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①✐✐

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✼✳✹✳✷ ■♥❢♦r♠❛t✐♦♥ ❆❜♦✉t P❛st ▼❡❛s✉r❡♠❡♥ts ✳ ✳ ✳ ✳
❆♣♣❧✐❝❛t✐♦♥s ♦❢ ❈♦♥s❡❝✉t✐✈❡ ◗✉❛♥t✉♠ ▼❡❛s✉r❡♠❡♥ts
✼✳✺✳✶ ◗✉❛♥t✉♠ ❩❡♥♦ ❛♥❞ ❆♥t✐✲❩❡♥♦ ❊✛❡❝ts ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✼✳✺✳✷ Pr❡♣❛r✐♥❣ ◗✉❛♥t✉♠ ❙t❛t❡s ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
❈♦♥❝❧✉s✐♦♥s ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

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◗✉❛♥t✉♠ ❉✐s❡♥t❛♥❣❧✐♥❣ ❖♣❡r❛t✐♦♥s ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
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❚✇♦✲❇✐t ❉✐s❡♥t❛♥❣❧✐♥❣ ❙❝❤❡♠❡ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
❊①❛♠♣❧❡s ♦❢ ❉✐s❡♥t❛♥❣❧✐♥❣ ❖♣❡r❛t✐♦♥s ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
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❯♥❞♦✐♥❣ ◗✉❛♥t✉♠ ▼❡❛s✉r❡♠❡♥ts ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
❊①tr❛❝t✐♥❣ ❊♥t❛♥❣❧❡♠❡♥t ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
●❡♥❡r❛t✐♥❣ ❘❡♠♦t❡ ❊♥t❛♥❣❧❡♠❡♥t ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✽✳✼✳✶ ❊♥❝♦❞✐♥❣ ❙❝❤❡♠❡ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✽✳✼✳✷ Pr♦t♦❝♦❧ ✇✐t❤ ❈♦♠♠✉♥✐❝❛t✐♦♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✽✳✼✳✸ ❉✐s❝✉ss✐♦♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✽✳✼✳✸✳✶ ❈♦♥❞✐t✐♦♥s ❢♦r ❊♥t❛♥❣❧❡♠❡♥t ●❡♥❡r❛t✐♦♥
✽✳✼✳✸✳✷ ❘❡❧✐❛❜✐❧✐t② ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✽✳✼✳✹ Pr♦t♦❝♦❧ ✇✐t❤♦✉t ❈♦♠♠✉♥✐❝❛t✐♦♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
❈♦♥❝❧✉s✐♦♥s ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

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❋✐❣✉r❡ ✸✳✶✿ ❊♥tr♦♣② ❱❡♥♥ ❞✐❛❣r❛♠ ❢♦r t✇♦ s②st❡♠s A ❛♥❞ B ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

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❋✐❣✉r❡ ✸✳✷✿ ❊①❛♠♣❧❡s ♦❢ ❡♥tr♦♣② ❱❡♥♥ ❞✐❛❣r❛♠s ❢♦r t✇♦ s②st❡♠s✳ ✭❛✮ ❇♦t❤ s②st❡♠s
❛r❡ ✐♥❞❡♣❡♥❞❡♥t ✭✉♥❝♦rr❡❧❛t❡❞✮❀ ✭❜✮ ♣❡r❢❡❝t❧② ❝♦rr❡❧❛t❡❞❀ ❛♥❞ ✭❝✮ q✉❛♥t✉♠
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❋✐❣✉r❡ ✸✳✸✿ ❊♥tr♦♣② ❱❡♥♥ ❞✐❛❣r❛♠ ❢♦r t❤r❡❡ s②st❡♠s A✱ B ✱ ❛♥❞ C ✳ ❚❤❡ ❡♥tr♦♣②
s❤❛r❡❞ ❜② ❛❧❧ t❤r❡❡ s②st❡♠s ✐s t❤❡ t❡r♥❛r② ♠✉t✉❛❧ ❡♥tr♦♣② S(A : B : C)
❛♥❞ ✈❛♥✐s❤❡s ✐❢ ρ(ABC) ✐s ❛ ♣✉r❡ st❛t❡✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

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①✐✐

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❡♥❝r②♣t✐♦♥✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

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❋✐❣✉r❡ ✺✳✶✿ ▲❡❢t✿ ❚❤❡ ❡✐❣❡♥✈❛❧✉❡s λ± ✭s♦❧✐❞✮ ❛♥❞ ❞✐❛❣♦♥❛❧ ❡❧❡♠❡♥ts p0 ✱ p1 ✭❞❛s❤❡❞✮
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❍❡r❡✱ S ✐s t❤❡ ❡♥tr♦♣② ♦❢ ❊q✳ ✭✻✳✷✶✮✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

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❋✐❣✉r❡ ✻✳✹✿ ❚♦♣✿ ❘❡❧❛t✐♦♥s❤✐♣ ❜❡t✇❡❡♥ ❝♦❤❡r❡♥❝❡ ❛♥❞ ♣❛t❤ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥ ✐♥ ✭✻✳✸✽✮
❢♦r t❤❡ ❇❡❧❧✲st❛t❡ q✉❛♥t✉♠ ❡r❛s❡r ❛s ❛ ❢✉♥❝t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ❡r❛s✉r❡ ❛♥❣❧❡ θ ✳
❙❤♦✇♥ ❛r❡ t❤❡ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥✲t❤❡♦r❡t✐❝ q✉❛♥t✐t✐❡s ❢♦r t❤❡ ♣❛t❤ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥
S(Q : DA |DB ) = S ✭s♦❧✐❞✮ ❛♥❞ ❝♦❤❡r❡♥❝❡ S(Q : DB ) = 1 − S ✭❞❛s❤❡❞✮✳
❇♦tt♦♠✿ ❚❤❡ sq✉❛r❡ ♦❢ t❤❡ ❞✐st✐♥❣✉✐s❤❛❜✐❧✐t② D ✭s♦❧✐❞✮ ❛♥❞ ❢r✐♥❣❡ ✈✐s✐❜✐❧✲
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❲❤❡♥ θ = 0 ✭θ = π/4✮ t❤❡r❡ ✐s ❢✉❧❧ ✭♥♦✮ ♣❛t❤ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥ ❛♥❞ ♥♦ ✭❢✉❧❧✮
❝♦❤❡r❡♥❝❡✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✶✷✹

❋✐❣✉r❡ ✻✳✺✿ ●❡♦♠❡tr② ♦❢ t❤❡ ❞♦✉❜❧❡✲s❧✐t ❛♣♣❛r❛t✉s✳ ❚❤❡ s❧✐t ✇✐❞t❤ ✐s a✱ t❤❡ ❞✐st❛♥❝❡
❢r♦♠ t❤❡ ♦r✐❣✐♥ t♦ t❤❡ ❝❡♥t❡r ♦❢ s❧✐t j ✐s xj ✱ ❛♥❞ t❤❡ ❞✐st❛♥❝❡ ❜❡t✇❡❡♥ s❧✐ts
✐s d = |x2 − x1 |✳ ❚❤❡ ❞✐st❛♥❝❡ ❢r♦♠ t❤❡ s❧✐ts t♦ t❤❡ s❝r❡❡♥ ✐s L✱ ✇❤✐❧❡
t❤❡ ❛♥❣❧❡ ❢r♦♠ t❤❡ ❝❡♥t❡r ♦❢ s❧✐t j t♦ ♣♦✐♥t x ♦♥ t❤❡ s❝r❡❡♥ ✐s ❣✐✈❡♥ ❜②
tan φj = (x − xj )/L✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✶✸✵

❋✐❣✉r❡ ✻✳✻✿ ■♥t❡♥s✐t② ❞✐str✐❜✉t✐♦♥s ✐♥ t❤❡ q✉❛♥t✉♠ ❡r❛s❡r✳ ❚❤❡ ❝♦♥❞✐t✐♦♥❛❧ ❞✐str✐❜✉✲
t✐♦♥s pk (x) ❛r❡ ♣❧♦tt❡❞ ❛s ❛ ❢✉♥❝t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ♣♦s✐t✐♦♥ ♦♥ t❤❡ s❝r❡❡♥✱ x✱ ✐♥
♠❡t❡rs✱ ❛♥❞ ♥♦r♠❛❧✐③❡❞ s♦ t❤❛t t❤❡ ♠❛①✐♠✉♠ ✐s ❛t ✶✳ ❚❤❡ s♦❧✐❞ ❣r❛②
✭❜❧❛❝❦ ❞♦tt❡❞✮ ♦s❝✐❧❧❛t✐♦♥s ❞❡s❝r✐❜❡ t❤❡ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ♣❛tt❡r♥ p0 (x) ✭p1 (x)✮
♦❢ ♣❤♦t♦♥ A ❝♦♥❞✐t✐♦♥❛❧ ♦♥ ♦✉t❝♦♠❡ k = 0 ✭k = 1✮ ♦❢ ❞❡t❡❝t♦r DB ✳ ❚❤❡
s♦❧✐❞ ❜❧❛❝❦ ❧✐♥❡ ✐s t❤❡ t♦t❛❧ ❞✐str✐❜✉t✐♦♥ p(x) ❛♥❞ ✐s t❤❡ s✐♥❣❧❡✲s❧✐t ❞✐✛r❛❝✲
t✐♦♥ r❡s✉❧t✳ P❛r❛♠❡t❡rs ❢♦r t❤✐s s♣❡❝✐✜❝ ❝❛s❡ ❛r❡ a = 10 µ♠✱ d = 20 µ♠✱
L = 1 ♠✱ ❛♥❞ λ = 702 ♥♠✳ ❚♦♣ t♦ ❜♦tt♦♠✿ ♣r♦❜❛❜✐❧✐t② ❞✐str✐❜✉t✐♦♥s ❢♦r
t❤r❡❡ ❡r❛s✉r❡ ❛♥❣❧❡s θ = 0✱ θ = π/16✱ θ = π/4✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✶✸✶

❋✐❣✉r❡ ✼✳✶✿ ■❧❧✉str❛t✐♦♥ ♦❢ ❝♦♥s❡❝✉t✐✈❡ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥ts ♦❢ ❛ q✉❛♥t✉♠ s②st❡♠✱ Q✱ ✉s✐♥❣
❞❡✈✐❝❡s A1 ✱ A2 ✱ ❛♥❞ A3 ✭♥✉♠❜❡rs ✐♥❞✐❝❛t❡ t❤❡ t✐♠❡ ♦r❞❡r✐♥❣ ♦❢ t❤❡ ♠❡❛✲
s✉r❡♠❡♥t s❡q✉❡♥❝❡✮✳ ❲❡ ✇✐❧❧ s❡❡ ❤♦✇ t❤❡ ❛♥❝✐❧❧❛❡ A1 ✱ A2 ✱ ❛♥❞ A3 ❜❡❝♦♠❡
❡♥t❛♥❣❧❡❞ ✇✐t❤ t❤❡ q✉❛♥t✉♠ s②st❡♠ ❞✉r✐♥❣ t❤❡ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥t ♣r♦❝❡ss ❛♥❞
❝♦♠♣✉t❡ ❤♦✇ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥ ✐s ❞✐str✐❜✉t❡❞ t❤r♦✉❣❤♦✉t t❤❡ s✉❜s②st❡♠s✳ ❚❤✐s
s❝❤❡♠❡ ❝❛♥ ❜❡ ❡①t❡♥❞❡❞ t♦ ❛ s❡q✉❡♥❝❡ ♦❢ n ❝♦♥s❡❝✉t✐✈❡ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥ts✱
✇❤✐❝❤ ✇✐❧❧ ❜❡ ❝♦♥s✐❞❡r❡❞ ✐♥ t❤❡ ❧❛t❡r s❡❝t✐♦♥s✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

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❋✐❣✉r❡ ✼✳✷✿ ❊♥tr♦♣② ❱❡♥♥ ❞✐❛❣r❛♠ ❢♦r t❤❡ st❛t❡ ✭✼✳✺✮✳ ❚❤❡ ♣r❡s❡♥❝❡ ♦❢ ♥❡❣❛t✐✈❡ ❝♦♥✲
❞✐t✐♦♥❛❧ ❡♥tr♦♣✐❡s r❡✈❡❛❧s t❤❛t t❤❡ q✉❛♥t✉♠ s②st❡♠✱ Q✱ ✐s ❡♥t❛♥❣❧❡❞ ✇✐t❤
❛❧❧ t❤r❡❡ ❛♥❝✐❧❧❛❡✱ A1 ✱ A2 ✱ ❛♥❞ A3 ✳ ■♥ t❤✐s ✜❣✉r❡✱ ✇❡ ✉s❡ t❤❡ ♥♦t❛t✐♦♥
S3 = S(A3 )✱ ✇❤✐❝❤ ✐s t❤❡ ♠❛r❣✐♥❛❧ ❡♥tr♦♣② ♦❢ t❤❡ ❧❛st ❛♥❝✐❧❧❛ A3 ✐♥ t❤❡
♠❡❛s✉r❡♠❡♥t s❡q✉❡♥❝❡✳ ❚♦ ❣❡♥❡r❛❧✐③❡ t❤✐s ❞✐❛❣r❛♠ ❢r♦♠ t❤r❡❡ t♦ n ❝♦♥✲
s❡❝✉t✐✈❡ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥ts ♦❢ ❛ ♣r❡♣❛r❡❞ q✉❛♥t✉♠ s②st❡♠✱ S3 ✐s r❡♣❧❛❝❡❞ ❜②
Sn ✱ t❤❡ ❡♥tr♦♣② ♦❢ t❤❡ ❧❛st ❛♥❝✐❧❧❛✱ An ✱ ✐♥ t❤❡ ❝❤❛✐♥✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

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❋✐❣✉r❡ ✼✳✸✿ ❊♥tr♦♣② ❱❡♥♥ ❞✐❛❣r❛♠s ❢♦r t❤❡ ♣✉r❡ st❛t❡ ✭✼✳✽✮✱ ✇❤❡r❡ S13 = S(A1 A3 )
✐s t❤❡ ❥♦✐♥t ❡♥tr♦♣② ♦❢ ❊q✳ ✭✼✳✶✶✮✳ ✭❛✮ ❚❤❡ ❡♥tr♦♣② S13 t❤❛t ✐s s❤❛r❡❞ ❜②
t❤❡ r❡❢❡r❡♥❝❡ st❛t❡✱ R✱ ❛♥❞ t❤❡ ❝❤❛✐♥ ♦❢ ❛♥❝✐❧❧❛❡✱ A1 A2 A3 ✱ ✐s ♥♦t s❤❛r❡❞
✇✐t❤ t❤❡ q✉❛♥t✉♠ s②st❡♠✱ Q✱ s✐♥❝❡ t❤❡ t❡r♥❛r② ♠✉t✉❛❧ ❡♥tr♦♣② ✈❛♥✐s❤❡s✿
S(Q : R : A1 A2 A3 ) = 0✳ ✭❜✮ ❚r❛❝✐♥❣ ♦✉t t❤❡ r❡❢❡r❡♥❝❡ ❧❡❛✈❡s Q ❡♥t❛♥❣❧❡❞
✇✐t❤ ❛❧❧ ❛♥❝✐❧❧❛❡✳ ❚♦ ❣❡♥❡r❛❧✐③❡ t❤❡s❡ ❞✐❛❣r❛♠s ❢r♦♠ t❤r❡❡ t♦ n ❝♦♥s❡❝✉t✐✈❡
♠❡❛s✉r❡♠❡♥ts ♦❢ ❛♥ ✉♥♣r❡♣❛r❡❞ q✉❛♥t✉♠ s②st❡♠✱ S13 ✐s r❡♣❧❛❝❡❞ ❜② S1n ✱
t❤❡ ❥♦✐♥t ❡♥tr♦♣② ♦❢ t❤❡ ✜rst ❛♥❞ ❧❛st ❛♥❝✐❧❧❛❡✱ A1 ❛♥❞ An ✱ ✐♥ t❤❡ ❝❤❛✐♥✳ ✳

✶✹✸

❋✐❣✉r❡ ✼✳✹✿ ❊♥tr♦♣② r❡❧❛t✐♦♥s❤✐♣s ❢♦r t❤r❡❡ q✉❛♥t✉♠ ❛♥❝✐❧❧❛❡ t❤❛t ♠❡❛s✉r❡❞ ❛♥ ✉♥♣r❡✲
♣❛r❡❞ q✉❛♥t✉♠ s②st❡♠✳ ❚❤❡ ✈❛♥✐s❤✐♥❣ ❝♦♥❞✐t✐♦♥❛❧ ❡♥tr♦♣②✱ S(A2 |A1 A3 ) =
0✱ ✐s ❛ ❝♦♥s❡q✉❡♥❝❡ ♦❢ t❤❡ ♣r♦♣❡rt② t❤❛t t❤❡ ❡♥tr♦♣② ♦❢ t❤❡ ❡♥t✐r❡ ❛♥❝✐❧❧❛
❝❤❛✐♥ ✐s ❡q✉❛❧ t♦ t❤❡ ❡♥tr♦♣② ♦❢ t❤❡ ❜♦r❞❡rs✱ S(A1 A2 A3 ) = S(A1 A3 )✳ ❚❤✐s
✇✐❧❧ ❜❡ ❞✐s❝✉ss❡❞ ♠♦r❡ ✐♥ ❙❡❝✳ ✼✳✷✳✸✳ ■♥ t❤✐s ✜❣✉r❡✱ S(Ai Aj ) = Sij ❞❡♥♦t❡s
t❤❡ ♣❛✐r✇✐s❡ ❡♥tr♦♣② ♦❢ ❛♥② t✇♦ ❛♥❝✐❧❧❛❡ Ai ❛♥❞ Aj ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✶✹✻

❋✐❣✉r❡ ✼✳✺✿ ❉✐❛❣r❛♠ ❢♦r t❤r❡❡ q✉❜✐t ❛♥❝✐❧❧❛❡ t❤❛t ♠❡❛s✉r❡❞ ❛♥ ✉♥♣r❡♣❛r❡❞ q✉❛♥t✉♠
s②st❡♠✳ ❚❤❡ ❡✐❣❡♥❜❛s✐s ♦❢ t❤❡ s❡❝♦♥❞ ♦❜s❡r✈❛❜❧❡ ✐s ❛t ❛♥ ❛♥❣❧❡ θ2 =
π/4 r❡❧❛t✐✈❡ t♦ t❤❡ ❜❛s✐s ♦❢ t❤❡ ✜rst ♦❜s❡r✈❛❜❧❡ ❛♥❞ ❧✐❦❡✇✐s❡ ❢♦r t❤❡ t❤✐r❞
♦❜s❡r✈❛❜❧❡✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✶✹✼

❋✐❣✉r❡ ✼✳✻✿ ❉✐❛❣r❛♠ ❢♦r t❤❡ ✉♥❛♠♣❧✐✜❡❞ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥t s❡q✉❡♥❝❡ ✇✐t❤ ❛♥❝✐❧❧❛❡ A1 ✱ A2 ✱
. . . ✱ Aj ✱ Aj+1 ✳ ❆❝❝♦r❞✐♥❣ t♦ ✭✼✳✸✵✮✱ t❤❡ ❥♦✐♥t ❡♥tr♦♣② ♦❢ t❤❡ ✜rst j ❛♥❝✐❧❧❛❡
✈❛♥✐s❤❡s ✇❤❡♥ ❣✐✈❡♥ Aj+1 ✱ s✐♥❝❡ t❤❡ ❡♥tr♦♣② r❡s✐❞❡s ♦♥❧② ❛t t❤❡ ❡♥❞ ♦❢ t❤❡
❝❤❛✐♥✳ ■♥ t❤✐s ✜❣✉r❡✱ ✇❡ ✉s❡ t❤❡ ♥♦t❛t✐♦♥ Sk = S(Ak ) ❢♦r t❤❡ ♠❛r❣✐♥❛❧
❡♥tr♦♣② ♦❢ t❤❡ k t❤ ❛♥❝✐❧❧❛✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✶✺✸

❋✐❣✉r❡ ✼✳✼✿ ❉✐❛❣r❛♠ ❢♦r ❛♥ ✉♥❛♠♣❧✐✜❡❞ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥t s❡q✉❡♥❝❡ ✇✐t❤ ❛♥❝✐❧❧❛❡ Ai−1 ✱ Ai ✱
. . . ✱ Aj ✱ Aj+1 ✳ ❆❝❝♦r❞✐♥❣ t♦ ✭✼✳✸✺✮✱ t❤❡ ❡♥tr♦♣② ♦❢ ❛❧❧ ✐♥t❡r♠❡❞✐❛t❡ ❛♥✲
❝✐❧❧❛❡✱ Ai , . . . , Aj ✱ ✈❛♥✐s❤❡s ✇❤❡♥ ❣✐✈❡♥ Ai−1 ❛♥❞ Aj+1 ✱ s✐♥❝❡ t❤❡ ❡♥tr♦♣②
r❡s✐❞❡s ❛t t❤❡ ❜♦✉♥❞❛r② ♦❢ t❤❡ ❝❤❛✐♥✳ ■♥ t❤✐s ✜❣✉r❡✱ ✇❡ ✉s❡ t❤❡ ♥♦t❛t✐♦♥
Sk = S(Ak A ) ❢♦r t❤❡ ♣❛✐r✇✐s❡ ❡♥tr♦♣② ♦❢ ❛♥② t✇♦ ❛♥❝✐❧❧❛❡ Ak ❛♥❞ A ✳ ✳

✶✺✻

❋✐❣✉r❡ ✼✳✽✿ ❊✛❡❝ts ♦❢ ❛♠♣❧✐✜❝❛t✐♦♥ ❢♦r ✭❛✮ t❤❡ tr✐♣❛rt✐t❡ ❡♥t❛♥❣❧❡❞ st❛t❡ ✭✼✳✹✷✮✳ ✭❜✮
❚r❛❝✐♥❣ ♦✈❡r t❤❡ q✉❛♥t✉♠ s②st❡♠✱ A1 ❛♥❞ D1 ❛r❡ ♣❡r❢❡❝t❧② ❝♦rr❡❧❛t❡❞ ❛s
✐♥ ❊q✳ ✭✼✳✹✸✮✳ ❚❤❡ S(A1 : D1 ) = S1 ❜✐ts ♦❢ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥ ❣❛✐♥❡❞ ✐♥ t❤❡
♠❡❛s✉r❡♠❡♥t ❛r❡ ♥♦t s❤❛r❡❞ ✇✐t❤ t❤❡ q✉❛♥t✉♠ s②st❡♠ s✐♥❝❡ t❤❡ ♠✉t✉❛❧
t❡r♥❛r② ❡♥tr♦♣② ✈❛♥✐s❤❡s✱ S(Q : A1 : D1 ) = 0✳ ❚❤❡ q✉❛♥t✐t② S1 = H[q (1) ]
✐s t❤❡ ♠❛r❣✐♥❛❧ ❡♥tr♦♣② ♦❢ ❡❛❝❤ ♦❢ t❤❡ t❤r❡❡ s✉❜s②st❡♠s✱ Q✱ A1 ❛♥❞ D1 ✳ ✳

✶✺✽

❋✐❣✉r❡ ✼✳✾✿ ❖❜s❡r✈✐♥❣ t❤❡ q✉❛♥t✉♠ ♦❜s❡r✈❡r A1 ✇✐t❤ ❛ ❞❡✈✐❝❡ D1 ✳ ❉❛s❤❡❞ ❧✐♥❡s ✐♥❞✐✲
❝❛t❡ t❤❡ ❡♥t❛♥❣❧❡♠❡♥t ❝r❡❛t❡❞ ❜② t❤❡ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥t ❜❡t✇❡❡♥ t❤❡ ❛♥❝✐❧❧❛ A1
(1)
(n)
❛♥❞ ❡❛❝❤ ♦❢ t❤❡ n q✉❞✐ts D1 , . . . , D1 t❤❛t ❝♦♠♣r✐s❡ D1 ✳ ❚✐♠❡ ♣r♦❝❡❡❞s
❢r♦♠ ❧❡❢t t♦ r✐❣❤t✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✶✺✾

①✈

❋✐❣✉r❡ ✼✳✶✵✿ ❆ s❡q✉❡♥❝❡ ♦❢ ❞❡✈✐❝❡s D1 ✱ D2 ✱ ❛♥❞ D3 t❤❛t ♦❜s❡r✈❡ ✭❛♠♣❧✐❢②✮ t❤❡ q✉❛♥t✉♠
❛♥❝✐❧❧❛❡ A1 ✱ A2 ✱ ❛♥❞ A3 ✱ ❛❝❝♦r❞✐♥❣ t♦ ✭✼✳✹✾✮✳ ❖♥❧② ❛♠♣❧✐✜❝❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡
✐♥t❡r♠❡❞✐❛t❡ ❛♥❝✐❧❧❛ A2 ✐s s✉✣❝✐❡♥t t♦ ❞❡str♦② t❤❡ ❝♦❤❡r❡♥❝❡ ✐♥ t❤❡ ♦r✐❣✐♥❛❧
st❛t❡ ✭✼✳✾✮✳ ❚❤❡ ③❡r♦ ❝♦♥❞✐t✐♦♥❛❧ ♠✉t✉❛❧ ❡♥tr♦♣②✱ S(D1 : D3 |D2 ) = 0✱
✐♥❞✐❝❛t❡s t❤❛t t❤❡ ❧❛st ❞❡✈✐❝❡ D3 ❤❛s ♥♦ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥ ❛❜♦✉t t❤❡ ✜rst✱ ❢r♦♠
t❤❡ ♣❡rs♣❡❝t✐✈❡ ♦❢ t❤❡ s❡❝♦♥❞✳ ❚❤✐s ♣r♦♣❡rt② ✇✐❧❧ ❜❡ ❝♦♥♥❡❝t❡❞ t♦ q✉❛♥t✉♠
▼❛r❦♦✈ ❝❤❛✐♥s ✐♥ ❙❡❝✳ ✼✳✸✳✹✳ ◆♦t❡ t❤❛t ❛❧❧ t❤❡ ♣❛✐r✇✐s❡ ❡♥tr♦♣✐❡s ❛r❡
✉♥❝❤❛♥❣❡❞ ❜② ❛♠♣❧✐✜❝❛t✐♦♥✱ S(Ai Aj ) = S(Di Dj ) = Sij ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✶✻✷

❋✐❣✉r❡ ✼✳✶✶✿ ❆♠♣❧✐✜❝❛t✐♦♥ ✇✐t❤ D1 ✱ D2 ✱ ❛♥❞ D3 ✐♥ ✭✼✳✺✵✮ ♦❢ t❤r❡❡ q✉❜✐t ❛♥❝✐❧❧❛❡ t❤❛t
♠❡❛s✉r❡❞ ❛♥ ✉♥♣r❡♣❛r❡❞ q✉❛♥t✉♠ s②st❡♠✳ ❚❤❡ s❡❝♦♥❞ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥t ♦❢
Q ✐s ♦❢ ❛♥ ♦❜s❡r✈❛❜❧❡ ✇✐t❤ ❡✐❣❡♥❜❛s✐s r♦t❛t❡❞ ❜② θ2 = π/4 r❡❧❛t✐✈❡ t♦ t❤❡
❡✐❣❡♥❜❛s✐s ♦❢ t❤❡ ✜rst ♦❜s❡r✈❛❜❧❡✳ ❆♥❞✱ t❤❡ t❤✐r❞ ♦❜s❡r✈❛❜❧❡ ✐s ❛t θ3 = π/4
r❡❧❛t✐✈❡ t♦ t❤❡ s❡❝♦♥❞✳ ■♥ t❤✐s ❝❛s❡✱ ❛❧❧ t❤r❡❡ ❞❡✈✐❝❡s ❛r❡ ✉♥❝♦rr❡❧❛t❡❞✳
❆♠♣❧✐✜❝❛t✐♦♥ ♦❢ A2 ✇✐t❤ D2 ❛❧♦♥❡ ✐s s✉✣❝✐❡♥t t♦ ❞❡str♦② t❤❡ ❝♦❤❡r❡♥❝❡
✐♥ ✭✼✳✶✼✮✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✶✻✸

❋✐❣✉r❡ ✼✳✶✷✿ ❊✛❡❝ts ♦❢ ❛♠♣❧✐✜❝❛t✐♦♥ ♦♥ ✭❛✮ t❤❡ q✉❛♥t✉♠ s②st❡♠ ❛♥❞ t❤❡ ✉♥❛♠♣❧✐✜❡❞
❛♥❝✐❧❧❛ ❛❝❝♦r❞✐♥❣ t♦ ❊q✳ ✭✼✳✽✻✮✱ ❛♥❞ ♦♥ ✭❜✮ t❤❡ q✉❛♥t✉♠ s②st❡♠ ❛♥❞ t❤❡
❛♠♣❧✐❢②✐♥❣ ❞❡✈✐❝❡ ❛❝❝♦r❞✐♥❣ t♦ ❊q✳ ✭✼✳✾✹✮✳ ❚❤❡ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥ t❤❛t t❤❡ ❧❛st
❞❡✈✐❝❡ ❤❛s ❛❜♦✉t t❤❡ q✉❛♥t✉♠ s②st❡♠ ✐s r❡❞✉❝❡❞ ✇❤❡♥ t❤❡ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥t
✐s ❛♠♣❧✐✜❡❞✳ ❚❤❛t ✐s✱ S(Q : Dn ) ≤ S(Q : An )✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✶✼✽

❋✐❣✉r❡ ✼✳✶✸✿ ❉✐❛❣r❛♠ ✭❛✮ ❜❡❢♦r❡ ❛♠♣❧✐✜❝❛t✐♦♥ ✇✐t❤ n ❛♥❝✐❧❧❛❡ t❤❛t ❝♦♥s❡❝✉t✐✈❡❧② ♠❡❛✲
s✉r❡❞ ❛ q✉❛♥t✉♠ s②st❡♠ Q✱ ❛♥❞ ✭❜✮ ❛❢t❡r ❛♠♣❧✐✜❝❛t✐♦♥✳ ❚❤❡ ✐♥❢♦r♠❛✲
t✐♦♥ S(Q : An ) ✐s r❡❞✉❝❡❞ t♦ S(Q : Dn )✱ ❛♥❞ S(An : An−1 . . . A1 ) t♦
S(Dn : Dn−1 . . . D1 )✳ ❚❤❡ ③❡r♦ t❡r♥❛r② ♠✉t✉❛❧ ❡♥tr♦♣② ✐♥ ✭❛✮ ✐♥❞✐❝❛t❡s
t❤❛t t❤❡ ✉♥❞❡r❧②✐♥❣ st❛t❡ ♦❢ QA1 . . . An ✐s ♣✉r❡✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✶✽✹

❋✐❣✉r❡ ✼✳✶✹✿ ❊♥tr♦♣✐❡s ❢♦r t✇♦ ❝♦♥s❡❝✉t✐✈❡ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥ts D2 ❛♥❞ D3 ✱ ❛❢t❡r t❤❡ ♣r❡♣❛✲
r❛t✐♦♥ ✇✐t❤ D1 ✱ ♦❢ t❤❡ q✉❛♥t✉♠ st❛t❡ ✭✼✳✶✶✹✮✳ ❚❤❡ ✈❛r✐❛❜❧❡ p ❝❤❛r❛❝t❡r✐③❡s
t❤❡ ✐♥✐t✐❛❧ st❛t❡ ♦❢ Q✳ ❚❤❡ ❡✐❣❡♥❜❛s✐s ♦❢ ❡❛❝❤ ♦❜s❡r✈❛❜❧❡ ✐s ❛t ❛♥ ❛♥❣❧❡ ♦❢
π/8 r❡❧❛t✐✈❡ t♦ t❤❡ ♣r❡✈✐♦✉s ♦♥❡ ✭n = 2✮✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✶✽✻

❋✐❣✉r❡ ✽✳✶✿ ❈♦rr❡❧❛t✐♦♥s ♦❢ ❛♥ ❛r❜✐tr❛r✐❧②✲❧♦♥❣ ❝❤❛✐♥ ♦❢ ❛♥❝✐❧❧❛❡ A1 ✱ A2 ✱ . . . ✱ Aj ✱ Aj+1
✭❛✮ ❜❡❢♦r❡ ❛♥❞ ✭❜✮ ❛❢t❡r ❞✐s❡♥t❛♥❣❧✐♥❣✳ ❚❤❡ t✇♦ ③❡r♦s ✐♥ ✭❜✮ ✐♥❞✐❝❛t❡ t❤❛t
t❤❡ st❛t❡ ♦❢ A1 ✱ . . . ✱ Aj ✐s ♣✉r❡ ❛♥❞ ❞✐s❡♥t❛♥❣❧❡❞ ❢r♦♠ Aj+1 ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✶✾✻

❋✐❣✉r❡ ✽✳✷✿ ❈✐r❝✉✐t ❢♦r ❞✐s❡♥t❛♥❣❧✐♥❣ t❤❡ ❥♦✐♥t st❛t❡ ρAB → ρAB = |ψ ψ| ⊗ ρB ✳
❚❤❡ ❡♥❝♦❞✐♥❣ s❝❤❡♠❡ ❝♦♥s✐sts ♦❢ ❛ s❡r✐❡s ♦❢ t✇♦ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥ts ♦❢ Q ✇✐t❤
❛♥❝✐❧❧❛r② q✉❞✐ts A ❛♥❞ B ✳ ❚❤❡ ✭❝♦♥❞✐t✐♦♥❛❧✮ ♦♣❡r❛t♦r s❤♦✇♥ ❛❝t✐♥❣ ♦♥ A
✐s ♦♥❡ ♦❢ t❤❡ s❡t ♦❢ d ♦♣❡r❛t♦rs V (j) ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✶✾✼

①✈✐

❋✐❣✉r❡ ✽✳✸✿ ❈♦rr❡❧❛t✐♦♥s ♦❢ ❛♥ ❛r❜✐tr❛r✐❧②✲❧♦♥❣ ❝❤❛✐♥ ♦❢ ❛♥❝✐❧❧❛❡ A1 ✱ A2 ✱ . . . ✱ Aj ✱ Aj+1
✭❛✮ ❜❡❢♦r❡ ❛♥❞ ✭❜✮ ❛❢t❡r ❞✐s❡♥t❛♥❣❧✐♥❣✳ ❚❤❡ t✇♦ ③❡r♦s ✐♥ ✭❜✮ ✐♥❞✐❝❛t❡ t❤❛t
t❤❡ st❛t❡ ♦❢ A2 ✱ . . . ✱ Aj ✐s ♣✉r❡ ❛♥❞ ❞✐s❡♥t❛♥❣❧❡❞ ❢r♦♠ A1 ❛♥❞ Aj+1 ✳ ✳ ✳

✷✵✷

❋✐❣✉r❡ ✽✳✹✿ ❈✐r❝✉✐t ❢♦r ❞✐s❡♥t❛♥❣❧✐♥❣ t❤❡ ❛♥❝✐❧❧❛ st❛t❡ ρABC → ρABC = ρAC ⊗ |φ φ|✳
❚❤❡ ❡♥❝♦❞✐♥❣ s❝❤❡♠❡ ❝♦♥s✐sts ♦❢ t❤r❡❡ ❝♦♥s❡❝✉t✐✈❡ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥ts ♦❢ Q ✇✐t❤
❛♥❝✐❧❧❛r② q✉❞✐ts A✱ B ✱ ❛♥❞ C ✳ ❚❤❡ ✭❝♦♥❞✐t✐♦♥❛❧✮ ♦♣❡r❛t♦r s❤♦✇♥ ❛❝t✐♥❣
♦♥ B ✐s ♦♥❡ ♦❢ t❤❡ s❡t ♦❢ d2 ♦♣❡r❛t♦rs✱ V (ik) ✳ ❚❤❡ ✐♥✐t✐❛❧ ❡♥t❛♥❣❧❡♠❡♥t
❜❡t✇❡❡♥ Q ❛♥❞ t❤❡ ♣✉r✐❢②✐♥❣ r❡❢❡r❡♥❝❡ R ✐s ✐♥❞✐❝❛t❡❞ ❜② t❤❡ ❞❛s❤❡❞ ❧✐♥❡✳

✷✵✸

❋✐❣✉r❡ ✽✳✺✿ ●❛r✐st♦✲❍❛r❞② ❞✐s❡♥t❛♥❣❧❡♠❡♥t ❡r❛s❡r✳ ❆❢t❡r t❛❣❣✐♥❣ ✇✐t❤ s②st❡♠ T t❤❡
❡♥t❛♥❣❧❡♠❡♥t ♦❢ AB ✭✐♥❞✐❝❛t❡❞ ❜② t❤❡ ❞❛s❤❡❞ ❧✐♥❡✮ ✐s ❧♦st✳ ▼❡❛s✉r✐♥❣
T ✇✐t❤ T ✐♥ ❛ r♦t❛t❡❞ ❜❛s✐s ❛♥❞ ❛♣♣❧②✐♥❣ ❛ ❝♦♥❞✐t✐♦♥❛❧ ✉♥✐t❛r② t♦ AB
r❡st♦r❡s t❤❡ ♦r✐❣✐♥❛❧ ❡♥t❛♥❣❧❡❞ st❛t❡ |AB ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✷✵✼

❋✐❣✉r❡ ✽✳✻✿ ❊♥t❛♥❣❧❡♠❡♥t ❡♥tr♦♣② SE ♦❢ t❤❡ ❞✐s❡♥t❛♥❣❧❡❞ st❛t❡ |ψ0 ♦❢ A ❛♥❞ B
✐♥ ✭✽✳✺✺✮✳ ❚❤r❡❡ ❝✉r✈❡s ♣❧♦tt❡❞ ❛s ❛ ❢✉♥❝t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ s❡❝♦♥❞ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥t
❛♥❣❧❡ θ ✭✇✐t❤ θ = π/4✮ ❢♦r ❞✐✛❡r❡♥t ❛♠♣❧✐t✉❞❡s α√
0 ♦❢ t❤❡ ✐♥✐t✐❛❧ q✉❛♥t✉♠
st❛t❡✳ ▼❛①✐♠✉♠ ❡♥t❛♥❣❧❡♠❡♥t ♦❝❝✉rs ❛t α0 = 1/ 2 ❛♥❞ θ = π/4✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✷✶✶

❋✐❣✉r❡ ✽✳✼✿ ❊♥t❛♥❣❧❡♠❡♥t ❡♥tr♦♣② SE ♦❢ t❤❡ ❝♦♥❞✐t✐♦♥❛❧ st❛t❡s ✭✽✳✻✻✮ ♦❢ q✉❜✐ts B ❛♥❞
C ❢♦r θ = π/4✳ ■♥ t❤✐s ❝❛s❡✱ SE ✐s ✐♥❞❡♣❡♥❞❡♥t ♦❢ t❤❡ ✐♥t❡r♠❡❞✐❛t❡ ❛♥❣❧❡
θ ✳ ❚❤❡ st❛t❡s ❛r❡ ♠❛①✐♠❛❧❧② ❡♥t❛♥❣❧❡❞ ❛t θ = π/4✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✷✶✼

❋✐❣✉r❡ ✽✳✽✿ ❊♥tr♦♣② ❱❡♥♥ ❞✐❛❣r❛♠s ❢♦r t❤❡ ❛♥❝✐❧❧❛r② q✉❜✐ts ❜❡❢♦r❡ ✭❛✱❝✱❡✮ ❛♥❞ ❛❢t❡r
✭❜✱❞✱❢✮ ❞✐s❡♥t❛♥❣❧✐♥❣ ✇✐t❤ ✭✽✳✻✺✮✳ ❚❤❡ ✜rst ❛♥❣❧❡ ✐s θ = π/4✱ ✇❤✐❧❡ θ ❛♥❞
θ ❛r❡ ❧❡❢t ❛r❜✐tr❛r②✳ ❚❤❡ ❡♥tr♦♣② SBD ✭SBC ✮ ❬SCD ❪ ❞❡♣❡♥❞s ♦♥ θ ❛♥❞
θ ✭θ ✮ ❬θ ❪ ❛♥❞ t❤❡ ❡♥t❛♥❣❧❡♠❡♥t ❡♥tr♦♣② SE ✐s ❞❡✜♥❡❞ ✐♥ ✭✽✳✻✾✮✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✷✶✽

❋✐❣✉r❡ ✽✳✾✿ ❚❤❡ tr❛❝❡ ❞✐st❛♥❝❡✱ T ✱ ❛✈❡r❛❣❡❞ ♦✈❡r ❛❧❧ ✐♥t❡r♠❡❞✐❛t❡ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥t ❛♥❣❧❡s
θ ✱ ❛s ❛ ❢✉♥❝t✐♦♥ ♦❢ θ ✳ ❍❡r❡✱ θ = π/4✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✷✷✵

❋✐❣✉r❡ ✽✳✶✵✿ ❈✐r❝✉✐t s❝❤❡♠❛t✐❝ ❢♦r ❣❡♥❡r❛t✐♥❣ s❤❛r❡❞ ❡♥t❛♥❣❧❡♠❡♥t✳ ❆❧✐❝❡ ❤♦❧❞s q✉❜✐ts
A ❛♥❞ B ✱ ✇❤✐❧❡ ❇♦❜ ❤♦❧❞s q✉❜✐ts C ❛♥❞ D✳ ❚❤❡ st❛t❡ ♦❢ q✉❜✐ts ABCD ❛❢✲
t❡r t❤❡ ❡♥❝♦❞✐♥❣ s❝❤❡♠❡ ✐s ❢♦✉♥❞ ❢r♦♠ ✭✽✳✺✾✮✳ ■♥ t❤✐s ✜❣✉r❡✱ t❤❡ ❡♥t❛♥❣❧❡❞
st❛t❡ |φ t❤❛t ✐s ❣❡♥❡r❛t❡❞ ❝♦rr❡s♣♦♥❞s t♦ |φ00 ✐♥ ✭✽✳✼✺✮✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✷✷✷

❋✐❣✉r❡ ✽✳✶✶✿ ❚❤❡ tr❛❝❡ ❞✐st❛♥❝❡✱ T ✱ ❛s ❛ ❢✉♥❝t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ✐♥t❡r♠❡❞✐❛t❡ ❛♥❣❧❡ θ ✳ ❍❡r❡✱
❜♦t❤ ❆❧✐❝❡✬s ❛♥❞ ❇♦❜✬s r❡❧❛t✐✈❡ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥t ❛♥❣❧❡ ✐s θ = θ = π/4✳ ✳ ✳ ✳

✷✷✸

❋✐❣✉r❡ ✽✳✶✷✿ ❊♥tr♦♣② ❱❡♥♥ ❞✐❛❣r❛♠s ❢♦r θ = θ = π/4 ❜❡❢♦r❡ ✭❛✱❝✱❡✮ ❛♥❞ ❛❢t❡r ✭❜✱❞✱❢✮
t❤❡ ❞✐s❡♥t❛♥❣❧✐♥❣ ♦♣❡r❛t✐♦♥ ✭✽✳✼✼✮✳ ❚❤❡ ✐♥t❡r♠❡❞✐❛t❡ ❛♥❣❧❡ θ ✐s ❧❡❢t ❛r❜✐✲
tr❛r②✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✷✷✹

①✈✐✐

❑❊❨ ❚❖ ❙❨▼❇❖▲❙
ρ(A)

❉❡♥s✐t② ♠❛tr✐① ♦❢ s②st❡♠ A

S(A)

❚❤❡ ✈♦♥ ◆❡✉♠❛♥♥ ❡♥tr♦♣② ♦❢ s②st❡♠ A

H[p]

❙❤❛♥♥♦♥ ❡♥tr♦♣② ♦❢ ❛ ♣r♦❜❛❜✐❧✐t② ❞✐str✐❜✉t✐♦♥ pi

S(A|B)

❈♦♥❞✐t✐♦♥❛❧ ❡♥tr♦♣② ♦❢ A✱ ❣✐✈❡♥ B

S(A : B)

▼✉t✉❛❧ ❡♥tr♦♣② ♦❢ A ❛♥❞ B

S(A : B|C)

❈♦♥❞✐t✐♦♥❛❧ ♠✉t✉❛❧ ❡♥tr♦♣② ♦❢ A ❛♥❞ B ✱ ❣✐✈❡♥ C

S(A : B : C)

❚❡r♥❛r② ♠✉t✉❛❧ ❡♥tr♦♣② ♦❢ A✱ B ❛♥❞ C

Q

❚❤❡ q✉❛♥t✉♠ s②st❡♠

R

❘❡❢❡r❡♥❝❡ s②st❡♠

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❆♥❝✐❧❧❛ ✉s❡❞ t♦ ♠❡❛s✉r❡ ❛ q✉❛♥t✉♠ s②st❡♠

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❉❡✈✐❝❡ ✉s❡❞ t♦ ♠❡❛s✉r❡ ✭❛♠♣❧✐❢②✮ ❛♥❝✐❧❧❛ Ai

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❙❤♦rt❤❛♥❞ ❢♦r t❤❡ ❥♦✐♥t ❡♥tr♦♣② ♦❢ Ai Aj

①✈✐✐✐

❈❤❛♣t❡r ✶
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♠❡❛s✉r❡♠❡♥t ♣r♦❝❡ss t♦ ❞❡✈❡❧♦♣ q✉❛♥t✉♠ ♣r♦t♦❝♦❧s ❢♦r ❣❡♥❡r❛t✐♥❣ r❡♠♦t❡ ❡♥t❛♥❣❧❡♠❡♥t✳
❚❤❡r❡ ❛r❡ ❢♦✉r ❛r❡❛s ♦❢ ❢♦❝✉s ✐♥ t❤✐s ❞✐ss❡rt❛t✐♦♥✿ ✭✶✮ ✇❡❛❦ ❛♥❞ str♦♥❣ q✉❛♥t✉♠ ♠❡❛✲
s✉r❡♠❡♥ts✱ ✭✷✮ ♣❛r❛❧❧❡❧ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥ts ♠❛❞❡ ♦♥ ❡♥t❛♥❣❧❡❞ q✉❛♥t✉♠ s②st❡♠s✱ ✭✸✮ ❝♦♥s❡❝✉t✐✈❡
♠❡❛s✉r❡♠❡♥ts ♦❢ ❛ s✐♥❣❧❡ q✉❛♥t✉♠ s②st❡♠✱ ❛♥❞ ✭✹✮ q✉❛♥t✉♠ ❞✐s❡♥t❛♥❣❧✐♥❣ ♣r♦t♦❝♦❧s✳ ❈❤❛♣✲
t❡rs ✷✕✹ ❝♦♥t❛✐♥ t❤❡ ♥❡❝❡ss❛r② ❜❛❝❦❣r♦✉♥❞ ❢♦r t❤❡ s✉❜s❡q✉❡♥t r❡s✉❧ts ♣r❡s❡♥t❡❞ ✐♥ ❈❤s✳ ✺✕✽✳
❈❤❛♣t❡r ✷ ✇✐❧❧ ❜❡❣✐♥ ✇✐t❤ ❛ r❡✈✐❡✇ ♦❢ t❤❡ ♣❤②s✐❝s ♦❢ ❡♥t❛♥❣❧❡❞ q✉❛♥t✉♠ s②st❡♠s✱ ✇❤✐❧❡ t❤❡
♠❛✐♥ ❝♦♥❝❡♣ts ♦❢ ❝❧❛ss✐❝❛❧ ❛♥❞ q✉❛♥t✉♠ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥ t❤❡♦r② ✇✐❧❧ ❜❡ ♣r❡s❡♥t❡❞ ✐♥ ❈❤✳ ✸✳ ❍❡r❡✱
s♦♠❡ ♦❢ t❤❡ ✉s❡❢✉❧ t♦♦❧s ❢♦r ♠♦❞❡❧✐♥❣ t❤❡ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥ ❝♦♥t❡♥t ❛♥❞ ❡♥t❛♥❣❧❡♠❡♥t ♦❢ q✉❛♥t✉♠
s②st❡♠s ✇✐❧❧ ❜❡ ♦✉t❧✐♥❡❞✳ ❚❤❡ st❛♥❞❛r❞ ❞❡s❝r✐♣t✐♦♥ ♦❢ q✉❛♥t✉♠ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥t ✐s r❡✈✐❡✇❡❞
✐♥ ❈❤✳ ✹ ❛❧♦♥❣ ✇✐t❤ ❡①❛♠♣❧❡s ♦❢ ❤♦✇ t❤❡ t❤❡♦r❡t✐❝❛❧ ♠♦❞❡❧s ❢♦r ❝♦♥tr♦❧❧✐♥❣ ❛♥❞ ♠❡❛s✉r✐♥❣
q✉❜✐ts ❛r❡ r❡❛❧✐③❡❞ ✐♥ t②♣✐❝❛❧ ❡①♣❡r✐♠❡♥t❛❧ s❡tt✐♥❣s✳
❲✐t❤ t❤✐s ❢♦✉♥❞❛t✐♦♥✱ ■ ✇✐❧❧ ✐♥tr♦❞✉❝❡ t❤❡ ✜rst ❛r❡❛ ♦❢ ❢♦❝✉s ✐♥ ❈❤✳ ✺✳ ■ ✇✐❧❧ ♣r♦✈✐❞❡
✺

t❤❡ ♠♦❞❡❧ ♦❢ q✉❛♥t✉♠ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥t t❤❛t ❡♠♣❤❛s✐③❡s t❤❡ ✉♥✐t❛r② ❡♥t❛♥❣❧❡♠❡♥t ❜❡t✇❡❡♥ ❛
q✉❛♥t✉♠ s②st❡♠ ❛♥❞ ❛ q✉❛♥t✉♠ ♠❡❛s✉r✐♥❣ ❞❡✈✐❝❡✱ ♦❢t❡♥ r❡❢❡rr❡❞ t♦ ❛s ❛♥ ❛♥❝✐❧❧❛✱ ✇❤✐❝❤ ✐s ❛t
t❤❡ ❝♦r❡ ♦❢ t❤✐s ✇♦r❦✳ ■ ✇✐❧❧ s❤♦✇ ❤♦✇ s✉❝❤ ❛ ♠♦❞❡❧ ✐s ❢✉❧❧② ❝♦♠♣❛t✐❜❧❡ ✇✐t❤ t❤❡ ✇❡❛❦ ♠❡❛✲
s✉r❡♠❡♥ts ❢♦r♠❛❧✐s♠ ❛♥❞ t❤❛t ♠❡❛s✉r❡♠❡♥ts ♦❢ ❛♥② ✐♥t❡r❛❝t✐♦♥ str❡♥❣t❤ s❤♦✉❧❞ ❜❡ tr❡❛t❡❞
♦♥ t❤❡ s❛♠❡ ❢♦♦t✐♥❣✳ ❋✐♥❛❧❧②✱ ■ ✇✐❧❧ ❛♥❛❧②③❡ ✐♥ ❞❡t❛✐❧ str♦♥❣ q✉❛♥t✉♠ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥ts ❢r♦♠ t❤❡
♣❡rs♣❡❝t✐✈❡ ♦❢ q✉❛♥t✉♠ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥ ❛♥❞ ❡❧✉❝✐❞❛t❡ t❤❡ r♦❧❡ ❡♥t❛♥❣❧❡♠❡♥t ❛♥❞ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥
♣❧❛② ✐♥ t❤❡ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥t ♣r♦❝❡ss✳
❚❤❡ s❡❝♦♥❞ ❛r❡❛ ♦❢ ❢♦❝✉s ✇✐❧❧ ❜❡ ♣❛r❛❧❧❡❧ q✉❛♥t✉♠ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥ts ✐♥ ❈❤✳ ✻✳ ❯s✐♥❣ t❤❡
❇❡❧❧✲st❛t❡ q✉❛♥t✉♠ ❡r❛s❡r✱ ■ ✇✐❧❧ ❞❡r✐✈❡ ❛ ♥❡✇ ❝♦♠♣❧❡♠❡♥t❛r✐t② r❡❧❛t✐♦♥ ❢♦r ❛ ♣❤♦t♦♥ tr❛✈✲
❡❧✐♥❣ t❤r♦✉❣❤ ❛ ❞♦✉❜❧❡✲s❧✐t ❛♣♣❛r❛t✉s✳ ❙♣❡❝✐✜❝❛❧❧②✱ ■ ✇✐❧❧ ❝♦♠♣✉t❡ t❤❡ tr❛❞❡✲♦✛ ❜❡t✇❡❡♥
t❤❡ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥ ❛❜♦✉t t❤❡ ♣❤♦t♦♥✬s ♣❛t❤ ♦❜t❛✐♥❡❞ ❜② ♠❡❛s✉r❡♠❡♥t ❛♥❞ t❤❡ ❝♦❤❡r❡♥❝❡ ♦❢ ✐ts
❞❡♥s✐t② ♠❛tr✐①✳ ❚❤✐s ❞❡♠♦♥str❛t❡s t❤❛t ❛♥ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥✲t❤❡♦r❡t✐❝ ❛♣♣r♦❛❝❤ ②✐❡❧❞s ❛❞❞✐t✐♦♥❛❧
✐♥s✐❣❤ts ✐♥t♦ t❤❡ ♦r✐❣✐♥s ♦❢ ❝♦♠♣❧❡♠❡♥t❛r✐t②✳
❆♥ ❛♥❛❧②s✐s ♦❢ ❝♦♥s❡❝✉t✐✈❡ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥ts ♦❢ ❛ s✐♥❣❧❡ q✉❛♥t✉♠ s②st❡♠ ✐♥ ❈❤✳ ✼ ❢♦r♠s
t❤❡ t❤✐r❞ t♦♣✐❝✳ ■ ✇✐❧❧ ❞❡s❝r✐❜❡ ❤♦✇ s❡q✉❡♥❝❡s ♦❢ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥ts t❤❛t r❡♠❛✐♥ ✉♥❛♠♣❧✐✜❡❞
❛r❡ ❝♦❤❡r❡♥t ❛♥❞ t❤❛t✱ ❞✉❡ t♦ t❤❡ ✉♥✐q✉❡ str✉❝t✉r❡ ♦❢ t❤❡ r❡s✉❧t✐♥❣ ❛♥❝✐❧❧❛ ❞❡♥s✐t② ♠❛tr✐①✱
t❤❡ ❥♦✐♥t ❡♥tr♦♣② ♦❢ t❤❡ ❛♥❝✐❧❧❛ ❝❤❛✐♥ ✐s ❞❡t❡r♠✐♥❡❞ ♦♥❧② ❜② t❤❡ ❜♦✉♥❞❛r②✳

■ ✇✐❧❧ s❤♦✇

t❤❛t ❛♠♣❧✐❢②✐♥❣ ❛ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥t ❝❤❛♥❣❡s t❤❡ ❛♠♦✉♥t ♦❢ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥ ❣❛✐♥❡❞ ❛❜♦✉t ❛ q✉❛♥t✉♠
s②st❡♠ ❛♥❞ t❤❛t ❛♠♣❧✐✜❡❞ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥ts ❛r❡ ❡q✉✐✈❛❧❡♥t t♦ ❛ q✉❛♥t✉♠ ▼❛r❦♦✈ ❝❤❛✐♥✳
❚❤❡ ✜♥❛❧ t♦♣✐❝ ✇✐❧❧ ❜❡ q✉❛♥t✉♠ ♣r♦t♦❝♦❧s ✐♥ ❈❤✳ ✽✳ ❚❤❡ ❝♦❤❡r❡♥❝❡ ❛♥❞ ❡♥t❛♥❣❧❡♠❡♥t
♣r♦♣❡rt✐❡s ♦❢ t❤❡ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥t ❝❤❛✐♥s ❞❡r✐✈❡❞ ✐♥ ❈❤✳ ✼ ✇✐❧❧ ❜❡ ❡♠♣❧♦②❡❞ t♦ ❞❡✈❡❧♦♣ q✉❛♥t✉♠
♣r♦t♦❝♦❧s ❜❛s❡❞ ♦♥ ❞✐s❡♥t❛♥❣❧✐♥❣ ♦♣❡r❛t✐♦♥s✳ ■ ✇✐❧❧ ✉s❡ s✉❝❤ ♦♣❡r❛t✐♦♥s t♦ ♦✉t❧✐♥❡ ❛ ♥❡✇
♣r♦t♦❝♦❧ ❢♦r ❣❡♥❡r❛t✐♥❣ r❡♠♦t❡ ❡♥t❛♥❣❧❡♠❡♥t✱ ❛ ❦❡② ❝♦♠♣♦♥❡♥t ♦❢ q✉❛♥t✉♠ ❝♦♠♠✉♥✐❝❛t✐♦♥
♣r♦t♦❝♦❧s ✐♥❝❧✉❞✐♥❣ t❡❧❡♣♦rt❛t✐♦♥ ❛♥❞ q✉❛♥t✉♠ ❦❡② ❞✐str✐❜✉t✐♦♥✳
✻

❈❤❛♣t❡r ✷
Pr❡❧✐♠✐♥❛r✐❡s
❇❡❢♦r❡ ❞❡❧✈✐♥❣ ✐♥t♦ q✉❛♥t✉♠ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥ t❤❡♦r② ❛♥❞ q✉❛♥t✉♠ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥t✱ ■ ✇✐❧❧ ❣✐✈❡ ❛
s❤♦rt r❡✈✐❡✇ ♦❢ t❤❡ ♠❛t❤❡♠❛t✐❝❛❧ ❞❡s❝r✐♣t✐♦♥ ♦❢ q✉❛♥t✉♠ s②st❡♠s✳ ■ ✇✐❧❧ st❛rt ✇✐t❤ q✉❜✐ts✱
✇❤✐❝❤ ❛r❡ s✐♠♣❧❡ t✇♦✲❧❡✈❡❧ q✉❛♥t✉♠ s②st❡♠s✳ ■ ✇✐❧❧ ❞✐s❝✉ss ❤♦✇ t❤❡ st❛t❡ ♦❢ ❛♥② q✉❜✐t ❝❛♥
❜❡ ✐❧❧✉str❛t❡❞ ❜② ❛ ♣♦✐♥t ♦♥ ♦r ✇✐t❤✐♥ t❤❡ ❇❧♦❝❤ s♣❤❡r❡✱ ✇✐t❤ ✉♥✐t❛r② tr❛♥s❢♦r♠❛t✐♦♥s s✐♠♣❧②
❡✛❡❝t✐♥❣ ❛ r♦t❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ q✉❜✐t✬s st❛t❡ ✈❡❝t♦r✳ ❚❤❡ ❞❡♥s✐t② ♠❛tr✐①✱ ✇❤✐❝❤ ✇✐❧❧ ❜❡ ❞✐s❝✉ss❡❞
♥❡①t✱ ❞❡s❝r✐❜❡s ❜♦t❤ ♣✉r❡ ✭③❡r♦ ❡♥tr♦♣②✮ ❛♥❞ ♠✐①❡❞ q✉❛♥t✉♠ st❛t❡s ✭♥♦♥✲③❡r♦ ❡♥tr♦♣②✮ ❛♥❞
✐s ❛ ✉s❡❢✉❧ t♦♦❧ ❢♦r ♠♦❞❡❧✐♥❣ ♠✉❧t✐✲q✉❞✐t ✭d✲❞✐♠❡♥s✐♦♥❛❧✮ s②st❡♠s✳ ■ ✇✐❧❧ ♦✉t❧✐♥❡ t❤❡ t②♣❡s ♦❢
❝♦rr❡❧❛t✐♦♥s ❛♥❞ ❡♥t❛♥❣❧❡♠❡♥t t❤❛t ♦❝❝✉r ✐♥ t❤❡s❡ ❝♦♠♣♦s✐t❡ s②st❡♠s✱ ✇❤✐❝❤ ❛r❡ ❦❡② t♦ t❤❡
♠❡❛s✉r❡♠❡♥t ♣r♦❝❡ss ✭s❡❡ ❈❤s✳ ✹✕✼✮✳ ■♥ ❧❛t❡r ❝❤❛♣t❡rs✱ ■ ✇✐❧❧ s❤♦✇ ❤♦✇ t❤❡s❡ ❝♦rr❡❧❛t✐♦♥s ❝❛♥
❜❡ ♠♦r❡ ❞❡❡♣❧② ✉♥❞❡rst♦♦❞ ✉s✐♥❣ q✉❛♥t✉♠ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥ t❤❡♦r② ✭s❡❡ ❈❤✳ ✸✮ ❛♥❞ ❡♥tr♦♣② ❱❡♥♥
❞✐❛❣r❛♠s✳ ■ ✇✐❧❧ t❤❡♥ ♦✉t❧✐♥❡ ❝♦♠♠♦♥ ✉♥✐t❛r② q✉❛♥t✉♠ ♦♣❡r❛t✐♦♥s ♦♥ s✐♥❣❧❡✲ ❛♥❞ t✇♦✲q✉❜✐t
s②st❡♠s✳ ❋✐♥❛❧❧②✱ ■ ✇✐❧❧ ❞✐s❝✉ss t❤❡ t❡❧❡♣♦rt❛t✐♦♥ ♣r♦t♦❝♦❧ ❛♥❞ s✉♣❡r❞❡♥s❡ ❝♦❞✐♥❣✳ ❚❤❡s❡
✐❞❡❛s ❢♦r♠ t❤❡ ❢♦✉♥❞❛t✐♦♥ ♦❢ ♠❛♥② q✉❛♥t✉♠ ❝♦♠♠✉♥✐❝❛t✐♦♥ ♣r♦t♦❝♦❧s ❛♥❞ ✇✐❧❧ ❜❡ ✉s❡❢✉❧ ❢♦r
✉♥❞❡rst❛♥❞✐♥❣ t❤❡ ❞✐s❡♥t❛♥❣❧✐♥❣ ♦♣❡r❛t✐♦♥s ♦❢ ❈❤✳ ✽✳

✼

✷✳✶ ◗✉❜✐ts
❚❤❡ st❛t❡ ♦❢ ❛ t✇♦✲❧❡✈❡❧ s②st❡♠ ✭❛ q✉❜✐t✮ ❝❛♥ ❜❡ ✇r✐tt❡♥ ❣❡♥❡r❛❧❧② ❛s

✭✷✳✶✮

|ψ = α |0 + β |1 ,

✇✐t❤ ❝♦♠♣❧❡① ❛♠♣❧✐t✉❞❡s t❤❛t s❛t✐s❢② |α|2 + |β|2 ✳ ❚❤❡ st❛t❡s |0 ❛♥❞ |1 ❢♦r♠ t❤❡ ❝♦♠♣✉✲
t❛t✐♦♥❛❧ ❜❛s✐s ❢♦r t❤❡ q✉❜✐t✬s ✈❡❝t♦r s♣❛❝❡✳ ❚❤❡r❡ ❛r❡ ♠❛♥② ♣❤②s✐❝❛❧ r❡❛❧✐③❛t✐♦♥s ♦❢ ❛ q✉❜✐t✱
❢♦r ❡①❛♠♣❧❡✱ t❤❡ s♣✐♥ ♦❢ ❛♥ ❡❧❡❝tr♦♥ ♦r t❤❡ ♣♦❧❛r✐③❛t✐♦♥ ♦❢ ❛ ♣❤♦t♦♥✳ ■ ✇✐❧❧ ❞❡s❝r✐❜❡ ❧❛t❡r ✐♥
❈❤✳ ✹✳✷ s♦♠❡ t②♣✐❝❛❧ ❡①♣❡r✐♠❡♥t❛❧ ✐♠♣❧❡♠❡♥t❛t✐♦♥s ♦❢ q✉❜✐ts ❛♥❞ ❤♦✇ t❤❡② ❛r❡ ♠❛♥✐♣✉❧❛t❡❞
❛♥❞ ♠❡❛s✉r❡❞✳
❆ q✉❜✐t ❝❛♥ ❜❡ r❡♣r❡s❡♥t❡❞ ❣❡♦♠❡tr✐❝❛❧❧② ❜② ❝♦♥s✐❞❡r✐♥❣ ❊q✳ ✭✷✳✶✮ t♦ ❜❡ ❛ ♣♦✐♥t ♦♥ t❤❡
s✉r❢❛❝❡ ♦❢ ❛ s♣❤❡r❡ ❬✷✺❪✱ ❝❛❧❧❡❞ t❤❡ ❇❧♦❝❤ s♣❤❡r❡✳ ❚❤❡ ♥♦rt❤ ♣♦❧❡ ✭+ˆ
z ✮ ♦❢ t❤❡ ❇❧♦❝❤ s♣❤❡r❡✱
s❤♦✇♥ ✐♥ ❋✐❣✳ ✷✳✶✱ r❡♣r❡s❡♥ts t❤❡ st❛t❡ |0 ✱ ✇❤✐❧❡ t❤❡ s♦✉t❤ ♣♦❧❡ ✭−ˆ
z ✮ r❡♣r❡s❡♥ts |1 ✳ ❊❛❝❤
♣❛✐r ♦❢ ♣♦✐♥ts ♦♥ ♦♣♣♦s✐t❡ s✐❞❡s ♦❢ t❤❡ s♣❤❡r❡ ❝♦rr❡s♣♦♥❞s t♦ ♦rt❤♦❣♦♥❛❧ st❛t❡ ✈❡❝t♦rs✳ ❋♦r

√

√

y ❛①❡s ❛r❡ (|0 ± i|1 )/ 2✳ ❆s
❡①❛♠♣❧❡✱ t❤❡ ±ˆ
x ❛①❡s ❛r❡ ✇r✐tt❡♥ (|0 ± |1 )/ 2✱ ✇❤✐❧❡ t❤❡ ±ˆ
✇❡ ✇✐❧❧ s❡❡ ✐♥ t❤❡ ♥❡①t s❡❝t✐♦♥✱ ♣♦✐♥ts ♦♥ t❤❡ s✉r❢❛❝❡ ♦❢ t❤❡ s♣❤❡r❡ r❡♣r❡s❡♥t ♣✉r❡ q✉❛♥t✉♠
st❛t❡s✱ ✇❤✐❧❡ ✐♥t❡r✐♦r ♣♦✐♥ts ❛r❡ ♠✐①❡❞ st❛t❡s✳ ■♥ t❤✐s ♣✐❝t✉r❡✱ t❤❡ ❣❡♥❡r❛❧ r❡♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥ ♦❢ ❛
q✉❜✐t✬s st❛t❡ ✐s ❣✐✈❡♥ ❜②

|ψ = cos(θ/2) |0 + eiφ sin(θ/2) |1 .

✭✷✳✷✮

❚❤✐s st❛t❡ ✐s ❝❤❛r❛❝t❡r✐③❡❞ ❜② t✇♦ r❡❛❧ ♥✉♠❜❡rs θ ❛♥❞ φ✱ ✇❤❡r❡ 0 ≤ θ ≤ π ✐s t❤❡ ♣♦❧❛r ❛♥❣❧❡
❛♥❞ 0 ≤ φ ≤ 2π ✐s t❤❡ ❛③✐♠✉t❤❛❧ ❛♥❣❧❡✱ ❛♥❞ ❛♥ ✉♥♦❜s❡r✈❛❜❧❡ ♦✈❡r❛❧❧ ♣❤❛s❡ ❤❛s ❜❡❡♥ ❞r♦♣♣❡❞✳

√

❋♦r ❡①❛♠♣❧❡✱ t❤❡ s②♠♠❡tr✐❝ st❛t❡ |ψ = (|0 + |1 )/ 2 ✐s ♦❜t❛✐♥❡❞ ✇✐t❤ θ = π/2 ❛♥❞ φ = 0✱
✇❤✐❝❤ ✐s ❡q✉✐✈❛❧❡♥t t♦ t❤❡ x
ˆ ❛①✐s ♦❢ t❤❡ ❇❧♦❝❤ s♣❤❡r❡✳
✽

❋✐❣✉r❡ ✷✳✶✿ ❚❤❡ ❇❧♦❝❤ s♣❤❡r❡✳ ❚❤❡ st❛t❡ |ψ ♦❢ ❛ q✉❜✐t ❝❛♥ ❜❡ r❡♣r❡s❡♥t❡❞ ❛s ❛ ✉♥✐t✲❧❡♥❣t❤
✈❡❝t♦r ✐♥ t❤❡ s♣❤❡r❡ ✇✐t❤ ❝♦❡✣❝✐❡♥ts ❣✐✈❡♥ ❜② t❤❡ ❛♥❣❧❡s θ ❛♥❞ φ✳ ■♠❛❣❡ ❜② ●♦ss❡r✳❝❛✱
❞✐str✐❜✉t❡❞ ✉♥❞❡r ❛ ❈❈ ❇❨✲❙❆ ✸✳✵ ❧✐❝❡♥s❡✳
❆♣♣❧②✐♥❣ ✉♥✐t❛r② ♦♣❡r❛t✐♦♥s t♦ ✭✷✳✷✮ tr❛♥s❢♦r♠s t❤❡ st❛t❡ ♦❢ ❛ q✉❜✐t✳ ❆♥ ❛r❜✐tr❛r② r♦t❛✲
t✐♦♥ ❜② ❛♥ ❛♥❣❧❡ α ❛❜♦✉t t❤❡ n
ˆ ❛①✐s ✐s ✐♠♣❧❡♠❡♥t❡❞ ✇✐t❤ t❤❡ ♦♣❡r❛t♦r

Rnˆ (α) = e−iα nˆ ·σ/2 = cos(α/2) ✶ − i (ˆ
n · σ) sin(α/2),

✭✷✳✸✮

✇❤❡r❡ n = nx x
ˆ + ny yˆ + nz zˆ ✐s ❛ ✉♥✐t ✈❡❝t♦r ✇✐t❤ ♥♦r♠❛❧✐③❛t✐♦♥ n
ˆ 2 = n2x + n2y + n2z = 1✱
❛♥❞ σ = σx x
ˆ + σy yˆ + σz zˆ ✐s ❛ ✈❡❝t♦r ♦❢ P❛✉❧✐ ♠❛tr✐❝❡s✳ ❚❤❡ ✉♥✐t ♠❛tr✐① ✐s ❞❡♥♦t❡❞

✶✳

■♥

t❤❡ st❛♥❞❛r❞ ❜❛s✐s✱ {|0 , |1 }✱ t❤❡s❡ ♠❛tr✐❝❡s ❛r❡ ✇r✐tt❡♥

σx =

0 1
,
1 0

σy =

0 −i
,
i 0

σz =

1 0
,
0 −1

✭✷✳✹✮

❛♥❞ s❛t✐s❢② t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ r❡❧❛t✐♦♥s✱

(σ · n
ˆ )2 = ✶,

✾

✭✷✳✺✮

X

Y

Z

❋✐❣✉r❡ ✷✳✷✿ ❚❤❡ t❤r❡❡ P❛✉❧✐ ❣❛t❡s✳ ❚❤❡ ❧✐♥❡s ✐♥❞✐❝❛t❡ t❤❡ ✐♥❝♦♠✐♥❣ ❛♥❞ ♦✉t❣♦✐♥❣ st❛t❡ ♦❢ t❤❡
q✉❜✐t✳ ❚❤❡ ♥♦t ❣❛t❡ X ✢✐♣s t❤❡ st❛t❡ ♦❢ t❤❡ q✉❜✐t✱ Z ❝❤❛♥❣❡s t❤❡ ♣❤❛s❡✱ ✇❤✐❧❡ Y ♣❡r❢♦r♠s
❜♦t❤ ❛ ❜✐t ❛♥❞ ♣❤❛s❡ ✢✐♣✳
❛♥❞

(σ · n
ˆ ) (σ · m)
ˆ = (ˆ
n · m)
ˆ ✶ + i (ˆ
n × m)
ˆ · σ.

✭✷✳✻✮

❆♥ ❛r❜✐tr❛r② ♦♣❡r❛t✐♦♥ ♦♥ ❛ q✉❜✐t ✐s ❝♦♥str✉❝t❡❞ ❢r♦♠ ❛ r♦t❛t✐♦♥ ❛♥❞ ❛ ♣❤❛s❡ ♣r♦✈✐❞❡❞ ❜② γ ✿

U = eiγ Rnˆ (α).

✭✷✳✼✮

❚❤r❡❡ ❜❛s✐❝ tr❛♥s❢♦r♠❛t✐♦♥s ♦❢ ❛ q✉❜✐t ❛r❡ ✐♠♣❧❡♠❡♥t❡❞ ✇✐t❤ t❤❡ P❛✉❧✐ ❣❛t❡s✱ σx ✱ σy ✱ ❛♥❞

σz ✭s♦♠❡t✐♠❡s t❤❡ ♥♦t❛t✐♦♥ X ✱ Y ✱ ❛♥❞ Z ✐s ✉s❡❞✮ s❤♦✇♥ ✐♥ ❋✐❣✳ ✷✳✷✳ ■♥ t❤❡ st❛♥❞❛r❞ ❜❛s✐s
t❤❡ ❜✐t✲✢✐♣✱ ♦r q✉❛♥t✉♠

♥♦t ❣❛t❡✱ ✐s t❤❡ P❛✉❧✐ ♠❛tr✐① σx

❛♥❞ r❡✈❡rs❡s t❤❡ st❛t❡ ♦❢ ❛ q✉❜✐t✳

❯♣ t♦ ❛♥ ♦✈❡r❛❧❧ ♣❤❛s❡✱ σx ✐s ❡q✉✐✈❛❧❡♥t t♦ ❛ r♦t❛t✐♦♥ ❜② π ❛r♦✉♥❞ t❤❡ x
ˆ ❛①✐s✱

σx |0 = |1 ,

σx |1 = |0 .

✭✷✳✽✮

❚❤❡ ♣❤❛s❡✲✢✐♣ ❣❛t❡ ✐s t❤❡ P❛✉❧✐ ♠❛tr✐① σz ❛♥❞ ❝❤❛♥❣❡s t❤❡ ♣❤❛s❡ ✉s✐♥❣ ❛ r♦t❛t✐♦♥ ❜② π
❛r♦✉♥❞ t❤❡ zˆ ❛①✐s✱

σz |0 = |0 ,

σz |1 = −|1 .

✭✷✳✾✮

❆ ❜✐t ❛♥❞ ♣❤❛s❡ ✢✐♣ t♦❣❡t❤❡r ✐s ✐♠♣❧❡♠❡♥t❡❞ ✇✐t❤ t❤❡ P❛✉❧✐ ♠❛tr✐① σy ✈✐❛ ❛ r♦t❛t✐♦♥ ❜② π

✶✵

H
√

❋✐❣✉r❡ ✷✳✸✿ ❚❤❡ ❍❛❞❛♠❛r❞ ❣❛t❡ ♣❡r❢♦r♠s ❛ r♦t❛t✐♦♥ ❜② ❛♥ ❛♥❣❧❡ π ❛r♦✉♥❞ t❤❡ ❛①✐s (ˆ
x+ˆ
z )/ 2✳
❛r♦✉♥❞ t❤❡ yˆ ❛①✐s✱

σy |0 = i|1 ,

✭✷✳✶✵✮

σy |1 = −i|0 .

❆♥♦t❤❡r ✐♠♣♦rt❛♥t s✐♥❣❧❡✲q✉❜✐t tr❛♥s❢♦r♠❛t✐♦♥ ✐s t❤❡ ❍❛❞❛♠❛r❞ ❣❛t❡✱ H ✱ s❤♦✇♥ ✐♥

√

❋✐❣✳ ✷✳✸✳ ■t ✐s ❡q✉✐✈❛❧❡♥t✱ ✉♣ t♦ ❛♥ ♦✈❡r❛❧❧ ♣❤❛s❡✱ t♦ ❛ r♦t❛t✐♦♥ ❛❜♦✉t t❤❡ ❛①✐s (ˆ
x + zˆ)/ 2 ❜②
❛♥ ❛♥❣❧❡ α = π ✱

H=

σx + σz
√
.
2

✭✷✳✶✶✮

√

❋♦r ✐♥st❛♥❝❡✱ t❤✐s ♦♣❡r❛t♦r ♠❛♣s t❤❡ st❛t❡ |0 ✐♥t♦ (|0 + |1 )/ 2 ❛♥❞ t❤❡ st❛t❡ |1 ✐♥t♦

√
(|0 − |1 )/ 2✳ ■♥ t❡r♠s ♦❢ t❤❡ ❇❧♦❝❤ s♣❤❡r❡✱ t❤❡ ❍❛❞❛♠❛r❞ ❣❛t❡ ✐s ❛❧s♦ ❡q✉✐✈❛❧❡♥t t♦ t✇♦
r♦t❛t✐♦♥s✿ ✜rst ❛ r♦t❛t✐♦♥ ❜② π/2 ❛r♦✉♥❞ t❤❡ yˆ ❛①✐s ❢♦❧❧♦✇❡❞ ❜② ❛ r♦t❛t✐♦♥ ❜② π ❛r♦✉♥❞ t❤❡

xˆ ❛①✐s✳
❋♦r n q✉❜✐ts ✐♥✐t✐❛❧✐③❡❞ ✐♥ t❤❡✐r ❣r♦✉♥❞ st❛t❡s✱ t❤❡ ❍❛❞❛♠❛r❞ ❣❛t❡ ♣r♦❞✉❝❡s ❛ s✉♣❡r♣♦s✐✲
t✐♦♥ ♦❢ ❜❛s✐s st❛t❡s ✇✐t❤ ❡q✉❛❧ ✇❡✐❣❤t✱

H ⊗ . . . ⊗ H |0 . . . 0 =

1

2n −1

2n/2 x=0

|x ,

✭✷✳✶✷✮

✇❤❡r❡ |x ✐s t❤❡ s❡t ♦❢ n✲q✉❜✐t st❛t❡s✱ |0 . . . 00 ✱ |0 . . . 01 ✱ |0 . . . 10 ✱ |0 . . . 11 ✱ ❡t❝✳ ❚❤❡ t❡♥s♦r
♣r♦❞✉❝t✱ ❞❡♥♦t❡❞ ❜② ⊗✱ ♦❢ t✇♦ ♦♣❡r❛t♦rs A ✭✇✐t❤ ❞✐♠❡♥s✐♦♥ dA ✮ ❛♥❞ B ✭✇✐t❤ ❞✐♠❡♥s✐♦♥ dB ✮
❛❝ts ✐♥ ❛♥ ❡①t❡♥❞❡❞ ✈❡❝t♦r s♣❛❝❡ A ⊗ B ♦❢ ❞✐♠❡♥s✐♦♥ dA × dB ✳ ❚❤❡r❡❢♦r❡✱ ❡❛❝❤ ❍❛❞❛♠❛r❞
✶✶

❣❛t❡ ♦♥ t❤❡ ❧❡❢t s✐❞❡ ♦❢ ✭✷✳✶✷✮ ❛❝ts ♦♥ t❤❡✐r r❡s♣❡❝t✐✈❡ q✉❜✐t ✐♥ t❤❡ ❥♦✐♥t st❛t❡ |0 . . . 0 ✳
❚❤❡ ❡①♣r❡ss✐♦♥ ✭✷✳✶✷✮ ✐s ❦♥♦✇♥ ❛s t❤❡ ❍❛❞❛♠❛r❞ tr❛♥s❢♦r♠ ❛♥❞ ✐s ❛ ❦❡② ❡❧❡♠❡♥t ♦❢ ♠❛♥②
q✉❛♥t✉♠ ❛❧❣♦r✐t❤♠s✱ s✉❝❤ ❛s t❤❡ ♣❡r✐♦❞✲✜♥❞✐♥❣ s✉❜r♦✉t✐♥❡ ✐♥ ❙❤♦r✬s ❛❧❣♦r✐t❤♠ ❬✷✻✱ ✷✼❪ ♦r
●r♦✈❡r✬s s❡❛r❝❤ ❛❧❣♦r✐t❤♠ ❬✷✽✱ ✷✾❪✳

✷✳✷ ❚❤❡ ❉❡♥s✐t② ▼❛tr✐①
❚❤❡ ❣❡♥❡r❛❧ st❛t❡ ♦❢ ❛ t✇♦✲❧❡✈❡❧ s②st❡♠✱ ✇❤✐❝❤ ✇❛s ✇r✐tt❡♥ ♣r❡✈✐♦✉s❧② ✐♥ ❊q✳ ✭✷✳✶✮✱ ❝❛♥ ❜❡
❣❡♥❡r❛❧✐③❡❞ t♦ d✲❞✐♠❡♥s✐♦♥❛❧ s②st❡♠s✱ ❝❛❧❧❡❞ q✉❞✐ts✱
d−1

αi |i .

|ψ =

✭✷✳✶✸✮

i=0

❚❤❡ ❝♦♠♣❧❡① ❛♠♣❧✐t✉❞❡s s❛t✐s❢②

2
i |αi |

= 1 ❛♥❞ t❤❡ st❛t❡s |i ❢♦r♠ ❛♥ ♦rt❤♦♥♦r♠❛❧ ❜❛s✐s✳

❋♦r ❡①❛♠♣❧❡✱ s②st❡♠s ✇✐t❤ d = 3 ❛r❡ ❝❛❧❧❡❞ q✉tr✐ts✳
❚❤❡ q✉❛♥t✉♠ st❛t❡ ✭✷✳✶✸✮ ✐s r❡❢❡rr❡❞ t♦ ❛s ❛ ♣✉r❡ st❛t❡ s✐♥❝❡ ✐t ❤❛s ③❡r♦ ❡♥tr♦♣②✳ ❆ ♣✉r❡
st❛t❡ ❝❛♥ ❜❡ ✇r✐tt❡♥ ❞♦✇♥ ❛s ❛ ❧✐♥❡❛r s✉♣❡r♣♦s✐t✐♦♥ ♦❢ ❦❡ts✳ ■♥ ❝♦♥tr❛st✱ s✉♣♣♦s❡ ❛ q✉❛♥t✉♠
s②st❡♠ ✐s ♦♥❡ ♦❢ ♠❛♥② ✭♥♦t ♥❡❝❡ss❛r✐❧② ♦rt❤♦❣♦♥❛❧✮ ♣✉r❡ st❛t❡s✱ |ψi ✱ ✇✐t❤ s♦♠❡ ♣r♦❜❛❜✐❧✐t②

pi ✳ ❙✉❝❤ ❛ s②st❡♠ ✐s ❞❡s❝r✐❜❡❞ ✇✐t❤ ❛ ❞❡♥s✐t② ♠❛tr✐① ❛♥❞ ✐s ✇r✐tt❡♥ ❛s ❛ ♠✐①t✉r❡✱
pi |ψi ψi |.

ρ=

✭✷✳✶✹✮

i

■♥ t❤✐s ❝❛s❡✱ t❤❡ q✉❛♥t✉♠ s②st❡♠ ✐s ✐♥ ❛ ♠✐①❡❞ st❛t❡ ✇✐t❤ ♥♦♥✲③❡r♦ ❡♥tr♦♣②✳ ▲❛t❡r✱ ✐♥ ❈❤✳ ✸✳✹
✇❡ ✇✐❧❧ s❡❡ ❤♦✇ t♦ ❝♦♠♣✉t❡ t❤❡ ❡♥tr♦♣② ♦❢ ❣❡♥❡r❛❧ ♠✐①❡❞ st❛t❡s✳
❚❤❡ ❡①♣r❡ss✐♦♥ ✭✷✳✶✹✮ ❢♦r t❤❡ ❞❡♥s✐t② ♠❛tr✐① ✐s ♥♦t ✉♥✐q✉❡✳ ❚❤❛t ✐s✱ t❤❡r❡ ♠❛② ❡①✐st
❞✐✛❡r❡♥t s❡ts {pi , |ψi } ❛♥❞ {pi , |ψi } t❤❛t ❣✐✈❡ r✐s❡ t♦ t❤❡ s❛♠❡ ❞❡♥s✐t② ♠❛tr✐①✳ ❋✉rt❤❡r✲
♠♦r❡✱ t❤❡ ♥✉♠❜❡r ♦❢ t❡r♠s ✐♥ t❤❡ s✉♠ ✭✷✳✶✹✮ ✐s ♥♦t ♥❡❝❡ss❛r✐❧② t❤❡ s❛♠❡ ❢♦r t❤❡s❡ ❞✐✛❡r❡♥t
✶✷

❞❡❝♦♠♣♦s✐t✐♦♥s✳ ❋♦r ❡①❛♠♣❧❡✱ ❢♦r ❛ q✉❜✐t ❝♦♥s✐❞❡r t❤❡ ♦rt❤♦❣♦♥❛❧ st❛t❡s |ψ0

= |0 ❛♥❞

|ψ1 = |1 ✇✐t❤ ✇❡✐❣❤ts p0 ❛♥❞ p1 ✳ ❖♥❡ ❝♦✉❧❞ ❡q✉✐✈❛❧❡♥t❧② ✇r✐t❡ t❤❡ ❞❡♥s✐t② ♠❛tr✐① ✇✐t❤ t❤❡
√
√
√
√
♥♦♥✲♦rt❤♦❣♦♥❛❧ st❛t❡s |ψ0 = p0 |0 + p1 |1 ❛♥❞ |ψ1 = p0 |0 − p1 |1 ✇✐t❤ ✇❡✐❣❤ts
1/2, 1/2✳
❚❤❡ ❞❡♥s✐t② ♠❛tr✐①✱ ρ✱ ✐s ❛ ❍❡r♠✐t✐❛♥ ♦♣❡r❛t♦r ✇✐t❤ ✉♥✐t tr❛❝❡ ✭♠❡❛♥✐♥❣ ✐ts ❞✐❛❣♦♥❛❧
❡❧❡♠❡♥ts s✉♠ t♦ ♦♥❡✮ ❛♥❞ ❡✐❣❡♥✈❛❧✉❡s t❤❛t ❛r❡ ❜♦t❤ r❡❛❧ ❛♥❞ ♥♦♥✲♥❡❣❛t✐✈❡ ✭ρ ✐s ❛ ✏♣♦s✐t✐✈❡
♦♣❡r❛t♦r✑✮✳ ❚❤❡ tr❛❝❡ ♦❢ ❛ ♠❛tr✐① ✐s ❞❡✜♥❡❞ ❛s

n|ρ|n

Tr(ρ) =
n

✭✷✳✶✺✮

pi ψi |n n|ψi =

=

pi = 1,
i

in

✇❤❡r❡ |n ✐s ❛ ❝♦♠♣❧❡t❡ s❡t ♦❢ ♦rt❤♦♥♦r♠❛❧ st❛t❡s ♦❢ ρ✳
■♥ ❛ ❝❤♦s❡♥ ❜❛s✐s✱ t❤❡ ❞✐❛❣♦♥❛❧ ❡❧❡♠❡♥ts ♦❢ t❤❡ ❞❡♥s✐t② ♠❛tr✐① ❝♦rr❡s♣♦♥❞ t♦ t❤❡ ♣r♦❜❛✲
❜✐❧✐t② t♦ ♦❜s❡r✈❡ t❤❡ q✉❛♥t✉♠ s②st❡♠ ✐♥ ❛ ❣✐✈❡♥ st❛t❡✳ ❋♦r ❡①❛♠♣❧❡✱ ❡①♣r❡ss✐♥❣ ✭✷✳✶✹✮ ✐♥ t❤❡
❝♦♠♣✉t❛t✐♦♥❛❧ ❜❛s✐s✱ |j ✱

pi cij c∗ij |j j |,

ρ=

✭✷✳✶✻✮

ijj

s❤♦✇s t❤❛t t❤❡ st❛t❡ |j ✇♦✉❧❞ ❜❡ ♦❜s❡r✈❡❞ ✇✐t❤ ♣r♦❜❛❜✐❧✐t②
❡❧❡♠❡♥ts ♦❢ ρ✱ ✇❤✐❝❤ ❛r❡ ❡q✉❛❧ t♦

2
i pi |cij | ✳ ❚❤❡ ♦✛✲❞✐❛❣♦♥❛❧

∗
i pi cij cij ✱ ❝❤❛r❛❝t❡r✐③❡ ❤♦✇ ❝♦❤❡r❡♥t✱ ♦r ❤♦✇ ♣✉r❡✱ t❤❡

st❛t❡ ✐s✳
❚❤❡ ♣✉r✐t② ♦❢ ❛ q✉❛♥t✉♠ st❛t❡ ✐s ❝❛❧❝✉❧❛t❡❞ ❢r♦♠ t❤❡ tr❛❝❡ ♦❢ t❤❡ sq✉❛r❡ ♦❢ t❤❡ ❞❡♥s✐t②
♠❛tr✐①✱ ❚r(ρ2 )✱ ❛♥❞ ✐s ❡q✉❛❧ t♦ ♦♥❡ ✇❤❡♥ ρ ✐s ❛ ♣✉r❡ st❛t❡✱ ❛♥❞ ✐s ♦t❤❡r✇✐s❡ ❧❡ss t❤❛♥ ♦♥❡✳
❋♦r ❡①❛♠♣❧❡✱ ❛ ❝♦♠♣❧❡t❡❧② ♠✐①❡❞ st❛t❡ ♦❢ ❞✐♠❡♥s✐♦♥ d ❤❛s t❤❡ ❞❡♥s✐t② ♠❛tr✐① ρ = d1

✶ ✇✐t❤

♣✉r✐t② ❡q✉❛❧ t♦ 1/d✳ ■❢ ρ = |ψ ψ|✱ t❤❡♥ ρ2 = ρ ❛♥❞ t❤❡ ♣✉r✐t② ✐s ❡q✉❛❧ t♦ ♦♥❡✳ ❇✉t✱ ✐❢ ρ ✐s
✶✸

♠✐①❡❞ t❤❡ ♣✉r✐t② ✐s

pi pi | ψi |ψi |2 ,

Tr(ρ2 ) =

✭✷✳✶✼✮

ii

✇❤✐❝❤ r❡❞✉❝❡s t♦ Tr(ρ2 ) =

2
i pi ✐❢

|ψi ❛r❡ ♦rt❤♦♥♦r♠❛❧✳

❚❤❡ st❛t❡ ♦❢ ❛ ❣❡♥❡r❛❧ ✭♠❡❛♥✐♥❣✱ ♥♦t ♥❡❝❡ss❛r✐❧② ♣✉r❡✮ q✉❜✐t ❝❛♥ ❜❡ ❡①♣❛♥❞❡❞ ✐♥ t❡r♠s
♦❢ t❤❡ ✐❞❡♥t✐t② ❛♥❞ P❛✉❧✐ ♠❛tr✐❝❡s ❛s

ρ=

1
1
✶ + a · σˆ = ✶ + ax σx + ay σy + az σz ,
2
2

✭✷✳✶✽✮

s✐♥❝❡ t❤❡s❡ ♠❛tr✐❝❡s ❢♦r♠ ❛ ❜❛s✐s ❢♦r ❛❧❧ t✇♦✲❞✐♠❡♥s✐♦♥❛❧ ❍❡r♠✐t✐❛♥ ♠❛tr✐❝❡s✳ ❍❡r❡✱ a ✐s
❦♥♦✇♥ ❛s t❤❡ ❇❧♦❝❤ ✈❡❝t♦r ❛♥❞ ✐♥❞✐❝❛t❡s t❤❡ ♣♦✐♥t ✇✐t❤✐♥ t❤❡ s♣❤❡r❡ ❝♦rr❡s♣♦♥❞✐♥❣ t♦ t❤❡
♠✐①❡❞ st❛t❡ ρ ❬✷✺❪✳ ❚❤❡ ❡✐❣❡♥✈❛❧✉❡s ♦❢ ✭✷✳✶✽✮ ❛r❡ (1 ± a )/2✱ ✇❤❡r❡ t❤❡ ♥♦r♠ ♦❢ t❤❡ ❇❧♦❝❤
✈❡❝t♦r s❛t✐s✜❡s

a ≤ 1✳ ❋♦r ♣✉r❡ st❛t❡s✱ a = 1 s♦ t❤❛t ❚r(ρ2 ) = 1✱ ✐♠♣❧②✐♥❣ t❤❛t ♣✉r❡

st❛t❡s ❛r❡ r❡str✐❝t❡❞ t♦ t❤❡ s✉r❢❛❝❡ ♦❢ t❤❡ ❇❧♦❝❤ s♣❤❡r❡✱ ✇❤✐❧❡ ♠✐①❡❞ st❛t❡s ❧✐❡ ✐♥ t❤❡ ✐♥t❡r✐♦r✳
❚❤❡ ❞❡♥s✐t② ♠❛tr✐① ❢♦r♠✉❧❛t✐♦♥ ✐s ❛ ♣♦✇❡r❢✉❧ t♦♦❧ ✐♥ q✉❛♥t✉♠ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥ t❤❡♦r②✳ ■t ✐s
✉s❡❞ ❢♦r ❞❡s❝r✐❜✐♥❣ ❣❡♥❡r❛❧ q✉❛♥t✉♠ s②st❡♠s ❛♥❞ ♦♣❡r❛t✐♦♥s✱ ❛♥❞✱ ✐♥ ♣❛rt✐❝✉❧❛r✱ ❢♦r ✉♥❞❡r✲
st❛♥❞✐♥❣ s✉❜s②st❡♠s t❤❛t ❛r❡ ♣❛rt ♦❢ ❛ ❧❛r❣❡r ❡♥t❛♥❣❧❡❞ ♣✉r❡ st❛t❡✳ ■♥ ❧❛t❡r ❝❤❛♣t❡rs✱ t❤❡
❞❡♥s✐t② ♠❛tr✐① ✇✐❧❧ ❜❡ ✉s❡❞✱ ❛♠♦♥❣ ♦t❤❡r t❤✐♥❣s✱ t♦ ❝❤❛r❛❝t❡r✐③❡ t❤❡ ❝♦❤❡r❡♥❝❡ ❛♥❞ ❡♥t❛♥✲
❣❧❡♠❡♥t ✐♥ q✉❛♥t✉♠ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥t✳

✷✳✸ ❈♦♠♣♦s✐t❡ ❙②st❡♠s ❛♥❞ ❊♥t❛♥❣❧❡♠❡♥t
❖✉r ❞✐s❝✉ss✐♦♥ ♦❢ s✐♥❣❧❡✲q✉❜✐t ✭♦r q✉❞✐t✮ st❛t❡s ✐♥ ❙❡❝✳ ✷✳✶ ❝❛♥ ❜❡ ❡①t❡♥❞❡❞ t♦ ❞❡s❝r✐❜❡
❝♦♠♣♦s✐t❡✱ ♦r ♠✉❧t✐✲q✉❞✐t st❛t❡s✳ ❋♦r ✐♥st❛♥❝❡✱ ✇❡ ❝❛♥ ✇r✐t❡ ❛ ❣❡♥❡r❛❧ ♣✉r❡ st❛t❡ ♦❢ t✇♦

✶✹

q✉❞✐ts✱ A ❛♥❞ B ✱ ❛s
d−1

|AB =

cij |i ⊗ |j ,

✭✷✳✶✾✮

i,j=0

✇❤❡r❡ |cij |2 = 1 ❛♥❞ ⊗ ✐♥❞✐❝❛t❡s t❤❡ t❡♥s♦r ♣r♦❞✉❝t ✭✇❤✐❝❤ ✇❡ ✇✐❧❧ ♦❢t❡♥ ❞r♦♣ ❢♦r ♥♦t❛t✐♦♥❛❧
❝♦♥✈❡♥✐❡♥❝❡✮✳ ■❢ A ❛♥❞ B ❛r❡ ❡❛❝❤ d✲❞✐♠❡♥s✐♦♥❛❧ s②st❡♠s✱ t❤❡♥ t❤❡✐r ❥♦✐♥t st❛t❡✱ |AB ✱ ✐s

d × d✕❞✐♠❡♥s✐♦♥❛❧✳ ❚❤❡ s✐♠♣❧❡st ❡①❛♠♣❧❡ ♦❢ ❛ ❝♦♠♣♦s✐t❡ s②st❡♠ ♦❝❝✉rs ✇❤❡♥ A ❛♥❞ B ❛r❡
✉♥❝♦rr❡❧❛t❡❞✳ ■♥ t❤✐s ❝❛s❡✱ t❤❡ ❝♦❡✣❝✐❡♥ts ✐♥ t❤❡ ✇❛✈❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ ❢❛❝t♦r✱ cij = ai bj ✱ ②✐❡❧❞✐♥❣ ❛
♣r♦❞✉❝t ♦❢ t✇♦ ♣✉r❡ st❛t❡s✱

|AB =

ai |i ⊗
i

bj |j = |ψA ⊗ |ψB .

✭✷✳✷✵✮

j

❋♦r ❣❡♥❡r❛❧✱ ♥♦♥✲❢❛❝t♦r✐③❛❜❧❡ ❝♦❡✣❝✐❡♥ts cij t❤❡ t✇♦ s②st❡♠s ❛r❡ s❛✐❞ t♦ ❜❡ ❡♥t❛♥❣❧❡❞✳ ❇②
♣❡r❢♦r♠✐♥❣ ❛ ♣❛rt✐❛❧ tr❛❝❡ ♦✈❡r ❥✉st t❤❡ st❛t❡s ♦❢ B ✐♥ ✭✷✳✶✾✮✱ ✇❡ ✜♥❞ t❤❛t A ✐s ❛ ♠✐①❡❞ st❛t❡✱

cij c∗i j |i i |.

ρ(A) = TrB |AB AB| =

✭✷✳✷✶✮

ii j

❆❧t❤♦✉❣❤ t❤❡ ❥♦✐♥t st❛t❡ |AB ✐s ♣✉r❡ ❛♥❞ ❢✉❧❧② ❦♥♦✇♥✱ t❤❡ ❡♥t❛♥❣❧❡♠❡♥t ♦❢ t❤❡ st❛t❡ ②✐❡❧❞s
s✉❜s②st❡♠s t❤❛t ❛r❡ ♠✐①❡❞ ❛♥❞ ✉♥❝❡rt❛✐♥✳
❆ s♣❡❝✐❛❧ ❝❛s❡ ♦❢ t❤❡ st❛t❡ ✭✷✳✶✾✮ ✐s ❦♥♦✇♥ ❛s ❛ ❇❡❧❧ st❛t❡ ✭♦r ❊P❘ ♣❛✐r ❛❢t❡r t❤❡ ❢❛♠♦✉s
✶✾✸✺ ♣❛♣❡r ❜② ❊✐♥st❡✐♥✱ P♦❞♦❧s❦②✱ ❛♥❞ ❘♦s❡♥ ❬✸✵❪✮✱

|Φ+ =

|00 + |11
√
,
2

✭✷✳✷✷✮

❛♥❞ ♣❧❛②s ❛♥ ❡ss❡♥t✐❛❧ r♦❧❡ ✐♥ q✉❛♥t✉♠ ❝♦♠♣✉t✐♥❣ ❛♥❞ ♠❛♥② q✉❛♥t✉♠ ♣r♦t♦❝♦❧s ✐♥❝❧✉❞✐♥❣
q✉❛♥t✉♠ t❡❧❡♣♦rt❛t✐♦♥ ❛♥❞ s✉♣❡r❞❡♥s❡ ❝♦❞✐♥❣✳ ❚❤❡ st❛t❡ ✭✷✳✷✷✮ ✐s ❡♥t❛♥❣❧❡❞ ❛s ✐t ❝❛♥♥♦t ❜❡
✇r✐tt❡♥ ❛s ❛ t❡♥s♦r ♣r♦❞✉❝t ♦❢ t✇♦ ♣✉r❡ st❛t❡s✳ ❋✉rt❤❡r♠♦r❡✱ t❤❡ ❡♥t❛♥❣❧❡♠❡♥t ✐s ♠❛①✐♠✉♠
✶✺

s✐♥❝❡ ❡❛❝❤ q✉❜✐t ✐s ✐♥ ❛ ♠❛①✐♠❛❧❧② ♠✐①❡❞ st❛t❡✱

ρ(A) = TrB |Φ+ Φ+ | =

1
1
✶=
2
2

1 0
.
0 1

✭✷✳✷✸✮

❚❤❡ ❇❡❧❧ st❛t❡ ✭✷✳✷✷✮ ❝❛♥ ❜❡ tr✐✈✐❛❧❧② ❡①t❡♥❞❡❞ t♦ n q✉❜✐ts ✇❤❡r❡ ✐t ✐s r❡❢❡rr❡❞ t♦ ❛s ❛ ●❍❩
st❛t❡✱ ♥❛♠❡❞ ❢♦r ●r❡❡♥❜❡r❣❡r✱ ❍♦r♥❡ ❛♥❞ ❩❡✐❧✐♥❣❡r ❬✸✶❪✳ ❆♥ ✐♠♣♦rt❛♥t ✐♥st❛♥❝❡ ✐s n = 3✱

|GHZ =

|000 + |111
√
,
2

✭✷✳✷✹✮

❛♥❞ ✐s ✉s❡❞ ✐♥ ♠❛♥② q✉❛♥t✉♠ ❝♦♠♠✉♥✐❝❛t✐♦♥ ♣r♦t♦❝♦❧s✳ ❋♦r ❡①❛♠♣❧❡✱ ✐♥ q✉❛♥t✉♠ ❝r②♣t♦❣✲
r❛♣❤② t❤❡ ♦r✐❣✐♥❛❧ ♣r♦♣♦s❛❧ ❢♦r q✉❛♥t✉♠ s❡❝r❡t s❤❛r✐♥❣ ❬✸✷❪ ✉s❡❞ ❛ ●❍❩ st❛t❡ t♦ ❞✐str✐❜✉t❡
q✉❛♥t✉♠ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥ ❛❝r♦ss ♠✉❧t✐♣❧❡ ♣❛rts s✉❝❤ t❤❛t t✇♦ ♦❢ t❤❡♠ ❛r❡ r❡q✉✐r❡❞ t♦ r❡❝♦♥str✉❝t
t❤❡ ♦r✐❣✐♥❛❧ st❛t❡✳ ❚❤❡ ●❍❩ st❛t❡ ✐s ❛❧s♦ ✐♠♣♦rt❛♥t ✐♥ t❤❛t ✐t r❡♣r❡s❡♥ts ♦♥❡ ♦❢ t✇♦ ❞✐st✐♥❝t
❝❧❛ss❡s ♦❢ tr✐♣❛rt✐t❡ ❡♥t❛♥❣❧❡♠❡♥t ❬✸✸❪✱ t❤❡ ♦t❤❡r ❜❡✐♥❣ t❤❡ W st❛t❡✱

|W =

|001 + |010 + |100
√
.
3

✭✷✳✷✺✮

❚❤❡ st❛t❡s ✭✷✳✷✹✮ ❛♥❞ ✭✷✳✷✺✮ ❛r❡ ✐♥❡q✉✐✈❛❧❡♥t s✐♥❝❡ t❤❡② ❝❛♥♥♦t ❜❡ tr❛♥s❢♦r♠❡❞ ✐♥t♦ ❡❛❝❤
♦t❤❡r ✈✐❛ ❧♦❝❛❧ ♦♣❡r❛t✐♦♥s✳
❆❧♦♥❣ ✇✐t❤ t❤r❡❡ ♦t❤❡r s✐♠✐❧❛r ♠❛①✐♠❛❧❧② ❡♥t❛♥❣❧❡❞ st❛t❡s✱ t❤❡ st❛t❡ ✭✷✳✷✷✮ ❢♦r♠s ❛
❝♦♠♣❧❡t❡ ❜❛s✐s ❢♦r ❛♥② t✇♦✲q✉❜✐t st❛t❡ t❤❛t ✐s ❦♥♦✇♥ ❛s t❤❡ ❇❡❧❧ ❜❛s✐s✿

|00 ± |11
√
,
2
|01 ± |10
√
|Ψ± =
.
2
|Φ± =

✭✷✳✷✻✮

■t ✐s ❡❛s② t♦ s❤♦✇ t❤❛t t❤❡ r❡❞✉❝❡❞ ❞❡♥s✐t② ♠❛tr✐① ♦❢ ❛❧❧ ❢♦✉r st❛t❡s ✐s 12 ✶✱ r❡✈❡❛❧✐♥❣ t❤❛t
✶✻

t❤❡② ❛r❡ ✐♥❞❡❡❞ ♠❛①✐♠❛❧❧② ❡♥t❛♥❣❧❡❞✳ ❆♥♦t❤❡r ♥♦t❛t✐♦♥ t❤❛t ✇❡ ✇✐❧❧ s♦♠❡t✐♠❡s ✉s❡ ❢♦r t❤❡
❇❡❧❧ st❛t❡s ✐s |β00 = |Φ+ ✱ |β10 = |Φ− ✱ |β01 = |Ψ+ ✱ ❛♥❞ |β11 = |Ψ+ ✳
❚❤❡ ❇❡❧❧ st❛t❡s ✭✷✳✷✻✮ ❝❛♥ ❜❡ tr❛♥s❢♦r♠❡❞ ✐♥t♦ ♦♥❡ ❛♥♦t❤❡r ❜② ♦♣❡r❛t✐♦♥s ♦♥ ❥✉st ♦♥❡ ♦❢
t❤❡ q✉❜✐ts ✭t❤❛t ✐s✱ ✈✐❛ ❧♦❝❛❧ ♦♣❡r❛t✐♦♥s✮✳ ❋♦r ❡①❛♠♣❧❡✱ ❛♣♣❧✐❝❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ♣❤❛s❡✲✢✐♣ ♦♣❡r❛t♦r
t♦ t❤❡ s❡❝♦♥❞ q✉❜✐t tr❛♥s❢♦r♠s

✶ ⊗ σz |β00 = |β10

✳ ■♥ ❣❡♥❡r❛❧✱ t❤❡ ❇❡❧❧ st❛t❡s ❝❛♥ ❜❡

✇r✐tt❡♥ ❛s

|βzx = ✶ ⊗ X x Z z |β00 ,

✭✷✳✷✼✮

✇❤❡r❡ X x ❛♥❞ Z z ❛r❡ ♣♦✇❡rs ♦❢ t❤❡ P❛✉❧✐ ♠❛tr✐❝❡s✳ ■♥ ♦t❤❡r ✇♦r❞s✱ ❧♦❝❛❧ ♦♣❡r❛t✐♦♥s ❝❛♥♥♦t
❜r❡❛❦ t❤❡ ❡♥t❛♥❣❧❡♠❡♥t ♦❢ t❤❡ ♣❛✐r✳ ❋♦r ✐♥st❛♥❝❡✱ ✇r✐t✐♥❣ ❡❛❝❤ s✐♥❣❧❡✲q✉❜✐t st❛t❡ ✐♥ t❤❡ ❞✐❛❣✲

√

♦♥❛❧ ❜❛s✐s |± = (|0 ± |1 )/ 2 ②✐❡❧❞s ❡q✉✐✈❛❧❡♥t❧② ❡♥t❛♥❣❧❡❞ st❛t❡s✳ ▲❛t❡r✱ ✇❤❡♥ ❞✐s❝✉ss✐♥❣
t❤❡ ✈♦♥ ◆❡✉♠❛♥♥ ❡♥tr♦♣② ❛♥❞ t❤❡ ❙❝❤♠✐❞t ❞❡❝♦♠♣♦s✐t✐♦♥ ✐♥ ❈❤✳ ✸✱ ✐t ✇✐❧❧ ❜❡ ❝❧❡❛r t❤❛t t❤❡
❙❝❤♠✐❞t ❝♦❡✣❝✐❡♥ts✱ ❛♥❞ t❤❡r❡❢♦r❡ t❤❡ ❡♥t❛♥❣❧❡♠❡♥t✱ ❛r❡ ❜❛s✐s ✐♥❞❡♣❡♥❞❡♥t ✐♥ ❛ ❜✐♣❛rt✐t❡
♣✉r❡ st❛t❡✳
❊①♣❡r✐♠❡♥t❛❧❧②✱ t❤❡ s❡t ♦❢ t✇♦✲q✉❜✐t st❛t❡s ✭✷✳✷✻✮ ❝❛♥ ❜❡ ❣❡♥❡r❛t❡❞ ✐♥ ❞✐✛❡r❡♥t ✇❛②s✳
❖♥❡ ✇❛② t❤✐s ❝❛♥ ❜❡ ❛❝❤✐❡✈❡❞ ✐s ✇✐t❤ s♣♦♥t❛♥❡♦✉s ♣❛r❛♠❡tr✐❝ ❞♦✇♥✲❝♦♥✈❡rs✐♦♥ ❬✸✹❪✳ ■♥
t❤✐s ♠❡t❤♦❞✱ ❛ ❧❛s❡r ✐s ❢♦❝✉s❡❞ ♦♥ ❛ ❜❡t❛✲❜❛r✐✉♠ ❜♦r❛t❡ ✭❇❇❖✮ ❝r②st❛❧✱ ❛ ♥♦♥❧✐♥❡❛r ♦♣t✐❝❛❧
♠❛t❡r✐❛❧✱ s✉❝❤ t❤❛t ♦♥❡ ✐♥❝✐❞❡♥t ♣❤♦t♦♥ ✐s ❝♦♥✈❡rt❡❞ ✐♥t♦ t✇♦ ♣❤♦t♦♥s t❤❛t ❛r❡ ❡♠✐tt❡❞
✇✐t❤ ❝♦rr❡❧❛t❡❞ ♣♦❧❛r✐③❛t✐♦♥s✳ ❆❧t❡r♥❛t✐✈❡❧②✱ ❊q✳ ✭✷✳✷✻✮ ❝❛♥ ❜❡ ♣r♦❞✉❝❡❞ ✉s✐♥❣ ❛ s❡q✉❡♥❝❡
♦❢ ❍❛❞❛♠❛r❞ ❛♥❞ ❝♦♥tr♦❧❧❡❞✲♥♦t ❣❛t❡s✱ ❞✐s❝✉ss❡❞ ✐♥ ♠♦r❡ ❞❡t❛✐❧ ❜❡❧♦✇✱ ♦♥ t✇♦ ✐♥✐t✐❛❧❧②
✉♥❝♦rr❡❧❛t❡❞ q✉❜✐ts✳
P❡r❤❛♣s t❤❡ ♠♦st ❝♦♠♠♦♥ t✇♦✲q✉❜✐t ✉♥✐t❛r② tr❛♥s❢♦r♠❛t✐♦♥ ✐s t❤❡ ❝♦♥tr♦❧❧❡❞✲♥♦t ❣❛t❡✱

U❝♥♦t ✳ ❚❤✐s s✐♠♣❧❡ ❣❛t❡✱ s❤♦✇♥ ✐♥ ❋✐❣✳ ✷✳✹✱ ❝❛♥ ❜❡ ✉s❡❞ t♦ ❡♥t❛♥❣❧❡ ✭♦r ❞✐s❡♥t❛♥❣❧❡✮ q✉❜✐ts

✶✼

❋✐❣✉r❡ ✷✳✹✿ ❚❤❡ ❝♦♥tr♦❧❧❡❞✲♥♦t ❣❛t❡ ✢✐♣s t❤❡ st❛t❡ ♦❢ t❤❡ t❛r❣❡t q✉❜✐t ✭♦♣❡♥ ❝✐r❝❧❡✮ ♦♥❧② ✐❢
t❤❡ ❝♦♥tr♦❧ q✉❜✐t ✭✜❧❧❡❞ ❝✐r❝❧❡✮ ✐s ✐♥ t❤❡ st❛t❡ |1 ✳
❜② ♣❡r❢♦r♠✐♥❣ ❛ ❝♦♥❞✐t✐♦♥❛❧ ❜✐t✲✢✐♣✳ ❲✐t❤ t❤❡ ✜rst q✉❜✐t ❛s t❤❡ ❝♦♥tr♦❧✱ t❤✐s ❣❛t❡ ✇✐❧❧ ✢✐♣
t❤❡ st❛t❡ ♦❢ t❤❡ s❡❝♦♥❞ q✉❜✐t✱ t❤❡ t❛r❣❡t✱ ✐❢ ❛♥❞ ♦♥❧② ✐❢ t❤❡ ✜rst q✉❜✐t ✐s ✐♥ t❤❡ st❛t❡ |1 ✱ ❛♥❞
♦t❤❡r✇✐s❡ ✇✐❧❧ ❞♦ ♥♦t❤✐♥❣✳ ❚❤❡ ♦♣❡r❛t♦r ❝❛♥ ❜❡ ✇r✐tt❡♥ ✐♥ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ✇❛②✱

U❝♥♦t = |0 0| ⊗ ✶ + |1 1| ⊗ σx ,

✭✷✳✷✽✮

s♦ t❤❛t ✐ts ❛❝t✐♦♥ ♦♥ st❛t❡s ✐♥ t❤❡ ❝♦♠♣✉t❛t✐♦♥❛❧ ❜❛s✐s ✐s

U❝♥♦t : |00 → |00
|01 → |01
✭✷✳✷✾✮

|10 → |11
|11 → |10 .
❚❤❡ s❡t ♦❢ s✐♥❣❧❡✲q✉❜✐t ♦♣❡r❛t✐♦♥s ❛♥❞ t❤❡ ❝♦♥tr♦❧❧❡❞✲♥♦t ❣❛t❡ ✐s ❦♥♦✇♥ ❛s ❛ ✉♥✐✈❡rs❛❧ s❡t✳
❆♥② q✉❛♥t✉♠ ❣❛t❡ ❝❛♥ ❜❡ ❞❡❝♦♠♣♦s❡❞ ✐♥t♦ t❤❡s❡ ❣❛t❡s s♦ t❤❛t✱ t♦❣❡t❤❡r✱ t❤❡② ❛r❡ s✉✣❝✐❡♥t
t♦ ♣❡r❢♦r♠ ❛♥② q✉❛♥t✉♠ ❝♦♠♣✉t❛t✐♦♥ ❬✸✺❪✳
❯s✐♥❣ ♦♥❡ ❍❛❞❛♠❛r❞ ❛♥❞ ♦♥❡ ❝♦♥tr♦❧❧❡❞✲♥♦t ❣❛t❡✱ ✇❡ ❝❛♥ ❡❛s✐❧② ❝♦♥str✉❝t ❛♥ ❊P❘ ♣❛✐r✱
t❤❡ ❇❡❧❧ st❛t❡ ✭✷✳✷✷✮✳ ❙✉♣♣♦s❡ t✇♦ q✉❜✐ts ❛r❡ ❡❛❝❤ ✐♥✐t✐❛❧✐③❡❞ ✐♥ t❤❡ st❛t❡ |0 ✳ ❆♣♣❧②✐♥❣ t❤❡

✶✽

s❡q✉❡♥❝❡ ♦❢ ❣❛t❡s U❝♥♦t (H ⊗ ✶)✱ ✇❤❡r❡ t❤❡ ❝♦♥tr♦❧ ✐s ♦♥ t❤❡ ✜rst s②st❡♠✱ ②✐❡❧❞s

U❝♥♦t (H ⊗ ✶) |0 ⊗ |0 = U❝♥♦t

|0 + |1
|00 + |11
√
√
⊗ |0 =
.
2
2

✭✷✳✸✵✮

❚❤❡ ❝♦♥tr♦❧❧❡❞✲♥♦t ❣❛t❡ ❝❛♥ ❜❡ ❣❡♥❡r❛❧✐③❡❞ t♦ ❛ ❝♦♥tr♦❧❧❡❞✲U ❣❛t❡✱

C(U ) = |0 0| ⊗ ✶ + |1 1| ⊗ U,

✭✷✳✸✶✮

✇❤❡r❡ t❤❡ ❜✐t✲✢✐♣ ♦♣❡r❛t✐♦♥✱ σx ✱ ✐s r❡♣❧❛❝❡❞ ❜② ❛♥ ❛r❜✐tr❛r② ✉♥✐t❛r② ♦♣❡r❛t✐♦♥✱ U ✳ ■t ✐s ❡❛s②
t♦ ❝❤❡❝❦ t❤❛t t❤❡ ❝♦♥tr♦❧❧❡❞✲U ❣❛t❡✱ ❛s ✇✐t❤ ❛♥② ♦t❤❡r q✉❛♥t✉♠ ❣❛t❡✱ ✐s ✉♥✐t❛r②✳ ❚❤✐s ❣❡♥❡r❛❧
♦♣❡r❛t✐♦♥ ✇✐❧❧ ❜❡ ✉s❡❢✉❧ ✇❤❡♥ ❞✐s❝✉ss✐♥❣ q✉❛♥t✉♠ ❞✐s❡♥t❛♥❣❧✐♥❣ ♦♣❡r❛t✐♦♥s ✐♥ ❈❤✳ ✽✳
■♥ ❛❞❞✐t✐♦♥ t♦ t❤❡ ♣✉r❡ st❛t❡ ✐♥ ❊q✳ ✭✷✳✶✾✮✱ ✇❡ ❝❛♥ ❛❧s♦ ❝♦♥s✐❞❡r ♠✐①❡❞ st❛t❡s ❢♦r t✇♦
q✉❞✐ts✳ ❚✇♦ s②st❡♠s✱ A ❛♥❞ B ✱ ❛r❡ s❡♣❛r❛❜❧❡ ✐❢ t❤❡✐r ❥♦✐♥t st❛t❡ ❝❛♥ ❜❡ ✇r✐tt❡♥ ❛s ❝♦♠❜✐♥❛t✐♦♥
♦❢ ♣r♦❞✉❝t st❛t❡s✱

B
pi ρ A
i ⊗ ρj ,

ρ(AB) =

✭✷✳✸✷✮

i

✇❤❡r❡ pi ❛r❡ ♥♦♥✲♥❡❣❛t✐✈❡ ♣r♦❜❛❜✐❧✐t✐❡s ❛♥❞

i pi

= 1✳ ❚❤❡ r❡❞✉❝❡❞ ❞❡♥s✐t② ♠❛tr✐❝❡s ❢♦r

B
❡❛❝❤ ♦❢ t❤❡ s✉❜s②st❡♠s✱ ρA
i ❛♥❞ ρi ✱ ❝♦✉❧❞ ❜❡ ♣✉r❡ ♦r ♠✐①❡❞✳ ❙✉❝❤ st❛t❡s ❡①❤✐❜✐t ❝❧❛ss✐❝❛❧

❝♦rr❡❧❛t✐♦♥s ❜❡t✇❡❡♥ t❤❡ s✉❜s②st❡♠s✳ ❖❢ ❝♦✉rs❡✱ ✐❢ t❤❡r❡ ✐s ♦♥❧② ♦♥❡ ♥♦♥✲③❡r♦ pi t❤❡♥ t❤❡
s❡♣❛r❛❜❧❡ st❛t❡ ✭✷✳✸✷✮ r❡❞✉❝❡s t♦ ❛♥ ✉♥❝♦rr❡❧❛t❡❞ st❛t❡✱ ρ(AB) = ρ(A) ⊗ ρ(B)✳ ■❢ t❤❡ ❥♦✐♥t
st❛t❡ ρ(AB) ❝❛♥♥♦t ❜❡ ✇r✐tt❡♥ ✐♥ t❤❡ s❡♣❛r❛❜❧❡ ❢♦r♠ ✭✷✳✸✷✮✱ t❤❡♥ ✐t ✐s s❛✐❞ t♦ ❜❡ ❡♥t❛♥❣❧❡❞✳

✶✾

✷✳✹ ❚❤❡ ◆♦✲❈❧♦♥✐♥❣ ❚❤❡♦r❡♠
❆ str✐❦✐♥❣ ❢❡❛t✉r❡ ♦❢ q✉❛♥t✉♠ s②st❡♠s ✐s t❤❛t ✐t ✐s ✐♠♣♦ss✐❜❧❡ t♦ ♣❡r❢❡❝t❧② ❝♦♣②✱ ♦r ❝❧♦♥❡✱ ❛♥
❛r❜✐tr❛r② q✉❛♥t✉♠ st❛t❡✳ ❚❤✐s ✇❛s ♣r♦✈❡❞ ✐♥ ✶✾✽✷ ❜② ❲♦♦tt❡rs ❛♥❞ ❩✉r❡❦ ❬✸✻❪ ❛s ✇❡❧❧ ❛s ❜②
❉✐❡❦s ✇❤♦ s❤♦✇❡❞ t❤❛t t❤✐s ♣r♦♣❡rt② ♣r❡❝❧✉❞❡s t❤❡ ♣♦ss✐❜✐❧✐t② ♦❢ s✉♣❡r❧✉♠✐♥❛❧ ❝♦♠♠✉♥✐❝❛t✐♦♥
✈✐❛ ❊P❘ ♣❛✐rs ❬✸✼❪✳
❚♦ ❞❡♠♦♥str❛t❡ t❤❡ ❡ss❡♥❝❡ ♦❢ t❤❡ ♥♦✲❝❧♦♥✐♥❣ t❤❡♦r❡♠✱ s✉♣♣♦s❡ t❤❛t t❤❡r❡ ❡①✐sts ❛ ✉♥✐t❛r②
tr❛♥s❢♦r♠❛t✐♦♥✱ U ✱ t❤❛t ❝❛♥ ✐♥❞❡❡❞ ❝❧♦♥❡ ❛♥ ❛r❜✐tr❛r② st❛t❡✳ ❚❤❡♥✱ ❢♦r t✇♦ s✉❝❤ ♦rt❤♦❣♦♥❛❧
st❛t❡s |ψ

❛♥❞ |φ ✱ t❤❡ tr❛♥s❢♦r♠❛t✐♦♥s U (|ψ |0 ) = |ψ |ψ

❛♥❞ U (|φ |0 ) = |φ |φ

❛r❡

♣♦ss✐❜❧❡✳ ❙✐♥❝❡ U ♠✉st ❜❡ ❛ ❧✐♥❡❛r ♦♣❡r❛t♦r✱ ✐ts ❛♣♣❧✐❝❛t✐♦♥ t♦ ❛♥ ❛r❜✐tr❛r② s✉♣❡r♣♦s✐t✐♦♥✱

|η = α |ψ + β |φ ✱ r❡s✉❧ts ✐♥

U |η |0

= α |ψ |ψ + β |φ |φ ,

✭✷✳✸✸✮

✇❤❡r❡ |α|2 + |β|2 = 1✳ ❍♦✇❡✈❡r✱ ✐❢ U ✐s ❛ ❝❧♦♥✐♥❣ ♦♣❡r❛t✐♦♥✱ t❤❡♥ ✐t ♠✉st ❜❡ tr✉❡ t❤❛t

U |η |0

= |η |η = α2 |ψ |ψ + β 2 |φ |φ + αβ |ψ |φ + αβ |φ |ψ .

✭✷✳✸✹✮

❈❧❡❛r❧②✱ ❊qs✳ ✭✷✳✸✸✮ ❛♥❞ ✭✷✳✸✹✮ ❛r❡ ♥♦t t❤❡ s❛♠❡✳ ❚❤❡ ♣r❡s❡♥❝❡ ♦❢ t❤❡ ❝r♦ss t❡r♠s ✐♥ ✭✷✳✸✹✮
✐♠♣❧✐❡s t❤❛t t❤✐s ❝❧♦♥✐♥❣ ♦♣❡r❛t✐♦♥ ✐s ✐♠♣♦ss✐❜❧❡✳
❚❤❡ ♥♦✲❝❧♦♥✐♥❣ t❤❡♦r❡♠ ✐s ✉s✉❛❧❧② ❞✐s❝✉ss❡❞ ❢♦r ♣✉r❡ q✉❛♥t✉♠ st❛t❡s ❜✉t ✇❛s ❣❡♥❡r❛❧✐③❡❞
✐♥ ✶✾✾✻ ❜② ❇❛r♥✉♠ ❡t ❛❧✳ t♦ ✐♥❝❧✉❞❡ ♠✐①❡❞ st❛t❡s ✈✐❛ t❤❡ ♥♦✲❜r♦❛❞❝❛st t❤❡♦r❡♠ ❬✸✽❪✳ ❆❧✲
t❤♦✉❣❤ ✐t ✐s ✐♠♣♦ss✐❜❧❡ t♦ ♣❡r❢❡❝t❧② ❝❧♦♥❡ ❛♥ ❛r❜✐tr❛r② q✉❛♥t✉♠ st❛t❡✱ ❛♣♣r♦①✐♠❛t❡ ❝❧♦♥✐♥❣
✐s ♣❡r♠✐tt❡❞✳ ■♥❞❡❡❞✱ t❤❡ ❤✐❣❤❡st ❛❝❤✐❡✈❛❜❧❡ ✜❞❡❧✐t② ❢♦r q✉❜✐t ❝❧♦♥✐♥❣ ❤❛s ❜❡❡♥ ❝❛❧❝✉❧❛t❡❞ t♦
❜❡ ✺✴✻ ❬✸✾✱ ✹✵❪✳
❚❤❡ ♥♦✲❝❧♦♥✐♥❣ t❤❡♦r❡♠ ❤❛s ♠❛♥② ✐♥t❡r❡st✐♥❣ ❝♦♥s❡q✉❡♥❝❡s ✐♥ ❛❞❞✐t✐♦♥ t♦ t❤❡ ✐♠♣♦ss✐❜✐❧✲
✷✵

✐t② ♦❢ s✉♣❡r❧✉♠✐♥❛❧ ❝♦♠♠✉♥✐❝❛t✐♦♥ ♠❡♥t✐♦♥❡❞ ❛❜♦✈❡✳ ❋♦r ✐♥st❛♥❝❡✱ ❝❧❛ss✐❝❛❧ ❡rr♦r ❝♦rr❡❝t✐♦♥✱
✇❤✐❝❤ r❡❧✐❡s ♦♥ t❤❡ r❡❞✉♥❞❛♥t ❡♥❝♦❞✐♥❣ ♦❢ ❜✐ts ✐♥ ❛ r❡♣❡t✐t✐♦♥ ❝♦❞❡✱ ❝❛♥♥♦t ❜❡ ❡♠♣❧♦②❡❞ ✐♥
q✉❛♥t✉♠ ❛❧❣♦r✐t❤♠s ✭s❡❡✱ ❡✳❣✳✱ ❬✹✶❪✮✳ ❚❤❡ t❤❡♦r❡♠ ✐s ❛❧s♦ r❡s♣♦♥s✐❜❧❡ ❢♦r t❤❡ ❞✐st✐♥❝t ♥❛✲
t✉r❡ ♦❢ q✉❛♥t✉♠ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥ts ❛s ❝♦♠♣❛r❡❞ t♦ ❝❧❛ss✐❝❛❧ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥ts✳ ❆s ✇❡ ✇✐❧❧ s❡❡ ✐♥
❧❛t❡r ❝❤❛♣t❡rs✱ t❤❡ ✐♥❛❜✐❧✐t② t♦ ♣❡r❢❡❝t❧② ❝❧♦♥❡ ❛r❜✐tr❛r② q✉❛♥t✉♠ st❛t❡s s✉❣❣❡sts t❤❛t ♦✉r
♠❡❛s✉r❡♠❡♥t ❞❡✈✐❝❡s ❞♦ ♥♦t ❛♥❞ ❝❛♥♥♦t r❡✢❡❝t t❤❡ tr✉❡ ✉♥❞❡r❧②✐♥❣ st❛t❡ ♦❢ t❤❡ q✉❛♥t✉♠
s②st❡♠✳

✷✳✺ ◗✉❛♥t✉♠ ❚❡❧❡♣♦rt❛t✐♦♥ ❛♥❞ ❙✉♣❡r❞❡♥s❡ ❈♦❞✐♥❣
❚✇♦ ❢✉♥❞❛♠❡♥t❛❧ ❛♥❞ ❝♦♠♣❧❡♠❡♥t❛r② ♣r♦t♦❝♦❧s ✐♥ q✉❛♥t✉♠ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥ ♣r♦❝❡ss✐♥❣ ❛r❡ q✉❛♥✲
t✉♠ t❡❧❡♣♦rt❛t✐♦♥ ❛♥❞ s✉♣❡r❞❡♥s❡ ❝♦❞✐♥❣✳ ❚❤❡s❡ ♣r♦t♦❝♦❧s r❡❧② ❤❡❛✈✐❧② ♦♥ t❤❡ ✉s❡ ♦❢ t❤❡
♠❛①✐♠❛❧❧② ❡♥t❛♥❣❧❡❞ ❇❡❧❧ st❛t❡s✳ ■♥ t❤✐s s❡❝t✐♦♥✱ ■ ✇✐❧❧ ♦✉t❧✐♥❡ ❜♦t❤ ♣r♦t♦❝♦❧s ❛s t❤❡ ♠❛✐♥
✐❞❡❛s ✇✐❧❧ ❜❡ ❤❡❧♣❢✉❧ ❢♦r ✉♥❞❡rst❛♥❞✐♥❣ t❤❡ q✉❛♥t✉♠ ❞✐s❡♥t❛♥❣❧✐♥❣ ♦♣❡r❛t✐♦♥s ✐♥ ❈❤✳ ✽✳
◗✉❛♥t✉♠ t❡❧❡♣♦rt❛t✐♦♥✱ ❞✐s❝♦✈❡r❡❞ ✐♥ ✶✾✾✸ ❜② ❇❡♥♥❡tt ❡t ❛❧✳ ❬✼❪✱ ✐s ❛ ♠❡t❤♦❞ ❢♦r tr❛♥s✲
❢❡rr✐♥❣ ❛ q✉❜✐t t♦ ❛ r❡❝❡✐✈❡r ✉s✐♥❣ t✇♦ ❜✐ts ♦❢ ❝❧❛ss✐❝❛❧ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥✳ ❋♦❧❧♦✇✐♥❣ t❤❡ ♦r✐❣✐♥❛❧
♣r♦♣♦s❛❧ ❛ ❢❡✇ ②❡❛rs ❧❛t❡r✱ t❡❧❡♣♦rt❛t✐♦♥ ✇❛s ✐♠♣❧❡♠❡♥t❡❞ ✉s✐♥❣ t❤❡ ♣♦❧❛r✐③❛t✐♦♥ st❛t❡s ♦❢
♣❤♦t♦♥s ✐♥ ✶✾✾✼ ❛♥❞ ✶✾✾✽ ❬✹✷✕✹✹❪✳ ❆❧s♦ ✐♥ ✶✾✾✽✱ t❤❡ ✜rst ✏❝♦♠♣❧❡t❡✑ t❡❧❡♣♦rt❛t✐♦♥ ✭✇❤❡r❡ t❤❡
✜♥❛❧ ❝♦rr❡❝t✐♦♥s ❛r❡ ❛♣♣❧✐❡❞ t♦ ❇♦❜✬s q✉❜✐t✮ ✇❛s ❛❝❤✐❡✈❡❞ ❛❝r♦ss ✐♥t❡r✲❛t♦♠✐❝ ❞✐st❛♥❝❡s ✐♥ t❤❡
♥✉❝❧❡❛r s♣✐♥s ♦❢ tr✐❝❤❧♦r♦❡t❤②❧❡♥❡ ✉s✐♥❣ ♥✉❝❧❡❛r ♠❛❣♥❡t✐❝ r❡s♦♥❛♥❝❡ ✭◆▼❘✮ ❬✹✺❪✳ ■♥ ✷✵✵✹✱
t❡❧❡♣♦rt❛t✐♦♥ ❛❝r♦ss ♠✐❝r♦♠❡t❡r ❞✐st❛♥❝❡s ✇❛s r❡❛❧✐③❡❞ ✉s✐♥❣ tr❛♣♣❡❞ ✐♦♥s ❬✹✻✱ ✹✼❪✳ ▼♦r❡
r❡❝❡♥t❧②✱ t❡❧❡♣♦rt❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ st❛t❡ ♦❢ s✉♣❡r❝♦♥❞✉❝t✐♥❣ tr❛♥s♠♦♥ q✉❜✐ts ♦✈❡r ✻ ♠✐❧❧✐♠❡t❡rs
✇❛s ♣❡r❢♦r♠❡❞ ✐♥ ✷✵✶✸ ❬✹✽❪ ❛♥❞ ♦❢ t❤❡ s♣✐♥ st❛t❡s ♦❢ ♥✐tr♦❣❡♥ ✈❛❝❛♥❝② ❝❡♥t❡rs ✐♥ ❞✐❛♠♦♥❞
♦✈❡r ✸ ♠❡t❡rs ✐♥ ✷✵✶✹ ❬✹✾❪✳ ❆s ♦❢ ❏✉❧② ✹✱ ✷✵✶✼ t❤❡ ✇♦r❧❞ r❡❝♦r❞ ❢♦r ❧♦♥❣✲❞✐st❛♥❝❡ q✉❛♥t✉♠

✷✶

|βzx〉

Bell

z,x ∈ {0,1}

|βzx〉

H

z
x

❋✐❣✉r❡ ✷✳✺✿ ❙❤♦rt❤❛♥❞ ♥♦t❛t✐♦♥ ❢♦r t❤❡ ❇❡❧❧ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥t ❝✐r❝✉✐t ✐s s❤♦✇♥ ♦♥ t❤❡ ❧❡❢t t♦❣❡t❤❡r
✇✐t❤ t❤❡ ❝♦♠♣❧❡t❡ ❝✐r❝✉✐t ♦♥ t❤❡ r✐❣❤t✳ ❆ ❇❡❧❧ st❛t❡ |βzx ✐s ❝♦♥✈❡rt❡❞ ✐♥t♦ t❤❡ t✇♦ ❝❧❛ss✐❝❛❧
❜✐ts z ❛♥❞ x ✭❞r❛✇♥ ✇✐t❤ ❞♦✉❜❧❡ s♦❧✐❞ ❧✐♥❡s✮ ❛❢t❡r ❛ ❝♦♥tr♦❧❧❡❞✲♥♦t✱ ❍❛❞❛♠❛r❞✱ ❛♥❞ t✇♦
s✐♥❣❧❡✲q✉❜✐t ♠❡❛s✉r❡♠❡♥ts ✐♥ t❤❡ st❛♥❞❛r❞ ❜❛s✐s✳
t❡❧❡♣♦rt❛t✐♦♥ ✇✐t❤ ♣❤♦t♦♥s ✐s ♥❡❛r❧② ✶✹✵✵ ❦✐❧♦♠❡t❡rs✱ t❤❡ ❞✐st❛♥❝❡ ❜❡t✇❡❡♥ ❛♥ ♦❜s❡r✈❛t♦r②
✐♥ ❚✐❜❡t ❛♥❞ ❛ s❛t❡❧❧✐t❡ ✐♥ ❧♦✇ ❊❛rt❤ ♦r❜✐t ❬✺✵❪ ✭s❡❡ ❛❧s♦ ❬✺✶❪ ❢♦r t❤❡ t❡❛♠✬s ❞❡♠♦♥str❛t✐♦♥ ♦❢
✜rst ❞✐str✐❜✉t✐♥❣ t❤❡ ❡♥t❛♥❣❧❡♠❡♥t ♦✈❡r s✉❝❤ ❧❡♥❣t❤ s❝❛❧❡s✮✳
■♥ t❤❡ q✉❛♥t✉♠ t❡❧❡♣♦rt❛t✐♦♥ ♣r♦t♦❝♦❧✱ t✇♦ ♣❛rt✐❡s ✭✉s✉❛❧❧② r❡❢❡rr❡❞ t♦ ❛s ❆❧✐❝❡ ❛♥❞ ❇♦❜✮
✐♥✐t✐❛❧❧② s❤❛r❡ ❛ ♠❛①✐♠❛❧❧② ❡♥t❛♥❣❧❡❞ st❛t❡ ♦❢ t✇♦ q✉❜✐ts A ❛♥❞ B ✱ s❛②✱ |Φ+ AB = |β00 AB ✳
❚❤❡ s❡♥❞❡r✱ ❆❧✐❝❡✱ ✇✐s❤❡s t♦ tr❛♥s❢❡r ❛♥ ❛r❜✐tr❛r② q✉❛♥t✉♠ st❛t❡ |ψ Q = α|0 + β|1 t♦ ❛
r❡❝❡✐✈❡r✱ ❇♦❜✳ ❚♦ ❞♦ s♦✱ ❆❧✐❝❡ ✜rst ♣❡r❢♦r♠s ❛ ❇❡❧❧ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥t ✭s❡❡ ❋✐❣✳ ✷✳✺ ❢♦r ❛ ❝✐r❝✉✐t
❞✐❛❣r❛♠ ♦❢ ❛ ❇❡❧❧ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥t✮ ♦♥ ❤❡r ❤❛❧❢ ♦❢ t❤❡ ❡♥t❛♥❣❧❡❞ ♣❛✐r ✭q✉❜✐t A✮ ❛♥❞ t❤❡ ✉♥❦♥♦✇♥
q✉❜✐t Q ✐♥ t❤❡ st❛t❡ |ψ Q ✳ ❙❤❡ s❡♥❞s t❤❡ r❡s✉❧t ♦❢ t❤❡ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥t✱ t✇♦ ❝❧❛ss✐❝❛❧ ❜✐ts✱ t♦
❇♦❜✱ ✇❤♦ t❤❡♥ ♣❡r❢♦r♠s t❤❡ ♥❡❝❡ss❛r② ❝♦rr❡❝t✐♦♥s t♦ ❤✐s ❤❛❧❢ ♦❢ t❤❡ ❇❡❧❧ st❛t❡ ✭q✉❜✐t B ✮✳
❆❢t❡r✇❛r❞s✱ ❤✐s q✉❜✐t B ✇✐❧❧ ❜❡ ✐♥ t❤❡ st❛t❡ |ψ ✳ ■♥t❡r❡st✐♥❣❧②✱ ❛s ✇❡ ✇✐❧❧ s❡❡✱ ♥❡✐t❤❡r ❆❧✐❝❡
♥♦r ❇♦❜ ♥❡❡❞ t♦ ❦♥♦✇ t❤❡ ❛❝t✉❛❧ st❛t❡ |ψ t❤❛t t❤❡② ❛r❡ s❡♥❞✐♥❣✳
❇❡❢♦r❡ ❣♦✐♥❣ t❤r♦✉❣❤ ❡❛❝❤ st❡♣ ♦❢ t❤❡ ♣r♦t♦❝♦❧ ✐♥ ❞❡t❛✐❧✱ ✇❡ ✜rst ♠❛❦❡ ❛♥ ♦❜s❡r✈❛t✐♦♥✳
◗✉❛♥t✉♠ t❡❧❡♣♦rt❛t✐♦♥ ❝❛♥ ❜❡ s✉♠♠❛r✐③❡❞ ❜② t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ s✐♠♣❧❡ r❡❧❛t✐♦♥ ❢♦r t❤❡ ✐♥✐t✐❛❧
st❛t❡ ♦❢ ❛❧❧ t❤r❡❡ q✉❜✐ts Q✱ A✱ ❛♥❞ B ❜❡❢♦r❡ t❤❡ ♣r♦t♦❝♦❧ ✐s ✐♠♣❧❡♠❡♥t❡❞✱

1
|ψ Q ⊗ |β00 AB =
2

|βzx QA ⊗ X x Z z |ψ B .
z,x∈{0,1}

✷✷

✭✷✳✸✺✮

❍❡r❡✱ |βzx ❛r❡ t❤❡ ❢♦✉r ❇❡❧❧ st❛t❡s✱ ❛♥❞ X ❛♥❞ Z ❛r❡ P❛✉❧✐ ♦♣❡r❛t♦rs ✭s❡❡ ❙❡❝✳ ✷✳✸✮✳ ❋r♦♠
t❤✐s ❡①♣r❡ss✐♦♥✱ ✇❡ ❝❛♥ s❡❡ t❤❛t t❤❡ st❛t❡ |ψ ♦❢ Q ✇✐❧❧ ❜❡ tr❛♥s❢❡rr❡❞ t♦ B ✱ ✉♣ t♦ ❛ ✉♥✐t❛r②
❝♦rr❡❝t✐♦♥✳ ❚♦ ❜❡ ❝❧❡❛r✱ ♦♥❧② t❤❡ st❛t❡ ♦❢ Q ✐s tr❛♥s❢❡rr❡❞ t♦ ❇♦❜✬s q✉❜✐t✱ ♥♦t t❤❡ ♣❤②s✐❝❛❧
♣❛rt✐❝❧❡ Q✳ ❋✐♥❛❧❧②✱ ❛t t❤❡ ❡♥❞ ♦❢ t❤❡ ♣r♦t♦❝♦❧✱ t❤❡ st❛t❡ ✭✷✳✸✺✮ ❡✈♦❧✈❡s t♦

1
4

z,x∈{0,1}

1
1
|βzx QA βzx | ⊗ |ψ B ψ| = ✶Q ⊗ ✶A ⊗ |ψ B ψ|,
2
2

✭✷✳✸✻✮

✇❤❡r❡ q✉❜✐ts Q ❛♥❞ A ❛r❡ ❝♦♠♣❧❡t❡❧② ♠✐①❡❞ ❛♥❞ t❤❡ st❛t❡ ♦❢ t❤❡ ❇♦❜✬s q✉❜✐t B ✐s |ψ ✱ ✇❤✐❝❤
✐s ❞✐s❡♥t❛♥❣❧❡❞ ❢r♦♠ t❤❡ r❡st ♦❢ t❤❡ s②st❡♠✳
❲❡ ❝❛♥ ✉♥❞❡rst❛♥❞ t❤❡ ♣r♦t♦❝♦❧ ❜❡tt❡r ❜② ❝♦♥s✐❞❡r✐♥❣ ❡❛❝❤ st❡♣ ✐♥ ♠♦r❡ ❞❡t❛✐❧✳ ❚❤❡
✐♥✐t✐❛❧ st❛t❡ ✭✷✳✸✺✮ ♦❢ t❤❡ t❤r❡❡ q✉❜✐ts ✐s t❤❡ ♣r♦❞✉❝t st❛t❡

1
|φ0 = |ψ Q ⊗ |β00 AB = α|0 Q + β|1 Q ⊗ √ |00 AB + |11 AB ,
2

✭✷✳✸✼✮

✇❤❡r❡ Q ❧❛❜❡❧s t❤❡ ❛r❜✐tr❛r② st❛t❡ t♦ ❜❡ t❡❧❡♣♦rt❡❞ ❢r♦♠ ❆❧✐❝❡ t♦ ❇♦❜✱ ❛♥❞ A ❛♥❞ B ❧❛❜❡❧
❆❧✐❝❡✬s ❛♥❞ ❇♦❜✬s q✉❜✐ts✱ r❡s♣❡❝t✐✈❡❧②✳ ❚❤❡ ❧❛❜❡❧s ✇✐❧❧ ❜❡ ❞r♦♣♣❡❞ ❢r♦♠ ♥♦✇ ♦♥ s✐♥❝❡ t❤❡
♦r❞❡r✐♥❣ ♦❢ st❛t❡s ✐s ❛❧✇❛②s ♠❛✐♥t❛✐♥❡❞✳
■♥ t❤❡ ✜rst st❡♣✱ ❆❧✐❝❡ ♣❡r❢♦r♠s ❛ ❇❡❧❧ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥t ❜② ❛♣♣❧②✐♥❣ ❛

❝♥♦t ❣❛t❡ t♦ Q ❛♥❞

A✱ ✇✐t❤ t❤❡ ❝♦♥tr♦❧ ♦♥ Q✱ ❢♦❧❧♦✇❡❞ ❜② ❛ ❍❛❞❛♠❛r❞ ❣❛t❡ ♦♥ Q✳ ❚❤✐s tr❛♥s❢♦r♠s ❊q✳ ✭✷✳✸✼✮ t♦

|ψ1 =

1
|00 α|0 +β|1 +|01 α|1 +β|0 +|10 α|0 −β|1 +|11 α|1 −β|0
2

. ✭✷✳✸✽✮

❊①♣r❡ss✐♦♥ ✭✷✳✸✽✮ ❛❧r❡❛❞② s✉❣❣❡sts t❤❛t t❤❡ ❝♦♥❞✐t✐♦♥❛❧ st❛t❡ ♦❢ B ✐s ♥❡❛r❧② ❡q✉✐✈❛❧❡♥t t♦ t❤❡
❞❡s✐r❡❞ st❛t❡ |ψ ✳
■♥ t❤❡ s❡❝♦♥❞ st❡♣✱ ❆❧✐❝❡ ♠❡❛s✉r❡s t❤❡ q✉❜✐ts Q ❛♥❞ A ✐♥ t❤❡ ❝♦♠♣✉t❛t✐♦♥❛❧ ❜❛s✐s✳ ❋♦r
❡①❛♠♣❧❡✱ ✐❢ s❤❡ ♦❜s❡r✈❡s t❤❡ ♦✉t❝♦♠❡ ✏✵✵✑ t❤❡♥✱ ❛❝❝♦r❞✐♥❣ t♦ ✭✷✳✸✽✮✱ t❤❡ ❝♦rr❡s♣♦♥❞✐♥❣ st❛t❡

✷✸

|ψ〉

Bell

z,x ∈ {0,1}

|β 00〉
z

Z X

x

|ψ〉

❋✐❣✉r❡ ✷✳✻✿ ❚❤❡ q✉❛♥t✉♠ t❡❧❡♣♦rt❛t✐♦♥ ❝✐r❝✉✐t✳ ❚❤❡ ❞❛s❤❡❞ ❧✐♥❡ s❡♣❛r❛t❡s t❤❡ s②st❡♠s ✉♥❞❡r
❆❧✐❝❡✬s ✭✉♣♣❡r✮ ❛♥❞ ❇♦❜✬s ✭❧♦✇❡r✮ ❝♦♥tr♦❧✳ ❆❧✐❝❡ tr❛♥s❢❡rs t❤❡ st❛t❡ |ψ t♦ ❇♦❜ ❜② ♣❡r❢♦r♠✐♥❣
❛ ❇❡❧❧ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥t ❛♥❞ s❡♥❞✐♥❣ t❤❡ t✇♦ r❡s✉❧t✐♥❣ ❝❧❛ss✐❝❛❧ ❜✐ts ♦❢ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥ z ❛♥❞ x
✭❞❡♥♦t❡❞ ❜② t❤❡ ❞♦✉❜❧❡ s♦❧✐❞ ❧✐♥❡s✮ t♦ ❇♦❜✳ ❈♦♥❞✐t✐♦♥❛❧❧② ♦♥ t❤❡s❡ t✇♦ ❜✐ts✱ ❇♦❜ ♣❡r❢♦r♠s ❛
❝♦rr❡❝t✐♦♥ Z z X x t♦ ❤✐s q✉❜✐t t♦ ♦❜t❛✐♥ t❤❡ st❛t❡ |ψ ✳
♦❢ B ✐s ❡✈✐❞❡♥t❧② α|0 B + β|1 B ✱ ✇❤✐❝❤ ✐s t❤❡ ♦r✐❣✐♥❛❧ st❛t❡ |ψ ✳
❋♦r ❡❛❝❤ ♦❢ t❤❡ ❢♦✉r ♣♦ss✐❜❧❡ ♦✉t❝♦♠❡s ✐♥ ❆❧✐❝❡✬s ♠❡❛s✉r❡♠❡♥t✱ ❇♦❜✬s q✉❜✐t ✇✐❧❧ ❜❡ ✐♥
♦♥❡ ♦❢ ❢♦✉r st❛t❡s✳ ❊❛❝❤ ♦❢ t❤❡s❡ st❛t❡s ✐s r❡❧❛t❡❞ t♦ |ψ ❜② ❛ s✐♠♣❧❡ s✐♥❣❧❡✲q✉❜✐t ♦♣❡r❛t✐♦♥✳
❚❤❛t ✐s✱ ❊q✳ ✭✷✳✸✽✮ ❝❛♥ ❜❡ r❡✇r✐tt❡♥ ❛s

|ψ1 =

1
|00 |ψ + |01 σx |ψ + |10 σz |ψ + |11 (−iσy )|ψ .
2

✭✷✳✸✾✮

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❡①❛♠♣❧❡✱ s✉♣♣♦s❡ ❆❧✐❝❡ ❢♦✉♥❞ t❤❡ ♦✉t❝♦♠❡ ✏✵✶✑✳ ■♥ t❤✐s ❝❛s❡✱ ✉♣♦♥ r❡❝❡✐✈✐♥❣ ❆❧✐❝❡✬s t✇♦✲❜✐t
♠❡ss❛❣❡ ❇♦❜ ❝♦rr❡❝ts ❤✐s q✉❜✐t σx |ψ ✇✐t❤ t❤❡ ❜✐t✲✢✐♣ ❣❛t❡ σx ✱ t♦ ♦❜t❛✐♥ |ψ ✳ ❙✐♠✐❧❛r❧②✱
❢♦r t❤❡ ♦t❤❡r ♠❡❛s✉r❡♠❡♥t ♦✉t❝♦♠❡ ✏✶✵✑✱ ❇♦❜ ❛♣♣❧✐❡s t❤❡ ♣❤❛s❡✲✢✐♣ ❣❛t❡ σz ✱ ✇❤✐❧❡ ❢♦r ✏✶✶✑
❤❡ ❛♣♣❧✐❡s iσy ✳ ❚❤✉s✱ ✇✐t❤ t✇♦ ❜✐ts ♦❢ ❝❧❛ss✐❝❛❧ ❝♦♠♠✉♥✐❝❛t✐♦♥✱ ❛ s❡♥❞❡r ❝❛♥ s✉❝❝❡ss❢✉❧❧②
tr❛♥s❢❡r ❛♥ ❛r❜✐tr❛r② q✉❜✐t t♦ ❛ ❞✐st❛♥t r❡❝❡✐✈❡r✳ ❙❡❡ ❋✐❣✳ ✷✳✻ ❢♦r t❤❡ ❝♦♠♣❧❡t❡ t❡❧❡♣♦rt❛t✐♦♥
❝✐r❝✉✐t✳
❆ ♠♦❞✐✜❡❞ ✈❡rs✐♦♥ ♦❢ q✉❛♥t✉♠ t❡❧❡♣♦rt❛t✐♦♥ ❤❛s ❛❧s♦ ❜❡❡♥ ♣r♦♣♦s❡❞ ❜② ❇r❛ss❛r❞✱ ❇r❛✉♥✲
st❡✐♥ ❛♥❞ ❈❧❡✈❡ ❬✺✷✱ ✺✸❪ ❛♥❞ ✐s ✐♠♣❧❡♠❡♥t❡❞ ✇✐t❤♦✉t ♣❡r❢♦r♠✐♥❣ ❛ ❇❡❧❧ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥t✳ ■♥ t❤✐s

✷✹

❝❛s❡✱ ❛ s❡q✉❡♥❝❡ ♦❢ ❝♦♥tr♦❧❧❡❞✲♥♦t ❛♥❞ ❍❛❞❛♠❛r❞ ❣❛t❡s r❡♣❧❛❝❡s t❤❡ ❇❡❧❧ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥t✱
✇❤✐❝❤ ✐s ♥♦ ❧♦♥❣❡r ♣❡r❢♦r♠❡❞ ♦♥ t❤❡ ✜rst t✇♦ q✉❜✐ts✱ Q ❛♥❞ A✳ ◆❡✈❡rt❤❡❧❡ss✱ t❤❡ st❛t❡ |ψ
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❚❤❡ s❡❝♦♥❞ ❢✉♥❞❛♠❡♥t❛❧ q✉❛♥t✉♠ ♣r♦t♦❝♦❧ ✐s s✉♣❡r❞❡♥s❡ ❝♦❞✐♥❣✱ ✇❤✐❝❤ ✇❛s ♣✉❜❧✐s❤❡❞ ✐♥
✶✾✾✷ ❜② ❇❡♥♥❡tt ❛♥❞ ❲✐❡s♥❡r ❬✻❪ ♦♥❡ ②❡❛r ❜❡❢♦r❡ t❤❡ t❡❧❡♣♦rt❛t✐♦♥ ♣r♦t♦❝♦❧✳ ■♥ s✉♣❡r❞❡♥s❡
❝♦❞✐♥❣✱ t✇♦ ❜✐ts ♦❢ ❝❧❛ss✐❝❛❧ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥ ❝❛♥ ❜❡ ❝♦♠♠✉♥✐❝❛t❡❞ ✉s✐♥❣ ❛ s✐♥❣❧❡ q✉❜✐t✳

■t

♣r♦✈✐❞❡s ❛ ✇❛② t♦ tr❛♥s♠✐t ❝❧❛ss✐❝❛❧ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥ ♦✈❡r ❛ q✉❛♥t✉♠ ❝❤❛♥♥❡❧✱ ❛♥❞ ✐s✱ ✐♥ ❛ s❡♥s❡✱
t❤❡ ✐♥✈❡rs❡ ♦❢ t❤❡ t❡❧❡♣♦rt❛t✐♦♥ s❝❤❡♠❡✳ ❙✉♣❡r❞❡♥s❡ ❝♦❞✐♥❣ ✇❛s ✜rst ❡①♣❡r✐♠❡♥t❛❧❧② r❡❛❧✐③❡❞
✐♥ ✶✾✾✻ ✐♥ ❛♥ ♦♣t✐❝❛❧ s❡tt✐♥❣ ❜② ▼❛tt❧❡ ❡t ❛❧✳ ❬✺✹❪✳ ■♥ ❋❡❜r✉❛r② ✷✵✶✼✱ t❤❡ ❤✐❣❤❡st ❜✐t r❛t❡
t♦ ❞❛t❡ ♦❢ ✶✳✻✼ ❜✐ts ♣❡r q✉❜✐t ✭t❤❡ ♠❛①✐♠✉♠✱ ♦❢ ❝♦✉rs❡✱ ❜❡✐♥❣ ✷✮ ✇❛s ❛❝❤✐❡✈❡❞ ✉s✐♥❣ ❧✐♥❡❛r
♦♣t✐❝s ♦✈❡r ❛ ✜❜❡r ♦♣t✐❝ ❧✐♥❦ ❬✺✺❪✳
■♥ s✉♣❡r❞❡♥s❡ ❝♦❞✐♥❣✱ ❆❧✐❝❡ ❛♥❞ ❇♦❜ ❡❛❝❤ ❤❛✈❡ ♦♥❡ ❤❛❧❢ ♦❢ ❛♥ ❡♥t❛♥❣❧❡❞ ♣❛✐r ♦❢ q✉❜✐ts✱
❢♦r ✐♥st❛♥❝❡✱ t❤❡ ❇❡❧❧ st❛t❡ |Φ+ = |β00 ✐♥ ✭✷✳✷✷✮✳ ❉❡♣❡♥❞✐♥❣ ♦♥ t❤❡ ✈❛❧✉❡ ♦❢ t❤❡ t✇♦ ❜✐ts
t❤❛t ❆❧✐❝❡ ✇✐s❤❡s t♦ ❝♦♠♠✉♥✐❝❛t❡ t♦ ❇♦❜✱ s❤❡ ❡♥❝♦❞❡s ❤❡r ♠❡ss❛❣❡ ❜② ♣❡r❢♦r♠✐♥❣ ♦♥❡ ♦❢ ❢♦✉r
♦♣❡r❛t✐♦♥s ♦♥ ❤❡r q✉❜✐t✱ A✳ ❙❤❡ t❤❡♥ s❡♥❞s A t♦ ❇♦❜✱ ✇❤♦ ❞❡❝♦❞❡s t❤❡ ♠❡ss❛❣❡✳ ❙✉♣❡r❞❡♥s❡
❝♦❞✐♥❣ ✐s ❜❛s❡❞ ♦♥ ❛ s✐♠♣❧❡ ✐❞❡♥t✐t② ❢♦r t❤❡ ❇❡❧❧ st❛t❡ ❜❡❢♦r❡ t❤❡ ♣r♦t♦❝♦❧ ✐s ✐♠♣❧❡♠❡♥t❡❞✱

(H ⊗ ✶) U❝♥♦t (Z z X x ⊗ ✶) |β00 = |z |x .

✭✷✳✹✵✮

❚❤❛t ✐s✱ ❛ s❡t ♦❢ ✉♥✐t❛r② ♦♣❡r❛t✐♦♥s ♦♥ t❤❡ ✐♥✐t✐❛❧❧② ❡♥t❛♥❣❧❡❞ q✉❜✐ts ②✐❡❧❞s ❛ ♣r♦❞✉❝t st❛t❡✳
❚♦ s❡❡ ❤♦✇ t❤✐s ✇♦r❦s✱ s✉♣♣♦s❡ t❤❛t ❆❧✐❝❡ ✇❛♥ts t♦ s❡♥❞ t❤❡ ❜✐t str✐♥❣ ✏✵✵✑✳ ■♥ t❤✐s ❝❛s❡✱
s❤❡ ♣❡r❢♦r♠s t❤❡ ✉♥✐t❛r② ♦♣❡r❛t✐♦♥✱

✶✱ ❛♥❞ s❡♥❞s q✉❜✐t A t♦ ❇♦❜✳

❚❤❡ ❞❡❝♦❞✐♥❣ s❝❤❡♠❡ t❤❛t

❇♦❜ ❢♦❧❧♦✇s ✐s ❛❧✇❛②s t❤❡ s❛♠❡ r❡❣❛r❞❧❡ss ♦❢ ✇❤✐❝❤ ♠❡ss❛❣❡ ❆❧✐❝❡ s❡♥❞s✱ ❛♥❞ ✐s t❤❡ ✐♥✈❡rs❡ ♦❢
t❤❡ ❡♥t❛♥❣❧✐♥❣ s❝❤❡♠❡ ❞❡s❝r✐❜❡❞ ✐♥ ✭✷✳✸✵✮ ❢♦r ❝r❡❛t✐♥❣ ❇❡❧❧ st❛t❡s✳ ◆❛♠❡❧②✱ ❇♦❜ ❛♣♣❧✐❡s t❤❡

✷✺

z,x ∈ {0,1}
z

Z X

x

|β 00〉

Bell

z,x

❋✐❣✉r❡ ✷✳✼✿ ❚❤❡ s✉♣❡r❞❡♥s❡ ❝♦❞✐♥❣ ❝✐r❝✉✐t✳ ❚❤❡ ❞❛s❤❡❞ ❧✐♥❡ s❡♣❛r❛t❡s t❤❡ s②st❡♠s ✉♥❞❡r
❆❧✐❝❡✬s ✭✉♣♣❡r✮ ❛♥❞ ❇♦❜✬s ✭❧♦✇❡r✮ ❝♦♥tr♦❧✳ ❚❤❡ t✇♦ ❜✐ts z, x ✭✐♥❞✐❝❛t❡❞ ❜② t❤❡ ❞♦✉❜❧❡ s♦❧✐❞
❧✐♥❡✮ ❛r❡ tr❛♥s❢❡rr❡❞ t♦ ❇♦❜ ✇❤❡♥ ❆❧✐❝❡ s❡♥❞s ❤❡r ❡♥❝♦❞❡❞ q✉❜✐t✳
❝♦♥tr♦❧❧❡❞✲♥♦t ♦♣❡r❛t✐♦♥ ✭✷✳✷✽✮✱ ✇❤❡r❡ t❤❡ ❝♦♥tr♦❧ ✐s ♦♥ q✉❜✐t A✱ ❢♦❧❧♦✇❡❞ ❜② t❤❡ ❍❛❞❛♠❛r❞
❣❛t❡ ✭✷✳✶✶✮ ♦♥ A✳ ❋♦r t❤✐s ❡①❛♠♣❧❡✱ ❞❡❝♦❞✐♥❣ ②✐❡❧❞s t❤❡ st❛t❡

(H ⊗ ✶) U❝♥♦t (✶ ⊗ ✶) |β00

= |00 .

✭✷✳✹✶✮

■❢ ❇♦❜ ♠❡❛s✉r❡s ❤✐s q✉❜✐ts ✐♥ t❤❡ ❝♦♠♣✉t❛t✐♦♥❛❧ ❜❛s✐s✱ ❤❡ ✇✐❧❧ ✜♥❞ ✇✐t❤ ❝❡rt❛✐♥t② t❤❡ ♦✉t✲
❝♦♠❡s ✏✵✵✑✱ ✇❤✐❝❤ ✐s ♣r❡❝✐s❡❧② t❤❡ ♠❡ss❛❣❡ t❤❛t ❆❧✐❝❡ ✐♥t❡♥❞❡❞ t♦ s❡♥❞✳ ❖r✱ s✉♣♣♦s❡ t❤❛t
❆❧✐❝❡ ✇❛♥ts t♦ s❡♥❞ t❤❡ ♠❡ss❛❣❡ ✏✶✵✑✳ ■♥ t❤✐s ❝❛s❡✱ s❤❡ ❡♥❝♦❞❡s t❤❡ ♠❡ss❛❣❡ ❜② ❛♣♣❧②✐♥❣

X = σx t♦ ❤❡r q✉❜✐t✳ ❚❤❡ ❢♦✉r ♣♦ss✐❜❧❡ ♠❡ss❛❣❡s t❤❛t ❆❧✐❝❡ ❝❛♥ s❡♥❞ t♦ ❇♦❜ ❛r❡ s✉♠♠❛r✐③❡❞
✐♥ ❚❛❜❧❡ ✷✳✶ ❛♥❞ t❤❡ ❝✐r❝✉✐t ✐s s❤♦✇♥ ✐♥ ❋✐❣✳ ✷✳✼✳
❚❤❡ s❡t ♦❢ ✉♥✐t❛r② ♦♣❡r❛t✐♦♥s t❤❛t ❆❧✐❝❡ ♣❡r❢♦r♠s ♦♥ ❤❡r q✉❜✐t A ❝❛♥ ❜❡ ❛❝❤✐❡✈❡❞ ✉s✐♥❣
t✇♦ ❛❞❞✐t✐♦♥❛❧ q✉❜✐ts✱ a ❛♥❞ a ✱ ✇❤✐❝❤ ❛r❡ ✐♥✐t✐❛❧❧② ✐♥ ♦♥❡ ♦❢ t❤❡ ❢♦✉r ❜❛s✐s st❛t❡s |00 ✱ |01 ✱

|10 ✱ ❛♥❞ |11 ✱ ❝♦rr❡s♣♦♥❞✐♥❣ t♦ t❤❡ ♠❡ss❛❣❡ t❤❛t ❆❧✐❝❡ ✇✐s❤❡s t♦ s❡♥❞✳ ❚❤✐s ✇❛②✱ ❆❧✐❝❡
❞♦❡s ♥♦t ❤❛✈❡ t♦ ❞✐r❡❝t❧② ✐♠♣❧❡♠❡♥t t❤❡ ❝♦♥tr♦❧❧❡❞ ♦♣❡r❛t✐♦♥s ♦♥ ❤❡r q✉❜✐t A ❛♥❞ ✐♥st❡❛❞
❝❛♥ s❡♥❞ ✐♥ t✇♦ q✉❜✐ts ♣r❡♣❛r❡❞ ✐♥ t❤❡ st❛t❡ |ij ✱ ❝♦rr❡s♣♦♥❞✐♥❣ t♦ t❤❡ ♠❡ss❛❣❡ ij ✱ t♦ ❇♦❜✳
■♥ t❤✐s ❝❛s❡✱ t❤❡ ❝✐r❝✉✐t ❞✐❛❣r❛♠ ✐♥ ❋✐❣✳ ✷✳✼ ✐s ♠♦❞✐✜❡❞ t♦ ✐♥❝❧✉❞❡ q✉❜✐ts a ❛♥❞ a ❛♥❞ ❛
❝♦♥tr♦❧❧❡❞✲♥♦t ❣❛t❡ ❜❡t✇❡❡♥ A ❛♥❞ a ❢♦❧❧♦✇❡❞ ❜② ❛ ❝♦♥tr♦❧❧❡❞✲Z ❣❛t❡ ❜❡t✇❡❡♥ A ❛♥❞ a ✳

✷✻

❚❛❜❧❡ ✷✳✶✿ ❊♥❝♦❞✐♥❣ ❛♥❞ ❞❡❝♦❞✐♥❣ s❝❤❡♠❡s ✐♥ t❤❡ s✉♣❡r❞❡♥s❡ ❝♦❞✐♥❣ ♣r♦t♦❝♦❧✳
❆❧✐❝❡✬s ❡♥❝♦❞✐♥❣ ✭Z z X x ✮

❙t❛t❡ ❛❢t❡r ❡♥❝♦❞✐♥❣ ✭|βzx ✮

❙t❛t❡ ❛❢t❡r ❞❡❝♦❞✐♥❣ ✭z, x✮

✶

|Φ+ = |β00

|00

X

|Ψ+ = |β01

|01

Z

|Φ− = |β10

|10

ZX = iY

|Ψ− = |β11

|11

■❢ ❛♥ ❡❛✈❡s❞r♦♣♣❡r✱ ❊✈❡✱ ✐♥t❡r❝❡♣ts q✉❜✐t A ✇❤❡♥ ✐t ✐s ✐♥ tr❛♥s✐t t♦ ❇♦❜✱ s❤❡ ❝❛♥♥♦t
❛s❝❡rt❛✐♥ t❤❡ ♠❡ss❛❣❡✳ ❚❤✐s ✐s ❜❡❝❛✉s❡ t❤❡ ♠❛r❣✐♥❛❧ st❛t❡ ♦❢ A ✐s ♠✐①❡❞✱

ρ(A) = TrB Z z X x ⊗ ✶ |β00 β00 |X x Z z ⊗ ✶ = TrB |βzx βzx | =

1
✶,
2

✭✷✳✹✷✮

❛♥❞ ❞♦❡s♥✬t r❡✈❡❛❧ ❛♥②t❤✐♥❣ ❛❜♦✉t t❤❡ ✈❛❧✉❡ ♦❢ z ❛♥❞ x✳ ■t ✐s t❤❡ ❡♥t❛♥❣❧❡♠❡♥t ❜❡t✇❡❡♥ t❤❡
q✉❜✐ts t❤❛t ❛❧❧♦✇s t✇♦ ❜✐ts ♦❢ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥ t♦ ❜❡ s❡♥t ✐♥st❡❛❞ ♦❢ ❥✉st ♦♥❡✳

✷✳✻ ❙✉♠♠❛r②
■♥ t❤✐s ❝❤❛♣t❡r✱ ■ ♦✉t❧✐♥❡❞ t❤❡ ♠❛t❤❡♠❛t✐❝❛❧ ❞❡s❝r✐♣t✐♦♥ ♦❢ q✉❛♥t✉♠ s②st❡♠s✱ ✇✐t❤ ♣❛rt✐❝✉❧❛r
❢♦❝✉s ♦♥ t❤❡ t✇♦✲❧❡✈❡❧ s②st❡♠ ❦♥♦✇♥ ❛s t❤❡ q✉❜✐t✳ ■ r❡✈✐❡✇❡❞ t❤❡ ❞❡♥s✐t② ♠❛tr✐① ❢♦r♠❛❧✐s♠
❛♥❞ t❤❡ ♣r♦♣❡rt✐❡s ♦❢ ❣❡♥❡r❛❧ q✉❛♥t✉♠ st❛t❡s✳ ■ ❞✐s❝✉ss❡❞ ♣✉r❡ ❛♥❞ ♠✐①❡❞ st❛t❡s✱ ❛s ✇❡❧❧
❛s t❤❡ t②♣❡s ♦❢ ❝♦rr❡❧❛t✐♦♥s✱ ❝❧❛ss✐❝❛❧ ❛♥❞ q✉❛♥t✉♠✱ ❜❡t✇❡❡♥ ♠✉❧t✐♣❧❡ q✉❛♥t✉♠ s②st❡♠s✳ ■
t❤❡♥ s❤♦✇❡❞ ❤♦✇ t❤❡ ♥♦✲❝❧♦♥✐♥❣ t❤❡♦r❡♠ ♣❧❛❝❡s s❡✈❡r❡ r❡str✐❝t✐♦♥s ♦♥ t❤❡ ❛❜✐❧✐t② t♦ ❝♦♣②
q✉❛♥t✉♠ st❛t❡s ❛♥❞✱ ❛s ✇❡ ✇✐❧❧ s❡❡ ✐♥ ❈❤✳ ✺✱ ✐s r❡s♣♦♥s✐❜❧❡ ❢♦r t❤❡ ♥♦♥✲❝❧❛ss✐❝❛❧ ♥❛t✉r❡
♦❢ q✉❛♥t✉♠ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥ts✳ ❋✐♥❛❧❧②✱ ■ r❡✈✐❡✇❡❞ t❤❡ q✉❛♥t✉♠ t❡❧❡♣♦rt❛t✐♦♥ ❛♥❞ s✉♣❡r❞❡♥s❡
❝♦❞✐♥❣ ♣r♦t♦❝♦❧s✱ ✇❤✐❝❤ ✇✐❧❧ ❜❡ ✉s❡❢✉❧ ❢♦r t❤❡ ♣r♦t♦❝♦❧s ♣r❡s❡♥t❡❞ ✐♥ ❈❤✳ ✽✳
✷✼

❈❤❛♣t❡r ✸
◗✉❛♥t✉♠ ■♥❢♦r♠❛t✐♦♥ ❚❤❡♦r②
✸✳✶ ■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥
❚❤❡ ❞❡♣❛rt✉r❡ ♦❢ q✉❛♥t✉♠ st❛t❡s ❢r♦♠ t❤❡✐r ❝❧❛ss✐❝❛❧ ❝♦✉♥t❡r♣❛rts ❝❛♥ ❜❡ ♠♦r❡ ❞❡❡♣❧② ✉♥✲
❞❡rst♦♦❞ ✉s✐♥❣ q✉❛♥t✉♠ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥ t❤❡♦r② ✭◗■❚✮✳ ❚❤❡ t♦♦❧s ♣r♦✈✐❞❡❞ ❜② ◗■❚ ❛❧❧♦✇ ✉s
t♦ ❝❤❛r❛❝t❡r✐③❡ t❤❡ str✉❝t✉r❡ ♦❢ q✉❛♥t✉♠ st❛t❡s ❛♥❞✱ ✐♥ ♣❛rt✐❝✉❧❛r✱ t❤❡ ❛♠♦✉♥t ♦❢ ✐♥❢♦r♠❛✲
t✐♦♥ t❤❛t ❝❛♥ ❜❡ ♦❜t❛✐♥❡❞ ❛❜♦✉t ❛ q✉❛♥t✉♠ s②st❡♠✱ ♦r ❤♦✇ ❡♥t❛♥❣❧❡♠❡♥t ❛♥❞ ❡♥tr♦♣② ❛r❡
❞✐str✐❜✉t❡❞ ✐♥ ❝♦♠♣♦s✐t❡ s②st❡♠s✳ ◗■❚ ❝❛♥ ❛❧s♦ ❜❡ ✉s❡❞ t♦ ♣❧❛❝❡ ❝♦♥str❛✐♥ts ♦♥ q✉❛♥t✉♠
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t❤❛t ❝❛♥ ❜❡ ❡①tr❛❝t❡❞ ❛❜♦✉t t❤❡ st❛t❡ ♦❢ ❛ q✉❛♥t✉♠ s②st❡♠ ✈✐❛ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥t✱ ✇❤✐❧❡ t❤❡ ❡♥✲
tr♦♣✐❝ r❡❧❛t✐♦♥s❤✐♣ ❜❡t✇❡❡♥ s❡✈❡r❛❧ q✉❛♥t✉♠ s②st❡♠s ✐s ❜♦✉♥❞❡❞ ❜② t❤❡ str♦♥❣ s✉❜❛❞❞✐t✐✈✐t②
♦❢ q✉❛♥t✉♠ ❡♥tr♦♣②✳ ■♥ t❤✐s ❝❤❛♣t❡r✱ ■ ✜rst r❡✈✐❡✇ t❤❡ ❜❛s✐❝ ✐❞❡❛s ♦❢ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥ t❤❡♦r②
❛❝❝♦r❞✐♥❣ t♦ ❙❤❛♥♥♦♥ ✐♥ ♦r❞❡r t♦ s❡t t❤❡ st❛❣❡ ❢♦r q✉❛♥t✉♠ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥ t❤❡♦r②✳ ❚❤❡♥ ■ ✇✐❧❧
s✉♠♠❛r✐③❡ s❡✈❡r❛❧ ✉s❡❢✉❧ q✉❛♥t✉♠ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥✲t❤❡♦r❡t✐❝ ❝♦♥❝❡♣ts ✐♥❝❧✉❞✐♥❣ t❤❡ ❙❝❤♠✐❞t ❞❡✲
❝♦♠♣♦s✐t✐♦♥ ❛♥❞ ❍♦❧❡✈♦✬s t❤❡♦r❡♠✳

✸✳✷ ❈❧❛ss✐❝❛❧ ■♥❢♦r♠❛t✐♦♥ ❚❤❡♦r②
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❤❡ ♣✉❜❧✐s❤❡❞ t❤❡ s❡t ♦❢ tr❛♥s❢♦r♠❛t✐♦♥❛❧ ♣❛♣❡rs ❬✷✱ ✸❪✳ ❍✐s t❤❡♦r② ♣r♦✈✐❞❡❞ ❛ ✇❛② t♦ q✉❛♥t✐❢②
✷✽

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q✉❛♥t✐✜❡s t❤❡ ✉♥❝❡rt❛✐♥t② ♦❢ t❤❡ ✈❛❧✉❡ ♦❢ t❤❡ ✈❛r✐❛❜❧❡✳ ❊q✉✐✈❛❧❡♥t❧②✱ t❤❡ ❡♥tr♦♣② r❡✈❡❛❧s ❤♦✇
♠✉❝❤ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥ ♦♥❡ ❣❛✐♥s ✉♣♦♥ ❧❡❛r♥✐♥❣ t❤❡ ✈❛❧✉❡ ♦❢ t❤❡ ✈❛r✐❛❜❧❡✳ ❚❤❡ ❡♥tr♦♣② t❤❛t ✐s
s❤❛r❡❞ ❜❡t✇❡❡♥ t✇♦ r❛♥❞♦♠ ✈❛r✐❛❜❧❡s ✭t❤❡ ♠✉t✉❛❧ ❡♥tr♦♣②✮ ✐s ❛ ♠❡❛s✉r❡ ♦❢ t❤❡ ❛♠♦✉♥t ♦❢
✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥ t❤❛t ♦♥❡ ✈❛r✐❛❜❧❡ ❤❛s ❛❜♦✉t t❤❡ ♦t❤❡r✳ ❙❤❛♥♥♦♥✬s ♥♦✐s② ❝❤❛♥♥❡❧ ❝♦❞✐♥❣ t❤❡♦r❡♠
❡st❛❜❧✐s❤❡❞ ❛ ♠❛①✐♠✉♠ r❛t❡ ❢♦r t❤❡ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥ t❤❛t ❝❛♥ ❜❡ r❡❧✐❛❜❧② tr❛♥s♠✐tt❡❞ t❤r♦✉❣❤ ❛
❝❤❛♥♥❡❧ ✇✐t❤ ❛ ♣❛rt✐❝✉❧❛r ♥♦✐s❡ ❧❡✈❡❧ ✐♥ t❡r♠s ♦❢ ❛ ❝❤❛♥♥❡❧ ❝❛♣❛❝✐t②✱ ✇❤✐❝❤ ✐s ❛ ❢✉♥❝t✐♦♥ ♦❢
t❤✐s ♠✉t✉❛❧ ❡♥tr♦♣②✳
■♥ t❤✐s s❡❝t✐♦♥✱ ■ ✇✐❧❧ r❡✈✐❡✇ t❤❡ ♠❛✐♥ ✐❞❡❛s ✐♥ ❝❧❛ss✐❝❛❧ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥ t❤❡♦r②✱ ❛♥❞ ♣r♦✈✐❞❡
t❤❡ ♠❛t❤❡♠❛t✐❝❛❧ ❞❡✜♥✐t✐♦♥s ♦❢ ❡♥tr♦♣② ❛♥❞ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥✳ ❇② ❝♦♥str✉❝t✐♥❣ ❥♦✐♥t ❛♥❞ ♠✉t✉❛❧
❡♥tr♦♣✐❡s✱ ✐t ✇✐❧❧ ❜❡❝♦♠❡ ❝❧❡❛r ❤♦✇ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥ ✐s ❞✐str✐❜✉t❡❞ ❛♠♦♥❣ ♠❛♥② ❝♦rr❡❧❛t❡❞ s✉❜s②s✲
t❡♠s✳ ❚❤✐s ✇✐❧❧ ❢❛❝✐❧✐t❛t❡ t❤❡ tr❛♥s✐t✐♦♥ t♦ t❤❡ ♥❡①t s❡❝t✐♦♥ ♦♥ q✉❛♥t✉♠ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥ t❤❡♦r②✱
✇❤✐❝❤ ✐s ❛❜❧❡ t♦ ❞❡s❝r✐❜❡ t❤❡ ♣r♦♣❡rt✐❡s ♦❢ ❝♦♠♣❧❡① q✉❛♥t✉♠ ❡♥t❛♥❣❧❡❞ s②st❡♠s✳

✸✳✷✳✶ ❙❤❛♥♥♦♥ ❊♥tr♦♣②
❚❤❡ ❡♥tr♦♣② ♦❢ ❛ r❛♥❞♦♠ ✈❛r✐❛❜❧❡ ✐s ❛ ❢✉♥❝t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ s❡t ♦❢ ♣r♦❜❛❜✐❧✐t✐❡s ❝♦rr❡s♣♦♥❞✐♥❣ t♦
t❤❡ ✈❛❧✉❡s t❤❛t t❤❡ ✈❛r✐❛❜❧❡ ❝❛♥ t❛❦❡✳ ❚❤❡ ❙❤❛♥♥♦♥ ❡♥tr♦♣② ❬✷✱ ✺✻❪ ♦❢ ❛ s②st❡♠ A ✐s ❞❡✜♥❡❞
❛s
d−1

H(A) = −

pi log pi ,

✭✸✳✶✮

i=0

✇❤❡r❡ t❤❡ ♣r♦❜❛❜✐❧✐t② ♦❢ t❤❡ it❤ st❛t❡ ✐s pi ❛♥❞ t❤❡ ❞✐♠❡♥s✐♦♥ ♦❢ t❤❡ s②st❡♠ A ✐s d✳ ❲❤❡♥
t❤❡ ❧♦❣❛r✐t❤♠ ✐s t❛❦❡♥ t♦ ❜❛s❡ ✷✱ t❤❡ ❡♥tr♦♣② ✐s ✐♥ ✉♥✐ts ♦❢ ❜✐ts✳ ❙t❛t❡s t❤❛t ♦❝❝✉r ✇✐t❤

✷✾

③❡r♦ ♣r♦❜❛❜✐❧✐t② ✭pi = 0 ❢♦r s♦♠❡ i✮ ❞♦ ♥♦t ❝♦♥tr✐❜✉t❡ t♦ t❤❡ ❡♥tr♦♣② ❛❝❝♦r❞✐♥❣ t♦ t❤❡ ❧✐♠✐t

limx→0 x log x = 0✳ ❊q✉❛t✐♦♥ ✭✸✳✶✮ q✉❛♥t✐✜❡s ✇❤❛t ✐s r❡q✉✐r❡❞ t♦ st♦r❡ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥ ❛❜♦✉t
t❤❡ ✈❛r✐❛❜❧❡ A s♦ t❤❛t ♦♥❡ ✐s ❛❜❧❡ t♦ r❡❝♦♥str✉❝t ✐t ❧❛t❡r ❬✷✺❪✳ ❋♦r ❡①❛♠♣❧❡✱ ✐❢ A t❛❦❡s ♦♥ ♦♥❡
♦❢ ❢♦✉r st❛t❡s ✇✐t❤ ❡q✉❛❧ ♣r♦❜❛❜✐❧✐t②✱ t❤❡♥ t✇♦ ❜✐ts ♦❢ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥ ❛r❡ r❡q✉✐r❡❞ t♦ s♣❡❝✐❢② ✐ts
st❛t❡✳
❚❤❡ ♠❛r❣✐♥❛❧ ❡♥tr♦♣② ✐♥ ❊q✳ ✭✸✳✶✮ ✐s ❡①t❡♥❞❡❞ t♦ ❛ ❥♦✐♥t ❡♥tr♦♣② ❢♦r t✇♦ ✭♦r ♠♦r❡✮ s②st❡♠s

A ❛♥❞ B ✈✐❛ t❤❡✐r ❥♦✐♥t ♣r♦❜❛❜✐❧✐t② ❞✐str✐❜✉t✐♦♥ pij ✱
H(AB) = −

pij log pij ,

✭✸✳✷✮

ij

✇❤✐❝❤ ✐s ❛ ♠❡❛s✉r❡ ♦❢ t❤❡ ✉♥❝❡rt❛✐♥t② ✐♥ ❜♦t❤ s②st❡♠s✳ ❚❤❡ ♠❛r❣✐♥❛❧ ❛♥❞ ❥♦✐♥t ♣r♦❜❛❜✐❧✐t②
❞✐str✐❜✉t✐♦♥s ❣✐✈❡ r✐s❡ t♦ ❛ ❝♦♥❞✐t✐♦♥❛❧ ♣r♦❜❛❜✐❧✐t②✱ pi|j = pij /pj ✱ ✇❤✐❝❤ ✐s ✉s❡❞ t♦ ❝♦♥str✉❝t
t❤❡ ❝♦♥❞✐t✐♦♥❛❧ ❡♥tr♦♣②

H(A|B) = −

pij log pi|j .

✭✸✳✸✮

ij

❚❤✐s ❝❤❛r❛❝t❡r✐③❡s t❤❡ ❛✈❡r❛❣❡ r❡❞✉❝t✐♦♥ ✐♥ ❡♥tr♦♣② ♦❢ A✱ ❣✐✈❡♥ t❤❡ st❛t❡ ♦❢ s②st❡♠ B ✳
❖♥ t❤❡ ♦t❤❡r ❤❛♥❞✱ t❤❡ ♠✉t✉❛❧ ♣r♦❜❛❜✐❧✐t② ❞✐str✐❜✉t✐♦♥ pi:j = pi pj /pij ②✐❡❧❞s t❤❡ ♠✉t✉❛❧
❡♥tr♦♣②

H(A : B) = −

pij log pi:j ,

✭✸✳✹✮

ij

♦r t❤❡ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥ s❤❛r❡❞ ❜❡t✇❡❡♥ s②st❡♠s A ❛♥❞ B ✳ ■♥ t❡r♠s ♦❢ ♠❛r❣✐♥❛❧ ❛♥❞ ❥♦✐♥t ❡♥tr♦♣✐❡s✱

✸✵

t❤❡ ❝♦♥❞✐t✐♦♥❛❧ ❛♥❞ ♠✉t✉❛❧ ❡♥tr♦♣✐❡s ❛r❡ ❞❡✜♥❡❞ ❛s ❬✺✻❪

H(A|B) = H(AB) − H(B),

✭✸✳✺✮

H(A : B) = H(A) + H(B) − H(AB),

✭✸✳✻✮

H(A) = H(A|B) + H(A : B).

✭✸✳✼✮

♦r✱

■♥ t❤❡ ♥❡①t s❡❝t✐♦♥✱ ✇❡ ✇✐❧❧ s❡❡ ❤♦✇ ❙❤❛♥♥♦♥ ❡♥tr♦♣✐❡s ❛r❡ ❜♦✉♥❞❡❞ ❛❝❝♦r❞✐♥❣ t♦ t❤❡ ♣♦ss✐❜❧❡
❝♦rr❡❧❛t✐♦♥s t❤❛t ❡①✐st ❜❡t✇❡❡♥ s✉❜s②st❡♠s✳

✸✳✷✳✷ ■♥❡q✉❛❧✐t✐❡s ❢♦r ❙❤❛♥♥♦♥ ❊♥tr♦♣②
❚❤❡ ❙❤❛♥♥♦♥ ❡♥tr♦♣② ♦❢ t✇♦ s②st❡♠s ♦❜❡②s t✇♦ ✐♥❡q✉❛❧✐t✐❡s✱ t❤❡ ✜rst ♦❢ ✇❤✐❝❤ ✐s ❦♥♦✇♥ ❛s
s✉❜❛❞❞✐t✐✈✐t②✳ ❙✉♣♣♦s❡ t❤❛t t✇♦ s②st❡♠s✱ A ❛♥❞ B ✱ ❛r❡ ✉♥❝♦rr❡❧❛t❡❞ ✭✐♥❞❡♣❡♥❞❡♥t✮✳ ■♥ t❤✐s
❝❛s❡✱ t❤❡✐r ❥♦✐♥t ♣r♦❜❛❜✐❧✐t② ❞✐str✐❜✉t✐♦♥ ❢❛❝t♦rs ✐♥t♦ ❛ ♣r♦❞✉❝t ♦❢ t✇♦ ♠❛r❣✐♥❛❧ ♣r♦❜❛❜✐❧✐t✐❡s✱

pij = pi pj ✱ ❛♥❞ t❤❡ ❥♦✐♥t ❡♥tr♦♣② r❡❞✉❝❡s t♦ ❛ s✉♠ ♦❢ ♠❛r❣✐♥❛❧ ❡♥tr♦♣✐❡s✱ H(AB) = H(A) +
H(B)✳ ■♥ ❣❡♥❡r❛❧✱ ✇❤❡♥ A ❛♥❞ B ❛r❡ ❝♦rr❡❧❛t❡❞✱ t❤❡ ❥♦✐♥t ❡♥tr♦♣② ✐s r❡❞✉❝❡❞ ❜② t❤❡ ♠✉t✉❛❧
❡♥tr♦♣② ❛s ✐♥ ✭✸✳✻✮✳ ❙♣❡❝✐✜❝❛❧❧②✱

H(AB) ≤ H(A) + H(B).

✭✸✳✽✮

■♥ ♦t❤❡r ✇♦r❞s✱ H(AB) ✐s s✉❜❛❞❞✐t✐✈❡ ❛♥❞ s♦♠❡ ♦❢ t❤❡ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥ ✐♥ t❤❡ ❥♦✐♥t s②st❡♠ AB
❝❛♥ ❜❡ ❢♦✉♥❞ ✐♥ t❤❡ ❝♦rr❡❧❛t✐♦♥s ❜❡t✇❡❡♥ s✉❜s②st❡♠s A ❛♥❞ B ✳ ❋r♦♠ ✭✸✳✽✮✱ ♦♥❡ ✜♥❞s t❤❛t t❤❡
♠✉t✉❛❧ ❙❤❛♥♥♦♥ ❡♥tr♦♣② ✭✸✳✻✮ ✐s ♥♦♥✲♥❡❣❛t✐✈❡✱ H(A : B) ≥ 0✳ ❚❤❡ ♣r♦♦❢ ♦❢ st❛t❡♠❡♥t ✭✸✳✽✮
❝❛♥ ❜❡ s❤♦✇♥ ✇✐t❤ t❤❡ ✐♥❡q✉❛❧✐t②✱ log2 x ≤ (x − 1)/ ln 2✱ ❢♦r ❛❧❧ ♣♦s✐t✐✈❡ x ❬✷✺❪✳ ◆♦t❡ t❤❛t
✸✶

t❤✐s ❝♦♠❡s ❢r♦♠ ✉s✐♥❣ ln x = (log2 x) (ln 2) ❛♥❞ t❤❡ ❢❛❝t t❤❛t ln x ≤ x − 1✳ ❯s✐♥❣ t❤✐s ✐♥
❡①♣r❡ss✐♦♥ ✭✸✳✹✮✱ ♦♥❡ ❛rr✐✈❡s ❛t ✭✸✳✽✮✳
❚❤❡ s❡❝♦♥❞ ✐♥❡q✉❛❧✐t② ❢♦r t❤❡ ❡♥tr♦♣② ♦❢ t✇♦ s②st❡♠s ❡st❛❜❧✐s❤❡s ❛ ❧♦✇❡r ❜♦✉♥❞ t♦ t❤❡
❥♦✐♥t ❙❤❛♥♥♦♥ ❡♥tr♦♣②✳ ❚❤❛t ✐s✱ t❤❡ ❡♥tr♦♣② ♦❢ ❛ ❝♦♠♣♦s✐t❡ s②st❡♠ ❝❛♥♥♦t ❜❡ ❧❡ss t❤❛♥ t❤❡
❡♥tr♦♣② ♦❢ ❛♥② ♦❢ ✐ts ♣❛rts✱

H(AB) ≥ H(A), H(B).

✭✸✳✾✮

■t ❢♦❧❧♦✇s t❤❛t t❤❡ ❝♦♥❞✐t✐♦♥❛❧ ❡♥tr♦♣② ✭✸✳✺✮ ✐s ❛❧✇❛②s ♥♦♥✲♥❡❣❛t✐✈❡✱ H(A|B) ≥ 0✳ ❚❤✐s ❝❛♥
❛❧s♦ ❜❡ s❤♦✇♥ ❜② ❝♦♥s✐❞❡r✐♥❣ t❤❡ ❡①♣r❡ss✐♦♥ ✭✸✳✸✮ ❢♦r t❤❡ ❝♦♥❞✐t✐♦♥❛❧ ❡♥tr♦♣② ✐♥ t❡r♠s ♦❢ ✐ts
♣r♦❜❛❜✐❧✐t② ❞✐str✐❜✉t✐♦♥s✳ ❆s t❤❡ ❝♦♥❞✐t✐♦♥❛❧ ♣r♦❜❛❜✐❧✐t② ✐s ❜♦✉♥❞❡❞ ❜② 0 ≤ pi|j ≤ 1✱ t❤❡
❡①♣r❡ss✐♦♥ − log pi|j ♠✉st ❜❡ ♥♦♥✲♥❡❣❛t✐✈❡✳ ❚❤❡r❡❢♦r❡ ✭✸✳✸✮ ✐s ❛❧s♦ ♥♦♥✲♥❡❣❛t✐✈❡✳

✸✳✸ ◗✉❛♥t✉♠ ■♥❢♦r♠❛t✐♦♥ ❚❤❡♦r②
■♥ ❙❤❛♥♥♦♥✬s t❤❡♦r② ♦❢ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥✱ t❤❡ ❜❛s✐❝ ✉♥✐t ♦❢ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥ ✐s t❤❡ ❜✐t✱ ✇❤✐❝❤ ❝❛♥ t❛❦❡
♦♥❡ ♦❢ t✇♦ ✈❛❧✉❡s✳ ■♥ q✉❛♥t✉♠ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥ t❤❡♦r②✱ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥ ❝❛♥ ❜❡ ❝♦♥t❛✐♥❡❞ ✐♥ t❤❡ st❛t❡s
♦❢ q✉❛♥t✉♠ s②st❡♠s✱ ❛♥❞ s♦ t❤❡ ❜❛s✐❝ ✉♥✐t ❜❡❝♦♠❡s t❤❡ q✉❜✐t✳ ❆s ✇❡ s❛✇ ✐♥ ❈❤✳ ✷✳✶✱ t❤❡
st❛t❡ ♦❢ ❛ q✉❜✐t ❝❛♥ ❝♦rr❡s♣♦♥❞ t♦ ❛♥② ♣♦✐♥t ♦♥ t❤❡ s✉r❢❛❝❡ ♦❢ t❤❡ ❇❧♦❝❤ s♣❤❡r❡ ❛♥❞ s♦ ❝❛♥
❜❡ ✐♥ ❛ ❧✐♥❡❛r s✉♣❡r♣♦s✐t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ❝❧❛ss✐❝❛❧ ❜✐t ✈❛❧✉❡s✳ ■♥ ❈❤✳ ✷✳✸✱ ✇❡ st✉❞✐❡❞ t❤❡ t②♣❡s ♦❢
❝♦rr❡❧❛t✐♦♥s t❤❛t ❛r✐s❡ ✐♥ ♠✉❧t✐✲q✉❞✐t s②st❡♠s ❛♥❞ ❦♥♦✇ ❢r♦♠ ❈❤✳ ✷✳✺ t❤❛t s♦♠❡ ♦❢ t❤❡ ♠♦st
✐♠♣♦rt❛♥t ❛♣♣❧✐❝❛t✐♦♥s ♦❢ q✉❛♥t✉♠ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥ s❝✐❡♥❝❡ r❡❧② ♦♥ ❡♥t❛♥❣❧❡♠❡♥t ❛s ❛ r❡s♦✉r❝❡✳
❊♥t❛♥❣❧❡♠❡♥t ✐s ❛ ♣r♦♣❡rt② t❤❛t ✐s ✉♥✐q✉❡ t♦ q✉❛♥t✉♠ s②st❡♠s ❛♥❞ ❝❛♥♥♦t ❜❡ ❛❝❝♦✉♥t❡❞
❢♦r ✐♥ t❤❡ ❝❧❛ss✐❝❛❧ ❙❤❛♥♥♦♥ t❤❡♦r②✳ ▼♦r❡ ❣❡♥❡r❛❧❧②✱ s✐♥❝❡ q✉❛♥t✉♠ s②st❡♠s ❝❛♥ ❡①✐st ✐♥
s✉♣❡r♣♦s✐t✐♦♥s✱ ✐t ✐s ♥❡❝❡ss❛r② t♦ ✉s❡ ❞❡♥s✐t② ♠❛tr✐❝❡s ✐♥ ♣❧❛❝❡ ♦❢ ♣r♦❜❛❜✐❧✐t② ❞✐str✐❜✉t✐♦♥s ❢♦r
✸✷

❛ ✉s❡❢✉❧ ❞❡✜♥✐t✐♦♥ ♦❢ q✉❛♥t✉♠ ❡♥tr♦♣②✱ ❛s t❤❡ ❞❡♥s✐t② ♠❛tr✐① ❡♥❝♦❞❡s t❤❡ ♣❤❛s❡ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥
♦❢ t❤❡ q✉❛♥t✉♠ s②st❡♠✳ ❈❧❛ss✐❝❛❧ ❡♥tr♦♣✐❡s ❛r❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s ♦♥❧② ♦❢ ♣r♦❜❛❜✐❧✐t② ❞✐str✐❜✉t✐♦♥s✱
✇❤✐❝❤ ❝♦rr❡s♣♦♥❞ t♦ t❤❡ ❞✐❛❣♦♥❛❧ ❡❧❡♠❡♥ts ♦❢ ❛ ❞❡♥s✐t② ♠❛tr✐①✳ ❚❤❡r❡❢♦r❡✱ ✐t ✐s ✐♠♣♦rt❛♥t t♦
❤❛✈❡ ❛ t❤❡♦r② ♦❢ q✉❛♥t✉♠ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥ t❤❛t ❝❛♥ ❝♦rr❡❝t❧② ❞❡s❝r✐❜❡ t❤❡ ❜❡❤❛✈✐♦r ♦❢ q✉❛♥t✉♠
s②st❡♠s✳ ■♥ t❤❡ ♥❡①t s❡❝t✐♦♥s✱ ■ r❡✈✐❡✇ t❤❡ ❞❡✜♥✐t✐♦♥ ♦❢ ❡♥tr♦♣② ❛s ♣r♦♣♦s❡❞ ❜② ✈♦♥ ◆❡✉♠❛♥♥✱
❛♥❞ s❤♦✇ ❤♦✇ s✉♣❡r♣♦s✐t✐♦♥ ❛♥❞ ❡♥t❛♥❣❧❡♠❡♥t ♠❛♥✐❢❡st t❤❡♠s❡❧✈❡s ✐♥ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥ t❤❡♦r②✳

✸✳✸✳✶ ✈♦♥ ◆❡✉♠❛♥♥ ❊♥tr♦♣②
❚❤❡ ❡♥tr♦♣② ♦❢ ❛ q✉❛♥t✉♠ st❛t❡✱ ✜rst ♣r♦♣♦s❡❞ ❜② ✈♦♥ ◆❡✉♠❛♥♥ ✐♥ ✶✾✷✼ ❬✷✷✱✺✼❪ ✭r❡♠❛r❦❛❜❧②✱
t✇❡♥t②✲♦♥❡ ②❡❛rs ❜❡❢♦r❡ ❙❤❛♥♥♦♥✬s ❝❧❛ss✐❝❛❧ ❡♥tr♦♣②✮✱ ✐s ❞❡✜♥❡❞ ❛s ❛ tr❛❝❡ ♦✈❡r t❤❡ ❞❡♥s✐t②
♠❛tr✐① ρ ♦❢ ❛ s②st❡♠ A✱

S(A) = −Tr ρ(A) log ρ(A) .

✭✸✳✶✵✮

◆♦t❡ t❤❛t ✇❡ ✇✐❧❧ ✉s❡ t❤❡ s②♠❜♦❧ S ❢♦r t❤❡ ✈♦♥ ◆❡✉♠❛♥♥ ❡♥tr♦♣② ❛♥❞ H ❢♦r t❤❡ ❙❤❛♥♥♦♥
❡♥tr♦♣②✳ ❉✐❛❣♦♥❛❧✐③✐♥❣ t❤❡ ❞❡♥s✐t② ♠❛tr✐①✱ t❤✐s ❡①♣r❡ss✐♦♥ ❝❛♥ ❜❡ ✇r✐tt❡♥ ❛s ❛ s✉♠♠❛t✐♦♥ ♦❢
t❤❡ ❡✐❣❡♥✈❛❧✉❡s✱ λi ✱ ♦❢ ρ(A)✱

S(A) = −

λi log λi .

✭✸✳✶✶✮

i

■❢ t❤❡ st❛t❡ ♦❢ s②st❡♠ A ❝♦rr❡s♣♦♥❞s t♦ ❛ ❝♦♠♣❧❡t❡❧② ♠✐①❡❞ st❛t❡✱ ✐ts ❞❡♥s✐t② ♠❛tr✐① ✐s
♣r♦♣♦rt✐♦♥❛❧ t♦ t❤❡ ✉♥✐t ♠❛tr✐①✱ ρ(A) = 21 ✶✱ ✇✐t❤ ❡✐❣❡♥✈❛❧✉❡s 1/2, 1/2✳ ❚❤❡ ❡♥tr♦♣② ♦❢ A ✐s
t❤❡♥ S(A) = − 21 log 21 − 12 log 12 = 1 ❜✐t ✭s✐♥❝❡ t❤❡ ❧♦❣❛r✐t❤♠ ✐s ❜❛s❡ ✷✮ ❛♥❞ ❝♦✐♥❝✐❞❡s ✇✐t❤
t❤❡ ❙❤❛♥♥♦♥ ❡♥tr♦♣②✳ ❖♥ t❤❡ ♦t❤❡r ❤❛♥❞✱ ✐❢ A ✐s ❛ ♣✉r❡ st❛t❡✱ t❤❡♥ ✐ts ❡♥tr♦♣② ✈❛♥✐s❤❡s✱

S(A) = 0✱ s✐♥❝❡ ✐ts ❞❡♥s✐t② ♠❛tr✐① ❤❛s ❛ s✐♥❣❧❡ ♥♦♥③❡r♦ ❡✐❣❡♥✈❛❧✉❡ ❡q✉❛❧ t♦ ✶✳

✸✸

❆ s✐♠✐❧❛r ❡①♣r❡ss✐♦♥ ❝❛♥ ❜❡ ✇r✐tt❡♥ ❢♦r t❤❡ ❥♦✐♥t ❡♥tr♦♣② ♦❢ ❛ ❞❡♥s✐t② ♠❛tr✐① ρ(AB) ♦❢
t✇♦ s②st❡♠s A ❛♥❞ B ✳ ❚❤❡ ❝♦♥❞✐t✐♦♥❛❧ ♣r♦❜❛❜✐❧✐t② ✭✸✳✸✮ ❢r♦♠ ❙❤❛♥♥♦♥✬s t❤❡♦r② ✐s ❡①t❡♥❞❡❞
t♦ q✉❛♥t✉♠ s②st❡♠s ✇✐t❤ ❛ ❝♦♥❞✐t✐♦♥❛❧ ✏❛♠♣❧✐t✉❞❡ ♠❛tr✐①✑ ρ(A|B) s♦ t❤❛t t❤❡ ❝♦♥❞✐t✐♦♥❛❧
✈♦♥ ◆❡✉♠❛♥♥ ❡♥tr♦♣② ✐s

✭✸✳✶✷✮

S(A|B) = −Tr ρ(AB) log ρ(A|B) .

❚❤❡ ❝♦♥❞✐t✐♦♥❛❧ ❛♠♣❧✐t✉❞❡ ♠❛tr✐① ✐s ♥♦t ❛ ❞❡♥s✐t② ♠❛tr✐① s✐♥❝❡ ❚r[ρ(A|B)] = 1✱ s✐♠✐❧❛r❧② t♦
ij pi|j

= 1 ❢♦r ❝❧❛ss✐❝❛❧ ♣r♦❜❛❜✐❧✐t✐❡s✳ ◆♦♥❡t❤❡❧❡ss✱ ✐t ✐s ❛ ♣♦s✐t✐✈❡ s❡♠✐✲❞❡✜♥✐t❡ ❍❡r♠✐t✐❛♥

♠❛tr✐① ✇✐t❤ ♥♦♥✲♥❡❣❛t✐✈❡ ❛♥❞ r❡❛❧ ❡✐❣❡♥✈❛❧✉❡s✳ ❈❡r❢ ❛♥❞ ❆❞❛♠✐ ❞❡✜♥❡❞ ✐♥ ❬✺✽❪ t❤❡ ❝♦♥❞✐t✐♦♥❛❧
❛♠♣❧✐t✉❞❡ ♠❛tr✐① ❛s

ρ(A|B) = exp log ρ(AB) − log ✶A ⊗ ρ(B)

= lim

n→∞

ρ(AB)1/n ✶A ⊗ ρ(B)

−1/n n

, ✭✸✳✶✸✮

✇❤❡r❡ t❤❡ ❡✐❣❡♥✈❛❧✉❡s ♦❢ t❤✐s ♦♣❡r❛t♦r ❛r❡ r❡❧❛t❡❞ t♦ t❤❡ s❡♣❛r❛❜✐❧✐t② ♦❢ t❤❡ ✉♥❞❡r❧②✐♥❣ ❜✐✲
♣❛rt✐t❡ st❛t❡ ρ(AB) ❬✺✾✱ ✻✵❪✳ ❚❤❡r❡ ❤❛✈❡ ❜❡❡♥ ♦t❤❡r ❞❡✜♥✐t✐♦♥s ♣r♦♣♦s❡❞ ✐♥ ❛❞❞✐t✐♦♥ t♦ t❤❡
♦♥❡ ❞❡s❝r✐❜❡❞ ❤❡r❡ ✭s❡❡✱ ❡✳❣✳✱ ❘❡❢✳ ❬✻✶❪✮✳
❲✐t❤ t❤❡ ❞❡✜♥✐t✐♦♥ ✭✸✳✶✸✮✱ t❤❡ ❝♦♥❞✐t✐♦♥❛❧ ❡♥tr♦♣② ✭✸✳✶✷✮ ✐s ❡q✉✐✈❛❧❡♥t❧②

S(A|B) = S(AB) − S(B),

✭✸✳✶✹✮

✐♥ ❞✐r❡❝t ❛♥❛❧♦❣② ✇✐t❤ ✭✸✳✺✮✳ ■♥ t❤❡ ❝❧❛ss✐❝❛❧ ❧✐♠✐t t❤❡ ♠❛tr✐① ✭✸✳✶✸✮ ✐s ❞✐❛❣♦♥❛❧✱ ✇✐t❤ ❡❧❡♠❡♥ts

pi|j ✱ ❛♥❞ t❤❡ ❝♦♥❞✐t✐♦♥❛❧ ❡♥tr♦♣② ✭✸✳✶✷✮ ❝♦✐♥❝✐❞❡s ✇✐t❤ t❤❡ ❝❧❛ss✐❝❛❧ r❡s✉❧t ✭✸✳✸✮✳ ❍♦✇❡✈❡r✱ ✐t
✐s ♣♦ss✐❜❧❡ ❢♦r t❤❡ ❡✐❣❡♥✈❛❧✉❡s ♦❢ ρ(A|B) t♦ ❡①❝❡❡❞ ✉♥✐t②✳ ❚❤✐s ❧❡❛❞s t♦ ❛ ♥❡❣❛t✐✈❡ ❝♦♥❞✐t✐♦♥❛❧
✈♦♥ ◆❡✉♠❛♥♥ ❡♥tr♦♣②✱ s♦♠❡t❤✐♥❣ t❤❛t ✐s ✐♠♣♦ss✐❜❧❡ ✐♥ ❝❧❛ss✐❝❛❧ ♣❤②s✐❝s✳ ❚❤❛t ✐s✱ ✉♥❞❡r
❝❡rt❛✐♥ ❝♦♥❞✐t✐♦♥s S(AB) < S(B)✱ ✇❤✐❝❤ ♦❝❝✉rs ✇❤❡♥ A ❛♥❞ B ❛r❡ ❡♥t❛♥❣❧❡❞ ❬✺✽✱ ✺✾❪✳ ❋♦r

✸✹

t❤❡ ❇❡❧❧ st❛t❡ |AB

= √1 (|00 + |11 )✱ t❤❡ ❥♦✐♥t ❡♥tr♦♣② ✐s ③❡r♦✱ S(AB) = 0✱ ✇❤✐❧❡ t❤❡
2

♠❛r❣✐♥❛❧ ❡♥tr♦♣✐❡s ❛r❡ S(A) = S(B) = 1✱ s♦ t❤❛t t❤❡ ❝♦♥❞✐t✐♦♥❛❧ ❡♥tr♦♣✐❡s ❛r❡ ♥❡❣❛t✐✈❡✱

S(A|B) = S(B|A) = −1✳ ❚❤✐s ♥❡❣❛t✐✈✐t② ♦❢ ❝♦♥❞✐t✐♦♥❛❧ ❡♥tr♦♣✐❡s ✐s ❛ss♦❝✐❛t❡❞ ✇✐t❤ ❛
✈✐♦❧❛t✐♦♥ ♦❢ ❡♥tr♦♣✐❝ ❇❡❧❧ ✐♥❡q✉❛❧✐t✐❡s ❬✻✷❪ ❛♥❞ ❤❛s ❛♥ ♦♣❡r❛t✐♦♥❛❧ ♠❡❛♥✐♥❣ ✐♥ t❤❡ ❝♦♥t❡①t ♦❢
♣❛rt✐❛❧ q✉❛♥t✉♠ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥ ❛♥❞ q✉❛♥t✉♠ st❛t❡ ♠❡r❣✐♥❣ ♣r♦t♦❝♦❧s ❬✻✸❪✳
❙✐♠✐❧❛r❧② t♦ t❤❡ ❝♦♥❞✐t✐♦♥❛❧ ❡♥tr♦♣② ✭✸✳✶✷✮✱ t❤❡ ♠✉t✉❛❧ ✈♦♥ ◆❡✉♠❛♥♥ ❡♥tr♦♣②✱

✭✸✳✶✺✮

S(A : B) = −Tr ρ(AB) log ρ(A : B) ,

❝❛♥ ❜❡ ❞❡✜♥❡❞ ✇✐t❤ ❛ ♠✉t✉❛❧ ❛♠♣❧✐t✉❞❡ ♠❛tr✐① ❬✺✽❪✱

ρ(A : B) = exp log ρ(A) ⊗ ρ(B) − log ρ(AB) = lim

n→∞

ρ(A) ⊗ ρ(B)

1/n

ρ(AB)−1/n

n

.

✭✸✳✶✻✮
❚❤✐s ②✐❡❧❞s t❤❡ q✉❛♥t✉♠ ✈❡rs✐♦♥ ♦❢ ✭✸✳✻✮✱

S(A : B) = S(A) + S(B) − S(AB) = S(A) − S(A|B).

✭✸✳✶✼✮

❚❤❡ ♠✉t✉❛❧ ❡♥tr♦♣② ✐s ❛ ❢✉♥❞❛♠❡♥t❛❧ q✉❛♥t✐t② ✉s❡❞ ✐♥ t❤❡ ❞❡s❝r✐♣t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ❝❛♣❛❝✐t② ♦❢
q✉❛♥t✉♠ ❝❤❛♥♥❡❧s ❛♥❞ ❢♦r q✉❛♥t✉♠ ❡rr♦r✲❝♦rr❡❝t✐♥❣ ❝♦❞❡s ❬✻✹❪✳

✸✳✸✳✷ ■♥❡q✉❛❧✐t✐❡s ❢♦r ✈♦♥ ◆❡✉♠❛♥♥ ❊♥tr♦♣②
❚❤❡ ✈♦♥ ◆❡✉♠❛♥♥ ❡♥tr♦♣② ♦❢ t✇♦ s②st❡♠s A ❛♥❞ B s❛t✐s✜❡s t❤❡ s✉❜❛❞❞✐t✐✈✐t② ❝♦♥❞✐t✐♦♥✱

S(AB) ≤ S(A) + S(B),

✸✺

✭✸✳✶✽✮

✐♥ ❞✐r❡❝t ❛♥❛❧♦❣② ✇✐t❤ t❤❡ ❝❧❛ss✐❝❛❧ r❡s✉❧t ✭✸✳✽✮✳ ❍♦✇❡✈❡r✱ ✐♥ ❝♦♥tr❛st t♦ ✭✸✳✾✮✱ t❤❡ ❥♦✐♥t ✈♦♥
◆❡✉♠❛♥♥ ❡♥tr♦♣② ❤❛s t❤❡ ❧♦✇❡r ❜♦✉♥❞

S(AB) ≥ |S(A) − S(B)|,

✭✸✳✶✾✮

✇❤✐❝❤ ✐s ❦♥♦✇♥ ❛s t❤❡ tr✐❛♥❣❧❡ ✐♥❡q✉❛❧✐t② ♦r t❤❡ ❆r❛❦✐✲▲✐❡❜ ✐♥❡q✉❛❧✐t② ❬✻✺❪✳ ❋♦r ❡①❛♠♣❧❡✱
✐❢ A ❛♥❞ B ❛r❡ ✐♥ ❛♥ ❡♥t❛♥❣❧❡❞ ♣✉r❡ st❛t❡✱ t❤❡♥ S(AB) = 0 ❛♥❞ S(A) = S(B) ≥ 0✳ ❚❤✐s
✐♠♣❧✐❡s t❤❛t t❤❡ ❥♦✐♥t st❛t❡ ♦❢ t❤❡ s②st❡♠ ✐s ❢✉❧❧② ❦♥♦✇♥✱ ❜✉t ✐t ❝❛♥♥♦t ❜❡ ❞❡t❡r♠✐♥❡❞ ❢r♦♠
t❤❡ s✉❜s②st❡♠s ❛❧♦♥❡ s✐♥❝❡ t❤❡② ❛r❡ ❡♥tr♦♣✐❝✳
❇♦t❤ ♦❢ t❤❡s❡ ✐♥❡q✉❛❧✐t✐❡s ❝❛♥ ❜❡ ❡①t❡♥❞❡❞ t♦ ❛♥ ✐♥❡q✉❛❧✐t② ❢♦r t❤r❡❡ s②st❡♠s✱ A✱ B ❛♥❞

C ✳ ❚❤✐s ♣r♦♣❡rt② ✐s ❦♥♦✇♥ ❛s str♦♥❣ s✉❜❛❞❞✐t✐✈✐t② ❬✻✻✱ ✻✼❪✱

S(ABC) + S(B) ≤ S(AB) + S(BC),

✭✸✳✷✵✮

❛♥❞ t❤❡r❡ ✐s ❛ ❝♦rr❡s♣♦♥❞✐♥❣ ✈❡rs✐♦♥ ❢♦r ❙❤❛♥♥♦♥ ❡♥tr♦♣②✳ ❚❤✐s ❡①♣r❡ss✐♦♥ ❝❛♥ ❜❡ r❡❝❛st ✐♥
t✇♦ ❡q✉✐✈❛❧❡♥t ❢♦r♠s✳ ❋✐rst✱ ✐♥ t❡r♠s ♦❢ ❝♦♥❞✐t✐♦♥❛❧ ❡♥tr♦♣✐❡s✱

S(C|B) − S(C|BA) ≥ 0,

✭✸✳✷✶✮

❛♥❞ s❡❝♦♥❞ ✐♥ t❡r♠s ♦❢ ❛ ❝♦♥❞✐t✐♦♥❛❧ ♠✉t✉❛❧ ❡♥tr♦♣②✱

S(A : C|B) ≥ 0.

✭✸✳✷✷✮

❲❤❡♥ ❞✐s❝✉ss✐♥❣ ❝♦♥s❡❝✉t✐✈❡ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥ts ✐♥ ❈❤❛♣t❡r ✼✱ ✇❡ ✇✐❧❧ s❡❡ t❤❛t t❤✐s q✉❛♥t✐t②
✈❛♥✐s❤❡s ❢♦r ❛ ♣❛rt✐❝✉❧❛r s❡t ♦❢ s②st❡♠s A✱ B ✱ ❛♥❞ C ✱ ❛♥❞ ✐s ❝❛❧❧❡❞ ❛ q✉❛♥t✉♠ ▼❛r❦♦✈
❝❤❛✐♥ ❬✻✽✕✼✵❪✳

✸✻

S(A|B) S(A :B) S(B|A)

A

B

❋✐❣✉r❡ ✸✳✶✿ ❊♥tr♦♣② ❱❡♥♥ ❞✐❛❣r❛♠ ❢♦r t✇♦ s②st❡♠s A ❛♥❞ B ✳

✸✳✸✳✸ ❊♥tr♦♣② ❱❡♥♥ ❉✐❛❣r❛♠s
❆ ✉s❡❢✉❧ t♦♦❧ ❢♦r ✈✐s✉❛❧✐③✐♥❣ ❤♦✇ ❡♥tr♦♣② ✐s ❞✐str✐❜✉t❡❞ ❜❡t✇❡❡♥ ❝♦rr❡❧❛t❡❞ s②st❡♠s ✐s t❤❡
❡♥tr♦♣② ❱❡♥♥ ❞✐❛❣r❛♠ ❬✺✾❪✳ ❆ ❣❡♥❡r❛❧ ❞✐❛❣r❛♠ ❢♦r t✇♦ s②st❡♠s✱ A ❛♥❞ B ✱ ✐s s❤♦✇♥ ✐♥
❋✐❣✳ ✸✳✶✳ ■♥ ❣❡♥❡r❛❧✱ t❤❡ r❡❣✐♦♥s t❤❛t ♦✈❡r❧❛♣ ❛r❡ ♠✉t✉❛❧ ❡♥tr♦♣✐❡s✱ S(A : B)✱ ✇❤✐❧❡ t❤❡
♥♦♥✲♦✈❡r❧❛♣♣✐♥❣ r❡❣✐♦♥s ❛r❡ ❝♦♥❞✐t✐♦♥❛❧ ❡♥tr♦♣✐❡s✱ S(A|B) ❛♥❞ S(B|A)✳

❚❤❡ ❡♥tr♦♣② ♦❢

t❤❡ ❡♥t✐r❡ s②st❡♠ ✐s ❢♦✉♥❞ ❜② ❛❞❞✐♥❣ t♦❣❡t❤❡r ❛❧❧ ❡♥tr✐❡s ✐♥ t❤❡ ❞✐❛❣r❛♠✳

■♥ t❤✐s ❝❛s❡✱

S(A|B) + S(A : B) + S(B|A) = S(AB)✳ ❚❤❡ ♠❛r❣✐♥❛❧ ❡♥tr♦♣② ♦❢ ♦♥❡ s②st❡♠ ✐s t❤❡ s✉♠
♦❢ ❛❧❧ ❡♥tr♦♣✐❡s ✐♥ ✐ts ❝✐r❝❧❡✳ ❋♦r ✐♥st❛♥❝❡✱ t❤❡ ❡♥tr♦♣② ♦❢ A ✐s ♦❜t❛✐♥❡❞ ❜② ❛❞❞✐♥❣ t♦❣❡t❤❡r

S(A|B) ❛♥❞ S(A : B)✱ ✇❤✐❝❤ ②✐❡❧❞s S(A)✳ ❚♦ ✈✐s✉❛❧✐③❡ t❤❡ ♠❛t❤❡♠❛t✐❝❛❧ ♦♣❡r❛t✐♦♥ ♦❢ tr❛❝✐♥❣
♦✈❡r ❛ s②st❡♠ ✐♥ ❛ ❞❡♥s✐t② ♠❛tr✐①✱ s✐♠♣❧② ✐❣♥♦r❡ t❤❡ ❡♥tr✐❡s t❤❛t ❛r❡ ♦♥❧② ✐♥ ✐ts ❝✐r❝❧❡✳ ❋♦r
❡①❛♠♣❧❡✱ tr❛❝✐♥❣ ♦✈❡r B ✐♠♣❧✐❡s t❤❛t ♦♥❡ ✐s ❧❡❢t ✇✐t❤ S(A|B) ❛♥❞ S(A : B)✱ ✇❤✐❝❤ ✐s ❥✉st

S(A)✱ t❤❡ ❡♥tr♦♣② ♦❢ A✳
■❢ t❤❡ st❛t❡ ρ(AB) ✉♥❞❡r❧②✐♥❣ t❤❡ ❞✐❛❣r❛♠s ✐♥ ❋✐❣✳ ✸✳✶ ✐s ❛ ♣✉r❡ st❛t❡✱ t❤❡♥ t❤❡ ❥♦✐♥t
❡♥tr♦♣② ♥❡❝❡ss❛r✐❧② ✈❛♥✐s❤❡s✱ S(AB) = 0✳ ❋r♦♠ t❤❡ ❙❝❤♠✐❞t ❞❡❝♦♠♣♦s✐t✐♦♥ ✭❞✐s❝✉ss❡❞ ❧❛t❡r
✐♥ ❙❡❝✳ ✸✳✹✳✶✮✱ ✐t ❢♦❧❧♦✇s t❤❛t S(A) = S(B)✱ ❛♥❞ ❤❡♥❝❡

S(A|B) = −S(A),

✭✸✳✷✸✮

S(A : B) = 2 S(A).

✭✸✳✷✹✮

✸✼

1

✳

0

✭❛✮

1

0

1

0

✭❜✮

−1

2

−1

✭❝✮

❋✐❣✉r❡ ✸✳✷✿ ❊①❛♠♣❧❡s ♦❢ ❡♥tr♦♣② ❱❡♥♥ ❞✐❛❣r❛♠s ❢♦r t✇♦ s②st❡♠s✳ ✭❛✮ ❇♦t❤ s②st❡♠s ❛r❡
✐♥❞❡♣❡♥❞❡♥t ✭✉♥❝♦rr❡❧❛t❡❞✮❀ ✭❜✮ ♣❡r❢❡❝t❧② ❝♦rr❡❧❛t❡❞❀ ❛♥❞ ✭❝✮ q✉❛♥t✉♠ ❡♥t❛♥❣❧❡❞✳
❚❤❡r❡ ❛r❡ t❤r❡❡ ✐♠♣♦rt❛♥t ❝❛s❡s t❤❛t ❝❛♣t✉r❡ t❤❡ t②♣❡s ♦❢ ❝♦rr❡❧❛t✐♦♥s t❤❛t ❝❛♥ ❡①✐st
❜❡t✇❡❡♥ t✇♦ s②st❡♠s✱ A ❛♥❞ B ✭r❡❝❛❧❧ t❤❡ ❝♦rr❡❧❛t✐♦♥s ✐♥ t❤❡ ❝♦♥t❡①t ♦❢ ❞❡♥s✐t② ♠❛tr✐❝❡s t❤❛t
✇❡r❡ ❞✐s❝✉ss❡❞ ✐♥ ❈❤✳ ✷✳✸✮✳ ❲❡ s❤♦✇ t❤❡ ❡♥tr♦♣② ❱❡♥♥ ❞✐❛❣r❛♠ ❢♦r ❡❛❝❤ ❝❛s❡ ✐♥ ❋✐❣✳ ✸✳✷✳ ❋✐rst✱
t❤❡ t✇♦ s②st❡♠s ❝❛♥ ❜❡ ❝♦♠♣❧❡t❡❧② ✉♥❝♦rr❡❧❛t❡❞✱ ρ(AB) = ρ(A)⊗ρ(B)✳ ■♥ t❤✐s ❝❛s❡✱ t❤❡ t♦t❛❧
❡♥tr♦♣② ✐s t❤❡ s✉♠ ♦❢ t❤❡ ♠❛r❣✐♥❛❧ ❡♥tr♦♣✐❡s s♦ t❤❛t S(A|B) = S(A)✱ S(B|A) = S(B)✱ ❛♥❞

S(A : B) = 0✳ ❙❡❝♦♥❞✱ t❤❡② ❝❛♥ ❜❡ ❝♦rr❡❧❛t❡❞ s✉❝❤ t❤❛t t❤❡✐r ❝♦♥❞✐t✐♦♥❛❧ ❡♥tr♦♣✐❡s ✈❛♥✐s❤✳
❚❤❛t ✐s✱ t❤❡ st❛t❡ ♦❢ ♦♥❡ s②st❡♠ ❞❡t❡r♠✐♥❡s t❤❡ st❛t❡ ♦❢ t❤❡ ♦t❤❡r s②st❡♠✳ ❋♦r ❡①❛♠♣❧❡✱ ♦♥❡
♣♦ss✐❜❧❡ ❝♦rr❡❧❛t❡❞ st❛t❡ ✐s ρ(AB) = 21 (|00 00| + |11 11|)✳ ❍❡r❡✱ S(A|B) = S(B|A) = 0 ❛♥❞

S(A : B) = 1✳ ❚❤❡s❡ t✇♦ s✐t✉❛t✐♦♥s ❝❛♥ ♦❝❝✉r ✐♥ ❜♦t❤ ❝❧❛ss✐❝❛❧ ❛♥❞ q✉❛♥t✉♠ s②st❡♠s✳ ❚❤❡
t❤✐r❞ ❝❛s❡ ♦❝❝✉rs ✇❤❡♥ A ❛♥❞ B ❛r❡ q✉❛♥t✉♠ ❡♥t❛♥❣❧❡❞ ❛♥❞ ✐s ❝❤❛r❛❝t❡r✐③❡❞ ❜② ❛ ♥❡❣❛t✐✈❡
❝♦♥❞✐t✐♦♥❛❧ ❡♥tr♦♣②✳ ❖♥❡ ❡①❛♠♣❧❡ ♦❢ ❛♥ ❡♥t❛♥❣❧❡❞ st❛t❡ ✐s |AB = √1 (|00 + |11 )✱ t❤❡ ❇❡❧❧
2
st❛t❡✳ ❍❡r❡✱ S(A|B) = S(B|A) = −1 ❛♥❞ S(A : B) = 2✳
◗✉❛♥t✉♠ ❡♥t❛♥❣❧❡♠❡♥t ❝♦♥st✐t✉t❡s ❛ ♠❛❥♦r ❞❡♣❛rt✉r❡ ❢r♦♠ t❤❡ ♣♦ss✐❜❧❡ ❝♦rr❡❧❛t✐♦♥s ✐♥
t❤❡ ❙❤❛♥♥♦♥ t❤❡♦r②✳ ❯s✐♥❣ ✭✸✳✾✮ ❛♥❞ ✭✸✳✶✾✮ ♦♥❡ ❝❛♥ s❤♦✇ ❬✼✶❪ t❤❛t t❤❡ ♠✉t✉❛❧ ❡♥tr♦♣②

S(A : B) ✐s ❜♦✉♥❞❡❞ ❢r♦♠ ❛❜♦✈❡ ❜② S(A : B) ≤ 2 min[S(A), S(B)]✱ ✇❤✐❝❤ ❝❛♥ ❜❡ t✇✐❝❡
t❤❡ ❝❧❛ss✐❝❛❧ ✉♣♣❡r ❜♦✉♥❞ H(A : B) ≤ min[H(A), H(B)]✳

❚❤✐s ❢❡❛t✉r❡ ✐s ❡①♣❧♦✐t❡❞ ✐♥

s✉♣❡r❞❡♥s❡ ❝♦❞✐♥❣ ♣r♦t♦❝♦❧s ❬✻❪✳ ◗✉❛♥t✉♠ ❡♥t❛♥❣❧❡♠❡♥t ✐s ✉❜✐q✉✐t♦✉s ✐♥ q✉❛♥t✉♠ ❝♦♠♣✉t✐♥❣
❛♥❞ ❝♦♠♠✉♥✐❝❛t✐♦♥ ♣r♦t♦❝♦❧s✱ ♦♥❡ ♦❢ t❤❡ ♠♦st ❢❛♠♦✉s ❜❡✐♥❣ q✉❛♥t✉♠ t❡❧❡♣♦rt❛t✐♦♥✳

✸✽

B

S(B|AC)
S(A :B|C)

S(B :C|A)

S(A :B :C)

S(A|BC)

S(C|AB)
S(A :C|B)

A

C

❋✐❣✉r❡ ✸✳✸✿ ❊♥tr♦♣② ❱❡♥♥ ❞✐❛❣r❛♠ ❢♦r t❤r❡❡ s②st❡♠s A✱ B ✱ ❛♥❞ C ✳ ❚❤❡ ❡♥tr♦♣② s❤❛r❡❞ ❜②
❛❧❧ t❤r❡❡ s②st❡♠s ✐s t❤❡ t❡r♥❛r② ♠✉t✉❛❧ ❡♥tr♦♣② S(A : B : C) ❛♥❞ ✈❛♥✐s❤❡s ✐❢ ρ(ABC) ✐s ❛
♣✉r❡ st❛t❡✳
❚❤❡ ❡♥tr♦♣② r❡❧❛t✐♦♥s❤✐♣s t❤❛t ❤❛✈❡ ❜❡❡♥ ❞✐s❝✉ss❡❞ t❤✉s ❢❛r ❝❛♥ ❜❡ ❡❛s✐❧② ❡①t❡♥❞❡❞ t♦
❝❤❛r❛❝t❡r✐③❡ ♠✉❧t✐♣❛rt✐t❡ s②st❡♠s✳ ❋r❡q✉❡♥t❧②✱ ♦♥❡ ✐s ✐♥t❡r❡st❡❞ ✐♥ t❤❡ ❡♥tr♦♣② r❡❧❛t✐♦♥s❤✐♣s
✭s❡❡ ❋✐❣✳ ✸✳✸✮ ❜❡t✇❡❡♥ t❤r❡❡ s②st❡♠s A✱ B ✱ ❛♥❞ C ❬✺✾✱ ✻✵✱ ✼✷❪✳ ❋♦r ❡①❛♠♣❧❡✱ t❤❡ ❡♥tr♦♣② ♦❢ A
❝♦♥❞✐t✐♦♥❛❧ ♦♥ t❤❡ ❥♦✐♥t s②st❡♠ BC ✐s

S(A|BC) = S(ABC) − S(BC).

✭✸✳✷✺✮

❚❤❡ ❝♦♥❞✐t✐♦♥❛❧ ♠✉t✉❛❧ ❡♥tr♦♣② ✐s ❞❡✜♥❡❞ ❛s t❤❡ ♠✉t✉❛❧ ❡♥tr♦♣② ❜❡t✇❡❡♥ A ❛♥❞ B ✱ ❣✐✈❡♥
t❤❡ s②st❡♠ C ✿

S(A : B|C) = S(A|C) − S(A|BC)
✭✸✳✷✻✮

= S(AC) + S(BC) − S(C) − S(ABC).

✸✾

❚❤❡ ❡♥tr♦♣② s❤❛r❡❞ ❜② ❛❧❧ t❤r❡❡ s②st❡♠s ✐s t❤❡ t❡r♥❛r② ♠✉t✉❛❧ ❡♥tr♦♣② ❛♥❞ ✐s ❞❡✜♥❡❞ ❛s

S(A : B : C) = S(A : B) − S(A : B|C)
✭✸✳✷✼✮

= S(A) + S(B) + S(C) − S(AB) − S(AC) − S(BC) + S(ABC).
■❢ t❤❡ st❛t❡ ρ(ABC) ✉♥❞❡r❧②✐♥❣ t❤❡ s②st❡♠ ABC ✐s ❛ ♣✉r❡ st❛t❡✱ t❤❡♥ t❤❡ t❡r♥❛r② ♠✉t✉❛❧
❡♥tr♦♣② ❛❧✇❛②s ✈❛♥✐s❤❡s✱ S(A : B : C) = 0✳ ❚❤❛t ✐s✱ ✉s✐♥❣ t❤❡ ❙❝❤♠✐❞t ❞❡❝♦♠♣♦s✐t✐♦♥ ✭s❡❡
❙❡❝✳ ✸✳✹✳✶✮ ❛ ❜✐♣❛rt✐t❡ ✏❝✉t✑ ♦❢ t❤❡ ❥♦✐♥t s②st❡♠ ABC ❝❛♥ ❜❡ ♠❛❞❡ s✉❝❤ t❤❛t S(A) = S(BC)✱

S(B) = S(AC)✱ ❛♥❞ S(C) = S(AB)✳ ■♥ t❤✐s ❝❛s❡✱ t❤❡ ❡♥tr✐❡s ♦❢ t❤❡ ❱❡♥♥ ❞✐❛❣r❛♠ ✸✳✸ ❛r❡

S(A | BC) = −S(A),

✭✸✳✷✽✮

S(A : B | C) = S(B) + S(A) − S(C),

✭✸✳✷✾✮

S(A : B : C) = 0.

✭✸✳✸✵✮

❆s ❛♥ ✐❧❧✉str❛t✐✈❡ ❡①❛♠♣❧❡ ♦❢ t❤❡ tr✐♣❛rt✐t❡ ❱❡♥♥ ❞✐❛❣r❛♠✱ ❝♦♥s✐❞❡r t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ❡♥t❛♥❣❧❡❞
st❛t❡ ♦❢ t❤r❡❡ q✉❜✐ts ✭❛❧s♦ ❦♥♦✇♥ ❛s ❛ ●❍❩ st❛t❡ ❬✸✶❪✮✱

1
|ABC = √ |000 + |111 .
2

✭✸✳✸✶✮

❙✐♥❝❡ t❤❡ st❛t❡ ✐s ❡✈✐❞❡♥t❧② ♣✉r❡ ❛♥❞ ❡♥t❛♥❣❧❡❞✱ t❤❡ t❡r♥❛r② ♠✉t✉❛❧ ❡♥tr♦♣② ✈❛♥✐s❤❡s ❛♥❞ t❤❡
❝♦♥❞✐t✐♦♥❛❧ ❡♥tr♦♣✐❡s ❛r❡ ♥❡❣❛t✐✈❡✳ ❍♦✇❡✈❡r✱ tr❛❝✐♥❣ ♦✈❡r ❛♥② ♣❛rt ♦❢ t❤❡ st❛t❡ r❡✈❡❛❧s t❤❛t
❡❛❝❤ r❡s✉❧t✐♥❣ s✉❜s②st❡♠ ✐s ❛ ♠✐①❡❞ st❛t❡ ✇✐t❤ ❛♥ ❡♥tr♦♣② ♦❢ ✶ ❜✐t✳ ❙❡❡ ❋✐❣✳ ✸✳✹ ✭❛✮✳ ❚❤✐s ✐s
❛♥ ❡①❛♠♣❧❡ ♦❢ t❤❡ ♣r✐♥❝✐♣❧❡ ❦♥♦✇♥ ❛s t❤❡ ♠♦♥♦❣❛♠② ♦❢ ❡♥t❛♥❣❧❡♠❡♥t ❬✼✸❪✳ ❚❤❛t ✐s✱ ✐❢ t✇♦
s②st❡♠s A ❛♥❞ B ❛r❡ ♠❛①✐♠❛❧❧② ❡♥t❛♥❣❧❡❞ ✭❡✳❣✳✱ ✐♥ ❛ ❇❡❧❧ st❛t❡✮✱ t❤❡② ❝❛♥♥♦t ❜❡ ❝♦rr❡❧❛t❡❞
✇✐t❤ ❛ t❤✐r❞ s②st❡♠✱ C ✳ P❛rt✐t✐♦♥✐♥❣ ✭✸✳✸✶✮ ✐♥t♦ ❛♥② t✇♦ s✉❜s②st❡♠s✱ s❛②✱ AB ❛♥❞ C ✱ r❡✈❡❛❧s
t❤❛t t❤❡ t✇♦ ❤❛❧✈❡s ❛r❡ ♠❛①✐♠❛❧❧② ❡♥t❛♥❣❧❡❞✳ ❍♦✇❡✈❡r✱ tr❛❝✐♥❣ ♦✈❡r A✱ B ♦r C ②✐❡❧❞s ❛

✹✵

B

B

−1

0

1

1

1

−1

1

1
−1

0
−1

A

0

C

1

0

A

✭❛✮

C
✭❜✮

❋✐❣✉r❡ ✸✳✹✿ ❊♥tr♦♣② ❱❡♥♥ ❞✐❛❣r❛♠ ❢♦r ✭❛✮ t❤❡ ●❍❩ st❛t❡ ✭✸✳✸✶✮ ❛♥❞ ❢♦r ✭❜✮

①♦r ❡♥❝r②♣t✐♦♥✳

♠✐①❡❞ st❛t❡ ❢♦r t❤❡ r❡♠❛✐♥✐♥❣ s②st❡♠✱ ✇❤✐❝❤ ❝❛♥♥♦t ❜❡ ❛ ♠❛①✐♠❛❧❧② ❡♥t❛♥❣❧❡❞ st❛t❡✳
❆ s❡❝♦♥❞ ❡①❛♠♣❧❡ ♦❢ tr✐♣❛rt✐t❡ ❱❡♥♥ ❞✐❛❣r❛♠s ❞❡♠♦♥str❛t❡s ❛ s✐♠♣❧❡ t②♣❡ ♦❢ ❡♥❝r②♣t✐♦♥✳
❙✉♣♣♦s❡ t❤❡r❡ ✐s ❛ ❥♦✐♥t s②st❡♠ t❤❛t s❛t✐s✜❡s t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣✿ S(ABC) = S(AB) = S(AC) =

S(BC) = 2 ❜✐ts ❛♥❞ S(A) = S(B) = S(C) = 1 ❜✐t✳ ■♥ t❤✐s ❝❛s❡✱ t❤❡ ❱❡♥♥ ❞✐❛❣r❛♠ ✐s ❛s
s❤♦✇♥ ✐♥ ❋✐❣✳ ✸✳✹✭❜✮✳ ■❢ t❤❡ ❥♦✐♥t st❛t❡ ♦❢ ❛♥② t✇♦ s②st❡♠s ✐s s♣❡❝✐✜❡❞✱ t❤❡♥ t❤❡ st❛t❡ ♦❢ t❤❡
t❤✐r❞ ✐s ❢✉❧❧② ❦♥♦✇♥✳ ❚❤❛t ✐s✱ S(A|BC) = 0✳ ❋✉rt❤❡r♠♦r❡✱ tr❛❝✐♥❣ ♦✈❡r ❛♥② s✉❜s②st❡♠ ❧❡❛✈❡s
t❤❡ ♦t❤❡r t✇♦ ✇✐t❤ ♥♦ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥✱ S(A : B) = 1 − 1 = 0✳ ❍♦✇❡✈❡r✱ ❝♦♥❞✐t✐♦♥✐♥❣ ♦♥ t❤❡
st❛t❡ ♦❢ t❤❡ t❤✐r❞ s②st❡♠ ②✐❡❧❞s ❢✉❧❧ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥✱ S(A : B|C) = 1✳ ❋♦r ❡①❛♠♣❧❡✱ ❝♦♥s✐❞❡r ❛
♠❡ss❛❣❡ ✐♥ ♣❧❛✐♥ t❡①t ✭A✮ ❛♥❞ ❛♥ ❡♥❝r②♣t✐♦♥ ❦❡② ✭B ✮ t❤❛t ♣r♦❞✉❝❡s ❛♥ ❡♥❝r②♣t❡❞ ❝✐♣❤❡r t❡①t
✭C ✮ ❛❝❝♦r❞✐♥❣ t♦ t❤❡

①♦r

❣❛t❡✳ ❲✐t❤♦✉t t❤❡ ❦❡②✱ ♦♥❡ ❝❛♥♥♦t ❣❛✐♥ ❛♥② ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥ ❛❜♦✉t

t❤❡ ♣❧❛✐♥ t❡①t ❢r♦♠ t❤❡ ❝✐♣❤❡r t❡①t s✐♥❝❡ S(A : C) = 0✳ ❲✐t❤ t❤❡ ❦❡②✱ S(A : C|B) = 1✱ ❛♥❞
♦♥❡ ❝❛♥ ❡①tr❛❝t t❤❡ ♦r✐❣✐♥❛❧ ♠❡ss❛❣❡✳
❋♦r ❛ ❣❡♥❡r❛❧ n✲♣❛rt✐t❡ s②st❡♠✱ t❤❡ ❡♥tr♦♣② r❡❧❛t✐♦♥s❤✐♣s ❝❛♥ ❜❡ ✇r✐tt❡♥ ❞♦✇♥ ✐♥ t❤❡ ❢♦r♠
♦❢ ✏❝❤❛✐♥ r✉❧❡s✑ ❢♦r q✉❛♥t✉♠ ❡♥tr♦♣✐❡s✳ ◆❛♠❡❧②✱ t❤❡ ❥♦✐♥t ❡♥tr♦♣② ♦❢ n s②st❡♠s ✐s

S(A1 . . . An ) = S(A1 ) + S(A2 |A1 ) + S(A3 |A1 A2 ) + . . . ,
✹✶

✭✸✳✸✷✮

✇❤✐❧❡

S(A1 . . . An : An+1 ) = S(A1 : An+1 )+S(A2 : An+1 |A1 )+S(A3 : An+1 |A1 A2 )+. . . , ✭✸✳✸✸✮

q✉❛♥t✐✜❡s t❤❡ ♠✉t✉❛❧ ❡♥tr♦♣② ❜❡t✇❡❡♥ t❤❡ n s②st❡♠s ❛♥❞ ❛♥ ❛❞❞✐t✐♦♥❛❧ s②st❡♠ An+1 ✳ ❘❡✲
♠❛r❦❛❜❧②✱ ✇❡ ✇✐❧❧ s❡❡ ✐♥ ❈❤✳ ✻ t❤❛t t❤❡ ❝♦♠♣❧❡♠❡♥t❛r✐t② r❡❧❛t✐♦♥ ✐♥ t❤❡ ❢❛♠♦✉s ❇❡❧❧✲st❛t❡
q✉❛♥t✉♠ ❡r❛s❡r ✐s ❞✉❡ t♦ t❤❡ ❝❤❛✐♥ r✉❧❡ ✭✸✳✸✸✮ ❢♦r n + 1 = 3 s②st❡♠s✳

✸✳✹ ❚♦♦❧s ✐♥ ◗✉❛♥t✉♠ ■♥❢♦r♠❛t✐♦♥
■♥ t❤✐s s❡❝t✐♦♥✱ s♦♠❡ ♦❢ t❤❡ ♠♦st ♣r❡✈❛❧❡♥t t♦♦❧s ❛♥❞ t❡❝❤♥✐q✉❡s ✉s❡❞ ✐♥ q✉❛♥t✉♠ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥
t❤❡♦r② ✇✐❧❧ ❜❡ ❞✐s❝✉ss❡❞✳ ■ ✇✐❧❧ st❛rt ✇✐t❤ t❤❡ ❙❝❤♠✐❞t ❞❡❝♦♠♣♦s✐t✐♦♥✱ ✇❤✐❝❤ ✐s ❛ ✇❛② ♦❢
❝❤❛r❛❝t❡r✐③✐♥❣ t❤❡ ❞❡❣r❡❡ ♦❢ ❡♥t❛♥❣❧❡♠❡♥t ✐♥ ❜✐♣❛rt✐t❡ ❡♥t❛♥❣❧❡❞ q✉❛♥t✉♠ s②st❡♠s✳ ❚❤✐s ✐s
❝❧♦s❡❧② r❡❧❛t❡❞ t♦ t❤❡ ✐❞❡❛ ♦❢ ♣✉r✐✜❝❛t✐♦♥✱ ✇❤❡r❡ ❛ ♠✐①❡❞ q✉❛♥t✉♠ st❛t❡ ❝❛♥ ❜❡ ✈✐❡✇❡❞ ❛s
❛ ♣✉r❡ st❛t❡ ✐♥ ❛♥ ❡♥❧❛r❣❡❞ ❍✐❧❜❡rt s♣❛❝❡✳ ■ ✇✐❧❧ ❛❧s♦ ❞❡s❝r✐❜❡ ❤♦✇ t♦ ❝♦♠♣✉t❡ t❤❡ ❡♥tr♦♣②
♦❢ ♠✐①❡❞ q✉❛♥t✉♠ st❛t❡s✱ ❛♥❞ ✐♥ ♣❛rt✐❝✉❧❛r ❞❡r✐✈❡ t❤❡ ❥♦✐♥t ❡♥tr♦♣② t❤❡♦r❡♠✳ ❋✐♥❛❧❧②✱ ■ ✇✐❧❧
❞❡r✐✈❡ ❍♦❧❡✈♦✬s t❤❡♦r❡♠✱ ✇❤✐❝❤ ❡st❛❜❧✐s❤❡s ❛♥ ✉♣♣❡r ❜♦✉♥❞ t♦ t❤❡ ❛♠♦✉♥t ♦❢ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥
♦♥❡ ❝❛♥ ♦❜t❛✐♥ ❛❜♦✉t ❛ q✉❛♥t✉♠ s②st❡♠ t❤r♦✉❣❤ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥t✳

✸✳✹✳✶ ❚❤❡ ❙❝❤♠✐❞t ❉❡❝♦♠♣♦s✐t✐♦♥ ❛♥❞ P✉r✐✜❝❛t✐♦♥
❚❤❡ ❙❝❤♠✐❞t ❞❡❝♦♠♣♦s✐t✐♦♥ ✐s ❛ ✈❡r② ✉s❡❢✉❧ ♠❡t❤♦❞ ❢♦r ❞❡s❝r✐❜✐♥❣ ❜✐♣❛rt✐t❡ q✉❛♥t✉♠ s②st❡♠s
❛♥❞ ❧❡❛❞s t♦ t❤❡ ✐❞❡❛ ♦❢ ❙❝❤♠✐❞t ♥✉♠❜❡rs✱ ✇❤✐❝❤ ❛r❡ ✐♠♣♦rt❛♥t ❢♦r ❝❤❛r❛❝t❡r✐③✐♥❣ t❤❡ ❞❡❣r❡❡
♦❢ ❡♥t❛♥❣❧❡♠❡♥t ❜❡t✇❡❡♥ s②st❡♠s✳ ■❢ ❛ ❝♦♠♣♦s✐t❡ s②st❡♠✱ AB ✱ ✐s r❡♣r❡s❡♥t❡❞ ❜② ❛ ♣✉r❡ st❛t❡✱

✹✷

|ψ ✱ t❤❡♥ t❤❡r❡ ❡①✐st ♦rt❤♦♥♦r♠❛❧ st❛t❡s |iA ❢♦r A ❛♥❞ |iB ❢♦r B s✉❝❤ t❤❛t✱
|ψ =

✭✸✳✸✹✮

λi |iA |iB .
i

❍❡r❡✱ λi ❛r❡ r❡❛❧✱ ♥♦♥✲♥❡❣❛t✐✈❡ ♥✉♠❜❡rs ✭♦♥❡ ❝❛♥ ❛❧✇❛②s ❛❜s♦r❜ ❛♥② ♣❤❛s❡s ✐♥t♦ t❤❡ ❞❡✜♥✐✲
t✐♦♥s ♦❢ t❤❡ st❛t❡s |i ✮ ❝❛❧❧❡❞ ❙❝❤♠✐❞t ❝♦❡✣❝✐❡♥ts t❤❛t s❛t✐s❢②

2
i λi

= 1✳

❚♦ s❤♦✇ t❤✐s ❬✷✺❪✱ s✉♣♣♦s❡ A ❛♥❞ B ❤❛✈❡ ❍✐❧❜❡rt s♣❛❝❡s ♦❢ t❤❡ s❛♠❡ ❞✐♠❡♥s✐♦♥ ❛♥❞ t❤❛t

|j ❛♥❞ |k ❛r❡ ♦rt❤♦❣♦♥❛❧ ❜❛s❡s ❢♦r A ❛♥❞ B ✱ r❡s♣❡❝t✐✈❡❧②✳ ❚❤❡♥✱ ✐♥ ❣❡♥❡r❛❧ t❤❡ ❢✉❧❧ ✇❛✈❡
❢✉♥❝t✐♦♥ ❝❛♥ ❜❡ ❡①♣r❡ss❡❞ ✐♥ t❡r♠s ♦❢ t❤❡s❡ ❜❛s❡s ❛s

✭✸✳✸✺✮

ajk |j |k ,

|ψ =
jk

✇❤❡r❡ ajk ❛r❡ t❤❡ ❝♦♠♣❧❡① ❡❧❡♠❡♥ts ♦❢ ❛ ♠❛tr✐① a✳ ❚❤❡ s✐♥❣✉❧❛r ✈❛❧✉❡ ❞❡❝♦♠♣♦s✐t✐♦♥ st❛t❡s
t❤❛t t❤✐s ♠❛tr✐① ❝❛♥ ❜❡ ❡①♣r❡ss❡❞ ❛s ❛ ♣r♦❞✉❝t ♦❢ t❤r❡❡ ♠❛tr✐❝❡s a = u σ v ✳ ❚❤❡ ❞✐❛❣♦♥❛❧
♠❛tr✐① σ ❤❛s ♥♦♥✲♥❡❣❛t✐✈❡ ❡❧❡♠❡♥ts ❛♥❞ u, v ❛r❡ ✉♥✐t❛r② ♠❛tr✐❝❡s✳

❲r✐t✐♥❣ t❤✐s ♠❛tr✐①

♣r♦❞✉❝t ✐♥ ✐♥❞❡① ❢♦r♠✱

|ψ =

✭✸✳✸✻✮

uji σii vik |j |k .

uji σii vi k |j |k =
ijk

ii jk

❚❤❡ s❡❝♦♥❞ ❡q✉❛❧✐t② ❢♦❧❧♦✇s s✐♥❝❡ σ ✐s ❛ ❞✐❛❣♦♥❛❧ ♠❛tr✐①✳
◆❡①t✱ r❡❞❡✜♥❡ t❤❡ st❛t❡s |j ❛♥❞ |k ❛s |iA =
♥❡✇ st❛t❡s ❛r❡ st✐❧❧ ♦rt❤♦♥♦r♠❛❧ s✐♥❝❡ iA |iA =

j uji |j ❛♥❞

∗
j uji uji

|iB =

k vik |k ✳ ❚❤❡s❡

= δii ❛♥❞ iB |iB =

∗
k vik vi k

=

δii ✳ ❋✐♥❛❧❧②✱ ❞❡✜♥✐♥❣ λi = σii ②✐❡❧❞s t❤❡ ❙❝❤♠✐❞t ❞❡❝♦♠♣♦s✐t✐♦♥✱
|ψ =

λi |iA |iB .

✭✸✳✸✼✮

i

■t ❢♦❧❧♦✇s ❞✐r❡❝t❧② ❢r♦♠ t❤✐s ❞❡❝♦♠♣♦s✐t✐♦♥✱ t❤❛t t❤❡ ❡✐❣❡♥✈❛❧✉❡s ♦❢ t❤❡ ❞❡♥s✐t② ♠❛tr✐❝❡s
✹✸

❢♦r A ❛♥❞ B ❛r❡ ✐❞❡♥t✐❝❛❧ s✐♥❝❡

λ2i |iA iA |,

ρA =
i

✭✸✳✸✽✮

λ2i |iB

ρB =

iB |.

i

❚❤❡r❡❢♦r❡✱ t❤❡ t✇♦ s✉❜s②st❡♠s ❤❛✈❡ t❤❡ s❛♠❡ ❡♥tr♦♣②✱

S(A) = S(B) = H[λ2 ].

✭✸✳✸✾✮

◆♦t❡ t❤❛t |iA ❛♥❞ |iB ❛r❡ ❝❛❧❧❡❞ ❙❝❤♠✐❞t ❜❛s❡s ❢♦r A ❛♥❞ B ✱ ❛♥❞ t❤❛t t❤❡ ❙❝❤♠✐❞t ♥✉♠❜❡r
❝♦rr❡s♣♦♥❞s t♦ t❤❡ ♥✉♠❜❡r ♦❢ ♥♦♥✲③❡r♦ ✈❛❧✉❡s λi ✳ ■♥ ♣❛rt✐❝✉❧❛r✱ ❛ st❛t❡ |ψ ✐s ❛ ♣r♦❞✉❝t
st❛t❡ ♦❢ A ❛♥❞ B ✐❢ ❛♥❞ ♦♥❧② ✐❢ ✐t ❤❛s ❛ ❙❝❤♠✐❞t ♥✉♠❜❡r ♦❢ ♦♥❡✳ ❚❤❡r❡❢♦r❡✱ t❤❡ ❙❝❤♠✐❞t
♥✉♠❜❡r ✐s ❛ ♠❡❛s✉r❡ ♦❢ t❤❡ ❡♥t❛♥❣❧❡♠❡♥t ❜❡t✇❡❡♥ A ❛♥❞ B ✳ ❆ ♠❛①✐♠❛❧❧② ❡♥t❛♥❣❧❡❞ st❛t❡
✭♦❢ ❞✐♠❡♥s✐♦♥ d✮ ❤❛s ❙❝❤♠✐❞t ❝♦❡✣❝✐❡♥ts λi = 1/d✳
❚❤❡ ❙❝❤♠✐❞t ❞❡❝♦♠♣♦s✐t✐♦♥ ✭✸✳✸✹✮ ✐s ♥♦t ✉♥✐q✉❡ s✐♥❝❡ ♦♥❡ ❝❛♥ ❛❧✇❛②s ♣❡r❢♦r♠ ✉♥✐t❛r②
tr❛♥s❢♦r♠❛t✐♦♥s ♦♥ t❤❡ t✇♦ s②st❡♠s ✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧❧②✳ ❚❤❛t ✐s✱ ✐❢ |ψ =
❞❡❝♦♠♣♦s✐t✐♦♥ ❢♦r A ❛♥❞ B ✱ t❤❡♥ s♦ t♦♦ ✐s U ⊗ V |ψ =

i λi

i λi |iA

U |iA

|iB ✐s ❛ ❙❝❤♠✐❞t

V |iB ✳ ❚❤✐s ✐♠♣❧✐❡s

t❤❛t t❤❡ ❡♥t❛♥❣❧❡♠❡♥t ♦❢ ❛ ❜✐♣❛rt✐t❡ ♣✉r❡ st❛t❡ ✐s ✐♥✈❛r✐❛♥t ✉♥❞❡r ✉♥✐t❛r② tr❛♥s❢♦r♠❛t✐♦♥s✳
■♥t❡r❡st✐♥❣❧②✱ ❛ ❙❝❤♠✐❞t ❞❡❝♦♠♣♦s✐t✐♦♥ ❞♦❡s ♥♦t ❡①✐st ✐♥ ❣❡♥❡r❛❧ ❢♦r ❛ tr✐♣❛rt✐t❡ s②s✲
t❡♠ ❬✼✹✱ ✼✺❪✳ ❆ tr✐♣❛rt✐t❡ ♣✉r❡ st❛t❡ |ABC =

i λi |iA

|iB |iC ❤❛s ❛ ❙❝❤♠✐❞t ❞❡❝♦♠♣♦s✐✲

t✐♦♥ ✐❢ t❤❡ ✏❜✐✲❙❝❤♠✐❞t ❜❛s✐s✑ iA |ABC ✭❛♥❞ s✐♠✐❧❛r❧② ❢♦r iB |ABC ❛♥❞ iC |ABC ✮ ❤❛s ❛
❙❝❤♠✐❞t ♥✉♠❜❡r ♦❢ ♦♥❡ ❬✼✹❪✳
❯s✐♥❣ t❤❡ ❙❝❤♠✐❞t ❞❡❝♦♠♣♦s✐t✐♦♥ ♦♥❡ ❝❛♥ ✉s❡ ❛ t❡❝❤♥✐q✉❡ ❦♥♦✇♥ ❛s ♣✉r✐✜❝❛t✐♦♥✳ ❙✉♣♣♦s❡
♦♥❡ ❤❛s ❛ q✉❛♥t✉♠ st❛t❡ ρ(A) ❢♦r s♦♠❡ s②st❡♠ A✳ ❇② ✐♥tr♦❞✉❝✐♥❣ ❛ s❡❝♦♥❞ ✏r❡❢❡r❡♥❝❡✑ s②st❡♠

R✱ ♦♥❡ ✜♥❞s t❤❛t t❤❡ t♦t❛❧ st❛t❡ ♦❢ A ❛♥❞ R ❝❛♥ ❜❡ ✇r✐tt❡♥ ❛s ❛ ♣✉r❡ st❛t❡ |AR ✳ ❚❤✐s

✹✹

♣r♦❝❡❞✉r❡ ✐s ❝❛❧❧❡❞ ♣✉r✐✜❝❛t✐♦♥ ❬✷✺❪ ❛♥❞ ✐s ❝♦♠♠♦♥❧② ✉s❡❞ ✐♥ q✉❛♥t✉♠ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥ t❤❡♦r②✳
❚♦ s❤♦✇ t❤❛t t❤✐s ❝❛♥ ✐♥❞❡❡❞ ❜❡ ❞♦♥❡✱ ✜rst ✇r✐t❡ A ✐♥ ✐ts ❡✐❣❡♥❜❛s✐s ❛s ρ(A) =

i pi |iA

iA |✳

❚❤❡♥✱ ✇✐t❤ t❤❡ r❡❢❡r❡♥❝❡ s②st❡♠✱ ✇❤✐❝❤ ✐s ❞❡✜♥❡❞ t♦ ❤❛✈❡ t❤❡ s❛♠❡ st❛t❡ s♣❛❝❡ ❛s A ❛♥❞ ❛♥
♦rt❤♦♥♦r♠❛❧ ❜❛s✐s |iR ✱ ♦♥❡ ❝❛♥ ✇r✐t❡ t❤❡ st❛t❡ ♦❢ A ❛♥❞ R t♦❣❡t❤❡r ❛s

√

|AR =

pi |iA |iR .

✭✸✳✹✵✮

i

❚r❛❝✐♥❣ ♦✉t R r❡❝♦✈❡rs t❤❡ st❛t❡ ρ(A) s♦ t❤❛t |AR ✐s ✐♥❞❡❡❞ ❛ ♣✉r✐✜❝❛t✐♦♥ ♦❢ ρ(A)✳

✸✳✹✳✷ ❏♦✐♥t ❊♥tr♦♣② ❚❤❡♦r❡♠
❱❡r② ♦❢t❡♥ ✐♥ q✉❛♥t✉♠ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥ t❤❡♦r② ♦♥❡ ❡♥❝♦✉♥t❡rs ❞❡♥s✐t② ♠❛tr✐❝❡s t❤❛t ❛r❡ ❜❧♦❝❦✲
❞✐❛❣♦♥❛❧ ✐♥ str✉❝t✉r❡✱ s♦♠❡t✐♠❡s ❝❛❧❧❡❞ ❝❧❛ss✐❝❛❧✲q✉❛♥t✉♠ st❛t❡s✳ ❚❤❡s❡ st❛t❡s ✇✐❧❧ ❜❡ ✉s❡❞
❢r❡q✉❡♥t❧② ✐♥ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ❝❤❛♣t❡rs ✇❤❡♥ ❞✐s❝✉ss✐♥❣ ♣❛r❛❧❧❡❧ ❛♥❞ ❝♦♥s❡❝✉t✐✈❡ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥ts✳
❚❤❡ ❥♦✐♥t ❡♥tr♦♣② t❤❡♦r❡♠ ❬✷✺❪✱ ✇❤✐❝❤ ■ ✇✐❧❧ s❤♦✇ ❛ s✐♠♣❧❡ ♣r♦♦❢ ♦❢✱ ♣r♦✈✐❞❡s ❛ ✇❛② t♦
❝♦♠♣✉t❡ t❤❡ ❡♥tr♦♣② ♦❢ s✉❝❤ st❛t❡s✳
❙✉♣♣♦s❡ ♦♥❡ ❤❛s ❛ ❞❡♥s✐t② ♠❛tr✐① ♦❢ t❤❡ ❢♦r♠

pi |i i| ⊗ ρi .

ρ=

✭✸✳✹✶✮

i

❍❡r❡✱ pi ❛r❡ ♣r♦❜❛❜✐❧✐t✐❡s✱ |i ❛r❡ ♦rt❤♦❣♦♥❛❧ st❛t❡s ❢♦r s②st❡♠ A✱ ❛♥❞ ρi ✐s ❛♥② s❡t ♦❢ ❞❡♥s✐t②
♠❛tr✐❝❡s ❢♦r s②st❡♠ B ✳ ❚❤✐s ✐s ❝❛❧❧❡❞ ❛ ❝❧❛ss✐❝❛❧✲q✉❛♥t✉♠ st❛t❡ ❜❡❝❛✉s❡ A ✐s ❞✐❛❣♦♥❛❧ ✐♥
t❤❡ ❜❛s✐s |i ✭✐✳❡✳✱ ❝❧❛ss✐❝❛❧✮✱ ✇❤✐❧❡ B ✐s ❛ ❣❡♥❡r❛❧ ✭♣✉r❡ ♦r ♠✐①❡❞✮ q✉❛♥t✉♠ st❛t❡ ρi ✭s❡❡✱
❡✳❣✳✱ ❬✼✻❪✮✳

✹✺

❚❤❡ st❛t❡s ρi ♦❢ B ❝❛♥ ❜❡ ❞✐❛❣♦♥❛❧✐③❡❞ s✉❝❤ t❤❛t t❤❡✐r s♣❡❝tr❛❧ ❞❡❝♦♠♣♦s✐t✐♦♥ ✐s

λi,j |ei,j ei,j |,

ρi =

✭✸✳✹✷✮

j

✇❤❡r❡ λi,j ❛r❡ ❡✐❣❡♥✈❛❧✉❡s t❤❛t s✉♠ t♦ ♦♥❡ ❢♦r ❡❛❝❤ i✿

j λi,j

= 1✳ ❚❤❡ ♦rt❤♦❣♦♥❛❧✐t② ♦❢ t❤❡

❡✐❣❡♥st❛t❡s ❣✉❛r❛♥t❡❡s t❤❛t

ei,j |ei,j = δjj .

✭✸✳✹✸✮

ei ,j |ei,j = δii ,

✭✸✳✹✹✮

❍♦✇❡✈❡r✱ ✐♥ ❣❡♥❡r❛❧✱

✉♥❧❡ss ρi ❤❛✈❡ ♦rt❤♦❣♦♥❛❧ s✉♣♣♦rt✳
❯s✐♥❣ t❤✐s ❞❡❝♦♠♣♦s✐t✐♦♥✱ t❤❡ st❛t❡ ✭✸✳✹✶✮ ❜❡❝♦♠❡s

pi λi,j |i ei,j i ei,j |.

ρ=

✭✸✳✹✺✮

ij

❚❤❡ ❥♦✐♥t st❛t❡s |i ei,j ❛r❡ ♦rt❤♦❣♦♥❛❧ ❜❡❝❛✉s❡ i |i = δii ✱

i ei ,j |i ei,j = δii .

✭✸✳✹✻✮

■t ❢♦❧❧♦✇s t❤❛t t❤❡ ❡♥tr♦♣② ♦❢ ✭✸✳✹✶✮ ✐s

S(ρ) = −

pi λi,j log pi λi,j .
ij

✹✻

✭✸✳✹✼✮

❊①♣❛♥❞✐♥❣ t❤❡ ❧♦❣❛r✐t❤♠ ❛♥❞ ♣❡r❢♦r♠✐♥❣ t❤❡ ♣❛rt✐❛❧ s✉♠s✱ t❤✐s s✐♠♣❧✐✜❡s t♦

S(ρ) = H[p] +

pi S(ρi ),

✭✸✳✹✽✮

i

✇❤❡r❡ H[p] ✐s t❤❡ ❙❤❛♥♥♦♥ ❡♥tr♦♣② ♦❢ t❤❡ ♣r♦❜❛❜✐❧✐t② ❞✐str✐❜✉t✐♦♥ pi ❛♥❞

S(ρi ) = −

λi,j log λi,j .

✭✸✳✹✾✮

j

❆❧t❤♦✉❣❤ t❤❡ ❜❛s✐s st❛t❡s ♦❢ ρi ❛r❡ ♥♦t ♦rt❤♦❣♦♥❛❧ t♦ t❤♦s❡ ♦❢ ρi ✱ t❤❡ ❜❧♦❝❦✲❞✐❛❣♦♥❛❧ str✉❝t✉r❡
♦❢ ρ ②✐❡❧❞s ❛♥ ❡①❛❝t r❡s✉❧t ❢♦r S(ρ)✳

✸✳✹✳✸ ❊♥tr♦♣② ♦❢ ▼✐①❡❞ ❙t❛t❡s
❘❡❝❛❧❧ ❢r♦♠ ❈❤✳ ✷✳✷ t❤❛t ❛ ♠✐①❡❞ q✉❛♥t✉♠ st❛t❡ ✐s ✇r✐tt❡♥ ❛s ❛ s✉♠♠❛t✐♦♥ ♦❢ st❛t❡s ρi t❤❛t
❡❛❝❤ ♦❝❝✉r ✇✐t❤ s♦♠❡ ♣r♦❜❛❜✐❧✐t② pi ✳ ❚❤❛t ✐s✱ t❤❡ ❞❡♥s✐t② ♠❛tr✐① ❢♦r ❛ s②st❡♠ A ✐s

pi ρ i .

ρ(A) =

✭✸✳✺✵✮

i

■♥ ❣❡♥❡r❛❧✱ t❤❡ ρi ♠❛② ♥♦t ❜❡ ♦rt❤♦❣♦♥❛❧ s♦ t❤❛t t❤❡ ❡♥tr♦♣② ♦❢ ρ(A) ❢❛❧❧s s♦♠❡✇❤❡r❡ ❜❡t✇❡❡♥
❛ ❧♦✇❡r ❛♥❞ ✉♣♣❡r ❜♦✉♥❞✳
❆ ❧♦✇❡r ❜♦✉♥❞ ✐s ❡st❛❜❧✐s❤❡❞ ♦♥ S(A) ❜② ✉s✐♥❣ t❤❡ ❝♦♥❝❛✈✐t② ♦❢ ❡♥tr♦♣②✳ ❈♦♥s✐❞❡r ❛♥
❛❞❞✐t✐♦♥❛❧ s②st❡♠✱ B ✱ ✇✐t❤ ❛♥ ♦rt❤♦♥♦r♠❛❧ ❜❛s✐s |i s✉❝❤ t❤❛t t❤❡ ❥♦✐♥t st❛t❡ ♦❢ A ❛♥❞ B ✐s

pi ρi ⊗ |i B i|.

ρ(AB) =

✭✸✳✺✶✮

i

❖♥❡ ❝❛♥ ❡❛s✐❧② ❝❤❡❝❦ t❤❛t tr❛❝✐♥❣ t❤✐s st❛t❡ ♦✈❡r B r❡❝♦✈❡rs t❤❡ st❛t❡ ♦❢ A ✇r✐tt❡♥ ❛❜♦✈❡✳
❋r♦♠ t❤❡ ❥♦✐♥t ❡♥tr♦♣② t❤❡♦r❡♠ ✐♥ t❤❡ ♣r❡✈✐♦✉s ❙❡❝✳ ✸✳✹✳✷✱ t❤❡ ❡♥tr♦♣② ♦❢ t❤✐s ❜❧♦❝❦✲❞✐❛❣♦♥❛❧

✹✼

st❛t❡ ✐s

S(AB) = H[p] +

✭✸✳✺✷✮

pi S(ρi ).
i

❚❤❡ s✉❜❛❞❞✐t✐✈✐t② ♦❢ ❡♥tr♦♣② ✭s❡❡ ❙❡❝✳ ✸✳✸✳✷✮ st❛t❡s t❤❛t t❤✐s q✉❛♥t✐t② ✐s ❧❡ss t❤❛♥ ♦r ❡q✉❛❧
t♦ t❤❡ s✉♠ ♦❢ t❤❡ ❡♥tr♦♣✐❡s ♦❢ ✐ts s✉❜s②st❡♠s✳ ❚❤❛t ✐s✱

✭✸✳✺✸✮

S(AB) ≤ S(A) + S(B).

❚❤❡ ❡♥tr♦♣② ♦❢ s②st❡♠ B ✐s s✐♠♣❧② S(B) = H[p]✱ ❛s ❝❛♥ ❜❡ s❡❡♥ ❜② tr❛❝✐♥❣ ρ(AB) ♦✈❡r

A✳ ❚♦❣❡t❤❡r ✇✐t❤ ❊qs✳ ✭✸✳✺✷✮ ❛♥❞ ✭✸✳✺✸✮✱ t❤✐s ②✐❡❧❞s t❤❡ ❧♦✇❡r ❜♦✉♥❞ ♦♥ t❤❡ ❡♥tr♦♣② ♦❢ t❤❡
♠✐①❡❞ st❛t❡ ρ(A)✱

S(A) ≥ S(AB) − S(B)
✭✸✳✺✹✮

≥

pi S(ρi ),
i

✇✐t❤ ❡q✉❛❧✐t② ✐❢ ❛♥❞ ♦♥❧② ✐❢ t❤❡ ρi ❛r❡ ✐❞❡♥t✐❝❛❧✳
■❢ t❤❡ st❛t❡s ρi ✐♥ ❊q✳ ✭✸✳✺✵✮ ❛r❡ ♦rt❤♦❣♦♥❛❧ t❤❡♥ t❤❡ ❡♥tr♦♣② ♦❢ A ❝❛♥ ❜❡ ❝♦♠♣✉t❡❞
❡①❛❝t❧②✳ ❚❤❡ s♣❡❝tr❛❧ ❞❡❝♦♠♣♦s✐t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ st❛t❡s ρi ②✐❡❧❞s

✭✸✳✺✺✮

λi,j |ei,j ei,j |,

ρi =
j

✇❤❡r❡ λi,j ❛r❡ t❤❡ ❡✐❣❡♥✈❛❧✉❡s ♦❢ ρi ❛♥❞ s✉♠ t♦ ♦♥❡ ❢♦r ❛ ❣✐✈❡♥ i✿

j λi,j

= 1✳ ❚❤❡

♦rt❤♦❣♦♥❛❧✐t② ♦❢ t❤❡ ❡✐❣❡♥st❛t❡s ❣✉❛r❛♥t❡❡s t❤❛t

ei,j |ei,j = δjj .

✭✸✳✺✻✮

❙✐♥❝❡ t❤❡ ρi ✇❡r❡ r❡q✉✐r❡❞ t♦ ❜❡ ♦rt❤♦❣♦♥❛❧✱ t❤❡② ❤❛✈❡ s✉♣♣♦rt ♦♥ ♦rt❤♦❣♦♥❛❧ s✉❜s♣❛❝❡s s♦
✹✽

t❤❛t ❡✈❡r② ❜❛s✐s st❛t❡ ✐♥ ❍✐❧❜❡rt s♣❛❝❡ Hi ✐s ♦rt❤♦❣♦♥❛❧ t♦ ❡✈❡r② ♦t❤❡r ❜❛s✐s st❛t❡ ✐♥ ❍✐❧❜❡rt
s♣❛❝❡ Hi ✿

ei ,j |ei,j = δii .

✭✸✳✺✼✮

■♥s❡rt✐♥❣ t❤❡ s♣❡❝tr❛❧ ❞❡❝♦♠♣♦s✐t✐♦♥ ✭✸✳✺✺✮ ✐♥t♦ ✭✸✳✺✵✮✱

pi λi,j |ei,j ei,j |,

ρ(A) =

✭✸✳✺✽✮

ij

✐t ✐s ❝❧❡❛r t❤❛t pi λi,j ❛r❡ t❤❡ ❡✐❣❡♥✈❛❧✉❡s ❛♥❞ |ei,j ❛r❡ t❤❡ ❡✐❣❡♥✈❡❝t♦rs ♦❢ ρ(A)✳ ❚❤❡ ❡♥tr♦♣②
♦❢ ρ(A) ✐s t❤❡♥ s✐♠♣❧②

S(A) = −

pi λi,j log pi λi,j .

✭✸✳✺✾✮

ij

❊①♣❛♥❞✐♥❣ t❤❡ ❧♦❣❛r✐t❤♠ ❛♥❞ ♣❡r❢♦r♠✐♥❣ t❤❡ ♣❛rt✐❛❧ s✉♠s✱ t❤✐s s✐♠♣❧✐✜❡s t♦

pi S(ρi )

S(A) = H[p] +

✭✸✳✻✵✮

i

✇❤❡r❡ H[p] ✐s t❤❡ ❙❤❛♥♥♦♥ ❡♥tr♦♣② ♦❢ t❤❡ ♣r♦❜❛❜✐❧✐t② ❞✐str✐❜✉t✐♦♥ pi ❛♥❞

S(ρi ) = −

λi,j log λi,j .

✭✸✳✻✶✮

j

◆♦t❡ t❤❛t ✐❢ t❤❡ st❛t❡s ρi ❞✐❞ ♥♦t ❤❛✈❡ s✉♣♣♦rt ♦♥ ♦rt❤♦❣♦♥❛❧ s✉❜s♣❛❝❡s✱ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣
✐♥❡q✉❛❧✐t② ✇♦✉❧❞ ❤♦❧❞

S(A) < H[p] +

pi S(ρi ).
i

✹✾

✭✸✳✻✷✮

❚❤❡r❡❢♦r❡✱ ❛ ❣❡♥❡r❛❧ st❛t❡ ✭✸✳✺✵✮ s❛t✐s✜❡s t❤❡ t✇♦ ✐♥❡q✉❛❧✐t✐❡s✱

pi S(ρi ) ≤ S(A) ≤ H[p] +
i

pi S(ρi ).

✭✸✳✻✸✮

i

❋♦r ✐♥st❛♥❝❡✱ ✐❢ t❤❡ st❛t❡s ρi ✐♥ ❊q✳ ✭✸✳✺✵✮ ❛r❡ ❛❧❧ ♣✉r❡✱ t❤❡♥ t❤❡ ❡♥tr♦♣② ♦❢ t❤❡ s②st❡♠ A ✐s
❜♦✉♥❞❡❞ ❜② 0 ≤ S(A) ≤ H[p]✳ ■❢✱ ✐♥ ❛❞❞✐t✐♦♥✱ t❤❡ st❛t❡s ❛r❡ ♦rt❤♦❣♦♥❛❧✱ t❤❡♥ S(A) = H[p]✳

✸✳✹✳✹ ❍♦❧❡✈♦✬s ❚❤❡♦r❡♠
❍♦❧❡✈♦✬s t❤❡♦r❡♠ ❡st❛❜❧✐s❤❡s ❛♥ ✉♣♣❡r ❜♦✉♥❞ t♦ t❤❡ ❛♠♦✉♥t ♦❢ ❛❝❝❡ss✐❜❧❡ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥ t❤❛t
❝❛♥ ❜❡ ❡①tr❛❝t❡❞ ❛❜♦✉t ❛ q✉❛♥t✉♠ st❛t❡ t❤r♦✉❣❤ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥t ❬✷✺❪✳ ❚♦ ❞❡r✐✈❡ t❤❡ ❧✐♠✐t✱ ✜rst
s✉♣♣♦s❡ t❤❛t t❤❡r❡ ✐s ❛ ♣r❡♣❛r❡r P t❤❛t ❤❛s ❛ ❝❧❛ss✐❝❛❧ r❛♥❞♦♠ ✈❛r✐❛❜❧❡ X ✇✐t❤ ♣r♦❜❛❜✐❧✐t✐❡s

px ✳ ■♥ ❛❞❞✐t✐♦♥✱ t❤❡ ♣r❡♣❛r❡r ❤❛s ❛❝❝❡ss t♦ ❛ s❡t ♦❢ ❞❡♥s✐t② ♠❛tr✐❝❡s✱ ρx ✱ ♦❢ ❛ q✉❛♥t✉♠
s②st❡♠✱ Q✳ ❚❤❡ t♦t❛❧ st❛t❡ ✐s ❞❡s❝r✐❜❡❞ ❜② t❤❡ ❝❧❛ss✐❝❛❧✲q✉❛♥t✉♠ ❞❡♥s✐t② ♠❛tr✐①✱

px |x x| ⊗ ρx .

ρ(P Q) =

✭✸✳✻✹✮

x

❚r❛❝✐♥❣ ♦✈❡r P ✱ t❤❡ st❛t❡ ♦❢ Q ✐s ❣✐✈❡♥ ❜② t❤❡ ♠✐①❡❞ ❞❡♥s✐t② ♠❛tr✐①✱

px ρx = ρ.

ρ(Q) =

✭✸✳✻✺✮

x

❯s✐♥❣ t❤❡ r❡s✉❧ts ♦❢ t❤❡ ❥♦✐♥t ❡♥tr♦♣② t❤❡♦r❡♠ ✐♥ ❙❡❝✳ ✸✳✹✳✷✱ t❤❡ ♠✉t✉❛❧ ❡♥tr♦♣② ❜❡t✇❡❡♥ t❤❡
♣r❡♣❛r❡r P ❛♥❞ t❤❡ q✉❛♥t✉♠ ♣r❡♣❛r❛t✐♦♥ Q ✐s

S(P : Q) = S(ρ) −

px S(ρx ) = χ,

✭✸✳✻✻✮

x

✇❤❡r❡ χ ✐s ✉s✉❛❧❧② ❝❛❧❧❡❞ t❤❡ ❍♦❧❡✈♦ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥✳
❆ ♠❡❛s✉r❡r✱ M ✱ ❝❛♥ ❛tt❡♠♣t t♦ ❞❡t❡r♠✐♥❡ t❤❡ st❛t❡ x ♦❢ t❤❡ q✉❛♥t✉♠ s②st❡♠ t❤r♦✉❣❤ ❛
✺✵

♠❡❛s✉r❡♠❡♥t ♦❢ Q✳ ❚❤❡ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥t ✐s ✐♠♣❧❡♠❡♥t❡❞ ✇✐t❤ t❤❡ ✉♥✐t❛r② ❡♥t❛♥❣❧✐♥❣ ♦♣❡r❛t✐♦♥

U =

x Px

⊗ Ux ❜❡t✇❡❡♥ Q ❛♥❞ M ✱ ✇❤❡r❡ Px = |x x| ❛r❡ ♣r♦❥❡❝t♦rs ♦♥ t❤❡ st❛t❡ ♦❢ Q

❛♥❞ t❤❡ ✉♥✐t❛r② ♠❛tr✐❝❡s Ux ♠♦✈❡ t❤❡ ❛♥❝✐❧❧❛ ❢r♦♠ t❤❡ ✐♥✐t✐❛❧ st❛t❡ |0 t♦ t❤❡ ✜♥❛❧ st❛t❡

|x = Ux |0 ✳ ❚❤✐s ♦♣❡r❛t♦r ✇✐❧❧ ❜❡ ❞✐s❝✉ss❡❞ ✐♥ ❣r❡❛t❡r ❞❡t❛✐❧ ❧❛t❡r ✐♥ ❈❤✳ ✹✳ ■❢ t❤❡ ♠❡❛s✉r❡r
st❛rts ✐♥ t❤❡ ✐♥✐t✐❛❧ st❛t❡ |0 ✱ t❤❡♥ ❛❢t❡r t❤❡ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥t t❤❡ ❢✉❧❧ st❛t❡ ❜❡❝♦♠❡s ✭✉s✐♥❣ ♣r✐♠❡s
t♦ ❝❧❡❛r❧② ❞✐st✐♥❣✉✐s❤ t❤❡ ♣♦st✲♠❡❛s✉r❡♠❡♥t s②st❡♠s✮
†

✭✸✳✻✼✮

px |x x| ⊗ Py ρx Pz ⊗ |y z|.

ρ(P Q M ) =
xyz

❚r❛❝✐♥❣ ♦✉t t❤❡ q✉❛♥t✉♠ s②st❡♠ Q✱ t❤❡ ❞❡♥s✐t② ♠❛tr✐① ♦❢ t❤❡ ♣r❡♣❛r❡r ❛♥❞ t❤❡ ♠❡❛s✉r❡r ✐s

✭✸✳✻✽✮

px Tr Py ρx |x x| ⊗ |y y|.

ρ(P M ) =
xy

†
✇❤❡r❡ Tr(Py ρx Pz ) = Tr(Py ρx ) δyz ✳ ❚❤❡ ❡♥tr♦♣② ♦❢ t❤✐s st❛t❡ ✐s ❥✉st t❤❡ ❙❤❛♥♥♦♥ ❡♥tr♦♣②

♦❢ t❤❡ ♣r♦❜❛❜✐❧✐t② ❞✐str✐❜✉t✐♦♥ qxy = px Tr Py ρx ✱

S(P M ) = H(P M ) = H [q] = −

px Tr Py ρx

log px Tr Py ρx

.

✭✸✳✻✾✮

xy

❚❤❡ ♠✉t✉❛❧ ❡♥tr♦♣② ❜❡t✇❡❡♥ t❤❡ ❝❧❛ss✐❝❛❧ ♣r❡♣❛r❡r P ❛♥❞ t❤❡ ♠❡❛s✉r❡r M ❛❢t❡r t❤❡
♠❡❛s✉r❡♠❡♥t S(P : M ) ✐s ♥♦✇ s❤♦✇♥ t♦ ❜❡ ❜♦✉♥❞❡❞ ❢r♦♠ ❛❜♦✈❡ ❜② t❤❡ ♠✉t✉❛❧ ❡♥tr♦♣② ♦❢

P ❛♥❞ Q ❜❡❢♦r❡ t❤❡ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥t S(P : Q)✳ ❋♦r t❤❡ r❡♠❛✐♥❞❡r ♦❢ t❤❡ ♣r♦♦❢✱ ■ ✇✐❧❧ ❢♦❧❧♦✇
t❤❡ ❞❡r✐✈❛t✐♦♥ ❧❛✐❞ ♦✉t ❜② ❈❡r❢ ❛♥❞ ❆❞❛♠✐ ✐♥ ❘❡❢✳ ❬✼✼❪✳ ❚❤❡ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥t ✭✸✳✻✼✮ ❞♦❡s ♥♦t
❝❤❛♥❣❡ t❤❡ ❡♥t❛♥❣❧❡♠❡♥t ❜❡t✇❡❡♥ P ❛♥❞ QM s♦ t❤❛t

S(P : Q M ) = S(P : QM ) = S(P : Q).

✺✶

✭✸✳✼✵✮

❚❤❡ s❡❝♦♥❞ ❡q✉❛❧✐t② ❢♦❧❧♦✇s ❢r♦♠ t❤❡ ❢❛❝t t❤❛t ❜❡❢♦r❡ t❤❡ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥t M ✐s ✉♥❝♦rr❡❧❛t❡❞
✇✐t❤ P ❛♥❞ Q✳ ❆❝❝♦r❞✐♥❣ t♦ t❤❡ ❝❤❛✐♥ r✉❧❡✱ S(P : Q M ) = S(P : M ) + S(P : Q |M )✱
✇❤✐❝❤✱ t♦❣❡t❤❡r ✇✐t❤ t❤❡ ♣r❡✈✐♦✉s ❡①♣r❡ss✐♦♥✱ ❧❡❛❞s t♦

S(P : M ) = S(P : Q) − S(P : Q |M ).

✭✸✳✼✶✮

❇② t❤❡ str♦♥❣ s✉❜❛❞❞✐t✐✈✐t② ♦❢ q✉❛♥t✉♠ ❡♥tr♦♣② ❬✻✻✱✻✼❪ ✐♥ ❊q✳ ✭✸✳✷✵✮✱ t❤❡ ❝♦♥❞✐t✐♦♥❛❧ ♠✉t✉❛❧
❡♥tr♦♣② ✐s ❛❧✇❛②s ♥♦♥✲♥❡❣❛t✐✈❡ S(P : Q |M ) ≥ 0✱ ❛♥❞ ✐t ❢♦❧❧♦✇s t❤❛t

S(P : M ) ≤ S(P : Q) = χ.

✭✸✳✼✷✮

❚❤❡ q✉❛♥t✐t② χ ✐s t❤❡ ♠❛①✐♠✉♠ ❛♠♦✉♥t ♦❢ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥ t❤❛t t❤❡ ♠❡❛s✉r❡r ❝❛♥ ❡①tr❛❝t ❛❜♦✉t
t❤❡ st❛t❡ ♦❢ t❤❡ q✉❛♥t✉♠ s②st❡♠✳
❋♦r ❡①❛♠♣❧❡✱ s✉♣♣♦s❡ t❤❡ st❛t❡s ρx ✐♥ ✭✸✳✻✹✮ ❛r❡ ♣✉r❡✳ ❚❤❡ ❍♦❧❡✈♦ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥ ✭✸✳✻✻✮ ✐♥
t❤✐s ❝❛s❡ ✐s s✐♠♣❧② χ = S(ρ)✳ ❚❤✐s q✉❛♥t✐t② ✐s ❜♦✉♥❞❡❞ ❜❡t✇❡❡♥ ③❡r♦ ❛♥❞ H[p] ❛❝❝♦r❞✐♥❣ t♦
❙❡❝✳ ✸✳✹✳✸✳ ■♥ ♣❛rt✐❝✉❧❛r✱ ✐❢ t❤❡ st❛t❡s ρx ❛r❡ ♣✉r❡ ❛♥❞ ♦rt❤♦❣♦♥❛❧✱ t❤❡♥ t❤❡ ❍♦❧❡✈♦ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥
✐s t❤❡ ❙❤❛♥♥♦♥ ❡♥tr♦♣② ♦❢ t❤❡ ♣r♦❜❛❜✐❧✐t② ❞✐str✐❜✉t✐♦♥ px ✱ χ = H[p]✳ ❚❤❡ ❍♦❧❡✈♦ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥
✐s ❢✉rt❤❡r r❡❞✉❝❡❞ ❢r♦♠ S(ρ) ✐❢ t❤❡ st❛t❡s ρx ❛r❡ ♠✐①❡❞✳

✸✳✺ ❙✉♠♠❛r②
■♥ t❤✐s ❝❤❛♣t❡r✱ ■ r❡✈✐❡✇❡❞ t❤❡ ❙❤❛♥♥♦♥ t❤❡♦r② ♦❢ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥ ✐♥ ♦r❞❡r t♦ s❡t t❤❡ st❛❣❡ ❢♦r
q✉❛♥t✉♠ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥ t❤❡♦r②✳ ■ s❤♦✇❡❞ ❤♦✇ q✉❛♥t✉♠ s✉♣❡r♣♦s✐t✐♦♥ ❛♥❞ ❡♥t❛♥❣❧❡♠❡♥t ❧❡❛❞ t♦
str✐❦✐♥❣ ❞✐✛❡r❡♥❝❡s ❜❡t✇❡❡♥ t❤❡ q✉❛♥t✉♠ ❛♥❞ ❝❧❛ss✐❝❛❧ t❤❡♦r② ♦❢ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥✱ ✇❤✐❝❤ ❝❛♥ ❜❡
✐❧❧✉str❛t❡❞ ✉s✐♥❣ ❡♥tr♦♣② ❱❡♥♥ ❞✐❛❣r❛♠s✳ ❚❤❡s❡ ❞✐❛❣r❛♠s ✇✐❧❧ ♣r♦✈❡ ✉s❡❢✉❧ ✐♥ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣
❝❤❛♣t❡rs ♦♥ q✉❛♥t✉♠ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥t✳ ■ ❞✐s❝✉ss❡❞ ✐♥ ❙❡❝✳ ✸✳✹ s♦♠❡ ♦❢ t❤❡ ✐♠♣♦rt❛♥t t♦♦❧s t❤❛t
✺✷

❛r❡ ❝♦♠♠♦♥❧② ✉s❡❞ t♦ ❞❡s❝r✐❜❡ q✉❛♥t✉♠ s②st❡♠s✳ ❋♦r ❡①❛♠♣❧❡✱ ■ s❤♦✇❡❞ ❤♦✇ t❤❡ ❙❝❤♠✐❞t
❞❡❝♦♠♣♦s✐t✐♦♥ ❝❛♥ ❜❡ ✉s❡❞ t♦ ❝❤❛r❛❝t❡r✐③❡ ❡♥t❛♥❣❧❡♠❡♥t ❛s ✇❡❧❧ ❛s ♠❡t❤♦❞s ❢♦r ❝♦♠♣✉t✐♥❣
❡♥tr♦♣✐❡s ♦❢ ❡♥t❛♥❣❧❡❞ s②st❡♠s✳

✺✸

❈❤❛♣t❡r ✹
■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ t♦ ◗✉❛♥t✉♠ ▼❡❛s✉r❡♠❡♥t
✹✳✶ ❇❛s✐❝s ♦❢ ◗✉❛♥t✉♠ ▼❡❛s✉r❡♠❡♥t ❚❤❡♦r②
❆s ✇❡ ❤❛✈❡ s❡❡♥ ❢r♦♠ t❤❡ ♥♦✲❝❧♦♥✐♥❣ t❤❡♦r❡♠✱ ❝❧❛ss✐❝❛❧ ✐♥t✉✐t✐♦♥s ❢❛✐❧ ✉s ✇❤❡♥ ❝❛rr✐❡❞ ♦✈❡r
t♦ t❤❡ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥t ♦❢ q✉❛♥t✉♠ s②st❡♠s✳ ❚❤❛t t❤❡s❡ s②st❡♠s ❝❛♥ ❜❡ ✐♥ s✉♣❡r♣♦s✐t✐♦♥s ♦r
❡♥t❛♥❣❧❡❞ ♥❡❝❡ss❛r✐❧② ♠❛❦❡s ♠❡❛s✉r✐♥❣ t❤❡♠ ❛ ♥♦♥✲tr✐✈✐❛❧ t❛s❦✳ ❈❧❛ss✐❝❛❧❧②✱ ✇❡ ❝❛♥ ❛❧✇❛②s✱
❛t ❧❡❛st ✐♥ ♣r✐♥❝✐♣❧❡✱ ♣❡r❢❡❝t❧② ✏❝♦♣②✑ t❤❡ st❛t❡ ♦❢ ❛♥ ♦❜❥❡❝t ♦♥t♦ ❛ ♠❡❛s✉r✐♥❣ ❞❡✈✐❝❡ ❛♥❞
s✉❝❝❡❡❞ ✐♥ ❣❡tt✐♥❣ t❤❡ s❛♠❡ r❡s✉❧t ❡✈❡r② t✐♠❡✳ ❚❤❡ ♥♦✲❝❧♦♥✐♥❣ t❤❡♦r❡♠ ♦❢ ❙❡❝✳ ✷✳✹ ❣❡♥❡r❛❧❧②
r❡♠♦✈❡s t❤✐s ❢❡❛t✉r❡ ✐♥ q✉❛♥t✉♠ s②st❡♠s✳ ■♥ ❢❛❝t✱ t❤❡ ♠❡❛s✉r✐♥❣ ❞❡✈✐❝❡ ❜❡❝♦♠❡s ❡♥t❛♥❣❧❡❞
✇✐t❤ t❤❡ q✉❛♥t✉♠ s②st❡♠ ❛♥❞✱ ❛s ❛ r❡s✉❧t✱ t❤❡ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥t ♦✉t❝♦♠❡s ❛r❡ ♣r♦❜❛❜✐❧✐st✐❝✳
❚❤❡ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥t ♣♦st✉❧❛t❡ ♦❢ q✉❛♥t✉♠ ♠❡❝❤❛♥✐❝s st❛t❡s t❤❛t ❢♦r ❛ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥t ♦❢ ❛
q✉❛♥t✉♠ s②st❡♠✱ Q✱ t❤❡r❡ ❡①✐sts ❛ s❡t ♦❢ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥t ♦♣❡r❛t♦rs✱ {Mm }✱ t❤❛t ❛❝t ♦♥ t❤❡
❍✐❧❜❡rt s♣❛❝❡ ♦❢ Q✱ ②✐❡❧❞✐♥❣ ❛♥ ♦✉t❝♦♠❡ m ✇✐t❤ s♦♠❡ ♣r♦❜❛❜✐❧✐t②✱
†

✭✹✳✶✮

pm = ψ|Mm Mm |ψ ,

✇❤❡r❡ |ψ ✐s t❤❡ st❛t❡ ♦❢ Q ❜❡❢♦r❡ t❤❡ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥t ❬✷✺❪✳ ❋♦r ❛♥ ♦✉t❝♦♠❡ m✱ t❤❡ st❛t❡ ♦❢ Q
❛❢t❡r t❤❡ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥t ❜❡❝♦♠❡s

|ψ →

Mm |ψ
†
ψ|Mm Mm |ψ

✺✹

.

✭✹✳✷✮

❚❤❡ ♣r♦❜❛❜✐❧✐t✐❡s✱ pm ✱ s✉♠ t♦ ♦♥❡✱ ✇❤✐❝❤ ✐♠♣❧✐❡s t❤❡ ❝♦♠♣❧❡t❡♥❡ss r❡❧❛t✐♦♥ ❢♦r t❤❡ ♠❡❛s✉r❡✲
♠❡♥t ♦♣❡r❛t♦rs✱
†

Mm Mm = ✶.

✭✹✳✸✮

m

❲✐t❤✐♥ q✉❛♥t✉♠ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥t t❤❡♦r②✱ t❤❡r❡ ❛r❡ t✇♦ ✐♠♣♦rt❛♥t ❝❛s❡s ❦♥♦✇♥ ❛s P♦s✐t✐✈❡
❖♣❡r❛t♦r✲❱❛❧✉❡❞ ▼❡❛s✉r❡ ✭P❖❱▼✮ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥ts ❛♥❞ Pr♦❥❡❝t✐♦♥✲❱❛❧✉❡❞ ▼❡❛s✉r❡ ✭P❱▼✮
♠❡❛s✉r❡♠❡♥ts✳ ❚❤❡ ❧❛tt❡r✱ ✇❤✐❝❤ ❛r❡ ❛❧s♦ ❦♥♦✇♥ ❛s ♣r♦❥❡❝t✐✈❡ ♦r ✈♦♥ ◆❡✉♠❛♥♥ ♠❡❛s✉r❡✲
♠❡♥ts✱ ✇❡r❡ ❞✐s❝✉ss❡❞ ✐♥ ❞❡t❛✐❧ ❜② ✈♦♥ ◆❡✉♠❛♥♥ ❬✷✷❪✳ ■♥ t❤✐s ✇♦r❦✱ ■ ✇✐❧❧ ❢♦❝✉s ♣r✐♠❛r✐❧②
♦♥ ♣r♦❥❡❝t✐✈❡ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥ts ✭❜♦t❤ ✇❡❛❦ ❛♥❞ str♦♥❣ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥ts✱ ✇❤✐❝❤ ✇✐❧❧ ❜❡ ❞✐s❝✉ss❡❞
❧❛t❡r✮✱ ❛❧t❤♦✉❣❤ ✐t ✐s ✉s❡❢✉❧ t♦ ❤❛✈❡ ❛♥ ✉♥❞❡rst❛♥❞✐♥❣ ♦❢ t❤❡ ❢❡❛t✉r❡s ♦❢ ❜♦t❤ t②♣❡s ♦❢ ♠❡❛✲
s✉r❡♠❡♥t s❝❡♥❛r✐♦s✳
▼❡❛s✉r❡♠❡♥ts ✐♥ q✉❛♥t✉♠ ♠❡❝❤❛♥✐❝s ❝❛♥ ❜❡ ❣❡♥❡r❛❧❧② ❞❡s❝r✐❜❡❞ ✉s✐♥❣ t✇♦ ♠❛t❤❡♠❛t✐❝❛❧
t♦♦❧s ❦♥♦✇♥ ❛s ❛ P♦s✐t✐✈❡ ❖♣❡r❛t♦r✲❱❛❧✉❡❞ ▼❡❛s✉r❡ ✭P❖❱▼✮ ❛♥❞ ❛ Pr♦❥❡❝t✐♦♥✲❱❛❧✉❡❞ ▼❡❛✲
s✉r❡ ✭P❱▼✮✳ ❚❤❡ ❧❛tt❡r ❛r❡ ✉s❡❞ t♦ ✐♠♣❧❡♠❡♥t ♣r♦❥❡❝t✐✈❡✱ ♦r ✈♦♥ ◆❡✉♠❛♥♥ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥ts✳
❆❧t❤♦✉❣❤ ♣r♦❥❡❝t✐✈❡ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥ts ❛r❡ s❡❡♥ ❛s ❛ s♣❡❝✐❛❧ ❝❛s❡ ♦❢ P❖❱▼ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥ts✱ ❜②
◆❛✐♠❛r❦✬s t❤❡♦r❡♠ ✭s♦♠❡t✐♠❡s ❛❧s♦ ❝❛❧❧❡❞ ◆❡✉♠❛r❦✬s t❤❡♦r❡♠✮✱ ❛ P❖❱▼ ❝❛♥ ❛❧✇❛②s ❜❡
r❡❛❧✐③❡❞ ❜② ❛ ♣r♦❥❡❝t✐✈❡ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥t ♦♥ ❛♥ ❡①t❡♥❞❡❞ ❍✐❧❜❡rt s♣❛❝❡ ❬✼✽❪✳ ❚❤❛t ✐s✱ t❤❡ ❝♦♠❜✐✲
♥❛t✐♦♥ ♦❢ ✉♥✐t❛r② ✐♥t❡r❛❝t✐♦♥s ❜❡t✇❡❡♥ t❤❡ q✉❛♥t✉♠ s②st❡♠ ❛♥❞ ❛♥ ❛♥❝✐❧❧❛r② s②st❡♠✱ ❢♦❧❧♦✇❡❞
❜② ❛ ♣r♦❥❡❝t✐✈❡ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥t ✐s ❡q✉✐✈❛❧❡♥t t♦ ❛ P❖❱▼ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥t✳ ■♥ t❤✐s s❡❝t✐♦♥✱ ■ ♣r♦✲
✈✐❞❡ ❛♥ ♦✉t❧✐♥❡ ♦❢ P❖❱▼ ❛♥❞ P❱▼ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥ts✱ ❛s ✇❡❧❧ ❛s ❛ ❞❡s❝r✐♣t✐♦♥ ♦❢ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥t
✇❤❡♥ ❛❝❝♦✉♥t✐♥❣ ❢♦r ❛♥ ❛♥❝✐❧❧❛r② s②st❡♠✳
❘❡❝❛❧❧ t❤❛t ❛ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥t ❝♦rr❡s♣♦♥❞s t♦ ❛ s❡t ♦❢ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥t ♦♣❡r❛t♦rs✱ Mm ✳ ■♥ ❛

✺✺

P❖❱▼ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥t✱ ♦♥❡ ❞❡✜♥❡s t❤❡ ♦♣❡r❛t♦rs
†

✭✹✳✹✮

Em = Mm Mm ,

❛♥❞ ❝❛❧❧s t❤❡♠ t❤❡ ❡❧❡♠❡♥ts ♦❢ t❤❡ P❖❱▼✳ ❚❤❡ ❡❧❡♠❡♥ts ♦❢ ❛ P❖❱▼ ❞♦ ♥♦t ♥❡❝❡ss❛r✐❧②
†
❝♦♠♠✉t❡ ✇✐t❤ ❡❛❝❤ ♦t❤❡r✱ ❜✉t ❛r❡ ❍❡r♠✐t✐❛♥ ✭Em = Em ✮ ❛♥❞ ♣♦s✐t✐✈❡ ✭ ψ|Em |ψ

≥ 0✮

♦♣❡r❛t♦rs t❤❛t s❛t✐s❢② t❤❡ ❝♦♠♣❧❡t❡♥❡ss r❡❧❛t✐♦♥ ✭✹✳✸✮✳ ❚❤❡ s❡t ♦❢ ❛❧❧ ❡❧❡♠❡♥ts✱ {Em }✱ ✐s ❝❛❧❧❡❞
t❤❡ P❖❱▼✳ ❚❤❡ ❛♣♣❛r❛t✉s t❤❛t ♦♥❡ ✉s❡s t♦ ♠❡❛s✉r❡ t❤❡ q✉❛♥t✉♠ s②st❡♠ ✐s r❡♣r❡s❡♥t❡❞ ❜②
t❤❡ P❖❱▼ ❛♥❞ t❤❡ ❡❧❡♠❡♥ts✱ Em ✱ ❛r❡ ❝❤♦s❡♥ t♦ ❝♦rr❡s♣♦♥❞ t♦ ❡❛❝❤ ♣♦ss✐❜❧❡ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥t
♦✉t❝♦♠❡ s✉❝❤ t❤❛t t❤❡② ②✐❡❧❞ t❤❡ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥t ♣r♦❜❛❜✐❧✐t✐❡s

✭✹✳✺✮

pm = ψ|Em |ψ .

■❢ t❤❡ q✉❛♥t✉♠ s②st❡♠ ✐s ❞❡s❝r✐❜❡❞ ❜② ❛ ❞❡♥s✐t② ♠❛tr✐①✱ ρ✱ t❤❡♥ t❤❡ ♣r♦❜❛❜✐❧✐t✐❡s ❛r❡ ❣✐✈❡♥
✐♥st❡❛❞ ❜② t❤❡ tr❛❝❡✱

✭✹✳✻✮

pm = Tr Em ρ ,

❛♥❞ t❤❡ ♣♦st✲♠❡❛s✉r❡♠❡♥t st❛t❡ ✐s
†

ρ → ρm =

Mm ρ Mm
†

.

Tr Mm Mm ρ

✭✹✳✼✮

❋♦r ♣r♦❥❡❝t✐✈❡ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥ts✱ ♦♥❡ ✐♠♣♦s❡s t❤❡ r❡q✉✐r❡♠❡♥t t❤❛t t❤❡ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥t ♦♣❡r✲
❛t♦rs✱ Mm ✱ ❛r❡ ♦rt❤♦❣♦♥❛❧ ♣r♦❥❡❝t♦rs✱ Pm = |m m|✱ s♦ t❤❛t
†

Pm Pm = δmm Pm .

✺✻

✭✹✳✽✮

†
❚❤❛t ✐s✱ t❤❡ P❖❱▼ ❡❧❡♠❡♥ts ❛r❡ t❤❡ s❛♠❡ ❛s t❤❡ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥t ♦♣❡r❛t♦rs✱ Em = Pm Pm = Pm ✳

■♥ t❤✐s ❝❛s❡✱ ✐t ✐s str❛✐❣❤t❢♦r✇❛r❞ t♦ s❤♦✇ t❤❛t r❡♣❡❛t❡❞ ♣r♦❥❡❝t✐✈❡ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥ts ②✐❡❧❞ t❤❡
s❛♠❡ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥t ♦✉t❝♦♠❡✿ ✐❢ ✇❡ ♠❡❛s✉r❡ ❛ s②st❡♠ ❛♥❞ ✜♥❞ t❤❡ r❡s✉❧t m✱ t❤❡♥ s✉❜s❡q✉❡♥t
♠❡❛s✉r❡♠❡♥ts ✇✐❧❧ ❛❧s♦ ②✐❡❧❞ m✱ ❛ss✉♠✐♥❣ t❤❛t ♥♦ ❞❡❝♦❤❡r❡♥❝❡ ❤❛s t❛❦❡♥ ♣❧❛❝❡ ❜❡t✇❡❡♥
❝♦♥s❡❝✉t✐✈❡ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥ts✳ ❚❤✐s ✐s ♥♦t tr✉❡ ❢♦r P❖❱▼ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥ts s✐♥❝❡ t❤❡ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥t
♦♣❡r❛t♦rs✱ Mm ✱ ❛r❡ ♥♦t ♥❡❝❡ss❛r✐❧② ❛❧❧ ♦rt❤♦❣♦♥❛❧✳ ❆❝❝♦r❞✐♥❣ t♦ t❤❡ s♣❡❝tr❛❧ ❞❡❝♦♠♣♦s✐t✐♦♥✱

ˆ ❝♦rr❡s♣♦♥❞✐♥❣ t♦ s♦♠❡ ♦❜s❡r✈❛❜❧❡ ❝❛♥ ❜❡ ❞✐❛❣♦♥❛❧✐③❡❞ ❛♥❞ ✇r✐tt❡♥
❛ ❍❡r♠✐t✐❛♥ ♦♣❡r❛t♦r A
✐♥ t❤❡ ❢♦r♠

Aˆ =

λm Pm ,

✭✹✳✾✮

m

✇✐t❤ ❡✐❣❡♥✈❛❧✉❡s λm ❛♥❞ ♣r♦❥❡❝t♦rs Pm ✳ ❙✐♥❝❡ t❤❡ ♦♣❡r❛t♦rs Pm ❛r❡ ♦rt❤♦❣♦♥❛❧✱ t❤❡ ♥✉♠❜❡r
♦❢ ♦♣❡r❛t♦rs ✐♥ t❤❡ ❞❡❝♦♠♣♦s✐t✐♦♥ ✭✹✳✾✮ ✐s ❡q✉❛❧ t♦ t❤❡ ❞✐♠❡♥s✐♦♥ ♦❢ A✬s ❍✐❧❜❡rt s♣❛❝❡✳ ■♥
❝♦♥tr❛st✱ ❛ P❖❱▼ ❝❛♥ ❤❛✈❡ ❛♥ ✉♥❧✐♠✐t❡❞ ♥✉♠❜❡r ♦❢ ❡❧❡♠❡♥ts✳
❆❝❝♦r❞✐♥❣ t♦ ◆❛✐♠❛r❦✬s t❤❡♦r❡♠ ❬✼✽❪✱ t❤❡ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥t ♣r♦❝❡ss ❝❛♥ ❜❡ ❞❡s❝r✐❜❡❞ ❛s ❛
✉♥✐t❛r② ✐♥t❡r❛❝t✐♦♥ ❜❡t✇❡❡♥ ❛ q✉❛♥t✉♠ s②st❡♠✱ Q✱ ❛♥❞ ❛♥ ❛♥❝✐❧❧❛r② s②st❡♠✱ M ✱ s♦♠❡t✐♠❡s
❝❛❧❧❡❞ t❤❡ ♠❡t❡r✳ ❚❤❡ ❝♦✉♣❧✐♥❣ ✐♥❞✉❝❡❞ ❜② t❤❡ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥t ✐s ❞✉❡ t♦ t❤❡ ✐♥t❡r❛❝t✐♦♥ ❍❛♠✐❧✲
t♦♥✐❛♥✱

ˆ.
H = g Aˆ ⊗ M

✭✹✳✶✵✮

❚❤❡ ♣❛r❛♠❡t❡r g ❝♦♥tr♦❧s t❤❡ str❡♥❣t❤ ♦❢ t❤❡ ❝♦✉♣❧✐♥❣ ❜❡t✇❡❡♥ Q ❛♥❞ M ✱ ❛♥❞ t❤❡ ♦♣❡r❛t♦r

ˆ✳ ❚❤❡ ♦♣❡r❛t♦r M
ˆ ❛❝ts ♦♥ t❤❡ ♣♦✐♥t❡r
❝♦rr❡s♣♦♥❞✐♥❣ t♦ t❤❡ ♦❜s❡r✈❛❜❧❡ ❜❡✐♥❣ ♠❡❛s✉r❡❞ ✐s A
✈❛r✐❛❜❧❡ ♦❢ t❤❡ ♠❡t❡r ❛♥❞ ♠♦✈❡s ✐t ❢r♦♠ ✐ts ✐♥✐t✐❛❧ st❛t❡ ❞❡♣❡♥❞✐♥❣ ♦♥ t❤❡ st❛t❡ ♦❢ t❤❡
q✉❛♥t✉♠ s②st❡♠✳ ❍❡r❡✱ ✐t ✐s ❛ss✉♠❡❞ t❤❛t ❡✐t❤❡r t❤❡ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥t ♦❝❝✉rs ♦♥ ❛ s❤♦rt ❡♥♦✉❣❤

✺✼

t✐♠❡ s❝❛❧❡ s♦ t❤❛t t❤❡ ❢r❡❡ ❡✈♦❧✉t✐♦♥ ♦❢ Q ❝❛♥ ❜❡ ♥❡❣❧❡❝t❡❞✱ ♦r t❤❛t t❤❡ ♦❜s❡r✈❛❜❧❡ ❝♦♠♠✉t❡s

ˆ ❛♥❞ M
ˆ ❛❝t ✐♥ ❞✐✛❡r❡♥t ❍✐❧❜❡rt s♣❛❝❡s✱ t❤❡②
✇✐t❤ t❤❡ ❢r❡❡ ❍❛♠✐❧t♦♥✐❛♥ ♦❢ Q✳ ◆♦t❡ t❤❛t s✐♥❝❡ A
❝♦♠♠✉t❡✳ ■❢ t❤❡ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥t ❤❛s ❛ ❞✉r❛t✐♦♥ ♦❢ t✱ t❤❡ ❍❛♠✐❧t♦♥✐❛♥ ❣❡♥❡r❛t❡s ❛ tr❛♥s❧❛t✐♦♥
✐♥ t✐♠❡ ✈✐❛ t❤❡ ✉♥✐t❛r② ♦♣❡r❛t♦r

U = e−itH/ .

✭✹✳✶✶✮

■♥ ❛ ♠♦r❡ r❡❛❧✐st✐❝ s❝❡♥❛r✐♦✱ t❤❡ ❝♦✉♣❧✐♥❣ ♣❛r❛♠❡t❡r ✐♥ t❤❡ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥t ❍❛♠✐❧t♦♥✐❛♥ ✭✹✳✶✵✮
✐s t✐♠❡ ❞❡♣❡♥❞❡♥t✳ ■❢ g(t) ✐s ♥♦♥③❡r♦ ✐♥ t❤❡ ✐♥t❡r✈❛❧ [0, T ] ❛♥❞ ♥♦r♠❛❧✐③❡❞ ❛❝❝♦r❞✐♥❣ t♦
T
0

g(t)dt = g0 ✱ t❤❡♥ ✇❡ r❡♣❧❛❝❡ ❡①♣r❡ss✐♦♥ ✭✹✳✶✶✮ ❜②
T
U = T e−i o H(t)dt/ ,

✭✹✳✶✷✮

✇❤❡r❡ T ✐♥❞✐❝❛t❡s t❤❡ t✐♠❡✲♦r❞❡r✐♥❣ ♦♣❡r❛t♦r ✭✇❤✐❝❤ ❝❛♥ ❜❡ ✐❣♥♦r❡❞ ✐❢ H ❝♦♠♠✉t❡s ✇✐t❤
✐ts❡❧❢ ❛t ❞✐✛❡r❡♥t t✐♠❡s✮✳ ■♥ ♣r♦t❡❝t✐✈❡ q✉❛♥t✉♠ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥ts ❬✼✾✕✽✶❪✱ ❢♦r ❡①❛♠♣❧❡✱ t❤❡
✐♥t❡r❛❝t✐♦♥ ✐s t❛❦❡♥ t♦ ❜❡ ✈❡r② s❧♦✇ ❛♥❞ ✇❡❛❦ s♦ t❤❛t t❤❡ ❢r❡❡ ❡✈♦❧✉t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ q✉❛♥t✉♠
s②st❡♠ ❛♥❞ ♠❡t❡r ❝❛♥ ♥♦ ❧♦♥❣❡r ❜❡ ♥❡❣❧❡❝t❡❞✳ ■♥ s✉❝❤ ❛ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥t✱ t❤❡ ✐♥t❡r❛❝t✐♦♥ ✐s
❛❞✐❛❜❛t✐❝ ✐❢ g(t) ✐s s✉✣❝✐❡♥t❧② s♠♦♦t❤ ❛♥❞ t❤✉s t❤❡ q✉❛♥t✉♠ s②st❡♠ r❡♠❛✐♥s ✐♥ ✐ts ✐♥✐t✐❛❧
❡✐❣❡♥st❛t❡ t❤r♦✉❣❤♦✉t t❤❡ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥t✳ ■♥ t❤✐s ✇♦r❦✱ ✇❡ ❛ss✉♠❡ t❤❡ ✐♥t❡r❛❝t✐♦♥ ✐s ❢❛st ✭t❤❡
✐♠♣✉❧s❡ ❛♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥✮ ❛♥❞ ✉s❡ ✭✹✳✶✶✮ ❢♦r t❤❡ t✐♠❡ ❡✈♦❧✉t✐♦♥✳

ˆ ✐♥ t❤❡ ❍❛♠✐❧t♦♥✐❛♥ ♦❢ ❊q✳ ✭✹✳✶✵✮ ✐s ✇r✐tt❡♥ ✐♥ ✐ts s♣❡❝tr❛❧ ❞❡❝♦♠♣♦s✐t✐♦♥
■❢ t❤❡ ♦♣❡r❛t♦r A
✇✐t❤ ❡✐❣❡♥✈❛❧✉❡s an ❛♥❞ d ❡✐❣❡♥✈❡❝t♦rs |an ✱

Aˆ =

an |an an |,

an P n =
n

n

✺✽

✭✹✳✶✸✮

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ˆ

Pn ⊗ e−i g t an M / ,

Pn ⊗ Un =

U=
n

✭✹✳✶✹✮

n

ˆ / ) ❛r❡ ✉♥✐t❛r② ♦♣❡r❛t♦rs ♦♥ t❤❡ ♣♦✐♥t❡r ✈❛r✐❛❜❧❡✳ ■♥ t❤✐s ❢♦r♠✱
✇❤❡r❡ Un = exp(−i g t an M
✐t ✐s ❝❧❡❛r t❤❛t ✐❢ t❤❡ q✉❛♥t✉♠ s②st❡♠ ✐s ✐♥ t❤❡ st❛t❡ |an ✱ t❤❡ ♣♦✐♥t❡r ✐s s❤✐❢t❡❞ ❜② ❛♥ ❛♠♦✉♥t
❝♦♥tr♦❧❧❡❞ ❜② t❤❡ ❡✐❣❡♥✈❛❧✉❡ an ✳ ❚❤❛t ✐s✱ ✇r✐t✐♥❣ t❤❡ ✐♥✐t✐❛❧ q✉❛♥t✉♠ s②st❡♠ ✐♥ t❤❡ ❡✐❣❡♥❜❛s✐s
♦❢ t❤❡ ♦❜s❡r✈❛❜❧❡ ❛s |Qi =

m αm |am

✇✐t❤ ❝♦♠♣❧❡① ❛♠♣❧✐t✉❞❡s αm ✱ t❤❡ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥t

✉♥✐t❛r② ✭✹✳✶✹✮ ❡♥t❛♥❣❧❡s Q ❛♥❞ M ❛❝❝♦r❞✐♥❣ t♦
ˆ

αm |am ⊗ e−i g t am M / |Mi =

U |Qi |Mi =

αm |am ⊗ |am M .

✭✹✳✶✺✮

m

m

ˆ / ) |Mi ❛r❡ ✐ts d
❍❡r❡✱ |Mi ✐s t❤❡ ✐♥✐t✐❛❧ st❛t❡ ♦❢ t❤❡ ♠❡t❡r✱ ❛♥❞ |am M = exp(−i g t am M
✜♥❛❧ st❛t❡s✳
❚❤❡ ✜♥❛❧ st❛t❡ ♦❢ t❤❡ q✉❛♥t✉♠ s②st❡♠ ❝❛♥ ❜❡ ❝♦♠♣✉t❡❞ ❢r♦♠ t❤❡ t♦t❛❧ ✇❛✈❡ ❢✉♥❝✲
t✐♦♥ ✭✹✳✶✺✮✳ ❚r❛❝✐♥❣ ♦✈❡r t❤❡ st❛t❡s ♦❢ t❤❡ ♠❡t❡r✱ t❤❡ ❞❡♥s✐t② ♠❛tr✐① ♦❢ t❤❡ q✉❛♥t✉♠ s②st❡♠
✐s

ρQ = TrM U |Qi Qi | ⊗ |Mi Mi |U † ,

✭✹✳✶✻✮

✇❤✐❝❤ ❤❛s ❜❡❡♥ ❧❡❢t ❣❡♥❡r❛❧ s✐♥❝❡ t❤❡ ✜♥❛❧ ♣♦✐♥t❡r st❛t❡s ♠❛② ♥♦t ❜❡ ♦rt❤♦❣♦♥❛❧✳ ■♥ ❝♦♥tr❛st✱
t❤❡ st❛t❡s |am ♦❢ t❤❡ q✉❛♥t✉♠ s②st❡♠ ❛r❡ ♦rt❤♦❣♦♥❛❧✱ s♦ t❤❛t t❤❡ ❞❡♥s✐t② ♠❛tr✐① ♦❢ t❤❡
♠❡t❡r ✐s

|αm |2 |am M am |.

ρM =

✭✹✳✶✼✮

m

❖♥❡ ♦❢ t❤❡ ♠♦st ✇❡❧❧✲❦♥♦✇♥ ❡①❛♠♣❧❡s ♦❢ q✉❛♥t✉♠ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥t ✐s t❤❡ ❙t❡r♥✲●❡r❧❛❝❤
✺✾

❡①♣❡r✐♠❡♥t ❬✽✷❪✳ ❍❡r❡✱ t❤❡ s♣✐♥ ❝♦♠♣♦♥❡♥t ♦❢ ❛ s♣✐♥✲✶✴✷ ♣❛rt✐❝❧❡ ✐s ♠❡❛s✉r❡❞ ❜② s❡♥❞✐♥❣
✐t t❤r♦✉❣❤ ❛ ❙t❡r♥✲●❡r❧❛❝❤ ❛♣♣❛r❛t✉s✳

❚❤❡ ✐♥t❡r❛❝t✐♦♥ ✇✐t❤ ❛ ✐♥❤♦♠♦❣❡♥❡♦✉s ♠❛❣♥❡t✐❝

✜❡❧❞ ❝♦✉♣❧❡s t❤❡ s♣✐♥ ♦❢ t❤❡ ❛t♦♠ ✇✐t❤ ✐ts s♣❛t✐❛❧ ❞❡❣r❡❡ ♦❢ ❢r❡❡❞♦♠ ✭t❤❡ ♠❡t❡r✮ r❡s✉❧t✐♥❣
✐♥ t✇♦ ❞❡✢❡❝t❡❞ ❜❡❛♠s ✇✐t❤ ❞✐✛❡r❡♥t s♣✐♥✳

■❢ t❤❡s❡ ❜❡❛♠s ❛r❡ t❤❡♥ ♦❜s❡r✈❡❞✱ ♦♥❡ ❤❛s

♦❜t❛✐♥❡❞ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥ ❛❜♦✉t t❤❡ st❛t❡ ♦❢ Q✳ ❋♦r ❡①❛♠♣❧❡✱ ❛ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥t ♦❢ t❤❡ s♣✐♥ ❛❧♦♥❣

zˆ ❝♦rr❡s♣♦♥❞s t♦ t❤❡ ❍❛♠✐❧t♦♥✐❛♥ H = −g σ
ˆz ⊗ zˆ✳ ❚❤❡ ❡✐❣❡♥✈❛❧✉❡s ♦❢ t❤❡ ♦❜s❡r✈❛❜❧❡ ❛r❡ ±1
s♦ t❤❛t t❤❡ ✜♥❛❧ st❛t❡ ♦❢ t❤❡ q✉❛♥t✉♠ s②st❡♠ ❛♥❞ ♣♦✐♥t❡r ✐s

U |Qi |Mi = α0 | + 1 ⊗ | + 1 M + α1 | − 1 ⊗ | − 1 M
= α0 | + 1

⊗ e−i g tˆz /

|Mi + α1 | − 1

⊗ e+i g tˆz /

✭✹✳✶✽✮

|Mi .

❚❤✉s✱ t❤❡ ♣♦✐♥t❡r ✐s s❤✐❢t❡❞ ✉♣ ♦r ❞♦✇♥ ❛❝❝♦r❞✐♥❣ t♦ exp(±i g t zˆ/ )✳

✹✳✷ ◗✉❜✐ts ❛♥❞ ◗✉❛♥t✉♠ ▼❡❛s✉r❡♠❡♥ts ✐♥ ❊①♣❡r✐♠❡♥t❛❧
❙❡tt✐♥❣s
❚❤❡r❡ ❛r❡ ♠❛♥② ❞✐✛❡r❡♥t ♣❤②s✐❝❛❧ r❡❛❧✐③❛t✐♦♥s ♦❢ q✉❜✐t s②st❡♠s✱ r❛♥❣✐♥❣ ❢r♦♠ ♣❤♦t♦♥s ❬✽✸✕
✽✺❪ ❛♥❞ t❤❡ s♣✐♥ st❛t❡s ♦❢ tr❛♣♣❡❞ ✐♦♥s ❬✽✻✕✽✽❪ ♦r q✉❛♥t✉♠ ❞♦ts ❬✽✾❪✱ t♦ ❛rt✐✜❝✐❛❧ ❛t♦♠s
❢❛❜r✐❝❛t❡❞ ❢r♦♠ s✉♣❡r❝♦♥❞✉❝t✐♥❣ ❝✐r❝✉✐ts✳ ❚❤❡s❡ ❧❛tt❡r q✉❜✐ts ❛r❡ ❢❛❜r✐❝❛t❡❞ ✇✐t❤ ❏♦s❡♣❤s♦♥
❥✉♥❝t✐♦♥s ❬✾✵❪ ❛♥❞ ❛r❡ ❞❡s✐❣♥❡❞ t♦ ♦♣❡r❛t❡ ♦♣t✐♠❛❧❧② ✉♥❞❡r ❞✐✛❡r❡♥t ❝♦♥❞✐t✐♦♥s ✭s❡❡ ❘❡❢s✳ ❬✾✶✱
✾✷❪ ❢♦r ❛ r❡✈✐❡✇✮✳ ❚❤❡ t❤r❡❡ ❜❛s✐❝ t②♣❡s ♦❢ s✉♣❡r❝♦♥❞✉❝t✐♥❣ q✉❜✐ts ❛r❡ t❤❡ ❝❤❛r❣❡ q✉❜✐t ❬✾✸✕✾✻❪
✭❧♦❣✐❝❛❧ q✉❜✐t st❛t❡s ❝♦rr❡s♣♦♥❞ t♦ t❤❡ ♥✉♠❜❡r ♦❢ ❡①❝❡ss ❈♦♦♣❡r ♣❛✐rs ♦♥ ❛ s✉♣❡r❝♦♥❞✉❝t✐♥❣
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❛ss♦❝✐❛t❡❞ ✇✐t❤ t❤❡ ♣❤❛s❡ ❛❝r♦ss t❤❡ ❥✉♥❝t✐♦♥✮✱ ❛♥❞ t❤❡ ✢✉① q✉❜✐t ❬✶✵✵✱ ✶✵✶❪ ✭❧♦❣✐❝❛❧ st❛t❡s
❝♦rr❡s♣♦♥❞ t♦ s✉♣❡r❝✉rr❡♥t ✢♦✇✐♥❣ ❝❧♦❝❦✇✐s❡ ♦r ❛♥t✐❝❧♦❝❦✇✐s❡ ❛r♦✉♥❞ ❛ ❧♦♦♣✮✳ ■♥ t❤✐s s❡❝t✐♦♥✱
✻✵

t❤❡ t❤❡♦r❡t✐❝❛❧ ❞❡s❝r✐♣t✐♦♥ ♦❢ q✉❛♥t✉♠ s②st❡♠s ❛♥❞ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥ts ❞✐s❝✉ss❡❞ t❤✉s ❢❛r ✇✐❧❧ ❜❡
❝♦♥♥❡❝t❡❞ t♦ t②♣✐❝❛❧ ❡①♣❡r✐♠❡♥t❛❧ s❡tt✐♥❣s✳

■♥ ♣❛rt✐❝✉❧❛r✱ ■ ✇✐❧❧ s✉♠♠❛r✐③❡ s✐♥❣❧❡✲q✉❜✐t

♦♣❡r❛t✐♦♥s ❛♥❞ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥ts ✐♥ ♦♣t✐❝❛❧ s②st❡♠s ✇❤❡r❡ t❤❡ q✉❜✐t st❛t❡s ❛r❡ ❝♦♥str✉❝t❡❞ ❢r♦♠
t❤❡ ❞❡❣r❡❡s ♦❢ ❢r❡❡❞♦♠ ♦❢ ❛ ♣❤♦t♦♥✳

✹✳✷✳✶ P❤♦t♦♥✐❝ ◗✉❜✐ts
▲✐♥❡❛r ♦♣t✐❝❛❧ q✉❛♥t✉♠ ❝♦♠♣✉t✐♥❣ ✭▲❖◗❈✮✱ ✇❤✐❝❤ ✉s❡s ♣❤♦t♦♥s ❛s t❤❡ ❜❛s✐❝ ✉♥✐t ♦❢ ✐♥❢♦r✲
♠❛t✐♦♥✱ ✐s ♦♥❡ ♣r♦♠✐s✐♥❣ ♣❛t❤✇❛② t♦ ✉♥✐✈❡rs❛❧ q✉❛♥t✉♠ ❝♦♠♣✉t❛t✐♦♥ ❬✽✸✱ ✽✹✱ ✶✵✷✱ ✶✵✸❪✳ ■♥
t❤❡ ❞✉❛❧✲r❛✐❧ r❡♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥ ❬✷✺❪✱ t❤❡ q✉❜✐t ✐s ❛ s✐♥❣❧❡ ♣❤♦t♦♥ ✐♥ ♦♥❡ ♦❢ t✇♦ ♦♣t✐❝❛❧ ♠♦❞❡s✳
❚❤❡s❡ ♠♦❞❡s ❝❛♥ ❜❡ t❤❡ s♣❛t✐❛❧✱ ♣♦❧❛r✐③❛t✐♦♥✱ ♦r t✐♠❡ ❞❡❣r❡❡s ♦❢ ❢r❡❡❞♦♠ ♦❢ t❤❡ ♣❤♦t♦♥✳ ❚❤❡
st❛t❡ |n a ⊗ |n b ✐s ♦♥❡ ✇❤❡r❡ t❤❡r❡ ❛r❡ n ✭n ✮ ♣❤♦t♦♥s ✐♥ ♠♦❞❡ a ✭b✮✳ ❚❤❡ ❧♦❣✐❝❛❧ st❛t❡s ♦❢
t❤❡ q✉❜✐t ❛r❡ ✇r✐tt❡♥ ✐♥ t❡r♠s ♦❢ t❤❡ ♦❝❝✉♣❛t✐♦♥ ♥✉♠❜❡rs ♦❢ t❤❡ t✇♦ ♠♦❞❡s ❛s

|0 L = |1 ⊗ |0 ,

✭✹✳✶✾✮

|1 L = |0 ⊗ |1 .
❆♥ ❛❧t❡r♥❛t✐✈❡ ❡♥❝♦❞✐♥❣ ✐s t❤❡ s✐♥❣❧❡✲r❛✐❧ r❡♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥ ❬✶✵✹❪✱ ✇❤❡r❡ ♦♥❡ ❝♦♥s✐❞❡rs ♦♥❧② ♦♥❡
♦♣t✐❝❛❧ ♠♦❞❡ ❜✉t ✇✐t❤ t✇♦ ❞✐st✐♥❝t ❋♦❝❦ st❛t❡s✳ ❋♦r ❡①❛♠♣❧❡✱ t❤❡ ❧♦❣✐❝❛❧ st❛t❡s ❝♦✉❧❞ ❜❡

|0 L = |0 ❛♥❞ |1 L = |1 ✱ ✇❤✐❝❤ ❛r❡ t❤❡ ✈❛❝✉✉♠ ❛♥❞ s✐♥❣❧❡✲♣❤♦t♦♥ st❛t❡s✳ ❚❤❡ ❞✐s❝✉ss✐♦♥
❤❡r❡ ✇✐❧❧ ❜❡ ✐♥ t❤❡ ❝♦♥t❡①t ♦❢ t❤❡ ❞✉❛❧✲r❛✐❧ r❡♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥✳
❙✐♥❣❧❡✲q✉❜✐t ♦♣❡r❛t✐♦♥s ♦♥ t❤❡ ❧♦❣✐❝❛❧ st❛t❡s ❛r❡ ♣❡r❢♦r♠❡❞ ✇✐t❤ st❛♥❞❛r❞ ♦♣t✐❝❛❧ ❡❧❡✲
♠❡♥ts✳ ❋✉rt❤❡r♠♦r❡✱ ❛r❜✐tr❛r② s✐♥❣❧❡✲♣❤♦t♦♥ ✉♥✐t❛r② ❣❛t❡s ❝❛♥ ❜❡ ❢♦r♠❡❞ ❢r♦♠ ❛ ❝♦♠❜✐♥❛✲
t✐♦♥ ♦❢ ❜❡❛♠ s♣❧✐tt❡rs ❛♥❞ ♣❤❛s❡ s❤✐❢t❡rs ❬✷✺✱ ✶✵✺❪✳ ▼❡❛s✉r❡♠❡♥ts ♦❢ ♣❤♦t♦♥✐❝ q✉❜✐ts ❝❛♥ ❜❡
♠❛❞❡ ✐♥ ❛ ❞❡str✉❝t✐✈❡ ♠❛♥♥❡r ✉s✐♥❣ ♣❤♦t♦❞❡t❡❝t♦rs t♦ ❝♦♥✈❡rt ✐♥❝✐❞❡♥t ♣❤♦t♦♥s ✐♥t♦ ❛ ❝✉r✲
r❡♥t✱ ♦r✱ t❤❡ ✐♥ t❤❡ ❝❛s❡ ♦❢ ✇❡❛❦ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥ts✱ ✇✐t❤ ♦♣t✐❝❛❧ ❡❧❡♠❡♥ts ❧✐❦❡ ✇❛✈❡ ♣❧❛t❡s ❬✶✵✻❪
✻✶

❛♥❞ ❜✐r❡❢r✐♥❣❡♥t ❝r②st❛❧s ❬✷✹❪✳ ❋✐rst✱ ❛ ❞❡s❝r✐♣t✐♦♥ ♦❢ ♣❤♦t♦♥✐❝ q✉❜✐ts ❡♥❝♦❞❡❞ ✇✐t❤ s♣❛t✐❛❧
st❛t❡s ✐s ❣✐✈❡♥✱ ❢♦❧❧♦✇❡❞ ❜② ❛ ❞✐s❝✉ss✐♦♥ ♦❢ ♣♦❧❛r✐③❛t✐♦♥ st❛t❡s✳
❚❤❡ ❧♦❣✐❝❛❧ st❛t❡s ♦❢ ❛ s♣❛t✐❛❧ q✉❜✐t ❝❛♥ ❜❡ ✇r✐tt❡♥ ✐♥ t❡r♠s ♦❢ t❤❡ ♦❝❝✉♣❛t✐♦♥ ♥✉♠❜❡rs
❢♦r t❤❡ t✇♦ ♣♦rts ♦❢ ❛ ❜❡❛♠ s♣❧✐tt❡r✱ ❢♦r ❡①❛♠♣❧❡✳ ❚❤❛t ✐s✱ |0 L = |10 ❛♥❞ |1 L = |01
❝♦✉❧❞ ❜❡ ✉s❡❞ t♦ ✐♥❞✐❝❛t❡ ❛ s✐♥❣❧❡ ♣❤♦t♦♥ ❡♥t❡r✐♥❣ t❤❡ ✜rst ♦r t❤❡ s❡❝♦♥❞ ♣♦rt✱ r❡s♣❡❝t✐✈❡❧②✳
❖♣❡r❛t✐♦♥s ♦♥ t❤❡s❡ ❧♦❣✐❝❛❧ st❛t❡s ❝❛♥ ❜❡ ♣❡r❢♦r♠❡❞ ✇✐t❤ ❜❡❛♠ s♣❧✐tt❡rs ❛♥❞ ♣❤❛s❡ s❤✐❢t❡rs✳
❆ ❜❡❛♠ s♣❧✐tt❡r ✐s ❛♥ ♦♣t✐❝❛❧ ❡❧❡♠❡♥t ❝♦♥t❛✐♥✐♥❣ ❛ ♣❛rt✐❛❧❧② r❡✢❡❝t✐✈❡ s✉r❢❛❝❡ ✇✐t❤ s♦♠❡
❞❡❣r❡❡ ♦❢ r❡✢❡❝t✐♦♥ ❛♥❞ tr❛♥s♠✐ss✐♦♥✳ ❋♦r ❛ ✺✵✲✺✵ ✭s②♠♠❡tr✐❝✮ ❜❡❛♠ s♣❧✐tt❡r✱ t❤❡ r❡✢❡❝t✐♦♥
❛♥❞ tr❛♥s♠✐ss✐♦♥ ❝♦❡✣❝✐❡♥ts ❛r❡ ❜♦t❤ 1/2✳ ❚❤❡ ✉♥✐t❛r② ♠❛tr✐① ❢♦r ❛ ❣❡♥❡r❛❧ ❜❡❛♠ s♣❧✐tt❡r
✐s ❬✽✸✱ ✽✹❪

UBS =

cos θ
−ei∆ sin θ
,
e−i∆ sin θ
cos θ

✭✹✳✷✵✮

✇❤❡r❡ t❤❡ tr❛♥s♠✐ss✐♦♥ ❛♥❞ r❡✢❡❝t✐♦♥ ✐s ❝♦♥tr♦❧❧❡❞ ❜② θ ❛♥❞ ∆ ❛❝❝♦✉♥ts ❢♦r ♣♦ss✐❜❧❡ ♣❤❛s❡
s❤✐❢ts ❞✉❡ t♦ t❤❡ ♠❛t❡r✐❛❧ ✉s❡❞ ✐♥ t❤❡ ❜❡❛♠ s♣❧✐tt❡r✳ ❋♦r ✐♥st❛♥❝❡✱ ❛ ❜❡❛♠ s♣❧✐tt❡r ✇✐t❤ ♥♦
♣❤❛s❡ s❤✐❢t ✐s

UBS (∆ = 0) = Ryˆ(2θ),

✭✹✳✷✶✮

✇❤✐❝❤ ✐s ❛ r♦t❛t✐♦♥ ❜② 2θ ❛r♦✉♥❞ t❤❡ yˆ ❛①✐s ✭r❡❝❛❧❧ ❊q✳ ✭✷✳✸✮ ❢♦r ❛ ❣❡♥❡r❛❧ r♦t❛t✐♦♥ ✐♥ t❤❡
❇❧♦❝❤ s♣❤❡r❡ r❡♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥✮✳ ■❢ t❤❡ ❜❡❛♠ s♣❧✐tt❡r ✐s s②♠♠❡tr✐❝✱ ✐t ❛❝ts ♦♥ t❤❡ ❧♦❣✐❝❛❧ st❛t❡s
t♦ ♣r♦❞✉❝❡

|0 L + |1 L
√
,
2
|0 L − |1 L
√
USBS |1 L =
.
2

USBS |0 L =

✻✷

✭✹✳✷✷✮

❖♥ t❤❡ ♦t❤❡r ❤❛♥❞✱ ❛ ❜❡❛♠ s♣❧✐tt❡r ✇✐t❤ ♣❤❛s❡ s❤✐❢t ∆ = π/2 ✐s ❛ r♦t❛t✐♦♥ ❛r♦✉♥❞ t❤❡ x
ˆ ❛①✐s✱

✭✹✳✷✸✮

UBS (∆ = π/2) = Rxˆ (2θ).

❆♥♦t❤❡r ❜❛s✐❝ ♦♣t✐❝❛❧ ❡❧❡♠❡♥t ✐s t❤❡ ♣❤❛s❡ s❤✐❢t❡r ✇✐t❤ t❤❡ ❝♦rr❡s♣♦♥❞✐♥❣ ❣❛t❡ ❬✶✵✸❪

UP =

1 0
0 eiφ

✭✹✳✷✹✮

.

❚❤✐s s❤✐❢ts ❥✉st t❤❡ ♠♦❞❡ |1 L ❜② eiφ ✳ ❯♣ t♦ ❛♥ ♦✈❡r❛❧❧ ♣❤❛s❡✱ t❤✐s ❣❛t❡ ✐s ❡q✉✐✈❛❧❡♥t t♦ ❛
r♦t❛t✐♦♥ ❜② φ ❛❜♦✉t t❤❡ zˆ ❛①✐s✱

UP = eiφ/2 Rzˆ(φ).

✭✹✳✷✺✮

■t ❝❛♥ ❜❡ s❤♦✇♥ ❬✷✺❪ t❤❛t ❛♥ ❛r❜✐tr❛r② s✐♥❣❧❡✲q✉❜✐t ♦♣❡r❛t✐♦♥ ❝❛♥ ❜❡ ❞❡❝♦♠♣♦s❡❞ ✐♥t♦ r♦✲
t❛t✐♦♥s ❛❜♦✉t zˆ ❛♥❞ ❛❜♦✉t yˆ✳ ❚❤✉s✱ ❜❡❛♠ s♣❧✐tt❡rs ❛♥❞ ♣❤❛s❡ ❣❛t❡s ❝❛♥ ✐♠♣❧❡♠❡♥t ❛♥②
s✐♥❣❧❡✲q✉❜✐t ❣❛t❡✳ ❋✉rt❤❡r♠♦r❡✱ t❤❡② ❝❛♥ ❜❡ ❝♦♠❜✐♥❡❞ t♦ ❝♦♥str✉❝t ♦t❤❡r t②♣❡s ♦❢ ❣❛t❡s✱
❢♦r ❡①❛♠♣❧❡✱ t❤❡ ❍❛❞❛♠❛r❞ ❣❛t❡ ✭✷✳✶✶✮✳ ❋✐rst✱ ♥♦t❡ t❤❛t t❤❡ s②♠♠❡tr✐❝ ❜❡❛♠ s♣❧✐tt❡r ✇✐t❤

∆ = −π/2✱
1
USBS (∆ = −π/2) = √
2
✐s ❡q✉✐✈❛❧❡♥t t♦ ❛

√

1 i
i 1

= Rxˆ (−π/2),
√

✭✹✳✷✻✮

√

♥♦t ❣❛t❡ ✭✇❤✐❝❤ ❤❛s t❤❡ ♣r♦♣❡rt② t❤❛t ♥♦t ♥♦t = ♥♦t✮ ✉♣ t♦ ❛♥

♦✈❡r❛❧❧ ♣❤❛s❡ ❬✶✵✷✱ ✶✵✸✱ ✶✵✼❪✳ ❇② ♣❧❛❝✐♥❣ ♣❤❛s❡ s❤✐❢t❡rs ❛t t❤❡ ✐♥♣✉t ❛♥❞ ♦✉t♣✉t ♣♦rts ♦❢ t❤❡
❜❡❛♠ s♣❧✐tt❡r✱ t❤✐s t✉r♥s ✐♥t♦ t❤❡ ❍❛❞❛♠❛r❞ ❣❛t❡✿

H = UP (−π/2) USBS (∆ = −π/2) UP (−π/2).

✻✸

✭✹✳✷✼✮

❙✐♠✐❧❛r❧②✱ ❛ s✐♥❣❧❡ π ♣❤❛s❡ ❣❛t❡ ❛t t❤❡ ✐♥♣✉t ♣r♦❞✉❝❡s t❤❡ ❍❛❞❛♠❛r❞ ❣❛t❡✱

✭✹✳✷✽✮

H = USBS (∆ = 0) UP (π).

■♥ ♦r❞❡r t♦ ❝♦♥str✉❝t t✇♦✲q✉❜✐t ❣❛t❡s ✭✇❤✐❝❤ ❛r❡ ✉s❡❞ t♦ ❡♥t❛♥❣❧❡ q✉❜✐ts✮ t✇♦ ♣❤♦t♦♥s ♠✉st
❜❡ ♠❛❞❡ t♦ ✐♥t❡r❛❝t✳ ■♥ ♣r✐♥❝✐♣❧❡✱ t❤✐s ❝❛♥ ❜❡ ❞♦♥❡ ✉s✐♥❣ ♥♦♥❧✐♥❡❛r ♠❡❞✐❛ ✈✐❛ t❤❡ ♦♣t✐❝❛❧
❑❡rr ❡✛❡❝t ❬✶✵✽❪✳ ■♥ t❤✐s ✇❛②✱ ❣❛t❡s t❤❛t ❛r❡ ♥❡❝❡ss❛r② ❢♦r ✉♥✐✈❡rs❛❧ q✉❛♥t✉♠ ❝♦♠♣✉t❛t✐♦♥
❝❛♥ ❜❡ r❡❛❧✐③❡❞ ✭❡✳❣✳✱ t❤❡ ❝♦♥tr♦❧❧❡❞✲♣❤❛s❡ ❛♥❞ ❝♦♥tr♦❧❧❡❞✲♥♦t ❣❛t❡s✮ ❬✶✵✷❪✳ ❍♦✇❡✈❡r✱ t❤❡
♥♦♥❧✐♥❡❛r✐t✐❡s r❡q✉✐r❡❞ ♦❢ ❛ ♠❛t❡r✐❛❧ ♠✉st ❜❡ ✈❡r② ❧❛r❣❡ t♦ ✐♥❞✉❝❡ ❛ π ♣❤❛s❡ s❤✐❢t ✭❛❝❝♦r❞✐♥❣
t♦ ❖✬❇r✐❡♥ ❬✽✺❪✱ ♥♦ s✉❝❤ ♠❛t❡r✐❛❧ ②❡t ❡①✐sts✮ ❛♥❞ s♦ t❤❡ ♣r♦♣♦s❛❧ ❢♦r ▲❖◗❈ ✇✐t❤♦✉t ♥♦♥❧✐♥❡❛r
♠❡❞✐❛ ❬✽✸✱ ✶✵✾❪ ♠❛② ❜❡ ♠♦r❡ ♣r♦♠✐s✐♥❣ ❬✶✶✵❪✳
■♥ ❝♦♥tr❛st t♦ t❤❡ s♣❛t✐❛❧ q✉❜✐t✱ t❤❡ ❧♦❣✐❝❛❧ st❛t❡s ♦❢ ❛ ♣♦❧❛r✐③❛t✐♦♥ q✉❜✐t ❛r❡✱ ❢♦r ❡①❛♠♣❧❡✱
t❤❡ ❤♦r✐③♦♥t❛❧ ❛♥❞ ✈❡rt✐❝❛❧ ❧✐♥❡❛r ♣♦❧❛r✐③❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ♣❤♦t♦♥✱ |0 L = |H ❛♥❞ |1 L = |V ✳ ❆
❣❡♥❡r❛❧ st❛t❡ ♦❢ ❛ ♣♦❧❛r✐③❛t✐♦♥ q✉❜✐t ✐s ✇r✐tt❡♥ ✐♥ t❡r♠s ♦❢ t❤❡s❡ ❧♦❣✐❝❛❧ st❛t❡s ❛s ✭❞r♦♣♣✐♥❣
t❤❡ s✉❜s❝r✐♣t L✮

✭✹✳✷✾✮

|ψ = α|0 + β|1 .

❋♦r ❛ ♣❤♦t♦♥ ♣r♦♣❛❣❛t✐♥❣ ❛❧♦♥❣ t❤❡ zˆ ❞✐r❡❝t✐♦♥✱ ♦♥❡ ❝❛♥ ❞❡✜♥❡ |0 = |H

❛s t❤❡ ✭❧✐♥❡❛r✮

❤♦r✐③♦♥t❛❧ ♣♦❧❛r✐③❛t✐♦♥ ❛❧♦♥❣ t❤❡ x
ˆ ❞✐r❡❝t✐♦♥ ❛♥❞ |1 = |V ❛s t❤❡ ✭❧✐♥❡❛r✮ ✈❡rt✐❝❛❧ ♣♦❧❛r✐③❛t✐♦♥
❛❧♦♥❣ yˆ✳ ❆ ❣❡♥❡r❛❧ ❧✐♥❡❛r❧② ♣♦❧❛r✐③❡❞ ♣❤♦t♦♥ ✐s t❤❡♥ ❛ s✉♣❡r♣♦s✐t✐♦♥ ♦❢ t❤❡s❡ st❛t❡s

|ψ = a |H + b |V ,

✭✹✳✸✵✮

✇❤❡r❡ a ❛♥❞ b ❛r❡ r❡❛❧✳
■♥ t❤❡ ❇❧♦❝❤ s♣❤❡r❡ r❡♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥✱ ❧✐♥❡❛r❧② ♣♦❧❛r✐③❡❞ ♣❤♦t♦♥s ❛r❡ ❞❡s❝r✐❜❡❞ ❜② ✈❡❝t♦rs

✻✹

✐♥ t❤❡ xz ♣❧❛♥❡✿ |H ❛♥❞ |V

❛r❡ t❤❡ ❡✐❣❡♥st❛t❡s ♦❢ σz ✱ ✇❤✐❧❡ t❤❡ ❡✐❣❡♥st❛t❡s ♦❢ σx ❛r❡ t❤❡

❞✐❛❣♦♥❛❧ ❛♥❞ ❛♥t✐✲❞✐❛❣♦♥❛❧ ♣♦❧❛r✐③❛t✐♦♥ st❛t❡s✱

|H + |V
√
,
2
|H − |V
√
.
|A =
2

|D =

✭✹✳✸✶✮

❖♥ t❤❡ ♦t❤❡r ❤❛♥❞✱ ❝✐r❝✉❧❛r❧② ♣♦❧❛r✐③❡❞ ♣❤♦t♦♥s ❛r❡ ✇r✐tt❡♥ ✐♥ t❡r♠s ♦❢ t❤❡ ❧❡❢t✲ ❛♥❞ r✐❣❤t✲
❝✐r❝✉❧❛r ♣♦❧❛r✐③❛t✐♦♥ st❛t❡s

|H + i |V
√
,
2
|H − i |V
√
|R =
,
2
|L =

✭✹✳✸✷✮

✇❤✐❝❤ ❛r❡ t❤❡ ❡✐❣❡♥st❛t❡s ♦❢ σy ✳
❚❤❡ ♣♦❧❛r✐③❛t✐♦♥ st❛t❡s ♦❢ ❛ ♣❤♦t♦♥ ❛r❡ ♠❛♥✐♣✉❧❛t❡❞ ✉s✐♥❣ st❛♥❞❛r❞ ♦♣t✐❝❛❧ ❡❧❡♠❡♥ts ❧✐❦❡
✇❛✈❡ ♣❧❛t❡s✳ ❲❛✈❡ ♣❧❛t❡s ❛r❡ ♠❛❞❡ ❢r♦♠ ❜✐r❡❢r✐♥❣❡♥t ♠❛t❡r✐❛❧ ❛♥❞ ❛r❡ ✉s❡❞ t♦ r♦t❛t❡ t❤❡
♣♦❧❛r✐③❛t✐♦♥ ♦❢ s✐♥❣❧❡ ♣❤♦t♦♥s ✭s❡❡ ❈❤✳ ✻ ❢♦r ✇❛✈❡ ♣❧❛t❡s ✐♥ t❤❡ ❝♦♥t❡①t ♦❢ t❤❡ q✉❛♥t✉♠ ❡r❛s❡r
❡①♣❡r✐♠❡♥t✮ ❜② ✐♠♣❛rt✐♥❣ ❛ ♣♦❧❛r✐③❛t✐♦♥✲❞❡♣❡♥❞❡♥t ♣❤❛s❡ s❤✐❢t t♦ t❤❡ ✐♥❝✐❞❡♥t ♣❤♦t♦♥✳ ❚❤❡
✇❛✈❡ ♣❧❛t❡ ❤❛s ❞✐✛❡r❡♥t r❡❢r❛❝t✐✈❡ ✐♥❞✐❝❡s ❛❧♦♥❣ t❤❡ ♦rt❤♦❣♦♥❛❧ ♣r✐♥❝✐♣❧❡ ❛①❡s✳ ❚❤❡② ❝❛♥ ❜❡
❝♦♥str✉❝t❡❞ s✉❝❤ t❤❛t t❤❡ ❡①tr❛♦r❞✐♥❛r② ❛①✐s ❝♦✐♥❝✐❞❡s ✇✐t❤ t❤❡ ❢❛st ❛①✐s✱ ✇❤✐❧❡ t❤❡ ♦r❞✐♥❛r②
❛①✐s ✐s t❤❡ s❧♦✇ ❛①✐s✳ P❤♦t♦♥s tr❛✈❡❧ ❢❛st❡r ❛❧♦♥❣ t❤❡ ❢❛st ❛①✐s t❤❛♥ t❤❡ s❧♦✇ ❛①✐s s✐♥❝❡
t❤❡ ✐♥❞❡① ♦❢ r❡❢r❛❝t✐♦♥ ✐s s♠❛❧❧❡r ✐♥ t❤❛t ❞✐r❡❝t✐♦♥ ❛♥❞ s♦ ♣✐❝❦ ✉♣ ❞✐✛❡r❡♥t ♣❤❛s❡s✳ ❚✇♦
t②♣❡s ♦❢ ✇❛✈❡ ♣❧❛t❡s✱ t❤❡ ❤❛❧❢✲✇❛✈❡ ✭❍❲P✮ ❛♥❞ t❤❡ q✉❛rt❡r✲✇❛✈❡ ♣❧❛t❡ ✭◗❲P✮✱ ❛r❡ t❤❡ ♠♦st
❝♦♠♠♦♥❧② ✉s❡❞✳
❚♦ ❞❡s❝r✐❜❡ t❤❡ ❡✛❡❝t ♦❢ t❤❡ ✇❛✈❡ ♣❧❛t❡✱ ✇❡ ❝❛♥ ✉s❡ t❤❡ ❏♦♥❡s ♠❛tr✐①✱ ✇❤✐❝❤ ♣❡r❢♦r♠s ❛
r♦t❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ♣❤♦t♦♥✬s ♣♦❧❛r✐③❛t✐♦♥✳ ❋♦r ❛ ❣❡♥❡r❛❧ ✇❛✈❡ ♣❧❛t❡ ✭❲P✮ ♦r✐❡♥t❡❞ ✇✐t❤ ✐ts ❢❛st
❛①✐s ❛t ❛♥ ❛♥❣❧❡ β t♦ t❤❡ ❝♦♦r❞✐♥❛t❡ s②st❡♠ ♦❢ t❤❡ ✐♥❝✐❞❡♥t ♣❤♦t♦♥ ✭s❛②✱ |H , |V ✮✱ t❤❡ ❏♦♥❡s
✻✺

♠❛tr✐① ✐s ❬✶✶✶✱ ✶✶✷❪

U=

cos( α2 ) + i sin( α2 ) cos(2β)
i sin( α2 ) sin(2β)
,
i sin( α2 ) sin(2β)
cos( α2 ) − i sin( α2 ) cos(2β)

✭✹✳✸✸✮

■❢ t❤❡ ✇❛✈❡ ♣❧❛t❡ ✐s ♦r✐❡♥t❡❞ s✉❝❤ t❤❛t β = 0✱ t❤❡♥ t❤✐s r❡❞✉❝❡s t♦

U=

eiα/2
0
−iα/2
0
e

,

✭✹✳✸✹✮

✇❤❡r❡ t❤❡ r❡❧❛t✐✈❡ ♣❤❛s❡ s❤✐❢t ❤❛s α = π/2 ❢♦r ❛ ◗❲P ❛♥❞ α = π ❢♦r ❛ ❍❲P✳ ❚❤✉s✱ t❤❡
◗❲P ✐♥tr♦❞✉❝❡s ❛ ❝♦♠♣❧❡① r❡❧❛t✐✈❡ ♣❤❛s❡ ❛♥❞ ❝❛♥ ❝♦♥✈❡rt ❧✐♥❡❛r t♦ ❝✐r❝✉❧❛r ♣♦❧❛r✐③❛t✐♦♥ ❛♥❞
✈✐❝❡ ✈❡rs❛✳ ❖♥ t❤❡ ♦t❤❡r ❤❛♥❞✱ t❤❡ ❍❲P ❛❞❞s ❛ r❡❛❧ r❡❧❛t✐✈❡ ♣❤❛s❡ ✭❞r♦♣♣✐♥❣ t❤❡ ♦✈❡r❛❧❧
♣❤❛s❡ ♦❢ i✮ ❛♥❞ ♣❡r❢♦r♠s r♦t❛t✐♦♥s ♦❢ ❧✐♥❡❛r ♣♦❧❛r✐③❛t✐♦♥ ♦r ❝❤❛♥❣❡s t❤❡ ❤❛♥❞❡❞♥❡ss ♦❢ ❝✐r❝✉❧❛r
♣♦❧❛r✐③❛t✐♦♥✳
❚❤❡ ❏♦♥❡s ♠❛tr✐① ❢♦r ❛ ❍❲P ♦r✐❡♥t❡❞ ❛t ❛r❜✐tr❛r② ❛♥❣❧❡ β ✐s ✭❞r♦♣♣✐♥❣ t❤❡ ♦✈❡r❛❧❧ ♣❤❛s❡✮

UHWP =

cos(2β) sin(2β)
.
sin(2β) − cos(2β).

✭✹✳✸✺✮

❘✐❣❤t ❛✇❛②✱ ✇❡ s❡❡ t❤❛t ❝❤♦♦s✐♥❣ β = π/8 ②✐❡❧❞s t❤❡ ❍❛❞❛♠❛r❞ ❣❛t❡✳ ❖♥ t❤❡ ♦t❤❡r ❤❛♥❞✱
t❤❡ ❏♦♥❡s ♠❛tr✐① ❢♦r ❛ ◗❲P ✇✐t❤ β = π/4 t♦ t❤❡ |H ❞✐r❡❝t✐♦♥ ✐s

1
UQWP = √
2

1 i
i 1

= Rxˆ (−π/2),

✭✹✳✸✻✮

✇❤✐❝❤ ✐s ❛ r♦t❛t✐♦♥ ❜② −π/2 ❛r♦✉♥❞ t❤❡ x
ˆ ❛①✐s✳ ❚❤✐s ◗❲P tr❛♥s❢♦r♠s t❤❡ ❧✐♥❡❛r❧② ♣♦❧❛r✐③❡❞
st❛t❡s |H ❛♥❞ |V

✐♥t♦ ❝✐r❝✉❧❛r❧② ♣♦❧❛r✐③❡❞ st❛t❡s✱

|H + i|V
√
= |L ,
2
|V + i|H
√
UQWP |V =
= i|R .
2
UQWP |H =

✻✻

◆♦t❡ t❤❛t ❝❤♦♦s✐♥❣ β = 0 ❧❡❛✈❡s t❤❡ ♣♦❧❛r✐③❛t✐♦♥ ❧✐♥❡❛r ✭H ✱ V ✮✱ ✇❤✐❧❡ 0 < β < π/4 ②✐❡❧❞s
❡❧❧✐♣t✐❝❛❧ ♣♦❧❛r✐③❛t✐♦♥✳
❚♦ tr❛♥s❢♦r♠ ❜❡t✇❡❡♥ t❤❡ s♣❛t✐❛❧ ❛♥❞ ♣♦❧❛r✐③❛t✐♦♥ ❡♥❝♦❞✐♥❣s ♦❢ ❛♥ ♦♣t✐❝❛❧ q✉❜✐t✱ ✇❡
❝❛♥ ✉s❡ ❛ ♣♦❧❛r✐③✐♥❣ ❜❡❛♠ s♣❧✐tt❡r ✭P❇❙✮✳ ❚❤✐s ❞❡✈✐❝❡✱ ✇❤✐❝❤ ✐s s✐♠✐❧❛r t♦ ❛ st❛♥❞❛r❞ ❜❡❛♠
s♣❧✐tt❡r✱ s♣❧✐ts t❤❡ ♣❛t❤ ♦❢ t❤❡ ♣❤♦t♦♥ ❞❡♣❡♥❞✐♥❣ ♦♥ ✐ts ♣♦❧❛r✐③❛t✐♦♥✳ ❋♦r ❡①❛♠♣❧❡✱ ✐❢ t❤❡ P❇❙
✐s ♦r✐❡♥t❡❞ ✐♥ t❤❡ |H , |V ❜❛s✐s t❤❡♥ ♣❤♦t♦♥s t❤❛t ❛r❡ ❤♦r✐③♦♥t❛❧❧② ♣♦❧❛r✐③❡❞ ❛r❡ tr❛♥s♠✐tt❡❞✱
✇❤✐❧❡ ✈❡rt✐❝❛❧❧② ♣♦❧❛r✐③❡❞ ❛r❡ r❡✢❡❝t❡❞✳ ❚❤❡ P❇❙ ❝❛♥ ❜❡ ♦r✐❡♥t❡❞ t♦ ❞✐st✐♥❣✉✐s❤ ❜❡t✇❡❡♥ ❛♥②
t✇♦ ♦rt❤♦❣♦♥❛❧ ♣♦❧❛r✐③❛t✐♦♥ st❛t❡s✱ |H ❛♥❞ |V ✱ ♦r |D ❛♥❞ |A ✱ ♦r |L ❛♥❞ |R ✳ ■♥ t❤✐s ✇❛②✱
✇❡ ❝❛♥ ♠❡❛s✉r❡ t❤❡ ♣♦❧❛r✐③❛t✐♦♥ ♦❢ ❛ ♣❤♦t♦♥ ✐♥ ❛♥② ❜❛s✐s✳ ❚❤❡ P❇❙ ✐s ❛❧s♦ ❡q✉✐✈❛❧❡♥t t♦
t❤❡ ❝♦♥tr♦❧❧❡❞✲♥♦t ❣❛t❡✱ s♦ t❤❛t t❤❡ st❛t❡ ♦❢ t❤❡ ❧♦❝❛t✐♦♥ q✉❜✐t ✐s ✢✐♣♣❡❞ ✐❢ t❤❡ ♣♦❧❛r✐③❛t✐♦♥
q✉❜✐t ✐s ✐♥ t❤❡ ✏✶✑ st❛t❡ ❬✶✵✸❪✳
❆ st❛♥❞❛r❞ ♠❡t❤♦❞ ❢♦r ♠❡❛s✉r✐♥❣ ♣❤♦t♦♥✐❝ q✉❜✐ts ✐s ✇✐t❤ ❛ ♣❤♦t♦❞❡t❡❝t♦r✱ ✇❤✐❝❤ ②✐❡❧❞s
✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥ ❛❜♦✉t t❤❡ ♥✉♠❜❡r ♦❢ ♣❤♦t♦♥s ✐♥ ❛ ❣✐✈❡♥ ♠♦❞❡ ✐♥❝✐❞❡♥t ♦♥ t❤❡ ❞❡✈✐❝❡✳ ❚❤❡r❡ ❛r❡
t✇♦ t②♣❡s ♦❢ ❞❡t❡❝t♦rs✿ ♣❤♦t♦♥✲♥✉♠❜❡r ❞❡t❡❝t♦rs✱ ✇❤✐❝❤ ❝❛♥ ❞❡t❡❝t t❤❡ ♥✉♠❜❡r ♦❢ ✐♥❝✐❞❡♥t
♣❤♦t♦♥s✱ ❛♥❞ ❜✉❝❦❡t ❞❡t❡❝t♦rs✱ ✇❤✐❝❤ ❝❛♥♥♦t ❞✐s❝r✐♠✐♥❛t❡ ❜❡t✇❡❡♥ ❞✐✛❡r❡♥t ♣❤♦t♦♥ ♥✉♠❜❡rs
❛♥❞ ❝❛♥ ♦♥❧② ❞❡t❡❝t t❤❡ ♣r❡s❡♥❝❡ ♦r ❛❜s❡♥❝❡ ♦❢ ♣❤♦t♦♥s ❬✶✶✸❪✳ ❋♦r ❛ ♣❤♦t♦♥✲♥✉♠❜❡r ❞❡t❡❝t♦r✱
t❤❡ ❞❡t❡❝t✐♦♥ ♣r♦❜❛❜✐❧✐t② ✉s✐♥❣ ❋♦❝❦ st❛t❡s ✇❛s ✜rst ❞❡r✐✈❡❞ ✐♥ ❬✶✶✹❪✳ ●✐✈❡♥ ❛♥ ✐♥♣✉t st❛t❡ ρi ✱
t❤❡ ❝♦♥❞✐t✐♦♥❛❧ ♣r♦❜❛❜✐❧✐t② t♦ ❞❡t❡❝t n ♣❤♦t♦♥s ✐s p(n|i) = Tr(|n n| ρi ) = n|ρi |n ✱ ✇❤❡r❡

|n n| ✐s ❛ ♣r♦❥❡❝t♦r ❢♦r♠❡❞ ❢r♦♠ t❤❡ ♥✉♠❜❡r st❛t❡s✳ ❍♦✇❡✈❡r✱ ❢♦r ❜✉❝❦❡t ❞❡t❡❝t♦rs✱ ✇❡
✉s❡ t❤❡ P❖❱▼ ❞❡s❝r✐♣t✐♦♥ ✇✐t❤ ❡❧❡♠❡♥ts Pno click = |0 0| ❛♥❞ Pclick =
♣r♦❜❛❜✐❧✐t② t♦ r❡❝♦r❞ ❛ ❝❧✐❝❦ ❣✐✈❡♥ ✐♥♣✉t st❛t❡ ρi ✐s p(click|i) =

∞
n=1

∞
n=1 |n

n|✳ ❚❤❡

n|ρi |n ❬✶✶✸✱ ✶✶✺❪✳

❚♦ ❛❝❝♦✉♥t ❢♦r ♣♦ss✐❜❧❡ ✐♥❡✣❝✐❡♥❝✐❡s ✐♥ ❛ ♣❤♦t♦❞❡t❡❝t♦r✱ ✇❡ ❝❛♥ ✐♥tr♦❞✉❝❡ ❛ ♠♦❞❡❧ ❢♦r
❛♥ ✐♥❡✣❝✐❡♥t ♥✉♠❜❡r✲r❡s♦❧✈✐♥❣ ❞❡✈✐❝❡✳ ❙✉❝❤ ❛ ❞❡✈✐❝❡ ❝❛♥ ❜❡ ❝❤❛r❛❝t❡r✐③❡❞ ✭♥❡❣❧❡❝t✐♥❣ ❞❛r❦
❝♦✉♥ts✱ ✇❤✐❝❤ ♦❝❝✉r ✇❤❡♥ t❤❡ ❞❡t❡❝t♦r r❡s♣♦♥❞s ❡✈❡♥ ✇❤❡♥ t❤❡r❡ ✐s ♥♦ ✐♥❝✐❞❡♥t ♣❤♦t♦♥ ❬✶✶✸❪✮
✻✼

❜② pD (t)✱ t❤❡ ♣r♦❜❛❜✐❧✐t② t♦ ❞❡t❡❝t t ♣❤♦t♦♥s ❬✶✶✹✱ ✶✶✺❪✱
∞

pD (t) =
i=t

i t
η (1 − η)i−t pS (i),
t

✭✹✳✸✼✮

✇❤❡r❡ η ✐s t❤❡ ❡✣❝✐❡♥❝② ♦❢ t❤❡ ❞❡t❡❝t♦r✱ ❛♥❞ pS (i) ✐s t❤❡ ♣r♦❜❛❜✐❧✐t② t❤❡ ♣❤♦t♦♥ s♦✉r❝❡
♣r♦❞✉❝❡❞ i ♣❤♦t♦♥s✳ ❚❤❡ ❜✐♥♦♠✐❛❧ ❝♦❡✣❝✐❡♥t ❛❝❝♦✉♥ts ❢♦r t❤❡ ♥✉♠❜❡r ♦❢ ✇❛②s t ❛t♦♠s ✐♥
t❤❡ ♣❤♦t♦❞❡t❡❝t♦r ❝❛♥ ❜❡ ❡①❝✐t❡❞ ❜② ✐♥❝✐❞❡♥t ♣❤♦t♦♥s✱ ❢r♦♠ i ❛t♦♠s✳ ❋♦r ❛ ❣❡♥❡r❛❧ s♦✉r❝❡✱
t❤❡ ♣r♦❜❛❜✐❧✐t② t♦ ❞❡t❡❝t ❛ s✐♥❣❧❡ ♣❤♦t♦♥ t = 1 ✐s
∞

i η (1 − η)i−1 pS (i).

pD (1) =

✭✹✳✸✽✮

i=1

❋♦r ✐♥st❛♥❝❡✱ ✐❢ t❤❡ s♦✉r❝❡ ♣r♦❞✉❝❡s ♦♥❧② ♦♥❡ ♣❤♦t♦♥✱ t❤❡ ♣r♦❜❛❜✐❧✐t② t♦ ❞❡t❡❝t ♦♥❡ ♣❤♦t♦♥
✐s pD (1) = η ✱ ❛♥❞ ③❡r♦ ♣❤♦t♦♥s ✐s pD (0) = 1 − η ✳ ❚❤❡ ❝♦♥❞✐t✐♦♥❛❧ ♣r♦❜❛❜✐❧✐t② ♦❢ ❞❡t❡❝t✐♥❣ t
♣❤♦t♦♥s ❣✐✈❡♥ t❤❛t i ♣❤♦t♦♥s ✇❡r❡ ❛❝t✉❛❧❧② ♣r❡s❡♥t ✐s

pD (t|i) =

i t
η (1 − η)i−t .
t

✭✹✳✸✾✮

❯♥❧✐❦❡ t❤❡ ❞❡str✉❝t✐✈❡ ♥❛t✉r❡ ♦❢ ♣❤♦t♦❞❡t❡❝t♦rs✱ ✐t ✐s ♣♦ss✐❜❧❡ t♦ ❛❧t❡r♥❛t✐✈❡❧② ♠❡❛s✉r❡
♣❤♦t♦♥✐❝ q✉❜✐ts ✉s✐♥❣ ♦♣t✐❝❛❧ ❞❡✈✐❝❡s✳ ❚❤✐s ✐s ❝♦♠♠♦♥❧② ❡♥❝♦✉♥t❡r❡❞ ✐♥ t❤❡ ❝♦♥t❡①t ♦❢ ✇❡❛❦
♠❡❛s✉r❡♠❡♥ts✳ ❙✉❝❤ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥ts ❞♦ ♥♦t ❞✐st✉r❜ t❤❡ q✉❛♥t✉♠ s②st❡♠ ❛s ♠✉❝❤ ❛s st❛♥❞❛r❞
str♦♥❣ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥ts s✐♥❝❡ t❤❡② ✐♥✈♦❧✈❡ s♠❛❧❧ ❝♦✉♣❧✐♥❣s ❜❡t✇❡❡♥ t❤❡ q✉❛♥t✉♠ s②st❡♠ ❛♥❞
t❤❡ ❛♥❝✐❧❧❛✳ ❆ ❢❡✇ s♣❡❝✐✜❝ ❡①♣❡r✐♠❡♥ts ✉s✐♥❣ ✇❡❛❦ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥ts ❛r❡ ❞✐s❝✉ss❡❞ ❤❡r❡✱ ✇❤✐❧❡
t❤❡ ❞❡t❛✐❧s ♦❢ t❤❡ t❤❡♦r❡t✐❝❛❧ ♠♦❞❡❧ ❛r❡ ♣r♦✈✐❞❡❞ ❧❛t❡r ✐♥ ❈❤✳ ✺✳
❚❤❡ ✜rst ❡①♣❡r✐♠❡♥t❛❧ ✐♠♣❧❡♠❡♥t❛t✐♦♥ ♦❢ ✇❡❛❦ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥ts ✇❛s ♣❡r❢♦r♠❡❞ ❜② ❘✐t❝❤✐❡✱
❙t♦r②✱ ❛♥❞ ❍✉❧❡t ✐♥ ✶✾✾✶ ✉s✐♥❣ ❛ ❜✐r❡❢r✐♥❣❡♥t ❝r②st❛❧ t♦ ♠❡❛s✉r❡ t❤❡ ♣♦❧❛r✐③❛t✐♦♥ ♦❢ ❛ ♣❤♦✲

✻✽

t♦♥ ❬✷✹❪✳ ❉❡♣❡♥❞✐♥❣ ♦♥ t❤❡ ✐♥❝✐❞❡♥t ♣❤♦t♦♥✬s ♣♦❧❛r✐③❛t✐♦♥✱ t❤❡ ❝r②st❛❧ s❡♣❛r❛t❡❞ t❤❡ ❜❡❛♠
✐♥t♦ t✇♦ ❝♦♠♣♦♥❡♥ts ✇✐t❤ ♦rt❤♦❣♦♥❛❧ ♣♦❧❛r✐③❛t✐♦♥s✳ ■❢ t❤❡ ❞✐st❛♥❝❡ ❜❡t✇❡❡♥ t❤❡ ❝♦♠♣♦♥❡♥t
❜❡❛♠s ✐s s♠❛❧❧ ✭s♠❛❧❧❡r t❤❛♥ t❤❡ ✇❛✐st ♦❢ t❤❡ ●❛✉ss✐❛♥ ❜❡❛♠✮✱ t❤❡♥ ❛ ✇❡❛❦ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥t
✇❛s ♣❡r❢♦r♠❡❞✳ ❍❡r❡✱ t❤❡ ♣♦s✐t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ♣❤♦t♦♥ ✇❛s ✉s❡❞ ❛s t❤❡ ♣♦✐♥t❡r ✈❛r✐❛❜❧❡ ❛♥❞ ✇❛s
❝♦✉♣❧❡❞ t♦ t❤❡ ♣♦❧❛r✐③❛t✐♦♥✳ ❚❤❡ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥t ❍❛♠✐❧t♦♥✐❛♥ ❬✶✶✻❪ ❝❛♥ ❜❡ ✇r✐tt❡♥ ❛s

ˆ = g Zˆ ⊗ pˆ,
H

ˆ = |H H| − |V
✇❤❡r❡ Z

✭✹✳✹✵✮

V | ✐s t❤❡ P❛✉❧✐ ♠❛tr✐① ✐♥ t❤❡ |H , |V ❜❛s✐s✱ ❛♥❞ pˆ ✐s t❤❡ ♠♦♠❡♥✲

t✉♠ ♦♣❡r❛t♦r ❢♦r t❤❡ ♣♦✐♥t❡r✳ ❚❤❡ ✐♥t❡r❛❝t✐♦♥✱ ✇✐t❤ ❝♦✉♣❧✐♥❣ str❡♥❣t❤ ♣❛r❛♠❡t❡r✐③❡❞ ❜② g ✱
s❤✐❢ts t❤❡ ♣♦s✐t✐♦♥ x ♦❢ t❤❡ ♣♦✐♥t❡r ✏✉♣✑ ♦r ✏❞♦✇♥✑ ❛❝❝♦r❞✐♥❣ t♦ t❤❡ ❡✐❣❡♥✈❛❧✉❡s ✭±1✮ ♦❢ t❤❡
♦❜s❡r✈❛❜❧❡✳ ■♥ t❤✐s ✇❛②✱ ❛ ✭✇❡❛❦✮ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥t ♦❢ t❤❡ ♣♦❧❛r✐③❛t✐♦♥ ✐s ♠❛❞❡✳
■♥ ❛♥♦t❤❡r ❡①♣❡r✐♠❡♥t ❜② ▲✉♥❞❡❡♥ ❡t ❛❧✳✱ ❛ ✇❡❛❦ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥t ♦❢ t❤❡ tr❛♥s✈❡rs❡ ♣♦s✐t✐♦♥
♦❢ ❛ ♣❤♦t♦♥ ✇❛s ♣❡r❢♦r♠❡❞ ❜② ❝♦✉♣❧✐♥❣ ✐t t♦ ✐ts ♣♦❧❛r✐③❛t✐♦♥ ✭t❤❡ ♣♦✐♥t❡r ✈❛r✐❛❜❧❡✮ ✉s✐♥❣ ❛
❤❛❧❢✲✇❛✈❡ ♣❧❛t❡ ❬✶✵✻❪✳ ■❢ t❤❡ r♦t❛t✐♦♥ ✐♥❞✉❝❡❞ ❜② t❤❡ ♣❧❛t❡ ✐s s♠❛❧❧ t❤❡♥ t❤❡ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥t ✐s
✇❡❛❦✳ ❍❡r❡✱ t❤❡ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥t ❍❛♠✐❧t♦♥✐❛♥ ❝❛♥ ❜❡ ✇r✐tt❡♥ ❛s ❬✶✵✻✱ ✶✶✼❪

H = θπ
ˆx ⊗ σ
ˆy ,

✭✹✳✹✶✮

✇❤❡r❡ π
ˆx = |x x| ✐s ❛ ♣r♦❥❡❝t♦r ❢♦r♠❡❞ ❢r♦♠ t❤❡ ♣♦s✐t✐♦♥ st❛t❡s✳ ❚❤❡ P❛✉❧✐ ♠❛tr✐① σ
ˆy ❛❝ts ♦♥
t❤❡ ♣♦✐♥t❡r ✈❛r✐❛❜❧❡ ❛♥❞ r♦t❛t❡s ✐t ❛❝❝♦r❞✐♥❣ t♦ t❤❡ ❛♥❣❧❡ θ ✳ P♦❧❛r✐③❛t✐♦♥ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥ts ❤❛✈❡
❜❡❡♥ ♠❛❞❡ ✐♥ ♦t❤❡r ✇❛②s✳ ❋♦r ❡①❛♠♣❧❡✱ ❍♦st❡♥ ❛♥❞ ❑✇✐❛t ✉s❡❞ t❤❡ ❙♣✐♥ ❍❛❧❧ ❊✛❡❝t ♦❢ ▲✐❣❤t
✭❙❍❊▲✮ ❛♥❞ ❛ ✈❛r✐❛❜❧❡ ❛♥❣❧❡ ♣r✐s♠ t♦ ♠❡❛s✉r❡ ❞✐✛❡r❡♥t s♣✐♥ ♣r♦❥❡❝t✐♦♥s ♦❢ ❛ ♣❤♦t♦♥ ❬✶✶✽❪✳

✻✾

✹✳✸ ❙✉♠♠❛r②
■♥ t❤✐s ✜♥❛❧ ✐♥tr♦❞✉❝t♦r② ❝❤❛♣t❡r✱ ■ ❣❛✈❡ ❛♥ ♦✈❡r✈✐❡✇ ♦❢ t❤❡ t❤❡♦r② ♦❢ q✉❛♥t✉♠ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥t✱
✐♥❝❧✉❞✐♥❣ t❤❡ ❜❛s✐❝ ❢♦r♠❛❧✐s♠ ♦❢ ♣r♦❥❡❝t✐✈❡ ❛♥❞ P❖❱▼ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥ts✳ ■ ❡♥❞❡❞ ❜② ❝♦♥♥❡❝t✐♥❣
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❚❤❡ ♠❡❛♥✐♥❣ ♦❢ t❤❡ ✇❡❛❦ ✈❛❧✉❡ ❜❡❝♦♠❡s ♠♦r❡ ❝❧❡❛r ✐❢ ✇❡ ❝♦♥s✐❞❡r t❤❡ ✐♥✢✉❡♥❝❡ ♦❢ t❤❡
♠❡❛s✉r❡♠❡♥t ♦♥ t❤❡ ♣♦✐♥t❡r ✈❛r✐❛❜❧❡ ♦❢ t❤❡ ♠❡t❡r t❤❛t ✐s ❝♦✉♣❧❡❞ t♦ t❤❡ q✉❛♥t✉♠ s②st❡♠✳
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♣♦✐♥t❡r ✈❛r✐❛❜❧❡ ❛r❡ ♠♦❞✐✜❡❞✳ ❚❤❡ s❤✐❢t ✐♥ t❤❡ ♣♦s✐t✐♦♥✱ ∆x✱ ✐s r❡❧❛t❡❞ t♦ t❤❡ r❡❛❧ ♣❛rt ♦❢ t❤❡
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t❤❡ ❡①♣❡❝t❛t✐♦♥ ✈❛❧✉❡s ♦❢ ❛ s❡t ♦❢ ♥♦♥❝♦♠♠✉t✐♥❣ ♦❜s❡r✈❛❜❧❡s ❢♦r t❤❡ ♣♦✐♥t❡r ✈❛r✐❛❜❧❡✱ ✇❤✐❝❤
②✐❡❧❞s t❤❡ r❡❛❧ ❛♥❞ ✐♠❛❣✐♥❛r② ❝♦♠♣♦♥❡♥ts ♦❢ t❤❡ ✇❡❛❦ ✈❛❧✉❡✳ ■ s❤♦✇ t❤❛t ❢♦r t✇♦✲❞✐♠❡♥s✐♦♥❛❧
♣♦✐♥t❡rs ✭q✉❜✐ts✮✱ t❤❡ ✐♠❛❣✐♥❛r② ♣❛rt ♦❢ t❤❡ ✇❡❛❦ ✈❛❧✉❡ ✐s ♣r♦♣♦rt✐♦♥❛❧ t♦ t❤❡ ❡①♣❡❝t❛t✐♦♥
✈❛❧✉❡ ♦❢ ❛♥ ♦❜s❡r✈❛❜❧❡ ❛❧♦♥❣ ❛♥ ❛①✐s ♣❡r♣❡♥❞✐❝✉❧❛r t♦ t❤❡ ♣❧❛♥❡ ♦❢ ✐♥✐t✐❛❧✐③❛t✐♦♥✱ ✇❤✐❧❡ t❤❡ r❡❛❧
♣❛rt ❞❡♣❡♥❞s ♦♥ t❤❡ ❡①♣❡❝t❛t✐♦♥ ✈❛❧✉❡s ✐♥ t❤❡ ♣❧❛♥❡✳ ❚❤❡ r❡s✉❧ts ❤♦❧❞ ❢♦r ❛♥② ♣♦sts❡❧❡❝t✐♦♥

✼✺

♦❢ t❤❡ q✉❛♥t✉♠ s②st❡♠ ❛s ✇❡❧❧ ❛s ❢♦r ❛r❜✐tr❛r② ✐♥✐t✐❛❧✐③❛t✐♦♥s ♦❢ t❤❡ ♣♦✐♥t❡r✳ ■ ❢♦❝✉s ♦♥ q✉❜✐t
♣♦✐♥t❡rs✱ ❜✉t t❤❡ ❣❡♥❡r❛❧✐③❛t✐♦♥ t♦ ❤✐❣❤❡r ❞✐♠❡♥s✐♦♥❛❧ q✉❞✐ts ✐s str❛✐❣❤t❢♦r✇❛r❞✳
❆❧t❤♦✉❣❤ ■ ❞✐s❝✉ss ♠❡❛s✉r❡♠❡♥ts ✐♥ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ s❡❝t✐♦♥s ✐♥ t❤❡ ❝♦♥t❡①t ♦❢ s♣✐♥✲✶✴✷
s②st❡♠s✱ t❤❡ ❢♦r♠❛❧✐s♠ ✐s ❣❡♥❡r❛❧ ❛♥❞ ❝❛♥ ❜❡ ✉s❡❞ ❢♦r ❛♥② ❡✛❡❝t✐✈❡ t✇♦✲❧❡✈❡❧ s②st❡♠✳ ■♥
♣❛rt✐❝✉❧❛r✱ ■ ✜rst ❝♦♥s✐❞❡r t❤❡ ❝❛s❡ ♦❢ s♣✐♥ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥ts ✉s✐♥❣ ❛ q✉❜✐t ♣♦✐♥t❡r✱ ❛♥❞ ❧❛t❡r
❝♦♥s✐❞❡r ♣♦s✐t✐♦♥ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥ts✳ ❙✉❝❤ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥ts ❤❛✈❡ ❜❡❡♥ ✐♠♣❧❡♠❡♥t❡❞ ❡①♣❡r✐♠❡♥t❛❧❧②
✐♥ ♠❛♥② ❞✐✛❡r❡♥t s❡tt✐♥❣s✳ ❘❡❝❡♥t❧②✱ ❢♦r ❡①❛♠♣❧❡✱ ✇❡❛❦ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥ts ♦❢ ❛ tr❛♥s♠♦♥ q✉❜✐t
❤❛✈❡ ❜❡❡♥ ♠❛❞❡ ✉s✐♥❣ ❛♥♦t❤❡r tr❛♥s♠♦♥ ❛s t❤❡ ❛♥❝✐❧❧❛ ❬✶✸✼❪✳ ❋♦r ♣♦s✐t✐♦♥ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥ts✱
r❡❝❛❧❧ t❤❡ ❞✐s❝✉ss✐♦♥ ♦❢ ❘❡❢✳ ❬✶✵✻❪ ✐♥ ❈❤✳ ✹✳✷✳✶✱ ✐♥ ✇❤✐❝❤ ❛ ✇❡❛❦ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥t ♦❢ ❛ ♣❤♦t♦♥✬s
♣♦s✐t✐♦♥ ✐s ♠❛❞❡ ❜② ❝♦✉♣❧✐♥❣ ✐ts ♣♦❧❛r✐③❛t✐♦♥ ✭t❤❡ ♣♦✐♥t❡r✮ t♦ ✐ts ♣♦s✐t✐♦♥ ✉s✐♥❣ ❛ ✇❛✈❡ ♣❧❛t❡✳

✺✳✷✳✶ ❙♣✐♥ ▼❡❛s✉r❡♠❡♥ts ✇✐t❤ ❛ ◗✉❜✐t P♦✐♥t❡r
✺✳✷✳✶✳✶

❚❤❡ ▼❡❛s✉r❡♠❡♥t Pr♦❝❡ss

❆s ✇❡ ❤❛✈❡ s❡❡♥ ♠❛♥② t✐♠❡s ❛❧r❡❛❞②✱ t♦ ♠❡❛s✉r❡ ❛♥ ♦❜s❡r✈❛❜❧❡ ♦❢ ❛ q✉❛♥t✉♠ s②st❡♠✱ ✇❡
❝♦✉♣❧❡ t❤❡ s②st❡♠ t♦ ❛♥ ❛♥❝✐❧❧❛r② s②st❡♠ ✭t❤❡ ♣♦✐♥t❡r ✈❛r✐❛❜❧❡ ♦❢ ❛ ♠❡t❡r✮ ❛❝❝♦r❞✐♥❣ t♦ t❤❡
✉♥✐t❛r② ✈♦♥ ◆❡✉♠❛♥♥ ✐♥t❡r❛❝t✐♦♥✳ ❚❤❡ t✐♠❡✲❡✈♦❧✉t✐♦♥ ♦♣❡r❛t♦r ❢♦r t❤❡ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥t ❍❛♠✐❧✲
t♦♥✐❛♥✱ H✱ ✐s ❣✐✈❡♥ ❜② U = exp(−iHt/ )✱ ✇❤❡r❡ t ✐♥❞✐❝❛t❡s t❤❡ ❧❡♥❣t❤ ♦❢ t❤❡ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥t
✐♥t❡r❛❝t✐♦♥✳
❚❤❡ ✐♥t❡r❛❝t✐♦♥ ❍❛♠✐❧t♦♥✐❛♥✱ H✱ ❢♦r ❛ q✉❜✐t q✉❛♥t✉♠ s②st❡♠ Q ❛♥❞ ♣♦✐♥t❡r M ❝♦rr❡✲
s♣♦♥❞✐♥❣ t♦ ❛ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥t ♦❢ t❤❡ s♣✐♥ ❛❧♦♥❣ ❛♥ ❛r❜✐tr❛r② ❛①✐s✱ n
ˆ ✱ ✐s

H = θ (s · n
ˆ ) ⊗ (s · m),
ˆ

✭✺✳✻✮

✇✐t❤ ✐♥t❡r❛❝t✐♦♥ str❡♥❣t❤ ❣✐✈❡♥ ❜② θ ✳ ❚❤❡ ♦❜s❡r✈❛❜❧❡ ✇❡ ✇✐❧❧ ♠❡❛s✉r❡ ✐s s · n
ˆ = sx nx + sy ny +

✼✻

sz nz ✇❤❡r❡ sj = σj /2 ✐s t❤❡ s♣✐♥ ♦♣❡r❛t♦r✳ ❚❤❡ ♦♣❡r❛t♦r ❛❝t✐♥❣ ♦♥ t❤❡ ♣♦✐♥t❡r✱ (σ · m)/2
ˆ
✱
✇✐❧❧ ❧❡❛❞ t♦ ❛ r♦t❛t✐♦♥ ♦❢ ✐ts ✐♥✐t✐❛❧ st❛t❡ ❛❜♦✉t t❤❡ ❛①✐s m
ˆ ❜② ❛♥ ❛♥❣❧❡ θ/2✳ ❚♦ s❡❡ t❤✐s✱ ✇❡
✇r✐t❡ t❤❡ ✉♥✐t❛r② ♦♣❡r❛t♦r U = e−iHt/ ✭s❡tt✐♥❣ t = 1 ❛♥❞

= 1✮ ✉s✐♥❣ t❤❡ s❡r✐❡s ❡①♣❛♥s✐♦♥

❢♦r t❤❡ ❡①♣♦♥❡♥t✐❛❧✱
∞

U=
k=0

1
k!

−i θ (σ · n
ˆ ) ⊗ (σ · m)
ˆ k
.
4

✭✺✳✼✮

❋r♦♠ t❤❡ ♣r♦♣❡rt② ♦❢ P❛✉❧✐ ♠❛tr✐❝❡s✱ (σ · n
ˆ )2 = ✶✱ ✇❡ ❝❛♥ ❡✈❛❧✉❛t❡ t❤❡ s❡r✐❡s ❡①❛❝t❧② t♦ ✜♥❞

U = cos(θ/4) ✶ ⊗ ✶ − i sin(θ/4) (σ · n
ˆ ) ⊗ (σ · m).
ˆ

❲❤❡♥ t❤❡ ✐♥t❡r❛❝t✐♦♥ str❡♥❣t❤ ✈❛♥✐s❤❡s✱ θ = 0✱ t❤❡ ♦♣❡r❛t♦r ✭✺✳✽✮ r❡❞✉❝❡s t♦

✭✺✳✽✮

✶ ⊗ ✶✱ s♦ t❤❛t

♥♦ ❡♥t❛♥❣❧❡♠❡♥t ✐s ❝r❡❛t❡❞ ❜❡t✇❡❡♥ Q ❛♥❞ M ✳ ❚♦ ✜rst ♦r❞❡r ✐♥ θ ✱ t❤❡ ✐♥t❡r❛❝t✐♦♥ ❢♦r ❛ ✇❡❛❦
♠❡❛s✉r❡♠❡♥t ✐s

UW = ✶ ⊗ ✶ − i (θ/4) (σ · n
ˆ ) ⊗ (σ · m).
ˆ

✭✺✳✾✮

❚❤❡ ✐♥t❡r❛❝t✐♦♥ ✭✺✳✽✮ ❝❛♥ ❜❡ r❡✇r✐tt❡♥ ✐♥ ❛ s❧✐❣❤t❧② ♠♦r❡ ✉s❡❢✉❧ ❢♦r♠✳ ❋✐rst✱ ♥♦t❡ t❤❛t t❤❡
P❛✉❧✐ ♠❛tr✐❝❡s ❝❛♥ ❜❡ ❡①♣r❡ss❡❞ ✐♥ t❡r♠s ♦❢ ♣r♦❥❡❝t✐♦♥ ♦♣❡r❛t♦rs ❛❧♦♥❣ t❤❡ ❛①✐s n
ˆ ❛s

1
✶ + σ · nˆ = |0n 0n |,
2
1
(n)
P1 = ✶ − σ · n
ˆ = |1n 1n |,
2
(n)

P0

=

✭✺✳✶✵✮

✇❤❡r❡ |0n ❛♥❞ |1n ❛r❡ t❤❡ ❡✐❣❡♥st❛t❡s ♦❢ σ · n
ˆ ✳ ❊q✉❛t✐♦♥ ✭✺✳✽✮ ❝❛♥ t❤❡♥ ❜❡ ❡①♣r❡ss❡❞ ✐♥
t❡r♠s ♦❢ ♣r♦❥❡❝t✐♦♥s ♦♥ t❤❡ q✉❛♥t✉♠ s②st❡♠ ❛s
(n)

U = P0

(n)

⊗ Rm
ˆ (θ/2) + P1

✼✼

⊗ Rm
ˆ (−θ/2),

✭✺✳✶✶✮

✇❤❡r❡ t❤❡ ♦♣❡r❛t♦rs ❛❝t✐♥❣ ♦♥ t❤❡ ♣♦✐♥t❡r ❛r❡ s✐♠♣❧② r♦t❛t✐♦♥ ♦♣❡r❛t♦rs ❛r♦✉♥❞ t❤❡ ❛①✐s m
ˆ
❜② ❛♥ ❛♥❣❧❡ θ/2✱

Rm
ˆ
ˆ (±θ/2) = cos(θ/4) ✶ ∓ i sin(θ/4) (σ · m).

✭✺✳✶✷✮

■♥ t❤✐s ❢♦r♠✱ ✐t ✐s ❝❧❡❛r t❤❛t t❤❡ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥t r♦t❛t❡s t❤❡ ♣♦✐♥t❡r ❜② ❛♥ ❛♥❣❧❡ ±θ/2 ❞❡♣❡♥❞✐♥❣
♦♥ t❤❡ st❛t❡ ♦❢ Q✳
■♥ ❛ str♦♥❣ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥t✱ t❤❡ ✜♥❛❧ ♣♦✐♥t❡r st❛t❡s ❛r❡ ♦rt❤♦❣♦♥❛❧ s♦ t❤❛t t❤❡② ❝❛♥ ❜❡
r❡❧✐❛❜❧② ❞✐st✐♥❣✉✐s❤❡❞ ❛♥❞ t❤❡ q✉❛♥t✉♠ st❛t❡ ✐s str♦♥❣❧② ❞✐st✉r❜❡❞ ❢r♦♠ ✐ts ✐♥✐t✐❛❧ st❛t❡✳ ❚♦
❡♥s✉r❡ t❤✐s ♦rt❤♦❣♦♥❛❧✐t② r❡q✉✐r❡♠❡♥t✱ t❤❡ ♣♦✐♥t❡r ✈❛r✐❛❜❧❡ ♠✉st ❜❡ ✐♥✐t✐❛❧✐③❡❞ ✐♥ ❛ st❛t❡

|Mi t❤❛t ✐s ❛♥ ❡✐❣❡♥st❛t❡ ♦❢ ❛♥ ♦♣❡r❛t♦r σ · m
ˆ ✇✐t❤ ❛ ❜❛s✐s t❤❛t ✐s ♦rt❤♦❣♦♥❛❧ t♦ t❤❡
♣♦✐♥t❡r✬s r♦t❛t✐♦♥ ❛①✐s m
ˆ✿ m
ˆ ·m
ˆ = 0✳ ■♥ ♦t❤❡r ✇♦r❞s✱ t❤❡ ♣♦✐♥t❡r ✐s ✐♥✐t✐❛❧✐③❡❞ ✐♥ t❤❡ ♣❧❛♥❡
♣❡r♣❡♥❞✐❝✉❧❛r t♦ ✐ts r♦t❛t✐♦♥ ❛①✐s✳ ❋♦r ✐♥st❛♥❝❡✱ ❢♦r ❛ ♣♦✐♥t❡r t❤❛t ✐s ♣r❡♣❛r❡❞ ✐♥ t❤❡ st❛t❡

|Mi = |0z ✇✐t❤ r❡s♣❡❝t t♦ t❤❡ zˆ ❛①✐s✱ t❤❡ r♦t❛t✐♦♥ ♠✉st ❜❡ ❛r♦✉♥❞ ❛♥ ❛①✐s ✐♥ t❤❡ xy ♣❧❛♥❡✳
■♥ ❣❡♥❡r❛❧✱ t❤❡ ♦✈❡r❧❛♣ ❜❡t✇❡❡♥ t❤❡ t✇♦ ✜♥❛❧ ♣♦✐♥t❡r st❛t❡s ✐s

Mi |Rm
ˆ i ,
ˆ (−θ/2)Rm
ˆ (θ/2)|Mi = cos(θ/2) + i sin(θ/2) Mi |σ · m|M

✭✺✳✶✸✮

✇❤✐❝❤ ❞♦❡s ♥♦t ♥❡❝❡ss❛r✐❧② ✈❛♥✐s❤ ✇❤❡♥ θ = π ✳ ❲r✐t✐♥❣ t❤❡ ✐♥✐t✐❛❧ ♣♦✐♥t❡r st❛t❡ ✐♥ t❤❡
❡✐❣❡♥❜❛s✐s |0m ✱ |1m ♦❢ t❤❡ ♦♣❡r❛t♦r σ · m
ˆ ❛s |Mi = a|0m + b|1m ✇✐t❤ ❝♦♠♣❧❡① ❛♠♣❧✐t✉❞❡s

a ❛♥❞ b✱ t❤❡ ♠❛tr✐① ❡❧❡♠❡♥t ✐♥ ✭✺✳✶✸✮ ❡✈❛❧✉❛t❡s t♦ Mi |σ · m|M
ˆ i = 2|a|2 − 1✳ ❚❤✉s✱ t❤❡
√
✜♥❛❧ ♣♦✐♥t❡r st❛t❡s ❛r❡ ♦rt❤♦❣♦♥❛❧ ❛t θ = π ♦♥❧② ✐❢ |a| = 1/ 2 s✐♥❝❡ ❛t t❤✐s ❛♥❣❧❡ ✭✺✳✶✸✮ ✐s
2
Mi |Rm
ˆ (−π/2)Rm
ˆ (π/2)|Mi = i(2|a| − 1)✳

❚♦ s❡❡ ❤♦✇ str♦♥❣❧② t❤❡ q✉❛♥t✉♠ s②st❡♠ ✐s ❞✐st✉r❜❡❞ ❜② t❤❡ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥t✱ ✇❡ ❝♦♠♣✉t❡
✐ts ❞❡♥s✐t② ♠❛tr✐① ❛❢t❡r t❤❡ ❝♦✉♣❧✐♥❣ t♦ t❤❡ ♣♦✐♥t❡r✳ ❚❤❡ ✐♥✐t✐❛❧ st❛t❡ ♦❢ t❤❡ q✉❛♥t✉♠ s②st❡♠✱

✼✽

✇r✐tt❡♥ ✐♥ t❤❡ ❡✐❣❡♥❜❛s✐s ♦❢ t❤❡ ♠❡❛s✉r❡❞ ♦❜s❡r✈❛❜❧❡✱ ✐s

|Qi = α|0n + β|1n .

✭✺✳✶✹✮

❆♣♣❧②✐♥❣ ✭✺✳✶✶✮ t♦ t❤❡ ✐♥✐t✐❛❧ s②st❡♠ |Qi |Mi ❛♥❞ tr❛❝✐♥❣ ♦✉t t❤❡ ♣♦✐♥t❡r ✈❛r✐❛❜❧❡ ②✐❡❧❞s
t❤❡ ✜♥❛❧ ❞❡♥s✐t② ♠❛tr✐① ❢♦r Q✱

ρQ = cos2 (θ/4) |Qi Qi | + sin2 (θ/4) (σ · n
ˆ )|Qi Qi |(σ · n
ˆ ).

✭✺✳✶✺✮

❍❡r❡✱ ✇❡ ✉s❡❞ t❤❡ ❢❛❝t t❤❛t ❚r[|Mi Mi |σ · m]
ˆ = 0✳ ❲r✐t✐♥❣ t❤✐s ✐♥ t❤❡ ❡✐❣❡♥❜❛s✐s |0n , |1n
♦❢ t❤❡ ♦♣❡r❛t♦r σ · n
ˆ ②✐❡❧❞s

ρQ =

|α|2
α∗ β cos(θ/2)
.
αβ ∗ cos(θ/2)
|β|2

✭✺✳✶✻✮

❋r♦♠ t❤✐s ❡①♣r❡ss✐♦♥✱ ✐t ✐s ❝❧❡❛r t❤❛t ❛ str♦♥❣ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥t ❝♦rr❡s♣♦♥❞s t♦ ❛ st❛t❡ ρQ t❤❛t
✐s ♠❛①✐♠❛❧❧② ❞✐st✉r❜❡❞ ❢r♦♠ ✐ts ✐♥✐t✐❛❧ st❛t❡ ✭✐t ✐s ❡♥t✐r❡❧② ❞✐❛❣♦♥❛❧✮ ❛♥❞ t❤❡ ✜♥❛❧ ♣♦✐♥t❡r
st❛t❡s ❛r❡ ♦rt❤♦❣♦♥❛❧✳ ■♥ ❛ ✇❡❛❦ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥t✱ ρQ ✐s ♥❡❛r❧② ✉♥❝❤❛♥❣❡❞ ❢r♦♠ ✐ts ✐♥✐t✐❛❧ ♣✉r❡
st❛t❡✱ ρQ ≈ |Qi Qi |✱ ✇❤✐❧❡ t❤❡ ✜♥❛❧ ♣♦✐♥t❡r st❛t❡s ♦❢ t❤❡ ♠❡t❡r ❛r❡ ❛❧♠♦st ♣❛r❛❧❧❡❧ ❛❝❝♦r❞✐♥❣
t♦ ✭✺✳✶✸✮ ❛♥❞ ❝❛♥♥♦t ❜❡ ♣❡r❢❡❝t❧② ❞✐st✐♥❣✉✐s❤❡❞✳ ❚❤❡r❡❢♦r❡✱ t❤❡r❡ ✐s ❛ tr❛❞❡✲♦✛ ❜❡t✇❡❡♥ t❤❡
❛♠♦✉♥t ♦❢ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥ t❤❡ ♠❡t❡r ❤❛s ❛❜♦✉t Q ❛♥❞ t❤❡ r❡s✉❧t✐♥❣ ❧♦ss ♦❢ ❝♦❤❡r❡♥❝❡ t♦ t❤❡
q✉❛♥t✉♠ st❛t❡✳
❋♦r ❡①❛♠♣❧❡✱ s✉♣♣♦s❡ t❤❡ ♣♦✐♥t❡r ✐s ✐♥✐t✐❛❧✐③❡❞ ✐♥ t❤❡ st❛t❡ |Mi = |0z ❛♥❞ t❤❡ r♦t❛t✐♦♥
❛①✐s ✐s m
ˆ = yˆ✳ ❲r✐t✐♥❣ Q ✐♥ t❤❡ ❡✐❣❡♥❜❛s✐s ♦❢ t❤❡ ♦❜s❡r✈❛❜❧❡ σ · n
ˆ ❛s ✐♥ ✭✺✳✶✹✮✱ t❤❡ ❡✛❡❝t
♦❢ ✭✺✳✶✶✮ ✇❤❡♥ t❤❡ ✐♥t❡r❛❝t✐♦♥ ✐s str♦♥❣ ✐s

U |Qi |0z = α |0n |0x + β |1n |1x ,
✼✾

✭✺✳✶✼✮

2
S(Q:M)

λ, p

1

1
2

0

0

π/2

π

1

0

3π/2 2π

0

π/2

θ

π

3π/2 2π

θ

❋✐❣✉r❡ ✺✳✶✿ ▲❡❢t✿ ❚❤❡ ❡✐❣❡♥✈❛❧✉❡s λ± ✭s♦❧✐❞✮ ❛♥❞ ❞✐❛❣♦♥❛❧ ❡❧❡♠❡♥ts p0 ✱ p1 ✭❞❛s❤❡❞✮ ♦❢ ρM ✱ t❤❡
♣♦✐♥t❡r ❞❡♥s✐t② ♠❛tr✐①✳ ❋♦r ❛ str♦♥❣ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥t✱ θ = π ✱ t❤❡ ❡✐❣❡♥✈❛❧✉❡s ❡①❛❝t❧② ❝♦rr❡s♣♦♥❞
t♦ t❤❡ sq✉❛r❡ ♦❢ t❤❡ ❛♠♣❧✐t✉❞❡s |α|2 ❛♥❞ |β|2 ♦❢ t❤❡ ✐♥✐t✐❛❧ q✉❛♥t✉♠ st❛t❡ |Qi ✳ ❘✐❣❤t✿ ❚❤❡
s❤❛r❡❞ ❡♥tr♦♣② ❜❡t✇❡❡♥ Q ❛♥❞ M ✳ ❚❤❡ ♣♦✐♥t❡r ❤❛s t❤❡ ♠♦st ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥ ❛❜♦✉t t❤❡ st❛t❡ ♦❢
Q ❛t θ = π ✇❤❡r❡ t❤❡ ♠✉t✉❛❧ ❡♥tr♦♣② ✐s ♠❛①✐♠✉♠✳
✇❤❡r❡ |0x ❛♥❞ |1x ❛r❡ t❤❡ ❡✐❣❡♥st❛t❡s ♦❢ σx ✳ ❋♦r ❛ ❣❡♥❡r❛❧ ❛♥❣❧❡ θ ✇❡ ✜♥❞ ✐♥st❡❛❞

U |Qi |0z = α |0n

cos(θ/4) |0z + sin(θ/4) |1z

+ β |1n

cos(θ/4) |0z − sin(θ/4) |1z

✭✺✳✶✽✮

.

❚r❛❝✐♥❣ ♦✉t t❤❡ q✉❛♥t✉♠ s②st❡♠✱ t❤❡ ❞✐❛❣♦♥❛❧ ❡❧❡♠❡♥ts ❛♥❞ ❡✐❣❡♥✈❛❧✉❡s ♦❢ t❤❡ ♣♦✐♥t❡r ❞❡♥s✐t②
♠❛tr✐① ρM ❛r❡

p0 = cos2 (θ/4) ,

p1 = sin2 (θ/4),

✭✺✳✶✾✮

❛♥❞

λ± =

1
2

1±

1 − 4|α|2 |β|2 sin2 (θ/2) ,

✭✺✳✷✵✮

✇❤✐❝❤ ❛r❡ s❤♦✇♥ ✐♥ ❋✐❣✳ ✺✳✶✳ ❆t θ = π ✱ t❤❡ ❡✐❣❡♥✈❛❧✉❡s r❡❞✉❝❡ t♦ |α|2 ✱ |β|2 ✱ ✇❤✐❝❤ ❛r❡ t❤❡

✽✵

sq✉❛r❡s ♦❢ t❤❡ ❛♠♣❧✐t✉❞❡s ✐♥ t❤❡ ✐♥✐t✐❛❧ q✉❛♥t✉♠ st❛t❡ ✭✺✳✶✹✮✳ ❲❤❡♥ θ

1✱ t❤❡ ❡✐❣❡♥✈❛❧✉❡s

❛r❡ ❛♣♣r♦①✐♠❛t❡❧② |α|2 |β|2 sin2 (θ/2) ❛♥❞ 1 − |α|2 |β|2 sin2 (θ/2)✳ ❆❧s♦ ✐♥ ❋✐❣✳ ✺✳✶ ✐s t❤❡ s❤❛r❡❞
❡♥tr♦♣② ❜❡t✇❡❡♥ Q ❛♥❞ M ✱ S(Q : M ) = S(Q)+S(M )−S(QM ) = 2S(M )✱ ✇❤✐❝❤ ✐s ♠❛①✐♠✉♠
❛t θ = π ❛♥❞ ❣♦❡s t♦ ③❡r♦ ❛s θ → 0✱ ❞❡♠♦♥str❛t✐♥❣ t❤❛t ✇❡❛❦ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥ts ❡①tr❛❝t ❧❡ss
✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥ ❛❜♦✉t t❤❡ q✉❛♥t✉♠ st❛t❡✳

✺✳✷✳✶✳✷

❲❡❛❦ ❱❛❧✉❡s

■♥ t❤❡ ♦r✐❣✐♥❛❧ ✇❡❛❦ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥t ❢♦r♠❛❧✐s♠ ❬✷✸❪✱ t❤❡ q✉❛♥t✉♠ s②st❡♠ ✐s ♣r♦❥❡❝t❡❞ ♦♥t♦ ❛
✜♥❛❧ st❛t❡ ✭♣♦sts❡❧❡❝t❡❞✮ ❛❢t❡r t❤❡ s❡q✉❡♥❝❡ ♦❢ ♣r❡♣❛r❛t✐♦♥ ❛♥❞ ✇❡❛❦ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥t✳ ■♥ t❤✐s
✇❛②✱ t❤❡ ✇❡❛❦ ✈❛❧✉❡ ❝❛♥ ❜❡ ❞❡t❡r♠✐♥❡❞✳ ■❢ t❤❡ ✐♥✐t✐❛❧ ✇❛✈❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ ♦❢ Q ✐s ♥♦t ❦♥♦✇♥✱ t❤❡♥
t❤❡ ✇❡❛❦ ✈❛❧✉❡ ❝❛♥ ❜❡ ✉s❡❞ t♦ ❝♦♠♣✉t❡ t❤❡ ❝♦❡✣❝✐❡♥ts ✐♥ |Qi ❬✶✵✻❪✳ ■♥ t❤✐s s❡❝t✐♦♥ ✇❡
❝♦♠♣✉t❡ t❤❡ ✇❡❛❦ ✈❛❧✉❡ ❢♦r ❛ ❣❡♥❡r❛❧ ✐♥✐t✐❛❧✐③❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ♣♦✐♥t❡r ❛♥❞ ❛r❜✐tr❛r② ✐♥t❡r❛❝t✐♦♥
str❡♥❣t❤✳
❙✉♣♣♦s✐♥❣ Q ✐s ♣r❡♣❛r❡❞ ✭♣r❡s❡❧❡❝t❡❞✮ ✐♥ t❤❡ ✐♥✐t✐❛❧ st❛t❡ |Qi ❛♥❞ t❤❡ ♣♦✐♥t❡r ✐s ✐♥✐t✐❛❧✐③❡❞
✐♥ t❤❡ st❛t❡ |Mi ✱ ❛❢t❡r t❤❡ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥t ✐♥t❡r❛❝t✐♦♥ ✭✺✳✽✮ t❤❡ ❥♦✐♥t st❛t❡ ✐s

U |Qi |Mi = cos(θ/4) |Qi |Mi − i sin(θ/4) (σ · n
ˆ )|Qi (σ · m)|M
ˆ
i .

✭✺✳✷✶✮

■❢ t❤❡ q✉❛♥t✉♠ st❛t❡ ✐s ♣♦sts❡❧❡❝t❡❞ t♦ ❜❡ ✐♥ t❤❡ st❛t❡ |Qf ✱ t❤❡♥ t❤❡ ✜♥❛❧ ✭❝♦♥❞✐t✐♦♥❛❧✮ st❛t❡
♦❢ t❤❡ ♠❡t❡r ✐s

Qf |U |Qi |Mi = cos(θ/4) Qf |Qi |Mi − i sin(θ/4) Qf |σ · n
ˆ |Qi (σ · m)|M
ˆ
i .

✭✺✳✷✷✮

❘❡♥♦r♠❛❧✐③✐♥❣ t❤✐s ❡①♣r❡ss✐♦♥ ②✐❡❧❞s t❤❡ ✜♥❛❧ st❛t❡ |Mf ♦❢ t❤❡ ♠❡t❡r✱

|Mf = |Mi − i tan(θ/4)

Qf |σ · n
ˆ |Qi
(σ · m)|M
ˆ
i .
Qf |Qi

✽✶

✭✺✳✷✸✮

ˆ = σ/2 · n
❚❤❡ ✇❡❛❦ ✈❛❧✉❡ ♦❢ t❤❡ ♦❜s❡r✈❛❜❧❡ A
ˆ ✐s ❞❡✜♥❡❞ ❛s t❤❡ ♠❛tr✐① ❡❧❡♠❡♥t

AW =

ˆ i
ˆ |Qi
Qf |A|Q
1 Qf |σ · n
=
.
Qf |Qi
2
Qf |Qi

✭✺✳✷✹✮

❈❤♦♦s✐♥❣ |Qf ♥❡❛r❧② ♦rt❤♦❣♦♥❛❧ t♦ |Qi ❝❛♥ ❧❡❛❞ t♦ ✇❡❛❦ ✈❛❧✉❡s t❤❛t ❛r❡ ♠✉❝❤ ❧❛r❣❡r t❤❛♥

ˆ✳
t❤❡ ❧❛r❣❡st ❡✐❣❡♥✈❛❧✉❡ ♦❢ A
❚♦ ❞❡t❡r♠✐♥❡ t❤❡ ✇❡❛❦ ✈❛❧✉❡✱ t❤❡ s❤✐❢t ✐♥ ❡①♣❡❝t❛t✐♦♥ ✈❛❧✉❡s ❢♦r ❛ s❡t ♦❢ ❝♦♠♣❧❡♠❡♥t❛r②
♦❜s❡r✈❛❜❧❡s ❛r❡ ❝♦♠♣✉t❡❞ ✐♥ t❤❡ ✜♥❛❧ st❛t❡ ♦❢ t❤❡ ♠❡t❡r ✭✺✳✷✸✮✳ ❚♦❣❡t❤❡r✱ t❤❡s❡ ②✐❡❧❞ t❤❡
r❡❛❧ ❛♥❞ ✐♠❛❣✐♥❛r② ♣❛rts ♦❢ t❤❡ ✇❡❛❦ ✈❛❧✉❡✳ ❇② str❛✐❣❤t❢♦r✇❛r❞ ❝❛❧❝✉❧❛t✐♦♥✱ t❤❡ ❡①♣❡❝t❛t✐♦♥
✈❛❧✉❡ ♦❢ t❤❡ ♦❜s❡r✈❛❜❧❡ σ · m
ˆ ✐♥ t❤❡ ✜♥❛❧ st❛t❡ ✭✺✳✷✸✮ ✐s

σ·m
ˆ f = 1 − 4 tan2 (θ/4) | A W |2
− 4 tan(θ/4) Re A W

σ·m
ˆ i

(m
ˆ ×m
ˆ )·σ i

✭✺✳✷✺✮

+ 4 tan(θ/4) Im A W (m
ˆ ·m
ˆ ),
ˆ f ≡ Mf |O|M
ˆ f ❛♥❞ O
ˆ i ≡ Mi |O|M
ˆ i ❛r❡ t❤❡ ✜♥❛❧ ❛♥❞ ✐♥✐t✐❛❧ ❡①♣❡❝t❛t✐♦♥ ✈❛❧✉❡s
✇❤❡r❡ O
ˆ ✐♥ t❤❡ ♣♦✐♥t❡r st❛t❡s✳ ❚❤❡ ✜rst t✇♦ t❡r♠s ✐♥ ✭✺✳✷✺✮ ❛r❡ ❝♦♥tr✐❜✉t✐♦♥s ❢r♦♠
♦❢ t❤❡ ♦♣❡r❛t♦r O
t❤❡ ❡①♣❡❝t❛t✐♦♥ ✈❛❧✉❡ ✐♥ t❤❡ ♣❧❛♥❡ ♦❢ ✐♥✐t✐❛❧✐③❛t✐♦♥✱ ✇❤✐❧❡ t❤❡ ❧❛st t❡r♠ s❤✐❢ts t❤❡ ♣♦✐♥t❡r ♦✉t
♦❢ t❤❡ ♣❧❛♥❡✳ ❙❡tt✐♥❣ m
ˆ = xˆ, yˆ, zˆ✱ ❢♦r ❡①❛♠♣❧❡✱ ✐♥ t❤❡ ❛❜♦✈❡ ❢♦r♠✉❧❛ ✇✐❧❧ ②✐❡❧❞ ❛ s❡t ♦❢ t❤r❡❡
❡q✉❛t✐♦♥s t❤❛t ❝❛♥ ❜❡ s♦❧✈❡❞ ❢♦r t❤❡ ✇❡❛❦ ✈❛❧✉❡✳
❚❤❡ ❝❤♦✐❝❡ ♦❢ t❤❡ r♦t❛t✐♦♥ ❛①✐s m
ˆ ✐s ❛r❜✐tr❛r② ❛♥❞ s✐♠♣❧② s❡ts t❤❡ r❡❢❡r❡♥❝❡ ❢r❛♠❡ ❢♦r
t❤❡ ♣♦✐♥t❡r✳ ❋♦r ❡①❛♠♣❧❡✱ ✐❢ ✇❡ ❝❤♦♦s❡ m
ˆ = yˆ✱ t❤❡♥ t❤❡ ♣♦✐♥t❡r ♠✉st ❜❡ ✐♥✐t✐❛❧✐③❡❞ ✐♥ t❤❡

xz ♣❧❛♥❡✳ ■♥ t❤✐s ❝❛s❡✱ ✇❡ ❝♦♥s✐❞❡r t❤❡ s❡t ♦❢ ❡①♣❡❝t❛t✐♦♥ ✈❛❧✉❡s ❢♦r m
ˆ = xˆ, yˆ, zˆ✳ ❚❤❡ ✜rst
t✇♦ t❡r♠s ♦❢ ✭✺✳✷✺✮ ❝♦♥tr✐❜✉t❡ t♦ σx f ❛♥❞ σz f ✈✐❛ σx i ❛♥❞ σz i ✱ ✇❤✐❧❡ t❤❡ t❤✐r❞ t❡r♠
s❤✐❢ts t❤❡ ♣♦✐♥t❡r ♦✉t ♦❢ ♣❧❛♥❡ ❜② ♣r♦❞✉❝✐♥❣ ❛ ♥♦♥③❡r♦ σy f ✳ ❙♣❡❝✐✜❝❛❧❧②✱ t❤❡ ❡①♣❡❝t❛t✐♦♥

✽✷

✈❛❧✉❡s ❢r♦♠ ✭✺✳✷✺✮ ❢♦r σx ✱ σy ✱ ❛♥❞ σz ❛r❡✿

σz f = 1 − 4 tan2 (θ/4) | A W |2

σz i − 4 tan(θ/4) Re A W

σx i ,

✭✺✳✷✻✮

σx f = 1 − 4 tan2 (θ/4) | A W |2

σx i + 4 tan(θ/4) Re A W

σz i ,

✭✺✳✷✼✮

❛♥❞

✭✺✳✷✽✮

σy f = 4 tan(θ/4) Im A W .

❍❡r❡✱ ✇❡ ✉s❡❞ t❤❡ ♦rt❤♦❣♦♥❛❧✐t② ❝♦♥❞✐t✐♦♥ ❢♦r t❤❡ ✜♥❛❧ ♣♦✐♥t❡r st❛t❡s✱ ✇❤✐❝❤ r❡q✉✐r❡s t❤❛t

σy i = 0 s✐♥❝❡ |Mi ♠✉st ❜❡ ✐♥ t❤❡ xz ♣❧❛♥❡✳ ❚❤✉s✱ σy f ✐s ♣r♦♣♦rt✐♦♥❛❧ t♦ ❥✉st t❤❡
✐♠❛❣✐♥❛r② ♣❛rt ♦❢ t❤❡ ✇❡❛❦ ✈❛❧✉❡✳
❲❡ ❝❛♥ r❡✇r✐t❡ t❤❡ ❡①♣❡❝t❛t✐♦♥ ✈❛❧✉❡s ✭✺✳✷✻✮✱ ✭✺✳✷✼✮✱ ❛♥❞ ✭✺✳✷✽✮ ✐♥ t❡r♠s ♦❢ t❤❡ ♣r♦❜❛✲
❜✐❧✐t✐❡s P t♦ ♦❜s❡r✈❡ ♣♦❧❛r✐③❛t✐♦♥ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥t ♦✉t❝♦♠❡s✳ ■❢
(m )

(m )
= | 0m |Mf |2 = Mf |P0 |Mf ,

✭✺✳✷✾✮

(m )

(m )
= | 1m |Mf |2 = Mf |P1 |Mf ,

✭✺✳✸✵✮

P0

P1

❛r❡ t❤❡ ♣r♦❜❛❜✐❧✐t✐❡s t♦ ♦❜s❡r✈❡ t❤❡ ♦✉t❝♦♠❡s |0m

❛♥❞ |1m

✐♥ ❛ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥t ♦❢ ♣♦❧❛r✐③❛✲

t✐♦♥ ❛❧♦♥❣ t❤❡ m
ˆ ❛①✐s✱ t❤❡♥
(m )

σ·m
ˆ f = P0

(m )

− P1

.

✭✺✳✸✶✮

❲✐t❤ t❤❡ ♣♦✐♥t❡r✬s ✐♥✐t✐❛❧✐③❛t✐♦♥ ❧❡❢t ❛r❜✐tr❛r② ✐♥ t❤❡ xz ♣❧❛♥❡ ✭t❤❡ r♦t❛t✐♦♥ ❛①✐s m
ˆ ✐s st✐❧❧ yˆ✮✱
t❤❡ r❡❛❧ ❛♥❞ ✐♠❛❣✐♥❛r② ❝♦♠♣♦♥❡♥ts ♦❢ t❤❡ ✇❡❛❦ ✈❛❧✉❡ ❝❛♥ ❜❡ ✇r✐tt❡♥ ✐♥ t❡r♠s ♦❢ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥t

✽✸

♣r♦❜❛❜✐❧✐t✐❡s ✉s✐♥❣ ✭✺✳✷✻✮✱ ✭✺✳✷✼✮✱ ❛♥❞ ✭✺✳✷✽✮ ❛s

Re[ A W ] =

σz i σx f − σx i σz f
4 tan(θ/4)
(x)

=

σz i P0

(x)

− P1

(z)

− σx i P0

4 tan(θ/4)

✭✺✳✸✷✮

(z)

− P1

,

❛♥❞
(y)

(y)

σy f
P − P1
= 0
.
Im[ A W ] =
4 tan(θ/4)
4 tan(θ/4)

✭✺✳✸✸✮

❚♦ ❛rr✐✈❡ ❛t t❤❡s❡ r❡s✉❧ts✱ ✇❡ ✉s❡❞ t❤❡ ❢❛❝t t❤❛t

σz 2i + σx 2i = 1,

✭✺✳✸✹✮

s✐♥❝❡ t❤❡ ♣♦✐♥t❡r ✐s ✐♥✐t✐❛❧✐③❡❞ ✐♥ t❤❡ x
ˆzˆ ♣❧❛♥❡✳ ❚❤❛t ✐s✱ |Mi = sin α|0z + cos α|1z ②✐❡❧❞s

σz i = − cos(2α) ❛♥❞ σx i = sin(2α)✳ ❚❤❡r❡❢♦r❡✱ t❤❡ r❡❛❧ ♣❛rt ♦❢ t❤❡ ✇❡❛❦ ✈❛❧✉❡ ❤❛s ❝♦♥tr✐✲
❜✉t✐♦♥s ❢r♦♠ ❜♦t❤ x ❛♥❞ z ♣♦❧❛r✐③❛t✐♦♥ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥t ♣r♦❜❛❜✐❧✐t✐❡s✱ ✇❤✐❧❡ t❤❡ ✐♠❛❣✐♥❛r② ♣❛rt
❞❡♣❡♥❞s ♦♥❧② ♦♥ t❤❡ y ♠❡❛s✉r❡♠❡♥t ♣r♦❜❛❜✐❧✐t✐❡s✳ ■♥ ❛❞❞✐t✐♦♥✱ ✐♥ t❤✐s ❢♦r♠✱ t❤❡ ✇❡❛❦ ✈❛❧✉❡
✐s ❞✐r❡❝t❧② ♦❜t❛✐♥❡❞ ❢r♦♠ t❤❡ st❛t✐st✐❝s ✐♥ t❤❡ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥t ✭❝♦✉♥ts ❢r♦♠ ❛ ♣❤♦t♦❞❡t❡❝t♦r✱ ❢♦r
❡①❛♠♣❧❡✮✳
❆s ❛ s♣❡❝✐✜❝ ❡①❛♠♣❧❡✱ ❧❡t✬s ❝❤♦♦s❡ t❤❡ ♣♦✐♥t❡r t♦ ❜❡ ✐♥✐t✐❛❧✐③❡❞ ✐♥ t❤❡ st❛t❡ |Mi = |0z
✇✐t❤ r❡s♣❡❝t t♦ t❤❡ z ❛①✐s✳ ■♥ t❤✐s ❝❛s❡✱ σx i = 0 ❛♥❞ σz i = 1✳ ❚❤❡♥✱ ❊qs✳ ✭✺✳✷✻✮✱ ✭✺✳✷✼✮✱
❛♥❞ ✭✺✳✷✽✮ ❡✈❛❧✉❛t❡ t♦

σz f = 1 − 4 tan2 (θ/4) | A W |2 ,

✭✺✳✸✺✮

σx f = 4 tan(θ/4) Re A W ,

✭✺✳✸✻✮

σy f = 4 tan(θ/4) Im A W .

✭✺✳✸✼✮

✽✹

❲❡ s❡❡ t❤❛t t❤❡ ❡①♣❡❝t❛t✐♦♥ ✈❛❧✉❡ ♦❢ σx ✐s ♣r♦♣♦rt✐♦♥❛❧ t♦ t❤❡ r❡❛❧ ♣❛rt ♦❢ t❤❡ ✇❡❛❦ ✈❛❧✉❡✱
✇❤✐❧❡ t❤❡ ❡①♣❡❝t❛t✐♦♥ ✈❛❧✉❡ ♦❢ σy ✐s ♣r♦♣♦rt✐♦♥❛❧ t♦ t❤❡ ✐♠❛❣✐♥❛r② ♣❛rt✱

AW =

σx f + i σy f
4 tan(θ/4)
(x)

=

P0

(x)

− P1

(y)

+ i P0

4 tan(θ/4)

✭✺✳✸✽✮

(y)

− P1

.

❚❤❡r❡❢♦r❡✱ t❤❡ ♣r♦❜❛❜✐❧✐t✐❡s P ❢r♦♠ t❤❡ ❡①♣❡r✐♠❡♥t ❝❛♥ ❜❡ ✉s❡❞ t♦ ♦❜t❛✐♥ t❤❡ ✇❡❛❦ ✈❛❧✉❡✳

✺✳✷✳✶✳✸

❈♦♠♣✉t✐♥❣ t❤❡ ❲❛✈❡ ❋✉♥❝t✐♦♥

❍❡r❡ ✇❡ r❡✈✐❡✇ ❤♦✇ ✇❡❛❦ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥ts ❝❛♥ ❜❡ ✉s❡❞ t♦ ❞✐r❡❝t❧② ❝♦♠♣✉t❡ t❤❡ q✉❛♥t✉♠
✇❛✈❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ r❛t❤❡r t❤❛♥ ❡♠♣❧♦②✐♥❣ st❛♥❞❛r❞ st❛t❡ t♦♠♦❣r❛♣❤② t❡❝❤♥✐q✉❡s✳ ❚❤✐s ✇❛s ✜rst
♣❡r❢♦r♠❡❞ ❡①♣❡r✐♠❡♥t❛❧❧② ❢♦r ♣✉r❡ st❛t❡s ❜② ▲✉♥❞❡❡♥ ❡t ❛❧✳ ✐♥ ❘❡❢✳ ❬✶✵✻❪ ❛♥❞ q✉✐❝❦❧② ✇❛s
❢♦❧❧♦✇❡❞ ❜② ❛ ❣❡♥❡r❛❧✐③❛t✐♦♥ t♦ ♠✐①❡❞ st❛t❡s ❬✶✶✾❪✳
■❢ t❤❡ ♣r♦❜❛❜✐❧✐t✐❡s P ❢r♦♠ t❤❡ ♣r❡✈✐♦✉s s❡❝t✐♦♥s ❛r❡ ❞❡t❡r♠✐♥❡❞ ✐♥ ❛♥ ❡①♣❡r✐♠❡♥t✱ t❤❡♥ ✭✺✳✸✽✮
❝❛♥ ❜❡ ✉s❡❞ t♦ ❝♦♠♣✉t❡ t❤❡ ✇❡❛❦ ✈❛❧✉❡✳ ❋♦r ❛ ❣❡♥❡r❛❧ ✐♥✐t✐❛❧✐③❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ♣♦✐♥t❡r✱ t❤❡ ✇❡❛❦
✈❛❧✉❡ ✐s ✐♥st❡❛❞ ❣✐✈❡♥ ❜② ❊qs✳ ✭✺✳✸✷✮ ❛♥❞ ✭✺✳✸✸✮✱ ❢r♦♠ ✇❤✐❝❤ t❤❡ ❝♦❡✣❝✐❡♥ts ✐♥ t❤❡ ✇❛✈❡
❢✉♥❝t✐♦♥ |Qi ❝❛♥ ❜❡ ❞✐r❡❝t❧② ❞❡t❡r♠✐♥❡❞✳ ❋r♦♠ ✭✺✳✷✹✮✱
(n)

Qf |0n 0n |Qi
Qf |P0 |Qi
1
1
− =
− .
AW =
Qf |Qi
2
Qf |Qi
2

✭✺✳✸✾✮

❙✐♥❝❡ |Qf ❝❛♥ ❜❡ s❡❧❡❝t❡❞ ✐♥ t❤❡ ❡①♣❡r✐♠❡♥t✱ t❤❡ t❡r♠s Qf |0n ❛♥❞ Qf |1n ❛r❡ ❦♥♦✇♥✳
❚❤❡ ✐♥✐t✐❛❧ q✉❛♥t✉♠ s②st❡♠✱ ✇r✐tt❡♥ ✐♥ t❤❡ ❡✐❣❡♥❜❛s✐s ♦❢ t❤❡ ♦❜s❡r✈❛❜❧❡✱ ✐s

|Qi = α|0n + β|1n .

✽✺

✭✺✳✹✵✮

❚❤✉s✱ t❤❡ ❝♦❡✣❝✐❡♥t α ✐s ❝♦♠♣✉t❡❞ ❢r♦♠

Qf |0n
1
− .
A W =α
Qf |Qi
2

✭✺✳✹✶✮

❆❧t❡r♥❛t✐✈❡❧②✱ ✇✐t❤ t❤❡ s❡❝♦♥❞ ❝♦❡✣❝✐❡♥t β ✱

Qf |1n
1
.
A W = −β
2
Qf |Qi

✭✺✳✹✷✮

❚❤❡ ♦✈❡r❧❛♣ Qf |Qi ❝❛♥ ❜❡ ❞❡t❡r♠✐♥❡❞ ❜② ♥♦r♠❛❧✐③✐♥❣ t❤❡ ✇❛✈❡ ❢✉♥❝t✐♦♥✱

|Qi =

1
Q |Q
2 f i

1+2 A W
1−2 A W
|0n +
|1n
Qf |0n
Qf |1n

.

✭✺✳✹✸✮

❋r♦♠ t❤✐s ❡①♣r❡ss✐♦♥✱ ✐t ✐s ❝❧❡❛r t❤❛t t❤❡ ❝♦♠♣❧❡① ❛♠♣❧✐t✉❞❡s ♦❢ t❤❡ q✉❛♥t✉♠ ✇❛✈❡ ❢✉♥❝t✐♦♥
❝❛♥ ❜❡ ❞✐r❡❝t❧② s❡❡♥ ❢r♦♠ t❤❡ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥t ♦✉t❝♦♠❡s ✈✐❛ ✭✺✳✸✽✮✳

✺✳✷✳✶✳✹

❲❡❛❦ ▼❡❛s✉r❡♠❡♥ts ✇✐t❤♦✉t P♦sts❡❧❡❝t✐♦♥

❲❡ ❝❛♥ ❛❧s♦ ❝♦♥s✐❞❡r t❤❡ s✐t✉❛t✐♦♥ ✇❤❡r❡ t❤❡ q✉❛♥t✉♠ st❛t❡ ✐s ♥♦t ♣♦sts❡❧❡❝t❡❞ ❛❢t❡r t❤❡ ✇❡❛❦
♠❡❛s✉r❡♠❡♥t✳ ■♥ t❤✐s ❝❛s❡✱ ✇❡ ❝♦♠♣✉t❡ t❤❡ st❛♥❞❛r❞ ❡①♣❡❝t❛t✐♦♥ ✈❛❧✉❡ ♦❢ ❛♥ ♦❜s❡r✈❛❜❧❡ ✐♥
t❤❡ ✐♥✐t✐❛❧ q✉❛♥t✉♠ st❛t❡ ❢r♦♠ t❤❡ ♣♦✐♥t❡r✳ ❚❤❡ ❞❡♥s✐t② ♠❛tr✐① ❢♦r t❤❡ ♣♦✐♥t❡r ✐s ❢♦✉♥❞ ❜②
tr❛❝✐♥❣ ♦✉t Q ❢r♦♠ t❤❡ ✜♥❛❧ ❥♦✐♥t st❛t❡ ✭✺✳✷✶✮✱

ρM = cos2 (θ/4) |Mi Mi | + sin2 (θ/4) σ · m|M
ˆ i Mi |σ · m
ˆ
i
+ sin(θ/2) σ · n
ˆ Q |Mi Mi |σ · m
ˆ − σ · m|M
ˆ i Mi | ,
2

✭✺✳✹✹✮

✇❤❡r❡

σ·n
ˆ Q = TrQ σ · n
ˆ |Qi Qi |

✽✻

✭✺✳✹✺✮

✐s t❤❡ ❡①♣❡❝t❛t✐♦♥ ✈❛❧✉❡ ♦❢ σ · n
ˆ ✐♥ t❤❡ ✐♥✐t✐❛❧ q✉❛♥t✉♠ st❛t❡✳ ❙✐♠✐❧❛r❧② t♦ t❤❡ ♣r❡✈✐♦✉s
s❡❝t✐♦♥s✱ ✇❡ ❝♦♠♣✉t❡ t❤❡ ❡①♣❡❝t❛t✐♦♥ ✈❛❧✉❡ ♦❢ σ · m
ˆ ✐♥ t❤❡ ✜♥❛❧ st❛t❡ ♦❢ M ✳ ■♥ ❝♦♥tr❛st t♦
❊q✳ ✭✺✳✷✺✮✱ ✇❡ ♥♦✇ ✜♥❞

σ·m
ˆ f = TrM (σ · m
ˆ ) ρM

✭✺✳✹✻✮

= cos(θ/2) σ · m
ˆ i + sin(θ/2) σ · n
ˆ Q m
ˆ ×m
ˆ · σ i,
✇❤✐❝❤ ❞♦❡s ♥♦t ❤❛✈❡ ❛ t❡r♠ ♣r♦♣♦rt✐♦♥❛❧ t♦ m
ˆ ·m
ˆ ✳ ❚❤❛t ✐s✱ t❤❡r❡ ❛r❡ ♥♦ ✐♠❛❣✐♥❛r② ❝♦♥tr✐✲
❜✉t✐♦♥s t♦ t❤❡ ❡①♣❡❝t❛t✐♦♥ ✈❛❧✉❡ ✭❛s ❡①♣❡❝t❡❞✮ ❛♥❞ σy f = 0✳ ■♥ ❛❞❞✐t✐♦♥✱

σx f = cos(θ/2) σx i + sin(θ/2) σ · n
ˆ Q σz i ,

✭✺✳✹✼✮

σz f = cos(θ/2) σz i − sin(θ/2) σ · n
ˆ Q σx i .

✭✺✳✹✽✮

❲❤❡♥ t❤❡ ✐♥t❡r❛❝t✐♦♥ ✐s ✇❡❛❦✱ t❤❡s❡ ❡①♣❡❝t❛t✐♦♥ ✈❛❧✉❡s ❛r❡✱ t♦ ✜rst ♦r❞❡r ✐♥ θ ✱ ❡q✉✐✈❛❧❡♥t
t♦ t❤♦s❡ ✐♥ ❊qs✳ ✭✺✳✷✻✮ ❛♥❞ ✭✺✳✷✼✮ ♦❜t❛✐♥❡❞ ❜② ♣♦sts❡❧❡❝t✐♥❣ Q✿

σx f ∼ σx i + θ s · n
ˆ Q σz i ,

✭✺✳✹✾✮

σz f ∼ σz i − θ s · n
ˆ Q σx i .

✭✺✳✺✵✮

❲❤❡♥ |Qf = |Qi ✱ t❤❡ ✇❡❛❦ ✈❛❧✉❡ ✐s ❡q✉❛❧ t♦ t❤❡ ❡①♣❡❝t❛t✐♦♥ ✈❛❧✉❡ s · n
ˆ Q ✱ ✇❤✐❝❤ ❤❛s ♥♦
✐♠❛❣✐♥❛r② ❝♦♥tr✐❜✉t✐♦♥s s✐♥❝❡ s · n
ˆ ✐s ❍❡r♠✐t✐❛♥✳

✺✳✷✳✷ P♦s✐t✐♦♥ ▼❡❛s✉r❡♠❡♥ts ✇✐t❤ ❛ ◗✉❜✐t P♦✐♥t❡r
❲❡ ♥♦✇ ❞❡r✐✈❡ t❤❡ ✇❡❛❦ ✈❛❧✉❡ ❢♦r ♠❡❛s✉r❡♠❡♥ts ♦❢ ❛♥ ♦❜s❡r✈❛❜❧❡ t❤❛t t❛❦❡s t❤❡ ❢♦r♠ ♦❢
❛ ♣r♦❥❡❝t♦r✳ ❋♦r ✐♥st❛♥❝❡✱ ✇❡ ❝♦✉❧❞ ♠❡❛s✉r❡ t❤❡ ♣♦s✐t✐♦♥ ✇✐t❤ |x x|✱ ♦r ♠♦♠❡♥t✉♠ ✇✐t❤

|p p|✳ ❍❡r❡✱ ✇❡ s✉♣♣♦s❡ t❤❛t ✇❡ ❛r❡ ♠❡❛s✉r✐♥❣ t❤❡ ♣♦s✐t✐♦♥ x ♦❢ ❛ q✉❛♥t✉♠ s②st❡♠ ✉s✐♥❣
✽✼

❛ q✉❜✐t ♣♦✐♥t❡r✳ ❙✐♥❝❡ t❤❡ ❞✐♠❡♥s✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ❛♥❝✐❧❧❛r② s②st❡♠ ✐s t✇♦✱ t❤✐s s❝❤❡♠❡ ②✐❡❧❞s
♦♥❧② ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥ ❛❜♦✉t ✇❤❡t❤❡r t❤❡ q✉❛♥t✉♠ s②st❡♠ ✐s ❛t ❧♦❝❛t✐♦♥ x ♦r ✐s ♥♦t✳ ❆ ❤✐❣❤❡r✲
❞✐♠❡♥s✐♦♥❛❧ ❛♥❝✐❧❧❛ ✐s ♥❡❡❞❡❞ t♦ ❞✐st✐♥❣✉✐s❤ ❜❡t✇❡❡♥ ♠♦r❡ t❤❛♥ t✇♦ s♣❛t✐❛❧ st❛t❡s✳
❚❤❡ ✐♥t❡r❛❝t✐♦♥ ❍❛♠✐❧t♦♥✐❛♥ ❢♦r ❛ ♣♦s✐t✐♦♥ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥t ✐s ✇r✐tt❡♥ ❛s

H = θπ
ˆn ⊗ (s · m),
ˆ

✭✺✳✺✶✮

✇❤❡r❡ π
ˆn = |xn xn | ✐s ❛ ♣r♦❥❡❝t♦r ❝♦♠♣♦s❡❞ ♦❢ ♦♥❡ ♦❢ n ♣♦s✐t✐♦♥ ❡✐❣❡♥st❛t❡s✳ ❚❤❡ s❡r✐❡s
❡①♣❛♥s✐♦♥ ❢♦r t❤❡ t✐♠❡✲❡✈♦❧✉t✐♦♥ ♦♣❡r❛t♦r✱ U ✱ ❝❛♥ ❜❡ ❡①❛❝t❧② ❡✈❛❧✉❛t❡❞ t♦

U =✶⊗✶+π
ˆn ⊗ Rm
ˆ (θ) − ✶ .

❙✐♥❝❡ t❤❡ ♣r♦❥❡❝t♦rs ❛❞❞ t♦ ✉♥✐t②✱

ˆn
nπ

= ✶✱ t❤✐s ❝❛♥ ❜❡ r❡✇r✐tt❡♥ ❛s

π
ˆn ⊗ ✶ + π
ˆn ⊗ Rm
ˆ (θ),

U=

✭✺✳✺✷✮

✭✺✳✺✸✮

n =n

✇❤❡r❡ ✐t ✐s ❝❧❡❛r t❤❛t t❤❡ ♣♦✐♥t❡r ✐s ♦♥❧② r♦t❛t❡❞ ❜② ❛♥ ❛♥❣❧❡ θ ❛❜♦✉t t❤❡ m ❛①✐s ✇❤❡♥ t❤❡
q✉❛♥t✉♠ s②st❡♠ ✐s ❢♦✉♥❞ ❛t ❧♦❝❛t✐♦♥ xn ✳ ❲❤❡♥ θ = 0✱ t❤❡ ✐♥t❡r❛❝t✐♦♥ r❡❞✉❝❡s t♦ t❤❡ ✐❞❡♥t✐t②✳
❲❤❡♥ θ = π ✱ t❤❡ ✜♥❛❧ ♣♦✐♥t❡r st❛t❡s

✶|Mi

❛♥❞ Rm
ˆ (π)|Mi ❛r❡ ♦rt❤♦❣♦♥❛❧✱ ❛s ❧♦♥❣ ❛s t❤❡

♣♦✐♥t❡r ✈❛r✐❛❜❧❡ ✐s ✐♥✐t✐❛❧✐③❡❞ ✐♥ t❤❡ ♣❧❛♥❡ ♣❡r♣❡♥❞✐❝✉❧❛r t♦ ✐ts r♦t❛t✐♦♥ ❛①✐s✱ m
ˆ✳
❲❡ ♥♦✇ ♣r♦❝❡❡❞ ❛s ❜❡❢♦r❡✳ ❲✐t❤ t❤❡ q✉❛♥t✉♠ s②st❡♠ ♣r❡s❡❧❡❝t❡❞ ✐♥ t❤❡ st❛t❡ |Qi ❛♥❞
t❤❡ ♣♦✐♥t❡r ✐♥✐t✐❛❧✐③❡❞ ❛s |Mi ✱ t❤❡ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥t ✐♥t❡r❛❝t✐♦♥ ✭✺✳✺✷✮ ❧❡❛❞s t♦

U |Qi |Mi = |Qi |Mi + π
ˆn |Qi

cos(θ/2) − 1 |Mi

−π
ˆn |Qi i sin(θ/2) σ · m|M
ˆ i

✽✽

✭✺✳✺✹✮

❉❡✜♥✐♥❣ t❤❡ ✇❡❛❦ ✈❛❧✉❡✱

AW =

Qf |ˆ
πn |Qi
,
Qf |Qi

✭✺✳✺✺✮

t❤❡ ✜♥❛❧ ♣♦✐♥t❡r st❛t❡ ❛❢t❡r ♣♦sts❡❧❡❝t✐♥❣ t❤❡ q✉❛♥t✉♠ s②st❡♠ ✐♥ t❤❡ st❛t❡ Qf | ❛♥❞ r❡♥♦r✲
♠❛❧✐③✐♥❣ ✐s

|Mf = 1 − 2 A W sin2 (θ/4) |Mi − i A W sin(θ/2) σ · m
ˆ |Mi

✭✺✳✺✻✮

❚❤❡ ❡①♣❡❝t❛t✐♦♥ ✈❛❧✉❡ ♦❢ t❤❡ ♦♣❡r❛t♦r σ · m
ˆ ✐♥ t❤❡ ✜♥❛❧ ♣♦✐♥t❡r st❛t❡ ✭✺✳✺✻✮ ✐s

σ·m
ˆ f = 1 − Re[ A W ] θ − | A W |2 θ cos(θ/2)
− sin(θ/2) 2 Re[ A W ] − | A W |2 θ

σ·m
ˆ i

(m
ˆ ×m
ˆ )·σ i

✭✺✳✺✼✮

+ sin(θ/2) 2 Im[ A W ] (m
ˆ ·m
ˆ ),
✇❤❡r❡ ✇❡ ❞❡✜♥❡❞

θ

= 4 sin2 (θ/4).

✭✺✳✺✽✮

■❢ ✇❡ s❡t t❤❡ r♦t❛t✐♦♥ ❛①✐s ♦❢ t❤❡ ♣♦✐♥t❡r ✈❛r✐❛❜❧❡ t♦ ❜❡ m
ˆ = yˆ✱ t❤❡♥ ✐t ✐s ✐♥✐t✐❛❧✐③❡❞ ✐♥
t❤❡ xz ♣❧❛♥❡✳ ❚❤❡ t❤r❡❡ ❡q✉❛t✐♦♥s ♦❜t❛✐♥❡❞ ❢r♦♠ ✭✺✳✺✼✮ ❢♦r m
ˆ = xˆ, yˆ, zˆ ②✐❡❧❞ t❤❡ r❡❛❧ ❛♥❞
✐♠❛❣✐♥❛r② ♣❛rts ♦❢ t❤❡ ✇❡❛❦ ✈❛❧✉❡✳ ❚❤❡ ✐♠❛❣✐♥❛r② ♣❛rt ✐s
(y)

(y)

σy f
P − P1
Im[ A W ] =
= 0
,
2 sin(θ/2)
2 sin(θ/2)

✽✾

✭✺✳✺✾✮

✇❤✐❧❡ r❡❛❧ ♣❛rt ✐s

1
1 − gz (θ) σz f − gx (θ) σz f
Re[ A W ] =
2
1
=
1 − gz (θ) P0z − P1z − gx (θ) P0x − P1x
2

✭✺✳✻✵✮

.

❚❤❡ θ ❞❡♣❡♥❞❡♥❝❡ ♦❢ ❘❡[ A W ] ✐s ❝♦♥t❛✐♥❡❞ ✐♥ t❤❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s

gz (θ) = σz i + cot(θ/2) σx i ,

✭✺✳✻✶✮

gx (θ) = σx i − cot(θ/2) σz i .

✭✺✳✻✷✮

σz 2i + σx 2i = 1,

✭✺✳✻✸✮

❍❡r❡✱ ✇❡ ✉s❡❞ t❤❡ ❢❛❝t t❤❛t

s✐♥❝❡ t❤❡ ♣♦✐♥t❡r ✈❛r✐❛❜❧❡ ✐s ✐♥✐t✐❛❧✐③❡❞ ✐♥ t❤❡ xz ♣❧❛♥❡✳
❋♦r ❛ str♦♥❣ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥t✱ θ = π ✱ t❤❡s❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s r❡❞✉❝❡ t♦ gz (θ) = σz i ❛♥❞ gx (θ) =

σx i ✳ ❋♦r ❛ ✇❡❛❦ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥t✱ gz (θ) ∼ 2θ σx i ❛♥❞ gx (θ) ∼ − 2θ σz i ✳ ■t ✐s ✐♥t❡r❡st✐♥❣ t♦
♥♦t❡ t❤❛t ❊qs✳ ✭✺✳✸✷✮ ❛♥❞ ✭✺✳✸✸✮ ❛r❡ ✐❞❡♥t✐❝❛❧ t♦ ✭✺✳✻✵✮ ❛♥❞ ✭✺✳✺✾✮ ✇❤❡♥ θ ✐s s♠❛❧❧✳ ■♥ ♦t❤❡r
✇♦r❞s✱ t❤❡ ✇❡❛❦ ✈❛❧✉❡ ✐s t❤❡ s❛♠❡ ❢♦r s♣✐♥ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥ts ❛♥❞ ♣♦s✐t✐♦♥ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥ts ✇❤❡♥
t❤❡ ✐♥t❡r❛❝t✐♦♥ ✐s ✇❡❛❦✳
■❢ ✇❡ ✐♥✐t✐❛❧✐③❡ t❤❡ ♣♦✐♥t❡r ✈❛r✐❛❜❧❡ ❛❧♦♥❣ zˆ s✉❝❤ t❤❛t σz i = 1 ❛♥❞ σx i = 0✱ t❤❡ ♠♦r❡
❣❡♥❡r❛❧ r❡s✉❧ts ❞❡r✐✈❡❞ ✐♥ t❤✐s s❡❝t✐♦♥ r❡❞✉❝❡ t♦ t❤♦s❡ ♦❢ ❱❛❧❧♦♥❡ ❡t ❛❧✳ ✐♥ ❘❡❢✳ ❬✶✶✼❪✱ ❛♥❞ ♦❢
▲✉♥❞❡❡♥ ❡t ❛❧✳ ✐♥ ❘❡❢✳ ❬✶✵✻❪ ❢♦r s♠❛❧❧ θ ✳ ■♥ ❬✶✶✼❪✱ ✐t ✇❛s s❤♦✇♥ t❤❛t str♦♥❣ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥ts✱ ❛s
♦♣♣♦s❡❞ t♦ t❤❡ ✇❡❛❦ ❛♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥ ♠❛❞❡ ✐♥ ❬✶✵✻❪✱ ②✐❡❧❞ ❛ ♠♦r❡ ❛❝❝✉r❛t❡ r❡s✉❧t ✐♥ ❛ ❞✐r❡❝t

✾✵

♠❡❛s✉r❡♠❡♥t ♦❢ t❤❡ ✇❛✈❡ ❢✉♥❝t✐♦♥✳ ❖✉r r❡s✉❧t✱ ❊q✳ ✭✺✳✺✼✮ ✇✐t❤ m
ˆ = xˆ, yˆ, zˆ✱ ②✐❡❧❞s

σz f = 1 − Re[ A W ] θ − | A W |2 θ cos(θ/2),

✭✺✳✻✹✮

σx f = sin(θ/2) 2 Re[ A W ] − | A W |2 θ ,

✭✺✳✻✺✮

σy f = sin(θ/2) 2 Im[ A W ] .

✭✺✳✻✻✮

❙♦❧✈✐♥❣ t❤❡ ✜rst t✇♦ ❡q✉❛t✐♦♥s ②✐❡❧❞s t❤❡ r❡❛❧ ♣❛rt ♦❢ t❤❡ ✇❡❛❦ ✈❛❧✉❡
(x)

Re[ A W ] =
=

P0

(x)

− P1

(z)

+ tan(θ/2) 1 − P0

(z)

+ P1

2 tan(θ/2)
(x)
P0

(x)
− P1

✭✺✳✻✼✮

(z)
+ 2 tan(θ/4) P1
.

2 sin(θ/2)

(z)
■♥ t❤❡ s❡❝♦♥❞ ❡q✉❛❧✐t② ✇❡ ❡❧✐♠✐♥❛t❡❞ P0 ❜② ✉s✐♥❣
(z)

σz f = Mf |Mf − 2P1

(z)

= 1 − θ Re[ A W ] + θ | A W |2 − 2P1 .

✭✺✳✻✽✮

❚❤✐s ♥♦r♠❛❧✐③❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ st❛t❡ |Mf ✐s ✈❛❧✐❞ ♦♥❧② ❢♦r t❤❡ ✐♥✐t✐❛❧✐③❛t✐♦♥ ❛❧♦♥❣ zˆ✳ ❋♦r s♠❛❧❧ θ
t❤❡ ✇❡❛❦ ✈❛❧✉❡ ✐s

1 (x)
i
(x)
(y)
(y)
AW =
P0 − P1
+
P0 − P1 ,
θ
θ

✭✺✳✻✾✮

1
i
(z)
(z)
(y)
(y)
AW =
1 − P0 + P1
+
P0 − P1
2
2
1 (x)
i
(x)
(z)
(y)
(y)
=
P0 − P1 + 2P1
+
P0 − P1
.
2
2

✭✺✳✼✵✮

✇❤✐❧❡ ❢♦r θ = π ✱

❚❤❡r❡❢♦r❡✱ t❤❡ r❡s✉❧ts ❞❡r✐✈❡❞ ❤❡r❡✱ ❊qs✳ ✭✺✳✺✾✮ ❛♥❞ ✭✺✳✻✵✮✱ ❛r❡ ♠♦r❡ ❣❡♥❡r❛❧ ❛♥❞ ❛❝❝♦✉♥t ❢♦r
❛r❜✐tr❛r② ♣♦✐♥t❡r ✐♥✐t✐❛❧✐③❛t✐♦♥s ❛♥❞ ✐♥t❡r❛❝t✐♦♥ str❡♥❣t❤s✳

✾✶

✺✳✷✳✸ ❘❡❧❛t✐♦♥s❤✐♣ ❇❡t✇❡❡♥ ▼❡❛s✉r❡♠❡♥t ■♥t❡r❛❝t✐♦♥s
■♥ t❤✐s s❡❝t✐♦♥ ✇❡ ✇✐❧❧ s❡❡ ❤♦✇ ❞✐✛❡r❡♥t ♠❡❛s✉r❡♠❡♥t ✐♥t❡r❛❝t✐♦♥s ❢♦r t✇♦✲❧❡✈❡❧ s②st❡♠s ❝❛♥
❜❡ r❡❧❛t❡❞ t❤r♦✉❣❤ ❣❧♦❜❛❧ r♦t❛t✐♦♥s ♦❢ t❤❡ q✉❛♥t✉♠ s②st❡♠ ❛♥❞✴♦r ♣♦✐♥t❡r✳ ■❢ t❤❡ ♦❜s❡r✈❛❜❧❡

Aˆ ✐s ❛ t✇♦✲❞✐♠❡♥s✐♦♥❛❧ ♣r♦❥❡❝t♦r Pˆ ✱ t❤❡♥ t❤❡ ❝♦rr❡s♣♦♥❞✐♥❣ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥t ♦♣❡r❛t♦r ✇✐t❤
Aˆ = Pˆ ✐s r❡❧❛t❡❞ t♦ t❤❡ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥t ♦♣❡r❛t♦r ✇✐t❤ Aˆ = σ · n
ˆ ✳ ❙♣❡❝✐✜❝❛❧❧②✱ ✇r✐t✐♥❣ t❤❡
♣r♦❥❡❝t♦r ❛s Pˆ = 21 (✶ + σ · n
ˆ ) ❢♦r t❤❡ ❍❛♠✐❧t♦♥✐❛♥ H = θ Pˆ ⊗ σ · m
ˆ ✱ ②✐❡❧❞s t❤❡ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥t
♦♣❡r❛t♦r
−iθ/4 σ·ˆ
n ⊗ σ·m
ˆ.
U = ✶ ⊗ Rm
ˆ (θ/2) e

✭✺✳✼✶✮

ˆ = Pˆ ❛♥❞ Aˆ = σ · n
❚❤✉s✱ t❤❡ ♦♣❡r❛t♦rs ✇✐t❤ A
ˆ ❛r❡ r❡❧❛t❡❞ ❜② ❛♥ ♦✈❡r❛❧❧ r♦t❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡
♣♦✐♥t❡r✳
❙✐♠✐❧❛r❧②✱ ✐❢ ❜♦t❤ t❤❡ ♠❡❛s✉r❡❞ ♦❜s❡r✈❛❜❧❡ ❛♥❞ ♣♦✐♥t❡r ✈❛r✐❛❜❧❡ ❛r❡ ✇r✐tt❡♥ ❛s t✇♦✲

ˆ ✳ ❲r✐t✐♥❣ t❤❡ ♣r♦❥❡❝t♦rs ❛s Pˆ = 1 (✶ + σ · n
ˆ)
❞✐♠❡♥s✐♦♥❛❧ ♣r♦❥❡❝t♦rs✱ t❤❡♥ H = θ Pˆ ⊗ Q
2
ˆ = 1 (✶ + σ · m)
❛♥❞ Q
ˆ ✱
2
−iθ/4 σ·ˆ
n ⊗ σ·m
ˆ.
U = e−iθ/4 Rnˆ (θ/2) ⊗ Rm
ˆ (θ/2) e

✭✺✳✼✷✮

ˆ = Pˆ ✱ M
ˆ =Q
ˆ ❛♥❞ Aˆ = σ · n
ˆ =σ·m
■♥ t❤✐s ❝❛s❡✱ t❤❡ ♦♣❡r❛t♦rs ✇✐t❤ A
ˆ✱ M
ˆ ❛r❡ r❡❧❛t❡❞ ❜② ❛♥
♦✈❡r❛❧❧ r♦t❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ q✉❛♥t✉♠ s②st❡♠ ❛♥❞ t❤❡ ♣♦✐♥t❡r✳

✾✷

✺✳✸ ◗✉❛♥t✉♠ ■♥❢♦r♠❛t✐♦♥ ❚❤❡♦r② ♦❢ ❙tr♦♥❣ ◗✉❛♥t✉♠
▼❡❛s✉r❡♠❡♥ts
■♥ t❤❡ r❡st ♦❢ t❤✐s ❝❤❛♣t❡r✱ ■ ✇✐❧❧ ❢♦❝✉s ♦♥ ♣r♦❥❡❝t✐✈❡ ✭str♦♥❣✮ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥ts✳ ■ ✇✐❧❧ ❡①♣❛♥❞
✉♣♦♥ t❤❡ ✐❞❡❛s ✐♥tr♦❞✉❝❡❞ ♣r❡✈✐♦✉s❧② ❛♥❞ ✇✐❧❧ ❛♥❛❧②③❡ ❤♦✇ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥ ✐s ♣r♦❝❡ss❡❞ ✐♥ ❛
str♦♥❣ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥t ❢r♦♠ t❤❡ ♣❡rs♣❡❝t✐✈❡ ♦❢ q✉❛♥t✉♠ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥ t❤❡♦r②✳ ❯s✐♥❣ ❡♥tr♦♣②
❱❡♥♥ ❞✐❛❣r❛♠s✱ ■ ✇✐❧❧ tr❛❝❦ t❤❡ ❞✐str✐❜✉t✐♦♥ ♦❢ ❡♥t❛♥❣❧❡♠❡♥t ❛♥❞ ❡♥tr♦♣② ✐♥ t❤❡ ♠❡❛s✉r❡✲
♠❡♥t ♦❢ ❛ s✐♥❣❧❡ q✉❛♥t✉♠ s②st❡♠ ❛♥❞ ✐♥ ♣❛r❛❧❧❡❧ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥ts ♠❛❞❡ ♦♥ ❛♥ ❡♥t❛♥❣❧❡❞ s②s✲
t❡♠ ❬✺✾✱ ✶✹✵✱ ✶✹✶❪✳ ■ ✇✐❧❧ ❛❧s♦ ❞✐st✐♥❣✉✐s❤ ❜❡t✇❡❡♥ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥ts ♠❛❞❡ ♦♥ ♣r❡♣❛r❡❞ ✭♣✉r❡✮
❛♥❞ ✉♥♣r❡♣❛r❡❞ ✭❝♦♠♣❧❡t❡❧② ♠✐①❡❞✮ q✉❛♥t✉♠ st❛t❡s✳

✺✳✸✳✶ ❚❤❡ ▼❡❛s✉r❡♠❡♥t Pr♦❝❡ss
❙✉♣♣♦s❡ ❛ ❣✐✈❡♥ q✉❛♥t✉♠ s②st❡♠ ✐s ✐♥ t❤❡ ✐♥✐t✐❛❧ st❛t❡
d−1

(1)

αx1 |x1 ,

|Q =

✭✺✳✼✸✮

x1 =0
(1)
✇❤❡r❡ αx1 ❛r❡ ❝♦♠♣❧❡① ❛♠♣❧✐t✉❞❡s✳ ❍❡r❡✱ Q ✐s ❡①♣r❡ss❡❞ ✐♥ t❡r♠s ♦❢ t❤❡ d ♦rt❤♦♥♦r♠❛❧

❜❛s✐s st❛t❡s |x1 ❛ss♦❝✐❛t❡❞ ✇✐t❤ t❤❡ ♦❜s❡r✈❛❜❧❡ t❤❛t ✇❡ ✇✐❧❧ ♠❡❛s✉r❡✳ ❚❤❡ ✈♦♥ ◆❡✉♠❛♥♥
♠❡❛s✉r❡♠❡♥t ✐s ✐♠♣❧❡♠❡♥t❡❞ ✇✐t❤ ❛ ✉♥✐t❛r② ♦♣❡r❛t♦r t❤❛t ❡♥t❛♥❣❧❡s t❤❡ q✉❛♥t✉♠ s②st❡♠ Q
✇✐t❤ ❛♥ ❛♥❝✐❧❧❛r② s②st❡♠ ✭t❤❡ ♣♦✐♥t❡r✮ A1 ✱
d−1

Px1 ⊗ Ux1 ,

UQA1 =

✭✺✳✼✹✮

x1 =0

✇❤❡r❡ Px1 = |x1 x1 | ❛r❡ ♣r♦❥❡❝t♦rs ♦♥ t❤❡ st❛t❡ ♦❢ Q✳ ❆s ✇❡✬✈❡ s❡❡♥ ♠❛♥② t✐♠❡s ❛❧r❡❛❞②✱ t❤❡
♦♣❡r❛t♦rs Ux1 tr❛♥s❢♦r♠ t❤❡ ✐♥✐t✐❛❧ st❛t❡ |Mi A ♦❢ t❤❡ ❛♥❝✐❧❧❛ t♦ t❤❡ ✜♥❛❧ st❛t❡ Ux1 |Mi A =
1
1
✾✸

|x1 A1 ✳ ❙✐♥❝❡ ✇❡ ❛r❡ ❝♦♥s✐❞❡r✐♥❣ str♦♥❣ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥ts✱ t❤❡ st❛t❡s ♦❢ t❤❡ ❛♥❝✐❧❧❛✱ |x1 A1 ✱ ❛r❡
♦rt❤♦❣♦♥❛❧✳ ❋r♦♠ ♥♦✇ ♦♥✱ ✇❡ ❞r♦♣ t❤❡ s✉❜s❝r✐♣ts A1 ♦♥ t❤❡ ✜♥❛❧ st❛t❡s ♦❢ t❤❡ ❛♥❝✐❧❧❛✳ ❚❤❡
✉♥✐t❛r② ✐♥t❡r❛❝t✐♦♥ ✭✺✳✼✹✮ ❜❡t✇❡❡♥ t❤❡ q✉❛♥t✉♠ s②st❡♠ ❛♥❞ t❤❡ ❛♥❝✐❧❧❛ ❧❡❛❞s t♦ t❤❡ ❡♥t❛♥❣❧❡❞
st❛t❡ ❬✺✾❪

|QA1 = UQA1 |Q |Mi A1 =

(1)

x1

αx1 |x1 |x1 .

✭✺✳✼✺✮

(1)
❚❤❡ ❝♦❡✣❝✐❡♥ts αx1 r❡✢❡❝t t❤❡ ❞❡❣r❡❡ ♦❢ ❡♥t❛♥❣❧❡♠❡♥t ❜❡t✇❡❡♥ Q ❛♥❞ A1 ✿ t❤❡ ♥✉♠❜❡r ♦❢

♥♦♥✲③❡r♦ ❝♦❡✣❝✐❡♥ts ✐s t❤❡ ❙❝❤♠✐❞t ♥✉♠❜❡r ❬✷✺❪ ♦❢ t❤❡ ❙❝❤♠✐❞t ❞❡❝♦♠♣♦s✐t✐♦♥✳
❚❤❡ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥t ♣r♦❝❡ss t❤✉s ❞❡s❝r✐❜❡❞ ❝♦♥t❛✐♥s t❤❡ ❡ss❡♥❝❡ ♦❢ t❤❡ ♥♦✲❝❧♦♥✐♥❣ t❤❡♦✲
r❡♠ ❬✸✻❪✱ ✇❤✐❝❤ st❛t❡s t❤❛t ✐t ✐s ✐♠♣♦ss✐❜❧❡ t♦ ♣❡r❢❡❝t❧② ❝♦♣② ❛ q✉❛♥t✉♠ st❛t❡ ✉♥❧❡ss ✐t ✐s
✐♥ ❛♥ ❡✐❣❡♥st❛t❡ ♦❢ t❤❡ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥t ♦♣❡r❛t♦r ✭s❡❡ ❙❡❝✳ ✷✳✹✮✳ ■♥ ♦t❤❡r ✇♦r❞s✱ ✐❢ t❤❡ ❛♥✲
❝✐❧❧❛ A1 ❤❛❞ ❢❛✐t❤❢✉❧❧② ❝♦♣✐❡❞ Q✱ t❤❡♥ t❤❡ ✜♥❛❧ st❛t❡ ✇♦✉❧❞ ❜❡ t❤❡ s❡♣❛r❛❜❧❡ ✇❛✈❡ ❢✉♥❝t✐♦♥

|QA1 =

(1)
x1 αx1 |x1

⊗

(1)
x1 αx1 |x1

✐♥st❡❛❞ ♦❢ ❊q✳ ✭✺✳✼✺✮✳ ❚❤❡r❡❢♦r❡✱ ✐♥ ❣❡♥❡r❛❧✱ t❤❡

❡♥t❛♥❣❧❡♠❡♥t ♣r♦❞✉❝❡❞ ✐♥ q✉❛♥t✉♠ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥t ♣r♦❤✐❜✐ts t❤❡ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥t ❞❡✈✐❝❡ ❢r♦♠
♠❛❦✐♥❣ ❛ ♣❡r❢❡❝t ❝♦♣② ♦❢ t❤❡ q✉❛♥t✉♠ s②st❡♠✳ ❚❤✐s ✐s ✈❡r② ❞✐✛❡r❡♥t ❢r♦♠ ❝❧❛ss✐❝❛❧ ♠❡❛s✉r❡✲
♠❡♥ts✱ ✇❤❡r❡ t❤❡ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥t ❞❡✈✐❝❡ ❝❛♥✱ ✐♥ ♣r✐♥❝✐♣❧❡✱ ❛❧✇❛②s ♣❡r❢❡❝t❧② r❡✢❡❝t t❤❡ st❛t❡ ♦❢
t❤❡ s②st❡♠✳
■♥❢♦r♠❛t✐♦♥ ❛❜♦✉t t❤❡ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥t ♦✉t❝♦♠❡s ✐s ♦❜t❛✐♥❡❞ ❢r♦♠ t❤❡ st❛t❡ ♦❢ t❤❡ ❛♥❝✐❧❧❛✳
❚r❛❝✐♥❣ ♦✈❡r ✭✺✳✼✺✮✱ t❤❡ ♠❛r❣✐♥❛❧ ❞❡♥s✐t② ♠❛tr✐① ♦❢ A1 ✭❛♥❞ s✐♠✐❧❛r❧② ❢♦r Q✮ ✐s
(1)

ρ(A1 ) = TrQ (|QA1 QA1 |) =
x1

|αx1 |2 |x1 x1 |.

✭✺✳✼✻✮

❋r♦♠ t❤❡ s②♠♠❡tr② ♦❢ t❤❡ st❛t❡ ✭✺✳✼✺✮✱ t❤❡ ♠❛r❣✐♥❛❧ ✈♦♥ ◆❡✉♠❛♥♥ ❡♥tr♦♣② ♦❢ A1 ✐s t❤❡
s❛♠❡ ❛s Q✱ ✇❤✐❝❤✱ ✐♥ t✉r♥✱ ✐s ❡q✉❛❧ t♦ t❤❡ ❙❤❛♥♥♦♥ ❡♥tr♦♣② ♦❢ t❤❡ ♣r♦❜❛❜✐❧✐t② ❞✐str✐❜✉t✐♦♥

✾✹

(1)

(1)

qx1 = |αx1 |2 ✿
(1)

S(Q) = S(A1 ) = H[q (1) ] = −
x1

(1)

qx1 logd qx1 .

✭✺✳✼✼✮

❘❡❝❛❧❧ t❤❛t ✇❡ ❞❡♥♦t❡ t❤❡ ❙❤❛♥♥♦♥ ❡♥tr♦♣② ♦❢ ❛ d✲❞✐♠❡♥s✐♦♥❛❧ ♣r♦❜❛❜✐❧✐t② ❞✐str✐❜✉t✐♦♥ pxi
❜② H[p] = −

d−1
xi =0 pxi

logd pxi ✳ ❚❤❡ ✈♦♥ ◆❡✉♠❛♥♥ ❡♥tr♦♣② ♦❢ ❛ ❞❡♥s✐t② ♠❛tr✐① ρ(X) ✐s

❞❡✜♥❡❞ ❛s S(X) = S(ρ(X)) = −Tr [ρ(X) logd ρ(X)]✱ ✇❤✐❝❤ ♦♥ ❛❝❝♦✉♥t ♦❢ t❤❡ ❧♦❣❛r✐t❤♠ t♦
t❤❡ ❜❛s❡ d✱ ❣✐✈❡s ❡♥tr♦♣✐❡s t❤❡ ✉♥✐ts ✏❞✐ts✑✳
❚❤❡ ❛♥❝✐❧❧❛ ❛♥❞ q✉❛♥t✉♠ s②st❡♠ ❛r❡ ♥♦t ❝❧❛ss✐❝❛❧❧② ❝♦rr❡❧❛t❡❞ ✐♥ ✭✺✳✼✺✮ ✭❛s ✐s r❡q✉✐r❡❞ ❢♦r
❞❡❝♦❤❡r❡♥❝❡ ♠♦❞❡❧s✱ ❡✳❣✳✱ ❬✶✹✷❪✮✱ ❜✉t ✐♥ ❢❛❝t ❛r❡ ❡♥t❛♥❣❧❡❞✳ ❚❤✐s ❡♥t❛♥❣❧❡♠❡♥t ✐s ❝❤❛r❛❝t❡r✐③❡❞
❜② ❛ ♥❡❣❛t✐✈❡ ❝♦♥❞✐t✐♦♥❛❧ ❡♥tr♦♣② ❬✺✾✱ ✶✹✸❪✱ S(A1 |Q) = S(QA1 ) − S(Q) = −S(A1 )✱ ✇❤❡r❡
t❤❡ ❥♦✐♥t ❡♥tr♦♣② ✈❛♥✐s❤❡s s✐♥❝❡ ✭✺✳✼✺✮ ✐s ♣✉r❡✳ ❲❡ ✐❧❧✉str❛t❡ t❤❡ ❡♥t❛♥❣❧❡♠❡♥t ❜❡t✇❡❡♥ A1
❛♥❞ Q ✇✐t❤ ❛♥ ❡♥tr♦♣② ❱❡♥♥ ❞✐❛❣r❛♠ ❬✺✾❪ ✐♥ ❋✐❣✳ ✺✳✷✭❛✮✳ ❚❤❡ ♠✉t✉❛❧ ❡♥tr♦♣② ❛t t❤❡ ❝❡♥t❡r
♦❢ t❤❡ ❞✐❛❣r❛♠✱ S(Q : A1 ) = S(Q) + S(A1 ) − S(QA1 )✱ r❡✢❡❝ts t❤❡ ❡♥tr♦♣② t❤❛t ✐s s❤❛r❡❞
❜❡t✇❡❡♥ ❜♦t❤ s②st❡♠s ❛♥❞ ✐s t✇✐❝❡ ❛s ❧❛r❣❡ ❛s t❤❡ ❝❧❛ss✐❝❛❧ ✉♣♣❡r ❜♦✉♥❞ ❬✺✾✱ ✼✶✱ ✶✹✸❪✳

✺✳✸✳✷ ❯♥♣r❡♣❛r❡❞ ◗✉❛♥t✉♠ ❙t❛t❡s
■♥ t❤❡ ♣r❡✈✐♦✉s s❡❝t✐♦♥✱ ✇❡ ❝♦♥s✐❞❡r❡❞ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥ts ♦❢ ❛ q✉❛♥t✉♠ s②st❡♠ t❤❛t ✐s ♣r❡♣❛r❡❞
(1)
✐♥ ❛ ♣✉r❡ st❛t❡ ✭✺✳✼✸✮ ✇✐t❤ ❝♦❡✣❝✐❡♥ts αx1 ✳ ❙✉♣♣♦s❡ ✐♥st❡❛❞ t❤❛t ✇❡ ❛r❡ ❣✐✈❡♥ ❛ q✉❛♥t✉♠

s②st❡♠ ❛❜♦✉t ✇❤✐❝❤ ✇❡ ❤❛✈❡ ♥♦ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥✱ t❤❛t ✐s✱ ✇❤❡r❡ ♥♦ ♣r❡✈✐♦✉s ♠❡❛s✉r❡♠❡♥t r❡s✉❧ts
❝♦✉❧❞ ✐♥❢♦r♠ ✉s ♦❢ t❤❡ st❛t❡ ♦❢ Q✳ ■♥ t❤✐s ❝❛s❡✱ ✇❡ ✇r✐t❡ t❤❡ q✉❛♥t✉♠ s②st❡♠✬s ✐♥✐t✐❛❧ st❛t❡
❛s ❛ ♠❛①✐♠✉♠ ❡♥tr♦♣② ♠✐①❡❞ st❛t❡

ρ(Q) =

1
d

d−1

|x0 x0 | ,
x0 =0

✾✺

✭✺✳✼✽✮

✇✐t❤ ❝♦❡✣❝✐❡♥ts t❤❛t ♥♦✇ ❝♦rr❡s♣♦♥❞ t♦ ❛ ✉♥✐❢♦r♠ ♣r♦❜❛❜✐❧✐t② ❞✐str✐❜✉t✐♦♥✳ ❲❡ ❝❛❧❧ t❤✐s ❛♥

✉♥♣r❡♣❛r❡❞ q✉❛♥t✉♠ s②st❡♠✳ ❲❡ ❝❛♥ ✏♣✉r✐❢②✑ ρ(Q) ❜② ❞❡✜♥✐♥❣ ❛ ❤✐❣❤❡r✲❞✐♠❡♥s✐♦♥❛❧ ♣✉r❡
st❛t❡ ✇❤❡r❡ Q ✐s ❡♥t❛♥❣❧❡❞ ✇✐t❤ ❛ r❡❢❡r❡♥❝❡ s②st❡♠ R ❬✷✺❪✱
d−1

1
|x0 |x0 ,
|QR = √
d x =0
0

✭✺✳✼✾✮

s✉❝❤ t❤❛t ρ(Q) ✐s r❡❝♦✈❡r❡❞ ❜② tr❛❝✐♥❣ ✭✺✳✼✾✮ ♦✈❡r R✳ ■♥ t❤✐s ✇❛②✱ ✇❡ ❝❛♥ s❡❡ ❡①♣❧✐❝✐t❧②
❤♦✇ t❤❡ t♦t❛❧ s②st❡♠ ❡✈♦❧✈❡s ✉♥✐t❛r✐❧② ❛s ❛ ♣✉r❡ st❛t❡✳ ❍❡r❡ ❛♥❞ ❡❛r❧✐❡r✱ t❤❡ st❛t❡s ♦❢ Q ❛r❡
✇r✐tt❡♥ ✇✐t❤ ❛ t✐❧❞❡✱ |x0 ✱ t♦ ❞✐st✐♥❣✉✐s❤ t❤❡♠ ❢r♦♠ t❤❡ st❛t❡s ♦❢ R✱ ✇❤✐❝❤ ❛r❡ ❞❡♥♦t❡❞ ❜②

|x0 ✳ ■♥ t❤✐s s❡❝t✐♦♥✱ ✇❡ ❛ss✉♠❡ t❤❛t Q ✐s ❛♥ ✉♥♣r❡♣❛r❡❞ ✭♦r ✏✉♥❦♥♦✇♥✑✮ st❛t❡ ✇✐t❤ ♠❛①✐♠✉♠
❡♥tr♦♣② s♦ t❤❛t ✐t ✐s ♠❛①✐♠❛❧❧② ❡♥t❛♥❣❧❡❞ ✇✐t❤ R✱ ❛s ✐♥ ✭✺✳✼✾✮✳ ❲✐t❤ s✉❝❤ ❛♥ ❛ss✉♠♣t✐♦♥✱
✇❡ ❞♦ ♥♦t ❜✐❛s ❛♥② s✉❜s❡q✉❡♥t ♠❡❛s✉r❡♠❡♥ts ❬✶✹✹❪✳
❚♦ ♠❡❛s✉r❡ Q ✇✐t❤ ❛♥ ❛♥❝✐❧❧❛ A1 ✱ ✇❡ ❡①♣r❡ss t❤❡ q✉❛♥t✉♠ s②st❡♠ ✐♥ t❤❡ ❡✐❣❡♥❜❛s✐s |x1
(1)
♦❢ t❤❡ ♦❜s❡r✈❛❜❧❡ t❤❛t ❛♥❝✐❧❧❛ A1 ✇✐❧❧ ♠❡❛s✉r❡ ✉s✐♥❣ t❤❡ ✉♥✐t❛r② ♠❛tr✐① Ux0 x1 = x1 |x0 ✳

❚❤❡ ♦rt❤♦♥♦r♠❛❧ ❜❛s✐s st❛t❡s ♦❢ t❤❡ ❛♥❝✐❧❧❛✱ |x1 ✱ ✇✐t❤ x1 = 0, . . . , d − 1✱ ❛✉t♦♠❛t✐❝❛❧❧② s❡r✈❡
❛s t❤❡ ✏✐♥t❡r♣r❡t❛t✐♦♥ ❜❛s✐s✑ ❬✶✹✺❪✳ ❲❡ t❤❡♥ ❡♥t❛♥❣❧❡ ❬✺✾❪ Q ✇✐t❤ A1 ✱ ✇❤✐❝❤✱ ❛s ❜❡❢♦r❡✱ ✐s ✐♥
t❤❡ ✐♥✐t✐❛❧ st❛t❡ |Mi A ✱ ✉s✐♥❣ t❤❡ ✉♥✐t❛r② ❡♥t❛♥❣❧✐♥❣ ♦♣❡r❛t✐♦♥ UQA ✐♥ ❊q✳ ✭✺✳✼✹✮✱
1
1

|QRA1 = ✶R ⊗ UQA1 |QR |Mi A1
1
(1)
=√
Ux0 x1 |x1 |x0 |x1 ,
dx x

✭✺✳✽✵✮

0 1

✇❤❡r❡ ✶R ✐s t❤❡ ✐❞❡♥t✐t② ♦♣❡r❛t✐♦♥ ♦♥ R✳ ❲❡ ❛❧✇❛②s ✇r✐t❡ t❤❡ st❛t❡s ♦♥ t❤❡ r✐❣❤t ❤❛♥❞ s✐❞❡
✐♥ t❤❡ s❛♠❡ ♦r❞❡r ❛s t❤❡② ❛♣♣❡❛r ✐♥ t❤❡ ❦❡t ♦♥ t❤❡ ❧❡❢t ❤❛♥❞ s✐❞❡✳ ❲❡ ❡①♣r❡ss t❤❡ r❡❢❡r❡♥❝❡
✐♥ ❛ ♥❡✇ ❜❛s✐s ❜② ❞❡✜♥✐♥❣ |x1 R =

(1)
x0 Ux1 x0

|x0 R ✇✐t❤ t❤❡ tr❛♥s♣♦s❡ ♦❢ U (1) ✱ s♦ t❤❛t t❤❡

✾✻

−S1

2S1

Q

−S1

0

1

Q

A1
(a)

0
A1

(b)

❋✐❣✉r❡ ✺✳✷✿ ❊♥tr♦♣② ❱❡♥♥ ❞✐❛❣r❛♠s ❬✺✾❪ ❢♦r t❤❡ q✉❛♥t✉♠ s②st❡♠ ❛♥❞ ❛♥❝✐❧❧❛✳ ✭❛✮ ❋♦r ♣r❡✲
♣❛r❡❞ q✉❛♥t✉♠ st❛t❡s✱ Q ❛♥❞ A1 ❛r❡ ❡♥t❛♥❣❧❡❞ ❛❝❝♦r❞✐♥❣ t♦ ❊q✳ ✭✺✳✼✺✮✳ ✭❜✮ ❋♦r ✉♥♣r❡♣❛r❡❞
q✉❛♥t✉♠ st❛t❡s✱ Q ❛♥❞ A1 ❛r❡ ❝♦rr❡❧❛t❡❞ ❛❝❝♦r❞✐♥❣ t♦ ❊q✳ ✭✺✳✽✷✮ ✇❤❡♥ t❤❡ r❡❢❡r❡♥❝❡ R ❤❛s
❜❡❡♥ tr❛❝❡❞ ♦✉t✳ ■♥ t❤✐s ✜❣✉r❡✱ ✇❡ ✉s❡ t❤❡ ♥♦t❛t✐♦♥ S1 = S(A1 ) ❢♦r t❤❡ ♠❛r❣✐♥❛❧ ❡♥tr♦♣② ♦❢
❛♥❝✐❧❧❛ A1 ✳
❥♦✐♥t s②st❡♠ QRA1 ❛♣♣❡❛rs ❛s

1
|x1 |x1 |x1 .
|QRA1 = √
d x
1

✭✺✳✽✶✮

◆♦t❡ t❤❛t ✭✺✳✽✶✮ ✐s ❛ tr✐♣❛rt✐t❡ ❙❝❤♠✐❞t ❞❡❝♦♠♣♦s✐t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ❥♦✐♥t ❞❡♥s✐t② ♠❛tr✐① ρ(QRA1 ) =

|QRA1 QRA1 |✱ ✇❤✐❝❤ ✐s ♣♦ss✐❜❧❡ ❤❡r❡ ❜❡❝❛✉s❡ t❤❡ ❡♥t❛♥❣❧❡♠❡♥t ♦♣❡r❛t♦r UQA1 ❡♥s✉r❡s t❤❡
❜✐✲❙❝❤♠✐❞t ❜❛s✐s R x1 |QRA1 ❤❛s ❙❝❤♠✐❞t ♥✉♠❜❡r ♦♥❡ ❬✼✹❪✳
❚r❛❝✐♥❣ ♦✉t t❤❡ r❡❢❡r❡♥❝❡ s②st❡♠ ❢r♦♠ t❤❡ ❢✉❧❧ ❞❡♥s✐t② ♠❛tr✐① ρ(QRA1 )✱ ✇❡ ♥♦t❡ t❤❛t t❤❡
❛♥❝✐❧❧❛ ✐s ♣❡r❢❡❝t❧② ❝♦rr❡❧❛t❡❞ ✇✐t❤ t❤❡ q✉❛♥t✉♠ s②st❡♠✱

ρ(QA1 ) =

1
|x1 x1 x1 x1 |,
d x
1

✭✺✳✽✷✮

✐♥ ❝♦♥tr❛st t♦ ❊q✳ ✭✺✳✼✺✮ ✇❤❡r❡ A1 ❛♥❞ Q ❛r❡ ❡♥t❛♥❣❧❡❞✳ ❙✉❝❤ ❝♦rr❡❧❛t✐♦♥s ❛r❡ ✐♥❞✐❝❛t❡❞ ❜②
❛ ✈❛♥✐s❤✐♥❣ ❝♦♥❞✐t✐♦♥❛❧ ❡♥tr♦♣② ❬✺✾❪✱ S(A1 |Q) = S(QA1 ) − S(Q) = 0✳ ❚r❛❝✐♥❣ ♦✈❡r ✭✺✳✽✷✮✱
✇❡ ✜♥❞ t❤❛t ❡❛❝❤ s②st❡♠ ❤❛s ♠❛①✐♠✉♠ ❡♥tr♦♣② S(Q) = S(A1 ) = 1✳ ■♥ ❋✐❣✳ ✺✳✷✱ ✇❡ ❝♦♠♣❛r❡
t❤❡ ❡♥tr♦♣② ❱❡♥♥ ❞✐❛❣r❛♠s t❤❛t ❛r❡ ❝♦♥str✉❝t❡❞ ❢r♦♠ t❤❡ st❛t❡s ✭✺✳✼✺✮ ❛♥❞ ✭✺✳✽✷✮✳

✾✼

Q
(1)

A1

(2)

A1

..
.

(n)

A1

❋✐❣✉r❡ ✺✳✸✿ ❈♦♠♣♦s✐t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ q✉❛♥t✉♠ ❛♥❝✐❧❧❛✳ ❉❛s❤❡❞ ❧✐♥❡s ✐♥❞✐❝❛t❡ ❡♥t❛♥❣❧❡♠❡♥t ❜❡t✇❡❡♥
(n)
(1)
t❤❡ q✉❛♥t✉♠ s②st❡♠✱ Q✱ ❛♥❞ ❡❛❝❤ ♦❢ t❤❡ n q✉❞✐ts✱ A1 , . . . , A1 ✱ ✐♥ t❤❡ ❛♥❝✐❧❧❛ A1 ✳ ❚✐♠❡
♣r♦❝❡❡❞s ❢r♦♠ ❧❡❢t t♦ r✐❣❤t✳
❲❡ ♥♦t❡ ✐♥ ♣❛ss✐♥❣ t❤❛t R ❝❛♥ ❜❡ t❤♦✉❣❤t ♦❢ ❛s r❡♣r❡s❡♥t✐♥❣ ❛❧❧ ♣r❡✈✐♦✉s ♠❡❛s✉r❡♠❡♥ts ♦❢
t❤❡ q✉❛♥t✉♠ s②st❡♠ t❤❛t ❤❛✈❡ ♦❝❝✉rr❡❞ ❜❡❢♦r❡ A1 ✳ ❲❡ ❝♦♥tr❛st ♠❡❛s✉r❡♠❡♥ts ♦❢ ✉♥♣r❡♣❛r❡❞
q✉❛♥t✉♠ st❛t❡s ✭✺✳✼✾✮ ❛s ❞❡s❝r✐❜❡❞ ✐♥ t❤✐s s❡❝t✐♦♥✱ ✇✐t❤ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥ts ♦❢ ♣r❡♣❛r❡❞ q✉❛♥t✉♠
st❛t❡s ✭s❡❡ ❙❡❝✳ ✺✳✸✳✶✮✱ ✇❤✐❝❤ ❛r❡ ✐♥✐t✐❛❧❧② ♣✉r❡ st❛t❡s ✭✺✳✼✸✮ ❞❡✜♥❡❞ ✇✐t❤♦✉t ❛ r❡❢❡r❡♥❝❡
s②st❡♠ R✳

✺✳✸✳✸ ❈♦♠♣♦s✐t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ◗✉❛♥t✉♠ ❆♥❝✐❧❧❛
(1)
(n)
❚❤❡ ❛♥❝✐❧❧❛ A1 ♠❛②✱ ✐♥ ♣r❛❝t✐❝❡✱ ❜❡ ❝♦♠♣♦s❡❞ ♦❢ ♠❛♥② q✉❞✐ts A1 . . . A1 t❤❛t ❛❧❧ ♣❛rt✐❝✐♣❛t❡

✐♥ t❤❡ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥t ♦❢ Q ❛❝❝♦r❞✐♥❣ t♦ t❤❡ s❡q✉❡♥❝❡ ♦❢ ❡♥t❛♥❣❧✐♥❣ ♦♣❡r❛t✐♦♥s U (n) . . . U (1)
QA1
QA1
(i)
❜❡t✇❡❡♥ Q ❛♥❞ A1 ✭s❡❡ ❋✐❣✳ ✺✳✸✮✳ ■♥ t❤✐s ❝❛s❡✱ ❊q✳ ✭✺✳✼✺✮✱ ❢♦r ❡①❛♠♣❧❡✱ ✐s ❡①t❡♥❞❡❞ t♦
(1)

|QA1 =
x1

αx1 |x1 |x1 (1) . . . |x1 (n) .
A
A
1

✭✺✳✽✸✮

1

❚r❛❝✐♥❣ ♦✉t t❤❡ q✉❛♥t✉♠ s②st❡♠ ❢r♦♠ ❊q✳ ✭✺✳✽✸✮✱ t❤❡ ❥♦✐♥t st❛t❡ ♦❢ t❤❡ ❡♥t✐r❡ ❛♥❝✐❧❧❛ ✐s
(1)

(n)

ρ(A1 ) = ρ(A1 . . . A1 ) =

(1) 2
x1 |αx1 | |x1 . . . x1

x1 . . . x1 |✳ ❚❤❛t ✐s✱ ❡❛❝❤ ❝♦♠♣♦♥❡♥t ♦❢ A1

✐s ♣❡r❢❡❝t❧② ❝♦rr❡❧❛t❡❞ ✇✐t❤ ❡✈❡r② ♦t❤❡r ❝♦♠♣♦♥❡♥t✱ s♦ t❤❛t A1 ✐s ✐♥t❡r♥❛❧❧② s❡❧❢✲❝♦♥s✐st❡♥t
✭✏❛❧❧ ♣❛rts ♦❢ A1 t❡❧❧ t❤❡ s❛♠❡ st♦r②✑✮✳

❍♦✇❡✈❡r✱ ✇❤✐❧❡ A1 ❛♣♣❡❛rs ❝❧❛ss✐❝❛❧✱ ❛♥❞ ❝♦✉❧❞
✾✽

❝♦♥❝❡✐✈❛❜❧② ❝♦♥s✐st ♦❢ ❛ ♠❛❝r♦s❝♦♣✐❝ ♥✉♠❜❡r ♦❢ ❝♦♠♣♦♥❡♥ts✱ ✐t ✐s ♣♦t❡♥t✐❛❧❧② ❢r❛❣✐❧❡✱ ✐♥ t❤❡
(i)
s❡♥s❡ t❤❛t ✐ts ❡♥t❛♥❣❧❡♠❡♥t ✇✐t❤ ♦t❤❡r ❞❡✈✐❝❡s ♠❛② ❜❡❝♦♠❡ ❤✐❞❞❡♥ ✇❤❡♥ ❛♥② ♣❛rt A1 ♦❢

A1 ✐s ❧♦st ✭tr❛❝❡❞ ♦✈❡r✮✳ ■♥ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ❝❤❛♣t❡rs✱ ✇❡ ✇✐❧❧ ❞✐st✐♥❣✉✐s❤ ✏❛♠♣❧✐✜❛❜❧❡✑ ❢r♦♠
♥♦♥✲❛♠♣❧✐✜❛❜❧❡ ❞❡✈✐❝❡s✳ ❚❤❛t ✐s✱ ❛ st❛t❡ ✐s ❛♠♣❧✐✜❛❜❧❡ ✐❢ tr❛❝✐♥❣ ♦✈❡r ❛♥② ♦❢ ✐ts ❝♦♠♣♦♥❡♥ts
❞♦❡s ♥♦t ♠♦❞✐❢② t❤❡ ❝♦rr❡❧❛t✐♦♥s ❜❡t✇❡❡♥ ✐ts s✉❜s②st❡♠s✳
❚♦ ❞♦ t❤✐s✱ ✇❡ ✇✐❧❧ ❝♦♥s✐❞❡r ✐♥ ♦✉r ❞✐s❝✉ss✐♦♥ ♦❢ ▼❛r❦♦✈✐❛♥ q✉❛♥t✉♠ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥ts ✐♥
❈❤✳ ✼✱ ❛♥ ❛❞❞✐t✐♦♥❛❧ st❡♣ t♦ t❤❡ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥t ♣r♦❝❡ss ❜② ✐♥tr♦❞✉❝✐♥❣ ❛ ♠❛❝r♦s❝♦♣✐❝ ❞❡t❡❝t♦r

D1 t❤❛t ✐s ✉s❡❞ t♦ ♠❡❛s✉r❡ t❤❡ q✉❛♥t✉♠ ❛♥❝✐❧❧❛ A1 ✳ ■♥ ♦t❤❡r ✇♦r❞s✱ D1 ♦❜s❡r✈❡s t❤❡ q✉❛♥t✉♠
♦❜s❡r✈❡r A1 ✳ ❚❤✐s s❡❝♦♥❞ s②st❡♠✱ ✇❤✐❝❤ ✐s ❛❧s♦ ❝♦♠♣♦s❡❞ ♦❢ ♠❛♥② q✉❞✐ts✱ ❛♠♣❧✐✜❡s t❤❡
♠❡❛s✉r❡♠❡♥t ✇✐t❤ A1 ✱ ❜② r❡❝♦r❞✐♥❣ t❤❡ ♦✉t❝♦♠❡ ♦♥ ❛ ♠❛❝r♦s❝♦♣✐❝ ❞❡✈✐❝❡✳ ❲❤✐❧❡ A1 ♠❛②
❜❡ ❢r❛❣✐❧❡ ❞❡♣❡♥❞✐♥❣ ♦♥ t❤❡ s✐t✉❛t✐♦♥✱ D1 ✐s r♦❜✉st✿ ❛♥② ♣❛rt ♦❢ D1 ❝♦✉❧❞ ❜❡ tr❛❝❡❞ ♦✈❡r
✇✐t❤♦✉t ❛❧t❡r✐♥❣ ✐ts ❝♦rr❡❧❛t✐♦♥s ✇✐t❤ ♦t❤❡r ♠❛❝r♦s❝♦♣✐❝ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥t ❞❡✈✐❝❡s✳ ❲❤✐❧❡ s✉❝❤ ❛
♣r♦❝❡❞✉r❡ ✭❛ q✉❛♥t✉♠ s②st❡♠ ♦❜s❡r✈❡❞ ❜② ❛ q✉❛♥t✉♠ ❛♥❝✐❧❧❛✱ ✇❤✐❝❤ ✐s ♦❜s❡r✈❡❞ ❜② ❛ ❝❧❛ss✐❝❛❧
❞❡✈✐❝❡✮ ♠❛② ❛♣♣❡❛r ❛r❜✐tr❛r②✱ ✐t r❡♣r❡s❡♥ts ❛ ❝♦♥✈❡♥✐❡♥t ✇❛② ♦❢ s♣❧✐tt✐♥❣ ✉♣ t❤❡ s❡❝♦♥❞
st❛❣❡ ♦❢ ✈♦♥ ◆❡✉♠❛♥♥✬s ♠❡❛s✉r❡♠❡♥t ❬✷✷❪ t♦ ❜❡tt❡r ❦❡❡♣ tr❛❝❦ ♦❢ t❤❡ ❢❛t❡ ♦❢ ❡♥t❛♥❣❧❡♠❡♥t✳
❚❤✐s ❣✐✈❡s r✐s❡ t♦ t✇♦ ❝❧❛ss❡s ♦❢ q✉❛♥t✉♠ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥t✿ t❤♦s❡ ♣❡r❢♦r♠❡❞ ✇✐t❤✐♥ ❛ ❝❧♦s❡❞
s②st❡♠ ✇❤❡r❡ ❡✈❡r② ♣❛rt ♦❢ t❤❡ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥t ❞❡✈✐❝❡ r❡♠❛✐♥s ✉♥❞❡r ❝♦♥tr♦❧ ✭✉♥❛♠♣❧✐✜❡❞
♠❡❛s✉r❡♠❡♥ts✮✱ ❛♥❞ t❤♦s❡ ♣❡r❢♦r♠❡❞ ✇✐t❤✐♥ ❛♥ ♦♣❡♥ s②st❡♠✱ ✇❤❡r❡ s♦♠❡ ❞❡❣r❡❡s ♦❢ ❢r❡❡❞♦♠
❛r❡ tr❛❝❡❞ ♦✈❡r ✭❛♠♣❧✐✜❡❞ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥ts✮✳ ■♥ ❢❛❝t✱ ❛ s✐♠✐❧❛r ❝♦♥str✉❝t✐♦♥ ✐s ✉s❡❞ ✐♥ t❤❡
✇❡❛❦ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥t ❢♦r♠❛❧✐s♠ ❞✐s❝✉ss❡❞ ❡❛r❧✐❡r ✐♥ t❤✐s ❝❤❛♣t❡r ✭❛ q✉❛♥t✉♠ s②st❡♠ ✐s ✇❡❛❦❧②
❝♦✉♣❧❡❞ t♦ ❛ ♣♦✐♥t❡r ✈❛r✐❛❜❧❡✱ ❢♦❧❧♦✇❡❞ ❜② ❛ str♦♥❣ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥t ♦❢ t❤❡ ♣♦✐♥t❡r✮ ❛s ✇❡❧❧ ❛s ✐♥
♦t❤❡r ♠❡❛s✉r❡♠❡♥t s❡tt✐♥❣s ✭❡✳❣✳✱ s✉♣❡r❝♦♥❞✉❝t✐♥❣ q✉❜✐ts ❝❛♥ ❜❡ ♠❡❛s✉r❡❞ ❜② ✜rst ❝♦✉♣❧✐♥❣
t♦ ❛♥♦t❤❡r s✉♣❡r❝♦♥❞✉❝t✐♥❣ q✉❜✐t✱ t❤❡ ❛♥❝✐❧❧❛✱ ✇❤♦s❡ st❛t❡ ✐s ❧❛t❡r ♠❡❛s✉r❡❞ ❛♥❞ r❡❛❞ ♦✉t✮✳
■♥ ❈❤✳ ✼✱ ■ ✇✐❧❧ ❢♦r♠❛❧❧② ❞❡✜♥❡ t❤❡ ❝♦♥❝❡♣t ♦❢ ❛ q✉❛♥t✉♠ ▼❛r❦♦✈ ❝❤❛✐♥ t❤❛t ✐s ✉s❡❞
✾✾

Q1

A1

Q2

A2

❋✐❣✉r❡ ✺✳✹✿ ■❧❧✉str❛t✐♦♥ ♦❢ ♣❛r❛❧❧❡❧ q✉❛♥t✉♠ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥ts✳ ❚✇♦ ❞✐✛❡r❡♥t ♠❡❛s✉r❡♠❡♥t
❞❡✈✐❝❡s✱ A1 ❛♥❞ A2 ✱ ❛r❡ ✉s❡❞ t♦ s❡♣❛r❛t❡❧② ♠❡❛s✉r❡ t❤❡ ❝♦♠♣♦♥❡♥ts✱ Q1 ❛♥❞ Q2 ✱ ♦❢ ❛♥
❡♥t❛♥❣❧❡❞ q✉❛♥t✉♠ s②st❡♠✳
✐♥ t❤✐s ✇♦r❦✱ ✐♥ t❤❡ ❝♦♥t❡①t ♦❢ ❝♦♥s❡❝✉t✐✈❡ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥ts ♦❢ ❛ q✉❛♥t✉♠ s②st❡♠✳

■ ❛❧s♦

❢✉rt❤❡r ❞❡✈❡❧♦♣ t❤❡ ❢♦r♠❛❧✐s♠ t♦ ❞❡s❝r✐❜❡ ✉♥❛♠♣❧✐✜❡❞ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥ts ✇✐t❤ q✉❛♥t✉♠ ❛♥❝✐❧❧❛❡✱

Ai ✱ ✇❤✐❝❤ ■ ✇✐❧❧ s❤♦✇ ❛r❡ ♥♦♥✲▼❛r❦♦✈✐❛♥✱ ❛♥❞ ❛♠♣❧✐✜❡❞ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥ts ✇✐t❤ ♠❛❝r♦s❝♦♣✐❝
❞❡t❡❝t♦rs✱ Di ✱ ✇❤✐❝❤ ❛r❡ ▼❛r❦♦✈✐❛♥✳

✺✳✸✳✹ P❛r❛❧❧❡❧ ◗✉❛♥t✉♠ ▼❡❛s✉r❡♠❡♥ts
■♥ t❤❡ ♣r❡✈✐♦✉s s❡❝t✐♦♥✱ ✇❡ s❛✇ ❤♦✇ t♦ ♣❡r❢♦r♠ ❛ s✐♥❣❧❡ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥t ♦❢ ❛ q✉❛♥t✉♠ s②st❡♠✳
❲❡ ❝❛♥ ❡①t❡♥❞ t❤✐s ❞❡s❝r✐♣t✐♦♥ ❜② ❝♦♥s✐❞❡r✐♥❣ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥ts ♠❛❞❡ ✐♥ ♣❛r❛❧❧❡❧ ♦♥ ❝♦♠♣♦s✲
✐t❡ s②st❡♠s ✭s❡❡ ❋✐❣✳ ✺✳✹✮✳ ❆ ❝♦♠♠♦♥ r❡❛❧✐③❛t✐♦♥ ♦❢ t❤✐s ✐❞❡❛ ✐s t❤❡ s❡t ♦❢ ✭✐♥✮❝♦♠♣❛t✐❜❧❡
♠❡❛s✉r❡♠❡♥ts ♠❛❞❡ ♦♥ ❇❡❧❧ st❛t❡s t♦ t❡st ❢♦r ✈✐♦❧❛t✐♦♥s ♦❢ ❇❡❧❧ ✐♥❡q✉❛❧✐t✐❡s ❬✶✹✻✱ ✶✹✼❪✳ ■
✇✐❧❧ ❞❡s❝r✐❜❡ t❤❡s❡ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥ts ✐♥ s♦♠❡ ❞❡t❛✐❧ ❜❡❧♦✇ s✐♥❝❡ t❤❡ r❡s✉❧ts ✇✐❧❧ ❜❡ ❤❡❧♣❢✉❧ ❢♦r
✉♥❞❡rst❛♥❞✐♥❣ t❤❡ ❝❛❧❝✉❧❛t✐♦♥s ✐♥ ❈❤✳ ✻ ♦♥ t❤❡ ❇❡❧❧✲st❛t❡ q✉❛♥t✉♠ ❡r❛s❡r✳
❈♦♥s✐❞❡r t❤❡ ❇❡❧❧ st❛t❡ ❢♦r t✇♦ q✉❜✐ts Q1 ❛♥❞ Q2 ✱ ✇r✐tt❡♥ ✐♥ t❤❡ ❡✐❣❡♥❜❛s✐s |0 ❛♥❞ |1
♦❢ t❤❡ ♦♣❡r❛t♦r σz ✱

1
1
|ii = √ |00 + |11 .
|Q1 Q2 = √
2 i
2

✭✺✳✽✹✮

❚♦ ♣❡r❢♦r♠ ❛ ♣❛r❛❧❧❡❧ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥t ♦❢ t❤✐s ❝♦♠♣♦s✐t❡ s②st❡♠✱ ❝♦♥s✐❞❡r ❛ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥t ♦❢ Q1
✶✵✵

✉s✐♥❣ ❞❡✈✐❝❡ A1 ❛♥❞ ♦❢ Q2 ✉s✐♥❣ A2 ✳ ❍❡r❡✱ t❤❡ ✜rst ♠❡❛s✉r❡♠❡♥t ✐s ♦❢ t❤❡ s♣✐♥ ❝♦♠♣♦♥❡♥t
❛❧♦♥❣ t❤❡ n
ˆ 1 ❞✐r❡❝t✐♦♥ ✇❤❡r❡ n
ˆ 1 · zˆ = cos θ1 ✱ ✇❤✐❧❡ t❤❡ ♦t❤❡r ♠❡❛s✉r❡♠❡♥t ✐s ♦❢ t❤❡ s♣✐♥
❝♦♠♣♦♥❡♥t ❛❧♦♥❣ t❤❡ n
ˆ 2 ❞✐r❡❝t✐♦♥ ✇❤❡r❡ n
ˆ 2 · zˆ = cos θ2 ✳ ❙✐♥❝❡ t❤❡s❡ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥ts ❛r❡ ♠❛❞❡
♦♥ s❡♣❛r❛t❡ ❝♦♠♣♦♥❡♥ts ♦❢ t❤❡ ❡♥t❛♥❣❧❡❞ s②st❡♠✱ t❤❡ t✐♠❡ ♦r❞❡r✐♥❣ ❤❛s ♥♦ ❡✛❡❝t ♦♥ t❤❡
s✉❜s❡q✉❡♥t ❝❛❧❝✉❧❛t✐♦♥s✳
❊♥t❛♥❣❧✐♥❣ t❤❡ ❛♥❝✐❧❧❛❡ ✇✐t❤ t❤❡ q✉❛♥t✉♠ s②st❡♠✱ t❤❡ st❛t❡ ✭✺✳✽✹✮ ❜❡❝♦♠❡s

1
Uij Vik |jk jk .
|Q1 Q2 A1 A2 = √
2 ijk

✭✺✳✽✺✮

■❢ ✇❡ r❡str✐❝t t❤❡ q✉❜✐t st❛t❡s t♦ t❤❡ xz ♣❧❛♥❡ ♦❢ t❤❡ ❇❧♦❝❤ s♣❤❡r❡✱ t❤❡♥ ✇❡ ❝❛♥ ✇r✐t❡ t❤❡
tr❛♥s❢♦r♠❛t✐♦♥ ❜❡t✇❡❡♥ t❤❡ ❜❛s✐s ♦❢ σz ❛♥❞ σ · n
ˆ 1 ❛s t❤❡ r♦t❛t✐♦♥ ♠❛tr✐① U ✱

U=

cos(θ1 ) −sin(θ1 )
sin(θ1 )
cos(θ1 )

✭✺✳✽✻✮

,

❛♥❞ s✐♠✐❧❛r❧② ❢♦r σ · n
ˆ 2 ✳ ❚r❛❝✐♥❣ ♦✈❡r t❤❡ ❝♦♠♣♦s✐t❡ q✉❛♥t✉♠ s②st❡♠✱ t❤❡ ❞❡♥s✐t② ♠❛tr✐① ♦❢
t❤❡ ❛♥❝✐❧❧❛❡ ✐s

ρ(A1 A2 ) =

1
2

Uij Ui∗ j Vik Vi∗k |jk jk| =
ii jk

1
2

Uij Vik

2

|jk jk|.

✭✺✳✽✼✮

i

jk

❚❤❡ ♣r♦❜❛❜✐❧✐t② t♦ ♦❜s❡r✈❡ ♦✉t❝♦♠❡ j ✐♥ ❞❡✈✐❝❡ A1 t♦❣❡t❤❡r ✇✐t❤ ♦✉t❝♦♠❡ k ✐♥ ❞❡✈✐❝❡ A2 ✐s
t❤❡ ❝♦❤❡r❡♥t ❞✐str✐❜✉t✐♦♥✱

pjk =

1
2

2

Uij Vik ,

✭✺✳✽✽✮

i

✇❤✐❧❡ t❤❡ ♠❛r❣✐♥❛❧ ♣r♦❜❛❜✐❧✐t✐❡s ♦❢ A1 ❛♥❞ A2 ❛r❡ ♣❡r❢❡❝t❧② r❛♥❞♦♠ ✭❜♦t❤ ❡q✉❛❧ t♦ 1/2✮✳
❚❤✉s✱ t❤❡ ❝♦♥❞✐t✐♦♥❛❧ ♣r♦❜❛❜✐❧✐t② t♦ ♦❜s❡r✈❡ ♦✉t❝♦♠❡ j ✇✐t❤ A1 ✱ ❣✐✈❡♥ t❤❛t ♦✉t❝♦♠❡ k ✇❛s

✶✵✶

♦❜t❛✐♥❡❞ ✇✐t❤ A2 ✭❛♥❞ ✈✐❝❡ ✈❡rs❛✮✱ ✐s
2

Uij Vik .

pj|k = pk|j =

✭✺✳✽✾✮

i

❚❤❡ ❡✛❡❝ts ♦❢ t❤❡ ❡♥t❛♥❣❧❡♠❡♥t ❜❡t✇❡❡♥ s②st❡♠s Q1 ❛♥❞ Q2 ❝❛♥ ❜❡ ✉♥❞❡rst♦♦❞ t❤r♦✉❣❤
t❤❡ ❝♦rr❡❧❛t✐♦♥ ❜❡t✇❡❡♥ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥t ♦✉t❝♦♠❡s✳ ❋✐rst✱ ❝♦♥s✐❞❡r ❝♦♠♣❛t✐❜❧❡ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥ts
✐♥ ✇❤✐❝❤ ❜♦t❤ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥ts ❛r❡ ♦❢ σz s♦ t❤❛t θ1 = θ2 = 0✳ ■♥ t❤✐s ❝❛s❡✱ t❤❡ ❢✉❧❧ ✇❛✈❡
❢✉♥❝t✐♦♥ ✭✺✳✽✺✮ ❜❡❝♦♠❡s ❛ ❢♦✉r✲♣❛rt✐❝❧❡ ●❍❩ st❛t❡ ❬r❡❝❛❧❧ ❊q✳ ✭✷✳✷✹✮❪✱

A1 [σz ], A2 [σz ] :

1
1
|iiii = √ |0000 + |1111 .
|Q1 Q2 A1 A2 = √
2 i
2

✭✺✳✾✵✮

❚❤❡ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥t ♦✉t❝♦♠❡s ❛r❡ ❞❡s❝r✐❜❡❞ ❜② t❤❡ ❥♦✐♥t ♣r♦❜❛❜✐❧✐t②

pjk =

1
δ ,
2 jk

✭✺✳✾✶✮

✇❤✐❝❤ ②✐❡❧❞s t❤❡ ❝♦♥❞✐t✐♦♥❛❧ ♣r♦❜❛❜✐❧✐t✐❡s✱

pj|k = pk|j = δjk .

✭✺✳✾✷✮

❲❡ s❡❡ t❤❛t t❤❡ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥t ♦✉t❝♦♠❡s ❛r❡ ♣❡r❢❡❝t❧② ❝♦rr❡❧❛t❡❞✱ s♦ t❤❛t ✇❤✐❝❤❡✈❡r ♦❢ t❤❡
t✇♦ st❛t❡s ✇❡ ♦❜s❡r✈❡✱ ✇❡ ❦♥♦✇ t❤❛t t❤❡ ❝♦rr❡s♣♦♥❞✐♥❣ ♦✉t❝♦♠❡ ❢♦r t❤❡ ♦t❤❡r s②st❡♠ ♠✉st
❜❡ t❤❡ s❛♠❡✳
❚❤✐s ♣❡r❢❡❝t ❝♦rr❡❧❛t✐♦♥ ♦❢ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥t ♦✉t❝♦♠❡s ❞♦❡s ♥♦t ✐♠♣❧② ❢❛st❡r✲t❤❛♥✲❧✐❣❤t s✐❣✲
♥❛❧✐♥❣✳ ■♥❞❡❡❞✱ t❤❡ ❝❤♦✐❝❡ ♦❢ ❜❛s✐s ❛♥❞ t❤❡ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥t ♦✉t❝♦♠❡ ❢♦r A1 ✇♦✉❧❞ ❤❛✈❡ t♦
❜❡ s❡♥t ❛❧♦♥❣ ❛ ❝❛✉s❛❧ ❝❧❛ss✐❝❛❧ ❝♦♠♠✉♥✐❝❛t✐♦♥ ❝❤❛♥♥❡❧ t♦ A2 ✱ ✇❤❡r❡ ❜♦t❤ r❡s✉❧ts ❝❛♥ ❜❡
❝♦♠♣❛r❡❞ ❬✸✼✱✶✹✽❪✳ ■t ✐s str❛✐❣❤t❢♦r✇❛r❞ t♦ s❤♦✇ t❤❛t ❢♦r ❛♥② s❡t ♦❢ ♣❛r❛❧❧❡❧ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥ts ♦❢
t❤❡ s❛♠❡ ♦❜s❡r✈❛❜❧❡✱ t❤❡ ♦✉t❝♦♠❡s ✇✐❧❧ ❜❡ ♣❡r❢❡❝t❧② ❝♦rr❡❧❛t❡❞✳ ❚❤❛t ✐s✱ ❞✉❡ t♦ t❤❡ ❙❝❤♠✐❞t
✶✵✷

❞❡❝♦♠♣♦s✐t✐♦♥✱ t❤❡ ❞❡❣r❡❡ ♦❢ ❡♥t❛♥❣❧❡♠❡♥t ✐s ✐♥✈❛r✐❛♥t ✉♥❞❡r ❛ ❝❤❛♥❣❡ ♦❢ ❜❛s✐s s♦ t❤❛t t❤❡
♠❡❛s✉r❡♠❡♥t ♦✉t❝♦♠❡s ✇✐❧❧ ❛❧✇❛②s ❜❡ ❝♦rr❡❧❛t❡❞ ✐♥ t❤❡ s❛♠❡ ✇❛②✳
❋♦r t❤❡ s❡❝♦♥❞ ❡①❛♠♣❧❡✱ ✇❡ ❝♦♥s✐❞❡r ✐♥❝♦♠♣❛t✐❜❧❡ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥ts ✇❤❡r❡ ✇❡ ♠❡❛s✉r❡ σz
✉s✐♥❣ A1 ❛♥❞ σx ✉s✐♥❣ A2 ✳ ❙✉❝❤ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥ts ❛r❡ ✐♥❝♦♠♣❛t✐❜❧❡ ✐♥ t❤❡ s❡♥s❡ t❤❛t t❤❡
♦❜s❡r✈❛❜❧❡s ❞♦ ♥♦t ❝♦♠♠✉t❡✱ [σi , σj ] = 2i ijk σk ✳ ■♥ t❤✐s ❝❛s❡✱ t❤❡ ✇❛✈❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ ✭✺✳✽✺✮ ✐s

1
1
A1 [σz ], A2 [σx ] : |Q1 Q2 A1 A2 = √
Uik |ikik =
|0000 − |0101 + |1010 + |1111 .
2
2 ik
✭✺✳✾✸✮
❚❤❡ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥t ♦✉t❝♦♠❡s ❛r❡ ♥♦✇ ❞❡s❝r✐❜❡❞ ❜② t❤❡ ❥♦✐♥t ❞✐str✐❜✉t✐♦♥

1
pjk = ,
4

✭✺✳✾✹✮

1
pj|k = pk|j = .
2

✭✺✳✾✺✮

❛♥❞ ❝♦♥❞✐t✐♦♥❛❧ ♣r♦❜❛❜✐❧✐t✐❡s

■♥ ♦t❤❡r ✇♦r❞s✱ t❤❡ ♦✉t❝♦♠❡s ❛r❡ ❝♦♠♣❧❡t❡❧② ✉♥❝♦rr❡❧❛t❡❞ ❛♥❞ r❛♥❞♦♠✳ ■❢ t❤❡ st❛t❡ j ✐s
♦❜s❡r✈❡❞ ✇✐t❤ A1 ✱ t❤❡♥ t❤✐s ❤❛s ♥♦ ❝♦rr❡❧❛t✐♦♥ t♦ t❤❡ st❛t❡ k ♦❜s❡r✈❡❞ ✇✐t❤ A2 ✳
❯s✐♥❣ ❡♥tr♦♣② ❱❡♥♥ ❞✐❛❣r❛♠s✱ ✇❡ ❝❛♥ ❡①❛♠✐♥❡ ❤♦✇ t❤❡ ❡♥t❛♥❣❧❡♠❡♥t ✐s ❞✐str✐❜✉t❡❞ ❢♦r
❞✐✛❡r❡♥t s❡ts ♦❢ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥ts✳ ❚❤❡ ❞✐❛❣r❛♠s ❢♦r t❤r❡❡ ❞✐✛❡r❡♥t ♠❡❛s✉r❡♠❡♥ts ❛r❡ s❤♦✇♥
✐♥ ❋✐❣✳ ✺✳✺✳ ■♥ ❛❧❧ t❤r❡❡ s❝❡♥❛r✐♦s✱ t❤❡ ❝❡♥t❡r ♦❢ t❤❡ ❞✐❛❣r❛♠✱ t❤❡ t❡r♥❛r② ♠✉t✉❛❧ ❡♥tr♦♣②✱
✈❛♥✐s❤❡s ❜❡❝❛✉s❡ t❤❡ ✉♥❞❡r❧②✐♥❣ st❛t❡ ✭✺✳✽✺✮ ✐s ♣✉r❡✳ ❚❤❡ ♥❡❣❛t✐✈❡ ❝♦♥❞✐t✐♦♥❛❧ ❡♥tr♦♣✐❡s ❛r❡
✐♥❞✐❝❛t✐✈❡ ♦❢ t❤❡ ❡♥t❛♥❣❧❡♠❡♥t ❜❡t✇❡❡♥ t❤❡ s✉❜s②st❡♠s✳ ❆s ✇❡ ❛❧r❡❛❞② s❛✇✱ tr❛❝✐♥❣ ♦✈❡r Q1
❛♥❞ Q2 ❛❧✇❛②s ❧❡❛✈❡s t❤❡ ❛♥❝✐❧❧❛ ❝♦rr❡❧❛t❡❞✳ ■♥t❡r❡st✐♥❣❧②✱ ✇❤❡♥ ♠❛❦✐♥❣ ✐♥❝♦♠♣❛t✐❜❧❡ ♠❡❛✲
s✉r❡♠❡♥ts✱ t❤❡ ❛♥❝✐❧❧❛❡ ❛r❡ ✉♥❝♦rr❡❧❛t❡❞ ✇✐t❤ ❡❛❝❤ ♦t❤❡r✱ ❜✉t ❛r❡ ❡✈❡♥ ♠♦r❡ str♦♥❣❧② ❡♥t❛♥✲
❣❧❡❞ ✇✐t❤ t❤❡ q✉❛♥t✉♠ s②st❡♠s ❛s ❝♦♠♣❛r❡❞ t♦ t❤❡ ❝❛s❡ ♦❢ ❝♦♠♣❛t✐❜❧❡ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥ts ❬✺✾✱✼✷❪✳
✶✵✸

A1 [σz ]

A2 [σz ]

A1 [σz ]

A2 [σx ]

A1 [σx ]

A2 [σx ]

−1 1 −1
0
1
1

−1 0 −1
0
2
2

−1 1 −1
0
1
1

−1

−2

−1

Q1 Q2

Q1 Q2

Q1 Q2

✭❛✮

✭❜✮

A1 [σz ]

A2 [σz ]

0

1

0

✭❞✮ P❡r❢❡❝t ❝♦rr❡❧❛t✐♦♥

✭❝✮

A1 [σz ]

A2 [σx ]

1

0

✭❡✮ ◆♦ ❝♦rr❡❧❛t✐♦♥

1

A1 [σx ]

A2 [σx ]

0

1

0

✭❢ ✮ P❡r❢❡❝t ❝♦rr❡❧❛t✐♦♥

❋✐❣✉r❡ ✺✳✺✿ ❊♥tr♦♣② ❞✐❛❣r❛♠s ❢♦r t❤r❡❡ ❞✐✛❡r❡♥t ♣❛r❛❧❧❡❧ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥ts ♦❢ ❛ ❇❡❧❧ st❛t❡✳ ❲❤❡♥
✐♥❝♦♠♣❛t✐❜❧❡ s♣✐♥s ✭♠✐❞❞❧❡✮ ❛r❡ ♠❡❛s✉r❡❞✱ t❤❡ ❛♥❝✐❧❧❛❡ ❛r❡ ✉♥❝♦rr❡❧❛t❡❞✳ ❚❤❡ ❛♥❝✐❧❧❛❡ ❛r❡
❢✉❧❧② ❝♦rr❡❧❛t❡❞ ❢♦r ❝♦♠♣❛t✐❜❧❡ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥ts ✭❧❡❢t ❛♥❞ r✐❣❤t✮✳

✺✳✹ ❈♦♥❝❧✉s✐♦♥s
❆s ♣❛rt ♦❢ ❈❤s✳ ✷✲✹✱ ■ ✐♥tr♦❞✉❝❡❞ t❤❡ ♠❛✐♥ ✐❞❡❛s ✉♥❞❡r❧②✐♥❣ q✉❛♥t✉♠ ❝♦rr❡❧❛t✐♦♥s✱ q✉❛♥t✉♠
✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥ t❤❡♦r②✱ ❛♥❞ q✉❛♥t✉♠ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥t✳ ❍❡r❡✱ ✐♥ t❤✐s ❝❤❛♣t❡r✱ ■ ❞❡s❝r✐❜❡❞ t❤❡ ❜❛s✐❝
♠♦❞❡❧ ♦❢ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥t t❤❛t ✐s ✉s❡❞ ✐♥ t❤✐s ✇♦r❦✳ ❙t❛rt✐♥❣ ✇✐t❤ ❛♥ ❡①♣❛♥❞❡❞ ♠♦❞❡❧ ♦❢ ✇❡❛❦
♠❡❛s✉r❡♠❡♥ts✱ ■ s❤♦✇❡❞ ❤♦✇ t❤❡ ❢♦r♠❛❧✐s♠ ❝❛♥ ❡q✉❛❧❧② ✇❡❧❧ ❞❡s❝r✐❜❡ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥ts ♦❢ ❛r❜✐✲
tr❛r② ✐♥t❡r❛❝t✐♦♥ str❡♥❣t❤s ❛♥❞ ❞❡r✐✈❡❞ ❣❡♥❡r❛❧✐③❡❞ r❡s✉❧ts ❢♦r t❤❡ ✇❡❛❦ ✈❛❧✉❡s ❝♦rr❡s♣♦♥❞✐♥❣
t♦ s♣✐♥ ❛♥❞ ♣♦s✐t✐♦♥ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥ts✳ ■ ❞✐s❝✉ss❡❞ str♦♥❣ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥ts ❢r♦♠ t❤❡ ♣❡rs♣❡❝t✐✈❡ ♦❢
q✉❛♥t✉♠ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥ t❤❡♦r②✱ ✉s✐♥❣ ❡♥tr♦♣② ❱❡♥♥ ❞✐❛❣r❛♠s t♦ tr❛❝❦ ❤♦✇ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥ ✐s ♣r♦✲
❝❡ss❡❞ ✐♥ ❛ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥t✳ ■ ❢♦❝✉s❡❞ ♦♥ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥ts ♦❢ ❛ s✐♥❣❧❡ q✉❛♥t✉♠ st❛t❡ ❛♥❞ ♣❛r❛❧❧❡❧
♠❡❛s✉r❡♠❡♥ts ♦❢ ❛♥ ❡♥t❛♥❣❧❡❞ s②st❡♠✳ ■ ✇✐❧❧ ❡①♣❛♥❞ ✉♣♦♥ t❤✐s ❢♦✉♥❞❛t✐♦♥ ✐♥ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣
❝❤❛♣t❡rs ✐♥ t❤❡ ❝♦♥t❡①t ♦❢ ♣❛r❛❧❧❡❧ ❛♥❞ ❝♦♥s❡❝✉t✐✈❡ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥ts✳ ■♥ t❤❡ ✜♥❛❧ ❝❤❛♣t❡r✱ t❤❡s❡
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✶✵✹

❈❤❛♣t❡r ✻
P❛r❛❧❧❡❧ ◗✉❛♥t✉♠ ▼❡❛s✉r❡♠❡♥ts
✻✳✶ ■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥
P❛r❛❧❧❡❧ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥ts ♦❢ ❛ ❝♦♠♣♦s✐t❡ q✉❛♥t✉♠ s②st❡♠ ❛♣♣❡❛r ✐♥ ♠❛♥② ♠❡❛s✉r❡♠❡♥t s❝❤❡♠❡s
s✉❝❤ ❛s✱ ❢♦r ❡①❛♠♣❧❡✱ ✐♥ ❇❡❧❧ ✐♥❡q✉❛❧✐t② ✈✐♦❧❛t✐♦♥s ❬✶✹✻✱ ✶✹✼❪ ❛♥❞ t❤❡ q✉❛♥t✉♠ ❡r❛s❡r ❬✶✹✾❪✳
■♥ t❤✐s ❝❤❛♣t❡r✱ ■ ✇✐❧❧ ❛♣♣❧② t❤❡ ♣❛r❛❧❧❡❧ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥t ❢♦r♠❛❧✐s♠ t♦ t❤❡ ❇❡❧❧✲st❛t❡ q✉❛♥t✉♠
❡r❛s❡r ❡①♣❡r✐♠❡♥t✱ ✇❤❡r❡ ♦♥❡ ♣❛rt ♦❢ ❛♥ ❡♥t❛♥❣❧❡❞ ♣❛✐r ♦❢ ♣❤♦t♦♥s ✐s s❡♥t t❤r♦✉❣❤ ❛ ❞♦✉❜❧❡✲
s❧✐t ❛♣♣❛r❛t✉s✳ ■ ✇✐❧❧ s❤♦✇ t❤❛t ❛ ❢✉❧❧ q✉❛♥t✉♠ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥✲t❤❡♦r❡t✐❝ ❛♥❛❧②s✐s ❝❛♥ ❜❡ ✉s❡❞ t♦
❞❡r✐✈❡ t❤❡ ❝♦♠♣❧❡♠❡♥t❛r✐t② r❡❧❛t✐♦♥ t❤❛t ✐s ❢✉♥❞❛♠❡♥t❛❧ t♦ t❤✐s s②st❡♠✳ ❚❤❛t ✐s✱ ■ ✇✐❧❧ ❝♦♥✲
str✉❝t t❤❡ tr❛❞❡✲♦✛ ❜❡t✇❡❡♥ t❤❡ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥ ❡①tr❛❝t❡❞ ❛❜♦✉t t❤❡ ♣❤♦t♦♥✬s ♣❛t❤ t❤r♦✉❣❤ t❤❡
s❧✐ts ✭❝♦♥✈❡♥t✐♦♥❛❧❧② t❡r♠❡❞ t❤❡ ✏✇❤✐❝❤✲♣❛t❤✑ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥✮ ❛♥❞ t❤❡ ❝♦❤❡r❡♥❝❡ ♦❢ ✐ts ❞❡♥s✐t②
♠❛tr✐①✳
◗✉❛♥t✉♠ s②st❡♠s ❝❛♥ ❞✐s♣❧❛② ♣❛rt✐❝❧❡✲ ♦r ✇❛✈❡✲❧✐❦❡ ♣r♦♣❡rt✐❡s✱ ❞❡♣❡♥❞✐♥❣ ♦♥ t❤❡ t②♣❡ ♦❢
♠❡❛s✉r❡♠❡♥t t❤❛t ✐s ♣❡r❢♦r♠❡❞ ♦♥ t❤❡♠✳ ❚❤❡ ❇❡❧❧✲st❛t❡ q✉❛♥t✉♠ ❡r❛s❡r ✐s ❛♥ ❡①♣❡r✐♠❡♥t
t❤❛t ❜r✐♥❣s t❤❡ ❞✉❛❧✐t② t♦ t❤❡ ❢♦r❡❢r♦♥t✱ ❛s ❛ s✐♥❣❧❡ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥t ❝❛♥ r❡tr♦❛❝t✐✈❡❧② ❜❡ ♠❛❞❡
t♦ ♠❡❛s✉r❡ ♣❛rt✐❝❧❡✲❧✐❦❡ ♦r ✇❛✈❡✲❧✐❦❡ ♣r♦♣❡rt✐❡s ✭♦r ❛♥②t❤✐♥❣ ✐♥ ❜❡t✇❡❡♥✮✳ ❍❡r❡ ✇❡ ❞❡✈❡❧♦♣ ❛
✉♥✐t❛r② ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥✲t❤❡♦r❡t✐❝ ❞❡s❝r✐♣t✐♦♥ ♦❢ t❤✐s q✉❛♥t✉♠ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥t s✐t✉❛t✐♦♥s t❤❛t s❤❡❞s
❧✐❣❤t ♦♥ t❤❡ tr❛❞❡✲♦✛ ❜❡t✇❡❡♥ t❤❡ q✉❛♥t✉♠ ❛♥❞ ❝❧❛ss✐❝❛❧ ❢❡❛t✉r❡s ♦❢ t❤❡ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥t✳ ■♥
♣❛rt✐❝✉❧❛r✱ ✇❡ s❤♦✇ t❤❛t ❜♦t❤ t❤❡ ❝♦❤❡r❡♥❝❡ ♦❢ t❤❡ q✉❛♥t✉♠ st❛t❡ ❛♥❞ t❤❡ ❝❧❛ss✐❝❛❧ ✐♥❢♦r✲

✶✵✺

♠❛t✐♦♥ ♦❜t❛✐♥❡❞ ❢r♦♠ ✐t ❝❛♥ ❜❡ ❞❡s❝r✐❜❡❞ ✉s✐♥❣ q✉❛♥t✉♠✲✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥✲t❤❡♦r❡t✐❝ t♦♦❧s ♦♥❧②✱
❛♥❞ t❤❛t t❤♦s❡ t✇♦ ♠❡❛s✉r❡s s❛t✐s❢② ❛♥ ❡q✉❛❧✐t② ♦♥ ❛❝❝♦✉♥t ♦❢ t❤❡ ❝❤❛✐♥ r✉❧❡ ❢♦r ❡♥tr♦♣✐❡s✳
❚❤❡ ❝♦❤❡r❡♥❝❡ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥ ❛♥❞ t❤❡ ✇❤✐❝❤✲♣❛t❤ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥ ❤❛✈❡ s✐♠♣❧❡ ✐♥t❡r♣r❡t❛t✐♦♥s ✐♥
t❡r♠s ♦❢ st❛t❡ ♣r❡♣❛r❛t✐♦♥ ❛♥❞ st❛t❡ ❞❡t❡r♠✐♥❛t✐♦♥✱ ❛♥❞ s✉❣❣❡st ✇❛②s t♦ ❛❝❝♦✉♥t ❢♦r t❤❡
r❡❧❛t✐♦♥s❤✐♣ ❜❡t✇❡❡♥ t❤❡ ❝❧❛ss✐❝❛❧ ❛♥❞ t❤❡ q✉❛♥t✉♠ ✇♦r❧❞✳
❲❛✈❡✲♣❛rt✐❝❧❡ ❞✉❛❧✐t② ✐s ❛♥ ✐❝♦♥✐❝ ❢❡❛t✉r❡ ♦❢ q✉❛♥t✉♠ ♠❡❝❤❛♥✐❝s✱ ♦♥❡ ♥♦t s❤❛r❡❞ ❜②
❝❧❛ss✐❝❛❧ s②st❡♠s ✐♥ ✇❤✐❝❤ ❛♥ ♦❜❥❡❝t ❝❛♥♥♦t s✐♠✉❧t❛♥❡♦✉s❧② ❤❛✈❡ ❛ ✇❛✈❡ ❛♥❞ ♣❛rt✐❝❧❡ ♥❛t✉r❡✳
❯♥r❛✈❡❧✐♥❣ t❤❡ ♠②st❡r✐❡s ❜❡❤✐♥❞ ✇❛✈❡✲♣❛rt✐❝❧❡ ❞✉❛❧✐t② ❤❛s ♦❝❝✉♣✐❡❞ t❤❡ ❜❡tt❡r ♣❛rt ♦❢ t❤❡
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❡①♣❡r✐♠❡♥t❛❧ ❛♣♣r♦❛❝❤❡s ❛s ✇❡❧❧ ❛s t❤❡♦r❡t✐❝❛❧ ❞❡✈❡❧♦♣♠❡♥ts✳

P✐✈♦t❛❧ ❡①♣❡r✐♠❡♥ts ✇❡r❡

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♦❢ t❤❡ ❡①♣❡r✐♠❡♥t t❤❛t ❞❡t❡r♠✐♥❡s ✇❤❡t❤❡r ✇❡ s❤❛❧❧ ♦❜s❡r✈❡ ✇❛✈❡✲ ♦r ♣❛rt✐❝❧❡✲❧✐❦❡ ❜❡❤❛✈✐♦r✱
✐t ✐s ❝❧❡❛r t❤❛t t❤❡ ♥❛t✉r❡ ♦❢ t❤❡ ❡①♣❡r✐♠❡♥t ❝❛♥ ❜❡ ❝❤❛♥❣❡❞ ❛❢t❡r ✐t ❤❛s ❛❧r❡❛❞② t❛❦❡♥ ♣❧❛❝❡✳
■♥ ♦t❤❡r ✇♦r❞s✱ t❤❡ s❛♠❡ ❡①♣❡r✐♠❡♥t ❝❛♥ r❡tr♦❛❝t✐✈❡❧② ❜❡ ♠❛❞❡ t♦ ♠❡❛s✉r❡ ✇❛✈❡ ♦r ♣❛rt✐❝❧❡
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❤❛s ❜♦t❤ ♣❛rt✐❝❧❡✲❧✐❦❡ ❛♥❞ ✇❛✈❡✲❧✐❦❡ ♣r♦♣❡rt✐❡s ❛t t❤❡ s❛♠❡ t✐♠❡✱ ❛♥❞ t❤❛t t❤❡ r❡s✉❧ts ♦❢
♠❡❛s✉r❡♠❡♥ts ❝❛♥ r❡✈❡❛❧ ♦♥❡ ♦r ❛ ♠✐①t✉r❡ ♦❢ t❤♦s❡ ❝❤❛r❛❝t❡r✐st✐❝s✳ ❉✉❡ t♦ t❤❡ ❝❧❛ss✐❝❛❧
♥❛t✉r❡ ♦❢ t❤❡ ♠❡❛s✉r✐♥❣ ❞❡✈✐❝❡s✱ ❤♦✇❡✈❡r✱ t❤❡② ❞♦ ♥♦t✖✐♥ ❢❛❝t✱ ❝❛♥♥♦t✖r❡✢❡❝t t❤❡ tr✉❡
♥❛t✉r❡ ♦❢ t❤❡ q✉❛♥t✉♠ st❛t❡✳ ■♥ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣✱ ✇❡ ✇✐❧❧ ♠❛❦❡ t❤❡s❡ ❛r❣✉♠❡♥ts ✐♥ ❛ str✐❝t❧②
✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥✲t❤❡♦r❡t✐❝ s❡tt✐♥❣✳
❲❡ ❞❡✈❡❧♦♣ t❤❡ ❢r❛♠❡✇♦r❦ ♦❢ ✭♣♦ss✐❜❧② ❞❡❧❛②❡❞✮ ❝♦♠♣❧❡♠❡♥t❛r② ♠❡❛s✉r❡♠❡♥ts ✭✇❤✐❝❤✲
♣❛t❤ ♦r ✇❤✐❝❤✲♣❤❛s❡✮ ✐♥ t❡r♠s ♦❢ ❛ q✉❛♥t✉♠ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥✲t❤❡♦r❡t✐❝ ❞❡s❝r✐♣t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ❇❡❧❧✲
st❛t❡ q✉❛♥t✉♠ ❡r❛s❡r✱ ❜✉t t❤❡ ❢♦r♠❛❧✐s♠ ✐s ❣❡♥❡r❛❧ ❛♥❞ ❛♣♣❧✐❡s ❡q✉❛❧❧② t♦ ❛♥② s✐t✉❛t✐♦♥ ✇❤❡r❡
♠❡❛s✉r❡♠❡♥ts ❛r❡ ♠❛❞❡ ✐♥ ♣❛r❛❧❧❡❧ ♦♥ t✇♦ ✭❛♥❞ ✐♥ ❛♥ ♦❜✈✐♦✉s ❡①t❡♥s✐♦♥ t♦ s❡✈❡r❛❧✮ ❡♥t❛♥❣❧❡❞
q✉❛♥t✉♠ s②st❡♠s✱ s✉❝❤ ❛s t❤❡ ●❛r✐st♦✲❍❛r❞② ❡♥t❛♥❣❧❡♠❡♥t ❡r❛s❡r ❬✶✻✹❪✳
❲❡ ✜rst ❞❡s❝r✐❜❡ t❤❡ ♦r❞✐♥❛r② ❞♦✉❜❧❡✲s❧✐t ❡①♣❡r✐♠❡♥t ♣❡r❢♦r♠❡❞ ♦♥ ♦♥❡ ❤❛❧❢ ♦❢ ❛ ❇❡❧❧
st❛t❡✱ t❤❡♥ t❤❡ ♣♦❧❛r✐③❛t✐♦♥✲t❛❣❣❡❞ ✈❡rs✐♦♥ ✇❤❡r❡ ✇❤✐❝❤✲♣❛t❤ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥ ❝❛♥ ❜❡ ❡①tr❛❝t❡❞✱
❢♦❧❧♦✇❡❞ ❜② t❤❡ q✉❛♥t✉♠ ❡r❛s✉r❡ ♣r♦❝❡❞✉r❡✳ ■♥ t❤❡ ♥❡①t s❡❝t✐♦♥ ✇❡ ❞❡s❝r✐❜❡ t❤❡s❡ st❡♣s ✐♥
t❡r♠s ♦❢ ❝❧❛ss✐❝❛❧ ❛♥❞ q✉❛♥t✉♠ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥ t❤❡♦r② t❤❛t r❡s✉❧ts ✐♥ ❛♥ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥✲t❤❡♦r❡t✐❝
❡q✉❛❧✐t② t❤❛t ♠✐rr♦rs ✭❛♥❞ ✐s ❝♦♠♣❧❡t❡❧② ❛♥❛❧♦❣♦✉s t♦✮ t❤❡ tr❛❞❡✲♦✛ ❜❡t✇❡❡♥ ❞✐st✐♥❣✉✐s❤❛❜✐❧✐t②
❛♥❞ ✈✐s✐❜✐❧✐t② ♦❢ ●r❡❡♥❜❡r❣❡r ❛♥❞ ❨❛s✐♥ ❬✶✺✼❪ ❛s ✇❡❧❧ ❛s ❊♥❣❧❡rt ❬✶✺✽❪✳ ❚❤❡ ❡q✉❛❧✐t② ✐♥✈♦❧✈❡s
t❤❡ ❝♦❤❡r❡♥❝❡ ♦❢ t❤❡ q✉❛♥t✉♠ s②st❡♠ ❛♥❞ t❤❡ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥ ♦❜t❛✐♥❡❞ ❛❜♦✉t ✐ts ♣❛t❤ ❥✉st
❛s ❇❛❣❛♥ ❡t ❛❧✳ ❤❛✈❡ r❡❝❡♥t❧② s❤♦✇♥ ❬✶✻✶❪✱ ❜✉t ✇❡ ❞♦ ♥♦t ❛ss✉♠❡ ❛ s♣❡❝✐✜❝ ❢♦r♠ ❢♦r t❤❡
♠❡❛s✉r❡ ♦❢ ❝♦❤❡r❡♥❝❡ ❛s ✐t ❡♠❡r❣❡s ♥❛t✉r❛❧❧② ❢r♦♠ t❤❡ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥✲t❤❡♦r❡t✐❝ ❛♥❛❧②s✐s✳ ❚❤❡
✏❝♦♥s❡r✈❛t✐♦♥ ❧❛✇✑ ❜❡t✇❡❡♥ ❝♦❤❡r❡♥❝❡ ❛♥❞ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥ ❛♣♣❡❛rs s✐♠♣❧② ❛s ❛ ❝♦♥s❡q✉❡♥❝❡ ♦❢
t❤❡ ❝❤❛✐♥ r✉❧❡ ❢♦r ❡♥tr♦♣✐❡s✳ ❲❡ ♦✛❡r ❝♦♥❝❧✉s✐♦♥s ✐♥ ✇❤✐❝❤ ✇❡ s✉❣❣❡st ✇❤❛t ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥ ✐s
✶✵✼

❛❝t✉❛❧❧② ❡♥❝♦❞❡❞ ✐♥ t❤❡ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥t ❞❡✈✐❝❡s✱ ❣✐✈❡♥ t❤❛t ✐t ❝❛♥♥♦t r❡✢❡❝t ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥ ❛❜♦✉t
t❤❡ q✉❛♥t✉♠ st❛t❡✳

✻✳✷ ❚❤❡ ❇❡❧❧✲❙t❛t❡ ◗✉❛♥t✉♠ ❊r❛s❡r
❚❤❡ ❇❡❧❧✲st❛t❡ q✉❛♥t✉♠ ❡r❛s❡r ❡①♣❡r✐♠❡♥t ❬✶✻✺❪✱ ❛s ✐❧❧✉str❛t❡❞ ✐♥ ❋✐❣✳ ✻✳✶✱ ♣r♦❝❡❡❞s ❛s ❢♦❧❧♦✇s✳
❆♥ ❡♥t❛♥❣❧❡❞ ♣❛✐r ♦❢ ♣❤♦t♦♥s✱ A ❛♥❞ B ✱ ✐s ♣r❡♣❛r❡❞ ❜② s♣♦♥t❛♥❡♦✉s ♣❛r❛♠❡tr✐❝ ❞♦✇♥✲
❝♦♥✈❡rs✐♦♥ ✭❙P❉❈✮ ❬✸✹❪ ✐♥ t❤❡ ❇❡❧❧ st❛t❡✱

|Ψ AB =

|h |v + |v |h
√
,
2

✭✻✳✶✮

✇❤❡r❡ t❤❡ ✜rst ❛♥❞ s❡❝♦♥❞ st❛t❡s r❡❢❡r t♦ ♣❤♦t♦♥s A ❛♥❞ B ✱ r❡s♣❡❝t✐✈❡❧②✱ ❛♥❞ |h , |v ❛r❡
t❤❡ ❤♦r✐③♦♥t❛❧ ❛♥❞ ✈❡rt✐❝❛❧ ❧✐♥❡❛r ♣♦❧❛r✐③❛t✐♦♥ st❛t❡s✳ ◆♦t❡ t❤❛t ❛♥ ♦❜✈✐♦✉s ❡①t❡♥s✐♦♥ ♦❢ t❤❡
♣r❡s❡♥t ❝♦♥str✉❝t✐♦♥ ✐s t♦ ❛❧❧♦✇ ❢♦r ❛r❜✐tr❛r② ❡♥t❛♥❣❧❡❞ ♣❤♦t♦♥ ♣❛✐rs✱ s✉❝❤ ❛s ❢♦r ❡①❛♠♣❧❡
t❤❡ q ✲❇❡❧❧ st❛t❡s ❬✼✶❪ ✐♥ ✇❤✐❝❤ ❛ ♣❛r❛♠❡t❡r q ✐♥t❡r♣♦❧❛t❡s ❜❡t✇❡❡♥ ♣r♦❞✉❝t st❛t❡s ✭q = 0 ♦r
✶✮ ❛♥❞ ❢✉❧❧② ❡♥t❛♥❣❧❡❞ st❛t❡s ✭q = 1/2✮✳ ❲❡ ♠❡♥t✐♦♥ ❜r✐❡✢② t❤❡ ❝♦♥s❡q✉❡♥❝❡ ♦❢ q = 1/2 ❛t
t❤❡ ❡♥❞ ♦❢ ❙❡❝✳ ✻✳✹✳
P❤♦t♦♥ B ✱ ❝❛❧❧❡❞ t❤❡ ✏✐❞❧❡r✑✱ tr❛✈❡❧s ❛❧♦♥❣ t❤❡ ✉♣♣❡r ♣❛t❤ ✇❤❡r❡ ❛ ♣♦❧❛r✐③✐♥❣ ❜❡❛♠ s♣❧✐tt❡r
✭P❇❙✮ ✇✐t❤ ✐ts ♦♣t✐❝❛❧ ❛①✐s ♦r✐❡♥t❡❞ ❛t ❛♥ ❛♥❣❧❡ θ t♦ t❤❡ |h , |v ❜❛s✐s ❛❧❧♦✇s ❢♦r ♣♦❧❛r✐③❛t✐♦♥
♠❡❛s✉r❡♠❡♥ts ✐♥ s♣❡❝✐✜❝ ❜❛s❡s✳ ▼❡❛♥✇❤✐❧❡✱ ♣❤♦t♦♥ A✱ ❝❛❧❧❡❞ t❤❡ ✏s✐❣♥❛❧✑✱ tr❛✈❡❧s ❛❧♦♥❣ t❤❡
❧♦✇❡r ♣❛t❤ t♦✇❛r❞s ❛ ❞♦✉❜❧❡✲s❧✐t ❛♣♣❛r❛t✉s✳ P❤♦t♦♥ A ✇✐❧❧ ♣❛ss t❤r♦✉❣❤ t❤❡ ❞♦✉❜❧❡ s❧✐t
t♦ s✉❜s❡q✉❡♥t❧② ❜❡ ❞❡t❡❝t❡❞ ❜② ❛ ❈❈❉ ❝❛♠❡r❛ ✭❞❡♥♦t❡❞ DX ✮ ❢r♦♠ ✇❤✐❝❤ ✐t ✐s ♣♦ss✐❜❧❡ t♦
❝♦♥str✉❝t ❛♥ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ♣❛tt❡r♥✳ ❚❤❡ ♣❛tt❡r♥ ✐s ❡r❛s❡❞ ❜② ♣❧❛❝✐♥❣ t✇♦ q✉❛rt❡r✲✇❛✈❡ ♣❧❛t❡s
✭◗❲Ps✮ ✐♥ ❢r♦♥t ♦❢ ❡❛❝❤ s❧✐t✳ ❚❤✐s t❛❣s t❤❡ ♣❛t❤ ♦❢ ♣❤♦t♦♥ A ❛♥❞ ♣r♦✈✐❞❡s ♣❛t❤ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥✳
❙❡❡ ❋✐❣✳ ✻✳✶ ❢♦r ❛ s❝❤❡♠❛t✐❝ ♦❢ t❤❡ ❡①♣❡r✐♠❡♥t✳
✶✵✽

(1)

DB

(0)

laser
BBO

pho
to

B

nA

θ

PBS
QWP1
QWP2

DX
double
slit

CCD

ton

pho

DB

❋✐❣✉r❡ ✻✳✶✿ ❙❝❤❡♠❛t✐❝ ❬✶✻✺❪ ♦❢ t❤❡ ❞♦✉❜❧❡✲s❧✐t ❇❡❧❧✲st❛t❡ q✉❛♥t✉♠ ❡r❛s❡r ❡①♣❡r✐♠❡♥t✳ ❆❢✲
t❡r ♣r♦❞✉❝t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ❇❡❧❧ st❛t❡ ✭✻✳✶✮ ❜② t②♣❡✲■■ s♣♦♥t❛♥❡♦✉s ♣❛r❛♠❡tr✐❝ ❞♦✇♥✲❝♦♥✈❡rs✐♦♥
✭❙P❉❈✮ ✐♥ t❤❡ ❇❇❖ ✭β ✲❜❛r✐✉♠ ❜♦r❛t❡✮ ❝r②st❛❧✱ ♣❤♦t♦♥ B tr❛✈❡❧s ❛❧♦♥❣ t❤❡ ✉♣♣❡r ❜r❛♥❝❤ t♦
❛ ♣♦❧❛r✐③✐♥❣ ❜❡❛♠ s♣❧✐tt❡r ✭P❇❙✮✱ ✇✐t❤ ♦♣t✐❝❛❧ ❛①✐s ♦r✐❡♥t❡❞ ❛t ❛♥❣❧❡ θ r❡❧❛t✐✈❡ t♦ t❤❡ |h , |v
❜❛s✐s✳ ■ts ♣♦❧❛r✐③❛t✐♦♥ ✐s s✉❜s❡q✉❡♥t❧② ♠❡❛s✉r❡❞ ✐♥ t❤❡ r♦t❛t❡❞ ❜❛s✐s ❜② t❤❡ ♣❤♦t♦❞❡t❡❝t♦rs
(0)
(1)
DB , DB ✳ P❤♦t♦♥ A tr❛✈❡❧s ❞♦✇♥ t♦ t❤❡ q✉❛rt❡r✲✇❛✈❡ ♣❧❛t❡s ✭◗❲Ps✮ ❛♥❞ ❞♦✉❜❧❡ s❧✐t✱ ❛♥❞
t❤❡♥ t♦ ❛ ❈❈❉ ❝❛♠❡r❛✱ ❞❡♥♦t❡❞ DX ✱ ✇❤✐❝❤ ♣❧❛②s t❤❡ r♦❧❡ ♦❢ ❛♥ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ s❝r❡❡♥✳

✻✳✷✳✶ ❙♣❧✐tt✐♥❣ t❤❡ P❤♦t♦♥ P❛t❤
❚❤❡ ❢✉❧❧ ✇❛✈❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ ❞❡s❝r✐❜✐♥❣ t❤❡ ❡♥t❛♥❣❧❡❞ ♣❛✐r ♦❢ ♣❤♦t♦♥s A ❛♥❞ B ✐s

|Ψ AB =

|h P |v B + |v P |h B
√
⊗ |ψ Q ,
2

✭✻✳✷✮

✇❤❡r❡ t❤❡ ❍✐❧❜❡rt s♣❛❝❡ HA = HP ⊗ HQ ♦❢ ♣❤♦t♦♥ A ✐s ❝♦♠♣♦s❡❞ ♦❢ ♣♦❧❛r✐③❛t✐♦♥ P ❛♥❞
s♣❛t✐❛❧ Q ❞❡❣r❡❡s ♦❢ ❢r❡❡❞♦♠✳ ❚❤❡ ♣♦❧❛r✐③❛t✐♦♥s ♦❢ ♣❤♦t♦♥s A ❛♥❞ B ✱ ❡♥t❛♥❣❧❡❞ ✐♥ ❛ ❇❡❧❧
st❛t❡✱ ❛r❡ ❞❡❝♦✉♣❧❡❞ ❢r♦♠ t❤❡ s♣❛t✐❛❧ st❛t❡ |ψ ♦❢ ♣❤♦t♦♥ A✳ ❲❡ ❞r♦♣ t❤❡ s♣❛t✐❛❧ st❛t❡s ♦❢
♣❤♦t♦♥ B ❛s t❤❡② r❡♠❛✐♥ ❞❡❝♦✉♣❧❡❞ t❤r♦✉❣❤♦✉t✳ ❙❡♥❞✐♥❣ ♣❤♦t♦♥ A t❤r♦✉❣❤ t❤❡ ❞♦✉❜❧❡ s❧✐t
tr❛♥s❢♦r♠s ♦♥❧② t❤❡ s♣❛t✐❛❧ st❛t❡s ♦❢ A s♦ t❤❛t ❊q✳ ✭✻✳✷✮ ❡✈♦❧✈❡s t♦

|Ψ AB =

|ψ1 Q + |ψ2 Q
|h P |v B + |v P |h B
√
√
⊗
.
2
2

✶✵✾

✭✻✳✸✮

❚❤❡ st❛t❡s |ψj ❞❡♥♦t❡ t❤❡ ♣❛t❤ ♦❢ ♣❤♦t♦♥ A ❝♦rr❡s♣♦♥❞✐♥❣ t♦ s❧✐t j ✳ ◆♦t❡ t❤❛t t❤❡ ❡①t❡♥s✐♦♥
♦❢ t❤✐s ❢r❛♠❡✇♦r❦ t♦ ❛❧❧♦✇ ❢♦r N ✲♣❛t❤ ❞❡✈✐❝❡s ✐s str❛✐❣❤t❢♦r✇❛r❞✳ ❚❤❡ s♣❛t✐❛❧ ❞❡❣r❡❡ ♦❢
❢r❡❡❞♦♠ ♦❢ A✱ ❞❡♥♦t❡❞ ❜② Q✱ ✐s st✐❧❧ ✐♥❞❡♣❡♥❞❡♥t ❢r♦♠ ✐ts ♣♦❧❛r✐③❛t✐♦♥✳
❚r❛❝✐♥❣ ♦✈❡r t❤❡ ♣♦❧❛r✐③❛t✐♦♥ st❛t❡s ♦❢ ♣❤♦t♦♥s A ❛♥❞ B ✱ t❤❡ ❞❡♥s✐t② ♠❛tr✐① ❞❡s❝r✐❜✐♥❣
t❤❡ s♣❛t✐❛❧ ♠♦❞❡s ♦❢ ♣❤♦t♦♥ A ✐s t❤❡ ♣✉r❡ st❛t❡

ρQ =

1
|ψ1 Q ψ1 | + |ψ2 Q ψ2 | + |ψ1 Q ψ2 | + |ψ2 Q ψ1 | .
2

✭✻✳✹✮

❚❤❡ ❡①♣❡❝t❛t✐♦♥ ✈❛❧✉❡ ✐♥ t❤❡ ♣♦s✐t✐♦♥ ❜❛s✐s |x ♦❢ t❤❡ s❝r❡❡♥ DX ②✐❡❧❞s t❤❡ ♣r♦❜❛❜✐❧✐t② t♦
♦❜s❡r✈❡ ♣❤♦t♦♥ A ❛t t❤❡ s♣❛t✐❛❧ ❧♦❝❛t✐♦♥ x

x|ρQ |x = p(x) =

1
2
ψ1 (x) + ψ2 (x) ,
2

✭✻✳✺✮

✇❤❡r❡ ✇❡ ❞❡✜♥❡ t❤❡ ❝♦❡✣❝✐❡♥ts ψj (x) = x|ψj ✳ ❚❤✐s ♣r♦❜❛❜✐❧✐t② ❞✐str✐❜✉t✐♦♥ ✐s ❛ ❝♦❤❡r❡♥t
s✉♣❡r♣♦s✐t✐♦♥ ❛♥❞ t❤❡ ✉s✉❛❧ ❞♦✉❜❧❡✲s❧✐t ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢r✐♥❣❡s ✇✐❧❧ ❜❡ ♦❜s❡r✈❡❞ ♦♥ t❤❡ s❝r❡❡♥✳
■♥ t❤❡ ❛♣♣❡♥❞✐① ✇❡ s❤♦✇ ❤♦✇ t❤❡ ❝❤❛r❛❝t❡r✐st✐❝ ❢r✐♥❣❡s ❝❛♥ ❜❡ ❞❡r✐✈❡❞ ❢r♦♠ ❛ ✈♦♥ ◆❡✉♠❛♥♥
♠❡❛s✉r❡♠❡♥t ♦❢ Q ❜② t❤❡ ❞❡t❡❝t♦r DX ✳

✻✳✷✳✷ ❚❛❣❣✐♥❣ t❤❡ P❤♦t♦♥ P❛t❤
❚♦ ❡①t❡♥❞ t❤✐s ❞✐s❝✉ss✐♦♥ t♦ ❛ q✉❛♥t✉♠ ❡r❛s❡r ❡①♣❡r✐♠❡♥t✱ ❛ t❛❣❣✐♥❣ ♦♣❡r❛t✐♦♥ ✐s ♣❡r❢♦r♠❡❞
♦♥ t❤❡ t✇♦ ❜r❛♥❝❤❡s ♦❢ t❤❡ ❞♦✉❜❧❡✲s❧✐t ❛♣♣❛r❛t✉s ✐♥ ♦r❞❡r t♦ ♣r♦✈✐❞❡ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥ ❛❜♦✉t t❤❡
♣❛t❤ ♦❢ ♣❤♦t♦♥ A✳ ■♥ ♣r❛❝t✐❝❡✱ t❤✐s ✐s ✐♠♣❧❡♠❡♥t❡❞ ❜② ♣❧❛❝✐♥❣ ❛ q✉❛rt❡r✲✇❛✈❡ ♣❧❛t❡ ✭◗❲P✮
✐♥ ❢r♦♥t ♦❢ ❡❛❝❤ s❧✐t✳ ❘❡❝❛❧❧ ❢r♦♠ ❊q✳ ✭✹✳✸✸✮ ✐♥ ❈❤ ✹✳✷✳✶ t❤❛t t❤❡ ❏♦♥❡s ♠❛tr✐① ❢♦r ❛ ❣❡♥❡r❛❧
✇❛✈❡ ♣❧❛t❡ ♦r✐❡♥t❡❞ ❛t ❛♥ ❛♥❣❧❡ β ✭t❤❡ ❢❛st ❛①✐s✮ t♦ ♦✉r ❝♦♦r❞✐♥❛t❡ s②st❡♠ ✭✐♥ t❤✐s ❝❛s❡✱ |h
❛♥❞ |v ✮ ✐s ❬✶✶✶✱ ✶✶✷❪

✶✶✵

U=

cos( α2 ) + i sin( α2 ) cos(2β)
i sin( α2 ) sin(2β)
,
i sin( α2 ) sin(2β)
cos( α2 ) − i sin( α2 ) cos(2β)

✭✻✳✻✮

✇❤❡r❡ α = π/2 ❢♦r ❛ ◗❲P✳ ▼♦r❡ s♣❡❝✐✜❝❛❧❧②✱ t❤❡ ◗❲P ✐♥ ❢r♦♥t ♦❢ s❧✐t ✶ ✭s❧✐t ✷✮ ❤❛s ✐ts ❢❛st
❛①✐s ❛t β = 45◦ ✭β = −45◦ ✮✱ ✇❤✐❝❤ ❧❡❛❞s t♦

1
(±)
UQWP = √
2

1 ±i
,
±i 1

✭✻✳✼✮

(+)
(1)
(−)
(2)
✇❤❡r❡ UQWP = UQWP ❛♥❞ UQWP = UQWP ❛r❡ t❤❡ ♠❛tr✐❝❡s ❛ss♦❝✐❛t❡❞ ✇✐t❤ s❧✐t ✶ ❛♥❞ ✷✱

r❡s♣❡❝t✐✈❡❧②✳ ❚❤❡s❡ tr❛♥s❢♦r♠ ❧✐♥❡❛r❧② ♣♦❧❛r✐③❡❞ st❛t❡s |h ❛♥❞ |v ✐♥t♦ ❝✐r❝✉❧❛r❧② ♣♦❧❛r✐③❡❞
st❛t❡s ❛❝❝♦r❞✐♥❣ t♦

|h + i|v
√
2
|v
+
i|h
(1)
√
UQWP |v =
2
|h
−
i|v
(2)
√
UQWP |h =
2
|v
−
i|h
(2)
√
UQWP |v =
2
(1)

UQWP |h =

= |L ,
= i|R ,
= |R ,
= −i|L ,

✇❤❡r❡ |R ✭|L ✮ ❞❡♥♦t❡s r✐❣❤t✲❤❛♥❞❡❞ ✭❧❡❢t✲❤❛♥❞❡❞✮ ❝✐r❝✉❧❛r ♣♦❧❛r✐③❛t✐♦♥✳
❲❤❡♥ ♣❤♦t♦♥ A ♣❛ss❡s t❤r♦✉❣❤ t❤❡ ◗❲Ps ❛♥❞ t❤❡ ❞♦✉❜❧❡ s❧✐t✱ ✐ts ♣♦❧❛r✐③❛t✐♦♥ ❜❡❝♦♠❡s
❡♥t❛♥❣❧❡❞ ✇✐t❤ ✐ts s♣❛t✐❛❧ ❞❡❣r❡❡ ♦❢ ❢r❡❡❞♦♠ s♦ t❤❛t t❤❡ ✇❛✈❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ ✭✻✳✷✮ ❡✈♦❧✈❡s t♦

|R P |v B − i |L P |h B
1 |L P |v B + i |R P |h B
√
√
⊗ |ψ1 Q +
⊗ |ψ2 Q , ✭✻✳✽✮
|Ψ AB = √
2
2
2
✇❤❡r❡ t❤❡ t✐❧❞❡ ✐♥❞✐❝❛t❡s t❤❛t t❤❡ t❛❣❣✐♥❣ ♦♣❡r❛t✐♦♥ ❤❛s ❜❡❡♥ ♣❡r❢♦r♠❡❞✳ ●r♦✉♣✐♥❣ t♦❣❡t❤❡r

✶✶✶

Q

Q

0

−1

0

0

1

0
−1

−1

−1

2
P

1
0
−1
1

B

P

(a)

B

(b)

❋✐❣✉r❡ ✻✳✷✿ ❊♥tr♦♣② ❱❡♥♥ ❞✐❛❣r❛♠s s❤♦✇✐♥❣ t❤❡ ❡✛❡❝t ♦❢ t❤❡ t❛❣❣✐♥❣ ♦♣❡r❛t✐♦♥✳ ✭❛✮ ❇❡❢♦r❡
t❛❣❣✐♥❣✱ t❤❡ ♣♦❧❛r✐③❛t✐♦♥ ♦❢ ♣❤♦t♦♥s A ✭❞❡♥♦t❡❞ ❜② P ✮ ❛♥❞ B ❛r❡ ❡♥t❛♥❣❧❡❞ ✐♥ ❛ ❇❡❧❧ st❛t❡✳ ✭❜✮
❆❢t❡r t❛❣❣✐♥❣✱ t❤❡ s♣❛t✐❛❧ ❞❡❣r❡❡ ♦❢ ❢r❡❡❞♦♠ ♦❢ ♣❤♦t♦♥ A ✭❞❡♥♦t❡❞ ❜② Q✮ ❜❡❝♦♠❡s ❡♥t❛♥❣❧❡❞
✇✐t❤ t❤❡ ♣♦❧❛r✐③❛t✐♦♥s ♦❢ A ❛♥❞ B ❛❝❝♦r❞✐♥❣ t♦ ❊q✳ ✭✻✳✾✮✳
t❤❡ ♣♦❧❛r✐③❛t✐♦♥ st❛t❡s ♦❢ ♣❤♦t♦♥ B ✱ ✇❡ ❝❛♥ ❡q✉✐✈❛❧❡♥t❧② ❡①♣r❡ss t❤✐s st❛t❡ ❛s

|ψ1 Q |R P − |ψ2 Q |L P
1 |ψ1 Q |L P + |ψ2 Q |R P
√
√
⊗ |v B + i
⊗ |h B . ✭✻✳✾✮
|Ψ AB = √
2
2
2
❚❤❡ ❡♥t❛♥❣❧❡♠❡♥t ❜❡t✇❡❡♥ t❤❡ t✇♦ ❞❡❣r❡❡s ♦❢ ❢r❡❡❞♦♠ ♦❢ ♣❤♦t♦♥ A ❝❛✉s❡s t❤❡ s♣❛t✐❛❧ ♠♦❞❡s

Q t♦ ❜❡❝♦♠❡ ❝♦♠♣❧❡t❡❧② ♠✐①❡❞

ρQ =

1
|ψ
ψ | + |ψ2 Q ψ2 | ,
2 1 Q 1

✭✻✳✶✵✮

s♦ t❤❛t ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ✐s ♥♦ ❧♦♥❣❡r ♦❜s❡r✈❡❞ ♦♥ t❤❡ s❝r❡❡♥✳ ■♥ ❋✐❣✳ ✻✳✷ ✇❡ s❤♦✇ t❤❡ ❡♥tr♦♣②
❱❡♥♥ ❞✐❛❣r❛♠s ❬✺✾❪ ❜❡❢♦r❡ ✭❛✮ ❛♥❞ ❛❢t❡r ✭❜✮ t❤❡ t❛❣❣✐♥❣ ♦♣❡r❛t✐♦♥ ✇✐t❤ t❤❡ ◗❲Ps✳ ■♥ t❤❡s❡
❞✐❛❣r❛♠s✱ t❤❡ s✉♠ ♦❢ ❛❧❧ t❤❡ ❡♥tr✐❡s ✐♥ ❛ ❝✐r❝❧❡ ❛❞❞ ✉♣ t♦ t❤❡ ❡♥tr♦♣② ♦❢ t❤❡ s✉❜s②st❡♠✱
❛♥❞ t❤❡ ❡♥tr♦♣② s❤❛r❡❞ ❜❡t✇❡❡♥ s✉❜s②st❡♠s ✐s ✐♥❞✐❝❛t❡❞ ✐♥ t❤❡ ♦✈❡r❧❛♣ ❜❡t✇❡❡♥ ❝✐r❝❧❡s✳
❈♦♥❞✐t✐♦♥❛❧ ❡♥tr♦♣✐❡s ❛♣♣❡❛r ✐♥ ✉♥s❤❛r❡❞ ❛r❡❛s ♦❢ t❤❡ ❝✐r❝❧❡✱ ❛♥❞ ❝❛♥ ❜❡ ♥❡❣❛t✐✈❡ ✐♥ q✉❛♥t✉♠
♠❡❝❤❛♥✐❝s ❬✺✽❪ ✭t❤❡② ♠✉st ❜❡ ♣♦s✐t✐✈❡ ✐❢ t❤❡② ❛r❡ ❝❧❛ss✐❝❛❧ ❙❤❛♥♥♦♥ ❡♥tr♦♣✐❡s✮✳ ❊♥tr♦♣✐❡s

✶✶✷

s❤❛r❡❞ ❜❡t✇❡❡♥ t❤r❡❡ s②st❡♠s ✭t❤❡ ❝❡♥t❡r ♦❢ t❤❡ ❞✐❛❣r❛♠s ✐♥ ❋✐❣✳ ✻✳✷✮ ❝❛♥ ❜❡ ♥❡❣❛t✐✈❡ ❜♦t❤
✐♥ ❝❧❛ss✐❝❛❧ ❛♥❞ q✉❛♥t✉♠ ♣❤②s✐❝s ❬✺✾❪✳ ❆❧❧ ♦❢ t❤❡ ✈♦♥ ◆❡✉♠❛♥♥ ❡♥tr♦♣✐❡s S(ρ) = −Trρ log ρ
❝❛♥ ❜❡ ❝❛❧❝✉❧❛t❡❞ ✐♥ ❛ str❛✐❣❤t❢♦r✇❛r❞ ♠❛♥♥❡r ❢r♦♠ t❤❡ ❞❡♥s✐t② ♠❛tr✐① ρQP B = |Ψ AB Ψ|
❛♥❞ t❤❡ ♠❛r❣✐♥❛❧✐③❡❞ ❞❡♥s✐t② ♠❛tr✐❝❡s ρQ = TrP B (ρQP B )✱ ρB = TrQP (ρQP B )✱ ❡t❝✳
❇❡❢♦r❡ t❛❣❣✐♥❣ ❬s❡❡ ❊q✳ ✭✻✳✷✮❪✱ Q ✐s ❝♦♠♣❧❡t❡❧② ❞❡❝♦✉♣❧❡❞ ❢r♦♠ t❤❡ ♣♦❧❛r✐③❛t✐♦♥ P ♦❢
♣❤♦t♦♥ A ❛♥❞ ♦❢ ♣❤♦t♦♥ B ✱ ✇❤✐❝❤ t♦❣❡t❤❡r ❛r❡ ❡♥t❛♥❣❧❡❞ ✐♥ ❛ ❇❡❧❧ st❛t❡✳ ❆❢t❡r t❛❣❣✐♥❣ ❬s❡❡
❊q✳ ✭✻✳✾✮❪✱ ❛❧❧ t❤r❡❡ ✈❛r✐❛❜❧❡s Q✱ P ✱ ❛♥❞ B ❛r❡ ✐♥ ❛ tr✐♣❛rt✐t❡ ❡♥t❛♥❣❧❡❞ st❛t❡✳ ◆♦t❡ t❤❛t
t❤❡ t❡r♥❛r② ♠✉t✉❛❧ ❡♥tr♦♣② S(Q : P : B) ✈❛♥✐s❤❡s ✐♥ ❜♦t❤ ❞✐❛❣r❛♠s s✐♥❝❡ t❤❡ ✉♥❞❡r❧②✐♥❣
❞❡♥s✐t② ♠❛tr✐① ✐s ❛ ♣✉r❡ st❛t❡ ❬✺✾❪✳ ❚❤❡ ❡①♣r❡ss✐♦♥ ❢♦r t❤❡ t❡r♥❛r② s❤❛r❡❞ ❡♥tr♦♣② ✐♥ t❡r♠s
♦❢ s✉❜s②st❡♠ ❡♥tr♦♣✐❡s ❝❛♥ ❜❡ r❡❛❞ ♦✛ t❤❡ ❱❡♥♥ ❞✐❛❣r❛♠ ✐♥ ❣❡♥❡r❛❧ ❛s S(Q : P : B) =

S(Q) + S(P ) + S(B) − S(QB) − S(QP ) − S(P B) + S(QP B)✱ ❛♥❞ s✐♠✐❧❛r❧② ❢♦r ❛♥② ♣❛✐r✇✐s❡
s❤❛r❡❞ ❡♥tr♦♣✐❡s✳

✻✳✷✳✸ ❊r❛s✐♥❣ t❤❡ P❤♦t♦♥ P❛t❤
❆s ✐s ❜② ♥♦✇ ✇❡❧❧✲❦♥♦✇♥ ❬✶✻✻❪✱ ✐t ✐s st✐❧❧ ♣♦ss✐❜❧❡ t♦ ❡①tr❛❝t ❛♥ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ♣❛tt❡r♥ ❢r♦♠ t❤❡
s❝r❡❡♥ ❞❛t❛✱ ❡✈❡♥ ✇❤❡♥ t❤❡ s②st❡♠ Q ❤❛s ❜❡❡♥ t❛❣❣❡❞✱ ✐❢ ✇❡ ❤❛✈❡ ❛❞❞✐t✐♦♥❛❧ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥
❛❜♦✉t t❤❡ st❛t❡ ♦❢ ♣❤♦t♦♥ B ✳ ❙✉♣♣♦s❡ ✇❡ ♣❡r❢♦r♠ ❛ ♣♦❧❛r✐③❛t✐♦♥ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥t ♦❢ B ✐♥ ❛
❜❛s✐s t❤❛t ✐s ❞❡s❝r✐❜❡❞ ❜② ❛♥ ❛♥❣❧❡ θ r❡❧❛t✐✈❡ t♦ t❤❡ |h , |v ❜❛s✐s✳ ❋♦r ❛ ❣❡♥❡r❛❧ ❝❤❛♥❣❡ ♦❢
❜❛s✐s✱ t❤❡ ♣♦❧❛r✐③❛t✐♦♥ st❛t❡s ♦❢ B ❛r❡ ✇r✐tt❡♥ ❛s

|v B = U00 |0 B + U01 |1 B ,

✭✻✳✶✶✮

|h B = U10 |0 B + U11 |1 B .

✭✻✳✶✷✮

✶✶✸

❋♦r s✐♠♣❧✐❝✐t②✱ ✇❡ ✉s❡ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ♣❛r❛♠❡tr✐③❛t✐♦♥ ❢♦r t❤❡ ♠❛tr✐① ❡❧❡♠❡♥ts Uij ♦❢ t❤❡
r♦t❛t✐♦♥ ♦♣❡r❛t♦r t❤❛t tr❛♥s❢♦r♠s |h , |v t♦ t❤❡ ♥❡✇ ❜❛s✐s s♣❛♥♥❡❞ ❜② |0 , |1 ✐♥ t❡r♠s ♦❢ t❤❡
s✐♥❣❧❡ ❛♥❣❧❡ θ ✿

cos θ − sin θ
.
sin θ
cos θ

U=

✭✻✳✶✸✮

❘❡✇r✐t✐♥❣ t❤❡ st❛t❡s ♦❢ B ✐♥ t❤❡ ❜❛s✐s |0 , |1 ❛♥❞ ❡♥t❛♥❣❧✐♥❣ B ✇✐t❤ ❛ ♣♦❧❛r✐③❛t✐♦♥ ❞❡t❡❝t♦r

DB tr❛♥s❢♦r♠s ❊q✳ ✭✻✳✾✮ t♦ ❬✺✾❪
|Ψ ABD =
B

1
2

k
im |ψm
Q ⊗ |m P ⊗ |kk BDB ,

✭✻✳✶✹✮

mk

✇❤❡r❡ k = 0, 1 ❧❛❜❡❧s t❤❡ ♣♦❧❛r✐③❛t✐♦♥ ♦❢ B ❛♥❞ DB ✇❤✐❧❡ m = 0 ✭✏ L✑✮✱ ✶ ✭✏ R✑✮ ❞❡♥♦t❡s t❤❡
k
♣♦❧❛r✐③❛t✐♦♥ ♦❢ A✱ ❛♥❞ ✇❤❡r❡ ✇❡ ❞❡✜♥❡❞ t❤❡ s♣❛t✐❛❧ st❛t❡s |ψm
Q ♦❢ ♣❤♦t♦♥ A

k
|ψL
Q = U0k |ψ1 Q − iU1k |ψ2 Q ,

✭✻✳✶✺✮

k
|ψR
Q = U1k |ψ1 Q − iU0k |ψ2 Q .

✭✻✳✶✻✮

❚❤❡s❡ st❛t❡s ❞❡s❝r✐❜❡ t❤❡ s♣❛t✐❛❧ st❛t❡ ♦❢ ♣❤♦t♦♥ A ✭t❤❡ s②st❡♠ Q✮ ✇❤❡♥ ✐t ❤❛s ❛ ❝✐r❝✉❧❛r
♣♦❧❛r✐③❛t✐♦♥ m ❛♥❞ ✐s ❝♦rr❡❧❛t❡❞ ✇✐t❤ ♣❤♦t♦♥ B t❤❛t ❤❛s ♣♦❧❛r✐③❛t✐♦♥ k ✳ ❖♥❧② t❤❡ st❛t❡s ❢♦r
❛ ❣✐✈❡♥ ♣♦❧❛r✐③❛t✐♦♥ m ❛r❡ ♦rt❤♦♥♦r♠❛❧

k |ψ k
ψm
m

= δkk ,

✭✻✳✶✼✮

k |ψ k
ψL
R

∗ U + U U∗ .
= U0k
1k
0k 1k

✭✻✳✶✽✮

❖❢ ❝♦✉rs❡✱ t❤❡ st❛t❡ ρQ ❞❡r✐✈❡❞ ❢r♦♠ ✭✻✳✶✹✮ ✐s st✐❧❧ ❝♦♠♣❧❡t❡❧② ♠✐①❡❞ ❛s ✐♥ ✭✻✳✶✵✮ s♦ t❤❛t
♥♦ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❝❛♥ ❜❡ ♦❜s❡r✈❡❞ ♦♥ t❤❡ s❝r❡❡♥✳ ❍♦✇❡✈❡r✱ ❛s ❧♦♥❣ ❛s t❤❡ ❡r❛s✉r❡ ❛♥❣❧❡ θ
✐s ♥♦♥③❡r♦ ✐t ✐s ♥♦✇ ♣♦ss✐❜❧❡ t♦ ❡①tr❛❝t ❛♥ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ♣❛tt❡r♥ ❣✐✈❡♥ t❤❡ ♦✉t❝♦♠❡ ♦❢ t❤❡
✶✶✹

♣♦❧❛r✐③❛t✐♦♥ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥t ♦❢ ♣❤♦t♦♥ B ✭❡✈❡♥ ✐❢ t❤❛t ♠❡❛s✉r❡♠❡♥t ♦❝❝✉rs ♠✉❝❤ ❧❛t❡r t❤❛♥
t❤❡ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥t ♦❢ ♣❤♦t♦♥ A✮✳
❋r♦♠ t❤❡ ✇❛✈❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ ✭✻✳✶✹✮✱ ✇❡ ❝❛♥ ❝♦♠♣✉t❡ t❤❡ ❥♦✐♥t ❞❡♥s✐t② ♠❛tr✐① ❢♦r ♣❤♦t♦♥

A ≡ QP ✭s♣❛t✐❛❧ Q ❛♥❞ ♣♦❧❛r✐③❛t✐♦♥ P ✮ ❛♥❞ ❞❡t❡❝t♦r DB ✳ ❚r❛❝✐♥❣ ♦✈❡r B ②✐❡❧❞s
ρAD =
B

1
2

ρkA ⊗ |k D

B

k|,

✭✻✳✶✾✮

k

✇❤❡r❡ t❤❡ ✭♦rt❤♦♥♦r♠❛❧✮ st❛t❡s ♦❢ ♣❤♦t♦♥ A✱ ❝♦♥❞✐t✐♦♥❛❧ ♦♥ t❤❡ st❛t❡ k ♦❢ ❞❡t❡❝t♦r DB ✱ ❛r❡

ρkA = |φk φk | ❛♥❞ |φk = √1

2

mi

m |ψ k
m Q ⊗|m P ✳ ❚❤❡ ❡✛❡❝t ♦❢ t❤❡ ❡r❛s✉r❡ ✐s ❝♦♥t❛✐♥❡❞ ✐♥

t❤❡ ❜❡❤❛✈✐♦r ♦❢ t❤❡s❡ st❛t❡s ❛s t❤❡ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥t ❛♥❣❧❡ θ ✐s ✈❛r✐❡❞✳ ❋♦r ❛ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥t ✐♥ t❤❡
♦r✐❣✐♥❛❧ ❜❛s✐s ✭θ = 0✮✱ ❞❡t❡❝t♦r DB ♣r❡♣❛r❡s ♣❤♦t♦♥ A ✐♥ ♦♥❡ ♦❢ t❤❡ ❢✉❧❧② ❡♥t❛♥❣❧❡❞ st❛t❡s✿

|φ0 ∝ |ψ1 Q |L P + |ψ2 Q |R P ❛♥❞ |φ1 ∝ |ψ1 Q |R P − |ψ2 Q |L P✳ ❋r♦♠ t❤❡s❡ ❡①♣r❡ss✐♦♥s
✇❡ ❝❛♥ ✐♥❢❡r✱ ✇✐t❤ ❛ ♣♦❧❛r✐③❛t✐♦♥ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥t ♦❢ ♣❤♦t♦♥ A✱ ✐ts ♣❛t❤✳ ❋♦r ✐♥st❛♥❝❡✱ ♦✉t❝♦♠❡

k = 0, m = L ✐s ❛ss♦❝✐❛t❡❞ ✇✐t❤ t❤❡ s♣❛t✐❛❧ st❛t❡ |ψ1 ❢♦r s❧✐t ✶✳ ❚❤❡r❡❢♦r❡✱ ♣♦❧❛r✐③❛t✐♦♥
♠❡❛s✉r❡♠❡♥ts ♦❢ ♣❤♦t♦♥ B ❛t θ = 0 ②✐❡❧❞ ❢✉❧❧ ♣❛t❤ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥ ❛♥❞ ♥♦ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢r✐♥❣❡s✳
❖♥ t❤❡ ♦t❤❡r ❤❛♥❞✱ ❢♦r ❛ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥t ✐♥ t❤❡ ❞✐❛❣♦♥❛❧ ❜❛s✐s ❛t θ = π/4✱ ❞❡t❡❝t♦r DB
♣r❡♣❛r❡s ♣❤♦t♦♥ A ✐♥ ♦♥❡ ♦❢ t❤❡ ❝♦♠♣❧❡t❡❧② ❞❡❝♦✉♣❧❡❞ st❛t❡s✿ |φ0 ∝ (|ψ1 Q − i|ψ2 Q ) ⊗

(|L P + i|R P ) ❛♥❞ |φ1 ∝ (|ψ1 Q + i|ψ2 Q ) ⊗ (−|L P + i|R P )✳ ◆♦✇✱ ❛ ♣♦❧❛r✐③❛t✐♦♥ ♠❡❛✲
s✉r❡♠❡♥t ♦❢ A ❝❛♥♥♦t r❡✈❡❛❧ ♣❛t❤ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥✱ ❛♥❞ t❤❡ ❝♦❤❡r❡♥t❧② s✉♠♠❡❞ s♣❛t✐❛❧ ♠♦❞❡s
❧❡❛❞ t♦ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢r✐♥❣❡s✳ ■♥ t❤❡ ❛♣♣❡♥❞✐①✱ ✇❡ ❝♦♠♣✉t❡ t❤❡s❡ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ♣❛tt❡r♥s ❛♥❞
s❤♦✇ t❤❡✐r ❞❡♣❡♥❞❡♥❝❡ ♦♥ t❤❡ ❡r❛s✉r❡ ❛♥❣❧❡ θ ✳ ❘❡❣❛r❞❧❡ss ♦❢ t❤❡ t❡♠♣♦r❛❧ ♦r❞❡r ♦❢ t❤❡ t✇♦
♣♦❧❛r✐③❛t✐♦♥ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥ts✱ t❤❡ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥t ♦❢ B ❝❛♥ ❜❡ s❡❡♥ ❛s st❛t❡ ♣r❡♣❛r❛t✐♦♥✱ ✇❤✐❧❡
t❤❡ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥t ♦❢ A ✐s st❛t❡ ❞❡t❡r♠✐♥❛t✐♦♥✱ t❤❛t ✐s✱ ❡①tr❛❝t✐♦♥ ♦❢ ✇❤✐❝❤✲♣❛t❤ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥✳

✶✶✺

✻✳✸ ■♥❢♦r♠❛t✐♦♥ ❚❤❡♦r②
✻✳✸✳✶ ❙t❛t❡ Pr❡♣❛r❛t✐♦♥
❲❡ ✐❧❧✉str❛t❡ t❤❡ q✉❛♥t✉♠ ❡r❛s✉r❡ ♠❡❝❤❛♥✐s♠ ❜② ❜✉✐❧❞✐♥❣ ♦♥ t❤❡ ❡♥tr♦♣② ❱❡♥♥ ❞✐❛❣r❛♠s ✐♥
❋✐❣✳ ✻✳✷ ❛♥❞ ❝♦♥str✉❝t✐♥❣ t❤❡ ❡♥tr♦♣✐❝ r❡❧❛t✐♦♥s❤✐♣s ❜❡t✇❡❡♥ t❤❡ r❛♥❞♦♠ ✈❛r✐❛❜❧❡s Q✱ P ✱ ❛♥❞

DB ❢r♦♠ t❤❡ ❥♦✐♥t ❛♥❞ ♠❛r❣✐♥❛❧ ❡♥tr♦♣✐❡s ❛ss♦❝✐❛t❡❞ ✇✐t❤ ❊q✳ ✭✻✳✶✾✮✳ ■♥ t❤❡ ❜❛s✐s |φk ⊗ |k
✐t ✐s ❝❧❡❛r t❤❛t t❤❡ ❡♥tr♦♣② ♦❢ ✭✻✳✶✾✮ ✐s S(QP DB ) = 1✱ ✇❤✐❧❡ t❤❡ ♠❛r❣✐♥❛❧ ❡♥tr♦♣✐❡s ❛r❡ ❛❧❧

S(Q) = S(P ) = S(DB ) = 1✳ ❚r❛❝✐♥❣ ♦✈❡r ❞❡t❡❝t♦r DB ✱ t❤❡ t♦t❛❧ ❡♥tr♦♣② ♦❢ A ≡ QP ✐s ❛❧s♦
S(QP ) = 1✳ ❚❤❡ ♣❛✐r✇✐s❡ ❡♥tr♦♣② S(P DB ) ✐s ❡q✉❛❧ t♦ S(QB) ❜② t❤❡ ❙❝❤♠✐❞t ❞❡❝♦♠♣♦s✐t✐♦♥
♦❢ ✭✻✳✶✹✮✱ ✇❤✐❝❤ ✐♥ t✉r♥ ✐s ❡q✉❛❧ t♦ S(QDB ) ❜② t❤❡ s②♠♠❡tr② ❜❡t✇❡❡♥ t❤❡ B ❛♥❞ DB st❛t❡s✳
❚❤❡ r❡♠❛✐♥✐♥❣ ♣❛✐r✇✐s❡ ❡♥tr♦♣② ✐s ❝♦♠♣✉t❡❞ ❢r♦♠ t❤❡ ❞❡♥s✐t② ♠❛tr✐①

ρQD

B

=

1
2

ρkQ ⊗ |k D

B

k|,

✭✻✳✷✵✮

k

✇❤❡r❡ t❤❡ st❛t❡ ♦❢ Q ❝♦♥❞✐t✐♦♥❛❧ ♦♥ t❤❡ ♦✉t❝♦♠❡ k ♦❢ ❞❡t❡❝t♦r DB ✐s

1
|ψ k
ψk |
2 m m Q m
1
=
|ψ1 Q ψ1 | + |ψ2 Q ψ2 | + i (−1)k sin 2θ |ψ1 Q ψ2 | − |ψ2 Q ψ1 |
2

ρkQ =

✭✻✳✷✶✮

.

❋r♦♠ t❤✐s ❡①♣r❡ss✐♦♥✱ ✇❡ s❡❡ t❤❛t ❢♦r ❛ ❣✐✈❡♥ ♦✉t❝♦♠❡ k ✱ t❤❡ s♣❛t✐❛❧ ❞❡❣r❡❡ ♦❢ ❢r❡❡❞♦♠ ♦❢
♣❤♦t♦♥ A ✐s ❣❡♥❡r❛❧❧② ♥♦ ❧♦♥❣❡r ♠✐①❡❞ ❬❛s ✐♥ ❊q✳ ✭✻✳✶✵✮❪ ❛♥❞ ❤❛s ❛ ❝♦❤❡r❡♥❝❡ t❤❛t ✐s ❝♦♥tr♦❧❧❡❞
❜② t❤❡ s✐♥❡ ♦❢ t❤❡ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥t ❛♥❣❧❡✳ ■♥ t✉r♥✱ ✐t ✐s ♣♦ss✐❜❧❡ t♦ ❡①tr❛❝t ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢r✐♥❣❡s
❢r♦♠ t❤❡ s❝r❡❡♥✳ ❲✐t❤ t❤❡ ❇❧♦❝❤ ✈❡❝t♦r a = −(−1)k sin(2θ) yˆ✱ ❊q✳ ✭✻✳✷✶✮ ❝❛♥ ❜❡ ❡①♣r❡ss❡❞ ❛s

ρkQ = 21 (✶ − (−1)k sin(2θ) σy )✱ ✇❤❡r❡ yˆ ✐s ❛ ✉♥✐t ✈❡❝t♦r✱ ✶ ✐s t❤❡ ✐❞❡♥t✐t② ♠❛tr✐① ♦❢ ❞✐♠❡♥s✐♦♥
t✇♦✱ ❛♥❞ σy ✐s ❛ P❛✉❧✐ ♠❛tr✐①✳ ❚❤✐s ❞❡♥s✐t② ♠❛tr✐① ✈❛r✐❡s ❢r♦♠ ❛ ❢✉❧❧② ♠✐①❡❞ st❛t❡ |a| = 0 ❛t

✶✶✻

Q

Q

−S

0

2S

S

S

1 − 2S
−S

1
−S

1−S

0

S

S
DB

P

DA

(a)

0
DB

(b)

❋✐❣✉r❡ ✻✳✸✿ ❊♥tr♦♣② ❱❡♥♥ ❞✐❛❣r❛♠s ❢♦r ✭❛✮ st❛t❡ ♣r❡♣❛r❛t✐♦♥ ✇✐t❤ ❞❡t❡❝t♦r DB ❬s❡❡
❊q✳ ✭✻✳✶✹✮❪✱ ❛♥❞ ✭❜✮ st❛t❡ ❞❡t❡r♠✐♥❛t✐♦♥ ✇✐t❤ ❞❡t❡❝t♦r DA ❬s❡❡ ❊q✳ ✭✻✳✷✸✮❪✳ ❍❡r❡✱ S ✐s
t❤❡ ❡♥tr♦♣② ♦❢ ❊q✳ ✭✻✳✷✶✮✳

θ = 0 t♦ ❛ ♣✉r❡ st❛t❡ |a| = 1 ❛t θ = π/4✳
❚♦ ❝♦♠♣✉t❡ t❤❡ ❡♥tr♦♣② ♦❢ t❤❡ ❜❧♦❝❦✲❞✐❛❣♦♥❛❧ ♠❛tr✐① ✐♥ ❊q✳ ✭✻✳✷✵✮✱ ✇❡ ✜rst ✜♥❞ t❤❡
❡♥tr♦♣② ♦❢ ρkQ ✳ ❚❤❡ ❡✐❣❡♥✈❛❧✉❡s ♦❢ ρkQ ❛r❡ λ± = 21 (1±|a|) = 12 [1±sin(2θ)] ❛♥❞ ❛r❡ ✐♥❞❡♣❡♥❞❡♥t
♦❢ t❤❡ ✐♥❞❡① k ✱ ❧❡❛❞✐♥❣ t♦ ❡q✉❛❧ ❡♥tr♦♣✐❡s S(ρ0Q ) = S(ρ1Q )✳ ❚❤❡r❡❢♦r❡✱ t❤❡ ❡♥tr♦♣② ♦❢ ✭✻✳✷✵✮✱
✇❤✐❝❤ ✐s ❛❧s♦ ❡q✉❛❧ t♦ t❤❡ ❡♥tr♦♣② S(P DB )✱ ✐s ❬✷✺❪

S(QDB ) = 1 +

1
2

S(ρkQ ) = 1 + S,

✭✻✳✷✷✮

k

✇❤❡r❡ S = −λ+ log λ+ − λ− log λ− ✐s t❤❡ ❡♥tr♦♣② ♦❢ ✭✻✳✷✶✮✱ ❛♥❞ ✈❛r✐❡s ❢r♦♠ S = 1 ❛t θ = 0
t♦ S = 0 ❛t θ = π/4✳
❚❤❡ r❡❧❛t✐♦♥s❤✐♣ ❜❡t✇❡❡♥ t❤❡ ✈❛r✐❛❜❧❡s Q✱ P ✱ ❛♥❞ DB ✐s s✉♠♠❛r✐③❡❞ ❜② t❤❡ ❡♥tr♦♣②
❱❡♥♥ ❞✐❛❣r❛♠ ✐♥ ❋✐❣✳ ✻✳✸✭❛✮✳ ❆s ❛ r❡s✉❧t ♦❢ t❛❣❣✐♥❣ t❤❡ ♣❛t❤ ♦❢ ♣❤♦t♦♥ A✱ t❤❡ s♣❛t✐❛❧ ❛♥❞
♣♦❧❛r✐③❛t✐♦♥ ♠♦❞❡s ♦❢ A ❛r❡ ❡♥t❛♥❣❧❡❞✱ ❣✐✈❡♥ t❤❡ st❛t❡ ♦❢ DB ✱ ❢♦r S > 0 ✭θ < π/4✮✳ ❚❤❡
❛♠♦✉♥t ♦❢ ❡♥t❛♥❣❧❡♠❡♥t S ✈❛r✐❡s ✇✐t❤ t❤❡ ❡r❛s✉r❡ ❛♥❣❧❡ θ ❛♥❞ s♣❡❝✐✜❡s t❤❡ ❞❡❣r❡❡ t♦ ✇❤✐❝❤
t❤❡ ♣♦❧❛r✐③❛t✐♦♥ P ❝❛♥ r❡✈❡❛❧ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥ ❛❜♦✉t t❤❡ s♣❛t✐❛❧ ♠♦❞❡ Q✳ ❚❤❡ ♥♦♥✲③❡r♦ t❡r♥❛r②

✶✶✼

♠✉t✉❛❧ ❡♥tr♦♣② S(Q : P : DB ) = 1 − 2S ✐♥❞✐❝❛t❡s t❤❛t t❤❡ ♠✉t✉❛❧ ❡♥tr♦♣② ♦❢ Q ❛♥❞ P ❝❛♥
❜❡ s❤❛r❡❞ ❜② ❞❡t❡❝t♦r DB ❬✼✶❪✳

✻✳✸✳✷ ❙t❛t❡ ❉❡t❡r♠✐♥❛t✐♦♥
■♥ ♦r❞❡r t♦ r❡✈❡❛❧ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥ ❛❜♦✉t t❤❡ ♣❛t❤ ♦❢ ♣❤♦t♦♥ A✱ ✐ts ♣♦❧❛r✐③❛t✐♦♥ ✐s ♠❡❛s✉r❡❞ ❛❢t❡r
✐t ♣❛ss❡s t❤❡ ❞♦✉❜❧❡✲s❧✐t ❛♣♣❛r❛t✉s ✉s✐♥❣ ❛ ❞❡t❡❝t♦r DA ✐♥ t❤❡ ❝✐r❝✉❧❛r |L , |R ❜❛s✐s✳ ❆❢t❡r
t❤❡ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥t ✇✐t❤ DA ✱ t❤❡ ✇❛✈❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ ✭✻✳✶✹✮ ❡✈♦❧✈❡s t♦

1
|Ψ AD BD =
A
B
2

k
im |ψm
Q ⊗ |mm P DA ⊗ |kk BDB .

✭✻✳✷✸✮

mk

❚❤❡ ❡♥tr♦♣✐❝ r❡❧❛t✐♦♥s ❜❡t✇❡❡♥ t❤❡ ✈❛r✐❛❜❧❡s Q✱ DA ✱ ❛♥❞ DB ❛r❡ ❝♦♠♣✉t❡❞ ❢r♦♠ t❤❡✐r ❥♦✐♥t
❞❡♥s✐t② ♠❛tr✐①✱ ✇❤✐❝❤ ✐s ❢♦✉♥❞ ❜② tr❛❝✐♥❣ ♦✉t t❤❡ ♣♦❧❛r✐③❛t✐♦♥ st❛t❡s ♦❢ ♣❤♦t♦♥s A ❛♥❞ B
❢r♦♠ ✭✻✳✷✸✮✱

1
ρQD D =
A B
4

k
k
|ψm
Q ψm | ⊗ |m DA m| ⊗ |k DB k|.

✭✻✳✷✹✮

mk

k
❋♦r ❛ s❡t ♦❢ ♦✉t❝♦♠❡s k ❛♥❞ m✱ t❤❡ ❝♦rr❡s♣♦♥❞✐♥❣ s♣❛t✐❛❧ st❛t❡ ♦❢ ♣❤♦t♦♥ A ✐s |ψm
Q ✳ ■t ✐s

str❛✐❣❤t❢♦r✇❛r❞ t♦ s❤♦✇ t❤❛t t❤❡ ❡♥tr♦♣② ♦❢ ❊q✳ ✭✻✳✷✹✮ ✐s S(QDA DB ) = 2✱ ✇❤✐❧❡ t❤❡ ♠❛r❣✐♥❛❧
❡♥tr♦♣✐❡s ❛r❡ S(Q) = S(DA ) = S(DB ) = 1✳
❚r❛❝✐♥❣ ♦✈❡r t❤❡ s♣❛t✐❛❧ st❛t❡s Q ✐♥ ❊q✳ ✭✻✳✷✹✮✱ ✇❡ ✜♥❞ t❤❛t t❤❡ t✇♦ ♣♦❧❛r✐③❛t✐♦♥ ❞❡t❡❝t♦rs
❛r❡ ✉♥❝♦rr❡❧❛t❡❞

1
1
ρD D = ✶D ⊗ ✶D ,
A B
2 A 2 B

✶✶✽

✭✻✳✷✺✮

✇✐t❤ ❛ ❥♦✐♥t ❡♥tr♦♣② S(DA DB ) = 2 ❛♥❞

S(DA : DB ) = 0.

✭✻✳✷✻✮

❚❤✉s✱ t❤❡ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥t ✇✐t❤ DA r❡✈❡❛❧s ♥♦ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥ ❛❜♦✉t t❤❡ st❛t❡ ♦❢ DB ✳ ❚❤✐s ✐s
♥♦t s✉r♣r✐s✐♥❣ ❛s t❤❡ ◗❲Ps ❛❝t ❛s ❛ ✏❝♦♥tr♦❧❧❡❞✲♥♦t✑ ❣❛t❡ ♦♥ t❤❡ ♣♦❧❛r✐③❛t✐♦♥✳ ■♥❞❡❡❞✱
❝♦♥❞✐t✐♦♥✐♥❣ ♦♥ t❤❡ s♣❛t✐❛❧ st❛t❡s ♦❢ ♣❤♦t♦♥ A ②✐❡❧❞s

S(DA : DB |Q) = S ≥ 0.

✭✻✳✷✼✮

■♥ ❛ s❡♥s❡✱ t❤❡r❡❢♦r❡✱ t❤❡ st❛t❡s ♦❢ Q ❡♥❝r②♣t t❤❡ r❡❧❛t✐♦♥s❤✐♣ ❜❡t✇❡❡♥ t❤❡ st❛t❡ ♣r❡♣❛r❛t✐♦♥
✇✐t❤ DB ❛♥❞ ✐ts r❡❛❞♦✉t ✇✐t❤ DA ✳
❚r❛❝✐♥❣ ♦✉t t❤❡ st❛t❡s ♦❢ t❤❡ ♣♦❧❛r✐③❛t✐♦♥ ❞❡t❡❝t♦r DA ✐♥ ❊q✳ ✭✻✳✷✹✮✱ t❤❡ ❥♦✐♥t ❞❡♥s✐t②
♠❛tr✐① ρQD ✐s ✉♥❝❤❛♥❣❡❞ ❢r♦♠ ❊q✳ ✭✻✳✷✵✮✱ s✐♥❝❡ t❤❡ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥t ✇✐t❤ DA ❞♦❡s ♥♦t ❛✛❡❝t
B
t❤❡ ❝♦rr❡❧❛t✐♦♥s ❜❡t✇❡❡♥ Q ❛♥❞ DB ✳
❚r❛❝✐♥❣ ♦✈❡r t❤❡ st❛t❡s ♦❢ DB ✐♥ ❊q✳ ✭✻✳✷✹✮✱ t❤❡ ❥♦✐♥t ❞❡♥s✐t② ♠❛tr✐① ❢♦r Q ❛♥❞ DA ✐♥
t✉r♥ ✐s

ρQD =
A

1
1
1
ρm
⊗ |m D m| = ✶Q ⊗ ✶D ,
Q
A
2 m
2
2 A

✭✻✳✷✽✮

✇❤❡r❡ t❤❡ ❞❡♥s✐t② ♠❛tr✐① ♦❢ Q✱ ❝♦♥❞✐t✐♦♥❛❧ ♦♥ t❤❡ ♣♦❧❛r✐③❛t✐♦♥ ♦✉t❝♦♠❡ m ♦❢ ❞❡t❡❝t♦r DA ✱
✐s

ρm
Q =

1
2

k

1
k
k
|ψm
|ψ1 Q ψ1 | + |ψ2 Q ψ2 | ,
Q ψm | =
2

✭✻✳✷✾✮

✇❤✐❝❤ ✐s ✐♥❞❡♣❡♥❞❡♥t ♦❢ t❤❡ ♣♦❧❛r✐③❛t✐♦♥ ✐♥❞❡① m✱ ❛♥❞ ✐s ❡q✉✐✈❛❧❡♥t t♦ t❤❡ ❢✉❧❧ ❞❡♥s✐t② ♠❛tr✐①
1
ρQ ✳ ❚❤❛t ✐s✱ ρm
Q = ρQ = 2 ✶Q ✐s ❛ ❝♦♠♣❧❡t❡❧② ♠✐①❡❞ st❛t❡✳ ❋✐♥❛❧❧②✱ t❤❡ ❥♦✐♥t ❡♥tr♦♣② ♦❢ Q

✶✶✾

❛♥❞ DA ✐s S(QDA ) = 2✳ ❚❤❡ ❡♥tr♦♣✐❝ r❡❧❛t✐♦♥s❤✐♣s ❜❡t✇❡❡♥ t❤❡ ✈❛r✐❛❜❧❡s Q✱ DA ❛♥❞ DB
❛r❡ s✉♠♠❛r✐③❡❞ ❜② t❤❡ ❱❡♥♥ ❞✐❛❣r❛♠ ✐♥ ❋✐❣✳ ✻✳✸✭❜✮✳

✻✳✸✳✸ ■♥❢♦r♠❛t✐♦♥✲❚❤❡♦r❡t✐❝ ❖r✐❣✐♥s ♦❢ ❈♦❤❡r❡♥❝❡ ❛♥❞ P❛t❤ ■♥❢♦r✲
♠❛t✐♦♥
❋r♦♠ t❤❡ ♠❛r❣✐♥❛❧ ❛♥❞ ❥♦✐♥t ❡♥tr♦♣✐❡s ❝♦♠♣✉t❡❞ ✐♥ t❤❡ ♣r❡✈✐♦✉s s❡❝t✐♦♥✱ ✇❡ ❝❛♥ ❝♦♥str✉❝t
✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥✲t❤❡♦r❡t✐❝ r❡❧❛t✐♦♥s❤✐♣s ❜❡t✇❡❡♥ t❤❡ ✈❛r✐❛❜❧❡s Q✱ DA ✱ ❛♥❞ DB ✳

✻✳✸✳✸✳✶

❈♦❤❡r❡♥❝❡

❚❤❡ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥ s❤❛r❡❞ ❜❡t✇❡❡♥ t❤❡ ♣r❡♣❛r❛t✐♦♥ ✇✐t❤ ❞❡t❡❝t♦r DB ❛♥❞ t❤❡ q✉❛♥t✉♠ s②st❡♠

Q ✭t❤❡ s♣❛t✐❛❧ st❛t❡ ♦❢ ♣❤♦t♦♥ A✮ ✐s ❣✐✈❡♥ ❜② t❤❡ ♠✉t✉❛❧ ❡♥tr♦♣②

S(Q : DB ) = 1 − S ≤ 1 ,

✭✻✳✸✵✮

✇✐t❤ S ❞❡✜♥❡❞ ✐♥ ❊q✳ ✭✻✳✷✷✮✳ ❲❡ ❝❛♥ ✉♥❞❡rst❛♥❞ ❤♦✇ t❤✐s ❡♥tr♦♣② ❞❡♣❡♥❞s ♦♥ t❤❡ ❡r❛s✉r❡
❛♥❣❧❡ θ ❜② ❝♦♥s✐❞❡r✐♥❣ t✇♦ ❝❛s❡s✳ ❋✐rst✱ ❢r♦♠ t❤❡ ❥♦✐♥t ❞❡♥s✐t② ♠❛tr✐① ρQD ✐♥ ❊q✳ ✭✻✳✷✵✮✱ ❛
B
♠❡❛s✉r❡♠❡♥t ♦❢ ♣❤♦t♦♥ B ❛t ❛♥ ❛♥❣❧❡ θ = 0 ❞❡❝♦✉♣❧❡s Q ❢r♦♠ ❞❡t❡❝t♦r DB

θ = 0 : ρQD

B

1
1
= ✶Q ⊗ ✶D ,
2
2 B

✭✻✳✸✶✮

❛♥❞ t❤❡ ❝♦♥❞✐t✐♦♥❛❧ st❛t❡ ρkQ ✐♥ ❊q✳ ✭✻✳✷✶✮ ❜❡❝♦♠❡s ❛ st❛t✐st✐❝❛❧ ♠✐①t✉r❡✱ ✐✳❡✳✱ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡
❝❛♥♥♦t ❜❡ ♦❜s❡r✈❡❞ ♦♥ t❤❡ s❝r❡❡♥✳ ■♥ t❤✐s ❝❛s❡✱ S(Q : DB ) = 0 ❛♥❞ t❤❡r❡ ✐s ♥♦ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥
s❤❛r❡❞ ❜❡t✇❡❡♥ t❤❡ t✇♦ ✈❛r✐❛❜❧❡s✳ ❍♦✇❡✈❡r✱ ✐♥❝r❡❛s✐♥❣ t❤❡ ❡r❛s✉r❡ ❛♥❣❧❡ t♦ θ = π/4 ❧❡❛❞s t♦

✶✷✵

♣❡r❢❡❝t ❝♦rr❡❧❛t✐♦♥

θ=

1
π
: ρQD =
|f Q f | ⊗ |0 D 0| + |a Q a| ⊗ |1 D 1| ,
B
B
B
4
2

✭✻✳✸✷✮

✇❤❡r❡ |f Q = √1 (|ψ1 Q − i|ψ2 Q ) ❝♦rr❡s♣♦♥❞s t♦ ❛ ❢r✐♥❣❡ ♣❛tt❡r♥ ❛♥❞ |a Q = √1 (|ψ1 Q +
2
2

i|ψ2 Q ) ❝♦rr❡s♣♦♥❞s t♦ ❛♥ ❛♥t✐✲❢r✐♥❣❡ ✭♣❤❛s❡❞✲s❤✐❢t❡❞✮ ♣❛tt❡r♥✳ ◆♦✇✱ ρ0Q = |f Q f | ❛♥❞
ρ1Q = |a Q a| ❛r❡ ❝♦❤❡r❡♥t s✉♣❡r♣♦s✐t✐♦♥s✱ ✐✳❡✳✱ ✐t ✐s ♣♦ss✐❜❧❡ t♦ ❡①tr❛❝t ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ♦♥ t❤❡
s❝r❡❡♥✳ ❆t t❤✐s ❛♥❣❧❡✱ S(Q : DB ) = 1✳ ❚❤❡r❡❢♦r❡✱ t❤❡ ♠✉t✉❛❧ ❡♥tr♦♣② S(Q : DB ) ✐s r❡❧❛t❡❞
t♦ t❤❡ ❝♦❤❡r❡♥❝❡ ♦❢ t❤❡ ❝♦♥❞✐t✐♦♥❛❧ st❛t❡s ρkQ ✱ ❛♥❞ ✐♥ t✉r♥✱ t♦ t❤❡ ✈✐s✐❜✐❧✐t② ♦❢ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡
❢r✐♥❣❡s ❛s ✇❡ ✇✐❧❧ s❡❡ ❜❡❧♦✇✳

✻✳✸✳✸✳✷

P❛t❤ ■♥❢♦r♠❛t✐♦♥

❋r♦♠ t❤❡ ❥♦✐♥t ❞❡♥s✐t② ♠❛tr✐① ρQD ❝♦♠♣✉t❡❞ ✐♥ ❊q✳ ✭✻✳✷✽✮✱ t❤❡ ♣♦❧❛r✐③❛t✐♦♥ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥t
A
✇✐t❤ ❞❡t❡❝t♦r DA r❡✈❡❛❧s ♥♦t❤✐♥❣ ❛❜♦✉t t❤❡ s♣❛t✐❛❧ ❞❡❣r❡❡ ♦❢ ❢r❡❡❞♦♠ ♦❢ A s✐♥❝❡ t❤❡ ❥♦✐♥t
st❛t❡ ✐s ❝♦♠♣❧❡t❡❧② ❞❡❝♦✉♣❧❡❞✳ ■t ❢♦❧❧♦✇s t❤❛t t❤❡ ♠✉t✉❛❧ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥ ✈❛♥✐s❤❡s

S(Q : DA ) = 0.

✭✻✳✸✸✮

■♥ ♦t❤❡r ✇♦r❞s✱ ✐❢ ✇❡ ❞♦ ♥♦t ❦♥♦✇ t❤❡ ♦✉t❝♦♠❡ ♦❢ t❤❡ ♣♦❧❛r✐③❛t✐♦♥ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥t ♦❢ ♣❤♦t♦♥

B ✱ ❛♥ ❛tt❡♠♣t t♦ ♠❡❛s✉r❡ t❤❡ ♣♦❧❛r✐③❛t✐♦♥ ♦❢ A ❛❢t❡r ✐t tr❛✈❡rs❡s t❤❡ ❞♦✉❜❧❡ s❧✐t ❛♥❞ ◗❲Ps
✇✐❧❧ ♥♦t r❡✈❡❛❧ ❛♥②t❤✐♥❣ ❛❜♦✉t t❤❡ s♣❛t✐❛❧ st❛t❡ ♦❢ A✳ ❖♥ t❤❡ ♦t❤❡r ❤❛♥❞✱ ✐❢ ✇❡ ❞♦ ❦♥♦✇ t❤❡
st❛t❡ ♦❢ DB ✱ t❤❡♥ t❤❡ ❝♦♥❞✐t✐♦♥❛❧ ♠✉t✉❛❧ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥ ✐s

S(Q : DA |DB ) = S ≥ 0,

❛♥❞ ✈❛r✐❡s ✇✐t❤ t❤❡ ❡r❛s✉r❡ ❛♥❣❧❡ θ ✳

✶✷✶

✭✻✳✸✹✮

❚♦ ✉♥❞❡rst❛♥❞ t❤❡ ❜❡❤❛✈✐♦r ♦❢ t❤✐s q✉❛♥t✐t② ❛s ❛ ❢✉♥❝t✐♦♥ ♦❢ θ ✱ ❝♦♥s✐❞❡r t❤❡ st❛t❡ ♦❢ Q
❛♥❞ DA ✱ ❝♦♥❞✐t✐♦♥❛❧ ♦♥ t❤❡ ♦✉t❝♦♠❡ k ♦❢ DB ✳ ❆❝❝♦r❞✐♥❣ t♦ ❊q✳ ✭✻✳✷✹✮✱ t❤✐s st❛t❡ ✐s ρkQD =
A
1
k
k
m |ψm Q ψm | ⊗ |m DA m|✳ ❋♦r ❛♥ ♦✉t❝♦♠❡ k = 0 ♦❢ ❛ ♣♦❧❛r✐③❛t✐♦♥ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥t ♦❢
2
♣❤♦t♦♥ B ❛t ❛♥❣❧❡ θ = 0✱

1
|ψ1 Q ψ1 | ⊗ |L D L| + |ψ2 Q ψ2 | ⊗ |R D R| .
θ = 0 : ρ0QD =
A
A
A
2

✭✻✳✸✺✮

❆t t❤✐s ❛♥❣❧❡✱ t❤❡ ❝♦♥❞✐t✐♦♥❛❧ ♠✉t✉❛❧ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥ ✐s ♠❛①✐♠❛❧✱ S(Q : DA |DB ) = 1✱ ❛♥❞ ✐t
✐s ❝❧❡❛r t❤❛t t❤❡ st❛t❡ ♦❢ t❤❡ ♣♦❧❛r✐③❛t✐♦♥ ❞❡t❡❝t♦r DA ✐s ❛ss♦❝✐❛t❡❞ ✇✐t❤ ♦♥❡ ♦❢ t❤❡ st❛t❡s

|ψj Q ✱ s♦ t❤❛t t❤❡ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥t ❝❛♥ r❡✈❡❛❧ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥ ❛❜♦✉t t❤❡ ♣❛t❤ ♦❢ ♣❤♦t♦♥ A✳ ❋♦r
✐♥st❛♥❝❡✱ ❛♥ ♦✉t❝♦♠❡ L ❝♦rr❡s♣♦♥❞s t♦ t❤❡ st❛t❡ |ψ1 Q ✳ ❆s t❤❡ ❡r❛s✉r❡ ❛♥❣❧❡ θ ✐♥❝r❡❛s❡s
❢r♦♠ ③❡r♦ t♦ π/4✱ t❤❡ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥ ✇❡ ❤❛✈❡ ❛❜♦✉t t❤❡ s♣❛t✐❛❧ st❛t❡ ♦❢ A ✐s r❡❞✉❝❡❞ t♦ ③❡r♦✱
s✐♥❝❡ t❤❡ ❞❡♥s✐t② ♠❛tr✐① ❜❡❝♦♠❡s ❞❡❝♦✉♣❧❡❞✿

θ=

π
1
: ρ0QD = |f Q f | ⊗ ✶D .
A
A
4
2

✭✻✳✸✻✮

❆t t❤✐s ❛♥❣❧❡✱ S(Q : DA |DB ) = 0✳ ❚❤❡r❡❢♦r❡✱ t❤❡ t❛❣❣✐♥❣ ♦♣❡r❛t✐♦♥ ✇✐t❤ t❤❡ ◗❲Ps ♦♥❧②
r❡✈❡❛❧s ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥ ❛❜♦✉t t❤❡ ♣❛t❤ ♦❢ A ❛s ❧♦♥❣ ❛s ✇❡ ❤❛✈❡ ❛❞❞✐t✐♦♥❛❧ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥ ❛❜♦✉t t❤❡
st❛t❡ ♦❢ ♣❤♦t♦♥ B ❢r♦♠ ✐ts ♣♦❧❛r✐③❛t✐♦♥ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥t ✇✐t❤ ❞❡t❡❝t♦r DB ✳ ❚❤✉s✱ ❊q✳ ✭✻✳✸✹✮ ✐s
t❤❡ ❝♦rr❡❝t ❡①♣r❡ss✐♦♥ ❢♦r ✇❤✐❝❤✲♣❛t❤ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥✳ ◆♦t❡ ❢✉rt❤❡r t❤❛t

S(Q : DA DB ) = 1 ,

✭✻✳✸✼✮

✇❤✐❝❤ ✐♠♣❧✐❡s t❤❛t✖❣✐✈❡♥ t❤❡ ♦✉t❝♦♠❡s ♦❢ ❜♦t❤ ♣♦❧❛r✐③❛t✐♦♥ ❞❡t❡❝t♦rs DA ❛♥❞ DB ✖✐t ✐s
♣♦ss✐❜❧❡ t♦ ♣r❡❞✐❝t ✇✐t❤ ❝❡rt❛✐♥t② t❤❡ ♦✉t❝♦♠❡ ♦❢ ❛ ❞✐r❡❝t ♠❡❛s✉r❡♠❡♥t ♦❢ t❤❡ ♣❛t❤ ♦❢ ♣❤♦t♦♥

A✳
✶✷✷

✻✳✹ ❉✐s❝✉ss✐♦♥
❚❤❡ q✉❛♥t✐t✐❡s ❝♦♥s✐❞❡r❡❞ ✐♥ t❤❡ ♣r❡✈✐♦✉s s❡❝t✐♦♥ ❝❛♥ ❜❡ ✉s❡❞ t♦ ❣❡♥❡r❛❧✐③❡ t❤❡ ✉s✉❛❧ ❝♦♥❝❡♣ts
♦❢ ❝♦❤❡r❡♥❝❡ ❛♥❞ ♣❛t❤ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥✱ ❛❧❧♦✇✐♥❣ ✉s t♦ ❝♦♥str✉❝t ❛ ♠♦r❡ ❢✉♥❞❛♠❡♥t❛❧ r❡❧❛t✐♦♥✲
s❤✐♣ t❤❛t ✐s ❞❡r✐✈❡❞ ❢r♦♠ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥✲t❤❡♦r❡t✐❝ ♣r✐♥❝✐♣❧❡s ❛♥❞ ❛ ✉♥✐t❛r② ♠♦❞❡❧ ♦❢ q✉❛♥t✉♠
♠❡❛s✉r❡♠❡♥t ❬✺✾❪✳
❘❡❝❛♣✐t✉❧❛t✐♥❣ t❤❡ r❡s✉❧ts ❢r♦♠ t❤❡ ♣r❡✈✐♦✉s s❡❝t✐♦♥✱ ✇❡ ❦♥♦✇ t❤❛t ✇❤❡t❤❡r ✇❡ ❡①tr❛❝t
❢r✐♥❣❡s ♦r ❛♥t✐❢r✐♥❣❡s ❢r♦♠ t❤❡ s❝r❡❡♥ ✐s ❝♦♥tr♦❧❧❡❞ ❜② t❤❡ st❛t❡ ♦❢ DB ✳ ❚❤❡ ✈✐s✐❜✐❧✐t② ♦❢ t❤❡
❢r✐♥❣❡s ✐s✱ ✐♥ t✉r♥✱ r❡❧❛t❡❞ t♦ t❤❡ ❝♦❤❡r❡♥❝❡ ♦❢ t❤❡ ❝♦♥❞✐t✐♦♥❛❧ st❛t❡ ρkQ ♦❢ Q ✐♥ ❊q✳ ✭✻✳✷✶✮
❛♥❞ t❤❡ ♠✉t✉❛❧ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥ S(Q : DB )✳ ❆s ✇❡ ❤❛✈❡ ❛❧r❡❛❞② s❡❡♥✱ ❛t ❛♥❣❧❡ θ = 0 ✭θ = π/4✮
t❤❡ t✇♦ ✈❛r✐❛❜❧❡s Q ❛♥❞ DB ❛r❡ ❝♦♠♣❧❡t❡❧② ✉♥❝♦rr❡❧❛t❡❞ ✭❝♦rr❡❧❛t❡❞✮✱ t❤❡ ❝♦♥❞✐t✐♦♥❛❧ st❛t❡

ρkQ ✐s ❛ st❛t✐st✐❝❛❧ ♠✐①t✉r❡ ✭❝♦❤❡r❡♥t s✉♣❡r♣♦s✐t✐♦♥✮✱ ❛♥❞ ✇❡ ♦❜s❡r✈❡ ♥♦ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ✭❢✉❧❧
✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡✮✳
❖♥ t❤❡ ♦t❤❡r ❤❛♥❞✱ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥ ❛❜♦✉t t❤❡ ♣❛t❤ ♦❢ ♣❤♦t♦♥ A ✐s ❞❡t❡r♠✐♥❡❞ ❜② t❤❡ ❝♦r✲
r❡❧❛t✐♦♥ ❜❡t✇❡❡♥ ✐ts ♣♦❧❛r✐③❛t✐♦♥ ✭✈✐❛ t❤❡ st❛t❡ ♦❢ ❞❡t❡❝t♦r DA ✮ ❛♥❞ ✐ts s♣❛t✐❛❧ st❛t❡s✳ ❚❤✐s
❝♦rr❡❧❛t✐♦♥ ✐s ❝♦♠♣✉t❡❞ ❢r♦♠ t❤❡ ❝♦♥❞✐t✐♦♥❛❧ ♠✉t✉❛❧ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥ S(Q : DA |DB )✱ ❛♥❞ ♠✉st
❜❡ ❝♦♥❞✐t✐♦♥❡❞ ♦♥ t❤❡ st❛t❡ ♦❢ DB s✐♥❝❡ Q ❛♥❞ DA ❛r❡ ♦t❤❡r✇✐s❡ ✉♥❝♦rr❡❧❛t❡❞✳

❲❤❡♥

θ = 0 ✭θ = π/4✮✱ t❤❡ ✈❛r✐❛❜❧❡s Q ❛♥❞ DA ❛r❡ ❝♦♠♣❧❡t❡❧② ❝♦rr❡❧❛t❡❞ ✭✉♥❝♦rr❡❧❛t❡❞✮ ❣✐✈❡♥
DB ✱ s♦ t❤❛t DA ❝❛♥ ✭❝❛♥♥♦t✮ r❡✈❡❛❧ ♣❛t❤ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥✱ ❛♥❞ ✇❡ ❡①tr❛❝t ♥♦ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ✭❢✉❧❧
✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡✮ ❢r♦♠ t❤❡ s❝r❡❡♥✳
❚❤❡s❡ t✇♦ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥✲t❤❡♦r❡t✐❝ q✉❛♥t✐t✐❡s✱ ♥❛♠❡❧②✱ t❤❡ ❝♦❤❡r❡♥❝❡ S(Q : DB ) ♦❢ s②st❡♠

Q ❛♥❞ ✐ts ♣❛t❤ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥ S(Q : DA |DB )✱ ❛r❡ ❢✉♥❞❛♠❡♥t❛❧❧② ❧✐♥❦❡❞ t❤r♦✉❣❤ t❤❡ ❝❤❛✐♥ r✉❧❡
❢♦r ❡♥tr♦♣✐❡s

S(Q : DB ) + S(Q : DA |DB ) = S(Q : DA DB ) = 1,
✶✷✸

✭✻✳✸✽✮

1

S(Q : DA DB)

0
1

S(Q : DB)

D2
V2

0
0

π/8

π/4

3π/8

π/2

θ
❋✐❣✉r❡ ✻✳✹✿ ❚♦♣✿ ❘❡❧❛t✐♦♥s❤✐♣ ❜❡t✇❡❡♥ ❝♦❤❡r❡♥❝❡ ❛♥❞ ♣❛t❤ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥ ✐♥ ✭✻✳✸✽✮ ❢♦r t❤❡
❇❡❧❧✲st❛t❡ q✉❛♥t✉♠ ❡r❛s❡r ❛s ❛ ❢✉♥❝t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ❡r❛s✉r❡ ❛♥❣❧❡ θ ✳ ❙❤♦✇♥ ❛r❡ t❤❡ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥✲
t❤❡♦r❡t✐❝ q✉❛♥t✐t✐❡s ❢♦r t❤❡ ♣❛t❤ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥ S(Q : DA |DB ) = S ✭s♦❧✐❞✮ ❛♥❞ ❝♦❤❡r❡♥❝❡
S(Q : DB ) = 1 − S ✭❞❛s❤❡❞✮✳ ❇♦tt♦♠✿ ❚❤❡ sq✉❛r❡ ♦❢ t❤❡ ❞✐st✐♥❣✉✐s❤❛❜✐❧✐t② D ✭s♦❧✐❞✮ ❛♥❞
❢r✐♥❣❡ ✈✐s✐❜✐❧✐t② V ✭❞❛s❤❡❞✮✱ ❞❡✜♥❡❞ ✐♥ t❤❡ t❡①t✱ ❛s ❛ ❢✉♥❝t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ❡r❛s✉r❡ ❛♥❣❧❡ θ ✳ ❲❤❡♥
θ = 0 ✭θ = π/4✮ t❤❡r❡ ✐s ❢✉❧❧ ✭♥♦✮ ♣❛t❤ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥ ❛♥❞ ♥♦ ✭❢✉❧❧✮ ❝♦❤❡r❡♥❝❡✳
❛♥❞ t❤❡✐r s✉♠ ✐s ❝♦♥s❡r✈❡❞ t❤r♦✉❣❤♦✉t t❤❡ ❡r❛s✉r❡ ♣r♦❝❡ss✳ ❚❤✐s ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥✲t❤❡♦r❡t✐❝ ❢♦r♠✉✲
❧❛t✐♦♥ ♦❢ ❝♦♠♣❧❡♠❡♥t❛r✐t② ❣❡♥❡r❛❧✐③❡s ❡❛r❧✐❡r ❛tt❡♠♣ts ❬✶✻✵✱✶✻✶✱✶✻✼❪ ❜② ❡①♣❧✐❝✐t❧② r❡❢❡r❡♥❝✐♥❣
t❤❡ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥t ❞❡✈✐❝❡s✳ ❲❡ ♥♦t❡ t❤❛t t❤❡ ❛❜s❡♥❝❡ ♦❢ ❝♦rr❡❧❛t✐♦♥s ❜❡t✇❡❡♥ ❞❡t❡❝t♦rs DA
❛♥❞ DB ✱ S(DA : DB ) = 0✱ ✐s ❝r✉❝✐❛❧ t♦ ❡♥❢♦r❝❡ ❝♦♠♣❧❡♠❡♥t❛r✐t②✳
❲❡ s❤♦✇ ✐♥ t❤❡ t♦♣ ♦❢ ❋✐❣✳ ✻✳✹ t❤❡ ❝♦❤❡r❡♥❝❡ ❛♥❞ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥ ✐♥ ❊q✳ ✭✻✳✸✽✮ ❛s ❛ ❢✉♥❝t✐♦♥
♦❢ t❤❡ ❡r❛s✉r❡ ❛♥❣❧❡ θ ✳ ❋r♦♠ t❤❡ ❡✐❣❡♥✈❛❧✉❡s λ± ✱ ✇❡ ❝❛♥ ❞❡r✐✈❡ ❛♥ ❛❧t❡r♥❛t✐✈❡ ❢♦r♠ ❢♦r t❤❡
❡♥tr♦♣②✱ S ✱ ❛♣♣❡❛r✐♥❣ ✐♥ t❤❡ ❝♦♠♣❧❡♠❡♥t❛r✐t② r❡❧❛t✐♦♥ ✭✻✳✸✽✮✳ ❋✐rst✱ ✇❡ r❡✇r✐t❡ t❤❡ ❛r❣✉♠❡♥t
♦❢ t❤❡ s✐♥❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ ❛s 2λ± = 1 ± sin(2[θ + π/4 − π/4])✳ ❯s✐♥❣ t❤❡ s✉♠✲❞✐✛❡r❡♥❝❡ ❢♦r♠✉❧❛✱
t❤✐s ❝❛♥ ❜❡ ❡①♣r❡ss❡❞ ❛s 2λ± = 1 ∓ cos(2θ + π/2)✳ ❋✐♥❛❧❧②✱ ❜② t❤❡ ❞♦✉❜❧❡✲❛♥❣❧❡ ❢♦r♠✉❧❛✱ ✇❡
✜♥❞ 2λ± = 1 ∓ (1 − 2 sin2 (θ + π/4)✳ ❚❤❡r❡❢♦r❡✱ t❤❡ ❡♥tr♦♣② ✐s S = H[sin2 (θ + π/4)]✳ ❲❡
❝❛♥ ❝♦♠♣❛r❡ t❤❡s❡ ❡①♣r❡ss✐♦♥s t♦ t✇♦ ♦t❤❡r ♠❡❛s✉r❡s t❤❛t ❛r❡ ❝♦♠♠♦♥❧② ✉s❡❞ t♦ ❞✐s❝✉ss t❤❡

✶✷✹

✇❛✈❡✲♣❛rt✐❝❧❡ ❞✉❛❧✐t②✱ ♥❛♠❡❧② t❤❡ ❞✐st✐♥❣✉✐s❤❛❜✐❧✐t②✱ D ✱ ❛♥❞ t❤❡ ✈✐s✐❜✐❧✐t②✱ V ❬✶✺✼✱ ✶✺✽❪✳ ■♥
❣❡♥❡r❛❧✱ D 2 + V 2 ≤ 1✱ ❜✉t ❜❡❝♦♠❡s ❛♥ ❡q✉❛❧✐t② ✇❤❡♥ t❤❡ ❞❡t❡❝t♦rs ❛r❡ ♣r❡♣❛r❡❞ ✐♥ ♣✉r❡
st❛t❡s✳ ■♥ t❤❡ ♣❛rt✐❝✉❧❛r ❝❛s❡ ✇❡ ❛r❡ ❞✐s❝✉ss✐♥❣✱ D 2 = cos2 (2θ)✱ ✇❤✐❧❡ t❤❡ ❢r✐♥❣❡ ✈✐s✐❜✐❧✐t②
✐s V 2 = sin2 (2θ)✳ ❚❤❡② ❛r❡ s❤♦✇♥ ✐♥ t❤❡ ❜♦tt♦♠ ♣❛rt ♦❢ ❋✐❣✳ ✻✳✹ ❛♥❞ ❡①❤✐❜✐t ❛ r❡♠❛r❦❛❜❧②
s✐♠✐❧❛r ❜❡❤❛✈✐♦r ✇❤❡♥ ❝♦♠♣❛r❡❞ t♦ t❤❡ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥✲t❤❡♦r❡t✐❝ ❝♦♠♣❧❡♠❡♥t❛r✐t② ♣r✐♥❝✐♣❧❡✳
❋r♦♠ ❊q✳ ✭✻✳✸✽✮✱ ✇❡ ❝❛♥ ❞❡r✐✈❡ ❛❞❞✐t✐♦♥❛❧ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥✲t❤❡♦r❡t✐❝ r❡❧❛t✐♦♥s ✇✐t❤ ❝♦♥❞✐t✐♦♥❛❧
❛♥❞ ♠✉t✉❛❧ ❡♥tr♦♣✐❡s✳ ❲✐t❤ t❤❡ ❞❡✜♥✐t✐♦♥ ♦❢ ❝♦♥❞✐t✐♦♥❛❧ ♠✉t✉❛❧ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥ ❬✺✾❪✱ S(Q :

DA |DB ) = S(Q|DB ) − S(Q|DA DB ) = S(Q|DB )✱ ❊q✳ ✭✻✳✸✽✮ ❜❡❝♦♠❡s ❛ r❡❧❛t✐♦♥ ❜❡t✇❡❡♥ ❛
♠✉t✉❛❧ ❡♥tr♦♣② ❛♥❞ ❝♦♥❞✐t✐♦♥❛❧ ❡♥tr♦♣②✿

S(Q : DB ) + S(Q|DB ) = 1.

✭✻✳✸✾✮

❋✉rt❤❡r♠♦r❡✱ S(Q : DA ) − S(Q : DA |DB ) = S(Q : DA : DB ) ≤ 0✱ s♦ t❤❛t ❊q✳ ✭✻✳✸✽✮ ❜❡❝♦♠❡s

0 ≤ S(Q : DA ) + S(Q : DB ) ≤ 1,

✭✻✳✹✵✮

✇❤❡r❡ t❤❡ ❧♦✇❡r ❜♦✉♥❞ ❝♦♠❡s ❢r♦♠ t❤❡ ♥♦♥✲♥❡❣❛t✐✈✐t② ♦❢ ♠✉t✉❛❧ ❡♥tr♦♣✐❡s✳ ❚❤✐s ❝❛♥ ❜❡
r❡✇r✐tt❡♥ ✐♥ t❡r♠s ♦❢ ❝♦♥❞✐t✐♦♥❛❧ ❡♥tr♦♣✐❡s ❛s

1 ≤ S(Q|DA ) + S(Q|DB ) ≤ 2,

✭✻✳✹✶✮

✇❤❡r❡ ✇❡ ✉s❡❞ S(Q) = 1✳
❇❛❣❛♥ ❡t ❛❧✳ r❡❝❡♥t❧② ❝♦♥str✉❝t❡❞ ❛♥ ❡♥tr♦♣✐❝ ❝♦♠♣❧❡♠❡♥t❛r✐t② r❡❧❛t✐♦♥ ❜❡t✇❡❡♥ ❝♦❤❡r✲
❡♥❝❡ ❛♥❞ ♣❛t❤ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥ ✐♥ ❛♥ ✐♥t❡r❢❡r♦♠❡t❡r ❬✶✻✶❪ ✉s✐♥❣ ❛♥ ❡♥tr♦♣✐❝ ♠❡❛s✉r❡ ❢♦r ❝♦❤❡r❡♥❝❡✳
❋♦r ♣❛t❤ st❛t❡s ✇✐t❤ ❡q✉❛❧ ♣r♦❜❛❜✐❧✐t②✱ ♦rt❤♦❣♦♥❛❧ ❞❡t❡❝t♦r st❛t❡s✱ ❛♥❞ ♦rt❤♦❣♦♥❛❧ ♠❡❛s✉r❡✲

✶✷✺

♠❡♥ts✱ t❤❡✐r r❡❧❛t✐♦♥ ❝❛♥ ❜❡ ✇r✐tt❡♥ ❛s ❛♥ ❡q✉❛❧✐t② ✈❡r② s✐♠✐❧❛r t♦ ♦✉rs

Crel ent (ρ) + H(M : D) = 1,

✭✻✳✹✷✮

✇❤❡r❡ Crel ent (ρ) = 1−S(ρ) ✐s ❛ ♠❡❛s✉r❡ ♦❢ t❤❡ ❝♦❤❡r❡♥❝❡ ♦❢ t❤❡ ♣❛rt✐❝❧❡✬s st❛t❡ ρ ✐♥ t❤❡ ✐♥t❡r✲
❢❡r♦♠❡t❡r✱ ❛♥❞ H(M : D) = S(ρ) ✐s t❤❡ ♣❛t❤ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥✱ ✇❤✐❝❤ ✐s t❤❡ ♠✉t✉❛❧ ❡♥tr♦♣② ♦❢ t❤❡
♣❛t❤ ❞❡t❡❝t♦r st❛t❡s D ❛♥❞ t❤❡ r❡s✉❧ts M ♦❢ ♣r♦❜✐♥❣ t❤❡♠ ✇✐t❤ ❛ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥t✳ ❚❤❡ ❝♦♥♥❡❝✲
t✐♦♥ t♦ ♦✉r r❡s✉❧t ✭✻✳✸✽✮ ✐s ✐♠♠❡❞✐❛t❡❧② ♦❜✈✐♦✉s✱ ❛s S(ρ) ✐♥ ❊q✳ ✭✻✳✹✷✮ ✐s ✐♥❞❡❡❞ ❡q✉✐✈❛❧❡♥t t♦
♦✉r S ✱ t❤❡ ❡♥tr♦♣② ♦❢ t❤❡ ❝♦♥❞✐t✐♦♥❛❧ st❛t❡ ρkQ ♦❢ ♣❤♦t♦♥ A ✐♥ ❊q✳ ✭✻✳✷✶✮✳ ❍♦✇❡✈❡r✱ ♦✉r ♠❡❛✲
s✉r❡s ♦❢ ❝♦❤❡r❡♥❝❡ ❛♥❞ ♣❛t❤ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥ ❡♠❡r❣❡ ♥❛t✉r❛❧❧② ❢r♦♠ ❛ ❢✉❧❧ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥✲t❤❡♦r❡t✐❝
❛♥❛❧②s✐s ❛♥❞ ②✐❡❧❞ ♠♦r❡ ✐♥s✐❣❤t ✐♥t♦ t❤❡ ♦r✐❣✐♥s ♦❢ t❤❡✐r ❝♦♠♣❧❡♠❡♥t❛r✐t②✱ ✐♥ ♣❛rt✐❝✉❧❛r ❤♦✇
t❤❡ ❡♥tr♦♣② ♦❢ s②st❡♠ Q ✐s ❞✐str✐❜✉t❡❞ ❛♠♦♥❣ t❤❡ ❞❡t❡❝t♦rs DA ❛♥❞ DB ✭❛s s✉♠♠❛r✐③❡❞ ❜②
❋✐❣✳ ✻✳✸✮✳
❲❡ ❡♥❞ t❤✐s ❞✐s❝✉ss✐♦♥ ❜② ♥♦t✐♥❣ t❤❛t ✐❢ ✇❡ ♣r❡♣❛r❡ ♣❤♦t♦♥s A ❛♥❞ B ✐♥ ❛♥ ✐♠♣❡r❢❡❝t❧②
❡♥t❛♥❣❧❡❞ st❛t❡✱ ❡✳❣✳✱ t❤❡ q ✲❇❡❧❧ st❛t❡ ❬✼✶❪

√
√
q |h |v + 1 − q |v |h ✱ t❤❡ ❝♦❤❡r❡♥❝❡ ❛♥❞ ♣❛t❤

✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥ ✇❡ ❞❡r✐✈❡❞ ❛r❡ ♠♦❞✐✜❡❞ ❢r♦♠ t❤❡✐r ♦r✐❣✐♥❛❧ ❢♦r♠s✳ ❋♦r ❛♥ ❡r❛s✉r❡ ❛♥❣❧❡ θ = π/4✱
✇❡ ❝❛♥ ✇r✐t❡ ❞♦✇♥ ❛ s✐♠♣❧❡ r❡♣❧❛❝❡♠❡♥t ❢♦r ❊qs✳ ✭✻✳✸✵✮ ❛♥❞ ✭✻✳✸✹✮ t❤❛t ❛♣♣❡❛r ✐♥ t❤❡
❝♦♠♣❧❡♠❡♥t❛r✐t② r❡❧❛t✐♦♥ ♦❢ ❊q✳ ✭✻✳✸✽✮✳ ❚❤❛t ✐s✱

θ=

π
:
4

S(Q : DB ) = 1 − S(q),

✭✻✳✹✸✮

S(Q : DA |DB ) = S(q),

✭✻✳✹✹✮

✇❤❡r❡ S(q) r❡♣❧❛❝❡s S ✱ t❤❡ ❡♥tr♦♣② ♦❢ t❤❡ st❛t❡ ✭✻✳✷✶✮✳ ❚❤❡ q✉❛♥t✐t② S(q) ✐s ❞❡✜♥❡❞ ❜②
t❤❡ ❡✐❣❡♥✈❛❧✉❡s λ± = 1/2 ±

q(1 − q)✳ ❚❤❡ ♣❛r❛♠❡t❡r q ❝♦♥tr♦❧s t❤❡ ✐♥✐t✐❛❧ ❡♥t❛♥❣❧❡♠❡♥t

❜❡t✇❡❡♥ ♣❤♦t♦♥s A ❛♥❞ B ❛♥❞ ❛❧❧♦✇s ✉s t♦ ❡①tr❛❝t ♥♦♥③❡r♦ ♣❛t❤ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥✱ ❛t t❤❡ ❝♦st ♦❢

✶✷✻

r❡❞✉❝❡❞ ❝♦❤❡r❡♥❝❡✱ ❡✈❡♥ ✇❤❡♥ θ = π/4✳ ❙❡tt✐♥❣ q = 1/2 r❡❝♦✈❡rs t❤❡ ♦r✐❣✐♥❛❧ r❡s✉❧t ♦❢ ③❡r♦
♣❛t❤ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥ ❛♥❞ ❢✉❧❧ ❝♦❤❡r❡♥❝❡✱ S(q = 1/2) = S = 0✱ ❛t t❤✐s ❡r❛s✉r❡ ❛♥❣❧❡✳

✻✳✺ ■♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ P❛tt❡r♥s
❍❡r❡ ✇❡ ❞❡r✐✈❡ t❤❡ s♣❛t✐❛❧ ✐♥t❡♥s✐t② ❞✐str✐❜✉t✐♦♥ ❢♦r ♣❤♦t♦♥ A t❤❛t ✐s ✐♥❝✐❞❡♥t ♦♥ ❛ s❝r❡❡♥

DX ❜② ♠♦❞❡❧✐♥❣ t❤❡ ✐♥t❡r❛❝t✐♦♥ ❛s ❛ ✈♦♥ ◆❡✉♠❛♥♥ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥t ♦❢ t❤❡ s♣❛t✐❛❧ ❧♦❝❛t✐♦♥ ♦❢
♣❤♦t♦♥ A✳ ❊①♣❛♥❞✐♥❣ t❤❡ s♣❛t✐❛❧ st❛t❡s ♦❢ A ✐♥ t❡r♠s ♦❢ t❤❡ ♣♦s✐t✐♦♥ ❜❛s✐s ②✐❡❧❞s
n

|ψj Q =

ψj (x) |x Q ,

✭✻✳✹✺✮

x=1

✇❤❡r❡ j = 0, 1 ❧❛❜❡❧s ❡❛❝❤ s❧✐t✳ ❚❤❡ st❛t❡s |x ❝❛♥ ❜❡ ❞✐s❝r❡t✐③❡❞ ✐♥t♦ n ❞✐st✐♥❝t ❧♦❝❛t✐♦♥s
❛❝❝♦r❞✐♥❣ t♦

|x = 1

= |100 · · · 0 ,

|x = 2

= |010 · · · 0 ,
✳✳
✳

|x = n

= |0 · · · 001 ,

✇❤✐❝❤ ❞❡♥♦t❡ t❤❡ ❧♦❝❛t✐♦♥ x ❛t ✇❤✐❝❤ ❛ ♣❤♦t♦♥ ✐s ❞❡t❡❝t❡❞ ❜② DX ✳ ■♥s❡rt✐♥❣ t❤✐s ❜❛s✐s ✐♥t♦
t❤❡ ❡①♣r❡ss✐♦♥ ✭✻✳✶✹✮ ❛♥❞ ♣❡r❢♦r♠✐♥❣ t❤❡ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥t ♦❢ Q ✇✐t❤ DX ✭✇❤✐❝❤ st❛rts ✐♥ t❤❡
✐♥✐t✐❛❧ st❛t❡ |x = 0 = |0 · · · 0 ✮✱ ✇❡ ❝♦♠❡ t♦

1
|Ψ AD BD =
X
B
2

k (x)|xx
im ψm
QDX ⊗ |m P ⊗ |kk BDB ,
xmk

k (x) = x|ψ k
✇❤❡r❡ ✇❡ ❞❡✜♥❡ t❤❡ ❝♦❡✣❝✐❡♥ts ψm
m Q✳

✶✷✼

✭✻✳✹✻✮

❚r❛❝✐♥❣ ♦✈❡r A ❛♥❞ B ✐♥ ❊q✳ ✭✻✳✹✻✮✱ ✇❡ ❛rr✐✈❡ ❛t t❤❡ ✭❝❧❛ss✐❝❛❧✮ ❥♦✐♥t ❞❡♥s✐t② ♠❛tr✐① ❢♦r
❞❡t❡❝t♦r DB ❛♥❞ t❤❡ s❝r❡❡♥

1
ρD D =
X B
4

k (x)|2 |x
|ψm
DX x| ⊗ |k DB k|
xmk

1
=
2

✭✻✳✹✼✮

ρkD

⊗ |k D k|,
B

X

k

✇❤❡r❡

ρkD

X

pk (x) |x D x|,
X

=
x

✭✻✳✹✽✮

❛r❡ t❤❡ ❝♦♥❞✐t✐♦♥❛❧ st❛t❡s ♦❢ t❤❡ s❝r❡❡♥ DX ✇✐t❤ ❝♦rr❡s♣♦♥❞✐♥❣ ❝♦♥❞✐t✐♦♥❛❧ ♣r♦❜❛❜✐❧✐t② ❞✐s✲
tr✐❜✉t✐♦♥

1
|ψ k (x)|2 .
2 m m

pk (x) =

✭✻✳✹✾✮

❚r❛❝✐♥❣ ♦✉t ❞❡t❡❝t♦r DB ❢r♦♠ ✭✻✳✹✼✮ ②✐❡❧❞s t❤❡ ❢✉❧❧ ❞❡♥s✐t② ♠❛tr✐① ❢♦r DX

ρD

X

=

1
2

ρkD
k

=

X

x

p(x) |x D x|,
X

✭✻✳✺✵✮

✇❤❡r❡ t❤❡ t♦t❛❧ ♣r♦❜❛❜✐❧✐t② ❞✐str✐❜✉t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ s❝r❡❡♥ ✐s

p(x) =

1
2

pk (x).

✭✻✳✺✶✮

k

■t ✐s str❛✐❣❤t❢♦r✇❛r❞ t♦ s❤♦✇ t❤❛t t❤❡ t♦t❛❧ ♣r♦❜❛❜✐❧✐t② ❞✐str✐❜✉t✐♦♥ p(x) ❢♦r t❤❡ s❝r❡❡♥
✐s ❝♦♠♣❧❡t❡❧② ✐♥❝♦❤❡r❡♥t ❞✉❡ t♦ t❤❡ ❝❛♥❝❡❧❧❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ❝r♦ss t❡r♠s ♦❢ t❤❡ t✇♦ ❝♦♥❞✐t✐♦♥❛❧
♣r♦❜❛❜✐❧✐t✐❡s✳ ❚❤❛t ✐s✱

p(x) =

1
|ψ1 (x)|2 + |ψ2 (x)|2 .
2
✶✷✽

✭✻✳✺✷✮

❚❤✐s ❞✐str✐❜✉t✐♦♥ ❞❡s❝r✐❜❡s t✇♦ ♦✈❡r❧❛♣♣✐♥❣ ✐♥t❡♥s✐t② ♣❡❛❦s ♦♥ t❤❡ s❝r❡❡♥ ❝♦rr❡s♣♦♥❞✐♥❣ t♦
t❤❡ ♣❛tt❡r♥ ♦❜t❛✐♥❡❞ ❢r♦♠ ❡❛❝❤ s❧✐t ✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧❧②✳ ❋r♦♠ t❤❡ ❞❛t❛ ❛s ❛ ✇❤♦❧❡ ✭✐✳❡✳✱ ✇❤❡♥ ✇❡ ❞♦
♥♦t ❦♥♦✇ t❤❡ ♦✉t❝♦♠❡ ♦❢ ❞❡t❡❝t♦r DB ✮ ♥♦ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ✐s ♦❜s❡r✈❡❞ ♦♥ t❤❡ s❝r❡❡♥✳
❍♦✇❡✈❡r✱ s✉♣♣♦s❡ ✇❡ ❞♦ ❦♥♦✇ t❤❡ ♦✉t❝♦♠❡ ♦❢ t❤❡ ♣♦❧❛r✐③❛t✐♦♥ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥t ♦❢ ♣❤♦t♦♥

B ✳ ❋♦r ❛♥ ♦✉t❝♦♠❡ k ✱ t❤❡ ❝♦♥❞✐t✐♦♥❛❧ st❛t❡ ♦❢ t❤❡ s❝r❡❡♥ DX ✐s ❣✐✈❡♥ ❜② ❊q✳ ✭✻✳✹✽✮✳ ❚♦
❞✐s❝❡r♥ t❤❡ t②♣❡ ♦❢ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ♣❛tt❡r♥ t❤❡ ♣r♦❜❛❜✐❧✐t② ❞✐str✐❜✉t✐♦♥ ✭✻✳✹✾✮ ♦❢ t❤✐s ❞❡♥s✐t②
♠❛tr✐① ❞❡s❝r✐❜❡s✱ ✇❡ r❡✇r✐t❡ t❤❡ ❝♦♥❞✐t✐♦♥❛❧ ♣r♦❜❛❜✐❧✐t② ✐♥ t❡r♠s ♦❢ t❤❡ ♦r✐❣✐♥❛❧ ❝♦❡✣❝✐❡♥ts

ψj (x) = x|ψj Q ✱ ✇❤✐❝❤ ❧❡❛❞s t♦

pk (x) =

1
|ψ1 (x)|2 + |ψ2 (x)|2 + i (−1)k sin 2θ ψ1 (x) ψ2 (x)∗ − ψ1 (x)∗ ψ2 (x)
2

.

✭✻✳✺✸✮

∗ + U∗ U
k
✇❤❡r❡ ✇❡ ✉s❡❞ U1k U0k
1k 0k = (−1) sin 2θ ✳ ■♥ ❣❡♥❡r❛❧✱ t❤✐s ❡①♣r❡ss✐♦♥ ✇✐❧❧ ❞❡s❝r✐❜❡

✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢r✐♥❣❡s ✇✐t❤ ❛ ✈✐s✐❜✐❧✐t② t❤❛t ✐s ❝♦♥tr♦❧❧❡❞ ❜② t❤❡ ♠❛❣♥✐t✉❞❡ ♦❢ t❤❡ ❝♦❡✣❝✐❡♥t

sin 2θ ✐♥ ❢r♦♥t ♦❢ t❤❡ ❝r♦ss t❡r♠s✳ ▲❡t ✉s ❝♦♥s✐❞❡r t✇♦ s♣❡❝✐✜❝ ❝❛s❡s ♦❢ t❤❡ ❡r❛s✉r❡ ❛♥❣❧❡ θ✳
❋✐rst✱ θ = 0 ❝♦rr❡s♣♦♥❞s t♦ ❛ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥t ♦❢ ♣❤♦t♦♥ B ✐♥ t❤❡ ❧✐♥❡❛r |h , |v ❜❛s✐s✳ ■♥
t❤✐s ❝❛s❡✱ ❡①♣r❡ss✐♦♥ ✭✻✳✺✸✮ r❡❞✉❝❡s t♦ ❛♥ ✐♥❝♦❤❡r❡♥t s✉♠

θ = 0 : pk (x) =

1
|ψ1 (x)|2 + |ψ2 (x)|2 ,
2

✭✻✳✺✹✮

❛♥❞ ❞❡s❝r✐❜❡s t✇♦ ♦✈❡r❧❛♣♣✐♥❣ ✐♥t❡♥s✐t② ♣❡❛❦s ♦♥ t❤❡ s❝r❡❡♥ ✇✐t❤ ♥♦ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡✳ ■♥ t✉r♥✱ ✇❡
❤❛✈❡ ❢✉❧❧ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥ ❛❜♦✉t t❤❡ ♣❛t❤ ♦❢ ♣❤♦t♦♥ A✳ ❙❡❝♦♥❞✱ θ = π/4 ❞❡s❝r✐❜❡s ❛ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥t
♦❢ ♣❤♦t♦♥ B ✐♥ t❤❡ ❞✐❛❣♦♥❛❧ |± = √1 (|h ±|v ) ❜❛s✐s✳ ■♥ t❤✐s ❝❛s❡✱ ❡①♣r❡ss✐♦♥ ✭✻✳✺✸✮ ❜❡❝♦♠❡s
2
❛ ♣❡r❢❡❝t❧② ❝♦❤❡r❡♥t s✉♠

θ=

2
π
1
: pk (x) = ψ1 (x) − i (−1)k ψ2 (x) .
4
2

✶✷✾

✭✻✳✺✺✮

a

xj
ϕj

L
screen

x

❋✐❣✉r❡ ✻✳✺✿ ●❡♦♠❡tr② ♦❢ t❤❡ ❞♦✉❜❧❡✲s❧✐t ❛♣♣❛r❛t✉s✳ ❚❤❡ s❧✐t ✇✐❞t❤ ✐s a✱ t❤❡ ❞✐st❛♥❝❡ ❢r♦♠
t❤❡ ♦r✐❣✐♥ t♦ t❤❡ ❝❡♥t❡r ♦❢ s❧✐t j ✐s xj ✱ ❛♥❞ t❤❡ ❞✐st❛♥❝❡ ❜❡t✇❡❡♥ s❧✐ts ✐s d = |x2 − x1 |✳ ❚❤❡
❞✐st❛♥❝❡ ❢r♦♠ t❤❡ s❧✐ts t♦ t❤❡ s❝r❡❡♥ ✐s L✱ ✇❤✐❧❡ t❤❡ ❛♥❣❧❡ ❢r♦♠ t❤❡ ❝❡♥t❡r ♦❢ s❧✐t j t♦ ♣♦✐♥t x
♦♥ t❤❡ s❝r❡❡♥ ✐s ❣✐✈❡♥ ❜② tan φj = (x − xj )/L✳
❚❤❛t ✐s✱ t❤❡ ❡✛❡❝t ♦❢ t❛❣❣✐♥❣ ❤❛s ❜❡❡♥ ❡r❛s❡❞ s✐♥❝❡ t❤❡ st❛♥❞❛r❞ ❞♦✉❜❧❡✲s❧✐t ❞✐✛r❛❝t✐♦♥ ♣❛tt❡r♥
❝❛♥ ❜❡ ♦❜s❡r✈❡❞✳ ■♥ ❣❡♥❡r❛❧✱ ❣✐✈❡♥ ❛♥ ♦✉t❝♦♠❡ k ❢♦r ❞❡t❡❝t♦r DB ✱ t❤❡ ❝♦rr❡s♣♦♥❞✐♥❣ st❛t❡
k ✇✐t❤ ♣r♦❜❛❜✐❧✐t② ❞✐str✐❜✉t✐♦♥ p (x)✳ ❚❤✐s ❧❡❛❞s t♦ ❢r✐♥❣❡s ✇✐t❤ ❛ ❧❡✈❡❧
♦❢ t❤❡ s❝r❡❡♥ ✐s ρD
k
X

♦❢ ✈✐s✐❜✐❧✐t② t❤❛t ✐s ❞❡t❡r♠✐♥❡❞ ❜② t❤❡ ❡r❛s✉r❡ ❛♥❣❧❡ θ ✳ ❚❤❡ ❞✐str✐❜✉t✐♦♥ ❢♦r k = 0 ✐s ♣❤❛s❡
s❤✐❢t❡❞ r❡❧❛t✐✈❡ t♦ k = 1✱ s♦ t❤❛t ❞❡♣❡♥❞✐♥❣ ♦♥ t❤❡ st❛t❡ ♦❢ DB ✱ ♦♥❡ ♦❜s❡r✈❡s ❡✐t❤❡r ❢r✐♥❣❡s
♦r ❛♥t✐❢r✐♥❣❡s✳ ❚❤❡r❡❢♦r❡✱ ♠❡❛s✉r✐♥❣ ♣❤♦t♦♥ B ✐♥ ❛ ❜❛s✐s ❝❤❛r❛❝t❡r✐③❡❞ ❜② t❤❡ ❛♥❣❧❡ θ ❛❧❧♦✇s
♦♥❡ t♦ t✉♥❡ t❤❡ ✈✐s✐❜✐❧✐t② ♦❢ t❤❡ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢r✐♥❣❡s ❢r♦♠ t❤❡ st❛♥❞❛r❞ t✇♦✲s❧✐t ❞✐✛r❛❝t✐♦♥ t♦
s✐♥❣❧❡✲s❧✐t ❞✐✛r❛❝t✐♦♥ ❬✶✺✸❪✳
❚♦ ❡①♣❧✐❝✐t❧② ❝♦♠♣✉t❡ t❤❡ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ♣❛tt❡r♥s✱ ✇❡ ✇r✐t❡ t❤❡ ❝♦❡✣❝✐❡♥ts ♦❢ t❤❡ j t❤ s❧✐t
❢♦r ❛ ♣❤♦t♦♥ ♦❢ ✇❛✈❡❧❡♥❣t❤ λ ❛s ❬✶✻✽❪

ψj (x) =

sin α −2i α xj /a
e
,
α

✭✻✳✺✻✮

✇❤❡r❡ α = πa sin φj /λ✳ ❚❤❡ ❣❡♦♠❡tr② ♦❢ t❤❡ ❞♦✉❜❧❡✲s❧✐t ❛♣♣❛r❛t✉s ✭s❡❡ ❋✐❣✳ ✻✳✺✮ ✐s ❞❡s❝r✐❜❡❞
❜② t❤❡ s❧✐t ✇✐❞t❤ a✱ t❤❡ ❞✐st❛♥❝❡ xj t♦ t❤❡ ❝❡♥t❡r ♦❢ t❤❡ j t❤ s❧✐t✱ t❤❡ ❛♥❣❧❡ φj = tan−1 ((x −

xj )/L) ❢r♦♠ t❤❡ ❝❡♥t❡r ♦❢ s❧✐t j t♦ t❤❡ ♣♦s✐t✐♦♥ x ♦♥ t❤❡ s❝r❡❡♥✱ ❛♥❞ t❤❡ ❞✐st❛♥❝❡ L ❢r♦♠ t❤❡

✶✸✵

1

1/2

0
1

1/2

0
1

1/2

0
-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

x
❋✐❣✉r❡ ✻✳✻✿ ■♥t❡♥s✐t② ❞✐str✐❜✉t✐♦♥s ✐♥ t❤❡ q✉❛♥t✉♠ ❡r❛s❡r✳ ❚❤❡ ❝♦♥❞✐t✐♦♥❛❧ ❞✐str✐❜✉t✐♦♥s
pk (x) ❛r❡ ♣❧♦tt❡❞ ❛s ❛ ❢✉♥❝t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ♣♦s✐t✐♦♥ ♦♥ t❤❡ s❝r❡❡♥✱ x✱ ✐♥ ♠❡t❡rs✱ ❛♥❞ ♥♦r♠❛❧✐③❡❞ s♦
t❤❛t t❤❡ ♠❛①✐♠✉♠ ✐s ❛t ✶✳ ❚❤❡ s♦❧✐❞ ❣r❛② ✭❜❧❛❝❦ ❞♦tt❡❞✮ ♦s❝✐❧❧❛t✐♦♥s ❞❡s❝r✐❜❡ t❤❡ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡
♣❛tt❡r♥ p0 (x) ✭p1 (x)✮ ♦❢ ♣❤♦t♦♥ A ❝♦♥❞✐t✐♦♥❛❧ ♦♥ ♦✉t❝♦♠❡ k = 0 ✭k = 1✮ ♦❢ ❞❡t❡❝t♦r DB ✳
❚❤❡ s♦❧✐❞ ❜❧❛❝❦ ❧✐♥❡ ✐s t❤❡ t♦t❛❧ ❞✐str✐❜✉t✐♦♥ p(x) ❛♥❞ ✐s t❤❡ s✐♥❣❧❡✲s❧✐t ❞✐✛r❛❝t✐♦♥ r❡s✉❧t✳
P❛r❛♠❡t❡rs ❢♦r t❤✐s s♣❡❝✐✜❝ ❝❛s❡ ❛r❡ a = 10 µ♠✱ d = 20 µ♠✱ L = 1 ♠✱ ❛♥❞ λ = 702 ♥♠✳ ❚♦♣
t♦ ❜♦tt♦♠✿ ♣r♦❜❛❜✐❧✐t② ❞✐str✐❜✉t✐♦♥s ❢♦r t❤r❡❡ ❡r❛s✉r❡ ❛♥❣❧❡s θ = 0✱ θ = π/16✱ θ = π/4✳
s❧✐ts t♦ t❤❡ s❝r❡❡♥✳ ❋♦r ❛ s✐♥❣❧❡ s❧✐t ❛t t❤❡ ♦r✐❣✐♥✱ t❤❡ ✐♥t❡♥s✐t② ❝♦rr❡s♣♦♥❞✐♥❣ t♦ ❞❡t❡❝t✐♦♥ ♦❢
❛ ♣❤♦t♦♥ ❛t ♣♦s✐t✐♦♥ x ♦♥ t❤❡ s❝r❡❡♥ ✐s

|ψj

(x)|2

sin α 2
=
,
α

✭✻✳✺✼✮

✇❤✐❝❤ ✐s t❤❡ st❛♥❞❛r❞ r❡s✉❧t ❢♦r s✐♥❣❧❡✲s❧✐t ❋r❛✉♥❤♦❢❡r ❞✐✛r❛❝t✐♦♥✳ ❋♦r t✇♦ s❧✐ts s❡♣❛r❛t❡❞ ❜②
✶✸✶

❛ ❞✐st❛♥❝❡ d = |x2 − x1 |✱ t❤❡ ❝♦❡✣❝✐❡♥ts ❢♦r ❡❛❝❤ s❧✐t ❛r❡ ❝♦❤❡r❡♥t❧② ❛❞❞❡❞✳ ■♥ t❤❡ ❢❛r✲✜❡❧❞
❧✐♠✐t L

d✱ ✇❡ ❝❛♥ ✉s❡ t❤❡ ❛♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥ φj = φ = tan−1 (x/L)✳ ❯s✐♥❣ t❤❡ ❝♦❡✣❝✐❡♥ts

ψj (x) ✐♥ t❤❡ ❡①♣r❡ss✐♦♥ ✭✻✳✺✸✮ ❢♦r pk (x)✱ ❧❡❛❞s t♦ t❤❡ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ♣❛tt❡r♥s ❢♦r t❤❡ ✐♥t❡♥s✐t②
s❤♦✇♥ ✐♥ ❋✐❣✳ ✻✳✻✳ ❚❤❡ t✇♦ ♣❛tt❡r♥s p0 (x) ❛♥❞ p1 (x) ❛r❡ s❤✐❢t❡❞ r❡❧❛t✐✈❡ t♦ ❡❛❝❤ ♦t❤❡r ♦♥
t❤❡ s❝r❡❡♥✱ ❛♥❞ t❤❡ ❡♥✈❡❧♦♣❡ ♦❢ ❡❛❝❤ ♣❛tt❡r♥ ✐s ❛ s✐♥❣❧❡✲s❧✐t ❞✐✛r❛❝t✐♦♥ ♣❛tt❡r♥✳ ❲❡ s❤♦✇ t❤❡
❞✐str✐❜✉t✐♦♥s ❢♦r t❤r❡❡ ❡r❛s✉r❡ ❛♥❣❧❡s✿ θ = 0, π/16, π/4✳ ❋♦r ❛ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥t ✐♥ t❤❡ ❧✐♥❡❛r

|h ✱ |v ❜❛s✐s ✭θ = 0✮✱ t❤❡r❡ ✐s ♥♦ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ♦♥ t❤❡ s❝r❡❡♥✱ s✐♥❝❡ t❤❡r❡ ✐s ❢✉❧❧ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥
❛❜♦✉t t❤❡ ♣❛t❤ ♦❢ ♣❤♦t♦♥ A✳ ❆s t❤❡ ❡r❛s✉r❡ ❛♥❣❧❡ ✐♥❝r❡❛s❡s t♦ π/4 ✭❛ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥t ✐♥ t❤❡
❞✐❛❣♦♥❛❧ |± ❜❛s✐s✮✱ t❤❡ ♦s❝✐❧❧❛t✐♦♥s ✐♥❝r❡❛s❡ t♦ t❤❡ ❧❡✈❡❧ ♦❢ t❤❡ ✉s✉❛❧ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ♣❛tt❡r♥
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❈♦♣❡♥❤❛❣❡♥ ✐❞❡❛ ♦❢ q✉❛♥t✉♠ st❛t❡ r❡❞✉❝t✐♦♥ ✐♥ t❡r♠s ♦❢ t❤❡ ❝♦♥❞✐t✐♦♥❛❧ ✐♥❞❡♣❡♥❞❡♥❝❡ ♦❢
♠❡❛s✉r❡♠❡♥t ❞❡✈✐❝❡s t❤❛t ❛r❡ ♥♦t ✐♠♠❡❞✐❛t❡❧② ✐♥ ❡❛❝❤ ♦t❤❡r✬s ♣❛st ♦r ❢✉t✉r❡✳ ■t ✐s ❝♦♥s✐st❡♥t
✇✐t❤ t❤❡ ♥♦t✐♦♥ t❤❛t t❤❡ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥ts ❝♦❧❧❛♣s❡❞ t❤❡ st❛t❡ ♦❢ t❤❡ ✇❛✈❡ ❢✉♥❝t✐♦♥✱ ❡r❛s✐♥❣ ❛♥②
❝♦♥❞✐t✐♦♥❛❧ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥ t❤❛t ❛ ❞❡t❡❝t♦r ❝♦✉❧❞ ❤❛✈❡ ❤❛❞ ❛❜♦✉t ♣r✐♦r ♠❡❛s✉r❡♠❡♥ts✳ ❍♦✇✲
❡✈❡r✱ ♥♦ ✐rr❡✈❡rs✐❜❧❡ r❡❞✉❝t✐♦♥ ♦❝❝✉rs ❛♥❞ ❛❧❧ ❝♦❡✣❝✐❡♥ts ✐♥ t❤❡ ✉♥❞❡r❧②✐♥❣ ♣✉r❡✲st❛t❡ ✇❛✈❡
✶✸✼

A1

Q

A2

A3
❋✐❣✉r❡ ✼✳✶✿ ■❧❧✉str❛t✐♦♥ ♦❢ ❝♦♥s❡❝✉t✐✈❡ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥ts ♦❢ ❛ q✉❛♥t✉♠ s②st❡♠✱ Q✱ ✉s✐♥❣ ❞❡✈✐❝❡s
A1 ✱ A2 ✱ ❛♥❞ A3 ✭♥✉♠❜❡rs ✐♥❞✐❝❛t❡ t❤❡ t✐♠❡ ♦r❞❡r✐♥❣ ♦❢ t❤❡ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥t s❡q✉❡♥❝❡✮✳ ❲❡ ✇✐❧❧
s❡❡ ❤♦✇ t❤❡ ❛♥❝✐❧❧❛❡ A1 ✱ A2 ✱ ❛♥❞ A3 ❜❡❝♦♠❡ ❡♥t❛♥❣❧❡❞ ✇✐t❤ t❤❡ q✉❛♥t✉♠ s②st❡♠ ❞✉r✐♥❣ t❤❡
♠❡❛s✉r❡♠❡♥t ♣r♦❝❡ss ❛♥❞ ❝♦♠♣✉t❡ ❤♦✇ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥ ✐s ❞✐str✐❜✉t❡❞ t❤r♦✉❣❤♦✉t t❤❡ s✉❜s②s✲
t❡♠s✳ ❚❤✐s s❝❤❡♠❡ ❝❛♥ ❜❡ ❡①t❡♥❞❡❞ t♦ ❛ s❡q✉❡♥❝❡ ♦❢ n ❝♦♥s❡❝✉t✐✈❡ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥ts✱ ✇❤✐❝❤ ✇✐❧❧
❜❡ ❝♦♥s✐❞❡r❡❞ ✐♥ t❤❡ ❧❛t❡r s❡❝t✐♦♥s✳
❢✉♥❝t✐♦♥ ❝♦♥t✐♥✉❡ t♦ ❡✈♦❧✈❡ ✉♥✐t❛r✐❧②✳
❙❡❝t✐♦♥ ✼✳✹ ✉♥✐✜❡s t❤❡ t✇♦ ♣r❡✈✐♦✉s s❡❝t✐♦♥s ❜② ♣r♦✈✐♥❣ t❤r❡❡ st❛t❡♠❡♥ts ✭❚❤❡♦r❡♠s ✹✱ ✺✱
❛♥❞ ✻✮ t❤❛t r❡❧❛t❡ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥✲t❤❡♦r❡t✐❝ q✉❛♥t✐t✐❡s ♣❡rt❛✐♥✐♥❣ t♦ ✉♥❛♠♣❧✐✜❡❞ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥ts
t♦ t❤❡ ❝♦rr❡s♣♦♥❞✐♥❣ ❡①♣r❡ss✐♦♥s ❢♦r ❛♠♣❧✐✜❡❞ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥ts✳ ❲❡ s❤♦✇ t❤❛t✱ ✐♥ ❣❡♥❡r❛❧✱
❛♠♣❧✐✜❝❛t✐♦♥ ❧❡❛❞s t♦ ❛ ❧♦ss ♦❢ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥✳
❆❢t❡r ❛ ❜r✐❡❢ ❛♣♣❧✐❝❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ❝♦❧❧❡❝t❡❞ ❝♦♥❝❡♣ts ❛♥❞ r❡s✉❧ts t♦ st❛♥❞❛r❞s s✉❝❤ ❛s q✉❛♥✲
t✉♠ st❛t❡ ♣r❡♣❛r❛t✐♦♥ ❛♥❞ t❤❡ q✉❛♥t✉♠ ❩❡♥♦ ❡✛❡❝t ✐♥ ❙❡❝✳ ✼✳✺✱ ✇❡ ❝❧♦s❡ ✇✐t❤ ❝♦♥❝❧✉s✐♦♥s✳

✼✳✷ ◆♦♥✲▼❛r❦♦✈✐❛♥ ◗✉❛♥t✉♠ ▼❡❛s✉r❡♠❡♥ts
■♥ ❈❤✳ ✺ ✇❡ ✐♥tr♦❞✉❝❡❞ t❤❡ ❝♦♥❝❡♣t ♦❢ ♥♦♥✲▼❛r❦♦✈✐❛♥ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥ts ❛s t❤♦s❡ s❡q✉❡♥❝❡s
♦❢ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥ts t❤❛t ❛r❡ ♥♦t ❛♠♣❧✐✜❡❞ ❜② ♠❛❝r♦s❝♦♣✐❝ ❞❡✈✐❝❡s✱ ✇❤✐❝❤ ✇❡ ❝❛❧❧❡❞ D ✳ ■♥
♣r❡♣❛r❛t✐♦♥ ❢♦r ❚❤❡♦r❡♠ ✸ ✐♥ ❙❡❝✳ ✼✳✸✳✹ t❤❛t ❡st❛❜❧✐s❤❡s t❤✐s ❝♦rr❡s♣♦♥❞❡♥❝❡✱ ✇❡ ✜rst ❝♦♥s✐❞❡r
❝♦♥s❡❝✉t✐✈❡ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥ts ✭s❡❡ ❋✐❣✳ ✼✳✶✮ ✇✐t❤ q✉❛♥t✉♠ ❛♥❝✐❧❧❛❡ ♦❢ ♣r❡♣❛r❡❞ ❛♥❞ ✉♥♣r❡♣❛r❡❞

✶✸✽

q✉❛♥t✉♠ st❛t❡s ✭r❡❝❛❧❧ ❈❤✳ ✺✳✸ ❢♦r t❤❡s❡ ❞❡✜♥✐t✐♦♥s✮✱ ❛♥❞ ❞❡♠♦♥str❛t❡ t❤❡ ♥♦♥✲▼❛r❦♦✈✐❛♥
❝❤❛r❛❝t❡r ♦❢ t❤❡ ❝❤❛✐♥ ♦❢ ❛♥❝✐❧❧❛❡✳ ❚❤r♦✉❣❤♦✉t✱ ✇❡ ❛ss✉♠❡ t❤❛t t❤❡ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥ts ❛r❡ ♠❛❞❡
♦♥ ❛ s❤♦rt ❡♥♦✉❣❤ t✐♠❡ s❝❛❧❡ s♦ t❤❛t t❤❡ ❢r❡❡ ❡✈♦❧✉t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ q✉❛♥t✉♠ s②st❡♠ ❞✉r✐♥❣ t❤❡
s❡q✉❡♥❝❡ ♦❢ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥ts ❝❛♥ ❜❡ ♥❡❣❧❡❝t❡❞✳ ■♥ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣✱ ✇❡ ✇✐❧❧ ✉s❡ ❡♥tr♦♣② ❱❡♥♥
❞✐❛❣r❛♠s t♦ st✉❞② t❤❡ ❝♦rr❡❧❛t✐♦♥s ❜❡t✇❡❡♥ s✉❜s②st❡♠s ❛♥❞ t❤❡ ❞✐str✐❜✉t✐♦♥ ♦❢ ❡♥tr♦♣✐❡s
❞✉r✐♥❣ ❝♦♥s❡❝✉t✐✈❡ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥ts✳

✼✳✷✳✶ ❈♦♥s❡❝✉t✐✈❡ ▼❡❛s✉r❡♠❡♥ts Pr❡♣❛r❡❞ ◗✉❛♥t✉♠ ❙t❛t❡s
❇✉✐❧❞✐♥❣ ♦♥ t❤❡ ❞✐s❝✉ss✐♦♥ ❢r♦♠ ❈❤✳ ✺ ✇❤❡r❡ ✇❡ ❞❡s❝r✐❜❡❞ ❛ s✐♥❣❧❡ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥t ♦❢ ❛ q✉❛♥✲
t✉♠ s②st❡♠✱ ✇❡ ♥♦✇ ✐♥tr♦❞✉❝❡ ❛ s❡❝♦♥❞ ❛♥❝✐❧❧❛ A2 t❤❛t ♠❡❛s✉r❡s Q✳ ❚❤✐s ♠❡❛s✉r❡♠❡♥t
❝♦rr❡s♣♦♥❞s t♦ ❛ ♥❡✇ ♦❜s❡r✈❛❜❧❡ ✇✐t❤ ❛♥ ❡✐❣❡♥❜❛s✐s |x2 t❤❛t ✐s r♦t❛t❡❞ ✇✐t❤ r❡s♣❡❝t t♦ t❤❡
(2)
❜❛s✐s ♦❢ t❤❡ ✜rst ♦❜s❡r✈❛❜❧❡✱ |x1 ✱ ✈✐❛ t❤❡ ✉♥✐t❛r② tr❛♥s❢♦r♠❛t✐♦♥ Ux1 x2 = x2 |x1 ✳ ❯♥✐t❛r✐t②

r❡q✉✐r❡s t❤❛t
(2)∗
x1 x2

= δx x ,
1 1

(2)
(2)∗
Ux1 x2 U
x1 x2

= δx x .
2 2

(2)

x2

x1

U x1 x2 U

✭✼✳✶✮

❆❢t❡r ❡♥t❛♥❣❧✐♥❣ Q ❛♥❞ A2 ✇✐t❤ ❛♥ ♦♣❡r❛t♦r ❛♥❛❧♦❣♦✉s t♦ ✭✺✳✼✹✮✱ t❤❡ ✇❛✈❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ ✭✺✳✼✺✮
❡✈♦❧✈❡s t♦
(1)

|QA1 A2 =
x1 x2

(2)

αx1 Ux1 x2 |x2 x1 x2 ,

✇❤❡r❡ t❤❡ ♦rt❤♦❣♦♥❛❧ ❜❛s✐s ♦❢ t❤❡ s❡❝♦♥❞ ❛♥❝✐❧❧❛✱ A2 ✱ ✐s ❢♦r♠❡❞ ❢r♦♠ t❤❡ st❛t❡s |x2 ✳

✶✸✾

✭✼✳✷✮

❚r❛❝✐♥❣ ♦✉t Q✱ t❤❡ q✉❛♥t✉♠ ❛♥❝✐❧❧❛❡ ❛r❡ ❝♦rr❡❧❛t❡❞ ❛❝❝♦r❞✐♥❣ t♦ t❤❡ ❥♦✐♥t ❞❡♥s✐t② ♠❛tr✐①✱

ρ(A1 A2 ) =

(1) (1)∗ (2)
(2)∗
U x1 x2 U
|x x
x1
x1 x2 1 2

αx1 α

x1 x1 x2

x1 x2 |,

✭✼✳✸✮

✇❤✐❧❡ A1 ❛♥❞ A2 t♦❣❡t❤❡r ❛r❡ ❡♥t❛♥❣❧❡❞ ✇✐t❤ t❤❡ q✉❛♥t✉♠ s②st❡♠✳ ❚❤❡ ♠❛r❣✐♥❛❧ ❛♥❝✐❧❧❛
❞❡♥s✐t② ♠❛tr✐❝❡s✱ ♦❜t❛✐♥❡❞ ❢r♦♠ ✭✼✳✸✮✱ ❛r❡
(i)

ρ(Ai ) =
xi

qxi |xi xi | ,

✭✼✳✹✮

i = 1, 2

(1)
(1)
✇❤❡r❡ qx1 = |αx1 |2 ✐s t❤❡ ♣r♦❜❛❜✐❧✐t② ❞✐str✐❜✉t✐♦♥ ♦❢ ❛♥❝✐❧❧❛ A1 ✱ ✇❤✐❧❡ t❤❡ ♣r♦❜❛❜✐❧✐t② ❞✐s✲
(2)
tr✐❜✉t✐♦♥ ♦❢ A2 ✐s t❤❡ ✐♥❝♦❤❡r❡♥t s✉♠ ✭❛ s✉♠ ♦❢ sq✉❛r❡s✮✱ qx2 =

(1) 2
(2) 2
x1 |αx1 | |Ux1 x2 | ✳ ❲❡

❝❛♥ ❝♦♠♣❛r❡ t❤✐s ❡①♣r❡ss✐♦♥ t♦ t❤❡ ❝♦❤❡r❡♥t ♣r♦❜❛❜✐❧✐t② ❞✐str✐❜✉t✐♦♥ ✭❛ sq✉❛r❡ ♦❢ s✉♠s✮✱
(1) (2) 2
x1 αx1 Ux1 x2 ❢♦r

A2 ❤❛❞ t❤❡ ✜rst ♠❡❛s✉r❡♠❡♥t ✇✐t❤ A1 ♥❡✈❡r ♦❝❝✉rr❡❞✳ ❚❤❡ ♠❛r❣✐♥❛❧

❡♥tr♦♣② ♦❢ ❜♦t❤ A1 ❛♥❞ A2 ✐s t❤❡ ❙❤❛♥♥♦♥ ❡♥tr♦♣② S(Ai ) = H[q (i) ] ♦❢ t❤❡ ♣r♦❜❛❜✐❧✐t② ❞✐str✐❜✉✲
(i)
t✐♦♥ qx ✳ ❘❡❝❛❧❧ ❢r♦♠ ❈❤s✳ ✸✳✷ ❛♥❞ ✺✳✸ t❤❛t ✇❡ ❞❡♥♦t❡ t❤❡ ❙❤❛♥♥♦♥ ❡♥tr♦♣② ♦❢ ❛ d✲❞✐♠❡♥s✐♦♥❛❧
i
d−1
xi =0 pxi

♣r♦❜❛❜✐❧✐t② ❞✐str✐❜✉t✐♦♥ pxi ❜② H[p] = −

logd pxi ✱ ✇❤✐❧❡ t❤❡ ✈♦♥ ◆❡✉♠❛♥♥ ❡♥tr♦♣②

♦❢ ❛ ❞❡♥s✐t② ♠❛tr✐① ρ(X) ✐s ❞❡✜♥❡❞ ❛s S(X) = S(ρ(X)) = −Tr [ρ(X) logd ρ(X)]✳ ❚❛❦✐♥❣ t❤❡
❧♦❣❛r✐t❤♠ t♦ t❤❡ ❜❛s❡ d ❣✐✈❡s ❡♥tr♦♣✐❡s t❤❡ ✉♥✐ts ✏❞✐ts✑✳
❆ t❤✐r❞ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥t ♦❢ Q ✇✐t❤ ❛♥ ❛♥❝✐❧❧❛ A3 ②✐❡❧❞s

|QA1 A2 A3 =

(1)

(2)

(3)

αx1 Ux1 x2 Ux2 x3 |x3 x1 x2 x3 ,

✭✼✳✺✮

x1 x2 x3

(3)
✇❤❡r❡ Ux2 x3 = x3 |x2 ❞❡s❝r✐❜❡s t❤❡ r❡❧❛t✐✈❡ tr❛♥s❢♦r♠❛t✐♦♥ ❜❡t✇❡❡♥ t❤❡ ❜❛s❡s ♦❢ t❤❡ t❤✐r❞

❛♥❞ s❡❝♦♥❞ ♦❜s❡r✈❛❜❧❡s✱ ❛♥❞ |x3 ❛r❡ t❤❡ ❜❛s✐s st❛t❡s ♦❢ ❛♥❝✐❧❧❛ A3 ✳ ❚❤❡ q✉❛♥t✉♠ s②st❡♠ ✐s
❡♥t❛♥❣❧❡❞ ✇✐t❤ ❛❧❧ t❤r❡❡ ❛♥❝✐❧❧❛❡ ✐♥ ✭✼✳✺✮✱ ❛s ✐❧❧✉str❛t❡❞ ❜② t❤❡ ♥❡❣❛t✐✈❡ ❝♦♥❞✐t✐♦♥❛❧ ❡♥tr♦♣✐❡s

✶✹✵

−S3

2S3

Q

−S3

A1 A2 A3

❋✐❣✉r❡ ✼✳✷✿ ❊♥tr♦♣② ❱❡♥♥ ❞✐❛❣r❛♠ ❢♦r t❤❡ st❛t❡ ✭✼✳✺✮✳ ❚❤❡ ♣r❡s❡♥❝❡ ♦❢ ♥❡❣❛t✐✈❡ ❝♦♥❞✐t✐♦♥❛❧
❡♥tr♦♣✐❡s r❡✈❡❛❧s t❤❛t t❤❡ q✉❛♥t✉♠ s②st❡♠✱ Q✱ ✐s ❡♥t❛♥❣❧❡❞ ✇✐t❤ ❛❧❧ t❤r❡❡ ❛♥❝✐❧❧❛❡✱ A1 ✱ A2 ✱
❛♥❞ A3 ✳ ■♥ t❤✐s ✜❣✉r❡✱ ✇❡ ✉s❡ t❤❡ ♥♦t❛t✐♦♥ S3 = S(A3 )✱ ✇❤✐❝❤ ✐s t❤❡ ♠❛r❣✐♥❛❧ ❡♥tr♦♣② ♦❢
t❤❡ ❧❛st ❛♥❝✐❧❧❛ A3 ✐♥ t❤❡ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥t s❡q✉❡♥❝❡✳ ❚♦ ❣❡♥❡r❛❧✐③❡ t❤✐s ❞✐❛❣r❛♠ ❢r♦♠ t❤r❡❡ t♦ n
❝♦♥s❡❝✉t✐✈❡ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥ts ♦❢ ❛ ♣r❡♣❛r❡❞ q✉❛♥t✉♠ s②st❡♠✱ S3 ✐s r❡♣❧❛❝❡❞ ❜② Sn ✱ t❤❡ ❡♥tr♦♣②
♦❢ t❤❡ ❧❛st ❛♥❝✐❧❧❛✱ An ✱ ✐♥ t❤❡ ❝❤❛✐♥✳
✐♥ ❋✐❣✳ ✼✳✷✳ ❚❤❡ ❞❡❣r❡❡ ♦❢ ❡♥t❛♥❣❧❡♠❡♥t ✐s ❝♦♥tr♦❧❧❡❞ ❜② t❤❡ ♠❛r❣✐♥❛❧ ❡♥tr♦♣② S(A3 ) = H[q (3) ]
(3)
♦❢ ❛♥❝✐❧❧❛ A3 ✱ ❢♦r t❤❡ ♣r♦❜❛❜✐❧✐t② ❞✐str✐❜✉t✐♦♥ qx3 =

(1)

x1 x2

(2)

(3)

|αx1 |2 |Ux1 x2 |2 |Ux2 x3 |2 ✳ ❚❤✐s

♣r♦❝❡❞✉r❡ ❝❛♥ ❜❡ r❡♣❡❛t❡❞ ❢♦r ❛♥ ❛r❜✐tr❛r② ♥✉♠❜❡r ♦❢ ❝♦♥s❡❝✉t✐✈❡ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥ts ❛♥❞ ❝❛♥ ❜❡
✉s❡❞ t♦ s✉❝❝✐♥❝t❧② ❞❡s❝r✐❜❡ t❤❡ q✉❛♥t✉♠ ❩❡♥♦ ❛♥❞ ❛♥t✐✲❩❡♥♦ ❡✛❡❝ts ✭s❡❡ ❙❡❝✳ ✼✳✺✳✶✮✳ ■♥ t❤❡
❢♦❧❧♦✇✐♥❣ s❡❝t✐♦♥s ✇❡ ✇✐❧❧ q✉❛♥t✐❢② ❤♦✇ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥ ✐s ❞✐str✐❜✉t❡❞ ✐♥ st❛t❡s ❧✐❦❡ ✭✼✳✺✮✱ ❛♥❞
❤♦✇ t❤❛t ❞✐str✐❜✉t✐♦♥ ❝❤❛♥❣❡s ✇❤❡♥ t❤❡ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥ts ❛r❡ ❛♠♣❧✐✜❡❞✳

✼✳✷✳✷ ❈♦♥s❡❝✉t✐✈❡ ▼❡❛s✉r❡♠❡♥ts ♦❢ ❯♥♣r❡♣❛r❡❞ ◗✉❛♥t✉♠ ❙t❛t❡s
❙❡q✉❡♥t✐❛❧ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥ts ♦❢ ❛♥ ✉♥♣r❡♣❛r❡❞ q✉❛♥t✉♠ s②st❡♠ ②✐❡❧❞ ❡♥tr♦♣② ❞✐str✐❜✉t✐♦♥s ❜❡✲
t✇❡❡♥ t❤❡ q✉❛♥t✉♠ s②st❡♠ ❛♥❞ ❛♥❝✐❧❧❛❡ t❤❛t ❛r❡ ❞✐✛❡r❡♥t ❢r♦♠ t❤♦s❡ ❝r❡❛t❡❞ ❜② ♠❡❛s✉r❡✲
♠❡♥ts ♦❢ ♣r❡♣❛r❡❞ q✉❛♥t✉♠ s②st❡♠s ✭s❡❡ ❙❡❝✳ ✼✳✷✳✶✮✳ ■♥ t❤✐s s❡❝t✐♦♥✱ ✇❡ ❝♦♥s✐❞❡r ❛ s❡q✉❡♥❝❡
♦❢ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥ts ♦❢ ❛♥ ✉♥♣r❡♣❛r❡❞ q✉❛♥t✉♠ s②st❡♠ t❤❛t ✐s ✐♥✐t✐❛❧❧② ❡♥t❛♥❣❧❡❞ ✇✐t❤ ❛ r❡❢❡r✲
❡♥❝❡ s②st❡♠ ❛s ✐♥ ✭✺✳✼✾✮✳ ❆❞❞✐♥❣ t♦ t❤❡ ❝❛❧❝✉❧❛t✐♦♥s ✐♥ ❙❡❝✳ ✺✳✸✳✷✱ ✇❡ ♠❡❛s✉r❡ Q ❛❣❛✐♥ ✐♥
(2)
❛ r♦t❛t❡❞ ❜❛s✐s Ux1 x2 = x2 |x1 ✱ ❜② ❡♥t❛♥❣❧✐♥❣ ✐t ✇✐t❤ ❛♥ ❛♥❝✐❧❧❛ A2 ✳ ❚❤❡♥✱ ✇✐t❤ |x2 t❤❡

✶✹✶

❜❛s✐s st❛t❡s ♦❢ ❛♥❝✐❧❧❛ A2 ✱ t❤❡ ✇❛✈❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ ✭✺✳✽✶✮ ❜❡❝♦♠❡s

1
(2)
|QRA1 A2 = √
Ux1 x2 |x2 x1 x1 x2 .
dx x
1 2

✭✼✳✻✮

■t ✐s str❛✐❣❤t❢♦r✇❛r❞ t♦ s❤♦✇ t❤❛t t❤❡ ♠❛r❣✐♥❛❧ ❛♥❝✐❧❧❛ ❞❡♥s✐t② ♠❛tr✐❝❡s ❛r❡ ♠❛①✐♠❛❧❧② ♠✐①❡❞✱

ρ(A1 ) = ρ(A2 ) = 1/d ✶✱ ✇❤❡r❡ ✶ ✐s t❤❡ ✐❞❡♥t✐t② ♠❛tr✐① ♦❢ ❞✐♠❡♥s✐♦♥ d✳ ■t ❢♦❧❧♦✇s t❤❛t A1 ❛♥❞
A2 ❤❛✈❡ ♠❛①✐♠✉♠ ❡♥tr♦♣② S(A1 ) = S(A2 ) = 1✳ ❘❡❝❛❧❧ t❤❛t ❛❧❧ ❧♦❣❛r✐t❤♠s ❛r❡ t❛❦❡♥ t♦ t❤❡
❜❛s❡ d✱ ❣✐✈✐♥❣ ❡♥tr♦♣✐❡s ✉♥✐ts ♦❢ ❞✐ts✳ ■❢ d = 2✱ t❤❡ ✉♥✐ts ❛r❡ ❜✐ts✳ ❚❤❡ ❥♦✐♥t st❛t❡ ♦❢ A1 ❛♥❞

A2 ✐s ❞✐❛❣♦♥❛❧ ✐♥ t❤❡ ❛♥❝✐❧❧❛ ♣r♦❞✉❝t ❜❛s✐s✱

ρ(A1 A2 ) =

1
(2)
|Ux1 x2 |2 |x2 x2 | ,
|x1 x1 | ⊗
d x
x2
1

✭✼✳✼✮

✐♥ ❝♦♥tr❛st t♦ ❊q✳ ✭✼✳✸✮✳ ❙t✐❧❧✱ t❤❡ q✉❛♥t✉♠ ❛♥❝✐❧❧❛❡ A1 ❛♥❞ A2 ❛r❡ ❝♦rr❡❧❛t❡❞✳ ❊q✉❛t✐♦♥s ✭✼✳✸✮
❛♥❞ ✭✼✳✼✮ ✐♠♠❡❞✐❛t❡❧② ✐♠♣❧② t❤❛t ✐❢ t❤❡ q✉❛♥t✉♠ s②st❡♠ ✐s ♠❡❛s✉r❡❞ r❡♣❡❛t❡❞❧② ✐♥ t❤❡ s❛♠❡
(2)
❜❛s✐s ✭Ux1 x2 = δx1 x2 ✮ ❜② ✐♥❞❡♣❡♥❞❡♥t ❞❡✈✐❝❡s✱ ❛❧❧ ♦❢ t❤♦s❡ ❞❡✈✐❝❡s ✇✐❧❧ ❜❡ ♣❡r❢❡❝t❧② ❝♦rr❡❧❛t❡❞

❛♥❞ ✇✐❧❧ r❡✢❡❝t t❤❡ s❛♠❡ ♦✉t❝♦♠❡ ❬✺✾✱ ✶✹✵❪✳
▲❡t ✉s ❡♥t❛♥❣❧❡ ❛ t❤✐r❞ ❛♥❝✐❧❧❛✱ A3 ✱ ✇✐t❤ t❤❡ q✉❛♥t✉♠ s②st❡♠ ❛♥❞ ♣❡r❢♦r♠ ❛ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥t
(3)
♦❢ ❛♥ ♦❜s❡r✈❛❜❧❡ ✇✐t❤ ❡✐❣❡♥❜❛s✐s r♦t❛t❡❞ ✈✐❛ Ux2 x3 = x3 |x2 ✳ ❲❡ ✜♥❞ t❤❛t ✭✼✳✻✮ ❡✈♦❧✈❡s t♦

1
(2)
(3)
|QRA1 A2 A3 = √
Ux1 x2 Ux2 x3 |x3 x1 x1 x2 x3 .
dx x x
1 2 3

✭✼✳✽✮

❚❤❡ ❡♥tr♦♣✐❝ r❡❧❛t✐♦♥s❤✐♣s ❜❡t✇❡❡♥ t❤❡ ✈❛r✐❛❜❧❡s Q✱ R✱ ❛♥❞ A1 A2 A3 ❛r❡ s❤♦✇♥ ✐♥ ❋✐❣✳ ✼✳✸✳
❚❤❡ ③❡r♦ t❡r♥❛r② ♠✉t✉❛❧ ❡♥tr♦♣②✱ S(Q : R : A1 A2 A3 ) = 0✱ ✐♥❞✐❝❛t❡s t❤❛t t❤❡ ❡♥tr♦♣②

S(A1 A3 ) = S13 t❤❛t ✐s s❤❛r❡❞ ❜② R ❛♥❞ A1 A2 A3 ✐s ♥♦t s❤❛r❡❞ ✇✐t❤ t❤❡ q✉❛♥t✉♠ s②st❡♠✳
❚r❛❝✐♥❣ ♦✉t t❤❡ r❡❢❡r❡♥❝❡ st❛t❡✱ ✇❡ ✜♥❞ t❤❛t t❤❡ q✉❛♥t✉♠ s②st❡♠ ✐s ❡♥t❛♥❣❧❡❞ ✇✐t❤ ❛❧❧ t❤r❡❡
❛♥❝✐❧❧❛❡✳ ❍♦✇❡✈❡r✱ t❤✐s ❡♥t❛♥❣❧❡♠❡♥t ✐s ♥♦✇ s❤❛r❡❞ ✇✐t❤ t❤❡ r❡❢❡r❡♥❝❡ s②st❡♠✱ ✇❤✐❝❤ ②✐❡❧❞s

✶✹✷

Q

Q

−1
2−
S13

1−S13
S13

S13

0
−S13

−1

0

S13
R

A1 A2 A3
(a)

A1 A2 A3
(b)

❋✐❣✉r❡ ✼✳✸✿ ❊♥tr♦♣② ❱❡♥♥ ❞✐❛❣r❛♠s ❢♦r t❤❡ ♣✉r❡ st❛t❡ ✭✼✳✽✮✱ ✇❤❡r❡ S13 = S(A1 A3 ) ✐s t❤❡
❥♦✐♥t ❡♥tr♦♣② ♦❢ ❊q✳ ✭✼✳✶✶✮✳ ✭❛✮ ❚❤❡ ❡♥tr♦♣② S13 t❤❛t ✐s s❤❛r❡❞ ❜② t❤❡ r❡❢❡r❡♥❝❡ st❛t❡✱ R✱ ❛♥❞
t❤❡ ❝❤❛✐♥ ♦❢ ❛♥❝✐❧❧❛❡✱ A1 A2 A3 ✱ ✐s ♥♦t s❤❛r❡❞ ✇✐t❤ t❤❡ q✉❛♥t✉♠ s②st❡♠✱ Q✱ s✐♥❝❡ t❤❡ t❡r♥❛r②
♠✉t✉❛❧ ❡♥tr♦♣② ✈❛♥✐s❤❡s✿ S(Q : R : A1 A2 A3 ) = 0✳ ✭❜✮ ❚r❛❝✐♥❣ ♦✉t t❤❡ r❡❢❡r❡♥❝❡ ❧❡❛✈❡s
Q ❡♥t❛♥❣❧❡❞ ✇✐t❤ ❛❧❧ ❛♥❝✐❧❧❛❡✳ ❚♦ ❣❡♥❡r❛❧✐③❡ t❤❡s❡ ❞✐❛❣r❛♠s ❢r♦♠ t❤r❡❡ t♦ n ❝♦♥s❡❝✉t✐✈❡
♠❡❛s✉r❡♠❡♥ts ♦❢ ❛♥ ✉♥♣r❡♣❛r❡❞ q✉❛♥t✉♠ s②st❡♠✱ S13 ✐s r❡♣❧❛❝❡❞ ❜② S1n ✱ t❤❡ ❥♦✐♥t ❡♥tr♦♣②
♦❢ t❤❡ ✜rst ❛♥❞ ❧❛st ❛♥❝✐❧❧❛❡✱ A1 ❛♥❞ An ✱ ✐♥ t❤❡ ❝❤❛✐♥✳
❛ ❱❡♥♥ ❞✐❛❣r❛♠ t❤❛t ✐s ❞✐✛❡r❡♥t ❢r♦♠ ❋✐❣✳ ✼✳✷✳
❈♦♥s❡❝✉t✐✈❡ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥ts ♣r♦✈✐❞❡ ❛ ✉♥✐q✉❡ ♦♣♣♦rt✉♥✐t② t♦ ❡①tr❛❝t ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥ ❛❜♦✉t
t❤❡ st❛t❡ ♦❢ t❤❡ q✉❛♥t✉♠ s②st❡♠ ❢r♦♠ t❤❡ ❝♦rr❡❧❛t✐♦♥s ❝r❡❛t❡❞ ❜❡t✇❡❡♥ t❤❡ ❛♥❝✐❧❧❛❡✱ ❛s ✇❡ ❞♦
♥♦t ❞✐r❡❝t❧② ♦❜s❡r✈❡ ❡✐t❤❡r t❤❡ q✉❛♥t✉♠ s②st❡♠ ♦r t❤❡ r❡❢❡r❡♥❝❡✳ ❚r❛❝✐♥❣ ♦✉t Q ❛♥❞ R ❢r♦♠
t❤❡ ❢✉❧❧ ❞❡♥s✐t② ♠❛tr✐① ❛ss♦❝✐❛t❡❞ ✇✐t❤ ❊q✳ ✭✼✳✽✮ ②✐❡❧❞s t❤❡ ❥♦✐♥t st❛t❡ ♦❢ t❤❡ t❤r❡❡ ❛♥❝✐❧❧❛❡✱

ρ(A1 A2 A3 ) =

1
(2)
(2)∗
(3)
(3)∗
|x1 x1 | ⊗
Ux1 x2 U
|x2 x2 | ⊗
Ux2 x3 U
|x x3 |. ✭✼✳✾✮
x1 x2
x2 x3 3
d x
x
1
3
x2 x2

❯♥❧✐❦❡ t❤❡ ♣❛✐r✇✐s❡ st❛t❡ ρ(A1 A2 ) ✐♥ ❊q✳ ✭✼✳✼✮✱ t❤❡ st❛t❡ ♦❢ ❛❧❧ t❤r❡❡ ❛♥❝✐❧❧❛❡ ✐s ♥♦t ❛♥
✐♥❝♦❤❡r❡♥t ♠✐①t✉r❡✳ P❡r❢♦r♠✐♥❣ ❛ t❤✐r❞ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥t ❤❛s✱ ✐♥ ❛ s❡♥s❡✱ r❡✈✐✈❡❞ t❤❡ ❝♦❤❡r❡♥❝❡
♦❢ t❤❡ A2 s✉❜s②st❡♠✳
❆♥ ❛♣♣❛r❡♥t ❝♦❧❧❛♣s❡ ❤❛s t❛❦❡♥ ♣❧❛❝❡ ❛❢t❡r t❤❡ s❡❝♦♥❞ ❝♦♥s❡❝✉t✐✈❡ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥t ✐♥ ❊q✳ ✭✼✳✼✮

✶✹✸

❛s t❤❡ ❝♦rr❡s♣♦♥❞✐♥❣ ❞❡♥s✐t② ♠❛tr✐① ❤❛s ♥♦ ♦✛✲❞✐❛❣♦♥❛❧ t❡r♠s✳ ❍♦✇❡✈❡r✱ t❤❡ t❤✐r❞ ♠❡❛s✉r❡✲
♠❡♥t s❡❡♠✐♥❣❧② ✉♥❞♦❡s t❤✐s ♣r♦❥❡❝t✐♦♥✱ ❛s ❝❛♥ ❜❡ s❡❡♥ ❢r♦♠ t❤❡ ❛♣♣❡❛r❛♥❝❡ ♦❢ ♦✛✲❞✐❛❣♦♥❛❧
t❡r♠s ✐♥ ❊q✳ ✭✼✳✾✮✳ ❚❤✐s ✏r❡✈❡rs❛❧✑ ✐s ❞✐✛❡r❡♥t ❢r♦♠ ♣r♦t♦❝♦❧s t❤❛t ❝❛♥ ✏✉♥✲❝♦❧❧❛♣s❡✑ ✇❡❛❦
♠❡❛s✉r❡♠❡♥ts ❬✶✽✶✱ ✶✽✷❪✱ ❜❡❝❛✉s❡ ✐t ✐s ❝❧❡❛r t❤❛t t❤❡ ✇❛✈❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ ✭✼✳✽✮ ✉♥❞❡r❧②✐♥❣ t❤❡ ❞❡♥✲
s✐t② ♠❛tr✐① ✭✼✳✾✮ r❡♠❛✐♥s ❛ ♣✉r❡ st❛t❡✳ ❚❤❡ ♣r❡s❡♥❝❡ ♦❢ t❤❡ ❝r♦ss t❡r♠s ✐♥ ❊q✳ ✭✼✳✾✮ ❤❛s
❢✉♥❞❛♠❡♥t❛❧ ❝♦♥s❡q✉❡♥❝❡s ❢♦r ♦✉r ✉♥❞❡rst❛♥❞✐♥❣ ♦❢ t❤❡ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥t ♣r♦❝❡ss✱ ❛♥❞ ♠❛② ♦♣❡♥
✉♣ ❛✈❡♥✉❡s ❢♦r ❞❡✈❡❧♦♣✐♥❣ ♥❡✇ q✉❛♥t✉♠ ♣r♦t♦❝♦❧s✳ ■♥ ♣❛rt✐❝✉❧❛r✱ t❤❡ ❝r♦ss t❡r♠s ✐♥ ❊q✳ ✭✼✳✾✮
❡♥❛❜❧❡ t❤❡ ✐♠♣❧❡♠❡♥t❛t✐♦♥ ♦❢ ❞✐s❡♥t❛♥❣❧✐♥❣ ♣r♦t♦❝♦❧s ❬✶✽✸❪ ✭s❡❡ ❈❤✳ ✽✮✳
❆s ♠❡♥t✐♦♥❡❞ ✐♥ ❙❡❝✳ ✺✳✸✳✸✱ t❤❡ ❛♥❝✐❧❧❛ Ai ♠❛② ❜❡ ❝♦♠♣♦s❡❞ ♦❢ ❛ ❧❛r❣❡ ♥✉♠❜❡r ♦❢ q✉❞✐ts✳
(1)
(n)
❚♦ ❛❝❝♦✉♥t ❢♦r ❛ ♣♦ss✐❜❧② ♠❛❝r♦s❝♦♣✐❝ ❛♥❝✐❧❧❛✱ ✇❡ s✉♣♣♦s❡ t❤❛t n q✉❞✐ts Ai · · · Ai ✱ ✇❤✐❝❤

❝♦♠♣r✐s❡ t❤❡ it❤ ❛♥❝✐❧❧❛ Ai ✱ ♠❡❛s✉r❡ t❤❡ q✉❛♥t✉♠ s②st❡♠✳ ■♥ t❤✐s ❝❛s❡✱ t❤❡ ❥♦✐♥t ❞❡♥s✐t②
♠❛tr✐① ✭✼✳✾✮ ✐s ❡①t❡♥❞❡❞ t♦

ρ(A1 A2 A3 ) =

1
(2)
(2)∗
Ux1 x2 U
|x2 . . . x2 x2 . . . x2 |
|x1 . . . x1 x1 . . . x1 | ⊗
x
d x
1 x2
1
x2 x2
(3)

⊗
x3

(3)∗
|x . . . x3
x2 x3 3

Ux2 x3 U

✭✼✳✶✵✮

x3 . . . x3 |.

■♥ ♣r✐♥❝✐♣❧❡✱ ❛❝❝♦✉♥t✐♥❣ ❢♦r ♠❛❝r♦s❝♦♣✐❝ ❛♥❝✐❧❧❛❡ ❞♦❡s ♥♦t ❞❡str♦② t❤❡ ❝♦❤❡r❡♥❝❡ ♦❢ t❤❡ ❥♦✐♥t
st❛t❡ ✭✼✳✶✵✮✱ ✇❤✐❝❤ ✐s ❝♦♥❝❡♥tr❛t❡❞ ✐♥ t❤❡ A2 s✉❜s②st❡♠✳ ❚❤❡ ❝♦❤❡r❡♥❝❡ ✐s ♣r♦t❡❝t❡❞ ❛s ❧♦♥❣
❛s ♥♦ q✉❞✐ts ✐♥ t❤❡ ✐♥t❡r♠❡❞✐❛t❡ ❛♥❝✐❧❧❛ A2 ❛r❡ ❵❧♦st✬✱ ✐♠♣❧②✐♥❣ ❛ tr❛❝❡ ♦✈❡r t❤❡✐r st❛t❡s✱ ✇❤✐❝❤
r❡♠♦✈❡s ❛❧❧ ♦✛✲❞✐❛❣♦♥❛❧ t❡r♠s✳ ■♥ ♣r❛❝t✐❝❛❧ ✐♠♣❧❡♠❡♥t❛t✐♦♥s✱ ✐t ♠❛② ❜❡ ❡✛❡❝t✐✈❡❧② ✐♠♣♦ss✐❜❧❡
t♦ ♣r❡✈❡♥t ❞❡❝♦❤❡r❡♥❝❡ ✇❤❡♥ t❤❡ ♥✉♠❜❡r ♦❢ q✉❞✐ts ✐s s✉✣❝✐❡♥t❧② ❧❛r❣❡✳ ❖♥ t❤❡ ♦t❤❡r ❤❛♥❞✱
t❤❡ ♣❛✐r✇✐s❡ ❞❡♥s✐t② ♠❛tr✐❝❡s ρ(A1 A2 )✱ ρ(A2 A3 )✱ ❛♥❞ ρ(A1 A3 ) ❛r❡ ✉♥❛✛❡❝t❡❞ ❜② ❛ ❧♦ss ♦❢
q✉❞✐ts ❛s t❤❡② ❛r❡ ❛❧r❡❛❞② ❞✐❛❣♦♥❛❧✳ ■♥ ❛❞❞✐t✐♦♥✱ ✐t ❝❛♥ ❜❡ ❡❛s✐❧② s❤♦✇♥ t❤❛t t❤❡ ❝♦❤❡r❡♥❝❡
✐♥ ❊qs✳ ✭✼✳✾✮ ❛♥❞ ✭✼✳✶✵✮ ✐s ❢✉❧❧② ❞❡str♦②❡❞ ✐❢ ❥✉st t❤❡ A2 ♠❡❛s✉r❡♠❡♥t ✐s ❛♠♣❧✐✜❡❞ ❜② ❛ ❞❡✈✐❝❡

✶✹✹

D2 ✭❛s ✇❡ ✇✐❧❧ s❡❡ ✐♥ ❙❡❝✳ ✼✳✸✳✸✮✳ ❚❤❛t ✐s✱ ❛♠♣❧✐✜❝❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ✜rst ❛♥❞ ❧❛st ❛♥❝✐❧❧❛❡ ❤❛s ♥♦
❡✛❡❝t ♦♥ t❤❡ ❝♦❤❡r❡♥❝❡ ♦❢ ✭✼✳✾✮ ❛♥❞ ✭✼✳✶✵✮✳
❋r♦♠ t❤❡ ❥♦✐♥t ❛♥❝✐❧❧❛ ❞❡♥s✐t② ♠❛tr✐① ✭✼✳✾✮✱ ✇❡ ♥♦✇ ❞❡r✐✈❡ s❡✈❡r❛❧ ♣r♦♣❡rt✐❡s ♦❢ t❤❡ ❝❤❛✐♥
♦❢ q✉❛♥t✉♠ ❛♥❝✐❧❧❛❡ ❛♥❞ s✉♠♠❛r✐③❡ t❤❡♠ ✉s✐♥❣ ❛♥ ❡♥tr♦♣② ❱❡♥♥ ❞✐❛❣r❛♠ ❜❡t✇❡❡♥ A1 ✱ A2 ✱
❛♥❞ A3 ✳ ❋✐rst✱ ✇❡ ❝♦♥str✉❝t ❛❧❧ t❤r❡❡ ♣❛✐r✇✐s❡ ❛♥❝✐❧❧❛ ❞❡♥s✐t② ♠❛tr✐❝❡s ❛♥❞ ❝♦♠♣✉t❡ t❤❡✐r
❡♥tr♦♣✐❡s✳ ❚r❛❝✐♥❣ ♦✉t A3 ❢r♦♠ t❤❡ ❥♦✐♥t ❞❡♥s✐t② ♠❛tr✐① ✭✼✳✾✮ r❡❝♦✈❡rs ρ(A1 A2 ) ✐♥ ❊q✳ ✭✼✳✼✮✱
❛s ✐t s❤♦✉❧❞ ❜❡❝❛✉s❡ t❤❡ ✐♥t❡r❛❝t✐♦♥ ❜❡t✇❡❡♥ Q ❛♥❞ A3 ❞♦❡s ♥♦t ✐♥✢✉❡♥❝❡ t❤❡ ♣❛st ✐♥t❡r❛❝t✐♦♥s
♦❢ Q ✇✐t❤ A1 ❛♥❞ A2 ✳ ❚r❛❝✐♥❣ ♦✈❡r A2 ✐♥ ❊q✳ ✭✼✳✾✮ ❣✐✈❡s

ρ(A1 A3 ) =

1
(2)
(3)
|Ux2 x3 |2 |Ux2 x3 |2 |x3 x3 |,
|x1 x1 | ⊗
d x
x2 x3
1

✭✼✳✶✶✮

1
(3)
|Ux2 x3 |2 |x3 x3 | .
|x2 x2 | ⊗
d x
x3
2

✭✼✳✶✷✮

✇❤✐❧❡ tr❛❝✐♥❣ ♦✈❡r A1 ②✐❡❧❞s

ρ(A2 A3 ) =

❆❧❧ t❤r❡❡ ♣❛✐r✇✐s❡ ❞❡♥s✐t② ♠❛tr✐❝❡s ❛r❡ ❞✐❛❣♦♥❛❧ ✐♥ t❤❡ ❛♥❝✐❧❧❛ ♣r♦❞✉❝t ❜❛s✐s ✭s❡❡ ❚❤❡♦r❡♠ ✷
✐♥ ❙❡❝✳ ✼✳✷✳✸ ❢♦r ❛ ❣❡♥❡r❛❧ ♣r♦♦❢✮✳ ❲❡ t❛❦❡ ✏❞✐❛❣♦♥❛❧ ✐♥ t❤❡ ❛♥❝✐❧❧❛ ♣r♦❞✉❝t ❜❛s✐s✑ t♦ ❜❡
s②♥♦♥②♠♦✉s ✇✐t❤ ✏❝❧❛ss✐❝❛❧✑✳ ❋r♦♠ ❊qs✳ ✭✼✳✼✮✱ ✭✼✳✶✶✮✱ ❛♥❞ ✭✼✳✶✷✮✱ ✇❡ ❝❛♥ ❝❛❧❝✉❧❛t❡ t❤❡ ❡♥tr♦♣②
♦❢ ❡❛❝❤ ♣❛✐r ♦❢ ❛♥❝✐❧❧❛❡ ❛♥❞ ♦❢ t❤❡ ❥♦✐♥t st❛t❡ ♦❢ ❛❧❧ t❤r❡❡ ❛♥❝✐❧❧❛❡ ❢r♦♠ ❊q✳ ✭✼✳✾✮✳ ❚❤❡ ♣❛✐r✇✐s❡
❡♥tr♦♣✐❡s ❛r❡

S(A1 A2 ) = 1 −

1
(2)
(2)
|Ux1 x2 |2 logd |Ux1 x2 |2 ,
dx x
1 2

1
(3)
(3)
|Ux2 x3 |2 logd |Ux2 x3 |2 ,
dx x
2 3
1
(13)
(13)
|βx1 x3 |2 logd |βx1 x3 |2 .
S(A1 A3 ) = 1 −
dx x
S(A2 A3 ) = 1 −

1 3

✶✹✺

✭✼✳✶✸✮

✭✼✳✶✹✮

✭✼✳✶✺✮

A2
0
S23 −1

S13 −S23

S12 −1

3−S12
−S23
S12 +S23
−S13 −1

A1

S13 −S12

A3

❋✐❣✉r❡ ✼✳✹✿ ❊♥tr♦♣② r❡❧❛t✐♦♥s❤✐♣s ❢♦r t❤r❡❡ q✉❛♥t✉♠ ❛♥❝✐❧❧❛❡ t❤❛t ♠❡❛s✉r❡❞ ❛♥ ✉♥♣r❡♣❛r❡❞
q✉❛♥t✉♠ s②st❡♠✳ ❚❤❡ ✈❛♥✐s❤✐♥❣ ❝♦♥❞✐t✐♦♥❛❧ ❡♥tr♦♣②✱ S(A2 |A1 A3 ) = 0✱ ✐s ❛ ❝♦♥s❡q✉❡♥❝❡
♦❢ t❤❡ ♣r♦♣❡rt② t❤❛t t❤❡ ❡♥tr♦♣② ♦❢ t❤❡ ❡♥t✐r❡ ❛♥❝✐❧❧❛ ❝❤❛✐♥ ✐s ❡q✉❛❧ t♦ t❤❡ ❡♥tr♦♣② ♦❢ t❤❡
❜♦r❞❡rs✱ S(A1 A2 A3 ) = S(A1 A3 )✳ ❚❤✐s ✇✐❧❧ ❜❡ ❞✐s❝✉ss❡❞ ♠♦r❡ ✐♥ ❙❡❝✳ ✼✳✷✳✸✳ ■♥ t❤✐s ✜❣✉r❡✱
S(Ai Aj ) = Sij ❞❡♥♦t❡s t❤❡ ♣❛✐r✇✐s❡ ❡♥tr♦♣② ♦❢ ❛♥② t✇♦ ❛♥❝✐❧❧❛❡ Ai ❛♥❞ Aj ✳
(13)
✇❤❡r❡ |βx1 x3 |2 =

(2) 2 (3) 2
x2 |Ux1 x2 | |Ux2 x3 | ✳ ❋✉rt❤❡r♠♦r❡✱ ✐t ✐s str❛✐❣❤t❢♦r✇❛r❞ t♦ s❤♦✇ t❤❛t

S(A1 A2 A3 )✱ t❤❡ ❡♥tr♦♣② ♦❢ ρ(A1 A2 A3 ) ✐♥ ❊q✳ ✭✼✳✾✮✱ ✐s ❡q✉❛❧ t♦ S(A1 A3 )✳ ❚❤✐s ❡q✉❛❧✐t②
❤♦❧❞s ❢♦r ❛♥② s❡t ♦❢ t❤r❡❡ ❝♦♥s❡❝✉t✐✈❡ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥ts ✐♥ ❛♥ ❛r❜✐tr❛r✐❧②✲❧♦♥❣ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥t
❝❤❛✐♥ ❛s ✇❡ ✇✐❧❧ ❧❛t❡r ♣r♦✈❡ ✐♥ ❚❤❡♦r❡♠ ✷ ♦❢ ❙❡❝✳ ✼✳✷✳✸✳ ❲✐t❤ t❤❡s❡ ❥♦✐♥t ❡♥tr♦♣✐❡s✱ ✇❡
❝♦♥str✉❝t t❤❡ ❡♥tr♦♣② ❱❡♥♥ ❞✐❛❣r❛♠ ❢♦r t❤❡ t❤r❡❡ ❛♥❝✐❧❧❛❡ t❤❛t ❝♦♥s❡❝✉t✐✈❡❧② ♠❡❛s✉r❡❞ ❛♥
✉♥♣r❡♣❛r❡❞ q✉❛♥t✉♠ s②st❡♠✱ ❛s s❤♦✇♥ ✐♥ ❋✐❣✳ ✼✳✹✳
❲❡ ❛♣♣❧② t❤❡ ❢♦r♠❛❧✐s♠ ♣r❡s❡♥t❡❞ t❤✉s ❢❛r t♦ t❤❡ s♣❡❝✐✜❝ ❝❛s❡ ♦❢ q✉❜✐ts ✭❍✐❧❜❡rt s♣❛❝❡
❞✐♠❡♥s✐♦♥ d = 2✮✳ ❚❤❡ ❡✐❣❡♥❜❛s✐s ♦❢ t❤❡ s❡❝♦♥❞ ♦❜s❡r✈❛❜❧❡ t❤❛t ✐s ♠❡❛s✉r❡❞ ✉s✐♥❣ ❛♥❝✐❧❧❛

A2 ✐s r♦t❛t❡❞ r❡❧❛t✐✈❡ t♦ t❤❡ ❜❛s✐s ♦❢ t❤❡ ✜rst ♦❜s❡r✈❛❜❧❡ ❜② ❛♥ ❛♥❣❧❡ θ2 ✳ ❙✐♠✐❧❛r❧②✱ t❤❡
❡✐❣❡♥❜❛s✐s ♦❢ t❤❡ t❤✐r❞ ♦❜s❡r✈❛❜❧❡ ♠❡❛s✉r❡❞ ✉s✐♥❣ A3 ✐s ❛t ❛♥ ❛♥❣❧❡ θ3 r❡❧❛t✐✈❡ t♦ t❤❡ s❡❝♦♥❞
♦❜s❡r✈❛❜❧❡✳ ■❢ ✇❡ ❝♦♥s✐❞❡r ♦❜s❡r✈❛❜❧❡s ✇✐t❤ ❡✐❣❡♥❜❛s❡s ✐♥ t❤❡ xz ♣❧❛♥❡ ♦❢ t❤❡ ❇❧♦❝❤ s♣❤❡r❡✱
✇❡ ❝❛♥ ✐♠♣❧❡♠❡♥t t❤❡ ❜❛s✐s tr❛♥s❢♦r♠❛t✐♦♥s ✇✐t❤ t❤❡ r♦t❛t✐♦♥ ♠❛tr✐①✱

✶✹✻

A2
0
1

1

−1

0

0

1

A1

A3

❋✐❣✉r❡ ✼✳✺✿ ❉✐❛❣r❛♠ ❢♦r t❤r❡❡ q✉❜✐t ❛♥❝✐❧❧❛❡ t❤❛t ♠❡❛s✉r❡❞ ❛♥ ✉♥♣r❡♣❛r❡❞ q✉❛♥t✉♠ s②st❡♠✳
❚❤❡ ❡✐❣❡♥❜❛s✐s ♦❢ t❤❡ s❡❝♦♥❞ ♦❜s❡r✈❛❜❧❡ ✐s ❛t ❛♥ ❛♥❣❧❡ θ2 = π/4 r❡❧❛t✐✈❡ t♦ t❤❡ ❜❛s✐s ♦❢ t❤❡
✜rst ♦❜s❡r✈❛❜❧❡ ❛♥❞ ❧✐❦❡✇✐s❡ ❢♦r t❤❡ t❤✐r❞ ♦❜s❡r✈❛❜❧❡✳

U (i) =

cos(θi ) − sin(θi )
.
sin(θi )
cos(θi )

✭✼✳✶✻✮

(2)
(3)
❋♦r ♠❡❛s✉r❡♠❡♥ts ❛t θ2 = θ3 = π/4✱ ❢♦r ❡①❛♠♣❧❡✱ ✇❡ ❤❛✈❡ |Ux1 x2 |2 = |Ux2 x3 |2 = 1/2✱ ❛♥❞ ✇❡

❡①♣❡❝t ❡❛❝❤ ❛♥❝✐❧❧❛ t♦ ❜❡ ♠❛①✐♠❛❧❧② ❡♥tr♦♣✐❝✿ S(A1 ) = S(A2 ) = S(A3 ) = 1 ❜✐t✳ ❚❤❡ ❥♦✐♥t
❡♥tr♦♣② ♦❢ ❡❛❝❤ ♣❛✐r ♦❢ ❛♥❝✐❧❧❛❡ ✐s t✇♦ ❜✐ts✱ ❛s ❝❛♥ ❜❡ r❡❛❞ ♦✛ ♦❢ ❊qs✳ ✭✼✳✶✸✲✼✳✶✺✮✳ ❇❡❝❛✉s❡
♦❢ t❤❡ ♥♦♥✲❞✐❛❣♦♥❛❧ ♥❛t✉r❡ ♦❢ ρ(A1 A2 A3 ) ✐♥ ❊q✳ ✭✼✳✾✮✱ t❤❡ ❥♦✐♥t ❞❡♥s✐t② ♠❛tr✐① ♦❢ t❤❡ t❤r❡❡
❛♥❝✐❧❧❛❡ ✭✉s✐♥❣ σz ✱ t❤❡ t❤✐r❞ P❛✉❧✐ ♠❛tr✐①✱ ❛♥❞


ρ(A1 A2 A3 ) =

✶✱ t❤❡ 2 × 2 ✐❞❡♥t✐t② ♠❛tr✐①✮✱

✶

1
−σz

8 0
0

−σz

0
0

0
0

✶

✶

σz


0
0

,
σz 

✭✼✳✶✼✮

✶

❤❛s ❡♥tr♦♣② S(A1 A2 A3 ) = 2 ❜✐ts✱ ❛s ❝❛♥ ❜❡ ❝❤❡❝❦❡❞ ❜② ✜♥❞✐♥❣ t❤❡ ❡✐❣❡♥✈❛❧✉❡s ♦❢ ✭✼✳✶✼✮✳
❋✐❣✉r❡ ✼✳✺ s✉♠♠❛r✐③❡s t❤❡ ❡♥tr♦♣✐❝ r❡❧❛t✐♦♥s❤✐♣s ❢♦r ✉♥❛♠♣❧✐✜❡❞ ❝♦♥s❡❝✉t✐✈❡ q✉❜✐t ♠❡❛s✉r❡✲
♠❡♥ts ❛t θ2 = θ3 = π/4✳
■t ✐s ✐♥str✉❝t✐✈❡ t♦ ♥♦t❡ t❤❛t t❤❡ ❱❡♥♥ ❞✐❛❣r❛♠ ✐♥ ❋✐❣✳ ✼✳✺ ✐s t❤❡ s❛♠❡ ❛s t❤❡ ♦♥❡ ♦❜t❛✐♥❡❞
❢♦r ❛ ♦♥❡✲t✐♠❡ ❜✐♥❛r② ❝r②♣t♦❣r❛♣❤✐❝ ♣❛❞ ✇❤❡r❡ t✇♦ ❝❧❛ss✐❝❛❧ ❜✐♥❛r② ✈❛r✐❛❜❧❡s ✭t❤❡ s♦✉r❝❡
❛♥❞ t❤❡ ❦❡②✮ ❛r❡ ❝♦♠❜✐♥❡❞ t♦ ❛ t❤✐r❞ ✭t❤❡ ♠❡ss❛❣❡✮ ✈✐❛ ❛ ❝♦♥tr♦❧❧❡❞✲♥♦t ♦♣❡r❛t✐♦♥ ❬✶✽✹❪
✶✹✼

✭t❤❡ ❞❡♥s✐t② ♠❛tr✐❝❡s ✉♥❞❡r❧②✐♥❣ t❤❡ ❱❡♥♥ ❞✐❛❣r❛♠s ❛r❡ ✈❡r② ❞✐✛❡r❡♥t✱ ❤♦✇❡✈❡r✮✳ ❚❤❡ ❱❡♥♥
❞✐❛❣r❛♠ ✐♠♣❧✐❡s t❤❛t t❤❡ st❛t❡ ♦❢ ❛♥② ♦♥❡ ♦❢ t❤❡ t❤r❡❡ q✉❛♥t✉♠ ❛♥❝✐❧❧❛❡ ❝❛♥ ❜❡ ♣r❡❞✐❝t❡❞
❢r♦♠ ❦♥♦✇✐♥❣ t❤❡ ❥♦✐♥t st❛t❡ ♦❢ t❤❡ t✇♦ ♦t❤❡rs✳ ❍♦✇❡✈❡r✱ t❤❡ ♣r❡❞✐❝t✐♦♥ ♦❢ A3 ✱ ❢♦r ❡①❛♠♣❧❡✱
❝❛♥♥♦t ❜❡ ❛❝❤✐❡✈❡❞ ✉s✐♥❣ ❡①♣❡❝t❛t✐♦♥ ✈❛❧✉❡s ❢r♦♠ A2 ✬s ❛♥❞ A1 ✬s st❛t❡s s❡♣❛r❛t❡❧②✱ ❛s t❤❡
❞✐❛❣♦♥❛❧ ♦❢ ❊qs✳ ✭✼✳✾✮ ❛♥❞ ✭✼✳✶✼✮ ❝♦rr❡s♣♦♥❞s t♦ ❛ ✉♥✐❢♦r♠ ♣r♦❜❛❜✐❧✐t② ❞✐str✐❜✉t✐♦♥✳ ❚❤✉s✱
q✉❛♥t✉♠ ❝♦❤❡r❡♥❝❡ ❝❛♥ ❜❡ s❡❡♥ t♦ ❡♥❝r②♣t ❝❧❛ss✐❝❛❧ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥ ❛❜♦✉t ♣❛st st❛t❡s✳

✼✳✷✳✸ ❈♦❤❡r❡♥❝❡ ♦❢ t❤❡ ❈❤❛✐♥ ♦❢ ❯♥❛♠♣❧✐✜❡❞ ▼❡❛s✉r❡♠❡♥ts
❙♦ ❢❛r ✇❡ ❤❛✈❡ s❡❡♥ t❤❛t t❤❡ ❥♦✐♥t ❛♥❝✐❧❧❛ ❞❡♥s✐t② ♠❛tr✐❝❡s ❞❡s❝r✐❜✐♥❣ ✉♥❛♠♣❧✐✜❡❞ ♠❡❛s✉r❡✲
♠❡♥ts ❣❡♥❡r❛❧❧② ❝♦♥t❛✐♥ ❛ ♥♦♥✲✈❛♥✐s❤✐♥❣ ❞❡❣r❡❡ ♦❢ ❝♦❤❡r❡♥❝❡✳ ❚❤✐s s✉❣❣❡sts t❤❛t ❝♦❤❡r❡♥❝❡ ✐s
♥♦t ❧♦st ✐♥ t❤❡ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥t s❡q✉❡♥❝❡✱ ❜✉t ✐s ❛❝t✉❛❧❧② ❝♦♥t❛✐♥❡❞ ✐♥ s♣❡❝✐✜❝ ❛♥❝✐❧❧❛ s✉❜s②st❡♠s✳
■♥ t❤✐s s❡❝t✐♦♥✱ ✇❡ ❡①t❡♥❞ ♦✉r ✉♥✐t❛r② ❞❡s❝r✐♣t✐♦♥ ♦❢ ❝♦♥s❡❝✉t✐✈❡ ✉♥❛♠♣❧✐✜❡❞ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥ts
♦❢ ❛ q✉❛♥t✉♠ s②st❡♠ t♦ ❛♥ ❛r❜✐tr❛r✐❧②✲❧♦♥❣ ❝❤❛✐♥ ♦❢ ❛♥❝✐❧❧❛❡✱ ❛♥❞ ❞❡r✐✈❡ s❡✈❡r❛❧ ♣r♦♣❡rt✐❡s ♦❢
t❤❡ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥t ❝❤❛✐♥✳
▼❛♥② ♦❢ t❤❡ ❥♦✐♥t ❛♥❝✐❧❧❛ ❞❡♥s✐t② ♠❛tr✐❝❡s t❤❛t ✇❡ ❤❛✈❡ ❡♥❝♦✉♥t❡r❡❞ ✐♥ ❞❡s❝r✐❜✐♥❣ ❝♦♥✲
s❡❝✉t✐✈❡ q✉❛♥t✉♠ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥ts ❛r❡ s♦✲❝❛❧❧❡❞ ✏❝❧❛ss✐❝❛❧✲q✉❛♥t✉♠ st❛t❡s✑ ✭r❡❝❛❧❧ ❈❤✳ ✸✳✹✳✷✱ ♦r
s❡❡ ❘❡❢✳ ❬✼✻❪✮✳ ❙✉❝❤ st❛t❡s ❤❛✈❡ ❛ ❜❧♦❝❦✲❞✐❛❣♦♥❛❧ str✉❝t✉r❡ ♦❢ t❤❡ ❢♦r♠ ρ =

i pi ρi

⊗ |i i|✱

✇❤❡r❡ t❤❡ ❞❡♥s✐t② ♠❛tr✐① ρi ❛♣♣❡❛rs ✇✐t❤ ♣r♦❜❛❜✐❧✐t② pi ✳ ■♥ ❛❞❞✐t✐♦♥✱ t❤❡ ❛♥❝✐❧❧❛ st❛t❡s t❤❛t
✇❡ ❞❡r✐✈❡ ❤❡r❡ ❤❛✈❡ t❤❡ ♣r♦♣❡rt② t❤❛t t❤❡ ❞❡♥s✐t② ♠❛tr✐❝❡s ρi ❛r❡ ❛❧✇❛②s ♣✉r❡ q✉❛♥t✉♠
s✉♣❡r♣♦s✐t✐♦♥s ✭✇❡ ❞❡✜♥❡❞ t❤❡ ♣✉r✐t② ♦❢ ❛ q✉❛♥t✉♠ st❛t❡ ✐♥ ❈❤✳ ✷✳✷✱ ✇❤✐❝❤ ✐s ✶ ❢♦r ❛ ♣✉r❡
st❛t❡ ❛♥❞ 1/d ❢♦r ❛ ❝♦♠♣❧❡t❡❧② ♠✐①❡❞ st❛t❡ ♦❢ ❞✐♠❡♥s✐♦♥ d✮✳
❋♦r ♠❡❛s✉r❡♠❡♥ts ♦❢ ❛ ♣r❡♣❛r❡❞ q✉❛♥t✉♠ s②st❡♠✱ ❝❧❛ss✐❝❛❧✲q✉❛♥t✉♠ st❛t❡s ♦❝❝✉r ✐♥
t❤❡ ❥♦✐♥t ❞❡♥s✐t② ♠❛tr✐❝❡s ♦❢ t✇♦ ♦r ♠♦r❡ ❝♦♥s❡❝✉t✐✈❡ ❛♥❝✐❧❧❛❡✳

❋♦r ✐♥st❛♥❝❡✱ r❡❝❛❧❧ t❤❡

st❛t❡ ρ(A1 A2 ) ❢r♦♠ ❊q✳ ✭✼✳✸✮ t❤❛t r❡s✉❧t❡❞ ❢r♦♠ t✇♦ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥ts ♦❢ ❛ ♣r❡♣❛r❡❞ q✉❛♥t✉♠
✶✹✽

(2)
s②st❡♠✳ ❲❡ ❝❛♥ ❞✐❛❣♦♥❛❧✐③❡ t❤✐s st❛t❡ ✇✐t❤ t❤❡ s❡t ♦❢ ♥♦♥✲♦rt❤♦❣♦♥❛❧ st❛t❡s αx2 |ψx2
(1) (2)
x1 αx1 Ux1 x2 |x1 ❢♦r s✉❜s②st❡♠

=

A1 ✱ s♦ t❤❛t ✭✼✳✸✮ ❛♣♣❡❛rs ❛s
(2)

ρ(A1 A2 ) =
x2

✭✼✳✶✽✮

qx2 |ψx2 ψx2 | ⊗ |x2 x2 |,

✇❤❡r❡ t❤❡ ♥♦r♠❛❧✐③❛t✐♦♥ ✐s ❡q✉❛❧ t♦ t❤❡ ♣r♦❜❛❜✐❧✐t② ❞✐str✐❜✉t✐♦♥ ❢♦r t❤❡ s❡❝♦♥❞ ❛♥❝✐❧❧❛ A2 ✱
(2)

(2)

(1)

qx2 = |αx2 |2 =

x1

(2)

|αx1 |2 |Ux1 x2 |2 .

✭✼✳✶✾✮

❖♥ t❤❡ ♦t❤❡r ❤❛♥❞✱ ❝❧❛ss✐❝❛❧✲q✉❛♥t✉♠ st❛t❡s ♦❝❝✉r ❢♦r ♠❡❛s✉r❡♠❡♥ts ♦❢ ✉♥♣r❡♣❛r❡❞ q✉❛♥✲
t✉♠ s②st❡♠s ✇❤❡♥ t❤❡r❡ ❛r❡ ❛t ❧❡❛st t❤r❡❡ ❝♦♥s❡❝✉t✐✈❡ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥ts✱ ❛s t❤❡ ✜rst ♠❡❛s✉r❡✲
♠❡♥t ✐♥ t❤❛t s❡q✉❡♥❝❡ ❝❛♥ ❜❡ ✈✐❡✇❡❞ ❛s t❤❡ st❛t❡ ♣r❡♣❛r❛t✐♦♥✳ ❋♦r ❡①❛♠♣❧❡✱ ❊q✳ ✭✼✳✾✮ ❝❛♥
(13)
❜❡ ❞✐❛❣♦♥❛❧✐③❡❞ ✇✐t❤ t❤❡ s❡t ♦❢ ♥♦♥✲♦rt❤♦❣♦♥❛❧ st❛t❡s βx1 x3 |φx1 x3 =

(2)
x2 Ux1 x2

(3)

Ux2 x3 |x2

❢♦r t❤❡ A2 s✉❜s②st❡♠✱ s♦ t❤❛t

ρ(A1 A2 A3 ) =

1
(13)
px1 x3 |x1 x3 x1 x3 | ⊗ |φx1 x3 φx1 x3 |,
dx x
1 3

✭✼✳✷✵✮

✇❤❡r❡ t❤❡ ♥♦r♠❛❧✐③❛t✐♦♥ ✐s
(13)

(13)

px1 x3 = |βx1 x3 |2 =

(2)

x2

(3)

|Ux1 x2 |2 |Ux2 x3 |2 .

✭✼✳✷✶✮

❊✈✐❞❡♥t❧②✱ ❢r♦♠ ✭✼✳✶✽✮ ❛♥❞ ✭✼✳✷✵✮✱ ❡❛❝❤ ❞❡♥s✐t② ♠❛tr✐① ρi ✐♥ t❤❡ ❣❡♥❡r❛❧ st❛t❡ ρ =
i pi ρ i

⊗ |i i| ❝♦rr❡s♣♦♥❞s t♦ ❛ ♣✉r❡ st❛t❡ ✐♥ ♦✉r ❛♥❝✐❧❧❛ ❞❡♥s✐t② ♠❛tr✐❝❡s✳ ❚❤✐s ❧❡❛❞s

t♦ ❛♥ ✐♥t❡r❡st✐♥❣ ♦❜s❡r✈❛t✐♦♥ t❤❛t t❤❡ ❡♥tr♦♣② ♦❢ ❛ ❝❤❛✐♥ ♦❢ ❛♥❝✐❧❧❛❡ ✐s ❝♦♥t❛✐♥❡❞ ✐♥ ❡✐t❤❡r
❥✉st t❤❡ ❧❛st ❞❡✈✐❝❡ ♦r ✐♥ ❜♦t❤ t❤❡ ✜rst ❛♥❞ ❧❛st ❞❡✈✐❝❡s t♦❣❡t❤❡r✳ ■♥ t❤❡ ✜rst ❡①❛♠♣❧❡ ❛❜♦✈❡
❢♦r ρ(A1 A2 )✱ ✐t ✐s str❛✐❣❤t❢♦r✇❛r❞ t♦ s❤♦✇ ✉s✐♥❣ ❊q✳ ✭✼✳✶✽✮ t❤❛t S(A1 A2 ) = S(A2 )✳ ❚❤❛t ✐s✱
t❤❡ ❡♥tr♦♣② ♦❢ t❤❡ s❡q✉❡♥❝❡ A1 A2 ✐s ❢♦✉♥❞ ❛t t❤❡ ❡♥❞ ♦❢ t❤❡ ❝❤❛✐♥✱ A2 ✳ ❋r♦♠ t❤❡ ❞❡✜♥✐t✐♦♥
✶✹✾

♦❢ ❝♦♥❞✐t✐♦♥❛❧ ❡♥tr♦♣② ❬✺✽❪✱ ✐t ❢♦❧❧♦✇s t❤❛t t❤❡ ❡♥tr♦♣② ♦❢ A1 ✈❛♥✐s❤❡s ✭✐t ✐s ✐♥ t❤❡ ♣✉r❡ st❛t❡

|ψx2 ✮✱ ❣✐✈❡♥ t❤❡ st❛t❡ ♦❢ A2 ✿
S(A1 |A2 ) = S(A1 A2 ) − S(A2 ) = 0.

✭✼✳✷✷✮

■♥ t❤❡ s❡❝♦♥❞ ❡①❛♠♣❧❡ ❛❜♦✈❡ ❢♦r ρ(A1 A2 A3 )✱ ✇❡ ✜♥❞ ❢r♦♠ ❊q✳ ✭✼✳✷✵✮ t❤❛t S(A1 A3 ) =

S(A1 A2 A3 )✳ ■♥ ♦t❤❡r ✇♦r❞s✱ t❤❡ ❡♥tr♦♣② ♦❢ t❤❡ ❝❤❛✐♥ r❡s✐❞❡s ✐♥ t❤❡ ❜♦✉♥❞❛r②✱ A1 ❛♥❞ A3 ✳
■t ❢♦❧❧♦✇s t❤❛t✱ ❣✐✈❡♥ t❤❡ ❥♦✐♥t st❛t❡ ♦❢ A1 ❛♥❞ A3 ✱ A2 ✬s st❛t❡ ❤❛s ③❡r♦ ❡♥tr♦♣② ✭s❡❡ t❤❡ ❣r❛②
r❡❣✐♦♥ ✐♥ ❋✐❣✳ ✼✳✹✮ ❛♥❞ ✐s ❢✉❧❧② ❞❡t❡r♠✐♥❡❞ ✭✐t ✐s ✐♥ t❤❡ ♣✉r❡ st❛t❡ |φx1 x3 ✮✿

S(A2 |A1 A3 ) = S(A1 A2 A3 ) − S(A1 A3 ) = 0 .

✭✼✳✷✸✮

■♥ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ❚❤❡♦r❡♠s ✶ ❛♥❞ ✷✱ ✇❡ ❡①t❡♥❞ t❤❡s❡ r❡s✉❧ts t♦ ❛♥ ❛r❜✐tr❛r✐❧②✲❧♦♥❣ ❝❤❛✐♥ ♦❢
q✉❛♥t✉♠ ❛♥❝✐❧❧❛❡✳ ❚❤❡s❡ ✜♥❞✐♥❣s ❛r❡ ✐♠♣♦rt❛♥t ❛s t❤❡② s❤♦✇ t❤❛t ✉♥❛♠♣❧✐✜❡❞ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥t
❝❤❛✐♥s r❡t❛✐♥ ❛ ✜♥✐t❡ ❛♠♦✉♥t ♦❢ ❝♦❤❡r❡♥❝❡✳ ❙♣❡❝✐✜❝❛❧❧②✱ ❢♦r ♠❡❛s✉r❡♠❡♥ts ♦♥ ✉♥♣r❡♣❛r❡❞
q✉❛♥t✉♠ st❛t❡s✱ t❤❡ ❝♦❤❡r❡♥❝❡ ✐s ❝♦♥t❛✐♥❡❞ ✐♥ ❛❧❧ ❛♥❝✐❧❧❛❡ ✉♣ t♦ t❤❡ ❧❛st✱ ✇❤✐❧❡ ❢♦r ✉♥♣r❡♣❛r❡❞
q✉❛♥t✉♠ st❛t❡s ✐t ✐s ❝♦♥t❛✐♥❡❞ ✐♥ ❛❧❧ ❛♥❝✐❧❧❛❡ ❡①❝❡♣t ❢♦r t❤❡ ❜♦✉♥❞❛r②✳
❚♦ ❜❡❣✐♥✱ ✇❡ ❞❡✜♥❡ ✭❛♥❝✐❧❧❛✮ r❛♥❞♦♠ ✈❛r✐❛❜❧❡s Ai t❤❛t t❛❦❡ ♦♥ st❛t❡s xi ✇✐t❤ ♣r♦❜❛❜✐❧✐t✐❡s
(i)

qxi ✳ ❊❛❝❤ ❛♥❝✐❧❧❛ ❤❛s d ♦rt❤♦❣♦♥❛❧ st❛t❡s ❛♥❞ t❤❡ s❡t ♦❢ ♦✉t❝♦♠❡s ❢♦r t❤❡ it❤ ❛♥❝✐❧❧❛ ✐s ❧❛❜❡❧❡❞
❜② t❤❡ ✐♥❞❡① xi ✱ ✇❤❡r❡ xi = 0, . . . , d − 1✳
❚❤❡♦r❡♠ ✶✳

❚❤❡ ❞❡♥s✐t② ♠❛tr✐① ❞❡s❝r✐❜✐♥❣ j + 1 ❛♥❝✐❧❧❛❡ t❤❛t ❝♦♥s❡❝✉t✐✈❡❧② ♠❡❛s✉r❡❞ ❛

♣r❡♣❛r❡❞ q✉❛♥t✉♠ s②st❡♠ ✐s ❛ ❝❧❛ss✐❝❛❧✲q✉❛♥t✉♠ st❛t❡ s✉❝❤ t❤❛t ✐ts ❥♦✐♥t ❡♥tr♦♣② ✐s ❝♦♥t❛✐♥❡❞
♦♥❧② ✐♥ t❤❡ ❧❛st ❞❡✈✐❝❡ ✐♥ t❤❡ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥t ❝❤❛✐♥✳ ❚❤❛t ✐s✱

S(A1 . . . Aj+1 ) = S(Aj+1 ).

✶✺✵

✭✼✳✷✹✮

Pr♦♦❢✳ ●❡♥❡r❛❧✐③✐♥❣ t❤❡ r❡s✉❧t ✭✼✳✺✮✱ t❤❡ ✇❛✈❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ |Ψ = |QA1 . . . Aj+1 ❢♦r j + 1 ❝♦♥✲
s❡❝✉t✐✈❡ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥ts ♦❢ ❛ ♣r❡♣❛r❡❞ q✉❛♥t✉♠ st❛t❡ ✐s

|Ψ =

(1)

(2)

(j+1)

αx1 Ux1 x2 . . . Uxj xj+1 |xj+1 x1 x2 . . . xj xj+1 .

✭✼✳✷✺✮

x1 ...xj+1

❚❤❡ ✜rst ❦❡t |xj+1 ✐♥ t❤❡ ❥♦✐♥t st❛t❡ ♦♥ t❤❡ r✐❣❤t ❤❛♥❞ s✐❞❡ ♦❢ ✭✼✳✷✺✮ ❞❡s❝r✐❜❡s t❤❡ q✉❛♥t✉♠
s②st❡♠✱ ✇❤✐❝❤ ✐s ✇r✐tt❡♥ ✐♥ t❤❡ ❡✐❣❡♥❜❛s✐s ♦❢ t❤❡ ❧❛st ♠❡❛s✉r❡❞ ♦❜s❡r✈❛❜❧❡✳ ❊❛❝❤ Ai ♠❡❛s✉r❡s
❛♥ ♦❜s❡r✈❛❜❧❡ ✇✐t❤ ❛♥ ❡✐❣❡♥❜❛s✐s t❤❛t ✐s r♦t❛t❡❞ r❡❧❛t✐✈❡ t♦ t❤❡ ❜❛s✐s ♦❢ t❤❡ ♣r❡✈✐♦✉s ♦❜s❡r✈❛❜❧❡
(i)
= xi |xi−1 ✳ ❚❤❡ ✉♥✐t❛r✐t② ♦❢ U (i) r❡q✉✐r❡s t❤❛t
s✉❝❤ t❤❛t Ux
i−1 ,xi
(i)

xi−1

Uxi−1 xi U

(i)∗
xi−1 xi

= δx x ,
i i
✭✼✳✷✻✮

(i)
(i)∗
Uxi−1 xi U
xi−1 xi
xi

= δx

i−1 xi−1

.

❘❡❝❛st✐♥❣ ❡①♣r❡ss✐♦♥ ✭✼✳✷✺✮ ✐♥ t❡r♠s ♦❢ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ s❡t ♦❢ ♥♦♥✲♦rt❤♦❣♦♥❛❧ st❛t❡s✱
(j+1)

(1)

αxj+1 |ψxj+1 =

(2)

(j+1)

αx1 Ux1 x2 · · · Uxj xj+1 |x1 · · · xj ,

✭✼✳✷✼✮

(j+1)

✭✼✳✷✽✮

x1 ···xj

②✐❡❧❞s

|Ψ =
xj+1

αxj+1 |xj+1 ψxj+1 xj+1 .

❚❤✐s ✐s ♥♦t ❛ tr✉❡ tr✐♣❛rt✐t❡ ❙❝❤♠✐❞t ❞❡❝♦♠♣♦s✐t✐♦♥ ❬✼✹❪ ❛s t❤❡ st❛t❡s |ψxj+1 ❛r❡ ♥♦t ♦r✲
t❤♦❣♦♥❛❧✿ t❤❡ ♣❛rt✐❛❧ ✐♥♥❡r ♣r♦❞✉❝t ψxj+1 |Ψ ❞♦❡s ♥♦t ❣✐✈❡ ❛ st❛t❡ ✇✐t❤ ❛ ❙❝❤♠✐❞t ♥✉♠❜❡r
♦❢ ♦♥❡✳ ❆❧t❤♦✉❣❤ t❤❡ st❛t❡s |ψxj+1 ❛r❡ ♥♦t ♦rt❤♦❣♦♥❛❧✱ t❤❡② ❛r❡ ♥♦r♠❛❧✐③❡❞ ❛❝❝♦r❞✐♥❣ t♦
(j+1)

(j+1)

qxj+1 = |αxj+1 |2 =

x1 ···xj

(1)

(2)

(j+1)

|αx1 |2 |Ux1 x2 |2 · · · |Uxj xj+1 |2 ,

✶✺✶

✭✼✳✷✾✮

✇❤✐❝❤ ✐s t❤❡ ♣r♦❜❛❜✐❧✐t② ❞✐str✐❜✉t✐♦♥ ♦❢ ❛♥❝✐❧❧❛ Aj+1 ✳
❚r❛❝✐♥❣ ♦✉t t❤❡ q✉❛♥t✉♠ s②st❡♠ ❢r♦♠ t❤❡ ❞❡♥s✐t② ♠❛tr✐① |Ψ Ψ| ❢♦r♠❡❞ ❢r♦♠ ✭✼✳✷✽✮✱ t❤❡
st❛t❡ ♦❢ ❛❧❧ j + 1 ❛♥❝✐❧❧❛❡ ❝❛♥ ❜❡ ✇r✐tt❡♥ ❛s

ρ(A1 . . . Aj+1 ) =
xj+1

(j+1)

qxj+1 |ψxj+1 ψxj+1 | ⊗ |xj+1 xj+1 |.

✭✼✳✸✵✮

❚❤✐s st❛t❡ ✐s ♥♦♥✲❞✐❛❣♦♥❛❧ ✐♥ t❤❡ ❛♥❝✐❧❧❛ ♣r♦❞✉❝t ❜❛s✐s |x1 · · · xj+1 ✱ ❜✉t ✐s ❞✐❛❣♦♥❛❧✐③❡❞
❜② ✭✼✳✷✼✮✳ ❚❤❡ ❞❡♥s✐t② ♠❛tr✐① ✭✼✳✸✵✮ ✐s ❛ ❝❧❛ss✐❝❛❧✲q✉❛♥t✉♠ st❛t❡ ✇❤❡r❡ t❤❡ ✜rst j ❛♥❝✐❧❧❛❡
❛r❡ ✐♥ t❤❡ ♣✉r❡ st❛t❡ |ψxj+1 ✳ ■♥ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣✱ ✇❡ ✇✐❧❧ ❝♦♠♣✉t❡ t❤❡ ❡♥tr♦♣② ♦❢ t❤❡ ❥♦✐♥t
st❛t❡ ✭✼✳✸✵✮ ❛♥❞ s❤♦✇ t❤❛t ✐t ✐s ❡q✉❛❧ t♦ t❤❡ ❡♥tr♦♣② ♦❢ t❤❡ ❧❛st ❛♥❝✐❧❧❛✱ Aj+1 ✳
❚❤❡ ❛♣♣❡❛r❛♥❝❡ ♦❢ ❝❧❛ss✐❝❛❧✲q✉❛♥t✉♠ st❛t❡s ✐♥ t❤❡ s❡q✉❡♥❝❡ ♦❢ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥ts ❧❡❛❞s t♦
t❤❡ ✐♥t❡r❡st✐♥❣ ✭❛♥❞ ♣❡r❤❛♣s s✉r♣r✐s✐♥❣✮ ♦❜s❡r✈❛t✐♦♥ t❤❛t t❤❡ ❥♦✐♥t ❡♥tr♦♣② ♦❢ ❛❧❧ ❛♥❝✐❧❧❛❡ ✐♥
❊q✳ ✭✼✳✸✵✮ r❡s✐❞❡s ♦♥❧② ✐♥ t❤❡ ❧❛st ❞❡✈✐❝❡ ✐♥ t❤❡ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥t ❝❤❛✐♥✳ ❙✐♥❝❡ t❤❡ ❥♦✐♥t st❛t❡

|ψxj+1 ⊗ |xj+1 ✐s ♦rt❤♦♥♦r♠❛❧✱ ✐t ✐s ❡❛s② t♦ s❡❡ t❤❛t t❤❡ ❡♥tr♦♣② ♦❢ ✭✼✳✸✵✮ ✐s ❡q✉❛❧ t♦ t❤❡
(j+1)
❙❤❛♥♥♦♥ ❡♥tr♦♣② ♦❢ t❤❡ ♣r♦❜❛❜✐❧✐t② ❞✐str✐❜✉t✐♦♥ qx
✳ ❚❤✐s ✐s ❡q✉✐✈❛❧❡♥t t♦ t❤❡ ❡♥tr♦♣② ♦❢
j+1

t❤❡ ❧❛st ❛♥❝✐❧❧❛✱ s♦ t❤❛t

S(A1 . . . Aj+1 ) = S(Aj+1 ).

✭✼✳✸✶✮

◆♦t❡ t❤❛t t❤✐s ✐♠♣❧✐❡s t❤❛t t❤❡r❡ ✐s ❛♥ ✉♣♣❡r ❜♦✉♥❞ t♦ t❤❡ ❥♦✐♥t ❡♥tr♦♣②✿ max[S(A1 . . . Aj+1 )] =

max[Sj+1 ] = 1✳
❋r♦♠ t❤✐s ♣r♦♣❡rt②✱ ✐t ✐♠♠❡❞✐❛t❡❧② ❢♦❧❧♦✇s t❤❛t t❤❡ ❡♥tr♦♣② ♦❢ t❤❡ ✜rst j ❛♥❝✐❧❧❛❡✱ ❝♦♥❞✐✲

✶✺✷

Sj+1

Sj

−Sj

0

A1 · · · Aj

Aj+1

❋✐❣✉r❡ ✼✳✻✿ ❉✐❛❣r❛♠ ❢♦r t❤❡ ✉♥❛♠♣❧✐✜❡❞ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥t s❡q✉❡♥❝❡ ✇✐t❤ ❛♥❝✐❧❧❛❡ A1 ✱ A2 ✱ . . . ✱
Aj ✱ Aj+1 ✳ ❆❝❝♦r❞✐♥❣ t♦ ✭✼✳✸✵✮✱ t❤❡ ❥♦✐♥t ❡♥tr♦♣② ♦❢ t❤❡ ✜rst j ❛♥❝✐❧❧❛❡ ✈❛♥✐s❤❡s ✇❤❡♥ ❣✐✈❡♥
Aj+1 ✱ s✐♥❝❡ t❤❡ ❡♥tr♦♣② r❡s✐❞❡s ♦♥❧② ❛t t❤❡ ❡♥❞ ♦❢ t❤❡ ❝❤❛✐♥✳ ■♥ t❤✐s ✜❣✉r❡✱ ✇❡ ✉s❡ t❤❡
♥♦t❛t✐♦♥ Sk = S(Ak ) ❢♦r t❤❡ ♠❛r❣✐♥❛❧ ❡♥tr♦♣② ♦❢ t❤❡ k t❤ ❛♥❝✐❧❧❛✳
t✐♦♥❛❧ ♦♥ t❤❡ st❛t❡ ♦❢ t❤❡ ❧❛st ❛♥❝✐❧❧❛✱ ✈❛♥✐s❤❡s✱

S(A1 . . . Aj |Aj+1 ) = S(A1 . . . Aj+1 ) − S(Aj+1 ) = 0.

✭✼✳✸✷✮

❚❤❡r❡❢♦r❡✱ ✐❢ t❤❡ st❛t❡ ♦❢ t❤❡ ❡♥❞ ♦❢ t❤❡ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥t ❝❤❛✐♥ ✐s ❦♥♦✇♥✱ t❤❡♥ ❛❧❧ ♣r❡❝❡❞✐♥❣
❛♥❝✐❧❧❛❡ ❡①✐st ✐♥ ❛ ♣✉r❡ q✉❛♥t✉♠ s✉♣❡r♣♦s✐t✐♦♥✿ ❚❤❡ st❛t❡ ♦❢ A1 . . . Aj ✐s ❢✉❧❧② ❞❡t❡r♠✐♥❡❞
✭❛ ③❡r♦ ❡♥tr♦♣② st❛t❡✮✱ ❣✐✈❡♥ Aj+1 ✳

❚❤✐s ✐♠♣❧✐❡s t❤❛t t❤❡ ❡♥tr♦♣② ♦❢ ❛❧❧ ❛♥❝✐❧❧❛❡ ✐♥ ❛♥

❛r❜✐tr❛r✐❧②✲❧♦♥❣ s❡q✉❡♥❝❡ ♦❢ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥ts r❡s✐❞❡s ♦♥❧② ❛t t❤❡ ❡♥❞ ♦❢ t❤❡ ❝❤❛✐♥✳ ❚❤❡ ❡♥tr♦♣②
❱❡♥♥ ❞✐❛❣r❛♠ ❢♦r t❤❡s❡ t✇♦ s✉❜s②st❡♠s ✐s s❤♦✇♥ ✐♥ ❋✐❣✳ ✼✳✻✳

❚❤❡♦r❡♠ ✷✳

❋♦r j + 1 ❝♦♥s❡❝✉t✐✈❡ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥ts ♦❢ ❛♥ ✉♥♣r❡♣❛r❡❞ q✉❛♥t✉♠ s②st❡♠✱ ✇❤❡r❡

t❤❡ r❡❢❡r❡♥❝❡ ✐s tr❛❝❡❞ ♦✉t✱ t❤❡ ❞❡♥s✐t② ♠❛tr✐① ❢♦r t❤r❡❡ ♦r ♠♦r❡ ❝♦♥s❡❝✉t✐✈❡ ❛♥❝✐❧❧❛❡ ✐s ❛
❝❧❛ss✐❝❛❧✲q✉❛♥t✉♠ st❛t❡ s✉❝❤ t❤❛t ✐ts ❥♦✐♥t ❡♥tr♦♣② ✐s ❝♦♥t❛✐♥❡❞ ♦♥❧② ✐♥ t❤❡ ✜rst ❛♥❞ ❧❛st
❞❡✈✐❝❡ ♦❢ t❤❡ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥t ❝❤❛✐♥✳ ❚❤❛t ✐s✱

S(Ai−1 Ai . . . Aj Aj+1 ) = S(Ai−1 Aj+1 ).

Pr♦♦❢✳ ●❡♥❡r❛❧✐③✐♥❣ t❤❡ r❡s✉❧t ✭✼✳✽✮✱ t❤❡ ✇❛✈❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ |Ψ
✶✺✸

✭✼✳✸✸✮

= |QRA1 . . . Aj+1 ♦❢ j + 1

❛♥❝✐❧❧❛❡ t❤❛t ❝♦♥s❡❝✉t✐✈❡❧② ♠❡❛s✉r❡❞ ❛♥ ✉♥♣r❡♣❛r❡❞ q✉❛♥t✉♠ st❛t❡ ✐s

1
(2)
(j+1)
|Ψ = √
Ux1 x2 . . . Uxj xj+1 |xj+1 x1 x1 x2 . . . xj+1 .
d x ...x
1 j+1

✭✼✳✸✹✮

❖❢ t❤❡ ❢✉❧❧ s❡t ♦❢ ❝♦♥s❡❝✉t✐✈❡ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥ts✱ ❝♦♥s✐❞❡r t❤❡ s✉❜s❡t Ai−1 , Ai , . . . , Aj , Aj+1 ✱
✇❤❡r❡ 1 < i < j ✳ ❚r❛❝✐♥❣ ♦✉t Q✱ t❤❡ r❡❢❡r❡♥❝❡✱ ❛♥❞ ❛❧❧ ♦t❤❡r ❛♥❝✐❧❧❛ st❛t❡s ❢r♦♠ t❤❡ ❢✉❧❧
❞❡♥s✐t② ♠❛tr✐① |Ψ

Ψ |✱ ❛♥❞ ✉s✐♥❣ t❤❡ ✉♥✐t❛r✐t② ♦❢ ❡❛❝❤ U (i) ❛s st❛t❡❞ ✐♥ ❊q✳ ✭✼✳✷✻✮✱ t❤❡

❞❡♥s✐t② ♠❛tr✐① ❢♦r t❤✐s s✉❜s❡t ❝❛♥ ❜❡ ✇r✐tt❡♥ ❛s

ρ(Ai−1 . . . Aj+1 ) =

1
dx

(i−1,j+1)

pxi−1 xj+1 |xi−1 xi−1 | ⊗ |φxi−1 xj+1 φxi−1 xj+1 | ⊗ |xj+1 xj+1 |.

i−1
xj+1

✭✼✳✸✺✮
■♥ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣✱ ✇❡ ✇✐❧❧ ❝♦♠♣✉t❡ t❤❡ ❡♥tr♦♣② ♦❢ t❤✐s st❛t❡ ❛♥❞ s❤♦✇ t❤❛t ✐t ✐s ❡q✉❛❧ t♦ t❤❡
❡♥tr♦♣② ♦❢ ρ(Ai−1 Aj+1 )✳
❚❤❡ ❞❡♥s✐t② ♠❛tr✐① ✭✼✳✸✺✮ ✐s ❛ ❝❧❛ss✐❝❛❧✲q✉❛♥t✉♠ st❛t❡ ✇✐t❤ t❤❡ ✐♥t❡r♠❡❞✐❛t❡ ❛♥❝✐❧❧❛❡

Ai , . . . , Aj ✐♥ t❤❡ ♣✉r❡ st❛t❡ |φxi−1 xj+1 ✳ ■♥ t❤❡ ❛♥❝✐❧❧❛ ♣r♦❞✉❝t ❜❛s✐s |xi−1 xi . . . xj xj+1 ✱ t❤✐s
♠❛tr✐① ✐s ❜❧♦❝❦✲❞✐❛❣♦♥❛❧ ❞✉❡ t♦ t❤❡ ♥♦♥✲❞✐❛❣♦♥❛❧✐t② ♦❢ t❤❡ s✉❜s②st❡♠ Ai , . . . , Aj ✳ ❍♦✇❡✈❡r✱
✐t ✐s ❞✐❛❣♦♥❛❧✐③❡❞ ❜② t❤❡ ♥♦♥✲♦rt❤♦❣♦♥❛❧ st❛t❡s
(i−1,j+1)

(i)

βxi−1 xj+1 |φxi−1 xj+1 =

(j+1)

Uxi−1 xi . . . Uxj xj+1 |xi . . . xj ,

✭✼✳✸✻✮

xi ···xj

✇❤✐❝❤ ❛r❡ ♥♦r♠❛❧✐③❡❞ ❛❝❝♦r❞✐♥❣ t♦
(i−1,j+1)

(i−1,j+1)

pxi−1 xj+1 = |βxi−1 xj+1 |2 =

xi ···xj

✶✺✹

(i)

(j+1)

|Uxi−1 xi |2 . . . |Uxj xj+1 |2 .

✭✼✳✸✼✮

❚❤❡s❡ ♥♦r♠❛❧✐③❛t✐♦♥ ❝♦❡✣❝✐❡♥ts ♦❜❡② t❤❡ s✉♠ r✉❧❡
(i−1,j+1)

xi−1

pxi−1 xj+1 =

(i−1,j+1)

xj+1

pxi−1 xj+1 = 1 .

✭✼✳✸✽✮

❚❤❡ ❞❡♥s✐t② ♠❛tr✐① ❢♦r ❛♥② t✇♦ ❛♥❝✐❧❧❛❡ ✐s ❛❧r❡❛❞② ❞✐❛❣♦♥❛❧ ✐♥ t❤❡ ❛♥❝✐❧❧❛ ♣r♦❞✉❝t ❜❛s✐s
✭✐t ✐s ❝❧❛ss✐❝❛❧✮✳ ❋♦r ❡①❛♠♣❧❡✱ t❤❡ ❥♦✐♥t st❛t❡ ♦❢ Ai−1 ❛♥❞ Aj+1 ✐s

ρ(Ai−1 Aj+1 ) =

1
(i−1,j+1)
pxi−1 xj+1 |xi−1 xj+1 xi−1 xj+1 |,
dx
i−1

✭✼✳✸✾✮

xj+1

s♦ t❤❛t ✐ts ❡♥tr♦♣② r❡❞✉❝❡s t♦ t❤❡ ❙❤❛♥♥♦♥ ❡♥tr♦♣② H[p(i−1,j+1) /d] ♦❢ t❤❡ ❞✐str✐❜✉t✐♦♥
(i−1,j+1)

pxi−1 xj+1 /d✳ ❍♦✇❡✈❡r✱ t❤❡ ❞❡♥s✐t② ♠❛tr✐① ❢♦r t❤r❡❡ ♦r ♠♦r❡ ❝♦♥s❡❝✉t✐✈❡ ❛♥❝✐❧❧❛❡ ❝♦rr❡s♣♦♥❞s
t♦ ❛ ❝❧❛ss✐❝❛❧✲q✉❛♥t✉♠ st❛t❡ ✭✼✳✸✺✮✳ ❚❤✐s st❛t❡ ❤❛s ♥♦♥✲③❡r♦ ❝♦❤❡r❡♥❝❡ t❤❛t ✐s ❝♦♥t❛✐♥❡❞ ✐♥
t❤❡ s✉❜s②st❡♠ ♦❢ t❤❡ ✐♥t❡r♠❡❞✐❛t❡ ❛♥❝✐❧❧❛❡✱ ✇❤✐❝❤ ❛r❡ ✐♥ t❤❡ ✭♥♦♥✲♦rt❤♦❣♦♥❛❧✮ ♣✉r❡ st❛t❡

|φxi−1 xj+1 ✳ ❙✐♥❝❡ t❤❡ ❥♦✐♥t st❛t❡ |xi−1 ⊗ |φxi−1 xj+1 ⊗ |xj+1 ✐s st✐❧❧ ♦rt❤♦♥♦r♠❛❧✱ ✐t
✐s str❛✐❣❤t❢♦r✇❛r❞ t♦ s❤♦✇ t❤❛t t❤❡ ❡♥tr♦♣② ♦❢ ✭✼✳✸✺✮ ✐s ❡q✉❛❧ t♦ t❤❡ ✭❙❤❛♥♥♦♥✮ ❡♥tr♦♣②
♦❢ ✭✼✳✸✾✮✱ ❞❡s♣✐t❡ t❤❡ ❢❛❝t t❤❛t t❤❡ ✉♥❞❡r❧②✐♥❣ st❛t❡ ✭✼✳✸✺✮ ✐s ♥♦♥✲❝❧❛ss✐❝❛❧✿

S(Ai−1 Ai . . . Aj Aj+1 ) = S(Ai−1 Aj+1 ).

✭✼✳✹✵✮

■t ❢♦❧❧♦✇s ❞✐r❡❝t❧② t❤❛t t❤❡ ❡♥tr♦♣② ♦❢ t❤❡ ✐♥t❡r♠❡❞✐❛t❡ ❛♥❝✐❧❧❛❡ Ai , . . . , Aj ✈❛♥✐s❤❡s ✇❤❡♥

✶✺✺

Si−1,j+1

Sij

0

−Sij

Ai · · · Aj

Ai−1 Aj+1

❋✐❣✉r❡ ✼✳✼✿ ❉✐❛❣r❛♠ ❢♦r ❛♥ ✉♥❛♠♣❧✐✜❡❞ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥t s❡q✉❡♥❝❡ ✇✐t❤ ❛♥❝✐❧❧❛❡ Ai−1 ✱ Ai ✱ . . . ✱
Aj ✱ Aj+1 ✳ ❆❝❝♦r❞✐♥❣ t♦ ✭✼✳✸✺✮✱ t❤❡ ❡♥tr♦♣② ♦❢ ❛❧❧ ✐♥t❡r♠❡❞✐❛t❡ ❛♥❝✐❧❧❛❡✱ Ai , . . . , Aj ✱ ✈❛♥✐s❤❡s
✇❤❡♥ ❣✐✈❡♥ Ai−1 ❛♥❞ Aj+1 ✱ s✐♥❝❡ t❤❡ ❡♥tr♦♣② r❡s✐❞❡s ❛t t❤❡ ❜♦✉♥❞❛r② ♦❢ t❤❡ ❝❤❛✐♥✳ ■♥ t❤✐s
✜❣✉r❡✱ ✇❡ ✉s❡ t❤❡ ♥♦t❛t✐♦♥ Sk = S(Ak A ) ❢♦r t❤❡ ♣❛✐r✇✐s❡ ❡♥tr♦♣② ♦❢ ❛♥② t✇♦ ❛♥❝✐❧❧❛❡ Ak
❛♥❞ A ✳
❣✐✈❡♥ t❤❡ ❥♦✐♥t st❛t❡ ♦❢ t❤❡ ❛♥❝✐❧❧❛❡ Ai−1 ❛♥❞ Aj+1 ✱

S(Ai . . . Aj |Ai−1 Aj+1 ) = S(Ai−1 Ai . . . Aj Aj+1 )
− S(Ai−1 Aj+1 )

✭✼✳✹✶✮

= 0.
❊✈✐❞❡♥t❧②✱ ✐❢ t❤❡ st❛t❡ ♦❢ t❤❡ ❜♦✉♥❞❛r② ♦❢ t❤❡ ❝❤❛✐♥ ✐s ❦♥♦✇♥✱ t❤❡♥ t❤❡ ✐♥t❡r♠❡❞✐❛t❡ ❛♥❝✐❧❧❛❡
❡①✐st ✐♥ ❛ ♣✉r❡ q✉❛♥t✉♠ s✉♣❡r♣♦s✐t✐♦♥✳ ❚❤❡ ❥♦✐♥t st❛t❡ ♦❢ Ai , . . . , Aj ✐s ❢✉❧❧② ❞❡t❡r♠✐♥❡❞
✭❛ ③❡r♦✲❡♥tr♦♣② st❛t❡✮✱ ❣✐✈❡♥ t❤❡ ❥♦✐♥t st❛t❡ ♦❢ Ai−1 t❤❛t ♠❡❛s✉r❡❞ Q ✐♥ t❤❡ ♣❛st✱ t♦❣❡t❤❡r
✇✐t❤ Aj+1 t❤❛t ♠❡❛s✉r❡❞ Q ✐♥ t❤❡ ❢✉t✉r❡✳ ❚❤✉s✱ ❢♦r ♠❡❛s✉r❡♠❡♥ts ♦♥ ✉♥♣r❡♣❛r❡❞ q✉❛♥t✉♠
s②st❡♠s✱ t❤❡ ❡♥tr♦♣② ♦❢ ❛♥ ❛r❜✐tr❛r✐❧②✲❧♦♥❣ ❛♥❝✐❧❧❛ ❝❤❛✐♥ ✐s ❢♦✉♥❞ ♦♥❧② ✐♥ ✐ts ❜♦✉♥❞❛r②✳ ❚❤❡
❡♥tr♦♣② ❱❡♥♥ ❞✐❛❣r❛♠ ❢♦r t❤❡ ❜♦✉♥❞❛r② ❛♥❞ t❤❡ ❜✉❧❦ ♦❢ t❤❡ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥t ❝❤❛✐♥ ✐s s❤♦✇♥ ✐♥
❋✐❣✳ ✼✳✼✳
❚❤❛t t❤❡ ❡♥tr♦♣② ♦❢ ❛ ❝❤❛✐♥ ♦❢ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥ts ✐s ❞❡t❡r♠✐♥❡❞ ❡♥t✐r❡❧② ❜② t❤❡ ❡♥tr♦♣② ♦❢ t❤❡
❝❤❛✐♥✬s ❜♦✉♥❞❛r② ♠❛② s❡❡♠ r❡♠❛r❦❛❜❧❡✱ ❜✉t ✐s r❡♠✐♥✐s❝❡♥t ♦❢ t❤❡ ❤♦❧♦❣r❛♣❤✐❝ ♣r✐♥❝✐♣❧❡ ❬✶✽✺✕
✶✽✼❪✳ ■♥❞❡❡❞✱ ✐t ✐s ❝♦♥❝❡✐✈❛❜❧❡ t❤❛t ❛♥ ❡①t❡♥s✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ♦♥❡✲❞✐♠❡♥s✐♦♥❛❧ q✉❛♥t✉♠ ❝❤❛✐♥s ✇❡

✶✺✻

❞✐s❝✉ss❡❞ ❤❡r❡ t♦ t❡♥s♦r ♥❡t✇♦r❦s ❬✶✽✽❪ ❝♦✉❧❞ ♠❛❦❡ t❤✐s ❝♦rr❡s♣♦♥❞❡♥❝❡ ♠♦r❡ ♣r❡❝✐s❡ ❬✶✽✾❪✳
❲❡ ❝♦♥tr❛st t❤✐s r❡s✉❧t ✇✐t❤ t❤❡ ♣r❡✈✐♦✉s ❚❤❡♦r❡♠ ✶ ❢♦r ♠❡❛s✉r❡♠❡♥ts ♦♥ ♣r❡♣❛r❡❞ q✉❛♥t✉♠
s②st❡♠s✱ ✇❤❡r❡ t❤❡ ❡♥tr♦♣② r❡s✐❞❡❞ ♦♥❧② ❛t t❤❡ ❡♥❞ ♦❢ t❤❡ ❝❤❛✐♥ s✐♥❝❡ t❤❡ ♣r❡♣❛r❛t✐♦♥ ✇❛s
❛❧r❡❛❞② ❦♥♦✇♥✳

✼✳✸ ▼❛r❦♦✈✐❛♥ ◗✉❛♥t✉♠ ▼❡❛s✉r❡♠❡♥ts
❚❤❡ ♥♦♥✲▼❛r❦♦✈✐❛♥ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥ts ✇❡ ❤❛✈❡ ❜❡❡♥ ❞✐s❝✉ss✐♥❣ ✉♣ t♦ t❤✐s ♣♦✐♥t ❛r❡ ♣♦t❡♥t✐❛❧❧②
❢r❛❣✐❧❡✿ ✇❤✐❧❡ t❤❡ ♣♦✐♥t❡rs ❝❛♥ ❝♦♥s✐st ♦❢ ♠❛♥② s✉❜s②st❡♠s ✭❡✈❡♥ ❛ ♠❛❝r♦s❝♦♣✐❝ ♥✉♠❜❡r✮✱
t❤❡ ❡♥t❛♥❣❧❡♠❡♥t t❤❡② ♣♦t❡♥t✐❛❧❧② ❞✐s♣❧❛② ✇✐t❤ ♦t❤❡r q✉❛♥t✉♠ s②st❡♠s ✇✐❧❧ ❜❡ ❧♦st ❡✈❡♥ ✐❢
♦♥❧② ❛ s✐♥❣❧❡ q✉❞✐t ❡s❝❛♣❡s ♦✉r ❝♦♥tr♦❧ ✭❛♥❞ t❤❡r❡❢♦r❡✱ ♠❛t❤❡♠❛t✐❝❛❧❧② s♣❡❛❦✐♥❣✱ ♠✉st ❜❡
tr❛❝❡❞ ♦✈❡r✮✳ ■♥ t❤✐s s❡❝t✐♦♥ ✇❡ ❞✐s❝✉ss ❛ s❡❝♦♥❞ st❡♣ ✇✐t❤✐♥ ✈♦♥ ◆❡✉♠❛♥♥✬s s❡❝♦♥❞ st❛❣❡
♦❢ q✉❛♥t✉♠ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥t✱ ✇❤❡r❡ ✇❡ ♦❜s❡r✈❡ t❤❡ ❢r❛❣✐❧❡ q✉❛♥t✉♠ ❛♥❝✐❧❧❛ ✉s✐♥❣ ❛ s❡❝♦♥❞❛r②
♦❜s❡r✈❡r✳ ❲❤✐❧❡ t❤✐s q✉❛♥t✉♠ ✏♦❜s❡r✈❡r ♦❢ t❤❡ ♦❜s❡r✈❡r✑ ❛❧s♦ ♣♦t❡♥t✐❛❧❧② ❝♦♥s✐sts ♦❢ ♠❛♥②
❞✐✛❡r❡♥t s✉❜s②st❡♠s✱ ✐t ✐s r♦❜✉st ✐♥ t❤❡ s❡♥s❡ t❤❛t tr❛❝✐♥❣ ♦✈❡r ❛♥② ♦❢ t❤❡ ❞❡❣r❡❡s ♦❢ ❢r❡❡❞♦♠
♠❛❦✐♥❣ ✉♣ t❤❡ ♣♦✐♥t❡r ✈❛r✐❛❜❧❡ ❞♦❡s ♥♦t ♠♦❞✐❢② t❤❡ r❡❧❛t✐✈❡ st❛t❡ ♦❢ t❤❡ ♣♦✐♥t❡r ❛♥❞ t❤❡
q✉❛♥t✉♠ s②st❡♠ ♦r ♦t❤❡r ❞❡✈✐❝❡s✳

✼✳✸✳✶ ❆♠♣❧✐❢②✐♥❣ ◗✉❛♥t✉♠ ▼❡❛s✉r❡♠❡♥ts
❚♦ ❛♠♣❧✐❢② ❛ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥t✱ ✇❡ ♦❜s❡r✈❡ t❤❡ ✜rst q✉❛♥t✉♠ ♦❜s❡r✈❡r ✭❞❡♥♦t❡❞ ❜② A1 ✮ ❜②
♠❡❛s✉r✐♥❣ A1 ✇✐t❤ ❛ ❞❡✈✐❝❡ D1 ✳ ❚❤✐s ❛❞❞✐t✐♦♥❛❧ ✐♥t❡r❛❝t✐♦♥ ✇✐t❤ t❤❡ ✜rst ❛♥❝✐❧❧❛ ✐♥ ✭✺✳✼✺✮
❧❡❛❞s t♦ t❤❡ tr✐♣❛rt✐t❡ ❡♥t❛♥❣❧❡❞ st❛t❡

|QA1 D1 = ✶Q ⊗ UA1 D1 |QA1 |Mi D1 =

✶✺✼

(1)

x1

αx1 |x1 x1 x1 ,

✭✼✳✹✷✮

Q
−S1
S1

S1

0
−S1

0

−S1

S1

0

S1
A1

D1

A1

(a)

D1
(b)

❋✐❣✉r❡ ✼✳✽✿ ❊✛❡❝ts ♦❢ ❛♠♣❧✐✜❝❛t✐♦♥ ❢♦r ✭❛✮ t❤❡ tr✐♣❛rt✐t❡ ❡♥t❛♥❣❧❡❞ st❛t❡ ✭✼✳✹✷✮✳ ✭❜✮ ❚r❛❝✐♥❣
♦✈❡r t❤❡ q✉❛♥t✉♠ s②st❡♠✱ A1 ❛♥❞ D1 ❛r❡ ♣❡r❢❡❝t❧② ❝♦rr❡❧❛t❡❞ ❛s ✐♥ ❊q✳ ✭✼✳✹✸✮✳ ❚❤❡ S(A1 :
D1 ) = S1 ❜✐ts ♦❢ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥ ❣❛✐♥❡❞ ✐♥ t❤❡ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥t ❛r❡ ♥♦t s❤❛r❡❞ ✇✐t❤ t❤❡ q✉❛♥t✉♠
s②st❡♠ s✐♥❝❡ t❤❡ ♠✉t✉❛❧ t❡r♥❛r② ❡♥tr♦♣② ✈❛♥✐s❤❡s✱ S(Q : A1 : D1 ) = 0✳ ❚❤❡ q✉❛♥t✐t②
S1 = H[q (1) ] ✐s t❤❡ ♠❛r❣✐♥❛❧ ❡♥tr♦♣② ♦❢ ❡❛❝❤ ♦❢ t❤❡ t❤r❡❡ s✉❜s②st❡♠s✱ Q✱ A1 ❛♥❞ D1 ✳
✇❤❡r❡ |Mi D ✐s t❤❡ ✐♥✐t✐❛❧ st❛t❡ ♦❢ t❤❡ ❞❡✈✐❝❡ D1 ❛♥❞ |x1 ❛r❡ ✐ts ✜♥❛❧ ♦rt❤♦❣♦♥❛❧ st❛t❡s✳
1
❚r❛❝✐♥❣ ♦✈❡r t❤❡ q✉❛♥t✉♠ s②st❡♠✱ ✇❡ ✜♥❞ t❤❛t D1 ✐s ♣❡r❢❡❝t❧② ❝♦rr❡❧❛t❡❞ ✇✐t❤ t❤❡ q✉❛♥t✉♠
❛♥❝✐❧❧❛ A1 ❛❝❝♦r❞✐♥❣ t♦ t❤❡ ❞❡♥s✐t② ♠❛tr✐①
(1)

ρ(A1 D1 ) =
x1

qx1 |x1 x1 x1 x1 |,

✭✼✳✹✸✮

(1)
(1)
✇❤❡r❡ qx1 = |αx1 |2 ✳ ❚❤❛t ✐s✱ t❤❡② ❝♦♥s✐st❡♥t❧② r❡✢❡❝t t❤❡ s❛♠❡ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥t ♦✉t❝♦♠❡s✳

❚♦❣❡t❤❡r✱ A1 ❛♥❞ D1 ❛r❡ st✐❧❧ ❡♥t❛♥❣❧❡❞ ✇✐t❤ t❤❡ q✉❛♥t✉♠ s②st❡♠✳ ■♥ ❋✐❣✳ ✼✳✽ ✇❡ s❤♦✇ t❤❡
❡♥tr♦♣② ❱❡♥♥ ❞✐❛❣r❛♠s ❢♦r t❤❡ ❡♥t❛♥❣❧❡❞ st❛t❡ ✭✼✳✹✷✮ ❛♥❞ t❤❡ ❝♦rr❡❧❛t❡❞ st❛t❡ ✭✼✳✹✸✮✳ ❙✐♥❝❡
t❤❡ ✉♥❞❡r❧②✐♥❣ st❛t❡ ✭✼✳✹✷✮ ✐s ♣✉r❡✱ t❤❡ t❡r♥❛r② ♠✉t✉❛❧ ❡♥tr♦♣② ✈❛♥✐s❤❡s✱ S(Q : A1 : D1 ) = 0✳
■♥ ♦t❤❡r ✇♦r❞s✱ t❤❡ ❝♦rr❡❧❛t✐♦♥s t❤❛t ❛r❡ ❝r❡❛t❡❞ ❜❡t✇❡❡♥ t❤❡ ❞❡✈✐❝❡s ✭t❤❡ S(A1 : D1 ) ❞✐ts ♦❢
✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥ t❤❛t ❛r❡ ❣❛✐♥❡❞ ✐♥ t❤❡ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥t✮ ❛r❡ ♥♦t s❤❛r❡❞ ✇✐t❤ t❤❡ q✉❛♥t✉♠ s②st❡♠✳
(1)
(n)
❚❤❡ ♠❛❝r♦s❝♦♣✐❝ ❞❡✈✐❝❡ D1 ✐s ❝♦♠♣♦s❡❞ ♦❢ ♠❛♥② q✉❞✐ts D1 , . . . , D1 t❤❛t ❛❧❧ ♠❡❛s✉r❡

✶✺✽

Q
A1
(1)

D1

(2)

D1

..
.

(n)

D1

❋✐❣✉r❡ ✼✳✾✿ ❖❜s❡r✈✐♥❣ t❤❡ q✉❛♥t✉♠ ♦❜s❡r✈❡r A1 ✇✐t❤ ❛ ❞❡✈✐❝❡ D1 ✳ ❉❛s❤❡❞ ❧✐♥❡s ✐♥❞✐❝❛t❡ t❤❡
❡♥t❛♥❣❧❡♠❡♥t ❝r❡❛t❡❞ ❜② t❤❡ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥t ❜❡t✇❡❡♥ t❤❡ ❛♥❝✐❧❧❛ A1 ❛♥❞ ❡❛❝❤ ♦❢ t❤❡ n q✉❞✐ts
(1)
(n)
D1 , . . . , D1 t❤❛t ❝♦♠♣r✐s❡ D1 ✳ ❚✐♠❡ ♣r♦❝❡❡❞s ❢r♦♠ ❧❡❢t t♦ r✐❣❤t✳
t❤❡ q✉❛♥t✉♠ ❛♥❝✐❧❧❛ A1 ❛❝❝♦r❞✐♥❣ t♦ t❤❡ s❡q✉❡♥❝❡ ♦❢ ❡♥t❛♥❣❧✐♥❣ ♦♣❡r❛t✐♦♥s U
(n) . . . U
(1)
A1 D 1
A1 D1
✭s❡❡ ❋✐❣✳ ✼✳✾✮✳ ❚❤❛t ✐s✱ ❊q✳ ✭✼✳✹✷✮ ❝❛♥ ❜❡ ❡①♣❛♥❞❡❞ t♦
(1)

|QA1 D1 =
x1

αx1 |x1 |x1 |x1

(1) . . . |x1 (n) .
D1
D1

✭✼✳✹✹✮

❚❤❡ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥t ♦✉t❝♦♠❡ ✐s r❡❛❞ ♦✉t ❢r♦♠ t❤❡ st❛t❡ ♦❢ t❤❡ ❥♦✐♥t s②st❡♠
(1)

(1)

(n)

ρ(D1 . . . D1 ) =
x1

qx1 |x1 . . . x1 x1 . . . x1 |,

✭✼✳✹✺✮

✇❤❡r❡ ✐t ✐s ❝❧❡❛r t❤❛t t❤❡ ❞❡✈✐❝❡ D1 ✐s s❡❧❢✲❝♦♥s✐st❡♥t ❛♥❞ ❛❧❧ ♦❢ ✐ts ❝♦♠♣♦♥❡♥ts r❡✢❡❝t t❤❡
s❛♠❡ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥t ♦✉t❝♦♠❡✳ ❚❤✐s st❛t❡ ✐s r♦❜✉st ✐♥ t❤❡ s❡♥s❡ t❤❛t ✐t ✐s ♥♦t ♥❡❝❡ss❛r② t♦
✏❦❡❡♣ tr❛❝❦✑ ♦❢ ❛❧❧ q✉❞✐ts ✐♥ D1 t♦ ♦❜s❡r✈❡ ❝♦rr❡❧❛t✐♦♥s✳ ❚❤✉s✱ tr❛❝✐♥❣ ♦✈❡r ❛♥② ♦❢ t❤❡ st❛t❡s
✐♥ t❤❡ ❡①♣r❡ss✐♦♥ ❛❜♦✈❡ r❡t✉r♥s ❛♥ ❡q✉✐✈❛❧❡♥t❧② s❡❧❢✲❝♦♥s✐st❡♥t st❛t❡✳
■♥ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ t✇♦ s❡❝t✐♦♥s✱ ✇❡ ❛♠♣❧✐❢② ❛ ❝❤❛✐♥ ♦❢ ❝♦♥s❡❝✉t✐✈❡ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥ts ♦❢ ❛ ♣r❡✲
♣❛r❡❞ ❛♥❞ ❛♥ ✉♥♣r❡♣❛r❡❞ q✉❛♥t✉♠ s②st❡♠✳ ❯♥❧✐❦❡ ♦✉r ♣r❡✈✐♦✉s r❡s✉❧ts ❢♦r ✉♥❛♠♣❧✐✜❡❞ ♠❡❛✲
s✉r❡♠❡♥ts✱ ✇❡ ✇✐❧❧ ✜♥❞ t❤❛t t❤❡ ❥♦✐♥t st❛t❡ ♦❢ ❞❡✈✐❝❡s D1 ✱ D2 ✱ ✳ ✳ ✳ ✱ ✐s ♥♦✇ ❛❧✇❛②s ❝❧❛ss✐❝❛❧
✭❞✐❛❣♦♥❛❧ ✐♥ t❤❡ ❛♥❝✐❧❧❛ ♣r♦❞✉❝t ❜❛s✐s✮✱ ❧❡❛❞✐♥❣ t♦ ❡♥tr♦♣② ❞✐str✐❜✉t✐♦♥s t❤❛t ❛r❡ s✐❣♥✐✜❝❛♥t❧②

✶✺✾

❞✐✛❡r❡♥t ❢r♦♠ t❤♦s❡ ♦❢ t❤❡ ✉♥❛♠♣❧✐✜❡❞ ❛♥❝✐❧❧❛❡✳

✼✳✸✳✷ ❆♠♣❧✐❢②✐♥❣ ❈♦♥s❡❝✉t✐✈❡ ▼❡❛s✉r❡♠❡♥ts ♦❢ Pr❡♣❛r❡❞ ◗✉❛♥t✉♠
❙t❛t❡s
❲❡ ❜❡❣✐♥ ❜② ✜rst ❝♦♥s✐❞❡r✐♥❣ t❤❡ ❛♠♣❧✐✜❝❛t✐♦♥ ♦❢ ❝♦♥s❡❝✉t✐✈❡ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥ts ♦❢ ❛ ♣r❡♣❛r❡❞
q✉❛♥t✉♠ st❛t❡✳ ■♥tr♦❞✉❝✐♥❣ ❛ s❡❝♦♥❞ ♣❛✐r ♦❢ ❞❡✈✐❝❡s A2 ❛♥❞ D2 ✱ ❊q✳ ✭✼✳✹✷✮ ❡✈♦❧✈❡s t♦
(1)

|QA1 D1 A2 D2 =

(2)

αx1 Ux1 x2 |x2 x1 x1 x2 x2 .

x1 x2

✭✼✳✹✻✮

❆❣❛✐♥✱ ✇❡ ✜♥❞ D2 t♦ ❜❡ ♣❡r❢❡❝t❧② ❝♦rr❡❧❛t❡❞ ✇✐t❤ t❤❡ q✉❛♥t✉♠ ❛♥❝✐❧❧❛ A2 ✳ ❚❤❡ ❥♦✐♥t st❛t❡
♦❢ D1 ❛♥❞ D2 ✐s t❤❡ ❝❧❛ss✐❝❛❧ ❞❡♥s✐t② ♠❛tr✐①
(1)

ρ(D1 D2 ) =
x1 x2

(2)

|αx1 |2 |Ux1 x2 |2 |x1 x2 x1 x2 |.

✭✼✳✹✼✮

❚❤✐s st❛t❡ ✐s ❞✐❛❣♦♥❛❧ ✐♥ t❤❡ ❛♥❝✐❧❧❛ ♣r♦❞✉❝t ❜❛s✐s✱ ✉♥❧✐❦❡ t❤❡ st❛t❡ ✭✼✳✸✮ ❜❡❢♦r❡ ❛♠♣❧✐✜❝❛t✐♦♥✳
❚❤✉s✱ t❤❡ ❡✛❡❝t ♦❢ ❛♠♣❧✐❢②✐♥❣ t❤❡ ❛♥❝✐❧❧❛❡ ✐s ❛ r❡♠♦✈❛❧ ♦❢ ❛❧❧ ♦✛✲❞✐❛❣♦♥❛❧ ❡❧❡♠❡♥ts ✐♥ t❤❡
❥♦✐♥t ❞❡♥s✐t② ♠❛tr✐❝❡s✳
(2)
❋r♦♠ ✭✼✳✹✼✮✱ ✇❡ s❡❡ t❤❛t ❢♦r r❡♣❡❛t❡❞ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥ts ✐♥ t❤❡ s❛♠❡ ❜❛s✐s ✭Ux1 x2 = δx1 x2 ✮

t❤❡ r❡s✉❧ts ❛r❡ ❢✉❧❧② ❝♦rr❡❧❛t❡❞✳
(1) 2
x1 |αx1 | |x1 x1

❚❤❡ ❥♦✐♥t ❞❡♥s✐t② ♠❛tr✐① ✭✼✳✹✼✮ r❡❞✉❝❡s t♦ ρ(D1 D2 ) =

x1 x1 | s♦ t❤❛t t❤❡ ❡♥tr♦♣② ♦❢ D2 ❣✐✈❡♥ D1 ✈❛♥✐s❤❡s✱ S(D2 |D1 ) = S(D1 D2 )−

S(D1 ) = 0✳ ❚❤❡ ❝♦♥❞✐t✐♦♥❛❧ ♣r♦❜❛❜✐❧✐t② t♦ r❡❝♦r❞ t❤❡ ♦✉t❝♦♠❡ x2 ✱ ❣✐✈❡♥ t❤❛t t❤❡ ✜rst ♠❡❛✲
s✉r❡♠❡♥t ②✐❡❧❞❡❞ x1 ✱ ✐s s✐♠♣❧② p(x2 |x1 ) = δx1 x2 ✳ ■♥ ♦t❤❡r ✇♦r❞s✱ ❜♦t❤ ❞❡✈✐❝❡s ❛❣r❡❡ ♦♥ t❤❡
♦✉t❝♦♠❡✱ ❛s ❡①♣❡❝t❡❞✳ ■t ❛♣♣❡❛rs ❛s ✐❢ t❤❡ q✉❛♥t✉♠ s②st❡♠ ❤❛❞ ✐♥❞❡❡❞ ✏❝♦❧❧❛♣s❡❞✑ ✐♥t♦ ❛♥
❡✐❣❡♥st❛t❡ ♦❢ t❤❡ ✜rst ♦❜s❡r✈❛❜❧❡ s✐♥❝❡ t❤❡ s❡❝♦♥❞ ❞❡✈✐❝❡ D2 ❝♦rr❡❝t❧② ❝♦♥✜r♠s t❤❡ ♠❡❛s✉r❡✲
♠❡♥t ♦✉t❝♦♠❡✳ ❚❤✐s r❡s✉❧t ✐s ❝♦♥s✐st❡♥t ✇✐t❤ t❤❡ ❈♦♣❡♥❤❛❣❡♥ ✈✐❡✇ ♦❢ t❤❡ q✉❛♥t✉♠ st❛t❡
✶✻✵

❞✉r✐♥❣ t❤❡ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥t s❡q✉❡♥❝❡ ❛s |Q → |x1 → |x1 ✳ ❍♦✇❡✈❡r✱ ✇❡ s❡❡ t❤❛t ♥♦ ❝♦❧❧❛♣s❡
❛ss✉♠♣t✐♦♥ ✐s ♥❡❡❞❡❞ ❢♦r ❛ ❝♦♥s✐st❡♥t ❞❡s❝r✐♣t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥t ♦✉t❝♦♠❡s ❛♥❞ t❤❡✐r
❝♦rr❡❧❛t✐♦♥s✱ ❛♥❞ ✐♥ ❢❛❝t✱ ❛❧❧ ❛♠♣❧✐t✉❞❡s ♦❢ t❤❡ q✉❛♥t✉♠ s②st❡♠ ❛r❡ ♣r❡s❡r✈❡❞✳ ❚❤❛t ✐s✱ ✭✼✳✹✻✮
❝♦♥t✐♥✉❡s t♦ ❡✈♦❧✈❡ ❛s ❛ ♣✉r❡ st❛t❡✳
■♥ ❛❞❞✐t✐♦♥✱ t❤❡ ♣r♦❜❛❜✐❧✐t② ❞✐str✐❜✉t✐♦♥ ❢♦r t❤❡ s❡❝♦♥❞ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥t ✇✐t❤ t❤❡ ♣❛✐r A2 D2
✐s ❝♦♥s✐st❡♥t ✇✐t❤ ❛ ❝♦❧❧❛♣s❡ ♣♦st✉❧❛t❡ ❛s ✐t ✐s ❣✐✈❡♥ ❜② t❤❡ ✐♥❝♦❤❡r❡♥t s✉♠ ✭❛ s✉♠ ♦❢
(2)
sq✉❛r❡s✮✱ qx2 =

(2) 2
(1) 2
x1 |αx1 | |Ux1 x2 | ✱ ✐♥st❡❛❞ ♦❢ t❤❡ ❝♦❤❡r❡♥t ❡①♣r❡ss✐♦♥ ✭❛ sq✉❛r❡ ♦❢ s✉♠s✮✱

(1) (2) 2
x1 αx1 Ux1 x2 ✱ ✇❤✐❝❤ ✐s t❤❡ r❡s✉❧t ✐❢ t❤❡ ✜rst ♠❡❛s✉r❡♠❡♥t ✇✐t❤

A1 D1 ❤❛❞ ♥❡✈❡r ♦❝✲

❝✉rr❡❞✳

✼✳✸✳✸ ❆♠♣❧✐❢②✐♥❣ ❈♦♥s❡❝✉t✐✈❡ ▼❡❛s✉r❡♠❡♥ts ♦❢ ❯♥♣r❡♣❛r❡❞ ◗✉❛♥✲
t✉♠ ❙t❛t❡s
■♥ t❤✐s s❡❝t✐♦♥✱ ✇❡ st✉❞② ❝♦♥s❡❝✉t✐✈❡ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥ts ♦❢ ❛♥ ✉♥♣r❡♣❛r❡❞ q✉❛♥t✉♠ st❛t❡✱ ✇❤✐❝❤
✇✐❧❧ ②✐❡❧❞ ❛♥ ❡♥tr♦♣② ❱❡♥♥ ❞✐❛❣r❛♠ t❤❛t ❞✐✛❡rs s✐❣♥✐✜❝❛♥t❧② ❢r♦♠ ❋✐❣✳ ✼✳✹ ❢♦r t❤❡ q✉❛♥✲
t✉♠ ❛♥❝✐❧❧❛❡✳ ❚♦ ❜❡❣✐♥✱ ✇❡ ❢♦❧❧♦✇ t❤❡ ♣r♦❝❡❞✉r❡ ✐♥tr♦❞✉❝❡❞ ✐♥ ❙❡❝✳ ✼✳✸✳✶✱ ❛♥❞ ❛♠♣❧✐❢② t❤❡
st❛t❡ ✭✼✳✽✮ ♦❢ t❤r❡❡ ❝♦♥s❡❝✉t✐✈❡ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥ts ♦❢ ❛♥ ✉♥♣r❡♣❛r❡❞ q✉❛♥t✉♠ st❛t❡✳
❋✐rst✱ ✇❡ s❤♦✇ t❤❛t ❛♠♣❧✐❢②✐♥❣ t❤❡ q✉❜✐ts ♦♥ t❤❡ ❜♦✉♥❞❛r② ♦❢ t❤❡ ❝❤❛✐♥ ♦❢ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥ts
❞♦❡s ♥♦t ❛❧t❡r t❤❡ ❝♦❤❡r❡♥❝❡ ♦❢ t❤❡ ❥♦✐♥t st❛t❡ ✭✼✳✾✮✳ ■♥tr♦❞✉❝✐♥❣ ❞❡✈✐❝❡s D1 ❛♥❞ D3 t❤❛t
❛♠♣❧✐❢② t❤❡ q✉❛♥t✉♠ ❛♥❝✐❧❧❛❡ A1 ❛♥❞ A3 ✱ r❡s♣❡❝t✐✈❡❧②✱ t❤❡ st❛t❡ ✭✼✳✽✮ ❡✈♦❧✈❡s t♦

1
(2)
(3)
Ux1 x2 Ux2 x3 |x3 x1 x1 x1 x2 x3 x3 .
|QRA1 D1 A2 A3 D3 = √
dx x x
1 2 3

✭✼✳✹✽✮

❆s ❜❡❢♦r❡✱ ❡❛❝❤ ♣❛✐r ♦❢ s②st❡♠s Ai Di ❛r❡ ♣❡r❢❡❝t❧② ❝♦rr❡❧❛t❡❞ ❛♥❞ r❡✢❡❝t t❤❡ s❛♠❡ ♦✉t❝♦♠❡
❢r♦♠ t❤❡✐r ♠❡❛s✉r❡♠❡♥t ♦❢ Q✳ ❚r❛❝✐♥❣ ♦✈❡r t❤❡ ❞❡♥s✐t② ♠❛tr✐① ❢♦r♠❡❞ ❢r♦♠ t❤✐s ✇❛✈❡ ❢✉♥❝✲

✶✻✶

D2
S12 +S23 −S13 −1
S13 −
S12

S13 −
S23

2−S13

S12 −1

S23 −1

0

D1

D3

❋✐❣✉r❡ ✼✳✶✵✿ ❆ s❡q✉❡♥❝❡ ♦❢ ❞❡✈✐❝❡s D1 ✱ D2 ✱ ❛♥❞ D3 t❤❛t ♦❜s❡r✈❡ ✭❛♠♣❧✐❢②✮ t❤❡ q✉❛♥t✉♠
❛♥❝✐❧❧❛❡ A1 ✱ A2 ✱ ❛♥❞ A3 ✱ ❛❝❝♦r❞✐♥❣ t♦ ✭✼✳✹✾✮✳ ❖♥❧② ❛♠♣❧✐✜❝❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ✐♥t❡r♠❡❞✐❛t❡ ❛♥❝✐❧❧❛
A2 ✐s s✉✣❝✐❡♥t t♦ ❞❡str♦② t❤❡ ❝♦❤❡r❡♥❝❡ ✐♥ t❤❡ ♦r✐❣✐♥❛❧ st❛t❡ ✭✼✳✾✮✳ ❚❤❡ ③❡r♦ ❝♦♥❞✐t✐♦♥❛❧
♠✉t✉❛❧ ❡♥tr♦♣②✱ S(D1 : D3 |D2 ) = 0✱ ✐♥❞✐❝❛t❡s t❤❛t t❤❡ ❧❛st ❞❡✈✐❝❡ D3 ❤❛s ♥♦ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥
❛❜♦✉t t❤❡ ✜rst✱ ❢r♦♠ t❤❡ ♣❡rs♣❡❝t✐✈❡ ♦❢ t❤❡ s❡❝♦♥❞✳ ❚❤✐s ♣r♦♣❡rt② ✇✐❧❧ ❜❡ ❝♦♥♥❡❝t❡❞ t♦
q✉❛♥t✉♠ ▼❛r❦♦✈ ❝❤❛✐♥s ✐♥ ❙❡❝✳ ✼✳✸✳✹✳ ◆♦t❡ t❤❛t ❛❧❧ t❤❡ ♣❛✐r✇✐s❡ ❡♥tr♦♣✐❡s ❛r❡ ✉♥❝❤❛♥❣❡❞ ❜②
❛♠♣❧✐✜❝❛t✐♦♥✱ S(Ai Aj ) = S(Di Dj ) = Sij ✳
t✐♦♥✱ ✇❡ ✜♥❞ t❤❛t t❤❡ ♥❡✇ st❛t❡ ♦❢ A1 A2 A3 ✐s ✉♥❝❤❛♥❣❡❞ ❢r♦♠ ❊q✳ ✭✼✳✾✮✳
■♥ ❝♦♥tr❛st✱ ❛♠♣❧✐❢②✐♥❣ t❤❡ ✐♥t❡r♠❡❞✐❛t❡ ❛♥❝✐❧❧❛ ❞❡str♦②s ❛❧❧ ♦❢ t❤❡ ❝♦❤❡r❡♥❝❡ ✐♥ t❤❡ ♦r✐❣✐♥❛❧
st❛t❡ ✭✼✳✾✮✳ ❚❤❛t ✐s✱ ♠❡❛s✉r✐♥❣ A2 ✇✐t❤ D2 ❧❡❛❞s t♦ ❛ ❢✉❧❧② ✐♥❝♦❤❡r❡♥t ❞❡♥s✐t② ♠❛tr✐① ❢♦r

A1 A2 A3 t❤❛t ✐s ♥♦✇ ❡q✉✐✈❛❧❡♥t t♦ t❤❡ ❥♦✐♥t st❛t❡

ρ(D1 D2 D3 ) =

1
(2)
(3)
|Ux1 x2 |2 |Ux2 x3 |2 |x1 x2 x3 x1 x2 x3 |.
dx x x
1 2 3

✭✼✳✹✾✮

❲❡ ❝❛♥ ❝♦♥tr❛st t❤✐s st❛t❡ t♦ t❤❡ r❡s✉❧t ✇❡ ♦❜t❛✐♥❡❞ ❢♦r ✉♥❛♠♣❧✐✜❡❞ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥ts ✐♥
❊q✳ ✭✼✳✾✮ ✉s✐♥❣ ❡♥tr♦♣② ❱❡♥♥ ❞✐❛❣r❛♠s✳ ❈♦♠♣❛r❡ t❤❡ ❞✐❛❣r❛♠ ✐♥ ❋✐❣✳ ✼✳✶✵ ❢♦r t❤❡ st❛t❡

ρ(D1 D2 D3 ) ❬❊q✳ ✭✼✳✹✾✮❪ t♦ t❤❡ ❞✐❛❣r❛♠ ✐♥ ❋✐❣✳ ✼✳✹ ❢♦r t❤❡ ✉♥❛♠♣❧✐✜❡❞ st❛t❡ ρ(A1 A2 A3 )
❬❊q✳ ✭✼✳✾✮❪✳ ❈❧❡❛r❧②✱ ❛♠♣❧✐✜❝❛t✐♦♥ ♦❢ ❥✉st t❤❡ ✐♥t❡r♠❡❞✐❛t❡ ❛♥❝✐❧❧❛ A2 ✭♦r✱ ❡q✉✐✈❛❧❡♥t❧②✱ ❛❧❧
t❤r❡❡ q✉❛♥t✉♠ ❛♥❝✐❧❧❛❡✮ ❤❛s ❞❡str♦②❡❞ t❤❡ ❝♦❤❡r❡♥❝❡ ♦❢ t❤❡ ♦r✐❣✐♥❛❧ st❛t❡ ρ(A1 A2 A3 )✱ ✇❤✐❝❤
✇❛s ❡♥❝♦❞❡❞ ✐♥ t❤❡ A2 s✉❜s②st❡♠✳ ◆♦t❡ t❤❛t ♣❛✐r✇✐s❡ ❡♥tr♦♣✐❡s ❛r❡ t❤❡ s❛♠❡ ❢♦r ❜♦t❤
✶✻✷

D2
1
0

D1

1

0
0

0
1

D3

❋✐❣✉r❡ ✼✳✶✶✿ ❆♠♣❧✐✜❝❛t✐♦♥ ✇✐t❤ D1 ✱ D2 ✱ ❛♥❞ D3 ✐♥ ✭✼✳✺✵✮ ♦❢ t❤r❡❡ q✉❜✐t ❛♥❝✐❧❧❛❡ t❤❛t
♠❡❛s✉r❡❞ ❛♥ ✉♥♣r❡♣❛r❡❞ q✉❛♥t✉♠ s②st❡♠✳ ❚❤❡ s❡❝♦♥❞ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥t ♦❢ Q ✐s ♦❢ ❛♥ ♦❜s❡r✈❛❜❧❡
✇✐t❤ ❡✐❣❡♥❜❛s✐s r♦t❛t❡❞ ❜② θ2 = π/4 r❡❧❛t✐✈❡ t♦ t❤❡ ❡✐❣❡♥❜❛s✐s ♦❢ t❤❡ ✜rst ♦❜s❡r✈❛❜❧❡✳ ❆♥❞✱
t❤❡ t❤✐r❞ ♦❜s❡r✈❛❜❧❡ ✐s ❛t θ3 = π/4 r❡❧❛t✐✈❡ t♦ t❤❡ s❡❝♦♥❞✳ ■♥ t❤✐s ❝❛s❡✱ ❛❧❧ t❤r❡❡ ❞❡✈✐❝❡s
❛r❡ ✉♥❝♦rr❡❧❛t❡❞✳ ❆♠♣❧✐✜❝❛t✐♦♥ ♦❢ A2 ✇✐t❤ D2 ❛❧♦♥❡ ✐s s✉✣❝✐❡♥t t♦ ❞❡str♦② t❤❡ ❝♦❤❡r❡♥❝❡
✐♥ ✭✼✳✶✼✮✳
❛♠♣❧✐✜❡❞ ❛♥❞ ✉♥❛♠♣❧✐✜❡❞ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥ts ♦❢ ✉♥♣r❡♣❛r❡❞ q✉❛♥t✉♠ s②st❡♠s✱ ❡✳❣✳✱ S(Ai Aj ) =

S(Di Dj )✳ ❲❡ ♣r♦✈❡❞ ♣r❡✈✐♦✉s❧② ✐♥ ❚❤❡♦r❡♠ ✷ ♦❢ ❙❡❝✳ ✼✳✷✳✸ t❤❛t ♣❛✐r✇✐s❡ ❞❡♥s✐t② ♠❛tr✐✲
❝❡s ✭✼✳✸✾✮ ❛r❡ ❛❧✇❛②s ❞✐❛❣♦♥❛❧✱ s♦ t❤❛t ❛♠♣❧✐❢②✐♥❣ t❤♦s❡ ❛♥❝✐❧❧❛❡ ❞♦❡s ♥♦t ♠♦❞✐❢② t❤❡✐r ❥♦✐♥t
❞❡♥s✐t② ♠❛tr✐①✳
❲❡ ❛♣♣❧② t❤❡s❡ r❡s✉❧ts t♦ t❤❡ ❝❛s❡ ♦❢ q✉❜✐t ♠❡❛s✉r❡♠❡♥ts ✭d = 2✮✱ ✇❤✐❝❤ ✇❡ ✐♠♣❧❡♠❡♥t❡❞
✇✐t❤ t❤❡ r♦t❛t✐♦♥ ♠❛tr✐① ✐♥ ❊q✳ ✭✼✳✶✻✮✳ ❋♦r t❤r❡❡ ❝♦♥s❡❝✉t✐✈❡ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥ts ✇✐t❤ θ2 = θ3 =

π/4✱ t❤❡ ❥♦✐♥t ❞❡♥s✐t② ♠❛tr✐① ♦❢ D1 D2 D3 ✱ ✇❤✐❝❤ ✇❡ s❤♦✇ ❢♦r ❝♦♠♣❛r✐s♦♥ t♦ t❤❡ ✉♥❛♠♣❧✐✜❡❞
st❛t❡ ✭✼✳✶✼✮✱ ✐s ❞✐❛❣♦♥❛❧✿

✶ 0 0 0

1 0 ✶ 0 0 

ρ(D1 D2 D3 ) = 
.
8 0 0 ✶ 0 
0 0 0 ✶




✭✼✳✺✵✮

❆s ✇✐t❤ t❤❡ ✉♥❛♠♣❧✐✜❡❞ st❛t❡ ✭✼✳✶✼✮✱ t❤❡ ♣❛✐r✇✐s❡ ❡♥tr♦♣✐❡s ❤❡r❡ ❛r❡ ❛❧s♦ ✷ ❜✐ts✳ ❍♦✇❡✈❡r✱
t❤❡ tr✐♣❛rt✐t❡ ❡♥tr♦♣② ❤❛s ✐♥❝r❡❛s❡❞ t♦ S(D1 D2 D3 ) = 3 ❜✐ts ❢r♦♠ t❤❡ ✷ ❜✐ts ✇❡ ❢♦✉♥❞ ❢♦r

S(A1 A2 A3 )✳ ❈♦♠♣❛r❡ t❤❡ r❡s✉❧t✐♥❣ ❡♥tr♦♣② ❱❡♥♥ ❞✐❛❣r❛♠ ✐♥ ❋✐❣✳ ✼✳✶✶ t♦ t❤❡ ❞✐❛❣r❛♠ ✐♥
❋✐❣✳ ✼✳✺ ♦❜t❛✐♥❡❞ ❢♦r ✉♥❛♠♣❧✐✜❡❞ q✉❜✐t ♠❡❛s✉r❡♠❡♥ts✳
✶✻✸

❚❤❡ ❞✐✛❡r❡♥❝❡ ❜❡t✇❡❡♥ t❤❡ ✉♥❛♠♣❧✐✜❡❞ ❞❡♥s✐t② ♠❛tr✐① ρ(A1 A2 A3 ) ✐♥ ❊q✳ ✭✼✳✾✮ ❛♥❞ t❤❡
❛♠♣❧✐✜❡❞ st❛t❡ ρ(D1 D2 D3 ) ✐♥ ❊q✳ ✭✼✳✹✾✮ ❝❛♥ ❜❡ ❛s❝❡rt❛✐♥❡❞ ❜② r❡✈❡❛❧✐♥❣ t❤❡ ♦✛✲❞✐❛❣♦♥❛❧
t❡r♠s ✈✐❛ q✉❛♥t✉♠ st❛t❡ t♦♠♦❣r❛♣❤② ✭s❡❡✱ ❡✳❣✳✱ ❬✶✾✵❪✮✱ ❜② ♠❡❛s✉r✐♥❣ ❥✉st ❛ s✐♥❣❧❡ ♠♦✲
♠❡♥t ❬✶✾✶❪ ♦❢ t❤❡ ❞❡♥s✐t② ♠❛tr✐①✱ s✉❝❤ ❛s Tr[ρ(A1 A2 A3 )2 ]✱ ♦r ❡❧s❡ ❜② ❞✐r❡❝t ♠❡❛s✉r❡♠❡♥t ♦❢
t❤❡ ✇❛✈❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ ❬✶✵✻❪✳
❚❤❡ r❡s✉❧ts ✐♥ t❤❡ t✇♦ ♣r❡❝❡❞✐♥❣ s❡❝t✐♦♥s ❛r❡ ❝♦♠♣❛t✐❜❧❡ ✇✐t❤ t❤❡ ✉s✉❛❧ ❢♦r♠❛❧✐s♠ ❢♦r
♦rt❤♦❣♦♥❛❧ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥ts ❬✶✾✷✱ ✶✾✸❪✱ ✇❤❡r❡ t❤❡ ❝♦♥❞✐t✐♦♥❛❧ ♣r♦❜❛❜✐❧✐t② p(x2 |x1 ) t♦ ♦❜s❡r✈❡
♦✉t❝♦♠❡ x2 ✱ ❣✐✈❡♥ t❤❛t t❤❡ ♣r❡✈✐♦✉s ♠❡❛s✉r❡♠❡♥t ②✐❡❧❞❡❞ ♦✉t❝♦♠❡ x1 ✱ ✐s ❣✐✈❡♥ ❜②
(2)

p(x2 |x1 ) = |Ux1 x2 |2 .

✭✼✳✺✶✮

■♥❞❡❡❞✱ ♦✉r ✜♥❞✐♥❣s t❤✉s ❢❛r ❛r❡ ❢✉❧❧② ❝♦♥s✐st❡♥t ✇✐t❤ ❛ ♣✐❝t✉r❡ ✐♥ ✇❤✐❝❤ ❛ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥t ✏❝♦❧✲
❧❛♣s❡s✑ t❤❡ q✉❛♥t✉♠ st❛t❡ ✭♦r ❛❧t❡r♥❛t✐✈❡❧②✱ ✇❤❡r❡ ❛ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥t r❡❝❛❧✐❜r❛t❡s ❛♥ ♦❜s❡r✈❡r✬s
✏❝❛t❛❧♦❣✉❡ ♦❢ ❡①♣❡❝t❛t✐♦♥s✑ ❬✶✾✹✕✶✾✻❪✮✳
❚♦ s❡❡ t❤✐s✱ ✇❡ ✇r✐t❡ t❤❡ ❥♦✐♥t ❞❡♥s✐t② ♠❛tr✐① ρ(D1 D2 )✱ ❢♦✉♥❞ ❜② tr❛❝✐♥❣ ✭✼✳✹✾✮ ♦✈❡r D3 ✱
✐♥ t❤❡ ❝♦❧❧❛♣s❡ ♣✐❝t✉r❡✳ ❋♦r ❛ ❞❡✈✐❝❡ D1 t❤❛t r❡❝♦r❞s ♦✉t❝♦♠❡ x1 ✇✐t❤ ♣r♦❜❛❜✐❧✐t② 1/d✱ ❛♥❞
❛ ❞❡✈✐❝❡ D2 ❝♦rr❡s♣♦♥❞✐♥❣ t♦ ❛ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥t ♦❢ Q ❛t ❛♥ ❛♥❣❧❡ ❞❡t❡r♠✐♥❡❞ ❜② t❤❡ r♦t❛t✐♦♥
♠❛tr✐① U (2) ✱ t❤❡ r❡s✉❧t✐♥❣ ❞❡♥s✐t② ♠❛tr✐① ✐s

ρ (D1 D2 ) =

1
x
|x1 x1 | ⊗ ρD1 ,
2
d x
1

✭✼✳✺✷✮

x
✇❤❡r❡ t❤❡ st❛t❡ ρD1 ♦❢ D2 ✐s ❞❡✜♥❡❞ ✉s✐♥❣ t❤❡ ♣r♦❥❡❝t✐♦♥ ♦♣❡r❛t♦rs Px1 = |x1 x1 | ♦♥ t❤❡
2

st❛t❡ ♦❢ D1 ✱
†
TrD1 Px1 ρ(D1 D2 )Px1
x1
ρD =
†
2 Tr
D1 D2 Px1 ρ(D1 D2 )Px1

✶✻✹

(2)

=
x2

|Ux1 x2 |2 |x2 x2 |.

✭✼✳✺✸✮

■♥ ♦t❤❡r ✇♦r❞s✱ t❤❡ st❛t❡ ρ(D1 D2 ) t❤❛t ✇❛s ♦❜t❛✐♥❡❞ ✐♥ ❛ ✉♥✐t❛r② ❢♦r♠❛❧✐s♠ ✐s ❡q✉✐✈❛❧❡♥t
t♦ t❤❡ ❝♦❧❧❛♣s❡ ✈❡rs✐♦♥ ρ (D1 D2 )✳ ❍♦✇❡✈❡r✱ ❞❡s♣✐t❡ t❤❡s❡ ❝♦♥s✐st❡♥❝✐❡s ✇✐t❤ t❤❡ ❝♦❧❧❛♣s❡
♣✐❝t✉r❡✱ ✇❡ ❡♠♣❤❛s✐③❡ t❤❛t t❤❡ ❛❝t✉❛❧ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥ts ✐♥❞✉❝❡ ♥♦ ✐rr❡✈❡rs✐❜❧❡ ❝♦❧❧❛♣s❡ ❛♥❞ t❤❛t
❛❧❧ ❝♦❡✣❝✐❡♥ts ✐♥ t❤❡ ✉♥❞❡r❧②✐♥❣ ♣✉r❡✲st❛t❡ ✇❛✈❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ ✭✼✳✹✽✮ ❛r❡ ♣r❡s❡r✈❡❞ ❛♥❞ ❡✈♦❧✈❡
✉♥✐t❛r✐❧② t❤r♦✉❣❤♦✉t t❤❡ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥t ♣r♦❝❡ss✳

✼✳✸✳✹ ◗✉❛♥t✉♠ ▼❛r❦♦✈ ❈❤❛✐♥s
❖♥❡ ♦❢ t❤❡ ❦❡② ❞✐✛❡r❡♥❝❡s ❜❡t✇❡❡♥ t❤❡ ❡♥tr♦♣② ❱❡♥♥ ❞✐❛❣r❛♠s ✐♥ ❋✐❣s✳ ✼✳✹ ❛♥❞ ✼✳✶✵ ✐s t❤❡
✈❛♥✐s❤✐♥❣ ❝♦♥❞✐t✐♦♥❛❧ ♠✉t✉❛❧ ❡♥tr♦♣② ❬✺✾❪ ❢♦r ❛♠♣❧✐✜❡❞ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥ts✱ S(D1 : D3 |D2 ) = 0✳
❇❡❢♦r❡ ❛♠♣❧✐✜❝❛t✐♦♥✱ t❤❡ ❡q✉✐✈❛❧❡♥t q✉❛♥t✐t② ❢♦r t❤❡ q✉❛♥t✉♠ ❛♥❝✐❧❧❛❡ ✐s ✐♥ ❣❡♥❡r❛❧ ♥♦♥✲
③❡r♦✱ S(A1 : A3 |A2 ) ≥ 0✳ ❊✈✐❞❡♥t❧②✱ t❤❡ ✐♥t❡r♠❡❞✐❛t❡ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥t ✇✐t❤ D2 ❤❛s✱ ❢r♦♠
t❤❡ ♣❡rs♣❡❝t✐✈❡ ♦❢ D2 ✭♠❡❛♥✐♥❣✱ ❣✐✈❡♥ t❤❡ st❛t❡ ♦❢ D2 ✮ ❡r❛s❡❞ ❛❧❧ ❝♦rr❡❧❛t✐♦♥s ❜❡t✇❡❡♥ t❤❡
✜rst ❞❡✈✐❝❡ D1 ❛♥❞ t❤❡ ❧❛st ❞❡✈✐❝❡ D3 ✐♥ t❤❡ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥t s❡q✉❡♥❝❡✳ ❚❤❡ ✈❛♥✐s❤✐♥❣ ♦❢ t❤❡
❝♦♥❞✐t✐♦♥❛❧ ♠✉t✉❛❧ ❡♥tr♦♣② ✐s ♣r❡❝✐s❡❧② t❤❡ ❝♦♥❞✐t✐♦♥ t❤❛t ✐s ❢✉❧✜❧❧❡❞ ❜② q✉❛♥t✉♠ ▼❛r❦♦✈
❝❤❛✐♥s ❛s ✇❡ ✇✐❧❧ ♦✉t❧✐♥❡ ❜❡❧♦✇✳
❯s✐♥❣ t❤❡ r❡s✉❧ts ❢♦r ✉♥♣r❡♣❛r❡❞ q✉❛♥t✉♠ st❛t❡s ✭t❤✐s ❤♦❧❞s ❡q✉❛❧❧② ❢♦r ♣r❡♣❛r❡❞ q✉❛♥t✉♠
st❛t❡s✮✱ ✇❡ ❞❡♠♦♥str❛t❡ t❤❛t t❤❡ ❝❤❛✐♥ ♦❢ ❞❡✈✐❝❡s✱ D1 , D2 , D3 ✱ ✇❤✐❝❤ ❛♠♣❧✐✜❡❞ ❝♦♥s❡❝✉t✐✈❡
♠❡❛s✉r❡♠❡♥ts ♦❢ ❛ q✉❛♥t✉♠ s②st❡♠✱ ✐s ▼❛r❦♦✈✐❛♥ ❛s ❞❡✜♥❡❞ ✐♥ ❬✻✾❪ ✭s❡❡ ❛❧s♦ ❬✻✽❪ ❛♥❞ r❡❢❡r✲
❡♥❝❡s t❤❡r❡✐♥✮✳ ❲❡ ♣r♦✈❡ ❧❛t❡r ✐♥ t❤✐s s❡❝t✐♦♥ ✐♥ ❚❤❡♦r❡♠ ✸ t❤❛t t❤✐s r❡s✉❧t ❝❛♥ ❜❡ ❡①t❡♥❞❡❞
t♦ ❛♥② ♥✉♠❜❡r ♦❢ ❝♦♥s❡❝✉t✐✈❡ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥ts✱ ♥♦t ❥✉st t❤r❡❡✳ ❚♦ s❤♦✇ t❤❛t S(D1 : D3 |D2 ) ✐s
✐♥❞❡❡❞ ③❡r♦✱ ✇❡ ❝♦♠♣✉t❡ t❤❡ ❥♦✐♥t ❡♥tr♦♣② S(D1 D2 D3 ) ♦❢ ❛❧❧ t❤r❡❡ ❞❡✈✐❝❡s✳ ❋r♦♠ ❊q✳ ✭✼✳✹✾✮✱
✇❡ ✜♥❞

S(D1 D2 D3 ) = 1 −

1
1
(2)
(2)
(3)
(3)
|Ux1 x2 |2 logd |Ux1 x2 |2 −
|Ux2 x3 |2 logd |Ux2 x3 |2 ,
dx x
dx x
1 2
2 3
✶✻✺

✭✼✳✺✹✮

♦r✱ S(D1 D2 D3 ) = S(D1 ) + S(D2 |D1 ) + S(D3 |D2 )✳ ❍♦✇❡✈❡r✱ ✉s✐♥❣ t❤❡ ❝❤❛✐♥ r✉❧❡ ❢♦r ❡♥✲
tr♦♣✐❡s ❬✺✾❪✱ t❤❡ tr✐♣❛rt✐t❡ ❡♥tr♦♣② ❝❛♥ ❛❧s♦ ❜❡ ✇r✐tt❡♥ ❣❡♥❡r❛❧❧② ✐♥ t❤❡ ❢♦r♠ S(D1 D2 D3 ) =

S(D1 ) + S(D2 |D1 ) + S(D3 |D2 D1 )✳ ❋r♦♠ t❤❡s❡ t✇♦ ❡①♣r❡ss✐♦♥✱ ✇❡ s❡❡ ✐♠♠❡❞✐❛t❡❧② t❤❛t
S(D3 |D2 D1 ) = S(D3 |D2 ).

✭✼✳✺✺✮

❚❤✉s✱ t❤❡ ❡♥tr♦♣② ♦❢ D3 ✐s ♥♦t r❡❞✉❝❡❞ ❜② ❝♦♥❞✐t✐♦♥✐♥❣ ♦♥ ♠♦r❡ t❤❛♥ t❤❡ st❛t❡ ♦❢ t❤❡ ♣r❡✈✐♦✉s
❞❡✈✐❝❡ D2 ✳ ❚❤✐s ✐s t❤❡ ▼❛r❦♦✈ ♣r♦♣❡rt② ❢♦r ❡♥tr♦♣✐❡s ❬✻✽✱ ✻✾❪✳
❚❤❡ ▼❛r❦♦✈ ♣r♦♣❡rt② ❢✉rt❤❡r ✐♠♣❧✐❡s t❤❛t D1 ❛♥❞ D3 ❛r❡ ✐♥❞❡♣❡♥❞❡♥t ❢r♦♠ t❤❡ ♣❡r✲
s♣❡❝t✐✈❡ ♦❢ D2 ✱ s✐♥❝❡ t❤❡ ❝♦♥❞✐t✐♦♥❛❧ ♠✉t✉❛❧ ❡♥tr♦♣② ❬✺✾❪ ✈❛♥✐s❤❡s ✭s❡❡ t❤❡ ❣r❛② r❡❣✐♦♥ ✐♥
❋✐❣✳ ✼✳✶✵✮✱

S(D1 : D3 |D2 ) = S(D3 |D2 ) − S(D3 |D2 D1 ) = 0 .

✭✼✳✺✻✮

❚❤✐s r❡s✉❧t ✐s ❝♦♥s✐st❡♥t ✇✐t❤ t❤❡ ♥♦t✐♦♥ t❤❛t t❤❡ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥t ✇✐t❤ D2 ❝♦❧❧❛♣s❡❞ t❤❡ st❛t❡ ♦❢
t❤❡ ✇❛✈❡ ❢✉♥❝t✐♦♥✱ ❡r❛s✐♥❣ ❛♥② ✭❝♦♥❞✐t✐♦♥❛❧✮ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥ t❤❛t D3 ❝♦✉❧❞ ❤❛✈❡ ❤❛❞ ❛❜♦✉t t❤❡
♣r✐♦r ♠❡❛s✉r❡♠❡♥t ✇✐t❤ D1 ✳ ❚❤❡ ❝♦♥❞✐t✐♦♥❛❧ ♠✉t✉❛❧ ❡♥tr♦♣② ❞♦❡s ♥♦t ✈❛♥✐s❤ ❢♦r ✉♥❛♠♣❧✐✜❡❞
♠❡❛s✉r❡♠❡♥ts✱ S(A1 : A3 |A2 ) ≥ 0✱ r❡✢❡❝t✐♥❣ t❤❡ ❢✉♥❞❛♠❡♥t❛❧❧② ♥♦♥✲▼❛r❦♦✈✐❛♥ ♥❛t✉r❡ ♦❢
t❤❡ ❝❤❛✐♥ ♦❢ q✉❛♥t✉♠ ❛♥❝✐❧❧❛❡✳ ■♥ ♦t❤❡r ✇♦r❞s✱ ❛s ❧♦♥❣ ❛s t❤❡ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥t ❝❤❛✐♥ r❡♠❛✐♥s
✉♥❛♠♣❧✐✜❡❞ ✭❢♦r ❡①❛♠♣❧❡✱ t❤❡ A2 s✉❜s②st❡♠ ✐♥ ✭✼✳✾✮✮✱ t❤❡ ✐♥t❡r♠❡❞✐❛t❡ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥t ❞♦❡s
♥♦t ❡r❛s❡ t❤❡ ❝♦rr❡❧❛t✐♦♥s ❜❡t✇❡❡♥ A1 ❛♥❞ A3 ✭❝♦♠♣❛r❡ t❤❡ ❣r❛② r❡❣✐♦♥ ✐♥ ❋✐❣✳ ✼✳✶✵ t♦ t❤❡
s❛♠❡ r❡❣✐♦♥ ✐♥ ❋✐❣✳ ✼✳✹✮✳
❲❡ ♥♦✇ ♣r♦✈✐❞❡ ❛ ❢♦r♠❛❧ ♣r♦♦❢ ♦❢ t❤❡ st❛t❡♠❡♥t t❤❛t t❤❡ ❝❤❛✐♥ ♦❢ ❞❡✈✐❝❡s t❤❛t ❛♠♣❧✐✜❡❞
t❤❡ q✉❛♥t✉♠ ❛♥❝✐❧❧❛❡ ✐s ❡q✉✐✈❛❧❡♥t t♦ ❛ q✉❛♥t✉♠ ▼❛r❦♦✈ ❝❤❛✐♥✳

❚❤❡♦r❡♠ ✸✳

❆ s❡t ♦❢ ❝♦♥s❡❝✉t✐✈❡ q✉❛♥t✉♠ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥ts ✐s ♥♦♥✲▼❛r❦♦✈✐❛♥ ✉♥t✐❧ ✐t ✐s ❛♠✲
✶✻✻

♣❧✐✜❡❞✳ ❙♣❡❝✐✜❝❛❧❧②✱ t❤❡ s❡q✉❡♥❝❡ ♦❢ ❞❡✈✐❝❡s Di , . . . , Dj ✱ ✇✐t❤ i < j ✱ t❤❛t ♠❡❛s✉r❡ ✭❛♠♣❧✐❢②✮
t❤❡ q✉❛♥t✉♠ ❛♥❝✐❧❧❛❡ Ai , . . . , Aj ✭✇❤✐❝❤ t❤❡♠s❡❧✈❡s ♠❡❛s✉r❡❞ ❛ q✉❛♥t✉♠ s②st❡♠ Q✮ ❢♦r♠s ❛
q✉❛♥t✉♠ ▼❛r❦♦✈ ❝❤❛✐♥✿

S(Dj |Dj−1 . . . Di ) = S(Dj |Dj−1 ).

✭✼✳✺✼✮

Pr♦♦❢✳ ❲❡ ✜rst s❤♦✇ t❤❛t t❤❡ ▼❛r❦♦✈ ♣r♦♣❡rt② ♦❢ ♣r♦❜❛❜✐❧✐t✐❡s ✐♠♣❧✐❡s t❤❡ ▼❛r❦♦✈ ♣r♦♣❡rt②
❢♦r ❡♥tr♦♣✐❡s ✭s❡❡✱ ❡✳❣✳✱ ❘❡❢s✳ ❬✻✽✱✻✾❪✮✳ ■❢ ❝♦♥s❡❝✉t✐✈❡ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥ts ♦♥ ❛ q✉❛♥t✉♠ s②st❡♠ ❝❛♥
❜❡ ♠♦❞❡❧❡❞ ❛s ❛ ▼❛r❦♦✈ ♣r♦❝❡ss✱ t❤❡ ♣r♦❜❛❜✐❧✐t② t♦ ♦❜s❡r✈❡ ♦✉t❝♦♠❡ xj ✐♥ t❤❡ j t❤ ❞❡✈✐❝❡✱
❝♦♥❞✐t✐♦♥❛❧ ♦♥ ♣r❡✈✐♦✉s ♠❡❛s✉r❡♠❡♥t ♦✉t❝♦♠❡s✱ ❞❡♣❡♥❞s ♦♥❧② ♦♥ t❤❡ ❧❛st ♦✉t❝♦♠❡ xj−1 ✱

p(xj |xj−1 . . . xi ) = p(xj |xj−1 ).

✭✼✳✺✽✮

■♥s❡rt✐♥❣ ❊q✳ ✭✼✳✺✽✮ ✐♥t♦ t❤❡ ❡①♣r❡ss✐♦♥ ❢♦r t❤❡ ❝♦♥❞✐t✐♦♥❛❧ ❡♥tr♦♣② ❬✺✽❪ ❣✐✈❡s

p(xi . . . xj ) logd p(xj |xj−1 . . . xi )

S(Dj |Dj−1 . . . Di ) = −
xi ...xj

✭✼✳✺✾✮

p(xi . . . xj ) logd p(xj |xj−1 ) .

=−
xi ...xj

❆ ♣❛rt✐❛❧ s✉♠♠❛t✐♦♥ ♦✈❡r t❤❡ ❥♦✐♥t ♣r♦❜❛❜✐❧✐t② ❞✐str✐❜✉t✐♦♥ ❣✐✈❡s

p(xj−1 xj ) =

p(xi . . . xj ),

✭✼✳✻✵✮

xi ···xj−2

s♦ t❤❛t t❤❡ ❡♥tr♦♣✐❝ ❝♦♥❞✐t✐♦♥ s❛t✐s✜❡❞ ❜② ❛ q✉❛♥t✉♠ ▼❛r❦♦✈ ❝❤❛✐♥ ✐s

S(Dj |Dj−1 . . . Di ) = −

p(xj−1 xj ) logd p(xj |xj−1 )

xj−1 xj

= S(Dj |Dj−1 ), .

✶✻✼

✭✼✳✻✶✮

❲❡ ♥♦✇ s❤♦✇ t❤❛t t❤❡ ❝❤❛✐♥ ♦❢ ❛♠♣❧✐✜❡❞ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥ts s❛t✐s✜❡s t❤❡ ❡♥tr♦♣✐❝ ▼❛r❦♦✈
♣r♦♣❡rt② ✭✼✳✻✶✮✳ ❋♦r n ❝♦♥s❡❝✉t✐✈❡ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥ts✱ t❤❡ st❛t❡ |Ψ = |QA1 . . . An ♦❢ Q ❛♥❞ ❛❧❧
❛♥❝✐❧❧❛❡ ✐s ❣✐✈❡♥ ❜②
(i)

|Ψ =

(2)

(n)

✭✼✳✻✷✮

αxi Ux1 x2 . . . Uxn−1 xn |xn x1 . . . xn .

x1 ···xn

❆❢t❡r ❛♠♣❧✐❢②✐♥❣ t❤✐s st❛t❡✱ ✇❡ ✜♥❞ t❤❛t t❤❡ ❞❡♥s✐t② ♠❛tr✐① ❢♦r t❤❡ ❥♦✐♥t s❡t ♦❢ s❡q✉❡♥t✐❛❧
❞❡✈✐❝❡s✱ Di , . . . , Dj ✱ ✇✐t❤ i < j ✱ ✐s ❞✐❛❣♦♥❛❧✱ ❛s ❡①♣❡❝t❡❞✱
(i)

ρ(Di . . . Dj ) =
xi

(i+1)

qxi |xi xi | ⊗

xi+1

|Uxi xi+1 |2 |xi+1 xi+1 | ⊗ · · · ⊗

(j)

xj

|Uxj−1 xj |2 |xj xj |.
✭✼✳✻✸✮

(i)
❚❤❡ ♣r♦❜❛❜✐❧✐t② ❞✐str✐❜✉t✐♦♥ qx ♦❢ t❤❡ it❤ ❞❡✈✐❝❡ ❝❛♥ ❜❡ ♦❜t❛✐♥❡❞ ❢r♦♠ ✭✼✳✷✾✮✳ ❚❤❡ ❡♥tr♦♣②
i

♦❢ ✭✼✳✻✸✮ ✐s

S(Di . . . Dj ) = −

(i)

(i+1)

(i)

(j−1)

(i+1)

(j−1)

qxi |Uxi xi+1 |2 . . . |Uxj−2 xj−1 |2 logd qxi |Uxi xi+1 |2 . . . |Uxj−2 xj−1 |2

xi ...xj−1

−

(j−1)

(j)

(j)

qxj−1 |Uxj−1 xj |2 logd |Uxj−1 xj |2 ,

xj−1 xj

✭✼✳✻✹✮
(j−1)
✇❤❡r❡ qx
✐s t❤❡ ♣r♦❜❛❜✐❧✐t② ❞✐str✐❜✉t✐♦♥ ♦❢ Dj−1 ✳ ❚❤❡ ✜rst t❡r♠ ✐♥ ❊q✳ ✭✼✳✻✹✮ ✐s ❥✉st
j−1

t❤❡ ❥♦✐♥t ❡♥tr♦♣② S(Di . . . Dj−1 )✱ s♦ t❤❛t t❤❡ ❡♥tr♦♣② ♦❢ t❤❡ j t❤ ❞❡✈✐❝❡✱ ❝♦♥❞✐t✐♦♥❛❧ ♦♥ t❤❡
♣r❡✈✐♦✉s ❞❡✈✐❝❡s✱ ✐s

S(Dj |Dj−1 . . . Di ) = S(Di . . . Dj ) − S(Di . . . Dj−1 )
=−
xj−1 xj

(j−1)

(j)

(j)

qxj−1 |Uxj−1 xj |2 logd |Uxj−1 xj |2 .

✭✼✳✻✺✮

❆❧❧ t❤❛t r❡♠❛✐♥s ✐s t♦ s❤♦✇ t❤❛t ✭✼✳✻✺✮ ✐s ❡q✉❛❧ t♦ S(Dj |Dj−1 )✳ ❆ s✐♠♣❧❡ ❝❛❧❝✉❧❛t✐♦♥
✶✻✽

✉s✐♥❣ t❤❡ ❞❡♥s✐t② ♠❛tr✐① ❢♦r t✇♦ ❛♠♣❧✐✜❡❞ ❝♦♥s❡❝✉t✐✈❡ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥ts ✇✐t❤ Dj−1 ❛♥❞ Dj ✱
(j−1)

ρ(Dj−1 Dj ) =
xj−1 xj

(j)

qxj−1 |Uxj−1 xj |2 |xj−1 xj xj−1 xj |,

✭✼✳✻✻✮

②✐❡❧❞s t❤❡ ❥♦✐♥t ❡♥tr♦♣②✱
(j−1)

S(Dj−1 Dj ) = −
xj−1

(j−1)

(j−1)

(j)

(j)

qxj−1 |Uxj−1 xj |2 logd |Uxj−1 xj |2 .

qxj−1 logd qxj−1 −

xj−1 xj

✭✼✳✻✼✮

❚❤❡ ✜rst t❡r♠ ✐♥ t❤✐s ❡①♣r❡ss✐♦♥ ✐s t❤❡ ❡♥tr♦♣② ♦❢ Dj−1 ✭❛❧❧ ♠❛r❣✐♥❛❧ ❞❡♥s✐t② ♠❛tr✐❝❡s ❛♥❞
❡♥tr♦♣✐❡s ❛r❡ t❤❡ s❛♠❡ ❢♦r ❛♠♣❧✐✜❡❞ ❛♥❞ ✉♥❛♠♣❧✐✜❡❞ ❛♥❝✐❧❧❛❡❀ t❤✐s ✐s ♣r♦✈❡❞ ❢♦r♠❛❧❧② ❧❛t❡r
✐♥ ▲❡♠♠❛ ✷ ♦❢ ❙❡❝✳ ✼✳✹✳✶✮✱
(j−1)

S(Dj−1 ) = H[q (j−1) ] = −
xj−1

(j−1)

qxj−1 logd qxj−1 .

✭✼✳✻✽✮

❚❤❡ ❝♦♥❞✐t✐♦♥❛❧ ❡♥tr♦♣② S(Dj |Dj−1 ) ✐s t❤✉s

S(Dj |Dj−1 ) = S(Dj−1 Dj ) − S(Dj−1 )
=−

(j−1)

(j)

(j)

qxj−1 |Uxj−1 xj |2 logd |Uxj−1 xj |2 ,

✭✼✳✻✾✮

xj−1 xj

✇❤✐❝❤ ✐s t❤❡ s❛♠❡ ❛s ✭✼✳✻✺✮✳
❲❡ ❡♠♣❤❛s✐③❡ t❤❛t t❤❡ r❡s✉❧t t❤❛t ❛♠♣❧✐✜❡❞ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥ts ❛r❡ ▼❛r❦♦✈✐❛♥ ❤♦❧❞s ❢♦r ♠❡❛✲
s✉r❡♠❡♥ts ♦❢ ✉♥♣r❡♣❛r❡❞ ❛s ✇❡❧❧ ❛s ♣r❡♣❛r❡❞ q✉❛♥t✉♠ st❛t❡s✳

❈♦r♦❧❧❛r② ✸✳✶✳

❚❤❡ ▼❛r❦♦✈✐❛♥ ♥❛t✉r❡ ♦❢ ❛♠♣❧✐✜❡❞ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥ts ✐♠♣❧✐❡s t❤❛t t❤❡ ❞❡✈✐❝❡s Di

❛♥❞ Dj s❤❛r❡ ♥♦ ❡♥tr♦♣② ✭❛r❡ ✐♥❞❡♣❡♥❞❡♥t✮ ❢r♦♠ t❤❡ ♣❡rs♣❡❝t✐✈❡ ♦❢ t❤❡ ✐♥t❡r♠❡❞✐❛t❡ ❞❡✈✐❝❡s✱

✶✻✾

Di+1 , . . . , Dj−1 ✱ s✐♥❝❡ t❤❡ ❝♦♥❞✐t✐♦♥❛❧ ♠✉t✉❛❧ ❡♥tr♦♣② ✈❛♥✐s❤❡s✿
S(Di : Dj |Di+1 . . . Dj−1 ) = 0.

✭✼✳✼✵✮

Pr♦♦❢✳ ❚❤❡ ❝♦♥❞✐t✐♦♥❛❧ ♠✉t✉❛❧ ❡♥tr♦♣② ✐s ❞❡✜♥❡❞ ❬✺✾❪ ❛s ❛ ❞✐✛❡r❡♥❝❡ ❜❡t✇❡❡♥ t✇♦ ❝♦♥❞✐t✐♦♥❛❧
❡♥tr♦♣✐❡s✱

S(Di : Dj |Di+1 . . . Dj−1 ) = S(Dj |Dj−1 . . . Di+1 ) − S(Dj |Dj−1 . . . Di ).

✭✼✳✼✶✮

❋r♦♠ ❚❤❡♦r❡♠ ✸✱ t❤❡ t✇♦ q✉❛♥t✐t✐❡s ♦♥ t❤❡ r✐❣❤t ❤❛♥❞ s✐❞❡ ♦❢ t❤✐s ❡①♣r❡ss✐♦♥ ❛r❡ ❜♦t❤ ❡q✉❛❧
t♦ S(Dj |Dj−1 )✳ ❚❤❡r❡❢♦r❡ t❤❡ ❝♦♥❞✐t✐♦♥❛❧ ♠✉t✉❛❧ ❡♥tr♦♣② ✈❛♥✐s❤❡s ❬✻✾❪✳
❋♦r t❤r❡❡ ❞❡✈✐❝❡s✱ t❤❡ ▼❛r❦♦✈ ♣r♦♣❡rt② ✐s

S(Di−1 : Di+1 |Di ) = S(Di+1 |Di ) − S(Di+1 |Di Di−1 ) = 0.

✭✼✳✼✷✮

❲❡ s❡❡ t❤❛t✱ ❢r♦♠ t❤❡ str♦♥❣ s✉❜❛❞❞✐t✐✈✐t② ✭❙❙❆✮ ♦❢ q✉❛♥t✉♠ ❡♥tr♦♣② ❬✻✻✱ ✻✼❪✱

S(Di+1 |Di Di−1 ) ≤ S(Di+1 |Di ),

✭✼✳✼✸✮

❛♠♣❧✐✜❡❞ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥ts s❛t✐s❢② ❙❙❆ ✇✐t❤ ❡q✉❛❧✐t②✳
❚❤❡ ♣r❡✈✐♦✉s t❤❡♦r❡♠ ❡st❛❜❧✐s❤❡❞ t❤❛t t❤❡ s❡q✉❡♥❝❡ ♦❢ ❛♠♣❧✐✜❡❞ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥ts ✐s ❛
q✉❛♥t✉♠ ▼❛r❦♦✈ ❝❤❛✐♥✳

◆♦✇✱ ✇❡ ✇✐❧❧ ❞❡♠♦♥str❛t❡ t❤❛t ✉♥❛♠♣❧✐✜❡❞ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥ts ❛r❡

♥♦♥✲▼❛r❦♦✈✐❛♥✳ ■♥ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ❝❛❧❝✉❧❛t✐♦♥✱ ✇❡ ✉s❡ t❤❡ st❛t❡ ✭✼✳✸✹✮ ❢♦r ♠❡❛s✉r❡♠❡♥ts ♦❢
✉♥♣r❡♣❛r❡❞ q✉❛♥t✉♠ st❛t❡s ❢♦r s✐♠♣❧✐❝✐t②✳ ❲❡ ✇✐❧❧ ✜♥❞ t❤❛t t❤❡ ▼❛r❦♦✈ ♣r♦♣❡rt② ✭✼✳✻✶✮ ✐s
✈✐♦❧❛t❡❞ ✐♥ t❤✐s ❝❛s❡✱ s♦ t❤❛t ✐♥ ❣❡♥❡r❛❧ ✉♥❛♠♣❧✐✜❡❞ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥ts ❛r❡ ♥♦♥✲▼❛r❦♦✈✐❛♥✳
❋✐rst✱ ❝♦♥s✐❞❡r t❤❡ ❥♦✐♥t ❞❡♥s✐t② ♠❛tr✐① ❢♦r t❤❡ s❡q✉❡♥❝❡ ♦❢ q✉❛♥t✉♠ ❛♥❝✐❧❧❛❡ Ai , . . . , Aj

✶✼✵

✭✇✐t❤ i < j ✮✱ s✐♠✐❧❛r❧② t♦ ✭✼✳✸✹✮✳ ❆s ✐♥ ❊q✳ ✭✼✳✸✺✮✱ ✇❡ ✜♥❞

ρ(Ai . . . Aj ) =

1
(ij)
pxi xj |xi xi | ⊗ |φxi xj φxi xj | ⊗ |xj xj |,
dxx
i j

✭✼✳✼✹✮

(ij)
(ij)
✇❤❡r❡ t❤❡ ❝♦❡✣❝✐❡♥ts px x = |βx x |2 ❛♥❞ t❤❡ ♥♦r♠❛❧✐③❡❞✱ ❜✉t ♥♦♥✲♦rt❤♦❣♦♥❛❧ st❛t❡s |φxi xj
i j
i j

✇❡r❡ ❞❡✜♥❡❞ ✐♥ ❊q✳ ✭✼✳✸✻✮✳ ❚❤❡ ❥♦✐♥t st❛t❡s |xi φxi xj xj ❛r❡ ♦rt❤♦♥♦r♠❛❧✱ s♦ t❤❡ ❡♥tr♦♣② ♦❢
❊q✳ ✭✼✳✼✹✮ ✐s s✐♠♣❧②

S(Ai . . . Aj ) = 1 −

1
(ij)
(ij)
pxi xj logd pxi xj .
dxx
i j

✭✼✳✼✺✮

(ij)
❚❤❡ ❝♦❡✣❝✐❡♥ts px x ❝❛♥ ❜❡ ❡q✉✐✈❛❧❡♥t❧② ❡①♣r❡ss❡❞ ✐♥ t❡r♠s ♦❢ U (j) ❛s
i j
(ij)

(ij)

pxi xj = |βxi xj |2 =

(i,j−1)

xj−1

(j)

pxi xj−1 |Uxj−1 xj |2 .

✭✼✳✼✻✮

◆❡①t✱ ✇❡ ✉s❡ t❤❡ ❧♦❣✲s✉♠ ✐♥❡q✉❛❧✐t② ❬✺✻❪ t♦ r❡✇r✐t❡ t❤❡ ❥♦✐♥t ❡♥tr♦♣② ✭✼✳✼✺✮ ❛s ❛♥ ✐♥❡q✉❛❧✲
✐t②✳ ❚❤❡ ❧♦❣✲s✉♠ ✐♥❡q✉❛❧✐t② st❛t❡s t❤❛t ❢♦r ♥♦♥✲♥❡❣❛t✐✈❡ ♥✉♠❜❡rs a1 , . . . , ad ❛♥❞ b1 , . . . , bd ✱
d
xi =1



ax
axi log i ≥ 
bx i

d


axi  log

xi =1

d
xi =1 axi
d
xi =1 bxi

,

✭✼✳✼✼✮

✇✐t❤ ❡q✉❛❧✐t② ✐❢ ❛♥❞ ♦♥❧② ✐❢ axi /bxi = ❝♦♥st✳ ■♥s❡rt✐♥❣ ✭✼✳✼✻✮ ✐♥t♦ ✭✼✳✼✺✮ ❛♥❞ ✉s✐♥❣ t❤❡
(i,j−1)
(j)
❧♦❣✲s✉♠ ✐♥❡q✉❛❧✐t② ✇✐t❤ bxj−1 = 1 ❛♥❞ axj−1 = px x
|U
|2 ✱ ✇❡ ✜♥❞ t❤❛t t❤❡ ❥♦✐♥t
i j−1 xj−1 xj

❡♥tr♦♣② ✐s ❜♦✉♥❞❡❞ ❢r♦♠ ❜❡❧♦✇ ❜②

S(Ai . . . Aj ) ≥ −

1
(i,j−1)
(i,j−1)
pxi xj−1 logd pxi xj−1
dxx
i j−1

1
−
dx

j−1 xj

(j)
(j)
|Uxj−1 xj |2 logd |Uxj−1 xj |2 .

✶✼✶

✭✼✳✼✽✮

❚❤❡ ✜rst t❡r♠ ♦♥ t❤❡ r✐❣❤t ❤❛♥❞ s✐❞❡ ♦❢ ❊q✳ ✭✼✳✼✽✮ ✐s s✐♠♣❧② S(Ai . . . Aj−1 ) − 1✱ ✇❤✐❧❡ t❤❡
s❡❝♦♥❞ t❡r♠ ✐s S(Aj−1 Aj ) − 1✳ ●✐✈❡♥ t❤❛t S(Aj−1 ) = 1✱ ✐t ✐s str❛✐❣❤t❢♦r✇❛r❞ t♦ s❤♦✇ t❤❛t
❊q✳ ✭✼✳✼✽✮ ❝❛♥ ❜❡ r❡✇r✐tt❡♥ ❛s ❛ ❞✐✛❡r❡♥❝❡ ❜❡t✇❡❡♥ t✇♦ ❝♦♥❞✐t✐♦♥❛❧ ❡♥tr♦♣✐❡s✱

S(Aj |Aj−1 ) − S(Aj |Aj−1 . . . Ai ) ≤ 1,

✭✼✳✼✾✮

(i,j−1)
(j)
(j)
✇✐t❤ ❡q✉❛❧✐t② ♦♥❧② ✇❤❡♥ px x
|U
|2 ✐s ❛ ❝♦♥st❛♥t✳ ❚❤✐s ♦❝❝✉rs ✇❤❡♥ |Uxj−1 xj |2 =
i j−1 xj−1 xj
( )
1/d ❛♥❞ |Ux −1 x |2 = 1/d ❢♦r ♦♥❡ ♦r ♠♦r❡ ♦❢ t❤❡ = i+1, . . . , j −1 ♠❛tr✐❝❡s✳ ❚❤✐s s❤♦✇s t❤❛t

❝♦♥❞✐t✐♦♥✐♥❣ ♦♥ ♠♦r❡ t❤❛♥ ❥✉st t❤❡ st❛t❡ ♦❢ t❤❡ ❧❛st ❛♥❝✐❧❧❛ Aj−1 ✇✐❧❧ r❡❞✉❝❡ t❤❡ ❝♦♥❞✐t✐♦♥❛❧
❡♥tr♦♣② ♦❢ ❛♥❝✐❧❧❛ Aj ✭❜② ❛t ♠♦st ✶✮✳ ❙✐♥❝❡ ❊q✳ ✭✼✳✼✾✮ ✐s ♥♦t ❡q✉❛❧ t♦ ③❡r♦ ✐♥ ❣❡♥❡r❛❧✱ ✇❡
❝♦♥❝❧✉❞❡ t❤❛t t❤❡ s❡q✉❡♥❝❡ ♦❢ ✉♥❛♠♣❧✐✜❡❞ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥ts ✐s ♥♦♥✲▼❛r❦♦✈✐❛♥✳
■♥ t❤❡ ♥❡①t s❡❝t✐♦♥✱ ✇❡ ✇✐❧❧ ❝♦♠♣✉t❡ t❤❡ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥ ❛ ♠❡❛s✉r✐♥❣ ❞❡✈✐❝❡ ❤❛s ❛❜♦✉t t❤❡
q✉❛♥t✉♠ s②st❡♠ ♦r ♦t❤❡r ❞❡✈✐❝❡s ✐♥ ❛ s❡q✉❡♥❝❡ ♦❢ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥ts✳ ■♥ ♣❛rt✐❝✉❧❛r✱ ✇❡ ✇✐❧❧
s❤♦✇ t❤❛t ❛♠♣❧✐❢②✐♥❣ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥ts ✭✇❤✐❝❤ ②✐❡❧❞s ❛ q✉❛♥t✉♠ ▼❛r❦♦✈ ❝❤❛✐♥✮ r❡❞✉❝❡s t❤❡
✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥ t❤❛t ❝❛♥ ❜❡ ♦❜t❛✐♥❡❞ ❛❜♦✉t ♦t❤❡r s②st❡♠s✱ ❛s ❝♦♠♣❛r❡❞ t♦ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥ts t❤❛t
r❡♠❛✐♥ ✉♥❛♠♣❧✐✜❡❞✳

✼✳✹ ❊✛❡❝ts ♦❢ ❆♠♣❧✐❢②✐♥❣ ◗✉❛♥t✉♠ ▼❡❛s✉r❡♠❡♥ts
■♥ t❤❡ ♣r❡✈✐♦✉s ❙❡❝s✳ ✼✳✷ ❛♥❞ ✼✳✸✱ ✇❡ ❢♦❝✉s❡❞ ♦♥ ❝♦♥s❡❝✉t✐✈❡ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥ts ♦❢ ❛ q✉❛♥t✉♠
s②st❡♠ ❛♥❞ ❞✐s❝✉ss❡❞ t❤❡ ❝♦♥❝❡♣ts ♦❢ ♥♦♥✲▼❛r❦♦✈✐❛♥ ✭✉♥❛♠♣❧✐✜❡❞✮ ❛♥❞ ▼❛r❦♦✈✐❛♥ ✭❛♠♣❧✐✜✲
❛❜❧❡✮ s❡q✉❡♥❝❡s✱ r❡s♣❡❝t✐✈❡❧②✳ ■t ✐s r❡❛s♦♥❛❜❧❡ t♦ ❛s❦ ✇❤❡t❤❡r t❤❡r❡ ❛r❡ ❡♥tr♦♣✐❝ r❡❧❛t✐♦♥s❤✐♣s
❜❡t✇❡❡♥ t❤♦s❡ t✇♦ ❦✐♥❞s ♦❢ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥ts✳ ■♥tr♦❞✉❝✐♥❣ ❛ s❡❝♦♥❞ st❡♣ t♦ ✈♦♥ ◆❡✉♠❛♥♥✬s
s❡❝♦♥❞ st❛❣❡ s❡r✈❡s ♣r❡❝✐s❡❧② t♦ ❡st❛❜❧✐s❤ s✉❝❤ r❡❧❛t✐♦♥s❤✐♣s✳ ■♥ t❤✐s s❡❝t✐♦♥✱ ✇❡ ❡st❛❜❧✐s❤
t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ t❤r❡❡ ♣r♦♣❡rt✐❡s✿ ▼❛r❦♦✈✐❛♥ ❞❡✈✐❝❡s ❝❛rr② ❧❡ss ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥ ❛❜♦✉t t❤❡ q✉❛♥t✉♠
✶✼✷

s②st❡♠ t❤❛♥ ♥♦♥✲▼❛r❦♦✈✐❛♥ ❞❡✈✐❝❡s❀ t❤❡ s❤❛r❡❞ ❡♥tr♦♣② ❜❡t✇❡❡♥ ❝♦♥s❡❝✉t✐✈❡ ♥♦♥✲▼❛r❦♦✈✐❛♥
❞❡✈✐❝❡s ✐s ❧❛r❣❡r t❤❛♥ t❤❡ r❡s♣❡❝t✐✈❡ q✉❛♥t✐t② ❢♦r ❛♠♣❧✐✜❡❞ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥ts❀ t❤❡ ❧❛st ▼❛r❦♦✈✐❛♥
❞❡✈✐❝❡ ✐♥ ❛ q✉❛♥t✉♠ ❝❤❛✐♥ ✐s ✐♥❤❡r❡♥t❧② ♠♦r❡ r❛♥❞♦♠ t❤❛♥ ✐ts ♥♦♥✲▼❛r❦♦✈✐❛♥ ❝♦✉♥t❡r♣❛rt✱
❣✐✈❡♥ t❤❡ ❝♦♠❜✐♥❡❞ st❛t❡ ♦❢ ❛❧❧ ♣r❡✈✐♦✉s ❞❡✈✐❝❡s✳

✼✳✹✳✶ ■♥❢♦r♠❛t✐♦♥ ❆❜♦✉t t❤❡ ◗✉❛♥t✉♠ ❙②st❡♠
❲❡ ✜rst ❝❛❧❝✉❧❛t❡ ❤♦✇ ♠✉❝❤ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥ ❛❜♦✉t t❤❡ q✉❛♥t✉♠ s②st❡♠✱ Q✱ ✐s ❡♥❝♦❞❡❞ ✐♥ t❤❡
❧❛st ❞❡✈✐❝❡ ✐♥ ❛ ❝❤❛✐♥ ♦❢ ❝♦♥s❡❝✉t✐✈❡ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥ts ♦❢ Q✳ ❚♦ ❞♦ t❤✐s✱ ✇❡ ♣r♦✈❡ t✇♦ ▲❡♠♠❛s
t❤❛t st❛t❡ t❤❛t t❤❡ ♠❛r❣✐♥❛❧ ❡♥tr♦♣② ♦❢ t❤❡ q✉❛♥t✉♠ s②st❡♠ ✐s ❛❧✇❛②s ❡q✉❛❧ t♦ t❤❡ ❡♥tr♦♣②
♦❢ t❤❡ ❧❛st ❛♥❝✐❧❧❛ ✐♥ t❤❡ ❝❤❛✐♥ ♦❢ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥ts✱ ❛♥❞ t❤❛t t❤❡ ♠❛r❣✐♥❛❧ ❡♥tr♦♣② ♦❢ ❛ q✉❛♥t✉♠
❛♥❝✐❧❧❛ ✐s ✉♥❛✛❡❝t❡❞ ❜② ❛♠♣❧✐✜❝❛t✐♦♥✳

▲❡♠♠❛ ✶✳

❚❤❡ ❡♥tr♦♣② ♦❢ t❤❡ q✉❛♥t✉♠ s②st❡♠✱ Q✱ ✐s ❡q✉❛❧ t♦ t❤❡ ❡♥tr♦♣② ♦❢ t❤❡ ❧❛st ❛♥❝✐❧❧❛✱

An ✱ ✐♥ t❤❡ ❝❤❛✐♥ ♦❢ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥ts✿

S(Q) = S(An ).

✭✼✳✽✵✮

Pr♦♦❢✳ ❈♦♥s✐❞❡r ❛ s❡r✐❡s ♦❢ ❝♦♥s❡❝✉t✐✈❡ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥ts ♦♥ ❛ q✉❛♥t✉♠ s②st❡♠✱ Q✱ ✇✐t❤ n
❛♥❝✐❧❧❛❡✳ ■♥ ❣❡♥❡r❛❧✱ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ t❤❡ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥ts✱ t❤❡ ❥♦✐♥t st❛t❡ ♦❢ t❤❡ q✉❛♥t✉♠ s②st❡♠ ❛♥❞
❛❧❧ ❛♥❝✐❧❧❛❡ |Ψ = |QA1 . . . An ✐s ❣✐✈❡♥ ❜② t❤❡ ♣✉r❡ st❛t❡ ❬s❡❡ ❛❧s♦ ❊q✳ ✭✼✳✷✺✮❪

|Ψ =

(1)

(2)

(n)

αx1 Ux1 x2 . . . Uxn−1 xn |xn x1 . . . xn .

✭✼✳✽✶✮

x1 ...xn

❚❤❡ ❞❡♥s✐t② ♠❛tr✐① ❢♦r t❤❡ q✉❛♥t✉♠ s②st❡♠ ✐s ❢♦✉♥❞ ❜② tr❛❝✐♥❣ ♦✉t ❛❧❧ ❛♥❝✐❧❧❛ st❛t❡s ❢r♦♠

✶✼✸

t❤❡ ❢✉❧❧ ❞❡♥s✐t② ♠❛tr✐① ❛ss♦❝✐❛t❡❞ ✇✐t❤ ✭✼✳✽✶✮✱

ρ(Q) = TrA1 ...An (|Ψ Ψ|) =

(n)

qxn |xn xn |,

✭✼✳✽✷✮

xn

(n)
✇❤❡r❡ qxn ✐s t❤❡ ♣r♦❜❛❜✐❧✐t② ❞✐str✐❜✉t✐♦♥ ❢♦r t❤❡ ❧❛st ❛♥❝✐❧❧❛ An t❤❛t ❝❛♥ ❜❡ ♦❜t❛✐♥❡❞ ❣❡♥❡r❛❧❧②

❢r♦♠ ❊q✳ ✭✼✳✷✾✮✳ ❈❧❡❛r❧②✱ ✭✼✳✽✷✮ ✐s ❡q✉✐✈❛❧❡♥t t♦ t❤❡ ❞❡♥s✐t② ♠❛tr✐① ❢♦r t❤❡ ❧❛st ❛♥❝✐❧❧❛✱ ❛♥❞
s♦ t❤❡ ❝♦rr❡s♣♦♥❞✐♥❣ ❡♥tr♦♣✐❡s ❛r❡ t❤❡ s❛♠❡✿ S(Q) = S(An ) = H[q (n) ]✳ ❆♥ ❛❧t❡r♥❛t✐✈❡
♣r♦♦❢ ✐s t♦ ♥♦t❡ t❤❛t ❛ ❙❝❤♠✐❞t ❞❡❝♦♠♣♦s✐t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ♣✉r❡ st❛t❡ |Ψ Ψ| ✐♠♣❧✐❡s t❤❛t S(Q) =

S(A1 . . . An )✳ ❆♥❞✱ ❜② ❚❤❡♦r❡♠ ✻ ✭s❡❡ ❙❡❝✳ ✼✳✹✳✷✮✱ S(An ) = S(A1 . . . An )✱ s♦ t❤❛t S(Q) =
S(An )✳
▲❡♠♠❛ ✷✳

❚❤❡ ❡♥tr♦♣② ♦❢ ❛ q✉❛♥t✉♠ ❛♥❝✐❧❧❛✱ Ai ✱ ✐s ✉♥❝❤❛♥❣❡❞ ✐❢ ✐t ✐s ♠❡❛s✉r❡❞ ❜② ❛♥

❛♠♣❧✐❢②✐♥❣ ❞❡✈✐❝❡✱ Di ✱ s♦ t❤❛t ❢♦r ❛❧❧ i ✐♥ t❤❡ ❝❤❛✐♥ ♦❢ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥ts✿

S(Ai ) = S(Di ).

✭✼✳✽✸✮

Pr♦♦❢✳ ❆♠♣❧✐❢②✐♥❣ t❤❡ it❤ ❛♥❝✐❧❧❛ Ai ✐♥ ✭✼✳✽✶✮ ✇✐t❤ Di ②✐❡❧❞s t❤❡ ❥♦✐♥t ❞❡♥s✐t② ♠❛tr✐① ❢♦r Ai
❛♥❞ Di ✱
(i)

ρ(Ai Di ) =
xi

qxi |xi xi xi xi |,

✭✼✳✽✹✮

(i)
✇❤❡r❡ qx ✐s t❤❡ ♣r♦❜❛❜✐❧✐t② ❞✐str✐❜✉t✐♦♥ ❢♦r Ai ✱ ❛s ❞❡✜♥❡❞ ✐♥ ✭✼✳✷✾✮✳ ❚❤❡ t✇♦ s✉❜s②st❡♠s
i

❛r❡ ♣❡r❢❡❝t❧② ❝♦rr❡❧❛t❡❞ s♦ t❤❛t t❤❡ ❞❡♥s✐t② ♠❛tr✐① ❛♥❞ ♠❛r❣✐♥❛❧ ❡♥tr♦♣② ♦❢ Ai ✐s ❡q✉✐✈❛❧❡♥t
t♦ Di ✿ S(Di ) = S(Ai ) = H[q (i) ]✳
■♥ t❤❡ r❡♠❛✐♥✐♥❣ s❡❝t✐♦♥s✱ ✇❡ ✇✐❧❧ ✉s❡ t❤❡ s❤♦rt❡♥❡❞ ♥♦t❛t✐♦♥ S(Ai ) = S(Di ) = Si ❢♦r
t❤❡ ♠❛r❣✐♥❛❧ ❡♥tr♦♣✐❡s✳ ❯s✐♥❣ ▲❡♠♠❛s ✶ ❛♥❞ ✷✱ ✇❡ ❛r❡ ♥♦✇ r❡❛❞② t♦ ♣r♦✈❡ t❤❡ ✜rst t❤❡♦r❡♠

✶✼✹

r❡❣❛r❞✐♥❣ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥ ❛❜♦✉t t❤❡ q✉❛♥t✉♠ s②st❡♠✳

❚❤❡♦r❡♠ ✹✳

❚❤❡ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥ t❤❛t t❤❡ ❧❛st ❞❡✈✐❝❡ ✐♥ ❛ s❡r✐❡s ♦❢ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥ts ❤❛s ❛❜♦✉t t❤❡

q✉❛♥t✉♠ s②st❡♠ ✐s r❡❞✉❝❡❞ ✇❤❡♥ t❤❡ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥ts ❛r❡ ❛♠♣❧✐✜❡❞✳ ❚❤❛t ✐s✱

S(Q : Dn ) ≤ S(Q : An ),

✭✼✳✽✺✮

❢♦r n ❝♦♥s❡❝✉t✐✈❡ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥ts ♦❢ ❛ ♣r❡♣❛r❡❞ q✉❛♥t✉♠ st❛t❡✱ Q✳
Pr♦♦❢✳ ❲❡ st❛rt ✇✐t❤ t❤❡ st❛t❡ ✭✼✳✽✶✮ ❢♦r ❛♥ ✉♥❛♠♣❧✐✜❡❞ ❝❤❛✐♥ ♦❢ ❝♦♥s❡❝✉t✐✈❡ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥ts
♦❢ ❛ ♣r❡♣❛r❡❞ q✉❛♥t✉♠ st❛t❡✱ Q✱ ✇✐t❤ n ❛♥❝✐❧❧❛❡✳ ❚r❛❝✐♥❣ ♦✉t ❛❧❧ ♣r❡✈✐♦✉s ❛♥❝✐❧❧❛ st❛t❡s
❢r♦♠ ✭✼✳✽✶✮✱ t❤❡ ❥♦✐♥t ❞❡♥s✐t② ♠❛tr✐① ❢♦r t❤❡ q✉❛♥t✉♠ s②st❡♠ ❛♥❞ t❤❡ ❧❛st ❛♥❝✐❧❧❛ ✐s
(n−1)

(n) ∗

(n)

qxn−1 Uxn−1 xn U
|x x xn xn |,
xn−1 xn n n

ρ(QAn ) =

✭✼✳✽✻✮

xn−1 xn xn

(n−1)
✇❤❡r❡ qxn−1 ✐s An−1 ✬s ♣r♦❜❛❜✐❧✐t② ❞✐str✐❜✉t✐♦♥✳

■❢ ✇❡ ❛♠♣❧✐❢② t❤❡ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥t ❝❤❛✐♥ ✭♦r✱ ❡q✉✐✈❛❧❡♥t❧②✱ ❥✉st t❤❡ ❧❛st ♠❡❛s✉r❡♠❡♥t✮ t❤❡
st❛t❡ ✭✼✳✽✻✮ ❜❡❝♦♠❡s ❞✐❛❣♦♥❛❧✳ ❚❤❛t ✐s✱

ρ(QDn ) =

(n−1)

(n)

qxn−1 |Uxn−1 xn |2 |xn xn xn xn |.

✭✼✳✽✼✮

xn−1 xn

◆♦t❡ t❤❛t t❤❡ ❛♠♣❧✐✜❝❛t✐♦♥ ✐s ❡q✉✐✈❛❧❡♥t t♦ ❛ ❝♦♠♣❧❡t❡❧② ❞❡♣❤❛s✐♥❣ ❝❤❛♥♥❡❧ ❬✶✾✼✕✶✾✾❪ ✭s❡❡
❛❧s♦ ❬✷✺❪✮ s✐♥❝❡ ✇❡ ❝❛♥ ✇r✐t❡

ρ(QDn ) =

Pxn ρ(QAn ) Pxn ,

✭✼✳✽✽✮

xn

✇❤❡r❡ Pxn = |xn xn | ❛r❡ ♣r♦❥❡❝t♦rs ♦♥ t❤❡ st❛t❡ ♦❢ An ✳ ■♥ ♦t❤❡r ✇♦r❞s✱ ρ(QDn ) ✐s ❢♦r♠❡❞
❢r♦♠ t❤❡ ❞✐❛❣♦♥❛❧ ❡❧❡♠❡♥ts ♦❢ ρ(QAn )✳ ❚❤❡ ❞❡♣❤❛s✐♥❣ ❝❤❛♥♥❡❧ ✐s ❛❧s♦ ❝❛❧❧❡❞ t❤❡ ♣❤❛s❡✲
✶✼✺

❞❛♠♣✐♥❣ ❝❤❛♥♥❡❧ ❛♥❞ s❡r✈❡s ❛s ❛ q✉❛♥t✉♠ ♠❡❝❤❛♥✐❝❛❧ ♥♦✐s❡ ♠♦❞❡❧ ✇❤❡r❡ ♣❤❛s❡ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥
❛❜♦✉t ❛ q✉❛♥t✉♠ st❛t❡ ✐s ❧♦st✳ ❋♦r ❡①❛♠♣❧❡✱ ✐❢ t❤❡ ✐♥✐t✐❛❧ q✉❛♥t✉♠ st❛t❡ ♦❢ ❛ s②st❡♠ A ✐s

|ψ = α|0 A + β|1 A ✱ ✇✐t❤ ❞❡♥s✐t② ♠❛tr✐① ρA ✱ t❤❡♥ t❤❡ ♦✉t♣✉t ♦❢ t❤❡ ❞❡♣❤❛s✐♥❣ ❝❤❛♥♥❡❧
✐s ρA = (1 − p) ρA + p (P0 ρA P0 + P1 ρA P1 )✳ ❚❤❛t ✐s✱ ✇✐t❤ ♣r♦❜❛❜✐❧✐t② (1 − p) ♥♦t❤✐♥❣
❤❛♣♣❡♥s t♦ t❤❡ q✉❛♥t✉♠ st❛t❡✱ ❛♥❞ ✇✐t❤ ♣r♦❜❛❜✐❧✐t② p/2 ♦♥❡ ♦❢ t❤❡ ♣r♦❥❡❝t♦rs Pi = |i A i|
✐s ❛♣♣❧✐❡❞✳ ❚❤❡ ❝❤❛♥♥❡❧ ✐s ❡q✉✐✈❛❧❡♥t t♦ t❤❡ ♣❤❛s❡✲✢✐♣ ❝❤❛♥♥❡❧ s✐♥❝❡ ✐t ❝❛♥ ❜❡ ✇r✐tt❡♥ ❛s

ρA = (1 − p/2) ρA + p/2 Z ρA Z ✱ ✇❤❡r❡ t❤❡ P❛✉❧✐ ♠❛tr✐① Z ♣❡r❢♦r♠s ❛ ♣❤❛s❡ ✢✐♣✳ ■♥ t❤❡
❜❛s✐s |0 A , |1 A ✱ t❤❡ ❞❡♣♦❧❛r✐③✐♥❣ ❝❤❛♥♥❡❧ ②✐❡❧❞s

ρA =

|α|2
(1 − p) αβ ∗
(1 − p) α∗ β
|β|2

,

✭✼✳✽✾✮

s♦ t❤❛t ❢♦r ❛ ❝♦♠♣❧❡t❡❧② ❞❡♣❤❛s✐♥❣ ❝❤❛♥♥❡❧✱ p = 1✱ t❤❡ ♦✛✲❞✐❛❣♦♥❛❧ ❡❧❡♠❡♥ts ✈❛♥✐s❤ ❛♥❞ t❤❡
st❛t❡ ♦❢ A ❜❡❝♦♠❡s ❝♦♠♣❧❡t❡❧② ✐♥❝♦❤❡r❡♥t✳
❚♦ s❤♦✇ t❤❛t t❤❡ ❛♠♣❧✐✜❡❞ ♠✉t✉❛❧ ❡♥tr♦♣② ✐s r❡❞✉❝❡❞ ❛s ✐♥ ❊q✳ ✭✼✳✽✺✮✱ ✐t ✐s s✉✣❝✐❡♥t
t♦ s❤♦✇ t❤❛t t❤❡ ❥♦✐♥t ❡♥tr♦♣② ✐s ✐♥❝r❡❛s❡❞✳ ❚❤❡ ♠✉t✉❛❧ ❡♥tr♦♣② ❢♦r t✇♦ s✉❜s②st❡♠s ✐s
❞❡✜♥❡❞ ❬✺✾❪ ❛s S(Q : An ) = S(Q) + S(An ) − S(QAn ) ❛♥❞ s✐♠✐❧❛r❧② ❢♦r S(Q : Dn )✳ ❙✐♥❝❡✱ ❜②
▲❡♠♠❛ ✷✱ t❤❡ ♠❛r❣✐♥❛❧ ❡♥tr♦♣✐❡s ❛r❡ ✉♥❝❤❛♥❣❡❞ ❜② t❤❡ ❛♠♣❧✐✜❝❛t✐♦♥✱ S(An ) = S(Dn )✱ ✇❡
❤❛✈❡

S(Q : Dn ) = S(Q : An ) + S(QAn ) − S(QDn ).

✭✼✳✾✵✮

❚❤❡r❡❢♦r❡✱ ✇❡ ❥✉st ♥❡❡❞ t♦ s❤♦✇ t❤❛t S(QDn ) ≥ S(QAn )✱ ✇❤✐❝❤ ✐s ❡❛s✐❡st ❜② ❝♦♥s✐❞❡r✐♥❣
t❤❡ r❡❧❛t✐✈❡ ❡♥tr♦♣② ♦❢ ❝♦❤❡r❡♥❝❡ ❬✷✵✵✱ ✷✵✶❪✳ ❚❤✐s q✉❛♥t✐t②✱ Crel.ent. (ρ) = S(ρdiag ) − S(ρ)✱
✐s t❤❡ ❞✐✛❡r❡♥❝❡ ❜❡t✇❡❡♥ t❤❡ ❡♥tr♦♣✐❡s ♦❢ ❛ ❞❡♥s✐t② ♠❛tr✐① ρ ❛♥❞ ❛ ♠❛tr✐① ρdiag t❤❛t ✐s
❢♦r♠❡❞ ❢r♦♠ t❤❡ ❞✐❛❣♦♥❛❧ ❡❧❡♠❡♥ts ♦❢ ρ✳ ■t ✐s ❞❡r✐✈❡❞ ❜② ♠✐♥✐♠✐③✐♥❣ t❤❡ r❡❧❛t✐✈❡ ❡♥tr♦♣②

✶✼✻

S(ρ δ) = Tr(ρ log ρ − ρ log δ) ✭s❡❡✱ ❡✳❣✳✱ ❬✷✵✷✱ ✷✵✸❪✮ ♦✈❡r t❤❡ s❡t ♦❢ ✐♥❝♦❤❡r❡♥t ♠❛tr✐❝❡s δ ✳
❇② ❑❧❡✐♥✬s ✐♥❡q✉❛❧✐t② ❬✷✵✹❪✱ t❤❡ r❡❧❛t✐✈❡ ❡♥tr♦♣② ✐s ♥♦♥✲♥❡❣❛t✐✈❡ s♦ t❤❛t S(ρdiag ) ≥ S(ρ)✱
✇✐t❤ ❡q✉❛❧✐t② ✐❢ ❛♥❞ ♦♥❧② ✐❢ ρ ✐s ❛♥ ✐♥❝♦❤❡r❡♥t ♠❛tr✐①✳ ■♥ ♦✉r ❝❛s❡✱ ρ ❛♥❞ ρdiag ❛r❡ ❣✐✈❡♥ ❜②

ρ(Q : An ) ❛♥❞ ρ(Q : Dn )✱ r❡s♣❡❝t✐✈❡❧②✳ ❚❤❡r❡❢♦r❡✱ ✐t ❢♦❧❧♦✇s t❤❛t S(QDn ) ≥ S(QAn ) ❛♥❞
✭✼✳✾✶✮

S(Q : Dn ) ≤ S(Q : An ),

✇✐t❤ ❡q✉❛❧✐t② ✐❢ ❛♥❞ ♦♥❧② ✐❢ ρ(QAn ) ✐s ❛❧r❡❛❞② ❞✐❛❣♦♥❛❧ ✐♥ t❤❡ ❛♥❝✐❧❧❛ ♣r♦❞✉❝t ❜❛s✐s✳
❚♦ ❞✐r❡❝t❧② ❝♦♠♣✉t❡ t❤❡ ♠✉t✉❛❧ ❡♥tr♦♣✐❡s ✐♥ ❚❤❡♦r❡♠ ✹✱ ✇❡ ✜rst ❞✐❛❣♦♥❛❧✐③❡ t❤❡ ❞❡♥s✐t②
♠❛tr✐① ✭✼✳✽✻✮ ✇✐t❤ t❤❡ ♦rt❤♦♥♦r♠❛❧ st❛t❡s |Φxn−1 =

(n)

xn

Uxn−1 xn |xn xn ✱ s♦ t❤❛t

(n−1)

ρ(QAn ) =
xn−1

qxn−1 |Φxn−1 Φxn−1 |.

✭✼✳✾✷✮

❚❤❡ ❥♦✐♥t ❡♥tr♦♣② ♦❢ t❤✐s st❛t❡ ✐s s✐♠♣❧② t❤❡ ♠❛r❣✐♥❛❧ ❡♥tr♦♣② ♦❢ An−1 ✳ ❚❤❛t ✐s✱ S(QAn ) =

S(An−1 ) = Sn−1 ✱ ✇❤✐❝❤ ❝❛♥ ❛❧s♦ ❜❡ ❞❡r✐✈❡❞ ✉s✐♥❣ t❤❡ ❙❝❤♠✐❞t ❞❡❝♦♠♣♦s✐t✐♦♥ ❛♥❞ t❤❡ r❡s✉❧ts
♦❢ ❚❤❡♦r❡♠ ✻ ✭s❡❡ ❙❡❝✳ ✼✳✹✳✷✮✳ ❚❤✉s✱ ✉s✐♥❣ ▲❡♠♠❛ ✶✱ t❤❡ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥ t❤❛t t❤❡ ❧❛st ❛♥❝✐❧❧❛
❤❛s ❛❜♦✉t t❤❡ q✉❛♥t✉♠ s②st❡♠ ✐s

S(Q : An ) = 2Sn − Sn−1 .

✭✼✳✾✸✮

■❢ ✇❡ ♥♦✇ ❛♠♣❧✐❢② t❤❡ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥t ❝❤❛✐♥ ✭♦r✱ ❡q✉✐✈❛❧❡♥t❧②✱ ❥✉st t❤❡ ❧❛st ♠❡❛s✉r❡♠❡♥t✮
t❤❡ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥ t❤❛t Dn ❤❛s ❛❜♦✉t Q ✇✐❧❧ ❜❡ r❡❞✉❝❡❞ ❢r♦♠ ✭✼✳✾✸✮✳ ❋r♦♠ ❊q✳ ✭✼✳✽✼✮✱ t❤❡ ❥♦✐♥t
❞❡♥s✐t② ♠❛tr✐① ♦❢ Q ❛♥❞ Dn ❝❛♥ ❛❧s♦ ❜❡ ✇r✐tt❡♥ ❛s
(n)

qxn |xn xn xn xn |,

ρ(QDn ) =
xn

✶✼✼

✭✼✳✾✹✮

Sn−1
−Sn

2Sn
−Sn−1

Q

Sn−1

0

−Sn

Sn

Q

An
(a)

0
Dn

(b)

❋✐❣✉r❡ ✼✳✶✷✿ ❊✛❡❝ts ♦❢ ❛♠♣❧✐✜❝❛t✐♦♥ ♦♥ ✭❛✮ t❤❡ q✉❛♥t✉♠ s②st❡♠ ❛♥❞ t❤❡ ✉♥❛♠♣❧✐✜❡❞ ❛♥❝✐❧❧❛
❛❝❝♦r❞✐♥❣ t♦ ❊q✳ ✭✼✳✽✻✮✱ ❛♥❞ ♦♥ ✭❜✮ t❤❡ q✉❛♥t✉♠ s②st❡♠ ❛♥❞ t❤❡ ❛♠♣❧✐❢②✐♥❣ ❞❡✈✐❝❡ ❛❝❝♦r❞✐♥❣
t♦ ❊q✳ ✭✼✳✾✹✮✳ ❚❤❡ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥ t❤❛t t❤❡ ❧❛st ❞❡✈✐❝❡ ❤❛s ❛❜♦✉t t❤❡ q✉❛♥t✉♠ s②st❡♠ ✐s r❡❞✉❝❡❞
✇❤❡♥ t❤❡ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥t ✐s ❛♠♣❧✐✜❡❞✳ ❚❤❛t ✐s✱ S(Q : Dn ) ≤ S(Q : An )✳
✇❤✐❝❤ ❧❡❛❞s t♦ S(QDn ) = S(Dn ) = Sn ✳ ❚❤❡r❡❢♦r❡✱ ❛♠♣❧✐❢②✐♥❣ t❤❡ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥t r❡❞✉❝❡s t❤❡
q✉❛♥t✐t② ✭✼✳✾✸✮ t♦

S(Q : Dn ) = Sn ,

✭✼✳✾✺✮

✇❤❡r❡ ✇❡ ✉s❡❞ ▲❡♠♠❛s ✶ ❛♥❞ ✷ t♦ ✇r✐t❡ S(Q) = S(An ) = S(Dn ) = Sn ✳ ❚❤✐s q✉❛♥t✐t②
❞❡♣❡♥❞s ❡①♣❧✐❝✐t❧② ♦♥ ♦♥❧② t❤❡ ❧❛st ♠❡❛s✉r❡♠❡♥t✱ ✉♥❧✐❦❡ ✭✼✳✾✸✮✱ ✇❤✐❝❤ ❞❡♣❡♥❞s ♦♥ t❤❡ ❧❛st
t✇♦✳ ❚❤❡ ❛♠♦✉♥t ♦❢ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥ t❤❛t t❤❡ ❧❛st ❞❡✈✐❝❡ ❤❛s ❛❜♦✉t t❤❡ q✉❛♥t✉♠ s②st❡♠ ❜❡❢♦r❡
❛♠♣❧✐✜❝❛t✐♦♥✱ ✭✼✳✾✸✮✱ ❛♥❞ ❛❢t❡r✱ ✭✼✳✾✺✮✱ ✐s r❡❧❛t❡❞ ❜②

S(Q : Dn ) = S(Q : An ) + Sn−1 − Sn .

✭✼✳✾✻✮

❚❤✉s✱ t❤❡ ♠❛r❣✐♥❛❧ ❡♥tr♦♣✐❡s ✐♥ ❛ ❝❤❛✐♥ ♦❢ ❝♦♥s❡❝✉t✐✈❡ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥ts ♥❡✈❡r ❞❡❝r❡❛s❡✱ Sn ≥

Sn−1 ✱ s✐♥❝❡ S(Q : Dn ) ≤ S(Q : An )✳ ❚❤❡ ❡♥tr♦♣② ❱❡♥♥ ❞✐❛❣r❛♠s ❢♦r t❤❡ ❞❡✈✐❝❡s An ❛♥❞
Dn ❛♥❞ t❤❡ q✉❛♥t✉♠ s②st❡♠ ❛r❡ s❤♦✇♥ ✐♥ ❋✐❣✳ ✼✳✶✷✳
❲❡ ❝❛♥ ✐❧❧✉str❛t❡ t❤✐s ❧♦ss ♦❢ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥ ❛❜♦✉t t❤❡ q✉❛♥t✉♠ s②st❡♠ ❜② ❝♦♥s✐❞❡r✐♥❣
❝♦♥s❡❝✉t✐✈❡ q✉❜✐t ♠❡❛s✉r❡♠❡♥ts✳ ❙✉♣♣♦s❡ t❤❛t t❤❡ ❡✐❣❡♥❜❛s✐s ♦❢ ♦❜s❡r✈❛❜❧❡ (n − 1) ✐s ❛t ❛♥

✶✼✽

❛♥❣❧❡ θn−1 = 0 r❡❧❛t✐✈❡ t♦ ♦❜s❡r✈❛❜❧❡ (n − 2)✱ ❛♥❞ t❤❛t ♦❜s❡r✈❛❜❧❡ n ✐s ❛t ❛♥ ❛♥❣❧❡ θn = π/4
r❡❧❛t✐✈❡ t♦ ♦❜s❡r✈❛❜❧❡ (n − 1)✳ ■♥ t❤✐s ❝❛s❡✱ t❤❡ ♠❛r❣✐♥❛❧ ❡♥tr♦♣✐❡s ❛r❡ Sn−1 = Sn−2 =

H[q (n−2) ] ❛♥❞ Sn = 1 ❜✐t✳ ❚❤❡ ❧❛st ❞❡✈✐❝❡✱ Dn ✱ ❤❛s ♦♥❡ ❜✐t ♦❢ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥ ❛❜♦✉t t❤❡ q✉❛♥t✉♠
s②st❡♠✱ ✇❤✐❝❤ ✐s ❧❡ss t❤❛♥ t❤❛t ♦❢ t❤❡ ✉♥❛♠♣❧✐✜❡❞ ❛♥❝✐❧❧❛✿ S(Q : An ) = 2 − H[q (n−2) ] ≥ 1✳
■♥t❡r❡st✐♥❣❧②✱ ❤♦✇ ♠✉❝❤ ✇❡ ❦♥♦✇ ❛❜♦✉t t❤❡ st❛t❡ ♦❢ Q ♣r✐♦r t♦ ❛♠♣❧✐✜❝❛t✐♦♥ ✐s ❝♦♥tr♦❧❧❡❞ ❜②
t❤❡ ❡♥tr♦♣② ♦❢ ❛♥ ❛♥❝✐❧❧❛✱ An−2 ✱ ❧♦❝❛t❡❞ t✇♦ st❡♣s ❞♦✇♥ t❤❡ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥t ❝❤❛✐♥✳

✼✳✹✳✷ ■♥❢♦r♠❛t✐♦♥ ❆❜♦✉t P❛st ▼❡❛s✉r❡♠❡♥ts
❲❡ ♥♦✇ ❝❛❧❝✉❧❛t❡ ❤♦✇ ♠✉❝❤ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥ ✐s ❡♥❝♦❞❡❞ ✐♥ ❛ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥t ❞❡✈✐❝❡ ❛❜♦✉t t❤❡ st❛t❡
♦❢ t❤❡ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥t ❞❡✈✐❝❡ t❤❛t ❥✉st ♣r❡❝❡❞❡❞ ✐t ✐♥ t❤❡ q✉❛♥t✉♠ ❝❤❛✐♥✳ ■♥ ♣❛rt✐❝✉❧❛r✱ ✇❡ ✇✐❧❧
s❤♦✇ t❤❛t t❤❡ s❤❛r❡❞ ❡♥tr♦♣② S(An : An−1 ) ❜❡t✇❡❡♥ t❤❡ ❧❛st t✇♦ ❞❡✈✐❝❡s ✐♥ t❤❡ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥t
❝❤❛✐♥ ✐s r❡❞✉❝❡❞ ❜② t❤❡ ❛♠♣❧✐✜❝❛t✐♦♥ ♣r♦❝❡ss s♦ t❤❛t S(Dn : Dn−1 ) ≤ S(An : An−1 )✳ ❚❤❡s❡
❝❛❧❝✉❧❛t✐♦♥s ❤❛✈❡ ♦❜✈✐♦✉s r❡❧❡✈❛♥❝❡ ❢♦r t❤❡ ♣r♦❜❧❡♠ ♦❢ q✉❛♥t✉♠ r❡tr♦❞✐❝t✐♦♥ ❬✶✼✾❪✱ ❜✉t ✇❡
❞♦ ♥♦t ❤❡r❡ ❞❡r✐✈❡ ♦♣t✐♠❛❧ ♣r♦t♦❝♦❧s t♦ ❛❝❤✐❡✈❡ t❤✐s✳

❚❤❡♦r❡♠ ✺✳

❚❤❡ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥ t❤❛t t❤❡ ❧❛st ❞❡✈✐❝❡ ❤❛s ❛❜♦✉t t❤❡ ♣r❡✈✐♦✉s ❞❡✈✐❝❡ ✐s r❡❞✉❝❡❞

✇❤❡♥ t❤❛t ♠❡❛s✉r❡♠❡♥t ✐s ❛♠♣❧✐✜❡❞✳ ❚❤❛t ✐s✱
✭✼✳✾✼✮

S(Dn : Dn−1 ) ≤ S(An : An−1 ) .

Pr♦♦❢✳ ❋r♦♠ t❤❡ ✇❛✈❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ ✭✼✳✽✶✮✱ t❤❡ ❞❡♥s✐t② ♠❛tr✐① ❢♦r t❤❡ ❧❛st t✇♦ ❛♥❝✐❧❧❛❡ ✐♥ t❤❡
♠❡❛s✉r❡♠❡♥t ❝❤❛✐♥ ✐s

ρ(An−1 An ) =

(n−2)

(n−1)

(n−1)∗

qxn−2 Uxn−2 xn−1 U
xn−2 x

xn−2 xn−1
xn−1 xn

n−1

(n)

(n)∗
|x
x
xn−1 xn n−1 n

Uxn−1 xn U

xn−1 xn |.

✭✼✳✾✽✮
✶✼✾

❆♠♣❧✐✜❝❛t✐♦♥ r❡♠♦✈❡s t❤❡ ♦✛✲❞✐❛❣♦♥❛❧s ♦❢ ρ(An−1 An ) s♦ t❤❛t

ρ(Dn−1 Dn ) =

Pxn−1 ρ(An−1 An ) Pxn−1 ,

✭✼✳✾✾✮

xn−1

✇❤❡r❡ Pxn−1 = |xn−1 xn−1 | ❛r❡ ♣r♦❥❡❝t♦rs ♦♥ t❤❡ st❛t❡ ♦❢ An−1 ✳ ◆♦t❡ t❤❛t✱ ❢r♦♠ ✭✼✳✾✽✮✱ ✐t
✐s s✉✣❝✐❡♥t t♦ ❛♠♣❧✐❢② ❥✉st t❤❡ s❡❝♦♥❞✲t♦✲❧❛st ♠❡❛s✉r❡♠❡♥t ✇✐t❤ An−1 ✳ ❙✐♥❝❡ t❤❡ ♠❛r❣✐♥❛❧
❡♥tr♦♣✐❡s ❛r❡ ✉♥❝❤❛♥❣❡❞ ❜② t❤❡ ❛♠♣❧✐✜❝❛t✐♦♥ ✭▲❡♠♠❛ ✷✮✱ t❤❡ ❛♠♦✉♥t ♦❢ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥ ❜❡❢♦r❡
❛♠♣❧✐✜❝❛t✐♦♥✱ S(An : An−1 )✱ ❛♥❞ ❛❢t❡r✱ S(Dn : Dn−1 )✱ ✐s r❡❧❛t❡❞ ❜②

S(Dn : Dn−1 ) = S(An : An−1 ) + S(An−1 An ) − S(Dn−1 Dn ).

✭✼✳✶✵✵✮

■♥ ❛ s✐♠✐❧❛r ❢❛s❤✐♦♥ t♦ t❤❡ ❝❛❧❝✉❧❛t✐♦♥s ✐♥ ❚❤❡♦r❡♠ ✹✱ ✐t ✐s ❡✈✐❞❡♥t ❢r♦♠ ✭✼✳✾✾✮ t❤❛t t❤❡ ❥♦✐♥t
❡♥tr♦♣② ✐s ✐♥❝r❡❛s❡❞✱ S(Dn−1 Dn ) ≥ S(An−1 An )✳ ■t ❢♦❧❧♦✇s t❤❛t t❤❡ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥ t❤❛t t❤❡
❧❛st ❞❡✈✐❝❡ ❤❛s ❛❜♦✉t t❤❡ ❞❡✈✐❝❡ t❤❛t ♣r❡❝❡❞❡❞ ✐t ✐♥ t❤❡ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥t s❡q✉❡♥❝❡ ✐s r❡❞✉❝❡❞✿

S(Dn : Dn−1 ) ≤ S(An : An−1 ),

✭✼✳✶✵✶✮

✇✐t❤ ❡q✉❛❧✐t② ✐❢ ❛♥❞ ♦♥❧② ✐❢ ρ(An−1 An ) ✐s ❛❧r❡❛❞② ❞✐❛❣♦♥❛❧ ✐♥ t❤❡ ❛♥❝✐❧❧❛ ♣r♦❞✉❝t ❜❛s✐s✳
❯s✐♥❣ t❤❡ ❝❛s❡ ♦❢ q✉❜✐ts✱ ✇❡ ❝❛♥ s❤♦✇ ❤♦✇ ❛♠♣❧✐✜❝❛t✐♦♥ r❡❞✉❝❡s t❤❡ ❛♠♦✉♥t ♦❢ ✐♥❢♦r♠❛✲
t✐♦♥ ❛❜♦✉t ♣❛st ♠❡❛s✉r❡♠❡♥ts✳ ■♥ t❤✐s ❡①❛♠♣❧❡✱ s✉♣♣♦s❡ t❤❛t t❤❡ ❧❛st t✇♦ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥ts
✐♥ t❤❡ ❝❤❛✐♥ ❛r❡ ❡❛❝❤ ♠❛❞❡ ❛t t❤❡ r❡❧❛t✐✈❡ ❛♥❣❧❡ π/4✳ ❆s ❡①♣❡❝t❡❞✱ t❤❡ ❛♠♣❧✐✜❡❞ ❞❡♥s✐t②

⊗ 12 ✶Dn ✱ ✇❤❡r❡
♠❛tr✐① ✭✼✳✾✾✮ ❜❡❝♦♠❡s ✉♥❝♦rr❡❧❛t❡❞✱ ρ(Dn−1 Dn ) = 21 ✶D
n−1

✶ ✐s t❤❡ 2 × 2

✐❞❡♥t✐t② ♠❛tr✐①✱ ❛♥❞ t❤❡ s❤❛r❡❞ ❡♥tr♦♣② ✈❛♥✐s❤❡s S(Dn : Dn−1 ) = 0✳ ■♥ ♦t❤❡r ✇♦r❞s✱ t❤❡
❧❛st ❞❡✈✐❝❡ ❤❛s ♥♦ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥ ❛❜♦✉t t❤❡ ♦♥❡ ♣r❡❝❡❞✐♥❣ ✐t✳ ■♥ ❝♦♥tr❛st✱ ♣r✐♦r t♦ ❛♠♣❧✐✜❝❛t✐♦♥
t❤❡ ❞❡♥s✐t② ♠❛tr✐① ✭✼✳✾✽✮ ✐s ❝♦❤❡r❡♥t ✇✐t❤ ❥♦✐♥t ❡♥tr♦♣② S(An−1 An ) = 1 + Sn−2 ✳ ❚❤❡r❡❢♦r❡✱
t❤❡ ❝♦rr❡s♣♦♥❞✐♥❣ s❤❛r❡❞ ❡♥tr♦♣② ✐s ♥♦♥③❡r♦✱ S(An : An−1 ) = 1 − Sn−2 = 1 − H[q (n−2) ]✱
✶✽✵

r❡✈❡❛❧✐♥❣ t❤❛t ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥ ❛❜♦✉t t❤❡ ♣r❡✈✐♦✉s ♠❡❛s✉r❡♠❡♥t s✉r✈✐✈❡s t❤❡ s❡q✉❡♥t✐❛❧ π/4 ♠❡❛✲
s✉r❡♠❡♥ts ✭❛s ❧♦♥❣ ❛s An−1 ✐s ♥♦t ❛♠♣❧✐✜❡❞✮✳
❚❤❡ ❝❛❧❝✉❧❛t✐♦♥s ❞❡s❝r✐❜❡❞ ❛❜♦✈❡ ❝❛♥ ❜❡ ❡①t❡♥❞❡❞ t♦ ✐♥❝❧✉❞❡ t❤❡ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥ t❤❛t t❤❡
❧❛st ❞❡✈✐❝❡ ❤❛s ❛❜♦✉t ❛❧❧ ♣r❡✈✐♦✉s ❞❡✈✐❝❡s ✐♥ t❤❡ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥t ❝❤❛✐♥✳ ❲❡ ❝❧❛✐♠ ✐♥ ❚❤❡♦r❡♠ ✻
t❤❛t t❤❡ ❛♠♣❧✐✜❝❛t✐♦♥ ♣r♦❝❡ss r❡❞✉❝❡s t❤✐s ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥ ❜② ❛ s♣❡❝✐✜❝ ♠✐♥✐♠✉♠ ✭❝❛❧❝✉❧❛❜❧❡✮
❛♠♦✉♥t✳ ❚♦ ♣r♦✈❡ t❤✐s st❛t❡♠❡♥t✱ ✇❡ ♠❛❦❡ ✉s❡ ♦❢ ❚❤❡♦r❡♠ ✶✱ ✇❤❡r❡ ✇❡ s❤♦✇❡❞ t❤❛t t❤❡
❥♦✐♥t ❡♥tr♦♣② ♦❢ ❛❧❧ q✉❛♥t✉♠ ❛♥❝✐❧❧❛❡ t❤❛t ♠❡❛s✉r❡❞ ❛ ♣r❡♣❛r❡❞ q✉❛♥t✉♠ s②st❡♠ ✐s s✐♠♣❧②
❡q✉❛❧ t♦ t❤❡ ❡♥tr♦♣② ♦❢ ❧❛st ❛♥❝✐❧❧❛ ✐♥ t❤❡ ✉♥❛♠♣❧✐✜❡❞ ❝❤❛✐♥✳

❚❤❡♦r❡♠ ✻✳

❋♦r n ❝♦♥s❡❝✉t✐✈❡ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥ts ♦❢ ❛ q✉❛♥t✉♠ s②st❡♠✱ t❤❡ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥ t❤❛t

t❤❡ ❧❛st ❞❡✈✐❝❡ ❤❛s ❛❜♦✉t ❛❧❧ ♣r❡✈✐♦✉s ♠❡❛s✉r❡♠❡♥ts ✐s r❡❞✉❝❡❞ ❜② ❛♠♣❧✐✜❝❛t✐♦♥ ❜② ❛t ❧❡❛st ❛♥
❛♠♦✉♥t Σn ✿

S(Dn : Dn−1 . . . D1 ) ≤ S(An : An−1 . . . A1 ) − Σn ,

✭✼✳✶✵✷✮

✇❤❡r❡ Σn = S(An−1 |An ) ≥ 0 ✐s ❛ ♥♦♥✲♥❡❣❛t✐✈❡ ❝♦♥❞✐t✐♦♥❛❧ ❡♥tr♦♣② t❤❛t q✉❛♥t✐✜❡s t❤❡ ✉♥✲
❝❡rt❛✐♥t② ❛❜♦✉t t❤❡ ♣r✐♦r ♠❡❛s✉r❡♠❡♥t ❣✐✈❡♥ t❤❡ ❧❛st✳
Pr♦♦❢✳ ❲❡ ❜❡❣✐♥ ❜② r❡❝♦❣♥✐③✐♥❣ t❤❛t t❤❡ ❛♠♣❧✐✜❡❞ ♠✉t✉❛❧ ❡♥tr♦♣② S(Dn : Dn−1 . . . D1 )
❢♦r t❤❡ ❢✉❧❧ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥t ❝❤❛✐♥ ✐s ❡q✉❛❧ t♦ S(Dn : Dn−1 ) ❜② t❤❡ ▼❛r❦♦✈ ♣r♦♣❡rt② ✭s❡❡
❚❤❡♦r❡♠ ✸✮✳ ❚❤❡♥✱ ❜② ❚❤❡♦r❡♠ ✺✱ ✇❡ ❝❛♥ ♣❧❛❝❡ ❛♥ ✉♣♣❡r ❜♦✉♥❞ ♦♥ t❤❡ ❛♠♣❧✐✜❡❞ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥

S(Dn : Dn−1 . . . D1 ) = S(Dn : Dn−1 ) ≤ S(An : An−1 ),

✭✼✳✶✵✸✮

✇❤❡r❡ S(An : An−1 ) ✐s t❤❡ ♠✉t✉❛❧ ❡♥tr♦♣② ❜❡❢♦r❡ ❛♠♣❧✐❢②✐♥❣ t❤❡ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥t✳ ◆❡①t✱ ✇❡
✇✐❧❧ r❡❧❛t❡ S(An : An−1 ) t♦ S(An : An−1 . . . A1 )✳ ❋r♦♠ ❚❤❡♦r❡♠ ✶✱ t❤❡ ❧❛tt❡r q✉❛♥t✐t② ❝❛♥

✶✽✶

❜❡ ✇r✐tt❡♥ s✐♠♣❧② ❛s

S(An : An−1 . . . A1 ) = Sn−1 ,

✭✼✳✶✵✹✮

s♦ t❤❛t ✇✐t❤ t❤❡ ❞❡✜♥✐t✐♦♥ ♦❢ S(An : An−1 )✱ ✇❡ ❝♦♠❡ t♦

S(An : An−1 . . . A1 ) = S(An : An−1 ) + Σn ,

✭✼✳✶✵✺✮

✇❤❡r❡ Σn = S(An−1 |An ) r❡♣r❡s❡♥ts t❤❡ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥ ❣❛✐♥❡❞ ❜② ❝♦♥❞✐t✐♦♥✐♥❣ ♦♥ ❛❧❧ ♣r❡✈✐♦✉s
♠❡❛s✉r❡♠❡♥ts✳ ■♥s❡rt✐♥❣ ✭✼✳✶✵✺✮ ✐♥t♦ t❤❡ ✐♥❡q✉❛❧✐t② ✭✼✳✶✵✸✮✱ ✇❡ ❝♦♠❡ t♦

S(Dn : Dn−1 . . . D1 ) ≤ S(An : An−1 . . . A1 ) − Σn .

✭✼✳✶✵✻✮

❚❤❡ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥ ✐s r❡❞✉❝❡❞ ❛s ❧♦♥❣ ❛s Σn ≥ 0✳ ❚♦ s❤♦✇ t❤✐s✱ ✇❡ r❡❝❛❧❧ t❤❡ ❥♦✐♥t ❞❡♥s✐t②
♠❛tr✐① ✭✼✳✾✽✮ ❢♦r An−1 ❛♥❞ An ✳ ❚❤✐s st❛t❡ ❝❛♥ ❜❡ ✇r✐tt❡♥ ❛s ❛ ❝❧❛ss✐❝❛❧✲q✉❛♥t✉♠ st❛t❡
(n)

qxn ρxn ⊗ |xn xn |,

ρ(An−1 An ) =

✭✼✳✶✵✼✮

xn

✇❤❡r❡
(n)

qx n ρ x n =
xn−2

(n−2)

(n−2,n)

qxn−2 pxn−2 xn |φxn−2 xn φxn−2 xn |,

❛♥❞ t❤❡ ♥♦♥✲♦rt❤♦❣♦♥❛❧ st❛t❡s |φxn−2 xn

✭✼✳✶✵✽✮

✇❡r❡ ♣r❡✈✐♦✉s❧② ❞❡✜♥❡❞ ✐♥ ❊q✳ ✭✼✳✸✻✮✳ ■♥ t❤✐s

❜❧♦❝❦✲❞✐❛❣♦♥❛❧ ❢♦r♠✱ t❤❡ ❡♥tr♦♣② ✐s
(n)

S(An−1 An ) = Sn +

qxn S(ρxn ),
xn

✶✽✷

✭✼✳✶✵✾✮

s♦ t❤❛t t❤❡ q✉❛♥t✐t② ♦❢ ✐♥t❡r❡st✱ Σn ✱ ❝❛♥ ❜❡ ✇r✐tt❡♥ ❛s
(n)

Σn = S(An−1 |An ) =

qxn S(ρxn ) ≥ 0.

✭✼✳✶✶✵✮

xn
(n)
❚❤✐s q✉❛♥t✐t② ✐s ❝❧❡❛r❧② ♥♦♥✲♥❡❣❛t✐✈❡ s✐♥❝❡ ❜♦t❤ qxn ≥ 0 ❛♥❞ S(ρxn ) ≥ 0 ∀ xn ✳ ❚❤❡r❡❢♦r❡✱

✇✐t❤ Σn ≥ 0✱ ✇❡ ✜♥❞ t❤❛t t❤❡ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥ ✐s ✐♥❞❡❡❞ r❡❞✉❝❡❞ ❜② t❤❡ ❛♠♣❧✐✜❝❛t✐♦♥ ♣r♦❝❡ss✱
❛♥❞ ❜② ❛t ❧❡❛st ❛♥ ❛♠♦✉♥t ❡q✉❛❧ t♦ Σn ✳
❈♦♥t✐♥✉✐♥❣ ✇✐t❤ ♦✉r q✉❜✐t ❡①❛♠♣❧❡ t❤❛t ❢♦❧❧♦✇❡❞ ❚❤❡♦r❡♠ ✺✱ ✐❢ t❤❡ ❧❛st t✇♦ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥ts
✇❡r❡ ❡❛❝❤ ♠❛❞❡ ❛t t❤❡ r❡❧❛t✐✈❡ ❛♥❣❧❡ π/4✱ t❤❡ ❛♥❝✐❧❧❛ An ❤❛s ✶ ❜✐t ♦❢ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥ ❛❜♦✉t t❤❡
❥♦✐♥t st❛t❡ ♦❢ ❛❧❧ ♣r❡✈✐♦✉s ❛♥❝✐❧❧❛❡✳ ❚❤❛t ✐s✱ S(An : An−1 . . . A1 ) = 1 ❜✐t✱ ✇❤✐❧❡ t❤❡ ❛♠♣❧✐❢②✐♥❣
❞❡✈✐❝❡ Dn ❤❛s ♥♦ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥ ❛t ❛❧❧✱ S(Dn : Dn−1 . . . D1 ) = 0✳

❈♦r♦❧❧❛r② ✻✳✶✳

❆♠♣❧✐❢②✐♥❣ t❤❡ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥t ❝❤❛✐♥ ✐♥❝r❡❛s❡s t❤❡ ❡♥tr♦♣② ♦❢ t❤❡ ❧❛st ❞❡✈✐❝❡✱

✇❤❡♥ ❝♦♥❞✐t✐♦♥❡❞ ♦♥ ❛❧❧ ♣r❡✈✐♦✉s ❞❡✈✐❝❡s✱ ❜② ❛t ❧❡❛st ❛♥ ❛♠♦✉♥t Σn ✿

S(Dn |Dn−1 . . . D1 ) ≥ S(An |An−1 . . . A1 ) + Σn .

✭✼✳✶✶✶✮

Pr♦♦❢✳ ❇② ❞❡✜♥✐t✐♦♥✱ t❤❡ ♠✉t✉❛❧ ❡♥tr♦♣② ❛♥❞ ❝♦♥❞✐t✐♦♥❛❧ ❡♥tr♦♣② ❛r❡ r❡❧❛t❡❞ ❜②

S(Dn : Dn−1 . . . D1 ) = Sn − S(Dn |Dn−1 . . . D1 ),

✭✼✳✶✶✷✮

✇❤✐❝❤✱ ❢r♦♠ ❚❤❡♦r❡♠ ✻✱ ✐s ❜♦✉♥❞❡❞ ❢r♦♠ ❛❜♦✈❡ ❜② S(An : An−1 . . . A1 ) − Σn = Sn −

S(An |An−1 . . . A1 ) − Σn ✳ ❚❤❡r❡❢♦r❡✱
S(Dn |Dn−1 . . . D1 ) ≥ S(An |An−1 . . . A1 ) + Σn ,

❛♥❞ t❤❡ ✉♥❝❡rt❛✐♥t② ✐♥ t❤❡ ❧❛st ♠❡❛s✉r❡♠❡♥t ✐s ✐♥❝r❡❛s❡❞ ❜② ❛t ❧❡❛st ❛♥ ❛♠♦✉♥t Σn ✳

✶✽✸

✭✼✳✶✶✸✮

Q

Q

−Sn

0

2Sn −
Sn−1

S(Dn|Dn-1)

Sn−1

0

S(Dn :Dn-1)

−Sn−1

−Sn

S(D1...Dn)

0

Sn−1

An

0
−Sn

0

A1 · · · An−1

Dn

(a)

D1 · · · Dn−1
(b)

❋✐❣✉r❡ ✼✳✶✸✿ ❉✐❛❣r❛♠ ✭❛✮ ❜❡❢♦r❡ ❛♠♣❧✐✜❝❛t✐♦♥ ✇✐t❤ n ❛♥❝✐❧❧❛❡ t❤❛t ❝♦♥s❡❝✉t✐✈❡❧② ♠❡❛s✉r❡❞
❛ q✉❛♥t✉♠ s②st❡♠ Q✱ ❛♥❞ ✭❜✮ ❛❢t❡r ❛♠♣❧✐✜❝❛t✐♦♥✳ ❚❤❡ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥ S(Q : An ) ✐s r❡❞✉❝❡❞
t♦ S(Q : Dn )✱ ❛♥❞ S(An : An−1 . . . A1 ) t♦ S(Dn : Dn−1 . . . D1 )✳ ❚❤❡ ③❡r♦ t❡r♥❛r② ♠✉t✉❛❧
❡♥tr♦♣② ✐♥ ✭❛✮ ✐♥❞✐❝❛t❡s t❤❛t t❤❡ ✉♥❞❡r❧②✐♥❣ st❛t❡ ♦❢ QA1 . . . An ✐s ♣✉r❡✳
❚❤✐s s❡❝t✐♦♥ q✉❛♥t✐✜❡❞ ❛ ♥✉♠❜❡r ♦❢ ✉♥s✉r♣r✐s✐♥❣✱ ❜✉t ♥❡✈❡rt❤❡❧❡ss ✐♠♣♦rt❛♥t r❡s✉❧ts✿
❛♠♣❧✐❢②✐♥❣ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥ts r❡❞✉❝❡s ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥✱ ❛♥❞ ✐♥❝r❡❛s❡s ✉♥❝❡rt❛✐♥t② ❛❜♦✉t q✉❛♥t✉♠
st❛t❡s✳ ❚❤❡ ❦❡② q✉❛♥t✐t② t❤❛t ❝❤❛r❛❝t❡r✐③❡s t❤❡ ❞✐✛❡r❡♥❝❡ ❜❡t✇❡❡♥ ✉♥❛♠♣❧✐✜❡❞ ❛♥❞ ❛♠♣❧✐✜❡❞
❝❤❛✐♥s ✐s Σn ✱ ✇❤✐❝❤ q✉❛♥t✐✜❡s ❤♦✇ ♠✉❝❤ ✇❡ ❞♦ ♥♦t ❦♥♦✇ ❛❜♦✉t t❤❡ st❛t❡ ♣r❡♣❛r❛t✐♦♥✱ An−1 ✱
❣✐✈❡♥ t❤❡ st❛t❡ ❞❡t❡r♠✐♥❛t✐♦♥✱ An ✳ ❉❡♣❡♥❞✐♥❣ ♦♥ t❤❡ r❡❧❛t✐✈❡ st❛t❡ ❜❡t✇❡❡♥ An−1 ❛♥❞ An ✱
✇❡ ♠❛② ❦♥♦✇ ♥♦t❤✐♥❣ ✭Σn = 1✮✱ ♦r ❡✈❡r②t❤✐♥❣ ✭Σn = 0✮✳ ❲❡ s✉♠♠❛r✐③❡ t❤❡ r❡s✉❧ts ♣r❡s❡♥t❡❞
✐♥ t❤✐s s❡❝t✐♦♥ ✇✐t❤ t❤❡ ❡♥tr♦♣② ❱❡♥♥ ❞✐❛❣r❛♠s ✐♥ ❋✐❣✳ ✼✳✶✸✳

✼✳✺ ❆♣♣❧✐❝❛t✐♦♥s ♦❢ ❈♦♥s❡❝✉t✐✈❡ ◗✉❛♥t✉♠ ▼❡❛s✉r❡♠❡♥ts
❚❤❡ ❢♦r♠❛❧✐s♠ ❞❡✈❡❧♦♣❡❞ ✐♥ t❤✐s ❝❤❛♣t❡r ❝❛♥ ❜❡ ❞✐r❡❝t❧② ❛♣♣❧✐❡❞ t♦ s❡✈❡r❛❧ ✐♥t❡r❡st✐♥❣ s✐t✉❛✲
t✐♦♥s✳ ❍❡r❡✱ ✇❡ ❢♦❝✉s s♣❡❝✐✜❝❛❧❧② ♦♥ t❤❡ q✉❛♥t✉♠ ❩❡♥♦ ❡✛❡❝t ❛♥❞ q✉❛♥t✉♠ st❛t❡ ♣r❡♣❛r❛t✐♦♥✳

✶✽✹

✼✳✺✳✶ ◗✉❛♥t✉♠ ❩❡♥♦ ❛♥❞ ❆♥t✐✲❩❡♥♦ ❊✛❡❝ts
■♥ t❤❡ q✉❛♥t✉♠ ❩❡♥♦ ❡✛❡❝t ❬✶✾✷✱✷✵✺✱✷✵✻❪✱ ❛ q✉❛♥t✉♠ s②st❡♠ t❤❛t ✐s ♦❜s❡r✈❡❞ r❡♣❡❛t❡❞❧② ❛♥❞
s✉✣❝✐❡♥t❧② r❛♣✐❞❧② ✉s✐♥❣ ♣r♦❥❡❝t✐✈❡ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥ts ✇✐❧❧ ❜❡ ♣r♦t❡❝t❡❞ ❛❣❛✐♥st st❛t❡ tr❛♥s✐t✐♦♥s
❢r♦♠ ✐ts ✐♥✐t✐❛❧ st❛t❡✳ ■❢ ❛ s❡r✐❡s ♦❢ n ♠❡❛s✉r❡♠❡♥ts ❛r❡ ♠❛❞❡ ✐♥ ❛ t✐♠❡ T ✭s♦ t❤❛t t❤❡
♠❡❛s✉r❡♠❡♥ts ❛r❡ s♣❛❝❡❞ ✐♥ t✐♠❡ ❜② T /n✮✱ t❤❡♥ t❤❡ ♣r♦❜❛❜✐❧✐t② t❤❡ st❛t❡ ✇✐❧❧ s✉r✈✐✈❡ ❣♦❡s
t♦ ♦♥❡ ❛s n → ∞✳ ■♥ t❤✐s s❡❝t✐♦♥✱ ✇❡ ❞❡r✐✈❡ r❡s✉❧ts ❢♦r t❤❡ q✉❛♥t✉♠ ❩❡♥♦ ❛♥❞ ❛♥t✐✲❩❡♥♦
❡✛❡❝ts ✐♥ t❤❡ ❝♦♥t❡①t ♦❢ ✉♥✐t❛r② ❝♦♥s❡❝✉t✐✈❡ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥ts✳ ■♥st❡❛❞ ♦❢ t❤❡ st❛♥❞❛r❞ ❛♣♣r♦❛❝❤
✇❤❡r❡ ❛ t✐♠❡✲✈❛r②✐♥❣ q✉❛♥t✉♠ st❛t❡ ✐s ❝♦♥tr♦❧❧❡❞ ❜② q✉❛♥t✉♠ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥ts ♦❢ t❤❡ s❛♠❡
♦❜s❡r✈❛❜❧❡✱ ✇❡ st✉❞② ❛ st❛t✐❝ q✉❛♥t✉♠ st❛t❡ ❝♦♥s❡❝✉t✐✈❡❧② ♠❡❛s✉r❡❞ ❜② q✉❛♥t✉♠ ❞❡t❡❝t♦rs
✇❤❡r❡ t❤❡ ♠❡❛s✉r❡❞ ♦❜s❡r✈❛❜❧❡ ❝❤❛♥❣❡s ✐♥ t✐♠❡✳ ❆t t❤❡ ❡♥❞ ♦❢ t❤❡ ❝❛❧❝✉❧❛t✐♦♥✱ ✇❡ s❤♦✇ t❤❛t
t❤❡s❡ t✇♦ ♣❡rs♣❡❝t✐✈❡s ❛r❡ ❡q✉✐✈❛❧❡♥t✳
❲❡ st❛rt ✇✐t❤ ❛ t✇♦✲❧❡✈❡❧ q✉❛♥t✉♠ s②st❡♠ ✐♥ t❤❡ st❛t❡

|Q =

√

p |0 +

1 − p |1 ,

✭✼✳✶✶✹✮

✇✐t❤ ❛r❜✐tr❛r② p✱ ✇❤✐❝❤ ✐s ✇r✐tt❡♥ ✐♥ t❤❡ ❡✐❣❡♥❜❛s✐s ♦❢ t❤❡ ✜rst ♦❜s❡r✈❛❜❧❡ t♦ ❜❡ ♠❡❛s✉r❡❞
✇✐t❤ t❤❡ ❞❡✈✐❝❡ D1 ✳ ■t ✐s t❤❡♥ s✉❜s❡q✉❡♥t❧② ♠❡❛s✉r❡❞ ❜② D2 . . . Dn+1 ✱ ✇✐t❤ ❡❛❝❤ ♦❜s❡r✈❛❜❧❡✬s
❡✐❣❡♥❜❛s✐s ❛t ❛♥ ❛♥❣❧❡ π/(4n) r❡❧❛t✐✈❡ t♦ t❤❡ ♣r❡✈✐♦✉s ♦♥❡✱ ❝♦♠♣❧❡t✐♥❣ ❛ ❢✉❧❧ π/4 r♦t❛t✐♦♥
❛❢t❡r n ♦❜s❡r✈❛t✐♦♥s✳ ❚❤❡ ❞❡♥s✐t② ♠❛tr✐① ❢♦r t❤❡ ♣r❡♣❛r❛t✐♦♥ ✇✐t❤ D1 ✭❡q✉✐✈❛❧❡♥t❧② ❢♦r Q✮ ✐s

ρ(D1 ) = p|0 0| + (1 − p)|1 1|✱ ✇❤✐❝❤ ❤❛s ❛♥ ❡♥tr♦♣② S(D1 ) = −p log2 p − (1 − p) log2 (1 − p)✳
❚❤❡ ❞❡♥s✐t② ♠❛tr✐① ❢♦r t❤❡ s❡❝♦♥❞ ❞❡✈✐❝❡ ✐s

p |U0j |2 + (1 − p) |U1j |2 |j j| ,

ρ(D2 ) =
j

✇❤❡r❡ t❤❡ tr❛♥s❢♦r♠❛t✐♦♥ ❜❡t✇❡❡♥ t❤❡ t✇♦ ♦❜s❡r✈❛❜❧❡s✬ ❡✐❣❡♥❜❛s❡s ❝❛♥ ❜❡ ✇r✐tt❡♥

✶✽✺

✭✼✳✶✶✺✮

1.0
0.8
0.6

S(D3 )
S(D2 )
S(D1 )

0.4
0.2
0.0
0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

p
❋✐❣✉r❡ ✼✳✶✹✿ ❊♥tr♦♣✐❡s ❢♦r t✇♦ ❝♦♥s❡❝✉t✐✈❡ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥ts D2 ❛♥❞ D3 ✱ ❛❢t❡r t❤❡ ♣r❡♣❛r❛t✐♦♥
✇✐t❤ D1 ✱ ♦❢ t❤❡ q✉❛♥t✉♠ st❛t❡ ✭✼✳✶✶✹✮✳ ❚❤❡ ✈❛r✐❛❜❧❡ p ❝❤❛r❛❝t❡r✐③❡s t❤❡ ✐♥✐t✐❛❧ st❛t❡ ♦❢ Q✳
❚❤❡ ❡✐❣❡♥❜❛s✐s ♦❢ ❡❛❝❤ ♦❜s❡r✈❛❜❧❡ ✐s ❛t ❛♥ ❛♥❣❧❡ ♦❢ π/8 r❡❧❛t✐✈❡ t♦ t❤❡ ♣r❡✈✐♦✉s ♦♥❡ ✭n = 2✮✳

U=

π ) − sin( π )
cos( 4n
4n
π )
π )
sin( 4n
cos( 4n

.

✭✼✳✶✶✻✮

❚❤❡ ❡♥tr♦♣② ♦❢ t❤❡ s❡❝♦♥❞ ❞❡✈✐❝❡ ✐s S(D2 ) = −q (2) log2 q (2) − (1 − q (2) ) log2 (1 − q (2) ) ✇✐t❤

q (2) = 1/2 + (p − 1/2) cos

π
,
2n

✭✼✳✶✶✼✮

t❤❡ ♣r♦❜❛❜✐❧✐t② t♦ ♦❜s❡r✈❡ t❤❡ st❛t❡ |0 ❢♦r t❤❡ s❡❝♦♥❞ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥t✳ ❋✐❣✉r❡ ✼✳✶✹ s❤♦✇s t❤❡
❡♥tr♦♣✐❡s S(D1 )✱ S(D2 )✱ ❛♥❞ S(D3 ) ❢♦r ♠❡❛s✉r❡♠❡♥ts ✉s✐♥❣ D2 ❛♥❞ D3 ❛❢t❡r t❤❡ ♣r❡♣❛r❛t✐♦♥
✇✐t❤ ❞❡✈✐❝❡ D1 ✳
■♥ ❣❡♥❡r❛❧✱ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ t❤❡ ♣r❡♣❛r❛t✐♦♥✱ t❤❡ ♣r♦❜❛❜✐❧✐t② q (n+1) t♦ ♦❜s❡r✈❡ t❤❡ st❛t❡ |0 ❛❢t❡r

❛❧❧ n ♠❡❛s✉r❡♠❡♥ts ✐s

q (n+1) =

1
1
+ p−
2
2

cos n

π
→ p as n → ∞ .
2n

✭✼✳✶✶✽✮

❲❡ s❡❡ t❤❛t t❤❡ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥t ♣r♦❜❛❜✐❧✐t✐❡s ❛❢t❡r t❤❡ s❡q✉❡♥❝❡ ♦❢ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥ts ❛r❡ t❤❡ s❛♠❡
❛s t❤♦s❡ ♦❢ t❤❡ ✐♥✐t✐❛❧ q✉❛♥t✉♠ s②st❡♠ ❛♥❞ t❤❡ ❞❡♥s✐t② ♠❛tr✐① ♦❢ t❤❡ ❧❛st ❞❡✈✐❝❡ ✐s ❡q✉❛❧ t♦
t❤❛t ♦❢ t❤❡ ♣r❡♣❛r❛t✐♦♥ ✇✐t❤ D1 ✳ ❋♦r ♣♦❧❛r✐③❛t✐♦♥ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥ts✱ ❢♦r ❡①❛♠♣❧❡✱ t❤✐s r❡s✉❧ts ✐♥

✶✽✻

♣❡r❢❡❝t tr❛♥s♠✐ss✐♦♥ ♦❢ ❛♥ ✐♥✐t✐❛❧❧② ♣♦❧❛r✐③❡❞ ❜❡❛♠ ❡✈❡♥ t❤♦✉❣❤ t❤❡ n ♣♦❧❛r✐③❛t✐♦♥ r♦t❛t♦rs
✇♦✉❧❞ ❡✈❡♥t✉❛❧❧② r♦t❛t❡ t❤❡ ♣♦❧❛r✐③❛t✐♦♥ t♦ ❛♥ ♦rt❤♦❣♦♥❛❧ st❛t❡ ❬✷✵✼❪✳
■♥ t❤❡ ✉s✉❛❧ ❞❡s❝r✐♣t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ q✉❛♥t✉♠ ❩❡♥♦ ❡✛❡❝t✱ t❤❡ q✉❛♥t✉♠ st❛t❡ ❡✈♦❧✈❡s ✉♥✐t❛r✐❧② ✐♥
t✐♠❡ ❜❡t✇❡❡♥ ❛ s❡q✉❡♥❝❡ ♦❢ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥ts ♠❛❞❡ ✐♥ t❤❡ s❛♠❡ ❜❛s✐s✳ ❙✉♣♣♦s❡ t❤❛t ❛❢t❡r t❤❡ ✜rst
♠❡❛s✉r❡♠❡♥t ✉s✐♥❣ D1 ✱ t❤❡ q✉❛♥t✉♠ st❛t❡ ✐s r♦t❛t❡❞ t❤r♦✉❣❤ ❛♥ ❛♥❣❧❡ −π/(4n) ✭✉s✐♥❣✱ ❡✳❣✳✱
♣♦❧❛r✐③❛t✐♦♥ r♦t❛t♦rs ✐♥ ❛♥ ♦♣t✐❝s s❡tt✐♥❣ t♦ r♦t❛t❡ ❛ ♣❤♦t♦♥✬s ♣♦❧❛r✐③❛t✐♦♥ ❬✷✵✽❪✮ ❛❝❝♦r❞✐♥❣
t♦ ✭✼✳✶✶✻✮✳ ❆♣♣❧②✐♥❣ s✉❝❤ ❛ tr❛♥s❢♦r♠❛t✐♦♥ t♦ t❤❡ q✉❛♥t✉♠ st❛t❡✱ U (−π/4n) ⊗ ✶ |QD1 ✱ ❛♥❞
t❤❡♥ ♠❡❛s✉r✐♥❣ ❛ s❡❝♦♥❞ t✐♠❡ ✉s✐♥❣ D2 ✐♥ t❤❡ s❛♠❡ ❜❛s✐s ❛s t❤❡ ✜rst ♠❡❛s✉r❡♠❡♥t ②✐❡❧❞s
❛ ❞❡♥s✐t② ♠❛tr✐① ❢♦r D2 ✭❛♥❞ Q✮ ✇✐t❤ ♣r♦❜❛❜✐❧✐t✐❡s ✐❞❡♥t✐❝❛❧ t♦ ✭✼✳✶✶✼✮✳ ❚❤❡r❡❢♦r❡✱ ❜♦t❤
❞❡s❝r✐♣t✐♦♥s ❛r❡ ❡q✉✐✈❛❧❡♥t s✐♥❝❡ t❤❡ r❡❧❛t✐✈❡ ❛♥❣❧❡s ❜❡t✇❡❡♥ t❤❡ st❛t❡s ❛r❡ t❤❡ s❛♠❡ ✐♥ ❡❛❝❤
❝❛s❡✳
❚❤❡ ❛♥t✐✲❩❡♥♦ ❡✛❡❝t ✐s ♦❢t❡♥ ❞❡s❝r✐❜❡❞ ❛s t❤❡ ❝♦♠♣❧❡t❡ ❞❡str✉❝t✐♦♥ ♦❢ ❛ q✉❛♥t✉♠ st❛t❡
❞✉❡ t♦ ✐♥❝♦❤❡r❡♥t ❝♦♥s❡❝✉t✐✈❡ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥ts ❬✷✵✾✕✷✶✶❪✳ ■♥ t❤❡ ♣r❡s❡♥t ❧❛♥❣✉❛❣❡✱ t❤✐s ❝♦rr❡✲
s♣♦♥❞s t♦ t❤❡ r❛♥❞♦♠✐③❛t✐♦♥ ♦❢ ❛ ❣✐✈❡♥ ✭♣r❡♣❛r❡❞✮ q✉❛♥t✉♠ st❛t❡ ❛❢t❡r ❝♦♥s❡❝✉t✐✈❡ ♠❡❛s✉r❡✲
♠❡♥ts ❛t r❛♥❞♦♠ ❛♥❣❧❡s ✇✐t❤ r❡s♣❡❝t t♦ t❤❡ ✐♥✐t✐❛❧ st❛t❡✳ ❲❡ ❜❡❣✐♥ ❛❣❛✐♥ ✇✐t❤ t❤❡ ♣r❡♣❛r❡❞
st❛t❡ ✭✼✳✶✶✹✮✱ ❜✉t ♥♦✇ ♦❜s❡r✈❡ ✐t ❝♦♥s❡❝✉t✐✈❡❧② ✉s✐♥❣ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥t ❞❡✈✐❝❡s Dk ❛♥❞ r❡❧❛t✐✈❡
❛♥❣❧❡s θk ❞r❛✇♥ ❢r♦♠ ❛ ✉♥✐❢♦r♠ ❞✐str✐❜✉t✐♦♥ ♦♥ t❤❡ ✐♥t❡r✈❛❧ [0, π/4]✳ ❚❤❡ ♣r♦❜❛❜✐❧✐t② t♦
♦❜s❡r✈❡ t❤❡ st❛t❡ |0 ❛❢t❡r ❛❧❧ n ♠❡❛s✉r❡♠❡♥ts ✇✐t❤ r❛♥❞♦♠ ❛♥❣❧❡s ✐s ♥♦✇

q (n+1) =

1
1
+ p−
2
2

Πn
k=1 cos(2θk ) .

✭✼✳✶✶✾✮

■♥ ♦r❞❡r t♦ ♦❜t❛✐♥ t❤❡ ♠♦st ❧✐❦❡❧② st❛t❡ ♣r♦❜❛❜✐❧✐t② ✇❡ ❝❛❧❝✉❧❛t❡ t❤❡ ❡①♣❡❝t❛t✐♦♥ ✈❛❧✉❡✱

n
E Πn
k=1 cos(2θk ) = Πk=1 E [cos(2θk )] =

✶✽✼

2 n
,
π

✭✼✳✶✷✵✮

s♦ t❤❛t E q (n+1) → 1/2 ❛s n → ∞✳ ❚❤✉s✱ ❛♥② q✉❛♥t✉♠ st❛t❡ ✐s r❛♥❞♦♠✐③❡❞ ✈✐❛ ❝♦♥s❡❝✉t✐✈❡
q✉❛♥t✉♠ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥ts ✐♥ r❛♥❞♦♠ ❜❛s❡s✳ ❆ s✐♠✐❧❛r r❡s✉❧t ✇❛s ❞❡r✐✈❡❞ ❢♦r t❤❡ ❞❡♣❤❛s✐♥❣ ♦❢
♣❤♦t♦♥ ♣♦❧❛r✐③❛t✐♦♥ ✐♥ ❘❡❢✳ ❬✷✵✼❪✳

✼✳✺✳✷ Pr❡♣❛r✐♥❣ ◗✉❛♥t✉♠ ❙t❛t❡s
❋♦r ♦✉r ✜♥❛❧ ❛♣♣❧✐❝❛t✐♦♥✱ ✇❡ ❞✐s❝✉ss ❤♦✇ t♦ ♣r❡♣❛r❡ q✉❛♥t✉♠ st❛t❡s ❜② ❝♦♥s✐❞❡r✐♥❣ ❝♦♥s❡❝✉✲
t✐✈❡ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥ts ♦♥ ✉♥♣r❡♣❛r❡❞ q✉❛♥t✉♠ st❛t❡s✳ ❙✉♣♣♦s❡ ❛ q✉❛♥t✉♠ s②st❡♠ ✐s ♣r❡♣❛r❡❞
✐♥ t❤❡ ❦♥♦✇♥ st❛t❡
d−1

px |x x| ,

ρ(Q) =

✭✼✳✶✷✶✮

x=0

✇❤✐❝❤ ✇❡ ❛❧r❡❛❞② ✇r♦t❡ ✐♥ t❤❡ ❡✐❣❡♥❜❛s✐s ♦❢ t❤❡ ✜rst ♦❜s❡r✈❛❜❧❡ t♦ ❜❡ ♠❡❛s✉r❡❞ ❛❢t❡r t❤❡
♣r❡♣❛r❛t✐♦♥✳ ❲❡ ❝❛♥ ❛❧✇❛②s ♣r❡♣❛r❡ ❛ st❛t❡ ❧✐❦❡ ✭✼✳✶✷✶✮ ❜② ♠❡❛s✉r✐♥❣ ❛♥ ✉♥♣r❡♣❛r❡❞ q✉❛♥✲
t✉♠ st❛t❡ ✭✺✳✼✾✮✱ ✇✐t❤ t❤❡ ♣❛✐r A1 D1 ✐♥ ❛ ❣✐✈❡♥✱ ❜✉t ❛r❜✐tr❛r② ❜❛s✐s✳

❚❤❡♥✱ ❛ s❡❝♦♥❞

♠❡❛s✉r❡♠❡♥t ✇✐t❤ A2 D2 ♦❢ ❛♥ ♦❜s❡r✈❛❜❧❡ ❛t ❛ r❡❧❛t✐✈❡ ❛♥❣❧❡ θ2 ❣✐✈❡s r✐s❡ t♦ t❤❡ st❛t❡

1
(2)
Ux1 x2 |x2 x1 x1 x1 x2 x2 .
|QRA1 D1 A2 D2 = √
dx x
1 2

✭✼✳✶✷✷✮

❋r♦♠ t❤✐s ✇❡ ❝❛♥ ❝♦♠♣✉t❡ t❤❡ ♦♣❡r❛t♦r ❬✺✾❪ ❞❡s❝r✐❜✐♥❣ t❤❡ st❛t❡ ♦❢ t❤❡ q✉❛♥t✉♠ s②st❡♠✱
❝♦♥❞✐t✐♦♥❛❧ ♦♥ t❤❡ st❛t❡ ♦❢ t❤❡ ✜rst ❞❡✈✐❝❡✱ D1 ✱

ρ(Q|D1 ) = ρ(QD1 ) ρ(D1 )−1 ⊗ ✶Q
x

ρQ1 ⊗ |x1 x1 | ,

=

✭✼✳✶✷✸✮

x1
x
✇❤❡r❡ ρ(D1 )−1 ✐s t❤❡ ✐♥✈❡rs❡ ♦❢ t❤❡ ❞❡♥s✐t② ♠❛tr✐①✳ ❚❤❡ ❞❡♥s✐t② ♠❛tr✐① ρQ1 ✐s t❤❡ ♣r❡♣❛r❡❞

st❛t❡ ✭✼✳✶✷✶✮ ♦❢ t❤❡ q✉❛♥t✉♠ s②st❡♠✱ ❣✐✈❡♥ t❤❛t t❤❡ ♦✉t❝♦♠❡ x1 ✇❛s ♦❜s❡r✈❡❞ ✐♥ t❤❡ ✜rst
✶✽✽

♠❡❛s✉r❡♠❡♥t✱
†

x
ρQ1

=

TrD1 Px1 ρ(QD1 )Px1
†
TrQD1 Px1 ρ(QD1 )Px1

(2)

=
x2

|Ux1 x2 |2 |x2 x2 |.

✭✼✳✶✷✹✮

❍❡r❡✱ Px1 = |x1 x1 | ❛r❡ ♣r♦❥❡❝t♦rs ♦♥ t❤❡ st❛t❡ ♦❢ D1 ✳ ■❢ ✇❡ ❝❤♦♦s❡ ❢♦r t❤❡ q✉❛♥t✉♠ st❛t❡
(2)
♣r❡♣❛r❛t✐♦♥ t❤❡ ♦✉t❝♦♠❡ x1 = 0✱ ❢♦r ❡①❛♠♣❧❡✱ t❤❡♥ px2 = |U0x |2 ♣r♦✈✐❞❡s t❤❡ ♣r♦❜❛❜✐❧✐t②
2

❞✐str✐❜✉t✐♦♥ ❢♦r t❤❡ q✉❛♥t✉♠ s②st❡♠✱ ❛♥❞ ✇❡ ❛rr✐✈❡ ❛t t❤❡ ❞❡s✐r❡❞ ♣r❡♣❛r❡❞ st❛t❡ ✭✼✳✶✷✶✮
❢r♦♠ ✭✼✳✶✷✹✮✳
❚❤❡ ♣✉r✐✜❝❛t✐♦♥ ♦❢ ✭✼✳✶✷✶✮ ✐♥ t❡r♠s ♦❢ t❤❡ ♦rt❤♦❣♦♥❛❧ st❛t❡s ♦❢ ❛♥❝✐❧❧❛ A2 ✐s

px2 |x2 |x2 ,

|QA2 =

✭✼✳✶✷✺✮

x2

✇❤✐❝❤ ✐s ❛♥ ❡♥t❛♥❣❧❡❞ st❛t❡ ✇✐t❤ t❤❡ ♠❛r❣✐♥❛❧ ❡♥tr♦♣✐❡s S(Q) = S(A2 ) = H[p]✳ ■❢ ✇❡ r❡♥❛♠❡

A2 t♦ A1 ✱ t❤❡♥ ❡①♣r❡ss✐♦♥ ✭✼✳✶✷✺✮ ✐s ❡q✉✐✈❛❧❡♥t t♦ ✭✺✳✼✺✮✳ ❊q✉✐♣♣❡❞ ✇✐t❤ t❤✐s st❛t❡ ♣r❡♣❛r❛✲
t✐♦♥✱ ✇❡ ❝❛♥ ♥♦✇ ♠❛❦❡ t❤❡ ✉s✉❛❧ ❝♦♥s❡❝✉t✐✈❡ ✭❛♠♣❧✐✜❡❞ ♦r ✉♥❛♠♣❧✐✜❡❞✮ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥ts ♦❢ Q
✇✐t❤ A2 D2 , A3 D3 , ❡t❝✳

✼✳✻ ❈♦♥❝❧✉s✐♦♥s
❈♦♥✈❡♥t✐♦♥❛❧ ✇✐s❞♦♠ ✐♥ q✉❛♥t✉♠ ♠❡❝❤❛♥✐❝s ❞✐❝t❛t❡s t❤❛t t❤❡ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥t ♣r♦❝❡ss ✏❝♦❧✲
❧❛♣s❡s✑ t❤❡ st❛t❡ ♦❢ ❛ q✉❛♥t✉♠ s②st❡♠ s♦ t❤❛t t❤❡ ♣r♦❜❛❜✐❧✐t② t❤❛t ❛ ♣❛rt✐❝✉❧❛r ❞❡t❡❝t♦r ✜r❡s
❞❡♣❡♥❞s ♦♥❧② ♦♥ t❤❡ st❛t❡ ♣r❡♣❛r❛t✐♦♥ ❛♥❞ t❤❡ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥t ❝❤♦s❡♥✳ ❚❤✐s ❛ss❡rt✐♦♥ ❝❛♥ ❜❡
t❡st❡❞ ❜② ❝♦♥s✐❞❡r✐♥❣ s❡q✉❡♥❝❡s ♦❢ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥ts ♦❢ t❤❡ s❛♠❡ q✉❛♥t✉♠ s②st❡♠✳ ■❢ ❛ ✏♠❡♠♦r②✑
♦❢ t❤❡ ✜rst ♠❡❛s✉r❡♠❡♥t ✭t❤❡ st❛t❡ ♣r❡♣❛r❛t✐♦♥✮ ♣❡rs✐sts ❜❡②♦♥❞ t❤❡ s❡❝♦♥❞ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥t✱
t❤❡♥ ❛ r❡❞✉❝t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ✇❛✈❡ ♣❛❝❦❡t ❝❛♥ ❜❡ r✉❧❡❞ ♦✉t✳ ❲❡ ❞✐s❝✉ss❡❞ t✇♦ ❝❧❛ss❡s ♦❢ q✉❛♥t✉♠

✶✽✾

♠❡❛s✉r❡♠❡♥t✿ t❤♦s❡ ♣❡r❢♦r♠❡❞ ✇✐t❤✐♥ ❛ ❝❧♦s❡❞ s②st❡♠ ✇❤❡r❡ ❡✈❡r② ♣❛rt ♦❢ ❛ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥t
❞❡✈✐❝❡ ✐s ✉♥❞❡r ❝♦♥tr♦❧ ✭✉♥❛♠♣❧✐✜❡❞ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥ts✮✱ ❛♥❞ t❤♦s❡ ♣❡r❢♦r♠❡❞ ✇✐t❤✐♥ ❛♥ ♦♣❡♥
s②st❡♠✱ ✇❤❡r❡ ♣❛rt ♦❢ t❤❡ ♣♦✐♥t❡r ✈❛r✐❛❜❧❡ ✐s ✐❣♥♦r❡❞ ✭❛♠♣❧✐✜❡❞ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥ts✮✳ ❲❡ ❢♦✉♥❞
t❤❛t s❡q✉❡♥❝❡s ♦❢ q✉❛♥t✉♠ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥ts ✐♥ ❝❧♦s❡❞ s②st❡♠s ❛r❡ ♥♦♥✲▼❛r❦♦✈✐❛♥ ✭r❡t❛✐♥✐♥❣
t❤❡ ♠❡♠♦r② ♦❢ ♣❛st ♠❡❛s✉r❡♠❡♥ts✮ ✇❤✐❧❡ s❡q✉❡♥❝❡s ♦❢ ♦♣❡♥✲s②st❡♠ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥ts ♦❜❡② t❤❡
▼❛r❦♦✈ ♣r♦♣❡rt②✳ ■♥ t❤❡ ❧❛tt❡r ❝❛s❡✱ t❤❡ ♣r♦❜❛❜✐❧✐t② ❞✐str✐❜✉t✐♦♥ ♦❢ ❢✉t✉r❡ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥t r❡✲
s✉❧ts ♦♥❧② ❞❡♣❡♥❞s ♦♥ t❤❡ st❛t❡ ♣r❡♣❛r❛t✐♦♥ ❛♥❞ t❤❡ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥t ❝❤♦s❡♥✳ ■t ✐s ❝❧❡❛r ❢r♦♠
♦✉r ❝♦♥str✉❝t✐♦♥ t❤❛t t❤❡ ▼❛r❦♦✈✐❛♥ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥ts ❛r❡ ❛ s♣❡❝✐❛❧ ❝❛s❡ ♦❢ t❤❡ ♥♦♥✲▼❛r❦♦✈✐❛♥
♦♥❡s✱ ❛♥❞ t❤❛t t❤❡ ❧♦ss ♦❢ ♠❡♠♦r② ✐s ♥♦t ❛ ❢✉♥❞❛♠❡♥t❛❧ ♣r♦♣❡rt② ♦❢ q✉❛♥t✉♠ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥ts✱
❜✉t ✐s ♠❡r❡❧② ❛ ❝♦♥s❡q✉❡♥❝❡ ♦❢ t❤❡ ❧♦ss ♦❢ q✉❛♥t✉♠ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥ ✇❤❡♥ tr❛❝✐♥❣ ♦✈❡r ❞❡❣r❡❡s
♦❢ ❢r❡❡❞♦♠ t❤❛t ♣❛rt✐❝✐♣❛t❡❞ ✐♥ t❤❡ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥t✳ ❲❡ q✉❛♥t✐✜❡❞ t❤✐s ❧♦ss ❜② ❝❛❧❝✉❧❛t✐♥❣
t❤❡ ❛♠♦✉♥t ♦❢ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥ ❧♦st ✇❤❡♥ ♦❜s❡r✈✐♥❣ ❝♦❤❡r❡♥t q✉❛♥t✉♠ ❛♥❝✐❧❧❛❡ ✉s✐♥❣ ✐♥❝♦❤❡r❡♥t
❞❡✈✐❝❡s✳
❲❡ ❤❛✈❡ ❢♦✉♥❞ t❤❛t t❤❡ ❡♥tr♦♣② ♦❢ ❝♦❤❡r❡♥t ❝❤❛✐♥s ♦❢ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥ts ✐s ❡♥t✐r❡❧② ❞❡t❡r♠✐♥❡❞
❜② t❤❡ ❡♥tr♦♣② ❛t t❤❡ ❜♦✉♥❞❛r② ♦❢ t❤❡ ❝❤❛✐♥✱ ♥❛♠❡❧② t❤❡ ❡♥tr♦♣② ♦❢ t❤❡ st❛t❡ ♣r❡♣❛r❛t✐♦♥
✭t❤❡ ✜rst ♠❡❛s✉r❡♠❡♥t ✐♥ t❤❡ ❝❤❛✐♥✮ ❛♥❞ t❤❡ ❧❛st ♠❡❛s✉r❡♠❡♥t✳ ✭■❢ t❤❡ ❝❤❛✐♥ ✐s st❛rt❡❞ ♦♥
❛ ❦♥♦✇♥ st❛t❡✱ t❤❡♥ t❤❡ ❡♥tr♦♣② ♦❢ t❤❡ ❝❤❛✐♥ ✐s ❝♦♥t❛✐♥❡❞ ✐♥ t❤❡ ❧❛st ♠❡❛s✉r❡♠❡♥t ♦♥❧②✮✳
❚❤✐s ♣r♦♣❡rt② ✐s ❛ ❞✐r❡❝t ❝♦♥s❡q✉❡♥❝❡ ♦❢ t❤❡ ✉♥✐t❛r✐t② ♦❢ q✉❛♥t✉♠ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥ts✱ ❛♥❞ s✐❣♥✐✲
✜❡s t❤❛t ❛♥② q✉❛♥t✉♠ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥t ♦✉t❝♦♠❡ ✐s ❝♦♥str❛✐♥❡❞ ❜② ✐ts ✐♠♠❡❞✐❛t❡ ♣❛st ❛♥❞ ✐ts
✐♠♠❡❞✐❛t❡ ❢✉t✉r❡✳ ■t ❤❛s ♥♦t ❡s❝❛♣❡❞ ♦✉r ❛tt❡♥t✐♦♥ t❤❛t t❤✐s ♣r♦♣❡rt② ♦❢ q✉❛♥t✉♠ ❝❤❛✐♥s ✐s
r❡♠✐♥✐s❝❡♥t ♦❢ t❤❡ ❤♦❧♦❣r❛♣❤✐❝ ♣r✐♥❝✐♣❧❡✱ ✇❤✐❝❤ ♣♦s✐ts t❤❛t t❤❡ ❞❡s❝r✐♣t✐♦♥ ♦❢ ❛ s②st❡♠ ❝❛♥ ❜❡
❡♥❝♦❞❡❞ ❡♥t✐r❡❧② ♦♥ ✐ts ❜♦✉♥❞❛r② ❛❧♦♥❡✳ ❇❡❝❛✉s❡ t❤❡ ❤♦❧♦❣r❛♣❤✐❝ ♣r✐♥❝✐♣❧❡ ✐s ♦❢t❡♥ t❤♦✉❣❤t
t♦ ❤❛✈❡ ✐ts ♦r✐❣✐♥ ✐♥ ❛♥ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥✲t❤❡♦r❡t✐❝ ❞❡s❝r✐♣t✐♦♥ ♦❢ s♣❛❝❡✲t✐♠❡ ❬✷✶✷❪✱ ✐t ✐s ♣❡r❤❛♣s
♥♦t s✉r♣r✐s✐♥❣ t❤❛t ❛♥ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥✲t❤❡♦r❡t✐❝ ❛♥❛❧②s✐s ♦❢ ❝❤❛✐♥s ♦❢ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥ts ✇♦✉❧❞ ②✐❡❧❞
✶✾✵

♣r❡❝✐s❡❧② s✉❝❤ ❛♥ ♦✉t❝♦♠❡✳ ■♥ ♣❛rt✐❝✉❧❛r✱ ✐t ✐s ♣❡r❤❛♣s ♥♦t t♦♦ ❤❛r❞ t♦ ✐♠❛❣✐♥❡ t❤❛t t❤❡
♣❛st✲❢✉t✉r❡ r❡❧❛t✐♦♥s❤✐♣ t❤❛t ❝♦♥s❡❝✉t✐✈❡ q✉❛♥t✉♠ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥ts ❡♥t❛✐❧ ❝r❡❛t❡ ♣r❡❝✐s❡❧② t❤❡
♣❛rt✐❛❧ ♦r❞❡r r❡q✉✐r❡❞ ❢♦r t❤❡ ✏❝❛✉s❛❧ s❡ts✑ ♣r♦❣r❛♠ ❢♦r q✉❛♥t✉♠ ❣r❛✈✐t② ❬✷✶✸❪✳ ❖❢ ❝♦✉rs❡✱ t♦
r❡❝♦✈❡r s♣❛❝❡✲t✐♠❡ ❢r♦♠ s❡ts ♦❢ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥ts ✇❡ ✇♦✉❧❞ ♥❡❡❞ t♦ ❝♦♥s✐❞❡r ♥♦t ❥✉st s❡q✉❡♥t✐❛❧
♠❡❛s✉r❡♠❡♥ts ♦♥ t❤❡ s❛♠❡ s②st❡♠✱ ❜✉t ♠✉❧t✐♣❧❡ ♣❛r❛❧❧❡❧ ❝❤❛✐♥s t❤❛t ❛r❡ ❡♥t❛♥❣❧❡❞ ✇✐t❤ ❡❛❝❤
♦t❤❡r✱ ❝r❡❛t✐♥❣ ❛ ♥❡t✇♦r❦ r❛t❤❡r t❤❛♥ ❛ ❝❤❛✐♥ ✭✇❡ ❤❛✈❡ ❛❧r❡❛❞② s❤♦✇♥ ✐♥ ❈❤✳ ✻ t❤❛t t❤❡
✉♥✐t❛r② ❢♦r♠❛❧✐s♠ ❞❡♣❧♦②❡❞ ❤❡r❡ ❝❛♥ ❜❡ ❡①t❡♥❞❡❞ t♦ ♣❛r❛❧❧❡❧ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥ts ✇❤❡♥ ❞✐s❝✉ss✐♥❣
t❤❡ ❇❡❧❧✲st❛t❡ q✉❛♥t✉♠ ❡r❛s❡r ❬✶✹✶❪✮✳ ■♥ t❤❛t r❡s♣❡❝t✱ t❤❡ ♥❡t✇♦r❦ ♦❢ q✉❛♥t✉♠ ♠❡❛s✉r❡✲
♠❡♥ts ✐s ♠♦r❡ ❛❦✐♥ t♦ ✈❛♥ ❘❛❛♠s❞♦♥❦✬s ❬✷✶✹❪ t❡♥s♦r ♥❡t✇♦r❦s✱ ❝r❡❛t❡❞ ✉s✐♥❣ ❡♥t❛♥❣❧✐♥❣ ❛♥❞
❞✐s❡♥t❛♥❣❧✐♥❣ ♦♣❡r❛t✐♦♥s ✭s❡❡ ❛❧s♦ ❬✷✶✺❪✮✳ ■♥❝✐❞❡♥t❛❧❧②✱ t❤❡ ♣r❡s❡♥t ❢♦r♠❛❧✐s♠ ✐♠♣❧✐❡s t❤❡ ❡①✲
✐st❡♥❝❡ ♦❢ ❛ ❞✐s❡♥t❛♥❣❧✐♥❣ ♦♣❡r❛t✐♦♥ ❢♦r ❝♦♥s❡❝✉t✐✈❡ q✉❛♥t✉♠ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥ts t❤❛t ❝❛♥ s❡r✈❡
❛s ❛ ♣r✐♠✐t✐✈❡ ❢♦r ❣❡♥❡r❛t✐♥❣ r❡♠♦t❡ q✉❛♥t✉♠ ❡♥t❛♥❣❧❡♠❡♥t ❬✶✽✸❪ ✭s❡❡ ❈❤✳ ✽✮✳
❯s✐♥❣ ❛ q✉❛♥t✉♠✲✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥✲t❤❡♦r❡t✐❝ ❛♣♣r♦❛❝❤✱ ✇❡ ❤❛✈❡ ❛r❣✉❡❞ t❤❛t ❛ ❝♦❧❧❛♣s❡ ♣✐❝t✉r❡
♠❛❦❡s ♣r❡❞✐❝t✐♦♥s t❤❛t ❞✐✛❡r ❢r♦♠ t❤♦s❡ ♦❢ t❤❡ ✉♥✐t❛r② ✭r❡❧❛t✐✈❡ st❛t❡✮ ❛♣♣r♦❛❝❤ ✐❢ ♠✉❧t✐♣❧❡
❝♦♥s❡❝✉t✐✈❡ ♥♦♥✲▼❛r❦♦✈✐❛♥ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥ts ❛r❡ ❝♦♥s✐❞❡r❡❞✳ ❙❤♦✉❧❞ ❢✉t✉r❡ ❡①♣❡r✐♠❡♥ts ❝♦r✲
r♦❜♦r❛t❡ t❤❡ ♠❛♥✐❢❡st❧② ✉♥✐t❛r② ❢♦r♠✉❧❛t✐♦♥ ✇❡ ❤❛✈❡ ♦✉t❧✐♥❡❞✱ s✉❝❤ r❡s✉❧ts ✇♦✉❧❞ ❢✉rt❤❡r
s✉♣♣♦rt t❤❡ ♥♦t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ r❡❛❧✐t② ♦❢ t❤❡ q✉❛♥t✉♠ st❛t❡ ❬✷✶✻❪ ❛♥❞ t❤❛t t❤❡ ✇❛✈❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ ✐s
♥♦t ♠❡r❡❧② ❛ ❜♦♦❦❦❡❡♣✐♥❣ ❞❡✈✐❝❡ t❤❛t s✉♠♠❛r✐③❡s ❛♥ ♦❜s❡r✈❡r✬s ❦♥♦✇❧❡❞❣❡ ❛❜♦✉t t❤❡ s②s✲
t❡♠ ❬✶✾✺✱ ✶✾✻❪✳ ❲❡ ❤♦♣❡ t❤❛t ♠♦✈✐♥❣ ❞✐s❝✉ss✐♦♥s ❛❜♦✉t t❤❡ ♥❛t✉r❡ ♦❢ q✉❛♥t✉♠ r❡❛❧✐t② ❢r♦♠
♣❤✐❧♦s♦♣❤② ✐♥t♦ t❤❡ ❡♠♣✐r✐❝❛❧ r❡❛❧♠ ✇✐❧❧ ✉❧t✐♠❛t❡❧② ❧❡❛❞ t♦ ❛ ♠♦r❡ ❝♦♠♣❧❡t❡ ✭❛♥❞ s❛t✐s❢②✐♥❣✮
✉♥❞❡rst❛♥❞✐♥❣ ♦❢ q✉❛♥t✉♠ ♣❤②s✐❝s✳

✶✾✶

❈❤❛♣t❡r ✽
◗✉❛♥t✉♠ ❉✐s❡♥t❛♥❣❧✐♥❣ ❖♣❡r❛t✐♦♥s
✽✳✶ ■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥
❖♥❡ ♦❢ t❤❡ ❢✉♥❞❛♠❡♥t❛❧ r❡s✉❧ts ♦❢ t❤❡ ❝♦♥s❡❝✉t✐✈❡ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥t s❝❤❡♠❡ ❞✐s❝✉ss❡❞ ✐♥ ❈❤✳ ✼
✐s t❤❛t t❤❡ ❝❤❛✐♥ ♦❢ q✉❛♥t✉♠ ❛♥❝✐❧❧❛❡ ✐s ❝♦❤❡r❡♥t ❛s ❧♦♥❣ ❛s ✐t r❡♠❛✐♥s ✉♥❛♠♣❧✐✜❡❞✳ ❚❤❛t
✐s✱ t❤❡ ❥♦✐♥t ❞❡♥s✐t② ♠❛tr✐❝❡s ❢♦r t❤❡ ✉♥❛♠♣❧✐✜❡❞ q✉❛♥t✉♠ ❛♥❝✐❧❧❛❡ ❛r❡ ♥♦♥✲❞✐❛❣♦♥❛❧ ✐♥ t❤❡
❛♥❝✐❧❧❛ ♣r♦❞✉❝t ❜❛s✐s ❛♥❞✱ s♣❡❝✐✜❝❛❧❧②✱ ❛r❡ ❝❧❛ss✐❝❛❧✲q✉❛♥t✉♠ st❛t❡s✳ ■♥ t❤✐s ❝❤❛♣t❡r✱ ■ s❡❡❦ t♦
❡①♣❧♦✐t t❤✐s ❢❛❝t ❛♥❞ ❝♦♥str✉❝t ❛ ❣❡♥❡r❛❧ ❞✐s❡♥t❛♥❣❧✐♥❣ ♣r♦t♦❝♦❧ ✐♥ ✇❤✐❝❤ ❛ ❝❤❛✐♥ ♦❢ ❛♥❝✐❧❧❛❡
❝❛♥ ❜❡ ♣❛rt✐❛❧❧② ❞✐s❡♥t❛♥❣❧❡❞ ✉s✐♥❣ ❛ s❡t ♦❢ ✉♥✐t❛r② ♦♣❡r❛t✐♦♥s✳ ■ s❤♦✇ t❤❛t ❞✐s❡♥t❛♥❣❧✐♥❣
♦♣❡r❛t✐♦♥s ❛r❡ ✐♥ ❢❛❝t q✉✐t❡ ❝♦♠♠♦♥ ❛♥❞ ❛♣♣❡❛r ✐♥ ♠❛♥② q✉❛♥t✉♠ ♣r♦t♦❝♦❧s✱ ✐♥❝❧✉❞✐♥❣
q✉❛♥t✉♠ t❡❧❡♣♦rt❛t✐♦♥✳ ■ ✜rst st❛rt ❜② ♦✉t❧✐♥✐♥❣ ❛ ❣❡♥❡r❛❧ ♠❡t❤♦❞ ❢♦r ❞✐s❡♥t❛♥❣❧✐♥❣ ❛♥❝✐❧❧❛
❝❤❛✐♥s ✉s✐♥❣ ❧♦❝❛❧ ♦♣❡r❛t✐♦♥s ❛♥❞ ❝♦♥s✐❞❡r t✇♦ ❞✐✛❡r❡♥t ❝❛s❡s t❤❛t ❞❡♣❡♥❞ ♦♥ ✇❤❡t❤❡r t❤❡
q✉❛♥t✉♠ s②st❡♠ ✇❛s ✐♥✐t✐❛❧❧② ♣r❡♣❛r❡❞ ✐♥ ❛ ♣✉r❡ st❛t❡ ♦r st❛rt❡❞ ✐♥ ❛ ♠❛①✐♠✉♠ ❡♥tr♦♣②
♠✐①❡❞ st❛t❡✳ ❋✐♥❛❧❧②✱ ■ ✉s❡ t❤❡ ❣❡♥❡r❛❧ ❝♦♥str✉❝t✐♦♥ t♦ ❡st❛❜❧✐s❤ ❛ ♣r♦t♦❝♦❧ ❢♦r ❣❡♥❡r❛t✐♥❣
r❡♠♦t❡ ❡♥t❛♥❣❧❡♠❡♥t✳

✽✳✷ ❖♥❡✲❇✐t ❉✐s❡♥t❛♥❣❧✐♥❣ ❙❝❤❡♠❡
❚❤❡ ✜rst ❞✐s❡♥t❛♥❣❧✐♥❣ s❝❤❡♠❡ ❝♦♥s✐❞❡r❡❞ ❤❡r❡ r❡q✉✐r❡s ♦♣❡r❛t✐♦♥s t❤❛t ❛r❡ ❝♦♥❞✐t✐♦♥❛❧ ♦♥
t❤❡ st❛t❡ ♦❢ ❛ s✐♥❣❧❡ q✉❜✐t✳ ❲❡ ❦♥♦✇ ❢r♦♠ ❈❤✳ ✼✳✷✳✸ t❤❛t ✐❢ j + 1 ❝♦♥s❡❝✉t✐✈❡ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥ts
✶✾✷

❛r❡ ♠❛❞❡ ♦♥ ❛ ♣r❡♣❛r❡❞ q✉❛♥t✉♠ s②st❡♠✱ t❤❡♥ t❤❡ ❥♦✐♥t ❡♥tr♦♣② ♦❢ t❤❡ r❡s✉❧t✐♥❣ ❛♥❝✐❧❧❛ ❝❤❛✐♥
✐s ❞❡t❡r♠✐♥❡❞ ♦♥❧② ❜② t❤❡ ❧❛st ❛♥❝✐❧❧❛ ✐♥ t❤❡ s❡q✉❡♥❝❡✳ ❚❤✐s ✐s ❛ ❝♦♥s❡q✉❡♥❝❡ ♦❢ t❤❡ s♣❡❝✐✜❝
❝♦❤❡r❡♥t str✉❝t✉r❡ ♦❢ t❤❡ ❛♥❝✐❧❧❛ ❞❡♥s✐t② ♠❛tr✐❝❡s✳ ❲❡ ✇✐❧❧ ✜rst r❡✈✐❡✇ t❤❡ r❡❧❡✈❛♥t r❡s✉❧ts
♦❢ ❝♦♥s❡❝✉t✐✈❡ q✉❛♥t✉♠ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥ts ❜❡❢♦r❡ ✐♥tr♦❞✉❝✐♥❣ ❛ ♣r♦t♦❝♦❧ t♦ ❞✐s❡♥t❛♥❣❧❡ t❤❡ ✜rst

j ❛♥❝✐❧❧❛❡ ❢r♦♠ t❤❡ r❡st ♦❢ t❤❡ s②st❡♠✳ ■♥ ♣❛rt✐❝✉❧❛r✱ ✇❡ ❝❛♥ ✉♥❞❡rst❛♥❞ t❤❡ ❡ss❡♥❝❡ ♦❢ t❤❡
♣r♦t♦❝♦❧ ❜② st✉❞②✐♥❣ ❛ s❡q✉❡♥❝❡ ♦❢ ❥✉st t✇♦ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥ts✳
❲❡ s❛✇ ♣r❡✈✐♦✉s❧② ✐♥ ❈❤✳ ✼✳✷✳✶ t❤❛t ❢♦r t✇♦ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥ts ♦❢ ❛ ♣r❡♣❛r❡❞ q✉❛♥t✉♠ s②st❡♠✱

Q✱ ✉s✐♥❣ ❛♥❝✐❧❧❛❡ A ❛♥❞ B ✱ t❤❡ ❝♦♠❜✐♥❡❞ ✇❛✈❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ ✐s

αi Uij |j ij .

|QAB =

✭✽✳✶✮

ij

■❣♥♦r✐♥❣ t❤❡ r❡❛❞♦✉t st❛❣❡ ✇✐t❤ t❤❡ ❞❡✈✐❝❡s A ❛♥❞ B ✱ t❤❡ ❞❡♥s✐t② ♠❛tr✐① ❢♦r t❤❡ q✉❛♥t✉♠
❛♥❝✐❧❧❛❡ ✐s

αi αi∗ Uij Ui∗ j |i i | ⊗ |j j|.

ρAB =

✭✽✳✷✮

ii j

❚❤✐s st❛t❡ ❤❛s ❛ ♣❛rt✐❝✉❧❛r str✉❝t✉r❡ t❤❛t ✇✐❧❧ ♠❛❦❡ ✐t ♣♦ss✐❜❧❡ t♦ ❞✐s❡♥t❛♥❣❧❡ ❛♥❝✐❧❧❛ A
❢r♦♠ t❤❡ r❡st ♦❢ t❤❡ s②st❡♠ ✭Q ❛♥❞ B ✮✳ ❚♦ s❡❡ t❤✐s✱ ✇❡ r❡❝❛❧❧ ❢r♦♠ ❈❤✳ ✼✳✷✳✸ t❤❛t ✇❡ ❝❛♥
❞✐❛❣♦♥❛❧✐③❡ t❤❡ ♠❛tr✐① ✭✽✳✷✮ ✉s✐♥❣ t❤❡ s❡t ♦❢ ♥♦♥✲♦rt❤♦❣♦♥❛❧ st❛t❡s✱

αj |ψj =

αi Uij |i ,

✭✽✳✸✮

i

✇✐t❤ ♥♦r♠❛❧✐③❛t✐♦♥ ❡q✉❛❧ t♦ t❤❡ ♣r♦❜❛❜✐❧✐t② ❞✐str✐❜✉t✐♦♥ ❢♦r ❛♥❝✐❧❧❛ B ✱

|αj |2 = qj =

|αi |2 |Uij |2 .
i

✶✾✸

✭✽✳✹✮

❚❤✉s✱ ❊q✳ ✭✽✳✷✮ ❝❛♥ ❛❧s♦ ❜❡ ✇r✐tt❡♥ ✐♥ t❤❡ ❝❧❛ss✐❝❛❧✲q✉❛♥t✉♠ ❢♦r♠✱

qj ρj ⊗ |j j| ,

ρAB =

✭✽✳✺✮

j

✇❤❡r❡ ρj = |ψj ψj | ❛r❡ t❤❡ ✭❝♦♥❞✐t✐♦♥❛❧✮ ♣✉r❡ st❛t❡s ♦❢ A✳
❆s ❛ r❡s✉❧t ♦❢ t❤❡ ❝❧❛ss✐❝❛❧✲q✉❛♥t✉♠ str✉❝t✉r❡ ♦❢ t❤❡ st❛t❡ ✭✽✳✺✮✱ t❤❡ ❡♥tr♦♣② ♦❢ t❤❡
s❡q✉❡♥❝❡ ♦❢ ❛♥❝✐❧❧❛❡ ✭✐♥ t❤✐s ❝❛s❡✱ AB ✮ ✐s ❝♦♥t❛✐♥❡❞ ✐♥ ❥✉st t❤❡ ❧❛st ❛♥❝✐❧❧❛✱ B ✳ ❚❤❛t ✐s✱

SAB = SB ✱ s♦ t❤❛t t❤❡ ❡♥tr♦♣② ♦❢ A✱ ❝♦♥❞✐t✐♦♥❛❧ ♦♥ B ✱ ✈❛♥✐s❤❡s✱
S(A|B) = SAB − SB = 0.

✭✽✳✻✮

❚❤✐s ③❡r♦ ❝♦♥❞✐t✐♦♥❛❧ ❡♥tr♦♣② s✉❣❣❡sts t❤❡ ♣♦ss✐❜✐❧✐t② ♦❢ tr❛♥s❢♦r♠✐♥❣ t❤❡ ❥♦✐♥t st❛t❡ ♦❢ A
❛♥❞ B ✐♥ s✉❝❤ ❛ ✇❛② t❤❛t A ❜❡❝♦♠❡s ❞✐s❡♥t❛♥❣❧❡❞ ❢r♦♠ t❤❡ r❡st ♦❢ t❤❡ s②st❡♠✳ ■♥ ♣❛rt✐❝✉❧❛r✱
t❤❡ ✈❛♥✐s❤✐♥❣ ❝♦♥❞✐t✐♦♥❛❧ ❡♥tr♦♣② s✉❣❣❡sts t❤❛t t❤❡r❡ ❡①✐sts ❛ ✉♥✐t❛r② ♦♣❡r❛t✐♦♥✱ V ✱ ♦♥ ρAB
t❤❛t ❧❡❛❞s t♦

V ρAB V † = ρAB = ρA ⊗ ρB ,

✭✽✳✼✮

ρA = |ψ ψ|.

✭✽✳✽✮

✇❤❡r❡

❆s ❛ r❡s✉❧t✱ ❛♥❝✐❧❧❛ A ✐s ❢♦r❝❡❞ ✐♥t♦ t❤❡ ♣✉r❡ st❛t❡ |ψ ✱ ❛♥❞ ✐s ✐♥ ❛ ♣r♦❞✉❝t st❛t❡ ✇✐t❤ B ✳ ■♥
❢❛❝t✱ A ❤❛s ❜❡❡♥ ❞✐s❡♥t❛♥❣❧❡❞ ❢r♦♠ ❜♦t❤ B ❛♥❞ Q✳
❚❤❡ ♦♣❡r❛t♦r t❤❛t ♣❡r❢♦r♠s t❤❡ tr❛♥s❢♦r♠❛t✐♦♥ ✭✽✳✼✮ ✐s ❛ ❝♦♥tr♦❧❧❡❞ ✉♥✐t❛r② ♦❢ t❤❡ ❢♦r♠

V (j) ⊗ Pj ,

V =
j

✶✾✹

✭✽✳✾✮

✇❤❡r❡ Pj = |j B j| ❛r❡ ♣r♦❥❡❝t♦rs ♦♥ B ❛♥❞ V (j) ❛r❡ d ✉♥✐t❛r② ♦♣❡r❛t♦rs ♦♥ ❛♥❝✐❧❧❛ A t❤❛t
❞❡♣❡♥❞ ♦♥ t❤❡ st❛t❡ j ♦❢ B ✳
■❢ ✇❡ ❝❤♦♦s❡ t❤❡ s❡t ♦❢ ♦♣❡r❛t♦rs V (j) s✉❝❤ t❤❛t t❤❡② ❞❡s❝r✐❜❡ ❛ tr❛♥s❢♦r♠❛t✐♦♥ ❜❡t✇❡❡♥
❡❛❝❤ ♦❢ t❤❡ ❝♦♥❞✐t✐♦♥❛❧ st❛t❡s |ψj t♦ ❛ ♥❡✇ st❛t❡ |ψ ✱

|ψj = V (j)† |ψ ,

✭✽✳✶✵✮

qj V (j)† |ψ ψ| V (j) ⊗ |j j|.

✭✽✳✶✶✮

t❤❡♥ ✭✽✳✺✮ ✐s r❡✇r✐tt❡♥ ❛s

ρAB =
j

❈❧❡❛r❧②✱ ❛♣♣❧②✐♥❣ ✭✽✳✾✮ tr❛♥s❢♦r♠s t❤✐s st❛t❡ t♦

V ρAB V † = ρAB = |ψ ψ| ⊗

qj |j j|,

✭✽✳✶✷✮

j

✇❤❡r❡ A ✐s ❢✉❧❧② ❞✐s❡♥t❛♥❣❧❡❞ ❢r♦♠ B ❬❛♥❞ ❛❧s♦ ❢r♦♠ Q ✈✐❛ t❤❡ s②♠♠❡tr② ❜❡t✇❡❡♥ Q ❛♥❞ B
✐♥ t❤❡ ✇❛✈❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ ✭✽✳✶✮❪ ❛♥❞ ✐s ✐♥ t❤❡ ♣✉r❡ st❛t❡ |ψ ✳
■t ✐s str❛✐❣❤t❢♦r✇❛r❞ t♦ ❣❡♥❡r❛❧✐③❡ t❤✐s s❝❤❡♠❡ t♦ ❛♥ ❛r❜✐tr❛r✐❧②✲❧♦♥❣ s❡q✉❡♥❝❡ ♦❢ ♠❡❛s✉r❡✲
♠❡♥ts✳ ■t t✉r♥s ♦✉t t❤❛t t❤❡ ✜rst n − 1 ❛♥❝✐❧❧❛❡ ❝❛♥ ❜❡ ❞✐s❡♥t❛♥❣❧❡❞ ❢r♦♠ t❤❡ nt❤ ❛♥❝✐❧❧❛
❛♥❞ Q✳ ■♥ ❣❡♥❡r❛❧✱ t❤✐s r❡q✉✐r❡s ❛ s❡t ♦❢ ♦♣❡r❛t✐♦♥s ❛♥❛❧♦❣♦✉s t♦ ✭✽✳✶✵✮ ❜✉t ❢♦r t❤❡ ❥♦✐♥t
st❛t❡ ♦❢ n − 1 ❛♥❝✐❧❧❛❡✱ ✇❤✐❝❤ ♠❛② ❜❡ r❛t❤❡r ❞✐✣❝✉❧t t♦ ✐♠♣❧❡♠❡♥t ✐♥ ♣r❛❝t✐❝❡✳ ❚❤❡ ❡♥✲
tr♦♣② ❱❡♥♥ ❞✐❛❣r❛♠ ❢♦r t❤❡ ❞✐s❡♥t❛♥❣❧✐♥❣ s❝❤❡♠❡ ✐s s❤♦✇♥ ✐♥ ❋✐❣✳ ✽✳✶ ❢♦r ❛ ❣❡♥❡r❛❧ ❝❤❛✐♥

A1 , A2 , . . . , Aj , Aj+1 ✳ ◆♦t✐❝❡ ❤♦✇ t❤❡ ❝♦♥❞✐t✐♦♥❛❧ ❡♥tr♦♣② ♦❢ t❤❡ ✜rst n − 1 ❛♥❝✐❧❧❛❡ ❛❧✇❛②s
✈❛♥✐s❤❡s✳
❚♦ s❡❡ ❤♦✇ t❤✐s ❞✐s❡♥t❛♥❣❧✐♥❣ ♣r♦❝❡❞✉r❡ ♠✐❣❤t ✇♦r❦✱ ✇❡ ❝♦♥s✐❞❡r t❤❡ ❝❛s❡ ♦❢ q✉❜✐t ♠❡❛✲
s✉r❡♠❡♥ts ♦❢ t✇♦ ♦❜s❡r✈❛❜❧❡s ✇✐t❤ ❡✐❣❡♥❜❛s❡s ❛t t❤❡ r❡❧❛t✐✈❡ ❛♥❣❧❡ θ = π/4✳

✶✾✺

❚❤❡ ♥♦♥✲

Sj+1

Sj

−Sj

Sj+1

0

A1 · · · Aj

Aj+1

0

A1 · · · Aj

Aj+1

(a)

0

(b)

❋✐❣✉r❡ ✽✳✶✿ ❈♦rr❡❧❛t✐♦♥s ♦❢ ❛♥ ❛r❜✐tr❛r✐❧②✲❧♦♥❣ ❝❤❛✐♥ ♦❢ ❛♥❝✐❧❧❛❡ A1 ✱ A2 ✱ . . . ✱ Aj ✱ Aj+1 ✭❛✮
❜❡❢♦r❡ ❛♥❞ ✭❜✮ ❛❢t❡r ❞✐s❡♥t❛♥❣❧✐♥❣✳ ❚❤❡ t✇♦ ③❡r♦s ✐♥ ✭❜✮ ✐♥❞✐❝❛t❡ t❤❛t t❤❡ st❛t❡ ♦❢ A1 ✱ . . . ✱
Aj ✐s ♣✉r❡ ❛♥❞ ❞✐s❡♥t❛♥❣❧❡❞ ❢r♦♠ Aj+1 ✳
♦rt❤♦❣♦♥❛❧ st❛t❡s |ψj ♦❢ ❛♥❝✐❧❧❛ A ❛r❡ ✇r✐tt❡♥

1
α0 |ψ0 = √ α0 |0 + α1 |1 ,
2
1
α1 |ψ1 = − √ α0 |0 − α1 |1 .
2

✭✽✳✶✸✮

❙✉♣♣♦s❡ ✇❡ ❝❤♦♦s❡ t❤❡ ❞✐s❡♥t❛♥❣❧❡❞ st❛t❡ ♦❢ A t♦ ❜❡ |ψ = α0 |0 + α1 |1 ✳ ❚❤❡♥✱ t❤❡ s❡t ♦❢
❝♦♥❞✐t✐♦♥❛❧ ♦♣❡r❛t♦rs✱ V (j) ✱ ♦♥ q✉❜✐t A ✐s

V (0)† = ✶,
V (1)†

✭✽✳✶✹✮

= −Z,

✇❤❡r❡ Z ✐s t❤❡ P❛✉❧✐ ♠❛tr✐①✳ ❚❤❡ ❢✉❧❧ ♦♣❡r❛t♦r V ✐s t❤❡♥ s✐♠♣❧② ❛ ❝♦♥tr♦❧❧❡❞✲♣❤❛s❡ ❣❛t❡✱
✇❤❡r❡ t❤❡ ❝♦♥tr♦❧ ✐s ♦♥ t❤❡ st❛t❡ ♦❢ B ✳ ■♥ t❡r♠s ♦❢ t❤❡s❡ ♦♣❡r❛t♦rs✱ t❤❡ ❥♦✐♥t st❛t❡ ♦❢ AB ✐s

ρAB = q0 |ψ ψ| ⊗ |0 0| + q1 Z|ψ ψ|Z ⊗ |1 1|,

✭✽✳✶✺✮

s♦ t❤❛t ❛♣♣❧②✐♥❣ V t♦ t❤✐s st❛t❡ ②✐❡❧❞s ✭✽✳✶✷✮✳
■❢ q✉❜✐ts A ❛♥❞ B ❛r❡ s♣❛t✐❛❧❧② s❡♣❛r❛t❡❞✱ t❤❡♥ ♦♥❡ ❝♦✉❧❞ ✐♠♣❧❡♠❡♥t t❤✐s ♦♣❡r❛t✐♦♥ ✐♥

✶✾✻

A
B

Encode

Q

V (j)

|ψ〉

❋✐❣✉r❡ ✽✳✷✿ ❈✐r❝✉✐t ❢♦r ❞✐s❡♥t❛♥❣❧✐♥❣ t❤❡ ❥♦✐♥t st❛t❡ ρAB → ρAB = |ψ ψ|⊗ρB ✳ ❚❤❡ ❡♥❝♦❞✐♥❣
s❝❤❡♠❡ ❝♦♥s✐sts ♦❢ ❛ s❡r✐❡s ♦❢ t✇♦ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥ts ♦❢ Q ✇✐t❤ ❛♥❝✐❧❧❛r② q✉❞✐ts A ❛♥❞ B ✳ ❚❤❡
✭❝♦♥❞✐t✐♦♥❛❧✮ ♦♣❡r❛t♦r s❤♦✇♥ ❛❝t✐♥❣ ♦♥ A ✐s ♦♥❡ ♦❢ t❤❡ s❡t ♦❢ d ♦♣❡r❛t♦rs V (j) ✳
♣r❛❝t✐❝❡ ✉s✐♥❣ ❧♦❝❛❧ ♦♣❡r❛t✐♦♥s ❛♥❞ ❝❧❛ss✐❝❛❧ ❝♦♠♠✉♥✐❝❛t✐♦♥ ✭▲❖❈❈✮✳ ❙✉♣♣♦s❡ ❆❧✐❝❡ ❛♥❞
❇♦❜ ❤❛✈❡ q✉❜✐ts A ❛♥❞ B ✱ r❡s♣❡❝t✐✈❡❧②✳ ❚♦ ♣❡r❢♦r♠ t❤❡ ❝♦♥tr♦❧❧❡❞ ✉♥✐t❛r② ✭✽✳✾✮✱ ❇♦❜ ❝♦✉❧❞
♠❡❛s✉r❡ ✭❛♠♣❧✐❢②✮ ❤✐s q✉❜✐t B ✇✐t❤ B ❛♥❞ s❡♥❞ t❤❡ r❡s✉❧t ♦❢ t❤❡ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥t ✭♦♥❡ ❜✐t✮ t♦
❆❧✐❝❡✳ ❇❛s❡❞ ♦♥ t❤❡ ✈❛❧✉❡ ♦❢ t❤❡ ❜✐t t❤❛t ❇♦❜ s❡♥❞s✱ ❆❧✐❝❡ ✇♦✉❧❞ ♣❡r❢♦r♠ ♦♥❡ ♦❢ t❤❡ t✇♦
♦♣❡r❛t✐♦♥s V (j) ♦♥ ❤❡r q✉❜✐t✳ ❆❢t❡r✇❛r❞s✱ ❆❧✐❝❡ ❤❛s ❞✐s❡♥t❛♥❣❧❡❞ A ❢r♦♠ B ✭❛♥❞ Q✮✳ ■♥ t❤✐s
❝❛s❡✱ t❤❡ ❞❡❣r❡❡s ♦❢ ❢r❡❡❞♦♠ ♦❢ s②st❡♠ B s❤♦✉❧❞ ❜❡ ❛❝❝♦✉♥t❡❞ ❢♦r✱ ❛♥❞ t❤❡ ✜♥❛❧ st❛t❡ ♦❢ QB
✇✐❧❧ ♥♦ ❧♦♥❣❡r ❜❡ ♣✉r❡✱ ❜✉t ♠✐①❡❞✳ ❙❡❡ ❋✐❣✳ ✽✳✷ ❢♦r t❤❡ ❝♦rr❡s♣♦♥❞✐♥❣ ❝✐r❝✉✐t ❞✐❛❣r❛♠✳ ❚❤❡
✏❡♥❝♦❞❡✑ ♦♣❡r❛t✐♦♥ r❡❢❡rs t♦ t❤❡ s❡q✉❡♥❝❡ ♦❢ t✇♦ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥ts ✇✐t❤ ❛♥❝✐❧❧❛r② q✉❜✐ts A ❛♥❞

B ✱ ✇❤✐❧❡ t❤❡ ❞♦✉❜❧❡ s♦❧✐❞ ❧✐♥❡ ✐♥❞✐❝❛t❡s t❤❡ s✐♥❣❧❡ ❜✐t ♦❢ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥ t❤❛t ❇♦❜ ❝♦♠♠✉♥✐❝❛t❡s
t♦ ❆❧✐❝❡ ❛❜♦✉t t❤❡ st❛t❡ ♦❢ q✉❜✐t B ✳
❚♦ ❝♦♥s✐❞❡r ♠♦r❡ ❣❡♥❡r❛❧ ❞✐s❡♥t❛♥❣❧✐♥❣ s❝❡♥❛r✐♦s✱ ✇❡ ♠✉st ❦❡❡♣ ✐♥ ♠✐♥❞ t❤❛t ❛ ✉♥✐✈❡rs❛❧✲

♥♦t

❣❛t❡ ❞♦❡s ♥♦t ❡①✐st ❬✷✶✼✕✷✷✵❪✳ ❚❤❛t ✐s✱ ✐t ✐s ♥♦t ♣♦ss✐❜❧❡ t♦ ❝♦♥str✉❝t ❛ ✉♥✐t❛r② ❣❛t❡

t❤❛t ✢✐♣s ❛♥② ✐♥♣✉t st❛t❡ t♦ ✐ts ♦rt❤♦❣♦♥❛❧ ✈❡rs✐♦♥✳ ❋♦r ❡①❛♠♣❧❡✱ σx ✇✐❧❧ ❝♦rr❡❝t❧② ✢✐♣ t❤❡
❝♦♠♣✉t❛t✐♦♥❛❧ st❛t❡s |0 , |1 ✱ ❜✉t ❞♦❡s ♥♦t ✢✐♣ |0 ± |1 t♦ |0 ∓ |1 ✭✐♥st❡❛❞✱ σz ✇♦✉❧❞✮✳
❋❧✐♣♣✐♥❣ ❛ q✉❜✐t t♦ ❛♥ ♦rt❤♦❣♦♥❛❧ st❛t❡ ✐s ❡q✉✐✈❛❧❡♥t t♦ ❛♥ ✐♥✈❡rs✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ❇❧♦❝❤ s♣❤❡r❡✳
❙✉❝❤ ❛♥ ✐♥✈❡rs✐♦♥ ♣r❡s❡r✈❡s ❛♥❣❧❡s ❛♥❞ ❝♦rr❡s♣♦♥❞s✱ ✈✐❛ ❲✐❣♥❡r✬s t❤❡♦r❡♠ ❬✷✷✶❪✱ ❡✐t❤❡r t♦ ❛
✉♥✐t❛r② ♦r ❛♥t✐✉♥✐t❛r② ♦♣❡r❛t✐♦♥✳ Pr♦♣❡r r♦t❛t✐♦♥s ✭❞❡t❡r♠✐♥❛♥t ❡q✉❛❧ t♦ ✶✮ ❛r❡ ✐♠♣❧❡♠❡♥t❡❞

✶✾✼

✇✐t❤ ✉♥✐t❛r② ♦♣❡r❛t✐♦♥s✱ ✇❤✐❧❡ ♦rt❤♦❣♦♥❛❧ tr❛♥s❢♦r♠❛t✐♦♥s ✇✐t❤ ❞❡t❡r♠✐♥❛♥t −1 ❝♦rr❡s♣♦♥❞
t♦ ❛♥t✐✉♥✐t❛r② ♦♣❡r❛t✐♦♥s✳ ❚❤❡r❡❢♦r❡✱ s✐♥❝❡ ✐t ✐s ♥♦t ♣♦ss✐❜❧❡ t♦ ❝♦♥str✉❝t ❛ ✉♥✐t❛r② ♦♣❡r❛t✐♦♥
t❤❛t ✢✐♣s t❤❡ st❛t❡ ♦❢ ❛♥ ❛r❜✐tr❛r② q✉❜✐t✱ t❤❡r❡ ✐s ♥♦ ✉♥✐✈❡rs❛❧✲♥♦t ❣❛t❡✳
❍♦✇❡✈❡r✱ ✐❢ ✇❡ r❡str✐❝t ♦✉r st❛t❡s t♦ t❤❡ ❡q✉❛t♦r✐❛❧ ♣❧❛♥❡ ✭θ = π/2✮ ♦r t❤❡ xz ♣❧❛♥❡ ✭φ = 0✮
♦❢ t❤❡ ❇❧♦❝❤ s♣❤❡r❡✱ t❤❡♥ ✐t ✐s ♣♦ss✐❜❧❡ t♦ ✉♥✐t❛r✐❧② ✢✐♣ t❤❡ st❛t❡ ♦❢ ❛♥ ❛r❜✐tr❛r② q✉❜✐t✳ ❲❡
❝❛♥ s❤♦✇ t❤✐s ❜② ❝♦♥s✐❞❡r✐♥❣ t✇♦ st❛t❡s |ψi

= ai |0 + bi |1 ✱ ✇✐t❤ i = 1, 2✳ ❆ ✉♥✐t❛r②

tr❛♥s❢♦r♠❛t✐♦♥ U t♦ ❛♥ ♦rt❤♦❣♦♥❛❧ st❛t❡✱ U |ψi = b∗i |0 − a∗i |1 = |ψi⊥ ✱ ♠✉st ❝♦rr❡s♣♦♥❞ t♦

ψ|U † U |φ = ψ|φ s♦ t❤❛t ❡✐t❤❡r θ = π/2 ♦r φ = 0✳ ❋♦r ❣❡♥❡r❛❧ ❛♥❣❧❡s✱ t❤❡ tr❛♥s❢♦r♠❛t✐♦♥
✭U → A✮ ✐s ❛♥t✐✉♥✐t❛r②✱ A|ψi = b∗i |0 − a∗i |1 = |ψi⊥ ✱ ❛♥❞ ❤❛s ψ|A† A|φ = ψ|φ ∗ ✳ ■♥ t❤❡
❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ♣r♦t♦❝♦❧s✱ ✇❡ r❡str✐❝t t❤❡ q✉❜✐t st❛t❡s t♦ t❤❡ xz ♣❧❛♥❡ s♦ t❤❛t ✐❢ t❤❡ ❝♦♥❞✐t✐♦♥❛❧
st❛t❡s |ψj ❛r❡ tr❛♥s❢♦r♠❡❞ t♦ ❛♥ ♦rt❤♦❣♦♥❛❧ st❛t❡✱ ✇❡ ❝❛♥ st✐❧❧ ❝♦♥str✉❝t ✉♥✐t❛r② ♦♣❡r❛t✐♦♥s
t♦ ✢✐♣ t❤❡♠✳ ❖❢ ❝♦✉rs❡✱ ✐❢ ✇❡ ❛r❡ ♥♦t tr❛♥s❢♦r♠✐♥❣ t❤❡ st❛t❡s |ψj ✐♥t♦ ♦rt❤♦❣♦♥❛❧ st❛t❡s✱
t❤❡♥ ✇❡ ❝❛♥ ❛❧✇❛②s ✜♥❞ ❛ ✉♥✐t❛r② ♦♣❡r❛t✐♦♥✳
■♥ ❛ ❣❡♥❡r❛❧ q✉❜✐t s❝❡♥❛r✐♦✱ ✇❡ ❝❛♥ ✐♠♣❧❡♠❡♥t t❤❡ ❞✐s❡♥t❛♥❣❧✐♥❣ ♦♣❡r❛t✐♦♥ ❜② ✜rst tr❛♥s✲
❢♦r♠✐♥❣ t❤❡ ❝♦♥❞✐t✐♦♥❛❧ st❛t❡ |ψ1 ✐♥t♦ |ψ0 ✳ ■❢ ✇❡ ❛ss✉♠❡ r❡❛❧ ❝♦❡✣❝✐❡♥ts ✭s♦ t❤❛t ✇❡ ❛r❡ ✐♥
t❤❡ xz ♣❧❛♥❡✮✱ t❤❡ t✇♦ ♥♦♥✲♦rt❤♦❣♦♥❛❧ st❛t❡s ♦❢ q✉❜✐t A ❛r❡

|ψ0 = a |0 + b |1 ,

✭✽✳✶✻✮

|ψ1 = −c |0 + d |1 ,
√

✇❤❡r❡ a = a/ a2 + b2 ✭❛♥❞ s✐♠✐❧❛r❧② ❢♦r t❤❡ ♦t❤❡r t❤r❡❡ ❝♦❡✣❝✐❡♥ts✮ ❛♥❞ ✇❤❡r❡ a = α0 cos θ ✱

b = α1 sin θ✱ c = α0 sin θ ❛♥❞ d = α1 cos θ✳
❲❡ ❝❛♥ r♦t❛t❡ t❤❡s❡ st❛t❡s ✐♥t♦ ❛♥② ♦t❤❡r st❛t❡ ✐♥ t❤❡ xz ♣❧❛♥❡ ♦❢ t❤❡ ❇❧♦❝❤ s♣❤❡r❡ ✇✐t❤
❛ r♦t❛t✐♦♥ ❛❜♦✉t t❤❡ y ✲❛①✐s ❜② ❛♥ ❛♥❣❧❡ α✳ ❚❤❡ st❛t❡ |ψ1 ✐s tr❛♥s❢♦r♠❡❞ ✐♥t♦ |ψ0 ❜② t❤❡

✶✾✽

r♦t❛t✐♦♥

Ry (α) = cos(α/2)✶ − i sin(α/2) Y,

✭✽✳✶✼✮

α = 2 cos−1 b d − a c .

✭✽✳✶✽✮

❛t ❛♥ ❛♥❣❧❡

■♥ t❡r♠s ♦❢ t❤✐s r♦t❛t✐♦♥ ♦♣❡r❛t♦r✱ t❤❡ st❛t❡ ♦❢ AB ✐s
†

ρAB = q0 |ψ0 ψ0 | ⊗ |0 0| + q1 Ry (α)|ψ0 ψ0 |Ry (α) ⊗ |1 1|.

✭✽✳✶✾✮

❚❤❡ ♦♣❡r❛t♦r t❤❛t ❞✐s❡♥t❛♥❣❧❡s q✉❜✐t A ✐s

V = ✶ ⊗ |0 0| + Ry (α) ⊗ |1 1|,

✭✽✳✷✵✮

❛♥❞ tr❛♥s❢♦r♠s ρAB ✐♥t♦

V ρAB V † = |ψ0 ψ0 | ⊗

qj |j j|,

✭✽✳✷✶✮

j

✇❤❡r❡ ✐t ✐s ❝❧❡❛r t❤❛t A ✐s ♣✉r❡ ❬t❤❡ ✜rst st❛t❡ ✐♥ ✭✽✳✶✻✮❪ ❛♥❞ ✐♥ ❛ ♣r♦❞✉❝t st❛t❡ ✇✐t❤ B ✳

✽✳✸ ❚✇♦✲❇✐t ❉✐s❡♥t❛♥❣❧✐♥❣ ❙❝❤❡♠❡
■♥ t❤❡ ♣r❡✈✐♦✉s s❡❝t✐♦♥ ✇❡ s❛✇ t❤❛t t❤❡ ❥♦✐♥t ❛♥❝✐❧❧❛ st❛t❡s r❡s✉❧t✐♥❣ ❢r♦♠ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥ts ♦❢
♣r❡♣❛r❡❞ q✉❛♥t✉♠ st❛t❡s r❡q✉✐r❡❞ ♦♥❧② ♦♣❡r❛t✐♦♥s ❝♦♥❞✐t✐♦♥❛❧ ♦♥ t❤❡ st❛t❡ ♦❢ t❤❡ ❧❛st ❛♥❝✐❧❧❛
✐♥ t❤❡ ❝❤❛✐♥ t♦ ❞✐s❡♥t❛♥❣❧❡ A ❢r♦♠ t❤❡ r❡st ♦❢ t❤❡ s②st❡♠✳ ■♥ t❤✐s s❡❝t✐♦♥✱ ✇❡ ❡①t❡♥❞ t❤✐s
♣r♦❝❡❞✉r❡ t♦ t❤❡ st❛t❡s r❡s✉❧t✐♥❣ ❢r♦♠ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥ts ♦❢ ✉♥♣r❡♣❛r❡❞ q✉❛♥t✉♠ st❛t❡s✳ ❲❡ ✇✐❧❧

✶✾✾

s❡❡ t❤❛t✱ ✐♥ t❤✐s ❝❛s❡✱ t❤❡ ❞✐s❡♥t❛♥❣❧✐♥❣ ♦♣❡r❛t✐♦♥s ❛r❡ ♥♦✇ ❝♦♥❞✐t✐♦♥❛❧ ♦♥ t❤❡ st❛t❡s ♦❢ t❤❡
❧❛st ❛♥❞ ✜rst ❛♥❝✐❧❧❛❡✳ ■♥ ♣❛rt✐❝✉❧❛r✱ ✇❡ ✇✐❧❧ st✉❞② t❤r❡❡ ❝♦♥s❡❝✉t✐✈❡ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥ts ❛♥❞ ✜♥❞
t❤❛t ✐❢ t❤❡ ❛♥❝✐❧❧❛❡ ❛r❡ s♣❛t✐❛❧❧② s❡♣❛r❛t❡❞✱ t❤✐s ❢❡❛t✉r❡ ❝♦rr❡s♣♦♥❞s t♦ t❤❡ ❝♦♠♠✉♥✐❝❛t✐♦♥ ♦❢
t✇♦ ❜✐ts ♦❢ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥ t♦ ♣❧❛❝❡ ❛♥❝✐❧❧❛ B ✐♥ ❛ ♣r♦❞✉❝t st❛t❡ ✇✐t❤ A ❛♥❞ C ✳
❘❡❝❛❧❧ ❢r♦♠ ❈❤✳ ✼✳✷✳✷ t❤❛t t❤❡ ❥♦✐♥t ❛♥❝✐❧❧❛ st❛t❡ ❢♦r t❤❡ t❤r❡❡ ❛♥❝✐❧❧❛ t❤❛t ♠❡❛s✉r❡❞ ❛♥
✉♥♣r❡♣❛r❡❞ q✉❛♥t✉♠ s②st❡♠ ✐s ♥♦♥✲❞✐❛❣♦♥❛❧ ✐♥ t❤❡ ❛♥❝✐❧❧❛ ♣r♦❞✉❝t ❜❛s✐s✳ ■t ❝❛♥✱ ❤♦✇❡✈❡r✱
❜❡ ✇r✐tt❡♥ ✐♥ ❛ ❞✐❛❣♦♥❛❧ ❛♥❞ ❝❧❛ss✐❝❛❧✲q✉❛♥t✉♠ ❢♦r♠✱

ρABC =

1
d

| ik |2 |i i| ⊗ ρik ⊗ |k k| ,

✭✽✳✷✷✮

ik

✇❤❡r❡ ρik = |φik φik | ❛r❡ t❤❡ ✭❝♦♥❞✐t✐♦♥❛❧✮ ♣✉r❡ st❛t❡s ♦❢ B ✳ ❚❤✐s s❡t ♦❢ ♥♦♥✲♦rt❤♦❣♦♥❛❧
st❛t❡s ✐s ❞❡✜♥❡❞ ❛s

ik |φik

Uij Ujk |j ,

✭✽✳✷✸✮

|Uij |2 |Ujk |2 .

✭✽✳✷✹✮

=
j

✇❤✐❝❤ ❛r❡ ♥♦r♠❛❧✐③❡❞ ❛❝❝♦r❞✐♥❣ t♦

| ik |2 =
j

❲❡ ❦♥♦✇ ❢r♦♠ ❈❤✳ ✼✳✷✳✸ t❤❛t st❛t❡s s✉❝❤ ❛s ✭✽✳✷✷✮ ❤❛✈❡ t❤❡ ♣r♦♣❡rt② t❤❛t ❛♥② ✐♥t❡r♠❡❞✐❛t❡
❛♥❝✐❧❧❛❡ ✭✐♥ t❤✐s ❝❛s❡✱ ❥✉st B ✮ ❞♦ ♥♦t ❝♦♥tr✐❜✉t❡ t♦ t❤❡ t♦t❛❧ ❡♥tr♦♣②✳ ❚❤❛t ✐s✱ t❤❡ ❥♦✐♥t
❡♥tr♦♣② ♦❢ ✭✽✳✷✷✮ ✐s SABC = SAC ✱ s♦ t❤❛t t❤❡ ❡♥tr♦♣② ♦❢ t❤❡ ❛♥❝✐❧❧❛ ❝❤❛✐♥ r❡s✐❞❡s ♦♥❧② ✐♥
t❤❡ ❜♦✉♥❞❛r✐❡s✳ ■t ❢♦❧❧♦✇s t❤❛t t❤❡ ❝♦♥❞✐t✐♦♥❛❧ ❡♥tr♦♣② ♦❢ t❤❡ ✐♥t❡r♠❡❞✐❛t❡ ❛♥❝✐❧❧❛ ✈❛♥✐s❤❡s✱

S(B|AC) = SABC − SAC = 0.

✭✽✳✷✺✮

■♥ ♦t❤❡r ✇♦r❞s✱ t❤❡ st❛t❡ ♦❢ t❤❡ ✐♥t❡r♠❡❞✐❛t❡ ❛♥❝✐❧❧❛✱ B ✱ ✐s ❢✉❧❧② ❦♥♦✇♥ ✭❤❛s ③❡r♦ ❡♥tr♦♣②✮
✷✵✵

✇❤❡♥ ❣✐✈❡♥ t❤❡ ❥♦✐♥t st❛t❡s ♦❢ t❤❡ ✜rst ❛♥❞ ❧❛st ❛♥❝✐❧❧❛❡✱ A ❛♥❞ C ✳
❚❤❡ ♣r❡s❡♥❝❡ ♦❢ ❛ ✈❛♥✐s❤✐♥❣ ❝♦♥❞✐t✐♦♥❛❧ ❡♥tr♦♣② s✉❣❣❡sts t❤❛t t❤❡r❡ ❡①✐sts ❛ ✉♥✐t❛r②
♦♣❡r❛t✐♦♥✱ V ✱ t❤❛t ❞✐s❡♥t❛♥❣❧❡s t❤❡ ❥♦✐♥t st❛t❡ ✭✽✳✷✷✮✱ tr❛♥s❢♦r♠✐♥❣ B ✐♥t♦ ❛♥ ✉♥❝♦♥❞✐t✐♦♥❛❧❧②
♣✉r❡ st❛t❡✱ |φ ✳ ❚❤❛t ✐s✱

V ρABC V † = ρABC = ρAC ⊗ ρB ,

✭✽✳✷✻✮

ρB = |φ φ| .

✭✽✳✷✼✮

✇❤❡r❡

◆♦✇ t❤❡ ✐♥t❡r♠❡❞✐❛t❡ ❛♥❝✐❧❧❛✱ B ✱ ✐s ✐♥ t❤❡ ♣✉r❡ st❛t❡ |φ ❛♥❞ ✐s ✐♥ ♣r♦❞✉❝t ✇✐t❤ t❤❡ r❡st
♦❢ t❤❡ s②st❡♠✱ AC ✭❛♥❞ ❛❧s♦ Q ❞✉❡ t♦ t❤❡ s②♠♠❡tr② ❜❡t✇❡❡♥ Q ❛♥❞ C ✐♥ t❤❡ ✉♥❞❡r❧②✐♥❣
✇❛✈❡ ❢✉♥❝t✐♦♥✮✳ ❆❢t❡r ❞✐s❡♥t❛♥❣❧✐♥❣✱ t❤❡ ❝♦♥❞✐t✐♦♥❛❧ ❡♥tr♦♣② S (B|AC) st✐❧❧ ✈❛♥✐s❤❡s s✐♥❝❡

SB = 0✱ s♦ t❤❛t SABC = SAC ✳
❚❤❡ ❢✉❧❧ ✉♥✐t❛r② ♦♣❡r❛t♦r V ✐s ♦❢ t❤❡ ❢♦r♠

Pik ⊗ V (ik) ,

V =

✭✽✳✷✽✮

ik

✇❤❡r❡ V (ik) ✐s ❛ s❡t ♦❢ d2 ✉♥✐t❛r② ♦♣❡r❛t✐♦♥s ♦♥ B ✱ ❛♥❞ Pik = |i A i| ⊗ |k C k| ❛r❡ ♣r♦❥❡❝t♦rs
♦♥ A ❛♥❞ C ✳ ■❢ ✇❡ ❝❤♦♦s❡ t❤❡ s❡t ♦❢ ♦♣❡r❛t♦rs✱ V (ik) ✱ s✉❝❤ t❤❛t t❤❡② tr❛♥s❢♦r♠ ❡❛❝❤ ♦❢ t❤❡
st❛t❡s |φik ♦❢ ❛♥❝✐❧❧❛ B ✐♥t♦ ❛ ♥❡✇ st❛t❡ |φ ✱

|φik = V (ik)† |φ ,

✷✵✶

✭✽✳✷✾✮

S1,j+1

S2,j

S1,j+1

0

−S2,j

A2 · · · Aj

A1 Aj+1

0

A2 · · · Aj

A1 Aj+1

(a)

0

(b)

❋✐❣✉r❡ ✽✳✸✿ ❈♦rr❡❧❛t✐♦♥s ♦❢ ❛♥ ❛r❜✐tr❛r✐❧②✲❧♦♥❣ ❝❤❛✐♥ ♦❢ ❛♥❝✐❧❧❛❡ A1 ✱ A2 ✱ . . . ✱ Aj ✱ Aj+1 ✭❛✮
❜❡❢♦r❡ ❛♥❞ ✭❜✮ ❛❢t❡r ❞✐s❡♥t❛♥❣❧✐♥❣✳ ❚❤❡ t✇♦ ③❡r♦s ✐♥ ✭❜✮ ✐♥❞✐❝❛t❡ t❤❛t t❤❡ st❛t❡ ♦❢ A2 ✱ . . . ✱
Aj ✐s ♣✉r❡ ❛♥❞ ❞✐s❡♥t❛♥❣❧❡❞ ❢r♦♠ A1 ❛♥❞ Aj+1 ✳
t❤❡♥ ✭✽✳✷✷✮ ✐s r❡✇r✐tt❡♥ ❛s

ρABC =

1
d

| ik |2 |i i| ⊗ V (ik)† |φ φ| V (ik) ⊗ |k k|.

✭✽✳✸✵✮

ik

❈❧❡❛r❧②✱ ❛♣♣❧②✐♥❣ t❤❡ ❢✉❧❧ ♦♣❡r❛t♦r ✭✽✳✷✽✮ t♦ t❤✐s st❛t❡ ❞✐s❡♥t❛♥❣❧❡s ❛♥❝✐❧❧❛ B ❢r♦♠ AC ✱

V ρABC V † = ρABC =

1
d

| ik |2 |i i| ⊗ |k k| ⊗ |φ φ|.

✭✽✳✸✶✮

ik

❙✐♠✐❧❛r❧② t♦ t❤❡ ♦♥❡✲❜✐t s❝❤❡♠❡✱ t❤✐s s❝❤❡♠❡ ❝❛♥ ❜❡ ❣❡♥❡r❛❧✐③❡❞ t♦ ❛♥② ♥✉♠❜❡r ♦❢ ♠❡❛✲
s✉r❡♠❡♥ts✳ ❚❤❡ ❡♥tr♦♣② ❱❡♥♥ ❞✐❛❣r❛♠ ❢♦r t❤❡ t✇♦✲❜✐t ✈❡rs✐♦♥ ✐s s❤♦✇♥ ✐♥ ❋✐❣✳ ✽✳✸ ❢♦r ❛
❣❡♥❡r❛❧ ❝❤❛✐♥ A1 , A2 , . . . , Aj , Aj+1 ✳
❲❡ ♥♦✇ ❛♣♣❧② t❤✐s ❞✐s❡♥t❛♥❣❧✐♥❣ s❝❤❡♠❡ t♦ t❤❡ ❝❛s❡ ♦❢ q✉❜✐t ♠❡❛s✉r❡♠❡♥ts✳ ❚❤❡ ❛❜✐❧✐t②
t♦ ❢♦r❝❡ ❛♥❝✐❧❧❛ B ✐♥t♦ ❛ ♣✉r❡ st❛t❡ t❤❛t ✐s ✐♥ ❛ ♣r♦❞✉❝t st❛t❡ ✇✐t❤ t❤❡ r❡st ♦❢ t❤❡ s②st❡♠
s✉❣❣❡sts ❛ s✐♠♣❧❡ ♣r♦t♦❝♦❧✳ ◆❛♠❡❧②✱ ❛ s✐♥❣❧❡✲q✉❜✐t st❛t❡ |φ ❝❛♥ ❜❡ ❡①tr❛❝t❡❞ ❢r♦♠ t❤❡ ❥♦✐♥t
st❛t❡ ♦❢ ABC ❜② ❛ s❡q✉❡♥❝❡ ♦❢ ✉♥✐t❛r② ❣❛t❡s ❛♥❞ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥ts ❛s s❤♦✇♥ ✐♥ ❋✐❣✳ ✽✳✹✳ ■♥ s✉❝❤
❛ ♣r♦t♦❝♦❧✱ ✇❡ ❛ss✉♠❡ t❤❛t ✇❡ ❤❛✈❡ ❛❝❝❡ss t♦ ❛♥ ✉♥♣r❡♣❛r❡❞ q✉❛♥t✉♠ st❛t❡✳ ❚❤r❡❡ ♣❛rt✐❡s

✷✵✷

Q
A
B
C

Encode

R

V|ψ(ik)〉 |ϕ〉

❋✐❣✉r❡ ✽✳✹✿ ❈✐r❝✉✐t ❢♦r ❞✐s❡♥t❛♥❣❧✐♥❣ t❤❡ ❛♥❝✐❧❧❛ st❛t❡ ρABC → ρABC = ρAC ⊗ |φ φ|✳ ❚❤❡
❡♥❝♦❞✐♥❣ s❝❤❡♠❡ ❝♦♥s✐sts ♦❢ t❤r❡❡ ❝♦♥s❡❝✉t✐✈❡ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥ts ♦❢ Q ✇✐t❤ ❛♥❝✐❧❧❛r② q✉❞✐ts A✱
B ✱ ❛♥❞ C ✳ ❚❤❡ ✭❝♦♥❞✐t✐♦♥❛❧✮ ♦♣❡r❛t♦r s❤♦✇♥ ❛❝t✐♥❣ ♦♥ B ✐s ♦♥❡ ♦❢ t❤❡ s❡t ♦❢ d2 ♦♣❡r❛t♦rs✱
V (ik) ✳ ❚❤❡ ✐♥✐t✐❛❧ ❡♥t❛♥❣❧❡♠❡♥t ❜❡t✇❡❡♥ Q ❛♥❞ t❤❡ ♣✉r✐❢②✐♥❣ r❡❢❡r❡♥❝❡ R ✐s ✐♥❞✐❝❛t❡❞ ❜② t❤❡
❞❛s❤❡❞ ❧✐♥❡✳
✭❆❧✐❝❡✱ ❇♦❜ ❛♥❞ ❈❤❛r❧✐❡✮ t❤❛t ❡❛❝❤ ♣♦ss❡ss ❛ q✉❜✐t✱ ♠❡❛s✉r❡ ❛♥ ♦❜s❡r✈❛❜❧❡ ♦❢ Q✱ ❝r❡❛t✐♥❣ t❤❡
❡♥t❛♥❣❧❡❞ st❛t❡ ρABC ✐♥ ✭✽✳✷✷✮✳ ❆❧✐❝❡ ❛♥❞ ❈❤❛r❧✐❡ ❡❛❝❤ ❛♠♣❧✐❢② t❤❡✐r q✉❜✐t ✇✐t❤ ❛ s❡❝♦♥❞
q✉❜✐t A ❛♥❞ C ✱ r❡s♣❡❝t✐✈❡❧②✱ ❛♥❞ t❤❡♥ s❡♥❞ t❤❡ r❡s✉❧ts ♦❢ t❤❡✐r ♠❡❛s✉r❡♠❡♥ts ✭t✇♦ ❝❧❛ss✐❝❛❧
❜✐ts i ❛♥❞ k ✮ t♦ ❇♦❜✳ ❇❛s❡❞ ♦♥ t❤❡ ✈❛❧✉❡s ♦❢ t❤❡ t✇♦ ❜✐ts✱ ❇♦❜ ❝❛♥ ♣❡r❢♦r♠ ♦♥❡ ♦❢ t❤❡
❢♦✉r ✉♥✐t❛r② tr❛♥s❢♦r♠❛t✐♦♥s✱ V (ik) ✱ ♦♥ ❤✐s q✉❜✐t B ✳ ❋♦❧❧♦✇✐♥❣ t❤❡s❡ ♦♣❡r❛t✐♦♥s✱ ❇♦❜ ❤❛s
♣r♦❞✉❝❡❞ t❤❡ ♣✉r❡ st❛t❡ |φ t❤❛t ✐s ✐♥ ❛ ♣r♦❞✉❝t st❛t❡ ✇✐t❤ t❤❡ r❡st ♦❢ t❤❡ s②st❡♠✳
❙✉♣♣♦s❡ t❤❛t t❤❡ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥ts ♦❢ Q ✇✐t❤ ❛♥❝✐❧❧❛❡ B ❛♥❞ C ✇❡r❡ ♦❢ ♦❜s❡r✈❛❜❧❡s ✇✐t❤
r❡❧❛t✐✈❡ ❛♥❣❧❡s θ = θ = π/4✳ ■♥ t❤✐s ❝❛s❡✱ t❤❡ ❢♦✉r ♣♦ss✐❜❧❡ st❛t❡s✱ |φik ✱ ♦❢ ❛♥❝✐❧❧❛ B ❛r❡

1
|φ00 = √ |0 − |1 ,
2
1
|φ01 = − √ |0 + |1 ,
2
1
|φ10 = √ |0 + |1 ,
2
1
|φ11 = − √ |0 − |1 .
2

✭✽✳✸✷✮

■❢ ✇❡ ❝❤♦♦s❡ t❤❡ ❞✐s❡♥t❛♥❣❧❡❞ st❛t❡ ♦❢ ❛♥❝✐❧❧❛ B t♦ ❜❡ |φ = |0 ✱ t❤❡ ❝♦rr❡s♣♦♥❞✐♥❣ ❝♦♥❞✐t✐♦♥❛❧

✷✵✸

♦♣❡r❛t♦rs ❛r❡ r♦t❛t✐♦♥s ❛❜♦✉t t❤❡ yˆ ❛①✐s ❜② ❛♥ ❛♥❣❧❡ ±π/2✱

1
V (00)† = √ ✶ + iY = Ryˆ(−π/2),
2
1
V (01)† = − √ ✶ − iY = −Ryˆ(π/2),
2
1
V (10)† = √ ✶ − iY = Ryˆ(π/2),
2
1
V (11)† = − √ ✶ + iY = −Ryˆ(−π/2).
2

✭✽✳✸✸✮

❲✐t❤ t❤❡s❡ tr❛♥s❢♦r♠❛t✐♦♥s✱ t❤❡ st❛t❡ ✭✽✳✷✷✮ ✐s ✇r✐tt❡♥ ❛s

ρABC =

1
4

|i i| ⊗ V (ik)† |0 0| V (ik) ⊗ |k k|.

✭✽✳✸✹✮

ik

❆♣♣❧②✐♥❣ t❤❡ ❢✉❧❧ ♦♣❡r❛t♦r ✭✽✳✷✽✮ t♦ t❤❡ st❛t❡ ✭✽✳✸✹✮ ❞✐s❡♥t❛♥❣❧❡s ❛♥❝✐❧❧❛ B ❢r♦♠ t❤❡ r❡st ♦❢
t❤❡ s②st❡♠✱

V ρABC V † =

1
1
✶A ⊗ |0 0| ⊗ ✶C ,
2
2

✭✽✳✸✺✮

✇❤❡r❡ 1/2 ✶ ❛r❡ ♠❛①✐♠❛❧❧② ♠✐①❡❞ st❛t❡s✳
◆♦t❡ t❤❛t ♦♥❡ ❝♦✉❧❞ ❛❧s♦ s❡❧❡❝t t❤❡ ❞✐s❡♥t❛♥❣❧❡❞ st❛t❡ t♦ ❜❡ |φ = √1 (|0 + |1 )✱ ✐♥st❡❛❞
2
♦❢ |φ = |0 ✐♥ t❤❡ ❡①❛♠♣❧❡ ❛❜♦✈❡✳ ❚❤❡♥✱ t❤❡ ❝♦rr❡s♣♦♥❞✐♥❣ s❡t ♦❢ ❝♦♥❞✐t✐♦♥❛❧ ♦♣❡r❛t♦rs ✭❢♦r
♠❡❛s✉r❡♠❡♥ts ❛t t❤❡ r❡❧❛t✐✈❡ ❛♥❣❧❡s θ = θ = π/4✮ ❝❛♥ ❜❡ ✇r✐tt❡♥ ❛s

V (00)† = Z,
V (01)† = −X,
✭✽✳✸✻✮

V (10)†

= ✶,

V (11)† = −ZX = −iY,
✐♥st❡❛❞ ♦❢ ✭✽✳✸✸✮✳
✷✵✹

■♥ ❛ ♠♦r❡ ❣❡♥❡r❛❧ q✉❜✐t s❝❡♥❛r✐♦✱ s✉♣♣♦s❡ ✇❡ ✐♠♣❧❡♠❡♥t t❤❡ ❞✐s❡♥t❛♥❣❧✐♥❣ ♦♣❡r❛t✐♦♥ ❜②
✜rst tr❛♥s❢♦r♠✐♥❣ |φ01 ✱ |φ10 ❛♥❞ |φ11 ✐♥t♦ |φ00 ✳ ■❢ ✇❡ ❛ss✉♠❡ r❡❛❧ ❝♦❡✣❝✐❡♥ts s♦ t❤❛t ✇❡
❛r❡ ✐♥ t❤❡ xz ♣❧❛♥❡ ♦❢ t❤❡ ❇❧♦❝❤ s♣❤❡r❡✱ t❤❡ ❢♦✉r ♥♦♥✲♦rt❤♦❣♦♥❛❧ st❛t❡s ♦❢ q✉❜✐t B ❛r❡

|φ00 = a |0 − b |1 ,
|φ11 = −b |0 + a |1 ,

✭✽✳✸✼✮

|φ01 = −c |0 − d |1 ,
|φ10 = d |0 + c |1 .
√

❍❡r❡✱ ✇❡ ❞❡✜♥❡❞ a = a/ a2 + b2 ✭❛♥❞ s✐♠✐❧❛r❧② ❢♦r t❤❡ ♦t❤❡r t❤r❡❡ ❝♦❡✣❝✐❡♥ts✮ ❛♥❞ ✇❤❡r❡

a = cos θ cos θ ✱ b = sin θ sin θ ✱ c = cos θ sin θ ❛♥❞ d = sin θ cos θ ✳ ❋✐rst✱ ✇❡ ♥♦t❡ t❤❛t t✇♦
♦❢ t❤❡ st❛t❡s ❝❛♥ ❜❡ ✇r✐tt❡♥ ✐♥ t❡r♠s ♦❢ t❤❡ ♦t❤❡r t✇♦ ❛s

|φ11 = X|φ00 ,

✭✽✳✸✽✮

|φ01 = −X|φ10 ,
s♦ t❤❛t ✇❡ ♦♥❧② ❤❛✈❡ t♦ ✜♥❞ ❛ r♦t❛t✐♦♥ ❢♦r |φ10 ✐♥t♦ |φ00 ✳ ❯s✐♥❣ t❤❡ r❡s✉❧ts ❢r♦♠ t❤❡ ♦♥❡✲❜✐t
❞✐s❡♥t❛♥❣❧✐♥❣ s❝❤❡♠❡✱ ✇❡ ✇r✐t❡ t❤❡ tr❛♥s❢♦r♠❛t✐♦♥ ❛s ❛ r♦t❛t✐♦♥ ❛❜♦✉t t❤❡ y ✲❛①✐s ❜② ❛♥ ❛♥❣❧❡

α = 2 cos−1 a d − b c .

✭✽✳✸✾✮

❚❤✉s✱ ✇✐t❤ t❤✐s s❡t ♦❢ tr❛♥s❢♦r♠❛t✐♦♥s✱ q✉❜✐t B ❡♥❞s ✐♥ t❤❡ st❛t❡ |φ00 ✳

✽✳✹ ❊①❛♠♣❧❡s ♦❢ ❉✐s❡♥t❛♥❣❧✐♥❣ ❖♣❡r❛t✐♦♥s
■t t✉r♥s ♦✉t t❤❛t ♠❛♥② q✉❛♥t✉♠ ♣r♦t♦❝♦❧s ✉t✐❧✐③❡ ❛ ❞✐s❡♥t❛♥❣❧✐♥❣ s❝❤❡♠❡ s✐♠✐❧❛r t♦ ✇❤❛t
✇❛s ❞❡s❝r✐❜❡❞ ♣r❡✈✐♦✉s❧②✳ ❍❡r❡✱ ✇❡ ❞✐s❝✉ss t✇♦ ✇❡❧❧✲❦♥♦✇♥ ❡①❛♠♣❧❡s✱ t❤❡ ●❛r✐st♦✲❍❛r❞②

✷✵✺

❞✐s❡♥t❛♥❣❧❡♠❡♥t ❡r❛s❡r ❛♥❞ t❤❡ t❡❧❡♣♦rt❛t✐♦♥ ♣r♦t♦❝♦❧✳

✽✳✹✳✶ ◗✉❛♥t✉♠ ❉✐s❡♥t❛♥❣❧❡♠❡♥t ❊r❛s❡rs
❚❤❡ ❞✐s❡♥t❛♥❣❧❡♠❡♥t ❡r❛s❡r ✇❛s ❢♦r♠✉❧❛t❡❞ ❜② ●❛r✐st♦ ❛♥❞ ❍❛r❞② ✐♥ ✶✾✾✾ ❬✶✻✹❪ ❛s ❛ ✇❛②
t♦ r❡❝♦✈❡r ❡♥t❛♥❣❧❡♠❡♥t ✐♥ ❛ q✉❛♥t✉♠ s②st❡♠ t❤❛t ✇❛s ❞❡str♦②❡❞ t❤r♦✉❣❤ ❛❞❞✐t✐♦♥❛❧ ❝♦r✲
r❡❧❛t✐♦♥s ✇✐t❤ ❛♥♦t❤❡r s②st❡♠✳ ■♥ t❤❡ ❞✐s❡♥t❛♥❣❧❡♠❡♥t ❡r❛s❡r✱ ✇❡ st❛rt ✇✐t❤ t❤❡ ❡♥t❛♥❣❧❡❞
st❛t❡

1
|AB = √ |00 + |11 .
2

✭✽✳✹✵✮

❆❞❞✐t✐♦♥❛❧ ❝♦rr❡❧❛t✐♦♥s ❛r❡ ✐♥tr♦❞✉❝❡❞ ❜② t❛❣❣✐♥❣ t❤❡ ❝♦♠♣♦♥❡♥ts ♦❢ t❤✐s st❛t❡ ✇✐t❤ ❛ t❛❣❣❡r
q✉❜✐t T ✉s✐♥❣ ❛ ❝♦♥tr♦❧❧❡❞✲♥♦t ❣❛t❡ ✭A ♦r B ❝❛♥ ❜❡ t❤❡ ❝♦♥tr♦❧ q✉❜✐t✮✿

1
UCN OT |AB |0 T = |ABT = √ |000 + |111 .
2

✭✽✳✹✶✮

❚❤❡ ✐♥✐t✐❛❧ ❡♥t❛♥❣❧❡♠❡♥t ♦❢ AB ❤❛s ❜❡❡♥ ❞❡str♦②❡❞ s✐♥❝❡ ✐t ❤❛s ❜❡❝♦♠❡ ❝♦♠♣❧❡t❡❧② ♠✐①❡❞✱

ρAB = 21 (|00 00| + |11 11|)✳
❚❤❡ ❡♥t❛♥❣❧❡♠❡♥t ❝❛♥ ❜❡ r❡st♦r❡❞ ❜② ♠❡❛s✉r✐♥❣ t❤❡ t❛❣❣❡r T ✇✐t❤ ❛♥♦t❤❡r ❛♥❝✐❧❧❛ T ✐♥

√

s♦♠❡ ❜❛s✐s✳ ■❢ ♦♥❡ ❝❤♦♦s❡s t❤❡ ❜❛s✐s |± T = (|0 T ± |1 T )/ 2 t❤❡♥ t❤❡ ❥♦✐♥t st❛t❡ ❜❡❝♦♠❡s

U |ABT |+ T = |ABT T
1 |00 AB + |11 AB
|00 AB − |11 AB
√
√
=√
| + + TT +
| − − TT
2
2
2

✭✽✳✹✷✮

.

■❢ ♦♥❡ r❡❣✐st❡rs t❤❡ ♦✉t❝♦♠❡ |+ T ✱ t❤❡♥ t❤❡ ❡♥t❛♥❣❧❡❞ st❛t❡ |00 AB +|11 AB ✐s ❢✉❧❧② r❡❝♦✈❡r❡❞✳

✷✵✻

A

V

B
T

|AB〉

❋✐❣✉r❡ ✽✳✺✿ ●❛r✐st♦✲❍❛r❞② ❞✐s❡♥t❛♥❣❧❡♠❡♥t ❡r❛s❡r✳ ❆❢t❡r t❛❣❣✐♥❣ ✇✐t❤ s②st❡♠ T t❤❡ ❡♥t❛♥✲
❣❧❡♠❡♥t ♦❢ AB ✭✐♥❞✐❝❛t❡❞ ❜② t❤❡ ❞❛s❤❡❞ ❧✐♥❡✮ ✐s ❧♦st✳ ▼❡❛s✉r✐♥❣ T ✇✐t❤ T ✐♥ ❛ r♦t❛t❡❞ ❜❛s✐s
❛♥❞ ❛♣♣❧②✐♥❣ ❛ ❝♦♥❞✐t✐♦♥❛❧ ✉♥✐t❛r② t♦ AB r❡st♦r❡s t❤❡ ♦r✐❣✐♥❛❧ ❡♥t❛♥❣❧❡❞ st❛t❡ |AB ✳
❍♦✇❡✈❡r✱ ❢♦r t❤❡ ♦✉t❝♦♠❡ |− T ✱ ❛ ♣❤❛s❡ s❤✐❢t r❡st♦r❡s t❤❡ ❡♥t❛♥❣❧❡♠❡♥t✿

1
|ABT T = √
2

|00 AB + |11 AB
|00 AB + |11 AB
√
√
|++ T T + ✶A ⊗ σz
|−− T T
2
2

. ✭✽✳✹✸✮

❈♦♥❞✐t✐♦♥❛❧ ♦♥ t❤❡ ♦✉t❝♦♠❡ ♦❢ t❤❡ T ♠❡❛s✉r❡♠❡♥t✱ ♦♥❡ ❛♣♣❧✐❡s t❤❡ ❛♣♣r♦♣r✐❛t❡ ✉♥✐t❛r② t♦

AB t♦ ♦❜t❛✐♥

V |ABT T

=

|00 AB + |11 AB
√
2

| + + TT + | − − TT
√
2

.

✭✽✳✹✹✮

❚❤✉s✱ A ❛♥❞ B ❛r❡ r❡st♦r❡❞ t♦ t❤❡✐r ✐♥✐t✐❛❧ ❡♥t❛♥❣❧❡❞ st❛t❡✳ ❚❤❡ ❝♦♥❞✐t✐♦♥❛❧ ✉♥✐t❛r② t❤❛t
✐♠♣❧❡♠❡♥ts t❤❡ ❞✐s❡♥t❛♥❣❧✐♥❣ ♦♣❡r❛t✐♦♥s ❝❛♥ ❜❡ ✇r✐tt❡♥ ❛s

V = ✶T ⊗ ✶A ⊗ ✶B ⊗ |+ T +| + ✶A ⊗ σz ⊗ |− T −| .

❆ q✉❛♥t✉♠ ❝✐r❝✉✐t ❞✐❛❣r❛♠ ❢♦r t❤❡ ❞✐s❡♥t❛♥❣❧❡♠❡♥t ❡r❛s❡r ✐s s❤♦✇♥ ✐♥ ❋✐❣✳ ✽✳✺✳

✷✵✼

✭✽✳✹✺✮

✽✳✹✳✷ ◗✉❛♥t✉♠ ❚❡❧❡♣♦rt❛t✐♦♥
❚❤❡ st❛♥❞❛r❞ t❡❧❡♣♦rt❛t✐♦♥ ♣r♦t♦❝♦❧ ✇❛s ♣r❡s❡♥t❡❞ ♣r❡✈✐♦✉s❧② ✐♥ ❈❤✳ ✷✳ ❘❡❝❛❧❧ ❢r♦♠ ✭✷✳✸✺✮
t❤❛t t❤❡ ✐♥✐t✐❛❧ st❛t❡ ♦❢ t❤❡ ✉♥❦♥♦✇♥ q✉❜✐t ❛♥❞ t❤❡ s❤❛r❡❞ ❡♥t❛♥❣❧❡❞ ♣❛✐r ✐s

|ψ ⊗ |β00 =

1
|βz x ⊗ V (zx)† |ψ ,
2 zx

✭✽✳✹✻✮

✇❤❡r❡ V (zx)† = X x Z z ✳ ■♥ t❤✐s ❢♦r♠✱ ✐t ✐s ❝❧❡❛r t❤❛t t❤❡ ❝♦♥❞✐t✐♦♥❛❧ ✉♥✐t❛r② ♦♣❡r❛t♦r t❤❛t
❞✐s❡♥t❛♥❣❧❡s ❇♦❜✬s q✉❜✐t ✐s

Pzx ⊗ V (zx) ,

V =

✭✽✳✹✼✮

zx

✇❤❡r❡ Pzx = |βzx βzx | ❛r❡ ♣r♦❥❡❝t♦rs ✐♥ t❤❡ ❇❡❧❧ ❜❛s✐s✳ ❆❢t❡r ❛♣♣❧②✐♥❣ ✭✽✳✹✼✮ t♦ ✭✽✳✹✻✮✱
❇♦❜✬s q✉❜✐t ✐s ❞✐s❡♥t❛♥❣❧❡❞ ❛♥❞ ✐s ✐♥ t❤❡ st❛t❡ |ψ ✳

✽✳✺ ❯♥❞♦✐♥❣ ◗✉❛♥t✉♠ ▼❡❛s✉r❡♠❡♥ts
❆ ♥❛t✉r❛❧ q✉❡st✐♦♥ t❤❛t ✇❡ ♠✐❣❤t ❛s❦ ✐s ✇❤❛t t❤❡ st❛t❡ ♦❢ t❤❡ q✉❛♥t✉♠ s②st❡♠ ✐s ❛❢t❡r t❤❡
❞✐s❡♥t❛♥❣❧✐♥❣ ♣r♦❝❡ss✳ ❙♣❡❝✐✜❝❛❧❧②✱ ✇❤❡t❤❡r ✐t ✐s ❡q✉✐✈❛❧❡♥t t♦ t❤❡ s✐t✉❛t✐♦♥ ✇❤❡r❡ ❝❡rt❛✐♥
♠❡❛s✉r❡♠❡♥ts ✇❡r❡ ♥❡✈❡r ♣❡r❢♦r♠❡❞ s♦ t❤❛t t❤❡ ❞✐s❡♥t❛♥❣❧✐♥❣ ♦♣❡r❛t✐♦♥ ✐s ❡q✉✐✈❛❧❡♥t t♦
✉♥❞♦✐♥❣ ❛ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥t✳ ❋♦r ❡①❛♠♣❧❡✱ r❡❝❛❧❧ t❤❡ s✐♠♣❧❡ ❝❛s❡ ♦❢ t✇♦ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥ts ♦♥ ❛
♣r❡♣❛r❡❞ q✉❛♥t✉♠ s②st❡♠✳ ❆❢t❡r ❞✐s❡♥t❛♥❣❧✐♥❣ ❛♥❝✐❧❧❛ A✱ t❤❡ ✇❛✈❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ ✐s

V |QAB =

αj |bj j ⊗ |ψ ,
j

✷✵✽

✭✽✳✹✽✮

✇❤❡r❡ t❤❡ ❛♠♣❧✐t✉❞❡s s❛t✐s❢②

|αj |2 =

|αi |2 |Uij |2 .

✭✽✳✹✾✮

i

■❢ t❤❡ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥t ✇✐t❤ A ❤❛❞ ♥❡✈❡r ♦❝❝✉rr❡❞✱ ❛♥❞ ✐♥st❡❛❞ ✇❡ ♦♥❧② ♠❡❛s✉r❡❞ Q ✉s✐♥❣

B ✱ t❤❡ r❡s✉❧t✐♥❣ ✇❛✈❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ ✇♦✉❧❞ ❤❛✈❡ ❜❡❡♥

αj |bj j ,

|QB =

✭✽✳✺✵✮

j

✇✐t❤ ❛♠♣❧✐t✉❞❡s t❤❛t s❛t✐s❢②
2

|αj |2 =

αi Uij .

✭✽✳✺✶✮

i

❚❤❡ ❞✐✛❡r❡♥❝❡ ❜❡t✇❡❡♥ ✭✽✳✹✾✮ ❛♥❞ ✭✽✳✺✶✮ ✐s t❤❛t t❤❡ ❛♠♣❧✐t✉❞❡s ✐♥ t❤❡ ❞✐s❡♥t❛♥❣❧❡❞ st❛t❡ ❛r❡
❛♥ ✐♥❝♦❤❡r❡♥t s✉♠ ♦❢ t❡r♠s✱ r❡✢❡❝t✐♥❣ t❤❡ ❢❛❝t t❤❛t ❛ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥t ♦❢ Q ❤❛❞ ❜❡❡♥ ♣❡r❢♦r♠❡❞
❜❡❢♦r❡ B ✳ ❚❤✉s✱ t❤❡ ❞✐s❡♥t❛♥❣❧✐♥❣ ♦♣❡r❛t✐♦♥ ✐s ♥♦t ❡q✉✐✈❛❧❡♥t t♦ ✉♥❞♦✐♥❣ ♣❛st ♠❡❛s✉r❡♠❡♥ts✳
❚❤✐s ♠❡❛♥s t❤❛t ✐❢ t❤❡ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥t ✇✐t❤ A r❡♣r❡s❡♥t❡❞ ❛♥ ✏❡rr♦r✑ ✐♥ ❛ q✉❛♥t✉♠ ❛❧❣♦r✐t❤♠✱
t❤❡♥ ❞✐s❡♥t❛♥❣❧✐♥❣ A ❞♦❡s ♥♦t r❡s❡t t❤❡ st❛t❡ ♦❢ QB t♦ t❤❡ ♣r❡✲❡rr♦r st❛t❡✱ ❛♥❞ ❝❛♥♥♦t ❜❡
✉s❡❞ ❛s ❛♥ ❡rr♦r✲❝♦rr❡❝t✐♥❣ ♣r♦t♦❝♦❧✳

✽✳✻ ❊①tr❛❝t✐♥❣ ❊♥t❛♥❣❧❡♠❡♥t
❚❤❡ s❝❤❡♠❡s ✐♥ t❤❡ ♣r❡✈✐♦✉s s❡❝t✐♦♥s ❝❛♥ ❜❡ ❡①t❡♥❞❡❞ t♦ ❞✐s❡♥t❛♥❣❧❡ ♠✉❧t✐✲q✉❞✐t ❡♥t❛♥❣❧❡❞
st❛t❡s✳ ❍❡r❡✱ ✇❡ ❝♦♥s✐❞❡r t❤r❡❡ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥ts ♦❢ ❛ ♣r❡♣❛r❡❞ q✉❛♥t✉♠ s②st❡♠✱ ❢r♦♠ ✇❤✐❝❤
❛♥ ❡♥t❛♥❣❧❡❞ st❛t❡ ♦❢ AB ❝❛♥ ❜❡ ❡①tr❛❝t❡❞✳ ❘❡❝❛❧❧ ❢r♦♠ ❈❤✳ ✼✳✷✳✶ t❤❛t t❤❡ ❛♥❝✐❧❧❛ ❞❡♥s✐t②

✷✵✾

♠❛tr✐① ❛❢t❡r s✉❝❤ ❛ s❡t ♦❢ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥ts ✐s

qk |ψk ψk | ⊗ |k k|,

ρABC =

✭✽✳✺✷✮

k

✇❤❡r❡

αk |ψk =

αi Uij Ujk |ij ,

✭✽✳✺✸✮

|αi |2 |Uij |2 |Ujk |2 .

✭✽✳✺✹✮

ij

❛♥❞

|αk |2 = qk =
ij

❋♦r ✐♥st❛♥❝❡✱ ❢♦r θ = π/4✱ t❤❡ t✇♦ ❝♦♥❞✐t✐♦♥❛❧ st❛t❡s ♦❢ AB ✐♥ ❊q✳ ✭✽✳✺✷✮ ❛r❡

|ψ0 = a|00 + b|01 + c|10 + d|11 ,

✭✽✳✺✺✮

|ψ1 = b|00 − a|01 − d|10 + c|11 ,
✇❤❡r❡ a = α0 cos θ ✱ b = −α0 sin θ ✱ c = α1 cos θ ❛♥❞ d = α1 sin θ ✳ ■t ✐s str❛✐❣❤t❢♦r✇❛r❞ t♦
s❤♦✇ t❤❛t ❛♣♣❧②✐♥❣ −Z ⊗ iY t♦ t❤❡ s❡❝♦♥❞ st❛t❡ ②✐❡❧❞s t❤❡ ✜rst st❛t❡✿

(−Z ⊗ iY ) |ψ1 = |ψ0 .

✭✽✳✺✻✮

❚❤✉s✱ t❤❡ ♦♣❡r❛t♦r

Z k ⊗ (−iY )k ⊗ |k k|

V =

✭✽✳✺✼✮

k

= ✶ ⊗ ✶ ⊗ |0 0| − Z ⊗ iY ⊗ |1 1|,

✷✶✵

1

SE 1/2
α0

2

1/8
1/4
1/2

0
π/8

0

π/4

θʹ
❋✐❣✉r❡ ✽✳✻✿ ❊♥t❛♥❣❧❡♠❡♥t ❡♥tr♦♣② SE ♦❢ t❤❡ ❞✐s❡♥t❛♥❣❧❡❞ st❛t❡ |ψ0 ♦❢ A ❛♥❞ B ✐♥ ✭✽✳✺✺✮✳
❚❤r❡❡ ❝✉r✈❡s ♣❧♦tt❡❞ ❛s ❛ ❢✉♥❝t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ s❡❝♦♥❞ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥t ❛♥❣❧❡ θ ✭✇✐t❤ θ = π/4✮
❢♦r ❞✐✛❡r❡♥t
√ ❛♠♣❧✐t✉❞❡s α0 ♦❢ t❤❡ ✐♥✐t✐❛❧ q✉❛♥t✉♠ st❛t❡✳ ▼❛①✐♠✉♠ ❡♥t❛♥❣❧❡♠❡♥t ♦❝❝✉rs ❛t
α0 = 1/ 2 ❛♥❞ θ = π/4✳
❧❡❛✈❡s t❤❡ st❛t❡ ρABC ❞✐s❡♥t❛♥❣❧❡❞✱

1
V ρABC V † = |ψ0 ψ0 | ⊗ ✶C .
2

✭✽✳✺✽✮

■♥ t❤✐s ✇❛②✱ ❛ t✇♦✲q✉❜✐t ❡♥t❛♥❣❧❡❞ st❛t❡ ✐s ❡①tr❛❝t❡❞ ❢r♦♠ t❤❡ ❛♥❝✐❧❧❛ ❝❤❛✐♥✳ ❚❤❡ ❡♥t❛♥❣❧❡♠❡♥t
♦❢ |ψ0 ✐♥ ✭✽✳✺✺✮ ✐s ❝❤❛r❛❝t❡r✐③❡❞ ❜② t❤❡ ❡♥t❛♥❣❧❡♠❡♥t ❡♥tr♦♣② SE ✱ ❝♦♠♣✉t❡❞ ❢r♦♠ t❤❡ ❡♥tr♦♣②
♦❢ t❤❡ r❡❞✉❝❡❞ ❞❡♥s✐t② ♠❛tr✐① ❢♦r A ♦r B ✳ ❚❤✐s ✐s s❤♦✇♥ ✐♥ ❋✐❣✳ ✽✳✻ ❛s ❛ ❢✉♥❝t✐♦♥ ♦❢ t❤❡
♠❡❛s✉r❡♠❡♥t ❛♥❣❧❡ θ ✳ ❊✈✐❞❡♥t❧②✱ ✐♥❝r❡❛s✐♥❣ θ ♣r♦❞✉❝❡s ❛ st❛t❡ t❤❛t ✐s ♠♦r❡ ❡♥t❛♥❣❧❡❞✳ ■♥

√

♣❛rt✐❝✉❧❛r✱ ❛ ♠❛①✐♠❛❧❧② ❡♥t❛♥❣❧❡❞ st❛t❡ ✐s ♣r♦❞✉❝❡❞ ✇❤❡♥ α0 = 1/ 2 ❛♥❞ θ = π/4✳

✽✳✼ ●❡♥❡r❛t✐♥❣ ❘❡♠♦t❡ ❊♥t❛♥❣❧❡♠❡♥t
❙❤❛r❡❞ ❡♥t❛♥❣❧❡♠❡♥t ❜❡t✇❡❡♥ s♣❛t✐❛❧❧② s❡♣❛r❛t❡❞ s②st❡♠s ✐s ❛♥ ❡ss❡♥t✐❛❧ r❡s♦✉r❝❡ ❢♦r q✉❛♥✲
t✉♠ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥ ♣r♦❝❡ss✐♥❣ ✐♥❝❧✉❞✐♥❣ ❧♦♥❣✲❞✐st❛♥❝❡ q✉❛♥t✉♠ ❝r②♣t♦❣r❛♣❤② ❛♥❞ t❡❧❡♣♦rt❛✲
✷✶✶

t✐♦♥✳ ❍❡r❡✱ ■ ❞❡s❝r✐❜❡ ❛ ♣r♦t♦❝♦❧ ❢♦r ❣❡♥❡r❛t✐♥❣ ❛ ♠❛①✐♠❛❧❧② ❡♥t❛♥❣❧❡❞ st❛t❡ ❜❡t✇❡❡♥ r❡♠♦t❡
❧♦❝❛t✐♦♥s t❤❛t r❡q✉✐r❡s ♦♥❧② ❧♦❝❛❧ ♦♣❡r❛t✐♦♥s ❛♥❞ ❞♦❡s ♥♦t r❡❧② ♦♥ ❝♦♠♠✉♥✐❝❛t✐♦♥ ❜❡t✇❡❡♥
t❤❡ s❡♣❛r❛t❡❞ ♣❛rt✐❡s✳
▼✉❝❤ ♦❢ q✉❛♥t✉♠ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥ ♣r♦❝❡ss✐♥❣ r❡❧✐❡s ♦♥ ❡♥t❛♥❣❧❡♠❡♥t ❛s ❛ r❡s♦✉r❝❡✳ ❋♦r ❡①❛♠✲
♣❧❡✱ ❡♥t❛♥❣❧❡♠❡♥t t❤❛t ✐s s❤❛r❡❞ ❜❡t✇❡❡♥ ❞✐st❛♥t ♣❛rt✐❡s ✐s ♥❡❝❡ss❛r② t♦ ✐♠♣❧❡♠❡♥t ❊❦❡rt✬s
q✉❛♥t✉♠ ❦❡② ❞✐str✐❜✉t✐♦♥ ♣r♦t♦❝♦❧ ❢♦r s❡❝✉r❡ ❝♦♠♠✉♥✐❝❛t✐♦♥ ❬✷✷✷❪✱ t♦ tr❛♥s❢❡r q✉❛♥t✉♠
st❛t❡s ✉s✐♥❣ t❡❧❡♣♦rt❛t✐♦♥ ❬✼❪✱ ♦r t♦ ❡st❛❜❧✐s❤ ❧❛r❣❡✲s❝❛❧❡ q✉❛♥t✉♠ ♥❡t✇♦r❦s✳ ❘❡♠♦t❡ ❡♥t❛♥✲
❣❧❡♠❡♥t ❣❡♥❡r❛t✐♦♥ ❤❛s ❜❡❡♥ r❡❛❧✐③❡❞ ✐♥ ♠❛♥② s②st❡♠s s✉❝❤ ❛s ✇✐t❤ ♦♣t✐❝❛❧ ♣❤♦t♦♥s ❬✷✷✸✕✷✷✺❪✱
t❤❡ ♥✐tr♦❣❡♥ ✈❛❝❛♥❝② ❝❡♥t❡rs ♦❢ s♦❧✐❞ st❛t❡ q✉❜✐ts ❬✷✷✻❪✱ ❛♥❞ s✉♣❡r❝♦♥❞✉❝t✐♥❣ q✉❜✐ts ❬✷✷✼✕✷✷✾❪✳
■ ❞❡s❝r✐❜❡ ❛ ♠❡t❤♦❞ ❢♦r ❞❡t❡r♠✐♥✐st✐❝❛❧❧② ❣❡♥❡r❛t✐♥❣ r❡♠♦t❡ ❡♥t❛♥❣❧❡♠❡♥t ❜❡t✇❡❡♥ t✇♦
q✉❜✐ts ✉s✐♥❣ ❧♦❝❛❧ ♦♣❡r❛t✐♦♥s ♦♥ ♣❛✐rs ♦❢ s❡♣❛r❛t❡❞ q✉❜✐ts✳ ■ ❝♦♥s✐❞❡r t✇♦ ✈❡rs✐♦♥s✖♦♥❡ ✇✐t❤
❛♥❞ ♦♥❡ ✇✐t❤♦✉t ❝❧❛ss✐❝❛❧ ❝♦♠♠✉♥✐❝❛t✐♦♥✖❛♥❞ s❤♦✇ ❤♦✇ t❤❡ ❞❡❣r❡❡ ♦❢ ❡♥t❛♥❣❧❡♠❡♥t ❝r❡❛t❡❞
❝❛♥ ❜❡ t✉♥❡❞ ❜② t❤❡ ❝❤♦✐❝❡ ♦❢ ❡♥❝♦❞✐♥❣ ♣❛r❛♠❡t❡rs✳

✽✳✼✳✶ ❊♥❝♦❞✐♥❣ ❙❝❤❡♠❡
❚♦ ❣❡♥❡r❛t❡ r❡♠♦t❡ ❡♥t❛♥❣❧❡♠❡♥t✱ ❢♦✉r ❛♥❝✐❧❧❛r② q✉❜✐ts A✱ B ✱ C ✱ ❛♥❞ D ❛r❡ ✜rst ❡♥❝♦❞❡❞ ✈✐❛
❛ s❡q✉❡♥❝❡ ♦❢ ✉♥❛♠♣❧✐✜❡❞ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥ts ❬✼✵❪ ♦❢ ❛ q✉❛♥t✉♠ s②st❡♠ Q✳ ❙✉❝❤ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥ts
❛r❡ ❡q✉✐✈❛❧❡♥t t♦ t❤❡ ✉♥✐t❛r② ❡♥t❛♥❣❧✐♥❣ ♦♣❡r❛t✐♦♥s ✐♠♣❧❡♠❡♥t❡❞ ✐♥ ✇❡❛❦ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥ts ❬✷✸✱
✷✹✱✶✵✻✱✶✶✻✱✶✶✽✱✶✶✾❪ ✭s❡❡ ❈❤✳ ✺✮✱ ❜✉t t❤❡ ✐♥t❡r❛❝t✐♦♥ ❝♦♥s✐❞❡r❡❞ ❤❡r❡ ✐s str♦♥❣ ✭s❡❡✱ ❡✳❣✳✱ ❬✶✶✼✱
✶✸✾❪✮✳ ❋♦❧❧♦✇✐♥❣ t❤❡ ❡♥❝♦❞✐♥❣✱ ❧♦❝❛❧ ♦♣❡r❛t✐♦♥s ❛r❡ ♣❡r❢♦r♠❡❞ ♦♥ t❤❡ q✉❜✐t ♣❛✐rs AB ❛♥❞

CD✱ ✇❤✐❝❤ ❛r❡ s♣❛t✐❛❧❧② s❡♣❛r❛t❡❞ ❢r♦♠ ❡❛❝❤ ♦t❤❡r✱ s✉❝❤ t❤❛t ❛ s❤❛r❡❞ ❡♥t❛♥❣❧❡❞ st❛t❡ ♦❢
BC ✐s ♣r♦❞✉❝❡❞✳ ❚❤❡ ❡♥t❛♥❣❧❡♠❡♥t ♦❢ t❤✐s st❛t❡ ✐s ✇✐❧❧ ❞❡♣❡♥❞ ♦♥ t❤❡ ❞❡t❛✐❧s ♦❢ t❤❡ ❢♦✉r
♠❡❛s✉r❡♠❡♥ts✳
❚❤❡ ❞❡♥s✐t② ♠❛tr✐① ♦❢ t❤❡ q✉❜✐t q✉❛♥t✉♠ s②st❡♠✱ Q✱ ✐s t❛❦❡♥ t♦ ❜❡ ♣r♦♣♦rt✐♦♥❛❧ t♦ t❤❡
✷✶✷

✐❞❡♥t✐t② ♠❛tr✐①✱ ρQ = 12 ✶✱ s♦ t❤❛t ✐t ✐s ❛ ♠❛①✐♠✉♠ ❡♥tr♦♣② st❛t❡✳ ❚❤❡ ❢♦✉r ❝♦♥s❡❝✉t✐✈❡
❡♥t❛♥❣❧✐♥❣ ♦♣❡r❛t✐♦♥s ❜❡t✇❡❡♥ t❤❡ q✉❛♥t✉♠ s②st❡♠ ❛♥❞ t❤❡ ❛♥❝✐❧❧❛r② q✉❜✐ts ❧❡❛❞ t♦ t❤❡
t♦t❛❧ ✇❛✈❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ ❬✺✾✱ ✼✵❪✱

1
|QRABCD = √
Uij Ujk Uk | i ijk ,
2 ijk

✭✽✳✺✾✮

✇❤❡r❡ t❤❡ ✐♥✐t✐❛❧ ♠✐①❡❞ st❛t❡ ♦❢ Q ❤❛s ❜❡❡♥ ♣✉r✐✜❡❞ ✇✐t❤ ❛ r❡❢❡r❡♥❝❡ R ❛♥❞ ❡❛❝❤ s②st❡♠ ✐s
♦❢ ❞✐♠❡♥s✐♦♥ t✇♦✳ ❚❤❡ ♠❡❛s✉r❡❞ ♦❜s❡r✈❛❜❧❡s ❛r❡ ❝❤❛r❛❝t❡r✐③❡❞ ❜② t❤❡ ♠❛tr✐① ❡❧❡♠❡♥ts ♦❢ U ✱

U ✱ ❛♥❞ U ✳ ❚❤❛t ✐s✱ t❤❡ ❡✐❣❡♥❜❛s✐s ♦❢ t❤❡ ✜rst ♦❜s❡r✈❛❜❧❡ ✐s r♦t❛t❡❞ r❡❧❛t✐✈❡ t♦ t❤❡ ❡✐❣❡♥❜❛s✐s
♦❢ t❤❡ s❡❝♦♥❞ ✈✐❛ |i =

j

Uij |j ✱ ❛♥❞ s✐♠✐❧❛r❧② ❢♦r t❤❡ t❤✐r❞ ❛♥❞ ❢♦✉rt❤ ♦❜s❡r✈❛❜❧❡s ✇✐t❤

U ❛♥❞ U ✳ ❙✐♥❝❡ t❤❡ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥ts ❛r❡ str♦♥❣✱ t❤❡ ✜♥❛❧ st❛t❡s ♦❢ t❤❡ ❛♥❝✐❧❧❛r② q✉❜✐ts✱
|i A ✱ |j B ✱ |k C ✱ ❛♥❞ | D ✱ ❛r❡ ♦rt❤♦❣♦♥❛❧✳ ■❢ ✇❡ ❝♦♥s✐❞❡r ♦♥❧② ♠❡❛s✉r❡♠❡♥ts ♦❢ ♦❜s❡r✈❛❜❧❡s
❝♦rr❡s♣♦♥❞✐♥❣ t♦ t❤❡ xz ♣❧❛♥❡ ♦❢ t❤❡ ❇❧♦❝❤ s♣❤❡r❡✱ s✉❝❤ ❛ tr❛♥s❢♦r♠❛t✐♦♥ ❝❛♥ ❜❡ ✐♠♣❧❡♠❡♥t❡❞
✇✐t❤ ❛ r♦t❛t✐♦♥ ❜② ❛♥ ❛♥❣❧❡ θ ❛❝❝♦r❞✐♥❣ t♦

U=

❛♥❞ s✐♠✐❧❛r❧② ❢♦r U ❛♥❞ U

cos θ
sin θ

− sin θ
,
cos θ

✭✽✳✻✵✮

✇✐t❤ ❛♥❣❧❡s θ ❛♥❞ θ ✱ r❡s♣❡❝t✐✈❡❧②✳

❚❤❡ ❡♥❝♦❞✐♥❣ ♦♣❡r❛t✐♦♥ st❛rts ❜② ✜rst ❡♥t❛♥❣❧✐♥❣ q✉❜✐ts A ❛♥❞ B ✇✐t❤ Q✱ ✇✐t❤ ❛ r❡❧❛t✐✈❡
❛♥❣❧❡ ♦❢ θ ❜❡t✇❡❡♥ t❤❡ ✜rst t✇♦ ♦❜s❡r✈❛❜❧❡s✱ ❛♥❞ s❡♥❞✐♥❣ t❤❡♠ t♦ ❆❧✐❝❡✳ ◗✉❜✐ts C ❛♥❞ D ❛r❡
s✉❜s❡q✉❡♥t❧② ❡♥t❛♥❣❧❡❞ ✇✐t❤ Q✱ ✇✐t❤ ❛ r❡❧❛t✐✈❡ ❛♥❣❧❡ θ

❜❡t✇❡❡♥ t❤❡ ❧❛st t✇♦ ♦❜s❡r✈❛❜❧❡s✱

❛♥❞ ❛r❡ s❡♥t t♦ ❇♦❜✳ ❆s ✇❡ ✇✐❧❧ s❡❡✱ t❤❡ ✐♥t❡r♠❡❞✐❛t❡ ❛♥❣❧❡ θ ❝❛♥ ❜❡ ❧❡❢t ❛r❜✐tr❛r② ✐♥ t❤❡
♣r♦t♦❝♦❧ s♦ t❤❛t ✐t ✐s ♥♦t ♥❡❝❡ss❛r② ❢♦r ❆❧✐❝❡ ♦r ❇♦❜ t♦ ❦♥♦✇ t❤❡ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥t ❜❛s❡s t❤❡
♦t❤❡r ❝❤♦s❡✳
❚❤❡ ❝♦❤❡r❡♥❝❡ ♦❢ t❤❡ ❝❤❛✐♥ ♦❢ ❛♥❝✐❧❧❛r② q✉❜✐ts ✇✐❧❧ ❜❡ ✉s❡❞ t♦ ❝r❡❛t❡ t❤❡ r❡♠♦t❡ ❡♥t❛♥✲

✷✶✸

❣❧❡♠❡♥t✳ ❚❤❡✐r ❥♦✐♥t st❛t❡ ❝❛♥ ❜❡ ✇r✐tt❡♥ ✐♥ t❡r♠s ♦❢ ❛ ♥❡✇ ❜❛s✐s ❢♦r B ❛♥❞ C s✉❝❤ t❤❛t
tr❛❝✐♥❣ ✭✽✳✺✾✮ ♦✈❡r Q ❛♥❞ R ✐t ❛♣♣❡❛rs ❛s

ρABCD =

1
2

pi |i i| ⊗ |φi

φi | ⊗ |

|.

✭✽✳✻✶✮

i

❚❤❡ ❢♦✉r ♥♦♥✲♦rt❤♦❣♦♥❛❧ st❛t❡s ♦❢ BC ✱

i

|φi

=

Uij Ujk Uk |jk ,

✭✽✳✻✷✮

|Uij |2 |Ujk |2 |Uk |2 .

✭✽✳✻✸✮

jk

❛r❡ ♥♦r♠❛❧✐③❡❞ ❛❝❝♦r❞✐♥❣ t♦

pi = | i |2 =
jk

❈♦♥s✐st❡♥t ✇✐t❤ t❤❡ ❝❤♦✐❝❡ ♦❢ ❡♥❝♦❞✐♥❣ ♣❛r❛♠❡t❡rs ✭θ ✱ θ ✱ ❛♥❞ θ ✮ ❆❧✐❝❡ ❛♥❞ ❇♦❜ ❝♦♥str✉❝t
❛ s❡t ♦❢ ❝♦♥❞✐t✐♦♥❛❧ ✉♥✐t❛r② ♦♣❡r❛t✐♦♥s t♦ ♣❡r❢♦r♠ ❧♦❝❛❧❧② ♦♥ t❤❡✐r ♣❛✐rs ♦❢ q✉❜✐ts ✭AB ❛♥❞

CD✮ t♦ ❣❡♥❡r❛t❡ r❡♠♦t❡ ❡♥t❛♥❣❧❡♠❡♥t✳ ❆t t❤❡ ❡♥❞ t❤❡② s❤❛r❡ ❛♥ ❡♥t❛♥❣❧❡❞ st❛t❡ ♦❢ B ❛♥❞
C t❤❛t ✐s ✐♥ ❛ ♣r♦❞✉❝t st❛t❡ ✇✐t❤ t❤❡ r❡st ♦❢ t❤❡ s②st❡♠✳
❆s ❧♦❝❛❧ ✉♥✐t❛r② ♦♣❡r❛t✐♦♥s ❛❧♦♥❡ ❝❛♥♥♦t ❝❤❛♥❣❡ t❤❡ ❡♥t❛♥❣❧❡♠❡♥t ♦❢ ❛ st❛t❡ ✭r❡❝❛❧❧ ❢r♦♠
❈❤✳ ✸✳✹✳✶ t❤❛t ❧♦❝❛❧ ♦♣❡r❛t✐♦♥s ❞♦ ♥♦t ❝❤❛♥❣❡ t❤❡ ❙❝❤♠✐❞t ❝♦❡✣❝✐❡♥ts ✐♥ t❤❡ ❙❝❤♠✐❞t ❞❡✲
❝♦♠♣♦s✐t✐♦♥ ♦❢ ❛ ❜✐♣❛rt✐t❡ ♣✉r❡ st❛t❡ ❛♥❞✱ t❤❡r❡❢♦r❡✱ ❞♦ ♥♦t ❝❤❛♥❣❡ t❤❡ ❡♥t❛♥❣❧❡♠❡♥t ❬✷✺❪✮✱
r❡♠♦t❡ ❡♥t❛♥❣❧❡♠❡♥t ❝❛♥ ♦♥❧② ❜❡ ❣❡♥❡r❛t❡❞ ✐♥ t❤✐s ♣r♦t♦❝♦❧ ❜② ❧♦❝❛❧ ♦♣❡r❛t✐♦♥s ♦♥ B ❛♥❞ C
✇❤❡♥ t❤❡ ❡♥t❛♥❣❧❡♠❡♥t ❡♥tr♦♣✐❡s ♦❢ ❡❛❝❤ st❛t❡ |φi

✐♥ ✭✽✳✻✷✮ ❛r❡ t❤❡ s❛♠❡✳

❲❡ ❝♦♥s✐❞❡r t✇♦ ✈❡rs✐♦♥s ♦❢ t❤❡ ♣r♦t♦❝♦❧✳ ❚❤❡ ✜rst✱ ✇❤✐❝❤ ✐s ♠♦r❡ ❣❡♥❡r❛❧✱ ♦❝❝✉rs ✇❤❡♥
❆❧✐❝❡ ❝❤♦♦s❡s t❤❡ r❡❧❛t✐✈❡ ❛♥❣❧❡ θ = π/4 ✭❇♦❜ ❝♦✉❧❞✱ ❡q✉✐✈❛❧❡♥t❧②✱ ❤❛✈❡ ♣✐❝❦❡❞ θ

= π/4✮✳

❲❡ ✇✐❧❧ s❡❡ t❤❛t✱ ✐♥ t❤✐s ❝❛s❡✱ ❝❧❛ss✐❝❛❧ ❝♦♠♠✉♥✐❝❛t✐♦♥ ✐s r❡q✉✐r❡❞ ❜❡t✇❡❡♥ ❆❧✐❝❡ ❛♥❞ ❇♦❜
❝♦♥❝❡r♥✐♥❣ t❤❡ st❛t❡s ♦❢ t❤❡✐r q✉❜✐ts A ❛♥❞ D ✭❜✉t ♥♦t t❤❡ st❛t❡s ♦❢ B ❛♥❞ C ✮✳ ❋✉rt❤❡r♠♦r❡✱

✷✶✹

t❤❡ ✜♥❛❧ ❞❡❣r❡❡ ♦❢ ❡♥t❛♥❣❧❡♠❡♥t ❜❡t✇❡❡♥ B ❛♥❞ C ✇✐❧❧ ❞❡♣❡♥❞ ♦♥❧② ♦♥ ❇♦❜✬s ♠❡❛s✉r❡♠❡♥t
❛♥❣❧❡ θ ✳ ❚❤❡ s❡❝♦♥❞ ✈❡rs✐♦♥ ✐s ❛ s♣❡❝✐❛❧ ❝❛s❡ ♦❢ t❤❡ ♣r❡✈✐♦✉s s❝❤❡♠❡ ✇❤❡r❡ ❜♦t❤ t❤❡ ✜rst
❛♥❞ t❤✐r❞ ❛♥❣❧❡s ❛r❡ θ = θ

= π/4✳ ❍❡r❡✱ ❝♦♠♠✉♥✐❝❛t✐♦♥ ❛❜♦✉t t❤❡ st❛t❡s ♦❢ A ❛♥❞ D

✇✐❧❧ ♥♦ ❧♦♥❣❡r ❜❡ r❡q✉✐r❡❞ ❛♥❞ ❛ ♠❛①✐♠❛❧❧② ❡♥t❛♥❣❧❡❞ st❛t❡ ✇✐❧❧ ❜❡ ♣r♦❞✉❝❡❞ ✇✐t❤ ♦♥❧② ❧♦❝❛❧
♦♣❡r❛t✐♦♥s ♦♥ t❤❡ t✇♦ ♣❛✐rs ♦❢ q✉❜✐ts✳

✽✳✼✳✷ Pr♦t♦❝♦❧ ✇✐t❤ ❈♦♠♠✉♥✐❝❛t✐♦♥
❚❤❡ ✜rst s❝❡♥❛r✐♦ r❡q✉✐r❡s ❆❧✐❝❡✬s ♠❡❛s✉r❡♠❡♥t ❛♥❣❧❡ t♦ ❜❡ θ = π/4✱ ✇❤✐❝❤ ♥❡❝❡ss✐t❛t❡s
❝❧❛ss✐❝❛❧ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥ t♦ ❜❡ ❝♦♠♠✉♥✐❝❛t❡❞ ❜❡t✇❡❡♥ ❆❧✐❝❡ ❛♥❞ ❇♦❜✳ ❯s✐♥❣ ❧♦❝❛❧ ♦♣❡r❛t✐♦♥s ♦♥

B ❛♥❞ C ✐♥ ❛❞❞✐t✐♦♥ t♦ ❝❧❛ss✐❝❛❧ ❝♦♠♠✉♥✐❝❛t✐♦♥ ❛❜♦✉t t❤❡ st❛t❡s ♦❢ A ❛♥❞ D✱ t❤❡② ❣❡♥❡r❛t❡
❛ ♥❡✇ st❛t❡ ♦❢ BC t❤❛t ✐s ❡♥t❛♥❣❧❡❞ ❛❝❝♦r❞✐♥❣ t♦ ❇♦❜✬s ♠❡❛s✉r❡♠❡♥t ❛♥❣❧❡ θ ✳
❚♦ ❡♥❝♦❞❡ t❤❡ ❛♥❝✐❧❧❛r② q✉❜✐ts✱ ❆❧✐❝❡ s❡❧❡❝ts t❤❡ r❡❧❛t✐✈❡ ❛♥❣❧❡ θ = π/4 ✇❤✐❧❡ ❇♦❜✬s ❛♥❣❧❡

θ ✐s ❧❡❢t ❛r❜✐tr❛r②✳ ❲❤❡♥ θ = π/4✱ t❤❡ ❞❡♥s✐t② ♠❛tr✐① ✭✽✳✻✶✮ ❝❛♥ ❜❡ ✇r✐tt❡♥ ❛s

ρABCD =

1
4

|i i| ⊗ V (i )† |φ00 φ00 |V (i ) ⊗ |

|,

✭✽✳✻✹✮

i

✇❤❡r❡ t❤❡ ❝♦❡✣❝✐❡♥ts pi = 1/2✱ ❛♥❞

V (i )† = Z i+ X ⊗ X

✭✽✳✻✺✮

✐s ❛ ❝♦♥❞✐t✐♦♥❛❧ ✉♥✐t❛r② ♦♣❡r❛t♦r ♦♥ q✉❜✐ts B ❛♥❞ C ✳ ❍❡r❡✱ Z ❛♥❞ X ❛r❡ P❛✉❧✐ ♦♣❡r❛t♦rs
❛♥❞ (i + ) ✐s ♠♦❞✉❧♦ t✇♦✳
❚❤❡ ❝♦♥❞✐t✐♦♥❛❧ ❥♦✐♥t st❛t❡s ✭✽✳✻✷✮ ♦❢ q✉❜✐ts BC ❛r❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s ♦❢ t❤❡ ❛♥❣❧❡s θ ❛♥❞ θ ✳
❚❤❡ ❦❡② ♦❜s❡r✈❛t✐♦♥ ✐s t❤❛t ❡❛❝❤ ♦❢ t❤❡♠ ❝❛♥ ❜❡ ✇r✐tt❡♥ ✐♥ t❡r♠s ♦❢ ❧♦❝❛❧ ♦♣❡r❛t✐♦♥s ♦♥ t❤❡

✷✶✺

st❛t❡ |φ00 ❛s

= V (i )† |φ00 = Z i+ X ⊗ X |φ00 .

|φi

❚❤❡ i =

✭✽✳✻✻✮

= 0 st❛t❡ ❝❛♥ ❜❡ ✇r✐tt❡♥ ❛s
✭✽✳✻✼✮

|φ00 = − sin θ |β01 + cos θ |β10 ,

✇❤❡r❡ t❤❡ st❛t❡s

|β00 = sin θ |00 + cos θ |11 ,
|β01 = sin θ |01 + cos θ |10 ,

✭✽✳✻✽✮

|β10 = cos θ |00 − sin θ |11 ,
|β11 = cos θ |01 − sin θ |10 ,
❢♦r♠ t❤❡ ❣❡♥❡r❛❧✐③❡❞ ❇❡❧❧ ❜❛s✐s✳
❚❤❡ ❡♥t❛♥❣❧❡♠❡♥t ❡♥tr♦♣② ❬✷✺❪ SE ✱ ✇❤✐❝❤ ✐s ❛ st❛♥❞❛r❞ ♠❡❛s✉r❡ ♦❢ t❤❡ ❡♥t❛♥❣❧❡♠❡♥t ♦❢
❛ ❜✐♣❛rt✐t❡ ♣✉r❡ st❛t❡✱ ✐s t❤❡ s❛♠❡ ❢♦r ❡❛❝❤ st❛t❡ ✭✽✳✻✻✮ s✐♥❝❡ ❧♦❝❛❧ ♦♣❡r❛t✐♦♥s ❞♦ ♥♦t ❝❤❛♥❣❡
t❤❡ ❛♠♦✉♥t ♦❢ ❡♥t❛♥❣❧❡♠❡♥t✳ ❚❤❡ ❡♥t❛♥❣❧❡♠❡♥t ❡♥tr♦♣② ✐s ❝♦♠♣✉t❡❞ ❢r♦♠ t❤❡ ✈♦♥ ◆❡✉♠❛♥♥
(i )
❡♥tr♦♣② ♦❢ ♦♥❡ ♦❢ t❤❡ s✉❜s②st❡♠s ρB = TrC (|φi

φi |)✱ ❛♥❞ t✉r♥s ♦✉t t♦ ❜❡ ✐♥❞❡♣❡♥❞❡♥t ♦❢

t❤❡ ❛♥❣❧❡ θ ✱
(i )

SE = S ρB
=

− cos2 θ

✭✽✳✻✾✮

log cos2 θ

− sin2 θ

log sin2 θ

.

❊✈✐❞❡♥t❧②✱ t❤❡ ❝♦♥❞✐t✐♦♥❛❧ st❛t❡s ✭✽✳✻✻✮ ❛r❡ ✐♥ ❛ ♣r♦❞✉❝t st❛t❡ ✭✉♥❝♦rr❡❧❛t❡❞✮ ✇❤❡♥ θ
❛♥❞ ❛r❡ ❢✉❧❧② ❡♥t❛♥❣❧❡❞ ✇❤❡♥ θ

=0

= π/4 ✭t❤✐s s❡❝♦♥❞ ❝❛s❡ ✐s t❤❡ ♦♥❡ ❝♦♥s✐❞❡r❡❞ ✐♥ t❤❡ ♥❡①t

✷✶✻

1

1

SE 2

0
π/8

0

π/4

θʹʹ
❋✐❣✉r❡ ✽✳✼✿ ❊♥t❛♥❣❧❡♠❡♥t ❡♥tr♦♣② SE ♦❢ t❤❡ ❝♦♥❞✐t✐♦♥❛❧ st❛t❡s ✭✽✳✻✻✮ ♦❢ q✉❜✐ts B ❛♥❞ C
❢♦r θ = π/4✳ ■♥ t❤✐s ❝❛s❡✱ SE ✐s ✐♥❞❡♣❡♥❞❡♥t ♦❢ t❤❡ ✐♥t❡r♠❡❞✐❛t❡ ❛♥❣❧❡ θ ✳ ❚❤❡ st❛t❡s ❛r❡
♠❛①✐♠❛❧❧② ❡♥t❛♥❣❧❡❞ ❛t θ = π/4✳
s❡❝t✐♦♥✮✳ ❚❤✉s✱ ❇♦❜ ❝❛♥ ❝♦♥tr♦❧ ❤♦✇ ❡♥t❛♥❣❧❡❞ t❤❡ s❤❛r❡❞ st❛t❡ ♦❢ BC ✐s ❜② ❝❤♦♦s✐♥❣ ❛
♣❛rt✐❝✉❧❛r ♠❡❛s✉r❡♠❡♥t ❛♥❣❧❡ θ ✭s❡❡ ❋✐❣✳ ✽✳✼✮✳
❚❤❡ ♦♣❡r❛t✐♦♥ t❤❛t ❞✐s❡♥t❛♥❣❧❡s t❤❡ q✉❜✐ts B ❛♥❞ C ❢r♦♠ A ❛♥❞ D t❛❦❡s t❤❡ ❢♦r♠

|i i| ⊗ V (i ) ⊗ |

V =

|,

✭✽✳✼✵✮

i

✇❤❡r❡ t❤❡ ✉♥✐t❛r② ♦♣❡r❛t♦rs V (i ) ✇❡r❡ ❞❡✜♥❡❞ ✐♥ ✭✽✳✻✺✮✳ ❚❤✐s ❞♦❡s ♥♦t ❝♦♠♣❧❡t❡❧② ❢❛❝t♦r
✐♥t♦ t✇♦ s❡♣❛r❛t❡ ♦♣❡r❛t✐♦♥s ♦♥ t❤❡ ♣❛✐rs ♦❢ q✉❜✐ts AB ❛♥❞ CD ✳ ■♥ ♦t❤❡r ✇♦r❞s✱ ❝❧❛ss✐❝❛❧
❝♦♠♠✉♥✐❝❛t✐♦♥ ✐s ♥❡❝❡ss❛r② ❜❡t✇❡❡♥ ❆❧✐❝❡ ❛♥❞ ❇♦❜ ✐♥ ♦r❞❡r t♦ ✐♠♣❧❡♠❡♥t t❤❡ ❞✐s❡♥t❛♥❣❧✐♥❣
♦♣❡r❛t✐♦♥✳ ❋r♦♠ ✭✽✳✻✺✮✱ ✐t ✐s ❝❧❡❛r t❤❛t ❆❧✐❝❡ ♠✉st ❦♥♦✇ t❤❡ st❛t❡

♦❢ ❇♦❜✬s q✉❜✐t D ❜❡❢♦r❡

♣❡r❢♦r♠✐♥❣ ❤❡r ❝♦♥tr♦❧❧❡❞ ✉♥✐t❛r② ♦♥ A ❛♥❞ B ✱ ✇❤✐❧❡ ❇♦❜ ❞♦❡s ♥♦t ♥❡❡❞ t♦ ❦♥♦✇ t❤❡ st❛t❡ i ♦❢
❆❧✐❝❡✬s q✉❜✐t A✳ ❉❡s♣✐t❡ t❤❡ ❝♦♠♠✉♥✐❝❛t✐♦♥ r❡q✉✐r❡♠❡♥t✱ t❤❡ ❝♦♥❞✐t✐♦♥❛❧ ♦♣❡r❛t✐♦♥s ✭✽✳✻✺✮
❛r❡ ✐♥❞❡♣❡♥❞❡♥t ♦❢ t❤❡ ❛♥❣❧❡s θ ❛♥❞ θ

s♦ t❤❛t ❆❧✐❝❡ ❛♥❞ ❇♦❜ ❞♦ ♥♦t ♥❡❡❞ t♦ ❦♥♦✇ ❡❛❝❤

♦t❤❡r✬s ♠❡❛s✉r❡♠❡♥t ❜❛s❡s✳

✷✶✼

BC

BC

0

0

SBD −1

1

0

SBC −SBD

2 − SBD

SBD −SBC

0
0

A

1
D

2−SBC

SBC −1

D

−SE

C

AB

2SE

B

−SE

C

✭❝✮

SCD

1

✭❜✮

B

2−SCD

0

A

✭❛✮

SBC −1

0

✭❞✮

1 − SE

0

2SE

AB

CD
✭❡✮

1 − SE

CD
✭❢✮

❋✐❣✉r❡ ✽✳✽✿ ❊♥tr♦♣② ❱❡♥♥ ❞✐❛❣r❛♠s ❢♦r t❤❡ ❛♥❝✐❧❧❛r② q✉❜✐ts ❜❡❢♦r❡ ✭❛✱❝✱❡✮ ❛♥❞ ❛❢t❡r ✭❜✱❞✱❢✮
❞✐s❡♥t❛♥❣❧✐♥❣ ✇✐t❤ ✭✽✳✻✺✮✳ ❚❤❡ ✜rst ❛♥❣❧❡ ✐s θ = π/4✱ ✇❤✐❧❡ θ ❛♥❞ θ ❛r❡ ❧❡❢t ❛r❜✐tr❛r②✳ ❚❤❡
❡♥tr♦♣② SBD ✭SBC ✮ ❬SCD ❪ ❞❡♣❡♥❞s ♦♥ θ ❛♥❞ θ ✭θ ✮ ❬θ ❪ ❛♥❞ t❤❡ ❡♥t❛♥❣❧❡♠❡♥t ❡♥tr♦♣② SE
✐s ❞❡✜♥❡❞ ✐♥ ✭✽✳✻✾✮✳
❆❢t❡r ❛♣♣❧②✐♥❣ ✭✽✳✼✵✮ t♦ t❤❡ st❛t❡ ✭✽✳✻✹✮✱

1
1
V ρABCD V † = ✶ ⊗ |φ00 φ00 | ⊗ ✶,
2
2

✭✽✳✼✶✮

q✉❜✐ts B ❛♥❞ C ❛r❡ s✉❝❝❡ss❢✉❧❧② ❞✐s❡♥t❛♥❣❧❡❞ ❢r♦♠ t❤❡ r❡st ♦❢ t❤❡ s②st❡♠✱ ❧❡❛✈✐♥❣ q✉❜✐ts A

✷✶✽

❛♥❞ D ✐♥ ♠❛①✐♠❛❧❧② ♠✐①❡❞ st❛t❡s✳
❚❤❡ ❡♥tr♦♣② r❡❧❛t✐♦♥s❤✐♣s ❜❡t✇❡❡♥ q✉❜✐ts A✱ B ✱ C ✱ ❛♥❞ D ❛r❡ ✐❧❧✉str❛t❡❞ ✉s✐♥❣ ❡♥tr♦♣②
❱❡♥♥ ❞✐❛❣r❛♠s ❬✺✾❪ ✐♥ ❋✐❣✳ ✽✳✽ ❜❡❢♦r❡ ❛♥❞ ❛❢t❡r t❤❡ ❞✐s❡♥t❛♥❣❧✐♥❣ ♦♣❡r❛t✐♦♥ ✭✽✳✼✵✮✳ ◆♦t❡ t❤❛t
t❤❡ s❤❛r❡❞ ❡♥tr♦♣② S(A : D) ✐s ❛❧✇❛②s ③❡r♦✱ ❛♥❞ t❤❛t ❆❧✐❝❡ ❛♥❞ ❇♦❜ ✇✐❧❧ s❤❛r❡ ❛ ♠❛①✐♠❛❧❧②
❡♥t❛♥❣❧❡❞ st❛t❡ ✇❤❡♥ ❇♦❜ ❝❤♦♦s❡s t❤❡ ❛♥❣❧❡ θ = π/4 s♦ t❤❛t SE = 1✳

✽✳✼✳✸ ❉✐s❝✉ss✐♦♥
✽✳✼✳✸✳✶

❈♦♥❞✐t✐♦♥s ❢♦r ❊♥t❛♥❣❧❡♠❡♥t ●❡♥❡r❛t✐♦♥

■♥ t❤❡ ♠♦st ❣❡♥❡r❛❧ s❝❡♥❛r✐♦✱ ❢♦r ❧♦❝❛❧ ♦♣❡r❛t✐♦♥s t♦ s✉❝❝❡ss❢✉❧❧② ❞✐s❡♥t❛♥❣❧❡ t❤❡ ❥♦✐♥t st❛t❡
♦❢ q✉❜✐ts B ❛♥❞ C ❢r♦♠ t❤❡ r❡st ♦❢ t❤❡ s②st❡♠✱ ✐t ✐s ♥❡❝❡ss❛r② ❢♦r t❤❡ ❡♥t❛♥❣❧❡♠❡♥t ❡♥tr♦♣②
♦❢ ✭✽✳✻✷✮ t♦ ❜❡ ❛ ❝♦♥st❛♥t ❢♦r ❛❧❧ i, ✳ ■♥ ♦t❤❡r ✇♦r❞s✱ ❞✐s❡♥t❛♥❣❧❡♠❡♥t ✐s ♦♥❧② ♣♦ss✐❜❧❡ ✐❢ t❤❡
❙❝❤♠✐❞t ❝♦❡✣❝✐❡♥ts ✐♥ t❤❡ ❙❝❤♠✐❞t ❞❡❝♦♠♣♦s✐t✐♦♥ ♦❢ ❡❛❝❤ st❛t❡ ✭✽✳✻✷✮ ❛r❡ t❤❡ s❛♠❡✳ ❚❤✐s✱
❤♦✇❡✈❡r✱ ❞♦❡s ♥♦t ❣✉❛r❛♥t❡❡ t❤❛t t❤❡ r❡s✉❧t✐♥❣ st❛t❡ ♦❢ BC ✇✐❧❧ ❜❡ ❡♥t❛♥❣❧❡❞✳ ❋♦r ✐♥st❛♥❝❡✱
❛t θ = 0 ♦r θ = 0✱ t❤❡ ❡♥t❛♥❣❧❡♠❡♥t ❡♥tr♦♣✐❡s ❛r❡ ✐♥❞❡❡❞ t❤❡ s❛♠❡✱ ❜✉t ✈❛♥✐s❤✱ s♦ t❤❛t t❤❡
r❡s✉❧t✐♥❣ st❛t❡ ♦❢ BC ✐s ❝♦♠♣❧❡t❡❧② ✉♥❝♦rr❡❧❛t❡❞ ❛♥❞ ♥♦ s❤❛r❡❞ ❡♥t❛♥❣❧❡♠❡♥t ✐s ❝r❡❛t❡❞✳
❲❤❡♥ ♥♦♥③❡r♦ ❡♥t❛♥❣❧❡♠❡♥t ❜❡t✇❡❡♥ q✉❜✐ts B ❛♥❞ C ✐s s✉❝❝❡ss❢✉❧❧② ❣❡♥❡r❛t❡❞✱ t❤❡ s❤❛r❡❞
❡♥tr♦♣② ♦❢ A ❛♥❞ D ✈❛♥✐s❤❡s✱ S(A : D) = 0✳ ■♥ ❛❧❧ ♦t❤❡r s✐t✉❛t✐♦♥s✱ S(A : D) > 0✳ ●✐✈❡♥ t❤❡
❝♦rr❡❧❛t❡❞ str✉❝t✉r❡ ♦❢ t❤❡ ❝♦❡✣❝✐❡♥ts 12 pi ❬s❡❡ ✭✽✳✻✸✮❪ ✐♥ t❤❡ ❞❡♥s✐t② ♠❛tr✐① ρAD ✱ ❛ ✈❛♥✐s❤✐♥❣
♠✉t✉❛❧ ❡♥tr♦♣② ❝❛♥ ♦♥❧② ♦❝❝✉r ✐❢ ❛t ❧❡❛st ♦♥❡ ♦❢ t❤❡ t❤r❡❡ ❛♥❣❧❡s ✐s π/4 s♦ t❤❛t 21 pi = 1/4✳
■♥ t✉r♥✱ t❤✐s ❝♦rr❡s♣♦♥❞s ♣r❡❝✐s❡❧② t♦ ❛ ❝♦♥st❛♥t ❛♥❞ ♥♦♥③❡r♦ ❡♥t❛♥❣❧❡♠❡♥t ❡♥tr♦♣②✳ ❚❤✉s✱
t❤❡ ♥❡❝❡ss❛r② ❛♥❞ s✉✣❝✐❡♥t ❝♦♥❞✐t✐♦♥ ❢♦r t❤❡ ❡♥t❛♥❣❧❡♠❡♥t ❣❡♥❡r❛t✐♦♥ s❝❤❡♠❡ ❞❡s❝r✐❜❡❞ ❤❡r❡
✐s s✐♠♣❧②

S(A : D) = 0.
✷✶✾

✭✽✳✼✷✮

3/4

1/2

Tavg
1/4

0
π/8

0

π/4

θʹʹ
❋✐❣✉r❡ ✽✳✾✿ ❚❤❡ tr❛❝❡ ❞✐st❛♥❝❡✱ T ✱ ❛✈❡r❛❣❡❞ ♦✈❡r ❛❧❧ ✐♥t❡r♠❡❞✐❛t❡ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥t ❛♥❣❧❡s θ ✱ ❛s
❛ ❢✉♥❝t✐♦♥ ♦❢ θ ✳ ❍❡r❡✱ θ = π/4✳
✽✳✼✳✸✳✷

❘❡❧✐❛❜✐❧✐t②

❲❡ ❝❛♥ ❝❤❛r❛❝t❡r✐③❡ ❤♦✇ ❝♦❤❡r❡♥t t❤❡ ❥♦✐♥t st❛t❡ ♦❢ ❛❧❧ ❢♦✉r ❛♥❝✐❧❧❛r② q✉❜✐ts ✐s ❜❡❢♦r❡ t❤❡
❞✐s❡♥t❛♥❣❧✐♥❣ ♦♣❡r❛t✐♦♥ ✭✽✳✼✵✮ ✐s ❛♣♣❧✐❡❞✳ ❚❤❡ ❝❧♦s❡r t❤❡ st❛t❡ ✐s t♦ ✐ts ❝❧❛ss✐❝❛❧ ❝♦✉♥t❡r♣❛rt✱
t❤❡ ♠♦r❡ r♦❜✉st ✐t ✐s t♦ ❞❡❝♦❤❡r❡♥❝❡ ❞✉r✐♥❣ t❤❡ ♣❤❛s❡ ♦❢ t❤❡ ♣r♦t♦❝♦❧ ✇❤❡♥ t❤❡ q✉❜✐t ♣❛✐rs
❛r❡ s❡♥t t♦ ❆❧✐❝❡ ❛♥❞ ❇♦❜✳ ❲❡ q✉❛♥t✐❢② ❤♦✇ ❝❧♦s❡ ρABCD ✐s t♦ t❤❡ ❝❧❛ss✐❝❛❧ ✭❝♦♠♣❧❡t❡❧②
❞❡❝♦❤❡r❡♥t✮ ✈❡rs✐♦♥✱ σABCD ✱ ✇❤✐❝❤ ❤❛s ♦♥❧② ❞✐❛❣♦♥❛❧ ❡❧❡♠❡♥ts✱ ❜② ❝♦♠♣✉t✐♥❣ t❤❡ tr❛❝❡
❞✐st❛♥❝❡ ❜❡t✇❡❡♥ ✭✽✳✻✶✮ ❛♥❞ t❤❡ ❞❡❝♦❤❡r❡♥t st❛t❡

σABCD =

1
d

|Uij |2 |Ujk |2 |Uk |2 |ijk

ijk |.

✭✽✳✼✸✮

ijk

❚❤❡ tr❛❝❡ ❞✐st❛♥❝❡ ❜❡t✇❡❡♥ t✇♦ st❛t❡s ρ ❛♥❞ σ ✐s ❞❡✜♥❡❞ ❛s ❬✷✺❪ T = 21 Tr(|ρ − σ|) =
1
2 Tr(

(ρ − σ)2 )✱ ✇❤✐❝❤ ✐s ❜♦✉♥❞❡❞ ❜❡t✇❡❡♥ ✵ ❛♥❞ ✶✳ ❚❤❡ tr❛❝❡ ❞✐st❛♥❝❡✱ ❛✈❡r❛❣❡❞ ♦✈❡r ❛❧❧

✐♥t❡r♠❡❞✐❛t❡ ❛♥❣❧❡s θ ✱ ✐s s❤♦✇♥ ✐♥ ❋✐❣✳ ✽✳✾ ❢♦r θ = π/4✳ ❚❤✐s ❞✐st❛♥❝❡ ♠❡❛s✉r❡ ✐♥❝r❡❛s❡s
✭t❤❡ st❛t❡ ❜❡❝♦♠❡s ♠♦r❡ ❝♦❤❡r❡♥t✮ ❛s ❇♦❜✬s ❛♥❣❧❡ θ

BC ❜❡❝♦♠❡s ♠♦r❡ ❡♥t❛♥❣❧❡❞✳

✷✷✵

✐♥❝r❡❛s❡s✱ ❛♥❞ t❤❡ r❡s✉❧t✐♥❣ st❛t❡ ♦❢

✽✳✼✳✹ Pr♦t♦❝♦❧ ✇✐t❤♦✉t ❈♦♠♠✉♥✐❝❛t✐♦♥
■♥ t❤❡ ✜rst ♣r♦t♦❝♦❧✱ t❤❡ ❛♥❝✐❧❧❛r② q✉❜✐ts ✇❡r❡ ❡♥❝♦❞❡❞ ✉s✐♥❣ θ = π/4✱ ✇❤✐❧❡ θ ❛♥❞ θ ✇❡r❡ ❧❡❢t
❛r❜✐tr❛r②✳ ❍❡r❡✱ ■ ❝♦♥s✐❞❡r ❛t ❛ s♣❡❝✐❛❧ ❝❛s❡ ✇❤❡r❡ ❜♦t❤ t❤❡ ✜rst ❛♥❞ t❤✐r❞ r❡❧❛t✐✈❡ ❛♥❣❧❡s ❛r❡
s❡t ❛t θ = θ = π/4✳ ❲❡ ✇✐❧❧ s❡❡ t❤❛t t❤✐s r❡♠♦✈❡s ❡♥t✐r❡❧② t❤❡ ❝♦♠♠✉♥✐❝❛t✐♦♥ r❡q✉✐r❡♠❡♥t
❜❡t✇❡❡♥ ❆❧✐❝❡ ❛♥❞ ❇♦❜ ❜❡❝❛✉s❡ t❤❡ ❞✐s❡♥t❛♥❣❧✐♥❣ ♦♣❡r❛t✐♦♥ ❝♦♠♣❧❡t❡❧② ❢❛❝t♦r✐③❡s✳
❋♦r t❤✐s s❡t ♦❢ ❛♥❣❧❡s✱ t❤❡ ❞❡♥s✐t② ♠❛tr✐① ✭✽✳✻✹✮ ❝❛♥ ❜❡ ✇r✐tt❡♥ ✇✐t❤

V (i )† = Z i ⊗ (−Z) ,

✭✽✳✼✹✮

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(−Z) ✱ ✇✐t❤ ♦♥❧② t❤❡ ✐♥❞❡① ✱ ❛❝ts ♦♥ C ✳ ❚❤✉s✱ ❝♦♠♠✉♥✐❝❛t✐♦♥ ❜❡t✇❡❡♥ ❆❧✐❝❡ ❛♥❞ ❇♦❜ ✐s ♥♦
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♦❢ t❤❡ ♦t❤❡r✬s q✉❜✐t✳
❚❤❡ ❢♦✉r ❝♦♥❞✐t✐♦♥❛❧ st❛t❡s ♦❢ BC ❝❛♥ ❜❡ ♦❜t❛✐♥❡❞ ❜② ❛♣♣❧②✐♥❣ ✭✽✳✼✹✮ t♦ t❤❡ i =

=0

st❛t❡✱

|φ00 = − sin θ |β01 + cos θ |β10 ,

✭✽✳✼✺✮

✇❤❡r❡ t❤❡ st❛♥❞❛r❞ ❇❡❧❧ ❜❛s✐s ❝❛♥ ❜❡ ✇r✐tt❡♥ ❛s

|βzx = (✶ ⊗ X x Z z ) |β00 ,

✭✽✳✼✻✮

✇✐t❤ |β00 = |Φ+ t❤❡ ✉s✉❛❧ ❇❡❧❧ st❛t❡✳ ■t ✐s ❝❧❡❛r ❢r♦♠ ✭✽✳✼✹✮ t❤❛t ✐❢ ❆❧✐❝❡ ❛♥❞ ❇♦❜ ❡❛❝❤

✷✷✶

Z

Encode

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A
B
C
D

|ϕ 〉
Z

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B ✱ ✇❤✐❧❡ ❇♦❜ ❤♦❧❞s q✉❜✐ts C ❛♥❞ D✳ ❚❤❡ st❛t❡ ♦❢ q✉❜✐ts ABCD ❛❢t❡r t❤❡ ❡♥❝♦❞✐♥❣ s❝❤❡♠❡
✐s ❢♦✉♥❞ ❢r♦♠ ✭✽✳✺✾✮✳ ■♥ t❤✐s ✜❣✉r❡✱ t❤❡ ❡♥t❛♥❣❧❡❞ st❛t❡ |φ t❤❛t ✐s ❣❡♥❡r❛t❡❞ ❝♦rr❡s♣♦♥❞s t♦
|φ00 ✐♥ ✭✽✳✼✺✮✳
♣❡r❢♦r♠ ❛ ❝♦♥tr♦❧❧❡❞ ✉♥✐t❛r② ♦♥ t❤❡✐r s❡t ♦❢ q✉❜✐ts ♦❢ t❤❡ ❢♦r♠✱

V = VAB ⊗ VCD
|i i| ⊗ Z i ⊗

=

✭✽✳✼✼✮

(−Z) ⊗ |

| ,

i

t❤❡ r❡s✉❧t✐♥❣ st❛t❡ ✇✐❧❧ ❜❡ ✭✽✳✼✶✮✱ ✇❤❡r❡ |φ00 ✐s ♥♦✇ ❣✐✈❡♥ ❜② ✭✽✳✼✺✮✳ ◆♦t❡ t❤❛t ❛❝❝♦r❞✐♥❣
t♦ ✭✽✳✼✼✮✱ ❆❧✐❝❡ ❛♥❞ ❇♦❜ ❡❛❝❤ ♣❡r❢♦r♠ ❛ ❝♦♥tr♦❧❧❡❞✲♣❤❛s❡ ❣❛t❡ ♦♥ t❤❡✐r ♣❛✐rs ♦❢ q✉❜✐ts✳
❚❤✉s✱ ❜② ✉s✐♥❣ ♦♥❧② ❧♦❝❛❧ ♦♣❡r❛t✐♦♥s ♦♥ t❤❡✐r ♣❛✐rs ♦❢ q✉❜✐ts✱ ❆❧✐❝❡ ❛♥❞ ❇♦❜ ❞✐s❡♥t❛♥❣❧❡
t❤❡ ❥♦✐♥t st❛t❡ ♦❢ BC ❢r♦♠ t❤❡ r❡st ♦❢ t❤❡ s②st❡♠✳ ■ ❡♠♣❤❛s✐③❡ t❤❛t t❤✐s ❞♦❡s ♥♦t r❡q✉✐r❡ ❛♥②
❝❧❛ss✐❝❛❧ ❝♦♠♠✉♥✐❝❛t✐♦♥ ❜❡t✇❡❡♥ ❆❧✐❝❡ ❛♥❞ ❇♦❜✱ ❛♥❞ ❛❢t❡r✇❛r❞s t❤❡② s❤❛r❡ ♦♥❡ ❤❛❧❢ ❡❛❝❤ ♦❢
t❤❡ ❡♥t❛♥❣❧❡❞ st❛t❡ ✭✽✳✼✺✮✳ ❚❤✐s st❛t❡ ✭✽✳✼✺✮ ✐s ♠❛①✐♠❛❧❧② ❡♥t❛♥❣❧❡❞ r❡❣❛r❞❧❡ss ♦❢ t❤❡ ❛♥❣❧❡

θ ✭✐ts ❡♥t❛♥❣❧❡♠❡♥t ❡♥tr♦♣② ✐s ❡q✉❛❧ t♦ ♦♥❡✮✳ ❙✐♥❝❡ t❤❡ ❝♦♥❞✐t✐♦♥❛❧ ✉♥✐t❛r② ♦♣❡r❛t♦rs ✭✽✳✼✼✮
♦♥ B ❛♥❞ C ❛r❡ ✐♥❞❡♣❡♥❞❡♥t ♦❢ t❤❡ ❛♥❣❧❡ θ ✱ t❤❡ ❞✐s❡♥t❛♥❣❧✐♥❣ ❝❛♥ ♦❝❝✉r ✇❤❡♥ ❆❧✐❝❡ ❛♥❞
❇♦❜ ❞♦ ♥♦t ❦♥♦✇ θ ✳ ■♥ ♦t❤❡r ✇♦r❞s✱ t❤❡② ❞♦ ♥♦t ♥❡❡❞ t♦ ❦♥♦✇ ❡❛❝❤ ♦t❤❡r✬s ♠❡❛s✉r❡♠❡♥t
❜❛s❡s✳
❋✐❣✉r❡ ✽✳✶✵ s❤♦✇s ❛ s✐♠♣❧❡ s❝❤❡♠❛t✐❝ ♦❢ t❤❡ ❝♦♠♣❧❡t❡ ❡♥t❛♥❣❧❡♠❡♥t ❣❡♥❡r❛t✐♦♥ ♣r♦❝❡ss
✇✐t❤♦✉t ❝♦♠♠✉♥✐❝❛t✐♦♥✳ ❚❤❡ ♦♣❡r❛t✐♦♥ ❞❡♥♦t❡❞ ✏❡♥❝♦❞❡✑ ✐s t❤❡ s❡q✉❡♥❝❡ ♦❢ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥ts
✷✷✷

3/4

1/2

T
1/4

0
0

π/8

π/4

θʹ
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t❤❛t ♣r♦❞✉❝❡s t❤❡ st❛t❡ ✭✽✳✺✾✮✳ ■♥ t❤❡ ✜❣✉r❡✱ t❤❡ ✜♥❛❧ st❛t❡ |φ ❝♦rr❡s♣♦♥❞s t♦ ✭✽✳✼✺✮✳ ❚❤❡
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❚❤❡

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✽✳✽ ❈♦♥❝❧✉s✐♦♥s
❈♦♥s❡❝✉t✐✈❡ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥ts ♦♥ ❛ s✐♥❣❧❡ q✉❛♥t✉♠ ❤❛✈❡ ❛ ✇✐❞❡ r❛♥❣❡ ♦❢ ❛♣♣❧✐❝❛t✐♦♥s✱ ❢r♦♠
❡①tr❛❝t✐♥❣ ❥♦✐♥t ✇❡❛❦ ✈❛❧✉❡s ✐♥ ✇❡❛❦ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥ts ❬✷✸✵❪ ❛♥❞ ♠♦❞❡❧✐♥❣ t❤❡ q✉❛♥t✉♠ ❩❡♥♦
❡✛❡❝t ❬✶✾✷✱ ✷✵✻✱ ✷✵✾✕✷✶✶❪ t♦ ♣r♦❜✐♥❣ t❤❡ ♥❛t✉r❡ ♦❢ q✉❛♥t✉♠ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥t ❬✶✼✼✕✶✼✾❪✳ ❍❡r❡✱
■ s❤♦✇❡❞ t❤❛t t❤❡ ❝♦♥s❡❝✉t✐✈❡ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥t ❝♦♥str✉❝t✐♦♥ ❝❛♥ ❜❡ ✉s❡❞ t♦ ❣❡♥❡r❛t❡ r❡♠♦t❡
❡♥t❛♥❣❧❡♠❡♥t✳ ❚❤❡ ♣r♦t♦❝♦❧ ✉s❡s ❛ s✐♠♣❧❡ ❡♥❝♦❞✐♥❣ s❝❤❡♠❡ ❛♥❞ r❡q✉✐r❡s ♦♥❧② ❧♦❝❛❧ ♦♣❡r❛t✐♦♥s
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s❡❝♦♥❞ ✈❡rs✐♦♥ ❛❧✇❛②s ♣r♦❞✉❝❡s ❛ ♠❛①✐♠❛❧❧② ❡♥t❛♥❣❧❡❞ st❛t❡✳

✷✷✸

BC

BC

0

0
1

1

0

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0

2 − SBC

0
0

A

1
D

2−SBC

SBC −1

D

−1

C

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2

−1

B

C

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2

1

✭❜✮

B

0

0

A

✭❛✮

SBC −1

0

✭❞✮

0

0

CD

2

AB

✭❡✮

0

CD
✭❢✮

❋✐❣✉r❡ ✽✳✶✷✿ ❊♥tr♦♣② ❱❡♥♥ ❞✐❛❣r❛♠s ❢♦r θ = θ = π/4 ❜❡❢♦r❡ ✭❛✱❝✱❡✮ ❛♥❞ ❛❢t❡r ✭❜✱❞✱❢✮ t❤❡
❞✐s❡♥t❛♥❣❧✐♥❣ ♦♣❡r❛t✐♦♥ ✭✽✳✼✼✮✳ ❚❤❡ ✐♥t❡r♠❡❞✐❛t❡ ❛♥❣❧❡ θ ✐s ❧❡❢t ❛r❜✐tr❛r②✳

✷✷✹

❈❤❛♣t❡r ✾
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♠❛t✐♦♥ ✐s ♣r♦❝❡ss❡❞ ✐♥ q✉❛♥t✉♠ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥ts✳ ■ ❜❡❣❛♥ ✇✐t❤ t❤❡ ❡❛r❧② ♠♦❞❡❧ ♦❢ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥t
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❡♥t❛♥❣❧❡❞ ✇✐t❤ ❛ q✉❛♥t✉♠ s②st❡♠✳ ❋r♦♠ t❤❡r❡✱ ■ ❜✉✐❧t ♦♥ t❤❡ ✐❞❡❛s ♦❢ ❆❞❛♠✐ ❛♥❞ ❈❡r❢ ✇❤♦✱
st❛rt✐♥❣ ✐♥ t❤❡ ✬✾✵s✱ ❞❡s❝r✐❜❡❞ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥t ✐♥ t❤❡ ❝♦♥t❡①t ♦❢ q✉❛♥t✉♠ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥ t❤❡♦r②
❛♥❞ ✐♥tr♦❞✉❝❡❞ t❤❡ ✉s❡❢✉❧ q✉❛♥t✉♠ ❡♥tr♦♣② ❱❡♥♥ ❞✐❛❣r❛♠s✳ ■♥ t❤✐s ❢r❛♠❡✇♦r❦✱ t❤❡② s❤♦✇❡❞
t❤❡ str✐❦✐♥❣ ❞❡♣❛rt✉r❡s ♦❢ q✉❛♥t✉♠ ❡♥tr♦♣② ❢r♦♠ ✐ts ❝❧❛ss✐❝❛❧ ❝♦✉♥t❡r♣❛rt✱ ✐♥ ♣❛rt✐❝✉❧❛r✱ t❤❡
❡♠❡r❣❡♥❝❡ ♦❢ ♥❡❣❛t✐✈❡ ❝♦♥❞✐t✐♦♥❛❧ q✉❛♥t✉♠ ❡♥tr♦♣② ❢r♦♠ ❡♥t❛♥❣❧❡❞ s②st❡♠s✱ ✇❤✐❝❤ st❛♥❞s
✐♥ st❛r❦ ❝♦♥tr❛st t♦ t❤❡ ♥♦♥✲♥❡❣❛t✐✈✐t② ❝♦♥str❛✐♥ts ♦❢ ❝❧❛ss✐❝❛❧ ❝♦♥❞✐t✐♦♥❛❧ ❡♥tr♦♣②✳
■♥ t❤✐s ✇♦r❦✱ ■ ❡①♣❛♥❞❡❞ ✉♣♦♥ t❤❡s❡ ✐❞❡❛s ❛♥❞ q✉❛♥t✐✜❡❞ ❤♦✇ ❡♥t❛♥❣❧❡♠❡♥t ❛♥❞ ❡♥tr♦♣②
❛r❡ ❞✐str✐❜✉t❡❞ ❛♥❞ ❡✈♦❧✈❡ ✐♥ ❞✐✈❡rs❡ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥t s❝❡♥❛r✐♦s✳ ■ ❝♦♥s✐❞❡r❡❞ ♣❛r❛❧❧❡❧ ❛♥❞ ❝♦♥✲
s❡❝✉t✐✈❡ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥ts ❛s ✇❡❧❧ ❛s ♠❡❛s✉r❡♠❡♥ts ✇✐t❤ ✈❛r✐❛❜❧❡ ✐♥t❡r❛❝t✐♦♥ str❡♥❣t❤s✳ ❆❧♦♥❣
t❤❡ ✇❛②✱ ■ ❞✐s❝✉ss❡❞ ❤♦✇ str♦♥❣ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥ts ❛r❡ ♥♦t ❢✉♥❞❛♠❡♥t❛❧❧② ❞✐✛❡r❡♥t ❢r♦♠ ✇❡❛❦
♠❡❛s✉r❡♠❡♥ts ✭❈❤✳ ✺✮✱ ❞❡r✐✈❡❞ ❛ ♥❡✇ q✉❛♥t✉♠ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥✲t❤❡♦r❡t✐❝ ❝♦♠♣❧❡♠❡♥t❛r✐t② r❡❧❛✲

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t✐♦♥ ❢♦r t❤❡ q✉❛♥t✉♠ ❡r❛s❡r ✭❈❤✳ ✻✮✱ ❡①♣❧♦r❡❞ t❤❡ ▼❛r❦♦✈✐❛♥✐t② ♦❢ s❡q✉❡♥❝❡s ♦❢ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥ts
✭❈❤✳ ✼✮✱ ❛♥❞ ❞❡✈❡❧♦♣❡❞ ♣r♦t♦❝♦❧s ❜❛s❡❞ ♦♥ ❞✐s❡♥t❛♥❣❧✐♥❣ ♦♣❡r❛t✐♦♥s ✭❈❤✳ ✽✮✳
❚❤❡ ♠❛✐♥ r❡s✉❧ts ♦❢ t❤✐s ❞✐ss❡rt❛t✐♦♥ ❛r❡ ♦r❣❛♥✐③❡❞ ✐♥t♦ ❢♦✉r s❡❝t✐♦♥s✳ ❋✐rst✱ ✐♥ ❈❤✳ ✺ ■
❞❡s❝r✐❜❡❞ ❛ ❣❡♥❡r❛❧✐③❛t✐♦♥ ♦❢ ✇❡❛❦ ❛♥❞ str♦♥❣ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥ts✳ ❚❤❡♥✱ ✐♥ ❈❤✳ ✻ ■ ❞❡s❝r✐❜❡❞
♣❛r❛❧❧❡❧ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥ts t❤❛t ❛r❡ ♠❛❞❡ ♦♥ ❛♥ ❛ ❝♦♠♣♦s✐t❡ q✉❛♥t✉♠ s②st❡♠✱ ✇❤✐❧❡ ✐♥ ❈❤✳ ✼
■ ❛♥❛❧②③❡❞ ❝♦♥s❡❝✉t✐✈❡ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥ts ♠❛❞❡ ♦♥ t❤❡ s❛♠❡ q✉❛♥t✉♠ s②st❡♠✳ ❋✐♥❛❧❧②✱ ■ ✉s❡❞
t❤❡ ✜♥❞✐♥❣s ♦❢ ❈❤✳ ✼ t♦ ❝♦♥str✉❝t ♠❡❛s✉r❡♠❡♥t✲❜❛s❡❞ q✉❛♥t✉♠ ♣r♦t♦❝♦❧s✱ ✇❤✐❝❤ ✇❡r❡ t❤❡
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■♥ ❈❤✳ ✺✱ ■ ❛r❣✉❡❞ t❤❛t ✇✐t❤✐♥ ♦✉r ♠♦❞❡❧ ♦❢ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥t✱ ✇❡❛❦ ❛♥❞ str♦♥❣ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥ts
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■ ❢♦❝✉s❡❞ ♦♥ t❤❡ ❝❛s❡ ♦❢ s♣✐♥ ❛♥❞ ♣♦s✐t✐♦♥ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥ts ✇✐t❤ ❛ q✉❜✐t ♣♦✐♥t❡r ❛♥❞ ❞❡r✐✈❡❞
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■♥ ❈❤✳ ✻✱ ■ ❞❡s❝r✐❜❡❞ ♣❛r❛❧❧❡❧ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥ts ♦❢ ❛♥ ❡♥t❛♥❣❧❡❞ q✉❛♥t✉♠ s②st❡♠ ✐♥ t❤❡
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