 - 1 . 0 3 j 4 . 5 5 - 0 . 9 0 j t o n o n i n v a s i v e i m a g i n g o f p e n e t r a b l e o b j e c t s s u c h a s t h e h e t e r o g e n e o u s h u m a n b r e a s t u s i n g m i c r o w a v e s . T h e s i m u l a t i o n s t u d i e s o f t h e d e f o r m a b l e m i r r o r b a s e d t o m o g r a p h y s y s t e m a r e p r o m i s i n g a n d d e m o n s t r a t e t h e a p p l i c a b i l i t y o f a n e w t o m o g r a p h i c i m a g i n g s y s t e m f o r b r e a s t c a n c e r d e t e c t i o n . T h e c o n v e r g e n c e a n d s t a b i l i t y o f t h e i n v e r s i o n a l g o r i t h m c a n b e f u r t h e r i m p r o v e d b y u p d a t i n g t h e r e g u l a r i z a t i o n p a r a m e t e r d u r i n g i n v e r s i o n a n d b y i n c o r p o r a t i n g a d d i t i o n a l p r o b l e m d e p e n d e n t a - p r i o r i i n f o r m a t i o n . 1 0 . 6 P o t e n t i a l A p p l i c a t i o n s B e s i d e s b r e a s t i m a g i n g , t h e d e f o r m a b l e m i r r o r m i c r o w a v e t o m o g r a p h y c a n b e e x - t e n d e d f o r m a t e r i a l c h a r a c t e r i z a t i o n a n d n e a r fi e l d n o n i n v a s i v e i n s p e c t i o n o f i n a n i - m a t e o b j e c t s i n m a t e r i a l s c i e n c e a n d e n g i n e e r i n g . T h e a b i l i t y o f t h e p r o p o s e d i m a g i n g t e c h n i q u e t o i n v e r t s c a t t e r e r p e r m i t t i v i t y w i t h v a r y i n g d i e l e c t r i c c o n t r a s t w a s i n v e s - t i g a t e d u s i n g 2 D d i e l e c t r i c m o d e l s w i t h a w i d e v a r i a t i o n i n t h e p e r m i t t i v i t y p r o fi l e . T h e d i f f e r e n t d i e l e c t r i c m o d e l s i n v e s t i g a t e d a r e t a b u l a t e d i n T a b l e T a b l e 1 0 . 3 . 1 0 . 6 . 1 L a y e r e d M e d i a - D i s c o n t i n u o u s S t r o n g S c a t t e r e r A l o s s y t w o - l a y e r c i r c u l a r d i e l e c t r i c c y l i n d e r w a s c h o s e n f o r p e r m i t t i v i t y i n v e r s i o n u s i n g t h e n e a r fi e l d d e f o r m a b l e m i r r o r i m a g i n g t e c h n i q u e . H o m o g e n e o u s d i e l e c t r i c m e d i a w i t h d i s c o n t i n u o u s p e r m i t t i v i t y p r o fi l e a r e c h a l l e n g i n g t o i n v e r t u n l i k e d i e l e c - t r i c s c a t t e r e r s w i t h c o n t i n u o u s o r p i e c e w i s e s m o o t h p e r m i t t i v i t y v a r i a t i o n s . I n v e r s i o n 1 7 4 o f l a y e r e d m e d i a d i e l e c t r i c m o d e l w a s c o n d u c t e d t o e v a l u a t e t h e p o t e n t i a l o f t h e p r o - p o s e d t o m o g r a p h y t e c l m i q u e f o r m u l t i - l a y e r d i e l e c t r i c o b j e c t s c o m m o n l y e n c o u n t e r e d i n E M a p p l i c a t i o n s . F i g u r e s F i g u r e 1 0 . 2 3 ( a ) - ( b ) s h o w t h e r e a l a n d i m a g i n a r y p a r t s o f t h e p e r m i t t i v i t y d i s t r i b u t i o n i n s i d e t h e 2 D l o s s y t w o - l a y e r c i r c u l a r c y l i n d e r . F i e l d m e a s u r e m e n t s o f 1 5 m i r r o r d e f o r m a t i o n s w e r e u s e d i n t h e z e r o t h T i k h o n o v r e g u l a r i z a - t i o n t o r e c o v e r t h e d i s c o n t i n u o u s d i e l e c t r i c p r o fi l e . F i g u r e s F i g u r e 1 0 . 2 3 ( c ) - ( d ) s h o w t h e r e c o n s t r u c t e d p e r m i t t i v i t y d i s t r i b u t i o n , E e s t — 6 b i n t h e a . l . 1 s e n c e o f m e a s u r e m e n t n o i s e . H i s t o g r a m o f t h e r e c o v e r e d p e r m i t t i v i t y v a l u e s w e r e u s e d t o l o c a t e t h e t w o l a y e r r e g i o n s a n d t h e m e a n p e r m i t t i v i t y i n e a c h r e g i o n w a s a s s i g n e d a s t h e p e r m i t t i v - i t y e s t i m a t e . F i g u r e s F i g u r e 1 0 . 2 4 ( c ) - ( d ) s h o w t h e p r o c e s s e d p e r m i t t i v i t y e s t i m a t e , F e s t — — 6 b f o r t h e d i e l e c t r i c m o d e l i n F i g u r e s F i g u r e 1 0 . 2 4 ( a ) - ( b ) . T h e e s t i m a t e d p e r - m i t t i v i t y f o r t h e l a y e r e d d i e l e c t r i c c y l i n d e r i s a c c e p t a b l e a n d c a n b e i m p r o v e d f u r t h e r b y i n c o r p o r a t i n g a d d i t i o n a l c o n s t r a i n t s d u r i n g i n v e r s i o n . 1 0 . 6 . 2 C o n t i n u o u s P r o fi l e - W e a k S c a t t e r e r S i m u l a t i o n s w e r e c o n d u c t e d t o i n v e r t t h e i n h o m o g e n e o u s p e r m i t t i v i t y d i s t r i b u t i o n o f a 2 D w e a k s c a t t e r e r i n f r e e s p a c e a t 7 0 0 H z c o n t i n u o u s w a v e e x c i t a t i o n . T h e r e a l a n d i m a g i n a r y p a r t s o f t h e 2 D w e a k s c a t t e r e r a r e s h o w n i n F i g u r e s F i g u r e 1 0 . 2 5 ( a ) - ( b ) . A s w i t h t h e o t h e r s i m u l a t i o n s , t h e i n v e r s i o n p r o c e s s s t a r t e d w i t h t h e b a c k g r o u n d p e r m i t t i v i t y , 5 b a s t h e i n i t i a l g u e s s a n d w a s i t e r a t e d u n t i l ( 1 0 . 3 8 a ) o r ( 1 0 . 3 8 b ) w a s s a t i s fi e d . F i r s t o r d e r T i k h o n o v r e g u l a r i z a t i o n w i t h L = D 1 w h e r e D 1 i s t h e fi r s t o r d e r s p a t i a l d e r i v a t i v e w a s u s e d t o p e n a l i z e o s c i l l a t i n g s o l u t i o n s . P e r m i t t i v i t y i n v e r s i o n o b t a i n e d i n t h e a b s e n c e o f n o i s e i s s h o w n i n F i g u r e s F i g u r e 1 0 . 2 5 ( c ) - ( d ) a n d t h e r e c o n s t r u c t i o n e r r o r i s s h o w n i n F i g u r e F i g u r e 1 0 . 2 6 . A s e x p e c t e d , f o r n o i s e f r e e m e a s u r e m e n t s , t h e p e r m i t t i v i t y e s t i m a t e r e a c h e s t h e s o l u t i o n r a p i d l y . 0 . 2 5 ' y 4 1 3 ( C ) ( ( 1 ) F i g u r e 1 0 . 2 3 . P e r m i t t i v i t y i n v e r s i o n f o r t w o - l a y e r d i e l e c t r i c c y l i n d e r ( a ) 3 ‘ 2 { G s o l n — 6 b } ( 1 ) ) 3 1 5 3 0 1 7 1 — E b } ( c ) § R { € e s t — E b } ( d ) S i é e s t — E b } ; E b : b a c k g r o u n d p e r m i t t i v i t y . 1 7 6 v 0 3 3 . 3 5 0 0 5 4 1 2 5 1 2 5 y - 0 . 3 y - 0 . 3 0 % 4 3 . 3 5 . 0 0 5 . 0 . 0 5 F i g u r e 1 0 . 2 4 . P e r m i t t i v i t y i n v e r s i o n f o r t w o - l a y e r d i e l e c t r i c c y l i n d e r a f - t e r p o s t — p r o c e s s i n g ( a ) 0 % { 5 5 0 1 7 1 . — 6 b } ( b ) 8 ‘ { 5 3 0 m — 6 b } ( c ) § R { € e s t — 5 1 , } ( d ) ‘ 3 { F e s t — 5 b } ; 6 b : b a c k g r o u n d p e r m i t t i v i t y . 1 7 7 0 . 0 5 Y ( ( 1 ) F i g u r e 1 0 . 2 5 . P e r m i t t i v i t y i n v e r s i o n f o r w e a k d i e l e c t r i c c y l i n d e r ( a ) m i é s o l n } ( b ) 8 ( { E s o l n } ( C ) § R i f e s t } ( d ) 8 ‘ { f e s t } ; 6 = E , — j é ” . € b = 1 . 0 . 1 7 8 ' V V V T 7 * I ‘ V V ‘ — Y ' Y Y t v n v v v — f T r ‘ v v v v r T v r ' ‘ 7 fi T Y Y T V ‘ w w l v ‘ Y ' I V Y - v V V Y ' M S E ] I l l I I 1 2 4 6 8 1 0 1 2 1 4 I t e r a t i o n s F i g u r e 1 0 . 2 6 . R e c o n s t r u c t i o n e r r o r f o r a 2 D w e a k d i e l e c t r i c c y l i n d e r . 1 7 9 1 6 1 0 . 6 . 3 C o n t i n u o u s P r o fi l e - S t r o n g S c a t t e r e r H e t e r o g e n e o u s d i e l e c t r i c c y l i n d e r w i t h c o n t i n u o u s a n d h i g h - c o n t r a s t d i e l e c t r i c p r o fi l e w a s u s e d f o r n e a r fi e l d i m a g i n g u s i n g t h e d e f o r m a b l e m i r r o r t o m o g r a p h y c o m p u t a - t i o n a l m o d e l . T w o d i e l e c t r i c s c a t t e r e r s w e r e i n v e s t i g a t e d i n t h e s i m u l a t i o n s ; m o d e l ’ 1 1 1 ’ w h e r e t h e p e a k d i e l e c t r i c c o n s t a n t i s o f f - c e n t e r a n d m o d e l ’ I V ’ w h e r e t h e p e a k i s c e n t e r e d . F i g u r e s F i g u r e 1 0 . 2 7 ( a ) - ( b ) s h o w t h e r e a l a n d i m a g i n a r y p a r t s o f d i e l e c t r i c m o d e l ” 1 1 1 ’ a n d F i g u r e s F i g u r e 1 0 . 2 7 ( c ) - ( d ) a r e t h e r e a l a n d i m a g i n a r y c o m p o n e n t s o f s c a t t e r e r m o d e l ’ I V ’ u s e d i n t h e s i m u l a t i o n s . P e r m i t t i v i t y r e c o n s t r u c t i o n s f o r m o d e l ” 1 1 1 ’ a n d ’ I V ‘ i n t h e a b s e n c e o f m e a s u r e m e n t n o i s e a r e s h o w n i n F i g u r e s F i g u r e 1 0 . 2 8 ( a ) - ( b ) a n d ( c ) - ( d ) r e s p e c t i v e l y . T h e r o b u s t n e s s o f t h e m i r r o r b a s e d t o m o g r a p h y t e c h n i q u e t o m e a s u r e m e n t n o i s e w a s i n v e s t i g a t e d v i a n u m e r i c a l s i m u l a t i o n s f o r M o d e l 1 1 1 . A 6 % a d d i t i v e w h i t e n o i s e w a s a d d e d t o t h e fi e l d m e a s u r e m e n t s c o m p u t e d f o r M o d e l ” I V ” d i e l e c t r i c s c a t t e r e r l i s t e d i n T a b l e T a b l e 1 0 . 3 . T h e o u t c o m e o f t h e fi r s t o r d e r T i k h o n o v r e g u l a r i z a t i o n i s s h o w n i n F i g u r e F i g u r e 1 0 . 2 9 . F i g u r e s F i g u r e 1 0 . 2 9 ( c ) - ( d ) s h o w t h e r e a l a n d i m a g i n a r y c o m p o n e n t s o f t h e r e c o n s t r u c t e d d i e l e c t r i c p r o fi l e i n t h e p r e s e n c e o f 6 % m e a s u r e m e n t n o i s e . T h e r e c o n s t r u c t i o n e r r o r o f t h e i t e r a t i v e p e r m i t t i v i t y r e c o v e r y p r o c e s s i s s h o w n i n F i g u r e F i g u r e 1 0 . 3 0 . T h e p e r m i t t i v i t y r e - c o n s t r u c t i o n a n d r e s i d u a l e r r o r i n F i g u r e s F i g u r e 1 0 . 2 9 - F i g u r e 1 0 . 3 0 a p p e a r p r o m i s i n g a n d c a n b e f u r t h e r i m p r o v e d b y i m p o s i n g a d d i t i o n a l c o n s t r a i n t s a l o n g t h e s c a t t e r e r b o u n d a r y a n d b y i n c o r p o r a t i n g p r i o r k n o w l e d g e i n t h e i n v e r s e p r o c e d u r e . 1 0 . 6 . 4 C o n c l u s i o n s N u m e r i c a l s i m u l a t i o n s f o r d i e l e c t r i c s c a t t e r e r w i t h d i f f e r e n t p e r m i t t i v i t y p r o fi l e s d e m o n s t r a t e t h e p o t e n t i a l a p p l i c a t i o n s o f t h e n o v e l n e a r fi e l d d e f o r m a b l e m i r r o r i n - v e r s e s c a t t e r i n g t e c h n i q u e f o r m a t e r i a l c h a r a c t e r i z a t i o n a n d i m a g i n g p e n e t r a b l e i n - a n i m a t e o b j e c t s . S i m u l a t i o n s t u d i e s i n d i c a t e t h a t t h e d e f o r m a b l e m i r r o r a r r a n g e m e n t i s c a p a b l e o f p r o v i d i n g m u l t i - v i e w d a t a f o r r e l i a b l e r e c o n s t r u c t i o n e v e n i n t h e p r e s e n c e 1 8 0 1 0 . 2 5 F i g u r e 1 0 . 2 7 . P e r m i t t i v i t y d i s t r i b u t i o n o f s t r o n g s c a t t e r e r ( a ) M o d e l 1 1 1 , § R { e s o l n } ( b ) M o d e l 1 1 1 , 8 ‘ { e s o l n } ( 0 ) M o d e l I V , m l f s o l n } ( ( 1 ) M o d e l I V , 8 ‘ { 6 3 0 m } . 1 8 1 F i g u r e 1 0 . 2 8 . E s t i m a t e d p e r m i t t i v i t y d i s t r i b u t i o n o f s t r o n g s c a t t e r e r ( a ) M o d e l I I I , fl i e s o l n l ( b ) M o d e l 1 1 1 . g i f s o l n } ( c ) M o d e l I V , § R { e e s t } ( d ) M o d e l I V , $ { c e s t } ; - / / 6 e s t : 5 ‘ 3 5 - 1 8 2 F i g u r e 1 0 . 2 9 . P e r m i t t i v i t y r e c o n s t r u c t i o n f o r 6 % m e a s u r e m e n t n o i s e ( a ) M o d e l ’ E ’ , l R f f e s t } ( 1 ) ) M o d e l , ’ E ’ 8 1 6 6 “ } . 1 8 3 1 0 f I l T I I I I I l 1 1 ) 3 1 0 2 1 - - : l 3 ' ' l 1 0 1 r ‘ 5 ‘ 1 0 0 : - 1 1 ° " ? ‘ 5 1 0 - 2 1 s 1 1 1 1 1 1 1 ~ — g 0 1 0 2 0 3 0 4 0 5 0 6 0 7 0 8 0 9 0 1 0 0 F i g u r e 1 0 . 3 0 . R e c o n s t r u c t i o n e r r o r f o r M o d e l ’ E ’ i n t h e p r e s e n c e o f 6 % n o i s e . 1 8 4 o f a d d i t i v e w h i t e m e a s u r e m e n t n o i s e . 1 8 5 l 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 I . ’ 0 ’ 1 - O W « : 2 ' “ ‘ r - V t — e a d - ~ v _ — - - - h u " ' 4 l . . ' u - ; u - . 5 . , é ‘ _ c z ' g m g * 5 " . " 5 ' ; { - ’ 6 3 : 4 3 4 , 2 3 “ ' 1 5 , } : fi ‘ { # 2 : q u , g H } T H E S I S g o . ) r I } / € ? / & / 0 / ‘ " f / z ‘ q L I B R A R Y M i c h i g a n S t a t e U n i v e r s i t y P L A C E I N R E T U R N B O X t o r e m o v e t h i s c h e c k o u t f r o m y o u r r e c o r d . T O A V O I D F I N E S r e t u r n o n o r b e f o r e d a t e d u e . M A Y B E R E C A L L E D w i t h e a r l i e r d u e d a t e i f r e q u e s t e d . D A T E D U E D A T E D U E D A T E D U E “ M i l i t a n t ” 6 / 0 7 p : / C I R C / D a t e D u e t i n d d * p . 1 I N V E S T I G A T I O N O F A D E F O R M A B L E M I R R O R M I C R O W A V E I M A G I N G A N D T H E R A P Y T E C H N I Q U E F O R B R E A S T C A N C E R V O L U M E I I B y K a v i t h a A r u n a c h a l a m A D I S S E R T A T I O N S u b m i t t e d t o M i c h i g a n S t a t e U n i v e r s i t y i n p a r t i a l f u l fi l l m e n t o f t h e r e q u i r e m e n t s f o r t h e d e g r e e o f D O C T O R O F P H I L O S O P H Y D e p a r t m e n t o f E l e c t r i c a l a n d C o m p u t e r E n g i n e e r i n g 2 0 0 7 C H A P T E R 1 1 B R E A S T C A N C E R T H E R M O T H E R A P Y U S I N G D E F O R M A B L E M I R R O R I n t r o d u c t i o n I n t h e U n i t e d S t a t e s , b r e a s t c a n c e r i s t h e s e c o n d l e a d i n g c a u s e o f c a n c e r d e a t h s a m o n g s t w o m e n a n d i t i s a n t i c i p a t e d t h a t o n e i n e v e r y e i g h t A m e r i c a n w o m e n w i l l s u c c u m b t o b r e a s t c a n c e r i n . t h e i r l i f e t i m e [ 1 3 ] . T h e i n c r e a s e i n i n c i d e n c e a n d m o r - t a l i t y r a t e o f b r e a s t c a n c e r i s a s i g n i fi c a n t h e a l t h c o n c e r n i n t h e U n i t e d S t a t e s a n d e l s e w h e r e i n t h e w o r l d . S u r g e r y o r s u r g e r y c o m b i n e d w i t h r a d i a t i o n t h e r a p y a r e t h e m o s t c o m m o n t r e a t m e n t m o d a l i t i e s f o r b r e a s t c a n c e r . I n r e c e n t y e a r s , h y p e r t h e r m i a a n d r a d i o f r e q u e n c y a b l a t i o n t e c h n i q u e s h a v e b e e n a c t i v e l y p u r s u e d a s a n a l t e r n a t i v e o r a d j u v a n t t o r a d i a t i o n ( h i g h e n e r g y X - r a y s ) a n d c h e m o t h e r a p y t r e a t m e n t s o f b r e a s t c a r c i n o m a . T h e a p p l i c a t i o n o f e l e c t r i c fi e l d h e a t i n g i n m e d i c i n e f o r d e s t r u c t i o n a n d g r o w t h c o n t r o l o f c a n c e r c e l l s d a t e s b a c k t o 1 8 0 0 8 [ ‘ 2 6 ] . T h e e f fi c a c y o f t h e r m a l t r e a t - m e n t f o r d e s t r o y i n g t u m o r c e l l s a n d t h e u s e o f t h e r m a l t e c h n i q u e s f o r b r e a s t i m a g i n g a r e w e l l k n o w n a n d d o c u m e n t e d i n t h e l i t e r a t u r e [ 1 6 ] , [ 2 6 ] , [ 1 7 4 ] . I n h y p e r t h e r m i a t r e a t m e n t , t i s s u e i s e x p o s e d t o h i g h p o w e r e l e c t r o m a g n e t i c ( E M ) r a d i a t i o n w h e r e i n t h e t e m p e r a t u r e o f t u m o r t i s s u e i s e l e v a t e d a b o v e 4 2 ° f o r a p r o l o n g e d t i m e d u r a t i o n . O n t h e o t h e r - h a n d , i n a b l a t i o n , t e m p e r a t u r e o f t u m o r t i s s u e i s s e l e c t i v e l y e l e v a t e d a b o v e 5 5 ° f o r f e w m i n u t e s . T h e i m p a c t o f t h e r m a l d e p o s i t i o n o n t i s s u e d a m a g e d u e t o s u c h e l e c t r o m a g n e t i c t h e r a p i e s a r e s u m m a r i z e d i n [ 1 7 5 ] . S e v e r a l m i n i m a l l y i n v a s i v e i m a g e g u i d e d t h e r a p y t e c h n i q u e s s u c h a s f o c u s e d u l t r a - s o u n d , l a s e r a n d r a d i o f r e q u e n c y i n t e r s t i t i a l , a n d m i c r o w a v e a b l a t i o n h a v e b e e n p r o - p o s e d a s a n a l t e r n a t i v e t o i n v a s i v e s u r g i c a l t r e a t m e n t s [ 1 7 6 M 1 8 0 ] . R e s e a r c h i n v o l v i n g n u m e r i c a l s i m u l a t i o n s a n d p r o t o t y p e e x p e r i m e n t a l s t u d i e s i n d i c a t e t h e m e r i t o f m i - 1 8 6 c r o w a v e a n d u l t r a s o u n d h y p e r t h e r m i a a s a n a d j u v a n t t e c h n i q u e f o r r a d i a t i o n t h e r a p y [ 1 8 1 ] — [ 1 8 G ] . T h e w i d e l y p r o p o s e d p h a s e d a r r a y m i c r o w a v e h y p e r t l ' i e r m i a t e c h n i q u e s o f t e n u t i l i z e e i t h e r c o h e r e n t o r i n c o h e r e n t e l e c t r o m a g n e t i c a p p l i c a t o r s t o c o n t r o l t h e p h a s e a n d a m p l i t u d e o f t h e i n c i d e n t fi e l d i n a f e e d b a c k m o d e f o r o p t i m a l p o w e r d e p o s i t i o n w i t h o u t a p p r e c i a b l e h o t s p o t s i n t h e s u r r o u n d i n g b e n i g n t i s s u e . S e v e r a l o p t i m i z a t i o n t e c h n i q u e s h a v e b e e n p r o p o s e d i n t h e l i t e r a t u r e t o c o n t r o l t h e E M e n e r g y d e p o s i t e d b y s u c h a r r a y a p p l i c a t o r s [ 1 8 7 ] - [ 1 9 3 ] . F o r a g i v e n p h a s e d a r r a y a p p l i c a t o r d e s i g n , a n i n c r e a s e i n t h e n u m b e r o f a n t e n n a e l e m e n t s i m p r o v e s t h e fi e l d p a t t e r n i n s i d e t h e t i s s u e a l o n g w i t h a n i n c r e a s e i n t h e c o m p l e x i t y o f t h e p o w e r o p t i m i z a t i o n r o u t i n e . T h i s c h a p t e r p r e s e n t s t h e c o m p u t a t i o n a l f e a s i b i l i t y s t u d y o f a n a l t e r n a t i v e m o d e o f E M t h e r a p y f o r b r e a s t . c a n c e r t r e a t m e n t u s i n g m e m b r a n e d e f o r m a b l e m i r r o r [ 1 9 4 ] . T h e p r o p o s e d s y s t e m e m p l o y s fi x e d d i r e c t i o n a l e l e c t r o m a g n e t i c s o u r c e s a n d c o n t i n - u o u s l y d e f o r m a b l e f l e x i b l e m i r r o r w i t h r e f l e c t i v e c o a t i n g s i m i l a r t o t h a t u s e d i n t h e b r e a s t i m a g i n g s y s t e m . T h e d e f o r m a b l e m i r r o r w i t h r e f l e c t i v e c o a t i n g f u n c t i o n s a s a n a d a p t i v e f o c u s i n g m i r r o r a n d d e l i v e r s p r e f e r e n t i a l e n e r g y d e p o s i t i o n a t t h e t u m o r s i t e i n t h e b r e a s t . T h e p r o p o s e d m i c r o w a v e h y p e r t h e r m i a t e c h n i q u e d o e s n o t r e q u i r e a m p l i t u d e a n d p h a s e o p t i m i z a t i o n f o r r e g i o n a l f o c u s i n g . T h e m i r r o r f u n c t i o n s l i k e a c o n t i n u u m o f r a d i a t i n g e l e m e n t s a n d m a i n t a i n s c o n t i n u o u s m a g n i t u d e a n d p h a s e v a r i a t i o n s o n t h e m i r r o r s u r f a c e a n d o f f e r s e f f e c t i v e s c a n c o v e r a g e i n s i d e t h e b r e a s t w i t h e f f i c i e n t f i e l d f o c u s i n g a t t h e t u m o r s i t e . T h e f e a s i b i l i t y o f t h e p r o p o s e d t e c h - n i q u e i s e v a l u a t e d v i a n u m e r i c a l s i m u l a t i o n s o n a t w o - d i m e n s i o n a l b r e a s t p h a n t o m . T h e E M e n e r g y d e p o s i t e d b y t h e t h e r a p y s e t u p i s u s e d i n t h e b i o - h e a t t r a n s f e r e q u a - t i o n t o q u a n t i f y t h e s t e a d y s t a t e t e m p e r a t u r e d i s t r i b u t i o n i n s i d e t h e b r e a s t p h a n t o m . N u m e r i c a l s i m u l a t i o n o n t h e f e a s i b i l i t y o f e x t e n d i n g t h e p r o p o s e d t e c h n i q u e f o r n o n - i n v a s i v e a b l a t i o n o f t h e t u m o r i s a l s o p r e s e n t e d i n t h i s c h a p t e r . F i g u r e F i g u r e 1 1 . 1 s h o w s t h e d i f f e r e n t m o d u l e s i n t h e t h e r a p y c o m p u t a t i o n a l m o d e l . A s i n d i c a t e d i n 1 8 7 F i g u r e F i g u r e 1 . 1 . 1 , t h e k e y m o d u l e s i n t h e t h e r a p y m o d e l i n c l u d e 0 M i r r o r s h a p e e s t i m a t i o n t o f o c u s E M fi e l d a t t h e t u m o r s i t e 0 C o m p u t a t i o n o f e l e c t r i c fi e l d i n s i d e t h e b r e a s t t o e v a l u a t e E M e n e r g y d e p o s i t i o n 0 T h e r m a l m o d u l e t o c a l c u l a t e s t e a d y s t a t e t e m p e r a t u r e d i s t r i b u t i o n i n s i d e t h e b r e a s t f o r c a n c e r t h e r a p y T h e m a t h e m a t i c a l t h e o r y , a p p r o a c h a n d t h e i m p l e m e n t a t i o n o f e a c h m o d u l e i s e x - p l a i n e d i n t h e f o l l o w i n g s e c t i o n s . T h e p r o p o s e d s y s t e m w i t h s i n g l e a n d d u a l m i r r o r s a n d t h e s y s t e m f u n c t i o n a l i t y a r e e x p l a i n e d i n s e c t i o n 1 1 . 1 . T h e m a t h e m a t i c a l e q u a - t i o n s t h a t g o v e r n t h e E M fi e l d s i n t h e c o m p u t a t i o n a l m o d e l a r e c o v e r e d i n s e c t i o n 1 1 . 2 . T h e e l e c t r i c fi e l d f o c u s i n g s t r a t e g y a n d m i r r o r s h a p e e s t i m a t i o n f o r t u m o r t e m p e r a - t u r e e l e v a t i o n a r e d i s c u s s e d i n s e c t i o n 1 1 . 3 . T h e b i o - h e a t t r a n s f e r e q u a t i o n ( B H T E ) t h a t g o v e r n s t h e s t e a d y s t a t e t e m p e r a t u r e d i s t r i b u t i o n i n s i d e t h e b r e a s t , t h e c o m - p u t a t i o n a l m o d e l a n d t u m o r t e m p e r a t u r e e l e v a t i o n f o r c a n c e r t h e r a p y a r e d e t a i l e d i n s e c t i o n 1 1 . 4 . C o m p a r i s o n o f t h e c o m p u t e r s i m u l a t i o n s o f s i n g l e a n d d u a l m i r r o r a s s e m b l i e s f o r t w o d i m e n s i o n a l b r e a s t p h a n t o m i s p r e s e n t e d i n s e c t i o n 1 1 . 5 . S t e a d y s t a t e t e m p e r a t u r e d i s t r i b u t i o n m a i n t a i n e d b y t h e d u a l m i r r o r a s s e m b l y i n s i d e t w o d i m e n s i o n a l m a t h e m a t i c a l b r e a s t p h a n t o m s w i t h t u m o r s o f v a r y i n g s h a p e s l o c a t e d a t d i f f e r e n t r e g i o n s i n s i d e t h e b r e a s t a r e a l s o p r e s e n t e d i n s e c t i o n 1 1 . 5 . T h e o u t c o m e o f t h e c o m p u t a t i o n a l f e a s i b i l i t y s t u d y a r e s u m m a r i z e d i n s e c t i o n 1 1 . 6 . 1 1 . 1 D e f o r m a b l e M i r r o r T h e r a p y S e t u p T h e n o v e l t y o f t h e p r o p o s e d a p p r o a c h l i e s i n t h e u s e o f t h e c o n t i n u o u s l y d e f o r m a b l e m e m b r a n e m i r r o r f o r s e l e c t i v e E M e n e r g y d e p o s i t i o n a t t h e t u m o r l o c a t i o n i n s i d e t h e b r e a s t . T h e d e f o r m a b l e m i r r o r u s e d t o s t e e r t h e l o w p o w e r E M fi e l d f o r b r e a s t i m a g i n g c o u l d b e u s e d t o f o c u s t h e h i g h p o w e r E M fi e l d a t t h e t u m o r s i t e f o r s e l e c t i v e t i s s u e h e a t i n g . T h e t h e r a p y m o d e l r e l i e s o n t h e a b i l i t y o f t h e d e f o r m a b l e m i r r o r 1 8 8 T u m o r L o c a t i o n F r o m D i a g n o s i s M i r r o r S h a p e E s t i m a t i o n ( R a y T r a c i n g ) V 4 W = q / D 1 E l e c t r i c fi e l d c a l c u l a t i o n ( M O M L € ( x , y , a ) ) : “ ' i j ' V ¢ e l T u m o r T e m p e r a t u r e E l e v a t i o n ( F E M ) K V 2 T — c b w b fl " — T b ) + Q = 0 F i g u r e 1 1 . 1 . C o m p u t a t i o n a l m o d u l e s i n t h e r a p y s i m u l a t i o n s . 1 8 9 t o c o n f o r m t o a p r e d e t e r m i n e d s h a p e f o r E M fi e l d f o c u s i n g d u r i n g c a n c e r t h e r a p y . T w o t h e r a p y m o d e l s a r e i n v e s t i g a t e d i n t h i s c h a p t e r u s i n g t w o d i m e n s i o n a l n u m e r i c a l b r e a s t p h a n t o m s . T h e o p e r a t i o n o f b o t h t h e r a p y s c h e m e s a n d t h e g o v e r n i n g e q u a t i o n s u s e d i n t h e c o m p u t a t i o n a l m o d e l a r e e x p l a i n e d h e r e . 1 1 . 1 . 1 S i n g l e D e f o r m a b l e M i r r o r A s s e m b l y F i g u r e F i g u r e 1 1 . 2 ( a ) s h o w s a s c h e m a t i c i l l u s t r a t i o n o f t h e t h e r a p y t e c h n i q u e t h a t e m p l o y s a d e f o r m a b l e m i r r o r f o r t u m o r t i s s u e h e a t i n g . T h e s e t u p c o n s i s t s o f a d i r e c - t i o n a l E M s o u r c e s u c h a s a h o r n o r a n a p e r t u r e a n t e n n a e m a n a t i n g c o n t i n u o u s w a v e e x c i t a t i o n a n d a d e f o r m a b l e m i r r o r b o t h s u b m e r g e d i n s i d e t h e t r e a t m e n t t a n k fi l l e d w i t h t h e c o u p l i n g s o l u t i o n . P r i o r t o E M t h e r m a l t h e r a p y , t h e s h a p e o f t h e d e f o r m a b l e m i r r o r i s e s t i m a t e d u s i n g c l i n i c a l fi n d i n g s o f t h e t u m o r s i z e a n d l o c a t i o n s u c h t h a t t h e m i r r o r f o c u s e s t h e i n c i d e n t E M fi e l d a t t h e t u m o r s i t e . D u r i n g t h e r a p y , t h e fi e l d e m a n a t i n g f o r m t h e d i r e c t i o n a l s o u r c e g e t s r e f l e c t e d b y t h e d e f o r m b l e m i r r o r a n d i s f o c u s e d a t t h e t u m o r . T h e fi e l d s t r e n g t h i s i n c r e a s e d g r a d u a l l y u n t i l t h e d e s i r e d t e m p e r a t u r e d i s t r i b u t i o n i s a c h i e v e d i n t h e l e s i o n f o r e f f e c t i v e c a n c e r t h e r a p y . I n t h e s i m p l e a n d l e s s c o m p l e x s i n g l e m i r r o r t h e r a p y m o d e l , t h e b r e a s t i s e x p o s e d t o h i g h p o w e r E M r a d i a t i o n f r o m o n e s i d e a l o n e . T h e a d v a n t a g e s o f t h e s i n g l e m i r r o r t h e r a p y s e t u p i s i n v e s t i g a t e d v i a c o m p u t e r s i m u l a t i o n s . 1 1 . 1 . 2 D u a l D e f o r m a b l e M i r r o r A s s e m b l y A s c h e m a t i c r e p r e s e n t a t i o n o f t h e d u a l m i r r o r l o c a l i z e d h y p e r t h e r m i a s e t u p f o r b r e a s t c a n c e r t r e a t m e n t i s s h o w n i n F i g u r e F i g u r e 1 1 . 2 ( b ) . T h e t h e r a p y s e t u p c o n s i s t s o f t w o s e t s o f fi x e d d i r e c t i o n a l m i c r o w a v e s o u r c e a n d d e f o r m a b l e m e m b r a n e m i r r o r i n s i d e t h e t r e a t m e n t t a n k fi l l e d w i t h t h e c o u p l i n g s o l u t i o n [ 1 9 5 ] . I n t h e d u a l m i r r o r a s s e m b l y , t h e b r e a s t i s i l l u m i n a t e d b y t w o d e f o r m a b l e m i r r o r s p o s i t i o n e d o n e i t h e r s i d e o f t h e b r e a s t . T h e t h e r a p y s e t u p w i t h d u a l d e f o r m a b l e m i r r o r s p r o v i d e s s e l e c t i v e e n e r g y d e p o s i t i o n i n s i d e t h e l e s i o n w i t h i n a s h o r t e r t i m e d u r a t i o n . B r e a s t i l l u m i n a t i o n f r o m 1 9 0 A — D e f o r m a b l e M i r r o r B - — E M s o u r c e C — T h e r a p y T a n k F i g u r e 1 1 . 2 . S c h e m a t i c i l l u s t r a t i o n o f t h e d e f o r m a b l e m i r r o r t h e r a p y m o d e l f o r b r e a s t c a n c e r t h e r m o t h e r a p y ( a ) s i n g l e m i r r o r m o d e l ( b ) d u a l m i r r o r m o d e l . b o t h s i d e s m i g h t a l s o h e l p r e d u c e u n d e s i r e d s k i n b u r n s a n t i c i p a t e d w i t h t h e s i m p l e s i n g l e m i r r o r t h e r a p y m o d e l . T h e l o c a t i o n a n d s i z e o f t h e t u m o r o b t a i n e d f r o m d i a g n o s t i c b r e a s t i m a g e s a r e u s e d t o e s t i m a t e t h e d e f o r m a t i o n o f t h e fl e x i b l e m i r r o r s t o d e p o s i t p r e f e r e n t i a l E M e n e r g y a t t h e t u m o r s i t e . D u r i n g t h e r a p y , b o t h m i r r o r s a r e i l l u m i n a t e d s i m u l t a n e o u s l y b y t h e r e s p e c t i v e E M s o u r c e s u n t i l t h e t e m p e r a t u r e i n s i d e t h e t u m o r e l e v a t e s t o t h e t h e r a p e u t i c l e v e l . I n b o t h d e f o r m a b l e m i r r o r t h e r a p y s e t u p s , p r i o r k n o w l e d g e a b o u t t h e s p a t i a l l o c a t i o n o f t h e t u m o r i s u t i l i z e d t o c o n t r o l t h e p o t e n t i a l d i s t r i b u t i o n o f t h e d e f o r m a b l e m i r r o r a c t u a t o r c i r c u i t s t o f o c u s t h e i n c i d e n t E M fi e l d a t t h e t u m o r l o c a t i o n . T h e d e f o r m a b l e m i r r o r s i z e i s c h o s e n l a r g e e n o u g h 1 9 1 s u c h t h a t t h e e l e c t r i c fi e l d r e fl e c t e d a t t h e m i r r o r s u r f a c e i s p r i m a r i l y f o c u s e d a t t h e t u m o r l o c a t i o n . D u r i n g t h e r a p y , t h e l i q u i d i n s i d e t h e t h e r a p y t a n k i s m a i n t a i n e d a t a c o n s t a n t t e m p e r a t u r e ( < 3 8 o C ) v i a e x t e r n a l c i r c u l a t i o n . T h e c i r c u l a t i n g c o u p l i n g s o l u t i o n f u n c t i o n s a s a t h e r m a l s i n k f o r t h e s k i n a n d r e d u c e s u n d e s i r e d h o t s p o t s a n d s k i n b u r n s . T h e l i q u i d a l s o o f f e r s l o w i m p e d a n c e m i s m a t c h f o r t h e e m a n a t i n g E M fi e l d a n d e f fi c i e n t l y c o u p l e s t h e E M e n e r g y i n s i d e t h e b r e a s t . T h e h i g h l o s s t a n g e n t o f t h e c o u p l a n t d a m p s s p u r i o u s s c a t t e r i n g f r o m t h e m i r r o r e d g e s a n d b a c k s e a t t e r e d fi e l d f r o m t h e b r e a s t f r o m i n t e r a c t i n g w i t h t h e m e t a l c o a t e d m i r r o r s u r f a c e . T h e p e r f o r m a n c e o f t h e s i n g l e a n d d u a l m i r r o r a s s e m b l i e s f o r b r e a s t c a n c e r t h e r a p y i s i n v e s t i g a t e d u s i n g t h e E M c o m p u t a t i o n a l m o d e l d i s c u s s e d i n 1 1 . 2 . 1 1 . 2 E l e c t r i c F i e l d E q u a t i o n s T o s t u d y t h e f e a s i b i l i t y o f t h e d e f o r m a b l e m i r r o r s e t u p f o r c a n c e r t r e a t m e n t , i t i s e s - s e n t i a l t o q u a n t i f y t h e E M e n e r g y d e p o s i t e d i n s i d e t h e b r e a s t . T h e e l e c t r i c fi e l d e q u a - t i o n s u s e d i n t h e c o m p u t a t i o n a l m o d e l t o q u a n t i f y E M e n e r g y d e p o s i t i o n i s e x p l a i n e d i n t h i s s e c t i o n . T o o b t a i n s o m e p r e l i m i n a r y i n s i g h t s , t w o - d i m e n s i o n a l n u m e r i c a l s i m - u l a t i o n s a r e c o n d u c t e d t o i n v e s t i g a t e t h e p l a u s i b i l i t y o f u s i n g a d e f o r m a b l e m i r r o r f o r n o n i n v a s i v e b r e a s t c a n c e r t h e r m a l t h e r a p y . I n t h e c o m p u t a t i o n a l m o d e l , t h e fi e l d m a i n t a i n e d b y t h e d e f o r m a b l e m i r r o r s e t u p i n s i d e t h e t w o — d i m e n s i o n a l b r e a s t p h a n - t o m i s a n a l y z e d f o r T M ‘ 7 p o l a r i z a t i o n i n t h e t i m e h a r m o n i c r e g i m e a n d t h e i n t e g r a l e q u a t i o n s o l u t i o n t o t h e e l e c t r i c fi e l d i s d e r i v e d u s i n g m e t h o d o f m o m e n t s . 1 1 . 2 . 1 C o m p u t a t i o n a l M o d e l T h e t h e r a p y s e t u p t h a t c o n s i s t s o f m e t a l c o a t e d d e f o r m a b l e m i r r o r ( s ) , a p e r t u r e s o u r c e s a n d t h e p e n e t r a b l e l o s s y d i e l e c t r i c b r e a s t i s m o d e l e d u s i n g t h e e q u i v a l e n c e t h e o r e m s e x p l a i n e d i n s e c t i o n s 4 . 5 . 4 a n d 4 . 5 . 5 . A n e q u i v a l e n t 2 D s c a t t e r i n g p r o b l e m t h a t i s u s e d t o s o l v e t h e fi e l d m a i n t a i n e d b y t h e d e f o r m a b l e m i r r o r t h e r a p y m o d e l i s s h o w n i n F i g u r e F i g u r e 1 1 . 3 . I n t h e c o m p u t a t i o n a l m o d e l s h o w n i n F i g u r e F i g u r e 1 1 . 3 , 1 9 2 F i g u r e 1 1 . 3 . E q u i v a l e n t s c a t t e r i n g p r o b l e m f o r t h e fi e l d m a i n t a i n e d b y t h e t w o - d i m e n s i o n a l d e f o r m a b l e m i r r o r t h e r a p y m o d e l . 1 9 3 t h e i m p r e s s e d l i n e c u r r e n t s { J i } L _ i n d u c e t h e s u r f a c e c u r r e n t s , { J n } _ 1 o n t h e t h i n m e t a l l i c s t r i p d e fi n e d b y { I ‘ n } n : 1 a n d m a i n t a i n t h e v o l u m e c u r r e n t s , M { J Z " } : : _ 1 i 1 1 - s i d e a r b i t r a r y s h a p e d d i e l e c t r i c s c a t t e r s w i t h c l o s e d s u r f a c e s , { Q m } M _ . 1 I n t h e 2 D T M ‘ 7 c o m p u t a t i o n a l m o d e l , t h e z - d i r e c t e d l i n e c u r r e n t s i n d u c e z - d i r e c t e d e q u i v a l e n t c u r r e n t s a n d t o g e t h e r t h e y m a i n t a i n t h e e l e c t r i c fi e l d , E ~ ( . L ‘ . y , t u w ) i n s i d e t h e c o m p u - t a t i o n a l d o m a i n V . F o r T M ‘ 7 p o l a r i z a t i o n , t h e t o t a l e l e c t r i c fi e l d i n ( 4 . 4 9 ) r e d u c e s t o , E z ( : r , y , w ) = 2 — i j Z ( a t , y , w ) ( 1 1 . 1 ) w h e r e A z i s t h e z — d i r e c t e d m a g n e t i c v e c t o r p o t e n t i a l d e fi n e d i n ( 4 . 5 2 ) . T h e m a g n e t i c v e c t o r p o t e n t i a l i n ( 1 1 . 1 ) r e p r e s e n t s c o n t r i b u t i o n s o f b o t h t h e i m p r e s s e d a n d i n d u c e d c u r r e n t d e n s i t i e s i n s i d e V . T h e c o n t r i b u t i o n o f t h e i m p r e s s e d l i n e c u r r e n t s i s g i v e n b y t h e e q u a t i o n , A ; , i ( ; r . , y , t u ) : i t o l — Z l J l U r ) ( 1 " , 1 ’ 3 ; r ) l L 1 : # 0 : 1 1 5 0 ' — 1 ' 5 ) * 9 ( 1 ‘ J 3 ; I " ) , r s = ( 4 1 7 3 , ? ! s , 0 ) 1 - 1 . L = 7 1 9 2 1 1 1 1 0 ” ( a l r — r s l ) , r s = ( : r - s , y s . 0 ) ( l l - 2 ) T h e fi e l d m a i n t a i n e d b y t h e i n d u c e d s u r f a c e c u r r e n t s o n t h e t h i n p e r f e c t l y c o n d u c t i n g s t r i p s i s o b t a i n e d u s i n g t h e m a g n e t i c v e c t o r p o t e n t i a l e x p r e s s i o n , L A ; 5 ; . ( 1 3 y w ) = — 0 4 J : / J ? ( r ) ) H O 2 ) ( ( / 3 | r — r ’ l l d ; 1 ? , d y l ( 1 1 . 3 ) n T h e T M 7 ' e l e c t r i c fi e l d m a i n t a i n e d b y t h e c u r r e n t s o u r c e i s p a r t l y r e fl e c t e d a n d p a r t l y t r a n s m i t t e d b y t h e p e n e t r a b l e d i e l e c t r i c s c a t t e r e r . T h e p e n e t r a t i n g fi e l d i n s i d e d i e l e c - t r i c s c a t t e r e r u n d e r g o e s m u l t i p l e r e fl e c t i o n s a t t h e s c a t t e r e r - b a c k g r o u n d b o u n d a r y . 1 9 4 _ _ w 7 i l l — . 5 5 ' 1 9 3 2 : : / J " ] ; h / / ( ( r ’ £ 6 — 2 ) H 1 ) E ( B l r — r I ) ) d r ( ’ ) H 0 d 2 J : ’ d y ' ) ( — / 3 I r I ) d . t r ’ d y ’ ( 1 1 . 6 ) T h e t o t a l fi e l d i n s i d e t h e d i e l e c t r i c s c a t t e r e r w h i c h a l s o c o n t r i b u t e s t o t h e e l e c t r i c fi e l d i n t h e e x t e r n a l m e d i u m i s e x p r e s s e d i n t e r m s o f t h e m a g n e t i c v e c t o r p o t e n t i a l 3 5 , _ l _ ‘ 0 I A ~ d ( . : , 1 y , ) 2 f / d ‘ r ( 2 ) ( — / 3 | r I ( I t d y ( 1 1 . 4 ) s z l 9 d S u b s t i t u t i n g t h e e q u i v a l e n t v o l u m e c u r r e n t i n ( 5 . 1 6 ) i n t o ( 1 1 . 4 ) y i e l d s , _ / A z d ( . 1 : , y 4 1 1 : 1 : f / j w c o ( e d — c c ) E d ( r ) H 0 2 ) ( I 3 I r — r I ) ( l . t . ‘ , d y ’ ( 1 1 . 5 ) 4 1 ‘ 7 7 2 2 1 9 d I n ( 1 1 . 5 ) , c c i s t h e d i e l e c t r i c p e r m i t t i v i t y o f t h e e x t e r n a l c o u p l a n t i n s i d e t h e t h e r - a p y t a n k a n d e d ( . r . y , w ) i s t h e s p a t i a l p e r m i t t v i t y d i s t r i b u t i o n i n s i d e t h e d i e l e c t r i c s c a t t e r e r . S u b s t i t u t i n g ( 1 1 . 2 ) — ( 1 1 . 5 ) i n t o ( 1 1 . 1 ) y i e l d s t h e t o t a l fi e l d i n s i d e V , E . ( a r . y . w ) : — w g — ‘ O é m fl ( fi l r — r s l ) ( 1 m w h e r e 6 = w 1 / € 0 € C I L 0 i s t h e w a v e n u m b e r i n t h e c o u p l i n g m e d i u m . A u n i q u e s o l u t i o n t o t h e s c a t t e r i n g p r o b l e m i s o b t a i n e d b y i m p o s i n g t h e b o u n d a r y c o n d i t i o n , E z ( . t t , y , w ) : 0 , ( . r , y ) E I ‘ n ‘ v ’ n = 1 , . . , N ( 1 1 . 7 ) o n t h e c o n t o u r s o f t h e p e r f e c t l y c o n d u c t i n g o b s t a c l e s . E q u a t i o n 1 1 . 6 , i s g e n e r a l i z a t i o n o f ( 5 . 2 0 ) e x p l a i n e d i n s e c t i o n 5 . 4 f o r m u l t i p l e p e r f e c t l y c o n d u c t i n g a n d p e n e t r a b l e s c a t t e r e r s . 1 9 5 ( a ) l ( b ) F i g u r e 1 1 . 4 . D o m a i n d i s c r e t i z a t i o n f o r c o m p u t a t i o n a l m e t h o d ( a ) p e n e t r a b l e s c a t t e r e r ( b ) p e r f e c t l y c o n d u c t i n g s t r i p . 1 1 . 2 . 2 C o m p u t a t i o n a l M e t h o d T h e i n t e g r a l e q u a t i o n i n ( 1 1 . 6 ) i s s o l v e d u s i n g m e t h o d o f m o m e n t s b y d i s c r e t i z i n g t h e c o m p u t a t i o n a l d o m a i n . F i g u r e F i g u r e 1 1 . 4 i l l u s t r a t e s t y p i c a l d o m a i n d i s c r e t i z a t i o n o f a r b i t r a r y s h a p e d p e n e t r a b l e a n d i m p e n e t r a b l e s c a t t e r e r s u s e d i n t h e m e t h o d o f m o m e n t s n u m e r i c a l c o d e f o r t h e u n k n o w n e l e c t r i c fi e l d , E z ( a : , y , w ) . I n t h e c o m p u - t a t i o n a l m e t h o d , t h e c u r r e n t d e n s i t y i n d u c e d o n t h e p e r f e c t l y c o n d u c t i n g o b s t a c l e i s a p p r o x i m a t e d b y a l i n e a r s u p e r p o s i t i o n o f t h e s u b s e c t i o n a l p u l s e b a s i s f t m c t i o n s [ 5 1 ] P n J ? 2 Z t i p b p c ) ( 1 1 . 8 ) p 2 1 T h e p u l s e b a s i s i l l u s t r a t e d i n F i g u r e F i g u r e 1 1 . 5 ( a ) i s g i v e n b y t h e e x p r e s s i o n , 1 t E c e l l p b p ( t ) = ( 1 1 . 9 ) 0 o t h e r w i s e 1 9 6 F i g u r e 1 1 . 5 . B a s i s f u n c t i o n s ( a ) p u l s e b a s i s ( b ) p y r a m i d a l b a s i s . T h e t o t a l fi e l d i n s i d e t h e d i e l e c t r i c s c a t t e r e r g i v e n b y t h e e q u i v a l e n t v o l u m e c u r r e n t i s e x p a n d e d b y a l i n e a r s u p e r p o s i t i o n o f t h e s u b d o m a i n l i n e a r p y r a m i d a l b a s i s f u n c t i o n s , 1 1 ‘ — I ‘ c p ( r ) = J — L l l , 1 : 1 , 2 , . . . , N P ( 1 1 . 1 0 ) l r p ‘ r p l s u c h t h a t , L n E } ; a Z e g p o p m ( 1 1 . 1 1 ) 1 0 : 1 I n 1 1 . 1 0 , N p i s t h e n u m b e r o f n e i g h b o r i n g n o d e s f o r t h e p t h n o d e . F i g u r e F i g u r e 1 1 . 5 ( b ) s h o w s t h e p y r a m i d a l b a s i s f u n c t i o n c e n t e r e d a t p t h n o d e i n t h e d i s c r e t i z e d c o m p u t a t i o n a l d o m a i n w i t h N 7 7 = 6 . S u b s t i t u t i n g ( 1 1 . 8 ) a n d ( 1 1 . 1 1 ) f o r t h e i n d u c e d s u r f a c e a n d v o l u m e e q u i v a l e n t c u r r e n t s i n t o ( 1 1 . 6 ) y i e l d s , w u o L ( 2 1 E z ( a : , y , w ) = — 7 2 1 , 1 1 0 ( fi l r — r s l ) ( 1 1 . 1 2 ) l = 1 N P ” L “ 2 : 0 Z / n g ’ p b p ( x l , y ’ ) H ( ( ) ) ( B I r — r l l fi x ’ d y ’ 1 9 7 S o u r c e € 0 F ( V P P M s o “ 0 D e f o r m a b l e M i r r o r ( a ) F i g u r e 1 1 . 6 . S i n g l e m i r r o r t h e r a p y s e t u p ( a ) 2 D c o m p u t a t i o n a l m o d e l ( b ) M o d e l g e o m e t r y . _ 1 3 7 2 M Z / / Z < — 1 ) e d p c p ( r / 2 , — ) H ( ( ) ) ( l 3 | r r ’ [ ) d Q ’ S o l u t i o n t o 1 1 . 1 2 i s o b t a i n e d b y e v a l u a t i n g t h e i n n e r p r o d u c t b e t w e e n 1 1 . 1 2 a n d t e s t f u n c t i o n s v s ( r ) , ( E z ( : 1 : , y , w ) , v s ( : r , y ) ) , ( $ 1 y ) € P n y fl d m ( 1 1 1 3 ) T h e i n n e r p r o d u c t i n 1 1 . 1 3 y i e l d s a l i n e a r s y s t e m o f e q u a t i o n s f o r t h e u n k n o w n c u r r e n t d e n s i t i e s a n d t o t a l e l e c t r i c fi e l d . T h e l i n e a r s y s t e m o f e q u a t i o n s a r e s i m u l t a n e o u s l y s o l v e d f o r t h e u n k n o w n c u r r e n t d e n s i t i e s a n d t o t a l e l e c t r i c fi e l d i n s i d e t h e b r e a s t b y i m p o s i n g t h e b o u n d a r y c o n d i t i o n s i n ( 1 1 . 7 ) . 1 1 . 2 . 3 S i n g l e M i r r o r T h e r a p y M o d e l I n t h e 2 D s i m u l a t i o n s , t h e m i c r o w a v e a p e r t u r e a n t e n n a i s a p p r o x i m a t e d b y a n i n fi n i t e l i n e s o u r c e w i t h m e t a l b a c k i n g t o m a i n t a i n d i r e c t i o n a l fi e l d p a t t e r n a n d t h e d e f o r m a b l e 1 9 8 m e m b r a n e m i r r o r w i t h r e fl e c t i v e c o a t i n g i s m o d e l e d a s a t h i n p e r f e c t l y c o n d u c t i n g a r b i t r a r i l y s h a p e d s m o o t h s t r i p . T h e 2 D c o m p u t a t i o n a l m o d e l f o r t h e r a p y s e t u p e m p l o y i n g s i n g l e d e f o r m a b l e m i r r o r i s s h o w n i n F i g u r e F i g u r e 1 1 . 6 . I n F i g u r e F i g u r e 1 1 . 6 , F p d e f i n e s t h e c o n t o u r o f t h e m e t a l b a c k i n g f o r t h e l i n e c u r r e n t a n d F M d e fi n e s t h e c o n t o u r o f t h e d e f o r m a b l e m i r r o r w i t h t h i n m e t a l l i c c o a t i n g . T h e b r e a s t i r r a d i a t e d b y t h e d e f o r m a b l e m i r r o r i s m o d e l e d a s a h e t e r o g e n e o u s l o s s y d i e l e c t r i c c y l i n d e r o f a r b i t r a r y s h a p e . F r o m ( 1 1 . 1 2 ) , t h e fi e l d m a i n t a i n e d b y t h e t w o — d i m e n s i o n a l s i n g l e m i r r o r t h e r a p y m o d e l i n F i g u r e F i g u r e 1 1 . 6 i s g i v e n b y , w w 1 2 , . M a w ) : _ ’ i — O I O H S ) ( 1 3 I r — r 3 1 ) w i t ‘ 2 — — 4 — O J M I - I é ) ( 1 3 I r — r ’ | ) d . r ’ d y ’ r M — i : 9 / J } : ) I f ( ( ) 2 ) ( 1 3 I I ‘ - - I ‘ I I ) d ; L ‘ , a ’ . ‘ l / l l P P . 2 I _ E A L / [ ( 1 : 1 2 _ 1 ) E d ( r ’ ) H ( ( ) 2 ) ( 1 3 1 1 — r ' | ) d . t r ' d y ’ ( 1 1 . 1 4 ) C 9 d s a t i s f y i n g t h e b o u n d a r y c o n d i t i o n s , E ; ( ; 1 7 , y , w ) = 0 , ( 1 7 , y ) € I ‘ 1 w , F p ( 1 1 . 1 5 ) I n ( 1 1 . 1 4 ) , J M a n d J p a r e t h e z - d i r e c t e d s u r f a c e c u r r e n t d e n s i t i e s i n d u c e d o n t h e d e f o r m a b l e m i r r o r , I ‘ M a n d t h e l i n e s o u r c e ’ s m e t a l b a c k i n g , I ‘ p r e s p e c t i v e l y . T h e t o t a l fi e l d i n s i d e t h e 2 D c o m p u t a t i o n a l m o d e l i n F i g u r e F i g u r e 1 1 . 6 t h e r a p y t a n k i s o b t a i n e d b y s o l v i n g ( 1 1 . 1 4 ) - ( 1 1 . 1 5 ) u s i n g ( 1 1 . 9 ) - ( 1 1 . 1 0 ) . 1 1 . 2 . 4 D u a l M i r r o r T h e r a p y M o d e l T h e t w o — d i m e n s i o n a l c o m p u t a t i o n a l m o d e l f o r t h e d u a l m i r r o r t h e r a p y s e t u p i s i l - l u s t r a t e d i n F i g u r e F i g u r e 1 1 . 7 . 1 1 1 t h e c o m p u t a t i o n a l m o d e l , t h e i n d i v i d u a l s o u r c e - 1 9 9 D e f o r M i r l e m r a o b r A ‘ I f D e f o M l e m m i ‘ a o b r 5 0 “ “ ; S o u r c e 1 1 . % K K K ] Q 7 ” ) 1 _ P l r p z 5 c p O 3 , . B r e a s t _ 4 . J . ( a ) ( b ) F i g u r e 1 1 . 7 . D u a l m i r r o r t h e r a p y s e t u p ( a ) 2 D c o m p u t a t i o n a l m o d e l ( b ) M o d e l g e - o m e t r y . m i r r o r p a i r i s a p p r o x i m a t e d a s i n t h e s i n g l e m i r r o r t h e r a p y m o d e l . I n F i g u r e F i g u r e 1 1 . 7 , t h e c o n t o u r s o f t h e l i n e s o u r c e m e t a l b a c k i n g d e fi n e d b y I ‘ p 1 a n d s z m a i n t a i n t h e i n d u c e d s u r f a c e c u r r e n t d e n s i t i e s . 1 1 a n d J 2 r e s p e c t i v e l y . T h e c o n t o u r s o f t h e d e f o r m a b l e m i r r o r s t h a t s u p p o r t . i n d u c e d c u r r e n t d e n s i t i e s a r e d e fi n e d b y I ‘ M 1 a n d I ‘ M l . T h e fi e l d m a i n t a i n e d b y t h e d u a l m i r r o r a s s e m b l y i n s i d e t h e 2 D c o m p u t a t i o n a l d o m a i n i n F i g u r e F i g u r e 1 1 . 7 i s g i v e n b y t h e e x p r e s s i o n , E . < : z r , y . w > : — # I w é i k a l r — r s l l i — w Z — 0 1 2 H 0 2 ) ( 1 3 l r — r 3 2 l ) — — - “ ’ — 4 — " O Z / J M 1 1 ( ) ( 1 1 | r — r I ) d r ’ d y n : 2 - 1 F fl l n ' — — 6 0 : 0 : / J ” " l l - [ ( 2 % B ’ I r — r | ) d 1 : ’ d y n — I F P n — fl i — Q — f / ( 3 1 2 9 2 — 1 ) E d ( r ’ ) H ( ( ) 2 ) ( 1 3 | r — r ’ I ) d : 1 r ’ d y ’ ( 1 1 . 1 6 ) 1 1 d C 2 0 0 E q u a t i o n ( 1 1 . 1 6 ) w i t h t h e b o u n d a r y c o n d i t i o n , E z ( . 1 7 , y , w ) : 0 , ( $ . 3 1 ) e t i n / { b r m r p b r p g ( 1 1 . 1 7 ) i s s o l v e d u s i n g t h e m e t h o d o f m o m e n t s f o r t h e u n k n o w n t o t a l fi e l d i n t h e d u a l m i r r o r t h e r a p y m o d e l . 1 1 . 3 E l e c t r i c F i e l d F o c u s i n g T h e o b j e c t i v e i s t o d e t e r m i n e a m i r r o r s h a p e s u c h t h a t t h e E M fi e l d i n c i d e n t 0 1 1 t h e m i r r o r i s f o c u s e d a t . t h e k n o w n t u m o r s i t e . T h e l o c a t i o n a n d s i z e i n f o r m a t i o n o f t h e t u m o r o b t a i n e d f r o m c l i n i c a l fi n d i n g s a r e u s e d t o e s t i m a t e t h e m i r r o r s h a p e r e q u i r e d f o r fi e l d f o c u s i n g . T h e l a r g e p h y s i c a l d i m e n s i o n o f t h e d e f o r m a b l e m i r r o r ( 2 Z d t a n k ) c o m p a r e d t o t h e w a v e l e n g t h i n h i g h d i e l e c t r i c c o n s t a n t c o u p l a n t i n s i d e t h e t h e r a p y t a n k e n a b l e s t h e u s e o f r a y t r a c i n g t e c h n i q u e t o a p p r o x i m a t e w a v e i n t e r a c t i o n w i t h t h e m i r r o r s u r f a c e . T h e h i g h l o s s t a n g e n t o f t h e c o u p l i n g s o l u t i o n a l s o e n a b l e s r e t u r n r e fl e c t i o n s f r o m t h e b r e a s t t o b e n e g l e c t e d i n t h e r a y t r a c i n g m o d e l . W i t h t h e s e a s s u m p t i o n s , t h e m i r r o r d e f o r m a t i o n f o r fi e l d f o c u s i n g i s e s t i m a t e d b y e m p l o y i n g r a y t r a c i n g t e c h n i q u e . 1 1 . 3 . 1 F o c u s i n g S t r a t e g y L e t S t ( r ) a n d S b ( r ) d e fi n e t h e k n o w n t u m o r a n d b e n i g n b r e a s t t i s s u e v o l u m e s o b - t a i n e d f r o m t h e c l i n i c a l b r e a s t i m a g e s a n d l e t 1 ) , ; ( r ) b e t h e l o c a t i o n o f t h e d i r e c t i o n a l m i c r o w a v e s o u r c e a n d p t ( r ) b e t h e c e n t e r o r e y e o f t h e t u m o r t i s s u e v o l u m e S t ( r ) . F o r a g i v e n t u m o r a n d E M s o u r c e l o c a t i o n , t h e o b j e c t i v e i s t o e s t i m a t e a m i r r o r s u r f a c e f ( 1 1 ) s u c h t h a t m a x i m u m E M e n e r g y i s d e p o s i t e d i n s i d e S t ( r ) c o m p a r e d t o t h a t i n t h e v o l u m e S b ( r ) . T h i s i s a c h i e v e d b y e m p l o y i n g r a y t r a c i n g t e c h n i q u e t o fi n d a m i r - r o r d e f o r m a t i o n , f ( 1 1 ) c o m p r i s i n g c o n t i g u o u s p o i n t s 1 9 1 2 ( r ) i n s i d e t h e s e a r c h r e g i o n , S n e a r t h e s o u r c e s u c h t h a t f ( u ) e f f e c t i v e l y f o c u s e s t h e i n c i d e n t E M fi e l d a t t h e t u m o r 2 0 1 C A 0 A . t n p D S B A A O P = A P O B O P _ L C D , I ‘ L L ? F i g u r e 1 1 . 8 . F i e l d f o c u s i n g u s i n g r a y t r a c i n g . l o c a t i o n , p t ( r ) . T h e s e a r c h s p a c e , S i s d e t e r m i n e d s u c h t h a t t h e m i r r o r s u r f a c e i s a w a y f r o m t h e b r e a s t t i s s u e t o a v o i d d i r e c t i r r a d i a t i o n o f t h e b r e a s t b y t h e d i r e c t i o n a l E M s o u r c e . T h e s e a r c h r e g i o n i s c h o s e n l a r g e e n o u g h t o e n s u r e t h e v a l i d i t y o f t h e r a y t r a c i n g m e t h o d u s e d i n m i r r o r s h a p e e s t i m a t i o n . 1 1 . 3 . 2 M i r r o r S h a p e E s t i m a t i o n F i g u r e F i g u r e 1 1 . 8 i l l u s t r a t e s t h e s t r a t e g y u n d e r l y i n g t h e m i r r o r s h a p e e s t i m a t i o n p r o c e d u r e f o r b r e a s t c a n c e r t h e r a p y . I n F i g u r e F i g u r e 1 1 . 8 , l e t t h e c o o r d i n a t e s A a n d B r e p r e s e n t t h e l o c a t i o n s o f t h e E M s o u r c e a n d t u m o r c e n t e r r e s p e c t i v e l y . T h e g o a l i s t o fi t a c u r v e , f ( u ) i n s i d e t h e s e a r c h s p a c e d e n o t e d b y t h e b o u n d e d d o t t e d l i n e s s u c h t h a t t h e r a y s e m i t t i n g f r o m A a r e f o c u s e d a t B a f t e r r e fl e c t i o n f r o m t h e m i r r o r s u r f a c e , f ( 1 1 ) E S ' . T h e m i r r o r d e f o r m a t i o n , f ( u ) r e — d i r e c t s t h e i n c i d e n t r a y t o w a r d s B o n l y i f t h e a n g l e o f i n c i d e n c e i s e q u a l t o t h e a n g l e o f r e fl e c t i o n i . e . , 2 . 4 0 1 3 = 2 1 9 0 3 ( 1 1 . 1 8 ) 2 0 2 u u S E A R C H S P A C E I F O C A L P O I N T 4 1 . - I J x I I I I ! I I , - . 1 1 . 1 . J 1 J a t ? ) F i g u r e 1 1 . 9 . S u r f a c e t a n g e n t s a n d n o r m a l s w i t h i n t h e s e a r c h s p a c e d e t e r m i n e d f o r a g i v e n p s ( r ) a n d p t ( r ) . C o n d i t i o n ( 1 1 . 1 8 ) r e q u i r e s a n o r m a l a t 0 s u c h t h a t t h e n o r m a l v e c t o r / o v e r r i g h t a r r 0 ' w O P b i s e c t s t h e a n g l e s u b t e n d e d b y A C A O B a s s h o w n i n F i g u r e F i g - u r e 1 1 . 8 . T h e v e c t o r t a n g e n t t o ( 7 ' ) a n d p a s s i n g t h r o u g h 0 d e n o t e d b y 0 — D f o c u s e s t h e r a y e m a n a t i n g f r o m A t o t h e d e s i r e d l o c a t i o n B . F o l l o w i n g t h i s p r o c e d u r e , t h e t a n g e n t v e c t o r s t h a t f o c u s t h e i n c i d e n t fi e l d a t B a r e d e t e r m i n e d f o r a l l p o i n t s i n - s i d e t h e d i s c r e t i z e d s e a r c h s p a c e , S . F i g u r e F i g u r e 1 1 . 9 s h o w s t h e s u r f a c e t a n g e n t s a n d n o r m a l s i n s i d e t h e s e a r c h s p a c e t h a t c a n f o c u s r a y s f r o m t h e s o u r c e a t t h e f o c a l p o i n t . T h e n e x t s t e p i n m i r r o r s h a p e e s t i m a t i o n i s t o fi t a c u r v e t h r o u g h t h e s u r f a c e t a n g e n t s i n s i d e t h e s e a r c h s p a c e s u c h t h a t t h e r e s u l t i n g s u r f a c e i s a t l e a s t p i e c e w i s e c o n t i n u o u s f o r e f f i c i e n t fi e l d f o c u s i n g . F o r 2 D c a s e , t h i s i s a c c o m p l i s h e d b y f o l l o w i n g t h e b e l o w p r o c e d u r e . 2 0 3 0 S t a r t w i t h a n i n i t i a l c o o r d i n a t e , ( 1 7 - 1 1 9 1 ) i n s i d e S u s u a l l y , n e a r t h e s o u r c e a t t h e t o p l e f t c o r n e r o f S 1 . F i n d t h e a n g l e b e t w e e n s u r f a c e t a n g e n t v e c t o r , 1 3 % - a n d i t s n e i g h b o r i n g t a n - g e n t i a l v e c t o r s d e n o t e d b y { t g } , s u b t e n d i n g a n g l e { 6 % } w i t h f , - 2 . R e t a i n s u r f a c e t a n g e n t s , { 1 5 ? } f o r w h i c h , { 0 ; } < 6 6 w h e r e 0 6 i s p r e d e t e r - m i n e d t h r e s h o l d 3 . F i n d t h e c l o s e s t s u r f a c e t a n g e n t , f ; s u c h t h a t v e c t o r s i i a n d f t — a r e n o t c o l l i n e a r 4 . I f s u c h a s u r f a c e t a n g e n t v e c t o r , f i — e x i s t s t h e n ( a ) I n c r e m e n t i , 2 ' : 1 + 1 a n d a s s i g n ( . 1 7 1 7 , y ; ) a s ( 1 7 1 + l a Z / 1 ' + 1 ) 1 a c o n t i g u o u s p o i n t t o ( . 1 1 1 3 , 9 1 ' ) ( b ) R e p e a t s t e p s ( 1 ) — ( 4 ) u n t i l 3 1 3 2 - a n d 9 1 ' a r e l e s s t h a n t h e x a n d y b o u n d s o f t h e s e a r c h s p a c e , S . 5 . e l s e , s t o p t h e s e a r c h p r o c e s s A c o n t i g u o u s s e t o f s u c h s u r f a c e t a n g e n t s i d e n t i fi e d u s i n g t h e a b o v e s t e p s y i e l d t h e m i r r o r s h a p e , f ( 1 1 ) t h a t c o u l d b e u s e d t o f o c u s t h e i n c i d e n t fi e l d a t t h e d e s i r e d l o c a - t i o n . F i g u r e F i g u r e 1 1 . 1 0 s h o w s o n e p o s s i b l e m i r r o r s h a p e f o r fi e l d f o c u s i n g . D u r i n g t h e r a p y , t h e a c t u a t o r p o t e n t i a l d i s t r i b u t i o n , V ( . 1 : , y ) t h a t y i e l d s t h e e s t i m a t e d m i r - r o r d e f o r m a t i o n , f ( 1 1 ) c o u l d b e d e t e r m i n e d u s i n g a n i t e r a t i v e m i n i m i z a t i o n a p p r o a c h s h o w n i n F i g u r e F i g u r e 1 1 . 1 1 . A s s h o w n i n F i g u r e F i g u r e 1 1 . 1 1 , t h e d e s i r e d m i r r o r d e f o r m a t i o n , f ( u ) i s a c h i e v e d b y i t e r a t i v e l y e s t i m a t i n g t h e a c t u a t o r p o t e n t i a l d i s t r i - b u t i o n s u c h t h a t t h e e r r o r , C ( f ) = m i n i f o ) - f ( l d l 1 1 1 - 1 9 ) O O 0 6 O O 6 0 0 3 . G 6 ” 6 G O 0 . 0 0 O O O O O O . . O 9 O . 9 0 O 0 9 “ O O O 0 0 0 . ¢ ” 9 O . 0 . O 0 9 9 3 “ O 0 0 ” Q 9 . 0 0 O O 0 0 N 0 0 0 O 0 O “ 0 9 0 . O . O 0 0 . 6 O " 0 0 O 6 O 0 O 9 3 ” 0 0 9 O 0 9 O 0 0 . 0 O ¢ 0 O . O 6 O 6 O 0 9 O 9 0 9 O 0 O 9 9 O 0 O O 9 9 O Q O 6 O . 3 ‘ 6 0 6 O 0 . O 6 0 . 0 O ” 6 . 0 ¢ t N 0 O 0 O ” 9 0 O 9 “ O 0 6 6 0 O O 9 6 « W 9 O . 3 O Q 0 0 O O 0 O 0 0 0 0 Q O 0 Q Q 9 9 0 M 0 O 0 § O 9 0 O O 6 O 0 0 0 6 O O 0 O 0 0 § 0 W 0 O 6 3 O O 0 . O 0 O Q O 0 0 0 O u 0 O 0 0 . O W 0 0 O § O 9 9 O 0 9 O 0 O O O 9 9 9 O u 9 § O O 6 O 3 § O 0 6 O O 0 O 0 O O O 0 0 6 0 O fi 0 O W O 9 O O O 9 0 O 6 9 O O O 0 . 0 O O 0 O 0 O O 0 O 3 0 O O . 0 O O 9 0 Q 9 Q O 0 0 9 O 0 0 O W 6 O O O O 0 . O O 0 0 ” 6 O O 0 0 0 H . 6 W 0 O O 3 O 9 0 0 O O 9 0 0 9 O 0 0 O 0 O O 0 ” O 6 O O O 9 0 0 O O 0 0 0 0 . 0 O . O 0 O O ” O O 0 O O 0 0 6 O 3 O “ 0 . . 6 O 0 . “ 0 O O O O 0 O O 0 . 0 O O 0 0 . . O 6 0 . ¢ 0 O O O . W O 0 O 0 0 . 0 O 3 O 0 0 0 0 0 O 0 0 9 0 O ” O Q O 0 O 0 9 . 0 O 9 0 0 6 0 O O O O . . 9 O 0 O O O 0 O 0 0 0 0 O 0 0 0 O N O O 9 0 0 O 0 3 O O O 0 O 0 9 0 9 . O O O 9 0 O 9 . 0 O 0 O 9 O 0 ¢ O O 0 0 9 O 3 6 6 6 6 ‘ O ” O 0 6 0 O 0 O 6 0 O O . O 9 0 O 0 0 0 0 O O N Q . § 0 . 9 O Q 0 . O O . O 9 0 O 0 0 6 . O O O 3 . 0 0 O O 0 0 0 O 0 M O . O 0 6 O 0 9 9 . O O O . . 0 O O 0 9 O O O 0 0 O 0 0 0 O 9 . O O “ . 0 0 O O 0 O 0 0 9 W O 0 . O 9 9 Q . O O 0 9 Q 0 9 0 O O 0 Q 9 0 O 9 0 W O . . 0 . O O 0 . ¢ 6 Q O 0 0 0 9 O O 9 0 § . 0 . W O . . 9 9 . Q 9 O O O 9 ” . . 9 O O 0 0 ” ” > 0 O 9 0 0 0 ” . 6 O O 0 ¢ 0 0 9 " O 0 O . 0 9 Q . O 9 O O 0 Q 0 9 9 O Q . N 6 O O O 0 0 . 0 O 0 . O 0 0 O . 0 . ” O 0 . 3 N 9 . . . 0 0 ” ” 0 O 0 0 M 0 . 9 O O W 6 0 § 0 9 0 O 9 9 O 0 0 9 O O 0 . O 9 0 0 O O 0 0 0 O O 0 O 0 0 . 0 O O ¢ O 9 9 9 0 O § . 0 0 O 0 O 9 0 O . 0 0 . ¢ ¢ . . O O . O 0 9 . 9 0 r . O 0 9 . § 0 . . O O 0 . . ‘ 0 . 0 O O . . . O 2 0 5 F i g u r e 1 1 . 1 0 . M i r r o r s u r f a c e e s t i m a t e d u s i n g r a y t r a c i n g f o r fi e l d f o c u s i n g . M i r r o r S h a p e E s t i m a t i o n S h a p e , f d ( u ) 1 I 1 4 1 I 1 " , 4 . _ _ _ _ _ _ A c t u a t o r P o t e n t i a l E s t i m a t i o n _ _ _ _ _ _ _ _ _ i n i t i a l A c t u a t o r ~ \ \ M i r r o r S h a p e F o r T h e r a p y P o t e n t i a l , V ( x , y ) T u m o r ‘ 1 L o c a t i o n , p t ( r ) V S o u r c e 1 E s t i m a t e M i r r o r S h a p e A A V L o c a t i o n . p s ( r ) V v 4 1 = q ( . r , y ) / D R a y T r a c i n g U p d a t e A c t u a t o r S e a r c h p o t e n t i a l d i s t r i b u t i o n R e g i o n , S V 1 I D e s i r e d M i r r o r F i g u r e 1 1 . 1 1 . I t e r a t i v e m i n i m i z a t i o n p r o c e d u r e t o d e t e r m i n e t h e a c t u a t o r p o t e n t i a l f o r t h e e s t i m a t e d m i r r o r d e f o r m a t i t m . 2 0 6 i s m i n i m i z e d . T h e m i n i m i z e r o f ( 1 1 . 1 9 ) y i e l d s t h e a c t u a t o r p o t e n t i a l d i s t r i b u t i o n , V ( ; z r , y ) t h a t m a i n t a i n s t h e m i r r o r d e f o r m a t i o n t o d e p o s i t p r e f e r e n t i a l a m o u n t o f E M e n e r g y i n s i d e t h e t u m o r l o c a t i o n . 1 1 . 3 . 3 E l e c t r i c F i e l d I n s i d e T h e r a p y T a n k P r i o r t o fi e l d c a l c u l a t i o n s i n t h e p r e s e n c e o f b r e a s t p h a n t o m , t h e e l e c t r i c fi e l d p a t t e r n m a i n t a i n e d b y t h e d e f o r m a b l e m i r r o r a s s e m b l y i n s i d e t h e t h e r a p y t a n k w e r e c a l c u l a t e d t o d e t e r m i n e t h e o p e r a t i n g f r e q u e n c y a n d t o e v a l u a t e t h e f o c u s i n g a b i l i t y o f t h e m i r r o r s h a p e e s t i m a t e d u s i n g r a y t r a c i n g . I n t h e 2 D c o m p u t a t i o n a l m o d e l , t h e m i r r o r d e f o r m a t i o n w a s e s t i m a t e d t o f o c u s t h e e l e c t r i c fi e l d , E 3 0 3 , y , w ) a t x = — 0 . 2 m a n d y : - 0 2 m i n s i d e t h e t h e r a p y t a n k . S u b s t i t u t i n g 6 d 2 c c i n t o ( 1 1 . 6 ) y i e l d s t h e t o t a l fi e l d i n s i d e t h e t h e r a p y t a n k i n t h e a b s e n c e o f b r e a s t . C a s e 2 i : S i n g l e M i r r o r F o r t h e s i n g l e m i r r o r t h e r a p y s e t u p , t h e t o t a l fi e l d i n s i d e t h e t h e r a p y t a n k i n ( 1 1 . 1 4 ) r e d u c e s t o t h e f o r m a n 2 E z ( : 1 ? . . y , w ) = — 7 1 2 1 0 1 1 5 > e r — r 3 1 ) — E U — Z Q / J M H 8 2 ) ( 1 ' 3 | r — r ’ | ) d a " d y , I ‘ M — 1 5 — 0 / J p H 6 2 ) ( a I r — r ’ l ) d x ’ d y ’ ( 1 1 2 0 ) P P E q u a t i o n ( 1 1 . 2 0 ) w i t h t h e b o u n d a r y c o n d i t i o n s i n ( 1 1 . 1 5 ) y i e l d s t h e fi e l d i n t h e a b — s e n c e o f t h e b r e a s t . C a s e i i : D u a l M i r r o r E l e c t r i c fi e l d m a i n t a i n e d b y t h e d u a l m i r r o r m o d e l i n t h e a b s e n c e o f b r e a s t i s o b t a i n e d b y s u b s t i t u t i n g 6 d : c c i n t o ( 1 1 . 1 6 ) f o r L : M : N = 2 . T h e t o t a l z — d i r e c t e d e l e c t r i c 2 0 7 fi e l d f o r t h e 2 D c o m p u t a t i o n a l m o d e l g i v e n b y w t 2 _ w t 2 E ; ( ; z r , z , w ) : _ ¥ 1 1 H é ) ( / 3 | r — r 3 1 1 ) — { 1 9 1 2 1 1 6 ) ( m r — r 3 2 l ) 2 — i i i — : 1 9 2 / J R I H S Z ) ( fi | r — r ’ | ) d a : ’ d y ’ n — l r fi j n w e 2 ( ‘ 2 ) n _ I , J . I t — T / J P H O ( fi l r — r | ) d . L d y ( 1 1 . 2 1 ) i s s o l v e d b y i m p o s i n g t h e b o u n d a r y c o n d i t i o n s i n ( 1 1 . 1 7 ) . E q u a t i o n s ( 1 1 . 2 0 ) a n d ( 1 1 . 2 1 ) a r e r e s p e c t i v e l y s o l v e d w i t h b o u n d a r y c o n d i t i o n s ( 1 1 . 1 5 ) a n d ( 1 1 . 1 7 ) u s i n g m e t h o d o f m o m e n t s b r i e fl y e x p l a i n e d i n s e c t i o n 1 1 . 2 . 2 . 1 1 . 3 . 3 . 1 F r e q u e n c y S e l e c t i o n T h e t o t a l fi e l d i n s i d e t h e t h e r a p y t a n k w a s c a l c u l a t e d f o r t h e 2 D T M z m o d e l f o r s e v e r a l o p e r a t i n g f r e q u e n c i e s i n t h e f l a t r e g i o n o f t h e d i e l e c t r i c s p e c t r u m s h o w n i n F i g u r e F i g u r e 3 . 1 . S i m u l a t i o n s w e r e c a r r i e d f o r f r e q u e n c i e s b e t w e e n 5 0 0 — 9 0 0 M H z . T h e m i r r o r s h a p e e s t i m a t e d f o r E — fi e l d f o c u s i n g a t ( - 0 . 2 , - 0 . 2 ) f o r t h e s i n g l e m i r r o r t h e r a p y m o d e l i s s h o w n i n F i g u r e F i g u r e 1 1 . 1 2 . F i g u r e F i g u r e 1 1 . 1 3 s h o w s t h e c o r r e - s p o n d i n g T M 3 e l e c t r i c fi e l d d i s t r i b u t i o n i n t h e t h e r a p y t a n k d u e t o t h e d e f o r m a b l e m i r r o r i n F i g u r e F i g u r e 1 1 . 1 2 a t 5 0 0 , 7 0 0 a n d 9 0 0 M H z . T h e E — fi e l d p a t t e r n f o r e a c h e x c i t a t i o n f r e q u e n c y i s o b t a i n e d u s i n g ( 1 1 . 2 0 ) a n d ( 1 1 . 1 5 ) . T h e fi e l d r e f l e c t e d a t t h e d e f o r m a b l e m i r r o r s u r f a c e a d d i n p h a s e a n d m a i n t a i n a f o c a l p e a k a t ( - 0 . 2 , - 0 . 2 ) a s s e e n i n F i g u r e F i g u r e 1 1 . 1 3 . I n F i g u r e F i g u r e 1 1 . 1 3 , i t c a n b e o b s e r v e d t h a t w i t h i n c r e a s e i n t h e o p e r a t i n g f r e q u e n c y t h e fi e l d p a t t e r n b e c o m e s s h a r p e r . T h e i n c r e a s e i n fi e l d s t r e n g t h a t h i g h e r f r e q u e n c i e s i n F i g u r e F i g u r e 1 1 . 1 3 i s d u e t o t h e p r e s e n c e o f t h e t e r m ’ w ’ i n ( 1 1 . 2 0 ) . F o r n o r m a l i z e d fi e l d , t h e s t r e n g t h o f t h e E M fi e l d r e d u c e s w i t h i n c r e a s e i n f r e q u e n c y d u e t o ” s k i n d e p t h ” . A t f r e q u e n c i e s a b o v e 9 0 0 M H z , t h e l o s s t a n g e n t o f b r e a s t t i s s u e v a r i e s n o n l i n e a r l y a s s h o w n i n F i g u r e F i g u r e 3 . 1 [ 4 7 ] , 0 2 _ D E F O R M A B L E ' M I R R O R l E 0 - S O U R C E 1 D " B R E A S T T U M O R - o l . 3 4 5 . 2 - 0 . 1 0 0 1 . 1 0 . 2 0 . 3 x ( i n ) F i g u r e 1 1 . 1 2 . 2 D s i n g l e m i r r o r t h e r a p y m o d e l f o r E — fi e l d f o c u s i n g . 7 0 0 M H Z - 0 . 4 - 0 . 3 - 0 . 2 - 0 . 1 0 - 0 . 4 0 . 3 - 0 . 2 - 0 . 1 0 0 . 4 - 0 . 3 - 0 . 2 - 0 . 1 O x ( m ) x ( i n ) - x ( m ) ( a ) ( b ) ( C ) F i g u r e 1 1 . 1 3 . F i e l d p a t t e r n , | E z | i n s i d e t h e r a p y t a n k f o r s i n g l e m i r r o r m o d e l ( a ) 5 0 0 M H z ( b ) 7 0 0 M H z a n d ( c ) 9 0 0 M H z ( 6 0 : 4 3 . 7 6 j 2 2 . 8 2 ) . 2 0 9 [ 4 6 ] . T h u s , f r e q u e n c i e s a b o v e 9 0 0 M H Z y i e l d p o o r fi e l d p e n e t r a t i o n l e a d i n g t o p o o r e n e r g y d e p o s i t i o n a t t u m o r s i t e a n d m a y r e s u l t i n u n d e s i r e d s u p e r fi c i a l h e a t i n g a n d s k i n b u r n s . T h e v e r y h i g h l o s s t a n g e n t o f b r e a s t a t h i g h e r f r e q u e n c i e s a n d s k i n d e p t h o u t w e i g h t h e f o c a l r e s o l u t i o n a b o v e 9 0 0 M H z . H e n c e , f u r t h e r n u m e r i c a l s i m u l a t i o n s a r e i n v e s t i g a t e d a t 5 0 0 M H z . 1 1 . 4 T i s s u e T h e r m a l M a p T h e h i g h w a t e r c o n t e n t o f t h e t u m o r c o m p a r e d t o t h e b e n i g n t i s s u e r e s u l t s i n p r e f - e r e n t i a l E M e n e r g y d e p o s i t i o n a t t h e t u m o r s i t e . T h e E M e n e r g y d e p o s i t e d i n s i d e t h e b r e a s t f o r m s t h e i n p u t f o r t h e t h e r m a l m o d e l . T h e E M e n e r g y d e p o s i t e d b y t h e t h e r a p y s e t u p i s u s e d i n t h e b i o - h e a t t r a n s f e r e q u a t i o n ( B H T E ) t o q u a n t i f y t h e s t e a d y s t a t e t e m p e r a t u r e d i s t r i b u t i o n i n s i d e t h e m a t h e m a t i c a l b r e a s t m o d e l . T h e c o m p u t a t i o n a l m o d e l i m p l e m e n t e d t o i n v e s t i g a t e h e a t t r a n s f e r i n s i d e b r e a s t e m p l o y s t h e w i d e l y u s e d P e n n e ’ s B H T E u n d e r s t e a d y s t a t e c o n d i t i o n [ . 3 5 ] . T h e s t e a d y s t a t e t e m p e r a t u r e d i s t r i b u t i o n i n s i d e t h e b r e a s t m o d e l s a r e a n a l y z e d u s i n g t h e 2 D c o m p u - t a t i o n a l t h e r m a l m o d e l e x p l a i n e d i n t h i s s e c t i o n . 1 1 . 4 . 1 S t e a d y S t a t e B H T E I n t h e b i o - h e a t t r a n s f e r m o d e l , t h e t e m p e r a t u r e d i s t r i b u t i o n i n s i d e l i v i n g t i s s u e i s d e t e r m i n e d b y e x t e r n a l p o w e r d e p o s i t i o n , h e a t e x c h a n g e d u e t o c o n v e c t i o n a n d c o n - d u c t i o n a n d h e a t g e n e r a t i o n d u e t o m e t a b o l i c a c t i v i t y . I n t h e p r e s e n c e o f e x t e r n a l p o w e r d e p o s i t i o n , t h e m e t a b o l i c h e a t g e n e r a t i o n i s n e g l i g i b l e a n d h e n c e w a s d r o p p e d i n t h e s t e a d y s t a t e P e n n e ’ s B H T E , K V 2 T ( ; L ‘ , Z J ) + w b c b ( T a — T ( ; r , y ) ) + Q T ( ; I : , y ) : 0 ( 1 1 . 2 2 ) w h e r e K . i s t h e t i s s u e t h e r m a l c o n d u c t i v i t y ( W / m / O C ) ; v a c b a r e t h e p e r f u s i o n r a t e ( k g / m 3 / s ) a n d s p e c i f i c h e a t ( J / k g / 0 C ) o f b l o o d ; T a i s t h e a r t e r i a l t e m p e r a t u r e ( 0 C ) 2 1 0 a s s u m e d t o b e c o n s t a n t ; Q T i s t h e p o w e r ( W / n 1 3 ) d e p o s i t e d d u e t o s p a t i a l t i s s u e h e a t - i n g a n d T i s t h e t e m p e r a t u r e d i s t r i b u t i o n i n s i d e t h e l i v i n g t i s s u e i n ( 0 C ) . T h e s p a t i a l t i s s u e h e a t i n g d u e t o e l e c t r o m a g n e t i c i r r a d i a t i o n i s g i v e n b y t h e s p e c i fi c a b s o r p t i o n r a t e a s , 0 l E r m s l 2 p = 2 p c ) , ( 1 1 . 2 3 ) S A R : I n ( 1 1 . 2 3 ) , a a n d p a r e t h e t i s s u e c o n d u c t i v i t y a n d d e n s i t y r e s p e c t i v e l y a n d E r m s i s t h e r o o t m e a n s q u a r e v a l u e o f t h e e l e c t r i c fi e l d . T h e e l e c t r o m a g n e t i c e n e r g y , Q T i n ( 1 1 . 2 3 ) i s t h e h e a t s o u r c e f o r t h e s t e a d y s t a t e B H T E ( 1 1 . 2 3 ) . T h e fi e l d m a i n t a i n e d b y t h e d e f o r m a b l e m i r r o r a s s e m b l y i n s i d e t h e b r e a s t g i v e n b y ( 1 1 . 6 ) i s u s e d t o c a l c u l a t e t h e t i s s u e s p e c i fi c a b s o r p t i o n r a t e i n ( 1 1 . 2 3 ) . T h e 2 D s t e a d y s t a t e t h e r m a l p o w e r b a l a n c e e q u a t i o n ( 1 1 . 2 2 ) i s s o l v e d u s i n g ( 1 1 . 2 3 ) a n d t h e b o u n d a r y c o n d i t i o n , T ( ; z r , y ) : T o , ( a n y ) 6 a a m a s t . ( 1 1 . 2 4 ) T h e b o u n d a r y c o n d i t i o n i n 1 1 . 2 4 m a i n t a i n s t h e t e m p e r a t u r e i n t h e t h e r a p y t a n k w e l l b e l o w t h e t h e r a p e u t i c t e m p e r a t u r e a n d a c t s a s a t h e r m a l s i n k . I n t h e 2 D n u m e r i c a l m o d e l , t h e c o m p u t a t i o n s a r e f o r a n i n fi n i t e l y l o n g c y l i n d e r w i t h s p a t i a l p r o p e r t y i n v a r i a n c e a l o n g t h e a x i s o f t h e c y l i n d e r . T h u s , t h e u n i t s o f t h e E M e n e r g y d e p o s i t e d i n s i d e t h e b r e a s t d e fi n e d i n ( 1 1 . 2 3 ) w i t h u n i t s ( W a t t s / k g ) h a s t o b e m o d i fi e d f o r a m e a n i n g f u l i n t e r p r e t a t i o n o f t h e S A R v a l u e s . T h u s t h e t i s s u e S A R c a l c u l a t e d f o r a n i n fi n i t e l y l o n g c y l i n d e r i n t h e 2 D c o m p u t a t i o n a l m o d e l s h o u l d b e m u l t i p l i e d b y a fi n i t e h e i g h t , d . T h u s , i n t h e 2 D n u m e r i c a l s i m u l a t i o n s , a m a x i m u m S A R o f 4 2 . 8 6 ( W / k g / m ) e q u a l s 4 . 2 8 6 ( W a t t s / k g ) f o r d : 1 0 c m . 2 1 1 [ n g g T a + Q ’ g l N f d l ’ I d y , = 0 ( l l - 2 5 ) + / $ - 2 / 6 » M E 1 1 . 4 . 2 C o m p u t a t i o n a l M e t h o d T h e d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n f o r b i o — h e a t t r a n s f e r i n s i d e t h e b r e a s t g i v e n b y ( 1 1 . 2 2 ) i s s o l v e d u s i n g t h e fi n i t e e l e m e n t m o d e l . T h e fi n i t e e l e m e n t m e t h o d i s a v a l u a b l e c o m - p u t a t i o n a l t o o l f o r m o d e l i n g c o m p l e x , h e t e r o g e n e o u s g e o m e t r i e s c o m m o n l y e n c o u n - t e r e d i n h y p e r t h e r m i a t r e a t m e n t p l a n n i n g [ 1 8 5 ] , [ 1 8 7 ] , [ 1 9 1 ] . I n t h e fi n i t e e l e m e n t m e t h o d , t h e c o m p u t a t i o n a l b r e a s t m o d e l i s d i s c r e t i z e d i n t o t r i a n g u l a r e l e m e n t s a n d t h e t e m p e r a t u r e d i s t r i b u t i o n i s a p p r o x i m a t e d u s i n g l i n e a r s u b d o m a i n b a s i s f u n c t i o n s { N f ( : r , y ) ] 3 1 . T h e v a r i a t i o n a l f o r m u l a t i o n o f ( 1 1 . 2 2 ) y i e l d s t h e e l e m e n t a l e q u a t i o n 1 : I 5 0 ] , 8 1 V ? 8 1 V ? 8 A 7 ? ( 9 N 5 e 2 J ‘ z 3 _ e , e ' € : f § 3 , J I e f / [ I t ( a s 8 1 : — l 8 y 8 y c b u b A / Z A J d a , d y T ] Q e I n ( 1 1 . 2 5 ) , t h e q u a n t i t i e s w i t h s u b s c r i p t ’ 6 ’ r e f e r t o t h e t i s s u e p r o p e r t i e s o f e l e m e n t , 6 i n s i d e t h e d i s c r e t i z e d b r e a s t m o d e l . T h e t e m p e r a t u r e i n s i d e t h e e l e m e n t i s a p p r o x - i m a t e d b y t h e l i n e a r b a s i s f u n c t i o n s a s , T e t r a ) = N f ( $ , y ) T f ( l l - 2 6 ) U s i n g ( 1 1 . 2 6 ) , t h e v a r i a t i o n a l f o r m o f B H T E i n ( 1 1 . 2 5 ) i s s o l v e d f o r t h e D i r i c h l e t ’ s b o u n d a r y c o n d i t i o n ( 1 1 . 2 4 ) . 1 1 . 4 . 3 T e m p e r a t u r e E l e v a t i o n F o r T h e r a p y D u r i n g t h e r m a l t h e r a p y , t e m p e r a t u r e o f t h e c o u p l i n g s o l u t i o n s u r r o u n d i n g t h e b r e a s t p h a n t o m i s m a i n t a i n e d a t a fi x e d t e m p e r a t u r e , T 8 0 t o a v o i d s u p e r fi c i a l h e a t i n g o f t h e s k i n . I n t h e c o m p u t a t i o n a l m o d e l , S A R a n d t e m p e r a t u r e d i s t r i b u t i o n s i n s i d e t h e b r e a s t m o d e l a r e c o n t r o l l e d b y i m p r e s s e d l i n e c u r r e n t d e n s i t y . T h u s , i n t h e n u m e r i c a l 2 1 2 s i m u l a t i o n s , t h e E — fi e l d a n d S A R n e c e s s a r y f o r t h e r a p e u t i c t e m p e r a t u r e ( a b o v e 4 2 ° C ) a r e d e t e r m i n e d b y i n c r e m e n t a l l y i n c r e a s i n g t h e a m p l i t u d e o f t h e i m p r e s s e d c u r r e n t d e n s i t y . T h e t e m p e r a t u r e e l e v a t i o n p r o c e s s s t a r t s w i t h a n i n i t i a l c u r r e n t d e n s i t y f o r t h e l i n e c u r r e n t s a n d s o l v e s e q u a t i o n s ( 1 1 . 6 ) - ( 1 1 . 7 ) f o r t h e e l e c t r i c fi e l d d i s t r i b u t i o n a n d c o m p u t e s t h e s t e a d y s t a t e t e m p e r a t u r e d i s t r i b u t i o n i n s i d e t h e b r e a s t m o d e l u s i n g ( 1 1 . 2 2 ) - ( 1 1 . 2 4 ) . F o r a g i v e n c u r r e n t a m p l i t u d e , t h e r m a l m e t r i c s s u c h a s m e a n a n d m a x i m u m t e m p e r a t u r e s i n s i d e t h e b e n i g n a n d l e s i o n t i s s u e r e g i o n s a r e c a l c u l a t e d . T h e e l e c t r i c fi e l d a n d s t e a d y s t a t e t h e r m a l c o m p u t a t i o n s a r e i t e r a t e d a n d t h e c u r r e n t d e n s i t y i s i n c r e a s e d d u r i n g e a c h i t e r a t i o n u n t i l t h e t h e r m a l m e t r i c s i n s i d e t h e b r e a s t m e e t t h e d e s i r e d t h e r a p e u t i c t h e r m a l d i s t r i b u t i o n . T h e t u m o r t e m p e r a t u r e e l e v a t i o n p r o c e s s e m p l o y e d i n t h e 2 D c o m p u t a t i o n a l m o d e l i s d e p i c t e d i n t h e fl o w c h a r t s h o w n i n F i g u r e F i g u r e 1 1 . 1 4 . 1 1 . 5 C o m p u t e r S i m u l a t i o n s - B r e a s t C a n c e r T h e r a p y T h i s s e c t i o n p r e s e n t s t h e o u t c o m e o f t h e s t e a d y s t a t e t h e r m a l c o m p u t a t i o n a l m o d e l e m p l o y i n g d e f o r m a b l e m i r r o r o n 2 D n u m e r i c a l b r e a s t m o d e l s w i t h l e s i o n s o f v a r y i n g s i z e a t d i f f e r e n t s p a t i a l l o c a t i o n s . T h e t h e r m a l m a p p i n g i n s i d e t h e b r e a s t m o d e l s a r e s t u d i e d f o r t w o d i f f e r e n t a m b i e n t t e m p e r a t u r e s i n s i d e t h e t h e r a p y t a n k i n a n a t t e m p t t o r e d u c e t h e s k i n / s u r f a c e t e m p e r a t u r e d u r i n g t h e r a p y . T h e f e a s i b i l i t y o f e x t e n d i n g t h e m i r r o r b a s e d t h e r a p y s e t u p f o r n o n i n v a s i v e t u m o r a b l a t i o n i s a l s o i n v e s t i g a t e d v i a c o m p u t e r s i m u l a t i o n s . 1 1 . 5 . 1 C o m p u t a t i o n a l B r e a s t M o d e l s I n t h e n u m e r i c a l s i m u l a t i o n s , t h e b r e a s t i s m o d e l e d a s a c i r c u l a r d i e l e c t r i c c y l i n d e r o f 6 . 2 c m r a d i u s w i t h 2 m m s k i n o f u n i f o r m t h i c k n e s s . C i r c u l a r a n d e l l i p t i c t u m o r s o f d i f f e r e n t p h y s i c a l d i m e n s i o n s a t d i f f e r e n t s p a t i a l l o c a t i o n s a r e a n a l y z e d i n t h e n u m e r i - c a l s i m u l a t i o n s . F i g u r e F i g u r e 1 1 . 1 5 s h o w s t h e d i f f e r e n t c o m p u t a t i o n a l b r e a s t m o d e l s t h a t w e r e u s e d i n t h e c o m p u t a t i o n a l f e a s i b i l i t y s t u d y . T h e p h y s i c a l d i m e n s i o n s o f 2 1 3 l D e s i r e d T h e r m a l M e t r i c s , T d l I n i t i a l F i e l d S t r e n g t h l C o m p u t e E - fi e l d , S A R & T e m p e r a t u r e l C o m p u t e T h e r m a l m e t r i c s , T c S t r e n g t h D e s i r e d F i e l d ] I n c r e a s e F i e l d S t r e n g t h F i g u r e 1 1 . 1 4 . F e e d b a c k c o n t r o l f o r t u m o r t e m p e r a t u r e e l e v a t i o n . 2 1 4 C N O S C N l 0 C M 0 6 C M 0 8 E N 0 6 x 2 E N I O X S E M 0 8 x 5 E M I O X S F i g u r e 1 1 . 1 5 . C o m p u t a t i o n a l b r e a s t m o d e l s w i t h t u m o r s o f v a r y i n g s i z e a n d s h a p e s a t d i f f e r e n t s p a t i a l l o c a t i o n s ( s k i n t h i c k n e s s 2 2 m m ) . t u m o r a n d b r e a s t t i s s u e s a r e l i s t e d i n T a b l e T a b l e 1 1 . 1 . F o r e a c h b r e a s t m o d e l i n F i g - u r e F i g u r e 1 1 . 1 5 , a p p r o p r i a t e m i r r o r s h a p e s w e r e d e t e r m i n e d u s i n g t h e r a y t r a c i n g t e c h n i q u e e x p l a i n e d i n s e c t i o n 1 1 . 3 . 2 . F o r t h e e s t i m a t e d m i r r o r s h a p e s , E M e n e r g y a b s o r p t i o n i n s i d e t h e b r e a s t p h a n t o m i s c o m p u t e d u s i n g ( 1 1 . 6 ) a n d ( 1 1 . 7 ) . T h e S A R i n s i d e 2 D b r e a s t p h a n t o m s c a l c u l a t e d u s i n g ( 1 1 . 2 3 ) i s s u b s t i t u t e d i n t o ( 1 1 . 2 2 ) t o d e - t e r m i n e t h e s t e a d y s t a t e t h e r m a l d i s t r i b u t i o n i n s i d e t h e b r e a s t m o d e l s . T h e s t e a d y s t a t e t e m p e r a t u r e i n s i d e t h e b r e a s t m o d e l i s o b t a i n e d u s i n g t h e t i s s u e e l e c t r i c a l a n d t h e r m a l p r o p e r t i e s l i s t e d i n T a b l e T a b l e 1 1 . 2 f o r C b : 4 0 0 0 . T h e t e m p e r a t u r e o f t h e c o u p l i n g l i q u i d i n t h e t h e r a p y t a n k i s m a i n t a i n e d a t t w o d i f f e r e n t t e m p e r a t u r e s , T 0 = 3 2 ° C a n d T 0 = 3 7 ° C . T h e r e i s v e r y l i m i t e d l i t e r a t u r e o n t h e d i e l e c t r i c p r o p - e r t i e s o f t h e b r e a s t t i s s u e i n t h e e l e c t r o m a g n e t i c s p e c t r u m [ 4 5 ] - [ 4 7 ] . E x p e r i m e n t a l v a l u e s r e p o r t e d i n l i t e r a t u r e v a r y w i d e l y d u e t o t h e i n h e r e n t d i f f e r e n c e i n t h e e x p e r i - m e n t a l p r o c e d u r e s a n d t h e h i s t o l o g i c a l p r o p e r t i e s o f t h e h e t e r o g e n e o u s b r e a s t t i s s u e 2 1 5 T a b l e 1 1 . 1 . B r e a s t m o d e l s u s e d i n t h e t h e r a p y c o m p u t a t i o n a l f e a s i b i l i t y s t u d y . 2 1 6 C o m p u t a t i o n a l B r e a s t M o d e l s M o d e l B r e a s t O r i g i n T u m o r ' I b m o r L o c a t i o n I D r a d i u s ( m m ) ( m m ) s i z e ( m m ) c e n t e r ( m m ) f r o m c e n t e r ( m m ) C N 0 5 6 2 x 6 2 ( - 2 1 0 , - 1 9 0 ) 2 . 5 x 2 . 5 ( 2 0 0 , 2 0 0 ) ( 1 0 , - 1 0 ) C N 1 0 6 2 x 6 2 ( - 2 1 0 , - 1 9 0 ) 5 x 5 ( - 2 0 0 , - 2 0 0 ) ( 1 0 , - 1 0 ) C M 0 8 6 2 x 6 2 ( ~ 2 1 0 , - 1 9 0 ) 4 x 4 ( — 1 8 6 , - 2 2 2 ) ( 2 4 , - 3 2 ) C M 0 6 6 2 x 6 2 ( - 2 1 0 , - 1 9 0 ) 3 x 3 ( - 1 8 6 , - 2 2 2 ) ( 2 4 , - 3 2 ) E N 0 6 x 2 6 2 x 6 2 ( 2 1 0 , 4 9 0 ) 3 x 1 ( 2 0 0 , — 2 0 0 ) ( 1 0 , - 1 0 ) E N 1 0 x 5 6 2 x 6 2 ( - 2 1 0 , - 1 9 0 ) 5 x 2 . 5 ( - 2 0 0 , - 2 0 0 ) ( 1 0 , - 1 0 ) E M 0 8 x 5 6 2 x 6 2 ( — 2 1 0 , - 1 9 0 ) 4 x 2 . 5 ( - 1 8 6 , - 2 2 2 ) ( 2 4 , - 3 2 ) E M l e 5 6 2 x 6 2 ( - 2 1 0 , - 1 9 0 ) 5 x 2 . 5 ( - 1 8 6 , - 2 2 2 ) ( 2 4 , — 3 2 ) T a b l e 1 1 . 2 . D i e l e c t r i c a n d t h e r m a l p r o p e r t i e s o f b r e a s t t i s s u e [ 4 7 ] , [ 4 2 ] , [ 1 9 6 ] - [ 1 9 7 ] ( e = e r — j a / w c g , 6 c : 4 3 . 7 6 - j 2 2 . 8 2 , c b : 4 0 0 0 , T b = 3 7 ° C , f = 5 0 0 M H z ) T i s s u e t y p e 6 7 » 0 ( S ) I t ( W / m / ° C ) u 2 b ( k g / m 3 / s ) p ( k g / m 3 ) B e n i g n 1 8 . 0 0 0 . 1 2 0 . 2 2 1 . 1 8 8 8 M a l i g n a n t 5 7 . 6 0 0 . 7 7 0 . 5 6 1 . 8 1 0 5 0 S k i n 4 8 . 6 3 0 . 7 0 5 0 . 4 2 2 . 2 7 5 1 0 4 0 s a m p l e s . I r r e s p e c t i v e o f t h e v a r i a t i o n s w i t h i n t h e r e p o r t e d v a l u e s , a l l fi n d i n g s r e v e a l a s i g n i fi c a n t c o n t r a s t i n t h e d i e l e c t r i c c o n s t a n t a n d c o n d u c t i v i t y o f c a n c e r o u s t i s s u e c o m p a r e d t o t h e b e n i g n t i s s u e . T h e d i e l e c t r i c p r o p e r t y o f f r e s h l y e x c i s e d b e n i g n a n d m a l i g n a n t b r e a s t t i s s u e s r e p o r t e d i n [ 4 7 ] o v e r 5 0 — 9 0 0 M H z f r e q u e n c y r a n g e i s u s e d i n t h e c o m p u t a t i o n a l f e a s i b i l i t y s t u d y . r “ a b l e T a b l e 1 1 . 2 l i s t s t h e t i s s u e d i e l e c t r i c p r o p e r t i e s u s e d i n t h e n u m e r i c a l s i m u l a t i o n s . 1 1 . 5 . 2 S i n g l e V s D u a l M i r r o r T h e r a p y M o d e l T h e t h e r m a l p r o fi l e s m a i n t a i n e d b y s i n g l e a n d d u a l m i r r o r a s s e m b l i e s w e r e i n v e s - t i g a t e d f o r t h e b r e a s t m o d e l C N 1 0 s h o w n i n F i g u r e F i g u r e 1 1 . 1 5 . F i g u r e s F i g u r e 1 1 . 1 2 a n d F i g u r e 1 1 . 1 6 s h o w t h e c o m p u t a t i o n a l m o d e l a n d m i r r o r s h a p e s u s e d i n t h e r a p y s i m u l a t i o n s . T h e s p e c i fi c a b s o r p t i o n r a t e g i v e n b y ( 1 1 . 2 3 ) w a s c o m p u t e d u s i n g e q u a t i o n s ( 1 1 . 1 4 ) - ( 1 1 . 1 5 ) a n d ( 1 1 . 1 6 ) - ( 1 1 . 1 7 ) r e s p e c t i v e l y f o r t h e s i n g l e a n d d e f o r m a b l e m i r r o r s e t u p . I n b o t h t h e r a p y m o d e l s , i m p r e s s e d c u r r e n t a m p l i t u d e w a s i t e r a t i v e l y i n c r e a s e d u n t i l t u m o r t i s s u e t e m p e r a t u r e w a s e l e v a t e d a b o v e 4 2 ° C . T h u s , t h e i m p r e s s e d c u r r e n t a m p l i t u d e r e q u i r e d f o r t h e t w o m o d e l s a r e d i f f e r e n t . F i g u r e s F i g u r e 1 1 . 1 7 ( a ) — ( b ) s h o w t h e S A R . i n s i d e C N 1 0 f o r w h i c h , T t u m o r > 4 2 ° C c o n d u c i v e f o r h y p e r t h e r m i a . F i g u r e s F i g u r e 1 1 . 1 9 — F i g u r e 1 1 . 2 0 s h o w t h e s t e a d y s t a t e t h e r m a l d i s t r i b u t i o n i n s i d e C N 1 0 m a i n t a i n e d b y s i n g l e a n d d u a l m i r r o r t h e r a p y m o d e l s f o r T 0 = 3 2 ° C a n d T 0 = 3 7 ° C r e s p e c t i v e l y . I n F i g u r e s F i g u r e 1 1 . 1 9 - F i g u r e 1 1 . 2 0 , t h e i m p r e s s e d c u r r e n t a m p l i t u d e s a r e i t e r a t i v e l y i n c r e a s e d u n t i l t h e t u m o r t i s s u e t e m p e r — a t u r e w a s e l e v a t e d a b o v e 4 2 ° C . T h e s t e a d y s t a t e t e m p e r a t u r e i n s i d e C N 1 0 f o r t h e s i n g l e a n d d u a l m i r r o r s e t u p a r e c o m p a r e d a l o n g f o u r d i f f e r e n t t r a n s e c t s t h r o u g h t h e t u m o r s h o w n i n F i g u r e F i g u r e 1 1 . 1 8 . F i g u r e s F i g u r e 1 1 . 2 1 - F i g u r e 1 1 . 2 2 c o m p a r e t h e s t e a d y s t a t e t h e r m a l p r o fi l e s m a i n t a i n e d b y t h e s i n g l e a n d d u a l m i r r o r t h e r a p y m o d e l s f o r t h e t r a n s e c t s s h o w n i n F i g u r e F i g u r e 1 1 . 1 8 . F r o m F i g u r e s F i g u r e 1 1 . 1 7 - F i g u r e 1 1 . 2 2 , i t c a n b e o b s e r v e d t h a t t h e p e r f o r m a n c e o f t h e d u a l m i r r o r a s s e m b l y i s b e t t e r t h a n t h e s i n g l e m i r r o r m o d e l f o r fi e l d f o c u s i n g . T h e s i n g l e m i r r o r a s s e m b l y 2 1 7 0 . 3 - 0 . 2 - D E F O R M A B L E D E i f r i i t R O R 1 L E D A I I { I { ( ) I { 2 0 . 1 ' > 5 ’ 0 _ S O U R C E Z S O U R C E I h ‘ 0 - 1 ' B R E A S T - 0 . 2 - r i r h r ( ) r t - 0 . 3 - r I I — 0 . 7 - 0 3 - 0 4 - o i s 0 . 3 - 0 . 2 0 . 1 0 0 . 1 0 . 2 0 . 3 x ( m ) F i g u r e 1 1 . 1 6 . C o m p u t a t i o n a l m o d e l o f ( a ) s i n g l e m i r r o r a n d ( b ) d u a l m i r r o r s e t u p . 1 2 3 - 9 9 5 0 4 7 I 1 . 1 6 4 I ( a ) ( b ) F i g u r e 1 1 . 1 7 . T i s s u e s p e c i fi c a b s o r p t i o n r a t e i n C N 1 0 ( W / k g / m ) ( a ) s i n g l e m i r r o r a n d ( b ) d u a l m i r r o r s e t u p . 2 1 8 F i g u r e 1 1 . 1 8 . T r a n s e c t s t h r o u g h t h e t u m o r i n t h e b r e a s t m o d e l s . 4 2 8 6 4 2 . 8 7 ( a ) ' ( b ) F i g u r e 1 1 . 1 9 . S t e a d y s t a t e t e m p e r a t u r e d i s t r i b u t i o n i n C N 1 0 f o r T 0 : 3 2 ° C ( a ) s i n g l e m i r r o r a n d ( b ) d u a l m i r r o r s e t u p . 2 1 9 4 2 . 8 8 4 2 . 7 5 3 7 . 0 0 ( a ) 3 7 . 0 0 ( b ) F i g u r e 1 1 . 2 0 . S t e a d y s t a t e t e m p e r a t u r e d i s t r i b u t i o n i n C N 1 0 f o r T 0 = 3 7 ° C ( a ) s i n g l e m i r r o r a n d ( b ) d u a l m i r r o r s e t u p . — 2 5 - 2 0 - 1 5 x ( c m ) - 2 5 — 2 o - 1 5 ' - 2 5 - 2 0 - 1 5 i y ( c m ) x ( c m ) ( C ) ( d ) — S i n g l e M i r r o r M o d e l — o - D u a l M i r r o r M o d e l F i g u r e 1 1 . 2 1 . C o m p a r i s o n o f t h e s t e a d y s t a t e t e m p e r a t u r e i n C N 1 0 b e t w e e n s i n g l e a n d d u a l m i r r o r s e t u p f o r T 0 : 3 2 ° C ( a ) L 1 ( b ) L 2 ( 0 ) L 3 ( ( 1 ) L 4 . 2 2 0 Q 3 9 ' — 3 8 . . ‘ _ 3 7 : - 2 5 - 2 0 4 5 x ( c m ) 4 0 < 3 3 9 l — 3 8 - - i 3 7 . ' _ _ . - 2 5 - 2 0 - 1 5 - 2 5 - 2 0 - 1 5 y ( c m ) x ( c m ) ( C ) ( d ) — S i n g l e M i r r o r M o d e l — 0 - D u a l M i r r o r M o d e l F i g u r e 1 1 . 2 2 . C o m p a r i s o n o f t h e s t e a d y s t a t e t e m p e r a t u r e i n C N 1 0 b e t w e e n s i n g l e a n d d u a l m i r r o r s e t u p f o r T 0 : 3 7 ° C ( a ) L 1 ( b ) L 2 ( 0 ) L 3 ( ( 1 ) L 4 . 2 2 1 ) _ . . _ . 1 0 0 0 0 — o — - 1 2 5 0 0 1 5 0 0 0 + 1 7 5 0 0 4 2 » 4 0 - T ( C 3 8 - - 2 6 2 4 - 2 2 - 2 0 - 1 3 - 1 B x ( c m ) ( a ) 4 2 Q 4 0 I . . . 3 8 * ( 5 - 2 5 - 2 0 2 0 V ( c m ) x ( c m ) ( C ) ( ( 1 ) F i g u r e 1 1 . 2 3 . S t e a d y s t a t e t e m p e r a t u r e e l e v a t i o n i n C N 1 0 f o r d u a l m i r r o r s e t u p f o r T 0 = 3 7 ° C ( 8 1 ) L 1 ( 1 ) ) L 2 ( C ) L 3 ( ( 0 L 4 - r e q u i r e s l a r g e r i m p r e s s e d c u r r e n t a m p l i t u d e t o a c h i e v e T 0 = 4 2 ° C u n l i k e t h e d u a l m i r r o r a s s e m b l y . A s s e e n i n F i g u r e F i g u r e 1 1 . 1 7 , t h e s p e c i f i c a b s o r p t i o n r a t e i n s i d e t h e b e n i g n b r e a s t t i s s u e i s r e l a t i v e l y l a r g e f o r t h e s i n g l e m i r r o r m o d e l w h i c h m i g h t l e a d t o u n d e s i r e d h o t s p o t s i n t h e s u r r o u n d i n g b e n i g n t i s s u e a n d s k i n b u r n s . I n t h e s i n g l e m i r r o r m o d e l , t h e b r e a s t i s i r r a d i a t e d f r o m o n e s i d e w h i c h m a i n t a i n s a s t r o n g t h e r m a l g r a d i e n t w i t h i n t h e b e n i g n b r e a s t t i s s u e s u r r o u n d i n g t h e t u m o r a s s h o w n i n F i g u r e s F i g u r e 1 1 . 1 9 a n d F i g u r e 1 1 . 2 0 . T h e d u a l m i r r o r m o d e l o n t h e o t h e r h a n d i l l u m i n a t e s t h e b r e a s t f r o m b o t h s i d e s a n d a c h i e v e s s i g n i fi c a n t E M e n e r g y d e p o s i t i o n a n d t e m p e r a t u r e e l e v a t i o n i n s i d e t h e t u m o r w i t h o u t a n y s u p e r fi c i a l s k i n h e a t i n g a n d w i t h i n a s h o r t e r t i m e d u r a t i o n . A p l o t o f t h e s t e a d y s t a t e t h e r m a l p r o fi l e s i n C N 1 0 f o r d i f f e r e n t i m p r e s s e d c u r r e n t a m p l i t u d e s i n t h e d u a l m i r r o r c o m p u t a t i o n a l m o d e l a r e s h o w n i n F i g u r e F i g u r e 1 1 . 2 3 f o r T 0 : 3 7 ° C . C o m p u t e r s i m u l a t i o n s i n d i c a t e t h e m e r i t s o f d u a l m i r r o r s e t u p f o r b r e a s t c a n c e r t h e r m a l t h e r a p y a t T 0 = 3 2 ° C a n d T 0 = 3 7 ° C . T h u s , s u b s e q u e n t c o m p u t e r s i m u l a t i o n s a r e i n v e s t i g a t e d u s i n g t h e d u a l m i r r o r t h e r a p y s e t u p . 1 1 . 5 . 3 D u a l M i r r o r H y p e r t h e r m i c S i m u l a t i o n s S i m u l a t i o n s w e r e c a r r i e d o u t f o r t h e r e m a i n i n g b r e a s t m o d e l s i n F i g u r e F i g u r e 1 1 . 1 5 u s i n g t h e d u a l d e f o r m a b l e m i r r o r s e t u p f o r f o r T 0 : 3 2 ° C a n d T 0 = 3 7 ° C . F i g u r e s F i g u r e 1 1 . 2 4 ( a ) - ( h ) s h o w t h e t i s s u e s p e c i f i c a b s o r p t i o n r a t e f o r t h e b r e a s t m o d e l s . T h e c o r r e s p o n d i n g s t e a d y s t a t e t e m p e r a t u r e d i s t r i b u t i o n s f o r T 0 : 3 2 ° C a n d T 0 = 3 7 ° C a r e s h o w n i n F i g u r e s F i g u r e 1 1 . 2 5 a n d F i g u r e 1 1 . 2 6 r e s p e c t i v e l y . F i g u r e s F i g u r e 1 1 . 2 7 — F i g u r e 1 1 . 3 4 c o m p a r e t h e t h e r m a l p r o fi l e s c a l c u l a t e d f o r T 0 = 3 2 ° C a n d T 0 = 3 7 ° C f o r t r a n s e c t s t h r o u g h t h e b r e a s t m o d e l s a s i l l u s t r a t e d i n F i g u r e F i g u r e 1 1 . 1 8 . I n F i g u r e s F i g u r e 1 1 . 2 7 — F i g u r e 1 1 . 3 4 , t h o u g h t h e t e m p e r a t u r e p r o fi l e s w i t h i n t h e b r e a s t i s s i m i l a r f o r T 0 : 3 2 ° C a n d T 0 : 3 7 ° C , t e m p e r a t u r e o f t h e s k i n i s m a i n t a i n e d a t a m u c h l o w e r l e v e l f o r t h e f o r m e r . T h i s o b s e r v a t i o n i s t r u e f o r a l l m o d e l s i r r e s p e c t i v e o f t h e l o c a t i o n , s i z e a n d s h a p e o f t h e t u m o r . T h e t h e r m a l m e t r i c s 2 2 3 1 . 9 9 $ 9 0 . 9 9 1 . 2 9 ' fi ' i ' 6 9 4 2 2 . 1 8 " ” 3 2 6 4 1 . 3 9 4 : 3 3 . 1 9 ( 6 ) ( f ) ( g ) ( 1 1 ) F i g u r e 1 1 . 2 4 . S p e c i fi c a b s o r p t i o n r a t e i n b r e a s t m o d e l s ( W / k g / m ) ( a ) C N O 5 ( b ) C N 1 0 ( c ) C M O G ( 6 ) C M 0 8 ( e ) E N 0 6 x 2 ( 1 ) E N l e 5 ( g ) E M 0 8 x 5 ( h ) E M 1 0 x 5 . c o m p u t e d f o r t h e b r e a s t m o d e l s a r e s u m m a r i z e d i n T a b l e s T a b l e 1 1 . 3 — T a b l e 1 1 . 4 . 1 1 . 5 . 4 D u a l M i r r o r A b l a t i o n S i m u l a t i o n s E x p e r i m e n t a l s t u d i e s o n t h e u s e o f m i c r o w a v e i n t e r s t i t i a l a p p l i c a t o r s f o r d e s t r o y i n g a n d c o n t r o l l i n g t u m o r c e l l s i n v a r i o u s b o d y o r g a n s h a v e s h o w n t h a t h i g h v a s c u l a r t u m o r c e l l s a r e s u b j e c t e d t o i r r e v e r s i b l e c e l l n e c r o s i s a t e l e v a t e d t e m p e r a t u r e s [ 1 7 4 ] . M i c r o w a v e a b l a t i o n t e c h n i q u e i n v o l v e s e l e v a t i n g t h e t u m o r t e m p e r a t u r e t o 5 5 — 1 0 0 ° C f o r f e w m i n u t e s u n l i k e t h e p r o l o n g e d E — fi e l d e x p o s u r e t o m a i n t a i n t h e t u m o r t e m p e r a - t u r e o v e r a n a r r o w t h e r a p e u t i c r a n g e o f 4 2 — 4 5 ° C w i d e l y p r a c t i c e d i n a d j u v a n t h y p e r — 2 2 4 3 2 4 3 . 6 7 3 2 4 1 1 6 4 ( h ) F i g u r e 1 1 . 2 5 . S t e a d y s t a t e t e m p e r a t u r e i n b r e a s t m o d e l s f o r T 0 = 3 2 ° C ( a ) C N 0 5 ( b ) C N 1 0 ( c ) C M 0 6 ( d ) C M 0 8 ( e ) E N 0 6 x 2 ( f ) E N 1 0 x 5 ( g ) E M O 8 x 5 ( h ) E M 1 0 x 5 . 2 2 5 3 7 4 ” 4 3 . 4 4 3 7 4 3 . 5 5 3 7 ( e ) ( f ) F i g u r e 1 1 . 2 6 . S t e a d y s t a t e t e m p e r a t u r e i n b r e a s t m o d e l s f o r T 0 = 3 7 ° C ( a ) C N 0 5 ( b ) C N 1 0 ( c ) C M 0 6 ( ( 1 ) C M O 8 ( e ) E N 0 6 x 2 ( f ) E N 1 0 x 5 ( g ) E M 0 8 x 5 ( h ) E M 1 0 x 5 . 2 2 6 4 2 _ 4 0 - ( 2 3 8 ' l - 3 5 . 3 4 [ . B Z W A . L o a m 3 2 m - 4 1 3 m m - 5 - 2 0 - 1 5 - 2 5 - 2 0 - 1 5 x ( c m ) “ l e ( a ) — o - 3 2 — 3 7 ( b ) 4 2 4 2 ’ 4 0 » 4 0 » g 3 8 a d o q § 3 8 + F 3 6 1 . . “ t l - 3 6 l : 4 i t o p . 3 4 i i i 3 4 ' d o 9 L 3 2 4 4 - 1 . . . . 3 2 3 . 3 4 a . - 5 - 2 0 - 1 5 - 2 5 - 2 0 - 1 5 Y ( C m ) X ( C m ) ( c ) ( d ) F i g u r e 1 1 . 2 7 . S t e a d y s t a t e t e m p e r a t u r e i n C N 0 5 ( a ) L 1 ( b ) L 2 ( c ) L 3 ( ( 1 ) L 4 . 2 2 7 4 2 - 4 0 » @ 3 8 - l — 3 6 t 5 ? t ] : f . 3 4 - 1 ° 1 ; 3 2 m - . - 5 - 2 0 x ( c m ) ( a ) 4 2 4 0 3 3 8 ’ , . l — 3 6 d 3 4 4 c l 3 2 ” ; 1 . - 2 5 - 2 0 — 1 5 H e r “ ) ( C ) 4 2 . 4 0 : 3 6 ° ~ 2 5 - 2 0 - 1 5 x ( c m ) — 3 7 ( b ) : 3 6 » ° ° ° 3 4 9 ’ 0 - 2 5 - 2 0 - 1 x ( c m ) ( d ) “ t ” F i g u r e 1 1 . 2 8 . S t e a d y s t a t e t e m p e r a t u r e i n C N 1 0 ( a ) L 1 ( b ) L 2 ( c ) L 3 ( ( 1 ) L 4 . 2 2 8 4 2 » 4 0 ’ 4 0 ( 3 : , 3 8 - f ? { 3 : 3 8 . r — 3 6 - o T l — 3 6 l 3 4 - 5 5 L 3 4 1 - - 2 0 - 1 5 x ( c m ) x ( c m ) ( a ) — o - 3 2 — 3 7 ( b ) 4 2 4 0 » Q 3 8 l — 3 6 . 9 ‘ i ’ 3 4 ’ ¢ 3 3 2 m E L ‘ ‘ £ 3 8 m 3 2 o a e ' ‘ - m - 2 5 - 2 0 - 1 5 - 2 5 - 2 0 - 1 5 y ( c m ) x ( c m ) ( C ) ( d ) F i g u r e 1 1 . 2 9 . S t e a d y s t a t e t e m p e r a t u r e i n C M O G ( a ) L 1 ( b ) L 2 ( c ) L 3 ( ( 1 ) L 4 . . 0 “ 6 v 4 2 - 4 0 » Q 3 8 » * - 3 6 - 3 4 - 3 2 m m 4 2 . 4 0 . g 3 8 l " 3 6 3 4 . 4 p 3 2 6 2 : : 1 . - 2 5 - 2 0 - 1 5 V ( c m ) ( C ) 4 2 4 o . 4 3 8 i f 3 6 3 4 3 2 m m g r a m - 2 5 - 2 0 x ( c m ) ( b ) “ " 0 . 0 - — 3 7 4 0 A 3 8 9 o r - 3 6 6 " ' Q l . 3 4 ] f ; 3 ' 3 2 0 8 : ? * 2 0 - 2 5 x ( c m ) ( d ) F i g u r e 1 1 . 3 0 . S t e a d y s t a t e t e m p e r a t u r e i n C M O 8 ( a ) L 1 ( b ) L 2 ( 0 ) L 3 ( d ) L 4 . 2 3 0 4 2 » 4 0 4 A 3 8 . : 3 5 . 3 4 > 4 2 . 4 0 » g 3 8 . * — 3 6 . 9 t 3 4 , . 6 - 2 5 - 2 0 - 1 5 V ( c m ) ( C ) 4 2 4 0 F : 3 6 . 3 4 * ¢ 3 2 m [ 4 , . . - - 2 5 — 3 7 - 2 0 x ( c m ) ( b ) - 1 5 - 2 5 I u — l , . , o - ” ‘ 1 - 2 0 x ( c m ) ( d ) F i g u r e 1 1 . 3 1 . S t e a d y s t a t e t e m p e r a t u r e i n E N 0 6 x 2 ( a ) L 1 ( b ) L 2 ( c ) L 3 ( d ) L 4 . 4 2 - 4 0 - : 3 6 - 3 4 3 2 m m 4 2 4 0 n 3 8 : 3 6 £ 0 3 4 , 1 " d 3 2 ' " 3 9 2 9 5 - 2 0 - 1 5 Y ( c m ) ( C ) 4 2 . 4 0 . Q 3 8 . + - 3 6 ’ 3 4 ’ i T o ~ 2 5 ~ 2 0 ~ 1 5 x ( c m ) — 3 7 ( b ) 4 2 . 4 0 . g 3 8 . r - 3 5 . 3 4 . - ” i ~ 2 5 ~ 2 0 ~ 1 5 x ( c m ) ( 0 ' ) F i g u r e 1 1 . 3 2 . S t e a d y s t a t e t e m p e r a t u r e i n E N 1 0 x 5 ( a ) L 1 ( b ) L 2 ( c ) L 3 ( ( 1 ) L 4 . 4 2 » 4 0 - @ 3 8 - F — 3 6 . ( a ) — 0 - 3 2 4 2 4 0 ’ g 3 8 * - 3 5 ’ 3 4 3 2 7 8 2 ? - 2 1 0 . 1 5 c m V ( c m ) ( C ) 4 2 ’ 4 0 , ( 3 ' 3 8 : 3 6 3 4 » 3 2 W ~ ~ ~ @ 8 9 9 ~ 2 4 ~ 2 2 ~ 2 0 ~ 1 8 ~ 1 6 ~ 1 4 x ( c m ) — 3 7 ( b ) 4 2 4 0 » g 3 8 * — 3 6 ’ 3 4 » 3 2 . 9 . 4 2 - ~ h a m ~ 2 5 ~ 2 0 ~ 1 5 x ( c m ) ( d ) F i g u r e 1 1 . 3 3 . S t e a d y s t a t e t e m p e r a t u r e i n E i \ i ‘ 1 0 8 x 5 ( a ) L 1 ( 1 ) ) L 2 ( 0 ) L 3 ( ( 1 ) L 4 . 2 3 3 4 0 - § 3 8 ~ 1 — 3 6 - 3 4 - 3 2 m ¥ 3 + * e m ~ 2 5 ~ 2 0 ~ 1 5 x ( c m ) ( a ) - 0 - 3 2 4 0 * Q 3 8 I l - 3 8 g 2 3 1 3 3 4 : 3 3 , g u ~ 2 5 ~ 2 0 ~ 1 5 3 ! ( c m ) ( C ) 4 0 » . 4 3 8 4 9 1 — 3 6 3 4 ’ ~ 2 4 - 2 2 - 2 0 - 1 8 - 1 6 - 1 4 x ( c m ) — 3 7 ( b ) 4 0 . . 2 3 8 » g . F i g u r e 1 1 . 3 4 . S t e a d y s t a t e t e m p e r a t u r e i n E M l O X S ( a ) L 1 ( b ) L g ( G ) L 3 ( d ) L 4 . 2 3 4 3 . 5 7 " 1 5 7 . 6 7 3 2 1 ” 5 5 . 3 6 ( a ) C b ) F i g u r e 1 1 . 3 5 . C N 1 0 a b l a t i o n s i m u l a t i o n s f o r ( T 0 = 3 2 ° C ) ( a ) S A R ( W / k g / m ) ( b ) S t e a d y s t a t e t e m p e r a t u r e ( C ) . t h e r m i a t r e a t m e n t s . I t i s d e s i r a b l e f o r n o n i n v a s i v e a b l a t i o n t e c h n i q u e t o m a i n t a i n t h e t e m p e r a t u r e o f t h e s u r r o u n d i n g b e n i g n t i s s u e w e l l b e l o w 4 3 ° C . T h e c o m p u t a t i o n a l f e a s i b i l i t y s t u d y w a s e x t e n d e d t o i n v e s t i g a t e t h e p r o s p e c t s o f n o n i n v a s i v e a b l a t i o n o f t h e t u m o r u s i n g t h e d e f o r m a b l e m i r r o r t h e r a p y s y s t e m . T h e a m p l i t u d e o f t h e i m p r e s s e d c u r r e n t i n t h e c o m p u t a t i o n a l p r o c e d u r e w a s i n c r e a s e d u n t i l t h e m a x i m u m t e m p e r a t u r e i n s i d e t h e l e s i o n w a s a b o v e 5 5 ° C . F i g u r e s F i g u r e 1 1 . 3 5 a n d F i g u r e 1 1 . 3 6 s h o w t h e S A R a n d s t e a d y s t a t e t e m p e r a t u r e d i s t r i b u t i o n i n s i d e C N 1 0 f o r T 0 = 3 2 ° C a n d T 0 = 3 7 ° C r e s p e c t i v e l y f o r C N 1 0 b r e a s t m o d e l . T h e t h e r m a l p r o fi l e s i n s i d e t h e b r e a s t m o d e l a l o n g t h e f o u r t r a n s e c t s i n F i g u r e F i g u r e 1 1 . 1 8 a r e s h o w n i n F i g u r e F i g - u r e 1 1 . 3 7 . T h e t e m p e r a t u r e d i s t r i b u t i o n a n d t h e r m a l p r o fi l e s i n s i d e C N 1 0 i n d i c a t e t h e f e a s i b i l i t y o f n o n i n v a s i v e m i c r o w a v e a b l a t i o n o f b r e a s t c a n c e r u s i n g t h e d e f o r m a b l e m i r r o r t h e r a p y s e t u p . 2 3 5 3 - 7 8 1 6 3 - 9 6 3 7 5 6 . 1 0 ( a ) ( b ) F i g u r e 1 1 . 3 6 . C N 1 0 a b l a t i o n s i m u l a t i o n s f o r ( T 0 = 3 7 ° C ) ( a ) S A R ( W / k g / m ) ( b ) S t e a d y s t a t e t e m p e r a t u r e ( C ) . 1 1 . 6 C o n c l u s i o n s A n a l t e r n a t e a n d n o v e l m i c r o w a v e h y p e r t h e r m i a t r e a t m e n t a p p r o a c h f o r b r e a s t c a n — c e r i s i n v e s t i g a t e d v i a c o m p u t e r s i m u l a t i o n s o n 2 D b r e a s t m o d e l s . T h e p r o p o s e d t e c h n i q u e e m p l o y s d e f o r m a b l e m e m b r a n e m i r r o r s t o f o c u s t h e i n c i d e n t E M fi e l d a t t h e t a r g e t t u m o r a n d a c h i e v e s e l e c t i v e t u m o r h e a t i n g w h i l e s p a r i n g t h e s u r r o u n d i n g b e n i g n t i s s u e . T h e d e f o r m a b l e m i r r o r h y p e r t h e r m i a a s s e m b l y w i t h fi x e d m i c r o w a v e s o u r c e s i s a p o t e n t i a l a l t e r n a t i v e t o t h e c o n t e m p o r a r y m e t h o d s e m p l o y i n g p h a s e — f o c u s e d , p h a s e - m o d u l a t e d a r r a y s a n d m u l t i p l e d i s c r e t e a n t e n n a s w h i c h r e q u i r e p h a s e a n d a m p l i t u d e o p t i m i z a t i o n t e c h n i q u e s f o r fi e l d f o c u s i n g . T h e l a r g e s u r f a c e o f t h e d e f o r m a b l e m i r r o r p r o v i d e s e f fi c i e n t fi e l d f o c u s i n g a t t h e t u m o r l o c a t i o n . T h e c o n — t i n u o u s l y d e f o r m a b l e m i r r o r c a n b e v i e w e d a s a fl e x i b l e c o n f o r m a b l e a n t e n n a a r r a y , w h i c h c a n s c a n t h e b r e a s t t i s s u e m o r e e f f e c t i v e l y a n d d e l i v e r e n e r g y p r e f e r e n t i a l l y a t t h e t u m o r s i t e u n l i k e t h e p h a s e d a r r a y h y p e r t h e r m i a a p p l i c a t o r s w i t h l i m i t e d n u m b e r o f a n t e n n a s . T h e c o m p u t a t i o n a l f e a s i b i l i t y s t u d y p r e s e n t e d f o r t h e t w o d i m e n s i o n a l 2 3 6 - 2 0 - 1 5 x ( c m ) ( a ) - 0 . 3 2 5 5 5 5 5 0 4 5 0 . Q 4 5 » Q 4 5 , + — r — 4 0 . 4 0 3 5 . 3 5 3 ‘ C i } , u s e - . $ 5 9 3 9 ( 9 8 % . . 5 % ~ 2 5 - 2 0 ~ 1 5 ~ 2 5 ~ 2 0 ~ 1 5 V ( c m ) x ( c m ) ( C ) ( d ) F i g u r e 1 1 . 3 7 . S t e a d y s t a t e t h e r m a l p r o fi l e s i n C N 1 0 ( a ) L 1 ( b ) L 2 ( c ) L 3 ( d ) L 4 . T a b l e 1 1 . 3 . S t e a d y s t a t e t e m p e r a t u r e i n t h e b r e a s t m o d e l s f o r T 0 = 3 2 ° M o d e l S k i n B e n i g n T i s s u e T u m o r T i s s u e I D S A R ” T “ S A R ” T “ S A R ” T H ( W / k g / m ) ( O C ) ( W / k g / m ) ( O C ) ( W / k g / m ) 1 ° C ) C N 0 5 1 9 . 1 4 2 0 3 2 . 3 8 5 0 5 . 7 2 2 7 3 6 . 8 7 3 7 6 2 . 3 1 3 1 4 2 . 2 1 4 1 C N 1 0 1 5 . 3 4 3 7 3 2 . 3 5 3 4 4 . 2 2 7 9 3 6 . 5 8 3 1 4 9 . 7 8 3 4 4 2 . 8 3 2 0 C M 0 6 2 9 . 5 3 3 3 3 2 . 4 7 4 5 7 . 6 2 0 6 3 7 . 4 5 6 2 6 7 . 6 2 1 9 4 2 . 7 6 2 9 C M O 8 2 2 . 0 9 4 1 3 2 . 4 1 2 5 5 . 7 5 9 2 3 6 . 9 4 5 7 5 5 . 6 0 6 9 4 2 . 3 7 7 4 E N 0 6 x 2 2 0 . 0 4 7 8 3 2 . 3 9 4 5 6 . 9 4 2 6 3 7 . 3 7 8 9 7 1 . 4 5 4 9 4 2 . 0 4 9 9 E N 1 0 x 5 1 2 . 9 7 7 6 3 2 . 3 3 4 6 3 . 9 9 6 1 3 6 . 4 5 2 1 4 9 . 6 6 1 1 4 1 . 6 4 1 9 E M O 8 X 5 2 9 . 5 2 0 8 3 2 . 4 7 4 7 7 . 7 1 3 7 3 7 . 6 3 2 2 6 8 . 0 5 9 0 4 2 . 9 0 5 3 E M 1 0 X 5 1 8 . 8 3 0 0 3 2 . 3 8 5 1 4 . 9 5 8 7 3 6 . 7 2 2 9 4 6 . 1 0 6 9 4 1 . 3 1 4 2 2 3 7 T a b l e 1 1 . 4 . S t e a d y s t a t e t e m p e r a t u r e i n t h e b r e a s t m o d e l s f o r T 0 = 3 7 0 M o d e l S k i n B e n i g n T i s s u e T u m o r T i s s u e I D S A R “ T M S A R / L T “ S A R M T u ( W / k s / m ) ( 0 ‘ ) ( W / k g / m ) ( O C ) ( W / k g / m ) ( ° C ) C N 0 5 1 9 . 1 4 2 0 3 7 . 1 6 1 3 5 . 7 2 2 7 3 8 . 5 6 7 9 6 2 . 3 1 3 1 4 2 . 2 2 8 8 C N 1 0 1 3 . 9 9 5 5 3 7 . 1 1 8 3 3 . 8 5 6 4 3 8 . 1 1 3 6 4 5 . 4 0 9 0 4 2 . 3 3 3 0 C M O 6 2 5 . 7 2 6 8 3 7 . 2 1 8 6 6 . 6 3 8 4 3 8 . 8 7 1 9 5 8 . 9 0 6 2 4 2 . 3 0 2 1 C M O 8 2 2 . 0 9 4 1 3 7 . 1 8 8 9 5 . 7 5 9 2 3 8 . 6 5 8 2 5 5 . 6 0 6 9 4 2 . 6 9 8 1 E N 0 6 x 2 2 0 . 0 4 7 8 3 7 . 1 7 0 8 6 . 9 4 2 6 3 8 . 9 1 8 5 7 1 . 4 5 4 9 4 2 . 0 6 4 9 E N 1 0 x 5 1 6 . 4 2 4 8 3 7 . 1 4 0 4 5 . 0 5 7 6 3 8 . 4 3 6 6 6 2 . 8 5 2 3 4 2 . 8 9 4 1 E M O 8 X 5 2 5 . 7 1 5 9 3 7 . 2 1 8 7 6 . 7 1 9 5 3 8 . 9 6 4 6 5 9 . 2 8 6 9 4 2 . 4 2 3 4 E M l e 5 1 8 . 8 3 0 0 3 7 . 1 6 1 2 4 . 9 5 8 7 3 8 . 4 3 0 4 4 6 . 1 0 6 9 4 1 . 6 3 4 5 b r e a s t m o d e l s a p p e a r p r o m i s i n g a n d d e m o n s t r a t e t h e p l a u s i b i l i t y o f t h e p r o p o s e d d e f o r m a b l e m i r r o r m i c r o w a v e l ' r y p e r t h e r m i a s y s t e m f o r b r e a s t c a n c e r t r e a t m e n t . E x - t e n d e d s i m u l a t i o n s t u d i e s o n t h e d u a l m i r r o r a s s e m b l y f o r n o n i n v a s i v e t u m o r a b l a t i o n i n d i c a t e t h e p r o s p e c t s o f t h e d e f o r m a b l e m i r r o r s e t u p a s a p o t e n t i a l c a n c e r a b l a t i o n t o o l . A t l o w p o w e r l e v e l s , t h e a b i l i t y o f t h e d e f o r m a b l e m i r r o r t o s c a n t h e b r e a s t t i s s u e c o u l d b e u s e d f o r b r e a s t i m a g i n g a s s h o w n i n c h a p t e r a n d [ 1 6 6 ] . N u m e r i c a l r e s u l t s o b t a i n e d u s i n g t h e i t e r a t i v e t o m o g r a p h y i n v e r s i o n s c h e m e i n [ 1 6 7 ] ~ [ 1 6 8 ] i l l u s - t r a t e t h e p o t e n t i a l o f t h e d e f o r m a l j fl e m i r r o r a s s e m b l y a s a c o m p e t e n t t o o l f o r i m a g i n g a n d t h e r a p y o f b r e a s t c a n c e r . 2 3 8 C H A P T E R 1 2 T H E R A P Y C A S E S T U D Y U S I N G M R I B R E A S T D A T A I n t r o d u c t i o n M a g n e t i c r e s o n a n c e i m a g i n g ( M R I ) f o r m e r l y k n o w n a s N u c l e a r M a g n e t i c R e s o n a n c e i s o n e o f t h e m o s t c o m m o n l y u s e d i m a g i n g t e c h n i q u e i n m e d i c i n e t o v i s u a l i z e t h e p a t h o l o g i c a l a n d p h y s i o l o g i c a l s t a t e o f l i v i n g t i s s u e s . I n t h i s c h a p t e r , f e a s i b i l i t y o f d e f o r m a b l e m i r r o r t h e r a p y t e c h n i q u e i s i n v e s t i g a t e d u s i n g h i g h r e s o l u t i o n M R I d a t a o f w o m e n r e p o r t e d t o h a v e b r e a s t m a l i g n a n c y . S e c t i o n 1 2 . 1 b r i e fl y c o v e r s t h e b a s i c s o f M R I t e c h n i q u e . M R I B r e a s t i m a g i n g , i m a g e a c q u i s i t i o n a n d d i a g n o s i s a r e c o v e r e d i n s e c t i o n s 1 2 . 2 a n d 1 2 . 3 r e s p e c t i v e l y . T h e s e c t i o n a l p l a n e s o f a h u m a n b o d y c o m - m o n l y u s e d i n m e d i c i n e f o r p o s i t i o n a l r e f e r e n c e i n s i d e t h e a n a t o m y t h a t w i l l b e u s e d i n t h e d e s c r i p t i o n o f t h e M R b r e a s t d a t a a r e b r i e f l y e x p l a i n e d i n s e c t i o n 1 2 . 4 . S e c t i o n 1 2 . 5 p r e s e n t s M R I i m a g e p o s t - p r o c e s s i n g m e t h o d s e m p l o y e d t o c r e a t e 2 D p h a n t o m s f o r d e f o r m a b l e m i r r o r t h e r a p y s i m u l a t i o n s . T h e r a p y s i m u l a t i o n s o n fi v e a n o n y m o u s p a t i e n t M R I d a t a s e t u s i n g d e f o r m a b l e m i r r o r s a r e p r e s e n t e d i n s e c t i o n s 1 2 6 — 1 2 1 0 . T h e f e a s i b i l i t y o f e x t e n d i n g t h e n o n - i n v a s i v e h y p e r t h e r m i a t e c h n i q u e e m p l o y i n g d e - f o r m a b l e m i r r o r s f o r a b l a t i o n i s i n v e s t i g a t e d i n s e c t i o n 1 2 . 1 1 . F i n a l l y , t h e o u t c o m e o f d u a l m i r r o r t h e r a p y m o d e l a r e d i s c u s s e d i n t h e ” C o n c l u s i o n s ” s e c t i o n . 1 2 . 1 M a g n e t i c R e s o n a n c e I m a g i n g M R I i s a h i g h r e s o l u t i o n i m a g i n g t e c h n i q u e t h a t r e l i e s o n t h e r e l a x a t i o n p r o p e r t i e s o f h y d r o g e n n u c l e i o r p r o t o n , f o u n d i n a b u n d a n c e i n b i o l o g i c a l t i s s u e s i n t h e f o r m o f w a t e r a n d f a t [ 1 9 8 ] . I n t h e a b s e n c e o f a n e x t e r n a l m a g n e t i c fi e l d , t h e m a g n e t i c s p i n s o f h y d r o g e n n u c l e i a r e r a n d o m l y o r i e n t e d a n d h a v e n o n e t m a g n e t i c m o m e n t . I n t h e p r e s e n c e o f a n u n i f o r m e x t e r n a l fi e l d , t h e h y r d o g e n n u c l e i a l i g n i n p a r a l l e l o r 2 3 9 P r e c e s s i o n A b o u t A x i s < P r o t o n S p i n E x t e r n a l M a g n e t i c F i e l d F i g u r e 1 2 . 1 . P r o t o n p r e c e s s i o n i n t h e p r e s e n c e o f a n e x t e r n a l s t a t i c m a g n e t i c fi e l d [ 1 9 9 ] . a n t i - p a r a l l e l t o t h e l o n g i t u d i n a l a x i s o f t h e s t a t i c m a g n e t i c fi e l d . T h e a l i g n e d p r o - t o n s s p i n n i n g a b o u t i t s o w n a x i s , b e g i n t o p r e c e s s o r g y r a t e w h e n e x p o s e d t o s t a t i c e x t e r n a l m a g n e t i c fi e l d c r e a t i n g a n e t m a g n e t i c m o m e n t . F i g u r e F i g u r e 1 2 . 1 s h o w s t h e p r o t o n p r e c e s s i n g i n t h e p r e s e n c e o f a n e x t e r n a l s t a t i c m a g n e t i c fi e l d . A s h o r t r a d i o f r e q u e n c y ( R F ) p u l s e a p p l i e d i n a p l a n e p e r p e n d i c u l a r t o t h e s t a t i c m a g n e t i c fi e l d d i s r u p t s t h e a l i g n m e n t o f p r o t o n m a g n e t i z a t i o n a l o n g t h e l o n g i t u d i n a l a x i s o f t h e s t a t i c m a g n e t i c fi e l d . T h e d e g r e e o f p r o t o n m i s a l i g n m e n t d e p e n d s o n t h e d u r a - t i o n a n d a m p l i t u d e o f t h e R F e x c i t a t i o n p u l s e . O n c e t h e R F p u l s e i s s w i t c h e d o f f , t h e p r o t o n s r e s u m e t h e i r m a g n e t i z a t i o n a n d a l i g n t h e m s e l v e s w i t h t h e l o n g i t u d i n a l a x i s o f t h e s t a t i c m a g n e t i c fi e l d . F i g u r e s F i g u r e 1 2 . 2 ( a ) - ( b ) i l l u s t r a t e t h e d i s r u p t i o n a n d r e l a x a t i o n o f a p r o t o n e x p o s e d t o a s h o r t R F b u r s t . T h e r e s t o r a t i o n o f p r o t o n o r i e n t a t i o n i s a n e x p o n e n t i a l p r o c e s s d e s c r i b e d b y a n i n c r e a s e i n m a g n e t i z a t i o n i n t h e l o n g i t u d i n a l p l a n e ( T 1 r e l a x a t i o n ) a n d d e c r e a s e i n m a g n e t i z a t i o n i n t h e t r a n s v e r s e p l a n e ( T 2 r e l a x a t i o n ) [ 1 9 8 ] . T h e R F e n e r g y e m i t t e d b y h y d r o g e n n u c l e i d u r i n g r e - l a x a t i o n i s d e t e c t e d b y r e c e i v e r c o i l s f o r i m a g e g e n e r a t i o n . T h e r e l a x a t i o n t i m e s , T 1 2 4 0 R F ' \ ( a ) \ ( b ) F i g u r e 1 2 . 2 . P r o t o n r e l a x a t i o n d u e t o R F b u r s t ( a ) d i s r u p t i o n ( b ) r e l a x a t i o n . a n d T 2 a r e u n i q u e f o r e a c h t y p e o f t i s s u e a n d y i e l d t h e c o n t r a s t i n M R i m a g e s . 1 2 . 2 M R M a m m o g r a p h y 1 2 . 2 . 1 D i a g n o s t i c B r e a s t I m a g i n g M R b r e a s t m a m m m o g r a m s a r e o b t a i n e d o n t h e b a s i s o f T 1 a n d T 2 r e l a x a t i o n t i m e s e x p l a i n e d i n t h e p r e v i o u s s e c t i o n . S e v e r a l v a r i a t i o n s o f R F p u l s e s e q u e n c e s a n d e x - t e r n a l g r a d i e n t c o i l s a r e u s e d t o o b t a i n 2 D a n d 3 D M R c o n t r a s t i m a g e s . I n M R m a m m o g r a p h y , d e d i c a t e d s u r f a c e c o i l s c u s t o m e d t o fi t t h e b r e a s t s h a p e a r e u s e d f o r i m a g i n g . F i g u r e F i g u r e 1 2 . 3 s h o w s a b i - l a t e r a l b r e a s t c o i l c o m m o n l y u s e d f o r s i m u l t a - n e o u s M R e x a m i n a t i o n o f b o t h b r e a s t s . F i g u r e F i g u r e 1 2 . 4 s h o w s a d e d i c a t e d b r e a s t M R s c a n n e r . P r i o r t o s l i d i n g t h e p a t i e n t i n t o t h e m a g n e t i c b o r e , t h e p a t i e n t l i e s o n t h e b e d i n p r o n e p o s i t i o n w i t h b o t h b r e a s t s p e n d a n t i n s i d e t h e b r e a s t c o i l . D u r i n g e x a m i n a t i o n , m o t i o n a r t i f a c t s i n b r e a s t M R i m a g e s a r e a v o i d e d b y c o m - p r e s s i n g t h e b r e a s t u s i n g v e n t r a l p a d d i n g o f t h e b r e a s t i n s i d e t h e b r e a s t c o i l w i t h s p e c i a l i z e d i n s e r t s o f v a r y i n g s i z e s . T h e p a d d i n g d e v i c e m i n i m i z e s m o t i o n a r t i f a c t s 2 4 1 F i g u r e 1 2 . 3 . B i - l a t e r a l b r e a s t s u r f a c e c o i l [ 2 0 0 ] . F i g u r e 1 2 . 4 . D e d i c a t e d M R b r e a s t s c a n n e r [ 2 0 0 ] . 2 4 2 a n d r e d u c e s t h e e f f e c t i v e b r e a s t t h i c k n e s s a n d h e n c e d e c r e a s e s t h e s l i c e t h i c k n e s s d u r - i n g e x a m i n a t i o n . B o t h 2 D a n d 3 D M R i m a g i n g t e c h n i q u e s w i t h c o n t r a s t m a t e r i a l f u n c t i o n i n g a t 0 . 5 — 1 . 5 T ( t e s l a ) a r e a v a i l a b l e i n c o m m e r c i a l b r e a s t M R s c a n n e r s [ 2 0 1 ] . I n t h e 2 D t e c h n i q u e , s i n g l e a x i a l s l i c e s o f t h e b r e a s t a r e e x c i t e d w h i l e i n t h e 3 D t e c h n i q u e , e n t i r e b r e a s t i s e x c i t e d a s a v o l u m e . 1 2 . 2 . 2 P a r a m a g n e t i c C o n t r a s t M a t e r i a l s T h e T 1 a n d T 2 i m a g e s e q u e n c e s o b t a i n e d i n M R m a m m o g r a p h y a l o n e a r e n o t a d e - q u a t e t o v i s u a l i z e t h e p a t h o l o g i c a l a n d p h y s i o l o g i c a l s t a t e o f t h e l i v i n g t i s s u e . T h u s , s o p h i s t i c a t e d i m a g e a c q u i s i t i o n t e c h n i q u e s s u c h a s f a t s u p p r e s s i o n a n d a d m i n i s t r a t i o n o f c o n t r a s t a g e n t a r e u s e d t o d e l i n e a t e t h e a r e a s o f i n t e r e s t [ 2 0 1 , 2 0 2 ] . I n M R i m a g - i n g , s u b s t a n c e s w i t h s p e c i fi c m a g n e t i c p r o p e r t i e s a r e u s e d . T h e m o s t c o m m o n l y u s e d p a r a m a g n e t i c c o n t r a s t m a t e r i a l i s t h e g a d o l i n i u m c o m p o u n d . G a d o l i n i u m - e n h a n c e d t i s s u e s a n d f l u i d s a p p e a r e x t r e m e l y b r i g h t o n T 1 ~ w e i g h t e d i m a g e s a n d p r o v i d e h i g h s e n s i t i v i t y f o r d e t e c t i o n o f v a s c u l a r t i s s u e s s u c h a s t u m o r s [ 2 0 1 ] . 1 2 . 2 . 3 F a t S a t u r a t i o n T e c h n i q u e s D u r i n g T 1 w e i g h t e d R F s e q u e n c e s , s i g n a l i n t e n s i t y o f f a t t i s s u e c a n s i g n i fi c a n t l y m a s k t h e p r o b a b i l i t y o f d e t e c t i n g c o n t r a s t - e n h a n c i n g l e s i o n s . T h u s , i t i s e s s e n t i a l t o s u p p r e s s t h e c o n t r i b u t i o n o f f a t s i g n a l i n T 1 i m a g e s e q u e n c e s . S u p p r e s s i o n o f f a t s i g n a l i s a c h i e v e d b y e m p l o y i n g o n e o f t h e f o l l o w i n g [ 2 0 1 ] : o S u b t r a c t i n g i d e n t i c a l i m a g e b e f o r e a n d a f t e r c o n t r a s t 0 G e n e r a t i n g p r i m a r y f a t s a t u r a t i o n s e q u e n c e s T h e f o r m e r t e c h n i q u e e m p l o y s i m a g e s u b t r a c t i o n o f i d e n t i c a l i m a g e s b e f o r e a n d a f t e r c o n t r a s t i n f u s i o n . I n t h e l a t e r t e c h n i q u e , a h i g h f r e q u e n c y f a t s u p p r e s s i n g i m p u l s e i s a p p l i e d t o s a t u r a t e f a t t i s s u e b e f o r e s i g n a l m e a s u r e m e n t . M e a s u r e m e n t s a c q u i r e d a f t e r t h e f a t - s a t u r a t i o n s i g n a l d o e s n o t h a v e c o n t r i b u t i o n o f f a t t i s s u e . 2 4 3 1 2 . 2 . 4 T 2 w e i g h t e d S e q u e n c e s I n T 2 — w e i g h t e d s e q u e n c e s , h y d r o u s s t r u c t u r e s i n t h e l i v i n g t i s s u e e m i t i n t e n s e s i g n a l . T 2 — w e i g h t e d i m a g e s a r e m o s t l y o b t a i n e d a f t e r c o n t r a s t e n h a n c e d d y n a m i c m e a s u r e - m e n t s . I t i s p o s s i b l e t o r e c o g n i z e s m a l l c y s t s o f f e w m m d i a m e t e r i n T 2 — w e i g h t e d b r e a s t i m a g e s . A l s o , t h e y p r o v i d e a u s e f u l c r i t e r i o n f o r i d e n t i f y i n g s m o o t h b o r d e r e d h y p e r - v a s c u l a r i z e d l e s i o n s a s t h e y e m i t i n t e n s e s i g n a l . I n c o n t r a s t , c a r c i n o m a s s h o w a r e l a t i v e l y l o w e r s i g n a l i n t e n s i t y [ 2 0 1 ] . 1 2 . 3 M R M a m m o g r a p h y - D i a g n o s t i c C r i t e r i a 1 2 . 3 . 1 M o r p h o l o g y M o r p h o l o g i c a l f e a t u r e s s u c h a s f o r m , m a r g i n , p a t t e r n o f t h e c o n t r a s t - e n h a n c i n g o r s u s p i c i o u s r e g i o n s a r e t h e c o m m o n l y u s e d d i a g n o s t i c c r i t e r i a t o d e t e c t m a l i g n a n c y . M o r p h o l o g i c a l f e a t u r e s o f t h e T 1 a n d T 2 M R b r e a s t i m a g e s a l o n e c a n n o t b e u s e d t o r e l i a b l y d e t e c t b e n i g n a n d m a l i g n a n t t u m o r s . M R i m a g e s o b t a i n e d a f t e r i n t r a v e n o u s a d m i n i s t r a t i o n o f c o n t r a s t a g e n t p l a y s a k e y r o l e i n b r e a s t d i a g n o s i s . T h e s i g n a l i n t e n s i t y c h a n g e s o b s e r v e d a f t e r c o n t r a s t a d m i n i s t r a t i o n t h a t a r e u s e d t o d i a g n o s e M R b r e a s t i m a g e s a r e b r i e f l y e x p l a i n e d i n t h i s s e c t i o n . 1 2 . 3 . 2 C o n t r a s t K i n e t i c s T e m p o r a l d i s t r i b u t i o n o f c o n t r a s t m a t e r i a l ( C M ) d u r i n g a n e x a m i n a t i o n , a l s o k n o w n a s ” C o n t r a s t K i n e t i c s ” s e r v e s a s d i a g n o s t i c c r i t e r i a i n b r e a s t M R I . B e n i g n l e s i o n s u s u a l l y d i s p l a y a b l o o m i n g o r c e n t r i f u g a l C M d i s t r i b u t i o n ; a n u n c h a n g i n g d i s t r i b u t i o n i s u n s p e c i fi c ; a c e n t r i p e t a l C M d i s t r i b u t i o n n o r m a l l y i n d i c a t e s c a r c i n o m a s . 1 2 . 3 . 3 C o n t r a s t D y n a m i c s E n h a n c e m e n t d y n a m i c s d e s c r i b e s t h e t e m p o r a l s i g n a l i n t e n s i t y c h a n g e s o c c u r r i n g i n a c o n t r a s t e n h a n c i n g r e g i o n . S i g n a l i n t e n s i t y c h a n g e s b e t w e e n 1 — 3 m i n u t e s a f t e r c o n t r a s t a d m i n i s t r a t i o n i s r e f e r r e d a s t h e ” i n i t i a l p h a s e ” . T h e p e r c e n t a g e i n c r e a s e i n 2 4 4 m : S T R O N G ( > 1 0 0 % ) 1 1 : M O D E R A T E ( s o — 1 0 0 % ) 1 : S L I G H T ( < 5 0 % ) S I G N A L I N C R E A S E P R E C O N T R A S T l 2 3 4 5 6 7 8 M I N U T E S P O S T C M I N T A K E F i g u r e 1 2 . 5 . D e t e r m i n a t i o n o f i n i t i a l s i g n a l i n c r e a s e a f t e r C M i n t a k e [ 2 0 1 ] . c o s m v o u s 1 : 4 m e I N C R E A S E m > 1 0 % U ) 9 1 0 0 0 . 4 P L A T E A U U E D E C R E A S E a ] 5 0 % w a s n o r r r > 1 0 % 2 . 3 4 5 6 7 s ' M N L U ' E S P O S T C M I N T A K E F i g u r e 1 2 . 6 . D e t e r m i n a t i o n o f p o s t - i n i t i a l s i g n a l i n c r e a s e a f t e r C M a d m i n i s t r a t i o n [ 2 0 1 ] . 2 4 5 T a b l e 1 2 . 1 . l \ l u l t i — f a c t o r e v a l u a t i o n p r o t o c o l f o r m a l i g n a n c y [ 2 0 1 ] . C r i t e r i o n S u s p i c i o u s f o r U n s p e c i fi c M a l i g n a n c y F o r m B r a n c h i n g , s p i c u l a t e d R o u n d M a r g i n s I n d i s t i n c t W e l l - d e fi n e d P a t t e r n R i n g - e n h a n c e m e n t I n h o m o g e n e o u s K i n e t i c s C e n t r i p e t a l U n c h a n g i n g D y n a m i c s ( i n i t i a l ) S t r o n g i n c r e a s e M o d e r a t e i n c r e a s e D y n a m i c s ( p o s t - i n i t i a l ) W a s h - o u t P l a t e a u m a x i m u m s i g n a l i n t e n s i t y d u r i n g i n i t i a l p h a s e w h e n c o m p a r e d t o t h e s i g n a l i n t e n s i t y b e f o r e C M a d m i n i s t r a t i o n s e r v e s a s a n i n d i c a t o r d u r i n g d i a g n o s i s . F i g u r e F i g u r e 1 2 . 5 i l l u s t r a t e s t h e d e t e r m i n a t i o n o f i n i t i a l s i g n a l i n c r e a s e a f t e r C M i n t a k e . S i g n a l c h a r a c t e r i s t i c s b e t w e e n 3 - 8 m i n u t e s a f t e r c o n t r a s t a d m i n i s t r a t i o n i s k n o w n a s t h e ” p o s t - i n i t i a l p h a s e ” . I n p o s t - i n i t i a l p h a s e , s i g n a l i n t e n s i t y v a l u e a f t e r 8 m i n u t e s i n r e l a t i o n t o t h e m a x i m u m i n i t i a l p h a s e v a l u e i s u s e d a s a d i a g n o s t i c c r i t e r i a f o r m a l i g n a n c y . T h e p o s t - i n i t i a l s i g n a l b e h a v i o r u s e d i n d i a g n o s i s i s i l l u s t r a t e d i n F i g u r e F i g u r e 1 2 . 6 . M u l t i — f a c t o r d i a g n o s t i c c r i t e r i a s u c h a s t h e o n e l i s t e d i n T a b l e T a b l e 1 2 . 1 h a v e s i g n i fi c a n t l y h i g h e r s p e c i fi c i t y a t a n e q u i v a l e n t s e n s i t i v i t y t h a n a s i n g l e f a c t o r e v a l u a t i o n p r o t o c o l . T a b l e T a b l e 1 2 . 1 l i s t s t h e m u l t i — f a c t o r d i a g n o s t i c c r i t e r i a u s e d i n c o n t r a s t e n h a n c i n g M R m a m m o g r a p h y t h a t s t r o n g l y i n d i c a t e t h e p r e s e n c e o f m a l i g n a n c y . 1 2 . 4 S e c t i o n a l P l a n e s i n H u m a n B o d y A n o n y m o u s b i - l a t e r a l M R b r e a s t d a t a w e r e u s e d i n t h e c o m p u t a t i o n a l f e a s i b i l i t y s t u d y o f t h e d u a l d e f o r m a b l e m i r r o r t h e r a p y t e c h n i q u e . F o r e a c h p a t i e n t d a t a u s e d i n t h e s i m u l a t i o n s t u d y , a b r i e f c l i n i c a l h i s t o r y a n d M R d i a g n o s t i c r e p o r t a r e p r e s e n t e d f o r c l e a r u n d e r s t a n d i n g . I n t h e n u m e r i c a l m o d e l , i t i s e s s e n t i a l t o k n o w t h e s e c t i o n a l 2 4 6 p l a n e s i n h u m a n b o d y t o l o c a t e t h e s u s p i c i o u s l e s i o n s a n d o t h e r s i g n a l e n h a n c e m e n t s m e n t i o n e d i n t h e M R d i a g n o s i s r e p o r t . T h i s s e c t i o n p r e s e n t s t h e r e q u i s i t e i n f o r m a t i o n t o u n d e r s t a n d t h e p a t i e n t M R r e p o r t s i n c l u d e d i n t h i s c h a p t e r . I n m e d i c i n e , l o c a t i o n o f a t i s s u e o r a n o r g a n w i t h i n t h e h u m a n a n a t o m y i s d e s c r i b e d u s i n g t h e s e c t i o n a l p l a n e s n a m e l y t r a n s v e r s e , c o r o n a l a n d s a g i t t a l i l l u s t r a t e d i n F i g u r e F i g u r e 1 2 . 7 . I n F i g u r e F i g u r e 1 2 . 7 , t h e b o d y i s e r e c t a n d t h e f a c e i s f o r w a r d . W h e n t h e b o d y i s l y i n g f a c e d o w n , t h e a n a t o m i c a l p o s i t i o n i s c a l l e d p r o n e p o s i t i o n . W h e n i t i s l y i n g f a c e u p , i t i s t h e s u p i n e p o s i t i o n . T h e t r a n s v e r s e ( o r a x i a l ) s e c t i o n s f o r m a s e r i e s o f s l i c e s i n t h e X Y p l a n e r u n n i n g t o p ( s u p e r i o r ) t o b o t t o m ( i n f e r i o r ) . O f t e n t i m e s , s u p e r i o r t o i n f e r i o r i s i n t e r c h a n g e a b l y u s e d w i t h c r a n i a l ( ’ h e a d ’ ) t o c a u d a l ( ’ t a i l ’ ) . F i g u r e F i g u r e 1 2 . 8 ( a ) s h o w s a n a x i a l s l i c e o f a w o m a n ’ s b r e a s t . C o r o n a l s e c t i o n s a r e s l i c e s i n t h e X Z p l a n e r u n n i n g f r o n t t o b a c k a s s h o w n i n F i g u r e F i g u r e 1 2 . 8 ( b ) . S a g i t t a l s e c t i o n s r e f e r t o s l i c e s i n t h e Y Z p l a n e r u n n i n g f r o m l e f t t o r i g h t o r r i g h t t o l e f t . A p o s i t i o n i n t h e s a g i t t a l s l i c e o f a h u m a n b o d y i s o f t e n d e s c r i b e d u s i n g t e r m s s u c h a s , l a t e r a l m e a n i n g t o w a r d s t h e s i d e s a n d m e d i a l m e a n i n g t o w a r d s t h e m i d d l e . F i g u r e F i g u r e 1 2 . 8 ( c ) s h o w s a s a g i t t a l s e c t i o n o f a w o m a n ’ s b r e a s t . 1 2 . 5 M R I I m a g e P o s t p r o c e s s i n g T 2 w e i g h t e d i m a g e s e q u e n c e s w i t h p o s t - c o n t r a s t e n h a n c e m e n t b e l o n g i n g t o a n o n y ~ m o u s p a t i e n t s w e r e u s e d t o e v a l u a t e t h e p e r f o r m a n c e o f t h e d e f o r m a b l e m i r r o r t h e r - a p y m o d e l f o r b r e a s t c a n c e r t r e a t m e n t . I n i m a g e p o s t p r o c e s s i n g , fi r s t l y , t h e t w o d i m e n s i o n a l M R b r e a s t i m a g e s w e r e s e g m e n t e d i n t o s k i n , t u m o r a n d b e n i g n ( f a t a n d g l a n d u l a r ) t i s s u e s . L a t e r , e l e c t r i c a l p r o p e r t y o f t h e b r e a s t t i s s u e r e p o r t e d i n [ 4 7 ] w a s u s e d t o o b t a i n t h e e q u i v a l e n t p e r m i t t i v i t y d i s t r i b u t i o n f o r t h e M R b r e a s t i m a g e s . W i t h i n t h e f a t a n d g l a n d u l a r t i s s u e s , p e r m i t t i v i t y m a p p i n g w a s a c h i e v e d u s i n g G a u s - s i a n d i s t r i b u t i o n f u n c t i o n t o a c c o m m o d a t e g r a d u a l v a r i a t i o n w i t h i n t i s s u e s o f s i m i l a r t y p e . 2 4 7 S A G I T I ‘ A I . ( Y Z ) F i g u r e 1 2 . 7 . S e c t i o n a l p l a n e s i n h u m a n b o d y [ 2 0 3 ] . 2 4 8 ( b ) F i g u r e 1 2 . 8 . S e c t i o n a l p l a n e s o f a . w o m a n ’ s b r e a s t ( a ) T r a n s v e r s e ( b ) C o r o n a l ( c ) S a g i t t a l . 2 4 9 T h 1 ( c ) T h 2 F i g u r e 1 2 . 9 . I l l u s t r a t i o n o f h i s t o g r a m t h r e s h o l d o n b r e a s t M R i m a g e . 1 2 . 5 . 1 I m a g e S e g m e n t a t i o n I m a g e s e g m e n t a t i o n w a s u s e d t o i d e n t i f y t h e d i f f e r e n t s o f t t i s s u e s i n t h e b r e a s t M R i m a g e s . P r e c i s e l o c a t i o n o f t h e s o f t t i s s u e s w h i c h , a r e w e l l - d e fi n e d i n T 2 w e i g h t e d p o s t - c o n t r a s t i m a g e s w e r e u s e d i n i m a g e s e g m e n t a t i o n p r o c e s s . A s i m p l e h i s t o g r a m b a s e d t h r e s h o l d s c h e m e w a s u s e d t o i d e n t i f y t h e c o n t o u r o f s k i n . F i g u r e s F i g u r e 1 2 . 9 ( a ) ~ ( c ) s h o w a c o r o n a l s e c t i o n o f M R b r e a s t i m a g e b e f o r e a n d a f t e r s e g m e n t a t i o n f o r a c h o s e n s e t o f h i s t o g r a m t h r e s h o l d s . I n F i g u r e F i g u r e 1 2 . 9 ( c ) , t h e h i s t o g r a m o f t h e M R i m a g e i n t e n s i t y i s d i s p l a y e d i n l o g a r i t h m i c s c a l e f o r i m p r o v e d v i s u a l p e r c e p t i o n . T h e s t e p b y s t e p p r o c e d u r e f o l l o w e d t o i d e n t i f y s k i n a n d t u m o r c o n t o u r s a r e i l l u s t r a t e d i n F i g u r e F i g u r e 1 2 . 1 0 . F i g u r e F i g u r e 1 2 . 1 0 ( a ) s h o w s t h e t h r e s h o l d e d i m a g e o f a M R b r e a s t d a t a f o r t h e h i s t o g r a m t h r e s h o l d s , T h 1 a n d T h 2 i n F i g u r e F i g u r e 1 2 . 1 0 ( a ) . T h e b i n a r y i m a g e i n F i g u r e F i g u r e 1 2 . 1 0 ( a ) i s u s e d t o o b t a i n t h e c o n t o u r o f t h e b r e a s t u s i n g ” L a p l a c i a n E d g e D e t e c t o r ” [ 2 0 4 ] . F i g u r e s F i g u r e 1 2 . 1 0 ( c ) ~ ( d ) s h o w t h e t u m o r r e g i o n i d e n t i fi e d a f t e r h i s t o g r a m t h r e s h o l d a n d e d g e d e t e c t i o n . [ \ 3 C } ! O ( ( 1 ) F i g u r e 1 2 . 1 0 . S e g m e n t a t i o n a n d i d e n t i fi c a t i o n o f s o f t t i s s u e r e g i o n s u s i n g h i s t o g r a m t h r e s h o l d a n d e d g e d e t e c t i o n ( a ) B r e a s t s e g m e n t a t i o n ( 1 ) ) B r e a s t C o n t o u r ( c ) T u m o r s e g m e n t a t i o n ( b ) T u m o r c o n t o u r . 1 2 . 5 . 2 P e r m i t t i v i t y M a p D u r i n g s i m u l a t i o n s , t h e p e r m i t t i v i t y v a l u e s r e p o r t e d i n [ 4 7 ] , [ 4 2 ] w e r e a s s i g n e d t o t h e s k i n a n d t u m o r r e g i o n s o f t h e M R b r e a s t d a t a . I n t h e b r e a s t r e g i o n e x c l u d i n g t h e t u m o r , ( : r , y ) E a b r e a s t h i s t o g r a m o f t h e p i x e l i n t e n s i t y w a s u s e d t o a s s i g n t h e t i s s u e e l e c t r i c a l p r o p e r t y . T h e m o s t o c c u r r i n g p i x e l i n t e n s i t y w h i c h , c o r r e s p o n d t o t h e f a t w a s a s s i g n e d t h e p e r m i t t i v i t y o f f a t r e p o r t e d i n [ 4 7 ] . P e r m i t t i v i t y v a l u e f o r t h e r e m a i n i n g p i x e l s w a s a s s i g n e d u s i n g a f u n c t i o n o f t h e f o r m , 2 e a t p { — W — } ( 1 2 . 1 ) 2 0 1 w h e r e I i s t h e b r e a s t M R p i x e l i n t e n s i t y ; I M a n d 0 1 a r e t h e m e a n a n d s t a n d a r d d e v i - a t i o n o f t h e p i x e l i n t e n s i t y . I n ( 1 2 . 1 ) , p i x e l s w i t h s i g n a l i n t e n s i t y g r e a t e r t h a n I M a r e a s s i g n e d h i g h e r p e r m i t t i v i t y v a l u e s w h i l e t h o s e c l o s e r t o I l 4 a r e a s s i g n e d v a l u e s c l o s e r t o b r e a s t f a t t i s s u e . T h u s , g l a n d u l a r t i s s u e s w i t h r e l a t i v e l y h i g h e r s i g n a l i n t e n s i t y i n t h e T 2 — w e i g h t e d p o s t - c o n t r a s t i m a g e s w e r e a s s i g n e d p e r m i t t i v i t y v a l u e s c l o s e t o t h a t o f t u m o r . I n t h e m i c r o w a v e r e g i m e , fi b r o g l a n d u l a r t i s s u e s a r e m o r e h y d r o u s t h a n f a t a n d h a s d i e l e c t r i c p e r m i t t i v i t y s i m i l a r t o t u m o r . F i g u r e s F i g u r e 1 2 . 1 2 ( a ) — ( b ) s h o w t h e r e l a t i v e p e r m i t t i v i t y a n d l o s s t a n g e n t o b t a i n e d f o r t h e M R b r e a s t i m a g e i n F i g u r e F i g u r e 1 2 . 1 1 u s i n g ( 1 2 . 1 ) a n d [ 4 7 ] , [ 4 2 ] . 1 2 . 6 P a t i e n t C a s e S t u d y I 1 2 . 6 . 1 C l i n i c a l H i s t o r y P a t i e n t c a s e s t u d y I , w a s a 5 4 - y e a r o l d w o m a n w i t h c o m p l a i n t s o f b r e a s t p a i n a n d a l u m p i n h e r l e f t b r e a s t . P a t i e n t u n d e r w e n t b r e a s t b i o p s y w h i c h , r e v e a l e d t h e p r e s e n c e o f l e f t l o b u l a r c a r c i n o m a . M u l t i - p l a n a r , m u l t i - s e q u e n c e M R i m a g i n g o f t h e b r e a s t s w a s c a r r i e d b e f o r e a n d a f t e r i n t r a v e n o u s ( I V ) i n f u s i o n o f g a d o l i n i u m c o n t r a s t . 2 5 2 ) m m ( y _ J ) ; ) L ) ) l : . I ! ! l D 0 U l J O . U l O l l F i g u r e 1 2 . 1 1 . T 2 — w e i g h t e d p o s t - c o n t r a s t M R b r e a s t i m a g e . 8 1 0 1 2 1 4 1 6 1 8 2 0 2 2 2 4 2 6 ( a ) ( ' 0 ) F i g u r e 1 2 . 1 2 . P e r m i t t i v i t y m a p f o r b r e a s t t i s s u e a t 5 0 0 M H z u s i n g ( 1 2 . 1 ) a n d [ 4 7 ] , [ 4 2 ] ( a ) R e l a t i v e p e r m i t t i v i t y , e r ( . r , y ) ( b ) L O S S t a n g e n t , w L é - O - 2 5 3 F i g u r e 1 2 . 1 3 . S a g i t t a l s l i c e o f M R b r e a s t i m a g e w i t h a b n o r m a l e n h a n c e m e n t m e a s u r - i n g 1 5 x 1 3 m m . 1 2 . 6 . 2 M R I fi n d i n g s T h e M R i m a g e s r e v e a l e d a m a r k e d l y a b n o r m a l a r e a o f e n h a n c e m e n t w i t h a s p i c u l a t e d m a s s i n t h e u p p e r o u t e r q u a d r a n t o f t h e l e f t b r e a s t . L o c a t i o n o f t h e s p i c u l a t e d e n h a n c e m e n t i s s h o w n i n t h e s a g i t t a l v i e w o f t h e p o s t — c o n t r a s t T 2 w e i g h t e d i m a g e i n F i g u r e F i g u r e 1 2 . 1 3 . T h e t u m o r i n F i g u r e F i g u r e 1 2 . 1 3 m e a s u r e s a p p r o x i m a t e l y 1 3 m m i n t h e a n t e r i o r t o p o s t e r i o r d i m e n s i o n a n d 1 5 m m i n t h e s u p e r i o r t o i n f e r i o r d i m e n s i o n . A n o t h e r a b n o r m a l e n h a n c e m e n t s l i g h t l y p o s t e r i o r t o t h e a b o v e d e s c r i b e d m a s s t h a t a p p e a r s t o b e a n e x t e n s i o n w a s a l s o r e p o r t e d . T h e s e c o n d s u s p i c i o u s e n h a n c e m e n t m e a s u r e s a p p r o x i m a t e l y 3 0 m m i n s u p e r i o r t o i n f e r i o r a n d 1 0 m m i n a n t e r i o r t o p o s t e r i o r d i m e n s i o n s a s i n d i c a t e d i n F i g u r e F i g u r e 1 2 . 1 4 . O v e r a l l t h e b r e a s t h a d m o d e r a t e s c a t t e r e d fi b r o g l a n d u l a r t i s s u e . S a g i t t a l a n d c o r o n a l v i e w s o f t h e T 2 w e i g h t e d p o s t c o n t r a s t b r e a s t i m a g e s e q u e n c e s i n F i g u r e s F i g u r e 1 2 . 1 5 a n d F i g u r e 1 2 . 1 6 i n d i c a t e t h e t w o s u s p i c i o u s e n h a n c e m e n t a r e a s m e n t i o n e d i n t h e M R d i a g n o s t i c r e p o r t w h i c h a r e i n d i c a t e d b y l i t t l e a r r o w s i n w h i t e . T h e s e c o n d l e s i o n m a r k e d ” B ” i n F i g u r e F i g u r e 1 2 . 1 5 a p p e a r t o b e a c o n t i g u o u s l e s i o n w i t h a n t e r i o r - F i g u r e 1 2 . 1 4 . S a g i t t a l s l i c e o f M R b r e a s t i m a g e w i t h a b n o r m a l e n h a n c e m e n t m e a s u r - i n g 3 0 x 1 0 m m . s u p e r i o r p o r t i o n s m a l l e r t h a n t h e p o s t e r i o r - i n f e r i o r d i m e n s i o n . 1 2 . 6 . 3 T h e r a p y S i m u l a t i o n s S u s p i c i o u s l e s i o n s r e p o r t e d i n t h e M R fi n d i n g s w e r e u s e d t o i d e n t i f y c o r o n a l s l i c e s w i t h m a l i g n a n c y f o r t h e r a p y s i m u l a t i o n s . T h e r a p y d e l i v e r y t o t h e t w o m a l i g n a n t t i s s u e r e g i o n s w a s i n v e s t i g a t e d u s i n g d u a l d e f o r m a b l e m i r r o r t h e r a p y m o d e l f o r t h e 2 D c o r o n a l M R i m a g e s e q u e n c e s . T h e s l i c e t h i c k n e s s o f t h e c o r o n a l s e c t i o n s a c q u i r e d u s i n g b r e a s t M R s c a n n e r w a s 0 . 4 2 9 7 m m . A l l t h e r a p y s i m u l a t i o n s p r e s e n t e d i n t h i s c h a p t e r w e r e c a r r i e d o u t f o r c o n t i n u o u s w a v e e x c i t a t i o n a t 5 0 0 M H z . F o r a k n o w n m a l i g n a n t l o c a t i o n , m i r r o r d e f o r m a t i o n s f o r fi e l d f o c u s i n g w e r e d e - t e r m i n e d u s i n g r a y t r a c i n g t e c h n i q u e e x p l a i n e d i n c h a p t e r 1 1 . F o r t h e e s t i m a t e d m i r r o r d e f o r m a t i o n s , E M e n e r g y ( S A R ) d e p o s i t e d i n s i d e t h e b r e a s t t i s s u e w a s c o m — p u t e d . H e a t t r a n s f e r i n s i d e t h e b r e a s t t i s s u e w a s c a l c u l a t e d u s i n g t h e t i s s u e S A R . T h e i m p r e s s e d fi e l d s t r e n g t h w a s i n c r e a s e d u n t i l t h e t e m p e r a t u r e i n s i d e t h e t u m o r w a s m o r e t h a n 4 2 ° C w h i l e t h e r e s t o f t h e b e n i g n b r e a s t t i s s u e w a s m a i n t a i n e d b e l o w 4 2 ° C a s i l l u s t r a t e d i n F i g u r e F i g u r e 1 1 . 1 4 . F i g u r e s F i g u r e 1 2 . 1 7 ( a ) - ( b ) s h o w t h e 2 5 5 F i g u r e 1 2 . 1 5 . S a g i t t a l s l i c e s o f M R b r e a s t i m a g e w i t h a b n o r m a l e n h a n c e m e n t . 2 5 6 F i g u r e 1 2 . 1 6 . C o r o n a l s l i c e s o f M R b r e a s t i m a g e w i t h a b n o r m a l e n h a n c e m e n t . 2 5 7 0 0 4 ~ 0 . 0 4 . 0 . 0 2 0 . 0 2 0 r 0 - 0 . 0 2 - 0 . 0 2 - 0 . 0 - 1 ~ - 0 . 0 4 1 1 | 1 . 1 5 . . . . 3 ‘ D 0 . 0 - 0 . 0 4 0 . 0 6 0 . 0 8 0 . 1 I x ( 1 1 1 ) 0 ' 0 ' 0 . 0 4 0 . 0 6 0 . 0 8 0 . 1 0 . 0 2 - 0 . 0 2 - 0 . 0 4 ~ 0 . 0 2 0 : 0 4 0 . 0 6 0 . 0 3 0 . 1 0 . 0 2 0 . 0 4 0 . 0 6 0 . 0 3 0 . 1 F i g u r e 1 2 . 1 7 . C o r o n a l s l i c e o f M R d a t a , I a u s e d i n t h e r a p y s i m u l a t i o n s a t 5 0 0 M H z ( a ) R e l a t i v e p e r m i t t i v i t y , e r ( x , y ) ( b ) L o s s t a n g e n t , 5 1 7 5 0 ( c ) T 2 — w e i g h t e d p o s t c o n t r a s t M R i m a g e ( 0 1 ) T i s s u e s p e c i fi c a b s o r p t i o n r a t e ( W / k g / m ) . 3 2 1 1 1 n x 1 I ’ a . 4 L . 1 I I I - 0 . 0 4 4 1 . 0 2 0 3 0 . 0 2 0 . 0 4 0 . 0 6 0 . 0 8 y ( m ) x ( m ) F i g u r e 1 2 . 1 8 . S t e a d y s t a t e t e m p e r a t u r e d i s t r i b u t i o n f o r l a ( a ) T a = 3 2 ° C a n d ( b ) T a = 3 7 ° C . 1 D T h e r m a l p r o f i l e s a l o n g ( c ) x = . 2 7 6 a n d ( d ) y 1 : y c . 2 5 9 b r e a s t t i s s u e p e r m i t t i v i t y u s e d i n t h e r a p y s i m u l a t i o n f o r t h e c o r o n a l s l i c e i n F i g u r e F i g u r e 1 2 . 1 7 ( c ) w i t h m a l i g n a n c y . T h e t i s s u e S A R i n s i d e t h e c o r o n a l b r e a s t s l i c e c o m - p u t e d u s i n g t h e d u a l d e f o r m a b l e m i r r o r t h e r a p y m o d e l i s s h o w n i n F i g u r e 1 2 . 1 7 ( d ) . P r e f e r e n t i a l a m o u n t o f E M e n e r g y d e p o s i t e d i n s i d e t h e t u m o r t i s s u e i s c l e a r l y e v i — d e n t i n F i g u r e F i g u r e 1 2 . 1 7 ( d ) . F i g u r e s F i g u r e 1 2 . 1 8 ( a ) — ( b ) s h o w t h e s t e a d y s t a t e t e m p e r a t u r e d i s t r i b u t i o n s i n s i d e t h e b r e a s t f o r t w o d i f f e r e n t a m b i e n t o r e x t e r n a l t e m - p e r a t u r e s . T e m p e r a t u r e p r o fi l e s a l o n g a ; 2 : c c a n d y : y c ) w h e r e T c 2 ( $ 0 , 3 1 6 ) i s t h e c o o r d i n a t e o f t h e t u m o r c e n t e r a r e s h o w n i n F i g u r e s F i g u r e 1 2 . 1 8 ( c ) ~ ( d ) . T h e r m a l d i s t r i b u t i o n s i n F i g u r e s F i g u r e 1 2 . 1 8 ( a ) - ( d ) a p p e a r p r o m i s i n g f o r s e l e c t i v e t u m o r t i s s u e h e a t i n g i n s i d e t h e b r e a s t . F i g u r e s F i g u r e 1 2 . 1 9 ( a ) - ( b ) s h o w t h e p e r m i t t i v i t y d i s t r i b u t i o n o b t a i n e d f o r t h e 2 D c o r o n a l l e f t b r e a s t d a t a w i t h a n e x t e n d e d t u m o r r e g i o n a s s h o w n i n F i g u r e F i g u r e 1 2 . 1 9 ( c ) . T h e c o r o n a l b r e a s t s l i c e i n F i g u r e F i g u r e 1 2 . 1 9 ( c ) c o r r e s p o n d s t o t h e s e c o n d l e s i o n m e n t i o n e d i n t h e M R d i a g n o s i s . F i g u r e F i g u r e 1 2 . 2 0 ( a ) ~ ( b ) s h o w t h e s t e a d y s t a t e t e m p e r a t u r e d i s t r i b u t i o n i n s i d e t h e m a - l i g n a n t t i s s u e m a i n t a i n e d b y t h e d u a l d e f o r m a b l e m i r r o r t h e r a p y m o d e l . T h e r m a l p r o fi l e s f o r t r a n s e c t s r u n n i n g t h r o u g h p e a k t e m p e r a t u r e w i t h i n t h e t w o r e g i o n s c o r - r e s p o n d i n g t o t h e t u m o r m a r k e d a s ’ + ’ a r e s h o w n i n F i g u r e s F i g u r e 1 2 . 2 0 ( c ) - ( d ) a n d F i g u r e 1 2 . 2 1 ( c ) ~ ( d ) r e s p e c t i v e l y . T h e s t e a d y t h e r m a l m a p i n s i d e t h e s e c o n d l e s i o n i n d i c a t e a n a p p r e c i a b l e t h e r m a l e l e v a t i o n i n s i d e t h e t u m o r a n d i t s e x t e n s i o n w i t h o u t i n c r e a s i n g t h e t e m p e r a t u r e o f s u r r o u n d i n g b e n i g n t i s s u e a n d s k i n . A n a d d i t i o n a l s l i c e t h a t a p p e a r s t o b e a n e x t e n s i o n o f t h e s e c o n d l e s i o n r e p o r t e d i n t h e M R fi n d i n g s w a s a l s o u s e d i n t h e t h e r a p y s i m u l a t i o n s . T h e p e r m i t t i v i t y m a p , T 2 - w e i g h t e d p o s t c o n t r a s t c o r o n a l s l i c e a n d t i s s u e S A R f o r t h i s l e s i o n e x t e n s i o n a r e s h o w n i n F i g u r e s F i g u r e 1 2 . 2 2 ( a ) - ( d ) . F i g u r e s F i g u r e 1 2 . 2 3 ( a ) ~ ( d ) s h o w t h e s t e a d y s t a t e t e m p e r a t u r e m a i n t a i n e d b y t h e d u a l d e f o r m a b l e m i r r o r t h e r a p y m o d e l i n s i d e t h e l e f t b r e a s t i n F i g u r e F i g u r e 1 2 . 2 2 ( c ) . T h e t i s s u e S A R a n d t h e r m a l d i s t r i b u t i o n s f o r d i f f e r e n t c o r o n a l s e c t i o n s i n F i g u r e s F i g u r e 1 2 . 1 8 - F i g u r e 1 2 . 2 3 i n d i c a t e t h e p o t e n t i a l 2 6 0 0 . 0 4 - 0 0 4 . 0 . 0 2 » 0 . 0 3 . 0 » 0 . - 0 . 0 2 » ~ 0 0 2 - - 0 . 0 4 - - 0 . 0 4 - 0 : 0 4 0 : 0 6 0 : 0 8 0 : 1 0 : 0 2 0 : 0 4 0 . 0 6 0 : 0 8 0 : 1 x ( m ) 0 . 0 4 . ( c ) - 0 . 0 4 — 0 . 0 2 — 0 . 0 2 0 » 0 ' . 0 0 2 - ~ 0 0 2 - - 0 . o 4 - - 0 . 0 4 - 0 7 ) : 0 : 0 4 0 : 0 6 0 0 8 0 . 1 0 . 0 2 0 4 . 0 4 0 : 0 6 0 4 . 0 8 0 . 1 F i g u r e 1 2 . 1 9 . C o r o n a l s l i c e o f M R d a t a , I b u s e d i n t h e r a p y s i m u l a t i o n s a t 5 0 0 M H z ( a ) R e l a t i v e p e r m i t t i v i t y , e r ( 2 7 , 3 1 ) ( b ) L o s s t a n g e n t , & — ( c ) T 2 — w e i g h t e d p o s t c o n t r a s t M R i m a g e ( d ) T i s s u e s p e c i fi c a b s o r p t i o n r a t e ( W / k g / m ) . 2 6 1 0 . 0 4 » 0 . 0 4 - 0 . 0 2 - 0 . 0 2 - 0 - 0 4 - 0 . 0 2 - ~ 0 . 0 2 ~ - 0 - 0 4 - ~ 0 . 0 4 ~ 6 0 2 0 . 0 4 0 : 0 6 0 : 0 8 0 . 1 0 . 0 2 0 . 0 4 0 : 0 6 0 4 . 0 8 0 . 1 4 4 _ . . . . _ 4 4 ' . . . l ( c ) — 3 2 ° C ( d ) 4 2 - s 3 7 ° C - 4 2 - . A 4 0 . \ A 4 0 - B 8 ‘ - L 3 8 ' - O ! " 3 8 - I ' . \ L 3 6 f ' ’ — 3 2 ° c ' 0 . 0 4 - 0 1 0 2 0 0 : 0 2 0 . 0 4 3 2 H m ) 0 . 0 2 0 . 0 4 0 : 0 6 0 1 0 3 0 . 1 x ( m ) F i g u r e 1 2 . 2 0 . S t e a d y s t a t e t e m p e r a t u r e d i s t r i b u t i o n f o r I b f o r t r a n s e c t s p a s s i n g t h r o u g h t u m o r c e n t e r m a r k e d ' + ’ ( a ) T a : 3 2 ° C a n d ( b ) T a : 3 7 ° C . 1 D T h e r m a l p r o fi l e s a l o n g ( 0 ) a t = 2 : 6 1 a n d ( d ) y : y d . 2 6 2 0 . 0 4 - 0 . 0 4 - 0 . 0 2 4 0 . 0 2 - 0 - 0 - - 0 . 0 2 - ~ 0 0 2 - - 0 3 4 . - 0 . 0 4 - 0 . 0 2 0 . 0 4 0 . 0 6 0 . 0 8 0 . 1 0 : 0 2 0 : 0 4 0 : 0 6 0 : 0 8 0 : 1 4 2 - ( c ) f - 4 2 - ( d ) o . . . ‘ . . 4 0 z ‘ - 4 0 ° . . 0 : ‘ 3 ‘ 1 . 6 3 8 / \ _ Q 3 8 - - 3 2 ° c a ; — 3 2 0 C - O H . 3 7 ° C \ 3 6 ‘ 3 7 ° C ' 3 6 3 4 - 3 4 3 2 . . . . 3 2 . . . . . 0 . 0 4 - 0 . 0 2 0 0 . 0 2 0 . 0 4 0 . 0 2 0 . 0 4 0 . 0 6 0 . 0 8 0 . 1 H m ) x ( m ) F i g u r e 1 2 . 2 1 . S t e a d y s t a t e t e m p e r a t u r e d i s t r i b u t i o n f o r I b f o r t r a n s e c t s p a s s i n g t h r o u g h s e c o n d a r y t u m o r m a r k e d ’ + ’ ( a ) T a : 3 2 ° C a n d ( b ) T a = 3 7 ° C . 1 D T h e r m a l p r o fi l e s a l o n g ( c ) a t : 3 3 c 2 a n d ( d ) y = y c z . 2 6 3 0 . 0 5 0 . 0 3 0 . 0 1 * - 0 . 0 1 - 0 . 0 3 - - 0 . 0 5 . i x x . ‘ - 0 . 0 5 * i , . . A 0 . 0 2 0 . 0 4 0 . 0 6 0 . 0 8 0 . 1 0 . 0 2 0 . 0 4 0 . 0 6 0 . 0 8 0 . 1 X ( m ) 0 . 0 5 0 . 0 5 ' ’ ‘ r r 0 . 0 5 » 0 . 0 3 » 0 . 0 1 0 . 0 1 - 0 . 0 1 - 0 . 0 1 0 . 0 3 ~ 0 . 0 3 - 0 . 0 5 * . . , . i - 0 . 0 5 * . i . . . 0 . 0 2 0 . 0 4 0 . 0 6 0 . 0 8 0 . 1 0 . 0 2 0 . 0 4 0 . 0 6 0 . 0 8 0 . ] F i g u r e 1 2 . 2 2 . C o r o n a l s l i c e o f M R d a t a , I c u s e d i n t h e r a p y s i m u l a t i o n s a t 5 0 0 M H z ( a ) R e l a t i v e p e r m i t t i v i t y , 6 7 - ( $ , y ) ( b ) L o s s t a n g e n t , ( “ L 6 0 ( c ) T 2 — w e i g h t e d p o s t c o n t r a s t M R i m a g e ( d ) T i s s u e s p e c i fi c a b s o r p t i o n r a t e ( W / k g / m ) . 2 6 4 0 : 0 2 0 : 0 4 0 . 0 6 0 . 0 8 O i l T ° ( C ) - 0 . 0 2 0 0 . 0 2 0 . 0 2 0 . 0 4 0 . 0 6 0 . 0 8 0 . 1 Y ( m ) x ( m ) F i g u r e 1 2 . 2 3 . S t e a d y s t a t e t e m p e r a t u r e d i s t r i b u t i o n f o r I c ( a ) T a : 3 2 ° C a n d ( b ) T a : 3 7 ° C . 1 D T h e r m a l p r o fi l e s a l o n g ( c ) a : : 1 ' 6 a n d ( d ) y : y c . 2 6 5 F i g u r e 1 2 . 2 4 . S a g i t t a l s l i c e o f l e f t b r e a s t M R d a t a i n d i c a t i n g t w o l e s i o n s . o f t h e p r o p o s e d t h e r a p y t e c h n i q u e a s a n a d j u v a n t f o r r a d i a t i o n a n d c h e m o t h e r a p y o f t h e b r e a s t . 1 2 . 7 P a t i e n t C a s e S t u d y I I 1 2 . 7 . 1 C l i n i c a l H i s t o r y T h e s u b j e c t i s a 4 2 — y e a r o l d w o m a n w i t h t w o l u m p s o n t h e l e f t b r e a s t t h a t w e r e i n — c o n c l u s i v e i n t h e p r i o r u l t r a s o u n d s t u d y . M u l t i - s e q u e n c e M R i m a g i n g o f b o t h b r e a s t s w a s p e r f o r m e d w i t h a n d w i t h o u t g a d o l i n i u m c o n t r a s t a d m i n i s t r a t i o n . A t o t a l o f 1 8 c c o f c o n t r a s t w a s a d m i n i s t e r e d i n t r a v e n o u s l y d u r i n g e x a m i n a t i o n . 1 2 . 7 . 2 M R I fi n d i n g s A m o d e r a t e a m o u n t o f s c a t t e r e d fi b r o g l a n d u l a r t i s s u e w i t h b e n i g n e n h a n c e m e n t w a s r e p o r t e d t o e x i s t t h r o u g h o u t t h e r i g h t b r e a s t . A h i g h T 2 l e s i o n t h a t c o r r o b o r a t e s w i t h p r i o r u l t r a s o u n d s t u d y w i t h i n t h e a n t e r i o r d e p t h o f t h e l e f t b r e a s t w a s f o u n d . T h e l e s i o n m e a s u r i n g 1 9 x 1 7 x 2 0 m m i n t h e a n t e r i o p o s t e r i o r , c r a n i o c a u d a l a n d t r a n s v e r s e d i m e n s i o n s i s i n d i c a t e d a s ( I ) i n F i g u r e F i g u r e 1 2 . 2 4 . C o r o n a l v i e w o f t h e l e s i o n 2 6 6 F i g u r e 1 2 . 2 5 . C o r o n a l s l i c e o f M R l e f t b r e a s t i m a g e w i t h a l e s i o n m e a s u r i n g 1 9 x 1 7 m m . F i g u r e 1 2 . 2 6 . C o r o n a l v i e w o f M R l e f t b r e a s t i m a g e w i t h a l e s i o n m e a s u r i n g 1 0 x 9 m m . 2 6 7 F i g u r e 1 2 . 2 7 . S a g i t t a l v i e w o f M R l e f t b r e a s t i m a g e s w i t h t w o l e s i o n s . 2 6 8 F i g u r e 1 2 . 2 8 . C o r o n a l s l i c e s o f t h e l e f t b r e a s t w i t h a b n o r m a l e n h a n c e m e n t . 2 6 9 m e a s u r i n g a p p r o x i m a t e l y 1 9 x 1 7 m m i s s h o w n i n F i g u r e F i g u r e 1 2 . 2 5 . T h e l e f t b r e a s t h a s a m o d e r a t e s c a t t e r e d fi b r o g l a n d u l a r t i s s u e w i t h s c a t t e r e d a r e a s o f b e n i g n e n h a n c e m e n t . A n a d d i t i o n a l s m a l l e r l e s i o n w a s r e p o r t e d t o e x i s t i n t h e m i d d l e d e p t h o f t h e l e f t b r e a s t w i t h a m o r e l o b u l a t e d a p p e a r a n c e t h a n t h e fi r s t l e s i o n . T h i s l e s i o n m e a s u r e s 1 3 x 9 x 1 0 m m i n a n t e r o p o s t e r i o r , c r a n i o c a u d a l a n d t r a n s v e r s e d i m e n s i o n s r e s p e c t i v e l y a n d w a s n o t s e e n i n p r i o r u l t r a s o u n d s t u d y . T h e s e c o n d l e s i o n i s m a r k e d a s ( H ) i n F i g u r e F i g u r e 1 2 . 2 4 . F i g u r e F i g u r e 1 2 . 2 6 s h o w s t h e c o r o n a l s e c t i o n o f t h e s e c o n d l e s i o n l o c a t e d i n t h e l e f t b r e a s t . F i g u r e F i g u r e 1 2 . 2 7 s h o w s t h e s a g i t t a l T 2 — w e i g h t e d p o s t - c o n t r a s t i m a g e s e q u e n c e s o f t h e l e s i o n s f o u n d i n t h e l e f t b r e a s t . C o r o n a l v i e w s o f t h e l e s i o n s a r e s h o w n i n F i g u r e F i g u r e 1 2 . 2 8 . 1 2 . 7 . 3 T h e r a p y S i m u l a t i o n s C o r o n a l i m a g e s e q u e n c e s c o r r e s p o n d i n g t o l e s i o n s ’ I ' a n d ’ H ’ w e r e u s e d i n t h e d u a l m i r r o r t h e r a p y m o d e l f o r t u m o r t e m p e r a t u r e e l e v a t i o n . P e r m i t t i v i t y m a p f o r t h e T 2 — w e i g h t e d M R i m a g e s e q u e n c e s w e r e o b t a i n e d f o l l o w i n g t h e p r o c e d u r e e x p l a i n e d i n s e c t i o n 1 2 . 5 . F i g u r e F i g u r e 1 2 . 2 9 ( a ) - ( d ) s h o w s t h e s p a t i a l p e r m i t t i v i t y d i s t r i b u t i o n , p o s t c o n t r a s t M R i m a g e a n d E M e n e r g y d e p o s i t i o n i n s i d e t h e l e f t b r e a s t c o n t a i n i n g l e s i o n ’ | ’ . T h e c o r r e s p o n d i n g s t e a d y s t a t e t e m p e r a t u r e d i s t r i b u t i o n s a c h i e v e d b y t h e d u a l d e f o r m a b l e m i r r o r a r e s h o w n i n F i g u r e s F i g u r e 1 2 . 3 0 ( a ) - ( d ) . A d d i t i o n a l s i m u l a t i o n s w e r e c a r r i e d o u t f o r a n o t h e r c o r o n a l s l i c e p a s s i n g t h r o u g h l e s i o n | . F i g u r e F i g u r e 1 2 . 3 1 ( c ) s h o w s t h e c o r o n a l s e c t i o n c o n t a i n i n g l e s i o n ' l ' . F i g u r e F i g u r e 1 2 . 3 1 ( ( 1 ) s h o w s t h e S A R c o m p u t e d b y t h e t h e r a p y m o d e l f o r t h e p e r m i t t i v i t y d i s t r i b u t i o n i n F i g u r e F i g u r e 1 2 . 3 1 ( a ) - ( b ) . T h e s t e a d y s t a t e t h e r m a l m a p i n s i d e t h e l e f t b r e a s t I I I c o n t a i n i n g l e s i o n f o r t w o d i f f e r e n t a m b i e n t t e m p e r a t u r e s a r e s h o w n i n F i g u r e s F i g u r e 1 2 . 3 2 ( a ) - ( d ) . F i g u r e s F i g u r e 1 2 . 3 3 ( a ) — ( d ) s h o w t h e p e r m i t t i v i t y m a p , M R i m a g e a n d t i s s u e S A R i n s i d e t h e l e f t b r e a s t f o r l e s i o n ’ | | ’ r e s p e c t i v e l y . T h e c o r r e s p o n d i n g s t e a d y s t a t e t e m p e r a t u r e d i s t r i b u t i o n s a r e s h o w n i n F i g u r e s F i g u r e 1 2 . 3 4 ( a ) - ( d ) . T h e t h e r m a l p r o fi l e a n d t i s s u e S A R . i n s i d e t h e c o r o n a l s e c t i o n s o f t h e 2 7 0 0 . 0 2 - - 0 . 0 2 > - 0 . 0 2 ' - 0 . 0 - l * . 0 _ M v ' - ‘ h i ) . ' 0 . 0 2 0 . 0 4 0 . 0 6 0 . 0 3 x m ) 0 . 0 2 ’ 0 . 0 2 - 0 . 0 . 7 - 0 . 0 2 - 0 . 0 4 > - 0 . 0 4 ' 0 . 0 6 - 0 . 0 6 0 . 0 2 0 . 0 4 0 . 0 6 0 . 0 8 0 . 0 2 0 . 0 4 0 . 0 6 0 . 0 8 I l l F i g u r e 1 2 . 2 9 . C o r o n a l s l i c e o f t u m o r , i n M R d a t a l I a u s e d i n t h e r a p y s i m u l a t i o n s 0 ' ( a ) R e l a t i v e p e r m i t t i v i t y , e r ( ; r , y ) ( b ) L o s s t a n g e n t , F ( c ) T 2 — w e i g h t e d p o s t c o n t r a s t M R i m a g e ( ( 1 ) T i s s u e s p e c i fi c a b s o r p t i o n r a t e ( W / k g / m ) . 2 7 1 - 0 : 0 5 A - 0 : 0 3 I - 0 ‘ . 0 1 I 0 : 0 1 I 0 . 0 3 3 2 0 : 0 2 0 : 0 4 I 0 : 0 6 L 0 : 0 8 Y O “ ) x ( m ) F i g u r e 1 2 . 3 0 . S t e a d y s t a t e t e m p e r a t u r e d i s t r i b u t i o n f o r I l a ( a ) T a = 3 2 ° C a n d ( b ) T a = 3 7 0 C . 1 D T h e r m a l p r o fi l e s a l o n g ( c ) a : : 2 3 ¢ a n d ( d ) y 2 y e . 2 7 2 0 . 0 : 0 . 0 2 . 0 0 - 0 . 0 2 — 0 . 0 2 0 0 4 A 0 0 4 . 5 . 0 0 6 . . - ‘ F 0 0 6 ' 0 . 0 2 0 . 0 4 0 . 0 6 0 . 0 3 ' 0 . 0 2 0 . 0 4 0 . 0 6 0 . 0 8 x ( m ) 0 . 0 : - 0 . 0 2 ( d ) 0 0 - 0 . 0 2 - 0 . 0 2 - 0 . 0 4 - 0 . 0 4 - 0 . 0 6 - 0 . 0 5 0 . 0 2 0 . 0 4 0 . 0 6 0 . 0 8 0 . 0 2 0 . 0 4 0 . 0 6 0 . 0 8 F i g u r e 1 2 . 3 1 . C o r o n a l s l i c e o f t u m o r , ’ l ’ i n M R d a t a I l b u s e d i n t h e r a p y s i m u l a t i o n s ( a ) R e l a t i v e p e r m i t t i v i t y , e r ( : 1 t , y ) ( b ) L o s s t a n g e n t , % ( c ) T 2 - w e i g h t e d p o s t c o n t r a s t M R i m a g e ( d ) T i s s u e s p e c i fi c a b s o r p t i o n r a t e ( W / k g / m ) . 2 7 3 4 - 0 . 0 2 - 0 . 0 - 0 . 0 6 0 . 0 2 0 . 0 4 0 . 0 6 0 . 0 8 . 0 . 0 5 ‘ - 0 ' . 0 3 T - 0 . 0 1 T 0 : 0 1 T 0 . 0 3 3 2 0 . 0 2 ‘ 0 1 0 4 ' 0 . 0 6 0 : 0 8 3 7 0 1 1 ) x ( m ) F i g u r e 1 2 . 3 2 . S t e a d y s t a t e t e m p e r a t u r e d i s t r i b u t i o n f o r I I b ( a ) T a : 3 2 ° C a n d ( b ) T a : 3 7 ° C . 1 D T h e r m a l p r o fi l e s a l o n g ( c ) . r 2 ( B C a n d ( d ) y : y c . 2 7 4 0 . 0 4 ( b ) 0 . 0 2 0 - 0 . 0 2 - 0 . 0 4 - 0 . 0 6 . - 1 . - _ - ‘ - " 0 . 0 2 0 . 0 4 0 . 0 6 0 . 0 8 0 . 0 2 0 . 0 4 0 . 0 6 0 . 0 8 x ( m ) 0 . 0 4 0 . 0 4 ( C ) 0 . 0 2 0 . 0 2 0 0 - 0 . 0 2 - 0 . 0 2 - 0 . 0 4 - 0 . 0 4 - 0 - 0 . 0 6 0 ' 0 6 0 . 0 2 0 . 0 4 0 . 0 6 0 . 0 8 0 . 0 2 0 . 0 4 0 . 0 6 0 . 0 8 [ H I F i g u r e 1 2 . 3 3 . C o r o n a l s l i c e o f t u m o r , ( a ) R e l a t i v e p e r m i t t i v i t y , 6 7 ( 2 ) , y ) ( b ) L o s s t a n g e n t i n M R d a t a I I c u s e d i n t h e r a p y s i m u l a t i o n s , L O U — € 0 - ( c ) T 2 — w e i g h t e d p o s t c o n t r a s t M R i m a g e ( d ) T i s s u e s p e c i fi c a b s o r p t i o n r a t e ( W / k g / m ) . 2 7 5 ) e W 0 . 0 4 0 . 0 2 - 0 . 0 2 0 . 0 2 0 . 0 4 0 . 0 6 0 . 0 8 0 . 0 2 0 . 0 4 0 . 0 6 0 . 0 8 - s c a o 3 2 t i e r - 0 1 0 3 ‘ 0 3 1 ' 0 1 0 1 ' 0 . 0 3 - 3 . 0 1 0 : 0 3 1 0 1 0 5 l 0 1 0 7 A 0 0 ) 1 ’ 0 1 ! ) x ( m ) F i g u r e 1 2 . 3 4 . S t e a d y s t a t e t e m p e r a t u r e d i s t r i b u t i o n f o r I l c ( a ) T a = 3 2 ° C a n d ( b ) T a = 3 7 ° C . 1 D T h e r m a l p r o fi l e s a l o n g ( c ) : r 2 m o a n d ( d ) y 2 y e . 2 7 6 F i g u r e 1 2 . 3 5 . S a g i t t a l s l i c e o f l e f t b r e a s t w i t h a b n o r m a l e n h a n c e m e n t m e a s u r i n g 8 x 6 m m . l e f t b r e a s t d e m o n s t r a t e s i g n i fi c a n t t u m o r t e m p e r a t u r e e l e v a t i o n a n d a l s o i n d i c a t e t h e a b i l i t y o f t h e d e f o r m a b l e m i r r o r t o f o c u s t h e E M e n e r g y a t d e s i r e d l o c a t i o n w i t h o u t s u p e r fi c i a l h e a t i n g o f t h e s k i n . 1 2 . 8 P a t i e n t C a s e S t u d y 1 1 1 1 2 . 8 . 1 C l i n i c a l H i s t o r y T h e p a t i e n t i s a 3 3 - y e a r o l d w o m a n w i t h p r e v i o u s r e c o r d o f b r e a s t c a n c e r d i a g n o s e d w i t h b i o p s y . T h e s u b j e c t h a s a p a l p a b l e m a s s i n t h e r i g h t b r e a s t a n d a s m a l l e r n o d u l e j u s t b e l o w t h e n i p p l e o n t h e r i g h t b r e a s t t h a t w a s r e v e a l e d o n t h e r e c e n t X - r a y m a m m o g r a m s t u d y . M u l t i - p l a n a r , m u l t i - s e q u e n c e M R i m a g e s w e r e a c q u i r e d b e f o r e a n d a f t e r g a d o l i n i u m i n t a k e . 1 2 . 8 . 2 M R I fi n d i n g s T h e b r e a s t t i s s u e i s h e t e r o g e n e o u s l y d e n s e . T h e l e f t b r e a s t h a s a b a c k g r o u n d o f p u n c t u a t e e n h a n c e m e n t a n d s e v e r a l t i n y f o c i t h a t d e m o n s t r a t e r a p i d w a s h i n g a n d w a s h o u t ( c e n t r i — p e t a l C M i n t a k e ) w h i c h a r e d i f f i c u l t t o a s c e r t a i n . A n o v o i d d e n s i t y 2 7 7 F i g u r e 1 2 . 3 6 . P o s t - c o n t r a s t T 2 — w e i g h t e d s e q u e n c e s o f l e f t b r e a s t w i t h a n a b n o r m a l l e s i o n . 2 7 8 F i g u r e 1 2 . 3 7 . R i g h t b r e a s t w i t h a n a b n o r m a l l e s i o n m e a s u r i n g 2 3 x 1 2 m m . l e s i o n m e a s u r i n g 8 x 6 x 6 m m i n a n t e r i o p o s t e r i o r , s u p e r i o r - i n f e r i o r a n d t r a n s v e r s e d i - m e n s i o n s r e s p e c t i v e l y e x i s t s i n t h e l e f t b r e a s t . F i g u r e F i g u r e 1 2 . 3 5 s h o w s t h e l e s i o n w i t h m i x e d s i g n a l e n h a n c e m e n t c h a r a c t e r i s t i c s i n c l u d i n g r e g i o n s o f r a p i d w a s h - i n a n d w a s h o u t . F i g u r e F i g u r e 1 2 . 3 6 s h o w s t h e s a g i t t a l i m a g e s e q u e n c e s o f t h e s u s p i c i o u s l e s i o n f o u n d i n t h e l e f t b r e a s t . T h e r i g h t b r e a s t h a s a m a s s i n t h e s u p e r i o r c e n - t r a l r e g i o n w i t h m i x e d s i g n a l c h a r a c t e r i s t i c s m e a s u r i n g 2 9 m m i n s u p e r i o r - i n f e r i o r d i m e n s i o n , 1 2 m m i n a n t e r i o r — p o s t e r i o r d i m e n s i o n a n d 2 3 m m i n t r a n s v e r s e d i m e n - s i o n r e s p e c t i v e l y . T h e c o r o n a l s l i c e o f t h i s l e s i o n w i t h l o b u l a r c o n t o u r a n d s u s p i c i o u s e n h a n c e m e n t i s s h o w n i n F i g u r e F i g u r e 1 2 . 3 7 . T h i s l e s i o n c o r r e s p o n d s t o t h e k n o w n p a l p a b l e m a l i g n a n c y r e p o r t e d b y t h e p a t i e n t . C o r o n a l v i e w s o f t h e T 2 - w e i g h t e d p o s t - c o n t r a s t i m a g e s e q u e n c e s o f t h e p a l p a b l e s u s p i c i o u s l e s i o n f o u n d i n t h e r i g h t b r e a s t a r e s h o w n i n F i g u r e F i g u r e 1 2 . 3 8 . S o m e w h a t n o d u l a r e n h a n c e m e n t i s o b s e r v e d i n t h e s u b - a e r e o l a r r e g i o n o f t h e r i g h t b r e a s t w h e r e c a l c i fi c a t i o n s w e r e r e c e n t l y r e m o v e d . A d d i t i o n a l l y , s c a t t e r e d e n h a n c e — m e n t i s s e e n i n t h e u p p e r o u t e r q u a d r a n t o f t h e l e f t b r e a s t w i t h s o m e f o c i o f l i n e a r i t y a n d a d d i t i o n a l f o c i o f s c a t t e r e d D C l S t h a t c o u l d n o t b e e x c l u d e d b a s e d o n t h e M R i m a g e s . 2 7 9 F i g u r e 1 2 . 3 8 . C o r o n a l s l i c e s o f t h e r i g h t b r e a s t w i t h a p a l p a b l e l e s i o n . 2 8 0 0 . 0 4 0 . 0 4 0 . 0 2 0 . 0 2 0 0 - 0 . 0 2 I - 0 . 0 2 ' - o . o 4 - 0 . 0 4 A E - 0 . 0 6 h - 0 . 0 6 L x ( m ) - 0 . 1 2 - 0 . 0 8 - 0 . 0 4 0 . 0 4 0 . 0 4 ( d ) , 0 . 0 2 0 . 0 2 0 - 0 . 0 2 - 0 . 0 2 - 0 . 0 4 - 0 . 0 4 . 0 3 5 - 0 . 0 6 - 0 . 1 2 A $ 8 - 0 . 0 4 - 0 . 1 2 - 0 . 0 8 - 0 . 0 4 F i g u r e 1 2 . 3 9 . C o r o n a l t u m o r d a t a , I I I u s e d i n t h e r a p y s i m u l a t i o n s ( a ) R e l a t i v e p e r - m i t t i v i t y , e r ( : r , y ) ( b ) L o s s t a n g e n t , ( ” L 6 0 ( c ) T 2 - w e i g h t e d p o s t c o n t r a s t M R i m a g e ( ( 1 ) T i s s u e s p e c i fi c a b s o r p t i o n r a t e ( W / k g / m ) . 1 2 . 8 . 3 T h e r a p y S i m u l a t i o n s C o r o n a l s e c t i o n o f t h e r i g h t b r e a s t w i t h a t u m o r m e a s u r i n g 2 3 x 1 9 m m w a s u s e d i n t h e d u a l d e f o r m a b l e m i r r o r t h e r a p y s i m u l a t i o n s t u d y . M i r r o r d e f o r m a t i o n s w e r e e s t i m a t e d t o f o c u s t h e E M e n e r g y a t t h e t u m o r s i t e i n d i c a t e d i n F i g u r e F i g u r e 1 2 . 3 7 . F i g u r e s F i g u r e 1 2 . 3 9 ( a ) - ( b ) s h o w t h e s p a t i a l d i s t r i b u t i o n o f t h e r e l a t i v e p e r m i t t i v i t y a n d l o s s t a n g e n t i n s i d e t h e h e t e r o g e n e o u s l y d e n s e b r e a s t . T h e t i s s u e S A R p r o d u c e d b y t h e e s t i m a t e d m i r r o r d e f o r m a t i o n s i s s h o w n i n F i g u r e F i g u r e 1 2 . 3 9 ( c ) . T h e s t e a d y s t a t e t e m p e r a t u r e d i s t r i b u t i o n s m a i n t a i n e d b y t h e d u a l d e f o r m a b l e m i r r o r s a r e s h o w n 2 8 1 6 0 . 0 4 0 . 0 2 - 0 . 0 2 - 0 . 0 4 - 0 . 0 - 0 . 1 2 - 0 : 0 8 - o . 0 4 3 2 ‘ . . . - . . . . . ' - 0 . 0 7 - 0 . 0 5 0 . 0 3 0 . 0 1 0 . 0 1 0 . 0 3 H m ) F i g u r e 1 2 . 4 0 . S t e a d y s t a t e t e m p e r a t u r e d i s t r i b u t i o n f o r I I I ( a ) T a = 3 2 ° C a n d ( b ) T a = 3 7 ° C . 1 D T h e r m a l p r o fi l e s a l o n g ( 0 ) a v : w e a n d ( d ) y 2 y a . 0 . 0 4 0 . 0 2 - 0 . 0 2 - 0 . 0 4 - 0 . 0 6 2 8 2 - 0 . 1 1 ‘ 0 : 0 9 0 . 0 7 . - 0 . 0 5 ’ - 0 T 0 3 F i g u r e 1 2 . 4 1 . P o s t c o n t r a s t T 2 — w e i g h t e d s e q u e n c e s o f r i g h t b r e a s t i n d i c a t i n g s i g n a l e n h a n c e m e n t n e a r t h e p o s t s u r g i c a l b e d . i n F i g u r e s F i g u r e 1 2 . 4 0 ( a ) - ( d ) . 1 2 . 9 P a t i e n t C a s e S t u d y I V 1 2 . 9 . 1 C l i n i c a l H i s t o r y A n a b n o r m a l X — r a y m a m m o g r a m w a s f o u n d i n t h i s 8 0 - y e a r o l d p a t i e n t w i t h p r i o r h i s t o r y o f b r e a s t c a r c i n o m a w h o u n d e r w e n t s u r g i c a l r e s e c t i o n ( l u m p e c t o m y ) . M u l t i - p l a n a r , m u l t i - s e q u e n c e b i l a t e r a l b r e a s t e x a m i n a t i o n w a s c a r r i e d o u t b o t h p r e a n d p o s t a d m i n i s t r a t i o n o f 1 6 c c o f I V c o n t r a s t . 2 8 3 F i g u r e 1 2 . 4 2 . R i g h t b r e a s t w i t h p o s t — c o n t r a s t e n h a n c e m e n t o f t h e p o s t — s u r g i c a l b e d . 1 2 . 9 . 2 M R I fi n d i n g s A m a r k e d p o s t - c o n t r a s t e n h a n c e m e n t o f t h e p o s t — s u r g i c a l b e d i n t h e r i g h t b r e a s t i s o b s e r v e d . D y n a m i c c o n t r a s t e n h a n c e m e n t c u r v e s f o r t h i s r e g i o n r e v e a l e d s e v e r a l a r e a s o f i n t e r m e d i a t e e n h a n c e m e n t p r o fi l e s a s w e l l a s f e w s m a l l a r e a s o f s u s p i c i o u s e n h a n c e m e n t . M R b r e a s t d i a g n o s i s c o m b i n e d w i t h X - r a y m a m m o g r a p h y fi n d i n g s w e r e r e p o r t e d t o i n d i c a t e d i s e a s e r e c u r r e n c e . F i g u r e F i g u r e 1 2 . 4 1 s h o w s t h e s a g i t t a l i m a g e s e q u e n c e s i n d i c a t i n g s i g n a l e n h a n c e m e n t n e a r t h e p o s t s u r g i c a l b e d i n t h e r i g h t b r e a s t . W i t h i n t h e r i g h t b r e a s t t w o s m a l l f o c i o f p e r s i s t e n t p o s t - c o n t r a s t e n h a n c e m e n t w a s r e p o r t e d t o e x i s t a d j a c e n t t o t h e c h e s t w a l l . E a c h o f t h e s e t w o l e s i o n s m e a s u r i n g a p p r o x i m a t e l y 1 c m i n d i a m e t e r a r e s h o w n i n F i g u r e F i g u r e 1 2 . 4 2 . T h e y a p p e a r t o b e a n e x t e n s i o n o f t h e b r e a s t M R i m a g e i n F i g u r e F i g u r e 1 2 . 4 3 . C o r o n a l v i e w s o f t h e T 2 — w e i g h t e d p o s t c o n t r a s t i m a g e s e q u e n c e s a d j a c e n t t o t h e c h e s t w a l l a r e s h o w n i n F i g u r e F i g u r e 1 2 . 4 4 . 2 8 4 F i g u r e 1 2 . 4 3 . R i g h t b r e a s t n e a r t h e p o s t — s u r g i c a l b e d . F i g u r e 1 2 . 4 4 . C o r o n a l i m a g e s e q u e n c e s i n d i c a t i n g t w o s m a l l f o c i o f s u s p i c i o u s s i g n a l e n h a n c e m e n t w i t h i n t h e r i g h t b r e a s t a d j a c e n t t o t h e c h e s t w a l l . 0 . 0 8 0 . 0 4 - 0 . 0 4 0 . 1 4 A 0 . 1 l 0 0 6 4 - 0 . 0 2 0 . 0 8 » ( d ) 0 . 0 4 * - 0 . 0 4 . ' 0 ' 0 8 A - 0 : 0 6 ‘ - 0 : 0 2 1 0 . 1 4 L - 0 1 1 - 0 . 1 4 - 0 . 1 - 0 . 0 6 - 0 . 0 2 F i g u r e 1 2 . 4 5 . C o r o n a l s l i c e o f t u m o r d a t a , I V n e a r t h e c h e s t w a l l ( a ) R e l a t i v e p e r - m i t t i v i t y , e r ( : r , y ) ( b ) L o s s t a n g e n t , U — J ‘ Z — O ( c ) T 2 — w e i g h t e d p o s t c o n t r a s t M R i m a g e ( d ) T i s s u e s p e c i fi c a b s o r p t i o n r a t e a t 5 0 0 M H z ( W / k g / m ) . 2 8 6 0 . 0 6 ( a ) 0 . 0 6 » 0 . 0 2 0 . 0 2 - 0 . 0 2 - 0 . 0 2 - 0 . 0 6 - 0 . 0 6 : - 0 . 1 4 ~ 0 . 1 - 0 . 0 6 - 0 . 0 2 - 0 . 1 4 - 0 . 1 - 0 . 0 6 - 0 . 0 2 ° \ : — 3 7 ° c " ~ . 3 2 0 . 0 6 ' 0 : 0 2 A - 0 : 0 2 ' 0 . 0 6 3 2 0 : 1 4 ' - 0 ' . 1 ‘ - 0 1 0 6 y o n ) x ( m ) F i g u r e 1 2 . 4 6 . S t e a d y s t a t e t e m p e r a t u r e d i s t r i b u t i o n f o r I V ( a ) T a = 3 2 ° C a n d ( b ) T a : 3 7 ° C . 1 D T h e r m a l p r o fi l e s a l o n g ( c ) x 2 r e a n d ( d ) y 2 y e . 2 8 7 1 2 . 9 . 3 T h e r a p y S i m u l a t i o n s T h e r a p y s i m u l a t i o n s w e r e c a r r i e d o u t f o r t h e p o s t - c o n t r a s t e n h a n c e m e n t o b s e r v e d n e a r t h e p o s t s u r g i c a l b e d i n t h e r i g h t b r e a s t s h o w n i n F i g u r e s F i g u r e 1 2 . 4 2 — F i g u r e 1 2 . 4 3 . M R i m a g e p o s t p r o c e s s i n g , m i r r o r d e f o r m a t i o n e s t i m a t i o n a n d t u m o r t e m - p e r a t u r e e l e v a t i o n p r o c e d u r e s w e r e c a r r i e d o u t i n t h e d u a l d e f o r m a b l e m i r r o r t h e r a p y s i m u l a t i o n s . F i g u r e s F i g u r e 1 2 . 4 5 ( a ) - — ( d ) s h o w t h e p e r m i t t i v i t y m a p , c o r o n a l M R i m - a g e s e q u e n c e a n d E M e n e r g y d e p o s i t e d i n s i d e t h e M R b r e a s t d a t a w i t h m a l i g n a n c y . S o l u t i o n t o t h e s t e a d y s t a t e B H T E a r e s h o w n i n F i g u r e s F i g u r e 1 2 . 4 6 ( a ) — ( d ) f o r t w o d i f f e r e n t a m b i e n t t e m p e r a t u r e s . B o t h t h e r m a l p r o fi l e s i n d i c a t e t u m o r t e m p e r a t u r e e l e v a t i o n a b o v e 4 2 ° C w i t h m i n i m a l t e m p e r a t u r e i n c r e a s e i n t h e s u r r o u n d i n g b e n i g n b r e a s t t i s s u e . 1 2 . 1 0 P a t i e n t C a s e S t u d y V 1 2 . 1 0 . 1 C l i n i c a l H i s t o r y T h e s u b j e c t i s a 5 8 - y e a r o l d w o m a n w h o r e c e n t l y u n d e r w e n t c y s t a s p i r a t i o n o n t h e r i g h t b r e a s t . l V ‘ I u l t i - e c h o , m u l t i - p l a n a r b i l a t e r a l b r e a s t M R e x a m i n a t i o n w a s p e r - f o r m e d a n d p o s t - g a d o l i n i u m s e q u e n t i a l i m a g e s w e r e a c q u i r e d f o r d i a g n o s i s . T i s s u e a r o u n d t h e c y s t w a s d i a g n o s e d p o s i t i v e a s D C I S a n d t h e p a t i e n t w a s s c h e d u l e d f o r r a d i a t i o n t h e r a p y . 1 2 . 1 0 . 2 M R I fi n d i n g s M R I o f t h e l e f t b r e a s t r e v e a l e d a l a r g e h y p e r i n t e n s e fl u i d c o l l e c t i o n m e a s u r i n g a p p r o x - i m a t e l y 8 5 x 5 0 m m w h i c h f a i l e d t o u n d e r g o c o n t r a s t e n h a n c e m e n t . T h e fl u i d c o l l e c t i o n s h o w n i n F i g u r e F i g u r e 1 2 . 4 7 l i k e l y r e p r e s e n t s p r o t e i n a c e o u s o r h a e m o r r h a g i c c y s t s t h a t d e m o n s t r a t e s d i f f u s e s u r r o u n d i n g r i m e n h a n c e m e n t w h i c h i s r e l a t i v e l y t h i c k c o m - p a r e d t o a t y p i c a l b r e a s t c y s t . A d d i t i o n a l l y , a t i n y s i n g l e f o c i o f e n h a n c e m e n t t o o s m a l l f o r c h a r a c t e r i z a t i o n w a s a l s o o b s e r v e d . A l o n g l i n e a r f o c u s o f d u c t a l e n h a n c e - F i g u r e 1 2 . 4 7 . C o r o n a l i m a g e s i n d i c a t i n g fl u i d c o l l e c t i o n i n t h e l e f t b r e a s t a n d d u c t a l e n h a n c e m e n t i n t h e r i g h t b r e a s t . F i g u r e 1 2 . 4 8 . D u c t a l e n h a n c e m e n t f r o m n i p p l e t o t h e i n f e r i o r p o r t i o n o f t h e r i g h t b r e a s t . F i g u r e 1 2 . 4 9 . D u c t a l e n h a n c e m e n t i n t h e i n f e r i o r p o r t i o n o f t h e r i g h t b r e a s t . F i g u r e 1 2 . 5 0 . T 2 w e i g h t e d p o s t c o n t r a s t i m a g e s e q u e n c e s i n d i c a t i n g d u c t a l e n h a n c e - m e n t f r o m n i p p l e t o t h e i n f e r i o r p o r t i o n o f t h e r i g h t b r e a s t . 2 9 0 m e n t e x t e n d i n g f r o m t h e n i p p l e a n d p o s t e r i o r i n f e r i o r l y t o w a r d s t h e c h e s t w a l l w i t h a n a s s o c i a t e d i r r e g u l a r a r e a o f e n h a n c e m e n t i n t h e i n f e r i o r p o r t i o n o f t h e b r e a s t w a s o b s e r v e d . F i g u r e s F i g u r e 1 2 . 4 8 - F i g u r e 1 2 . 4 9 s h o w t h e s a g i t t a l a n d c o r o n a l v i e w s o f t h e s u s p i c i o u s d u c t a l e n h a n c e m e n t . I r r e g u l a r m o r p h o l o g y w i t h d u c t a l e n h a n c e m e n t w a s r e p o r t e d a s s u s p i c i o u s m a l i g n a n c y . S a g i t t a l i m a g e s e q u e n c e i n d i c a t i n g d u c t a l e n - h a n c e m e n t e x t e n d i n g f r o m n i p p l e t o t h e i n f e r i o r p o r t i o n o f t h e r i g h t b r e a s t i s s h o w n i n F i g u r e F i g u r e 1 2 . 5 0 . F i g u r e F i g u r e 1 2 . 4 7 s h o w s t h e c o r o n a l v i e w o f t h e r i g h t b r e a s t w i t h s u s p i c i o u s d u c t a l e n h a n c e m e n t . 1 2 . 1 0 . 3 T h e r a p y S i m u l a t i o n s C o r o n a l s e c t i o n o f t h e d u c t a l e n h a n c e m e n t i n t h e i n f e r i o r p o r t i o n o f t h e r i g h t b r e a s t u s e d i n t h e r a p y s i m u l a t i o n s i s s h o w n i n F i g u r e F i g u r e 1 2 . 4 9 . T i s s u e p e r m i t t i v i t y d i s t r i b u t i o n f o r t h e c o r o n a l M R b r e a s t i m a g e i n F i g u r e F i g u r e 1 2 . 5 1 ( d ) i s s h o w n i n F i g u r e s F i g u r e 1 2 . 5 1 ( a ) - ( b ) . T h e t i s s u e S A R i n s i d e t h e r i g h t b r e a s t m a i n t a i n e d b y t h e d u a l d e f o r m a b l e m i r r o r t h e r a p y m o d e l i s s h o w n i n F i g u r e F i g u r e 1 2 . 5 1 ( c ) . F i g - u r e s F i g u r e 1 2 . 5 2 ( a ) — ( d ) S h o w t h e s t e a d y s t a t e t h e r m a l m a p i n s i d e t h e b r e a s t t i s s u e r e p o r t e d t o h a v e s u s p i c i o u s d u c t a l e n h a n c e m e n t . T h e t i s s u e S A R , 2 D t e m p e r a t u r e d i s t r i b u t i o n s a n d 1 D t h e r m a l p r o fi l e s i n F i g u r e s F i g u r e 1 2 . 5 1 — F i g u r e 1 2 . 5 2 c a l c u l a t e d u s i n g t h e d u a l d e f o r m a b l e m i r r o r m o d e l i n d i c a t e s e l e c t i v e t u m o r t e m p e r a t u r e e l e v a - t i o n a b o v e 4 2 ° C ; c o n d u c i v e f o r t h e t h e r m a l t h e r a p y o f l o c a l i z e d b r e a s t c a n c e r . 1 2 . 1 1 N o n i n v a s i v e A b l a t i o n - F e a s i b i l i t y S t u d y F e a s i b i l i t y o f e x t e n d i n g t h e d u a l d e f o r m a b l e m i r r o r t h e r a p y t e c l m i q u e f o r n o n i v a s i v e a b l a t i o n w a s i n v e s t i g a t e d u s i n g c o r o n a l s e c t i o n s o f M R d e r i v e d b r e a s t i m a g e s . P r o - l o n g e d e x p o s u r e o f E M r a d i a t i o n a b o v e 4 2 0 C c o m b i n e d w i t h r a d i a t i o n o r c h e m o t h e r - a p y a n d f e w m i n u t e s a b o v e 5 0 0 C h a s b e e n r e p o r t e d t o r e s u l t i n t u m o r t i s s u e n e c r o s i s [ 1 7 4 ] . I n t h e a b l a t i o n s i m u l a t i o n s , t h e t u m o r t e m p e r a t u r e e l e v a t i o n p r o c e d u r e w a s i t e r a t e d u n t i l t h e t u m o r t e m p e r a t u r e w a s w e l l a b o v e 5 0 0 C . C o r o n a l b r e a s t M R d a t a 2 9 1 0 . 0 4 0 . 0 4 0 . 0 2 0 . 0 2 0 0 - 0 . 0 2 - 0 . 0 2 - 0 . 0 4 - 0 . 0 4 - 0 . 0 6 - 0 - 0 6 , L ’ x m b o n - 0 0 8 - 0 0 4 0 . 0 4 0 . 0 4 0 . 0 2 0 . 0 2 0 0 - 0 . 0 2 - 0 . 0 2 - 0 . 0 4 - 0 . 0 4 - 0 0 5 . 0 - 0 . 0 6 + . - 0 . 1 2 - 0 . 0 8 - 0 . 0 4 - 0 . 1 2 0 0 8 - 0 . 0 4 F i g u r e 1 2 . 5 1 . C o r o n a l s l i c e o f t u m o r i n p a t i e n t d a t a , V u s e d i n t h e r a p y s i m u l a t i o n s ( a ) R e l a t i v e p e r m i t t i v i t y , 6 r ( 1 § , y ) ( b ) L o s s t a n g e n t , % ( c ) T 2 - w e i g h t e d p o s t c o n t r a s t M R i m a g e ( ( 1 ) T i s s u e s p e c i fi c a b s o r p t i o n r a t e a t 5 0 0 M H z ( W / k g / m ) . 2 9 2 ° 3 — 3 7 2 ° C ° c 3 4 D .' — 3 7 ° C 1 -. 0 . 0 4 0 . 0 4 0 . 0 2 0 . 0 2 0 4 0 - 0 . 0 2 - 0 . 0 2 - 0 . 0 4 - 0 . 0 4 - 0 . 0 6 - 0 . 0 6 - 0 . 1 2 - 0 . 0 8 - 0 . 0 4 - 0 . 1 2 - 0 . 0 8 - 0 . 0 4 ° 0 3 2 0 1 2 3 0 1 0 8 3 0 1 0 4 0 i 0 . 0 4 x ( m ) 3 2 0 . 0 6 ‘ 0 0 2 ' 0 1 0 2 y ( m ) F i g u r e 1 2 . 5 2 . S t e a d y s t a t e t e m p e r a t u r e d i s t r i b u t i o n f o r V ( a ) T a : 3 2 ° C a n d ( b ) T a : 3 7 ° C . 1 D T h e r m a l p r o fi l e s a l o n g ( c ) . 1 : : . 1 7 6 a n d ( d ) y : y c . 2 9 3 0 . 0 4 0 . 0 2 - 0 . 0 2 - 0 . 0 4 , 0 . 0 2 0 . 0 4 0 . 0 6 0 . 0 8 0 . 1 0 . 0 2 0 . 0 4 0 . 0 6 0 . 0 8 0 . 1 ( d ) o o O a C o a o O I o O C v ’ 1 I I A L A I L - 0 . 0 4 - 0 . 0 2 0 0 . 0 2 0 . ) 4 0 . 0 2 0 . 0 4 0 . 0 6 0 . 0 8 0 . 1 y ( m ) x ( m ) F i g u r e 1 2 . 5 3 . S t e a d y s t a t e t e m p e r a t u r e d i s t r i b u t i o n i n s i d e p a t i e n t m o d e l , I a c a l c u — l a t e d u s i n g n o n i n v a s i v e a b l a t i o n s i m u l a t i o n s ( a ) T a = 3 2 ° C a n d ( b ) T a = 3 7 ° C . 1 D T h e r m a l p r o fi l e s a l o n g ( c ) a : : $ 0 a n d ( d ) y : y c . 2 9 4 0 . 0 2 0 . 0 2 - O 0 > - 0 0 2 . - 0 . 0 2 - 0 . 0 4 ' - 0 . 0 4 * - 0 . 0 6 l - 0 . 0 6 ’ 5 0 5 0 ' 4 6 - 4 6 A A : 3 / 4 2 0 8 4 2 [ A 3 2 ° C H 3 8 ' « 3 3 . 3 2 ° C 3 4 . . . A I ‘ J I o ' 3 4 . 0 I L l ' 1 “ - 0 . 0 6 - 0 . 0 2 0 , 0 2 - 0 . 1 2 - 0 . 0 8 - 0 . 0 4 y ( I n ) x ( m ) F i g u r e 1 2 . 5 4 . N o n i n v a s i v e a b l a t i o n u s i n g d e f o r m a b l e m i r r o r f o r p a t i e n t m o d e l 1 1 1 ( a ) T a = 3 2 O C a n d ( b ) T a : 3 7 ° C . 1 D T h e r m a l p r o fi l e s a l o n g ( c ) : 1 : : a r c a n d ( ( 1 ) 1 1 : 9 0 2 9 5 0 . 0 4 0 . 0 4 0 . 0 2 0 . 0 2 . 0 ' o - 0 . 0 2 » - 0 . 0 2 - 0 . 0 4 » - o . 0 4 - 0 . 0 6 . . . J . - 0 . 0 6 . . - 0 . 1 2 - 0 . 0 8 - 0 . 0 4 - 0 . 1 2 - 0 . 0 8 0 0 4 I C d 5 0 ( ) ( ) Q ° 4 2 H - ° 3 2 ° C “ fl “ . ° — 3 7 ° c . . , . - 3 4 5 E l . - 0 . 0 6 - 0 . 0 2 0 . 0 2 - o . 0 4 y e n ) F i g u r e 1 2 . 5 5 . S t e a d y s t a t e a b l a t i o n t e m p e r a t u r e d i s t r i b u t i o n i n s i d e p a t i e n t m o d e l V ( a ) T a = 3 2 ° C a n d ( b ) T a = 3 7 ° C . 1 D T h e r m a l p r o fi l e s a l o n g ( c ) : L ‘ : . r c a n d ( ( 1 ) 9 : 9 6 - 2 9 6 T a b l e 1 2 . 2 . S p e c i fi c a b s o r p t i o n r a t e i n s i d e M R b r e a s t t i s s u e m o d e l s f o r h y p e r t h e r m i a a d j u v a n t t h e r a p y u s i n g d u a l d e f o r m a b l e m i r r o r s . M o d e l H y p e r t h e r m i a : S A R ( W / k g / m ) I D T u m o r B e n i g n S k i n l a 5 6 . 3 4 1 0 4 . 6 4 7 5 1 0 . 8 2 5 3 l b 5 5 . 6 8 9 5 6 . 3 7 7 2 1 6 . 7 3 8 8 1 C 7 3 . 6 0 2 0 8 . 8 6 3 0 2 2 . 0 7 5 4 H a 6 4 . 3 0 3 4 9 . 2 1 9 0 4 3 . 5 9 8 0 I l b 5 6 . 2 4 5 4 8 . 3 7 0 6 3 6 . 9 8 1 4 l I C 9 6 . 6 8 2 2 1 2 . 5 4 8 5 3 0 . 3 8 7 9 1 1 1 4 1 . 9 3 0 4 3 . 4 2 8 2 1 0 . 0 1 4 1 I V 3 2 . 3 1 0 1 2 . 0 3 4 5 9 . 9 7 3 0 V 5 2 . 8 8 9 6 2 . 7 6 3 0 1 0 . 8 4 9 8 b e l o n g i n g t o p a t i e n t s I , I I I a n d V w e r e u s e d i n t h e a b l a t i o n c o m p u t a t i o n a l s t u d y . F i g - u r e s F i g u r e 1 2 . 5 3 - F i g u r e 1 2 . 5 5 s h o w t h e s t e a d y s t a t e t e m p e r a t u r e d i s t r i b u t i o n s a n d 1 D t h e r m a l p r o fi l e s i n s i d e t h e c o r o n a l p o s t c o n t r a s t M R b r e a s t d a t a w i t h m a l i g n a n c y . T h e c o m p u t a t i o n a l r e s u l t s f o r n o n i n v a s i v e t u m o r a b l a t i o n i n d i c a t e s e l e c t i v e t e m - p e r a t u r e e l e v a t i o n i n s i d e t u m o r t i s s u e a b o v e 5 0 ° C t h a t r e s u l t i n i r r e v e r s i b l e t u m o r t i s s u e d a m a g e o v e r f e w m i n u t e s o f e x p o s u r e . T h e c o n t i n u o u s m i r r o r s u r f a c e a n d t h e a d a p t i v e f o c u s i n g c a p a b i l i t y o f t h e d e f o r m a b l e m i r r o r e n a b l e s E M r a d i a t i o n t o b e f o c u s e d a t t u m o r s i t e w i t h o u t a n y h o t s p o t s o r u n d e s i r e d s u p e r fi c i a l h e a t i n g . T h e h y p e r t h e r m i a s e t u p a l s o s e r v e s a s a n n o n i n v a s i v e a b l a t i o n t o o l i n w h i c h t h e t u m o r t e m p e r a t u r e c a n b e s e l e c t i v e l y i n c r e a s e d a b o v e 5 0 ° C u p o n e x p o s u r e f o r s e v e r a l m i n - u t e s . 1 2 . 1 2 C o n c l u s i o n s C o m p u t a t i o n a l f e a s i b i l i t y s t u d y o f t h e d e f o r m a b l e m i r r o r t h e r a p y t e c h n i q u e w a s e v a l - u a t e d u s i n g M R I d e r i v e d 2 D b r e a s t d a t a . M R b r e a s t d a t a o f w o m e n b e l o n g i n g t o d i f f e r e n t a g e g r o u p s a n d b r e a s t d e n s i t y r e p o r t e d t o h a v e s u s p i c i o u s l e s i o n s w e r e s t u d — 2 9 7 T a b l e 1 2 . 3 . S t e a d y s t a t e t h e r m a l s t a t i s t i c s f o r h y p e r t h e r m i a a d j u v a n t t h e r a p y f o r b r e a s t c a n c e r u s i n g d u a l d e f o r m a b l e m i r r o r s . M o d e l T a : 3 2 ° C T a = 3 7 ° C I D T L u m o r T l f m g n T i l e r / z T L u m o r T i m ” T f ‘ k z n I a 4 2 . 5 9 5 7 3 7 . 0 7 8 1 3 2 . 3 4 2 5 4 2 . 8 8 3 9 3 8 . 5 1 6 4 3 7 . 1 0 8 9 I I ) 4 2 . 9 7 3 8 3 7 . 6 7 7 4 3 2 . 3 6 4 7 4 3 . 4 7 2 6 3 9 . 1 0 8 1 3 7 . 1 4 8 3 I c 4 4 . 3 5 4 0 3 8 . 4 5 1 8 3 2 . 3 3 9 1 4 4 . 8 2 6 0 3 9 . 8 0 8 7 3 7 . 1 5 4 9 I l a 4 3 . 4 2 2 3 3 8 . 1 6 1 7 3 2 . 6 1 7 7 4 3 . 5 8 8 7 3 9 . 7 0 8 0 3 7 . 4 1 3 8 I I b 4 3 . 5 4 7 4 3 7 . 9 4 6 9 3 2 . 6 2 8 8 4 3 . 7 4 4 0 3 9 . 5 3 9 6 3 7 . 4 1 1 3 I I c 4 5 . 2 5 6 4 3 9 . 4 2 8 8 3 2 . 4 1 0 8 4 5 . 4 9 6 7 4 0 . 8 5 5 4 3 7 . 2 2 4 3 I I I 4 2 . 8 6 1 2 3 7 . 9 1 2 1 3 2 . 4 1 3 7 4 3 . 5 1 8 5 3 9 . 0 9 3 0 3 7 . 1 3 4 0 I V 4 1 . 5 7 1 0 3 7 . 2 4 8 4 3 2 . 4 1 1 6 4 1 . 8 4 2 6 3 8 . 2 4 7 8 3 7 . 1 2 4 9 V 4 2 . 5 1 3 8 3 7 . 4 2 8 4 3 2 . 5 7 3 3 4 3 . 4 1 2 1 3 8 . 6 2 8 8 3 7 . 2 7 8 0 T a b l e 1 2 . 4 . S p e c i fi c a b s o r p t i o n r a t e i n s i d e M R b r e a s t t i s s u e m o d e l s f o r n o n i n v a s i v e a b l a t i o n u s i n g d u a l d e f o r m a b l e m i r r o r s . M o d e l S A R ( W / k g / 1 1 1 ) I D T u m o r B e n i g n S k i n I a 1 2 6 . 7 6 7 2 1 0 . 4 5 6 8 2 4 . 3 5 6 9 I I I 8 9 . 5 6 7 3 7 . 3 2 2 9 2 1 . 3 9 1 0 V 1 3 5 . 3 9 7 4 7 . 0 7 3 2 2 7 . 7 7 5 6 T a b l e 1 2 . 5 . S t e a d y s t a t e t h e r m a l s t a t i s t i c s f o r n o n i n v a s i v e a b l a t i o n o f b r e a s t c a n c e r u s i n g d u a l d e f o r m a b l e m i r r o r s . M o d e l T a = 3 2 ° C T a = 3 7 ° C t u m o r 5 6 7 1 5 1 7 9 7 1 s k i n t u m o r b e n i g n s k i n I D ” 1 “ , , 1 " , , T , , " 1 “ , , T j , T “ I a 4 9 . 9 5 0 5 3 8 . 9 7 3 7 3 2 . 4 7 8 5 5 0 . 2 3 8 7 4 0 . 4 1 2 0 3 7 . 2 4 4 9 I I I 5 0 . 2 6 6 8 4 0 . 2 8 9 9 3 2 . 5 6 5 9 5 0 . 9 2 4 1 4 1 . 4 7 0 9 3 7 . 2 8 6 2 V 5 2 . 5 1 6 7 3 9 . 9 6 9 3 3 3 . 0 0 6 9 5 3 . 4 1 4 9 4 1 . 1 6 9 6 3 7 . 7 1 1 6 2 9 8 i e d i n t h e n u m e r i c a l s i m u l a t i o n s . C o n s i s t e n t p e r f o r m a n c e o f t h e t h e r a p y m o d e l f o r b r e a s t d a t a w i t h d i f f e r e n t p a t h o l o g i c a l a n d p h y s i o l o g i c a l c o n d i t i o n s i n d i c a t e t h e f e a s i - b i l i t y o f a n a l t e r n a t e a d j u v a u t t h e r a p y t e c h n i q u e e m p l o y i n g d u a l d e f o r m a b l e m i r r o r s f o r t h e t r e a t m e n t o f l o c a l i z e d b r e a s t c a n c e r . A b l a t i o n s t u d i e s o n 2 D M R b r e a s t d a t a b e l o n g i n g t o d i f f e r e n t p a t i e n t s r e v e a l t h e p o t e n t i a l o f t h e d e f o r m a b l e m i r r o r a s a n n o n i n v a s i v e a b l a t i o n d e v i c e f o r c a n c e r t h e r a p y . T h e t h e r m a l s t a t i s t i c s c o m p u t e d f o r m a l i g n a n t l e s i o n s r e p o r t e d i n t h e M R d i a g n o s i s o f t h e fi v e p a t i e n t m o d e l s f o r h y - p e r t h e r m i a t r e a t m e n t a r e s u m m a r i z e d i n T a b l e s T a b l e 1 2 . 2 - T a b l e 1 2 . 3 . T a b l e T a b l e 1 2 . 2 l i s t s t h e t i s s u e S A R ( W / k g / m ) d e p o s i t e d i n s i d e t h e d i f f e r e n t s o f t t i s s u e r e g i o n s o f t h e M R b r e a s t m o d e l s i r r a d i a t e d b y 5 0 0 M H z c o n t i n u o u s w a v e e x c i t a t i o n . T h e a v e r a g e s t e a d y s t a t e t e m p e r a t u r e i n s i d e t h e d i f f e r e n t s o f t t i s s u e r e g i o n s o f t h e p a t i e n t m o d e l s a r e t a b u l a t e d i n T a b l e T a b l e 1 2 . 3 . I n T a b l e s T a b l e 1 2 . 2 - T a b l e 1 2 . 3 , t i s s u e S A R a n d s t e a d y s t a t e t e m p e r a t u r e a r e t h e h i g h e s t i n s i d e t u m o r a n d a r e r e l a t i v e l y h i g h e r w i t h i n s k i n t h a n t h e b e n i g n t i s s u e w i t h a c o m p o s i t i o n o f f a t a n d fi b r o g l a n d - u l e s . T h o u g h h i g h e r , t h e t h e r m a l s t a t i s t i c s i n s i d e s k i n a r e w e l l b e l o w t h e t o x i c l e v e l f o r b o t h T a = 3 2 ° C a n d T a , : 3 7 ° C . I n t h e s i m u l a t i o n s t u d y , t h e h i g h i n t e n s i t y l y m p h n o d e s w e r e m o d e l e d a s t i s s u e s w i t h p e r m i t t i v i t y v a l u e s c l o s e t o t h a t o f t h e h y d r o u s t u m o r . T i s s u e S A R m a i n t a i n e d b y t h e n o n i n v a s i v e a b l a t i o n n u m e r i c a l m o d e l i n t h e c o r o - n a l s e c t i o n s o f M R b r e a s t d a t a a r e s u m m a r i z e d i n T a b l e T a b l e 1 2 . 4 . C o m p a r e d t o T a b l e T a b l e 1 2 . 2 , t h e S A R v a l u e s i n T a b l e T a b l e 1 2 . 4 a r e c o n s i s t e n t l y h i g h e r a s a b - l a t i o n r e q u i r e s h i g h e r E M e n e r g y d e p o s i t i o n t o e l e v a t e t h e t u m o r t e m p e r a t u r e a b o v e 5 0 ° C . T h e r e l a t i v e l y h i g h e r S A R w i t h i n t h e t u m o r t i s s u e c o m p a r e d t o t h e r e s t o f t h e b r e a s t r e p o r t e d i n T a b l e T a b l e 1 2 . 4 i n d i c a t e s s e l e c t i v e e n e r g y d e p o s i t i o n i n s i d e t h e t u m o r b y t h e d u a l d e f o r m a b l e m i r r o r t h e r a p y m o d e l . T e m p e r a t u r e i n s i d e t h e d i f f e r e n t s o f t t i s s u e s o f t h e M R . b r e a s t d a t a f o r a b l a t i o n a r e l i s t e d i n T a b l e T a b l e 1 2 . 5 . I n T a b l e T a b l e 1 2 . 5 , t h e a v e r a g e s t e a d y s t a t e t e m p e r a t u r e m a i n t a i n e d b y t h e d u a l d e f o r m a b l e 2 9 9 m i r r o r i n s i d e t h e t u m o r t i s s u e i s a p p r o x i m a t e l y 5 0 ° C w h i l e , t h e r e m a i n i n g r e g i o n s o f t h e b r e a s t a r e m a i n t a i n e d l m l o w 4 2 ° C . B o t h h y p e r t h e r m i a a n d a b l a t i o n s t u d y i n d i - c a t e s e l e c t i v e t u m o r t i s s u e h e a t i n g c o m p a r e d t o t h e s u r r o u n d i n g b e n i g n t i s s u e s a n d s k i n . C o m p u t a t i o n a l s t u d y o n fi b r o g l a n d u l a r , h e t e r o g e n e o u s a n d f a t t y b r e a s t d a t a o f w o m e n b e l o n g i n g t o d i f f e r e n t a g e g r o u p s a n d c l i n i c a l h i s t o r y i n d i c a t e t h e f e a s i b i l i t y o f t h e p r o p o s e d d e f o r m a b l e m i r r o r t h e r a p y m o d e l a s a n a l t e r n a t e a d j u v a n t a n d a b l a - t i o n t h e r a p y t e c h n i q u e f o r l o c a l i z e d b r e a s t c a n c e r t r e a t m e n t . T h e d e f o r m a b l e m i r r o r t e c h n i q u e s e r v e s a s a n o v e l a n d u n i q u e i m a g i n g c u m t h e r a p y d e v i c e f o r b r e a s t c a n c e r . 3 0 0 C H A P T E R 1 3 M I R R O R B A S E D O P T I C A L P R O T O T Y P E I n t r o d u c t i o n T h e s i m p l i c i t y o f b o t h n u m e r i c a l a n d e x p e r i m e n t a l t e c h n i q u e s i n t h e v i s i b l e r e g i m e o f l i g h t s p e c t r u m l e d t o t h e c o n s t r u c t i o n o f a s i m p l e o p t i c a l e x p e r i m e n t a l s e t u p . T h e o p t i c a l e x p e r i m e n t a l s e t u p s e r v e s a s a p r o o f o f c o n c e p t f o r t h e d e f o r m a b l e m i r r o r m i c r o w a v e t o m o g r a p h y t e c h n i q u e p r o p o s e d i n t h i s t h e s i s . R a y t r a c i n g , t h e m o s t g e n e r i c m o d e l i n g t e c l m i q u e i n g e o m e t r i c a l o p t i c s i s u s e d i n t h e n u m e r i c a l m o d e l . T h e o b j e c t i v e s o f t h e e x p e r i m e n t s a r e t o 1 . E v a l u a t e t h e p o t e n t i a l o f a p e r f e c t l y r e fl e c t i n g m i r r o r t o s t e e r t h e l i g h t b e a m t o a c q u i r e m u l t i - v i e w m e a s u r e m e n t s o f a s t a t i o n a r y o b j e c t u s i n g fi x e d s o u r c e - d e t e c t o r a r r a n g e m e n t 2 . I n v e s t i g a t e t h e f e a s i b i l i t y o f m a t e r i a l p r o p e r t y r e c o v e r y u s i n g m u l t i - v i e w m e a - s u r e m e n t s p r o d u c e d i n 1 D u e t o t h e c o s t a n d c o m p l e x i t y i n v o l v e d i n t h e m i c r o w a v e r e g i m e ( 1 0 0 c m - 1 m m ) , o t h e r r e g i m e s i n t h e e l e c t r o m a g n e t i c s p e c t r u m w e r e c o n s i d e r e d t o e s t a b l i s h t h e p r o o f o f c o n c e p t o f t h e p r o p o s e d i m a g i n g s y s t e m . D e s p i t e t h e s i m p l i c i t y o f r a y t h e o r y , X - r a y r e g i m e ( l O n m - 0 . 1 n m ) i s n o t s u i t a b l e f o r e x p e r i m e n t a l p r o t o t y p e d u e t o r a d i a t i o n h a z a r d s a n d l a c k o f X - r a y m i r r o r s f o r a n g l e o f i n c i d e n c e g r e a t e r t h a n t h e g r a z i n g a n g l e . T h e l o w e r e n d o f t h e e l e c t r o m a g n e t i c s p e c t r u m ( > 1 0 m ) s c a t t e r s s i m i l a r t o m i c r o w a v e s a n d r e q u i r e s c o m p l e x s e t u p a n d e q u i p m e n t s o f p h y s i c a l l y l a r g e r d i m e n s i o n s . T h e v i s i b l e l i g h t s p e c t r u m ( ~ 4 0 0 n m — ~ 7 0 0 n m ) , i n t e r m e d i a t e b e t w e e n m i c r o w a v e s a n d X - r a y s i s n o t r a d i o a c t i v e a n d r e q u i r e s s i m p l e a n d l o w c o s t e q u i p m e n t s t h a t i s r e l a t i v e l y e a s y t o m o d e l . T h e a d v a n t a g e s o f t h e e x p e r i m e n t a l p r o t o t y p e i n o p t i c a l r e g i m e a r e , 3 0 1 L i g h t i n t e r a c t i o n w i t h o b j e c t s c a n b e s t u d i e d u s i n g g e o m e t r i c a l o p t i c s R a y t r a c i n g m o d e l i n g t e c h n i q u e s a r e s i m p l e t o i m p l e m e n t A v a i l a b i l i t y o f l o w c o s t l i g h t s o u r c e a n d d e t e c t o r s L o w s y s t e m c o m p l e x i t y , s a f e a n d e a s e o f o p e r a b i l i t y R e f r a c t i v e i n d e x e s t i m a t i o n o f t h e o b j e c t o f i n t e r e s t u s i n g l i g h t m e a s u r e m e n t s f o r d i f f e r e n t m i r r o r r o t a t i o n s p r e s e n t e d i n t h i s c h a p t e r s e t s t h e s t a g e f o r p o t e n t i a l u s e o f d e f o r m a b l e m i r r o r i n m i c r o w a v e r e g i m e f o r t o m o g r a p h y . T h e o r g a n i z a t i o n o f t h i s c h a p t e r i s a s f o l l o w s . T h e p h y s i c s a s s o c i a t e d w i t h g e o m e t r i c a l o p t i c s p h e n o m e n o n i m p l e m e n t e d i n t h e n u m e r i c a l m o d e l i s b r i e fl y c o v e r e d i n s e c t i o n 1 3 . 1 . S e c t i o n s 1 3 . 2 a n d 1 3 . 3 e x p l a i n t h e m a t h e m a t i c a l t h e o r y a n d a l g o r i t h m s o f t h e r a y t r a c i n g m o d e l r e s p e c t i v e l y . D e t a i l s o f t h e e x p e r i m e n t a l s e t u p , c a l i b r a t i o n p r o c e d u r e a n d m o d e l v a l i - d a t i o n a r e c o v e r e d i n s e c t i o n 1 3 . 4 . I t e r a t i v e i n v e r s i o n r e s u l t s , m o d e l c o m p a r i s o n w i t h e x p e r i m e n t s a n d t r u e s o l u t i o n s a r e p r e s e n t e d i n s e c t i o n 1 3 . 5 . F i n a l l y , t h e o u t c o m e a n d i m p l i c a t i o n s o f t h e e x p e r i m e n t s a r e d i s c u s s e d i n s e c t i o n 1 3 . 6 . 1 3 . 1 G e o m e t r i c a l O p t i c s V i s i b l e l i g h t a r e e l e c t r o m a g n e t i c w a v e s w i t h r a p i d o s c i l l a t i o n s o f t h e o r d e r o f ~ 1 0 ’ 5 c m . G e o m e t r i c a l o p t i c s i s a b r a n c h o f c l a s s i c a l o p t i c s t h a t n e g l e c t s t h e fi n i t e n e s s o f t h e w a v e l e n g t h a n d t r e a t s l i g h t a s r a y s . I n t h i s p a r a d i g m , e n e r g y i s t r a n s p o r t e d b y r a y s t h a t o b e y g e o m e t r i c a l l a w s o f o p t i c s . T h e l a w s o f g e o m e t r i c a l o p t i c s p r o v i d e r u l e s t o p r o p a g a t e t h e r a y s i n a n o p t i c a l s y s t e m w h e r e a r a y d e fi n e s t h e n o r m a l o f a n o p t i c a l w a v e f r o n t . T h e a p p r o x i m a t i o n , A - — > 0 i n g e o m e t r i c a l o p t i c s n e g l e c t s d i f f r a c t i o n a n d p o l a r i z a t i o n p h e n o m e n o n . _ _ : 0 ( 1 3 . 3 ) 1 3 . 1 . 1 E q u a t i o n o f L i g h t R a y s L e t W ( ; l t , y , z ) = 0 , d e fi n e t h e s u r f a c e o f a g e o m e t r i c a l w a v e f r o n t . A s p e r t h e d e fi - n i t i o n , a l i g h t r a y i s t h e t r a j e c t o r y p e r p e n d i c u l a r t o t h e w a v e f r o n t t h a t d e t e r m i n e s l i g h t p r o p a g a t i o n . L e t r b e a p o s i t i o n v e c t o r o n a r a y o f l e n g t h , 5 f r o m a fi x e d p o i n t i n t h e c a r t e s i a n c o o r d i n a t e s y s t e m . T h e r a y o b e y s [ 2 0 5 ] , A d r V W ( ' 3 8 8 Z Z _ . _ * _ * 1 3 . 1 b I V W I ’ V 8 . 1 2 1 : + B y y + 8 2 2 ( ) 2 V 7 “ ; [ n : w / fl ' r f r l ( 1 3 . 1 c ) I n ( 1 3 . 1 a ) - ( 1 3 . 1 c ) , f ‘ i s t h e u n i t v e c t o r n o r m a l t o W ( ; z t , y , z ) a n d n i s m a t e r i a l r e f r a c t i v e i n d e x . D i f f e r e n t i a t i n g ( 1 3 . 1 c ) w i t h r e s p e c t t o 3 y i e l d s , ( i f : { n f ‘ } : 6 % { V W } ( 1 3 . 2 a ) : I “ - V ( V W ) , [ 2 1 % = f ‘ - V ] ( 1 3 . 2 b ) = 7 — 1 1 V W - V ( V W ) , [ F r o m ( 1 3 . 1 c ) ] ( 1 3 . 2 c ) : i v [ ( v y v fl ( 1 3 . 2 d ) = — 1 - V n 2 ( 1 3 . 2 e ) 2 n I n d e r i v i n g ( 1 3 . 2 e ) , t h e ( i i / t o n a l e q u a t i o n ( V l / V ) 2 : n 2 w a s u s e d [ 2 0 5 ] . F o r h o m o g e - n e o u s m e d i u m , ( 1 3 . 2 e ) r e d u c e s t o , 3 0 3 S o l u t i o n t o t h e h o m o g e n e o u s d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n ( 1 3 . 3 ) i s t h e v e c t o r e q u a t i o n o f a s t r a i g h t l i n e , r = s a + b ( 1 3 . 4 ) w h e r e a a n d b a r e c o n s t a n t v e c t o r s . E q u a t i o n ( 1 3 . 4 ) i m p l i e s t h a t l i g h t r a y s i n h o m o - g e n e o u s m e d i u m t a k e s t h e f o r m o f s t r a i g h t l i n e s w h e r e t h e r a y d i r e c t i o n i s g i v e n b y v e c t o r a , t h a t p a s s e s t h r o u g h b . 1 3 . 1 . 2 L a w s o f R e fl e c t i o n & R e f r a c t i o n U n d e r G e o m e t r i c a l o p t i c s a p p r o x i m a t i o n s , l i g h t w a v e s b e h a v e s i m i l a r t o p l a n e w a v e s . L i g h t i n c i d e n t o n . a n o b j e c t w i t h p l a n a r s u r f a c e u n d e r g o e s r e fl e c t i o n a n d r e f r a c t i o n a s s h o w n i n F i g u r e F i g u r e 1 3 . 1 . T h e i n c i d e n t a n d r e fl e c t e d r a y s a t t h e i n t e r f a c e o f d i s s i m i l a r o b j e c t s o b e y s t h e r e fl e c t i o n l a w [ 2 0 5 ] , w h e r e ( I , a n d 9 r a r e t h e a n g l e s u b t e n d e d b y t h e i n c i d e n t a n d r e fl e c t e d r a y s r e s p e c t i v e l y w i t h t h e s u r f a c e n o r m a l a t t h e p o i n t o f i n t e r s e c t i o n a s i l l u s t r a t e d i n F i g u r e F i g u r e 1 3 . 1 . E q u a t i o n ( 1 3 . 5 ) i m p l i e s t h a t t h e r e fl e c t e d r a y l i e s i n t h e p l a n e o f i n c i d e n c e . A t t h e i n t e r f a c e o f d i s s i m i l a r m a t e r i a l s , l i g h t i s p a r t i a l l y r e fl e c t e d a n d p a r t i a l l y t r a n s m i t t e d . T h e r e l a t i o n s h i p b e t w e e n t h e a n g l e s o f i n c i d e n c e a n d r e f r a c t i o n i s g i v e n b y S n e l l ’ 5 l a w , n 1 8 i 7 ' i ( 0 . , ; ) : 7 1 . 2 3 2 7 1 ( 0 t ) ( 1 3 . 6 ) E q u a t i o n ( 1 3 . 6 ) i m p l i e s t h a t . t h e r e f r a c t e d r a y l i e s i n t h e p l a n e c o n t a i n i n g t h e i n c i d e n t r a y a n d t h e s u r f a c e n o r m a l a t t h e i n t e r s e c t i o n . I n g e o m e t r i c a l o p t i c s , l i g h t p r o p a g a t i o n i n a n o p t i c a l s y s t e m i s d e fi n e d u s i n g t h e l a w s o f r e fl e c t i o n a n d r e f r a c t i o n . 3 0 4 F i g u r e 1 3 . 1 . S p e c u l a r r e fl e c t i o n a n d t r a n s m i s s i o n i n g e o m e t r i c a l o p t i c s . 1 3 . 2 R a y T r a c i n g - E s s e n t i a l s R a y t r a c i n g i s t h e m o s t g e n e r a l t e c h n i q u e u s e d i n g e o m e t r i c a l p h y s i c s t o m o d e l t h e p a t h t a k e n b y l i g h t b y t r a c i n g o r f o l l o w i n g t h e r a y s a s t h e y i n t e r a c t w i t h o b j e c t s [ 1 5 4 ] . I t i s w i d e l y u s e d i n 3 D c o m p u t e r g r a p h i c s a n d i n o p t i c a l s y s t e m s s u c h a s c a m e r a s , l e n s e s , t e l e s c o p e s a n d b i n o c u l a r s . T o i m p l e m e n t a r a y t r a c e r r o u t i n e i t i s e s s e n t i a l t o u n d e r s t a n d t h e f o u r f u n d a m e n t a l m o d e s o f l i g h t t r a n s p o r t n a m e l y , 1 . S p e c u l a r R e fl e c t i o n 2 . D i f f u s e R e fl e c t i o n 3 . S p e c u l a r T r a n s m i s s i o n 4 . D i f f u s e T r a n s m i s s i o n T h e s u b s e q u e n t s e c t i o n s b r i e fl y c o v e r s t h e f u n d a m e n t a l m o d e s o f l i g h t t r a n s p o r t a n d e x p l a i n s t h e r a y t r a c i n g a l g o r i t h m i m p l e m e n t e d i n t h e n u m e r i c a l m o d e l . 1 3 . 2 . 1 S p e c u l a r R e fl e c t i o n S p e c u l a r r e f l e c t i o n o f l i g h t i s a p h e n o m e n o n w h e r e l i g h t i n c i d e n t o n a n o b j e c t b o u n c e s o f f t h e s u r f a c e w i t h o u t . b e i n g a b s o r b e d o r r e — r a d i a t e d f r o m t h e s u r f a c e o f t h e o b j e c t . T h i s m o d e o f l i g h t t r a n s p o r t o c c u r s w h e n l i g h t i s i n c i d e n t o n p e r f e c t l y s m o o t h o r s p e c u l a r s u r f a c e s . S u c h p e r f e c t , m i r r o r - l i k e r e fl e c t i o n o b e y s t h e l a w o f r e fl e c t i o n d e - fi n e d i n ( 1 3 . 5 ) . F i g u r e F i g u r e 1 3 . 1 s h o w s a l i g h t r a y b o u n c i n g o f f a fl a t p e r f e c t l y r e fl e c t i n g s u r f a c e . f r o m ( 1 3 . 5 ) , t h e r e fl e c t e d a n d s u r f a c e n o r m a l v e c t o r s l i e i n t h e p l a n e o f i n c i d e n c e . T h u s , t h e u n i t . r e fl e c t e d v e c t o r , R c a n b e e x p r e s s e d a s a l i n e a r c o m b i n a t i o n o f t h e i n c i d e n t a n d s u r f a c e n o r m a l v e c t o r s a s , R = 0 1 + 0 N ( 1 3 . 7 ) I n 1 3 . 7 , t h e i n c i d e n t a n d r e f l e c t e d u n i t v e c t o r s I a n d R s u b t e n d 9 i a n d 9 r r e s p e c t i v e l y w i t h t h e s u r f a c e n o r m a l , N . F r o m ( 1 3 . 5 ) a n d t h e i l l u s t r a t i o n i n F i g u r e F i g u r e 1 3 . 1 , i t i s k n o w n t h a t c o s ( 0 . , ; ) = — I - N a n d c o s - ( 6 r ) : R - N a n d ( 1 3 . 5 ) c a n b e r e w r i t t e n a s , c o s ( 0 , ~ ) = c o s ( 6 ’ 7 ~ ) ( 1 3 . 8 a ) — I - N : N - R ( 1 3 . 8 b ) = N - ( o I + B N ) ( 1 3 . 8 c ) : 0 ( N . 1 ) + ) 3 , [ | N | = 1 , N . N : 1 ] ( 1 3 . 8 d ) A r b i t r a r i l y s e t t i n g a = 1 i n ( 1 3 . 8 a ) y i e l d s , [ 3 = — 2 ( N - 1 ) . S u b s t i t u t i n g f o r a a n d 7 3 r e d u c e s ( 1 3 . 7 ) t o t h e f o r m , R = I — 2 ( N - I ) - N ( 1 3 . 9 ) E q u a t i o n ( 1 3 . 9 ) i s t h e v e c t o r w a v e e q u a t i o n f o r a l i g h t r a y s p e c u l a r l y r e fl e c t e d f r o m 3 0 6 ( b ) F i g u r e 1 3 . 2 . R a y o p t i c s a t n o n - s p e c u l a r s u r f a c e ( a ) D i f f u s e r e fl e c t i o n ( b ) D i f f u s e t r a n s m i s s i o n . a n o p t i c a l i n t e r f a c e . 1 3 . 2 . 2 D i f f u s e R e fl e c t i o n L i g h t i n c i d e n t o n r o u g h o r n o n — s p e c u l a r s u r f a c e s u n d e r g o e s D i f f u s e d r e fl e c t i o n w h i c h , c a u s e s t h e i n c i d e n t l i g h t t o r e — r a d i a t e a l o n g d i f f e r e n t d i r e c t i o n s f r o m t h e p o i n t o f i n t e r s e c t i o n . O n a r o u g h s u r f a c e , t h e i n c i d e n t l i g h t i s e i t h e r a b s o r b e d o r r e — r a d i a t e d d e p e n d i n g o n t h e o p t i c a l p r o p e r t y o f t h e s u r f a c e . S u c h s u r f a c e s , d i f f u s e l y r e fl e c t l i g h t i n a l l d i r e c t i o n s a s i l l u s t r a t e d i n F i g u r e F i g u r e 1 3 . 2 ( a ) . 1 3 . 2 . 3 S p e c u l a r T r a n s m i s s i o n L i g h t i m p i n g i n g a s p e c u l a r t r a n s p a r e n t o b j e c t i s p a r t l y r e fl e c t e d a w a y a n d p a r t l y t r a n s m i t t e d i n s i d e t h e t r a n s p a r e n t o b j e c t . S p e c u l a r T r a n s m i s s i o n i s t h e b e n d i n g o f l i g h t r a y s i n c i d e n t o n t r a n s p a r e n t o b j e c t s w i t h s p e c u l a r s u r f a c e . T h e p h e n o m e n o n a l s o k n O w n a s r e f r a c t i o n i s i l l u s t r a t e d i n F i g u r e F i g u r e 1 3 . 1 . T h e r e l a t i o n s h i p b e t w e e n t h e t r a n s m i t t e d , i n c i d e n t a n d r e fl e c t e d r a y s c a n b e d e r i v e d u s i n g t h e S n e l l ’ s l a w i n ( 1 3 9 1 - E q u a t i o n s ( 1 3 . 5 ) - ( 1 3 . 6 ) d i c t a t e t h a t t h e t r a n s m i t t e d r a y , T i s c o p l a n a r w i t h 3 0 7 ( 1 — — c o s ( ( ) . , ; ) 2 ) 7 2 3 2 = 1 + ( c 0 8 ( 9 1 z ’ ) 2 — 1 ) " I 2 2 : — : _ _ ( 5 1 4 _ — a N N ( 6 0 [ { [ — 0 0 5 0 9 0 2 ) 9 - - — 0 T ( N 2 ] a - 2 1 I + ) { + 3 / N ) 1 ’ 1 ( 2 N ' N ) 1 2 : o 2 — 2 o 6 . S u b s t i t u t i n g f o r a a n d [ 3 i n ( 1 3 . 1 0 ) y i e l , d 8 s c o t s h ( 0 e , fi - ) + [ 3 2 n a l s o l u t i o n f o r t h e u n i t t r a n s m i t t e d t h e i n c i d e n t r a y a n d s u r f a c e n o r m a l a n d c a n b e e x p r e s s e d a s , T : 0 2 1 + 6 N T a k i n g s q u a r e o f ( 1 3 . 6 ) a n d u s i n g t r i g o n o m e t r i c i d e n t i t y y i e l d s , w h e r e n 1 2 : H 2 E q u a t i o n ( 1 3 . 1 1 ) c a n b e r e w r i t t e n a s , : [ a c o s ( 6 ’ . , - ) 2 — 1 3 1 2 ( 1 3 . 1 0 ) ( 1 3 . 1 1 ) ( 1 3 . 1 2 a ) ( 1 3 . 1 2 b ) ( 1 3 . 1 2 c ) ( 1 3 . 1 2 d ) ( 1 3 . 1 2 e ) T h e u n k n o w n s c a l a r s , a a n d , 6 c a n b e o b t a i n e d b y i m p o s i n g t h e m a g n i t u d e o f t h e t r a n s m i t t e d r a y , T t o b e e q u a l t o u n i t y . T h e u n i t m a g n i t u d e c o n d i t i o n y i e l d s , 1 : T - T : ( o z I + / 3 N ) - ( a l + l 3 N ) — — - 0 2 2 + 2 a l 3 ( I - N ) + 6 2 ( 1 3 . 1 3 a ) ( 1 3 . 1 3 b ) ( 1 3 . 1 3 c ) ( 1 3 . 1 3 a ) E q u a t i o n s ( 1 3 . 1 2 c ) - ( 1 3 . 1 3 d ) a r e s i m u l t a n e o u s l y s o l v e d f o r t h e u n k n o w n s c a l a r s , a a n d 3 0 8 i n c i d e n c e a s , r a y . T : n 1 2 I + ( 7 1 . 1 2 c o s ( ( 9 , ; ) — \ / 1 + 7 2 % 2 ( c o s ( 1 9 , - ) 2 — 1 ) ) N ( 1 3 . 1 4 ) W h e n t h e t e r m u n d e r t h e r a d i c a l i s n e g a t i v e , ( 1 3 . 1 4 ) y i e l d s i m a g i n a r y s o l u t i o n . T h i s o p t i c a l p h e n o m e n o n i s k n o w n a s t o t a l i n t e r n a l r e f l e c t i o n w h e r e t h e i n c i d e n t r a y i s e n t i r e l y r e fl e c t e d b a c k i n t o t h e m e d i u m c o n t a i n i n g t h e i n c i d e n t r a y . 1 3 . 2 . 4 D i f f u s e T r a n s m i s s i o n M o s t o f t h e o b j e c t s i n l i f e s u p p o r t D i fl u s e t r a n s m i s s i o n w h e r e l i g h t i m p i n g i n g o n a r o u g h o r i m p e r f e c t l y s p e c u l a r s u r f a c e i s s c a t t e r e d i n a l l d i r e c t i o n s a s i t p e n e t r a t e s t h r o u g h a t r a n s l u c e n t o b j e c t . S i m i l a r t o d i f f u s e r e fl e c t i o n , d i f f u s e l y t r a n s m i t t e d r a y s t r a v e l i n a l l p o s s i b l e d i r e c t i o n a s i l l u s t r a t e d i n F i g u r e F i g u r e 1 3 . 2 ( b ) . 1 3 . 2 . 5 R e fl e c t a n c e a n d ' I Y a n s m i t t a n c e C o e f f i c i e n t s G e n e r i c r a y t r a c i n g a l g o r i t h m i n g e o m e t r i c a l o p t i c s p r o p a g a t e t h e l i g h t r a y s i n s i d e a n o p t i c a l s y s t e m u s i n g a l l f o u r f u n d a m e n t a l m o d e s o f l i g h t t r a n s p o r t a t i o n . T h e r a y t r a c i n g r o u t i n e e m p l o y e d i n t h e n u m e r i c a l m o d e l a s s u m e s s p e c u l a r o b j e c t s a n d n e g l e c t s d i f f u s e r e fl e c t i o n a n d t r a n s m i s s i o n p h e n o m e n o n . T h e i n t e n s i t y o f a s p e c u l a r l y r e fl e c t e d r a y i s g i v e n b y t h e F r e s n e l e q u a t i o n s [ 2 0 5 ] . T h e F r e s n e l e q u a t i o n s g i v e t h e r e fl e c t i o n c o e f fi c i e n t o f l i g h t p o l a r i z e d i n p a r a l l e l a n d p e r p e n d i c u l a r t o t h e p l a n e o f H p : n . 2 c o s ( l 9 . , - ) — n 1 c o s ( 6 t ) ( 1 3 . 1 5 3 1 ) n g c o s ( 6 , - ) + n 1 c o s ( 6 ’ t ) R s : n 1 c o s ( 6 . , - ) — n 2 c o s ( 6 t ) ( 1 3 . 1 % ) n 1 c o s ( 6 , ; ) + n 2 c o s ( 0 t ) ( 1 3 . 1 5 c ) 3 0 9 F i g u r e 1 3 . 3 . I l l u s t r a t i o n o f r a y t r a c i n g p r o c e s s . F o r a n u n p o l a r i z e d l i g h t , i n t e n s i t y o f t h e r e fl e c t e d a n d t r a n s m i t t e d l i g h t r a y s a r e g i v e n b y t h e e x p r e s s i o n s , R = % ( R 1 2 , + R ? ) ( 1 3 . 1 6 a ) T = 1 — R ( 1 3 . 1 6 b ) 1 3 . 3 R a y T r a c i n g M o d e l R a y t r a c i n g i s a p o i n t s a m p l i n g m e t h o d w h e r e a c o n t i n u o u s i m a g e i s c o n v e r t e d i n t o d i s c r e t e s a m p l e s o r p i x e l s i n t h e i m a g e p l a n e . I n r a y t r a c i n g , l i g h t r a y s a r r i v i n g a t t h e e y e o r c a m e r a a r e t r a c e d b a c k w a r d s t o t h e s c e n e t h r o u g h t h e i m a g e p l a n e . E a c h r a y f r o m t h e e y e i s t e s t e d f o r i n t e r s e c t i o n w i t h o b j e c t s i n t h e s c e n e . I f a r a y i n t e r s e c t s a n o b j e c t , d e p e n d i n g o n t h e a n g l e o f i n c i d e n c e a n d o p t i c a l p r o p e r t y o f t h e o b j e c t , r e fl e c t e d a n d t r a n s m i t t e d r a y s a r e s p a w n e d . I f t h e r a y d o e s n o t i n t e r s e c t w i t h o b j e c t s i n t h e s c e n e , t h e p i x e l i n t h e i m a g e p l a n e i s a s s i g n e d t h e b a c k g r o u n d 3 1 0 Z A R ( t ) = R 0 + R d t , t > 0 F i g u r e 1 3 . 4 . R e p r e s e n t a t i o n o f a l i g h t r a y i n r a y t r a c i n g m o d u l e . c o l o r . S e c o n d a r y r a y s s p a w n e d b y r e fl e c t i o n a n d r e f r a c t i o n a r e r e c u r s i v e l y t e s t e d f o r i n t e r s e c t i o n w i t h o b j e c t s i n t h e s c e n e . R e fl e c t e d a n d t r a n s m i t t e d r a y s a r e c o n t i n u a l l y g e n e r a t e d a t e v e r y r a y - o b j e c t i n t e r s e c t i o n s u n t i l t h e e n e r g y o f a n i n d i v i d u a l r a y f a l l s b e l o w a p r e d e t e r m i n e d l e v e l o r i f t h e r a y e s c a p e s t h e i m a g e s c e n e . F i g u r e F i g u r e 1 3 . 3 s h o w s a n e x a m p l e o f a r a y t r a c i n g p r o c e s s . 1 3 . 3 . 1 L i g h t R a y I n r a y t r a c i n g , t h e f u n d a m e n t a l t a s k o f b a c k w a r d r a y t r a c i n g i s a c c o m p l i s h e d b y r a y - o b j e c t i n t e r s e c t i o n r o u t i n e s w h i c h r e q u i r e a m a t h e m a t i c a l r e p r e s e n t a t i o n f o r t h e l i g h t r a y s . F i g u r e F i g u r e 1 3 . 4 i l l u s t r a t e s a r a y e m a n a t i n g f r o m t h e o r i g i n , R 0 = [ 1 7 0 , 3 1 0 , 2 0 ] a n d p r o p a g a t i n g i n t h e d i r e c t i o n o f a u n i t v e c t o r , R d 2 [ : I r d , y d , z d ] . A p a r a m e t r i c 3 1 1 r e p r e s e n t a t i o n o f a r a y i s g i v e n b y t h e e q u a t i o n , R ( t ) = R 0 + R d t , t > 0 . ( 1 3 . 1 7 ) I n ( 1 3 . 1 7 ) , t r e p r e s e n t s t h e d i s t a n c e o f t h e r a y f r o m t h e o r i g i n , R 0 . E q u a t i o n ( 1 3 . 1 7 ) c a n b e r e w r i t t e n i n c a r t e s i a n c o o r d i n a t e s a s , x ( t ) = $ 0 + a t d t ( 1 3 . 1 8 a ) y ( t ) 2 y o + y d t ( 1 3 . 1 8 b ) 2 ( t ) = 2 0 + Z d t ( 1 3 . 1 8 C ) 1 3 . 3 . 2 R a y - O b j e c t I n t e r s e c t i o n T h e k e y t a s k i n r a y t r a c i n g i s t o fi n d w h e r e a r a y i n t e r s e c t s a n o b j e c t . I n t h e n u m e r i c a l m o d e l , o b j e c t s i n t h e s c e n e a r e g i v e n a m a t h e m a t i c a l r e p r e s e n t a t i o n t o c o m p u t e r a y - o b j e c t i n t e r s e c t i o n s . L e t £ ( ; z t , y , z ) = 0 r e p r e s e n t t h e s u r f a c e o f a n o b j e c t . T h e r a y - o b j e c t i n t e r s e c t i o n p o i n t i s c o m p u t e d b y s u b s t i t u t i n g ( 1 3 . 1 8 ) i n t o [ 2 ( 1 7 , 3 ) , 2 ) = 0 a n d t h e r e s u l t i n g e q u a t i o n , [ I ( : 1 7 0 + : c d t , . 7 1 0 + y d t , 2 0 + z d t ) : 0 ( 1 3 . 1 9 ) i s s o l v e d f o r t . S u b s t i t u t i n g t i n t o ( 1 3 . 1 8 ) y i e l d s t h e i n t e r s e c t i o n p o i n t , r z ' = [ ( E i , 1 1 2 3 8 , ] . 1 3 . 3 . 2 . 1 R a y - P l a n e A l g o r i t h m s L e t a p l a n e a t a d i s t a n c e D f r o m t h e o r i g i n , [ 0 , 0 , 0 ] b e r e p r e s e n t e d a s , A r + B y + C z + D = O , A 2 + B 2 + C 2 2 1 ( 1 3 . 2 0 ) I n ( 1 3 . 2 0 ) , t h e s i g n o f D d e t e r m i n e s l o c a t i o n o f t h e p l a n e w i t h r e s p e c t t o t h e o r i g i n i n t h e c a r t e s i a n c o o r d i n a t e s y s t e m . T h e u n i t v e c t o r n o r m a l t o t h e s u r f a c e o f t h e p l a n e 3 1 2 1 s g 1 v c n b y , ( I f . ( M ( M N . : _ — _ — — — 1 3 . 2 1 p [ d a r ’ d y ’ d z ] ( a ) = [ . 4 , 3 , 0 ] ( 1 3 2 1 b ) S u b s t i t u t i n g ( 1 3 . 1 8 ) i n ( 1 3 . 2 0 ) a n d s o l v i n g f o r t y i e l d s , : _ ( . 4 ; 1 ‘ . 0 + B y ( ) + C Z O + D ) ( 1 3 . 2 2 ) ( A r i d + B y d + C z d ) I f ( 1 3 . 2 2 ) y i e l d s s o l u t i o n f o r w h i c h t < 0 , t h e n t h e r a y i n t e r s e c t s w i t h t h e p l a n e b e h i n d t h e r a y ’ s o r i g i n , R 0 . T h e i n t e r s e c t i o n p o i n t o n t h e p l a n e i s o b t a i n e d b y s u b s t i t u t i n g ( 1 3 . 2 2 ) i n t o ( 1 3 . 1 8 ) . R a y i n t e r s e c t i o n w i t h p o l y g o n s i s c a l c u l a t e d u s i n g t h e r a y - p l a n e a l g o r i t h m f o r e a c h f a c e o f t h e p o l y g o n . 1 3 . 3 . 2 . 2 R a y - Q u a d r a t i c S u r f a c e A l g o r i t h m s I n t e r s e c t i o n o f a r a y w i t h q u a d r a t i c s u r f a c e s i s c a l c u l a t e d f o l l o w i n g a p r o c e d u r e s i m i l a r t o t h a t e x p l a i n e d f o r a p l a n e . L e t a q u a d r a t i c s u r f a c e b e d e fi n e d b y a p o l y n o m i a l o f t h e f o r m , £ ( 1 3 , y , z ) : 0 ( 1 3 . 2 3 a ) A 1 2 + 2 8 : 3 3 ) + 2 s z + 2 0 . 1 : + E 3 1 2 + 2 F y z + 2 6 3 / + H 1 2 2 + 2 1 ; : + J = 0 ( 1 3 . 2 3 b ) S u b s t i t u t i n g ( 1 3 . 1 8 ) i n t o ( 1 3 . 2 3 ) y i e l d s a q u a d r a t i c e q u a t i o n i n t o f t h e f o r m , 1 ‘ 1 t h + B Q t + C Q : 0 ( 1 3 . 2 4 ) 3 1 3 w h e r e A Q , B Q , C Q a r e s c a l a r c o e f fi c i e n t s . T h e r o o t s o f t h e q u a d r a t i c e q u a t i o n , ( 1 3 . 2 4 ) y i e l d s , — B Q — \ / B E 2 — 4 A Q C Q . : 1 ‘ 2 . " 1 ‘ 0 2 A Q ( 3 ) 8 . ) — B Q + \ / B § 2 — 4 A Q C Q t 1 = ( 1 3 2 5 1 ) ) 2 A Q A m o n g s t ( 1 3 . 2 5 a ) - ( 1 3 . 2 5 b ) , t h e s m a l l e s t p o s i t i v e r o o t i s u s e d t o c a l c u l a t e t h e c l o s e s t i n - t e r s e c t i o n p o i n t o f t h e r a y w i t h t h e q u a d r a t i c s u r f a c e . S u b s t i t u t i n g t i n t o ( 1 3 . 1 8 ) y i e l d s t h e i n t e r s e c t i o n p o i n t , 7 ‘ , : [ 3 3 , , 3 ) , , 2 ' 4 ] o n t h e q u a d r a t i c s u r f a c e . T h e s u r f a c e n o r m a l f o r t h e q u a d r a t i c s u r f a c e i s g i v e n b y , q : [ d fi d £ d fi ] ( 1 3 . 2 6 ) D e p e n d i n g o n t h e m a t h e m a t i c a l s u r f a c e o f a n o b j e c t , a p p r o p r i a t e r a y - o b j e c t i n t e r s e c t i o n a l g o r i t h m s a r e u s e d t o c a l c u l a t e t h e c l o s e s t i n t e r s e c t i o n p o i n t . I r r e s p e c t i v e o f t h e o b j e c t s u r f a c e , t h e v e c t o r n o r m a l t o t h e o b j e c t ’ s s u r f a c e , N i s c a l c u l a t e d s u c h t h a t , — N - R d > 0 ( 1 3 . 2 7 ) i s t r u e . I f t h e d o t p r o d u c t . i s n e g a t i v e , t h e d i r e c t i o n o f t h e s u r f a c e n o r m a l s h o u l d b e r e v e r s e d . S u b s t i t u t i n g I 2 R d i n ( 1 3 . 9 ) a n d u s i n g ( 1 3 . 1 6 a ) y i e l d s t h e s p e c u l a r l y r e fl e c t e d r a y . T h e s p e c u l a r l y t r a n s m i t t e d r a y i s o b t a i n e d u s i n g ( 1 3 . 1 4 ) a n d ( 1 3 . 1 6 b ) . 1 3 . 3 . 3 R e c u r s i v e R a y T r a c i n g T h e n u m e r i c a l m o d e l i m p l e m e n t e d f o r r e f r a c t i v e i n d e x e s t i m a t i o n , e m p l o y s r a y t r a c i n g b a s i c s c o v e r e d i n t h e p r e v i o u s s e c t i o n s a s s u m i n g t h e m i r r o r a n d t h e o b j e c t o f i n t e r e s t h a v e s p e c u l a r l y r e f l e c t i n g s u r f a c e s . I n s t e a d o f s t a r t i n g f r o m t h e e y e o r c a m e r a , t h e r e c u r s i v e r a y t r a c i n g r o u t i n e s t a r t s f r o m t h e l i g h t s o u r c e . F o r e a c h r a y e m i t t e d b y t h e l i g h t s o u r c e , r a y t r a c i n g t e c h n i q u e i s u s e d t o t r a c e t h e r a y f r o m t h e s o u r c e t o t h e r e c e i v e r v i a t h e o p t i c a l s y s t e m . T h e r e c u r s i v e r a y t r a c i n g r o u t i n e i m p l e m e n t e d i n t h e m o d e l i s s u m m a r i z e d b e l o w . 3 1 4 1 . F o r e a c h p r i m a r y r a y f r o m l i g h t s o u r c e , ( a ) F i n d r a y i n t e r s e c t i o n w i t h o b j e c t s i n t h e o p t i c a l s y s t e m i . C o m p u t e i n c i d e n t a n d s u r f a c e n o r m a l u n i t v e c t o r s , I a n d N i i . C o m p u t e s p e c u l a r l y r e f l e c t e d a n d t r a n s m i t t e d r a y s , R a n d T u s i n g ( 1 3 . 9 ) a n d ( 1 3 . 1 4 ) i i i . A b o r t r a y t r a c i n g p r o c e s s i f o n e o f t h e f o l l o w i n g i s t r u e A . R e f l e c t e d r a y a m p l i t u d e i s b e l o w 6 A , ( L ; > 0 B . R e f l e c t e d r a y e s c a p e d t h e o p t i c a l s y s t e m i v . E l s e , g o t o s t e p ( i ) t o fi n d i n t e r s e c t i o n o f R w i t h o b j e c t s v . A b o r t r a y t r a c i n g p r o c e s s i f o n e o f t h e f o l l o w i n g i s t r u e A . T r a n s m i t t e d r a y a m p l i t u d e i s b e l o w 5 , 4 , 5 , 4 > O B . T r a n s m i t t e d r a y i n t e r s e c t e d t h e d e t e c t o r a r r a y v i . E l s e , g o t o s t e p ( i ) t o fi n d i n t e r s e c t i o n o f T w i t h o b j e c t s 1 3 . 4 O p t i c a l E x p e r i m e n t a l S e t u p T h e g e o m e t r i c a l o p t i c s a n d r a y t r a c i n g f u n d a m e n t a l s e x p l a i n e d i n t h e p r e v i o u s s e c t i o n s a r e e s s e n t i a l i n t h e d e s i g n a n d c o n s t r u c t i o n o f t h e o p t i c a l e x p e r i m e n t a l s e t u p . T h i s s e c t i o n e x p l a i n s t h e d e s i g n a n d o p e r a t i o n o f t h e e x p e r i m e n t a l s e t u p i m p l e m e n t e d t o d e t e r m i n e t h e r e f r a c t i v e i n d e x o f a s p e c u l a r l y r e f l e c t i n g m a t e r i a l u s i n g m i r r o r . T h e c a l i b r a t i o n p r o c e d u r e d e v i s e d t o s t a n d a r d i z e t h e r a y t r a c i n g m o d e l p r e d i c t i o n f o r c o m p a r i s o n w i t h e x p e r i m e n t a l d a t a i s a l s o e x p l a i n e d i n t h i s s e c t i o n . 1 3 . 4 . 1 O p t i c a l S y s t e m 1 3 . 4 . 1 . 1 S y s t e m D e s i g n T h e s c h e m a t i c d i a g r a m o f t h e e x p e r i m e n t a l s e t u p i s i l l u s t r a t e d i n F i g u r e F i g u r e 1 3 . 5 . T h e e x p e r i m e n t a l s e t u p c o n s i s t s o f a l i g h t s o u r c e , p e r f e c t l y r e f l e c t i n g m i r r o r a n d a l i n e a r l i g h t d e t e c t o r a r r a y . T h e l i g h t i n t e n s i t y m e a s u r e d b y t h e l i g h t d e t e c t o r i s a c q u i r e d i n r e a l t i m e u s i n g a p e r s o n a l c o m p u t e r . T h e m a t e r i a l u n d e r i n s p e c t i o n i s p l a c e d b e t w e e n t h e s o u r c e a n d 3 1 5 L I G H T S O U R C E R O T A T I N G M I R R O R F i g u r e 1 3 . 5 . S c h e m a t i c r e p r e s e n t a t i o n o f t h e o p t i c a l e x p e r i m e n t . t h e l i g h t d e t e c t o r a s i l l u s t r a t e d i n F i g u r e F i g u r e 1 3 . 5 . T h e o p t i c a l s y s t e m i s d e s i g n e d s u c h t h a t t h e l i g h t e m i t t e d b y t h e s o u r c e i s p r i m a r i l y i n c i d e n t o n t h e m i r r o r . T h e i n c i d e n t l i g h t r e f l e c t e d b y t h e s p e c u l a r l y r e f l e c t i n g m i r r o r p r o p a g a t e s t h r o u g h t h e o b j e c t u n d e r i n s p e c t i o n b e f o r e r e a c h i n g t h e l i n e a r l i g h t d e t e c t o r a r r a y . C h a n g i n g t h e m i r r o r o r i e n t a t i o n e f f e c t i v e l y s t e e r s t h e l i g h t i n c i d e n t o n t h e o b j e c t a l o n g d i f f e r e n t d i r e c t i o n s a n d y i e l d s m u l t i - v i e w m e a - s u r e m e n t s o f t h e s t a t i o n a r y o b j e c t a t t h e d e t e c t o r a r r a y . 1 3 . 4 . 1 . 2 S y s t e m I m p l e m e n t a t i o n F i g u r e F i g u r e 1 3 . 6 s h o w s t h e o p t i c a l s y s t e m . T h e e x p e r i m e n t a l s e t u p i s m o u n t e d o n a n a p r e c i s i o n o p t i c a l b e n c h t o e n s u r e s t a b i l i t y , r e p e a t a b i l i t y a n d a c c u r a c y . T h e l i g h t s o u r c e i s a l i g h t e m i t t i n g d i o d e ( L E D ) w i t h s p e c t r a l p e a k a t 6 4 0 n m ( r e d c o l o r ) . F i g u r e s F i g u r e 1 3 . 7 ( a ) - ( b ) s h o w t h e s p e c t r a l a n d s p a t i a l c h a r a c t e r i s t i c s o f t h e L E D u s e d i n t h e e x p e r i m e n t [ 2 0 6 ] . T a b l e T a b l e 1 3 . 1 l i s t s t h e t e c h n i c a l s p e c i fi c a t i o n s o f t h e L E D . T h e L E D i s c o n n e c t e d t o a + 5 V D C p o w e r s u p p l y u s i n g a c u r r e n t l i m i t i n g r e s i s t o r a s s h o w n i n F i g u r e F i g u r e 1 3 . 8 . I n t h e e x p e r i m e n t s , t h e r a d i a l s p r e a d o r b e a m p a t t e r n o f t h e L E D i s n a r r o w e d b y c r e a t i n g a 3 1 6 F i g u r e 1 3 . 6 . E x p e r i m e n t a l s e t u p . 1 . 0 s o . P : 3 g 4 6 1 ‘ 2 ? . 5 o 5 5 ° . 5 2 E e a r 3 O 9 0 ' 6 0 0 6 5 0 7 0 0 o 0 . 5 W a v e l e n g t h , 2 . ( n m ) S p a t i a l d i s t r i b u t i o n ( m m ) ( a ) ( b ) F i g u r e 1 3 . 7 . L i g h t c h a r a c t e r i s t i c s o f t h e L E D [ 2 0 6 ] ( a ) S p e c t r a l d i s t r i b u t i o n ( b ) S p a t i a l d i s t r i b u t i o n . 3 1 7 e d e ‘ M s a a u e r d , J . - - . ‘ I . . I ' I — - - - - - - M F E L . : . . . _ " . ' « “ . I ' , r . u I 2 i A s ( . 5 : . ! : ' : l ' " . I : ' ' . n I : 3 $ : I I : . n ‘ . u I . , . x ' 1 1 E 3 . ' I . ! N : | i : | : : ' ‘ s . | " 3 . v ° ‘ 3 3 - n i . : ‘ $ ” . l ; : I ' : l J ; H I : i ! h 3 U . £ . ‘ - : 3 ( C 0 3 0 D E ) ‘ ’ _ 3 E H C 1 - : i ! D : ' 2 2 2 2 8 6 4 2 0 0 0 0 0 0 0 0 « [ 1 z 3 l 0 ' 1 : ' : : : I v , " ‘ ‘ : d : : . ' e | " : ' I ' : , i :: . g = s i s u l + V i fl F l 1 2 5 R s _ _ _ ( V - V F ) I F 2 . / / _ F i g u r e 1 3 . 8 . C o n n e c t i o n d i a g r a m f o r t h e L E D c i r c u i t . 3 0 0 0 - 0 5 0 0 1 0 0 0 1 5 0 0 2 0 0 0 2 5 0 0 3 0 0 0 C O D P i x e l s F i g u r e 1 3 . 9 . L i g h t i n t e n s i t y m e a s u r e d b y t h e 3 0 0 0 e l e m e n t l i n e a r C C D a r r a y . 3 1 8 T a b l e 1 3 . 1 . L E D t e c h n i c a l s p e c i fi c a t i o n s [ 2 0 6 ] . P a r a m e t e r T y p i c a l R a t i n g U n i t s P e a k W a v e l e n g t h , A p 6 6 0 n m D o m i n a n t W a v e l e n g t h , A D 6 4 0 n m F o r w a r d V o l t a g e , V F 1 . 8 5 V R e v e r s e C u r r e n t , I R 1 0 ) L A D C F o r w a r d C u r r e n t , I F 3 0 m A p i n h o l e a r r a n g e m e n t f o r t h e s o u r c e . T h e p i n h o l e a r r a n g e m e n t e n s u r e s t h a t l i g h t f r o m t h e L E D i s p r i m a r i l y i n c i d e n t o n t h e m i r r o r a n d n o t s c a t t e r e d t o t h e s u r r o u n d i n g . T h e o p t i c a l s e t u p e m p l o y s a f r o n t s u r f a c e c o a t e d m i r r o r t o r e f l e c t a n d s t e e r t h e l i g h t e m i t t e d b y t h e s o u r c e . T h e m i r r o r i s m o u n t e d o n a p r e c i s i o n r o t a t i n g s y s t e m t o s t e e r t h e l i g h t t o w a r d s t h e o b j e c t a t d i f f e r e n t a n g l e s f o r m u l t i — v i e w m e a s u r e m e n t s . A l i n e a r C C D a r r a y ( T h o r L a b s U S B L C - l ) i s u s e d t o m e a s u r e t h e i n t e n s i t y o f t h e l i g h t e m e r g i n g f r o m t h e o b j e c t [ 2 0 7 ] . T h e C C D a r r a y c o n t a i n s 3 0 0 0 s e n s o r s i n l i n e a r a r r a n g e m e n t w i t h e a c h s e n s o r o r p i x e l m e a s u r i n g 7 p m x 2 0 0 u m a n d a C C D i n t e g r a t i o n t i m e w i n d o w o f 1 p . s - 2 0 0 m s i n t h e v i s i b l e l i g h t s p e c t r u m . T h e o b j e c t u n d e r i n s p e c t i o n i s a 3 0 . 4 8 x 3 0 . 4 8 c m c l e a r h o m o g e n e o u s g l a s s s l a b . T h e g l a s s s l a b i s m o u n t e d o n a h o l d e r a s s h o w n i n F i g u r e F i g u r e 1 3 . 6 . T h e d o t t e d l i n e i n F i g u r e F i g u r e 1 3 . 9 s h o w s t h e l i g h t i n t e n s i t y m e a s u r e d b y t h e l i n e a r C C D a r r a y u s i n g t h e o p t i c a l s e t u p i n F i g u r e F i g u r e 1 3 . 6 . T h e C C D d a t a i s c o r r u p t e d d u e t o t h e p r e s e n c e o f m e a s u r e m e n t n o i s e a n d b a d s e n s o r s . T h e m e a s u r e m e n t n o i s e a n d b a d p i x e l s i n t h e C C D d a t a a r e c o m p e n s a t e d u s i n g fi l t e r i n g a n d i n t e r p o l a t i o n r o u t i n e s . T h e fi l t e r e d d a t a i s s h o w n i n F i g u r e F i g u r e 1 3 . 9 i n b o l d l i n e . 1 3 . 4 . 1 . 3 S y s t e m O p e r a t i o n A s i n F i g u r e F i g u r e 1 3 . 6 , t h e s o u r c e a n d m i r r o r a r e p o s i t i o n e d o p p o s i t e t o t h e l i n e a r C C D a r r a y a n d t h e o b j e c t u n d e r i n s p e c t i o n i s p l a c e d i n b e t w e e n . T h e e x p e r i m e n t s w e r e c o n - d u c t e d i n a d a r k r o o m t o a v o i d a m b i e n t l i g h t f r o m a f f e c t i n g t h e m e a s u r e m e n t s . D u r i n g t h e e x p e r i m e n t , l i g h t i n c i d e n t o n t h e C C D a r r a y w a s r e c o r d e d f o r e v e r y m i r r o r r o t a t i o n 3 1 9 ) s n e m u l ( t h g i L ) s n e m u l ( t h g i L 3 0 0 0 2 0 0 0 1 0 0 0 - 3 0 0 0 2 0 0 0 - 1 0 0 0 - e = 9 2 ° 0 1 0 0 0 C C D P i x e ( a ) 2 0 0 0 3 0 0 0 I s 6 = 8 8 ° 0 1 0 0 0 C C D P i x e ( C ) 2 0 0 0 3 0 0 0 I s 3 0 0 0 W E f z o o o - O E f 8 = 9 0 ° g m o o - i 5 0 1 0 0 0 2 0 0 0 3 0 0 0 C C D P i x e l s ( b ) 3 0 0 0 @ 2 0 0 0 - G . ) E 2 E 1 0 0 0 . : 1 0 1 0 0 0 2 0 0 0 3 0 0 0 C C D P i x e l s ( d ) F i g u r e 1 3 . 1 0 . C C D m e a s u r e m e n t s f o r d i f f e r e n t m i r r o r r o t a t i o n . 3 2 0 w i t h a n d w i t h o u t t h e g l a s s s l a b . D a t a c o l l e c t e d i n t h e a b s e n c e o f t h e o b j e c t s a m e a s ” F r e e S p a c e ” m e a s u r e m e n t s a r e u s e d t o c a l i b r a t e t h e s i m u l a t i o n r e s u l t s o f r a y t r a c i n g m o d e l . F i g u r e F i g u r e 1 3 . 1 0 s h o w s t h e F r e e S p a c e m e a s u r e m e n t s o f t h e l i n e a r C C D s e n s o r a r r a y f o r d i f f e r e n t m i r r o r r o t a t i o n s . I n F i g u r e F i g u r e 1 3 . 1 0 , i t c a n b e o b s e r v e d t h a t r o t a t i n g t h e m i r r o r a m o u n t s t o s t e e r i n g o r r o t a t i n g t h e l i g h t a l o n g d i f f e r e n t d i r e c t i o n s . T h i s i m p l i e s t h a t i n s t e a d o f r o t a t i n g t h e o b j e c t o r t h e s o u r c e - d e t e c t o r p a i r a s i t i s d o n e i n c o n v e n t i o n a l t o - m o g r a p h y s y s t e m s , m u l t i - v i e w m e a s u r e m e n t s c o u l d b e a c h i e v e d w i t h t h e u s e o f c o n t i n u o u s l y d e f o r m a b l e m i r r o r . T h i s h a s a r e v o l u t i o n a r y i m p l i c a t i o n i n r e — d e fi n i n g t h e c o n v e n t i o n a l i d e a o f t o m o g r a p h y s y s t e m d u e t o t h e f o l l o w i n g r e a s o n s : 0 N e i t h e r t h e o b j e c t n o r t h e d e t e c t o r n e e d s t o b e r o t a t e d o E l i m i n a t e s t h e n e e d f o r c l o s e d c h a m b e r a r r a n g e m e n t f o r t o m o g r a p h y o P o s s e s t h e p o t e n t i a l t o i m a g e o b j e c t s e v e n w i t h a l i m i t e d fi e l d o f V i e w 1 3 . 4 . 2 N u m e r i c a l M o d e l I n r a y t r a c i n g m o d e l , L E D w a s m o d e l e d a s a p o i n t s o u r c e l o c a t e d a t ( 3 : 3 , y s , z = 0 ) , r a d i a t i n g e q u a l i n t e n s i t y l i g h t r a y s o v e r [ 0 — 1 8 0 ] ° i n t h e p l a n e c o n t a i n i n g t h e s o u r c e . T h e m i r r o r a n d C C D d e t e c t o r a r r a y a r e m o d e l e d a s m a t h e m a t i c a l p l a n e s a n d t h e g l a s s o b j e c t i s m o d e l e d a s a p l a n a r s l a b . I n fi n i t e p l a n e m o d e l f o r t h e m i r r o r , o b j e c t a n d C C D r e d u c e s r a y - o b j e c t i n t e r s e c t i o n s t o a t w o - d i m e n s i o n a l p r o b l e m i n z = 0 p l a n e . F i g u r e F i g u r e 1 3 . 1 1 s h o w s t h e p r o p a g a t i o n o f a r a y e m i t t e d b y t h e s o u r c e t r a c e d u s i n g t h e r a y t r a c i n g m o d u l e . 1 3 . 4 . 3 C a l i b r a t i o n P r o c e d u r e F i g u r e F i g u r e 1 3 . 1 0 s h o w s t h e s p a t i a l r e s p o n s e o f t h e p o i n t l i g h t s o u r c e u s e d i n e x p e r i m e n t s . I n r a y t r a c i n g m o d e l , a s a l l r a y s a r e e q u a l i n i n t e n s i t y , ” F r e e S p a c e ” m o d e l m e a s u r e m e n t s a t t h e C C D e q u a l s u n i t y f o r a l l r a y s . T o m a t c h m o d e l p r e d i c t i o n w i t h C C D m e a s u r e m e n t s , t h e i n t e n s i t y o f l i g h t r a y s e m i t t e d i n t h e r a y t r a c i n g m o d u l e w a s a p o d i z e d . A s i m p l e a n d o b v i o u s c h o i c e f o r a p o d i z a t i o n i s t o c a l c u l a t e c o s i n e o f a n g l e b e t w e e n e a c h r a y w i t h t h e s u r f a c e n o r m a l o f t h e s o u r c e p l a n e . T h e i n t e n s i t y o f t h e 2 " ” l i g h t r a y i n t h e n u m e r i c a l m o d e l 3 2 1 ) ‘ m 0 c ( v ) ' \ l 1 2 1 0 4 . 5 F i g u r e 1 3 . 1 1 . i s g i v e n b y , g 5 S E N S O R A R R A ' Y 5 - - - - - O B J E C T } - " " " " " " " " " " C i t - S i m " ? - - - - 1 - - - - 5 - - - - - i i - - - - - i - - - - - i - - - - - i ' M I R R O R i i i i , - 3 - 6 2 4 6 8 : ( R d ' N s ) m 7 c o s ( 9 ) m m > 1 I l l u s t r a t i o n o f t h e r a y t r a c i n g p r o c e s s i m p l e m e n t e d i n t h e m o d e l . ( 1 3 . 2 8 a ) ( 1 3 . 2 8 b ) T h e o b j e c t i v e o f t h e c a l i b r a t i o n p r o c e d u r e i s t o e s t i m a t e t h e v a l u e o f m i n ( 1 3 . 2 8 a ) s u c h t h a t t h e m o d e l p r e d i c t i o n m a t c h e s C C D m e a s u r e m e n t s f o r a l l m i r r o r r o t a t i o n s w i t h a n d w i t h o u t t h e g l a s s s l a b . F r e e S p a c e m e a s u r e m e n t s o b t a i n e d f o r m u l t i p l e m i r r o r r o t a t i o n s w e r e u s e d t o e s t i m a t e t h e o p t i m a l v a l u e , ' m o p t b y r u n n i n g t h e r a y t r a c i n g s i m u l a t i o n s f o r a r a n g e o f i n t e g e r v a l u e s o f m . F i g u r e F i g u r e 1 3 . 1 2 s h o w s t h e a p o d i z a t i o n f u n c t i o n f o r d i f f e r e n t v a l u e s o f m . I n F i g u r e F i g u r e 1 3 . 1 2 i t c a n b e o b s e r v e d t h a t a s m i n c r e a s e s , t h e b e a m p a t t e r n r o l l s o f f m o r e s h a r p l y . F i g u r e F i g u r e 1 3 . 1 3 c o m p a r e s m o d e l p r e d i c t i o n f o r m = 4 2 w i t h C C D m e a s u r e m e n t s r e c o r d e d f o r t w o d i f f e r e n t m i r r o r r o t a t i o n s , 0 A a n d 0 3 . T h e l i g h t s o u r c e a p o d i z a t i o n f u n c t i o n w i t h m . : 4 2 w a s u s e d f o r t h e l i g h t s o u r c e i n t h e 8 V 7 T 3 I 0 . 0 . 0 . 6 i - 0 . 5 0 4 - 0 . 0 . 1 - l I ‘ \ “ ‘ s - \ l . — 1 0 2 0 4 0 6 0 8 0 1 0 0 1 2 0 1 4 0 1 6 0 6 ‘ ( d e g r e e s ) F i g u r e 1 3 . 1 2 . A p o d i z a t i o n f u n c t i o n f o r v a r y i n g v a l u e s o f m i n ( 1 3 . 2 8 a ) . 1 - - 0 9 _ S A W . r / . . f . . . - I ” 0 . 8 / f , 0 7 _ — — c c n D A T A 0 5 - - - - - - - - - - M O D E L , 9 A ‘ _ _ M O D E L , G B 0 - 5 . L - 2 - 6 - 2 ' - 4 - 2 . 2 - 2 - 1 . 8 - 1 . 5 - 1 . 4 - 1 - 2 - 1 - 0 . 8 x ( c m ) F i g u r e 1 3 . 1 3 . M o d e l v e r s u s n o r m a l i z e d C C D m e a s u r e m e n t s f o r m : — 4 2 . 3 2 3 s u b s e q u e n t s i m u l a t i o n s . 1 3 . 5 I n v e r s i o n E x p e r i m e n t s T h i s s e c t i o n d e a l s w i t h t h e r e f r a c t i v e i n d e x e s t i m a t i o n f o r h o m o g e n e o u s p l a s t i c a n d g l a s s s l a b s u s i n g C C D m e a s u r e m e n t s o b t a i n e d f o r m u l t i p l e m i r r o r r o t a t i o n s . T h r e e s e t s o f e x - p e r i m e n t s w e r e c a r r i e d o u t . T h e fi r s t o n e w a s c o n d u c t e d u s i n g t h e p l a s t i c s l a b a l o n e w h i l e t h e s e c o n d e x p e r i m e n t w a s c o n d u c t e d f o r a p l a s t i c s l a b w i t h a n o b s t a c l e r u n n i n g p a r a l l e l t o t h e z - a x i s o n t h e f r o n t s u r f a c e o f t h e g l a s s s l a b f a c i n g t h e m i r r o r . I n t h e t h i r d s e t o f e x p e r i m e n t s , t w o g l a s s s l a b s w i t h a n a i r g a p w a s u s e d . R a y t r a c i n g m o d e l w a s u s e d t o e s t i - m a t e t h e r e f r a c t i v e i n d e x o f t h e g l a s s s l a b a n d w i d t h o f t h e o b s t a c l e . C C D m e a s u r e m e n t s r e c o r d e d f o r e a c h m i r r o r r o t a t i o n w e r e c o m p e n s a t e d f o r m e a s u r e m e n t n o i s e a n d b a d s e n s o r s a n d w e r e n o r m a l i z e d t o 1 . 1 3 . 5 . 1 E x p e r i m e n t I - R e f r a c t i v e I n d e x E s t i m a t i o n I n i t i a l e x p e r i m e n t s w e r e c o n d u c t e d u s i n g a c l e a r p l a s t i c s l a b . T h e o b j e c t i v e o f t h e e x - p e r i m e n t i s t o e s t i m a t e t h e r e f r a c t i v e i n d e x o f t h e p l a s t i c s l a b u s i n g t h e m u l t i - v i e w d a t a a c q u i r e d b y r o t a t i n g t h e m i r r o r i n s t e a d o f t h e o b j e c t . D u r i n g e x p e r i m e n t , t h e p l a s t i c s l a b w a s p o s i t i o n e d i n b e t w e e n t h e m i r r o r a n d C C D a r r a y p a r a l l e l t o t h e p l a n e c o n t a i n i n g t h e C C D a r r a y . T h e fi r s t s t e p i s t o i d e n t i f y t h e a n g l e o f r o t a t i o n , 6 ; f o r t h e m i r r o r t h a t y i e l d s m e a s u r e m e n t s i d e n t i c a l t o n o r m a l i n c i d e n c e o f a p o i n t l i g h t s o u r c e o n t h e C C D a r r a y . F o r 0 : 9 1 , l o c a t i o n o f t h e p e a k m e a s u r e d i n t h e C C D r e m a i n s t h e s a m e f o r m e a s u r e m e n t s w i t h a n d w i t h o u t t h e p l a s t i c s l a b . M i r r o r r o t a t i o n s f o r m u l t i — v i e w d a t a u s e d i n t h e e x p e r i m e n t s w e r e m e a s u r e d w i t h r e s p e c t t o 1 9 1 “ ” , i . e + 2 ° m e a n s r o t a t i o n o f t h e m i r r o r b y 2 ° i n t h e a n t i - c l o c k w i s e d i r e c t i o n w i t h r e s p e c t t o 1 9 : 1 “ . T h e k e y t a s k i n t h e r a y t r a c i n g m o d e l i s t o fi n d t h e m i r r o r r o t a t i o n , 6 1 ” “ . T h i s w a s a c h i e v e d b y fi x i n g t h e l o c a t i o n s o f s o u r c e a n d C C D i n t h e m o d e l a n d c h a n g i n g t h e m i r r o r r o t a t i o n s u c h t h a t t h e r e s u l t i n g m e a s u r e m e n t s w e r e e q u i v a l e n t t o t h a t f o r n o r m a l i n c i d e n c e . T h e a n g l e o f r o t a t i o n f o r w h i c h t h e r e fl e c t e d r a y i s n o r m a l l y i n c i d e n t o n t h e C C D i s d e n o t e d b y 6 1 1 0 M . T h e p h y s i c a l l o c a t i o n o f t h e s o u r c e , m i r r o r , o b j e c t a n d C C D d e t e c t o r a r r a y i n t h e r a y t r a c i n g m o d e l a r e n o t i d e n t i c a l I 8 I 0 . 7 - - - - - M o d e l , n = 1 . 4 1 0 . 6 _ — E x p e r i m e n t 0 5 ' I 1 1 1 1 1 1 1 1 _ - 1 - 2 - 1 0 8 — 0 . 6 0 4 - 0 . 2 0 0 . 2 0 - 4 x ( c m ) ( a ) 1 r 0 . 9 9 _ , - - - - - 0 . - - - - M o d e l . n = 1 4 1 0 . 7 - — E x p e r i m e n t 0 6 - 0 5 l l l l l 1 l l l 1 - 1 2 - 1 - 0 8 - 0 . 6 - 0 . 4 - 0 . 2 0 0 - 2 0 . 4 0 . 6 x ( c m ) ( b ) 1 _ 0 ' 8 ' e - - - - M o d e l . n = 1 - 4 1 0 ] _ - — E x p e r i m e n t 0 6 - 0 5 1 l l 1 l 1 l l l l - 1 . 2 - 1 - 0 . 8 - 0 . 6 - 0 . 4 — 0 . 2 0 0 . 2 0 . 4 0 . 6 x ( c m ) ( C ) F i g u r e 1 3 . 1 4 . C o m p a r i s o n b e t w e e n r a y t r a c i n g m o d e l a n d C C D m e a s u r e m e n t s f o r , 7 1 6 3 1 3 2 1 4 1 ( E t ) 6 _ L + 2 0 ( b ) 0 _ [ _ — 2 0 ( C ) 9 J _ . T a b l e 1 3 . 2 . M o d e l e s t i m a t i o n e r r o r i n t h e o b j e c t w i d t h . W i d t h ( m m ) M o d e l I M o d e l I I M o d e l I I I M o d e l I V T r u e 0 . 6 5 1 . 3 2 . 1 0 1 . 2 5 E s t i m a t e d 0 . 6 0 1 . 2 1 . 9 0 1 . 2 0 E r r o r 0 . 0 5 0 . 1 0 . 2 0 0 . 0 5 t o t h e i r l o c a t i o n s i n o p t i c a l s e t u p . B u t , t h e o f f s e t i n t h e a n g l e s b e t w e e n d i f f e r e n t p l a n e s r e m a i n c o n s t a n t , i . e . 0 : ? ” — 6 1 ‘ 0 ‘ 1 ‘ 3 1 = 6 0 0 . C C D m e a s u r e m e n t s t a k e n i 4 ° a t 2 ° i n t e r v a l s w e r e u s e d t o e s t i m a t e t h e r e f r a c t i v e i n d e x o f t h e p l a s t i c s l a b . U n l i k e w a v e p r o p a g a t i o n p r o b l e m d i s c u s s e d f o r m i c r o w a v e s , r a y t r a c i n g p r o c e s s i s c u m - b e r s o m e t o c o m p u t e t h e J a c o b i a n f o r i n v e r s i o n . T h u s , a s i m p l e r o o t fi n d i n g t e c h n i q u e w a s e m p l o y e d b y r u n n i n g t h e r a y t r a c i n g m o d u l e o v e r a r a n g e o f m a t e r i a l r e f r a c t i v e i n d e x , n E [ 1 . 0 , 5 ] . T h e m i n i m u m i n t h e e r r o r s u r f a c e w a s u s e d t o d e t e r m i n e t h e r e f r a c t i v e i n d e x o f t h e p l a s t i c s l a b . F i g u r e F i g u r e 1 3 . 1 4 ( a ) — ( c ) s h o w t h e c o m p a r i s o n b e t w e e n C C D m e a s u r e m e n t a n d m o d e l p r e d i c t i o n f o r n e s t = 1 . 4 1 w h i c h m i n i m i z e d t h e m e a s u r e m e n t e r r o r f o r a l l m i r r o r r o t a t i o n s . 1 3 . 5 . 2 E x p e r i m e n t I I - R e f r a c t i v e I n d e x & B l o c k W i d t h E s t i m a t i o n I n t h e s e c o n d s e t . o f e x p e r i m e n t s , a t h i n o p a q u e c y l i n d r i c a l o b s t a c l e w a s u s e d t o g e n e r a t e t h e C C D m e a s u r e m e n t s . T h e o b j e c t i v e i s t h e n t o e s t i m a t e t h e w i d t h o f t h e o b s t a c l e i n a d d i t i o n t o t h e r e f r a c t i v e i n d e x o f t h e g l a s s s l a b . A n o p a q u e o b j e c t i n t h e p a t h o f l i g h t p r e v e n t s t r a n s m i s s i o n t h r o u g h t h e o b j e c t . F i g u r e s F i g u r e 1 3 . 1 5 ( a ) - ( d ) s h o w t h e n o r m a l i z e d C C D d a t a o f t h e p l a s t i c s l a b w i t h o b s t a c l e s o f d i f f e r e n t d i m e n s i o n s p o s i t i o n e d n o r m a l t o t h e i m a g i n g p l a n e a n d i n c o n t a c t w i t h t h e p l a s t i c s l a b f a c i n g t h e m i r r o r . T h e m i n i m a i n t h e C C D d a t a c o r r e s p o n d s t o t h e s e n s o r n o i s e f l o o r i n t h e a b s e n c e o f l i g h t a n d i s d u e t o l i g h t o b s t r u c t i o n b y t h e o p a q u e o b j e c t . I n F i g u r e s F i g u r e 1 3 . 1 5 ( a ) - ( d ) , w i d t h o f t h e m i n i m a i n t h e m e a s u r e m e n t i n c r e a s e s w i t h i n c r e a s e i n t h e p h y s i c a l w i d t h o f t h e o p a q u e o b j e c t . L i g h t i n t e n s i t y m e a s u r e d b y t h e 3 0 0 0 — e l e m e n t l i n e a r a r r a y r e c o r d e d f o r fi v e m i r r o r r o t a t i o n s a t 2 ° i n t e r v a l w e r e u s e d t o e s t i m a t e t h e u n k n o w n s ; r e f r a c t i v e i n d e x a n d o b s t a c l e w i d t h . 3 2 6 1 5 0 0 » 3 0 0 0 2 5 0 0 1 5 . 1 I I I [ / ' 2 0 0 0 ' 2 0 0 0 " , t " " ‘ r ” " 1 E o m 1 0 0 0 — . 1 ” — 1 0 0 0 4 0 k — E ‘ I d U d E 5 0 0 . U 0 o - 4 - s o - - J o 1 0 0 0 2 0 0 0 3 0 0 0 o 1 0 0 0 2 0 0 0 3 0 0 0 ( a ) L e P D C E L S ( b ) 3 0 0 0 ' m 3 0 0 0 ' I V ' h 2 0 0 0 l I 2 0 0 0 M a i l . — I I ] 0 . 1 0 0 0 _ ‘ | k — 1 0 0 0 d . . L . _ J 0 ’ L J 0 . 1 . 0 . . . o 1 0 0 0 2 0 0 0 3 0 0 0 o 1 0 0 0 2 0 0 0 3 0 0 0 ( C ) ( ( 1 ) F i g u r e 1 3 . 1 5 . N o r m a l i z e d C C D m e a s u r e m e n t f o r t h e p l a s t i c s l a b w i t h o p a q u e o b j e c t ( a ) O b j e c t I , d : 0 . 6 5 m m ( b ) O b j e c t I I , ( 1 : 1 . 3 m m ( 0 ) O b j e c t I I I , ( 1 = 2 . 1 0 m m ( e ) O b j e c t V , d : 1 2 5 1 1 1 7 1 1 . 3 2 7 ; a ' . l l [ l - - - - M O D E L 1 ! [ E l l — C C D a l - ! ' . \ . ; . ' . 2 1 1 1 - 1 ( a ) [ ” 1 ( b ) a . . . ) ’ - - — - P R E D I C T I O N d O B J E C T I - + - T R U E 4 — — — — — — — + a 1 0 " r W - : I i k — — — — — — + ' - " ' : 1 = 1 . ‘ 1 ' d e s t 1 " . i : 1 3 ' r ‘ 1 [ I “ ‘ 1 2 1 ' i - t : ‘ t 0 ' ‘ 1 n , ‘ 1 I . ‘ I . ‘ 1 $ 2 1 : 1 1 ' . 1 0 7 : 1 . 1 ' . 1 l I . ‘ 3 1 b " I ‘ q . . ‘ r " - . 1 ‘ I 1 ' 1 " , 1 I t ' - . I , ' 5 1 ' ‘ 1 : ’ I : 1 ’ . 5 : 1 g : 3 1 1 - 1 0 - 9 5 - 9 - 8 5 - 8 x ( m m ) F i g u r e 1 3 . 1 . 6 . C o m p a r i s o n b e t w e e n r a y t r a c i n g m o d e l a n d n o r m a l i z e d C C D m e a s u r e - m e n t s o f t h e p l a s t i c s l a b w i t h O b j e c t I f o r " e s t 2 1 . 4 1 , d e s t 2 0 . 6 0 m m ( a ) 9 1 + 2 ° ( b ) 6 1 . — 2 ° ( c ) E s t i m a t e d w i d t h p r o fi l e f o r O b j e c t I . 3 2 8 A t e c h n i q u e s i m i l a r t o r e f r a c t i v e i n d e x e s t i m a t i o n e x p l a i n e d a b o v e w a s i m p l e m e n t e d t o e s t i m a t e t h e r e f r a c t i v e i n d e x a n d w i d t h o f t h e o p a q u e o b j e c t u s i n g t h e C C D m e a s u r e m e n t s . T h e r a y t r a c i n g m o d u l e w a s e x e c u t e d f o r a w i d e r a n g e o f r e f r a c t i v e i n d e x a n d w i d t h s o f t h e o p a q u e o b j e c t . T h e e r r o r b e t w e e n m o d e l a n d m e a s u r e m e n t s w a s c a l c u l a t e d f o r e a c h m i r r o r 2 ' e s t , d i s t ) t h a t c o r r e s p o n d t o t h e m i n i m u m i n r o t a t i o n s f o r ( m , ( 1 , ) . T h e p a r a m e t e r v e c t o r , ( 7 1 t h e e r r o r s u r f a c e y i e l d s t h e b e s t e s t i m a t e f o r t h e r e f r a c t i v e i n d e x a n d t h e p h y s i c a l w i d t h o f t h e o p a q u e o b j e c t . F i g u r e s F i g u r e 1 3 . 1 6 - F i g u r e 1 3 . 1 9 s h o w t h e c o m p a r i s o n b e t w e e n m o d e l a n d e x p e r i m e n t f o r t h e e s t i m a t e d 1 D r e f r a c t i v e i n d e x p r o fi l e . E s t i m a t i o n e r r o r b e t w e e n t h e m o d e l a n d t r u e s o l u t i o n f o r t h e o b s t a c l e s s t u d i e d i n t h i s i n v e s t i g a t i o n a r e s u m m a r i z e d i n T a b l e T a b l e 1 3 . 2 . T h e g o o d a g r e e m e n t b e t w e e n m o d e l a n d t r u e s o l u t i o n i n d i c a t e t h e f e a s i b i l i t y o f u s i n g m i r r o r t o o b t a i n m u l t i - v i e w d a t a f o r r e l i a b l e t o m o g r a p h i c r e c o n s t r u c t i o n . I n c o n t e m p o r a r y t o m o g r a p h y s y s t e m s t h i s i s a c c o m p l i s h e d e i t h e r b y r o t a t i n g t h e o b j e c t o r t h e s o u r c e - d e t e c t o r p a i r . T h o u g h s i m p l e , t h e p r o o f o f c o n c e p t e x p e r i m e n t s d e m o n s t r a t e t h e r o b u s t n e s s o f t h e a p p r o a c h t o m e a s u r e m e n t n o i s e a n d y i e l d s a v e r y g o o d e s t i m a t e f o r t h e 1 D i n v e r s e p r o b l e m . 1 3 . 5 . 3 E x p e r i m e n t I I I - 1 D R e f r a c t i v e I n d e x P r o fi l e E x p e r i m e n t w a s c a r r i e d o u t t o r e c o n s t r u c t t h e 1 D p r o fi l e o f m a t e r i a l r e f r a c t i v e i n d e x . F i g u r e F i g u r e 1 3 . 2 0 s h o w s t h e e x p e r i m e n t a l s e t u p u s e d i n t h e e x p e r i m e n t . I n F i g u r e F i g u r e 1 3 . 2 0 , l i g h t m e a s u r e m e n t s w e r e r e c o r d e d f o r a m u l t i - l a y e r e d p r o b l e m c o n s i s t i n g o n g l a s s - a i r - g l a s s . T h e p h y s i c a l d i m e n s i o n s o f t h e i n d i v i d u a l l a y e r s a r e m e n t i o n e d i n F i g u r e F i g u r e 1 3 . 2 0 . F i g - u r e s F i g u r e 1 3 . 2 1 ( a ) - ( c ) s h o w t h e m e a s u r e m e n t s f o r 1 9 ; — 2 ° , 9 1 . a n d 9 1 . + 2 ° r o t a t i o n s o f m i r r o r r e s p e c t i v e l y . T h e p o l y n o m i a l d a t a fi t o f C C D m e a s u r e m e n t s f o r a l l m i r r o r r o t a t i o n s w e r e u s e d t o r e c o n s t r u c t t h e p e r m i t t i v i t y p r o fi l e o f t h e h o m o g e n e o u s l a y e r e d m e d i u m . T h i s w a s a c c o m p l i s h e d b y m i n i m i z i n g t h e c o s t f u n c t i o n , C ( T r , 7 ) = | | L ° ° d — L m o d e ‘ n ( 1 3 . 2 9 ) — > — - ) e 0 e e e 0 I w h e r e 1 1 . I S t h e u n k n o w n r e f r a c t l v e 1 n d e x v e c t o r ; 6 I S a v e c t o r c o n t a m m g a l l m l r r o r r o t a - t i o n s ; L C “ ! a n d L m ° d e l a r e s m o o t h e d C C D m e a s u r e m e n t s a n d m o d e l p r e d i c t i o n r e s p e c t i v e l y 3 2 9 0 _ _ + 2 : , 1 1 : 1 . 4 1 - - - - M O D E L 1 [ : s — C C D i ' 1 1 1 : 0 1 ; e _ + r , n = 1 e _ - 2 , n = 1 ( a ) ( b ) ’ - - P R E D I C T I O N d O B J E C T I I 1 . 4 . — T R U E _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ , 1 0 - _ - 1 + m e 1 ” ' 1 1 ’ i ' . 1 5 1 d . . . 1 , : . i l 1 ' : 1 z " t : 1 , 1 1 . . h e 1 ‘ 0 ‘ - - 1 1 : . ‘ 1 1 . . l l ' : 0 1 ' , 1 f 1 ‘ 1 0 : E : { “ 1 1 : I : 1 ' . i 1 I I I 4 . : I 1 : . l 1 . ‘ . 1 I ; . : ‘ c ' I : , s : 1 : . E l 1 ' : « + — + - 1 ; - + - + - « i r i . . . i + - + — ¢ 1 + + - < r . - 8 5 - 8 - 7 5 - 7 - 6 5 - 6 - 5 . 5 x ( m m ) F i g u r e 1 3 . 1 7 . C o m p a r i s o n b e t w e e n r a y t r a c i n g m o d e l a n d n o r m a l i z e d C C D m e a s u r e - m e n t s o f t h e p l a s t i c s l a b w i t h O b j e c t 1 1 f o r n e s t = 1 - 4 1 1 d e s t : 1 . 2 m m ( a ) 9 1 + 2 ° ( 1 ) ) 6 1 — 2 ° ( c ) E s t i m a t e d w i d t h p r o fi l e f o r O b j e c t I I . 3 3 0 l l 1 ; - - - - M O D E L 3 ] [ 3 i i , , ‘ g — C C D 1 3 “ " ! M w - A ‘ fi - h . . . 0 _ n = 1 6 _ — 2 ° , n = 1 ( a ) ( b ) ’ - — - P R E D I C T I O N ’ + T R U E d O B J E C T I I I ‘ e - - - - - - - - - - - - - - - - + 1 0 3 - r - v W W a I r 1 : i ‘ d r 1 l [ . ' 3 e s t 1 ’ : 1 1 - 1 ; : : : l o I I ' , I 5 : 1 ' - ‘ t - 1 ‘ 1 n ' j ' 1 r 2 I I ' . 1 ' 1 . , I . 1 . 3 . ‘ i i 1 0 : : 1 } - J 1 I : . I E : 1 1 1 : . . 1 . . ' 1 ' ‘ - 1 ‘ I . , I . E : 1 : , 0 a w e - r 4 3 1 + W + 1 0 L l 4 A 1 1 l l I l d - 1 0 . 5 - 1 0 - 9 . 5 - 9 - 8 . 5 - 8 - 7 . 5 - 7 - 6 . 5 x ( m m ) ( C ) F i g u r e 1 3 . 1 8 . C o m p a r i s o n b e t w e e n r a y t r a c i n g m o d e l a n d n o r m a l i z e d C C D m e a s u r e - m e n t s o f t h e p l a s t i c s l a b w i t h O b j e c t I I I f o r n e s t = 1 . 4 1 , d 6 3 t = 1 . 9 m m ( a ) 6 ’ ] ( b ) 9 1 — 2 ° ( c ) E s t i m a t e d w i d t h p r o fi l e f o r O b j e c t I I I . 3 3 1 E L - M C O C D D _ " " ‘ e G 2 c - fi [ , a — 1 n = W 1 . = _ . § J n 1 ( b O B J E 1 - C 1 ) 4 T - - W d - - d e s 4 - t - - - . i ’ 1 " - - — - - - N - ‘ O W 4 z , 1 l 1 ; E . 1 l : . ; - - _ 0 e 1 , - a 1 0 1 + 2 ‘ , M - " n - = - q . - M : : 1 g 1 D E 1 1 [ ( 1 P T p a i ) . R R 4 E U I - , . r : + l 9 - + - ¢ — + l - 8 - . t 5 C - T I 3 3 1 3 : ' 3 9 . 5 4 d , 1 1 i “ 1 I ' V ' 1 " 6 " 1 1 : 1 : . 1 " E - ‘ ' r f i . " i . i " ' E W " 4 5 ' 5 - . 8 - 1 . 5 ( - 7 x - 7 m m ) ( C ) F i g u r e 1 3 . 1 9 . C o m p a r i s o n b e t w e e n r a y t r a c i n g m o d e l a n d n o r m a l i z e d C C D m e a s u r e - m e n t s o f t h e p l a s t i c s l a b w i t h O b j e c t I V f o r n e s t = 1 . 4 1 , d e s t = 1 . 2 m m ( a ) 6 ' ] + 2 ° ( b ) 9 1 — 2 ° ( c ) E s t i m a t e d w i d t h p r o fi l e f o r O b j e c t I V . G 5 a i l A 3 s ? s r 3 W b _ " m m " ' 9 1 9 1 6 2 a = 4 . 7 6 2 5 D L " G E o . " a 9 , n 1 3 M i r r o r C C D 1 ) = 6 . 2 2 3 0 m m F i g u r e 1 3 . 2 0 . I l l u s t r a t i o n o f e x p e r i m e n t a l s e t u p f o r l a y e r e d m e d i u m . 3 3 3 . 6 & 2 “ 2 4 0 0 - ' 2 2 0 0 - f l f f f f f f . 2 2 0 0 2 0 0 0 ' 2 0 0 0 r 1 8 0 0 - 1 8 0 0 - - L 1 6 0 0 - - - . . 1 - 0 5 0 ( 1 5 1 - 1 - 0 . 5 0 0 - 5 1 X ( c m ) C C D D A T A x ( c m ) ( a ) — P O L Y N O M I A L F I T ( b ) F i g u r e 1 3 . 2 1 . C C D m e a s u r e m e n t s o f l a y e r e d m e d i u m f o r ( a ) 9 L — 2 ° ( b ) 9 i + 2 ° m i r r o r r o t a t i o n s . f o r — 6 + . T h e m u l t i v a r i a t e u n c o n s t r a i n e d o p t i m i z a t i o n i n ( 1 3 . 2 9 ) i s s o l v e d i t e r a t i v e l y u s i n g g r a d i e n t s e a r c h t e c h n i q u e . T h e r e f r a c t i v e i n d e x v e c t o r t h a t m i n i m i z e s ( 1 3 . 2 9 ) i s i t e r a t i v e l y o b t a i n e d u s i n g t h e u p d a t e e q u a t i o n , ' 7 0 ) ? “ : T 7 , ) : _ t 1 — A A - fi ’ f i t l ( 1 3 . 3 0 ) I n ( 1 3 . 3 0 ) , A fi f i t l : { g s } i s t h e g r a d i e n t a n d A E ( O , 1 ] i s t h e s t e p l e n g t h o f g r a d i e n t . T h e o p t i m a l g r a d i e n t s t e p l e n g t h i n ( 1 3 . 3 0 ) i s o b t a i n e d b y s o l v i n g , — - > — > t — " A o p t = m y m i n / \ i C ( n f i t l — A i A n : 1 1 , 0 ) ( 1 3 . 3 1 ) I n r a y t r a c i n g m o d e l , t h e g r a d i e n t i n ( 1 3 . 3 0 ) i s c o n s t r u c t e d n u m e r i c a l l y u s i n g t h e c e n t r a l fi n i t e d i f f e r e n c e m e t h o d , 1 — + . v c n k = m [ C ( W + A é k , 5 ’ ) — C ( n — A e k , 3 ) ] , k = 1 , 2 , K ( 1 3 . 3 2 ) w h e r e é k i s t h e u n i t v e c t o r a l o n g k t h d i m e n s i o n . T h e i t e r a t i v e p r o c e s s w a s i n i t i a t e d w i t h n k : 1 . 0 1 , V k a n d e q u a t i o n s ( 1 3 . 2 9 ) - ( 1 3 . 3 2 ) w e r e s o l v e d u n t i l ( 1 3 . 2 9 ) i s l e s s t h a n a 3 3 4 0 . 9 - ‘ — 0 - 8 - 0 _ 7 - M o d e l p r e d i c t i o n f o r fi e s t 0 6 " ' ° ' ° “ ' ° " F i l t e r e d C C D m e a u s r e m e n t s - 1 - 0 - 8 - 0 . 6 - 0 . 4 - 0 - 2 0 0 . 2 0 . 4 0 . 6 0 . 8 x ( c m ) F i g u r e 1 3 . 2 2 . C o m p a r i s o n b e t w e e n f i l t e r e d C C D m e a s u r e m e n t s a n d r a y t r a c i n g m o d e l f o r { 7 1 1 , n 2 , 7 2 . 3 } 6 5 t . p r e d e t e r m i n e d t h r e s h o l d , 6 0 . F i g u r e F i g u r e 1 3 . 2 2 s h o w s t h e c o m p a r i s o n b e t w e e n m o d e l a n d fi l t e r e d C C D m e a s u r e m e n t s f o r 7 1 ” “ t h a t m i n i m i z e s ( 1 3 . 2 9 ) . F i g u r e s F i g u r e 1 3 . 2 3 ( a ) - ( b ) s h o w s t h e r e c o n s t r u c t e d 1 D r e f r a c t i v e i n d e x p r o fi l e a n d r e c o n s t r u c t i o n e r r o r r e s p e c t i v e l y f o r t h e b e s t e s t i m a t e . T h e 1 D p r o fi l e o f t h e l a y e r e d m e d i u m i s i n g o o d a g r e e m e n t w i t h t h e t r u e s o l u t i o n . I n t h e i t e r a t i v e i n v e r s i o n p r o c e s s , t h e t h i c k n e s s o f i n d i v i d u a l l a y e r w a s u s e d a s a p r i o r i n f o r m a t i o n a n d t h e e s t i m a t e s w e r e c o n s t r a i n e d w i t h i n [ 1 , 1 . 9 ] . 1 3 . 6 D i s c u s s i o n s T h e f u n d a m e n t a l p h y s i c s a n d m a t h e m a t i c a l p r i n c i p l e s o f g e o m e t r i c a l o p t i c s n e c e s s a r y t o u n d e r s t a n d t h e e x p e r i m e n t s w e r e c o v e r e d i n t h i s c h a p t e r . T h e b a s i c s o f r a y t r a c i n g m o d e l a n d i m p l e m e n t a t i o n o f a r e c u r s i v e r a y t r a c e r m o d u l e w e r e a l s o e x p l a i n e d i n b r e v i t y . T h e d e s i g n a n d o p e r a t i o n o f t h e e x p e r i m e n t a l s e t u p a n d d e v e l o p m e n t o f a c a l i b r a t i o n r o u t i n e f o r s o u r c e a p o d i z a t i o n g i v e s i n s i g h t i n t o t h e c o m p l e x i t i e s i n v o l v e d i n t h e e x p e r i m e n t a l s e t u p . C o m p a r i s o n b e t w e e n t h e C C D m e a s u r e m e n t s a n d r a y t r a c i n g m o d e l f o r m u l t i p l e m i r r o r r o t a t i o n s v a l i d a t e s t h e m o d e l a n d c a l i b r a t i o n p r o c e d u r e . T h e s i m p l e e x p e r i m e n t a l r e s u l t s i n d i c a t e t h e p o t e n t i a l u s e o f m i r r o r i n r e — d i r e c t i n g t h e i n c i d e n t e l e c t r o m a g n e t i c r a d i a t i o n s 3 3 5 - 0 0 . . 0 0 3 2 . . 5 5 3 2 ) n ( C _ _ _ _ 1 - 8 — 1 - 6 — — E s t i m a t e 4 * T r u e _ 1 . 2 ? . . 1 b a » 4 r i t a t a 0 8 1 1 1 Y ( c m ) ' ( a ) F 0 . 1 5 0 5 1 0 1 5 2 0 2 5 3 0 3 5 I T E R A T I O N S ( b ) F i g u r e 1 3 . 2 3 . I n v e r s i o n r e s u l t s ( a ) R e c o n s t r u c t e d 1 D r e f r a c t i v e i n d e x p r o fi l e ( b ) R e - c o n s t r u c t i o n e r r o r . 3 3 6 f o r m u l t i — v i e w m e a s u r e m e n t s o f t h e o b j e c t u n d e r i n s p e c t i o n . R e f r a c t i v e i n d e x e s t i m a t i o n o f a n o b j e c t w i t h u n k n o w n o p t i c a l p r o p e r t y u s i n g a s i n g l e fl a t s u r f a c e p e r f e c t l y r e f l e c t i n g m i r r o r a n d fi x e d s o u r c e a n d d e t e c t o r d e m o n s t r a t e t h e f e a s i b i l i t y o f u s i n g m i r r o r f o r m a t e r i a l p r o p e r t y i n v e r s i o n . T h e a g r e e m e n t b e t w e e n m o d e l a n d t r u e s o l u t i o n f o r t h e 1 D i n v e r s e p r o b l e m i n d i c a t e t h e r o b u s t n e s s o f t h e m i r r o r b a s e d i n v e r s i o n t e c h n i q u e t o m e a s u r e m e n t a n d n u m e r i c a l e r r o r s . T h e p r o o f o f c o n c e p t e x p e r i m e n t a l a n d n u m e r i c a l s i m u l a t i o n s i n t h e v i s i b l e s p e c t r u m a p p e a r e n c o u r a g i n g . T h e r e s u l t s a l s o i n d i c a t e t h e f e a s i b i l i t y o f e x t e n d i n g t h e i d e a t o d e v e l o p a l t e r n a t e m i c r o w a v e t o m o g r a p h y t e c h n i q u e e m p l o y i n g d e f o r m a b l e m i r r o r . 3 3 7 C H A P T E R 1 4 S U M M A R Y 1 4 . 1 C o n c l u d i n g R e m a r k s A n o v e l m i c r o w a v e t e c h n i q u e e m p l o y i n g a d a p t i v e o p t i c s f o r m a c r o l e v e l b i o m e d i c a l i m a g i n g i s p r e s e n t e d i n t h i s t h e s i s w i t h a n a p p l i c a t i o n f o r i m a g i n g a n d t r e a t i n g l o c a l i z e d b r e a s t t u m o r s i n w o m e n . T h e i m a g i n g c u m t h e r a p y t e c h n i q u e e m p l o y i n g a c t i v e m i r r o r i s p r o p o s e d a s a n a l t e r n a t e t o t h e w i d e l y u s e d m a m m o g r a p h y a n d r a d i a t i o n t h e r a p y t h a t e m p l o y s i o n i z i n g X - r a y s . 1 4 . 1 . 1 M i c r o w a v e B r e a s t I m a g i n g I V I a t h e m a t i c a l t h e o r y , e q u a t i o n s a n d f u n d a m e n t a l p r i n c i p l e s g o v e r n i n g t h e p h y s i c s o f t h e p r o b l e m a s s o c i a t e d w i t h m i c r o w a v e m i r r o r b a s e d t o m o g r a p h y a r e e x p l a i n e d i n c h a p t e r s 4 - 7 . S y s t e m a t i c p r o c e d u r e s f o l l o w e d i n t h e s e l e c t i o n o f o p t i m a l m i r r o r s h a p e s f o r m u l t i - v i e w d a t a w i t h m i n i m a l m e a s u r e m e n t r e d u n d a n c y a r e d i s c u s s e d i n c h a p t e r 9 v i a 2 D c o m p u t e r s i m u l a t i o n s . M i r r o r s h a p e s t h a t y i e l d d i v e r s i t y i n fi e l d m e a s u r e m e n t s i n s i d e t h e i m a g i n g r e g i o n a r e u s e d f o r t o m o g r a p h i c r e c o n s t r u c t i o n o f t h e d i e l e c t r i c b r e a s t t i s s u e . T h e e f fi c i e n c y o f m i r r o r b a s e d t o m o g r a p h y i n i m p r o v i n g t h e s o l u t i o n s t a b i l i t y w i t h o u t t h e n e e d t o i n c r e a s e t h e n u m b e r o f r e c e i v e r a n t e n n a s w a s d e m o n s t r a t e d u s i n g i n h o m o g e n e o u s t w o - d i m e n s i o n a l b r e a s t m o d e l s . S i m u l a t i o n r e s u l t s f o r h e t e r o g e n e o u s b r e a s t m o d e l s p r e s e n t e d i n c h a p t e r 1 0 a p p e a r p r o m i s i n g a n d d e m o n s t r a t e t h e r o b u s t n e s s o f m i r r o r b a s e d t o m o g r a p h y t e c h n i q u e t o y i e l d s t a b l e s o l u t i o n i n t h e p r e s e n c e o f a d d i t i v e r a n d o m m e a s u r e m e n t n o i s e . P r o o f o f c o n c e p t s i m u l a t i o n s p r e s e n t e d i n c h a p t e r 1 3 u s i n g s i m p l e o p t i c a l p r o t o t y p e i n d i c a t e t h e a b i l i t y o f t h e m i r r o r t o a c q u i r e m u l t i - v i e w m e a s u r e m e n t s t o r e c o v e r t h e m a t e r i a l p r o p e r t y . P r e l i m i n a r y r e s u l t s o n r e f r a c t i v e i n d e x e s t i m a t i o n u s i n g o p t i c a l e x p e r i m e n t s a n d n u m e r i c a l i n v e r s i o n b a s e d o n r a y t r a c i n g m o d e l f o r h o m o g e n e o u s c l e a r p l a s t i c a n d P y r e x g l a s s s l a b s d e m o n s t r a t e f e a s i b i l i t y o f t h e p r o p o s e d d e f o r m a b l e m i r r o r t o m o g r a p h y t e c h n i q u e t o p r o v i d e m u l t i - v i e w m e a s u r e m e n t s f o r r e l i a b l e r e c o n s t r u c t i o n w i t h o u t t h e n e e d t o r o t a t e t h e o b j e c t o r s o u r c e / d e t e c t o r a r r a n g e m e n t . 3 3 8 1 4 . 1 . 2 M i c r o w a v e T h e r m a l T h e r a p y A m i c r o w a v e h y p e r t h e r m i a t e c h n i q u e e m p l o y i n g d u a l m e m b r a n e m i r r o r s i s p r o p o s e d i n c h a p t e r 1 1 t o t r e a t l o c a l i z e d b r e a s t t u m o r s . T h e p r o p o s e d d e f o r m a b l e m i r r o r h y p e r t h e r m i a a s s e m b l y w i t h fi x e d m i c r o w a v e s o u r c e s i s a p o t e n t i a l a l t e r n a t i v e t o c o n t e m p o r a r y m e t h o d s e m p l o y i n g p h a s e — f o c u s e d , p h a s e - m o d u l a t e d a r r a y s a n d m u l t i p l e d i s c r e t e a n t e n n a s w h i c h r e - q u i r e p h a s e a n d a m p l i t u d e o p t i m i z a t i o n t e c h n i q u e s f o r fi e l d f o c u s i n g . S y s t e m f u n c t i o n a l i t y , t h e o r y , fi e l d e q u a t i o n s a n d b i o — h e a t t r a n s f e r m o d e l a r e p r e s e n t e d i n c h a p t e r 1 1 a n d t h e c o m p u t a t i o n a l f e a s i b i l i t y s t u d y u s i n g m a t h e m a t i c a l b r e a s t m o d e l s i n d i c a t e t h e a b i l i t y o f d u a l m i r r o r t h e r a p y t e c h n i q u e t o a c h i e v e s e l e c t i v e t u m o r t e m p e r a t u r e e l e v a t i o n . T h e c o n - t i n u o u s l y d e f o r m a b l e m i r r o r c a n b e v i e w e d a s a fl e x i b l e c o n f o r m a b l e a n t e n n a a r r a y t h a t c a n s c a n t h e b r e a s t t i s s u e m o r e e f f e c t i v e l y a n d p r e f e r e n t i a l l y d e p o s i t E M e n e r g y a t t h e t u m o r s i t e . U n l i k e p h a s e d a r r a y a n d p h a s e d f o c u s h y p e r t h e r m i a a p p l i c a t o r s , t h e p r o p o s e d d u a l m i r r o r t e c l m i q u e d o e s n o t r e q u i r e m u l t i p l e a n t e n n a s f o r t u m o r t e m p e r a t u r e e l e v a t i o n . E x - t e n d e d s i m u l a t i o n s t u d i e s o n d u a l m i r r o r m o d e l f o r n o n i n v a s i v e t u m o r a b l a t i o n i n c h a p t e r 1 1 i n d i c a t e t h e p r o s p e c t s o f d e f o r m a b l e m i r r o r s e t u p a s a p o t e n t i a l c a n c e r a b l a t i o n t o o l . C o m p u t e r s i m u l a t i o n s o f t h e d u a l m i r r o r t h e r a p y t e c h n i q u e e v a l u a t e d u s i n g M R I d e r i v e d 2 D b r e a s t d a t a o f w o m e n r e p o r t e d i n c h a p t e r 1 2 a r e e n c o u r a g i n g . C o m p u t a t i o n a l s t u d i e s o n M R I d a t a i n c l u d e fi b r o g l a n d u l a r , h e t e r o g e n e o u s a n d f a t t y b r e a s t d a t a o f w o m e n b e l o n g i n g t o d i f f e r e n t a g e g r o u p s w i t h d i f f e r e n t c l i n i c a l h i s t o r y . A b l a t i o n s t u d i e s o n M R b r e a s t d a t a r e v e a l t h e p o t e n t i a l o f d e f o r m a b l e m i r r o r f o r u s e i n n o n i n v a s i v e a b l a t i o n o f b r e a s t t u m o r s . 1 4 . 2 T h e s i s C o n t r i b u t i o n T h e c o n t r i b u t i o n o f t h i s t h e s i s i s i n t h e d e v e l o p m e n t a n d n u m e r i c a l e v a l u a t i o n o f a n a l t e r n a t e i m a g i n g a n d t r e a t m e n t . t e c h n i q u e f o r b r e a s t c a n c e r t h a t h a s 0 l o w h e a l t h r i s k 0 i s s e n s i t i v e t o m a l i g n a n t t u m o r s 0 d e t e c t s b r e a s t c a n c e r a t e a r l y s t a g e 3 3 9 o i s n o n i n v a s i v e a n d s i m p l e t o p e r f o r m 0 m i n i m a l d i s c o m f o r t . t o w o m e n 0 p r o v i d e s c o n s i s t e n t a n d e a s y t o i n t e r p r e t r e s u l t s T h e d e f o r m a b l e m i r r o r t o m o g r a p h y c u m t h e r a p y t e c h n i q u e p r o p o s e d i n t h i s t h e s i s a i m s t o c o m p l y t o t h e a b o v e l i s t e d c a p a b i l i t i e s o f a n i d e a l b r e a s t i m a g i n g s y s t e m i n t h a t i t e m p l o y s m i c r o w a v e r a d i a t i o n w h i c h 0 i s n o n r a d i o a c t i v e a n d h e n c e s a f e t o u s e 0 p o s s e s s s i g n i fi c a n t d i e l e c t r i c c o n t r a s t b e t w e e n m a l i g n a n t a n d b e n i g n b r e a s t t i s s u e s i n l o w g i g a h e r t z f r e q u e n c i e s e a s i l y p e n e t r a t e s t h e b r e a s t c o m p r i s i n g p r e d o m i n a n t l y o f f a t 0 d o e s n o t r e q u i r e p a i n f u l b r e a s t c o m p r e s s i o n c a p a b l e o f y i e l d i n g c o n s i s t e n t q u a n t i t a t i v e r e s u l t s U n l i k e c o n t e m p o r a r y m i c r o w a v e i m a g i n g a n d h y p e r t h e r m i a t e c h n i q u e s , t h e p r o p o s e d d e f o r m a b l e m i r r o r t e c h n i q u e a i m s t o m e e t t h e r e q u i r e m e n t s o f a n e f fi c i e n t b r e a s t i m a g i n g c u m t h e r a p y s y s t e m . T h e n o v e l t y o f t h e p r o p o s e d t e c h n i q u e l i e s i n t h e u s e o f a d a p t i v e o p t i c s t o a c c o m p l i s h t h e t a s k o f i m a g i n g a n d t r e a t i n g l o c a l i z e d b r e a s t t u m o r s . T h e s a l i e n t f e a t u r e s o f t h e d e f o r m a b l e m i r r o r m i c r o w a v e t o m o g r a p h y t e c h n i q u e f o r b r e a s t i m a g i n g m o d e l i n c l u d e o c a p a b i l i t y o f a d a p t i v e m i r r o r t o d e f o r m i t s s h a p e t o s t e e r t h e E M fi e l d a t d i f f e r e n t a n g l e s 0 a b i l i t y t o p r o v i d e i n f o r m a t i o n r i c h m u l t i - v i e w m e a s u r e m e n t s f o r r e l i a b l e t o m o g r a p h i c r e c o n s t r u c t i o n u s i n g m u l t i p l e m i r r o r d e f o r m a t i o n s w i t h o u t t h e n e e d f o r o s o u r c e - d e t e c t o r o r o b j e c t r o t a t i o n a n d 0 m u l t i p l e t r a n s c e i v e r s s u r r o u n d i n g t h e o b j e c t 3 4 0 0 r e d u c e d m i c r o w a v e s y s t e m c o m p l e x i t y d u e t o t h e u s e o f s i n g l e t r a n s m i t t e r a n d m u l - t i p l e r e c e i v e r s l e a d i n g t o 0 r e d u c e d c o m p u t a t i o n a l c o n ‘ i p l e x i t i e s a s t h e r e i s n o n e e d f o r a n t e n n a c o m p e n - s a t i o n r o u t i n e s t o a c c o u n t f o r s e c o n d a r y fi e l d i n d u c e d o n n e i g h b o r i n g i n a c t i v e t r a n s c e i v e r s a n d c r o s s t a l k m i n i m i z a t i o n , a n d 0 l a c k o f a n t e n n a s w i t c h i n g r o u t i n e s a s i n c o n v e n t i o n a l t o m o g r a p h y 0 p o t e n t i a l t o y i e l d a m u l t i t u d e o f m e a s u r e m e n t s f o r i m a g i n g w i t h o u t t h e n e e d f o r a n i n c r e a s e i n t h e n u m b e r o f r e c e i v e r s w h i c h i s a c h i e v e d b y a d a p t i v e l y c h a n g i n g t h e m i r r o r d e f o r m a t i o n T h e p o t e n t i a l a d v a n t a g e s o f t h e d u a l m i r r o r t h e r a p y t e c h n i q u e p r o p o s e d f o r h y p e r t h e r - m i a a n d a b l a t i o n i n c l u d e o a b i l i t y o f d e f o r m a b l e m i r r o r t o f o c u s E M r a d i a t i o n a t d e s i r e d s p a t i a l l o c a t i o n 0 t h e l a r g e m i r r o r s u r f a c e e n s u r e s e f f i c i e n t fi e l d f o c u s i n g f o r s e l e c t i v e t u m o r t e m p e r a t u r e e l e v a t i o n o a c c o m p l i s h e s e f fi c i e n t fi e l d f o c u s i n g u s i n g s i n g l e t r a n s m i t t e r u n l i k e m u l t i p l e a n t e n n a s u s e d i n c o n v e n t i o n a l h y p e r t h e r m i a t e c h n i q u e s 0 o f f e r s m i n i m a l c o l l a t e r a l d a m a g e t o t h e s u r r o u n d i n g b e n i g n t i s s u e a a b i l i t y t o d e l i v e r h i g h e r t h e r m a l d o s a g e f o r t u m o r a b l a t i o n A l t h o u g h t h e t h e s i s d e s c r i b e s t h e a p p l i c a t i o n o f d e f o r m a b l e m i r r o r t e c h n i q u e f o r a n a - l y z i n g b r e a s t t i s s u e , 0 T h e i m a g i n g t e c l m i q u e c a n b e e m p l o y e d f o r e v a l u a t i n g o t h e r n o n — a n d p o o r l y c o n - d u c t i n g s t r u c t u r e s . 0 F o r i n s t a n c e , t h e t h e r a p y t e c h n i q u e c o u l d b e e m p l o y e d i n n e u t e r i n g o f p e t s i n v e t e r i - n a r y m e d i c i n e a n d i n t h e t r e a t m e n t o f p r o s t a t e c a n c e r . 3 4 1 0 B e s i d e s m i c r o w a v e s , t h e d e f o r m a b l e m i r r o r t o m o g r a p h y s y s t e m c a n b e e x t e n d e d f o r o t h e r p e n e t r a t i n g r a d i a t i o n s s u c h a s T e r a h e r t z a n d o p t i c s . a O n e k e y a n d i m m e d i a t e a p p l i c a t i o n o f t h i s t o m o g r a p h y t e c h n i q u e i s i n T e r a h e r t z i m a g i n g . T e r a h e r t z r a d i a t i o n s a r e n o n - i o n i z i n g r a d i a t i o n s w i t h v e r y h i g h r e s o l u t i o n a s c o m p a r e d t o m i c r o w a v e s a n d u l t r a s o u n d a n d a r e r e f l e c t e d b y m e t a l l i c o b j e c t s . 0 T h e r e i s a g r e a t e r p o t e n t i a l i n u s i n g d e f o r m a b l e m i r r o r t o m o g r a p h y f o r T e r a h e r t z r a d i a t i o n s a s a n a l t e r n a t e f o r t h e i o n i z i n g X - r a y s w i d e l y u s e d i n m a t e r i a l a n d m e d i c a l d i a g n o s i s a n d h o m e l a n d s e c u r i t y a p p l i c a t i o n s . 1 4 . 3 F u t u r e W o r k A s y s t e m a t i c c o m p u t a t i o n a l s t u d y i s p r e s e n t e d i n t h i s t h e s i s t o e v a l u a t e t h e f e a s i b i l i t y o f a n o v e l t o m o g r a p h y c u m t h e r a p y t e c h n i q u e w i t h e m p h a s i s o n b r e a s t c a n c e r . T h e t h e o r y a n d e x p e r i m e n t a l s e t u p m o d e l e d i n t h e f e a s i b i l i t y s t u d y a n d t h e o u t c o m e o f c o m p u t e r s i m u l a t i o n s p l a y a k e y r o l e i n t h e i m p l e m e n t a t i o n o f a m i c r o w a v e p r o t o t y p e s y s t e m . S e v e r a l c h a l l e n g e s l i e s a h e a d i n r e a l i z i n g t h e p r o p o s e d m i r r o r b a s e d i m a g i n g a n d t h e r a p y t e c h n i q u e . T h e fi r s t a n d f o r e m o s t t a s k i n f u t u r e w o u l d b e t o t e s t , u n d e r s t a n d a n d e v a l u a t e t h e l i m - i t a t i o n s o f c o n t i n u o u s l y d e f o r m a b l e m i r r o r s a v a i l a b l e i n m a r k e t . T h e c h a l l e n g e s a s s o c i a t e d w i t h t h e d e f o r m a b l e m i r r o r i n c l u d e a c h o i c e o f a c t u a t o r c i r c u i t t h a t y i e l d m a x i m u m a m o u n t o f d e f l e c t i o n l i m i t a t i o n s o f f e e d b a c k c o n t r o l f o r a c t u a t o r p o t e n t i a l d i s t r i b u t i o n r e a l t i m e c o r r e c t i o n f o r d e v i a t i o n i n d e f o r m a t i o n f a b r i c a t i o n o f l a r g e r d i m e n s i o n m i r r o r s w i t h t h i n m e t a l c o a t i n g t o r e f l e c t m i c r o w a v e s C o n t i n u o u s l y d e f o r m a b l e m i r r o r s a r e w i d e l y u s e d i n r e a l t i m e a p p l i c a t i o n s f o r w a v e f r o n t a n d d e f o c u s c o r r e c t i o n a n d i n o p t i c a l c o m m u n i c a t i o n s , p r o j e c t i o n d i s p l a y s , r e t i n a l a n d i n t r a - v e n o u s i m a g i n g a p p l i c a t i o n s w h e r e t h e m i r r o r d e f l e c t i o n i s c o n t r o l l e d a d a p t i v e l y i n f e e d b a c k 3 4 2 m o d e . T h u s , i s s u e s r e l a t e d t o r e a l - t i m e c o n t r o l o f m i r r o r d e f o r m a t i o n a r e w e l l s t u d i e d a n d d o c u m e n t e d . W i t h a d v a n c e i n s e m i c o n d u c t o r f a b r i c a t i o n l a r g e r m i r r o r s c a n b e c u s t o m m a n - u f a c t u r e d . D e f o r m a b l e m i r r o r w i t h t h i n a l u m i n u m c o a t i n g u s e d i n o p t i c s t o r e f l e c t / d i r e c t l i g h t i m p l i e s t h e a v a i l a b i l i t y o f m e t a l c o a t e d d e f o r m a b l e m i r r o r f o r m i c r o w a v e s . B e s i d e s u n d e r s t a n d i n g t h e f u n c t i o n a l i t y a n d c h a r a c t e r i s t i c s o f d e f o r m a b l e m i r r o r , o t h e r c h a l l e n g e s i n c l u d e d e v e l o p i n g a n t e n n a / s y s t e m c a l i b r a t i o n a n d s y n c h r o n i z a t i o n r o u t i n e s f o r d a t a a c q u i s i t i o n , d a t a c o m p e n s a t i o n a n d n u m e r i c a l i n v e r s i o n . P r i o r t o e x p e r i m e n t a t i o n i n - s i d e t h e r a p y t a n k , f r e e s p a c e m e a s u r e m e n t s o f t h e fi e l d p a t t e r n m a i n t a i n e d b y d e f o r m a b l e m i r r o r s h o u l d b e a c q u i r e d t o c h a r a c t e r i z e t h e d e f o r m a b l e m i r r o r a s s e m b l y . E x p e r i m e n t s i n s i d e t h e r a p y t a n k r e q u i r e s w a t e r t i g h t c o n t a i n e r w i t h a w i n d o w f o r m i r r o r - t r a n s m i t t e r a s s e m b l y . M i c r o w a v e s r e f l e c t e d b y t h e m i r r o r c a n p e n e t r a t e t h r o u g h t h e l o w - d i e l e c t r i c c o n - s t a n t w i n d o w a n d p r o p a g a t e i n t o t h e t h e r a p y t a n k c o n t a i n i n g t h e i m a g i n g o b j e c t . T h e c h o i c e o f l o w - d i e l e c t r i c c o n s t a n t m a t e r i a l a n d f i e l d e m i t t e d b y m i r r o r - t r a n s m i t t e r a s s e m b l y i n s i d e t h e t h e r a p y t a n k r e q u i r e t h o r o u g h e x p e r i m e n t a l a n a l y s i s . R o b u s t a n d c o m p u t a t i o n - a l l y f a s t n u m e r i c a l i n v e r s i o n r o u t i n e s n e e d t o b e d e v e l o p e d . L e s s o n s l e a r n t . i n c o n t r o l l i n g a n d d e p l o y i n g t h e d e f o r m a b l e m i r r o r i n s i d e t h e r a p y t a n k a r e d i r e c t l y a p p l i c a b l e i n t h e d e s i g n a n d i m p l e m e n t a t i o n o f t h e t h e r a p y s e t u p . F o r t h e r - a p y , fi e l d f o c u s i n g c a p a b i l i t y o f t h e m i r r o r - t r a n s m i t t e r a s s e m b l y s h o u l d b e e v a l u a t e d v i a e x p e r i m e n t s . T o b e g i n w i t h t h e r m a l e l e v a t i o n d u e t o fi e l d f o c u s i n g c a n b e e v a l u a t e d u s i n g t h e r m o c o u p l e s . S y s t e m o p t i m i z a t i o n f o r e f f i c i e n t p e r f o r m a n c e w i l l r e q u i r e i t e r a t i v e u s e o f b o t h c o m p u t a t i o n a l m o d e l a n d e x p e r i m e n t s o n p h a n t o m o b j e c t s . 3 4 3 B I B L I O G R A P H Y 3 4 4 B I B L I O G R A P H Y [ 1 ] A m e r i c a n C a n c e r S o c i e t y , ” C a n c e r F a c t s & F i g u r e s 2 0 0 5 , ” A t l a n t a , G A . [ 2 ] A m e r i c a n C a n c e r S o c i e t y , ” C a n c e r F a c t s & F i g u r e s 2 0 0 4 , ” A t l a n t a , G A . [ 3 ] A m e r i c a n C a n c e r S o c i e t y , ” C a n c e r F a c t s & F i g u r e s - 1 9 9 7 , ” A t l a n t a , G A . [ 4 ] A m e r i c a n C a n c e r S o c i e t y , ” C a n c e r F a c t s & F i g u r e s - 1 9 9 8 , ” A t l a n t a , G A . [ 5 ] A m e r i c a n C a n c e r S o c i e t y , ” C a n c e r F a c t s & F i g u r e s - 1 9 9 9 , ” A t l a n t a , G A . [ 6 ] A m e r i c a n C a n c e r S o c i e t y , ” C a n c e r F a c t s & F i g u r e s 2 0 0 0 , ” A t l a n t a , G A . [ 7 ] A m e r i c a n C a n c e r S o c i e t y , ” C a n c e r F a c t s & F i g u r e s 2 0 0 1 , ” A t l a n t a , G A . [ 8 ] A m e r i c a n C a n c e r S o c i e t y , ” C a n c e r F a c t s & F i g u r e s 2 0 0 2 , ” A t l a n t a , G A . [ 9 ] A m e r i c a n C a n c e r S o c i e t y , ” C a n c e r F a c t s & F i g u r e s 2 0 0 3 , ” A t l a n t a , G A . [ 1 0 ] A m e r i c a n C a n c e r S o c i e t y , ” B r e a s t C a n c e r F a c t s & F i g u r e s 2 0 0 5 - 2 0 0 6 , ” A t l a n t a , G A . [ 1 1 ] M a n f r e i d S a b e l a n d H . A i c h i n g e r , ” R e c e n t d e v e l o p m e n t s i n b r e a s t i m a g i n g , ” P h y s . M e d . B i o l . , v o l . 4 1 , p p . 3 1 5 - 3 6 8 , 1 9 9 6 . [ 1 2 ] h t t p : / / w w w . h o l o g i c . c o m / l c / b h n b c . h t m [ 1 3 ] I s m a i l J a t o i , L i p p i n c o t t W i l l i a m s a n d W i l k i n s , e d i t o r s , ” M a n u a l o f B r e a s t D i s e a s e s , ” P h i l a d e l p h i a , 2 0 0 1 . [ 1 4 ] G . S v a n e , E . J . P o t c h e n , A . S i e r r a a n d E . A z a v e d o , ” S c r e e n i n g M a m m o g r a p h y B r e a s t C a n c e r D i a g n o s i s i n A s y m p t o m a t i c W o m e n , ” M o s b y - Y e a r B o o k , I n c . , M i s s o u r i , 1 9 9 3 . [ 1 5 ] S . E . S i n g l e t a r y a n d G . L . R o b b , ” A d v a n c e d T h e r a p y o f B r e a s t D i s e a s e , ” B . C . D e c k e r I n c . , 2 0 0 0 . [ 1 6 ] M i c h e l G a u t h e r i e , E r n e s t A l b e r t , a n d L o u i s K e i t h , e d i t o r s , ” T h e r m a l A s s e s s m e n t o f B r e a s t h e a l t h , ” M T P P r e s s L i m i t e d , B o s t o n , 1 9 8 4 . [ 1 7 ] P . T . H u y n h , A . M . J a r o l i m e k , a n d S . D a y e , ” T h e f a l s e - n e g a t i v e m a m m o g r a m , ” R a - d i o g r a p h i c s , v o l . 1 8 , p p . 1 1 3 7 1 1 5 4 , 1 9 9 8 . [ 1 8 ] V a l e r i e P . J a c k s o n , ” T h e c u r r e n t r o l e o f u l t r a s o n o g r a p h y i n b r e a s t i m a g i n g , ” R a d i o — l o g i c C l i n i c s o f N o r t h A m e r . , V o l . 3 3 , n o . 6 , p p . 1 1 6 1 - 1 1 7 0 , N o v 1 9 9 5 . 3 4 5 l 1 9 l [ 2 0 1 [ 2 1 ] [ 2 ‘ 2 ] [ ‘ 2 3 l [ 2 4 1 [ 2 5 } [ 2 6 1 [ 2 7 ] [ 2 8 ] [ ‘ 2 9 ] [ 3 0 ] D i r k G r o s e n i c k , H e i d r u n W a b n i t z , H e r b e r t H . R i n n e b e r g , K . T h o m a s M o e s t a , a n d P e t e r M . S c h l a g , ” D e v e l o p m e n t o f a t i m e - d o m a i n o p t i c a l m a m m o g r a p h a n d fi r s t i n v i v o a p p l i c a t i o n s , ” A p p l i e d O p t i c s , v o l . 3 8 , n o . 1 3 , p p . 2 9 2 7 — 2 9 4 3 , M a y 1 9 9 9 . T r o y 0 . M c B r i d e , B r i a n W . P o g u e , E l l e n D . G e r e t y , S t e v e n B . P o p l a c k , U l f L . O s - t e r b e r g , a n d K e i t h D . P a u l s e n , ” S p e c t r o s c o p i c d i f f u s e o p t i c a l t o m o g r a p h y f o r t h e q u a n t i t a t i v e a s s e s s m e n t o f h e m o g l o b i n c o n c e n t r a t i o n a n d o x y g e n s a t u r a t i o n i n b r e a s t t i s s u e , ” v o l . 3 8 , n o . 2 5 , p p . 5 4 8 0 - 5 4 9 0 , S e p t e m b e r 1 9 9 9 . V . C h e r e p e n i n , A . K a r p o v , A . K o r j e n e v s k y , V . K o r n i e n k o , Y . K u l t i a s o v , M . O c h a p k i n , O . T r o c h a n o v a a n d D . M e i s t e r , ” T h r e e - d i m e n s i o n a l E I T i m a g i n g o f b r e a s t t i s s u e s : s y s t e m d e s i g n a n d c l i n i c a l t e s t i n g , ” I E E E " H a n s . M e d i c a l I m a g i n g , v o l . 2 1 , n o . 6 , p p . 6 6 2 — 6 6 7 , 2 0 0 2 . Z o u Y , G u o Z , ” A r e v i e w o f e l e c t r i c a l i m p e d a n c e t e c h n i q u e s f o r b r e a s t c a n c e r d e t e c - t i o n , ” M e d E n g P h y s , v o l . 2 5 , n o . 2 , p p . 7 9 - 9 0 , M a r c h 2 0 0 3 . D o n a l d B P l e w e s , J o n a t h a n B i s h o p , A b b a s S a m a n i a n d J u s t i n S c i a r r e t t a , ” V i s u a l - i z a t i o n a n d q u a n t i fi c a t i o n o f b r e a s t c a n c e r b i o m e c h a n i c a l p r o p e r t i e s w i t h m a g n e t i c r e s o n a n c e e l a s t o g r a p h y , ” P h y s . M e d . B i o l . , v o l . 4 5 , p p . 1 5 9 1 1 6 1 0 , 2 0 0 0 . M c K n i g h t A L , K u g e l J L , R o s s m a n P J , M a n d u c a A , H a r t m a n n L C , E h m a n R L , ” M R e l a s t o g r a p h y o f b r e a s t c a n c e r : p r e l i m i n a r y r e s u l t s , ” A m e r i c a n J . R o e n t g e n o l o g y , v o l . 1 7 8 , n o . 6 , p p . 1 4 1 1 - 7 , J u n e 2 0 0 2 . E C . F e a r , S . C . H a g n e s s , P . M . M e a n e y , M . O k o n i e w s k i , M . A . S t u c h l y , ” E n h a n c - i n g B r e a s t ' I b m o r D e t e c t i o n w i t h N e a r - F i e l d I m a g i n g , ” I E E E M i c r o w a v e M a g a z i n e , M a r c h 2 0 0 2 , p p . 4 8 — 5 6 . A r u t h u r W . G u y , ” H i s t o r y o f B i o l o g i c a l E f f e c t s a n d M e d i c a l A p p l i c a t i o n s o f M i - c r o w a v e E n e r g y , ” I E E E T r a n s . M T T , V o l . 3 2 , N o . 9 , S e p t e m b e r 1 9 8 4 , p p . 1 1 8 2 - 1 2 0 0 . C o n s t a n t i n e A . B . , ” A d v a n c e d e n g i n e e r i n g e l e c t r o m a g n e t i c s , ” W i l e y P u b l c a t i o n s , N e w Y o r k , 1 9 8 9 . E d w a r d J . R o t h w e l l a n d I V ' I i c h a e l J . C l o u d , ” E l e c t r o m a g n e t i c s , ” C R C P r e s s , B o c a R a t o n , 2 0 0 1 . H e r m a n P . S c h w a n , ” I n t e r a c t i o n o f M i c r o w a v e a n d R a d i o F r e q u e n c y r a d i a t i o n w i t h B i o l o g i c a l S y s t e m s , ” I E E E T r a n s . M T T , v o l . 1 9 , n o . 2 , p p . 1 4 6 - 1 5 2 , F e b r u a r y 1 9 7 1 . K . R . F o s t e r a n d H . P . S c h w a n , ” D i e l e c t r i c p r o p e r t i e s o f t i s s u e s a n d b i o l o g i c a l m a t e r i a l s : A c r i t i c a l r e v i e w , ” C R C C r i t i c a l R e v i e w s i n B i o m e d . E n g , v o l . 1 7 , n o . 1 , p p . 2 5 — 1 0 4 , 1 9 8 9 . 3 4 6 [ 3 1 ] [ 3 2 ] [ 3 3 1 [ 3 4 ] [ 3 5 ] [ 3 5 ] [ 3 7 ] I 3 8 ] [ 3 9 1 M W [ 4 1 ] [ 4 ‘ 2 ] [ 4 3 ] H . N . K i r t i k o s , K . R . F o s t e r a n d H . P . S c h w a n , ” E f f e c t o f S u r f a c e C o o l i n g a n d B l o o d F l o w o n t h e E l e c t r o m a g n e t i c h e a t i n g o f T i s s u e , ” I E E E l \ I i c r o w a v e S y m p o s i u m , S a n D i e g o , C A , J u n e 1 9 7 7 . H i e e H i n r i k u s , J a a n u s L a s s a n d J e v g e n i a n d R i i p u l k , ” T h e s e n s i t i v i t y o f l i v i n g t i s s u e t o m i c r o w a v e fi e l d , ” P r o c . 2 0 t h A n n u a l I n t . C o n f . I E E E E n g . i n M e d . B i o l . S o c . , v o l . 2 0 , n o . 6 , p p . 3 2 4 9 — 3 2 5 2 , 1 9 9 8 . h - " I a r i a A . S t u c h l y , ” E l e c t r o m a g n e t i c fi e l d s a n d h e a l t h p r o t e c t i n g a g a i n s t h a r m w h i l e h a r n e s s i n g t h e b e n e fi t s , ” I E E E P o t e n t i a l s , p p . 3 4 - 3 9 , A p r i l 1 9 9 3 . I t s u o Y a m a u r a , ” M e a s u r e m e n t o f 1 . 8 - 2 . 7 G H z M i c r o w a v e A t t e n u a t i o n i n t h e H u m a n T o r s o , ” I E E E T t a n s . M T T , v o l . 2 5 , n o . 8 , p p . 7 0 7 - 7 1 0 , A u g u s t 1 9 7 7 . V V i s s l e r , E u g e n e H . ” P e n n e s 1 9 4 8 p a p e r r e v i s i t e d , ” J . A p p l . P h y s i o l . , v o l . 8 5 , n o . 1 , p p . 3 5 4 1 , 1 9 9 8 . A l a v a r o A u g u s t o A . d e S a l l e s , ” B i o l o g i c a l E f f e c t s o f l V I i c r o w a v e a n d R F , ” S B M O / I E E E M T T - S I M O C C P r o c . , p p . 5 1 - 5 6 , 1 9 9 9 . M i c h a l O k o n i e w s k i , M a r i a A . S t u c h l y , ” A s t u d y o f t h e H a n d s e t A n t e n n a a n d H u m a n B o d y I n t e r a c t i o n , ” I E E E T r a n s . M T T , v o l . 4 4 , n o . 1 0 , p p . 1 8 5 5 - 1 8 6 4 , O c t o b e r 1 9 9 6 . R o n a l d J . S p i e g e l , ” A R e v i e w o f N u m e r i c a l M o d e l s f o r P r e d i c t i n g t h e E n e r g y D e - p o s i t i o n a n d R e s u l t a n t T h e r m a l R e s p a s n c e o f H u m a n s E x p o s e d t o E l e c t r o m a g n e t i c F i e l d s , ” I E E E T r a n s . M T T , v o l . 3 2 , n o . 8 , p p . 7 3 0 - 7 4 6 , A u g u s t 1 9 8 4 . I . C h a t t e r j e e , O . P . G a n d h i a n d M . J . H a g m a n n , ” N u m e r i c a l a n d E x p e r i m e n t a l R e s u l t s f o r N e a r F i e l d E l e c t r o m a g n e t i c A b s o r p t i o n i n M a n , ” I E E E T r a n s . M T T , v o l . 3 0 , n o . 1 1 , p p . 2 0 0 0 - 2 0 0 5 , N o v e m b e r 1 9 8 2 . C G a b r i e l , S G a b r i e l y a n d E C o r t h o u t , ” T h e d i e l e c t r i c p r o p e r t i e s o f b i o l o g i c a l t i s s u e s : 1 . L i t e r a t u r e s u r v e y , ” P h y s . M e d . B i o l . 4 1 , p p . 2 2 3 1 2 2 4 9 , 1 9 9 6 . S G a b r i e l y , R W L a u a n d C G a b r i e l , ” T h e d i e l e c t r i c p r o p e r t i e s o f b i o l o g i c a l t i s s u e s : I I . M e a s u r e m e n t s i n t h e f r e q u e n c y r a n g e 1 0 H z t o 2 0 G H z , ” P h y s . M e d . B i o l . 4 1 , p p . 2 2 5 1 2 2 6 9 , 1 9 9 6 . S G a b r i e l y , R W L a u a n d C G a b r i e l , ” T h e d i e l e c t r i c p r o p e r t i e s o f b i o l o g i c a l t i s s u e s : I I I . P a r a m e t r i c m o d e l s f o r t h e d i e l e c t r i c s p e c t r u m o f t i s s u e s , ” P h y s . M e d . B i o l . 4 1 , p p . 2 2 7 1 2 2 9 3 , 1 9 9 6 . F r e d S t e r z e r , ” i V I i c r o w a v e M e d i c a l D e v i c e s , ” I E E E M i c r o w a v e M a g a z i n e , p p . 6 5 - 7 0 , M a r c h 2 0 0 2 . 3 4 7 [ 4 4 ] [ 4 6 ] [ 4 7 ] [ 4 8 ] I 4 9 ] [ 5 0 l I 5 1 ] I 5 4 ] [ 5 7 1 A r y e R o s e n , M a r i a A . S t u c h l y a n d A n d r e V a n d e r V o r s t , ” A p p l i c a t i o n s o f R F M i - c r o w a v e s i n M e d i c i n e , ” I E E E ” D a n s . M T T , v o l . 5 0 , n o . 3 , p p . 9 6 3 - 9 7 4 , M a r c h 2 0 0 2 . S . S . C h a u d h a r y , R . K M i s h r a , a r v i n d S w a r u p a n d J o y T h o m a s , ” D i e l e c t r i c P r o p - e r t i e s o f N o r m a l a n d M a l i g n a n t H u m a n B r e a s t T i s s u e s a t R a d i o w a v e & M i c r o w a v e F r e q u e n c i e s , ” I n d i a n J . B i o c h e m . B i o P h y s . , V o l . 2 1 , p p . 7 6 - 7 9 , F e b r u a r y 1 9 8 4 . A . J . S u r o w i e c , S . S . S t u c h l y , J . R . B a r r , a n d A . S w a r u p , ” D i e l e c t r i c p r o p e r t i e s o f b r e a s t . c a r c i n o m a a n d t h e s u r r o u n d i n g t i s s u e s , ” I E E E T r a n s . B i o m e d . E n g . , v o l . 3 5 , p p . 2 5 7 - 2 6 3 , A p r . 1 9 8 8 . W i l l i a m T . J o i n e s , Y a n g Z h a n g , C h e n x i n g L i a n d R a n d y L . J i r t l e , ” T h e m e a s u r e d e l e c t r i c a l p r o p e r t i e s o f n o r m a l a n d m a l i g n a n t h u m a n t i s s u e s f r o m 5 0 t o 9 0 0 M H z , ” M e d . P h y s , V o l . 2 1 , p p . 5 4 7 - 5 5 0 , A p r i l 1 9 9 4 . J o h n G . P r o a k i s a n d D i m i t r i s G . M a n o l a k i s , ” D i g i t a l s i g n a l p r o c e s s i n g : p r i n c i p l e s , a l g o r i t h m s , a n d a p p l i c a t i o n s , ” 3 r d e d i t i o n , P r e n t i c e - H a l l , N J , U S A 1 9 9 6 . R o g e r F . H a r r i n g t o n , ” T i m e - H a r m o n i c E l e c t r o m a g n e t i c F i e l d s , ” V V i l e y - I E E E P r e s s , 2 0 0 1 . J i a n m i n g J i n , ” T h e F i n i t e E l e m e n t M e t h o d s i n E l e c t r o m a g n e t i c s , ” 2 n d e d i t i o n , J o h n W i l e y 8 5 S o n s , I n c . , N e w Y o r k 2 0 0 1 . P e t e r s o n , A n d r e w ; R a y , S c o t t ; M i t r a , R a j , ” C o m p u t a t i o n a l M e t h o d s F o r E l e c t r o m a g - n e t i c s , ” O x f o r d U n i v e r s i t y P r e s s , 1 9 9 8 . K o r a d a U m a s h a n k a r a n d A l l e n T a fi o v e , ” C o m p u t a t i o n a l E l e c t r o m a g n e t i c s , ” A r t e c h H o u s e , M a r c h 1 9 9 3 . K . L . C a r r , ” M i c r o w a v e r a d i o m e t r y : i t s i m p o r t a n c e t o t h e d e t e c t i o n o f c a n c e r , ” I E E E T r a n s . M i c r o w a v e T h e o r y T e c h . , v o l . 3 7 , p p . 1 8 6 2 - 1 8 6 9 , D e c . 1 9 8 9 . B . B o c q u e t , J . C . V a n d e V e l d e , A . M a m o u n i , Y . L e r o y , G . G i a u x , J . D e l a n n o y , a n d D . D e l V a l e e , ” M i c r o w a v e r a d i o m e t r i c i m a g i n g a t 3 G H z f o r t h e e x p l o r a t i o n o f b r e a s t t u m o r s , ” I E E E T r a n s . M i c r o w a v e T h e o r y T e c h . , v o l . 3 8 , p p . 7 9 1 - 7 9 3 , J u n e 1 9 9 0 . R . A . K r u g e r , K . K . K o p e c k y , A . M A i s e n , D . R . R e i n e c k e , G . A . K r u g e r , a n d W . L . K i s e r , ” T h e r m o a c o u s t i c C T w i t h r a d i o w a v e s : A m e d i c a l i m a g i n g p a r a d i g m , ” R a d i o l o g y , v o l . 2 1 1 , p p . 2 7 5 - 2 7 8 , 1 9 9 9 . A . C . K a k a n d M . S l a n e y , ” P r i n c i p l e s o f C o m p u t e r i z e d T o m o g r a p h i c I m a g i n g , ” I E E E P r e s s , 1 9 8 8 . J . R a d o n , ” U b e r d u e b e s t i m m u n g v o n f u n k t i o n e n d u r c h i h r e i n t e r g r a l w e t t e l a n g s g e w i s s e r m a n n i g f a l t i g k e i t e n , ” B e r . V e r b . S a e c h s . A k a d . W i s s . , L e i p z i g . M a t h . P h y s . K L , 6 9 , p p . 2 6 2 - 2 7 7 , 1 9 1 7 . 3 4 8 1 5 8 1 [ 5 9 ] [ 6 0 ] [ 6 1 ] [ 6 2 ] [ 6 3 ] [ 6 4 1 [ 6 5 ] [ 6 6 ] [ 6 7 ] [ 6 8 ] [ 6 9 ] I 7 0 ] [ 7 1 ] G . N . H o u n s fi e l d , ” A m e t h o d o f a n d a p p a r a t u s f o r e x a m i n a t i o n o f a b o d y b y r a d i a t i o n s u c h a s x - r a y o r g a m m a r a d i a t i o n , ” P a t e n t S p e c i fi c a t i o n 1 2 8 3 9 1 5 , T h e P a t e n t O f fi c e , L o n d o n , E n g l a n d , 1 9 7 2 . G . N . H o u n s fi e l d , ” C o m p u t e r i z e d t r a n s v e r s e a x i a l s c a n n i n g t o m o g r a p h y : P a r t 1 , d e s c r i p t i o n o f t h e s y s t e m , ” B r i t i s h J . r a d i o l . , 4 6 , p p . 1 0 1 5 - 1 0 2 2 , 1 9 7 3 . A . M . C o r m a c k , ” R e p r e s e n t a t i o n o f a f u n c t i o n b y i t s l i n e i n t e g r a l s , w i t h s o m e r a d i o - l o g i c l a p p l i c a t i o n s , ” J . A p p l . P h y s , 3 4 , p p . 2 7 2 2 — 2 7 2 7 , 1 9 6 3 . G . J . V a n d e r p l a a t s , ” M e d i c a l X - r a y T e c h n i q u e s i n D i a g n o s t i c R a d i o l o g y , ” F o u r t h e d i t i o n , M a r t i n u s N i j h o f f P u b l i s h e r s , T h e N e t h e r l a n d s , 1 9 8 0 . A n d r e w R . W e b b , ” I n t r o d u c t i o n t o b i o m e d i c a l i m a g i n g , ” W i l e y , H o b o k e n , N e w J e r s e y , 2 0 0 3 . R . G o r d o n , R . B e n d e r , a n d G . T . H e r m a n , ” A l g e b r a i c r e c o n s t r u c t i o n t e c h n i q u e s ( A R T ) f o r t h r e e d i m e n s i o n a l e l e c t r o n m i c r o s c o p y a n d X - r a y p h o t o g r a p h y , ” J . T h e o r . B i o l . 2 9 , p p . 4 7 1 - 4 8 1 , 1 9 7 0 . G . T . H e r m a n a n d A . L e n t , ” I t e r a t i v e r e c o n s t r u c t i o n a l g o r i t h m s , ” C o m p u t . B i o l . M e d . 6 , p p . 2 7 3 - 2 9 4 , 1 9 7 6 . G . N . R a m a c h a n d r a n a n d A . V . L a k s h m i n a r a y a n a n , ” T h r e e d i m e n s i o n a l r e c o n s t r u c - t i o n s f r o m r a d i o g r a p h s a n d e l e c t r o n m i c r o g r a p h s : A p p l i c a t i o n o f c o n v o l u t i o n i n s t e a d o f F o u r i e r t r a n s f o r m s , ” P r o c . N a t . A c a d . S c i . , 6 8 , p p . 2 2 3 6 - 2 2 4 0 , 1 9 7 1 . L . A . S h e p p a n d B . F . L o g a n , ” T h e F o u r i e r r e c o n s t r u c t i o n o f a h e a d s e c t i o n , ” I E E E T r a n s . N u c l . S c i . , N S - 2 1 , p p . 2 1 — 4 3 , 1 9 7 4 . X - r a y b o o k o n C T g e n e r a t i o n s . G . T . H e r m a n , ” A l g e b r a i c R e c o n s t r u c t i o n T e c h n i q u e s C a n B e M a d e C o m p u t a i o n a l l y E f f i c i e n t , ” I E E E T r a n s . M e d . I m g . , v o l . 1 2 , 1 1 0 . 3 , p p . 6 0 0 - 6 0 9 , S e p t e m b e r , 1 9 9 3 . H u a i q u n G u a n a n d R i c h a r d G o r d o n , ” C o m p u t e d t o m o g r a p h y u s i n g a l g e b r a i c r e c o n - s t r u c t i o n t e c h n i q u e s ( A R T ) w i t h d i f f e r e n t p r o j e c t i o n a c c e s s s c h e m e s : a c o m p a r i s o n s t u d y u n d e r p r a c t i c a l s i t u a t i o n s , ” P h y s . M e d . B i o l . , v o l . 4 1 , p p . 1 7 2 7 - 1 7 4 3 , 1 9 9 6 . L . W a n g , ” C r o s s - s e c t i o n r e c o n s t r u c t i o n w i t h a f a n - b e a m s c a n n i n g g e o m e t r y , ” I E E E T r a n s . C o m p u t . , v o l . C - 2 6 , p p . 2 6 4 - 2 6 8 , M a r c h 1 9 7 7 . R . M . L e w i t t , ” U l t r a - f a s t c o n v o l u t i o n a p p r o x i m a t i o n f o r c o m p u t e r i z e d t o m o g r a p h y , ” I E E E T r a n s . N u c l . S c i . , v o l . N S - 2 6 , p p . 2 6 7 8 - 2 6 8 1 , 1 9 7 9 . 3 4 9 [ 7 2 ] H . S t a r k , J . W . W o o d s , 1 . P a u l , a n d R . H i n g o r a n i , ” D i r e c t F o u r i e r r e c o n s t r u c t i o n i n c o m p u t e r t o m o g r a p h y , ” I E E E ' I f a n s . A c o u s t . S p e e c h S i g n a l P r o c e s s i n g , v o l . A S S P - 2 9 , p p . 2 3 7 - 2 4 4 , 1 9 8 1 . [ 7 3 ] W . C . C h e w , W a v e s a n d F i e l d s i n I n h o m o g e n e o u s M e d i a , V a n N o s t r a n d R e i n h o l d , N e w Y o r k , 1 9 9 0 . [ 7 4 ] A . J . D e v a n e y a n d G e o r g e C . S h e r m a n , ” N o n u n i q u e n e s s i n I n v e r s e S o u r c e a n d S c a t - t e r i n g P r o b l e m s , ” I E E E T r a n s . A n t . P r o p a g . , V o l . 3 0 , p p . 1 0 3 4 - 1 0 3 7 , S e p t e m b e r 1 9 8 2 . [ 7 5 ] N o r m a n B l e i s t e i n a n d J a c k K . C o h e n , ” N o n u n i q u e n e s s i n t h e i n v e r s e s o u r c e p r o b l e m s i n a c o u s t i c s a n d e l e c t r o m a g n e t i c s , ” J . M a t h . P h y s . V o l . 1 8 , p p . 1 9 4 - 2 0 1 , F e b r u a r y 1 9 9 7 . [ 7 6 ] M a r i o B e r t e r o , P a t r i z i a B o c c a c i , ” I n t r o d u c t i o n t o I n v e r s e P r o b l e m s i n I m a g i n g , ” I n - s t i t u t e o f P h y s i c s P u b l i s h i n g , 1 9 9 8 . [ 7 7 ] R . K . M u e l l e r , M . K a v e h , a n d G . W a d e , ” R e c o n s t r u c t i v e t o m o g r a p h y a n d a p p l i c a t i o n s t o u l t r a s o n i c s , ” P r o c . I E E E , v o l . 6 7 , p p . 5 6 7 - 5 8 7 , 1 9 7 9 . [ 7 8 ] L . A . C h e m o v , ” W a v e P r o p a g a t i o n i n a R a n d o m M e d i u m , ” N e w Y o r k , M c G r a w - H i l l , 1 9 6 0 . [ 7 9 ] E . W o l f , ” T h r e e - d i m e n s i o n a l s t r u c t u r e d e t e r m i n a t i o n o f s e m i t r a n s p a r e n t o b j e c t s f r o m h o l o g r a p h i c d a t a , ” O p t . C o m m u n . , v o l . 1 , p p . 1 5 3 - 1 5 6 , 1 9 6 9 . [ 8 0 ] T a h - H s i u n g C h u a n d K e n - Y u L e e , ” W i d e - B a n d M i c r o w a v e D i f f r a c t i o n T o m o g r a p h y U n d e r B o r n A p p r o x i m a t i o n , ” I E E E T m n s . A n t . P r o p . , v o l . 3 7 , n o . 4 , p p . 5 1 5 - 5 1 9 , A p r i l 1 9 8 9 . [ 8 1 ] G . A . T s i h r i n t z i s a n d a n d A . J . D e v a n e y , ” H i g h e r - o r d e r ( N o n l i n e a r ) D i f f r a c t i o n T o — m o g r a p h y , ” I E E E I C A S S P , S a n D i e g o , C A . U S A , 2 0 0 0 . [ 8 2 ] Y . M . W a n g a n d W . C . C h e w , ” A n I t e r a t i v e S o l u t i o n o f t h e T w o - D i m e n s i o n a l E l e c - t r o m a g n e t i c I n v e r s e S c a t t e r i n g P r o b l e m , ” I n t . J . I n g . S c i . , c o l . 1 , p p . 1 0 0 - 1 0 8 , 1 9 8 9 . [ 8 3 ] W . C . C h e w , W . H . W e e d o n , J . H . L i n , Y . M . W a n g a n d M . M o g h a d d a m , ” N o n l i n e a r D i f f r a c t i o n T o m o g r a p h y - T h e u s e o f I n v e r s e S c a t t e r i n g f o r I m a g i n g , ” I E E E 2 7 t h A s i l o m a r C o n f e r e n c e o n S i g n a l s , S y s t e m s a n d C o m p u t e r s , p p . 1 2 0 — 1 2 9 , 1 9 9 3 . [ 8 4 ] W . C . C h e w a n d Y . M . W a n g , ” R e c o n s t r u c t i o n o f T w o - D i m e n s i o n a l P e r m i t t i v i t y D i s t r i b u t i o n U s i n g t h e D i s t o r t e d B o r n I t e r a t i v e M e t h o d , ” I E E E T r a n s . M e d . I m a g . , v o l . 9 , n o . 2 , p p . 2 1 8 - 2 2 5 , J u n e 1 9 9 0 . [ 8 5 ] A . I s h i m a r u , ” W a v e P r o p a g a t i o n a n d S c a t t e r i n g i n R a n d o m M e d i a , ” N e w Y o r k , A c a - d e m i c P r e s s , 1 9 7 8 . 3 5 0 [ 8 6 ] A . J . D e v a n e y , ” A c o m p u t e r s i m u l a t i o n s t u d y o f d i f f r a c t i o n t o m o g r a p h y , ” I E E E T r a n s . B i o m e d . E n g . , v o l . B M E — 3 0 , p p . 3 7 7 - 3 8 6 , J u l y 1 9 8 3 . [ 8 7 ] H s u e h - J y h L i , N a b i l F a r h a t , Y u h s y e n a n d C h a r l e s L . W ’ e r n e r , ” I m a g e U n d e r s t a n d i n g a n d I n t e r p r e t a t i o n i n M i c r o w a v e D i v e r s i t y I m a g i n g , ” I E E E T r a n s . A n t . P r o p . , v o l . 3 7 , n o . 8 , p p . 1 0 4 8 - 1 0 5 7 , A u g u s t 1 9 8 9 . [ 8 8 ] M . A z i m i a n d A . C . K a k , ” D i s t o r t i o n i n d i f f r a c t i o n i m a g i n g c a u s e d b y m u l t i p l e s c a t - t e r i n g , ” I E E E T r a n s . M e d . I m a g i n g , v o l . M I - Z , p p . 1 7 6 - 1 9 5 , D e c . 1 9 8 3 . [ 8 9 ] M . K a v e h a n d M . S o u m e k h , ” C o m p u t e r - a s s i s t e d d i f f r a c t i o n t o m o g r a p h y i n I m a g e R e c o v e r y , T h e o r y a n d A p p l i c a t i o n s , ” H . S t a r k , E d . N e w Y o r k , A c a d e m i c P r e s s , 1 9 8 6 . [ 9 0 ] M . S l a n e y a n d A . C . K a k , ” D i f f r a c t i o n t o m o g r a p h y , ” P r o c . S P I E , v o l . 4 1 3 , p p . 2 - 1 9 , A p r . 1 9 8 3 . [ 9 1 ] T a h - H s i u n g a n d N a b i l H . F a r h a t , ” F r e q u e n c y - S w e p t M i c r o w a v e I m a g i n g o f D i e l e c t r i c O b j e c t , ” I E E E ' D a n s . M T T , v o l . 3 6 , n o . 3 , p p . 4 8 9 - 4 9 3 , M a r c h 1 9 8 8 . [ 9 2 ] M . S l a n e y , A . C . K a k , a n d L . E . L a r s e n , ” L i m i t a t i o n s o f i m a g i n g w i t h fi r s t o r d e r d i f f r a c t i o n t o m o g r a p h y , ” I E E E T r a n s . M i c r o w a v e T h e o r y T e c h . , v o l . M T T — 3 2 , p p . 8 6 0 - 8 7 3 , A u g . 1 9 8 4 . [ 9 3 ] A . E . B u l y s h e v , A . E . S o u v o r o v , S . Y . S e m e n o v , R . H . S v e n s o n a n d G . P . T a t - s i s , ” A C o m p u t e r S i m u l a t i o n o f T h r e e - D i m e n s i o n a l M i c r o w a v e T o m o g r a p h y , ” P r o c . I E E E / E M B S , O c t . 3 0 — N o v . 2 , C h i c a g o , I L . U S A , 1 9 9 7 . [ 9 4 ] A . E . S o u v o r o v , A . E . B u l y s h e v , S . Y . S e m e n o v , R . H . S v e n s o n , A . G . N a z a r o v , Y . E . S i z o v a n d G . P . T a t s i s , ” M i c r o w a v e T o m o g r a p h y : A t w o - d i m e n s i o n a l N e w t o n I t e r a t i v e S c h e m e , ” I E E E ' I f a n s . M T T , v o l . 4 6 , p p . 1 6 5 4 - 1 6 5 9 , N o v e m b e r 1 9 9 8 . [ 9 5 ] L a w r e n c e C a r i n , J e f f r e y S i c h i n a a n d J a m e s F . H a r v e y , ” M i c r o w a v e U n d e r g r o u n d P r o p - a g a t i o n a n d D e t e c t i o n , ” I E E E T r a n s . M T T , v o l . 5 0 , n o . 3 , p p . 9 4 5 - 9 5 2 , M a r c h 2 0 0 2 . [ 9 6 ] K e i i c h i U e n o , N o r i y o s h i O s u m i a n d T a k u n o r i M a s h i k k o , ” A n U n d e r g r o u n d O b j e c t I m a g i n g S y s t e m w i t h C o m p u t e r i z e d R e c o n s t r u c t i o n , ” I E E E I C A S S P , T o k y o , 1 9 8 6 . [ 9 7 ] D a n i e l s D . J . , G u n t o n D . J . a n d S c o t t H . F . , ” I n t r o d u c t i o n t o s u b s u r f a c e r a d a r , ” I E E P r o c . , P a r t F , v o l . 1 3 5 , n o . 4 , p p . 2 7 8 - 2 8 4 , 1 9 8 8 . [ 9 8 ] M a s t J . E , L e e H . , M u r t h a J . P . , ” A p p l i c a t i o n o f m i c r o w a v e p u l s e - e c h o r a d a r i m a g i n g t o t h e n o n d e s t r u c t i v e e v a l u a t i o n o f b u i l d i n g s , ” I n t J . I m a g . S y s t . T e c h , v o l . 4 , p p . 1 6 4 1 6 9 , 1 9 9 2 . [ 9 9 ] M i c h a e l C h a n g , P e t e r C h o u a n d H u a L e e , ” T o m o g r a p h i c M i c r o w a v e I m a g i n g f o r N o n - d e s t r u c t i v e E v a l u a t i o n a n d O b j e c t R e c o g n i t i o n o f C i v i l S t r u c t u r e s a n d M a t e r i a l s , ” I E E E P r o c . A S I L O M A R - 2 9 , p p . 1 0 6 1 - 1 0 6 5 , 1 9 9 6 . [ m m [ m m [ m m p m ] [ m g { m g H m ] L m n [ 1 0 m [ 1 0 9 ] [ 1 1 0 } P i e r a c c i n i M , L u z i G , M e c a t t i D , N o f e r i n i L , A t z e n i C . , ” A m i c r o w a v e r a d a r t e c h n i q u e f o r d y n a m i c t e s t i n g o f l a r g e s t r u c t u r e s , ” I E E E T r a n s . M i c r o w a v e T h e o r y T e c h , v o l . 5 1 , p p . 1 6 0 3 1 6 0 9 , 2 0 0 3 . K i m Y . J . , J o f r e L . , F l a v i i s D . F . , F e n g Q . M . , ” M i c r o w a v e r e f l e c t i o n t o m o g r a p h i c a r r a y f o r d a m a g e d e t e c t i o n o f c i v i l s t r u c t u r e s , ” I E E E T r a n s . A n t e n n a s P r o p a g . , v o l . 5 1 , p p . 3 0 2 2 - 3 0 3 2 , 2 0 0 3 . E . C . F e a r , X u L i , S u s a n C . H a g n e s s a n d M a r i a S t u c h l y , ” C o n f o c a l M i c r o w a v e I m a g i n g f o r B r e a s t C a n c e r D e t e c t i o n : L o c a l i z a t i o n o f T u m o r s i n T h r e e D i m e n s i o n s , ” I E E E T r a n s . B i o m e d . I m a g . , v o l . 4 9 , n o . 8 , p p . 8 1 2 - 8 2 1 , A u g u s t 2 0 0 2 . T . C . G u o a n d W . W . G u o , ” C o m p u t a t i o n o f e l e c t r o m a g n e t i c w a v e s c a t t e r i n g f r o m a n a r b i t r a r y t h r e e - d i m e n s i o n a l i n h o m o g e n e o u s d i e l e c t r i c o b j e c t , ” I E E E T r a n s . M a g n . , v o l . 2 5 , p p . 2 8 7 2 - 2 8 7 4 , 1 9 8 9 . N a d i n e J o a c h i m o w i c z , C h r i s t i a n P i c h o t a n d J e a n - P a u l H u g o n i n , ” I n v e r s e S c a t t e r i n g : A n I t e r a t i v e N u m e r i c a l M e t h o d f o r E l e c t r o m a g n e t i c I m a g i n g , ” I E E E ' I t a n s . A n t . P r o p . , V o l . 3 9 , N o . 1 2 , p p . 1 7 4 2 - 1 7 5 2 , D e c e m b e r 1 9 9 1 . S a l v a t o r e C a o r s i , G i a n L u i g i G r a g n a n i , M a t t e a P a s t o r i n o , ” A M u l t i v i e w M i c r o w a v e I m a g i n g S y s t e , f o r T w o - D i m e n s i o n a l P e n e t r a b l e O b j e c t s , ” I E E E T r a n s . M i c r o . T h e o . T e c h n . V o l . 3 9 , p p . 8 4 5 - 8 5 1 , M a y 1 9 9 1 . S a l v a t o r e C a o r s i , G i a n L u i g i G r a g n a n i , M a t t e a P a s t o r i n o , ” R e c o n s t r u c t i o n o f D i e l e c - t r i c P e r m i t t i v i t y D i s t r i b u t i o n s i n A r b i t r a r y 2 - D I n h o m o g e n e o u s B i o l o g i c a l B o d i e s b y a M u l t i v i e w M i c r o w a v e N u m e r i c a l M e t h o d , ” I E E E T r a n s . M e d . I m a g . , v o l . 1 2 , n o . 2 , p p . 2 3 2 - 2 3 9 , J u n e 1 9 9 3 . M e a n e y P . M , P a u l s e n K . D , H a r t o v A . , C r a n e R . K . , ” A n a c t i v e m i c r o w a v e i m a g - i n g s y s t e m f o r r e c o n s t r u c t i o n o f 2 - D e l e c t r i c a l p r o p e r t y d i s t r i b u t i o n s , ” I E E E T r a n s . B i o m e d . E n g , v o l . 4 2 , p p . 1 0 1 7 - 1 0 2 6 , 1 9 9 5 . P a u l s e n K . D , M e a n e y P . M . , M o s k o w i t z M . J . a n d S u l l i v a n , J r . J . M . , ” A d u a l m e s h s c h e m e f o r fi n i t e e l e m e n t b a s e d r e c o n s t r u c t i o n a l g o r i t h m s , ” I E E E T r a n s . o n M e d . I m a g . , v o l . 1 4 , p p . 5 0 4 - 5 1 4 , 1 9 9 5 . M e a n e y P . M , P a u l s e n K . D a n d R y a n T . P . , ” T w o - d i m e n s i o n a l h y b r i d e l e m e n t i m a g e r e c o n s t r u c t i o n f o r T M i l l u m i n a t i o n , ” I E E E T r a n s . A n t . a n d P r o p . , v o l . 4 3 , p p . 2 3 9 - 2 4 7 , 1 9 9 5 . M e a n e y P . M , P a u l s e n K . D a n d C h a n g J . T . , ” N e a r - fi e l d m i c r o w a v e i m a g i n g o f b i o l o g i c a l l y b a s e d m a t e r i a l s u s i n g a m o n o p o l e t r a n s c e i v e r s y s t e m , ” I E E E T r a n s . o n M i c r o w a v e T h e o r . a n d T e c h , v o l . 4 6 , p p . 3 1 - 4 5 , 1 9 9 8 . 3 5 2 [ n u [ u m [ u m h i s [ 1 1 5 ] [ u m [ u m [ 1 1 a [ 1 1 m [ 1 2 m L 1 2 1 ] [ 1 2 2 ] [ 1 2 3 ] [ 1 2 4 ] S . Y . S e m e n o v , R . I I . S v e n s o n , A . E . B u l y s h e v , A . E . S o u v o r o v , V . Y . B o r i s o v , Y . S i z o v , A . N . S t a r o s t i n , K . R . D e z e r n , G . P . T a t s i s a n d V . Y . B a r a n o v , ” M i c r o w a v e T o m o g r a p h y : T w o - D i m e n s i o n a l S y s t e m f o r B i o l o g i c a l I m a g i n g , ” I E E E T r a n s . B i o m e d . I m a g . , v o l . 4 3 , n o . 9 , p p . 8 6 9 - 8 7 7 , S e p t e m b e r 1 9 9 6 . A n n F r a n c h o i s a n d C h r i s t i a n P i c h o t , ” M i c r o w a v e I m a g i n g - C o m p l e x P e r m i t t i v i t y R e c o n s t r u c t i o n w i t h a L e v e n b e r g - M a r q u a r d t I V ‘ I e t h o d , ” I E E E t r a n s . A n t . P r o p a g . , v o l . 4 5 , n o . 2 , p p . 2 0 3 - 2 1 5 , F e b r u a r y 1 9 9 7 . I . T . R e k a n o s a n d T . D . T s i b o u k i s , ” A c o m b i n e d fi n i t e e l e m e n t C o n j u g a t e g r a d i e n t s p a t i a l m e t h o d f o r t h e r e c o n s t r u c t i o n o f u n k n o w n s c a t t e r e r p r o fi l e s , ” I E E E T r a n s . M a g n . , v o l . 3 4 , p p . 2 8 2 9 2 8 3 2 , S e p t . 1 9 9 8 . A . J o i s e l , J . M a l l o r q u i , A . B r o q u e t a s , J . - I \ " I . G e f f r i n , N . J o a c h i m o w i c z , M . V a l l - L o s s e r a , L . J o f r e , J - C h . B o l o m e y , ” M i c r o w a v e I m a g i n g T e c h n i q u e s f o r B i o m e d i c a l A p p l i c a - t i o n s , ” P r o c . I M T C / 9 9 , S p e c i a l S e s s i o n o n l V ‘ f i c r o w a v e I m a g i n g , V e n i c e , I t a l y , M a y 1 9 9 9 . D u n L i , P a u l M . l \ ~ ' I e a n e y a n d K e i t h D . P a u l s e n , ” C o n f o r m a l M i c r o w a v e I m a g i n g f o r B r e a s t C a n c e r D e t e c t i o n , ” I E E E T r a n s . M i c r o . W a v e . T h e o . T e c h n . , V o l . 5 1 , n o . 4 , p p . 1 1 7 9 - 1 1 8 6 , A p r i l 2 0 0 3 . J . W . H a r d y , ” A c t i v e O p t i c s : A N e w T e c h n o l o g y f o r t h e C o n t r o l o f L i g h t , ” P r o c . I E E E , v o l . 6 6 , p p . 6 5 1 , 1 9 7 8 . J . W . H a r d y , ” A d a p t i v e O p t i c s - a p r o g r e s s r e v i e w , ” P r o c . S P I E , v o l . 1 5 4 2 , p p . 2 - 1 7 , 1 9 9 1 . R . K . T y s o n , ” H a n d b o o k o n a d a p t i v e o p t i c s , ” N e w Y o r k , M a r c e l D e k k e r , 2 0 0 0 . A . C . C l a u s , ” O n A m r c h i m e d e s ’ b u r n i n g g l a s s , ” A p p l . O p t . , v o l . 1 2 , p . A 1 4 , 1 9 7 3 . B . H u l b u r d a n d D . S a n d l e r , ” S e g m e n t e d m i r r o r s f o r a t m o s p h e r i c c o m p e n s a t i o n , ” O p t . E n g . , v o l . 2 9 , n o . 1 0 , p p . 1 1 8 6 1 1 9 0 , 1 9 9 0 . J . P . C h e v i l l a r d , P . C o n n e s , M . C u i s e n i e r , J . F r i t e a u a n d C . M a i l o t , ” N e a r i n f r a r e d a s t r o n o m i c a l l i g h t c o l l e c t o r , ” A p p l . O p t . , v o l . 1 6 , p p . 1 8 1 7 - 1 8 3 3 , 1 9 7 7 . S . T i m o s h e n k o a n d S . W o i n o w s k y - K r i e g e r , ” T h e o r y o f p l a t e s a n d s h e l l s , ” M c G r a w - h i l l , 1 9 5 9 . J . M . Y o u n s e , ” M i r r o r s o n a c h i p , ” I E E E s p e c t r u m , v o l . 3 0 , 1 1 , p p . 2 7 — 3 1 , N o v 1 9 9 3 . L . J . H o r n b e c k , ” D i g i t a l l i g h t p r o c e s s i n g a n d M E M S : t i m e l y c o n v e r e g e n c e f o r a b r i g h t f u t u r e , ” P r o c . S P I E , 2 7 8 3 , p p . 2 - 1 3 , 1 9 9 6 . 3 5 3 p 2 m U 2 6 [ 1 2 m [ 1 2 s ] [ 1 2 9 ] [ 1 3 0 ] [ 1 3 1 ] [ 1 3 2 ] f 1 3 m [ 1 3 h [ 1 3 m [ 1 3 m [ 1 3 n [ 1 3 8 ] L . J . H o r n b e c k , ” D i g i t a l L i g h t P r o c e s s i n g T M f o r h i g h - b r i g h t n e s s , h i g h - r e s o l u t i o n a p - p l i c a t i o n s , ” P r o c . S P I E , v o l . 3 0 1 3 , P r o j e c t i o n D i s p l a y s I I I , p p . 2 7 - 4 0 , 1 9 9 7 . D a n a D u d l e y , W a l t e r M . D u n c a n , a n d J o h n S l a u g h t e r , ” E m e r g i n g d i g i t a l m i c r o m i r r o r d e v i c e ( D M D ) a p p l i c a t i o n s , ” P r o c . S P I E , v o l . 4 9 8 5 , M O E M S D i s p l a y a n d I m a g i n g S y s t e m s , p p . 1 4 - 2 5 , J a n u a r y 2 0 0 3 . B R W a g n e r I I , B . W . S m i t h , S . M a d d e n , J . D . W i n e f o r d n e r , M . M i g n a r d i , ” C o n - s t r u c t i o n a n d E v a l u a t i o n o f a V i s i b l e S p e c t r o m e t e r U s i n g D i g i t a l M i c r o m i r r o r S p a t i a l L i g h t M o d u l a t i o n , ” A p p l i e d S p e c t r o s c o p y , v o l . 4 9 , n o . 1 1 , p p . 1 7 1 5 - 1 7 1 9 , N o v e m b e r 1 9 9 5 . H . J . R o b e r t s o n , ” D e v e l o p m e n t o f a n a c t i v e o p t i c s c o n c e p t u s i n g a t h i n d e f o r m a b l e m i r r o r , ” N A S A C R - 1 5 9 3 , 1 9 7 0 . J . E . P e a r s o n a n d S . H a n s e n , ” E x p e r i m e n t a l s t u d i e s o f a d e f o r m a b l e m i r r o r a d a p t i v e o p t i c a l s y s t e m , ” J . O p t . S o c . , A m . , v o l . 6 7 , p p . 3 2 5 - 3 3 3 , 1 9 7 7 . J . W . H a r d y , J . E . L e f e b v r e a n d C . L . K o l i o p o u l o s , ” R e a l t i m e a t m o s p h e r i c c o m p e n - s a t i o n , ” J . O p t . S o c . A m . , v o l . 6 7 , p p . 3 6 0 - 3 6 9 , 1 9 7 7 . R o n a l d P . G r o s s o a n d M a r t i n Y e l l i n , ” T h e m e m b r a n e m i r r o r a s a n a d a p t i v e o p t i c a l e l e m e n t , ” J . O p t . S o c . A m . , v o l . 6 7 , n o . 3 , p p . 3 9 9 - , M a r c h 1 9 7 7 . R . H . F r e e m a n a n d J . E . P e a r s o n , ” D e f o r m a b l e m i r r o r s f o r a l l s e a s o n s a n d r e a s o n s , ” A p p l i e d O p t i c s , v o l . 2 1 , N o . 4 , p p . 5 8 0 — 5 8 8 , F e b r u a r y 1 9 8 2 . G . V d o v i n t a n d L . S a r r o , ” F l e x i b l e r e f l e c t i n g m e m b r a n e s m i c r o m a c h i n e d , ” S i l i c o n S e m i c o n d . S c i . a n d T e c h n o l . 9 , 1 5 7 0 - 1 5 7 2 , 1 9 9 4 . G . V d o v i n a n d P . M . S a r r o , ” F l e x i b l e m i r r o r m i c r o m a c h i n e d i n s i l i c o n , ” A p p l . O p t . , 3 4 , p p . 2 9 6 8 2 9 7 2 , 1 9 9 5 . T . G . B i f a n o , R . K r i s h n a m o o r t h y , J . K . D o r t o n , J . P e r r e a u l t , N . V a n d e l l i , M . N . H o r e n s t e i n , a n d D . A . C a s t a n o n , ” C o n t i n u o u s m e m b r a n e s u r f a c e - m i c r o m a c h i n e d s i l - i c o n d e f o r m a b l e m i r r o r , ” O p t . E n g , 3 6 , 1 3 5 4 1 3 6 0 , M a y 1 9 9 7 . G . V d o v i n . P . M . S a r r o , S . M i d d e l h o e k , ” T e c h n o l o g y a n d a p p l i c a t i o n s o f M i c r o m a - c h i n e d S i l i c o n A d a p t i v e M i r r o r s , ” O p t i c a l E n g i n e e r i n g , 3 6 , p p . 5 5 0 9 - 5 5 1 3 , 1 9 9 7 . H . T o s h i y o s h i a n d H . F u j i t a , ” A n e l e c t r o s t a t i c a l l y o p e r a t e d t o r s i o n m i r r o r f o r o p t i c a l s w i t c h i n g d e v i c e s , ” P r o c . T r a n s d u c e r s , p p . 2 9 7 - 3 0 0 , 1 9 9 5 . R . K r i s h n a m o o r t h y , T . G . B i f a n o a n d N . V a n d e l l i , ” D e v e l o p m e n t o f m i c r o e l e c - t r o m e c h a n c i a l d e f o r m a b l e m i r r o r s f o r p h a s e m o d u l a t i o n o f l i g h t , ” O p t i c a l E n g i n e e r i n g , v o l . 3 6 ( 2 ) , p p . 5 4 2 - 5 4 8 , F e b r u a r y 1 9 9 7 . [ 1 5 4 ] A . S . G l a s s n e r , ” A n i n t r o d u c t i o n t o R a y ' I f a c i n g , ” S a n D i e g o , A c a d e m i c P r e s s , 1 9 8 9 . [ 1 3 9 ] [ 1 4 0 ] H 4 0 [ 1 4 2 ] [ 1 4 3 ] [ 1 4 4 ] [ 1 4 m [ 1 4 6 ] [ 1 4 a [ 1 4 a [ 1 4 9 1 [ 1 5 0 ] [ 1 5 1 ] [ 1 5 2 ] M . I k e d a , H . G o t o , M . S a k a t a , K . I . W a k a b a y a s h i , M . T a k e u c h i a n d T . Y a d a , ” T w o d i m e n s i o n a l s i l i c o n m i c r o m a c h i n e d o p t i c a l s c a n n e r i n t e g r a t e d w i t h p h o t o d e t e c t o r , ” P r o c . S P I E , 2 3 2 8 , p p . 1 1 8 - 1 2 3 , 1 9 9 5 . R . A . M i l l e r , Y u - C h o n g T a i , ” M i c r o m a c h i n e d e l e c t r o m a g n e t i c s c a n n i n g m i r r o r s , ” O p - t i c a l E n g i n e e r i n g , v o l . 3 6 , n o . 5 , p p . 1 3 9 9 — 1 4 0 7 , M a y 1 9 9 7 . J u n z h o n g L i a n g , D a v i d R . W i l l i a m s , a n d D o n a l d T . M i l l e r , ” S u p e r n o r m a l v i s i o n a n d h i g h - r e s o l u t i o n r e t i n a l i m a g i n g t h r o u g h a d a p t i v e o p t i c s , ” J . O p t . S o c . o f A m e r . A , v o l . 1 4 , N o . 1 1 , p p . 2 8 8 4 - 2 8 9 2 , N o v 1 9 9 7 . Y . P a n , H . X i e , a n d G . K . F e d d e r , ” E n d o s c o p i c o p t i c a l c o h e r e n c e t o m o g r a p h y b a s e d o n a m i c r o e l e c t r o m e c h a n i c a l m i r r o , ” O p t . L e t t . , 2 6 , 1 9 6 6 1 9 6 8 , 2 0 0 1 . O . A l b e r t , L . S h e r m a n , G . M o u r o u , a n d T . B . N o r r i s , ” S m a r t m i c r o s c o p e : a n a d a p t i v e o p t i c s l e a r n i n g s y s t e m f o r a b e r r a t i o n c o r r e c t i o n i n m u l t i p h o t o n c o n f o c a l m i c r o s c o p y , ” O p t . L e t t . , v o l . 2 5 , N o . 1 , p p . 5 2 - 5 4 , J a n u a r y 2 0 0 0 . M i c r o - O p t o — E l e c t r o — M e c h a n i c a l S y s t e m s s e c t i o n i n O p t i c a l E n g i n e e r i n g , V o l . 3 6 , N o . 5 , M a y 1 9 9 7 . R . N . B r a c e w e l l , ” S t r i p i n t e g r a t i o n i n r a d i o a s t r o n o m y , ” A u s t . J . P h y s , v o l . 9 , p p . 1 9 8 - 2 1 7 , 1 9 5 6 . G T . H e r m a n , ” I m a g e r e c o n s t r u c t i o n f r o m p r o j e c t i o n s : t h e f u n d a m e n t a l s o f c o m p u t - e r i z e d t o m o g r a p h y , ” S a n F r a n c i s c o , A c a d e m i c P r e s s , 1 9 8 0 . R . G o r d o n a n d G . T . H e r m a n , ” R e c o n s t r u c t i o n o f p i c t u r e s f r o m t h e i r p r o j e c t i o n s , ” C o m m u n . A s s o c . C o m p u t . M a c h , v o l . 1 4 , p p . 7 5 9 - 7 6 8 , 1 9 7 1 . S . K a c z m a r z , ” A n g e n a h e r t e a u f l o s u n g v o n s y s t e m e n l i n e a r e r g l e i c h u n g e n , ” B u l l . A c a d . P o l . S c i . L e t t . A , v o l . 6 — 8 A , p p . 3 5 5 - 3 5 7 , 1 9 3 7 . A . H , D e l a n e y a n d Y . B r e s l e r , ” A f a s t i t e r a t i v e t o m o g r a p h i c r e c o n s t r u c t i o n a l g o - r i t h m , ” p p . 2 2 9 5 - 2 2 9 8 , I E E E 1 9 9 5 . K . M u e l l e r , R . Y a g e l , a n d J . J . W h e l l e r , ” F a s t i m p l e m e n t a t i o n s o f a l g e b r a i c m e t h - o d s f o r t h e 3 D r e c o n s t r u c t i o n f r o m c o n e - b e a m d a t a , ” I E E E ’ I f a n s a c t i o n s o n M e d i c a l I m a g i n g , v o l . 1 8 , n o . 6 , p p . 5 3 8 - 5 4 7 , 1 9 9 9 . h t t p : / / w w w . c t l a b . g e o . u t e x a s . e d u / o v e r v i e w / i n d e x . p h p h t t p : / / w w w . a s n t . o r g / p u b l i c a t i o n s / M a t e r i a l s e v a l / b a s i c s / m a y O O b a s i c s / m a y 0 0 b a s i c s . h t m I 1 5 3 ] W . H . B r a g g a n d W . L . B r a g g , ” X - r a y s a n d c r y s t a l s t r u c t u r e , ” G . B e l l , L o n d o n 1 9 2 5 . [ 1 5 5 ] [ 1 5 6 ] [ 1 5 7 ] [ 1 5 8 ] [ 1 5 9 ] [ 1 6 0 ] [ 1 6 1 ] [ 1 6 2 ] [ 1 6 3 ] [ 1 6 4 ] [ 1 6 5 ] [ 1 6 6 ] [ 1 6 7 ] D . L . W i n d t , E . M . G u l l i k s o n , a n d C . C . W a l t o n , ” N o r m a l i n c i d e n c e r e f l e c t a n c e o f o p t i m i z e d W / B 4 C X - r a y m u l t i l a y e r s i n t h e r a n g e 1 . 4 n m - 2 . 4 n m , ” O p t . L e t t . 2 7 , p p . 2 2 1 2 2 2 1 4 , 2 0 0 2 . K . T a n a b e , ” P r o j e c t i o n m e t h o d o f s o l v i n g a s y s t e m o f s i n g u l a r s y s t e m o f l i n e a r e q u a - t i o n s a n d i t s a p p l i c a t i o n s , ” N u r n e r . M a t h . , 1 7 , p p . 2 0 3 — 2 1 4 , 1 9 7 1 . J . D u M o n d , a n d J . P . Y o u t z , ” S e l e c t i v e X - R a y D i f f r a c t i o n f r o m A r t i fi c i a l l y S t r a t i fi e d M e t a l F i l m s D e p o s i t e d b y E v a p o r a t i o n , ” P h y s . R e v . , 4 8 , p p . 7 0 3 - 7 0 4 , 1 9 3 5 . E . S p i l l e r , ” L o w - L o s s R e f l e c t i o n C o a t i n g s U s i n g A b s o r b i n g I V ' f a t e r i a l s , ” A p p l . P h y s . L e t t . , 2 0 , p p . 3 6 5 - 3 6 7 , 1 9 7 2 . J o h n F . S e e l y , G . G u t m a n , J . W o o d , G . S . H e r m a n , M . P . K o w a l s k i , J . C . R i f e , W . R . H u n t e r , ” N o r m a l - i n c i d e n c e r e f l e c t a n c e o f W / B 4 C m u l t i l a y e r m i r r o r s i n t h e 3 4 - 5 0 — w a v e l e n g t h r e g i o n , ” A p p l i e d O p t i c s , 3 2 , p p . 3 5 4 1 - 3 5 4 3 , 1 9 9 3 . P . H o g h o j , K . D . J o e n s e n , F . E . C h r i s t e n s e n , J . S u s i n i , E . Z i e g l e r , A . K . F r e u n d , E . L u e k e n , C . R i e k e l , ” M e a s u r e m e n t o f m u l t i l a y e r r e f l e c t i v i t i e s f r o m 8 k e V t o 1 3 0 k e V , ” S P I E , 2 0 0 1 , p p . 3 . 3 4 - 3 . 5 9 , 1 9 9 4 . O b e r t o C i t t e r i o a n d S t e p h e n L . O D e l l , ” O p t i c s f o r E U V , X — R a y , a n d G a m m a — R a y A s t r o n o m y , ” P r o c e e d i n g s o f S P I E , 5 1 6 8 , J a n u a r y 2 0 0 4 . C u r t i s R . V o g e l ” C o m p u t a t i o n a l M e t h o d s f o r I n v e r s e P r o b l e m s , ” S o c i e t y f o r I n d u s t r i a l a n d A p p l i e d M a t h e m a t i c s , 2 0 0 2 . X u L i a n d S u s a n C . H a g n e s s , ” A C o n f o c a l M i c r o w a v e I m a g i n g A l g o r i t h m f o r B r e a s t C a n c e r D e t e c t i o n , ” I E E E M i c r o w a v e a n d W i r e l e s s C o m p o n e n t s L e t t e r s , V o l . 1 1 , n o . 3 , p p . 1 3 0 - 1 3 2 , M a r c h 2 0 0 1 . G a r y D . K n o t t , ” I n t e r p o l a t i n g C u b i c S p l i n e s ( P r o g r e s s i n C o m p u t e r S c i e n c e & A p — p l i e d L o g i c ) , ” B i r k h a u s e r V e r l a g A G , 1 9 9 9 . B a r t e l s R . H . , B e a t t y J . C . a n d B a r s k y B . A . , ” A n I n t r o d u c t i o n t o S p l i n e s f o r U s e i n C o m p u t e r G r a p h i c s a n d G e o m e t r i c M o d e l l i n g , ” S a n F r a n c i s c o , C A : M o r g a n K a u f - m a n n , 1 9 9 8 . K . A r u n a c h a l a m , S . S . U d p a a n d L . U d p a , ” A c t i v e M i c r o w a v e B r e a s t . C a n c e r I m a g i n g U s i n g D e f o r m a b l e M i r r o r , ” T h e 2 0 0 6 I E E E A P - S I n t e r n a t i o n a l S y m p o s i u m o n A n - t e n n a s a n d P r o p a g a t i o n a n d U S N C / U R S I N a t i o n a l R a d i o S c i e n c e M e e t i n g , J u l y 9 - 1 5 , A l b u q u e r q u e ( U S A ) , 2 0 0 6 . K . A r u n a c h a l a m , L . U d p a a n d S . S . U d p a , ” A c t i v e M i c r o w a v e I m a g i n g u s i n g a D e - f o r m a b l e M i r r o r , ” T h e 1 2 t h B i e n n i a l I E E E C o n f e r e n c e o n E l e c t r o m a g n e t i c F i e l d C o m - p u t a t i o n , A p r i l 3 0 t h t o M a y 3 r d , M i a m i ( U S A ) , 2 0 0 6 . 3 5 6 [ 1 6 8 ] A r u n a c h a l a m K a v i t h a , U d p a L a l i t a a n d U d p a S a t i s h S , ” I m a g i n g u s i n g D e f o r m a b l e M i r r o r f o r I n v e r s e S c a t t e r i n g A p p l i c a t i o n s , ” 9 t h W o r k s h o p o n O p t i m i z a t i o n a n d I n - v e r s e P r o b l e m s i n E l e c t r o m a g n e t i c s , S e p t e m b e r 1 3 t h - 1 5 t h , S o r r e n t o ( I t a l y ) , 2 0 0 6 . [ 1 6 9 ] R . O . D u d a , P . E . H a r t a n d D . G . S t o r k , ” P a t t e r n C l a s s i fi c a t i o n , ” 2 n d e d . , J o h n W i l e y a n d S o n s , 2 0 0 1 . [ 1 7 0 ] O . C . Z i e n k i e w i c z a n d R . L . T a y l o r , ” T h e F i n i t e E l e m e n t M e t h o d , ” M c G r a w H i l l , N e w Y o r k , 1 9 8 9 . [ 1 7 1 ] P P S i l v e s t e r a n d R . L . F e r r a r i , ” F i n i t e E l e m e n t s f o r E l e c t r i c a l E n g i n e e r s , ” C a m b r i d g e U n i v e r s i t y P r e s s , 1 9 9 0 . [ 1 7 2 ] C h u r c h i l l R . V a n c e , ” C o m p l e x v a r i a b l e s a n d a p p l i c a t i o n s , ” N e w Y o r k : M c G r a w - H i l l , 1 9 8 4 . [ 1 7 3 ] K a v i t h a A r u n a c h a l a m , S a t i s h S . U d p a a n d L a l i t a U d p a , ” D e f o r m a b l e M i r r o r T o - m o g r a p h y A n A l t e r n a t i v e I m a g i n g T e c h n i q u e f o r I n v e r s e S c a t t e r i n g A p p l i c a t i o n s , ” s u b m i t t e d t o I n e t e r n a t i o n a l J o u r n a l o f A p p l i e d E l e c t r o m a g n e t i c s a n d M e c h a n i c s ( I J A E M ) . [ 1 7 4 ] P a u l R . S t a u f f e r a n d S . N . G o l d b e r g , ” I n t r o d u c t i o n : T h e r m a l a b l a t i o n t h e r a p y , ” I n t . J . H y p e r t h e r m i a , v o l . 2 0 , n o . 7 , p p . 6 7 1 6 7 7 , N o v 2 0 0 4 . [ 1 7 5 ] M . W . D e w h i r s t , B . L . V g l i a n t i , M . L o r a - M i c h i e l s , M . H a n s o n , a n d P . J . H o o p e s , ” B a s i c p r i n c i p l e s o f t h e r m a l d o s i m e t r y a n d t h e r m a l t h r e s h o l d s f o r t i s s u e d a m a g e f r o m h y p e r t h e r m i a , ” I n t . J . H y p e r t h e r m i a , v o l . 1 9 , n o . 3 , p p . 2 6 7 2 9 4 , 2 0 0 3 . [ 1 7 6 ] D . F . K a c h e r , a n d F A . J o l e s z , ” M R i m a g i n g g u i d e d b r e a s t . a b l a t i v e t h e r a p y , ” R a d i o l C l i n N A m , v 0 . 1 . 4 2 , p p . 9 4 7 9 6 2 , 2 0 0 4 . [ 1 7 7 ] K . H y n y n e n , O . P o m e r o y , D . N . S m i t h , P . E . H u b e r , N . J . M c D a n n o l d , J . K e t t e n b a c h , J . B a u m , S . S i n g e r , a n d F . A . J o l e s z , ” M R I m a g i n g g u i d e d F o c u s e d U l t r a s o u n d S u r g e r y o f F i b r o a d e n o m a s i n t h e B r e a s t : A F e a s i b i l i t y S t u d y , ” R a d i o l o g y , v o l . 2 1 9 , p p . 1 7 6 1 8 5 , 2 0 0 1 . [ 1 7 8 ] J . E . K e n n e d y , G . R . T e r H a a r , a n d D . C r a n s t o n , ” R e v i e w a r t i c l e H i g h i n t e n s i t y f o c u s e d u l t r a s o u n d : s u r g e r y o f t h e f u t u r e ? , ” T h e B r i t i s h J o u r n a l o f R a d i o l o g y , v o l . 7 6 , p p . 5 9 0 5 9 9 , 2 0 0 3 . [ 1 7 9 ] H . M u m t a z , M . A . H a l l - C r a g g s , A . W o t h e r s p o o n , M . P a l e y , G . B u o n a c c o r s i , Z . A m i n , I . W i l k i n s o n , M . W . K i s s i n , T . 1 . D a v i d s o n , 1 . T a y l o r , a n d S . G . B o w n , ” L a s e r T h e r a p y f o r B r e a s t C a n c e r : M R I m a g i n g a n d H i s t o p a t h o l o g i c C o r r e l a t i o n , ” R a d i o l o g y v o l . 2 0 0 , p p . 6 5 1 - 6 5 8 , 1 9 9 6 . 3 5 7 [ 1 8 0 ] S . F u j i m o t o , K . K o b a y a s h i , M . T a k a h a s h i , K . N e m o t o , I . Y a r n a m o t o , T . M u t o u , T . [ 1 8 1 ] [ 1 8 2 ] [ 1 8 3 ] [ 1 8 4 ] [ 1 8 5 ] [ 1 8 6 ] [ 1 8 7 ] [ 1 8 8 ] [ 1 8 9 ] T o y a s a w a , T . A s h i d a , S . H a y a s h i , N . I g a r a s h i a n d H . O h k u b o , ” C l i n i c a l p i l o t s t u d i e s o n p r e - o p e r a t i v e h y p e r t h e r m i c t u m o u r a b l a t i o n f o r a d v a n c e d b r e a s t c a r c i n o m a u s i n g a n 8 M I I z r a d i o f r e q u e n c y h e a t i n g d e v i c e , ” I n t . J . H y p e r t h e r m i a , v o l . 1 9 , p p . 1 3 - 2 2 , 2 0 0 3 . E . S . E b b i n i , S . I . U m e m u r a , S . I . , M . I b b i n i , C . A . C a i n , ” A c y l i n d r i c a l - s e c t i o n u l t r a - s o u n d p h a s e d - a r r a y a p p l i c a t o r f o r h y p e r t h e r m i a c a n c e r t h e r a p y , ” I E E E T f a n s . U l t r a - s o n . F e r r o e l e c t . F r e q . C o n t r . , v o l . 3 5 , p p . 5 6 1 - 5 7 2 , 1 9 8 8 . A . J . F e n n , G . L . W o l f a n d R . M . F o g l e , ” A n a d a p t i v e m i c r o w a v e p h a s e d a r r a y f o r t a r g e t e d h e a t i n g o f d e e p t u m o r s i n i n t a c t b r e a s t : a n i m a l s t u d y r e s u l t s , ” I n t . J . H y p e r t h e r m i a , v o l . 1 5 , p p . 4 5 — 6 1 , 1 9 9 9 . V . N . M a z o k h i n , D . N . K o l m a k o v , N . A . L u c h e y o v , E . A . G e l v i c h a n d I . I . ' I f o s h i n , ” A H F E M i n s t a l l a t i o n a l l o w i n g s i m u l t a n e o u s w h o l e b o d y a n d d e e p l o c a l E M h y p e r - t h e r m i a , ” I n t . J . H y p e r t h e r m i a , v o l . 1 5 , n o . 4 , p p . 3 0 9 - 3 2 9 , 1 9 9 9 . J . C . C a m a r t , D . D e s p r e t z , B . P r e v o s t , J . P . S o z a n s k i , M . C h i v e a n d J . p r i b e t i c h , ” N e w 4 3 4 M H z i n t e r s t i t i a l h y p e r t h e r m i a s y s t e m m o n i t o r e d b y m i c r o w a v e r a d i o m e t r y : t h e o r e t i c a l a n d e x p e r i m e n t a l r e s u l t s , ” I n t . J . H y p e r t h e r m i a , v o l . 1 6 , n o . 2 , p p . 9 5 - 1 1 1 , 2 0 0 0 . L . W u , R . J . M c G o u g h , O . A . A r a b e , a n d T . V . S a m u l s k i , ” A n R F p h a s e d a r r a y a p p l i c a t o r d e s i g n e d f o r h y p e r t h e r m i a b r e a s t c a n c e r t r e a t m e n t s , ” P h y s . M e d . B i o l . , v o l . 5 1 , p p . 1 2 0 , 2 0 0 6 . M . H i r a o k a , M . M i t s u m o r i , N . H i r o i , S h . O h n o , Y . T a n a k a , Y . K o t s u k a , a n d K . S u g i m a c h i , ” D e v e l o p m e n t o f R F a n d M i c r o w a v e H e a t i n g E q u i p m e n t a n d C l i n i c a l A p p l i c a t i o n s t o C a n c e r T r e a t m e n t i n J a p a n , ” I E E E T r a n s . M T T , v o l . 4 8 , n o . 1 1 , N o v e m b e r 2 0 0 0 . S . K . D a s , S . T . C l e g g a n d T . V . S a m u l s k i , ” E l e c t r o m a g n e t i c t h e r m a l t h e r a p y p o w e r o p t i m i z a t i o n f o r m u l t i p l e s o u r c e a p p l i c a t o r s , ” I n t . J . H y p e r t h e r m i a , v o l . 1 5 , N o . 4 , p p . 2 9 1 - 3 0 8 , 1 9 9 9 . M . S e e b a s s , R . B e c k , J . G e l l e r m a n n , J . N a d o b n y a n d P . W u s t , ” E l e c t r o m a g n e t i c p h a s e d a r r a y s f o r r e g i o n a l h y p e r t h e r m i a : o p t i m a l f r e q u e n c y a n d a n t e n n a a r r a n g e - m e n t , ” I n t . J . H y p e r t h e r m i a , v o l . 1 7 , p p . 3 2 1 - 3 3 6 , 2 0 0 1 . J . W i e r s m a , R . A . M . V a n M a a r s e v e e n , a n d J . D . P . V a n D i j k , ” A f l e x i b l e o p t i - m i z a t i o n t o o l f o r h y p e r t h e r m i a t r e a t m e n t s w i t h R F p h a s e d a r r a y s y s t e m s , ” I n t . J . H y p e r t h e r m i a , v o l . 1 8 , N o . 2 , p p . 7 3 - 8 5 , 2 0 0 2 . 3 5 8 [ 1 9 0 ] [ 1 9 1 ] [ 1 9 2 ] [ 1 9 3 ] [ 1 9 4 ] [ 1 9 5 ] [ 1 9 6 ] [ 1 9 7 ] [ 1 9 8 ] [ 1 9 9 ] [ 2 0 0 ] [ 2 0 1 ] [ 2 0 2 ] H . K r o e z e , J . B . V a n d e K a m e r , A . C . D e L e e u w a n d J . J . W . L a g e n d i j k , ” R e g i o n a l h y p e r t h e r m i a a p p l i c a t o r d e s i g n u s i n g F D T D m o d e l l i n g , ” P h y s . M e d . B i o l . , v o l . 4 6 , p p . 1 9 1 9 1 9 3 5 , 2 0 0 1 . K . D . P a u l s e n , S . G e i m e r , J . T a n g , a n d W . B o y s e , ” O p t i m i z a t i o n o f p e l v i c h e a t i n g r a t e d i s t r i b u t i o n s w i t h e e r t r o m a g n e t i c p h a s e d a r r a y s , ” I n t . J . H y p e r t h e r m i a , v o l . 1 5 , n o . 3 , p p . 1 5 7 - 1 8 6 , 1 9 9 9 . C . B a r o n i , M . C . G i r i , G . M e l i a d o a , S . M a l u t a , a n d G . C h i e r e g o , ” A m e t h o d f o r t h e q u a n t i t a t i v e e v a l u a t i o n o f S A R d i s t r i b u t i o n i n d e e p r e g i o n a l h y p e r t h e r m i a , ” I n t . J . H y p e r t h e r m i a , v o l . 1 7 , n o . 5 , p p . 3 6 9 - 3 8 1 , 2 0 0 1 . M . C o n v e r s e , E . J . B o n d , S . C . H a g n e s s , a n d B . D . V a n V e e n , ” U l t r a w i d e — B a n d M i c r o w a v e S p a c e T i m e B e a m f o r m i n g f o r H y p e r t h e r m i a T m a t m e n t o f B r e a s t C a n c e r : A C o m p u t a t i o n a l F e a s i b i l i t y S t u d y , ” I E E E T r a n s M T T , v o l . 5 2 , n o . 8 , A u g u s t 2 0 0 4 . K . A r u n a c h a l a m , S . S . U d p a a n d L . U d p a , ” l V ' I i c r o w a v e B r e a s t C a n c e r H y p e r t h e r m i a U s i n g D e f o r m a b l e M i r r o r , ” T h e 2 0 0 6 I E E E A P - S I n t e r n a t i o n a l S y m p o s i u m o n A n - t e n n a s a n d P r o p a g a t i o n a n d U S N C / U R S I N a t i o n a l R a d i o S c i e n c e M e e t i n g , J u l y 9 - 1 5 , A l b u q u e r q u e ( U S A ) , 2 0 0 6 . K a v i t h a A r u n a c h a l a m , S a t i s h S . U d p a a n d L a l i t a U d p a , ” A n R F T h e r a p y S y s t e m f o r B r e a s t C a n c e r T r e a t m e n t U s i n g D e f o r m a b l e M i r r o r , ” T h e 3 3 r d A n n u a l R e v i e w o f P r o g r e s s i n Q u a n t i t a t i v e N o n d e s t r u c t i v e E v a l u a t i o n ( Q N D E ) , J u l y 3 0 — A u g u s t 4 , P o r t l a n d ( U S A ) , 2 0 0 6 . P . B e r n a r d i , M . C a v a g n a r o , S . P i s a a n d E . P i u z z i , S p e c i fi c A b s o r p t i o n R a t e a n d T e m p e r a t u r e E l e v a t i o n i n a S u b j e c t E x p o s e d i n t h e F a r - F i e l d o f R a d i o - F r e q u e n c y S o u r c e s O p e r a t i n g i n t h e 1 0 9 0 0 - M I - I z R a n g e , I E E E T r a n s . B i o m e d . E n g , v o l . 5 0 , n o . 3 , M a r c h 2 0 0 3 . J . B . V a n D e K a m e r , N . V a n W i e r i n g e n , A . A . C . D e L e e u w a n d J . J . W . L a g e n d i j k , ” T h e s i g n i fi c a n c e o f a c c u r a t e d i e l e c t r i c t i s s u e d a t a f o r h y p e r t h e r m i a t r e a t m e n t p l a n - n i n g , ” I n t . J . H y p e r t h e r m i a , v o l . 1 7 , n o . 2 , p p . 1 2 3 - 1 4 2 , 2 0 0 1 . A l b e r t I V ’ I a c o v s k i , ” M e d i c a l i m a g i n g s y s t e m s , ” P r e n t i c e - H a l l , E n g l e w o o d C l i f f s , N J , 1 9 8 3 . h t t p : / / y h s p a t 7 ' i 0 t . y m ‘ k t o w n . a r l i n g t o n . k 1 2 . 1 ) a . u s / c k a l d a h l / L i n k s / r l l R I l ' i n k s a d u h t m l h t t p : / / w w w . p a r t n e r s h r z f p f o r b r e a s t c a r e . 0 7 ‘ g / P B C / p r 0 b l e m s / w a y s / m r z ' . a s p a : U w e F i s c h e r , ” P r a c t i c a l M R h r f a m m o g r a p h y , ” G e o r g e T h i e m e V e r l a g , N e w Y o r k , 2 0 0 4 . S . H . H e y w a n g - K o b r u n n e r a n d R . B e c k , ” C o n t r a s t - e n h a n c e d M R I o f t h e B r e a s t , ” S p r i n g e r V e r l a g , 1 9 9 5 . 3 5 9 1 [ 2 0 3 ] h t t p : / / t r a i n i n g . s e e r . c a n c e r . g o v / [ 2 0 4 ] A n i l K . J a i n , ” F u n d a m e n t a l s o f D i g i t a l I m a g e P r o c e s s i n g , ” P r e n t i c e H a l l , E n g l e w o o d C l i f f s , N J , 1 9 8 9 . [ 2 0 5 ] M . B o r n a n d E . W o l f , ” P r i n c i p l e s o f O p t i c s , ” s i x t h e d i t i o n ( w i t h c o r r e c t i o n s ) , P e r g a — m o n P r e s s , 1 9 8 9 . [ 2 0 6 ] ” W P 8 1 3 S R D / D 1 . 0 m m G a A l A s r e d L E D , ” A p r i l 1 9 2 0 0 5 , R e v . 2 , K i n g b r i g h t C o r o - p o r a t i o n , C A , U S A . [ 2 0 7 ] ” L C l - U S B 2 . 0 C C D L i n e C a m e r a , ” O c t o b e r 1 6 2 0 0 4 , 1 0 6 9 5 - D 0 2 R e v . A , T h o r l a b s I n c . , N J , U S A . 3 6 0 will] [ [ 1 ] ] L [l][ [ 1 1 ] ] M M M M M M M M M 2 6 7