T " ' 4 E S l S L I B R A R Y a n H y m n s ? Q Q M E Q K M . " ‘ . . n o ? ! " v ' g a t . . , d t . . . r ~ - ’ 7 \ ‘ I T h i s i s t o c e r t i f y t h a t t h e t h e s i s e n t i t l e d A N E W A P P R O A C H T O S I M I L A R I T Y R E L A T I O N S I N S E T _ T H E p o r § i s r e # 3 3 1 1 ; n g A L E X I S T U R K A L O h a s b e e n a c c e p t e d t o w a r d s f u l fi l l m e n t o f t h e r e q u i r e m e n t s f o r P h . D . J e g r e e i n M u s i c M a j o r p r o f e s s o r D a t e 1 0 / 1 5 / 8 0 0 - 7 6 3 9 R P c E l h T U R a a c r e g e N i X n f E r I o L o m Q k c R i b o A r r R e c Y t u u l I M r a A n t T i E M o R n A r L e S c m : o r d s O V E R D U E F I N E S : 2 5 ¢ p e r d a y p e r i t a l : ( [ 1 4 4 - \ \ \ \ ‘ L ‘ . 4 ) B ' 1 ‘ “ 3 1 6 " . ” 1 I n t e r e s t ? a I " ) 1 9 . 3 5 6 A N E W A P P R O A C H T O S I M I L A R I T Y R E L A T I O N S I N S E T - T H E O R Y A N A L Y S I S V o l u m e I B Y A l e x i s T u r k a l o A D I S S E R T A T I O N S u b m i t t e d t o M i c h i g a n S t a t e U n i v e r s i t y i n p a r t i a l f u l f i l l m e n t o f t h e r e q u i r e m e n t s f o r t h e d e g r e e o f D O C T O R O F P H I L O S O P H Y D e p a r t m e n t o f M u s i c 1 9 8 0 A B S T R A C T A N E W A P P R O A C H T O S I M I L A R I T Y R E L A T I O N S I N S E T - T H E O R Y A N A L Y S I S B Y A l e x i s T u r k a l o A S e t — T h e o r y a p p r o a c h t o a n a l y s i s a t t e m p t s t o i d e n t i f y , d e f i n e a n d e x p l a i n t h e p i t c h c o n t e n t o f a t o n a l m u s i c , w h i c h c a n n o t b e e x p l a i n e d e a s i l y b y " t r a d i t i o n a l " m e t h o d s . T h e S t r u c t u r e o f A t o n a l M u s i c , b y A l l e n F o r t e , i s p r o b a b l y t h e b e s t k n o w n t e x t t h a t d e a l s w i t h t h i s t h e o r y . T h e P r o b l e m W h i l e s o m e o f t h e r e l a t i o n s h i p s a s d e f i n e d b y F o r t e a r e f a s c i n a t i n g a s n u m b e r - t h e o r y , t h e y s o m e t i m e s f a i l t o b e u s e f u l i n m u s i c a l a n a l y s i s f o r t h e s i m p l e r e a s o n t h a t t h e y d e a l w i t h e l e m e n t s t h a t a r e o f t e n n o t p r e s e n t i n a g i v e n s c o r e . M a n y r e l a t i o n s h i p s a r e l e f t u n e x p l o r e d , i g n o r e d a n d , f o r t h e m o s t p a r t , c o n s i d e r e d t o b e o f m a r g i n a l i m p o r t a n c e . T h e P r o c e d u r e T h e s y s t e m f o r r e l a t i n g s e t s o f l i k e c a r d i - n a l i t y t h a t i s p r e s e n t e d i n t h i s d i s s e r t a t i o n p r o v i d e s A l e x i s T u r k a l o i n f o r m a t i o n l e f t u n e x p l o r e d b y F o r t e . I t i s b a s e d o n t h e p r e m i s e t h a t s e t s c a n a n d s h o u l d b e c o m p a r e d o n t h e b a s i s o f w h i c h s u b s e t s t h e y h a v e i n c o m m o n . T h e r e f o r e , a s e r i e s o f c h a r t s , b o u n d i n a s e p a r a t e v o l u m e ( t h e I n d e x ) , r e l a t i n g p a i r s o f s e t s , f r o m t h o s e o f c a r d i - n a l i t y 4 _ t o t h o s e o f c a r d i n a l i t y 8 , w a s p r e p a r e d . W h e r e a s , f o r m e r l y o n l y a m i n o r i t y o f p a i r s o f s e t s c o u l d b e c o m p a r e d b y s i m i l a r i t y r e l a t i o n s , t h i s n e w a p p r o a c h a l l o w s f o r a l l p a i r s o f s e t s o f e q u a l c a r d i n a l i t y t o b e c o m p a r e d i n a m e a n i n g f u l w a y . T o i l l u s t r a t e t h e u s e o f t h i s m e t h o d , t h e d i s - s e r t a t i o n p r e s e n t s a s a m p l e a n a l y s i s ; t h a t o f t h e s e c o n d m o v e m e n t o f T h r e e P i e c e s f o r S t r i n g Q u a r t e t b y I g o r S t r a v i n s k y . T h i s s h o r t m o v e m e n t w a s a n a l y z e d b y F o r t e i n T h e S t r u c t u r e o f A t o n a l M u s i c . H e u s e d t h e o r c h e s - t r a l v e r s i o n o f t h i s m o v e m e n t . C o n c l u s i o n s W h e n u s e d i n t h e a n a l y s i s o f m u s i c , t h e c h a r t s i n t h e I n d e x w i l l d i r e c t t h e a n a l y s t ' s a t t e n t i o n t o w a r d t h e i n v e s t i g a t i o n o f c e r t a i n s p e c i f i c s u b s e t s . T h e s e s u b j e c t s w i l l , i n t u r n , b e f o u n d i n t h e m u s i c a s i m p o r t a n t s t r u c t u r a l u n i t s , e i t h e r a s v e r t i c a l ( " c h o r d s " o r " h a r m o n i e s " ) o r h o r i z o n t a l ( " m e l o d i c ” ) e l e m e n t s . T h e a n a l y s i s o f t h e m o v e m e n t o f t h e T h r e e P i e c e s b y t h i s a p p r o a c h c l e a r l y p o i n t s t o t h e i m p o r t a n c e o f A l e x i s T u r k a l o s e v e r a l s u b s e t s w h i c h r e l a t e m o s t o f t h e s e c t i o n s o f t h i s c o m p o s i t i o n t o e a c h o t h e r . T h e c h a r t s a l s o c o n t a i n s t a t i s t i c a l i n f o r m a t i o n : t h e y p o i n t o u t w h i c h s e t s h a v e a g r e a t e r o r l e s s f r e - q u e n c y o f o c c u r r e n c e a s s u b s e t s . F i n a l l y , t h e I n d e x a l s o p r o v i d e s c o m p o s e r s w i t h a c o n v e n i e n t a i d f o r t h e o r g a n i z a t i o n o f s o u n d s t r u c t u r e s i n t h e i r o w n c o m p o s i t i o n s . I n t h i s w a y , t h e I n d e x i s a u s e f u l t o o l f o r a n a l y s i s a s w e l l a s f o r c o m p o s i t i o n . @ C o p y r i g h t b y A L E X I S T U R K A L O 1 9 8 0 A C K N O W L E D G M E N T S T h e w r i t e r w i s h e s t o t h a n k h i s m a j o r a d v i s o r , P r o f e s s o r R u s s e l l F r i e d e w a l d , f o r h i s g u i d a n c e t h r o u g h - o u t t h e w o r k . T h a n k s a r e d u e a l s o t o P r o f e s s o r s T h e o d o r e J o h n s o n , H a n s N a t h a n a n d J e r e H u t c h e s o n , f o r r e a d i n g t h e d r a f t s a n d m a k i n g v a l u a b l e s u g g e s t i o n s . S p e c i a l t h a n k s a r e d u e t o P r o f e s s o r C h a r l e s M c C r a c k e n f o r s e r v i n g a s a s u b s t i t u t e o n t h e g u i d a n c e c o m m i t t e e a t s h o r t n o t i c e . I s i n c e r e l y t h a n k m y w i f e , L o r e n e , f o r h e r l o v e a n d p a t i e n c e , a n d e s p e c i a l l y f o r v o l u n t e e r i n g t o t y p e a l l o f t h e c h a r t s o f t h e I n d e x . F o r p e r m i s s i o n t o u s e t h e s c o r e o f t h e T h r e e P i e c e s f o r S t r i n g i g u a r t e t , g r a t e f u l a c k n o w l e d g m e n t i s m a d e t o B o o s e y & H a w k e s M u s i c P u b l i s h e r s L t d . F o r p e r m i s s i o n t o u s e e x a m p l e s f r o m A l l e n F o r t e ' s S t r u c t u r e o f A t o n a l M u s i c , s p e c i a l t h a n k s i s d u e t o A l l e n F o r t e a n d Y a l e U n i v e r s i t y P r e s s . i i H ‘ - l N N ‘ ( L I S T O F C h a p t e r I I . I I I . I V . F I G U R E S . . A B R I E F R E V I E W O F T H E T H E O R Y O F S E T S C E R T A I N A N O M A L I E S I N T H E F O R T E C O N C E P T O F T A B L E O F C O N T E N T S V O L U M E I S I M I L A R I T Y R E L A T I O N S A N E W W A Y O F L O O K I N G A T S I M I L A R I T Y R E L A T I O N S . S O M E T H O U G H T S O N A N A L Y T I C A L M E T H O D S I N S E T T H E O R Y . I G O R S T R A V I N S K Y : Q U A T U O R A C O R D E S , A 1 a n d B B 1 a n d C C l a n d B B 2 a n d C C 2 a n d D l ' - a n d C T R O I S p r fi c a s P O U R S E C O N D M O V E M E N T 3 T h e M i d d l e S e c t i o n s a n d i i i a n d D 2 ) P a g e 1 2 2 7 3 5 4 2 4 5 4 8 5 0 5 3 5 5 5 7 6 0 6 0 6 1 6 2 6 6 6 7 C h a p t e r V I . C O N C L U S I O N S B a n d A 4 A a n d C 3 B I B L I O G R A P H Y . I N D E X 3 4 i v P a g e 6 9 7 0 7 5 7 8 8 0 F i g u r e 1 . L I S T O F F I G U R E S P a g e S e c o n d m o v e m e n t o f T r o i s P i e c e s p o u r Q u a t u o r a C o r d e s b y I g o r S t r a v i n s k y . . 3 9 T h e G s e c t i o n s a n d F l a z . . . . . . . 6 3 ' S e c o n d m o v e m e n t o f T r o i s P i e c e s p o u r Q u a t u o r a C o r d e s b y I g o r S t r a v i n e k y w i t h a l l p e r t i n e n t s e t s l a b e l e d . . . . . . 7 2 C H A P T E R I A B R I E F R E V I E W O F T H E T H E O R Y O F S E T S S e t T h e o r y , w h e n i t i s u s e d f o r t h e a n a l y s i s o f m u s i c a l p i t c h s t r u c t u r e s , c o n t a i n s o n l y 1 2 e l e m e n t s , c o r r e s p o n d i n g t o t h e i n t e g e r s 0 t h r o u g h 1 1 , w i t h t h e i n t e g e r s a s s i g n e d t o t h e 1 2 n o t e s o f o u r e q u a l - t e m p e r e d s c a l e , s t a r t i n g w i t h c - n a t u r a l w h i c h e q u a l s 0 , c - s h a r p w h i c h e q u a l s 1 , e t c . , t o b - n a t u r a l w h i c h e q u a l s 1 1 . A n y c o l l e c t i o n o f n o t e s , i s o l a t e d a n d l a b e l e d f o r e a s y r e f e r - e n c e , i s c a l l e d a p i t c h - c l a s s s e t ( a b b r e v i a t e d p c s ) . A l t h o u g h t h e r e m a y s e e m t o b e a l i m i t l e s s n u m b e r o f p c s e t s , i n a c t u a l i t y t h e r e a r e 2 2 0 . T h e s e t - t h e o r y a p p r o a c h d o e s n o t r e c o g n i z e o c t a v e t r a n S p o s i t i o n s o f p c s e t s . ( C - n a t u r a l , o r f o r t h a t m a t t e r , b - s h a r p o r d - d o u b l e - f l a t , i s a l w a y s a s s i g n e d t h e i n t e g e r 0 , r e g a r d - l e s s o f t h e o c t a v e i n w h i c h i t i s l o c a t e d . ) F u r t h e r , a l l p c s e t s a r e r e d u c e d t o n o r m a l f o r m , i n w h i c h a l l o f t h e p i t c h e s a r e a r r a n g e d i n a s c e n d i n g o r d e r ( m o d 1 2 ) i n s u c h a w a y t h a t t h e e n t i r e s t r u c t u r e i s c o n t a i n e d w i t h i n t h e s m a l l e s t p o s s i b l e i n t e r v a l . U n d e r t h e s e c o n d i t i o n s , t h e r e a r e o n l y 6 d i s t i n c t t y p e s 1 o f 2 - p c s e t s ; 1 2 , 3 - p c s e t s ; 2 9 , 4 - p c s e t s ; 3 8 , S - p c s e t s ; 5 0 , 6 - p c s e t s ; 3 8 , 7 - p c s e t s ; 2 9 , B - p c s e t s ; 1 2 , 9 - p c s e t s ; a n d 6 , 1 0 - p c s e t s . ( S i n c e t h e r e i s o n l y o n e t y p e e a c h o f l - p c , l l - p c a n d 1 2 - p c s e t s , t h e y n e e d n o f o r m a l c l a s s i f i c a t i o n . ) A p a r t f r o m t h e c o n v e n i e n c e o f b r e v i t y i n a s s i g n - i n g i n t e g e r s t o p i t c h c l a s s e s , t h e m a i n v a l u e o f i n t e g e r n o t a t i o n l i e s i n t h e e a s e o f f i n d i n g t r a n s p o s i t i o n s a n d i n v e r s i o n s o f s e t s . F o r i l l u s t r a t i o n , l e t u s t a k e a s e t f r o m W e b e r n ' s F i v e M o v e m e n t s f o r S t r i n g Q u a r t e t , O p . 5 , n o . 5 : E x a m p l e 1 . S e t A E ? a . W n o r m a l f o r m A : [ 2 ’ 3 ' 7 ' 8 ' 9 ] 3 9 8 7 2 T r a n s p o s i t i o n s o f p c s e t s a r e a c h i e v e d t h r o u g h t h e a d d i t i o n o f t h e s a m e i n t e g e r t o e a c h e l e m e n t o f t h e s e t : e . g . , t o t r a n s p o s e t h e s e t A [ 2 , 3 , 7 , 8 , 9 ] u p a m i n o r 7 t h , o n e m u s t a d d t h e i n t e g e r 1 0 ( t h e i n t e r v a l , i n c o n s e c u t i v e h a l f - s t e p s ) t o e a c h e l e m e n t o f t h e s e t . T h i s a d d i t i o n i s i n m o d u l o 1 2 : f o r a n y v a l u e m o r e t h a n 1 1 , i t i s n e c e s s a r y t o s u b t r a c t 1 2 , o r m u l t i p l e s o f 1 2 , i n o r d e r t o r e d u c e t h e v a l u e t o o n e b e t w e e n 0 a n d 1 1 . I f o n e a d d s 1 0 t o t h e e l e m e n t s o f s e t A , t h e r e s u l t i s [ 1 2 , 1 3 , 1 7 , 1 8 , 1 9 ] w h i c h , b y t h e s u b t r a c t i o n o f 1 2 f r o m a l l t h e e l e m e n t s b e c o m e s [ 0 , 1 , 5 , 6 , 7 ] , t o b e r e f e r r e d t o a s s e t E . T h e s a m e t r a n s p o s i t i o n c o u l d h a v e b e e n a c c o m - p l i s h e d b y t h e s u b t r a c t i o n o f 2 f r o m a l l e l e m e n t s o f s e t A . H o w e v e r , t r a n s p o s i t i o n s a r e a l w a y s n o t e d a s a d d i t i v e o p e r a t i o n s . F o r t h i s r e a s o n , s e t B i s a t r a n s — p o s i t i o n o f s e t A , w i t h t h e v a l u e o f t r a n s p o s i t i o n , o r t r a n s p o s i t i o n o p e r a t o r , b e i n g 1 0 . T h i s c a n b e e x p r e s s e d a s B = T ( A , 1 0 ) , w h i c h i s r e a d " s e t E i s a t r a n s p o s i t i o n o f s e t A a t l e v e l 1 0 . " I n v e r s i o n o f a p c s i s a c c o m p l i s h e d b y t h e s u b - t r a c t i o n o f e a c h e l e m e n t o f a s e t f r o m 1 2 . L e t u s a g a i n u s e s e t A : [ 2 , 3 , 7 , 8 , 9 ] , a n d s u b t r a c t e a c h e l e m e n t f r o m 1 2 . T h e r e s u l t i s s e t C : [ 1 0 , 9 , 5 , 4 , 3 ] . I n o r d e r t h a t w e u s e c o n s i s t e n t n o t a t i o n , t h e s e e l e m e n t s o f s e t C a r e a r r a n g e d i n a s c e n d i n g o r d e r : [ 3 , 4 , 5 , 9 , l O ] . T h e i n v e r s i o n o f s e t A t o i t s f o r m a s s e t C c a n b e e x p r e s s e d a s C = I ( A , O ) , w h i c h i s r e a d " t h e s e t C i s t h e i n v e r s i o n o f s e t A t r a n s - p o s e d 0 t i m e s . " I f a s e t i s n o t a l i t e r a l i n v e r s i o n ( I = 0 ) o f a n o t h e r s e t , b u t i s a t r a n s p o s e d f o r m o f t h e i n v e r s i o n , o n e m u s t g o t h r o u g h t w o s t e p s t o f i n d t h e t r a n s p o s i t i o n o p e r a t o r . T h e i n v e r s i o n i s a l w a y s d o n e f i r s t , f o l l o w e d b y t h e t r a n s p o s i t i o n . L e t i t b e a s s u m e d t h a t s e t D : [ 8 , 9 , 1 0 , 2 , 3 ] i s a n i n v e r t e d a n d t r a n s p o s e d f o r m o f s e t A : [ 2 , 3 , 7 , 8 , 9 ] . H o w c a n o n e f i n d t h e t r a n s p o s i t i o n o p e r a t o r ? F i r s t , h e s h o u l d d e t e r m i n e t h e i n v e r s i o n , a n d t h e n t h e t r a n s p o s i t i o n o p e r a t o r t h a t w i l l p r o v i d e t h e g i v e n e l e m e n t s o f s e t D . S e t C , t h e i n v e r s i o n o f s e t A , h a s a l r e a d y b e e n f o u n d a b o v e . T h e i n t e g e r 5 , w h e n a d d e d t o t h e e l e m e n t s o f s e t C , y i e l d s t h e d e s i r e d r e s u l t , o r s e t D . T h e r e f o r e , D = T ( I ( A ) , S ) , w h i c h i s r e a d " s e t D i s t h e i n v e r s i o n o f s e t A , t r a n s p o s e d t o l e v e l 5 . " T h e f o l l o w i n g e x a m p l e r e c a p i t u l a t e s t h e o p e r a t i o n s d i s c u s s e d a b o v e , w i t h t h e i r g r a p h i c r e p r e s e n t a t i o n s b y n o t e s o n a s t a f f : E x a m p l e 2 . s e t A : [ 2 , 3 , 7 , 8 , 9 ] W " o r i g i n a l " s e t B : [ 0 , 1 , 5 , 6 , 7 1 " o r i g i n a l " s e t t r a n s p o s e d , t = 1 0 s e t C : [ 3 , 4 , 5 , 9 , 1 0 ] . " o r i g i n a l " s e t i n v e r t e d , I = 0 s e t D : [ 8 , 9 , 1 0 , 2 , 3 ] ” o r i g i n a l " s e t i n v e r t e d a n d t r a n s p o s e d , I = 5 N o n e o f t h e s e f o u r s e t s , A t h r o u g h D , i s i n p r i m e f o r m . T h e p r i m e f o r m o f a s e t i s a s p e c i f i c c o n f i g u r a - t i o n o f t h e n o r m a l o r d e r , w h i c h i s t r a n s f o r m e d i n s u c h a w a y t h a t n o t o n l y a r e a l l t h e e l e m e n t s o f t h e s e t c o n - t a i n e d w i t h i n t h e s m a l l e s t p o s s i b l e i n t e r v a l , b u t t h e f i r s t e l e m e n t i s a l w a y s 0 , w i t h t h e o t h e r e l e m e n t s a r r a n g e d w i t h t h e s m a l l e s t i n t e r v a l a t t h e " l o w e r " e n d ( n e a r e s t t o 0 ) . I n m o s t c a s e s , t h i s w o u l d i n v o l v e e i t h e r a t r a n s p o s i t i o n , o r a n i n v e r s i o n a n d t r a n s p o s i t i o n o f t h e n o r m a l o r d e r . I n t h e p r e v i o u s e x a m p l e s , t h e p r i m e f o r m o f s e t s A t h r o u g h D i s ( 0 , 1 , 2 , 6 , 7 ) , a n d t h e l a b e l b y w h i c h e a c h o f t h e s e s e t s i s r e p r e s e n t e d i s 5 - 7 , t h a t i s , t h e 7 t h s e t i n t h e l i s t o f s e t s c o n t a i n i n g 5 e l e m e n t s , o r h a v i n g a c a r d i n a l i t y o f 5 , i n t h e s e t c h a r t s , t o b e i n t r o d u c e d l a t e r . S e t A i s a n i n v e r t e d a n d t r a n s p o s e d v e r s i o n o f t h e p r i m e f o r m o f 5 - 7 : s e t A i s a c t u a l l y 5 - 7 i n t h e f o r m 1 9 , t h a t i s i n v e r t e d a n d t r a n s p o s e d t o l e v e l 9 . ( T h e n o t a t i o n 1 9 a u t o m a t i c a l l y i m p l i e s t h a t a t r a n s p o s i t i o n h a s t a k e n p l a c e : i t i s n o t n e c e s s a r y t o n o t a t e 1 T 9 , a s t h e T w o u l d b e r e d u n d a n t . ) T h r o u g h o u t t h e c o u r s e o f t h i s d i s s e r t a t i o n i t w i l l n o t b e n e c e s s a r y , g e n e r a l l y , t o i n d i c a t e t h e i n v e r - s i o n o r t r a n s p o s i t i o n o f a p r i m e f o r m o f a s e t : t h e l a b e l o f t h e s e t , i n t h i s c a s e , 5 - 7 , w i l l s u f f i c e . A s e t , a s i t a p p e a r s i n t h e m u s i c ( i n n o r m a l f o r m ) w i l l b e e n c l o s e d i n b r a c k e t s , a s i n s e t A : [ 2 , 3 , 7 , 8 , 9 ] , w h i l e t h e p r i m e f o r m w i l l b e e n c l o s e d i n p a r e n t h e s e s , a s i n 5 - 7 : ( 0 , 1 , 2 , 6 , 7 ) . O n c e t h e p r i m e f o r m o f a n y p c s i s f o u n d , t h e i n t e r v a l c o n t e n t i s e x a m i n e d t o d e t e r m i n e t h e k i n d a n d n u m b e r o f i n t e r v a l c l a s s e s ( a b b r e v i a t e d i c ) t h a t a r e c o n t a i n e d t h e r e i n . S i n c e t h e i n t e r v a l b e t w e e n a n y t w o p i t c h e s i s f o u n d b y t a k i n g t h e d i f f e r e n c e ( m o d 1 2 ) b e t w e e n t h e m , o n l y 6 i c s a r e p o s s i b l e , f r o m O t o 6 ( 7 = 5 , 8 = 4 , 9 = 3 , 1 0 = 2 , l l = 1 , a n d 1 2 = 0 ) . T h e i n t e r v a l v e c t o r i s a s i m p l e r e p r e s e n t a t i o n o f t h e i n t e r v a l c o n — t e n t o f a s e t , w r i t t e n a s a n o r d e r e d a r r a y ; i . e . , t h e f i r s t ( l e f t - m o s t ) n u m b e r i s a l w a y s t h e n u m b e r o f o c c u r - r e n c e s o f i c l ( h a l f - s t e p s o r m a j o r 7 t h s ) , t h e n e x t n u m b e r t o t h e r i g h t i s a l w a y s t h e n u m b e r o f o c c u r r e n c e s o f i c 2 ( w h o l e - s t e p s o r m i n o r 7 t h s ) , e t c . I f s o m e i n t e r v a l c l a s s i s n o t r e p r e s e n t e d , t h e e n t r y 0 i s w r i t t e n i n t h e a p p r o p r i a t e p o s i t i o n i n t h e v e c t o r . T h u s , e a c h i n t e r v a l v e c t o r i s w r i t t e n a s a s e r i e s o f i n t e g e r s , s i x i n t e g e r s i n a l l , e a c h r e p r e s e n t i n g t h e n u m b e r o f e a c h i c p r e s e n t i n t h e s e t . O n c e a g a i n , l e t u s u s e o u r e x a m p l e o f s e t 5 - 7 : ( 0 , 1 , 2 , 6 , 7 ) . T h e i n t e r v a l v e c t o r f o r t h i s s e t i s w r i t t e n t h u s : [ 3 1 0 1 3 2 ] , m e a n i n g t h a t i n s e t 5 - 7 , i c 1 h a s 3 e n t r i e s , i c 2 , 1 e n t r y , e t c . A c o m p l e t e c h a r t o f a l l t h e p r i m e f o r m s a n d i n t e r v a l v e c t o r s o f t h e p c s e t s c a n b e f o u n d i n T h e S t r u c t u r e o f A t o n a l M u s i c b y A l l e n F o r t e ( h e r e a f t e r t o b e a b b r e v i a t e d a s F o r t e , S A M ) , A p p e n d i x 1 , p . 1 7 9 . A c o m p l e t e s e t o f c h a r t s w i t h t h i s i n f o r m a t i o n , a n d m o r e , i s a l s o i n c l u d e d w i t h i n t h e I n d e x o f t h i s d i s s e r t a t i o n , w h i c h w i l l b e e x p l a i n e d f u l l y i n t h e f o l l o w i n g c h a p t e r s . T w o o t h e r a s p e c t s o f i n t e r v a l c o n t e n t o f s e t s a r e t h e b a s i c i n t e r v a l s u c c e s s i o n ( b i s ) a n d t h e b a s i c i n t e r v a l p a t t e r n ( h i p ) . T h e b a s i c i n t e r v a l s u c c e s s i o n i s s i m p l y a n u m e r i c a l r e p r e s e n t a t i o n o f i n t e r v a l s f o u n d i n s u c c e s s i o n i n a n a r r a n g e m e n t o f p i t c h c l a s s e s ; e . g . , t h e s e t 4 - 1 5 , i f a r r a n g e d i n a m e l o d y a s t h e p i t c h e s [ 0 , 1 , 4 , 6 ] w o u l d h a v e a h i s o f [ 3 - 5 - 6 ] i n E x a m p l e 3 a , o r [ 5 - 1 - 4 ] i n E x a m p l e 3 b : E x a m p l e 3 . a b L i p - p r . . — . A 4 - 1 5 : [ 4 l 6 0 ] [ 6 l O 4 ] b i s : [ 3 - 5 - 6 ] [ 5 - 1 - 4 ] b i p : 3 5 6 1 4 5 T h e b a s i c i n t e r v a l p a t t e r n ( h i p ) i s a f u r t h e r d i s t i l l a t i o n o f t h i s c o n c e p t . T h e h i p i s a " n o r m a l i - z a t i o n o f t h e i n t e r v a l s u c c e s s i o n , s u c h t h a t t h e n u m b e r s o f t h e l a t t e r a r e g r o u p e d t o g e t h e r i n a S c e n d i n g n u m e r i c a l o r d e r w i t h o u t i n t e r v e n i n g s p a c e s o r h y p h e n s " ( F o r t e , S A M , p . 6 4 ) . T a k i n g t h e s e t s i n E x a m p l e 3 o n c e a g a i n f o r i l l u s t r a t i o n , w e f i n d t h a t t h e b i p s f o r t h e s e s e t s a r e 3 5 6 a n d 1 4 5 , r e s p e c t i v e l y . S o m e s e t s h a v e a l a r g e n u m b e r o f b i p s p o s s i b l e , w h i l e o t h e r s h a v e r e l a t i v e l y f e w . T h i s a b i l i t y i s c l o s e l y r e l a t e d t o t h e a p p e a r a n c e o f t h e i n t e r v a l v e c t o r . F u r t h e r , w e s h a l l s e e t h a t t h i s a b i l i t y i s a l s o r e l a t e d t o a s e t ' s f r e q u e n c y o f o c c u r r e n c e a s a c o m m o n s u b s e t . T h i s i s i l l u s t r a t e d i n g r e a t d e t a i l i n C h a p t e r I I I . T h e r e a r e p a i r s o f s e t s , a s i l l u s t r a t e d b e l o w , t h a t h a v e i d e n t i c a l i n t e r v a l v e c t o r s , y e t d i f f e r e n t p r i m e f o r m s , w h i c h a r e g i v e n t h e n a m e " Z - r e l a t e d p a i r s " ( t h e l e t t e r Z h a s n o s p e c i a l s i g n i f i c a n c e : i t i s s i m p l y a n a r b i t r a r y c o n v e n t i o n ) . T h i s c o i n c i d e n c e o f i n t e r v a l v e c t o r s w i l l b e d i s c u s s e d i n g r e a t e r d e t a i l d u r i n g t h e f o l l o w i n g c h a p t e r . I n t h e e x a m p l e b e l o w , t h e s e t s 5 - 1 2 a n d 5 - 3 6 i n F o r t e , S A M _ a r e l a b e l e d S - Z l Z a n d 5 - Z 3 6 . T h e i n t e r v a l v e c t o r f o r b o t h s e t s i s [ 2 2 2 1 2 1 ] . E x a m p l e 4 . W 9 — W - * 5 - 1 2 : ( 0 , 1 , 3 , 5 , 6 ) 5 - 3 6 : ( 0 , 1 , 2 , 4 , 7 ) F o r e v e r y s e t t h e r e i s a c o m p l e m e n t a r y s e t , e . g . , a s e t c o n s i s t i n g o f a l l t h e p i t c h c l a s s e s n o t c o n t a i n e d i n t h e f i r s t . I n a u n i v e r s e o f 1 2 p i t c h - c l a s s e s t h i s m e a n s t h a t f o r e a c h o f t h e 3 - p c s e t s t h e r e i s a c o r r e s p o n d i n g 9 - p c s e t , f o r e a c h 4 - p c s e t , a c o r - r e s p o n d i n g 8 - p c s e t , e t c . E a c h c o m p l e m e n t a r y p a i r o f s e t s h a s t h e s a m e o r d i n a l n u m b e r : 4 - 1 2 i s t h e c o m p l e - m e n t o f 8 - 1 2 , a n d v i c e v e r s a ; 5 - 7 i s t h e c o m p l e m e n t o f 7 - 7 , a n d v i c e v e r s a , e t c . I n t h e 6 - p c s e t s , t h e c o m p l e - m e n t i s e i t h e r a n i d e n t i c a l s e t ( t r a n s p o s e d , o r i n v e r t e d a n d t r a n s p o s e d ) o r a n o t h e r s e t w h i c h i s z - r e l a t e d t o t h e f i r s t . F u r t h e r m o r e , t h e r e i s a d i s t i n c t c o r r e s p o n d e n c e b e t w e e n t h e i n t e r v a l v e c t o r s o f a s e t a n d t h e i n t e r v a l v e c t o r o f i t s c o m p l e m e n t a r y s e t , s i n c e t h e c o n c e p t o f t h e c o m p l e m e n t i s a p u r e l y m a t h e m a t i c a l o n e , w i t h i n a s t r i c t l y l i m i t e d u n i v e r s e o f o n l y 1 2 e l e m e n t s . C o m p a r e , f o r e x a m p l e , t h e v e c t o r s o f 5 - 1 3 a n d 7 - 1 3 : 5 - 1 3 [ 2 2 1 3 1 1 ] 7 - 1 3 [ 4 4 3 5 3 2 ] W i t h t h e e x c e p t i o n o f t h e e n t r y f o r i c 6 , e a c h e n t r y i n t h e v e c t o r o f 7 - 1 3 i s g r e a t e r b y e x a c t l y 2 t h a n t h e c o r - r e s p o n d i n g e n t r y i n t h e v e c t o r o f 5 - 1 3 . T h i s i n v a r i a n t c o r r e s p o n d e n c e i s a g e n e r a l p r o p e r t y o f c o m p l e m e n t a r y p c 1 0 s e t s ( s e e F o r t e , S e M , p . 7 7 , f o r a f u l l e r d i s c u s s i o n o f t h e s e p r o p e r t i e s ) . W h e n o n e c o m p a r e s a s e t a n d i t s c o m p l e m e n t w i t h a n o t h e r s e t a n d i t s c o m p l e m e n t , o n e s p e a k s o f c o m p l e x ( K , K h ) r e l a t i o n s . T h e K - a n d K h - r e l a t i o n s a r e b a s e d o n t h e c o n d i t i o n o f a s e t ' s b e i n g e i t h e r a s u b s e t o r s u p e r - s e t o f a n o t h e r s e t a n d / o r i t s c o m p l e m e n t . A s g i v e n i n F o r t e , § § § 1 p p . 9 3 - 9 6 , b o t h r e l a t i o n s h a v e t h e s a m e p r e - l i m i n a r y c o n d i t i o n s : 1 . 2 < # ( S ) < 1 O & 2 < # ( T ) < 1 0 T h e c a r d i n a l n u m b e r s o f b o t h s e t s S a n d T a r e g r e a t e r t h a n 2 a n d l e s s t h a n 1 0 , a n d 2 . # ( S H # ( T ) & # ( S ) # # ( T ) T h e c a r d i n a l n u m b e r o f s e t S d o e s n o t e q u a l t h e c a r d i n a l n u m b e r o f e i t h e r s e t T o r t h e c o m p l e m e n t o f s e t T . G i v e n t h e s e p r e c o n d i t i o n s , t h e d e f i n i t i o n o f t h e r e l a t i o n K i s : S / § e K ( T , T ) i f f S D C T | S D C T S e t S a n d i t s c o m p l e m e n t ( S ) a r e m e m b e r s o f t h e s e t - c o m p l e x K a b o u t s e t T a n d i t s c o m p l e m e n t ( T ) i f a n d o n l y i f s e t S c a n c o n t a i n o r _ b e c o n t a i n e d i n e i t h e r s e t T o r i t s c o m p l e m e n t ( T ) . U n d e r t h e s a m e t w o p r e c o n d i t i o n s , t h e d e f i n i t i o n o f t h e r e l a t i o n K h i s : l l S / S ' e K h ( T , T ) i f f s a c ' r s . s a c T S e t S a n d i t s c o m p l e m e n t ( S ) a r e m e m b e r s o f t h e s e t - c o m p l e x K h a b o u t s e t T a n d i t s c o m p l e m e n t ( T ) i f a n d o n l y i f s e t S c a n c o n t a i n o r c a n 2 e c o n t a i n e d i n b o t h s e t T S E Q i t s c o m p l e m e n t ( T ) . C H A P T E R I I C E R T A I N A N O M A L I E S I N T H E F O R T E C O N C E P T O F S I M I L A R I T Y R E L A T I O N S W h e r e a s t h e K a n d K h r e l a t i o n s c o m p a r e s e t s o f d i f f e r e n t c a r d i n a l i t i e s , S i m i l a r i t y R e l a t i o n s c o m p a r e s e t s o f l i k e c a r d i n a l i t y . A s p r e s e n t e d b y F o r t e , S i m i l a r i t y R e l a t i o n s a r e b a s e d o n w h e t h e r o r n o t t h e i n t e r v a l v e c t o r s o f t h e s e t s i n v o l v e d a r e s i m i l a r o r d i s s i m i l a r . A r b i t r a r i l y , s i m i l a r i t y ( o r d i s s i m i l a r i t y ) h a s b e e n d e t e r m i n e d b y h o w m a n y o f t h e s i x i n t e r v a l v e c t o r e n t r i e s a r e i d e n t i c a l . A c c o r d i n g t o t h i s l o g i c , t h e m o r e e n t r i e s t h a t a r e i d e n t i c a l , t h e m o r e s i m i l a r t h e s e t s a r e c o n s i d e r e d t o b e . I f a l l s i x v e c t o r e n t r i e s a r e a l i k e ( t h e Z - r e l a t i o n ) , t h e s e t s a r e c o n - s i d e r e d t h e m o s t s i m i l a r ; c o n v e r s e l y , i f n o n e o f t h e v e c t o r e n t r i e s i s a l i k e , t h e s e t s a r e c o n s i d e r e d t o b e l e a s t s i m i l a r . F o r t e ( S e M , p . 4 9 ) g i v e s f o u r c a t e g o r i e s o f s i m i l a r i t y r e l a t i o n s . B y a d d i n g t h e Z - r e l a t i o n , a n d r a n k i n g t h e o t h e r s i n d e s c e n d i n g o r d e r o f s i m i l a r i t y , o n e c a n d e f i n e s i m i l a r i t y r e l a t i o n s a s f o l l o w s : 1 2 1 3 Z = a l l s i x v e c t o r e n t r i e s a l i k e . R 1 = f o u r v e c t o r e n t r i e s a l i k e , w i t h t h e r e m a i n i n g t w o e n t r i e s b e i n g i d e n t i c a l . o n l y i n t e r c h a n g e d . R 2 = f o u r v e c t o r e n t r i e s a l i k e . R 0 = n o v e c t o r e n t r i e s a l i k e . R = h a v i n g m a x i m u m s i m i l a r i t y w i t h r e s p e c t p t o p i t c h c l a s s . ( T h i s r e a l l y m e a n s t h a t t h e t w o s e t s o f c a r d i n a l i t y n h a v e a c o m m o n s u b s e t o f c a r d i n a l i t y n - l . ) N o t e : i t i s i m p o s s i b l e f o r t w o s e t s o f i d e n t i c a l c a r d i n a l i t y t o h a v e f i v e v e c t o r e n t r i e s i n c o m m o n , s i n c e i n e v e r y c a s e , t h e s u m o f a l l t h e v e c t o r e n t r i e s m u s t b e c o n s t a n t f o r e a c h c a r d i n a l i t y . A s s e e n a b o v e , F o r t e i g n o r e s t h o s e p a i r s o f s e t s t h a t h a v e o n e , t w o o r t h r e e v e c t o r e n t r i e s i n c o m m o n . T h e s e a r e s i m p l y d i s m i s s e d a s b e i n g u n d e f i n e d f o r a n a - l y t i c a l p u r p o s e s . T h e f i f t h s i m i l a r i t y r e l a t i o n , R P , i s a c t u a l l y n o t d e p e n d e n t a t a l l o n t h e i n t e r v a l v e c t o r , b u t i s b a s e d o n c o m m o n s u b s e t s , a n d c a n b e c o n s i d e r e d e i t h e r s e p a r a t e l y , o r i n c o n j u n c t i o n w i t h , t h e r e l a t i o n s Z , 1 , R 2 a n d R 0 . T h e r e f o r e , p a i r s o f s e t s o f l i k e c a r d i n a l i t y R c a n h a v e t h e f o l l o w i n g r e l a t i o n s h i p s ( a s d e f i n e d b y F o r t e ) t o e a c h o t h e r , r a n k e d f r o m m o s t s i m i l a r t o l e a s t s i m i l a r ( i t i s u n c l e a r w h e r e R p b e l o n g s i n t h e r a n k i n g ) : 1 4 l . Z R 2 . R l R p 3 . R Z R p 4 . R O R p 5 . Z 6 . R 1 7 . R 2 8 . R p 9 . R 0 U n f o r t u n a t e l y f o r m u s i c a l a n a l y s t s , t h e n i n e t y p e s o f r e l a t i o n s l i s t e d a b o v e a c c o u n t f o r o n l y a s m a l l p o r t i o n o f p o s s i b l e c o m p a r i s o n s o f p a i r s o f s e t s , e x c e p t f o r t h e R P r e l a t i o n s , w h i c h F o r t e t h i n k s a r e t o o c o m m o n t o h a v e v a l u e a s d i s t i n c t r e l a t i o n s . H e s i m p l y c h o o s e s t o d i s m i s s a l l t h e o t h e r p o s s i b i l i t i e s a s " u n d e f i n a b l e " o r " n o t s i g n i f i c a n t . " I n a d d i t i o n , t h e r e l a t i o n s b a s e d o n o n l y o n e f a c t o r ( s u c h a s R P ) a r e g i v e n l e s s w e i g h t t h a n t h e r e l a t i o n s c o n t a i n i n g t w o f a c t o r s ( s u c h a s R l R p ) , a n d t h i s w e i g h t i s t h e n u s e d a s a b a s i s f o r d e t e r m i n i n g t h e r e l a t i v e i m p o r t a n c e o f s e t s w i t h i n t h e c o n t e x t o f m u s i c . I t w i l l b e s e e n t h a t t h i s a p p r o a c h i s a r b i t r a r y , a n d c a n i g n o r e i m p o r t a n t r e l a t i o n s h i p s b e t w e e n s e t s w h i c h f a l l i n t o t h e r a t h e r l a r g e " u n d e f i n e d " c a t e g o r y . 1 5 E v e n w i t h i n t h e d e f i n e d c a t e g o r i e s , i m p o r t a n t i n f o r m a - t i o n c a n b e o v e r l o o k e d u n d e r t h e a b o v e m e t h o d . L e t u s t a k e a n e x a m p l e f r o m F o r t e ( S e M , p . 5 5 ) , w h i c h p r o v i d e s a n i l l u s t r a t i o n o f t h e s u b s e t c o n c e p t b y c o m p a r i n g a p a i r o f s e t s o f l i k e c a r d i n a l i t y , 6 - 1 6 a n d 6 - 9 f r o m W e b e r n ' s F i v e P i e c e s f o r O r c h e s t r a , O p . 1 0 , n o . 4 . S e t 6 - 1 6 i s t h e " m e l o d y " a n d 6 - 9 i s t h e s e t c o n s t i t u t i n g t h e f i r s t b e a t o f t h e m e a s u r e a f t e r t h e b a r — l i n e : E x a m p l e 5 . b - l ‘ L - u — I ' 6 ' ! n o r m a l f o r m p r i m e f o r m i n t e r v a l v e c t o r 6 - 9 : [ 1 , 3 , 5 , 6 , 7 , 8 ] ( 0 , 1 , 2 , 3 , 5 , 7 ) [ 3 4 2 2 3 1 ] 6 - 1 6 : [ 0 , 2 , 3 , 4 , 7 , 8 ] ( 0 , 1 , 4 , 5 , 6 , 8 ) [ 3 2 2 4 3 1 ] O n a p u r e l y v i s u a l l e v e l , o n e s e e s t h a t t h e t w o s e t s h a v e t h e n o t e s o f t h e t r i p l e t f i g u r e ( 8 , 7 , 3 ) i n c o m m o n . T h i s m e a n s t h a t t h e p i t c h c l a s s e s 3 , 7 a n d 8 a r e i n c l u d e d i n t h e n o r m a l f o r m s o f b o t h s e t s . I n a d d i - t i o n , f r o m t h e c h a r t i n F o r t e ( S A M , p . 1 7 7 ) , w e f i n d 1 6 t h a t t h e s e t s 6 - 9 a n d 6 - 1 6 a r e i n r e l a t i o n R b u t n o t l l R P . T h i s m e a n s : a . t h e i n t e r v a l v e c t o r s s h a r e 4 o f t h e 6 e n t r i e s . b . t h e s e t s d o n o t h a v e a 5 - p c s e t i n c o m m o n , e i t h e r i n a c t u a l p i t c h e s , o r s o m e t r a n s p o s i t i o n o r i n v e r s i o n . Q u o t i n g F o r t e ( S e M , p . 5 1 ) , " P c s e t s 6 - 1 6 a n d 6 - 9 a r e i n R 1 , b u t n o t i n R P ' w i t h t h e r e s u l t t h a t m e l o d y a n d ' a c c o m p a n i m e n t ' a r e a t o n c e s i m i l a r a n d d i s s i m i l a r . " P e r h a p s t h e a b o v e e x a m p l e i s a t r i v i a l c a s e , b u t w e s h a l l u s e i t t o e x p l o r e i n g r e a t e r d e t a i l w h a t c o n s t i t u t e s s i m i l a r i t y . T h e t w o s e t s h a v e n o S - p c s e t i n c o m m o n ( t h e y a r e n o t i n R P ) . I f w e l o o k t o t h e " n e x t l o w e r l e v e l , " a s i t w e r e , t o i n v e s t i g a t e h o w m a n y 4 - p c s e t s t h e y h a v e i n c o m m o n , w e f i n d t h e f o l l o w i n g g r o u p o f e i g h t s e t s : 4 - 2 , 4 - 4 , 4 - 5 , 4 - 1 4 , 4 - 1 5 , 4 - 1 6 , 4 - 2 2 a n d 4 - 2 9 : i . e . , o u t o f a p o s s i b l e 2 9 4 - p c s e t s , f u l l y 2 7 . 6 % o f t h e m a r e c o m m o n t o b o t h 6 - 1 6 a n d 6 - 9 . T h i s i s i l l u s t r a t e d g r a p h i c a l l y i n E x a m p l e 6 . S e t s 6 - 9 a n d 6 - 1 6 a r e s h o w n b e l o w i n n o r m a l f o r m w i t h t h e p c s n u m b e r e d ; t h e e i g h t 4 - p c s e t s a r e s h o w n w i t h t h e i r p r i m e f o r m s i n p a r e n t h e s e s , a s w e l l a s t h o s e c o r - r e s p o n d i n g p i t c h e s ( b e n e a t h s e t s 6 - 9 a n d 6 - 1 6 ) w h i c h c o n s t i t u t e t h e s u b - s e t s w i t h i n t h e t w o 6 - p c s e t s . I t i s c l e a r t h a t t h e s i m i l a r i t y ( R 1 ) o f t h e i n t e r v a l v e c t o r s o f t h e p a i r o f 6 - p c s e t s i s d u e , i n g r e a t p a r t , t o t h e 1 7 l a r g e g r o u p o f s u b - s e t s t h e y h a v e i n c o m m o n , w h i c h n a t u r a l l y c o n t r i b u t e s t o t h e s i m i l a r i n t e r v a l c o n t e n t s h o w n i n t h e v e c t o r s . E x a m p l e 6 . 6 - 9 : 3 5 6 7 8 6 - 1 6 : 0 2 3 4 7 8 4 - 2 : ( O , l , 2 , 4 ) 3 5 6 7 O 2 3 4 4 - 4 : ( O , l , 2 , 5 ) 3 6 7 8 2 3 4 7 4 - 5 : ( O , l , 2 , 6 ) l 5 6 7 2 3 4 8 4 - 1 4 : ( 0 , 2 , 3 , 7 ) l 5 6 8 0 2 3 7 4 - 1 5 : ( 0 , 1 , 4 , 6 ) 1 3 6 7 2 4 7 8 4 - 1 6 : ( 0 , 1 , 5 , 7 ) 1 3 7 8 0 2 7 8 4 - 2 2 : ( O , 2 , 4 , 7 ) 1 3 5 8 0 2 4 7 4 - 2 9 : ( 0 , 1 , 3 , 7 ) l 5 7 8 0 2 3 8 O f t h e 4 - p c s u b s e t s , 4 - 1 4 s e e m s t o b e t h e m o s t p r o m i n e n t l y p o s i t i o n e d w i t h i n t h e t w o 6 - p c s e t s i l l u s - t r a t e d i n E x a m p l e 5 : i n s e t 6 - 1 6 ( t h e m e l o d y ) , s e t 4 - 1 4 c o n s t i t u t e s t h e f o u r h i g h e s t n o t e s , s h o w n i s o l a t e d b e l o w ( c o m p a r e t o E x a m p l e 5 ) : E x a m p l e 7 . F E : 4 - 1 4 . [ 0 , 2 , 3 , 7 1 1 8 I n s e t 6 - 9 , 4 - 1 4 i s t h e v e r t i c a l s t r u c t u r e b e g i n n i n g a t t h e b a r - l i n e , s h o w n b e l o w ( a g a i n , s e e E x a m p l e 5 ) : E x a m p l e 8 . 4 - 1 4 : [ 1 , 5 , 6 , 8 ] I t w i l l n o t b e n e c e s s a r y t o i l l u s t r a t e a l l o f t h e o t h e r 4 - p c s u b s e t s a s m u s i c a l e n t i t i e s , t h o u g h t h e r e m a y b e r e a s o n t o d o s o i n a c t u a l a n a l y s i s i f s o m e o f t h e s e o t h e r s u b s e t s a r e s i g n i f i c a n t s t r u c t u r e s . H o w e v e r , i t c a n b e v e r y h e l p f u l t o h a v e t h i s i n f o r m a t i o n , r a t h e r t h a n t h e r e l a t i v e l y u n i n f o r m a t i v e R b e c a u s e i t a l l o w s 1 ' t h e a n a l y s t t o d i s c u s s a c t u a l s t r u c t u r a l e l e m e n t s w h i c h a p p e a r i n t h e m u s i c . T h e s e e l e m e n t s a r e , a f t e r a l l , w h a t t h e c o m p o s e r w o r k s w i t h , n o t i n t e r v a l v e c t o r s . ( I t w i l l b e e x p l a i n e d i n t h e n e x t c h a p t e r w h y w e w i l l n o t d e a l s p e c i f i c a l l y w i t h s u b s e t s o f c a r d i n a l i t y n - 3 , n - 4 , e t c . , i n o u r e x p a n d e d s u b s e t c o n c e p t . ) G i v e n t h a t a s y s t e m o f s u b s e t s c a n b e s u b s t i - t u t e d f o r t h e r e l a t i o n s R 1 , R 0 , R l R p ' e t c . , w o u l d t h i s s y s t e m b e a t l e a s t a n a l o g o u s , i n t h e o r y , t o t h e s e r e l a - t i o n s , i . e . , w o u l d Z R p ( t h e h i g h e s t r a n k e d r e l a t i o n , w i t h i d e n t i c a l v e c t o r s p l u s a t l e a s t o n e c o m m o n s u b s e t o f c a r d i n a l i t y n - l ) c o n t a i n t h e h i g h e s t n u m b e r o f l 9 s u b s e t s ? W o u l d t h e " l o w l y " R O ( n o i d e n t i c a l v e c t o r e n t r i e s , a n d n o c o m m o n n - l s u b s e t s ) c o n t a i n t h e l o w e s t n u m b e r o f s u b s e t s ? T o q u e s t i o n f u r t h e r , s h o u l d t h e r e a c t u a l l y b e a r a n k i n g o f s i m i l a r i t y r e l a t i o n s f r o m " m o s t s i m i l a r " t o " l e a s t s i m i l a r , " b a s e d o n t h e i n t e r v a l v e c t o r ? I n t h e f o l l o w i n g e x a m p l e s , t h e r e a r e n o r e a l p a t t e r n s i n t h e n u m b e r o f s u b s e t s t o w a r r a n t s u c h a r a n k i n g . T h e r e i s , h o w e v e r , a g r e a t d e a l o f u s e f u l a n a l y t i c a l i n f o r m a t i o n r e v e a l e d , e s p e c i a l l y f o r p a i r s o f s e t s t h a t h a v e ” n o d e f i n e d r e l a t i o n . " T h i s i n f o r m a - t i o n i s c o n t a i n e d i n t h e c h a r t s i n t h e I n d e x o f t h i s d i s s e r t a t i o n . B e c a u s e t h i s i n f o r m a t i o n i s i n c h a r t f o r m ( t o b e r e a d b y c r o s s - i n d e x i n g o n e s e t w i t h a n o t h e r , m u c h l i k e a m u l t i p l i c a t i o n t a b l e ) , t h e f o l l o w i n g e x a m p l e s w i l l b e p r e s e n t e d w i t h o n e s e t o n t h e l e f t , a n d t h e o t h e r s e t a b o v e . I n t h e s p a c e w h e r e t h e t w o s e t s " c r o s s , " t h e s e t s o f c a r d i n a l i t y n - 1 a n d n - 2 w h i c h a r e h e l d i n c o m m o n w i l l b e l i s t e d t h u s : 6 - 9 4 - 2 , 4 , 5 , 1 4 , 1 5 , 1 6 , 2 2 , 2 9 2 0 B e t w e e n s e t s 6 - 9 a n d 6 - 1 6 ( d i s c u s s e d i n E x a m p l e s 5 a n d 6 ) , t h e r e a r e n o S - p c s e t s i n c o m m o n , b u t t h e r e a r e e i g h t d i f f e r e n t 4 - p c s e t s : 4 - 2 , 4 - 4 , 4 - 5 , 4 - 1 4 , 4 - 1 5 , 4 - 1 6 , 4 - 2 2 a n d 4 - 2 9 . I n t h e I n d e x , t h e c r o s s - r e f e r e n c e o f t h e t w o 6 - p c s e t s i s f o u n d o n p a g e 6 : 8 , i . e . , t h e e i g h t h p a g e o f t h e c h a r t d e a l i n g w i t h t h e 6 - p c s e t s . T h e l a y o u t o f t h e I n d e x w i l l b e e x p l a i n e d f u l l y i n t h e n e x t c h a p t e r . L e t u s g o t h r o u g h t h e l i s t o f e i g h t t y p e s o f s i m i l a r i t y r e l a t i o n s f o r s e t s o f c a r d i n a l i t y n , r a n k e d f r o m " h i g h e s t " t o " l o w e s t , " g i v i n g e x a m p l e s o f s u b s e t s o f c a r d i n a l i t y n - 1 a n d n - 2 h e l d i n c o m m o n . T h e r e i s n o r e a s o n t o a s s u m e t h a t t h e s e r a n k i n g s h a v e a r e a l m e a n - i n g , b e c a u s e w i t h i n e a c h c a t e g o r y o f r e l a t i o n t h e r e i s a w i d e r a n g e i n t h e n u m b e r o f c o m m o n s u b s e t s . T h e p a i r s o f s e t s i n t h e f o l l o w i n g e x a m p l e s a r e c h o s e n a t r a n d o m , t h e o n l y p r e c o n d i t i o n b e i n g t o s h o w t w o p a i r s o f t h e s a m e c a r d i n a l i t y , o n e y i e l d i n g a r e l a t i v e l y l a r g e n u m b e r o f s u b s e t s , t h e o t h e r y i e l d i n g a m i n i m a l n u m b e r o f s u b - s e t s . T h e r a n g e o f d i f f e r e n c e i n t h e n u m b e r o f s u b s e t s s h o w s q u i t e c l e a r l y t h a t t h e c a t e g o r i e s o f " d e f i n e d " s i m i l a r i t y r e l a t i o n s l i s t e d o n p a g e 1 4 m a y b e u n i m p o r t a n t , a t l e a s t s o f a r a s a s s i g n i n g w e i g h t t o t h e m f o r m u s i c a l a n a l y s i s i f c o n c e r n e d . F i r s t , c o n s i d e r t w o Z — r e l a t e d p a i r s : 2 1 l a . 6 - 1 9 l b . 6 - 2 3 6 - 4 4 5 - 2 1 , 2 2 6 - 4 5 4 - 7 , 8 , l 7 , 4 - 1 2 , 1 3 , 1 8 , 1 9 , 2 7 2 0 W h i l e z - r e l a t e d p a i r s w o u l d s e e m t o b e a l l v e r y s i m i l a r , b e c a u s e t h e i r i n t e r v a l v e c t o r s a r e i d e n t i c a l , p a i r a , 6 - 1 9 / 6 - 4 4 , h a s t w o 5 - p c s u b s e t s a n d s i x 4 - p c s u b s e t s , w h i l e p a i r b , 6 — 2 3 / 6 - 4 5 h a s n o S - p c s u b s e t s a n d o n l y t h r e e 4 - p c s u b s e t s . P a i r a i s i n R P ' w h i l e p a i r b i s n o t . S e c o n d l y , c o m p a r e t w o p a i r s o f s e t s i n R l e : 2 a . 8 2 b . 8 - 6 8 - 2 7 7 - 2 9 8 - 8 7 - 7 6 ' 1 1 , 1 2 , 6 ' 5 , 6 , 7 , 1 7 , 1 8 , 1 8 , 3 8 , 2 4 , 2 5 , 4 1 , 4 3 3 1 , 3 3 , 4 6 , 4 7 , 5 0 P a i r a , 8 - 1 3 / 8 - 2 7 , h a s o n e 7 - p c s u b s e t a n d e l e v e n 6 - p c s u b s e t s , w h i l e p a i r b , 8 - 6 / 8 - 8 , a l s o h a s o n e 7 - p c s u b s e t , b u t o n l y s e v e n 6 - p c s u b s e t s . T h i r d l y , c o n s i d e r t w o p a i r s o f s e t s i n R Z R P : 2 2 3 a . 7 - 1 1 3 b . 7 - 1 8 7 - 2 7 6 - 1 4 , 2 4 7 - 3 2 6 - 3 1 5 - 3 ' 1 0 ' 5 - 1 8 ' 2 1 ' 1 1 , 1 7 , 2 2 , 2 5 , 2 1 , 2 3 , 2 6 , 2 7 , 2 6 , 2 7 , 3 0 , 3 2 2 9 , 3 0 , 3 7 . P a i r a , 7 - 1 1 / 7 - 2 7 , h a s t w o 6 - p c a n d e l e v e n 5 - p c s u b s e t s , w h i l e p a i r b , 7 - 1 8 / 7 - 3 2 , h a s o n e 6 - p c a n d e i g h t 5 - p c s u b s e t s . T h e f o u r t h c o m p a r i s o n i s o f t w o p a i r s o f s e t s i n R O R P : 4 a . 5 - 3 0 4 b . 5 ‘ 1 5 - 3 5 4 - 2 2 5 - 1 6 4 - 3 3 - 6 ' 7 ' 9 ’ 3 - 2 ' 3 1 1 P a i r a , 5 - 3 0 / 5 - 3 5 , h a s o n e 4 - p c s u b s e t a n d f o u r 3 - p c s u b s e t s , w h i l e p a i r b , 5 - 1 / 5 - 1 6 , h a s o n e 4 - p c s u b - s e t a l s o , p l u s t w o 3 - p c s u b s e t s . F i f t h l y , w e s e e t w o p a i r s o f s e t s i n R 1 r e l a t i o n : 5 a . 5 - 1 3 5 b . 5 - 1 5 - 1 4 5 - 3 5 3 - 1 , 3 , 4 , 3 - 6 5 , 8 P a i r a , 5 - 1 3 / 5 - 1 4 , h a s f i v e 3 - p c s u b s e t s i n c o m m o n , w h i l e p a i r b , 5 - 1 / 5 - 3 5 , h a s o n l y o n e 3 - p c s e t 2 3 i n c o m m o n ; o f c o u r s e , n e i t h e r p a i r h a s a n y 4 - p c s e t s i n c o m m o n , s i n c e t h e y a r e n o t i n R p . N e x t , c o m p a r e t w o p a i r s o f s e t s i n R 2 : 6 a . 7 - 1 2 6 b . 7 - 2 7 - 1 4 7 - 3 5 5 - 5 ' 1 4 ' 5 - 2 3 ' 2 4 2 9 , 3 6 P a i r a , 7 - 1 2 / 7 - 1 4 , h a s f o u r S - p c s e t s i n c o m m o n , w h i l e p a i r b , 7 - 2 / 7 - 3 5 , h a s t w o 5 - p c s e t s i n c o m m o n . S e v e n t h l y , c o m p a r e t w o p a i r s o f s e t s i n R P : 7 a . 4 - 4 7 b . 4 - 1 3 4 - 2 7 3 - 7 4 - 2 8 3 - 1 0 2 - 2 , 3 , 4 , 2 - 3 , 6 5 P a i r a , 4 - 4 / 4 - 2 7 , h a s f o u r 2 - p c s e t s i n c o m m o n , w h i l e p a i r b , 4 - 1 3 / 4 - 2 8 h a s o n l y t w o 2 - p c s e t s i n c o m m o n . B o t h p a i r s h a v e o n e 3 - p c s e t i n c o m m o n ( R P ) . I n t h e f i n a l e x a m p l e o f t h i s g r o u p , t w o p a i r s o f s e t s i n R 0 a r e s h o w n : 8 a . 6 - 1 0 8 b . 6 - 2 0 6 - 5 0 6 - 3 0 * 2 4 P a i r a , 6 - 1 0 / 6 - 5 0 h a s t h r e e 4 - p c s e t s i n c o m m o n , w h i l e p a i r b , 6 - 2 0 / 6 - 3 0 , h a s n e i t h e r 5 - p c n o r 4 - p c s u b - s e t s i n c o m m o n . T h a t i s t h e s i g n i f i c a n c e o f t h e a s t e r i s k . I f o n e c o m p a r e s t h e p a i r s o f s e t s i n 1 b ( p a g e 2 1 ) a n d 8 a ( p a g e 2 3 ) , o n e w i l l n o t e t h a t b o t h i n v o l v e s e t s o f c a r d i n a l i t y 6 . I n 1 b , t h e s e t s a r e Z - r e l a t e d a n d t h u s s h a r e t h e s a m e v e c t o r , y e t c o n t a i n e x a c t l y t h e s a m e n u m b e r o f s u b s e t s a s p a i r 8 b , w h i c h h a v e l e a s t s i m i l a r v e c t o r s , d e s i g n a t e d b y t h e r e l a t i o n R T h i s i s a n 0 . e x t r e m e c a s e , s h o w i n g t h a t t h e v e c t o r - d e p e n d e n t r e l a - t i o n s h i p d o e s n o t g i v e a c l e a r p i c t u r e o f t h e n u m b e r o f p o s s i b l e s u b s e t s h e l d i n c o m m o n b e t w e e n p a i r s o f s e t s o f l i k e c a r d i n a l i t y . Y e t , i n a n a l y s i s b a s e d o n m e t h o d s a s p r e s e n t e d i n F o r t e , S e M , t h e r e l a t i o n s h i p s h o w n i n l b w o u l d b e w e i g h t e d a s m u c h m o r e s i g n i f i c a n t t h a n t h e r e l a - t i o n s h i p s h o w n i n 8 a , e v e n t h o u g h b o t h e x a m p l e s y i e l d t h e s a m e r e s u l t , n a m e l y t h e s a m e n u m b e r o f s u b s e t s i n c o m m o n . A s m e n t i o n e d e a r l i e r , t h e n u m b e r o f p a i r s o f s e t s r e l a t e d t o e a c h o t h e r b y t h e " d e f i n e d " r e l a t i o n s i s a s m a l l p e r c e n t a g e w h e n c o m p a r e d t o t h e t o t a l n u m b e r o f p a i r s o f s e t s r e l a t e d t o e a c h o t h e r b y " u n d e f i n e d " r e l a - t i o n s . T h e m a j o r i t y , i n F o r t e ' s m e t h o d , w o u l d b e i g n o r e d . E x a m p l e s 9 a - b a n d l O a — b i l l u s t r a t e j u s t w h a t t y p e o f i n f o r m a t i o n w o u l d b e i g n o r e d . E x a m p l e s 9 a a n d 1 0 a s h o w ” d e f i n e d " r e l a t i o n s , w h i l e 9 b a n d 1 0 b s h o w 2 5 " u n d e f i n e d " r e l a t i o n s w h i c h r e v e a l a g r e a t e r n u m b e r o f c o m m o n s u b s e t s t h a n i n t h e " d e f i n e d " p a i r s : " d e f i n e d " ( Z - r e l a t e d ) " u n d e f i n e d ” p a i r p a i r 9 a . 5 - 1 8 9 b . 5 - 3 1 5 - 3 8 4 — 1 8 5 - 3 8 4 - 1 8 , 2 7 3 - 3 , 4 , 5 , 3 - 3 , 5 , 7 , 8 ' 1 0 ] 8 ' 1 0 ! 1 1 1 1 I n t h e a b o v e e x a m p l e s , t h e " u n d e f i n e d ' I p a i r , 5 - 3 1 / 5 - 3 8 , h a s t w o 4 - p c s u b s e t s , w h i l e t h e " d e f i n e d " p a i r , 5 - 1 8 / 5 - 3 8 , h a s o n l y o n e . B o t h p a i r s c o n t a i n s i x 3 - p c s u b s e t s . " d e f i n e d " ( R Z R ) " u n d e f i n e d " p a i r p a i r p 1 0 a . 6 - 3 3 1 0 b . 6 - 4 1 6 - 4 7 5 - 3 5 6 - 4 7 5 - 1 4 , 2 9 4 - 1 3 , 1 4 , 4 - 4 , 6 , l 3 , 1 6 , 2 2 , 1 4 , 1 5 , 2 3 , 2 6 , 1 6 ' 2 3 I 2 7 2 7 I n t h e a b o v e e x a m p l e s , t h e " u n d e f i n e d " p a i r , 6 - 4 1 / 6 - 4 7 , h a s m o r e s u b s e t s , b o t h i n t h e S - p c a n d 4 - p c c a t e g o r i e s , t h a n t h e " d e f i n e d " p a i r . S i m i l a r p a i r s ( " d e f i n e d " v s . " u n d e f i n e d " ) c o u l d b e c i t e d i n g r e a t n u m b e r s , s i n c e t h e y a r e q u i t e c o m m o n . I n a n a l y s i s b a s e d o n t h e i n t e r v a l v e c t o r m e t h o d , t h e r e l a t i o n s 2 6 e x p r e s s e d i n 9 b a n d 1 0 b w o u l d n o t b e c o n s i d e r e d ( t h e y w o u l d n o t b e l i s t e d i n t h e c h a r t s ) . T h e n e x t c h a p t e r w i l l i n t r o d u c e t h e c h a r t s f o u n d i n t h e I n d e x . I t w i l l d e s c r i b e t h e l a y o u t o f t h e s e c h a r t s a n d g i v e s t a t i s t i c a l i n f o r m a t i o n o n t h e v a r i o u s s u b s e t s a p p e a r i n g o n t h o s e c h a r t s . T h e c h a r t s s h o w s i m i l a r i t y r e l a t i o n s ; n o t t h o s e d e f i n e d i n t h e f i r s t c h a p t e r ( b a s e d o n i n t e r v a l v e c t o r s ) , b u t r a t h e r o n t h e s u b s e t s h e l d i n c o m m o n b e t w e e n p a i r s o f s e t s . E x a m p l e s l a - b t h r o u g h l O a - b , d i s c u s s e d a b o v e , a r e , i n e s s e n c e , s a m p l e s o f t h e k i n d o f i n f o r m a t i o n c o n t a i n e d t h e r e i n . N o n e o f t h e " d e f i n e d " r e l a t i o n s i s l a b e l e d t h e r e . C H A P T E R I I I A N E W W A Y O F L O O K I N G A T S I M I L A R I T Y R E L A T I O N S A n e x a m i n a t i o n o f s i m i l a r i t i e s b a s e d o n s u b s e t s r e v e a l s a w e a l t h o f i n f o r m a t i o n n o t o b t a i n a b l e b y a s i m p l e c o m p a r i s o n o f i n t e r v a l v e c t o r s . O n p a g e 4 : i b e g i n s a c o m p i l a t i o n o f t h e s e s i m i l a r i t y r e l a t i o n s , s t a r t i n g w i t h p a i r s o f 4 - p c s e t s , a n d e n d i n g w i t h 8 - p c s e t s . ( C o m p a r i s o n s o f s e t s o f 1 - p c , 2 - p c , 3 - p c , 9 - p c , l O - p c , l l - p c a n d l 2 - p c a r e n o t i n c l u d e d i n t h e c o m p i l a - t i o n , h e r e a f t e r c a l l e d t h e I n d e x , f o r t h e s m a l l s e t s r e v e a l t o o m a n y s u p e r s e t s a n d t h e l a r g e s e t s s h o w t o o m a n y s u b s e t s t o h a v e a n y r e l e v a n c e . ) F o r e a c h c a t e g o r y o f c a r d i n a l i t y n , s u b s e t s o f c a r d i n a l i t y n - 1 a n d n - 2 a r e g i v e n . B e c a u s e t h e i n f o r m a - t i o n c o n t a i n e d i n t h e I n d e x c a n n o t b e i n c l u d e d o n o n e p a g e f o r a n y c a r d i n a l i t y , i t i s o r g a n i z e d i n t h e f o l l o w - i n g m a n n e r : e a c h c a r d i n a l i t y h a s a s e p a r a t e i n d e x ( t h e 4 - p c i n d e x i s o n p a g e 4 : i ; t h e 5 - p c i n d e x i s o n p a g e 5 : i , e t c . ) . T h e f i r s t d i a g r a m o f t h e i n d e x i s a P a s q u a l t r i a n g l e , w i t h t h e n u m b e r s d o w n t h e l e f t - h a n d s i d e a n d 2 7 2 8 t h o s e l i s t e d d i a g o n a l l y f r o m u p p e r l e f t t o l o w e r r i g h t b e i n g t h e o r d i n a l n u m b e r s o f t h e s e t s i n q u e s t i o n : e . g . , o n p a g e 4 : i , t h e P a s q u a l t r i a n g l e f e r t h e c h a r t o f s i m i - l a r i t y r e l a t i o n s a m o n g p a i r s o f 4 - p c s e t s c o n t a i n s t h e n u m b e r s 1 t h r o u g h 2 9 i n t h e m a n n e r s p e c i f i e d a b o v e , s i n c e t h e r e a r e 2 9 d i f f e r e n t 4 - p c s e t s . T h e P a s q u a l t r i a n g l e i s p a r t i t i o n e d i n t o s e c - t i o n s , s e t a p a r t b y h o r i z o n t a l l i n e s a n d v e r t i c a l c o l u m n s o f a s t e r i s k s . W i t h i n e a c h s e c t i o n i s a n u n d e r l i n e d n u m b e r ( s u c h a s 1 1 ) ! w h i c h i s t h e p a g e n u m b e r o n w h i c h t h a t p a r t i c u l a r s e c t i o n w i l l b e f o u n d i n t h e f o l l o w i n g p a g e s . ( F o r r e a d e r s f a m i l i a r w i t h t h e s t a n d a r d m a n n e r o f p a r t i t i o n i n g m a p s i n a n a t l a s , t h i s i s a s i m i l a r t e c h n i q u e . I m a g i n e a m a p p a r t i t i o n e d i n t o s e c t i o n s , w i t h e a c h s e c t i o n a p p e a r i n g o n t h e f o l l o w i n g p a g e s " b l o w n u p " i n l a r g e r s c a l e . T h i s i s t h e w a y t h e P a s q u a l t r i a n g l e s a r e h a n d l e d : e a c h u n d e r l i n e d p a g e i s a b l o w - u p o f t h a t p a r t o f t h e c h a r t . ) I f o n e w e r e l o o k i n g f o r t h e s i m i l a r i t y r e l a t i o n b e t w e e n s e t s 4 - 1 2 a n d 4 - 2 4 , o n e w o u l d l o o k , t h e r e f o r e , o n p a g e 4 : 1 4 , t h e p a g e t h a t c o n - t a i n s t h e c r o s s - r e f e r e n c e s o f s e t s 4 — 1 1 t h r o u g h 4 - 1 5 w i t h s e t s 4 - 2 1 t h r o u g h 4 - 2 5 . T h e s i m i l a r i t y o f s e t 4 - 1 2 t o s e t 4 - 2 4 w i l l b e s h o w n t h u s : 3 - 8 2 - 2 , 4 , 6 2 9 T h i s e n t r y r e p r e s e n t s t h e c o m m o n s u b s e t 3 - 8 a s w e l l a s s u b s e t s 2 - 2 , 2 - 4 a n d 2 - 6 . I t i s t y p i c a l o f t h e w a y t h e i n f o r m a t i o n o f c o m m o n s u b s e t s w i l l b e p o r t r a y e d i n t h e I n d e x : f o r e a c h p a i r o f s e t s o f c a r d i n a l i t y n b e i n g c o m p a r e d , t h e s u b s e t ( s ) o f c a r d i n a l i t y n - l w i l l a p p e a r f i r s t , f o l l o w e d b e l o w b y t h e s u b s e t s o f c a r d i - n a l i t y n - 2 . I f t h e r e a r e n o s u b s e t s o f c a r d i n a l i t y n - l , t h e a p p r o p r i a t e p l a c e i n t h e c h a r t w i l l r e m a i n b l a n k . I n c e r t a i n r a r e c a s e s , t h e r e w i l l b e n o s u b s e t s o f e i t h e r c a r d i n a l i t y n - l o r n - 2 , i n w h i c h c a s e t h e e n t i r e e n t r y w i l l b e m a r k e d b y a s i n g l e a s t e r i s k . T h e r e a d e r m a y w e l l w o n d e r w h y t h e s e c h a r t s d o n o t c o n t a i n c o m m o n s u b s e t s o f c a r d i n a l t i y n - 3 ( o r n - 4 , e t c . ) . T h e r e a s o n f o r t h i s i s t h a t m o s t p a i r s o f s e t s o f c a r d i n a l i t y n w i l l c o n t a i n m o s t o f t h e p o s s i b l e s u b - s e t s o f c a r d i n a l i t y n - 3 a n d l o w e r , s o t h a t t h e r e w o u l d n o t b e e n o u g h s i g n i f i c a n t d i f f e r e n t i a t i o n t o b e u s e f u l f o r a n a l y t i c a l p u r p o s e s . W i t h i n t h e b o d y o f t h e c h a r t s , c e r t a i n s e t s a p p e a r m o r e o f t e n t h a n o t h e r s a s s u b s e t s , c e r t a i n s e t s a p p e a r r a r e l y , a n d o t h e r s a p p e a r w i t h i n t h e s e e x t r e m e s . W i t h i n t h e i n d e x e s d e s c r i b e d a b o v e a n d a f t e r t h e a p p e a r - a n c e o f t h e P a s q u a l t r i a n g l e s , o t h e r i n f o r m a t i o n f o l l o w s : a . T h e c o m p l e t e l i s t i n g o f t h e s e t s o f t h e c a r d i n a l i t y i n q u e s t i o n , g i v i n g p r i m e f o r m s a n d i n t e r v a l v e c t o r s . 3 0 b . T h e c o m p l e t e l i s t i n g o f t h e s u b s e t s i n q u e s t i o n , g i v i n g p r i m e f o r m s , i n t e r v a l v e c t o r s a n d t h e n u m b e r o f o c c u r r e n c e s o f t h e s e s u b s e t s i n t h e c h a r t , f o l l o w e d b y t h e p e r c e n t a g e o f o c c u r r e n c e o f t h e s e s u b s e t s . S e e p a g e 4 : i i . T h e l i s t o f 3 - p c a n d 2 - p c s e t s s h o w s h o w m a n y t i m e s t h a t p a r t i c u l a r s u b s e t a p p e a r s a m o n g p a i r s o f 4 - p c s e t s . I n t h i s c a s e , i t s h o w s t h a t s e t 3 - l a p p e a r s 1 0 t i m e s , o r 2 . 5 % o f t h e t i m e , w h i l e s e t 3 - 2 a p p e a r s 3 6 t i m e s , o r 8 . 9 % o f t h e t i m e , w i t h i n t h e c h a r t f o r 4 - p c s e t s . W h i l e t h e i n t e r v a l v e c t o r i s n o t a c o m p l e t e l y v a l i d c r i t e r i o n f o r e s t a b l i s h i n g s i m i l a r i t y r e l a t i o n s , i t d o e s h a v e a b e a r i n g o n t h e p e r c e n t a g e o f o c c u r r e n c e s o f s u b s e t s w i t h i n t h e c h a r t s o f t h e I n d e x . T h e p e r c e n t a g e o f o c c u r r e n c e o f s u b s e t s w i t h i n t h e c h a r t s i s c l o s e l y r e l a t e d t o t h e a r r a n g e m e n t o f e n t r i e s w i t h i n t h e i n t e r v a l v e c t o r . A s e t w h o s e i n t e r v a l v e c t o r i s o f t h e t y p e w h i c h h a s " e q u a l o r n e a r l y e q u a l d i s t r i b u t i o n o f e n t r i e s " ( F o r t e , S A M , p . 1 6 ) w i l l h a v e a h i g h p e r c e n t a g e o f o c c u r r e n c e i n t h e c h a r t s . C o n - v e r s e l y , a s e t h a v i n g " u n i q u e v e c t o r e n t r i e s , " o r " m a x i m u m n u m b e r o f s o m e i c " w i l l h a v e a l o w p e r c e n t a g e o f o c c u r r e n c e . F u r t h e r m o r e , t h e r e i s a g e n e r a l c o r r e s p o n d e n c e b e t w e e n s u b s e t s o f h i g h p e r c e n t a g e o f o c c u r r e n c e ( a s l i s t e d i n t h e i n d e x e s ) a n d t h e c o u n t s o f t h e b a s i c 3 1 i n t e r v a l p a t t e r n s ( s e e F o r t e , S A M , p . 6 9 ) . H i g h p e r - c e n t a g e o f o c c u r r e n c e c o r r e s p o n d s q u i t e c l o s e l y t o h i g h b i p c o u n t s , a n d l o w p e r c e n t a g e o f o c c u r r e n c e c o r r e s - p o n d s c l o s e l y t o l o w b i p c o u n t s . T h i s i s i l l u s t r a t e d i n t h e e x a m p l e s b e l o w . A n a n a l y s i s o f t h i s c o n c e p t o f " p e r c e n t a g e o f o c c u r r e n c e " f o l l o w s . W h e n s u b s e t s a r e o f a c a r d i n a l i t y o f t w o l e s s t h a n t h e i r " p a r e n t g r o u p , “ t h e y h a v e t h e m o s t v a r i e d v a l u e s o f p e r c e n t a g e s o f o c c u r r e n c e . C o n - s i d e r t h e p e r c e n t a g e o f o c c u r r e n c e f o r 2 - p c s u b s e t s o f 4 - p c s e t s , 3 - p c s u b s e t s o f 5 - p c s e t s , e t c . : 2 - p c s u b s e t s o f P e r c e n t a g e o f o c c u r r e n c e 4 - p c s e t s a m o n g p a i r s o f 4 - p c s e t s a . 2 - 4 5 6 . 9 % b . 2 - l , 2 , 3 , 5 5 1 . 7 c . 2 - 6 2 5 . 9 S e t 2 - 4 o c c u r s a s a c o m m o n s u b s e t o f p a i r s o f 4 - p c s e t s m o r e o f t e n ( 5 6 . 9 % ) t h a n t h e o t h e r 2 - p c s e t s . S e t 2 - 6 o c c u r s a s a c o m m o n s u b s e t o n l y 2 5 . 9 % o f t h e t i m e . T h e r e s t o f t h e 2 - p c s e t s a p p e a r 5 1 . 7 % o f t h e t i m e . 3 - p c s u b s e t s o f P e r c e n t a g e o f o c c u r r e n c e S - p c s e t s a m o n g p a i r s o f S - p c s e t s a . 3 - 2 , 3 , 4 , 7 , 8 4 2 . 7 % 1 1 b . 3 - 5 3 9 . 3 c . 3 - 6 , 1 0 1 9 . 3 d . 3 - l , 9 1 7 . 1 e . 3 - 1 2 4 . 0 3 2 T h e m o s t c o m m o n 3 - p c s u b s e t s o f p a i r s o f 5 - p c s e t s a r e t h e g r o u p o f s e t s 3 - 2 , 3 - 3 , 3 - 4 , 3 - 7 , 3 - 8 a n d 3 - 1 1 , o c c u r r i n g 4 2 . 7 % o f t h e t i m e , w h i l e t h e l o n e s u b s e t o f l e a s t o c c u r r e n c e ( 4 . 0 % ) i s s e t 3 — 1 2 , t h e a u g m e n t e d t r i a d . T h e o t h e r 3 - p c s u b s e t s o c c u r w i t h i n t e r m e d i a t e f r e q u e n c y , a s s h o w n . 4 - p c s u b s e t s o f P e r c e n t a g e o f o c c u r r e n c e 6 - p c s e t s a m o n g p a i r s o f 6 - p c s e t s a . 4 - 1 5 , 2 9 3 0 . 9 % b . 4 - 4 , 5 , l l , 1 2 , 2 2 . 5 1 3 , 1 4 , 1 6 , 1 8 , 2 7 c . 4 - 2 , 2 2 1 8 . 9 d . 4 - 3 , 7 , 8 , 1 0 , l 7 , l 9 , 2 0 , 2 6 e . 4 - 6 8 . 6 f . 4 - l , 2 1 , 2 3 , 2 4 6 . 4 g . 4 - 9 , 2 5 3 . 7 h . 4 - 2 8 1 . 2 T h e e x a m p l e a b o v e g i v e s i n f o r m a t i o n w h i c h c a n b e c o m p a r e d d i r e c t l y w i t h t h e c h a r t l i s t i n g b i p c o u n t s o f p c s e t s o f c a r d i n a l i t y 4 i n F o r t e , S A M , p . 6 9 ; i . e . , s e t s 4 - 1 5 a n d 4 - 2 9 o c c u r w i t h t h e h i g h e s t f r e q u e n c y a s c o m m o n s u b s e t s o f p a i r s o f 6 - p c s e t s . T h e y a l s o a r e t h e t w o s e t s w h i c h h a v e t h e m o s t n u m e r o u s d i f f e r e n t b a s i c i n t e r v a l p a t t e r n s . A t t h e o t h e r e n d o f t h e s c a l e , s e t 4 - 2 8 , t h e d i m i n i s h e d 7 t h c h o r d , h a s t h e l o w e s t p e r c e n - t a g e o f o c c u r r e n c e , a n d i t a l s o h a s t h e f e w e s t p o s s i b l e b a s i c i n t e r v a l p a t t e r n s o f a l l t h e 4 - p c s e t s . 3 3 S - p c s u b s e t s o f P e r c e n t a g e o f o c c u r r e n c e 7 - p c s e t s a m o n g p a i r s o f 7 - p c s e t s a . 5 - 9 , 1 1 , 1 8 , 2 4 , 2 1 . 8 % 3 6 , 3 8 b . 5 - 4 , 1 3 , 2 6 , 2 9 , 1 9 . 3 3 0 c . 5 - 3 , 6 , 1 0 , 1 6 , 1 7 . 1 2 0 . 2 1 . 2 5 . 2 7 , 3 2 a . 5 - 2 , s , 1 4 , 2 3 , 1 4 . 9 2 8 e . 5 - 1 9 1 1 . 1 f . 5 - 7 , 8 , 1 2 , l 7 , 9 . 4 2 2 . 3 4 . 3 7 9 . 5 - 1 5 7 . 8 h . 5 - 3 3 6 . 4 i . 5 - 1 , 3 5 5 . 1 j . 5 - 3 1 3 . 0 S e e F o r t e , S A M , p . 6 9 f o r c o m p a r i s o n w i t h b i p c o u n t s o f t h e S - p c s e t s . T h e n e x t t w o c h a r t s a r e a r r a n g e d i n a s i m i l a r w a y , a n d n e e d n o f u r t h e r c o m m e n t : 6 - p c s u b s e t s o f P e r c e n t a g e o f o c c u r r e n c e 8 - p c s e t s a m o n g p a i r s o f 8 - p c s e t s a . 6 - l l , 4 0 2 5 . 9 % b . 6 - 5 , 9 , 1 5 , l 6 , 2 2 . 4 1 8 , 3 1 c . 6 - 3 , 1 0 , 1 2 , l 7 , 1 9 . 2 2 4 , 2 5 , 3 9 , 4 l , 4 3 , 4 6 d . 6 - 3 6 , 4 7 1 6 . 3 e . 6 - 2 , l 4 , l 9 , 2 1 , 1 3 . 5 2 2 , 2 7 , 3 3 , 3 4 , 4 4 f . 6 - 4 , 6 , 8 , l 3 , 8 . 9 2 3 , 2 6 , 2 8 , 2 9 , 3 0 , 3 7 , 3 8 , 4 2 , 4 5 , 4 8 , 4 9 , 5 0 g . 6 - l , 3 2 5 . 2 h . 6 - 7 3 . 7 1 . 6 - 2 0 1 . 5 j . 6 - 3 5 . 7 N l o ‘ ‘ - I o e l ‘ m o U 7 - p c s u b s e t s o f 9 - p c s e t s a . 7 - 1 3 , 2 6 , 3 0 , 3 6 b . 7 - 4 , 9 , l l , 1 8 , 2 4 , 2 9 , 3 8 c . 7 - 5 , 1 4 , 1 9 , 2 8 , 3 1 d . 7 - 2 , 3 , 6 , 8 , 1 0 , 1 2 , 1 6 , 1 7 , 2 0 , 2 2 , 2 3 , 2 5 , 2 7 , 3 2 , 3 4 , 3 7 e . 7 - 7 , 1 5 f . 7 - l , 2 1 , 3 5 9 . 7 — 3 3 3 4 P e r c e n t a g e o f o c c u r r e n c e a m o n g p a i r s o f 9 - p c s e t s 5 4 . 5 % 4 2 . 4 3 1 . 8 2 2 . 7 N o t e t h a t t h e c h a r t o f 7 - p c s u b s e t s o f 9 - p c s e t s i s i n c l u d e d h e r e e v e n t h o u g h t h e r e i s n o f o r m a l s e g m e n t o f t h e I n d e x d e a l i n g w i t h 9 - p c s e t s . T h e r e a s o n i s s i m p l e : t h e " p e r c e n t a g e s o f o c c u r r e n c e " a r e q u i t e h i g h . F u l l y 1 6 o f t h e 3 8 p o s s i b l e 7 - p c s u b s e t s ( 4 2 % ) o c c u r i n o v e r 3 0 % o f a l l p a i r s o f 9 - p c s e t s . C H A P T E R I V S O M E T H O U G H T S O N A N A L Y T I C A L M E T H O D S I N S E T T H E O R Y A n a l y s i s w h i c h m a k e s u s e o f s e t - t h e o r y t e c h n i q u e s c a n b e d e c e p t i v e . I n t h e p a s t , i t h a d a t e n d e n c y t o p r o - v i d e a g r e a t d e a l o f i n f o r m a t i o n o f d u b i o u s v a l u e , s i n c e m u c h o f t h i s i n f o r m a t i o n w a s d e r i v e d f r o m c o m p a r i s o n s o f e l e m e n t s ( s e t s ) w h o s e o n l y r e l a t i o n s h i p s t o e a c h o t h e r w e r e g e n e r a t e d b y t h e s y s t e m o f a n a l y s i s u s e d ( e s s e n - t i a l l y , n u m b e r t h e o r y ) a n d n o t o n s t r u c t u r a l , c o m p o s i - t i o n a l r e l a t i o n s h i p s i n t h e s c o r e . B y t h e f o r m e r m e t h o d s , i t h a s b e e n t h e s t a n d a r d p r a c t i c e t o i s o l a t e a n d l a b e l , f i r s t , e v e r y c o n c e i v a b l e s e t w h i c h t h e a n a l y s t f e e l s h e s h o u l d l a b e l . T h i s " i s o l a t i o n " h a s b e e n d o n e f o r v e r t i - c a l a s w e l l a s h o r i z o n t a l s e t s . H o r i z o n t a l s e t s a r e f u r t h e r b r o k e n u p b y t h e p r o c e s s c a l l e d i m b r i c a t i o n , i n w h i c h s e g m e n t s o f m e l o d i c s e t s a r e l a b e l e d . C o m m o n s e n s e m u s t b e u s e d , o f c o u r s e , f o r o n e t o d e t e r m i n e w h a t g r o u p - i n g s o f n o t e s w i l l b e c o n s i d e r e d s e t s . I n m u s i c o u t s i d e o f t h e " c o m m o n p r a c t i c e " o r b i t , t h e r e i s a s u b s t a n t i a l " m a r g i n o f e r r o r , " o r d i f f e r e n c e o f o p i n i o n , w h i c h c a n 3 5 3 6 g o v e r n h o w v a r i o u s a n a l y s t s w i l l i s o l a t e t h e s e s e t s . T h e n u m b e r a n d t h e t y p e s o f s e t s i s o l a t e d a n d l a b e l e d c a n v a r y s u b s t a n t i a l l y f r o m t h e w o r k o f o n e a n a l y s t t o t h a t o f a n o t h e r . B e c a u s e t h e e s s e n c e o f t h i s t y p e o f a n a l y s i s h a s b e e n t o c o m p i l e c h a r t s o f a l l t h e s e t s u s e d i n t h e c o m p o s i t i o n ( o r m o v e m e n t , o r s e c t i o n ) , t h e n t o f i n d t h e K , K h o r K * r e l a t i o n s a m o n g s e t s , a n d f i n a l l y t o c o u n t t h e K - r e l a t i o n s i n o r d e r t o d e t e r m i n e " n e x u s - s e t s , " a n y o n e w h o i s s k e p t i c a l o f t h i s t y p e o f w o r k c a n a s k , l e g i t i m a t e l y , " o f w h a t u s e i s t h e c o m p o s i t i o n i t s e l f , o t h e r t h a n a s a s o u r c e o f r a w m a t e r i a l s ( s e t - l a b e l s ) f o r t h e d e t e r m i n a t i o n o f c e r t a i n m a t h e m a t i c a l r e s u l t s ? " T r u l y , t h e r e h a s b e e n m u c h o f t h i s t y p e o f a n a l y s i s r e c e n t l y i n w h i c h a K - r e l a t i o n c h a r t i s t h e f i n a l r e s u l t . T h i s i s n o t t o s a y t h a t o n e m u s t n o t i d e n t i f y t h e e l e m e n t s o f m u s i c . Y e t , j u s t a s o n e c o u l d n o t c o n - s i d e r a n a l y s i s t o b e t h e c o u n t i n g o f t r i a d s , s e v e n t h - c h o r d s , e t c . , i n c o m m o n - p r a c t i c e m u s i c f o r t h e c o m p i l a - t i o n o f s u c h i n f o r m a t i o n , o n e s h o u l d n o t a c c e p t t h i s t y p e o f c o m p i l a t i o n o f i n f o r m a t i o n a s a n a l y s i s o f n o n - t o n a l m u s i c . F o r t h e s e r e a s o n s , t h e f o l l o w i n g a n a l y s i s w i l l n o t b e b a s e d o n c o m p i l a t i o n s . I t w i l l n o t d e a l w i t h K - r e l a t i o n s a s d e s c r i b e d a b o v e . T h e c h a r t s w h i c h h a v e b e e n p r e p a r e d f o r t h e I n d e x w i l l b e u s e d a s a g u i d e t o 3 7 d i r e c t o u r a t t e n t i o n t o w a r d s p c s r e l a t i o n s h i p s e x i s t i n g w i t h i n t h e m u s i c . " W e i g h t e d v a l u e s " w i l l n o t b e a s s i g n e d t o s i m i l a r i t y r e l a t i o n s . I t w i l l b e , r a t h e r , s i m p l y p o i n t e d o u t h o w t h e c o m p o s e r h a s u s e d t h e e l e m e n t s i n h i s c o m p o s i t i o n . T h e c o m p o s i t i o n t o b e a n a l y z e d i s t h e s e c o n d m o v e m e n t o f I g o r S t r a v i n s k y ' s " T r o i s P i e c e s p o u r Q u a t u o r 5 C o r d e s " ( T h r e e P i e c e s f o r S t r i n g e Q u a r t e t ) . T h i s w o r k h a s b e e n c h o s e n f o r t w o m a j o r r e a s o n s . T h e f i r s t i s t h a t A l l e n F o r t e , i n h i s S t r u c t u r e o f A t o n a l M u s i c , h a s a n a l y z e d t h e o r c h e s t r a l v e r s i o n o f t h i s m o v e m e n t ( F o r t e , S A M , p p . 1 3 0 - 1 3 9 ) . T h e s e c o n d r e a s o n i s t h a t t h e o r c h e s t r a l v e r s i o n h a s s o m e e s s e n t i a l d i f f e r e n c e s f r o m t h e o r i g i n a l s t r i n g q u a r t e t v e r s i o n w h i c h t h e r e a d e r m a y n o w c o m p a r e . T h i s m o v e m e n t c o n s i s t s o f s h o r t s e c t i o n s , o r f r a g m e n t s , w h i c h a r e s t r u n g t o g e t h e r i n a w a y w h i c h l e n d t h e m s e l v e s q u i t e n a t u r a l l y t o c o m p a r a t i v e a n a l y s i s . I n t h e t e x t , " c o m p o s i t e s e t s " w i l l b e m e n t i o n e d . A c o m e p o s i t e s e t i s t h e t o t a l p i t c h - c o n t e n t o f e a c h s e c t i o n , o r , i n a f e w i n s t a n c e s , s u b s e c t i o n . R a t h e r t h a n a s c o r e c o m p l e t e l y c o v e r e d w i t h s e t - l a b e l s , a r e l a t i v e l y " c l e a n " s c o r e i s p r o v i d e d , w i t h t h e s e c t i o n s l a b e l e d ( p p . 3 9 - 4 1 ) . I n t h i s w a y , t h e r e a d e r w i l l b e a b l e t o f o l l o w t h e m e t h o d u s e d i n t h e s u b s e q u e n t a n a l y s i s : h e w i l l s e e h o w t h e i n f o r m a t i o n 3 8 d e r i v e d f r o m t h e I n d e x c a n l e a d t o t h e d i s c o v e r y o f i n f o r m a t i o n a b o u t t h e s e t - c o n t e n t o f t h e c o m p o s i t i o n . T h i s w i l l s e r v e a s a g u i d e t o t h e u s e o f t h e I n d e x . E v e n t h o u g h t h e I n d e x i s a s o u r c e o f a g r e a t d e a l o f p o t e n t i a l i n f o r m a t i o n , m a n y o f t h e s u b s e t s l i s t e d t h e r e i n w i l l n o t n e c e s s a r i l y b e r e l e v a n t t o t h e c o m p o - s i t i o n , w h i l e o t h e r s o f t e n w i l l . T h i s k i n d o f s i t u a t i o n w a s i l l u s t r a t e d i n C h a p t e r I I . I f a s u b s e t f o u n d i n t h e c h a r t h a s l i m i t e d o r n o s t r u c t u r a l s i g n i f i c a n c e t o t h e s e c t i o n s b e i n g c o m p a r e d , i t w i l l b e s o s t a t e d . I f , h o w - e v e r , a s u b s e t l i s t e d i n t h e I n d e x d o e s h a v e s t r u c t u r a l s i g n i f i c a n c e , i t w i l l b e i l l u s t r a t e d ( a s o n p p . 1 6 - 1 8 ) . I t i s h o p e d t h a t t h e s y s t e m o f p c - s e t r e l a t i o n - s h i p s w i l l e n l i g h t e n t h e r e a d e r ' s u n d e r s t a n d i n g o f h a r m o n i c p r a c t i c e i n m u s i c n o t b a s e d o n t h e " c o m m o n p r a c t i c e " p e r i o d . . . — — — - - — - ' . . . . - - — — - — _ . . - - . - . — - - — - - — - - _ - : fi t g fi i g l t t fi i t i ‘ ” U N I ? " s u r i a l e u c h c . . . . . . . . . . . . : m u . . r d u g ! B l H , m m C o p y r i g h t 1 9 2 2 E d i t i o n R u s s e l a M u s i q u e ( R u s s i s c h e r M u s i k v e r l a g ) f o r a l l c o u n t r i e s . R e p r i n t e d b y p e r m i s s i o n o f B o o s e y & H a w k e s , N e w Y o r k , U . S . A . F i g u r e l . - - S e c o n d m o v e m e n t o f T r o i s P i e c e s p o u r Q u a t u o r a C o r d e s b y I g o r S t r a v i n s k y . . I ) I I I I ‘ v . . . : v ‘ " - ‘ “ I I ' 1 1 " . F i g u r e 1 ( c o n t ' d . ) . f i x : . q u l Q u i n n ' - I ' U fi n R m ! 1 m : . R e m e n e z v 1 1 : l ‘ m a r u m e n l ( u n u v l c c o m m . o n t i o n ! 1 1 1 : v n o h n c l n c ) u m d o p o u v o n r u e ' c u t c r u I i : S ‘ J i m m u n ' i l r - f q p i . . p u " . . i i ‘ ! . I I . . - u » . - u u u u . — - - — - - — . - - - . . - ' — ' — . - — - v - o — ’ - - - . , p . 4 ‘ - — - . . u 1 . 1 : ' u ' l I u “ 4 0 I . " . t 2 : 1 ' 1 ! i n n . l i i . 4 1 g . * I u r l a t o e n - 3 7 a i s f - ‘ i c h e . . . . . m a r I n t e n B . I H . I O J I J F i g u r e l ( c o n t ' d . ) . C H A P T E R V I G O R S T R A V I N S K Y : T R O I S P I E C E S P O U R Q U A T U O R A C O R D E S , S E C O N D M O V E M E N T T h i s m o v e m e n t i s m a d e u p o f s e v e n d i f f e r e n t s e c t i o n s . S o m e a p p e a r s e v e r a l t i m e s , w h i l e o t h e r s a p p e a r o n l y o n c e . T h e s e s e c t i o n s h a v e b e e n l a b e l e d A t h r o u g h G ( F i g u r e 1 , p p . 3 9 - 4 1 ) . W h e n t h e s e c t i o n s a r e g i v e n t h e s a m e l e t t e r , i t m e a n s t h a t t h e y a r e s i m i l a r i n c o n t e n t . A b r i e f o u t l i n e o f t h e m o v e m e n t i s g i v e n b e l o w : A l M e a s u r e s 1 - 1 2 : T w o s e t s a l t e r n a t i n g i n s u c h a w a y t h a t t h e s e c o n d o f e a c h p a i r i s a k i n d o f " r e s o l u t i o n " o f t h e f i r s t , f o l l o w e d b y o n e m e l o d i c m o t i v e s t a t e d a l o n e ( m m . 4 - 5 ) , a n d i n c o n j u n c t i o n w i t h t h e a l t e r n a t i n g s e t s ( m m . 9 - 1 0 ) . T h e c o m p o s i t e s e t i s 6 - 6 : [ 3 , 4 , 5 , 8 , 9 , 1 0 ] . B l M e a s u r e s 1 3 - 1 4 : A s h o r t m e l o d i c f r a g m e n t ( l s t v i o l i n a n d c e l l o ) . T h e c o m p o s i t e s e t i s 6 - 3 : [ 1 0 , 1 1 , 0 , l , 3 , 4 ] . C 1 M e a s u r e s 1 5 - 1 6 : A n a b r u p t l y a c c e n t e d m o t i v e , i n l o w t e s s i t u r a . T h e c o m p o s i t e s e t i s 4 - 6 : [ 5 , 1 0 , 1 1 , 0 ] . B M e a s u r e s 1 7 - 1 9 : A n e x p a n d e d v e r s i o n o f B l 2 ( j o i n e d b y t h e 2 n d v i o l i n a n d v i o l a ) e n d i n g o n c e a g a i n w i t h t h e i n t e r v a l [ 1 , 1 0 ] . T h e c o m p o s i t e s e t i s 8 - 1 : [ 9 , 1 0 , 1 1 , 0 , l , 2 , 3 , 4 ] . 4 2 4 3 M e a s u r e s 2 0 - 2 1 : A n a b r u p t l y a c c e n t e d m o t i v e a s i n C 1 . S a m e c o m p o s i t e s e t , 4 - 6 , a l t h o u g h t h e v e r t i c a l s t r u c t u r e s w i t h i n t h e c o m p o s i t e s e t a r e c h a n g e d s l i g h t l y . ( S e c t i o n s B l + C 1 h a v e a p a r a l l e l c o n s t r u c t i o n t o B z + C 2 ) . M e a s u r e 2 2 : I d e n t i c a l v e r t i c a l s e t s i n a h i g h t e s s i t u r a . T h e c o m p o s i t e s e t i s 6 - 1 7 : [ 2 , 3 , 4 , 6 , 9 , 1 0 ] . T h i s s e c t i o n c o n t a i n s t h e f i r s t a p p e a r a n c e o f p c [ 6 ] . M e a s u r e 2 3 : A g a i n , a n a b r u p t l y a c c e n t e d m o t i v e , i n l o w t e s s i t u r a , t h i s t i m e p i a n o . T h e s a m e c o m p o s i t e s e t a s i n C 1 a n d C 2 , 4 - 6 , b u t t h e v e r t i c a l s e t s a r e n o t i d e n t i c a l t o t h o s e i n t h e p r e v i o u s C s e c t i o n s . M e a s u r e 2 4 : T h e s a m e c o m p o s i t e s e t a s i n D 1 , 6 - 1 7 , e l i d i n g i n t o t h e n e x t s e c t i o n . T h i s s e c t i o n i s i n t h r e e p a r t s . M e a s u r e 2 5 : T h e c o m p o s i t e s e t i s 1 0 - 2 . M e a s u r e s 2 6 - 2 8 : T h e c o m p o s i t e s e t i s 9 - 1 . M e a s u r e s 2 9 - 3 0 : T h e c o m p o s i t e s e t i s 7 - 1 . T h e c o m p o s i t e s e t o f t h e c o m b i n e d E s e c t i o n s i s 1 0 - 2 , a l l p c s e x c e p t 5 a n d 7 . T h i s s e c t i o n h a s g r e a t e r p c d e n s i t y a n d g r e a t e r r h y t h m i c a c t i v i t y , a s w e l l a s o s t i n a t i i n E 2 . M e a s u r e s 3 1 - 3 2 : A s l o w , p i a n i s s i m o m e l o d y o v e r a p e d a l . T h e c o m p o s i t e s e t i s 8 - 1 2 : [ 9 , 1 0 , 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 6 ] . M e a s u r e 3 3 : A n a r p e g g i o " c a d e n c e . " T h e c o m — p o s i t e s e t i s 8 - 2 3 : [ 9 , 1 1 , 0 , 2 , 4 , 5 , 6 , 7 ] . T h e f i r s t a p p e a r a n c e o f p i t c h [ 7 ] . M e a s u r e s 3 3 - 3 5 : A k i n d o f " K l a n g f a r b e n m e l o d i e , " s e r v i n g a s a f i n a l c a d e n c e f o r s e c t i o n F . T h e c o m p o s i t e s e t i s 1 0 - 2 , t h o u g h a d i f f e r e n t o n e f r o m s e c t i o n E ( i . e . , a l l p c s b u t [ 1 0 , 0 1 ) . M e a s u r e s 3 6 - 4 3 : T w o p h r a s e s o f v i o l i n m e l o d y p l u s a c c o m p a n i m e n t . A g a i n , g r e a t p c d e n s i t y . 4 4 T h e c o m p o s i t e s e t i s 1 1 - 1 : a l l p c s b u t [ 1 0 ] . T h e c o m p o s i t e s e t i s 1 2 — 1 : u n i v e r s a l s e t . F M e a s u r e s 4 4 - 4 7 : A l i n k b e t w e e n t h e m i d d l e s e c t i o n s ( E , F a n d G ) a n d t h e r e s t o f t h e m o v e m e n t , u s i n g a f r a g m e n t o f F 2 , t h e a r p e g g i o o f F l a : a n d t h e m e l o d i c m o t i v e f r o m A 1 . T h e c o m p o s i t e s e t i s 8 - 6 : [ 4 , 5 , 6 , 7 , 9 , 1 0 , 1 1 , 0 ] . M e a s u r e s 4 8 - 5 1 : A r e t u r n o f t h e a l t e r n a t i n g s e t s i n A 1 . T h e c o m p o s i t e s e t i s , a g a i n , 6 - 6 . I f t h i s s e c t i o n i s c o m b i n e d w i t h m . 4 6 , i n o r d e r t o i n c l u d e t h e m e l o d i c m o t i v e f i r s t a s s o c i a t e d w i t h s e c t i o n A ( m m . 4 - 5 ) , t h e n t h e c o m p o s i t e b e c o m e s 8 — 1 4 : [ 3 , 4 , 5 , 7 , 8 , 9 , 1 0 , 0 ] . B M e a s u r e 5 2 : A s l i g h t l y d i f f e r e n t v e r s i o n o f t h i s m e l o d i c m o t i v e . T h e c o m p o s i t e s e t i s 7 - 4 : [ 9 , 1 0 , 1 1 , 0 , l , 3 , 4 ] . D M e a s u r e 5 3 : O n e a b r u p t v e r t i c a l s e t . T h e c o m p o s i t e s e t i s i d e n t i c a l t o D 1 a n d D 2 , 6 - 1 7 . B 4 M e a s u r e s 5 4 - 5 5 : A g a i n , a n u n a c c o m p a n i e d m e l o d i c f r a g m e n t ; t h i s t i m e t h e c o m p o s i t e s e t i s 6 - 1 : [ l O , l l , 0 , 1 , 2 , 3 ] . T h e f o u r B s e c t i o n s h a v e h a d d i f f e r e n t c o m p o s i t e s e t s , b u t e a c h s t a t e m e n t e n d e d w i t h t h e u n i f y i n g i n t e r v a l ( 1 0 , 1 ) , s e t 2 - 3 . M e a s u r e s 5 7 - 5 9 : A f i n a l a p p e a r a n c e o f t h e a l t e r n a t i n g s e t s . T h e c o m p o s i t e s e t i s 6 - 6 a g a i n . T h e f i n a l s e t i s l e f t w i t h o u t i t s " r e s o l u t i o n . " M e a s u r e s 6 0 - 6 1 : T h e f i n a l s t a t e m e n t o f t h e a b r u p t l y a c c e n t e d m o t i v e . T h e c o m p o s i t e s e t i s , a g a i n , 4 - 6 . T h u s , t h i s m o v e m e n t u s e s s e c t i o n A , B , C a n d D a s t h e f r a m e f o r t h e m i d d l e s e c t i o n s E , F a n d G . T h e m i d d l e s e c t i o n h a s t h e h i g h e r p c d e n s i t y . A l s o , i t c o n t a i n s t h e s e c t i o n s w h i c h a r e n o t r e - u s e d , w h i l e s e c - t i o n s A , B , C a n d D a r e u s e d i n v a r i o u s j u x t a p o s i t i o n s 4 5 a m o n g t h e m s e l v e s . T h e s e t - t h e o r y a p p r o a c h w i l l f i r s t b e u s e d t o e x p l o r e j u x t a p o s i t i o n s o f t h e o u t e r s e c t i o n s . A l a n d B 1 S e c t i o n s A a n d B 1 a r e c o m p o s e d o f s e t s 6 - 6 a n d 1 6 - 3 , r e s p e c t i v e l y . B e c a u s e t h e s e s e t s a r e o f a n i d e n t i - c a l c a r d i n a l i t y , t h e y l e n d t h e m s e l v e s t o i n v e s t i g a t i o n b y S i m i l a r i t y R e l a t i o n . F r o m t h e I n d e x , p . 6 : 2 ( h e n c e - f o r t h l a b e l e d I - 6 : 2 ) , t h e s i m i l a r i t y r e l a t i o n o f s e t 6 - 6 t o 6 - 3 i s f o u n d t o b e 5 - 6 , 4 - 4 , 4 - 5 , 4 - 7 , 4 - 8 a n d 4 - 1 5 . T h i s t y p e o f r e l a t i o n w i l l b e n o t a t e d t h u s : S I M 6 - 3 / 6 - 6 = 5 — 6 ; 4 - 4 , 5 , 7 , 8 , 1 5 . T h i s i n f o r m a t i o n l e a d s u s t o i n v e s t i g a t e t h e 4 - p c s e t s i n s e c t i o n s A l a n d B 1 . S e c t i o n A 1 i s c o m p o s e d o f t w o 4 - p c s e t s , w h i c h a r e b o t h f o r m s o f t h e s a m e s e t , 4 - 8 : E x a m p l e 9 . 4 4 4 4 [ 4 5 1 9 . 1 0 ] [ 2 . 4 . 9 . 9 ] 4 6 S e t 4 - 8 i s o n e o f t h e s e t s f o u n d i n t h e I n d e x r e l a t i n g s e t 6 - 6 t o 6 - 3 . I t a p p e a r s p r o m i n e n t l y i n s e t 6 - 6 ( A l ) . U p o n e x a m i n a t i o n o f B 1 , o n e d o e s n o t f i n d 4 - 8 a s a p r o m i n e n t s e t . H o w e v e r , a n o t h e r s e t f r o m t h e I n d e x d o e s a p p e a r i n B 1 ' T h a t s e t i s 4 - 7 : E x a m p l e 1 0 . ‘ _ ' 7 h — J 4 " I f ” , a , 3 , 4 ] I n t h i s w a y , t w o o f t h e s u b s e t s f r o m t h e r e l a t i o n o f s e c t i o n s A l a n d B 1 a p p e a r p r o m i n e n t l y w i t h i n t h e m u s i c . T h e o t h e r c o m m o n s u b s e t s p l a y n o m o t i v i c r o l e , a n d a r e s i m p l y h i d d e n w i t h i n t h e p i t c h - c o n t e n t o f t h e t w o s e c - t i o n s . T h e y d o c o n t r i b u t e t o t h e i n t e r v a l l i c s i m i l a r i t y o f t h e t w o 6 - p c s e t s . F u r t h e r i n v e s t i g a t i o n o f t h e t w o 4 - 8 s e t s i n A 1 r e v e a l s t h a t t h e y h a v e t h e t w o p c s 4 a n d 9 i n c o m m o n . T h i s i n t e r s e c t i o n o f t h e t w o s e t s i s p r o m i n e n t l y i l l u s - t r a t e d b y S t r a v i n s k y i n t h a t h e u s e s t h i s s e t , 2 — 5 : [ 4 , 9 ] a s t h e m e l o d i c m o t i v e i n m m . 4 - 5 a n d 9 - 1 0 : 4 7 E x a m p l e 1 1 . 7 4 L 2 - 5 4 . 2 3 : ( T h e r e m a i n i n g s e t 4 - 2 3 a c q u i r e s s i g n i f i c a n c e l a t e r . ) W h a t i s t h e r e l a t i o n o f s e t 4 - 8 ( A l ) t o 4 - 7 ( B 1 ) ? F r o m I - 4 : 4 , S I M 4 - 7 / 4 - 8 = 3 - 4 ; 2 - l , 4 , 5 . S e t 3 - 4 a p p e a r s i n b o t h 4 - 8 a n d 4 - 7 ( E x a m p l e 1 2 ) . S e t 3 - 4 , i n s e c t i o n E x a m p l e 1 2 . fi g — % h - u — J : 4 1 - 4 4 8 A 1 , i s t h e " r e s o l u t i o n " o f t h e t o p t h r e e v o i c e s o v e r t h e p e d a l [ 9 ] . I n s e c t i o n 3 1 ’ s e t 3 - 4 c o n s t i t u t e s t h e f i r s t t h r e e n o t e s o f t h e m e l o d y . T h e s e t h r e e n o t e s a r e f u r t h e r e m p h a s i z e d i n t h e s e c o n d a p p e a r a n c e o f s e c t i o n B ( m . 1 8 ) , i n t h e v i o l a p a r t . S 1 a n d C l S e c t i o n s B l ( s e t 6 - 3 ) a n d C l ( s e t 4 — 6 ) a r e n o t c o m p o s e d o f s e t s o f t h e s a m e c a r d i n a l i t y , s o t h e s i m i l a r i t y - r e l a t i o n m e t h o d i s n o t u s e d d i r e c t l y h e r e : E x a m p l e 1 3 . I n s t e a d , t h e t w o s e c t i o n s a r e s e e n t o c o n t a i n t h r e e p c s i n c o m m o n , 1 0 , 1 1 a n d 0 , w h i c h c o m p r i s e t h e s e t 3 - 1 . I n s e c t i o n C 1 , s e t 3 - 1 d o e s o c c u r o n c e a s a s i m u l t a n e i t y a t t h e e n d o f m . 1 5 : 4 9 E x a m p l e 1 4 . H o w e v e r , o t h e r w i s e t h e r e i s n o s i g n i f i c a n t r e l a - t i o n b e t w e e n t h e p i t c h - c o n t e n t s o f B 1 a n d C l ’ S e t 4 - 6 ( C 1 ) i s n o t a s u b s e t o f 6 - 3 ( B l ) b u t i t i s a s u b s e t o f 6 - 6 ( A l ) , t h o u g h t h e r e i s n o a p p e a r a n c e o f 4 - 6 a s a m u s i c a l e l e m e n t i n A l ' N o w 4 - 6 ( C l ) i s c o m p a r e d t o 4 - 7 ( B l ) f o r s i m i - l a r i t y r e l a t i o n s : E x a m p l e 1 5 . 4 . 7 4 - 6 5 , C I F r o m I - 4 : 4 , S I M 4 - 6 / 4 - 7 = 2 - l , 5 ; i . e . , t h e t w o s e t s h a v e t h e i n t e r v a l o f t h e m i n o r 2 n d a n d p e r f e c t 4 t h 5 0 ( o r 5 t h ) i n c o m m o n . T h e r e a r e n o t r i c h o r d s i n c o m m o n , h o w e v e r , b e t w e e n 4 - 7 a n d 4 - 6 . T h u s , s e c t i o n s B 1 a n d C 1 a r e n o t c l o s e l y r e l a t e d ( w i t h r e g a r d t o i n t e r v a l l i c c o n t e n t ) w h i c h i s w h y s e c t i o n C i s u s e d a s a n i n t e r r u p - t i o n b e t w e e n B 1 a n d B z . E l a n d 3 2 S i n c e s e c t i o n B 2 i s a n e x p a n s i o n o f 8 1 ' t h e r e l a - t i o n o f s e c t i o n C 1 t o B 2 w i l l b e t h e s a m e a s i t s r e l a t i o n t o 8 1 ' a s d e s c r i b e d i n t h e p a r a g r a p h a b o v e . O f g r e a t e r i n t e r e s t , a t t h i s p o i n t , i s t h e c o m p a r i s o n o f s e c t i o n B 2 t o i t s c o u s i n B l : E x a m p l e 1 6 . E fl ‘ h l ‘ i 1 ' 8 - 1 H 8 4 ' 7 F , ‘ 7 1 3 . 1 1 , , 1 " I 1 , r 4 - 1 1 b u t i " . 1 I , . _ . “ . ' . L : 5 4 2 . E l 2 1 . H W 4 1 4 J 4 - 4 2 5 ; , l _ J " 6 ( A I , 6 . ” ( 3 2 , 5 1 S h o w n a b o v e a r e s o m e o f t h e s e t s w h i c h t h e e a r m i g h t g r a s p w i t h i n t h e m e l o d i c f r a g m e n t s o f s e c t i o n s B 1 a n d B 2 . ( P l e a s e n o t e t h a t a l l o f t h e s e t s o f s e c t i o n B 1 a p p e a r i n 3 2 ' a n d t h u s h a v e n o t b e e n l a b e l e d a g a i n . ) I n 3 2 , t h e a d d i t i o n o f t h e o p e n i n g ( 9 ) a n d t h e h i g h - p o i n t ( 2 ) t o t h e 4 - 7 o f B 1 y i e l d s a n e w s e t 6 - 1 1 , w h i c h c a n n o w b e c o m p a r e d v i a s i m i l a r i t y r e l a t i o n t o b o t h t h e c o m p o s i t e s e t 6 - 6 o f s e c t i o n A 1 a n d t h e c o m p o s i t e s e t 6 - 3 o f s e c t i o n B 1 . B y c o m p a r i n g 6 - 6 t o 6 - 1 1 ( E x a m p l e 1 7 ) , o n e f i n d s ( f r o m I - 6 : 6 ) : S I M 6 - 6 / 6 - 1 1 = 5 - 1 4 ; 4 - 4 , 6 , 7 , 1 5 , 1 6 , 2 3 . O n l y o n e o f t h e s e s u b s e t s i s o f s t r u c t u r a l s i g n i f i c a n c e i n A 1 , a n d t h a t o n e m i g h t b e d i f f i c u l t t o f i n d . T h a t s e t i s 4 - 2 3 ( E x a m p l e 1 7 a n d s e e E x a m p l e 1 1 ) , c o n s i s t i n g o f t h e p c s r e m a i n i n g f r o m t h e c o m p o s i t e s e t o f A l a f t e r t h e r e m o v a l o f t h e p c s e t ( 4 , 9 ) w h i c h i s u s e d a s a m e l o d i c m o t i v e , i l l u s t r a t e d i n E x a m p l e 1 1 . E x a m p l e 1 7 . ( . L T 1 1 ‘ : 1 ? - 4 1 + 4 - 2 5 4 . 7 5 2 O n l y o n e o f t h e s u b s e t s m e n t i o n e d ( 4 - 7 ; s e e a g a i n E x a m p l e 1 7 ) o c c u r s i n s e c t i o n B 2 ( a n d l i k e w i s e i n B l ) ' T h u s t h e s i m i l a r i t y o f 6 - 6 o r 6 - 1 1 i s n o t s t r o n g i n t h i s s p e c i f i c c a s e . B y c o m p a r i n g 6 - 3 ( B l ) t o 6 - 1 1 ( B 2 ; s e e E x a m p l e 1 6 ) , o n e f i n d s a s t r o n g e r s i m i l a r i t y t h a n b e t w e e n 6 - 6 a n d 6 - 1 1 i l l u s t r a t e d a b o v e . I n I - 6 : 3 , S I M 6 - 3 / 6 - 1 1 = 5 - 3 , 1 0 ; 4 - 2 , 3 , 4 , 7 , 1 0 , l l , 1 2 , 1 3 , 1 5 . T h e r e a r e t h r e e f o r m s o f 5 - 3 w i t h i n B 1 a n d B z , a s w e l l a s o c c u r r e n c e s o f 4 - 4 , 4 - 7 a n d 4 - 1 1 ( a g a i n , s e e E x a m p l e 1 6 ) , a n d n o n e o f t h e s e s e t s c o n t a i n t r i t o n e s ( i c 6 ) . W i t h i n t h e c o m p o s i t e s e t o f B 2 ( 8 - 1 ) t h e s e t s 5 - 3 a n d 4 - 4 a p p e a r a g a i n . T h u s , S t r a v i n s k y u s e s a s e g m e n t o f t h e " c h r o m a t i c s c a l e E x a m p l e 1 8 . 8 ' ] i n s u c h a w a y a s t o e m p h a s i z e t h e i c s 3 , 4 , a n d 5 . T h e r e a r e o n l y t w o o c c u r r e n c e s o f i c l , [ 2 , 3 ] : 5 3 E x a m p l e 1 9 . @ L . L . 1 . . — W W . 1 - / I n t h i s e x a m p l e , t h e h i s i s [ 4 - 5 - 4 - 6 - 3 - 3 ‘ 5 - 4 - 1 - 1 - 2 - 3 ] . S 2 a n d C 2 S e c t i o n C 2 i s q u i t e s i m i l a r t o C 1 . A n a d d i t i o n a l s e t ( a p p e a r i n g i n m . 2 0 ) f o r m e d f r o m t h e s a m e c o m p o s i t e s e t 4 - 6 i s s e t 3 - 9 ( E x a m p l e 2 0 ) . T h i s i s i n a d d i t i o n t o t h e 3 - 1 s e e n a l r e a d y i n E x a m p l e 1 4 . C o m p a r i s o n s o f t h e c o m p o s i t e s e t o f C 2 ( 4 - 6 ) t o t h e 4 - p c s e t s i n B 2 r e v e a l t h a t o n l y s e t s 3 - 1 a n d 3 - 9 a r e c o m m o n 3 - p c s u b s e t s ( E x a m p l e 2 1 ) . E x a m p l e 2 0 . 5 4 E x a m p l e 2 1 . T h e s e c o m p a r i s o n s c a n b e f o u n d i n I - 4 - 2 , I - 4 : 4 a n d I - 4 : 6 . 4 - 4 4 - 7 4 - 1 4 4 - 6 3 - 1 3 - 9 2 - 1 , 2 , 5 2 - 1 , 5 2 - 1 , 2 , 5 T h e a b o v e e x a m p l e s h o w s , i n c h a r t f o r m , t h e c o m m o n s u b s e t s b e t w e e n s e t 4 - 6 ( C 2 ) o n t h e l e f t - h a n d s i d e , a n d t h e 4 - p c s e t s f o u n d i n B a c r o s s t h e t o p . 2 S I M 4 - 4 / 4 - 6 = 3 - 1 ; 2 - 1 , 2 , 5 . S I M 4 - 6 / 4 - 7 = 2 - l , 5 . S I M 4 - 6 / 4 - 1 4 = 3 - 9 ; 2 - l , 2 , 5 . ( R e f e r e n c e s t o t h e l o c a - t i o n o f t h i s i n f o r m a t i o n i n t h e I n d e x w i l l b e d i s c o n - t i n u e d h e n c e f o r t h , a s t h e r e a d e r i s n o w e x p e c t e d t o b e f a m i l i a r w i t h t h e o r g a n i z a t i o n o f t h e I n d e x . ) I n a d d i - t i o n , s e c t i O n C 2 ( a s w e l l a s C 1 ) s h o w s i t s e l f t o b e r e l a t e d i n a s u b t l e w a y t o t h e 4 - p c s e t s w i t h i n t h e m e l o d i c l i n e o f s e c t i o n B 2 ( w h i c h a r e i l l u s t r a t e d i n E x a m p l e 1 6 ) . S e t 3 - 1 r e l a t e s 4 - 6 t o 4 - 4 , a n d s e t 3 - 9 r e l a t e s 4 - 6 t o 4 - 1 4 , w h i l e a l l t h r e e c o m p a r i s o n s h a v e 2 - 1 a n d 2 - 5 i n c o m m o n , a n d t w o c o m p a r i s o n s h a v e 2 - 2 i n c o m m o n . T h e s t u d y o f s i m i l a r i t y r e l a t i o n s b y t h e F o r t e m e t h o d , i l l u s t r a t e d o n p a g e 5 5 , r e v e a l s t h a t 4 - 6 i s r e l a t e d t o 4 - 4 a n d 4 - 1 4 b y t h e R p r e l a t i o n , w h i l e t h e r e l a t i o n o f 4 - 6 t o 4 - 7 i s n o t m e n t i o n e d . F o r s m a l l e r s e t s s u c h a s t h e s e , t h i s l a c k o f i n f o r m a t i o n i s n o t 5 5 c r i t i c a l , b u t i n c o m p a r i s o n s o f l a r g e r s e t s , t h e p a u c i t y o f i n f o r m a t i o n i s o f t e n o f c r u c i a l i m p o r t a n c e , a n d e x a m p l e s o f t h i s s o r t o f l a c k w i l l b e i l l u s t r a t e d l a t e r . A g a i n i n E x a m p l e 2 2 , 4 - 6 s h o w s n o p e r t i n e n t r e l a t i o n t o 4 - 7 , w h i l e t h e s u b s e t m e t h o d ( E x a m p l e 2 1 ) s h o w s , a t l e a s t , t h a t t h e i n t e r v a l s 1 a n d 5 a r e c o m m o n t o b o t h s e t s . E x a m p l e 2 2 . C _ 2 a n d D 1 ( a n d C 3 a n d D 2 ) S e c t i o n s C a n d D a l t e r n a t e . S i n c e t h e p i t c h - c o n t e n t o f t h e s e s e c t i o n s i s i d e n t i c a l , r e s p e c t i v e l y , C 2 C 3 m a y b e c o m p a r e d t o D 1 D 2 . T h e c o m p o s i t e s e t o f C 2 C 3 i s , o n c e a g a i n , 4 - 6 . T h e c o m p o s i t e s e t o f D 1 D 2 i s 6 - 1 7 : E x a m p l e 2 3 . W 2 . - ( b i g : 4 ' 6 I n n — J h — J 5 6 S e t 4 - 6 i s a s u b s e t o f 6 - 1 7 b u t i s n o t r e p r e — s e n t e d i n a n y s p e c i a l w a y i n t h e D s e c t i o n s . H o w e v e r , s e t 4 - 8 , t h e i m p o r t a n t s e t f r o m t h e A s e c t i o n s ( s e e E x a m p l e 9 ) , i s a l s o f o u n d w i t h i n s e t 6 - 1 7 ( E x a m p l e 2 3 ) , a s t h e o u t e r m o s t n o t e s o f t h e v e r t i c a l s t r u c t u r e . I n t h i s w a y , t h e c h o r d o f D s e c t i o n s c o n t a i n s s t r o n g t i e s t o t h e A s e c t i o n s a n d a s l i g h t l y w e a k e r , b u t s t i l l i m p o r t a n t , s t r u c t u r a l r e l a t i o n t o t h e C s e c t i o n s . T h e r e a r e , h o w e v e r , n o n e o f t h e 4 - p c s e t s f o u n d i n s e c t i o n s B 1 a n d B 2 ( E x a m p l e 1 6 ) c o n t a i n e d i n t h e p c s e t o f D 1 D 2 ' T h i s i s a f u r t h e r c o n t r a s t b e t w e e n t h e m e l o d i c s e t s o f t h e B s e c t i o n s a n d t h e v e r t i c a l s e t s o f t h e o u t e r s e c - t i o n s s o f a r . . A f u r t h e r l o o k a t t h e c h o r d s o f t h e D s e c t i o n s r e v e a l s t h a t t h e y a r e c o m p o s e d o f a n a r c o g r o u p i n g ( 4 — 2 2 ) a n d a p i z z i c a t o g r o u p i n g ( 5 - 2 2 ) : E x a m p l e 2 4 . I t + g 4 4 2 ‘ 1 3 ! S 7 T h e s e t 4 - 2 2 a p p e a r s l a t e r a s a m e l o d i c f r a g m e n t i n s e c t i o n 6 1 ' A s i m i l a r i t y c o m p a r i s o n b e t w e e n 4 - 2 2 a n d t h e o t h e r p r o m i n e n t 4 - p c s e t s h e r e t o f o r e e n c o u n t e r e d r e v e a l s t h a t i t h a s t h e l e a s t s i m i l a r i t y t o 4 - 8 ( A l ) a n d 4 - 7 ( B 1 ) , b u t i s m o r e c l o s e l y r e l a t e d t o 4 - 6 ( b e c a u s e o f t h e 3 - 9 i n s e c t i o n C ) a n d t o 4 - 4 , 4 - 1 1 a n d 4 - 1 4 ( t h e B s e c t i o n s , E x a m p l e 1 6 ) . T h e s e t 5 - 2 2 ( E x a m p l e 2 5 ) c o m - p a r e s m o s t f a v o r a b l y t o s e t 5 - 1 2 o f s e c t i o n B . B o t h s e t s c o n t a i n s e t 4 - 8 , w h i c h i s t h e m o s t i m p o r t a n t o f t h e 4 - p c s e t s i n t h i s m o v e m e n t , a n d f r o m w h i c h s e c t i o n A i s c o n s t r u c t e d . I n t h i s c a s e p c s 3 a n d 1 0 a r e c o m m o n t o b o t h . E x a m p l e 2 5 . T h e M i d d l e S e c t i o n s S i n c e t h e m i d d l e s e c t i o n s o f t h i s m o v e m e n t ( E , F a n d G ) a r e c o m p o s e d o f l a r g e c o m p o s i t e s e t s ( f o r t h e m o s t p a r t o f m o r e t h a n 8 p c s ) , a n a n a l y s i s , f r o m t h e 5 8 I n d e x , b a s e d o n c o m m o n s u b s e t s w i l l n o t b e f r u i t f u l . T h e r e a r e t o o m a n y c o m m o n s u b s e t s . T h e r e f o r e , s e t s w i l l s i m p l y b e l a b e l e d i n t h e f o l l o w i n g e x a m p l e s , a n d i t w i l l b e p o i n t e d o u t i f t h e y c a n b e r e l a t e d t o t h e s e t s o f t h e o u t e r s e c t i o n s . E x a m p l e 2 6 . 1 0 4 S e c t i o n E 1 b e g i n s w i t h s e t 6 - 1 7 , w h i c h i s i n s e c t i o n D a n d h a s a l r e a d y b e e n d e s c r i b e d . I n a d d i t i o n , s e t 4 - 2 8 ( t h e d i m i n i s h e d 7 t h c h o r d ) m a k e s i t s o n l y a p p e a r a n c e s u p e r i m p o s e d o n s e t 7 - 1 ( E x a m p l e 2 6 ) . S e c t i o n E 2 ( E x a m p l e 2 7 ) i s a s t a t e m e n t o f t h r e e o s t i n a t i p a t t e r n s i n t h e l o w e r t h r e e p a r t s w i t h t h e l s t v i o l i n p r e s e n t i n g n o t e s r e l a t e d i n c h a r a c t e r t o t h e l s t v i o l i n p a r t o f t h e D s e c t i o n s . T h e s e t 4 - 2 3 i n t h e c e l l o p a r t i s t h e s a m e a s t h a t f o u n d i n s e c t i o n A 1 a s t h e " r e m a i n i n g n o t e s " w h e n t h e m e l o d y w a s r e m o v e d f r o m t h e a c c o m p a n i m e n t ( s e e 2 - 2 ” 5 m ” ’ 7 3 4 3 5 9 E x a m p l e 1 1 ) . T h u s s e c t i o n E 2 i s c o n s t r u c t e d o f e l e m e n t s f r o m t h e o u t e r s e c t i o n s . E x a m p l e 2 7 . A n a b r u p t c h a n g e o f c h a r a c t e r o c c u r s i n E 3 . E x a m p l e 2 8 . 3 - 4 g 6 - 1 T h i s i s t o o s h o r t t o b e a s e c t i o n , a n d s o h a s b e e n l a b e l e d a s a p a r t o f E . I t e m p h a s i z e s t h e " c h r o m a t i c s c a l e " a s i s c l e a r f r o m i t s c o m p o s i t e s e t 6 0 7 - 1 . H o w e v e r , t h e s e t 3 - 4 ( s e e e a r l i e r i n s e c t i o n B ) , a p p e a r s h e r e , t h o u g h i n a d i f f e r e n t f o r m . S e c t i o n F 1 i s i l l u s t r a t e d i n t h e n e x t e x a m p l e , s h o w i n g i t s c o m p o n e n t s e t s . S e t 3 - 1 w a s f o u n d i n t h e C s e c t i o n s , a s w a s s e t 3 - 9 . E x a m p l e 2 9 . 3 - 1 4 . 2 6 7 4 0 4 4 2 ' - - — _ fi r " n : ‘ * : 5 . r - — — " | 7 ' 1 : - 1 " - - _ - - - . . . . ~ - - \ - ‘ : ‘ l : = E = E E : : : § : : ; _ _ _ _ _ _ _ : _ £ ? s r z r — — ‘ ; i E — ‘ 4 - L - — l a T h e d o w n b e a t a n d a r p e g g i o h a s s e v e r a l p r o m i - n e n t f e a t u r e s . F i r s t i s t h e s e t 5 - 3 5 , a d i a t o n i c s t r u c t u r e w h i c h i s c o m p o s e d o f t h e n o t e s o f t h e " p e n t a t o n i c s c a l e . " T h i s s t r u c t u r e a p p e a r s m e l o d - i c a l l y i n s e c t i o n G 2 . 6 1 E x a m p l e 3 0 . M t r 9 — — — E E L l . ; : 1 : : fi _ : I : + : 7 , i . L , J ’ — f 5 - 7 V 8 4 3 T h e a r p e g g i o i t s e l f , i n c l u d i n g t h e d o w n b e a t , i s s e t 8 - 2 3 , t h e c o m p l e m e n t o f t h e s e t 4 - 2 3 w h i c h w a s t h e c e l l o o s t i n a t o i n E 2 . A l s o , s e t 4 - 8 , a l r e a d y v e r y p r o m — i n e n t i n A 1 , i s e a s i l y n o t i c e a b l e i n t h e l s t v i o l i n p a r t . W i t h p c 6 a d d e d ( i n t h e v i o l a p a r t ) , t h e s e t 5 - 7 i s f o r m e d . S e t 5 - 7 h a d n o s i g n i f i c a n c e u p t o t h i s p o i n t , b u t a p p e a r s h e r e a n d i n F 2 . I t i s a l s o a f e a t u r e o f t h e s u b s e t a n a l y s i s a t t h e e n d o f t h e m o v e m e n t , t h o u g h o n l y a s a s e t r e l a t i n g t w o o t h e r s e c t i o n s . S e c t i o n F 2 c o n t a i n s t w o i m p o r t a n t s e t s f r o m p r e v i o u s s e c t i o n s : 4 - 6 f r o m C a n d 4 - 8 f r o m A , a s w e l l a s t h e s e t 5 - 7 , m e n t i o n e d a b o v e . T h e s e t 5 - 7 h e r e i s f o r m e d f r o m t h e p i t c h e s w h i c h a r e E S E g r a c e n o t e s , a n d c a n b e h e a r d a s a n u n o r n a m e n t e d m e l o d y . E x a m p l e 3 1 . r - i - ‘ f — H 4 5 m é A ‘ J A r ? * 1 r a " e . _ , H . + - — — : — 1 - 6 ' 1 : 7 " : I E ; : 1 . z ‘ r i E F - fi F — ’ i i f 7 ‘ 7 i t : : y i t : 7 7 1 ‘ 4 ” ; ; F a ? 7 r 7 5 ' - 7 B o t h s e t s 4 - 6 a n d 4 - 8 a p p e a r a s p a r t s o f t h e m e l o d i c l i n e . T h e g r a c e n o t e s i n t h i s s e c t i o n a r e r e m i n i s c e n t o f t h o s e i n s e c t i o n s D a n d B . S e t 3 - 5 , l a b e l e d a b o v e , a p p e a r s t w i c e i n t h a t f o r m a t t h e e n d o f s e c t i o n G , a n d i n a n o t h e r f o r m a s a p r o m i n e n t h a r m o n y i n s e c t i o n G . 9 1 ' G z a n d F 1 a 2 S e c t i o n s G 1 , G 2 a n d t h e f o l l o w i n g s e c t i o n , F l a 2 ’ a r e l a b e l e d i n F i g u r e 2 , p a g e 6 3 . S e e e s p e c i a l l y t h e v e r t i c a l s e t s s h o w n u n d e r e a c h b e a t o f t h e G s e c t i o n s . S e c t i o n s G 1 a n d G 2 a r e t w o p a r a l l e l p h r a s e s o f a v i o l i n t u n e , a c c o m p a n i e d b y t h e o t h e r i n s t r u m e n t s i n a c h o r d a l a c c o m p a n i m e n t . I n F i g u r e 2 , t h e a c c o m p a n i - m e n t a l f i g u r e , p l u s t h e n o t e s o f t h e m e l o d y , a r e l a b e l e d b e l o w t h e s c o r e , g i v i n g t h e t y p e o f s e t o c c u r r i n g w i t h i n e a c h b e a t . T h e t y p e s o f h a r m o n i e s w h i c h o c c u r a r e m o s t l y . 7 : 4 5 . 5 ' 5 3 - 5 2 a 1 F d n a s n o i t c e s G e h T - — . 2 e r u g i F 6 3 . W I N . 1 % - i n n . 1 . 2 ' : E m i l , , I I . i 1 1 1 g “ ‘ 6 4 3 - p c s e t s : 3 - 3 , 3 - 4 a n d 3 - 5 ( e a c h o f w h i c h c o n t a i n s o n e i c l ) . T h e t w o 4 - p c s e t s , 4 - 1 5 a n d 4 - 1 8 , a r e r e l a t e d i n t h a t b o t h h a v e t h e c o m m o n s u b s e t 3 - 1 1 . A l o o k a t t h e s e t s o f t h e m e l o d y i n t h e G s e c - t i o n s s h o w a c l o s e r e l a t i o n t o s e t s s e e n a l r e a d y i n t h e m o v e m e n t . T h e s e t 8 - 2 3 , s t a r t i n g i n m . 3 6 , a n d i t s c o m p l e m e n t 4 - 2 3 , b e g i n n i n g i n m . 4 1 , h a v e b e e n s e e n a l r e a d y i n E x a m p l e s 2 9 a n d 2 6 , r e s p e c t i v e l y . F u r t h e r , s e t 5 - 3 5 ( t h e n o t e s o f t h e p e n t a t o n i c s c a l e ) a p p e a r e d a s a v e r t i c a l s e t i n s e c t i o n F l a ’ I n t h e G s e c t i o n , s e t 5 - 3 5 a p p e a r s i n a m e l o d i c f o r m ( m m . 4 1 - 4 2 ) . S e t 3 - 7 , a t t h e h e a d o f b o t h p h r a s e s , h a s a s y e t n o t h a d a p r o m i n e n t r o l e , b u t , a s i t s u s e i n t h e G s e c - t i o n s p r o v o k e s s o m e c u r i o s i t y a s t o o t h e r a p p e a r a n c e s , a f u r t h e r s e a r c h r e v e a l s t h a t t h i s s t r u c t u r e , w i t h t h e p r i m e f o r m ( 0 , 2 , 5 ) , d o e s i n d e e d a p p e a r i n s e c t i o n B l , B 2 a n d B 3 a s t h e f i n a l t h r e e n o t e s o f e a c h s e c t i o n ( E x a m p l e 3 2 ) . E x a m p l e 3 2 . fi E 6 5 S e c t i o n G 2 e n d s w i t h s e t 9 - 4 , t h e c o m p l e m e n t o f t h e v a r i o u s f o r m s o f s e t 3 - 4 i n t h e a c c o m p a n i m e n t t o t h e G s e c t i o n s ( a g a i n , s e e F i g u r e 2 ) . S e t 3 - 5 ( i n m . 4 3 ) a l s o a p p e a r s i n t h e a c c o m p a n i m e n t t o t h e G s e c t i o n s a s w e l l a s i n s e c t i o n F 2 ( E x a m p l e 3 1 a n d m . 3 3 i n t h e s c o r e ) . T h e i m p o r t a n c e o f s e t 3 - 5 , u s e d a s a m e l o d i c m o t i v e b e f o r e a n d a f t e r s e c t i o n G p r o p e r ( m . 3 3 , a n d a g a i n i n m m . 4 4 a n d 4 5 ) i s o n e o f a " p u n c t u a t i o n p o i n t " j u s t a f t e r t h e c a d e n t i a l a r p e g g i o d e s c r i b e d i n E x a m p l e 3 0 . I n m . 3 3 , t h e a r p e g g i o w a s f o l l o w e d b y s e t 3 - 5 a s t h e f i r s t p a r t o f a s h o r t " K l a n g f a r b e n m e l o d i e " w h i c h l e d t o s e c t i o n G . I n m . 4 5 , s e t 3 - 5 i s u s e d o n c e a g a i n a s t h e b e g i n n i n g o f a n o t h e r t r a n s i t i o n a l p a s s a g e . E x a m p l e 3 3 . 1 g T h i s t i m e , s e t 3 - 5 i s f o l l o w e d i m m e d i a t e l y b y s e t 2 - 5 w h i c h f i r s t a p p e a r e d m o t i v i c a l l y i n s e c t i o n A 1 . N o w , a f t e r a m e a s u r e o f s i l e n c e , s e c t i o n A d o e s i n d e e d r e t u r n . T h e m o v e m e n t i s b r o u g h t t o a c o n c l u s i o n w i t h a r e t u r n t o t h e m a t e r i a l s o f t h e b e g i n n i n g , n a m e l y 6 6 s e c t i o n s A , B , C a n d D , i n s l i g h t l y d i f f e r e n t j u x t a - p o s i t i o n s . A s s t a t e d a b o v e , t h e c a d e n t i a l a r p e g g i o i n m . 4 4 l e a d s d i r e c t l y i n t o t h e s e t 2 - 5 , w h i c h h a d b e e n a n i n t e g r a l e l e m e n t o f A 1 . I n t h e r e t u r n , t h i s m o t i v e ( m . 4 6 ) a p p e a r s a l o n e , b u t i s f o l l o w e d t w o m e a s u r e s l a t e r b y 6 - 6 o f s e c t i o n A 2 . U n l i k e i t s a p p e a r a n c e i n A l , s e t 2 - 5 i s n o t m a d e u p o f p i t c h e s w h i c h a r e i n c l u d e d i n A 2 ( E x a m p l e 3 4 ) s o t h e c o m p o s i t e s e t o f A p l u s t h e " m e l o d y " 2 i s n o w 8 - 1 4 : [ 3 , 4 , 5 , 7 , 8 , 9 , 1 0 , 0 ] . E x a m p l e 3 4 . r - 1 - a L — - _ _ J 9 . 1 4 M A 2 a n d B 3 T h e s e t 6 - 6 o f A 2 i s i d e n t i c a l i n p i t c h c o n t e n t t o s e t 6 - 6 o f A 1 , a n d i s a l s o c o m p o s e d o f t h e s a m e t w o f o r m s o f s e t 4 - 8 . 6 7 S e c t i o n B 3 f o l l o w s A 2 j u s t a s B l f o l l o w e d A l . H o w e v e r , B 3 h a s o n e a d d i t i o n a l n o t e a t t h e b e g i n n i n g ( a s c o m p a r e d t o B 1 ) m a k i n g t h e c o m p o s i t e s e t 7 - 4 : [ 9 , 1 0 , 1 1 , 0 , l , 3 , 4 ] . E x a m p l e 3 5 . T h e r e l a t i o n s h i p o f A 2 t o B 3 i s t h e s a m e a s t h a t o f A 1 t o 3 1 ' A s s e e n a b o v e , t h e a d d i t i o n o f o n e n o t e t o B 3 f o r m s a n e w 4 — p c s e t , 4 - 1 4 . P i t c h c l a s s s e t 4 - 1 4 i s t h e c o m p l e m e n t o f p c s 8 - 1 4 , w h i c h w a s i l l u s - t r a t e d i n E x a m p l e 3 4 ; t h i s c o m p l e m e n t a r y r e l a t i o n s h i p c o u l d p o s s i b l y s i g n i f y a n a d d i t i o n a l r e l a t i o n s h i p b e t w e e n A 2 a n d B 3 . F u r t h e r , a c o m p a r i s o n o f 4 - 1 4 ( B B ) t o 4 - 8 ( A 2 ) r e v e a l s o n c e a g a i n t h a t s e t 3 - 4 i s c o m m o n t o b o t h ( s e e E x a m p l e 1 6 f o r a s i m i l a r a p p e a r a n c e o f 4 - 1 4 i n s e c t i o n B 2 ) . 2 3 a n d B I S e c t i o n s B 3 a n d B a r e i n t e r r u p t e d b y t h e s e t 6 - 1 7 ; 4 t h i s i n t e r r u p t i o n c o n s t i t u t e s s e c t i o n D ( E x a m p l e 3 6 ) . 3 6 8 E x a m p l e 3 6 . r i m 1 - % 4 . , : 5 . - I % w ‘ d 7 . 1 4 ' 3 . 1 6 - 1 S e c t i o n B 4 i s o f t h e s a m e c h a r a c t e r a n d t e x t u r e a s t h e o t h e r B s e c t i o n s , b u t a s a f i n a l s t a t e m e n t o f t h i s i d e a i t i s s l i g h t l y m o r e i n t e n s e . T h e c o m p o s i t e s e t i s 6 - 1 . T h e " c h r o m a t i c s c a l e " n a t u r e o f t h i s s e t i s l e s s s o f t e n e d t h a n t h e " c h r o m a t i c s c a l e " o f B 2 ( s e e a g a i n E x a m p l e s 1 8 a n d 1 9 ) b y t h e s t a t e m e n t o f t w o c o n - s e c u t i v e i c s 1 . A l s o , B 4 d o e s n o t e n d w i t h s e t 3 - 7 ( E x a m p l e 3 2 ) a s d i d t h e o t h e r B s e c t i o n s . A c h e c k f o r s i m i l a r i t y r e l a t i o n s b e t w e e n t h e B a n d D s e c t i o n s s h o w s t h a t s e t 6 - 1 7 o f D 3 a n d s e t 6 - 1 o f B 4 h a v e o n l y o n e r e l a t i v e s u b s e t b e t w e e n t h e m l i s t e d i n t h e I n d e x , a n d t h a t i s 4 - 2 , b u t t h i s s e t h a s n o s t r u c t u r a l s i g n i f i c a n c e . 6 9 E x a m p l e 3 7 . 4 . 2 V I " ? 1 1 ' ‘ 4 r - * L — ‘ l " I 7 - - 4 ‘ 2 : 2 0 ; L 1 S 4 a n d A 3 S e t s 6 - 1 ( B 4 ) a n d 6 - 6 ( A 3 ) h a v e t h e s u b s e t s 4 - 4 a n d 4 - 7 i n c o m m o n . E x a m p l e 3 8 . W h e r e a s s e t 4 - 4 d o e s a p p e a r i n B 4 a s p a r t o f t h e m e l o d y , n e i t h e r 4 - 4 n o r 4 - 7 a p p e a r s a s a d i s t i n c t i v e , m u s i c a l l y r e c o g n i z a b l e e l e m e n t i n A 3 . T h e A a n d B s e c - t i o n s s h o w n o d i r e c t l i n k . 7 0 A 3 a n d C I T h e r e l a t i o n o f t h e s e t w o s e c t i o n s i s s t r u c - t u r a l l y i n t e r e s t i n g i n t h a t t h i s i s t h e o n l y t i m e t h a t a n A s e c t i o n i s j u x t a p o s e d w i t h a C s e c t i o n . T h i s h a p p e n s a t t h e e n d o f t h e m o v e m e n t , w h e n , f o r t h e f i r s t a n d o n l y t i m e , t h e a l t e r n a t i n g f o r m s o f s e t 4 - 8 s t o p i n a n u n r e s o l v e d w a y : t h e f i n a l a p p e a r a n c e o f 4 - 8 i n A 3 d o e s n o t h a v e a " r e s o l u t i o n " ( a 4 - 8 : [ 3 , 4 , 8 , 9 ] d o e s n o t f o l l o w t h e l a s t 4 - 8 : [ 4 , 5 , 9 , 1 0 ] ) . F u r t h e r , t h e l a s t a p p e a r a n c e o f 4 - 8 c o n t a i n s t w o o f t h e p i t c h e s f o u n d i n t h e f o l l o w i n g s e c t i o n , C 4 ( E x a m p l e 3 9 ) . E x a m p l e 3 9 . 1 3 1 . 3 4 1 . . . . + | - - ‘ 1 . . . : 4 - 8 4 - 6 B y c o m b i n i n g t h e l a s t 4 - 8 o f A 3 w i t h C 4 , o n e c a n f o r m a n o t h e r c o m p o s i t e s e t , 6 - 3 8 ( s e e a l r e a d y i n s e c t i o n F l a Z ' F i g u r e 2 ) , w h i c h c a n b e c o m p a r e d w i t h 6 - 6 o f A 3 . S I M 6 - 6 / 6 - 3 8 = 5 - 7 ; 4 — 5 , 6 , 8 , 9 , 1 6 . w e k n o w t h a t 4 - 6 a n d 4 - 8 m u s t b e p r e s e n t , o f c o u r s e , s i n c e t h e y a r e t h e 7 1 s e t s t h a t s e c t i o n s C 4 a n d A 3 a r e m a d e o f ; t h e o t h e r 4 - p c s e t s h a v e h a d n o s i g n i f i c a n c e . W e h a v e s e e n s e t 5 - 7 i n s e c t i o n s F l a a n d F 2 ( E x a m p l e s 3 0 a n d 3 1 ) . T h u s t h e " m y s t e r i o u s " a p p e a r a n c e o f s e t 5 - 7 i n t h e m i d d l e s e c t i o n o f t h e m o v e m e n t i s e v o k e d o n c e m o r e i n t h e o n l y j u x t a - p o s i t i o n o f s e c t i o n A 3 a n d C 4 , b u t i t i s n o t " e x p l a i n e d . " y r s ( C R N R o e e u p p w s r i Y i i n o g t s h c e t h d r k , e 1 r b U 9 y . 2 M S 2 u p . E i r . s e A d k m i v i t e s i r s o l i n a o g n R ) u o s f f s o e r B o 1 a o e l s l e M y u c i u s o & q n H u t a e r w i k e e s s . , B . M . I t ) “ s x r m l o u c h c . . . . . . . . . . . . . ' " t u o r a F i u r e 3 . - - S e c o n d m o v e m e n t o f T r e l s P i e c e s p o u r Q u a g C o r d e s b y I g o r S t r a v i n s k y W i t h a l l p e r t i n e n t s e t s l a b e l e d . 1 3 1 1 9 . . : 1 3 ' i . . “ l i 1 l l 1 l i 1 l . W l ! . 5 i l E 3 d : 1 l : 1 l " 1 i 1 l 1 l 3 E _ ! u I 1 1 1 . 1 1 . 7 3 1 J . u 1 1 - m . . m u n ! : - l 1 1 2 — — . - — - . - — _ — _ ‘ — _ _ . . . . . _ . _ — — _ _ _ . — — _ ‘ — - - — - - — — — — — — _ - - _ — _ _ _ — _ — _ 2 1 % V f | I l 1 1 . v i l l t i l " l l ; 1 u 3 ! . 1 1 1 . W 1 1 3 ; . H ' I “ I I I 1 ’ . I " i i i ? ‘ 1 . 1 3 1 7 i i i I I I > I ' R e n u n u n u l ' m n r n m e ( n u 1 c c o m m a a fi l m 1 . 1 1 V i o l o n c e l l o ) I ’ m d o p c m m r u c ' c u u r u 3 1 1 : 4 1 1 1 o ' q u i u m I P u p i l ! n m w fi I . l I . M ) ” F i g u r e 3 ( c o n t ' d . ) . 1 I ! ! 1 - 1 2 1 5 e 5 3 5 5 2 5 5 5 5 5 é ~ = v ” f i d m 1 u m fl m 1 r g / é ) ” 0 1 4 ‘ ? . ' n m 4 . ' ( “ 9 9 . 9 1 . 1 1 1 . 8 7 0 _ > ‘ ( J . : 7 o ) ‘ I 0 u i l . l l ' 1 - - - — — - — u - _ E S E = E = A L L ¢ = - - = 1 1 % : i n . m a s - 1 . - : a E E E E E E i § § E ; § : : : = = e r — — - r - r F - - f ‘ n < c c . ! n e r d . ' ' 1 f a b 8 1 1 1 1 1 1 1 3 1 1 b l a g ' F i g u r e 3 ( c o n t ' d . ) . C H A P T E R V I C O N C L U S I O N S W i t h t h e p r e p a r a t i o n o f c h a r t s f r o m w h i c h t h e a n a l y s t w i l l b e a b l e t o d e t e r m i n e e a s i l y w h i c h s u b s e t s a r e c o m m o n t o a n y t w o s e t s o f l i k e c a r d i n a l i t y , t h e a u t h o r f e e l s t h a t h e h a s m a d e a s m a l l , y e t v a l u a b l e , c o n t r i b u t i o n . T h e w o r k r e p r e s e n t e d b y t h e 1 6 9 p a g e s i n t h e c h a r t s o f t h e I n d e x i s , h o w e v e r , o n l y a s t a r t i n t h i s d i r e c t i o n . T h e s e c h a r t s o n l y m a k e c o m p a r i s o n s b e t w e e n s e t s o f t h e s a m e c a r d i n a l i t y ( f o r i n s t a n c e o n e 6 - p c s e t c o m p a r e d t o a n o t h e r 6 - p c s e t ) . F u r t h e r w o r k i n t h i s a r e a c o u l d e x p l o r e t h e s u b s e t s c o m m o n t o p c - s e t s o f u n l i k e c a r d i n a l i t y ( f o r e x a m p l e , w h a t 4 - , 5 - o r 6 - p c s e t s d o s e t s 8 - 1 4 a n d 7 - 8 h a v e i n c o m m o n ? ) . A n o t h e r p u r e l y t e c h n i c a l a s p e c t n o t a n s w e r e d i n t h e I n d e x i s : " W h e n t w o s e t s o f l i k e c a r d i n a l i t y h a v e a c o m m o n s u b s e t , a n d b o t h s e t s a r e i n n o r m a l f o r m , i s ( a r e ) t h e c o m m o n s u b s e t ( s ) a l s o i n n o r m a l f o r m , o r i s ( a r e ) t h e s u b s e t ( s ) i n v e r t e d i n r e l a t i o n t o t h e s u p e r - s e t s ? I n a d d i t i o n , d o t h e s u b s e t s a p p e a r i n f o r m s w h i c h 7 5 7 6 a r e b o t h i n v e r t e d a n d n o t i n v e r t e d ? " F u r t h e r , t h e c h a r t s o n l y s t a t e t h a t t h e s u b s e t e x i s t s a t l e a s t o n c e ; t h e y d o n o t t e l l t h e r e a d e r w h e t h e r t h e s u b s e t a p p e a r s m o r e t h a n o n c e w i t h i n e i t h e r o f t h e s u p e r s e t s , o r b o t h . T h e I n d e x o f t h i s d i s s e r t a t i o n w a s p r e p a r e d w i t h o u t t h e a i d o f c o m p u t e r s . I t w a s p a i n s t a k i n g l y p u t t o g e t h e r u s i n g v e r y h e l p f u l c h a r t s o f s u b s e t s o f p r i m e f o r m s w h i c h w e r e p u b l i s h e d i n 1 9 7 4 i n t h e A p p e n d i x o f a d i s s e r t a t i o n e n t i t l e d T h e I n v a r i a n c e M a t r i x b y B o H a r r y A l p h o n c e . T h e c h a r t s i n t h e I n d e x a r e b y n o m e a n s m u s i c a l a n a l y s i s a s s u c h : t h e y a r e m e a n t a s a n a i d t o a n a l y s i s o f p i t c h - c o n t e n t i n m u s i c a l c o m p o s i t i o n s w h i c h u s e a s y s t e m o f " h a r m o n y " n o t e a s i l y d e a l t w i t h b y t r a d i t i o n a l m e a n s . B y u s i n g t h e s e c h a r t s t o h e l p s e a r c h f o r r e l a - t i o n s h i p s a m o n g s e t s o f a g i v e n c o m p o s i t i o n , t h e a n a l y s t w i l l b e d i r e c t e d t o w a r d s t h e i n v e s t i g a t i o n o f c e r t a i n s p e c i f i c s u b s e t s , e l i m i n a t i n g m o s t o f t h e d r u d g e r y o f t h e s e a r c h . I n a d d i t i o n , t h e c o m p l e t e l i s t o f s u b s e t s a n d t h e i r p r i m e f o r m s , i n t e r v a l v e c t o r s a n d " p e r c e n t a g e o f o c c u r r e n c e " i n t h e c h a r t s p r o v i d e a h a n d y r e f e r e n c e , g i v i n g f u r t h e r i n s i g h t i n t o t h e m a k e - u p o f t h e s o m e t i m e s v e r y c o m p l e x 2 0 t h c e n t u r y s o n o r i t i e s . T h e r e i s , o f c o u r s e , n o g u a r a n t e e t h a t t h e i n s i g h t t h u s g a i n e d w i l l r e v e a l t h e c o m p o s e r ' s t h o u g h t p r o c e s s e s c o m p l e t e l y , b u t i t c o u l d r e v e a l s o m e t h i n g o f 7 7 t h e c o m p o s e r ' s s u b c o n s c i o u s a b i l i t y t o p r o d u c e u n i t y a n d c o n t r a s t i n a m u s i c a l c o m p o s i t i o n , t h r o u g h p i t c h o r g a n i - z a t i o n . I n c o n c l u s i o n , t h e c h a r t s i n t h e I n d e x , b o u n d s e p a r a t e l y , m a y n o w b e u s e d b y a l l w h o w i s h t o a i d t h e i r o w n a n a l y s i s . T h e c h a p t e r o n t h e s e c o n d m o v e m e n t o f t h e T r o i s P i e c e s p o u r Q u a t u o r a C o r d e s b y S t r a v i n s k y w a s i n c l u d e d a s a n e x a m p l e o f h o w t h e i n f o r m a t i o n c o n t a i n e d i n t h e I n d e x c a n b e u s e d i n a c t u a l p r a c t i c e . I t d o e s b y n o m e a n s c l a i m t o a n s w e r a l l q u e s t i o n s a b o u t t h e s t r u c t u r e o f t h e m o v e m e n t , b u t i t d o e s r e v e a l t h e p e r v a s i v e u s e o f s e v e r a l k e y s e t s i n e s t a b l i s h i n g a d i s t i n c t i v e s o u n d t o t h i s m o v e m e n t . T h e r e l a t i o n s h i p s f o u n d w i t h i n t h i s m o v e - m e n t r e p r e s e n t b u t a v e r y s m a l l p a r t o f t h e t o t a l b o d y o f i n f o r m a t i o n i n t h e I n d e x , w h i c h i s i n d e e d e x t e n s i v e , i n c l u d i n g v i r t u a l l y a l l c o m b i n a t i o n s o f p i t c h e s p o s s i b l e w i t h i n o u r e q u a l - t e m p e r e d 1 2 - t o n e s c a l e . F i n a l l y , t h e I n d e x h a s a f u r t h e r u s e n o t m e n - t i o n e d h i t h e r t o , n a m e l y a s a n a i d f o r c o m p o s e r s . T h i s i s a c o n v e n i e n t w a y f o r a n y c o m p o s e r o f m u s i c t o h e l p o r g a n i z e f o r h i m s e l f a s o u n d u n i v e r s e i n w h i c h h e k n o w s q u i t e e a s i l y w h a t t y p e s o f s e t s h a v e c e r t a i n s p e c i f i c r e l a t i o n s h i p s t o e a c h o t h e r . B I B L I O G R A P H Y 7 8 B I B L I O G R A P H Y A l p h o n c e , B o H a r r y . " T h e I n v a r i a n c e M a t r i x " P h . D . d i s s e r t a t i o n , Y a l e U n i v e r s i t y , 1 9 7 4 . T h i s w o r k c o n t a i n s a c o m p u t e r p r i n t - o u t o f a l l s u p e r s e t s a n d s u b s e t s f o r e v e r y p c s . F o r t e , A l l e n . T h e S t r u c t u r e o f A t o n a l M u s i c . N e w H a v e n : Y a l e U n i v e r s i t y P r e s s , 1 9 7 3 . S t r a v i n s k y , I g o r . T r o i s P i e c e s p o u r g g e t u o r a C o r d e s . P a r i s : E d i t i o n R u s s e l e M u s i q u e ( R u s s i s c h e r M u s i k v e r l a g ) f o r a l l c o u n t r i e s . P r i n t e d b y a r r a n g e m e n t b y B o o s e y & H a w k e s , I n c . , N e w Y o r k . 7 9 V 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 w : 2 5 ¢ P " W 9 " “ “ 3 R E T U R N I Q L I B R A R Y M A T E R I A L S : . \ _ - M a c e i n b o o k n t u m t o : i 5 1 3 ! ” l . c h a r g e f r o m c i r c u l a t i o n " c o r d s : 5 U ‘ p ‘ k H W ‘ " A n c § £ j ? E g g ; A N E W A P P R O A C H T O S I M I L A R I T Y R E L A T I O N S I N S E T - T H E O R Y A N A L Y S I S V o l u m e I I B Y A l e x i s T u r k a l o A D I S S E R T A T I O N S u b m i t t e d t o M i c h i g a n S t a t e U n i v e r s i t y i n p a r t i a l f u l f i l l m e n t o f t h e r e q u i r e m e n t s f o r t h e d e g r e e o f D O C T O R O F P H I L O S O P H Y D e p a r t m e n t o f M u s i c 1 9 8 0 I N D E X 8 0 ( 0 . 1 ) I n d e x f o r C h a r t s o f S i m i l a r i t y R e l a t i o n s A m o n g P a i r s o f h - p c S e t s 1 1 2 2 3 3 h i , 4 * * U n d e r l i n e d n u m b e r s ( e . g . . 1 2 ) 5 5 i n d i c a t e p a g e n u m b e r s w h e r e o n 6 * 6 a p a r t i c u l a r q u a d r a n t o f t h e 7 * 7 c h a r t w i l l b e f o u n d . I n t h e 8 * 8 c a s e o f 4 . t h i s s h o w s t h a t 9 g _ * ‘ 3 9 o n ( b u l k i s l o c a t e d t h a t p a r t 1 0 * 1 0 o f t h e c h a r t w h e r e s e t s 4 - 1 1 1 1 * * 1 1 t h r o u g h “ - 1 5 a r e c r o s s - i n d e x e d i ; z : 1 2 3 w i t h s e t s 4 - 2 1 t h r o u g h 4 - 2 5 . 1 1 1 0 1 . * ‘ Q * ‘ 2 1 b 1 5 * * 1 5 1 6 * * * 1 6 1 7 a e e 1 7 1 8 * * * 1 8 1 9 j ‘ I r 8 « I i { 1 . 5 1 9 2 0 * * * 2 0 2 1 ‘ I ‘ ‘ I ' O “ 2 1 2 2 ‘ I ' i Q i 2 2 2 3 e e i e 2 3 2 “ Z i _ 1 _ 1 _ « - i f ! » 2 l 1 2 & 2 2 ) . . 2 5 e e e a 2 5 2 6 3 * ; ‘ * 2 6 2 7 e a e e e 2 7 2 8 1 . 9 . * 1 : * 1 0 1 . 1 . 2 * 2 . * 2 8 2 9 e e e e * 2 ! 2 9 P c s P r i m e F o r m I n t e r v a l v e c t o r “ - 1 0 . 1 . 2 . 3 3 2 1 0 0 0 4 - 2 0 . 1 . 2 . “ 2 2 1 1 0 0 “ - 3 0 . 1 . 3 . “ 2 1 2 1 0 0 a - “ 0 . 1 . 2 . 5 2 1 1 1 1 0 0 - 5 0 . 1 . 2 . 6 2 1 0 1 1 1 “ - 6 0 . 1 . 2 . ? 2 1 0 0 2 1 “ - 7 0 . 1 . “ . 5 2 0 1 2 1 0 “ - 8 0 . 1 . 5 . 6 2 0 0 1 2 1 h - 1 1 0 . 1 . 3 . 5 1 2 1 1 1 0 “ - 1 2 0 . 2 . 3 . 6 1 1 2 1 0 1 u - 1 3 0 . 1 . 3 . 6 1 1 2 0 1 1 0 - 1 “ 0 . 2 . 3 . 7 1 1 1 1 2 0 ( c o n t i n u e d ) ( “ 1 1 1 ) F e e P r i m e F o r m I n t e r v a l v e c t o r ( c o n t i n u e d ) “ - 1 5 0 . 1 . “ . 6 1 1 1 1 1 1 “ - 1 6 0 . 1 . 5 . 7 1 1 0 1 2 1 “ - 1 7 0 . 3 . 4 . ? 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( 6 : 1 1 1 ) S u b s e t s o f 6 - p c s e t s . c a r d i n a l i t y 5 - a n d 4 - P e r c e n t a g e o f o c c u r r e n c e 6 - p c s e t s a m o n g p a i r s o f P r i m e F o r m I n t e r v a l v e c t o r N u m b e r o f o c c u r r e n c e s / P c s . 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / 0 0 0 1 1 1 2 4 1 1 1 0 1 1 . 1 2 1 0 1 2 1 0 1 0 1 1 1 0 2 1 1 2 1 2 1 0 1 0 1 0 1 1 1 2 2 3 0 1 1 2 2 1 . 3 2 1 2 2 2 3 2 2 3 2 2 1 3 1 3 2 1 2 0 2 u 2 2 2 1 1 2 1 1 2 1 2 2 1 2 1 3 1 2 2 3 2 1 2 “ 3 1 2 1 3 2 2 1 3 1 2 u 2 1 1 3 2 2 2 2 2 1 1 0 2 1 3 2 2 1 1 0 3 2 2 2 1 2 2 2 1 3 2 2 2 2 1 1 4 3 0 2 2 2 2 2 3 3 2 2 2 1 1 3 3 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 0 0 3 3 2 2 2 2 2 2 1 1 u 3 3 2 1 1 “ 3 3 3 3 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 . 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 2 2 2 3 3 1 . » . 3 3 5 6 “ “ “ 1 4 5 . 4 5 6 “ “ . 5 6 7 5 7 5 5 5 5 5 6 6 6 6 6 6 6 7 . 4 5 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O 0 1 2 3 1 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 . 4 5 6 7 8 9 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 3 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 ( c o n t i n u e d ) O 2 3 O 4 2 . 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